/
Автор: Трубецкова С.В.
Теги: теория света лесное хозяйство лесохозяйственные науки физика учебное пособие
ISBN: 5-9221-0617-1
Год: 2005
Текст
УДК 535.12@75)
ББК 433.7
Т77
Трубецкова С. В. Физика. Ч. 7, 8. Колебания и волны.
Геометрическая и волновая оптика. Вопросы — ответы. Задачи
— решения. - Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с. -
ISBN 5-9221-0617-1.
Представлены седьмая и восьмая части серии методических реко-
рекомендаций к решению задач по физике. Рассмотрены механические и
электрические колебания, основы волновой и геометрической оптики.
Пособие является дополнением к основному учебнику физики. Приве-
Приведены примеры типовых задач, к которым даны подробные решения.
Для учащихся лицеев, колледжей и гимназий с углубленным изу-
изучением естественных наук. Пособие может быть использовано для
самостоятельной подготовки к экзаменам в вузы, а также к единому
государственному экзамену.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0617-1 © СВ. Трубецкова, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................... 4
Часть VII. Колебания и волны.................................. 5
1. Механические колебания и волны ................................ 6
Содержание теоретического материала............................ 6
Вопросы к теоретическому материалу ........................... 6
Ответы............................................................. 10
Основные формулы ............................................... 33
Методика решения задач ......................................... 34
Примеры решения задач .......................................... 44
2. Электромагнитные колебания и волны .......................... 61
Содержание теоретического материала........................... 61
Контрольные вопросы............................................. 61
Ответы............................................................. 63
Основные формулы ............................................... 88
Методика решения задач ......................................... 91
Примеры решения задач .......................................... 95
3. Задачи для самостоятельного решения ........................... 108
Гармонические колебания материальной точки ................... 108
Математический и пружинный маятники........................ 115
Механические волны. Звук ........................................ 126
Электромагнитные колебания ..................................... 128
Переменный ток ................................................... 134
Цепи переменного тока с активным,
ёмкостным и индуктивным сопротивлениями .................... 138
Трансформатор. Передача и распределение энергии ............... 144
Ответы............................................................. 150
Часть VIII. Геометрическая и волновая оптика .............. 159
1. Геометрическая оптика ............................................ 160
Содержание теоретического материала ........................... 160
Контрольные вопросы ............................................. 160
Ответы............................................................. 164
Основные формулы................................................ 188
Методика решения задач .......................................... 189
Примеры решения задач .......................................... 200
2. Волновая оптика................................................... 224
Содержание теоретического материала ........................... 224
Контрольные вопросы ............................................. 224
Ответы............................................................. 225
Основные формулы................................................ 243
Методика решения задач .......................................... 244
Примеры решения задач .......................................... 248
3. Задачи для самостоятельного решения ........................... 255
Прямолинейность распространения света ......................... 255
Законы отражения. Плоское зеркало ............................. 256
Законы преломления............................................... 259
Собирающие и рассеивающие линзы.............................. 268
Волновая оптика................................................... 283
Ответы............................................................. 291
Приложение............................................................ 298
Список литературы .................................................... 300
Предисловие
В этой книге представлены седьмая и восьмая части серии
методических рекомендаций СВ. Трубецковой к решению задач
по школьному курсу физики. Ранее вышли следующие части:
«Кинематика материальной точки», «Динамика материальной
точки», «Элементы статики твердого тела и гидростатики», «Ос™
новы молекулярной физики и термодинамики», «Электростати-
«Электростатика», «Электродинамика и магнетизм».
В книге рассмотрены механические и электромагнитные
колебания, выделены общие закономерности в колебательных
процессах разной природы, уделено внимание механизму обра™
зования волн. Разделы об электромагнитных колебаниях и
волнах естественно приводят к рассмотрению электромагнитной
природы света и изложению основ оптики волновой (физической)
и лучевой (геометрической). Элементы теории представлены в
форме вопросов и ответов.
Методическое пособие не заменяет учебника, а дополняет его
в некоторых вопросах. Основное в пособии — методика решения
типовых задач и примеры их решения в соответствии с методи-
методикой. Большой набор задач для самостоятельного решения разной
степени трудности позволяет использовать настоящее пособие
для составления учителем вариантов контрольных заданий, для
работы в классе под руководством учителя и самостоятельной
работы учеников дома.
Часть VII
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Содержание теоретического материала.
Механические колебания. Гармонические колебания. Пру-
Пружинный и математический маятники. Условия, необходимые для
возникновения и поддержания колебаний. Параметры колеба-
колебательного движения. Свободные и вынужденные колебания.
Резонанс.
Контрольные вопросы
1.1. Какие процессы называются колебаниями?
1.2. Какие колебания называются периодическими?
1.3. Какие колебания называются механическими?
1.4. Как происходят колебания пружинного маятника?
1.5. Какие преобразования энергии происходят при колеба-
ниях пружинного маятника?
1.6. Что называется математическим маятником? Как про-
происходят его колебания?
1.7. Каково направление равнодействующей сил, действую™
щих на груз математического маятника в моменты, когда этот
груз а) находится в крайних положениях, б) проходит через
положение равновесия?
1.8. Какие преобразования энергии происходят при движе-
движениях математического маятника?
1.9. Исходя из описания процессов, происходящих в пружин-
пружинном и математическом маятниках, сформулируйте общие законо™
мерности и условия, при которых происходят колебания.
1.10. Дайте определения основных параметров колебаний:
период, частота (и связь между ними), амплитуда, смещение.
1.11. Проведя аналогию между вращательным и колебатель-
колебательным движениями материальной точки, получите формулу зави™
симости величины смещения от времени.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.12. Что называется фазой колебательного движения?
1.13. Нарисуйте график зависимости смещения колеблю™
щейся точки от фазы колебания out.
1.14. Запишите уравнение для собственных колебаний, ие~
пользуя второй закон Ньютона, без учета потерь.
1.15. Какие колебания называются гармоническими?
1.16. Напишите формулы, определяющие период колебаний
пружинного и математического маятников.
1.17. Является ли движение материального тела при гармо-
гармонических колебаниях равнопеременным?
1.18. Получите формулы зависимости скорости и ускорения
от времени при гармонических колебаниях.
1.19. Что такое начальная фаза колебаний?
1.20. Какова наименьшая разность фаз колебаний маятни-
маятников, изображенных на рис. VII. 1а, б. Смещение каждого маят™
ника на рисунках равно амплитуде. Сохранится ли со временем
разность фаз неизменной для обоих случаев?
Рис. VII.1
1.21. Два пружинных маятника колеблются по вертикали
с одинаковыми периодами. Второй маятник начинает колебаться
с опозданием а) на два периода; б) на половину периода. Что
можно сказать о направлениях скоростей этих маятников отно-
относительно друг друга в любой момент времени?
1.22. Какие колебания называются свободными?
1.23. Какие колебания являются затухающими?
1.24. Какие колебания называются вынужденными?
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.25. В чем заключается явление, называемое резонансом?
1.26. Чем объясняется резкое возрастание амплитуды вы-
вынужденных колебаний при резонансе?
1.27. Чему равна разность фаз между гармоническими ко-
колебаниями вынуждающей силы и смещением при резонансе?
1.28. Если вы несете воду в ведре, то она может начать
сильно расплескиваться. Если сменить темп ходьбы, то расплес™
кивание уменьшится или прекратится. Почему это происходит?
1.29. На горизонтальную каменную плиту вертикально
падает стальной шарик и упруго отскакивает от нее, затем снова
падает, отскакивает и т.д. Можно ли считать движения шарика
гармоническими колебаниями?
1.30. Для какой цели «чечевица» маятника часов не закреп™
ляется неподвижно на его стержне, а надевается на него так, что
ее можно перемещать по этому стержню вверх-вниз и закреплять
на любой высоте?
1.31. Как будет изменяться ход маятниковых часов при на-
наступлении летних жарких дней по сравнению с холодными зим™
ними днями, если часы установлены в неутепленном помещении?
Стержень маятника металлический.
1.32. Как будут идти на полюсе и на экваторе маятниковые
часы, установленные точно в Москве?
1.33. Изменится ли период колебаний качелей, если вместо
одного человека на качели сядут двое?
1.34. Как возникают и распространяются механические волны?
1.35. Какие волны называют поперечными, какие — про™
дольными?
1.36. Рассмотрите подробно процесс возникновения попереч™
ных волн.
1.37. а) В бегущей поперечной волне частица А имеет на-
направление скорости, указанное на рис. VII.2. В каком направле™
нии движется волна?
б) На рис. VI 1.3 изображено расположение точек, участвую-
участвующих в волновом движении в некоторый момент времени. Каковы
направления векторов мгновенных скоростей точек Л, U, С и D
в рассматриваемый момент времени?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Рис. VII.2
1.38. Что такое длина волны и как вычислить скорость
распространения волны?
1.39. Рассмотрите подробно процесс возникновения про-
продольных волн.
1.40. Каков характер движения частиц при распространении
волны в среде?
1.41. Описывая свойства механических волн, мы говорим о
двух видах движения: движении частиц среды и движении волны.
Постоянны ли скорости этих двух видов движений в однородной
среде?
1.42. Какие волны называются сферическими, какие
плоскими?
1.43. Что собой представляет звук? Какова его физическая
природа?
1.44. Один камертон при колебании издает высокий звук,
другой — низкий. Нарисуйте графики колебаний частиц среды
для обоих случаев.
1.45. Один раз камертон издает тихий звук, другой раз
тот же камертон звучит громче. Нарисуйте графики колебаний
частиц среды для обоих случаев.
1.46. Два звука одинаковой громкости и высоты отличаются
по тембру. Как различаются графики колебаний частиц среды
при распространении звуков?
1.47. При полете большинство насекомых издают звук. Чем
он вызывается?
1.48. Оцените диапазон длин звуковых волн, считая, что сю>
рость звука в воздухе при нормальном давлении и 20 °С равна
343 м/с.
1.49. Как происходит отражение звука от преград?
1.50. Какое физическое явление лежит в основе метода гид™
ролокации?
10
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Ответы
1.1. Колебаниями называются движения или любые измене™
ния в состоянии системы, которые повторяются через некоторые
промежутки времени. Можно говорить не только о колебаниях
при движении тел, но также и о колебаниях любых физических
величин, характеризующих состояние систем тел: колебаниях
температуры, давления, размеров, концентрации химических ве™
ществ и пр.
1.2. Колебания называются периодическими, если значения
физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, по™
вторяются через равные промежутки времени.
1.3. При механических колебаниях тело (или материальная
точка) периодически изменяет свое положение, причем оно дви-
движется по некоторой траектории поочередно в двух противопо-
противоположных направлениях относительно положения наиболее устой™
чивого равновесия.
1.4. Пружинный маятник
(рис. VI 1.4 а) представляет
собой массивный шар, просвер-
просверленный по диаметру и надетый
на горизонтальный стержень.
Сила трения при движении
шара по стержню мала, а сила
тяжести шара компенсируется
силой реакции со стороны
стержня. Стержень закреплен
между двумя вертикальными
опорами. К шару одним
концом прикреплена пружина,
другой конец которой закреп™
лен на опоре. Если пружина не
деформирована, то шар нахо-
находится в положении равновесия.
При смещении шарика (напри-
(например, вправо) на расстояние
х\ от положения равновесия
(рис. VII.4 б) со стороны дефор-
Рис. VII.4
мированной пружины на шар начнет действовать сила упругости
F\. По закону Гука модуль упругой силы пропорционален удлине-
ОТВЕТЫ 11
нию пружины х. Сила упругости всегда направлена в сторо
ну, противоположную направлению деформации: F = —кх, к —
жесткость пружины, х — величина удлинения (или деформации).
Под действием этой силы шарик движется к точке равновесия,
при этом его скорость увеличивается. В положении равновесия
(рис. VII.4e) сила упругости равна нулю (т. к. х = 0), но благо-
благодаря инерции шарик проходит эту точку и начинает двигаться
влево, сжимая пружину (рис. УО.4г). Возникшая при этом сила
упругости F<i (x2 < х±) опять направлена в сторону к точке
равновесия О, против направления скорости, поэтому на этом
участке пути движение шарика замедленное. В некоторой точке
шар на мгновение остановится, после чего под действием силы
F$ начнет ускоренно двигаться опять к положению равновесия.
Вновь пройдя точку О по инерции, шар, сжимая пружину, замед™
ленно дойдет до правой крайней точки, то есть совершит одно
полное колебание. Если трение мало, то значения наибольшего
смещения вправо и влево одинаковы. Далее движения шарика
будут повторяться. Из рис. VI 1.4 видно, что сила упругости при
колебаниях маятника всегда направлена к положению равнове™
сия, поэтому ее можно назвать возвращающей силой.
Подобным же образом ведет себя вертикальный пружинный
маятник.
1.5. Сжатая пружина обладает потенциальной энергией
упругого взаимодействия ее витков, которая равна Wn =
= кх2/2. По мере уменьшения величины деформации х
значение потенциальной энергии пружины (а, следовательно,
и потенциальной энергии связанного с ней шара) убывает, но
возрастает скорость и, соответственно, кинетическая энергия
шарика (WK = mv2/2). В положении равновесия потенциальная
энергия равна нулю (т.к. х = 0), а кинетическая энергия
максимальна. При дальнейшем движении тела, связанного с
пружиной, его скорость уменьшается, а пружина сжимается.
Теперь кинетическая энергия превращается в потенциальную.
В крайнем положении шарика его скорость равна 0 и WK = 0,
a Wn — максимальна. Следовательно, происходит попеременное
превращение потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.
Полная механическая энергия пружинного маятника равна
сумме его кинетической и потенциальной энергий:
12
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.6. Математический маятник представляет собой тяжелый
шарик, подвешенный на длинной нити, при условиях: 1) разме-
размеры шарика малы по сравнению с длиной нити, и шарик мож-
можно рассматривать как материальную точку; 2) нить невесома
и нерастяжима; 3) всеми процессами, приводящими к потерям,
пренебрегаем.
На шарик действуют сила тяжести FT = mg и сила упругого
натяжения нити FH. Если маятник покоится, то в положении рав-
равновесия (рис. VI 1.5 а) эти силы компенсируют друг друга. Если
математический маятник отклонить от положения равновесия и
отпустить, то он будет совершать колебания, двигаясь по дуге
окружности, радиус которой равен длине нити.
FTjf
a
Рис. VII.5
При отклонении маятника (например, вправо — рис. VI 1.5 б)
сила тяжести и сила натяжения нити уже не компенсируют друг
друга. Силу тяжести FT можно разложить на две составляющие
ОТВЕТЫ 13
силы: FTi — направлена вдоль касательной к траектории (тан™
генциальная составляющая), FT2 — направлена вдоль нити (нор-
(нормальная составляющая). FTi и FT2 взаимно перпендикулярны.
Тангенциальная составляющая FT\ в каждой точке траектории
параллельна вектору скорости, поэтому она изменяет величину
скорости движения тела вдоль траектории. Кроме того, вектор
FT\ всегда направлен к положению равновесия, поэтому именно
FTi вызывает колебания математического маятника.
Результирующая силы FT2 и силы упругости нити FH при
движении маятника направлена вдоль нити и перпендикулярна
вектору скорости. Поэтому она не изменяет модуля скорости, а
изменяет направление вектора скорости. Результирующая ука™
занных сил заставляет тело двигаться по дуге окружности, то
есть является центростремительной силой.
При движении шарика к положению равновесия составляю™
щая FT\ направлена вдоль вектора скорости, поэтому движение
ускоренное. Если же шарик движется от положения равновесия,
то составляющая FT\ будет уже направлена противоположно
направлению вектора скорости, и шарик будет двигаться за-
замедленно (рис. VI 1.5 б, г). В левом крайнем положении шарик
на мгновение остановится. Затем начнет двигаться в обратном
направлении к положению равновесия ускоренно, так как на этом
этапе движения направления векторов v и FT\ совпадают. Вновь
пройдя положение равновесия по инерции (рис. VI 1.5 (?), маятник
замедленно дойдет до исходного положения (рис. VII.5e). При
этом совершено одно полное колебание, а далее движения маят-
ника повторяются в описанной последовательности.
Из рис. VII.5 б видно, что FT\ = i^Tsina, a — угол отклонения
подвеса маятника от вертикали. Для угла а можно записать, что
sin а = ж/1, х — смещение маятника от положения равновесия,
I — длина подвеса. Поэтому для FT\ можно записать формулу
FTi = mgx/l.
Из вышесказанного видно, что роль силы FT\ для математи-
математического маятника подобна роли силы упругости для пружинного
маятника: направлена сила FT\ в каждой точке траектории к по-
положению равновесия, и модуль силы пропорционален смещению
х. Такие силы называют квазиупругими. Они также играют роль
возвращающей (к положению равновесия) силы.
1.7. Когда груз находится в крайних положениях, равно™
действующая сила действует вдоль касательной к траектории
14 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
и направлена к положению равновесия. Во втором случае она
направлена к точке подвеса маятника.
1.8. Если математический маятник отклонить от положения
равновесия, то при этом увеличится его потенциальная энер™
гия гравитационного взаимодействия с Землей. Если за нулевой
уровень потенциальной энергии принять уровень его положения
равновесия, то в отклоненном положении он будет обладать
потенциальной энергией Wn = mgh ( h — высота подъема
маятника относительно нуле-
нулевого уровня потенциальной
энергии — рис. VII.6). Если
отпустить маятник, то при
его движении потенциальная
энергия убывает, а кинети™
ческая WK — возрастает. В
положении равновесия Wn = О,
a WK — максимальна. После
прохождения средней точки
Рис. VII.6 скорость, и, соответственно,
WK уменьшаются, шарик
поднимается вдоль дуги и увеличивается Wn. В точке наи-
наивысшего подъема шарик на мгновение останавливается, поэтому
кинетическая энергия становится равной нулю, а потенциальная
максимальна. Далее процесс повторяется.
Таким образом, в математическом маятнике, так же, как и в
пружинном, происходят преобразования потенциальной энергии
в кинетическую и наоборот — в соответствии с законом сохра-
нения механической энергии. Полная механическая энергия
W | математического маятника
в каждой точке равна
о
ТП 1)
\ / \
/.
/ **
/ *%*
V *»L*#
#*
»*
\
\
\
/
IV
./
\
\ /
\ /
V
л
/ \
\
л
Если трение при движении
математического маятника
Т/4 Т/3 ЗТ/4 Т 5Т/4 t ^^ TQ пшшая механиче.
полная механическая энергия екая энергия ДОЛГО остается
кинетическая энергия неизменной, а слагаемые Wn
и WK попеременно уменьша-
потенциальная энергия л ^ J
ются и увеличиваются. Это
Рис. VII.7 представлено на рис. VII.7,
ОТВЕТЫ 15
где изображены изменения во времени потенциальной, кинетиче-
кинетической и полной энергий маятника. Подобный график справедлив
и для пружинного маятника.
1.9. Колебания в математическом и пружинном маятниках
начинались с того, что деформировали пружину или отклоняли
шарик (сообщали потенциальную энергию). Колебания также бу~
дут происходить, если материальное тело маятника подтолкнуть,
то есть сообщить кинетическую энергию. Таким образом, можно
сформулировать первое условие:
1. Наличие некоторого начального запаса энергии у матери-
материальной точки.
В пружинном и математическом маятниках действуют силы,
все время направленные к положению равновесия — возвраща™
ющие силы. В случае пружинного маятника это упругая сила,
у математического маятника — тангенциальная составляющая
силы тяжести. Сравнивая формулы для этих сил (F = ^кх и
F = —mgx/l)^ легко увидеть их сходство: обе силы направлены
в сторону, противоположную смещению тела — этому соответ™
ствует знак « —»; обе силы пропорциональны смещению ж; коэф-
коэффициенты пропорциональности к и (mgfl) зависят от свойств
маятников. Для случая математического маятника возвращаю™
щую силу можно назвать квазиупругой (подобной упругой) г\
Исходя из вышесказанного, второе необходимое для колеба-
колебательного движения условие следующее:
2. Действие на материальную точку возвращающей силы.
Если бы тело, связанное с пружиной или нитью подвеса, было
очень легким, то в положении равновесия, когда квазиупругая
сила равна нулю, оно могло остановиться. Поэтому третье уело™
вие состоит в следующем:
3. Наличие инерции у колеблющегося тела.
Очевидно и то, что полученная материальной точкой энергия
при смещении из положения равновесия не должна полностью
расходоваться на преодоление сопротивления внутри колеблю™
щейся системы, когда тело возвращается в положение равнове-
равновесия. Поэтому можно отметить последнее условие:
' Квазиупругими силами могут быть силы разной природы: при колеба-
колебаниях поплавка на поверхности воды это равнодействующая силы Архимеда
и силы тяжести, при вертикальном пружинном маятнике — равнодейству-
равнодействующая силы тяжести и упругости подвеса, при колебании зарядов — силы
электрической природы и т.п.
16 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4. Потери энергии при колебаниях маятника должны быть
пренебрежимо малы.
1.10. Время, за которое совершается одно полное колебание,
называется периодом. Обозначается так же, как и при рассмот™
рении движения тела по окружности буквой Т, измеряется в
секундах (СИ).
Число колебаний, совершаемых телом за 1 с, называется ча-
частотой. Обозначается частота — <ш». Единица измерения частоты
— герц (Гц). 1 Гц — частота, при которой за 1 с тело совершает
одно полное колебание.
Используются кратные единицы частоты:
1 килогерц (кГц)=103 Гц;
1 мегагерц (МГц)=106 Гц.
Если за время t маятник совершил п колебаний, то период и
частоту можно вычислить следующим образом:
т = ^ „ = ?.
П t
Из сравнения этих формул можно записать связь между Т и и:
V
Максимальное смещение колеблющегося тела от положения
равновесия называется амплитудой колебания. Обозначим ам-
амплитуду — xmj измеряется она в метрах (а также других кратных
и дольных единицах метра). Если речь идет о колебаниях каких-
либо других физических величин (например, давления, темпера™
туры, напряжения и т.п.), то амплитуда измеряется в единицах,
соответствующих данной величине.
Отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в
данный момент времени называется смещением. Значение сме-
щения меняется от нуля до значения амплитуды.
1.11. Пусть материальная точка равномерно движется по
окружности в направлении, указанном стрелкой (рис. VII.8a),
из точки М.
За период материальная точка совершит один полный
оборот, причем радиус, связанный с вращающейся точкой,
поворачивается на угол у>, меняющийся от 0° до 360° (от 0 до 2тг
радиан). Разделим период на 8 равных частей и на рис. VII.8 а от™
метим цифрами соответствующие положения материальной точ-
точки. Нарисуем ось координат Ож, параллельную вертикальному
ОТВЕТЫ
17
N 2
Рис. VII.8
диаметру окружности; начало координат совместим с проекцией
материальной точки в начальный момент времени (рис. VII.8 6).
Далее, опуская перпендикуляры на ось Ох из точек 0, 1, 2,... ,8,
отметим положение проекций (или значения координат) враща-
вращающейся точки в моменты времени tg = О, t\ = Т/8, t<i = 2T/8 =
= Т/4, t3 = ЗТ/8, t4 = 4Т/8 = Т/2, % = 5Т/8, Ц = 6Т/8 =
= ЗТ/4, t7 = 7Т/8, *8 = 8Т/8 = Т. Значения координат обозна™
чены соответствующими индексами: жо,жъЖ2,... 'Ж8- Для того,
чтобы более наглядно увидеть, как меняется с течением времени
значение координаты вращающейся точки, надо построить ось
абсцисс и отметить на ней зафиксированные моменты времени:
0, Т/8, Т/4,... , Т. Найдем точки пересечения оси абсцисс с со-
соответствующими ординатами и соединим их (см. внимательно
рис. VII.8 6). Получили график зависимости от времени коор™
динаты точки, движущейся по окружности х = f(t). Графиком
оказалась синусоида. Действительно, если ср — угол между ра-
радиусом, связанным с вращающейся материальной точкой и гори-
горизонтальным диаметром, то в любом положении точки координата
ее проекции равна
х = xi
где хт — радиус окружности, а для колебательного движения
это амплитуда. Амплитуда равна величине хт = \Ох2\ = |Ожб|-
Если движение материальной точки начнется (при t = 0) из
точки JV, то график зависимости x(t) будет представлять собой
косинусоиду и формула для ординаты будет следующая:
X = Жт COS С/9.
2 С. В. Трубецкова
18 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Постройте график для этого случая самостоятельно, подобно
тому, как построен график на рис. VI 1.8 б.
Из вышесказанного следует, что проекция на ось Ох точки,
движущейся равномерно по окружности, совершает колебатель™
ное движение около точки О: проекция материальной точки
отклоняется поочередно то в одну, то в другую сторону от точки
О на одинаковое расстояние, равное радиусу окружности (вни-
(внимательно посмотрите, как последовательно меняется положение
точек жо, #i,--- , xg на рис. VII.8 б).
При выбранном расположении оси Охи начала координат
значение ординаты проекции вращающейся точки равно значе™
нию смещения от средней точки О.
Выявленная аналогия между вращательным и колебатель-
колебательным движениями позволяет использовать полученные выше со™
отношения для описания колебательного движения.
Для характеристики вращательного движения материальной
точки была введена угловая скорость ш:
ср — угол поворота радиуса, связанного с вращающейся точкой,
за время t. Используя эту формулу, можно записать выражение
для смещения от положения равновесия в виде
х = xmsinujt или х = xmcosu)t.
Величина ш при использовании ее для описания колебательного
движения называется круговой или циклической частотой коле™
бания. Она связана с периодом Т и частотой и так же, как и в
формулах вращательного движения:
ш = —; ш = 2тти.
М=Рад/с или 1/с (так как радиан — величина безразмерная).
1.12. В формулах, полученных в ответе на предыдущий во™
прос, смещение зависит только от аргумента тригонометрической
функции ip = cut. Эта величина называется фазой колебания. Она
меняется с течением времени и определяет состояние колебатель-
колебательного процесса в данный момент времени.
Если записать фазу в виде ip = u)t = 2тг?/Т, то можно опреде™
лить ее физический смысл. Отношение (t/T) показывает, какая
часть периода прошла к моменту времени t. Из аналогии враща-
вращательного и колебательного движений ясно, что одному периоду
Т соответствует поворот радиуса на угол 2тг. Поэтому можно
ОТВЕТЫ
19
сказать, что фаза показывает, какая часть периода, выраженная
в угловой мере, прошла к моменту времени t.
1.13. Составим таблицу соответствия между временем
раженным в долях периода Т, и значением фазы:
вы-
выt
0
0
Т/4
тг/2
Т/2
ЗТ/4
Зтг/2
Т
2тг
В соответствии с этим график, изображенный на рис. VI 1.8 5,
молено нарисовать, отложив по горизонтальной оси фазу коле™
баний (u)i) (рис. VII.9). Сплошной линией изображен график,
соответствующий зависимости х от фазы по закону синуса (ж =
= xms\nu)tI штриховой линией — по закону косинуса (х =
= xmcosu)t).
1.14. Согласно II закону Ньютона произведение массы тела
на ускорение равно векторной сумме сил, действующих на тело.
Собственные колебания происходят под действием внутренних
упругих или квазиупругих сил системы. Равнодействующая этих
сил меняется при смещении маятника, величина ускорения так™
же меняется. Поэтому мгновенное значение ускорения следует
записать как вторую производную от смещения: а = d x/(dt2)
(или а = х"). Так как для пружинного маятника сила F = — кх,
то О закон Ньютона запишем следующим образом:
m>d2x „
——2— = —кх (или тх = —кх).
Уравнения, которые объединяют переменные и их производные,
называются дифференциальными. Полученное дифференциаль™
ное уравнение можно записать, введя обозначение к/т = ш2, в
следующей форме:
d2x
+2 0 xff + uj2x = 0.
dtA
= 0j или
Это и есть дифференциальное уравнение собственных колебаний
маятника. Математический анализ дает решение этого уравне™
ния в следующем виде:
х = a:msin(a;t + ^o)? или х = xmcos(out + (fg).
Постоянные хт и (р$ определяются начальными условиями коле-
колебаний — значениями начального запаса энергии и того момента
времени, с которого начали наблюдать за колебаниями. Нетрудно
2*
20
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
проверить, что при подстановке выражения для х в дифферен-
дифференциальное уравнение получим тождество.
Величина ш = у/к/т в полученном решении соответствует
круговой циклической частоте колебаний.
Для математического маятника выражение для квазиупругой
силы имеет вид т
F — — т
где коэффициенту жесткости соответствует отношение mg/l.
Дифференциальное уравнение для математического маятника
точно такое же, как и для пружинного, только коэффициент ш2
будет иметь вид
ш2
Круговая частота для математического маятника ш = л/gjl.
1.15. Гармонические колебания являются простейшим ви-
видом колебаний, при которых физическая величина, описываю™
щая поведение системы, меняется по закону синуса или косину-
косинуса. При механических колебаниях это смещение, хотя в других
случаях можно говорить и о колебаниях силы тока, напряжения,
характеристиках электрического и магнитного полей, давления
и пр.
- cos u)t
Рис. VII.9
Графики, соответствующие гармоническим колебаниям любой
природы, представлены на рис. VII.9.
1.16. Исходя из того, что с одной стороны круговая часто™
та ш = 2тг/Т, а с другой стороны ш = ^к/т для пружинного
маятника, и ш = л/g/I для математического, можно получить
формулы для периодов:
— пружинного маятника,
т — масса тела, связанного с пружиной, к — жесткость пружины;
ОТВЕТЫ 21
— математического маятника,
I — длина нити, g — ускорение свободного падения.
1.17. Ускорение при движении тела будет постоянно, если
движение совершается под действием силы, модуль которой не
меняется. Как мы видели на примере пружинного и математи-
математического маятников, возвращающая сила зависит от смещения, то
есть меняется от точки к точке. Поэтому движение при механи™
ческих колебаниях происходит с переменным ускорением.
1.18. Пусть смещение при гармонических колебаниях опре™
деляется по закону синуса:
x(t) = xmsmu)t. (a)
Формулу для мгновенного значения скорости получим, взяв про™
изводную от x(t):
v(t) = X1 = (xm$mU)t)f = Xm(slnU)ty = XjnUJCOSUjt^
или v(t) = vq cos ujt. F)
Множитель (хтш) соответствует максимальному (амплитудно™
му) значению скорости vq, и имеет соответствующую размер-
размерность:
Г 1 М
Ускорение при колебательном движении найдем, взяв произ-
производную от скорости:
a(t) = vf = xmuj(cosu)ty = —хтш sincot. (e)
Множитель (хтш2) есть максимальное (амплитудное) значение
ускорения ат,
г 1 м
1.19. Рассмотрим равномерное движение материальной
точки по окружности подобно тому, как это сделано в ответе на
вопрос 1.11, но с одним отличием: движение точки начинается
с произвольного места на окружности — точки К. При этом
радиус, связанный с точкой К^ составляет с горизонтальным
диаметром некоторый угол ^0 (рис. VI 1.10 а). Зависимость
координаты проекции движущейся точки от времени для этого
22
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
М
Рис. VII.10
случая изображена на рис. VII. 10 б" (сплошная линия — график
I). Рядом штрихами изображен график синусоиды (линия II). Из
сравнения видно, что график I сдвинут вперед вдоль оси времени
относительно синусоиды II (опережает ее).
При любом положении вращающейся точки угол (р, опреде-
определяющий фазу колебаний, равен ip = out + (ро; при t = 0, ср = tpoj
поэтому величину сро называют начальной фазой колебания. В
соответствии с этим формулы для смещения колеблющейся точ-
точки от положения равновесия в общем виде будут такими:
х = xms
х = хт cos(out +
Если в частном случае сро = 0, то эти формулы совпадают с полу™
ченными в 1.11. Значение (ро обычно задается в радианах, так же
как и величина out. Знак у (рд может быть как положительный,
так и отрицательный. Если (р$ < 0, то график зависимости x(t)
будет отставать от синусоиды, как изображено на рис. VII. 11.
Рис. VII.11
ОТВЕТЫ 23
1.20. В обоих случаях разность фаз колебаний равна тг; у
маятников, изображенных на рис. VI 1.1 а, разные длины, поэтому
их периоды отличаются и сдвиг по фазе с течением времени
меняется; у маятников, изображенных на рис. VIII б", длины
нитей и, соответственно, периоды одинаковы, и поэтому разность
фаз остается все время неизменной.
1.21. В первом случае направления скоростей обоих маят-
маятников одинаковы, и они колеблются в одинаковых фазах; во
втором случае направления скоростей противоположны, и они
колеблются в противоположных фазах.
1.22. Колебания, которые совершаются только за счет пер™
воначального запаса энергии колеблющего тела и только под
действием внутренних сил, называются свободными. Частота,
с которой совершаются свободные колебания, называется соб-
ственной частотой. Если потери энергии в колебательной системе
малы, то свободные колебания могут происходить достаточно
долго с неизменной амплитудой.
1.23. При реальных колебаниях
маятника часть энергии затрачива™
ется на преодоление силы трения в
системе и сил сопротивления окру-
окружающей среды. Поэтому амплитуда
колебаний со временем уменьшается,
и через некоторое время они за™
тухают. На рис. VII. 12 изображен
график зависимости смещения от
времени для затухающих колебаний.
1.24. Чтобы сделать колебания маятников незатухающими,
необходимо периодически пополнять запас энергии колеблюще™
гося тела. Для этого на тело надо периодически действовать
внешней силой в определенном направлении. Например, чтобы
колебания качелей не прекращались, мы их периодически под™
тал киваем в направлении их движения.
Колебания, совершаемые под действием внешней, периодиче-
периодически изменяющейся силы, называются вынужденными. Частота
вынужденных колебаний равна частоте действия вынуждающей
силы. Кроме этого условия еще необходимо, чтобы совпадали фа-
фазы колебания тела и внешней периодической силы. В отличие от
свободных, вынужденные колебания являются незатухающими,
так как энергия, затрачиваемая на преодоление трения, перио™
дически пополняется за счет работы внешней силы.
24 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.25. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соот™
ношения частот внешней периодической силы v и собственной
частоты тела щ. Наибольшая амплитуда будет при совпадении
этих частот.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных коле™
баний тела, происходящее при совпадении частоты действующей
на тело внешней силы с собственной частотой щ свободных
колебаний данного тела, называют резонансом.
На рис. VII. 13 изображены зависимо™
сти амплитуды вынужденных колебаний
двух тел от частоты действующей на эти
тела внешней силы. Из рисунка видно,
что амплитуда вынужденных колебаний
возрастает с приближением частоты и к
собственной частоте тела щ и становится
максимальной при и « щ, т.е. наступает
резонанс. Кроме равенства частот для
резонанса необходимым является следу-
следующее условие: изменения вынуждающей
силы должны совпадать по фазе с изменением скорости.
Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резо-
резонансе тем больше, чем меньше трение в системе. При малом
трении резонанс «острый» (кривая 1 на рис. VII. 13), при большом
трении — «тупой» (кривая 2).
1.26. При резонансе {у ~ щ) внешняя сила действует в такт
с колебаниями тела. На протяжении всего периода направле-
направление силы совпадает с направлением скорости колеблющегося
тела, поэтому внешняя сила совершает положительную работу
и энергия маятника возрастает. При установившихся колебаниях
(т.е. при неизменной амплитуде) положительная работа внешней
силы равна по величине отрицательной работе силы сопротивле-
сопротивления.
Если ифи^^ то внешняя сила лишь в течение части периода
совершает положительную работу. В течение другой же части
периода направление силы противоположно вектору скорости и
работа внешней силы отрицательна. В целом за период работа
внешней силы невелика и, соответственно, невелика амплитуда
установившихся колебаний.
1.27. Чтобы работа вынуждающей силы была положитель-
положительна, ее направление должно совпадать с направлением скорости
движения. Так как скорость определяется производной от сме-
ОТВЕТЫ
25
Рис. VII14
щения, то график зависимости v(i)
(и также F(t)) опережает на тг/2
график x{t) (рис. VII. 14 а, 5, в). а
Из рис. VII. 14 видно, что зна-
значение вынуждающей силы наи-
наибольшее при прохождении точки
равновесия, а в точке наибольшего #
смещения значение вынуждающей
силы равно нулю.
1.28. При изменении темпа
ходьбы меняется частота внешней в
вынуждающей силы, вызвавшей
резонансные колебания ведра. По™
этому система «уходит» из состоя-
состояния резонанса.
1.29. Нет, так как движение шарика при движении вниз
равноускоренное, а вверх — равнозамедленное. При этом вели-
величина ускорения постоянна (g = 9,8 м/с2) и направлено оно все-
всегда вертикально вниз. При гармонических колебаниях ускорение
меняется по гармоническому закону.
1.30. Это нужно для того, чтобы скорректировать ход часов:
если часы отстают, то надо уменьшить период маятника. Для это-
этого «чечевицу» надо немного поднять, то есть уменьшить длину
подвеса; если часы спешат, то период маятника надо увеличить,
для чего «чечевицу» следует немного опустить.
1.31. Летом часы будут отставать, так как при более высокой
температуре маятник удлинится, а зимой — спешить.
1.32. На полюсе будут спешить, на экваторе — отставать.
Это объясняется тем, что ускорение свободного падения на по-
полюсе немного больше, чем на экваторе (т.к. Земля имеет не строго
сферическую форму — несколько сжата вдоль оси). В соответ-
соответствии с формулой период колебаний маятника на полюсе будет
меньше, чем на экваторе (частота больше). Поэтому стрелка
будет вращаться быстрее и часы на полюсе будут спешить. Со™
ответственно, на экваторе — отставать, если они отрегулированы
точно в районе средних широт.
1.33. Нет, так как период математического маятника от
массы не зависит.
1.34. Колеблющееся тело передает часть своей энергии
частицам окружающей среды, вовлекая их в колебательное дви-
26 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
жение. Среда должна быть упругой, иначе колебания быстро
прекращаются.
Процесс распространения механических колебаний в упругой
среде1^ называется механической волной или механическим вол™
новым движением.
Если какое-либо тело совершает колебания в упругой среде,
то оно действует на частицы среды, прилегающие к телу и за™
ставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи
колеблющегося тела деформируется, в ней возникают упругие
силы. Эти силы передаются от частицы к частице, они действуют
на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из по™
ложения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекают™
ся в колебательное движение, в пространстве распространяется
волна.
1.35. Волны, в которых колебания частиц среды происходят
перпендикулярно к направлению распространения волны, назы-
называются поперечными.
Волны, в которых колебания частиц среды происходят вдоль
направления их распространения, называются продольными.
1.36. Процесс распространения поперечной линейной2^ вол™
ны можно проследить с помощью упругого шнура (например,
резинового) — рис. VII. 15.
Пусть колебания точки О упругого шнура происходит по зако-
закону х = xm8in<jjt. Ось Oz указывает направление распространения
волны. В начальный момент времени точка О начинает двигаться
вверх, увлекая соседние точки шнура. В момент времени t =
= Т/4 смещение точки О будет максимальным, и за это время в
колебательный процесс будет вовлечена только часть шнура О А.
Постепенно в колебательный процесс вовлекаются все большая
и большая часть шнура (рассмотрите подробно рис. VII. 15). К
моменту времени t = Т точка О совершит одно полное колебание,
при этом волна распространится вдоль шнура вправо на рассто™
яние OD. Далее процесс повторяется, и колебания все дальше
распространяются вдоль шнура. Как видно из рис. VII. 15, попе™
речная волна представляет собой чередование гребней и впадин.
' Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы
взаимодействия, препятствующие любой деформации этой среды.
' Волна, распространяющаяся вдоль совокупности материальных точек,
расположенных на прямой линии и связанных упругими силами, называется
линейной.
ОТВЕТЫ
27
t = 0
?=¦
0«
ж,
'V
Л
А
В
В
с
с
D
D
Е
Е
F
F
z
z
t=
Рис. VII.15
1.37. а) Волна движется вправо; б) скорость точки Л направ™
лена вниз, точки В — вверх, точки D — вниз, скорость точки
С равна нулю, а в последующий момент она начнет двигаться
вверх.
1.38. Две точки волны колеблются в одинаковых фазах, ее™
ли они, двигаясь в одном направлении, одновременно проходят
через положение равновесия и одновременно достигают одинако-
одинаковых по модулю и знаку амплитудных и мгновенных смещений.
Этому условию удовлетворяют точки Ои1), А ш Е, В ш F ш т.д.
(рис. VII.15).
28 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в
одной фазе, называется длиной волны (обозначается обычно А,
измеряется в единицах длины: м, мм, см, км). Для рис. VII. 15
длина волны равна расстоянию |OD|, \AE\ или |J5i^|.
Иначе можно сказать, что длина волны равна расстоянию,
которое проходит волна за время, равное одному периоду коле™
баний частиц.
Скорость распространения волны v можно найти по формуле
V = —;, ИЛИ V = \v,
где v = 1/Т — частота колебаний.
Скорость распространения волны зависит от упругих свойств
среды и ее плотности.
1.39. Рассмотрим образование продольных волн (рис. VII. 16).
Крайняя точка 0 в некоторой момент времени t = 0 приходит
в колебание под действием внешней силы вдоль направления,
заданного осью х. На рис. VII. 16 указаны последовательные
положения точки 0 в течение времени, равного двум периодам ее
колебания BТ7) с интервалом времени At = Т/4. При сближении
между частицами возникают упругие силы, препятствующие их
сближению. Рассмотрите внимательно рис. VII. 16. Те частицы
среды, которые в некоторый момент сблизились действием
внешней силы (обведены овалом), в последующий момент
расходятся. Поэтому там, где было сгущение (повышенная
плотность) частиц среды, в последующий момент окажется
разрежение.
Как видно из рис. VII. 16, области сгущения частиц и области
разрежения частиц перемещаются в направлении оси ж, в то вре-
время как каждая частица совершает колебания около некоторого
среднего положения.
Таким образом, продольная волна состоит из ряда сгущений
и разрежений частиц. Наименьшее расстояние между точками,
колеблющимися в одинаковых фазах, будет длиной волны. На
рис. VII. 16 это расстояние между точками 0 и 4, 1 и 5, 2 ш 6 ш
т. д. (в любой момент времени).
1.40. При распространении волны надо различать два яв-
явления: колебательное движение частиц среды в волне и пере™
мещение самой упругой волны по среде. Первое явление — это
движение самих частиц как материальных точек, второе — пере-
переход возмущенного состояния среды (передача энергии) от одних
частиц к другим. Частицы среды смещаются от положения
ОТВЕТЫ
29
равновесия на расстояние не более амплитуды, следовательно,
волна переносит энергию колебательного движения, но не пере™
носит вещество (массу) среды, в которой оно распространяется1^.
t=-
t =
зт
t = T
t =
t =
ът
(
J
Y
/
%
(
V
z
%
j
i
X
/
/
%
J
л
3
X
/
i
X
/
5 1
V
z
V
/
7
\
3
t = -
t = 2T
Рис. VII.16
Таким образом, волна — это направленное перемещение не само™
го вещества, а состояния среды. Волна распространяется посту™
пательно, а частицы среды совершают колебания.
Из рис. VII. 15, соответствующего поперечной волне, видно,
что частицы совершают колебания вдоль оси ж, а волна рас-
распространяется перпендикулярно ей, вдоль оси z. Из рис. VII. 16
для продольной волны видно, что колебания частиц среды и
распространение волны происходят в одном направлении вдоль
оси х.
' Заметим, что в случае, так называемых, ударных волн (они возникают,
например, при атомном взрыве) имеет место и перенос вещества, приводя-
приводящий к большим разрушениям.
30 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.41. Скорость волны в однородной среде постоянна, а ско-
скорости частиц, совершающих колебания, все время меняются. В
случае гармонических колебаний частиц скорость их также ые-
няется по гармоническому закону.
1.42. Геометрическое место точек, до которых к данному
времени дошли колебания, называется фронтом волны. Если
источник колебаний точечный, и колебания распространяются
в однородной среде, то фронт волны будет сферой, и волна
называется сферической. Если источником колебаний является
плоскость, то фронт волны представляет собой также плоскость,
и волна называется плоской.
1.43. Колебания частиц в сплошных средах, распространяю™
щиеся в виде продольных упругих волн, частота которых лежит
в пределах от 20 до 20000 Гц, воздействуя на органы слуха,
вызывают слуховые ощущения. Эти волны называются звуковы™
ми или акустическими. Звуковые волны могут распространяться
в твердых, жидких и газообразных телах. В вакууме звуковые
волны не распространяются. Источником звука всегда является
колеблющееся тело.
Механизм распространения упругой звуковой волны можно
рассмотреть на следующем примере.
В длинный цилиндр, заполненный воздухом, вставлен пор-
поршень, совершающий гармонические колебания (рис. VII. 17). В
момент, когда поршень быстро вдвинут в цилиндр, молекулы
вблизи поршня уплотняются. В области уплотнения увеличива™
ется давление, и это влечет за собой возникновение упругих сил,
действующих на молекулы и направленных в сторону меньших
плотностей. Поэтому в направлении сил переходят молекулы из
места первоначального уплотнения. Наличие упругости в среде
приведет к тому, что сжатый воздух расширяется не до перво™
начального объема, а больше: при расширении частицы воздуха
получают некоторый разгон. Работа, первоначально затраченная
на сжатие, перейдет в кинетическую энергию движения, которая
в свою очередь будет затрачена на работу сжатия окружающей
среды и сожмет новый прилегающий слой воздуха (рассмотри™
те внимательно рис. VII. 17: силы, действующие на молекулы в
области повышенного давления, изображены стрелками).
Таким образом, давление и плотность воздуха (газа или лю-
любой другой упругой среды) в каждом месте при распространении
звуковой волны будут изменяться, причем эти изменения вслед™
ствие упругости среды будут распространяться в среде.
ОТВЕТЫ
31
V//////J
i
V/S/S/Л ///
I
Рис. VII.17
1.44. См. рис. VII.18.
Высокий звук
1.45. См. рис. VII.19.
t о
Рис. VII.18
v
Низкий звук
Тихий звук Громкий звук
Рис. VII.19
32
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.46. Звуки, представляющие со™
бой колебания с постоянной или по-
постепенно меняющейся частотой, назы-
называются тонами. Тоны бывают простые
и сложные. Простой (или чистый) тон
получается при гармоническом колеба™
нии частиц среды. Сложному тону со-
соответствует периодическое, но отлич™
ное от гармонического колебание. Два
WTT оп сложных тона, при которых частицы
.Рис. VII.20 1 *~
совершают разные по форме колеба-
колебания, воспринимаются как отличающиеся по тембру (рис. VI 1.20).
1.47. Колебаниями крыльев насекомого.
1.48. Длина звуковой волны связана с ее скоростью и часто™
той следующей формулой:
Считая, что i/min = 20 Гц, ^тах = 20000 Гц, можно найти А
17,5 м;
= 17 мм.
1.49. Явления, происходящие при встрече звуковой волны с
преградой, зависят от соотношения между размерами преграды и
длиной звуковой волны. Если размеры препятствия значительно
больше длины звуковой волны, звук отражается по закону зер-
зеркального отражения (угол отражения звуковой волны равен углу
ее падения). Если же размеры препятствия сравнимы с длиной
волны, то волна огибает препятствие. Это явление называется
дифракцией.
1.50. Практически важный случай отражения звука наблю™
дается, когда отражающая поверхность перпендикулярна на™
правлению распространения волн. В этом случае звуковая волна
после отражения возвращается назад к источнику звука. Такой
случай отражения называется эхом.
Пусть источник звука А находится на расстоянии d от пре-
преграды ВС (рис. VII.21). Время, которое проходит от момента
посылки сигнала из точки А до момента его возврата в эту же
точку после отражения от преграды ВС равно t = 2d/v^ здесь
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 38
v — скорость звука в среде, Bd) „
— путь, пройденный звуковым сиг™
налом. Определив время t экспери-
экспериментально, можно найти расстояние, А
на котором находится преграда: d =
= vt/2.
Этот метод широко использует™
ся в гидролокации для определения р VTT _
расстояний плавающих судов от пре™
град (дна, скал, других судов и т. д.).
Основные формулы
Связь периода колебаний Т с частотой и:
т = \. (i.i)
Если колеблющееся тело за некоторый промежуток времени
t совершило п колебаний, то период и частота равны:
Т = 1 „ = f A.2)
Дифференциальное уравнение собственных колебаний мате-
материальной точки:
+ ш2х = 0 (или х" + ш2х = Щ1 A.3)
х — смещение материальной точки от положения равновесия
в некоторый момент времени, ш — собственная циклическая
частота колебаний.
Зависимость величины смещения колеблющейся точки от
времени при гармонических колебаниях определяется форму™
лами:
х = xm8m(ujt + (po), A.4)
или
х = x
х — смещение колеблющегося тела от положения равновесия в
момент времени ?, хт — амплитуда колебаний, ш — циклическая
частота, (ujt + (fo) — фаза колебания, <р$ — начальная фаза.
Циклическая частота связана с периодом Т и частотой коле™
бания и следующим образом:
2тг
ш^ — = 2тпл A.5)
3 СВ. Трубецкова
34 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Зависимость мгновенных значений скорости и ускорения от
времени определяется уравнениями:
v = xmujcos(ujt + (pQ)j или A-6)
v = —хти sin(ut + ipo); A.6')
а = —хтш28т(ш1 + (ро)} или A-7)
а = —хтш2 cos(ujt + (fo). A.77)
Формула для периода собственных колебаний пружинного
маятника:
т — масса тела, связанного с пружиной, к — жесткость пружины.
Формула для периода собственных колебаний математическо-
математического маятника:
Д, A.9)
I — длина подвеса математического маятника, g — ускорение
свободного падения.
Скорость распространения волны:
v = ± = \v, A.10)
А — длина волны, Т — период, v — частота.
Методика решения задач
1. Уравнения для гармонических колебаний A.4) и A.47)
связывают мгновенное смещение х колеблющейся точки от по™
ложения равновесия с параметрами, характеризующими колеба™
тельное движение: амплитудой и фазой. Фаза — это аргумент
{u)t + (fo) синуса и косинуса в этих уравнениях, который зависит
от времени t.
Если в условии задачи задано уравнение колебаний, по ко-
которому надо найти значения амплитуды, циклической частоты,
периода, начальной фазы, то удобно рядом с этим уравнением
записать общее уравнение A.4) или A.4').
Например, даны следующие уравнения:
t) м;
Х2 = 10cos@,1тг? — тг/3) см.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 35
Рядом с этими уравнениями запишем уравнения в общем виде
A.4) или A.4;) и, сравнивая их, найдем значения амплитуды,
циклической частоты и т. д.:
х\ = 0,8smD7rt) м,
x(t) = xmsm(ujt + (fo);
хт1 = 0,8м; шг = 4тг 1/с; cpoi = 0.
Аналогично поступим и со вторым уравнением для Х2'-
Х2 = 10cos@, lirt — тг/3) см,
x(t) = xmcos(ujt + (po);
жт2 = Юсм; а;2 = 0,1тг 1/с; (ро2 = -тг/3.
Используя формулы A.5) и A.1), найдем значения периода и
частоты:
Ti=0,5c; щ = 2 Гц;
Т2 = 20с; 1/2 = 0,05 Гц.
Если в задаче требуется найти значение смещения в указан™
ный момент времени, то время надо подставить в аргумент триго-
тригонометрической функции, а по таблицам найти соответствующее
значение синуса или косинуса и, подставив в формулы A.4) или
A.4;), найти искомое значение х.
В некоторых задачах, наоборот, надо найти, в какой момент
времени величина смещения будет равна заданному значению. В
таких случаях поступают следующими образом: а) в имеющееся
уравнение надо подставить величину х и вычислить значение
тригонометрической функции; б) по таблицам найти значение
аргумента (то есть фазы), соответствующее полученному значе™
нию синуса или косинуса; в) в таблицах значения углов часто
указаны только в градусах, а в выражениях для фазы, наоборот,
в радианах. Поэтому для выражения фазы в радианах надо
составить пропорцию:
180° —> ж рад, а° —> ср рад,
а° — значение фазы, найденное по таблице в градусах, (р — в
радианах. (Стрелка обозначает соответствие величины, стоящей
слева, величине, стоящей справа). Отсюда по свойству пропорции
можно записать: (р = а°7г/180° (рад); г) осталось приравнять
выражение для фазы, стоящее в данном уравнении ж(?), к по-
полученному значению, выраженному в радианах, и найти из по-
полученного уравнения время t. Задания такого типа выполняются
ниже в задаче 1 (см. примеры решения задач).
з*
36 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
2. Иногда, если задано уравнение ж(?), требуется найти зна-
значение скорости и ускорения (мгновенное и наибольшее). В таких
случаях надо найти первую и вторую производные, получив
таким образом формулы для скорости и ускорения:
v(t) = xf(t) = (xmsin(u)t + (fo))f = xmu)cos(u)t + (fo)j или
v(t) = xf(t) = (xmcos(u)t + (p®)) = —xmusin(ut + (po);
a(t) = v!(t) = (xmu)cos(u)t +j®)Y =—хтш sin(u)t +jo), или
a{t) = v'{t) = (—xmujsin(u)t + j®)y = —xmuJ cos(u)t + jo).
Мгновенные значения г; и а можно найти, подставив заданное
время t в соответствующую задаче формулу для v(t) и a(t);
наибольшему (амплитудному) значению скорости и ускорения со-
соответствует коэффициент перед тригонометрической функцией:
vm = xmuj; ат = хтш2.
Эти формулы можно использовать для вычисления мгновенных
и наибольших значений квазиупругой силы и кинетической энер™
гии тела: 2
F = та, Fm = тат = тхтш ;
_rm?_ _ mxju2
VV К "~~ gj •) rrK.Ol~~" gj
Zi Zi
3. Графические задачи бывают двух типов: 1) по графику
x{t) найти параметры колебания и записать уравнение и, на-
наоборот, 2) по известным периоду, амплитуде и начальной фазе
построить график зависимости смещения от времени t или от
фазы (out).
В первом типе задач по масштабу, отложенному вдоль осей,
можно найти значение амплитуды и периода. Так как амплиту™
да — величина наибольшего отклонения от равновесия, то для
приведенных на рис. VII.22 а-в графиков можно найти:
жта = 2 м, жтб = Ю см, хтв = 10 мм.
Периоду соответствует время между двумя ближайшими точ-
точками, колеблющимися в одой фазе. Для рис. VII.22a, б" периоды
равны Та = 10 с, Тб = 4 с. Если же при t = 0 х^О и хфхШ1
то период удобнее отсчитывать между ближайшими точками в
одной фазе при х = 0 или х = хт (рис. VII.22 в): Тв = 4,5 — 0,5 =
= 5,5-1,5 = 4с.
Для записи уравнения x(t) надо найти значение циклической
(круговой) частоты по формуле A.5):
иоа = 0,2тг 1/с, с^б = 0,5тг 1/с, шв = 0,5тг 1/с.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
37
Для того, чтобы по полученным из графика параметрам
колебаний записать уравнение x(t), надо обратить внимание на
то, что собой представляет приведенный график: «нормальные»
синусоиду или косинусоиду (рис. VI 1.22 в, б) или «сдвинутые» по
оси времени, то есть имеющие начальные фазы (рис. VI 1.22 в).
?, с
Рис. VII.22
На рис. VI 1.22 а представлена синусоида, поэтому для этого слу-
случая (ро = О, и уравнение для величины смещения получится, если
в A.4) подставить найденные значения жта и а;а:
На рис. VI 1.22 б смещение зависит от времени по закону косинуса,
поэтому
x^(t) = 10cos@,57rt) см.
Для графика на рис. VI 1.22 в надо найти значение у?о? так как
приведенный график «отстает» от косинусоиды на время At =
= 0,5 с, и «опережает» синусоиду на такое же время.
38 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Для определения сдвига по фазе графика на рис. VI 1.22 г при-
приведены рядом с рассматриваемым графиком синусоида (штриха-
(штрихами) и косинусоида (штрих-точка). После этого надо составить
пропорцию, учитывая, что «сдвиг» графика на одно полное ко-
колебание — на период, соответствует фазе Bтг) рад:
At = 0,5 с —> (fO=?
2тгО,5
^ 0
Теперь можно записать для последнего случая уравнения x(t):
xB(t) = 10sIn@,57rt + 0,257r) мм,
или xB(t) = 10cos@,57rt — 0,25тг) мм.
В задачах второго типа чаще всего по заданному уравнению x(t)
надо построить график. Например, имеем следующие уравнения:
xa(t) = 0,2sInO, 2ж1 см;
мм;
xB(t) = 2sinB7rt/3 + 27r/3) м;
xr(t) = 5cosE7rt — тг/4) см.
Из сопоставления данных уравнений с формулами A.4) и A.4;)
можно найти значения амплитуд, круговых частот и начальных
фаз:
жта = 0,2см; жтб = Юмм; хтв = 2 м; хтг = 5 см.
ша = @,2тг) 1/с; ш6 = (Ютг) 1/с; о;в = (тг/3) 1/с; шг = Eтг) 1/с.
сроа = 0; (foe = 0; ^?Ов = 2тг/3; (рОг = -тг/4.
Используя формулу A.5), найдем периоды:
Та = 10с; Тб = 0,2с; Тв = 3 с; Гг = 0,4с.
График зависимости x{t) можно строить, отложив по оси
абсцисс время t или фазу (ujt). В первом случае для построения
графиков, заданных уравнениями xB(t) и xT(t), надо найти время
At, соответствующее опережению (в) или отставанию (г) колеба-
колебаний по фазе. Это делается так, как указано выше — составлением
пропорции, но только для определения (р®:
Тв = 3с —> ^ = 2тт;
AtB =? -^ ^ов = 2тг/3;
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
39
3*271-
=?
Ог = -тг/4;
Д«г = -054тг/D'2тг) = -0,05 с.
(знак « —» означает, что колебания отстают по фазе).
Для удобства построения графика надо на единицу масштаба
по оси абсцисс откладывать время, равное Т/4; если же по оси
абсцисс откладывать (о;?), периоды можно не рассчитывать.
Используя найденные для записанных уравнений параметры,
построим соответствующие графики (рис. VI 1.23). Штрихами на
рис. VI 1.23 в, г изображены синусоида и косинусоида без сдвига
по фазе.
ж
о
в
, MM i
10
0
-10
ж, м 1
2
0
~2
- \0,1/0,2 ^
^ л Л *
¦V5V /з
V0,3/
t, с
,5
/ t,c
ж, см
5
? 0
-5
Л0,2
0,6
0,4
t, с
Ж, ММ /
10
ж, м J
2
0
-2
Ж, СМ '
5
0
-5
uot
Рис. VII.23
4. Наиболее простые задачи на математический и пружин-
пружинный маятники решаются с использованием формул A.8) и A.9).
Часто в задачах на математический маятник задано, что у
него меняется длина, и задана либо величина удлинения, либо
40 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
отношение длин маятников. В этом случае составляются урав-
уравнения одного типа, но для исходного и конечного состояния:
Т\ = 27Ty/li/g; T2 = 2ж\Jl2lg- К этим уравнениям добавляются
соотношения, составленные из данных задачи.
Подобным же образом решаются задачи, в которых наблю-
наблюдают за маятником при изменении его положения относительно
Земли. В этом случае меняется ускорение свободного падения:
при подъеме на большую высоту ускорение свободного падения
уменьшается, при перемещении маятника с полюса на экватор
тоже. В таких случаях может оказаться необходимым вспомнить
формулу для ускорения свободного падения, следующую из зако™
на всемирного тяготения. Без подробных объяснений напомним,
как она получается:
mg^ (R+hJ'
g — ускорение свободного падения на высоте h от поверхности
Земли, М — масса Земли, R — ее радиус;
go = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на поверхности
Земли;
g _ R2 goR2
go (Я + ЛJ' ё (Я + ЛJ'
При решении задач на пружинный маятник, у которого изме-
изменяется масса подвешенного тела или жесткость пружины, также
пишут уравнения для периодов:
—, 12 = 2тГа —,
к ним надо добавить уравнения, составленные на основе условия
задачи, дающие связь между массами маятников и жесткостью
пружин. Кроме того, при необходимости можно использовать
закон Гука: \F\ = kx, где \F\ — абсолютная величина силы упру-
упругости, возникающая при изменении длины пружины на величину
ж, к — жесткость пружины. Если удлинение х соответствует
случаю, когда груз подвешен на пружине и колебаний не совер-
совершает, то модуль возникшей силы упругости равен модулю силы
тяжести груза mg.
Во многих случаях для исключения неизвестных величин
бывает удобно написать отношение двух подобных уравнений
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 41
для 7~i ш Т2] после использования данных задачи и сокращения
можно получить уравнение, которое содержит только одну неиз™
вестную величину.
5. Небольшую, но довольно сложную группу задач представ-
представляют задачи на маятниковые часы.
Механическая система маятниковых часов преобразует коле™
бательное движение маятника во вращательное движение стре™
лок. Причем за время одного колебания маятника стрелки по™
ворачиваются на очень малый угол. Для того, чтобы часы шли
правильно, часовая стрелка должна совершать два полных обо™
рота, то есть повернуться на угол 4тг, за время to = 24 ч. Маятник
при этом должен совершить определенное число колебаний, щ =
= to/То, То — период колебания маятника правильно идущих
часов, щ — число колебаний маятника, поворачивающих часо-
часовую стрелку на 2 полных оборота. Реальный период маятника
Т может отличаться от Т® за счет изменения длины его подвеса
или за счет перенесения часов в другое место, где изменяется
ускорение свободного падения g. Поэтому два полных оборота
маятника совершаются за время t = щТ, которое может быть
больше или меньше 24 часов.
В задачах такого типа чаще всего вопрос ставится следующим
образом: как будут идти часы? Это значит, надо найти разность:
At = to-t.
Если At > 0, то неточные часы спешат: два полные оборота
часовая стрелка совершит за время t, меньшее to = 24 часа, то
есть раньше, чем положено. Если At < 0, то часы отстают: два
полных оборота часовая стрелка совершает за время t, большее
to = 24 часа, то есть позже, чем надо. Выражение At для решения
таких задач удобно преобразовать следующим образом:
t()^ t
io
часа).
Для нахождения отношения Т/Tq обычно используют прие™
мы, рассмотренные выше в пункте 4.
6. Формула A.9) справедлива для маятника, находящегося
в инерциальной системе отсчета. Пусть маятник находится в
неинерциальной системе, движущейся с ускорением а относи™
тельно Земли. В этом случае колебания можно описать, считая,
что результирующее ускорение свободного падения есть разность
векторов
42
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Значения модуля разности векторов (g+(—a)) для разных на-
направлений а приведены на рис. VII.24.
g
Рис. VII.24
Формула периода колебаний математического маятника в этом
случае будет следующей:
Г = 2. ' '
Маятник ведет себя аналогично и в том случае, если на него
действуют кроме силы тяжести другие силы, которые изменяют
вес тела (то есть силу натяжения нити, к которой подвешен
маятник). Такими силами могут быть сила Архимеда, сила элек-
электростатического поля и пр.
В таких случаях
F — дополнительная сила, действующая на маятник помимо
силы тяжести, т — масса маятника. Знак «+» берется в случаях,
если сила F направлена так же, как и ускорение свободного
падения, то есть вертикально вниз; знак « —» берется в случаях,
если сила F направлена вертикально вверх, противоположно
силе тяжести.
7. Ряд задач на маятники могут быть решены, исходя из
закона сохранения энергии. Поскольку рассматриваются только
собственные колебания под действием внутренних сил (то есть
сила трения считается пренебрежительно малой), то маятник
представляет собой изолированную систему. Поэтому на протя™
жении длительного времени полная механическая энергия маят-
маятника W, равная сумме кинетической и потенциальной энергий,
остается постоянной во всех точках траектории: W = WK + Wn =
= const, или WK\ + Wni = WK2 + Wn2 (индексы 1 и 2 относятся к
любым двум точкам траектории маятника).
В точке наибольшего отклонения кинетическая энергия маят-
маятника равна нулю, а потенциальная — максимальна. А в точке
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 48
положения равновесия наоборот, скорость и соответственно кине-
кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия равна
нулю (потенциальная энергия отсчитывается относительно гори™
зонтального уровня, на котором находится точка равновесия).
