/
Автор: Ширяев А.Н. Жакод Ж.
Теги: теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов математика естественные науки издательство физматлит
ISBN: 5-02-014122-4
Год: 1994
Текст
Ж.ЖАКОДДН. ШИРЯЕВ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ
СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Том 2
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
мс
Ж ЖАКСД, А.Н. ШИРЯЕВ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ
СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Том 2
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
•ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА-
1994
ББК 22.17
Ж 22
УДК 519.21
Издание выполнено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
(проект 94-01-00199) и авторов
Серия "Теория вероятностей и математическая статистика"
издается с 1959 года
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Главный редактор Ю.В.Прохоров
Заместитель главного редактора Ю. А. Розанов
Заместитель главного редактора Б.А.Севастьянов
Ответственный секретарь А.В. Прохоров
ЧЛЕНЫ РЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ
А.П.Баева, А. А Боровков, Б.В.Гнеденко, И.А.Ибрагимов, В.В.Сазонов, А.В.Скороход,
В.А.Статулявичус, АН.Ширяев
Ж а к о д Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов:
Пер. с англ. — М.: Физматлит, 1994. — 368 с. — (Теория вероятностей и математичес-
кая статистика. Вып. 48). —ISBN 5-02-014122-4. ISBN 5-02-015153-Х (т. 2). В двух
томах (том 1 — гл. I-VI, том 2 — гл. VII-X).
Содержится систематическое изложение теории функциональных и конечномер-
ных предельных теорем для классов случайных процессов семимартингального вида,
включающих процессы с независимыми приращениями, диффузионные, точечные,
образованные суммами случайных величин в случайном числе и др. Даются приме-
нения к статистике случайных процессов. Необходимый для функциональных предель-
ных теорем аппарат включает представляющий и самостоятельный интерес материал о
стохастическом исчислении для семимартингалов, проблемы мартингалов, контигуаль-
ности вероятностных мер и др.
Для научных работников, аспирантов и студентов, интересующихся теорией слу-
чайных процессов, предельными теоремами и их применениями.
Том 2
Перевод с английского С.Е. Кузнецова
Научное издание
ЖАКОД Жан
ШИРЯЕВ Альберт Николаевич,
Предельные теоремы для случайных процессов. Том 2
Технический редактор Л.В. Лихачева
Корректор Н.Н. Журавлева
ИБ № 41758
ЛР № 020297 от 27.11.91. Сдано в набор 12.11.93. Подписано к печати 25.07.94. Формат 60x90/16 Бумага №2.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 23. Усл. кр.-отт. 23. Уч.-изд. л. 22,3. Тирах 1000 экз. Заказ № 2027
. С-070
Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии №2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
1602090000-070 © Щпрингер, 1987
053(02)—94 юезооъявл- ©Ж.Жакод, А.Н.Ширяев, 1994
ISBN 5-02-014122-4 © перевод ид русский язык. С.Е.Кузнецов, 1994
ISBN 5-02-015153-Х (т. 2)
Оглавление
Том 2
Глава VII. Сходимость процессов с независимыми при-
ращениями ...........................................8
1. Введение в функциональные предельные теоремы...10
2. Слабая сходимость конечномерных распределений..15
§ 2а. Сходимость безгранично делимых распределений... 16
§ 2Ь. Некоторые леммы о характеристических функциях. 21
§ 2с. Сходимость схем серий из независимых величин.... 25
§ 2d. Слабая сходимость конечномерных распределений се-
мимартингалов с независимыми приращениями к про-
цессу с независимыми приращениями без фиксирован-
ных моментов разрыва.......................... 35
3. Функциональная сходимость и характеристики.....41
§3а. Результаты...................................42
§ ЗЬ. Достаточное условие сходимости в предположении
2.48.........................................48
§ Зс. Необходимое условие сходимости........... 49
§ 3d. Достаточное условие сходимости.............58
4
Оглавление
4. Некоторые обобщения.............................63
§ 4а. Сходимость в неинфинитезимальной схеме серий ... 63
§ 4b. Слабая сходимость конечномерных распределений для
общих процессов с независимыми приращениями ... 74
§ 4с. Другое необходимое и достаточное условие функцио-
нальной сходимости..............................79
5. Центральная предельная теорема..................86
§ 5а. Теорема Линдеберга-Феллера................86
§ 5Ь. Теоремы типа Золотарева...................88
§ 5с. Слабая сходимость конечномерных распределений про-
цессов с независимыми приращениями к гауссовскому
мартингалу......................................94
§ 5d. Функциональная сходимость процессов с независимыми
приращениями к гауссовскому мартингалу......96
Глава VIII. Сходимость к процессу с независимыми при-
ращениями ..........................................102
1. Слабая сходимость конечномерных распределений. Общая
теорема............................................103
§ 1а. Постановка проблем........................103
§ 1b. Основная теорема.........................105
§ 1с. Замечания и комментарии..................107
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями без
фиксированных моментов разрыва....................109
§ 2а. Слабая сходимость конечномерных распределений . 110
§ 2Ъ. Функциональная сходимость.................114
§2с. Применение к схеме серий...................117
§ 2d. Другие условия сходимости.................119
Оглавление
5
3. Приложения ..................................123
§3а. Центральная предельная теорема: Необходимые и до-
статочные условия..........................123
§ ЗЪ. Центральная предельная теорема: мартингальный слу-
чай .......................................128
§ Зс. Центральная предельная теорема для схемы серий 135
§ 3d. Сходимость точечных процессов............136
§ Зе. Нормированные суммы независимых одинаково распре-
деленных семимартингалов...................140
§ 3f. Предельные теоремы для функционалов от марковских
процессов..................................147
§ 3g. Предельные теоремы для стационарных процессов. 153
4. Сходимость к общему процессу с независимыми прираще-
ниями .........................................167
§ 4а. Доказательство теоремы 4.1 в случае, когда характери-
стическая функция Xt почти всюду отлична от
нуля.......................................169
§ 4Ь. Сходимость точечных процессов............172
§ 4с.\ Сходимость к гауссовскому мартингалу....173
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращени-
ями, устойчивая сходимость и сходимость с перемешива-
нием...........................................176
§ 5а. Сходимость к смеси процессов с независимыми прира-
щениями....................................176
§ 5Ь. Еще о сходимости к смеси процессов с независимыми
приращениями...............................183
§ 5с. Устойчивая сходимость....................185
§ 5d. Сходимость с перемешиванием..............195
§ 5е. Применение к стационарным процессам......196
6
Оглавление
Глава IX. Сходимость к семимартингалу........... 199
1. Пределы мартингалов............................200
§ 1а. Ограниченный случай.......................200
§1Ъ. Неограниченный случай......................204
2. Идентификация предела,.........................208
§ 2а. Вводные замечания........................208
§2Ь. Идентификация предела: основной результат..212
. § 2с. Идентификация предела с помощью сходимости харак-
теристик ........................................216
§ 2d. Применение: существование решений некоторых мар-
тингальных проблем.............................219
3. Предельные теоремы для семимартингалов.........227
§ За. Плотность последовательности (Хп)........228
§ ЗЬ. Предельные теоремы: ограниченный случай..235
§ 3с. Предельные теоремы: . локально ограниченный
случай.........................................241
4. Применения.....................................247
§ 4а. Сходимость диффузионных процессов со скачками.247
§ 4Ь. Сходимость ступенчатых марковских процессов к диф-
фузионным .....................................252
§ 4с. Эмпирические распределения и броуновский мост . 255
§ 4d. Сходимость к непрерывному семимартингалу: необхо-
димые и достаточные условия....................258
5. Сходимость стохастических интегралов...........261
§ 5а. Характеристики и стохастические интегралы.262
§ 5Ь. Формулировка результатов............;....267
§5с. Доказательства...................:.........270
Оглавление
7
Глава X. Предельные теоремы, процессы плотности и
контигуальность...................................280
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному про-
цессу ..........................................282
§ 1а. Введение. Формулировка основных результатов ... 282 •
§ 1b. Вспомогательные вычисления.............287
§ 1с. Доказательство теорем 1.12 и 1.16......295
§ Id. Сходимость к экспоненте от непрерывного мартин-
гала ........................................299
§ 1е. Условия сходимости в терминах процессов Хеллин-
гера.........................................304
2. Сходимость логарифма отношения правдоподобия к процес-
су с независимыми приращениями.................307
§ 2а. Введение. Формулировка основных результатов ... 307
§2Ь. Доказательство теоремы 2.12.............312
§ 2с. Пример: точечные процессы..............318
3. Статистический принцип инвариантности.......320
§ За. Общие результаты.......................321
§ЗЬ. Сходимость к гауссовскому мартингалу....324
Библиографический комментарий....................332
Библиография.....................................340
Указатель обозначений............................355
Указатель терминологии...........................358
Предметный указатель............................ 364
Указатель условий в предельных теоремах..........367
Глава VII
Сходимость процессов с
независимыми приращениями
В этой главе мы, наконец, приступаем к теме, определившей
название всей книги. Нашей конечной целью является доказа-
тельство теорем сходимости последовательности семимартинга-
лов к семимартингалу. Материал разделен на три последователь-
ных этапа, соответственно главы VII, VIII, и IX; сперва допре-
дельные процессы, как, разумеется, и предельный, имеют неза-
висимые приращения; затем лишь предельный процесс является
процессом с независимыми приращениями; наконец, и предель-
ный процесс также принадлежит некоторому весьма широкому
классу семимартингалов. Такой метод изложения от частного
к общему, конечно, приводит зачастую к избыточности, однако
имеет и определенные преимущества:
1) Он позволяет объединить в одну главу большинство ’’ста-
рых” результатов, принадлежащих Леви, Хинчину, Колмогорову,
Гнеденко и др., хотя эта же глава содержит некоторые недавние,
а также новые результаты.
2) С вероятностной точки зрения случай независимых прира-
щений обладает очень простой структурой.
3) В то же самое время в этом случае уже присутствует боль-
шая часть аналитических трудностей. Таким образом наше из-
ложение позволяет выделять два рода проблем — аналитических
9
и вероятностных.
4) Наконец, простая структура процессов с независимыми
приращениями допускает различные необходимые и достаточные
условия сходимости, чего нет в общем случае.
Итак, в настоящей главе излагается первый из названных эта-
пов. Рассматривается последовательность (Xn)n>i процессов со
значениями в Rd и с независимыми приращениями (см. опреде-
ление П.4.1) и ” потенциальный” предельный процесс X также со
значениями в Rd. Простые соображения, основанные на сходи-
мости конечномерных распределений, доказывают, что X также
является процессом с независимыми приращениями относитель-
но фильтрации, порожденной им самим. Разумеется, каждый из
процессов Хп и X может быть определен на своем собственном
стохастическом базисе; тем не менее, имея в виду использование
тензорного произведения, всегда можно предполагать, что
(*) Хп и X являются процессами с независимыми приращу /-
ями на одном и том же вероятностном пространстве (Q,^7, Р).
Цель данного предположения, не являющегося ограничением,
состоит исключительно в упрощении обозначений.
В разделе 1 дается общее представление о применяемых ме-
тодах доказательства предельных теорем на простейшем случае
пуассоновских процессов.
Раздел 2 посвящен конечномерной сходимости Хп X на
подмножестве V положительной полуоси R+ в случае, когда X
не имеет фиксированных моментов разрыва траекторий и все Хп
являются семимартингалами. Эта задача сводится к одномерной
сходимости (в том смысле, что Т) состоит из одной точки), так
что данный раздел фактически имеет дело со сходимостью сумм
независимых случайных величин. Поэтому мы воспроизводим ча-
сти книг Гнеденко и Колмогорова [65] и Петрова [197], имеющие
отношение к нашей теме.
Раздел 3 содержит необходимые и достаточные условия ’’функ-
циональной” сходимости Хп X. Этот раздел — самый важный
во всей главе, и по существу не зависим от раздела 2 (не считая
обозначений и некоторых ’’элементарных” свойств, собранных в
§2а).
10 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
В разделе 4 установлено другое необходимое и достаточ-
ное условие, которое выражено в терминах характеристических
функций приращений процессов. Исследована также конечномер-
ная сходимость в общем случае. Излагается, в основном, ’одна
техника, поэтому при первом чтении раздел следует пропустить.
Наконец, в разделе 5 предыдущие результаты конкретизиру-
ются для случая, когда предел является гауссовским (§ 5а, очень
легкий), даны также некоторые "неклассические” условия (§§ 5Ь,с
намного более трудные).
1. Введение в функциональные предельные теоремы
Цель настоящего раздела — описать на очень простом приме-
ре (предельный процесс, как и допредельные, — процессы Пуас-
сона) имеющиеся методы доказательства (функциональных) пре-
дельных теорем и обсудить их преимущества и недостатки.
1. Постановка следующая: рассматривается последователь-
ность пуассоновских процессов Хп с функциями интенсивности
Ап (это непрерывные возрастающие ’’детерминированные” функ-
ции). Аналогичным образом, предельный процесс — также пуас-
соновский с интенсивностью А. Как отмечалось выше, все-
гда можно без умаления общности предполагать, что все Хп и
X определены на одном и том же вероятностном пространстве
(£2,/,₽), но, разумеется, они могут порождать различные филь-
трации F" и F.
1.1. Теорема. Если А” —> At для всех t > 0, mo Xn —> X.
Доказательство основано на процедуре VI.3.18:
доказываем плотность последовательности (Хп), а затем иденти-
фицируем все предельные точки {£(.¥”)} с распределением £(Х)
процесса.
1.2. Плотность (X”). Это свойство является прямым след-
ствием теоремы VI.4.18. В самом деле, выберем функцию усече-
ния h G Cf такую, что Л(1) = 0; характеристики и модифициро-
ванная вторая характеристика Хп относительно фильтрации Fn
1. Введение в функциональные предельные теоремы
11
следующие:
Вп = О, С" = О, Сп = О, 1/п(Л, dx) = dAn(t) ® £i(dx)
(см., например, II.4.15). Более того, А” —► At для всех t > 0, и
функция А непрерывна, поэтому в силу VI.2.15c А” —> А в локаль-
но равномерной топологии в D(R) (или, в данном случае, в C(R)).
Стало быть, условия VI.4.18 тривиальным образом выполняются,
и последовательность (X") плотна. □
Далее, идентифицируем предел с помощью следующих трех
методов:
1) Метод конечномерных распределений. Начнем с элемен-
тарной леммы, верной для произвольных Хп и X процессов с
независимыми приращениями. V — подмножество R+.
1.3. Лемма. Для конечномерной сходимости на V : Хп
X достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы Х"—Х” —>
Xt — X, для всех s, t € Р U {0}.
Доказательство. Пусть 0 = t0 < ... < tp, где
tj € при j > 1. Для Uj G Rd имеем
Eexpfi 52 ) =
v o<i<p '
= П Еехр(^.(ХГу-Х"_.)),
где Vj = ^2)<k<puk при 1 < j < р (напомним, что Х$ = 0), и
такое же равенство имеет место, если Хп заменить на X. Отсюда
немедленно следует искомый результат. □
Возвращаясь к нашим пуассоновским процессам, заметим, что
X, — X* (соответственно, Xt—X,) имеет пуассоновское распреде-
ление со средним А? — А” (соответственно, А* — А,). Поэтому из
предположения А" -Я At для всех t > 0 следует, что X" — X” -Я
Xt — X, для всех s < t, и потому в силу предыдущей леммы
X” X. Стало быть, в силу VI.3.20 и 1.2 получаем X” Я. X.
(Замечание. Мы здесь имеем дело с точечными процес-
сами; поэтому в силу VI.3.37 сходимости Xn X достаточно,
12 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
чтобы утверждать, что Xn X, так что при этом методе можно
обойтись без 1.2; конечно, это замечание не распространяется на
процессы, не являющиеся точечными.)
2) Мартпингалъный метод. Этот метод основан на очень важ-
ной теореме, которая будет доказана в главе IX, и которую мы
сформулируем (не очень аккуратно) в форме, удобной для рас-
сматриваемых задач.
1.4. Пусть Mn М; если все Мп — локальные мартинга-
лы, и процессы |ДЛР| равномерно ограничены, то М является
локальным мартингалом относительно фильтрации, которую он
порождает.
• (Результат этот ’’классический”, во всяком случае, если ’’ло-
кальный мартингал” заменить на ’’равномерно ограниченный
мартингал”).
Возвращаясь к нашей задаче, обозначим через Р произволь-
ную предельную точку последовательности {£(ХП)}: найдется
подпоследовательность (Х"*), для которой £(ХПк) —» Р слабо. Р
является мерой на каноническом пространстве D(R). Обозначим
через £ канонический процесс на нем с фильтрацией 2>(R), поро-
жденной £ (см. VL1.1). Имеем МПк = ХПк — АПк — локальный
мартингал с |ДЛГ"к| < 1. Поскольку процесс А непрерывен, то в
силу VI.2.15c АПк —» А равномерно на конечных интервалах, и,
значит, в силу VI.1.23 £(МПк) слабо сходится к распределению
процесса М = £ — А относительно меры Р. Стало быть, в силу
1.4 М является Р-локальным мартингалом относительно филь-
трации, порожденной М, которая в точности совпадает с T>(R)
поскольку функция А неслучайна.
Более того, подмножество У+>1 всех траекторий точечных про-
цессов замкнуто в D(R) (см. VI.2b), поэтому Р(У+11) = 1, и 4
является Р-компенсатором £. В силу П.4.5 £ есть пуассоновский
процесс с интенсивностью А. Другими словами, распределение £
относительно меры Р совпадает с £(Х).
Таким образом, установлено, что любая предельная точка по-
следовательности {£(Х”)} совпадает с £(Х). В силу 1.2 отсюда
следует, что Xn X.
1. Введение в функциональные предельные теоремы
13
3) Метод, основанный на необходимых условиях сходимости.
Следующее обратное утверждение к теореме 1.1 интересно само
по себе.
1.5. Теорема. Пусть Хп У. Тогда Y — общий пуас-
соновский процесс (см. 1.3.26), и если А' обозначает функцию
интенсивности У, то А” —> A't для всех t 6 T>(Y) {i > 0 :
Р(ДУ, / 0) = 0}.
На самом деле, как мы увидим в разделе 3, имеет место бо-
лее сильный результат, и в частности, У в действительности, —
пуассоновский процесс (т.е. функция А' непрерывна) (см. след-
ствие 3.14) однако, для настоящего обсуждения это несуществен-
но.
Доказательство. Очевидно, У является точечным
процессом с независимыми приращениями, и, стало быть, это об-
щий пуассоновский процесс относительно своей собственной филь-
трации.
Обозначим через (S")i>i последовательные моменты скачков
Хп, а через (5.) — аналогичные моменты. Имеем P(S" < t) =
= Р(Х” > 0 -*• Р(У, > t) = P(Si < t) для всех t G Р(У), откуда
S” Л Si. Имеем также {Xs»At > j} = 0 при j > i, и {Х£„Л( >
> j) = {X? > j} при j < г, и аналогично для YsjAI, поэтому
ад»Л<) = £ Р(ХГ > j) ->
1<J<*
для всех t Е T>(Y).
С другой стороны, E(AJ) = E(Xp) и E(Ay) = Е(Ур) для
любых моментов остановки Т (относительно соответствующих
фильтраций). Стало быть, при п | оо для всех t G T>(Y) получа-
ем
1.6. ' ^:=A7 + E[(A?r-A7)l{sr<<}] =
= E(AJ?a1) - Д := AJ+
14 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
+Е[(А$. - AOllSi < О] = E(4'S.M).
Пусть £ G (0,1/2) и t € T>(Y). Найдется такое i G N*, что P(S\ <
< t + 1) < £• В силу сходимости S” Si и 1.6 найдется такое
п0 G N”, что |/?” — Д-| < е, и Р(5” < t) < 2е при п > п0. Более
того, 1.6 влечет неравенства А” < 0”/P(S” > t), fa < А', и
|А" - A'J < |/?" - Д| + А?Р(5Г < /)+
+A;P№<()<£ + 4Lt£ + AL
при п > п0. Поскольку £ сколь угодно мало, получаем, что А” ->
—► A't для всех tG T^(Y). □
Теперь мы можем вывести 1.1 из 1.5. Если (Х"‘) — подпосле-
довательность, сходящаяся по распределению к процессу У, то в
силу 1.5 У является общим пуассоновским процессом, и А"* —> A't
при всех t 0 J, где А' есть функция интенсивности У. Посколь-
ку А?* —► At для всех t > О, то получаем А' = А, и потому
£(У) = £(Х). В силу 1.2 заключаем, что Xn X.
2. Пока рассматриваются пуассоновские процессы, ясно, что
первый из перечисленных методов является простейшим. Обсу-
дим области применимости, а также простоту применения мето-
дов.
1) Метод конечномерных распределений. Мы должны знать,
как устроены конечномерные распределения, и, во всяком случае,
иметь в каком-то смысле "явную” форму конечномерных распре-
делений предельного процесса.
Нечего и говорить, что такое бывает не слишком часто, кро-
ме случая, когда X является процессом с независимыми прира-
щениями. Таким образом, с теоретической точки зрения, сфера
применимости этого метода весьма узкая, хотя на практике пре-
дельный процесс часто является винеровским, или, по крайней
мере, процессом с независимыми приращениями.
Более того, данный метод очень прост для пуассоновских про-
цессов, либо когда все Хп являются процессами с независимыми
приращениями без фиксированных моментов разрыва. Он ста-
новится значительно более сложным, если Хп могут иметь фик-
сированные моменты разрывов, а X — нет. Такие результаты
2. Слабая сходимость конечномерных распределений 15
установлены ниже в разделе 2. Еще сложнее данный метод в
общем случае (все Хп, по-прежнему, процессы с независимыми
приращениями), что может оценить читатель, прочитав раздел
4!
Добавим, что этот метод, в отличие от двух других, не нужда-
ется в проверке плотности (X”). Поэтому он позволяет получать
конечномерную сходимость даже, когда последовательность (X")
не плотна (и, значит, функциональной сходимости нет).
2) Мартпингалъный метод. По-видимому, это наиболее мощ-
ный и наиболее широко применимый метод. Однако, он требу-
ет определенного технического аппарата, который, по существу,
одинаков, независимо от того, являются ли Хп и X процессами с
независимыми приращениями или нет. Действительно, основное
требование состоит в том, что закон распределения предельно-
го процесса является единственным решением некоторой мартин-
гальной проблемы в смысле раздела Ш.2.
Этот метод не используется в настоящей главе (как и в главе
VIII) однако, все ’’функциональные результаты” ниже оказыва-
ются частными случаями результатов гл. IX (во всяком случае,
в отношении достаточных условий сходимости).
3) Метод, основанный на необходимых условиях. Оказывает-
ся, естественные достаточные условия для сходимости Хп —»• X
являются также и необходимыми, если все Хп и X — процессы с
независимыми приращениями — это свойство, однако, не имеет
места для других процессов. Таким образом, данный метод по-
лезен только в постановке, рассматриваемой в настоящей главе.
Тем не менее, в этой постановке он является по нашему мне-
нию простейшим методом, если нет никаких дополнительных
предположений на процессы с независимыми приращениями Хп
и X; он используется ниже в разд. 3.
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
Несмотря на столь общий заголовок, здесь будет рассмотрена
лишь сходимость к процессу с независимыми приращениями и без
фиксированных моментов разрыва (общий случай обсуждается- в
Г
* 16 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
разд. 4). § 2а является повторением и напоминанием, он также
знакомит с особой формой представления разнообразных условий,
возникающих в формулируемых нами предельных теоремах. § 2Ь
— технический, и используется только для необходимых усло-
вий слабой сходимости конечномерных распределений (не считая
"классической” леммы 2.16). В §2с изучаются схемы серий, и
лишь в § 2d вводятся процессы с независимыми приращениями.
§2а. Сходимость безгранично делимых распределении
Считается известной структура безгранично делимых распре-
делений на Rd, в частности, формула Леви-Хинчина, которая уже
встречалась в §11.4 (см. П.4.21).
Рассмотрим функцию усечения h G Cd (см. П.2.3: это функция
h : Rd -> Rd, ограниченная, с компактным носителем, такая, что
h(x) = х в окрестности нуля). Выберем Л, кроме того, непрерыв-
ной — это не существенно, и вообще не является ограничением,
поскольку h можно выбрать из С* произвольным образом; в то
же время предположение о непрерывности значительно упроща-
ет формулировки и изложение предельных теорем. Обозначим
через А постоянную, для которой
2.1. |ж| < 1/А =>• hfi) = х : |«| > А =>• h(x) — 0;
|А| < А, и А > 1.
Функция <р : R“ —> С является характеристической функцией
безгранично делимого распределения на Rd тогда и только тогда,
когда существует такой триплет (6, с, F), что
2.2.
' beRd,
с — симметричная, неотрицательно определенная
< матрица размера d X d,
F — положительная мера на Rd с jF({0}) = 0
, и fF(dx)(|х|2 Л 1) < оо,
и - ехр фъ.с.р, где
2.3. V’»,c,Hu) = iu b — ^и • с • и + J(e*u х - 1 — iu • Л(ж)) F(dx).
2. Слабая сходимость конечномерных распределений 17
Более того, как следует из леммы П.2.44, функция V’b.c.r одно-
значно определяет триплет (b,c, F), и если h' — другая функция
усечения, то с и F не меняются, а Ъ заменяется на
2.4. У = 6 + j[h\x)-h(x)]F(dx).
Еще одна полезная характеристика — следующая симметрич-
ная, неотрицательно определенная матрица размера d X d (’’моди-
фицированная вторая характеристика”):
2.5. с = (с°), с0’ = с” + Jh^xjh^x) F(dx);
отметим, что с зависит от выбора функции усечения.
Следующие факты также хорошо известны и приводятся без
доказательств (см. Гнеденко и Колмогоров [65]).
2.6. Пусть (дп)п>1 — последовательность безгранично дели-
мых распределений с характеристиками (5n,cn,Fn), сходящаяся
слабо к д. Тогда д безгранично делимо, и если (b,c,F) — его
характеристики, то tf>bn,cn,Fn —► ‘Фь,с,р равномерно на компактных
подмножествах Rd. □
Перед тем, как сформулировать основную теорему, введем не-
которые классы функций:
2.7. С2(КЙ) — множество всех непрерывных, ограниченных
функций: Rd —> R, равных 0 в окрестности нуля, и имеющих
предел на бесконечности,
C^R4) — множество всех таких непрерывных, ограниченных
функций f : Rd —> R, что f(x) = о(|ж|2) при |хг| —> О,
C4(Rd) — множество всех таких непрерывных функций f :
Rd -» R, равных 0 в окрестности нуля, что отношение /(х)/|а:|2
ограничено,
Ci(Rd) — подкласс ^(R4), содержащий лишь неотрицатель-
ные функции, содержащий среди них все функции да(х) = (а|а:| —
1)+ Л 1 для всех положительных, рациональных а, и обладаю-
щий следующим свойством: если т]п, т] — положительные меры
на Rd, не имеющие массы в нуле и конечные на дополнении лю-
бой окрестности нуля, то из сходимости r)n(f) —► ??(/) для любой
18 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
f G Ci(Rd) следует сходимость т)п(Г) —*»?(/) Для всех f G С2(Ка)
(так что это класс, определяющий слабую сходимость, индуци-
рованную C2(Rd)). □
Имеют место включения
2.8. C1(Rd) С C2(Rd) С C3(Rd), C2(Rd) С C4(Rd),
и очень важный для следующей главы факт состоит в существо-
вании счетного класса Ci(Rd).
2.9. Теорема. Пусть функция усечения h непрерывна,
(Мп)п>1 up — безгранично делимые распределения на Rd с ха-
рактеристиками (bn,cn,Fn) и (b,c,F), и модифицированные ха-
рактеристики сп и с определены в соответствии с 2.5. Рассмо-
трим условия
[Pi] Ьп - Ь
Hl,»] Fn(g) -► F(ff) для всех g G Ci(Rd).
Тогда рп —> р слабо тогда и только тогда, когда выполнены
условия [/?i], [71] и [^1.1], и в этом случае справедливы также
условия [^i>2] и [£1>3].
Отметим, что, поскольку слабая сходимость рп —> р никак не
связана с функцией усечения h, то совокупность условий [/Зх], ['71],
также не зависит от h, если h непрерывна (на самом деле,
это верно и для всех F — п.н. непрерывных h G Cd).
Доказательство, а) В силу определения 2.7 <=>
[^112]. Докажем вначале, что [71]+ [^1,2] =► Н1,з]- Пусть g G C3(Rd),
а = sup |<?|, и е > 0 фиксированы. Найдутся такие положительные
рациональные константы К и ту, что т/ < К, F(|x| > К) < Е, и
|s(x)| < Ф12, и h(x) = х при |х| < ту. Положим д' = д2/п - gi/vc и
9" = gi/к (см. 2.7). Тогда
l^n(ss') - F„(ff)| < yF„(da:)|</(x)|7{W<4}+
+ / F„(dz)|5(z)|Z{W>2K} <
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
19
<Еуг.(Л)|Л(1)|2+ «/„(«")<
<£ £ «+аГ„(Л.
и такие же соотношения справедливы для F. Поскольку д" G
G C2(Kd) и дд' Е C2(Rd), то [71] и [<5i>2] влекут за собой существо-
вание такого N G N*, что
f Fn(g") < F(g") + е < 2е, £ с” < £
п > N => < i<}<d Ki<<i
I l-FnGw') - F(gg')\ < е,
поэтому
П >N => \Fn(g) - F(g)\ < \Fn(g) - Fn(gg')\+
+\Fn(gg') - F(gg’)\ + |F(gg‘) - F(g)\ <
< e 2 с” + 3a + 2 ,
l<i<d •*
и поскольку e > 0 произвольно, то Fn(g) —> F(g).
b) Установим достаточность условия. Пусть выполнены [/ЭД,
[7J, [^1,2], а значит, и [<$1,3], и зафиксируем u Е R4. Если ju(x) =
= exp(iu • ®) — 1 — iu • h(x) + ||u • Л(®)|2, то имеем
(1) $Ьп,с.,ъ(и) = iu-bn-±u-cn-u + Fn(gn),
Л»
и аналогично для Действительная и мнимая части функции
ди принадлежат ^(R4) (т.к. h непрерывна и h(x) = х при малых
|г|). Поэтому в силу [/ЭД + [71] + [<ЭД3] получаем -*
откуда и следует искомое утверждение.
с) Докажем необходимость. Для всякого w 6 Rd\{0} положим
1
<Pw.n(«) = - 2 J
— 1
как видно из доказательства леммы П.2.44, это характеристиче-
ская функция следующей положительной конечной меры:
G»,n(dx) = [|w • с» • w]e0(d®) + (1 - S1~ —-) • Fn(dx).
IQ J \ W • X '
20 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Аналогично построим <pw и Gw по Ь, с, F. Из слабой сходимости
> д и 2.6 следует, что <pW)n(u) <pw(u) для всех и, откуда
следует слабая сходимость Gw>n —> Gw.
Пусть wx,..., wd — ортонормированный базис в Rd; положим
*(®) = S С1 - (sin wi • xV(wi • ®)) =
l<j<d
= 52 (1-(sin®i)/®>)’
l<j<d
Gn= Y GWj,n,nG= Y G*>>-
\<3<d *<3<d
Тогда Gn —»• G слабо, а функция к непрерывна, ограничена на К4,
строго положительна вне 0, и к(х) = О(|ж|2) при |ж| —> 0. Более
того, в силу определения Gw>n и Gn имеем Fn(dx) = •
•Gn(dx), и аналогично F(dx) = • G(dx). Пусть g 6
C^R*). Тогда функция g'(x) = (g(x) / к(х))1(х*0) непрерывна и
ограничена на Rd, поэтому Gn(g’) —* G^g'), откуда Fn(g) -* F(g).
Таким образом, доказано
Рассмотрим формулу (1): имеем gu Е С3(К4), значит,
Fn(gu) F(gu), и, стало быть,
• 1 1 ~ . « 1 tThd
ги • Ьп — -и • сп • и —> ги • Ь — -и • с • и для всех и 6 К ,
откуда следуют [Z?i] и [7J.
2.10. Замечание. В предположении [7J два эквивалент-
ных условия [£12] и [£13] эквивалентны также следующему: меры
(|ж|3 Л 1) • Fn(dx) слабо сходятся к мере (|ж|3 Л 1) • F(dx).
Если d = 1, то еще одно условие эквивалентно [7J + [6Х>2],
а именно, слабая сходимость мер cn£0(dx) + (|я|2 Л 1) • Fn(dx) к
c€Q(dx) + (|ж|2 Л 1) • F(dx) (в таком варианте условий сходимости
обычно заменяют ж2 Л 1 на ж2/(1 + ж2)). Однако, если d > 2, то сп
ис — матрицы, и последнее условие теряет смысл. □
В некоторых ситуациях не обязательно использовать функцию
усечения (или можно сказать, что используется ’’усечение” Л(ж) =
2. Слабая сходимость конечномерных распределений 21
я). Более точно, пусть д — безгранично делимое распределение
с характеристиками (b, с, F), и
2.11. У|x|2F(dar) < оо
(или эквивалентно, /|х|2д(</ж) < оо).
Тогда положим
2.12.
Ъ' = Ъ+ 1[х - Л(ж)]Г(</®),
< J г
c'ik = &к + / х>хк F(dx),
и, конечно, имеем
2.13. = ‘Фъ',с,р(и) := iu‘b'—^u-c-u+ /(е‘“ х — 1 — iu-x) F(dx).
£ J
2.14. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 2.9,
дп и д удовлетворяют 2.11, и Ъ', Ь'п, с', с'п определены в соот-
ветствии с 2.12. Пусть
2.15. limlimsup I \x\2las\>a\Fn(dx) = Q.
afoo П J
Тогда рп —► д слабо тогда и только тогда, когда выполнены
условия [rfi i],
и] k - v,«
[71] с', и в этом случае [£lit] имеет место также
при i = 2,3,4.
Доказательство.
Функции х* — h?(x) и x^xk — hi(x)hk(x) принадлежат С4(Ка),
поэтому при условии имеем эквивалентность [/3J <=> и
[71] 4^ [7^]- Кроме того, как мы знаем, [^д] О [^1.2]» а в силу 2.15
условие [<$1,2] влечет за собой [^1>4].
Теперь искомые утверждения вытекают из теоремы 2.9. □
§2Ь. Некоторые леммы о характеристических
функциях
Этот подраздел содержит три классических результата о ха-
рактеристических функциях. Первые два хорошо известны; тре-
тий взят из книги Гнеденко, Колмогоров [65] (см. также [30] или
[197]), только медиана заменена урезанным средним.
22 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
2.16. Лемма. Для всякого в > 0 найдутся такие универ-
сальные постоянные <7i(0) и С2(0), что для любой вероятност-
ной меры р на Rd с характеристической функцией <р
2.17. j(\x\2 Л1)p(dx) < У [1 — Re <р(а)] du,
1«1<»
2.18. sup |1 - ¥>(н)| < С2(О) [(\х\ Л l)p(dx).
М<« J
Доказательство. а) Имеем
(1) У [1 — Re ¥?(w)] du = Уp(dx) J [1 — cos(u- ж)] du.
|u|<0 |u|<6>
Для всякого x 6 Rd\{0} обозначим через C(x,0) некоторый ги-
перкуб в с ребрами длины b = 29/y/d, содержащийся в шаре
{и : |и| < 0} и имеющий ребро параллельное х. Тогда для х ф О
имеем
У [1 — cos(u • ж)] du > У [1 — cos(u • ж)] du =
|u|<0 c(xt6)
Ь/2
= б6*”1 / ~ cos(s|x|)]ds =
-ь/2
— Ld/i
—• и 11 ”"* _. 11 sin J •
v i>|x| 2 /
Найдется такая постоянная С, что 1 — sint/t > C(t2 Л 1) при всех
t 6 R, и потому
(2) У [1 - cos(h • х)] du > C(20Yd-df2 [(^|хР) Л 1].
1«1<»
Это неравенство, очевидно, справедливо и при х = 0. Поскольку
(з2|х|2 Л 1) > (s2 Л 1)(|х|2 Л 1) для всех s е R, то в силу (1) и (2)
получаем
У [1 - Re <Х«)] > ^^уУ(|х|2Л l)^(dx),
|U|<9 1
2, Слабая сходимость конечномерных распределений 23
где С\(в) — {С{29/y/d)d[(e2/d?) Л I]}-1, откуда и следует 2.17. -
Ь) Совсем просто найти постоянную С2(0), для которой |е‘и х —
—1| < С2(0)[|®| Л 1] при всех |и| < 0, откуда получаем 2.18.
2.19. Лемм а. Для всех 0 > О, А > 1 найдется универсаль-
ная постоянная С(0,А) со следующим свойством: пусть р —
любая такая вероятностная мера на Rd, что д(|я| > А) = О,
пусть 6 = f х p(dx) и <р — характеристическая функция р; то-
гда
2.20. У|ж — rf|2 p(d.x} < С(0, А) У [1 — |¥>(u)|2] du.
|«|<0
Доказательство. Пусть р — симметризованная
мера, определенная равенством
2.21. М = Jд(х - у) p(dx)p(dy).
Она имеет характеристическую функцию = |</?|2. По определе-
нию 6 для всех у € Rd имеем /|х — 612 p(dx) < f\x — у|2 p(dx), и,
значит,
j\x\2 p(dx) = Уp(dy) Уp(dx)\x — y|2 > J\x — 6\2 p(dx).
Более того, поскольку д(|ж| > 2А) — 0, то /|ж|2 p(dx) < 4А2 /(|®2|Л
l)p(dx). Стало быть, 2.20 с С(0, А) = 4A2Ci(0) следует из 2.17,
примененного к р. □
Следующая лемма усиливает предыдущую:
2.22. Лемма. Для всех 0 > 0, А > 1 найдется универ-
сальная постоянная С(0, А) со следующим свойством: если h
— функция усечения, удовлетворяющая 2.1, и если р — вероят-
ностная мера на Rd с характеристической функцией <р, удовле-
творяющая неравенству
2.23.
/, . 1 \ 1
> 4Л) S VA’
24 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
и 6 = fh(x) v(dx)> mo
2.24. J|x — 6|2 Л 1 ft(dx) < С(0, A) j [1 — |y>(u)|2] du.
|u|<0
Доказательство. а) Функция f(y) = /(I® — г/|2 Л
Al)/z(dz) непрерывна и ограничена, и в силу 2.23
{1 i 5
' - 1642 + 44 - 16’
М > 3/2 =$► Ду) > д(|х|
Стало быть, f достигает своего минимума в некоторой точке
У о, |з/о| < 3/2.
Для всякого х G имеем |ж — 6|2 < |ж — j/0|2 + 2(у0 — £)•(я — £).
В силу 2.23 |6| <1/2 (напомним, что А > 1), поэтому получаем
2.25. У |ж — 6|2 Л 1 ptdx) < f \х ~ + м(1ж1 > 1/2А) <
|х|<1/2А
< / |а?—j/o|2 fJ.(dx)+2(y0-S) / (x-S) fi(dx)+n(\x\ > 1/24).
|«|<1/2Л |«|<1/2A
При |а?| < 1/24 имеем h(x) = х, и, значит, в силу определения S,
2.26. / (х — 6)/j,(dx)+ / (Л(ж) — й) p,(dx) = 0.
|х|<1/2Л |г|>1/2А
Поскольку |Л| < 4, |^| < 1/2, и |j/0| < 3/2, то в силу 2.25 и 2.26
получаем
2.27. /(|a:-^|2Al)ju(da:) </(^о)+2|уо-^| / (h(x)-6)p.(dx)+
Н>1/2Л
+д(|х| > 1/24) < Ду0) + [4(4 + 1) + 1]д(|®| > 1/24).
Ь) Введем симметризованную меру д в соответствии с 2.21.
Тогда 2.23 влечет за собой:
Д(|ж| > 1/44) > / /z(da:)/z(dt/)l{W>i/24, |y|<i/4>i} >
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
25
3
> ^(|ж| > 1/2А)д(|ж| < 1/44) > -д(|ж| > 1/24)
(поскольку 1 — 1/4А > 3/4). Стало быть,
2.28. д(|г| > А) < Д (|®1 > Т?) Л
Далее, в силу определения f и имеем
Я1/о)< jufdx') jp(dy)(\x - у|2 Л 1) = j(\x\2 Al) p(dx),
поэтому 2.27 и 2.28 влекут за собой
2.29. J(\x-S\2M)p(dx)< {1+уА2[4(А+1)+1]} J(\x\2M) p(dx).
Наконец характеристическая функция меры Д есть <р = |v?|2,
значит, 2.24 с С"(0,4) = {1 + у42[4(4 + 1) + 1]}С1(0) вытекает
из 2.29 и 2.17. □
§2с. Сходимость схем серий из независимых величин
1. Изучается предельное поведение сумм независимых случай-
ных величин в следующей постановке:
2.30. Определение, d-мерной схемой серии из незави-
симых величин называется последовательность (Кп) элементов
N и последовательность (12п, 7?п, Рп) вероятностных пространств,
на каждом из которых задана последовательность (x2)i<i<Kn не'
зависимых d-мерных случайных величин. □
Разумеется, если перемножить тензорно все пространства
(12”, Р”), то всегда можно считать, что все случайные величи-
ны в этой схеме определены на едином вероятностном простран-
стве (12, F, Р), и в дальнейшем так и предполагается.
В этом параграфе изучаются схемы серий из независимых ве-
личин, удовлетворяющие при всех п условию
2.31.
Е надн <«,
1<к<Кп
£ Е[М1! Л 1)<оо,
k 1<к<К*
26 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
где h — заданная функция усечения (очевидно, 2.31 не зависит от
выбора h G Cf).
Если Кп < оо, то 2.31, понятно, выполнено. В теореме IL3.11
установлено, что условие 2.31 достаточно для корректной опреде-
ленности суммы
2.32. Е Хь
1<к<К*
(на самом деле, поскольку независимы, то п.н.-сходимость 2.32
независимо от порядка суммирования при условии 2.31 вытекает
также из ’’теоремы о трех рядах”: см. П.3.17).
Более того, поскольку нас интересуют лишь суммы £п, то мы
всегда можем считать, что х? равны 0 при к > Кп, и тогда
суммировать по всем k 6 N*; другими словами, не является огра-
ничением предположение Кп = оо.
Далее, предельное поведение £п может оказаться, конечно,
произвольным: пусть х? = О при к > 2, a Xi — произвольная
случайная величина. Однако, если каждая отдельная величина
Xk при п —> оо мала равномерно по А: и если последовательность
£п сходится по распределению, то предел непременно является
безгранично делимым распределением. Более того, можно полу-
чить необходимые и достаточные условия сходимости £п к произ-
вольному безгранично делимому закону. Свойство ’’равномерной
малости” Xk состоит в следующем:
2.33. Определение. Схема серий из независимых вели-
чин (х?) называется инифинитезималънощ если для любого е > О
lim sup Р(| > s) = 0. □
n к>1
Приведем несколько эквивалентных свойств:
2.34. Лемма. Следующие условия: (а), или (Ь), или (с^)
(для любого /3 > 0) эквивалентны инфинитезималъности:
а) для любого в > 0
sup sup |sp"(u) — 1| —► 0,
к М<0
2.‘ Слабая сходимость конечномерных раслрепелеилЛ
27
Ь) для любого 0 > О
sup sup [1 — Re -* О,
к |и|<в
(<*) supEOxkP Л 1) —> 0;
здесь — характеристическая функция x*-
Доказательство. Эквивалентность (ср) О инфи-
нитезимальность — вытекает из неравенств
EdX^AO^^ + PdX^e),
Р(|Х| > е) < е-/’Е(|Х|/’ Л1),
справедливо для любой случайной величины X при 0 < е < 1.
(ci) => (а) следует из 2.18; (а) => (6) тривиально, и (6) => (с2)
вытекает из 2.17. □
Исследуем предельное поведение суммы С* + С, где величина
£п определена в 2.32, a f — случайная величина, не зависимая
от (x2)t>i, не обязательно малая, но безгранично делимая. Это
нам потребуется для теорем о слабой сходимости конечномерных
распределений процессов с независимыми приращениями. Сле-
дующий результат является простым, но полезным обобщением
известных результатов из книги Гнеденко, Колмогоров [65].
2.35. Теорема. Предположим, что схема серий из неза-
висимых величин (xt) инфинитезимальна и удовлетворяет 2.31.
Пусть С” — И^-значная безгранично делимая случайная величи-
на, с характеристиками (bn,cn,Fn) относительно непрерывной
функции усечения h и не зависимая от (xt)*>i- Определим сп в
соответствии с 2.5 (no сп, Fn и К) и £п — в соответствии с
2.32.
а) Если £(£” + С”) —► р слабо, то р безгранично делимо.
Ь) Для слабой сходимости £(£"+£”) ~Р> где Р — безгранич-
но делимое распределение с характеристиками (b,c,F) (и с как
в 2.5), необходимо и достаточно, чтобы были выполнены три
условия:
[Л] +
к
28 Гл. VII. Сходимость процессов q независимыми приращениями
[7=] i"J' + - Е[л'(Хг)]Е[л‘(хг >п г>',
к
[ад г”(»)+Евдх;)! - f(S)
к
для всех д Е Ci(Rd) при i = 1 или i = 2.
Отметим, что, как и в теореме 2.9, совокупность условий
[/32Ь [72]» [^2,J не зависит от функции h при условии непрерыв-
ности (или даже F — п.н. непрерывности) последней.
Как мы видели, теорема 2.9 имеет вариант (теорему 2.14) для
’’квадратично интегрируемого” случая. Здесь также имеется та-
кой вариант:
2.36. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 2.35
(в том числе, инфинитезималъность), и, кроме того, Fn и F
удовлетворяют 2.11 и
2.37.
= 0.
к
Определим b',b,n и с', ctn в соответствии с 2.12. Тогда для сла-
бой сходимости £(£П+О р необходимо и достаточно, чтобы
были выполнены условия
к
wi ?""+- ад'ад')» -
к
и [^2,1]> « в этом случае справедливы также [^2,2] « [^2,4]-
Читателю теперь рекомендуется перескочить (на минуточку)
в § 5а, чтобы тут же прочитать теорему Линдеберга (теорема 5.2),
которая является вариантом теоремы 2.36 в случае, когда предел
гауссов.
2. Обратимся к доказательству теорем. Сначала выведем 2.36
из 2.35.
Доказательство теоремы 2.36. В си-
лу определения Ci(Rd) (см. 2.7) имеем [^2,1] [^2,2] (посколь-
ку F'n(A) = Fn(A) + 52кР(х2 € А\{0}) — положительная мера
2. Слабая сходимость коиечномериых распределений
29
на Rd, не имеющая массы в 0 и конечная на дополнении к лю-
бой окрестности нуля в силу 2.31). В силу 2.37 очевидно также
[^2,2] [^2,4]- Поэтому ввиду 2.35 достаточно доказать, что если
Ьп (соответственно c"J ') обозначает разность между левой частью
[/%] (соответственно, [тг]) и левой частью [/32] (соответственно,
[72]), то [^2,4] влечет за собой
(1) bn^b'-b= f[x-h(x)]F(dx),
(2)
cnJ' -► с>1 := [x>xl - hW(x)]F(dx).
Компоненты функции f(x) = х — h(x) принадлежат C4(Rrf)
и bn = /**(/) + EfcE(/(xt)), поэтому (1) следует сразу из [fM].
Аналогично д^(х) = х^х1 — h^h'^x) — функция класса C4(R<<), и
^1 = Р‘(^) + £е(№))+
к
+D4W№)] - е(х^)е(х?')|.
к
Значит, (2) будет следовать из [^2,4], если 7*м1 —► 0, где
7"^' := £ |Е[Л>(х2)]Е[Л'(х2)1 - Е(хГ)Е(х?')| =
к
= Y, IBlfc'M) - )] + ЕМJ)E[ft'(x?) - X?']I <
к
к
< [ЕE(I/(X?)D] впр[Е(|х:1) + Е(|Л(хН1)]
(напомним, что /(ж) = х — Л(ж)). Поскольку |/| G (^(R4), то
[^2,4] влечет за собой limsupn Е(|/(х£)|) < F(f) < 00. Кро-
ме того, в силу 2.1 и инфинитезимальности схемы серий имеем
supt[E(|x21) + Е(Мх")1)] О ПРИ п “* °0- Стало быть, 7"’J' -» О,
и (2) имеет место. □
Доказательство .теоремы 2.35 опирается на длинную цепочку
лемм. Положим, прежде всего,
2.38. Ьпк = Е[Л(х2)], Укп = Хпк-Ьпк,
30 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
К = виг;)].
Следующая лемма — первая, и в ней не используется инфините-
зимальность (xj):
2.39. Лемма. Если схема серий (х?) удовлетворяет 2.31,
то и схема серий (17*) также удовлетворяет 2.31.
Доказательство. Пусть А удовлетворяет 2.1. Име-
ем 6£* = Е[Л(х2-Ь2) + ^-Л(Хк)],и P»(Xt-bfc) + b"-/*(Xt)l всегда
меньше, чем ЗА, и равно 0, если (ЭД < 1/2А и |х* I < 1/2А. Таким
образом,
Е IVI < ЗА Е(1(|,+ Р(|й| > 1/2+)) <
к к
< ЗЛЕ[1<1Ч1>./гл| + 4Л!Е(й|! Л 1)],
4
и последнее выражение конечно в силу 2.31. Аналогично, если
I < 1/2 и Ixt | < 1/2, то получаем |х? “ Ьк Р < 2(lxg|2 Л 1) + |ЭД,
и, стало быть,
ЕВ(|П”|’Л1)<Е[1<|.!|>1/ч+Р(1х:1 > 1/2)+
к к
+2Е( |Х;|= л 1) + В|] < Е[з|щ + 6Е(|Х; |2 л 1» < оо. □
к
В дальнейшем предполагается, что схема серий (х") удовле-
творяет 2.31 и инфинитезимальна. Тогда из свойств 2.1 функции
h находим:
2.40. Мп —> 0, где Мп = sup |6£|.
к
Отсюда, в свою очередь, следует инфинитезимальность схемы
(Kfcn). Введем в рассмотрение еще два условия:
[1г] +
Й Г”(5)+‘^Е[5(У4П)]-Д<7)
к
для всех g € С2(К4).
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
31
2.41. Лемма. Имеет место эквивалентность [<5з,з] Й-
Доказательство. Достаточно для любой функции
g G C2(Rd) показать, что при условии [^2,2] либо [02] И»(^)| —*
-> 0, где ^(р) = Е[р(х?) -
Т Предположим, например, [#2,2]- Пусть О > 0 таково, что
д(х) = 0 при |ж| < 0, и пусть е > 0. Поскольку д равномерно не-
прерывна, то найдется такое ту > 0, что |®—< г] => 5(у)| <
е. Более того, в силу 2.40 имеем Мп < (0/2) Л т} для достаточно
больших п. В этом случае |х* — Ук”| < (0/2) Arj, и если |х*I <
то g(Y?) = р(хь) = 0- Следовательно,
I4(s)l < £P(lx;i > «/2).
Существует такая функция д' G C2(Rd), не зависящая от £, что
0 < д' < 1, и д'(х) = 1 при |х| > 0/2. Поэтому Р(|х?| > 0/2) <
< Е[5'(Х?)], и в силу [62,2]
Um sup 22 l^t(0) I < £ Um sup £ WUZ)] < £E(/)-
n t n k
Поскольку e > 0 произвольно, то отсюда получаем искомый ре-
зультат. Если, наоборот, предположить [<$2], то справедливы ана-
логичные рассуждения с заменой Xk на ¥£ • □
2.42. Лемма. Имеет место эквивалентность &
<3- [72] + Й-
Доказательство. В силу предыдущей леммы до-
статочно доказать эквивалентность [72] О [72] при условии [^2,2] •
Для этого достаточно доказать, что ^к 1?ь ~0, где
= E(Wh'(xHl - - e[w/M”)1 =
= Е[Л'Л'М) h‘h\x1 - Ч) + 4J4J - Ч'^'(й) - 4*W)].
Пусть А удовлетворяет 2.1, и f(x,y) = hih/(x) — h^hl(x — y)+yiyl —
-yih'(x) - y'h^x). Если |ж|,|у| < 1/2А, то f(x,y) = 0, и для £ > 0
найдется такое Т] > 0, что |/(®,у)| < £ при |у| < ту, х G Rd. Стало
быть, если Мп < (1/24) Л д, то
< £р(М1 > i/гл).
Те же аргументы, что и в предыдущей лемме, доказывают иско-
мый результат.
32 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
2.43. Лемма. Пусть supn Е(|Укп|2 Л 1) < оо. Тогда
а) Ек №"1 - 0;
Ь) для любого u 6 Rd имеем pn(u) -* 1, где
2.44. рп(и)= | ехр —Е(е‘“ у*" — 1 —ги-Л(Ук”))^| JjE(e,u у*").
Отметим, что в силу леммы 2.39 последовательность (Укп) удо-
влетворяет 2.31; поэтому ряд Ук" сходится, и бесконечное про-
изведение в 2.44 определено. Кроме того, | exp(iu-®)—1—г«-Л(а:)| <
< Cudip Л 1) для некоторой постоянной Си, так что ряд под экс-
понентой в 2.44 также сходится.
Доказательство. Пусть К = supn Е(|Ук”|2 Л 1),
и А удовлетворяет 2.1. Зафиксируем е > 0. Существует такое
т/ > 0, что |ж — у| < ij => |Л(а;) - h(y)\ < г. Имеем 6к" = Е[Л(У”) -
—h(Yk — f>k) + 6?], и если Мп < (1/2А) Ат/, то Л(Укп) — Л(Ук” — Ьк) +
6к = 0 при |Ук”| < 1/2А, и |Л(Ук”) - h(Yk -6k)| < £ всюду. Значит,
|fek”| < (е + М")Р(|У*"| > 1/2А), если Mn < (1/2А) Л ту, и в силу
2.40
limsup 1^1 < £$2РПУ*"1 > V2A) < 4А2еК.
п к к
Поскольку Е > 0 произвольно, то получаем (а).
Далее, если зафиксировать и G и положить 6к — Е((ехр(ги-
П”) - 1)), то
/>”(«) = { exp • £ 61") } ПК1 +
Поэтому в силу (а) для того, чтобы установить (Ь), достаточно
доказать, что 6 := П*[(1 + ^)ехр(—£?)] —> 1.
Поскольку схема серий (Укп) инфинитезимальна, то в силу лем-
мы 2.34 supk |<5£| —0. С другой стороны, | ехр(ги • х) — 1 — iu •
•Л(ж)| < Си(|а:|2 Л 1), поэтому
|^| = |Е(ехр(г« • У,") - 1 - iu • Л(Ук”)) + iu b'kn| <
< СиЕ(|У4п|2 Л 1) + Ю«1,
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
33
и, значит, limsupn52fc |£"| < СиК — вновь в силу (а). Отсюда
следует, что
(1) limsupj^l^l2 < {limsup|^|}{Umsup = 0.
n T " * " k
Наконец, если х означает главную ветвь функции логарифм
комплексной переменной то | — х + 1п(1 + ж)| < С|ш|2 для х G
С, |я| < 1/2. Поэтому (1) влечет за собой |^| < 1/2 для всех fc,
если п достаточно велико. Для этих п имеем
«” = “рЕН*"+Н1 + «Г)].
к
^1 - + in(i + ^)| <
к к
стало быть, в силу (1) —► 1, что завершает доказательство. □
Доказательство теоремы 2.35. (i). Определим
pn{u) как в 2.44, и положим
‘" = ‘" + £4.
к
F*(A) = Г"(А) + 2 W е А\{0}) (А € Я'),
к
тогда Fn(|®|2 Л 1) < оо в силу 2.39. Пусть = Еехр(ш • (£” +
+£”)). Простые вычисления показывают, что
2-45. <pn(u) = рп(«)ехр(^.1С. ,#.(«))•
(ii) . Предположим, что £(£” + С”) —► Д слабо. Обозначим
через <р характеристическую функцию р. Найдется такое В >
0, что |^(и)| > 3/4 для всех |д| < В. Пусть А удовлетворяет
2.1. Поскольку <рп -* равномерно на компактных множествах,
то найдется такое n0 6 N‘, что |<£>п(«)| > 1/2 при |и| < В и
п > п0. Поскольку схема (х£) инфинитезимальна, то найдется
такое П1 > п0, что
2.46. n > пг => Р(|х2| > ^7) < -77 для всех к > 1.
2. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. T.2
34 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Так как |y’n(w)| > 1/2 при |«| < О и п > то, кроме того,
П > П!, |и| < 0 =► £(- In |Е(е’“х* )|) < In 2.
к
Применяя лемму 2.22 к £(х£), используя 2.46 и неравенство
1 — М2 — (1/2) In |у?|, и, суммируя по k, получаем
2.47. п > щ => £Е(|У;|2 Л 1) < |С'(0, А)(1п2)ц>Х
к 1
где — объем единичного шара в К"1.
Поэтому в силу 2.47 и леммы 2.39 имеем supn Е(|Ук”|2 Л
Л1) < оо, и, значит, в силу 2.43 />”(«) —» 1. Стало быть, =
limn ехр(^п с» f»)- Из замкнутости множества всех безгранично
делимых распределений следует, что <р — exp V’j.c.f Для некоторой
тройки (6, с, F), удовлетворяющей 2.2. Кроме того, в силу тео-
ремы 2.9 (bn,cn,Fn) удовлетворяет [7J, [^1,2] относительно
(6, с, F). Поскольку в этих обозначениях [/?i] = [/32], [71] = [72],
и [612] = [£2], то остается воспользоваться леммой 2.42, чтобы
получить [72] и [^2,2]» что и завершает доказательство (а) и необ-
ходимости в (Ь).
(iii) . Остается доказать достаточность в (Ь). Предполагаем
выполненными [/32]> [72]» [^2,1]- Как мы знаем, [^2,2] также имеет
место (см. доказательство 2.36), а в силу 2.42 выполнены [72] и
[62]. Пусть g 6 C2(Rd), 0 < g < 1, и g(x) = 1 при |х| > 1/А. Тогда
£е(|у;|2 л 1) < £{Е[|Л(УП12] + е[5(у4")]} <
к ' к
< Г"(|Л|2) + Г4д).
Стало быть, [72] + [^2] влечет за собой supn Е(|У^|2 Л 1) < оо.
Поэтому в силу 2.43 pn{u) —► 1, и совершенно так же, как в п.
(ii), из [02] + [72] + [£2] вытекает, что Фьус,р- Соглас-
но 2.45 это доказывает соотношение <рп —> ехр(^,с,г)> а с ним и
достаточное условие. □
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
35
§2d. Слабая сходимость конечномерных распределении
семимартингалов с независимыми приращениями к
процессу с независимыми приращениями без
моментов разрыва
Применим результаты предыдущих параграфов, в частности,
теорему 2.35, к слабой сходимости конечномерных распределений
Хп —> X, где Р — подмножество R+, при следующих предполо-
жениях:
2.48. Хп — d-мерные семимартингалы с независимыми при-
ращениями, X — d-мерный процесс с независимыми приращени-
ями, не имеющий фиксированных моментов разрыва.
Предположение о том, что Хп — семимартингалы, принято
для простоты изложения.
В соответствии со структурной теоремой П.4.15 распреде-
ление процесса Хп характеризуется триплетом характеристик
(Bn,Cn,vn) относительно некоторой фиксированной функции усе-
чения h. Вводится также модифицированная вторая характери-
стика Сп, являющаяся непрерывным справа и имеющим пределы
слева процессом, принимающим значения во множестве симме-
трических, неотрицательно определенных матриц размера d X d,
и возрастающим относительно естественного порядка:
2.49. Ctnj* = C?'jk + (hjhk) * if - £>"({*} x h’)vn({s} x hk) =
8<t
= C?'ik + (h?hk)
s<t
(отметим, что в силу предположения о семимартингальности Хп
(|ж2| А 1) * р” < оо).
Аналогично обозначим через (В, С, и) характеристики X для
той же функции усечения h. В силу 2.48 ^({t} xRd) = 0 при всех /,
процесс В непрерывен, и (|ж2| А1) * < оо (см. П.4.15, если X —
семимартингал, и П.5.2, если нет). Поэтому модифицированная
вторая характеристика С процесса X выражается как
2.50. &к = С’к + (h’hk)*v
36 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
(частный случай 2.49, если X — семимартингал, в общем случае
— в силу II.5.8).
Введем семейство условий, в которых Т> обозначает подмно-
жество R+:
[& _ р] в» _ Bt
2.51. [7з - Р] Q -+ Ct
[£з,. - Р] g*v? -»• g*vt
при всех t G Р,
при всех t G Р,
при всех t G Р, g € C^R4)
t
(см. 2.7; напомним, что g * р” обозначает J Jg(x)vn (ds,dx)).
01<
2.52. Теорема. Пусть выполнено 2.48, функция усечения
h непрерывна, Р — подмножество R+.
а) Если
2.53. limsupt'”({s} х {|ж| > е}) = 0 для всех е >0, t G Р,
n »<t
£(р)
то сходимость Хп X имеет место тогда и только тогда,
когда выполнены условия [/З3 — Р], [73 — Р], [£3>,- — Р], где i — 1
или i — 2.
b) Если к тому же Р плотно в R+, то [<5зд — Р] => 2.53 (и
значит, из [/?з — Р], [73 — Р], [63>1 — Р] следует Хп X).
Доказательство.
а) Пусть Jn = {s > 0 : i/n({s} х Rd) >0} — мно-
жество фиксированных моментов разрыва Хп, i/n,c(ds,dx) =
= pn(ds,di)l(<7»)c(s), В”'с = Вп - Обозначим также
Su(®) = exp(iw • ж) — 1 — iu • h(x). Тогда формула П.4.16 запишется
в виде
2.54. E(e‘u W-*.")) = ехр{ш • (В; е - В”’с)-
-i« (С,” - С,") • и + д. . - 9. »
х П [1 + x"({r} х (е'«- - 1))].
s<r<t, rEJn
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
37
Кроме того, распределение т?" = £(ДХ") имеет вид (см. П.4.17)
2.55. rl1t(dx) = рп({/} X dx) + [1 — ^"({0 X Rd)]e0(d®)-
Далее, пусть s,t Е Т> U {0}, и s < t. Пусть Kn — число то-
чек в Jn П (s, t], и (s£)i<t<K» — какая-то нумерация этих точек.
Положим
bn = В?’с - В"-с, сп = С?-С?,
Fn(dx) = vn-e((s,t]xdx),
b = Bf - В; , с — Ct — Cs,
F(dx} = i/((s, /] x di),
J ДХ», 1 < k < Kn,
Xk (0, k > Kn.
Тогда тройки (6, c, F) и (fen, cn, Fn) удовлетворяют 2.2, и схема се-
рий удовлетворяет 2.31 (используется 2.55, свойство (|ж|2 Л
Л1) * v? < оо, равенство Е[Л(х?)] = ПРИ k < Kn, is. свойство
конечности вариации 7?п). Кроме того, 2.53 и 2.55 влекут инфини-
тезимальность схемы (х*)« Если Xk и С = X? — X” — £п,
то в силу 2.54, 2.55 величина £п, которая, очевидно, не зависит
от (х?)л>1? имеет безгранично делимое распределение с характе-
ристиками (5n,cn,Fn), и простые вычисления показывают, что
2.56.
б" + ^Е[ад)] = вг-в,п,
?'" + Е{Е[Л'Л'(хг)]-
-e[wщдад = с?-“ -
. )] = 9 * Vt - 9 *
к
С другой стороны, поскольку X не имеет фиксированных момен-
тов разрыва, то формула 2.54, записанная для X, не содержит
бесконечного произведения, и распределение £(Xt — Х3) безгра-
нично делимо .с характеристиками (6,c,F).
Остается применить теорему 2.35: имеем Xtn — XJ1 —> Xt — Х9
тогда и только тогда, когда
_ Bn _*Bt_ в^
38 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
c;-c;^ct-c3,
g*v?—g*v”-*g*vt —
для всех g G C,(Rd) (t = 1 или i = 2).
Теперь эквивалентность Xn X <=> [/З3—Р] + [73 — Р] + [£31, -
Р] вытекает из леммы 1.3.
Ъ) Пусть выполнено [£3)1 — Р] и Р плотно в R+. Пусть г > О
рационально, g — g2/e (см. 2.7). Поскольку функции g * vn и
g*v возрастают и функция g*v непрерывна, то в силу [63д — Р]
и VI.2.15c g * vn —»• g * v равномерно на конечных интервалах.
Отсюда supJ<t Д(<7 * р”), —► 0 для любого t. Но Д(</ * рп), =
= р”({з} X g) > р”({з} X {|а;| > е}), откуда получаем 2.53. □
2.57. Замечание. Теоремы 2.35 и 2.52 весьма близки
друг к другу; 2.35 использовалось при доказательстве 2.52. На-
оборот, 2.35b есть частный случай 2.52, именно — при Р = {1}.
Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим ситуацию теоре-
мы 2.35 со схемой серий (х£) и случайной величиной £п. Положим
к
Тогда Хп есть процесс с независимыми приращениями, так же
как и процесс Xt = £l(>i, где С — величина с распределени-
ем £(() = д. Тогда условие 2.53 (соответственно, [/З3 — {1}],
[?з — {1}], [^3,i — {1}]) есть в точности инфинитезимальность (со-
ответственно, [&], [72], [62>,]). □
2.58. Замечание. Возможна сходимость Хп —► X с Р
плотным в R+ и без выполнения 2.53 (но, конечно, не [/З3 — Р]).
Например, рассмотрим (детерминированный) процесс
xn = ( 1, 1/n < t < 2/п,
* 1 0, иначе,
и Xt = 0. Тогда Хп X, но 2.53 не выполнено (заметим, одна-
ко, что и Xn -+ X не выполнено; иначе получилось бы противоре-
чие с условиями функциональной сходимости по распределению в
следующем разделе). □
2. Слабая сходимость конечномерных распределений
39
Следующий результат менее важен; он интересен отсутствием
условий на снос, хотя снос процесса Х'п — Хп — Вп нулю не равен.
2.59. Предложение. Пусть 2.48 и 2.53 имеют место
для некоторого Р — подмножества R+; обозначим Х'п = Хп —
Вп, X' = X — В. Тогда Х'п X1 тогда и только тогда, когда
выполнены условия [73 — D\ и [63,< — Р] с г = 1 или i = 2.
Доказательство.
а) Характеристики (B',(X,i/), (Bln,C'n,i/n) процессов X' и,
соответственно, Х'п даны в П.2.33. В частности, в силу 2.48
В' = О, С" = С, и 1/ = и, и, значит, С' = С.
Пусть t G Р, Jn = {s > 0 : pn({s} X Rd) > 0}, и
(s£)i<*</<. Кп <оо — некоторая нумерация точек Jn Г1 [0, t].
Положим еще {
F"(dar) = рп’с([(М] х dx), F(dx) = р([0,/] х dx),
{Л Yn 1 < Ь <• Кп
о s:’ i; ’ ykn=xnk- эд*?)].
Тогда, если c”J' = С?”’1 + Fn(hihl), то в силу 2.56
' сг1 = с^‘ + £{Е[МЛ'Ш - Е№)]Е[Л'(х?)]},
Кроме того, в силу IL2.33
С'^‘ = сп^ + ^Е[^Н1(Укп)],
(2) 9*v'tn = Рп(^) + £{Е[5(УГ)]-
к
Далее, в силу 2.53 и аналогично доказательству 2.52 получаем
инфинитезимальность схемы (х£)> а значит, и схемы (У^п) (см.
рассуждение перед 2.41), что эквивалентно (напомним, что t G Р)
соотношению
(3) supr/n({s} х {|ж| > б}) = supP(|yfcn| > г) 0 для всех е > 0.
s<t к
40 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Ь) Обозначим через [/З3 — Т>]', [73 — Т>]', — Т>]' условия, ана-
логичные 2.51, для Х'п и X'. Тогда в силу (1) и (2)
[7з - {0] <=> Ы, [^з,2 - {01 [^2,2] (см. 2.35),
[7з ~ {0]' [72], [^з,2 - {<}]' [^2] (см. 2.41).
Стало быть, в силу леммы 2.42 [73 — Р] + р»3>2 — Р] О [73 — Р]' +
+ [^3,2 ~ V]'.
с) Поскольку (3) имеет место при всех t 6 Р, то необходимость
тривиально следует из (Ь) и 2.52.
d) Наконец, предположим [73 - Р] + [£3>1 - Р], тогда [<53 2 - Р]
выполдено в силу 2.7, и потому имеет место [73 - Р]' + [£32 - Р]'.
Осталось установить [/?3 — P]z, откуда вновь в силу 2.52 следует
сходимость Х'п X'. Пусть t G Р. Используем обозначения
(а). Из [-у2] и [<52] получаем supn Е(|Y£|2 А1) < оо, и в силу 2.43
и равенства B'tn = Е[Л(У4П)] (см. П.2.33) заключаем, что
(4) Var (B/nj)t —> 0 для всех j < d,
так что тем более выполнено [/З3 — Р]'. □
Наконец, сформулируем "квадратично интегрируемый” вари-
ант теоремы 2.52. Допустим, что все Хп — локально квадратич-
но интегрируемые семимартингалы в смысле П.2.27, что равно-
сильно соотношению
2.60. |ж|2 * р” < оо при всех t G &+•
Тогда можно определить версию первой характеристики ’’без усе-
чения”, — обозначим ее В1п, — как единственный предсказуемый
(здесь даже детерминированный) процесс ограниченной вариа-
ции, для которого Вцп = 0 и Хп — В'п — локальный мартингал.
В силу П.2.29 процесс В,п связан с Вп формулой
2.61. В'п = Bn + (x-h(x))*vn.
Аналогично вместо Сп естественно рассмотреть
2.62. C'tn’j' = C?'jl + (xjx‘) * i/tn - 52 ДВ;п<
3. Функциональная сходимость и характеристики
41
2.63. Теорема.
Пусть выполнены предположения 2.52 (в том числе 2.53), ме-
ры vn и v удовлетворяют 2.60, и
2.64. limlimsup |ж|21 {ы>а} * = 0 для всех t ЕТ>.
afoo п
Тогда, если В' и В,п определены как в 2.61, а С', С'п — в 2.62,
то сходимость Хп X имеет место тогда и только тогда,
когда выполнены условия
[/?з — Р] B'tn —> B't при всех t ЕТ>,
[7з — Р] C'tn —> C't при всех t G Р, и [^3>1 — Р]. В этом
случае [<53]2 — Р] и [#3 4 — Р] также выполнены.
Доказательство — также, как в теореме 2.52, только
вместо 2.35 используется 2.36.
3. Функциональная сходимость и характеристики
Рассматриваются d-мерные процессы с независимыми прира-
щениями Хп и X (определенные на одном и том же вероятност-
ном пространстве (12, Т7,?), но, возможно, с различными филь-
трациями Г” и F). Обозначаем через (Вп,Сп,р”) (соответствен-
но, (В, С, р)) их характеристики относительно непрерывной функ-
ции усечения h G С/ — см. П.4.15 для семимартингалов и П.5.2
в общем случае. Рассмотрим также модифицированную вторую
характеристику, в общем случае определенную выражением (см.
П.5.7)
3.1. -I- [hJ(x) - ДВ^][А‘(х) - ДБпЛ] * i< +
+ 22(1 - i/n({s} x
s<t
и аналогично для С = (Cjfc). Напомним, что эти формулы сводят-
ся к 2.49, если Хп — семимартингал, и к 2.50, если Хп не имеет
фиксированных моментов разрыва. Ниже даются необходимые и
42 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
достаточные условия для сходимости Xn X в терминах сходи-
мости триплетов (Bn,Cn,i/n) к триплету (В,С, р). Результаты
сформулированы в §3а. Поскольку достаточные условия, несо-
мненно, самые важные, и в большинстве случаев Хп — одновре-
менно семимартингалы и процессы с независимыми приращени-
ями, а X не имеет фиксированных моментов разрыва, то доста-
точность доказывается в предположениях 2.48 в § ЗЬ с помощью
” метода 1” из разд. 1.
Необходимость доказывается в § Зс, а достаточность (в общей
ситуации) — в § 3d, с помощью ’’метода 3” из разд. 1, в общей
ситуации этот третий метод оказывается много проще метода
конечномерной сходимости, даже если принять во внимание (не
столь уж простое) доказательство необходимости.
§3а. Результаты
Вначале введем серию условий на характеристики. Прежде
всего, напомним условия 2.51, в которых Р — подмножество R+:
[fi3 — В] В? —► Bt при всех / 6 Р,
[?з “ В] С? —► Ct при всех t Е Р,
- В] g*v? g *vt для всех t е Р, g е Ct(Rd).
Далее, введем условия
3.2.
' [Sup -/З3]
[Sup - 73]
[Sup -03><]
. g 6 G(Rd).
sup |В" — -В,| —► 0 для всех t > О,
sup \С” - С, | —»• 0 для всех t > О,
sup |<7 * р" — g * vs | 0 для всех t > О,
3.3.
[Sk — /З3] Вп —► В в топологии Скорохода в D(Rd),
[Sk — g*vn-+g*vB топологии Скорохода в D(R),
для всех g G Ci(Rd),
' [Sk -/37^] (B,C,g*v)
в топологии Скорохода в D(Rd+d3+m),
для всех g : Rd Rm, с компонентами из C2(Rd).
3. Функциональная сходимость и характеристики 43
1. Начнем со случая, когда X не имеет фиксированных мо-
ментов разрыва (тогда i/({/} X Rd) = 0 для всех I, и В, Си —
непрерывные функции). Основной результат здесь следующий:
3.4. Теорема. Пусть X не имеет фиксированных момен-
тов разрыва и V — плотное подмножество R+ (и напомним
также, что функция усечения h выбирается непрерывной). То-
гда следующие условия равносильны:
а) Хп £ X;
Ь) имеют место [sup —/?3], [73 - Т>], [6ЗД - Р]. Кроме того,
в этом случае выполнены также [Sup — 73] и [Sup — 63 для
i ^1,2.
Приведем два интересных следствия.
3.5. Следствие. Пусть Хп и X не имеют фиксирован-
ных моментов разрыва. Тогда Хп X тогда и только тогда,
когда X и выполнено [Sup — /З3].
Доказательство. Необходимость следует из 3.4 и
VI.3.14. Наоборот, пусть Хп 5^ X. Тогда, в частности, X?
Xt для любого t. Из условий теоремы вытекает безграничная
делимость распределения X" с характеристиками (в смысле 2.2)
Ьп = В”, сп = С”, Fn = vn((0,t] х •),
и аналогично для Xt (см. II.5.2). Поскольку это имеет место для
всех t 6 R+, то в силу теоремы 2.9 получаем [03 ~ R+], [73 - R+],
и [63>i - R+] для i = 1,2,3. Стало быть, если еще выполнено
[Sup - /?3], то достаточность следует из теоремы 3.4.
3.6. Следствие. Пусть Хп и X — семимартингалы со
стационарными независимыми приращениями (см. П.4.1) с ха-
рактеристиками В? = bnt, С? = cnt, vn(ds,dx) = dt ® Fn(dx) и
Bt = bt, Ct = ct, v(dt,dx) = dt®F{dx). Тогда следующие условия
равносильны:
а) Хп £ X,
Ь) X? Хи
44 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
с) Выполнены условия [&], [7J, [tfi,,-] (с i = 1, или 2, или 3) 1
теоремы 2.9. 1
Доказательство., Из вида характеристик следует,
что [/31] = [Sup - /З3], [71] = [Sup - 73], [£м] = [sup -%]. Поэто- |
му эквивалентность (а)о(с) вытекает из 3.4, а эквивалентность I
(Ь)4>(с) — из 2.9. □ ;
Наконец, сформулируем "квадратично интегрируемый” вари- ’
ант 3.4. ;
3.7. Теорема. Пусть выполнено 2.48, меры ип и и удо-
влетворяют 2.60, и имеет место 2.64. Определим процессы
В', В'п соотношением 2.61, а процессы С', С'п — соотноше- \
нием 2.62. Тогда Хп X тогда и только тогда, когда имеют
место условия [£3>1 — Р],
[Sup - /З3] sup,<( |В;п - В'| 0 для всех t > 0,
[?з] Q” Q для всех t tV, г^е V — некоторое плотное в
R+ подмножество.
Кроме того, в этом случае выполнены также условия
[Sup — £3ji] при i = 1,2,4 и
[Sup - 73] sup,<t |C'n - С'| 0 для всех t > 0.
Прежде, чем вывести 3.7 из 3.4, установим лемму, которая, в
частности, доказывает последние утверждения как в 3.4, так и в
3.7.
3.8. Лемма. Если V — плотное подмножество в R+ и X
не имеет фиксированных моментов разрыва, то имеют место
следующие соотношения эквивалентности:
[7з - Р] [Sup - 73],
[7з - V] & [Sup - 7^],
[^з.«] о [Sup - 63>i] при i = 1,2,4.
Доказательство. а) Как мы уже знаем, [<$зд — Р] 4»
[^з,2 — Т>]. Пусть выполнено [^зд — Р] при i = 2 или г = 4.
Чтобы доказать [Sup — достаточно проверить равномерную
на ограниченных интервалах сходимость g*vn —► g*v для любой
3. Функциональная сходимость и характеристики
45
неотрицательной функции g из C,(Rd) (поскольку д+ и д~ также в
этом случае принадлежат C,(Rd)). Но это есть следствие VI.l.lTb
и VI.2.15c, поскольку функции g*vn и g*v не убывают, а последняя
и непрерывна.
Ъ) Аналогичные рассуждения показывают, что Cn,ii —► С*'*
равномерно на компактных интервалах при условии [73 —Р]. То-
гда в силу VI.3.36 (для "детерминированных” процессов С”) так-
же и С" —► С равномерно на компактных интервалах. Аналогич-
но доказывается, что [73 - Т>] О [Sup - 73]. □
Доказательство теоремы 3.7. Пусть V —
плотное подмножество в R+. В силу 2.61
|sup|B'n - BJ| — sup [В? - В,| | <
s<t s<t
< sup I |x — /t(x)| * v” — |x — Л(ж)| * Рл|,
а функция |z — Л(ж)| принадлежит C4(Rd), поэтому при условии
[^з,4 — В] получаем [Sup — /З3] -£> [Sup — /З3]. Аналогично, в силу
2.62
3.9. C,n'ik = Cn’ik 4- gik * р"+
+^[^в^^вук - дв^дв^],
S <•
где gik(x) = х’хк — h?hk(x}. Далее при [^3>4 — Р] в силу 2.52b имеет
место 2.53 и поэтому 8ир4<<(|ДВ"| + |ДВ'П|) -* 0- Тогда, точно
так же, как в заключительной части доказательства 2.36 (с ДВ?
и ДВ'” вместо E[/i(X£)] и E(xJJ)) получаем, что [63 4 — Р] влечет
за собой эквивалентность: [73 — Р] <£> [73 — Р].
Наконец, по определению 2.7 класса C^R*) имеем [£3>1 — Р] =>
[^з,2—Р], а [^з,2—V\ вместе с 2.64 влечет [i3>4—Р], поэтому искомое
утверждение следует из 3.4 и 3.8. □
3.10. Замечание. Условие 2.48 в теореме 3.7 можно осла-
бить, предполагая лишь, что X не имеет фиксированных момен-
тов разрыва. Тогда, однако, 2.62 может потерять смысл, и пра-
вильное определение С'п дает формула 3.9 (доказательство в точ-
ности то же самое). □
46 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
3.11. Следствие. (Теорема Донскера). Пусть (£k)k>i
— последовательность действительных независимых, одинако-
во распределенных величин, Е(&) = О, Е((£*)2) = 1. Тогда про-
цесс X? = -7= 7 & сходится по распределению к стандарт-
У *<*<[”*]
ному винеровскому процессу.
Доказательство. Заметим, что все Хп — процес-
сы с независимыми приращениями, и соответствующие функции
В'п, С,п и g *vn имеют вид (см. Ш.3.14, 2.61 и 2.62):
ВГ= 2 Е(6/0Г) = О,
С'"= £ Е[(ЬМЭТ = И
1<*<[п«] П
9 * = 22 Е[<?(&/^)] =
l<fc<[nt]
= [«<]Е[5(6/л/«)]-
Характеристики стандартного винеровского процесса есть В =
В‘ = О, G = С{ = t, v = 0. Значит, выполнены условия [Sup — /З'3]
и [73 — R+]. Далее, при а > 0 имеем
1Ж1 1(|г|>а) * Щ — [^^“Ed^il lflft^aVn)),
и правая часть здесь, конечно, стремится к нулю при п f оо. Ста-
ло быть, имеют место соотношения 2.64 и [£3>1 — JR+] ( поскольку
для любой функции g G Ci(Rd) найдутся такие константы С, а,
что |<?О)| < C|x|2l(W>e)). □
Перед тем, как перейти к общему случаю, сформулируем по-
следний результат, который дополняет предложение 2.59.
3.12. Предложение. Пусть выполнено 2.48, V — плот-
ное подмножество в R+, Х'п = Хп — В", X' = X — В.
а) Если Х'п X' и справедливо 2.53, то выполнены условия
[?з — R+L [^з,2 — R+L
b) Если выполнены условия [73 — Р], [<$з,1 — Р], то Х'п X'.
3. Функциональная сходимость и характеристики
47
И здесь также можно ослабить условия 2.48, предполагая
лишь, что X не имеет фиксированных моментов разрыва.
Доказательство. а) Из Х'п £ X' следует, что
Х,п поскольку X' не имеет фиксированных моментов
разрыва. Стало быть, искомое утверждение следует из части,
касающейся необходимости в 2.59.
Ь) Пусть выполнены условия [73 — V] + [^3,1 — В]- Тогда имеет '
место и 2.53 (напомним 2.52b), и из доказательства 2.59 получаем
[?з — Р]\ [^3,2 ~ [Sup — /Зз? (по поводу последнего см. (4) в
доказательстве 2.59), где ' означает, что условия относятся к Х'п
и X'. Теперь искомое утверждение следует из 3.4. □
2. Сформулируем основной результат.
3.13. Теорема. Следующие условия равносильны:
а) Хп X.
b) [Sk — /?3], [73 — Т>], [Sk — й3>1], где V — некоторое плот-
ное подмножество в R+- Более того, в этом случае выполнены
условия [73 - V] с Т> = R+\J(X) = {t: P(AXt / 0) = 0}.
Следует сделать несколько замечаний.
1) Совокупность условий в (Ь) не зависит от функции усечения
h, если та непрерывна (это следует из самой теоремы), или даже
непрерывна i/(R+ х •) — п.н.
2) Теорема 3.4 является частным случаем 3.13, что следует
из леммы 3.8 и эквивалентности [Sk — /?з] О [Sup — 03] при
непрерывном процессе В.
3) В силу VI.2.15 [Sk - ^Зд] [^Зд - Р] + [£3,i - Р], где
Изд - v] 52 х *?)2 52 "(Wх я)2
S<t 3<t
для всех t € Р, g G Ci(R+).
3.14. Следствие. Если Хп X и все Хп не имеют
фиксированных моментов разрыва, то и X не имеет фиксиро-
ванных моментов разрыва.
Доказательство. В силу предположения функция
g * ип непрерывна для любой g £ C2(Rd), и (см. 3.13) g * ип
48 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
д*у ь топологии Скорохода. Значит, функция д*у непрерывна
для любой д е C2(Kd), откуда *✓({/} х Rd) = 0 для любого t > 0.
Отсюда и следует искомое утверждение. □
§ЗЬ. Достаточное условие сходимости в предположении
2.48
Предполагаем здесь, что все Хп — семимартингалы и X не
имеет фиксированных моментов разрыва. Согласно VI.3.20 для
доказательства сходимости Xn X (т.е. (Ь)=>(а) в 3.4) доста-
точно установить
3.15. [Sup - /?3] + [7з - V] + [Z>3,i - Р]
=> последовательность (Хп) плотна,
3.16. [Sup - /З3] + [7з - р] + Из,1 -V]^xn X.
Поскольку Р плотно в JR+, то 3.16 следует из теоремы 2.52.
Утверждение 3.15 сформулируем в виде теоремы.
3.17. Теорема. Пусть выполнено 2.48 и функция усече-
ния h непрерывна. Если выполнены условия [Sup — /З3],
[7з — V], [63,1 ~ Т>\ для некоторого плотного подмножества V С
R+, то последовательность (Хп) плотна.
Доказательство. Проверим, что выполнены усло-
вия теоремы VI.4.18. Поскольку X” = 0, то тривиально выпол-
нено (i). В силу 3.8 получаем [Sup — 73] и [Sup — поэтому
в силу предположений теоремы имеет место (iii) (напомним, что
функция да(х) = («И — 1)+ Л 1 принадлежит Ci(Rd) для любого
а € Q+, а > 0). Наконец, для любых N > 0, е > 0 найдется такое
а € Q+? а > 0, что да* vn < i/((0,7V] X {|ж| > 1/а}) < е/2. По-
скольку да * у^ -+ да* Un, то при достаточно больших п имеем
pn((0,7V] X {|ж| > 2/а}) < да * у% < £, откуда следует VI.4.19.
Таким образом импликация (Ь)=>(а) в 3.4 доказана при пред-
положении 2.48. Отметим, что это доказательство опирается на
теорему 2.52, а значит, и на теорему 2.35, которые сами (даже
достаточность), как мы видели, доказываются довольно сложно.
3; Функциональная сходимость и характеристики
49
§3с. Необходимые условия сходимости
1. Ключевой момент здесь следующий (напомним, что Хп и
X являются процессами с независимыми приращениями):
3.18. Предложение. Пусть Хп X, и для любого
t > 0 последовательность случайных величин {sup,<t 1*71} П>1
равномерно интегрируема. Тогда для функций an{t) = Е(Х”)
и a(t) = Е(Х<) имеет место сходимость ап а в топологии
Скорохода в
3.19. Замечание. Подчеркнем, что требование незави-
симости приращений для каждого процесса Хп здесь является
решающим. Приведем контрпример: пусть Y — равномерно рас-
пределенная величина на [0,1],
Разумеется, Хп X (на самом деле, Xn(cu) X.(си) в смысле
Скорохода для любого си), и \Х”| < 1. Тем не менее, ап не схо-
дится ков смысле Скорохода, поскольку все ап непрерывны, а
а имеет скачок. □
Прежде чем доказывать это предложение, введем множества
Jn = {t > 0 : vn({t} X Rd) > 0 и J = {i > 0 : х К**) > 0}
фиксированных моментов разрыва Хп и X, и установим следую-
щую лемму:
3.20. Лемма. Если Хп X, то имеет место [Sk — 63>2].
Доказательство. Достаточно доказать, что для
любой g G C2(Rd), 0 < g < 1/2, последовательность ап = g * vn
сходится к а = g * и в D(R).
а) Сперва докажем, что an(t) —> a(t) для всех t £ J. Поло-
жим x;n = £5<t5(AX?) и х; = £5<t#(AXJ. В обозначениях
VI.3.10 пусть и 6 (0,оо)\С7(Х) таково, что д(х) = 0 при |ж| < и.
Обозначим через
{5Г = Т^Х\ и)}ы и {5,- = Т,(Х,и)Ь>х
50 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
последовательные моменты времени, в которые |ДХ”| > и и
|ДХ| > и. Тогда имеем X'tn = £(AX3.»)l{s»<(} и X't =
= В силу предложения VI.3.15 имеем
3.21.
S?
Х$м = Е 5(ДХ^)1{$;<о 4 X'SiM, если t * J.
