Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
Ростовский государственный университет
В.М.Александров, М.И.Чебаков
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ
КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Издание второе,
исправленное и дополненное
Рекомендовано
Учебно-методическим советом по математике и механике
Учебно-методического объединения
по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по группе направлений и специальностей "Механика"
Москва, Ростов-на-Дону
2007

УДК 539.3
ББК 22.251
А 46
Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику
контактных взаимодействий. - Ростов-на-Дону: Изд-во 000 1'ЦВВР",
2007. - 114 с. ISBN 5-94153-089-7.
Рассмотрены различные классы задач механики контактных
взаимодействий упругих тел, а также приведены методы и решения конкретных
типов задач. Излагаются контактные задачи для упругой полуплоскости без
учета трения, а также с учетом трения или сцепления; плоские контактные
задачи о взаимодействии двух упругих тел без трения и с учетом трения
и сцепления; контактные задачи для тел с покрытиями; контактные
задачи с учетом износа, с учетом тепловыделения от трения, с учетом смазки;
контактная задача герметологии; контактная задача для упругой полосы;
контактные задачи для упругого полупространства; задача Герца о
взаимодействии двух упругих тел.
Приведенные методы полезны и для изучения ряда задач механики
разрушения, а также других задач механики и математической физики со
смешанными граничными условиями.
Для специалистов в области механики контактных взаимодействий,
механики сплошных сред, математической физики; инженеров, аспирантов и
студентов механико-математических и физических факультетов
университетов.
ISBN 5-94153-089-7 ©В.М.Александров, М.И.Чебаков, 2007

Оглавление
Предисловие 6
1 Равновесие упругой полосы 7
1.1 Интегральное преобразование Фурье 7
1.2 Равновесие упругой полосы жестко защемленной по основанию 8
1.3 Случаи весьма толстой и весьма тонкой полосы 11
2 Контактные задачи для упругой полуплоскости 14
2.1 Постановка контактной задачи для упругой полуплоскости с
учетом сил трения 14
2.2 Интеграл Коши, интеграл типа Коши, сингулярный
интеграл, формулы Сохоцкого 16
2.3 Решение контактной задачи без сил трения 20
2.4 Решение контактной задачи с учетом адгезионного трения . 27
2.5 Решение контактной задачи с учетом кулоновского трения . 28
2.6 Решение задачи с учетом полного сцепления в области контакта 30
3 Контактное взаимодействие двух упругих тел 33
3.1 Перемещения в области контакта двух упругих тел 33
3.2 Условия контакта двух упругих тел 35
3.3 Контакт двух упругих тел без сил трения 36
3.4 Контакт двух упругих тел с одинаковыми механическими
характеристиками при учете сцепления и трения 36
4 Контактные задачи для тел с покрытиями 40
4.1 Постановка контактной задачи для жесткого тонкого
покрытия упругой полуплоскости 40
4.2 Решение контактной задачи для случая жесткого тонкого
покрытия упругой полуплоскости 42
3

4 Оглавление
4.3 Постановка и решение контактной задачи для случая
мягкого тонкого покрытия упругой полуплоскости 44
4.4 Контактная задача для упругой полуплоскости с учетом
шероховатости ее поверхности 48
5 Контактные задачи с учетом износа 50
5.1 Постановка контактной задачи с учетом износа для
относительно тонкого слоя 50
5.2 Контактная задача с учетом износа при фиксированной
области контакта 52
5.3 Контактная задача с учетом износа при переменной области
контакта 54
6 Контактная задача с учетом износа и тепловыделения от
трения 58
6.1 Постановка задачи о контакте двух тел с тонкими мягкими
покрытиями 58
6.2 Определение контактных температур 59
6.3 Определение контактного давления 62
7 Контактные задачи с учетом смазки 67
7.1 Уравнение течения вязкой жидкости в тонком слое 67
7.2 Постановка контактной задачи с учетом смазки для
подшипника скольжения 69
7.3 Решение контактной задачи с учетом смазки для недеформи-
руемого подшипника скольжения 73
7.4 Решение контактной задачи с учетом смазки для подшипника
скольжения с деформируемым вкладышем 74
8 Контактная задача герметологии 77
8.1 Постановка контактной задачи о герметичности
деформируемого стыка 77
8.2 Решение контактной задачи о герметичности
деформируемого стыка 79
9 Контактная задача для упругой полосы 82
9.1 Постановка контактной задачи для упругой полосы 82
9.2 Замкнутое решение при специальной аппроксимации ядра
интегрального уравнения 84

Оглавление 5
10 Контактные задачи для упругого полупространства 88
10.1 Равновесие упругого полупространства под действием
распределенной нормальной нагрузки 88
10.2 Постановка контактной задачи для упругого полупространства 91
10.3 Решение осесимметричной контактной задачи для упругого
полупространства 94
10.4 Эллиптическая область контакта, вычисление
вспомогательных интегралов 97
10.5 Вдавливание в упругое полупространство плоского
эллиптического в плане штампа 100
10.6 Задача Герца о контакте двух упругих тел 102
Contents 111

Предисловие
Механика контактных взаимодействий твердых деформируемых тел
(Contact Mechanics) представляет в настоящее время большую и активно
развивающуюся область механики сплошных сред. Она постоянно находится в
центре внимания исследователей. Это объясняется тем, что все механизмы
и конструкции состоят из взаимодействующих деталей, а распределение
контактных усилий между этими деталями заранее неизвестно и может
быть найдено лишь в результате решения специфических задач, которые
называются контактными задачами. Определение закона изменения
контактного давления по области контакта позволяет затем сформулировать
граничные условия в напряжениях на поверхностях тел и заняться
решением более простых задач по определению напряженно-деформированного
состояния внутри взаимодействующих тел.
Характерной особенностью контактных задач является то, что в
математическом плане они в основном являются задачами со смешанными
граничными условиями, которые, как правило, сводятся к интегральным
уравнениям первого рода, требующим использования специальных методов
решения.
В монографии рассмотрены различные классы контактных задач для
упругих тел, а также приведены решения конкретных задач. Методы,
изложенные в монографии, полезны и для изучения ряда задач механики
разрушения (дефекты типа трещин и тонких инородных включений), а
также других задач механики и математической физики со смешанными
граничными условиями.
Монография написана на основе курса лекций, читавшихся в течение
ряда лет в Ростовском и Московском университетах.
Детальное представление о современном состоянии механики
контактных взаимодействий дает коллективная монография [28], которая явилась
продолжением ранее опубликованной монографии [33]. Подробно
последние достижения в этой области механики изложены в недавно вышедших
монографиях [1], [8], [9], [10], [18], [21].

Глава 1
Равновесие упругой полосы
1.1 Интегральное преобразование Фурье
Преобразованием Фурье некоторой функции f(x) (х € (-со, со)),
называется интеграл
F(a) = J /(Oe^df, A.1)
-00
где а — произвольное вещественное число.
Для существования трансформанты Фурье F(a) функции f(x)
достаточно, чтобы функция f(x) была кусочно непрерывной в любом конечном
промежутке изменения х и абсолютно интегрируемой в интервале \х\ < со.
Для функций /(#), удовлетворяющих, кроме того, условиям Дирихле1
на любом конечном отрезке \х\ < R < со, в точках непрерывности
справедлива формула обращения Фурье
F(a)e-ia*da. A.2)
В точках разрыва функции f(x) левая часть формулы A.2) имеет вид
llf(x-O)+f(x + O)). A.3)
Формулы A.1) и A.2) составляют суть интегрального преобразования
Фурье.
Если функция F(a) = 0, то почти всюду f(x) = 0 и наоборот2. Отметим
еще, что в силу свойств, наложенных на функцию /(#), она неизбежно
стремится к нулю при \х\ -+ со.
1 Функция /(х) кусочно монотонна на отрезке |х| < R и имеет в нем не более, чем конечное число
точек разрыва.
2Функция f(x) может быть отлична от нуля лишь на множестве меры нуль.

8 Гл. 1. Равновесие упругой полосы
1.2 Равновесие упругой полосы жестко защемленной
по основанию
В декартовой системе координат (я, у) рассмотрим задачу о равновесии
бесконечной, линейно-упругой, изотропной и однородной полосы (\х\ < оо,
О < у < /i), защемленной по основанию у = 0 и находящейся под действием
распределенной нормальной и касательной нагрузки при у = h в условиях
плоской деформации (рис. 1.1).
Как известно [35], для ре- * у
шения такой задачи может Ч\х/
быть эффективно использо- 1 •—* 1 ¦
¦Ж.
вано интегральное преобра- Г ?
зование Фурье. Именно, бу- ) fo
дем искать решение уравне- ( I
ний Ламе (без учета массо- '/у///////////////////////////////////////.
вых сил) Рис 1Л
2(l-z/) grad div и - A - 2v) rot rot и = 0, A.4)
где i/ — коэффициент Пуассона, и — вектор перемещения точек среды с
компонентами (w,v), в виде
^7 A.5)
Подставив выражения A.5) в уравнения A.4), совершив все необходимые
дифференциальные операции под знаками интегралов и приравняв нулю
в полученных соотношениях подинтегральные выражения, получим
относительно компонент С/, V вектора U следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
A - 2i/) U% - 2A - i/)a2 U ~ia V^ = 0,
A.6)
2A - и) Vy" - A - 2i/)a2 V - iaU'y = 0.
Общее решение этой системы может быть представлено в форме
U = (Ai + ay A2) ch ay + (?i + ay jB2) sh ay,
A.7)
1/ = i[Ei - «A2 -f at/ jB2) ch ay + (Лх - кВ2 + ay Л2) sh ay].

1.2. Равновесие упругой полосы жестко защемленной по основанию 9
Здесь к = 3 - 4i/, Лп и Вп (п = 1,2) — функции от а, подлежащие
определению из граничных условий задачи при у = 0 и у = А.
Итак, формулы A.5) и A.7) дают общее решение уравнений Ламе A.4).
Далее по формулам Коши могут быть найдены деформации
_ ди __dv __ди dv
е'~а? €y~w ^-dj + di* ( 8J
а по формулам закона Гука — напряжения
A.9)
1С1 Q.G
—--[A - v)ex + i/ey], cry = -——[A - i/)ey ¦
ТХу = G7ey, С7г = l/(ax + (Ту),
где G — модуль сдвига.
Приведем формулы для напряжений, которые понадобятся в
дальнейшем
/{[( + 1)В + 2^ + 2 ^2] ch ay+
] sh ay}a e~i
G
/ {[-(«: - \)А2
+[-(« - 1)В2 + 2ЛХ + 2ауЛ2] shay}ae~iaxda.
Пусть на гранях полосы заданы следующие условия:
<Ty(x, А) = -9*(х), ^„(ж) = q(x) (\х\ < a), q*(x) = 0 (|ж| > а), A.11)
Txy{x,h) = г*(я), г*(ж) = т(ж) (|я| < а), г«(ж) = 0 (|ж| > а).
Относительно функций q(x) и т(х) допустим, что они непрерывны при
\х\ < а и абсолютно интегрируемы при |х| < а. В этом случае имеют место
соотношения
Г(а) = / т@ efo«^, r.(x) = i- / T(a) e
1.
I AЛ2)

10 Гл. 1. Равновесие упругой полосы
и для удовлетворения граничных условий A.11) могут быть использованы
формулы A.5), A.7), A.10) и A.12).
Учитывая первые два граничных условия A.11), из A.7) получим
Xi = 0, Вг**кА2. A.13)
С учетом A.13) из следующих двух граничных условий A.11) найдем
[-(/с + l)B2 + 2ah А2] chah + [(к - 1)А2 + 2ah B2] sh ah = -Q(a)/iGa,
A.14)
[(к + 1)Л2 -f 2ah B2) ch ah + [-(*- l)B2 + 2ah A2] sh ah = T(a)/Ga.
Отсюда определим А2 и 52
A2 = -T(a)[2afcshafc - (/c + 1) c\iah)[GD{ah))-1-
-Q(a)[2ahchah- (к- l)Aah][%GaD(ah)]'\
B2 = T(a)[2ahchah+(K - l)shaft][GZ>(aft)]-1+ A.15)
+Q(a)[2ahshah + {K+l)chah][iGaD(ah)}~\
D(u) = 2ксЪ2и + «2 4-1 + 4u2
Таким образом, задача A.11) о равновесии полосы решена. Можно
показать, что перемещения и напряжения в полосе, определяемые
формулами A.5), A.7), A.10), A.13) и A.15), ведут себя при \х\ -> со, как
ехр(—D\x\h~lI где D > 0 и зависит только от и.
Приведем выражения для перемещений и и v при у = h. На основании
формул A.5), A.7), A.13) и A.15) имеем
— 00
00
= 2/csh2гл Н- 4w, I>22(^) = 2/csh 2u - 4u,

1.3. Случаи весьма толстой и весьма тонкой полосы
11
Подставляя в A.16) выражения A.12) функций Q(a) и Т(а) и преобразуя,
найдем
-а О
A.17)
1.3 Случаи весьма толстой и весьма тонкой полосы
Введем безразмерный параметр Л = /i/a, характеризующий относительную
толщину полосы.
Рассмотрим случай, когда Л —> со. Для этого продифференцируем
соотношения A.17) один раз по х и, затем, зафиксировав а, устремим h к со.
В результате в главном получим
-efq(e)dtjca6a(t-x)da\,
0 J
(ж, А) = ~
A.18)
cos a(f - a?) da .
J
Для вычисления внутренних интегралов в формулах A.18) рассмотрим
вспомогательные интегралы
A-19)

12 Гл. 1. Равновесие упругой полосы
- /е-"" cos at da = . " ., = S^t).
тг j( тг(и>2 + ?2) ч
Из первого интеграла A.19), устремив и к 0, найдем
оо 1
f
f • A.20)
Из второго интеграла A.19), устремив о; к 0 и приняв во внимание, что
00
/<L(t)dt = l, A.21)
-00
найдем3
J A.22)
о
где 6(t) — дельта-функция.
С учетом A.20) и A.22) формулы A.18) примут вид
A.23)
Рассмотрим случай, когда Л —¦ 0. Для этого в соотношениях A.17),
зафиксировав а, устремим h к 0. В результате в главном получим
1 Г а оо
и(х, Л) = -U ЛВ / т@ dC / cos a(? - a;
^^ I -а о
— ж)с?а| ,
A.24)
ф,Л) = -^ \hA
-еЛ2С / t@df /asina(^ - x)da ,
-a 0 J
3Соотношения A.20), A.22) и, приводимое ниже, соотношение A.26) обосновываются с позиций
теории обобщенных функций [13].

1.3. Случаи весьма толстой и весьма тонкой полосы 13
где введены обозначения
4^1) в_^_ с_ 4(*-2)
Заметим, что интеграл
00
/ a sin at da = -тг^(«), A.26)
о
тогда формулы A.24) с учетом A.22) и A.26) окончательно можно
представить в виде
и{х, Л) = h[Br*(x) + ehCqi{x))/e,
A.27)
v(x,h) = -Л[Л^(я:) -ehCii(x)]/0.
Формулы A.27) можно назвать обобщенным законом Фусса-Винклера,
прямопропорционально связывающим перемещения границы у = h весьма
тонкой полосы с действующими на границе нагрузками и их
производными.

Глава 2
Контактные задачи для упругой
полуплоскости
2.1 Постановка контактной задачи для упругой
полуплоскости с учетом сил трения
Можно считать, что формулы A.23) справедливы не только для случая
задачи о равновесии полосы весьма большой толщины, но и для случая
задачи о равновесии упругой полуплоскости под действием нормальной
q(x) и касательной т(х) нагрузок, ибо они получены из формул A.17) при
фиксированном а и h -* со. На основе формул A.23) рассмотрим задачу
о вдавливании жесткого тела (будем именовать его штампом) в границу
упругой полуплоскости.
Рассмотрим рис. 2.1а, где изображен штамп до внедрения его в
полуплоскость. Пусть форма основания штампа описывается уравнением
У == fix)- Приложим к штампу вдавливающую силу Р, параллельную оси
Рис. 2.1
14

2.2. Интеграл Коти, типа Коши, сингулярный интеграл, формулы Сохоцкого 15
у, и сдвигающую силу Q, параллельную оси х. Будем считать, что эти
силы настолько велики, что обеспечили контакт штампа с поверхностью
полуплоскости от угла до угла, т. е. образование сплошной линии контакта
|х| < а (рис. 2.16).
С другой стороны будем считать, что внедрение штампа в полуплоскость
мало, так что получаемые перемещения точек поверхности полуплоскости
в области контакта соизмеримы с перемещениями линейной теории
упругости. В силу этого перемещение v(x,0) на линии контакта \х\ < а будет
отличаться от функции f(x) только на линейное слагаемое. Итак имеем
условие
v(x,0) = -[S + ax-f(x)} (\х\<а), B.1)
которое будем называть условием контакта. Здесь S — поступательное
перемещение штампа в отрицательном направлении оси у, а — его угол
поворота.
Используя условие B.1) и второе соотношение A.23), получим уравнение
(\х\<а) B.2)
относительно двух неизвестных функций: нормального контактного усилия
(давления) q(x) и касательного контактного усилия т(х). Чтобы задача
была разрешима, необходимо еще сформулировать условие связи между
функциями q(x) и т(х). В качестве такого условия рассмотрим далее три
варианта:
а) отсутствие трения
ф)=0, B.3)
б) адгезионное трение
т(х) = rm, B.4)
где тт — максимально возможное усилие на сдвиг для материала, например
тт — касательное напряжение предела текучести,
в) кулоновское трение
т(х) = kq{x\ B.5)
где к — коэффициент трения.

16
Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
2.2 Интеграл Коши, интеграл типа Коши, сингуляр
ный интеграл, формулы Сохоцкого
t У
Здесь необходимо будет познакомиться с некоторыми сведениями из теорш
функций комплексного переменного [17, 27, 29].
Пусть в плоскости
комплексного переменного z = х + iy
задан некоторый гладкий
замкнутый контур (простая линия без
точек самопересечения и
возврата с непрерывно меняющейся
касательной) L (рис. 2.2). Область,
лежащую внутри контура,
будем обозначать через JD+, а
дополнительную к D++L область,
содержащую бесконечно
удаленную точку, соответственно через D~
Интеграл по контуру L вида
B.6)
Рис. 2.2
2mir-z
называется интегралом Коши, если стоящая под интегралом функция f(z)
является регулярной в D+ или D~. При этом, если функция f(z) регулярна
в D+ и непрерывна в D+ + ?, то
€ D~), B.7)
B.8)
J(z) = f(z) (z e ?>+), J(z) =0(z€ D~),
если функция f(z) регулярна в D" и непрерывна в D~ -f L, то
J(z) - Доо) (* 6 D+), J(z) = -f(z) + /(oo) (z e D~).
Формулы Коши B.7) и B.8) восстанавливают значения регулярной
функции в области по известным ее значениям на границе области.
Пусть теперь f(z) в B.6) является лишь непрерывной функцией от
тбЬ, Тогда интеграл B.6) называется интегралом типа Коши, а функция
f(z) — его плотностью. Поскольку при любом z ? L производная от
интеграла J(z) существует и ограничена, то интеграл типа Коши представляет
собой регулярную функцию во всей плоскости z, за исключением точек,
принадлежащих L, а в бесконечно удаленной точке он обращается в нуль
как l^l*.