Поэтому последнее соотношение для указанных точек можно
записать следующим образом:
n.m K.m , или Wn.m = WK.m = W.
Максимальная кинетическая энергия математического и пру-
пружинного маятников равны в точке, соответствующей положению
равновесия:
wK.m- 2 .
Максимальной потенциальной энергией маятники обладают в
точках наибольшего отклонения. Для пружинного маятника
а для математического
хт — амплитуда колебаний пружинного маятника, hm — мак-
максимальная высота подъема математического маятника относи™
тельно горизонтального уровня, где он находится в равновесном
положении.
Полную энергию маятника и его кинетическую энергию в лю-
любой момент времени можно найти, если в условии дано уравнение
x(t). Взяв производную от x(t), найдем уравнение, определяю™
щее зависимость v(t) — формула A.6). Множитель перед тригоно-
тригонометрической функцией соответствует максимальному значению
скорости: vm = хтш. Определив ее значение, можно вычислить
значение полной механической энергии маятника.
Для определения кинетической энергии в заданный момент
времени надо вычислить мгновенное значение скорости. Для этого
надо подставить значение t в формулу v(t) и воспользоваться
таблицами значений тригонометрических функций в приложении.
Используя закон сохранения механической энергии, можно
найти и потенциальную энергию в тот же момент времени:
Wn = W-WK.
8. При решении задач на волновые процессы надо хорошо
помнить о смысле основных параметров: скорость волны — это
скорость перемещения гребня или впадины в поперечной волне
44 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
или сгущения и разрежения в продольной волне; фаза колеблю-
колеблющейся точки определяется ее смещением от положения равнове™
сия и направлением движения; расстояние между ближайшими
точками, колеблющимися в одинаковых фазах, называется дли-
длиной волны; период — время, за которое волна проходит рассто™
яние, равное длине волны (или время одного полного колебания
любой точки); частота — число колебаний любой материальной
точки в течение одной секунды.
Разность фаз точек, лежащих на расстоянии, равном одной
длине волны, равно 2тг. Если требуется найти разность фаз то™
чек, лежащих на некотором расстоянии г, то удобно составить
пропорцию:
А —> 2тг;
г —> Аср.
По свойству пропорции можно записать: ААср = г2тг. Отсюда
найдем Aip: А(р = 2тгг/А.
9. Скорость распространения звуковых волн определяется
формулой
v = s/t,
где s — расстояние от источника звука до его приемника (ухо,
прибор), t — время, за которое звук проходит это расстояние.
Звуковые и ультразвуковые волны способны отражаться от
препятствий. Если источник звука и приемник находятся в одном
месте на расстоянии d от препятствия, то звук от момента излу™
чения до приема проходит путь s = 2d. Поэтому время между
излучением и приемом звукового сигнала равно
2d
At = —,
v
d — расстояние от источника звука до отражающей поверхности.
Если звук переходит из одной среды в другую, то скорость
звука и длина волны изменяются, а частота, определяющая вы-
высоту звука, останется неизменной.
Примеры решения задач
1. Материальная точка совершает колебания по закону х =
= 6sinlO7rt см. Найдите амплитуду, частоту, период колебаний и
начальную фазу. Постройте график зависимости смещения мате-
материальной точки от времени. В какие моменты времени смещения
точки от положения равновесия станут равными 4,5 см и 3 см?
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
45
X =
Xi
x2
xm
T -
ti-
= 6sinlOTrt см
= 4,5 см
= 3 см
-?, i/-?
-?, ^o^?
-?, t2-?
Уравнение гармонических колебаний в
общем виде записывается следующим об-
образом A.4):
ж = .
Из сравнения заданного уравнения с урав™
нением A.4) видно, что хт = 6 см, ш = Ютг,
ipQ = 0. Используя соотношение A.5), мо-
можем записать: 2тп/ = Ютг. Отсюда найдем
частоту: v = 5 Гц.
В соответствии с A.1) найдем период: Т = 0,2 с.
Для построения графика
необходимо выбрать масштаб ' я _
так, чтобы по горизонтальной
оси уложился хотя бы один
полный период колебания, а
по вертикальной — значение
амплитуды (рис. VII.25).
Найдем, в какой момент
времени t\ смещение точки
равно #i=4,5 см. Придержи™ Рис- VII.25
ваясь последовательности, указанной в конце пункта 1 метод и™
ческих указаний, получаем:
а) 6sinA07rti) = 4,5; sin(lOTrti) = 0,75;
б) ср = arcslnO, 75 « 48° (по таблице);
в) (р (рад) = 48°тт/180° = 0,27тг
г) 10тг*1 = 0,27тг; h = 0,027 с.
Для второго случая t<i находится проще:
а) 6sInA0Trt2) = 3; slnA0Trt2) = 0,5.
б) Мы знаем, что arcs!nO,5 = тг/6, поэтому сразу мож:но пе-
перейти к пункту (г):
г) 10тг^2 = тг/6; ^2 = 0,017 с.
2. Период гармонических колебаний материальной точки ра™
вен 0,4 с, амплитуда 10 см, начальная фаза равна нулю. Запишите
уравнение для мгновенных значений смещения точки от поло-
положения равновесия. Найдите смещение через 0,1 с после начала
колебаний. В начальный момент времени точка находилась в
положении равновесия.
46
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
хт = 10 см = 0,1 м
= 0,1 с.
Так как в начальный момент вре™
мени точка находилась в положении
равновесия, то уравнение удобно запи™
сать по закону синуса A.4):
Значения хт и (рд даны в условии, а
значение ш найдем по формуле A.5):
Запишем уравнение колебаний: х = 0, 1 sin 57ft м.
Чтобы найти значение смещения х\ в момент времени t\, надо
подставить значение t\ = 0,1 с в полученное выражение:
#1=0, Isin57rti = 0, lsinO,57T = 0,1 м.
3. По графику, изображенному на рис. VII.26, определите
амплитуду колебаний материальной точки, период и частоту. На-
Напишите уравнение для мгновенных значений смещения в данном
колебательном процессе.
По определению пери™
од Т — время одного пол™
ного колебания, то есть
минимальное время, за ко-
которое точка возвращается
в исходное состояние. Из
рис. VII.26 видно, что Т =
= 0,8 с. По формуле A.1)
найдем частоту:
Рис.УП.2б «/ = 1/0,8 = 1,25 (Гц).
Уравнение для мгновенных значений смещения запишем по
закону косинуса:
х =
(a
так как в начальный момент времени величина смещения макси-
максимальна; при такой записи (рд = 0.
Найдем значение амплитуды и круговой частоты. Величина
наибольшего смещения из положения равновесия, то есть ампли™
туда, равна хт = 30 см = 0,3 м.
Циклическую частоту найдем по формуле A.5), поскольку
значение Т и v мы уже нашли:
уравнение (а):
Подставим полученные значения жт, о)й
х = 0,3cos2,57rt м.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
47
Это и есть уравнение мгновенных значений смещения, соответ™
ствующее приведенному графику.
Это же уравнение мож™
но записать и по закону
синуса, введя начальную
фазу (fQ. Чтобы синусоида
совпала с косинусоидой, ее
надо «подвинуть» на тг/2
вперед (рис. VII.27). По-
Поэтому нужное уравнение
40
20
0
\
\
\
ж\ /Щ. /27Г
/
\
х
можно записать в виде
Рис. VII.27
4. На рис. VII.28 изображен график зависимости смещения
колеблющейся точки от времени. Напишите уравнение зависимо-
зависимости x(t) по закону синуса.
Из рис. VII.28 вид™
но, что хт = 0,8 см.
Тот же график изоб-
изображен на рис. VII.29.
Для определения пе™
риода надо взять лю-
лю-II-
бые две ближайшие
точки, колеблющиеся
в одной фазе, например, точки
-0,15с = 0,8с.
1,2 t, с
:T = tN^ 1м = 0,95 с —
Рис. VII.29
Круговая частота
Приведенный в условии график отстает от синусоиды на At =
= 0,15 с (время между точкой М графика и точкой 0 синусоиды,
находящимися в одной фазе). Найдем сдвиг по фазе или или
начальную фазу данного графика, составив пропорцию:
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
At = 0,15 с —> щ=1
щ = 0,15 -2^/0,8 = 0,37571.
Теперь можем записать зависимость x(t) по закону синуса:
x(t) = 0,8sinB,57ft - 0,375тг) см.
5. Материальная точка совершает колебания с периодом 2 с
и амплитудой 0,5 м. В начальный момент времени точка находи-
находилась на расстоянии 0,25 м от положения равновесия. Как зависит
от времени смещение материальной точки? Найдите значение
смещения спустя 1/12 с с момента начала колебания. Нарисуйте
графики колебания материальной точки, отложив по оси абсцисс
сначала фазу, затем время.
В начальный момент времени значение
смещения отлично от нуля и не равно ам™
плитуде. Это значит, что данный колеба-
колебательный процесс имеет начальную фазу
(ро. Общее уравнение гармонических коле-
колебаний запишем в виде
t =
X®
*1 =
x(t
120С,5
0
= 0,25
= 1/12
)-?, 5
М
м
с
С1-?
Зная период Т, можно найти циклическую
частоту (формула 1.5):
Так как хш = 0,5 м, уравнение для данного случая будет иметь
х = 0,5sinGrt + ^o) м- (я)
Найдем (fQ. При i = 0 значение смещения равно 0,25 м. Подставим
это в уравнение (а):
0,25 = O,5sin<^o; sln^o = 0,5.
Отсюда
(р® = arcsinO, 5 = тг/6.
О учетом этого мож:ем записать уравнение x(t):
х = 0,5sinGrt + тг/6) м. (б")
Для того, чтобы найти значение смещения в момент времени
t\ — 1/12 с, надо это значение подставить в уравнение (б):
График колебания, имеющего начальную фазу, проще строить,
откладывая по горизонтальной оси не время, а фазу. Сначала
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
49
построим график колебательного процесса, соответствующего
уравнению
a/ = 0,5sin7r? (при <??0 = О).
Этот график изображен на рис. VI 1.30 штрихами и соответствует
синусоиде. График колебательного процесса, описываемого
уравнением E), должен опережать синусоиду на тг/6: ему на
рис. VI 1.30 соответствует график, нарисованный сплошной линией.
Если же надо
построить график, '
отложив по оси *
абсцисс время, то
надо найти, на
сколько секунд ^
опережают колеба-
колебания, соответствую _о,б
ющие уравнению,
синусоиду. Найдем
это, составив пропорцию, как указано в п. 3 методических
указаний:
Т = 2с —> (р = 2тт,
Рис. VII.30
С учетом этого график зависимости смещения от времени для
условия задачи изображен на рис. VII.31 сплошной линией.
^ 0,17 с
3 t, с
-0,5-
Рис. VII.31
6. Дано дифференциальное уравнение гармонических колеба-
колебаний тела: 0,2ж;/ + 20ж = 0 (уравнение записано в СИ). Найдите пе-
период колебания пружинного маятника. Запишите формулы зави™
симости x(t) и v(t), считая, что полная энергия маятника 0,4 Дж.
4 С. В. Трубецкова
50 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
О 9 /; л. 90 ^0 Дифференциальное уравнение, данное в
' задаче, приведем к стандартному виду A.3),
5 ^ж поделив на коэффициент перед xff:
т — ?
Коэффициент перед х соответствует ш2
(ш2 = 100). Поэтому, используя формулу
A.5), можно найти период:
ш = 10 A/с); Г = 2тт/ш « 0,6 (с).
Можно к тому же результату прийти несколько иначе. Диффе-
ренциальное уравнение колебаний получается из второго закона
Ньютона: та = Рупр; тх11 = —кх; mxff + кх = 0.
Сопоставив последнее уравнение с данным в условии, можно
найти, что т = 0,2 кг, к = 20 Н/м. Поэтому можно найти период:
Полная энергия маятника равна его максимальной потенциаль-
потенциальной энергии: W = кх^/2^ хт — амплитуда колебаний. Отсюда
найдем значение амплитуды:
к
Теперь можно записать формулы зависимости x(t) и v(t) в соот-
соответствии с A.4;) и A.6;).
ж(*) = 0,2совA0*)м;
v(t) = х1 = -0,2- 10sinA0t) = 2cosA0t + 7r/2) (м/с).
7. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, со-
совершают в одном и том же месте за некоторое время один 30
колебаний, другой — 36 колебаний. Найдите длины маятников.
Так как за одно и то же время пер-
первый маятник совершает меньшее чис™
ло колебаний, то его период больше и,
соответственно, больше длина. По™
этому
h = h + A'. (a)
Запишем формулу для периодов коле™
баний первого и второго маятников:
А/
g =
ПП2-
к~
= 22 см
const
= 30
=0
?
,22 м
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
51
g у g
О другой стороны, Т\ и Т2 можно найти следующим образом:
t
Т2 = —. ((
п2
С учетом формул (а) и (в) уравнения (б) можно переписать:
{б)
= t/nll
Поделим уравнение (г) на (<?). Произведя возмож:ные сокраще™
ния, получим:
h
Возведя обе части равенства в квадрат и решив полученное
уравнение, найдем 12:
п\
h
n\l2 =
12 = 0^5 м;
njAl
— nf
[h] = м;
= 12 + А1 = 0,77м.
8. Как надо изменить длину математического маятника, что™
бы его период увеличился в 2 раза?
Запишем формулу для периода математи-
математического маятника для обоих случаев:
Т2 = 27\
Поделим первое уравнение на второе:
т2 [к
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
4*
52
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Используя условие задачи, получим:
=(Щ = 4.
Для того, чтобы период математического маятника стал больше
в два раза, его длину надо увеличить в 4 раза.
9. Как изменится период колебаний математического маят-
маятника при переносе его от основания холма на вершину? Высота
холма 1 км. Радиус Земли 6400 км.
i _ -I Т — период маятника на высоте /г, То — у
гь — л км г-х
п ^.^^ основания холма. Отношение периодов равно
R = 6400 км
go — ускорение свободного падения у основания холма, g —
на его вершине. Используя формулу для ускорения свободного
падения, полученную из закона всемирного тяготения (пункт 4
методических указаний), получим:
Увеличится в 1,00016 раза.
10. Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Опре™
делите, с каким периодом начнет совершать колебания этот груз
на пружине, если его вывести из положения равновесия.
Пружина под действием груза массой
m удлинилась, и пока груз покоится, его
сила тяжести равна силе упругого натя™
жения пружины (рис. VII.32):
х = 1см = 0,01м
Т — ?
= mg.
По закону Гука сила упругости равна
правые части этих уравнений, получаем:
mg = кх.
= кх. Приравнивая
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
53
Отсюда найдем жесткость пружины к:
mg
к =
х
Подставим полученное соотношение в форму™
лу для периода колебаний пружинного маятника
A.8):
[Т] = v/m-c2/m = с;
о
\ mg
Рис. VII.32
11. Самое высокое место, обжитое человеком на Земле, на™
ходится на высоте 6200 м над уровнем моря. Как будут идти ма-
маятниковые часы, выверенные на этой высоте, если их перенести
на уровень моря? Радиус Земли 6400 км.
При перемещении маятниковых часов
с высоты h на уровень моря уменьшается
период (соответственно увеличивается ча-
частота) колебаний маятника, так как уско-
ускорение свободного падения при уменьше™
нии h возрастает. Поэтому часы, выверен™
ные в горах, будут уходить вперед на уровне моря.
Пусть п$ — число колебаний маятника, поворачивающее ча-
часовую стрелку на два оборота за to = 24 ч, То — период колебаний
маятника на высоте Л,, где часы идут верно. В соответствии с A.2)
запишем:
h =
R =
At
6200
= 6,4-
_?
м
10е
м
Так как на уровне моря период колебаний маятника Т уменьшит™
ся, то количество колебаний щ маятника совершится за меньшее,
чем 24 ч, время t, которое равно: t = щТ. За сутки часы будут
спешить на время At = to — t. Преобразуем выражение для At,
используя соотношение (а), к виду
Т \
(б)
Найдем отношение периодов Т/Tq:
go — ускорение свободного падения в горах, g — на уровне моря;
54
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Из закона всемирного тяготения следует, что ускорение свободно-
свободного падения на высоте h и на уровне моря, соответственно, равны:
g^ R2 J {2}
7 — гравитационная постоянная, М — масса Земли, R — радиус
Земли. Используя формулы (г), соотношение (в) можно записать
в виде
Т R
С учетом последнего выражения найдем время, на которое часы
уходят вперед за сутки на уровне моря:
At = to(l-
R + hJ R + h1
[At] = с • м/м = с; At = 8,36 с.
12. Период колебания маятника, подвешенного к потолку
кабины неподвижного вертолета, равен 2 с. Найдите период его
колебаний, если а) вертолет летит горизонтально с постоянной
скоростью; б)вертолет летит горизонтально с ускорением 2 м/с2;
в) вертолет поднимается вверх с ускорением 2 м/с2; г) вертолет
опускается вертикально вниз с ускорением 2 м/с . Радиус Земли
6400 км.
а) Вертолет, летящий с постоянной сю>
ростью, является инерциальной системой
отсчета. Поэтому период колебания ма-
маятника, находящегося в
равным Т\ = Т = 2 с.
б) При движении вертолета с ускорени-
ускорениТ = 2 с
а = 2 м/с2
нем, останется
ТО ГТ1 О
1—Г, i2 — '?
i3 — -5 ^4— '
ем сила натяжения подвеса маятника изменяется. Поэтому надо
говорить о некотором результирующем ускорении ^рез = g ~ о,-
Эту разность можно заменить сложением векторов:
+ (-а).
Из рис. VII.33 а, видно, что в этом случае
Поэтому период колебаний равен
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
55
Так как длина подвеса маятника неизвестна, надо еще запи-
записать уравнение колебаний для маятника в неподвижном верто™
лете:
а
{б)
Поделим уравнение (а) на
(б):
g
т
Отсюда найдем
g
рез g
g
gpes
Рис. VII.33
а
gpes
g
в) Найдем
(рис. VII.33 6):
при подъеме вертолета с ускорением
Т
/
V
g + a
,8с.
г) При равноускоренном опускании вертолета gpe3 равно
(рис. VI 1.33 в):
Тл =
13. Груз массой 200 г, связанный с пружиной, совершает
120 колебаний в минуту с амплитудой 0,1 м. Определите жест-
жесткость пружины, скорость груза при прохождении положения
равновесия и кинетическую энергию через 1/24 с после момента
прохождения положения равновесия.
56
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
т =
п =
t =
хт
t =
к-
= 0,2 кг
= 120
1 мин =
= 0,1 м
1/24 с
60
?
С
Wk-7
Рис. VII.34
Найдем период колебания
пружинного маятника:
t
п
Зная период, можно найти жесткость пружины (из формулы
A.8)):
~ ^; [^] = (кг/с2)(м/м) = Н/м; Л = 31,55 Н/м.
к =
Потенциальная энергия пружины при ее деформации, а следова-
тельно, и энергия связанного с ней тела, равна: Wn = кх2/2, где
х — удлинение пружины (рис. VI 1.34).
Так как трением в системе пренебрегаем, то можно исполь™
зовать закон сохранения механической энергии. В момент, когда
груз проходит среднюю точку, вся потенциальная энергия пру™
жины переходит в кинетическую, и скорость тела максимальна.
Поэтому можем записать: И^п.т = WK,m.
В момент наибольшего отклонения величина удлинения пру-
пружины равна амплитуде (х = хт). С учетом этого запишем:
; отсюда vm = хтЛ/к/т\
= м
кг-м
= м/с; vm = 1,25 м/с.
м-кг у См-кг
Запишем уравнение гармонических колебаний груза, отсчитывая
время от момента нахождения тела в положении равновесия: х =
= xmsinu)t.
Так как ш = 2тг/Т = 2тг/0,5 = 4тг A/с), жт = 0,1 м, тож =
= 0, Isin47rt.
В момент времени t = 1/24 с значение смещения от положения
равновесия будет равно
х = 0,1 • sinD7r/24) = 0,1 sinGr/6) = 0,1 -0,5 = 0,05 (м).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
57
При смещении тела на расстояние х от положения равновесия,
спустя 1/24 с, оно обладало потенциальной и кинетической энер™
гиями. В соответствии с законом сохранения, сумма кинетиче-
кинетической и потенциальной энергий в этой точке равна потенциальной
при наибольшем отклонении (или кинетической в положении
равновесия):
1 Ж Г i 1 Ж Г tbJbjji / Т Ж/¦ I ? Ж Т ТП \
W ~т~ W —— {ИЛИ W ~т" W —— )
2 v 2 ;*
Найдем WK в указанный момент времени:
к^ 2 ^^ ~ 2 к^ ' ^Ж*
Тот ж:е результат получится, если воспользуемся законом
сохранения энергии в форме, записанной выше в скобках.
14. Маятник с длиной подвеса 1 м отклонили на угол 60°
от положения равновесия и отпустили. Определите наибольшую
скорость маятника. Найдите, на какой высоте скорость маятника
будет равна 1 м/с.
В точке наибольшего отклонения 1
(рис. VII.35) потенциальная энергия рав-
равна Wni = mghi, h\ — высота относитель-
относительно нулевого уровня энергии, выбранного на
уровне точки равновесия 2. Кинетическая
энергия в точке 1 равна нулю (WKi = 0).
вся потен™
1 = 1 м
а = 60°
г?з = 1 м/с
Vm-
В точке 2
циальная энергия прев™
ратилась в кинетическую,
которая в этой точке мак™
симальна: WK2 = mv^/2, a
Wn2 = 0.
В соответствии с законом
сохранения энергии можно
записать:
mghi = —^; vm = \/2ghi. Рис. VII.35
2
Из рис. VII.35 видно, что hi = l — d\ d найдем из АОЛВ: d =
= Icosa;
hi = I — I cos a = /(! — <
t = y/2gl(l-cosa); [vm] =
• м = м/с;
^ 3,13 м/с.
58
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
В точке 3 маятник обладает и кинетической и потенциальной
энергией, которые в сумме равны либо максимальной кинетиче-
кинетической, либо максимальной потенциальной энергии:
или
Отсюда можно найти
А/Г2 1Л ,,2 1Л
м /с —м /с
2gf
/2
м/с2
= 0,45 м.
15. Цилиндрический брусок длиной I находится в равнове-
равновесии в вертикальном положении на границе раздела двух жид-
жидкостей и делится этой границей на две равные части. Найдите
период малых вертикальных колебаний бруска, если плотность
верхней жидкости р, плотность нижней — 2р. Силами трения
пренебречь, брусок полностью находится внутри жидкостей.
На брусок действуют три силы: сила тя-
тяжести mg и две силы Архимеда — со сто-
стороны первой и второй жидкостей — F\ ш F2
(рис. VI 1.36 а). Брусок плавает внутри жидко-
жидкостей, поэтому силы связаны первым законом
Ньютона:
I
pi = р
Т — ?
ИЛИ
I
Выразим силы F\ и F2 и
массу бруска через плотно™
сти:
ptVg pSlg
п
1г =
F2 =
2 2
P2yg = 2pSlg
2 2
т = РвУ =
I
II
t mg- -
= pSlg; z-i-i-i-j ™ ™
mg -
Рис. VII.36
S — площадь поперечного сечения бруска, рб — плотность бруска,
V = SI — объем бруска. Эти формулы подставим в условие
плавания (а) и найдем плотность бруска:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ59
^ 0; /об = 1,5р.
При смещении бруска от положения равновесия на величи-
ну х вниз, величина F\ уменьшается, a F2 — увеличивается
(рис. VII.36 б). Значения сил Архимеда определятся по формулам:
Равнодействующая сила Я, действующая на брусок при его
погружении на глубину ж, равна
R = p[ + F2 + mg, или
Из полученной формулы видно, что равнодействующая сила
прямо пропорциональна смещению бруска х. Кроме того, при
углублении бруска равнодействующая R направлена вертикаль-
вертикально вверх, к положению равновесия, т.к. F2 возрастает на боль™
шую величину, чем убывает F\.
Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что фор™
мула для равнодействующей силы не изменится, если брусок
сместить на величину х вверх. И направлена равнодействующая
будет также к положению равновесия (уже вниз).
Таким образом, для данного случая равнодействующая обла-
обладает свойствами квазиупругой силы. Коэффициент квазиупру™
гой силы определяется произведением к = pgS.
Так как масса бруска т = p^Sl = 1,5p*S7, то можем получить
формулу для периода колебаний бруска:
16. Звуковая волна распространяется со скоростью 330 м/с,
частота звука 1000 Гц. Найдите разность фаз колебаний точек,
расположенных на расстоянии 16,5 см.
v = 330 м/с
v = ЮОО Гц
г = 16,5 см
Расстояние между ближайшими двумя
точками, колеблющимися в одной фазе, рав-
равно длине волны Л. Разность фаз этих точек
равна 2тг рад. А точкам, находящимся на рас-
расстоянии г, соответствует некоторая разность
60 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
фаз Аср, которую надо найти. Запишем это в виде пропорции:
А —> 2тт рад
г —^ А(р.
Отсюда
2ттг
Для нахождения длины волны используем соотношение A.10):
А = v/и. С учетом этого
2тгги
Atp = ;
v
рад • м • с
[А(р] = = рад.
м-с
А(р = тт.
Точки, расположенные на расстоянии 16,5 см, колеблются со
сдвигом по фазе на тг рад, то есть в противофазе.
17. Эхо, вызванное ружейным выстрелом, дошло до стрелка
через 4 с после выстрела. На каком расстоянии находится пре™
града, от которой произошло отражение звука? Скорость звука
считать равной 340 м/с.
± _ л При прохождении звука от момента вы-
, стрела до того, как его услышит стрелок,
~~ звуковая волна пройдет путь s = 2d. Поэтсь
, ? му можно записать, что v = 2d/t, и d = vt/2.
[d] = —c = m; d = 680 м.
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И
ВОЛНЫ
Содержание теоретического материала
Свободные электромагнитные колебания. Колебательный
контур. Превращение энергии при электромагнитных колеба-
колебаниях. Период собственных колебаний колебательного контура
(формула Томсона). Вынужденные электрические колебания.
Резонанс в электрической цепи.
Переменный электрический ток. Генератор переменного тока.
Эффективные значения напряжения и тока. Трансформатор.
Электромагнитное поле. Электромагнитные волны, скорость
их распространения.
Контрольные вопросы
2.1. Какие колебания называются электромагнитными?
2.2. Что собой представляет электрический колебательный
контур (идеальный и реальный)?
2.3. При каких условиях возникают в колебательном контуре
электромагнитные колебания?
2.4. Какие электромагнитные колебания называются свобод™
ными?
2.5. Назовите и дайте определение основным характеристик
кам электромагнитных колебаний: периоду, частоте, амплитуде.
2.6. Каков механизм возникновения электромагнитных ко™
лебаний в контуре? Какие превращения энергии в нем происхо-
происходят?
2.7. Как получается дифференциальное уравнение для опи-
описания процессов в колебательном контуре? Напишите решение
этого уравнения.
2.8. Проведите аналогию между периодическими процесса™
ми в колебательном контуре и механическими колебаниями.
62 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
2.9. Какими формулами определяются период и частота сво-
свободных колебаний в контуре?
2.10. Являются ли свободные колебания в реальном колеба-
колебательном контуре гармоническими?
2.11. Каким образом можно в реальном контуре создать
незатухающие электромагнитные колебания?
2.12. Какой ток называется переменным?
2.13. Каков принцип получения переменного тока?
2.14. Каковы особенности цепи переменного тока, содержа-
содержащей электрическое сопротивление — резистор?
2.15. Каковы особенности цепи переменного тока, содержа-
содержащей конденсатор?
2.16. Каковы особенности цепи переменного тока, содержа-
содержащей катушку индуктивности?
2.17. В одном ящике находится резистор, в другом конденса-
конденсатор, в третьем — катушка индуктивности. Выводы подключены
к внешним зажимам. Как, не открывая ящиков, узнать, что
находится в каждом из них? Имеются источники постоянного и
переменного тока одинакового напряжения и лампочка, рассчи™
танная на это напряжение.
2.18. Как изменится накал лампы
(рис. VII.37), если: а) увеличить емкость л С
конденсатора? б) параллельно конденсатору
включить еще один конденсатор? в) второй
конденсатор подключить последовательно?
г) увеличить частоту переменного тока? р у„ „-
Величину напряжения считать постоянной.
2.19. Лампа накаливания включена
Л L последовательно с катушкой индуктивно-
о fVi ПГОЮ сти (Рис- VII.38). Как изменится накал
^-^ лампы, если: а) внутрь катушки вдвигать
ферромагнитный сердечник? б) уменьшить
Рис. Vii.tS» частоту переменного тока? Величину на-
напряжения считать постоянной.
2.20. Какой формулой определяется сопротивление перемен-
переменному току цепи, содержащей последовательное соединение рези-
резистора, конденсатора и катушки индуктивности? Запишите закон
Ома для такой цепи.
ОТВЕТЫ 63
2.21. Какие электромагнитные колебания называют вынуж-
вынужденными?
2.22. При каком условии происходит резонанс в электриче-
электрической цепи?
2.23. Объясните, как происходит явление резонанса в це™
пи с последовательным соединением резистора, конденсатора и
катушки индуктивности?
2.24. Как определить мощность, выделяющуюся в цепи пе-
ременного тока?
2.25. Как определяются действующие (или эффективные)
значения силы переменного тока или напряжения?
2.26. В чем назначение и каков принцип действия трансфер™
матора?
2.27. Почему трансформатор при подключении к источнику
постоянного тока может сгореть?
2.28. В чем заключаются основные положения теории Макс-
Максвелла?
2.29. Что собой представляет электромагнитная волна и как
она возникает?
Ответы
2.1. Периодические изменения силы тока и напряжения, свя™
занные с колебательным движением свободных электронов в це-
пи, являются электрическими колебаниями. Так как колебатель™
ное движение зарядов вызывается периодическим изменением
напряженности электрического поля в проводниках, а меняю-
меняющийся электрический ток порождает переменное магнитное поле
вокруг проводника, то совокупность этих явлений называется
чаще электромагнитными колебаниями.
2.2. Реальный колеба™
тельный контур — это элек-
электрическая цепь, состоящая из
последовательно соединен™ L Щ С , L Щ С:
пых катушки индуктивности,
конденсатора и омического
сопротивления. Последнее
чаще всего равно сумме со™ а
противлении соединительных рис
проводов и витков катушки
64 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
(рис. VI 1.39 а). Если же сопротивление очень мало, то контур
называют идеальным (рис. VI 1.39 б).
2.3. Так же, как и при воз™
буждении механических колеба™
ний, систему надо вывести из со-
состояния равновесия, сообщив в
г колебательный контур энергию.
Это можно сделать, зарядив кон-
конденсатор от внешнего источни-
источника напряжения (рис. VII.40). При
этом между обкладками возни™
Риг VII 40
V11-w кает электрическое поле, которое
обладает энергией. Можно также в катушке возбудить ЭДС
индукции, поместив ее в меняющееся магнитное поле.
2.4. Электромагнитные колебания, происходящие в колеба™
тельном контуре за счет расходования однократно сообщенной
этому контуру энергии, которая в дальнейшем не пополняется,
называют свободными электромагнитными колебаниями.
2.5. Период, частота и амплитуда для электромагнитных
колебаний определяется точно так же, как и для механических
колебаний.
Период (Т) — время одного полного колебания. Изменяться
по величине могут напряжение, сила тока, заряд на обклад-
ках конденсатора, а также напряженность электрического по-
поля внутри конденсатора, индукция магнитного поля катушки и
вызванная изменением магнитного поля электродвижущая сила
индукции; причем периоды у всех названных величин в колеба-
колебательном контуре одинаковы; частота (и) — число колебаний за 1
с; амплитуда — величина наибольшего отклонения той или иной
величины от среднего значения (чаще всего среднее значение
названных выше величин равно нулю).
2.6. При зарядке конденсатора между его обкладками воз-
возникает электрическое поле (рис. VII.41 а). Время начнем отсчи-
отсчитывать от момента подключения заряженного конденсатора к
катушке. В начальный момент времени в контуре имеется за-
запас энергии, равный энергии электрического поля конденсатора:
Шэ = CU2/2 = q2fBC) (рис. VII.41 аI). На рис. VII.42 построены
графики зависимости от времени напряжения и силы тока в
' Рассматривая процессы в контуре, одновременно будем следить, как
ведут себя графики зависимости силы тока и напряжения от времени.
ОТВЕТЫ
65
LI
= 0
а
0< t <
< t < t2
г
= Т/2
< t < t4
3
Рис. VII.41
колебательном контуре. При t = 0 напряжение на конденсаторе
максимально, а тока в контуре еще нет.
При замыкании заряженного конденсатора на катушку в кон-
контуре идет ток (рис. VI 1.41 б — по часовой стрелке). Согласно
правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, препят-
препятствующая нарастанию тока, вызванного разрядом конденсатора.
Поэтому сила тока увеличивается не мгновенно, а постепенно.
В промежуток времени от 0 до t\ происходит полный разряд
конденсатора. При этом изменение заряда на нем Aq = Ц2^ Ч\ <
< 0, поскольку q2 < q\ (при разряде). Так как величина силы
тока / = Aq/At, то на указанном промежутке времени сила тока
отрицательна (/ < 0) (рис. VII.42).
5 СВ. Трубецкова
66
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
При разряде конденсатора уменьшается напряженность элек-
электрического поля Е (сохраняя прежнее направление) и напря-
напряжение U между его обкладками. Следовательно, уменьшается и
энергия электрического поля в конденсаторе. При увеличении
силы тока в катушке появляется магнитное поле (рис. VII.41 б),
индукция которого В меняется пропорционально силе тока.
Энергия магнитного поля внутри катушки определяется форму™
лой WM = Ы2/2. Поэтому при увеличении значений силы тока
в промежутке времени от 0 до t\ возрастает от нуля энергия
магнитного поля. Следовательно, происходит превращение элек™
трической энергии в магнитную, то есть энергия переходит из
конденсатора в катушку индуктивности.
и
Рис. VII.42
К моменту времени t\ конденсатор полностью разряжает-
разряжается ([/ = 0), и электрическое поле в нем отсутствует (Е = 0)
(рис. VII.41 в). К этому времени сила тока в контуре и индукция
магнитного поля В в катушке достигают максимальных зна™
чений. Следовательно, W3Jl = 0 и WM = И^тах, т.е. вся энергия
контура в этот момент связана с магнитным полем катушки.
На графике, изображенном на рис. VII.42, этому моменту также
соответствует время t\.
При отсутствии напряжения на конденсаторе ток в цепи дол™
жен был бы исчезнуть. Однако при уменьшении тока в катушке
возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая исчезновению
тока. Поэтому в контуре идет ток прежнего направления, умень-
уменьшаясь по величине (рис. VI 1.41 г). Это приводит к перезаряд™
ке конденсатора: на его пластинах возникают заряды, противо-
противоположные исходным (сравните рис. VII.41 а и рис. VII.41<?).
Вектор напряженности электрического поля в момент времени
#2 направлен противоположно тому, который был вначале (при
t = 0). Таким образом, в промежуток времени от t\ до t<i сила
тока убывает до нуля, а напряжение противоположного знака
ОТВЕТЫ 67
возрастает до максимального значения (рис. VII.42). В соот™
ветствии с этим энергия магнитного поля катушки убывает и
полностью превращается в энергию электрического поля внутри
конденсатора к моменту времени t<i.
Дальше конденсатор вновь начинает разряжаться
(рис. VII.41 е), через контур идет ток, направленный уже
против часовой стрелки. Меняется также направление вектора
индукции магнитного поля, создаваемого током. Ток не может
сразу достигнуть максимального значения, так как возникшая в
катушке ЭДС самоиндукции препятствует быстрому нарастанию
тока (промежуток времени t^—t^ на рис. VI 1.42). В этот
промежуток времени напряжение уменьшается, сила тока
возрастает. Следовательно, энергия электрического поля
опять переходит в энергию магнитного поля. К моменту
времени t% конденсатор полностью разрядился (U = 0), а
сила тока достигает максимального значения. То есть вся
энергия электрического поля контура превратилась в энергию
магнитного поля.
Далее, в интервале времени от t$ до t^ возникшая в конту™
ре ЭДС самоиндукции поддерживает убывающий ток, который
перезаряжает конденсатор. Причем полярность пластин теперь
будет такая же, как в момент времени tg.
К моменту времени t^ ток в контуре прекращается. При этом
магнитное поле исчезает, а напряжение на обкладках конден™
сатора и, соответственно, напряженность электрического поля
внутри него максимальны. Следовательно, к моменту времени
#4 вся энергия колебательного контура сосредоточена в конден™
саторе, произошло опять превращение энергии магнитного поля
в энергию электрического поля. Из сравнения рис. VI 1.41 а и
рис. VI 1.41 5видно, что колебательный контур пришел в исходное
состояние.
В моменты времени, соответствующие рис. VII.41 б', г, е, з,
энергия в контуре есть и электрическая — между пластинами
конденсатора, и магнитная — в катушке. Но сумма их остается
неизменной, если контур можно считать идеальным, т.е.
„, си2 ы2
W — 1 — const.
Zi Zi
Таким образом, в колебательном контуре происходит периодиче™
екая перекачка энергии из электрического поля конденсатора в
магнитное поле катушки и наоборот.
На рис. VII.42 изображены графики зависимости от времени
5*
68 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
силы тока и напряжения в колебательном контуре. В соответ™
ствии с определением периода видно, что нами был рассмотрен
промежуток времени (от 0 до ?4), равный периоду — Т. Поэто™
му можно обозначить t± = T', и соответственно долями периода
считать отрезки времени: t\ = Т/4, t<i = Т/2, t$ = ЗТ/4.
2.7. Для описания процессов в идеальном колебательном
контуре надо применить второй закон Кирхгофа:
п к
г=1 г=1
п — число участков цепи, на которых создается падение напря-
напряжения, к — число источников ЭДС в замкнутом контуре.
Падение напряжения в любой момент времени равно напря™
жению на конденсаторе:
"=§¦
Единственная ЭДС в контуре при свободных колебаниях — это
ЭДС самоиндукции
d/
Поэтому в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно
записать, что в любой момент времени разность потенциалов на
обкладках конденсатора равна ЭДС самоиндукции:
q — заряд на каждой из пластин конденсатора в некоторый
момент времени, / — сила тока в цепи в тот же момент. Сила
тока при разряде конденсатора определяется формулой
dt
С учетом этого уравнение (а) можно преобразовать следующим
образом:
ОТВЕТЫ 69
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение
для заряда на конденсаторе колебательного контура; коэффици-
коэффициент A/(LC)) определяется свойствами колебательного контура
— емкостью его конденсатора и коэффициентом самоиндукции
катушки.
Полученное уравнение имеет тот же вид, что и в случае
механических гармонических колебаний (формула A.3)):
d2x 9
+' = о,
где ш2 = к/т — величина, зависящая от свойств колебательной
системы.
Из сравнения ясно, что коэффициенту ш2 соответствует
Поэтому уравнение (б") можно записать следующим образом:
d2a
—| + uJq = 0 (или qff + uj2q = 0).
Осу
Это уравнение по форме абсолютно идентично уравнению для
механических колебаний, кроме названий переменных: в первом
случае это х — смещение точки от положения равновесия, а во
втором случае — заряд q на обкладках конденсатора. Очевидно,
что решение для заряда также будет подобным тому, что запи-
записано для механических колебаний: q = qMsin(u)t + (fo) или q =
= qMcos(ojt + (po)j qM — максимальный заряд на обкладках, ш
— также как и в случае механических колебаний называется
круговой частотой свободных колебаний (или собственной часто-
частотой); аргумент тригонометрической функции (wt + cpo) определя-
определяет значение заряда в данный момент времени и называется фазой
колебания; (fg — начальная фаза колебаний (то есть значение
фазы при t = 0).
Дифференциальное уравнение для собственных колебаний в
контуре может быть получено также из закона сохранения энер™
гии в идеальном колебательном контуре.
2.8. В ответе на вопрос 1.9 были сформулированы четыре
условия, при которых возникают и существуют механические
колебания. В таблице 1 эти условия записаны для двух коле-
колебательных систем в сравнении.
70
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Таблица 1
Условие
1. Наличие
начального
запаса энергии
2. Наличие
возвращающей
силы
3. Инерцион-
Инерционные явления
4. Отсутствие
потерь энергии
Механический маятник
а) Отклонить груз от рав-
равновесного положения —
сообщить потенциальную
энергию;
б) толкнуть груз, придав
начальную скорость —
сообщить кинетическую
энергию.
Упругая и квазиупругая
сила, которая пропорцио-
пропорциональна смещению х.
Инертность тела массой
т, связанного с маятни-
маятником, препятствующая из-
изменению скорости тела.
Трение и сопротивление
среды пренебрежимо ма-
малы.
Колебательный контур
а) Зарядить конденсатор
— создать в нем электри-
электрическое поле, которое об-
обладает энергией;
б) ток в катушке создает
переменное магнитное по-
поле, которое также облада-
обладает энергией.
Действие на заряды си-
силы со стороны электриче-
электрического поля, создаваемого
заряженным конденсато-
конденсатором F = qE.
Явление самоиндукции,
которое препятствует
изменению тока.
Электрическое сопротив-
сопротивление подводящих прово-
проводов и витков катушки
пренебрежимо мало.
В таблице 2 сопоставляются характеристики колебаний коле™
бательных систем — механических маятников и колебательного
контура.
2.9. Круговая частота связана с периодом и частотой соб™
ственных электромагнитных колебаний контура теми лее форму-
формулами, что и для механических колебаний:
2тг
ш =
Т =
2тт
Последняя формула называется формулой Томсона.
2.10. Нет. В реальном колебательном контуре провода ка-
катушки обладают сопротивлением, поэтому сообщенная в контур
энергия расходуется на нагревание проводов, а также на излуче-
излучение. Поэтому амплитуда силы тока (и, соответственно, напря™
жения) постепенно уменьшается. Следовательно, свободные
ОТВЕТЫ
71
Таблица 2
Механические колебания
Меняется координата тела ж, свя-
связанная с маятником К Скорость
изменения координаты dx/dt —
это скорость v движения тела,
связанного с маятником.
Инертность тела определяет его
масса т (препятствует измене-
изменению скорости тела).
Коэффициент упругой (или ква-
квазиупругой) силы: для пружинно-
пружинного маятника это жесткость пру-
пружины к, для математического —
величина (mg/l).
Потенциальная энергия пружин-
пружинного маятника Wn = кх /2, ма-
математического — Wn = mgh.
Кинетическая энергия тела, свя-
связанного с маятником, WK =
= mv2/2.
Электромагнитные колебания
Меняется заряд q на обкладках
конденсатора. Скорость измене-
изменения заряда dq/dt — это величина
силы тока в цепи.
Ток самоиндукции, возникающий
в катушке, препятствует измене-
изменению тока в контуре и зависит от
коэффициента самоиндукции L.
Сравним формулы для круговой
частоты ш для пружинного маят-
маятника и колебательного контура:
ш2 = к/т; ш2 = 1/(LC).
Так как коэффициент самоиндук-
самоиндукции соответствует массе га, то
аналогом коэффициента жестко-
жесткости будет отношение A/G).
Энергия электрического поля
конденсатора W3Ji = q /BC) =
= CU2/2.
Энергия магнитного поля катушки
WM = LI2/2.
колебания в реальном кон- /
туре являются затухающими
(рис. VII.43).
2.11. Так же, как и при
механических колебаниях, в ко- д
лебательный контур необходимо
периодически и в нужной фа-
фазе вводить энергию. Энергия в
контур поступает в виде энергии
электрического поля при сообще-
сообщении дополнительного заряда на
и
Л
-
Рис. VII.43
^ Как отмечалось выше, в случае, если начало координат совместить
с точкой равновесия, а ось координат направить вдоль касательной к тра-
траектории маятника в этой точке, то при небольших амплитудах колебания
смещение маятника численно равно значению координаты.
72 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
обкладки конденсатора либо за счет увеличения магнитного поля
катушки внешним магнитным полем (обычно посредством явле-
явления взаимной индукции).
Эти процессы осуществляются в электронных схемах, ко-
которые называются генераторами электромагнитных колебаний.
В подобных схемах происходит дозированная подача энергии в
колебательный контур, и, кроме того, подача ее в той фазе, при
которой энергия контура будет увеличиваться, а не уменьшаться.
Пополнение энергии происходит за счет источника постоянного
тока, который имеется в схеме. Особенностью подобных схем
является то, что поступление энергии в колебательный контур
регулируется работой самого контура посредством специального
устройства, обеспечивающего так называемую обратную связь.
Колебательные системы, которые сами регулируют поступление
энергии от источника энергии, называются автоколебательными.
2.12. Электрический ток называется переменным, если пе-
периодически меняется сила тока и его направление в цепи. Пере™
менный ток возникает при колебательных движениях свободных
электронов в проводниках под действием периодически изменя™
ющегося электрического поля.
2.13. Принцип промышленного получения переменного тока
можно понять на следующем примере.
Возьмем проволочную рамку и расположим ее в сильном
однородном магнитном поле, индукция которого В (рис. VI 1.44).
Концы рамки приварены к двум кольцам 1; которые вращают™
ся вместе с рамкой. К кольцам плотно прижаты два контакта
B) — щетки. Благодаря кольцам и щеткам рамка, несмотря на
вращение, имеет постоянный электрический контакт с внешней
цепью, состоящей из гальванометра Г и потребителя электриче-
электрической энергии R.
Если рамку равномерно вращать в магнитном поле (вокруг
оси OOf)^ то магнитное поле внутри рамки все время меняется в
соответствии с формулой Ф = ВS cos a, S — площадь рамки, а —
угол между нормалью п к плоскости рамки и вектором В. Если
рамка вращается равномерно с угловой скоростью и;, то а = ujt.
Если начальный момент времени выбран так, что при t = О, а = О
(соответствует рис. VII.44), то Ф = BS cosout.
Вследствие изменения магнитного потока через плоскость
рамки, в ней образуется ЭДС индукции, создающая в цепи ин-
индукционный ток. ЭДС, в соответствии с основным законом элек™
тромагнитной индукции, равна
ОТВЕТЫ
73
или S = —BSu)(—sinut) = BSujsmujt.
Из полученной формулы видно, что величина ЭДС меняется
по гармоническому закону. Максимальному (или амплитудному)
значению ЭДС {gm) соответствует множитель перед тригономет-
тригонометрической функцией:
н
А-м
м
с
Дж
Кл
Поэтому можно записать формулу для возникающей в рамке
ЭДС индукции в виде
i
В соответствии с полученной формулой с течением времени
меняется не только величина ЭДС, но и ее знак, что соответствую
ет изменению направления индукционного тока. Действительно,
при вращении рамки по часовой стрелке (рис. VII.44), вначале
ее сторона ab движется вниз, а сторона cd — вверх, пересекая
линии магнитной индукции. Свободные электроны проводника
движутся вместе с рамкой в магнитном поле, поэтому на них
действует сила Лоренца, вызывая движение электронов в опре™
74 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
деленном направлении. Применяя правило левой руки, можно
определить направление тока: ток идет от точки а к 6, в стороне
cd — от с к d: через гальванометр и нагрузку пойдет ток 1\г\
Стороны be и ad рамки движутся в плоскости, параллельной
линиям индукции, и потому ЭДС индукции в них не возникает.
Через половину периода, рамка повернется на 180°: сторона ab
будет двигаться вверх, 6с — вниз; при этом в рамке и во внешней
цепи пойдет ток противоположного направления — 1^.
Колебательное движение электронов в проводнике, проие™
ходящее при вращении рамки в постоянном магнитном поле,
представляет собой переменный электрический ток. Изменение
направления движения электронов является следствием того,
что возникающая в проводнике ЭДС индукции меняет величину
и направление.
Таким образом, при вращении рамки в магнитном поле проис-
происходит превращение механической энергии в энергию переменного
тока.
Машины, превращающие механическую энергию в энергию
переменного электрического тока с использованием явления
электромагнитной индукции, называют генераторами перемен™
ного тока. Приведенный выше пример поясняет устройство
и принцип работы одного из типов генераторов переменного
тока — с неподвижной магнитной системой (индуктором) и
вращающейся обмоткой (якорем), в которой индуцируется
ЭДС. Якорь такого генератора состоит из большого числа
витков, что необходимо для получения большой величины
ЭДС. Однако такой тип генератора маломощен, так как с
помощью подвижных контактов (колец и щеток) практиче™
ски невозможно отводить от генератора ток под высоким
напряжением из-за сильного искрения в них. Поэтому в
мощных генераторах переменного тока обмотку (якорь),
в которой возбуждается ЭДС индукции, устанавливают
неподвижно, а вращаться заставляют магнитную систему —
индуктор.
2.14. При прохождении тока (постоянного или переменного)
по проводнику, обладающему электрическим сопротивлением,
он нагревается. Это объясняется тем, что электроны, ускоряясь
электрическим полем внутри проводника, передают часть своей
' Необходимо вспомнить, что ток направлен противоположно направле-
направлению движения электронов.
ОТВЕТЫ
75
энергии ионам кристаллической решетки. Внутренняя энергия
проводника возрастает — он нагревается, а при большей тем-
температуре может излучать свет. При этом тепловая и световая
энергии с поверхности проводника рассеиваются в окружаю-
окружающем пространстве. Проводники, в которых происходит полное и
необратимое превращение электрической энергии в другие виды
энергии, называются активными.
и
R
Рис. VII.45
Пусть на активное сопротивление подано переменное напря™
жение (рис. VI 1.45 а), меняющееся по закону
U = Umsinwt. (a)
Используя закон Ома, можно получить формулу для мгновенных
значений силы тока:
U Umsin(ujt)
R R
R '
= Imsmujt,
(б)
/т — максимальное (амплитудное) значение силы переменного
тока. Сравнив формулы (а) и E), можно сказать, что напряже™
ние и сила переменного тока в цепи с активным сопротивлением
изменяются в одной фазе (рис. VI 1.45 б).
2.15. Конденсатор — это система из двух проводников (их
называют обкладками), разделенных диэлектриком. Постоянный
ток в цепи с конденсатором не идет, так как диэлектрик между
обкладками разрывает электрическую цепь, и поэтому сопро-
сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно большое.
Если же конденсатор включить в цепь с источником переменного
тока, то электроны совершают колебательное движение от одной
обкладки к другой по внешней цепи. Это компенсирует наличие
разрыва в цепи (рис. VI 1.46 а).
76
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
и
:С
U
Рис. VII.46
Задавая гармонический закон изменения напряжения U =
= UfnSinujtj получаем закон изменения силы тока. Мгновенные
значения заряда и силы тока определяются формулами
Взяв производную, получим: / = Gl7ma;cosa;t. Множитель не™
ред тригонометрической функцией соответствует амплитудному
значению силы тока:
/m = CUmuj;
Следовательно, если U = f/msina;t, то / = Imcosujt = /msm(a;i +
+ тг/2). Получили, что сила переменного тока в цепи с
конденсатором опережает напряжение на нем по фазе на
тг/2 (рис. VI 1.46 б). Перепишем формулу для 1т в виде,
соответствующем закону Ома:
_ kJ rn U ГП
m 1/иоС
Отсюда видно, что роль сопротивления играет величина Xq =
= 1/(о;С), которую называют емкостным сопротивлением кон™
денсатора переменному току:
1
с\ =
с-В В
1Г~ = Т = Ом.
А-с А
Ф/с Кл
Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте
переменного тока и емкости конденсатора. Это можно объяснить
из физических соображений. Чем больше емкость конденсатора
G, тем больший заряд накапливается в нем при каждой зарядке
и больший ток проходит в цепи при его перезарядке (/ = dg/dt,
dg при большей емкости будет больше).
ОТВЕТЫ 77
Чем больше частота приложенного напряжения, тем быстрее
заряд перетекает от обкладки к обкладке (меньше время dt
протекания заряда). Поэтому сила тока увеличивается. Увеличе-
Увеличение силы тока при постоянном напряжении может происходить
только при уменьшении сопротивления цепи.
Конденсатор при зарядке потребляет энергию электрического
тока, которая превращается в энергию электрического поля; при
разрядке конденсатора наоборот: энергия электрического поля
превращается в энергию тока. Такие элементы цепи называются
реактивными, в целом за период они не потребляют энергию:
происходит периодическая перекачка энергии от источника тока
в конденсатор и от конденсатора к источнику.
2.16. Если катушку включить в цепь постоянного тока,
то ее сопротивление будет определяться только электрическим
сопротивлением проводника R = pl/S, (активное сопротив-
сопротивление). В цепи переменного тока в катушке возникает ЭДС
самоиндукции, которая препятствует любому изменению тока
и поэтому создает дополнительное сопротивление, называемое
индуктивным. Таким образом, если от внешнего источника на
катушку подана электродвижущая сила $ и кроме нее действует
ЭДС индукции ^и, то можно записать II закон Кирхгофа:
R — величина электрического сопротивления соединительных
проводов и проводов катушки. Рассмотрим идеальный случай,
когда R « 0 и сопротивление источника тока тоже мало. В таком
случае можно считать, что $ = С/, U — напряжение на зажимах
источника тока или напряжение на катушке. Поэтому можно
записать, что
и + ?и = 0; U = -?ъ = L— (или Ы').
at
Пусть сила тока в цепи меняется по закону / = /msma;t; взяв
производную, найдем закон изменения напряжения:
U = LImujcos(ujt) = l7msin(cjt + 7r/2),
Um — амплитудное значение напряжения на катушке:
Um = Ытш.
Из полученной формулы видно, что напряжение на катушке опе-
опережает силу тока на тг/2 (рис. 47). Последнюю формулу можно
привести к форме, соответствующей закону Ома:
78
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
и
и
Рис. VII.47
/т =
Urn
(jjL
Ur
= ujL — индуктивное сопротивление катушки.
Катушка индуктивности, так же, как и конденсатор, является
реактивным сопротивлением, то есть потребляемая ею энергия
от источника тока за период изменения напряжения равна
нулю. При подаче напряжения на катушку возникает ток само-
самоиндукции, препятствующий, в соответствии с правилом Ленца,
возрастанию тока в цепи; в катушке возникает магнитное поле,
обладающее энергией. Далее, при убывании тока в цепи, энер-
гия магнитного поля уменьшается, возникает ток самоиндукции,
который поддерживает ток в цепи, препятствует его убыванию:
энергия магнитного поля превращается в энергию электрическо-
электрического тока.
2.17. Резистор, если накал лампочки при подключении ис-
источника постоянного и переменного тока одинаков; катушка, если
накал на переменном токе меньше; конденсатор, если лампочка
при постоянном токе не горит.
2.18. Накал лампы меняется следующим образом: а), б) уве-
увеличится; в) уменьшится; г) увеличится.
2.19. Накал лампы меняется следующим образом: а) умень™
шится; б) увеличится.
2.20. Если в колебательный контур включить источник пе™
ременной ЭДС, то в цепи пойдет переменный ток (рис. VII.48).
Цепь последовательная, поэтому мгновенные значения силы то™
ка в каждой точке цепи одинаковы. Что касается напряжений,
они изменяются по-разному на всех элементах цепи: изменения
напряжения на резисторе совпадают по фазе с изменениями силы
ОТВЕТЫ
79
Ur
UC
тока, изменения напряжения на
конденсаторе отстают на тг/2
от колебаний силы тока, а на
катушке индуктивности — опе-
опережают на тг/2. Поэтому, если
складывать величины напря™
жений без учета сдвига по фазе,
то сумма напряжений Ur, Uc,
Ul не будет равна величине
приложенного напряжения U
(как это выполняется в цепи с последовательным соединением
резисторов).
Аналитически или с помощью векторной диаграммы можно
получить формулу, определяющую полное сопротивление Z (или
импеданс) цепи, изображенной на рис. VII.48:
Z =
(XL - ХсJ =
Закон Ома для мгновенных значений силы переменного тока
такой цепи запишется так:
'-г- "
U — мгновенное значение напряжения.
Наличие в цепи переменного тока омического, индуктивного
и емкостного сопротивлений приводит к тому, что в этой цепи
возникает сдвиг фазы ср между силой тока и напряжением, ве-
величину которого можно определить по формулам
tg(f =
R
= arctg
R
R
—,
R
= arccos —.
Z
2.21. Как и в случае механических колебаний, электромаг-
электромагнитные колебания, возбужденные в колебательном контуре, со
временем затухают. Если в колебательный контур периодически
подавать энергию (например, от внешнего источника переменно-
переменного тока), колебания уже будут не свободными, а вынужденными.
Частота вынужденных колебаний в контуре всегда равна частоте
изменения переменной ЭДС, включенной в контур.
80
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
2.22. Резонанс в электрической цепи происходит при равен-
равенстве частоты напряжения (или ЭДС) внешнего генератора соб™
ственной частоте колебательного контура, ujq = 1/yLC.
Если возвести обе части этого равенства в квадрат и произве-
произвести небольшие преобразования, то можно получить соотношения:
Получили, что при резонансе индуктивное сопротивление конту-
контура становится равным его емкостному сопротивлению.
2.23. К цепи, состоящей из последовательно соединенных
резистора, конденсатора и катушки индуктивности, подключен
источник переменного напряжения (рис. VI 1.48). При отсутствии
резонанса полное сопротивление цепи Z = у R2 + (Xl — XqJ и
амплитуда силы тока определяется в соответствии с законом
Ома:
/m =
Так как при резонансе Х^ = Xqj to полное сопротивление цепи
Z становится равным его активному сопротивлению, то есть Z =
= R. При этом амплитуда силы тока увеличивается и становится
равной jr
^т(рез) = ~д~-
На рис. VII.49 приведен гра™
фик резонансной кривой, по-
показывающей характер измене™
ния амплитуды силы тока при
изменении частоты питающего
напряжения. Чем меньше ак-
активное сопротивление цепи Д,
тем острее резонанс. График
1 на рис. VI 1.49 соответствует
меньшему сопротивлению, чем
график 2 (Дх < Д2).
Резонанс при последовательном соединении Д, Х^ и Хс
называют резонансом напряжений, так как при этом значение
каждого из напряжений Ul и Uq может значительно превышать
приложенное напряжение U (поскольку сильно возрастает сила
тока). При резонансе значения этих напряжений одинаковы и
равны
Риг VII 49
ОТВЕТЫ 81
L
= Imy —;
UCm = I
Напряжение Ur меняется в одной фазе с силой тока, a Uь
и Uс имеют каждое разность фаз с током /, равную тг/2, но
противоположную по знаку: Ul опережает /, a Uq — отстает.
Следовательно, сдвиг по фазе Ul и Uq равен тг, то есть их
изменения происходят в противофазе и сумма их мгновенных
значений в любой момент времени равна нулю.
Учитывая равенство значений напряжений Ul и Uq пРи ре-
резонансе, получим следующее:
Следовательно, при резонансе источник создает падение напря™
жения целиком на активном сопротивлении R. Сумма напряже-
напряжений Ul и Uс равна нулю (хотя их значения могут быть доста™
точно велики).
2.24. Пусть в некоторой цепи мгновенные значения напря-
напряжения и силы переменного тока меняются в соответствии с фор™
мулами:
U = Umcosujtj I = Imcos(u)t — <?>),
(f — величина сдвига по фазе между силой тока и напряжением.
Мгновенные значения мощности определяются произведением
Р = UI = UmImcosujtcos(ujt — (р).
Используя формулу тригонометрии2^, можно получить следую-
следующее:
UmImco8(p
UmImcoHBujtip)
2 2
Первое слагаемое зависит от времени и меняет знак в соответ™
ствии с законом косинуса. Поэтому половину периода мощность
положительна (в этом случае энергия от источника тока посту™
пает в нагрузку), а вторую — отрицательна (нагрузка отдает
' Приведенное соотношение следует из закона Ома для цепи, пере-
переменного тока: U = I-Z = I ^ R2 + (XL,- ХсJ = л/12К2 + I2(XL - ХсJ =
6 СВ. Трубецкова
82 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
запасенную энергию в цепь). В силу этого средняя за период
мощность, определяемая первым слагаемым, равна нулю. Вто™
рое слагаемое от времени не зависит, поэтому среднее значение
мощности переменного тока определяется формулой
Р = -UmImcos(p. (a)
Из этой формулы видно, что мощность в цепи переменного тока
зависит от сдвига фазы между силой тока и напряжением, то
есть от cos ср.
Рассмотрим частные случаи.
1). В цепи имеется только активное сопротивление. При этом
(р = 0, и
р ^m^m
~ 2
2). Если в цепи только реактивное сопротивление, то ср =
= =Ьтг/2, cosip = 0 и Р = 0. Средняя мощность, потребляемая
цепью с реактивным сопротивлением за период, равна нулю.
Это соответствует физическим процессам, рассмотренным выше
в цепи с емкостью и катушкой индуктивности.
3). Для цепи, содержащей активное и реактивное сопротив-
сопротивления, (р ф 0 и ip ф тг/2; значение ср определится по формулам,
написанным в ответе 2.20. Затем можно вычислить мощность
переменного тока по формуле (а).
2.25. Формулу для мощности переменного тока, выделяю™
щейся на активном сопротивлении, можно записать несколько
иначе:
~ л/2 л/2'
Сравнивать величины переменного и постоянного токов удоб-
удобно по производимому тепловому эффекту, так как тепловое дей™
ствие тока не зависит от его направления (в отличие от химиче-
химического и магнитного действия тока).
Напомним, что при прохождении постоянного тока на омиче™
ском сопротивлении выделяется тепловая энергия, равная
W = P-t = I-U-t.
Если взять участок цепи постоянного тока, на котором при на™
пряжении Um/y2 сила тока равна /т/\/2, то на нем выделится
количество теплоты такое же, как и при переменном токе, ампли™
туды напряжения и силы тока которого, соответственно, Um и /т.
ОТВЕТЫ 83
За действующее (или эффективное) значение силы перемен-
переменного тока принимается сила такого постоянного тока, который
при прохождении через данное сопротивление за тот же про™
межуток времени выделяет такую же тепловую энергию, что и
данный переменный ток.
Для синусоидального тока действующие значения связаны с
амплитудными формулами:
д~ V2' я~ л/2' &*~ у/2'
Все электроизмерительные приборы для переменного тока
проградуированы в действующих значениях. Поэтому везде да™
лее, где указываются характеристики переменного тока — его
сила /, напряжение U и ЭДС $, речь идет о действующих
(эффективных) значениях (если нет специальных указаний).
После введенного понятия действующих значений средняя
мощность, выделяющаяся в цепях переменного тока, определя-
определяется формулой
Р =
называется коэффициентом мощности.
2.26. При передаче электроэнергии на большое расстояние, а
также в случаях, когда электроприбор рассчитан на напряжение,
отличающееся от имеющегося, ток трансформируют: изменяют
его напряжение. Электромагнитный прибор, предназначенный
для преобразования тока одного напряжения в переменный ток
той же частоты, но другого напряжения, называется трансфор-
трансформатором. Простейший трансформатор состоит из ферромагнит-
ферромагнитного замкнутого сердечника, на который надеты две или несколь-
несколько обмоток, провода которых обязательно покрыты изоляци-
изоляцией (рис. VII.50 а). Сердечник состоит из листов специального
трансформаторного железа, изолированных друг от друга. Это
делается для того, чтобы в сердечнике не возникали вихревые
токи, которые в однородном сердечнике вызвали бы его разогрев.
Последнее связано с большими потерями электрической энергии.
Одна из обмоток трансформатора подключается к внешнему
источнику переменного напряжения U\ и называется первичной.
К выводам другой обмотки подсоединяются потребители элек-
электрической энергии, она называется вторичной. Обмотки транс-
трансформатора обладают небольшим активным сопротивлением, но
большим индуктивным. Условное обозначение трансформатора
в схеме представлено на рис. VI 1.50 б.
