А. Б. Антоневич
П. Н. Князев
Я. В. Радыно
А ДАЧ И
И УПРАЖНЕНИЯ
it©
ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
URSS
А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
Более 1700 задач
Допущено Министерством высшего и среднего
образования СССР в качестве учебного пособия
для студентов математических специальностей
высших учебных заведений
Под редакцией
профессора С. Г. Крейна
Издание четвертое,
исправленное
URSS
МОСКВА
ББК 22.1я73 22.162
Антоневич Анатолий Борисович,
Князев Павел Николаевич,
Радыно Яков Валентинович
Задачи и упражнения по функциональному анализу: Более 1700 задач.
Учебное пособие / Под ред. С. Г. Крейна. Изд. 4-е, испр. — М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2010. — 216 с.
Настоящее учебное пособие представляет собой сборник задач и упражнений
по функциональному анализу. Сборник состоит из одиннадцати глав, отражающих
основные вопросы университетского курса функционального анализа. В начале
каждой главы даны краткие теоретические сведения, затем — задачи и упражнения
различной степени трудности. К задачам приведены ответы и указания. Определен-
ное внимание в книге уделено так называемым контрпримерам — примерам, пока-
зывающим, что некоторые правдоподобные, на первый взгляд, утверждения неверны.
Пособие предназначено для студентов математических специальностей; оно
может быть использовано при изучении таких дисциплин анализа, как теория мно-
жеств, топология, теория обобщенных функций, теория интегральных уравнений.
Рецензенты:
кафедра функционального анализа и операторных
уравнений Воронежского университета
(зав. кафедрой — д-р физ.-мат. наук, проф. П. Е. Соболевский);
старший научный сотрудник Института математики
Сибирского отделения АН СССР, канд. физ.-мат. наук С. С. Кутателадзе
Издательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ”».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 9.
Формат 60x90/16. Печ. л. 13,5. Зак. № 3758.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр. 11.
ISBN 978-5-397-01416-8
© Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (499) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (499) 135-42-46
7511 ID 102757
IIIIIIIIIIIIIIIIIII
9 785397 014168
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
Содержание
Предисловие.................................................... 6
Глава 1. Теория множеств....................................... 7
1.1.	Операции над множествами ............................... 7
1.2.	Прямые произведения. Отношения. Функции................. 8
1.3.	Обратные отображения. Композиция отображений..........,.	9
1.4.	Фактор-множества........................................ 9
1.5.	Упорядоченные множества................................ 10
1.6.	Направленные множества. Фильтры. Базы фильтров........ 11
Задачи и упражнения...................................... 11
Глава 2. Топологические пространства.......................... 19
2.1.	Топология. Окрестности. Замыкания ..................... 19
2.2.	Сходящиеся последовательности. Непрерывность........... 20
2.3.	Подпространства. Фактор-пространства.
Произведения пространств..................................... 21
Задачи и упражнения...................................... 23
Глава 3. Метрические пространства............................. 36
3.1.	Метрика. Топология метрического пространства........... 36
3.2.	Полные метрические пространства........................ 37
3.3.	Принцип сжатых отображений ............................ 38
3.4.	Ограниченность. Компактность........................... 38
Задачи и упражнения..................................... 39
Глава 4. Топологические векторные пространства................. 65
4.1.	Векторные пространства................................. 65
4.2.	Топология на векторном пространстве.................... 67
4.3.	Фактор-пространства. Произведения. Прямые суммы.
Индуктивные пределы......................................... 68
Задачи и упражнения..................................... 70
4
Содержание
Глава 5. Линейные операторы в топологических
векторных пространствах ................................... 81
5.1.	Линейные непрерывные операторы и функционалы в л. в. п. . . 81
5.2.	Топологии в пространстве линейных
непрерывных отображений................................... 81
5.3.	Рефлексивные пространства............................ 83
Задачи и упражнения................................... 83
Глава	6. Нормированные векторные пространства............... 97
Задачи и упражнения................................... 98
Глава 7. Линейные операторы и функционалы
в нормированных пространствах..............................106
Задачи и упражнения...................................107
Глава 8. Уравнения с вполне непрерывными операторами
в банаховых пространствах..................................121
Задачи и упражнения...................................122
Глава 9. Теория интегрирования..............................138
9.1.	Полунепрерывные функции .............................138
9.2.	Мера.................................................138
9.3.	Верхний и нижний интегралы по положительной мере.....139
9.4.	Пренебрежимые функции и множества....................140
9.5.	Интегрируемые функции и множества....................141
9.6.	Измеримые множества и функции........................141
9.7.	Пространства Lp......................................142
9.8.	Порожденные меры и теорема Лебега—Радона—Никодима .. 144
9.9.	Каноническое разложение меры. Носитель меры.
Конечные меры.............................................145
9.10.	Произведение мер. Теорема Лебега—Фубини...............145
Задачи и упражнения...................................147
Глава 10. Гильбертово пространство..........................168
10.1.	Определение гильбертова пространства..................168
10.2.	Ортогональность и теорема о проекции..................168
10.3.	Ортонормальные базисы.................................169
10.4.	Ряды Фурье............................................170
10.5.	Линейные и билинейные функционалы ....................171
Содержание
5
10.6.	Ограниченные линейные операторы......................171
10.7.	Инвариантные и приводящие подпространства............172
10.8.	Сходимость...........................................173
10.9.	Спектр оператора.....................................173
10.10.	Неограниченные линейные операторы....................174
10.11.	Сопряженные, симметричные
и самосопряженные операторы.................................175
10.12.	Замкнутые операторы..................................175
Задачи и упражнения...................................176
Глава 11. Банаховы алгебры..................................198
11.1.	Определения и некоторые свойства.....................198
11.2.	Идеалы и гомоморфизмы коммутативных банаховых алгебр . . 198
11.3.	Основная теорема.....................................199
11.4.	С*-алгебры...........................................200
Задачи и упражнения...................................200
Литература..................................................209
Предметный указатель .......................................211
Предисловие
В связи с интенсивным проникновением идей и методов функцио-
нального анализа в различные разделы математики (и не только матема-
тики) в последние годы в университетах курс функционального анализа
значительно расширен. Существует ряд монографий и учебников, посвя-
щенных общему курсу функционального анализа, однако сборника задач,
пригодного для проведения практических занятий, пока нет. Наличие
большого числа задач, включенных в различные монографии, не решает
этой проблемы. Настоящее пособие является попыткой восполнить име-
ющийся пробел.
Сборник задач и упражнений по функциональному анализу состоит
из одиннадцати глав, отражающих основные вопросы университетско-
го курса функционального анализа. В начале каждой главы приведены
основные определения и теоремы. Авторы старались подобрать задачи
различной трудности, начиная с простейших, иллюстрирующих основные
понятия, для решения которых достаточно только знакомства с опреде-
лениями, и кончая задачами, требующими владения аппаратом функцио-
нального анализа. В частности, в качестве задач приводится ряд известных
теорем функционального анализа. Авторы не стремились включать в книгу
сложные задачи, имеющие проблемный характер, а в основном подбирали
задачи учебного характера. Часть из них была опробована на практиче-
ских занятиях в Белорусском государственном университете. Определен-
ное внимание уделено так называемым контрпримерам, т. е. примерам,
показывающим, что некоторые правдоподобные, на первый взгляд, утвер-
ждения неверны.
Большинство задач, включенных в сборник, содержится в качестве
упражнений и примеров в различных изданиях. Часть примеров состав-
лена специально для настоящего издания.
Авторы глубоко благодарны профессорам С. Г. Крейну, В. И. Соболеву,
П. Е. Соболевскому и кандидату физико-математических наук С. С. Кута-
теладзе, прочитавшим рукопись и сделавшим много полезных замечаний.
Авторы
Глава 1
Теория множеств
1.1. Операции над множествами
Здесь рассматриваются элементы наивной теории множеств.
Пусть X — множество; запись х € X означает, что элемент х принад-
лежит множеству X. Отрицание принадлежности обозначается символом
Е. Запись у Ё X означает, что элемент у не принадлежит множеству X. Ес-
ли X и Y — два множества, то отношение X С Y эквивалентно отноше-
нию: из х Е X следует х Е К В этом случае X называется подмножеством
множества Y. Множество всех подмножеств множества X обозначается
через Р(Х). Множество, состоящее из одной точки ж, обозначается {ж}.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначает-
ся 0. Ясно, что 0 С X и X С X для любого множества X. Множества
0 и X называются несобственными подмножествами множества X, а все
остальные подмножества множества X — собственными. Множество
X U Y = {ж; ж Е X или ж Е У}
называется объединением множеств X и Y.
Множество
XQY = {х; хеХ nxeY}
называется пересечением множеств X и Y. Объединение и пересечение
любого набора множеств определяются следующим образом:
Ха =	3 Qq Е А, X Е -Ад,)},
а€А
Р| Ха = {ж; ж Е Ха при любом а Е А}.
а€А
Здесь каждому элементу а Е А поставлено в соответствие множество Ха.
Множество
X \Y = {ж; хЕХ ижЁУ}
называется разностью множеств X и У; если У С X, то она называется
дополнением множества У до множества X и обозначается С%У. Если
из текста ясно, до какого множества берется дополнение, то обозначение
упрощается до С У.
8
Глава 1. Теория множеств
1.2. Прямые произведения. Отношения. Функции
Множество упорядоченных пар (ж, у), где х € X, у Е У, называется
произведением множеств X, Y. Произведение множеств X и Y записывает-
ся в виде ХхУ (такое произведение называется прямым или декартовым).
Элемент х пары (х,у) называется первой проекцией пары, х = рг^ж, у),
а элемент у — второй проекцией пары, у = рг2(ж, у). Всякое подмноже-
ство R прямого произведения X х У называется отношением.
Проекции R,
РГ| R = {ж; ж Е X, 3 у Е У, (ж, у) Е R},
pr2 R = {у, у € Y, 3 х е X, (х, у) € R}
называются соответственно областью определения и областью значений от-
ношения R. Область определения обозначается через D(R), а область
значений — через 1т(Я).
Отношение R~x = {(у, ж); (ж, у) € Я) называется обратным для R.
Произведением или композицией R С X х Z и R\ С Z х X называется
отношение R о Rx = {(х,у), 3z 6 Z, (x,z) € R, (z,y) € R]} С X х Y.
Отношение R функционально по у, если для любого ж Е X существует
один и только один элемент у Е У, такой что (ж, у) Е R. Из определения
функционального по у отношения R следует, что утверждение «Я функ-
ционально по у» эквивалентно следующим двум соотношениям:
1) D{R) = X;
2) из (ж, у) Е Я, и (ж, 2/i) Е Я следует у = ух.
Функциональное по у отношение Я С X х У называется отображением X
в У или функцией, определенной на X со значениями в Y. Единственный для
каждого ж Е X элемент у, такой что (ж, у) Е Я, обозначается через Я(ж),
у — F(x), и называется значением функции F при значении аргумента ж.
В дальнейшем часто под словом «функция» {«отображение») будем
понимать закон, правило, соответствие, по которому каждому элементу
х Е X ставится в соответствие элемент F{x) Е У Тогда отношение,
состоящее из пар (ж, F(x)) С X х У, называется графиком отображения
F. Для записи отображения F множества X в У используются символы
F : X -> У. Если Х\ С X то функция F : X -> У порождает функ-
цию: F\ : Х\ -> У, ЯДж) = F(x), ж Е Х\, которая называется сужением
функции F на Х\ и обозначается через F/X\. Функция F называется
продолжением функции F\.
Отображение F : N -> X, где N — множество натуральных чисел,
называется последовательностью в X. Значение F{n) последовательности
при значении аргумента п обычно записывают через хп, F(n) = хп,
а последовательность обозначают символом (жп).
1.4. Фактор-множества
9
Пусть каждому элементу a € А поставлено в соответствие множество
Ха; произведением Ха множеств Ха называется множество всех функ-
ций F, определенных на А, таких что F(a) € XQ для каждого а Е А.
Если А = {1, 2,..., п}, то мы возвращаемся к произведению
п
Xi *X2*...xXn = Y[xk,
fc=l
определенному выше для п = 2, как множеству наборов из п элементов
(Ж1,Ж1,... , жп), где Xk Е Xk, к = 1,2,..., п.
1.3.	Обратные отображения.
Композиция отображений
Пусть задано отображение F : X Y и A G X. Множество F(A) =
= {у\ У £ У, Зж € А, у — F(x)} называется образом множества А при
отображении F. Для множества В CY множество F~'(B) = {ж; х € X,
F(x) Е В} называется прообразом множества В при отображении F.
Отображение F : X -> Y называется сюръективным, если F(X) = Y; инъ-
ективным, если из F(x) = Г(ж0 следует ж = Ж|, и биективным, если
оно сюръективно и инъективно. Множество X называется счетным, ес-
ли существует биективное отображение F : X -> N. Если отношение
R С X х Y является биективным отображением F : X -> Y, то отно-
шение R~x GY х X будет функциональным по ж. Это отношение служит
отображением F-1 : Y -> X и называется обратным к отображению F
(не смешивать отображение F~l : Y -> X с прообразом F~\B) опреде-
ляемым для любых отображений, не обязательно биективных).
Пусть даны отображения F : X Z и G . Z -+Y ', тогда отображение
Н : X -> Y; Н(х) = G(F(x)) называется композицией отображений F и G
или сложным отображением Н = G о F (здесь важен порядок сомножи-
телей).
1.4.	Фактор-множества
Отношение R С X х X называется рефлексивным, если (ж, ж) Е R,
х € D(R\, симметричным, если из (ж, у) € R, следует (у, ж) Е R; транзи-
тивным, если из (ж, у) Е R и (у, z) Е R следует (ж, z) € R. Рефлексивное,
симметричное и транзитивное отношение R С X х X, D(R) = X назы-
вается отношением эквивалентности. Подмножество А С X называется
классом эквивалентности (точнее, классом R-эквивалентности), когда су-
ществует элемент ж Е А, такой что А = {у, у Е X, (х, у) Е R}.
10
Глава 1. Теория множеств
Теорема. Отношение эквивалентности R на множестве X разбивает
это множество на попарно-непересекающиеся классы эквивалентности.
Множество классов эквивалентности называется фактор-множеством
X по отношению эквивалентности R и обозначается символом X/R. Отоб-
ражение 7г : X -> Х/R, 7г(ж) = А, х € А, называется каноническим (или
канонической проекцией).
1.5.	Упорядоченные множества
Рефлексивное и транзитивное отношение R С X х X называется
отношением порядка, если из (ж, у) 6 R и (у, х) € R следует х — у. Пару
(ж, у) Е R записывают в виде ж ос у, где символ а означает упорядочение.
Множество X с упорядочением ос записывают через (Х<х) и называют
упорядоченным множеством. Если отношение порядка ос обладает допол-
нительным свойством, таким что для всякой пары (ж, у) Е X х X либо
ж ос у, либо у ос ж, то множество X называется линейно упорядоченным.
Элемент ж называют мажорант ой множества Z С (X ос), если z ос ж
при любом z Е Z. Мажоранта ж множества Z называется верхней гранью
множества Z (х = supZ), если ж ос у для любой мажоранты у множе-
ства Z.
Элемент ж Е (X, ос) называется максимальным, если из ж ос у, у Е (X, ос)
следует ж = у.
Лемма Цорна. Если каждое линейно упорядоченное подмножество упо-
рядоченного множества (X, ос) имеет мажоранту, то в (X, ос) суще-
ствует максимальный элемент.
Элемент ж называется минорантой множества Z С (X, ос), если ж ос z
при любом z Е Z. Миноранта ж множества Z называется нижней гранью
множества Z (х — inf Z), если у ос ж для любой миноранты у множе-
ства Z.
Элемент жЕ (Хос) называется минимальным, если из у ос ж, у€(Х,<х.)
следует ж = у.
Лемма' Цорна. Если каждое линейно упорядоченное подмножество упо-
рядоченного множества {X, ос) имеет миноранту, то в (X ос) существу-
ет минимальный элемент.
Задачи и упражнения
11
1.6.	Направленные множества.
Фильтры. Базы фильтров
Отношение порядка ос на множестве X называется направлением на
нем, если для любых элементов ж, у € X существует мажоранта (3 z € X,
х <х z и у <х z). Множество X с направлением ос, (У, ос), называется
направленным множеством. Обобщенной последовательностью (или направ-
ленностью) называется функция F, областью определения которой явля-
ется направленное множество.
Класс & непустых подмножеств X & С Р(Х) называется фильтром
в X, если:
1) из А, В € & следует А А В €	;
2) из А е & и А С В С X следует В € ЙС
Класс Ф непустых подмножеств I, Ф С Р(Х), называется базой филь-
тра & С Р(Х), если для каждого элемента А € 3F существует элемент
В € Ф, такой что В С А. Если Ф счетное множество, то говорят, что
фильтр.^ имеет счетную базу.
Пусть Ф С Р(Х). Для того чтобы класс Ф был базой некоторого филь-
тра & на X, необходимо и достаточно выполнение следующих двух усло-
вий:
1) если А, В € Ф, то существует С € Ф, С С АПВ;
2) класс Ф не пуст 0 € Ф.
При выполнении этих условий фильтр J Э Ф состоит из всех под-
множеств множества X, каждое из которых содержит какое-либо множе-
ство из Ф. Фильтр & на X мажорирует фильтр на Х9 если &\ С &.