Кроме того. О < Х'^м < £/2, и то же верно для X'S,M.. Поэтому
3.21 влечет сходимость
В(Х£дЛ^Е(Х'.д,)при4£,7.
Далее следует просто воспроизвести доказательство теоремы
1.5. Для любого момента остановки Т имеем Е(ап(Т)) — Е(%у*) и
Е(а(Т)) = Е(Хт-). Стало быть, в силу предыдущих рассуждений
1.6 имеет место с А" = an(t) nA't= a(t), откуда получаем an(t) —»
—> a(t) при всех t $ J.
b) Теперь применим к последовательности (ап) теорему
VI.2.15b со строго выпуклой функцией /, такой, что /(ж) =
= — х — 1п(1 — ж) при 0 < х < 1/2. В силу (а) остается дока-
зать, что
«п(0 := Е ЛДа"(5)) = “ ElHW X g) + ln( 1 - !/”({«} x <?))]
s<t s<t
<40 = E Лд«(0) = - ЕИ{«} x з) + ln(l - i/({s} x $))]
S<t 3<t
для всех t£J. Заметим, что функция g" = — ln(l — g) принад-
лежит C2(Kd) и неотрицательна, поэтому в силу VL3.16 после-
довательность X" = 52, < (/"(ДХ") сходится по распределению к
Xй = 52л< и, значит, X"n X" при t £ J. Более того,
поскольку 1 — е"д = то в силу П.5.29 получаем
Е(ехр(—X"”)) = ехр{51(<7»)с * г< - ЕМ1 “ х !/]} =
- ехр[-ап(£) - а„(<)],
3. Функциональная сходимость и характеристики
51
и аналогично для Е(ехр(—X")). Имеем an(t) —> a(t), t £ J, в
силу (а), и Е(ехр(—Xt"")) -♦ Е(ехр(—Х(")), t $ J, поскольку
Х"п X", откуда, наконец, получаем ап(1) —* a(t) при t 0 J.
Доказательство предложения 3.18. Посколь-
ку Хп X, то X” Xt при t $ J. В силу предположения о
равномерной интегрируемости отсюда вытекает on(i) —> a(t) для
всех t $ J. Докажем, что последовательность (ап) относительно
компактна в топологии Скорохода в ©(К**). Тогда, поскольку а
является единственным возможным пределом (ап), получим схо-
димость ап —> а.
Используем модуль непрерывности w^, определенный в VI. 1.8.
Поскольку sup,<( п |ап(з)| < supn E(sup,<< |Х”|) < оо, то в силу
теоремы VI. 1.14 достаточно доказать, что
3.22. limlimsup w^(an,0) = 0 для всех N > О
(заметим, что lim w'N(an,6) = 0 для любого п, поэтому из 3.22
6J.0
вытекает Пт supn w^(an,0) — 0).
Зафиксируем N > 0, £ > 0, и пусть Zn = sup,^ |Х?|. В силу
предположения о равномерной интегрируемости найдется такое
0 > 0, что
3.23. E(Z”l{z«>0}) < £ Для всех п-
Последовательность (Хп) плотна, поэтому в силу VI.3.21 найдет-
ся такие 60 > 0, п0 G N*, что
3.24. п > п0 => Р(Е”) < е/0, где Г* = {w„(Xn, 0О) > б}.
Пусть g G 0 < 9 < 1 и g(x) = 1 при |ж| > е. Положим
/Зп = д *i>n, 0 = д ш В силу 3.20 Д, —► /3 в топологии Скорохода.
Значит, найдется такое 6 G (0,0о/2], что w'N(J3n,6) <е/9 при всех
п. Стало быть, в силу VI.1.12 для всякого п существует такое
разбиение 0 = < Z” < ... < t”n = X, что Z”+1 — t” > 6 при
j < Pn “ 2, t^+1 - < 20 < 60 ПРИ j < pn - 1, И Pn(tnj+1-) - ^n(tj) <
2e/0 при j < pn - 1.
52 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Пусть G" = {supt.<r<t»+i |ДХ"| > г}. В силу П.5.10 имеем
3.25. P(G?)<E( 5(Д^")) =
= д.(<;+1_ )-#,(<;) <2е/0.
Далее, пусть Ч <»<t< t;+1; если ш $ G” П Fn, то имеем
|JV” — X"| < Зе, поскольку /"+1 — t” < 60. Поэтому
|Х," - Х;| < Зе + 2Z"lG?uF. <
< Зе + 2^1G»Uf’n + 2И”1г">в.
Стало быть, в силу 3.23, 3.24, 3.25 при п>п0и/"<5</< t”+1
имеем
|о„(<) - <*n(s)| < Зе + + 2е = Не.
'V и '
Значит, w(an5 [*jM"+il) — откуда w'N(an,F) < Не при п > п0.
Отсюда следует 3.22, что и завершает доказательство. □
2. Теперь мы можем приступить к доказательству имплика-
ции (а)=>(Ь) теоремы 3.13. Начнем с нескольких лемм, в которых
используются обозначения раздела II.2, в частности,
х* = Е[д*г - л(дхг)],
Xn(h) = xn =xn(h),
Mn(h) = Xn(h)~ Bn.
Тогда Mn(h) — локальный мартингал (а в данном случае даже
мартингал) со скобкой
3.27. Mn'k(h)} = Cn-jk
(см. П.5.10), где процесс Сп определен в 3.1.
3. Фуякцяояацьяая сходимость я характеристики
53
3.28. Лемма. Если Хп X, то
(i) Х"(А)_ЛХ(Л),
(ii) supn Ct < оо при всех t > 0, j < d.
Доказательство. В силу непрерывности функции
h, (i) следует из VI.3.16.
Положим
<p{u)t = Еехр(ги • Х4), ¥>"(«)» = Еехр(ги • X"),
vnc(ds, dx) = vn(ds,dx)l(jny(s) и ve(ds,dx) = i/(ds,dx)l(jc)(s).
Из формулы П.4.16 с 6 = 0 получаем
3.29. |у>"(u)t | = exp [ — • С" • и — (1 — cos и • х) * ь*”®! х
хП|! + ‘'"(И 1))|.
r<t
Найдется такое 0 > 0, что |y>(u)t| > 3/4 при |и| < 0. Из
X" Л Xt следует, что -♦ y>(u)t равномерно на множестве
{п : |п| < 0}, поэтому найдется такое п0 G N*, что |<рп(и)<| > 1/2
при |и| < 0, п > п0. В частности, каждый сомножитель в 3.29
больше или равен 1/2, и для выражения под экспонентой в 3.29
имеем:
3.30. п > п0, . |и| < 0 => ~и • С” • и+
£
+(1 — cos и • х) * v?e < In 2.
Пусть А удовлетворяет 2.1, a u € Rd имеет компоненты
uj = (1гА)Л0 и ик = 0 при к / j. Имеем у2 < (тг2/2)(1 — cosy) при
|у| < тг, поэтому для А = (згА) А 0 получаем
2
1 - cos(w • я) > (1 - cos(w • X))1{|«|<1/А} > ~d« • я|21{|х|<1М) =
2А2. ;12l 2А2. •. ..2
— д.2 I ^41аг1<1/-А) - д.2 ’
и в силу 3.30
3.31. п > п0 => СГ'П + (tf )2 * рГ < In 2.
54 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Далее, рассмотрим бесконечное произведение в 3.29. Обозна-
чим через т?" следующую вероятностную меру на Rd: C"(dx) =
= р"({$} X dx) + [1 - v”({s} X Ка)]£о(</а:) (т.е. т/" = £(ДХ")). Бес-
конечное произведение в 3.29 при |«| < 0, п > п0 больше, чем 1/2,
поэтому
3.32.
п > По, |и| < 6 =>
2-1
< 2 In 2,
(поскольку 1 — у2 < —2 In у при всех у > 0). Пусть ц" — образ
меры т]" при отображении Л, т.е. = ‘Q^(goh') для всех д (или
Я = £(Л(ДХ,"))). Тогда
J(dx)eiux - J^dx)^*
77," (dx)(eiu M^ - eiu ’)
< 277^(1x1 > 1/4).
Если g G C2(Kd) и 1{|г|>1/д) < g(x) < 1, то 3.20 влечет за собой
сходимость д*р”-*д*ив D(R), и потому supn д * vf < оо и тем
более конечно К := supn £2r<t т?”(|а:| > 1/А). Значит,
лиг
- jrf (dx)eiux
< 4К.
Стало быть, в силу 3.22
Н < 0 =>
п > п0,
2-
< 4К + 21п2.
Применим к каждой мере лемму 2.19: имеем /^(|я| > А) = 0,
так как \h\ < А, и (dx)x = Jr}” (dx)h(x) = &В”. Поэтому
3.33. п > п0 => / Mr ~
3. Функциональная сходимость и характеристики
55
< шЛ9ЛС(е, Л)(4А" + 2In 2),
где Шл — объем единичного шара в Rd.
Используя определения г?" и ц" и формулу 3.1, получаем
С(П>” =Сп.Я + (Л,)2#1/пе+
+ Z /Л#]2 + £tf({0})(AB;)’ =
= с;-”+т2 * „г+Е Л?г (<fc)[tf(®) - дв>]2 =
3<t
= с?'” + (/?)2 * рГ + Е М (dx№ ~
s<t
и в силу 3.31 и 3.33 получаем
n > По => Ctn,JJ <
тг2
< — 1п 2 + u>d0dC(ff, А)(4К + 2 In 2),
что и доказывает искомый результат. □
Следующая лемма касается локально квадратично интегри-
руемых мартингалов. Она допускает (относительно) простое до-
казательство, основанное на неравенствах Буркхольдера-Дэвиса-
Ганди (см. об этом в [36] или [183]), однако, здесь приводится
доказательство, основанное на более элементарном неравенстве
Дуба.
3.34. Лемма. Существуют такие две постоянные Ki и
К2> что для любой действительнозначный локально квадратич-
но интегрируемый мартингал М с Мо = 0 удовлетворяет нера-
венству
3.35. E(sup Md) < Kia2E({M, М)2)1/2 + A'2E«M, М)2),
«<t
где а = supt (<, |AAft(o>)|.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
а < оо. Пусть Тп — inf(t : \Mt | > п, либо {М, M)t > п). Остано-
вленные процессы МТп и {М, М}Тп ограничены величинами, со-
ответственно, п + а и п + а2. Допустим, что 3.35 установлено для
56 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
всех МТп, тогда в этих соотношениях как левые, так и правые
части возрастают по п, и, значит, при n f оо получаем 3.35 для
М. Таким образом, М и (М, М) можно считать ограниченными.
Пусть t > 0, у = E(sup,<t ЛГ4), z = E((Af,М)2). Тогда N =
= [М, М] — {М, М) — мартингал такой, что | Д7V| < 2а2, и N име-
ет конечную вариацию. Поэтому процесс [N, 7V] = (Д^)2
сильно мажорируется процессом 2a2Var (TV), который, в свою оче-
редь, сильно мажорирует процесс 2a2([M, М] 4- {М, М)). Силь-
ная мажорируемость наследуется компенсаторами, стало быть,
(N,N) <4а2(М,М),и
3.36. Е([М, Л/]2) < 2E(7V2) + 2Е((М, М)2) = 2E((7V, Л7>« )+
4-2г < 8а2Е((Л/, М)t) + 2z < 8a2y/z + 2z.
С другой стороны, М2 = 2М_-М-|-[М, М] (см. 1.4.45), поэтому
3.37. у < 8E(sup |М_ • Ма |2) + 2E([Af, М]2).
Наконец, локальный мартингал Z — М_ • М имеет треугольную
скобку (Z, Z) = М2 • {М,М), а последнее выражение ограничено.
Значит, Z квадратично интегрируем, и в силу неравенств Дуба
1.1.37 и Коши-Шварца получаем
3.38. E(sup |М_ • АГ, |2) < 4E(Z2) = 4E((Z,Z)t) <
s<t
< 4E[(sup M2_)(M, M)t] < 4y/yl.
s<t
Из 3.36, 3.37 и 3.38 следует, что
У < 32ууг 4- 16a2y/z 4- 4г.
Поскольку у < оо, то это возможно лишь при у < [16г 4-
4-2(65г + 4a2у/z)1/2]2. Отсюда имеем у < Ii\a2yfz 4- Л’2г, = 32,
К2 = 1062, что и доказывает 3.35.
Доказательство импликации (а)=>(Ь) в теореме 3.13. Пусть
Xn X. В силу 3.20 имеем [Sk — 63>2]. В силу 3.28 supn < оо
для всех t > 0, j < d. Если применить предыдущую лемму к
3. Функциональная сходимость и характеристики
57
каждой компоненте Afn,J(/i) (определенной в 3.26 и удовлетворяю-
щей 3.27 и неравенству |ДМП(Л)| < 2А, где А удовлетворяет 2.1),
то получим
supE(|Mn(^)|;4) < оо,
п
где |Л/”(Л)|* = supa<t |МП(Л),|. Значит,
3.39. Последовательность {|М”(Л)|*,’}П>1 равномерно инте-
грируема прир < 4. В силу П.5.10 (или 3.39) В" = Е(Хп(Л)е), Bt =
= E(X(/i)f). В силу 3.28 Xn(h) 4 X(h), и Xn(h) и X(h) являют-
ся процессами с независимыми приращениями. Следовательно,
в силу 3.18 получим [Sk — /?3], если для величины |ХП(Л)|* :=
= sup1<t |ХП(Л),| установим следующее свойство:
3.40. Последовательность (|Xn(/i)|,)n>i равномерно интегри-
руема.
Пусть |ВП|, := supJ<( |В^|. Соотношение 3.39 влечет за собой
3.41. Um sup Р(\Мп(/г)[? > в) = 0,
п
и поскольку Xn(h) 4 Х(К), то в силу VI.3.21 получаем, что по-
следовательность |Х"(/г)|* также удовлетворяет 3.41. Вычитая,
видим, что последовательность |ВП|* также удовлетворяет 3.41,
а так как "случайные величины” |ВП|, детерминированны, то
3.41 для них означает просто, что supn |ВП|(* < оо. Поскольку
|ХП(Л)|; < |В”|, + |М"(Л)|*, то 3.39 влечет за собой 3.40, и мы
получаем [Sk — /?3].
Наконец, множество J = J(X), очевидно, содержит множе-
ство J(X(h)). В то же время Xn(h) X(h), поэтому Х"(Л)( 4
X(h)t для всех t 0 J. Более того, ДВ( = 0 для t «7, и, зна-
чит, в силу [Sk — <53] имеем В" -> Bt при t 0 J. Отсюда Mn(h)t —>
согласно П.5.10 = E(Mn’’(h)tMn‘k(h)t),
поэтому в силу 3.39 С? —► Ct при t 0 У, т.е. справедливо [73 — D\
с Р = R+\J. □
58 Гл. VII. Сходимость процессов а независимыми приращениями
§3(1. Достаточное условие сходимости
Осталось доказать импликации (Ь)=з>(а) и (b)=> [Sk — /?7^3] в
3.13. Основной момент состоит в доказательстве плотности после-
довательности (Хп) при условии (Ь). Нам понадобится несколько
вспомогательных утверждений.
3.42. Лемма. Пусть выполнено [Sk — £3,1]- Тогда для лю-
бого t > 0 существует такая последовательность (tn), сходя-
щаяся к t, что tn = t, если t Е Р := К+\У(Х), и
(i) рп(К} X д) X д) для всех д G GfR'*);
(ii) limlimsuppn(([/ - T),t + X {|ж| >..£}) = 0 для
п
любого е > 0.
Доказательство. а) Пусть д 6 Ci(Rd), и ап = д *
*i/n, а = В силу VI.2.1 существует такая последовательность
{/£}, сходящаяся к что
3.43. Дап(/') = «/"({<'} х д) -> Да(0 = //({/} х д),
3.44. lim limsup w(a'°; - rj,t + ту]) = 0,
n
где ajf (s) = Oin(s') — aw — модуль непрерывности,
определенный в VI.1.4. Тогда функция а'9 = ((jlpjjc) * i/n возра-
стает, и, значит, w(a'’; [t — rf,t + 77]) = рп(([/ - r),t + т?]\{^}) х д),
и 3.44 влечет за собой
3.45. lim lim sup i/n(([Z -?/,/ + rj]\{t^}) х д) = 0.
п
Напомним, что Ci(Rd) содержит все функции да(х) = (а|х| —1)+А1
при a G Q, а > 0.
Ь) Допустим сначала, что t У(АГ), так что х д) = 0
для всех д. Тогда в силу VI.2.1 можно взять t9n = t для всех
д € Ci(Rd). Стало быть, если Zn« = /, то имеет место (й) (надо
применить 3.45 с д ~ да а > 1/е), и в силу 3.43 и свойства класса
Ci(Rd) определить сходимость, получаем (i).
с) Пусть теперь t G У(Х). Тогда существует такое q £ N*, что
> 0. Выберем д, д' Е Ci(Rd) так, чтобы д > С д'{С > 0),
и ^({/} X д') > 0. Тогда 3.43 и 3.45 влекут за собой
liminf X д)> Climun{{t(} х д') = Cv{{t} х д') > 0,
п п
3. Функциональная сходимость и характеристики
59
lim limsup - rj,t 4- }) X g) = 0,
n
откуда следует равенство t£ = tan при достаточно больших п.
Положим тогда tn = , где функция gq определена выше. Если
q' > 9, то gq> > Cgq при некотором С > 0, поэтому предыдущие
рассуждения показывают, что t3*' = tn при достаточно больших
п, а это означает, что можно выбрать tn' = tn Для всех п. Анало-
гично, если д G Ci(Rd) и p({Z} х д) > 0, то найдется такое q' > q,
что дд/ > Сд для некоторого С > 0, и вновь = t3n‘ = tn для
достаточно больших п, поэтому снова можно выбрать = tn.
Наконец, если f({/} х д) = 0, то из VI.2.1 снова вытекает, что
можно выбрать t9n = tn.
Итак, = tn для всех д G Ci(Rd), и аналогично (Ъ) выше
получаем (i) и (ii). □
3.46. Следствие. Пусть выполнено [Sk — £3(J], t > 0, u
(tn) — связанная c t последовательность из 3.42. Тогда
- дв„ д<?" - дс4.
Доказательство. Пусть А удовлетворяет 2.1 и
q > А. Если gq — такая же функция, как в 2.7 или в предыдущем
доказательстве, то gth9 G C2(Rd), и в силу 3.42
3.47. / vn({tn} х gqh) -*• p({i} х g9h).
Имеем \gqh — h\ < 1/q, и ДВ" = z/n({s} X h). Отсюда |ДВ"п —
-""({tn} X gqh)\ < 1/q и |ДВ, - p({Z} x gqh)\ < 1/q. Поэтому
в силу 3.47 и произвольности q ДВ”п’ —► ABt. Согласно 3.1 или
II.5.9, ДС'"1-’* — pra({s} х h’hk) — АВ"'9 АВ",к, и аналогичные рас-
суждения доказывают сходимость
i/n({<„} х hjhk) v({t} X hjhk),
откуда ДС"п —* ДС\. □
3.48. Следствие. Пусть выполнены условия [Sk — /З3],
[7з — Т>] и [Sk — б3 J, где Т> плотно в R+. Тогда имеет место
[Sk —
60 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Доказательство. а) Сначала докажем сходимость
CnJi —► С” в D(R). Все эти функции возрастают, и поскольку они
удовлетворяют VI.2.20 в силу предыдущего следствия, то искомое
утверждение вытекает из VI.2.22, VL2.15 и [73 — 2>].
Ь) Докажем далее, сходимость Сп —► С в D(R‘,xd). Компонен-
ты (<?"•’*) удовлетворяют условиям VL2.2, поэтому —►
—»• в D(R). Стало быть, VL3.36 (применительно к ’’де-
терминированным” процессам Сп) влечет плотность последова-
тельности (Сп). Поэтому в силу [73 - Р] получаем искомую схо-
димость.
с) Пусть функция g : Rd —> Rm имеет компоненты из C2(Rd).
Тогда все компоненты последовательности (d + d2 + т)-мерных
функций (Bn,Cn,g*i/n) сходятся в D(R) к соответствующим ком-
понентам (B,Cyg * I/) (используется (b), [Sk - 63|2] и [Sk — /З3]).
Кроме того, в силу 3.42 и 3.46 они удовлетворяют условиям VL2.2,-
откуда и следует искомый результат. □
3.49. Теорема. При условии [Sk — /?7^з] последователь-
ность (Хп) плотна.
Доказательство основано на теореме VI.5.10.
Однако, эта теорема о семимартингалах, а Хп — вовсе не обяза-
тельно семимартингалы. С другой стороны, их характеристики
детерминированы, что значительно упрощает ситуацию, и пото-
му здесь приводится прямое доказательство (читатель может по
шагам проверить, что доказательство теоремы VI.5.10 в данной
ситуации остается в силе).
Пусть А удовлетворяет 2.1. При b > 0 положим
hb(x) = ЬЛ(ж/Ь),
— это снова функция усечения. Более того, компоненты функции
hb — h принадлежат C2(Rd). Для любого q G N* положим
Mn(hq) = Xn(h) — Вп + £[Л,(ДХ,") - Л(ДХ,”)] - (Л? - h) * р",
»<
= Ani + Mn(hg),
3. Функциональная сходимость и характеристики
61
Vni = Bn + (h1/g-h)*vn,
Wn" = £(ДХГ-Л,(2^Г)],
><•
поэтому при всяком q имеем
3.50. Хп = Ung + Vng + Wng.
Остается доказать, что это разложение удовлетворяет условиям
леммы VI.3.32.
а) Для всякого q 6 N* последовательность (Ung}n>\ плотна.
Действительно, по определению имеем Mn(hq} = Xn(hq) — Bn(hq)^
где Bn(hq) = Bn+(\ — h}*vn есть первая характеристика, связан-
ная с функцией усечения h. Тогда функция (Afnj’(hg), =
= Cn’^(&f) определяется из 3.1 с hq вместо h. Простые вычисле-
ния показывают, что
cn^{h4) = СП->Ч[(Л>)2-(Л> )2]*p"+5>"(W хл>)2-НИ Щ )2].
Значит, Ung — локально квадратично интегрируемый семимар-
тингал, и если положить (как в VI.5.16)
Рпч = ElVar (Л"™) +
j<d
то получаем следующее соотношение (сильная мажорируемость
а < (3 означает, что процесс (3 — а возрастает):
+ 1(Л02 - (л> )2| * Н+
,<<*
+ х IV, + 4|>"(W х |л; - 4|) +14 - 4„1
9< }
^впч :='£Сп'” + hg*i/\
j<d
где
Л< = ZJ(4)2 - (b'/l + А(1 + 9)14 - и + IW - 4/,11-
j<d
62 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Кроме того, hq G C^R**), поэтому из [Sk — вытекает схо-
димость Gni —* G1 := + ht ♦ v в D(R). Поскольку еще
Во* = 0, то выполнены условия теоремы VI.5.17 для последо-
вательности ({7П,)П>1 (с условием (С1)), откуда и'получаем ее
плотность.
Ь) Последовательность (Vng) удовлетворяет VI.3.32 ii. В са-
мом деле, по построению |ДУ"»| < A/q, и в силу [Sk —/З763] Vng —>
—* В 4- — Л) * v в IHR*1), что и доказывает требуемое.
^Последовательность (Wr"}) удовлетворяет VI.3.32 iii.
Действительно, имеем Л?(«) = х при |®| < q/A, поэтому
sup |^’| > 0 => £ 52Л/?(ДХ,") > 1.
><N ><N
Значит, в силу П.5.10
3.51. P(sup|W,n’| >0)<
»<N
— Е f У? 52Л/д(Д-У," Й = 92А/<1 * i'n •
'»<N '
В силу [Sk - /?7<53] Р2Л/, * Vn> -»• 02Л/? * ^n< при N' > N, N' G
Е П(Х). Кроме того, lim?Toog2A/« ♦ = 0. Стало быть, VI.3.32
iii немедленно следует из 3.51. □
Теперь мы можем доказать импликацию (Ь)=>(а) в 3.13. Пред-
положим, что. выполнено (Ь). Тогда в силу 3.48 имеет место
[Sk — /?7^з], и в силу 3.49 последовательность (X") плотна. По-
этому остается доказать, что £(Х) есть единственная предельная
точка последовательности {£(%")}.
Пусть некоторая подпоследовательность ХПк сходится по рас-
пределению к пределу X1. Тогда X1 — обязательно процесс с не-
зависимыми приращениями, обозначим его характеристики через
(В', С', у’). В силу уже доказанной импликации (а)=>(Ь) выпол-
нены условия [Sk - /З3], [73 - Р'] и [Sk - £3,2], где Р' = R+\y(X'),
триплет (В, С, 1/) заменен на (В', С, р'), а последовательность (п)
— на подпоследовательность (п*). Приравнивая два предела для
В"* (соответственно, СПк и д*иПк), получаем В' = В, C't = Ct, t €
G Р' П Р (где Р = R+\j7(X)), и<7*1/' = <7*р при всех g G ^(R4)-
4. Некоторые обобщения
63
Отсюда С' — С (так как Р П ТУ тоже плотно в R+) и и' — и,
а значит, и С = С. Таким образом, X' и X имеют одинако-
вые характеристики, откуда в силу теоремы IL5.2 заключаем,
что £(Х') = £(Х). Стало быть, £(Х) есть единственно воз-
можная предельная точка последовательности {£(.¥”)} и, значит,
Хп -^Х. □
4. Некоторые обобщения
В настоящем разделе продолжается изложение ”чистой тех-
ники”. Эти результаты используются затем лишь в следующем
разделе.
Сначала мы вернемся к слабой сходимости конечномерных
распределений, но уже для общих процессов с независимыми при-
ращениями, с целью получить результат типа теоремы 2.52 (а
также типа теоремы 2.35). Конечно, если X имеет фиксирован-
ные моменты разрыва, то предполагать 2.53 не имеет смысла,
и ключ к естественным” условиям, заменяющим 2.53, содержит
лемма 3.42, а именно, вместо 2.53 предполагается, что последова-
тельность удовлетворяет двум условиям (i) и (ii) из 3.42.
Затем в §4с мы выведем новые необходимые и достаточные
условия для функциональной сходимости в терминах характери-
стических функций.
§4а. Сходимость в неинфинитезимальной схеме серий
Рассматривается d-мерная схема серий из независимых вели-
чин (х£); как и в § 2с, мы можем и будем предполагать Кп = оо,
т.е. все серии бесконечной длины.
Для дальнейших ссылок нам понадобится рассмотреть случай,
когда условие 2.31 может нарушаться. Однако, предполагается,
что
4.1. Если = Е[/г(х£)] и Y? — — Ь^, то каждая последо-
вательность (У*Л)*>1 удовлетворяет 2.31.
Другими словами, ряд Хь сходится п.н. ’’после центриро-
вания” независимо от порядка суммирования, и в качестве цен-
64 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
трирующих констант можно выбрать Разумеется, в силу 2.39,
имеет место импликация 2.31=>4.1.
Вместо инфинитезимальности предполагается, что подходя-
щая выборка из ’’больших” величин в n-й серии сходится по рас-
пределению (при п | оо) к ненулевой случайной величине, в то
время как ’’малые” величины равномерно малы. Относительно
простая реализация этой идеи состоит в рассмотрении вспомога-
тельной последовательности (хГ)*>1 независимых величин, кото-
рые удовлетворяют 4.1, и таких, что выполнено
4.2. Условие. Для всякого е > 0 найдется такое конечное
целое число р(е), и для всякого n Е N — такая последователь-
ность (Ату(^))i<7<р(е) различающихся индексов, что
(г) ~~>
(гг) limsup sup Р(|х£| > £) < £
п к к^к*(Е)У1
(здесь lim supn an = lim„ j sup„<m<oo am). □
Рассмотрим также для всякого n € N К^-значную величину
(n с безгранично делимым распределением, имеющим характери-
стики (bn,cn,Fn) относительно некоторой функции усечения h не
зависящую от последовательности (%£ )*>i- Как обычно в этой
главе, предполагается, что функция усечения h непрерывна. По-
ложим
4.3. V" = c + £yfc",
(I)
v"(£)=v“- y,
4.4. Теорема. Пусть выполнено 4.1 и 4.2.
а) Для того, чтобы Vn V°° и Уп(е) V(£) при любом
Е > 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие
три условия:
[/?4] ьпь°°;
Ы -cn’il + £{ERtf)] - -
к
4. . Некоторые обобщения 65
- S~J’' + W Л'(ХГ)] - E[W(xn№'(xD]};
к
М F“(s) + L E[j(xJ)l - F"(g) + £ E[s(xf)]
к к
для ecexg G Ci(Rd) {здесь функция cn определена в 2.5) при i = 1,
или i = 2.
b) Если, кроме того, характеристическая функция величины
V°° не обращается в нуль, то условия [74] « [&»,«] необходи-
мы и достаточны для сходимости Vn —► V°° {разумеется, при
условиях 4.1 и 4.2).
Заметим, что данная теорема дает условия сходимости сумм
из велйчин Уко в терминах Xi- Если можно суммировать сами ве-
личины х%, а именно, выполнено 2.31, то получим другой вариант
этого результата. Положим
4.5. г = 1>;, <”(=)=€"- Е
<*> !<><₽<*>
4.6. Следствие. Пусть выполнены 2.31 и 4.2. Тогда
а) Для того, чтобы £П+С" ^ОО+С<Х> и ^"(£)+^п ^0°(£)+С°°
для всякого г > 0, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лись условия:
[Л] ъп + £E[A(x?)] - + £Е[Л(хГ)],
к « к
[74] и [<54,»] выше (при i = 1 либо i = 2).
b) Если, кроме того, характеристическая функция суммы
^со ^оо не обращается в нуль, то условия [/34], [74] и [64)J необ-
ходимы и достаточны для сходимости + (п Д £°° + (°°.
Отметим, что теорема 2.35 есть частный случай данного след-
ствия, именно, случай, когда хГ = 0, к > 1. В самом деле, если
это так, то 4.2 равносильно инфинитезимальности схемы серий
(х£), и 2.35 сводится к части (Ь) следствия.
Нечего и говорить, что если характеристическая функция
Еехр(ш • V00) обращается в нуль (т.е. обращается в нуль од-
на из характеристических функций Еехр(ги • х*°))5 то и теорема
3. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. Т.2
66 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
и следствие не слишком информативны. Следующий пример по-
казывает, чего можно ожидать в этом случае.
4.7. Пример. Пусть %£ = О при к > 2, и Xi = Y —
одномерная случайная величина с характеристической функцией
•Р(«) = [1 - MF-
Пусть (п — такие же, как и выше (при d = 1), и пусть
—► V’»~,e«>,F«>(«) при |u| < 1, но не при всех «Ей.
Тогда 0 + 0 -* £°° + С°° > однако, 0 не сходится по распределе-
нию к 0°, и условия [Д4], [74], [^4,,] не выполнены. □
Доказательство следствия 4.6. Пусть
0" = 0 + Yl(k) ^k'i характеристики этой величины — (Ь'п, с", F”)
с b'n = bn + Тогда условия [/34] для С" и [/?4] для (,п
совпадают, как и условие [74] (соответственно, [0,>]) Для 0 и С,'п.
Если теперь V'n и V'n(£) связаны с 0" согласно 4.3, то имеем
у'п
У'"(0 = 0(0 + 0 + £ *?;(<)•
Далее, 4.2 влечет за собой сходимость b%n(£) -+ при всех
j < р(в). Поэтому имеют место эквивалентности
£°° рг,0°
0(0 + 04 0°(О + 0° v'"(0 4 Г°°(0-
Теперь 4.6 немедленно следует из 4.4. □
Приступим к доказательству 4.4. Оно в основном такое же,
что и для 2.35, только с некоторыми дополнительными усложне-
ниями. Прежде всего, положим
4.8.
*”(0 = {*,"(£) .!<,< р(£)},
6" = E(A(yf)J,
Z; = Yt" - if,
М"(£)= sup |Ч|,
к^К-(€)
M'n(s)= sup \b'”\
k$Kn(e)
4. Некоторые обобщения
67
(напомним, что величина (Укп) удовлетворяет 2.31, а вместе с ней,
в силу леммы 2.39, и величина (Z£)).
[74] + £ Е[ЛМ'(Ук")] с°°* + £ Е[ЛМ'(Ук~)],
k к
Й F"(<7) + £E[5(yt")] - F°°(g) + ЕЕ[<ЮТ)]
к к
для всех д € C2(Rd).
4.9. Лемма, а) УД(е) А Ук“(е) (значит, &к”»(е) -* b'^S,^) и
уп Л >7оо
^к^с) -*
Ь) Еслие < 1/2А(1+А) (где А удовлетворяет 2.1), molimsupn М
е(1 + А) и limsupn М1п(е) < Зе(1 + А).
Доказательство. а) немедленно следует из 4.2i.
b) В силу 2.1, |&к| < £ + АР(|Хк| > е), если £ < 1/А, поэто-
му первое утверждение в (Ь) следует из 4.2ii. Более того, если
|Ь£| < £(1 + 2А), то Р(|Ук"| > 2£(1 + А)) < P(|tf| > £). Зна-
чит, 4.2п и доказанный результат относительно Мп(е) приводят
к неравенству
4.10. limsup sup Р(|Укп| > 2f(l + А)) < £
п kgK*(t)
в то время как |6к”| < 2£(1 + А) + АР(|Ук"| > 2£(1 + А)), если
2£(1 + А) < 1/А.
Стало быть, второе утверждение в (Ь) следует из 4.10. □
4.11, Лемма. Имеет место эквивалентность [64]
при i = 1 и i — 2.
Доказательство. Тот факт, что [£4,1] [^4,2], сле-
дует (как обычно) из свойств C^R*1) в 2.7. Пусть g 6 C2(Rd)
и 5k(g) = E[g(Xk) — д(Ук")]. Достаточно доказать сходимость
Е*sk(g) -* Ek6F(g) п₽« условии [<$4,2] или [й4].
Пусть, например, выполнено [^4lJ. Зафиксируем £ > 0 и пусть
в > 0 такойо, что д(х) = 0 при |ж| < 6. Найдется такое д > 0,
что |ж — д| < г/ => |<jr(xc) — g(y)| < £. Обозначим 6 = (0/2) Л rj.
Напомним, что Укп = Хк — £»*, поэтому, аналогично 2.41,
I&2I < 6 |^(д)| < £Р(|Х”| > 0/2).
68 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Имеем Р(|х2| > 0/2) < Е[5Гч/*(х*)]- Пусть е' = 6/2(1 + А). В силу
4.9b имеем |Ь£| < Мп(е') < 6 при всех достаточно больших п и
всех к £ Кп(е'). В силу 4.9а имеем 6^е,у(д) -»• 6^,^,^(д). Значит,
lim sup yjffitg)-6™(д)) <limsup
" k n
E w«i+
+ £ i«”(«)i} <eiimSup {EEb.z.a:)]+£E[s</.ar)i} <
k?K°°(l') 1 " 1 к к '
< J/’“(j«/.) + 2£E[94/,(xr)]},
*• к J
где последнее неравенство следует из [$41,]. В силу произвольно-
сти е > 0 получаем искомое утверждение. Наоборот, если вы-
полнено р4], то аналогичные рассуждения доказывают искомый
результат, если поменять местами Хк и ^к-
4.12. Лемма. Имеет место эквивалентность при i = 1,2.*
[74] + [04,«] [74] + [^4]-
Доказательство. В силу 4.11 достаточно доказать,
что при выполнении [tf4i2] выполнено: [74] О [74]. Для этого, в
свою очередь, достаточно доказать, что 52fc 7i~► 22k 7fc°J\ где
величины 74определены как в доказательстве 2.42. В обозна-
чениях этого доказательства имеет также место оценка:
|ВГ1 < « := 5^7 л , => < еР(|Й1 > ^).
В то же время при е' = 6/2(1 +А) для к £ #”(£') и всех достаточ-
но больших п выполнено |В£| < <5, а по лемме 4.9 7*«(с') ~* 7*^(е>)>
и применяя те же рассуждения, что и в предыдущем доказатель-
стве, получаем требуемый результат.
Каждая последовательность (Yk)k>i удовлетворяет 2.31, по-
этому 52k |6*"1 < 00 5 и следующие функции корректно определены
(см. после леммы 2.43):
4.13.
( Pn(«) = IIWU у‘,)ехр(—Е(е‘“ - 1 - iu • W)))},
J к
I РМ= П {E^^xpt-E^^^^
( к^Кп(е)
4. Некоторые обобщения
69
4.14. Лемма. Пусть supn 22* E(|Z*|2 Л 1) < оо. Тогда
Ь) sup£ Е(|У,"|’ л 1) < оо,•
n к
с) pn(u) —► p°°(u) u pf(u) —► p~(ti) при всех и € Rd, е > 0.
Доказательство. Начнем с некоторой предвари-
тельной подготовки. Положим К = supn22* E(|Z*|2 Л 1). Имеем
6* = Е[Л(У*П + &*)], поэтому
b'k =E[h(Yk) — h(Yk +Ьк) + Ьк].
Пусть £ > 0, тогда найдется такое rj > 0, что |ж — у| < г) =>
=> |Л(х) - Л(у)| < £; положим 8 = т) Л (1/24) Л е. Тогда |Л(У*П) -
—h(Yk + 5*) — 5*| меньше 2е при |6*| < 6 и равно нулю, если
|Ь*| < 8 и |У*П| < 1/24. Более того, |У*П| < 1/24, если jZkf < 1/44
и |6*п| < 1/44. Следовательно:
4.15. |Ь?| < 8, |&Г| < 1/44 =>
|Ь'*"| < 2eP(|Z£| > 1/44) < 3242eE(|Z* |2 Л 1).
Теперь мы можем приступить к собственно доказательству.
а) Пусть £' = <5/8(1 + 4). В силу 4.9b при достаточно больших
п имеем |5*| < 8 и |6**| < 8/2 < 1/4А, если к # Кп(е'). Поскольку
Ь'кпто, используя 4.15, получаем (подобно 4.11):
limsup
п
Ечг-Еч” <
к к
Um sup 22 l6*nl+ £ |6'~| <6442tf£.
” *-k£Kn(e') *ЯК»(е') •*
В силу произвольности £ > 0 получаем отсюда искомый резуль-
тат.
Ь) Как и в (а), получаем —» 52* |5*°°|- Значит, К' =
supn £2* |5*”| конечно. Кроме того, |Ь**| < 4 и |У*П|2 Л
Л1 < 2(|Z* |2 Л 1) + 2|5*п|2, поэтому получаем
sup22E(|y*n|2 Л 1) < К" := 2К 4- 24А".
п t
70 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
с) Зафиксируем u € Rd, и положим 6J* = E[exp(tu •¥**) — 1], так.
что
pn(u) = exp ftu • b'?\,
' к '
где <Г* = П*[(1 + )ехр(—ЮГ В силу (а)> для того, чтобы
доказать сходимость рп(и) —> р°°(и), остается проверить, что
Г ^Г°.
Найдется такая постоянная Си, что | ехр(гп • х) — 1 — iu • h(x)| <
< Cu(|«|2 A 1), поэтому
4.16. |^| = |E(e‘“r** - 1 - iu • Л(У4")) + iu • 6'tn| <
<СиЕ(|УЛ2А1) + |т«1,
и в обозначениях (b) получаем
4.17. £ < С, := СиК" + |п|#'.
к
Кроме того, пусть е > 0, и £' и 6 — такие, как в (а). Для до-
статочно больших п и всех'А: Л'"(е') имеем |6*| < 6 < г, и
Р(\Xk | > г) < £ (так как г' < £), поэтому Р(|У/*| > 2е) < е. Следо-
вательно, в силу 2.18 для достаточно больших п находим
4.18. sup |^t| < 2е + £С2(|ы|).
*ек-(е')
Стало быть, если 7 := Ci(2 + C2(|u|)), то 4.17 и 4.18 влекут за
собой
4.19. |2 < 7£ при достаточно больших п.
Пусть 1п х — главное значение функции логарифм аргумента
х G С; имеем | — х + ln( 1 + а?)| < С|ж|2 с некоторой постоянной
С при |ж| < 1/2. Существует другая постоянная С, такая, что
| ехр® — 1| < С"|х| для всех х G С, |ж| < 7. Поскольку в силу 4.18
|^£| < 1/2 при всех к 0 А’”(£'), если £ достаточно мало, то в силу
4.19 находим
4.20.
П [(1+«?>']-1
k^Kn(ef)
exp s
k^K-«(e-)
4. Некоторые обобщения
71
+ 1п(1 + ^)}-1 <СС' £ |^|2<СС'7е.
С другой стороны, в силу 4.9а -* Ьк°°уу Имеем Т =
= ТО, где 5? = ПкбК-С.оК1 + **)ехР(-^)] и К = П^к»(е-)[(1 +
+<5£)ехр(—$£)]. В силу 4.9а и в силу 4.201^ —1| < СС'уе
при достаточно больших п. Значит,
4.21. |^-^°|<(|^-^0||^°|+
+1*ГЖ -11 + РГ-11),
Um sup |Г - Г | < (Нт - ^|)(1 + СС'^е)+
п п
4-|^°|2СС"7£ < 2СС'7£|^°|
(в силу 4.20). Поскольку £ > 0 произвольно мало, то в силу 4.21
6 —> 6 , и мы получаем р”(и) —► р°°(и).
Для завершения доказательства остается доказать, что
р”(и) —> р“(н) для ВСЯКОГО £ > 0. Положим
у"Гс\- Iй’ k КП^
ХкУ ’ (0, к е кп(£),
и построим Улп(е) по Хк(е) согласно 4.8. Схема серий (х£(е)),
очевидно, удовлетворяет 4.2, и функция, построенная по
как в первой из формул 4.13, есть в точности Кроме того,
в силу предположений
sup^E(|Zt"(£)|2Al) = sup £ Е(1А”|2Л1) < оо.
" к П к«К’(с)
Поэтому в силу предыдущих рассуждений: р”(«) —> Р~(«)- □
Доказательство теоремы 4.4. Обозначим через
<р" и характеристические функции для V" и Vn(£). Положим
^(s) = F"(s) + £E[s(n")],
к
Fen(5) = F*(5)+ £ Е^У*П)]
кеК*(е)
72 Гл» УП. Сходжмость процессов с яезавясжм^пля држра^ценмжмж *
(поскольку (У*1) удовлетворяет 2.31, то F"* и F? удовлетворяют
2.7). Простые вычисления показывают, что
4.22. ¥>"(«) = pn(t*)exp(V’t»>e»>#.(«)),
¥?(«) = p?(u)exp(^.e.#.(«)),
И
4.23. ^,е.,/.(«) = ^,с»Л.(и)+ £ Е(е’“у*’ -1 - iu-h(Ykn)).
(^Необходимое условие. Предположим, что Vn V°° и
Уп(е) Л V°°(£) для любого е > 0. Имеем у>” Л <р°° равномер-
но на компактных множествах. Существуют такие 0 > 0 и п0,
что |</>°°(и)| > 3/4 при |и| < 0, и |у>"(«)| > 1/2 при |и| < 9, п > п0.
Положим £ = 1/104(1 + А). Тогда в силу 4.2 и 4.9 найдется такое
Пх > п0, что
n > ni => sup P(|x]J| >£)<£, Мп(е) < 2е(1 + 4),
*гК-(е)
и поскольку Y? = хк - Ьк, то получаем
4.24. п > щ => sup P(|Yfcn| > 1/44) < 1/44.
fc£K”(e)
Поскольку
¥>"(«) = E(e’“«")[ J] E(eiuy‘n)X П E(e‘“y‘")l
^k6K”(e) ' '*£Kn(e) '
и |<^"(u)| > 1/2 при п > n1? |и| < 0, то каждый сомножитель в
этом произведении по модулю не меньше 1/2, и, значит,
п > Hi, |w| < 6 => ^2 (—In |E(e’u Ук")|) < In 2.
Применяя лемму 2.22 к £(Yk} при к £ Кп(е), неравенство
1 -* к|2 < — (1/2) In |а:| при |ж| < 1, и 4.24, и суммируя, получаем
4.25. п>п^ 52 E(|Z£|2A 1) < |c/(^,4)wd^ln2,
к^Кп(е)
4. Некоторые обобщенна
73
где шл — объем единичного шара в К**.
Более того, Кп(е) имеет в точности р(е) элементов, поэтому
из 4.25 следует
п > => £ E(|Zfc"|2 Л 1) < р(£) + |<7'(*, In 2.
k 2
Поскольку каждая последовательность (ZJ? )*>i удовлетворяет 2.31
(по лемме 2.39), то получаем
4.26. 8ирУ'Е(|^|2Л1)<оо.
” к
В силу леммы 4.13 />”(«) —> />~(«), а из предположений полу-
чаем также у>”(и) —» ¥>“(«), поэтому из 4.22 находим
4.27. если РГ(“) / °- Наконец,
если обозначить через а”(и) последнюю сумму в правой части
4.23, то в силу 4.9а «"(«) —* а£°(и). Таким образом, из 4.23 и 4.27
следует
4.28. (д) V’ie,,c“)F“(®),
если р“(и) / 0 для некоторого е € (0,1/(104(1 + 4))). Имеем
р~(и) = 0 тогда и тдлько тогда, когда Еехр(»и • У4°°) = 0 для
некоторого к т.е. тогда и только тогда, когда Еехр(ги •
•%“) = 0 для некоторого к 0 К°°(е). Но в силу 2.16b
|Е(е'” «" - 1)| < сунт?| Л 1) < Сг(|11|)2е.
Значит, для всякого и € Rd найдется такое е > 0, что |и|)2е <
< 1/2, откуда Е(ехрги -х“) / 0 для любого к Кж'(е), и, стало
быть, р~(«) / 0. Таким образом, из 4.28 получаем
4.29. Vv,e-,F«(W) V’joo.c»»,/<»(«) для всех и Е Ra,
Далее, применим теорему 2.9: последовательность (bn,cn,Fn)
удовлетворяет [^х], [7J, [£Х2] относительно (б00^00,/100). По-
скольку [Л] = [&], [71] = [74] и [Я1(2] = [64], то в силу 4.12 по-
лучаем также [74] и [#1(2].
74 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
(^Достаточное условие. Предположим, что выполнены
[/34], [ъЬ [^4,»] (при i = 1 или i = 2). В силу 4.12 имеем [74]
и [&J, и в силу теоремы 2.9 получаем 4.29. С другой сторо-
ны, как в (iii) в доказательстве 2.35, из [74] и [£4] следует, что
supn Е(|Ук”|2 Л 1) < 00. Проверка доказательства леммы 4.14
убеждает, что этого свойства достаточно, чтобы заключение лем-
мы осталось в силе (фактически, лишь предварительные выклад-
ки нуждаются в модификации, но они становятся даже проще).
Таким образом, рп(и) —► р°°(и) и р”(«) —► р~(«). Отсюда и и4
4.29 и 4.22 получаем <рп(и) <р°°(и) и <£>”(«) —> у£°(ы), что и
требовалось.
(iii) Часть (Ь) в 4.4. Положим <£”(«) = П*еД”(е) Е(е*“ г*п).
Тогда <рп = <р?<р?, и в силу 4.9а <£”(«) —► ПРИ всех ui£-
Значит, если 9?°°(и) 0, то <р™(и) 0 при всех £ > 0, и мы
находим, что <pn(u) —► ^>°°(u) тогда и только тогда, когда ¥>"(«) —>
-4 <р™(и) (для любого фиксированного £ > 0). Поэтому Vn V°°
равносильно Vn(e) —> У°°(£). □
§4Ъ. Слабая сходимость конечномерных распределений
’ для общих процессов с независимыми
приращениями
В этом параграфе будет установлен другой вариант теоремы
4.4, подходящий для процессов с независимыми приращениями, он
так же соотносится с теоремой 4.4, как теорема 2.52 с теоремой
2.35.
Для всякого n G N рассмотрим процесс с независимыми при-
ращениями Хп с характеристиками (В", С", рп) относительно не-
которой функции усечения h. Определим функцию Сп как в 3.1,
и пусть Р — подмножество К+. Будем также писать X, (В, С,у)
и С вместо Х°°, (В°°, (7°°, р°° ) и С°°.
4.30. Условие. Для всякого е > 0 существует возра-
стающая последовательность (возможно бесконечных) моментов
(t"(E))j>i таких, что limj|/y(£) = 00, t^(e) < t"+1(e), если Z?(e) <
< 00 и выполнены условия:
4. Некоторые обобщения
75
(i) если s,t G PU {0}, s < t и s < tj°(e) < t, то s < t”(f) < t для
всех достаточно больших п и ^n({<"(£)} х д) х д)
для всех д G Ci(Rd);
(ii) limsupnsup3<( j/(„(£) >>1 pn({s} x {|®| >£})<£ для всех
t G T>.
Определим следующие процессы с независимыми приращени-
ями:
4.31. ЛГ”(£), = Х“- £ ЛХ,“;(.)
4.32. Теорема. Предположим, что выполнено *4.30 для
некоторого подмножества Т> С R+, uh непрерывна. Тогда
а) Хп X и Xn(e) Х(£) для всякого £ > 0 тогда и
только тогда, когда выполнено [/?з — Т>\, [73 — Т>\, [031,- — Р] (при
г = 1 либо i = 2).
Ъ) Если, кроме того, для всякого t G Р характеристическая
функция Е(е‘“ х‘) не обращается в нуль, то [/?з — Р], [73 — Р],
[<531 — Р] необходимы и достаточны для сходимости Хп X
(конечно, при условии 4.30).
с) Если Т> плотно в R+, то [03 — Р], [73 — Р], [^зд — Р] необ-
ходимы и достаточны для сходимости Хп X (при условии
4.30).
Конечно, эта теорема столь же неудовлетворительна, как и
теорема 4.4 за исключением случаев, когда Р плотно в R+ или
Еехр(г« • Xt) не обращается в нуль. Если X не имеет фиксиро-
ванных моментов разрыва, то 4.30 равносильно 2.53, и, значит,
теорема 2.52а есть частный случай теоремы 4.32.
Доказательство. Пусть Jn = {t : »/"({/} X Rd) >
> 0} — множество фиксированных моментов разрываХ”, и обо-
значим через i>ne меру vne(ds,d.x) = vn(ds,dx)\(j*y(s}.
Пусть s,t G Р U {0}, s < t, и (з*)1<4<дп — произвольно зану-
мерованные точки множества Jn А (з,/]. Положим
_ [ Д-Х?», если к < Кп,
10, иначе.
76 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
В силу П.5.2 распределение = £(%*) задается согласно П.4.17,
т.е.
4.33. nnk(dx) = ПО?} х dx) + [1 - i/"(KJ х R^JeoC^x)
при к < Кп. Таким образом, если Ък = Е[Л(х?)], то в силу П.5.5
Ък = ЛВ"„ при к < Кп. Далее процесс Х'п = Хп — Вп в силу
П.5.28 является семимартингалом с независимыми приращения-
* ми и таков же процесс 1^» • X,n = lyn(.s)AX'n. Посколь-
ку АХ'» = X к ~ то из П.3.11 следует, что последователь-
ность Yk = Хк ~ удовлетворяет 2.31. Далее, если положить
(n = X” — X” — то характеристическая функция ве-
личины (п является экспоненциальной частью в формуле П.4.16,
написанной для Хп. Поэтому распределение £(£п) безгранично
делимо и имеет характеристики
4.34. Ъп = В” - Bns, сп = С? - С",
F^dx) = vne((s,t] х dx)
и, конечно, (п не зависит от (Xt )t>i-
Наконец, для всякого е > 0 найдутся такие индексы, что
C(e)(*) S < С(е)+1(^) » ^,)+р(«)(е) 1 < С(.)+р(‘)+1(£) <С С°-
глашением ^(е) = 0). Для 1 < j < р(е) положим
к?(е) = к, если C(t)+j(£) = 4?,
и определим произвольно (но отличными от других Л"(е)),
если <m(e)+j (£) 0 П («,<]. Тогда в силу 4.30i при достаточно
больших п имеем ^т(г)+>(£) = 5кп(£) для всех j < р(е) таких, что
*m(e)+j(£) Тогда из 4.33 и 4.30 следует, что схема (х*)
удовлетворяет 4.2 с определенными выше к^(е).
Определим V" и V"(e) согласно 4.3. Тогда
vn = xtn-x?,
У”(£) = Хп(£),-Хп(г),+ £ ^(О-
!<><₽( А
4. Некоторые обобщения
77
Поскольку имеет место 4.2, то
и мы получаем:
4.35.
Г г « х" - х; Л - Х~,
I У"(£) 4 у~(£) ъ Xn(E)t - Хп(е), $ X°°(E)t - Х°°(£),.
Наконец, простые вычисления, основанные на 3.1, 4.33, 4.34,
дают
с-п,я + £{е[Л'Л'(хП1 - е№)]е[л'(Х£)]} = w -
к
Fn(g) + ЭДх*)] = д * - 9 *
к
Стало быть, условия [/?4], [74 k [^4,»] в 4.4 выглядят следующим
образом:
[/34] в?-в?-+вг-в?,
[4«] д * v? - д * -* д * - 9 * v<? ДДЯ всех 9 € Ci(Rd).
Поэтому части (а) и (Ъ) теоремы получаем из 4.35, теоремы 4.4 и
леммы 1.3.
Остается доказать (с). Предположим, что Т> плотно в R+.
Установим для s, t 6 V U {0}, з < /, ицпликацию
4.36. Хп Х°° => Xn(e)t - Хп(е), $ X°°(£), - Х°°(£),.
В самом деле, пусть <рп'*>*(и) = Eexp[iu • (X" — -X")], =
= Eexpfzu • (In(j)( - JCn(£),)]. Тогда <рп’*^(и) =
где
й-’(и)= П Вехр(шДХ,
4:.<tJ(e)<t
и в силу 4.30 <£”,s,‘(u) —► Значит, если <рп>’’*(и) —>
-ф. 0, то <р”’*’‘(и) —»
Далее, предположим, что Хп Х°°, я пусть s, t Е В U
U{0}, з < t, u € Rd. Существует конечное разбиение з = t0 <
< ti <...<t1 = tctjE'Dn <pn-‘>-‘>+i(u) ^o, и в силу предполо-
жений (и) —> у>оо>‘>’‘>+,(и). Из предыдущих рассуждений
78 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
следует, что ^"-’-‘(и) = По<><»-1 ^’‘”b+*(u) “* и мы
получаем 4.36.
В силу леммы 1.3 и 4.36 из Xn X вытекает Xn(£) Х(е)
и, стало быть, (с) следует из (а). □
Во введении к настоящему разделу говорилось, что условие
4.30 на Хп мотивировано условиями леммы 3.42. Следующее
утверждение уточняет сказанное.
4.37. Лемма. Пусть Т> — плотное подмножество в R+,
содержащееся в B+\J(X) — {/ : Р(ДХ, / 0) = 0}. Тогда при
условии [Й3>2 - Р] два условия: [Sk — <53 2] (ср. 3.3) и 4.30 равно-
сильны.
Доказательство. а) Пусть выполнено [Sk — £32].
Зафиксируем е > 0 и обозначим через 2“ < ... < tj° < ... после-
довательные моменты, для которых х {(ж| > е/2) > е).
Для всякого j обозначим через (/") последовательность, связан-
ную с /°° согласно лемме 3.42. Поскольку —> /°°, то всегда
можно предполагать, что < Z"+1, если /” < оо, и = оо
(с изменением, если потребуется, величин t” для конечного числа
значений п). Тогда 4.30i следует из 3.42i, сходимости /” —> /и
того факта, что 0 Р.
Пусть g G C2(Rd), 0 < g < 1, g(x) = 0 при |ж| < s/2, и g(x) = 1
при |®| > Обозначим ап = g*i/n, a'n(t) = an(t) - Дап(/?).
Поскольку в силу [Sk - 03>2] ап -> ат в D(R), то и а'п -» а'то
в D(R) согласно предложению VI.2.1. Из леммы VI.2.5 следует,
что lim supn sup,<4 Да„(з) < supJ<t Да^з), что по построению
меньше £, t < Р. Значит 4.30м вытекает из неравенств
sup //n({s} X {|ж| > s}) < sup //"({s} X д) < sup До£(з).
»<t
6) Наоборот, допустим, что выполнено 4.30 и [й3 2 — Р]. Пусть
д 6 C2(Rd), д > 0, и положим ап = д * рп. Если t G Р(Х),
то легко найти такую последовательность tn —> /, tn < t, что
Дап(/п) = 0. Если t € J(X), то найдутся такие е > 0, j > 1, что
t = <“(е). Тогда tn = /"(е) удовлетворяет соотношению tn —> t,
поскольку Р плотно (см. 4.30i), и в силу 4.30П Дап(/п) —»• Дато(0.
4. Некоторые обобщения 79
Стало быть, (ап) — последовательность возрастающих функций,
удовлетворяющая VI.2.16 в силу [^3>2 — Р] и VI.2.20, так как Р С
С JR+\J7’(JT). Поэтому в силу VI.2.15 и VI.2.22 ап —> а в D(R), и
[Sk - tf32] доказано. □
4.38. Следствие. Пусть выполнено [Sk — £3>1], u Р =
= R+\J’(A’). Тогда Xn -^-4 X тогда u только тогда, когда
имеют место [/З3 — Р] и [73 — Р].
4.39. Замечание. Это следствие позволяет провести дру-
гое ’’прямое” доказательство достаточности в теореме 3.12: надо
применить теорему 3.49 и идентифицировать предельные точки
последовательности (£(%")) согласно этому следствию. □
§4с. Другое необходимое и достаточное условие
функциональной сходимости
Здесь мы возвращаемся к задаче, изучавшейся в разд. 3, и
даем другое условие сходимости Хп £ X. Это условие формиру-
ется в терминах характеристических функций, а доказательство
основано на теореме 4.32.
Снова при каждом п € N Хп есть процесс с независимыми
приращениями и X = Х°°. Положим
4.40. 9n(u)t — Еехр(гы • X"),
Еехр(г'и • (X" — -¥")), если г < t,
1, если г > t,
и в следующей теореме для каждого u = (и1,...,и?) G (Rd)?
обозначим через <?"(и) С’-значную функцию, у которой j-я (ком-
плексная) компонента есть функция t )t. Обозначаем так-
же gr°°(u)( через gr(u)t.
4.42. Теорема, а) Пусть t 6 R+\«7(X) = {/ : P(A-X"t 0
0 0) = 0}. Для того, чтобы Хп X необходимо и достаточно,
чтобы {/"(и) —♦ 5г(и) в топологии Скорохода в D(C?) для всех
и = ,ц?) € (Rd)’ и всех rfD.
4.41. =
80 Гл. VII. Схадкмость процессов с независимыми иркрыцеинями
Ь) Если g(u)t / 0 при всех t > 0, и € Rd, mo для сходимо-
сти Хп —► X необходимо и достаточно, чтобы <f*(u) —» <?(u) в
топологии Скорохода в В(С?) для всех и = (и-,,... ,ug) € (Rli)J.
Второе утверждение не является неожиданным: функции дп(и)
характеризуют распределение £(ХП), если они не обращаются в
нуль; если же они обращаются в нуль, то для характеризации
£(Хп) требуются функции Заметим также, что (Ь) явля-
ется тривиальным следствием (а). В самом деле, предположим,
что g(u)t / 0 для всех t > 0, и € Rd, и </n(u) —» д(и). Тогда, если
г G Р, то Др(и)г = 0, и, значит, </”(u)r —> </(u)r. Далее, имеем
9r(uj)t - дп(и^Уг/дп(и,)г, если gn(uj)r / 0,
откуда немедленно вытекает, что g"(u) —> дг(и) в топологии Ско-
рохода.
4.43. Следствие. Предположим, что X не имеет фик-
сированных моментов разрыва. Тогда Хп X тогда и только
тогда, когда для всякого и G Rd gn(u) —* g(u) равномерно на
конечных интервалах. В этом случае справедливо также соот-
ношение:
4.44. sup |<7П(«)« — <?(u)s| —► 0 для всех t > 0, 0 > 0.
Доказательство следствия. Всякая функция
д(и) непрерывна и не обращается в нуль. Стало быть, первая
часть утверждения следует из 4.42b, поскольку в силу предложе-
ния VI. 1.17 </n(u) —> </(u) в топологии Скорохода тогда и только
тогда, когда gn(uj) -* g(uj) равномерно на конечных интервалах
при 1 < j < q.
Остается доказать, что из сходимости Хп -* X следует 4.44.
Но в противном случае нашлись бы такие подпоследовательность
(п^) последовательности sk -» з и и* —> и, и е > 0, что
4.45. \gn,'(uk),k - > £ Для всех к.
Далее, если ак -+ а в D(R^) и Да($) — 0, то -»o(s). Отсю-
да и из предположений получаем X"* Xs, и, значит, <7n*(-)«k
4. Некоторые обобщения
81
—»• д(-), равномерно на компактах. Поэтому |<7n*(ut)Jt — р(и<.)«| -*
0. Кроме того, имеем g(uk), —> <?(«),, и, таким образом, получаем
противоречие с 4.45. □
Доказательство теоремы 4.42 (i) Необходимость.
Отметим прежде всего, что в случае Р = R+ необходимость уже
доказана выше.
Рассмотрим общий случай. Пусть u = (ui,..., и,); У — С?-
значный процесс с компонентами Yn,i = exp(iuj • X"); On(t) —
= Е(У") = <7п(и)р Имеем an(Z) —> OoofO Для всех t € P, и до-
кажем, что последовательность (ап) относительно компактна в
D(C’), откуда и получим дп(и) —» д(и) в D(C’).
С этой целью повторим доказательство предложения 3.18. По-
скольку |оп(/)| то остается доказать 3.22. Зафиксируем
N > 0, е > 0, и пусть 0=1. Имеем 3.24 и 3.25 (то и другое
с 0 = 1), и если /у < 5 < t < и ш £ G” U F” (в обозначениях
3.18), то |Х” — Х”| < Зе. Более того, найдется такая постоян-
ная С, что |ехр(ги7 • ®) — 1| < С|«| при всех j < q. Тогда при
V- < s < t < tj+1 получаем
ly^-y/l <3C£ + 291o-uF»,
|an(Z) - an(s)| < 3Ce + 2q(2e + f) = f(3C + 69).
Отсюда w'N(ctn,6) < e(3C + 69) при n > n0, и мы получаем 3.22.
Следовательно, <7n(u) —► g(u) в D(C?). Аналогично при г G Р
доказывается, что <?"(u) -» 9r(u), можно, например, использовать
тот факт, что процесс Х'п = X"Vr — X” имеет независимые при-
ращения, и поскольку г Е Р, то Х,п X'.
(ii) Достаточность. Предположим теперь, что </"(u) —► 9г (и)
в D(C)? для всех г G Р, и = («1,..., u,) G (Rd)?. Доказательство
удобно разбить на несколько шагов.
Шаг I: справедливо 4.30 с Р = Р(Х). Прежде всего, зафикси-
руем t > 0. Обозначим через гр распределение ДХ", а через 9(п
— его характеристическую функцию. Тогда
4.46. 9r(^)t = g”(u)t-fl?(u), если г < t.
82 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Зафиксируем u = («!,...,«,). Найдется такое г 6 Р, г < t,
что gr(uj)t- И О ПРИ всех 3 — 9 (надо взять г достаточно близким
к /). Тогда в силу VI.2.1 и сходимости д"(u) —> <jr(u) находим:
4.47. Если = 1 при всех j < q,
то 1 для любой последовательности (sn), сходящейся к
t (так как <jr(u) непрерывна в точке <);
4.48. Если fft(wj) / 1 хотя бы при одном j < q,
то существует такая последовательность in(u) —> t, что
’?”„(u)(uj) “* ПРИ всех 3 < 9> более того, если зп —> t и
sn > in(u) (соответственно, sn < Zn(u)) для всех п, то т)”п(и>) —> 1
при всех j < q;
(Отметим, что время г в 4.47 и 4.48 исчезло).
Из 4.47 находим
4.49. t € Р => > £о слабо, если sn —► t.
Предположим теперь, что t £ Р, и пусть u € Rd, »?“(«) 0
1. Обозначим через tn = /п(и) последовательность, связанную
с и = {«} согласно 4.48. Пусть v = (®15...,®9), w = vU {u},
и допустим, что хотя бы для одного j < q f)t(yj) / 1. Тогда в
силу 4.48 получаем, что и 9”n(v)(v?) сходятся к 7)t(v;),
откуда следует, что Zn(w) = tn(v) для всех достаточно больших
п. Аналогично tn(w) = tn(= /п(и)) при всех достаточно больших
п, поэтому и Zn(v) = tn для всех достаточно больших п. Другими
словами, мы доказали следующее:
4.50. Если t £ Р, то найдется такая последовательность (tn),
сходящаяся к t, что —» г/( слабо, и если sn -И и sn > tn
(соответственно, sn < tn) при всех п, то —► £0 слабо.
Далее, заметим, что
4.51. r)?(dx) = рп({0 х dx) + [1 - i/n({<} х Rd)]£0(M
и выведем 4.30 из 449 и 4.50. Пусть tj°(e) < ... < tj°(e) < ... —
последовательные моменты времени, для которых ^"(kl > £) >
4. Некоторые обобщения 83
> £. В силу 4.50 каждому <”(е) соответствует последователь-
ность i”(e) —> возможно модифицируя /"(£) для конеч-
ного числа значений п, можно считать, что последовательность
(£"(е));>1 строго возрастает и сходится к +оо, с сохранением свой:
ства 4.50. Теперь 4.30i следует из того, что /~(г) 0 Р, /”(£) —*
tj° (г), а также из 4.50 и 4.51.
Допустим, что 4.30Н неверно. Тогда найдутся такие т] > 0 и
последовательности nk f оо, sk -* t, что iff*(|®| > е) > е + т) при
всех к и sk / /”*(£) при всех j > 1. Если t eV, то это, очевидно,
противоречит 4.49. Если t £ V, то пусть (Zn) — последователь-
ность, связанная с t согласно 4.50. Но тогда >£)>£ +ту, и
в силу 4.50 получаем sk = tnjk для всех достаточно больших к, а в
этом случае iff* —> ijt слабо. Если |ж| >£)<£, то мы приходим
к тривиальному противоречию, а если Vt(l®l > е) > £, то < = <J°(£)
при некотором j, и тогда зк = <"*(£) для достаточно больших к,
а это свойство было исключено. Таким образом, в любом случае
приходим к противоречию, а значит, 4.30Н имеет место.
Шаг 2: Имеем gr(u)t —> pr(u)t для всех г, t G V. Значит, в
силу леммы 1.3
4.52. Хп X.
Поэтому шаг 1 и теорема 4.32с влекут за собой условия
[03 — Р], [73 — V] и [<5312 — V]. Более того, в силу леммы 4.37
выполнено [Sk — ^3,2].
Шаг 3: Положим Х,п = Хп — Вп. Поскольку выполнено
[/?з — V], то в силу 4.52 получаем
4.53. Х/п X'.
Тогда П.5.28 дает характеристики процесса с независимыми при-
ращениями /п, явл<" тегося также семимартингалом, в частно-
сти,
4.54.
B'tn =
»<t J }
Докажем, что последовательность (X'") удовлетворяет 4.30.
Пусть А удовлетворяет 2.1, и £ > 0. Положим е' = £/2(1 + А), и
84 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
в обозначениях шага 1 и 4.30,
Л" = W) • j > 1},
Mn(e') = sup |ДВ?|,
. = £(ДХ(").
Если ?77(|a?| > £z) < £z, то в силу 2.1 имеем |ДВ[*| < £z(l + А). Из
4.30 (для X") тогда получаем
4.55.
limsup Af”(ez) < £z(l 4- А),
п
Кроме того, если |ДВ"| < £'(14-2 А), то поскольку ДХ(П = ДХ” —
—ДВ” и £ = £z + £z(l + 2А), находим: ^п(|я:| > е) < т?"(|а:| > с').
Поэтому в силу 4.55 и 4.30П (для X")
4.56. limsup sup ^n(|®| > £) < £z < £.
В силу 4.30i имеем также, что —> слабо. Стало быть,
используя связь 4.51 между v'n и т/{п, получаем, что последова-
тельность (XZn) удовлетворяет 4.30 с i'”(£) = <"(£').
Шаг 4: Имеет место сходимость X'n X.
В точности как на шаге 2, выводим из 4.30 (для (X'")) и из
4.53, что выполнены условия [/% — Р], [73 — Р], [6'32 - Р], где
означает, что используются характеристики (B,n,C'n,i/n), и
в силу леммы 4.37 получаем [Sk — <5з>2]-
Рассмотрим 4.54: процесс В'п чисто разрывный, и
4.57.
ДВ" = Е[Л(ДХГ - ДВ(П)] =
= Е[Л(хг - дв") - Л(дх,п) + дв;].
Пусть £ > 0, и т) > 0 таково, что |ж — у| < т) => |Л(а:) — h(y)\ < г.
Тогда, если 6 = т) Л (1/2А) Л £ и |ДВ[*| < 5, то |Л(ДХ” - ДВ{*) —
—Л(ДХ") 4- ДВ[*| < 2£, а если еще |ДХ”| < 1/2А, то это выраже-
ние равно нулю. Поэтому из 4.57 получаем:
|ДВ”I < б => IДВ('П| < 2£Р(|ДХ"| > 1/2A).
4. Некоторые обобщения
85
Пусть г' — £/2(1 + А). В силу 4.55 Л/"(е') < £ для достаточно
больших п; в силу 4.30 (или 4.55) ДВ["(е,) —> Стало
быть, если t G Р, то
4.58. Um sup sup |B;n - В',°° | <
n a<t
<Um 2 |ДВ-(И-ДВ-е()|+
+ Um sup { £ |дв;п|+ S |дв;~|| <
< 2e lim sup [ ]TP(|AA?| > 1/2A)+
n 3<t
+ £Р(|ДХГ1>1/2А)|.
5<t '
Пусть g G C2(Rd), 0 < g < 1, и g(x) = 1 при |z| > 1/2A. Тогда в
силу [Sk — £3>2] и 4.58 получаем
Um sup sup |B'n - В'г°° | < 4eg *
n 3<t
В силу произвольности £ > 0, получаем, что В'п -»> В'°°. рав-
номерно на компактах. Поэтому справедливо [Sk — /З3] (и даже
[Sup — /?3]). Требуемое утверждение теперь следует из теоремы
3.13.
Шаг 5.‘ Положим 5/п(н)< = Eexpftu • Xtzn]. Если t > 0, обо-
значим через {tn) последовательность, определенную в 4.50 (или
tn = t, если t G Р). Тогда по построению имеем Д^”(и)<п —►
&g(u)t. Кроме того, —» rjt слабо и ДВ”ш —> ДВ“, поэтому так-
же -+ rft слабо. Но в силу шага 4 и необходимости д,п(и) —►
д'(и) в D(C), поэтому 4.50 позволяет построить для t другую по-
следовательность —► t такую, что Ag'“(u)t»i —> Ag,(u)t, т)1" —► tft
слабо, и t'n = t, если t G Р. В силу единственности в 4.50 t'n = tn
при достаточно больших п. Поэтому
86 Гл. VII. Сходимость процессов с иезлвисимыми приращениями
4.59. Существует такая последовательность tn —> t, что
-► и A$'n(u)u -> A^(u)t-
Применим предложение VI.2.2 к ап и fin — функциями из
D(C2), определенными выражениями: а* = </”(«), а2 = 0, /3* —
= 0, 0^ = g'n(u). Из 4.59 следует, что (fl"(u),5/n(u)) —>
-♦ (роо(и),<7/оо(ц)) в D(C2). Значит, для непрерывной, ограни-
ченной функции : С2 —* Rd, такой, что exp(iu • fu(x, у)) = х/у
при |j/| > 1/2 и |®/у| = 1, имеем также
4.60. 7u" := -> 7“ == А(Г(«),Г°(«)) в D(Rd).
Но по определению Х'п имеем gn(u)t = g,n(u)t exp(iu • BJ*). По-
этому В? = 7”(t) для всех /, при которых |<7m(u)<l > 1/2. Для
любого N G Р найдется такое u Е Rd, что |</(«)JV| > 3/4, и,
значит, |p'(u)jv| >1/2 при всех достаточно больших п, так как
g,n(u)N —> g'(u)N. Поскольку функция t |pm(u)t| убывает, то
получаем Вп = у” на [0,А]для достаточно больших п. Стало
быть в силу 4.60 В” —> В°° в D(Rd).
Таким образом, имеем [Sk — /З3], и на шаге 2 мы видели, что
выполнены [Sk — 632] и [7з — Р]. Поэтому в силу теоремы 3.13
Xn Л X, что и завершает доказательство. □
5. Центральная предельная теорема
Цель настоящего раздела двояка: во-первых, конкретизиро-
вать предыдущие результаты в том случае, когда предел являет-
ся гауссовским — этому посвящен совсем простой § 5а ниже. Во-
вторых, изложить ”неклассические” теоремы, касающиеся сумм
неинфинитезимальных слагаемых — это вариант теоремы 4.4 с
ослабленным условием 4.2, но для гауссовского предела. Наконец,
дается "функциональная” версия этого результата.
§5а. Теорема Линдеберга-Феллера
5.1. Определение. Схема серий из независимых ве-
личин (xj) удовлетворяет условию Линдеберга, если для любого
£ > 0
lim EE(|X?I’1)W|>.)) = 0-
к
5. Центральная предельная теорема
87
Разумеется, отсюда следует, что Е(|х* |2) < оо, если вы-
полнено 2.31.
5.2. Теорема. Пусть d-мерная схема серий из независи-
мых величин удовлетворяет 2.31 и условию Линдеберга, £п =
= ^кХк- Тогда
а) Если £(£п) —> р слабо, то // — гауссовская мера на Rd;
b) для того, чтобы £(£n) —» А/\Ь,с) {гауссовская мера со
средним Ь и ковариационной матрицей с) необходимо и доста-
точно, чтобы были выполнены два условия:
га ЕВД)-».
к
k
Доказательство. Из условия Линдеберга вытека-
ют инфинитезимальность схемы (%£), а также условие [^2,2] с
Fn = 0 и F = 0. Поэтому в силу теоремы 2.35а с £” = 0 получа-
ем, что если £(£”) —» д, то распределение д безгранично делимо
с характеристиками (Ь,с,О), т.е. р = jV(6,c), и мы имеем (а).
Более того, если р = .N\b, с), то b' = Ь я с' = с в обозначениях
2.36, и потому [/?"] = [^2], [7"] = ЬгЬ и 2.37, очевидно, вытека-
ет из условия Линдеберга. Стало быть, (6) следует из теоремы
2.36. □
5.3. Замечание. Рассмотрим обычную центральную пре-
дельную теорему. (Уп)п>1 — последовательность независимых,
одинаково распределенных случайных величин с Е(УП) = 0 и
Е(^У„') = с". Положим Г = (1/^)^<Р<пУР- Тогда £(£") -
JV(O, с), что является частным случаем предыдущей теоремы.
Действительно, пусть (соответственно, = 0), если
к < п (соответственно, к > п), тогда
к
Е Е(хГ Х^') = пЕ(У/У//п) = <?',
к
88 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Е ECxII’liMIx)) = пВДМ^далЛП».)) =
к
= Eflyxplflyjj.eTS}) -> 0. □
Обратимся к функциональному варианту этой теоремы. Пусть
X — непрерывный d-мерный процесс с независимыми прираще-
ниями с характеристиками (В, С, v), v = 0. Рассмотрим после-
довательность Хп семимартингалов с независимыми прираще-
ниями с характеристиками (В",СП,И) относительно некоторой
функции усечения h. Предположим, что все меры ип удовлетво-
ряют 2.60, и определим функции В'п и С,п согласно 2.61 и 2.62
(отметим, что v также удовлетворяет 2.60 и В' = В, С' = С = С).
5.4. Теорема. Пусть выполнены указанные выше пред-
положения, и
5.5. I®|2l{kl>e} * > 0 для всех £ > 0, t G Т>,
гдеТ>СК+. Тогда
а) Хп X тогда и только тогда, когда выполнены сле-
дующие два условия:
— Р] B'ta —»• Bt для всех t € Р;
[?з — “* G для всех / € Р.
b) Хп X тогда и только тогда, когда
[Sup — /У3] sup |В'П — В,| —> 0 для всех t > 0,
и [?з~имеет место для некоторого плотного подмножества
Т) С К+.
Доказательство. Заметим, что 5.5 влечет 2.64 и
[63>2] с v = 0. Поэтому (а) и (Ь) следуют, соответственно, из
теорем 2.63 и 3.7. □
§5Ь. Теоремы типа Золотарева
Вернемся к задаче, рассмотренной в § 4а, о сходимости в схеме
серий при отсутствии инфинитезимальности. Заменим условие
4.2 на несколько более слабое; тем не менее, предел будет всегда
гауссовский.
Ради простоты начнем с одномерной схемы серий из незави-
симых величин (х*)> удовлетворяющей 2.31.
5. Центральная предельна» теорема 89
5.6. Обозначения. Обозначим через Фд гауссовскую меру
ЛГ(О, Д) (Д-дисперсия) на R, через rfi — распределение £(хь). и
через Фд и rfi — их функции распределения: Фд(ж) =
= Фд 0 ~ °°>«]) и = т£(] - оо,ж]). □
Рассмотрим также две функции:
5.7.
— Функцию усечения h € С} класса С1
такую, что h(x) = —h(—ж);
< — ограниченную функцию / класса С1 :
R —► R+ с ограниченной первой производной,
/(ж) = ж2 в окрестности нуля.
Обозначим через Д£ (единственное) неотрицательное число,
характеризуемое соотношением
5-8. Е[Ж)1 = У/(х)Фд;(Л) (= »4.(/)).
5.9. Теорема. Пусть (х*) — одномерная схема серий из
независимых величин, удовлетворяющая 2.31, — такие,
как в 5.7, и А* — из 5.8. Пусть £п — случайная величина, неза-
висимая от (х*)*>1, безгранично делимая, с характеристиками
(bn,cn,Fn), и сп определено согласно 2.5. Предположим, что
[Ai] Гп(|ж| > е) —> 0 для всех е > 0;
[Sil |Ь"1 + Е1Е[ад)]|- 0;
к
[С.] е” + £д;~с;
к
[Pi] 57 / 1’7*(а:) ~ Фд»(®)И® —*• 0 для всех е > 0.
к |*1>‘
Тогда если Xk> то + О “* -Af(O,c) слабо.
Эту теорему полезно сравнить со следствием 4.6: [Bt] сильнее,
чем [Д4], [Ci] ’’похоже” на [74], но [AJ+[Pi] — значительно слабее,
нежели [£4]2]+4.2.
Доказательство. Пусть <рп(и) — характеристи-
ческая функция £” + £”• Требуется доказать, что <рп(и) —*
90 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
-* ехр(—и2с/2). Зафиксируем u G R и положим 6% = rfi exp(iu •«),
б* = Фд» exp(iu • х) = ехр(—ii2A£/2). Имеем
<рп(и) = ехр(^4»,е»,р»(«))| П^}-
'•к '
Положим an = сп + А* и /?п = F”(exp(i« • х) — 1 —
—ги • h(x) 4- (и2/2)Л(ж)2). Тогда
5.10. Г := ехр(^4»>с.,р»(«))( П^* } ~ ехр (*“*“ ” Т0” +
* к '
Существует такая постоянная С, что
I I
5.11. |e’u * - 1 - iuh(x) + — h(x)2 j < С(|т|3 Л 1),
поэтому, если А удовлетворяет 2.1 и е < 1/А, то
5.12. |/3”| < СТ"(|х|3 Л 1) < С[Г"(|ж| > е) + £Г"(|®|2l{W<r})] <
< C[F"(|x| > е) + еГп(Л2)] <
< C[F"(|z| >е) + еоп].
В силу [AJ и [Ci] limsupn |/3”| < Сес для любого £ > 0, по-
этому /Зп —► 0. В силу [Bi] Ьп —> 0. Значит, согласно 5.10
1П —> ехр(—и2с/2). Остается доказать, что := </’"(«) — In —> 0.
Имеем Jn = exp(V’4«,e»,F« («)){П* ~П* причем абсолют-
ная величина ^4»,с«,г«(и) не превосходит единицы, поэтому оста-
ется доказать, что Уп := []* ~ Пк $к Поскольку | < 1 и
1^1 < 1, то
к
(доказывается индукцией по числу членов в двух произведениях).
Значит если Д* = V* — и ^к(х) = Mtd — о0,®]), то получаем
Ц"1 < =
к
= L (eiux -1 -iuh^ + у/(^))^(Л)|,
5. Центральная предельная теорема
91
так как /л£(1) = 0 и = О согласно 5.8. Положим =
= /4?((exp(tu • ж) — 1 — iuh(x) + ^/(ж)). Поскольку h нечетно, то
Фд»(Л) = 0, и
IJ"! < £М1 + £|в(ад)]|.
к к
Таким образом, в силу [BJ остается доказать, что I7J | —> 0.
Поскольку функция ^(ж) стремится к нулю при х —» ±оо, то
интегрированием по частям получаем для любой ограниченной
функции g с ограниченной производной д'
5.13. Уg(x)fi% (dx) = - У jj%(x)g'(x) dx.
При д(х) = exp(iu • ж) — 1 — iuh(x) 4- ^f(x) это дает
г г tu 1
7? = iuу [e”“F - h'(x) - -/'(ж)] ^(ж) dx = iu(^) + 7ГW),
где
г Г г in 1
Г г in 1
l'i"W = J [е‘“ -''(*)- у /'(*)]««
м>«
к
и 6 > 0 таково, что h(x) = х и /(ж) = ж2 при |ж| < 6. Имеем
5.14. У
Н>«
при некоторой постоянной С", и Д]?(ж) = т%(х) — Фд*(ж), поэтому
[Di] влечет
5.15. 57 |7к"(^)1 “* 0 Для всех > 0.
к
Кроме того, при |ж| < 6 имеем
|е‘“® - Л'(ж) - ^/'(ж)| = |e,ur - 1 - г«ж| < 0|ж|2
92 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
с некоторой постоянной 0, не зависящей от 6. Таким образом,
5.16. |7?(*)| <60 j |z||^(z)|dz.
I*l<«
Поскольку /'(ж) = 2х при |ж| < 6, то еще одно интегрирование по
частям дает
0 0
2 JИIA* (®)l dx < - у /'(«)($(«) + Фд:(®)]=
— б —оо
О
= У + Фд:(<*«)]>
—оо
6 оо
2У 1®1 lAfc(®)l dx < — jf'(x)[(l - (ж)) + (1 - Фд»(ж))] dx =
О о
оо
= У f(x)[nk(dx) + Фд- (dx)].
о
Стало быть, в силу 5.16 и 5.8 получаем
ОО
К"(*)1 < У У f(x)W№) + Фд-(^)1 =
-ОО
= МФд;(/) < 600'
где О' — такая постоянная, что /(ж) < 0'х2. Следовательно
5.17. 2>mi< ООО'сГ.
k
В силу произвольного 6 > 0, из 5.15, 5.17 и [Ci] получаем
Е* |7?1 -+ о. □
Установим вариант теоремы 5.9 для квадратично интегриру-
емого случая.
5. Центральны предельная теорема '
93
5.18. Теорема. В условиях 5.9 предположим дополни-
тельно, что J*(x2) < оо и E[(xt)2] < 00 Л** любых п, к. Опре-
делим Ь'п и с'п согласно 2.12, и положим
5-19. ДГ = Е[(х*)2].
Тогда, если
[Al] F"(®2l{|i;|>t}) —> 0 для любого е > О,
[В-,] 1»'П1 + Е1ВД)1-О,
к
Ml +
к
1^11 J I®! 1*7* (ж) “ *дИж)1 dx -+ О для любого е > О,
к kl>«
то £(£” + С”) —> JV(O, с) слабо.
Доказательство. Заметим, что Д£* удовлетворяет
соотношению
5.20. Е[(х2)2] = Jx4^(dx).
Поэтому мы можем воспроизвести доказательство 5.9 с функция-
ми f(x) = х2 и h(x) = х. Тогда 5.20 эквивалентно 5.8, а Ь'п и с*”
являются характеристиками £(£") относительно функции ’’усече-
ния” h(x) = х. Единственные требуемые изменения следующие:
а) вместо Д£, Ьп, сп, р% следует использовать Д™, Ь'п, с'п и
/4” = »?" ~*Д1“.
Ь) 5.11 следует заменить на |exp(iux) — 1 — iux + !£у-| <
< С(|х|3 Л |х|2), тогда 5.12 превращается в неравенство |/?п| <
< С[Г”(ж21(|ж| > е) 4- £«'”], где а'п = с1п + Д'4П. В силу [А'х] и
[С{] заключаем, что 0п —► 0.
с) Поскольку функция х2 интегрируема относительно iff я
Фдт, то формула 5.13 остается в силе не только для ограничен-
ных у, но и таких, что ограничено отношение у(х)/(х2 + 1), и в
этот класс входит функция у(х) = ехр(ггис) — 1 — twx + liy-.
d) 5.14 следует заменить на оценку |7tn(^)l
< С j |х| |^”(х)| dx, и [Z>i] по-прежнему влечет 5.15. □
|г|>«
94 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
§5с. Слабая сходимость конечномерных распределений <
процессов с независимыми приращениями к I
гауссовскому мартингалу
Снова предполагаем, что пара (J,h) удовлетворяет 5.7. Для j
любого n G N* пусть Хп — одномерный семимартингал с неза-
висимыми приращениями с характеристиками (Bn,Cn,i/n) отно-
сительно h. Пусть Jn — {s : мп({з} х R) > 0} — множество '
фиксированных моментов разрыва X. Определим числа Д” ра-
венствами
5.21. 1/"({5}х/) = У/(х)Фд?(</х) (=Фд:(/))
(отметим, что Д? = 0 при s Jn, где используется соглашение
Фо = £о)- Пусть ипс — мера, имеющая вид
vnc{dt,dx) = i/n(dt.dx)l^»y(t),
и положим
С другой стороны, пусть X — одномерный гауссовский мар-
тингал, Хо — 0. Положим
5.22. C't = Е(Х2).
Как мы видели в § II.4d, X можно эквивалентно определить усло-
вием, что он есть процесс с независимыми приращениями со сле-
дующими характеристиками (В,С, и) (относительно h):
5.23.
h) = 0 (так как функция h нечетна),
с, = Й'-Ед<5;,
s<t
оо
i/(dt,dx)= £•,(</<) ® Фд^,((/ж)
«>о, дс;>о
(в обозначениях § II.4d имеем C't = c(t), и Фд<5» = К,, если
ДС' > 0; мы используем обозначение С', поскольку эта функция
связана с (В, С, и) согласно 2.62). Пусть также Т> С &+.
5. Центральная предельная теорема
95
5.24. Теорема. В введенных обозначениях и предположе-
ниях следующие условия достаточны для сходимости
Хп X:
[А2 — Р] i/*e([0, t] х {|ж| > е}) —> 0 для любых е > 0, t G Р;
[В2 - Р] |ВГ1 + £ 1ЛД"1 0 для любого * € Р;
3<t
[С2 — Р] с” + h2 * i/"e + Д? —► C't для любого t G Р;
[V1-V] £ [ |№)-Фд?(ж)Нж^о
kl>*
для любых е > 0, t € Р, где ц7(®) = Р(Д-Х? < ®)-
Отметим, что в [Р2 — Р] все слагаемые, соответствующие
s £ Jn, равны нулю.