84
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Рис. VII.50
При подаче переменного напряжения U\ с генератора на пер-
первичную обмотку в ней протекает переменный ток 1\. При этом
создается переменное магнитное поле, магнитный поток которого
проходит почти без потерь внутри сердечника (силовые линии
указаны на рис. VII.50a штрихами). Так как обе обмотки нахо™
дятся на общем сердечнике, то магнитный поток пронизывает
не только первичную, но и вторичную обмотки. При этом в
каждом витке согласно закону электромагнитной индукции воз™
никает ЭДС индукции (е = — АФ/At). Если п\ — число витков
в первичной обмотке, П2 — во вторичной, то ЭДС самоиндукции
в первичной обмотке $\ = п\е, а ЭДС взаимной индукции во
вторичной — <§2 = п2^- Когда к трансформатору не подключена
нагрузка (режим холостого хода), напряжение на зажимах вто™
ричной обмотки равно <#2 {U2 = <#2 = П2в). Для цепи первичной
обмотки можно записать второй закон Кирхгофа:
U\ — напряжение, поданное с внешнего генератора, /i, ri —
сила тока и сопротивление витков первичной обмотки. Знак « —»
перед $\ соответствует правилу Ленца: возникающая ЭДС
индукции препятствует изменениям \]\. Так как индуктивное со-
сопротивление обмотки много больше ее активного сопротивления
ri, то значение падения напряжения на г\ мало, и им можно
пренебречь. Поэтому запишем, что l)\ « S\ — n\e. Учитывая
формулы для U\ и [/2, получим отношение:
Ui = А = тч =
U2 Si n2
Величина к называется коэффициентом трансформации.
Если i%2 > П1, то U~2 > U\j к < 1, и трансформатор называется
повышающим; если П2 < п\, то, соответственно, 172 < f/i, к > 1
— трансформатор называется понижающим.
ОТВЕТЫ 85
В режиме холостого хода энергия во вторичной цепи не рас™
ходуется, а потери в первичной цепи очень малы (потери элек™
троэнергии на нагревание проводов и перемагничивание сердеч™
ника).
При подключении потребителя энергии к вторичной обмотке
по ней пойдет переменный ток 1^ той же частоты, что и напря™
жение U\. Ток 1^ создает свое магнитное поле и, соответственно,
магнитный поток. Этот магнитный поток по правилу Ленца пре-
препятствует изменениям магнитного потока в сердечнике, создан-
созданного током первичной обмотки. Результирующий магнитный по™
ток в сердечнике несколько уменьшается. Это приводит к умень™
шению ЭДС индукции в первичной цепи. Как видно из формулы
U\ — $ 1 = /1^1, уменьшение $\ приводит к увеличению силы тока
1\ в первичной цепи (при неизменности 1)\). При этом мощность,
потребляемая трансформатором из цепи, увеличивается.
Таким образом, в соответствии с законом сохранения энергии,
за вычетом незначительных потерь, энергия генератора переда™
ется магнитным полем из первичной цепи во вторичную. Прене™
брегая потерями мощности, можем записать, что
Из последней формулы видно, что для понижающего транс™
форматора ([/2 < Ui) значение силы тока /2 может быть доста™
точно большим. При этом падением напряжения на вторичной
обмотке пренебречь нельзя. Поэтому можно считать, что ЭДС
индукции $2 равна сумме напряжений на нагрузке (U2) и на
вторичной обмотке
Г2 — сопротивление вторичной обмотки.
КПД трансформаторов определяется отношением мощности,
потребляемой нагрузкой в цепи вторичной обмотки, к мощности,
которую потребляет первичная обмотка:
v = ^.100% = ^2.100%.
Коэффициент полезного действия трансформаторов большой
мощности обычно достигает 99%.
2.27. При постоянном токе первичная обмотка обладает
только активным сопротивлением, которое обычно невелико по
сравнению с ее индуктивным сопротивлением на переменном
токе. Поэтому сила постоянного тока может превысить
допустимое значение, и обмотка может сгореть.
86
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
2.28. Английский ученый Джеймс Клерк Максвелл в шести-
шестидесятых годах XIX века создал единую теорию электрических и
магнитных явлений. Его основные идеи состояли в следующем.
Переменные электрические и магнитные поля не могут существо™
вать отдельно друг от друга: 1) меняющееся магнитное поле газ да™
ет вихревое1^ электрическое поле; 2) меняющееся электрическое
поле создает вихревое магнитное поле. Первое положение под-
подтверждается явлением электромагнитной индукции. Максвелл
предположил следующее: пусть через некоторый произвольно
очерченный контур в пространстве проходит переменный магнит»
ный поток; при этом в каждой точке этого контура возникает
электрическое поле, линии напряженности которого замкнуты, и
их направление зависит как от направления наводящего магнитно™
го поля, так и от знака скорости его изменения (здесь надо
пользоваться правилом левого винта вместе с правилом Ленца
— рис. VII.51). Если в плоскость контура поместить проводник,
то
0
АФ
<0
Рис. VII.51
вихревое электрическое поле, действуя на свободные электроны
проводника, создает индукционный ток. Второе положение можно
подтвердить следующим опытом. Во время зарядки и разрядки
конденсатора через сопротивление R магнитное поле обнаружива-
обнаруживается не только вокруг проводника, но и вокруг быстро меняющего-
меняющегося электрического поля конденсатора (рис. VI 1.52 а, б). Это можно
обнаружить, если вблизи конденсатора поместить магнитную
стрелку. Устанавливается она вдоль касательной к линиям индук-
индукции магнитного поля и ее направление будет меняться в соот-
соответствии с тем, увеличивается или уменьшается напряженность
электрического поля внутри конденсатора и каково направ™
ление вектора напряженности. Таким образом, изменяющееся
электрическое поле по своему магнитному действию подобно
^ Напомним, что вихревым называет поле, силовые линии которого
замкнуты.
ОТВЕТЫ
87
В
1
—
/
^1<о
Рис. VII.52
электрическому току. Максвелл назвал изменяющееся электри™
ческое поле током смещения. Магнитное поле, появляющееся при
изменении электрического поля (как и любое другое магнитное
поле) является вихревым (рис. VI 1.53). Направление линий ин™
дукции магнитного поля определяется правилом правого винта
и правилом Ленца.
Ё I Ё
В
В
В
АЕ
<0
Рис. VII.53
2.29. Совокупность электрического и магнитного полей, ор™
ганически связанных друг с другом и взаимно «порождающих»
друг друга, называется электромагнитным полем. Если в какой»
либо области пространства существует переменное электриче-
электрическое поле, то оно вызывает появление в соседних областях про-
пространства переменного магнитного поля, линии индукции кото™
рого охватывают линии напряженности этого электрического по-
поля. В свою очередь, переменное магнитное поле вызывает появле™
ние в соседних областях пространства вихревого электрического
поля, линии напряженности которого охватывают линии индук-
индукции данного магнитного поля и т.д. (рис. VI 1.54). Этот процесс
распространяется в пространстве по всем направлениям. Процесс
распространения электромагнитного поля в пространстве с тече™
нием времени называется электромагнитной волной. Максвелл
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Е
Е
Рис. VII.54
показал в своей теории, что скорость распространения электро-
магнитной волны является конечной и в вакууме равна скорости
света (с = 3 • 108 м/с). Кроме того, из теории Максвелла следует,
что любой движущийся с ускорением или колеблющийся заряд
должен излучать электромагнитные волны. Если заряд движет™
ся по гармоническому закону (например, внутри проводника
под действием внешнего генератора), то индукция магнитного
и напряженность электрического полей также будут меняться
по гармоническому закону. На рис. VI 1.55 показана зависимость
мгновенных значений векторов Е и В от координаты х (скорость
волны направлена вдоль оси Ох). Электромагнитные волны —
поперечные.
Векторы Е и В взаимно
перпендикулярны и
перпендикулярны направ™
лению распространения
волны. В электромаг-
электромагнитной волне происходят
колебания полей, а не
вещества, как в случае
волн на воде или в
Рис. VII.55
натянутом шнуре.
Основные формулы
Дифференциальное уравнение для заряда в колебательном
контуре:
(или
B.1)
q — заряд на обкладках конденсатора, ш — собственная круговая
частота колебаний заряда:
w = -7=- B-2)
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Период и частота колебаний в ЬС-контуре (формула Томсона):
/Г ^ B.3)
L — индуктивность катушки контура, С — емкость конденсатора.
Мгновенные значения заряда, напряжения и силы тока в
колебательном контуре меняются по закону:
B.4)
B.5)
^m, Um, Im — амплитудные значения заряда на конденсаторе,
напряжения на нем и силы тока в колебательном контуре, ш —
круговая частота собственных колебаний; время отсчитывается
от момента максимальной зарядки конденсатора.
Величины электродвижущей силы, напряжения и силы пере™
менного тока зависят от времени по закону:
g = gmsln(ujt + Lpo) или g = gmcos(ujt + (po); B.7)
U = Umsin(ujt + (fo) или U = Umcos(ujt + (fo); B.8)
или / =
^о — начальная фаза колебаний, которая зависит от момента,
с которого ведется отсчет времени (или ведется наблюдение за
колебаниями).
Связь действующих (или эффективных) значений силы тока,
напряжения и ЭДС с амплитудными значениями:
'"=¦& "•=% *»=%¦ Bло)
Сопротивление конденсатора в цепи переменного тока
^ B.11)
Сопротивление катушки в цепи переменного тока
Xl = dL, B.12)
Величина сопротивления цепи переменного тока, содержащей
последовательное соединение резистора, конденсатора и катушки
индуктивности:
90 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
величина Z называется импедансом цепи.
Закон Ома для цепи переменного тока:
B.13)
Сдвиг по фазе между силой тока и напряжением в такой цепи
определяется формулой
Xc Xl — Xc /oik\
B.15)
tg(f , c^ arctg
или
Средняя мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока,
P = /fl?/flcos<p. B.16)
Коэффициент трансформации трансформатора:
* = ^ = ^, B.17)
(^1 и J52 — ЭДС самоиндукции в первичной и ЭДС индукции во
вторичной обмотках трансформатора, п\ ш п^ — число витков
в первичной и вторичной обмотках трансформатора, соответ™
ственно. Если сопротивления проводов первичной и вторичной
обмоток малы, то можно считать, что $\~ U\ и ^2 ^ ?^2- При
этом коэффициент трансформации определяется формулой
Коэффициент полезного действия трансформатора:
77 = ^100%. B.19)
Если потери в трансформаторе малы, то ?/« 100%, и можно
записать, что мощности во вторичной и первичной катушках
примерно одинаковы:
UI или ^ = ?, B-2°)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 91
U\ — напряжение, поданное на первичную обмотку трансформа™
тора, U2 — напряжение, снимаемое со вторичной обмотки (или
напряжение на ее зажимах).
Методика решения задач
1. Задачи, в которых рассматриваются процессы в колеба™
тельном контуре, а также определяется связь между величинами
емкости, индуктивности и параметрами возникших колебаний
(Т, I/, ш), решаются с использованием формул B.2) и B.3).
К ним, в соответствии с данными задачи, могут быть добавлены
формулы, связывающие частоту v (или период Т), длину воз™
никшей волны А и скорость электромагнитных волн:
с — скорость электромагнитной волны; в вакууме с « 3 • 108 м/с.
Для изменения собственной частоты колебаний контура,
помимо конденсатора постоянной емкости, последовательно или
параллельно ему включают конденсатор переменной емкости
(подстроечный конденсатор). Обычно для таких случаев требу-
требуется рассчитать диапазон частот, которые возникают в контуре:
ит-т и i^max (или диапазон длин волн). Для расчета эквивалент-
эквивалентной емкости С контура надо вспомнить формулы для последо™
нательного соединения конденсаторов,
1 _ 1 1
и для параллельного соединения:
Иногда в таких случаях нужна формула емкости плоского кон-
конденсатора
С =
d
При подстановке значений емкости — в фарадах, индуктивности
— в генри в формулу B.3), период получают в секундах.
2. Для идеального колебательного контура справедлив закон
сохранения энергии. Поэтому в любой момент времени в течение
периода энергия в контуре одна и та же и равна начальному
запасу энергии:
W = const, или W\ = W2
92 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
(индексы 1 и 2 относятся к любым произвольно взятым моментам
времени). При максимальном заряде на обкладках конденсатора
qm (и, соответственно, максимальном значении напряжения Um)
энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденса-
конденсатора и равна
тдт- "-' ~ m ^m
^эл.тах — ~ — 97"**
Когда сила тока достигнет амплитудного значения /т, вся элек™
трическая энергия превратится в энергию магнитного поля ка-
катушки и станет равной ее максимальному значению:
Lit
W
?? маг.max
2
В промежуточные моменты времени имеются и электрическая
энергия W3JIJ и магнитная WMar, но их сумма постоянна:
?? эл.тах ~ '' маг. max ~~" "эл~ rv маг "~~ ?? ?
W — величина полной электромагнитной энергии колебатель-
колебательного контура. Последнее соотношение между энергиями можно
использовать для решения задач, в которых даны или требуется
найти амплитудные или мгновенные значения силы тока, напря-
напряжения или заряда на конденсаторе.
3. Все задачи, в которых задана аналитическая или графи-
графическая зависимость от времени ЭДС <f, силы тока /, напряжения
U и заряда q решаются точно так лее, как и задачи такого типа на
механические колебания. Задачи, в которых по заданной анали-
аналитической зависимости надо найти амплитуду, круговую частоту
и начальную фазу, решаются просто сопоставлением данного
уравнения с соответствующим уравнением в общем виде B.4)-
B.9). Для определения периода и частоты используются форму-
формулы A.1), A.2). Методика решения графических задач подробно
рассмотрена для механических колебаний, и поэтому для элек™
тромагнитных колебаний будут рассмотрены ниже конкретные
примеры.
4. В задачах о переменном токе мы рассматриваем только
технический (синусоидальный) ток. Во всех случаях, когда ука-
указаны значения $, /, {/, и нет специальных указаний, речь идет о
действующих (или эффективных) значениях этих величин. Если
надо найти амплитудные значения, то они для гармонических ко™
лебаний связаны с действующими значениями формулами B.10).
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 98
5. Задачи на расчет цепей переменного тока решаются по
закону Ома B.14). Цепи переменного тока кроме активного со™
противления R содержат емкостное Xq и индуктивное Xl со™
противления, которые определяются по формулам B.11) и B.12);
полное сопротивление Z цепи переменного тока (импеданс) рас™
считывают по формуле B.13). Нельзя забывать о том, что в
цепях переменного тока имеется сдвиг фазы между силой тока
и напряжением. Его вычисляют по формулам B.15) и B.15;),
используя затем таблицы тригонометрических функций, приве-
приведенные в приложении.
В цепи, содержащей активное и реактивное сопротивления,
мощность выделяется только на активном сопротивлении. Зна-
Значение мощности будет меньше, чем на том же активном сопро-
сопротивлении в отсутствии реактивных элементов — конденсатора и
катушки. Это определяется сдвигом мгновенных значений силы
тока и напряжения по фазе. Формула для вычисления мощности
в цепи с активным и реактивным сопротивлениями B.16) имеет
вид
Р =
ср — сдвиг фазы между силой тока и напряжением; cos(f назы-
называют коэффициентом мощности. Значение cos(f можно найти по
формуле B.15/) или сначала найти tgcp по формуле B.15) и вое™
пользоваться тригонометрическими таблицами в приложении.
6. В задачах, где рассматривается работа трансформатора,
основными являются соотношения B.17)—B.20). Формула B.17)
используется для режима холостого хода, B.18) — в случаях,
когда падением напряжения на витках вторичной обмотки на-
нагруженного трансформатора можно пренебречь. При больших
токах во вторичной цепи необходимо записать следующее:
U2 — напряжение на зажимах вторичной обмотки, 12 — сила тока
во вторичной обмотке, г2 — ее сопротивление. В таких случаях
коэффициент трансформации
к =
U2 + 12г2
7. Небольшую группу составляют задачи на передачу энер-
энергии переменного тока от генератора к потребителю. Полная схема
электрической цепи, соответствующая этим случаям, представ-
94
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
лена на рис. VI 1.56. Она состоит из генератора переменного
напряжения, дающего электродвижущую силу $, повышающего
трансформатора I, линии электропередачи (ЛЭП), понижающего
трансформатора II, потребителя электроэнергии (нагрузки) —
RH. Решаются такие задачи обычно по этапам.
ЛЭП
Тр.1
Рис. VII.56
Тр. II
На первом этапе рассматривается генератор переменного на-
напряжения и повышающий трансформатор I. ЭДС генератора $
равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении
генератора и на первичной обмотке повышающего трансформа-
трансформатора:
Часто дается не значение ЭДС $, а падение напряжения на зажи™
мах генератора. Оно равно величине <# минус падение напряже-
напряжения внутри генератора, то есть напряжению на первичной обмот™
ке трансформатора I. Если сопротивлением первичной обмотки
по условию задачи можно пренебречь, то можно использовать
формулы B.17) и B.18).
На втором этапе рассматриваются оба трансформатора и ли™
ния электропередачи. ЭДС индукции <^2-ь которая наводится
на вторичной обмотке первого трансформатора, равна сумме
падений напряжений:
С/2 I — падение напряжения на вторичной обмотке первого
трансформатора, Unp — падение напряжения на проводах, U\—\\
— напряжение на первичной обмотке второго трансформатора.
Сопротивление проводов или силу тока в проводах часто прихо™
дится находить используя формулу мощности тепловых потерь
или закон Джоуля-Ленца: Р = /2i?np, Q = I2Rnpt, Rnp — сопро-
сопротивление проводов линии электропередачи.
Вычисляя Rnp по формуле R = pi/S, следует учесть, что
длина провода равна удвоенному расстоянию от повышающего
трансформатора до понижающего (или от генератора до нагрузки).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 95
Сила тока одинакова во вторичной обмотке первого транс™
форматора, на проводах и на первичной обмотке второго транс™
форматора. Поэтому на третьем этапе (второй трансформатор —
нагрузка) можно использовать кроме формул B.17) и B.18) еще
и B.20). И, кроме того, если речь идет о мощности потребителя
или мощности потерь на проводах, то нужную величину можно
найти по формуле
U2
P = I2R= — = IU.
И
В случаях, если какой-либо элемент полной цепи отсутству-
отсутствует, то соответствующие падения напряжения и сопротивления
следует опустить, что упростит задачу. Если в задаче дан ко-
коэффициент полезного действия линии электропередачи, то он
равен отношению мощности полезной, то есть в нагрузке Рн, к
мощности, которую дает генератор Рг:
г] = ^100%.
-'г
Г
Примеры решения задач
1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивно-
индуктивностью 2 мГн и конденсатора, емкость которого может меняться от
20 пФ до 320 пФ. Найдите диапазон частот, на которые может
быть настроен колебательный контур.
В соответствии с формулой
B.3) можем записать:
1
и =
L = 2мГн =
f, ¦ —•— ?\\ Y\
Cmax = 320
i/min — ? vu
пФ =
2-К
= 32
?
Гн
j-i:
•10
L Ф
-li
Ф
2тгл/ЬС
Из вида формулы видно, что
максимальному значению емкости будет соответствовать мини-
минимальная частота и наоборот. Поэтому
* = 199000 (Гц) = 199 (кГц);
= 796000 (ГЦ) = 796
2. В колебательном контуре с индуктивностью 160 мГн и
емкостью 100 пФ значение максимального тока равно 5 мА.
96
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Найдите максимальное напряжение на конденсаторе и в момент,
когда сила тока станет равна 1 мА. Потерями в контуре прене-
пренебречь.
В условии сказано, что поте™
ри в контуре незначительны, ими
можно пренебречь. Поэтому коле-
колебательный контур можно считать
идеальным и применить закон со™
хранения энергии (пункт 2 методи-
методических указаний к этому разделу).
На рис. VII.57 изображены гра-
графики зависимости силы тока и напряжения в колебательном
контуре от времени. В начальный момент времени (t\ = 0) вся
энергия W\ сосредоточена в магнитном поле, так как I\ = /т,
Ut = 0. Поэтому Wt = L/m/2.
L =
C =
/m =
/ =
um
160 мГн
: 100 ПФ =
= 5-10
10 A
-? U-'
= 0
= 10
A
16
-10
Гн
Ф
Рис. VII.57
Через четверть периода, в момент времени t<i, /2 = 0, а на-
напряжение на конденсаторе достигнет максимальной величины,
т.е. \]<i = Um. Поэтому W<i = CU^/2. Это соответствует тому, что
вся начальная энергия контура, запасенная в магнитном поле
катушки, превратилась в электрическую энергию поля конден-
конденсатора:
= W2;
Lit
CUl
Отсюда
[Um] = Av/Гн/Ф = Ач/(В-с/А):(Кл/В) =
U = 200 В.
= В;
В момент времени <з (рис. VI 1.57) значение силы тока и напря-
напряжения отличны от нуля и не равны максимальному значению. В
этом случае энергия W$ находится и в катушке, и в конденсаторе:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
97
г Iе! firj2
В соответствии с законом сохранения энергии можно запи-
записать, что
Ж3 = Wi или W% = W2;
ы2 си2
¦ + ¦
Ы1
2 2 2
Отсюда можно найти напряжение в момент времени t%:
U =
С
= В;
U = 196 В.
3. В рамке, содержащей 100 витков и равномерно вращаю-
вращающейся в однородном магнитном поле, поток магнитной индукции
меняется по закону Ф = 2 • 10^3cosC14t) Вб. Определите зави-
зависимость возникающей в рамке ЭДС от времени. Как изменится
зависимость ЭДС от времени при увеличении круговой частоты
вращения рамки в 2 раза? Нарисуйте график зависимости $(i)
для обоих случаев.
ЭДС индукции определяется
по закону электромагнитной ин-
индукции:
g = —п?] Ф = Ф
= 100
Вб
0J =
= 62,8sinC14i)B.
(о)
В случае, когда круговая частота увеличится в 2 раза, зави-
зависимость потока магнитной индукции, пронизывающего катушку,
от времени определится формулой
Ф2(?) = Фтсо8Bо^), Ф2(*) = 2- 10~3cosF28t) Вб.
ЭДС в этом случае равна
(б).
g2(t) = 125,6sinF28t) В.
7 С. В. Трубецкова
98
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Из сравнения формул (а) и (б) видно, что при увеличении ча-
частоты вращения рамки в 2 раза также в два раза увеличивается
амплитуда ЭДС индукции. Для построения графиков ${t) надо
найти значения периодов 7\ и Т2:
Оба графика $\{t) и
представлены на рис. VII.58.
?, с
Рис. VII.58
4. Значение ЭДС, вырабатываемой генератором переменно™
го тока, меняется по закону: g = 125eGsA007rt) В. Определите
максимальное значение ЭДС, период, частоту и начальную фазу.
Найдите значение ЭДС в момент времени t\ = 1/300 с. Нарисуйте
график зависимости ЭДС от времени.
g = l/5coslOU7rt о Сравним закон изменения ЭДС для
рассматриваемого случая с общей фор™
мул ой B.7):
g = 125cos 1007ft В;
tt = 1/300 с
^l 1/
-?
,-? А-?
Из сравнения видно, что амплитудное значение ЭДС <#т = 125
В, круговая частота ш = ЮОтг 1/с, а начальная фаза ср$ = 0.
Используя известные соотношения между частотой и перио™
дом, получаем:
ш = 2тп/; ЮОтг = 2тп/; и = 50 Гц; Т = 1/и = 0,02 с.
Для того, чтобы найти мгновенное значение ЭДС, надо значение
времени подставить в заданное уравнение:
S = 125cosA00tt/300) = 125cos(tt/3) = 125-0,5 = 62,5 (В).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
99
График, соответствующий этому закону изменения ЭДС,
изображен на рис. VII.59.
Рис. VII.59
5. На рис. VII.60 изображены две зависимости силы тока от
времени. По графикам определите значения амплитуд силы тока,
периоды и частоты. Напишите закон зависимости от времени
силы тока для обоих случаев.
t, с
Рис. VII.60
Амплитуда — это величина наибольшего отклонения от сред™
него значения. Из рис. VII.60 видно, что /mi = 100 мА = 0,1 А,
Период любого колебательного процесса — это время совер-
совершения одного полного колебания. На рис. VII.60 отмечены зна-
значения периодов: 7\ =0,16 с, Т2 = 0,08 с. Так как частота связана с
периодом соотношением и = 1/Т, то v\ = 6,25 Гц, a ич = 12,5 Гц.
Для того, чтобы записать закон зависимости силы тока от
времени, надо найти круговую частоту:
ш\ = 2жи\ = 12,5тг 1/с; Ш2 = 2тп/2 = 25тг 1/с.
Из рисунка VI 1.60 видно, что 1\ меняется по закону косинуса, а
/2 — по закону синуса. Используя полученные значения для 1т
и о;, можно записать:
7*
100 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
A; /2 = 0,05sin257r* A.
Эти зависимости можно записать по-другому, используя понятие
начальной фазы:
/i = 0,lsinA2,5t + 7r/2) A; h = 0,05cosB57rt- тг/2) А.
6. Заряд на обкладках конденсатора идеального колеба™
тельного контура меняется в соответствии с уравнением q(t) =
= ltT7cosE • 103i) Кл. Найдите емкость конденсатора, если
коэффициент самоиндукции катушки контура равен 20 мГн.
Напишите формулы зависимости напряжения на конденсаторе
и силы тока в цепи от времени. Напишите дифференциальное
уравнение колебаний заряда для данного контура.
Из сопоставления с формулой
B.4) можно определить величины
qm и ш:
Ят = 1СГ7Кл = 100 нКл;
Используя формулу B.2), найдем емкость С:
С = —|-; С = 2 • 1(П6Ф = 2 мкФ.
zL
г О Г)
U(t)-
м
?
cos(
?
! Гн
Кл
Найдем амплитуду напряжения на конденсаторе и запишем фор-
формулу зависимости U(t):
Сила переменного тока определяется, как производная от заряда:
I = qf = —qmujsinujt;
I = ^1(Г7.5 • 103 sinE • 103t) = -5 • 1(П4 sinE • 103t) A,
или
/ = 5 • 10 cosE • 103t + тг/2) А.
Для того, чтобы записать дифференциальное уравнение, в
соответствии с которым меняется величина заряда на обкладках
конденсатора в колебательном контуре, надо найти ш2 и подста™
вить в формулу B.1):
ш2 = 25 • 106 A/с2); q" + 25 • 106g = 0.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
101
t0 = 60 с
?/д = 120 В
v = 50 Гц
G3 = 84,5 В
*-?
7. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка, если ее
на 1 минуту подключить в сеть переменного тока с действующим
напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Лампочка зажигается и
гаснет при напряжении 84,5 В.
При включении лампы в сеть переменно-
переменного тока напряжение на ее электродах меня-
меняется по закону
где ит = ид- д/2, Um = ШлД = 169 (В). По™
этому с учетом данных условий
U = 169sinA007ri) В.
График зависимости U(t) представлен на рис. VII.61. На
графике обозначено напряжение зажигания лампы U3J и соот™
ветствующие ему два момента времени: t\ — время зажигания
лампы, когда мгновенные значения напряжения становятся боль™
ше U3J ?2 — время, когда лампочка гаснет, так как мгновенные
значения напряжения становятся меньше напряжения U3. Оче-
Очевидно, что длительность одной вспышки At = ?2 —1\-
Найдем t\ и t2'-
U3 = f/msinB7ri/ti);
»150 -
Рис. VII.61
= sinA007rti);
= arcsInO, 5 = тг/6;
<i = l/600c.
,5 = sinA007rt2);
= arcsinO, 5 =
= 7Г — tt/6 = 5тг/6;
*2 = 5/600 c;
В течение одного колебания напряж:ения лампочка загорается 2
раза, так как работа неоновой лампы не зависит от полярности
приложенного напряжения (см. рис. VII.61). Поэтому число ко-
колебаний напряжения за время to равно (to^), а число вспышек
за это время — (Иди).
102
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Тогда время, в течение которого светится лампа, равно
[*]=с-с/с = с; * = 40 с.
С = 100 пФ
Um = 200 В
8. Дифференциальное уравнение для заряда на конденсато-
конденсаторе колебательного контура следующее: q" + 1012g = 0. Определи-
Определите период колебаний заряда. Считая, что емкость конденсатора
100 пФ, а максимальное напряжение на нем 200 В, напишите
формулы зависимости g(t), ?/(?), I(t).
Из сопоставления с дифференциальным
уравнением в общем виде B.1) данного
уравнения, находим, что ш2 = 10 и ш = 106
1/с. Период Т = 2тг/ш; Т = 6,28 • 10^6с =
= 6,28 мкс.
Зная максимальное напряжение на кон™
денсаторе и значение его емкости, можно
найти значение максимального заряда:
n; qm = 2 • 10~8 Кл = 20 нКл.
Теперь в соответствии с B.4) и B.5) можно записать формулы
для q(t) и U(t):
Получим формулу для силы тока: I = q!:
I = qmu) cos(u)t) = q
A.
9. К цепи, состоящей из последовательного соединения кон-
конденсатора емкостью 6,37 мкФ и активного сопротивления 500 Ом,
подведено переменное напряжение 220 В частотой 50 Гц. Опре™
делите силу тока и сдвиг фазы между током и напряжением.
Нарисуйте графики зависимости тока и напряжения от фазы
И).
С = 6,37мкФ= 6,37-Ю"
R = 500 Ом
v = 50 Гц
U = 220 В
Ф
1-1 <р-1
Найдем полное сопротивле-
сопротивление цепи. Так как индуктив-
индуктивность отсутствует, то
XL = 0 и Z2 = R2 + X2C;
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
103
Хс = 499,9 Ом « 500 Ом; Z = БООлД « 707 Ом.
Сила тока в рассматриваемой цепи определяется в соответствии
с формулой B.14):
/ = — =0,311 А.
Величину сдвига фазы между силой тока и напряжением опре™
делим по формуле B.15), учитывая, что Xl = 0:
-ХС
tg =
R
= arctg(—1) = —тт/4.
Для того, чтобы построить графики силы тока и напряжения,
надо знать их амплитудные значения. В условии, хотя это и не
оговорено, задано действующее значение напряжения, посколь-
поскольку все электроизмерительные приборы проградуированы именно
в действующих значениях измеряемых величин. Воспользуемся
формулами B.10):
/т = 1лД = 0,44 A; Um = илД = 311 В.
Как показали вычисления, напряжение отстает по фазе от
силы тока на тг/4. Поэтому, если закон изменения силы тока
записать в виде / = Imsinu)t, то закон изменения напряжения
будет U = Umsin(wt — 7г/4). Графики силы тока и напряжения
изображены на рис. VII.62: графику напряжения (пунктирная
линия) соответствует синусоида, сдвинутая вправо относительно
графика силы тока на тг/4 (сплошная линия).
U,В |/,А
300
200 :
100
-100
-200
-300
Рис. VII.62
10. При включении катушки в цепь постоянного тока с на™
пряжением 12 В амперметр показал силу тока 4 А. При включе™
нии той же катушки в цепь переменного тока с частотой 50 Гц и
напряжением 12 В амперметр показал ток 2,4 А. Определите ко-
коэффициент самоиндукции катушки. Чему будет равна активная
мощность тока в цепи?
104
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
и=
1=
и =
/«
L-
= 12 В
= 4 А
= 50 Гц
= 12 В
= 2,4 А
_? р — ?
Полное сопротивление катушки в цепи
переменного тока определяется формулой
Z =
Отсюда можно найти коэффициент самоин-
самоиндукции L:
L =
VZ2 -R2 _ VZ2 - R2
ш 2тп/
Сопротивление Z катушка имеет в цепи переменного тока и
найти его можно по измерениям силы тока и напряжения, /~
и [/« (действующие значения):
Z ^ Z
Омическое (активное) сопротивление катушки можно найти по
измерениям, произведенным в цепи постоянного тока /= и U=.
По полученным данным мож:но вычислить коэффициент са™
моиндукции: L = 12,7• 1СР3Гн = 12,7 мГн.
Используя данные задачи, вычислим рассеиваемую активную
мощность: jj
= — =0,6;
Р =
cosip;
P = 17,3 Вт.
11. Первичная обмотка трансформатора для питания радио™
приемника имеет 1200 витков. Какое количество витков должна
иметь вторичная обмотка трансформатора для питания накала
лампы, если для этого необходимо напряжение 3,5 В и сила тока
1 А? Сопротивление вторичной обмотки 0,1 Ом, а напряжение в
сети 120 В. Потерями в первичной обмотке пренебречь.
Коэффициент трансформации определя-
определяется соотношением B.17):
711 =
U2 =
/2 =
Г2 =
иг =
п2-
1200
О • О -D
1 А
0,1 Ом
120 В
?
к = — = ^.
(а)
Так как по условию задачи потерями в пер-
первичной обмотке можно пренебречь {г\ « 0),
то ЭДС, возникающая в ней, равна прило™
женному напряжению:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
105
А = С/ь (б)
ЭДС индукции, возникающая во вторичной обмотке, равна сум-
сумме падений напряжений на нагрузке и на сопротивлении самой
обмотки:
?>2 = U2 + hr2. (в)
Подставим (б) и (в) в формулу (а):
Отсюда найдем число витков во вторичной обмотке П2'-
п2 = — ; п2 = Ш.
12. От генератора с ЭДС 40 В и внутренним сопротивлением
0,04 Ом ток поступает по медному кабелю сечением 170 мм2 к
месту электросварки, удаленному от генератора на 50 м. Найдите
напряжение на зажимах генератора и на сварочном аппарате,
если сила тока в цепи 200 А. Удельное сопротивление меди
8
g = 40 В
г = 0,04 Ом
S = 170 мм2
d = 50 м
/ = 200 А
р = 1,7-10-!
иг-? [/„-
= 1,7-10-4м2
? Ом • м
?
Рис. VII.63
Напряжение на зажимах генератора — это напряжение во
всей внешней цепи (провода плюс нагрузка). Из закона Ома для
полной цепи следует, что ЭДС генератора равна сумме падений
напряжения внутри него и на внешней цепи (рис. VII.63):
Отсюда: Ur = g- Ir\ Ur = 32 В.
Напряжение на зажимах генератора, в свою очередь, равно
сумме напряжений на подводящих проводах и на нагрузке (сва™
рочном аппарате): Ur = Unp + UH. Отсюда UH = Ur — Unp.
106
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Сопротивление подводящих к электросварке проводов равно:
Rnp = {p2d)j'S (d — расстояние от генератора до места сварки,
I = 2d — длина проводов);
Unp = I Rnp = —т^; Unp = 2 В.
Напряжение на нагрузке равно:
13. На какое расстояние можно передать электрическую
энергию от источника с ЭДС 5 кВ при помощи провода с удель-
удельным сопротивлением 1,75 • 10™"8 Ом-м и площадью поперечного
сечения 1 мм2 так, чтобы на нагрузке с сопротивлением 1,6 кОм
выделилась мощность 10 кВт? Внутренним сопротивлением ис™
точника пренебречь.
Длина проводов, подводя™
щих энергию от генератора к
нагрузке, равна I = 2d. Поэтому
сопротивление проводов опре™
деляется формулой:
_ pi _ 2dp
Отсюда:
d=—*-. (а)
2р
Найдем Дпр. ЭДС источника равна сумме падений напряжений
на проводах и на нагрузке (так как г = 0, то падением напряже-
напряжения внутри генератора пренебрегаем):
S = С/пр + Um = IRnp + IRH. {б)
Силу тока найдем, зная мощность, выделяющуюся на нагрузке,
и сопротивление нагрузки:
Г2ЯН; 1 = М. (в)
Найдем из (б") Rnp и, использовав соотношение (в), получим:
? = 5
Р = 1
S = l
Rn =
ри =
г = 0
d-1
кВ
,75
мм
i,6
= 5-
10
103 В
Ом- м
2 = 10 м2
кОм
10 кВт =
[ = 1,6-103 Ом
= 104 Вт
Рн =
о _ &_ _ о _ гр /^н _ о
* V *:н
Подставим полученное соотношение в (а):
d =
2р
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
107
Ом • м
= м;
14. Электроэнергию от генератора, мощность которого 200
МВт, необходимо передать на расстояние 250 км так, чтобы
потери энергии на линии не превышали 10 %. Какого сечения
надо взять медный провод для линии электропередачи при на™
пряжении 400 кВ?
Площадь поперечного сечения про™
водов найдем из формулы
_ 2pd
пр 7^
О
Bd — длина подводящих проводов от
генератора к потребителю);
2pd
Рг =
d —
р
пр
и =
Р =
S-
-- 2 ¦ 108 Вт
2,5-105 м
= 0,1Рг
4 105 В
1,7-10"8 Ом-м
?
5 =
R
пр
Найдем сопротивление проводов Rnp. В условии дано, что потери
на проводах составляют 10% (то есть 0,1 часть) от передаваемой
мощности:
Рпр = 0,1Рг.
Так как РПр = I2Rnp, и сила тока может быть найдена из
формулы Рг = IU, то можно записать:
— 0,1Рг;
/ = Т75
Р2 I?
[/2
О, К/2
Используя полученное соотношение для Rnpj найдем площадь
сечения провода:
2pdPr
[о J =
s^
Ом • м • м • Вт м2 • Ом • В • А
в2
в2
5' = 1,06-10м/.
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Гармонические колебания материальной точки
1. На рис. VI 1.64 (а—г) изображены графики зависимости
смещения колеблющейся точки от времени. По графику опре™
делите амплитуду, период и частоту колебания. Напишите урав™
нение каждого колебания по закону синуса и косинуса.
ж, м-
2
1
0
-1
2\
/
/4
У
\
\6 ,
\ *, с
-2 ¦
в г
Рис. VII.64
2. Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 1 мм,
частота 1 кГц. Какой путь пройдет точка за 0,2 с?
3. Колебания точки заданы уравнением х = 10cosGrt/3) м.
Определите амплитуду, период и частоту колебаний. Постройте
график зависимости смещения точки от времени.
4. Значение координаты тела задано уравнением х =
= 5cosGT~t/6) см. Чему равны амплитуда, частота и период
колебаний? Определите смещение точки через 2 с после начала
колебаний. Постройте график зависимости смещения точки от
времени.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 109
5. Уравнение движения колеблющейся точки имеет вид х =
= 10sin207r? ем. Определите амплитуду колебаний, период, ча-
частоту и значение смещения спустя время, равное Т/8. Постройте
график зависимости x(t).
6. Уравнение колебаний точки имеет вид х = 5sin7r(t +1/4)
см. Определите амплитуду колебаний, частоту, период, началь-
начальную фазу и значение смещения в начальный момент времени.
Постройте графики зависимости x(t) и x(u)t).
7. Смещение точки от положения равновесия зависит от вре-
времени по закону х = 0,5cosD7rt+ тг/6) м. Определите амплитуду,
частоту, период колебаний и начальную фазу. Чему равно зна™
чение смещения точки от положения равновесия в начальный
момент времени и спустя 1/24 с от начала колебаний?
8. Небольшой груз совершает колебания по закону х =
= 0,02sin7r(t + 0,5) м. Определите амплитуду, частоту, на-
начальную фазу колебаний, а также максимальные скорость и
ускорение груза. Через сколько времени после начала движения
груз будет проходить через положение равновесия? За какое
время после начала движения груз будет проходить расстояние,
равное половине амплитуды?
9. Напишите уравнение гармонических колебаний точки,
если частота колебания равна 0,5 Гц, амплитуда равна 80 см. В
начальный момент времени отклонение максимально.
10. Период гармонических колебаний точки равен 2,4 с,
амплитуда равна 5 см. Определите значение смещения колеблю-
колеблющейся точки через 0,6 с после начала колебаний, если в началь-
начальный момент времени отклонение было максимально.
11. Напишите уравнение гармонических колебаний, если
амплитуда равна 5 см, а период колебания равен 0,5 с. Колебания
начались из равновесного положения. Нарисуйте график зависи™
мости величины смещения от времени и от фазы.
12. Напишите уравнение гармонических колебаний по зако-
законам косинуса и синуса, если частота их равна 2 Гц, амплитуда
равна 5 см. Если уравнение записано по закону косинуса, то
начальная фаза равна 0,25тг рад. Нарисуйте график зависимости
смещения от времени и от фазы.
13. Напишите уравнение колебания материальной точки и
постройте график зависимости величины смещения от времени,
если значение наибольшего смещения точки равно 40 см, пе-
110 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
риод — 2 с. Точка начинает колебания из положения равновесия.
Как изменится вид графика, если частота колебаний точки
увеличится в 2 раза?
14. Материальная точка, совершая гармонические колеба-
колебания, имеет наибольшее отклонение от положения равновесия
20 см и совершает 100 колебаний за 30 мин. 20 с. Напишите
уравнения колебаний по закону синуса и по закону косинуса, если
в начальный момент времени смещение точки равно нулю.
15. Напишите уравнения гармонических колебаний точки по
закону синуса и косинуса, если в начальный момент времени
значение смещения равно половине амплитуды. Величина ампли-
туды 5 см, за 1 минуту тело совершает 150 колебаний. Нарисуйте
график зависимости колебаний от времени.
16. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки
равна 50 мм, период — 4 с. Напишите уравнение колебаний по
закону синуса, если начальная фаза в этом случае равна тг/4.
Определите смещение точки в начальный момент времени и
спустя 1,5 с. Нарисуйте графики зависимости смещения точки
от фазы и от времени.
17. Материальная точка совершает гармонические колебания
с амплитудой 0,6 м, начав движение из положения равновесия.
Напишите уравнение движения точки, если через 1/3 периода
после начала движения значение смещения точки равно 30 см.
18. Материальная точка совершает гармонические колебания
с частотой 5 Гц. Амплитуда колебаний равна 50 см. Движение
начинается из точки, отстоящей на 30 см от среднего положения.
Напишите уравнение движения точки.
19. Напишите уравнение гармонических колебаний точки,
если за 1 минуту она совершает 120 колебаний; амплитуда равна
8 см. Если уравнение записать по закону косинуса, то колебания
точки будут опережать косинусоидальные колебания на ЗТ/4.
20. Определите амплитуду гармонических колебаний, если
для фазы тг/4 рад значение смещения равно 6 см.
21. Амплитуда колебаний равна 12 см, частота 50 Гц. Найди™
те значение смещения через 0,4 с, если колебания точки начались
из положения наибольшего смещения.
22. Математический маятник, смещенный из положения
равновесия, начинает совершать колебания. Спустя время Т/8
его смещение оказалось равным 20 см. Чему равна амплитуда
маятника?
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
111
23. Груз на пружине, сжатой в начальный момент времени,
совершает гармонические колебания с амплитудой 6 см. Опреде-
Определите смещение груза за время, равное Т/4, Т/2, Т.
24. Груз на пружине за время Т/12 смещается из положения
равновесия на 6 см. С какой амплитудой колеблется груз?
25. Какая часть периода потребуется, чтобы тело, совершая
гармонические колебания, прошло весь путь от среднего положения
до крайнего? первую половину этого пути? вторую его половину?
26. Колебания материальной
точки происходят с периодом 12
с. Определите, за какой наимень-
наименьший промежуток времени точка
удалится от положения равновесия
на расстояние, равное половине
О
Зтг
2тг
u)t
2тг
амплитуды? За какое время точка о
пройдет оставшуюся часть пути до
максимального отклонения?
27. На рис. VII.65 приведены в [ , /^\27Г, /
графики четырех колебательных
движений. Определите начальную
фазу для каждого случая считая,
что уравнения каждого колебания г
записаны по закону синуса. Опре- ° У ж V У Зтг
делите сдвиг фазы между каждой
парой колебаний: а, б; в, в; а, г; б, в; Рис. VII.65
6j г; в, г.
28. На каждом из рис. VII.66 изображены по два графика,
характеризующих гармонические колебания. Определите сдвиг
по фазе между каждой парой графиков.
29. Определите сдвиг по фазе между двумя колебательными
движениями, заданными уравнениями х\ = хш\ sinB07rt — тг/2) и
%2 = ^m2sInB07rt + 7r/3). Нарисуйте эти графики, отложив по оси
абсцисс фазу (жт1 = 2жт2).
30. Начертите на одном графике два гармонических колеба-
колебания с одинаковыми амплитудами, равными 2 см, и одинаковыми
периодами, равными 8 с, но имеющими разность фаз: а) тг/4; б)
тг/3; в) тг/2; г) тг/6; д) тг; е) 2тг.
31. Из уравнения движения точки х = 2sinGrt/2 + тг/4) см
найдите максимальные значения смещения, скорости и ускоре™
ния. Постройте графики зависимости x(t) и x(ujt).
112
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Рис. VII.66
32. Из уравнения движения точки х = slant/6 определите, в
какие моменты времени в течение периода достигаются наиболь-
наибольшие значения смещения, скорости, ускорения.
33. Точка совершает гармонические колебания в соответ™
ствии с законом х = О,12sln(87rt) м. Найдите максимальное зна™
чение скорости и ускорения.
34. Тело совершает колебания вдоль оси х по закону: х =
= 0,5sinGrt) м. Постройте графики зависимости смещения, скоро-
скорости и ускорения от времени. Считая, что масса тела 2 кг, постройте
график зависимости модуля возвращающей силы от времени.
35. Тело совершает колебания по закону х = 053slo7r(t +
+ 0,5) м. Найдите амплитуду, период, начальную фазу колеба™
ний, скорость и ускорение тела в момент времени 0,5 с от начала
колебаний. Нарисуйте график зависимости x(t) и x(ujt).
36*. Скорость материальной точки изменяется по закону v =
= 0,27rcosB7rt) м/с. Определите максимальное ускорение, сме™
щение точки через время 5/12 с от начала колебаний и путь,
пройденный за это время.
37. Амплитуда тела, совершающего гармонические колеба-
колебания, равна 5 см, период колебания — 0,1 с. Напишите уравнение
колебания, если в начальный момент времени смещение было
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 118
равно половине амплитуды. Найдите скорость и ускорение для
начального момента.
38. Напишите уравнение гармонических колебаний, если ча-
частота равна 0,5 Гц, а максимальное ускорение точки равно
0,49 м/с2. В начальный момент времени точка смещена от по-
положения равновесия на 25 мм.
39. Шарик совершает гармонические колебания. Найдите отно-
отношение скоростей шарика в точках, удаленных от положения рав-
равновесия соответственно на половину и на одну треть амплитуды.
40. Груз на пружине колеблется вдоль прямой с амплитудой
2 см; период колебания равен 2 с. В начальный момент времени
груз проходил положение равновесия. Напишите уравнение гар-
гармонических колебаний груза. Определите скорость и ускорение
груза через 0,25 с после начала колебаний.
41. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой
10 см и частотой 20 Гц. В начальный момент времени точка нахо-
находится от положения равновесия на расстоянии, равном амплиту-
амплитуде. Определите значения скоростей и ускорений точки в моменты
времени * = 1/120 с, * = 1/80 с и t = 1/40 с.
42. Материальная точка колеблется с частотой 500 Гц. В
начальный момент времени точка отклонилась на максимальное
расстояние, равное 1 мм. Считая колебания гармоническими,
напишите уравнение колебаний точки и начертите график зави™
симости x(t). Найдите наибольшую скорость и ускорение точки.
Определите значения смещения, скорости и ускорения через 0,1 с
после начала колебаний.
43. Маятник совершает колебания с амплитудой 1 см и име™
ет период 1 с. Определите максимальные значения скорости и
ускорения маятника. Нарисуйте графики ж(?), v(t) и a(t).
44. Математический маятник, имеющий массу 100 г и дли-
длину 1 м, отклоняется при колебаниях на 5 см. Какую скорость,
ускорение и потенциальную энергию будет иметь маятник на
расстоянии 2 см от положения равновесия?
45. Уравнение колебания материальной точки массой 16 г
имеет вид х = 0, lsinGrt/8 + 7r/4) м. Напишите уравнение зависи™
мости силы, действующей на точку, от времени. Найдите модуль
силы через 2 с после начала колебаний. Чему равна полная
энергия точки?
46. Полная энергия тела, совершающего синусоидальные
колебания, равна 3 *10" Дж; максимальная сила, действующая на
8 С. В. Трубецкова
114 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
это тело, равна 1,5 мН. Напишите уравнение движения колеблюще-
колеблющегося тела, если период колебаний равен 2 с, а в начальный момент
времени смещение тела от положения равновесия составляло 3 см.
47*. Пружинный маятник совершает гармонические колеба-
колебания после того, как его вывели из положения равновесия и
отпустили. Через сколько времени (в долях периода) после на-
начала колебаний кинетическая энергия тела станет равной его
потенциальной энергии?
48. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
имеет вид: 0,2ж/; + 0,8ж = 0. Определите период этих колебаний.
Уравнение записано для единиц СИ.
49. Колебания тела массой 10 г происходят в соответствии
с уравнением ж/; + 0,64ж = 0. Найдите решение этого уравнения,
если полная энергия этого тела 0,02 Дж, и колебания начинаются
из положения равновесия.
50. Математический маятник совершает колебания в соот-
соответствии с уравнением z/; + 2,25z = 0. Длина нити маятника 1 м,
в начальный момент времени маятник был отклонен на угол 30°
от вертикали. Запишите формулу зависимости x{t).
51. Запишите дифференциальное уравнение гармонических
колебаний тела, масса которого 0,1 кг. Колебания совершаются
на пружине жесткостью 20 Н/м.
52. Тяжелый маленький шарик подвешен на нити длиной I.
Напишите дифференциальное уравнение колебаний этого шарика.
53. Тело массой 2 кг совершает на пружине гармонические
колебания с амплитудой 5 см. Напишите дифференциальное
уравнение для этих колебаний, если полная механическая энер™
гия маятника равна 1 Дж.
54. Полная механическая энергия тела массой 1 кг, совер-
совершающего гармонические колебания, равна 1 Дж. Максимальная
возвращающая сила, действующая на тело, равна 2 Н. Напишите
дифференциальное уравнение колебаний.
55. Напишите уравнение зависимости x{t) при гармониче™
ских колебаниях, если наибольшее ускорение равно 50 см/с2,
частота колебания 0,5 Гц, смещение точки от положения рав-
равновесия в начальный момент времени 25 мм. Найдите значение
максимальной скорости. Напишите дифференциальное уравне™
ние для этих колебаний.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ 115
Математический и пружинный маятники
56. Какой длины надо взять маятник, чтобы период его гар-
гармонических колебаний был равен 1,5 с?
57. Маятник длиной 98 см имеет период колебаний 2 с. Най-
Найдите ускорение силы тяжести.
58. Маятник Фуко в Исаакиевском соборе в Ленинграде
делает 3 колебания в 1 мин. Определите длину маятника, если
на широте Ленинграда ускорение свободного падения 9,82 м/с2.
59. Для определения ускорения свободного падения был взят
маятник, состоящий из проволоки длиной 90,7 см и металли™
ческого шарика диаметром 40 мм. Продолжительность 100 ко-
колебаний маятника оказалась равной 193 с. Вычислите по этим
данным ускорение свободного падения.
60. Математический маятник длиной 9?|5 см за одну минуту со-
совершает 30 колебаний. Определите ускорение свободного падения.
61. Как отличаются периоды колебаний математических
маятников, длины которых равны 1 м и 25 см?
62. Как отличаются длины математических маятников, если
за одинаковое время один из них совершает 30, а второй 90
колебаний?
63. Как изменится период колебаний математического маятни™
ка, если его длину уменьшить в 2 раза, а массу увеличить в 2 раза?
64. Как надо изменить длину математического маятника,
чтобы его период колебаний уменьшился в 3 раза?
65. Период колебаний маятника на поверхности Земли равен
1 с. Определите период колебаний этого маятника на поверх™
ности Луны, если ускорение свободного падения на Луне равно
1,8 м/с2, на Земле — 9,8 м/с2.
66. Определите ускорение свободного падения на Луне, если
маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее,
чем на Земле.
67. Каким был бы период колебаний секундного маятника
при его перемещении с Земли на Луну, если сила тяготения на
поверхности Луны в 6 раз меньше, чем на Земле?
68. Во сколько раз и как отличается период гармонических
колебаний математического маятника на планете, масса и радиус
8*
116 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
которой в 4 раза больше, чем у Земли, от периода колебаний
такого же маятника на Земле?
69. Период колебаний маятника на поверхности Земли равен
2 с. На сколько изменится период колебаний маятника, если его
поднять на высоту 10 км над поверхностью Земли? Радиус Земли
принять равным 6400 км.
70. Периоды колебаний двух математических маятников от™
носятся как 3:2. Во сколько раз и какой маятник длиннее?
71*. Один из маятников совершает за одно и то же время на
30 колебаний меньше другого. Отношения их длин 9:4. Опреде-
Определите число колебаний каждого маятника за это время.
72. Один из маятников совершил 10 колебаний, другой за то
же время совершил 6 колебаний. Разность длин маятников 16 см.
Найдите длины обоих мятников.
73. Два маятника, длины которых 0,996 и 0,294 м, одновре™
менно начинают колебаться в одинаковых фазах. Через какое
наименьшее время фазы их колебаний снова будут одинаковыми?
Ускорение свободного падения принять равным 9,81 м/с2.
74. Какова длина математического маятника, совершающего
колебания по закону х = 0,004cosBt + 0,8)?
75. Часы с маятником длиной 1 м за сутки отстают на 1 час.
Что надо сделать с маятником, чтобы часы не отставали?
76. Часы с маятником отрегулированы на точный ход. При
сильном уменьшении температуры длина маятника уменьшилась
на 1 %. Как будет отличаться показание часов от точного времени
через сутки?
77. Насколько уйдут вперед маятниковые часы за сутки,
если их перенести с экватора на полюс? Ускорение свободного
падения на экваторе 9,78 м/с2, а на полюсе 9,83 м/с2.
78. Часы с маятником, период колебаний которого равен
1 с, на поверхности Земли показывают точное время. Насколько
будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту
200 м над поверхностью Земли? Радиус Земли равен 6400 км.
79. Маятниковые часы, идущие точно на уровне моря, подня-
подняли на высоту 1 км. Сколько потребуется времени для того, чтобы
по часам на этой высоте прошли сутки? Радиус Земли 6400 км.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ 117
80. Как будут идти маятниковые часы, выверенные на
уровне моря, если их поднять на высоту 5200 км над уровнем
моря? Радиус Земли принять равным 6371 км.
81. Часы с маятником на поверхности Земли спешат на 1,5
минуты в сутки. На какой высоте над поверхностью Земли они
будут идти верно? Радиус Земли равен 6400 км.
82. Математический маятник длиной 1 м установили в вер-
вертолете. Найдите период колебаний маятника, если вертолет дви-
движется равноускоренно с ускорением 4 м/с2 1) вертикально вверх;
2) вертикально вниз; 3) горизонтально.
83*. В кабине вертолета установлены маятниковые часы. Без
начальной скорости вертолет начинает подниматься вертикаль™
но вверх с ускорением 0,2 м/с2. На какую высоту поднимется
вертолет за время, за которое маятник длиной 1 м совершит 40
полных колебаний?
84. Математический маятник длиной 1 м подвешен в лифте.
Каков будет период колебаний маятника, если лифт поднимается
с ускорением 1,8 м/с2 и опускается с таким же ускорением?
85. В неподвижном лифте висит маятник, период колебаний
которого 1 с. С каким ускорением движется лифт, если период
колебаний этого маятника стал равным 1,1 с? Каково направле™
ние ускорения лифта?
86. Математический маятник длиной 1 м находится в вагоне,
который начинает двигаться с ускорением, равным g/А. Найдите
период колебаний маятника.
87*. Точка повеса математического маятника движется в вер-
вертикальной плоскости с постоянным ускорением а, направленным
под углом а к вертикали. Определите период гармонических
колебаний маятника длиной I.
88*. Маятник длиной I укреплен на тележке, движущейся
равномерно вверх по наклонной плоскости, угол наклона которой
к горизонту равен а. Найдите формулу для периода колебаний
маятника.
89*. Маятник с периодом 1 с представляет собой металличе-
металлический шарик массой 16 г, подвешенный на нитке из диэлектрика.
Шарик заряжают отрицательным зарядом и помещают в электри-
электрическое поле, вектор напряженности которого направлен верти-
вертикально вверх. Период колебания маятника стал 0,8 с. Определите
модуль силы действия электрического поля на шарик.
118 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
90*. Как изменится ход маятниковых часов за 1 час, если их
поместить в однородное, направленное вниз, электрическое поле
напряженностью 20 кВ/м, а маятнику сообщить положительный
заряд 30 нКл? Масса маятника 100 г. Считайте, что длина стерж-
стержня маятника намного больше размеров груза, укрепленного на
нем, массой стержня пренебречь.
91*. Математический маятник, длина подвеса которого I,
помещен в однородное электрическое поле напряженностью Е.
Грузу маятника сообщен заряд q. Определите заряд, при котором
периоды колебаний маятника в поле и в отсутствие его будут
одинаковы. Масса груза равна га.
92. Маятник представляет собой стальной шарик массой 5 г,
подвешенный на нити. Период колебаний маятника 1 с. Когда
под шариком поместили магнит, то период уменьшился до 0,8 с.
Определите силу притяжения шарика к магниту.
93. Металлический шарик подвешен на нити длиной 1 м к по™
толку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно
сильно колебаться под действием ударов колес о стыки рельсов?
Длина рельса 12,5 м.
94*. Длина математического маятника равна 24 см. Его
запускают, отклонив на угол 14° от вертикали. Определите угол
отклонения маятника в момент времени а) 0,25 с, б) 1,6 с, в) 5 с
от начала колебаний.
95. Математический маятник отклонили на угол 5°. Найдите
скорость шарика в момент прохождения равновесия, если круго-
круговая частота колебаний равна 2 рад/с.
96. Маятник массой 25 г отклонен от положения равновесия.
При этом модуль силы натяжения нити равен 0,2 П. Найдите
модуль квазиупругой силы.
97. Маятник массой 102 г отклоняется от положения равно™
весия на углы 10°, 20° и 30°. Найдите для каждого случая модули
квазиупругих сил и сил упругого натяжения нити.
98. При угле отклонения 15° сила, возвращающая маятник в
положение равновесия, равна 1 Н. Чему равна эта сила при угле
35°?
99. Математический маятник длиной 2,5 м и массой 0,5 кг
совершает колебания с амплитудой 10 см. Напишите уравнения
зависимости величины смещения и величины квазиупругой силы
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ 119
от времени. Найдите наибольшее значение этой силы и ее значе-
значение через четверть периода от начала колебаний.
100. Математический маятник представляет собой стальной
шарик радиусом 2 см, подвешенный на нити длиной 243 см.
Он совершает колебания с амплитудой 10 см. Определите сю>
рость шарика при прохождении им положения равновесия и нам™
большее значение возвращающей силы, действующей на шарик.
Плотность стали 7800 кг/м3.
101. Математический маятник длиной 0,98 м совершает тар™
монические колебания. Какое расстояние от положения равнове-
равновесия должен пройти по дуге центр тяжести маятника, чтобы его
ускорение стало равным 0,3 м/с2?
102*. Маятник массой 5 кг на нити, имеющей длину 0,8 м,
совершает колебательное движение с амплитудой 0,4 м. Найдите
скорость движения маятника, когда он пройдет путь 10 см от
положения равновесия, и наибольшую силу натяжения нити.
103. Маятник, представляющий собой груз массой 5 кг, под-
подвешенный на невесомой нити длиной 1 м, совершает колеба-
колебательное движение с амплитудой 50 см. Найдите горизонтальное
смещение маятника от положения равновесия в момент, когда его
скорость равна 1,5 м/с.
104. Математический маятник, длина которого 1,6 м, со-
совершает гармонические колебания. Определите ускорение при
смещении маятника на 8 см от положения равновесия.
105. Математический маятник массой т, совершающий ко-
колебания с амплитудой жт, обладает энергией W. Определите
частоту колебаний, длину нити. Изменится ли энергия колебаний,
если амплитуду увеличить вдвое, а частоту уменьшить вдвое?
106. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его
поднимают по вертикали до точки подвеса, второй раз отклоняют
на небольшой угол. В каком случае
шарик быстрее возвратится к положению
равновесия, если его отпустить?
107. Колебания математического ма-
ятника происходят в плоскости, параллель-
параллельной вертикальной стене. Длина маятника I.
Под точкой подвеса маятника на расстоя-
расстоянии 1/2 от нее в стенку вбит гвоздь (рис.
VII.67). Найдите период колебаний маятни- рис уц
ка. Будут ли колебания гармоническими?
120 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
108. По условию задачи 107 найдите величину угла а откло-
отклонения нити, если а\ = 20° (рис. VII.67).
109. Маятник состоит из тяжелого шарика массой 100 г,
подвешенного на нити длиной 50 см. Определите период ко-
колебания маятника и запас энергии, которым он обладает, если
наибольший угол его отклонения от положения равновесия равен
30°.
110. Маятник состоит из тяжелого шарика, масса которого
равна т, подвешенного на нити длиной I. Определите величину
полной энергии, которой обладает этот маятник, если известно,
что наибольший угол его отклонения от вертикального положе-
положения равен а. Определите наибольшую скорость движения маят-
маятника.
111. Математический маятник длиной 1 м отклонен от по™
ложения равновесия на угол 30°. Определите приращение потен»
циальной энергии маятника, если его вес равен 1 Н. Найдите
наибольшую скорость мятника.
112. Грузик массой 10 г совершает колебания на нити дли-
длиной 1 м и обладает энергией 0,015 Дж. Чему равна амплитуда
колебаний?
113. Маятник, представляющий собой шарик массой 2 кг,
подвешенный на невесомой нити длиной 1 м, совершает колеба-
колебательное движение с амплитудой 60 см. Найдите значения кинети™
ческой энергии маятника при его прохождении через положение
равновесия и при смещении от положения равновесия на 40 см.
114. Маятник, представляющий собой груз, подвешенный на
невесомой нити длиной 1 м, совершает колебательное движение
с амплитудой 50 см. При этом максимальная сила натяжения
подвеса равна 100 Н. Найдите массу груза.
115. Маятник, представляющий собой груз массой 5 кг, под™
вешенный на невесомой нити длиной 1 м, совершает колеба-
колебательное движение с амплитудой 50 см. Найдите горизонтальное
смещение маятника от положения равновесия в момент, когда
скорость маятника равна 1,5 м/с.
116. Определите массу пружинного маятника, если период
его колебаний 0,2 с, а жесткость пружины 20 кН/м.
117. Груз массой 0,2 кг, подвешенный на невесомой пружине,
совершает 30 колебаний в минуту. Чему равна жесткость пру-
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ 121
118. Груз массой 200 г совершает колебания на пружине
с жесткостью 500 Н/м. Запишите уравнение колебаний, если
амплитуда равна 8 см.
119. Пружина под действием прикрепленного к ней груза
массой 5 кг совершает 45 колебаний в минуту. Найдите жесткость
пружины.
120. Определите, за какое время тело массой 3,6 кг совершит
20 колебаний на пружине жесткостью 10 Н/м.
121. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает
вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если
к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса?
Плотность меди 8,Э-103 кг/м3, алюминия 2,7-Ю3 кг/м3.
122. Пружина под действием груза удлинилась на 9,8 см.
Определите, с каким периодом начнет совершать колебания этот
груз на пружине, если его вывести из положения равновесия.
123. На пружине, жесткость которой 50 Н/м, висит груз
массой 1 кг. Определите частоту колебаний такого маятника.
124. Пружина под действием груза колеблется с периодом
0,8 с. Чему равно удлинение пружины, если груз находится в покое?
125. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,5 с.
Насколько укоротится пружина, если снять с нее груз?
126. Груз растягивает пружину на 4,9 см. Чему равен период
собственных колебаний груза?
127. Определите массу груза, совершающего гармонические
колебания в вертикальном направлении на невесомой пружине с
коэффициентом жесткости 18 Н/м, если при смещении на 2 см
ускорение груза равно 3 м/с2.
128. Шарик массой 200 г, закрепленный на пружине, жест™
кость которой 0,2 кН/м, совершает колебания. Напишите урав-
уравнение, определяющее зависимость ускорения от смещения а(х).
Каково наибольшее ускорение, если амплитуда колебаний равна
1 см?