Ультрафильтром на X называется всякий фильтр, который не мажо-
рируется никаким отличным от него фильтром на X.
Задачи и упражнения
["Доказать соотношения (1-12):
1.	X GY & XUY = Y &X(VY = Х.
2.	XGZnY GZ&XUY GZ.
3.	Z GX и Z GY & Z GXftY.
4.	X U (Y A Z) = (X U Y) A (X U Z).
5.	X A (Y U Z) = (X A Y) U (X A Z).
6.	X \ Y = X \ (X A Y) = (X U Y) \ Y.
7.	X \ (У \ Z) = (X \ Y) U (X A Z).
12
[лава 1. Теория множеств
8.	(X\Y)Q(Z\U) = (ХПХ)\(УиР).
9.	1П(У\2) = (1ПУ)\(1Л2).
10.	(X \ Z) П (У \ Z) = (X П Y) \ Z).
11.	(X U У) \ Z = (X \ Z) U (У \ Z).
[12. (X\Y)\Z = Х\(УиХ).
["операция симметрической разности Д определяется равенством ХДУ =
= (X \ У) U (У \ X). Доказать утверждения (13-20):
13.	X Д У = (X U У) \ (X П У).
14.	X Д У = У Д X.
15.	X Д (У Д Z) = (X Д У) Д Z.
16.	X П (У Д Z) = (X П У) Д (X П Z).
17.	X Д X = 0.
18.	ХД0 = Х
19.	У СХ«1ДУ = CY.
[ 20. Р(Х) есть коммутативная группа относительно операции Д.
["выразить операции и, Г) через операции (21-23):
21. Д, Г).
22. Д, U.
[23- А. \-
[Кусть X, У € Р(Е). Проверить соотношения (24-29):
24.	С’(СХ) = X.
25.	С(Х U У) = СХ П С У.
26.	С(Х П У) = СХ U С У.
27.	X С Y &CY С СХ.
28.	ХПУ = 0«- X ССУ «У ССХ.
[29. ХиУ = Е^СХ СУ &CY СХ.
[Доказать равенства (30-35):
30.	(и ха) П( и Гд) = и (ха П Y0)-
аеА	рев	(а.р)еАхВ
31.	( П Ха) и( П Y0) = П (Ха С|Уд).
«ел	рев	(а.р)еАхв
Задачи и упражнения
13
32.	р(Пл*<0= A/W-
33.	р( и ха) = {и Ya, Ya е р(ха)}.
а€А	а€А
34.	С( и Ха) = П СХа, если Ха G Р(Е) Vа Е А.
а€А	абА
[_35. С( П ха) = и СХа, если Ха G Р(Р) Va € А.
а€А	а€А
36.	Построить множества X, Y, для которых X х Y Y х X.
[Доказать соотношения (37-43):
37.	X х Y = 0 <=> X = 0 или Y = 0.
38.	X, х У| Q X х Y & Xt С X, У, С Y.
39.	X xY = Ах В X — A, Y = В.
40.	(X х Y) П (X, х У) = (X П Xi) х У.
41.	X х (У U Z) = (X х У) U (X х Z).
42.	(X П Xj) х (У П У,) = (X х У) П (Xj х У).
43.	Z С pr] Z х рг2 Z V У С X х У; равенство выполняется тогда и только
| тогда, когда Z = Xi х Y\, где Xi С X, У( С У.
44.	Справедливо ли равенство (X х У)и(^Г] х У|) = (X UX|) х (У иУ|)?
["пусть R, S, Т — некоторые отношения.
Проверить справедливость равенств (45-48):
45.	Ro(SoT) = (RoS)oT.
46.	(R~l)~'=R.
47.	(Я о S')’1 =S~'oR~'.
|_48. D(R~l) = Im(P), lm(P-1) = D(R).
49.	Пусть R — числовая прямая, R C R x R, R = {(ж, y)\ x y}.
Найти D(R), Im(P), R~', RoR,R°R~l, R~'oR.
[Установить, что следующие отношения функциональны (50-54):
50.	Ъ € У, R = X х {&} С X х Y (постоянное отображение).
51.	R = {(ж, ж); ж € А'} С X х X (тождественное отображение 1Х).
52.	R = {(Z, X \ Z)} С Р(Х) х Р(Х) (переход к дополнению).
53.	R = {((х, у), ж)} С (X х Y) х X (проекция на X).
[54. R = {((®, у), у)} С (X х Y) х Y (проекция на У).
14
Глава 1. Теория множеств
55.	Доказать, что R С X х Y биективно тогда и только тогда,
когда R о _ 1у,и R~} о R = 1Х.
56.	Установить существование отношения Я"1 С К х I, такого что
R~x о R = lx, если R инъективно (отношение Я'1 левое обратное),
57.	Доказать существование отношения Я’1 С У х I, такого что
Ro R~{ =z IY, если R сюръективно (отношение R~' правое обратное).
[Дано отображение F : X -> У, установить справедливость
соотношений (58-68):
58.	А G В =>F(A)CF(B).
59.	F(AQB)CF{A)DF{B).
60.	F(U Ва) = U F(Ba).
а€А	а€А
61.	F(A) = pr2 [F П (Л х У)], здесь F — график отображения F : X -» Y.
62.	В С В, => F~'(B) С F-l(Bi).
63.	F"l(B) = F_,[BnF(X)].
64.	F-'(C| Ва)= П F-'(Ba).
atA
65.	F-'(|J Ba) = IJ F~l(Ba).
atA	a€A
66.	F(F“’(B)) = BAF(1), F(F-1(B)) = В тогда и только тогда,
когда F сюръективно.
67.	F~x (F(A)} Э A, F~l (F(A)) = А тогда и только тогда,
когда F инъективно.
|_68. Пусть F.X-+Y, G:Y->Z, H = GoF, тогда Н~\В) = F~[ (G’‘(B)).
["Построить примеры отображений F.X-+Y и подмножеств А, В 6 Р(Х),
для которых (69-73):
69.	F(AAB) /F(4)AF(B).
70.	F(X\A)CY\F(A).
71.	F(X\A) DK\F(A).
72.	Ни одно из множеств F(X \ A), Y \ F(A) не содержится в другом.
[73. A D В и Г(Л \ В) £ F(A) \ F(B).
74.	Установить, что отображения prj : X х Y -> X, рг2 : X х Y -> Y сюръ-
ективны.
Задачи и упражнения
15
75.	Дано отображение F: X -> Y. Доказать, что отображение G: X -> X х У,
G(x) = (ж, F(x)) инъективно.
[~Проверить, что отображения биективны (76-78):
76.	F : Р(Х) -» Р(Х), F(Z) = X\Z.
77.	F : X -> X х {Ь}9 Р(ж) = (ж, b).
|_78. X х Y -> Y x X, F(x, у) = (у, x).
[доказать, что следующие множества конечны или счетны (79-82):
79.	Любое подмножество счетного множества.
80.	Объединение конечного или счетного множества конечных или счет-
ных множеств.
81.	Произведение конечного числа множеств, каждое из которых либо
конечно, либо счетно.
| 82. Образ счетного множества при любом отображении.
83.	Показать, что произведение счетного множества конечных множеств
не является счетным.
рУстановить, что следующие множества являются счетными (84-88):
84.	Множество рациональных чисел Q.
85.	Множество точек Rn с рациональными координатами.
86.	Множество конечных подмножеств счетного множества.
87.	Множество попарно-непересекающихся интервалов на числовой оси.
| 88. Множество многочленов с целыми коэффициентами.
89.	Доказать, что множество точек отрезка [0, 1] несчетно.
90.	1-Цйти биективное отображение : [0, 1] -> (0, 1).
91.	Доказать, что множество X бесконечно тогда и только тогда, когда для
любого отображения F : X -> X, 3 А С X, А 0, А X, F(A) С А.
92.	Проверить утверждение: А бесконечно тогда и только тогда, когда А
биективно отображается на собственное подмножество.
[-Построить отношения, удовлетворяющие следующим требованиям (93-95):
93.	Рефлексивное, симметричное, не транзитивное.
94.	Рефлексивное, транзитивное, не симметричное.
| 95. Симметричное, транзитивное, не рефлексивное.
16
Глава 1. Теория множеств
^Проверить, что следующие отношения являются отношениями эквивалент-
ности (96-100):
96.	R С N х N, R = {(а, b), а - Ь делится на т}.
97.	R С (N х N) х (N х N), R = {((a, b), (с, d)),ad = be, если bd О,
или а — с9 если bd = О}.
98.	R С R х R, R = {(а,/3), а - ft рационально}.
99.	R С (N х N) х (N х N), R = {((а,&), (c,d)); a + d = b + c}.
| 100. R~l, если R — отношение эквивалентности.
101.	R и R\ — отношения эквивалентности. Установить, что R о R{ —
отношение эквивалентности тогда и только тогда, когда Ro R\ = R\ о R.
["Доказать, что следующие отношения являются отношениями эквивалент-
ности, и построить соответствующие фактор-множества (102-105):
102.	R С (R2 х R2), R = {((ж,у), (®i,yt)); x = xt}.
103.	flC(R3xR3), R={((x,y,z),(xi,y\,zi))-,x2 + y2 + z2 = x2l+y2 + z2}.
104.	R C RxR, R = {(ж, у); x-E(x) = y-E(y), где E(x) — целая часть
числах}.
[105. RGR2xR2,R={((x,y),(xl,yl))-y = yl}.
[Установить, что следующие множества являются
упорядоченными (106-108):
106.	Р(Х) с отношением включения А С В.
107.	Множество непрерывных на отрезке [0, 1] функций С[0, 1] с отно-
шением порядка х осу, если x(t) С y(t) Vt 6 [0, 1].
108.	Произведение упорядоченных множеств (X, <), (У, <£) с отношени-
[ ем порядка (ж,у) ос (х\,у\), если у <£у\ или х < Х\ при у = у\.
109.	Доказать, что R, с отношением порядка а < b является линейно
упорядоченным множеством.
110.	Проверить, что R~l — отношение порядка, если R — отношение
порядка.
111.	Доказать, что всякое подмножество из Р(У), упорядоченного по
включению, имеет точные верхнюю и нижнюю грани.
112.	Доказать, что отношение т ос п, если п делится на т, является
отношением порядка на N. Проверить, что для всякого конечного мно-
жества А С N в этом упорядочении существуют inf А и sup А.
Задачи и упражнения
17
113.	"Доказать, что конечные подмножества N с отношением порядка
А ос В, если сумма чисел из А не больше суммы чисел из В, не образуют
упорядоченного множества.
[~Проверить, что следующие множества образуют базы фильтров (114-115):
114.	Интервалы вида (1,Д), /3 > 1.
| 115. Множества {n, n + 1,...}, n = 1, 2,... .
[-Проверить, что следующие множества образуют фильтры (116-118):
116.	Дополнения в N конечных подмножеств из N.
117.	Подмножества Х9 содержащие множество А С Х9 А 0.
118.	Дополнения к всевозможным конечным подмножествам бесконеч-
ного множества.
119.	Найти все фильтры в конечном множестве.
120.	Установить, что пересечение некоторого непустого класса фильтров
{^а} на X является фильтром inf на X.
121.	Доказать, что класс множеств {АхВ}, где А €	& — фильтр на Х9
В е — фильтр на У, образует базу некоторого фильтра на X х У.
122.	Даны отображение F : X -> У и база фильтра (или фильтр) & на X.
Доказать, что F(^) — база некоторого фильтра на У.
123.	Построить пример отображения F : X -> У и фильтра & на Х9 для
которых F(.^) не является фильтром.
124.	Доказать, что если Ф — база фильтра на У, a F : X -> У сюръек-
тивно, то F"1^) — база фильтра на X.
125.	Пусть (У, ос) — направленное множество. Для любого х £ X мно-
жество Ах = {у9 х ос у} называется сечением, определяемым элементом х.
Установить, что класс Ф = {Ах}, х Е X образует базу фильтра на X.
126.	Доказать, что все подмножества Х9 содержащие элемент а Е Х9 об-
разуют ультрафильтр.
127.	Показать, что множество фильтров на X упорядочено отношением
включения на Р(Р(У)).
128.	Доказать, что для любого фильтра & на X существует ультрафильтр
Ф D
129.	Дан ультрафильтр & на X. Доказать, что если A U В Е	А, В € Р(X),
то либо А € либо В € ЙГ
18
Глава 1. Теория множеств
130.	Установить, что существование фильтра на X, содержащего класс
G С Р(Х)9 эквивалентно утверждению «пересечение любого конечного
набора множеств из G не пусто».
131.	Пусть & и — фильтры на X. Доказать утверждение & П &\ =
= {A UВ}, где А Е В Е .
132.	Проверить справедливость утверждения: если фильтр & на X удо-
влетворяет условию П А = 0, то он мажорирует фильтр дополнений
А^
конечных подмножеств множества X.
Глава 2
Топологические пространства
2.1.	Топология. Окрестности. Замыкания
Пусть X — произвольное непустое множество. Топологией на множе-
стве X называется множество т подмножеств множества X (т С Р(Х)),
удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам топологии):
1)	объединение любого множества элементов из т принадлежит т:
Ua € т => U 77а € т;
2)	пересечение любых двух множеств из т принадлежит т:
U\, Ui 6 т => 171 П 1^2 € т;
3)	все множество X и пустое подмножество 0 принадлежат т.
Элементы из т называют открытыми множествами в топологии т,
а их дополнения — замкнутыми множествами. Топологическим простран-
ством называется пара (X, т), где X — множество, т — топология на нем.
Если топология зафиксирована, то топологическое пространство часто
обозначают просто X.
Если на множестве X заданы две топологии т\ и Т2 и выполнено
условие 71 С 72, ТО говорят, ЧТО ТОПОЛОГИЯ 72 сильнее ТОПОЛОГИИ 71, а то-
пология 71 слабее топологии 72. Самая слабая из топологий на X состоит
из двух подмножеств {X, 0} и называется антидискретной. Самая сильная
из топологий на множестве X состоит из всех подмножеств множества X
(т = Р(Х)) и называется дискретной.
Открытой окрестностью точки х в топологическом пространстве
(X, 7) называется любое открытое множество, содержащее точку х. Окрест-
ностью точки х называется любое множество, содержащее открытую
окрестность этой точки. Множество всех окрестностей точки х обознача-
ется О(х).
Пусть А — подмножество множества X. По отношению к А точки
топологического пространства (X 7) могут быть двух типов.
1.	Точка х называется точкой прикосновения множества Л, если любая
окрестность точки х содержит точки из множества А.
20
(лава 2. Топологические пространства
2.	Точка х называется внешней точкой множества А, если существует
окрестность этой точки, не содержащая точек из А.
Точки прикосновения множества А можно несколькими способами
разбить на следующие типы.
Точка х € А называется изолированной точкой множества А, если су-
ществует окрестность V точки ж, не содержащая точек из А, отличных от х
(V Г) А = {ж}). Точка ж называется предельной точкой множества А, если
в любой ее окрестности содержатся точки множества А, отличные от ж.
Точка ж называется внутренней точкой множества А, если существует
окрестность V точки ж, содержащаяся в А. Точка ж называется граничной
точкой множества А, если в любой ее окрестности существуют точки из А
и точки, не принадлежащие А.
Множество внешних точек называется внешностью множества А и обо-
значается ext А, множество внутренних точек — внутренностью множе-
ства А и обозначается int А или Л, множество граничных точек — границей
множества А и обозначается дА или А.
Множество точек прикосновения множества А называется замыка-
нием множества А и обозначается А.
Множество А называется плотным в В, если В С А, и всюду плотным
(плотным в X), если А = X. Топологическое пространство (У, т) назы-
вается сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду
плотное множество.
2.2.	Сходящиеся последовательности. Непрерывность
Последовательность хп точек топологического пространства (У, т)
называется сходящейся, если существует точка а € X, такая что для любой
ее окрестности V € 0(d) существует число п0, такое что для п > п0 вы-
полняется хп Е V. Тогда точка а называется пределом последовательности
хп, и это обозначается а = lim хп или хп -> а.
Топологическое пространство (X, г) называется отделимым или хау-
сдорфовым, если для любых двух различных точек a, b Е X существуют
непересекающиеся окрестности 3 U Е 0(d), V Е 0(b), U П V = 0.
Теорема 1. В отделимом топологическом пространстве сходящаяся по-
следовательность имеет только один предел.
Множество В(х) окрестностей точки ж(В(ж) С О(ж)) называется
базой (фундаментальной системой) окрестностей точки х, если в каждой
окрестности точки ж содержится некоторая окрестность из В(х). Говорят,
2.3. Подпространства. Фактор-пространства
21
что топологическое пространство (X, т) удовлетворяет в точке х первой
аксиоме счетности, если существует база окрестностей точки х, состоящая
из счетного числа элементов.
Множество открытых множеств В С г называется базой топологии,
если любое открытое множество является объединением множеств из В.
Говорят, что топологическое пространство (Х,т) удовлетворяет второй
аксиоме счетности, если в (X, т) существует счетная база топологии.
Множество Q открытых множеств называется предбазой окрестностей
точки х (топологии), если конечные пересечения множеств из Q образуют
базу окрестностей точки х (базу топологии).
Пусть (X, Тх) и (Y, ту) — фиксированные топологические простран-
ства и задано отображение / : X -> Y. Отображение (функция) / назы-
вается непрерывным в точке Xq Е X, если для любой окрестности U точки
/(жо) существует такая окрестность V точки Xq, что f(V) С U. Отобра-
жение / называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке
хЕХ.