Доказательство. Пусть s, t 6 Р U {0}, s < t, Кп
— число точек в множестве Jn П [s,t], и (з?)1<к<к-» — некоторая
нумерация этих точек. Положим
Ьп = В™ - В™, сп = С” - С?, F'fdx) = ипс([0, t] х dx),
П _ ( Д-Х?£> если 1 — & — Кп,
%к [ 0, иначе,
д„ _ ( А?г, если 1 < k < Кп,
* [ 0, иначе,
t
Как мы видели в доказательстве 2.52, £(£") — безгранично де-
лимое распределение с характеристиками (bn,cn,Fn), и £п не заг
висит от (xj)t>i. Более того, если т?” = £(ДХ"), то выполнено
2.55, поэтому в силу 5.21 имеет место 5.8 с Д£, в то время как
ДД7» = )] ПРИ Кп. Наконец, поскольку Хп — семи-
мартингалы, то схема (%£) удовлетворяет 2.31.
Следовательно, [А2 - Р] [AJ, [В2 - Р] => [BJ, [С2 - Р] =>
=> {[Ct] с Щ и с = С\ - СЯ, [Р2 - Р] => {[Pt] с Д? и ^(®) =
= Р(х? < я)}- Стало быть, в силу теоремы 5.9,
х; - х; 4х,-х,
96 Гл. VII. * Сходимость процессов с незлвясимыми аряращеияямя
поскольку £(Xt — Х,) = Фс'-с' • Ссылка на лемму 1.3 завершает
доказательство. □
Если использовать 5.18 вместо 5.9, то получаем квадратично
интегрируемый вариант:
5.25. Теорема. Пусть выполнены все условия теоремы
5.24, а также условие 2.60, для всех п 6 N*. Определим В'п со-
гласно 2.61 и положим B'tne = B>tn—J2,<t ЫУГг Д? = *'**({«} х ®2)-
Тогда для сходимости Хп X достаточно, чтобы выполня-
лись следующие условия:
[А2 — Р] (®21{|®|>е}) * -» 0 для любых е > 0, I ЕР;
[В'2 - Р] |В'™\ + 52|Д-В?| 0 длл любого t G Р;
[С' - Р] С? + х2 * + 52 д? C't для любого t G Р;
3<t
[р^-р] 52 / И|№)-Фд?(ж)|а®-^о
4-‘ ki>*
для любых е > 0, t ЕР.
§5d. Функциональная сходимость процессов с
независимыми приращениями к гауссовскому
мартингалу
Постановка та же, что и в предыдущем параграфе: пара (/, h)
удовлетворяет 5.7, Хп — одномерный с независимыми прираще-
ниями (^емимартингал с характеристиками (JBn ,Сп ,ип}, и А”, vnc
и Впс Определяются как в § 5с. X есть гауссовский мартингал с
Xq = 0 и функцией С", определенной согласно 5.22.
5.26. Теорема. Помимо предположений и обозначений
выше, предположим, что Р — плотное подмножество в R+; и
выполнены условия [А2 - Т>], [В2 — Т>], [С2 — Т>], [Р2 — В] и
[С2 - р] 22(Д”)2 Е(Д<^)2 для любого t G Р.
3<t s<t
Тогда Хп X.
5. Центральна* предельная теорема
97
В силу теоремы 5.24 было бы достаточно установить, что
указанные условия обеспечивают плотность последовательности
(Х”). Вместо этого мы используем теорему 3.13 и дадим дока-
зательство, не опирающееся на предыдущие части настоящего
раздела.
5.27. Замечание. Если ап = Сп + h2 ♦ vnc + £t<. AJ, то
имеем Aan(s) = А". Поэтому из VI. 1.50 вытекает, что
[С2 - V] + [С2 - V] О
о [Sk - С2]: Сп + h2 * vnc + 22 А? - & в D(R). □
»<•
Доказательство. а) Эквивалентность [В2 — Р] О
[Sk — /З3] очевидна (имеем даже [Sup — /З3]).
b) Докажем [Sk — Мы можем в 2.7 выбрать множе-
ство C1(R<<) таким образом, чтобы оно содержало подмножество
С'[(Ка), состоящее из функций с ограниченной производной, кото-
рое само определяет сходимость (в смысле 2.7), и такое, что для
любой д G Ci(Rd) найдется д G C[(Rd), удовлетворяющая нера-
венству 0 < д < д. Пусть д G C[(Rd) и 77" = £(ДХ”). Тогда в
силу 2.55
5.28. д * v? = д * ifc + 22 =
3<t
= 5 * p(nc 4- 22 /g(x)[rf(dx) - Фдп((/х)] + 2^Фд?(0)-
s<t J 3<t
Пусть в > 0 — такое, что д(х) = 0 при |т| < 0, и пусть С = sup |^'|.
Интегрирование по частям (как в 5.13) дает
Фдп(ж)| dx.
<С / IffW-
|х|>0
4. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. Т.2
98 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Поэтому в силу [А2 — V] и [Р2 — Р] имеем для любого t G Р
5.29. sup g * i/"c +
3<t
S /s(x№(dx) ~ фд?(<*®)]
г<» J
-+ 0.
Пусть an = Cn + h? * vne + .А?, 0n = Е,<Фд;(^)>
/3 = £,<. Фдс/(<?) = g * v (последнее равенство — в силу 5.23).
Для всякого з > 0 найдется такая последовательность tn(s) —► з,
что tn(s) < s при s G Р, и > АС' (надо применить VI.2.22 к
последовательности (ап), сходящейся в D(R) к С' в силу [Sk — С2]
— см. 5.27). Значит, Фд?я(,)(<?) -> ФДс»(5), т.е.
5.30. Последовательность (J3n) удовлетворяет VI.2.20 с пре-
делом (3.
Пусть £ > 0, АС' / £ при всех s > 0. Обозначим через
< ... < $j < ... последовательные моменты, в которые АС' >
Е. Положим К = {sj : j > 1} Кп = {in(^) • j > 1}- Имеем
Фдрп0)(5) -+ фдс; (S'), поэтому, если t е Р, то
5.31.
limsup |/?”(t) — /3(t)\ <
n
<limsup < фд?(5)+ 52 фдс;($)р
Но если C = sup |<jr| и 6 = /|х|3Ф1 (dx), то
5.32. Фд(р)<С У Фд (da:) < СГ3Д3/Ч
lkl>»
в то же время VI.2.7 влечет для всякого t G Р
limsup sup A? =limsup sup Aan(s) <
n s^Kn,s<t П s#Kn,s<t
< sup AC' < £.
»(K, 3<t
Стало быть, в силу 5.31 и 5.32
5.33.
lim sup |/3n(<) — 0(t)\ <
5. Центральная предельна* теорема
99
< С9~36 у/г lim sup Д” + у/ё У ДС' <
n »gK,a<t J
< Cr^Tepimsup an(t) + C[] < 2C0~36C't^.
n
В силу произвольности £ > 0 5.33 влечет сходимость /?п(/) —► /?(/).
Отсюда и из 5.30 следует (в силу VI.2.22 и VI.2.15), что /?"—►/?
в D(R). Таким образом, из 5.28, 5.23 и 5.29 получаем, что
д*ип —* д *v в D(R)-
В частности, д * и? -+ д *vt для всех t € Р, д € Ci(Rd). Значит,
д * р" —> д ♦ vt также для всех д G Ci(Rd), поскольку класс
определяет слабую сходимость. Более того, если д G Ci(Rd),
д € С[(КЙ) и д < д, то д * ип < д * ип (сильное мажорирование).
Поэтому в силу VI.3.35 последовательность {д * ип} относительно
компактна в D(R). Стало быть, д * vn —> д * 1/ в D(R), и имеет
место [Sk — 63>1].
с) Наконец, в силу 3.13 остается доказать [73 - Р]. Для это-
го можно использовать лемму 4.37, из которой ввиду (Ь) следу-
£(Р)
ет 4.30. Более того, теорема 5.24 влечет сходимость Хп —►
£(Т>) „
—► Л, поэтому необходимость в теореме 4.32 позволяет получить
[13 -
Однако, мы дадим прямое доказательство, не использующее
(довольно сложные) результаты раздела 4. Прежде всего, отме-
тим, что
С," = С," + Лг + £[№) - (ДВГ)’1-
В силу [В2 — Р] имеем У <((ДР")2 —► 0. Поэтому в силу [С2 — Р]
единственное, что остается доказать, это импликация
iei>=> D<f(л2) - л?] - с, - с; =
3<t
= 1>АС'('!2) -
s<t
4*>
100 Гл. VII. Сходимость процессов с независимыми приращениями
Имеем h2 — f € C2(Rd), стало быть, из [6312 — Т>] (следующего из
Изд — #]) имеем
t € D => £(^(Ла-/)] - (Л2 =
• <t
= Е*дй:(*2-Д
я остается доказать, что
<е v => £И(/) - Д"] -* ^[фдд;(Л - ДСП-
s<t s<t
В силу 5.21 имеем 7?"(/) = Фд;(/), поэтому достаточно дока-
зать, что
5.34. t € Р =► 7"(0 := £(Фд?(/) - А?] -
3<t
- 7(0 := E[iw/) - до;]-
«<t
В тех же обозначениях, что в (Ь), имеем A”„(4i) —► AC'Sj- Поэтому
limsup |7"(i) - l(i)l <limsup !*»;(/) - д?1 +
+ E 1*дч(/)-Д<?;|-
s&K, s<t
Пусть 0 > 0 — такое, что f(x) = x2 при |x| < 0, С = sup |/|,
6 = ЛхрФ! (dx), 6' = J|x|5$! (dx). Имеем
|Фд(/)-Д| =
< С^-3Д3/26 4- 0-5Д3/26'.
Далее, те же аргументы, что и при доказательстве 5.33, влекут
неравенство
limsup |7n(i) - 7(«)| < 2(С0~36 + 0~56')C'ty/e.
п
В силу произвольности е > 0 получаем 5.34. Стало быть, выпол-
нено [73 — Р]. Остается применить теорему 3.13, что и завершает
доказательство. □
5. Центральная предельная теорема
101
5.35. Замечание. Если V плотно в R+, то можно дока-
зать, что
[В2 - Р] => {[Д2 - Р] + [С2 - Р] 4- [Р2 - Р]+
+[С2 — Р] О [73 - Р] + [Sk -Язд]}.
Мы установили импликацию =>. Для обратной импликации мож-
но воспользоваться леммой 4.37. □
Наконец, квадратично интегрируемый вариант 5.26, который
приводится без доказательства (см. [163]), состоит в следующем
5.36. Теорема. Пусть выполнены условия 5.26 и 2.60.
Определим В'п согласно 2.61, и пусть B'tnc = B'tn — ^2s<t &B'tn,
Д'” = X а:2). Тогда, если P плотно в R+ и выполнены
[а'2 - Р], [В'2 - Р], [С2 - Р], [Т>'2 - Р] и
(4 - V] £(Д'Г)2 - $2(дс;)2 для всех t € Р,
s<t s<t
то Хп X.
Глава VIII
Сходимость к процессу с
независимыми приращениями
Эта глава представляет собой второй шаг на пути к общим
предельным теоремам. Рассматривается последовательность
(Хп) семимартингалов с характеристиками (B",Cn,i/n) и пре-
дельный процесс X, являющийся процессом с независимыми при-
ращениями с характеристиками (В,С, z/). Основная цель — убе-
диться, что различные условия главы VII по-прежнему обеспечи-
вают слабую сходимость (функциональную или конечномерную)
(X”) к X, хотя Хп уже не предполагаются процессами с незави-
симыми приращениями.
Раздел 1 содержит ключевую теорему, позволяющую сводить
все теоремы настоящей главы к соответствующим результатам
предыдущей.
Разделы 2, 4 и часть раздела 3 представляют собой перефор-
мулировку основных результатов главы VII в более общей ситу-
ации. Используется один и тот же метод, который объясняется в
доказательстве теоремы 2.4. Таким образом, эти разделы, несо-
мненно, утомительны, но относительно просты для чтения (так
мы полагаем!). Причина, по которой мы решились привести мно-
го вариантов одной и той же основной теоремы, состоит в широте
области их применимости — рассматриваемый случай встречает-
ся гораздо чаще, чем случай, когда все Хп являются процессами
1. Слабая сходимость конечномерных распределений
103
с независимыми приращениями.
Раздел 3 содержит также некоторые приложения: во-первых,
мы замечаем, что условия (основанные на характеристиках), ко-
торые обеспечивают сходимость Хп X, перестают быть не-
обходимыми в общем случае, когда Хп не являются процессами
с независимыми приращениями. Тем не менее, они оказывают-
ся (почти) необходимыми, если X является непрерывным про-
цессом с независимыми приращениями (т.е. v = 0), и мы рас-
сматриваем несколько вариантов "необходимых” условий в этой
ситуации. Во-вторых, мы рассматриваем приложения к сходимо-
сти нормированных сумм независимых, одинаково распределен-
ных семимартингалов. В-третьих, даем примеры центральных
предельных теорем для аддитивных функционалов от марковских
процессов и, наконец, центральных предельных теорем для стаци-
онарных процессов (при условиях перемешивания или несколько
более общих).
Раздел 5 посвящен двум тесно связанным типам результатов:
один из них — это обобщение предыдущих предельных теорем
на тот случай, когда X есть процесс с условно независимыми
приращениями (или ’’смесь” процессов с независимыми прираще-
ниями). Другой тип — ’’устойчивая сходимость”: мы напомина-
ем определение этой более сильной сходимости и даем некоторые
приложения.
1. Слабая сходимость конечномерных распределений.
Общая теорема
§1а. Постановка проблем
В данной главе мы изучаем следующую ситуацию. Для ка-
ждого целого п рассматривается d-мерный семимартингал
Хп = (X“-‘),<d, определенный на стохастическом базисе Вп =
= (ЛП,77П,Г’, Рп); для простоты считаем
1.1. X" = 0
(что, совершенно, несущественно). Фиксируется непрерывная
функция усечения h G Cf: напомним, что существует такая по-
104 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
стоянная А > 1, что
1.2. |ж| < 1/А => h(x) = х,
|®| > А => h(x) = О,
|Л| < А.
Обозначим через (Bn,Cn,vn) характеристики Хп относитель-
но Л и через Сп — модифицированную вторую характеристику,
определенную формулой
1.3. = Ctn>0 + (Л‘/?) * v? - ДВ,П”ДВ”J.
Предельный процесс X всегда предполагается d-мерным про-
цессом с независимыми приращениями X = определен-
ным на стохастическом базисе (Q,^7, F, Р). Обозначим через
(B,C,i/) его характеристики относительно h (они детерминиро-
ваны) — см. П.4.15, если X — семимартингал, и IL5.2 — если
нет. Согласно П.5.7 его модифицированная вторая характеристи-
ка есть
1.4. С? = су + (Л* - ДВ’)(^ - ДВО *
+D1-*'(Wxr',w:a5'
3<t
(что сводится к 1.3, если X— семимартингал).
Математическое ожидание по мере Рп обозначается через
Еп(-). Как правило, все случайные элементы на Qn снабжают-
ся верхним индексом ”п”: например, если мы пишем ’’последова-
тельность (Уп)”, то это означает, что каждый элемент Yn опре-
делен на Г2П. Если случайные элементы Yn принимают значения
в метрическом пространстве (Е,£) и У — неслучайный элемент
В, то запись Уп —> У (или Уп —> У) означает, что
1.5. РП(£(УП,У) > г) —> О для любого в > 0.
(”)
j. Слабая сходимость конечномерных распределений
105
1.6. Замечание. В точности, как в предыдущей главе,
мы могли бы, не умаляя общности считать (рассматривая тензор-
ное произведение всех стохастических базисов), что все процессы
Хп и X определены на едином базисе В = (ft, J^F, Р). Эту ситу-
ацию будем называть ” предположением 1.6”. Однако, в форму-
лировках результатов мы, как правило, предпочитаем сохранять
упомянутый индекс п.
§1Ь. Основная теорема
Для формулировки следующей теоремы, на которой основана
вся глава, нам понадобятся некоторые дополнительные обозначе-
ния. Во-первых, положим
1.7. <?(«)« = Eexp(iu • Xt), t > 0, и 6 Rd.
Во-вторых, для каждого п G N* определим два следующих пред-
сказуемых комплекснозначных процесса ограниченной вариации
(см. П.2.40 и П.2.47):
1.8. *
' Ап(и) = iu-Bn -^и-Сп-и + (е,и '* - 1 - iu • h(x)) * i/",
< Gn(u) = £[A”(u)]t = {exp A(«)J Ц[1 + ДА"(и),е-АЛ’<“)'].
1.9. Теорема. Пусть X не имеет фиксированных момен-
тов разрыва (и, значит, g(u)t / 0 для любых t, и). Тогда, если
1.10. Gn(u)t g(u)t для всех и € Rd,
при всех t из подмножества V в R+, то Хп ^=4 X.
Эта теорема тривиальна, если все Хп — семимартингалы с не-
зависимыми приращениями, в самом деле, в этом случае Gn(u)t =
= En exp(iu • Xf) в силу П.4.16.
Как будет видно из следующего раздела, данная теорема —
это все, что требуется для сведения задач сходимости из настоя-
щей главы к результатам предыдущей.
Доказательство. Мы можем, конечно, сказать, что
0 6 Р. Пусть 0 = Zq < ... < tp, tj Докажем, что
106 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
(Х£,..., X?r) —»• (Xto, ...,Xtp) индукцией по р. При р = 0 утвер-
ждение тривиально. Предположим, что оно выполнено для р — 1,
и докажем тогда, что
1.11.
Епехр
0<j<p-l
—> E exp
для всех Uj, u G это и даст требуемый результат.
Положим 0 = ex₽[i Eo<j<p-i • Xtn.], С = exp[i Eo<j<₽-i ui '
•XtJ. В силу предположения индукции
1.12. Е"(0) Е(0.
Пусть
vn = Еп[0ехр(»и • (Х£ — Х^))],
v = E[(exp(iu • (Xtr - Xt,_,))] = E«)<7(u)t,/</(«),,_,
(в последнем равенстве использовано свойство независимости при-
ращений процесса X и тот факт, что ff(«)t,_, / 0). Тогда 1.11
сводится к сходимости vn —> V.
Пусть а = |<7(н)|<,- Имеем а > 0, и Rn = inf(/ : |<jn(u)t| <
< а/2) — предсказуемый момент на Вп (использовано 1.2.13 и тот
факт, что процесс |(?"(и)| предсказуем и убывает). Поскольку
|Gn(tt)t| -+0 в силу 1.10, а |<7”(и)| убывает, то находим
1.13.
РП(ЯП < tp) 0.
В силу предсказуемости Rn найдется такой момент остановки Sn
на Вп, что Sn < Rn и Pn(S" < tp < Rn) < 1/п. Объединяя его с
1.13, получаем
1.14.
P"(S < <р) -> 0.
Имеем |<7”(и)| > а/2 на интервале [0, S’1]. Поэтому в силу
теоремы П.2.47 процесс Af" = ехр(ги • X"AS„)/G!’l(a)(Asn является
J. Слаба» сходимость конечномерных распределений
107
локальным мартингалом на в”. Поскольку по построению |М"| <
< 2/а, то процесс М” является даже мартингалом. Значит,
1.15. Еп(/Зп | = 1, где /Г = .
Наконец, пусть 7” = Gn(u)tT/Gn(u\r_l (считаем 0/0 = 0) и
7 = p(«)t,/p(«)t,_!. Поскольку величина С* -измерима, то
в силу 1.15 получаем
V- = «ф(ш • (х,; - X,
+С exp(tu • (Xt,AS. — X<r_lA$,,))] =
= Е”[Г1{$..<м exp(»u • (X” " К-.)Я+
+En[Cl{s.>t,}^7n) =
= E4Cl{s-<M exp(iu • (X£ - Xt”_r ))]+
+E"[f/r(7"l{s..>t,) - 7)] + 7"E"(C).
Поскольку |£"| = 1, имеем
1.16. |v" - v| < Pn(Sn < tp)+
+E“(|/3"| |7nl{s->M - 7l) + 111 |E"(<") - E(C)|.
В силу 1.10 и 1.14 7**1{s»>Ifj Л 7. Кроме того, 1 < |Afn| < 2/а,
поэтому |/?**| < 2/а, и, значит, 6п := /?”(7nl{s»>t,} — 7) 0- Если
Sn > tp, то имеем |/?”7n| = 1, откуда |tf”| < 1 + 2|7|/а, и мы
получаем, что Еп(|£"|) —► 0. Отсюда, из 1,14,1.12 и 1.16 находим,
что vn —> v, что и доказывает искомый результат. □
§1с. Замечания и комментарии
Детальный анализ предыдущего доказательства позволяет сде-
лать несколько замечаний:
1) Свойство независимости приращений для процесса X явля-
ется абсолютно необходимым (конечно, для процессов с условно
независимыми приращениями результат также справедлив — см.
разд. 5). Если X лишь семимартингал, которому соответству-
ет согласно 1.8 функция G(u), то из сходимости Gn(u)t Д G(u)t
для всех u € Rd, t G Т>, вообще говоря, не следует сходимость
108 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
X” X. В сущности, значительная часть следующей главы
посвящена выяснению того, какой вид более сильной сходимости
Gn(u) к G(u) для этого достаточен.
2) Напротив, свойство X не иметь фиксированных моментов
разрыва использовано не в полной мере, а лишь для утвержде-
ния, что g(u)t / 0 при всех u, t. В самом деле, для того, чтобы
получить сходимость (Xt”,...,Xf") Л (Х<0,.. . ,Х<ж) достаточно,
чтобы 1.11 имело место при всех и,, и из Rd, исключая множе-
ство лебеговой меры нуль. Следовательно, предыдущее доказа-
тельство остается применимым для следующего условия:
1.17. множество Ut = {и 6 Rd : р(«)< = 0} имеет нулевую
лебегову меру (поскольку функция t |<?(н)|« убывает, то множе-
ство Ut возрастает с увеличением /). Тогда имеет место
1.18. Теорема. Пусть выполнены условия 1.10 и 1.17 при
всех t eV. Тогда Хп^Х.
Существует вариант этой теоремы, когда 1.17 нарушается,
однако, он намного более сложен (см. [105]).
3) Не полностью использован и тот факт, что Хп — семимар-
тингалы. Мы использовали следующее свойство Хп:
1.19. Предположение. G”(u) есть С-значный процесс
такой, что
(i) процесс |Gn(u)| убывает, предсказуем, и Gn(u)0 = 1;
(ii) если Т”(ц) = inf(t : Gn(u)t = 0), то процесс ехр(гд •
•X’*)/G”(u)lfo,T»(u)i является локальным мартингалом на
Ц0, Tn(u)|[ (см.’ П.2.46; ср. с П.2.47).
1.20. Теорема. Пусть каждый Хп есть согласованный
процесс, непрерывный справа и имеющий пределы слева, кото-
рому соответствует процесс Gn(u), удовлетворяющий 1.19 при
всякоми G Rd. Пусть также 1.10 и 1.17 имеют место при всех
i€2>. Тогда ХпX.
Бели Хп — произвольный процесс, то Gn(u) = exp(iti • X")
удовлетворяет 1.19! Но при таком специальном выборе не может
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
109
быть выполнено 1.10 за исключением случая С = 0, v = 0 и
X" —> Bt для всех t G Р, что дает абсолютно неинтересную
теорему.
4) Есть случай, когда 1.20 является действительно обобщени-
ем 1.9 или 1.18. Допустим, что
1.21. Хп = Х'п + Ап,
где Х'п — семимартингалы, которым соответствуют процессы
<л'”(и) согласно 1.8. Тогда 1.19 имеет место с Gn(u) =
= G'n(u) exp(iu Ап), и 1.10 перепишется в виде
1.22. <j'"(u)te‘u л" Д g(u)t для всех u G Rd.
5) Другой интересный случай — когда существует процесс
Gn(u), удовлетворяющий 1.19, причем предсказуемый процесс.
|Gn(u)| имеет конечную вариацию согласно 1.19(i), но для самого
процесса Gn(u) это может и не выполняться. Пусть, например,
Хп есть процесс с независимыми приращениями, но не семимар-
тингал; тогда gn(u)t — Eexp(iu • X”) удовлетворяет 1.19, хотя
и не имеет конечной вариации (по крайней мере, для некоторого
и G Rd).
2. Сходимость к процессу с независимыми
приращениями без фиксированных моментов
разрыва
Все обозначения и предположения § 1а остаются в силе, в част-
ности, любой процесс Хп — семимартингал на В” с Х$ = 0 и X
является процессом с независимыми приращениями. Вначале мы
введем серию условий на характеристика, используемых на про-
тяжении всей главы. Напомним, что C;(Rd) (при i = 1,2,3,4)
обозначает класс функций на Rd, введенных в VU.2.7. Р — под-
множество R+. Положим
2.1.
[ft-Р]
[7б-Р] C^Ct
[tf5(< - Р] g*v” g*vt
для всех t G Р,
для всех i € Р,
для всех t G Р, д € C,(R<<),
110 Гл. VIII, Сходимость к процессу с независимыми приращениями
[Sup —/ЭД sup IВ" — В,| Д 0 для всех t € R+,
»<t
[Sup - 75] sup |C? - C,\ Д 0 для всех t e R+,
-
[Sup - sup |0 * vnt - g * i/,| Д 0 для всех
«<t
. t 6 R+, g € G(Rd).
Заметим, что если все Xn — процессы с независимыми прираще-
ниями, что эквивалентно детерминированности Bn, Cn, vn и Сп,
то эти условия совпадают с условиями [/З3 — Р], и т.д. в VII.2.51
и VII.3.2. В силу П.2.8. имеем
2.3.
Г И8,3-Р]=>Н8,2-Р]=»[«5,1-П
< [Sup - £5,3] => [Sup - 65i2] => [Sup - 08ri].
§2а. Слабая сходимость конечномерных распределений
Основная теорема:
2.4. Теорема. Идешь X не имеет фиксированных момен-
тов разрыва (т.е. X Rd) = 0 для всех t, так что функции
В и С непрерывны). Пусть V С R+-
а) Предположим, что
2.5. supi/"({s} х {|®| > е}) X 0 для любых t 6 Р, s > 0,
s<t
и выполнено [/35 — Р] + [75 — Р] + [#51 — Р]. Тогда Хп X
(конечномерная сходимость по распределению на Р) и имеет ме-
сто [65,2 - Р].
Ь) Если Р плотно в R+, то [£5(1 — Р] влечет за собой 2.5 (и,
значит, [/35 — Р] + [75 — Р] + [^5,1 — Р] влекут за собой сходимость
Хп X).
Если все Хп являются процессами с независимыми прира-
щениями, то условия выше совпадают с условиями VIIL2.52 (с
2.5=VIL2.53).
Доказательство. Как сказано выше, эта теорема
является первой в серии результатов, доказываемых сведением к
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
111
результатам гл. VII путем стандартных рассуждений. Здесь (и
только здесь) мы их приводим во всех деталях.
Начнем с доказательства (Ъ), которое проще, чем (а). Мы мо-
жем, разумеется, считать, что V счетно. Зафиксируем е > О,
t G Р. Чтобы доказать сходимость в 2.5, достаточно показать,
что из любой бесконечной подпоследовательности (п') можно вы-
делить другую подпоследовательность (п"), такую что
2.6. suppn"({s} х {|®| > е}) Л 0.
s<t
Мы можем считать, что все процессы определены на одном
и том же вероятностном пространстве (см. 1.6). По определе-
нию Ci(R<i) найдется такая функция g из Ci(Rd), что 0 < g < 1
и д(х) — 1 при |®|. > е. Пусть (п') — бесконечная подпоследо-
вательность. Используя диагональный метод, можно выделить
другую подпоследовательность (п") и множество А, такие, что
Р(А) = 1 и g * р" (о>) —» g * рл, для всех s G Р, ш G А. По-
скольку отображение s g * v, непрерывно, то сходимость рав-
номерна на любом компакте, и так как Д(р* vn “), = х р),
то, в частности, sup,<t vn"(а>; {s} x g) —» 0, если w G A. Ho
^”"({e} x {|®| > e}) < pn"({s} X g), и мы получаем 2.6.
Далее, установим (а). Выберем (это возможно) семейство
Ci(Rd) счетным. Зафиксируем t G Р и пусть (п') — бесконечная
подпоследовательность. В силу диагонального метода существу-
ет другая подпоследовательность (п") и множество А, Р(4) = 1,
такие, что
2.7.
supp” (w; {«} х {|®| > е}) —» 0 для любого £ > 0,
и Е Л \ ~ //
С? (О,) G,
g * р” (о>) —» g * vt для любого g G C^R1*).
Таким образом, если G А фиксировано, то последовательность
(B”"(w),Cn"(w),pn'(w)) удовлетворяет VII.2.53 и [/З3 - {<}],
[7з - {0Ш.1 - {*}]•
112 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Применяя VII.2.52, находим, что указанная последователь-
ность удовлетворяет [£32 — {<}]• Другими словами, для любой
д € C2(Rd) и любой бесконечной последовательности (п') найдет-
ся такая подпоследовательность (п")> что д * р” —» д * vt п.н.;
таким образом, д * Ptn X д * vt и, значит, [tf5|2 — Р] имеет место.
Зафиксируем снова а; € А и возвратимся к 2.7. В силу П.5.2 су-
ществуют процессы с независимыми приращениями Zn"'u (опре-
деленные на некотором вспомогательном стохастическом базисе)
имеющие характеристики Тогда мате-
матическое ожидание величины exp(iu • Z” ecibjGn"(u)t(w) —
эта величина определена в 1.8. Поэтому в силу теоремы VII.2.52
£(Z” -»• £(Xt), откуда следует, что Gn"(u)t(u) -» g(u)t. Сле-
довательно, для любых t € Р, ti G и любой бесконечной подпо-
следовательности (п') существует другая подпоследовательность
(п") (зависящая от /), такая, что Gn"(u)t Д </(«)< п.н., откуда
следует 1.10. Поэтому сходимость Xn X следует из теоремы
1.9. □
2.8. Замечание. В противоположность 1.18 эта теорема
обязательно требует отсутствия у X фиксированных моментов
разрыва. □
2.9. Замечание. Пусть Ап — еще один согласованный
d-мерный непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс
на Bn, Aq = 0. Тогда в предположениях 2.5, [75 - Р], [^5,1 - Р] и
Bf + А" Д Bt для всех t G Р,
имеем Xn X. Доказательство аналогично, только использует
1.20 (и § 1с.4) вместо 1.9 (см. [105]). □
2.10. Замечание. В противоположность VII.2.52, усло-
вия [Х?5 — Р], [75 — Р] и [#5)1 — Р] не являются необходимыми для
£(Р)
сходимости Хп —> X даже в предположении 2.5 (см. 3.39, или
замечание после теоремы 3.65). Можно надеяться на необходи-
мые условия лишь для функциональной сходимости Хп X и то
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
113
при довольно специфических предположениях: некоторые из них
рассматриваются в разд. 3.
Сформулируем теперь ’’квадратично интегрируемый” вари-
ант теоремы 2.4. Предполагаем, что все Хп — локально квадра-
тично интегрируемые семимартингалы в смысле П.2.27, т.е.
2.11. |®|2 * р" < оо для всех t > 0.
Положим
2.12. B'n = Bn + (x- h(x)) ♦ рп,
2.13. C'tnJk = C,Jk + (xjxk) * i<-
Тогда M/n = Xn — Bn есть локально квадратично интегрируемый
мартингал, и C'n<,i =
Аналогично, предполагаем, что X есть семимартингал с не-
зависимыми приращениями, также локально квадратично инте-
грируемый, так что мера v удовлетворяет 2.11. Определим В' и
С' согласно 2.12 и 2.13 (по (В,С,р)).
2.14. Теорема. Пусть, помимо предположений выше, X
не имеет фиксированных моментов разрыва. Пусть Р С R+, и
предположим, что
2.15. lim lim sup Рп(|®|21ы>а * z/tn > »?) = О
°Т<» n
для всех Т] > 0, t G P,
[0'5 - P] B'tn Д B't для всех t E P,
[75 — P] C'tn Л С' для всех t
и выполнены условия 2.5 и — Р]. Тогда Хп X.
Доказательство. Доказательство проходит в точ-
ности, как для 2.4, не считая ссылки на VII.2.63 вместо VII.2.52.
Единственная модификация следующая: пусть t Е Р и (п') —
114 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
бесконечная подпоследовательность. Тогда надо найти ее подпо-
следовательность (п") и множество А, Р(А) = 1, такие, что для
всех ш G А выполнено 2.7 и
2.16. lim limsup |®|21{ы>в} * ^""(w) = О
afoo n„
(тогда для (Впвыполнено VII.2.64 в мо-
мент t). Действительно, выберем сперва подпоследовательность
(п) из (п') и Ао такие, что Р(А0) = 1 и 2.7 имеет место для ш G Ао
и последовательности (п). Тогда если p(n,a) = |®|’1{|г|>в} ♦ то
в силу 2.15 для любого k G N* найдутся такие at > 0, пк > к, что
P(p(nt,at) > 1/fc) < 2-fc.
Тогда в силу леммы Бореля-Кантелли P(AJ = 0, где Ai =
= lim inft{/>(nt,at) < 1/k}. Стало быть, A = Ao П Аг — мно-
жество полной меры Р, и последовательность (n") = (nt) удовле-
творяет 2.7 для любого a> G А, и остается только доказать, что
для нее выполнено и 2.16.
Если бы это было не так для какого-либо ш G А, то нашлись
бы такие £ > 0 и последовательность (fcm), стремящаяся к +оо,
что > £ для всех a > 0 (напомним, что функция
а p(n,a) убывает). Поскольку р(пкп,ак~)(ш) > I/km для всех
достаточно больших кт (по определению А), то мы приходим к
противоречию. □
§2Ь. Функциональная сходимость
2.17. Теорема. Пусть X не имеет фиксированных мо-
ментов разрыва иТ) — плотное подмножество в R+. Тогда
[Sup — /?5] 4- [75 — Р] + [651 — Р] влекут сходимость Хп X.
Более того, в этом случае выполнены также [Sup — 75] и
[Sup -£5,2]-
Этот результат усиливает импликацию (Ь)=>(Ъ) теоремы
VII.3.4. Обратное, вообще говоря, неверно, если Хп не являются
процессами с независимыми приращениями.
Доказательство. Проверка последнего утвержде-
ния производится по той же схеме, что и в 2.4: уменьшаем Р
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
115
до счетного множества, чтобы только оно оставалось плотным
в R+. Если (п') — бесконечная подпоследовательность, то най-
дется такая ее подпоследовательность (п"), что CJ* (ш) Ct для
всех t G Р, ш € А, где Р(А) = 1. Тогда лемма VII.3.8 влечет
сходимость sup1<t \С” (о?) — С4| 0 для всех t € R+, ш 6 А, от-
куда находим, что выполнено [Sup — 75]. В силу 2.4 имеет место
[^5,2 - Р], и те же аргументы (вновь с использованием VIL3.8)
показывают, что, в самом деле, выполнено [Sup — £5,2]-
Что касается первого утверждения, то в силу 2.4 остается до-
казать, что последовательность (Хп) плотна. Для этого исполь-
зуем теорему VI.4.18. Поскольку Х$ = 0, то первое условие этой
теоремы выполнено, и третье условие выполнено также, так как
[Sup - /?5], [Sup — 75] и [Sup - 65,2] обеспечивают, соответствен-
но, С — плотность последовательностей (Вп), (Сп) и (<; * vn) при
д G ^(R4). Положим дч(х) = (g|®| - 1)+ Л 1, и заметим, что
р”([0, JV-] X {|ж| > а}) < р2/а * »#♦ Пусть е > 0 и 7) > 0; выберем
такое а > 0, что g2/a * < е/2, и затем найдем в силу [Sup - Й5>2]
такое По, что
П > По => Pn(ff2/a ♦ > £) < Г).
Значит, условие (ii) из VL4.18 выполнено, и теорема доказана.□
Квадратично интегрируемый вариант доказывается аналогич-
но с использованием 2.14 и VL4.13 вместо 2.4 и VI.4.18.
2.18. Теорема. Предположим, что X есть семимартин-
гал с независимыми приращениями без фиксированных моментов
разрыва меры ип и v удовлетворяют 2.11. Пусть V — плотное
подмножество в R+. Определим В,п, В1 согласно 2.12, и С,п, Cf
— согласно 2.13. Если
[Sup - sup \В'8п - В8\ Д 0 для всех t > 0,
$<t
и выполнены [75 — Р] + [$8>1 — Р] и 2.15, то Хп X.
Более того, в этом случае имеем также [Sup — ^5,2] и
[Sup - 7g] sup |C'n - С' I 0 для всех t > 0.
116 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Для дальнейших ссылок сформулируем следующее следствие 1
предложений VIL2.59 и VII.3.12. I
2.19. Предложение. Пусть X — семимартингал с не- 1
зависимыми приращениями без фиксированных моментов разры- i
ва, Р — подмножество R+, Х'п = Хп — Вп, X' = X - В. 1
а) Если выполнены [-у5 — Р], [tf51 - Р] и 2.5, то Х'п X'. !
Ь) Если В плотно в R+ и выполнены [75 — Р] и [£51 — Р], то ]
Х,п X'. j
Доказательство. Можем считать Р счетным. Обо- jj
значим через (В'п,С'п, р'") и (В',С*, р') характеристики Х'п и X' 1
(так что В' = О, С' = С, и' = и), исходя из которых вычисляются ]
модифицированные вторые характеристики С'п и С". I
Пусть (п') — некоторая подпоследовательность. В точности, 1
как в 2.4, находим множество А, Р(А) = 1, и подпоследователь- |
ность (п") последовательности (п') такие, что 2.7 выполняется 1
для всех t G Р (за исключением утверждения о Вп и В). Тогда .
те же рассуждения, что и в 2.4, только основанные на VII.2.59 и I
VII.3.12, показывают, что для всех ш G A, t G Р выполнено: j
1СГ"(и>) -ч С,', д * рГ"(ц,) -+ д * при д € ^(R4),
supi/”"(o>; {s} х {|г| > e}) -> 0 при г > О, I
»<‘ }
sup |ДГ"(«)| - 0 j
(по поводу последнего см. (4) в доказательстве VII.2.59). Тогда,
как и выше, из 2.20 вытекает, что для процесса (X'") и предельно- j
го процесса X' выполнены условия [75-Р], [^5,1 -Р], 2.5, [/?5-Р], а 1
также [Sup -/З5] в случае (Ь). Стало быть, искомые утверждения
следуют из 2.4 и 2.17. □ !
2.21. Замечание. Как мы видели в гл. VII, в предполо- |
жении [^з,1 - Р] условия [03 - Р], [Sup - /З3], [Тз - не зависят I
от выбора (непрерывной) функции усечения h. Здесь это утвер- 1
ждение также справедливо, а именно, в предположении [^5,1 — Р] [
условия [/?5 - Р], [Sup — /?5], [75 — Р] не зависят от h (доказатель- ;
ство следует той же схеме, что и в 2.4). □ 1
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
117
§2с. Применение к схеме серий
Очень часто приходится рассматривать пределы частичных
сумм в схеме серий без предположения независимости случайных
величин внутри серии. Для того, чтобы не выходить за рамки
предыдущей постановки задачи, рассмотрим лишь схемы серий,
приводящих к семимартингалам.
2.22. Определение. Будем говорить, что задана cl-
мерная семимартингальная схема серий, если выполнено следу-
ющее: при каждом n € N’ имеется дискретный стохастический
базис Вп = )pgN,Pn), на котором заданы согласован-
ная последовательность (U£)t>i d-мерных случайных величин, и
(i) либо замена времени ст” = (ст”)<>о на Вп (см. П.3.5),
(ii) либо единственный момент остановки Кп, также обозна-
чаемый через Кп = ст”,
такие, что для всех t 6 К+ в случае (i), или же для t = 1 в
случае (ii)
2.23.
Е |Е[ад)1^-1]1 < оо П.Н.,
i<fc<<7tn
' £ В(|{/1”|!Л1|У7_1)<ооп.н.
В случае (i) определим фильтрацию в непрерывном времени
Gn : G? = 5^» — и процесс
2.24.
Х,"= Е Vi-
К’К/т*
Ряд в 2.24 сходится по вероятности, и в силу П.3.11 Хп есть семи-
мартингал ((!”, В случае (ii) рассматриваем просто
случайную величину
2.25. Z” = Д*".
Имеется следующий способ сведения случая (ii) к случаю (i):
пусть (г?п) — строго возрастающая последовательность чисел,
118 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
v0 = 0, и limnj vn = 1. Положим
[mA A'n(w), если vm < t < vm+1,
2.26. at (w) — < Kn(w), если t > 1.
Тогда процесс (<rj*)t>o является заменой времени для Вп с
<т" = Кп, и в обозначениях 2.24 и 2.25 имеем Zn = X”.
Теперь сформулируем варианты теорем 2.4 и 2.17 для насто-
ящей ситуации. Для простоты ”конечномерный” вариант форму-
лируем для V = {1}, что соответствует изучению поведения Zn
(случай (ii) выше).
2.27. Теорема. Рассмотрим d-мерную семимартингаль-
ную схему серий в случае (ii), и определим Zn согласно 2.25.
Пусть р — безгранично делимое распределение на Rd с харак-
теристиками (b,c,F), и с определено согласно VII.2.5. Если
2.28. sup Р”(|| > е | ^t*_x) 0 для всех е > О,
1<4<К«
[ft] £ Е”[»(Р?)|^.,]Д»,
Ы £ {Е"[Л^'(ДГ) | Л”-1] - Е"№”) |
хеп[л'(дп1Ап-1]}-^
[*в,1] Е E"[ff(^n) I F(g) для всех g € C^R"),
то £(/”) -»• р слабо.
Доказательство. Следует применить 2.4 к Хп
(определенным согласно 2.24 с из 2.26), Р = {1} т X — се-
мимартингалу с независимыми, стационарными приращениями,
для которого £(A”i) = р, и использовать П.3.14.
2.29. Теорема. Рассмотрим d-мерную семимартингаль-
ную схему серий в случае (г), и пусть Хп определены соглас-
но 2.24. Пусть X — процесс с независимыми приращениями
2. Схаякмость к процессу с независимыми пряращеияямл
119
и без фиксированных моментов разрыва с характеристиками
(В, С,у). Если выполнены условия
[Sup -&]
sup
«<t
для всех t > О,
Р
b'e-Z’J £ {E"[fc<A,(P?)|5?_1]-E"[/><W)|^.1]x
xE”№")|^.J}X^',
для всех t Е.Т>,
Им] Е EWni^-i]
для всех t G В, g € Ci(Rd), для некоторого плотного подмноже-
ства Т) в К+, то Хп X.
Мы оставляем читателю варианты теорем 2.14 и 2.18 для схе-
мы серий.
§2d. Другие условия сходимости
Вернемся к общей постановке данного раздела. В теореме 1.9
приведено условие на Gn(u) (см. определение в 1.8), обеспечива-
ющее сходимость Хп X. В следующей теореме, являющей-
ся простым обобщением следствия VII.4.43, накладывается более
сильное условие на Gn(u), обеспечивающее сходимость Хп А X.
2.30. Теорема. Предположим, что X не имеет фикси-
рованных моментов разрыва. Если
2.31. sup sup |<лп(и), - </(и),| 0 для всех t > 0, 0 > 0,
|u|<« »<t
то Хп X.
В силу теоремы 2.17 этот результат является следствием сле-
дующего утверждения.
120 Гл. VIII. Сходимость к продессу с независимыми приращениями
2.32. Лемма. Если X не имеет фиксированных моментов
разрыва, то 2.31 равносильно совокупности трех условий [Sup —
~А>] + [?5 ~ ^+]Hs,l — R+]-
Доказательство. Пусть выполнено 2.31, и (п') —
бесконечная подпоследовательность. В силу диагонального мето-
да из нее можно выбрать такую подпоследовательность (п"), что
для некоторого множества А, Р(А) = 1,
2.33.
ш G А => sup sup \Gn (ц)3(од) — <j(u),| —► 0 при всех t > 0,0 > 0.
|tl|<0 3<t
Тогда VII.2.43 и импликация (a)=>(b) из VII.3.4 влекут
sup |B"' (од) — 5, | > 0 для всех t > 0,
C(n (од) -> Ct для всех t > 0,
g * v” (w) —» g*vt для всех t > 0, g € C^R4),
2.34.
и мы получаем [Sup - /З5], [75 - RJ и [^5>1 — R+] так же, как в
доказательстве 2.4.
Наоборот, пусть выполнены условия [Sup — /35], [75 — R+],
[651 —R+]. Тогда в силу 2.17 имеем также [Sup -75] и [Sup — 65>2].
Поэтому из любой бесконечной подпоследовательности (п') можно
выбрать такую подпоследовательность (п"), что для некоторого
множества А, Р(А) = 1, выполнено 2.34 (напомним, что Ci(Rd)
можно выбрать счетным). Стало быть, из импликации (Ь)=>(а) в
VII.3.4 и VII.4.43 следует 2.33, откуда и получаем 2.31. □
2.35. Замечание. Отметим обратимость аргументов:
мы использовали 1.9 для 2.4 и 2.17 для 2.30. На самом деле,
ключевым пунктом в доказательстве 2.4 является следующая им-
пликация, справедливая в предположении 2.5:
[/?5-Р]+[75-Р]+Н5>1-Р] => Gn(u)t Д g(u)t для всех t € Т),и € Rd.
Мы не знаем, есть ли здесь эквивалентность, однако, заведомо
имеет место следующая эквивалентность: опять-таки, при усло-
вии 2.5
[& - р] + [75 - Р] + Над - р] sup |G"(u)t - <7(u)t| Д 0
Ы<«
2. Схаатость я процессу с независимыми приращениями
121
для всех t, в > 0. □
Далее, предыдущая теорема, возможно, не столь уж полезна в
приложениях из-за трудности проверки условия 2.31, основанного
на весьма сложно устроенном процессе (л”(и). Было бы полезнее
иметь условие на основе процессов An(u) в 1.8. Общих результа-
тов по этому поводу нет, и мы ограничимся специальным случа-
ем, когда Gn(u) = exp(An(u)), т.е. когда все Хп квазинепрерывны
слева.
2.36. Теорема. Допустим, что X есть семимартин-
гал с независимыми приращениями без фиксированных моментов
разрыва, и все Хп квазинепрерывны слева. Определим Ап(и)
и А(и) согласно 1.8 (Л(и) вычисляется по (В,С,и}), и пусть
Т> С R+-
а) Если
2.37. An(u)t A(u)t для всех / G Р, u G Rd,
то Хп X.
Ь) Пусть D плотно в R+. Если выполнены 2.37 и [Sup — fl5],
то Хп Л X.
с) Если
2.38. sup |A"(u)J — А(и),| Д 0 для всех t G R+, 0 G R+,
3<t, Itl|<0
то Xn 4 X.
Доказательство. В силу предположений Gn(u)t —
— exp(An(u)t), и g(u)t = exp(A(u)t). Поэтому 2.37 и 2.38 вле-
кут 1.10 и 2.31, соответственно, и, значит, (а) и (с) вытекают из
теорем 1.9 и 2.30.
Остается доказать (Ь). В силу 2.17 достаточно установить,
что 2.37 влечет [75 — Р] и [й5>1 - Р], т.е. доказать [75 — {/}] и
[^5,1 — {0] Для всех < € Р. Поэтому зафиксируем t G Р.
Из 2.37 вытекает, что Gn(u)t £ стало быть, для любого
р G N*
2.39. Е"(=
|«|<1
122 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
= /Е“(К). -<).!)"“-о-
|«|<1
Пусть (д') — бесконечная подпоследовательность. В силу 2.39
найдется такое множество А, Р(А) = 1, и в (п') — такая подпо-
следовательность (п"), что
2.40.
ш Е А =>
J |б?п' — g(—) J du —> 0 для всех р G N*,
l«l<i Р * Р
Gn (u)f(a>) —*• g(u)t для всех u Е Qd.
Далее, и Gn'(u)t(b>) есть характеристическая функция без-
гранично делимого распределения т/"', с характеристиками (см.
§VII.2a) С?"(ш), vn"(w; [0,£] х •)• Более того, в силу
оценки VII.2.17 для любого р Е N*
2-41- »й(1®1 > р) < у с'» (da:)(|“|2 ЛО
< <71(1) У [l-ReGn"(-)t(w)]du.
I«l<i Р
Зафиксируем ш Е А и г > 0. Найдется такое р Е N*, что
f (1 — Re g(u/p)t)du < г, поэтому 2.40 влечет оценку
1«1<1
J [1 — Re Gn'(u/p)t(b>)]du < 2s для достаточно больших п", и,
|“1-1
значит, в силу 2.41 для этих же п" имеем > Р) — 2fCi(l). В
силу произвольности s > 0 отсюда следует плотность последова-
тельности {^”д}п" в и в силу второго свойства 2.40 эта после-
довательность, на самом деле, сходится слабо к безгранично дели-
мому распределению с характеристической функцией и д{и\.
Стало быть, VII.2.9 влечет
ш Е А => <
c;"(w) -> ct,
д * i/" (а>) -+ д для любой д G Ci(Rd).
Вновь используя обычный метод, находим С" Д Ct и д * р" X
Д g*vt для всех д Е Ci(R<i). Таким образом, имеют место [75 — {<}]
и [^5,1 — {О]- Теорема доказана. □
3. Приложения
123
3. Приложения
Цель настоящего раздела двоякая:
1) Мы конкретизируем предыдущие результаты для тех слу-
чаев, которые наиболее часто встречаются на практике:
во-первых, когда предельный процесс является непрерывным про-
цессом с независимыми приращениями (в частности, винеровским
процессом), так что на самом деле получаются "функциональные
центральные предельные теоремы” (называемые также "принци-
пами инвариантности”); более того, в этом случае, удается полу-
чить необходимые и достаточные условия сходимости (§§ За,Ь,с).
Во-вторых, рассматривается случай, когда все процессы Хп и
процесс X являются точечными, в частности, X — пуассонов-
ский процесс (§ 3d).
2) Мы даем также три применения: первое касается нормиро-
ванных сумм независимых, одинаково распределенных семимар-
тингалов: эта проблема, столь естественная (и очевидна), на пер-
вый взгляд, на самом деле до сих пор в общем случае не решена,
и нам приходится ограничиваться очень частными результатами
(§3е).
Второе применение (§ 3f) касается предельного поведения не-
которых функционалов от рекуррентных марковских процессов
(другие результаты о марковских процессах будут получены в
следующей главе). Тесно связанное с этим третье применение
касается сходимости нормированных стационарных эргодических
процессов при условиях, более слабых, нежели обычные усло-
вия перемешивания (§ 3g). Этот вопрос рассматривается также в
разд. 5.
§3а. Центральная предельная теорема: необходимые и
достаточные условия
Постановка та же, что и в § 1а, и в дополнение X, являющий-
ся процессом с независимыми приращениями, предлагается не-
прерывным с характеристиками (В, С, 0). Напомним обозначения
124 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
П.2.4 и 1.2.5:
3.1.
' ГЧЛ) = ПДХГ-Л(ДХ,")],
<
Xn(h) = Xn- Мп = ХП(Л) - Вп - Хо",
так что Cn,ii = {Mn,i, Mnj). Введем также процесс квадратиче-
ской вариации
3.2. С” = (Cn’ij)ij<d, где Cn’ij = [Afn’’,MnJ].
Используем условия [/?5 - Р], [75 - Р], [£5Д - Р] и [Sup - /35],
введенные в 2.1 и 2.2, где Р С К+. Поскольку v = 0, то С = С,
поэтому имеем
3.3. [75 - Р] = {CJ* X Ct для всех t G Р}.
Введем также следующие два условия:
3.4.
![75 — Я) С" С* для всех < € Р;
[й5 - Р] /([0,t[ х {|®| > е}) Д 0 для всех t G Р, е > 0.
Используя снова свойство v = 0 и лемму VI.4.22, получаем экви-
валентность
3.5. [/>5,1 - Р] О [^5,2 - Р] О [4 - Р] о
ФФ {sup |ДХ”| X 0 для всех t G Р).
s<t
Первый из результатов касается слабой сходимости конечно-
мерных распределений и является парафразом теоремы 2.4.
3.6. Теорема. Предположим, что X — непрерывный
процесс с независимыми приращениями с характеристиками
uDcR+.
а) При условии [65 - Р] имеем эквивалентность [75 — ©]<=>
[т. - V).
Ь) При условиях [/?5 - Р] + [75 — Р] + [^5 - Р] или [/?5 - Р] 4-
[75 — Р] + [^5 — Р] имеем сходимость: Хп X.
3. Приложения
125
Доказательство. В силу (а) и 3.5, утверждение
(Ь) есть просто переформулировка 2.4. Чтобы доказать (а), допу-
стим, что выполнено р8 - Р]. Зафиксируем j, к < d, и положим
Yn := C"*jk - Cnjk. Докажем, что sup,<t |У”| Д 0 для всех t 6 V
при любом условии [75—Р] либо [75-Р], и отсюда будет следовать
искомый результат.
Отметим, что У” — локальный мартингал с конечной вариа-
цией. Пусть А удовлетворяет 1.2. Имеем |Д_¥П(Л)| = |Л(ДХП)| <
< А, и ДВ" = х h), значит, |ДВП| < А, поэтому |ДЛГП| <
2А, откуда |ДС"^к| < 4А2 * и |ДС"^к| < 4А2, и, наконец, |ДУП| <
< 8А2. Таким образом, Уп — локально квадратично интегри-
руемый мартингал, и для любого момента остановки Т имеем
ЕП((У,?)2) < Е”([У”,Уп]т). В силу неравенства Ленгляра 1.3.32
для любых е > 0, г} > 0 получаем
P”(sup|y”| > е) < ~(т/ + E"(sup Д[УП,У"],))+
«<1 £ 3<t
+рп([уп,упЬ > ту) < 2 + + 1)р"([У",У% > ту),
(так как Д[У",У"] < 64А4 и sup,<t Д[У",УП], < (УП,УП](). Оче-
видно, что последнее выражение стремится к нулю при n f оо для
любых е > 0, t G Р, если выполнено
3.7. Р"([УП,Уп]( > ту) —»• 0 для всех t G Р, ту > 0.
Поэтому остается доказать 3.7 при условии [75 — Р] либо [75 — Р].
Процесс С’*4'’ Z-доминируется процессом Cn,ii, и наоборот, а
их скачки не превосходят 442, поэтому 1.3.32 влечет неравенство
Р"(СГ> > а) < 1(ту + 4А2) + P“(Ctnji > 77),
(L
и то же самое верно, если Сп и Сп поменять местами. Отсюда
вытекает, что следующие два свойства эквивалентны:
(1) Um Um sup Pn(Ctn + Cf-kk > a) = 0,
afoo n
(2) Um Um sup Pn(C?'” + > a) = 0.
aToo n
126 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Далее, положим
an = sup | AC,njt|, /3" = sup |ДС^‘|, yn = sup |AB,n|.
S<t 8<t »<t
Поскольку ДВ(П = ^п({<} x h), то в силу 1.2 для любого е € (0,1/А]
имеем
7” < £ + Ai/n([0, t] х {|®| > е}).
Таким образом, [75 — Р] влечет сходимость 7” Д 0. Из 3.5 также
получаем, что sup4<t |ДХр(Л)| Д 0, и потому sup4<t |ДЛГ"| Д 0 и
о” Д 0. Наконец, в силу 1.3 и 1.2 для любого е € (0,1/А]
/3" < (7")2 + £2 + AV([0,t] х {1x1 > г}),
и мы находим, что /3” Д 0.
Имеем
[yn,y"]t = $2[дс,- дс;-’4]2 <
»<*
<2£[(ДС^*)2ЧДСГ‘)2]<
«<t
< an(CTJ> + С?’**) + /3n(CTJi + СГ“),
так как С” и С” — симметрические неотрицательно определен-
ные матрицы. Поскольку an Д 0 и /Зп Д 0, и выполнены соотно-
шения (1) и (2), то при любом из условий [75 — Р] либо [75 — Р]
получаем отсюда 3.7, что и завершает доказательство. □
Переходим к теореме о функциональной сходимости, для кото-
рой имеются в каком-то смысле необходимые условия для слабой
сходимости конечномерных распределений, по всей вероятности,
невозможно, кроме как в случае, когда все Хп являются процес-
сами с независимыми приращениями.
3.8. Теорема. Предположим, что X — непрерывный
процесс с независимыми приращениями с характеристиками
(В,С,0), u Р — плотное подмножество в R+.
а) Если Хп X, то имеет место условие [й5 — Р].
3, Пряложеняя
127
Ь) При условии [Sup — /?5] следующие утверждения эквива-
лентны:
(i) Х”^Х;
(П) [75-Р] + [^-Р];
(Ш) [75-Р] + [«5_р].
Более того, в этом случае Сп и Сп С (сходимость по
распределению к детерминированному ”процессу” С).
Важно отметить, что сходимость Хп —► X возможна даже
если условие [Sup — /35] не выполнено, — см. примеры в §3f.
Эквивалентность также может быть нарушена, если X разрывен,
как мы увидим в § 3d.
Доказательство. а) Поскольку X непрерывен, то
sup,<t |ДХ”| Л 0 в силу VI.3.26, и искомое утверждение следует
из З.Ъ.
Ь) Эквивалентность (ii)o(iii) следует из 3.6а. Импликация
вытекает из 2.17. Пусть Хп X. В силу (а) имеет
место [В5 —Р], откуда Х"(Л) Л 0. Значит, Xn(h) X. Поскольку
В" В в силу [Sup — /35] и поскольку процесс В непрерывен, то
находим, что Мп —> М = X — В (см. VI.3.33). Более того, как мы
видели, | ДМп| < 2А, где А удовлетворяет 1.2. Стало быть, VI.6.6
влечет сходимость Сп С, откуда следует [7s — К+]. Таким
образом, (i)^-(iii).
Наконец, сходимость Сп —> С при условии (ii) можно прове-
рить, либо используя соотношения Сп С и Сп — Сп 0 (что
доказано в 3.6b в предположении [В5 — Р] 4- [7б — Р], либо непо-
средственно с помощью [7s — Р\ (как в лемме VII.3.8)). □
128 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
§ЗЬ. Центральная предельная теорема: мартингальный
случай
Конкретизируем ситуацию еще более: предположим, что все
Хп являются локальными мартингалами. В таком случае есте-
ственно допустить, что предельный процесс X является непре-
рывным гауссовским мартингалом (см. § II.4d), т.е. процессом с
независимыми приращениями с характеристиками (0,С,0). От-
метим, что в силу П.2.29а
3.9.
|х|2 Л |х| * i/J* < оо для всех t > О,
4 В" = [Л(х) - х] * v".
В дополнение к условиям, введенным в §3а естественно также
ввести следующие условия:
[7' - Р] Xn'j]t Д С? для всех t е Р,
и в том случае, когда все Хп локально квадратично интегрируе-
мые условия:
[7; - Р] (Х"’‘, Xn'j)t Д С? для всех t G Р.
(Отметим, что в последнем случае (Xn’,,Xnj) = C/n,v в обозна-
чениях 2.13, и условие [7^ — Р] здесь в точности такое же, как
в 2.14). Если Р плотно в R+ (и в очевидных обозначениях для
[ХП,ХП] и (ХП,ХП)), то те же аргументы, что и в лемме VIL3.8,
доказывают, что
( [7;-Р]^[Х”,Х"]4с,
ЗЛ0, j [75 - р] & {ХП,ХП} 4 с.
Первый из результатов очень простой, но, возможно, самый
полезный.
3.11. Теорема. Пусть X — непрерывный гауссовский
мартингал с характеристиками (О, С, 0), а все Хп — локаль-
ные мартингалы, причем |ДХП| < К тождественно. Если Р
3. Приложения
129
— плотное подмножество в R+, то следующие утверждения
эквивалентны
(i) Хп ± X;
(Н) Wt-V]-,
(iii) [7'-D] + &_D],
(см. 3.4).
Доказательство. Выберем функцию усечения h
таким образом, что h(x) = х при |ж| < К. Тогда
xn(h) = 0, Вп = О, Cn,ii = [Хп>’’, X”-’] и Cn’ij = (X"'i,Xn'i)- Та-
ким образом, [Sup — /35] очевидно выполняется, [75 - Р] = [75 - В]
и [75 — Р]. = [75 — Р]. Поэтому искомый результат является
следствием теоремы 3.8b, если только установить импликацию
[7'- Р] - П
Заметим, что [75 — Р] влечет сходимость [Хп’\ Xn,t] Л Сп (см.
3.10). Поэтому тем более sup,<t Д[ХП’*,ХП’*], 0 (см. VI.3.26).
Поскольку |ДХП|2 = A[Xnj,Xnj], то в силу 3.5 получаем
[<55 — Р], что и завершает доказательство.
3.12. Теорема. Пусть X — непрерывный гауссовский
мартингал с характеристиками (0,С, 0), и все Хп — локаль-
ные мартингалы. Пусть 7) — плотное подмножество в и
рассмотрим следующие два условия:
3.13.
lim limsup Рп(|ж11 {ri>a) * ptn > 77) = 0
afoo п
для всех г) > 0, t > 0.
3.14. Последовательность (supa<t |ДХ”11 Рп) равномерно ин-
тегрируема для любого t > 0. Имеют место утверждения:
а) Из 3.14 следует 3.13.
5. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. T.2
130 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Ъ) В предположении 3.13 следующие утверждения эквива-
лентны:
(i ) Хп X;
(Ю [Ъ-ъ]-,
(ш) [75 - т>] + & - т>]‘,
(iv) [75 - Т>\ + [£5 - Т)\.
Начнем с двух лемм.
3.15. Лемма. При условии 3.13 и [й5 — Р] имеем:
[Var - /35\ Var Д 0 для всех t > 0, j < d.
Доказательство. Пусть А удовлетворяет 1.2. Для
всякого а > А имеем |/i(a:) - х| < (А + а)1{|х|>1/л} + N 1{|®|>а}• Из
3.9 находим
Var < (А + a)i/*([0,Z] X {|х| > 1/А}) + |x|l{W>e} * 17",
P“(Var (В”'), > £) < P” ИМ X {|z| > 1/А» > —i—) +
' Z(A + a)'
+Рп(|ж|1{|г|>а} * p” > £/2),
откуда и следует искомый результат (выбираем сначала а, а за-
тем п).
3.16. Лемма. При условии [Var — /35] и [^5 — Р] имеем:
[75 - V] О [7' - Р].
Доказательство. Докажем, что процесс Ytn =
= [Xn,J, Xn,fc]t — C?’*k (при фиксированных j, k < d) удовлетворя-
p
ет соотношению Ytn —> 0 для любого /, и отсюда будет следовать
искомый результат. Имеем
у(п = 52 - 52[^’(л ) - дв^Жедх;) - дв?л] =
3<t s<t
= - ^л‘(дхг)]+
3. Приложения
131
+ Ддв^л*(дх,в) + дв?-‘л*(дх,п) - дв,п> дб;л].
s<t
Положим Z” = sup1<t |ДХ,”|, и пусть А удовлетворяет. 1.2. Тогда
|ДВП| < А, и, значит,
3.17. |У”| < 24[Var + Var (Bn’k)t] на {Z(n < 1/4}.
В силу 3.5 имеем: Z" X 0, и из 3.17 и [Var — /35] немедленно
получаем Y" —► 0. □
Доказательство теоремы 3.12. а) По определению
компенсатора vn для любого а > 0 процесс Un(a) = |®|l{|r|>ej *
*i/n Z-доминируется процессом Vn(a) = |ДХ^1 * 1{|дх,п|><»}-
Положим вновь Z" = supJ<t |ДХ"|. В силу неравенства Ленгляра
1.3.32 для любых £ > 0, т) > 0
Рп(Гп(а)< > 7j) < i[£ + En(sup ДГ(а),)]+
rj ><t
+Pn(V"(a)t > £).
Заметим, что {Vn(a)t > 0} = {Z” > a}, и Vn(a), < Z"l{z(n>a}
для всех s < t. Поэтому, полагая выше e | 0, получаем
Р”(рт(«).>>/)<^Е”(2,”1(г,.>.))+
+P"(Z,“ > a) < (1 +
и, стало быть 3.13 следует из 3.14.
Ь) Предположим 3.13. В силу 3.8а (i) => [65 - Р], и, как мы
видели при доказательстве 3.11, [75 — Р] => [д’5 — Р]. Значит,
условия (i)-(iv) влекут [#5 — Р], и, в силу леммы 3.15, выполнено
[Var — /?5], откуда, в свою очередь, следует [Sup - /?5].
Таким образом, эквивалентности (i) О (iii) О (iv) следуют из
теоремы 3.8b, тогда как эквивалентность (ii) О (iii) — из леммы
3.16. □
Следующее следствие — второстепенной важности. Обозна-
чим В”'с = В” — ^s<t АВ” — ’’непрерывную часть” Вп.
5*
132 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
3.18. Следствие. Пусть X — непрерывный гауссов-
- ский мартингал с характеристиками (0,С,0), и все Хп — ло-
кальные мартингалы. Пусть V — плотное подмножество в R+.
При условии
[Var ' — /35] sup I В”,с| + У21А В" | 0 для всех t > О,
** т<1
четыре утверждения (i)-(iv) в 3.12b эквивалентны.
Отметим, что если все Хп квазинепрерывны слева, то Вп =
= Вп,с, и в этом случае [Var' — /?5] = [Sup — /?5].
Доказательство. В силу 3.8 имеем (iii) О (iv) <=>
<=> (i), поскольку [Var ' — /35] => [Sup — /35]. Неравенство 3.17
остается верным, если заменить в нем Var (Bn,,)t и Var (Bn,*)t
на |АВ"|. Стало быть, при условии [65 — Р] и [Var ' — /35]
имеем [75 - Р] О [7J — Р], и так как [75 — Р] => [£5 - Р] (см.
доказательство 3.11), то (ii) (iii). □
3.19. Замечание. Предположим, что выполнено следу-
ющее свойство, более слабое, нежели 3.14.
3.20. Последовательность (sup,<41AXJ*11 Р") ограничена в L1
при всяком t > 0.
Тогда VI.6.7 влечет импликацию Хп —► X [-% — К+]. Од-
нако, обратное неверно, как показывает следующий контрпри-
мер. □
3.21. Контрпример. Рассмотрим одномерную семимар-
тингальную схему серий (Р£,<т”,Вп) (см. 2.22) из независимых
величин,где
Р"({/? = п) = 1/п2,
Рп(и? = —;—= 1 - 1/п2,
V * п(1 - 1/п2)/ ' ’
а" = [nt] (целая часть nt) и ..., (7£). Тогда процесс
Уп, определенный согласно 2.24, является мартингалом. Имеем
3. Приложения
133
SUP«<< |Д-^”| — 521<fc<[nt] l^k I И ®n(521<k<(n<] l^t I) ~ 2[nt]/n, И,
значит, 3.20 выполнено. Имеем также
[Xn,X%= 52 m2-o
l<fc<(n«]
(с помощью преобразования Лапласа). Поэтому имеет место усло-
вие [7g — R+] с С = 0. Тем не менее, сходимости Хп -* 0 здесь
нет (как легко видеть, X? —► — t).
Следует отметить, что условия [75 — R+] и [tf5 — R+] выполне-
ны, но условие [Sup — /?5] нарушается, так как при достаточно
больших п
в?= Е Е”№“1те=»)) = -^! = -<- о
l<fc<[nt]
Сформулируем теорему типа ’’Линдеберга-Феллера” и неко-
торые ее варианты.
3.22. Теорема. Пусть X — непрерывный гауссовский
мартингал с характеристиками (0,С,0), все Хп — локально
квадратично интегрируемые мартингалы, и V — плотное Под-
множество в R+. Пусть
3.23. (k|2l{|a?|>e}) * 0 для любых t > 0, е > 0.
Тогда следующие утверждения эквивалентны
0) 3.23 и Хп X
(ii) 3.23 и га - V].
(iii) 3.23 и [7s - Р].
(iv) 3.23 и [7s - Р].
(v) 3.23 и [75 - Р].
(vi) [7s - « га - V].
(vii) [?5 ~ V] и Хп X
Читатель может вывести отсюда большое число других по-
добных результатов. В частности, представляет интерес такой
результат:
134 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
3.24. Следствие. Пусть X — непрерывный гауссов-
ский мартингал с характеристиками (О, С, 0), все Хп — локаль-
но квадратично интегрируемые мартингалы (напомним, что
Xq = 0) и V — плотное подмножество в R+. Если еще вы-
полнено 3.23, то следующие утверждения равносильны:
(i) Хп X.
(ii) [%-D]: [Xn,xn],4ct для всех t eV.
(iii) [7' - V] : {Xn,Xn}t Л Ct для всех t е V.
Доказательство теоремы 3.22. а) Из 3.23
следуют [<$5 — V] и 3.13, поэтому в силу теоремы 3.12 (i) О (iii) О
(iv) (v).
Ь) Имеем
|1{|®|>а} * ип < |и2 * vn <
откуда с помощью [75 - V] получаем 3.13. Стало быть, вновь в
силу теоремы 3.12, (vi) О (vii).
с) Вспоминая, что В'п = 0 (так как Хп — локальный мартин-
гал), в силу 2.12 и 2.13 находим
Вп = (h(x) — ж) * I/”,
с”-” - c,n'ij = [Л'(ж)2 - (ж')2] * ип - 52(дв;->)2.
«<•
Следовательно, 3.23 влечет, во-первых, [Var — /35] (см. 3.15), и, во-
вторых, сходимость Cf— C'tnJi 0 для любого t G Кц.. Поэтому
при условии 3.23 [75 - V] О [75 - V], и, значит, (ii) О (iv).
d) Поскольку импликация (ii)-f-(iii) => (vi) очевидна, то оста-
ется доказать импликацию (vi) => 3.23.
Итак, пусть выполнено (vi). .Как мы видели в (Ь), имеет место
3.13, и, значит, теорема 3.12 влечет [65—V] и [75-Р], и 3.15 влечет
[Var - /?5]. Из 3.25 и [75 - V] + [75 - V\ + [Var - /35] находим
3.26. [(/?(ж))2 - (ж-’)2] * ~* 0 для любого t eV.
3.25.
3. Приложения
135
Функция усечения h была до сих пор произвольной; теперь выбе-
рем ее так, чтобы |А;(®)| < |zJ | для всех х. Если А удовлетворяет
1.2, то для всех х имеем |а?-’!|21(|Г|>л} < (х;)2 - (/P(x))2, и в силу
3.26 получаем
|®|21{Н>а} * v? 0 для любого t £ V,
и в силу [<$5 - Т>]
|®|21{|«|>е} * "Г < |«|21{И>а} * + Л21/п([0, <] х {|х| > £}) Д О
для любых < 6 Р,е > 0. Стало быть, 3.23 доказано. □
§3с. Центральная предельная теорема для схемы серий
В этом кратком параграфе мы (частично) переформулируем
предыдущие результаты для схемы серий.
Рассмотрим d-мерную схему серий в смысле 2.22: величины
(i/t )k>i и (<r")t>0 определены на дискретном базисе Вп = (Q",^7",
(Т7”)^, Рп) и выполнено 2.23. Допустим также, что:
3.27. Для всякого n, (U£)k>i есть мартингал-разность, т.е.
EWI-^-1) = 0.
Кроме того, введем еще следующие условия:
3.28. ton limsup Pn( E”(|Z7f|1{|уГ|>а} | ^n-i) > ^ = 0
для любых t > 0, 7) > 0.
3.29. Последовательность (зирх<к<а^\и^\ | Рп) равномерно ин-
тегрируема при любом t > 0.
3.30. sup \Uk\ 0 для любого t > 0.
3.31. („Условное” условие Линдеберга): для любых е > 0,
t > 0
Е Е”(|1'Г1г1да;1>.)!>?-)-0-
136 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
В 2.29 введено условие [76 — положим
[7в~^] Е СС'^^'длялюбого/бР,
[7' - 7>] 12 ^n(U^U^' 17Т_Х) Л Ci1 для любого t Е V,
(& -Р] 12 Pn(|lZ*n| >£|^Т-1)±>0длявсех/GP, £ > 0.
В такой ситуации теорема 3.12 принимает следующий вид:
3.32. Теорема. Пусть X — непрерывный гауссовский
мартингал с характеристиками (0,С,0). Рассмотрим семимар-
тингалъную схему серий, удовлетворяющую 3.27, и пусть Т> —
плотное подмножество в R+. Тогда
а) & - Р] О 3.30.
Ь) 3.29 влечет 3.28.
с) Пусть X” = Yli<k<an Xk • Тогда при условии 3.28 сходи-
мость Хп X имеет место тогда и только тогда, когда вы-
полнено одно из следующих условий: [% — V], либо [56 — Р]+
+[^б - Т)], либо [7б - Р] + [66 - Р].
Следствие 3.24 здесь выглядит так:
3.33. Теорема. Пусть выполнены предположения тео-
ремы 3.32 и условие Линдеберга 3.31. Тогда Хп X тогда
и только тогда, когда выполнено [% — Р], а также тогда и
только тогда, когда выполнено [7^ - Р].
3.34. Замечание. Читатель может самостоятельно вы-
писать аналог теоремы 3.24. Другие результаты в том же напра-
влении можно найти в [57] или [211].
§3d. Сходимость точечных процессов
В этом параграфе дополнительно к тому, что X — процесс с
независимыми приращениями без фиксированных моментов раз-
рыва, предположим, что он также является точечным процессом,
т.е. X — пуассоновский процесс в смысле 1.3.26. Обозначим через
3. Приложения
137
А его компенсатор. Согласно 1.3.27 процесс А неслучаен, непре-
рывен, и At = E(Xt) (т.е. А есть интенсивность X). Простые
вычисления показывают, что характеристики (В,С, р) процесса
X следующие:
3.35. Bt = ft(l)At, Ct = 0, i/(dt,dx) = dAt 0 £i(dx)
(£i — мера Дирака в точке 1).
3.36. Теорема. Пусть X — пуассоновский процесс с ин-
тенсивностью А, все Хп — точечные процессы с интенсивно-
стями Ап, Р С К-н
а) Следующее условие влечет сходимость Хп X:
3.37. Р А" X At для всех /ЕР.
Ь) Если, кроме того, Р плотно в R+, то 3.37Р влечет схо-
димость Хп —► X.
Доказательство. а) Аналогично 3.35 Хп имеет сле-
дующие характеристики:
3.38. B” = h(l}Ant, С,=Ъ, vn(dt,dx) = dA* ®£t(d®).
Стало быть, выполнено [75 - Р], и каждое из условий [05 — Р] и
[<551 — T^\i очевидно, равносильно 3.37Р, поэтому искомый резуль-
тат следует из теоремы 2.4.
Ь) Пусть Р плотно. Тогда искомый результат следует из (а)
и теоремы VI.3.37 (можно также использовать 2.14, поскольку
имеет место [Sup — $8Д], откуда в рассматриваемой ситуации
следует [Sup - /?5]). □
3.39. Замечание. В противоположность §3а, здесь мы
не можем надеяться на обращение утверждения (Ь), как показы-
вает следующий контрпример. Пусть (Т*)*>1 — последователь-
ные скачки пуассоновского процесса X, определенного на базисе
(Q, F, Р). Определим X” на том же стохастическом базисе фор-
мулой
X? = ^2 1{т*+1/п<о-
fc>i
138 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Тогда Хп(и) —► Х.(и) в топологии Скорохода для любого и € Q,
и, тем более, Хп —> X. Однако, Хп предсказуем относительно
фильтрации F, поэтому Ап = Хп, и 3.37Р не выполнено.
Надо отметить следующее: пусть h выбрана так, что Л(1) = 0.
Тогда в силу 3.35 и 3.38 имеем [Sup — /35] и [75 — Р]. Однако,
[^5,1 — Р] не выполнено, хотя Xn X.
Тем не менее, можно дать необходимые и достаточные условия
сходимости Xn X в терминах компенсаторов, но это не условия
типа 3.37Р, а условия в терминах ’’слабой а(1?, £°°)-сходимости”
Ап к А — см. [104].
В некоторых ситуациях Хп не являются точечными процесса-
ми, но сходятся к точечному процессу. Приведем один результат
в этом направлении (мы рассмотрим здесь только функциональ-
ную сходимость).
3.40. Предложение. Пусть X — пуассоновский про-
цесс с интенсивностью А, все Хп — одномерные семимартин-
галы, и функция усечения h такова, что Л(1) = 0. При условиях
(i) sups<t |Р”| Д 0 для всех t > 0;
(ii) С” Д 0 для всех t > 0;
(iii) i/n([0, t] x {ж : |ят — 11 > е, |x| > e}) Д 0
для всех t > 0, е > 0;
(iv) i/n([0, /] X {ж : |® - 1| < е}) Д At
для всех t > 0, £ G (0,1),
имеет место сходимость Хп
Доказательство. Поскольку Л(1) = 0, то В = 0 и
С = 0. Стало быть, (г) => [Sup — /35] и (гг) => [75 — R+]. Для
каждого £ € (0,1) положим
fc(X) = A(®) = 1{|®-1|>г.1*1>£}’
тогда (iii) и (iv) влекут за собой
3.41. fc*v?^At, ^4 0,
3. Приложения
139
для любых t > 0. Пусть д G C^R**) и д > 0. Существует такое
£ е (0,1), что |fif(x) - 5(1)1 < 7? при |а: - 1| < £ и д(х) = 0 при
|ж| < £. Поэтому
1$ * - 5(1)А * ^”1 < пЛ * + ||sr||/e *
Значит, в силу 3.41 и произвольности д > 0 получаем, что |5*»/" —
—5(1)/е *^”| -£• 0, и вновь в силу 3.41 находим, что g*v? Д 5(1)4,.
Поскольку 5(1)4, = 5 * i/t, то получаем [<55д — R+], и искомый
результат следует из теоремы 2.14.
Применение: сходимость эмпирических процессов к процес-
су Пуассона. Рассмотрим последовательность независимых слу-
чайных величин с общим распределением G на (0,оо]. Согласно
П.3.34, положим
3.42. = Е
1<«<п
Следующий результат слабее теоремы V.4.41, но зато доказа-
тельство его в известном смысле проще.
3.43. Теорема. Пусть G имеет плотность д, непрерыв-
ную справа в нуле. Тогда Y сходится по распределению к пуас-
соновскому процессу с интенсивностью tg(O) (см. 1.3.26).
Доказательство. Напомним (см. П.3.34), что ком-
пенсатор процесса Y относительно фильтрации, порожденной са-
мим Y ,есть
4? = /(l-^/n)—f(/n) nds.
J JG([s/n,oo])
Имеем -* 5(0) при n I оо, и £Е(У?) = G([0,s/n]j -+
—► 0. Поэтому в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходи-
мости 4? —> g(O)t в L1 а значит, и по вероятности, и искомый
результат следует из теоремы 3.36. □
3.44. Замечание. Конечно, более элементарный путь
для доказательства данного результата состоит в непосредствен-
ной проверке слабой сходимости конечномерных распределений и
применении VI.3.37b. □
140 Гл. УШ. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
§3е. Нормированные суммы независимых, одинаково
распределенных семимартингалов
1. Настоящий параграф посвящен исследованию поведения
нормированных сумм для последовательности независимых, оди-
наково распределенных семимартингалов Yn с Уоп = 0. Для про-
стоты изложения рассматривается лишь одномерный случай.
Простой способ построения независимых, одинаково распреде-
ленных семимартингалов состоит в следующем.
3.45. Предположение. Имеется последователь-
ность (Вп,УП)П>! идентичных экземпляров пары (Б,У), где В —
= Р) — стохастический базис, У — одномерный семи-
мартингал на В с Уо = 0. Определим базис В = F, Р) как
тензорное произведение всех Вп и любая случайная величина, или
процесс, или а-алгебра на Вп естественным образом продолжают-
ся на В, и это продолжение обозначается тем же самым символом
(например: Ytn, ,...). □
Первая из нижеследующих теорем полностью заслуживает на-
звание ’’центральной предельной теоремы” для процессов. Она
довольно проста, но, к сожалению, как мы увидим, ее не легко
распространить на более общие семимартингальные случаи.
3.46. Теорема. Пусть имеет место 3.45, и У есть ло-
кальный мартингал, для которого функция Ct = Е(У/*) принима-
ет конечные значения и непрерывна (она автоматически явля-
ется возрастающей с Со = 0). Тогда процесс
3.47. Х” = 4= 12 уР
1<Р<п
сходится по распределению к непрерывному гауссовскому мар-
тингалу X с характеристиками (0,С,0).
Непрерывность С равносильна отсутствию фиксированных мо-
ментов разрыва у процесса У, хотя У не обязательно является
процессом с независимыми приращениями.
Доказательство. а) Начнем с общих замечаний от-
носительно 3.45. Обозначим через (j?y,Cy,py) характеристика
3. Приложения
141
У, и Су, С'у (когда он существует), Ау(п) — процессы, опре-
деленные согласно 1.3, 2.13 и 1.8. Естественно обозначить через
Вуп, Суп, ууп, Суп, С,уп, Ауп(п) их копии с номером п; разу-
меется, (5yn,Cyn,pyn) являются характеристиками Уп на Вп.
\Отсюда, в частности, следует, что для любой „функции” f от
характеристик
3.48. {f(BY\Суп, УуП)}п>1 — независимые, одинаково распре-
деленные случайные величины.
В силу 3.45 получаем, что
I- Любой (локальный) мартингал на Вп есть
(локальный) мартингал на В.
• Если п то произведение (локального)
мартингала на Вп и (локального) мартингала
на Вт есть (локальный) мартингал на В.
Легко видеть, что любой семимартингал на Вп (например, Уп)
является семимартингалом на В. Более того, в силу 3.49 и мар-
гинальной характеризации характеристик (см. П.2.21) немед-
ленно следует, что
3.50. (5уп,Сул,руп) являются характеристиками Уп на В.
Ь) Приступим к собственно доказательству теоремы. До конца
доказательства все объекты определены на базисе В. В силу 3.49
каждый процесс Уп — мартингал, и (Уп,Ут) = 0 при п / т.
Значит, Хп — мартингал и
= 1 £ <у₽,у₽) = 1 £ c>YT.
1<р<п 1<р^п
Более того, E(Ct/yr) = Ct для любого р, и в силу 3.48 случайные
величины (Ct'yr)p>i независимы и одинаково распределены. Сле-
довательно, применяя усиленный закон больших чисел, получаем
Обозначим через и руп меры скачков Хп и Уп согласно
II. 1.16. Поскольку У не имеет фиксированных моментов разрыва
142 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
траекторий, то все Уп (n > 1) не имеют общих скачков Р — п.н.,
и, значит, для любой измеримой функции g > 0 на R
д*цхк= 12 Р —п.н.
i<p<n v I
Это соотношение сохраняется и для компенсаторов. Поэтому
3.51. д*уп = з(“7=) *yYP Р — п-н->
1<Р<П уП
где рп есть компенсатор рх*. В частности,
1Х1 1{М>0 * = “7 У? 1Х1 1{|г|>е7п) * vt
П 1<р<"
Р — п.н., и мы находим
3.52. Ё(|х|21{|г|>£} * ptn) = E(|x|2l{|r|>£v/n) * v? ).
Далее, |я|21{|г|>суп) * У \ 0 при n | оо, и эти случайные ве-
личины не превосходят (У,У)<, а последняя случайная величина
интегрируема. Стало быть, величина в 3.52 стремится к нулю
при п | оо, откуда следует 3.23 и в силу теоремы 3.22 получаем
искомый результат. □
2. Исследуем общий случай. В ситуации 3.45 рассмотрим
нормированные суммы
3.53. Xn = an 22 уР-
3.54. Лемма. Пусть У не имеет фиксированных момен-
тов разрыва. Тогда
АП(и) = 12 AY’(anu)-
1<Р<П
Доказательство. Пусть т n, Zn (соответствен-
но, Zm) — семимартингал на Вп (соответственно, Бт), которому
соответствует процесс Azn(u) (соответственно, Azm(u)). Допу-
стим также, что Zn и Zm не имеют общих моментов скачков.
3. Приложения
143
Положим Vn = ехр(ги • Zn), Vm - exp(in • Zm). Тогда в силу
формулы Ито Vn'c = iuV2 • Zn>c и Vm>c = iuV™ • Zm,c. Поскольку
Zn,cZm,c в силу 3.49 — локальный мартингал, то (Zn,c, Zm,c) = О,
1И, значит, Vm'c} = 0. Более того, так как Vn и Vm не имеют
Ъбщих моментов скачков, то и [Уп,Ут] = 0 (см. 1.4.53), и, таким
образом,
\ упут — V2 • vm + У™ • vn.
Однако, Vn — V2 • Azn(u) и Vm - V™ • Az”\u) — локальные мар-
тингалы, стало быть, VnVm — (VnVm)_ • (Azn(u) + Azm(n)) —
локальный мартингал, и в силу П.2.42 получаем Azn+zm(u) =
= Azn(u) + Azm(u).
Далее, в силу предположения У1,..., Yn не имеют общих мо-
ментов скачков. Поэтому по индукции получаем, что если Un =
= У1 + ... + Уп, то процесс Ас/П(п), соответствующий 1/п, есть
Аип(и) = Е\<р<п AYP(u), т.е.
— локальный мартингал.
Применяя это к и = апи\ получаем:
— локальный мартингал, что и доказывает искомую формулу.
Для того, чтобы установить сходимость Хп X, где X —
подходящий процесс с независимыми приращениями, остается вы-
числить характеристики Хп, ’’обращая” первую формулу в 1.8, и
проверить выполнимость [Sup - /?5] + [7 - Р] + [£5,1 - Р] • • •• Нечего
и говорить, что в общей ситуации это практически невозможно.
Тем не менее, мы даем пример, взятый из [63], когда эта про-
грамма, в самом деле, может быть выполнена.
3.55. Предположение. У = Н • Z, где Н — ограничен-
ный предсказуемый процесс на Д, Z — процесс с независимыми
приращениями и без фиксированных моментов разрыва на В с
характеристиками (Д,С, Р) и соответствующей функцией А(и)
144 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
из 1.8 (тогда exp(A(n)t) = Eexp(inZJ). Тогда в соответствии с
IL2.41 имеет место факторизация
A(u) = a(u) • А,
где А — возрастающая непрерывная функция, и отображение и
a(u)s (для любого з > 0) — типа ”Леви-Хинчина”. В дополнение
предположим, что /
(i) процесс Z симметричен (т.е. £(Z) = £(-Z)), иными сло-
вами, можно выбрать такую функцию а, что а(и) = а(—и); /
(ii) при некотором а 6 (0,2] для любого и 6 R имеем:
3.56. па,(мп"1/ог) -»• -|«|“. □
Отметим, что оба условия (i) и (ii) выполняются, если Z —
симметричный устойчивый процесс порядка о, в этом случае
А(и\ = - |u|a At.
Разумеется, на каждом базисе Вп определена копия (Zn,#n)
пары (Z, Я), uYn = HnZn.
3.57. Теорема. При условии 3.55 процессы
Хп = п~1/а $2 ур
1<Р<П
сходятся по распределению к процессу с независимыми прираще-
ниями X, являющемуся (неоднородным) симметричным устой-
чивым процессом порядка а, причем
t
3.58. E(e‘uX*) = exp ( - |u|“ j6(s) dAs),
0
где 6(s) = Е(|Я,|а).
Начнем с леммы.
3.59. Лемма. В предположениях 3.55 AY(u) = а(иН) • А
t
(другими словами, AY(u)t = fas(uHs) dAs).