129. Определите массу груза, колеблющегося на невесомой
пружине, жесткость которой 18 Н/м, если амплитуда колебаний
2 см, скорость при прохождении положения равновесия 0,4 м/с.
130. Шарик массой 100 г совершает колебания на пружине с
жесткостью 10 Н/м. Определите смещение шарика от положения
равновесия в момент, когда его ускорение равно 4 м/с2.
122 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
131. Висящий на невесомой пружине груз совершает вер-
вертикальные колебания с амплитудой 4 см. Определите энергию
гармонического колебания груза, если для упругого удлинения
пружины на 1 см требуется сила ОД Н.
132. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется с амплиту™
дой 3 см. Жесткость пружины 980 Н/м. Определите наибольшую
кинетическую энергию гири.
133. Потенциальная энергия тела массой 0,4 кг, соверша-
ющего гармонические колебания на невесомой пружине, равна
3,2-10™2 Дж. Определите скорость колеблющегося тела в момент
прохождения положения равновесия.
134. Определите массу груза, колеблющегося на невесомой
пружине с коэффициентом жесткости 16 Н/м, если амплитуда
колебаний 0,02 м, скорость в момент прохождения положения
равновесия 0,4 м/с.
135. Висящий на пружине груз массой 0,1 кг совершает вер-
вертикальные колебания с амплитудой 0,05 м. Чему равна скорость
груза в момент прохождения положения равновесия, если жест-
жесткость пружины 40 Н/м?
136. Тело совершает гармонические колебания на пружине
по закону: х = 0,07cosG~t + 0,5тг) м. Жесткость пружины равна
20 Н/м. Определите частоту колебаний и полную энергию тела.
137. Определите массу тела, совершающего гармонические
колебания на пружине с амплитудой 0,1 м и частотой 2 Гц, если
полная энергия колебаний равна 7,7 мДж.
138. Висящий на пружине груз совершает вертикальные ко™
лебания с амплитудой 4 см. Определите энергию колеблющегося
груза, если жесткость пружины равна 10 Н/м.
139. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с
жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Определите
полную энергию колебаний и наибольшую скорость движения.
140. Движение тела массой 2 кг описывается уравнением
х = 0,8smGrt + 0,5тг) м. Определите полную энергию колеблю™
щегося тела.
141*. Тело, масса которого га, подвешено на пружине, жест™
кость которой к. При сообщении телу в положении равновесия
скорости, амплитуда возникших колебаний равна хт. Какая на™
чальная скорость была сообщена телу?
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ 128
142*. По грузу массой га, прикрепленному к концу горизон-
горизонтальной пружины с жесткостью fe, ударяют молотком, который
сообщает грузу начальную скорость v®. Определите амплитуду
колебаний и максимальное ускорение.
143*. Груз массой 100 г закреплен на пружине жесткостью
100 Н/м. Его смещают на 3 см от положения равновесия и сооб-
сообщают скорость 10 см/с. Напишите уравнение движения груза.
144. Пуля массой 12 г попадает в брусок массой 300 г, при™
крепленный к горизонтальной пружине с коэффициентом жест-
жесткости 5,2 кН/м, другой конец которой закреплен неподвижно.
Амплитуда колебаний бруска после проникновения в него пули
равна 12,4 см. Какой была скорость пули?
145. На гладком горизонтальном сто™
ле лежит шар массой М, прикрепленный
к пружине с жесткостью к. В шар по™
падает пуля массой га, имеющая перед
ударом скорость vq, направленную вдоль
оси пружины (рис. VII.68). Считая удар с' VII.68
абсолютно неупругим, пренебрегая массой пружины и силой со™
противления, определите амплитуду и период колебаний шара.
146*. На горизонтальной пружине укреплено тело массой
10 кг, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело попадает
и застревает в нем пуля массой 10 г, летящая со скоростью
500 м/с, направленной вдоль оси пружины. Тело вместе с за™
стрявшей пулей начинает колебаться с амплитудой 10 см. Считая
началом колебаний момент попадания пули в тело, напишите
уравнение колебания тела на пружине.
147*. Пружинный маятник вывели из положения равновесия
и отпустили. В какие моменты времени одного колебания кине™
тическая энергия маятника станет равна потенциальной? Период
колебаний маятника 1 с.
148. Шарик массой 20 г колеблется с периодом 2 с. В на-
начальный момент времени шарик обладал энергией 0,01 Дж и
находился от положения равновесия на расстоянии 2,5 см. За™
пишите уравнение гармонического колебания и закон изменения
возвращающей силы с течением времени.
149*. Шарик массой 10 г совершает гармонические колеба-
колебания с амплитудой 3 см и частотой 10 Гц. Чему равны максималь-
максимальная величина действующей на шарик силы и полная энергия ша-
шарика? Чему равны величины возвращающей силы, кинетической
124 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
и потенциальной энергии шарика при удалении от положения
равновесия на 2 см?
150*. Точка совершает колебания, описываемые уравнением
х = 0,05 sinBt) м. В некоторый момент времени на точку действует
сила 5 мН, а ее потенциальная энергия равна ОД мДж. Чему рав-
равны фаза и кинетическая энергия точки в этот момент времени?
151*. Груз массой 0,4 кг, подвешенный к пружине жестко™
стью 40 Н/м, совершает гармонические колебания. В начальный
момент времени груз находится на расстоянии 2 см от положения
равновесия и обладает энергий 0,5 Дж. Напишите уравнение гар-
гармонических колебаний груза и закон изменения возвращающей
силы во времени. Найдите наибольшее значение возвращающей
силы и ее значение через время, равное Т/5.
152. Шарик массой т совершает гармонические колебания
с амплитудой хт и периодом Т. В начальный момент времени
величина смещения максимальна. Найдите потенциальную
и кинетическую энергию спустя t с после начала колебаний и
полную энергию шарика.
153*. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом
период вертикальных колебаний равен 0,5 с. После того, как на
чашку весов положили добавочные гири, период вертикальных
колебаний увеличился на ОД с. Насколько удлинилась пружина
после того, как добавили гири?
154*. Тело массой 0,2 кг упало с высоты 0,5 м на чашу
пружинных весов и чаша начала совершать гармонические
колебания. Жесткость пружины 200 Н/м. Напишите уравнение
колебаний тела. Массой чаши и пружины пренебречь.
155. Частота собственных колебаний доски, положенной че™
рез ручей, равна 0,5 Гц. Наступит ли явление механического
резонанса, если по доске будет проходит человек, делающей 6
шагов за каждые 3 с?
156. Когда человек массой 80 кг садится в автомобиль мае™
сой 1200 кг, рессоры провисают на 1,4 см. С какой частотой будет
качаться кузов при въезде на ухаб? Затуханием пренебречь.
157. Определите период колебаний вагона на рессорах, если
его статическая осадка равна 250 мм.
158. Период собственных вертикальных колебаний желез-
железнодорожного вагона 1,25 с. На стыках рельсов вагон получает
периодические удары, которые служат причиной вынужденных
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ 125
колебаний вагона. При какой скорости поезда возникнет резонанс
и пассажиры будут ощущать сильное вертикальное раскачивание
вагона? Длина каждого рельса между стыками 25 м.
159. Ведра с водой на коромысле имеют частоту собствен™
ных колебаний 0,625 Гц. При какой длине шага вода будет осо™
бенно сильно выплескиваться, если человек с ведрами движется
с постоянной скоростью 2,7 км/ч.
160. Мальчик несет на коромысле ведра с водой, период соб™
ственных колебаний которых 1,6 с. При какой скорости движения
вода начнет особенно сильно выплескиваться, если длина шага
мальчика 60 см?
161. Трактор, прошедший по грунтовой дороге, оставил сле-
следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии 0,3 м
друг от друга. По этой дороге движется автомобиль массой 2 т,
имеющий две одинаковые рессоры жесткостью 4,4-10 кН/м
каждая. При какой скорости автомобиля водитель будет испы-
испытывать максимальные вертикальные раскачивания?
162*. В жидкости плотностью рж плавает цилиндр высотой
h. Если цилиндр поглубже погрузить в жидкость или наоборот,
немного вытащить из жидкости, то после того, как его отпустят,
цилиндр начнет колебаться. Плотность материала, из которого
сделан цилиндр, рц. Определите период колебаний цилиндра.
163. Сплошной цилиндр высотой h плавает в вертикальном
положении в жидкости, погрузившись в нее на 2/3 своего объема.
Определите период его вертикальных колебаний.
164*. Ареометр массой т и поперечным сечением S помещен
в жидкость плотностью р. Ареометр погружают несколько глуб™
же, чем при равновесии, а затем отпускают. Определите период
его малых колебаний. Как будет меняется период при изменении
массы ареометра и плотности жидкости?
165*. Ареометр массой 200 г плавает в жидкости. Если его
погрузить немного в жидкость, а затем отпустить, то он начнет
совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания арео-
ареометра гармоническими и незатухающими, найдите плотность
жидкости, в которой он плавает. Радиус вертикальной цилин™
дрической трубки ареометра равен 5 мм.
166. В двух вертикальных сообщающихся сосудах находится
жидкость массой т. Выведенная из положения равновесия, жид™
кость совершает колебательное движение. Плотность жидкости
126 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
р, площадь поперечного сечения каждого сосуда S. Определите
период колебаний жидкости.
167*. Кубик совершает гармонические колебания с периодом
1 с в вертикальной плоскости, двигаясь без трения по внутренней
поверхности сферической чаши, внутренний радиус которой мно-
много больше ребра кубика. Чаша покоится относительно Земли. С
каким ускорением относительно Земли и в каком направлении по
вертикали должна двигаться чаша, чтобы кубик за 1,5 минуты
совершил 60 колебаний?
Механические волны. Звук
168. В океанах длина волны достигает 300 м, а период 13,5 с.
Определите скорость распространения такой волны.
169. Определите расстояние между соседними точками, на™
ходящимися в одинаковых фазах, если волны распространяются
со скоростью 330 м/с, а частота колебаний равна 256 Гц.
170. Лодка качается на волнах, распространяющихся со сю>
ростью 1,5 м/с. Расстояние между двумя ближайшими гребнями
волн 6 м. Определите период колебаний лодки.
171. Волны распространяются вдоль резинового шнура со
скоростью 3 м/с при частоте колебаний 2 Гц. Какой сдвиг по
фазе у точек, отстоящих друг от друга на 75 см?
172. Скорость звука в воде равна 1450 м/с. На каком рас™
стоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в
противоположных фазах, если частота колебаний равна 725 Гц?
173. Волна распространяется со скоростью 360 м/с при ча™
стоте 450 Гц. Чему равна разность фаз двух точек волны, отсто™
ящих друг от друга на расстоянии 20 см?
174. Волна распространяется со скоростью 2,4 м/с при ча™
стоте 3 Гц. На каком расстоянии находятся точки, разность фаз
колебаний которых равна тг/2?
175. Определите частоту звуковых колебаний в стали, если
расстояние между ближайшими точками звуковой волны, отли™
чающимися по фазе на тг/2, равно 1,54 м. Скорость распростра-
распространения звуковых волн в стали равна 5000 м/с.
176. На поверхности воды распространяется волна со скоро™
стью 2,4 м/с при частоте колебаний 2 Гц. Какова разность фаз
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. ЗВУК 127
в точках, лежащих на одном луче и отстоящих друг от друга на
10, 60, 90, 120 и 140 см?
177*. Плоская бегущая волна распространяется вдоль пря™
мой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой пря™
мой на расстояниях 12 и 15 м от источника волн, колеблются
с разностью фаз 0,75тг. Амплитуда колебаний источника волн
равна 0,1 м. Определите, в какой момент времени после начала
распространения волны дальняя от источника волн точка будет
иметь смещение 7,1 см. Каково смещение ближней к источнику
волн точки в этот момент?
178. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при
переходе звука из воздуха в воду? Скорость звука в воде принять
равной 1480 м/с, а в воздухе — 340 м/с.
179. Звуковые колебания частотой и имеют в первой среде
длину волны Ai, а во второй среде — А2. Как изменится скорость
распространения этих колебаний при переходе из первой среды
во вторую, если Ai = 2A2?
180. Определите скорость звука в воде, если колебания с
периодом 0,005 с порождает звуковую волну длиной 7,175 м.
181. Определите длину звуковой волны в воде, вызываемой
источником колебаний с частотой 200 Гц, если скорость звука в
воде равна 1450 м/с.
182. Самый низкий тон мужского голоса имеет частоту 80
Гц, а самый высокий тон женского голоса — 1300 Гц. Какова
длина волны в воздухе для этих тонов? Скорость звука ~ 338 м/с.
183. Первый раскат грома дошел до наблюдателя через 12 с
после вспышки молнии. На каком расстоянии от наблюдателя
возникла молния?
184. Звук пушечного выстрела дошел до наблюдателя через
30 с после того, как была замечена вспышка. Расстояние меж-
между пушкой и наблюдателем равно 10 км. Определите скорость
распространения звука в воздухе.
185. Приближающийся теплоход дал гудок, звук которого
услышали на мосту через 3 с. Спустя 3 мин теплоход прошел
под мостом. Скорость звука принять равной 332 м/с. Найдите
скорость движения теплохода.
186. Эхо ружейного выстрела дошло до стрелка через 6 с
после выстрела. На каком расстоянии от стрелка находится пре™
града, от которой произошло отражение звука?
128 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
187. При измерении глубины моря под кораблем при помощи
эхолота оказалось, что моменты излучения и приема ультразвука
разделены промежутком времени 0,6 с. Какова глубина моря под
кораблем?
188. Стальные детали проверяются на качество ультразву-
ультразвуковым дефектоскопом. На какой глубине в детали обнаружена
трещина и какова толщина детали, если после излучения уль™
тразвукового сигнала были получены два отраженных сигнала
через 0,1 мс и 0,2 мс? Скорость распространения ультразвуковой
волны в стали равна 5200 м/с.
189. Скорость звука относительно Земли при попутном ветре
равна 380 м/с, а при встречном — 320 м/с. Чему равны скорость
звука относительно воздуха и скорость ветра?
190. Расстояние между гребнями волн в море 5 м. При
встречном движении катера волна ударяет корпус катера 4 раза,
а при попутном — 2 раза. Найдите скорость катера и волны.
191. Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты
680 м. Какова начальная скорость пули? Выстрел произведен
вертикально вверх, сопротивлением воздуха пренебречь. Сю>
рость звука принять равной 340 м/с.
192. На расстоянии 1068 м от наблюдателя ударяют молот-
молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо
к рельсу, услышал звук на 3 с раньше, чем он дошел до него по
воздуху. Чему равна скорость звука в стали? Скорость звука в
воздухе равна 330 м/с.
193. Определите длину железной трубы, если звук от удара
по трубе у одного конца слышен у другого конца дважды с
интервалом времени t. Скорость звука в воздухе равна 340 м/с,
а в железе — 5300 м/с.
194. В шахту упал камень. Человек услышал звук его па™
дения через 6 с после начала падения. Найдите глубину шахты.
Скорость звука равна 332 м/с.
Электромагнитные колебания
195. В каком элементе колебательного контура (конденсато-
(конденсаторе или катушке) сосредоточена энергия в моменты времени 0,
Т/8, Т/4, Т/2, ЗТ/4, если время отсчитывать с начала разряда
конденсатора.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 129
196. Как изменится частота и период колебаний в контуре:
а) при увеличении расстояния между пластинами конденсатора?
б) при введении в катушку индуктивности контура железного
сердечника?
197. Определите частоту и период колебаний в контуре с
катушкой индуктивности 1,5 мГн и конденсатором емкостью
450 пФ.
198. Определите емкость конденсатора колебательного кон™
тура, если известно, что при индуктивности 100 мкГн контур
настроен в резонанс на электромагнитные колебания с длиной
волны 300 м.
199. Чему равен период и частота собственных колебаний в
контуре при емкости 2,2 мкФ и индуктивности 0,65 мГн?
200. Чему равна индуктивность контура, если при емкости
конденсатора 0,8 мкФ возникают колебания частотой 1,5 кГц?
201. Чему равна емкость конденсатора колебательного кон™
тура, если при индуктивности 2,5 мГн возникают колебания,
период которых равен 0,38 мс?
202. Емкость переменного конденсатора в контуре радио-
радиоприемника может изменяться от 50 пФ до 450 пФ. Индуктив-
Индуктивность катушки равна 0,6 мГн. На каких длинах волн работает
радиоприемник?
203. Электроемкость переменного конденсатора контура
приемника изменяется в пределах от С до 25С. Определите
диапазон длин волн контура, если минимальной емкости
соответствует частота колебаний 108 Гц.
204. В колебательном контуре два конденсатора включены
параллельно: один имеет емкость 103 пФ, другой конденсатор,
подстроечный, имеет переменную емкость, изменяющуюся в пре™
делах от 100 до 1000 пФ. Индуктивность контура 1 мГн. Опре™
делите диапазон собственных частот колебательного контура.
205. На какой длине волны работает радиопередатчик, если
его колебательный контур имеет емкость 2,6 пФ и индуктивность
0,012 мГн?
206. В каком диапазоне длин волн может работать прием-
приемник, индуктивность которого изменяется от 0,1 до 10 мкГн, а
емкость от 50 до 5000 пФ?
9 С. В. Трубецкова
180 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
207. Колебательный контур состоит из катушки индуктивно-
индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно.
Период собственных колебаний контура равен 20 мкс. Чему будет
равен период, если конденсаторы соединить последовательно?
208. При некотором конденсаторе частота собственных ко-
колебаний контура 30 кГц, а при замене на другой конденсатор
частота стала равной 40 кГц. Какой будет частота при параллель™
ном соединении этих конденсаторов и при их последовательном
соединении?
209. Период электромагнитных колебаний в контуре равен
10 мкс. При подключении параллельно конденсатору контура
дополнительного конденсатора емкостью 0,03 мкФ период коле™
баний увеличится в 2 раза. Определите индуктивность катушки
и начальную емкость конденсатора в контуре.
210. Как изменится частота колебаний в контуре, если по-
последовательно с конденсатором контура включить еще 3 таких
же конденсатора?
211. Как изменится период колебаний в контуре, если парал-
параллельно конденсатору подсоединить еще 3 таких же конденсатора?
212. Как изменится период и частота собственных колебаний
в контуре, если его индуктивность увеличить в 2 раза, а емкость
уменьшить в 8 раз?
213. Резонансная частота колебаний электромагнитного кон-
контура 30 кГц. Какой станет частота при увеличении расстояния
между пластинами плоского конденсатора контура в 1,44 раза?
214. На какую длину волны настроен колебательный контур,
состоящий из катушки с индуктивностью 2 мГн и плоского конден™
сатора? Пространство между пластинами конденсатора заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 11, площадь
пластин конденсатора 800 см2, расстояние между ними 1 см.
215. Электрический заряд на обкладках конденсатора в ко-
колебательном контуре изменяется по закону q = 10™8cosB7ri +
+ тг) (Кл). Определите круговую частоту , частоту и период,
начальную фазу колебаний заряда; запишите закон изменения
напряжения. Емкость контура 500 пФ.
216. Конденсатор емкостью 50 пФ подключили к источнику
тока с ЭДС 3 В, а затем к катушке с индуктивностью 5,1 мкГн.
Напишите формулы зависимости заряда на обкладках конденса-
конденсатора контура, силы тока и напряжения от времени.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 131
217. Величина заряда на пластинах конденсатора колеба-
колебательного контура изменяется по закону q = 2 • lCP7cosB • 104t) Кл.
Чему равна емкость конденсатора, если коэффициент самоин™
дукции катушки 6,25 мГн? Чему равна амплитуда силы тока в
этом контуре и полная энергия?
218. Изменение силы тока в контуре происходят по закону
/ = 0,01 • cos(lOOOt) А. Найдите индуктивность контура, если
емкость его конденсатора равна 10 мкФ.
219. В колебательном контуре сила тока изменяется по за™
кону / = 0,02sInD007rt) А. Индуктивность контура равна 1 Гн.
Найдите электроемкость конденсатора в этом контуре и макси-
максимальное значение энергии его электрического поля. Активным
сопротивлением пренебречь.
220. Напряжение на обкладках конденсатора в колебатель-
колебательном контуре меняется по закону U = 50cosA047rt). Электроем-
Электроемкость конденсатора равна 0,9 мкФ. Найдите индуктивность кон-
контура и максимальную энергию магнитного поля катушки.
221. Конденсатор емкостью 2 мкФ зарядили от источника
тока напряжением 100 В, а затем замкнули на катушку индуктив™
ностью 5 мГн. Определите заряд и напряжение на конденсаторе
через @,025тг) секунд после замыкания цепи.
222. В колебательном контуре известен максимальный заряд
конденсатора qm и амплитудное значение силы тока /т. Опре™
делите период электромагнитных колебаний в контуре, считая
контур идеальным.
223*. Колебательный контур приемника состоит из катушки
индуктивности и слюдяного конденсатора, площадь пластин ко™
торого 800 см2, а расстояние между ними 1 мм. На какую длину
волны резонирует этот контур, если максимальное значение на-
напряжения на пластинах 100 В, а величина максимальной силы
тока 1 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.
224. В колебательном контуре с индуктивностью L и емко™
стью С конденсатор заряжен до максимального напряжения Um.
Каким будет ток в тот момент, когда напряжение на конденса™
торе уменьшится в 2 раза? Чему равно максимальное значение
силы тока?
225. В колебательном контуре с индуктивностью 0,4 Гн и ем™
костью 20 мкФ амплитудное значение силы тока 100 мА. Каким
9*
182 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
будет напряжение на конденсаторе в тот момент, когда энергии
электрического и магнитного полей будут равны?
226. Колебательный контур состоит из катушки с индуктив-
индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора с емкостью 10 мкФ. Конденсатор
был заряжен до напряжения 2 В и начал разряжаться. Какой бу-
будет сила тока в момент, когда энергия контура окажется поровну
распределенной между электрическим и магнитным полем?
227. В колебательном контуре с индуктивностью 40 мГн и
емкостью 400 пФ сила тока достигает максимального значения
100 мА. Найдите максимальное значение напряжения на конден-
конденсаторе и значение напряжения при силе тока 5 мА.
228. В контуре с индуктивностью L и емкостью С соверша™
ются свободные незатухающие колебания. Максимальное напря-
напряжение на конденсаторе Um. Найдите максимальную силу тока.
229. Действующие значения напряжения на конденсаторе
100 В. Определите максимальное значение энергии конденсатора
и катушки в контуре, если электроемкость конденсатора равна
10 пФ.
230. В колебательном контуре емкость конденсатора равна
2 мкФ, а максимальное напряжение в нем равно 5 В. Найдите
энергию магнитного поля катушки в момент, когда напряжение
на конденсаторе равно 3 В.
231. Колебательный контур составлен из катушки с индук-
индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора с емкостью 10 мкФ. В момент,
когда напряжение на конденсаторе равно 1 В, сила тока в контуре
равна 10 мА. Определите заряд конденсатора в момент, когда
сила тока равна 5 мА.
232*. Колебательный контур состоит из конденсатора емко-
емкостью 2,5 • 10~~2 мкФ и катушки, индуктивность которой равна
1,015 Гн. Пластинам конденсатора сообщают заряд 2,5 мкКл.
Найдите значение силы тока в контуре в момент, когда напря™
жение на пластинах конденсатора равно 70,7 В. Активным со™
противлением цепи пренебречь.
233*. Колебательный контур состоит из катушки, с индук-
индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора емкостью 20 мкФ. Конденсатор
зарядили до напряжения 4 В. Какими будут значения силы тока,
напряжения и заряда на конденсаторе в момент, когда энергия
магнитного поля внутри катушки будет в 2 раза больше энергии
электрического поля внутри конденсатора?
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 133
234. Конденсатору колебательного контура был сообщен за™
ряд 1СР4 Кл, и в контуре начались колебания, затухающие спустя
некоторое время. Емкость конденсатора равна 0,01 мкФ. Найдите
количество теплоты, которое выделяется к моменту прекраще-
прекращения колебаний.
235. Запишите дифференциальное уравнение гармонических
колебаний в контуре, содержащем параллельно соединенные
конденсатор емкостью 500 пФ и катушку, индуктивность которой
равна 8 мГн.
236. Запишите дифференциальное уравнение, описывающее
процессы в колебательном контуре, если при напряжении 5 В
на конденсаторе контура накапливается заряд 400 нКл, а при
изменении тока на 0,5 А за 0,02 с в контуре возникает ЭДС
самоиндукции, равная 4 В.
237. Заряд на пластинах конденсатора в колебательном кон-
контуре меняется по закону: q = 10^7cos(l,6 • 104t) Кл. Напишите
соответствующее дифференциальное уравнение.
238. В колебательном контуре заряд на обкладках достигает
максимального значения 0,5 мкКл, а максимальная сила тока
равна 10 мА. Напишите дифференциальное уравнение, описыва-
описывающее процессы в контуре.
239. Дифференциальное уравнение, описывающее измене™
ния заряда в колебательном контуре, имеет вид q" + 6,25 • 108g =
= 0. Определите период электромагнитных колебаний в контуре.
Запишите закон изменения q(?), U(t) и /(?), если известно, что
полная энергия в контуре равна 0,4* 10~5 Дж, а емкость конден-
конденсатора равна 800 пФ.
240. Дифференциальное уравнение для колебательного кон™
тура имеет вид qft + 1010g = 0. Индуктивность катушки контура
равна 0,5 Гн, полная энергия электромагнитных колебаний равна
5 мДж. Найдите период колебаний, запишите формулы зависи-
зависимости от времени заряда конденсатора, напряжения и силы тока.
241. Полная энергия электромагнитных колебаний в кон™
туре равна 1 мДж, коэффициент самоиндукции катушки равен
ОД Гн. Напишите дифференциальное уравнение электромагнит»
ных колебаний в контуре, если максимальный заряд на обклад-
обкладках конденсатора равен 800 нКл. Напишите формулы, определя-
определяющие зависимость заряда, напряжения на конденсаторе и силы
тока от времени.
134
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Переменный ток
242. По графикам, изображенным на рис. VII.69 (л—г), опре™
делите период, частоту, амплитуду переменной электродвижу™
щей силы или напряжения. Запишите уравнения гармонических
колебаний по закону синуса и косинуса, учитывая значение на™
чальной фазы.
?, мс
17, В
t, мс
Рис. VII.69
243. По графикам, изображенным на рис. VII.70 (а-г), опре™
делите период, частоту, амплитуду силы переменного тока. Запи™
шите уравнение гармонических колебаний силы тока по закону
синуса и косинуса, учитывая значение начальной фазы.
244. Проволочная рамка площадью S равномерно вращает-
вращается в однородном магнитном поле с индукцией В вокруг оси,
перпендикулярной направлению поля. Период вращения — Т.
Напишите формулу зависимости от времени магнитного потока,
проходящего через рамку, и ЭДС индукции.
245. Рамка площадью 400 см2 имеет 100 витков и вращается
в однородном поле с индукцией 10 мТл, период ее вращения равен
0,1 с. Определите максимальное значение ЭДС, возникающей в
рамке, если ось вращения перпендикулярна к силовым линиям.
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
135
Рис. VII.70
246. Рамка площадью 300 см2 имеет 200 витков и вращает™
ся в магнитном поле с индукцией 15 мТл. Определите период
вращения, если максимальная ЭДС индукции равна 14,4 В.
247. Переменный ток возбуждается в рамке из 200 витков,
вращающейся в магнитном поле с индукцией 0,15 мТл. Площадь
витка равен 300 см2. Определите ЭДС индукции через 0,01 с
после начала движения рамки из положения, когда ее плоскость
параллельна линиям индукции. Амплитуда ЭДС — 7,2 В.
248. В магнитном поле с индукцией 0,5 Тл вращается с
частотой 5 с^1 прямоугольная рамка, имеющая площадь 400 см2.
Определите период и максимальное значение ЭДС в рамке, если ее
ось вращения перпендикулярна линиям индукции магнитного поля.
249. Ротор генератора переменного тока вращается с часто™
той 60 Гц в магнитном поле с индукцией 0,15 Тл. Сколько витков
должно быть в обмотке площадью 0,02 м2, чтобы амплитуда
напряжения была 170 В?
250. Напишите уравнение для мгновенных значений ЭДС
индукции, возникающих при равномерном вращении витка в
однородном магнитном поле, если через 1/600 с после прохожде-
прохождения витком нейтрального положения мгновенное значение ЭДС
равно 5 В. Период вращения витка — 0,02 с.
186 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
251. ЭДС переменного тока задана уравнением S = 100 х
х sin 207rt В, где время — в секундах. Найдите наибольшее и
эффективное значение ЭДС, а также ее значение для фазы тг/6.
Найдите частоту и период тока. Постройте график зависимости
ЭДС от времени.
252. Электродвижущая сила индукции, возникающая в рам-
рамке при ее вращении в однородном поле, изменяется по закону:
<# = 12sInl007rt В. Определите максимальное значение ЭДС, пе™
риод и частоту тока, мгновенное значение ЭДС в момент времени
0,01 с после начала колебаний.
253. По цепи течет переменный ток частотой 2 МГц. Через ка-
кой промежуток времени после прохождения через нулевое значе™
ние ток будет равен 25 мА, если его амплитудное значение 100 мА?
254. Электродвижущая сила в цепи переменного тока выра-
выражается формулой S = 120sinF28t) В. Определите действующее
значение ЭДС и ее период. Какой станет зависимость ЭДС от
времени, если увеличить частоту вращения рамки в два раза?
255. Амплитуда ЭДС переменного тока с частотой 50 Гц
равна 100 В. Каковы значения ЭДС через 0,0025 с и 0,005 с,
считая от начала периода?
256. Мгновенное значение переменного напряжения для фа-
фазы 60° равно 120 В. Какова амплитуда напряжения? Чему равно
мгновенное значение через 0,25 с, считая от начала периода?
Частота тока равна 50 Гц.
257. Напишите уравнения и начертите графики двух пере™
менных токов, действующие значения которых равны 4 и 5 А, а
периоды, соответственно, 0,01 и 0,02 с.
258. Рамка равномерно вращается в магнитном поле, совер™
шая 5 оборотов в секунду. Действующее значение возникающей
электродвижущей силы 3 В. Нарисуйте график зависимости
ЭДС от времени. Как изменится вид графика, если частота
вращения увеличится в 2 раза? Напишите уравнение зависимости
значения электродвижущей силы от времени.
259. Значение силы тока, измеренное в амперах, задано
уравнением / = 0,28 sin 50тг?. Определите амплитуду силы тока,
частоту, период и начальную фазу. Нарисуйте график зависимо-
зависимости силы тока от времени.
260. Значение ЭДС, измеренное в вольтах, задано уравнени™
ем: $ = 50sInE7rt ^тг/2) В. Определите амплитуду ЭДС, период,
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 137
частоту и начальную фазу. Нарисуйте график зависимости ЭДС
от времени.
261. Изменение силы тока, в миллиамперах, задано уравне™
нием: / = 50cosB7rt + 7r/2) мА. Определите амплитуду силы тока,
период, частоту и начальную фазу. Нарисуйте график зависимо™
сти силы тока от времени.
262. Изменение напряжения, измеренное в вольтах, задано
уравнением: U = 70cosB07ri — тг) В. Определите амплитуду на-
напряжения, период, частоту и начальную фазу. Начертите график
зависимости силы тока от времени.
263. Напряжение на концах участка цепи, по которому те-
течет переменный ток, изменяется со временем по закону U =
= Umsin(ujt + тг/6). В момент времени Т/2 мгновенное значение
напряжения равно 10 В. Определите значение амплитуды напря™
жения.
264. Мгновенное значение силы тока для фазы тг/6 равно
6 А. Определите амплитудное и действующее значения силы
тока.
265. Действующее напряжение в электросети 220 В. На ка-
какое напряжение должна быть рассчитана изоляция проводов?
266. Пробивное напряжение конденсатора равно 450 В.
Можно ли включить этот конденсатор в цепь переменного тока,
в которой вольтметр показывает напряжение 380 В?
267. Потенциал зажигания неоновой лампы равен 130 В, а
потенциал гашения — 30 В. Будет ли гореть лампа, если ее
включить в цепь переменного тока с напряжением 127 В?
268. Напряжение зажигания неоновой лампы 150 В. Почему
эта лампа горит в сети переменного тока напряжением 127 В?
269. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с
действующим значением 71 В и периодом 0,02 с. Найдите зна-
значение промежутка времени, в течение которого длится вспыш-
вспышка лампы, и частоту вспышек. Напряжение зажигания лампы,
86,7 В, считайте равным напряжению гашения.
270. Неоновая лампа, которая зажигается и гаснет при напря-
напряжении 84 В, включена в цепь переменного тока промышленной
частоты с действующим напряжением 120 В. Определите время
между вспышками лампы и продолжительность ее свечения.
188 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
271. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока ча-
частотой 50 Гц и действующим значением напряжения 71 В. Про-
Продолжительность одной вспышки лампы 6 мс. Определите, чему
равно напряжение зажигания неоновой лампы. Сколько времени
длится свечение лампы на протяжении одной минуты?
272. Действующее значение напряжения в сети переменного
тока равно 120 В. Какую часть периода горит неоновая лампа
за время одного колебания, если лампа зажигается и гаснет при
напряжении 84 В?
273. Неоновая лампа начинает светиться и гаснуть, когда
напряжение на ее электродах достигает строго определенного
значения. Какую часть периода будет светиться лампа, если ее
включить в сеть, действующее значение в которой равно напря™
жению зажигания лампы?
Цепи переменного тока с активным,
емкостным и индуктивным сопротивлениями
274. Напишите уравнения зависимости напряжения и силы
тока от времени в цепи электроплитки с сопротивлением 50 Ом,
включенной в сеть переменного тока стандартной частоты. Дей™
ствующее напряжение в сети равно 220 В. Индуктивным сопро-
сопротивлением нагревателя пренебречь.
275. Конденсатор емкостью 36 мкФ включен в сеть перемен™
ного тока стандартной частоты напряжением 220 В. Напишите
уравнения зависимости напряжения и силы тока от времени для
этой цепи. Активным сопротивлением пренебречь.
276. Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением
и емкостью 160 мГн включена в цепь переменного тока стандарт™
ной частоты. Амперметр в этой цепи показал ток 2,5 А. Прене-
Пренебрегая сопротивлением амперметра и соединительных проводов,
напишите уравнения зави™
симости напряжения и силы
тока от времени.
277. На рис. VII.71 дан
график зависимости силы
тока от времени при вклю™
чении в цепь активного
сопротивления 3 Ом. По-
Постройте график зависимо™
Рис. VII.71 сти напряжения от времени.
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 139
278. На рис. VI 1.71 построен график зависимости силы тока
от времени в цепи с конденсатором, емкость которого равна 10
мкФ. Постройте график зависимости напряжения от времени
для этого случая.
279. На рис. VII.71 построен график зависимости силы тока
от времени в цепи с катушкой, коэффициент самоиндукции ко™
торой равен 10 мГн. Постройте график зависимости напряжения
от времени для этого случая.
280. Конденсатор емкостью 250 мкФ включается в сеть пе-
переменного тока. Определите его сопротивление при частотах 50,
200 и 400 Гц.
281. Определите емкость конденсатора, сопротивление кото-
которого в цепи переменного тока частотой 50 Гц равно 800 Ом.
282. В цепи технического переменного тока конденсатор
имеет сопротивление 100 Ом. Определите сопротивление этого
конденсатора при включении его в цепь переменного тока часто-
частотой 5 кГц. Какова электроемкость конденсатора?
283. Найдите период переменного тока, если конденсатор
емкостью 1 мкФ представляет для него сопротивление 16 Ом.
284. Найдите емкость конденсатора, если амплитуды напря™
жения и силы тока в цепи равны соответственно 200 В и 0,5 А, а
круговая частота переменного тока 500 1/с.
285. Ток в цепи изменяется по закону / = 0,2sinC14t) А.
Какое напряжение при этом токе будет на конденсаторе, емкость
которого 2 мкФ? Запишите закон изменения напряжения.
286. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону U =
= 220 • sinC14?) В. Запишите уравнение для мгновенных значе™
ний силы тока в цепи с конденсатором, если его емкость равна
20 мкФ. По какому закону изменяется заряд конденсатора?
287. К переменному напряжению величиной 127 В подклю-
подключена цепь, состоящая из последовательно соединенных резистора
сопротивлением 100 Ом и конденсатора емкостью 40 мкФ. Опре™
делите амплитуду силы тока в цепи, если частота тока 50 Гц.
288. К городской сети подключена цепь, состоящая из по™
следовательно включенного активного сопротивления 150 Ом и
конденсатора емкостью 50 мкФ. Определите амплитудное значе-
значение силы тока в цепи, если действующее значение напряжения в
сети 120 В.
140 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
289. Цепь состоит из последовательно соединенных актив™
ного сопротивления 10 Ом и конденсатора емкостью 50 мкФ.
Определите сдвиг фазы между силой тока и напряжением при
круговой частоте переменного тока 1000 1/с.
290. В сеть переменного тока стандартной частоты и на-
напряжением 127 В включены активное сопротивление 100 Ом
и конденсатор емкостью 40 мкФ. Определите амплитуду силы
тока и сдвиг фазы между током и напряжением. Действующее
напряжение в сети 127 В.
291. Конденсатор емкостью 5 мкФ и проводник сопротивле-
сопротивлением 150 Ом включены последовательно в цепь переменного тока
с напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Определите амплитудное
и действующее значение силы тока, сдвиг фазы между током и
напряжением, а также выделяющуюся мощность.
292. В сеть переменного тока с действующим напряжением
200 В последовательно включены резистор сопротивлением 150
Ом и конденсатор электроемкостью 16 мкФ. Частота переменно™
го тока 50 Гц. Напишите закон изменения напряжения и силы
тока в этой цепи.
293. Напряжение и сила тока в цепи с последовательным сое-
соединением конденсатора и активного сопротивления меняются по
закону ?/ = 150sinC14*) В и / = 0,3sinC14* + 7r/3) А. Определите:
а) разность фаз между напряжением и током; б) полное со™
противление цепи; в) активное сопротивление; г) емкостное
сопротивление; д) емкость конденсатора; е) выделяющуюся
мощность.
294. Найдите индуктивность катушки, если ее индуктивное
сопротивление в цепи переменного тока промышленной частоты
равно 11 Ом.
295. Определите период переменного тока, если катушка ин™
дуктивностью Q5 Гн представляет для него сопротивление 6^8 Ом.
296. Найдите индуктивность катушки, если амплитуда пере™
менного напряжения на ее концах равна 160 В, амплитуда силы
тока в ней — 10 А при частоте тока 50 Гц.
297. Действующие значения напряжения и силы тока в ка™
тушке индуктивности соответственно равны 127 В и 0,5 А. Опре™
делите индуктивность катушки, если частота переменного тока
равна 50 Гц.
298. Катушка с индуктивностью 20 мГн присоединена к
источнику переменного тока с частотой 50 Гц. Действующее
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 141
значение напряжения 100 В. Запишите формулу зависимости
мгновенного значения силы тока от времени.
299. Сила тока в катушке с индуктивностью 0,5 Гн изме™
няется по закону / = 0,lsinF28t) А. Определите индуктивное
сопротивление и запишите формулу зависимости напряжения на
катушке от времени.
300. Катушка индуктивностью 6 мГн и активным сопротив-
сопротивлением 10 Ом подключена к источнику переменного напряжения
с циклической частотой 1000 1/с. Найдите сдвиг фазы между
силой тока и напряжением.
301. В цепь переменного тока напряжением 120 В последо-
последовательно включены проводник сопротивлением 15 Ом и катушка
индуктивностью 50 мГн. Найдите частоту тока в цепи, если
амплитуда силы тока равна 7 А.
302. Напряжение и сила тока в катушке изменяются по за™
кону U = 60sinC14t + 7r/2) В и / = 15sinC14t) А. Определите:
а) разность фаз между напряжением и током; б) полное сопро™
тивление катушки; в) активное сопротивление катушки; г) ин™
дуктивное сопротивление катушки; д) индуктивность катушки.
303. К катушке подведено напряжение, изменяющееся по
закону U = 50sinA007rt) В и создающее переменный ток с амшта™
тудой 10 А. Активное сопротивление катушки равно 3 Ом. Опре™
делите: а) индуктивность катушки; б) коэффициент мощности;
в) активную мощность переменного тока в катушке; г) запишите
зависимость мгновенных значений силы тока от времени.
304. При подаче на катушку постоянного напряжения 15 В
сила тока в ней была 0,5 А. При подаче такого же переменного
напряжения стандартной частоты сила тока уменьшилась на
40 %. Какова индуктивность катушки?
305. При подключении катушки к источнику постоянной
ЭДС, равной 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом, ампер™
метр, подключенный к катушке последовательно, показал силу
тока 4 А. При включении той же катушки в цепь переменного
тока частотой 50 Гц и напряжением 12 В, амперметр показал
силу тока 2,4 А. Чему равна индуктивность катушки и мощность
переменного тока в цепи?
306. В сеть переменного тока с действующим напряжением
120 В последовательно включены проводник с активным сопро-
сопротивлением 15 Ом и катушка с индуктивностью 50 мГн. Ампли™
туда тока в цепи равна 7 А. Найдите частоту переменного тока
142 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
и сдвиг фазы между колебаниями силы тока и напряжения.
307. Определите силу тока через катушку, индуктивность
которой 0,8 Гн, а активное сопротивление 4 Ома, если к ней
приложено а) постоянное напряжение 60 В, б) переменное на™
пряжение U = 60sinD07r?) В; в) при какой амплитуде перемен-
переменного напряжения мощности, выделяемые в цепи постоянного и
переменного тока, будут одинаковы?
308. При какой частоте переменного тока сопротивление
конденсатора емкостью 1 мкФ равно сопротивлению катушки,
индуктивность которой ОД Гн?
309. Лампу мощностью 60 Вт, рассчитанную на напряжение
120 В, нужно включить в сеть переменного тока напряжением 220 В
стандартной частоты. Конденсатор какой емкости надо
включить последовательно с лампой, чтобы она горела полным
накалом? Катушкой какой индуктивности можно заменить
конденсатор?
310. Найдите полное сопротивление переменному току, если
последовательно включены а) резистор сопротивлением 3 Ом и
катушка с индуктивным сопротивлением 4 Ом; б) резистор сопро™
тивлением 6 Ом и конденсатор с емкостным сопротивлением 8 Ом;
в) резистор сопротивлением 12 Ом, конденсатор емкостным сопро-
сопротивлением 8 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением 24 Ом.
311. В колебательный контур с емкостью 10 мкФ и индук™
тивностью 0,1 Гн последовательно включены источник перемен-
переменной ЭДС, амплитуда которой равна 15 В, и круговая частота
— 500 с. Найдите амплитуду силы тока в контуре (омическим
сопротивлением контура пренебречь).
312. Найдите реактивное и полное сопротивление цепи, со-
состоящей из последовательно соединенных конденсатора емко-
емкостью 50 мкФ, катушки индуктивности 20 мГн и активного со-
сопротивления 3 Ома. Круговая частота тока 1000 1/с.
313. Последовательно с активным сопротивлением 1 кОм
включена катушка индуктивностью 0,5 Гн и конденсатор с емкое™
тью 1 мкФ. Определите полное сопротивление цепи переменному
току на частоте 50 Гц и сдвиг фазы между током и напряжением.
314. В сеть переменного тока напряжением 220 В включены
последовательно конденсатор емкостью 40 мкФ и катушка с индук-
индуктивностью 0,5 Гн и активным сопротивлением 5 Ом. Определите
эффективное значение силы тока в цепи. Частота тока 50 Гц.
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 148
315. Катушка с активным сопротивлением 15 Ом и индук-
индуктивностью 52 мГн включена в цепь тока с частотой 50 Гц после-
последовательно с конденсатором емкостью 120 мкФ. Напряжение в
сети 220 В. Определите силу тока в цепи.
316. При включении электродвигателя в сеть переменного
тока вольтметр показал 200 В, амперметр — 7 А, а ваттметр —
200 Вт. Определите коэффициент мощности.
317. В цепи переменного тока показания амперметра —
1,5 А, вольтметра — 220 В, а ваттметра — 200 Вт. Определите
сдвиг фазы между силой тока и напряжением.
318. Найдите сдвиг фазы между напряжением и силой пере-
переменного тока в цепи, состоящей из последовательно соединенных
резистора с сопротивлением 1 кОм, катушки с индуктивностью
0,5 Гн и конденсатора с емкостью 1 мкФ. Найдите мощность,
выделяющуюся в цепи, если амплитуда напряжения равна 100 В,
частота — 50 Гц.
319. В цепь последовательно включены резистор, катушка
и конденсатор. Определите полое сопротивление цепи, коэффи-
коэффициент мощности и активную мощность, если активное сопротив™
ление резистора с катушкой равно 100 Ом, сила тока — 1 А и
напряжение на всем участке цепи — 200 В. Частота переменного
тока — стандартная.
320. В сеть переменного тока стандартной частоты включе™
ны последовательно активное сопротивление 1 кОм, катушка с
индуктивностью 0,5 Гн и конденсатор электроемкостью 1 мкФ.
Действующее напряжение в сети равно 71 В. Напишите урав™
нения колебаний напряжения и силы тока в цепи; определите
мощность, выделяющуюся в ней.
321. В сеть переменного тока с действующим напряжением
220 В и частотой 50 Гц включена цепь, состоящая из последова™
тельного соединения резистора сопротивлением 100 Ом, конден™
сатора емкостью 35,4 мкФ и катушки с индуктивностью 0,7 Гн.
а) Напишите уравнение зависимости напряжения и силы тока от
времени; б) найдите действующие значения падений напряжений
на резисторе, конденсаторе и катушке; в) определите мощность,
потребляемую контуром; г) найдите частоту переменного то™
ка, при которой в данной цепи наступит резонанс; д) найдите
величины действующих напряжений при резонансе на каждом
элементе схемы и на конденсаторе с катушкой вместе.
144 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
322. В сеть напряжением 220 В включены последовательно
катушка с индуктивностью 0,16 Гн, проводник сопротивлением
2 Ома, а также конденсатор емкостью 64 мкФ. Определите силу
тока в цепи, если его частота 200 Гц. При какой частоте наступит
резонанс и каковы будут при этом сила тока и напряжения на
зажимах катушки и конденсатора?
323. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди-
ненных конденсатора емкостью 5,07 мкФ, катушки с коэффици-
коэффициентом самоиндукции 2 Гн и активным сопротивлением 300 Ом.
В цепи действует переменное напряжение, амплитуда которого
300 В, частота 50 Гц. Будет ли в этой цепи резонанс напряжений?
Рассчитайте амплитуды силы тока и напряжений на катушке и
конденсаторе.
324. Цепь, состоящая из последовательно соединенных ре-
резистора, катушки индуктивности и конденсатора, находится под
напряжением 1,1 кВ. Активное сопротивление цепи 100 Ом. При
резонансе индуктивное и емкостное сопротивления равны по
1 кОм. Каковы сила тока в цепи и напряжение на конденсаторе?
Почему при резонансе в такой цепи возможен пробой конденса™
тора?
325. В цепи с последовательным соединением резистора,
конденсатора и катушки индуктивности действует напряжение
стандартной частоты. Сопротивление равно 2 Ом, индуктивность
катушки — 0,1 Гн. Какова должна быть емкость конденсатора,
чтобы напряжение на сопротивлении было наибольшим? Какое
наибольшее напряжение можно приложить к этой цепи без опас-
опасности пробить конденсатор, если он рассчитан на напряжение не
более 400 В?
326. В цепи, состоящей из последовательного соединения
резистора сопротивлением R, конденсатора электроемкостью С
и катушки с коэффициентом самоиндукции L, может меняться
емкость, а остальные параметры цепи не изменяются. При каком
значении емкости мощность протекающего тока будет макси-
максимальной, если к цепи приложено напряжение {/?
Трансформатор. Передача и распределение энергии
327. Трансформатор имеет коэффициент трансформации,
равный 3. Определите напряжение на концах его вторичной
обмотки, если на первичной обмотке оно равно 15 В.
ТРАНСФОРМАТОР. ПЕРЕДАЧА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 145
328. Ток в первичной обмотке трансформатора равен 0,5 А.
Напряжение на клеммах — 220 В. Коэффициент трансформации
равен 22. Определите напряжение во вторичной цепи.
329. Понижающий трансформатор с коэффициентом транс-
трансформации 20 включен в сеть напряжением 220 В. Сопротивление
вторичной обмотки равно 2 Ома, сила тока — ЗА. Определите
напряжение на клеммах вторичной обмотки. Потерями энергии
в первичной обмотке пренебречь.
330. Первичная обмотка повышающего трансформатора
включена с сеть с напряжением 220 В. Активное сопротивление
вторичной обмотки равно 2 Ома, сила тока в ней — ЗА. Найдите
напряжение на зажимах вторичной обмотки, если коэффициент
трансформации равен 0,125. Потерями энергии в первичной
обмотке пренебречь.
331. Понижающий трансформатор, в обмотках которого со™
держится соответственно 1000 и 100 витков, включен в сеть с
напряжением 220 В и питает нагрузку сопротивлением 2 Ом.
Каково напряжение на выходе трансформатора, если активное
сопротивление вторичной обмотки равно 0,2 Ом? Сопротивление
ем первичной обмотки пренебречь.
332. Мощность, потребляемая трансформатором, равна 90 Вт.
Какой ток получили во вторичной обмотке при напряжении 12 В,
если КПД трансформатора равен 75 %?
333. Повышающий трансформатор работает от сети с на-
напряжением 120 В. Число витков в первичной обмотке равно
90. Определите коэффициент трансформации и число витков
во вторичной обмотке, если при холостом ходе трансформатора
напряжение на ее зажимах равно 3000 В.
334. Сила тока в первичной обмотке трансформатора равна
4,8 А, напряжение на ее зажимах — 127 В. Сила тока во вторич™
ной обмотке равна 2,5 А при напряжении на ее зажимах 220 В.
Определите КПД трансформатора.
335. Первичная обмотка трансформатора, включенного в
цепь переменного тока с напряжением 250 В, имеет 1250 витков.
Определите число витков во вторичной обмотке, если она должна
питать цепь с напряжением 6,3 В при токе 0,5 А. Сопротивление
вторичной обмотки равно 0,2 Ом. Сопротивлением первичной
обмотки пренебречь.
10 СВ. Трубецкова
146 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
336. В повышающем трансформаторе с коэффициентом
трансформации 0,5 напряжение на нагрузке, включенной в
цепь вторичной обмотки, равно 216 В. Нагрузка активная,
ее сопротивление равно 10,8 Ом. Определите напряжение в
первичной обмотке трансформатора и силу тока в ней. Потерями
энергии в первичной и вторичной обмотках пренебречь.
337. Трансформатор, содержащий в первичной обмотке 300
витков, включен в сеть переменного тока с действующим напря-
напряжением 220 В. Вторичная цепь трансформатора питает нагрузку
с активным сопротивлением 50 Ом. Найдите силу тока во вторич™
ной цепи, если падение напряжения во вторичной обмотке транс-
трансформатора, содержащей 165 витков, равно 50 В. Индуктивным
сопротивление обмоток и активным сопротивлением первичной
обмотки пренебречь.
338. В первичной обмотке трансформатора, включенной в сеть
с напряжением 380 В, содержится 1320 витков. Во вторичную цепь
включена активная нагрузка мощностью 360 Вт. Считая сопро™
тивление нагрузки равным 3,6 Ом, а сопротивление вторичной
обмотки — 0,2 Ом, определите: а) ЭДС индукции во вторичной
обмотке и число витков в ней; б) КПД трансформатора.
339. Повышающий трансформатор состоит из двух обмоток,
навитых на железное кольцо. Напряжение на первичной обмотке
равно 120 В, коэффициент трансформации — 0,05. Определите
напряжение на вторичной обмотке и число витков в каждой
обмотке, если вольтметр, присоединенный к проводу, продетому
через кольцо, показывает 0,6 В.
340. Трансформатор, повышающий напряжение от 100 до
3300 В, имеет замкнутый сердечник в виде кольца. Через кольцо
пропущен провод, концы которого подсоединены к вольтметру.
Вольтметр показывает 0,5 В. Сколько витков имеют обмотки
трансформатора?
341. Первичная обмотка трансформатора имеет 2400 витков.
Сколько витков должна иметь вторичная обмотка, чтобы при
напряжении на ее зажимах 11 В передавать во внешнюю
цепь мощность 22 Вт? Сопротивление вторичной обмотки
равно 0,2 Ом, сопротивлением первичной обмотки пренебречь.
Напряжение в сети — 380 В.
342. Первичная обмотка трансформатора имеет 12000 витков
и включена в сеть с напряжением 120 В. Какое количество витков
должна иметь вторичная обмотка, если активное ее сопротивление
ТРАНСФОРМАТОР. ПЕРЕДАЧА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 147
равно 0,5 Ом, а напряжение для накала лампы — 3,5 В при силе
тока 1 А? Потерями энергии в первичной обмотке пренебречь.
343. Первичная обмотка трансформатора включена в сеть на™
пряжением 220 В. Напряжение на зажимах вторичной обмотки
равно 20 В, ее сопротивление — 1 Ом, сила тока во вторичной цепи
равна 2 А. Определите коэффициент трансформации и КПД транс-
трансформатора. Потерями энергии в первичной обмотке пренебречь.
344. Первичная обмотка повышающего трансформатора
включена в сеть с напряжением 120 В. Напряжение на зажимах
вторичной обмотки равно 2400 В, сила тока во вторичной цепи
— 2 А. Найдите силу тока в первичной цепи, а также входную и
выходную мощности трансформатора.
345. Напряжение на зажимах вторичной обмотки понижаю™
щего трансформатора равно 60 В, сила тока во вторичной цепи —
40 А. Первичная обмотка включена в цепь с напряжением 240 В.
Найдите силу тока в первичной обмотке трансформатора, а так-
также входную и выходную мощности, если КПД трансформатора
равен 90%.
346. От генератора к потребителю передается мощность
62 кВт. Сопротивление линии передачи равно 5 Ом. Какую часть
мощности получит потребитель, если напряжение на зажимах
генератора а) 620 В; б) 6200 В? Определите напряжение на
потребителе энергии в обоих случаях.
347. Требуется передать электрическую энергию на рассто™
яние 10 км с помощью медных проводов так, чтобы потери энер™
гии в проводах не превышали 10%. Мощность электростанции
100 кВт. Напряжение электростанции 220 В. Определите массу
меди, требующейся для проводов. Сколько меди потребуется при
напряжении 440 В?
348. Напряжение городской сети 220 В. Длина проводки к
дому 50 м. Определите сечение проводов, если известно, что
при включении полной нагрузки, состоящей из ста 75™ваттных
и пятидесяти 25-ваттных лампочек, напряжение на них 210 В.
Лампы включены все параллельно. Проводка изготовлена из
медного провода.
349. На какое расстояние можно передать электроэнергию
от источника с ЭДС 5 кВ при помощи медного провода, площадь
поперечного сечения которого 1 мм2, чтобы на нагрузке сопро-
сопротивлением 1,6 кОм выделялась мощность 10 кВт? Внутренним
сопротивлением источника пренебречь.
ю*
148 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
350. На первичную обмотку трансформатора подается на-
напряжение 3500 В. Его вторичная обмотка соединена проводами
с потребителем, напряжение на котором 220 В, а потребляемая
мощность 25 кВт. Определите сопротивление подводящих про-
проводов, если коэффициент трансформации равен 15. Чему равна
сила тока в первичной обмотке? Сопротивлением вторичной об-
обмотки пренебречь.
351. Двухпроводная линия длиной 800 м от понижающего
трансформатора к потребителю выполнена медным проводом
сечением 20 мм2. Потребитель энергии расходует 2,58 кВт при
напряжении 215 В. Определите напряжение на зажимах транс™
форматора и потерю мощности в проводах линии.
352. Линия электропередачи длиной 100 км находится под
напряжением 200 кВ. Линия выполнена медным кабелем пло-
площадью поперечного сечения 150 мм2. Передаваемая мощность
300 МВт. Какая часть мощности передается на нагрузку?
353. Определите, какую максимальную мощность можно пере™
дать потребителю по линии передачи длиной 1,5 км, сделанной из
медного провода сечением 18 мм2. Напряжение на электростанции
230 В, допустимая потеря напряжения на линии передачи 10%.
354. Сколько меди надо для устройства линии передачи дли™
ной 10 км, если напряжение на электростанции 440 В, а потре™
бителю необходимо передать мощность 50 кВт при допустимой
потере напряжения на проводке 10 %?
355. От генератора с ЭДС 250 В и внутренним сопротивлени-
сопротивлением ОД Ом необходимо протянуть к потребителю двухпроводную
линию длиной 100 м. Какая масса алюминия пойдет на изго-
изготовление подводящих проводов, если максимальная мощность
потребителя 22 кВт и он рассчитан на напряжение 220 В?
356. От генератора с ЭДС 40 В и внутренним сопротивлени-
сопротивлением 0,04 Ом ток поступает по медному кабелю сечением 170 мм2 к
месту электросварки, удаленному от генератора на 50 м. Опре™
делите величину напряжения на зажимах генератора и на сва-
сварочном аппарате, если сила тока в цепи равна 200 А.
357. По двум проводам сопротивлением 0,055 Ом каждый,
передается электрическая мощность 80 кВт. Каких потерь мощ™
ности в линии удастся избежать, если не подавать в линию напря-
напряжение 120 В, а сначала повысить его до 1200 Вив конце линии
передачи понизить снова до 120 В с помощью трансформаторов,
КПД каждого из которых 99 %?
ТРАНСФОРМАТОР. ПЕРЕДАЧА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 149
358. В конце линии переменного тока сопротивлением 12
Ом установлен понижающий трансформатор с коэффициентом
трансформации 20. Потребитель получает со вторичной обмотки
активную мощность 21 кВт при силе тока 60 А. Определите
КПД трансформатора, если напряжение в начале линии 7200 В, а
потери мощности в первичной обмотке ничтожно малы. Нагрузка
во вторичной цепи чисто активная.
359. В пункте А установлен повышающий трансформатор, в
пункте В — понижающий. Сопротивление соединяющей их линии
равно 15 Ом. Коэффициент трансформации понижающего транс™
форматора равен 10. В цепи его вторичной обмотки потребляется
мощность 9,6 кВт при силе тока 80 А. Определите напряжение
на вторичной обмотке повышающего трансформатора. Потерями
в первичной цепи трансформаторов пренебречь.
360. Радиолокатор работает на волне длиной 15 см и ис-
испускает импульсы с частотой 4 кГц. Длительность каждого им-
импульса равна 2 мкс. Какова наибольшая дальность обнаружения
цели? Сколько колебаний содержится в одном импульсе?
361. Первая в мире радиограмма была передана А.С. Попо™
вым в 1896 г. на расстояние 250 м. За какое время радиосигнал
прошел это расстояние?
362. На какой частоте суда передают сигнал бедствия, ес-
если по международному соглашению длина радиоволны должна
быть 600 м?
363. На какой волне работает радиопередатчик, если его
колебательный контур имеет емкость 2,6 пФ и индуктивность
0,012 мГн?
364. Можно ли приемным колебательным контуром, еоетсь
ящим из катушки индуктивностью 1 мГн и конденсатора емко-
емкостью 10 пФ, принимать передачи радиостанции, работающей на
волне длиной 100 м?
365. Частота электромагнитных колебаний, создаваемых пе™
редатчиком радиостанции, равна 6 МГц. Какова длина электро-
магнитных волн, излучаемых станцией?
366. Электромагнитные колебания частотой 1 МГц возбуж™
дают в некоторой однородной среде электромагнитные волны
длиной 200 м. Чему равна скорость волн в этой среде? Опре™
делите длину волны от этого же источника в вакууме.
150 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
367. Радиолокационная станция излучает 10-сантиметровые
радиоволны. Какова частота колебаний?
368. Станция работает на длине волны 30 м. Сколько ко-
колебаний несущей частоты происходит в течение одного периода
звуковых колебаний с частотой 5 кГц?
369. Сколько колебаний происходит в электромагнитной
волне с длиной волны 30 м в течение одного периода звуковых
колебаний с частотой 200 Гц?
370. Сигнал радиолокатора возвратился от цели через
0,38 мс. На каком расстоянии находится цель?
Ответы
1. а) 2 м; 4 с; 0,25 с; # = 2sinO,57r? m = 2cos@, 57rt^0,5тг) м;
б) 1,5 м; 0,08 с; 12,5 с^1; х = l,5sinB57r* + 0,5тг) м =
= 1,5cosB5tt?) м; в) 2 м; 0,2 с; 5 с; # = 2sinA07r?±7r) м =
= 2cosA07rt + 0,57r) м; г) 0,15 м; 2с; 0,5 с; a = 0,15sinGr*+
+0,5тг) м = 0,15cosGrt ±тг) м.
2. 0,8 м. 3. 10 м; 6 с; 1/6 Гц.
4. 5 см; 1/12 Гц; 12 с; 2,5 см.
5. 10 см; ОД с; 10 Гц; 7 см.
6. 5 см; 5 Гц; 0,2 с; тг/4; 3,5 см.
7. 0,5 м; 2 Гц; 0,5 с; тг/6; 0,425 м; 0,25 м.
8. 0,02 м; 0,5 с; 0,5тг; 6,28 • ИГ2 м/с; 0,197 м/с2; 0,5 с; 1/3 с.
9. ^ = 0,8cosGrt) м. 10. 0.
11. х = 5slnD7rt) см.
12. x = 0,05cosD7rt + 0,257r) м; х = 0,05sinD7r*-0,25тг) м.
13. х = 0,4sinGri) м.
14. х = 0,2sinGri) м = 0,2cosGrt+ 0,5тг) м.
15. x = 0,05s!nE7rt + 7r/6)M = 0,05cosE7rt-7r/3) м.
16. a = 5sin@,57rt + 0,257r) см. 17. х = 0,6sin@,57ri) м.
18. х = 0,5sinA07rt + arcsIn0,6) м.
19. x = 0,08cosD7rt + l,57r) м. 20. 0,09 м.
21. 12 см. 22. ^ 28,5 см.
23. 0; 6 см; 6 см. 24. 12 см.
25. Т/4; Т/12; Т/6.26. 1 с; 2 с.
ОТВЕТЫ 151
27. а) 0; б) +0,5тг; в) +тг или ™тг;г) —0,5тг или +1,5тг; сдвиг
фаз между бив: +0,5тг; между б и г:
±тг; между виг: +0,5тг.
28. а) 1 опережает 2 на 0,5тг; б) 1 опережает 2 на тг/2;
в) колебания происходят в противофазе — сдвиг фазы ±тг;
г) 2 опережает 1 на тг/4; д) 1 опережает 2 на Зтг/4 или 2
отстает от 1 на 5тг/4; е) 1 опережает 2 на тг/4.
29. Изменения #2(?) опережают жх(?) на 5тг/6 или 150°.
30. а) 2 см; 4 с; 0,25 Гц; х = 0,02sin@,57ri) м =
= 0,02eos@557rt-7r/2) м; б) 1,5 см; 0,08 с; 12,5 Гц; х =
= 0,015s!nB57rt + 7r/2) M = 0,015cosB57ri) м; в) 2 см; 0,2 с;
5 Гц; x = 0,02sinA07rt±7r)M = 0,02cosA07rt + 7r/2) м;
г) 15 см; 2 с; 0,5 Гц; х = 0,15sinGrt — тг/2) м =
= 0,15cosGrt ±тг).
31. 2 см; 3,14 см/с; 4,93 см/с2.
32. 3 с, 9 с; 0 с, 6 с, 12 с; 3 с; 9 с.
33. ^3 м/с; ^76 м/с2.
35. 0,3 м; 2 с; 0,5тг; -0,94 м/с; 0.
36. « 4 м/с2; 0,05 м; 0,15 м.
37. a = 0,05sinB07rt + 7r/6) м; v^2J м/с; а = -99 м/с2.
38. x = 0,05s!nGrt + 7r/6) м.
39. 3^6/8^0,9.
40. х = 2sinGrt) см; 4,4 см/с; —14 см/с2.