Теорема 2. Отображение f является непрерывным тогда и только то-
гда, когда прообраз каждого открытого множества Y является откры-
тым множеством в X.
Отображение f : {X, Тх) (У, ту) называется гомеоморфизмом, если
f биективно, непрерывно и также непрерывно.
Топологические пространства (Х,тх) и (У, ту) называются гомео-
морфными, если между ними существует гомеоморфизм.
Отображение f : (X, тх) -> (Y, ту) называется открытым, если образ
любого открытого множества открыт, и замкнутым, если образ любого
замкнутого множества замкнут.
2.3.	Подпространства. Фактор-пространства.
Произведения пространств
Пусть (X, т) — топологическое пространство и А С X. Множество
подмножеств вида (A A U, U Е т) образует топологию гд на А, индуциро-
ванную топологией т. Пара (А,тд) называется подпространством тополо-
гического пространства (X, г).
Пусть (X, тх) и (Y,Ty) — топологические пространства. На декар-
товом произведении Z = X х Y задается топология произведения тг,
в которой базой служат множества вида U х V, где U Е тх , V Е ту. Топо-
логическое пространство (Z, Tz) называется произведением топологических
22
Глава 2. Топологические пространства
пространств (ХТх) и (У,ту). Если (Х,^:)? i Е Т — произвольное мно-
жество топологических пространств, то тихоновской топологией на произ-
ведении X = Xi называется топология т, слабейшая из тех топологий
на X при которых все проекции непрерывны, а (X т) — произведением
топологических пространств (X, т,). Базу тихоновской топологии образу-
ют множества вида U =	U}, где U} € т: и Ui = X, за исключением
iei
конечного числа индексов.
Пусть (X г) — топологическое пространство и на X задано отноше-
ние эквивалентности R. Фактор-топологией на фактор-множестве X/R
(на множестве классов эквивалентности) называется сильнейшая из то-
пологий, при которых каноническая проекция непрерывна. Открытыми
множествами в Х/R являются множества U С Х/R, такие что U А Е т.
леи
Фактор-множество с заданной на нем фактор-топологией называется фак-
тор-пространством.
Топологическое пространство (Х^) называется несвязным, если X
представляется в виде объединения двух открытых непустых непересека-
ющихся множеств, и связным, если такое представление невозможно.
Топологическое пространство (X т) называется линейно-связным, ес-
ли для любых точек Жо,Ж1 Е X существует непрерывное отображение
отрезка [0, 1] в X, такое что /(0) = xq, /(1) = Х\.
Покрытием U множества пространства X называется множество
подмножеств Ua, таких что A'CUt/a. Покрытие называется открытым,
если все множества Ua открыты, и конечным, если оно состоит из конеч-
ного числа элементов.
Подмножество Y С U называется подпокрытием покрытия U, если
оно само является покрытием. Топологическое пространство (X т) назы-
вается компактным, если у любого открытого покрытия пространства X
существует конечное подпокрытие.
Подмножество А в топологическом пространстве называется ком-
пактным, если оно компактно, как топологическое пространство с инду-
цированной топологией.
Топологическое пространство X называется локально-компактным,
если у любой точки х Е X существует окрестность, являющаяся компакт-
ным множеством.
Теорема Тихонова. Произведение любого множества компактных про-
странств есть компактное пространство.
Задачи и упражнения
23
Теорема 3. Образ компактного пространства при непрерывном отоб-
ражении компактен.
Топологическое пространство (X, т) называется нормальным, если для
любых двух непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют
непересекающиеся открытые множества U и V, такие что А С U, В С V.
Лемма Урысона. Для любых двух непересекающихся замкнутых мно-
жеств А и В нормального пространства (X, г) существует непрерыв-
ная числовая функция f, заданная на X, такая что 0	/(ж)	1 для
х е X и /(ж) = 0 для х 6 A, f(x) = 1 для ж € В.
Отделимое компактное топологическое пространство нормально.
Задачи и упражнения
1.	На множестве из двух точек построить все топологии, сравнить их
между собой и найти среди них гомеоморфные.
2.	Привести пример топологического пространства и множества в нем:
1)	не открытого и не замкнутого;
2)	открытого и замкнутого.
3.	Доказать, что пересечение любого множества топологий на множе-
стве X является топологией на X. Построить пересечение всех топологий
на X.
4.	Показать на примере, что объединение двух топологий на множестве X
может не быть топологией на X.
5.	Доказать, что для любого множества В подмножеств множества X
существует слабейшая из топологий на X, содержащих В.
Для заданного множества подмножеств В множества R действительных
чисел построить слабейшую из топологий на R, содержащих В (6-14):
6.	В = {(a,b); a,be R}.
7.	В = {[а, Ь]; a,b е R}.
8.	В = {[а,6); a,be R}.
9.	В = {(а,М; а, be R}.
10.	В = {(а, +оо); а е R}.
24
Глава 2. Топологические пространства
11.	В — {[а, +оо); a е R}.
12.	В = {(-оо,а); a € R}.
13.	В = {(а, Ь); а, b е R, a > О, Ь > 0}.
| 14. В = {[n, m]; n, m € Z}.
15.	Найти пересечение топологий, построенных в задачах 8 и 9.
16.	Найти пересечение топологий, построенных в задачах 10 и 12.
17.	Сравнить между собой топологии, построенные в задачах 6 и 8.
18.	Сравнить между собой топологии, построенные в задачах 8 и 9.
19.	Пусть 71 С 72 С ... — последовательность топологий на множестве X.
00
Является ли (J топологией на X?
*=1
20.	Доказать, что множество О(х) всех окрестностей точки х в тополо-
гическом пространстве (У, 7) обладает следующими свойствами:
1)	если V € О(х), то х € V;
2)	если V] и Vi £ О(х), то V\ П V2 € О(ж);
3)	если V Е О(х) и V С U, то U Е О(ж);
4)	если V Е О(ж), то существует множество U С V, U € О(ж), такое что
V Е О(у) для у eU.
21.	Доказать, что множество в топологическом пространстве открыто то-
гда и только тогда, когда оно является окрестностью каждой своей точки.
22.	Пусть каждой точке х множества X поставлено в соответствие мно-
жество подмножеств О(х) С Р(Х), обладающее свойствами (удовлетворя-
ющее условиям) 1-4 задачи 20. Доказать, что существует единственная то-
пология на X, в которой О(х) есть множество всех окрестностей точки ж.
23.	На множестве X заданы топологии 71 и 72. Пусть для любой окрест-
ности V\ точки х в топологии 71 существует окрестность V2 точки х
в топологии 72, такая что Vi С Уь Какая из топологий 7j и 72 сильнее?
24.	На множестве X заданы топологии 7] и 72. Пусть для любого U € т\
существует V € 72, такое что V С U. Сравнимы ли топологии т\ и 72?
Привести примеры.
______________________________ Ответы ______________________________
14.	См. задачи 8-9.
15.	Естественная топология.
18. Несравнимы.
19. Вообще говоря, нет.
16.	Антидискретная топология.	23. Т2 сильнее.
17. г» сильнее т^.
24. Топологии могут быть несравнимы
(см. задачи 8-9).
Задачи и упражнения
25
25.	Доказать, что в отделимом топологическом пространстве каждая точка
является замкнутым множеством.
26.	Привести пример неотделимого топологического пространства, в ко-
тором каждая точка замкнута.
27.	Являются ли отделимыми топологические пространства, построенные
в задачах 6, 10, 13?
28.	Пусть X — бесконечное множество. Топология на X образована из
дополнений конечных подмножеств X. Доказать, что для любых точек а,
b € X, a b, существуют окрестность V € 0(a), be V и окрестность
U € 0(b), аёи.
РДаны множества. Найти их внешние, внутренние, граничные, изолирован-
ные и предельные точки (29-32):
29.	Множество {О} в топологических пространствах, построенных в за-
дачах 6-8.
30.	Множество {О} в топологических пространствах, построенных в за-
дачах 9, 10, 13, 14.
31.	Множество (0, 1) U {2} в топологических пространствах, построенных
в задачах 6-8.
32.	Множество (0, 1) U {2} U {-1} в топологических пространствах, по-
кроенных в задачах 9, 10, 13, 14.
33.	Может ли изолированная точка быть внутренней? Внешней? Гранич-
ной? Привести примеры.
34.	Доказать, что замыкание множества А есть наименьшее замкнутое
множество, содержащее А.
35.	Доказать, что внутренность множества А есть наибольшее открытое
множество, содержащееся в А.
_____________________________ Ответы _____________________________
27. 6 — да, 10, 13 — нет.	(0,1) U {2}; 0; (0,1) U {2}; 0.
29. 6, 8 — R\ {0}; 0; {0}; {0}; 0; 7— Я\{0}; {0}; {0}; 0; {0}; 0.	8 — (-оо, 0) U [1, 2) U (2,+оо); (0,1); {0,2}; {2}; [0,1).
30. 9 — R \ {0}; 0; {0}; {0}; 0. 10 — (0, +оо); 0; (-оо, 0]; 0; (-оо, 0]. 13- (0, +оо); 0; (-оо,0]; 0; (-оо,0]. 14 — (-оо, -1] U (1, +оо); {0}; (-1,0)0 (0, +1); {0}; (-1,0) U (0,1).	32. 9 —(—оо,-1)U(-1,0]U(l, 2)11(2,+оо); (0,1); {-1,1,2}; {-1,2}; (1,0]. 10— (2,+оо); 0; (—оо,2]; 0; (-оо,2). 13- (1,2) U (2,+оо); (0,1); (-оо,0| U {1,2}; {2}; (-оо, 1).
31. 6- (-оо,0) U (1,2) U (2, +оо); (0,1); {0,1,2}; {2}; [0,1]. 7 — (-оо,0] U [1,2) U (2,+оо);	14 - (-оо, -2] U {0,1} U [3, +оо); (—2,3) \ {-1,0, 1,2}; {-1,2}; (-2,3) \ {-1,2}.
26
Глава 2. Топологические пространства
36.	На множестве X заданы две топологии т\ и Т2, Т\ С 72. Пусть A Q X,
Aj, А2 — замыкание множества А в топологиях Т\ и Т2 соответственно.
Какое из включений верно: А\ С А2 или Л2 С Aj?
37.	На множестве X заданы две топологии rt, Т2 и Т\ С 73. Доказать, что
замыкание любого множества в топологии Т2 содержится в замыкании
этого множества в топологии л.
38.	Пусть X — бесконечное множество. Топология на X образована из
дополнений конечных подмножеств X. Доказать, что любое бесконечное
множество всюду плотно в X.
|~Для каждой из топологий задач 6-14 установить, являются ли множества
В подмножеств из R базой окрестностей нуля (39-45):
39.	В = {0}.
40.	В = {(e, -Foo); £ < 0}.
41.	В = {(-£,£); £ > О}.
42.	В = {[0, е); £>0}.
43.	В ={(-1,1)}.
44.	В = < (	- ); п 6 N
[ \ n nJ
[45. В = {R}.
46.	На плоскости построить топологию, предбазой которой служит мно-
жество всех прямых. Что это за топология?
47.	В множестве М[0, 1] всех числовых функций на отрезке [0, 1] обра-
зуем предбазу окрестностей из множеств вида
«г.Л^о) = {х : |ж(т) - жо(т)| < е}, 0 < г 1, е > 0.
Доказать, что в топологии, порожденной этой предбазой, множество не-
прерывных функции всюду плотно в М[0, 1].
48.	Доказать, что топологическое пространство, удовлетворяющее второй
аксиоме счетности, сепарабельно.
49.	Привести пример сепарабельного топологического пространства, не
удовлетворяющего второй аксиоме счетности.
___________________________ Ответы __________________________
36.	Л| D А2.	43. Нет — для всех.
39.	7, 14 — ла, остальные — нет.	44. 6 — да, остальные — нет.
40.	10 — да, остальные — нет.	45. 13 -да.
41.	6 — да, остальные — нет.	49. См. задачу 38.
42.	8 — да, остальные — нет.	
Задачи и упражнения
27
50.	Привести пример пространства и последовательности в нем, имеющей
несколько пределов.
51.	Привести пример последовательности, не имеющей предела, но мно-
жество точек которой имеет единственную предельную точку.
рТроверить, сходятся ли последовательности (52-56):
52.	хп = - в топологиях, построенных в задачах 6-9, 13.
п
(-1)п
53.	хп =----- в топологиях, построенных в задачах 6-9, 13, 14.
п
54.	хп = (-1)п в топологиях, построенных в задачах 6, 9, 10, 13, 14.
55.	xn = п в топологиях, построенных в задачах 6, 10-12.
| 56. хп = (-1)пп в топологиях, построенных в задачах 10-13.
|~Найти все сходящиеся последовательности и их пределы,
если даны следующие топологические пространства (57-63):
57.	Пространство с антидискретной топологией.
58.	Пространство с дискретной топологией.
59.	Множество R с топологией, базой которой являются интервалы (есте-
ственная топология).
60.	Множество R с топологией, базой которой служат полуинтервалы,
открытые справа.
61.	Множество R с топологией, образованной полупрямыми вида (а, Н-оо).
62.	Множество R с топологией, базой которой служат полупрямые вида
[а, +оо).
| 63. Множество R с топологией, базой которой служат отрезки [п, п +1].
_____________________________ Ответы _______________________________
52.	б, 8, 13 — да; 7, 9 — нет.
53.	б, 13 — да; 7-9, 14 — нет.
54.	10, 13 - да; 6, 9, 14 - нет.
55.	10, 11 — да; 6, 12 — нет.
56.	10, 13 - да; 11, 12 - нет.
57.	Все последовательности.
58.	Последовательности, постоянные,
начиная с некоторого номера.
59.	Обычные сходящиеся числовые
последовательности.
60.	Последовательности, сходящиеся
справа.
61.	Последовательности, ограниченные
снизу.
62.	Последовательности, ограниченные
снизу.
63.	Последовательности, у которых, начи-
ная с некоторого номера, постоянны
[яп] — целая часть и sign{arn} — знак
дробной части.
28
Глава 2. Топологические пространства
64.	Пусть на множестве X заданы две топологии Т\ и 72, Т\ С 72 и пусть
последовательность хп сходится в топологии т\, а последовательность уп —
в топологии 72. Сходится ли последовательность хп в топологии 72, а по-
следовательность уп — В ТОПОЛОГИИ 71 ?
65.	Пусть на множестве X заданы две топологии т\ и 72 и пусть любая
последовательность, сходящаяся в 72, сходится в 7р Вытекает ли отсюда,
ЧТО 71 С 72?
66.	На множестве R действительных чисел введем топологию следую-
щим образом: открытыми множествами назовем множества, дополнения
к которым не более чем счетны (и 0). Доказать, что сходящиеся по-
следовательности в этой топологии те же, что и в дискретной, хотя эти
топологии различны.
67.	Пусть на множестве X заданы две топологии 71 и т2 и пусть xn -> a
в 7i, xn -> Ь в 72. Можно ли утверждать, что a = 6? Верно ли равенство
a = Ь, если 7i С 72?
68.	Пусть на множестве X заданы топологии 7|, 72, 73, 73 С 7j, 73 С 72,
73 — отделима. Доказать, что если xn -> а в т\ и	—> 6 в т2, то а = 6.
69.	Пусть А — множество в топологическом пространстве (X, 7). Дока-
зать, что если последовательность хп € А сходится к точке Xq, то Xq € А.
70.	Привести пример множества А в топологическом пространстве и точ-
ки Xq 6 А, таких что не существует последовательности хп 6 А, сходя-
щейся К Xq.
71.	Доказать, что в топологическом пространстве, построенном в зада-
че 66, любое несчетное множество всюду плотно.
72.	Доказать, что в топологическом пространстве М[0, 1], построенном
в задаче 47, не всякая функция является пределом последовательности,
состоящей из непрерывных функций. Какие последовательности сходятся
в этом пространстве?
73.	Пусть А С X — подмножество в топологическом пространстве (X, т).
Доказать, что если ж0 6 А и в точке Xq выполняется первая аксиома счет-
ности, то существует последовательность точек хп 6 А, сходящаяся к xq.
74.	Привести пример пространства, не удовлетворяющего первой аксиоме
счетности.
______________________________ Ответы ________________________________
64. Последовательность уп сходится в Т[,	67. Вообще говоря, a^b.
хп может не сходиться в т2.	70> См задачу 66
65. Нет (см. задачу 66).	74. См. задачу 66.
Задачи и упражнения
29
75.	Доказать, что отображение /: (У, т%)	(У, 7у) непрерывно в точке
Xq 6 X, если для любой окрестности U из предбазы окрестностей точки
/(ж0) существует окрестность V точки ж0, такая что f(V) С U.
76.	Пусть топология тх дискретна. Доказать, что любое отображение
f : (X, тх) -» (У, ту) непрерывно.
77.	Пусть топология ту антидискретна. Доказать, что любое отображение
/ : (У, тх) -» (У, ту) непрерывно.
78.	Доказать, что для любого отображения / : X -> (У, ту) существует
слабейшая из топологий на множестве X, при которых f непрерывно.
79.	Доказать, что для любого множества отображений fa:X-^ (Ya,Ta)
существует слабейшая из топологий, в которых все отображения fa не-
прерывны (инициальная топология).