2.2. Интеграл Коти, типа Коши, сингулярный интеграл, формулы Сохоцкого 17
При z = t e L интеграл B.6) называется сингулярным интегралом с
ядром Коши (r—t)~l. Такой интеграл, вообще говоря, в римановом
понимании расходится. Однако при некоторых условиях, налагаемых на функцию
f(z) и процедуру вычисления интеграла, ему может быть придано
разумное значение, называемое главным значением сингулярного интеграла по
Коши. Именно, главное значение находится как предел интеграла
(I — малый отрезок [?i,$2] контура L, содержащий точку ?), когда / —¦ О,
получаемый при условии
t2-t
ton
=1 (*i -> t, t2 ->t). 5V..10)
Для выполнения B.10), например, достаточно, чтобы точки t\ и t2 лежали
на одной окружности с центром в точке z = ?, ибо тогда \t2 — t\ = |?i — t\.
Рассмотрим пример: имеет место интеграл
dr ч|*а t2 -*
«2-*
= ln
- t) - arg(t! -1)], B.11)
если ветвь функции In г выбрана в соответствии с условием 1п(—1) = ттг.
Пусть теперь ti -+ t и i2 -+ *, тогда, замечая, что угол между
векторами tti и #2 стремится к тг, получим для главного значения сингулярного
интеграла результат
/ r-t 2
Интересно, что для этого же интеграла (несингулярного) в соответствии с
формулами Коши B.7) и B.8) будем иметь
1 / dr [
7riJL г- z \
О (zeD-)' BЛЗ)
т. е. при подходе к точке z = t e L снаружи и изнутри значение интеграла
скачкообразно меняется на 1/2.
Рассмотрим еще один полезный сингулярный интеграл
-1

•25 Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
Вычислим сначала его по указанному выше правилу
1 \ » 1
/ И1|
r-o ew е-.о2я-г^ х{е)т-х «-0 2тгг
+ iinJ^lnlr-;clli+e = ^-:b|i?. B.15)
Заметим, что такой же результат может быть получен, если интеграл B.14)
вычислить как неопределенный, а затем подставить пределы. Этим фактор
в дальнейшем воспользуемся.
Найдем достаточное условие существования главного значения по Кен
ши для интеграла B.6) {z = t € L). Преобразуем его с помощью B.12)
следующим образом
Допустим теперь, что функция f(t) на контуре L удовлетворяет условию
Гельдера 1 с показателем 0 < а < 1, тогда
~ fit) dr
<MJ\r- trl dr < oo, B.17)
и главное значение существует.
Вернемся вновь к рассмотрению интеграла типа Коши вида B.6). Пусть
плотность его f(t) удовлетворяет условию Гельдера на L. Тогда при z = t €
L интеграл J(t) существует в смысле главного значения по Коши. Пусть
теперь J+{t) — предельное значение интеграла B.6), когда z -+ t € L по
любому пути изнутри, a J~(t) — соответствующее предельное значение,
когда z —»t € L по любому пути извне контура L. Установим связь между
величинами J(t), J+{t) и J-(t). Для этого нам понадобится следующая
Лемма. Если f(i) в B.6) удовлетворяет условию Гельдера на L, то
функция
ведет себя при переходе через точку z = t € L как функция непрерывная,
т. е. она имеет определенное предельное значение при стремлении z к t с
любой стороны контура L по любому пути.
функция f{t) удовлетворяет условию Гельдера на L с показателем 0 < а < 1, если для любых
«1 € L и t2 6 L выполняется неравенство |/(*i) - /(<г)| < M\t\ - *г|в, М = const. Из условия Гельдера
вытекает непрерывность функции на L, но не наоборот.

2.3. Решение контактной задачи без сил трения
Доказательство леммы см. в [17].
Таким образом на основании леммы
B.19)
а, с другой стороны, с учетом формул B.12) и B.13) имеем
iM*W+(*)-/W, V-W = </-(*), 1>(t) = J(t)-№/2. B.20)
Из B.19) и B.20) найдем
B.21)
Соотношения B.21) называются формулами Сохоцкого. Заметим [17, 27,
29], что они справедливы также для разомкнутого контура L, если функция
/(?) удовлетворяет на L (всюду, за исключением концов) условию Гельдера.
При этом J+(t) и «/_(?) понимаются как предельные значения интеграла
типа Коши B.6) при подходе к контуру L слева (сверху) или справа (снизу)
по любому пути (к любой его точке, не совпадающей с концами). Из формул
B.21) следует, что
J+(t) + J.(t) = 2J(t)> J+(t)-J-(t) = f(t). (Я.22)
В заключение этого параграфа для случая разомкнутого контура L(y =
О, |х| < 1) приведем главное значение ключевого сингулярного интеграла
Формально этот результат можно получить следующим образом:
произведем в 1(х) замену переменной
52), B.24)
тогда после несложных преобразований получим
Вычисляя теперь 1(х) как неопределенный интеграл и подставляя пределы
г/ ч 1 |\/1 х + 8\/1 bxll /л л^ч
1(х) = , ЛА . уу B.26)
убедимся, что в смысле главного значения по Коши 1(х) = 0.

20 Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
2.3 Решение контактной задачи без сил трения
Рассмотрим вариант B.3) отсутствия сил трения в области контакта. Для
этого случая уравнение B.2) принимает вид
и является сингулярным (ибо интеграл слева является сингулярным)
интегральным уравнением 1-го рода2 с ядром Коши относительно контактного
давления q{x).
Дальше будет показано, что решение уравнения B.27) имеет структуру
Чтобы при этом существовало главное значение сингулярного интеграла в
B.27), достаточно допустить, что функция ш(х) удовлетворяет при \х\ < а
условию Гельдера с показателем 1/2 + 0 (О < /? < 1/2). Действительно
в силу B.23), а
Относительно функции f(x) будем предполагать, что ее вторая
производная удовлетворяет при |х| < а условию Гельдера с показателем 7
(О < 7 ^ !)• Далее будет показано, что этого достаточно, чтобы
функция lj(x) удовлетворяла указанному выше свойству.
Введем в рассмотрение функцию Ф(г) комплексного переменного 2,
заданную интегралом типа Коши
2В общем случае интегральное уравнение относительно функции q{x) может иметь вид
dt = g(x) (A « const, |x| < a), (•)
где функция К fax) называется ядром интегрального уравнения, в случае B.27) имеем А = 0 и
К fax) = (f - ж). Если А = 0, то уравнение (*) называется интегральным уравнением 1-го рода;
если А Ф 0, то уравнение (*) называется интегральным уравнением 2-го рода.

2.3. Решение контактной задачи без сил трения 21
В рамках допущений относительно структуры функции q(?) интеграл
B.31) как функция z является регулярным во всей плоскости zy за
исключением точек линии интегрирования. В бесконечно удаленной точке
функция Ф(г) обращается в нуль, как l^j.
Проведем в плоскости комплекс-
У
ного переменного z по оси х
разрез, соединяющий точки х = ±а
(рис. 2.3). Обозначим предельное зна- I —
чение функции Ф(г) при стремлении "а
точки z к границе верхнего берега
разреза через Ф+{х) и соответствен- Рис 2.з
но к границе нижнего берега
разреза— через Ф_(ж). Пользуясь первым соотношением B.22), приведем
сингулярное интегральное уравнение B.27) к эквивалентному ему
функциональному уравнению вида
Ф+(х) + Ф_(ж) = -iO[a - f'(x)] (\x\ < а). B.32)
Таким образом, проблема сведена к определению регулярной во всей
плоскости z с разрезом функции, предельные значения которой на берегах
разреза связаны линейным соотношением B.32).
Такая задача является частным случаем более общей задачи линейного
сопряжения (или краевой задачи) [17, 27, 29]: найти регулярную в
плоскости z функцию Ф(г) с линией скачков L, предельные (краевые) значения3
слева (сверху) и справа (снизу) которой удовлетворяют условию
Ф+(*) = ?(*)Ф-(*) + g(t) (t e L), B.33)
где G(t) и g(t) — заданные функции, причем G(t) Ф 0 всюду на L. Функция
G(t) называется коэффициентом задачи линейного сопряжения, a g(t) — ее
свободным членом. В случае B.32) имеем G(x) = —1, д(х) = -iO[a~-f'(x)],
L — отрезок [—о, а].
Для решения функционального уравнения B.32) введем в рассмотрение
новую функцию
Ф(г) = y/z2 - аЩг), B.34)
которая на плоскости z с разрезом, соединяющим точки х = ±а, будет ре-
гулярной и однозначной. Выберем такую ветвь функции F(z) = \/z2 ~ a2,
чтобы
3Изнутри и извне, если контур L — замкнутый.

22^ Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
Умножив обе части уравнения B.32) на \1хг - а2 и воспользовавшись
соотношениями B.34), B.35), получим для определения Ф(г) следующее
функциональное уравнение:
Ф+(аО - Ф_(х) = -iOVx* - а2[а - f(x)} (|яг| < а). B.36)
Принимая теперь во внимание вторую формулу B.22), запишем решение
уравнения B.36) в виде
Интересно, что однородное уравнение B.36)
Ъ{?\х) - Ф(.о) = 0 (|х|<а) B.38)
имеет нетривиальное решение. Действительно, соотношение B.38)
показывает, что функция ^°\z) регулярна на всей плоскости комплексного
переменного z, ибо принимает одинаковые значения на верхнем и нижнем
берегах разреза. Кроме того, как следует из B.34) и асимптотики Ф(г) при
z —> со, функция 4?(°\z) стремится к постоянной при z —> оо. Тогда по
теореме Коши-Лиувилля [27] 4?(°\z) = гС/Bж) = const. Таким образом общее
решение функционального уравнения B.36) складывается из B.37) и
произвольной постоянной гС/B7г). Следовательно в соответствии с формулой
B.34)
Теперь найдем предельные значения Ф+(х) и Ф-(#), учитывая B.35), и
в силу второй формулы B.22) будем иметь
Постоянную С определим из условия равновесия штампа
B-41)
т. е. из условия равенства вдавливающей силы Р интегралу от контактного
давления q{x). Интегрируя B.40) по а: от —а до а и замечая, что с учетом
B.23)
}/=j t B-42)

2.3. Решение контактной задачи без сил трения
23
а
Рис. 2.4
придем к результату
С = Р. B.43)
Рассмотрим несколько примеров.
1. Плоский штамп, внедряющийся без перекоса (а = 0, f(x) = О,
рис. 2.4а). Из B.40) и B.43) имеем
q(x) =
B.44)
Возникновение бесконечных значений у контактного давления в точках
х = ±а можно объяснить идеализацией задачи, а именно идеализацией
углов штампа — в природе углов не существует, идеализацией свойс>.
материала полуплоскости — в природе не существует материалов упруго
реагирующих на сколь угодно большие нагрузки. На самом деле контактное
давление в окрестности точек х = ±а будет большим, но конечным.
Если материал достаточно упруг, то максимумы давления будут зависеть от
степени закругления углов штампа (чем меньше радиусы закруглений, тем
больше максимумы давления в окрестности точек х = ±а). Если материал
упруг, но недостаточно прочен, то в окрестности точек х = ±а произойдет
его локальное разрушение (растрескивание) и максимумы давления
станут конечными. Если материал пластичен, то по достижению предела
пластичности в окрестности точек х = dta максимумы давления опять станут
конечными.
Несмотря на указанный дефект решения B.44), оно используется на
практике, ибо нефизичность решения B.44) имеет место лишь в малых

24 Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
окрестностях точек х = ±а.
2. Плоский, наклонный штамп (а Ф 0, f(x) = 0, рис. 2Лб). На основании
B.23) найдем главное значение сингулярного интеграла
С учетом B.45) из B.40) и B.43) будем иметь
q(x) = . ] — (Р 4- пвах). B.46)
пуа2 — х2
Найдем угол поворота штампа а в зависимости от величины силы Р и
эксцентриситета е приложения этой силы из условия равновесия
/ B-47)
—а
Имеем
При достаточно большом угле поворота штампа а давление в точке х =
-а может обратиться в нуль; это произойдет, если
Р = тг0аа, B.49)
тогда из формул B.46) и B.48) найдем
B.50)
3. Параболический штамп с углами (а = 0, f(x) = x2/BR), R —
радиус параболы в вершине, рис. 2.5а). На основании B.23) найдем главное
значение сингулярного интеграла
B.51)

2.8. Решение контактной задачи без сил трения
25
а
Рис. 2.5
С учетом B.51) из B.40) и B.43) будем иметь
B.52)
Решение B.52) физически возможно, если q(x) > 0 при |х| < а, т. е. если
тг0а2
Р>
2R
B.53)
4. Параболический штамп без углов (а = 0, f(x) = x2/BR), рис. 2.56).
В этом случае полудлина области контакта а становится неизвестной. Для
ее определения обычно используют естественное добавочное условие
q{±a) = 0.
B.54)
Это условие будет выполняться, если квадратную скобку в B.52), положив
х2 = а2, приравнять нулю. Имеем
~ ква2
2R'
С учетом B.55) формулу B.52) можно привести к виду
в
q(x) = -—л/а2 — х2.
чк } R
B.55)
B.56)
Вернемся к рассмотрению общего случая B.40) и B.43). Обозначая
B.57)

26
Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
видим, что контактное давление q(x) имеет структуру B.28), надо лишь
убедиться, что функция B.57) удовлетворяет при \х\ < а условию Гельдера
с показателем, превосходящим 1/2. Покажем, что функция B.57)
удовлетворяет условию Липшица (условию Гельдера с показателем S = 1). Для
этого достаточно доказать, что \ы'{х)\ < со.
С помощью интеграла B.45) перепишем выражение B.57) следующим
образом:
Продифференцируем B.58) один раз по х
ш'{х) = в{а - f'(x) - xf"(x)+
B.59)
Вспомним, что функция f(x) такова, что ее вторая производная
удовлетворяет при \х\ < а условию Гельдера с показателем 0 < а < 1. Тогда
выражение, стоящее в B.59) вне интеграла представляет собой
непрерывную функцию и
0\а - f'(x) - xf"(x)\ < со.
Для оценки интеграла в B.59) используем неравенство4
1А0 - /'(*) - К - х)Г(х)\ < тпК - х\а+\
- х\
B.60)
B.61)
имеем
4Доказательство неравенства B.61):
oo.
(r) - /"(*)] dr
B.62)
Q+l

2.4. Решение контактной задачи с учетом адгезионного трения 2?
2.4 Решение контактной задачи с учетом
адгезионного трения
Рассмотрим вариант B.4), когда всюду в области контакта силы трения
достигают предельного значения тт, соответствующего максимально
возможному усилию на сдвиг. Для этого случая уравнение B.2) принимает
вид
/ ^[^] (М<а). B.63)
Видно, что в математическом отношении уравнение B.63) ничем не
отличается от интегрального уравнения B.27). однако в механическом отношении
оно описывает, по сравнению со случаем отсутствия сил трения, некоторые
новые эффекты.
Прежде всего отметим, что здесь сдвигающее усилие Q (см. рис. 2.16)
уже не равно нулю, а определяется по формуле
B.64)
т. е. Q = 2атт. В случае плоского штампа (а = 0, f(x) = const) для
обеспечения его поступательного перемещения необходимо силу Р
приложить с некоторым отрицательным эксцентриситетом. Действительнее для
плоского штампа на основании B.46) и B.48) будем иметь
B.65)
В случае плоского наклонного штампа (a ^ 0, f(x) = const) угол поворота
штампа а при прежнем эксцентриситете е приложения силы Р
увеличивается. Действительно, для плоского наклонного штампа на основании B.46)
и B.48) будем иметь
О Рр FT
5 + -?- B-66)
Интересно, что при е = 0 штамп поворачивается, но контактное давление
является четным но х.

28 Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
2.5 Решение контактной задачи с учетом кулоновско
го трения
Рассмотрим вариант B.5), когда всюду в области контакта действуют сил}
кулоновского трения. Для этого случая уравнение B.2) принимает вид
d? + 7rekq(x) = тгв[а - /'(*)] (|х| < а) B.67,
и является сингулярным интегральным уравнением 2-го рода с ядром Ко
ши относительно контактного давления q(x). Заметим также, что в данное
случае в силу B.5) и B.64) сдвигающее усилие Q = кР.
Далее здесь ограничимся рассмотрением случая плоского штампа (а =
О, f(x) = const), т. е. случая, когда правая часть уравнения B.63) равнг
нулю. Решение задачи в общем случае можно, например, найти в [29].
Введем в рассмотрение функцию Ф(г) переменного z = ж-Иу, заданнук
интегралом B.31) на комплексной плоскости с разрезом по оси х от -о до с
(рис. 2.3). На основании формул B.22) приведем сингулярное интегральнск
уравнение B.67) к эквивалентному ему функциональному уравнению
Ф+(*) = С(*)Ф_(*), G(x)-g±|. B.68;
Мы вновь пришли к частному случаю задачи линейного сопряжения B.33),
Будем искать решение уравнения B.68) в виде
9(z) = С , . . (С = const), B.69)
v z — Qr
где *y(z) — регулярная и однозначная функция на комплексной плоскости г
с разрезом (в справедливости этого затем надо убедиться). Выберем ветвь
функции F(z) = \fz2 - а2 в соответствии с B.35). На основании B.69)
найдем Ф+(я), Ф_(х) и подставим эти выражения в B.68). Тогда получим
e^*) = -G(z)e7-(x). B.70)
Прологарифмируем уравнение B.70). Будем иметь
7+(z)-7-(z) = ln[-G(z)]. B.71)
Отсюда в силу второй формулы B.22) найдем

2.6. Решение задачи с учетом кулоновского трения 29
Заметим, что
ln[-G(z)] = In ] *l?k = 2тгг/г, д = - arctg ek. '2.73)
X — Z?lG 7Г
Теперь вычислим интеграл в B.72). Имеем
^А B.74)
Обратим внимание, что j(z) в форме B.74) является регулярной и
однозначной функцией на комплексной плоскости z с разрезом от —а до а.
Подставляя B.74) в B.69), окончательно найдем
Вспоминая, что функция Ф(г) задана формулой B.31), на основании
B.75) и второй формулы B.22) получим следующее решение интегрального
уравнения B.67):
Здесь постоянная D связана с произвольной постоянной С и должна быть
найдена из условия B.41). Именно имеем [20]
ГA/2-м)ГA/2 + м) wD
- D щ - ^^, B.77)
где В(х,у) — бета-функция и Г(х) — гамма-функция. Эксцентриситет е
приложения силы Р к штампу найдем с учетом B.76) и B.77) по формуле
B.47). Вычисляя интеграл, подобно интегралу B.77), получим
е = -2/ха. B.78)
Решение B.76) — B.78) мало отличается от решения B.44), где е =
О, ибо в реальных ситуациях величина д мала. Поэтому при постановке
контактных задач часто пренебрегают действием сил кулоновского трения
в области контакта.