о
Доказательство. Будем писать U ~ V, если U — V
— локальный мартингал. Напомним, что Yc = Н - Zc, к Z ~
3. Приложения
145
~ В + £Э<.(Д2, — Л(Д£,)). Если V = е,иУ, то в силу формулы
Ито
и2
V = 1 + iwV_ • Y - —V- • (Ус, Ус) + V._(e,uAy* - 1 - гм ДУ,) ~
м2
~ iuHV. • В - —H2V. • С + Y,v>-(e'uH^Z- - 1 - г«Я,Л(Д2,))
»<
(так как (Уе,Ус) = Н2 • {Ze, Ze) = Н2 • С). В силу определения i>
получаем
V ~ iuHV. В - • С + У_(е‘иЯг - 1 - гмЯ/г(г)) * и.
Используя П.2.41 и определение а(и), находим V ~ a(Hu)V_ •
А. Из П.2.42 получаем а(Ям)У_ • А = У_ • 4у(м) и 4у(м) =
= а(Ям) • А. □
Доказательство теоремы 3.57. Во-первых, функ-
ция и na,(un-1/0') есть логарифм характеристической функции
безгранично делимого распределения. Поэтому сходимость в 3.56
равномерна на компактах, т.е.
3.60. sup |na,(un-1/“) + |u|"| 0 для любого 0 > 0.
1«1<«
Во-вторых, 3.54 и 3.59 дают
3.61. А”(и)= 52 а(«Ярп-1/а) • А.
1<Р<П
Значит,
3.62. An(u)t = /-52 [na,(H^un~1/a) + |Яри|"1</43-
J п
о !<Р<П
j;
1<р<" о
146 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Рассмотрим правую часть 3.62. Из 3.60 и равностепенной
ограниченности всех Нр следует, что первое слагаемое здесь стре-
t
мится к нулю. Далее, случайные величины {J|#f |а dAs}p>i неза-
о
t
висимы и одинаково распределены со средним f 6(s) dAs, поэтому
о
второе слагаемое в силу закона больших чисел стремится п.н. к
t
(—|u|a J6(s) dAs). Стало быть, имеет место 2.37 с V = R+,
о
/
A(u)t = -\u\a Jg(s)dA,,
О
и A(u) есть функция, связанная соотношением 1.8 с характери-
стиками процесса с независимыми приращениями, определенного
равенством 3.58.
В силу теоремы 2.36b остается доказать, что выполнено
[Sup — /35]. С этой целью выберем функцию усечения h нечет-
ной., В силу 3.55(i) имеем а(и) = а(—и), поэтому Ап(и) = Ап(—и)
в силу 3.61. Но An(u)t задается формулой П.2.45 с Ь = В”, с — С?
и F = рп([0, /] х •)> в то же время, так как Л(ж) = —Д(—я), то
V
Ап(—u)t задается такой же формулой с У = —6, с1 = — с и Ff =F
(мера, симметричная F). Следовательно, в силу единственности
в П.2.44 b = У = 0, т.е. В? = 0 для всех t > 0, n > 1. По-
этому [Sup - /35] имеет место (заметим, что и В = 0, поскольку
A(-u) = Л(и)). □
3.63. Замечание. По сути дела результат в [63] являет-
ся более общим по трем причинам:
1) там допускаются процессы с независимыми приращениями
Z, имеющие фиксированные моменты разрыва;
2) допускаются неограниченные процессы Я;
3) что самое существенное, предполагается намного более сла-
бое по сравнению с 3.55(ii) условие, а именно, что
sup |nA(uni'1^Qr)e + |u|aA,| —► 0 для всех u e R, t > 0.
3. Приложения
147
В силу VII.4.43 это равносильно сходимости n~llQ J21<p<n Zp
£ Z', где — симметричный устойчивый процесс с Eexp(inZtz) =
= ехр(—|п|а Л).
§3f. Предельные теоремы для функционалов
от марковских процессов
(Функциональная) центральная предельная теорема для ад-
дитивных функционалов от рекуррентных марковских цепей или
процессов имеет давнюю историю — см., например, книгу [12].
Здесь мы, во-первых, приводим результат для марковских про-
цессов в непрерывном времени. Он далеко не является наилуч-
шим, одйако, достаточно прост и доставляет интересный и не-
тривиальный контрпример относительно необходимости условий
(ii) или (iii) в 3.8. В этом контрпримере Хп X (X — стандарт-
ный винеровский процесс), несмотря на то, что условие [Sup — Z?s]
не выполнено.
Итак, рассматривается марковский процесс
Yi,Pt), где используются стандартные обозначения Блюменталя
и Гетура [14]: (0t)t>Q — полугруппа сдвигов, = YtoOs для всех
£, s > 0. Сам процесс Y = (У)«>о непрерывен справа и принимает
значения в топологическом пространстве Е.
3.64. Предположение. Существует инвариантная
вероятностная мера /1, и инвариантная относительно полугруппы
(0<)<>о ^-алгебра является Рм-тривиальной (здесь Рд = f p(dx)Px)
(см., например, [19]).
Таким образом, сделанное предположение означает эргодич-
ность, или, скорее, эргодичность внутри подкласса рассматрива-
емого марковского процесса.
3.65. Теорема. Пусть выполнено 3.64, f — ограничен-
ная борелевская функция на Е, представимая в виде f = Ад, где
А — слабый инфинитезимальный оператор, и функции g и д2
принадлежат области определения А (поэтому, в частности,
148 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
функция g ограничена). Тогда процессы
nt
3.66. X? = -j=Jf(Y,)ds
v о
относительно меры Рд сходятся по распределению к >//3W, где
W — стандартный винеровский процесс, и
3.67. (3 = -2 У g(x)Ag(x) p(dx).
Очевидно, Хп — семимартингал (по любой вероятностной ме-
ре) с характеристиками Вп = Хп, Сп = 0, vn = 0, поэтому вы-
полнено [65 — Р]. Тем не менее, поскольку Хп X — (по
мере Рд), то не выполнено ни [Sup -/35], ни [75-Р] = [75-^], если
только /? не равно нулю. Эта теорема представляет собой контр-
пример к необходимости условий [Sup — (З5] + [75 — Р] + [#5 - Р]
для сходимости Хп А X, по следующей простой причине: хотя
процессы Хп сходятся к мартингалу, сами они ’’далеки как толь-
ко возможно” от мартингалов, поскольку непрерывны и имеют
конечную вариацию.
Начнем с леммы, хорошо известной в теории марковских про-
цессов.
3.68. Лемма. Пусть g и д2 принадлежат области опре-
деления инфинитезимального оператора марковского процесса,
и T(g,g) = Ад2 — 2дАд. Тогда найдется такой локально ква-
дратично интегрируемый мартингал М относительно меры Рд,
что
3.69.
Для всех t Е R+
3.70.
Mt = g(Yt) - g(Y0) - JAg(Y,)ds Рд - п.н.,
0
t
= Jr(g,g)(Y,)dS.
0
3. Приложения
149
На самом деле, если процесс Y строго марковский, то можно
доказать, что процесс g(Y) Р — п.н. непрерывен справа и имеет
t
пределы слева, так что процесс g(Yt) - g(Y0) — fAg(Ys)ds сам
о
является мартингалом (ниже этот результат не используется).
Все эти утверждения, кроме того, верны и относительно меры
для любого начального распределения т/.
Доказательство. а) Положим Mt = g(Yt) — g(Yo) —
t
— f Ag(Ys) ds. Если (Л)<>о — переходная полугруппа процесса У,
о
то тогда в силу марковского свойства
ЕДЯ+, - М I Л) = Ед(</(Yt+,) - g(Yt) - j Ag(Yu)du | Л) =
t
s
= P,g(Yt) - g(Yt) - jPuAg(Yt) du,
0
что равно нулю в силу уравнения Колмогорова. Более того, \Mt\ <
< 2К + K't, где К — sup |<?|, К1 = sup | Ад\. Поэтому М имеет вер-
сию М, являющуюся мартингалом (непрерывным справа и име-
ющим пределы слева), и \Mt\ < 2К + K't; поэтому, в частности,
М локально квадратично интегрируем и выполнено 3.69.
t
b) Положим Ft = f Ag(Y,) ds и G = M + <?(Уо) + F. Тогда Gt =
о
= g(Yt) Рд — п.н. Аналогично поставим в соответствие функции
<
д’ = д2 мартингал М' согласно 3.69, процессы F{ = fAg2(Ys)ds
о
и G' = М' + 02(УО) + F'. Тогда G't = g2(Yt) = G2t Рд — п.н., и
поскольку процессы G и G9 непрерывны справа и имеют пределы
слева, то (7' = G2 с точностью до Рд-пренебрежимого множества.
Тогда в силу формулы интегрирования по частям 1.4.45
G' = G2 = G2 + 2GL • М + 2(7_ • F + [<7,(7].
Более того, F непрерывен и имеет конечную вариацию, стало
быть, [(7, (7] = [М, М], тогда как [М, М] — {М, М) есть локальный
150 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
мартингал. В силу единственности канонического разложения
G' = Gq + М' + F' получаем
и,значит,
t t
{М, M)t = F't- 2G_ Ft = J Ag\Y,)ds - 2 j G,Ag(Ya) ds.
о о
Поскольку для любого s G, = g(Y,) Pp — п.н., то из теоремы
t t
Фубини находим fG,Ag(Ya)ds = fg(Ya)Ag(Ya)ds Рд — п.н., и
о о
отсюда получаем 3.70. □
Доказательство теоремы 3.65. Рассмотрим
мартингал М, связанный с g как в предыдущей лемме.
Положим ЛГ" = Мщ/y/n и = Fnt- Очевидно, Мп есть
мартингал на базисе со скобкой
nt
3.71. {Mn,Mn}t = 1/ Г(^,Р)(У,)<Ь.
о
Применим к мартингалам Мп теорему 3.24, где X = y/ffW —
винеровский процесс с характеристиками (0,/?Z, 0), (3 =
= fT(g,g)(x) n(dx). Отметим, что поскольку процесс (Л/, М) воз-
растает, то множество всех (cu, s), для которых Г(р,^)(У3(си)) < 0
является ds ® Рм-пренебрежимым. Поскольку ц — инвариантная
мера, то (3 > 0 (на самом деле можно доказать, что Г(^г, д) > 0 всю-
ду). Более того, так как мера д инвариантна, то f Ад2(х) jj,(dx) =
= 0, поэтому /3 представимо также в виде 3.67.
При К = sup |р| имеем |ДЛ/П| < К/y/n. Поэтому носи-
тель третьей характеристики Мп не пересекается с множеством
{(<,ж) : t > 0, |г| > К/у/п], и, значит, последовательность (Мп)
удовлетворяет 3.23. Поэтому в силу 3.22 мы установим сходи-
мость Mn X, если докажем
3.72. (Mni Mn)t Д /3t для всех t > 0.
3. Приложения
151
В силу 3.64 мы можем применить эргодическую теорему в не-
прерывном времени: для любой ограниченной случайной величи-
ны V на (12, Т7)
| [(VoO^ds^E^V) Рд —п.н.
I J
о
при t | оо. Так как Y9 = Yqo09, то при п | оо в силу 3.71 находим
{Мп, Mn)t 2ЕДГ(5,5)(У0)] = 0 Рр - П.Н.,
значит, выполнено 3.72 и, стало быть Мп X. □
Далее рассмотрим случай дискретного времени. Хотя резуль-
таты по существу те же самые, некоторая разница все же есть.
Имеется марковская цепь (Q, Лп, f)n, Yn, Рх) со значениями в
измеримом пространстве (£,£). Обозначим через Q ее переход-
ную вероятность. Допустим, что:
3.73. Предположение. Существует инвариантная
вероятностная мера д, и инвариантная относительно полугруппы
(0t)t>o а-алгебра является Рр-тривиальной.
3.74. Теорема. Пусть выполнено предположение 3.73, и
функция f представима в виде f = Qg — g, где g ограничена и
измерима. Тогда процесс
3.75. Х” = -^ £ ЛП)
v l<p<[nt]
относительно меры Рр сходится по распределению к y/fiW, где
W — стандартный винеровский процесс, и
3.76. /3 = J fj,(dx)[g2(x)-(Qg(x))2] = - Jfj.(dx)f(x)[f(x) + 2g(x)].
Доказательство. Применим теорему 3.33 к следу-
ющей схеме серий:
= -Ц<МП-1) - !7(П)], < = [nt],
х/П
152 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
«? = Е =-г[-9(у1»ч) + «(уо)+ Е (Qs - 9)(у,) •
При К = ||р|| имеем |{7£| < 2К/у/п, и 3.31, очевидно, выполнено;
в силу марковского свойства | ^t-i) = 0. Имеем также
Е(^”)!=^ Е И9(уо)-9(у.)]!»«.,
I<fc<a7 П 0<fc<[nt]-1
что в силу эргодической теоремы сходится Рм-п.н. к
ЖД[^(УО) - РСУО]2) =
= t^g^ + (<?5(Уо))2 - 2g(Yl)Qg(Y0)) = t/3.
Стало быть, [7' — R+] выполнено с Ct = i/З, и мы находим Мп
y/fiW.
Наконец, так как f = Qg - д, то \М? - Х"| < 2К/у/п —> 0, и
мы получаем искомый результат. □
3.77. Замечания. 1) Если усилить предположение 3.73, по-
требовав, чтобы марковская цепь была положительно возвратной
по Харрису, то получим сходимость Хп Л y/flW относительно
любой из мер Рг.
2) Аналогичный результат справедлив для функционалов ви-
да
Х" = ^ Е f(YP,Yp+1,...,Yp+q)
V 1<р<М
(случай сводится к рассмотренному выше с помощью Г^+1-знач-
ной марковской цепи Yp = (Ур,Ур+1, ... ,Ур+^)).
3) Разумеется, в конкретных примерах функция f задана, и
мы прежде всего должны решить уравнение Пуассона Qg — g = f.
Оно может иметь неограниченное решение <?, или иметь решение
почти всюду (см. [208]); сама функция f может быть неогра-
ниченной. Во всех этих случаях предыдущая теорема остается
верной: см. [168] или [67]. □
3. Приложения
153
§3g. Предельные теоремы для стационарных процессов
Центральная предельная теорема для стационарных процес-
сов при различных условиях перемешивания известна давно (см.,
например, [12]). Как будет видно ниже, эти результаты содержат
в качестве частных случаев теоремы о марковских процессах из
§3f.
1. Непрерывное время. Согласно установившимся правилам
для стационарных процессов с непрерывным временем, задает-
ся вероятностное пространство (Q,^, Р) и на нем группа (0<)<€>
измеримых, сохраняющих меру сдвигов (также называемая пото-
ком): каждое 0t есть измеримое отображение: (П,^7) —► (Я,^)^
Р о 1 = Р, и 0t+s = 0t о 0S для всех t, з 6 I. Следующее допуще-
ние существенно в настоящем параграфе, однако в § 5е ниже мы
от него освободимся.
3.78. Предположение. Инвариантная а-алгебра С
(т.е. а-алгебра всех A G для которых ^(А) = А при любом
t Е R) является Р-тривиальной. Другими словами, поток (0t)teR
эргодичен. □
Наш основной стационарный процесс есть действительнознач-
ный процесс Y = (Yi)tei, индексированный посредством R, такой,
что Yt о 0S = Yt+s для всех s, t G Ки отображение (o/,t) Ti(^)
является Т ® 7^-измеримым. Положим Тх = a(Ys : з G R, з < i),
так, что 7*4 = ^-1(/о)-
3.79. Теорема. Пусть выполнено 3.78, р G [2,оо] и
q Е [1,2] — сопряженные показатели (т.е. \/p+\/q = 1). Пред-
положим также, что
' НМ, < оо,
3.80. 7
У ||Е(у; |^о)1Ь^ < оо.
. о
Тогда конечномерные распределения (на R+) процессов
nt
3.81.
п
t
Y, ds, t > 0,
О
154 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
слабо сходятся к распределениям процесса y/cW, где W — стан-
дартный винеровский процесс, и
3.82. с = 2 fv(Y0Yt)dt.
О
Если р = 2, то имеет место также сходимость Хп y/cW.
Перед доказательством следует сделать несколько замечаний.
Во-первых, измеримость отображения (о;,/) У (о;) и тот факт,
что ||yt||p = ||У0||р < оо обеспечивают корректность определения
величины X", ее измеримость и представление Xtn = Xni/y/n,
где
t
3.83. Xt = Jys ds.
о
Во-вторых, из тех же свойств вытекает существование /0 ® И-
измеримой версии отображения (о;,/) Е(У< | /0)(^), а отсюда —
борелевость функции t ||Е(У | /0)1Ь; поэтому второе условие в
3.80 имеет смысл.
В-третьих, имеем
|Е(У0У«)| < Е[|У0| |Е(У( 17-0)|] < ||Уо||Р||Е(У, | Л,)||,, -
и, значит, в силу 3.80 формула 3.82 определяет действительное
число с; неотрицательность с будет видна из доказательства.
Наконец, как ниже будет установлено (лемма 3.84), функция
t * ||Е(У< | /о)1Ь не возрастает. Поэтому в силу 3.80
lim1Too ||Е(У( | Л)||, = 0, и, тем более, lim(too Е(|Е(У< 17о)|) = 0.
Таким образом, Е(У() = Е[Е(У( | J’o)] —> 0 при t | оо, и поскольку
Е(У() = Е(У0) для всех t, то получаем Е(У() = 0. Другими слова-
ми, условие 3.80 влечет центрированность процессов У и X, что
согласуется с тем фактом, что Хп —л y/cW.
3.84. Лемма, а) Для всех s, t, h 6 R и всех интегрируемых
случайных величин £ имеем Е(£ о 9t+h | /<+л) = Е(£ о 0t | ) о 0h Р-
п.н.
3. Приложения
155'
b) Если £ G £’(П,^,Р), то функция t ||Е(£ о 0t | Jo)||j не
возрастает.
Доказательство. а) По определению имеем A G
G Т, тогда и только тогда, когда 0j"1(A) G Для такого А
(так как Р = Р о 0А *):
Е(£о0<+а1ло0л) = Е(£о0Дл) =
= Е[Е(С о 0, 15,)1Л] = Е[Е(е о 0( | 7>) о 0А1Л о 0А],
и поскольку величина Е(£ о 0( | JFt) о 0А является /’,+А-измеримой,
то искомое утверждение доказано.
Ъ) Если s < t, то Е(£ о 0( | Т7,) = Е[Е(£ о 0() | о 0(_,, значит,
ЦЕ(е о et 17-0)||, = ||Е[Е(е О 0,1 Л) | <
< ||Е(е о 0,1 7-0)||?. □
В силу этой леммы и замечаний после 3.83 отображение
(w,s) Е(У,| 77t)(w) является ® 7^-измеримым, а функция
s Е(|Е(У, | J<)|) интегрируема по Лебегу. Поэтому мы можем
определить интегрируемую ^-измеримую случайную величину,
полагая
3.85. Mt = J[E(y, | Л) - Е(У, | Л)] ds.
О
3.86. Лемма. Справедливо равенство E(Aff) = с (число с
определено в 3.83).
Доказательство. Пусть 0и = Е(Уи | - Е(Уи |
t
и NSft = f0udu при 0 < s < t < оо. Тогда величина Мх = NQtOO -(3V
s
является ^-измеримой, и E(/?v | = 0, поэтому
= Е[(У„ - Е(Уи | Л))&] =
= Е(Уи/3„) = Е[Уи(Е(У„ | J\) - Е(У„ | Л)))] =
= Е[(Уи-Уи+1)Е(У„ | /•,)]+
+Е[Уи+1Е(У„ | ^)] - Е[УиЕ(К | Jb)].
156 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Отсюда в силу 3.84 и равенства Р = Р о 1, примененных к
последнему члену, имеем
Е(ДА) = Е[(Уи - Уи+1)Е(У„ | Л)] + Е[Уи+1Е(У„ - У„+11Т^)].
Стало быть, при 0 < s < t < оо
3.87. E(7Vf() = J du jdv E(0U0V) =
8 8
«+1 t t+1 t
= j du jdv Е[УиЕ(У„ IЛ)] - j du jdv E[yuE(yv | Ji)]+
8 s t s
+ jdu j dv Е[У„Е(Уи+117i)] - Jdu jdv Е[У„Е(Уи+11ZJ] =
8 3 St
= 'j du jdv Е[УОЕ(У„ + У„+11J-1)]-
3 8
t+1 t
- J du Jdv Е[УиЕ(У„ + yv+11Л)].
t 3
Обозначим два члена в 3.87 через 7^ и 6,<t.
Сначала оценим 6,it. Поскольку ||У„ ||р = ||Уо||Р и ||Е(Уи | ^1)||д =
= ||Е(Уи_11 Jo)||g согласно 3.84а, то
t+i t
l^.tl < jdu jdv |Е[Е(Уи I Л)(К + У«+1)]| <
t 5
t + 1 t
< J du Jdv\\Yv +К+1||р||Е[Уи|7-1)||9 <
t 5
t
< 2||Уо||Р(/ - 5) j ||Е(Уи|Л)||?^.
t-1
3. Приложения
157
Поэтому в силу 3.84 и 3.80 получаем
3.88. sup |£, J -» 0 при 11 оо.
о<«<<
С помощью аналогичных вычислений находим
«+1 t
l7,.d < jdujdv НК||р(||Е(У„ I л)||, + ||E(K+11Л)||,) <
8 8
< 2ЦП11, IIIE(r. I Л)||, do < 2ЦУ.Ц, / I|E(y. | ^o)ll, dv.
$ —1 «—1
Отсюда и из 3.88 получаем
3.89.
lim sup E(7Vft) = 0.
*T°° j<t<OO
Далее, положим au = Е(У0Уи) = Е(УУ+и). В определении
7o|t (первый член в 3.87) имеем |u| < 1, поэтому подынтегральное
выражение в 70,t равно Е[Уи(У„ 4- K+i)] = «v-i + «v+i-u- Значит,
i t
7ott = du dv (OLy—u 4" =
о 0
J au du + J (/ + 1 — u)otu du
0 t-1
при t > 1 (так как au = a_u). Последний член здесь не превос-
t+i
ходит величины 2 f |au| du, а функция и аи интегрируема по
t-i
Лебегу в силу 3.80 (поскольку |аи| < ||У0||р||Е(Уи |/о)||Д поэтому
этот последний член стремится к нулю при t | оо. Кроме того,
оо
с = 2 faudu согласно 3.82, откуда 70,t —> с при t | оо. В силу 3.87
о
и 3.88 получаем
3.90.
E(^o2,t) с при И оо.
158 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Если вспомнить, что М\ = lim(|oo No,t, то в силу леммы Фату
Е[(МХ - ЛГол)2] = E(lim N?,) < sup Е(Л?,),
«ТОО t<8<co
что стремится к нулю при 11 оо в силу 3.89. Стало быть, JV0|t —►
—► Мх в Z2, и, значит, из 3.90 вытекает, что Е(Л/2) = с. □
Процесс V = (Vt)t>o будем называть аддитивным, если при
всех s, t > 0 справедливо равенство = Vt + V8 о 0t п.н. Это
похоже на понятие ’’спирали” в [37] или [201], только V индекси-
рован значениями из R+ и Vo = 0 п.н. Приведем эргодическую
теорему, приспособленную для наших целей.
3.91. Лемма. Пусть V — аддитивный процесс, такой,
что supa<1E(|VJ) < оо. Тогда в предположениях 3.78 для всех
t ё R+
—Vnt —> iE(Vi) при n t оо.
n
Доказательство. Пусть s E (0,1], и обозначим че-
рез 0,-инвариантную а-алгебру: С, = {А Е 7 : = А}.
Если р — [nf/s], то в силу аддитивности V
-Vnt = L~ £ Ko^, + -(Kt-P,o(?,).
п пР 1^<р п
Рассмотрим здесь правую часть. В силу эргодической
теоремы (для дискретного времени) первый член стремится к
(//s)E(Vs | (£,) при п Т оо п.н. ивР. Абсолютный момент второго
члена есть
~Е(|Kt-P,|) < sup Е(|К|),
П п 0<и<1
и, стало быть,
lyn(£lE(v,ie,).
n S
Следовательно, если W, = s-1E(V, | С,), то W, = Wi п.н. Поэтому
случайная величина Wi измерима относительно пополнения а-
алгебры П,€(011]С,, т.е. относительно С. Тогда, в силу 3.78 TVj =
EfWj) = E(Vij. □
3. Приложения
159
Доказательство теоремы 3.79. а) Из 3.85 оче-
видно, что М, = Е(М( | Т7) при 0 < з < t, так что за исключением
непрерывности справа процесс М является мартингалом. В са-
мом деле, семейство (Ji)t>o не обязательно непрерывно справа, и
мы сперва должны рассмотреть (непрерывную справа) фильтра-
цию (Jt+)t>0. Затем надо показать, что в 3.85 можно заменить
Тх на . Для этого существуют два метода:
1) Можно обратиться к (весьма сложной) работе [37], в ко-
торой показано, что а-алгебры 7^ и Ji+ различаются лишь Р-
нулевыми множествами из P-пополнения Т.
2) Либо можно заменить на Ft+ в самом определении 3.85.
Доказательство 3.86 остается в силе (с /Зи = Е(Уи | —
—Е(Уи | Jo+)), если 3.80 имеет место также с Jo+. Но в силу 3.84
Е(У( 17о+) есть .//-предел Е(У( | J,) = E(yt_, | Ji) о в, при s 1 0.
Поэтому при s j 0 ||Е(У(_Л | Jo)||», убывая (в силу 3.84b), стремит-
ся к ||Е(У| 1Ji+)||?, и 3.80 влечет
ОО
yi|E(y(|J0+)||,^<oo.
о
Другими словами, используя тот или другой метод, мы убе-
ждаемся, что в 3.85 можно заменить на Поэтому, исполь-
зуя обычную процедуру регуляризации (см., например, 1.1.42), мы
можем рассмотреть версию А/, которая п.н. непрерывна справа
и имеет пределы слева (т.е. является мартингалом в обычном
смысле).
Ь) Поскольку 3.83а, очевидно, остается верным после заме-
ны на Т7^, то из 3.85 (с -Л+) следует, что М — аддитивный
процесс. По построению процесс X, определенный в 3.83, адди-
тивный и непрерывный. Поэтому формула
3.92.
Zt = Je(Y, I Jo+) ds + Mt - Xt = Je(Y, I Jt+) ds
0 0
определяет процесс Z, непрерывный справа и имеющий пределы
слева, и процесс (Zt — Zo)t>o аддитивен.
160 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
Рассмотрим теперь квадратическую вариацию [М, М]. Это
также аддитивный процесс: для того, чтобы убедиться в этом,
можно либо обратиться к [201], либо использовать аппроксима-
ционную теорему 1.4.47 с разбиениями вида тп = {sm/n}m6N, за-
мечая, что поскольку траектории М непрерывны справа, то при
всяком s > 0 Mt+, = М, + Mt Р-п.н. для любого t > 0.
с) Имеем Xn = Mn — Zn + Za/y/n с Aff = Мщ/у/п, Z? =
= Znt/з/п. Mn является мартингалом (относительно (/’n«+)«>o)
с квадратической вариацией [Mn,Afn]t = [M,M]nt/y/n, и в силу
3.86 sup0<J<1 E(|[Af, Af],|) = E(Aff) = с. Стало быть, в силу 3.91
3.93. [М”, Af”]t Д tc при всех t > 0.
Процессы V(a)t = 12о<»<«(д^»)21{|дм.|>а}, очевидно, также ад-
дитивны, поэтому E(V(a)jv) = NE(V(a)!) при N G N*, и
е( £(ДМГ)21{|ДЛ/„|>е}) = 1е(У(£^)лг„) = ЯЕ(1Ш).
Далее, V(£y/n)i < V(0)i G L2, и V(£y/n)i | 0 при n f оо, значит,
3.94. е( £(ДМГ)21{|лм»|>£}') -> 0
при n f оо для любого е > 0.
Стало быть, (Мп) удовлетворяет 3.23 (математические ожи-
дания левых частей в 3.64 и 3.23 совпадают), и в силу 3.93 и
теоремы 3.22
3.95. Mn yfcW,
где W — стандартный винеровский процесс.
d) Из 3.84а (с вместо 7^) и 3.92 легко следует, что Zt =
= Zoo0t п.н., где Zo € L1. Стало быть, Е(|Z?|) = E(|Z0|)/\/^ —> 0
при n f оо. Поскольку Xn = Mn — Zn + Znly/n, то в силу 3.94
заключаем Xn y/cW,
Пусть теперь р = 2. В силу 3.95 для того, чтобы доказать
сходимость Xn y/cW^ достаточно установить, что
3. Приложены
161
suP»<x О Для любого N G N*. Положим £ = sup0<><1 \Z,\,
тогда sup,<jy |2?| = sup1<jfc<Nn£ о 6к/у/п. Таким образом, доста-
точно доказать, что £ о 0я/>/л -* 0 п.н., или, учитывая лемму
Бореля-Кантелли, что ^n>i Р((£ 0 0я/\/п) > е) < оо для любого
г > 0. Но
2 р (-^е ° еп > е) = 52 р(£-т ° > п) <
п>1 Vn п>1
<£-2Е(£2О0п) = £"2Е(£2),
и, значит, остается доказать, что Е(£2) < оо.
С этой целью заметим, что при 0 < s < 1 имеем Z, = E(Zi +
+ fYu du | ?,+). Поэтому |Z,| < Е(Д 17^+), где U = |Zi| + /|Yu| du,
s 0
и в силу неравенства Дуба 1.1.43 имеем Е(£2) < 4Е({72).
1
С одной стороны, ||Уи||2 = ЦУ0Ц2 < оо, так что fYu du € L2. С
о
другой стороны, в силу 3.92 и 3.80
ОО оо
ll^ih < /||ад|7-1+)||2^ = уцвд|л+)||2^<оо
1 о
(напомним, что р = q = 2). Стало быть, U G Z2, что и завершает
доказательство. □
3.96. Замечание. Эта теорема содержит 3.65 как част-
ный случай, по крайней мере, если фазовое пространство Е мар-
ковского процесса достаточно хорошее (например, польское про-
странство). Дело в том, что в этом случае мы можем предпола-
гать, что марковский процесс определен на всей числовой прямой
К, и У в 3.81 должны заменить на /(У) в 3.65 (первое предполо-
жение в 3.80 очевидно, второе вытекает из представления f = Ад
с ограниченной д).
Кроме того, если сравнить доказательства этих теорем, то
видно, что они, по существу, одинаковы (действительно, основной
мартингал М один и тот же как в 3.65, так и в 3.85). □
6. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. T.2
162 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
2.Дискретное время. Предполагается, что пространство
(Q, J’, Р) наделено биективным отображением в, измеримым вме-
сте с обратным, таким, что Р о 0-1 = Р. Пусть £ — случайная
величина, Тп = <г(£ о 0* : k G Z, к < п).
3.97. Теорема. Пусть отображение 0 — эргодическое,
р G [2, оо] и q G [1,2] — сопряженные показатели, и
( Ikllp < оо,
3-98' 1 22||Е(£о9"|^)||, < оо.
I П>1
Тогда конечномерные распределения процессов
3.99. Х? = -^= £°ек’ *>0,
(на R+) слабо сходятся к распределениям процесса y/cW, где W
— стандартный винеровский процесс, и
3.100. с = Е(£2) + 2 Е(££ о 0П).
П>1
Если р = 2, то Хп \fcW.
В точности, как и в 3.79, предположение 3.98 влечет равенство
Е(О = 0.
Доказательство. Имеется два различных доказа-
тельства. Одно повторяет почти слово в слово аргументы в до-
казательстве теоремы 3.79; а на самом деле даже немного проще,
так как, например, лемма 3.91 или часть (а) доказательства 3.79
здесь не нужны.
Другое доказательство заключается в непосредственном при-
менении 3.79 к следующей ситуации: пусть А — мера Лебега на
[0,1), и
0 = Ох [0,1), / = :F®B([O,1)), Р = Р0А,
0t(u,x) = (0п(ш),х — t + п) 1 , , . . , „
v( \ с ап< \ Г ’ если ® + n - 1 < * < * + n, n 6 Z.
Yt{u,x) = £o0n(a>) J
3. Приложения
163
Легко проверяется, что семейство (П,Л, Р, (0t), (К)) удовлетворя-
ет условиям, предшествующим 3.79, включая 3.78, если в эргсдич-
но. Ясно также, что ЦКЦ,, = |И||Р и Ё(У< | Z0)(w, =
= Е(4 о 9* | Jo)(w) на множестве {ж: х + п — 1 < t < х + п}.
Стало быть, 3.98 влечет 3.80. Такого же рода аргументы позво-
ляют заключить, что 3.100 и 3.82 (с У) определяют одно и то же
число с.
Наконец, определим Хп по формуле 3.81 с У вместо У. Тогда
\х? - хп < -^=(к|+hi о ям+hi о 0М+1),
уП
и те же рассуждения, что и в части (d) доказательства 3.79, пока-
зывают, что вир,<лг \Х” — Х*\ —► 0 при n j оо (поскольку £ € L2).
Стало быть, искомый результат следует из 3.79. □
3. Сравнение с обычными условиями перемешивания. Су-
ществует несколько коэффициентов, ’’измеряющих” зависимость
между а-алгебрами А и В на вероятностном пространстве
(Q, Т7, Р). Наиболее употребительные из них следующие:
3.101.
' <р(А,В) = sup{|P(B|A) - Р(В)| : A G Л, Р(А) > 0, В G В},
а(А,В) = sup{|P(A П В) - Р(А)Р(В)|: A G А, В е В},
< р(А,В) = 8пр{|Е(ХУ)| : ||Х||2 < 1, ||У||2 < 1,
Е(Х) = Е(У) = 0}, величина X ( соотв. У) —
А- ( соотв. В-} измерима.
3.102. Лемма. Пусть случайная величина X интегрируе-
ма и В-измерима. Тогда
а) ||Е(X | Л) - Е(Х)||, < г’-’МЛ В)‘'"||%||„
если 1/р + 1/q = 1, р е [2, оо];
Ь) ||Е(Х I А) - Е(Х)||, < 2(2^’ 4- 1)а(Л,В)^~^||Х||г,
если 1 < q < г < оо;
с) IIЕ(XI А) - Е(Х)||2 < р(Л, В)IIX - Е(Х)||2.
Доказательство. а) Положим = <р(Л,В). Стан-
дартные аргументы, связанные с условными ожиданиями, позво-
6»
164 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
ляют в силу 3.101 заключить, что
3.103. Для любого В Е В, |Е(1д | А) — Р(Д)| < <р п.н.
Чтобы доказать искомое, можно считать, что В = <г(Х). Тогда
(см. II. 1.2) существует регулярная версия »?(w,dw') условной ве-
роятности Р(-| А) на В. Более того, если ji(o>,do/) = j?(w,<iy) —
—P(du/)|e, то сепарабельность В и 3.103 влекут неравенство
|д|(о>, 12) < <р для P-почти всех ш (надо, как обычно, рассмотреть
разложение Жордана-Хана д = д+ — заряда д, и воспользо-
ваться равенством |д| = д+ + д_).
Положим У = Е(Х | А) - Е(Х) = /X dp+ - /X dp._. Тогда
— 1
|У|« < 2«
Xdp+
1
+
Далее, поскольку д+($2) < <р п.н., то имеем
i/p
/у \ 1/Р
<^^1X1”^
п.н.,
и аналогичное неравенство справедливо для | fX dp_\. Более то-
го, так как q < р, то xq/p + ydp < 21-’/р(ж + y)dp и (х + у)9'р <
< xq!p + yq!p для всех х, у > 0. Поскольку |д| < г) + Р|В, то
получаем
-|У(« < <p29~121~9fp
Е(|У|’) < 29-9lpy>\ Е
= 2«-«/ру>{Е[Е(|Х|р | Л)’/₽] + Е(|Х|р)«/р > <
< 2«-’/р¥?{Е[Е(|Х|р | Л]«/р + Е(|Х\РУ>'Р > <
< 2«-<!/р9з2Е(|Х|р)’/р,
и искомое утверждение доказано.
Ь) Положим a — Вновь с помощью стандартных
рассуждений в силу 3.101 получаем |E(C7V) — E(C7)E(V)| < 4а
3. Пряложенхя
165
для любых случайных величин U и V, |£Z| < 1, |V| < 1, соот-
ветственно, А- и ^-измеримых. Полагая U = 1 на множестве
{Е(У | Л) > Е(У)} и U = — 1 на его дополнении, получаем
3.104. Е(|Е(У | Л) - E(V)|) = E[U(E(V | Л) - Е(V))] =
= E(#V) - E(C7)E(V) < 4а.
Пусть с > 0, Xi = Х1{|х|<е}, Х2 = Х1{т>е}, Y = Е(Х | Л)-Е(Х).
Тогда
||У II, < ||Е(X, | А) - Е(Х1)||, + ||Е(Х2 I Л) - В<Х,)||1.
Применяя 3.104 к V = X-Jc, имеем
||Е(X, | Л) - Е(Хх)||? < (2с)(»-1>/*Е(|Е(Х11 Л) - Е(X,)|)*'« <
Поскольку |JV2|*‘ > cr-*|-X'2|i и |Х2| < 1-^1 при г > q, то получаем
||EU»M)-E№)II,<2IM,<
< 2г<<-г)/'||Х!||;/’ < 2е<’-г)/'||Х||;/«.
Стало быть,
||У ||« < (2с)(»"1)/’(4ас)1/« + 2с(»-г)/’||.Х</».
Полагая с = ||Х||га-1/г, получаем искомое неравенство.
с) Поскольку величина Y = Е(Х | Л) — Е(Х) является Л-изме-
римой и Е(У) = 0, то ||У||2 = sup{|E(yZ)| : ||Z||2 < 1, E(Z) = 0,
Z — Л-измерима}, и искомый результат очевиден.
Возвратимся к дискретной схеме теоремы 3.97. Положим
= а{£ овк : к > п}, и
3.105.
' <Рк =
< ак = а^о,^*),
> Рк =
Если срк 0 (соответственно, ак —> 0, соответственно, рк -> 0),
то говорят, что последовательность (£o0fc)fceZ является последова-
тельностью с (р-перемешиванием (соответственно, о-переметива-
нием, соответственно, р-перемешиванием)
166 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
3.106. Следствие. Пусть р Е [2,оо], Е(£) = 0,
IICIIp < оо, и выполнено хотя бы одно из следующих условий:
(i) < оо,
*>0
(ii) < оо,
fc>0
(iii) р = 2 и < оо.
к>0
Тогда справедливо заключение теоремы 3.97.
Доказательство. В силу леммы 3.102 из предпо-
ложений теоремы следует справедливость 3.98 с Г/*7 + 1/р = 1 (в
случае (й) надо использовать 3.102b с г = р). Остается проверить
эргодичность. В самом деле, 0 может и не быть эргодичным. Од-
нако, если Т' = <т(£ off*: к € Z), то 0 можно рассматривать
как биективное, измеримое вместе с обратным, сохраняющее ме-
ру преобразование на (Q, J7, Р), и тогда, как мы увидим, его ин-
вариантная <т-алгебра = {А 6 Р : 0-1(А) = А} является
Р-тривиальной, так что теорема 3.97 применима.
Этот факт хорошо известен для последовательностей с у>- (со-
ответственно, а-, соответственно, р-) перемешиванием. В самом
деле, пусть А Е Отметим, что А Е Ро П для любого к Е Z.
В силу 3.101, если Р(А) > 0, то |Р(А|А) — Р(А)| = |1 — Р(А)| <
< <рк, поэтому при условии (i) получаем Р(А) = 1. Аналогично,
|Р(А П А) — Р(А)2| = |Р(А) — Р(А)2| < ак, поэтому при условии
(й) имеем |Р(А) — Р(А)2| = 0, т.е. Р(А) = 0 или 1. Наконец, если
X = U -Р(А), то получаем |Р(А) —Р(А)2| = Е(Х2) < рк (так как
величина X является Ро П ^‘-измеримой), поэтому при условии
(Ш) получаем, как и выше, Р(А) = 0 или 1. Таким образом, в
любом случае (Е* тривиальна. □
3.107. Замечание. Согласно Ибрагимову и Линнику [89],
в этом следствии имеет место и функциональная сходимость
Хп y/cW в случае (й), если р > 2, и в случае (ii), если это
условие заменено более сильным: St>o(<*t)(p-2^2p) < оо. □
Разумеется, аналогичные результаты имеют место и в непре-
рывном времени. В обозначениях начала параграфа положим
4. Сходимость к общему процессу с независимыми приращениями 167
= а(У, : s > /), <pt = = a(J’0,.F‘), pt = p(f0,^).
Тогда условия (i), (ii), (iii) в 3.106 следует заменить, соответ-
ственно, условиями
y,(p-i)/p < оо, Jdf-W* dt < оо, Jpt dt < oo.
ООО
4. Сходимость к общему процессу с независимыми
приращениями
Основная цель данного раздела- — распространить теорему
2.17 на случай, когда X является процессом с независимыми при-
ращениями с характеристиками {В,С, и), возможно имеющим
фиксированные моменты разрыва.
Постановка и обозначения здесь такие же, как в § 1а: все Хп
являются семимартингалами с характеристиками (В",С”,у”) и
модифицированной второй характеристикой Сп; функция усече-
ния h непрерывна.
Следующий результат является основным, он обобщает 2.17 и
импликацию (Ь)—>(а) в VII.3.13.
4.1. Теорема. Пусть выполнены следующие три усло-
вия, в которых Р — плотное подмножество в R+:
[Sk — /З5] Вп X В в топологии Скорохода в D(Rd).
[75 — Р] Сп X Сх для любого / Е Р.
[Sk — £5,1] g*vn в топологии Скорохода в
D(R) для любой g Е Ci(Rd).
Тогда Хп X и, кроме того,
[Sk-m] (Вп,Cn,g * ип) Д (B,C,g*v)
в топологии Скорохода в D(Rd+d +т), для любой функции g :
Rd -» Rm, все компоненты которой принадлежат C2(Rd)-
168 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
По поводу смысла записи Bn X В, см., например, 1.5: мы
рассматриваем Вп как случайную величину со значениями в ме-
трическом пространстве JXR*1).
Если д > 0, то процесс д * ип возрастает и Д(<7 * vn), =
= iz”({s} хд}. Поэтому в силу VI.2.15 и используя переход к подпо-
следовательности, что позволяет рассматривать сходимость по-
чти всюду (как в доказательстве 2.4), получаем:
4.2. [Sk - <5s,i] О существует такое плотное в R+ подмноже-
ство что выполнены следующие два условия
[^5,1 -т>] g*^t д*ъ
для всех t G д 6 Ci(Rd),
[^5,i -V] Y, х я)2 S "(Wх я)2
5<t S<t
для всех t е Р и д е Ci(Rd). □
В данной главе мы докажем теорему 4.1 лишь при условии
1.17, а доказательство общего случая будет дано в следующей
главе (см. IX.3.35 и IX.3.37). Дело в том, что в соответствии с те-
ми методами, которые к настоящему моменту находятся в нашем
£(Р)
распоряжении, надо сперва доказывать сходимость Хп —> X,
что довольно нетрудно при условии 1.17 (см. теорему 1.18). До-
казательство для этого случая и приводится ниже. Напротив,
если 1.17 при некотором t > 0 не выполнено, то прямое дока-
£(Р)
зательство сходимости Хп —> X в предположениях 4.1 весьма
сложно: оно использует громоздкий раздел VII.4, а также требует
преодоления дополнительных трудностей (такое доказательство
содержится в [105]).
Кроме того, в действительности редко встречаются такие про-
цессы с независимыми приращениями X, которые не удовлетво-
ряют 1.17.
4. Сходимость к общему процессу с независимыми приращениями 169
§4а.
Доказательство теоремы 4.1 в случае,
когда характеристическая функция Xt почти
всюду отлична от нуля
Начнем с двух результатов, не зависящих от условия 1.17.
4.3. Лемма. Пусть В плотно в R+ и выполнены условия
[Sk - /35], [75 - Р] и [Sk — ^5>1]. Тогда имеет место [Sk - ^765].
Доказательство. Как обычно, достаточно пока-
зать, что для любой бесконечной подпоследовательности (п') мож-
но выбрать такое множество А, Р(Л) = 1, и такую ее подпоследо-
вательность (п"), что для любого ш G А
' (Вп\Ш),Сп''(^),д^п''(Ш))^(В,С,д^)
< в D(Rd+<< +m), для любой функции д :
k Rd -> Rm компонентами из ^(R^).
В силу следствия VII.3.48 так будет в том случае, если
' Вп"(ш) D(Rd),
4.4.
ш 6 А => <
Ct \hj) -► Ct для всех t € Р,
д * -+ д в D(R)
для любой д G Ci(Rd), д > 0.
Пусть (п') — бесконечная подпоследовательность. Мы можем
считать, что множества Р и Ci(Rd) — счетные. Тогда с помо-
щью диагональной процедуры находим множество А с Р(Л) = 1
и подпоследовательность (п"), для которых имеет место 4.4, что
и завершает доказательство. □
4.5. Лемма. При условии [Sk — /3765] последовательность
(X") плотна.
Доказательство. Применим теорему VI.5.10. Усло-
вие (i) в VI.5.10 тривиально выполнено, так как = 0, a [Sk — /35]
влечет за собой условие VI.5.10iii.
Пусть gq(x) = (?|ж| -1)+ Л1. Тогда в силу [Sk - /?7^] для лю-
бого р > 0 последовательность Gn,p = 52; <d С”+ др * ип сходится
по вероятности к процессу ^,<(j С” + др*и. Поэтому условие (iv)
170 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
в VI.5.10 выполнено с (С1). Наконец, пусть г > 0, и N > 0 таково,
что |/({А} х Rd) = 0. Найдется такое р > 0, что gp * < е/2
(так как др * vN \ 0 при р \ 0). В то же время др * Л др * vN.
Значит,
limPn(5P > е) = 0.
Поскольку i/n([0, TV] X {|ж| > 1/2р}) < др * у#, то выполнено также
и VI.5.10ii. □
Доказательство 4.1, когда 1.17 выполнено при всех t > 0. В
силу предыдущей леммы достаточно показать, что Хп —► X
для Р = Р(Х) = {/ : Р(ДХ( / 0) = 0}. В силу теоремы 1.18
достаточно показать, что 1.10 выполнено для всех t 6 Р. Чтобы
в этом убедиться, вернемся к доказательству 4.3 и зафиксируем
ш G А. Существует такой процесс с независимыми приращения-
ми Zn <ш, у которого (детерминированные) характеристики есть
Bn (w), уп"(ш), так что в силу 4.4 и теоремы VII.3.13
имеем Zn"’u Л X. В частности, последовательность Gn"(u)t(a>)
— математических ожиданий величин ехр(г« • Z? ’") — стремит-
ся к g(u)t при всех t G Р. Теперь легко увидеть, что 1.10 имеет
место при всех t Е Р, и доказательство завершено. □
Следуя тем же методам, докажем следующий результат.
4.6. Теорема. Пусть 1.17 выполнено при всех t > 0.
Пусть Р — плотное подмножество в R+, и выполнены усло-
вия [05 - Р] + [75 - Р] + [$5,1 - Р] + [Sk - ^5,1]. Тогда Хп X.
Отметим, что, вообще говоря, из [Sk —75,1] не следует [^5>1—Z>],
если Р не содержится в R+\J(X) = {t : P(AXt / 0) = 0} = {t :
i/({t} X Rd) = 0). Аналогично, из сходимости Xn X не следует
сходимость Хп X, если нет включения Р С R+\J(X). Таким
образом, даже если условие [Sk — £5,1] имеет место, эта теорема
дополняет теорему 4.1 (разумеется, это различие не возникает,
если X не имеет фиксированных моментов разрыва).
Доказательство. Если (nz) — произвольная подпо-
следовательность, то найдется такая подпоследовательность (п")
и такое множество А полной меры, что при всяком ш Е А име-
ем _В”"(ш) -» Bt, » Ct, g * i/””(w) g * Vt для всех
4. Сходимость к общему процессу с независимыми приращениями 171
t € Р (Р можно считать счетным) и всех g G Ci(R4), а также
g * vn"(w) g*v ъ D(R) для всех g G Ci(Rd) (см. доказательство
2.4). Поэтому VII.4.38 влечет сходимость Gn"(u)t(ui) —»• p(u)t для
всех « G Rd, t G Р, ш G А. Стало быть, 1.10 имеет место для всех
t G V, и в силу теоремы 1.18 получаем искомый результат. □
4.7. Замечание. Даже если 1.17 не выполнено, все равно
можно установить следующее (см. [105]): при условии, что V
плотно, из [Д - Р] + [7s - V] + [Й5Д - Р] + [Sk - 65Д] следует
Vn £(V) v
сходимость X X.
4.8. Замечание. Предположим вновь, что 1.17 выполне-
но при всех t > 0. Рассмотрим следующее условие, являющееся
обобщением условия VII.4.30:
Условие, (а) Для всякого £ > 0 найдется такая строго воз-
растающая последовательность множеств (^(£))j>i, что
limjTtj(e) = оо и
sup 1/({з} х {|®| > с}) < е-
э<1, для всех j
(Ь) Для любых £ > 0 и п > 1 найдется такая строго возраста-
ющая последовательность предсказуемых моментов (Т"(е))^>х на
Вп, что limj|T"(w) = оо и
(i) если з, t G Т> U {0} и з < /,(е) < t, то
( р"(з < т;(£) —
| i/"({T"(e)} х д) Д ЖМе)} х 9) Для всех д G C^R*),
(ii) limsupn Pn(sup,<t) ,#т;(г) рп({Т7(е)}х{|т| > s}) > e+ij) = 0
для всех £ > 0, т) > 0, t G Р. □
Тогда с помощью VII.4.37 и того же самого доказательства,
что и для 4.6, можно показать, что это условие плюс условия
[/35 — Р] + [75 — Р] + [#51 — Р] влекут сходимость Хп X вне
зависимости от того, плотно Р или нет. □
172 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
4.9. Замечание. Допустим, что 1.17 не выполнено.
Вновь, если V плотно, то можно доказать, что условие 4.8 плюс
условия [/35 — Р] + [75 - Р] + [^5,1 - Р] влекут СХОДИМОСТЬ Хп X
(в самом деле, в предположениях [tf5ii — Р] и плотности Р условие
4.8 равносильно [Sk — 75,1])- Однако если Р не плотно, то этот
результат, по-видимому, неверен. □
§4Ь. Сходимость точечных процессов
В этом подразделе предполагается, что процесс с независимы-
ми приращениями X является еще и точечным процессом, т.е.
X есть общий пуассоновский процесс в смысле 1.3.26. Его ком-
пенсатор обозначаем через А, в силу 1.3.27 процесс А неслучаен и
At = Е(Х(). Напомним, что, наоборот, если X есть точечный про-
цесс с детерминированным компенсатором, то он является общим
пуассоновским процессом. Характеристики X снова задаются со-
гласно 3.35.
4.10. Теорема. Предположим, что X есть общий пуас-
соновский процесс с интенсивностью А, все Хп — точечные
процессы с компенсаторами Ап, и пусть Р — плотное подмно-
жество в И*.
а) Если выполнены два условия
4.11. Р А” X At для всех t € Р,
4.12. Р £(ДА?)2 X 52(ДЛ,)2 для всех t G Р,
s<t s<t
то Хп^ X и X" 4 X.
Ь) Если Ап А в топологии Скорохода на D(R), то
Хп 4 X.
Напомним, что 4.11Р + 4.12Р => Ап X А в D(R). Наоборот,
из сходимости Ап X А в D(R) следует 4.11Р + 4.12Р, если Р =
= {t: Р(ДХ( / 0) = 0} (см. VI.2.15). Поэтому (Ъ) вытекает из
(а). Напомним также, что при непрерывном А (т.е. когда X не
имеет фиксированных моментов разрыва) 4.ПР => 4.12Р — все
4. Сходимость ж общему процессу с независимыми приращениями 173
это следует из VI.2.15. Таким образом, теорема 3.36 в случае,
если D всюду плотно в R, есть частный случай 4.10. Отметим
еще, что в условиях теоремы из сходимости X —► X следует
сходимость Xn А X в силу VI.3.37.
Доказательство. Выберем функцию усечения h
так, что Л(1) = 0. Тогда Вп = В = 0, Сп = С = 0, и д * vn =
= д(1)Ап. Поэтому выполнены [Sk —/35] и [75—D}. Имеем [65,1 — V]
в силу 4.IIP и [^5,1 —Р] (см. 4.2) в силу 4.12Р. Значит, выполнено
[Sk — ^5,1]- Наконец, так как Xt принимает значения в N, то мно-
жество Ut = {u : g(u)t = 0} дискретно (или пусто). Стало быть,
имеет место 1.17 при всех t > 0. Таким образом, (а) вытекает из
4.1 и 4.6. □
4.13. Замечание. Конечно, использовать 4.1 и 4.6 для
доказательства этой теоремы — все равно, что разбивать орех ку-
валдой. Простейший путь, — см. [121], — состоит в использова-
нии преобразования Лапласа g(X)t = Еехр(—АХ(), А > 0, вместо
преобразования Фурье g(u)t. Следует отметить, однако, что идея
все равно та же: использовать вариант теоремы 1.9 (это проще с
преобразованием Лапласа, если последнее определено, как в дан-
ном случае, поскольку p(A)t не обращается в нуль), и доказать,
что 4.11Р + 4.12Р влечет Gn(A)t Д р(А)(, где бг”(А) — "лапласов
вариант” Gn(u). □
§4с. Сходимость к гауссовскому мартингалу
Предполагается, что все Хп — одномерные семимартингалы,
а X — гауссовский одномерный мартингал. Напомним, что если
4.14.
3 = Е(Х2),
то характеристики X (см. § II.4d) следующие:
4.15.
А = Е*а<5:(Л),
174 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
v(ds,dx) = 52 £»(d0® фдс;(йа:),
»>о,дс;>о
где Фв — нормальное распределение Af(O, а) со средним 0 и диспе-
рсией a > 0. Отметим еще раз, что функция С' связана с (В, С, у)
согласно 2.13.
Мы оставляем читателю переформулировку теорем 4.1 и 4.6
для данного случая: это не вызовет трудностей, так как g(u)t =
= ехр(—u2C'/2) не обращается в нуль. Сосредоточимся здесь на
’’неклассической” ситуации теорем типа Золотарева, таких, какие
изложены в §§ VII.5c,d.
Напомним обозначения, принятые в этих параграфах. По-
ложим У" = {(o>,Z) : fn(w; {<} х R) > 0} и vne(u\ dt, dx) =
= dt,dx)l^ny(u,t). Предполагаем, что функция усечения
h и функция f удовлетворяют условию VII.5.7. Для любых (u>, з)
обозначаем через Д?(ц>) неотрицательное число, удовлетворяю-
щее соотношению
4.16. Л«;{«}х/Мд;м(/)>
и полагаем В?'с = В? - 52,<t ДВ".
Бели D — подмножество R+, рассмотрим следующие условия:
Из-P] X {|х| > £}) Д о
для любых £ > 0, t G Р,
[Вз-Р] |ВГ| + 2;|ДВ,П| До
e<t
для любых t G Р,
[Сз-р] . сг + л2*рГ + 5>?Д с;
для любых t Е Р,
3<t 3<t
для любых t Е Р,
[Рз-Р] Е / |^(х)-фдг(х)|</х До
1«1>«
для любых Е > 0, t G Р,
4. Сходимость к общему процессу с независимыми приращениями 175
где Фв(ж) = Фв((-оо, ж]), ^"(ж) = »?"((-оо,ж]) и
7%(ш, dx) = pn(w; {«} X dx) + £0(</ж)[1 - vn(w\ {s} x R)].
4.17. Теорема. В данных, обозначениях и предположени-
ях имеем
а) Если выполнены [А3 — Р], [В3 — Р], [С3 - Р], [Р3 - Р], то
Хп^Х.
Ь) Если выполнены [А3-Р], [В3-Р], [С3-Р], [С3—Р], [Р3-Р],
и Р плотно в R+, то Хп -> X.
Доказательство. а) Можно считать, что Р не бо-
лее чем счетно. В силу 1.18 достаточно доказать, что для всех
t G Р выполнено 1.10. Рассмотрим подпоследовательность (п').
С помощью диагональной процедуры находим такое множество А
с Р(Л) = 1 и такую ее подпоследовательность (п"), что в [А3 —Р],
[В3 — Р], [С3 — Р], [Р3 — Р], есть сходимость по подпоследова-
тельности (п") для всех ш € А. В силу VII.5.24 получаем, что
<jn"(u)«(w) 9(u)t при всех ш G А, так что выполнено 1.10, и
искомый результат следует из теоремы 1.9.
Ь) Как и выше, выделим из (п') такую подпоследовательность
(п") и найдем такое множество А полной меры, что в [А3 — Р],
[Р3—Р], [С3—Р], [С3—Р], [Р3—Р] имеется сходимость по подпосле-
довательности (п") при всех ш G А. В силу VII.5.26 и VII.3.13 по-
лучаем 4.4. Стало быть, выполнены [Sk —/35], [75—Р] и [Sk — 65>i],
и искомый результат вытекает из 4.1. □
’’Квадратично интегрируемый” вариант следующий. Пред-
положим, что 2.11 выполнено для всех п, и определим В'п и С,п
согласно 2.12 и 2.13. Положим В'?’с = ДВ'” и Д'”(^) =
= pn(cu; {5} х ж2). Рассмотрим следующие условия:
[A3 — Р] ж21{|а:|>е} * р"’с Д 0 для всех £ > 0, t 6 Р,
[В' - Р] |B;n’e| + |ДВ;п| X 0 для всех t е Р,
s<t
[С' - Р] С” + ж2 * 2 Д'.” G' для всех t е Р,
e<t
[С3 - Р] £(д?)2для всех tep,
176 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
М Е J
для всех £ > 0, t € Р.
В точности такое же доказательство, как и выше, с исполь-
зованием VII.5.25 (соответственно, VII.5.36) вместо VII.5.24 (со-
ответственно, VII.5.26) позволяет установить следующий резуль-
тат:
4.18. Теорема. В предположениях и обозначениях, вве-
денных выше, имеем:
а) Если выполнено [/Ц — V], [В3 — Т>], [С'3 — D], [Р3 — Р], то
Хп^Х.
Ь) Если выполнено [А3—Т>], [В3—Р], [С3—Р], [С'3—Р], [Р3—Р],
и Р плотно в R+, то Хп X.
Вариант этой теоремы для схемы серий оставляем читателю.
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми
приращениями, устойчивая сходимость и
сходимость с перемешиванием
Настоящий раздел посвящен различным усилениям и обобще-
ниям предыдущих результатов. Они важны для приложений, в
первую очередь, к статистике. С математической точки зрения,
они все, как обобщения, очень просты (хотя иногда утомитель-
ны). Читатель может пропустить весь раздел без ущерба для
понимания следующей главы.
§5а. Сходимость к смеси процессов с независимыми
приращениями
Постановка следующая. Имеется единое вероятностное про-
странство (1У, У', Р') на котором определены:
5.1. Для всякого п G N* — d-мерный семимартингал Хп отно-
сительно некоторой фильтрации F”, Х$ = 0, и характеристиками
(Bn,Cn,vn).
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 177
5.2. ст-алгебра Q такая, что Q С 7% для любого n > 1.
5.3. Переходная вероятность Q(io',da) из (SI1,6) в (D(Rd),
P(Rd)) такая, что для любого ш' 6 ft' канонический процесс X
на I^R**) (т.е. Xt(a) = «(/)) является семимартингалом с незави-
симыми приращениями и характеристиками (B(w'),
Эти характеристики, очевидно, "{/-измеримы”; поставим им в со-
ответствие процессы A(u)4(w') и G(u)t(w') согласно 1.8, и С’(си')
согласно 1.3. Имеем
5.4. G(u)t(o/) = jQ^,da)eiaa^.
(Замечание. То, что X — семимартингал, добавле-
но ради простоты, и от этого предположения можно без труда
отказаться.) □
Далее, положим
5.5. ft = ft' х D(Rd), 7 = 7* ® P(Rd),
P(dw',da) = P'(du}')Q(u' ,da),
и всякий процесс, случайная величина, или а-алгебра на ft' (со-
ответственно, D(Rd)) естественным образом продолжается на ft,
при этом обозначение сохраняется: например, Х(о>',а) = Х(а),
Хп(ш', а) = Х”(о>'), Q = Q ® {0,D(Rd)}, и т.д. Очевидно, что Хп
остаются семимартингалами относительно Г* с теми же харак-
теристиками (Bn,Cn, р”) на ft, как и на ft'. Обозначим еще через
Г = (^t)t>o наименьшую фильтрацию на ft, с которой согласован
X, и такую, что Q С /о.
В этих предположениях, очевидно, X по мере Р является ’’сме-
сью” процессов с независимыми приращениями. Он также явля-
ется процессом с G-условно независимыми приращениями (см.
П.6.2), удовлетворяющим предположению П.6.4. Наконец, в силу
П.6.15 (или П.6.5) X есть семимартингал на базисе (ft,.?7, F,Р) с
характеристиками (В, С, р).
5.6. Замечания. 1) На вид более общая, а на самом деле
эквивалентная постановка состоит в следующем: сразу задано не-
которое вероятностное пространство (ft,.?7, Р), на нем определены
178 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
(X",F”) и Q как в 5.1 и 5.2, а также семимартингал с (/-условно
независимыми приращениями.
2) Данная постановка включает в себя ситуацию § 1а: в са-
мом деле, в рассматриваемом случае мы можем предполагать вы-
полненным 1.6, и тогда выполнены 5.1, 5.2 и 5.3, если положить
Q = {0, Q} и G(u)t(w') = g(u)t. □
Начнем с формулировки основного результата, когда X квази-
непрерывны слева, что означает выполнение равенства v(w', {(} X
xRd) = 0 тождественно или эквивалентно, что относительно ка-
ждой меры Q(w', •) процесс X, являющийся тогда процессом с не-
зависимыми приращениями, не имеет фиксированных моментов
разрыва.
5.7. Теорема. Пусть выполнены условия 5.1, 5.2, 5.3 и
X квазинепрерывен слева.
а) При выполнении условий [/?5 — Р] + [75 — Т>] + [^511 — Р], а
также, если подмножество Р не плотно в R+, и условия 2.5,
имеем
5.8. Е[У- E[y/(Xtl,...,Xt,)]
для любых tj 6 Р, любой непрерывной, ограниченной функции f
на (Rd)p и любой случайной величины Y EbQ (т.е. ограниченной
и G-измеримой). Отсюда, разумеется, следует, что Хп X.
Ь) Если D плотно в R+, то при условии [Sup — /3$] +
+[?5 - Р] + [^5,1 - Р] имеем
5.9. Е[У/(%")] -+ Е[У/(Х)]
для любой непрерывной, ограниченной функции f на D(Rd) (с то-
пологией Скорохода) и любой случайной величины У 6 Ь&. От-
сюда, конечно, следует, что Хп X.
Эта теорема доказывается в конце параграфа. Аналогичным
образом можно получить следующие результаты (со сходимостью
5.8 и 5.9, соответственно, сходимости Хп X и Хп Д X):
5.10. Если X квазинепрерывен слева, то верны теоремы 2.14,
2.17, 2.27, 2.29 и 2.30.
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми ириращвииями 179
5.11. Если X непрерывен, то верны утверждения: 3.6 и (ii) О
(iii) => (i) в 3.8(b); (ii) 4» (Ш) => (i) в 3.11; (ii) О (iii) О (iv) => (i)
в 3.12, если X — локальный мартингал; (ii) 4» (iii) => (i) в 3.24,
если X — локальный мартингал.
5.12. Если X — квазинепрерывный слева точечный процесс,
(т.е. процесс Кокса), то справедлива теорема 3.36.
Отметим, однако, что в 5.11 "необходимость” (i) => (ii), как
в 3.8, 3.11, 3.12 и 3.24, не имеет места. В самом деле, если
Хп X, в силу VI.6.6 (или VI.6.1) Сп С; если процесс С де-
терминирован, то это равносильно [75—R+], но в рассматриваемой
ситуации нет причин, чтобы [75 — R+] непременно выполнялось.
Если процесс X не является квазинепрерывным слева, то про-
цесс бг(и) может обращаться в нуль, и мы введем следующее усло-
вие, являющееся обобщением 1.17:
{Р ® А(Г<) = 0, где А — мера Лебега на
Rd, Ut — Q ® Rd — измеримое множество
вида Ut = {(10, и) : G(u)«(o>) = 0}.
5.14. Теорема. Пусть выполнены условия 5.1, 5.2 и 5.3,
V — плотное подмножество в R+-
а) Если выполнено условие 5.13 при всех t > 0 и условия
[/?5 - Р] + [75 - Р] + [^5,1 — Р] + [Sk — то справедливо 5.8
при всех tj Е Р, всех непрерывных, ограниченных функций f на
(R‘,)p, случайных величин У € bQ, и, в частности, Хп X.
Ь) Если выполнено [Sk — /У+[75—P]+[Sk —$вд), то выполнено
5.9 для всех непрерывных, ограниченных функций f на D(Rd) и
случайных величин Y € bQ, и, в частности, Хп -* X.
Аналогичным образом имеем следующее:
5.15. Справедлива теорема 4.10, если X — точечный процесс,
и теоремы 4.17 и 4.18, если X — смесь гауссовских мартингалов
(т.е. X есть гауссовский мартингал относительно любой меры
Доказательства 5.7 и 5.14 основаны на следующем обобщении
теоремы 1.9.
180 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
5.19.
5.16. Теорема. Пусть выполнены условия 5.1, 5.2, 5.3,
V С R+, и при всех / G Р имеет место 5.13 и
5.17. Gn(u)t —► G(u)t для любого и G Rd.
Тогда для всех tj G Р, непрерывных, ограниченных функций f на
(Rd)p и случайных величин Y € Ь& имеет место сходимость 5.8.
Доказательство. В 5.8 можно считать, что
ti < ... < tp. Докажем 5.8 индукцией по р, т.е. предположим,
что это уже доказано для р — 1. В частности, если Uj G Rd и
С = exp(i^1<i<p_1 Uj • X”), то имеем
5.18. Е(УС) — Е(Ю для всех Y G Ь$.
Докажем, что для всех У Е
vn(u) := Е(УС exp(iu • (X" - X”.,))) -
- v(u) := Е(УСехр(гн • (Xtp - Х(,_,)))
для A-почти всех и G Rd, и отсюда будет следовать 5.8. В силу
5.13 достаточно доказать 5.19 для всех и из множества U = {и :
Р(Сг(д)<р / 0) = 0}. В дальнейшем фиксируем и из U.
Пусть А = |(?(u)t,|, а > 0,
и? = Е(У1{Л>в)С ехр(ги • (Х£ - X”.,))),
va = Е(У1м>в}Сехр(»« • (Х£ - Xt,_,))),
и К — sup|y|. Имеем |v” — v”(u)| < КР(А < а), и аналогичное
неравенство для |va — t>(«)|. Так как и G U, то Р(А < о) \ 0 при
а \ 0. Стало быть, достаточно доказать, что г>" —» v0 при п f оо
для любого а > 0, чтобы установить 5.19.
Поэтому далее фиксируется а > 0. Определим моменты Лп
и Sn (связанные с а) как в доказательстве 1.9, так что Р(Д" <
< tp, А > а) —» 0 и
5.20. P(S" < tp, А > а) -> 0.
Определим также Мп, 0п, уп как в 1.9, и 7 = G(u)t,/G(u)<p_,
(считаем 0/0 = 0). Имеем
5-21. Е(/3" 1^.,) = 1.
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 181
Более того, ехр(ш • (X?, — )) = /Зпуп на множестве {5n > tp}.
Стало быть,
< = E(yiM>e}l{s.<MCexp(i« • (Х£ - Х»_,)))+
+E(yiM>o.s.>t,}C/3n7n) =
( Е(У 1{л>о> s»<b}C ехр(м» • (Xt; - X”_t)))+
5.22. = j +Е(У1{л>в}Г^(7’’1{5»>М ~ 7))+
I +Е(У1{Л>О}С7)
(в силу 5.21). Более того, 5.3 влечет равенство va = Е(У 1 {л>а}С7)-»
и, значит, поскольку |У| < К и |£n| = 1, то получим
5.23.
' №-«а|<ХР(А>а, 5” </р)+
< +ХЕ(1{л>в}|Г||7п1{5»>м-7|)+
. +|Е(У1{л>о)7С)-Е(У1{л>в}70|.
Рассмотрим правую часть 5.23: на множестве {А > а} имеем
|Z?n7| < ^la2i на множестве {S'” > tp} имеем |/?"7"| = 1, и в силу
5.17 и 5.20
[7п1{«-х,} - 7]1{л>а} 0.
Значит, второй член в правой части 5.23 стремится к нулю при
n f оо. Первый член стремится к нулю в силу 5.20. Наконец,
третий член также стремится к нулю в силу 5.18, примененному
к Y' = У1{Л>в}7 (имеем |У'| < К/a). Поэтому r” -> va, и теорема
доказана. □
Доказательство 5.7 и 5.14. Для доказательства
части (а) обеих этих теорем надо буквально воспроизвести дока-
зательство 2.4 и 4.6, что даст 5.17 для всех t G 2Х После этого в
силу предыдущей теоремы (вместо 1.18) получаем 5.8.
Докажем (Ь). В действительности, мы установим 5.7b, а для
5.14b дополнительно предположим, что выполнено 5.13 (так же,
как в доказательстве 4.1 в §4а, в котором использовано 1.17; об-
щий случай легко выводится из небольшого обобщения теоремы
IX.3.35 следующей главы).
182 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
В силу линейности достаточно доказать 5.9 для Y > О,
Е(У) = 2. Пусть а = sup|K|. Рассмотрим новую вероятност-
ную меру P(dw) = P(dd>)y(w), так что Ё[/(Х")] = Е(У/(%")_)
для любой ограниченной измеримой функции f на D(Rd), где Е
обозначает математическое ожидание по мере Р. Согласно пер-
вой части доказательства Хп —► X по мере Р, поэтому оста-
ется доказать, что по той же мере Р последовательность (X")
плотна. Если К — компактное подмножество I^R^), то имеем
Р(ХП 0 К) < аР(Хп 0 К), значит, достаточно доказать, что
последовательность (X") плотна по мере Р.
Для этого применим теоремы VI.4.18 (для доказательства 5.7)
и VI.5.10 (для 5.14). В нашем случае условие (i) обеих теорем
тривиально выполнено. Повторение доказательств 2.17 (соответ-
ственно, 4.3) позволяет установить [Sup — 75] я [Sup — й5 2] (со-
ответственно, [Sk — /?7^б]) в случае 5.7 (соответственно, 5.14).
Положим др(х) = (р|ж| — 1)+ Л 1 — это функция из C2(Rd). Пусть
£ > О, 1/ > 0 и ^ > О таково, что ^({./V} х Rd) = 0 п.н. Су-
ществует такое р > 0, что Р(рр * Уц > е/2) < т]/2 (так как
др * yN \ 0 при р \ 0), и поскольку др * 1$ Д др * Ун, то при
всех достаточно больших п имеем Р(рр * > е) < т). Из нера-
венства р"([0,.ЛГ] X {|ж| > 1/2р}) < др * I'm следует условие (ii) в
VI.4.18 (соответственно, VI.5.10).
В случае 5.7 условия [Sup —/35] + [Sup —75] +[Sup —75,2] и свой-
ство p({Z}xR‘i) = 0 при всех t немедленно влекут условия теоремы
VI.4.18iii. Наконец, в случае 5.14 условие (iii) в теореме VI.5.10
выполнено ввиду [Sk —^5]. Более того, [Sk — ^7^5] влечет при всех
р > 0 сходимость последовательности Gn,p = * уП
по вероятности (при n J 00) к процессу Gp = С” +др * у. Да-
лее, в силу 5.3 процесс Gp предсказуем относительно тривиальной
фильтрации Qt = Q, которая, согласно 5.2, включается в Г” при
всех п. Поэтому выполнено условие (iv) в VI.5.10 с (СЗ). Итак, в
обоих случаях последовательность (X") плотна, что и доказывает
искомые результаты.
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 183
§5Ь. Еще о сходимости к смеси процессов
с независимыми приращениями
Цель этого параграфа — показать, что при очень слабых до-
полнительных предположениях по сравнению с §5а результаты
могут быть значительно усилены. Как следствие мы получим
также другое доказательство результатов § 5а, не основанное на
теореме 5.16.
Постановка следующая (в сущности, та же самая, что и в § 5а,
плюс требование П.6.4 для каждого базиса (О',F", Р')):
5.24. Предположения. Предполагаются выполненными
условия 5.1, 5.2 и 5.3. Кроме того, для каждого n > 1 найдется та-
кое семейство сепарабельных а-алгебр (^")<>о на П', что С
С С Наконец, для любого n > 1 существует регуляр-
ная условная вероятность Qn(u', do/') на (О',7Г^,_) относитель-
но Q. □
Сформулируем условие теорем 5.7 и 5.14 (при условии 5.24).
Приводится лишь функциональный вариант, а конечномерная схо-
димость оставляется читателю.
5.25. Теорема. Пусть выполнено 5.24. Предположим,
что
а) если X квозинепрерывен слева, то выполнены [Sup — /35],
[75 — 1>\, [^5,1 — Р] для некоторого плотного подмножества V С
С R+;
Ь) либо выполнены [Sk [75—[Sk —£5,1] для некоторого
плотного подмножества V С R+ (отметим, что (а) => (6)).
Тогда для распределения Qn(w', •) процесса X относительно
меры Qn(u',du>") имеем
5.26. Qn Д Q (^определено в 5.3)
5.26 означает следующее: Qn и Q можно рассматривать как
случайные величины на (ft', (7) со значениями в польском про-
странстве всех вероятностных мер на D(Rd), снабженном слабой
топологией (и с топологией Скорохода на D(Rd)). Тогда 5.26 есть
184Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми лрирахцениями
попросту сходимость по вероятности (Р или Р', здесь это все рав-
но) в данном польском пространстве.
Разумеется, 5.26 влечет 5.9, и на самом деле 5.26 намного силь-
нее (5.9 представляет собой нечто вроде сходимости в слабой L1
топологии, как мы увидим ниже).
Доказательство. Достаточно доказать, что из лю-
бой бесконечной подпоследовательности (п') можно выбрать дру-
гую подпоследовательность (п") такую, что Qn (ш', •) -* Q(o/, •)
слабо для Р'-почти всех ш'.
Пусть Zn и Z — случайные величины со значениями в метри-
ческом пространстве (Е,£), причем Zn — Т^.-измеримы, Z —
Q- измерима. Предположим, что Zn Z. Тогда
E[tf(Z”,Z)Al] = yP'(dw') jQn(u',du")(6(Zn(u"),Z(u,))M) -* 0.
Найдется такая подпоследовательность (п") последовательности
(п'), что fQn"(-,(kJ')(6(Zn(u"), £(•)) Л 1) —► 0 Р-п.н. Иными сло-
Q"'!
вами, если обозначить через сходимость по вероятности отно-
сительно последовательности {Qn(u‘, -)}n>i к (/-измеримой функ-
Qn"
ции, то мы только что показали, что Zn Z(u>') для Р-почти
всех ш'.
С помощью этого вспомогательного результата и диагональ-
ного метода находим такую подпоследовательность (п") и такое
множество А С П', Р'(А) = 1, что для всех ы' G А
Вп"
~ и Qn" ~
< С? для всех t G Р (Р можно считать счетным),
k д *уп д * у(м') для всех д е Ci(Rd).
Более того, в силу следствия IL6.15 (в нем измеримость В, С, у
роли не играет; заметим, что благодаря 5.24 предположения этого
следствия выполнены) для всех си' из множества А! С Я' Р'-полной
меры все Хп являются -)-семимартингалами с характери-
стиками (Вп,Сп,рп).
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 185
Значит, при о/ G А П А' последовательность (Хп"} и предель-
ный процесс X удовлетворяют предположениям теоремы 4.1 от-
носительно мер Qn /(o/,-) и фп(о/,«), соответственно. Вспоминая
определение Qn, находим, что Qn"(w', •) •) слабо для всех
о/ G А П А'. Теорема доказана. □
5.27. Замечания. 1) Предположим, что выполнено 5.24,
и в [Sup — /?5], [75 — Р] и др. имеет место сходимость почти
наверное вместо сходимости по вероятности. Тогда предыдущее
доказательство показывает, что 5.26 можно заменить на
Qn Q п.н.
2) Пусть выполнено 5.24. Тогда не только ’’достаточные”
условия сходимости из разд. 3 доставляют сильную сходимость
5.26, но и ’’необходимые” условия, по-прежнему, остаются необ-
ходимыми.
Пусть, например, к условиям теоремы 3.8 добавлено 5.24, X
непрерывен с характеристиками (5,С, 0) и Р — плотно в R+.
Тогда в предположении [Sup - /?5] условия 5.26, 3.8(ii), 3.8(iii)
эквивалентны. Детали оставляем читателю; доказательство со-
вершенно аналогично доказательству 5.25.
§5с. Устойчивая сходимость
1. Устойчивая сходимость, как и сходимость с перемешивани-
ем, обсуждаемая в следующем параграфе, введена Реньи [185,186].
Для того, чтобы не расходиться с обозначениями § 5а мы ис-
пользуем здесь, как может показаться, странные обозначения.
Пусть (Q',7?,,P') — вероятностное пространство, и на нем за-
дана последовательность (Zn) случайных величин со значениями
в польском пространстве (£\£).
5.28. Определение. Пусть Q — под-а-алгебра . По-
следовательность (Zn) сходится G-устпойчиво, или просто устой-
чиво в случае Q = J7', если найдется такая вероятностная мера /х
186 Гл. VIIJ. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
на (О' х E,G ® £), что
5.29. Е[У/(7П)]^ у p(du',dx)Y(u>')f(x)
(VxE
для всех Y Е bQ, f Е С(Е) (т.е. функция f непрерывна и ограни-
чена на Е). □
Часто рассматривается лишь случай G = Определение,
данное выше, на первый взгляд, сильнее общепринятого
(с Q = Т7'), однако, как мы увидим из следующего утверждения,
на самом деле они совпадают.
Разумеется, если последовательность (Z") сходится устойчи-
во, то она сходится и по распределению, и предельное распре-
деление является мартингальным распределением д(12' х •)• На
самом деле, существует такая переходная вероятность Q(w',dx)
из (12', (?) в (Е,£), что
5.30. n(dw',dx) = P'(dw')Q(a/, dx) на Q 0 8.
Тогда естественно положить
5.31. О = Л' х Е, 7 = Г 0 G,
P(do>', dx) = P(do/)Q(o/, dx) на 7
(если Q = 7', то имеем Р = д; в противном случае Р является
продолжением д).
Продолжим величину Z”, а также любую другую случайную
величину или ст-алгебру на 12' с пространства 12' на 12 по обыч-
ному правилу. Пусть Z(o>',х) = х — ’’каноническая” случайная
величина на Е. Наконец, обозначим через Qn(u',dx) регуляр-
ное условное распределение Zn относительно Q (если Q = 7', то
Qn(w',dx) = £z»(w')(^®)). Имеем
Е(У/(И")) = E(yQ”/), у M(du/,dx)y(o/)/(x) = E(YQf).
Тогда 5.29 можно представить в следующем виде:
5. Сходимость и смеси процессов с независимыми приращениями 187
5.32. (Zn) сходится (/-устойчиво (к д) тогда и только тогда,
когда Qnf —► Qf слабо в для всех f G С(Е). В этом
случае будем также говорить, что (Zn) сходится (/-устойчиво к Z
(канонической величине).
В частности, если (Z”) сходится (/-устойчиво, и А есть Q-
измеримое подмножество Q' положительной вероятности, то
условные распределения £(Zn | А) сходятся. Как вытекает из сле-
дующего ниже результата, обратное также верно, и это было пер-
воначальным определением устойчивой сходимости.
5.33. Предложение. Следующие свойства эквива-
лентны:
(i) (Z") сходится Q-устойчиво;
(ii) для любой G-измеримой случайной величины Y на SI' пара
(У, Z”) сходится по распределению;
(iii) для любой G-измеримой случайной величины Y на ft* пара
(У, Z”) сходится G-устойчиво;
(iv) последовательность (Zn) плотна и для любых А 6 G,
f € С(Е) последовательность E(lAf(Zn)) сходится;
(v) (если Е = Rd) последовательность (Zn) плотна, и для
любых A G G, и € последовательность Е(1лехр(ги • Z")) схо-
дится.
Начнем со вспомогательной леммы о ’’би-мерах”.
5.34. Лемма. Пусть L — отображение: G х £ —> [0,1],
такое, что L(Sl', Е) = 1 и
(i) для всякого А € G отображение В ЦА, В) есть мера
на (Е,£);
(ii) для всякого В € £ отображение А L(A,B) есть мера
на (ft*,6).
Тогда существует единственная вероятностная мера р на
(£V,E,G ® £) такая, что р(А х В) = L(A, В) для всех (А, В) €
EGx£.
Доказательство. Положим р(А х В) = ЦА, В),
где (А, В) G G X £. Тогда функцию р можно очевидным образом
продолжить до конечно-аддитивной меры на алгебре ^°, поро-
188 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
жденной семейством G х £ на SI' х Е. Остается доказать, что
р(Сп) -* 0, если Сп € F° и Сп \ 0.
Каждое множество Сп представимо в виде Сп = и,<РмЛ^ хв;.
Пусть £ > 0, п > 1, i < рп. В силу (i) найдется такой компакт К*п
в Е, что К*п С В'п и
М(4 х Я‘) = £М!,,Л„)- “2_" =
Рп
= м(4хв;)-^2-".
Рп
Пусть с; = Пт<п U,<Pm А‘т х К'т. Имеем С'п С Сп и С'п G ^°, и
поскольку последовательность (Сп) убывает, то
/*(С".) > д(С„) - £ £ ^-2-" > Я(С„) - г.
m<n S<Pm
Всякое сечение C„(w') = {ж : (о/, ж) € С'п} является компак-
том, и ПС„ = 0. Поэтому для Fn = {о>' : С„(о>) / 0} имеем
limn \ Fn = 0. Поскольку в силу (ii)
О<<х£) = Ж,£)-0,
то заключаем, что д(Сп) \ 0. □
Доказательство 5.33. Импликация (i) => (iv)
тривиальна. Обратно, допустим, что имеет место (iv). В силу
условия плотности получаем, что для любого множества A Е G
последовательность мер {/P(dw')Qn(w', -)}n>i на Е плотна. По-
А
этому в силу второго предположения в (iv) эта последователь-
ность слабо сходится к некоторой мере Ь(А, •) на Е. Для любой
неотрицательной функции f Е С(Е) функция А L(A,f) явля-
ется мерой на (1У,<7) в силу теоремы Витали-Хана-Сакса [188].
Значит, отображение А ЦА, В) аддитивно для всякого В 6 £.
Более того, ЦА, В) < L(A,E) = L(A, 1). Поскольку А L(A,B)
есть мера для всякого В € £, то легко видеть, что L(A, 1) есть
вероятностная мере по А. Тогда в силу предыдущей леммы су-
ществует вероятностная мера д на (Q' х Е, Q ® £), по построению
удовлетворяющая 5.29 для всех Y — 1д, A Е Q. Используя ли-
нейность и процедуру равномерной аппроксимации, видим, что р
также удовлетворяет 5.29 для всех Y Е bQ, и мы получаем (i).
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 189
Эквивалентность (i) О (v) при Е = Rd доказывается анало-
гично. Импликация (i) => (ii) тривиальна, поскольку в условиях
(i) имеем Е(/(У)р(И")) —> д(/ ® д) для всех непрерывных, огра-
ниченных функций fug. Импликация (ii) (iii) также доказы-
вается просто, так как (У, Zn) сходится устойчиво тогда и толь-
ко тогда, когда (У',У, Z”) сходится по распределению для всех
У' € bQ. Наконец, импликация (iii) => (i) тривиальна. □
5.35. Замечание. Если выполнено 5.33(i) и мера /х явля-
ется пределом (Zn), то Е(/(У)</(£")) —► д(/) для любых (/-измери-
мых У и f G C(R х Rd). На самом деле верно и большее (см.
[110]): /Р(<й</)/(а/, Z"(o/)) м(/)для любой ограниченной ^Of-
измеримой функции f такой, что любое сечение f(w', •) непрерыв-
но на Е. □
2. Вернемся к ситуации § 5а. Прежде всего, предположим, что
выполнены 5.1, 5.2 и 5.3 — мы тогда оказываемся в точности в
ситуации данного параграфа с Zn = Хп, Z — X и переходной
вероятностью Q, определенной согласно 5.3.
Иными словами, теоремы 4.7 и 5.14(b) могут быть сформули-
рованы следующим образом:
5.36. В предположении 5.7(a) или 5.14(a) при всех tj G D
последовательность (Х(",...,X" ) сходится Q-устойчиво к
(Xtl,...,Xtr) (здесь E = (Rd)₽). ’
В предположениях 5.7(b) или 5.14(b) Хп сходится Q-устой-
чив о к X (здесь Е = D(Rd)). □
Обозначение Qn этого параграфа совпадает с обозначением Qn
в 5.25, если Zn = Хп. На самом деле, сходимость, установленная
в предположении [Sk — + [75 — Т>\ + [Sk — 751] существенно
сильнее (/-устойчивой сходимости, поскольку мы получили 5.26
(при условии 5.24), что заведомо сильнее, нежели 5.32.
С другой стороны, (/-устойчивая сходимость при условии 5.2
не намного сильнее обычной сходимости по распределению, по-
скольку а-алгебра (7, по существу, ’’очень мала”.
Более интересна (/-устойчивая сходимость при Q = (так
что a-алгебра Q так велика, как только возможно). Конечно,
190 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
в общем случае надеяться на ^'-устойчивую сходимость нельзя;
тем не менее, дополнительные условия вложенности на фильтра-
ции позволяют получать и такую сходимость. Точнее, вместо 5.2
предположим следующее:
5.37. Предположение: (i) существует такая после-
довательность чисел (ап), стремящаяся к нулю, что С
при всех n € N’;
(ii) Более того, Q = F' = (и, значит, Т7^ = V,^7^).
5.38. Пример. Условие вложенности 5.37, несомненно,
весьма ограничительно. Оно, однако, выполнено в одном очень
важном случае (встречавшемся уже в § 3f, например): пусть Y —
семимартингал с Уо = 0 на стохастическом базисе (fi'jJ’^F, Р') с
= Foo-• Пусть X" = anY^t, где an — нормирующая матрица,
7П — последовательность действительных чисел, возрастающая
к +оо (обычно 7П •= п). Другими словами, мы нормируем и заме-
няем время в зафиксированном процессе.
Тогда для фильтрации F", порожденной процессом Хп, усло-
вие вложенности 5.37 выполнено с an = 7“ □
5.39. Дискретный случай. Рассмотрим схему серий
как в 2.22. Предположим, что (Я",/"",?") = (fl',.77', Р') для всех
п, так, чтобы выполнялось предположение 5.1. Пусть также
5.40. а” = [п<].
Тогда условие вложенности выглядит следующим образом:
5.41. F' =V Q^o, G? = Gp+1 для всех р > 0, n > 1.
(В действительности, фильтрация Г* в непрерывном времени, со-
ответствующая процессу Хп, определенному согласно 2.24, есть
F” = так что в предположении 5.41 имеет место 5.37 с
an = l/jri). □
Ниже устойчивая сходимость рассматривается не в самой об-
щей ситуации. Мы ограничимся лишь одним результатом о функ-
циональной сходимости и сходимости конечномерных распределе-
ний на плотном подмножестве Т> С R+- Другие результаты для
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 191
дискретного случая и сходимости в одной точке (т.е. Р = {1})
можно найти в монографии [84], где используется другой метод.