80.	Для отображений fa указать условия, при выполнении которых ини-
циальная топология отделима.
81.	Доказать, что для любого отображения / : (X, тх) -» Y существует
сильнейшая из топологий на множестве У, при которых отображение /
непрерывно.
82.	Доказать, что для любого множества отображений fa : (Ха9 та) -> У
существует сильнейшая из топологий на множестве У, при которых все
отображения fa непрерывны (финальная топология)
83.	Для отображений fa указать условия, при выполнении которых фи-
нальная топология отделима.
84.	Усилится или ослабится инициальная (финальная) топология, если
расширить множество отображений /а?
["Пусть X = У = R, ту — естественная топология. Для следующих отобра-
жений построить инициальные топологии (85-88):
85.	f(x) = x2.
86.	f(x) = sign х.
87.	f (x) = sin x.
88.	Функция Дирихле:
{1, если х рационально;
О, если х иррационально.
89.	На множестве М[0, 1] всех функций на отрезке [0, 1] построить ини-
циальную топологию относительно семейства отображений ft(x) = x(t).
30
Глава 2. Топологические пространства
[Пусть X = R, тх — естественная топология Y = R. Для следующих отоб-
ражений построить финальные топологии (90-93):
90.	/(ж) = ж2
91.	/(ж) = sign ж.
92.	/(ж) = sin ж.
| 93. Функция Дирихле.
94.	В пространстве s всех числовых последовательностей ж = (£i,&, •••)
ввести инициальную топологию относительно семейства отображений
/п(я)=£п- Какие последовательности сходятся в построенном тополо-
гическом пространстве?
95.	В пространстве s всех числовых последовательностей ж = (^1,^2, •••)
построить финальную топологию относительно семейства отображений
ipn : Rn -> s, ipn(£\5	5 £n) = (6, • • •, Cn, 0, • • •)• Какие последовательности
сходятся в построенной топологии?
96.	Привести пример непрерывного отображения, не являющегося от-
крытым.
97.	Привести пример открытого отображения, не являющегося непре-
рывным.
98.	Доказать, что топология тг слабее топологии Т\ тогда и только тогда,
когда тождественное отображение J : (X, Tj) (X, Т2), Jx = ж, непре-
рывно.
99.	Доказать, что топология Т2 сильнее топологии Т\ тогда и только тогда,
когда тождественное отображение J : (X, Ti) -> (X, Т2), Jx = ж, открыто.
100.	Привести пример разрывного отображения (разрывной функции)
f : R -> R с естественной топологией, переводящего открытые множества
в открытые.
101.	Привести пример топологических пространств и непрерывного би-
ективного отображения f : (X, тх) -> (У, ту), такого что — разрывно.
102.	Привести пример двух топологий т\ и Т2 на множестве X, таких что
Т| С Т2, л Т2 и при этом топологические пространства (X, л) и (X, Т2)
гомеоморфны.
103.	Привести пример топологического пространства (X, т) и непрерыв-
ного биективного отображения / : (X, т) (X, т), такого что раз-
рывно.
104.	Доказать, что интервал (0,1) гомеоморфен R.
Задачи и упражнения
31
105.	Пусть отображение f : (X, тх) -» (У, ту) непрерывно. Будем изменять
топологии на множествах X и Y. Останется ли отображение /: непрерыв-
ным, если:
1)	усилить топологию на X;
2)	усилить топологию на Y;
3)	ослабить топологию на X;
4)	ослабить топологию на Y;
5)	усилить топологию на X и на Y;
6)	ослабить топологию на У и на Y;
7)	усилить топологию на X и ослабить топологию на Y;
8)	ослабить топологию на I и усилить топологию на Y.
Привести примеры.
106.	Пусть (Х,тх) и (У,ту) — топологические пространства и пусть
пространство (Хтх) гомеоморфно подпространству пространства (У, ту)
и (У, ту) гомеоморфно подпространству пространства (У, ту). Следует ли
отсюда, что (X ту) и (У, ту) гомеоморфны?
107.	Проверить, являются ли непрерывными в точке х = 0 следующие
функции, рассматриваемые как отображение пространства R с естествен-
ной топологией в пространство R с топологией, базой которой являются
полуинтервалы, открытые справа:
,	,	( 0, если х = 0;
I)	у = х ; 2) у = х ; 3) у = <
I 1, если х 0.
108.	Найти все непрерывные отображения из пространства R с естествен-
ной топологией в пространство R с топологией, базой которой являются
полуинтервалы, открытые справа.
109.	Проверить, являются ли непрерывными в точке х = 0 следующие
функции, рассматриваемые как отображения пространства R с тополо-
гией, базой которой являются полуинтервалы, открытые справа, в про-
странство R с естественной топологией:
1)	у = sign ж; 2) у = [ж].
110.	Найти (описать в терминах математического анализа) все функции,
непрерывные как отображения R с топологией, базой которой являются
полуинтервалы, открытые справа, в R с естественной топологией.
_________________________________Ответы _____________________________________
105.	1), 4), 6) да, в остальных случаях f 108. Постоянные,
может не быть непрерывным.	дод р нет 2) да
106.	Нет.	110. Функции, непрерывные справа.
107.	1) да, 2) и 3) нет.
32
Глава 2. Топологические пространства
111.	Проверить, являются ли непрерывными в точке х = 0 следующие
функции, рассматриваемые как отображения пространства R с естествен-
ной топологией в пространство R с топологией, базой которой являются
полупрямые вида (а, +оо):
х 0;	Г 1/|ж|, х 0;
2) f(x) = {
ж = 0;	7	7	11, ж = 0:
з) /(*) =
если х иррационально;
если х = m/n — несократимая дробь.
112.	Найти (описать в терминах математического анализа) все непрерыв-
ные отображения пространства R с естественной топологией в простран-
ство R с топологией, базой которой являются полупрямые вида (а, +оо).
113.	Привести пример разрывного отображения /, такого что из хп -> ж0
следует f(xn) f(x0).
114.	Доказать, что если f и д — непрерывные отображения пространства
(У, г) в R с естественной топологией, то множество элементов ж, для
которых /(ж) = #(ж), замкнуто. Верно ли это утверждение, если вместо R
взять произвольное топологическое пространство?
115.	Доказать, что если f и д — непрерывные отображения топологиче-
ского пространства (X, т) в отделимое пространство (У, Ту) и /(ж) = д(х)
на плотном множестве, то /(ж) = д(х) (принцип продолжения тождества).
116.	Пусть f и д — непрерывные отображения топологического про-
странства (У, г) в R с естественной топологией. Доказать, что множество
элементов ж, для которых выполняется /(ж) < д(х), открыто, а для кото-
рых выполняется /(ж) С д(х) — замкнуто. Является ли второе из множеств
замыканием первого?
117.	Пространством С[а, Ь] называется множество функций, непрерыв-
ных на отрезке [а, Ь], в котором базой окрестностей функции Жо являются
множества вида С7е(ж0) = {ж € С[а, Ь]: |ж(£) - жо(0| < г}, а > 0. Какие
последовательности сходятся в этом пространстве?
118.	На множестве С[а, Ь] непрерывных на отрезке функций построить
топологии, сходимость в которых совпадает:
1)	с точечной сходимостью;
2)	с равномерной сходимостью.
Сравнить эти топологии.
_____________________________ Ответы _____________________________
111. 1) нет, 2), 3) да.
112. Функции, полунепрерывные снизу.
Задачи и упражнения
33
["непрерывны ли следующие отображения пространства С[а, 6] с тополо-
гией задачи 117 в себя (119-122):
119.	f(x)(t) = x2(t).
t
120.	f(x)(t) = J х(т) dr.
121.	f{x)(t) = sin®(0.
122.	f(x)(t) = dx/dt, f определено на непрерывно дифференцируемых
| функциях (/ из С1 [о, Ь] в С[а, Ь].)
123.	Пусть (Z, Tz) — произведение топологических пространств (Хтх)
и (У, ту). Доказать, что Tz есть слабейшая из топологий на Z, при которых
отображения проектирования (проекции) непрерывны.
124.	Пусть (Z, Tz) = (X тх) х (У, ту). Доказать, что отображения проек-
тирования непрерывны и открыты.
125.	Показать на примере, что проектирование не является замкнутым
отображением.
126.	Доказать, что проекция ограниченного замкнутого множества плос-
кости на прямую есть замкнутое множество.
[-Построить произведения следующих топологий т\ и Т2 на множестве R
действительных чисел и в каждом из произведений замыкание круга
х2 + у1 < 1 (127-130):
127.	т\ = 72 — естественные топологии.
128.	Ti — естественная топология, 72 — топология пространства стрелок,
базой которой являются полуинтервалы вида [а, Ь).
129.	71 — естественная, 72 — дискретная.
130.	71 — естественная, 72 — топология, образованная полупрямыми вида
| (а, +оо).
131.	На плоскости R2 рассмотрим топологию, база которой состоит из всех
прямых, параллельных оси ж. Произведением каких топологий является
данная топология?
_____________________________ Ответы ______________________________
119. Да.	128. {(г, у): х2 + у2 1} \ {(0, 1)}.
120. Да.	129. {(г, у): х2+у2	1 }\{(0,1)U(O, -1)}.
121. Да.	130. {(х,у):х2 + у2 1, у >0}и{-1 <
122. Нет.	х 1, у > 0}.
127. {(ж, у): х2 4-у2 1}.	131. Дискретной и антидискретной.
34
Глава 2. Топологические пространства
132.	Найти необходимые и достаточные условия, при которых топология
Tz, где Z = X х У, является произведением некоторых топологий тх и ту.
133.	Пусть 51 — окружность с естественной топологией. Найти подпро-
странства в R3, гомеоморфные произведениям: 1) S1 х [0, 1]; 2) S\ х S\.
134.	Доказать, что отрезок, интервал и полуинтервал с топологией, инду-
цированной естественной топологией прямой, попарно негомеоморфны.
135.	Доказать, что полуинтервал и окружность с топологией, индуциро-
ванной естественной топологией плоскости, не гомеоморфны, но суще-
ствует непрерывное биективное отображение полуинтервала на окруж-
ность.
136.	На множестве многочленов, степень которых не превосходит п, за-
дать топологию, индуцированную топологией пространства С[0, 1]. Дока-
зать, что построенное топологическое пространство гомеоморфно Rn+1.
137.	Построить топологию «восьмерки», индуцированную топологией
плоскости. Является ли открытым множеством открытая дуга, содержа-
щая точку пересечения?
138.	На отрезке [0, 1] задано отношение эквивалентности х ~ ж, 0 ~ 1.
Построить по этому отношению фактор-пространство и доказать, что оно
гомеоморфно окружности.
139.	Построить фактор-пространство пространства R по отношению эк-
вивалентности: х ~ у, если х - у — целое число.
140.	Является ли фактор-пространство отделимого пространства отдели-
мым?
["Построить фактор-пространства (141-147):
141.	Пространства R по отношению эквивалентности: х ~ у, если х - у —
рациональное число.
142.	Пространства R по отношению эквивалентности: х ~ у,
если f(x) = f(y), где f — заданная функция. Рассмотреть случаи:
О /(ж) = я2; 2) /(ж) = sin ж; 3) /(ж) = sign ж; 4) /(ж) = е'х.
143.	Пространства R2 по отношению эквивалентности: (жь Xi) ~ (у\, У2),
если Ж1 -у\ — целое число. Какому пространству (подпространству в R3)
гомеоморфно построенное пространство?
144.	Пространства R2 по отношению эквивалентности: (ж|, Ж2) ~ (2/1, Х/2),
если Ж1 -у\ и Х2-У2 — целые числа. Какому пространству (подпростран-
ству в R3) гомеоморфно построенное пространство?
_____________________________ Ответы _____________________________
140. Вообще говоря, нет.
Задачи и упражнения
35
145.	Пространства С[0, 1] по отношению эквивалентности: х ~ у, если
®(0) = 2/(0).
146.	Пространства Cl-l, 1] по отношению эквивалентности: х ~ у, если
х - у — четная функция.
147.	Пространства С[0, 1] по отношению эквивалентности: х ~ у9 если
| ж - у — многочлен.
148.	Пусть (Z, Tz) = (Х,тх) х (У, ту). В пространстве (Z, rz) введем
отношение эквивалентности: (х\, у\) ~ (х2,у2), если Х\ = х^. Построить
фактор-пространство по этому отношению эквивалентности.
149.	В замкнутом круге х2 + у2 < 1, (ж, у) € R2, назовем эквивалентными
диаметрально противоположные точки граничной окружности. Построить
фактор-пространство по этому отношению эквивалентности.
150.	Доказать, что отрезок [0, 1] связен.
151.	Доказать, что линейно-связное пространство связно.
152.	Привести пример связного пространства, не являющегося линейно-
связным.
153.	Является ли фактор-пространство связного пространства связным?
154.	Является ли произведение связных пространств связным?
155.	Является ли связным пространство GL(n, R) — матриц порядка п
с действительными элементами с определителем, отличным от нуля?
156.	В пространстве С[а, Ь] с топологией равномерной сходимости рас-
смотрим подпространство М, состоящее из функций, не обращающихся
в нуль. Является ли М связным пространством?
157.	В пространстве С[а, Ь] комплекснозначных функций на отрезке
[а, 6] рассмотрим подпространство М, состоящее из функций, не обра-
щающихся в нуль. Является ли М связным пространством?
158.	Доказать, что на окружности дополнение до любой точки связно.
Получить отсюда, что окружность не гомеоморфна отрезку, интервалу,
полуинтервалу.
159.	Доказать, что пространства R и R2 не гомеоморфны.
_____________________________ Ответы _______________________________
152.	На плоскости R2 график функции 156. Нет.
(	1	157. Да.
I sin-, х
У=\ х
(о, х = 0.
Глава 3
Метрические пространства
3.1.	Метрика. Топология метрического пространства
Пусть X — произвольное множество. Метрикой на множестве X на-
зывается функция р : X х X -> R, удовлетворяющая следующим аксиомам
метрики:
1)	р(х, у) 0, причем р(х, у) = 0 О х = у (аксиома тождества);
2)	р(х, у) = р(у, х) (аксиома симметрии);
3)	р(х, у) р(х, z) + р(у, z) (неравенство треугольника).
Число р(х, у) называется расстоянием между точками х и у. Метри-
ческим пространством называется множество с заданной на нем метрикой,
т. е. пара (X, р). Если метрика зафиксирована, то часто метрическое про-
странство обозначают просто X.
Открытым шаром радиуса г с центром в точке ж0 в метрическом
пространстве (X, р) называется множество
В(хо, г) = {х Е X : р(х, х0) < г}.
Замкнутым шаром радиуса т с центром в точке ж0 называется множество
В[ж0, г] — {х Е X : р(х, х0) г}.
Множество U в метрическом пространстве (Х,р) называется обла-
стью, областью, если для любого х Е U существует число г > 0, такое что
B(xq, г) С U. Области образуют естественную топологию метрического
пространства (Х,р).
Последовательность хп сходится к ж0 в естественной топологии тогда
и только тогда, когда р(хп, Xq) -> 0.
Расстоянием от точки х до множества А в метрическом пространстве
(X, р) называется число
р(х, А) = inf р(х, у).
уеА
Расстоянием между множествами А и В в метрическом пространстве
(X, р) называется число
р{А,В)= inf р(х,у).
хеА.уев
3.2. Полные метрические пространства
37
Хаусдорфовым расстоянием между множествами А и В в метрическом
пространстве называется число
рн(А,В) = sup {р(х, В), р(у, А)}.
хел,уев
3.2.	Полные метрические пространства
Последовательность хп Е (X, р) называется последовательностью Коши
(фундаментальной последовательностью, сходящейся в себе последователь-
ностью), если для любого е > 0 существует По, такое что для п, т > По
выполняется р(хп, хт) < е. Метрическое пространство (X, р) называется
полным, если любая последовательность Коши в нем сходится.
Теорема 1 (принцип вложенных шаров). В полном метрическом про-
странстве любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга
шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет общую точку.
Биективное отображение f : (X, рх) -> (Y, ру) называется изометри-
ей, если ру (/(Ж|), /(^2)) = Xi) для любых Х\, Х2 € X. Метрические
пространства называются изометричными, если между ними существу-
ет изометрия. Всякое подмножество MGX метрического пространства
(Х,рх) с метрикой рм(х\,Х2) = Рх(х\,Х2) является метрическим про-
странством, называемым подпространством пространства (Х,рх)> Попол-
нением метрического пространства (X, рх) называется полное метрическое
пространство (У, ру), в котором существует всюду плотное подпростран-
ство, изометричное (X, рх)-
Теорема 2. Для любого метрического пространства (Х,рх) существу-
ет пополнение, причем любые два пополнения изометричны.
Отображение f : (X, рх) -> (Y, ру) удовлетворяет условию Липшица
с константой L, если для любых х\, Х2 Е X справедливо неравенство
0у(/(Я|), /(«2» ^ЬрХ(Х\,Х2).
Отображение, удовлетворяющее условию Липшица с константой L < 1,
называется сжимающим. Если f : X -> X и f(a) = а, то точка а называ-
ется неподвижной точкой отображения f.
38
Глава 3. Метрические пространства
3.3.	Принцип сжатых отображений
Сжимающее отображение f полного метрического пространства X
в себя имеет единственную неподвижную точку. Для любого Xq € X после-
довательность хп = f(xn-\)9 п = 1,2,... сходится к неподвижной точке.