30 Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
2.6 Решение задачи с учетом полного сцепления в об
ласти контакта
Пусть после вдавливания граница основания штампа полностью сцепляет
ся (склеивается) с границей полуплоскости на линии контакта \х\ < a, i
пусть штамп находится под действием только силы Р, параллельной oci
у. Тогда условия контакта будут иметь вид (ср. с B.1))
u(s,0) = 0, v(x,0) = -[6 + ax-f{x)] (|x| < а). B.79
Используя условия B.79) и соотношения A.23), получим на интервале
\х\ < а систему сингулярных интегральных уравнений
) = тг%-/'(*)], B.80;
относительно касательного усилия т(х) и контактного давления q(x).
Умножим первое уравнение на г и сложим со вторым, получим
Ща-Г(х)} (\х\<а), B.81)
где введено обозначение
<p{x) = q(x) + ir(x). B.82)
Уравнение B.81) вновь, как и в случае B.67), представляет собой
сингулярное интегральное уравнение 2-го рода с ядром Коши относительно
комплексной функции (р(х) вида B.82).
Далее ограничимся рассмотрением случая плоского штампа (а = 0,
f(x) = const). Решение задачи в общем случае можно, например, найти
в [29].
Введем в рассмотрение функцию Ф(г) переменного z = я + гу, заданную
интегралом
на комплексной плоскости с разрезом по оси х от -а до а (рис. 2.3). На
основании формул B.22) приведем сингулярное интегральное уравнение

2.6. Решение задачи с учетом полного сцепления в области контакта 31
B.81) к эквивалентному ему функциональному уравнению
Ф+(ж) = С(х)Ф4х), G(z) = ^ii = -«. B.84)
Решение уравнения B.84), частного случая задачи линейного
сопряжения B.33), будем искать в форме B.69). Далее, следуя схеме, изложенной
в п. 2.5, получим
^, 0Ш^. {2.85)
Подставляя B.85) в B.69), найдем
Вспоминая теперь, что функция Ф(г) задана формулой B.83), на
основании B.86) и второй формулы B.22) получим следующее решение
интегрального уравнения B.81):
<р(х) = т^:
= /2° 2 ехр f-t/ЗЬ J?|]. B.87)
V fl — # L a + x]
Отсюда в силу B.82) найдем
U I п — X \
^(ж) = у--—=== cos (/3 In I,
у/Or — X \ п -\- X/
B.88)
Здесь постоянная jD связана с произвольной постоянной С и должна быть
найдена из условия B.41). Именно имеем [20]
Р = | /
сЪж/З к+1 ' к ' '

32 Гл. 2. Контактные задачи для упругой полуплоскости
Заметим, что контактное давление q(x) вида B.88) изменяет знак
бесчисленное множество раз, когда х приближается к значениям -а и а, так
что в окрестности точек х = ±.а на некоторых участках вместо давления
действуют растягивающие усилия. Нетрудно показать, что для реальных
значений коэффициента Пуассона указанные окрестности весьма малы [29].
Тем не менее, изменение знака у функции q(x) означает, что в
окрестности точек х — ±а невозможно обеспечить полное сцепление между
границами штампа и полуплоскости, и в этих окрестностях будет происходить
проскальзывание одной границы относительно другой. Такие контактные
задачи рассмотрены в работах [36] (проскальзывание без трения) и [15]
(проскальзывание с учетом кулоновского закона трения).

Глава 3
Контактное взаимодействие двух
упругих тел
3.1 Перемещения в области контакта двух упругих
тел
Рассмотрим контактное взаимодействие двух выпуклых цилиндрических
тел, первоначально касающихся друг друга по общей образующей.
Направим по этой образующей ось z и расположим оси х, у как показано на
рис. 3.1а.
Пусть до деформации поверхности цилиндрических тел описываются
соотношениями
), У = /*(*), Л@) = /а@) = О,
C.1)
где функции fi (х) (г = 1,2) имеют вторые непрерывные производные.
Осуществим плоскую деформацию тел, приложив к ним на
бесконечности сдавливающие силы Р*, сдвигающие силы Qi и моменты М,-, отнесенные
а
Рис. 3.1
33

34
Гл. 3. Контактное взаимодействие двух упругих тел
к единице длины по оси z. Система усилий Pi, Qi и Mi статически
эквивалентна системе усилий Рг> Qi и Мг. В результате нагружения межд)
телами образуется полоса контакта а < х < b (рис. 3.16), в пределах кото
рой возникают контактное давление q(x) и контактное касательное усилш
ф).
Если минимальные радиусы кривизны тел велики по сравнению с шири
ной 6-а полосы контакта, то для описания напряженно-деформированной
состояния цилиндрических тел в окрестности полосы контакта можно при
ближенно использовать формулы, описывающие напряженно-деформиро
ванное состояние двух полупространств в случае плоской деформации. На
пример, могут быть использованы формулы A.23), которые в полосе кон
такта для тел 1 и 2 можно соответственно представить в виде
C.2)
\-2vx
G2
где Gi и Ui — модули сдвига и коэффициенты Пуассона тел.
Объединяя формулы C.2) попарно, найдем
C.3)
v[(x, 0) + v2(x, 0) = -\ J ?
в -
2G2

3.2. Условия контакта, двух упругих тел 35
3.2 Условия контакта двух упругих тел
Под действием сил Pi, Q\ и момента М\ вследствие деформации тело 1
переместится поступательно на величину 8\ в направлении оси у и на
величину 7i в направлении обратном направлению оси ж, а также повернется
на угол ai, цилиндрическое тело 2 под действием сил Р2, Qt. и момента М2
соответственно переместится на величины ?2 и 72 в направлении обратном
направлению оси у и в направлении оси #, а также повернется на угол а2
в направлении противоположном углу а\.
Предположим, что точки Аи В (рис. 3.1а) пришли в соприкосновение
в точке С (рис. 3.16) зоны контакта. При этом точка А получила упругое
перемещение щ с компонентами (щ, уг)и жесткое перемещение 7i с
компонентами (—7i —#A —cos ai), 6\+x sin a\), а точка В — упругое перемещение
й2 с компонентами (-и2, —щ) и жесткое перемещение 72 с компонентами
G2 - хA — cos 0:2), ~^2 — я sin 0:2). Новые координаты точек А и В
соответственно будут:
Ух = -/i(xi) + vi + $i+?8inai,
2/2 = /2(^2) -V2-62-Xsina2, C.4)
x\ = ж + щ — 71 - #A - cosai), x2 = ^ — u2 + 72 — яA ~ соэаг).
Так как по предположению вторые производные функций fi(x)
непрерывны, то имеют место оценки
fi(x + щ) = fi{x)
/2(х - ед) = h{x) - и^Л W + ОК2), C.5)
Ю{ = щ~ 7t + (—l)*rc(l — cose**).
Для большинства материалов в упругой стадии деформирования
компоненты перемещений и углов поворота малы и размеры зоны контакта
незначительны по сравнению с размерами взаимодействующих тел.
Отсюда следует, что /{(х) и /2(я) в области контакта х 6 [a, b] являются
малыми величинами. В свою очередь w\ и w2 также малые величины. Тогда из
асимптотических оценок C.5) имеем
fi(x + wi) ю Л(х), /2(х - w2) « f2(x). C.6)
Подставляя C.6) в C.4) и учитывая малость углов поворота at-, имеем
2/1 = -Л(«) + vi + 6г + aia:, г/2 = Л(а;) - v2 - 62 -

36 Гл. 3. Контактное взаимодействие двух упругих тел
Xi=ar + tti—7ъ #2 = я-г^+ 72- (^.
Точки Л и В по предположению переходят в точку С (т. е. совпадают
после приложения к телам деформирующих усилий, поэтому, приравни
вая правые части выражений C.7), получим следующие кинематическш
условия контакта:
и1 + ^ = -[Д + ааг-/1(ж)-/2(ж)], ui+u2 = 7> C.8)
6 = 61 + 62, a = ai-fa!2, 7 = 7i+72) a<x<b.
3.3 Контакт двух упругих тел без сил трения
Предположим, что силами трения т(х) в области контакта
взаимодействующих тел можно пренебречь и усилия Qi = 0. Тогда второе условие
контакта C.8) можно не принимать во внимание, а первое условие контакта C.8)
вместе со вторым соотношением C.3) приводит задачу к интегральному
уравнению
/^ = »*.[«-Д(*)-/?(*)], *е[в,ь] C.9)
относительно контактного давления q(?). С подобным интегральным
уравнением мы уже сталкивались в п. 2.3.
Пусть к телам приложено только сжимающее усилие Pi = Рг = Р и
угол поворота а = 0. Кроме того пусть в окрестности области контакта
функции fi(x) можно приблизить выражениями
}i{x) = x2l{2Ri) (i= 1,2). C.10)
Тогда a = —a, Ь = аи ограниченное в точках х = ±а решение уравнения
C.9) дается формулами
3.4 Контакт двух упругих тел с одинаковыми
механическими характеристиками при учете сцепления и
трения
Если механические характеристики взаимодействующих тел совпадают, то
в C.3) величина / = 0 и соотношения C.3) вместе с условиями контакта

3.4- Контакт тел при учете сцепления и трения 37
C.8) (условиями полного сцепления поверхностей тел на линии контакта)
приводят к двум несвязанным интегральным уравнениям
C.12)
^O, а<х<Ъ.
Далее допустим, что главные моменты системы усилий Pi} Qi и
моментов Mi равны нулю, так что угол поворота а = 0, Pi = Pi = Р,
Qi = Qi - Q, а также имеют место формулы (ЗЛО). Тогда а = -а, Ь = о и
ограниченное в точках х = ±а решение первого интегрального уравнения
C.12) вновь дается формулами C.11), которые запишем в форме
, ^^, C.13)
решение же второго интегрального уравнения C.12) имеет вид
Q
C.14)
(сравни с B.44)).
Из C.14) видно, что г (х) растет до бесконечности в окрестности точек
х = ±а, что физически нереально, ибо всюду на линии контакта \х\ < а
должно выполняться неравенство
|ф)| < kq(x), C.15)
где к - коэффициент трения. Из решения C.13) видно, что в средней части
линии контакта \х\ < а давление q(x) достаточно велико и строгое условие
C15) будет выполняться на интервале \х\ < с < а, если
Q < 2Рк П - У . C.16)
В точках линии контакта с < \х\ < а условие C.15) должно принимать вид
|ф)| = kq(x)% C.17)
т. е. должно иметь место проскальзывание.

38
Гл. 3. Контактное взаимодействие двух упругих тел
1
'* Щ(х)
2Р
х/а
-1
а
-1 -с/а с/а
о
Рис. 3.2
Решение такой задачи для г (я), когда на участке |х| < с имеет место
полное сцепление, а на участке с < \х\ < а — проскальзывание, можно
приближенно представить в форме
т(х) =
C.18)
Ф) (|х|<с)
Ы*) (с<\х\<аУ
ri(x) = Qir-l(a2 - х2)'2, г2(х) = 2Рктга^(а2 - х2I/2,
где с — проекция на ось х точки пересечения кривых ti(x) и тг(х). Однако
такое решение не удовлетворяет условию B.64).
Чтобы отновременно найти с и удовлетворить условию B.64), будем
искать решение для т(х) сформулированной выше задачи в виде следующего
представления [40, 41]
па*
где H(t) — функция Хевисайда, т. е. функция
C.19)
¦ О (t<0). C.20)
Решение в форме C.19) удовлетворяет условию C.17) в зоне
проскальзывания с <\х\ < а и удовлетворяет второму условию контакта C.8) в зоне
сцепления |х| < с. Действительно имеем
пв,[и[(х, 0) + </2(х,0)] = / 0L (% =
жо?

3-4' Контакт тел при учете сцепления и трения 39
ори
= ~^(-тга; + те) = О (\х\<с). C.21)
Величину с найдем из условия B.64), которое после подстановки в B.64)
выражения C.19) и интегрирования примет вид
(^j C.22)
откуда
с=Ч1~т1- C>23)
Как и должно быть, зона сцепления стягивается в нуль, когда Q стремится
к Pfc, после чего происходит скольжение по всей длине линии контакта.
На рис. 3.2а представлен график зависимости C.13), а на рис. 3.25 —
график зависимости C.19) при с = а/2.

Глава 4
Контактные задачи для тел с
покрытиями
4.1 Постановка контактной задачи для жесткого тон
кого покрытия упругой полуплоскости
Пусть упругая полуплос
кость 1 с упругими постоян
ными G и I/, находящаяся;
условиях плоской деформа]
ции, по всей своей границ*
усилена тонким покрытиеи
2 в виде сцепленной с ни*
полосы малой толщины h (j
упругими постоянными G»
и 1/«. Пусть также в
верхнюю грань покрытия
вдавливается без трения силой
Рис. 4.1 Р жесткий штамп.
Поверхность основания штампа описывается функцией /(я), а линия контакта его
с поверхностью покрытия определяется неравенством |х| < а (рис. 4.1).
Допустим, что G* ^> G, тогда под действием штампа покрытие будет в
основном работать на продольное растяжение. Выведем уравнение,
описывающее такую деформацию.
Пренебрегая в покрытии напряжением cjp по сравнению с а?\ из
формул закона Гука для случая плоской деформации найдем
рB) _ &Ь
~х ~~ дх
A - к»)
тB)
2G*
D.1)
40

4.1. Постановка контактной задачи для жесткого тонкого покрытия 41
Дифференцируя D.1) по а: и принимая во внимание уравнение равновесия
элемента покрытия
D.2)
D.3)
дх ду
будем иметь
д2щ A — 1/
дх2 2G* ду '
Далее, осредняя D.3) по толщине покрытия с учетом того, что покрытие
тонкое и вся верхняя грань покрытия у = h свободна от касательных
усилий, получим
где теперь rj$ — касательное напряжение, действующее на нижней грани
покрытия у = 0. Из D.4) видно, что в данном приближении продольные
перемещения и% точек верхней грани покрытия и его нижней грани
совпадают. Примем, кроме того, что поперечное перемещение v% и нормальное
напряжение а® в покрытии не зависят от координаты у, т. е. совпадают
на его верхней и нижней гранях.
На верхней грани покрытия кроме условия rj® = 0 имеем
с#
#> = 0 (|*|>в), «2 = -[* + <***-/(*)] (\х\<а), D.5)
а*я — жесткое перемещение штампа (сравни вторую формулу D.5)
с B.1)), а в силу условий идеального механического контакта
между покрытием и упругой полуплоскостью на основании D.4) иD.5) для
полуплоскости при у = 0 получим
A) л /lrt.1 n. п\ „. ГГ I /> Т f (rW (\т\ < п}
D.7)
26*hu" = rj$ (\x\ < сх>)
(индекс 1 у ии V\, a^ и т$ далее будем опускать). Кроме условий D.7)
будем предполагать, что напряжения в полуплоскости на бесконечности

Гл. 4- Контактные задачи для тел с покрытиями
исчезают.
4.2 Решение контактной задачи для случая жесткогс
тонкого покрытия упругой полуплоскости
Сначала рассмотрим для полуплоскости вспомогательную задачу. Имение
пусть при у = О
ау = -q(x), 20+hu" = т1у,
D.8]
q(x) = О (Н>а), q(x) = q(x) (\x\ < а),
где q(x) — пока неизвестное контактное давление, которое в силу приня
тых выше допущений без искажения передается с верхней грани покрыта:!
на границу полуплоскости. К условиям D.8) нужно еще добавить условш
стремления напряжений к нулю на бесконечности.
Заметим, что в задаче о плоской деформации упругой полуплоскост!
перемещения и и v логарифмически растут на бесконечности [29], и, следо
вательно, не выполнены условия применимости интегрального преобразо
вания Фурье, описанные в п. 1.1, к задаче D.8). Тем не менее будем искать
эти перемещения в форме интегралов Фурье1
1 °°
:, v = — I V(a,y)e~iaxda. D.9
27Г-оо
Подставив выражения D.9) в уравнения Ламе A.4), совершив все необп
ходимые дифференциальные операции под знаками интегралов и
приравняв нулю в полученных соотношениях подинтегральные выражения,
придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений A.6). Решение
этой системы с учетом того, что напряжения должны исчезать на
бесконечности, представим в виде (отброшены члены с возрастающими при у < О
экспонентами)
С/ = (Л + Н2/Л)е№,
D.10)
V = isgna(^i - кА2 + \а\уА2) е№.
Здесь к = 3 — 4i/, An (п =1,2) — функции от а, подлежащие определению
из граничных условий D.8).
На основании D.9), D.10) по формулам Коши A.8) найдем деформации,
а затем по формулам закона Гука A.9) — напряжения.
Обосновать такую процедуру можно, обратившись к теории обобщенных функций [12,13].