Применение нашего метода к рассматриваемым в [84] задачам,
видимо, затруднительно.
5.42. Теорема. Пусть выполнены условия 5.1, 5.37 и 5.3,
процесс X квазинепрерывен слева, и Р — плотное подмноже-
ство в R+-
а) Если выполнены условия [/?5 — Р] + [75 — Р] + [65,1 — Р], то
для любых tj Е Р последовательность (X,",..., X,) сходится
устойчиво (т.е. Т'-устойчиво) к (Xti,...,Xtr).
b) Если выполнены [Sup — /35] + [75 — Р] + [£5,1 — Р], то после-
довательность (X”) сходится устойчиво к X.
Начнем с леммы, являющейся простым дополнением к 1.9 и
5.16:
5.43. Лемма. Пусть выполнено 5.1, 5.37 а 5.3, Р С К+,5.13
и 5.17 имеют место при ecext Е Р. Предположим, наконец, что
5.44. exp[iu-X^AS.]/G!n(u)anAs» Д 1
для каждого и Е Rd и любой последовательности моментов
остановки Sn такой, что величина |(7”(и)$»| отделена от ну-
ля (равномерно по п; каждый момент Sn есть момент остановки
относительно F”, и (ап) — последовательность из 5.37). Тогда
для любых tj Е Р последовательность сходится
1F'-устойчиво к (Х(1,..., Xtf).
Доказательство. Надо показать 5.8 для всех У Е
Е bQ (напомним, что Q = F). Для этого можно повторить сло-
во в слово доказательство 5.16. В 5.16 условие 5.2 использова-
лось в одном месте: при выводе 5.22. Здесь же последний член
в 5.22 был бы Е(У1{Л>а]£п/Зп7), и он не равен, вообще говоря,
Е(У1{л>а}Сп7), поскольку величина Z = У1{Л>О) измерима отно-
сительно Q, но не . Поэтому в правую часть 5.23 добавляется
четвертый член, а именно
w” = |E(ZC(/3” - 1))1,
192 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
и для завершения доказательства надо убедиться в сходимости
wn -* 0 при п | оо.
Если последовательность (а„) такова, как в 5.37, то поскольку
|С"| = 1, получаем
5.45. wn < |E[E(Z | ^в)С(Г - 1)]| + E[|/?n - 1| \Z - E(Z |
Имеем-|/?n| < 2/a, \Z\ < К/а, и в силу теоремы о сходимости
мартингалов и 5.37 находим, что E(Z | Р”*) % п-н- Стало быть,
последнее слагаемое в 5.45 стремится к нулю.
Рассмотрим первое слагаемое в правой части 5.45. Если р > 2,
то /р_1 > 0, и при всех достаточно больших п имеем an < ip_i. В
силу 5.21 получаем E[E(Z | ^П)^"(СП — 1)] — 0> и искомый резуль-
тат доказан. Если р = 1, то Zp_i = 0, и предыдущие аргументы
не работают. Однако, в этом случае = 1, и поскольку Мп есть
мартингал, и (3n = = exp(iu • то
E[E(Z|J?b)(/T-1)] =
= Е[Е(7|^п){ехр[ги-^пМ1Лвв)/Сп(и)5пм.лвп - 1}]-
Для всех достаточно больших п имеем ап < ; кроме того, |Z| <
< К/а, стало быть,
|E[E(Z|^n)(£n-l)]|<
< ^Е(|ехр[ш-^пЛвв)/<Т(и)5»лв„ - 1|],
что стремится к нулю в силу 5.44 (подынтегральное выражение в
правой части выше ограничено величиной 1 + 2/а). Таким обра-
зом, во всех случаях wn —* 0, и доказательство завершено. □
Доказательство 5.42. а) Как мы видели в доказатель-
стве 5.7, имеет место 5.17. Поэтому в силу предыдущей леммы
остается доказать 5.44. Положим Х,п = Хп — Вп, X1 = X - В, и
пусть G,n(u) и д'(и) — процессы, связанные с Х'п и X' согласно
1.8. В силу П.2.47 имеем Gn(u) = <7'n(u)exp(zu • Вп), и, значит,
остается доказать, что
5.46. ехр(гн • X^Aan)/G’"’(U)s«A«. - 1-
5. Сходимость ж смеси процессов свезшамымя приращениями 193
В силу 2.19 имеем X,n X'. Поскольку Sn Л ап —» 0, то полу-
чаем Х'дпAOw Л Х'о = 0, следовательно, XglАвш Д 0. Рассмотрим
также доказательство 2.19: мы получаем 2.20, где, однако, Сх и
д * Vх зависят от ш. Если о> € 4, то тогда в силу VII.3.4 про-
цесс с независимыми приращениями Zn,u, имеющий характери-
стики (Вх'" (ы),Сх'п (ш),1/х'“ (о>)), сходится по распределению
к процессу X' с характеристиками (Вх‘ (ш),Сх> (ш),их' (ы)). От-
сюда, в точности, как и выше, Z" сходится по распреде-
лению к нулю, откуда следует, что G,n”(u)(w)s»"(w)Aan« сходится_
к единице. Обычными рассуждениями приходим к выводу, что
G'n(u)S4\an —► 1, и получаем 5.46.
Ъ) В силу 2.1 имеем Хп Л X, и, значит, последовательность
(Хп) плотна. Поэтому остается повторить доказательство 5.7(b),
в котором 5.2 не играет роли. □
5.47. Замечание. Теорема 5.42 останется верной, если
X не является квазинепрерывным слева, при условии, что [<551—2?] "
и [Sup —/?s] заменены на [Sk —£5,1] и [Sk —^5]. Детали оставляем
читателю, укажем лишь, что первый шаг здесь — доказательство
обобщения 2.19. □
3. Покажем на весьма частном случае, как можно применять
результаты об устойчивой сходимости к случайной нормировке.
Пусть задан одномерный локальный мартингал Y на стохастиче-
ском базисе (Я', J’', F7, Р'), Уо = 0, и
5.48. |Ayt| < К при всех /, ш
с некоторой постоянной К (последнее — только для простоты).
Предположим, что
5.49. -[У,П»Л^2,
71
где ?/ — неотрицательная случайная величина на (Я', Т7', Р').
5.50. Теорема. В предположении 5.48 и 5.49 последо-
вательность процессов X” = Ynt/y/n сходится -устойчиво к
7 Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. T.2
194 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
процессу X = tjW, где W — стандартный винеровский процесс,
не зависимый от У.
Точная конструкция X следующая: пусть Ро — (единствен-
ная) мера на D(Rd), относительно которой канонический процесс
W является винеровским. Тогда положим
Я = J2'х D(Rd), Z = .T®D(R4), P = P'0Po,
и продолжим все объекты Хп, г] и W на Я обычным образом. То-
гда Xt(w', а) = Можно также строить процесс X в со-
ответствии с 5.3, где Q = рассматривая (единственную) меру
Q(u*, •), относительно которой канонический процесс X является
гауссовским мартингалом с (X, X)t = »/2(w)/. Эти два варианта,
очевидно, эквивалентны.
Доказательство. Используем второй указанный
способ построения X. Имеем 5.1 с Т7” = и 5.3 с <7 = J’1. В си-
лу 5.38 имеем 5.37. Отметим, что В = 0, v = 0, = t/2(u>')Z.
В силу 5.48, очевидно, получаем 3.14. Поскольку [ХП,ХП]( =
= [У,У]п|/п, то 5.49 влечет [75 — R+].
Как было установлено в доказательстве 3.12, если В = 0 и
и = 0, то 3.14 и [5g - Rd] влекут [Sup - /35], [75 - R+] и
[tf5|i — R+], причем независимо от того, случайно С или нет. По-
этому искомый результат следует из 5.42. □
Следствие ниже содержит два варианта ’’случайной нормиров-
ки”:
5.51. Следствие. Пусть выполнены условия 5.48, 5.49,
и г} > 0 Р'-п.н. Тогда две последовательности процессов X'tn =
= Ynt/r]y/n и Х"п — Ynt/\Y,Y\}I2 сходятся по распределению к
стандартному винеровскому процессу.
Доказательство. Сходимость Х'п —► ТУ следует из
5.33(H) и того факта, что Х'п = /(т),Хп) и W = f(r),X), где f —
непрерывная функция: /(а,а(-)) = а(-)/а. Сходимость Х"п W
вытекает из предыдущей и из сходимости [У, Y]^2/rjy/n —» 1. □
5.52. Замечание. Имеются результаты об одномерной
сходимости такого типа (см. [3]). Имеется также более сложный
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 195
вариант, в котором 5.49 заменяется на сходимость £[У, Y]nt X Ct,
где С — непрерывный процесс. □
4. Приведем другое очень простое применение устойчивой
сходимости к абсолютно непрерывной замене меры. Рассмо-
трим ситуацию 5.28, и пусть Р' — другая вероятностная мера на
(fl',.77), абсолютно непрерывная относительно Р'; обозначим че-
рез У = dP'/dP' производную Радона-Никодима.
Бели в этом случае (Zn) сходится ^'-устойчи-
во к Z относительно Р (см. 5.32), то, очевидно, имеем следу-
ющее: если P(dw',dx) = P'(du')Q(uj', dx), то (Zn) также сходится
^'-устойчиво к Z относительно Р (это совсем очевидно для огра-
ниченных У; если У неограничено, то аппроксимируем У посред-
ством У Ар и затем устремим р к бесконечности). Таким образом,
получаем из 5.42 следующее:
5.53. Теорема. Пусть выполнены 5.1, 5.37 и 5.3, процесс
X квазинепрерывен слева, Р — плотное подмножество в R+, Р'
— другая вероятностная мера на (Sl',P') сР'< Р'.
а) Если выполнено [/35 — Р] + [75 — Р] + — Р], то Хп X
относительно Р, так же как и относительно Р.
Ь) Если выполнено [Sup — ^5] + [75 — P] + [^5,i — Р], то Хп Л X
относительно Р, так же как и относительно Р.
Отметим, что X относительно Р является процессом с Р'-
условно независимыми приращениями с теми же характеристик
ками (В,С, и), что и относительно Р, но не с тем же самым рас-
пределением. Полезно отметить также, что все условия выше
формулируются с мерой Р', тогда как заключения — с мерой Р'
— это очень полезно, если относительно Р' все Хп просто устро-
ены, так что условия [/?5 — Р], [75 — Р], [£6>1 — Р] (сравнительно)
легко проверить. В этом случае для любой меры Р' Р' также
имеется сходимость по распределению, и можно идентифициро-
вать предел независимо от того, насколько сложно вычисляются
новые характеристики А ".
§5d. Сходимость с перемешиванием
5.54. Определение. В ситуации 5.28 говорим, что по-
196 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
следовательность (Zn) сходится с Q-перемешиванием (или с пе-
ремешиванием, если Q = F), если она сходится (/-устойчиво и
предельная мера д представима в виде p(dw',dx) = P*(db>y)(dx),
где в — некоторая вероятностная мера на (Е,£). □
Тогда в обозначениях 5.31 и 5.32 случайная величина Z не
зависима от o’-алгебры Q относительно Р.
Все предыдущие результаты о (/-устойчивой сходимости (5.36,
5.42, 5.50), на самом деле, дают сходимость с (/-перемешиванием,
если имеется еще следующее свойство.
5.55. В 5.3 мера Q(u',dx) = Q(dx) не зависит от ы', или, рав-
носильно, характеристики (В,С, и) детерминированы, или, рав-
носильно, X есть процесс с независимыми приращениями отно-
сительно меры Р, определенной в 5.5. □
Например, в 5.51 для Х'п или Х"п имеет место сходимость
с перемешиванием. Конечно, данное понятие перемешивания не
следует путать с понятием последовательностей с перемешива-
нием из § 3g.
§5е. Применение к стационарным процессам
В этом кратком параграфе мы возвращаемся к ситуации § 3g:
имеем вероятностное пространство (Л', Т7', Р') с сохраняющим ме-
ру потоком и измеримым процессом Y = (У)<€ж, удовле-
творяющим условию У<+э = Yto03 при s, t € R. Для простоты дела
предположим также, что Т7' = <т(Уа : s G R). Снова обозначим
инвариантную <т-алгебру (см. 3.78) через С, и положим
nt
X" = 4= [Y, ds, t > 0.
vn J
о
Пусть (SI", T", P") — другое вероятностное пространство co стан-
дартным винеровским процессом W. Положим
SI = SI' х SI", Е = Г', Р = Р' ® Р",
и продолжим (с теми же обозначениями) У, Хп, С с SI' на SI, и W
с SI" на SI.
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми приращениями 197
5.56. Теорема. Пусть
оо
5.57. ||У0||2 <оо, J||Е'(К | ^)||2 dt < оо
о
(т.е. 3.80 при р = 2). Тогда
5.58. с = 2 J^(Y0Yt\C)dt
о
есть неотрицательная интегрируемая ^-измеримая случайная
величина, и Хп сходится Т'-устойчиво к процессу y/cW (и, в
частности, Хп y/cW).
Доказательство. Достаточно повторить доказа-
тельство 3.79 со следующими изменениями: всюду математиче-
ское ожидание Е'(-) относительно Р' заменяется условным мате-
матическим ожиданием Е'(-|€). Тогда в лемме 3.86 получаем
| €) = E(Afi | (£) = с (отметим, что для любой случайной
величины на SV имеем Е'(С71 С) = Е(Д | (£)), и, в частности, с > О,
и Е(с) < оо. В заключении леммы 3.91, естественно, получаем
1кЛ|В(ще).
п
Тогда выполнены 3.93 и 3.94. Далее, в 3.22 различные соотно-
шения эквивалентности не используют детерминированность С
(кроме, конечно, определения распределения предела X). Поэто-
му 3.93 и 3.94, на самом деле, влекут [Sup — /35], [75 — R] и [й5д — R]
для последовательности (Мп) с В, = 0, Ct = ci, и = 0, — а это
характеристики процесса y/cW. Далее, в силу 5.38 имеют ме-
сто условие вложенности 5.37, а также 5.1 и 5.3 (поскольку W по
построению не зависит от Т'). Значит, 5.42b влечет для Мп Т'-
устойчивую сходимость к yfcW.
Поскольку согласно окончанию доказательства 3.79,
sup |Х” — М,"| Д 0 при п | оо
для всех t < 00, то мы получаем искомый результат. □
198 Гл. VIII. Сходимость к процессу с независимыми приращениями
5.59. Замечания. 1) Если предположить 3.80 с р € (2, оо],
то аналогичное применение 5.42 даст /"'-устойчивую сходимость
(Xt”,... ,Х"г) к (y/cWtl,..., \fcWtr) для всех 0 < tx < ... < tr.
2) Имеется аналогичное обобщение теоремы 3.97 в дискретном
времени. Оставляем его читателю.
3) Если добавить предположение 3.78, то величина с неслучай-
на, и, стало быть, Хп сходится к y/cW с -перемешиванием. Это
усиление теоремы 3.79 мы получаем даром, поскольку рассма-
тривается сходимость одного процесса, нормированного в смысле
5.38.
4) Мы можем также применить теорему 5.25, так как 5.24 оче-
видно выполнено. Поэтому, если обозначить через Qn условное
распределение Хп относительно инвариантной <7-алгебры С, и че-
рез Qa — распределение винеровского процесса Wa с И/а)( =
= at, то имеем
Q4-) Л Qe( )• □
Глава IX
Сходимость к
семимартингалу
Это — третья — и последняя ступень в нашем изложении пре-
дельных теорем. Не только допредельные процессы Хп являются
произвольными семимартингалами, но и предельный процесс X
— также семимартингал, хотя и не совсем произвольный: по-
скольку рассматриваемый метод основан на сходимости мартин-
галов и на использовании характеристик X, то требуется, чтобы
последние действительно характеризовали распределение £(Х).
Поэтому в большей части главы предполагается, что £(Х) есть
единственное решение мартингальной проблемы, связанной с ха-
рактеристиками согласно определению в главе III.
Раздел 1 составляет техническую основу всей главы, в которой
главное, — что предел последовательности мартингалов явля-
ется мартингалом.
Далее, как обычно, предельные теоремы доказываются в два
этапа: плотность последовательности (Хп) и идентификация пре-
дела. Раздел 2 посвящен второй проблеме, плотность же и соот-
ветствующие предельные теоремы рассмотрены в разделе 3.
В разделе 4 предложены некоторые примеры и дополнения:
сходимость диффузионных процессов (возможно со скачками), чи-
сто скачкообразных марковских процессов, знаменитая сходи-
мость нормированных эмпирических распределений к броуновско-
200
Гл. IX, Сходимость к семимартингалу
му мосту. Более того, в точности, как в третьем разделе преды-
дущей главы, мы можем получить необходимые и достаточные
условия сходимости Хп Л X, если X — непрерывный семимар-
тингал.
Наконец, в разделе 5 рассматривается другая проблема: в
предположении сходимости Хп X устанавливаются условия
для сходимости Нп • Хп Й-Х стохастических интегралов.
1. Пределы мартингалов
В этом разделе излагается основной технический аппарат, ко-
торый коротко можно выразить так: предел по распределению по-
следовательности мартингалов является мартингалом. Этот
результат (справедливый при определенных предположениях...)
интересен и сам по себе; тем не менее, большая часть раздела
является чисто технической.
Постановка следующая: для всех п G N* рассматриваются
стохастические базисы Вп = (fln, J7n,Fn,Pn); Еп обозначает ма-
тематическое ожидание по мере Рп. Любые множества, случай-
ные величины, процессы... с верхним индексом ”п” определены
на Вп, обычно без специального напоминания.
§1а. Ограниченный случай
Первое предложение является прототипом тех результатов,
которые мы собираемся установить. И хотя оно еще не вполне
достаточно для наших целей, тем не менее, мы его приводим в
’ качестве первого шага из-за его простоты.
1.1. Предложение. Пусть (Мп) — последователь-
ность мартингалов, сходящаяся по распределению к некоторо-
му предельному процессу М, и |Mn| < Ъ тождественно для не-
которой постоянной Ь, Тогда М — мартингал относительно
фильтрации, которую он сам порождает.
Доказательство. а) Предельный процесс М опре-
делен на некотором вероятностном пространстве (Q,^7, Р) и по-
рождает фильтрацию FM. Рассмотрим пространство D = D(R) с
1. Пределы мартингалов
201
<7-полями Т> = P(R) и Р( = Pt(R) (см. VI.1.1). Пусть Р = £(М)
— распределение М, т.е. образ Р = Р о М-1 меры Р при отобра-
жении М : П —» D. Положим D = {t: Р(ДЛГ, / 0) = 0}.
Ь) Функция а 8UP«<» laWI Р-п.н. непрерывна в
смысле Скорохода на D, если з € D (см. VI.2.4). Стало быть,
supt</ |Aff| A supt<, | Mt |, и потому sup^, \Mt | < b Р-П.Н.
с) Пусть ti < 12, h, h € J(M) = {/ : P(&Mt / 0) > 0}.
Пусть f — непрерывная, ограниченная, Р(1-измеримая функция
на D. Тогда в силу VI.2.1 функция a a(/i)/(a) непрерывна на
D Р-п.н., и, значит,
1.2. E”[/(Mn)Mt’’] = Л b) V (-6))]
' E[f(M)(Mti Л 6) V (-6)] =
С другой стороны, величина f(Mn) У"-измерима (так как функ-
ция / — 2\-измерима, а процесс Мп согласован), и Мп — мар-
тингал на Вп. Стало быть, E[/(Afn)(Af<” — Л^")] = 0, ив силу 1.2
находим
1.3. Е[/(М)(М2-М„)] = о.
d) По теореме о монотонных классах 1.3 имеет место для всех
ограниченных функций /, которые измеримы относительно
а-алгебры, порожденной всеми непрерывными, ограниченными
Р(1-измеримыми функциями, и, значит, ввиду VI.1.14c мы полу-
чаем 1.3 для всех ограниченных -измеримых функций.
Наконец, пусть s < t. Найдутся две такие последовательности
sn U s, tn U t, что sn, tn G D. Тогда 1.3 имеет место для лю-
бой пары (sn,tn) и любой ограниченной, ^-измеримой функции
f (так как V, С Р,„_). Полагая п f оо и используем неравен-
ство |Af| < Ь, получаем, что Е[/(Л/)(М( — Л/,)] = 0. Согласно
определению FM имеем = М-1(Р4), поэтому получаем, что
E(Mt — М, | Т7,) = 0, и предложение доказано. □
Данный результат не охватывает локальные мартингалы, ко-
торые ’’характеризуют” семимартингалы в смысле П.2.21, по
двум причинам
(1) такие локальные мартингалы не являются ограниченны-
ми;
202
Гл. IX. Сходимость к семимиртиигллу
(2) они могут быть (локальными) мартингалами относитель-
но более.Широкой фильтрации, чем та, которую они порождают.
Случай (1) изучается в § 1b. Что касается (2), то существует два
различных обобщения предложения 1.1:
1.4. Предложение. Пусть на Вп заданы: т-мерный
процесс Yn, непрерывный справа и имеющий пределы слева, и
мартингал Мп. Пусть М — непрерывный справа и имеющий
пределы слева согласованный процесс на каноническом простран-
стве (D(Rm),P(Rm),D(Rm)) (см. VI.1.1), Р — плотное подмно-
жество в R+. Предположим, что:
(i) |Afn| < Ь тождественно для некоторой постоянной Ь;
(ii) Yn —► Y, где Y — некоторый предельный процесс с рас-
пределением Р = £(Y);
(iii) для любого t ЕТ) отображение а Mt(a) Р-п.н. непре-
рывно на D(Rm);
(iv) M™ — MtoYn X 0 для всех /ЕР (напомним, что Yn можно
рассматривать как отображение из Я" в D(Rm); напомним так-
же обозначение VIII.1.5 для Д); тогда процесс М о У является
мартингалом относительно фильтрации, порожденной У.
Вообще говоря, процесс У определен на пространстве (Q, Т7, Р),
и тогда Р = Р о У”1; однако, довольно часто У — канонический
процесс на Q = D(Rm), и в этом случае Р = Р и Af о У = М.
Доказательство. Оно вполне аналогично доказа-
тельству 1.1 со следующими изменениями:
а) Здесь D = D(Rm), Р = P(Rm), Р< = P,(Rm) и Р = Р о У-1.
Ъ) В силу (ii) и (iii) MtoYn Д- MtоУ для t Е Р, поэтому в силу
(iv) М” —> MtoY, и, значит, \Mt оУ| < Ь п.н. в силу (i). Поскольку
Р плотно в R+, а М непрерывен справа и имеет пределы слева,
то |Af о У | < b тождественно вне Р-нулевого множества.
с) Пусть ti < <2 и t{ Е Р, / — непрерывная, ограниченная,
Рп-измеримая функция на D. Тогда (в силу (ii)) отображение
а /(a)[(A/tj(a) Л 6) V (—6)] Р-п.н. непрерывно, и потому
1.5. ЕП[/(У”)(((М(. о Уп) Л ft) V (-6))] -
->Е[/(У)(((М<<оУ)Лб)У(-Ь))].
1. Пределы мартингалов
203
С другой стороны, в силу (iii)
(М?( Л Ь) V (-6) - ((Mti о У”) Л Ъ) Л (-6) Д о,
и стало быть,
1.6. Е"[/(У»){((^ Л 6) V (-6)) - (((Mt< о У») Л Ъ) V (-Ь))}] 0.
Из 1.5 и 1.6 следует, что
1.7. En[/(yn)((Aft" Л 6) V (—6))] —»
—» Е[/(У)(((Л£<< о У) Л 6) V (—6))].
Воспользуемся (i) и частью (Ь) доказательства: имеем
(М£ Л b) V (-5) = М* и ((Mti о У) Л Ь) V (-6) = Mti о У Р-п.н., и,
значит,
1.8. Е"[/(УП)М”] - E[/(y)(Mtj о У)].
Отсюда, поскольку Мп — мартингал на В”, а величина /(Уп)
Т7",-измерима, находим, что Е"[/(УП)(М(" - Aft”)] = 0, поэтому
1.8 влечет
1.9. Е[/(У)(М<3 о У - Mtl о У)] = 0.
d) Наконец, можно повторить часть (d) доказательства 1.1 (за-
меняя М на М о У), и получаем, что E[f(Y)(Mt о У — М, о У)] = 0
при всех 5 < t и f — ограниченных и 7?,-измеримых, что и тре-
бовалось.
1.10. П р е д л о ж е н и е. Пусть на Вп заданы: т-мерный
процесс Yn, непрерывный справа и имеющий пределы слева, мар-
тингал Мп. Предположим, что |Afn| < Ь тождественно для
некоторой постоянной Ь, и (т + Г)-мерный процесс (Yn,Mn)
сходится по распределению к некоторому предельному процессу
(Y,M). Тогда М является мартингалом относительно филь-
трации, порожденно (У, М).
204
Гл. IX. Сходимость к семи^артингалу
Доказательство. Вновь следует повторить доказа-
тельство 1.1с D = D(Rm+1). Можно применить 1.4 к У'", М'п, М',
V, определенным следующим образом:
' Y'n = (Yn,Mn), М,п = Мп,
£' = {«: Р(ДМ( = 0, ДУ, = 0) = 1},
У' = (У, М), М' = (т + 1)-я координата
канонического процесса на D(Rm+1).
Тогда (i) и (ii) выполнены в силу условий, (iii) — в силу опре-
деления Pz, a (iv) тривиально, поскольку М,п = Мп = М' о Y'n.
Наконец, М' о У' = М, и искомый результат доказан. □
§1Ь. Неограниченный случай
Теперь мы хотим ослабить предположение о равномерной
ограниченности Мп в предложениях 1.4 и 1.10. В первом из них
ограниченность заменяется на равномерную интегрируемость, во
втором же удается установить "локализованную” по времени вер-
сию результата.
1. Прежде, чем обобщать 1.4, сформулируем лемму. Пусть
(Z,)j€/ — семейство случайных величин; даже если они опреде-
лены на разных вероятностных пространствах, обозначаем через
Е(-) математическое ожидание.
1.11. Лемма. Семейство (Zi)iei равномерно интегрируе-
мо в том и только в том случае, когда sup<6/ Е(|^|-|^|А6) - 0
при b f оо.
Доказательство. Необходимость следует из нера-
венства E(|Z,| — |Zj| Аб) < Е(|2<|1{|^|>»}). Наоборот, пусть р(Ь) :=
= sup<6/ E(|Z,-| — |Z,| A 6) стремится к нулю при b f оо. Во-первых,
а := sup E(|Z,|) < b + p(b)
iei
для всех b, и, значит, а < оо. Во-вторых, имеем
Е(1^«Ццг.оо) - E((|Z,| А а)1{|г,(>»})+
+Е(\Zi| - \Zt\ Ла) < aP(\Zi\ >b) + p(a) <^a + p(a).
1. Пределы мартяягалов
205
Если задано £ > 0, то выберем сперва а такое, что р(а) < е/2,
а затем b такое, что < г/2, тогда правая часть в последней
цепочке неравенств не превосходит £ при всех i € I, и, стало быть,
семейство (Z,),e/ равномерно интегрируемо. □
1.12. Предложение. Заключение предложения 1.4
остается справедливым, если условие (i) заменить на условие
(?) семейство случайных величин равномерно
интегрируемо.
Доказательство. Результат доказывается как и в
1.4, кроме части (Ь) этого доказательства, которая здесь не про-
ходит. Тем не менее, начало (с) еще справедливо, и мы получаем
1.7 для всякого b G R+- Более того, те же рассуждения влекут
сходимость
1.13. En(|Aftn| Л 5) —» Е(|1И,оУ|Л&)
для любых t G Р, b € R+. Положим
1.14. p(b)= sup En(|Mtn|-|4n|A6),
t>0,n€H*
эта величина в силу 1.11 и (»') стремится к нулю при Ь f оо.
Применяя 1.13 для b и для Ь' > Ь, в силу определения р(Ь) получаем
при любом t € V:
Е(|Mt о У| Л b' - \Mt о У| Л Ь) < р(Ь).
Полагая b1 f оо, находим
1.15. Е(|М, о У| - \Mt оУ| Л Ь) < р(Ъ)
при любом t G Т>. Поэтому вновь в силу леммы 1.11
1.16. семейство (Mt о равномерно интегрируемо.
Далее, в силу 1.7, 1.14, 1.15 и равенства 1шцТоор(!>) = 0 легко
убедиться в справедливости 1.8. Стало быть, те же самые ар-
гументы, что и в доказательстве 1.4, позволяют установить 1.9
для всех ограниченных, -измеримых, непрерывных функций
на D = D(Rm).
206
Гл. IX. Сходимость к семимартяягалу
Наконец, пусть s < t и sn Д s, tn Д t, sn, tn E T>, и f —
ограниченная, T>,-измеримая функция. Тогда в силу 1.9
Е[/(У)(1Ии о Y - М,п о У)] = 0.
Поскольку М непрерывен справа и в силу 1.16, Mtn о У — М,п о У
сходится к. Mt oY — Мг oY ъ L1, то
Е[/(У)(М о У - М, о У)] = 0.
Но любая ^/-измеримая случайная величина на О представима
в виде /(У) с некоторой Р.-измеримой функцией /, и тем самым
искомый результат доказан. □
2. Перейдем к локализации предложения 1.10.
1.17. Предложение. Пусть на В” заданы т-мерный
процесс Yn, непрерывный справа и имеющий пределы слева, и
локальный мартингал Мп с |ДМП| < Ь тождественно для не-
которой постоянной Ь. Пусть (т + 1)-мерный процесс (Yn,Mn)
сходится по распределению к некоторому предельному процессу
(Y,M). Тогда М — локальный мартингал относительно филь-
трации, порожденной (Y,M).
Доказательство. Пусть D = D(Rm+1) с фильтра-
цией D = D(Rm+1). Для удобства обозначим Уп = (У",А/П),
У = (У, М). Процесс У определен на пространстве (Q,^7, Р), по-
рождает фильтрацию Fy, и его распределение обозначим через
Р = РоУ"1.
В соответствии с VI.2.10 для a G D положим:
5о(а) = inf(i : |а(/)| > а или |a(t—)| > а),
У(а) = {а > 0 : 5в(а) < 5в+(а)},
Г(а) = {а > 0 : Да(£,(а)) / 0 и |а(5в(а)-)| = а}.
Тогда согласно VI.2.12 отображение а а5' (отображение, ’’оста-
новленное” в момент 5а(а)) непрерывно в топологии Скорохода в
любой точке а такой, что а £ V(a) U V(a).
Далее, множество V = {а > 0 : Р(а : a G У(а)) > 0} не
более чем счетно как множество фиксированных моментов разры-
ва возрастающего, непрерывного процесса (5а)а>о (см. VI.3.12).
1. Пределы мартингалов
207
Аналогично множество V' = {а > 0 : Р(а : а € У'(а)) > 0}
не более чем счетно — доказательство то же, что и для U(X) в
VI.3.12; более точно, в обозначениях VI.2.6 имеем
Пусть теперь а > 0 лежит вне V U V'. С помощью устано-
вленного выше находим, что из схоцимости У" Л Y вытека-
ет сходимость У”(а) У(а), где Ytn(a)(u) = ^"s<(y.(w))(w) и
У(а)<(о>) = Более того, |ДМ"| < Ь, поэтому по
построению Sa имеем |Мп(а)| < а + Ь, где М"(а) = Me" s ^„у По-
этому те же аргументы, что и в доказательстве 1.4, показывают,
что |Af(a)| < а + b Р-п.н., где M(a)t — Теперь в точно-
сти так же, как в доказательстве 1.4, получаем, что для любого t
такого, что Р(ДУе / 0) = 0,и любой непрерывной, ограниченной
Р(_-измеримой функции f на D,
Е“[/(У”(а))Л/,"(а)] =
= ГЩГМт Л (6 + a)) V (-(Ь + «)))] -
- Е[/(У(а))((1И,(«) Л (Ь + а)) V (-(< + «)))] =
= Е[/(У(а))Л/,(а)1.
Снова как в 1.4 находим, что
1.18. Е[/(У(а))(М,я5.(?) - M,AS.(f,)] = 0
при s < t и ограниченных, Р.-измеримых /.
Пусть опять f ограничена и ^-измерима, и t > s. Если
Sa > s, то имеем Уг(а) = Y, для всех г < s + е при некотором
£ > 0. Функция же f является Pj+e(Rm+^-измеримой. Стало
быть, находим в силу леммы Ш.2.43, что /(У(а)) = /(У). Если
Sa < то Mas. = Mas.- Значит, в силу 1.18
Е(/(У)(М,Л5.(Г> - = 0.
Поскольку .Fy = У-1(Р,), то это означает, что остановленный
процесс МЛ5.(У) является мартингалом на (ft,/’,Fy,P).
Наконец, существует такая последовательность an | оо, что
an 0 V U V' и 5О.(У) J оо п.н. Стало быть, М есть локальный
мартингал на (Q,^-, Fy,P). □
208
Гл. IX. Сходимость к семямартяягалу
1.19. Следствие. Пусть последовательность (Мп) ло-
кальных мартингалов сходится по распределению к некоторому
предельному процессу М, и |ДЛГ"| < Ь тождественно для неко-
торой постоянной Ь. Тогда М — локальный мартингал отно-
сительно фильтрации, которую он порождает.
2. Идентификация предела
Заглавие этого раздела не вполне корректно, так как на са-
мом деле изучается следующий вопрос: если последовательность
(X”) семимартингалов сходится к некоторому предельному про-
цессу X, то является ли X семимартингалом с заданными ха-
рактеристиками!
Дается также применение в § 2d к задаче о существовании ре-
шений мартингальной проблемы <S(ff(Xo), Х\тр,В, С, и) в смысле
§ Ш.2, когда В, С и и имеют некоторые свойства регулярности.
§2а. Вводные замечания
Прежде всего, определим точнее объект исследования. Как
и ранее, при всяком n 6 N* имеется стохастический базис Вп =
= (Пп, J‘”,Fn,Pn) и на нем d-мерный семимартингал Хп =
= (X",’)i<d с характеристиками (Вп,Сп,рп) и модифицированной
второй характеристикой Сп (см. П.2.16) относительно фиксиро-
ванной непрерывной функции усечения h, одной и той же для всех
ne N*.
Предельный процесс X есть d-мерный процесс, непрерывный
справа и имеющий пределы слева, X = (Х‘)«<<*> определенный на
стохастическом базисе (fl,5\F,P). На этом же базисе рассмо-
трим:
2.1. (i) В = (В‘)«<<* — предсказуемый процесс с конечной ва-
риацией на конечных интервалах, и Во = 0;
(И) С = — непрерывный согласованный процесс
с Со = 0, для которого Ct — С, есть симметрическая, неотрица-
тельно определенная матрица при любых s < t;
2. Идентяфяхлцкя предела
209
(iii) и — предсказуемая случайная мера, HaR+ xRd, такая,
что i/(R+ х{0}) = i/({0}xRd) = 0, (lA|®|2)*izt(w) < оо, fisfio; {/}х
xdx)h(x)&Bt(u) и p(w; {/} х Rd) < 1 тождественно. □
(Те же объекты, что и в III.2.3.) Пусть еще как в III.2.6
2.2. &’ = Cij + (AW) ♦ и - £ ДВ‘ДВ>.
»<
На протяжении всего раздела предполагается, что Хп X, и
ищутся условия типа сходимости Вп, Сп, vn в каком-либо смысле
к В, С, и, из которых следовало бы, что X есть семимартингал с
характеристиками (В, С, v).
Отметим, что условия [/35 - Р], (7S - Р] и [f5>< - Р] гл. VIII
здесь не имеют смысла, так как мы не требуем, чтобы В, С я
и здесь были детерминированы, и они не определены на том же
пространстве, что и В", Сп, ип.
1. На первый взгляд, естественным обобщением, скажем,
[/3$ - Р] могло бы явиться условие
2.3. BJ* Л Bt для всех t 6 Р,
и аналогичные условия на Сп я ип.
Оказывается, что такие условия не вполне удовлетворитель-
ны, однако в § 2с будет доказан следующий результат в этом духе:
2.4. Теорема. Пусть F — фильтрация, порожденная X,
и выполнены следующие условия:
2.5.
( [Х^-С] (Хп,Вп,Сп)^(Х,В,С),
( - С] (Хп,д * рп) 4 (Х,д * и) для всех g G C^R4).
Тогда X — семимартингал на (ft, J\F,P) с характеристиками
(В, С, у).
(Напомним, что класс Ci(Rd) определен в VII.2.7; в [Х0^ — £}
требуется слабая сходимость распределений (d + d + d2)-мерных
процессов (Хп,Вп,Сп) в топологии Скорохода на D(R<i+<<+<< ), и
аналогичный смысл имеет условие [X<$i — £].)
210
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
Как ниже будет видно, эта теорема в некоторых отношениях
полезна. Однако, она существенной недостаток: в ней предпола-
гается известным совместное распределение X и (В, С, у) относи-
тельно меры Р. В большинстве же приложений мы только знаем,
что Хп сходится по распределению к какому-то предельному про-
цессу, чей закон распределения Р, и это по существу, неизвестен!
По этой причине желательно, чтобы условия формулировались в
терминах Рп, но не Р (как в [/?5 — Р],... в гл. VIII).
2. С этой целью примем следующее:
2.6. Предположение. (ftj/’jF) есть каноническое
пространство (D(Rd),P(Rd),D(Rd)) в смысле VI.1.1, X есть ка-
нонический процесс: Xt(a) = а(2). □
Можно рассматривать Хп как отображение: 12" —► 12 = D(Rd),
так что В о Хп и т.п. имеет смысл. Наше второе ’’естественное”
обобщение [/?5 — Р],... состоит в следующем наборе условий, в
которых Р обозначает подмножество R+.
[р7 - Р] В” — Bt о Хп Д 0 для всех t Е Р,
[77 — Р] Ct — Ct о Хп Д 0 для всех t 6 Р,
[^7, -Р] g*Vt - {g*Vt)oXn Д 0
k для всех t £ Р, g € C,(Rd),
(если В, С, v детерминированы, то эти условия, очевидно, сво-
дятся к - Р], (7s - Р], [<55,< - Р]).
Данные условия могут, на первый взгляд, показаться несколь-
ко странными. Чтобы лучше почувствовать, что они означают,
сравним их с вариантом давнего результата, известного как те-
орема Троттера-Като: пусть (Р?)«>о при n G N* и (Р()(>о —
марковские полугруппы на Rd, Ап и А — соответствующие ин-
финитезимальные операторы. Тогда из сходимости в определен-
ном смысле Ап —> А вытекает следующая сходимость полугрупп:
Pt f —* Pt/ ПРИ всех t и для всех Хороших” функций /.
Из такой сходимости сразу следует, что если множество этих
хороших функций содержит C(Rd) — пространство всех непре-
рывных, ограниченных функций на Rd, и если, кроме того, (Р()
2. Идентификация предела
211
— феллеровская, т.е. Ptf € C(Rd) при / € C^R**), то имеет место
слабая сходимость конечномерных распределений на R+ для со-
ответствующих марковских процессов Хп и X в предположении,
что X? 4 Хо.
Более конкретно, пусть Хп и X есть однородные (непрерыв-
ные) диффузионные процессы с коэффициентами 6П, с” (соответ-
ственно, 6, с), — см. Ш.2с. Оператор А” действует на функции
из С2 по формуле
^f(x) = ЩМ,) + 1 £
i<d Z i,j<d
и аналогично для А. Тогда сходимость ” Ап —> А” в данном случае
означает, что
2.8. Ьп -»• Ь, сп —> с равномерно,
а феллеровское свойство предельной полугруппы (Pt) более или
менее означает, что
2.9. Ь,с — непрерывные функции на Rd.
Таким образом, при условиях 2.8, 2.9 и Х% 4 Хо с помощью
теоремы Троттера-Като получаем сходимость Хп X.
Но характеристики Хп и X имеют следующий вид:
поэтому, как легко видеть, 2.8 влечет [/?7—R+], [77—R+], [й71,—R+].
Поэтому основные результаты данной главы, основанные на
условиях типа 2.7, являются, в некотором роде, обобщениями те-
орем типа Троттера-Като (см. Иосида [205]) на не обязательно
марковский случай (и на функциональную схоцимость) в напра-
влениях, развитых в книге [233] Струка и Варадана.
212
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
§2Ь. Идентификация предела: основной результат
Данный подраздел посвящен доказательству следующего ре-
зультата:
2.11. Теорема. Пусть выполнено 2.6, последователь-
ность £(ХП) сходится слабо к некоторому пределу Р (вероят-
ностной мере на (f2,J*)), V — плотное подмножество в R+,
содержащееся в R+\J(X) (где, как обычно, J(X) = {t > 0 :
Р(ДЛ\ 0) > 0} — множество фиксированных моментов раз-
рыва X относительно меры Р). Кроме того, предположим, что
выполнены:
(i) Условия [/37 - V], [77 - Т>], [tf7>i - Р] (см. 2.7);
(ii) Условие мажорируемости: suP«en |£*(а)1 < оо,
suP*en I# * рАа)1 < 00 для всех < € R+, 5 € Ci(Rd);
(iii) Условие непрерывности: для любых t € R+, g G Ci(Rd)
отображения а Bt(a), g * p«(a) — P-почти наверное не-
прерывны в смысле Скорохода.
Тогда X есть семимартингал на (Q,^7, F,P) с характери-
стиками (В,С, и}.
Доказательство, а) Положим
Х{ = Xt - £[АХЛ - Л(ДХ)], Vt = X't — Bt — х0,
X? = xtn - £[ax; - Ь(ДХ,")], V" = х;п - в; - xj
(так что Х'п = X' о X"), и при i, j < d,g € C^R*)
Zij = V‘0 - Cij, 5(ДХа) - g * vt,
s<t
Zn,ij = Vn,iVn,j _ £n,ij, Nn,3 = j- 5( AX?) - g * if.
В силу П.2.21 при каждом п процессы У”, Zn, Nn>9 есть локаль-
ные мартингалы на Вп, и требуется доказать, что V, Z, № —
локальные мартингалы на В = (fl,^7, F,P).
b) Докажем сперва, что i-я компонента У’ процесса У является
локальным мартингалом. Достаточно доказать, что Mt = У/лТ —
2. Идентификация предела.
213
локальный мартингал при любом фиксированном Г Е Р. В силу
(ii) существует такая постоянная К, что Су (а) < К при всех а.
Определим момент остановки
Tn = inf(t: СТ’" > К + 1).
Применим предложение 1.12 к Yn = X", Af" = АТ, Y =
X и М. Мы знаем, что Мп — локальный мартингал на F", и
Xn X (с £(Х) = Р) по условию, поэтому 1.4(H) выполнено.
Поскольку h непрерывна, то VL2.3 и VI.2.8 влекут непрерывность
отображения а Х('(о) во всякой точке а, такой, что Да(<) = 0.
Отсюда в силу (iii) и включения Т> С R+\J(X) заключаем, что
a Af((а) Р-п.н. непрерывно для всех t G Р, и, значит, 1.4(iii)
выполнено.
В силу [77 — Р], Су" — Су оXn X 0. Поскольку Су оХп < К,
то находим Р(Су’“ > К + 1) —» 0 при n f 00, и, стало быть,
2.12. Р(7П < 71) —► 0 при n f оо.
Поскольку X'n = X' о Хп, то Af" - Mt о Хп = В{АТ о Хп — В”£т для
всех t > 0 на множестве {Tn > Т}. Поэтому в силу 2.12 и [/?7 — Р]
получаем
Af" — Af( о Хп 0 при всех t G Р,
и, значит, 1.4(iv) выполнено.
Остается доказать 1.12(F) для последовательности (Af"). В
силу неравенства Дуба 1.1.43 и 1.4.6 имеем
E"(sup|Aft"|2) < 4E"[(Af£)2] = 4En(C?’“),
t “
что ограничено константой по определению Тп и так как скачки
С" ограничены другой константой, зависящей лишь от функции
усечения Л. Стало быть, 1.12(i') выполнено, что и требовалось.
с) Во-вторых, докажем, что является локальным мартин-
галом. Снова достаточно доказать, что таков процесс Mt = Z(’AT
для любого фиксированного Т 6 Р. Мы используем такую же
схему, что и в (Ь) со следующими изменениями: выберем такую
постоянную К, что Су(«) + СУ (а) < К тождественно, и пусть
Tn = inf(f : С?” + С?'” > К + 1),
214
Гл. IX. Сходимость к семлмартлнгалу
М” — Z”$nAT, Yn = Хп, Y = X. Тогда 1.4(ii) выполнено, и,
как мы видели выше, отображения а Клт(а) и а У?лт(а)
Р-п.н. непрерывны при t G Т>. Поэтому (Ш) влечет Р-п.н. непре-
рывность отображения а Mt(a) при t € Р, и, значит, 1.4(iii)
выполнено.
С помощью [77 — Р], как и выше, получаем 2.12. Простые
вычисления показывают, что для всех t G Р
М? -MtoXn — ^дт.(^дт. - v>„ о Х")+
+т„т о Х")(^дт. - о X”)-
+ с”т«х",
и мы уже видели выше, что (УДт | Р") равномерно интегрируемы
(относительно п) и ¥&тлтя ~ ^<АТ 0 %п Поэтому из [77 - Р]
и 2.12 находим, что Af" — Mt о Хп Д 0 для всех t € Р, и 1.4(iv)
выполнено.
Остается доказать 1.12(iz). Как мы уже видели, С?’" и С?*3
ограничены постоянной К', зависящей лишь от К и от функции
усечения Л. Поэтому в силу леммы VII.3.34
E(sup |K&J4) < К", E(sup IK& Г) < К"
с некоторой другой постоянной К", зависящей лишь от К'. Так
как Zn,i* = Vn,*V"J — Cn,ii, to находим, что и семейство {^7лт»}
t > 0, п > 1 равномерно интегрируемо, что требовалось.
d) Остается доказать, что Mt = Х?лТ есть локальный мартин-
гал на В для любых g G Ci(Rd), Т G Р. Снова используем тот
же путь. Существует такая постоянная К, что g * рт(о) < К;
положим
Тп = inf(t: g * v” > К 4-1).
Вновь применим предложение 1.12 с У" = X", У = X, М? =
= ^”тплт> и Mt = Л?АТ. Имеем 1.4(ii); 1.4(iii) выводится из
(iii) и непрерывности а р(Да(з)) в любой точке а, где
До(/) = 0 (см. VI.2.8). Тогда [o7,i - Р] влечет 2.12, и на множе-
стве {Tn > Т} имеем
М? - MtoXn = (0 * i/MT) о Хп - g * ^"ЛТ,
2. Идентификация пределл
215
так что [<$7,1 — Р] снова влечет 1.4(iv).
Наконец, Мп есть стохастический интеграл от fifl(o,T»] по
- i/", где — случайная мера скачков X", поэтому ввиду
П.1.31 и П.1.33 получаем
{Mn,Mn}t<g2^^,
что ограничено некоторой константой К' — по определению Тп,
так как g сама ограничена и i*n({i} х R**) < 1 всюду. Значит, как
и в (Ь) получаем
E"(sup К|2) < 4En(<?2 * ^ATJ < 4К',
и, стало быть, 1.12(1') выполнено. □
2.13. Замечание. Условие непрерывности (iii) в 2.11,
очевидно, является ’’минимальным” для наших аргументов, одна-
ко, проверить его априори трудно, поскольку оно более или менее
предполагает, что Р известно. Очевидно, это условие выполнено
(для любого Р), если справедливо следующее:
2.14. Отображения а В«(а), С»(а), g * »/<(а) непрерывны на
D(Rd) для любых t G R+, g Е Ci(Rd). □
2.15. Замечание. В данном контексте, возможно, сле-
дующее условие более удобно, нежели 2.14:
2.16. Отображения а В’(а), С** (a), g * v(a) из I^R"*) в D(R)
непрерывны в топологии Скорохода для всех g G C’1(Rd).
Отметим, что 2.16 не влечет 2.1 l(iii). Однако, если положить
j(a) = {/ > 0 : i/(a; {/} х Rd) > 0},
то, поскольку В. (а), С (а) и g * р.(а) непрерывны по времени
в любой точке t 6 R+\J(a), заключение теоремы 2.11 остается
справедливым, если (iii) заменить на 2.16, в предположении, что
2.17. Р С R+ \{t: Р(ДХ4 / 0 или «/(•; {1} х Rd) > 0) > 0}. □
216
Гл. IX. Сходимость к сеиямартянгалу
2.18. Замечание. Аккуратный анализ предшествующе-
го доказательства показывает, что (ii) можно заменить следую-
щими условиями на характеристики Сп и vn:
2.19. Для любых t € R+ и п € N* найдется такой момент
остановки Т" на Вп, что:
(i) Р”(Т" < t) —► 0 при п f оо;
(ii) sup |Ct"AT.(w)| < оо,
sup |p ♦ ^”AT»(w)| < оо для всех g € Ci(Rd). □
Равномерное мажорирование 2.11(H) является довольно'стес-
нительным, и его хотелось бы ослабить, насколько это возможно!
В самом деле, его можно заменить на
2.20. для всех t > 0, д € C^R4), а > 0,
sup |G(«)| < оо,
а: supf<< |а(з)|<а
sup |p*i/t(a)| < 00,
а: sup1<t |а(й)|<а
при условии, что (i) и (iii) также заменены ’’локальными” усло-
виями. Например, в случае непрерывных диффузионных процес-
сов (см. §2а) 2.11(H) означает ограниченность функций бис,
тогда как 2.20 выполняется, если эти функции только локально
ограничены на Rd (что автоматически имеет место в случае их
непрерывности!).
Мы не формулируем здесь эту ’’локальную” теорему, однако,
Ниже будет рассмотрен локальный вариант нашей основной пре-
дельной теоремы (см. 3.39 ниже).
§2с. Идентификация предела с помощью сходимости
характеристик
Мы докажем здесь теорему 2.4 и получим некоторые простые
следствия.
2. Идентификация предела
217
Доказательство теоремы 2.4. Используем
обозначения X', V, Z, № и Х'п, Vn, Zn, Nn,>, введенные в доказа-
тельстве 2.11. Мы уже знаем, что У"-’, Zn’*> и Nn>3 при g G Ci(Rd)
— локальные мартингалы на Д”, и их скачки ограничены посто-
янной, зависящей лишь от функции усечения для У" и Z”, либо
только от g для Nn'a. Кроме того, V, Z, N9 F-согласованы и F
есть фильтрация, порожденная X. Поэтому, если
(1)
(хплп^)4 (х,№),
то в силу 1.17 получаем, что V, Z, N3 являются локальными мар-
тингалами на (Q,^7, F,P), и П.2.21 влечет искомое утверждение.
Отметим, что если функция f : Rm -»• Rm непрерывна, то
отображение а /(а) из D(Rm) в D(Rm) тоже непрерывно (это
вытекает, например, из характеризации VI. 1.14а топологии Ско-
рохода).
Обозначим через (а,/3,7) точки D(Rd х Rd X Rd ), и если a G
G D(Rd), то положим = а(/)—J2J<t[Aa(5)-A(Aa(5))]. Тогда
в силу VI.2.8 отображение (а,0,7) непрерывно
из D(Rd х Rd х Rd ) в х Rd х Rd х Rd ). Значит, непрерывны
следующие отображения из D(Rd х Rd х Rd ) в D(Rd х R):
(а,/3,7) - (0,^(0) - а‘(0) -/3’),
(а,/3,7) - - а‘(0) - а’)(^(а) - <?(0) - /У) - Г).
Стало быть, [Хр/ — £] влечет первые две сходимости в (1).
Аналогично, если g G C'i(Rd) и а Е D(Rd), то положим a3(t) =
= 53,<t^(Aa(s)). VI.2.8 влечет непрерывность отображения
(а, /3) 3, (а, а*, /3) из D(Rd х R) в D(Rd х R X R), и, значит,отобра-
жение (а,/3) (а, а3 — 0) непрерывно из D(Rd х R) в D(Rd х R).
Поэтому последняя сходимость в (1) следует из [Х<5 — £]. □
218
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
2.21. Замечание. Если F — фильтрация, порожденная
(X, У), где У — вспомогательный m-мерный процесс, непрерыв-
ный справа и имеющий пределы слева, на каждом базисе Вп опре-
делен согласованный т-мерный процесс Уп, непрерывный справа
и имеющий пределы слева, и
(X", Yn,Вп,С") 4 (X,У,В,С),
(Xn,Yn,g*vn)£(X,Y,g*v)
для всех g G Ci(Rd), то заключение в 2.4, очевидно, остается
верным. □
Закончим этот подраздел результатом, промежуточным меж-
ду теоремами 2.4 и 2.11.
2.22. Теорема. Вдеть выполнено 2.6, £(Хп) слабо схо-
дится к пределу Р, и
(i) Если 6т обозначает расстояние в D(Rm), согласованное с
топологией Скорохода, то
[Sk -Х0у] ^+d+d3((Xn,B",C"),(X,B,C')oX") До,
[Sk 6d+1((Xn,g * vn),(X,g * и) о Хп) До
для всех g G Ci(Rd);
(ii) Условие непрерывности: Отображения а (а, В(а),
С(а)) из D^) в D(Rd х Rd х Rd’) и а (a,g * 1/(а)) из D(Rd)
в D(Rd+1) для любой д € Ci(Rd) P-почти наверное непрерывны.
Тогда X — семимартингал на (Q,^,F, Р) с характеристиками
Доказательство. Проверим, что выполняются
предположения теоремы 2.4. Прежде всего, F есть фильтрация
порожденная X, в силу 2.6. Поскольку Хп X (здесь, конечно,
предполагается, что £(Х) = Р), то (ii) влечет
(X, В, С) О Хп 4 (X, В, С) О X = (X, В, С),
{X,g*v)oXn £ {Х,д*и)оХ - (Х,д*и).
Поэтому [Х/?7 — £] и [XS — £] следуют из (i). □
2. Лдажтжфшгаджя пределл
219
2.23. Замечание. Отметим, что X о Хп = Хп, и на-
помним, что топология Скорохода грубее, чем локально равно-
мерная топология, а локально равномерная топология на D(Rm)
есть m-кратное произведение локально равномерных топологий
на D(R)- Поэтому условия
[Sup — /37] sup |BJ* — Bt о X"| Д 0 для любого N > 0;
t<N
[Sup — 77] sup |С? - Ct о Х”| X 0 для любого N > 0;
t<N
[Sup - sup I0 * у? -(9* Vt)° Х’"| 0
t<N
для любых N > 0, g € C’i(R<<);
влекут [Sk — Х/З7] и [Sk — Х£]. □
§2d. Применение: существование решений некоторых
мартингальных проблем
Настоящий подраздел затрагивает тему, которая в данной кни-
ге почти не обсуждается: стохастические дифференциальные
уравнения, и в дальнейшем этот материал не используется. Пусть
2.24. (П, J',F) и X — такие же, как в 2.6; на пространстве
(Q, Т7, F) определен триплет (В, С, у), удовлетворяющий 2.1, и С,
заданное согласно 2.2; т/ — вероятностная мера на Rd. □
Наша цель — доказать существование решений мартингаль-
ной проблемы в(а(Хо),Х\тр,В,С,у) в смысле Ш.2.4, т.е. таких
вероятностных мер Р, что X есть семимартингал с характери-
стиками (В, С, у) и начальным распределением £(Х01 Р) = т/ на
(ft,^,F,P).
Прежде всего, перечислим ряд условий на (В, С, у).
2.25. Факторизационное свойство: Существует детермини-
рованная возрастающая функция t At, непрерывная справа и
имеющая пределы слева, такая, что
Bt(a) = Jb,(a)dA„
о
220
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
где Ь = (6* )•<<* — предсказуемый d-мерный процесс;
С,(а) = Jc,(a)dA„
о
где с = — предсказуемый процесс со значениями в мно-
жестве всех симметрических, неотрицательно определенных ма-
триц размера d х d;
v(ot;dt,dx) = dAtKt(a;dx),
где (a,t) Kt(ot,dx) есть положительное предсказуемое ядро из
fl х R+ в RJ. □
2.26. Свойство мажорируемости: supe t |6t(<x)| < оо,
supo t |ct(o)| < оо, и supe t fKt(a, d®)(|x|2 A 1) < oo. □
2.27. Свойство непрерывности в смысле Скорохода: отобра-
жения а Bt(a), а С»(а), а д * 1/<(а) непрерывны в тополо-
гии Скорохода на П = D(Rd) для всех t > 0, д G C^R4). □
2.28. Свойство локально равномерной непрерывности: для
любых t > 0, д G C'i(R<i) и любого компактного в топологии Ско-
рохода подмножества Кв D(Rrf) отображения а bt(a), а
с‘/(а) + f Kt(ot, dx)h*(x)hi (х), а fKt(ot,dx)g(x) равномерно
непрерывны на К, снабженном локально равномерной топологи-
ей (см. VI.1.2). □
2.29. Замечание. Свойство 2.28 может показаться
странным. Поскольку топология Скорохода грубее локально рав-
номерной топологии, то это свойство слабее нежели непрерыв-
ность относительно топологии Скорохода.
Мы предпочли ввести ’’слабое” условие 2.28, несмотря на слож-
ную формулировку, чтобы охватить следующий пример:
Пусть Ь, с, К имеют вид 6t(a) = 6(/,a(t)), ct(a) = c(i,a(/)),
Kt(a, dx) — Kt(a(t), dx), где b и с — функции на R+ х Rd,Kt(x,dy)
2. Идентификация предела.
221
— ядро из х R4 в Rd. Тогда в предположении
(i) t~>At непрерывно,
2.30. . .. /•_
(ii) +
JKt(‘,dx)g(x) непрерывны на R4 для всех t > 0, g € Ci(R4), усло-
вия 2.27 и 2.28 выполнены (первое следует из VI.2.3 и теоремы
Лебега о мажорируемой сходимости). □
2.31. Теорема. Пусть выполнены условия 2.24, 2.25, 2.26,
2.27, 2.28, и
2.32. lim sup Kt(a; {ж : |х| > а}) = Одля всех t > 0.
afoo а
Тогда существует, по крайней мере, одна вероятностная мера
Р на (О,/*), относительно которой X является семимартинга-
лом с характеристиками (В, С, г/) и начальным распределением
£(Х0) = Т1 на (O,^,F,P).
Ввиду замечания 2.29 получаем следующее следствие, кото-
рое стоит сравнить с теоремой Ш.2.34 (в этом следствии ниже
единственность не утверждается!).
2.33. Следствие. Пусть b : R+ х R4 —► R4, с : R+ х
xR4 —► R4®R4 — борелевские функции, с(з,х) — симметричная
и неотрицательно определенная, Kt(x,dy) — борелевское ядро
из R+ х R4 в R4. Предположим, что выполнено 2.30(H), функции
Ь, с, jKt(x,dy)(]y\2 Л 1) ограничены, и
lim sup Kt(x, {у : |у| > a}) = Одля всех t > 0.
а|оо х
Тогда для любой вероятностной меры tj на найдется (по
крайней мере один) диффузионный процесс (со скачками) X с на-
чальным распределение г) и характеристиками
t t
Bt = jb(Xs)ds^ Ct- jcs(Xs)ds, v(dt,dx) = dtKt(Xt,dx).
о 0
222
Гл. IX. Сходимость к семимартжигалу
Теперь приступим к доказательству 2.31, которое разобьем на
несколько этапов. Прежде всего, построим аппроксимацию реше-
ния мартингальной проблемы. Для каждого п € N* рассмотрим
такое конечное разбиение 0 = /(n,0) < /(n, 1) < ... < t(n, kn), что
при п I оо
2.34.
0” := sup [t(n,p) — <(n,p — 1)] —► О,
< i<P<t«
fcn) ► 0.
Любому a G Q = D(Rd) сопоставим остановленную в момент s
функцию а* : a*(t) = a(IAi), а также функцию а’~, "остановлен-
ную строго раньше s”: «’“(/) = «(/) при t < s и = o(s-)
при t>s.
Далее, положим
2.35.
' Ща) = Ь0(а), <$(а) = с0(о), = К0(а,-),
Ща) = bt(a«n^), с” = С1(а‘<"-р)),
при /(п,р) < t < t(n,p+ 1),
< Ь7(о) = 0, с”(а) = О, К?(а,-) = о
при t > <(n,fcn),
В? = f b"dA„, С? = jcnt dA„
о 0
vn(dt,dx) = dAtK?(-,dx).
Идея заключается в том, чтобы построить меру Р", относи-
тельно которой X имеет характеристики (Вп, Сп, ип) и начальное
распределение т]. Технические детали здесь подобны таковым в
§ III.2d, поэтому мы наметим лишь схему доказательства.
Пусть = D°(Rd) = а(Х, : s < t) и t(n,kn + 1) = оо. Ин-
дукцией по р £ {0,1,. + 1} построим меры Рп,р такие, что
£(Хо | Р”,р) = т], относительно которых X является семимартин-
галом с характеристиками
2.36. Впр = (Вп)‘<”’р\ Сп'р = (Сп)‘(п,р), ип'р = (ип)^п-р\
2. Идентификация предела
223
т.е. с характеристиками 2.35, остановленными в момент t(n,p).
Меру Рп,° определим как единственную меру, для которой
С(Х01 Р”’°) = т} и Р”,0(Х< = Хо при всех t) = 1. Тогда предпо-
ложение индукции, очевидно, выполнено при р = 0.
Допустим, что индукционное предположение выполнено при
некотором р с мерой Р",р. Ввиду 2.35 величины
2-37. В, = B(t(n,p)+»)A»(n>p+i) ~
мера i/, определенная равенством
i/'([0,5] х G) = i/”([Z(n,p),*(n,p+ 1) Л (t(n,p) + 5)] х G)
Т7^ р)-измеримы. Стало быть, в силу П.5.2Ь для всякого а0 € ft
существует вероятностная мера Qao на (ft, Т7), относительно ко-
торой X есть семимартингал с независимыми приращениями и
детерминированными характеристиками (В'(а0), G'(ao),
Далее, с помощью П.4.16 легко получить Т7^ „^-измеримость ото-
бражения a Qa(G) для любого G € J7. Стало быть, используя
тот же метод, что и в Ш.2.47 (отметим, что здесь имеется есте-
ственный сдвиг на ft), получаем вероятностную меру Pn,p+1 на
(ft,.?7) такую, что:
1) р»».р+1 = р»».р на ст-алгебра .?7(п,р)»
2) р»».р+1 — условное распределение процесса s Xt(n>p)+i —
—Xt(n,p) относительно есть a Qa.
Тогда ввиду 2.36 и 2.37 адаптация рассуждений из Ш.2.48 по-
казывает, что относительно Pn,p+1 процесс X является семимар-
тингалом с характеристиками (Bn,p+1 ,Cn,p+1 ,р”,р+1), и, конечно,
С(Х0 | Р">р+1) = т,.
Остается положить Pn = P",tn+1, и доказана следующая
2.38. Лемма. X есть семимартингал на (ft, J’jFjP”) с ха-
рактеристиками (<ВпуСп,ип) и начальным распределением
£(Хо| ₽") = >?.
(Можно доказать, что на самом деле Р” является
единственным решением мартингальной проблемы
S(a(X0),X\Tj-,Bn,Cn^n).)
Наш следующий шаг есть
224
Гл. IX. Сходимость к семжмартиигалу
2.39. Лемма. Последовательность (Рп) плотна.
Доказательство. Применим теорему VI.5.10. Пре-
жде всего, поскольку £(Х01Р”) = г}, то условие VI.5.10(i) выпол-
нено. VI.5.10(H) вытекает из 2.25 и 2.32.
В силу 2.26 возрастающий процесс Var (Вп,<) сильно ма-
жорируется процессом 7 А при некоторой постоянной 7. Поэтому
в силу VI.3.36 последовательность £{Вп | Р”) плотна, и VI.5.10(iii)
выполнено.
Наконец, вспомним, что да(х) = (а|х| — 1)+ А 1 принадлежит
Ci(Rd) при всяком a G Q+- Стало быть, в силу 2.26 найдет-
ся такая постоянная уа, что возрастающая функция ^аА сильно
мажорирует процесс £},<<4СП,‘‘ + да * vn, значит, VI.5.10(iv) вы-
полняется с (С1). □
Таким образом, переходя к подпоследовательности, мы можем
считать, что Р" слабо сходится к некоторому пределу Р. То-
гда, очевидно, £(Х01Р) = 77, и остается доказать, что выполнены
условия теоремы 2.11 сВ" = (ft^F,?") и Хп = X.
Условия 2.11(ii,iii) вытекают из 2.25, 2.26, 2.27, так что оста-
ется доказать 2.11(i). Начнем с некоторых обозначений и вспомо-
гательного результата:
2.40. зп = sup(Z(n,p): р > 0, /(п,р) < з) при s G К+.
2.41. Лемма. Существует такая постоянная-у, что при
всех з > 0, т? > 0, n G N* для П(п,г],з) — {а : |Aa(r)| < т] при
любом г G (зп,з)} имеет место неравенство
Доказательство. Пусть р — случайная мера скач-
ков X (см. П.1.16), тогда ип есть Рп-компенсатор р. Имеем
1р(п>17,«)<= < м((«п,«) X {ж : |ж| > 7}), поэтому
Р"(Т>(пЛ,з)с) < Е"[д(з„,з) х {х : |х|> ту}] =
= Е"[^((з„,з) х {х : |х| > г,})] =
= Е”
У dA.K”(-,{x : |х| > ,})
(»«.»)
7
ту2 А 1
(А,--А,.)
2. Идентификация предела
225
(где 7 = sup, a f Kt(a,dx)(\x\2 Л 1)), если использовать 2.25 и не-
равенство Бьенаме-Чебышева. □
Пусть
2.42. к — один из следующих предсказуемых процессов:
(i) kt(a) =
(ii) kt(a) = с’/(а) + У К<(а^х)К(х)М(х)~
-ДА,Ь;(а)&}(а),
(iii) fc,(a) = УKt(a,dx)g(x)
для некоторой g G Ci(Rd),
и, в соответствии с 2.35,
2.43.
М»),
\ kt(a,n),
О,
если t = О,
если 0 < t < Z(n,fcn),
если t > Z(n, kn).
2.44. Лемма. Имеем Е”(|А:" — kt|) —> 0 при n f оо.
Доказательство. Поскольку Р" -> Р слабо, то
£ > 0 найдется такое компактное подмножество К в D(Rd) с
пологией Скорохода, что Р”(А'С) < £ для всех п.
Мы используем обозначения VI. 1.2 для sup-нормы и VI. 1.8 для
w'N(a,0). Имеем ||a,‘||JV < ||a||/v, ||а‘п|1* < На1к> <
< w'N(a,0), и w'N(atn,0) < w'N(a,0). Тогда, если К обозначает
множество всех функций а, a*", a<n, где а пробегает множество
К, а п € N*, то К относительно компактно (см. характеризацию
VI.1.14b). Так как А' С А', то
2.45. Р"(7?с) < £ для всех п G N*.
Далее, заметим, что kt обладает свойством непрерывности
2.28. Стало быть, найдется такое г? > О (зависящее от /), что
из а, /3 G К и ||а - /?||, < g вытекает |fc,(a) - kt(j3)\ < £ (отметим,
что kt(a) — kt(a(~) в силу III.2.43). Поэтому 2.43 влечет
2.46. а е К, t < kn, ||a‘n - «‘"Цоо < j? => |fc"(a) - fc,(a)| < £.
8. Ж.Жакод, A.H.Ширяев. Т.2
226
Гл. IX. Сходимость к семямартянгалу
Более того, поскольку К относительно компактно, то найдется
такое 0 > 0, что
2.47. а € К =>
Далее, если w't(ot,0) < у/4, то найдется такое разбиение
О = г0 < ... < гр = t, что |a(w) - a(v)| < »?/3 при г,- < u, v < г,+1,
и г,+1 — г,- > 0 при i < р — 2. Стало быть, если kn > t и 0п < О
(см. 2.34), то интервал (in,i) содержит не более одной точки
г,- (= Tp-i). Кроме того, если ||а‘» - а‘_||оо > *1, то rp_i G (tn,t) и
|Да(гр_!)| > т]/3. Далее, в силу 2.26 существует такая постоянная
7', что |fct(a)| < 7' при всех а. Значит, в силу 2.46 и 2.47
а Е К, кп >t, 0п < 0 =>
=> |A:t"(a) - fct(a)| < £ + 27/l-p(n,I?/3.t)<=.
При достаточно больших п имеем кп > t и 0п < 0. Поэтому
2.41 и 2.45 влекут
Е"(|А? - fct|) < г + 27'Рп(/?с) + 27'Р[Р(п, Ti/3,t)e] <
- £ + 27'£ + ~
Поскольку Af_ - Atn 0 при п f оо (так как tn —> t и tn < t), и
е > 0 произвольно, то получаем искомое утверждение. □
Наконец, в силу 2.35 и 2.25 имеем
\В^ - В\ О Хп| < у\к” - к,\dAs с к как в 2.42(i),
о
IG"’0 - С? о Хп\ < j\k?-k,\dA, с к как в 2.42(H),
О
t
I# * ~ (.9* ut) ° -^"1 < — М dA, с к как в 2.42(iii).
о
Более того, в любом случае кп — к равномерно ограничены.
Поэтому в силу леммы 2.44 и теоремы Лебега о мажорируемой
сходимости получаем [/37 — R+], [77 — К+] и [^7д — R+], и доказа-
тельство теоремы 2.31 завершено.
3. Предельные теоремы для семимяртиигялов
227
3. Предельные теоремы для семимартингалов
Мы приступаем к центральной части нашей темы. Постанов-
ка та же, что и в предыдущем разделе. Для каждого
п € N* задан стохастический базис Вп, и на нем — семимартин-
гал Хп = (Х"’*),<а с характеристиками (В”,С”,рп) и модифици-
рованной второй характеристикой Сп (функция усечения h непре-
рывна и в дальнейшем фиксирована). (П, Т7, F) есть каноническое
пространство D(Rd) с каноническим процессом X (см. 2.6), кото-
рому соответствует триплет (В, С, и) и модифицированная вторая
характеристика С согласно 2.1 и 2.2. Рассматриваются также
3.1.
г)п = £(%□) — начальное распределение^"
(мера на Rd),
< т] — вероятностная мера на Rd (которая
должна стать начальным распределением
нашего предельного процесса).
Будут использоваться условия сходимости характеристик сле-
дующих типов:
— либо [(37 — Р], [77 - Р], [«7,1 — Р], как в 2.7;
— либо [Sup — 07], [Sup — 77], [Sup — 67>1], как в 2.23;
— либо (6т обозначает расстояние в D(Rm), согласованное с
топологией Скорохода):
3.2.
' [Sk -/37] «d(B”,BoX”) Л О,
[Sk -77] ЦСя,СоХя) Д о,
[Sk - «7.1] ♦ Р”, (g * v) О X”) Д О
* для всех g G Ci(Rd),
[Sk -W7] 6d+di+m((Bn,Cn,g * vn),(B,C,g * и) о Xn) О
для любой функции g : Rd Rm
с компонентами из Ci(Rd).
Мы располагаем критериями идентификации характеристик
8*
228
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
пределов последовательности £(ХП). Остается доказать плот-
ность (Хп) (см. §3а), затем предположить единственность ре-
шения мартингальной проблемы s{o{Xo),X\p-,B,C,y}, и мы по-
лучим теорему сходимости.
§3а. Плотность последовательности (Хп)
1. Начнем с двух лемм.
3.3. Лемма. Пусть для каждого п Е N* на Вп задан
т-мерный процесс Gn = (Cn’’)«<m, непрерывный справа и име-
ющий пределы слева, Gq = 0. Пусть G = (С’)»<т — т- мер-
ный процесс конечной вариации, непрерывный справа и имеющий
пределы слева, Gq = 0, определенной на (Q,^7), и такой, что
процесс (С*) сильно мажорируется возрастающей де-
терминированной функцией F, непрерывной справа.
а) Если sup5<t |G7 — Gs о Хп\ X 0 при всех t > 0 и F непре-
рывна, то последовательность {(7П) С-плотна.
Ь) Если 6m(Gn,G о Хп) Л 0, где 6т — расстояние в D(Rm),
согласованное с топологией Скорохода, то последовательность
{Сп} плотна.
Отметим, что первое предположение в (а) влечет за собой
предположение в (Ь).
Доказательство. Начнем с (Ь). Поскольку по пред-
положению ЕкпЛаг (С* op) -< F, то в силу VI.3.35 и VI.3.36
последовательность {G о Хп} плотна. Более того, если подпосле-
довательность {G о ХПк} сходится по распределению к процессу
У, то в силу предположения в (Ь) имеем также Gnk —► У. Из дан-
ных двух свойств вытекает, что из любой подпоследовательности
{<7П} можно выделить сходящуюся последовательность, и, стало
быть, последовательность {Сп} сама плотна.
Перейдем к (а). В силу предыдущего последовательность {Сп}
плотна и имеет те же предельные точки, что и последователь-
ность {G о Хп}. Поскольку функция F непрерывна, то последо-
вательность {G о Хп} С-плотна (см. VI.3.35), и, значит, плотна
и последовательность {Сп}. □
3. Предельные теоремы для семимартингалов
229
3.4. Лемма. Пусть при каждом п Е N* на Вп заданы про-
цессы Gn, Нп, непрерывные справа и имеющие пределы слева,
Gq = Hq = 0, Gn имеет конечную вариацию, Нп возрастает,
и Var (<7П) -< Нп. Пусть на (П,^7) заданы два процесса G и Н,
непрерывные справа и имеющие пределы слева, Gq = Но = О, G
имеет конечную вариацию, И возрастает, и Var ((7) -< Н -< F,
где F — непрерывная, детерминированная, возрастающая функ-
ция. Тогда, если
G, -GtoXn До 1 ,
3.5. „ > для всех t Е.Т>,
Н? -HtoXn AO J
где V — плотное подмножество в К+, то supJ<t |GJ —G,oXn| Д
Д 0 при всех t > 0.
(Этот результат аналогичен VI.3.37a.)
Доказательство. Пусть £ > 0, t0 = 0 < ti < ...
... < tp < G T> при i > 1, Ft,+l - Fti < e, и limptp = oo
(напомним, что F непрерывна). Тогда при i,- < s < Z,+i
\G: - G, O Xn\ < |G7 - G£| + |G” - Gt, O X"|+
+|Gt< о Xn - G, о X"| < Я"+1 - H”+
+|G” - Gt, о Xn\ + £ < 1^%, - Hti+1 о X"|+
+|Я” - Ht, о Xn\ + |G7t - Gti о X"| + 2s,
откуда
sup |G" - G" о Xn| <
s<t
<2e+ sup {2|Я~ - Hti о X"| + |G?. - Gt, о X"|}.
iti<t ’
Поэтому в силу 3.5
P"(sup |G; - G, O xn\ > 3s) 0,
s<t
и так как e > 0 произвольно, то мы получаем искомое утвержде-
ние. □
2. Теперь докажем критерий плотности в том случае, когда
предельный процесс квазинепрерывен слева (т.е. ^({0 X Rd) = 0
при всех /).
230
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
3.6. Условие сильной мажорируемости (I). Существует не-
прерывная, детерминированная, возрастающая функция
t Ft, сильно мажорирующая функции Hc^Var (В*(а)) и
+ (Н2 Л 1) * 1/(а) для всех а Е О. □
3.7. Условие на большие скачки. При любом t > 0 справедли-
во соотношение
lim supp(o; [0, t] х {х : |я| > а}) = 0. □
«Тоо а<ЕП
Если применить лемму 3.4 к Gn = Нп = g*vn при д Е Ci(Rd),
к Gn = Нп = Cnii и к Gn = Cn>ij и Нп = Сп" то получим
следующий результат:
3.8. Лемма. При условии 3.6 сильной мажорируемости
для всякого плотного подмножества V в R+ имеем: [77 — Р] <=>
О [Sup - 77] и [£7>1 - Т>] о [Sup - ^7д].
3.9. Теорема. Пусть выполнено 3.6 и 3.7, и последова-
тельность плотна (в Rd). Тогда при условии
[Sup — /37] + [77 — Р] + [^7>1 — Р] для некоторого плотного под-
множества Р в R+ последовательность {Хп} плотна.
Доказательство. Мы собираемся применить тео-
рему VI.448. Условие (i) для нее выполнено в силу предположе-
ний.
Для каждого рационального Ь функция дъ(х) = (Ь|я| — 1)+ Л 1
принадлежит C^R4), и выполнено неравенство
З.Ю. 5^)<(62V1)(|x|2A1).
Пусть t Е Р, £ > 0, Т) > 0. В силу 3.7 существует такое а Е Q+,
что д2/а * ^t(Q) < £/2 для любого а Е 12. В силу [й7д — Р] Рп(|д2/а *
♦р" — (<?2/а ♦ ^t) 0 ^п| > £/2) < Tj для всех достаточно больших п.
Так как рп([0,/] X {х : |я| > а}) < д2/а * то находим
Pn(pn([0,t] х {х : |я| > а}) > е) < т}.
Поскольку £ > 0, 7?>0и/ЕР произвольны, то получаем
VI.4.18(ii).
3. Предельные теоремы для семхмартянгалов
231
В силу [Sup —/?7], а также 3.6 и леммы 3.3а с Gn = Вп последо-
вательность {Вп} С-плотна. Во-вторых, в силу 3.8 имеем [Sup —
77], и 3.6 влечет существование такой постоянной 7, что С“(а) -<
yF для всех а 6 ft. Значит, 3.3а влечет С-плотность каждой по-
следовательности {Сп’“}п€1ь и, стало быть, в силу VI.3.36b {Сп}
является С-плотной. В-третьих, выполнено [Sup — 67д], и в силу
3.6 и 3.10 ffb * р(а) -< (|6|2 A 1)F. Поэтому в силу 3.3а всякая по-
следовательность {gb * С-плотна. Стало быть, VI.4.18(iii)
выполнено, и доказательство завершено. □
3. Перейдем к ’’общему” случаю. Окончание данного парагра-
фа можно пропустить, если читателя интересуют только квази-
непрерывные слева процессы. Мы заменяем 3.6 следующим более
слабым предположением:
3.11. Условие сильной мажорируемости (II). Существуют
такие детерминированные, возрастающие, непрерывные
справа (и имеющие пределы слева) функции t Ft, Ff,
что при всех а 6 П и g 6 Ci(Rd) справедливы соотношения
D<« Var (В‘(а)) Ч F, -< F, и g * i/(a) -< F9. □
3.12. Замечания. 1) Данное условие допускает неравен-
ство i/(a; {/} xRd) > 0, но лишь для счетного множества моментов
времени /, не зависящего от а! так что это условие все же весьма
ограничительно, и этот факт делает приводимые ниже результа-
ты значительно менее интересными.
2) Отметим, что условие 3.6, даже если в нем непрерывную
функцию F заменить на непрерывную справа и имеющую преде-
лы слева, остается сильнее нежели 3.11.
3) Отметим также, что в ситуации § 2d условия 2.25 и 2.26
влекут 3.11. □
3.13. Лемма. Пусть выполнено 3.11. Если V = {t :
AFt = 0 и AFt9 = 0 для всех д 6 Ci(Rd)} — множество точек не-
прерывности всех функций F и F9, то [Sk — /37] =>
=> [/37 - Р], [Sk - 77] => [77 - р], [Sk - г>7,1] => [г>7,1 - Р].
Заметим, что если обозначить J = {t : AF/e > 0 при не-
котором а 6 Q+}, то при условии 3.11 процессы д * i/(a) сильно
232
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
мажорируются возрастающими функциями Ffg = lj • F9 + (Fg)c,
и при этом J не более чем счетно. Таким образом, в утверждении
выше всегда можно так выбрать функции F9, что дополнение к
Р не более чем счетно.
Доказательство. Докажем только [Sk — /?7] =>
=> [/?7—Р], остальные утверждения устанавливаются аналогично.
Итак, пусть выполнено [Sk —/?7], и зафиксируем t G Р. Требуется
доказать, что В? — Bt о Хп X 0. Для этого достаточно доказать,
что из любой подпоследовательности (д') можно выделить такую
подпоследовательность (п"), что В”" — Bt о Хп" —> 0.
Рассматривая произведение пространств Плен* можно все
процессы перенести на единый базис. Таким образом, разре-
жая подпоследовательность и обозначая ее снова через (п), всегда
можно предполагать, что 6d(Bn,B о Хп) —> 0 п.н.
Зафиксируем си, при котором ^(Bn(cu),BoXn(cu)) 0, и дока-
жем, что Pp(cu) — Bt оXn(cu) —* 0. Вновь достаточно доказать, что
из любой подпоследовательности можно выделить другую подпо-
следовательность с таким свойством. Используя VI.3.35 и VI.3.36
(для ’’детерминированного” процесса В о Xn(cu)), и 3.11, получа-
ем, что последовательность {В о Xn(cu)}n€N* относительно ком-
пактна в D(Rd). Стало быть, выбирая разреженную подпоследо-
вательность, вновь обозначаемую через п, можно предполагать,
что В о Xn(cu) —> а в D для некоторого предела а, и, кроме то-
го, 6d(Bn(w),B о Xn(cu)) —> 0 влечет Bn(cu) —> а. Таким образом,
если Да(/) = 0, то Вр(си) —> ,а(/) и Bt о Xn(cu) —* а(/), и потому
Остается доказать, что Да(/) = 0. В силу VI.2.1 существу-
ет такая последовательность tn —* £, что ABtn о Хп —> Да(/).
Но |ABtn о Xn(cu)| < AFtn, что стремится к нулю при п | оо, по-
скольку SFt = 0. Стало быть, Да(/) = 0, и доказательство завер-
шено. □
3.14. Лемма. При условии 3.11 [Sk - /37] + [Sk — 7-J+
+[Sk - 67>1] о [Sk -/W
Доказательство. Только импликация => нуждает-
ся в доказательстве, поэтому предположим [Sk — /?7],
3. Предельные теоремы для семимартингалов
233
[Sk -77] и [Sk -$7,1]. Мы можем и будем считать Ci(Rd) счетным.
а) Начало доказательства очень похоже на начало доказатель-
ства 3.13. Имеет место тот же самый "Принцип подпоследова-
тельности”, и можно считать, что все процессы определены на
едином вероятностном пространстве. С точностью до выбора под-
последовательности мы можем также считать, что
16d(Bn, В о Хп)—> О,
6<р(Сп,С о Хп)-+О,
6i(g * vn,(g * v) о Хп) -> О
для всех g € Ci(Rd)
вне множества нулевой меры.
Зафиксируем точку ш, для которой выполнено 3.15. В силу
3.11, VI.3.35 и VI.3.36 последовательности функций {В о Xn(w)},
{С о Xn(iv)} и {g * v о Xn(w)} относительно компактны в D(Rd),
D(Rd ) и D(R), соответственно. Значит, из любой подпоследова-
тельности можно выделить такую новую подпоследовательность
(п'), что (используем 3.15):
' В о Xn'(w) — /?, Вп'(ш) /Зв D(Rd),
зле. 6 °хп (ш) " 7’ " 7 в D(R<'’)’
(д * I/) о Хп'(ш) ->6Я, д* -+ 6я
в D(R) для всех д € Ci(Rd),
и 7(/) — 7(5), очевидно, является неотрицательно определенной
симметрической матрицей, если s < t.
b) Рассмотрим 3.16 при нашем фиксированном ш. Мы видим,
что {Вп'(о>)} удовлетворяет условию [Sk — /З3] гл. VII с /3 вместо
В, {Сп (о>)} удовлетворяет [Sk — 73] с 7 вместо С, и {i/n (w)}
удовлетворяет [Sk — <53д] за исключением того, что мы не знаем,
представимо ли 6я в виде интеграла д по некоторой мере.
Однако, анализ доказательства леммы VII.3.42 показывает,
что это последнее свойство не имеет значения, если заменить g*v
на 6я, 1/(0} X д) на A63(t) и J(X) на {/ : Д^(<) / 0, по крайней
мере, для одной д G Ci(Rd)}, и свойство (i) требовать лишь для
234
Гл. IX. Сходимость к семимлртиигллу
9 € C^R"). Тогда в силу указанной леммы для любого t > О
существует такая последовательность tni —► t, что
A(g * р"')<п,(«) = pn'(w; {tn,} х g) -* A6s(t)
при g e CifR4),
3.17.
lim limsup i/n (o>; ([< -»;,/ + 7?]\{tn'}) X {|a:| > e}) = 0
n'
. при E > 0.
Если Д/?(£) = 0, то ДВ^((о>) —* 0 согласно 3.16. Если Д/?(<) / 0,
то найдется такая последовательность зп> —» t, что АВ” ((о>) —*
—> Д/?(/). Поскольку ДВ? ((о>) = р” (w; {sn<} х h), то из второго
свойства 3.17 и из того, что Д/?(£) / 0, находим, что зп/ = tn,
при всех достаточно больших п', и, значит, ДВ" ,(а>) —» Д/3(<).
Аналогично доказывается, что ДС^До;) —*• A?G)-
Стало быть, заключение следствия VII.3.46 здесь выполнено.
Поэтому повторение части (с) в доказательстве VII.3.48 доказы-
вает, что
3 18
(В"'(о>),д1 * .,дт * -> (/?, ,..., ^ )
в D(R<,+d3+m) для всех g’’ € Ci(Rd).
с) То же самое доказательство, основанное также на 3.16, по-
казывает, что выполнено 3.18 с заменой Вп , Сп , уп на В о Хп ,
С о Хп' у у о Хп>. Поэтому получаем, что
3.19. W+m[(B"'(a>), C’n'(w),g1 * Z(W),..., дт * vn'(о,)),
(B,C,g1*I/,...,g”‘*I/)oXn'(w)]^0.
В силу принципа подпоследовательности 3.19 на самом деле име-
ет место для любой последовательности (п) и для любой точки
си, для которой выполнено 3.15. Еще одно применение принци-
па подпоследовательности показывает, что имеет место [Sk —
-№\. □
3.20. Теорема. Пусть выполнено 3.11 и 3.7, и последова-
тельность {Xg}n€N* плотна (в Rd). Тогда при условии
3. Предельные теоремы для семямартингалов
235
[Sk — /З7] + [Sk — 77] + [Sk — 673] последовательность {-¥**}
плотна.
Доказательство. Применим теорему VI.5.10. Усло-
вие (i) в ней выполнено в силу предположений. Согласно лемме
3.13 (и замечаний после нее) имеем [^7,1 — Р] с множеством V, чье
дополнение в R+ не более чем счетно. То же самое доказатель-
ство, что и в 3.9, влечет VI.5.10(ii). Более того, 3.3b и [Sk — /37]
показывают, что последовательность {Вп} плотна, стало быть,
выполнено и VI.5.10(iii).
Остается доказать VI.5.10(iv), для чего используем условие
(С2). Пусть G">e = + fib» * »п, где ga(x) = (a|x| - 1)+ Л 1
принадлежит C^R4) при a 6 Q+. Положим Ga = + ga*v.
Пусть (n') — подпоследовательность. Так как GaoXn -<F“ :=
= F + F3*, и поскольку F детерминирована, то VI.3.35 влечет
плотность последовательности {Ga оХ"}пбЯ.. Значит, в (п') най-
дется такая подпоследовательность (п"), что Ga о Хп" £ G“ при
п" { 00 для всех а € Q+. Более того, G“ о Хп — G“ о Хп <F^ — F\
для всех п, поэтому Gt — Gt < Ft — F, п.н. при всех s < t.
Другими словами, G -< F п.н.