3.4.	Ограниченность. Компактность
Множество М в метрическом пространстве называется ограниченным,
если оно содержится в некотором шаре. Множество S С X называется
е-сетью для множества М С X в метрическом пространстве (X р), если
для любого х € М существует х € S, такое что р(ж, х) < е, т. е.
MG (J В(ж',е).
x'CS
Множество (или пространство) М называется вполне ограниченным, если
для любого е > 0 существует конечная е-сеть множества М.
Метрическое пространство X называется предкомпактным, если у лю-
бой последовательности хп € X существует подпоследовательность Коши.
Теорема Хаусдорфа. Метрическое пространство предкомпактно то-
гда и только тогда, когда оно вполне ограничено.
Теорема 3. Метрическое пространство X является компактным то-
гда и только тогда, когда у любой последовательности хп € X суще-
ствует сходящаяся подпоследовательность.
Отображение f : (X, рх) -> (Y, ру) называется непрерывным в точке
ж0 Е X, если для любого е > 0 существует 6 > 0, такое что из неравенства
Рх(%, Xq) < S следует ру (/(ж), /(ж0)) < £. Это определение эквивалентно
определению непрерывности / как отображения из X в Y с естественной
топологией.
Отображение f : (X, рх) -> (К, ру) называется равномерно непрерыв-
ным, если для любого е > 0 существует S > 0, такое что из неравенства
Рх(х,х") < S следует ру (/(ж'), f(x")) < е. Множество S С (X, р) на-
зывается нигде не плотным, если int S = 0, т. е. замыкание не содержит
открытого шара. Множество М С X называется множеством I категории,
если оно является объединением счетного числа нигде не плотных мно-
жеств. Множество МсХ называется множеством II категории, если оно
не является множеством I категории.
Задачи и упражнения
39
Теорема Бэра. Полное метрическое пространство является множе-
ством II категории.
Топологическое пространство (X < т) называется метризуемым, если
существует метрика р на X, такая что естественная топология простран-
ства (X р) совпадает с г. Метрическое пространство всегда нормально.
Задачи и упражнения
1. Доказать, что для любых четырех точек ж, у. z, t метрического про-
странства (X р) справедливы неравенства:
1) \p(x,z)- p(y,z)\^p(x,y);
2) |р(х, z) - р(у, t)\ р(х, у) + p(z, t) (неравенство четырехугольника).
2. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны сле-
дующим двум аксиомам:
О р(х,у) = 0&х = у9
2) Р(х,у) ^p(x,z) + p(y,z).
3. Может ли шар радиуса 4 быть собственным подмножеством шара ра-
диуса 3?
4. Доказать, что если шар радиуса 7 содержится в шаре радиуса 3, то они
совпадают.
5. Доказать, что открытый шар в метрическом пространстве является
открытым множеством.
6. Построить пример подпространства М С R* 2, в котором: 1) существует
открытый шар, являющийся замкнутым множеством, но не замкнутым
шаром; 2) существует замкнутый шар, являющийся открытым множе-
ством, но не открытым шаром.
7. Доказать, что замыкание открытого шара в метрическом пространстве
содержится в замкнутом шаре, но может с ним не совпадать.
8. Пусть F\ и F2 — замкнутые множества в метрическом пространстве,
F\QF2 = 0. Построить открытые множества U\ D Ft, U2 D F2, такие что
U\ П U2 = 0.
9. Доказать, что р(х9 А) = 0 тогда и только тогда, когда х является точкой
прикосновения множества А.
_____________________________ Ответы _____________________________
3. Может.
40
Глава 3. Метрические пространства
10.	Построить пример замкнутого множества А и точки ж, таких что для
любой точки у 6 А выполнено р(х9у) > р(х,А), т. е. в А не существует
ближайшего элемента к точке ж.
11.	Является ли р(ж, Л) непрерывной функцией от ж?
12.	Доказать, что для любого множества А множество точек, удовлетво-
ряющих условию р(ж, А) < е9 открыто, а множество точек, удовлетворя-
ющих условию р(ж, Л) е, замкнуто.
13.	Показать на примере, что множество точек, удовлетворяющих усло-
вию р(ж, Л) < е, не совпадает с U В[у9 е].
у€А
14.	Привести примеры замкнутых множеств А и В в метрическом про-
странстве X, таких что р(А, В) = 0, но:
О А^В;
2)	АПВ = 0.
Показать, что если хаусдорфово расстояние р#(Л, В) = 0; где Л
и В замкнуты, то Л = В, и что р#(Л,В) на множестве F замкнутых
подмножеств в X является метрикой.
15.	Доказать, что естественная топология метрического пространства от-
делима и удовлетворяет первой аксиоме счетности в каждой точке.
16.	Доказать, что в метрических пространствах вторая аксиома счетности
эквивалентна сепарабельности.
17.	Пусть р(ж, у) — метрика на множестве X. Доказать, что функции

р2(х,у) = min{p(x,y), 1}
являются метриками на X, причем топологии, порожденные метриками р,
р\ и р29 совпадают и для них последовательности Коши одни и те же.
18.	На множестве R действительных чисел введены метрики
р(х,у) = \х-у\, Pi(x,y) = larctg ж — arctgyl-
Показать, что топологии, порожденные этими метриками, совпадают,
а последовательности Коши различны.
19.	Пусть на множестве X заданы две метрики р\ и р2 так, что суще-
ствует постоянная С, такая что Р1(ж, у) = Ср2(х9 у). Сравнить топологии,
порожденные метриками р\ и р2.
_____________________________ Ответы ______________________________
11. Является.
19. Т| С 72.
Задачи и упражнения
41
20.	На множестве С[а, Ь] непрерывных функций на отрезке [а, Ь] заданы
метрики
ь
рс(х, у) = maxja:(0 - y(t)\; pL(x, У) = f |®(0 - y(t)\dt-
a
Сравнить топологии, порожденные этими метриками. Какие последова-
тельности сходятся в построенных пространствах?
21.	Пусть р — простое число, п — натуральное. Через Vp(n) обозначим
показатель степени числа р в разложении п на простые множители. Пусть
х = ±т/п — рациональное число.
Тогда Рр(ж) = Ур(т) “ Vp(n) не зависит от представления х в виде
дроби и, кроме того,	= ^p(^i) + Ур(хг). На множестве пар раци-
ональных чисел зададим функцию
(х^у-
Р&, у) = \ п
[О, х = у.
Доказать, что
1)	р — метрика на Q;
2)	р(х, у) тах{/9(®, z), р(у, z)};
3)	если р(х, у) / р(у, z), то р(х, z) = тах{р(ж, у), р(у, z)};
4)	любой открытый шар В(х, г) одновременно открыт и замкнут и
В(ж, г) = В(у, г) для любого у е В(ж, г);
5)	любой замкнутый шар В[ж, г] открыт и замкнут и В[ж, г] = В[у9 г]
для любого у 6 В[х, г];
6)	если два шара имеют общую точку, то один из них содержится в другом;
7)	расстояние между двумя различными открытыми шарами радиуса г,
содержащимися в замкнутом шаре радиуса г, равно г;
8)	для того чтобы последовательность хп была последовательностью Ко-
ши, необходимо и достаточно, чтобы р(хп. жп+1)	0.
22.	Пусть Z = XxY и рх — метрика на X, ру — метрика на У. Доказать,
что следующие функции являются метриками на Z, причем топология,
порожденная этими метриками, совпадает с произведением естественных
топологий на X и на У (z = (ж, у)):
1)	p(zi,z2) = тах{рх(ж|,®2),Ру(УьУ2)};
2)	p(z},z2) = рх(ж|,ж2) + ру(у|,у2);
3)	p(zt, z2) = [/9х(ж|, х2)2 + ру(У\,У2)2] '/2
___________________________ Ответы ____________________________
20. тс D tl>
42
Глава 3. Метрические пространства
["Доказать, что следующие множества с заданными на них метриками явля-
ются полными метрическими пространствами. Какие из этих пространств
сепарабельны (23-38)?
23.	Множество f числовых последовательностей х =	я2,.удо-
00
влетворяющих условию 1Ж*1 < +°°> с метрикой
00
р(х, у) =	1®* - »*1-
*=1
24.	Множество I2 числовых последовательностей х = (#1, #2> • • •)> удо-
00
влетворяющих условию |ж*|2 < +оо, с метрикой
*=1
Z 00	\ 1/2
'*=1	/
25.	Множество lp, р 1, числовых последовательностей х = (х\, ж2,...),
00
удовлетворяющих условию |жл|р < +оо, с метрикой
z 00	Ч 1/р
26.	Множество /°° всех ограниченных числовых последовательностей
х = (Ж|, 2?2,...), с метрикой
р(х9у) = sup \xk-yk\-
к
27.	Множество I™ всех последовательностей, стремящихся к нулю, с мет-
рикой
р(х9у) = тах\хк-ук\-
к
28.	Множество з всех числовых последовательностей х = (Ж1,Ж2,...),
с метрикой
, ч I |а* - Ук\
29.	Множество С[а, Ь] всех непрерывных функций на отрезке [а, Ь] с мет-
рикой
р(х,у) = max |ж(0-2/(01.
Задачи и упражнения
43
30.	Множество Ст[а, Ь] всех функций на отрезке [а, Ь], имеющих непре-
рывные производные до порядка т включительно, с метрикой
т
у) = 52	- »(*’(о|-
*=о в<г<6
31.	Множество С°°[а, Ь] всех бесконечно дифференцируемых функций
на отрезке [а, Ь] с метрикой
✓	\	V""' I a^t^b
РХ’У ы 2‘ 1 +	- y(k)(t)|'
32.	Множество На[а, Ь] функций на отрезке [а, Ь], удовлетворяющих
условию Гёльдера0 с показателем а, с метрикой
/ч I /А /А|.	|®(0) “ 3/(0) ~ ®(0) " У(*1) |
, У) = max x(t) - y(t) + sup ----------------—----------!•.
a^ti<t2^b	pl-*2|
33.	Множество CB(a. b) всех ограниченных непрерывных функций на
интервале (а, Ь) с метрикой
р(х,у)= sup \x(t) - y(t)\.
a<t<b
34.	Множество В(а, Ь) всех ограниченных функций на интервале (а, Ь)
с метрикой
р(х,у)= sup |х(0 - y(t)\.
а<КЬ
35.	Множество С(Т) всех непрерывных числовых функций на компакт-
ном топологическом пространстве Т с метрикой
р(х, у) = тах|®(0 - y(t)\.
36.	Множество СВ(Т) всех непрерывных ограниченных функций на то-
пологическом пространстве Т с метрикой
р(х, у) = sup |®(0 - 3/(01-
37.	Множество C(R) всех непрерывных функций на R с метрикой
°° 1 max 1®(0-3/(01
РХ,У 2* 1 + max |®(0-3/(0|
Функция x(t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а, если существует по-
стоянная К, при которой справедливо неравенство |х($|) - х(<2)|	~ h\a•
44
Глава 3. Метрические пространства
38.	Множество lp9 р 1, всех числовых последовательностей
х = (Ж|, х2,...),
00
удовлетворяющих условию	< +оо, где Рк > 0 — заданная
Л=1
числовая последовательность, с метрикой
z 00	Ч 1/р
р&у)=	•
L	v*=’	7
39.	В каких из пространств 1Р, 1°°, з сходятся следующие последователь-
ности:
1)	х(п} = {1,2,... ,п, 0,
2)	x(n} = {1,1,..., 1,0,...};
3)	хм =	О,..Л;
[ n n n J
4)	х(п) = I	О, ...1?
[ na na nQ J
40.	Построить замыкание множества финитных2) последовательностей в
пространствах Z1, Г°, з.
41.	На множестве финитных последовательностей сравнить топологии,
индуцированные топологиями пространств lp, I00, з,
["Доказать утверждения (42-44):
42.	В полном метрическом пространстве замкнутое подпространство полно.
43.	Полное подпространство метрического пространства замкнуто.
44.	В полном метрическом пространстве замыкание подпространства яв-
| ляется его пополнением.
45.	Проверить, что множество финитных числовых последовательностей
с метрикой
р(х9у) = max\xk-yk\
к
является неполным метрическим пространством. Построить его пополне-
ние.
______________________________ Ответы _______________________________
39. I) в S; 2) в S; 3) в S, в /°°, в 1Р при	40. Zg°, S.
р > 1; 4) в S, в Г, если а 0; в 1Р	41. ts слабее остальных топологий;
если р > l/a, a > 0.	т/р С т/р', если р' < р.
Последовательность называется финитной, если в ней конечное число отличных от нуля
членов.
Задачи и упражнения
45
46.	Доказать, что множество С[0, 1] с метрикой
1
р(ж, у) = J |®(0 -у(0|
О
является неполным метрическим пространством.
47.	Построить пополнение множества R с метрикой
р(ж, у) = |arctg ж - arctg у\.
48.	Построить пополнение множества целых чисел с метрикой
p(n,m) = \ein - е'т\.
49.	На множестве N натуральных чисел будем всевозможными способами
задавать метрики и строить пополнения. Охарактеризовать все метриче-
ские пространства, которые можно получить таким образом.
50.	Построить пополнение множества бесконечно дифференцируемых
функций на отрезке [0, 1], удовлетворяющих условиям ж^(0) =	= О,
к = 0, 1, с метрикой
Р(®>У)=тах|а:(0-у(0|.
51.	Построить замыкание множества финитных3) непрерывных функций
в пространствах C(R) и CB(R) (см. задачи 36, 37).
52.	Пусть Т, S — метрические пространства, Т — компактно, S — полно.
Доказать, что множество С(Т, S) непрерывных отображений из Т в S
с метрикой
р(х, у) = sup рДж(0,у(0)
ter
является полным метрическим пространством.
53.	Доказать, что если в метрическом пространстве любая последователь-
ность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стре-
мятся к нулю, имеет не пустое пересечение, то пространство полно.
54.	Построить пример метрического пространства, в котором существует
последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, не имею-
щих общей точки, радиусы которых стремятся к нулю.
____________________________ Ответы ______________________________
48. Окружность |z| = I <p(Z|,Z2) = |^149. Сепарабельные полные метрические
пространства с бесконечным числом
точек.
Функция называется финишной, если она равна нулю вне некоторого ограниченного
множества.
46
Глава 3. Метрические пространства
55.	Множество N натуральных чисел с метрикой
если n т;
если n = т,
является полным метрическим пространством. Доказать, что последова-
тельность замкнутых вложенных шаров B[n, 1 + 1/(2п)] не имеет общей
точки.
56.	Является ли множество, состоящее из одной точки в метрическом
пространстве, нигде не плотным?
00
57.	Доказать, что если X — полное метрическое пространство, X = U
к=\
и все множества Fk замкнуты, то хотя бы одно из множеств Fk содержит
открытый шар.
58.	Привести пример двух всюду плотных множеств, пересечение которых
не является всюду плотным.
|~Йспользуя теорему Бэра, доказать утверждения (59-62):
59.	В полном метрическом пространстве пересечение счетного числа от-
крытых всюду плотных множеств всюду плотно.
60.	Множество действительных чисел несчетно.
61.	Канторово совершенное множество несчетно.
| 62. Полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно.
63.	Пусть последовательность xn(t) непрерывных функций точечно схо-
дится к функции xo(t) на отрезке [0, 1]. Доказать, что множество точек
разрыва функции xQ(t) является множеством первой категории.
64.	Метрическое пространство, состоящее из одной точки, полно. Почему
это не противоречит теореме Бэра?
65.	Пусть в|,а2,... — занумерованное множество рациональных чисел,
lij — интервал длины 2~(|+л с центром в а,. Положим
00	00
Gi=U^’ в = Пъ-
:=1	j=l
_____________________________ Ответы ______________________________
56. Если точка изолированная,
то не является.
Задачи и упражнения
47
Доказать, что В — множество меры нуль4), а его дополнение А = R\B —
множество первой категории.
66.	На множестве R\{0} задать метрику так, чтобы топология, порожден-
ная этой метрикой, совпадала с естественной и построенное метрическое
пространство было полным.
67.	На множестве R\{ 1, 1/2, 1/3,...} задать метрику так, чтобы топология,
порожденная этой метрикой, совпадала с естественной и построенное
метрическое пространство было полным.
68.	На множестве иррациональных чисел задать метрику так, чтобы топо-
логия, порожденная этой метрикой, совпадала с естественной и постро-
енное метрическое пространство было полным.
69.	Множество S в метрическом пространстве (X, р) назовем е-цепью,
если для любых двух Х2 € 5, Х\ х^ выполнено р(х\, Ж2) > Дока-
зать, что пространство несепарабельно тогда и только тогда, когда в нем
существует для некоторого г > 0 несчетная е-цепь.
70.	Является ли непрерывным отображение А пространства С[0, 1] в себя,
действующее по формуле Ax(t) — a(t)x(t), где a(t) — заданная непрерыв-
ная функция?
71.	Является ли непрерывным отображение f пространства С[0, 1] в себя,
действующее по формуле = x2(t)?
1
72.	На множестве С[0, 1] зададим метрику р(х, у) = J |ж(0 - y(t) \ dt.
о
Будет ли непрерывным в этой метрике отображение / пространства
С[0, 1] в себя, действующее по формуле f(x)(t) = x2(t)?