4-2. Решение контактной задачи для случая жесткого тонкого покрытия 4с
Приведем формулы для напряжений ау и тху
]a^a^~iaxda,
2 D.11)
тху = ^ / [2Аг + 2\а\уА2 - (к - 1)А2) \а\ е^е^ da.
— 00
Относительно функции q(x) в условиях D.8) допустим, что она
абсолютно интегрируема при \х\ < а и непрерывна при |х| < а. Тогда имеют
место соотношения
/% ±j(a)e-ia*da. D.12)
Удовлетворяя граничным условиям D.8) с помощью формул D.9) -
D.12), получим
гаС[2Лх - (к + \)А2) = -Q(a),
D.13)
-20,/iaMi = |a|G[2^! - (к - 1)Л2].
Отсюда определим А\ и Л2, а затем по второй формуле D.2.3), найдем
D.14)
Подставляя выражение V(a, 0) во вторую формулу D.9) и учитывая первое
соотношение D.12), после несложных преобразований получим, как итог
решения вспомогательной задачи, следующий важный результат:
г/(х, 0) = ~ / q@ # /Y+jto0 Sin a(* " *) **• DЛ5)
Вернемся теперь к контактной задаче с граничными условиями D.7).
Видим, что в ходе решения вспомогательной задачи D.8) эти граничные
условия удовлетворены кроме второго. Удовлетворяя второму условию D.7) с
помощью формулы D.15), получим следующее интегральное уравнение
относительно контактного давления q(x):
7re[a.-f(x)] (\x\<a). D.16)

44 Гл. 4- Контактные задачи для тел с покрытиями
Точному решению уравнение D.16) не поддается, но приближенное его
решение при /3/а > 2 может быть построено [3]. Здесь ограничемся лишь
рассмотрением случая 0/а = со, т. е. случая абсолютно жесткого на
растяжение покрытия. В случае, когда C —> со, интегральное уравнение сильно
упрощается и принимает вид
а
(здесь вновь использован интеграл A.20)).
По внешнему виду уравнение D.17) совпадает с интегральным
уравнением B.27), отличаясь от него лишь тем, что в заменено на 0, а а заменено
на «¦.
Величина в определяет контактную жесткость тела с весьма жестким
тонким покрытием. При v = 0.3 величина в превосходит контактную
жесткость тела без покрытия лишь на 9 процентов.
Частные решения интегрального уравнения D.17) для случаев плоского,
наклонного и параболического штампов даны в п. 2.3. Надо лишь в
соответствующих формулах заменить в на 0 и а на а*. Видно, что такая замена
приводит, например, в случае плоского наклонного штампа к уменьшению
угла поворота а* (см. формулу B.48)), а в случае параболического штампа
без углов к уменьшению полудлины а линии контакта (см. формулу B.55)).
4.3 Постановка и решение контактной задачи для
случая мягкого тонкого покрытия упругой
полуплоскости
Пусть по-прежнему имеет место схема, изображенная на рис. 4.1,
вдавливания штампа в покрытие, сцепленное с полуплоскостью. Допустим, что
теперь G* < G, тогда под действием штампа покрытие будет в основном
работать на поперечное сжатие. Выведем уравнение, описывающее такую
деформацию.
Произведем в уравнении Ламе A.4) для покрытия следующие замены
переменных:

4.3. Постановка контактной задачи для случал мягкого тонкого покрытия 45
В результате будем иметь
D.19)
Поскольку покрытие тонкое, то параметр Л мал. С учетом этого,
пренебрегая в D.19) членами порядка Л2 и Л, получим
Отсюда имеем
B)
1
D.21)
G,
т<2> = —ЛЫ
Далее, учитывая граничные условия на поверхности покрытия
af\x,h)^-q{x), T$(x,h) = 0,
D.22)
§(*) = «(«) (\х\<а), q(x) = 0 (|*| > в),
гдеф) — неизвестное пока контактное давление, на основании D.21)
определим, что
C(x) = -i9», Л(х) = 0, п=^^, «. = 3-41/. D.23)
Теперь из второй формулы D.21) найдем
n[v2(x, h) - v2(x, 0)] = -q(x). D.24)
Соотношение D.24), определяющее прямопропордиональную связь
между нагрузкой верхней грани покрытия и разностью перемещений его
верхней и нижней граней, называется моделью Фусса-Винклера. Такая модель
ранее использовалась (иногда используется и сейчас) в качестве модели

46 Гл. 4' Контактные задачи для тел с покрытиями
основания для расчета фундаментных плит. Коэффициент п называете
коэффициентом постели основания Фусса-Винклера.
Итак мы видим, что тонкое и относительно мягкое покрытие работав
на поперечное сжатие, как основание Фусса-Винклера. Заметим также, что
в данном приближении на нижнюю грань покрытия без искажения
передаются касательное и нормальное напряжения, действующие на его верхней
грани, т.е.
<хЮ(*,0) = -«(*), т?>(х,0) = 0. D.25)
В силу условий D.6) идеального механического контакта покрытия с
полуплоскостью на границе полуплоскости будем иметь условия D.25), где
только индекс B) надо опустить. В качестве одного из результатов
решения такой задачи для полуплоскости на основании второй формулы A.23)
будем иметь
1/Ж D.26)
—а '
причем в силу указанных выше условий идеального механического
контакта
v'2(x,0)=v>(x,Q). D.27)
Наконец еще вспомним, что на верхней грани покрытия имеет место
условие контакта штампа с покрытием, определяемое второй формулой D.5),
т. е. имеем
r/2{x,h) = -[a-f(x)] (\x\<a). D.28)
Продифференцируем соотношение D.24) по х и запишем его для
участка контакта \х\ < а. подставляя туда ^(#,0) в форме D.26) (в силу
D.27)) и v'2(x, h) в форме D.28). В результате получим следующее интегро-
дифференциальное уравнение для определения контактного давления q(x)
к которому нужно добавить условие равновесия штампа B.41).
Уравнение D.29) впервые получено в монографии [38]. Точному
решению уравнение D.29) не поддается. Способы построения его приближенных
решений при в/па > 1 и при в/па < 1 даны в [3, 5].
Здесь ограничимся рассмотрением случая, когда в/па = со, т. е. случая
абсолютно жесткой полуплоскости. В случае, когда в —> со, уравнение
D.29) сильно упрощается и принимает вид
q'(x) = n[a-f'(x)} (\x\<a). D.30)

j.3. Постановка контактной задачи для случая мягкого тонкого покрытия 47
Отсюда при условии B.41) имеем
q(x) = С + п[ах - /(*)], С = ±\р + п] /(О d? . D.31)
Заметим, что решение D.31) для q(x) не имеет характерной корневой
особенности в точках х = ±а; это объясняется простотой модели D.24),
принятой для описания деформации покрытия.
Рассмотрим несколько частных результатов, вытекающих из формул
D.31).
1. Плоский штамп, внедряющийся без перекоса (а = 0, f(x) = 0):
q(x)^PBay\ D.32)
2. Плоский, наклонный штамп (а Ф 0, f(x) = 0):
q{x) = PBa)~l + пах. D.33)
Условие равновесия штампа B.47) дает
Давление в точке х = — а обратится в нуль, если
Р = 2паа2, D.35)
при этом из формул D.33) и D.34) найдем
q(x) = na(a + я), е = а/3 D.36)
(сравни последнюю формулу D.36) с последней формулой B.50)).
3. Параболический штамп с углами (о; = 0, f(x) = x2/BR)):
4. Параболический штамп без углов (а = 0, f(x) = x2/BR)). С учетом
добавочного условия B.54) из D.37) найдем
и с учетом D.38) приведем формулу D.37) к виду
Я(х) = ^(а2-х2). D.39)
Интересно сравнить примеры, приведенные здесь (см. 1 - 4) с
примерами, приведенными в п. 2.3 (см. стр. 23-25). Например, любопытно отметить,
что в случае наклонного штампа, у которого давление в точке х = —а
обращается в нуль, е = а/3, а в п. 2.3 в том же случае было е = а/2.

48 Гл. 4- Контактные задачи для тел с покрытиями
4.4 Контактная задача для упругой полуплоскости с
учетом шероховатости ее поверхности
При решении контактных задач обычно принимается предположение, что
поверхность тела, на которое оказывается воздействие, абсолютно глад
кая. Правильнее было бы учитывать микрогеометрию поверхности. Далее
мы на простой задаче о вдавливании штампа в шероховатую поверхность
упругой полуплоскости посмотрим к чему это приводит.
Будем тонкий шероховатый поверхностный слой полуплоскости
рассматривать как тонкое нелинейно деформируемое покрытие. Именно, для
описания вертикальной деформации такого покрытия будем использовать
модель нелинейного основания Фусса-Винклера
Ъ(х, ft) - v2{x,0) = -?>[?(*)), D.40)
где функция ip(t) — непрерывная и положительная при t > О (сравни D.40)
с формулой D.24)). Такая идея впервые была высказана в [38] и, затем,
развита в [16].
Принимая D.40), по схеме, изложенной в предыдущем параграфе,
придем к необходимости определения контактного давления q(x) из
следующего нелинейного интегро-дифференциального уравнения:
IЙ * "[а " Пх)] =
К этому уравнению необходимо конечно добавить условие равновесия
штампа B.41).
В общем случае для уравнения D.41) могут быть построены лишь
приближенные решения (см., например, [4]). Однако в частном случае, когда
перекос штампа отсутствует (а = 0), штамп имеет параболическое
основание (/(х) = x2/BR)) и функция (p(t) = At2, может быть найдено
замкнутое решение уравнения D.41) с условием B.41).
Действительно, будем искать q(x) в виде
q{x) = By/a2 ~ x2. D.42)
Подставляя D.42)и в D.41), в рассматриваемом частном случае с учетом
интеграла B.45) найдем
^ | D.43)

14. Контактная задача для упругой полуплоскости с учетом шероховатости 49
Отсюда определим
Если считать, что безразмерный параметр ш = 8A62/R мал, то
D-45)
Далее по формуле B.41) на основании D.42) и D.45) имеем
D-46)
Сравнивая формулу D.46) с B.55), видим, что учет шероховатости
поверхности полуплоскости приводит к увеличению полудлины линии
контакта а и, как следствие, к уменьшению значения максимального
контактного давления.

Глава 5
Контактные задачи с учетом износа
5.1 Постановка контактной задачи с учетом износ*
для относительно тонкого слоя
Известно много разновидностей износа. Мы будем рассматривать абразив
ный износ. Это вид изнашивания материала в результате режущего ил!
царапающего действия твердых тел.
Типичный пример абразивного изнашивания — действие, которое ока
зывает на материал движущийся напильник. Назовем этот напильник по
лосовым штампом. Будем предполагать, что штамп перемещается с осред
ненным модулем скорости V в направлении своей образующей, в областк
его контакта с материалом возникают касательные усилия т, также
направленные вдоль образующей штампа, сам штамп не изнашивается.
Инерционными силами, возникающими от движения штампа, пренебрегаем.
Обычно принимается, что скорость w внедрения штампа в материал
является функцией от V и г. Для абразивного изнашивания
экспериментально установлена [19, 37] линейная зависимость
w = IVt, E.1)
где I называется коэффициентом износостойкости, т. е. скорость внедрения
пропорциональна мощности работы сил трения.
Будем рассматривать износ полосовым штапом упругого слоя,
защемленного по основанию (рис. 5.1), и будем предполагать, что слой
относительно тонкий, т. е. Л = h/a -С 1.
В силу формулы E.1) для производной по времени перемещения штампа
в направлении, перпендикулярном поверхности слоя, вследствие его износа
можно принять1
1 Износ это — процесс, поэтому все характерные величины в контактной задаче износа приобретают
аргумент t — время. Точка сверху означает производную по времени.
50

5.1. Постановка контактной задачи с учетом износа для тонкого слоя 51
Рис. 5.1
E.2)
или, интегрируя по t от начала процесса изнашивания t = О до текущего
момента, находим
E.3)
Принимая далее для контактного касательного усилия закон трения
Кулона, т. е. считая, что напряжение трения пропорционально контактному
давлению д(#,?), окончательно получим
t
v* = -mjq{x,QdC, m = klV, E.4)
о
где к - коэффициент трения.
Найдем вертикальные перемещения точек поверхности слоя v(xih1t)>
возникающие вследствие его упругого деформирования контактным
давлением <?(х,?). Касательное контактное усилие т(х, t) вызывает антиплоскую
деформацию слоя, которая, как известно, не связана с плоской
деформацией слоя, вызываемой контактным давлением q(x,t). Поэтому r(x,t) не
Судет никак влиять на значения v(x,h,t) и для функции г?(я, ft,t) можно
принять выражение
/ * \ П/JX f , Ч

Гл. 5. Контактные задачи с учетом износа
q,(x,t) = q(x,t) (\x\<a(t)), q,(x,t) = O (\x\ > a(t)), E.5)
вытекающее из второй формулы A.27), если в ней положить
тш{х) = 0.
Условие контакта штампа с поверхностью слоя теперь очевидно нужно
записать в виде
г;* + ф, ft, t) = -№) + a(t)x - f(x)] (\x\ < a(t)) E.6)
(сравни с B.1)). Подставляя сюда выражения E.4) и E.5), получим
интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода для определения контактного
давления
^q(x,t) + mfq(x,OdC = S(t)+a(t)x-f(x) (\x\ < a(t)). E.7)
К уравнению E.7) нужно еще добавить условия квазиравновесия
штампа
a(t) a{t)
j &t)<%, P(t)e(t)= j Sq&t)dZ E.8)
-a(t)
(сравни с B.41) и B.47)).
5.2 Контактная задача с учетом износа при
фиксированной области контакта
Допустим, что штамп (напильник) имеет углы, фиксирующие размер 2й
линии контакта. Тогда а = 0 и в формулах E.7), E.8) нужно заменить a(t)
на а. Предположим также, что e(t) = 0, а функция f(x) — четная, тогда
очевидно и угол перекоса штампа a(t) = 0.
Разберем далее два случая: 1) задана функция J(?), 2) задана функция
Итак, пусть задано внедрение штампа S(t). Продифференцируем
уравнение E.7) по t Будем иметь
n-lq{x, t) + mq(x, t) = j(x, t), E.9)
где обозначено
n = в/ihA), 5{x, t) = 5(t) - f(x). E.10)
К дифференциальному уравнению E.9) добавим еще начальное условие
п~1д(а:,0) = ф,0), E.11)

5.2. Контактная задача при фиксированной области контакта 53
вытекающее из E.7) при t == 0.
Решение уравнения E.9) при условии E.11) имеет вид
t
q{x, t) = п6(х, 0) e~mnt + п j 5(Q е"™^) %a E.12)
о
Интегрируя соотношение E.12) по х от -а до a, найдем
P(t) = n[2a*@) - / /(О d?] e~mnt + 2an / 6@ е~тп^ d(. E.13)
0
В частности, если скорость износа постоянна, т. е. 6(t) = 6q + 6\t, и f(x) =
), то из формул E.12), E.13) определим
6\
т
E.14)
= 2ап (б0 - §=) e~mnt + —A - e"mnt).
у oil/ 771
Пусть теперь задана вдавливающая сила P(t). Проинтегрируем
дифференциальное уравнение E.9) по х от —а до а
n^Pfr) + mP(t) = 2a6(t). E.15)
Отсюда найдем
1 = h kn'lp@ + тР@) d( + 6@). E.16)
Величину 6@) найдем, проинтегрировав по х начальное условие E.11) по
ют -а до а. Будем иметь
^ E.17)
Выражение для контактного давления q(x, t) по-прежнему дается
формулой E.12). В частности, если вдавливающая сила P(t) = Р = const и
1(х) = x2/BR), то из формул E.16), E.17) и E.12) получим

54 Гл. 5. Контактные задачи с учетом износа
E.18)
Заметим, что при R -* оо формулы E.14) и E.18) дают
соответствующие решения контактной задачи об износе плоским штампом.
Любопытно отметить, что при 6(t) = <$о+<М из формул E.14) при t -> ос
следует
а из формул E.18) в случае P(t) = Р при t —» оо найдем
^' «(*,«>) = ^ E.20)
В обоих случаях контактное давление стремится к среднему значению
силы.
5.3 Контактная задача с учетом износа при
переменной области контакта
Допустим, что штамп (напильник) не имеет углов и теперь а ф 0.
Предположим также, что e(i) s 0, а функция f(x) = x2/BR), тогда a(t) s 0.
Очевидно, что а = a(t) (a = a(Q) будет монотонно возрастающей
функцией вследствие износа, тогда существует обратная функция t = b(a)
(С = Ь(а)). Примем а за новое, приведенное время и перепишем
соотношения E.7), E.8) в виде
1 \ х2
~q{xya) + raj q{x,a)d(; = б {а) - — @ < х < а),
j
E.21)
о
Сюда необходимо еще добавить условие B.54), служащее для определения
полудлины а области контакта. Его мы теперь запишем, учитывая, что вне
штампа поверхность слоя не нагружена, в форме
g(z,a) = 0 {x>a). E.22)

5.3. Контактная задача при переменной области контакта 55
Далее волны над функциями в E.21) и E.22) опускаем.
Перейдем в первой формуле E.21) к интегрированию по а. В силу E.22)
будем иметь два соотношения
1 ? х2
-q(x, a) + mj q(x, a)ti(a) da = S(a) - — @ < x < a0),
E.23)
1 ? x2
-q(x, a) -f m J q(x, a)fc'(a) da = S(a) - — (a0 < x < a),
где a0 = a@) (заметим, что 0 = 6(ao)).
Из второго соотношения E.23) при х = а имеем
6(а) = а2/BД). E.24)
Дифференцируя оба соотношения парного уравнения E.23) по а, с учетом
E.24) найдем
rTlq'a{x, a) + mq{x, a)fc'(a) = a/R. E.25)
К дифференциальному уравнению E.25) нужно добавить начальное усло-
ВИ6 2_ 2
>,ао) = ^-, E.26)
вытекающее из первого соотношения E.23) с учетом E.24).
Продифференцируем по а вторую формулу E.21). С учетом E.22)
найдем
P'(a) = 2/<?(?,a)#. E.27)
о
Теперь проинтегрируем по ж от 0 до а уравнение E.25). С учетом второй
формулы E.21) и формулы E.27) получим
гГ1Р\а) + тР(а)Ь'(а) = 2а2/Я E.28)
К дифференциальному уравнению E.28) нужно еще добавить начальное
условие
вытекающее из E.26), если соотношение E.26) проинтегрировать по ж от 0
до а и почленно умножить на 2.
Пусть, в частности, 6(а) = Sq + Sit. Тогда в силу E.24)
а = )/2REQ + Sit), a0 = y/2RS0. E.30)

5($ Гл. 5. Контактные задачи с учетом износа
Из E.30) имеем
Подставляя выражение Ь'(а) в форме E.31) в уравнение E.25), получим
1( ч 2с2а , х an f о тп6о\ .„ ftft.
&х,а) + -щф,а)-1[ (с2 = ^). {5.321
Решая дифференциальное уравнение E.32) с граничным условием E.26)
найдем
я(*-•>-1)-К»-Э1-
Подставляя выражение Ь'(а) в форме E.31) в уравнение E.28), получим
Р'(а) + ^Р@) = ^. E.34)
Решая дифференциальное уравнение E.34) с граничным условием E.29),
найдем
Пусть теперь, в частности, P(t) = Р = const. Тогда из уравнения E.28)
Из E.29) найдем
з ЗРЯ , .
ag « -^-. E.37)
Тогда из E.36) с учетом E.37) получим для а выражение
а = [ЗРД^-1 + т*)/2]1/3. E.38)
Подставляя выражение E.36) для 6'(а) в уравнение E.25) и учитывал
E.37), получим
fl?(*,a) + |?ff(*fa) = ^. E.39)

5.8. Контактная задача при переменной области контакта 57
Решая дифференциальное уравнение E.39) с граничным условием E.26),
найдем
х ехр (-^, Г(а, и) = /е~ V1 do. E.40)
Интересно отметить совершенно разное поведение полуширины области
контакта а от времени t. В первом случае а растет с ростом ?, как корень
квадратный от линейного агрегата по t, а во втором случае, - как корень
кубический от линейного агрегата по t.