Далее, в силу 3.14 имеем [Sk — ^7^7]. Значит, при всех a 6 Q+
6i(Gn,p, Gp оГ) Л О при п f оо,
и мы получаем, что Gn",a G° при п" ] оо. Иными словами, вся-
кая последовательность (Gn >а}пп удовлетворяет условию (С2) в
VL5.4. Стало быть, VL5.10 влечет плотность последовательности
Итак, из любой подпоследовательности (п') можно выбрать
такую подпоследовательность (п"), что {Xn”} плотна. Это озна-
чает, что сама последовательность {Хп} плотна, и доказатель-
ство завершено. □
§3b. Предельные теоремы: ограниченный случай
1. Начнем вновь с квазинепрерывного слева предельного про-
цесса. Основной результат имеет следующий вид (постановка —
как перед §3а):
236
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
3.21. Теорема. Пусть V — плотное подмножество в
и выполнены следующие предположения:
(i) Условие сильной мажорируемости (I) — см. 3.6.
(ii) Условие 3.7 на большие скачки.
(iii) Единственность: существует единственная вероят-
ностная мера Р на (Q, J*), такая, что канонический процесс X
является семимартингалом на (Q,^*,F,P) с характеристиками
(В,С, I/) и начальным распределением 7) (другими словами,
$(<7(Х0), X\if, В, Ср)={Р}).
(iv) Условие непрерывности: для всех t Е V, g € ^(R4) функ-
ции а Bt(a), Ct(a), g * i/4(a) непрерывны в смысле Скорохода
на D(Rd).
(v) rf1 —► •q слабо (на Rd).
(vi) Выполнены [Sup — /З7], [77 — P], [^7)i — Р].
Тогда распределения £(Xn) слабо сходятся к Р.
Доказательство. а) Прежде всего, применим тео-
рему 3.9: в силу (i,ii,v,vi) получаем, что последовательность {Хп}
плотна, и остается доказать, что Р является единственной пре-
дельной точкой последовательности {£(ХП)}.
Поэтому можно предположить, что £(ХП) —> Р' слабо для не-
которой меры Р'. Пусть J'(X) = {Z > 0 : Pz(AXt 0) > 0}, и
допустим, что множество Р' = PD(R+\J'(X)) также плотно в R+
(это выполнено, например, если Р = R+). Очевидно, имеем (i) =>
2.11(ii), a (vi) и (iv) влекут 2.1 l(i,ii) с Р' вместо Р. Значит, в силу
теоремы 2.11 X является семимартингалом на (Q,^, F,P) с ха-
рактеристиками (В, С, и). Поскольку £(Xq) —> £(Х0 | Р'). то из
(v) находим £(Х0 | Р') = г], и, стало быть, условие единственности
(iii) влечет равенство Р' — Р.
Ъ) Остается доказать, что Р' плотно в R+, а для этого доста-
точно доказать, что J'(X) = 0. Пусть t > 0, Е > 0,
£ Е Q. Ввиду 3.6 существуют такие s, s' Е Р, что s < t < s'
и <?2/е * («) _ 02/е * < £ для всех а € ©(R4). Существуют
также г, г' Е R+\J'(X) такие, что s < г < t < г' < s'. Неслож-
ное следствие VI.2.4 плюс сходимость £(Хп) —> Р' влекут слабую
сходимость £(supr<u<r, |ДХ”|) -> £(supr<u<r, |ДХи11 Р') и, стало
3. Предельные теоремы для семимартингалов
237
быть,
3.22.
P'(|AXt| > е) < Р'( sup |ДХи| > е) <
r<u<r‘
<lim sup Р”( sup |ДХ"| > е) <
n r<u<r'
<limsup Pn( sup |ДА"| > s) <limsup P"( 57 <72/e(A^") > !)•
Согласно определению vn предсказуемый возрастающий
процесс 1(,,то)<72/г * »п является Р”-компенсатором процесса
17<и<52/с(ДА"). Поэтому в силу неравенства Ленгляра 1.3.31
и 3.22
3.23.
P'(|AXt| > е) <
< 2е+ lim sup Р"(52/£ * "" - Зг/е * v? > 2s).
Далее, в силу [tf71 — Р] и поскольку s, s' G Т>, имеем |<72/е *РГ —
~(д2/е*^)°Хп\ 0, и то же для s'. Так как |5г/е -5г/« *^»|0
оХп < е всюду, то из 3.23 получаем Р'(|ДХ<| > е) < 2е. По-
скольку е произвольно из Q+\{0}. то, значит, P'(|AXJ > 0) = 0,
так что t Jf(X\ и так как это справедливо для всех t > 0, то
J'(X) = 0, что и завершает доказательство. □
2. Теперь сформулируем ’’квадратично интегрируемый” ва-
риант последней теоремы. Предполагаем, что все Хп есть ло-
кально квадратично интегрируемые семимартингалы, т.е.
3.24. |ж|2 < оо при любом t е R+
(см. П.2.27). Согласно П.2.29 мы можем определить первую и
модифицированную вторую характеристики ’’без усечения”:
3.25.
В,п = Вп + (я-Л(я))*1/п,
= с™ +
3<t
Аналогично, предполагаем, что |ж|2 * vt < оо при всех t, и опреде-
ляем В' и С' согласно 3.25 с (В, С, р).
Как указывалось выше, выбор СДК1*) произволен, лишь бы
было выполнено VII.2.7. Поэтому предполагаем, что
238
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
3.26. Ci (R4) содержит положительные и отрицательные части
следующих функций (где a G Q+, и, напомним, ga{x) =
= (ф| - 1)+ Л 1):
( <£(*) = ~ Л’(ж))(1 - 5а(х)),
I 9a(Х) = (Х‘Х’ - Л<(х)Л>(ж))(1 - 5а(®)). □
3.27. Теорема. Пусть C^R*1) удовлетворяет 3.26, Р —
плотное подмножество в R+, vn uv удовлетворяют 3.24, и вы-
полнены следующие условия:
(i) Условие сильной мажорируемости (III): существует непре-
рывная, детерминированная, возрастающая функция F, сильно
мажорирующая функции Var (В'*(а)) и С"“(а).
(ii) Условие на большие скачки: для любого I € R+
3.28. lim sup |x|2l{|x|>aj * i/t(a) = 0.
aT«> aen
(iii) Условие единственности 3.21(iii).
(iv) Условие непрерывности: для любых t 6 P, g € Ci(Rd)
функции a B't(a), C{(a), g * i/t(a) непрерывны в смысле Скоро-
хода на D(Rd).
(v) тр tj слабо.
(vi) Выполнено [£7>1 — V\ и следующие три условия:
[Sup-^j 8ир|в;п-в;охп|До
для всех t > 0,
[?' - V] С? - C't О хп Д о
для всех I € Р,
3.29. lim limsup Рп(|я|21{|х|>а} * и? > s) = 0
afoo п
для всех t Е R+, е > 0.
Тогда распределения £(ХП) слабо сходятся к Р.
Доказательство. Мы докажем, что выполнены все
условия в 3.21 Очевидно, выполнены 3.21(iii,v), и 3.21(H) легко
следует из 3.28.
3. Предельные теоремы для семимартингалов
239
Так как |х — Л(®)| < А|х|2 с некоторой постоянной А, то в силу
3.25 Var (В*) -< Var (Bz‘)+A|a:|2*iz, и, значит, 3.21(i) легко следует
из (i).
Имеем |® - Л(х)|0в(х) < A|ar|2l{M>i/a} и |® - Л(х)|2^о(®) <
< А|х|21{|х|>1/в) с некоторой постоянной А. Поэтому 3.25 и тот
факт, что В и В1 непрерывны по t (так как F таково), влекут в
обозначениях 3.26
В* =BH-gia
3.30. ... . ..
С,} = C',J -g'3 *v + R'3'a
с |Д‘>|, < 4|®|21{И>1/О} Стало быть, 3.28 и (iv) влекут
непрерывность в смысле Скорохода функций а Bt(a), Ct(a)
для любого t G Р, и 3.21(iv) выполняется.
В силу 3.25 имеем также 3.30 для Вп и В,п, а в силу леммы
3.8 выполнено [Sup - $7Д]. Стало быть, из [Sup — /?7], 3.28 и 3.29
вытекает [Sup — /?7].
Обычно Сп и С,п не удовлетворяют 3.30, поскольку Вп и В,п
разрывны. Тем не менее,
Сп'° = ё>п,а _ дч *+ Д".
где |Я""-в| < A|x|2l{w>1/e) *vn,
° = SB'n i^B'n j -
Допустим на время, что
3.32. 57 l7?’v l 0 ПРИ п Т °0 для всех i > 0.
Теперь 3.30, 3.31, 3.28, 3.29, ру7 - Р] и [Й7Д - Р] влекут
[77 — Р]. Стало быть, выполнено 3.21(vi), и теорема 3.21 дока-
зывает искомое утверждение.
Остается доказать 3.32. Имеем
з.зз. £ |7"'°I < £{|ДЯГ - ДвМ 1^1+
5<t 3<t
+\АВУ - ДВГП |ДВ,"-‘|} <
240
Гл. IX. Сходимость к семимартиигалу
Более того,
Е - ДВГ-i < |<7* I * v? + A|x|2l{W>1/e} *
3<t
и sup,<t I Itfil *р,п - (Is’I * м,) oP| Л Ов силу [Sup - Я7(1]. В силу
(i) существует такая постоянная 7а, что \g'a| * vs <"yaFs всюду.
Поэтому в силу 3.29 находим
3.34. lim supP^V\АВ”>* - AB^I > 7\Л = 0,
^Г°° n J
и то же самое имеет место для j вместо г. С другой стороны,
[Sup - fa] влечет sup,<t |АВ”' - АВ'”>* о Хп| Д 0 и ДБ’ = 0,
так что sup,<t | ДВ”'‘| Д 0. Аналогично sup,<t |ДВ'П,;| Д 0 в силу
[Sup — - Отсюда и из 3.33 и 3.34 получаем 3.32, что и завершает
доказательство. □
3. Перейдем к общему случаю.
3.35. Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
(i) Условие сильной мажорируемости (II) — см. 3.11.
(ii) Условие на большие скачки 3.7.
(iii) Единственность (такая же, как в 3.21Ш): существует
единственная вероятностная мера Р такая, что X является
семимартингалом на (Я, J\F,P) с характеристиками (В, С, и)
и начальным распределением 7).
(iv) Условие непрерывности: если В — плотное подмноже-
ство R+, содержащееся в множестве таких моментов t, что
AFt = 0 и AF? = 0 для любой g е Ci(Rd) (где F и F9 — из
3.11 — см. замечание после 3.13), то функции а Bt(o), Ct(a),
g * i/t(a) непрерывны в смысле Скорохода на D(Rd) для любых
tev,ge с^).
(v) rj” —> у слабо.
3. Предельные теоремы для семим&рткнгалов
241
(vi) Выполнены [Sk — /?7], [Sk — 77], [Sk — £7>1].
Тогда распределения £(Х”) слабо сходятся к Р.
Доказательство. Доказательство аналогично до-
казательству 3.21, только вместо 3.9 используется 3.20. Прежде
всего, в силу (i), (ii), (v) и (vi) последовательность {X”} плот-
на (согласно 3.20), и остается доказать, что Р есть единственная
предельная точка последовательности {£(%")}.
Можно считать, что £(Х”) -* Р' слабо. Пусть D — такое,
как в (iv). Тогда 3.13 и (iv) влекут 2.11(i). 2.11(H) легко следует
из (i), a 2.11(iii) есть в точности (iv). Более того, если ( 6 D, то
AF/ = 0 для всех g 6 Ci(Rd), поэтому часть (Ь) доказательства
3.21 здесь остается в силе (напомним, что выполнено [671 - Т>]),
и мы получаем Р'(ДХ( / 0) = 0. Иными словами, Р содержится
в множестве {t : P'(AXt 0 0) = 0}, и, значит, применима тео-
рема 2.11: так как (v) влечет равенство £(Х0 | Р') = т], то в силу
единственности (iv) находим Р' = Р. □
3.36. Замечание. Условие непрерывности (iv) выпол-
няется, в частности, если имеет место 2.16, т.е. отображения
а B*(o), <?>(а), g * v(a) из D(Rd) в D(R) непрерывны в смысле
Скорохода. □
3.37. Замечание. Предположим, что характеристики
(В,С, р) детерминированы. Тогда (i), (ii), (iv) тривиально вы-
полнены, a (iii) следует из IIL2.16. Более того, в обозначениях
предыдущей главы имеем: [Sk - /?7] = [Sk - /?5], [Sk — 77] =
= [Sk — 75], [Sk — 67jl] = [Sk — 65>1], и для любого плотного в
подмножества V в VIII.4.3 установлено, что
[Sk - 65Д] + [75 - р] => [Sk - 75].
Таким образом, теорема VIII.4.1 является частным случаем те-
оремы 3.35. □
§3с. Предельные теоремы: локально ограниченный
случай
Для простоты рассмотрим лишь случай, когда предельный
процесс является квазинепрерывным слева.
242
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
Для всякого a > 0 определим на Л = D(Rd) и на каждом Sln
следующие моменты:
( Sa(a) = inf(t : |а(/)| > а, или |а(£—)| > а),
3'38' [ S" = Sa о Хп = inf(/ : |Х?| > а, или |Х‘_| > а).
3.39. Теорема. Пусть Т> — плотное подмножество в
R+ и выполнены следующие предположения:
(i) Условие локальной сильной мажорируемости: для каждо-
го а > 0 существует возрастающая, непрерывная, детермини-
рованная функция F(a), сильно мажорирующая остановленные
процессы
£ Var (Д’)5* и £ + (|х|2 А 1) * .
i<d i<d
(ii) Локальное условие на большие скачки: для всех а > О,
t > О
lim sup i/(a; [0, t А 5а(а)] X {а: : |ж| > &}) = 0.
(iii) Локальная единственность (см. IIL2.37) решения мар-
тингальной проблемы s(a(XQ),X р); обозначим через Р
это единственное решение.
(iv) Условие непрерывности: для всех t 6 Р, g € Ci(Rd) функ-
ции а Ct(a), g * pt(a) непрерывны в смысле Скорохода
на D(Rd).
(v) Tjn —> Tj слабо.
(vi) Выполнены следующие три условия:
[Sup - Аос] sup - (B,AS.) о Хп\ Д 0
s<t
для всех t > 0, а > 0;
hoc - Р] С” s„ - (cMS.) о хп Д о
для всех t е D, а > 0;
№ос - ъ] g * - (д * VtAS.) о X" Д 0
для всех t 6 Р, а > 0, д G Ci(Rd).
Тогда распределения £(Хп) слабо сходятся к Р.
3. Предельные теоремы для семммаргмягалол
243
3.40. Замечание. Не считая локальной единственности
(и это существенно), условия 3.39 слабее соответствующих усло-
вий 3.21: это очевидно для (i), (ii) и (iv); условия (v) совпадают
3.6 и 3.21(vi) влекут [Sup -0т], [Sup -77] и [Sup -£7,1]; поскольку
S” = Sa ° Хп, то отсюда следуют три условия в (vi). □
Доказательство. а) Для упрощения обозначений
для всякого а > 0 пишем Хп(а) = (Xn)s«, В" (а) = (B")s*,
Сп(а) = (Cn)s*, С"(а) = (Cn)s-, Рп(а) = (pn)s- для процессов и
случайных мер, остановленных в момент 5", и аналогично пишем
В(а) = Bs-, С(а) = Cs-, С (а) = Cs-, р(а) = Vs-. Хп(а) есть се-
мимартингал на В” с характеристиками (Bn(a),Cn(a),vn(a)). С
другой стороны, в силу (i) и (ii) триплет (B(a),C(a),x/(a)) удовле-
творяет 3.6 и 3.7. Далее, 11.2.43d влечет равенство BtAs, ° Хп =
= BtAs. ° Хп(а), и аналогично для С и v. Стало быть, в силу (vi)
3.41.
sup |B”(a), - 5(a), о X"(a)| Д 0
для всех t > 0,
< C”(a)t-C(a)toXn(a)-^0
для всех t > 0,
g * vn{d)t - (5 * v(a)t) о X”(a) Д 0
, для всех t > 0, g G Ci (Rd)
(имеем сходимость при всех t > 0, а в двух последних соотноше-
ниях 3.41 в силу леммы 3.8 даже локально равномерную сходи-
мость). Эти свойства плюс (v) позволяют получить из теоремы
3.9 плотность последовательности {Х”(а)}п€Я. для всякого а > 0.
Ь) Второй шаг состоит в доказательстве
3.42. Отображения а B(a)t(a), C(a)t(a), g * v(a)t(a) непре-
рывны при всех t > 0, g G Ci(Rd) в каждой точке непрерывности
отображения а So(a).
Докажем это лишь для В (а), остальное делается аналогично.
Пусть t > 0, и а — точка непрерывности £<>(•)• Очевидно, суще-
ствует такое b > а, что а является точкой непрерывности 5»(-)
и 5»(а) > t. Пусть ап —> а и е > 0. Имеем Se(an) —> Sa(a)
244
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
и 8ь(ап) —* Sb(a), так что 5»(ап) > t при достаточно боль-
ших п. Существуют s G Р, т} > 0 такие, что s < t Л Sa(ot) <
< s + г] п F(b)3+r) — F(b)3 < е. Поэтому (i) влечет неравенства
1-В(а)м$.(а)-Я»(а)| < £ и |В(а)<л5.(а„)-В,(ап)| < е в предполо-
жении, что M5e(an) G (s, з+р) и Sb(an) > t, что справедливо при
достаточно больших п. Более того, в силу (iv) В3(ап) —► В3(а).
Поскольку £ > 0 произвольно, это доказывает искомое.
с) Рассмотрим подпоследовательность последовательности
{Хп}. В силу (а) найдется такая ее подпоследовательность, по-
прежнему обозначаемая через (п), что для всякого р 6 N* после-
довательность £(Х”(р)) слабо сходится к пределу Qp при п f оо.
Введем множества V(a), V'(a) как в VI.2.10 (или как в до-
казательстве 1.17). Как мы видели в доказательстве 1.17, суще-
ствует не более, чем счетное множество таких а > 0, что Qp(a :
а 6 V(a) U V'(a)) > 0. Выберем поэтому такие ap € [р — 1,р],
что Qp(a : ар G V(a) U V'(a)) = 0, и благодаря VI.2.11, VI.2.12 и
сходимости £(Хп(рУ) —» Qp получим
а Sar(a) Qp — п.н. непрерывно,
3'43' t £(Xn(p),Xn(ap))^£[(X,Xs^\Qp].
В частности, Sar о XSa» = Sa„ является Qp-n.H. непрерывным.
Таким образом, если обозначить через Qp распределение Х5*» на
пространстве (£l,F,Qp), то из 3.43 получаем
{а Sar(a) Qp — п.н. непрерывно,
£(X”(ap)) - Qp.
d) Далее, применим теорему 2.11 к последовательности
{Хп(ар)}п{и., мере Qp (вместо Р, как в 2.11) и триплету
(B(ap),C'(ap),p(ap)) вместо (В,С, р). 2.11(ii) есть простое след-
ствие (i), 2.11(iii) вытекает из 3.42 и 3.44. Далее, 2.11(i) с мно-
жеством {t > 0 : Qp(AXt 0) = 0} вместо Р есть не что иное
как 3.41. Таким образом, в силу 2.11 X является семимартин-
галом на (Q,.7:’,F,QP) с характеристиками (B(ap),C(ap),p(ap)),
и равенство £(Х0 | Qp) = г), очевидно, следует из (v). Так как
3. Предельные теоремы для семимартингалов
245
XSa» = X Qp-n.H. (поскольку характеристики постоянны после
Sar), то получаем Qp G з(ст(Х0),Xs‘r |»?; B(ap),C{ap),v{ap)).
Согласно VI.2.10, Sar есть строгий момент остановки относи-
тельно = P°(Rd). Таким образом, из локальной единственно-
сти (iii) вытекает
3.45.
Qp = Р на
е) На этом шаге мы докажем, что последовательность {X”}
плотна, для чего воспользуемся теоремой VL3.21. Пусть
N G N*, £ > 0, т] > 0. Существует такое р 6 N*, что Р(5О(> <
< N 4- 1) < е (напомним, что ар G [р _ 1>р]), и 3.45 влечет не-
равенство Qp(Sar < N 4-1) < £ (напомним, что момент Sap -
измерим). Так как Saj> о Хп = Sar о Хп(ар), то в силу 3.44
3.46.
п > п0 =► Pn(S", < X) < 2£
для некоторого n0 G N*. Более того, 3.44 влечет также плот-
ность последовательности {Хп(ар)}п€н»- Поэтому в силу VI.3.21
существуют такие А' > 0, 0 > 0, п'о > п0, что
3.47.
P”(sup |X"(ap)t| > К)<£,
п> п'о => < *<n
( Pn(w^(Xn(ap), 0) > ту) < £.
Далее, supt<N |X"(ap)t| = sup(<N | и w'N(Xn(ap),e) = w'N(Xn,6)
на множестве {5"р > JV}. Значит, из 3.46 и 3.47 имеем:
P"(sup|X”| > К) < 3£,
п > п'п => < ‘<w
1 Р"(«4(Х",0) > ту) < 3£,
и еще одно применение VI.3.21 влечет плотность последователь-
ности {Хп}.
f) Выбирая подпоследовательность, вновь обозначаемую через
(п), мы можем считать, что £(Хп) —> Р' слабо для некоторой
меры Р'. Пусть V’ — ^-измеримая, непрерывная и ограниченная
функция на D(Rd), IV’I < 1- Тогда Еп(^(^п)) —*• Ep-(V’). Более
того, в силу 3.44 Еп[^(Х"(ар))] —> Но согласно 3.45 и
определению Хп(ар) имеем
|Е^(^)-ЕР(^)|<2Р(5вр<0,
246
Гл. IX. Схадтюсть к семлмартмгалу
|Е“«¥")) - Е"[^(Хп(ар))]| < 2Р($^ < t),
и, стало быть,
|Ep((VO-Ep(<0|<
< 2Р(5«Г <0 + 2 limsup P"(S"^ < t).
п
Далее, limpToo P(SflF < t) = 0, и в силу 3.46 (где N и £ > 0
произвольны) limP|OOlimsupnPn(5^ <0 = 0. Таким образом,
Ep/(V>) = Ер (V0 для всех Т^-измеримых, непрерывных и ограни-
ченных функций ф. Поскольку t > 0 произвольно, находим из
VI. 1.14, что Р' = Р.
g) Итак, мы установили, что из любой подпоследовательности
(п') можно выделить другую такую подпоследовательность (п"),
что £(Хп") -> Р. Это означает, что £(Хп) —► Р. □
Наконец, установим квадратично интегрируемый вариант: ис-
пользуем обозначения 3.25.
3.48. Теорема. Пусть Ci(Rd) удовлетворяет 3.26, ип и
у удовлетворяют 3.24, Р — плотное подмножество в R+, и
выполнены следующие предположения:
(i) Условие локальной сильной мажорируемости: для каждо-
го а > 0 найдется возрастающая, непрерывная, детерминиро-
ванная функция F(a), сильно мажорирующая остановленные про-
цессы
Var (C")s* и (|ж|2*1/)5*.
(ii) Локальное условие на большие скачки: для всех а > 0,
t >0
pm sup |«|’1{|Г|>») ♦ ^as.(o) = 0.
»Т°о agn
(iii) Локальная единственность (см. Ш.2.37) решения мар-
тингальной проблемы s(a(X0),X | обозначаем через Р
ее единственное решение.
(iv) Условие непрерывности: для всех t ЕТ>, g Е C\(Rd) ото-
бражения а B't(a), Cf(a), g * i'i(a) непрерывны в смысле Ско-
рохода на I^R4)-
(v) gn —> г) слабо.
4. Применения
247
(vi) Выполнено [^ос — Т>] и следующие три условия:
[Sup -Д'ос]
[7/ос-Р]
suP|b-s -(в;л5.)ох"|До
s<t
для всех t > 0, а > 0;
c't"s;-(qASjoX" До
для всех t G Р, а > 0;
3.49. lim lim sup Рп(|ж|21{ы>Ь) * р(пл5„ > е) = О
для всех t > 0, а > 0, е > 0.
Тогда распределения £(Хп) слабо сходятся к Р.
Доказательство. Достаточно повторить доказа-
тельство теоремы 3.27, чтобы убедиться, что предположения вы-
ше влекут все условия теоремы 3.39. □
3.50. Замечание. Анализ доказательства 3.39 показы-
вает, что в [Sup - $ос], hoc - Т>], [<5|ос - Р], а также в [Sup - Д'ос]
и [7^ — Р] достаточно предполагать соответствующие свойства
для всех a 6 А, где А — подмножество в R+ со счетным дополне-
нием. □
3.51. Замечание. Локализация теоремы 3.35 не явля-
ется очевидной. См., однако, Паже [192] по поводу некоторых
результатов в.этом направлении. □
4. Применения
§4а. Сходимость диффузионных процессов со скачками
Предполагаем, что есть каноническое пространство
с каноническим процессом X (см. 2.6). Мы хотим, чтобы X был
диффузионным процессом со скачками в смысле III.2.18, и для
248
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
простоты рассмотрим лишь однородный случай, т.е.
4.1.
Bt = Jb(X,)ds, b: Rd
О
t
Ct = jc(Xs)ds, c : Rd
0
—> Rd — борелевская функция,
Rd ® Rd
— борелевская функция co значениями в множестве
симметричных, неотрицательно определенных матриц,
v(dt,dx) = dtK(Xt,dx), К —
k борелевское ядро из Rd в Rd, f К(х, dy)(\y\2 А 1) < оо,
и,значит,
t
4.2. Ct = Jc(Xs)ds, где
о
си(ж) = си(ж) + У К (x,dy)h\x)h?(x).
Предполагаем, что выполнено следующее предположение (си-
туации, в которых оно выполняется, можно найти в §Ш.2с):
4.3. Предположение о единственности и измеримости:
(i) для всякого х Е Rd мартингальная проблема <S(<t(X0),
X | В, С, р) имеет единственное решение Рх;
(ii) отображение х РХ(А) борелевское для любого
А 6 Т. □
4.4. Лемма. В предположении 4.3 при любом начальном
распределении г) на Rd решение мартингальной проблемы з(а(Ао),
X | ту; В, С,р) локально единственно.
Доказательство. а) Допустим сперва, что т] = ех
для некоторого х € Rd. Определим естественные преобразования
сдвигов 6t на Q : а о = a(t + 5). Тогда в силу 4.1
Bs о 0t — Bs±t ~ Bt, Cs о 0t — Cs±t ~ Ct,
v{0t^\ [0, s] x A) = p(o>; [/, t + 5] x A).
4. Применения
249
Другими словами, выполнено IIL2.39 с ptB = В, ptC = С и
PtV = у. Значит, теорема IIL2.40 и 4.3 влекут искомый результат.
Ь) Пусть теперь т) — произвольная вероятностная мера на Rd,
и пусть Р', Р" — два решения остановленной проблемы з(а(Х0),
Хт | т/;1?т,Ст,рт), где Т — строгий момент остановки. Если
Н = а(Х0), то условие П.6.4 выполнено для Р' и Р", и существу-
ют переходные меры P^dcu) и P"(do>) из Rd в (Q,/’) такие, что
P^^do/) и Px0(w)(<^/) есть регулярные модификации условных
распределений Рх и Р" относительно И.
Тогда можно применить П.6.15: для ту-почти всех х меры
Р!р и Р" являются решениями мартингальной проблемы з(а(Х0),
Хт | ех\Вт,Ст,рт). Для таких х (а) влечет равенство Р* = Р”
на (Q,7y). Так как по определению условного распределения,
Р'(А) = frj(dx)Pf3.(A)9 и аналогичное неравенство верно для Р",
то получаем Р' = Р" на ((1,7^), и искомое утверждение дока-
зано. □
4.5. Замечание. При условии 4.3 и со сдвигами 6t, вве-
денными выше, легко показать, что (Q, Т7,Рг) есть мар-
ковский процесс в смысле Блюменталя и Гетура [14].
Более того, если f — функция класса С2 на Rd и мы положим
4.6. Af(х) = £ | /(*)+
t<d Z ij<d
4- i K(x,dy) f(x + у) - /(ж) -Y^h\x)Dif(x) ,
J L i<d J
t
то в силу IL2.42 процесс f(Xt) — f(XQ) — fAf(Xs)ds является ло-
о
кальным мартингалом для всякой меры Рг (и даже для любой
меры Р^ = fr}(dx)Px). Таким образом, А является квазиинфини-
тпезималъным оператором данного марковского процесса (отно-
сительно деталей см., например, [98]).
Что касается Хп, мы предполагаем, что они имеют такой же
вид, т.е. их характеристики есть
4.7. Bf = Уbn(X?) ds, С? = jсп(Х”) ds,
О о
250
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
vn(dt, dx) = dtKn(X", dx), C" = J c"(X") ds
0
с bn, cn, Kn как в 4.1, и с” — как в 4.2. Однако, 4.3 для Хп
не предполагается, и эти процессы, стало быть не обязаны быть
марковскими.
4.8. Теорема. Пусть (Ь,с,К) удовлетворяют 4.3,
4.9. lim sup К(х, {у; |j/| > 5}) = 0 для всех а > 0,
4.10. х Ь(х), с(х), УK(x,dy)g(y) непрерывны на Rd
при любой g G C^R**).
Пусть также
4.11. Ъп-+Ъ, сп^с, f Kn(',dy)g(y)-> J K(-,dy)g(y)
локально равномерно на при любой g Е Ci(Rd);
4.12. 7}п -* г) слабо, где т]п = £(Х” | Рп) — начальное распре-
деление Хц,
Тогда распределения £(ХП) слабо сходятся к мере Р —
= /г?(^)Рх.
Доказательство. Проверим, что выполнены все
условия 3.39.
Прежде всего, существует такая функция g Е (Rd), что
И2 Л 1 < Еi<d 1^’(Ж)|2 + поэтому в силу 4.10 отображения
X 6(ж) и X —♦ <dC"(z) + f K(x,dy)(\y\2 Л 1) локально ограни-
чены. Значит, в силу 4.1 выполнено 3.39(i). 4.9 влечет 3.39(ii), а
3.39(iii) следует из леммы 4.4. Условие 3.39(iv) вытекает из 4.10,
a 3.39(v) эквивалентно 4.12.
Наконец, имеем
MS"
Д"Л$; - (BtAS.) о хп = у [6"(ХГ) - &(ХГ)] ds
о
и аналогично для Сп и g * vn. Поэтому из 4.11 следует 3.39(vi), и
доказательство завершено. □
4. Пржмеяешы
251
4.13. Замечание. Определим А" согласно 4.6 с Ьп, сп,
Кп‘, тогда если X — марковский процесс, то А" является его
квазиинфинитезимальным оператором, и 4.11 эквивалентно сле-
дующему:
4.14. Ап/ —> А/ локально равномерно для любой функции на
из класса С2.
Таким образом, мы получили обещанное обобщение теоремы
Троттера-Като. □
Приведем квадратично интегрируемый вариант. Предполо-
жим, что |у|2 интегрируема по К(х, •) и Кп(х, •), и положим
Ь*(х) = 6‘(х) + УK(x,dy)(y* - К(у)),
с'*’(х) = си(х) + J К (х, dy)y* у*,
и аналогично для 5*" = и с,п =
4.15. Теорема. Пусть (Ь,с,К) удовлетворяют 4.3, и
4-16. limsup [ K(x,dy)\y\2l{M>b} = 0
®Т°° z: |х|<а J
для всех а > 0;
4.17. х —♦ 6'(х), с(х), J K(x,dy)g(y)
непрерывны на Rd при любой g G Ci(Rd).
Пусть также |у|2 интегрируема относительно Кп, и выпол-
нены условия 4.12 и
4.18. b'n—^b', ст^с‘, jKn( ,dy)g(y)-> j K(-,dy)g(y)
локально равномерно на Rd для любой g € Ci(Rd).
Тогда распределения £(Хп) слабо сходятся к Р = Jr/(da:)Px.
Доказательство. Оно аналогично доказательству
4.8, только вместо теоремы 3.39 используется теорема 3.48. □
252
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
§4Ь. Сходимость ступенчатых марковских процессов к
диффузионным
Здесь приводится один пример (из многих) сходимости сту-
пенчатых (или чисто скачкообразных) процессов к непрерывной
диффузии.
Постановка такая же, как в § 4а, и кроме того предполагается,
что все Хп есть чисто ступенчатые марковские процессы: это
означает, что их производящие операторы имеют вид
4.19. Anf(x) = J Kn(x,dy)[f(x + у) — f(x)],
где Кп есть конечная переходная мера на Rd. Если мы подставим
4.19 в 4.6, то получим для других коэффициентов — Ьп и сп:
Ьп(х) = У Kn(x,dy)h(y), сп(х) = О,
cn'ij(x) = j Kn(x,dy)h\x)hj(x).
Чтобы несколько упростить изложение, будем считать, что |у|2
интегрируема по всем мерам К•), так что вместо Ьп и сп рас-
сматриваем
4.20. b,n(x) = j Kn(x,dy)y, c,n'ij(x) = j Кп(х^у)у*у>,
и 4.15 дает:
4.21. Теорема. Пусть выполнено 4.3 с К = 0 (и, зна-
чит, предельный процесс является непрерывным диффузионным
процессом), ub = b',c = c' = c — непрерывные функции на
Пусть Хп таковы, как описано выше, и выполнено
(i) Ь,п —> Ь, с,п —> с локально равномерно;
(ii) sup* |*|<а fKn(x, dy)|y|2l{|y|>e} -> 0 при п J оо для любого
е > 0;
(iii) Т)п —> т)п слабо на Rd.
Тогда распределения £{Хп) слабо сходятся к Р = frj(dx)Px
— распределению диффузионного процесса с коэффициентами b
и с и начальным распределением р.
4. Применения
253
Конкретизируем этот результат. Во-первых, предположим,
что
4.22. гр = 7} = гх для некоторого х 6
Во-вторых, предположим, что выполнено 4.21(п), и
{Ь'п —► b локально равномерно, и
b удовлетворяет условию Липшица;
с,п —> 0 локально равномерно.
Тогда все предположения 4.21 выполнены. Далее, Рг здесь явля-
ется ’’распределением” детерминированной диффузии dXt =
= b(Xt)dt. Другими словами, если xt(x) обозначает единственное
решение обыкновенного d-мерного дифференциального уравнения
4.24. dxt(x) = х0(х) = ж,
и поскольку сходимость по Скороходу совпадает с локально рав-
номерной сходимостью, если предел непрерывен, то получаем
4.25. sup \Х” — х,(ж)| X» 0 для всех t > 0.
s<t
Это весьма простенький результат. Но теперь мы можем оце-
нить скорость сходимости в 4.25 с помощью еще одного примене-
ния теоремы 4.21:
4.26. Теорема. Пусть выполнены 4.22 и 4.23, (ап) —
такая последовательность положительных чисел, сходящихся
к +ос, что
(i) а„с'п сходится локально равномерно к непрерывной функ-
ции с;
(ii) lim sup а2п / Кп(х, dy)|j/|2l{|y|>e/an} = 0 для всех а, е > 0.
п х:\х\<а J
Тогда процессы
t
4.27. Ytn = ап (х? ~ Хо ~ Jь'п(х?)
о
254
Гл. IX. Сходямость к семям&ртиигалу
сходятся по распределению к непрерывному процессу с незави-
симыми приращениями Y с характеристиками (O,C(z),O), где
С(х) — fc(x,(x))ds (так что Y является еше гауссовским мар-
о
тинг алом).
Доказательство. Заметим, что (ii) влечет 4.21(ii),
поэтому выполнено 4.25. Yn является локально квадратично ин-
тегрируемым семимартингалом на В” с Уо” = 0, и его характе-
ристики B'Y\ CY', vY' и модифицированная вторая характе-
ристика C'Y* относительно "функции усечения" h(x) = х имеют
вид
B,Y' = О, CY' = О,
t
g*vY' = I ds jKn(X?,dy)g(any),
0
t t
C,Y''ij = an Jds JКп(Х?,ду)у^ = a2n jcM(X?)ds.
о 0
Пусть Y — процесс с независимыми приращениями с характери-
стиками (0,C(z),0). Применим теорему VIII.2.18. [Sup —/З5] три-
виально выполняется, (ii) очевидно влечет VIII.2.15 и [В5>1 — R+]
(напомним, что здесь v = 0, и д(х) = 0 для всех достаточно малых
|z|, если д € Ci(Rd)). Более того,
ClYn~C(x)t =
t t
= j[a2ncn(X”) — c(X”)]ds + j[c(X?)-c(x,(x))]ds.
0 0
Здесь первое слагаемое в правой части сходится по вероятности к
нулю в силу (i) и 4.25, откуда находим
итЛ|оо lim supn Pn(sups<t |Хр| > А) = 0. Второе слагаемое также
стремится к нулю в силу 4.25 и непрерывности с. Стало быть,
выполнено [75 — R+], и доказательство завершено. □
4. Применения
255
4.28. Следствие. В дополнение к условиям 4.26 предпо-
ложим, что ап(Ь,п — Ь) —> 0 локально равномерно. Тогда процес-
сы ап(Х” — xt(x)) также сходятся по распределению к тому же
процессу с независимыми приращениями Y с характеристиками
(О,ОД,О).
Это дает скорость сходимости в 4.25.
Доказательство. Имеем
Ytn = an(Xt" - st(*))+
< t
+ J an[b(xt(x)) — b(X")]ds + j an[b(X”) — b'n(X”)]ds,
0 0
и те же самые аргументы, что и в 4.26 (с использованием 4.25)
показывают, что последние два члена здесь стремятся по веро-
ятности к нулю при п | оо. Так как Уп 4 У в силу 4.26, то
получаем искомое утверждение. □
§4с. Эмпирические распределения и броуновский мост
В качестве еще одного следствия основного результата дока-
жем хорошо известную сходимость нормированных эмпирических
распределений к броуновскому мосту.
Пусть — независимые, одинаково распределенные слу-
чайные величины, имеющие равномерное распределение на [0,1].
В соответствии с II.3.31 и П.3.35 при t 6 [0,1] положим
4.29. X,” = | Е =
п 1<*<п
Заметим, что эти процессы естественным образом имеют времен-
ной параметр из [0,1] и Уоп = У" = 0 по построению.
Существует несколько характеризаций броуновского моста.
Из них простейшая состоит в том, что это гауссовский процесс с
ковариационной функцией C(s,t) = s(l — t) при 0 < s < t < 1.
Мы используем другую характеризацию: (стандартный) бро-
уновский мост — это одномерный неоднородный диффузионный
256
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
процесс на отрезке времени [0,1], выходящий из нуля и имеющий
следующие коэффициенты (см. Ш.2.18):
4.30. b(s,x)= —c(s,«)=l.
J. s
4.31. Теорема. Процессы Vn сходятся по распределению
к броуновскому мосту.
Доказательство. а) Характеристики броуновского
моста следующие:
t
/X
-—— ds, Ct = t, v = 0,
1 — 5
0
и В не удовлетворяет никаким условиям мажорируемости из-за
возможного взрыва в момент 1.
Поэтому зафиксируем Г G (0,1), и остановим характеристики
в момент Т, т.е. рассмотрим
<ЛТ
«<П = - f
J л S
о
C(T)t = t\T, v(T) = 0.
Положим также Vn(T)t = V^T. Характеристики (В(Т),С'(Т'),
i/(T)), очевидно, удовлетворяют 3.39(i,ii,iv), а локальная един-
ственность 3.39(iii) мартингальной проблемы <S(a(Xo), X | £0;
В(Т),С(Т),и(Т)) следует из результатов §§ III.2c,d. Очевидно,
выполнено 3.39(v). Наконец, П.3.37 дает характеристики Vn(T)
относительно фильтрации, порожденной Vn:
мт
Bn(T)t = - [ Vn(T),—±—ds,
J 1 — 5
0
елТ
ё"(Г>‘ = / I1 -
4, Применения
257
МТ
st^T).= J [n--^-v-m.]s^)d>.
0
Стало быть, g*vn(T)t Д 0 при n f оо для любых t > 0, g € CifR4),
так как g(l/y/n) = 0 при достаточно больших п. Более того,
Вп(Т) - В(Т) о Vn(T) = 0. Наконец,
4.32. СПСГ)| " C(T)t о Vn(T) = - [ ——Ц-7=У"(Т), ds.
J (l-s)Vn
Простые вычисления показывают, что E[(V"(T),)2] = s(l — s)
при s < T, поэтому 4.32 стремится к нулю в L2 и тем более по
вероятности для любого t G R+- Значит, в силу теоремы 3.39
имеем:
4.33. Для любого Т G (0,1), Vn(T) сходится по распределению
к броуновскому мосту, остановленному в момент Т.
Ь) Пусть = V”_t при t G [0,1]. Очевидно, процесс У'п имеет
то же распределение, что и Vn. Стало быть, при Т € (0,1) про-
цессы V,n(T\ = У/"г = V^t также сходятся по распределению
к броуновскому мосту, остановленному в момент Т. Доопределим
Vn и сам броуновский мост V на R+, полагая V” = Vt = 0 при
t > 1. Очевидно, при N > 1 имеем
sup|Kn| < sup|v”(^) I 4-sup |v'”(|) I,
s<N s<N 1 s<N' 'O'*1
/ /2\ \ / /2 w
w'N(vn,e) < w'N(vn(-},e) + w'N(v)n(-M при e < 1/2.
Двойное применение VL3.24 влечет плотность {Vn}.
с) Пусть, наконец, 0 < < t2 < . •. < tp, и < 1 < t,
при некотором г. В силу 4.33 с Т = в частности, имеем
(V",...,^) 4 (ytl,...,yti_,). Более того, V" = ... = V" =
= Vt = ... = Vt =0, и, значит,
(у(’;,...,у”)£(у(1,...,у(р).
Другими словами, Vn у. Поскольку {Vn} плотна, получаем
отсюда искомое утверждение. □
9. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. T.2
258
Гл. IX. Сходимость к семямартяигалу
§4d. Сходимость к непрерывному семимартингалу:
необходимые и достаточные условия
Здесь мы конкретизируем результаты разд. 3 в случае, ко-
гда предельный процесс непрерывен. Аналогично §§ VIII.3a,b мы
можем получить и в этой ситуации необходимые и достаточные
условия сходимости.
Постановка такая же, как в разд. 3 с дополнительным пред-
положением
4.34. и = 0, откуда С = С.
1. Напомним обозначения П.2.4 и П.2.5:
4.35.
Х"(Л) = х- - - Л(ДХ,“)],
Мп = Xn{h) - Х£ - Вп,
и положим
4.36. С" = (£""),;<«,
Введем следующие условия:
Cn,ij =
4.37.
' [77-R+] С? - Ct о Хп$0
при всех t > 0,
при всех t > 0, £ > 0;
Условие мажорируемости. Sup e€nC}‘(a) < 00 пРи всех
□
4.38.
t € R+ (то же, что 2.11(ii) при и — 0).
4.39. Условие сильной мажорируемости. Для всех a G D(Rd)
функции Var (В*(а)) и С“(о) сильно мажорируются возрастаю-
щей непрерывной (детерминированной) функцией F (то же, что
3.6 при и = 0). □
4.40. Поточечная непрерывность. Отображения а Bt(a),
Ct(a) непрерывны в смысле Скорохода на D(R<<) для всех t G R+
(то же, что 2.1 l(iii) при и = 0). □
4. Пряменеяяя
259
4.41. Функциональная непрерывность. Отображения а
В(а), С (а) непрерывны по Скороходу из D(Rd) в D(Rd) и
DCR*4’).
4.42. Лемма, а) 4.39 влечет 4.38.
Ь) 4.39 и 4.40 влекут 4.41.
Доказательство. (а) очевидно. VI.3.36 влечет от-
носительную компактность семейств {В(а)}в€п и {С(а)}«€Л в
D(Rd) и DCR* ), соответственно, если выполнено 4.39. Отсюда
вытекает (Ь). □
4.43. Лемма, а) Если Хп сходится по распределению к
непрерывному процессу, то выполнено [67].
Ь) Если выполнено 4.34, 4.38 и [67], то [77 - R+] [17 - R+].
Доказательство. а) Из условий леммы в силу
VI.3.26 следует, что supt<41ДХ" | —> 0, откуда в силу VI.4.22, в
свою очередь, вытекает [/>7].
Ь) Доказательство такое же, как для УШ.З.ба: там детерми-
нированность С использовалась только для того, чтобы устано-
вить (1) и (2); здесь эти свойства вытекают из условия мажори-
руемости 4.38 и из [77 — R+] для (1), и из [77 — R+] для (2). □
Сформулируем основной результат, который обобщает теоре-
му VIII.3.8. Напомним, что rf* = £(Xq ).
4.44. Теорема, а) Пусть выполнены условия строгой
мажорируемости 4.39, поточечной непрерывности 4.40, и мар-
тингальная проблема s(cr(X0), X\rj;B, С, 0) имеет единственное
решение, скажем, Р. Если, кроме того, выполнено [Sup — Х?у],
то следующие утверждения равносильны:
(i) £(%”) Р;
(ii) выполнено: [£7], [57 — К+] итГ Т);
(iii) выполнено: [й7], [77 — R+] и тр —»• т).
Ь) Пусть выполнено [Sup — /37] и условие функциональной не-
прерывности 4.41. Если £(Хп) —> Р слабо, а канонический про-
цесс X на (Q, F, F,P) является семимартингалом с характери-
стиками (В,С,0) и начальным распределением т), то выполнены
9»
260
Гл. IX. Сходимость к семямартяягалу
[й7], [77 — R+], urf* —* 7). Если еще выполнено условие мажориру-
емости 4.38, то имеет место также [77 — R+].
Доказательство, а) Импликация (iii) => (i) являет-
ся частным случаем 3.21 (если v = 0, то [Я7] О [£7,1 - R+], и 3.7
очевидно), (ii) =>• (Ш) вытекает из 4.43, и (i) => (ii) следует из (Ь)
в силу 4.42b.
b) В соответствии с. 4.35 положим X(h) = X — 52,<_[ДХ, —
-Л(ДХ,)] и М = X(h) — Хо — В. Тогда отображение а X(h)(a).
непрерывно из D^) в D(Rd) в силу VI.2.8, a VI.3.33 (или VI.2.2)
плюс 4.41 и непрерывность Bt и Ct по t влекут за собой непре-
рывность отображения а (Х(Л), В, С)(а) из D(Rd) в D(Rd+<1+d ).
Поэтому из сходимости £(ХП) —> Р следует
£(ХП(Л), В о Хп, С о Хп) -+ £[(Х(Л), В, С) | Р]
(заметим, что Xn(h) = X(h) о Хп). Отсюда
£(Х"(Л) - В о X” - Хо", С о Хп) -»•
-* £[(Х(Л) - В - Хо, С) | Р] = £[(М, С) | Р].
Значит, в силу [Sup — /З7] последовательность £(Х”(Л) — ВоX” -
—X",С о Хп) и £(ХП(Л) — В” — Xq ,С о X”) имеют одинаковые
пределы, и, стало быть,
4.45. £(Мп,Со Хп)-* £[(М,С)|Р].
Кроме того, существует такая постоянная А, зависящая лишь
от функции усечения h, что |ДЛГП| < А всюду. Поэтому VI.6.6
позволяет заключить из 4.45, что
4.46. £(С",СоХп)->£[(С,С)|Р],
так как Сп,и = [Afn,i, Мп•>], и относительно меры Р имеем
[М‘, М>] = = С’> (напомним, что X и М непрерыв-
ны Р-п.н.). Далее, из 4.46 следует, что £(Сп — Со X") сходится
к распределению процесса С — С = 0, и, стало быть, выполнено
[77 - R+].
То, что [67] следует из 4.43а, а также сходимость
if1 —> т] = £(Хо | Р) тривиальны. Наконец, при условии 4.38 свой-
ство [77 — R+] вытекает из 4.43b. □
5. Схаиишосп стохлстяческях жктегралов
261
2. Если предельный процесс X является непрерывным ло-
кальным мартингалом (т.е. В = 0 выше), то имеются в полном
смысле необходимые и достаточные условия сходимости, как
в § VIII.3b, все результаты которого допускают обобщения на
настоящую ситуацию. Сформулируем здесь без доказательства
лишь обобщение VIII.3.12 (ввиду 4.44 доказательство аналогич-
но).
4.47. Теорема. Пусть В = 0, и = 0, и все Хп есть
локальные мартингалы с X” = 0 (последнее — для простоты).
Пусть также
4.48. lim limsup Рп(|®|1{ы>а}+ > с) = 0 для всех е > 0, t > 0.
afoo n
а) Если выполнено 4.39 и 4.40, и Р есть единственное реше-
ние мартингальной проблемы з(о(Хо),Х | £о>0,С,0), то следую-
щие утверждения равносильны:
(!) £(Х") Р;
(И) Й + [7,-К+1;
(“) ft] + [T7-«+];
(iv) [Х” ‘, X" ’], - С!' о X- - 0
для всех t > 0, i,j < d.
b) Пусть выполнено 4.41, £(Хп) —» Р, и относительно ме-
ры Р канонический процесс X является непрерывным локальным
мартингалом с Xq = Q п.н. и (Х',Х>) = С”. Тогда имеют ме-
сто утверждения (ii) и (iv) выше. Если еще выполнено 4.38, то
имеет место также (iii).
5. Сходимость стохастических интегралов
Здесь мы собираемся рассмотреть иной тип предельных те-
орем. Предположим, что имеются последовательность семимар-
тингалов (Хп), сходящаяся по распределению к семимартингалу
262
Гл. IX. Сходимость к семимартиигалу
X, и последовательность (Я") локально ограниченных предска-
зуемых процессов, сходящаяся в некотором подходящем смысле к
локально ограниченному предсказуемому процессу Я. Будут ли
стохастические интегралы Яп • Хп сходиться по распределению
кЯХ?
В общей ситуации ответ отрицательный: рассмотрим детер-
минированный случайj в котором Х^{ы) = х"(2) сходится в смы-
сле Скорохода (или даже равномерно) к пределу Xt(w) = x(t), и
пусть Яр(и>) = Я|(о>) = h(t) — ограниченная функция. Тогда,
< <
конечно, вообще говоря, неверно, что fh(s)dxn(s) —»• fh(s)dx(s),
о о
если не предполагать дополнительно непрерывности h или схо-
димости хп —> х по вариации.
Мы не требуем непрерывности Яп, но зато усиливаем схо-
димость Хп. Так как эти процессы имеют неограниченную ва-
риацию, то нельзя использовать сходимость вариации разности
по распределению, и мы заменяем ее сходимостью по вариации
характеристик.
§5а. Характеристики и стохастические интегралы
Данный подраздел содержит некоторые вычисления, не име-
ющие отношения к предельным теоремам. Пусть X = (Х‘)«<<1
— семимартингал на стохастическом базисе В = (12, J’jFjP) с
характеристиками {В, С, и) и модифицированной второй харак-
теристикой С относительно некоторой функции усечения h G С?.
Пусть Я = — предсказуемый процесс размерно-
сти m х d на В, для простоты локально ограниченный. Пусть
У = (У’),<т — стохастический интеграл, определяемый форму-
лой
5.1. У = £ Я° • Xj (обозначается У = Я • X).
i<<t
Мы хотим описать характеристики (d + тп)-мерного семимартин-
гала Z = (X, У). С этой целью зафиксируем функцию усече-
ния h' G Cf+m. Обозначим через Нх процесс Нх = ((Ях)* =
= ^2j<d и через (х,Ях) — (d 4- ш)-мерный вектор, у
5. Схацлмость стохктячеак интегралов
263
которого первые d компонент образуют вектор х, а последние m
— вектор Нх. Определим следующие величины (полагаем пра-
вые части равными 4-оо, если они не определены):
5.2.
если i < d,
Вн = <
„ если d < i < d + m,
C”,
если i,j < d,
C'ij - <
t<d
22 H’~dk cik,
если d < t, j < d + m,
t,i<<
v1 определяется равенством 1G * 1/ = lG(at, Hx) * v
для всех G G Ил+т.
5.3. Предложение. Если Y = Н • X, то характери-
стики Z = (X,Y) есть величины определены в 5.2.
Доказательство. Это скучные, но простые вычи-
сления. Во-первых, непрерывные части мартингалов представля-
ются в виде Ye = Н • Xе, и в силу 1.4.41
*,Хе
k<d
{Уе’\х^) = 22 (Н1'кН^) • (ХС-‘,ХС-'),
fc.Kd
тогда как С*’ = {Xе'',Xe,i). Стало быть, вторая характеристика
С дается 5.2.
Во-вторых, имеем ДУ = ЯДХ, и потому Д2 = (ДХ, ЯДХ).
Стало быть, если рх и р? обозначают случайные меры скачков
>0 = 22я’‘-(хе-‘,х^),
264
Гл. IX. Сходимость к семимлртингалу
X и Z, то
t
5.4. 1G * = У JlG(x,Hx)fix(ds х dx)
о v
для всех G € 1Zd+m. Это соотношение сохраняется и для компен-
саторов, и, значит, третья характеристика v' семимартингала Z
дается 5.2.
Наконец, по определению В найдется такой локальный мар-
тингал М, что
X = Xq + M + B + (x — Л(ж)) * цх,
и, таким образом,
Y = Н • М + Н • В + (Нх — Hh(x)) * цх.
Используя обозначения П.2.4, получаем в силу 5.4 (и в очевидных
обозначениях)
5.5.
Z(h!) := Z-(z- h'(z)) * =
М } + ( В
НМ ) + \НВ
(х — h(x)) * цх
(Нх — Нh(x)) * цх
h'(x, Нх) * цх —
Кроме того, Z(h') является специальным семимартингалом, и В
и Н • В имеют локально интегрируемую вариацию в силу 1.3.10,
так как вариация их конечна и они предсказуемы. Стало быть, в
5. Сходимость стохастических интегралов
265
силу 1.4.23 последнее слагаемое в 5.5 также имеет локально инте-
грируемую вариацию, а его компенсатор есть такой же интеграл,
но по мере и. По определению первой характеристики В' семи-
мартингала Z получаем
В> “ ( Н • В ) + /‘/(®’Яа:) ( яЛ(ж) ) *
что совпадает с выражением в 5.2.
□
5.6. Предложение. Пусть Y* — т-мерный семимар-
тингал на В, Уо' = 0, и предположим, что (d + т)-мерный семи-
мартингал Z' = (Х,У') имеет своими характеристиками вели-
чины (В' ,С' ,и'), определенные в 5.2. Тогда Y' = И • X.
Доказательство, а) Положим У = Н • X. Сначала
докажем, что совпадают непрерывные части мартингалов Ус и
У/е. Так как Ye,i = "Xe,i, то, используя 1.4.41 и тот
факт, что С является второй характеристикой как Z = (Х,У),
так и Z' = (X,y'), получаем:
(Ус’’ - у'е>’,уе’’ - У'е-’) = (Ус’’,Ус’’)-|-
i<d
= 2C,d+i'd+i - 2 22 • C'i,d+i =
i<d
= 2См+,'<,+’ - 2 • J2 я<‘ • Ci'k >
J
что равняется нулю в силу 5.2. Поскольку и Уое = У0'е = 0, то, в
силу 1.4.6 находим, что Уе-’ — У/е,< = 0 п.н., что и утверждалось.
Ь) Положим G = {(w,t, х,у) G Я х R+ х Rd х Rm : у /
/ Ht(w)x}, это множество Р х Pd+m — измеримо. В силу 5.2
имеем: 1в * ^ = 0, откуда Е(1с * д£) = 0, где р?' есть случайная
мера скачков Z'. Стало быть,
266
Гл. IX. Сходимость к семямартллгалу
5.7. ДУ' = ЯДХ, и, значит, ц2' = д2 с точностью до Р-
нулевого множества (так как ДУ = ЯДХ по определению У).
с) Наконец, каноническое представление семимартингалов
П.2.35 позволяет написать (напомним, что Уо = Уо' = 0):
У = Ye i + h'd+* * (дг - i/') + (zd+i - h,d^\z)) + B,d+i,
у/.- = y/e.. + h,d+i + (^z‘ _ + (^4-i _ h'd+i(z)) * ^Z' + B,d+i^
где использован тот факт, что В' является первой характеристи-
кой как Z (в силу 5.3), так и Z' (по условию). Ввиду 5.7 и (а)
находим У' = У с точностью до P-нулевого множества, и это
завершает доказательство. □
Для дальнейших ссылок вычислим также модифицированную
вторую характеристику С' семимартингала Z. С помощью 5.2 и
2.2 имеем :
5.8. C'tij = C'tj 4- [hrih'’(x, Нх) - h'h1(ж)] *vt+
+ £[дя;дя> - дя?дя?] при i,j < d,
s<t
= 52 Я'"** • CttJ + hW(x, Нх) - 52 Н{-а'\ккК )(ж)1 * 1/<+
k<d k<d J
Я;-*‘ДЯ*ДЯ> - ДЯ^ДЯ?
при j<d<i<d + m,
= Ct* при i<d<j<d + m,
= 52 (Н^Н’-Ь1) • С‘'+
+ h'W^Hx)- Y, Н^Н’-Ч
k,l<d
+ Y 12 я’-<<‘я/-<''дв‘дв^ - дя;*дя^
»<«
при d < i,j < d+m.
5. Сходииость стохастических интегралов 267
§5Ь. Формулировка результатов
1. Сначала опишем общую постановку данного раздела. При
всяком п G N* на стохастическом базисе Вп определен семимар-
тингал Хп = (Xn,*)i<d с характеристиками (В”, С",«/”) и модифи-
цированной второй характеристикой Сп относительно заданной
непрерывной функции усечения h € Cf.
Задан также предсказуемый процесс Нп = ко-
торый для простоты предполагаем локально ограниченным, и со-
гласно 5.1 определяем стохастический интеграл У” = (Уп,‘)«<т
формулой У” = Нп • Хп. Положим также Zn = (Xn,Yn) — это
(d + т)-мерный семимартингал.
Далее, рассмотрим каноническое пространство SI = D(Rd) с
F = D(Rd) и F = D(Rd), и канонический процесс X (см. 2.6).
На Q задан триплет (В,С,р), удовлетворяющий 2.1. Определим
С согласно 2.2. Задан также локально ограниченный предсказу-
емый процесс Н = на П.
Нашей целью является отыскание условий, которые гаран-
тировали бы сходимость Zn = (Хп,Нп • Хп) Л (Х,Н • X) при
условии слабой сходимости £(Хп) -»• Р для некоторой меры Р на
(Я, /). Для этого потребуется некоторое усиление предыдущих
условий разделов 2 и 3, касающихся как сходимости В”, Сп, vn к
В, С, и, так и свойств непрерывности В, С, v. Итак, положим
' [Var - 0} Var (Bni - В* о Г)( Д О
при всех t > 0, i < d,
[Var - 7] Var (Cn’’> - о Xn)t Д 0
при всех t > 0, t, j < d,
[Var — Var (<7 * vn — (g * v} о X")( Д 0
при всех t > 0, g G Ci(Rd),
и введем
5.10. Условие непрерывности в точке a G D(Rd). Для лю-
бой последовательности (ап),сходящейся к а в D(R<1), и при всех
t>0,5GC1(Rd),
Var (В’(а„) - B*(a))t -> 0,
268
Гл. IX. Сходимость к семимлртиигалу
Var(C‘>(an)-C’>(a))t-»O,
Var (g * i/(a„) - g * i/(a))t -* 0. □
Ради простоты изложения предположим также выполненным
следующее свойство GifR*), которое не мешает выбрать его счет-
ным:
5.11. Класс Ci(Rd) замкнут относительно умножения.
2. Имеется два типа результатов.
5.12. Теорема. Пусть характеристики (В,С, и) удовле-
творяют 3.7, 3.11, и условию непрерывности 5.10 в каждой точ-
ке а € D(Rd), и существует единственное решение Р мартин-
галъной проблемы s(a(X0), Х\г);В, С, i/), где г) — вероятностная
мера на Rd.
Пусть, кроме того, выполнены [Var —0], [Var —7], [Var — £],
и т]п := £(Х$) —* слабо. Наконец, предположим выполненными
следующие условия на Нп и Н:
5.13. И” — Ht о Хп Д 0 при всех t > 0.
5.14. При всех t > 0 sup„6n |Я,(а)| < 00, и отображение
а Ht(a) непрерывно по Скороходу на D(Rd).
5.15. При всех t > 0 существует такая постоянная Kt, что
P”(sup,<t |Я”| > Kt) —► 0 при п | оо.
Тогда распределения £(Хп,Нп • Хп) слабо сходятся к рас-
пределению £(Х,Н • X) (d + т)-мерного процесса (Х,Н X) на
(fi,^,P).
Этот результат является, в сущности, прямым следствием те-
оремы 3.35: достаточно доказать, что последовательность (Zn)
и характеристики определенные согласно 5.2, удовле-
творяют условиям этой теоремы. Поэтому существует "локаль-
ный” вариант предыдущего результата в квазинепрерывном сле-
ва случае (основанный на теореме 3.39 вместо 3.35).
По этим причинам в теореме 5.11, в сущности, нет ничего но-
вого. Следующий результат, напротив, более интересен, хотя в
5. Сходимость стохастических интегралов
269
нем рассмотрен лишь случай, когда предел квазинепрерывен сле-
ва; здесь предполагается только сходимость процессов Xп по рас-
пределению к предельному процессу X, и не требуется никаких
предположений единственности решения мартингальной пробле-
мы <S(<t(X0)> X117; В, С, у) (доказательства см. в § 5с ниже).
5.16. Теорема. Пусть последовательность £(ХП) слабо
сходится к пределу Р, X — квазинепрерывный слева семимар-
тингал на (Q,.F, F,P) с характеристиками {В, С, и) и выполнено
условие непрерывности 5.10 для Р-почти всех а.
Пусть, кроме того, выполнено [Var — 0], [Var —7], [Var —6],
5.14, и
5.17. sup |Я" - Н, • Хп\ Д Одля всех t > 0.
Тогда последовательность £(Хп, Нп -Хп) слабо сходится к рас-
пределению (d + т)-мерного процесса (X, Н • V) относительно
меры Р.
Условия 5.9 и 5.10 выглядят весьма ограничительными. Тем
не менее, во многих естественных ситуациях они выполняются.
Пусть, например, {В, С, и} определены согласно 4.1, а все Хп —
диффузионные процессы со скачками с характеристиками из 4.7.
Тогда
5.18. Следствие. Пусть еще выполнено 4.10, 4.11, 5.14,
5.17, и £(ХП) слабо сходится к пределу Р, относительно кото-
рого X является семимартингалом с характеристиками
(В, С, и). Тогда £(Хп, Нп • Хп) слабо сходится к распределению
£(Х,Н • X) относительно меры Р.
Доказательство. Ввиду 4.1 и 4.7 очевидно, что
4.1Д и сходимость £(Хп) —* Р (соответственно, 4.10) влекут
[Var — /3] + [Var — 7] + [Var - 6] (соответственно, 5.10 для всех
а). □
5.19. Замечание. Сходимость по вариации в 5.9 и 5.10,
это, конечно, больше, чем требуется для наших целей. Рассмо-
270
Гл. IX. Сходимость к семимлртиигллу
трим для примера 5.10. Из доказательства будет видно, что до-
статочно потребовать:
(i) sup|u • — u-B*(a)4| -► 0,
(ii) 8up|«.C‘>(an),-u.^(a),H0,
«<t
(iii) sup |v * v(an)t — v*v(a), | —» 0,
(iv) sup Var (B‘(an)) < oo
n
для всех борелевских функций u : R+ —> [0,1] и v : R+ xRd —► [0,1]
таких, что v(s,x) непрерывна по x при всяком s.
Аналогичным образом можно ослабить [Var — /?], [Var — 7] и
[Var - «]. □
§5с. Доказательства
Удобно разбить рассуждения на несколько этапов.
1. Первое наблюдение состоит в том, что процессы Н и Нп
можно считать равномерно ограниченными. Докажем это. От-
метим, что 5.14 плюс 5.17 влекут 5.15. Поскольку сходимость
£{Хп,Нп • X") —»• £{Х,Н • X) есть ’’локальное” свойство, то ис-
комое свойство достаточно доказать для Яп1(о,т] и Я1[о,т] вместо
Нп и Н для всех Т G R+- Значит, не является ограничением в
5.14 и 5.15 предположить, что
sup |Я«(а)| < оо,
с постоянной К, не зависящей от t.
Более того, пусть H'tn = Н? 1ця*|<я}• Имеем Нп • X” =
= Н'п • X” для всех s < t на множестве {sup,<t |я,"1 < к}.
Поэтому ввиду 5.20 последовательность £(Хп,Нп • X”) сходит-
ся к пределу Р тогда и только тогда, когда последовательность
£(Хп,Н'п • X”) сходится к тому же пределу Р. Далее, 5.13 (со-
ответственно, 5.17) влечет H'tn — Ht о X" —► 0 (соответственно,
sup,<< |Я'П — Н, • Х"| —* 0) вновь в силу 5.20. Поэтому мы можем
заменить Нп на Н'п, другими словами, предположить
5. Сходимость стохастических яятегралов
271
5.21. |Я”| < К, |Я| < К всюду для некоторой постоянной К.
2. В следующей лемме рп v. р'п — положительные случай-
ные меры на В", по которым интегрируема функция (|®[2 А1)l[o,t]
при любом t. Обозначим через IC компактное подмножество всех
таких u Е Rm ® Rd, что |и| < К, где К — постоянная из 5.21.
Рассмотрим две последовательности процессов Кп и Я'” со зна-
чениями в IC.
5.22. Лемма. Пусть выполнены условия (i) и либо (ii), ли-
бо (ii') ниже:
(i) Var (д * рп — д * р'")( 0 для всех t > 0, д € Ci(Rd).
(ii) (1) Для любой д € Ci(Rd) найдется непрерывная справа
(и имеющая пределы слева) возрастающая (детерминированная)
функция F1, сильно мажорирующая все g * р'п(ш);
(2) К? — K'tn X 0 при всех t > 0.
(ii') (1) limjvToolimsupnP"(<7 * р{" > N) = 0 при всех t > 0,
ffeC'1(Rd);
(2) sup,^ l-K? — Я'" | Д- 0 при всех t > 0.
Тогда если
5.23. f : Rd X XS —> R непрерывна, имеет предел на бесконеч-
ности, и f(x, и) = 0 при всех |з| < е, и € /С, для некоторого е > 0,
то
5.24. Var [f(x, Кп) ♦ рп - /(®, К'п) ♦ p'n]t Одля всех t > 0.
Доказательство, а) Пусть С — пространство всех
непрерывных, ограниченных функций на компактном множестве
(RdU{oo})xXS, где RdU{oo} — одноточечная компактификация Rd.
Напомним, что да(х) = (а|®| —1)+А1 принадлежит C'i(Rd) при a Е
Q+. Функция f удовлетворяет 5.23 тогда и только тогда, когда
она представима в виде f(x, и) = ga(x)f(x, и) при некотором а Е
Q+ и f Е С. Поэтому зафиксируем а Е Q+, и тогда достаточно
доказать, что при f Е С функция f = gaf удовлетворяет 5.24.
b) Сперва покажем, что это верно, если f(x,u) = g(x)k(u),
где д — продолжение на Rd U {оо} функции д Е Ci(Rd), & к —
272
Гл. IX. Сходимость к семимартиигалу
непрерывная функция на /С. В этом случае имеем f(x, Кп) ♦ рп =
= к(Кп) • [<деа ♦ р"], и аналогично для f(x, К,п) * р,п. Стало быть,
5.25. Var [/(а:, Кп) * рп - /(®, Ат) * р'% <
< |к(К”)| • Var [gga ♦ рп - gga * pm],+
+|fc(Kn) - fc(/Tn)|- (gga *p,n)t <
< ||fc||Var (gga ♦ pn - gga ♦ p/n)t+
+||p|||fc(Kn)-fc(K/n)|-(pe*p,n)<-
Первое слагаемое в 5.25 стремится к нулю по вероятности в силу
(i). При условии (ii) второе слагаемое не превосходит ||р|| |fc(A'n)-
—к(К'п)\•Ft*, что стремится к нулю по вероятности в силу теоре-
мы Лебега о мажорируемой сходимости. Поскольку к равномерно
непрерывна, то для всякого е > 0 существует такое т/(е) > 0, что:
|u — u'| < ^(s) => |fc(u) — fc(«')| < е, и потому
P"(|fc(tf") - к(К'п)\ • (ga * p'n)t > е) <
< Pn(sup |К," - к;п1 > + Р"^ * р? > N).
При условии (ii') это выражение можно сделать сколь угодно ма-
лым, если выбрать п достаточно большим. Стало быть, в любом
случае 5.25 стремится к нулю по вероятности, что и доказывает
искомое свойство.
с) По линейности 5.25 распространяется на все f из линейного
пространства £, натянутого на функции g(x)k(u) (д G Ci(Rd), к
— непрерывная функция на /С). Ввиду 5.11 £ является алгеброй,
и в силу того, что Ci(Rd) определяет сходимость, £ разделяет
точки из (Rd U {оо}) х К,. Стало.быть, в силу теоремы Стоуна-
Вейерштрасса £ плотно в С в топологии равномерной сходимости.
d) Пусть / G С, и 7, е £, ||7-7,|| < 1/д. Тогда, если /, = ga~J4
и / = gaf, то имеем
Var [/(ж, Кп) * рп - f4(x, Кп) ♦ р"] <
< |/(ж,Кп) - f4(x, К»)1 * Рп < ^9а * Рп,
5. Сходимость стохастических интегралов
273
и аналогично для р'п. Таким образом,
5.26. Var [f(x, Кп) *рп- f(x, К'п) ♦ /»'"], <
< Var [Цх, Кп)*рп — f,(x, К'п) * И, + * р” + ±ga * p'tn.
Заметим, что (ii.l) => (ii'.l), и из (i) и (ii'.l) немедленно вытекает,
что рп также удовлетворяет (ii'.l). Далее, легко получаем, что
Iim,Too limsupn Pn(|ga * p'tn > е) = О для всех Е > 0, и аналогично
для рп. Поэтому из 5.26 и того факта, что все /о удовлетворяют
5.24, следует, что f также удовлетворяет 5.24. □
Эта лемма будет применена дважды. Первое применение — к
непрерывности характеристик (B'C',i/) и С', определенных в 5.2
и 5.8, где выбрана непрерывная функция усечения h' € C?+m.
5.27. Предложение. Пусть выполнено 5.19 для всех
а, |Я| < К, и ЯД*) непрерывно в каждой точке а при всех t.
Тогда, если ап -> а, то при всех t € R+, д' G C2(Rd+m) ижеелс
5.28.
’ Var (В'’(ап) - Brt(a)]t - О,
< Var[C^(an)-C'°(a)b-.O,
. Var [$' * v'(an) -д' * v'(a)]t -♦ О
(напомним, что C2(Rd+m) есть множество всех непрерывных
функций на R<l+m, имеющих предел на бесконечности и обраща-
ющихся в нуль в некоторой окрестности начала координат).
Доказательство. а) Применим 5.22 к детермини-
рованным мерам рп(ш) = t'(ctn), р'п(ш) — и(а) и Кп(ш) = Я(ап),
К'п(ш) = Я(а). Тогда 5.22(i,ii.2) выполнены по условию, а
5.22(ii.l) имеет место с F9 = д * и(а). Значит, для всякой /,
удовлетворяющей 5.23, имеем
5.29. Var [/(х, Я(ап)) ♦ v(an) - f(x, Н(а)) * i/(a)]t -» 0.
Ъ) Если д' G C2(Rd+m), то функция f(x,u) = д'(х,их), очевид-
но, удовлетворяет 5.23, и д' * и' = /(х, Я) * v в силу 5.2. Стало
быть, последняя сходимость в 5.28 следует из 5.29.
274
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
с) В силу 5.2 В1' есть сумма слагаемых вида (1) В’,
(2) H'~dk • Вк и (3) /(ж, Н) * р, где f(x, и) = Л'‘(ж, их) — h‘(x) или
/(ж, и) = hH(x,ux) — Y^k<dui~d’khk(x). В силу свойств функций
усечения h и Л' указанные функции f удовлетворяют 5.23, и по-
тому сходимость по вариации слагаемых типа (3) следует из 5.29.
В силу условий В‘(ап) -» В'(а) по вариации на любом интервале
[О,*]. Наконец,
5.30. Var (H*~d'k(an) • Вк(ап) - Н{~л’к(а) • Bk(a))t <
< КУ&т (6‘(on) - Bk(a))t+
+\Hi~d,k(an) - H*~d,k(a)\ • Var (Bk(a))t,
что также стремится к нулю (для последнего члена используется
теорема Лебега о мажорируемой сходимости), и, таким образом,
первое соотношение в 5.28 имеет место.
d) Рассмотрим, наконец, 5.8: C"v есть сумма слагаемых вида
С*’, H*~d,k, Cki, (H'~d kHi~d’1) • Ckl (для которых сходимость по
вариации доказывается, как в (с)), слагаемых вида
f(x,H) * р, где /(ж, и) = hnh^(x,ux) — h*h’(x), либо
= Л'’Лу(ж,аж) — либо = Л'’Л°(ж,«ж) —
~12k,i<du,~d'kui~d't(^’k^,)(.x)'> которые все сходятся по вариации
в силу 5.29, и, наконец, слагаемых вида £2Л< AL^AV,, где U и V
— некоторые два процесса из множества В‘, В'1, £i<d H'~d,k • Вк.
Таким образом, во всех случаях Var [(7(ап) - —* 0, и то же
для V (в силу (с)), и легко получить, что
Var (£ А^(ап)ДК(а„) - £ AtZ,(a)A V,(a)) - 0.
's< s< ' *
Это завершает доказательство сходимости в 5.28. □
Второе применение леммы 5.22 — к сходимости характери-
стик (В,п,С,п,р/п) и С,п процессов Zn = (Хп,Нп -Хп), определен-
ных в 5.2 и 5.8 (с той же функцией усечения hf, что и выше) к
(В',С>')иС'.
5.31. Предложение. Пусть выполнено 5.21, и
(i) либо имеют место 3.11 и 5.13,
5. Сходимость стохастических интегралов
275
(i') либо £(.¥п) —» Р слабо, выполнено 5.10 для P-почти всех
а и 5.17.
Тогда [Var — /3], [Var — 7], [Var — Я] влекут
[Var - /3]' Var (B"*-’’ - В'* о Xn)f Д 0
для всех t > 0, i < d + m,
[Var - 7]' Var (C'n’ij - CHi о Xn)t Д 0
для всех t > 0, i, j < d+ m,
[Var - $]' Var (д' *1/” - (д' ♦ v') о Xn)t Д 0
для всех t > 0, g € C,2(R<,+m).
Доказательство. а) Применим 5.22 к мерам
pn — vn, p'n = voXn, и процессам Kn = Hn, К'п = Н о Хп. 5.22(i)
следует из [Var — £], a 5.22(ii) — из (i) выше. При условии (?)
имеет место 5.22(ii'.2); далее, сходимость £(Хп) —> Р и тот факт,
что 5.10 имеет место Р-п.н., влекут сходимость £((д ♦ vt) о Хп) —»•
-* £(g*vt | Р) для всех д G Ci(Rd). Поскольку <7*17 < оо, то легко
заключить, что р'п = и о Хп удовлетворяет 5.22(ii'.l).
Таким образом, во всех случаях мы можем применить 5.22, и
если f удовлетворяет 5.23, то получаем
5.32. Var [f(x, Нп) ♦ vn - (f(x, Xn], Д 0.
b) Здесь мы можем, по существу, воспроизвести доказатель-
ство 5.27. Чтобы получить [Var — 6]', применим 5.32 к f(x, и) =
= д'(х, их). Для того, чтобы получить [Var — /3]', устанавливаем
сходимость по вариации (по вероятности) для слагаемых вида (1)
(соответственно, (3)) как в части (с) доказательства 5.27 в силу
условий (соответственно, в силу 5.32). Что касается слагаемых
вида (2), то 5.30 надо заменить на
5.33. Var [Hn-i~d’k Впк - (Н{~л'к -Вк)о Xn]t <
< КУ&т (Впк — Вк о Xn)t 4-1Hn i-d k - H'~dk о Х”| • Var (Вк о Xn)t.
Первый член в 5.33 стремится к нулю по вероятности в силу
[Var — /3]. При условии (i) второй член в 5.33 не превосходит
276
Гл. IX. Сходимость к семимартингалу
величины (напомним, что Var (В*) -< F):
t
- Н*~л,к о Хп\dF„
О
которая стремится к нулю по вероятности в силу теоремы Лебега
о мажорируемой сходимости. При условии (?) второй член в 5.33
не превосходит величины
5.34. (sup |Яап - Я, о Xn|)Var (Bk о %")„
а из сходимости £(Хп) —> Р и 5.10 следует сходимость £(Var (Я4 о
оХ”)) —► £(Var (Bk)t |Р), причем Var (Bk)t < <*>. Стало быть,
lim^oo limsupn Pn(Var (В* о Xn)t > N) = 0, и с помощью 5.17
находим, что 5.34 стремится к нулю по вероятности при n f оо.
Таким образом, во всех случаях 5.33 стремится к нулю по веро-
ятности и мы получаем [Var — /?]'.
Остается доказать [Var — 7]'. Сходимость по вариации для
компонент С'п”, являющихся интегралами относительно Сп’к1,
либо относительно и (см. (d) в доказательстве 5.22), доказыва-
ется так же, как выше для [Var — /3]'. Остается рассмотреть
компоненты вида 52,<4ДЯ"ДУ", где Un и Vn имеют вид В"-’,
либо В'п,‘, либо ^,k<d Hn,i~d,k • Bn,k. Из предыдущего получаем
Var (Я" — U о Xn)t 0 и Var (Vn — V о Xn)t X 0 для всех таких
Un, Vn. Отсюда сразу следует
5.35. Var ( $2 ~ fe Д^Лк) о Хп| Д 0
(можно, например, выбрать такие подпоследовательности, что
Var (Un> — U о Xn )t —► 0 и Var (Vn> — V о Xn )t —* 0 п.н. и затем
вывести, что 5.35 также имеет место п.н. для таких подпоследова-
тельностей). Это завершает доказательство
[Var - 7]'. □
3. Теперь остается применить результаты разделов 2 и 3. С
этой целью рассмотрим каноническое пространство Q' = D(Rd х
Rm ) с канонической фильтрацией F', ст-полем F1 и каноническим
5. Сходимость стохастических интегралов
277
процессом Z. Обозначаем Z = (X, У), где X = (Х*)^ = (Z‘).<d,
и У = (У’),<т — (Zd+*)i<m. В', С, i/, Н', С' естественным обра-
зом распространяются на Я' : В' о Z = В' о Х,я т.д. Тогда на
Вп пми (В1, С', i/) с Zn = (В', С', i/) о Хп.
Доказательство теоремы 5.12. Как было показано
выше, не является ограничением считать, что выполнено 5.21.
Применим теорему 3.35 к Zn. Так как (В, С, и) удовлетворяют 3.7
и 3.11, то ограниченность Н и явная форма 5.2 и 5.8 моментально
влекут 3.7 и 3.11 для (В',С,и1) (возьмем Ci(Rd+m) = C’2(Rd+m)).
Предложение 5.31 дает [Var — /3]', [Var — 7]', [Var — <$]', что
сильнее нежели [Sk — /37]', [Sk - 77]', [Sk - £7]' — условий, анало-
гичных 3.2, но с Zn, В'п, б'п, i/n и Bz, С", и' вместо Хп, Вп, Сп,
ип и В, С, v.
Положим rf — г) ® £0 на Rd х Rm. Тогда £(Z$ ) -» if слабо,
так как (Нп • Хп)0 = 0. Для всех t > 0 и д' G C'2(Rd+’n) предложе-
ние 5.27 влечет непрерывность в D(Rd) отображений а
С[(а), д' * ^'(а), и, значит, их продолжения на D(R<i+m) также
непрерывны в топологии Скорохода.
Пусть, наконец, Р' € s(a(Z0),Z\Tf;B',C',i/'). В силу предло-
жения 5.6 имеем У = Н • X на (ft', J7, F', Pz), и, конечно, X явля-
ется семимартингалом на этом пространстве с характеристиками
(В,С, I/) и начальным распределением т]. Поскольку
(В, С, v)oZ — (В, С, v)oX, то находим, что £(Х | Р') есть решение
мартингальной проблемы 5(<t(X0), X |77; В, С, i/). В силу предпо-
ложения единственности £(Х | Р') = Р. Кроме того, Ht о Z =
= Hto X, поэтому распределение £((Х,Н • X) | Р) есть в точно-
сти Р', и мы заключаем, что Р' является единственным решением
5(a(Z0),Zh';B',C',p').
Стало быть, все условия теоремы 3.35 выполняются для Zn,
(В'п ,C'n,v'n) и (B',C',i/). Значит, £(Zn) —> Р', и искомое утвер-
ждение доказано. □
Доказательство теоремы 5.16. Снова считаем,
что выполнено 5.21.
а) Первый шаг — доказать, что последовательность {Я”}
плотна. Для этого используем теорему VI.4.18. Напомним, что
£(Хп) —» Р, так что последовательность (ZJ = (XJ, 0)), очевид-
278
Гл. IX. Сходимость к семимартиягалу
но, плотна в Rd+m.
Поскольку 5.10 справедливо Р-п.н., то из 5.27 заключаем, что
£(В' о Хп) сходится к распределению В* на (12, /\Р). В силу
5.31 имеем sup,<t |В'* - В' о Хп| Д 0 при всех 2, поэтому £(В'П)
также сходится к распределению В* на (12, /\Р). Поскольку X
квазинепрерывен слева относительно меры Р, то B*t Р-п.н. не-
прерывен по t, и, стало быть, последовательность В'п является
С-плотной. Аналогично устанавливается, что последовательно-
сти {С'п} и при всех д' G C'2(Rd+m) являются С-плотными.
Наконец, из необходимости в VI.4.18 следует, что ип удовле-
творяет VI.4.19. Так как |Нп| < К, то в силу 5.2 последователь-
ность и'п также удовлетворяет VI.4.19. Поэтому достаточность в
VI.4.18, примененная к последовательности {Z"}, гарантирует ее
плотность.
Ь) Остается доказать, что если подпоследовательность, обо-
значаемая по-прежнему Р” = £(Zn), слабо сходится к пределу Р
в D(Rd+m), то Р = £((Х, Н'Х) | Р). Используем для этого теорему
2.22. Во-первых, 5.31 влечет [Sup — /ЭД, [Sup —77], [Sup — <$7,2] для
В'п, С'п, и'п и, значит, выполнено 2.22(i) (см. замечание 2.23).
Во-вторых, 5.10 имеет место Р-п.н., поэтому 5.27 влечет, в
частности, что отображения а —♦ В'(а), С"(а), д' * г/(а) (при д' G
G C2(Rd+m)) из D(Rd) в D(Rd+m), D(R(d+m)’), D(R) соответствен-
но, непрерывны в топологии Скорохода, и P-почти любой точке
а. Кроме того, так как процесс X квазинепрерывен слева относи-
тельно меры Р, то функции t B't(a), С{(а), g'*i/t(a) непрерывны
для P-почти всех а. Поэтому в силу VI.2.2 находим, что Р-п.н.
отображения а (а, В' (а), С'(а)) и а (а, д' * ^'(о)) из B(Rd) в
D(Rd+(<i+m)+(d+m)a) и
) непрерывны. Значит, их продолже-
ния на (Rd+m) Р-п.н. непрерывны при условии, что
5.36. £(Х | Р) = Р.
Но £(Zn) = Р, поэтому £(ХП) -+ £(Х| Р). Так как £(Xn) -> Р
по условию, то 5.36 выполнено. Стало быть, 2.22(H) имеет место
для (B',C',i/) Р-п.н.
Таким образом, применима теорема 2.22: относительно ме-
ры Р процесс Z является семимартингалом с характеристиками
5. Сходимость стохастических интегралов
279
(В' ,С' ,и'}. Далее, равенство Zo = (Хо, 0) Р-п.н. очевидно. Стало
быть, 5.6 влечет равенство У = Н • X на (О', Р'), откуда, в
свою очередь, следует, что
£(Z = (Х,У) = (X, Н ♦ X) | Р) = £((Х, Я • X) | Р)
(как в предыдущем доказательстве), что и завершает рассужде-
ния. □
Глава X
Предельные теоремы,
процессы плотности и
контигуальность
Остановимся кратко на проблемах, которым посвящена по-
следняя глава.
Эти проблемы связаны с контигуальностью и сходимостью
процессов. Следовательно, постановка здесь такая же, как в гла-
ве V: для каждого п Е N*(fln, J‘n,F") — измеримое пространство
с фильтрацией, снабженное двумя вероятностными мерами Рп и
Р'п. Положим Q” = (Рп + Р'п)/2 и обозначим zn и z'n — процес-
сы плотности мер Рп и Р'п относительно Qn. Так же как перед
V.2.5 вводим ’’процесс плотности меры Р'п относительно Р"п по
формуле
1.1. Ztn = ( с £ = +оо)
z(n VO /
loc
(когда P'n < Рп процесс Zn принимает только конечные значения
и является обычным процессом плотности; во всех случаях Zn
является Р”-супермартингалом).
Как обычно, Р" и Р{” обозначают сужения мер Рп и Р'п на Т7”.
Всегда будет предполагаться, что
1.2. Р” = Р'оп для всех п Е N* ( значит, z" = z'g = Z" = 1).
281
Это предположение часто выполняется в приложениях и позволя-
ет избежать множества тривиальных усложнений в формулиров-
ках результатов. Будем также предполагать, что Тп = =
=V^-
В этой главе мы, в основном, изучаем два вопроса.
1) Первый из них связан со сходимостью последовательности
Zn при "локальной контигуальности”, т.е. при (Р{”) < (Р") для
всех t € R+- Очевидно, имеется различие между сходимостью
£(Z” | Р") (распределений Zn относительно Рп) и £(Zn | Р'п). Для
этого используются следующие обозначения:
1.3.
zn z,
zn £1^) z’
(вообще говоря, вовсе не обязательно, что £(Z) = £(Z')!)-
В разделе 1 получены необходимые и достаточные условия,
при которых предельный процесс Z является непрерывным мар-
тингалом, не обращающимся в нуль. В разделе 2 изучается слу-
чай, когда Z = ех, где X является процессом с независимы-
ми приращениями. Этот результат мотивирован статистически-
ми приложениями, особенно в том случае, когда Z имеет вид:
Z — ехр(А/ — у), где М — непрерывный гауссовский мартингал
с Мо = 0 и Ct = ЕМ(2. В этом случае соотношение 1.3 указыва-
ет на тот факт, что простую гипотезу Р” и ее альтернативу Р'п
можно заменить гауссовским экспериментом, т.е. простой стати-
стической моделью с гауссовским логарифмом отношения прав-
доподобия.
2) Второй вопрос состоит в следующем. Пусть на каждом про-
странстве (fin, J’",P") задан согласованный процесс Хп с тра-
екториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева.
Пусть (Р'”) < (PJ*) для всех t е R+ и Хп X. Спрашивается,
при каких условия последовательность £(Хп | Р/п) также сходится
по распределению. Эта проблема изучается в разделе 3.
282
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному
процессу
§1а. Введение. Формулировка основных результатов
1. Чтобы уяснить сущность проблемы, полезно начать с (ча-
стичного) обобщения третьей леммы Ле Кама V.1.13, относяще-
гося к стохастическим процессам.
1.4. Предложение. Предположим, что £(Хп | Рп) —»
—* Q, где Q — вероятностная мера на каноническом простран-
стве
= (D(R),P(R),D(R)).