73.	Пусть X — множество непрерывно дифференцируемых функций на
отрезке [0, 1], удовлетворяющих условию ж(0) = 0, с метрикой
р(ж, у)= тах|а:(0-у(0|.
Является ли непрерывным отображение f : (У, р) -> С[0, 1], действу-
ющее по формуле f(x)(t) = x(t)/t?
_____________________________ Ответы _______________________________
66.	р(х,у) = |1п|ж|-1п|у|| 4-1 sign ж —signal.	72. Нет.
70.	Да.	73. Нет.
71.	Да.
4) Множество А С R называется множеством меры нуль, если для любого £ > 0 существует
последовательность интервалов 1П, таких что А С I^JIn и |7П| < е.
п	п
48
Глава 3. Метрические пространства
[^Являются ли непрерывными следующие отображения пространства С[0, 1]
в себя (74-77):
t
74.	f(x)(t) — у* x(s) ds.
о
I
75.	f(x)(t) = у* sin (t - s)x(s) ds.
о
t
76.	f(x)(t) = У x2(s) ds.
0
77.	f(x)(t) = x(ttt)9 a>0.
Являются ли непрерывными следующие отображения пространства
/ }	2	\'/2
L2(a, b) с метрикой р(х, у) = I / |ж(0 - y(t) | I в себя (78-80)?
78.	f(x)(t) = a(t)x(t).
79.	f(x)(t) = x2(t).
t
| 80. f(x)(t) = У x(s) ds.
о
81.	При каких a отображение, заданное формулой f(x)(t) = x(ta)9 непре-
рывно, как отображение пространства Z2(0, 1) в себя?
["доказать утверждения (82-89):
82.	Отображение, удовлетворяющее условию Липшица, равномерно не-
прерывно.
83.	Если K(t9 s) — непрерывная функция, то интегральный оператор
ь
Ax(t) = У K(t9s)x{s) ds.
a
удовлетворяет в пространстве С[а, Ь] условию Липшица.
 Ответы --------------------------------
74.	Да.	77. Да.
75.	Да.	81. 0<а 1.
76.	Да.
Задачи и упражнения
49
84.	Если:
ъ
1)	sup / IK(t, s)| ds < +oo;
t J
a
2)	для любых t G [a, ft] и e > 0 существует 6 > 0, такое что
ь
f\K(t, s) - K(t\9 s)| ds < € для \t -	< <5,
a
то интегральный оператор
ь
Ax(t) = J K(t,s)x(s) ds
a
удовлетворяет в пространстве C[a, 6] условию Липшица.
85.	Если ядро K(t9 s) удовлетворяет условию
ь ь
JУ \K(t, s)|2 dsdt < +оо,
a a
то интегральный оператор
ь
Ax(t) = У K(t, s)x(s) ds
a
удовлетворяет условию Липшица в пространстве L2(a9 &).
86.	Интегральный оператор
ь
Ax(t)= f ^^x(s)ds,
J I*'
a
где KQ(t, s) — непрерывная функция, при a < 1 непрерывен в простран-
стве C[a, Ь].
87.	Интегральный оператор
Ax(t) = f ^~x(3)ds,
a
где Ko(t, s) — ограниченная измеримая функция, при a < 1/2 непрерывен
в пространстве L2(a, Ъ).
50
[лава 3. Метрические пространства
88.	Интегральный оператор
ь
Ax(t) = /	®(s) ds,
a
где Ko(t9 s) — непрерывная функция, при a < 1/2 является непрерывным
отображением пространства L2(a,b) в пространство С[а, Ь].
89.	Интегральный оператор
ь
Ax(t) = У K(t,s) x(s) ds,
а
где ядро K(t,s) непрерывно дифференцируемо, является непрерывным
отображением пространства С[а, Ъ] в С1 [а, Ь].
90.	Показать, что дифференцирование непрерывно, как отображение про-
странства С1 [в, Ь] в С[а, Ь].
91.	Является ли непрерывным дифференцирование, как отображение под-
пространства из С[а, Ь], состоящего из непрерывно дифференцируемых
функций, в С[а, &]?
92.	Пусть X, Y — метрические пространства, Y — полное, Xq — всюду
плотное подмножество в X и задано равномерно непрерывное отобра-
жение f : Xq У. Доказать, что существует единственное непрерывное
отображение F : X -> У, такое что сужение F|Xo = f,
93.	Привести пример непрерывного отображения, определенного на плот-
ном подмножестве Xq метрического пространства, для которого не суще-
ствует непрерывного продолжения на все X.
94.	На множестве финитных непрерывных функций на R определим пре-
образование Фурье
00
27Г J
-оо
Используя равенство Парсеваля
00	00
у \х(!)\2м = у |?(o|2dt
-00	-оо
продолжить преобразование Фурье на пространство L2(R).
_____________________________ Ответы _____________________________
91. Нет.
Задачи и упражнения
51
95.	Пусть (Т, рт) и (S', ps) — метрические пространства; Т — компактно,
S — полно. Доказать, что множество С(Т, S) непрерывных отображений
х : Т -> S с метрикой
р(х, у) = sup Ps(x(t), у(t)).
teT
является полным метрическим пространством.
7Г
96.	Пусть /(ж) = — + х - arctgx, х € R. Доказать, что для любых ж, у
существует постоянная a < 1, такая что |/(ж) — f(y)| С а|ж - у\9 но отоб-
ражение f не имеет неподвижных точек.
97.	Пусть X — полное метрическое пространство и для непрерывного
отображения f : X X некоторая итерация <р(х) = /(/.«./(ж)) яв-
ляется сжимающим отображением. Доказать, что отображение / имеет
единственную неподвижную точку.
98.	Пусть X — полное метрическое пространство и / — отображение
замкнутого шара В[ж0, г] С X в I, для которого:
1)	существует a < 1, такая что для ж, у € В[жо, г] выполняется
/>(/(*). /(у)) С ар(х, у);
2)	выполняется неравенство
p(f(xo),xo) (1 - a)r.
Доказать, что отображение f имеет в шаре В[жо, г] единственную непо-
движную точку.
99.	Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет
неподвижную точку.
100.	Доказать, что любое монотонно возрастающее отображение отрезка
в себя, в том числе разрывное, имеет неподвижную точку.
101.	Пусть f : R2 -> R2 — непрерывное отображение и пусть существует
постоянная a > 1, такая что р(/(ж),/(j/)) > ap(x,y). Доказать, что f
имеет единственную неподвижную точку.
102.	Методом последовательных приближений решить уравнения (ж € R):
1)	2ж + 51пж = 1;
2)	ж3 -Ь 5ж2 — 15ж — 7 = 0, 4 < х < 2,5.
[Доказать утверждения (103-105):
103.	Для любого 0 С a С 1 последовательные приближения
ЖП4-1 = хп — ~(хп — в), Жо = О
сходятся к уа.
52
[лава 3. Метрические пространства
104.	Существует непрерывная на отрезке [0, 1] функция x(t), удовлетво-
ряющая равенству
x(t) " | sin ж(0 + а(0 —
где a(t) — заданная непрерывная функция. Найти эту функцию с точно-
стью до 0,01.
105.	Существует непрерывная на отрезке [0, 1] функция х, удовлетворя-
ющая равенству x(t) - е~х'® = sint.
При каких А применим принцип сжатых отображений к следующим
интегральным уравнениям Фредгольма второго рода:
1) в пространстве Z2(0,1);
2) в пространстве С[0, 1]?
При А = 1/2 найти методом приближений решение с точностью до 0,01
и сравнить его с точным решением (106-111):
106.	x(t) = A J t2sx(s)ds + t.
о
I
107.	x(t) = A J ts2x(s) ds 4- 1.
о
108.	x(t) = A J t2s2x(s)ds + t3.
о
i
109.	x(t) = A J tmsnx(s) ds +1.
о
i
110.	x(t) = A J е*~3х(з) ds + 1.
о
i
| 111. x(t) = A J cos [ir(t - з)]ж(з) ds + 1.
0
112.	Доказать, что если ядро K(t, s) непрерывно и
ь
У*\K(t,s)\ds^d< 1,
a
Задачи и упражнения
53
то интегральное уравнение Фредгольма второго рода
ь
x(t) - J K(t, з) x(s) ds = y(t)
a
имеет единственное решение для любой непрерывной функции y(t).
113.	Доказать, что если ядро K(t9 з) измеримо и удовлетворяет условию
ь ь
У У \K(t, з) |2 ds dt < 1,
a a
то интегральное уравнение Фредгольма второго рода
ь
x(t) + / K(t, s) x(s) ds = y(t)
a
имеет единственное решение x 6 L2(a9 b) для любой функции у € Ь2(а, Ь).
114.	При каких А применйм принцип сжатых отображений к интеграль-
ному уравнению
х
ь
( Г-«|а ds +
a
в пространстве С[а, Ь] (а < 1, Ko(t, з) — непрерывная функция)?
["Доказать утверждения (115-120):
115.	Зададим в Rn метрику формулой
х*=1 7
Тогда линейное отображение А : Rn -> Rn с матрицей {%} сжимающее,
п
М=1
116.	Зададим в Rn метрику формулой
п
р(х, у) = ZL Iх* “
к=\
Тогда линейное отображение А : Rn -> Rn с матрицей {atJ} сжимающее,
п
если max |o*j| < 1.
э .-—I
54
Глава 3. Метрические пространства
117.	Зададим в Rn метрику формулой
р(х, у) = шах |ж* - ук\.
к
Тогда линейное отображение А : Rn -> Rn с матрицей {а:;} является сжи-
п
мающим, если шах S l“vl < ’•
j=l
00
118.	Если выполнено условие sup 1о0’1 < L то бесконечная система
> >1
линейных алгебраических уравнений
00
ж, = У2 aijxj + Ьь <=1,2,...,
имеет единственное решение х = (Ж|, Х2,...) Е I1 для любой последова-
тельности Ь = (6| , Ь2» • • •) € i1 •
00
119.	Если выполнено условие sup 1а0'1 < U то бесконечная система
*’ ;=1
линейных алгебраических уравнений
00
Д/i =	CLjj Xj + bj 9 i — 1,2,...,
J=1
имеет единственное решение x = (#i,	...) E /°° для любой последова-
тельности b = (Ьь &2, • • •) € /°° •
00
120.	Если выполнено условие |а|;|2 < 1, то бесконечная система
М=1
линейных алгебраических уравнений
00
хj ~ '2 O/jj Xj + b{, i 1,2,...,
имеет единственное решение x = (Ж|,Ж2,...) E l2 для любой последова-
| тельности b = (fii, bi,...) Е /2.
121.	Пусть Хк9 к = 1,..., т9 — собственные значения матрицы А и Ад, 1.
Доказать, что последовательные приближения xn = Axn-i + у сходятся
к решению системы линейных алгебраических уравнений х - Ах = у
при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда |Ад| < 1,
k = 1,..., т.
Задачи и упражнения
55
122.	Пусть А — интегральный оператор Волътерра
t
Ax(t) = J K(t9s) x(s) ds
a
(ядро K(t9s) — непрерывно). Доказать, что существует такое m, что
Ат = Л(А ... А) является сжимающим отображением в С[а9 Ь], в Lp(a9 Ъ)9
и, значит, для интегрального уравнения Вольтерра второго рода
t
x(t) = / K(t9s) x(s) ds + y(t)
a
справедлива теорема существования и единственности решения.
123.	В множестве С(а, Ь) введем метрику по формуле
Рр(®, у) = max |х(0 - у(0|е-Р<-
Доказать, что эта метрика эквивалентна обычной метрике в С(а, Ъ) и что
при достаточно большом р интегральный оператор Вольтерра является
сжимающим относительно метрики рр.
124.	Показать, что интегральное уравнение Вольтерра второго рода
t
x(t) = f K(t9s) x(s) ds + a(t),
о
где K(t, s) — непрерывное ядро, заменой x(t) = epty(t) сводится к урав-
нению
t
y(t) = f e~ptK(t9s)e?sy(s) ds + e~pta(t)9
о
к которому при достаточно большом р применим принцип сжатых отоб-
ражений в пространстве С[0, 1].
125.	Проверить, что интегральное уравнение Вольтерра
t
x(t) = / K(t9 s) x(s) ds
о
с непрерывным ядром
( sel/t2~l9 если 0 С s С ;
[ t9 если te 1 s t 1
56
Глава 3. Метрические пространства
имеет бесконечно много решений x(t) = c/t. Почему этот пример не про-
тиворечит теореме о существовании и единственности решения интеграль-
ного уравнения Вольтерра второго рода (см. задачу 122)?
126.	Пусть К(х919 $) — непрерывная функция трех переменных, удовле-
творяющая по х условию Липшица,
f, s) - К(х2, t9 s)| L(t9 s)|xi - Ж2|,
где L(t9 s) — интегрируемая функция от x. При каких А нелинейное
интегральное уравнение
ъ
x(t) = X У K(x(s)9t9s) ds + f(t)
a
имеет непрерывное решение на отрезке [а, &]?
127.	При каких А отображение А : С[0,1]	С[0,1 ], действующее по фор-
муле Ax(t) = Xx(t^)9 /3 > О, является сжимающим?
128.	При каких А отображение А : L2(0, 1) -> Z2(0, 1), действующее по
формуле Ax(t) = Xx(fP)9 0 < /3	1, является сжимающим?
129.	Доказать, что если b(t) и f(t) — непрерывные функции и |&(0)| < 1,
|ft(l)| < 1, /3 > 0, /3 £ 1, то уравнение ж(£) = &(f)x(f^) 4- /(f) имеет един-
ственное непрерывное решение.
130.	Доказать, что в пространстве С(Т9 Т) непрерывных отображений
компактного метрического пространства (Т9 р) в себя с метрикой
Pl (ж, у),= sup p(x(t) - у(t))
teT
множество гомеоморфизмов может не быть открытым множеством.
131.	Пусть матрица А имеет действительные различные собственные зна-
чения А|,..., Ап с собственными векторами ei,..., еП9 причем Ai > ... >
> Хп > 0. Зададим отображение единичной сферы
/ / п \1/2\
Ikll = 1 (ll*ll=(j>?) )
в пространстве Rn в себя формулой /(ж) =  4^ . Доказать, что:
- ||Лж||	-
1) в некоторой окрестности точки в| отображение / является сжимаю-
щим;
___________________________ Ответы __________________________
127. |А| < 1.
128. |Л| < у/р.
Задачи и упражнения
57
2) для любого ж0 последовательность итераций xn = f(xn - 1) сходится
к одному из векторов ±6*.
132.	Может ли топологическое пространство с дискретной топологией
быть компактным?
[-Доказать утверждения (133-145):
133.	Замкнутое подмножество компактного топологического простран-
ства компактно.
134.	Топологическое пространство является компактным тогда и только
тогда, когда любая центрированная5) система замкнутых множеств в этом
пространстве имеет непустое пересечение.
135.	При непрерывном отображении образ компактного пространства
компактен.
136.	Является ли образ предкомпактного множества при непрерывном
отображении предкомпактным?
137.	Если множество точек последовательности имеет в компактном то-
пологическом пространстве единственную предельную точку, то эта по-
следовательность сходится.
138.	Пусть (Х,Тг), (У,ту) — топологические пространства, X — ком-
пактно. Если f : X ->Y — непрерывное биективное отображение, то / —
гомеоморфизм.
139.	Прямое произведение двух компактных пространств компактно.
140.	Непрерывная функция f : X -> R, определенная на компактном то-
пологическом пространстве X, ограничена и имеет максимум и минимум.
141.	В компактном метрическом пространстве любая последовательность
замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение.
142.	Компактное метрическое пространство полно.
143.	Метрическое пространство (X р) компактно тогда и только тогда,
когда у любой последовательности точек в этом пространстве существует
сходящаяся подпоследовательность.
144.	Отделимое компактное топологическое пространство нормально.
145.	Для того чтобы метрическое пространство (X, р) было компактным,
необходимо и достаточно, чтобы любая непрерывная числовая функция
| на X была ограничена.
^Система множеств {Fo} называется центрированной, если пересечение любого конеч-
ного числа множеств этой системы не пусто.
58
Глава 3. Метрические пространства
146.	Пусть X9Y — метрические пространства, X — компактно, и пусть
f : X -> Y — непрерывное отображение. Доказать, что / равномерно
непрерывно.
147.	На произвольном некомпактном метрическом пространстве постро-
ить ограниченную непрерывную числовую функцию, не являющуюся рав-
номерно непрерывной.
148.	На произвольном некомпактном метрическом пространстве постро-
ить неограниченную непрерывную числовую функцию.
149.	Проверить, что отображение f : С[0, 1 ] —> R, заданное формулой
1/2	1
/(ж) = f x(t) dt- J x(t) dt9
0	1/2
непрерывно. Показать, что точная верхняя грань его значений на замкну-
том единичном шаре В[0, 1] равна 1, но эта грань не достигается ни на
каком элементе шара.
150.	На произвольном некомпактном метрическом пространстве постро-
ить непрерывную ограниченную функцию, не достигающую своей точной
верхней грани.
151.	Доказать, что компактное метрическое пространство нельзя изомет-
рично отобразить на свою часть.
152.	Пусть (X р) — компактное метрическое пространство и отображе-
ние f :X->X удовлетворяет условию р(/(ж1),/(ж2)) = р(^1,ж2). Дока-
зать, что уравнение /(ж) = у разрешимо при любом у 6 X.