Глава б
Контактная задача с учетом износа и
тепловыделения от трения
6.1 Постановка задачи о контакте двух тел с тонкими
мягкими покрытиями
Пусть на одно тело нанесено покрытие 1 начальной толщины Лю, а на
другое тело — покрытие 2 начальной толщины /i2o; механические и тепло-
физические характеристики покрытий различны; механические
характеристики самих тел значительно превосходят механические характеристики
покрытий тел так, что тела по сравнению с их покрытиями можно считать
абсолютно жесткими; область контакта тел с покрытиями намного
превосходит толщины покрытий h\o и /i20 так, что покрытия можно считать
относительно тонкими.
Используя "принцип микроскопа"[39], растянем окрестность какой-либо
точки внутри области контакта и представим схему контакта тел с
покрытиями, как это показано на рис. 6.1.
Пусть в момент времени t = О одно тело, находясь в контакте с другим,
начинает двигаться относительно него с постоянной скоростью V в
направлении оси z. Динамическими эффектами будем пренебрегать. Обозначим
через q(t) контактное давление в момент времени t, в силу "принципа ми-
кроскопа"его можно считать не зависящим от координат х и z.
Допустим, что в области контакта возникают силы трения т(?),
связанные с давлением q(t) нелинейной зависимостью г = k(q). В качестве
функции k(q) можно, например, принять
fcfa)«T,[l-exp(-fc*/rO], F.1)
где г„ — минимальное из касательных напряжений текучести материалов
покрытий, к — коэффициент кулоновского трения пары материалов покры-
58

6.2. Определение контактных температур 59
тий, зависящий в общем случае от температур контактных поверхностей.
Ниже для простоты будем считать величину к постоянной.
| | I I I I I it Закон трения в фосме F.1)
111111111 У® удобен в том отношении, что
при относительно малых зна-
f////////SSSSSSSSS/SSSSSSSS//S/S/SS/.
У ж ] \ чениях давления q он пере-
1 J hi(t) I ходит в закон трения Ку-
А>/| ,, ^ лона, а при относительно
больших значениях
давления q — в закон
адгезионного трения.
Вследствие трения в об-
|}|}|1Т}} Я (О ласти контакта возникает из-
•I'll I I I I нос поверхностей покрытий.
Рис. 6.1 Происходит изменение
толщин покрытий за счет износа и термоупругих деформаций. Обозначим
текущие значения толщин покрытий через h\(t) и fi2(t). Износ будем считать
абразивным, тогда уменьшение толщин покрытий вследствие износа
произойдет соответственно на величины
t t
vu(t) = -hVJ k(q) dC M*) = hV J k(q) dC» F.2)
о о
где li - коэффициенты износостойкости пары материалов покрытий.
Вследствие трения в области контакта происходит также
тепловыделение. Если пренебречь малой долей мощности работы сил трения, идушей на
износ покрытий и на приращение мощности их упругой энергии, то
количество тепла, выделяемое в единицу времени на единицу площади контакта,
можно представить формулой
Q = Vr(t) = Vk(q). F.3)
Износ — медленно протекающий процесс, поэтому будем считать, что
Функции q(t), r(t), hi(t) и Ii2(t) являются медленно меняющимися.
6.2 Определение контактных температур
В контактной задаче с учетом износа и тепловыделения от трения инте-
i'CHo определить не только контактное давление, но и контактные темпе-
;«уры поверхностей покрытий.

60
Гл. 6. Контактные задачи с учетом износа
Для этого предварительно, до определения контактного давления (времен
но считая его заданным), должна быть рассмотрена задача теплопровод
ности для тел с покрытиями при наличии источников тепла в зоне их кок
такта, т. е. на оси х. Поскольку q(t) изменяется медленно, то процесс тег,
лопроводности можно считать квазистационарным.
На самом деле
тепловыделение происходит не на
оси х, а в тобком слое,
примыкающем к оси ж,
толщины 8 -С Inf(/iio, /&2о)>
который называют "третьим
телом". Теплофизические
свойства этого слоя из-за
наличия продуктов изйоса,
шероховатостей поверхностей
контакта и существования
множества мельчайших
дефектов вблизи этих поверх- Рис. 6.2
ностей (микроповреждений и трещин) весьма неоднородны по толщине.
Таким образом, чтобы правильно сформулировать граничные условия задачи
теплопроводности между покрытиями 1 и 2, т. е. на оси я, нужно сначала
решить задачу теплопроводности для неоднородного по теплофизическим
свойствам слоя толщины 8 с распределенными в нем источниками тепла
(рис. 6.2).
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности
[А(у)Т"(з/)]' = -/(у), F.4)
где Т(у) — температура "третьего тела", Х(у) — его коэффициент
теплопроводности, f(y) — распределенные в нем источники тепла. Поставим на
границах "третьего тела"следующие условия:
при у = О
при у = 5
F.5)
F.6)
где Т\ и Т% — температуры в покрытиях 1 и 2, Ai и Л2 — коэффициенты
теплопроводности их материалов. Условия F.5) и F.6) — это обычные условия
равенства температур и потоков тепла между разнородными контактиру-

6.2. Определение контактных температур 61
ющими телами. Заметим, что \F) = Ль Л@) = Лг в силу
непрерывности перехода теплофизических свойств "третьего тела"к теплофизическим
свойствам покрытий 1 и 2 на границах у = 6 и у = 0. Заметим еще, что
//(f?)*? = Q, F.7)
о
где величина Q определяется формулой F.3).
Интегрируя уравнение F.4) один раз и используя вторые условия F.5)
и F.6), получим
X2T^X1T{^Q^Vk(q), F.8)
Интегрируя уравнение F.4) вторично и используя первые условия F.5) и
F.6), получим
Ti - Т2 - -//(Ч)**/Щ + ^?. F.9)
//
Здесь введено обозначение
Оценивая левую часть соотношения F.9) сверху и снизу, найдем
'А
2 А.'
F.11)
- Т2 <
2i ~ П > -Qj-
Учитывая, что <$ очень мало, примем теперь для Т\ — Т% среднее значение
жжду верхней и нижней оценками. В результате получим известное [31]
условие неидеального теплового контакта
Величина г называется контактным термосопротивлением. Чем больше
l(t), тем плотнее контакт и меньше г, т. е. г = r(q), где r(q) монотонно
убывающая функция. Ниже для простоты будем считать величину г
постоянной.
Приступим теперь к решению задачи теплопроводности для тел с
покрытиями. При у = 0 будем ставить условия F.8) и F.12). Примем, что

62 Гл. 6. Контактные задачи с учетом износа
температура тел То постоянна и все время равна температуре окружающей
среды, ее можно принять за начало отсчета температур, т. е. положить
2о = 0; значит Т\ = 0 при у = hi и Т2 = 0 при у = ~h2. Температуры
покрытий в области контакта (у = 0) обозначим соответственно через Т{
и Т2*. Тогда из уравнений теплопроводности для покрытий
Т? = 0 D = 1,2)
найдем для температур в покрытиях выражения
?) F.13)
С помощью F.13) удовлетворим, наконец, условиям F.8) и F.12) при у = 0.
В результате для контактных температур Тх* и Т2 получим выражения
Т* = Vk(q)hi(X2r + гйг)^, Г2* = Vk{q)h2(Xir
F.14)
D = 2(AiA2r + A2/i! -f Ai/i2).
Нужно потребовать, чтобы 2\* и Т2* при любых значениях t не достигали
температур плавления 7\* и Г2* материалов соответствующих покрытий.
Это при условии, что q(t) < q* < оо, накладывает ограничение на
скорость V, т. е. из равенств maxtTJ* = TJ* может быть найдена некоторая
критическая скорость К, превышение которой приведет в какой-то
момент времени к подплавлению одного из покрытий.
Для окончательного суждения о величине контактных температур надо
определить контактное давление q(t).
6.3 Определение контактного давления
1. Допустим сначала, что функция q(t) задана. Найдем ресурс работы пары
тел с покрытиями. Для этого заметим, что должны иметь место равенства
Vl(bl,t)+Wb(*) = -ftlO + Ul(t), V2(-h2,t) + V2*(t) = h2Q-h2{t), F.15)
где vi(y,t) и v2(y,t) — упругие перемещения точек покрытий по оси у,
a Vu(t) и V2*(t) определяются формулами F.2). Относительно v\(hi,t) и
V2{-h2,t) заметим, что с уменьшением hi(t) и hi{t) справедливы
асимптотические соотношения
t) - O(hi), v2(-h2i t) = O(h2) F.16)

6.8. Определение контактного давления 63
(это вытекает из формул F.24), приведенных ниже).
Предположим, что износ достаточно развит, тогда в силу формул F.15)
и F.16) можно записать
/Но - hV I k(q) К = Ofo), h20 - 12V j k(q) d( = O(h2). F.17)
о о
Определим ресурс работы как время, необходимое для полного истирания
одного из покрытий. Из первой формулы F.17) при hi = 0 найдем
некоторое время $i, из второй формулы F.17) при h2 = 0 определим некоторое
время Ц. Тогда ресурс равен
*2). F.18)
Например, при q(t) = g* = const имеем
hl° h20 ]
2. Пусть теперь функции hi(t) и h2(t) заданы, тогда функция
S(t) = Лю + h2Q - hx - h2i F.20)
определяющая процесс сближения оснований у = hi(t) и у = —h2(t)
покрытий, также задана. Найдем, как изменяется контактное давление q{t).
Вычтем первое соотношение F.15) из второго, получим в силу F.20)
t*(-ft2, t) - vi{hut) + v2*(t) - vu(t) = 6{t). F.21)
Чтобы определить v2(—h2i i) и Vi(/ib ?), т. е. вертикальные упругие
перемещения границ j/ = h\(i) и у = -h2(i) покрытий 1 и 2, воспользуемся, прене-
брегая инерционными членами, уравнениями линейной несвязанной
термоупругости [23]. Принимая во внимание, что напряженно-деформированное
состояние покрытий зависит только от координаты у и времени t (как
параметра), получим
F.22)
1 2A)
де Gj и i/j — модули сдвига и коэффициенты Пуассона покрытий, аг- —
их коэффициенты линейного расширения. Учитывая, что температуры в

64 Гл. 6. Контактные задачи с учетом износа
покрытиях определяются формулами F.13), и интегрируя
дифференциальное уравнение F.22), будем иметь
воТ*
+ а2у + b2h2i
F.23)
Функции времени uj и hi определяются из следующих граничных условий
vi@, t) = v2@, t) = 0, (ту1@, t) - ау2@, t) = -q{t). F.24)
В результате найдем
VI (ЛЬ t) = -^ + Ift ft^, г;2(-Л2, t) = ^ - 5^*2^2 • (б25)
71 ^ 72 ^
Подставим теперь соотношения F.2), F.25) в F.21) и исключим Т{, Т2*
с помощью формул F.14). В итоге получим для определения q(t) при
известных hi(i), h,2(t) (а, следовательно, и при известном 6(t)) нелинейное
интегральное уравнение Вольтерра
hi ,
2D
F.26)
О
3. Пусть далее S(t) имеет порядок упругого перемещения. Это
очевидно будет, если мы рассмотрим относительно малый отрезок времени
О < t < U < оо. В этом случае в уравнении F.26) можно приближенно
заменить hi(i) на Лю и h2(t) на h2Q. Положим также, что k(q) имеет вид
F.1), а скорость износа постоянна, т. е. S(t) = Sq + <5it. Тогда интегральное
уравнение F.26) после перехода к безразмерным величинам
F.27)
(штрихи далее опускаем) и безразмерным комплексам
а =

6.3. Определение контактного давления 65
с = (Zi + /2O-*, Do = 2(AiA2r + A2/i10 + Ai/i20)
примет вид
t
aq - 6A - e~q) + cj{\ - e"«) dC = <*o + *i*- F.29)
0
Заметим, что интегральное уравнение F.29) эквивалентно
дифференциальному уравнению
q\a - be~q) = -(с - 6г) + се"? F.30)
при начальном условии
a<7o-fr(l-e-*>) = <Jo, F.31)
где ^о — начальное безразмерное контактное давление.
После решения задачи F.30), F.31) и определения q(t) безразмерные
контактные температуры
,9 ?ТА> ,9
1 КтЛ(Аг + 2/1)' 2
могут быть в соответствии с F.14) найдены по формуле
tf12 = 1 _ e-q. (б.ЗЗ)
4. Рассмотрим случай, когда до мало, и будем считать, что в
рассматриваемом диапазоне времени давление q(t) также мало. Линеаризуя
соотношения F.30), F.31) и F.33), имеем
6u qo(a-b) = 6o, t?i,2 = q. F.34)
Отсюда при a > b
с \a-b с/ V a-6/ ч
Таким образом q(t) меняется в пределах от 60(а - б)" при t = 0 до ^с
при t -¦ 00.
Заметим, что a > 6 — условие термосиловой устойчивости процесса
износа, ибо если а < 6, то контактное давление q(t) и, следовательно,
контактные температуры tf i,2(?) экспоненциально растут по модулю с течением
времени.

Гл. 6. Контактные задачи с учетом износа
Пусть теперь од велико, и будем считать, что в рассматриваемом
диапазоне времени давление q(t) также велико. Упрощая соотношения F.30).
F.31) и F.33), имеем
^ ^ «у-1. F.36)
Отсюда при о 5\
а а
Таким образом q(t) меняется в пределах от F + Sq)^1 при t = 0 до нуля
Заметим, что с > 6\ является условием отсутствия катастрофического
износа, ибо если с < Si, то контактное давление линейно растет с течением
времени.
5. Рассмотрим при выполнении условий о > b и с > Si общий случай
F.30), F.31) и F.33). Решение уравнения F.30) имеет вид
где до определяется по заданному Sq из начального условия F.31).
Несложный анализ формулы F.38) показывает, что если
Ji=c(l-e-*), F.39)
то q = go и #i,2 = 1 — exp(-g0) при всех t. Если (режим 1)
?i<c(l-e~90), F.40)
то q с течением времени монотонно уменьшается от значения <?о при t = 0 и
выходит на асимптоту q\ = — ln[(c — Si)c~l] при t —> оо; аналогичное
изменение претерпевает #1,2 в соответствии с формулой F.33). Если (режим 2)
й>сA-е-»), F.41)
то q с течением времени монотонно возрастает от значения од при t ~ 0
и выходит на асимптоту q\ = - ln[(c - Si)c~l] при t -+ оо; аналогичное
изменение претерпевает #it2 в соответствии с формулой F.33).

Глава 7
Контактные задачи с учетом смазки
7.1 Уравнение течения вязкой жидкости в тонком
слое
Рассмотрим плоскую задачу об установившемся течении вязкой жидкости
в тонкой части зазора между твердыми поверхностями двух тел 1 и 2 —
зращающихся относительно своих центров О\ и О% круговых цилиндров
(рис. 7.1).
Пусть скорости поверхностей
тел в направлении оси х
соответственно U\ и С/г, а скорости
поверхностей в направлении оси
1/ равны нулю. Приближенно,
учитывая, что толщина h(x)
тонкой части зазора между поверх-
ностями тел мала по сравнению
с их радиусами R\ и #2, можно
¦питать, что в жидкости
касательное напряжение г является
функцией только от у, а давле-
т q — функцией только от х.
В этом случае уравнение движе-
ния малого элемента жидкости
будет иметь вид (инерционным членом и массовой силой пренебрегаем)
рис
67

Гл. 7. Контактные задачи с учетом смазки
Для ньютоновской вязкой жидкости имеем [26, 34]
где IX — вязкость жидкости, и — скорость движения жидкости в
направлении оси х. Подставляя G.2) в G.1), найдем
G3)
Уравнение G.3) является частным случаем уравнений движения вязкой
жидкости Навье-Стокса [26].
К уравнению G.3) нужно добавить граничные условия
2/ = 0: и = иъ у = Л: и = U2. G.4)
Предполагая, что /z зависит только от q и интегрируя с учетом G.4)
уравнение G.3) два раза по у, получим
и=тМ^ ~yh)+1{и* ~ Ul)+Uv (гь]
Теперь в силу формулы G.2) имеем
К) + ^{Щ-и,). G.6)
Найдем среднюю скорость жидкости в тонкой части зазора
Замечая, что через любое сечение зазора проходит одна и та же масса
жидкости, т. е.
р/ш* = const, G.8)
где p(q) — плотность жидкости1, на основании G.7) получим
Это уравнение, описывающее течение вязкой жидкости в тонком слое,
называется уравнением Рейнольдса [24, 34].
Предполагаем, что жидкость баротропная; часто используется зависимость р = poqn
(политропический процесс), величина 1/п называется показателем политропы [25].

7.2. Постановка контактной задачи для подшипника скольжения
69
7.2 Постановка контактной задачи с учетом смазки
для подшипника скольжения
Будем считать подшипник бесконечно длинным в направлении оси zx
перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 7.2), и будем рассматривать
случай его плоской деформации.
Подшипник состоит из
жесткого тела 1 (буксы) с упругим
вкладышем толщины Н и
жесткого тела 2 (шипа). Будем
предполагать, что между
поверхностями буксы и вкладыша
осуществлено полное сцепление.
Пусть механические
характеристики вкладыша G ~ модуль
сдвига и у — коэффициент
Пуассона. Тело 1 с вкладышем и тело
2 равномерно вращаются
против часовой стрелки с
различными угловыми скоростями от- ^
носительно своих центров О\ и
02- В зазор между вкладышем Рис. 7.2
и телом 2 введено ограниченное количество смазки (вязкой ньютоновской
несжимаемой жидкости) так, что в некоторой своей части поверхности
вкладыша и тела 2 вступают в контакт через тонкий слой смазки. Течение
смазки установившееся. Для описания этого течения будем пользоваться
уравнением G.9), которое при р = const принимает вид
где \i - вязкость смазки, h(x) — толщина зазора и q(x) — давление в зоне
контакта х ? [а,Ь], U\ и U2 линейные скорости поверхностей вкладыша и
тела 2. Будем предполагать, что имеет место цепочка неравенств
где R\ — внутренний радиус вкладыша п R2 — радиус тела 2, а вязкость
A зависит только от давления.