41. 10,9 м/с; 12,56 м/с; 0 м/с; 800 м/с2; 0 м/с2; и 1,6• 103 м/с2.
42. х = 0,001 cos(lOOOTrt) м; vmax = 3,14 м/с;
«max = 9860 м/с2; 0,001 м; 0; 9860 м/с2.
43. 6,28 см/с; 40 см/с2.
44. 8,5 см/с; 20 см/с2; 2-Ю Дж.
45. F=-2,5-10~4sinGri/8+7r/4)H; -2,5-10~4Н; 1,2-10Дж.
46. a = 0,04sinGrt + 0,37r) м. 47. Г/8.
48. 3,14 с. 49. a = 2,5sin@,8t) м.
50. a; = 0,5cos(l,5t) м. 51. 0,1ж/; + 20ж = 0.
52. lxff + gx = 0. 53. 2ж/; + 800х = 0,
54. х" + 2х = п.
55. х = 0,05cosGrt + тг/3) м; i;m = 0,16 м/с; ж;/ + тг2ж = 0.
56. 0,56 м. 57. 9,7 м/с2.
152 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
58. 98 м. 59. 9,82 м/с2.
60. 9,82 м/с2. 61. В 2 раза.
62. 1\ = 912- 63. Уменьшится в 1,4 раза.
64. Уменьшится в 9 раз. 65. 2,5 с.
66. 1,62 м/с2. 67. 4,9 с.
68. Тп = 2Т3. 69. Увеличится на 3,2 мс.
70. Первый длиннее в 2,25 раза.
71. 60; 90. 72. 9 см; 25 см.
73. « 2 с; фазы одинаковы через каждые 2 колебания второго
маятника или одно колебание первого маятника.
74. 2,45 м.
75. Уменьшить длину на « 8 см.
76. Уйдут вперед на 7 мин 12 с. 77. « 432 с.
78. 2,7 с. 79. 24 часа 13,5 с.
80. Часы отстают в сутки на 1 мин 10 с.
81. ^6,4 км. 82. «1,7 с; 2,6 с; «1,9 с.
83. 631 м. 84. 1,8 с; 2,2 с.
85. 1,7 м/с2; ускорение направлено вниз.
86. ^2с.
87. Т = 2Ti^l/^g2 + a2- 2agcosa.
88. T = 27ry/l/(gcosa). 89. 0,09 Н.
90. Уйдут вперед на 11 с. 91. q = 2mg/E.
92. ^0,03 Н. 93. ^6,2 м/с.
94. -0,4°; -10°; 12°.
95. ^0,43 м/с. 96. 0,15 Н.
97. « 0,17 Н; « 0,99 Н; 0,34 Н; 0,94 Н; 0,5 Н; « 0,87 Н.
98. 2,2 Н.
99. x = 0,lcosBt) м; Fx = -0,2cos2t H; 0,2 Н; 0.
100. ^0,2 м/с; F«0,l H.
101. 3 см. 102. 1,4 м/с; 62,1 Н.
103. 0,19 м. 104. 0,49 м/с2.
105. и = ^/W/Bm)/Grxm); I = mgx2JBW); нет.
106. Во втором случае время возврата будет меньше в 1,1 раза.
ОТВЕТЫ 153
107. Т = iry/T/g/(l + l/V2)\ нет.
108. а2 = arccosO,88 « 28°. 109. 1,42 с; 0,0735 Дж.
110.
111.
113.
115.
117.
118.
119.
121.
123.
125.
127.
128.
129.
131.
133.
135.
137.
139.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
W — mglA — cosa); vm-
0,13 Дж; 1,6 м/с.
3,92 Дж; 2,35 Дж.
0,19 м.
2 Н/м.
= \/2^A
112.
114.
116.
« 8 Гц; х — 8cosA67r?) cm.
« ПО Н/м.
Уменьшится в 1,8 раза.
1,13 Гц.
13 мм.
0,12 кг.
а{х) = -ЮООж; 10 м/с2.
40 г.
8 мДж.
0,4 м/с.
1 м/с.
9,8 г.
2,8 Дж; 3,8 м/с.
^о = хт^/к/т.
хт = VQ^/m/к; ат = г>о\
a; = 3,017-10sinC1,6i
420 м/с.
хт = mvo/^/k(m + M);
x = 0,lsinGri/0,6).
120.
122.
124.
126.
130.
132.
134.
136.
138.
140.
/к/т.
+ 1,47) м
Т = 2тг/<
— COStt).
0,55 м.
8 кг.
0,2 кг.
75,4 с.
0,628 с.
9 см.
и 0,45 с.
4 см.
0,44 Дж.
15 г.
0,5 Гц; 4,9 мДж.
8 мДж.
6,32 Дж.
147. 1/8 с; 3/8 с; 5/8 с; 7/8 с.
148. ^ = 0,32cos7r(t + 0,3) м; F = -0,063cos7r(t + 0,3) м.
149. и 1,18 Н; и 17,6 мДж; и 0,8 Н; « 9,7 мДж; и 7,9 мДж.
150. 0,008 рад; ^0,005 Дж.
151. z = 0,2cosA0t + l,4); F = -8cosA0t + 1,4); Fm = 8 Н;
Fi = 7,lH.
154 3, ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
152. WK = 4mx2m7r2sm2Birt/T)/BT2);
Wn = 4mx2aTT2cos2{27rt/T)/{2T2); W = Атх^тт'
153. 2,7 см. 154. x = 0,lsinC1,6?) м.
155. Нет. 156. и 0,4 Гц.
157. 1 с. 158. 20 м/с.
159. 0,6 м. 160. 12,7 км/ч.
161. 10 м/с. 162. Т = 2ъ^рф/(ржё).
163. Т = 2тт^2h/(Sg). 164. T = 2ny/m/(pgS).
165. Э00кг/м3. 166. T = 2iry/m/BpgS).
167. 5,4 м/с2; ускорение направлено вертикально вниз.
168. ^22 м/с. 169. 1,29 м.
170. 4 с. 171. тг.
172. 1 м. 173. тг/2.
174. 0,2 м. 175. 812 Гц.
176. тт/6; тг; Зтт/2; 2тг; 7тт/3.
177. 0,8 с; -ОД м. 178. 4,35 раза.
179. Уменьшается в 2 раза. 180. 1435 м/с.
181. 7,25 м. 182. 4,2 м; 0,26 м.
183. и 4 км. 184. 330 м/с.
185. ^5,5 м/с. 186. «1 км.
187. 420 м. 188. 26 см; 52 см.
189. и 350 м/с; 30 м/с. 190. 15 м/с; 5 м/с.
191. 350 м/с. 192. 5100 м/с.
193. 371 м. 194. « 160 м.
197. 0,2 МГц; 5 мкс. 198. 250 пФ.
199. 0,24 мс; 4200 Гц. 200. 14 мГн.
201. 1,5 мкФ. 202. От 300 м до 900 м.
203. От 3 до 15 м. 204. От 110 кГц до 150 кГц.
205. 24 м. 206. От 4,2 м до 420 м.
207. 10 мкс. 208. 24 кГц; 50 кГц.
209. 0,25 мГн; 0,001 мкФ. 210. Увеличится в 2 раза.
212. Уменьшится в 2 раза; увеличится в 2 раза.
ОТВЕТЫ 155
213. 36 кГц.214. 2350 м.
215. 2тг рад/с; 1 Гц; 1 с; тг рад; U = 20cosBvr^ + vr) В.
216. <7 = l,5-KT10cosF,28-106f)Kn;
/ = -9,42-10-4smF,28-106f) A; U = 3cosF,28-106i) В.
217. 0,4 мкФ; 4 мА; 5 • 10"8 Дж.
218. 0,1 Гн.
219. 0,63 мкФ; 0,26 мДж.
220. 1 мГн; 1,125 мДж. 221. 200 мкКл; 100 В.
222. Т = 2irqm/Im. 223. 933 м.
224. / = итЛ/ЗС]Т/2; /т = итЛ/С]Т.
225. 10 В. 226. 10 тА.
227. 100 В; и 86,6 В. 228. /т = UmsJC/L.
229. « Ю-7 Дж; и 1(Г7 Дж.
230. 1,6-1(Г5Дж. 231. 1,58-10~5Кл.
232. -11,1 мА.
233. -3,24-10А; -2,35 В; 47 мкКл.
234. 0,5 Дж. 235. g" + 25-1010g = 0.
236. g" + 7,8-107g = 0. 237. g" + 2,56-108g = 0.
238. g" + 4-1089 = 0.
239. T a 0,25 мс; q = 80cosB,5 • 104t) нКл;
[/ = l,25cosB,5-104i) B; / = 0,02cosB,5- 104^+тг/2) мА.
240. 6,28-Ю-5 с; q = 10-6cosA05i) Кл;
[/ = 5-103cosA05t) В; / = 0,lcosA05i + vr/2) A.
241. </' + 3,125-10log = 0; q = 8- 10cos(l,77- 105i) Кл;
t/ = 2,5-103cos(l,77-105t) B;
/ = 0,14cosA,77-105^ + tt/2) A.
244. ^ = BScos{2-Kt/T); g =[2irBSamBirt/T)]/T.
245. 2,5 B. 246. ^0,04c.
247. 5,04 B. 248. 0,2 c; 0,63 B.
249. 150 витков. 250. g = 10sinA00i) B.
251. 100 B; 70,7 B; 50 B; 10 Гц; 0,1 с.
252. 12 В; 0,02с; 50 Гц; 0 В.
253. 2 мс.
254. 84,9 В; 10 мс; g = 240sinA256t) В.
156 3, ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
255. 70 В; 100 В. 256. 138,7 В; 0 В.
257. h = 5,6sinB007ri) A; /2 = 7sinA007ri) A.
258. Si = 4,2sinA07rt) В; <g2 = 8,4sinB07r?) В.
259. 0,28 А; 25 Гц; 0,04 с; 0.
260. 50 В; 0,4 с; 2,5 Гц; -тг/2.
261. 50 тА; 1 с; 1 Гц; тг/2.
262. 70 В; 0,1 с; 10 Гц; -тт.
263. и 11,5 В. 264. 12 А; 8,6 А.
265. « 310 В. 266. Нет.
267. Да. 269) 3,3 мс; 100 1/с.
270. 3,3 мс; 6,6 мс. 271. « 59 В; 36 с.
272. 2Т/3.273. t/T = 1 - [2arcsin(^/2)]/7r = 0,5.
274. tf = 311sinA00irt) В; / = 6,2sinA007rt) A.
275. t/ = 311sinA007rt) В; / = 5,3sinA007rt + 7r/2) A.
276. U = 177sinA007rt) В; / = 3,5sinA007rt - тг/2) А.
280. 12,7 Ом; 3,2 Ом; 1,6 Ом.
281. 4 мкФ. 282. 10 Ом; 3 мкФ.
283. 0,1 мс. 284. 5 мкФ.
285. 319 В; U = 319sinC14t - тг/2) В.
286. / = l,38sinC14i + 7r/2) A; q = 4,4- 10-3sinC14i) Кл.
287. 1,4 А. 288. 1,02 А
289. y = arctg2 «63°.
290. 1,4 А; <р « arctg(-0,796) = -39° = -0,698 рад.
291. 0,26 А; 0,18 А; « 77°; 5,1 Вт.
292. U = 283sinC14t); / = 1,13sinC14t + 0,9) А.
293. а) тг/3; б) 500 Ом; в) 125 Ом; г) 216,5 Ом; д) 14,7 мкФ;
е) 45 Вт.
294. 35 мГн. 295. 0,05 с.
296. 51 мГн. 297. 0,8 Гн.
298. / = 22,5sin314t A.
299. 314 OM;f/ = 31,4sinF28t + 7r/2) В.
300. vj = arctg0,6«31oRi0,54 рад.
301. «61 Гц.
302. а) 7г/4; б) 4 Ом; в) 2,8 Ом; г) 2,8 Ом; д) 9 мГн.
ОТВЕТЫ 157
303. а) 13 мГн; б) 0,6; в) 150 Вт; г) / = 10sinA007rt + 0,9) A.
304. 0,13 Гн. 305. 0,015 Гн; 11,5 Вт.
306. ^60 Гц; ^ = arccos056^53°.
307. а) 15 А; б) / = O,8slnD7rt -0,48тг) А; в) ^32 кВ.
308. 500 Гц. 309. 8,6 мкФ; 1,17 Гн.
310. а) 5 Ом; б) 10 Ом; в) 20 Ом.
311. ОД А. 312. 0; 3 Ом.
313. 3,33 кОм; c/? = aretg(-3)^-72°.
314. 2,85 А. 315. 12,1 А.
316. ^0,64. 317. ^ = arccosG,6^37°.
318. <р « 72°; 0,5 Вт. 319. 200 Ом; 0,5; 100 Вт.
320. t/ = 99,4sinA007rt-0,47r) В; / = 0,031sinA007rt) A;
W = 0,48 Вт.
321. a) C/ = 311sinA007rt) В; / = 0,76sinA007rt -0,4тг) А;
б) UR = 54 В; UL = 237,3 В; Uc = 24,3 В; в) и 29 Вт;
г) 32 Гц; д) UR = 220 В; UL = 309 В; Uc = 309 В; 0.
322. « 1,2 А; 50 Гц; 110 А; « 5,5 кВ; ^5,5 кВ.
323. Да; 1 А; и 628 В; и 628 В.
324. 11 А; 11 кВ; пробой может произойти вследствие высо-
высокого напряжения на реактивных сопротивлениях.
325. 100 мкФ; U < 400 В.
326.
327.
329.
331.
333.
335.
337.
339.
341.
343.
344.
345.
346.
C = l/(u^L);Pmax = t^/Btf).
5 В.
5 В.
2 В.
0,04; 2250.
32.
1,4 А.
2400 В; 200; 4000.
72.
0,1; 91%.
40 А; 4,8 кВт; 4,8 кВт.
11 А; 2,67 кВт; 2,4 кВт.
а) 0,19; 120 В; б) 0,99; 6,15
328.
330.
332.
334.
336.
338.
340.
342.
кВ.
10 В.
1754 В.
5,6 А.
90%.
108 В; 40 А.
38 В; 132; 95%.
200; 6600.
400.
158 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
347. 1,25 • 106 кг; 3,125 • 105 кг.
348. 7,ЫСГ6м2. 349. 11,4 км.
350. « 0,12 Ом; 7,6 А. 351. « 231 В; « 196 Вт.
352. 0,97. 353. 1680 Вт.
354. 156 т. 355. 15 кг.
356. 32 В; 30 В. 357. 46 кВт.
358. г/ = 98%. 359. 1320 В.
360. 37 км; 4000 колебаний. 361. 0,83 мкс.
362. 500 кГц. 363. 24 м.
364. Нет. 365. 50 м.
366. 2-Ю8 м/с; 5 Ом. 367. 3-109Гц.
368. 2-Ю3. 369. 5-Ю4.
370. 50 км.
Часть VIII
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Содержание теоретического материала
Прямолинейность распространения света. Законы отражения
и преломления света. Показатель преломления. Полное внутрен™
нее отражение. Линзы. Фокусное расстояние и оптическая сила
линзы. Формула тонкой линзы. Увеличение линзы.
Контрольные вопросы
1.1. Дайте определение основным понятиям геометрической
оптики: луч, источник света, точечный источник света, опти-
оптическая система.
1.2. Сформулируйте законы обратимости световых лучей и
прямолинейности распространения света.
1.3. Какие лучи света называются падающими, отраженны-
отраженными и преломленными? Какие углы, соответственно, называются
углами падения, отражения и преломления?
1.4. Сформулируйте законы отражения света.
1.5. Какое отражение света называется диффузным, какое
зеркальным?
1.6. Почему в свете фар автомобиля лужа на асфальте но-
ночью кажется водителю темным пятном?
1.7. Как строится изображение точки в плоском зеркале?
1.8. Постройте изображение горизонтально расположенно-
расположенного предмета в зеркале, плоскость которого составляет угол 45°
с горизонтом; сделайте то же самое для вертикально располо-
расположенного предмета.
1.9. Светящаяся точка приближается к плоскому зеркалу со
скоростью v. С какой скоростью будет казаться движущимся ее
изображение, если вести наблюдение в системе отсчета, связан™
ной с зеркалом? со светящейся точкой?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 161
1.10. Какими характеристиками обычно определяют изобра-
изображение предмета, даваемого оптической системой?
1.11. Охарактеризуйте изображение, даваемое плоским
зеркалом.
1.12. При каком условии плоское зеркало может дать дей-
действительное изображение?
1.13. Человек, стоящий на берегу озера, видит на гладкой
поверхности воды изображение Солнца. Как будет перемещаться
это изображение при удалении человека от озера?
1.14. Проведите небольшой эксперимент: поставьте верти-
вертикально один за другим на некотором расстоянии два карандаша.
Прищурьте левый глаз и расположите карандаши так, чтобы
один закрывал другой. А теперь откройте левый глаз, но закрой-
закройте правый. Что произошло? Посмотрите двумя глазами. Объяс™
ните то, что увидели. (Примечание: долго напрягать зрение при
этом нельзя — можно утомить глаза).
1.15. Сформулируйте законы преломления света. Чем разли-
различаются относительный и абсолютный показатели преломления?
1.16. Как связан показатель преломления со скоростями
света в первой и второй среде?
1.17. Какая среда называется оптически менее плотной,
какая — оптически более плотной?
1.18. Как связаны абсолютные показатели преломления
двух сред со скоростями света в них?
1.19. Как соотносятся величины угла падения и угла пре™
ломления при переходе света из одной среды в другую?
1.20. В каком случае угол преломления луча равен углу
падения?
1.21. Нарисуйте ход луча света, идущего от некоторой точки
внутри воды к глазу наблюдателя, находящегося в воздухе.
1.22. Чем ближе к поверхности Земли, тем больше оптиче-
оптическая плотность воздуха. Как скажется это на ходе луча, идущего
в атмосферу Земли из космоса?
1.23. Нарисуйте ход луча света через плоскопараллельную
пластинку в случаях: а) окружающая среда является оптически
менее плотной, чем пластинка; б) окружающая среда является
оптически более плотной, чем пластинка.
11 СВ. Трубецкова
162
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1.24. Нарисуйте ход лучей через
. ^_- две плоскопараллельные пластинки
— — (рис. VIII. 1), находящиеся в воде. Соот™
¦ ~Z_- ношение показателей преломления
~ "Е воды, первой и второй пластинок
¦ —- следующее: П2 > пв > п\. Напишите
Г" ~ соотношение между углами падения и
¦ —~2 преломления для всех границ раздела.
¦ — ~ 1.25. В чем заключается явление
_ _ _ _^^ полного внутреннего отражения? Ка™
Г^З^З^З^З^! кой угол называется предельным углом
— — — — — полного внутреннего отражения? Как
Рис. VIII. 1 определить значение этого угла?
1.26. Как можно изменить направление хода лучей, исполь-
используя явление полного внутреннего отражения в прямоугольной
равнобедренной призме?
1.27. На чем основано явление передачи света по светово™
дам?
1.28. Резкий изгиб светопровода приводит к прекращению
его действия. Почему?
1.29. Аквалангист, плавающий под водой, всегда может
видеть рыбака, находящегося на берегу. Рыбак же, сидящий на
берегу, лишь в редких случаях может увидеть аквалангиста под
водой. Почему?
1.30. Граница раздела двух однородных сред освещается
рассеянным светом. Свет идет из оптически менее плотной среды
в оптически более плотную. В каких пределах будут меняться
углы падения и углы преломления?
1.31. Что собой представляют линзы? Какого вида они
бывают?
1.32. Какие линзы называются собирающими, какие рассеи-
рассеивающими?
1.33. Какие линзы называют тонкими?
1.34. Дайте определение следующим основным понятиям,
относящимся к линзам: оптическая ось, оптический центр,
главный и побочный фокусы линзы.
1.35. Как построить изображение светящейся точки в соби-
собирающих и рассеивающих линзах? Отдельно рассмотрите случай,
когда точка лежит на главной оптической оси.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
163
1.36. На рис. VI0.2 показаны положения главной оптической
оси МN тонкой линзы, светящейся точки S и ее изображения Sf.
Найдите построением положение оптического центра линзы и ее
фокуса для обоих случаев.
М-
S
sf
-N М-
S
-N
*
Sf
Рис. VIII.2
1.37. Укажите, какие из линз, изображенных на рис. VIII.3,
непригодны для получения действительных изображений пред-
предметов.
п
Рис. VIII.3
1.38. Напишите формулу тонкой линзы и дайте к ней пояс-
пояснения.
1.39. Какая величина называется оптической силой линзы и
какова ее размерность?
1.40. Какой формулой определяется увеличение линзы?
1.41. Получится ли изображение
предмета АВ (рис. VIII.4), если в лин-
линзе места С и D непрозрачны?
1.42. Что собой представляет оп-
оптическая система глаза?
1.43. В чем заключается свойство
глаза, называемое аккомодацией?
в
Ы
W7
С
D
щ
F
V
Рис. VIII.4
1.44. Как осуществляется адаптация глаза?
11*
164 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1.45. Какой угол называют углом зрения?
1.46. Какой дефект зрения называют близорукостью и как
его корректируют?
1.47. Какой дефект зрения называют дальнозоркостью и как
его корректируют?
1.48. Когда оптическая сила глаза больше: при рассматри™
вании близких или далеких предметов?
1.49. Очки имеют оптическую силу +2 дптр. Какие линзы в
этих очках? Какой дефект устраняют эти очки?
1.50. Как определить оптическую силу системы, состоящей
из нескольких тонких линз, сложенных вплотную?
1.51. В комнате, освещенной электрической лампой, надо
определить, какая из двух собирающих линз имеет большую
оптическую силу? Как это сделать?
1.52. Имеются собирающая и рассеивающая линзы. Каким
образом, не измеряя фокусных расстояний, можно сравнить
значения оптических сил обеих линз?
1.53. Как собирающая линза используется в качестве лупы
для рассматривания близких предметов?
Ответы
1.1. В геометрической оптике рассматриваются законы рас-
распространения света в прозрачных средах на основе представле-
представлений о свете как о совокупности лучей. Луч — это линия, вдоль
которой распространяется световая энергия. Источник света
— тело, излучающее световую энергию в окружающую среду.
При излучении источник света теряет часть своей энергии; при
поглощении света внутренняя энергия тела увеличивается: его
температура возрастает, могут происходить химические реакции,
световая энергия может быть преобразована в механическую и
электрическую. Таким образом, распространение света сопро™
вождается переносом энергии.
Источник света называется точечным, если его размеры ма-
малы по сравнению с расстоянием до места наблюдения.
Устройство, с помощью которого преобразуется ход лучей,
представляет собой оптическую систему. Источником лучей для
оптической системы служит любой предмет, который излучает
или отражает световую энергию.
ОТВЕТЫ
165
1.2. В геометрической оптике используются следующие экс™
периментальные законы.
А. Закон обратимости световых лучей.
Пусть на какую-либо оптическую систему С С падает луч А,
а выходит из нее соответствующий ему луч В (рис. VIII.5 а). Если
пустить теперь падающий луч вдоль луча В навстречу ему (луч
Bf)j получим выходящий из системы луч А\ который идет вдоль
луча А навстречу ему (рис. VIII.5 б).
С С
с1 С
а б
Рис. VIII.5 Рис. VIII.6
Б. Закон прямолинейности распространения света.
В однородной среде свет распространяется прямолинейно.
Прямолинейность распространения света приводит к тому, что
за непрозрачными телами, освещенными одним точечным ис-
источником света, образуются тени, размеры которых определя-
определяются взаимным расположением источника света, тела и экрана
1.3. Границей раздела двух сред назовем поверхность, разде-
разделяющую две однородные среды I и О (рис. VIII.7).
Луч света, идущий к границе раздела, называется падающим
(АО).
Луч, остающийся в первой сре-
среде после взаимодействия с грани™
цей раздела в точке его падения (т.
О), есть отраженный луч (ОВ).
На границе раздела двух про-
прозрачных сред кроме отражения на™
блюдается преломление — явле-
явление, при котором луч частично
проходит во вторую среду, обычно
изменяя свое первоначальное на-
направление. Этот луч называется
преломленным (ОС).
Рис. VIII.7
166
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Угол а между падающим лучом и перпендикуляром, восета-
новленным к границе раздела двух сред в точке падения луча,
называется углом падения. Угол af между лучом отраженным и
перпендикуляром, восстановленным к границе раздела двух сред
в точке падения луча, называется углом отражения.
Угол /3 между лучом преломленным и перпендикуляром, вое™
становленным к границе раздела двух сред в точке падения луча,
называется углом преломления.
1.4. 1. Луч падающий, перпендикуляр, восстановленный к
границе раздела двух сред в точке его падения, и луч отражен™
ный лежат в одной плоскости.
2. Угол падения равен углу отражения (а = а!, рис. VIII.7).
1.5. Диффузным называется отражение, при котором падаю™
щий параллельный пучок света после отражения от поверхности
рассеивается по разным направлениям. Диффузное рассеивание
происходит, если граница раздела представляет собой шерохо™
ватую матовую поверхность. Поэтому углы падения и, соответ™
ственно, отражения меняются вдоль поверхности (рис. VIII.8 а).
Рис. VIII.8
Зеркальным называется отражение, при котором падающие
на границу раздела параллельные лучи после отражения оста™
ются параллельными (рис. VIII.8 6). Зеркальное отражение про-
происходит от гладкой, хорошо отполированной поверхности.
1.6. Поверхность лужи, если нет ветра, отражает свет зер™
кально. Отраженный свет практически полностью направлен в
противоположную сторону. Асфальт же, имея шероховатую по™
верхность, отражает свет диффузно, и поэтому часть отражен™
ного света попадает от асфальта в глаз водителю.
1.7. Пусть источник света S дает совокупность лучей во всех
направлениях. Возьмем из них два: SА и SB (рис. VIII.9). Каж-
ОТВЕТЫ
167
Рис. VIII.9
дый из них отражается по за-
закону отражения от зеркальной
поверхности (лучи А А' и В В1).
Продолжим отраженные лучи
за плоскость зеркала (ASf и
BSf). Точка 5" пересечения про-
продолжения лучей за зеркалом бу-
будет лежать на том же перпенди-
перпендикуляре к зеркалу, что и точка S
и на том же расстоянии от плос-
плоскости зеркала (\SN\ = \NS'\). В
этом легко убедиться, используя теоремы геометрии. От зеркала
отраженные лучи идут расходящимся пучком. Глаз человека
обладает способностью воспринимать расходящиеся лучи выхо-
выходящими из некоторой точки Sf. В этой точке S1 пересекаются
продолжения отраженных лучей за плоскость зеркала. Эта точка
называется мнимым изображением источника света.
Исходя из вышесказанного, построить изображение протя-
протяженного предмета в плоском зеркале можно следующим обра-
образом: из каждой точки предмета опустить перпендикуляры на
плоскость зеркала и продолжить их за зеркало. Расстояния от
основания перпендикуляра до источника света и до его изобра-
изображения одинаковы. На рис. VIII. 10 в качестве примера приведено
построение изображения стрелки. Из крайних ее точек А и В
4
д
Рис. VIII.10
Рис. VIII.11
опущены перпендикуляры и продлены за зеркало. Расстояния
от источника света до зеркала и от зеркала до изображения
одинаковы, поэтому \АМг\ = \NiA'\, \BN2\ = \N2Bf\; А' ж В' —
мнимые изображения точек А и В. Очевидно, что изображения
всех остальных точек стрелки А В находятся между точками Af
и В1.
1.8. См. рис.УНШ.
168
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1.9. В системе отсчета, связанной с зеркалом, — со скоро™
стью v, а в системе, связанной с самой светящейся точкой, — со
скоростью 2v.
1.10. Изображение предмета, которое дает некоторая опти-
оптическая система, характеризуют обычно тремя его свойствами.
A. Мнимое или действительное.
В том месте, где должно быть изображение предмета, можно
поместить бумагу. Если на бумаге сходятся лучи, прошедшие
через оптическую систему, то мы увидим изображение предмета.
В этом случае изображение называется действительным.
В ряде случаев изображение может быть получено не сами-
самими лучами, а их продолжениями. Например, в плоском зеркале
изображение мы видим как бы за зеркалом, где, разумеется, на
самом деле его нет. Поэтому такое изображение будет называться
мнимым.
Б. Изображение предмета, которое получится после прохож-
дения лучей через оптическую систему, может быть больше или
меньше предмета, а также размеры изображения могут быть
такие же, как и размеры предмета. В таких случаях говорят,
соответственно, что изображение предмета — увеличенное или
уменьшенное, или в натуральную величину.
B. При получении изображения в плоском зеркале верхней
точке предмета соответствует верхняя точка изображения.
Часто после прохождения лучей света через оптическую
систему получается, что изображение как бы переворачивается
«с ног на голову»: верхней точке предмета соответствует
нижняя точка изображения. В первом случае изображение
называется прямым, во втором случае — перевернутым.
1.11. Плоское зеркало дает мни™
мое, в натуральную величину, прямое
изображение предмета.
1.12. В случае, если на зерка-
зеркало падает сходящийся пучок лучей
> (рис. VIII. 12). В этом случае источ-
1 ник света является мнимым и лежит
в точке пересечения продолжений па™
дающих лучей (точка Si). Отражен»
ные лучи пересекаются в точке $2,
которая представляет собой действи™
тельное изображение мнимого источ™
ника света.
Рис. VIII.12
ОТВЕТЫ
169
1.13. Солнечные лучи вблизи поверхности Земли можно рас™
сматривать как поток параллельный лучей (рис. VIII. 13). Чело-
Человек видит изображение Солнца в месте, от которого отражаются
лучи, попадающие ему в глаз. Из рис. VIII. 13 видно, что при
удалении человека от берега изображение Солнца приближается
к берегу.
Рис. VIII.13
1.14. Истинное положение предмета и расстояние до
него оцениваются обычно при его рассматривании двумя
глазами. Пусть при рассматривании одним левым глазом
(рис. VIII.14 а) мы поставим карандаши так, что ближай-
ближайший карандаш заслоняет дальний. Если закрыть левый
и открыть правый глаз, то вы увидите оба карандаша,
так как лучи от них обоих получили доступ к правому
глазу (рис. VIII. 14 б). Если вы смотрите «в оба глаза»,
Рис. VIII.14
то также видны оба карандаша. Но при некотором напряжении
можно заметить, что передний карандаш как бы двоится: од-
одно его изображение закрывает второй карандаш, другое — нет.
Обычно, когда мы рассматриваем отдельные предметы, мы по™
л у чаем на сетчатке обоих глаз по изображению, которые работой
мозга воспринимаются совмещенными.
1.15. 1. Луч падающий, перпендикуляр к границе раздела
двух сред в точке падения и преломленный луч лежат в одной
плоскости.
2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления
есть величина постоянная для данной пары сред. Эта величина
170
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
I
называется показателем преломления
второй среды относительно первой
(или относительным показателем пре-
преломления). Обозначается n<i\ или про-
просто п:
sin a
П21 =
Рис. VIII.15
sin/З '
a — значение угла падения, /3 — угла
преломления (рис. VIII.15).
Показатель преломления любой
среды относительно вакуума называ-
называется абсолютным показателем преломления. Значения показате-
ля преломления среды относительно воздуха мало отличаются от
значения абсолютного показателя преломления. Поэтому, когда
в задачах речь идет о падении света на границу раздела воздух
— среда, можно брать значение абсолютного показателя прелом™
ления среды.
1.16. Изменение направления лучей при переходе из одной
среды в другую связано с изменением скорости распространения
света. Исследования показывают, что показатель преломления
второй среды относительно первой равен отношению скорости
света в первой среде к скорости света во второй среде:
П21 =
Отношение скорости света в вакууме (с) к скорости света в дан-
данной среде (г;) есть абсолютный показатель преломления данного
вещества:
п = c/v
(с = 3 • 108 м/с — почти равно скорости света в воздухе).
Слово «абсолютный» обычно опускают и говорят просто о
показателе преломления (или коэффициенте преломления) дан™
ного вещества. Значения показателей преломления прозрачных
однородных веществ приводятся в справочных таблицах.
Значение показателя преломления зависит от химического
состава вещества, а для растворов — от концентрации и является
важной величиной, характеризующей вещество.
1.17. Среда, в которой скорость распространения света боль™
ше, чем в другой среде, называется оптически менее плотной.
И наоборот, если скорость света в некоторой среде меньше по
отношению к скорости в другой среде, то первая называется
оптически более плотной.
ОТВЕТЫ
171
1.18. Пусть первая среда имеет абсолютный показатель п\
и скорость света в ней г>1, а вторая среда — соответственно, П2 и
V2- Тогда можно записать следующее:
с с
щ = —; п2 = —;
Vi С С П2
гс21 = — = — : — = —.
V2 П\ П2 П\
ПолуЧИМ, ЧТО U2JU\ = V\/V2-
Из последней формулы видно, что для менее плотной среды
абсолютный показатель должен быть меньше, чем для более
плотной среды (если v\ > ^2, то n<i > п\).
1.19. Сопоставив закон преломления и полученную формулу
в предыдущем ответе, можно записать следующее равенство:
sin а П2
sin/3 n\
п\ и П2 — абсолютные показатели преломления первой и второй
среды. Из полученного уравнения можно сделать следующие
заключения.
а> Ъ
Л
а< b —
Рис. VIII.16
Если первая среда оптически более плотная, то п\ > п<ь,
sin/3 > sin а и /3 > а (рис. VIII.16 а).
Если же первая среда оптически менее плотная, то п\ < n<i,
sin/3 < sin а и /3 < а (рис. VIII. 16 б).
В соответствии с изложенным можно сделать вывод: в оп-
оптически более плотной среде луч света отклонен от нормали
на меньший угол, чем в оптически менее плотной среде. То есть в
более плотной среде луч «прижимается» к нормали. Это необхо-
172
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Рис. VIII.17
димо помнить для правильного по™
строения хода лучей света при прохож™
дении их через границу раздела сред с
различной оптической плотностью.
1.20. Если показатели преломле-
преломления обеих сред одинаковые, а также
когда луч падает на поверхность пер™
пендикулярно границе раздела любых
двух сред.
1.21. См. рис.УШ.17.
1.22. Луч в атмосфере искривля™
ется, видимое положение светила не
совпадает с его действительным поло-
положением (рис. "VIII. 18).
1.23. Ход лучей представлен на
рис. VIII. 19 а, б. Нетрудно показать,
что выходящий из пластины луч параллелен падающему.
Рис. VIII.18
а > /3
7 < S
Рис. VIII.19
1.24. См. рис.УШ.2О.
1.25. Пусть свет идет из оптиче™
ски более плотной среды I в оптиче™
ски менее плотную П. При этом все™
гда угол преломления больше угла
падения. Пусть точечный источник
света S находится в оптически более
плотной среде (рис. VIII.21). Лучи от
него расходятся по всем направление
ям, и угол падения луча на границу
Рис. VIII.20
ОТВЕТЫ
173
раздела будет увеличиваться при удалении точки падения от
источника света.
Рис. VIII.21
Луч SO\ падает на границу раздела и частично отражается
от нее {О\А\\ частично преломляется в менее плотную среду II
{O\Bi). Причем доля отраженной световой энергии много мень-
меньше преломленной. При увеличении угла падения доля отражен-
отраженной световой энергии возрастает, а преломленной — уменьшается.
Так как /3 > а, то луч преломленный быстрее приближается
к границе раздела, чем падающий луч. Существует такой угол
падения «о (луч SO2)j при котором преломленный луч О2В2
имеет угол преломления, близкий к 90°, и интенсивность его ни™
чтожна. Соответствующий отраженный луч — 02^2- При углах
падения, больших «о? преломленного луча не существует и вся
световая энергия отражается: луч SO% полностью отражается по
направлению Оз^4з? преломленного луча в точке О% нет.
Если граница раздела осве™
щается рассеянным светом, то
в каждую ее точку приходят
лучи с углами падения от 0°
до 90° (рис. VIII.22). Если а <
< «о? то лучи проходят во вто-
вторую среду и соответствующий
им угол преломления меняется
в пределах от 0° до 90° (напри™
мер, луч ЛОЛ"). При а > ад
преломления не происходит, и
А1'
В!
Af
рис ущ 22
все лучи из области ВОМ от™
ражаются от границы раздела в область В1 ON. Это явление
носит называние полного внутреннего отражения.
Угол падения «о, при котором угол преломления равен 90°,
174
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
называется предельным углом полного внутреннего отражения.
Значение этого угла можно определить, используя закон прелом™
ления: о- ^ ^
sin90° hi' щ'
Если свет идет из некоторой среды в воздух, то есть П2 = 1, то
sin «о = 1/^5
п — показатель преломления среды, из которой свет переходит в
воздух.
Таким образом, чтобы произошло явление полного внутрен™
него отражения, свет должен идти из оптически более плотной
среды в менее плотную и угол падения лучей на границу раздела
двух сред должен быть больше предельного.
Например, если свет идет из воды (п = 1,33) в воздух, то зна-
значение предельного угла полного внутреннего отражения равно
«о = arcsin(l/l, 33) « arcsin@,75) « 49°;
если же свет идет из стекла (п = 1,5) в воздух, то
«о = arcsin(l/l,5) « arcsin@,67) « 42°.
1.26. Стеклянные равнобедренные призмы, в которых про™
исходит явление полного внутреннего отражения, используются
в различных оптических приборах для изменения направления
световых лучей.
\
\
\ /
2 1
а
л
\ i
1 2
л
\
2
V
? 2 1
б
Риг
;. VIII.23
Призма, изображ:енная на рис. VI0.23 а, поворачивает светсь
вой пучок на 90°. Такие призмы используют, например, в пе™
рископах. Призма, показанная на рис. VIП.23 б, изменяет на™
правление светового пучка на 180°. Такие призмы используют
в призматических биноклях. Призма, на которую лучи падают
так, как показано на рис. VIO.23b, переворачивает изображение
предмета: верхний луч становится нижним, а нижний луч ока™
зывается сверху.
ОТВЕТЫ 175
1.27. Раздел оптики, в котором рассматривают передачу
света и изображения по светопроводам, называется волоконной
оптикой.
Волоконная оптика основана на явлении полного внутрен-
него отражения. Лучи света, попадая внутрь прозрачного волок™
на, окруженного веществом с меньшим показателем преломле-
преломления, многократно отражаются и распространяются вдоль этого
волокна при условии, что угол падения больше предельного
(рис. VI0.24). Так как при
полном внутреннем отраже-
нии световая энергия прак-
тически не теряется, то ин-
интенсивность света на вы™
ходе из светопровода до™
статочно велика. Светопро-
Светопровод часто изготавливают из
эластичного материала. Для
передачи больших световых Рис. VIII.24
потоков и сохранения гибкости отдельные тонкие волокна соби-
собираются в пучки (жгуты) — световоды. Световоды широко исполь-
используются в медицине для освещения холодным светом полостей
внутренних органов и для передачи изображения.
1.28. В месте изгиба светопровода угол падения становит-
становится меньше предельного угла полного внутреннего отражения
и поэтому свет выходит из светопровода через боковую поверх™
ность.
1.29. Свет, отраженный от аквалангиста при углах падения
лучей, больших предельного, испытывает полное отражение от
границы вода^воздух, и рыбак его не видит. Рыбак увидит аква-
аквалангиста, если тот будет проплывать от него достаточно близко.
Свет же от рыбака при любом угле падения проходит в воду, и
аквалангист его увидит на любом расстоянии.
1.30. Так как граница раздела освещается рассеянным све-
светом, то углы падения лучей, падающих в каждую точку, меня-
меняются от 0° до 90°. Используя принцип обратимости геометриче-
геометрической оптики и закон преломления, нетрудно показать, что угол
преломления в данном случае будет меняться от 0° до значения
предельного угла полного внутреннего отражения для данной
пары сред («о)- В данном случае его можно назвать предельным
углом преломления.
176
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1.31. Прозрачные для света тела, ограниченные двумя вы-
выпуклыми или вогнутыми поверхностями, называются линзами
(одна боковая поверхность может быть плоской).
Линзы можно получить из любого прозрачного для света
вещества. Поверхности линз могут представлять собой часть
сферы, цилиндра, параболоида. В связи с этим различают сфе-
сферические, цилиндрические и параболические линзы.
На рис. VIII.25 представлены разные виды наиболее широко
распространенных сферических линз.
Рис. VIII.25
Линзы, у которых середина толще, чем края, называются
выпуклыми^ (рис. VIII.25 а, б, в); линзы, у которых края толще
середины, называются вогнутыми (рис. VIII.25 г, с?, е).
В зависимости от взаимного расположения сферических
поверхностей, образующих линзу, различают следующие
типы линз: двояковыпуклая (рис. VIII.25 о), плосковыпуклая
(рис. VIII.25 б), вогнутовыпуклая (рис. VIII.25 в), двояковогнутая
(рис. VIII.25 г), плосковогнутая (рис. VIII.25 д), выпукловогнутая
(рис.УШ.25е).
ОТВЕТЫ
177
1.32. Линзы, преобразующие параллельный пучок лучей в
сходящийся, называются собирающими. Если же линза преобра-
преобразует параллельный пучок лучей в расходящийся пучок, то она
называется рассеивающей. Все выпуклые линзы, изготовленные
из вещества, оптически более плотного, чем окружающая среда,
являются собирающими. Все вогнутые линзы, изготовленные из
оптически более плотного вещества, чем окружающая среда,
являются рассеивающими.
1.33. Если расстояние В\В2 между вершинами сферических
сегментов, образующих линзу, мало по сравнению с радиусами
сферических поверхностей R\ и i?2, то линза считается тонкой
(рис.УШ.26а, б).
Рис. VIII.26
В элементарном курсе физики рассматриваются тонкие лип™
зы. Кроме того, будем рассматривать только линзы, радиусы
кривизны обеих поверхностей которых одинаковы.
1.34. Линия, соединяющая центры сферических поверхно-
поверхностей С\ и С2 j образующих линзу, называется главной оптической
осью (рис. VIII.26 а, б и рис. VIII.27a, б).
На главной оптической оси между вершинами сферических
сегментов В\ и B<i есть точка О, через которую световые лучи
проходят, не преломляясь. Эта точка называется оптическим
центром линзы (рис. VIII.26 в, б).
Любая прямая, проходящая через оптический центр линзы,
называется побочной оптической осью. Лучи, идущие вдоль по-
побочной оптической оси проходят, не изменяя направления. Каж-
Каждая линза имеет множество побочных оптических осей.
Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, прело-
преломившись в собирающей линзе, собираются в одной точке на глав-
главной оптической оси, называемой главным фокусом линзы (точка
F, рис.УШ.27а).
12 СВ. Трубецкова
178
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
сг
С2
Рис. VIII.27
Пучок лучей, параллельных главной оптической оси рассе-
рассеивающей линзы, после прохождения через линзу рассеивается.
Но продолжения этих лучей пересекаются в одной точке на
главной оптической оси, которая называется главным фокусом
рассеивающей линзы (рис. VIII.27 б). Очевидно, что каждая линза
имеет два фокуса по обе стороны от оптического центра. Главные
фокусы собирающей линзы — действительные, а рассеивающей —
мнимые. Расстояние от оптического центра линзы до ее главного
фокуса называется фокусным расстоянием.
Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси линзы
на расстоянии, равном фокусному от линзы, называется фокаль-
фокальной плоскостью. Точка пересечения побочной оптической оси с
фокальной плоскостью есть побочный фокус линзы (точки F;,
рис. VHL28a, б).
а б
Рис. VIII.28
Если на линзу падают лучи, параллельные какой-либо побоч-
побочной оптической оси, то после преломления в собирающей линзе
они сходятся в соответствующем взятой оси побочном фокусе F'
(рис. VIII.28 а); если линза рассеивающая, то лучи расходятся,
но их продолжения пересекаются в соответствующем побочном
фокусе F1 (рис. VIII.28 б).
ОТВЕТЫ
179
1.35. На рисунках, где изображается ход
лучей в оптических системах, собирающие лин-
линзы изображаются для простоты так, как пока™
зано на рис. VI0.29 а, а рассеивающие — как на
рис. VIII.29 б. Далее и будем их так изображать.
Чтобы построить изображение точки лин-
линзой, надо знать направление хода хотя бы двух
лучей, исходящих из этой точки, после про- а в
хождения линзы. Точка пересечения этих лучей рис. VIII.29
будет являться искомым изображением.
Для этих целей можно использовать следующие лучи, выхо-
выходящие из точки S (рис. VIII.30 а, б):
Рис. VIII.30
1 — луч, проходящий через оптический центр, не изменяет
своего направления;
2 — луч, падающий на собирающую линзу параллельно глав-
главной оптической оси, после преломления проходит через фокус
(рис. VIII.30 а); в рассеивающей линзе этот луч отклоняется от
главной оптической оси так, что его продолжение проходит через
передний фокус линзы (рис. VIII.30 б);
3 — луч, проходящий через фокус, после преломления соби-
собирающей линзой, идет параллельно ее главной оптической оси.
На рис. VIII.30 а приведено построение изображения, если
источник света, точка 5, находится на расстоянии, большем
12*
180
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
фокусного от собирающей линзы, а на рис. VIII.30 в — на расетсь
янии, меньшем фокусного.
Для того чтобы построить ход луча, прошедшего через фо-
кус рассеивающей линзы, надо поступить следующим образом
(рис. VIII.30 г): параллельно лучу 3, проходящему через фокус,
надо провести побочную оптическую ось MN', которая при пе™
ресечении фокальной плоскости даст мнимый побочный фокус
F1. Луч 3 преломляется линзой так, что продолжение этого
луча пройдет через побочный фокус F1'. Обычно для построения
изображения рассеивающей линзой используются только лучи 1
и 2.
В точке пересечения лучей, прошедших через линзу (или
продолжений этих лучей), получается изображение точки S —
точка Sf. Если экран (лист бумаги, матовое стекло) располо™
жить в месте, где должно быть изображение S\ то в случае
действительного изображения на экране будет светлая точка
(рис. VIII.30 а); при мнимом изображении на экране ничего не
будет: изображение создается только за счет работы зрительного
отдела мозга человека (рис. VIII.30 б", в).
Для точки, лежащей на главной оптической оси, при постро-
построении ее изображения все три указанных выше луча сливаются в
один — тот, который идет вдоль главной оптической оси. Поэтому
поступают следующим образом (рис. VIII.31). Луч 1 идет вдоль
\/
Рис. VIII.31
главной оптической оси, не меняя направления. Другой луч 2 из
точки S проводят произвольно. Параллельно лучу 2 проводят
побочную оптическую ось ABJ которая пересекает фокальную
плоскость в точке Ff (в побочном фокусе).
После прохождения собирающей линзы луч 2 отклонится к
оптической оси, пройдя через F1 (рис. VIII.31 а). Точка его пере-
пересечения с лучом 1 (точка Sf) и будет действительным изображе™
нием точки S. После же прохождения рассеивающей линзы луч 2
ОТВЕТЫ
181
отклонится от оптической оси так, что его продолжение пройдет
через F1 (рис. VIII.31 б). Точка S1 пересечения луча 1 с продол™
жением за линзу луча 2 будет мнимым изображением точки S.
М
\/К
D
Рис. VIII.32
1.36. Проведем через точки S и S1 прямую, которая является
побочной оптической осью. Ее пересечение с осью MN даст
точку С — оптический центр линзы (рис. VIII.32 а, б). Как при™
нято, изобразим условно линзу отрезком прямой KLJ перпен-
перпендикулярным оси МN. Теперь проведем луч SB^ параллельный
главной оптической оси (рис. VIII.32 а, б). Этот луч, преломив™
шись линзой, должен пройти через изображение точки S —
через точку 5". В случае рис. VIII.32a преломленный луч BD
отклоняется к главной оптической оси и пересечет ее в точке
F, которая есть фокус линзы (в данном случае собирающей).
В случае рис. VIII.32 б' продолжение преломленного луча BD
пройдет через точку Sf. Луч BD отклоняется от главной оп-
оптической оси MiV, а его продолжение пересечет ось МN в точке
F', которая является мнимым фокусом (то есть в данном случае
линза является рассеивающей).
1.37. Вторая, четвертая, шестая.
1.38. Из принципа подобия треугольников, получающихся
при построении изображений, даваемых линзами, можно
получить формулу, называемую формулой тонкой линзы
(рис. VIIL33a, б):
d /
F'
d — расстояние от предмета до линзы, / — расстояние от изоб™
ражения до линзы, F — фокусное расстояние.
Формула справедлива как для собирающей, так и для рассе-
рассеивающей линзы, надо только учесть следующее: знак «+» перед
1// соответствует действительному изображению, знак « —» —
мнимому: знак «+» перед 1/ F соответствует собирающей линзе,
182
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
так как ее фокус действительный, а « —» — рассеивающей линзе
(мнимый фокус).
F21
d
F
'Н
а б
Рис. VIII.33
Иногда в задачах может речь идти о падении на линзу схо™
дящегося пучка лучей (рис. VIII.34 а, б). В этом случае продолже-
продолжения
Рис. VIII.34
падающих лучей за линзу пересекутся в некоторой точке 5,
которая может считаться мнимым источником света. В таких
случаях перед слагаемым «1/rf» ставится « —».
Формула линзы позволяет при заданном d найти величину /,
при котором на экране получится четкое изображение предмета.
Из рис. VI0.33 а видно, что если экран расположить от линзы на
расстоянии, меньшем /, то лучи после линзы еще не сойдутся
и вместо точки получится пятно. Если экран расположить на
расстоянии, большем /, то лучи уже разойдутся и вместо точки
опять будет пятно.
1.39. Фокусное расстояние линзы — это ее основная харак-
характеристика. Чем меньше фокусное расстояние линзы, тем сильнее
преломляет она лучи, падающие на линзу.
Величина, обратная фокусному расстоянию линзы и опре™
деляющая ее преломляющие свойства, называется оптической
силой линзы (D):
D l/F [D]=1/m.
ОТВЕТЫ 183
За единицу оптической силы линзы 1 диоптрия (сокращенно
— дптр) принимается оптическая сила такой линзы, фокусное
расстояние которой равно 1 м.
Для собирающих линз оптическая сила считается положи-
положительной (так как фокус действительный), а для рассеивающих
линз — отрицательной (фокус, соответственно, мнимый).
1.40. Линейное увеличение линзы показывает, во сколько
раз линейные размеры изображения Н больше соответствующих
размеров предмета h: „ .
h d'
d — расстояние от предмета до линзы, / — от изображения до
линзы (рис. VIII.33).
Иногда для оптических приборов, вооружающих глаз, ис-
используют понятие углового увеличения. Оно равно отношению
углов зрения, под которыми глаз видит предмет через прибор
((р) и без него ((р0): _,
(подробнее смотри в ответе на вопрос 1.45).
1.41. Изображение получится, но его яркость будет меньше.
1.42. Глаз представляет со™
бой сложную оптическую систе-
му, состоящую из ряда преломля™
ющих сред. Глазное яблоко име™
ет почти правильную шарообраз-
шарообразную форму (рис. VIII.35). Покры-
Покрыто глазное яблоко плотной непро-
непроницаемой для света оболочкой —
склерой — 1. На передней стороне
склера переходит в прозрачную /
оболочку глаза, которая называ- 7
ется роговицей — 2. Она имеет Рис- VIII.35
форму выпукловогнутой линзы с радиусом кривизны 7—8 мм.
Между роговицей и радужной оболочкой — 3, окрашенной в
какой-либо цвет и определяющей цвет глаз, находится водяни-
водянистая жидкость — 4. В радужной оболочке имеется отверстие —
5, которое играет роль диафрагмы и называется зрачком. За
зрачком располагается хрусталик — 6, который представляет со-
собой прозрачное слоистое тело, имеющее форму двояковыпуклой
линзы; показатель преломления хрусталика — 1,44. Хрусталик
охватывает кольцевая мышца — 7, которая может менять кри™
визну его поверхностей, а, следовательно, и его оптическую силу.
184 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Остальную часть глаза до задней стенки (глазного дна) занима-
занимает прозрачное полужидкое стекловидное тело — §, показатель
преломления которого примерно равен показателю преломления
воды (« 1,33). Глазное дно покрыто сложной сетчатой оболочкой
— 9, которая представляет собой разветвление зрительного нерва.
Роговица, хрусталик, стекловидное тело и жидкость передней
камеры действуют вместе как одна собирающая двояковыпуклая
линза. Оптический центр этой системы располагается внутри
хрусталика около задней его поверхности (точка О). Главная
оптическая ось глаза О\О2 проходит через вершину роговицы и
оптический центр хрусталика (т. О). В отличие от тонкой линзы
переднее и заднее фокусные расстояния глаза неодинаковы.
Рассматриваемые предметы находятся обычно на расстоянии,
большем двойного фокусного расстояния глаза. Поэтому оптиче-
оптическая система создает на сетчатке действительное, уменьшенное
и перевернутое изображение.
Окончательное формирование зрительных ощущений завер-
завершается в зрительном центре головного мозга. Благодаря жизнен™
ному опыту (с раннего детства) человек привыкает воспринимать
уменьшенное и перевернутое изображение на сетчатке как пря™
мое изображение натуральных размеров.
1.43. Четкое изображение предмета человек увидит только
в случае, если изображение формируется оптической системой
глаза на сетчатке (рис. VIII.36 а). Если же изображение форми™
руется ближе или дальше сетчатки (рис. VIII.36 б, в), то вместо
изображения любой точки рассматриваемого предмета получа™
ется пятно и четкость видения теряется.
а б в
Рис. VIII.36
В соответствии с формулой линзы при изменении расстояния
от предмета до линзы (d) изменяется и расстояние от линзы до
изображения (/). При рассматривании разноудаленных предме™
тов человеком расстояние d меняется, но расстояние от оптиче-
ского центра глаза до сетчатки / остается неизменным. Поэтому
четкое изображение на сетчатке может получиться только при
изменении оптической силы глаза A/ F). Это происходит посред-
посредством рефлекторного изменения кривизны хрусталика и, соот™
ветственно, его оптической силы. Способность глаза изменять
ОТВЕТЫ 185
свою оптическую силу (или фокусное расстояние) для получения
резкого изображения разноудаленных предметов называется ак-
аккомодацией глаза.
Аккомодация происходит за счет действия кольцевой мышцы,
охватывающей хрусталик. Изображение предметов, находящихся
очень далеко от глаза, получается на сетчатке без напряжения
кольцевой мышцы. Если предмет приближается к глазу, то коль-
кольцевая мышца, сдавливая хрусталик, увеличивает его кривизну
(уменьшает фокусное расстояние). В результате этого резкость
изображения на сетчатке сохраняется. Однако приближать пред™
мет к глазу можно лишь до определенного расстояния, так как
аккомодация имеет предел. Нормальный глаз видит наибольшее
число деталей и при этом меньше напрягается при расстоянии
примерно до 25 см. Это расстояние называется расстоянием наи-
наилучшего зрения.
1.44. Для хорошего рассматривания предмета должна быть
наиболее благоприятная для глаза освещенность. Освещенность
предметов в естественных условиях меняется в широких преде-
пределах. Недостаточная или, наоборот, слишком большая освещен-
освещенность приводит к быстрому утомлению глаза. Поэтому глаз ав-
автоматически регулирует свою чувствительность к свету. Процесс
приспособления глаза к рассматриванию предметов при различ-
различной освещенности называется адаптацией глаза. Адаптация про™
исходит за счет изменения диаметра зрачка: если освещенность
плохая, то зрачок расширяется и большее количество света до-
достигает светочувствительного слоя сетчатки. При сильной осве-
освещенности диаметр зрачка, наоборот, уменьшается. Таким обра-
образом, глаз при изменении площади зрачка регулирует количество
световой энергии, попадающей в него. Кроме того, чувствитель-
чувствительность глаза к свету изменяется за счет перемещения непрозрач™
ных клеток сетчатки, которые защищают светочувствительные
элементы зрительного нерва от сильной освещенности.
1.45. Угол if, образо-
образованный лучами, соединя™
ющими края предмета с
оптическим центром гла-
глаза, называется углом зре-
зрения. Из рис. VIII.37 видно,
что размер изображения на €"
сетчатке зависит от угла зрения, под которым рассматривается
предмет. Наименьший угол зрения, при котором глаз восприни™
мает две точки предмета раздельно, называется предельным
186
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
углом зрения. Его величина примерно равна одной минуте A;).
Изображения этих точек должны попадать на разные окончания
зрительного нерва. Если же угол зрения настолько мал, что изоб™
ражения двух разных точек предмета попадают на одно нервное
окончание, то эти точки глаз воспринимает как одну. Поэтому
для рассматривания на предмете мелких деталей необходимо
увеличить угол зрения, под которым рассматривается предмет.
1.46. При близорукости глаз в ненапряженном состоянии
создает изображение предмета не на сетчатке, в перед ней
(рис. VIII.38 а). Для того, чтобы изображение получилось
на сетчатке (то есть чтобы больше стало расстояние от
хрусталика до изображения — в соответствии с формулой линзы
увеличилось /), надо рассматриваемый предмет приблизить
к глазу (уменьшить величину d). Поэтому указанный дефект
зрения называется близорукостью.
Рис. VIII.38
Для устранения близорукости необходимо уменьшить опти-
оптическую силу хрусталика, чтобы он слабее преломлял лучи и они
фокусировались на сетчатке. Для этого перед роговицей надо
расположить рассеивающую линзу (рис. VI0.38 б). Проходя через
рассеивающую линзу, лучи несколько расходятся и изображение
предмета попадает на сетчатку глаза. Поэтому для коррекции
близорукости используют очки с «минусовыми» диоптриями.
Рис. VIII.39
1.47. При дальнозоркости ненапряженный глаз создает
изображение за сетчаткой (рис. VIII.39 а). В этом случае
для того, чтобы изображение получилось на сетчатке (для
уменьшения /), надо рассматриваемый предмет удалить от глаза
(увеличить d). Поэтому дефект зрения в этом случае называется
дальнозоркостью. Чтобы скорректировать дальнозоркость,
перед глазом надо поместить собирающую линзу (рис. VIII.39 б).
ОТВЕТЫ
187
Собирающая линза несколько сближает лучи и изображение по-
получается на сетчатке. Поэтому для коррекции дальнозоркости
используют очки с «плюсовыми» диоптриями.
1.48. При рассматривании близких предметов.
1.49. Линзы собирающие. Дальнозоркость.
1.50. Оптическая сила системы, состоящей из нескольких
тонких линз, сложенных вплотную, равна сумме оптических сил
всех линз:
D = D1 + D2 + ... + Dn,
п — число линз.
В соответствии с этим оптическая сила D системы очки —
глаз
Do — оптическая сила очковой линзы, Dr — глаза.
1.51. Надо получить на стене резкое изображение нити лам-
лампы с помощью обеих линз. Та линза, которая расположена ближе
к стене, имеет большую оптическую силу.
1.52. Оптическая сила системы вплотную сложенных линз
D равна сумме D = D\ + D<i, D\, D2 — оптические силы каждой
линзы. Поэтому надо поступить следующим образом: положить
одну линзу на другую так, чтобы совпали их оптические оси.
Если эта система линз собирает лучи, то оптическая сила соби-
собирающей линзы больше, если же система линз рассеивает лучи,
то оптическая сила больше у рассеивающей линзы. Если же
оптические силы линз одинаковы, то система линз будет вести
себя как плоскопараллельная пластинка.
I
I
I
I
I
I
I
I
i
F
^^^^
Рис. VIII.40
1.53. Лупа является простейшим оптическим прибором.
Она представляет собой собирающую линзу или совокупность
нескольких линз с малым фокусным расстоянием. Лупу обычно
располагают вблизи глаза, а предмет — вблизи фокальной
плоскости лупы ближе к лупе (рис. VI0.40).
188 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Лупа дает мнимое, прямое, увеличенное изображение предме-
предмета. Глаз обычно располагают так, чтобы изображение получилось
примерно на расстоянии наилучшего зрения / = L = 25 см. Так
как предмет располагают вблизи фокальной плоскости, то d ~ F.
Пользуясь формулой, записанной в ответе на вопрос 1.40, можно
получить формулу для увеличения лупы:
С уменьшением фокусного расстояния увеличение лупы возрас™
тает. Но лупы с увеличением более 40 дают значительные иска™
жения, поэтому обычно применяют лупы, дающие увеличение от
2,5 до 25.
Основные формулы
Закон преломления:
^, AЛ)
sin/3
П21 — относительный показатель преломления второй среды по
отношению к первой, а — угол падения, /3 — угол преломления.
Относительный показатель преломления связан со скоростя™
ми света v\ и V2 в первой и второй средах следующим образом:
П21 = —• A.2)
Если первой средой является воздух (или вакуум), то пока™
затель преломления второй среды, вычисленный по формулам
A.1) и A.2), называется абсолютным показателем преломления.
Так как скорость света в воздухе и вакууме равна с = 3 • 108 м/с,
то абсолютный показатель преломления среды равен:
п = ^, A.3)
v — скорость света во второй среде.
Связь относительного показателя преломления двух сред с
их абсолютными показателями имеет вид:
П21 = —• A.4)
Во всех справочных таблицах даны абсолютные показатели
преломления веществ; при этом слово «абсолютный» в больший™
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 189
стве случаев опускают. Если в задаче речь идет о показателе
преломления какой-либо среды, то имеется в виду ее абсолютный
показатель преломления.
Формула линзы:
111
^-5*7' <L5)
F — фокусное расстояние линзы, d — расстояние от источника
света до линзы, / — расстояние от линзы до изображения. Знак
«+» перед t/F соответствует собирающей линзе (фокус действи-
действительный), а « —» — рассеивающей линзе (фокус мнимый). Для
линз в основном будем рассматривать действительные источники
света, из каждой точки которых лучи идут расходящимся пуч-
ком. Это соответствует знаку «+» перед членом 1/d. Если же
по условию задачи на линзу падает сходящийся пучок лучей, то
источник света считают мнимым и перед 1/d ставят « —». Нахо-
Находится мнимый источник света в точке, где сходятся продолжения
лучей за линзу.
Увеличение линзы:
h — линейные размеры предмета, Н — соответствующие линей-
линейные размеры изображения.
Оптическая сила линзы:
D = ±J> A.7)
знак «+» соответствует собирающей линзе, « —» — рассеиваю-
рассеивающей.
Если несколько тонких линз сложены вплотную, то оптиче-
екая сила этой системы линз D равна сумме
D = D1 + D2 + ... + Dn A.8)
п — число линз (значения оптических сил брать с соответствую-
соответствующими знаками).
Методика решения задач
1. Наиболее простыми задачами геометрической оптики явля-
ются задачи на определение размеров теней при различном распо-
расположении источников света и непрозрачных предметов. Решение
таких задач необходимо начать с построения чертежа, причем на-
надо учесть следующее: а) если источником света является Солнце
или источник расположен очень далеко, то можно считать, что
190
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
лучи от него идут параллельным потоком (рис. VIII.41 а). При
этом предметы, составляющие с поверхностью Земли одинаковые
углы, образуют подобные треугольники, сторонами которых яв-
ляются: предмет, тень, крайний луч света, падающий на предмет.
А1
В1
В
с
Bf С1
Рис. VIII.41
Например, на рис. VIII.41 а подобными являются ААВС и
АА'В'С1] тени ВС и В'С1 ограничены основанием предмета и
крайним лучом, падающим на верхушку предмета (т. А и А')]
б) если источник света S является точечным (рис. VIII.41 б), то
лучи от него идут расходящимся пучком. Тень А'В1 ограничена
крайними лучами SА и SB, падающими на непрозрачный
предмет. Если поверхность, на которую падает тень, параллельна
предмету, отбрасывающему тень, то подобны треугольники,
вершины которых находятся в точке S, есть ASAB ~ ASAfBf.
2. Любая отражающая поверхность преобразует ход падаю-
падающих на нее лучей в соответствии с законами отражения. Решение
этих задач обычно связано с определением взаимного располо-
расположения предметов, их изображений и отражающих поверхностей.
Ко всем задачам необходимо построить чертеж, а затем исполь-
использовать чаще всего элементарные геометрические представления.