153.	Доказать, что если (X р) — компактное метрическое пространство и
отображение f:X->X удовлетворяет условию р(/(®1), /(ж2)) < p(#i, ж2),
если Ж1 ж2, то существует единственная неподвижная точка отображе-
ния /. Будет ли отображение / сжимающим?
154.	Пусть А — компактное, В — замкнутое множества в метрическом
пространстве (X р) и А П В = 0. Доказать, что р(А, В) > 0.
155.	Доказать, что если А — компактное множество в метрическом про-
странстве (X р)> то для любой точки ж € X существует точка у 6 А, такая
что р(ж, у) = р(х9 А) (существование ближайшей точки).
156.	Привести пример полного метрического пространства X замкнутого
множества А и точки ж0, таких что в А не существует ближайшей к ж0
точки.
Задачи и упражнения
59
["Доказать утверждения (157-165):
157.	Если в метрическом пространстве X каждый замкнутый шар ком-
пактен и А — замкнутое множество в X, то для любой точки х € X
существует ближайшая точка в множестве А.
158.	Для любой непрерывной функции х на отрезке [а, Ь] существует
многочлен наилучшего приближения р степени п, т. е. такой многочлен,
что
max \x(t) - p(t)\ < max \x(t) - q(t)\
a^b'	1 a^b1	1
для любого многочлена q степени n.
159.	Пусть А и В — компактные множества в метрическом пространстве
(X, р). Тогда существуют точки xq € А и уо Е В, такие что р(ж0, у$) = р(А, В).
Существенно ли условие компактности обоих множеств?
160.	Метрическое пространство предкомпактно тогда и только тогда, ко-
гда его пополнение компактно.
161.	Метрическое пространство X предкомпактно тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 существует конечная е-сеть.
162.	Метрическое пространство X предкомпактно тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 существует предкомпактная е-сеть.
163.	Предкомпактное метрическое пространство ограничено. Привести
пример, доказывающий, что обратное утверждение не верно.
164.	Предкомпактное метрическое пространство сепарабельно.
165.	Образ предкомпактного множества при равномерно непрерывном
| отображении предкомпактен.
166.	Привести пример метрического пространства X, непрерывного отоб-
ражения /, определенного на X, и предкомпактного множества А С X,
таких что f(A) не предкомпактно.
167.	Доказать, что, если А — предкомпактное подмножество полного
метрического пространства X и f : X -> Y — непрерывное отображение,
то /(А) — предкомпактно.
168.	Какие множества являются предкомпактными в R? Какие являются
компактными?
169.	Какие множества являются предкомпактными в Rn? Какие являются
компактными?
170.	Привести пример ограниченного замкнутого множества в метриче-
ском пространстве, не являющегося предкомпактным.
60
Глава 3. Метрические пространства
171.	Указать конечную е-сеть в кубе со стороной 1 в пространстве Rn.
Сколько элементов в этой е-сети?
172.	На R ввести метрику таким образом, чтобы топология, порожден-
ная этой метрикой, была естественной и построенное метрическое про-
странство было предкомпактным. Можно ли ввести метрику так, чтобы
построенное метрическое пространство было компактным?
173.	Доказать, что множество функций М С С[а, Ъ] предкомпактно тогда
и только тогда, когда:
1)	существует постоянная В, такая что |ж(£)| С В для всех х 6 М и
t € [а, 6] (равномерная ограниченность);
2)	для любого а > 0 существует д > 0, такое что из неравенства i -t2| <
вытекает |x(fi) - x(f2)| < в для всех х € М (равностепенная непре-
рывность множества М).
174.	Доказать, что множество функций М С С(Т), где Т — компактное
метрическое пространство, предкомпактно тогда и только тогда, когда:
1)	существует постоянная В, такая что |я(£1)| С В;
2)	для любого а > 0 существует S > 0, такое что из неравенства p(ti, f2) < 8
вытекает |ж(^) - x(f2)| < а для всех x E M.
175.	Пусть T — метрическое пространство, СГ(Т) — пространство рав-
номерно непрерывных ограниченных числовых функций на Т с метрикой
р(х, у) = sup |®(0 -3/(01.
ter
Доказать, что множество М С СГ(Т) предкомпактно тогда и только тогда,
когда:
1)	М равномерно ограничено;
2)	М равностепенно непрерывно.
176.	Пусть Т, S — компактные метрические пространства. Доказать, что
множество М непрерывных отображений из Т в S предкомпактно в про-
странстве С(Т, S) тогда и только тогда, когда оно равностепенно непре-
рывно.
177.	Пусть Т и S — метрические пространства, Т — компактно. Дока-
зать, что множество М непрерывных отображений из Т в S предком-
пактно в пространстве С(Т, S) тогда и только тогда, когда:
1)	для любого t ЕМ множество значений {x(t): х 6 М} является пред-
компактным множеством;
2)	множество М равностепенно непрерывно.
Задачи и упражнения
61
178.	На множестве 1(Т) изометричных отображений компактного мет-
рического пространства в себя введем метрику
р(х, у) = max p(x(t), у(t)).
tEl
Доказать, что ЦТ) является компактным метрическим пространством.
179.	Множество М С L2(a, Ь) называется равномерно ограниченным в
среднем, если существует постоянная В, такая что
ь
У* |ж(£)|2 dt В2
a
для всех х € М. Множество М С В2(а, Ь) называется равностепенно не-
прерывным в среднем, если для любого г > 0 существует 6 > 0, такое что
ь
J|я(£ + h) - я(0|2 dt < г
a
для любого h, \h\ < 6 и любого х € М (считаем ж(0 = 0, если t € [а, Ь]).
Доказать, что множество М С Ь2(а, Ь) является предкомпактным тогда
и только тогда, когда оно равномерно ограничено в среднем и равносте-
пенно непрерывно в среднем.
180.	Доказать, что множество М С L2(R) предкомпактно тогда и только
тогда, когда оно:
1)	равномерно ограничено в среднем, т.е.
+оо
j |®(0|2 dt^B2;
-00
2)	равностепенно непрерывно в среднем, т. е. для любого в > 0 суще-
ствует д >0, такое что выполняется
4-оо
f |ж(£ 4- h) - ®(0|2 dt < в
-00
для всех h9 |Л| < 6 и всех х 6 М;
3)	для любого е > 0 существует число А, такое что
4-оо	-А
У* |®(0|2 dt + J \x(t)\2dt<e
А	-оо
для всех х € М.
62
Глава 3. Метрические пространства
181.	Доказать, что множество М С з числовых последовательностей пред-
компактно тогда и только тогда, когда существует последовательность Сп,
такая что |жп| С Сп для х 6 М.
182.	Доказать, что множество М С 1Р предкомпактно в пространстве 1Р,
1 < р < оо тогда и только тогда, когда оно ограничено в 1Р и для любого
00
е > 0 существует пе, такое что |жд;|р < е для всех х 6 М.
k=ne
183.	Сформулировать критерий предкомпактности в пространстве С1 [О, 1].
184.	Пусть М[0, 1] — пространство всех функций на отрезке [О, 1] с то-
пологией точечной сходимости (см. задачу 47 главы 2). Доказать, что мно-
жество А С М[0, 1] предкомпактно в М[0,1] тогда и только тогда, когда
существует функция b(t), такая что для всех х 6 А выполнено |ж(£)| С b(t).
185.	Пусть Т — множество всех отображений отрезка [О, 1] в себя с то-
пологией поточечной сходимости. Доказать, что Т — компактное про-
странство.
186.	Пусть Тлокально-компактное пространство. Построим новое
пространство Т следующим образом: множество Т = Т U {/*}, где t* —
произвольная точка, не принадлежащая Т; в качестве базы окрестностей
для точки t 6 Т возьмем базу окрестностей этой точки в Т, базу окрест-
ностей точки t* составим из множеств вида U = (Т \ С) U {Г}, где С —
компактное множество. Доказать, что построенное топологическое про-
странство компактно и Т всюду плотно в Т (пространство Т называется
одноточечной компактификацией пространства Т),
187.	, Пусть В(Т) — пространство всех ограниченных числовых функций
на множестве Т с метрикой
p(x,y) = swp\x(t)-y(t)\.
tET
Доказать, что для предкомпактности семейства функций N С В(Т) необ-
ходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным и рав-
ноколеблющимся, т. е. чтобы для каждого е существовало такое конечное
покрытие Т множествами Ть ..., Тп, что \x(t) - ®(^)| < г при t, t' 6 Ti,
i = 1,..., n, и f 6 N.
["лредкомпактны ли следующие множества функций
в пространстве С[0, 1] (188-195)?
188.	tn, п= 1,2... .
189.	(at)n,n= 1,2... .
____________________________ Ответы _____________________________
188. Нет.
189. Да, если |а| < I; нет, если |а|	1.
Задачи и упражнения
63
190.	sin nt, п = 1,2... .
191.	sin (t + n), п = 1,2... .
192.	et+a, a € R.
193.	e‘‘“, a € R, a > 0.
194.	sin at, a 6 R.
i
| 195. y(t) = J et3(p(s)ds, где e C[0, 1], |^(s)|	1.
о
196.	Доказать, что образ шара в пространстве С[0, 1] при отображении
интегральным оператором Фредгольма с непрерывным ядром является
предкомпактным множеством в С[0, 1].
197.	Доказать, что шар в пространстве С1 [0, 1] предкомпактен в про-
странстве С[0, 1]. Будет ли он компактным?
Ркакие из следующих множеств (198-204) предкомпактны в пространстве
С[0,1]? Какие компактны?
198.	{же С[0, 1] : |ж(0| ^В}.
199.	{жеС^О, I]: |ж(0| Во, \xf(t)\^B{}.
200.	{жеС2[0, 1]: |ж(0| Во, |ж'(0|^В1, |ж"(t)|	В2}.
201.	{жеС2[0,1]: |ж(0|^Во, |ж"(0|^В2}.
202.	{жеС2[0, 1]: |ж'(0|^Вь |ж"(0|^В2}.
203.	{жес[о, 1]: |ж(0|^В, |ж(^) - ж(^)| L\t, - t2|}.
[204. {жеС^О, 1]: |ж(0|^В, \x(ti)-x(t2)\^L\t^t2\}.
205.	Пусть XL — множество функций на отрезке [0, 1], удовлетворяющих
условию Липшица с фиксированной константой L и метрикой, индуци-
рованной из С[0, 1]. Доказать, что пространство XL локально-компактно.
___________________________ Ответы __________________________
190.	Нет.
191.	Да.
192.	Нет.
193.	Да.
194.	Нет.
195.	Да.
198.	Не предкомпактно.
199.	Предкомпактно.
200.	Предкомпактно.
201.	Предкомпактно.
202.	Не предкомпактно.
203.	Компактно.
204.	Предкомпактно.
64
Глава 3. Метрические пространства
206.	Параллелепипедом в пространстве I2 назовем множество всех после-
довательностей х = (Ж1,	• • •) € I2, удовлетворяющих условиям |жп| С Сп ,
где Сп — заданная последовательность. При каких Сп параллелепипед огра-
ничен? При каких компактен?
["Предкомпактны ли следующие множества
в пространстве Z2(0, 1) (207-210)?
207.	ta, a > —1/2.
208.	sin nt, n = 1,2,... .
t	i
209.	x(t) = J (p(r)dr, где J |^(r)|2 dr 1.
о	0
|_210. (In0n,n = 1,2,... .
211. Пусть C|,C2,... — заданная числовая последовательность. Рассмот-
рим множество М последовательностей х 6 I2, удовлетворяющих условию
00
|cfegfc|2 1. Для каких последовательностей Сп множество М пред-
fc=l
компактно?
[~Предкомпактны ли следующие множества функций
в пространстве L2(R) (212-213)?
212. x(t) = -—--------г, a е R.
7	1 + (t + а)2
ta 1	1
214.	При каких a, b, с, d множество функций вида
ta
= 1 + Н + ^|т ’
где а С о < 6, \/3\ С с, у > а 4- d, a < b, с > 0, предкомпактно в Z2(R)?
Ответы
206. ^с«<00- 207. Нет.	210. Нет. 211. Сп -> оо.
208. Нет.	212. Нет.
209. Да.	213. Да.
Глава 4
Топологические векторные пространства
4.1.	Векторные пространства
Непустое множество Е называется векторным пространством над по-
лем К (где К всегда либо R, либо С), если оно удовлетворяет следующим
условиям:
1.	Определено отображение Е х Е 3 (х, у) -> х + у 6 Е, называемое
сложением, причем
а)	ж + у = у 4- х (коммутативность);
б)	х 4- (у 4- z) = (ж 4- у) 4- z (ассоциативность);
в)	в Е существует такой элемент 0 € Е, что х 4- 0 = х для всех
х € Е (существование нуля).
2.	Определено отображение К х Е 3 (А, х) -> Аж 6 Е, называемое
умножением на число, причем
а)	А(дж) = (Ад)ж;
б)	1 • ж = ж.
3.	Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутив-
ными законами:
а)	(А 4- р)х = Аж 4- рх;
б)	А(ж4-£/) = Аж 4- Ху.
Непустое подмножество F векторного пространства Е называется
векторным подпространством, если оно само образует векторное простран-
ство по отношению к определенным в Е операциям сложения и умноже-
ния на число.
Векторное подпространство пространства F, не совпадающее с {0}
и Е, называется собственным.
Векторное подпространство пространства Е называется максималь-
ным, если оно не содержится ни в каком другом собственном подпро-
странстве.
Пусть Е и F — векторные пространства над одним и тем же полем К.
Отображение Т : Е F называется линейным, если
Т(Аж + ру) = ХТх 4- рТу
66
Глава 4. Топологические векторные пространства
для любых Л, д 6 К и х, у 6 Е. Линейное отображение Т : Е -> К назы-
вается линейным функционалом (линейной формой). Ядром линейного отоб-
ражения Т : Е -> К называется подпространство кегТ = Т-1{0}.
Элементы Х\,..., хп векторного пространства Е называются линейно-
зависимыми, если существуют числа А|,..An 6 К, не все равные 0, такие
что
А1Ж1 + ... + Апжп =0.
В противном случае эти элементы называются линейно-независимыми.
Бесконечная система элементов пространства Е называется линейно-
независимой, если любая ее конечная подсистема линейно-независима.
Если в пространстве Е можно найти п линейно-независимых эле-
ментов, а любые п 4- 1 элементов этого пространства линейно-зависимы,
то говорят, что пространство Е имеет размерность п и обозначают это
dim Е = п.
Если М С Е — подмножество векторного пространства Е, то в Е
существует наименьшее подпространство, содержащее М, оно называется
подпространством, порожденным М, или линейной оболочкой множества
М. Если линейная оболочка множества совпадает с Е, то говорят, что Е
порождено множеством М.
Пусть Е — векторное пространство над полем К. Если А\\ В -
подмножества в Е, то, по определению,
А + В = {z е Е : z = х 4- у, х 6 А, у Е В}
и
АЛ = {z Е Е : z = Хх, х Е Л}.
Множество АСЕ называют выпуклым (соответственно, уравновешен-
ным), если АЛ 4- рА С Л для всех А 0, д 0, таких что А 4- д = 1
(соответственно, если АЛ С Л для всех |А| С 1). Множество называется
абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешено. Выпуклой (соот-
ветственно уравновешенной, абсолютно выпуклой) оболочкой множества Л
из Е называется наименьшее выпуклое (соответственно уравновешенное,
абсолютно выпуклое) множество, содержащее Л.
Множество Л в векторном пространстве поглощает множество В, ес-
ли существует а > 0, такое что АЛ D В для всех А с |А| > а. Множество Л
в Е называется поглощающим, если оно поглощает каждую точку из Е.
Полунормой на векторном пространстве Е называется каждая число-
вая функция р 0 на Е, удовлетворяющая условиям:
О Р(Аж) = |А|р(ж);
2)	Р(х + у) <р(®)+р(у).
4.2. Топология на векторном пространстве
67
Пусть А С Е — произвольное множество. Калибровочной функцией
или функционалом Минковского этого множества называется неотрица-
тельная вещественная функция на Е, определяемая равенством
Рл(ж) = inf Л.
А>0, х^ХА
Если А — абсолютно выпуклое и поглощающее множество, то его
калибровочная функция рл является полунормой на Е.
Гиперплоскостью в векторном пространстве Е называется множество
вида х 4- Я, где х Е Е, Н — максимальное собственное подпространство
в Е. Множество G является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда
существуют такой непрерывный линейный функционал и{х) и число а,
что G = {х : и{х) = а}. Если а = 0, то гиперплоскость называется одно-
родной.
Гиперплоскость Я, определяемая уравнением и{х) = а, называется:
опорной для множества А С Е, если и{х) а либо и{х) < а для всех
х Е А и существует хотя бы одна точка х0 Е А, такая что м(ж0) = а.
4.2.	Топология на векторном пространстве
Вещественным {комплексным) топологическим векторным простран-
ством {т. в. п.) называется векторное пространство Е над R (над С) с то-
пологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е.
с топологией, при которой следующие отображения:
1)	Е х Е Э {х, у) -> х + у Е Я;
2)	R х Е Э (Л, х) -> Аж Е Е (соответственно С х Е Е (А, х) -> Аж Е Е)
непрерывны.
В т. в. п. существует фундаментальная система окрестностей нуля,
состоящая из уравновешенных и поглощающих множеств.