70
Гл. 7. Контактные задачи с учетом смазки
Рассмотрим в увеличенном виде зону контакта (рис. 7.3). В точке х = 6,
крайней точке области контакта, происходит разрыв смазочного слоя на
два потока толщиной h\ и Лг. Эти потоки при вращении тел 1 и 2, прилипая
к ним, переносятся непрерывно и равномерно к началу области контакта
х = а, где они сливаются. Пусть полное количество смазки в зазоре лишь
немного превосходит
Q = /ш„ G.12)
т. е. то количество смазки, которое может пройти через зазор при заданном
сжимающем усилии Р, и пусть на входе в область контакта образуется
небольшой избыток.смазки. На основании этого будем предполагать, что на
входе области контакта (области смазывания) существует некоторая малая
застойная или вихревая зона S.
Сформулируем условие контакта вкладыша с телом 2 через слой смазки
h(x). Будем предполагать, что Я ~ h(x). Тогда в силу G.11) — вкладыш
весьма тонкий и упругие перемещения его поверхности на основании
второй формулы A.27) можно представить формулой
ТТ
G.13)
q,(x)=q(x) (x €(<*,&)), «,(i)-0 (z <? (a,b)).

7.2. Постановка контактной задачи для подшипника скольжения 71
Влиянием сил трения на величину v(x, 0) пренебрегаем. Теперь условию
контакта можно придать вид
h(x) = [Мх) + 6] - [Л(х) + v(x, 0)] (х € (а, Ь)), G.14)
w h(x) (i =• 1,2) — функции, описывающие геометрию поверхностей
зкладыша и тела 2 в области контакта, 8 — жесткое перемещение тела
1 в направлении оси у, жесткое перемещение тела 1 считаем равным нулю.
Учитывая G.11), можно принять
/«(*) = **/BЯ,)- G.15)
Подставляя G.13) и G.15) в G.14), представим условие контакта в форме
+ jAq(x), R = ^ (xe(a,b)). G.16)
Из системы уравнений G.10) и G.16) нужно определить функции q(x) и
ft(i), а также 5 и координаты а и Ь начала (сечение 1-1) и конца (сечение 2-
2) области контакта (рис. 7.3). Для этого нужно сформулировать в точках
г = а и х = 6 по два граничных условия на функцию q(x) и добавить к
равнениям G.10) и G.16) очевидное условие квазистатики
*
P = jq(x)dx. G.17)
а
Чтобы получить граничные условия в конце х = Ь области контакта,
примем во внимание, что в сечении 3-3 (рис. 7.3) на поверхностях слоев
мазки толщин h\ и h<i давление q(x) = 0 (следовательно и q'{x) = 0).
Совмещая сечение 3-3 с сечением 2-2, по непрерывности найдем, что
q(b) = ^F) = 0. G.18)
Для вывода граничных условий при х = а примем, что координата
"начала области контакта определяется сечением 1-1, соответствующим
рю застойной (вихревой) зоны S. В застойной зоне q{x, у) = и{х, у) =
= г(я,2/) s 0 (в вихревой зоне эти же величины равны нулю в среднем),
поэтому в точке х = а
q(a) - u(a, у) = т(а, у) = 0. G.19)
Зсилу G.19), приравняв выражения G.5) и G.6) при х = а нулю и решив
•к относительно у и д', найдем

Гл. 7. Контактные задачи с учетом смазки
Здесь также было учтено, что qr(x) > 0 в точке х = а. Поскольку должно
быть 0 < уа < h(a)y то из первой формулы G.20) имеем
Подставляя в G.21) значение q'{a), определяемое второй формулой G.20),
придем к выводу, что неравенство G.21) будет выполнено, если во второй
формуле G.20) взять знак плюс. Таким образом в начале х = а области
контакта имеем следующие граничные условия
Итак постановка задачи завершена. Имеем уравнения G.10) и G.16),
условие G.17) и граничные условия G.18) и G.22). После определения
функций q(x), h(x) и величин а, Ь, 6 могут быть найдены скорости и
частиц смазки по формуле G.5), касательные усилия г в частицах смазки по
формуле G.6), расход смазки по формулам G.7) и G.12). По формуле
ь
Pe = Jxq(x)dx G.23)
а
может быть определен эксцентриситет е приложения силы Р. По формулам
Ц У% G.24)
могут быть найдены сила трения скольжения Т\ и сила трения качения Т2.
Установим еще связь между h(a) и h(b). Интегрируя один раз
дифференциальное уравнение G.10) и используя граничное условие q'(b) = О,
получим
1 г
Принимая во внимание второе граничное условие G.22), из G.25) будем
Из G.26) найдем, что при любых U1/U2 € [0, со) справедливо неравенство
1.5 < m < 3.

7.3. Решение задачи для недеформируемого подшипника 73
7.3 Решение контактной задачи с учетом смазки для
недеформируемого подшипника скольжения
Считая подшипник недеформируемым, устремим в условии контакта G.16)
величину 0 к бесконечности. Тогда толщина смазочного слоя будет
k{x) = 5 + ^R- G'27)
Заметим, что при 0 —¦ оо мы переходим от схемы подшипника,
изображенной на рис. 7.2, к схеме, изображенной на рис. 7.1. Далее будем
использовать формулу G.27), а также уравнение G.25), добавляя к ним соотношение
G.26) и условия
q(a) = q(b) = 0. G.28)
Известно [24], что /х = p(q) является неотрицательной монотонно
возрастающей функцией. Тогда F(q), связанная с fi(q) формулой
dF(q) = -\p(q)]-l*l, G-29)
будет являться неотрицательной монотонно убывающей функцией.
Например, если
// = №aq G.30)
(формула Баруса [24]), где /хо — вязкость при q = 0, а а — пьезокоэффи-
циент вязкости, то
Интегрируя при втором граничном условии G.28) дифференциальное
уравнение G.25), с учетом G.29) найдем
G.32)
рДе /(#) — обратная функция к F(q). Удовлетворяя теперь с помощью
G.32) первому граничному условию G.28), придем к соотношению
служащему вместе с G.26) для определения координат а и b начала и кон-
ia области контакта при заданном 6. Саму величину S можем найти из
словия квазистатики G.17).

74
Гл. 7. Контактные задачи с учетом смазки
а
Ь
Рис. 7.4
Анализируя формулы G.27) и G.32), нетрудно убедиться, что
контактное давление q на участке контакта а < х < Ь имеет один экстремум в
точке х = —6, где достигает своего максимального значения. Из формулы
G.27) следует, что толщина смазочного слоя достигает своего
минимального значения frmjn = б в точке х = 0. Так как h(a) > h(b) в силу G.26).
то из G.27) следует, что а < -Ь. Еще заметим на основании G.27), что
h(-b) = h(b). Графики q(x) и h(x) схематически изображены на рис. 7.4.
7.4 Решение контактной задачи с учетом смазки для
подшипника скольжения с деформируемым
вкладышем
В случае деформируемого вкладыша задача, поставленная в п. 7.2, уже не
может быть решена в замкнутом виде из-за нелинейности
дифференциального уравнения G.25).
Упростим задачу следующим образом: будем считать, что вязкость ц
есть постоянная величина (независящая от q) и в уравнении G.25) функцию
hz(x) в знаменателе правой части заменим величиной /ij, где Л« — среднее
значение функции h(x) на [а, Ь]. Проинтегрируем затем уравнение G.25) по
х в пределах от а до Ь. Учитывая граничные условия
q{a) = q(b) - 0,
G.34)
придем к соотношению
ь
J[h{x) - ft(fc)] dx = 0 -> ft, = j-^ / h(x) dx = h{b). G.35)

7.4- Решение задачи для подшипника с деформируемым вкладышем 75
В результате дифференциальному уравнению G.25) можно придать вид
ldq 6(Ц, + Ц)[Ц»)-Ь(ЬI . ,
JE = Щ) • G'36)
Добавим к уравнению G.36) граничные условия G.34), соотношение
G.26), условие квазистатики G.17) и условие контакта G.16), которое
представим в форме
^+**) 6h®
Подставим величину h(x)—h(b) из G.37) в G.36) и придем к следующему
линейному дифференциальному уравнению относительно q(x)
q'-kq=: l(x2 - b2), G.38)
6n(Ua + Ui) AH Qii{U2 + Ux) 1
h\b) в ' h?(b) 2R'
Решение уравнения G.38) при втором граничном условии G.34) имеет вид
Удовлетворяя с помощью G.39) первому граничному условию G.34),
найдем
Полагая х = ав условии контакта G.37) и вновь учитывая первое
граничное условие G.34), имеем
?f G.41)
Подставляя h(a) в форме G.41) в первую формулу G.26), получим
0ТУ {1А2)
Соотношения G.40) и G.42) служат для определения начала а и конца
& области контакта при заданном ЛF). Далее по второй формуле G.37)
найдем величину 6. Саму величину h(b) найдем из условия квазистатики
'7.17), которому с помощью G.39) можно придать вид

76 Гл. 7. Контактные задачи с учетом смазки
2Ь3 Ь2 26 б2 а о3 а2 2а\
+ 3fc ~Jfc2~P~T + 3fc + fc2+Fj"
G.43)
Итак, величины а, 6, <$ и /iF) будем считать найденными. Далее из уело
найдем точку максимума, а затем из формулы G.39) значение максимума
контактного давления q; из условия контакта G.37) с учетом G.39) имеем
с2-б2
2R +
2ЛI Vfe2 кЧ к к к2 к3]'
наконец из условия
найдем точку минимума, а затем из формулы G.45) значение минимума
толщины h смазочного слоя.
Качественно картины изменения q(x) и h(x) имеют вид, изображенный
на рис. 7.4.

Глава 8
Контактная задача герметологии
8.1 Постановка контактной задачи о герметичности
деформируемого стыка
Пусть дан упругий слой (|ж| <
ю, \у\ < оо, 0 < z < Я),
защемленный по основанию. Пусть на
верхнюю грань слоя (z = Я)
поставлена плоским торцом
жесткая стенка (\х\ < а, \у\ < оо,
Я < z < оо), как изображено
на рис. 8.1. Слева от стенки
находится жидкость под
давлением q$, справа давление равно
нулю. Допустим теперь, что
стенка удерживается вертикально в
неподвижном состоянии, а через
область контакта \х\ < а ее со
слоем, вследствие деформации
последнего жидкость, просачи-
зается направо, образуя
прослойку толщины h(x) (max/i(x) <C 2a).
Необходимо рассчитать вертикальное усилие Р на единицу длины
стенки, удерживающее ее так, чтобы поток Q (или массовый расход М) жидко-
"ги через зазор под стенкой был бы предельно мал. Такой случай возможен
2,22], назовем его режимом фильтрации или ограниченной герметичности.
Запишем условие контакта стенки с упругим слоем через тонкий слой
Рис. 8.1
77

Гл. 8. Контактная задача герметологии
жидкости. Исходя из формулы G.14) при 6 = 0 и /i(x) = /2(х) = 0, имеем
-v(ar, Я) = й(ж) (|я| <а). (8.1)
Выражение для г>(я, Я) согласно второй формуле A.17) при т(?) = 0 мож
но представить в виде1
(8.2)
где Д22М и D(u) даются формулами A.15), A.16). В B) учтено, что на
интервале (—оо, —а) на слой вне стенки действует пригрузка g«, q(x) —
контактное давление, в — G/A — v), G и v — упругие постоянные слоя.
Подставляя (8.2) в (8.1), после несложных преобразований представим условие
контакта в форме
к i^-~) d?+J q№ (^) dt = ir6h(x) (\x\ < a), (8.3)
^ 0
Можно показать, что при t -» оо ядро K(t) экспоненциально стремится
к нулю, кроме того в п. 1.3 было показано, что при t -» 0 ядро ведет себя
с точностью до множителя как дельта-функция. Из сказанного следует,
что при А = Н/а <1С 1 первый интеграл в (8.3) экспоненциально убывает
с ростом аргумента у функции K(t) и им можно пренебречь, а второй
интеграл дает
Ы
В итоге условие контакта (8.3) можно сильно упростить, придав ему вид
к К '
(сравни с формулой G.16) при R = сю и S = 0).
(8.5)
2В формуле A.17) нижние пределы интегрирования у внешних интегралов, как можно показать,
могут быть равны -оо, если нагрузки q{?) и т(?) ограничены при х —* — оо.

8.2. Решение контактной задачи о герметичности деформируемого стыка 79
В уравнении (8.5) мы имеем две неизвестные функции q(x) и h(x).
Замыкающее задачу дифференциальное уравнение будет сформулировано для
различных случаев в следующем параграфе.
8.2 Решение контактной задачи о герметичности
деформируемого стыка
L Рассмотрим случай, когда область —оо < х < а, \у\ < оо, Н < z < оо
(область слева от стенки) заполнена несжимаемой ньютоновской
жидкостью. На основании формулы G.7) при U\ = U2 = 0 и формулы G.12)
запишем дифференциальное уравнение, описывающее стационарное
течение жидкости в тонком слое, и граничные условия к нему
MQ' q{~a)=qt' q{a) = 0- (8-6)
Здесь Q = const — расход жидкости через зазор. Будем предполагать, что
зависимость вязкости \i от давления дается формулой G.30).
Подставим теперь h(x) в виде (8.5) и /х в виде G.30) в уравнение (&.6)]
будем иметь
-e-nV*4 = Q., P(-l) = l. РA) = О, (8.7)
где введены безразмерные величины
Р = <?/?*, n = ag*, ^ = x/a, Q* = 12fiok3aQ/qi (8.8)
(а и ^о определены формулой G.30)). К уравнению (8.7) нужно еще
добавить условие равновесия стенки
. (8.9)
-1
Уравнение (8.7) является уравнением с разделяющимися переменными.
Решение его с учетом последнего граничного условия (8.7) получим в виде
[-е"пр(пУ + ЗпУ + вир + 6) + б]/п4 = Q,(l - 0- (8.10)
Отсюда, удовлетворяя первому граничному условию (8.7), найдем для <3*
такое выражение
Q, = [-е~п(п3 + Зп2 4- бп + 6) + 6]/Bп4). (8.11)
Величина Q легко определяется из последней формулы (8.8).

?0 - Гл. 8. Контактная задача герметологии
Изменяя в (8.10) величину р от 0 до 1, можно построить график
зависимости р от ? € [—1,1]. Затем по формуле (8.9) можно численно определить
удерживающее стенку усилие Pq. Отметим еще, что при малых значениях
р формула (8.10) сильно упрощается, и функция р(?) в окрестности ? = 1
может быть представлена в явной форме
p = [4Q,(l-O]1/4. (8.12)
2. В другом случае, если слева от стенки под давлением q* находится
баротропная сжимаемая жидкость (газ) с вязкостью /х, независящей от
давления, и плотностью р, прямопропорциональной давлению (q = Ср,
С = const), уравнение (8.6) на основании формулы G.7) при U\ = Vi = 0
и формулы G.8) нужно заменить следующим
где М = const — масса протекающей через зазор жидкости. Граничные
условия к уравнению (8.13) по-прежнему имеют вид (8.6).
Подставим теперь h(x) в виде (8.5) в уравнение (8.13); вместе с
граничными условиями будем иметь
-р4Ре = М„ р(-1) = 1, рA) = 0, (8.14)
где р и ? — безразмерные величины согласно (8.8), а безразмерная величина
М# дается формулой
М* = l2fxkzaMC/ql (8.15)
К уравнению (8.14), как и ранее, нужно еще добавить условие (8.9).
Уравнение (8.14) вновь является уравнением с разделяющимися
переменными. Решение его с учетом последнего граничного условия (8.14)
получим в виде
ръ/Ъ = Af.(l - О- (8.16)
Отсюда, удовлетворяя первому граничному условию (8.14), найдем для М*
следующее значение
М, = 1/10. (8.17)
Величина М легко определится из формулы (8.15).
Для безразмерного контактного давления р из (8.16) имеем
р=[5М.A-О]1/5- (8.18)

8.2. Решение контактной задачи о герметичности деформируемого стыка 81
Теперь по формуле (8.9) для удерживающего стенку усилия Pq найдем
такое выражение
Ро = 106^aqMl/b/e. (8.19)
3. Допустим, что стенка находится в направляющих, позволяющих ей
двигаться только в направлении оси z. Тогда, если к стенке приложено
вертикальное усилие Pq, то осуществляется режим фильтрации (Q и М
малы), если Р = Ро—0, то произойдет разгерметизация, если же Р = Ро+0,
то будет осуществлена герметизация стыка.
Описанная схема будет иметь силу, если основание стенки и поверхность
упругого слоя идеально ровные. Если же они шероховатые, то для
обеспечения герметичности к стенке нужно приложить дополнительное усилие,
компенсирующее микронеровности.