а) Следующие условия эквивалентны:
(i) (Pjn) < (Р?) для всех t € R+,
(ii) £(Zn | P'n) —» Q',
где Q' — другая вероятностная мера на
b) Если (i) или (ii) выполнено, то Q' Q, и канонический
процесс Z на $1 является (^-мартингалом и процессом плотно-
сти Q' относительно Q. Если, кроме того, Q(Z( > 0) = 1, то
(P?)<(Pf).
Доказательство. Обозначим D = {t > 0 :
Q(AZt / 0) = 0}. Предположим сначала, что (ii) выполнено.
Пусть D* = {t > 0 : Q'(AZt / 0) = 0}. Если t € D', то
£(Z"|P7*) —► £(Zt|Q')- Следовательно, V.1.13 (импликация
(ii) (i)) влечет за собой (PJn) <(Р”). Отсюда с необходимостью
(P'n) < (Р") для всех з <t. Значит, (i) выполнено.
Далее, предположим, что (i) выполнено. Если t 6 D, то ото-
бражение остановки а a‘(s) = a(t Л з) является Р-п.н. непре-
рывным в топологии Скорохода на О. Тогда
- £[(Z„Z')|Q,]
и с необходимостью £(ZJ* | Р") —» £(Zt | Qt). Поскольку по пред-
положению (Р{") < (Р?), то в силу V.1.13 имеет место слабая схо-
димость £[Zp,(Z")‘ | PJ"] —» rft, где rj1 — вероятностная мера на
1. Сходимость процесса плотности ж непрерывному процессу 283
R+ х Q, характеризующаяся следующим образом
^(/) = Eq[ZJ(Zt,Z‘)].
Поэтому, в частности, EqZJ* = 1 и
1.5. £((£**)* | Pm) -» Q't° := Zt • Qf.
Из 1.5 вытекает, что последовательности {£((/")*) | Р**} являют-
ся плотными для всех t G D и, следовательно, по критерию плот-
ности VI.3.21 последовательность {£(Z”) | Рт} плотна. Бели Q'
— предельная точка этой последовательности, то из 1.5 нетруд-
но вывести, что QJ := Q' | Ji = Q{°. Тем самым, эта предельная
точке. Q' является единственной и (ii) выполнено.
Более того, в силу 1.5 Q' < Q и Z является процессом плот-
ности меры Q' относительно меры Q, т.е. Z — Q-мартингал.
Наконец, последнее утверждение в (Ь) следует из V.1.15. □
2. Предшествующее предложение показывает, что когда вы-
полнено 1.3, Z -шукер быть априори любым неотрицательным
мартингалом с Zo = 1. Однако, интерес к изучению контигу-
альных последовательностей мер вызван приложениями к стати-
стике и в соответствии с обсуждениями, имеющимися у Ле Кама
в [145], наиболее интересными являются "асимптотические гаус-
совские эксперименты” или их смеси в смысле § VII.5a, в особен-
ности потому, что (практически) только в этом случае хорошо
удается интерпретировать статистические выводы.
Естественно, что последовательности мер Р” и Р'п могут схо-
дится. Но даже, если это и не так, то в постановке 1.4 распреде-
ления достаточных статистик Zn сходятся и, следовательно, ”в
пределе” меры Р" и Р'" заменяются на меры Q и Q' являющиеся
соответственно пределами £(Zn | Р”) и £(Zn | Р'").
В постановке, отвечающей случайным процессам, гауссовский
эксперимент означает, что логарифм отношения правдоподобия
(логарифм процесса плотности) является (непрерывным) гауссов-
ским процессом вида InZ = М — С/2, где М — непрерывный
гауссовский мартингал с Мо = 0 и {М, М) = С.
Заметим также, что в силу теоремы Ш.5.35 процесс Z явля-
ется процессом плотности относительно двух распределений не-
прерывных процессов с независимыми приращениями.
284
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
3. Условия, при которых справедливы соотношения 2.3, бу-
дут выражены в терминах различных предсказуемых процессов
на (fin, Jrn,Fn), определенных ниже. На самом деле, здесь при-
водятся понятия, которые строго говоря не необходимы в данном
разделе, а будут использованы в разделе 2.
1.6. Нп = Лп(|; Рп,Р'п) — произвольная версия процесса Хел-
лингера порядка 1/2 между мерами Р” и Р'п (см. IV.1.24).
1.7. Пусть а е (1,оо). Функция х <ра(х) = (1 - ar)l[01i/e](x)
удовлетворяет IV.1.40. Положим /”(в) = г(у>о;Р”,Р/п) +
+г(^в;Р'п,Р”), где г(<ра;Р”,Р/п) и г(</?а;Р'п,Р") — произвольные
версии процессов, определенных в IV.1.46 (заметим также, что
In(a) = i(V»a;Pn,P'n) + /i(0;P'n,P”), где фа(х) = |ж - 1| х
^(®) =
1.8. Пусть д : R —► R является ограниченной борелевской
функцией равной нулю в окрестности 0. Тогда функция
хд(— In®), если х > 0,
0, если х < 0
также удовлетворяет IV.1.40. Обозначим Gn(g) произвольную
версию t(y>,;Pn,Pm), определенную в IV. 1.46. □
Явные версии для этих процессов даются в IV.1.36 и IV.1.49.
Приведем их здесь. Обозначим (zn,e,zn,e) и и** вторую и тре-
тью характеристики мартингала zn относительно Q”. Поскольку
zn + z'n = 2, то l/z2 + 1/^'Z* = и мера уг* в силу IV.1.33а
нагружает только множество
1.9. {(о>,/,ж): zj*_(w) > 0, z£(a>) > 0, —zj*_(w) < х < z,”(w)}.
Таким образом, имеем следующие версии Я”, Z”(a), Gn(g):
' /П(О) = 7^Г1{1/<*<(1+«/^)/(1-«/<п)<«}е * V‘ ’
<?"(5)= (1 + 01111 1:1
' ' J. “|“ Ле / £ __
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 285
1.11. Замечание. Если Р'” < Рп, то Zn является Рп-
мартингалом. Обозначим {Zn,e, Zn,e) и vz'p' его вторую и тре-
тью характеристики относительно Р". Следующие представле-
ния задают версии Hn, In(a), Gn(g) (ср. с IV.1.39 и IV.1.50):
Д” = 8^ + И1 -
Г*(а) = У‘1{1/о<1+./г;<а) * ’р ,
Gn(s) = 0 ° In (1 + * ^",Р’ • □
1.12. Теорема. Пусть t Ct является неубывающей
непрерывной функцией с Со = 0. Пусть М — непрерывный мар-
тингал с Мо = 0 и = Ct, заданный на некотором стоха-
стическом базисе (П, J\F,P) (следовательно, М — гауссовский
процесс). Следующие утверждения (i) и (ii) являются зквива-
лентными:
(i) Zn Z = ем~с'2,
(ii) существует плотное множество D в R+ такое, что вы-
полнены условия
[Z — Р] In(l + е)( 0 для всех t G D, г > 0,
[Н - D] |ct для всех t G D.
О
В этом случае имеем: выполнены [L — R+] и [Н — R+], а также
Zn Z' = ем+с/2; (P'n) < (Р?) и (Р'") < (Р?)
для всех t G R+.
Условие [Z — Р] является условием типа Линдеберга (см. вер-
сию 1.10 для /"(1 + г)). Заметим, что Zn принимает конеч-
ные значения Р”-п.н., и, следовательно, (i) обозначает обычную
сходимость в D(R). Тем не менее, Zn может принимать значе-
ние 4-оо с положительной Р/п-вероятностью. Значит, сходимость
£(р/п) —
Zn -—► Z‘ означает сходимость в D(R) (или D([0,oo])).
286
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
В § 1 мы приводим другую формулировку этой же теоремы, в
которой условие [L — Я] заменяется на условие на процесс Хел-
лингера.
1.13. Замечание. Несмотря на кажущуюся ассиметрию
этот результат полностью симметричен относительно (Р") и (Р'п).
а) При условии (ii) (Р{") < (Р?) и, следовательно,
1.14. Г*(1 + e)t О, Н* ^-Ct для всех t G D, е > 0.
О
Ь) Обратно, если 1.14 имеет место, то можно применить те-
орему 1.12 с заменой (Рп) на (Р'п). Тогда (Р{”) < (Р”) и условия
[Z — Я], [Я — Л] получаются так же, как и в предшествующем
случае.
с) Если Zn Z' = ем+с'2, то
1/Zn £^) 1/Z' = ем'-с/2 с М' = -М и £{М') = £(М),
в то время как 1/Z" является процессом плотности меры Рп от-
носительно Р'”. □
1.15. Замечание. Предельная функция С/8 в [Я — Я]
также является процессом Хеллингера. Действительно, если Q =
= £(М) и Q' = £{М - С), то в силу IV.4.24 С/8 = tf(|;Q,Q').
Кроме того, С/8 = Л(|; Р, Р'), где Р = £{Z), Р' = £(Z'), потому,
что Р и Р' являются образами Q и Q' при отображении а ea~ff2
из D(R) в себя, и это отображение сохраняет фильтрацию. □
Существует версия импликации (ii) => (i), но без необходимых
условий в общем случае для конечномерных распределений.
1.16. Теорема. Пусть С u М такие же, как в 1.12, и D
— подмножество в R+. Если [L — D] и [Я — Я] имеют место,
то
gn £(£jP“) g _ ^М-С/2 gn C(D I Р'*) gf _ ем+с/2
{конечномерная сходимость на D) и (PJn) < (Р?), (Р”) < (Р«п) для
всех t таких, что [Z, оо) П D / 0.
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 287
Этот подраздел заканчивается вариантом теоремы 1.12 для
"дискретного времени”. Поэтому далее предполагается, что
(Qn,77n,Gn = (вр)р€я) — измеримое пространство с дискретной
фильтрацией, снабженное двумя вероятностными мерами Pn, Р'"
и Qn = (Р” + Р'п)/2. Как обычно, zn = (*p )р6м и z'n = (г'")р€И
являются процессами плотности Рп и Р/п относительно Q". Ради
простоты предположим также выполненными 1.2, т.е. z„ = z'^ =
= 1. Наконец, положим
(‘5 = +°°)
Z[nt] U 7
и обозначим Ру, Ру” сужения мер Р”, Р'п на </£.
1.17. Теорема. Пусть С u М такие же, как в 1.12, и
D — плотное подмножество в 1Ц.. Существует эквивалент-
ность между (i) и (ii):
(i) zn Z = Ем~с12,
(ii) следующие два условия имеют место для всех t 6 D и
г > 0:
52 zn ‘/n Eq(IZp - грП|1<1/(1+е)<^Ч1г;/г;_1г;-<1+е}*! I £р-1) 0»
1<р<М р-1 г-1
Е в<1-((У^/^1 - 1 с;.,) £ |с„
В этом случае Zn Z = ем+с12 и (Р[„(]) < (Р^]),
(р”п«]) о (p[S*j) для всех t € R+-
Доказательство. Введем фильтрацию с непрерыв-
ным временем F” = (JJ* = G[nt])- Следовательно, Zn является в
точности процессом плотности, заданным в 1.1. Тогда условия в
(ii), с учетом FV.1.64 и IV.1.65, совпадают с условиями [Z — Р] и
[Н — Л], что позволяет применить теорему 1.12. □
§1Ь. Вспомогательные вычисления
Цель этого подраздела — вычислить характеристики ”ln Z”
относительно Рп. Очевидно, что In Zn может принимать значе-
288
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
ния +оо и -оо, что требует при вычислениях определенной осто-
рожности.
Зафиксируем n G N* и положим
1.19.
Tn = inf (t : z” < - или z{n < -
' n n<
* т.е. [O,TnJ С {z2 > 0, z? > 0},
Л” = {(u,t,x) : t < Tn(w), -z?_(u>) < x < z£(w)J.
1.20. fn : R —> [l/2n2, оо) является функцией из С2 с fn(x) = х
при х > 1/п2.
f Г('2'п\Т"1
1.21. У” = in У) ; J, значит Zn = eY" на ЦО,Тп[.
/пЦг ) J
если t < Тп(ш),
если t > Tn(w).
1.23. Предложение. Пусть h G С/ — функция усече-
ния. Семимартингал Yn допускает следующие характеристи-
ки (Вп,Сп,vn) и модифицированную вторую характеристику Сп
относительно Р” и функции усечения h:
в" = + Н”) (1++ ь- ’ .
Л
Г^п _ /~П,С ~п,с\Тп
с 'г } ’
g » р” = (1 + » к'",
<?" = (."Л + (1 + Л( V" )=1д.. - Е(дв;)г.
Доказательство. а) Обозначим и /хуп меры
скачков процессов zn и Yn (см. II.1.16).
Сначала вычислим Рп-характеристики zn, обозначаемые
(Вп’р,СпР,рпР) относительно функции усечения hf е С/, име-
ющей вид /iz(.r) = х для |.т| < 2. Для этого применим теорему
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 289
Гирсанова IIL3.24. Во-первых, Сп,р = (гп,е,гп,с), во-вторых, в
силу определения /хг" имеем = zj*_ f(l 4- х / г?_)цг'({t} х dx) и,
значит, M^,n(Zn |Р”) = z2(l 4- x/z”}, т.е. izn>p = (14- x/z^) • vz*,
в-третьих, поскольку (zn,c,zn'c) = £ • (z",c, zn,c) на {z2 > 0}, то
1 7*2
BnP = — {zn,e,zn,e) +-—* pz
(в силу неравенства |Azn| < 2 имеем, что h'(x) — x 1/г“-п.н.).
Таким образом, каноническое представление II.2.34 для zn отно-
сительно Р” имеет вид
1.24.
' zn = 1 4- Мп 4- х * (/?" - i/n’p)4-
4-(1/z2) • (zn’c,zn,c) 4- (x2/z”) * i/", где
< (a) Mn является непрерывным локальным
мартингалом с (Mn,Mn) = (z”,c,zn’c),
(6)р">р = (1 + -^-)-i/".
b) Поскольку Yn является функцией от zn из С2, то осталось
применить формулу Ито к 1.21. Заметим, что z,n = 2 — zn, оста-
новленные меры (/zz")T“ и (i/*")T“ нагружают только множество
Л” • /n((zn)T") = zn и /n((z'n)T") = z'n на [0,Р*[. Поэтому имеем
(относительно Рп):
У" = ““Аг • (М")т’ - * (Мг" “ ^”’Р)-
zn_z'_ z4z'" у ’
4 (<йр - (4р)'М”)Т‘+ (v”+гг)1л- *
Используя 1.24 и равенство — у'~2) — 2у~2у' = — 2у~2у'~2 при
у 4- у' = 2, получаем
1*25. У” = (МПГ + А(УП)1Л» * (дг“ - ^’Р)+
10. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. Т.2
290
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
о
+(V“ - ЧУ"))1л. * Д-'. -
+ [(Л(Г”)+ ^)(1+ - ^]1л.
Отсюда выводим, что непрерывная мартингальная часть У”
совпадает с первым членом в правой части 1.25. Следовательно,
из 1.24а получается требуемое представление для Сп. Далее, с
помощью прямого подсчета, основанного на 1.21, получаем, что
1.26. ДУ” = 1А.(е,ДгГ)У“(е,ДгГ)
и,значит,
S*/‘ = 5(У”)1д. *//".
Это соотношение, перенесенное на компенсаторы, дает g * vn =
= 5(У")1л’ * vn,p • Отсюда в силу 1.24b получается требуемое
представление для vn.
Кроме того, 1.26 влечет за собой £,< ,[ДУ” - Л(ДУ”)] = (V” -
—Л(У”))1л« ♦ . Таким образом, если сравнить это представле-
ние с 1.25, то нетрудно увидеть, что первая характеристика Вп
является в точности суммой первых двух членов в 1.25, т.е. име-
ет требуемый вид. Наконец, формула, задающая Сп, вытекает из
П.2.18. □
Определим предсказуемую функцию ап на 12” х R X R, полагая
1.27. а (о>,2,ж) = [ , / \ - 1]1a»(w,2,x) =
—2х
~ z,”_(w)z£(w)(l + x/z^w))1An^'t,X^
(с а” = +оо при х + z2 = 0). Тогда
{—1 < а” < оо,
an(t,x) = 4-оо <=> х = -z"_ Ht<Tn,
an(t,x) = — 1 о x = zj” и t < Tn.
Как отмечалось в гл. IV, все версии Л(|; Р”, Р'”) и г(^; Р”, Р'”)
совпадают на множестве {z2 > 0, z1” > 0), содержащем ЦО,Т”]|.
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 291
Поэтому процессы Яп, In, Gn(g) задаются формулами 1.10 на
[0,Тп]. Тем самым, из 1.23 вытекает, что
1.29. Вп = -4(ЯП)Т* + Я°, где
В” = (1 + ^-)[Л(У") - ап + 2(1 - vT+7F)2]lA.l{ttn<oo} * ^" +
+ ~ Р^)^Л"1{а»=оо} * V* •
1.30. С” = 8(ЯП)Т"4-С”, где
С" = (1 + ^}\KVn)2 - 4(1 - УГ+7Й2]1Л.1{а.<00) *
-Ч1 - . s' -
z- »<
1.31. g * vn = Gn(g)T" 4- g * vn, где
ff ♦f'" = (1+ -job(l + лп)]1(-1<о.<м)1л- •!''’+
4<l + ^)s(V“)1A-1<.-=-n
1.32. Лемма. Имеем Vn = ln(l 4- an) на множестве Лп =
= An П {-1 + | < a” < n - 1}.
Доказательство. Простые вычисления показыва-
ют, что
,п Лг'п(1 + а") „ 2(2 —z'n)
z,n - х = 2 ----zn + х = —----------—.
“ anz'” 4- 2 ’ - an<n + 2
Поскольку < z” < 2 и < z'2 < 2 на Лп, то нетрудно вывести,
что на этом множестве
Л < z'2 - X < 2, < z" 4- X < 2.
п2 п2
Тогда в силу 1.20 на этом же множестве Л” имеют место равен-
ства fn(z'” — х) = z'2 — х и fn(z” + х) = г” + х. Требуемый
результат вытекает теперь из определения 1.22. □
10*
292
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
1.33. Лемма. Существуют константа /3 > 0 и констан-
та уе, зависящая от параметра е, такие, что для любого до-
статочно малого е при п >2
1 34. Var (В") -< е/32Нп + 01п(1 + £)
(напомним, что А -< В означает, что В — А является возрастаю-
щим процессом),
1.35. Var (C”)t < г02Н? + 4/?Zn(l + £)+
+(£ + sup ДГ(е‘),)[(4 + 02)Н? + /ЗГ(1 + £)t],
s<t
1.36.
1{|®|>е} * vn -< Ъ1п(е‘)-
Доказательство. Принимая во внимание 1.10 и
1.27, получаем, что
1.37. 1П(а)Т = (1 + —) |оП|1{_1+(1/а)<ап<а_1}с1{ап<00} * V* +
/ .V \ п
+ (! + р^)1А"1{<»”=оо} * V •
Поскольку h, — ограниченная функция, А(ж) = х для достаточно
малых значений |г| и, кроме того, в силу 1.32 Vn = 1п(14- ап) при
|ап | < 1/2 (для п > 2) на множестве Лп, то существует константа
/3 > 1 такая, что |/i| < ft и на Л”
V3pi(V") - а” + 2(1 - У1Т^)2| < /?[|а”|3 Л |а"|],
I \h(Vn) - 4(1 - л/Г+^)2| < /?[|ап|3 Л |а”|],
I (г + i)(an)2 0^1 +x/z- ~ yi-x/zLn)2, если |а”| < 1.
Тогда 1.34 вытекает непосредственно из 1.37, 1.38, 1.10 и явной
формулы 1.29 для В” при условии £ G (0,1).
Далее, неравенство |Vn | > £ влечет за собой, по крайней мере,
одно из неравенств ап < -1 + е~е или ап > ее — 1 на Лп, если
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 293
только п > 2 и е Е (0,1п 2] (см. 1.32). Поэтому, принимая во
внимание 1.23 и 1.27, имеем
1{|г|>е} * ”П < (1 + ~)1{-1+е-«<а«<е«-1}с1л» * У1 •
Если 7е = 1/(1 — е-е), то 1 < 7е|ап| на {—1 + е-£ < а” < ее — 1}с.
Тем самым
1{|т|>е} **'” ^7е(1 + рг) |а”| 1л- 1{а-<оо} * У*
и 1.36 вытекает из 1.37 при е G (0, In 2).
Наконец, из 1.37,1.38 и 1.10 следует, что вариация суммы двух
первых слагаемых в С сильно мажорируется е/32Нп+4/?In(1+е)
(так же, как в 1.34). Кроме того, при достаточно малых значе-
ниях Е > 0 h(x) = X при |z| < Е И |ДВ”| < Е + /?Д(1{|ж|>е} * vn\
(напомним, что |Д| < /3). Принимая во внимание 1.36, получаем
1.39.
|ДВ,п|<Е + /?7еДГ(<Ь-
С другой стороны, в силу 1.29 Var (Bn) -< Var (В ) + 4НП. Слег
довательно, в соответствии с 1.39, 1.34
|ДВ,”|2 < [е + sup ДГ(е£),][Е^2ЯГ + 2/?Г(1 + е\ + 4Btn],
s<t
и имеет место 1.35.
Чтобы применить критерий контигуальности V.2.3, необходи-
мо оценить процессы |(1[о,д;Рп»Р'”) и г(1[о,0]! Р/п, Р”), фигуриру-
ющие в V.2.3 (и определенные в IV.1.46 с ф = 1[о,э])-
1.40. Лемма. Существуют версии «"(/?) и г'п(/3) процессов
г(1[0,д; Р", Р'") и г(1[0,j9]5 Р'п, Рп), которые при а > 1 удовлетво-
ряют неравенствам
1.41.
1.42.
/”(&) < »"(|) + + al{W>i„?) * уп
294
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
на [О, TnJ для 1 < b < а < п.
Доказательство. Будем рассматривать ’’строгую’’
версию гп(/?), т.е. такую, что г”(/?) = 1г»« • где Г"п =
= {z2 > 0, z'2 > 0}. Аналогично выбирается и версия г'п(/?).
а) Принимая во внимание IV.1.32 (или V.2.2) имеем в силу 1.10
L43- *"(~) = (1- *цг -
4 U ' 4 £__ '
а 2И л . ..г» / а тп^у
п _ 1 г" г'" " Ь ——Г1 («)•
U “ J. £_ U J.
Следовательно, первое неравенство в 1.41 выполнено. Поскольку
Az'n = —Дз”, то д(х) * v*'" =. g(—x) * v1' и поэтому
1.44.
х U z х '
Точно так же вычисления приводят ко второму неравенству в
1.41.
Ь) Вновь используя 1.10,1П(Ъ) справедливо для любой версии
Р*(6) на [[0,Т"]] можем записать при 1 < Ь < а < п, что на множе-
стве [0,Т”]]
1 ИЛИ 1+»п>Ь}
* 1/г
/ X \ ,п ( X \ 2п
S (1 - р^р{1+а">а} */ + (1 + * V +
(* 11 2П
1 + рг/1{|*'"1>ьо * v
(напомним, что в силу 1.32 ln(l + an) = V”, если | < 1 4- ап < а
и а < п). Тогда 1.42 получается из 1.43, 1.44 и 1.23. □
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 295
' §1с. Доказательство теорем 1.12 и 1.16
Начнем с доказательства 1.16 и импликации (ii) => (i) в 1.12.
1.45. Лемма. При выполнении условий [Z — Р] + [Я — Р]
имеем: (Р?) < (Р{”) для всех t таких, что [/, оо) Г) D / 0, и
1.46. pn^jm < Q При п । 0Q ^ля всех f J)
Доказательство. С учетом 1.41 условие [Z — Р]
влечет за собой, что для всех t G D
lim lim sup Pn (i'n (i) > rjj = 0 для всех tj > 0.
Кроме того, [H—Р] влечет за собой R-плотность последовательно-
сти (Я" | Р”), в то время как по предположению Pq = Pg”. Поэто-
му применима теорема V.2.3 с Тп = t и (Р/П,РП) вместо (РП,Р'П),
согласно которой (Р") <з (P'tn) для всех t G Р и, значит, для всех
таких t, что [t, оо) П Р / 0.
Наконец, V.1.17 и V.1.19 влекут за собой R-плотность после-
довательностей (supJ<t(l/z7) | Р”) и (supJ<t(l/z'n) | Р”) для всех
t G Р, что влечет за собой 1.46. □
Пусть С, М такие же, как в 1.12 и X = М — С/2. Процесс X
является непрерывным процессом с независимыми приращениями
и характеристиками (Я,С, р) с В = —С/2 и и = 0.
1.47. Лемма. При условиях [£ — Р] + [Я — Р] и плотном в
R+ множестве D имеем Y —’ X и Y ► X.
Доказательство основано на явном применении
теорем VIII.3.6 и VIII.3.8. Действительно, рассмотрим условия
[/35 - Р] В, Bt = для всех t G Р,
[Sup — /?5] sup \В, - В,| 0 для всех t € R+,
[75 — Р] Cf Ct для всех t G D,
& - Р] 1{|г|>«} * I't “* 0 для всех t G Р, £ > 0.
Достаточно доказать, что выполнены условия [{35 — Р] + [75 — Р] +
+[(>5 — Р], а также [Sup — /?5], если Р — плотное множество.
296
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
Принимая во внимание [Z — Р] и 1.36, получаем [Z>5 — Р]. Усло-
вия 1.34,1.35 и [Z — Р] + [Я — Р] также влекут за собой очевидным
образом соотношения
1.48. Var (Я")< 0, Var (С?) 0 для всех t & D
(поскольку в 1.34 и 1.35 £ > 0 — произвольно малое число и
sup,<t Д/П(ег)а < Г*(ее)«). Тогда 1.29,1.30, [Н - Р] и 1.46 влекут
за собой — Р] и [75 — Р].
Предположим теперь, что Р плотно в R+. Поскольку процес-
сы Нп и С возрастающие, а С — непрерывен, то в силу обычной
аргументации (см., например, VIII.2.17) supJ<t |Я” — Са/8| 0
для всех t 6 R+- Тогда 1.48 и 1.29 влекут за собой [Sup — /?$]• О
Вспоминая, что Zn = еу" на [0, Т"[ (см. 1.21), и вновь исполь-
зуя 1.46, из 1.47 получаем импликацию (ii) => (i) из 1.12, а при
произвольном множестве Р из R+ и условиях [Z — Р] + [Я —-Р] —
сходимость конечномерных распределений Zn ) Z = ем~с/2.
Далее очевидно, что EZ( = 1 для всех t. Следовательно, при
условиях [L — Р] + [Я — Р] из V. 1.12 вытекает, что (Р[п) < (Р”) для
всех t G Р (и, значит, Для таких t, что [Z, оо) П Р / 0). Теперь,
используя аргументы из замечания 1.13, получаем 1.14. Это по-
зволяет нам заменить Рп на Р/п. Тем самым процесс плотности
\fZn меры Рп относительно Р,п сходится по распределению (на
Р, если Р не является плотным множеством) относительно Р'п к
Z = ем~с/2. Таким образом, Zn сходится по распределению от-
носительно Р'п к 1/Z = е~м+с1\ Поскольку £(Л/) = £(-JW), то
1/Z и Z' совпадают с ем+с/2 по распределению. Итак, теорема
1.16 и последнее утверждение в 1.12 доказаны.
Осталось доказать, что в 1.12 имеет место импликации (i) =>
=> (ii) с Р =.R+.
1.49. Лемма. Предположим, что выполнено 1.12(1). . .
а) (Р?) о (P;n), (Р'”) о (Р?) и Рп(Тп < /) -+ 0 для всех t € R+.
b) Имеют место условия [75 — R+] и [^5 — R+] (обозначения
даны в доказательстве 1.47).
£(РП)
Доказательство. а) Имеем Z? —> Zt, E(Z() = 1 и
Zt > 0 для всех t. Следовательно, V.1.12 и V.1.15 влекут за собой
1. Сходимость процесса, плотности к непрерывному процессу 297
первые два утверждения. Точно так же, как это сделано в конце
доказательства 1.45, устанавливается, что J>n(Tn < t) —► 0.
b) Поскольку выполнено 1.46 и Zn = еуЛ на [0,Тп[ (см. 1.21),
то согласно предположению
1.50. Уп X = М -
Тогда [65 — R+], а также
1.51. 8цр|ДУ,п|^0
s<t
вытекают из VIII.3.8 и VIII.3.5 и непрерывности X.
Существует константа /?' > 0 такая, что
(Ж \ / х \
1 + рг) |°:П|1{ап<оо) + 2^1 — — J 1{а.»=оо} S
- + \/1- ^)2’если |аП| > L
Затем, используя 1.38, 1.29 и 1.10, получаем
Var (в") < 0(0 + /?')ЯП, Var (Яп) < (4 + /З2 + 00')НП.
В силу контигуальности (Р?) < (Р{п) и V.2.3 последовательность
(Я” | Рп) является R-плотной. Поэтому R-плотной является и по-
следовательность (Var (Bn)t | Рп) для каждого t € R+. Этот факт
вместе с 1.50 позволяют применить теорему VI.6.1 и получить
сходимость квадратических вариаций
1.52. [У", У”] [X, X] = С.
Далее будем использовать разложение Yn = Mn + Bn — Yn, где
Y” = 525</[ДУ5п-/г(ДУ,п)]. Как было показано перед 1.39, |ДЯ?| <
< s + /?Д( 1{|г|>£} * vn)t Для любого достаточно малого е > 0. Зна-
чит, согласно [65 — R+]
sup|ab;i^o.
298
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
Кроме того, в силу 1.51 P”(sup4<t |У/*| > 0) —> 0. Следовательно,
sup,^ |ДЛ/"| 0. Более того, на множестве {supJ<t |У”| = 0}
имеет место равенство [Уп, Уп] = [Afn, Мп] 4- [Вп, В"] 4- 2[МП, Вп]
и, значит, на этом множестве
sup |[У",УП], - [Мп, Мп],| < Var (Bn)t sup(|4B,"| 4- 2|ДМ,"|).
3<t 3<t
Поскольку плотность (Var (Bn)t|Pn) является R-плотной, то из
предшествующих оценок вытекает, что
1.53. sup|[yn,yn],-[Mn,Mn],|^0,
a<t
и в соответствии с 1.52 [А/п, Мп]( Ct для всех t € R+- Тогда
из [05 — R+], VIII.3.6a вытекает [75 — R+]. □
Доказательство (i) => (ii) в 1.12. Согласно 1.42
имеем при 1 4- £ < а < п
1.54. Р”(Г(1 + г). > Ч)< P-G'-Q > |) + P"G'"Q > |)+
4-Р”(Т” < t) + Р" (1 {|«|>ln(l+e)} * •
Теперь 1.49(i) и V.2.3 влекут за собой соотношения
lim limsup Pn (»'”(-) > ?) = 0,
j 55 afoo n \ 'Q't 3'
lim limsup Pn(tn(-) > = 0.
ат» n V 3/
Пусть F(n,a) = {i"(|)t > f}. Заметим, что при a < b
F(n,b) C F(n, а). Соотношения 1.55 влекут за собой существовал
ние двух последовательностей ак f 00 и {nj.} С N таких,
что P'"(F(n, afc)) < 1/к для всех п > пк. Если
limoToo lim supn Pn(F(n, a)) = 0 > 0, то lim supn Pn(F(n, a)) > 0 для
всех а и, значит, существует n'k > пк такое, что Рп»(F(n'k,ak)) >
0/2 для всех к. Поскольку PZn*(f’(n't,at)) < 1/к, то это противо-
речит свойству (Р") < (Р{”), доказанному в 1.49. Тем самым,
1.56. lim limsup P"(inf-) > г) = 0.
ajoo n \ '0,'t 6'
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 299
Отсюда, из 1.54, 1.55 и 1.49b нетрудно вывести [L — R+]. Более
того, как уже было показано при доказательстве 1.49, последо-
вательность (Я* | Рп) является R-плотной для всех t G R+. Ис-
пользование 1.35 с произвольно малым числом е > 0 и [L — R+]
приводит к соотношению Var (С*^ 0 для всех t. Тогда, прини-
мая во внимание 1.30, видим, что [Н — R+] является следствием
1.49b. □
§ld. Сходимость к экспоненте от непрерывного
мартингала
1. В этом параграфе рассмотрим естественное обобщение те-
оремы 1.12, а именно, тот случай, когда предельный процесс Z
имеет вид Z = ем-с/2, — непрерывный мартингал с Мо = 0
и С = (А/, М) (или, что эквивалентно, Z = £(М\ т.е. Z —
экспонента Долеан-Дэд от М).
В этой связи будут применяться необходимые и достаточные
условия, установленные в §IX.4d. Мы начнем с детализации
свойств предельного процесса.
1.57. Предположения, а) Пространство (12,J\F) =
= (D(R), P(R), D(R)) является каноническим с каноническим про-
цессом, обозначенным X.
b) С является согласованным возрастающим процессом с
Со = 0, определенным на (J2,7\F).
с) Существует непрерывная возрастающая функция t Ft с
Fo = 0 такая, что С(а) -< F (т.е. F - С(а) — возрастающая
функция) для всех а € Л.
d) Отображение a Ct(a) непрерывно в топологии Скорохода
для всех t > 0.
е) Существует единственная вероятностная мера Р на (Л,^7),
относительно которой М = X + С/2 является непрерывным мар-
тингалом с Мо = 0 и (М, М) = С (другими словами, маргиналь-
ная проблема s(a(X0)^V | £0;-у, 0) имеет единственное реше-
ние Р). . □
300
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
1.58. Лемма. В предположениях 1.57 мартингальная про-
блема s(a(X0)? X | у, С, 0) имеет единственное решение Р'. Бо-
лее того, Р' и процесс плотности Р' относительно Р име-
ет вид Z = ех, т.е. Z — Р-мартингал.
Доказательство. а) Докажем сначала, что Z явля-
ется Р-мартингалом. Заметим, что Z = где М = X + С/2
является Р-локальным мартингалом. Кроме того, {2М, 2М) = 4С
и, следовательно, £(2М) = е2М~2С = Z2e~c. Поскольку £(2М}
также является неотрицательным локальным мартингалом, и,
значит, супермартингалом, то из 1.57с получаем, что
supE(Zf) = sup E(ec<£(2M)t) < eFt < оо.
3<t 3<t
Поэтому семейство (Z, | Р),<( равномерно интегрируемо для всех
t, т.е. локальный мартингал Z является мартингалом (см. 1.1.47).
Ь) Пусть при каждом п G N* P/n(dw) = Zn(a>)P(«L>). В силу
(а) Р'п — вероятностная мера на (П,/"). Если A G Т7, для любого
а > 0
supP'n(A) < sup{EplxZnl{z,<0) + Ep(Znl{zn>a})} < аР(А) 4—.
п п ч а
В частности, при достаточно больших значениях К с учетом обо-
значений гл. VI при | < £
supP'n(sup |Х| > К) < aP(sup |Х| > К) 4-1 < г
п 3<N 3<N а
и при достаточно малых значениях 0 > 0
suPP'n(IV^(X,0) > 6) < aP(W'N(X,e) >/>) + -<£.
n а
Поэтому в соответствии с VI.3.21 последовательность (Р,п) плот-
на. Более того, P,n(A) = EP(lxZt) для всех п > t и A Е Ft- Не-
трудно показать, что последовательность (Р,п) имеет единствен-
ную предельную точку Pz, Pz < Р и Z — процесс плотности Р'
относительно Р.
с) Покажем теперь, что Р' € <S(a(JV0)? X | г0; у, С, 0).
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 301
Доказательство этого факта основано на прямом применении
теоремы Гирсанова Ш.3.24. Заметим лишь, что Z =
{М,М) = С и, следовательно, (1/Z_) • (Z, М) = С (относительно
меры Р).
d) Осталось доказать единственность решения Р' мартингаль-
ной проблемы «S(a(A’o),-X’|so; Пусть Р' — другое реше-
ние этой проблемы, М' = X — С/2, Z' = ё(М'). Так же, как
и в (а), устанавливается, что Z' является Р'-мартингалом. За-
тем аналогично (Ь) вытекает существование вероятностной ме-
~ ~ 1ос ~
ры Р такой, что Р < Р' и Z' является процессом плотности ме-
ры Р относительно меры Р'. Наконец, как в (с), получаем, что
Р € S(<t(.Xo), X | £0; — у,С,0). Поэтому в соответствии с 1.57е
Р = Р и, значит, Р'< Р с процессом плотности 1/Z' меры Р' от-
носительно меры Р. Поскольку Z' = ем'~с!2, то 1/Z' = ех = Z,
т.е. Р' = Р'. □
Используемые далее обозначения, а также предположения об
остаются теми же, что и выше. Процесс ln(Zn V имеет
Р-п.н. траектории из D(R), так что процесс С -ln(Zn V ^) Р-п.н.
корректно определен.
1.59. Теорема. Пусть выполнено 1.57. Существует
эквивалентность между (i) и (ii), где
(i) £(Zn | Pn) —► £(ex | P) (P определяется в 1.57e).
(ii) Выполнены следующие два условия:
[Z — KJ Z”(l + e)t 0 для всех t > 0, г > 0,
[Я1 - R+] Я” - ^Ct о In (Zn V 0 для всех t > 0.
8 * 2n'
В этом случае £(Zn | P,n) £(ех | Р'), где Р' — единственная
вероятностная мера на D(R), относительно которой Х—С/2 —
непрерывный мартингал с Хо = 0 Р'-п.н., (X — С/2^Х — С/2} = С
(см. 1.58) и (P'tn)<(P”), (Р?)<(Р;п) для всех
Заметим, что 1.12 является частным случаем 1.59. Действи-
тельно, если С — детерминированная функция, то 1.57 выполня-
ется,
[Н, - R+] = [Н - R+] о [Н - D] и [L - R+] о [L - D]
302
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
для любого плотного подмножества D в R+. Отметим, также, что
для 1.59 не существует аналога, касающегося слабой сходимости
конечномерных распределений, подобного 1.16.
В § 1е мы приведем другую формулировку, исключительно в
терминах процесса Хеллингера.
Доказательство теоремы 1.59 очень похоже на
доказательство теоремы 1.12. Поэтому ниже мы укажем лишь на
изменения, которые необходимо сделать.
1) Утверждения леммы 1.45 остаются верными при [£ — R+]
и [Я1 — R+] при этом рассуждения полностью совпадают за ис-
ключением только того утверждения, которое связано с R-плот-
ностью последовательности (Я” | Р”). В нашем случае в силу
1.57с и [Я1 — R+] имеем Р”(Я” > Ft + е) —► 0 при п | оо для
любого е > 0 и, значит, R-плотность имеет место.
2) При [£ — R+] и [Ях — R+] имеем £(У” | Р”) Р. Чтобы
установить эту сходимость, применим теорему IX.4.44, условия
которой, а именно, сильная мажорируемость IX.4.39, поточечная
непрерывность IX.4.40, единственность решения мартингальной
проблемы S(<t(Xo)j-X’|£o; — у,С, 0), выполнены в силу 1.57 (в на-
шем случае В = — у). Следовательно, достаточно показать, что
[Sup - 0т\ sup |Я" - ^С, о У”| 0 для t > 0,
»<t 2
[77 - R+] Ct" - Ct о У" 0 для t > 0,
[<57] 1{|«|>«1 *о Для * > 0, £ > 0.
Согласно 1.36, [£ — R+] и [Z>7] очевидно выполнены, 1.48 выполне-
но в силу 1.34, 1.35, [Z — R+] и R-плотности последовательности
(Я?|Р").
Далее, имеем У” = InZ" и Zn > 1/2п на |[0,Т"|[ и, следова-
тельно, С( о Уп = Ct о ln(Zn V ^), если t < Тп. Поэтому 1.46 и
[Я1 — R+] дают для любого t > 0
1.60. (Яп)Г-С<ОУп^0.
Следовательно, [77 — R+] вытекает из 1.60, 1.30 и 1.48. Кроме
того, применяя лемму IX.3.4 и сильную мажорируемость 1.57с,
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному процессу 303
получим согласно 1.60, что
8ир|(Я")Г-С4оУ"|^0
3 <t
для любого t > 0. Таким образом, [Sup — /37] следует из 1.48 и
1.29.
3) Вновь используя представление Zn = еуп на |[0,Т”|[ и 1.46,
выводим из 2), что при условиях [Z - R+] и [Я! - R+] £(Zn | Р”) -*
£(ех | Р). Следовательно, справедливость импликации (ii) => (i)
доказана.
4) Предположим теперь, что (i) выполнено, т.е. £(Zn | Рп) -»•
£(ех | Р). Тогда £(Z("|P") - £(ех‘|Р). В силу 1.58
Ер(ех‘) = 1 и так как ех' > 0, то согласно V.1.12 и V.1.1
(Р”) <1 (Р[”) и (PJ") < (Р”) для всех t G R+, а соотношение Р"(7'" <
<)—►() (т.е. 1.46 доказывается так же, как в 1.45).
Итак, мы установили 1.49а. Справедливость [£7] доказывается
так же, как в 1.49. Точно так же, как в 1.49, доказывается 1.53
и R-плотность (Var (Яп)( | Р”) для всех t 6 R+. Поэтому VI.6.1
влечет за собой
£(У", [У", У”] | Р") £((Х,С) | Р).
Поскольку С((-) — непрерывная в топологии Скорохода функция,
то
£{(G о У”, [У”,У"]() IР"} -+ £[(G,С() IР]
и, в частности, £(Ct о У” — [У”,У”] | Pn) £[(Ct — Ct) | Р] = Ео.
Другими словами, [У”, У"]« — С( о Yn 0. Тогда, принимая во
внимание 1.53, получаем, что
[Mn,Mn]t -Ct о У” ^0.
Последнее соотношение с учетом обозначений IX.4.37 совпадает с
условием [77 —&+]. Поскольку [67] выполнено, из IX.4.43 выводим,
что [77 — &+] выполнено.
В этом месте точно так же, как в 1.12, доказывается, что
[L — К+] выполнено. Наконец, из 1.35 и [L — R+] выводится, что
Var (С”)* 0 для всех t > 0, а из 1.30 и [77 — R+], что [Hi —
выполнено.
304
Гл, X. Предельные теоремы, процессы плотности
5) Осталось доказать, что (i) влечет за собой сходимость
C(Zn | Р'п) —► £(ех | Р'). Для этого применим 1.4. Если Р =
= £(ех|Р) (т.е. Р = £(1пХ|Р)), то имеем £(Zn|P'n) Р',
где Pz < Р и процесс плотности Р' относительно Р является
каноническим процессом. Это равносильно тому, что при Q =
= £(ln X | Р') имеем Q < Р и процессом плотности Q относитель-
но Р является Z = ех. Отсюда и из 1.58 получаем, что Q = Р',
т.е. имеет место требуемое утверждение. □
§1е. Условия сходимости в терминах процессов
Хеллингера
В этом разделе заменим ’’условие Линдеберга” [L — Р], фигу-
рирующие в 1.12 или 1.59, на условия, налагаемые на процессы
Хеллингера. Поэтому при каждом п Е N* и a Е (0,1) рассмотрим
1.61. Произвольную версию Лп(а) = Лп(о;Рп,Р'п) процесса
Хеллингера порядка а между мерами Рп и Р'п. □
Напомним, что версией Дп(а), с использованием обозначений
1.10, является процесс
1.62. hn(a)= ~ гп-с) + у>о(1 + s/z?, 1 - */<") *
где (pa(u^v) = au + (1 — a)v + (и Лп(|) = Яп). В те-
оремах 1.12 и 1.59 фигурирует непрерывный возрастающий про-
цесс С (являющийся детерминированным в 1.12). В соответствии
с замечанием 1.15 С/8 является процессом Хеллингера порядка
1/2 между двумя вероятностными мерами, которым отвечает не-
прерывный процесс плотности. В силу IV.1.34 в этом случае
Л(а) = 4о(1 — а)Л(1/2). Следовательно, в данном случае есте-
ственно положить
1.63. Л(а) =
(и, значит, Л(1/2) = С/8).
Сперва сформулируем другой вариант теорем 1.12 и 1.16.
1. Сходимость процесса, плотности к непрерывному процессу 305
1.64. Теорема. Пусть t Ct является неубывающей
непрерывной функцией с Со = 0, и h(ot) определено в 1.63. Пусть
М — непрерывный мартингал с Мо = 0, (Л/, M)t = Ct. Введем
условие
[ha — D] hn(a)t h(a)t для всех t G D.
а) Если D — плотное подмножество в то следующие
условия эквивалентны:
(i) Zn Z = eM~cf2 (в силу 1.12 это влечет за собой
Zn z' = ем+с/2),
(ii) условие — £)] выполнено для всех a G (0,1),
(iii) условие [ha — Л] выполнено при а = 1/2 и при а = (3, а =
= 1-/3 для некоторого /3 G (0,1/2).
Ь) Предположим, что [Л° — £>] выполнено при а = 1/2,
а = /3,а = 1 — (3 для некоторого (3 € (0,1/2). Тогда
zn £(£1^П) z и zn £(£1Х'П) z'.
Следует отметить, что условие (iii) является симметричным
относительно Рп и Р'п, поскольку Л(/3; Рп, Р/п) = Л(1 — /3; Р'п, Р").
Теорему 1.59 можно дополнить подобным же образом.
1.65. Теорема. Предположим, что выполнено 1.57, h(a)
определяется в 1.63. Введем условие
[Л“ - £)] hn(a)t - h(a)t о ln(Z” Л ^) 0 для всех t G D.
£
Тогда существует эквивалентность между утверждениями (i),
(ii), (iii):
(i) £(Zn \Vn)£(ex \Y);
(ii) условие [h° — R+] выполнено для всех a E (0,1);
(iii) условие [h° — R+] выполнено при a — 1/2, a = /3, a = 1 — /3
для некоторого (3 E (0,1).
Доказательство 1.64 и 1.65 а) Заметим, что [Н — D] =
= [Л1/2 — D] и [Hi — D] = [Л^2 - D]. Тогда согласно теоремам
1.12,1.16 и 1.59 достаточно доказать, что при выполнении [H — D]
11 . Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. T.2
306
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
(соответственно [Я1 — Р]) для каждого /? € (0,1/2) имеют место
импликации
' [Z - Р] => [ha - Р]
(соответственно [Л“ — Р]) для всех a Е (0,1);
1, 66‘ " [ЛД _ р] + _ р]
(соответственно [Л?-РЖЛГ'’-Р1)=ИЬ-Pl-
Положим фа = (ра- 4о(1 - а)<Р1/2 и 0a(w,«) = |w - v|l{l/a<u/v<e}«.
В силу 1.10 и 1.62 получаем, что
Г(о) = 0О(1 + ar/z?,1 - ®/<п) ♦ Z*,
Л”(а) = 4а(1 - а)Нп + ^а(1 + ж/г", 1 — x/z'2) *
а в соответствии с 1.63 Л(а) = 4а(1 — а)Л(1/2). Поэтому при
[Я - Р] (соответственно [Я1 - Р])
' [£ - Р] & 0e(l + x/z2,1 - x/z'2) * i/f 0
для всех а > 1, t Е Р;
[Л“ — Р] (соответственно [Л“ — Р]) О ^>а(1 + x/z’l,
1 — x/z'2) * vf 0 для всех t Е Р.
Ь) Докажем теперь справедливость первой импликации в 1.66.
Заметим, что ^>a(u,0) = aw, <pa(w, v) = wpa(u/v) при v / 0 с
¥>a(w) = au + 1 — a — w“. Далее, имеем 4>a(u) ~ “ 2 ~ l)2 ПРИ
u —► 1. Поэтому ^a(w) — 4a(l — a)^j/2(w) = o(|w — 1|2) при u —► 1
и, следовательно, для каждого e > 0 существует a > 1 такое, что
|^a(w) — 4a(l - а)^!/2(и)| < e^/2(w) ПРИ 1/a < w < а. Тем самым
- < - < a => |^<»(и,р)| < E9?i/2(«,v).
a v
С другой стороны, очевидно, существует константа Ка (завися-
щая от а) такая, что |V»«(w,v)| < A'a|w — v|, если 7 < j или > а.
Тогда |^в| < е<Р1/2 + Ка9а и
|^а(1 + x/zn_, 1 - x//n) * i/f | < KaIn(a)t 4- еН;.
2. Сходимость логарифма отяошеяяя правдоподобия 307
Поскольку £ > 0 является произвольным, то из 1.67 вытекает,
что [Н — Р] (соответственно [Uj — PJ) и [Z — Р] влекут за собой
[Л“—Р] (соответственно [Л®—Р]) (напомним, что в случае [Pi—Р]
выполнено 1.57с и, значит, P(Pf > Ft/8 + 1) —► 0 при n f оо).
с) Докажем справедливость второй импликации в 1.66. Пусть
/3 е (0,1/2). Положим рр — фр + Имеем рр(и, 0) = (1 - 2/?)2и
и рр(и, v) = vpp(u) при v > 0, где
Рр(и) = (1 - 2/?)2(« + 1) - и0 - и1-? + 8)8(1 - 0)и1/2.
С помощью вычислений устанавливаем, что ~Рр{и) > 0 и Рр(и) = 0,
если и только если и = 1. Кроме того, рр(и)/и —> (1 — 2/?)2 при
и | оо. Следовательно, при фиксированном а > 1 существует
константа К (зависящая от а и fl) такая, что |и — 1| < Крр(и)
при и < 1/а или и > а. Можно взять К > (1 — 2(3)~2. В этом
случае
0a(u,v) < Kpp(u,v),
О < Г(а), < К(фр + ^-д)(1 + x/zn_, 1 - x/z*) ♦ i/f.
Тем самым, используя 1.67, устанавливаем справедливость вто-
рой импликации в 1.66. □
2. Сходимость логарифма отношения правдоподобия
к процессу с независимыми приращениями
§2а. Введение. Формулировка основных результатов
1. Как уже отмечалось, наиболее важным случаем для ста-
тистических приложений является тот случай, когда логарифм
отношения правдоподобия является приблизительно гауссовским.
Однако, более общий случай в последнее время привлекает наи-
больший интерес в связи с последовательным анализом. Поста-
новка в этом случае следующая.
2.1. Определение. (Однородным) экспоненциальным
семейством стохастических процессов называется пространство
с фильтрацией F), снабженное семейством (Р«)»ее вероят-
ностных мер, индексированных параметром из открытого под-
множества 0 С Rd такое, что Р» << Q для всех S G 0; где Q —
11*
308
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
эталонная (вероятностная) мера, причем процесс плотности Z9
меры Р« относительно Q имеет вид
2.2. Z\ = ехр(в ♦ Xt —
где X — (X*)i<4 — согласованный, непрерывный справа и имею-
щий пределы слева, векторный процесс размерности d с Xq = 0 и
0 <р(0) — произвольная функция на 9. □
В этом случае процесс X является достаточной статистикой,
а структура процесса X имеет очень специальный вид.
2.3. Предложение. Пусть (П, .J,F,(P#)#6e) — одно-
родное экспоненциальное семейство с X, <р из 2.2. Тогда при
фиксированной мере Q и каждой мере Р« X является процес-
сом с независимыми стационарными приращениями, а ip явля-
ется функцией ”Леви-Хинчина” вида VII.2.3.
Доказательство. В качестве Q можно взять любую
меру Р«о: для этого нужно заменить Z* в 2.2 на
Я*’9 = ехр{(в - во) • xt - t(^0) - ?(в0))}
и 0 на 0 — в0. Следовательно, достаточно доказать требуемое
утверждение только для Q.
По предположению Z9 — положительный Q-мартингал. Зна-
чит, | J<) = 1 при s, t > 0, что приводит к соотноше-
нию
2.4. EQ(e* (х’+*"х‘) | J() = е**‘> = Eqe* х’, в е 0.
Поскольку функция в EQ(e, y), в G 0, определенная на откры-
том подмножестве 0 из Rd, полностью определяет распределение
случайной величины Y со значениями в R4, то согласно 2.4 услов-
ное распределение Х<+, — Xt при условии Jt относительно меры
Q совпадает с распределением X,, что указывает на стационар-
ность и независимость приращений X. Более того, согласно 2.4
является логарифмом характеристической функции безгранично
делимого распределения и, следовательно, имеет вид VII.2.3. □
Этот результат объясняет причину, порождающую интерес к
тем случаям, когда отношение правдоподобия аппроксимируется
экспонентой от процесса с независимыми приращениями.
2. Сходимость логарифма отношения правдоподобия
309
2. Следующий шаг состоит в выяснении свойств предельно-
го процесса Z = ех в том случае, когда X является процессом с
независимыми приращениями. Очевидно, что X не может быть
произвольным, поскольку Z — мартингал. Ради простоты будет
рассматриваться только случай, когда X не имеет фиксирован-
ных моментов разрыва.
2.5. Предложение. Пусть X — канонический про-
цесс на (fl,.F,F) = (D(R), P(R),D(R)) u P — единственная веро-
ятностная мера на (Л, Т7), относительно которой X является
процессом с независимыми приращениями и характеристиками
(В, С, у) относительно некоторой функции усечения h € С}, и не
имеет фиксированных моментов разрыва относительно меры Р
(о p({t} X R) = 0 для всех t).
а) Процесс Z = ех является локальным мартингалом на
(О, J*,F,P) тогда и только тогда, когда
{(ег1{|*|>1}) ♦ vt < оо для всех t € R+,
1
В + -С + (е‘ - 1 - Л(®)) * v = 0.
Ян
Ь) Пусть выполнено 2.6 и Р' — вероятностная мера на (ft, Т7),
относительно которой X является процессом с независимы-
ми приращениями и характеристиками (В',С, р'), определяе-
мым по формулам
2.7. В' = В+С'+Л(®)(е’-1)*1/, С' = С, y'(dt,dx) = e*y(dt,dx}.
Тогда
z.x ~ 1°С 1°С ~
(1) Р < Р' и Р' < Р,
(ii) процесс плотности Р' относительно Р задается форму-
лой Z = ех (я является Р-мартингалом, а не только Р-локаль-
ным мартингалом),
(Ш) процесс Хеллингера порядка 1/2 между Р и Р' задается
формулой
2.8. И := Л( 1/2; Р, Р') = 1(7 + 1(1 - v^)2 * у.
о 2
310
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
Этот результат частично аналогичен лемме 1.58.
Доказательство, а) Следующее каноническое пред-
ставление для X имеет место (см. П.2.34)
X = Xе + h(x) * (д — р) + В 4- (х — h(x)) * д,
где д — случайная мера скачков X. Формула Ито, примененная
к Z = ех, дает представление
2.9. Z = 1 + Z. ♦ Xе + Z_h(x) * (д - р)+
4-Z_ • В + Z_(® — Л(®)) * д + ♦ С -I- Z_(e® — 1 — х) * д.
Если Z — локальный мартингал, то процесс Z_(z — Л(®)) * д +
4-Z_(e® — 1 — ж) * д должен иметь локально интегрируемую вари-
ацию (см. 1.4.23), т.е. возрастающий процесс Z_|er — 1 — Л(ж)| * д
является локально интегрируемым и, значит, таковым же явля-
ется процесс Z_|e® — 1 — /г(ж)| ♦ v. Отсюда получается первое
свойство в 2.6.
Кроме того, Z имеет следующее представление
Z = l+Z.^Xe+Z.(ex-l)*(n-y)+Z_-B+^Z_‘C+Z_(ex-l-x)^
£
и, значит, сумма последних трех членов в правой части 2.9 равна
нулю. Следовательно, второе свойство в 2.6 также выполнено.
Обратно, если 2.6 выполнено, то в силу 2.9 получаем, что
2.10. Z= 1 + Z_-Xе+ £_(€*-1)* (д-р),
т.е. Z — локальный мартингал.
Ь) Предположим теперь, что выполнено 2.6 и, следовательно,
В' в 2.7 является непрерывной функцией конечной вариации на
каждом конечном интервале и (|х|2 Л 1) * v't < оо. Поэтому мера
Р' существует.
Чтобы установить Р' •< Р достаточно применить теорему
IV.4.32 и замечание IV.4.37. В этой теореме (i), (iii) и (vi) вы-
полняются очевидным образом, (ii) с У = ех, (iv) имеет место в
силу 2.6, (v) — в силу 2.7 с А = С, /3 = С11 = 1, (vii) — в силу
неравенства
Ct + (е®/2 — I)2 * р( < оо для всех t < оо,
2. Сходимость логарифма отношения правдоподобия
311
которое имеет место согласно 2.6.
Значит, Р' «С Р. Более того, в силу 2.10 Z = £(N), где N =
= Xе + (е* — 1) * (д — f). Следовательно, по теореме Ш.5.11 Z
является процессом плотности Р' относительно Р. В частности,
1ос
поскольку по построению Z > 0, то Р <С Р'.
Наконец, чтобы установить (Ш), применим теорему IV.4.24.
Простые вычисления показывают, что Н = Л(1/2;Р,Р') задается
формулой 2.8 (достаточно взять А = и, U = 1, V = ех, Е =
= Q X R+, В = А = С, /3 = С = 1 л, значит, г = оо и т' = оо). □
2.11. Замечание. Если Q = £{Z | Р) и Q' = £{Z | Р'), то
Н является также процессом Хеллингера Л(1/2; Q, Q'). □
3. Теперь можно сформулировать наше утверждение о сходи-
мости. Постановка здесь такая же, как в разделе 1. Напомним,
что Нп, In(a), Gn(g) определены в 1.6,1.7,1.8 и допускают версии
из 1.10.
2.12. Теорема. Пусть X, X' — два процесса с независи-
мыми приращениями и характеристиками (В, С, и) и (В', С, и')
со свойствами: ь»({$} X R) = 0 для всех t, 2.6 и 2.7. Определим
Н согласно 2.8. Пусть D — подмножество из R^..
а) Предположим, что
2.13. Р sup AG”(l{|iC|>t}), 0 для всех t G D, £ > 0;
»<t
[Я — Р] Я” Ht для всех t е D;
[tf — Р] G^gjt —► g*Vt для всех t € D
и всех непрерывных ограниченных
функций g на R, равных нулю
в окрестности нуля;
[Zoo — Р] lim limsup P”(Z”(a)t > j?) = 0
«Too n
для всех t G P, g.> 0.
312
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
Тогда (Р?) < (PJn) u (Р{") < (Р") для всех t таких, что
[t, оо) П Р / 0, и имеет место сходимость конечномерных рас-
пределений
2.14.
Z- «2Т’ Z = г,
Z" £(^Г> z' = г'
Ъ) Если D плотно в R+, то [Я —Р] + [^—P] + [Zoo —Р] влекут
за собой (PJ*) < (Р{”) и (PJn) < (Р?) для всех t G R+ и следующую
функциональную сходимость
2.15.
' ZnC^ Z = ex,
' Zn^Z' = ex'
Заметим, что приведенное выше условие [Н — Р] такое же,
как в 1.12, когда и = 0. Действительно, теорема 1.16 и имплика-
ция (ii) => (i) в теореме 1.12 являются частными случаями утвер-
ждений этой теоремы. Однако, здесь мы не имеем необходимых
условий для 2.15.
§2Ь. Доказательство теоремы 2.12
Прежде всего заметим, что все вычисления из § 1b остаются
справедливыми и в данном случае, и, что здесь используются те
же обозначения (У”, Vn,an...). Кроме того, в 1.20 можно всегда
брать возрастающую функцию fn и такую, что /п(аг) > х для всех
х. Тогда 1.32 усиливается следующим образом
exp Vn < -,
ТЪ
если ап < — 1 + £,
2.16.
На множестве Л” exp V" = 1 + а”,
если — 1 + ^<а”<п-1,
exp Vn < 1 + а”,
если а" > п — 1.
—
2. Схсакмость логлркфмл отношеняя прлядоподоби
313
2.17. Лемма. При выполнении условий [Я — .D] u [Z^ — Р]
имеем (Р7)<(Р$”) для всех t таких, что [/, оо)ПР / 0, и имеет
место 1.46 (т.е. Р"(ТП < /) —> 0 для всех t G D).
Доказательство. Неравенства 1.41 и условие
[Zoo - Z>] влекут за собой сходимость
lim lim sup Р” ft'" > я) = 0 для всех п > О,
afoo п \ \2' '
а в силу [Я —Р] последовательность (Я" | Р”) является R-плотной
для всех t G D. Требуемое утверждение получается теперь так
же, как в лемме 1.45. □
2.18. Лемма. При условии [Zoo-Р] имеем Var (g * vn)t 0
для всех t G D (где g *vn определяется в 1.31) и каждой функции
g такой, что 0 := sup, < оо.
Доказательство. В соответствии с 2.16 и опреде-
лением g*vn имеем неравенства
Var (g*vn)t < 20(1 + ^-)l{a.<-i+i/n}lA» * »*'+
4-20(1 4- —^(1 + а")1{а«>п-1}1л» * v* <
< 20|(1 + —) 1{а»<-1+1/„) * 1/ + (1 - }•
Последнее выражение в силу 1.43 и 1.44 равно 20[tn(£)4-im(£)].
Тогда согласно 1.41 Var (g * i/n) < 40^-1п(а) для п > а, и, тре-
буемое утверждение следует из [Zoo — D\. □
2.19. Следствие. При условиях, [Zoo — Р] 4- [Я — Р] и
2.13.Р имеем
2.20. D sup »/*({«} х {|я?| > £}) 0 для всех t G D, е > 0.
Доказательство. Пусть д(х) = (2|о;|/£ - 1)+ Л 2. В
силу 1.31
sup»/”({«} х {|ж| > £}) < 1{т«<«} + sup Д<7"(1{|х|>г}), 4- |s *
S<t 3<t
Тогда 2.20.P получается при совместном использовании 1.46
(справедливость которого обеспечивается 2.17), 2.18 и 2.13. □
314
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
2.21. Следствие. При условиях [Д»—Р]+[Я—Р]+[<5—Р]
имеем g*v?^+ g*vt для всех t G D и всех непрерывных функций
д таких, что для некоторой константы О
2.22. |ф)| < 0(1 V е*); |х| < 1 =► Н®)| < 0|х|3.
Доказательство. Пусть 0 < е < 1/2, а > 1 и f'a
— две непрерывные функции со свойствами:
О, если |х| < е/2,
1, если |х| > е;
0</е, Л<1;А(Х) =
{О, если х < а,
1
1, если х > 2а.
Положим д\ =z gf’a, де = (1 - fe)g, дас = (1 - K)ftg, так что
g = g'a+gt+gat-
а) Функция дас является непрерывной, ограниченной, равной
нулю в окрестности нуля. В силу 1.31
дас * = G"(50e)MT- + 5ае **'!’•
Тем самым, [6 — Р], 2.18 и 1.46 влекут, что
2.23. дас * v* gat * для всех t G Р, а > 1, е G (0,1/2].
Ь) Имеем |<?'(х)| < 0erl{x>ej. Следовательно, в силу 1.10
igv.w-i <
/ X \ 1 — X / П
ф + ) i + xfzn 1{(1-«/<’)/(1+«/С)>е’}1Л" * =
= w*»(e-)<AT. <
(при доказательстве этих соотношений использованы 1.43 и 1.44).
Тогда из [2/тс — Р] выводим, что для всех г) > О
lim limsup Pn(|G"(5')tAT.| > »?) = 0.
2. Сходимость логлряфт отяошеяяя прявдояояобяя
315
Кроме того, в силу 2.18 0- Поэтому из 1.31 следует, что
2.24. lim lim sup Р”(|<7' * i^| > rj) = 0 для всех t € D, т) > 0.
“Too n
с) По построению |<7е(яг)| < 0£|®|2l{|x|<t). Следовательно, в
силу 1.23
Ift * ^"1 < fc(l + зг) l^n|2l{|Vi«|<e}lA- ♦ •
При п > 2 на множестве {|Vn | < 1/2} П Л” в соответствии с 2.16
имеем V" =1п(1 + а"). Следовательно, ап < 0,7 и |У”|2 < 4|а”|2.
Поэтому 1.38 и 1.10 приводят к неравенству |</t * i/f| < 40Е/ЗН?.
Кроме того,как было показано при доказательстве 2.17, после-
довательность (Я” | Р”) R-плотна при t G D. Тогда нетрудно
вывести, что
2.25. lim limsup P”(|ft * i/f | > if) = 0 для всех t G D, £ > 0.
d) Поскольку (|г|2 Л 1) * vt < оо и в силу 2.6 e®l{x>i] ♦ vt < оо,
то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
lim д' * vt = 0, lim gt * vt = 0.
afoo e|0
Это вместе с 2.23, 2.24 и 2.25 завершает доказательство схо-
рж
димости д * iz” —* д *vt для всех t G D. □
Доказательство 2.12. (i) Сначала докажем справед-
ливость первого соотношения сходимости в 2.14 (соответственно,
в 2.15). Для этого достаточно показать, что У” —U X (соот-
ветственно, У” X), поскольку Z = ех и Zn = ег” на [0,Тп[
и имеет место 1.46.
Чтобы завершить доказательство, используем теорему
VIII.2.4a (соответственно, VIII.2.18). Условие 2.20.Р в точности
означает VIII.2.5, а 2.21 влечет за собой
[Я5>1 — Р] д * и” д * vt для всех t G D, д G Ci(R).
Следовательно, осталось доказать, что
[/35 — Р] В” Bt для всех t G D
316
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
(соответственно, [Sup — /35] sup |В? - В,| 0 для всех t > 0) и
«<t
[75 — Р] CJ* C't для всех t € D,
где Ct — Ct 4- h2 * vt (функция усечения h выбрана непрерывной),
(ii) Определим два возрастающих процесса
А” = fl 4--— )1{а«=_1}1л" * V* — ~l{r=z2*}^A« * VZ ,
/ х \ » 2 п
= (1 — Рп)Ц«’=<»}1а" * v = —1{г=_г2}1л« * »
где Ап 4- А'п < Г*(а) для каждого а > 1. Положим также
/(а:) = е® — 2(1 — х/ё*)2,
д(х) = 2(1 - \/е*)2 4- h(x) - е® 4-1-
Стандартные вычисления, использующие 1.23, 1.10 и 1.31, при-
водят к равенству
2.26. Bn = —4(Hn)T’‘ +g*vn+ - 2АП - А'п.
Принимая во внимание [£«, - D] и неравенство Ап 4- Ат <
< /”(а), имеем
2.27. А” 0, А’” 0 для всех t G D.
Функция / обладает свойством sup,. |/(ж)|/(1 V ех) < оо. Следова-
тельно, 2.18 влечет за собой
2.28. Var (/ * vn)t —► 0 для всех t € D.
Функция д удовлетворяет свойству 2.22, которое также выполнено
для д+ и д~. Поэтому 2.21, [Н - Р] и 1.46 влекут за собой при
t G Р соотношения
{( FTn\Tn Р? рг ... Р? ~ - ..
рп
д+ ♦ z/tn д* * vt, д~ ♦ v? * vt.
2. Сходимость логарифма отношении правдоподобии
317
Поскольку в силу 2.6 и 2.8 В = — АН 4- g ♦ v, то из 2.27, 2.28,
2.29 и явного вида в 2.26 выводим, что [/35 — В] выполнено. Кроме
того, если D — плотное множество, то первое, третье и четвер-
тое соотношения сходимости в 2.29 выполняются равномерно для
каждого конечного временного интервала (поскольку процессы в
левой части являются возрастающими, а в правой части — воз-
растающими и непрерывными). Поэтому имеет место и второе
соотношение сходимости (как разность между третьим и четвер-
тым соотношениями). Этот факт и 2.27, 2.28 влекут за собой
[Sup -&].
(iii) Положим f'(x) — 4(1 - \/ё*)2 и 9'(.х) = h?(x) — 4(1 - \/ё*)2.
Вычисления, использующие 1.23, 1.10 и 1.31, показывают, что
2.30. Сп = 8(Я”)Т" + д' * vn + - 44” - 4А'п - £(ДВ,П)2.
з<-
Как было установлено перед 1.39, |ДВ”| < e+/3i/"({s) х {|®| > с}),
р»
Поэтому согласно 2.20.В sup4<< |ДВ” | -»• 0 для всех t Е D. Кроме
того, 2.26 приводит к неравенству
Var (В"), < 4ЯГ + |р| * v? + Var + 24? + 4't",
а 2.27, 2.28, 2.29 влекут за собой R-плотность последовательности
(Var (B")t | Рп) для всех t G D. Поскольку
£|ДВ,"|2 < (Var (B”)t sup |ДВ”|,
to Y^»<t |Д-В?| “* 0 для Bcex t D. Кроме того, функции д' и
/' удовлетворяют требованиям 2.21 и 2.18 соответственно. То-
гда 2.18, 2.21, 2.29 и 2.27 с использованием явного вида в 2.30
позволяют вывести, что
CJ* —► 8Bt + д' * для всех t G D.
Поскольку в силу 2.8 С = 8Я + д' * р, то имеет место-[75 — D].
(iv) К этому моменту мы доказали первые соотношения сходи-
мости в 2.14 и 2.15. Можно предположить, что X — канонический
процесс с распределением Р как в 2.5. Тогда 2.5(b,ii) влечет за
318
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
собой, что Ep(Zt) = 1 для всех t и, тем самым, в силу V.1.12
(P{n) < (Р?) для всех t G D.
Наконец, пусть t G D и в случае а) (соответственно, Ь)) /
— непрерывная ограниченная функция на Rd (соответственно, на
Q = D(R), являющаяся Р(К)(-измеримой), Un = f(Z?t,...,Z?d),
где ti € D, ti < t (соответственно, Un = f(Zn)) и U =
= /(expXtt,... ,expXt<) (соответственно, U = f(ex)). Тогда
£[(Z", Un) | P"] -*• rj, где мера rj характеризуется соотношением
rj(g) = Ep[g(ex', CZ)] (это вытекает из первого соотношения схо-
димости в 2.14, соответственно, в 2.15). Таким образом, V.1.13
влечет за собой сходимость £[(Z(", Un) | Р{"] -► rf с мерой rf та-
кой, что rf{gj = ЕР(ех<g(eXt, U}). Следовательно, если Р* — мера,
описанная в 2.5, т.е. распределение процесса X' с независимыми
приращениями, то
Ер/»((7”) -► ЕР,(Х).
Это в точности означает, что Zn > ех' (соответственно,
Zn —-* ех ). Доказательство закончено. □
§2с. Пример: точечные процессы
Для иллюстрации предшествующей теоремы рассмотрим слу-
чай, когда Р" и Р/п являются распределениями точечных процес-
сов. Точнее, пусть Nn — точечный процесс на П”. Предположим,
что фильтрация F" порождается Nn. Обозначим Ап и А,п компен-
саторы Nn относительно Р" и Р'". Ради простоты будем также
предполагать, что
2.31. А" и А'п — непрерывные процессы (это равносильно то-
му, что Nn — квазинепрерывный слева процесс относительно Р”
и Р'п). □
Пусть А — произвольный непрерывный согласованный про-
цесс, сильно мажорирующий Ап и А'п (например, А = Ап + А'”),
и Уп •> У,п — два неотрицательных предсказуемых процесса таких,
что с точностью до множеств С$п-меры нуль
2.32. Ап = уп • А", А'п = у'п • А.
2. Сходимость логарифма отношения правдоподобия
319
Мы желаем, чтобы в пределе Z был бы процессом плотности для
двух мер, отвечающих пуассоновским процессам и являющихся
локально эквивалентными. С точки зрения Ш.5.45 это равно-
сильно следующему предположению.
2.33. Пусть N — пуассоновский процесс на некотором базисе
(Q,^, F, Р) с (непрерывным детерминированным) компенсатором
А. Пусть у — борелевская функция: R+ —»• (0,оо) такая, что
t
A't := /yt dA, < оо для всех t Е R+ и
о
t
Zt = exp ^А' - At 4- y,)dN,^. □
о
Процесс Z является тогда мартингалом и процессом плотности
меры, отвечающей пуассоновскому процессу с компенсатором А',
относительно меры Р. Это соответствует ситуации 2.5 с характе-
ристиками (В, С, I/) процесса X с независимыми приращениями,
определяемыми по формулам
2.34. С = 0, g*vt = {д ° In у) -А<} = (Л о In у + 1 — е*) • At.
Тогда в этих предположениях теорема 2.12 имеет следующий вид
(приводится только функциональная сходимость относительно Рп
другие формулировки оставляются читателю).
2.35. Теорема. Предположим, что
(i) х/у7")2 (1 - i/yf-At
для всех t > О,
(ii) к(ут/уп)1{уп>0>у1п>0} • А" к(у) • At
для всех t > 0 и всех непрерывных ограниченных функций к на
(О, оо), равных нулю в окрестности точки единица;
(iii) lim limsup Р”(1{у»>ву»»} • А" + 1{у<«>а»«} * А'? > т?) = О
а|оо п “
для всех t > 0 и г/ > 0.
320
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
£(РП)
Тогда Zn —»• Z, где процесс Z определяется в 2.33.
Доказательство. В силу IV.4.2 имеем (с учетом
2.31)
Нп = х/у"*)2-А",
/ (в) = |j/ у |1{у">ау'* ИЛИ у'“>ау") ‘ A t
Gn(g) = [</о1п(Г/Л1{г>о,^>о}] • А".
Имеем также, в силу 2.8 и 2.34, Н = |(1 — у/у)2 • А. Тогда (i)=
= [Я — R+], (ii) = [6 — R+] (с к(х) = g о In х) и (iii) эквивалентно
[boo-R+L поскольку для а > 2
л!/П1{ул>ау/л} * \УП ~ !/П|1{у*>ау/л} ‘ < уП1{уп>ау,п} *
А
и имеют место аналогичные неравенства с (у'”, у”) вместо
(ЛЛ- □
2.36. Замечание. При (ii) условие (i) эквивалентно
О') (1 ~ \/у'п1упТ • А? (1 - у/у)2 • At для всех t > 0. □
3. Статистический принцип инвариантности
В этом последнем разделе остановимся на следующем вопросе.
Предположим, что при каждом п (Q", Т7”, F”) снабжено непрерыв-
ным справа и имеющим пределы слева векторным процессом Хп
размерности d, и, что £(Хп | Р”) слабо сходится. Верно ли, что
£(Хп | Р**) слабо сходится, если (P$n) < (Р") для всех t?
В общем случае ответ отрицательный. Тем не менее, последо-
вательность £(Хп | Р'п) является плотной, хотя может иметь мно-
го предельных точек. Более того, если усилить предположения и
потребовать сходимости последовательности £((Х", Z") | Р”), то
последовательность £(Хп | Р'п) также сходится (это другое обоб-
щение третьей леммы Ле Кама).
Наконец, в §ЗЬ рассматривается случай, когда Хп является
семимартингалом и сходится по распределению относительно Рп
к непрерывному гауссовскому мартингалу, причем выполняются
3. СптястяческяЛ принцип яиваряаятиостя
321
условия главы VIII (такие, как р$] и [75 — R+]). Получающиеся
в этом случае результаты являются более сильными и заслужи-
вают названия "статистический” принцип инвариантности, ко-
торый утверждает, что сходимость (или "принцип инвариантно-
сти”) сохраняется при контигуальных заменах мер.
§3а. Общие результаты
Как выше отмечалось, при каждом п векторный процесс Хп =
= (Х"),<а размерности d непрерывный справа и имеющий преде-
лы слева задан на (Пп, J"”, F”). Используемые далее обозначе-
ния такие же, как в остальной части главы (см. перед началом
раздела 1).
3.1. Теорема. Предположим, что (Р{”) < (Р”) для всех
t € R+. Если последовательность {£(Хп | Р")} слабо сходится
или, по крайней мере, плотна, то последовательность
{£(Хп | Рт)} также плотна.
Доказательство. Согласно VI.3.21 предположение
о плотности влечет за собой, что для всех N G N*, 6 > О
lim limsup P”(sup |Х^| > К) = О,
3 2 Kt°° п t<N
I Um Um sup РП(И^(Х", 0) > 0) = 0.
Поскольку (Р$)<(Рдг), то в 3.2 можно заменить Pn на P,n, исполь-
зуя тот факт, что supl<JV |XJ*| и W'N(Xn,ff) являются измери-
мыми случайными величинами (таким же приемом 1.56 выводи-
лось из 1.55). Еще раз применяя VI.3.21, получаем требуемый
результат. □
Ниже приводится обобщение третьей леммы Ле Кама (и не-
посредственное обобщение последнего утверждения в 1.4).
3.3. Теорема. Предположим, что (PJ”)<(P7) для всех t G
G R+ и £((Хп, Zn) | Р”) слабо сходится к некоторой вероят-
ностной мере Р на каноническом пространстве =
= (lXR<,+1),P(Rd+1).D(R‘,+1)). Тогда £((Xn,Zn) | Рт) слабо схо-
дится к некоторой вероятностной мере Р' такой, что Р' < Р
322
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
и процессом плотности меры Р' относительно меры Р является
последняя компонента канонического процесса на £1 (обозначае-
мая Z).
В частности, отсюда следует, что £(Хп | Рт) сходится к неко-
торой вероятностной мере на D(R4), которая локально абсолютно
непрерывна относительно предела последовательности £(Хп | Р").
Доказательство. Можно было бы воспроизвести
доказательство 1.4. Однако, используя 3.1, можно несколько упро-
стить доказательство. Действительно, применяя 3.1 (d + ^-мер-
ному процессу (Xn,Zn), устанавливаем факт плотности после-
довательности {£(Xn,Zn | Р'п)}. Пусть Р' — предельная точка
последовательности. Рассмотрим подпоследовательность (nfc) та-
кую, что
3.4. £[(X"‘,Zn‘)|P'"‘]-+P'.
Пусть f — ограниченная непрерывная в топологии Скорохода
функция на П = D(R<<+1), являющаяся /^-измеримой для некото-
рого t G R+- Пусть з > t и s не являются фиксированной точкой
разрыва канонического процесса У на О относительно меры Р. В
силу соотношения V.1.14 имеем
3.5. EP^[/(X"‘,Z"‘)J = ЕР..4/(Хп‘,И’“)1{г;*=оо}]+
4-EP.*[/(Xn‘,Z’“)Z,n‘]-
Далее, в силу V.1.11 P/n*(Z"* = оо) -* 0 и последовательность
{Z”fc/(Xn*, Znk) | Рп‘} является R-плотной. Тогда, используя 3.4,
предположение £((Xn,Zn) | Р”) —> Р и переходя к пределу в 3.5
при k —► оо, получаем
ЕР4/(У)] = ЕР[/(У)И,].
Это, очевидно, влечет за собой Р' < Р и тот факт, что Z явля-
ется процессом плотности Р' относительно Р. В частности, Р' —
единственная мера, и, значит, она является пределом последова-
тельности £[(X"n, Z”) | Р/п]. □
Комбинация этой теоремы с результатами предшествующих
глав приводит к ряду интересных приложений. Рассмотрим при-
мер.
3. Статистический принцип ииилриахтпости
323
Пусть V = (V‘)«<<i+i — (d4- 1)-мерный непрерывный гауссов-
ский мартингал на некотором пространстве (П, J\F,P) с
Vo = О, С}1 = EpfV/V?). Для упрощения обозначений будем пи-
сать U = (0^4, М = Vd+* и С° = С’*,+1-*+1. Пусть В = (В’){<4
является непрерывной функцией: R+ —► Rd с Во = 0.
3.6. Следствие. Предположим, что (PJn)<(P") для всех
t Е R+ и, что
(Хп, Zn) (U + Д,е"-С°/2).
Если В'* = В* 4- Ci,d+1 для i < d, то
(Хп, Zn) (U + Д',ем+С°/2).
£(Р/Ж)
В частности, Хп -—► U4-В1, где U+В' — непрерывный процесс
с независимыми приращениями.
Доказательство. По предположению
£[(X",Zn)|Pn] - Р = £(U 4- В,ем~с°'2). Тем самым, 3.3 вле-
чет за собой, что £[(Xn, Zn) | Р'п] —► Р', где Р' < Р, и процес-
сом плотности меры Р' относительно Р является (d 4- 1)-я ко-
ордината, обозначаемая Z, канонического процесса. Обозначим
через X = первые d координат канонического процесса
на Q = D(R<,+1) и положим W* = X* — Д’ для i < d, Wd+1 =
= (In Z) 4- C°/2. Тогда относительно меры P = £(U 4- В, ем~с°!2)
процесс W = (W‘)><d+i является непрерывным гауссовским мар-
тингалом со второй характеристикой С = (С#)у<4+1«
В частности, относительно P(W’,Z) = (1/Z_) • Ci,d+1. По
теореме Гирсанова IIL3.24 W является семимартингалом отно-
сительно Р' с характеристиками (В,С,0), где В = C*,d+1, и, в
частности, И**1 = С°. Поэтому относительно Р' процесс W — В
является непрерывным гауссовским мартингалом с таким же рас-
пределением, как распределение V относительно Р. Тем самым,
Р' = £(U 4- В',ем+с°!2), т.е. имеет место требуемое утвержде-
ние. □
324
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
§3b. Сходимость к гауссовскому мартингалу
Зафиксируем функцию усечения h G С? и будем считать, что
выполнено следующее
3.7. Предположение. Для каждого n G N* процесс
Хп является семимартингалом относительно Р” и Р'п с характе-
ристиками (Bn,Cn,vn) и (_B/n,C"”,iz'n), соответственно, а также
с модифицированными вторыми характеристиками Сп и С'п (от-
носительно одной и той же функции усечения Л). □
Пусть М — непрерывный гауссовский мартингал размерно-
сти d, определенный на некотором пространстве (Q,^, F,P) с
Мо = 0 и С,1 = Ер(М(М1). Следовательно, М имеет харак-
теристики (0,С,0). Напомним также следующие обозначения, в
которых D является подмножеством R+:
[<S5 - Р] 1{|*|>е} ♦ «'Г о для всех t G D, г > О,
[75 - Р] Ct для всех t G D.
В VIII.2.19 было доказано, что
3.8. (i) при условиях [75 - Р] 4- [65 - Р] Хп - Вп м
(слабая сходимость конечномерных распределений на Р);
(ii) если, кроме того, Р плотно в R+, то Хп — Вп М
(применение VIII.2.19 с X = М, т.е. В = 0, v = 0 и [65 - Р] О
& [й,1 - £])•
3.9. Теорема. Предположим, что (Р{”) < (Р”) для всех
t G R+ и выполнено 3.7.
а) Если выполнены условия [75 — Р] + [й5 — Р], то
Хп _ в,п £(£|Р'") м
Ь) Если выполнены условия [75 — Р] 4- [65 — Р] и D — плотное
£(РП)
в R+ множество, то Хп — В,п —> М.
3. Статястяческяй прянцмп яяяаряаятяостя
325
3.10. Замечание,
условий
[&-Р]
Напомним следующие обозначения
В" 0 для t G D,
[Sup — /36] sup |В" | 0 для t > 0
(в ситуации, когда предельный процесс М имеет первую харак-
теристику В = 0). Если выполнены условия [/35 — Р] + [75 — Р]+
+[$5~-О] (соответственно, [Sup -&]+[75-Р]-1-[^5—Р] и D — плот-
ч vnC(D\P') , v»£(P*).,x
ное множество), то Xп —► М (соответственно, X —► М).
Однако, даже если (P[n) < (Р?) Для всех t > 0, то приведен-
C(D I Р/п)
ные выше условия не позволяют заключить, что Хп —► М
£(р/п) >
(соответственно, Хп -—v М). □
Рассмотрим контрпример.
3.11. Контрпример. Предположим, что относительно
Р” (соответственно, Р'") (х* )*>i — последовательность независи-
мых, нормально распределенных случайных величин (скалярных)
со средним 0 (соответственно, (—1)п/п) и дисперсией 1/п. Поло-
жим
х? = Е й
и предположим, что фильтрация F” порождается Хп.
Интеграл Хеллингера порядка а между распределениями
р = Х(0, £) и р'± = .V(±£, £) задается формулой
Н(а-,р,р'±) = /ехр [ - - -1- °) [(ж ± - ж2]] dx =
у2тг J L I 2 п'
Согласно IV.1.73 имеем
Pn Р/п^ __ avn ( о(1 ®)\
) = exp I - —----------)
\ П 2 >
и тем самым limaj0 limn Я(а; Р", P'(n) = 1. Следовательно, в силу
V.1.6 (Р[п) < (Р?).
326
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
Относительно Рп Хп является процессом с независимыми
приращениями, совпадающим по распределению с процессом
7^ 52i<k<(nt]&, гДе (&)*>i — последовательность независимых,
одинаково распределенных величин с распределением Л/\0,1). По
теореме Донскера (см. VIIL3.il) Хп —/ W, где W — стандарт-
ный винеровский процесс. Ввиду необходимых условий в VII.3.4
имеют место [Sup — /35] + [75 — Р] + [£5—Р] с D = R+ и С( = t (пря-
мая проверка также легко осуществляется!). Кроме того, если
функция усечения является нечетной, то в силу П.3.20 (что да-
ет характеристики процесса с независимыми приращениями Хп
относительно Р'п)
= (~1)ч,М
п
причем, как легко видеть, ап —> 1 при n f оо.
Тогда в силу 3.9 Хп — В'п -—► W (это проверяется непосред-
ственно). При этом последовательность (Р/п) имеет две предель-
ные точки B't = t и В" — —t. Отсюда следует, что последователь-
ность £(Х” | Р'п) не сходится, но является плотной и допускает
два предельных распределения, отвечающих процессам Wt + t и
Wt -t. □
Доказательство 3.9. В силу VIII.2.19 достаточно
показать, что
[65 - Р]' 1{|х|>е} * v'tn 0 для всех t G Р, £ > 0;
[75 — Р]' C'tn Ct для всех t G Р.
(i) В VIII.3.5 было показано, что [65-Р] эквивалентно условию
sup,<t |ДХ”| 0 для t G Р. Поскольку (Р[") < (Р”) имеем также
sup,<t |ДХ”| 0 для t G Р, что влечет [65 — Р]'.
Условие [75 — Р] влечет за собой С? Ct опять-таки в силу
контигуальности (P{n) < (PJ*). Следовательно, осталось доказать,
3. Статистический принцип инвариантности
327
что
3.12. С? - С? О для t G D.
(ii) Поскольку Qn = (Pn 4-Р/п)/2, то согласно Ш.3.40 Хп явля-
ется (^"-семимартингалом. Кроме того, если CQ* обозначает вто-
рую характеристику Хп относительно Qn, то в соответствии с
Ш.3.24 С* = С?‘ Р"-п.н. и С? = С?“ Р'п-п.н. Если Тп опреде-
ляется согласно 1.19, то С” = C,n Qn-n.H. (а также Рп и Р'п-п.н.)
на множестве {Тп > /}. Теперь то же самое доказательство, что
и в 1.45, использующее контигуальность (Р'(") < (•₽")> приводит
к соотношению р/п(Тп < /) —> 0. Значит, С" — С* 0 для
всех R+. Отсюда, принимая во внимание явное представление
П.2.18 для Сп и С'п, 3.12 будет следовать из сходимости
А”'** 0 для t G D, где
3.13. < = (л<л>) * * v*~
- Ддв^дв^ - дв;-’ab;j].
, 8<t
Кроме того, пусть А” = vn+i/n и Un, U'n — две предсказуемые
функции на Qn X R+ X Rd такие, что vn = Un • A”, i/n = U'n • An с
точностью до множеств Оп-меры нуль. Для каждой функции W
на П” х R+ X Rd.
Обозначим
Wt = JAn({/} х dx)W(t,x),
полагая Wt = оо, если интеграл расходится.1 В частности,
3.14.