Для построения изображения в плос-
плоском зеркале надо поступить следующим
образом (рис. VIII.42):
а) нарисовать источник света (точку
или протяженный предмет) и зеркало;
б) опустить перпендикуляры из край-
крайних точек протяженного предмета (или
из одной точки) на плоскость зеркала и
Рис. VIII.42 "ж продолжить их за зеркало;
в) расстояние от светящейся очки до основания перпендику-
перпендикуляра равно расстоянию от основания этого перпендикуляра до
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
191
Рис. VIII.43
изображения светящейся точки (|AiVi| = liViA'l, \BN%
Таким образом получили изображение А1 В1 предмета АВ.
К этой же группе относятся задачи, в которых при заданном
ходе падающего и отраженного лучей надо найти положение
зеркала (либо обратные задачи). Когда в таких задачах дан угол
падения лучей на некоторую поверхность, не надо забывать,
что этот угол отсчитывается от нормали к поверхности в точке
падения (рис. VIII.43 а). Если же в задаче говорится, что «лучи
падают на Землю под углом /3»,
то этот угол /3 отсчитывается от
поверхности Земли (рис. VIII.43 б).
Если в задаче речь идет об угловой
высоте Солнца, то также имеется
в виду угол /3 между падающими
лучами Солнца и поверхностью
Земли.
Иногда в задачах на отражение света дается угол ip между
падающим лучом и отраженным (рис. VIII.44). В таких случаях
обычно следует определить положение зеркала. Это делать удобно
следующим образом: а) провести бис™ ;м
сектрису угла (р — ON; б) биссектриса
одновременно является нормалью к
плоскости зеркала; поэтому плоскость
зеркала располагают перпендикулярно к
ON. Далее уже, используя данные зада™
чи, можно найти положение зеркала от™
носительно поверхности Земли или дру™
гой поверхности.
В некоторых задачах требуется найти, в каком месте отра-
отражающей поверхности (зеркала, водоема и пр.) человек видит изо-
изображение источника света.
Человек видит его изображе™
ние в том месте, от которого
отражаются лучи, идущие в
глаз. Например, на рис.
VIII.45 расстояние от челове™
ка до того места, в котором
он видит изображение, обо™
значено буквой г.
3. В задачах, связанных с переходом света из одной среды в
другую, используются формулы A.1)—A.4). В таких случаях надо
обратить внимание, какая среда является первой, какая второй.
Рис. VIII.45
192 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Если задана только одна среда (например, «свет падает на стек-
стеклянную пластинку под углом...»), то первой средой можно счи-
считать воздух. Формулы A.1)—A.4) можно записать объединенным
равенством:
sin a vi П2
П21 = ^^ = — = —•
Sinp V2 П\
В зависимости от данных задачи берется та или иная часть
этого равенства. Если одна среда — воздух, то надо иметь в виду,
что скорость света в воздухе принимается равной v = с = 3 • 108
м/с и абсолютный показатель преломления воздуха п « 1.
Если в задачах речь идет о полном внутреннем отражении
света, то надо помнить, что свет в этом случае должен идти из
более плотной среды в менее плотную; значение предельного угла
полного внутреннего отражения находится из закона преломле-
преломления при условии, что угол преломления /3 = 90°:
sin «о ^2 vi , П2 vi
. ппо = — = — или sinao = —= —.
Sin90° П\ V2 П\ V2
Если свет идет из какой-либо прозрачной среды в воздух, то V2 =
= с = 3 • 108 м/с и П2 = 1. Тогда предыдущую формулу можно
записать в виде
1 V!
sin «о = — = —.
П\ С
4. К большинству задач о преломлении света на плоской
границе раздела двух сред необходимо сделать чертеж:. Для пра™
вильного построения хода лучей надо знать значения показате-
показателей преломления всех граничащих сред (можно воспользоваться
таблицей в приложении), чтобы оценить, какая среда является
оптически более плотной, какая менее плотной. В точке падения
луча на границу раздела надо провести нормаль. В ответе на
вопрос 1.19 было показано, что в оптически более плотной среде
луч прижимается к нормали (соответственно, в менее плотной —
отходит от нормали).
В ряде задач речь идет о том, что в результате преломления
лучей наблюдатель, находящийся в одной среде, видит объект
в среде другой оптической плотности смещенным относительно
его истинного положения (рис. VIII.46). Например, наблюдатель
смотрит из воздуха в воду (рис. VIII.46 а). Луч ОЛ, идущий из
точки О, находящейся в воде, отклоняется от нормали (а < /3) и
идет к наблюдателю (луч А В). Мнимое изображение точки О
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
193
наблюдатель видит на продолжении луча А В в воде (точка О1).
То же самое происходит, если наблюдатель находится в воде и
смотрит на источник света (точка О) в воздухе (рис. VIII.46 б).
В этом случае луч О А от наблюдаемого предмета, преломившись,
О'
О
о'
Рис. VIII.46
прижимается к нормали (а > /3) и идет к наблюдателю (луч АВ).
Мнимое изображение точки О наблюдатель видит на продолже™
нии луча АВ в воздухе (точка О;).
Таким образом, при рассматривании предмета, находящегося
в оптически более плотной среде, наблюдатель видит его смещен™
ным дальше от нормали; при рассматривании же предмета в ме-
менее плотной среде видимое положение предмета оказывается бли-
ближе к нормали, восстановленной в точке падения луча, идущего
от рассматриваемого предмета к наблюдателю (рис. VIII.46 а, б).
Кроме того, если смотреть сверху, изображение точки, лежа-
лежащей в другой по оптической плотности среде, получается выше
или ниже самой точки (рис. VIII.47). Это объясняется следую™
щим образом. Изображение формируется обычно при рассмат-
рассматривании предмета двумя глазами. Поэтому кажущееся изобра-
изображение точки будет там, где пересекаются лучи зрения, идущие к
правому и левому глазу. Если рассматривается предмет, находя™
щийся в той же среде, что и наблюдатель, то лучи от предмета
не испытывают преломления и пересекаются в том месте, где
расположена рассматриваемая точка (рис. VIII.47a). Иное дело,
если наблюдатель смотрит на объект, находящийся в другой по
оптической плотности среде. Построим изображение предмета
для этого случая.
Пусть оба глаза наблюдателя находятся на одной горизонтали.
На рис. VIII.47 б" представлен ход лучей для случая, если первая
13 СВ. Трубецкова
194
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Рис. VIII.47
среда, в которой находится рассматриваемый предмет, оптически
более плотная, чем вторая, в которой находится наблюдатель. На
рис. VIII.47 в, наоборот, первая среда является оптически менее
плотной, чем вторая. Рассмотрим ход двух лучей, вышедших из
точки О: луч ОД, перпендикулярный поверхности раздела, идет
без преломления и попадает в один глаз наблюдателя; луч ОВ7
угол падения а которого мал, преломляется на границе раздела
и идет во вторую среду (а < /3). Мнимое изображение точки О
находится на пересечении продолжения луча С В в первую среду
и луча О А (точка О').
Как видно из рис. VIП.47 б, в случае, если первая среда яв-
является оптически более плотной, мнимое изображение (точка
О;) получается ближе к границе раздела и к наблюдателю. Ее™
ли же рассматриваемая точка О лежит в менее плотной среде
(рис. VIII.47 в), то ее мнимое изображение (точка О') оказывается
дальше от границы раздела и от наблюдателя (так как а > /3).
Изложенное выше можно проверить следующим образом. На
дно емкости с водой положите какой-либо предмет — например,
монету. Посмотрите на нее сверху сначала одним глазом, затем
обоими глазами. Если толщина слоя воды достаточно большая,
то разница в восприятии глубины будет существенно отличаться.
При решении подобных задач угол падения второго луча
на границу раздела берется малым; поэтому значения синусов
углов падения и преломления можно с хорошим приближением
заменить значениями тангенсов, что часто упрощает решение.
Если же оба глаза находятся в плоскости чертежа так, как
показано на рис. VIII.48, мнимое изображение рассматриваемой
точки О (точка О') окажется приподнятым и смещенным от
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
195
вертикали (изображен случай,
если наблюдатель находится в
оптически менее плотной среде).
Таким образом, наблюдая пред™
мет, находящийся в другой по
оптической плотности среде, мы
видим его мнимое изображение,
положение которого не совпа-
дает с положением предмета и
зависит от угла, под которым
наблюдатель смотрит на пред-
предмет.
Определение видимого положения предмета по отношению к
его истинному расположению сделано ниже в примерах решения
задач.
5. Закон преломления необходимо помнить при построении
хода лучей света через плоскопараллельную пластинку и через
треугольную призму. На рис. VIII.49 в, б изображены случаи, ко™
гда оптическая плотность вещества пластинки и призмы больше
оптической плотности окружающей среды.
Рис. VIII.48
* * *
А
>\Л ' f/ * ^ * ft ' ^ * /f * ff ' f/ '
* * * * * * * * * * *\
в
* N /V * '' /f * <
*> / * N ч" "
Рис. VIII.49
При построении лучей к задаче о плоскопараллельной пластинке
необходимо помнить, что выходящий из нее луч идет параллель™
но падающему лучу, но несколько смещается от него в сторону.
То, что угол падения луча света на пластинку равен углу
преломления при его выходе из пластинки, [ol\ = /З2,
рис. VI0.49 а), нетрудно показать с помощью закона преломления
13*
196 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
или обосновать это с позиций принципа обратимости хода лучей
через оптическую систему. В таких задачах чаще всего тре-
требуется найти формулу, связывающую показатель преломления
пластинки, угол падения лучей света на нее и боковое смещение
луча при выходе из пластинки (BN, рис. VIII.49 а). Связь меж™
ду этими величинами находят, используя законы преломления
и тригонометрические формулы для AABN7 из которых нахо™
дят искомую величину. Подробно задача такого типа разобрана
ниже.
Довольно сложными являются задачи о ходе лучей в тре-
треугольной призме. В таких задачах речь обычно идет о прелом-
преломляющем угле призмы (не путать с углом преломления) — это
угол (р при вершине призмы (рис. VIII.49 б). В таких задачах
кроме закона преломления также бывает необходимо использо-
использовать теоремы из тригонометрии: теоремы Пифагора, о сумме
углов в треугольнике, о внешнем угле треугольника, о подобии
треугольников, тригонометрические формулы для связи величин
сторон и величин углов в треугольнике, в том числе и теорему
косинуса.
6. Задачи, в которых рассматриваются собирающие и рассей»
вающие линзы, решаются с помощью формул A.5)—A.8). Необхо-
Необходимо хорошо помнить пояснения к формуле A.5). Если в задаче
надо вычислить величину / и при этом неизвестно, каким явля™
ется изображение предмета (мнимым или действительным), то
перед слагаемым «1//» берут знак «+», соответствующий дей-
действительному изображению. Если результат численного расчета
величины / даст отрицательное значение, то наше предположе-
предположение неверно и изображение на самом деле является мнимым.
К основным формулам A.5)—A.8) при необходимости надо
добавить вспомогательные, которые дают связь между теми рас-
расстояниями, которые есть в условии, и величинами, входящими
в формулы. Это необходимо в том случае, если расстояние от
предмета до его изображения отсчитывается не от оптического
центра, а, например, от фокуса или дано расстояние между
предметом и его изображением. Для правильного написания этих
соотношений надо к задаче сделать чертеж:. Для построения
изображения светящейся точки, даваемого линзами, используют
два луча из тех, ход которых известен (см. ответ на вопрос 1.35).
Если изменять положение предмета относительно линзы,
то характеристики изображения меняются. Зависимость между
расстоянием от предмета до линзы (d) и характеристиками изоб™
ражения представлена в табл. 1.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
197
Таблица 1
Харак-
терис-
теристика
изобра-
изображения
d
Линза
собира-
собирающая
Линза
рассеи-
рассеивающая
d^F
мнимое,
прямое,
увели-
увеличенное
мнимое,
прямое,
умень-
уменьшенное
F <d<2F
действитель-
действительное, перевер-
перевернутое,
увеличенное
мнимое, пря-
прямое, умень-
уменьшенное
d = 2F
действи-
действительное,
переверну-
перевернутое, в на-
натуральную
величину
мнимое,
прямое,
уменьшен-
уменьшенное
d>2F
действи-
действительное,
перевер-
перевернутое,
умень-
уменьшенное
мнимое,
прямое,
умень-
уменьшенное
Полезно эту зависимость проследить самостоятельно постро-
построением чертежей для всех случаев.
7. Решение задач об оптических приборах ничем не отлича-
отличается от задач, в которых рассматриваются одиночные линзы или
система линз. Рассмотрим некоторые из них.
а) Лупа. Она представляет собой собирающую короткофо-
короткофокусную линзу (или систему линз, которая действует как одна
собирающая линза). Она служит для получения увеличенного
изображения мелких деталей предмета. Лупу помещают близко
к глазу, а рассматриваемый предмет располагают между лупой
и ее передним фокусом на расстоянии, чуть меньшем фокусного
(т.е. d ~ F). Положение лупы относительно глаза подбирают
так, чтобы видеть резкое изображение предмета при наименьшем
напряжении мышц глаза. Изображение, которое видит наблюда-
наблюдатель, получается мнимым, прямым, увеличенным и находится на
расстоянии наилучшего зрения от глаза (f^L = 25 см). Поэтому
увеличение лупы в соответствии с A.6) определяется формулой
б) Фотоаппарат. Оптическая система фотоаппарата представ-
представляет собой систему линз, называемую объективом, который дей-
действует как одна собирающая линза.
Объектив встроен в светонепроницаемую камеру, вблизи зад-
задней стенки которой находится светочувствительная пленка. Свет,
отраженный от фотографируемого объекта, в течение малого
промежутка времени (называемого временем экспозиции или вы-
выдержкой) поступает к пленке. Время экспозиции выбирается в
зависимости от освещенности объекта и дозируется специальным
198
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
устройством — фотографическим затвором. Объектив фотоаппа-
рата должен дать на пленке действительное уменьшенное изоб™
ражение фотографируемого объекта. Поэтому объект должен
помещаться от объектива на расстоянии d, значительно большем
двойного фокусного (d ^ 2F). При изменении расстояния между
фотографируемым предметом и объективом (меняется d) необ™
ходимо для получения четкого изображения на фотопленке из™
менять расстояние между объективом и задней стенкой камеры
(изменять /). Это осуществляется вдвижением или выдвижени-
выдвижением объектива в фотокамеру.
При движении объекта во время фотографирования мимо
фотографа изображение на пленке тоже перемещается и поэтому
получается размытым, так как на пленке фиксируется вся после-
последовательность положений объекта. При этом пути, пройденному
объективом во время фотографирования, соответствует «ширина
размытости» изображения на пленке. То есть в обозначениях,
принятых выше, путь, пройденный объектом, это Л,, а ширина
размытости изображения — //, расстояние от фотографа до
фотографируемого объекта — rf, а расстояние от объектива до
пленки — /. В остальном задачи решаются также как и на
одиночные линзы.
в) Проекционный аппарат. Этот прибор служит для полу™
чения увеличенных действительных изображений прозрачного
рисунка, находящегося на фотопленке или фотопластине (диапо™
зитиве). Изображение здесь формируется также, как и в фотоап™
парате, с помощью одной линзы — объектива, но положение изоб-
изображения и предмета по сравнению с фотоаппаратом меняются
местами: расстояние от рисунка до объектива d мало и находится
в промежутке 2F > d > F (ближе к F), а расстояние от объектива
до экрана / > 2F. Отличие от фотоаппарата состоит в том, что
здесь применяется специальная
система для освещения проеци™
руемого объекта (рис. VIII.50).
Она состоит из отражающего во™
гнутого зеркала 3, сильной лам-
лампы Л, которая находится в фоку™
се зеркала, и системой из двух со-
собирающих линз, называемой кон»
денсором К. Конденсор преобра-
преобразует поток света в сходящийся
пучок, освещающий прозрачный
диапозитив.
Рис. VIII.50
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
199
При изменении расстояния от объектива до экрана (изме-
(изменение /) для получения четкого изображения надо выдвигать
объектив, изменяя его расстояние до диапозитива (d).
г) Микроскоп. Микроскоп используют для рассматривания
очень мелких предметов или деталей предмета. Микроскоп со™
стоит из двух собирающих линз — короткофокусного объектива
О\ и длиннофокусного окуляра О2, оптические оси которых
совпадают. Ход лучей в микроскопе показан на рис. VIII.51.
Л2
Рис. VIII.51
Рассматриваемый предмет А В находится от объектива на
расстоянии di, немного больше фокусного расстояния (d\ ~ F{).
Объектив при этом формирует действительное увеличенное и пе™
ревернутое изображение А\В\. С помощью микрометрического
винта окуляр перемещают относительно объектива так, чтобы
А\В\ оказалось между окуляром и его фокусным расстоянием
F<i (вблизи F2). При таком расположении окуляр служит лупой
и дает мнимое увеличенное прямое по отношению к А\В\ изоб™
ражение А^В^- В соответствии с формулой для увеличения лупы
можно записать, что увеличение окуляра
L
L — расстояние наилучшего зрения.
200
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Увеличение объектива
г *
rfl
или
где 1 — оптическая длина тубуса микроскопа, равная расстоянию
между передним фокусом окуляра и задним фокусом объектива
(т.к. F\ мало, то можно приближенно считать, что Д = /). Если
фокусные расстояния линз малы по сравнению с I, то часто ис-
используют вместо оптической длины тубуса просто длину тубуса
— расстояние между объективом О\ и окуляром О<х-
Нетрудно показать, что увеличение микроскопа равно
Г = Г1.Г2; Г= lL
Примеры решения задач
1. Телеграфный столб, освещенный Солнцем, отбрасывает
тень длиной 6,9 м, а вертикально стоящий шест высотой 1 м дает
тень длиной 1,1 м. Какова высота телеграфного столба?
Источником света является Солнце. Так
как оно расположено очень далеко, то можно
считать, что лучи от него идут параллель™
ным потоком (рис. VIII.52). При этом столб,
шест и тени
образуют подобные треугольни™
ки ABC и A\B\Ci. Из подобия
треугольников можно составить
пропорцию: Н/L = h/l; отсюда
найдем Н:
L
1-
h
Н
= 6
= 1,
= 1
_?
,9
1
м
м
м
Н = 6,27 м.
Рис. VIII.52
2. Шар диаметром 20 см находится на расстоянии 2 м от лам»
почки. На каком расстоянии надо расположить шар от экрана,
чтобы диаметр тени был 70 см?
Рассмотрим подобные треугольники
ASOB и АБОгВг (рис. VIII.53). Для них
можно записать соотношение:
d =
D
L-
= 0,2
2 м
= 0,7
_?
м
м
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
201
Рис. VIII.53
Так как \SO\ = Z,
= 1 + L, \OB\ = d/2,|OiBi| = D/2 (OB
)
и О\В\ — радиусы шара и тени соответственно), то можно
записать:
1
d
(l + L)
Отсюда: L = l(D — d)/ d\ L = 5 м.
Такой же результат можно получить при рассмотрении дру™
гих пар треугольников: ASAB и ASAiBi, AS АО и
3. Человек, рост которого 170 см, идет со скоростью 1 м/с по
направлению к уличному фонарю. В некоторый момент времени
длина тени человека была 180 см, а через 2 с длина тени стала
130 см. На какой высоте висит фонарь?
h =
v =
h =
h =
At
H-
1
1
= 1
= 1
=
, 7 м
м/с
,8 м
,3 м
2c
За время At = 2 с
человек переместится
из положения 1 (Ai??i) Рис. VIII.54
в положение 2 (^2^2M пройдя при этом путь s = v • At = 2 м
(рис. VIII.54).
Из рис. VI0.54 видно, что подобными являются две пары
треугольников: ASOC2 ~ AA2B2C2J ASOC\ ~ АА\В\С\. Для
этих треугольников напишем соотношения между сторонами:
|OCi
\SO\ \ОС2\
(а)
202
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Введем обозначение: ОВ2 = d. Тогда интересующие нас стороны
подобных треугольников равны (см. внимательно рис. VI0.54):
\SO\ = H; \A1Bl\ = \A2B2\ = h; \OC1\ = d + s + l1; \BxCi\ = ly,
IOC2I = d + l2] IS2C2I = h- С учетом этого соотношения (а) можно
переписать следующим образом:
В этой системе уравнений две неизвестных величины: Н и d.
Решив систему относительно //, получим:
H = h(s + h- h)/{h - /2); [Н]=м-м/м=м; Н = 8,5 м.
4. Человек приближается к плоскому зеркалу со скоростью
1,2 м/с. С какой скоростью он движется к своему изображению?
*-з = 1? ^ м/с
^ч_и — -Г
В'
А'
г*
«1
4
f
1
«2
»н
Л
Рис. VIII.55
Из точки А человек перемещается в точку В, при этом
он проходит относительно зеркала путь (s\ — S2) за время t
(рис. VIII.55). Если рассматривать движение человека относи-
относительно изображения, то он за то же время t сблизился с изоб-
изображением на расстояние Bsi — 2^2) = 2(s\ — S2).
Запишем скорости:
v4^3 = (si - s2)/t; v4^m = 2(si - s2)/t.
Отсюда следует, что vH^M = 2vH^3; v4^M = 2,4 м/с.
5. Требуется осветить дно колодца, направив на него сол-
солнечные лучи. Как надо расположить плоское зеркало, если лучи
Солнца падают к земной поверхности под углом 60°?
а = 60°
ж —
Чертеж: в таких задачах удобно начинать
с построения падающего луча АО ш отражен-
отраженного Oi3 от предполагаемой точки О падения
луча на зеркало (рис. VIII.56 а). Лучи падают
под углом а = 60° к земной поверхности. Отраженные лучи
должны идти вертикально вниз, то есть составляют угол 90° с
поверхностью Земли. Биссектриса угла АО В между падающим
и отраженным лучами в соответствии с законом отражения яв-
является одновременно нормалью (On) к плоскости зеркала. Зная
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
203
положение нормали в пространстве, можно определить и поло-
положение зеркала MN (рис. VIII.56 6). Угол между отражающей
плоскостью зеркала и поверхностью Земли обозначим х.
Угол между плоскостью зеркала и падающим лучом равен
углу между плоскостью зеркала и отраженным лучом:/АОМ =
= ZBON = /3. Из рис. VIII.56 б"видно, что искомый угол х равен:
х = а + C. Определим величину угла /3.
А
\М
а б
Рис. VIII.56
Плоскость зеркала составляет 180° (развернутый угол
AM ON = 180°). AM ON можно представить в виде суммы
(внимательно рассмотрите рис. VIII.56 б):
ZMON = f3 + а + 90° + /3; 2/3 + а + 90° = 180°.
Отсюда получим, что C = (90° - а)/2; /3 = 15°.
Искомый угол между плоскостью зеркала и поверхностью
Земли равен: _ ааО п _ 7го
х — ии \ р — /о •
6. На одном берегу небольшого водоема стоит столб с фона-
фонарем наверху, на другом находится человек. На каком расстоянии
от человека находится изображение фонаря в водоеме? Высота
столба 5 м, рост человека 1,5 м; человек находится на расстоянии
26 м от столба.
L = 26 м Фонарь является точечным источником
Н = Б м света и излучает свет по всем направлениям.
h = 1 5 м ^3 множества отраженных от поверхности
воды лучей к глазу человека идет только
| _ ? один луч — ОС (рис. VIII.57); АО — падаю-
падающий луч, соответствующий отраженному
ОС.
204
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Рис. VIII.57
Человек видит изображение фонаря в точке О на поверхности
водоема. В соответствии с законом отражения Za = Z7; следо™
вательно, равны и углы ZCOD = ZAOB. Вследствие этого пря™
моугольные треугольники /\АВО и AC DO подобны. Поэтому
можно записать соотношение:
\DO\/\DC\ = \OB\/\AB\.
В соответствии с обозначениями на рис. VIII.57 это соотно™
шение можно переписать следующим образом: l/h = (L — l)/H.
Отсюда найдем расстояние I от человека до точки О:
=м-м/м=м;
= 6 м.
7. Определите показатель преломления и скорость света в
слюде, если при угле падения 54° угол преломления равен 30°.
Найдите предельный угол полного внутреннего отражения для
слюды.
В соответствии с данными задачи и соот™
ношениями A.1) и A.4) можно записать
а = 54°
/3 = 30°
псл - С а0- С
sin a
sin/3
Так как про первую среду в условии ни™
чего не сказано, то считаем, что это воздух, а второй является
слюда (тем более, что по условию а > /3, то есть вторая среда
оптически более плотная). Тогда п\ = 1, п^ = псл.
sin a
sin/3
= Пс
пс
= sin54o/sin30° = 0,81/0,5 = 1,62.
Полное внутреннее отражение будет происходить при пере™
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 205
ходе из слюды в воздух. Для этого случая п\ = ггсл, П2 = 1, и угол
преломления равен 90°.
sin a
— = l/nCJI; smao = 1/^сл == 0,62.
a0 = arcsin0,62«38°.
8. Показатель преломления стекла равен 1,5. Определите
скорость света в стекле.
Данное значение пст является абсо™
лютным показателем преломления стек-
стекла, то есть относительно вакуума (или
воздуха). Из соотношений A.2) и A.4) за™
пишем
Для данного случая п\ = 1 (вакуум), v\ = с = 3 • 108 м/с,
пст = c/vCT; vCT = с/пст; vCT = 2 • 108 м/с.
9. Найдите значение предельного угла полного внутреннего
отражения на границе раздела стекло — вода.
пст = 1^7 Полное внутреннее отражение будет
пв = 1 ? 33 происходить при переходе из оптически
более плотной среды — стекла в менее
а0 — ? плотную — воду. Для этого случая
В соответствии с этим соотношения A.1) и A.4) запишем в
следующем виде:
sin ад/ sin 90° = пв/пст;
sin «о = пв/пст = 0,847; «о = arcsinO,847 « 58°.
10. На какой угол отклонится луч от первоначального на™
правления, упав на стекло под углом 60° к поверхности? Пока-
Показатель преломления стекла равен 1,6.
Из рис. VIII.58 видно, что искомый
угол отклонения луча от первоначального
направления равен
1 =
ТЬст
<р-
60°
= 1,
?
6
а — угол падения, /5 — угол преломления.
Угол падения света на стекло равен а = 90° — 7 = 30°.
206
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Найдем угол преломления /3, счи-
считая, что первой средой является воздух
(щ = 1, п2 = пст):
sina/sin/3 = nCTJ
sin/3 = sina/nCT, sin/3 « 0,31;
/3 = arcsin0,31«18°,
11. Водолазу, находящемуся под водой, солнечные лучи ка™
жутся падающими под углом 60° к поверхности воды. Какова
угловая высота Солнца над горизонтом?
7 = 60° Угловая высота Солнца это величина, рав-
^в = 1 ? 33 ная углу между поверхностью Земли и падаю-
щим лучом света (на рис. VIII.59 это угол ср).
Ф~ я Из рис. VIII.59 видно, что (р = 90° — а, а —
угол падения. Угол падения найдем из
закона преломления, определив пред-
предварительно угол преломления.
Водолаз видит мнимое изображе-
изображение Солнца S1 на продолжении луча,
который идет к его глазу (луч О В) и
видимая угловая высота Солнца опре-
определяется углом 7- Из рис. VIII.59 вид-
видно, что АМОВ = ANOSf = & (равны
как вертикальные углы), и AN OS' =
= 90° - 7 = 30°. Следовательно, /3 =
= 30°. Найдем угол падения а:
sina/sin/З = пв,
^
Рис. VIII.59
sina = nBsinf3 = 0,662,
а = arcsinO,662 « 41°.
Истинная угловая высота Солнца равна (р = 90° — а = 49°.
12. На дне ручья лежит камешек. Мальчик хочет толкнуть
его палкой. Прицеливаясь, мальчик держит палку по лучу зрения
под углом 30° к горизонту. На каком расстоянии от камешка
воткнется палка в дно ручья, если его глубина 0,4 м? Где будет
находиться кажущееся положение камешка, если на него смот™
реть сверху по вертикали?
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
207
7 =
Н -
п\
п2
d-
= 30°
= 0,4 м
= 1,33
= 1
? h-1
1. Идущий от камешка луч АО прелом™
ляется на границе раздела вода — воздух и
выходит из воды под углом 7 = 30° к поверх-
поверхности воды (рис. VI0.60). По направлению
этого луча мальчик прицеливается и попа-
попадает в точку С на дне ручья, которая рас™
положена на расстоянии d от камешка.
Из рис. VIII.60 видно, что d = 1\ —
— l<i, где li, /2 — расстояния точек С и А
от основания перпендикуляра к поверх™
ности воды в точке преломления луча
(точка О).
Величины 1\ и 1ч найдем из ACOD
и AAODj соответственно:
Значение угла /3 = 90° — 7 = 60°, а
угол падения а найдем из закона пре™ -q
ломления:
sin а
sin/3 n\ п\
а = arcsinO,67 « 42°.
sin/3
sin а = ^0,о7.
I-
- ~.
0
d
h
h
1 — — _
1 —
Г"
~D— -i
r
—--
Hi
и
/////Jt//////H/
Рис. VIII.60
С Теперь вычислим li, l2 и d:
« 0,69 (m)
= H°tg42° и 0,36 (м)
= h-l2 = 0,33 (м).
2. Построение мнимого изображ:е-
ния предмета, находящегося в воде,
для случая, если наблюдатель смот-
смотрит на него сверху над водой,
подробно объяснено в методических
указаниях (см. пункт 4). Поэтому без
подробных объяснений построим ход двух лучей от камешка (рис.
VIII. 61): луч АО идет вертикально вверх, луч А В составляет
малый угол а с лучом АО. На рис. VIII.61 угол а является углом
падения луча А В на границу раздела, угол /3 — углом прелом™
Л
Рис. VIII.61
208 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
ления. Из теорем тригонометрии можно записать равенства:
10 А'В = AN ВС = /3, ZOAB = AABN' = а.
Из AOAfB можно найти глубину /i, на которой находится
мнимое изображение (точка Af):
а из АЛОВ *
Объединив эти равенства, запишем:
h = Я•tga•ctg/3 = #-tga/tg/3.
Так как при построении было оговорено, что углы а и, со™
ответственно /3, малы, то значения тангенсов можно заменить
значениями синусов соответствующих углов:
h = H -sina/sin/3.
По закону преломления:
sina/sIn/З = П2/П1 = \jn\.
Поэтому
[Л,]=м; /iwO,3m.
я
п
h
= 1
= 1,
_?
м
30°
33
1-1
13. На дне водоема глубиной 1 м лежит камень. Определите,
где будет видеть изображение этого камня человек, луч зрения
которого составляет 30° с перпендикуляром к поверхности воды.
Расположение глаз принять таким, чтобы соответствующие им
лучи зрения лежали в одной вертикальной плоскости.
В результате преломления лучей че™
ловек видит в воде мнимое изображение
камня, которое смещено по вертикали и по
горизонтали относительно самого камня.
На рис. VIII.62 изображен ход двух из
множества лучей, отраженных от камня
(т. А) к глазам человека. Продолжения преломленных лучей
пересекутся в точке I?, где и будет находиться мнимое изобра™
жение камня. На рис. VIII.62 h — глубина, на которой человек
будет видеть изображение камня, I — горизонтальное смещение
изображения. Изображение создается двумя близкими лучами,
поэтому углы падения на границу раздела равны а и (а + Да),
а углы преломления — /3 и (/3 + Д/З), где Да и А/3 — малые
величины.
Задача решается с помощью закона преломления и тригоно-
тригонометрических соотношений. Без подробных пояснений приведем
решение.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
209
Из рис. VIII.62 видно, что
l = h-\Od\ и 1 = 12-\ОС2\.
1
Рис. VIII.62
Из AOBd и АОВС2 найдем:
\OC1\ = h>tgf3 и \OC2\ = h-
Из AADCi и AADC2 следует, что
h = Н • tgа, 12 = Н • tg(a + Да).
Используя формулы (а), (б) и (в), получим уравнение:
Отсюда найдем h:
h =
H(tga-tg(a-
tg/3-tg(/3 + A/3) '
Из закона преломления найдем угол падения а:
sin/?
sin a
sin/3 n1
14 СВ. Трубецкова
sin a =
п
sino ^ 0,375;
(а)
(б)
(в)
210 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Применим к полученной формуле (г) тригонометрическое соот™
ношение: . . ч
sin(# — у)
cos х cos у '
slnAa cos/3cos(/3 + Д/3)
cos a cos(a + Aa) sInA/3
Так как Aa <C a, A/3 «/3, ив силу малости углов sin Aa « Да,
sin A/3 ~ A/3, последнее соотношение можно переписать проще:
_ „Д«
Осталось найти отношение Аа/Д/3.
В соответствии с законом преломления можно записать:
slno
Применим к последнему уравнению формулу из тригонометрии:
sln(x + у) = sin х cos у + cos x sin i/;
sin(a + Да) = sin a cos Да + cos a sin Аа;
sin(/3 + A/3) = sin/3cosA/3 + cos/3sinA/3.
Так как sin Aa « Да, sin A/3 « Д/3, cos Да « cos A/3 « 1 (в силу
малых значений Да и А/3), уравнение (е) можно записать в виде
sin a sin a + Aa cos a
sin/3 ~ s!n/3 + A/3cos/3*
Из последнего уравнения можно получить формулу для нужного
отношения:
Aa I cos/3
А/3 п cos a
И наконец, подставив последнее выражение в формулу (д), по™
лучим h:
Л=Я/со^\3 Ли0>61м.
п \cosa/
Используя формулы (а), (б) и (в), получим величину горизон™
тального смещения I:
l = h- \Od\ = Htga- htg/3; I = 0,052 м.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
211
14. В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, на 0,5 м высту-
выступающая из воды. Найдите длину тени от сваи на дне водоема при
угле падения лучей Солнца, равном 30°.
Тень ограничена крайним лучом АО В,
падающим на сваю (рис. VIII.63). Из рисун™
ка видно, что длина тени L равна: L = 1\ +12-
Длину отрезка 1\ находим из А АО С:
н =
h =
а =
пв =
L-
--2 м
0,5 м
30°
= 1,33
?
Длину отрезка l<i находим из
AODB:
Значение угла преломления /3
найдем из закона преломления:
smo/sm/З = П2/П1,
sin^ = slna/nB = 0,375.
/3 = arcsin0,375«22°.
Следовательно
= l,05 м.
Рис. VIII.63
15. Определите смещение светового луча при прохождении
его через стеклянную пластинку толщиной 4 см, если угол паде-
падения равен 70°. Показатель преломления стекла 1,5.
Луч света А В дважды преломляется
на верхней и нижней гранях пластинки
(рис. VI0.64). Выходящий из пластинки луч
CD параллелен падающему лучу АВ^ но
смещается относительно него на расстояние
\СЕ\ = d. Значение смещения можно найти
из АВСЕ: d= \BC\ -sine/?, где (р = а-C.
Угол преломления /5 найдем из закона преломления:
sino/sIn/3 = nc; sin/3 = sina/nc = sin70°/nc;
/ =
nc
d-
= 4
Г"
=
_?
CM
0
1,5
14*
212
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
sin/3 = 0,626;
^ = arcsinO,626«39°.
Длину отрезка ВС найдем из
ABCF:
Рис. VIII.64
С учетом этого найдем смещение:
lsin(a-P) _ Zsin3r\
~ cos/3 ~ cos39° '
d « 2,65 см.
16. На треугольную призму из кварцевого стекла с показате-
показателем преломления 1,54 падает луч света под углом 36°. Преломля™
ющий угол призмы 40°. Под каким углом луч выйдет из призмы?
Каков угол отклонения луча от первоначального направления?
Луч света дважды преломляется на
гранях А В и ВС треугольной призмы
(рис. VIII.65), при этом а\ > /3i и «2 <
< /?2- Запишем закон преломления для гра™
ниц раздела А В и ВС:
В
i = 36°
= 40°
_ ? § _ ?
sinai/sin/?i = пс/пв;
sin/32 = пв/пс
(пв — показатель преломления
воздуха, пв = 1);
А
С
Рис. VIII.65
Угол /?2 можно найти из второго
уравнения: sm/?2 = ncslno2- Для
того, чтобы найти угол «2, рас-
рассмотрим сначала ADBЕ. Из тригонометрии известно, что сумма
всех углов в треугольнике равна 180°. Поэтому
ZBDE + ZDBE + ZBED = 180°. (а)
По условию ZDBЕ = (р; два других угла равны: ZBDE = 90° —
— /3i; ZBED = 90° — «2 {M\N\ и M2N2 являются нормалями к
граням А В и ВС', соответственно). Подставим все эти соотноше™
ния в (а) и найдем «2:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 218
90° - Pi + if + 90° - а2 = 180°; (*2 = <p-pi.
Для нахождения угла C\ используем закон преломления, за™
писанный для грани ЛВ:
sin/3i = sinai/nc = sln36°/nc « 0,38;
/3i = arcsInO, 38 « 22°, o2 = <p - Л « 18°;
sin^2 = wcslnl8° ^0,47; /32 = aresinO,47 « 28°.
Угол 5, на который отклоняется луч от первоначального
направления, является внешним углом по отношению к ADFE.
Поэтому он равен сумме внутренних углов треугольника,
несмежных с ним: ZS = ZFDE + ZFED. Из рис. VIII.65
видно, что ZFDE = ZFDNt - ръ ZFED = ZFEN2 - a2. Но
ZFDN\ = «i, ZFЕN2 = р2 (как вертикальные углы). Поэтому
17. Найдите, на каком расстоянии от собирающей линзы с
фокусным расстоянием 30 см надо поставить предмет, чтобы
получить его изображение, увеличенное в 10 раз. Где получится
изображение предмета?
Собирающая линза может давать уве™
м
Г = 10
rf-?/-?
?
личенное изображение, которое является
при одном расположении предмета дей™
ствительным, а при другом — мнимым. По-
Поэтому задача допускает два решения.
1. Если изображение действительное, то формула линзы для
этого случая запишется в виде
Добавим к этому уравнению формулу A.6) и решим полу™
ченную систему двух уравнений относительно неизвестных d и
= Yd,
б? = 0,ЗЗм, / = 3,3м.
2. Если изображение является мнимым, то формула линзы
запишется в виде
В остальном решение аналогично рассмотренному выше елу™
чаю:
214
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
2F F
F 2F
2F F
F 2F
Г = /М / = 14
d = F(F - 1)/Г,
d = 1 м
Г = 1/5 = 0,2
Рис. VIII.66
1/F = 1/d- l/(rd) = (Г - l)/(rd),
d = 0,27 м, / = 2,7 м.
Сравнивая полученные значения величины d с фокусным рас-
расстоянием, видим, что действительное изображение получается,
если F < d < 2F7, а мнимое, если d < F. Построим изображение
предмета в обоих случаях (рис. VIII.66a, б).
18. Какой должна быть оптическая сила рассеивающей лин™
зы, чтобы изображение предмета, расположенного на расстоянии
1 м от линзы, получилось уменьшенным в 5 раз?
Так как линза рассеивающая, то ее оп-
оптическая сила равна: D = —1/F. Найдем
фокусное расстояние из формулы линзы
(объясните выбор знаков перед членами
формулы):
-l/F = l/d-l/f; F = df/(d-f).
Так как неизвестна величина /,
то используем формулу увеличения
A.6):
f = Td, / = 0,2.
Найденное значение / исполь™
зуем для нахождения фокусного
расстояния:
Рис. VIII.67 F = 0,25 м; D = -4 дптр.
Знак « —» соответствует оптической силе рассеивающей линзы.
Построим изображение предмета в этом случае (рис. VI0.67).
19. Светящаяся точка находится на главной оптической оси
на расстоянии 20 см от ее переднего фокуса. Каково фокусное
расстояние собирающей линзы, если изображение этой точки
получается на расстоянии 80 см за ее задним фокусом?
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
215
а = 0,2 м
6 = 0,8 м
р VIII68
F-?
Построим к задаче чер-
чертеж: (рис. VI0.68). В зада™
че сказано, что точечный ис-
источник света находится на
главной оптической оси, по-
поэтому построение осуществляется с помощью побочной оптиче-
оптической оси (см. ответ на вопрос 1.34).
Из рис. VIII.68 видно, что d = a + F и / = b + F. Запишем
основную формулу для собирающей линзы с учетом написанных
выше соотношений: 1/F = 1/(а + F) + l/{b + F).
В этой формуле одна неизвестная величина /. Найдем ее:
(a
l/(a + F)-l/F+F)=0;
F)(b + F) - F(b + F) - F(a + F)
F){b
Знаменатель дроби не равен нулю, поэтому можем записать
(а + F)F + F) - F(b + F) - F(a + F) = 0.
Решив это уравнение, получим:
20. Расстояние между предметом и экраном 1 м. Между
ними находится собирающая линза, которая дает на экране
четкое уменьшенное изображение. Если линзу придвинуть
на 60 см к предмету, то на экране появится его увеличенное
изображение. Определите фокусное расстояние линзы.
Так как изображение предмета А В в
обоих случаях воспроизводится на экране,
то оно является действительным. Ход лу™
чей для первого и второго положения лин™
зы изображен на рис. VIII.69.
L = 1 м
Ad = 0,6 м
Запишем формулу линзы для первого и второго случая:
(а)
(б)
(обозначения см. на рис. VIII.69).
216
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
В этой системе уравнений все использованные параметры
неизвестны. Поэтому для того, чтобы найти фокусное расстояние
^ * F, надо написать еще три уравне™
ния, связывающие эти параметры.
На основании рис. VIII.69 можно
написать:
rfi + /1 = L'j (в)
Ж
Ad
*—>
Рис. VIII.69
Подставим полученные выражения в (а) и (б):
d1. (д)
Из полученных трех уравнений
выразим /i, /2 и с?2 через d\:
/1 = L — rfi; d^ — d\ - Ad;
/2 = L — d2 = L — d\ + Ad.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: d\
и F. Решим ее. Так как правые части этих уравнений одинаковы,
то можно приравнять левые части:
1/rfi + 1/(L - dt) = l/(rfi - Ad) + 1/(L - rfi + Ad).
После приведения к общему знаменателю получим удобное
уравнение, из которого найдем d\:
rfi = (L + Ad)/2; rfi = 0,8 м.
Найдем Д: fi = L — d\\ /i=0,2m.
Из уравнения (а) найдем i^7:
/ + /i); F = 0,16 м.
21. Изображение предмета на пленке фотоаппарата при
съемке с расстояния 18 м получилось высотой 6 мм, а с рас-
расстояния 10 м — высотой 11 мм. Найдите фокусное расстояние
объектива фотоаппарата.
В фотоаппарате используется собираю-
собирающая линза. Поэтому можно для обоих слу™
чаев записать следующие уравнения:
fi/d1 = H1/h;
dl =
d2 =
н2--
F-
--IS
= 0,
= 10
= 0,
?
м
006
м
011
м
м
{h — высота фотографируемого предмета).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 217
Имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
/i, /2, F, h. Решим эту систему уравнений:
f1 = d1H1/h; h = d2H2/h;
l/di +V(rfi^i) = 1/F; l/d2 + h/(d2H2) = 1/F.
Перепишем последние два уравнения следующим образом:
1/F - 1/rfi = h/idtf!); 1/F - \/d2 = h/(d2H2);
(d2-F)/(Fd2) = h/(d2H2).
Поделим почленно последние два уравнения одно на другое.
После сокращения получим:
(d1-F)/(d2-F) =
Найдем отсюда F:
м.
мм
= 10 м
м
22. С какой выдержкой следует фотографировать вело-
велосипедиста, едущего со скоростью 5 м/с перпендикулярно
оптической оси фотоаппарата, чтобы размытость изобра-
изображения не превышала 0,1 мм? Расстояние от фотографа до
велосипедиста 10 м. Фокусное расстояние объектива 5 см.
v = 5 м/с При фотографировании движущегося
объекта изображение любой его точки тоже
перемещается, поэтому после проявления на
пленке изображение каждой точки получа™
ется в виде линии, то есть размытым, сма-
смазанным. Чем больше скорость фотографи-
фотографируемого объекта и время выдержки, то есть
чем больший путь им пройден, тем больше размер размыто-
размытости изображения на пленке. Таким образом, размер размытости
равен длине изображения (Н) пути, который пройден каждой
точкой объекта.
При равномерном движении велосипедиста пройденный за
время экспозиции путь равен: h = vAt; отсюда At = h/v. Длину
пройденного пути Л,, который является как бы предметом для
объектива фотоаппарата, найдем, решая систему уравнений:
l/F = l// + l/rf; (a)
f/d=H/h. (б)
218 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Из формулы (а) получим / и подставим в (б):
/ = Fd/(d^F); Fd/[(d-F)d\ = H/h; F/(d-F) = H/h.
Отсюда длина пройденного пути
h = H{d-F)/F.
Найдем время выдержки:
At = h/v = H(d ~~ F)/(Fv); [Д1]=м-м/(м.М/с)=с;
0004 с.
23. На экран проецируют диапозитив, причем площадь
изображения в 25 раз больше площади диапозитива. Расстояние
от объектива проекционного аппарата до диапозитива 40 см.
Определите фокусное расстояние объектива и расстояние от
объектива до экрана. Диапозитив считать квадратным.
Так как диапозитив квадратный, то SM =
JSa = 25
= 0,4 м
F-l/-?
= Н2 и SA = h2 (h — длина стороны диапози-
диапозитива, то есть предмета, а Н — длина сторо-
стороны изображения). В соответствии с данными
условия можно записать:
H2/h2 = 25.
Извлекая корень квадратный из обеих сторон этого равен™
ства, получим увеличение проекционного аппарата:
Г = H/h = 5.
Так как в проекционном аппарате используется собирающая
линза и изображение должно быть действительным, то формула
линзы запишется следующим образом:
Увеличение объектива равно: Y = f/d. Отсюда: f = Fd; / = 2 м.
Найдем из формулы линзы величину F:
F = df/(d + f); F^0,33 м.
24. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
3 см и 5 см поставлены на расстоянии 12 см друг от друга
так, что их главные оптические оси совпадают. Найдите фокусное
расстояние этой системы линз.
Фокусом системы линз является точка, в
которой сходятся лучи от источника света, на-
находящегося бесконечно далеко. Поэтому для
решения задачи надо найти формулу, связы-
связывающую d\ (расстояние от источника света до
F\
F2
1 =
F-
= 3
= 5
12
-?
CM
CM
CM
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
219
I линзы) и /2 (расстояние от О линзы до изображения, которое
она дает), а затем перейти к пределу: при d\ —^ оо /2 —± F (F —
фокусное расстояние системы линз).
Пусть источник света находится на расстоянии d\ от первой
линзы. Будем постепенно удалять источник света от линзы. При
этом следует иметь в виду следующее.
1) Если источник света
S движется от линзы к ее
фокусу, то d\ ^ F\ и изобра-
изображение aS'i в этом случае бу-
будет мнимым (рис. VIII.70 а).
Точка Si для второй лин-
линзы является действитель-
действительным предметом (лучи па-
падают на нее расходящимся
пучком), находящимся от
линзы на расстоянии о?2 =
2) Если точка S нахо-
находится в фокусе F\j то ее
изображение *$2 будет мни™
мым и удалено от линзы I
бесконечно далеко. Если же
S движется от фокуса даль-
дальше, то d\ увеличивается,
a /i уменьшается; действи-
действительное изображение *$2 на-
находится за второй линзой
(рис. VIII.70 б). На линзу
II падает сходящийся пучок
лучей, продолжения кото-
которых за линзу пересекают-
пересекаются в точке 5*2- Поэтому *$2
является для второй линзы
мнимым источником света,
который находится от нее
на расстоянии d,2 = fi — l. e
3) Начиная с некоторой Рис_ ущ.70
величины d\ действитель-
действительное изображение ?з точки S находится в промежутке между
двумя линзами. Из рис. VIII.70 в видно, что при этом cfe = I —
S
\
-<—
Fi
/1,
1
F2
¦ S3
F2
220 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
В этом случае S% является действительным источником света
для второй линзы.
Рассмотрим подробно случай 1.
Так как d\ < F\, то изображение S\ точки будет мнимым.
Найдем величину расстояния изображения от линзы I (Д) из
формулы линзы:
(знак « —» перед 1// соответствует мнимому изображению).
Как следует из рис. VIII.70 щ d<i — /i +1, или
Записав формулу для второй линзы, можно из нее найти
l/d2 + l/f2 = l/F2; f2 = d2F2/{d2-F2).
По определению фокуса линзы (или системы линз), при d\
оо, /2 —> F. Так как ^2 зависит от di, найдем предел:
lim d2 = lim [Fidi/(Fi-di)l+Z =
lim
С учетом этого найдем F:
F= lim f2 = F2
F = m-m/m = m; F = 11,25 cm.
Следует обратить внимание на то, что фокусное расстояние
системы линз не зависит от величины d\.
Получите такой же результат самостоятельно для второго и
третьего случаев. Не забудьте применить правило знаков перед
d и / при написании формулы линзы.
25. Две тонкие собирающие линзы с фокусными рас-
расстояниями 20 и 15 см, сложенные вплотную, дают четкое
изображение предмета на экране, если предмет находится
на расстоянии 15 см от первой линзы. На сколько надо
отодвинуть экран, чтобы на нем получилось четкое изображение
предмета, если вторую линзу отодвинуть от первой на 5 см?
= 20 см ~
Оптическая сила системы двух вплотную
~~ см сложенных линз равна
d = 15 см
/_к D = Di + D2? или 1/F = I/F1 + I/F2,
I —— о см
F — фокусное расстояние двух сложенных
вплотную линз. Найдем F:
х — с
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
221
Рис. VIII.71
F = F1F2/{F1 + F2); F « 8,6 см.
Найдем положение экрана при действии двух сложенных
линз (рис. VIII.71, а):
[/] = м3/(м2 - м2) = м; / = 20 см.
Когда вторую линзу отодвинули, фокусное расстояние си-
системы изменилось. Найдем расстояние, на котором находится
изображение А\В\^ даваемое только первой линзой (d\ = d):
222 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1/Fi = 1/di + l//i; /1 = Firfi/(di - Fi);
/1 = ^60 см.
Знак « —» говорит о том, что изображение будет мнимым. Это
следует также из сравнения величин d\ и F\: d\ < F\.
Мнимое изображение А\В\ для второй линзы является пред™
метом, который расположен на расстоянии d<i = /1 +1 = 65 см
от второй линзы. Теперь можно найти расстояние f2 от второй
линзы до изображения A2B2l которое она дает:
/2 = 19,5см.
Рис. VIII.71 а и VIII.71 б сделаны с учетом длин отрезков,
данных в задаче, и промежуточных вычислений значений F и d2.
Сравнивая эти рисунки, можно записать следующее равенство:
/ + х = 1 + /2, х — расстояние, на которое надо отодвинуть экран.
Отсюда
ж = / + /2 — /; х = 4,5 см.
26. В микроскопе фокусное расстояние объектива равно
5,4 мм, окуляра 20 мм. Каково будет увеличение предмета,
находящегося от объектива на расстоянии 5,6 мм, если его
рассматривать глазами с нормальным зрением? Какова при
этом будет длина тубуса?
Fx = 5,4 мм
F2 = 20 мм
dx = 5,6 мм
L = /2 = 250 мм
Пользуясь тем, что известны величины F\
и di, получим формулу, определяющую уве™
личение объектива:
= Fidi/(di - Fi); Гх = ^/(di - Fi).
Г^? Z-?
С другой стороны, увеличение объектива (см. пункт 7, г в
разделе «Методика решения задач») Гх = //Fx, / — длина тубуса
микроскопа. Поэтому можно записать:
Fi/(dx-Fi) = //Fx; / = Fx2/(dx - Fx); 1 = 145,8 мм.
Теперь, пользуясь формулой для увеличения микроскопа, мо-
можем его вычислить:
r = lL/(F1F2); Г = 337,5.
27. Мальчик, сняв очки, читает книгу, держа ее на расстоя™
нии 16 см от глаз. Какой оптической силы у него очки?
dr = 0,16 м
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 228
Расстояние наилучшего зрения у мальчи™
ка при чтении без очков — 16 см. Запишем
формулу линзы для невооруженного глаза:
l/dr + l/f = Dr, (a)
где / — расстояние от хрусталика до сетчатки глаза, Dr —
оптическая сила глаза.
Чтобы восполнить недостаток близорукого глаза, человек
одевает очки такой силы, чтобы изображение предмета, распо™
ложенного на расстоянии наилучшего зрения do = 25 см, фоку-
фокусировались системой очки-глаз опять же на сетчатке. Запишем
формулу линзы для вооруженного очками глаза:
l/do + l/f = Do + Dr, (б)
Do — оптическая сила очковой линзы.
Решая совместно уравнения (а) и (б), получим:
Do = I/do - l/rfr; [Do]=1/m; Do = -2,25 дптр.
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Содержание теоретического материала
Электромагнитная природа света. Скорость света и ее изме™
рение. Шкала электромагнитных волн. Дисперсия света. Коге-
Когерентность. Интерференция света. Дифракционная решетка.
Контрольные вопросы
2.1. Что представляет собой световое излучение с волновой
точки зрения?
2.2. Из каких трех видов состоит световое излучение?
2.3. Объясните способы измерения скорости света: методы
Ремера, Майкельсона, Физо.
2.4. Каким принимают округленное значение скорости света
при решении задач?
2.5. Опишите шкалу электромагнитных волн. С какими
физическими процессами связано появление электромагнитных
волн разной длины волны?
2.6. Как меняются свойства электромагнитных волн в зави-
зависимости от длины волны?
2.7. Как рассчитать значение скорости света в различных
средах? Приведите примеры.
2.8. В чем заключается явление дисперсии света?
2.9. Что представляет собой спектр белого света?
2.10. Чем объясняется явление дисперсии света?
2.11. Как связаны между собой скорость света, длина волны
и частота? Как меняются эти величины при переходе света через
границу раздела двух прозрачных веществ с различной оптиче-
оптической плотностью?
2.12. От чего зависит цвет непрозрачных тел?
2.13. От чего зависит цвет прозрачных тел?
ОТВЕТЫ 225
2.14. Какие волны называются когерентными?
2.15. Каким образом можно получить когерентные источни™
ки света?
2.16. В чем сущность явления интерференции?
2.17. Какие существуют методы создания когерентных
источников и получения интерференционных картин?
2.18. Сформулируйте условия для существования интерфе-
интерференционных максимумов и минимумов.
2.19. Какая величина называется оптической разностью хо™
да волн?
2.20. Как выглядит интерференционная картина в следую-
следующих случаях: если имеется а) источник монохроматического
света, б) источник белого света?
2.21. Как происходит интерференция в тонких пленках (или
пластинках)?
2.22. Как происходит интерференция в пленках или пла™
стинках переменной толщины? Как выглядит интерференцион-
интерференционная картина на клиновидной пластинке? Когда возникают «коль-
«кольца Ньютона»?
2.23. Для каких целей используется интерференция света в
науке и технике?
2.24. В чем состоит явление дифракции света и при каких
условиях наблюдается дифракция?
2.25. Объясните природу явления дифракции.
2.26. Что такое дифракционная решетка? Объясните прин™
цип ее действия?
Ответы
2.1. Световое излучение представляет собой электромагнит-
электромагнитные волны с длиной волны от 5 • 10^2 см до 1 • 10 см. Они яв™
ляются совокупностью переменных электрического и магнитного
полей; векторы напряженности электрического поля и индукции
магнитного поля взаимно перпендикулярны и перпендикулярны
вектору скорости волны (т.е. световая волна является попереч-
поперечной). Излучение световых волн веществом происходит благодаря
внутриатомным и внутримолекулярным процессам.
15 СВ. Трубецкова
226 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
2.2. В область световых волн входят три вида излучения:
инфракрасное (длина волны от 5 • 10~ до 8-Ю™5 см), видимый
свет (длина волны от 8 • 10~5 до 4 • 1СР5 см) и ультрафиолетовое
(от 4- 1СР5 до 1СР7 см). Указанные границы условны. Инфракрас-
Инфракрасное излучение можно назвать тепловым, так как оно вызывает у
живых организмов ощущение тепла, проникая в тело неглубоко
— на 20-30 мм. Видимый свет воздействует на сетчатку глаза и
вызывает зрительные ощущения.
Ультрафиолетовое излучение оказывает биохимическое
действие на живые организмы. В частности, оно способствует
образованию фотохимическим путем витамина D, который
обладает противорахитичным и иммуностимулирующим дей™
ствием. Малые дозы ультрафиолетового излучения используют
для лечения кожных заболеваний и воспалительных процессов
слизистых тканей. Бактерицидное действие ультрафиолета
применяют для предотвращения распространения заразных
болезней (стерилизация помещений и лечебных материалов).
Ультрафиолетовое излучение большой интенсивности при
длительном воздействии повреждает живые ткани, вызывает
ожоги и может привести к необратимым патологическим
изменениям.
Во всех случаях источником светового излучения являются
нагретые тела. Инфракрасное излучение дают твердые и жидкие
тела при температурах выше температуры окружающей среды. В
зависимости от температуры тела изменяются интенсивность из-
излучения и его частотный состав (спектр). При достаточно низких
температурах (ниже 50° С) излучение тел практически только ин-
инфракрасное. При повышении температуры помимо инфракрас™
ного излучения появляется видимый свет. Интенсивность обоих
видов излучения возрастает. При температурах выше « 2700° С
появляется ультрафиолетовое излучение. Кроме того, ультрафи-
ультрафиолетовым является излучение газов и паров металлов в электри™
ческом разряде. Такое излучение уже не является тепловым.
При излучении источник света теряет часть своей энергии и,
наоборот, при поглощении света внутренняя энергия тел возрас™
тает — световые волны переносят энергию.
2.3. Впервые значение скорости света было определено в
1676 г. датским астрономом Ремером. Он наблюдал затмения
одного из спутников Юпитера. Время между двумя ближайшими
затмениями равно половине земного года. Наблюдение двух-трех
затмений позволяет точно вычислить время наступления всех
последующих затмений и их продолжительность (рис. VIII.72).
ОТВЕТЫ
227
Орбита
Земли
\ х Орбита
\ спутника
1 Юпитера
Орбита
/ Юпитера
Рис. VIII.72
Первые измерения были проведены тогда, когда Земля подошла
к Юпитеру максимально близко (на расстояние г\). Измерения,
произведенные примерно через полгода, т.е. на противополож-
противоположной стороне орбиты Земли, показали, что спутник Юпитера
появляется после его затмения на 22 минуты позже расчетного
времени. Это Ремер объяснил тем, что Земля оказалась при
втором измерении в точке на противоположной стороне орбиты
на расстоянии Г2, которое отличается от г\ на величину диаметра
орбиты Земли. Таким образом, расстояние, равное диаметру ор~
биты Земли, свет от спутника Юпитера проходит за 22 минуты.
При расчете скорость света оказалась очень большой величиной,
равной примерно 300000 км/с.
Для определения скорости света на Земле необходимо преодо™
леть следующие трудности: точное измерение малых промежут™
ков времени и больших расстояний. Впервые скорость света в
земных условиях измерил в 1849 году французский физик Физо.
Суть его метода в следующем (рис. VIII.73).
Свет от источника 5, отразившись от зеркала 3i, проходит ые-
жду зубцами вращающегося колеса К, и через систему линз пада™
ет на находящееся на большом расстоянии A = 8,6 км) зеркало 32-
После отражения от второго зеркала свет возвращается к наблю-
наблюдателю по тому же пути. При небольшой скорости вращения
колеса свет виден все время, так как успевает пройти путь к
15*
228
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
зеркалу З2 и обратно за время, меньшее, чем время, за которое
на место прорези в колесе встанет зубец и закроет доступ света
к наблюдателю.
Рис. VIII.73
При увеличении скорости вращения свет сначала пропадает, а
затем при возрастании скорости вращения свет появится вновь.
Значит, на место зубца встала следующая прорезь.
Время распространения света от наблюдателя до зеркала З2
и обратно равно t = 21/с, с — скорость света; время поворота
колеса на угол <р, определяющий ширину зубца при известной
угловой скорости вращения колеса qj, равно
Так как по условию эксперимента это одно и то же время, то
можно записать:
Угол <р = 2тг /'2п = ж I'n, n — число зубцов (предполагается, что
ширина зубца и прорези одинаковые), ш = 2жи — угловая частота
вращения. С учетом этого получим, что
с = Alvn.
По результатам опыта Физо было получено значение скорости
света с « 310000 км/с.
Более точные результаты получены при проведении амери™
канским физиком Майкельсоном в 1926 г. опытов по определению
скорости света с помощью вращающейся зеркальной восьмигран-
восьмигранной призмы (рис. VIII.74).
Источник света, призма и наблюдатель находятся на вершине
горы. Отразившись от зеркальной грани призмы, свет проходит
расстояние 35,426 км до вершины другой горы, где установлена
система отражающих зеркал. После отражения от другой грани
зеркальной призмы свет попадает в зрительную трубу и наблю™
датель его видит только при таком расположении призмы, как
ОТВЕТЫ
229
S Источник света
Зеркало
Зеркальная
призма
Зеркало
Рис. VIII.74
изображено на рис. VIII.74. Если же призма немного повернется,
то свет, отраженный от нее, не попадает на отражающие зер-
зеркала, и его не увидит наблюдатель. При увеличении скорости
вращения призмы можно найти такую скорость, при которой
наблюдатель все время видит свет. Это будет в случае, если за
время прохождения света от одной горы до другой и обратно
призма совершит 1/8 оборота.
Аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении
опыта Физо, в данном случае можно получить формулу, свя-
связывающую скорость света и частоту вращения призмы. Время
прохождения света от призмы к зеркалам и обратно t = 21/с, с
— скорость света. С другой стороны, за это же время t призма
повернется на угол <р = 2тг/8 = тг/4, поэтому угловая скорость
uj = (p/t = тг/D?). Отсюда t = тт/Dш). Так как время распростра-
распространения света и поворота призмы по условию опыта одно и то же,
можно записать:
2//с = тг/Dа;);
откуда с = 81ш /тг или с = 1611/, где v — частота вращения призмы
(ш = 2тти).
По результатам опыта Майкельсона определена скорость
света:
с =B99796 ±4) км/с.
2.4. При решении задач можно пользоваться округленным
значением скорости света, равным 3 • 108 м/с.
2.5. Шкала электромагнитных волн представлена в табл. 2.
Она охватывает диапазон длин волн от 3 • 103 см (возникающих
230
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
при прохождении переменных токов в проводниках) до 10 см
(образующихся при ядерных процессах). Отдельные участки
спектра частично перекрываются (границы обозначены условно).
Таблица 2
Диапазоны
(в вакууме)
Радиоволны
Све-
товые
волны
Инфра-
Инфракрасные
Видимый
свет
Ультра-
фиоле-
фиолетовые
Рентгеновские
лучи
7-излучение
Длина волны
А, см
3-Ю3 -
- 5-1(Г3
5-1СГ2 -
- 8-Ю
8-1СГ5 -
- 4-1СГ5
4-1СГ5 -
-нг7
2-lG~7 -
- 10^8
10~8-
-ю-11
Частота
1/, Гц
107-
- 6-Ю12
6-Ю11 -
- 3,75-1014
3,75-10м -
- 7,5-1014
7,5-1014 -
- 3-Ю17
1,5-1017 -
- 3-Ю18
3-1018-
-3-1021
Источники
колебаний
Переменные токи в
проводниках и
электронных потоках
Излучение быстрых
заряженных частиц.
Атомные процессы,
возбуждаемые
тепловыми и
электрическими
воздействиями
Атомные процессы
при воздействии
электронов и ядер-
ядерных частиц
Ядерные процессы
2.6. Электромагнитные волны обладают некоторыми общими
для любого волнового процесса свойствами: отражаются, прелом™
ляются, частично поглощаются атомами вещества. Ниже рассмот™
рим общие для всех волн явления — дифракцию и интерференцию.