Глава 9
Контактная задача для упругой
полосы
9.1 Постановка контактной задачи для упругой
полосы
В гл. 1 была рассмотрена
задача о равновесии упругой
полосы, а в гл. 2 — контактная
задача для упругой
полуплоскости. Все это можно
рассматривать как подготовку к изучению
более сложной контактной
задачи для упругой полосы (|х| <
х со, 0 < у < К), защемленной
по основанию у = 0 и
находящейся под действием штампа на
верхней грани у = h в
условиях плоской деформации (Рис. 9.1). Будем предполагать, что вне области
контакта штампа с полосой поверхность полосы не нагружена, а в
области контакта \х\ < а будем пренебрегать силами трения. Пусть форма
основания штампа в области контакта описывается функцией у = /(ж) и
на штамп действует вдавливающая сила Р, имеющая размерность Н/м и
приложенная с эксцентриситетом е.
Граничные условия задачи при сделанных предположениях имеют вид
w/s////s//s//////yss//ss///7//yyys/y//A
Рис. 9.1
тху{х, К) = 0, <ту{х, К) = 0 (\х\ > а),
82
(9.1)

9.1. Постановка контактной задачи для упругой полосы 83
ф, ft) =* -[J + ах - /(ж)] (|ж| < а).
Последнее условие (9.1) есть условие контакта штампа с поверхностью
полосы (ср. с B.1)). Напомним, что -(? + ах) есть жесткое перемещение
штампа под действием силы Р. Зададимся целью найти распределение
нормальных контактных напряжений под штампом
ay(x,h) = -q(x)(\x\<a) (9.2)
и связь между Р и ?, е и а.
Если положить в граничных условиях задачи о равновесии упругой
полосы A.11) функцию т(х) = 0, то указанные граничные условия совпадут
с первыми четырьмя граничными условиями (9.1) и соотношением (9.2).
Отсюда следует, что для рассматриваемой контактной задачи можно
воспользоваться второй формулой A.17) при т(х) = 0. Именно, удовлетворяя
с помощью A.17) последнему граничному условию (9.1), придем к
следующему интегральному уравнению первого рода относительно неизвестного
контактного давления q(x):
- х)^ = Щ6 +ах-f(x)) (\x\ < а), (9.3)
где Д22М и D(u) даются формулами A.15), A.16).
Уравнению (9.3) можно придать форму [7, 14]
i:e[S + ax-f(x)] (\x\<a), (9.4)
j Щ
Относительно функции L(u), .входящей во вторую формулу (9.4), заметим,
что она является нечетной, непрерывной и положительной при и 6 @,оо),
причем для нее справедливы асимптотические равенства
(9.5)
L(u) = 1 + O(uV2u) (и -* oo).
К уравнению (9.4) нужно добавить условия равновесия штампа
(9-6)

84 Гл. 9. Контактная задача для упругой полосы
(ср. с B.47)), служащие после нахождения функции q(x) для определения
связей между Р и 5, е и а. Если края ж = ~аих = а области контакта не
фиксированы углами штампа, то к уравнению (9.4) нужно еще добавить
условия
в(±о) = 0 (9.7)
(ср. с B.54)).
В заключение отметим, что вследствие отсутствия сил сцепления между
штампом и полосой в области контакта в случае правильной постановке
задачи при \х\ < а должно быть выполнено условие q(x) > 0, а при \х\ > а
поверхности штампа и полосы не должны пересекаться.
9.2 Замкнутое решение при специальной
аппроксимации ядра интегрального уравнения
Интегральное уравнение (9.4) не решается в замкнутом виде, его
приближенные решения можно найти в монографиях [7, 14]. Однако можно
получить приближенное решение уравнения (9.4) в замкнутом виде, если
аппроксимировать функцию L(u), определяемую третьей формулой (9.4)
следующим образом:
L(u)f*thAu. (9.8)
Важно отметить, что аппроксимация (9.8) полностью удовлетворяет
асимптотическим равенствам (9.5), а ее погрешность при всех 0 < и < со не
превосходит 11,6 процента. Можно ожидать, что погрешность решения
задачи при использовании аппроксимации (9.8) не будет превосходить
погрешности последней.
Подставим функцию L(u) в виде (9.8) в выражение (9.4) для ядра K(t)
и вычислим получающийся интеграл ([20], формула 4.116B)). В результате
найдем такое приближенное выражение для ядра
K{t) «- In
(9.9)
и интегральное уравнение (9.4) в безразмерных переменных и обозначения
Х ~а' € "a1 ^~

9.2. Замкнутое решение интегрального уравнения
?5
примет вид
th-
irg(x) (\х\<1)
(9.11)
(штрихи здесь и далее опускаем).
Продифференцируем уравнение (9.11) по х. Получим
(9Л2)
Заметим, что решение сингулярного интегрального уравнения (9.12) при
дополнительном условии
-J<p(S) In
-1
df = тгз(О)
(9.13)
эквивалентно решению интегрального уравнения (9.11).
Перепишем уравнение (9.12) таким образом:
и произведем в (9.14) следующие замены:
t = thjia?, r = th/
В результате получим
= th/x, H<
(9.15)
(9.16)
Теперь видим, что сингулярное интегральное уравнение (9.16) ничем не
отличается от уже исследованного уравнения B.27), и, следовательно, его
решение можно представить в форме, аналогичной B.40). Возвращаясь в
этом решении к старым переменным и обозначениям согласно формулам
(9.15), будем иметь
(9-17)
Х{х) = ch fix у/с2 -
(ch цх)~Vc2 -

86 Гл. 9. Контактная задача для упругой полосы
причем постоянную С надо определить из условия (9.13).
При условиях (9.7), которые в безразмерных величинах (9.10) запишутся
так
= 0, (9.18)
имеем
1 /Ч'?\ J?
(9.19)
а сами условия (9.18) принимают форму
Условие (9.13) здесь также сохраняет силу.
Условия равновесия штампа (9.6) в безразмерных величинах (9.10) будут
иметь вид
? = JV=/^)d?, 0 = М=/ЫО«- (9-21)
В частном случае, когда д{?) = д = 5/а = const (плоский штамп), из
формул (9.13), (9.17) и первой формулы (9.21) найдем
, Г 29К{С) (9.22)
где К(с) — полный эллиптический интеграл первого рода [20]. При выводе
формулы (9.22) использовано известное интегральное представление К(с)
[20] и интеграл ([32], формула 2.6.16A8))
In
1 — v 1 — с х у A - а;2)A ~ с2х2)
Нетрудно показать, что когда \i —¦ со, т. е. когда относительная толщина
полосы стремится к нулю, и \х\ < 1, то из первой формулы (9.22) следует
() A1<)
т. е. имеет место прямопропорциональная зависимость между контактным
давлением q(x) и осадкой штампа J, что вполне соответствует второй
формуле A.27) при v(x, h) = 5, q*{x) = q(x) и т^(ж) = 0.

9.2. Замкнутое решение интегрального уравнения 87
Действительно от первой формулы (9.22) к формуле (9.24) при ц —> оо
приводит простое преобразование
Х(х) = ch /jixy/th2 fi — th2 fix = ch iixyj{thfi -f th /xa;)(th [i —
- re) dT2 /i -» лМ1+*>е"<1-*)е-2'1 = 1. (9.25)

Глава 10
Контактные задачи для упругого
полупространства
10.1 Равновесие упругого полупространства под
действием распределенной нормальной нагрузки
В декартовой системе координат х, у, z рассмотрим задачу о равновесии
упругого полупространства |х| < со, \у\ < оо, z < 0 при отсутствии
массовых сил и граничных условиях
тхг(х, У, 0) = туг(х, у, 0) = 0, az{x, у, 0) = -q{x, у),
A0.1)
Я{х,у) = q{x,y) ({х,у) € П), q(x,y) = 0 ((х,у) € и),
где произвольная область Q односвязна и ограничена, aw~ дополнение
области ft до всей плоскости 2 = 0. Кроме условий A0.1) нужно
также потребовать условия затухания перемещений в полупространстве при
у/х2 + у2 + z2 -> оо. Граничные условия A0.1) говорят о том, что на
поверхности z = 0 полупространства отсутствуют касательные напряжения
Trz и гу2, а в области П поверхности z = 0 полупространство нагружено
давлением q(x,y) = — az, где az — нормальное напряжение.
Вспомним, что общее решение уравнений Ламе теории упругости
может быть представлено в форме Папковича-Нейбера [30], т. е. может быть
выражено через четыре гармонические функции Ф^(ж,2/, z) (к = 0,1,2,3)
следующим образом:
-и) дх
1 й
4A - v)
88

10.1. Равновесие полупространства под действием нормальной нагрузки 89
W = Фз~ 4A- и) дг^Ф
где u, v и гу — перемещения по осям х, у и z соответственно, а и —
коэффициент Пуассона.
Выражая тХ2 и ryz по формулам закона Гука через перемещения и
учитывая первые два из граничных условий A0.1), найдем, что на границе
z = 0 полупространства между функциями Ф* имеют место соотношения
8 / дФг 9Фг ЭФ0\ _
fl д *У d + d ) ~
'
+ 1 - 2и dz 1 - 2i/flx V дг *У dz + dz
A0.3)
2A-1/)аФ2 1 д ( дФг дФ2 дФ0\
ду l-2i/ dz l-2i/fy\ ft* У9г 5гУ
Условия A0.3) будут удовлетворены, если потребовать, чтобы во всем
полупространстве z < 0 между функциями Ф^ выполнялись соотношения
lie]
дФг _ 1 - 2i/ 9Ф3 ЭФ2 _ 1 - 2t/
в* 2(i-i/) «г* аг 2Q.-u)dy' A04)
9Ф0 _ l-2i/ / 9Фз аФз 9Ф3\
17 ~2(i-!/) г ах +уау +zaJ-
Если ввести новую гармоническую функцию [16]
то Фо, Ф1 и Фг выражаются из A0.4) следующим образом:
Теперь через функцию <р можно выразить все перемещения и
напряжения в полупространстве. Например, по третьей формуле A0.2) имеем
w = 2(l-v)<p-z^, A0.7)

90 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
а по формуле закона Гука для az найдем
где G — модуль сдвига (выражения для остальных перемещений и
напряжений нам дальше не понадобятся).
Итак задача сведена к нахождению одной гармонической функции
<р(х, у, z) при условии ее затухания на бесконечности в полупространстве
и условии при z = 0 [16]
2С|? = -$(*, У), A0.9)
которое следует из третьего граничного условия A0.1).
Решение такой задачи Неймана будем искать в виде кратного интеграла
Фурье
у, = JL 7 7 ф(а, /?, z)e-i{QX+/*y) da dp, A0.10)
27Г-44о
что обеспечивает в силу свойств интегрального преобразования Фурье
затухание функции <р при у/х2 + у2 —* оо. Для трансформанты Ф легко
получим обыкновенное дифференциальное уравнение
Ф;'_72Ф = О G=^а2 + /?2), A0.11)
и его решение возьмем в виде
ф = С(а,/?)е72, A0.12)
что обеспечит затухание функции у> при z —» — оо.
Разрывную функцию q(x,y) также представим в виде кратного
интеграла Фурье
q(x,y) = ?- J 1 Q{a^)e^x^yUad0, A0.13)
где трансформанта Q(a,f3) очевидно выражается через q(x,y) следующим
образом:
Q(a,P) = ±-tq& ф***™ du (du = dtdr,). A0.14)
Теперь граничное условие A0.9) можно записать в форме
= -Q{a,l3) (*«<)), A0.15)

10.2. Постановка контактной задачи для упругого полупространства ?2
которое с учетом A0.12) позволяет найти
В результате по формулам A0.7), A0.10), A0.12), A0.14) и A0.16) получим
г,)Ml J / e^WMI^ A0.17)
Положив а = 7sin<5 и 0 = 7 cos 5, внутренний кратный интеграл в
A0.17) представим в форме
оо 2л-
j-jdij e«7[(€-*)efa*+fo-v)coefl jg9 (WAS)
о о
Вычисляя [3] внутренний интеграл в A0.18), получим
о
где Jo(ic) — функция Бесселя. Наконец, вычисляя в A0.19) последний
интеграл [3], найдем
J = 27ГД. A0.20)
Подставляя A0.20) в A0.17), получим важную формулу
10.2 Постановка контактной задачи для упругого
полупространства
Рассмотрим теперь задачу о взаимодействии жесткого штампа с
упругим полупространством (рис. 10.1). Штамп вдавливается в
полупространство силой Р, параллельной оси z и приложенной с эксцентриситетом
m(mxim,y). Штамп представляет собой цилиндрическое тело с
поперечным сечением П* и поверхностью основания z = /(ж, у). Область контакта
штампа с полупространством О, С Q* (рис. 10.1 соответствует случаю,
когда U = П*). Силами трения между штампом и полупространством,
возникающими в области контакта ft, пренебрегаем; вне области ?2 поверхность

92
Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
Рис. 10.1
полупространства предполагаем не нагруженной. Положение начала
координат О на грани z = 0, а также направления осей х и у выбираем из
каких-либо соображений удобства. Например, если область О, имеет
взаимоперпендикулярные оси симметрии, то их естественно назначить осями х
и у.
Граничные условия контактной задачи при сделанных предположениях
будут иметь вид
A0.22)
= -6(x,y) = -[
е П),
при у/х2 + у2 + z2 ~* со перемещения исчезают. Здесь S 4- ах 4- (Зу жесткое
перемещение штампа под действием силы Р. Именно, 6 — поступательное
перемещение штампа в отрицательном направлении оси Oz, аи 0 — углы
поворота штампа соответственно относительно осей Оу и Ох.
Требуется определить распределение контактных нормальных
напряжений под штампом az(x, у, 0) = —q{x} у), т. е. в области контакта П, а также
связи между Р, mx, my и 6, а, 0.
Для решения краевой задачи A0,22) очевидно можно воспользоваться
формулой A0.21), учитывая, что при этом все граничные условия A0.22),
кроме последнего, будут удовлетворены. Выполнение последнего
граничного условия A0.22) приводит к двумерному интегральному уравнению
первого рода относительно функции распределения контактного давления

10.2. Постановка контактной задачи для упругого полупространства 93
Щ^1 dn = 2*вб(х, у) ((я, у) в П). A0.23)
п Н
После решения интегрального уравнения A0.23) связи между Р, тХ1 ту
и б, а, 0 можно найти из очевидных условий равновесия штампа
/
п A0.24)
М, = Pmy = j w«, ту) Д1, Му = Pmx = j ft & 77) Л1.
Если область Я не совпадает с Q*, то она заранее не известна и должна
быть определена из дополнительного условия, которое состоит в том, что
решение уравнения A0.23) одновременно доставляет минимум
функционалу [33]
/ A0.25)
Такая задача становится нелинейной. В A0.25) варьируется область П,
оставаясь односвязной и ограниченной, и, как следствие, варьируется
функция q(xyy), являясь решением интегрального уравнения A0.23).
Условие A0.25) часто заменяют другим
<К*,3/) = 0 ((*,y)€L), A0.26)
где L — часть контура L области контакта Q, несовпадающая с контуром
L* области П*. Показано [11], что условие A0.26) следует из A0.25), однако
оно в общем случае не является достаточным для определения области Q.
Если область п совпадает с Г2*, то после решения интегрального
уравнения A0.23) нужно убедиться, что
«(*,»)> 0 ((х,у)еп). A0.27)
Если же область П не совпадает с Г2*, то после решения интегрального
уравнения A0.23) нужно убедиться, что не только имеет место A0.27), но
также
w(x, у, 0) + 8{х, у) < 0 ((х, у) € ft), A0.28)
где П = П* — Q, a w(xiyi0) дается формулой A0.21). Неравенства A0.27)
и A0.28) являются условиями физической корректности решения задачи и
могут быть вместе использованы вместо условия минимума функционала
A0.25), как дополнительные к уравнению A0.23) для определения
неизвестной области контакта П.

94 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
10.3 Решение осесимметричной контактной задачи для
упругого полупространства
Пусть в интегральном уравнении A0.23)
6(Xj у) = <5(г), х = г sin (р, у — г cos </?,
A0.29)
тогда область контакта П есть круг радиуса а, и на основании A0.19),
A0.20) уравнение можно переписать следующим образом:
jj = 2я96{г) A0.30)
(О < г < а, 0 < v? < 2тг, R = у/г2 4- р2 - 2rpcos((p - ф)).
Имеет место соотношение [20]
J0GjR) = JoGr)JoGP) + 2 Ё ЗтЫ)ЗтШ cos(vp - ^), A0.31)
т=1
где Jm{x) — функции Бесселя. Подставляя A0.31) в A0.30) и производя
интегрирование по ф, окончательно приведем интегральное уравнение A0.23)
для случая осевой симметрии к виду
]q{p)pdp]h{ir)h{ip) d! = 06(r) @ < г < а). A0.32)
о о
Запишем уравнение A0.32) в виде эквивалентного парного
интегрального уравнения
J W(r) @<r<a),
/ = О (а<г < оо),
о
где QG) — трансформанта Ханкеля разрывной функции q(r) = q(r) @ <
г ^ а)? ?(r) = 0 (a < г < сю), т. е.
A0.34)
J
A0.33)
/

10.3. Решение осесимметричной контактной задачи 95
Умножим первое соотношение A0.33) на г(х2—г2)/2 и проинтегрируем
по г от 0 до х, а второе умножим на г (г2 - ж2)/2 и проинтегрируем по г
от х до оо. Изменяя порядок интегрирования, используя интегралы [20]
X т / \ • ОО т / \
о » *
и дифференцируя затем первое из полученных соотношений по гг, найдем
:р(я) @<ж<а),
о
где функция р(ж) дается формулой
A0.36)
00
JQ('y)cos'yxd'y = 0 (а<х<оо),
A0.37)
Из (8) в силу интегрального косинус-преобразования Фурье имеем
A0.38)
" о
а из A0.34) в силу интегрального преобразования Ханкеля найдем
q(r) = j QG) JoG^O^7 @ < г < а). A0.39)
о
Подставляя A0.38) в A0.39) и используя разрывный интеграл Сонина [16]
ОО г\ /л ^ ., \
J sin7^JoGr)^7 ^ {/ 2 2W1/2 ^п V A0.40)
получим такое выражение для q(r)
а по первой формуле A0.31) — выражение для вдавливающей силы Р
(очевидно, что в силу осевой симметрии плечо т приложения силы Р равно
нулю)
f A0.42)

96 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
В качестве примера рассмотрим случай вдавливания в
полупространство осесимметричного параболического штампа
6{х) = *~Ш (шз)
где R — заданный радиус кривизны параболы в ее вершине. По формулам
A0.37), A0.41) и A0.42) получим
A0.44)
Здесь радиус области контакта а заранее задан, т. е. имеет место
ситуация, аналогичная изображенной на рис. 2.5а. Решение A0.44) физически
возможно, если q(r) > 0 при 0 < г < а, а именно если
6 > a?/R. A0.45)
Далее рассмотрим случай осесимметричного параболического штампа,
когда имеет место ситуация, аналогичная изображенной на рис. 2.55, т. е.
когда радиус области контакта а заранее неизвестен. Здесь для
определения а нужно минимизировать по а функционал A0.25), который после
подстановки в него функций S(r), q(r) вида A0.43), A0.44) и вычисления
интеграла примет вид
= 40 F2а -
+ (Ш6)
Дифференцируя A0.46) по а и приравнивая нулю результат, придем к
соотношению
S = a2/R. A0.47)
Заметим, что в данном случае осевой симметрии соотношение A0.47)
можно получить более простым путем из условия A0.26), т. е. из формулы
A0.44) при условии q(a) = 0. В общем случае A0.41) условие q(a) = О
равносильно условию р{а) = 0.
Подставляя A0.47) в A0.44), окончательно получим формулы
8в6а

10.4. Эллиптическая область контакта, вычисление вспомогательных интегралов 97
Рис. 10.2
10.4 Эллиптическая область контакта, вычисление
вспомогательных интегралов
Пусть область контакта п штампа с полупространством есть эллипс с
полуосями а и Ь. Вычислим интегралы, которые понадобятся далее
-V2 ло
-1/2
jdU
A0.49)
-1/2
rjdO,
1/2
du
Все интегралы A0.49) вычисляются одним и тем же способом [38], который
продемонстрируем на примере интеграла «Л(а;, у).
Перейдем под интегралом к полярным координатам (рис. 10.2)
= х
, rj ~y + Rsinip.
A0.50)