' а? := i/n({t} х Rd) = (Un)t, а? := х Rd) =
< _____________ ______________
АВ"-* = Л’Д", ДВ,П,‘ = Ыи,п
/
(см. П.2.14). Поэтому при фиксированных i, j в обозначениях
1 Для удобства печати мы иногда вместо W используем в сложных случаях
обозначение x(VF).
328
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
3.13 получаем
An,ij = vn + wn - Г1, где
Vn = (h* - - Un) * А”,
3.15.
< WT = E(<-ar)(W»),(W")„
/7 = &((К(и'п - un)),M(h\u,n - Un)),).
u 4<t
(iii) Положим также
3.16. К? = (x/t^ - х/с^)2 * Xnt + £(- уг="<)2.
$<t
Применим теперь IV.3.39. Процесс Хеллингера Нп = Л(1/2;
РП,Р'П) сильно мажорируем процесс Л°(1/2), определенный в
IV.3.12, и, значит, Кп < 2НП. Поскольку (PJ”) < (Р?), то из V.2.3
вытекает, что
3.17. Последовательность (К" | Рт) R-плотна для всех / G R+.
Для г = 1,2 определим также
тГ = 8цр7г(|Л|г(Гп + Г,пЬ).
$<t
Поскольку Л(аг) = х для малых значений |а:| и 6 := sup |А(ж)| < оо,
то для достаточно малых значений £ > О
3.18. тГ < 2? + Г supx([(tf" + tf/n)l{W>t)],) <
s<t ' '
< 2гг + 0r(Un + tf'n)l{W>t} * АГ = 2гг + 0rl{w>t} * (p" + p'")t.
Условие [^5 - Z>] и (Р(П) < (P”) приводят к соотношению 1{|®|>«) *
0 для t G D. Этот факт и условие [65 - £)]' гарантируют
стремление к нулю по вероятности Р/п последнего члена в 3.18
при всех £ > 0. С учетом того, что £ > 0 является произвольным,
получаем
3.19. т"’г 0 для всех t € D, г = 1,2.
3. Статистический принцип инвариантности
329
(iv) Рассмотрим сначала процесс F” в 3.15. Имеем
F? = Е ” + Vu^)(Vu^ - Ju*)],) х
«<1
X7r([v(>/t^+Vu^)(ViF- Vu"')].).
По неравенству Гельдера
|F”| < 7r({|fti|2(V^4-x/C7^)2}y2)7r({|7i>|2(v'^+V'c77^)2}y2) X
s<t
XTr({(x/fF - VU")2},) <
< 2£>({|Л|2(С7" + <7'п)},)тг({(V77^ - VU^)2}.) <
$<t
< 2m^2£x({(x/tF- x/t^7)2},) <
5<t
< 2m?’2(\/fF - x/tF)2 * X" < 2т”,2К?.
Поэтому в соответствии с3.17и3.19 имеет место сходимость
3.20. F” 0 для всех t G D.
(v) Теперь исследуем процессы V” из 3.15. Имеем
V" = (Л‘ - W^)(/i> - hXU^)(VU" + VU*)(y/U”- VU^) * A".
В силу неравенства Гельдера
3.21. IVn| < {(/? - КЦ^)\Ь? - W^)\ju^ + х/Г7")2 * А?}1/2х
x{(x/t^ - VU^)2 * А”}1/2 < 2(V/”)1/2(/ftn)1/2,
где ____ __________
V,n = (h* - ^ип)2(Ы - hXUn)2(Un + U,n) * An <
< e2(hi - hXU^)2(Un + U,n) * A” + 402l{th,_^|>t)(l/n + U,n) * A"
(напомним, что |Л| < 0 и, значит, \hj — hHJn\ < 20). Поскольку
3.22. |я + J/| < За: + 2(\/х — y/у)2 для х, у > 0,
330
Гл. X. Предельные теоремы, процессы плотности
то отсюда следует, что
3.23. V" < е2{3(Л> - W^)2l/n * А" + 802(Vu^ - x/t^)2 * An}+
+^21^_ЭД>е}*(^ + ^)-
Вновь используя определение П.2.18 для Сп из 3.14, получаем, что
3.24. £?•” = С?'” + (Л> - W^)2/7" * А? + J2(l - <)(Й^.
»<«
Кроме того, если е > 0 достаточно малое число и mJ1’1 < s/2, то
неравенство |Л‘ - Л’1/П|(у,з,ж) > е влечет за собой |ж| > е/2 при
з < t. Поэтому в силу 3.23
3.25. Vt’n < Зе2С?-” + 8е202К? + 402l{W>t/2} * (р" + «/"),
на {т"’1 < е/2}. По условию [75 — Р] последовательность
(С?1” | рп) является R-плотной. Поскольку (Р{”) < (Р?), то также
R-плотна последовательность (Ct I Pm) (этот факт аналогичен
импликации 1.55 => 1.56). Из доказательства в (Ш) вытекает, что
последний член в 3.25 стремится к нулю по вероятности Р/п для
всех £ > 0, t € D. Поскольку в 3.25 £ > 0 — произвольное число,
то из 3.17 и 3.19 выводим, что
Vt'n 0 для всех t G D.
Поэтому, снова используя 3.17, из 3.21 выводим, что
3.26. V/* 0 для всех t € D.
(vi) Осталось рассмотреть процесс Wn из 3.15. Поскольку
а—а' = (у/1 — а+\/1 - а')(\/1 — а — у/1 - а'), то неравенство Гель-
дера, примененное к Wn, дает оценку
( ___________ ________ _________ ) 1/2
3.27. |РК”| < 52(Л^«)2(/РР")2(х/Г^+ УГ^<)2^ х
х{ - х/Т^)2}172 < V2(wr)1,2(K?Y'2,
3. Статистический принцип инвариантности
331
где
w'tn = - < +1 - <п) <
< «-1)2(зЕ(Ш^)’(1 - <) + 202(УП^» - х/П^Г)2}
»<* '
(в последнем неравенстве использованы 3.22 и неравенство
|/РЯ”| < 0). В силу 3.24 и 3.16 получаем
И?" < (т?1)2^’0' + 20ОД.
Уже было показано, что последовательности (Ct | Рт) и
(Я" | Р'") являются R-плотными. Следовательно, из 3.19 выте-
кает, что ТУ/" 0 для всех t G D. В силу этого факта и 3.27,
3.17 получаем, что
р/п
W” —► 0-для всех t G D.
Наконец, из последнего соотношения и из 3.26, 3.20, 3.15 сле-
дует, что А”’** —► 0 для всех t G D и имеет место 3.12. Доказа-
тельство закончено. □
Библиографический
комментарий
Глава VII
Большая часть содержания разд. 2 (включая доказательства)
заимствована из книги Гнеденко и Колмогорова [65], а также (в
основном, идейно) из работы Леви [149]. Отличие состоит в спосо-
бе изложения — нами введены два существенных изменения: во-
первых, мы берем функцию усечения h непрерывной вместо того,
чтобы использовать обычное усечение на уровне 1; это приводит
к значительным упрощениям как при формулировке результатов,
так и при доказательствах. Во-вторых, в леммах о свойствах
характеристических функций центрирование распределений осу-
ществляется усеченным средним, а не медианой. Утверждение
о слабой сходимости конечномерных распределений (§ 2d), конеч-
но, является простым следствием результатов Гнеденко и Кол-
могорова. Близкую к теореме 2.52 формулировку можно найти у
Скорохода [224].
Достаточное условие в 3.4 принадлежит Липцеру и Ширяеву
[158], а в 3.13 — Жакоду, Клопотовскому и Мемэну [105]. Необ-
ходимость доказана Жакодом [101].
Идейно, содержание §§4а,Ь (сходимость неинфинитезималь-
ных схем серий и т.д.) следует работе Жакода, Клопотовского
и Мемэна [105]. § 4с является новым, но основная идея высказана
в работе Якубовского и Сломинского [114].
Достаточность в теореме 5.2 была доказана Линдебергом [153],
а необходимость — Феллером [54]. Теорема 5.18 впервые получе-
Библиографический комментарий
333
на Золотаревым [251,252,253] (в несколько ином виде), приводи-
мая нами формулировка принадлежит Ротарю [214,215,216]. Тео-
рема 5.9 является незначительным обобщением этих результатов
и приведена, так же как и материал §§ 5c,d, в работе Липцера и
Ширяева [163].
Глава VIII
Основная идея, лежащая в основе теоремы 1.9 в приводимом
нами виде, высказана Кабановым, Липцером и Ширяевым [121], а
сама формулировка предложена в работе Жакода, Клопотовского
и Мемэна [105]. Однако первые ”общие” результаты о сходимо-
сти сумм зависимых случайных величин принадлежат Бернштей-
ну [8] и Леви [148], а идея рассматривать условные математиче-
ские ожидания и сходимость по вероятности при формулировке
условий сходимости схем серий из зависимых величин восходит
к Дворецкому [46].
Различные варианты теорем разд. 2 доказаны многими авто-
рами, главным образом (но не только) для схем серий, причем
рассматривались как сходимость конечномерных распределений,
так и функциональная сходимость (как правило, изучался слу-
чай, когда предельный процесс является винеровским — тогда
соответствующие результаты называются "принципом инвари-
антности”). Упомянем, например, работы Биллингсли [11], Бо-
ровкова [16,17], Б.Брауна [22], Б.Брауна и Иглсона [23], Дюрета
и Резника [45], Ганслера, Стробеля и Стьюта [58], П.Холла [83],
Клопотовского [128,129], Маклейша [174,175], Ротзена [209,210],
Розена [212], Скотта [220] и т.д. Из монографий той же тематике
(частично) посвящены книги Ибрагимова и Линника [89], Холла
и Хэйда [84], а также, в меньшей степени, — Биллингсли [12] и
Ибрагимова и Хасьминского [88]. Формулировки 2.4 и 2.17 взяты
из работ Жакода и Мемэна [105], Липцера и Ширяева [158,160], а
наиболее общий вариант принадлежит Жакоду, Клопотовскму и
Мемэну [105]. Теорема 2.20 получена Якубовским и Сломинским
[П4].
Содержание §§За,Ь,с дает единую трактовку множества из-
вестных результатов, в особенности, что касается схем серий
334
Библиографический комментарий
мартингал-разностей (Маклейш [174,175], Скотт [220], Б.Браун
[22] и др.). Сюда же включены утверждения о ’’необходимости”,
доказанные Ганслером и Хауслером [57] и Ротзеном [211] в случае
схемы серий, а также Липцером и Ширяевым [159,161] — в общем
случае (см. также Реболледо [205]).
Теорема 3.36, по существу, принадлежит Т.Брауну [24], ис-
пользуемый метод доказательства предложен Кабановым, Лип-
цером и Ширяевым [121]. Предложение 3.40 также принадлежит
Т.Брауну [25]. Теорема 3.43 впервые доказана Мемэном. Теоре-
ма 3.54 является частным случаем результата Гине и Маркуса
[63] (внимательное изучение [63] показывает, что, в самом деле,
хотя авторы и не говорят о характеристиках, однако основные
этапы доказательства — те же, что и у нас). Подобные теоремы,
по сути, относятся к теории ’’центральных предельных теорем
в банаховых пространствах” (хотя D(R) не является даже топо-
логическим векторным пространством!). Следует отметить, что
мы не считаем, что предложенный нами подход может обеспечить
сильное продвижение в указанной области.
Теорема 3.65 (вариант для непрерывного времени) заимство-
вана у Туати [235]. Вариант в дискретном времени 3.74 принад-
лежит, в основном, Гордину и Лившичу [67] (см. также Бхаттача-
райа [9]). Такого рода теоремы показывают, что в действитель-
ности, приводимые нами условия сходимости не всегда удается
применить напрямую — иногда необходимо представить иссле-
дуемый семимартингал как сумму семимартингала, к которому
применимы наши теоремы, и некоторых других членов, поведение
которых поддается оценке.
Целью написания § 3g (а также § 5е) было дать представление
об обширной области исследований, открытой Розенблатом [213],
в разработке которой приняли участие многие авторы, например,
Розанов и Волконский [218], Статулявичус [227], Серфлинг [221],
Гордин [66], Маклейш [173,174] (им введено понятие ’’миксингала”
как объединяющего мартингалы и процессы с перемешиванием)
и др. Более подробную библиографию, а также многие другие ва-
рианты приводимых теорем можно найти в книгах Ибрагимова и
Линника [89] и Холла и Хэйда [84]. Утверждение 3.102 принад-
Библиографический комментарий
335
лежит Серфлингу [221], 3.102 — Маклейшу [173]. Очень близкие
теоремам 3.79 или 3.97 результаты имеются в работах Чикина
[28] и Дюра и Голдштейна [44].
Теорема 4.1 доказана Жакодом, Клопотовским и Мемэном
[105], а теорема 4.10 — Кабановым, Липцером и Ширяевым [121].
Содержание § 4с принадлежит Липцеру и Ширяеву [163].
Изучение сходимости схем серий к смеси безгранично дели-
мых распределений ведется давно: исторический обзор приведен
в книге Холла и Хэйда [84] (см. также Клопотовский [129]), а
со статистической точки зрения, — в книге Басава и Скотта [5].
Что касается функциональной постановки, то материал §5а за-
имствован из работы Жакода, Клопотовского и Мемэна [105], а
§ 5Ь является новым (см. также Григелионис и Микулявичус [78]
и Ротзен [210]).
Устойчивая сходимость введена Реньи [207], но она также воз-
никает в разном обличье в теории управления (Шаль [219]), мар-
ковских процессах (Бакстер и Шакон [6]), стохастических диффе-
ренциальных уравнений (Жакод и Мемэн [109]). Здесь мы следу-
ем изложению Альдуса и Иглсона [3]; см. также Холл и Хэйд [84].
Лемма 5.34 принадлежит Морандо [186] (см. также Деллашери и
Мейер [36]). Условие вложенности 5.37 впервые появилось в рабо-
тах Маклейша [175] и Холла и Хейда [84] для случая дискретного
времени, а для непрерывного времени — у Фейгина {52]. Теорема
5.42 принадлежит Фейгину [52]. Теорему 5.50 и следствие 5.51
можно найти в работах Альдуса и Иглсона [3] и Дюрета и Рез-
ника [45]. Идея теоремы 5.53 высказана Реньи [206,207], им же
введено понятие сходимости с перемешиванием (§5d).
Глава IX
Идеи, лежащие в основе приводимого здесь мартингального
метода, берут свое начало в работе Струка и Варадана [232], ко-
торая, например, содержит все существенные моменты разд. 1.
Действительно, в этой работе для доказательства существования
слабого решения стохастического дифференциального уравнения
с винеровским процессом (или, эквивалентно, решения мартин-
гальной проблемы указанного в § 2d вида с К = 0) используется
336
Библиографический комментарий
тот же самый метод, что и при доказательстве нами теоремы
2.31. Перечень результатов разд. 1,2,3 для случая, когда пре-
дельный процесс является непрерывным диффузионным, можно
найти в книге Струка и В ар а дан а [233]. Можно обратиться так-
же к книгам Гихмана и Скорохода [62], Боровкова [15], [18], где
похожие результаты доказаны другим методом, и Йошида [250],
где доказана теорема Троттера-Като, упомянутая в §2а.
Условия типа 2.7 с ’’общим” предельным процессом первым
предложил Реболледо [204] (хотя теоремы с произвольными до-
предельными процессами до этого рассматривались разными ав-
торами: см., например, Гихман [60], Морквенас [187]). Используя
эти условия, Григелионис и Микулявичус [77] доказали теорему
2.11 (также и при более слабых предположениях замечания 2.18)
и вариант теоремы 2.31. Последняя теорема, в более общей по-
становке, была также доказана Траки [236]. Теоремы 2.4 и 2.22
доказаны Паже [192].
Первый вариант теоремы 3.21 (с непрерывным предельным
процессом, не обязательно являющимся диффузионным) принад-
лежит Липцеру и Ширяеву [164], а для точечных процессов анало-
гичный результат получен в работе Кабанова, Липцера, Ширяева
[122]. Теорема 3.9 и 3.21, а также локальный случай 3.39 принад-
лежит Жакоду [103]. Теорема 3.35 заимствована у Паже [192],
им, помимо того, получена ’’локальная” теорема (см. 3.51).
В действительности, все результаты разд. 2 и 3 в той или
иной степени связаны с результатами об устойчивости и сходимо-
сти стохастических дифференциальных уравнений — см., напри-
мер, уже упоминавшиеся книги [233] и [62], или работу Жакода
и Мемэна [109], где провидится ’’общий” подход к предмету.
В содержание § 4а внесли вклад разные авторы: см. снова кни-
ги [233] Струка и Варадана и [62] Гихмана и Скорохода, также ра-
боту Жакода [103]. Диффузионная аппроксимация чисто скачко-
образных марковских процессов (§ 4Ь) получена Курцем [137,138]
и Алленом [4], но имеется много других, близких к содержанию
§§4а,Ь результатов: см., например, Папаниколау, Струк и Вара-
дан [195]. Сходимость эмпирических функций распределения к
броуновскому известна давно (Дуб [42] и Донскер [41]) и перво-
Библиографический комментарий
337
начально была доказана методом конечномерных распределений.
§4d является новым.
Материал §5а принадлежит Жакоду [99], а условия, похожие
на 5.9 впервые сформулированы Жакодом и Мемэном [109] для
изучения устойчивости решений стохастических дифференциаль-
ных уравнений. Теоремы 5.12 и 5.16 получены Паже [193]; у Ма-
матова [170] можно найти несколько другие результаты — с более
слабыми предположениями на сходимость характеристик, но при
условии непрерывности (по времени) подынтегральных членов. В
работе Якубовского, Мемэна и Паже [ИЗ] получены результаты
иного типа (в некотором смысле, намного более сильные), в кото-
рых требуется непрерывность слева от подынтегральных членов,
но не вводится никаких предположений о характеристиках.
В связи с вышесказанным, в особенности в связи с необхо-
димыми и достаточными условиями § 4d, необходимо отметить,
что неоднократно предпринимались попытки ввести понятие ’’со-
гласованной” слабой сходимости с тем, чтобы необходимые усло-
вия сходимости получались в большем числе случаев. Введенный
Альдусом [2] и Хелл ан дом [86,87] более сильный вид сходимости
(названный ’’расширенной слабой сходимостью”) по существу,
означает, что Хп сходится к X, если Хп 4 X и Мп(</?) Л Л/(</?),
где Мп(</?)« — условное математическое ожидание р(Хп) отно-
сительно Т7", a р — произвольная ограниченная, непрерывная в
смысле Скорохода функция. Этими авторами доказано, что если
Хп сходится к X и X — мартингал, то Хп близок к мартин-
галу (что совершенно неверно для обычной слабой сходимости).
Альдус [2] доказал, что если Хп и X являются процессами с не-
зависимыми приращениями и Хп X, то имеет место и рас-
ширенная сходимость. Якубовский и Сломинский [114] и Куби-
люс и Микулявичус [135] показали, что если X — процесс с неза-
висимыми приращениями без фиксированных моментов разрыва,
то в условиях гл. VIII выполняется расширенная слабая сходи-
мость. Кубилюс и Микулявичус [135] получили также некоторые
необходимые и достаточные условия сходимости, когда предель-
ный процесс является процессом с независимыми приращениями.
Хелланд [87] рассмотрел случай диффузионного предельного про-
12. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. Т.2
338
Библиографическим комментарий
цесса.
Глава X
Вопросы, рассматриваемые в этой главе, обусловлены стати-
стическими приложениями и восходят к работе Ле Кама [142], где
впервые было строго определено понятие ’’асимптотически гаус-
совского эксперимента”. Содержание этого понятия и условия,
при которых оно имеет место, обсуждаются Ле Камом в различ-
ных работах (см., например, [144]) и в его книге [145]; см. также
Гаек [81] или Ибрагимов и Хасьминский [88]. Кутоянц [140] обсу-
ждает случай процессов в непрерывном времени.
Разумеется, в статистических приложениях вместо рассмо-
трения ’’простых гипотез” приходится иметь дело с общими па-
раметрическими моделями : для каждого п задано семейство мер
и> тем самым, семейство (2п'в)е&эп процессов отноше-
ния правдоподобия относительно некоторой меры Qn. При этом
задача состоит в изучении предела Zt'e Zt либо в смысле ко-
нечномерных распределений по (0,/), либо функционального по в
при фиксированном значении /, либо функционального по (0,/).
В приведенном виде основной результат 1.12 об асимптотиче-
ской нормальности является новым, хотя ранее он был доказан
Гринвудом и Ширяевым [68] для дискретного времени (т.е. ко-
гда все допредельные фильтрации Fn дискретны) и Востриковой
[242] — для непрерывного времени — при слабом дополнитель-
ном предположении, эта работа также содержит результат о схо-
димости конечномерных распределений (по 0), а функциональная
сходимость по (0,/) доказана Востриковой в [243]. § Id является
новым.
Статистические модели, названные нами ’’экспоненциальны-
ми семействами случайных процессов” и являющиеся естествен-
ным обобщением классических экспоненциальных статистических
моделей, рассматривались разными авторами: см. Ле Кам [143],
Стефанов [228,229], а также Соренсен [226] (в последней работе
приведена полная библиография). Эти модели охватывают мно-
жество частных случаев (например, модели для ветвящихся про-
цессов) и используются, в основном, в последовательном анали-
Библиографический комментарий
.339
зе (оптимальная остановка и т.д.). Предложение 2.5 — просто
упражнение. Теорема 2.12 является новой, но близкий результат
(где условия выражены в терминах самих процессов Zn) доказан
Мемэном [178], причем другим методом (более простым, но позво-
ляющим получать только функциональную сходимость). Другой
близкий результат имеется также в работе Тараскина [234].
Содержание § За представляет собой несложные вариации на
тему третьей леммы Ле Кама (в этом же русле лежит работа
Григелиониса и Микулявичуса [79]). Хотя материал § ЗЬ является
новым, но аналогичные результаты для процессов Хп в дискрет-
ном времени получены Гринвуд и Ширяевым [68].
12*
Литература
1. D.Aldous: Stopping times and tightness. Ann. Probab. 6 (1978) 335-340
2. D.Aldous: Weak convergence of stochastic processes, for processes viewed
in the Strasbourg manner. Preprint (1978)
3. D.Aldous, G.K.Eagleson: On mixing and stability of limit theorems. Ann.
Probab. 6 (1978) 325-331
4. M.-F.Allain: Approximation par un processus de diffusion des oscillations,
autour d’une valeur moyenne, d’une suite de processus de Markov de saut
pur. C.R.Acad. Sci. Paris, Ser. A-B, 282 (1976) 891-894
5. I.W.Basawa, D. J.Scott: Asymptotic optimal inference for some non-ergodic
models. Leet. Notes in Statistics 17. Springer, Berlin Heidelberg New York
(1983)
6. J.R.Baxter, R.V.Chacon: Compactness of stopping times. Z. Wahrsch.
Verw. Geb. 40 (1977) 169-182
7. A.Benveniste, J.Jacod: Systemes de Levy des processus de Markov. Invent.
Math. 21 (1973) 183-198
8. S.N.Bernstein: Sur I’extension du theoreme limite du calcul des probabilites
aux sommes de quanites dependates. Math. Ann. 97 (1926) 1-59
9. R.N.Bhattacharya: On the functional central limit theorem and the law of
the iterated logarithm for Markov processes. Z. Wahrsch. Verw. Geb. 60
(1982) 185-201
10. K.Bichteler: Stochastic integration theory and Lp theory of
semimartingales. Ann. Probab. 9 (1981) 49-89
11. P.Billingsley: The Lindeberg-Levy theorem for martingales. Proc. Am.
Math. Soc. 12 (1961) 788-792
12. P.Billingsley: Convergence of probability measures. Wiley and Sons, New
York (1968) (Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука,
1977)
13. Р.Billingsley: Conditional distributions and tightness. Ann. Probab. 2
(1974) 480-485
14. R.M.Blumental, R.K.Getoor: Markov processes and potential theory.
Academic Press, New York (1968)
15. A. A.Borovkov: Theorems on the convergence to Markov diffusion processes.
Z.Wahrsch. Verw. Geb. 18 (1970) 47-76
Литература.
341
16. A.A.Borovkov: The convergence of distributions of functionals of stochastic
processes. Russ. Math. Surveys 27, 1, (1972) 1-42 (Боровков А.А. Сходи-
мость распределений функционалов от случайных процессов. YMH. —
1972. — Т. XXVI, N 1. — С. 3-41)
17. A.A.Borovkov: Convergence of measures and random processes. Russ.
Math. Surveys 31, 2, (1976) 1-69 (Боровков А.А. Сходимость мер и слу-
чайных процессов. YMH. — 1976. — Т. XXXI, N 2, — С. 3-68)
18. A.A.Borovkov: Asymptotic methods in queueing theory. Nauka, Moscow
(1980) (Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового об-
служивания. — М.: Наука, 1980)
19. L.Breiman: Probability. Addison-Wesley, Reading (1968)
20. P.Bremaud: A martingale approach to point processes. PhD Thesis, El.
Res. Lab. Berkley, M-345 (1972)
21. P.Bremaud: Point processes and Queues. Springer, Berlin Heidelberg New
York (1981)
22. B.Brown: Martingale central limit theorems. Ann. Math. Statistics 42
(1971) 59-66
23. B.Brown, G.K.Eagleson: Martingale convergence to infinitely divisible laws
with finite variances. Trans. Am. Math. Soc. 162 (1971) 449-453
24. T.Brown: A martingale approach to the Poisson convergence of simple point
processes. Ann. Probab. 6 (1978) 615-628
25. T.Brown: Compensators and Cox convergence. Math. Proc. Camb. Philos.
Soc. 90 (1981) 305-319
26. T.Brown: Some Poisson approximations using compensators. Ann. Probab.
11 (1983) 726-744
27. R.H.Cameron, W.T.Martin: Transformation of Weiner integrals by non-
linear transformations. Trans. Am. Math. Soc. 66 (1949) 253-283
28. D.Chikin: Functional limit theorems for stationary processes. To appear
(1984) (Чикин Д. Функциональные предельные теоремы для стационар-
ных процессов. Институт Проблем Передачи Инф. — 1984)
29. С.S.Chou: Le processus des sauts d’une martingale locale. Seminaire de
Proba. XI. Lecture Notes in Mathematics 581, 356-361. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1977)
30. Y.S.Chow, H.Teicher: Probability theory; independence, interchangeability,
martingales. Springer, Berlin Heidelberg New York (1978)
31. P.Courrege: Integrate stochastique par rapport a une martingale de carte
integrable. Seminaire Brelot-Choquet-Deny (Theorie du potentiel) 7 (1963)
32. P.Courrege, P.Priouret: Temps d’arret d’une fonction aleatoire. Publ. Inst.
Stat.1 Univ. Paris 14 (1965) 254-274
33. C.Dellacherie: Capacites et processus stochastiques. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1972)
34. C.Dellacherie: Integrates stochastiques par rapport aux processus de Weiner
et de Poisson. Seminaire de Proba. VIII. Lecture Notes in Mathematics
381 25-26 (1974). Correction: Seminaire de Proba. IX. Lecture Notes in
Mathematics 465 p. 494 (1975). Springer, Berlin Heidelberg New York
342
Литература,
35. C.Dellacherie: Un survol de la theorie de I’integrale stochastique. Stochastic
Processes Appl. 10 (1980) 115-144
36. C.Dellacherie, P.A.Meyer: Probabilites et potentiel, I (1976), II (1982).
Hermann: Paris
37. J.De Sam Lazaro, P.A.Meyer: Methodes de martingales et theorie des flots.
Seminaire de Proba. IX. Lecture Notes in Mathematics 465, 1-96. Springer,
Berlin Heidelberg New York (1975)
38. C.Doleans-Dade: Quelques applications de la formule de changement de
variable pour les semimartingales. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 16 (1970) 181-
194
39. C.Doleans-Dade, P.A.Meyer: Integrates stochastiques par rapport aux
martingales locales. Seminaire de Proba. IV. Lecture Notes in Mathematics
124, 77-107. Springer, Berlin Heidelberg New York (1970)
40. M.Donsker: An invariance principle for certain probability limit theorems.
Mem. Am. Math. Soc. 6 (1951)
41. M.Donsker: Justification and extension of Doob’s heuristic approach to the
Kolmogorov-Smirnov Theorems. Ann. Math. Statistics 23 (1952) 277-281
42. J.L.Doob: Heuristic approach to the Kolmogorov-Smirnov Theorems. Ann.
Math. Statistics 20 (1949) 393-403
43. J.L.Doob: Stochastic processes. Wiley and Sons, New York (1954) (Дуб
Дж.Л. Вероятностные процессы. M.: ИЛ, 1956)
44. D.Diirr, S.Goldstein: Remarks on the central limit theorem for weakly
dependent random variables. Proc. BIBOS Conf. Bielefeld (Albeverio,
Blanchard, Streit, eds.) Lecture Notes in Mathematics 1158, 104-118.
Springer, Berlin Heidelberg New York (1986)
45. R.Durrett, S.I.Resnick: Functional limit theorems for dependent random
variables. Ann. Probab. 6 (1978) 829-846
46. A.Dvoretsky: Asymptotical normality of sums of dependent random
variables. Proc. 6th Berkeley Symp., Univ, of Calif. Press (1972) 513-535
47. E.B.Dynkin: Markov processes I. Springer-Verlag (1965): Berlin (Дынкин
Е.Б. Марковские процессы. M.: Физматгиз, 1963)
48. G.K.Eagleson, J.Memin: Sur la contiguite de deux suites de measures,
generalisation d’un theoreme de Kabanov-Lipster-Shiryaev. Seminaire de
Proba. XVI. Lecture Notes in Mathematics 920, 319-337. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1982)
49. N.E1 Karoui, J.P.Lepeltier: Representation des processus ponctuels
multivaries a 1’aide d’un processus de Poisson. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 39
(1977) 111-134
50. H.J.Engelbert, A.N.Shiryaev: On absolute continuity and singularity of
probability measures. Banach Cent. Publ. 6 (1979)
51. P.Erdos, М.Каё: On the number of positive sums of independent random
variables. Bull. Am. Math. Soc. 53 (1947) 1011-1021
52. P.D.Feigin: Stable convergence of semimartingales. Stoch. Proc, and Appl.
19 (1985) 125-134
Литература.
343
53. J.Feldman: Equivalence and perpendicularity of Gaussian measures. Рас.
J. Math. 8 (1958) 699-708
54. W.Feller: Uber den zentralen Grenzwertsatz der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Z. 40 (1935) 521-559
55. X.Fernique: Comparaison de mesures gaussiennes et de mesures produit.
Ann. Inst. Henri Poincare (Probab. Stat.) 20 (1984) 165-175
56. L.Galtchouk: The structure of a class of martingales. Proc. School-seminar
(Druskininkai), Ac. Sci. Lit. SSR-I, 7-32 (1975): Vilnius
57. P.Ganssler, E.Hausler: Remarks on the functional central limit theorem for
martingales. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 50 (1979) 237-243
58. P.Ganssler, J.Strobel, W.Stute: On the central limit theorems for
martingale triangular arrays. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 31 (1978) 205-
216
59. R.K.Getoor: On the constructions of kernels. Seminaire de Proba. IX.
Lecture Notes in Mathematics 465, 443-463. Springer, Berlin Heidelberg
New York (1979)
60. I.I.Gikhman: Limit theorems for sequences of series of random variables.
Rep. Mejd. Sb. (1974) 2, 37-47
61. LI.Gikhman, A.V.Skorokhod: Theory of stochastic processes, I (1974), II
(1975), III (1979). Springer, Berlin Heidelberg New York (Гихман И.И.,
Скороход А.В. Теория случайных процессов. I, II, III, М.: Наука, 1971,
1973, 1975)
62. LI.Gikhman, A.V.Skorokhod: Stochastic differential equations and their
applications. Kiev (1982) (Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические
дифференциальные уравнения и их приложения. Наукова думка, Киев,
1982)
63. Е. Gine, М.В.Markus: The central limit theorem for stochastic integrals
with respect to a Levy process. Ann. Probab. 11 (1983) 53-77
64. I.V.Girsanov: On transforming a certain class of stochastic processes by
absolutely continuous substitution of measures. Theory Probab. Appl. 5
(1960) 285-301 (Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случай-
ных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. Теория
вероятн. и ее примен., т. V, N 3, 1960, С. 314-330)
65. В.W.Gnedenko, A.N.Kolmogorov: Limit distributions for sums of
independent random variables. Addison-Wesley, New York (1954) (Гнеден-
ко Б.В., Колмогоров A.H. Предельные распределения для сумм незави-
симых случайных величин. M.-JL: Гостехиздат, 1949)
66. M.L Gordin: The central limit theorem for stationary processes. Dokl. Akad.
Nauk SSSR 188 (1969) 739-741 (Гордин М.И. О центральной предельной
теореме для стационарных процессов. ДАН СССР, т. 188, N 4, 1969, С.
739-741)
67. M.L Gordin, B.A.LifSic: Central limit theorem for stationary Markov
processes. Dokl. Akad. Nauk SSSR 239 (1978) 766-767 (Гордин М.И., Лип-
шиц Б.А. Центральная предельная теорема для стационарных процес-
сов Маркова. ДАН СССР, т. 239, N 4, 1978, 766-767)
344
Литература.
68. P.Greenwood, A.N.Shiryaev: Contiguity and the statistical invariance
principle. Gordon and Breach, London (1985)
69. B.Grigelionis: On Markov property of stochastic processes. Litovsk. Mat.
Sb. 8 (1968) 3, 489-502
70. B.Grigelionis: On the representation of integer-valued measures by means
of stochastic integrals with respect to Poisson measure. Litovsk. Mat. Sb.
11 (1971) 93-108
71. B.Grigelionis: On the absolute continuity of measures corresponding to
stochastic processes. Litovsk. Mat. Sb. 11 (1971) 783-794
72. B.Grigelionis: On non-linear filtering theory and absolute continuity
of measures, corresponding to stochastic processes. Proc. 2d Japan-
USSR Symp. Lecture Notes in Mathematics 330, 80-94. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1973)
73. B.Grigelionis: On relative compactness of sets of probability measures in
P[o,00)(R). Litovsk. Mat. Sb. 13 (1973) 4, 83-96
74. B.Grigelionis: The characterization of stochastic processes with
conditionally independent increments. Litovsk. Mat. Sb. 15 (1975) 53-60
75. B.Grigelionis: Stochastic point processes and martingales. Litovsk. Mat.
Sb. 15 (1975) 3, 101-114
76. B.Grigelionis: Martingale characterization of stochastic processes with
independent increments. Litovsk. Mat. Sb. 17 (1977) 75-86
77. B.Grigelionis, R.Mikulevicius: On weak convergence of semimartingales.
Litovsk. Mat. Sb. 21 (1981) 3, 9-24
78. B.Grigelionis, R.Mikulevicius: On stably weak convergence of
semimartingales and of point processes. Theory Probab. Appl. 28 (1983)
337-350
79. B.Grigelionis, R.Mikulevicius: On contiguity and weak convergence of
probability measures. Proc. 5th Japan-USSR Symp. Lecture Notes in
Mathematics 1021, 177-194. Springer, Berlin Heidelberg New York (1983)
80. J.Hajek: On a property of normal distribution of an arbitrary stochastic
process. Czech. Math. J. 8 (1958) 610-618
81. J.Hajek: A characterization of limiting distributions of regular estimates.
Z.Wahrsch. Verw. Geb. 14 (1970) 324-330
82. J.Hajek, Z. Sidak: Theory of rank tests. Academic Press (1967): New York
83. P.Hall: Martingale invariance principles. Ann. Probab. 5 (1977) 875-887
84. P.Hall, C.Heyde: Martingale limit theory and its applications. Academic
Press, New York (1980)
85. W. J.Hall, R.M.Loynes: On the concept of contiguity. Ann. Probab. 5 (1977)
278-282
86. I.Helland: On weak convergence to Brownian motion. Z.Wahrsch. Verw.
Geb. 52 (1980) 251-265
87. I.Helland: Minimal conditions for weak convergence to a diffusion process
on the line. Ann. Probab. 9 (1981) 429-452
88. I.A.Ibragimov, R.Z.Has’minski: Statistical estimation: asymptotic theory.
Springer, Berlin Heidelberg New York (1981) (Ибрагимов И.А., Хасьмин-
ский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979)
Литература
345
89. LA.Ibragimov, Yu.V.Linnik: Independent and stationary sequences of
random variables. Walters-Noordhoff, Groningen (1977) (Ибрагимов И.A.,
Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: На-
ука, 1965)
90. LA.Ibragimov, Yu.A.Rozanov: Gaussian random processes. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1978) (Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские
случайные процессы. М.: Наука, 1970)
91. K.Ito: Stochastic integrals. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20 (1944) 519-524
92. K.Ito: On a formula copcerning stochastic integrals. Nagoya Math. J. 3
(1951) 55-65
93. K.Ito: On stochastic differential equations. Mem. Am. Math. Soc. 4 (1951)
94. J.Jacod: Multivariate point processes: predictable projection, Radon-
Nikodym derivative, representation of martingales. Z.Wahrsch. Verw. Geb.
31 (1975) 235-253
95. J.Jacod: Un theoreme de representation pour les martingales discontinues.
Z.Wahrsch. Verw. Geb. 34 (1976) 225-244
96. J.Jacod: A general theorem of representation for martingales. Proc. Symp.
Pure Math. 31 (1977) 37-53
97. J.Jacod: Local characteristics and absolute continuity conditions for d-
dimensional semimartingales. Banach Cent. Publ. 5 (1979) 133-143
98. J.Jacod: Calcul stochastique et problemes de martingales. Lecture Notes in
Mathematics 714. Springer, Berlin Heidelberg New York (1979)
99. J.Jacod: Weak and strong solutions of stochastic differential equations.
Stochastics 3 (1980) 171-191
100. J.Jacod: Convergence en loi de semimartingales er variation quadratique.
Seminaire de Proba. VX. Lecture Notes in Mathematics 850, 547-560.
Springer, Berlin Heidelberg New York (1981)
101. J.Jacod: Processus a accroissements independants: une condition necessaire
et suffisante de convergence en loi. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 63 (1983) 109-
136
102. J.Jacod: Processus de Hellinger, absolue continuite, contiguite. Seminaire
de Proba. de Rennes 1983, Univ, de Rennes (1984)
103. J.Jacod: Theoremes limite pour les processus. Ecole d’ete de St-Flour XIII,
1983. Lecture Notes in Mathematics 1117. Springer, Berlin Heidelberg New
York (1985)
104. J.Jacod: Sur la convergence des processus ponctuels. To appear (1986)
105. J.Jacod, A.Klopotowski, J.Memin: Theoreme de la limite centrale et
convergence fonctionnelle vers un processus a accroissements independants.
Ann. Inst. Henri Poincare (B) 18 (1982) 1-45
106. J.Jacod, J.Memin: Caracteristiques locales et conditions de continuite
absolue pour les semimartingales. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 35 (1976) 1-37
107. J.Jacod, J.Memin: Un nouveau critere de compacite relative pour une suite
de processus. Seminaire de Proba. de Rennes 1979, Univ. de.Rennes (1980)
346
Литература,
108. J.Jacod, J.Memin: Sur la convergence des semimartingales vers un
processus a accroissements independants. Seminaire de Proba. XIV. Lecture
Notes in Mathematics 784, 227-248.Springer, Berlin Heidelberg New York
(1980)
109. J.Jacod, J.Memin: Weak and strong solutions of stochastic differential
equations: existence and stability. In “Stochastic Integrals”, ed. by
D. Williams, Proc. LMS Symp. Durham 1980. Lecture Notes in Mathematics
851, 169-212. Springer, Berlin Heidelberg New York (1981)
110. J.Jacod, J.Memin: Sur un type de convergence intermediaire entre
convergence en loi et convergence en probabilite. Seminaire de Proba. XV.
Lecture Notes in Mathematics 850 (1981) 529-546. Corrections: Seminaire
de Proba. XVII. Lecture Notes in Mathematics 505-511. Springer, Berlin
Heidelberg New York
111. J.Jacod, J.Memin, M.Metivier: On tightness and stopping times. Stochastic
Processes Appl. 14 (1983) 109-146
112. J.Jacod, M.Yor: Etude des solutions extremales et representation integrate
des solutions pour certain problemes de martingales. Z.Wahrsch. Verw. Geb.
38 (1977) 83-125
113. A. Jakubowski, J.Memin, G.Pages: Convergence en loi des suites d’integrales
stochastiques sur 1’espace D1 de Skorokhod. To appear (1986)
114. A.Jakubowski, L.Slominski: Extended convergence to continuous in
probability processes with independent increments. Probab. Theo. Rel.
Fields 72 (1986) 55-82
115. Yu.Kabanov: Representation of functionals of Weiner and Poisson processes
in the form of stochastic integrals. Theory Probab. Appl. 18 (1973) 362-365
(Кабанов Ю.М. Представление функционалов от винеровского и пуассо-
новского процессов в виде стохастического интегралов. Теория вероятн.
и ее примен., т. XXVIII, N 2, 1973, 376-380)
116. Yu.Kabanov: An estimate of the variation distance between probability
measures. Theory Probab. Appl. 30 (1985) 386-390 (Кабанов Ю.М. Об
одной оценке близости вероятностных мер по вариации. Теория веро-
ятн. и ее примен., т. XXX, N 2, 1985, 386-391)
117. Yu.Kabanov, R.S. Liptser: On convergence in variation of the distributions
of multivariate point processes. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 63 (1983) 475-485.
118. Yu.Kabanov, R.S. Liptser, A.N.Shiryaev: Martingale methods in the theory
of point processes. Proc. School-seminar (Druskininkai), Ac. Sci. Lit. SSR,
II, 269-354 (1975): Vilnius.
119. Yu.Kabanov, R.S. Liptser, A.N.Shiryaev: Criteria of absolute continuity
of measures corresponding to multivariate point processes. Proc 3d Japan-
USSR symp. Lecture Notes in Mathematics 550, 232-252. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1976)
120. Yu.Kabanov, R.S. Liptser, A.N.Shiryaev: Absolute continuity and
singularity of locally absolutely continuous probability distributions. Math.
USSR Sb. 35 (1979) 631-680 (Part I), 36 (1980) 31-58 (Part II) (English
Литература
347
transl.) (Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш., Ширяев А.И. Абсолютная не-
прерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных веро-
ятностных распределений, I; II. Матем. сб. т. 107 (149), N 3, 1978, с.
364-415; т. 108 (150), N 1, 1979, 32-61)
121. Yu.Kabanov, R.S. Liptser, A.N.Shiryaev: Some limit theorems for simple
point processes (martingale approach). Stochastics 3 (1981) 203-216
122. Yu.Kabanov, R.S. Liptser, A.N.Shiryaev: Weak and strong convergence of
the distributions of counting processes. Theory Probab. Appl. 28 (1983)
303-336 (Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш.б Ширяев А.И. Слабая и сильная
сходимость распределений считающих процессов. Теория вероятн. и ее
примен., т. XXVIII, N 2, 1483, 288-319)
123. Yu.Kabanov, R.S. Liptser, A.N.Shiryaev: On the variation distance for
probability measures defined on a filtered space. Probab. Theo. Rel. Fields
71 (1986) 19-36
124. S.Kakutani: On equivalence of infinite product measures. Ann. Math. 49
(1948) 214-224
125. O.Kallenberg: Random measures. Akademie Verlag (1975): Berlin
126. J.Kerstan, K.Matthes, J.Mecke: Unbegrenzt teilbare Punktprozesse.
Akademie-Verlag, Berlin (1974)
127. J.F.C.Kingman: Completely random measures. Рас. J. Math. 21 (1967)
59-78
128. A.Klopotowski: Limit theorems for sums of dependent random vectors in
RA Diss. Math. CLI (1977) 1-62
129. A.Klopotowski: Mixtures of infinitely divisible distributions as limit laws
for sums of dependent random variables. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 51 (1980)
101-115
130. A.N.Kolmogorov: Eine Verallgemeinerung des Laplace-Liapounoffschen
Satzes. Izv. Akad. Nauk SSSR (1931) 959-962 (Колмогоров A.H. Одно
обобщение теоремы Лапласа-Ляпунова. Теория вер. и матем. статисти-
ка (Сб. статей), М.: Наука, 1986, с. 114-116)
131. A.N.Kolmogorov: On the Skorokhod convergence. Theory Probab. Appl.
(1956) 215-222 (Колмогоров A.H. О сходимости А.В.Скорохода. Теория
вероятн. и ее примен., т. I, N 2, 1956, с. 239-247)
132. E.I.Kolomietch: Relations between triplets of local characteristics of
semimartingales. Usp. Mat. Nauk 39 (1984) 163-164 (Коломиец Э.И. Со-
отношения между триплетами локальных характеристик семимартин-
галов. YMH., т. 39, N 4, 1984, 163-164)
133. T.Komatsu: Markov processes associated with certain integro-differential
operators. Osaka J. Math. 10 (1973) 271-303
134. С. К raft: Some conditions for consistency and uniform consistency of
statistical procedures. Univ, of Calif. РиЫ. Statistics 2 (1955) 125-141
135. K.Kubilius, P.Mikulevicius: On necessary and sufficient conditions for the
convergence of semimartingales. Proc. 5th Japan-USSR Symp. Lecture
Notes in Mathematics 1021, 338-351. Springer, Berlin Heidelberg New York
(1983)
348
Литература.
136. H.Kunita, S.Watanabe: On square-integrable martingales.' Nagoya J. Math.
30 (1967) 209-245
137. T.G.Kurtz: Limit theorems for sequences of jump Markov processes
approximating ordinary differential equations. J.Appl. Probab. 8 (1971)
344-356
138. T.G.Kurtz: Semigroups of conditional shifts and approximation of Markov
processes. Ann. Probab. 3 (1975) 618-642
139. A.U.Kussmaul: Stochastic integration and generalized martingales. Pitman,
London (1977)
140. Yu.A.Kutoyants: Parameter estimation for stochastic processes.
Heldermann-Verlag, Berlin (1984)
141. V.A.Lebedev: On the weak compactness of distribution families of general
semimartingales. Theory Probab. Appl. 27 (1982) 14-23 (Лебедев В.A. О
слабой компактности семейств распределений семимартингалов общего
вида. Теория вероятн. и ее примен., т. XXVII, N 1, 1982, с. 15-23)
142. L.Le Cam: Locally asymptotically normal families of distributions. Univ,
of Calif. Publ. Stat. 3 (1960) 27-87
143. L.Le Cam: A reduction theorem for certain sequential experiments, II. Ann.
Stat. 7 (1989) 847-859
144. L.Le Cam: Sur 1’approximation de families de mesures par des families
gaussiennes. Ann. Inst. Henri Poincare (probab. stat.) 21 (1985) 225-288
145. L.Le Cam: Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer,
Berlin Heidelberg New York (1986)
146. E.Lenglart: Relation de domination entre deux processus. Ann. Inst. Henri
Poincare (B) 13 (1977) 171-179
147. D.Lepingle: Sur la representation des sauts d’une martingale. Seminaire de
Proba. XI. Lecture Notes in Mathematics 581, 418-434. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1977)
148. P.Levy: Proprietes asymtotiques des sommes de variables aleatories
enchainees. Bull. Sci. Math. 59 (1935) 84-96 and 108-128
149. P.Levy: Theorie de 1’addition des variables aleatories. Gauthiers-Villars,
Paris (1948)
150. F.Liese: Hellinger integrals of Gaussian processes with independent
increments. Stochastics 6 (1982) 81-96
151. F.Liese: Hellinger integrals of diffusion processes. Forschungsergeb.,
Friedrich-Schiller-Univ. Jena N/83/89 (1983)
152. F.Liese: An estimation of Hellinger integrals of point processes. (1984) To
appear
153. J.W.Lindeberg: Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der
Wahrscheislichkeitsrechnung. Math. Z. 15 (1922) 211-225
154. T.Lindvall: Weak convergence of probability measures and random
functions in the function space £>[0,oo). J.Appl.Probab. 10 (1973) 109-121
155. R.S.Liptser: On a representation of local martingales. Theory Probab. Appl.
21 (1976) 718-726 (Липцер Р.Ш. О представлении локальных мартинга-
лов. Теория вероятн. и ее примен., т. XXI, N 4, 1976, с. 718-726)
Литература,
349
156. R.S.Liptser, F.Pukelsheim, A.N.Shiryaev: Necessary and sufficient
conditions for contiguity and entire separation of probability measures.
Russian Math. Surveys 37 (1982) 107-136
157. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: Statistics of stochastic processes. Springer,
Berlin Heidelberg New York (1977) (Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Стати-
стика случайных процессов. М.: Наука, 1974)
158. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: A functional central limit theorem for
semimartingales. Theory Probab. Appl. 25 (1980) 667-688 (Липцер Р.Ш.,
Ширяев A.H. Функциональная центральная предельная теорема для се-
мимартингалов. Теория вероятн. и ее примен., т. XXV, N 4, 1980, с.
683-703)
159. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: On necessary and sufficient conditions in the
functional central limit theorem for semimartingales. Theory Probab. Appl.
26 (1981) 130-135 (Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. О необходимых и доста-
точных условиях в функциональной центральной предельной теореме.
Теория вероятн. и ее примен., т. XXVI, N 1, 1981, с. 132-137)
160. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: Weak convergence of semimartingales to
stochastically continuous processes with independent and conditionally
independent increments. USSR Math. Sb. 116, 3 (1981) 331-358 (English
transl.: 44, 3, 299-323) (Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. О слабой сходимости
семимартингалов к стохастически непрерывным процессам с независи-
мыми приращениями и условно независимыми приращениями. Матем.
сб., т. 116 (158), N 3 (11), 1982, с. 331-358)
161. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: On a problem of necessary and sufficient
conditions in the functional central limit theorem for local martingales.
Z.Wahrsch. Verw. Geb. 59 (1982) 311-318
162. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: On the problem of “predictable” criteria of
contiguity. Proc. 5th Japan-USSR Symp. Lecture Notes in Mathematics
1021, 384-418. Springer, Berlin Heidelberg New York (1983)
163. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: On the invariance principle for semimartingales:
the nonclassical case. Theory Probab. Appl. 2^(1983) 1-34 (Липцер Р.Ш.,
Ширяев A.H. О принципе инвариантности для сем и мартин галов в ”не-
классичсской” постановке. Теория вероятн. и ее примен., т. XXVIII, N
3, 1983, с. 3-31)
164. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: Weak convergence of a sequence of
semimartingales to a process of diffusion type. USSR Math. Sb. 121, 2 (1983)
176-200 (English transl.: 49, 171-195) (Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Сла-
бая сходимость последовательности семимартингалов к процессу диф-
фузионного типа. Матем. сб., т. 121 (163), N 2 (6), 1983, с. 176-200)
165. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: On contiguity of probability measures
corresponding to semimartingales. Analysis Mathematicae 11 (1985) 93-
124
166. R.S.Liptser, A.N.Shiryaev: Theory of martingales. Nauka, Moscow (1986)
(Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Теория мартингалов. M.: Наука, 1986)
350
Литература.
167. J.Lobo: Processus a accroissements independants et methode des
semimartingales. These de 3ieme cycle, Univ. Paris-6 (1985)
168. N.Maigret: Theoremes de limite centrale pour une chaine de Markov
recurrente Harris positive. Ann. Inst. Henri Poincare (B) 14 (1978) 425-
440
169. S.Makhno: On the existence and uniqueness of solutions of stochastic
differential equations. Sb. Teor. Sluch. Proc. 3 (1975) 72-80
170. X.M.Mamatov: On weak convergence of stochastic integrals with respect
to semimartingales. To appear (1985).
171. G.Maruyama: Continuous time processes and stochastic equations. Rend.
Circ. Math. Palermo 4 (1955) 1-43
172. K.Matusita: Decision rules based on the distance for problems of fit, time
samples, and estimation. Ann. Math. Statistics 26 (1955) 631-640
173. D.L.McLeish: A maximal inequality and dependent strong laws. Ann.
Probab. 3 (1975) 829-839
174. D.L.McLeish: Invariance principles for dependent variables. Z.Wahrsch.
Verw. Geb. 32 (1975) 165-178
175. D.L.McLeish: An extended martingale principle. Ann. Probab. 6 (1978)
144-150
176. J.Memin: Distance en variation et conditions de contiguite pour des lois de
processus ponctuels. Seminaire de Proba. de Rennes 1981. Univ, de Rennes
(1982)
177. J.Memin: Sur la contiguite relative de deux suites de processus. Seminaire
Proba. XVII. Lecture Notes in Mathematics 986, 371-376. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1983)
178. J.Memin: Theoremes limite fonctionnels pour les processus de
vraisemblance (cadre asymptotiquement a-no rm al). Seminaire de Proba.
de Rennes 1985. Univ, de Rennes (1986)
179. J.Memin, A.N.Shiraev: Distance de Hellinger-Kakutani des lois
correspondant a deux processus a accroissements independants. Z. Wahrsch.
Verw. Geb. 70 (1985) 67-90
180. M.Metivier: Semimartingales: a course on stochastic integration. De
Gruyter, Berlin (1982)
181. M.Metivier, J.Pellaumail: Stochastic integration. Academic Press, New
York (1980)
182. P.A.Meyer: Integrates stochastiques I-IV. Seminaire de Proba. I. Lecture
Notes in Mathematics 39, 72-162. Springer, Berlin Heidelberg New York
(1967)
183. P.A.Meyer: Un cours sur les integrates stochastiques. Seminaire Proba. X.
Lecture Notes in Mathematics 511, 245-400. Springer, Berlin Heidelberg
New York (1976)
184. P.A.Meyer: Le theoreme fondamental sur les martingales locales. Seminaire
Proba. XL Lecture Notes in Mathematics 581, 463-464. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1977)
Литература,
351
185. P.A.Meyer, W.A.Zheng: Tightness criteria for laws of semimartingales.
Ann. Inst. Henri Poincare (Probab. Stat.) 20 (1984) 353-372
186. Ph.Morando: Mesures aleatoires. Seminaire Proba. III. Lecture Notes in
Mathematics 88, 190-229. Springer, Berlin Heidelberg New York (1969)
187. R.Morkvenas: On the weak convergence of stochastic processes to the
solution of martingale problem. Litovsk. Mat. Sb. 15 (1975) 2, 67-75
188. J.Neveu: Bases mathematiques du calcul des probabilites. Masson, Paris
(1964) (Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.:
Мир, 1969)
189. J.Neveu: Processus ponctuels. Ecole d’ete de St-Flour VI, 1976. Lecture
Notes in Mathematics 598. Springer, Berlin Heidelberg New York (1977)
190. C.M.Newman: The inner product of path space measures corresponding
to random processes with random increments. Bull. Am. Math. Soc. 78, 2
(1972) 268-272
191. J.Oosterhoff, W.R.Van Zwet: A note on contiguity and Hellinger distance.
In: Contributions to Statistics, ed. J.Jureckova. Reidel, Dordrecht (1979)
192. G.Pages: Theoremes limite pour les semimartingales. These de 3ieme cycle,
Univ. Paris-6 (1985)
193. G.Pages: Un theoreme de convergence fonctionnel pour les integrates
stochastiques. Seminaire de Proba. XX. Lecture Notes in Mathematics 1204,
572-611. Springer, Berlin Heidelberg New York (1986)
194. F.Papangelou: Integrability of expected increments of point processes and
a related change of scale. Trans. Am. Math. Soc. 165 (1972) 483-506
195. G.C.Papanicolaou, D.W.Stroock, S.R.S.Varadhan: Martingale approach to
some limit theorems. Duke turbulence conf. 1976, Paper no 6, Duke Univ.
Math. Series III (1977)
196. K.R.Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. Academic
Press, New York (1967)
197. V.V.Petrov: Sums of independent random variables. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1975) (Петров В.В. Суммы независимых случай-
ных величин. М.: Наука, 1972)
198. D.Pollard: Convergence of stochastic processes. Springer, Berlin Heidelberg
New York (1984)
199. Yu.V.Prokhorov: Convergence of stochastic processes and limit theorems
in probability theory. Theory Probab. Appl. 1 (1956) 157-214 (Прохоров
Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории
вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., т. I, N 2, 1956, с. 177-238)
200. Yu.V.Prokhorov: Probability distribution in functional spaces. Usp. Mat.
Nauk 8 (1953) 165-167 (Прохоров Ю.В. Распределение вероятностей в
функциональных пространствах. YMH., т. 8, N 3, 1953, с. 165-167)
201. P.Protter: Semimartingales and measure-preserving flows. .Ann. Inst. Henri
Poincare (Probab. Stat.) 22 (1986) 127-147
202. R.Rebolledo: La methode des martingales appliquee a la convergence en loi
des processus. Mem. Soc. Math. Fr. 62 (1979)
352
Литература.
203. R.Rebolledo: Central limit theorems for local martingales. Z.Wahrsch.
Verw. Geb. 51 (1980) 269-286
204. R.Rebolledo: Sur 1’existence de solutions a certains problemes de
martingales. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A 290 (1980) 843-846
205. R.Rebolledo: The central limit theorem for semimartingales, necessary and
sufficient conditions. Preprint (1980)
206. A.Renyi: On mixing sequences of sets. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 9 (1958)
215-228
207. A.Renyi: On stable sequences of events. Sankhya, Ser. A, 25 (1963) 293-302
208. D.Revuz: Markov chains. Nor th-Holland, Amsterdam (1975)
209. H.Rootzen: On the functional limit theorem for martingales. Z.Wahrsch.
Verw. Geb. 38 (1977) 199-210
210. H.Rootzen: A note on convergence to mixtures of normal distributions.
Z.Wahrsch. Verw. Geb. 38 (1977) 211-216
211. H.Rootzen: On the functional limit theorem for martingales, II. Z.Wahrsch.
Verw. Geb. 51 (1981) 79-93
212. B.Rosen: On the central limit theorem for sums of dependent random
variables. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 7 (1967) 48-82
213. M.Rosenblatt: A central limit theorem and a strong mixing condition. Proc.
Natl. Acad. Sci. USA 42 (1956) 43-47
214. V.I.Rotar: On extensions of Lindeberg-Feller Theorem. Mat. Zametki
18 (1975) 129-135 (Ротарь В.И. К обобщению теоремы Линденберга-
Феллера. Мат. заметки, т. 18, N 1, 1975, с. 129-135)
215. V.I.Rotar: Some remarks on summing independent variables in the
nonclassical case. Theory Probab. Appl. 21 (1976) 130-137 (Ротарь В.И.
Некоторые замечания о суммировании независимых слагаемых в не-
классической ситуации. Теория вероятн. и ее примен., т. XXI, N 1, 1975,
с. 128-135)
216. V.I.Rotar: On summation of independent random variables: non-classical
conditions. Usp. Mat. Nauk 37 (1982) 127-156 (Ротарь В.И. О суммиро-
вании независимых слагаемых в неклассической ситуации. YMH., т. 37,
N 6, 1982, с. 137-156)
217. G.Roussas: Contiguity of probability measures. Cambridge Univ. Press,
London (1972)
218. Yu.A.Rozanov, V.A.Volkonski: Some limit theorems for random functions I.
Theory Probab. Appl. 4 (1959) 178-197 (Волконский В.А., Розанов Ю.А.
Некоторые предельные теоремы для случайных функций. I, II. Теория
вероятн. и ее примен., т. IV, N 2, 1959, с. 186-207; т. VI, N 2, 1961, с.
202-215)
219. M.Schal: Conditions for optimality in dynamic programming and for the
limit of n-stages optimal policies to be optimal. Z.Wahrsch. Verw. Geb. 32
(1975) 179-196
220. D.J.Scott: Central limit theorems for martingales with stationary
increments using Skorokhod representation theorem. Adv. Appl. Probab.
5 (1975) 119-137
Литература.
353
221. R.J.Serfling: Contributions to central limit theory for dependent variables.
Ann. Math. Stat. 39 (1968) 1158-1175
222. A.N.Shiryaev: Probability. Springer, Berlin Heidelberg New York (1984)
(Ширяев A.H. Вероятность. M.: Наука, 1980, 1989)
223. A.V.Skorokhod: Limit theorems for stochastic processes. Theory Probab.
Appl. 1 (1956) 261-290 (Скороход А.В. Предельные теоремы для случай-
ных процессов. Теория вероятн. и ее примен., т. I, N 3, 1956, 289-319)
224. A.V.Skorokhod: Random processes with independent increments. Nauka,
Moscow (1964) (Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми
приращениями. М.: Наука, 1964)
225. A.V.Skorokhod: Studies in the theory of random processes. Addison-Wesley,
Reading (1965) (Скороход А.В. Исследования по теории случайных про-
цессов. Изд-во Киев, ун-та, 1961)
226. М.Sorensen: On sequential maximum likelihood estimates for exponential
families of stochastic processes. Int. Stat. Review 54 (1986) 191-210
227. V.A.Statulevicius: Some new results for sums of weakly dependent random
variables. Theory Probab. Appl. 5 (1960) 233-234 (Статулявичус В.A.
Некоторые новые результаты для сумм слабо зависимых случайных ве-
личин. Теория вероятн. и ее примен., т. V, N 2, 1960, 258-259)
228. V.T.Stefanov: Explicit solutions in the first passage problem for exponential
type processes. To appear in: Stochastic Processes Appl. (1987)
229. V.T.Stefanov: Efficient sequential estimation in exponential type processes.
To appear in: Ann. Stat. (1987)
230. C.Stone: Weak convergence of stochastic processes defined on a semifinite
time interval. Proc. Am. Math. Soc. 14 (1963) 694-696
231. D.W.Stroock: Diffusion processes associated with Levy generators.
Z.Wahrsch. Verw. Geb. 32 (1975) 209-244
232. D.W.Stroock, S.R.S.Varadhan: Diffusion processes with continuous
coefficients 1, II. Commun. Pure Appl. Math. 22 (1969) 345-400, 479-530
233. D.W.Stroock, S.R.S.Varadhan: Multidimensional diffusion processes.
Springer, Berlin Heidelberg New York (1979)
234. A.F.Taraskin: On the behavior of the likelihood ratio of semimartingales.
Theory Probab. Appl. 29 (1984) 452-464 (Тараскин А.Ф. О поведении
отношения правдоподобия семимартипгалов. Теория вероятн. и ее при-
мен., т. XXIX, N 3, 1984, с. 440-451)
235. A.Touati: Theoremes de limite centrale fonctionnelle poyr les processus de
Markov. Ann. Inst. Henri Poincare (B) 19 (1983) 43-55
236. M.Traki: Existence de solutions d’un probleme de martingale. C.R. Acad.
Sci. Paris, Ser. A, 297 (1983) 353-356
237. I.Vajda: On the /-divergence and singularity of probability measures.
Period. Math. Hung. 2 (1972) 223-234
238. E.Valkeila: Studies in distributional properties of counting processes.
Thesis, Dept Math., Univ, of Helsinki (1984)
239. E.Valkeila, L.Yu.Vostrikova: An integral representation for the Hellinger
distance. To appear in: Math Scand. (1986)
354
240. J.H.Van Schuppen, E.Wong: Transformations of local martingales under a
change of law. Ann. Probab. 2 (1974) 879-888
241. L.Yu.Vostrikova: On necessary and sufficient conditions for convergence of
probability measures in variation. Stochastic Processes Appl. 18 (1984) 99-
112
242. L.Yu.Vostrikova: Functional limit theorems for the likelihood ratio
processes. To appear in: Ann. Univ. Sci. Budap. R. Eotvos Nom. (1987)
243. L.Yu.Vostrikova: On weak convergence of likelihood ratio processes of
general statistical parametric models. To appear in Stochastics (1987)
244. S.Watanabe: On discontinuous additive functionals and Levy measures of
a Markov process. Jap. J. Math. 34 (1964) 53-79
245. W.Whitt: Some useful functions for functional limit theorems. Math. Oper.
Res. 5 (1980) 67-85
246. N.Wiener: Generalized harmonic analysis. Acata Math. 55 (1930) 117-258
247. N.Wiener: Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time
series. Wiley and Sons, New York (1949)
248. T.Yamada, S.Watanabe: On the uniqueness of solutions of stochastic
differential equations. J. Math. Kyoto Univ. 11 (1971) 156-167
249. M.Yor: Representation integrate des martingales de carre integrable. C.R.
Acad. Sci. Paris, Ser. A-B 282 (1976) 899-901
250. K.Yoshida: Functional analysis. Springer, Berlin Heidelberg New York
(1966)
251. V.M.Zolotarev: Theoremes limites pour les sommes de variables aleatoires
independantes qui ne sont pas infinitesimales. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser.
A, 264 (1967) 799-800
252. V.M.Zolotarev: A generalization of the Lindeberg-Feller Theorem. Theory
Probab. Appl. 12 (1967) 608-618 (Золотарев B.M. Обобщение теоремы
Линденберга-Феллера. Теория вероятн. и ее примен., т. XII, N 4, 1967,
с. 666-677)
253. V.M.Zolotarev: Theoremes limites generaux pour les sommes de variables
aleatoires independantes. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A, 270 (1970) 889-902
254. V.M.Zolotarev: Modern theory of summation of independent random
variables. Nauka, Moscow (1986) (Золотарев B.M. Современная теория
суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986)
Указатель обозначений
Классы процессов (Том 1)
А процессы интегрируемой вариации 63
Л+ интегрируемые возрастающие процессы 63
Л1ос процессы локально интегрируемой вариации 63
Л*с локально интегрируемые возрастающие процессы 63
Cioc локальный класс 32
'И2 квадратично интегрируемые мартингалы 35
'Н2ОС локально квадратично интегрируемые мартингалы 36
Н2,с множество непрерывных элементов К2 83
'H2,d множество чисто разрывных элементов И2 83
£ локальные мартингалы, выходящие из нуля 84
М равномерно интегрируемые мартингалы 35
А41ос локальные мартингалы 36
5 семимартингалы 85
Sp специальные семимартингалы 85
Sd d-мерные семимартингалы 134
V процессы ограниченной вариации 60
У+ конечнозначные возрастающие процессы 60
Vd d-мерные процессы ограниченной вариации 134
356
Указатель обозначений
Другие обозначения (Том 1 и Том 2) *
а, а< 128 Gh 365
ас 173 G(«) 152
Ар 68 Фос(д) 128
Аоо 61 Л(а) 313
A(Nj,k) 460 Л°(а) 352
ъд 178 Ап(а) 402
22 Л(0;Р,Р') 326
в.Ю 134 Л(а;Р,Р') 315
C(W) 130 Нх 262
C(W) 130 НХ 62,89
C'(W) 131 Н(Р,Р') 309
C(E) 186 Я(а;Р,Р') 310
Ce,k 460 •W 323
17 i(V-; Р, Р') 325
C(Rd) 449 •°М 351
C(A) 138 •V) 402
c(0> Cij(t) 186 jW 322
cy< 271 j 128
ct 134 J(a) 450
C*(Kd) dACdB 140 62 J(X) kN(t) 483 455
dP'/dP D(Rd), D(Rd), Dt(Rd) 250 448 Lp, £Р(П,^,Р) L\X), Z?OC(X) £(X) 21 91 482
®?(Rd), D(Rd) 448 £(X|P) 482
Dif, Daf 106 Mc, Md 84
E(X|S) 21 M* 256
E(X), Ep(X) 21 JU+(E) 482
C(X) 109 vp 23
£[A(u)] 152 о 26
/♦* 136 6 118
F = (^),>0 22 Ph 215
^OO, PDO— 22 Pt, Pt 249
, _FP, Fp 23 P — lim 160
.Ft 24 . 1OC
25 P' < p, p' < p 250
F~ 58 (P'n)<(pn) 393
Fx 168 (P,n)A(Pn) 393
239 PX 54
Sa 17 P 43
* Курсив относится к страницам из второго тома.
Указатель обозначении
357
»(«)« 179 p 118
Go, Gt 334 P(E) 481
Р 234 Г, Г', Г" 312
Sa 471 218
ST(X, Y) 98 449
Sr(Y) 524 6(a^),6N(a,p) 455
S(H,h\Ph-,v) 217 A* 89
S{H,X\Ph',B,C,v) 228 Д** 93
S(H,X\tt,B,C,v) 232 4>a 318
S(H,XT\P h-,Bt ,CT ,vT) 240 327
sign(z) 429 ^A, ^A 89
ip(a,«) 470 Фр 402
TA 25 Фъ,с,Р 16
Ti(X,u) 483 Л 452
TR 495 (Г|РП) 393
U-X, U • C‘ u 148 д” 120
U(a) 450 дх 124
U(X) 483 ц о Л-1 481
V(a), V'(«) 472 vc 128
Var(4) 62 рт 240
V+ 474 "({0 х А) 191
y+.i 474 Р(Р.Р') 309
w(a,/) 449 9t 240
«w(a,0) 449 И 525
451 т(Н-Х) 97
W 128 (Я.-^.Р) 21
W 129 п 118
W + ц 119 II -||ь. 21
W * (p - i/) 129 II ’ II № 78
(x,Hx) 262 IIP-Р'П. и 428
(|z|2A1)*./ 136 II - 1к 449
X = (Xt)t>0, X(u,t), Xt(u>) 23 III-III 455
X-, Xt- 24 {M,N) 77
ДХ, ДХ, 24 [X,Y] 98
XT 24 78
Xaa 34 < 491
px 54 p —> 90
Xе 88 p n
*(*). X(h) 134 —► £ 439
И«) 313 —> 482
z, zz 309 £(P) ► 484
«’(») a’(s) 470 471 £(Pn) ► 281
as* 473 £(£>|P n) 286
Указатель терминологии
(Том 1 и Том 2)*
Абсолютная непрерывность,
локальная 250
Арцела-Асколи теорема 449-450
Би-меры 187
Броуновское движение (винеров-
ский процесс) 79
Буркхольдера-Дэвиса-Ганди нера-
венства 55
Ведущие члены (в стохастических
дифференциальных урав-
нениях) 234
Версия случайного процесса 24
Вполне недостижимый момент
остановки 50
Вполне недостижимая часть момен-
та остановки 50
Возрастающий обобщенный про-
цесс 290
Возрастающий (неубывающий)
процесс 60
Гауссовский мартингал 186
Гирсанова теорема для локальных
мартингалов 253
Гирсанова теорема для семи-
мартингалов 260
Гирсанова теорема для случайных
мер 256
Дебют (случайного множества) 29,
40
Дискретная характеристика семи-
мартингала 157
Дискретный стохастический базис
38
Диффузионные процессы и диффу-
зионные процессы со скач-
ками 233
Долеан-Дэд экспоненциальная фор-
мула 109
Доминирование отношения между
процессами 72
Донскера теорема ^6
Достижимая часть момента оста-
новки 50
Дуально предсказуемая проекция
случайного процесса 68
Дуально предсказуемая проекция
случайной меры 120
Дуба-Мейера разложение 67
Дуба неравенство 36
Дуба теорема об остановке 35
Дуба теорема сходимости 35
Дуба разложение 75
Закон, распределение 482
Замена времени 159, 452
Замена мер 249-270
Замкнутый относительно останов-
ки класс 32
Инфинитезимальная схема серий 26
Интегрируемый возрастающий
процесс 63
Интенсивность (процесса Пуассо-
на) 71
Инвариантная вероятностная
мера Ц7
Курсив относится к страницам из второго тома.
Указатель терминологии
359
Исчерпывающая последователь-
ность моментов останов-
ки 30-31
Какутани альтернатива 346
Какутани-Хеллингера расстояние
309
Каноническая постановка 231
Каноническая случайная мера 219
Канонический процесс 231
Каноническое пространство 231
Каноническое разложение семимар-
тингала 85
Квадратическая ковариация 98
Квадратическая характеристика
(предсказуемая квадрати-
ческая ковариация, угло-
вая скобка) 77
Квадратическая характеристика 77
Квазинепрерывность слева 52
Класс (D) 36
Класс, определяющий сходимость
481
Колмогорова теорема о трех рядах
163
Компенсатор процесса локально ин-
тегрируемой вариации
68-69
Компенсатор случайной меры 120
Компенсированная сумма скачков
81
Контигу ал ьность 392
Коэффициенты перемешивания 163
Коэффициенты стохастического
дифференциального урав-
нения 235
Критерий плотности Альдуса 495
Z-доминируемость 72
Леви теорема 172
Леви-Хинчина формула 133, 180,
Ле-Кама леммы 398, 399,
Ленгляра свойство доминирования
72
Линдеберга условие 86, 135
Линдеберга условие ’’условное” 135
Линдеберга-Феллера теорема 86,
133, 135
Линейный рост (коэффици-
ентов) 238
Локализующая последовательность
32, 33
Локально ограниченные процессы
32
Локализация 32
Локализации процедура 33
Локальная единственность 240
Локально интегрируемой вариаци-
ей процессы 63
Локально интегрируемые (возра-
стающие) процессы 63
Локально квадратично интегриру-
емый мартингал 36
Локально квадратично интегриру-
емый семимартингал 142
Локально-липшицевы коэффициен-
ты 237
Локально равномерная топология
449
Локальный класс 32
Локальный мартингал 36
Локальный мартингал на [0, Т[ 151
Мажорируемость (сильная) 491
Мартингал 34
Мартингал квадратично интегри-
руемый 35
Мартингал равномерно интегриру-
емый 35
Математическое ожидание 21
Марковский процесс Ц7, 2/7
Мартингальные проблемы (общие)
215
Мартингальные проблемы и семи-
мартингалы 227
Мартингальные проблемы и слу-
чайные меры 216
Мера, связанная со скачками про-
цесса 123
360
Указатель терминологии
Мера со знаком 62
Метод конечномерных распределе-
ний 11
Метрика Прохорова 455
Метрика Скорохода 455
Модифицированная вторая харак-
теристика 138
Модифицированная вторая харак-
теристика семимартинга-
ла 138
Момент достижения 20
Момент остановки 24, 39
Мультивариантный точечный про-
цесс 221
Начальное значение 235
Начальная а-алгебра 215
Начальное условие 215, 236
Неинфинитезимальная схема серий
63
Неклассические теоремы сходимо-
сти 88, 173
Непрерывная справа фильтрация
22
Непрерывная часть возрастающей
функции 173
Непрерывный локальный мартин-
гал 84
Непрерывный слева (cad-continu а
gauche) процесс 23
Непрерывный справа (cad-continu
a droite) процесс 23
Непрерывный справа с пределом
слева (cadlag-continu а
droite avec des limites a
gauche) процесс 23
Неразличимые (неотличимые) слу-
чайные процессы 24
Нормированные независимые оди-
наково распределенные
случайные величины 164
Обобщенное условное математиче-
ское ожидание 21-22
Обобщенный возрастающий про-
цесс 290
Общая пуассоновская мера 126
Обычные условия 22
Однородная пуассоновская мера 126
Однородные процессы с независи-
мыми приращениями 171
Однородный диффузионный про-
цесс 234
"Одноточечный” точечный процесс
165
Оператор остановки 243
Опциональная случайная мера 119
Опциональная функция 118
Опциональный процесс, множест-
во, ^-алгебра 26
Ортогональность локальных мар-
тингалов 80
Ортогональность между мартинга-
лом и случайной мерой
276
” Остановленная” мартингальная
проблема 240
"Остановленный” процесс 24
Относительно компактное множе-
ство 450
Переходное ядро (переходная функ-
ция) 118
Плотное семейство вероятностных
мер 481
Плотность (С-плотность) для про-
цессов 487
Плотность (К-плотность) последо-
вательности случайных
величин 393
Полная асимптотическая раздели-
мость 392-393
Полная вариация меры 428
Полный стохастический базис 22
Польское пространство 449
Пополнение 23
Предвещающая последователь-
ность 48
Указатель терминологии
361
Предсказуемая квадратическая ко-
вариация (квадратиче-
ская характеристика) 17
Предсказуемая а-алгебра 43
Предсказуемая случайная мера 119
Предсказуемое случайное множе-
ство 43
Предсказуемые моменты 44, 58
Предсказуемый компенсатор 68,
120
Предсказуемый компенсатор (ду-
ально предсказуемая про-
екция) процесса 68
Предсказуемый компенсатор (ду-
ально предсказуемая про-
екция) случайной меры
120
Предсказуемый носитель случайно-
го множества 56
Пренебрежимое случайное множе-
ство 24
Принцип инвариантности 123-135
Проекция локального мартингала
на непрерывный локаль-
ный мартингал 274
Проекция локального мартингала
на случайную меру 275
Производная Радона-Никодима 250
Прохорова теорема 481
Процесс 23
Процесс-интеграл 62, 74, 89, 119
Процесс Кокса 209
Процесс с Ti-условно независимы-
ми приращениями 206
Процессы с интегрируемой вариа-
цией 63
Процессы скачков 104
Процесс, остановленный в момент
Т 24
Процесс плотности 250
Процессы с независимыми прира-
щениями 171
Процесс со значениями в Е 23
Пространство Блэкуэлла 117
Процесс-вариация 61
Процесс с условно независимыми
приращениями 206
Процесс с независимыми прираще-
ниями 171
Процесс со стационарными незави-
симыми приращениями
171
Процессы ограниченной вариации
60
Пуассоновская случайная мера 126
Пуассоновский процесс 70
P-а-конечность 119
Равномерная интегрируемость 393
Равномерно интегрируемый мар-
тингал 35
Радона-Никодима производная 250
Разделимость (полная асимптоти-
ческая) 392
Разложение Жордана-Хана 428
Разложения локального мартинга-
ла 83, 84
Распределение (случайной величи-
ны, процесса) 482
Расстояние по вариации 428
Регулярное условное распределение
118
Решение-мера (слабое решение) 235
Решение-процесс (сильное реше-
ние) 235
Риманова последовательность раз-
биений 97
Риманова г-аппроксимация 97
Я-плотная последовательность 393
Свойство локально равномерной не-
прерывности 220
Свойство мажорируемости 220
Свойство непрерывности в смысле
Скорохода 220
Свойство представления (локально-
го мартингала) 286
Сдвиг 240,
Семимартингал 85
362
Указатель терминологии
Семимартингальная схема серий 117
Семимартингалы независимые оди-
наково распределенные IjO
Сепарабельная а-алгебр а 118
Сильная мажорируемость 491
Сильное решение (решение-про-
цесс) 235
Скачок на бесконечность 290
Скорохода пространство 448
Скорохода топология 448
Слабое решение (решение-мера)
235
Случайная мера 117
Случайная мера опциональная 119
Случайная мера предсказуемая 119
Случайная мера, связанная со скач-
ками процесса 124
Случайная мера Р-а-конечная 119
Случайное множество 23
Согласованные разбиения 97
Согласованный возрастающий про-
цесс 60
Согласованный процесс ограничен-
ной вариации 60
Согласованный (с фильтрацией)
процесс 26, 39
Специальный семимартингал 85
С-плотность 487
Стандартный винеровский процесс
79
Стандартный процесс Пуассона 71
Статистический принцип инвари-
антности 320
Стационарный процесс 153, 196
Стохастические интервалы 28
Стохастический базис 22
Стохастический интеграл по непре-
рывному локальному мар-
тингалу 270 7
Стохастический интеграл по семи-
мартингалу 89
Стохастический интеграл по слу-
чайной мере 127
Строгий момент остановки 239
Ступенчатые (чисто скачкообраз-
ные) марковские процес-
сы 252
Субмартингал 34
Супермартингал 34
Схема серий 25, 117
Сходимость конечномерных рас-
пределений на D 484
Сходимость к смесям процессов с
независимыми прира-
щениями 176
Сходимость по распределению 482
Сходимость с перемешиванием 195
Считающие функции 474
Теорема о предсказуемом сечении
47
Теорема о представлении для ви-
неровского процесса 285
Теорема о представлении для
(мультивариантных) то-
чечных процессов 287
Теорема о представлении для
(условных) процессов с
независимыми прира-
щениями 286
Теорема о представлении локаль-
ного мартингала (относи-
тельно семимартингала)
279
Теорема о представлении локаль-
ного мартингала (относи-
тельно случайной меры)
287
Теорема о трех рядах 164
Тонкое случайное множество 30
Топология Ji 447
Точечный процесс 70
Траектория процесса 23
Тривиальный (локальный) мартин-
гал 280
Троттера-Като теорема 211
Угловая скобка 77
Условия вложенности
Указатель терминологии
363
Условная независимость 206
Условное математическое ожида-
ние 21
Условное математическое ожида-
ние по мере ЛГд 256
Устойчивая сходимость 185
Факторизационное свойство 219
Фильтрация 22, 38
Фильтрация, порожденная процес-
сом 166, 167
Фильтрация, порожденная X и Я
231
Формула Ито 106
Функциональная центральная пре-
дельная теорема(принцип
инвариантности) 123-139
Функция урезания h = Л(х) 133
У 0 -измеримость 27
Характеристики общего процесса
с независимыми прираще-
ниями 190
Характеристики семимартингала
134-135
Хеллингера интеграл 309
Хеллингера интеграл порядка а 310
Хеллингера процесс порядка а 315
Хеллингера процесс в узком смы-
сле порядка a 315
Хеллингера процесс порядка 0 326
Центральная предельная теоре-
ма 123
Чисто разрывная (мартингальная)
часть локального мартин-
гала 84
Чисто разрывный локальный мар-
тингал 80, 84
Экспонента процесса 109
Экспоненциальное семейство сто-
хастических процессов 307
Эмпирический процесс 168
Предметный указатель
Процессы плотности (отношение правдоподобия, производная Радона-
Никодима)
Определение 250
Основные свойства, явное вычисление 250-253, 288-306
Гирсанова теорема 253-267
Плотность и процессы Хеллингера 312-332
Абсолютная непрерывность, сингулярность 333-347
Плотность и контигу ал ьность 400-419
Предельные теоремы для процессов плотности 280-318
Диффузионные процессы. Обобщенные диффузионные процессы
Определение диффузионных процессов (возможно со скачками) 233
Связи со стохастическими дифференциальными уравнениями 234-239
Обобщенные диффузионные процессы 303
Процесс плотности для обобщенных диффузионных процессов (по отно-
шению к винеровскому процессу) 303
Вычисление процесса Хеллингера, абсолютная непрерывность и сингу-
лярность 377-379
Критерии контигуальности 421-422
Сходимость по вариации 445-446
Конструкция некоторых диффузионных процессов 219
Предельные теоремы 247
Сходимость эмпирических распределений к броуновскому Мосту 255
Дискретное время
Основные определения и свойства, связь с непрерывным временем 38-43,
57-60, 74-76, 113-115
Случайные меры, дискретные характеристики 157-158
Семимартингалы, связанные со случайными последовательностями 158-
165
Эмпирические процессы 168-171, 442-443,
Процесс плотности 267-269
Процессы Хеллингера 328-332
Абсолютная непрерывность и сингулярность 344-347
Предметный указатель
365
Контигуальность 415-419
Предельные теоремы для схемы серий 25-34, 63-14, 86-88, 117-119,
135-136
Нормированные суммы случайных величин 48, 151, 162
Сходимость процессов плотностей 287
Сходимость конечномерных распределений
Определение 484
Некоторые связи с функциональной сходимостью 492
Метод, основанный на конечномерной сходимости 14
Результаты относительно конечномерной сходимости 15-41, 74-79,
86-87, 94-96, 105-114, 119-120, 153, 162, 171, 172, 175, 178, 191, 194
Конечномерная сходимость процессов плотности 284-285, 311-312
Марковские процессы
Диффузионные процессы 233
Предельные теоремы для функционалов от марковских процессов 147-152
Общие вопросы предельных теорем для марковских процессов 210-211
Предельные теоремы для диффузионных процессов 247-251
Ступенчатые марковские процессы 252-255
Точечные процессы и мультцвариантные точечные процессы
Определение точечных процессов и процессов Пуассона 70-72
Пуассоновские случайные меры 126, 173
’’Одноточечный” точечный процесс 165
Эмпирические процессы 168
Мультивариантный точечный процесс, определение 221
Теоремы о представлении для мартингалов 285
Явное вычисление компенсатора 219-227
Явное вычисление процесса плотности 305-306
Явное вычисление процесса Хеллингера 374-377
Абсолютная непрерывность 374-377
Контигуальность 419-420
Расстояние по вариации 440
Конечномерная сходимость для точечных процессов 492
Сходимость процессов Пуассона 10-15
Сходимость процессов плотности для точечных процессов 318-320
Процессы с независимыми приращениями
Определение 171
Характеристики процессов с независимыми приращениями, являющихся
семимартингалами 178-186
Характеристики общих процессов с независимыми приращениями 189-
205
Процессы с условно независимыми приращениями 206-212
Процессы Кокса 209
366
Предметный указатель
Процессы с независимыми приращениями и проблемы мартингалов 231-
232
Процессы плотности 301-302
Процессы Хеллингера, абсолютная непрерывность и сингулярность 380-
390
Контигуальность 422-427
Сходимость процессов с независимыми приращениями гл. VII
Сходимость к процессу с независимыми приращениями гл. VIII
Сходимость логарифма отношения правдоподобия к процессу с независи-
мыми приращениями 307-320
Указатель условий в
предельных теоремах
(Том 2)
[Л], Ы, [М 18 [Sup - ft] 119
[ft], Н] 21 [ft - 0], [77 - 0]. [«7,i - 0] 210
[ft], Ы, [«2.4 27-28 W-0] 238
WL W] 28 [77 - R+], [«?] 258
W\, W'] 87 [Sup - ft], [Sup - 77], [Sup - ft,i] 219
[тз], [«2] 30 [Sup-ft] 238
[ft-0],[73-0],[«3.i-0] 36 [Sk — ft], [Sk — 77], [Sk — 67,1],
[ft - 0], н - 0] 41 [Sk-ftrft] 227
[Sup - ft], [Sup - 73], [Sup - ft>c], [Т)ос - 0], [«loc - 0] 242
[Sup - 63, i] 42 [Sup-AU^c-0] 247
[Sup - ft], [Sup - 73] 44 [Var — ft, [Var — 7], [Var — в] 267
[Sk - ft], [Sk - 63..], [Var - ft', [Var - 7]', [Var - ft' 275
[Sk —Д7«з] 42 [Xfty—£], [X«i -£] 209
[«3,1 - 0] 47 [Sk-Xfty], [Sk-Xft 218
[ft]. [74]. [«4,»] 64-65 [ft], [ft], [Ci], [0i] 89
[Л] 65 [ft], [Bi'], [СП, [0[] 93
[74], [«4] 67 [ft - 0], [02 - 0], [Ca - 0],
[fib ~ 0], [78 ~ 0], [«8,i - P] 109 [02 - 0] 95
W - 0], M-0] 113 [Aj-0],[05-0],[Cj-0],
[78 - 0], [«8 - 0] 124 [0J - 0] 96
[ft-0] 129 [62-0] 96
[Sup - ft], [Sup - 75], [Sk-Ca] 97
[Sup - 65, ,] 110 [<% - 0] 101
[Sup - ft], [Sup - 7s] 115 [Аз - 0], [03 - 0], [C3 - 0],
[Var-ft] 130 [C3 - 0], [0з - 0] 174
[Var' —ft] 132 [AJ - D], [05 - 0], [C5 - 0],
[Sk-ft], [Sk-fti], [Cj-0],[05-0] 175
[Sk-/?7«8] 167 [Z-0] 285
[«8,1 - 0] 168 [01 - 0] 301
[ft], [7e]. [«e.i] 118 [0-0] 285
[7e - 0], [ft.i - 0] 119 [b« - 0] 311
[7e - 0]. [tf " 0]. [«e - 0] 136
Перевод на русский язык осуществлен
с английского издания монографии
Jean Jacod
Albert N. Shiryaev
Limit Theorems
for Stochastic Processes
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg
New York Landon
Paris Tokyo
1987