Все электромагнитные волны поперечные. При уменьшении длины
волны появляются и усиливаются следующие свойства волн: чем
короче длина волны, тем большее биологическое действие они
оказывают. Так, радиоволны и инфракрасные лучи бактерицидны™
ми свойствами не обладают, световые волны поражают уже мно™
гие виды бактерий, у ультрафиолетовых лучей это свойство выра-
выражено отчетливо, рентгеновские лучи губительно действуют
не только на бактерии, но и на живые клетки животных и
человека. Также с уменьшением длины волны увеличивается
проникающая способность излучения.
ОТВЕТЫ
231
2.7. Абсолютный показатель преломления вещества равен
отношению скорости света в вакууме с к скорости света в данном
веществе v:
п = с/ v.
Отсюда, зная абсолютный показатель преломления вещества,
можно найти скорость света в веществе. Например, для воды
п = 1,33; скорость света в воде
v = 3-108/1,33 ~ 2,26• 108 (м/с).
Таким образом, скорость света в любом веществе меньше, чем
в воздухе: она обратно пропорциональна показателю преломле-
преломления вещества: у = с/щ в оптически более плотной среде скорость
света меньше.
2.8. Зависимость показателя преломления вещества от ча-
частоты (длины волны) света называют дисперсией показателя
преломления вещества (или дисперсией света).
2.9. Если тонкий луч белого
света направлять на боковую
грань треугольной призмы
(рис. VIII.75), то после про™
хождения призмы на экране
возникнет ряд цветных полос в
известной последовательности:
красный, оранжевый, желтый,
Экран
Красный
Оранжевый
^Жёлтый
Зелёный
Голубой
Синий
Фиолетовый
Рис. VIII.75
зеленый, голубой, синий, фио-
фиолетовый. Причем смена цвета
происходит непрерывно и со™
держит множество полутонов. Следовательно, белый свет
является сложным: он состоит из совокупности однородных
цветных лучей (монохроматических), называемой спектром.
2.10. Рассматривая спектр белого света (рис. VIII.75), ви™
дим, что цветные пучки света преломляются неодинаково: наи-
наименьшее отклонение у красного цвета, наибольшее — у фио™
летового. Следовательно, показатель преломления вещества, из
которого изготовлена призма, различен для пучков различного
цвета. В частности, если показатель преломления для красного
света пь, а для фиолетового — Пф, то Пф > пк, можно запи-
записать, что с/уф > c/vK или vK > Уф. Таким образом, красный
свет распространяется внутри вещества с большей скоростью,
чем фиолетовый. Скорости распространения световых волн всех
других цветов лежат в промежутке от Уф до ук. Следовательно,
282 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
дисперсия света определяется тем, что скорость света в одном и
том же веществе неодинакова для разных длин волн.
2.11. v = \v, А — длина волны, и — частота. При переходе
света из одной среды в другую меняются скорость света и длина
волны, а частота остается неизменной. Цвет лучей света, воспри-
нимаемых глазом, зависит только от частоты колебаний световой
волны, независимо от того, в каком бесцветном прозрачном ве-
веществе распространяется свет.
2.12. Белый свет, падающий на поверхность непрозрачного
тела, частично поглощается, частично отражается. Если тело
поглощает весь падающий свет, то видим его, как черное. Если
поглощается часть составляющих белый свет волн, то отражен™
ные лучи определяют цвет тела. Например, если поглощают™
ся все лучи, кроме зеленых, то цвет тела — зеленый и т.п. В
случае, если отражаются волны разной длины волны, то цвет
тела зависит не только от цвета составляющих лучей, но и от
того, в какой пропорции они отражаются. Этим определяется
множество оттенков одинаковых цветов.
2.13. При прохождении в прозрачных телах часть падающе-
го света поглощается, а часть проходит через них. Цвет прозрач-
прозрачного тела определяется теми лучами, которые проходят сквозь
него. Так, красное стекло или пленка пропускает практически
только красные лучи, синее стекло — только синие лучи и т.д.
Прозрачные пластинки, применяемые для получения однород™
ного по цвету света, называются светофильтрами.
2.14. Когерентными называются волны, частоты которых
одинаковы и колебания происходят в одной плоскости. При этих
условиях разность их фаз постоянна во времени.
2.15. Создание независимых источников когерентных волн,
строго говоря, невозможно. Это объясняется тем, что в каждом
источнике световые волны излучают множество атомов, у кото™
рых фаза излученных колебаний быстро и беспорядочно меняет-
меняется. Когерентные световые волны получают следующим образом:
излучение одного источника тем или иным способом делят на два
отдельных пучка, которые идут по разным направлениям.
2.16. Явление интерференции состоит в наложении двух или
нескольких когерентных волн, при котором амплитуды результи-
результирующих колебаний меняются от точки к точке: от значения ам-
амплитуды, равной или почти равной нулю, до значения, большего,
чем амплитуда одиночного волнового процесса.
ОТВЕТЫ
233
2.17. Как уже отмечалось выше, чтобы получить когерент-
когерентные световые волны, надо разделить излучение от одного источ™
ника на две части. Чтобы произошла интерференция, следует
соединить эти части излучения вместе. Рассмотрим некоторые
способы получения когерентных волн.
1. Опыт Юнга. Свет от ярко освещенной щели S (рис. VIII.76)
Л
В
Рис. VIII.76
падает расходящимся пучком на две узкие щели S\ и 5^2, кото™
рые становятся когерентными источниками света. Лучи от этих
источников, достигая экрана Э, накладываются друг на дру™
га и в промежутке А В возникает интерференционная картина:
чередование светлых и черных полос, причем яркость светлых
полос сильнее, чем за пределами области АВ. В центре экрана
всегда получается светлая полоса. Таким образом, в одних местах
экрана световые волны при наложении усиливают друг друга, а
в других местах наоборот, гасят друг друга.
2. Свет от источника S (рис. VI0.77) направлен к двум
зеркалам МО и ON, плоскость которых образует двугранный
угол, немного меньший 180° (зеркала Френеля). Зеркала дают
два отраженных когерентных потока, которые накладываются
друг на друга и интерферируют. Результат интерференции на™
блюдается на экране Э — чередование светлых и темных полос
в области А В. Интерференционная картина получается такой
лее, какой была бы в результате наложения световых потоков от
когерентных источников S\ и S2, которые являются мнимыми
изображеними в зеркалах одного источника света S.
234
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
э
Рис. VIII.77 Рис. VIII.78
3. Аналогично предыдущему случаю, два мнимых когерентных
источника S\ и S2 можно получить с помощью так называемой
бипризмы Френеля (рис. VIII.78).
Бипризмой называют изготовленные из одного куска стекла
две призмы с равными малыми преломляющими углами, имею™
щими общее основание. Лучи от источника S после преломления
в бипризме создают два когерентных потока световых волн, ко-
которые при наложении интерферируют.
2.18. Результат наложения
волн зависит от того, в ка~
ких фазах волны приходят в ту
или иную точку (или, точнее,
какова разность фаз). Допу-
Допустим, два источника когерент-
когерентных волн находятся в точках S\
Рис. VIIL79 и S2 (рис. VIII.79). Колебания
распространяются по всем направлениям. Если в некоторой точ™
ке А складываются колебания в одинаковых фазах, то, следова-
следовательно, сдвиг по фазе между ними
А (максимум)
В (минимум)
Aip = (f2 — (fii = 2ктт
(а)
(к = 0,1,2,...). В этом случае происходит усиление колебаний,
образуется максимум. При интерференции в этом месте будет
ОТВЕТЫ
235
светлая точка. Если же в некоторой точке В сдвиг по фазе
А(р = <р2 - (fi = Bk + 1)тг, (б)
то колебания в эту точку приходят в противофазе и происходит
ослабление колебаний. При интерференции света в этом месте
будет минимум световой интенсивности (в случае равенства ам~
плитуд составляющих колебаний будет полное затемнение).
Рассмотрим общий случай ело™
жения в пространстве колебаний
независимо от природы волно™ ^
вого процесса. На рис. VIII.80
изображены два источника ко-
когерентных колебаний Si и $2.
Они создают гармонические
колебания, меняющиеся по
закону х\ = Х2 = Acosut (для простоты возьмем амплитуды
А обоих колебаний одинаковыми). Точка О находится на
расстоянии 7*1 от источника Si и на расстоянии г 2 от $2.
Волна имеет конечную скорость распространения v, и поэто-
поэтому колебания в точку О приходят с запаздыванием на время
Ati = ri/v из точки Si и на время At2 = v^jv из точки S2-
Так как скорость волны связана с длиной волны и частотой
формулой v = XiJj то можно записать закон колебаний в точке
О от источников Si и *$2 в виде
xi = Acos[u(t-Ati)] = Acos[u(t-ri/(\i/))],
Рис. VIII.80
х2 =
Фазы обоих колебаний определяются аргументом косинуса:
(рг = u)(t-n/(Xi/)), <р2 = o;(t-r2/(Ai/)).
Сдвиг по фазе колебаний в точке О от источников Si и S^ равен
А(р = (f2 — (ft = u)(ri — r2)/(\v) = u)Ar/(\v),
Аг называется геометрической разностью хода волн. Так как ш =
= 2тг1/5 то
Aip = 2тгАг/А.
Совместим условия (а) для максимальных колебаний и (б)
для минимальных колебаний с последним выражением для Аср.
Для интерференционного максимума
2ктт = 2тгАг/А.
Отсюда получим, что
286 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Ar = kX = Bfc)A/2, (к = 0,1,2...).
Это означает, что если разность хода двух когерентных волн в
некоторой точке пространства окажется равной четному числу
полуволн (или целому числу длин волн), то в этой точке образу-
образуется интерференционный максимум.
Аналогично получим условия минимума:
Ar = B& + 1) А/2.
Последнее означает, что если геометрическая разность хода двух
когерентных волн в некоторой точке пространства равна нечет™
ному числу полуволн, то в этой точке образуется интерференци-
интерференционный минимум.
2.19. Если свет проходит в среде с показателем преломления
п, то используют понятие оптической разности хода лучей. Она
равна геометрической разности хода (выше обозначенной Аг),
умноженной на показатель преломления среды п. Этим учиты-
учитывается изменение скорости света (или длины волны) в веществе:
5 = пАг.
2.20. Если источник S на рис. VI0.76-78 посылает монохро-
монохроматический свет, то на экране получаются одноцветные светлые
полосы, расположенные на одинаковом расстоянии одна от дру™
гой и разделенные темными полосами. Самая светлая полоса —
центральная.
Если же источник дает белый свет, то вместо одноцветных
полос получают спектры, разделенные темными промежутками.
Это объясняется тем, что разность хода, при которой интерфери-
интерферирующие волны усиливаются, различна для волн разной длины.
Лишь центральный максимум будет белым, так как здесь про™
исходит наложение светлых полос всех цветов, которые и дают
белый свет.
2.21. Интерференция света происходит при наложении све-
световых волн от одного и того же источника, отраженных от
двух поверхностей тонкой прозрачной пленки или пластинки
(рис. VIII.81).
Пусть в каждую точку поверхности М N тонкой пластинки
падает под некоторым углом а пучок параллельных монохрома-
монохроматических лучей. Рассмотрим два из них. Луч 1 в точке падения
частично отражается по направлению АЕ, частично прелом ля-
ОТВЕТЫ
237
Рис. VIII.81
ется, проходя внутрь пластинки
(луч А В). Далее он на грани-
границе раздела KL частично отра-
отражается по направлению ВС и
частично преломляется, выходя
за пределы вещества пластинки.
Луч ВС преломляется в точке С
(луч 1 ) и выходит по направле-
направлению С F в первую среду. В точку
С также падает луч 2, который
(также как и луч 1), частично
преломляется в пластинку (луч
СD), частично отражается (луч
2 ). Нетрудно показать, что лучи
1 и 2 параллельны. В точке С
происходит наложение этих лучей и их интерференция.
Результат интерференции зависит от разности хода лучей 1
и 2: до наложения луч 1 проходит в веществе с показателем
преломления п больший путь, чем луч 2. Ниже в «Методике
решения задач» будет показано, как разность хода зависит от
угла падения лучей на пластинку а, показателя преломления
вещества пластинки п и ее толщины d.
Если пластинка (или пленка) освещена монохроматическим
светом, причем углы падения лучей разные, то каждому углу
падения а будет соответствовать своя разность хода (т.е. лучи,
имеющие один и тот же наклон к пластинке дадут одну и ту же
разность хода). Таким образом, интерференционные максимумы
и минимумы будут располагаться по направлениям, соответству-
соответствующим одинаковому наклону лучей. Для наблюдения интерфе-
интерференционной картины на экране надо с помощью собирающей
линзы соединить параллельные лучи, соответствующие одному
наклону. На экране получится совокупность светлых и темных
полос, называемых линиями равного наклона.
Если же пластинка освещена белым светом, то условие макси-
максимума будет выполняться для разных монохроматических состав-
составляющих при разных углах наклона. При изменении угла зрения
цвет пластинки будет меняться.
Рассмотренный случай представляет собой интерференцию
отраженных от пластинки (или пленки) световых волн. Для
преломленных лучей также происходит интерференция, хотя яр-
яркость картины меньше в результате поглощения света внутри
пластинки и двукратного отражения от ее поверхностей.
288 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Очень хорошо видна интерференция на тонкой пленке мыль-
мыльных пузырей и пленках бензина, керосина, разлитых на поверх™
ности воды.
2.22. Как следует из рассмотрения вопроса о тонких ила-
станках, разность хода отраженных лучей зависит от толщи»
ны пластинки. Каждому значению толщины соответствует свое
условие интерференционных максимумов и минимумов, и пла-
пластинка с переменной толщиной будет пересечена светлыми и тем™
ными линиями, которые называются линиями равной толщины.
Например, если имеется клиновидная пластинка (рис. VIII.82),
то оптическая разность хода лучей, отраженных от поверхности
пластинки и лучей, прошедших внутрь пластинки и отражен™
ных затем от ее основания, возрастает с увеличением толщины
пластинки. В этом случае наблюдается система параллельных
линий.
Рис. VIII.82 Рис. VIII.83
Линии равной толщины наблюдаются в случае, если на хорошо от-
отполированную плоскопараллельную пластинку из стекла поло-
положить выпуклую линзу (рис. VIII.83). Вблизи области соприкосно-
вения выпуклой поверхности с плоскостью происходит интерфе-
интерференция лучей, отраженных от верхней и нижней границ тонкого
воздушного зазора, ширина которого увеличивается от точки
соприкосновения к краям. При этом наблюдается совокупность
концентрических светлых и темных колец (так называемых
колец Ньютона).
2.23. При незначительных изменениях разности хода лучей
возникают значительные изменения в расположении интерфе-
интерференционных полос. Благодаря этому интерференция применяется
для особо точных измерений, которые производятся с помощью
специальных приборов — интерферометров. По характеру ис-
ОТВЕТЫ 239
кривления интерференционных полос можно судить о дефектах
поверхностей, к качеству которых предъявляются высокие тре-
требования (например, зеркал, многих оптических инструментов и
оптических приборов).
Интерференционные методы применяют для определения с
высокой точностью коэффициентов линейного и объемного рас-
расширения, показателей преломления газов и паров. Основанные
на этом принципе приборы применяют для контроля за составом
воздуха в шахтах, производственных помещениях. Этот же метод
используют в медицине для исследования изменений в составе
крови при некоторых труднораспознаваемых заболеваниях.
Интерференционные микроскопы используют в медицине для
измерения показателей преломления, концентрации сухого веще-
вещества и толщины прозрачных микрообъектов.
На интерференции света основан способ получения объемного
изображения предметов — голография. В частности, в медицине
используется голографический гастроскоп.
Интерферометрические наблюдения используются в астроно™
мии, в частности, для оценки малых угловых расстояний между
двойными звездами, для определения углового диаметра звезд.
Эта же методика позволяет оценивать размеры субмикроскопи™
ческих частиц, которые нельзя различить в оптический микро-
микроскоп.
Интерференционные методы позволяют с большой точностью
определять длину волны, а также служить для очень тонких
спектроскопических исследований.
Широко применяется явление интерференции света в тонких
пленках для так называемой просветленной оптики. В сложных
оптических системах происходит большая потеря света в резуль-
результате отражения от поверхности линз. Чтобы этого не происходи™
ло, линзы покрываются тонкой пленкой. Толщина и показатель
преломления вещества пленки подбираются так, чтобы интерфе-
интерференция лучей, отражённых от передней и задней ее поверхностей,
приводила к их взаимному «гашению» и, следовательно, к уси-
усилению проходящего света.
2.24. В геометрической оптике основным положением яв-
является принцип прямолинейности распространения света. Это
объясняет образование теней за препятствиями.
Однако при распространении света в среде с резкими неодно-
родностями (например, вблизи границ непрозрачных тел или при
прохождении сквозь малые отверстия) наблюдаются отклонения
от прямолинейности распространения: световая волна проникает
240
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
в область геометрической тени. Явление отклонения от прямоли-
прямолинейного распространения света в среде с резкими неоднородно™
стями называется дифракцией. Дифракция наблюдается в слу™
чаях, когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной волны.
О
а
О
б
Рис. VIII.84
О
в
Например, если на пути волны (сферической или плоской) по-
поместить достаточно широкое препятствие, то сзади него образу™
ется тень, куда не проникает свет (рис. VI0.84 а). Края тени огра-
ограничены лучами О А и Oi3, проведенными от точечного источ™
ника колебаний к краям препятствия. Если уменьшить размеры
препятствия, то волна начинает огибать его края и заходить
в область тени на некоторый угол а (рис. VIII.84 6). Величина
этого угла увеличивается при уменьшении ширины препятствия.
Когда размеры преграды станут близки к длине волны, то тень
исчезнет и волны, огибая препятствие, будут замыкаться за ним
(рис. VIIL84e).
А\
О
а
Рис. VIII.85
Подобное явление происходит, если на пути волны поставить
экран с щелью. Если щель достаточно широка, то часть волны
проходит через нее в область, ограниченную краями щели (в
ОТВЕТЫ 241
пределах угла АО В) (рис. VIII.85o). При уменьшении размеров
щели волна начинает огибать ее края тем заметнее, чем уже щель
(рис. VIII.85 6). Если ширина щели станет сравнима с длиной
волны, за ней будет распространяться волна, хотя и более слабая,
чем основная (рис. VIII.85e).
2.25. Для того, чтобы понять, почему происходит дифрак™
ция, надо использовать принцип Гюйгенса: каждая точка, до ко-
которой доходит световая волна, является в свою очередь центром
вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент
времени эти вторичные волны, определяет положение к тому
моменту фронта распространяющейся волны.
Так как все вторичные волны возбуждаются одним источни™
ком света, то они являются когерентными. В соответствии с этим
принцип Гюйгенса был дополнен в начале XIX века французским
ученым Френелем. Он показал, что волновой фронт в данный
момент времени является не только поверхностью, огибающей
вторичные волны, но и представляет собой результат интерфе™
ренции этих вторичных волн (принцип Гюйгенса — Френеля).
Результат интерференции вторичных волн приводит к тому,
что при пропускании монохроматического света через прокол в не-
непрозрачном экране, на другом экране, расположенном за отвер-
отверстие, получится освещенный круг, окруженный чередующимися
темными и светлыми кольцами. Если же в первом экране сделана
узкая прорезь, то на втором будет чередование светлых и темных
полос. Если же на пути монохроматического света перед экраном
расположить тонкую проволоку, то на экране получится темная
полоса, по бокам которой расположены чередующиеся более
узкие светлые и темные полосы.
Если же в этих опытах использовать белый свет, то каждая
полоса окажется окрашенной в цвета спектра.
2.26. Если свет проходит через одиночную узкую щель, то
она пропускает мало света и создаваемая ею дифракционная
картина недостаточно четкая и имеет слабую интенсивность.
Если же свет будет проходить чрез несколько таких узких
параллельных щелей, то прошедшие через них световые пучки
будут усиливать друг друга и картина станет более резкой и
яркой. Для этого используются так называемые дифракцион-
дифракционные решетки. Они представляют собой совокупность правильно
чередующихся прозрачных и непрозрачных полос, поперечные
размеры которых сравнимы с длиной волны (рис. VI0.86). Общее
число источников, наносимых на 1 мм по длине поверхности,
16 СВ. Трубецкова
242
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Рис. VIII.S
составляет от 500 и более. Пусть
ширина каждой щели а, ширина
непрозрачной части — Ь.
Расстояние d = а + b называется
периодом или постоянной
дифракционной решетки.
Направим на дифракцион-
дифракционную решетку пучок перпенди-
перпендикулярно падающих монохрома™
тических лучей от одного ис™
точника (рис. VIII.87). В соответствии с принципом Гюйгенса
вторичные волны в каждой точке щелей распространяются по
всем направлениям. Эти волны когерентны, так как они исходят
от одного источника и, накладываясь друг на друга, интерфери™
Руют.
За дифракционной решет»
кой помещают собирающую
линзу Л, в фокальной плоско-
плоскости которой расположен экран
Э. Лучи, падающие на линзу
параллельно, фокусируются на
экране в точку.
В центре экрана (точка О)
собираются лучи, падающие на
дифракционную решетку пер™
пендикулярно и имеющие раз-
разность хода волн, равную нулю.
= Поэтому в центре экрана будет
светлое пятно, называемое цен™
тральным максимумом.
О
Рис. VIII.87
При увеличении угла ip наклона лучей вторичных волн раз™
ность хода АС увеличивается от 0 до А/2, затем до А и т.д. В со™
ответствии с этим яркость центрального пятна уменьшается. При
разности хода А г = АС = А/2 получается первая темная полоса,
затем при Аг\ = 2А/2 = Ана экране опять появляется светлая
полоса, называется максимумом первого порядка. Следующая
светлая полоса будет соответствовать условию Дг2 = 4А/2 =
= 2А (максимум второго порядка) и т.д. Подобная картина будет
наблюдаться в обе стороны от центрального максимума.
Таким образом, максимум яркости будут давать те лучи,
геометрическая разность хода которых равна Аг = Bfc)A/2, к =
= 0,1,2...
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 248
Возьмем два луча, проходящих симметрично в каждой из
двух соседних щелей, отклонившихся на угол (р. Геометрическая
разность их хода АС найдем из А А В С (каждому другому лучу
с таким же углом наклона в одной щели находятся соответству-
соответствующие лучи на расстоянии d в соседних щелях):
\АС\ = Ar = \AB\sin(p, или Ar = dsinip.
Поэтому можно записать, что для полос с максимальной ярко™
стью справедлива формула
= Bfc)A/2, или dsiiup = k\j к = 0,1,2...
Последнее соотношение называется формулой дифракционной
решетки. В ней к определяет порядок максимума света на экране.
Основные формулы
Связь относительного показателя преломления со скоростями
света в первой и второй среде:
B.1)
Связь скорости волны с ее длиной и частотой:
v = \v« B.2)
Условие интерференционного максимума:
Аг = к\ = Bк)-; B.3)
условие интерференционного минимума:
^ B.4)
Оптическая разность хода в среде с показателем преломления
п:
S = nAr, B.5)
Ar — геометрическая разность хода.
Формула дифракционной решетки:
k\, A = 0,l,2..., B.6)
d — период дифракционной решетки, ср — угол отклонения лучей.
16*
244 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Методика решения задач
1. Для того, чтобы решать задачи, связанные с опытами по
определению скорости света (Физо и Майкельсона), надо хорошо
представлять сущность этих методов (см. ответ на вопрос 2.3).
Время распространения света t\ на известное расстояние и
время поворота t<i зубчатого колеса или зеркальной призмы на
некоторый угол ср, отмечаемое от момента исчезновения отра™
женного света до его появления, одно и то же (t\ = ?2). Время
t\ = s/c (из формулы скорости равномерного движения), a t<i
находим из формулы для угловой скорости: t<i = (р/ш. Угол (р
находится в соответствии с данными условиями задачи: по числу
зубцов — зазоров на окружности колеса ср = 2ж /2п = тг/n (п
— число зубцов), либо по числу граней зеркальной призмы (р =
= 2тт/п (п — число граней).
Угловую скорость выражают через параметры вращательно™
го движения, данные в задаче или искомые. Напомним формулу
для круговой частоты:
ш = 2жи = 2тг/Т,
и — частота, Т — период вращения.
Так как t\ = ?2, то приравниваем полученные выражения и
находим искомую величину. Таких задач встречается мало, и так
как сами методы измерений подробно рассмотрены в ответе на
вопрос 2.3, приводить пример решения подобной задачи не будем.
2. Решение задач на дисперсию практически мало отличает™
ся от решения задач, в которых рассматривается преломление в
призме или распространение света в различных средах, только
формулы записываются с учетом показателей преломления для
различных составляющих белого света.
3. В задачах на интерференцию обычно требуется написать
уравнение, связывающее величину геометрической (при распро-
распространении света в воздухе) или оптической (при распространении
в какой-либо среде) разности хода с числом полуволн (чёт™
ным или нечётным) (формулы B.3) и B.4)). Для нахождения
геометрической разности хода надо воспользоваться правилами
геометрии и тригонометрическими соотношениями в треуголь™
никах, образованных лучами. Расстояния между когерентными
источниками света обычно малы по сравнению с расстоянием
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
245
до экрана, на котором наблюдается интерференционная картина.
Поэтому возможно приближение sin ж ~ tg#.
Если обе когерентные волны распространяются в среде с
показателем преломления п, то следует в условие максимума или
минимума подставить оптическую разность хода
6 = пАг.
В случаях, когда часть пути s\ волна проходит в воздухе, а
часть S2 в среде с показателем преломления п, надо найти сумму
(si + ns2) и ее использовать для вычисления разности хода.
Разность хода следует отсчитывать от места, где колебания
волны происходят в одной фазе, то есть от линии, где проходит
фронт волны (он чаще всего предполагается плоским).
Если волна отражается от границы раздела с оптически более
плотной средой, то фаза отраженной волны меняется на противо™
положную. Поэтому к геометрическому пути в этом случае надо
прибавлять А/2.
Из уравнения B.3) илиB.4) находится искомая величина.
В качестве примера рассмотрим интерференцию при отраже™
нии от тонкой плоскопараллельной пластинки, толщина которой
d (рис. VIII.88).
На пластинку падают два параллельных луча от одного
источника — луч 1 и луч 2. Фронт волны — плоский. Во
всех рассмотренных выше случаях для получения когерентных
волн свет от одного источника делился на две части, которые
затем накладывались друг на
друга и происходила интерфе-
интерференция. Так и здесь: в точке
С происходит наложение двух
лучей 1 и 2 . Луч 1 прелом-
преломляется, проходит в пластинку,
отражается от ее нижней сто™
роны, преломляется в точке
С и опять выходит в первую
среду (луч 1 ). Луч 2 частич-
частично (также как и луч 1), про™
ходит в пластинку, частично
отражается от ее верхней сто™
роны (луч 2 ). Для того, что™
бы найти оптическую разность хода лучей 1 и 2 , поступим
следующим образом.
Перпендикуляр AD определяет фронт плоской волны к мо™
Рис. VIII.88
246 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
менту, когда луч 1 падает на пластинку. К моменту, когда лучи
1 и 2 накладываются, луч 1 пройдет в пластинке расстояние
(|/Ш| + |_ВС|), а луч 2 — по воздуху путь |DC|. При отражении
от границы раздела со средой оптически более плотной, фаза от™
раженной волны меняется на противоположную, поэтому к длине
пути луча 2 надо прибавить А/2, а длину пути в пластинке луча
1 умножить на показатель преломления п (этим будет учтено
изменение длины волны в среде). Поэтому
\BC\)n-(\DC\
Так как, очевидно, \АВ\ = \ВС\, то можно записать:
5 = 2\AB\n-(\DC\ + \/2).
Из ААОВ найдем \АВ\:
\AB\ = d/соб^
/3 — угол преломления. Из AADC найдем
{ADAC = Za, как углы с попарно перпендикулярными сторона-
сторонами). Из ААОВ найдем \АО\:
а из закона преломления — sin a = nsin/З. С учетом этого
\DC\ = 2dnsin/3tg/3 = 2rfnsin2/3/cos/3.
Подставим полученные выражения в уравнение (а):
т.к. 1 — sin2 /3 = cos2 /3, то получим
(б)
Выразим угол преломления C через угол падения а и пока™
затель преломления п:
cos/З = у 1-sin2/? = у 1 — (sin2a)fn2 = yn2 -sin2a/n.
Формулу для оптической разности хода лучей, отраженных
от плоскопараллельной пластинки, получим в виде
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 247
(в)
Если по условию задачи свет падает на пластинку перпенди-
перпендикулярно (а = 0), то
S = 2dn-X/2.
4. Часто в задачах на интерференцию требуется найти (или
дано) расстояние между интерференционными максимумами.
Для таких случаев можно воспользоваться формулой, которая
получена ниже при решении задачи № 8 (см. «Примеры реше-
решения задач»). Эта формула определяет положение любой линии
интерференционной картины (точнее, расстояние от к-й линии
до максимума нулевого порядка — Л,д.) в зависимости от длины
волны Л, расстояния между когерентными источниками d и рас™
стояния I от источников до экрана:
hk = kXl/d, A; = 0,1,2...
Ценность решения возрастет, если брать не готовую формулу, а
вывести ее самостоятельно к каждой задаче. Расстояние между
двумя линиями определится разностью
Ah = hm-hni
где га, п — указанные в задаче порядки интерференционных
линий (га > п).
При решении фактически всех задач надо помнить условия
интерференционных максимумов и минимумов в проходящем
свете:
кХ = Bк)Х/2 — максимумы, (а)
B1с+ 1) А/2 — минимумы, (б)
Аг (или S) =
нецелое число А/2 — частичное
усиление или ослабление
колебаний.
При рассмотрении интерференции в отраженном свете от
оптически более плотной среды надо помнить, что к разности
хода надо прибавить А/2. Если составляется уравнение (а) или
(б), то А/2 можно перенести в правую часть равенства. После
приведения подобных членов получится, что условия (а) и (б)
для отраженного света меняются местами.
5. Если в задаче стоит вопрос: «Что находится в некоторой
точке: интерференционный минимум или максимум?», удобно
поступить следующим образом.
248 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
1. Из условия задачи найти геометрическую или оптическую
разность хода интерферирующих волн, пользуясь соображения™
ми, изложенными выше в п. 3. Далее записать условия максиму™
ма и минимума в виде
Аг = т\/2 или S = mX/2.
2. Вычислить значение коэффициента т. Если значение т
получилось четным, то в этой точке будет интерференционный
максимум, если т — нечетное, то интерференционный минимум.
6. Решение задач на дифракционную решетку обычно труд™
ностей не вызывает. Используется формула B.6). При необходи™
мости приходится применять теорему Пифагора и тригономет-
тригонометрические соотношения. Иногда в таких задачах надо найти мак-
максимальный порядок спектра кта>^. Очевидно, что максимальный
порядок спектра соответствует максимальному значению sin у?.
Поэтому, положив (р = 90°, найдем lcmax:
d = kma^X; fcmax = X/d.
Ближайшее целое число, меньшее fcmax, определяет макси™
мальный порядок дифракционного спектра.
Ряд задач, где речь идет о дифракционной решетке, решает™
ся также, как и задачи на интерференцию от двух источников
когерентных волн. Это объясняется следующим. Две соседние
щели дифракционной решетки находятся на расстоянии, равном
ее периоду и являются источниками вторичных когерентных
волн, которые дают на экране интерференционную картину. Если
сравнить формулы, полученные при решении задач Ш 6 и № 11,
то увидим их совпадение.
Примеры решения задач
1. Длина световой волны в стекле 450 нм. Свет в
стекле распространяется со скоростью 1,8 • 105 км/с. Опре™
делите частоту колебаний света, абсолютный показатель
преломления стекла и длину волны света в вакууме.
Частоту световой волны можно найти
из формулы B.2):
u = vc/Xc; и = 4Л0ыс^1*
При переходе света из воздуха в стек-
стекло скорость и длина волны меняются, а
частота остается неизменной; она опреде™
ляет цвет света.
Ас
vc--
с =
V -
Ао
= 4,5
= 1,8
31С
¦?пс
_?
• 10 м
•108 м/с
8 м/с
_?
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
249
nK
<p =
e-
= i
= i
= 30
-?
,62
,67
О
Показатель преломления стекла найдем по формуле B.1), где
vi = c: n = c/v; п = 1,67.
Длину волны света в вакууме найдем по формуле с= Xqu:
Х0 = с/и; А0 = 0Д5*1(Г6м.
2. Луч белого света нормально падает на одну из граней
находящейся в воздухе трехгранной призмы с преломляющим
углом 30°. Определите угол между крайними лучами спектра
по выходе из призмы, если показатели преломления стекла
призмы для них, соответственно, равны 1,62 и 1,67.
Так как луч света падает из воз-
воздуха на грань призмы перпендикулярно,
то он внутри призмы не преломляется
(рис. VIII.89). На вторую грань угол паде™
ния луча а равен преломляющемуся углу
призмы 30° (так как А А В С прямоуголь-
прямоугольный, то ZACB = 90° -^, а/а- 90° - ZACB = ip). Запи™
шем закон преломления для красного и фиолетового лучей:
sin a/sin/3K = l/nK; B
sin a/sin/Зф = 1/пф.
Отсюда найдем /Зк и /Зф:
/Зк = aresIn(?iKsino) =
= arcsinO,81 « 54°;
/?ф = arcsm(n^slno) =
Рис. VIII.
3. Разности хода двух интерферирующих волн в вакууме
равны: а) 0,4А; б) 1,2А. Найдите соответствующую разность фаз.
Разности хода двух когерентных волн в одну
длину волны соответствует сдвиг по фазе на 2тг
(или 360°). Составим и решим пропорцию:
, А -
aj 0,4A -
, А -
Ь) 1,2А -
Искомый угол в = /Зф - /Зк = 2,5°.
= 1,2А
250
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
4. Разности фаз двух интерферирующих волн равны: а)
0,25тг; б) 2,5тг. Скольким длинам волн в вакууме будут соот™
ветствовать разности хода этих волн?
Разность фаз двух интерферирующих
волн в 2тг соответствует разности хода в
1 длину волны (Л). Составим и решим
пропорцию:
б)
2тг - ЬА;
0,25тг - TVi;
2тг - 1-А;
2,5тг - N2;
А =
d =
п =
m —
0,
5-
5
?
5-
10
м
10
-3
М
м
5. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми
изображениями источника света с длиной волны 0,5 мкм равно
5 мм. Расстояние от линии, соединяющей источники света, до
экрана — 5 м. Что будет на экране напротив одного из источников
— максимум или минимум света?
Для того, чтобы определить, что будет
в точке О (рис. VIII.90), максимум или ми™
нимум света, надо найти значение множи-
множителя перед Л/2 для формул B.3) и B.4).
Для этого надо предварительно найти гео-
геометрическую разность хода Аг = Г2 — Г\.
Из AS1S2O по теореме Пифагора найдем г 2'-
г2 =
Теперь найдем Аг:
Аг = 0,000025 м;
Рис. VIII.90
Дг = тА/2; m = 2Ar/A; m = 10.
Получили, что множитель — четный, то есть разность хода
равна четному числу полуволн. Следовательно, в рассматривав™
мой точке будет интерференционный максимум.
6. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим
светом длиной волны 6-10™5 см, причем расстояние между отвер™
стиями 1 мм, а расстояние от отверстия до экрана 3 м. Найдите
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
251
положение трех первых светлых полос относительно централь-
центрального максимума.
:С
м
м Г1
1 = 3 м
Л = 1,2,3
Щели S\ и
а Риг VIII Q1
D2 ЯВЛЯЮТСЯ КО™ гшь' У111-у±
герентными источниками световых волн (рис. Л/111.91), которые
при наложении интерферируют. Пусть на экране Э в точке С
находится интерференционный максимум к-ro порядка. Условие
максимума следующее:
Аг = Г2-Г1 = кХ, к = 1,2,3.
Найдем разность хода Аг. Для AS±CB и AS2CA можно запи™
сать теорему Пифагора:
т\ = I2 + (hk - d/2f- r\ = I2 + (hk + d/2f.
Вычитая из второго равенства первое, получим:
r2 ^ri =2hkd; (r2-ri)(r2 + ri) = 2hkd.
Так как d <C /, то можно считать, что г2 ^ т\ = I и поэтому г\ +
+ Г2 = 21. С учетом этого последнее уравнение можно записать в
виде Ar2l = 2hkd^ откуда
Аг= hkd/L
Используя условие максимума, можно найти hk'
кХ = hkd/1]
откуда hk = kXl/d.
Подставляя значения к, равные 1, 2, 3, получим искомое:
7. Два когерентных источника света с длиной волны 0,5 мкм
дают на экране интерференционную картину. Как изменится эта
картина, если на пути одного из лучей поместить плоскопарал-
плоскопараллельную пластинку из стекла с показателем преломления 1,5 и
толщиной 10,5 мкм?
л =
п =
1 =
т -
о,
1,
10
.?
5-
5
,5
ю-6
•10
м
м
252 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Для того чтобы ответить на вопрос за™
дачи, надо найти, как изменится оптиче-
оптическая разность хода и сколько полуволн в
ней укладываются:
S = гаЛ/2,
где га равно целому числу.
В воздухе геометрическая длина пути I, а в стекле оптическая
длина пути равна nl. Поэтому оптическая разность хода равна
S = nl - I = (га- 1I; с5 = 5,25^ 1(Г6м.
Теперь вычислим, сколько полуволн укладывается в разности
хода при прохождении луча через стеклянную пластинку:
т = 5/(\/2) = 2S/X; т = 21.
Нечетное число полуволн говорит о том, что интерференционная
картина сменилась на противоположную: на месте темных полос
окажутся светлые, а на месте светлых — темные.
8. Определите наименьшую толщину прозрачной пленки, оп-
оптическая плотность которой 1,6, если при освещении ее голубым
светом с длиной волны 480 нм она в отраженном свете окажется
а) голубой, б) черной.
п = 1 6 При падении света на пленку происхо™
дит интерференция двух лучей: один от™
ражается от верхней поверхности пленки,
г _ 7 ДРУг°й после прохождения внутрь пленки
отражается от ее нижней поверхности. При
нормальном падении лучей второй луч проходит внутри плен™
ки путь, равный Bd). Эта величина является геометрической
разностью хода лучей. Т.к. показатель преломления пленки га, а
первый луч, отражаясь от поверхности оптически более плотной
среды, меняет фазу на противоположную, то оптическая раз™
ность хода равна
м
В случае, если пленка окажется голубой, для соответствую™
щей цвету длины волны должно выполняться условие максимума:
Наименьшая толщина пленки будет при к = 0, значит
2dn - Л/2 = 0; d = Л/Dп); d = 75 • 1(П9м.
Аналогично, условие гашения голубого света при интерфе-
интерференции отраженных лучей будет при выполнении условия мини™
мума:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
253
Так как положили к = О, то
2dn - А/2 = А/2; d = \/{2n); d = 150 • 10^9м.
9. Сколько штрихов на 1 мм длины имеет дифракционная
решетка, если линия с длиной волны 407 им в спектре первого
порядка наблюдается под углом 19°? Определите наибольший
порядок максимума, который может образовать эта дифракци-
дифракционная решетка для данной длины волны.
Из формулы B.6) найдем период ди™
фракционной решетки:
d = kX/sirup;
sin 19° = 0,3256 (из таблицы).
Число штрихов на 1 мм решетки равно:
N = S/d; N = 800.
м
s = 1 мм =
к = 1
м
N — ? к —^
Из формулы B.6) выразим к:
к = dsiiKp/ X.
Максимальное значение к возможно при sirup = 1. Поэтому из
формулы B.6) получим
Если результат деления нецелое число, то fcmax — ближайшее
целое число, меньшее чем d/X. Поэтому fcmax = 3.
10. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если
красная линия с длиной волны 7 • 10^7 м в спектре второго
порядка получается на расстоянии 0,25 м от центральной светлой
полосы на экране. Расстояние от экрана до дифракционной ре™
шетки равно 43,3 см. Дифракция наблюдается при нормальном
падении на решетку параллельных лучей белого света.
м
к = 2
/i = 0,25 м
1 = 0,433 м
Рис. VIII.92
Из формулы для
дифракционной решетки можно найти d, если предварительно
определить значение угла ср. Из AASB (рис. VIII.92) найдем
254
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
tg<p = h/l « 0,58; if = arctgO, 577 « 30°; s!n30° = 0,5.
dsincp = kX; d = kX/ тгкр; d = 2,8- 10^6м.
11. Дифракционная решетка, имеющая порядок 0,03 мм,
освещается светом с длиной волны 600 нм. Расстояние меж™
ду центральной полосой и спектром четвертого порядка равно
45 мм. На каком расстоянии от дифракционной решетки нахо-
находится экран?
Из формулы для дифракционной ре™
шетки следует, что
simp = kX/d. (a)
Из A SOL (рис. VIII.93) можно найти
также
d-
X
Ь
1-
= 3-
= 6-
л4
_?
10
10
,5-1(
м
м
м
siny> = hk/\LS\ = hk/y/l2 + h2k. (б)
Совместим уравнения (а) и (б):
Из полученного уравнения следует, что ис-
искомое расстояние
Рис. VIII.93
[I] = mvm2/m = м;
I « 0,56 м.
Примечание: так как угол ср обычно
мал, то с хорошим приближением можно
считать, что sin^ ~tgip = hk/l. Тогдаурав™
нение для нахождения искомой величины
будет выглядеть проще:
kX/d = hkfl; отсюда I = dhk/(kX);
/и 0,56 м.
Сравните полученную формулу с формулой, полученной при
решении задачи 6. Они одинаковы. Это объясняется тем, что все
щели дифракционной решетки являются источниками когерент-
когерентных волн. Две соседних щели находятся на расстоянии d, равном
постоянной решетки, что аналогично двум источникам света в
опыте Юнга, также находящихся на расстоянии d друг от друга.
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Прямолинейность распространения света
1. При помощи проекционного фонаря на экране получен
светлый круг радиусом 50 см. Приблизив фонарь к экрану на
120 см, получили круг радиусом 20 см. На каком расстоянии
находится фонарь от экрана во втором случае?
2. На расстоянии 80 см от экрана находится точечный источ™
ник света. Между ними на расстоянии 30 см от экрана параллель™
но ему находится линейка длиной 12 см. Какой длины будет тень
от линейки на экране, если источник света расположен против
середины линейки?
3. Длина тени от Останкинской телебашни, освещенной
Солнцем, в некоторый момент времени оказалась равной 600 м;
длина тени от человека высотой 175 см в тот же момент
времени ~2м. Какова высота башни?
4. Определите диаметр тени на экране, отбрасываемой ша-
шаром радиуса 10 см, если расстояние от точечного источника до
центра шара 50 см, а от центра шара до экрана 1 м.
5. Дерево, освещенное Солнцем, отбрасывает тень длиной
25 м, а вертикально установленный шест высотой 75 см — длиной
125 см. Определите высоту дерева.
6. На какой высоте находится лампа над горизонтальной
поверхностью стола, если тень от вертикально поставленного
на стол карандаша длиной 15 см оказалась равной 10 см? Рас-
Расстояние от основания карандаша до основания перпендикуляра,
опущенного из центра лампы на поверхность стола, равно 90 см.
7. Чему равна длина тени, отбрасываемой вертикальным ше-
шестом высотой h на горизонтальную поверхность, если угловая
высота Солнца равна а?
8. На какой высоте висит уличный фонарь, если тень от
вертикально поставленной палки высотой 90 см имеет длину
256 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
120 см, а при перемещении палки на 1 м от фонаря вдоль на-
направления тени длина тени сделалась равной 150 см?
9. Вертикальный шест, освещенный уличным фонарем, от™
брасывает тень длиной 5 м. Если шест подвинуть по линии тени
к фонарю на 1,2 м, то длина тени станет равной 3 м. На ка™
ком расстоянии от основания фонаря находится шест во втором
случае?
10. Человек, рост которого 192 см, идет по направлению к
уличному фонарю. На некотором расстоянии от фонаря длина
тени человека равна 5 м, а после приближения на 3 м длина тени
стала 3,5 м. Найдите высоту, на которой подвешен фонарь.
11. Человек ростом 160 см идет по направлению к уличному
фонарю. В некоторый момент времени длина тени человека была
2,5 м, а через 10 с длина тени стала 0,5 м. Фонарь висит на высоте
10 м. С какой скоростью идет человек?
12*. Перед электрической лампочкой, заключенной в шар из
матового стекла, на расстоянии а помещен непрозрачный диск
так, что нормаль к плоскости диска, восстановленная в его цен-
центре, проходит через центр шара. На каком расстоянии от диска
следует установить плоский экран, чтобы тень от диска имела
форму круга? Радиус диска в к раз меньше радиуса шара и в п
раз больше радиуса тени.
13. Телеграфный столб высотой h и заводская труба, уста™
новленные вертикально на горизонтальной площадке, отбрасы-
отбрасывают тени длиной I и L. Определите высоту трубы и угловую
высоту Солнца.
14. Длина тени, отбрасываемой в полдень телеграфным
столбом, установленным вертикально на косогоре, обращенном
к югу (в средних широтах северного полушария), равна высоте
этого столба. Определите угловую высоту Солнца, если угол
наклона косогора к плоскости горизонта равен а.
Законы отражения. Плоское зеркало
15. Человек стоит на расстоянии 5 м от вертикально рас-
расположенного плоского зеркала. На каком расстоянии от себя он
видит свое изображение?
16. Как изменится расстояние между предметом и его изоб-
изображением в плоском зеркале, если зеркало переместить в то
место, где было изображение?
ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ. ПЛОСКОЕ ЗЕРКАЛО
257
17. Предмет находится от плоского зеркала на расстоянии 20
см. На каком расстоянии от предмета окажется его изображение,
если предмет отодвинуть на 10 см от зеркала?
18. Каким должен быть угол падения светового луча, чтобы
отраженный луч составлял с падающим угол 50°?
19. Как изменится угол между падающим и отраженным
лучами, если угол падения уменьшить на 10°?
20. Угол между падающим и отраженным лучами 30°. К а™
ким будет угол отражения, если угол падения увеличить на 15°?
21. Плоское зеркало поворачивается на угол 27°. На какой
угол повернется отраженный от зеркала луч?
22. Горизонтальный луч света падает на плоское зеркало,
расположенное вертикально. На какой угол повернется луч, от™
раженный от зеркала при повороте последнего на угол а?
23. Луч света падает под углом 35° к поверхности зеркала.
Чему равны угол отражения и угол между падающим и отра-
отраженным лучами?
24. Как с помощью плоских зеркал изменить направление
светового пучка на 90°? На 180°? Не изменяя направления, сме™
стить его параллельно самому себе?
25. Нарисуйте ход отраженных от плоского зеркала лучей в
трех случаях: а) на зеркало падает сходящийся пучок лучей; б)
расходящийся; в) параллельный.
Рис. VIII.94
Рис. VIII.95
В
26. Постройте схему хода световых лучей А
(рис. VIII.94) между плоскопараллельными зеркалами.
27. На пути лучей, которые сходились бы в некоторой точке
S, поставили плоское зеркало так, как показано на рис. VIII.95.
Определите положение точки, в которой сойдутся эти лучи
17 СВ. Трубецкова
258 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
после отражения, относительно зеркала. Расстояние от точки S
до зеркала равна 35 см.
28. Лучи Солнца падают на поверхность земли под углом
60°. Под каким углом к горизонту надо поставить плоское зер™
кало, чтобы лучи, отразившись от него, пошли горизонтально?
Рассмотрите два варианта решения.
29. Пучок параллельных лучей идет в горизонтальном на-
направлении. Как надо расположить плоское зеркало, чтобы после
отражения пучок шел вертикально?
30. Солнечные лучи составляют с горизонтом угол 48°. Как
надо расположить плоское зеркало, чтобы направить лучи гори-
горизонтально? вертикально? Рассмотрите по два варианта на каж-
каждый случай.
31. Горизонтальный луч света падает на плоское зеркало,
отражающая поверхность которого расположена под углом 30°
к горизонту. На какой угол повернется отраженный луч, если
зеркало поставить вертикально?
32. Требуется осветить дно колодца, направив на него сол-
солнечные лучи. Как надо расположить плоское зеркало, если лучи
идут к земной поверхности под углом 45°?
33. Человек, идущий по шоссе, увидел в защитном стекле
встречного автомобиля отражение Солнца. Под каким углом к
горизонту наклонено стекло, если угловая высота Солнца над
горизонтом 18°, а попадающий в глаз луч направлен горизон-
горизонтально? Солнце, автомобиль и человек расположены в одной
вертикальной плоскости.
34. Луч света, направленный горизонтально, падает на вер™
тикально стоящий экран. Если на пути луча поместить плоское
зеркало, то световое пятно на экране сместится вверх на 3,5 см.
Определите угол падения луча на зеркало, если расстояние от
зеркала до экрана равно 50 см.
35. Небольшой предмет находится перед плоским зеркалом и
движется по вертикали со скоростью 3 см/с, а зеркало перемеща-
перемещается в горизонтальном направлении со скоростью 4 см/с. С какой
скоростью движется изображение в системе отсчета, связанной с
Землей?
36*. Плоское зеркало вращается с частотой 0,5 с^1. С какой
линейной скоростью будет перемещаться «зайчик» по сфериче-
сферическому экрану радиусом 10 м, если зеркало находится в центре
кривизны экрана?
ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ 259
37. Какова должна быть минимальная высота вертикально-
вертикального зеркала, в котором человек ростом 170 см мог бы видеть свое
изображение во весь рост, не изменяя положения головы?
38. Изображение дерева занимает всю длину плоского зер-
зеркальца длиной 5 см, помещенного вертикально на расстоянии
30 см от глаза. Дерево удалено на расстояние 90 м от зеркальца.
Какова высота дерева?
39. При каком положении плоского зеркала шар, катящийся
прямолинейно по поверхности стола, будет казаться в зеркале
поднимающимся вертикально вверх?
40. Над центром круглого бассейна радиусом 5 м, залитого до
краев водой, на высоте 3 м над поверхностью воды висит лампа.
На какое расстояние от края бассейна может отойти человек, рост
которого 180 см, чтобы все еще видеть отражение лампы в воде?
41. Человек высотой 160 см, стоящий на берегу озера, видит
Луну в небе по направлению, составляющему угол 60° с гори-
горизонтом. На каком расстоянии от себя человек видит отражение
Луны в озере?
42. Человек, стоящий на берегу водоема, видит в гладкой
поверхности воды изображение Солнца, высота которого над
горизонтом составляет 25°. Присев на скамейку, он обратил вни-
внимание на то, что изображение Солнца в воде приблизилось к
нему на 240 см. На каком уровне относительно земли находятся
глаза человека, если он сидит на скамейке? Рост человека 160 см.
43. Угловая высота Луны 45°. На каком расстоянии от берега
должен находиться человек, рост которого 170 см, чтобы видеть
отражение Луны в воде?
44. На предмет высотой h, стоящий вертикально на плоском
зеркале, падает наклонно параллельный пучок лучей. Определи™
те размер тени на вертикальном экране.
Законы преломления
45. Под каким углом следует направить луч из воздуха
на поверхность стекла, показатель преломления которого равен
1,54, чтобы угол преломления получился равным 30°?
46. Определите показатель преломления вещества, если при
угле падения, равном 60°, угол преломления в нем получается
равным 30°.
17*
260 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
47. Луч от подводного источника света падает на поверх-
поверхность воды под углом 35°. Под каким углом он выйдет в воздух?
48. Свет падает на границу раздела двух сред, причем при
угле падения 30° угол преломления равен 40°. Найдите показа™
тель преломления второй среды, если для первой он равен 1,6.
49. Определите показатель преломления и скорость света в
слюде, если при угле падения 60° угол преломления равен 32°.
50. Найдите абсолютный показатель преломления среды, ее™
ли скорость распространения света в ней 200000 км/с.
51. Найдите относительный показатель преломления при пе-
переходе света из глицерина в стекло (тяжелый флинт) и наоборот,
из стекла в глицерин.
52. При переходе света из стекла (флинт) в глицерин угол
преломления оказался равным 30°. Определите угол падения
луча света на границу раздела и относительный показатель пре™
ломления для этого случая.
53. Определите показатель преломления стекла (флинт) от™
носительно воды.
54. Показатель преломления стекла 1,54. Определите пока-
показатель преломления воды относительно стекла и скорость света
в воде и стекле.
55. Определите значение угла преломления, если показатель
преломления вещества равен 1,88, а угол падения света на по-
поверхность вещества — 70°.
56. Найдите значение угла преломления в масле, если свет
идет из воздуха и угол его падения равен 45°. Показатель пре-
преломления масла равен 1,3.
57. Водолаз определил угол преломления луча в воде, кото-
который оказался равным 32°. Под каким углом к поверхности воды
падают лучи света?
58. Солнечные лучи падают на поверхность воды при угло-
угловой высоте Солнца над горизонтом 30°. Под каким углом пойдут
эти лучи в воде после преломления?
59. Абсолютные показатели преломления алмаза и стекла,
соответственно, равны 2,42 и 1,5. Каково соотношение толщин
этих веществ, если время распространения света в них одинаково?
ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ 261
60. За одно и то же время свет по кратчайшему пути прохо-
проходит слой воды толщиной 9 см и стеклянный (легкий крон) брусок.
Определите толщину бруска.
61. Скорость распространения света в некоторой жидкости
240000 км/с. На поверхность этой жидкости из воздуха падает
световой луч под углом 25°. Определите угол преломления луча.
62. На горизонтальном дне водоема глубиной 1,2 м лежит
плоское зеркало. На каком расстоянии от места вхождения луча
в воду этот луч снова выйдет на поверхность воды после отра™
жения от зеркала? Угол падения луча на воду равен 30°.
63. На горизонтальном дне бассейна лежит плоское зеркало.
Луч света, преломившись на поверхности воды, отражается от зер-
кала и выходит в воздух. Расстояние от места вхождения луча в
воду до места выхода отраженного луча из воды равно 1,5 м. Глу™
бина бассейна равно 2 м. Определите угол падения луча на воду.
64. Определите угол преломления луча при переходе из воз-
воздуха в этиловый спирт, если угол между отраженным и прелом™
ленным лучами равен 120°.
65. При падении на плоскую границу раздела двух сред с
относительным показателем преломления п световой луч частич-
частично отражается, частично преломляется. При каком угле падения
отраженный луч перпендикулярен преломленному?
66. Луч света падает на границу раздела двух сред под углом
30°. Показатель преломления первой среды равен 2,4. Определи-
Определите показатель преломления второй среды, если отраженный и
преломленный лучи перпендикулярны друг другу.
67. На какой угол отклонится луч от первоначального на-
направления, упав под углом 45° на поверхность стекла? на по-
поверхность алмаза?
68. Под каким углом должен падать луч на поверхность
стекла, чтобы угол преломления был в два раза меньше угла
падения?
69. Найдите угол падения луча на поверхность воды, если
известно, что он больше угла преломления на 10°.
70. Луч света падает на поверхность воды под углом 40°. Под
каким углом должен упасть луч на поверхность стекла, чтобы
угол преломления остался таким же, как и в первом случае?
71. На какой угол отклоняется луч света от своего первона-
первоначального направления при переходе из стекла в воздух, если угол
падения 30°, а показатель преломления стекла равен 1,5.
262 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
72. Угловая высота Солнца над горизонтом равна 45°. Где
видит Солнце человек, нырнувший в воду?
73. Человеку, нырнувшему в воду, солнечные лучи кажутся
падающими под углом 50° к поверхности воды. Какова истинная
угловая высота Солнца над горизонтом?
74. На дне ручья лежит камешек. Мальчик хочет ткнуть его
палкой. Прицеливаясь, мальчик держит палку под углом 45°. На
каком расстоянии от камешка палка воткнется в дно ручья, если
его глубина равна 50 см?
75. В дно пруда вбили вертикально шест высотой 1 м. Опре-
Определите длину тени от шеста на дне пруда, если угол падения
солнечных лучей 60°, а шест целиком находится под водой.
76. В дно пруда вертикально вбита свая так, что она целиком
находится под водой. Угол падения лучей на поверхность воды
60°, длина тени на дне 2,1 м. Определите высоту сваи.
77. Столб вбит в дно реки, и 1 м столба возвышается над во-
водой. Надите длину тени от столба на поверхности воды и на дне
реки, если угловая высота Солнца над горизонтом равна 45°, а
глубина реки 3 м.
78. Пучок параллельных лучей падает на поверхность воды
под углом 60°. Ширина пучка в воздухе равна 10 см. Определите
ширину пучка в воде.
79. Угловая высота Солнца над горизонтом 60°. Определите
длину тени на дне непрозрачного сосуда. Высота сосуда равна
25 см. Как изменится длина тени, если в сосуд налить воду до
высоты 20 см?
80. На поверхности водоема глубиной 5 м плавает круглый
плот, радиус которого равен 6 м. Над центром плота на высоте 2 м
расположен точечный источник света. Найдите радиус теневого
круга на горизонтальном дне водоема.
81. Любой водоем, дно которого хорошо видно, всегда ка-
кажется менее глубоким, чем в действительности. Почему это так?
Определите, во сколько раз истинная глубина водоема больше
кажущейся, если смотреть по вертикали вниз.
82. Глубина водоема равна 4 м. Насколько отличается его
кажущаяся глубина, если смотреть сверху?
83. Какова кажущаяся глубина, на которой находится под
поверхностью льда крупинка угля, вмерзшая в него на глубине
2,62 см, если смотреть перпендикулярно к этой поверхности?
ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ 268
84. На нижнюю грань плоскопараллельной пластины нане-
нанесена царапина. Наблюдатель, глядя сверху, видит царапину на
расстоянии 4 см от верхней грани пластинки. Какова толщина
пластинки? Показатель преломления стекла взять равным 1,5.
85. Какова истинная глубина водоема, если камень, лежа-
лежащий на дне его, при рассматривании вдоль вертикали сверху,
кажется находящимся на расстоянии 1,5 м от поверхности воды?
86. Какова истинная глубина реки, если при определении
на глаз по вертикальному направлению глубина ее кажется
равной 2 м?
87. Светящуюся точку, находящуюся в среде с показателем
преломления 1,57, рассматривают из среды с показателем пре-
ломления 1,33. Каким будет кажущееся расстояние точки от
границы раздела двух сред, если сама точка находится от этой
границы на расстоянии 3,14 м? Считайте, что к глазу идут лучи
с малыми углами падения на границу раздела.
88. Наблюдатель находится в воде на глубине 40 см и видит,
что над ним висит лампа, расстояние до которой по его наблю-
наблюдениям равно 2,4 м. Определите истинное расстояние от лампы
до поверхности воды.
89. На расстоянии 1,5 м от поверхности воды в воздухе
находится точечный источник света. На каком расстоянии от
поверхности воды получится изображение этого источника для
наблюдателя, находящегося в воде?
90*. Наблюдатель, стоящий у края бассейна, смотрит на бро-
брошенную в бассейн монету, находящуюся на дне. Глубина бассейна
Н. На каком расстоянии от поверхности воды человек увидит
изображение монеты, если луч зрения составляет с вертикалью
угол /3.
91*. На дне стеклянной ванночки лежит зеркало, поверх ко-
которого налит слой воды высотой 20 см. На высоте 30 см над
поверхностью воды висит лампа. На каком расстоянии от по-
поверхности зеркала смотрящий в воду наблюдатель будет видеть
изображение лампы в зеркале?
92*. На поверхности озера плавает круглый непрозрачный
для света диск, радиус которого R. Глубина озера Н. Определите
радиус тени от диска на дне озера при освещении воды рассеян™
ным светом.
264
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
93. На рис. VIII.96 (а-е) определите, какое из двух про-
прозрачных веществ (первое или второе) является оптически более
плотным.
¦¦I--?-
Рис. VIII.96
94. Луч света переходит из воздуха в пластину из льда под
углом 45° и преломляется в ней под углом 30°. Определите
показатель преломления и предельный угол полного внутреннего
отражения для льда.
95. Луч света падает на границу раздела стекла с показа-
показателем преломления 1,57 и воды. Определите предельный угол
полного внутреннего отражения.
96. Определите предельный угол полного внутреннего отра-
отражения для воды, стекла, алмаза.
97. Луч света идет из скипидара в воздух. Предельный угол
полного внутреннего отражения в этом случае равен 42°. Опре™
делите скорость света в скипидаре.
98. Предельный угол полного внутреннего отражения плек™
сигласа равен 42°. Определите скорость света в плексигласе.
99. Найдите предельный угол полного внутреннего отраже-
отражения кедрового масла на границе с воздухом, если свет в кедровом
масле распространяется со скоростью 2 • 108 м/с.
100. Выйдет ли световой луч из воды в воздух, если угол
падения равен 45°? 50°?
101. Предельный угол полного отражения для спирта равен
47°. Найдите показатель преломления спирта.
ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
265
102. На дне водоема глубиной Н находится точечный источ-
источник света. На поверхности воды плавает круглый непрозрачный
диск так, что его центр находится над источником. Какова долж-
на быть минимальная площадь этого диска, чтобы с вертолета
нельзя было обнаружить источник света?
103. На какой глубине под водой находится водолаз, если он
видит отраженными от поверхности воды те части горизонталь-
горизонтального дна, которые расположены от него на расстоянии 15 м и
дальше? Рост водолаза равен 1,5 м.
104. Из центра плота, имеющего квадратную форму, в воду
на глубину 10 м опущена электрическая лампочка. Какой мини-
минимальной длины должна быть сторона плота, чтобы ни один луч
от лампочки не мог пройти через поверхность воды?
105. Постройте ход лучей через плоскопараллельную пла-
пластинку в случаях, показанных на рис. VIII.97.
# # # ;
6 Стекло^
Воздух
Стекле/
Воздух
Лёд;
/" ^ Стекло^ ^ Ж
а б в
Рис. VIII.97
106. Плоскопараллельная пластинка толщиной d с показа™
телем преломления п^ находится в среде с показателем прелом™
ления п\ {п\ < П2). Угол падения луча света на пластинку — а\.
Покажите, что луч, вышедший из пластинки, параллелен падаю-
падающему. Каково боковое смещение луча, вышедшего из пластинки?
107. Определите смещение луча света при прохождении че-
через стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной 10 см,
если угол падения равен 70°. Показатель преломления стекла 1,5.
108. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную
пластинку с показателем преломления 1,5 под углом 60°. Какова
толщина пластинки, если при выходе из нее луч сместился на
10 мм?
109. Толщина плоскопараллельной пластинки равна 4,5 см,
показатель ее преломления — 1,7. Определите смещение луча
света, падающего на пластинку под углом 50°.
266
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
110. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную
пластинку под углом 53°. Вышедший из пластинки луч оказался
смещенным относительно продолжения падающего луча на рас™
стояние 2 см. Каков показатель преломления пластинки, если ее
толщина равна 4 см?
111. Две плоскопараллельные пластинки толщиной 16 и
24 мм сложены вплотную. Первая сделана из кронгласа с показа™
те л ем преломления 1,5, а вторая — из флинтгласа с показателем
преломления 1,8. На поверхность одной из них падает луч света
под углом 48°. Определите, насколько сместится этот луч после
выхода из пластинок в воздух.
112. Постройте ход луча через треугольную призму в слу-
случаях, показанных на рис. VIII.98. Угол полного внутреннего
отражения стекла призмы равен 42°.
Воздух
Воздух
Воздух
Воздух
Рис. VIII.98
113. На стеклянную призму с преломляющим углом 45° па™
дает луч света и выходит из нее под углом 30°. Найдите угол
падения луча на призму.
114. Сечение стеклянной призмы (стекло — легкий крон)
имеет форму равностороннего треугольника. Луч падает на одну
из граней перпендикулярно к ней. Найдите угол между падаю™
щим лучом и лучом, вышедшим из призмы.
ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ 267
115. Луч света входит в стеклянную призму под углом 30° и
выходит из призмы в воздух под углом 60°, отклоняясь от своего
первоначального направления на угол 45°. Найдите преломляю-
щий угол призмы.
116. Луч света падает нормально на боковую поверхность
призмы, преломляющий угол которой равен 30°. Показатель пре™
ломления вещества призмы равен 1,4. Найдите, на какой угол
отклоняется луч света от первоначального направления.