95 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
Тогда первая формула A0.49) после несложных преобразований примет
вид
~1/2Г / M + RL \2Г1/2
Здесь введены обозначения
cos2(p sin2 у? . х cos ip y sin tp
1 l a2 62'
где Ro(<p) — расстояние между точками А и А!1.
Замечая, что координаты точки А" удовлетворяют соотношениям
а2 б2 "" '
A0.53)
х0 = х + #о cos v?, yo = У + #o sin у?
и используя обозначения A0.52), получим такое выражение для Ro((p)
VNL
Здесь учтено, что N > 0, так как точка Л(#, у) лежит внутри эллипса, и
L > 0 при 0 < <р < 2тг.
Очевидно соотношение
^ М - M + RL - M + *°L у A0.55)
ч / М2 ~ y/NL + М2
позволяющее ввести новую переменную
Из A0.56) имеем
Г
Подставляя A0.56) и A0.57) в A0.51), получим
2тг в()
/
A0.58)

10.4- Эллиптическая область контакта, вычисление интегралов 99
Здесь 6(ip) —¦ значение в, определяемое из формулы
М
cos0(v?) = A0.59)
Рассмотрим интеграл
2тг Ч<Р) jq
1= [d<p f -т=. A0.60)
i 6 ^L
Полагая в A0.60) переменную у — ъ + ф и используя легко
устанавливаемые соотношения
A0.61)
cos[0Gr + ф)] = - cos 0(^0 = cos[?r - в(ф)],
получим
A0.62)
Положим теперь в A0.62) переменную в = тг — ^'. Будем иметь
/ = /# / ^. A0.63)
о
На основании A0.60) и A0.63) представим A0.58) в виде
2тг
тг {ч) ^д 2 (
,y) = j d<p j ~j= + I dtp J
О 0
О 0 Vb 0 $^ v^ 0 о V-" о
Далее, подставляя в A0.64) выражение L, определяемое первой формулой
A0.52), преобразуем J\(x,y) следующим образом
«•/2 / . в 2 \
,У) = т / —г^ + -«Г
-W2 V ° ** /
о \/l — е2 sin2 ф
= 2я-6К(е) (е2 = 1 - Ь2/а2), A0.65)

100 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
где е — эксцентриситет эллиптической области контакта, К(е) — полный
эллиптический интеграл первого рода.
Для остальных интегралов, рассуждая аналогично, получим такие
результаты
Jz(x,y) = 2тгЬу{1 - е2) Soi(e), A0.66)
J4(x, у) = тгЬ{К(е) - а-2[х2 510(е) + у2 5Oi(e)]}.
Здесь введены обозначения
/» К(е) - Е(е)
A0.67)
У сов» у
-у A _ е2 s.n2
сов» у dp _ Е(е)-A-е2)К(е)
A е sn v)/2 ~ е2A _ е2)
где Е(е) — полный эллиптический интеграл второго рода.
10.5 Вдавливание в упругое полупространство
плоского эллиптического в плане штампа
Пусть О* есть эллипс с полуосями а и 6 < а, а основание штампа плоское,
т.е. f(x,y) = 0. Предполагаем, что вдавливающая сила Р, плечо
приложения которой т, настолько велика, что края штампа врезаются в
поверхность полупространства, т. е. п = п*. Тогда п пусть также эллипс с
полуосями а и 6, а функция
<5(z,y) = ? + c*z + /?y, A0.68)
где J — поступательное перемещение штампа в отрицательном направлении
оси z, а а и 0 — углы его поворота относительно осей уиа; соответственно.
Будем искать решение интегрального уравнения A0.23) в виде
B 2\~V2
1 ~ % ~ %)
Подставляя A0.68) и A0.69) в уравнение A0.23) и вычисляя интеграл слева,
на основании формулы A0.65) и первых двух формул A0.66) будем иметь
6[К(е)а00 + 5ю(е)а1Ох + A - е2M01(е)а0ш] = 0F + ах + 0у). A0.70)

10.5. Вдавливание плоского эллиптического в плане штампа 101
Приравнивая в A0.70) члены слева и справа при одинаковых степенях х
и уу найдем аоо, ^ю и ао\. Подставляя их в A0.69) окончательно пол, ты
такое решение задачи
фа(е) = K(e) - E(e), ф${е) = E(e) - A - e2)K(e).
Рассмотрим интегралы
-1/2
dn> A0-72)
Способ вычисления интегралов A0.72) продемонстрируем на примере
Произведем замену переменных ? и г) по формулам
(<r2 2
? = 07 sin ip, rj = 67 cos </?, с?П = 067 с?7 ^ A0.73)
в результате для Д будем иметь
A0.74)
0 О V*-V
Для второго и третьего интегранов A0.72) таким же образом найдем
/2 = 2тга36/3, 1г = 27гаЬг/3. A0.75)
Теперь по формулам A0.24) с использованием решения A0.71) и
значений интегралов A0.74) и A0.75) имеем следующие соотношения,
связывающие между собой силу Р и моменты Мх, Му, действующие на штамп, с
величинами ?, а и /3:
2па6в

102 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
Здесь тх и ту — проекции плеча приложения силы Р, отсчитываемого от
центра симметрии штампа, на оси х и у.
На основании A0.71), положив у = —Ъа~1\/а2 - я2, получим условие
безотрывности основания штампа от поверхности полупространства в
форме j
6 ае2х Ce2by/a2 - х2
К(е) ^ ^в(е) а
или с учетом A0.76) оно будет иметь вид
> 0, A0.77)
A0.78)
Исследовав левую часть неравенства A0.78) на минимум по х,
окончательно получим следующее условие безотрывности [6]
1_3^ + 2к>0. A0.79)
Для случая круглого в плане штампа полагаем /3 = 0, ту = 0, 6 = а,
е = 0, и формулы A0.71), A0.76), A0.79) принимают вид
(#4- 2arsin(p)i
A0.80)
а
В первой формуле A0.80) г и (р — полярные координаты, кроме того при
выводе формул A0.80) использованы соотношения
? %^ ^ (в->0). A0.81)
Ю.б Задача Герца о контакте двух упругих тел
Рассмотрим контактное взаимодействие двух выпуклых массивных тел,
1ервоначально касающихся друг друга в точке, в которой поместим начало
соординат. Оси хм у расположим в общей касательной плоскости к телам,
i ось z направим перпендикулярно этой плоскости (рис. 10.3). Пусть до
реформации поверхности тел описываются соотношениями
z = fi(x,y), z = -f2(x,y), A0.82)

10.6. Задана Герца о контакте двух упругих тел
103
где функции /i(x, у) (г = 1,2) имеют по крайней мере вторые непрерывные
частные производные.
Осуществим деформацию тел, приложив к ним на бесконечности
сдавливающие усилия. Будем предполагать, что равнодействующие этих
усилий лежат на оси z и тела сближаются вдоль оси z на величину 5. Пусть
А\ и А2 — две точки поверхностей тел, соприкасающиеся при сжатии, и
пусть z\ и z2 — координаты z этих точек. Очевидно должно иметь место
условие контакта [38]
Z\ + Itfi - (Z2 + W2) =
A0.83)
где w\ и w2 — упругие перемещения точек А\ и А2 вдоль оси z. Ввиду
малости упругих перемещений можно приближенно считать, что z\ и z2
совпадают соответственно с f\(x,y) и —f2(x,y). Учитывая это, из A0.83)
получим
, у) - /2(ж, у).
A0.84)
ж Z
Рис. 10.3
Пусть в результате
сближения тел образуется область их
контакта П, на которой
между телами возникает
контактное давление q{x,y) (влиянием
у сил трения пренебрегаем).
Будем полагать, что радиусы
кривизны взаимодействующих тел
настолько велики по сравнению
с размерами области контакта,
что при определении
перемещений w\ и w2 тела можно
заменить полупространствами. Тогда
согласно формуле A0.21) имеем
A0.85)
R
где (?^ и V{ — модули сдвига и коэффициенты Пуассона взаимодействующих
тел. Подставляя A0.85) в A0.84), придем к следующему интегральному

104 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
уравнению для определения функции д(х, у) [38]:
= *L±^V (Шб)
В силу указанных выше свойств функций fi(x,y) в окрестности начала
координат их можно представить в виде
Л(я> У) » а0 + a>ix + а2у + anz2 + апху
A0.87)
/г(^, у) « &о + ^i^ + Ь2у + Ьцж2 + 6i2sy + fel/2.
Так как поверхности взаимодействующих тел проходят через начало
координат и касаются плоскости хОу, то
а0 = oi = а2 = 6о = h = Ь2 = 0 A0.88)
и тогда
Л (ж, У) + /2(ж, 2/) « (ап + 6ц)х2 + (а12 + 6i2)a:y + (а22 + Ь22)у2. A0.89)
Развернем теперь оси х,у в касательной плоскости таким образом, чтобы
aw + &12 = 0, оц + Ьп < а22 + 622. A0.90)
На основании A0.89) и A0.90) уравнению A0.86) можно приближенно
придать вид [38] 'il
Щ1й dft = 2*0,E - Ах2 - By2) A0.91)
n R
(А = оц Н- Ьц < Б = а22 4- &22)-
К интегральному уравнению A0.91) добавим еще очевидное условие
статики
где Р — равнодействующая сжимающих усилий.
Будем искать решение уравнения A0.91) в виде
Х2 2\1/2
-----jLJ , A0.93)
где С, а и 6 — пока неизвестные величины. Здесь мы предполагаем, что
область Q есть эллипс и контактное давление на контуре области контакта

10.6. Задача Герца о контакте двух упругих тел
105
0.5
0
е
\
_—•
N
3
Рис. 10.4
обращается в нуль согласно A0.26). Подставим выражение A0.93) в A0.91)
и, вычисляя слева интеграл, в силу последней формулы A0.66) получим
тг6С{К(е) - еГ2[х2 Sio(e) + у2 SOi{e)]} = 2тгО*F - Ах2 - By2). A0.94)
Приравнивая в A0.94) члены при одинаковых степенях х и у, найдем три
соотношения
М, bCa~2S01(e)
A0.95)
Подставим далее выражение A0.93) в A0.92) и вычислим возникающий
интеграл по схеме, примененной при вычислении первого интеграла A0.72),
в результате найдем еще одно соотношение
Р = 2тга6С/3.
A0.96)
Итак имеем четыре уравнения A0.95) и A0.96) для определения четырех
величин С, 5, а и е при заданных Р, #¦, Л и Б. Выразим из A0.96) величину
С и подставим в первую формулу A0.95). В результате найдем связь между
сближением тел S и равнодействующей Р сжимающих тела усилий
ЗРК(е)
4тг0*а '
Подставляя С из A0.96) во вторую формулу A0.95), найдем
з ЗР510(е)
A0.97)
A0.98)

106 Гл. 10. Контактные задачи для упругого полупространства
Подставляя С из A0.96), а затем A0.98) в третью формулу A0.95), получим
5oi(e)[5lo(e)]-1 = N {N = B/A> 1). A0.99)
На рис. 10.4 приведен график зависимости е от N, полученный решением
относительно е трансцендентного уравнения A0.99).
Расчет теперь можно вести по следующей схеме. По графику (рис. 10.4)
определяем значение эксцентриситета е. Далее по формуле A0.98) находим
полуось а эллиптической области контакта, а затем полуось Ь = а\/1 - е2.
По формуле A0.97) определяем сближение тел 6, по формуле A0.96) -
значение величины С и, наконец, по формуле A0.93) — функцию gfoy)
распределения контактного давления.

Литература
[1] Айзикович СМ., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И.,
Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для
неоднородных сред. М.: Физматлит, 2006. 237 с.
[2] Александров В.М. Контактные задачи, связанные с проблемой
герметичности деформируемых стыков // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 4.
С. 63-69.
[3] Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред
со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 335 с.
[4] Александров В.М., Кудиш И.И. Асимптотический анализ плоской и
осесимметричной контактных задач при учете поверхностной
структуры взаимодействующих тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 1,
С. 58-70.
[5] Александров В.М., Мхитарян СМ. Контактные задачи для тел с
тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.
[6] Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические
пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.:
Факториал, 1998. 288 с.
[7J Александров В.М., Ромалис В.Л. Контактные задачи в
машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 175 с.
[8] Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в
контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 302 с.
[9] Аргатов И.И. Асимптотические модели упругого контакта. С-П.:
Наука, 2005. 448 с.
[10] Аргатов И.И., Дмитриев Н.Н. Основы теории упругого дискретного
контакта. Санкт-Петербург: Политехника, 2003. 234 с.
107

108 Литература
[11] Баренблатт Г.И. Об условиях конечности в механике сплошных сред
// ПММ. I960. Т. 24. Вып. 2. С. 316-322.
[12] Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования
обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.
[13] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.
М.: Наука, 1976. 280 с.
[14] Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические
смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.
[15] Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления //
ПММ. 1945. Т. 9. Вып. 5. С. 413-424.
[16] Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.
М.: Наука, 1980. 304 с.
[17] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
[18] Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука.
2001. 479 с.
[19] Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.:
Машиностроение, 1988. 254 с.
[20] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М.: Физматлит, 1962. 1100 с.
[21] Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи
для предварительно напряженных тел. М.: Физматлит, 2002. 240 с.
[22] Камал. Уплотнение с высоким давлением в зазоре // Проблемы
трения и смазки. 1968. Т. 90. № 2. С. 111-116.
[23] Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970.
308 с.
[24] Коровчинский М.В. Теоретические основы работы подшипников
скольжения. М.: Машгиз, 1959. 403 с.
[25] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.
Часть 1. М.: Гостехиздат, 1955. 560 с.

Литература, 109
[26] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.
Часть 2. М.: Физматлит, 1963. 728 с.
[27] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Физматгиз, 1958. 678 с.
[28] Механика контактных взаимодействий. Под редакцией Воровича
И.И., Александрова В.М. М.: Физматлит, 2001. 671 с.
[29] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
[30] Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
[31] Подстригач Я.С. Температурное поле в системе твердых тел,
сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя // Инж.-физ.
журн. 1963. Т. 6. Ж 10. С. 129-136.
[32] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.
Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 798 с.
[33] Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 493 с.
[34] Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Госте-
хиздат, 1955. 520 с.
[35] Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории
упругости. Л.: Наука, 1967. 403 с.
[36] Фалькович СВ. О давлении жесткого штампа на упругую
полуплоскость при наличии участков сцепления и скольжения // ПММ. 1945.
Т. 9. Вып. 5. С. 425-432.
[37] Хрущев М.М., Бабичев М.А. Абразивное изнашивание. М.: Наука,
1970. 252 с.
[38] Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.-Л.: Госте-
хиздат, 1949. 270 с.
[39] Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
640 с.
[40] Barber J.R. Elasticity. Kluwer academic publishers, 1992. 293 p.
[41] Johnson K.L. Contact mechanics. Cambridge university press, 1985.
452 p.

110
Lomonosov Moscow State University
Rostov State University
V.M.Alexandrov, M.I.Chebakov
INTRODUCTION
TO CONTACT MECHANICS
Second edition,
revised and extended
Moscow, Rostov on Don
2007

Contents
1 Equilibrium of an elastic strip 7
1.1 Fourier integral transformation 7
1.2 Equilibrium of an elastic strip with clamped basis 8
1.3 Cases of very thick and very thin strip 11
2 Contact problems for an elastic half-plane 14
2.1 Setting of a contact problem for elastic half-plane with
friction forces 14
2.2 Cauchy integral, integral of Cauchy type, singular integral,
Sochosky formulas 16
2.3 Solution of a contact problem without friction forces 20
2.4 Solution of a contact problem with adhesive friction 27
2.5 Solution of a contact problem with Coloumb's friction 28
2.6 Solution of a contact problem with the coupling in contact
area 30
3 Contact interaction of two elastic solids 33
3.1 Displacements in the contact area of two elastic solids 33
3.2 Contact conditions of two elastic solids 35
3.3 Contact of two elastic solids without friction forces 36
3.4 Contact of two elastic solids of the identical mechanical
characteristics with coupling and friction 36
4 Contact problems for bodies with covering 40
4.1 Setting of a contact problem for a rigid thin covering of the
elastic half-plane 40
4.2 Solution of a contact problem in case of rigid thin covering of
elastic half-plane 42
ill

112
4.3 Setting and solution of contact problem in case of a soft thin
covering of elastic half-plane 44
4.4 Contact problem for an elastic half-plane with a rough
surface 48
5 Contact problems with under wear conditions 50
5.1 Setting of the contact problem for a relatively thin layer
under wear conditions 50
5.2 Contact problem with wear and a fixed contact area 52
5.3 Contact problem with wear and a variable contact area 54
6 Contact problems with wear and heat precipitation due
friction 58
6.1 Setting the problem about a contact of two solids with thin
soft coverings 58
6.2 Finding of contact temperatures 59
6.3 Finding of contact pressure 62
7 Contact problems with lubricant 67
7.1 Equation of a viscous fluid flow in a thin layer 67
7.2 Setting of problem with lubricant for the sliding bearing 69
7.3 Solution of a contact problem with lubricant for the non-
deformable sliding bearing 73
7.4 Solution of a contact problem with lubricant for
the sliding bearing with a deformable inclusion 74
8 Contact problem of germetict 77
8.1 Setting of a contact problem about the tightness of a
deformable joint 77
8.2 Solution of a contact problem on tightness of a deformable
joint 79
9 Contact problem for an elastic strip 82
9.1 Setting of the contact problem for an elastic strip 82
9.2 A closed-form solution with a specific approximation of the
kernel of integral equation 84

из
10 Contact problems for elastic half-space 88
10.1 Equilibrium of an elastic half-space under a distributed
normal load 88
10.2 Setting of a contact problem for elastic half-space 91
10.3 Solution of the contact problem with axial symmetry for
the elastic half-space 94
10.4 Elliptic contact area, calculation of auxiliary integrals 97
10.5 Pressing of a flat elliptic stamp into the elastic half-space 100
10.6 Hertz problem about the contact of two elastic solids 102

114 __
Научное издание
АЛЕКСАНДРОВ Виктор Михайлович
ЧЕБАКОВ Михаил Иванович
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ
КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Оригинал-макет авторов
Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г.
Сдано в набор 14.12.06 г. Подписано в печать 08.01.07 г. Формат 60*84 1/16
Заказ № 796. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме».
Оперативная печать. Тираж 200 экз. Печ. Лист 7,13. Усл.печ.л. 6,63.
Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ
344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51.
Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.