117. На призму с показателем преломления 1,6 падает луч
света под углом 50°. Преломляющий угол призмы равен 60°. Под
каким углом преломления луч выйдет из призмы?
118*. Луч света входит в стеклянную призму под углом 2а
и выходит под углом а. Преломляющий угол призмы равен
а/2. Определите угол отклонения луча от его первоначального
направления и показатель преломления материала призмы.
119. Луч света падает на трехгранную призму под углом
40°. Преломляющий угол призмы 30°, а показатель преломления
стекла, из которого изготовлена призма, равен 1,6. Под каким
углом луч выйдет из призмы и каков его угол отклонения от
первоначального направления?
120. Монохроматический луч падает на вертикальную грань
прямоугольной призмы, преломляющий угол которой 30°. Пока-
Показатель преломления стекла призмы 1,6. Найдите угол отклонения
луча от первоначального направления, если луч падает перпен-
перпендикулярно грани призмы.
121. На призму с преломляющим углом 40° падает луч под
углом 30°. Определите, на какой угол сместится луч после выхода
из призмы, если показатель преломления ее вещества 1,5.
122. На стеклянную призму с преломляющим углом 30° па-
падает луч света, который внутри призмы идет параллельно ее
основанию. Определите угол смещения луча, если призма рав-
равнобедренная, а показатель преломления вещества призмы 1,6.
123. У призмы с преломляющим углом 45° показатель пре-
преломления стекла равен 1,6. Каким должен быть наибольший
угол падения луча на грань призмы, чтобы при выходе луча из
призмы наступило полное внутреннее отражение?
124. Луч падает перпендикулярно к грани равнобедренной
призмы. Какой наименьший преломляющий угол должна иметь
268
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
призма, чтобы наблюдалось полное отражение от противопо-
противоположной грани призмы. Показатель преломления стекла призмы
принять равным 1,6.
Собирающие и рассеивающие линзы
125. На рис. VIII.99 MN — главная оптическая ось тонкой
линзы, а точка А\ — изображение точки А. Определите, где
расположена линза и положение ее фокусов. Какая это линза?
А а М
М ¦
N
М
N
Рис. VIII.99
Рис. VIII.100
So О
126. На рис. VIII. 100 МN — главная оптическая ось линзы,
АВ - предмет, А\В\ — его изображение. Определите построением
положение оптического центра линзы и ее фокуса. Какая это
линза?
а % ж 127. На рис. VIII. 101 а, 5 показано
L положение главной оптической оси
линзы, оптического центра О, светя-
щейся точки Sq и ее изображения S\.
Определите положение фокусов линзы
в обоих случаях.
128. Как пойдут лучи после преломления линзой (рис.
VHI.102a, б)?
о Sl
Рис. VIII.101
Рис. VIII.103
Рис. VIII.102
129. На рис. VIII. 103 показан ход луча
1. Как идет луч 21
130. Перед двояковыпуклой линзой
с фокусным расстоянием 1 м находится
предмет высотой 2 м на расстоянии 3 м от
линзы. Определите, на каком расстоянии
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 269
от линзы находится изображение предмета, линейное увеличение
линзы, размер изображения предмета и оптическую силу линзы.
Постройте схему хода лучей от предмета до изображения и ука™
жите, какое изображение дает линза.
131. Перед линзой, оптическая сила которой +2,5 дптр, на
расстоянии 30 см находится предмет высотой 20 см. Определите,
на каком расстоянии от линзы надо поместить экран и каков
будет размер изображения.
132. Изображение предмета, помещенного перед собираю-
собирающей линзой на расстоянии 40 см, получено по другую сторону
линзы в натуральную величину. Определите линейное увели-
увеличение линзы, расстояние от линзы до изображения предмета,
фокусное расстояние и оптическую силу линзы. Постройте ход
лучей от предмета до изображения и укажите, каким оно будет.
133. На каком расстоянии от собирающей линзы надо распо-
расположить предмет, чтобы его изображение получилось на двойном
фокусном расстоянии от линзы? Чему равно в этом случае уве-
увеличение?
134. Перед двояковыпуклой линзой, оптическая сила которой
+2,5 дптр, на расстоянии 30 см находится предмет высотой 20 см.
Определите фокусное расстояние линзы, расстояние от линзы
до изображения предмета, линейное увеличение линзы, высоту
изображения предмета и укажите, какое изображение дает линза.
135. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным
расстоянием 20 см получится изображение предмета, если сам
предмет находится от линзы на расстоянии 15 см?
136. Предмет находится на расстоянии 12,5 см от собираю-
собирающей линзы, оптическая сила которой равна 10 дптр. На каком
расстоянии от линзы получится изображение и каким оно будет?
137. При помощи собирающей линзы с фокусным расстояни™
ем 6 см получают мнимое изображение предмета на расстоянии
18 см от линзы. Найдите расстояние от предмета до линзы.
138. Собирающая линза дает действительное увеличенное в
2 раза изображение предмета. Определите фокусное расстояние
линзы, если расстояние между линзой и изображением 24 см.
139. Изображение предмета, поставленного на расстоянии
40 см от собирающей линзы, получилось увеличенным в 1,5 раза.
Каково фокусное расстояние линзы?
270 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
140. Каково фокусное расстояние и оптическая сила собира-
собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещен™
ного перед ней на расстоянии 40 см? Расстояние от линзы до
изображения равно 1,2 м.
141. Как надо поместить собирающую линзу с фокусным
расстоянием 13 см, предмет и экран, чтобы получить пятикрат-
пятикратное увеличение?
142. Собирающая линза, расположенная на расстоянии 4 см
от предмета, дает мнимое, увеличенное в пять раз, изображение
предмета. Какова оптическая сила линзы?
143. Расстояние между лампой и экраном 3,2 м. Определите,
на каком расстоянии от лампы надо установить линзу, чтобы
получить четкое изображение лампы, увеличенное в 3 раза.
144. Расстояние между лампочкой и экраном равно 1 м. На
каком расстоянии от лампочки нужно поместить линзу с фокус™
ным расстоянием 9 см, чтобы на экране получилось ее четкое
изображение?
145. Расстояние от предмета до экрана равно 90 см. Где надо
поместить между ними линзу с фокусным расстоянием 20 см,
чтобы получить на экране изображение предмета?
146. Расстояние от предмета до экрана равно 3 м. Какой
оптической силы надо взять линзу и где ее следует поместить,
чтобы получить изображение предмета, увеличенное в пять раз?
147. Фокусное расстояние собирающей линзы равно 30 см,
расстояние предмета от фокуса 10 см, линейные размеры пред-
предмета 5 см. Определите размеры изображения.
148. Предмет находится на расстоянии а от переднего фо™
куса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое
изображение предмета, расположен за задним фокусом линзы
на расстоянии b от него. Найдите оптическую силу линзы и
увеличение предмета.
149. Определите фокусное расстояние линзы, если предмет
расположен перед ней на расстоянии 10 см от переднего фокуса, а
изображение находится за линзой на расстоянии 55 см от заднего
фокуса.
150. Найдите фокусное расстояние линзы, если светящаяся
точка и ее изображение лежат на главной оптической оси на
расстояниях, больших фокусного на 16 и 100 см, соответственно.
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 271
151. Расстояние от лампочки до экрана равно 2 м. Опреде-
Определите фокусное расстояние линзы, помещенной между лампочкой
и экраном, если резкое изображение лампы получается при двух
положениях линзы, расстояние между которыми 1,2 м.
152. Изображение, которое дает собирающая линза, в 5 раз
больше предмета. Если же передвинуть линзу на 2 см ближе
к предмету, то изображение, оставаясь действительным, станет
больше предмета в 7 раз. Найдите фокусное расстояние линзы.
153. С помощью собирающей линзы получено действитель™
ное изображение предмета с увеличением 5. Если предмет пере™
местить на некоторое расстояние вдоль оптической оси, изобра™
жение переместится вдоль оптической оси на это же расстояние.
Найдите увеличение при новом положении предмета.
154. Точечный предмет движется по дуге окружности со
скоростью 3 см/с вокруг оси собирающей линзы в плоскости,
перпендикулярной оси и отстоящей от линзы на расстоянии, в
полтора раза большем фокусного. В каком направлении и с какой
скоростью движется изображение точки?
155. Светящаяся точка описывает окружность радиусом г в
плоскости, перпендикулярной главной оптической оси собираю-
собирающей линзы с оптической силой D, а ее изображение описывает на
экране окружность радиусом R. На каком расстоянии от линзы
находится экран?
156. Собирающая линза дает на экране четкое изображение
предмета, которое в 2 раза больше этого предмета. Расстояние от
предмета до линзы на 6 см превышает ее фокусное расстояние.
Найдите расстояние от линзы до экрана.
157. Изображение предмета в собирающей линзе с расстоя™
ния 15 м получилось высотой 30 мм, а с расстояния 9 м — высотой
56 мм. Найдите фокусное расстояние линзы.
158. Предмет находится на расстоянии 1,5 м от экрана, на
котором с помощью собирающей линзы получается увеличенное
изображение размером 18 мм. Затем экран отодвигают на 3 м
и снова получают увеличенное изображение размером 96 мм.
Определите размер предмета и фокусное расстояние линзы.
159. Предмет расположен на расстоянии 1,6^ от линзы. Его
приблизили к линзе на 0,8F. Насколько при этом переместилось
изображение предмета, если оптическая сила линзы 2,5 дптр?
272 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
160. Предмет находится на расстоянии 90 см от экрана.
Между предметом и экраном перемещают линзу, причем при
одном положении линзы получается увеличенное изображение
предмета, при другом — уменьшенное. Найдите фокусное рас-
расстояние линзы, если линейные размеры первого изображения в 4
раза больше размеров второго.
161*. Расстояние между двумя точечными источниками све™
та 24 см. Где между ними надо поместить собирающую линзу с
фокусным расстоянием 9 см, чтобы изображение обоих источни-
источников получилось в одной и той же точке?
162. Фокусное расстояние собирающей линзы равно ОД м,
расстояние предмета от фокуса — 5 см, линейные размеры пред™
мета — 2 см. Определите высоту изображения. Рассмотрите два
случая.
163. На собирающую линзу падает сходящийся пучок лучей.
После преломления в линзе лучи пересекаются на главной опти™
ческой оси в точке, отстоящей от линзы на расстоянии 20 см.
Если линзу убрать, то точка пересечения лучей перемещается на
расстояние 5 см. Чему равно фокусное расстояние линзы?
164. Отрезок длиной I расположен на главной оптической
оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Се-
Середина отрезка расположена на расстоянии а от оптического
центра линзы. Определите продольное увеличение отрезка, если
линза дает действительное изображение всех его точек.
165. Вдоль оптической оси тонкой собирающей линзы с фо™
кусным расстоянием 12 см расположен предмет, один конец ко™
торого расположен на расстоянии 17,9 см от линзы, а другой —
на расстоянии 18,1 см. Определите увеличение изображения.
166*. На дне бассейна лежит предмет. На расстоянии h =
= 20 см от поверхности воды над предметом параллельно поверх™
ности воды помещена собирающая линза с фокусным расстояни-
расстоянием F = 10 см. На расстоянии / = 12,5 см от линзы находится
изображение предмета. Определите глубину бассейна Н. Углы
падения лучей считайте малыми.
167. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси,
падает на двояковыпуклую линзу, главное фокусное расстояние
которой 12 см. На расстоянии 14 см от первой линзы расположена
вторая двояковыпуклая линза с главным фокусным расстоянием
2 см. Главные оптические оси линз совпадают. Где получится
изображение? Какова оптическая сила этой системы линз?
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 278
168. Оптическая система состоит из двух собирающих линз
с фокусным расстоянием 12 и 6 см, главные оптические оси их
совпадают. Расстояние между линзами равно 40 см. Перед первой
линзой на расстоянии 20 см находится объект. Определите, на
каком расстоянии от оптического центра второй линзы будет
изображение и какое оно?
169. Две собирающие линзы с фокусным расстоянием 40
и 80 см установлены на расстоянии 20 см друг от друга так,
что их главные оптические оси совпадают. Предмет помещен
на расстоянии 60 см от первой линзы. Где будет находиться
его изображение? Что будет происходить с изображением, если
линзы сдвигать? раздвигать?
170. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями 8
и 4 см расположены на расстоянии 10 см так, что их главные
оптические оси совпадают. На первую линзу падают лучи, парал-
параллельные главной оптической оси. Где получится изображение?
171. Оптическая система состоит из двух собирающих линз с
фокусными расстояниями 10 и 5 см, находящихся на расстоянии
35 см одна от другой. Предмет высотой 8 см расположен на
расстоянии 25 см от первой линзы. Определите размер и распо-
расположение изображения, полученного с помощью такой системы.
172*. Две собирающие линзы, фокусные расстояния которых
равны 3 см и 7 см, находятся на расстоянии 15 см друг от
друга так, что их оптические оси совпадают. Найдите фокусное
расстояние этой системы линз.
173*. Две одинаковые собирающие линзы имеют общую глав™
ную оптическую ось и расположены на расстоянии 10 см. Фо-
Фокусное расстояние этой системы линз равно 12 см. Чему равно
фокусное расстояние каждой из линз?
174*. Светящаяся точка находится на главной оптической
оси собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно 3 см,
на расстоянии 4 см от ее оптического центра. На расстоянии 3 см
от первой линзы находится вторая, такой же оптической силы.
Оптические оси линз совпадают. Где получится изображение
светящейся точки?
175. Две тонкие собирающие линзы с фокусными расстояни-
расстояниями 0,2 м и 0,15 м размещены так, что их главные оптические оси
совпадают. Линзы раздвинуты на расстояние 5 см друг друга. На
расстоянии 0,15 м от первой линзы находится предмет, располо-
18 СВ. Трубецкова
274
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
женный перпендикулярно оптической оси. Определите построе-
построением и рассчитайте расположение и тип изображения.
176. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями F\
и F2 расположены на расстоянии L друг от друга. На каком
расстоянии от первой линзы надо расположить предмет, чтобы
получить прямое изображение в натуральную величину?
177*. Точечный источник света находится на двойном фо-
фокусном расстоянии от собирающей линзы на главной оптической
оси. Плоское зеркало расположено на таком расстоянии за лин-
линзой, что лучи, отразившись от зеркала, вторично проходят через
линзу и идут параллельным пучком. Найдите диаметр пучка,
если диаметр линзы равен L.
178*. Точечный источник света расположен на главной оп™
тической оси тонкой двояковыпуклой линзы с оптической силой
D на расстоянии d от нее. На какое расстояние сместится изоб-
изображение источника, если между линзой и источником поместить
плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной I и пока™
зателем преломления п. Считайте углы падения и преломления
лучей при прохождении через пластину малыми.
-N
Рис. VIII.104
Рис. VIII.105
179. На рис. VIII. 104 показано положение главной оптиче-
оптической оси МN, светящейся точки 8д и ее изображения S±. Опре™
делите положение линзы и ее фокусов. Какая это линза?
180. На рис. VIII. 105 изображен ход луча 1. Как пойдет луч
21
А 181. На рис. VHI.106 MN —
главная оптическая ось линзы, А В —
предмет, А\В\ — изображение пред™
мета. Определите построением поло-
положение оптического центра и фокусов
линзы. Какая это линза?
М-
В Вг
Рис. VIII.106
-N
182. Линза с фокусным расстоя-
расстоянием 0,3 м дает уменьшенное в 3,3 раза мнимое изображение
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 275
предмета. Какая это линза — собирающая или рассеивающая?
Где находится предмет и его изображение относительно линзы?
183. Предмет высотой 4 м находится на расстоянии 6 м от
оптического центра двояковогнутой линзы с фокусным расстоя™
нием 2 м. Определите, на каком расстоянии от линзы находится
изображение предмета, оптическую силу линзы, линейное уве-
увеличение линзы, высоту изображения предмета. Постройте схему
хода лучей от предмета до изображения и укажите, какое изоб-
изображение дает линза.
184. Определите оптическую силу рассеивающей линзы,
если известно, что предмет, помещенный перед ней на расстоянии
40 см, дает мнимое изображение, уменьшенное в 4 раза.
185. Рассеивающая линза дает уменьшенное в 5 раз изобра™
жение предмета, расположенного перед ней на расстоянии 1 м.
Определите фокусное расстояние и оптическую силу линзы.
Постройте схему хода лучей от предмета до изображения.
186. Определите высоту изображения, которое даст рассе-
рассеивающая линза с фокусным расстоянием 20 см, если предмет
высотой 60 см находится перед линзой на расстоянии 1 м.
187. Предмет находится на расстоянии 12 см от двояково-
двояковогнутой линзы с фокусным расстоянием 10 см. Определите рас-
расстояние от линзы до изображения.
188. На каком расстоянии перед рассеивающей линзой с оп-
оптической силой D = S дптр надо поставить предмет, чтобы его
мнимое изображение получилось посередине между линзой и ее
мнимым фокусом?
189. Определите оптическую силу рассеивающей линзы,
если предмет, помещенный перед ней на расстоянии 40 см, дает
изображение, уменьшенное в 4 раза.
190. Найдите оптическую силу рассеивающей линзы, если
предмет расположен перед ней на расстоянии 40 см, а изображе™
ние находится на 24 см ближе к линзе, чем предмет.
191. Какое изображение и где дает линза с оптической силой
D = ^3 дптр, если предмет высотой 10 см расположен от нее на
расстоянии 50 см?
192*. Рассеивающая линза дает уменьшенное в два раза изоб-
изображение предмета. Если предмет отодвинуть на 100 см от линзы,
изображение уменьшится втрое. Определите фокусное расстоя™
ние линзы.
18*
276 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
193. На рассеивающую линзу падает сходящийся пучок лу-
лучей. После прохождения через линзу лучи пересекаются в точке,
лежащей на расстоянии 15 см от линзы. Если линзу убрать, то
точка пересечения переместится на 5 см ближе к тому месту, где
была линза. Определите оптическую силу линзы.
194. Пучок сходящихся лучей падает на линзу с оптической
силой D = ^2,5 дптр. После линзы лучи идут расходящимся
пучком так, что их продолжения сходятся на главной оптической
оси по другую сторону линзы на расстоянии 150 см от нее.
Определите, где соберутся эти лучи, если убрать линзу.
195. Сходящийся пучок лучей
имеет вид конуса с вершиной в точ-
точке S (рис. VIII. 107). Когда на пу~
ти лучей поставили рассеивающую
линзу, сходящийся пучок превра™
тился в расходящийся с вершиной
в точке S\. Определите фокусное
Рис. VIII. 107 расстояние линзы, если известно,
что точки S и S\ находятся на главной оптической оси линзы,
расстояние между ними равно 30 см и оптический центр линзы
делит отрезок S±S в отношении 2:3.
196. На экран с круглым отверстием радиусом 10 см падает
сходящийся пучок света. Угол между крайним лучом и осью
симметрии равен 30°. Определите точку, в которой будут схо-
сходиться лучи, если в отверстие вставляется: а) собирающая линза
с оптической силой D = +10 дптр; б) рассеивающая линза с
оптической силой D = —10 дптр.
197. Сходящийся пучок лучей падает на рассеивающую лин™
зу так, что продолжения всех лучей пересекаются в точке, лежа-
лежащей на главной оптической оси линзы на расстоянии 15 см от нее.
Найдите фокусное расстояние линзы, если продолжения прелом™
ленных лучей пересекаются в точке, находящейся за линзой на
расстоянии 60 см от нее.
198. Если точечный источник света поместить на расстоянии
d от рассеивающей линзы диаметром ?)q, вставленной в оправу,
то на экране, находящемся на расстоянии I за линзой, получится
светлое пятно диаметром D\. Каков будет диаметр пятна на
экране, если источник поместить в фокусе линзы?
199. Предмет, поставленный перпендикулярно главной опти™
ческой оси двояковогнутой сферической линзы, дал изображение,
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 277
размеры которого в 2 раза меньше предмета. Если предмет ото™
двинуть на 100 см от линзы, изображение уменьшится втрое.
Где находился предмет вначале и каково фокусное расстояние
линзы?
200. Тонкая линза создает прямое изображение предмета с
увеличением Гх = 2/3. Каким станет увеличение Г2, если, не
изменяя расстояния между предметом и линзой, заменить линзу
на другую, причем D<i = —D\.
201. Рассеивающая линза с фокусным расстоянием 12 см
расположена между двумя точечными источниками так, что к
одному из них она находится вдвое ближе, чем к другому. Рас-
Расстояние между изображениями источников получилось равным
7,8 см. Найдите расстояние между источниками света.
202. Цилиндрический пучок лучей диаметром 5 см падает на
рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси. По-
После прохождения линзы пучок дает на экране пятно диаметром
7 см. Каков будет диаметр светлого пятна, если рассеивающую
линзу заменить собирающей с тем же фокусным расстоянием?
203*. Собирающая линза дает четкое изображение предмета
на экране. Между линзой и экраном на расстоянии 15 см от экра™
на помещают рассеивающую линзу. Вследствие этого изображение
удаляется и оказывается на расстоянии 25 см от рассеивающей
линзы. Чему равно фокусное расстояние рассеивающей линзы?
204. Собирающая линза с оптической силой 2 дптр и рас™
свивающая линза с оптической силой —1,5 дптр расположены
на расстоянии 40 см друг от друга и имеют общую главную
оптическую ось. Перед собирающей линзой на расстоянии 4 м от
нее находится предмет высотой 20 см. Определите, где и какое
изображение дадут эти линзы.
205. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными рас™
стояниями по 20 см каждая находятся на расстоянии 25 см друг
от друга. На каком расстоянии от собирающей линзы надо рас-
расположить на главной оптической оси точечный источник света,
чтобы система дала параллельный пучок лучей?
206. Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными рас-
расстояниями 8 см и 10 см находятся на расстоянии 6 см друг
от друга. На каком расстоянии от рассеивающей линзы надо
поместить на главной оптической оси точечный источник света,
чтобы система дала параллельный пучок лучей?
278 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
207. Точечный источник света помещен на оптической оси
собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см на расстоянии
0,5 м от нее. По другую сторону линзы в ее фокальной плоскости
помещена рассеивающая линза. Какой должна быть величина
фокусного расстояния рассеивающей линзы, чтобы мнимое изоб™
ражение в ней источника совпало с самим источником?
208*. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием
40 см сложена вплотную с тонкой рассеивающей линзой, фокус™
ное расстояние которой 50 см, так что их главные оптические оси
совпадают. Определите место расположения предмета, если его
изображение находится на расстоянии 0,5 м от линз.
209. Источник света находится на расстоянии 30 см от со-
собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. По другую
сторону линзы на расстоянии 40 см расположена рассеивающая
линза с фокусным расстоянием 12 см. Где находится изображение
источника?
210. Три линзы с фокусными расстояниями F, F и ™F
расположены на одной оси друг за другом так, что расстояние
между ними равны F. Источник света находится на расстоя™
нии 2F перед собирающей линзой. Найдите, где находится его
изображение. Где будет находиться изображение, если предмет
поместить на расстоянии 2F от рассеивающей линзы? Каков
будет ответ, если рассеивающая линза будет находиться между
собирающими?
211. Из трех линз, расположенных вплотную друг к другу,
составлена плоскопараллельная пластинка. Причем оптическая
сила системы первой и второй линз равна 5 дптр, системы второй
и третьей 4 дптр. Найдите фокусные расстояния каждой из трех
линз.
212. Объектив состоит из трех тонких контактирующих линз
с фокусными расстояниями 12,5 см, —10 см и 5 см. Определите
фокусное расстояние объектива.
213. Какое увеличение даст лупа с фокусным расстоянием
7,5 см, если глаз аккомодирован на бесконечность?
214. Лупа дает 8™кратное увеличение при аккомодации на
расстояние наилучшего зрения. Найдите фокусное расстояние
лупы и ее оптическую силу.
215. Лупа дает 6-кратное увеличение при аккомодации глаза
на расстояние наилучшего зрения. Определите величину фокус™
ного расстояния лупы и ее оптическую силу.
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 279
216. Фокусное расстояние объектива проекционного фонаря
25 см. Какое увеличение дает фонарь, если экран удален от
объектива на расстояние 2 м?
217. Диапозитив имеет размер 64 см2. Определите фокусное
расстояние объектива проекционного аппарата, если на экране,
отстоящем от него на расстоянии 4 м, получается изображение
размером 4 м2?
218. На экран проецируют диапозитив, причем площадь
изображения в 100 раз больше площади диапозитива. Расстояние
от диапозитива до объектива проекционного аппарата 25 см.
Определите фокусное расстояние объектива и расстояние от объ™
ектива до экрана.
219. На каком расстоянии от объектива проекционного аппа-
аппарата нужно поместить экран, чтобы изображение на экране было
в 50 раз больше предмета на диапозитиве? Фокусное расстояние
объектива равно 0,1 м.
220. На экране, отстоящем от объектива с оптической силой
5 дптр на расстоянии 4 м, получено четкое изображение диапо™
зитива. Экран отодвигают на 20 см. Насколько надо переместить
объектив относительно диапозитива, чтобы восстановить четкое
изображение?
221. Определите оптическую силу объектива проекционного
фонаря, если он дает 24~кратное увеличение, когда диапозитив
помещен на расстоянии 20,8 см от объектива.
222. Какое увеличение дает проекционный фонарь, если его
объектив с главным фокусным расстоянием 18 см расположен на
расстоянии 6 м от экрана?
223. При помощи проекционного фонаря, имеющего объек-
объектив с фокусным расстоянием 20 см, проецируют слайд размером
9 х 12 см2 на экран размером 3x4 м2. На каком расстоянии от
экрана следует поставить проекционный фонарь, чтобы изобра™
жение полностью уместилось на экране?
224. Объектив кинопроекционного аппарата имеет фокусное
расстояние 5 см. Размер кадра на пленке 18 х 24 мм2. Изобра-
Изображение кадра проецируется на экран размером 100 х 120 см2. На
каком расстоянии от экрана надо расположить аппарат, чтобы
на экране получить максимальный размер изображения всего
кадра? Какая часть экрана по площади будет при этом занята
изображением?
280 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
225. Лупа дает увеличенное в 5 раз изображение предме-
предмета, лежащего вблизи ее фокальной плоскости. Эту лупу хотят
использовать в качестве объектива проекционного фонаря. На
каком расстоянии от объектива должен располагаться диапо-
диапозитив, чтобы на экране получилось его увеличенное в 10 раз
изображение?
226. С какого наименьшего расстояния можно сфотографи™
ровать здание длиной 100 м и высотой 60 м, если фокусное рас™
стояние объектива 50 мм, а размер кадра на пленке 24мм х 36мм?
227. При фотографировании с расстояния 200 м высота де-
рева на негативе оказалась равной 5 мм. Какова действительная
высота дерева, если фокусное расстояние объектива 50 мм?
228. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние
50 мм. На каком расстоянии от объектива должен быть помещен
предмет, чтобы снимок получился в 1/9 натуральной величины?
229. Изображение предмета на матовом стекле фотоаппара-
фотоаппарата с расстояния 15 м получилось высотой 60,6 мм, а с расстояния
9 м — высотой 101,6 мм. Найдите фокусное расстояние объек-
объектива.
230. С высоты одного километра сфотографирована река.
Какова ширина реки, если на снимке она равна 8 см? Оптическая
сила объектива фотоаппарата равна 12,5 дптр.
231. На снимке, сделанном камерой с фотообъективом, фо™
кусное расстояние которого 13,5 см, при длине камеры 15 см,
получилось изображение предмета размером 2 см. Каков дей™
ствительный размер предмета?
232. Фотоаппаратом с фокусным расстоянием объектива
5 см фотографировали далекие предметы, а затем фотографи™
ровали предмет на максимально близком для данного аппарата
расстоянии — 65 см. Насколько при этом пришлось выдвинуть
вперед объектив?
233. Насколько нужно изменить расстояние между объекти-
объективом фотоаппарата и пластинкой при переходе от съемки очень
удаленных предметов к съемке объекта, расположенного на рас™
стоянии 2 м от объектива, если главное фокусное расстояние
объектива равно 13,5 см?
234. О помощью фотоаппарата, размеры кадра которого
24 х 36 мм2, а фокусное расстояние объектива равно 0,05 м,
производится фотографирование человека, рост которого 1,8 м.
СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ 281
На каком минимальном расстоянии надо установить аппарат,
чтобы на снимке человек получился во весь рост?
235. Объектив фотоаппарата состоит из сложенных вплот-
вплотную двух линз, оптические силы которых равны 2 дптр и 3 дптр.
С какого расстояния сфотографирован дом, если его высота 6 м,
а высота изображения дома на негативе 0,12 м?
236. Физкультурник бежит со скоростью 8 м/с на рассто-
расстоянии 15 м от фотоаппарата перпендикулярно к направлению
съемки. При съемке используют выдержку 0,01 с, фокусное рас™
стояние объектива фотоаппарата 5 см. Какова будет на пленке
ширина размытости изображения?
237. Предмет находится на расстоянии 18 см от объектива
фотоаппарата с фокусным расстоянием 15 см. Определите фо-
фокусное расстояние линзы, которую надо приложить вплотную к
объективу, чтобы получить четкое изображение предмета на фо™
топленке. Объектив расположен на расстоянии 30 см от пленки.
238. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние
50 мм. С какой выдержкой надо снять автомобиль, находящийся
на расстоянии 2 км от фотоаппарата и движущегося равномерно
со скоростью 72 км/ч перпендикулярно оптической оси объекти-
объектива, чтобы его изображение на снимке переместилось за это время
на расстояние 0,005 мм?
239. Какую выдержку надо делать, фотографируя погру™
жение спортсмена в воду при прыжке с вышки высотой 8 м,
если допустимая размытость изображения на негативе не должна
превышать 0,4 мм? Фотоаппарат установлен на расстоянии 10 м
от места погружения, фокусное расстояние объектива 10 см.
240. Имеются два фотоаппарата с фокусными расстояниями
объективов 5 см и 4 см. Какой из этих аппаратов дает более
крупное изображение на фотопленке объекта, фотографируемого
с одного и того же достаточно большого расстояния?
241. О помощью фотоаппарата, дающего снимки размером
24 х 36 мм2, фотографируют здание высотой 210 м. На каком
наименьшем расстоянии надо встать фотографу, чтобы все зда-
ние (по высоте) уместилось на пленке? Фокусное расстояние
объектива равно 5 см.
242. Определите увеличение микроскопа, если главные фо-
фокусные расстояния объектива и окуляра равны 5 мм и 20 мм,
соответственно, оптическая длина тубуса микроскопа 12 см.
282 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
243. Определите увеличение микроскопа, если главное фо-
фокусное расстояние объектива равно 4 мм, главное фокусное рас™
стояние окуляра 15 мм и длина тубуса 12 см.
244. Определите фокусное расстояние окуляра микроско-
микроскопа, если микроскоп дает 900-кратное увеличение, а увеличение
объектива равно 90.
245. Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа
равны 4 мм и 2,5 мм, соответственно. Предмет находится на
расстоянии 0,2 мм от фокуса объектива. Найдите увеличение и
длину тубуса микроскопа.
246. Определите увеличение объектива микроскопа, если
увеличение микроскопа равно 120, а фокусное расстояние оку™
ляра равно 2,5 см.
247. Объектив микроскопа дает 50-кратное увеличение.
Определите фокусное расстояние окуляра, если увеличение
микроскопа равно 500.
248. Оптическая сила глаза при нормальном зрении равна
63 дптр. Какова оптическая сила глаза, если человек носит очки
+5 дптр или ^3 дптр?
249. Какой должна быть оптическая сила и фокусное рассто™
яние очковой линзы, если оптическая сила глаза равна 59 дптр
или 68 дптр? Оптическая сила нормального глаза 63 дптр.
250. Чему равен предел зрения невооруженного глаза дально-
дальнозоркого человека, если, надев очки с оптической силой 2,5 дптр,
человек может отчетливо видеть предметы, находящиеся на
расстоянии не менее 0,2 м?
251. Ближний и дальний пределы аккомодации глаза близо-
близорукого человека равны 10 см и 12,5 см. Каковы будут пределы
аккомодации, если человек наденет очки с оптической силой
—7 дптр.
252. Какой должна быть оптическая сила очков для челове-
человека, расстояние наилучшего зрения которого 0,1 м?
253. Как изменится оптическая сила хрусталика глаза при
переводе взгляда со звезды на книгу, находящуюся на расстоянии
наилучшего зрения?
254. Дальнозоркий глаз аккомодирует, не напрягаясь, на
расстоянии, не меньшем 50 см. Какова должна быть оптическая
сила очков для того, чтобы предел аккомодации был понижен до
20 см, если считать глаз и очки близко расположенными тонкими
линзами?
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 283
255. Максимальное расстояние, на котором близорукий че-
человек достаточно хорошо различает мелкие детали без чрезмер-
чрезмерного утомления глаз, равно 15 см. Какой оптической силы очки
должен надеть такой человек, чтобы ему было удобно читать?
Расстоянием между линзой и глазом пренебречь.
256. Пределы аккомодации глаза у близорукого человека
лежат между 20 и 50 см. Определите, как изменятся эти пределы,
если человек наденет очки с оптической силой ^2 дптр.
257. Пределы аккомодации у близорукого человека лежат
между 10 и 25 см. Как изменятся эти пределы, если человек
оденет очки с оптической силой ^4 дптр?
258. При рассматривании своего лица человеку удобно рас-
располагать плоское зеркало на расстоянии 25 см от лица. Какие
очки вы порекомендуете этому человеку для чтения текста?
259. Человек для чтения текста надевает очки с оптической
силой ^4 дптр. На каком расстоянии ему удобно располагать
плоское зеркало при рассматривании своего лица без очков?
260. Диаметр циферблата часов 12 см. Они находятся на
расстоянии 1,7 м от глаза, главное фокусное расстояние кото-
которого 1,7 см. Определите диаметр изображения циферблата на
сетчатке глаза.
Волновам оптика
261. В опытах Физо по определению скорости света рассто-
расстояние между зубчатым колесом и зеркалом равнялось 8,63 км.
Колесо имело 720 зубцов и столько лее промежутков. Свет исчез в
первый раз при частоте вращения 12,6 об/с. Определите скорость
света в результате этого опыта.
262. В 1875 г. метод Физо был использован французским фи™
зиком Корню, который, значительно увеличив частоту вращения
колеса, зарегистрировал 28 последовательных исчезновений и
появлений света. Какое значение скорости света получил Корню,
если расстояние от колеса до зеркала было 23000 м, число зубцов
— 200, а 28-е появление света наблюдалось при частоте вращения
колеса 914,3 с™1?
263. В опыте Физо по определению скорости света расстоя™
ние между колесом, имеющим 24 зубца, и зеркалом равно 8,6 км.
Найдите частоту вращения колеса при наблюдении первого ие~
чезновения света.
284
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
264. В опытах Майкельсона по определению скорости света
расстояние от восьмигранной зеркальной призмы до отража™
ющих зеркал равно 35,5 км. С какой минимальной частотой
должна вращаться призма, чтобы свет от источника был виден
наблюдателю? Скорость света взять равной 3 • 108 м/с.
265. На рис. VIII. 108 представлен график зависимости на-
напряженности электрического поля световой волны от времени в
некоторой точке пространства. Найдите частоту и длину волны.
О
Ю 12 ?,10 15 с
Рис. VIII.108
Рис. VIII.109
266. На рис. VIII. 109 представлен график зависимости на™
пряженности электрического поля световой волны от расстояния
в заданном направлении (вдоль луча) в некоторый момент вре™
мени. Найдите частоту колебаний.
Е
Е
\J \J
С\
Рис. VIII.110
Рис. VIII.111
267. На рис. VIII. 110 даны графики зависимости напряжен-
напряженности электрического поля световой волны от расстояния, прой™
денного волной за один и тот же промежуток времени в разных
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 285
прозрачных сердах. На каких схемах дано изображение моно-
монохроматической волны одного цвета? Что можно сказать про оп-
оптические плотности веществ, в которых распространяются эти
монохроматические волны? Ответ объясните.
268. На рис. VIII.111 даны графики зависимости напряжен™
ности электрического поля световой волны от расстояния, прой-
пройденного волной за один и тот же промежуток времени в одной
прозрачной среде. На каких схемах дано изображение монохро™
матического света, ближайшего к фиолетовой области спектра?
к красной?
269. Какова длина волны желтого света паров натрия в стек-
стекле с показателем преломления 1,56? Длина волны этого света в
воздухе 589 нм.
270. Длина волны красного света в вакууме 720 нм. Опре-
Определите длину волны красного света в среде, в которой скорость
света равна 200000 км/с.
271. Скорость светового луча в некоторой среде равна
240000 км/с, а длина волны — 8 мкм. Определите величину
показателя преломления и частоту колебаний.
272. Определите длину световой волны, частота колебаний
которой равна 5 • 1014 с^1 в вакууме.
273. Как изменится длина волны при нормальном падении
света на границу раздела воздух — стекло? Показатель прелом-
преломления стекла п, длина волны в воздухе Xq.
274. Световые волны в некоторой жидкости имеют длину
волны 500 км и частоту 4,5-1014 Гц. Определите абсолютный
показатель преломления этой жидкости.
275. Длина волны желтого света в воздухе равна 580 нм, а в
жидкости 400 нм. Определите оптическую плотность жидкости.
276. При переходе лучей из воды в вакуум длина волны их
увеличилась на 0Д2 мкм. Определите длину волны этих лучей в
вакууме и в воде.
277. При переходе световых волн из вакуума в некоторую
прозрачную среду длина волны уменьшилась в 1,31 раз. Какая
это среда?
278. Один аквалангист посылает другому сигнал в воде на
расстояние 20 м с помощью белого света. На какое время на этом
пути красные лучи опередят фиолетовые? Показатель преломле-
преломления красных лучей равен 1,329, фиолетовых — 1,344.
286 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
279. Тонкий луч белого света падает на поверхность воды
под углом 60°. Чему равен угол между направлениями крайних
красных и фиолетовых лучей в воде, если показатели преломле-
преломления их равны, соответственно, 1,329 и 1,344.
280. Луч белого света падает нормально на катет прямо-
прямоугольной призмы, преломляющий угол которой равен 30°. По™
казатели преломления стекла призмы для крайних лучей равны
1,60 и 1,65. Определите угол между красным и фиолетовым
лучами по выходе из призмы.
281. На призму с преломляющим углом 60° падает луч бело-
белого света под углом 45°. Определите угол между крайними лучами
видимого спектра при выходе из призмы, если их показатели
преломления равны 1,624 и 1,671.
282. Разности хода двух интерферирующих волн в вакууме
равны: а) 0; б) 0,2А; в) 0,5А; г) А; д) 1,2А. Чему равны соответ™
ствующие разности фаз?
283. Разности фаз двух интерферирующих волн равны: а)
0; б) тг/3; в) тг/2; г) тг; д) 2тг; е) Зтг. Скольким длинам волн в
вакууме будут соответствовать оптические разности хода этих
лучей?
284. В некоторую точку пространства приходят лучи от ко™
герентных источников, длина волны которых 0,5 мкм, с раз-
разностью хода 0,5 мм. Что будет в этой точке — усиление или
ослабление света?
285. Два луча с длиной волны 0,404 мкм пересекаются в
одной точке. Что будет наблюдаться в этой точке — усиление
или ослабление световой волны, если разность хода лучей равна
17,17 мкм?
286. Два когерентных источника излучают свет длиной вол-
волны 540 нм. Какая будет наблюдаться интерференционная карти-
картина в точке, удаленной от одного источника на 4 м, а от другого
— на 4,27 м?
287. Разность хода двух волн 1,2 мкм. Определите, какие
длины волн в видимом свете (от 800 до 400 нм) будут в результате
интерференции максимально усилены? максимально ослаблены?
288. Разность хода двух когерентных лучей, пересекающих-
пересекающихся в некоторой точке экрана, равна 4,36 мкм. Каков будет резуль-
результат интерференции в этой точке экрана, если длина волны света
равна: а) 670,9 нм; б) 435,8 нм; в) 536,0 нм?
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
287
О
Рис. VIII.112
289. В некоторую точку пространства приходят когерентные
волны красного цвета (Ак = 720 нм), зеленые (А3 = 540 нм) и
фиолетовые (Аф = 400 нм) с оптической разностью хода 4 мкм.
Определите, для каких из данных лучей будет наблюдаться мак-
максимальное усиление света.
290. Разность хода интерферирующих лучей равна 2,5 мкм.
Найдите все длины волн видимого диапазона (от 0,76 до 0,4 мкм),
которые дают в этом случае максимум интерференции.
291. Два когерентных источника посы-
посылают на экран свет длиной волны 550 нм,
дающий на экране интерференционную
картину (рис. VIII. 112). Источники удалены
один от другого на 2,2 мм, а от экрана на
2,2 м. Определите, что будет наблюдаться
на экране в точке О — гашение или усиле-
усиление света.
292. В воде интерферируют когерент-
когерентные волны частотой 5 • 10 Гц. Усилится
или ослабнет свет в точке, если геометриче-
геометрическая разность хода лучей, пересекающихся
в ней, равна 1,8 мкм?
293. В некоторую точку пространства приходят когерент-
когерентные лучи с геометрической разностью хода 1,2 мкм, длина волны
которых в вакууме 600 нм. Определите, что произойдет в этой
точке вследствие интерференции а) в воздухе; б) в воде; в) в
стекле с показателем преломления 1,5.
294. Как изменится ширина полос интерференционной кар-
картины, если измерения производить в воде, сохраняя все осталь-
остальные условия неизменными?
295. На пути луча света перпендикулярно ему поставлена
стеклянная пластинка (п = 1,5) и толщиной 1 мм. Насколько при
этом изменится оптическая длина пути?
296. Два параллельных луча па-
падают на стеклянную призму и выходят
из нее (рис. VIII.113). Определите раз-
разность хода лучей после преломления.
Показатель преломления стекла 1,5.
297. Два монохроматических па-
параллельных луча 1 и 2 с длиной волны
0,6 мкм (рис. VIII. 114) идут на рассто- Рис. VIII.113
288
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
янии h = 2 ем друг от друга. На пути луча 1 поставлена стек-
стеклянная призма с показателем преломления 1,5. Луч 1 проходит
в призме путь 1± = 1 см и, преломляясь, пересекает луч 2 в точке
О на расстоянии l<i = 15 см от вертикального катета призмы.
Найдите разность оптических ну™
тей обоих лучей в точке О. Каков
будет результат интерференции в
этой точке?
298. Найдите четыре наимень-
шие толщины прозрачной пленки,
показатель преломления которой
равен 1,5, чтобы при освещении их
перпендикулярными красными лу™
чами с длиной волны 750 нм они
были видны в отраженном свете
_ л fTTT л л, красными.
Рис. VIII.114 г
299. Какую наименьшую тол-
толщину должна иметь пластинка, сделанная из материала с по™
казателем преломления 1,54, чтобы при ее освещении лучами с
длиной волны 750 нм, перпендикулярными к поверхности пла™
стинки, она в отраженном свете казалась красной? черной?
300. Прозрачная пластинка толщиной 2,4 мкм освещена пер-
перпендикулярными оранжевыми лучами с длиной волны 0,6 мкм.
Будет ли видна эта пластинка в отраженном свете оранжевой,
если оптическая плотность вещества пластинки равна 1,5?
301*. Расстояние между двумя отверстиями в опыте Юнга
равно 0,15 мм. Расстояние от отверстий до экрана, где наблю-
наблюдается интерференционная картина, равно 4,8 м. Расстояние от
центра экрана до точки, где наблюдается одна из интерферен-
интерференционных полос, равно 16 мм. Определите оптическую разность
хода лучей, приходящих в эту точку экрана. Среда — воздух.
302*. В опыте с зеркалами Френеля в зеленом свете (А = 5 х
х 10^7 м) получились интерференционные полосы на расстоянии
5 мм друг от друга. Найдите расстояние между мнимыми изоб™
ражениями источника света, если расстояние от них до экрана
равно 3 м.
303. В установке Юнга расстояние между щелями равно
1,5 мм, а экран расположен на расстоянии 2 м от щелей. Опре-
Определите расстояние между интерференционными полосами на
экране, если длина волны равна 670 нм.
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 289
304. Как и во сколько раз изменится расстояние между
соседними интерференционными полосами на экране в опыте
Юнга, если зеленый светофильтр (Ai = 500 нм) заменить крас™
ным (А2 = 650 нм)?
305. Расстояние между соседними максимумами освещенно™
сти при интерференции равно 1,2 мм. Расстояние между коге-
когерентными источниками равно 1 мм, расстояние от источников
света до экрана ~2м. Найдите длину волны света.
306. Два когерентных источника испускают свет с длиной
волны 600 нм. Определите расстояние между нулевым и первым
максимумом яркости, если расстояние между источниками равно
1 мм, а расстояние от источников до экрана — 4 м.
307. Расстояние между двумя когерентными источниками
света равно 0,5 мм, расстояние до экрана — 5 м. В зеленом свете
интерференционные полосы получились на расстоянии 5 мм друг
от друга. Найдите длину волны зеленого света.
308. Найдите длину волны монохроматического света, если
на экране, удаленном на 2 м от двух мнимых изображений одного
источника света, на каждые 10 мм приходится 4 темные полосы.
Расстояние между мнимыми источниками света равно 0,4 мм.
309. Два когерентных источника с длиной волны 0,5 мкм
находятся на расстоянии 2 мм друг от друга. Параллельно линии,
соединяющей источники, расположен экран на расстоянии 2 м от
них. Определите, какова будет интенсивность в точке на экране,
лежащей на основании перпендикуляра, опущенного из первого
источника.
310. Определите постоянную дифракционной решетки, если
на решетке длиной 2,5 см нанесено 12500 штрихов.
311. На дифракционную решетку с периодом 4 мкм падает
нормально монохроматический свет. При этом максимуму чет™
вертого порядка соответствует отклонение луча от первоначаль™
ного направления на угол 30°. Определите длину волны света.
312. Дифракционная решетка содержит 500 штрихов на
1 мм. На решетку падает свет с длиной волны 500 нм. Под каким
углом виден первый максимум?
313. Длина волны красной линии кадмия равна 643,8 нм.
Каков угол отклонения луча в спектре первого порядка, если
дифракционная решетка имеет 5684 штриха на 1 см?
19 СВ. Трубецкова
290 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
314. Дифракционная решетка содержит 120 штрихов на
1 мм. Найдите длину волны монохроматического света, падаю-
падающего на решетку, если угол между лучами, формирующими два
максимума первого порядка, равен 8°.
315. На дифракционную решетку падает нормально свет.
При этом максимуму второго порядка для линии 0,65 мкм соот-
соответствует угол 45°. Найдите угол, соответствующий максимуму
третьего порядка для линии, 0,5 мкм.
316. Определите длину волны линии в дифракционном спек-
спектре второго порядка, совпадающей с линией спектра третьего
порядка, у которой длина волны 400 нм.
317. Период дифракционной решетки равен 3 мкм. Найдите
наибольший порядок спектра для желтого света — длина волны
580 нм.
318. Найдите наибольший порядок спектра желтой линии
натрия с длиной волны 589 нм, если период дифракционной
решетки равен 2 мкм.
319. Определите, какую наибольшую длину волны можно
наблюдать в спектре дифракционной решетки, имеющей 500
штрихов на 1 мм.
320. Определите наибольший порядок спектра, который мо-
может дать дифракционная решетка, имеющая 500 штрихов на
1 мм, если длина волны падающего света равна 590 мкм. К а™
кую наибольшую длину волны можно наблюдать в спектре этой
решетки?
321. Монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм па-
падает нормально на дифракционную решетку, содержащую 400
штрихов на 1 мм. Найдите число дифракционных максимумов,
которое дает эта решетка.
322. Световая волна длиной 530 нм падает перпендикулярно
на дифракционную решетку, постоянная которой равна 1,8 мкм.
Определите угол дифракции, под которым образуется максимум
наибольшего порядка.
323. При помощи дифракционной решетки с периодом
0,02 мм на экране, находящемся на расстоянии 1,8 м от решетки,
получена дифракционная картина, у которой первый максимум
находится на расстоянии 3,6 см от центрального. Найдите длину
световой волны.
ОТВЕТЫ 291
324. Найдите период дифракционной решетки, если для
света с длиной волны 486 нм получен дифракционный максимум
первого порядка на расстоянии 2,43 см от центрального. Рассто™
яние от решетки до экрана 1 м.
325. Для определения периода решетки на нее направили
свет через красный светофильтр, пропускающий лучи с длиной
волны 0,76 мкм. Каков период решетки, если на экране, отсто™
ящем от решетки на 1 м, расстояние между спектрами первого
порядка равно 15,2 см?
326. Какова ширина всего спектра первого порядка (длины
волн заключены в пределах от 0,38 до 0,76 мкм), полученного на
экране, отстоящем на 3 м от дифракционной решетки с периодом
0,01 мм?
327. Дифракционная решетка, на каждом миллиметре кото™
рой нанесены 75 штрихов, освещается монохроматическим све-
светом с длиной волны 500 нм. На экране, параллельном решетке,
видна интерференционная картина: расстояние от центральной
светлой полосы до второй полосы равно 11,25 см. Определите
расстояние экрана от решетки.
328. На каком расстоянии от дифракционной решетки нужно
поставить экран, чтобы расстояние между центральной полосой и
спектром четвертого порядка было равно 50 мм для света с дли-
длиной волны 500 нм? Постоянная дифракционной решетки равна
0,02 мм.
329. Период дифракционной решетки равен 0,016 мм. Крас™
ная линия спектра второго порядка расположена на расстоянии
14,2 см от средней линии. Расстояние от решетки до экрана равно
1,5 м. Определите длину волны красных лучей и ширину спектра
второго порядка. Длина волны фиолетовых лучей равно 400 нм.
Ответы
I. 80 см. 2. 19,2 см.
3. 525 м. 4. 0,6 м.
5. 15 м. 6. 1,5 м.
7. 1 = hctga. 8. 3,9 м.
9. 1,8 м. 10. 3,38 м.
II. 1,15 м/с. 12. г = ка(п-1)/[пA-к)].
13. H = hL/l;a = a,rctgh/l. 14. х = тт/4-а/2.
15. 10 м. 16. Увеличится в 2 раза.
19*
292 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
17. 60 см. 18. 25°.
19. Уменьшится на 20°. 20. 30°.
21. 54°, 22. 2а.
23. 55°; 110°. 27. 35 см.
28. 30°; 60°.
29. Под углом 45° к горизонту.
30. 24° или 66° к горизонту; 71° или 19° к горизонту.
31. 120°. 32. 67,5° к горизонту.
33. 81°. 34. 1,535 рад^44°.
35. 5 см/с. 36. 62,8 м/с.
37. 85 см. 38. 15,05 м.
39. Плоскость зеркала наклонена к плоскости стола под
углом 45°.
40.
42.
44.
46.
48.
50.
52.
54.
55.
57.
59.
61.
63.
65.
67.
69.
71.
73.
75.
77.
3 м.
48 см.
2/i.
«1,7.
1,24.
1,5.
24°; 0,8.
0,86; «1,9-108 м/с; :
30°.
45°.
1,61.
20°.
28°.
а = arctgn.
19°; 28°.
39°.
19°.
32°.
84 см.
1 м; 2,86 м.
41.
43.
45.
47.
49.
51.
53.
ад 2,2-10*
56.
58.
60.
62.
64.
66.
68.
70.
72.
74.
76.
78.
0,92 м.
170 см.
50°.
«50°.
1,62; 1,*
1,2; 0,8.
1,35.
? м/с.
«32°.
41°.
0,08.
1 м.
25°.
1,4.
74°.
48°.
58°.
19 см.
2,5 м.
17,4 см.
79. 14,4 см; 11 см; уменьшится на 3,4 см.
80. «11,1м. 81. В 1,33 раза.
82.
84.
86.
88.
90.
91.
94.
96.
98.
100.
102.
104.
106.
107.
109.
111.
114.
116.
118.
119.
121.
123.
130.
132.
134.
136.
137.
139.
141.
143.
145.
146.
148.
ОТВЕТЫ
меньше на и 1 м.
6 см.
2,7 м.
1,5 м.
h = //cos/?/(ny 1 — (sin
45 см.
1,41; 45°.
49°; 42°; 24,5°.
198000 км/с.
Да; Нет.
S = 7TH2/n2.
23 м.
ж = d(smai — n\ sinai с
6,6 см.
2 см.
На 1,6 см.
120°.
14°.
ср = 2,5а; п = 2cos(a/2
«8°; «18°.
22°.
«10°.
1,5 м; 0,5; 1 м; 1 дптр.
1; 0,4 м; 0,2 м; 5 дптр.
0,4 м; 1,2 м; 4; 0,8 м.
83.
85.
87.
89.
f3)/n-
92.
95.
97.
99.
101
103
osaj/
108
110
113
115
117
VB'
120
122
124
131
133
135
293
~ 2 см.
1,99 м.
2,66 м.
2 м.
2).
r = R-H/Vn2-l.
58°.
2,02-108 м/с.
42°.
. 1,4.
. 7,3 м.
/ о 9 . 9 \
уЩ — nfsin aij.
. 1 CM.
. 1,7.
. ^40°.
. 45°.
. 56°.
cosa + cos(a/2)J +1.
. 23°.
. 19°.
. ^38,5°.
. 1,2 m; 0,8 м.
. 2F; 1.
. 60 см.
50 см; увеличение в 4 раза; действительное.
4,5 см.
24 см; 120 см.
15,6 см; 78 см.
0,8 м.
30 см; 60 см от экрана.
2,4 дптр; d = 50 см.
D = l/y/ab; Г= Jbja.
138
140
142
144
147
149
. 8 см.
. 60 cm; 1,7 дптр.
. 20 дптр.
. 90 см; 10 см.
. 0,15 м.
. 20 см.
294 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
150. 0,4 м. 151. 32 см.
152. 0,35 м. 153. 0,2.
154. 8 см/с. 155. f = (R + r)/(rD).
156. 36 см. 157. 43 мм.
158. 0,8 см; 32 см. 159. На 267 см.
160. 20 см.
161. На расстояниях 18 см и 6 см от линзы.
162. 4 см в обоих случаях. 163. 1 м.
164. r = F2/[(a-FJ-(l/2J].
165. 4.
166. H = n[Ff/(f-d)-h] = 0,4M.
167. В бесконечности; 58,5 дптр.
168. 15 см; действительное, увеличенное, прямое.
169. На расстоянии 44,5 см от второй линзы.
170. Мнимое изображение на расстоянии 4 см от второй
линзы перед ней.
171. Изображение действительное, прямое, высотой 2 см на
расстоянии 6,9 см от второй линзы.
172. 16,8 см. 173. а) 4 см; б) 30 см.
174. 2,25 см от второй линзы.
175. Действительное изображение расположено на расстоя™
нии 0,19 м от второй линзы.
176. d1 = LFi/(L-Fi-F2).
177. L/2.
178. Af = [(d-l)n + l]/[D[(d-l)n + l]-ri\-d/(Dd-l).
182. Рассеивающая; 0,7 м; 0,21 м.
183. 1,5 м; -0,5 дптр; 0,25; 1 м.
184. -7,5 дптр. 185. 0,25 м; -4 дптр.
186. 0,2 м. 187. 5,5 см.
188. 50 см. 189. -7,5 дптр.
190. -3,75 дптр. 191. Г = 0,4; /«0,2 м.
192. 100 см. 193. « 3,3 дптр.
194. На расстоянии 75 см от того места, где была линза.
195. 7,2 см.
196. /i = 5,9 см; /2 = 14,3 см. 197. 0,2 м.
ОТВЕТЫ
295
198. D2 = 2Di( i)A)/
199. 50 см; -100 см. 200. 2.
201. «0,12 м. 202. 3 см.
203. -37,5 см.
204. Действительное, перевернутое изображение высотой
3,5 см на расстоянии 22 см от рассеивающей линзы за
ней.
205. 36 см. 206. а) 8 см; б) 41 см.
207. 0,112 м. 208. d = 054 м.
209. Между линзами на расстоянии 30 см от рассеивающей
линзы.
210. На расстоянии F/3 от рассеивающей линзы; на рас™
стоянии 2^5F от собирающей линзы; на расстоянии
0,61^ от собирающей линзы.
211.
213.
215.
217.
219.
221.
223.
225.
227.
229.
231.
233.
235.
237.
239.
241.
243.
245.
247.
249.
0,25 м; 1/9 м; 0,2
3,3.
5 см; 20 дптр.
15 см.
5,1 м.
5 дптр.
«6,9 м.
5,5 см.
20 м.
13,2 см.
0,18 м.
0,98 см.
10,2 м.
0,45.
«3-Ю с.
к 300 м.
500.
200; 8 см.
2,5 см.
+4 дпто: —5 дпт1
м. 212.
214.
216.
218.
220.
222.
224.
226.
228.
230.
232.
234.
236.
238.
240.
242.
244.
246.
248.
г. 0.25 м: 0.2
~ 5,55 см.
3,6 см; 28 дптр.
7.
22,7 см; 2,5 м.
На 0,55 мм.
32.
«2,5 м; 90%.
141 м.
50 см.
« 1 км.
0,42 см.
2,55 м.
« 0,26 мм.
0,01 с.
Первый в 1,25 раза.
300.
2,5 см.
12.
58 дптр; 66 дптр.
м.
296 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
250. 40 см. 251. 0,33 м; 1 м.
252. ^6 дптр. 253. Увеличится на 4 дптр.
254. Здптр. 255. -2,67 дптр.
256. rfi = l/3 м; d2^oo.
257. 16,7 см; оо. 258. 2 дптр.
259. 6,25 см. 260. 1,2 мм.
261. 313000 км/с. 262. 300400 км/с.
263. 360 с^1. 264. 528 1/с.
265. 200 ТГц; 1,5 мкм. 266. 7,5 -10м Гц.
267. Волны на рис. VIILllOa и г одного цвета; оптическая
плотность в случае г больше в 2 раза.
268. Рис. VIII.Ill a — ближе к фиолетовой области,
рис. VIII.111 б — к красной.
269. 378 нм. 270. 480 нм.
271. 1,25; 30-1012 Гц. 272. 0,6 мкм.
273. \ = \0/п. 274. 1,33.
275. 1,45. 276. « 605 нм; « 485 нм.
277. Лед. 278. 9,9-10-10 с.
279. ^0,5°. 280. ^2,5°.
281. ^7,5°.
282. а) 0; б) 0,4тг; в) тг; г) 2тг; д) 2,4тг.
283. а) 0; б) А/6; в) А/4; г) А/2; д) А; е) 1,5А.
284. Светлая полоса.
285. Максимальное ослабление волн.
286. Максимальное усиление света.
287. Усилены 600 нм и 400 нм; ослаблены 800 нм и 480 нм.
288. а) Минимум; б) максимум; в) частичное гашение.
289. Для фиолетового.
290. 0,625 мкм; 0,5 мкм; 0,416 мкм.
291. Усиление.
292. Почти максимальное усиление света.
293. а) Максимальное усиление (га = 4); б) Частичное ослаб™
ление (га = 5,3); в) Максимальное усиление (га = 6).
294. Уменьшится в 1,33 раза по отношению к воздуху.
295. Увеличится на 0,5 мм.
296. «1,7 см. 297. 0,6 см; максимум.
ОТВЕТЫ 297
298. d0 = 125 нм; йг = 375 нм; d2 = 625 нм; d3 = 875 нм.
399. 0,12 мкм; 0,24 мкм.
300. Пластинка будет видна черной.
301. 0,5-10~6м. 302. 0,3 мм.
303. 8,9-10~4м. 304. Возрастет в 1,3 раза.
305. 600 нм. 306. 2,4 мм.
307. 0,5 мкм. 308. 500 нм.
309. Максимум. 310. 2 мкм.
311. 0,5 мкм. 312. ^ = arcsln2,5-10^3.
313. «21°. 314. 580 нм.
315. ^54,5°. 316. 600 нм.
317. 5. 318. 3.
319. 6,67-10~7м. 320. 3; 6567-10~7 м.
321. 9. 322. a^arcsin
323. ^0,4 мкм. 324. « 20 мкм.
325. 10 мкм. 326. 11 см.
327. 1,5 м. 328. 0,5 м.
329. 757 нм; 6,7 см.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблицы значений синусов и тангенсов для углов
0-90°
Градусы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Синусы
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
Тангенсы
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
Градусы
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Синусы
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
Тангенсы
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9825
0,9657
1,0000
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
Градусы
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0
Синусы
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
Тангенсы
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
4,011
4,331
4,705
5,145
5,671
6,314
7,115
8,144
9,514
11,43
14,30
19,08
28,64
57,29
оо
ПРИЛОЖЕНИЕ
Показатели
Алмаз
Вода
Воздух
Глицерин
Кварц
Лед
2
1
1
1
1
1
,42
,33
,00029
,47
,54
,31
преломления веществ
Плексиглас
Скипидар
Спирт
Стекло (тяжелый флинт)
Стекло (легкий крон)
Слюда
1
1
1
1
1
1
299
,50
,47
,36
,80
,50
,60
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баканина Л. П., Белонучкин В.Е., Козел СМ., Мазанько
И. П. Сборник задач по физике. — М.: Наука, Главная ре™
дакция физ.-мат. литературы, 1990.
2. Балаш В. Л.Задачи и методы их решения. — М.: Просвеще-
Просвещение, 1983.
3. Бендриков Г'. А., Буховцев Б. Б., Керженцев В. А. и др.
Задачи по физике для поступающих в вузы. — М.: Физ-
матлит, 2000, 2003, 2005.
4. Гладкова Р. А., Добронравов В.Е., Жданов Л. С. и др.
Сборник задач и вопросов по физике. — М.: Наука, 1988.
5. Гладкова Р. А., Кутыловская И. И. Сборник задач и вопро-
вопросов по физике. — М.: Высшая школа, 1988.
8. Гольдфарб Н. И. Сборник вопросов и задач по физике. — М.:
Высшая школа, 1993.
7. Гурский И. П. Элементарная физика с примерами решения
задач. — М.: Наука, 1989.
8. Гуща A.M., Путан Л. А. Пособие по физике для подготови-
подготовительных отделений. — Минск: Вышейшая школа, 1984.
9. Дэюанколи Д. Физика. — М.: Мир, 1989.
10. Евграфова Н. //., Каган В. П. Курс физики. — М.: Высшая
школа, 1989.
11. Кашина СИ., Сезонов Ю. И. Сборник задач по физике. —
М.: Высшая школа, 1996.
12. Коган Л. М. Учись решать задачи по физике. — М.: Высшая
школа, 1993.
13. Мустафаев Р. А., Кривцов В. Г. Физика. — М.: Высшая
школа, 1989.
14. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б. Физика. — М.: Просвещение,
1995.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 801
15. Мясников СП., Осанова Т.Н. Пособие по физике. — М.:
Высшая школа, 1981.
16. Парфентьева Я., Фомина М. Решение задач по физике.
Часть 2. — М.: Мир, 1995.
17. Рымкевич А. П., Рымкевич П. А. Сборник задач по физи™
ке. — М.: Просвещение, 1990.
18. Рябоволов Г. И. Сборник тематических работ по физике. —
Минск: Вышейшая школа, 1988.
19. Рябоволов Г. И., Дадатева Я. Р., Курганова В. А. Сборник
дидактических заданий по физике. — М.: Высшая школа,
1990.
20. Тарасов Л. В., Тарасова А.Н. Вопросы и задачи по фи™
зике. — М.: Высшая школа, 1984.
21. Элементарный учебник физики. Учебное пособие, в 3 т./ Под
ред. Г. С Ландсберга. — М.: Физматлит, 2001, 2003.
Учебное издание
ТРУБЕЦКОВА Софья Васильевна
ФИЗИКА
Часть 7, 8
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Вопросы — ответы. Задачи — решения
Редактор М.Б. Козинцова
Оригинал-макет: Т.Н. Савицкая
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 22.07.05. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 19.
Уч.-изд. л. 19,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0617-1
9 785922' 106177