Бочкой в т. в. п. называют любое замкнутое абсолютно выпуклое по-
глощающее множество.
Т. в. п. Е называется локально-выпуклым (л. в. п.), если оно обладает
фундаментальной системой окрестностей нуля, каждая из которых выпукла.
В л. в. п. существует фундаментальная система окрестностей нуля,
состоящая из бочек.
Для того чтобы базис фильтра в векторном пространстве Я, состо-
ящий из абсолютно выпуклых множеств, образовывал фундаментальную
систему окрестностей нуля некоторой локально-выпуклой топологии, до-
статочно, чтобы он был инвариантен относительно ненулевых гомотетий
(отображений Я Э ж -> Аж Е Я, А 0).
Пусть Г — некоторое множество полунорм на Я. Пусть Ж — множе-
ство всех подмножеств из Я, определяемых неравенствами вида р{х) < А,
68
Глава 4. Топологические векторные пространства
где р 6 Г и Л > 0 и & — множество пересечений всевозможных конеч-
ных наборов множеств из В Е существует топология, согласующаяся
со структурой векторного пространства и имеющая & в качестве фун-
даментальной системы окрестностей нуля. Она называется топологией,
определяемой множеством Г полунорм.
Таким образом, топология, определяемая некоторым семейством по-
лунорм, локально-выпукла. Обратно, каждая локально-выпуклая тополо-
гия может быть определена некоторым множеством полунорм.
Пусть Е — л. в. п., топология которого определена семейством Г
полунорм. Для того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно,
чтобы отношение р(х) = 0 для всех р Е Г влекло х = 0.
Для того чтобы отделимое л. в. п. было метризуемым, необходимо
и достаточно, чтобы его топология определялась счетным множеством
полунорм.
Полное метризуемое л. в. п. называется пространством Фреше. Под-
множество т. в. п. называется ограниченным, если оно поглощается каждой
окрестностью нуля.
J1. в. п. Е называется бочечным, если каждая бочка является окрест-
ностью нуля в Е.
J1. в. п. Е называется борнологическим, если каждое абсолютно выпук-
лое множество, поглощающее все ограниченные подмножества, является
окрестностью нуля.
4.3.	Фактор-пространства. Произведения.
Прямые суммы. Индуктивные пределы
Пусть Е — т. в. п. и F — его векторное подпространство. Фактор-
топология на Е/F превращает его в т. в. п. Для того чтобы Е/F было
отделимо, необходимо и достаточно, чтобы F было замкнуто в Е.
Если Е — л. в. п. с топологией, определяемой семейством Г полу-
норм, то E/F — л. в. п. и его топология определяется полунормами
р(х) = jnf р(х), Vper и xeE/F.
Пусть — семейство т. в. п. Произведение их топологий пре-
вращает
я = Пя,
«е/
в т. в. п. Для того чтобы Е было отделимым (соответственно л. в. п.),
необходимо и достаточно, чтобы таковыми были Ei. Если топология каж-
дого Ei определяется семейством Г, полунорм, то топология произведе-
ния Е определяется полунормами pi о рг,, где pi Е Г,-.
4.3. Фантор-пространства. Произведения. Прямые суммы
69
Векторное пространство Е является прямой суммой конечного семей-
ства своих векторных подпространств	если каждый элемент
х Е Е может быть единственным образом представлен в виде
п
х = ki(x)9 где ki(x) Е
:=1
При этом ki — линейные отображения Е на Ft.
Пусть Е — т. в. п., являющееся прямой суммой конечного семейства
(Ft)i^,^n его векторных подпространств. Если отображение
п	п
J"J Fi Э	%i 6 F
:=1	»=1
есть линейный гомеоморфизм (изоморфизм) топологических векторных про-
странств, то Е называется топологической прямой суммой подпространств
Fi и обозначается
п
Е = ф Fi.
i=i
Если Е — топологическая прямая сумма двух своих векторных подпро-
странств М и N9 то N называется топологическим дополнением к М в Е.
Если т. в. п. Е — прямая сумма своих подпространств (Fi)i^n9 то
для того чтобы Е было топологической прямой суммой подпространств Fi
необходимо и достаточно, чтобы отображения ki были непрерывны.
Пусть (Еп) — возрастающая последовательность векторных подпро-
странств векторного пространства Е9 образующая покрытие этого про-
странства, и гп для каждого п — локально-выпуклая топология в ЕП9
причем тп совпадает для каждого п с топологией, индуцируемой в Еп то-
пологией тп+1. Топология т — сильнейшая из локально-выпуклых топо-
логий на Е9 при которых непрерывны канонические вложения Еп в Е9 —
называется индуктивным пределом топологий тп. Топология т индуцирует
в каждом Еп топологию тп. Если все тп отделимы, то т — отделима.
Пространство Е9 наделенное топологией т, называется строгим ин-
дуктивным пределом пространств Еп и обозначается
(Е, г) = lim ind (ЕП9 тп).
Пусть
(Е9 т) = lim ind (ЕП9 тп).
Предположим, что каждое Еп замкнуто в Еп_^\ (в тп+1). Тогда Еп замкнуто
в Е (в т), и для того чтобы множество в Е было ограниченным (в т),
необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в одном из Еп и было
ограничено в тп.
70
(лава 4. Топологические векторные пространства
Задачи и упражнения
1.	Являются ли векторными пространствами над R следующие множества:
1) рациональных чисел; 2) иррациональных чисел?
2.	Являются ли множества, рассматриваемые в задаче 1, векторными про-
странствами над С?
3.	Являются ли векторными пространствами (с естественными алгебраи-
ческими операциями) над R или С (указать, над каким именно) следую-
щие множества:
1)	функций, абсолютно непрерывных на [а, ft];
2)	функций ограниченной вариации на [а, Ь];
3)	функций, монотонных на [a, ft];
4)	функций, непрерывных на [a, ft] и удовлетворяющих условию ж(а) = 0;
5)	функций, непрерывных на [a, ft] и удовлетворяющих условию ж(а) = 1;
6)	непрерывных периодических на R функций;
7)	1Р (0<р<оо) — комплексных последовательностей а; = (®1,...,жп,...),
00
для которых ряды У2 1Ж*1Р сходятся;
k=\
8)	Г — ограниченных комплексных последовательностей;
9)	с — сходящихся комплексных последовательностей;
10)	со — сходящихся к нулю комплексных последовательностей;
11)	С[а, ft] — функций, непрерывных на [a, ft];
12)	Lp(a, ft) — функций, измеримых на (a, ft) и интегрируемых по Лебегу
в степени р;
13)	L°°(a9 ft) — измеримых существенно ограниченных функций на (a, ft);
14)	.^(R) — функций, ограниченных на R;
15)	Cz[a, ft] — I раз непрерывно дифференцируемых функций;
16)	Lip[a, ft] — функций, на [a, ft], удовлетворяющих условию Липшица;
17)	H(D) -- функций, аналитических в единичном круге Р, непрерыв-
ных в D.
18)	m — всех комплексных последовательностей?
4.	Доказать, что множество А в векторном пространстве абсолютно вы-
пукло тогда и только тогда, когда для любых ж, у G А Хх + ру 6 А при
|А| + 1Ж 1.
_____________________________ Ответы ____________________________
1.	1) да; 2) нет.	3. I), 2), 4), 7)-17) да; 3), 5), 6) нет.
2.	I) да; 2) нет.
Задачи и упражнения
71
5.	Показать, что всякое поглощающее множество в Е порождает все про-
странство Е.
6.	Уравновешено ли объединение произвольного семейства уравновешен-
ных множеств?
7.	Является ли выпуклым (абсолютно выпуклым) пересечение произволь-
ного семейства выпуклых (соответственно абсолютно выпуклых) мно-
жеств?
8.	Будет ли выпукло (соответственно абсолютно выпукло) объединение
произвольного семейства выпуклых (соответственно абсолютно выпук-
лых) множеств?
9.	Пусть (An)neN — возрастающая последовательность выпуклых множеств.
Показать, что их объединение А выпукло.
10.	Пусть А и В выпуклы. Показать, что аА + /ЗВ выпукло для любых а
и /3.
11.	Справедливо ли равенство ХА + дА = (А + д)А?
12.	Показать, что если А > 0, д > 0 и А выпукло, то АА + дА = (А + д)А.
13.	Показать, что если А и В — уравновешенные множества векторного
пространства Е, то А + В уравновешено.
14.	Пусть (Д),е/ — семейство векторных пространств и А: С Ei — не-
пустое подмножество для каждого г € 1. Пусть Е = Ei и А =	А,.
»е/	iei
Показать, что А выпукло (уравновешено) в Е в том и только том случае,
если А, выпукло (уравновешено) в Ei для каждого i Е I.
15.	Пусть А — уравновешенное, а В — произвольное подмножества в век-
торном пространстве Е. Доказать, что А поглощает В тогда и только тогда,
когда существует а > 0, такое что а А Э В.
16.	Доказать существование выпуклой (соответственно уравновешенной)
оболочки произвольного множества и построить ее конструктивно.
17.	Пусть pi (1 С i\	п) — полунормы на векторном пространстве Е.
Показать, что
1) р(х) = sup Pi(x);
n
2) q(x) = diPi(x)9 где a, 0 — полунормы E.
:=1
______________________________ Ответы ______________________________
6. Да.	8. Нет.
7. Да.	11. Нет.
72
Глава 4. Топологические векторные пространства
18.	Пусть р и q — полунормы на векторном пространстве Е. Показать, что
неравенство q(x) эквивалентно отношению {р(х) < 1 =>q(x)	1}.
19.	Показать, что каждая полунорма р удовлетворяет неравенству
|р(ж) -р(у)| ^р(х-у).
20.	Пусть р — полунорма на Е. Показать, что для любого a > 0 мно-
жества {х 6 Е : р(х) < а} и {х € Е : р(х) < а} абсолютно выпуклые и
поглощающие.
21.	Показать, что если А — абсолютно выпуклое поглощающее множе-
ство в Е, то его калибровочная функция рА(х) есть полунорма на Е и
справедливо соотношение
{х € Е : рА(х) < 1 С Ас {х € Е : рА(х) 1}.
22.	Пусть р — полунорма на Е и А = {х € Е : р(х) 1}. Показать, что
калибровочная функция множества А рА = р.
23.	Показать, что если рА — калибровочная функция множества А, то
при а 0 |а|"' рА — калибровочная функция множества а А.
24.	Построить калибровочные функции на R2 для следующих множеств:
1)	круга с центром в начале координат;
2)	квадрата с центром в начале координат, диагонали которого лежат на
осях координат;
3)	квадрата с центром в начале координат, стороны которого параллель-
ны осям координат.
25.	Показать, что алгебраическое дополнение однородной гиперплоско-
сти существует и одномерно.
26.	Пусть Е — векторное пространство, и — произвольная линейная
форма на Е. Показать, что ядро этой формы Н =	— гиперплос-
кость в Е,
27.	Показать, что каждая однородная гиперплоскость в Е является ядром
некоторой линейной формы на Е.
28.	Привести пример топологического векторного пространства.
29.	Привести пример векторного пространства с топологией, но не топо-
логического векторного.
30.	Пусть Е — т. в. п. Показать, что отображение ЕЭх->х + а€Е —
гомеоморфизм.
______________________________ Ответы ______________________________
24. 1) р(х) = у kil2 4- кг!2;	28. См., например, задачи 59-63.
2) р(х) = ki| 4- kzl;	29 См- задачи 52’ 33'
3) р(х) = max(ki|, к2|).
Задачи и упражнения
73
31.	Пусть Е — т. в. п. Показать, что отображение Е Э х -> ах € Е9
а 0, — гомеоморфизм.
32.	На множестве C(R) введем топологию с помощью окрестностей
К(®) = {y(t): sup|®(0 - y(t)\ < г}, г > 0.
Доказать, что сложение в этой топологии непрерывно, а умножение раз-
рывно.
33.	Проверить, что векторное пространство с дискретной топологией не
является топологическим векторным.
34.	Доказать, что в т. в. п. сумма двух компактных множеств — компактное
множество.
35.	Пусть Е — т. в. п., А — компактное подмножество, В — замкнутое
в Е. Показать, что А 4- В замкнуто.
[Для т. в. п. Е доказать утверждения (36-41):
36.	Если А и В замкнуты в Е9 то А + В не обязательно замкнуто.
37.	Уравновешенная оболочка компактного множества компактна в т. в. п.
38.	Замыкание выпуклого (уравновешенного) множества выпукло (урав-
новешенно).
39.	Внутренность выпуклого множества выпукла.
40.	Пусть F — подпространство в т. в. п. Е. Тогда, если Р 0, то F = Е.
41.	Замыкание векторного подпространства в т. в. п. есть векторное под-
пространство.
[Показать справедливость утверждений (42-49):
42.	Однородная гиперплоскость в т. в. п. либо замкнута, либо плотна во
всем пространстве.
43.	Однородная гиперплоскость в т. в. п. замкнута только в том случае,
когда линейная форма, ядром которой является гиперплоскость, непре-
рывна.
44.	Т. в. п. отделимо тогда и только тогда, когда множество {0} замкнуто.
45.	Окрестность нуля в т. в. п. — поглощающее множество.
46.	Образ ограниченного множества в т. в. п. при гомотетии ограничен.
47.	Объединение конечного набора ограниченных множеств в т. в. п. огра-
ничено.
74
Глава 4. Топологические векторные пространства
48.	В т. в. п. следующие множества ограничены:
1)	одноточечное множество;
2)	конечное множество;
3)	сходящаяся последовательность;
4)	компактное подмножество.
49.	Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отобра-
жении ограничен.
50.	Пусть Е — т. в. п., В С Е подмножество. Доказать, что В ограничено
тогда и только тогда, когда для любой последовательности (xn) С В и
всякой последовательности (Ап) положительных чисел, сходящейся к О,
последовательность Хпхп сходится к 0 в Е.
51.	Пусть Е — л. в. п. с топологией, определяемой семейством Г полу-
норм. Доказать, что множество А С Е ограничено тогда и только тогда,
когда р(А) ограничено в R для каждого р G Г.
52.	Пусть Е — л. в. п. и Г — семейство полунорм, определяющих топо-
логию на Е, р € Г. Показать, что множество {х 6 Е : р(х) < 1} открыто
в Я, а множество {х 6 Е : р(х) 1} — бочка.
53.	Доказать, что на векторном пространстве Е существует сильнейшая
из локально-выпуклых топологий. Описать ее окрестности нуля и все
непрерывные полунормы в этой топологии.
["Доказать утверждения (54-64):
54.	Пусть Е — л. в. п. с сильнейшей топологией, F — произвольное
л. в. п. Тогда всякое линейное отображение Т : Е -> F непрерывно.
55.	Пространство Фреше бочечно.
56.	Метризуемое л. в. п. борнологично.
57.	Для того чтобы л. в. п. Е было борнологическим, необходимо и доста-
точно, чтобы каждое линейное отображение, переводящее ограниченное
множество из Е в ограниченное множество из F, где F — произвольное
л. в. п., было непрерывно.
58.	Пусть Е — борнологическое, F — произвольное л. в. п. Для того
чтобы линейное отображение Т : Е -> F было непрерывным, необходимо
и достаточно, чтобы оно было секвенциально непрерывным, т. е. чтобы
оно сохраняло сходящиеся последовательности.
______________________________ Ответы ______________________________
53. Множество всех абсолютно выпуклых	логия определяется множеством всех
множеств образует базис окрестностей	полунорм.
нуля этой топологии. Эта же топо-
Задачи и упражнения
75
59.	1Р9 0 < р < 1 — т. в. п., но не л. в. п.
60.	Lp(£l), 0 < р < 1, где Q — открытое множество в Rn, т. в. п., но не
л. в. п.
61.	C(R) с топологией компактной сходимости (равномерной сходимости
на компактных подмножествах из R) является пространством Фреше.
62.	Пространство гУ(Р) всех аналитических функций в единичном круге
D с топологией компактной сходимости является пространством Фреше.
63.	C(R) с топологией компактной сходимости не нормируемо.
| 64. с топологией компактной сходимости не нормируемо.
65.	В векторном пространстве т всех числовых последовательностей х =
= (жь ..., жп,...) зададим топологию с помощью метрики
,z X _	1	I®* -У*1
,У 2* 1 + I®* - Ук\'
Доказать, что т с естественными операциями сложения и умножения
является локально-выпуклым пространством.
66.	В векторном пространстве т зададим топологию с помощью системы
полунорм рк(х) = к*|, к — 1, 2,... . Доказать, что:
1)	т метризуемо и его топология совпадает с топологией задачи 65;
2)	т не нормируемо.
67.	Во множестве &[а, Ь] всех функций на [а, Ь] определим топологию
с помощью полунорм pt(x) = |ж(4)|, t € [а, Ь]. Доказать, что &[а9 Ь]
с такой топологией является ненормируемым и неметризуемым простран-
ством.
68.	Iq — пространство комплексных последовательностей х = (ж|,...,
хП9...), у которых только конечное число членов отлично от нуля. Опре-
делим в /о топологию с помощью полунорм
рп(ж) = sup |®J.
Доказать, что Iq борнологично, но не бочечно.
69.	Доказать, что бочечное пространство нормируемо, если оно обладает
ограниченной бочкой или ограниченным поглощающим множеством.
70.	В множестве С00 [а, Ь] зададим топологию с помощью расстояния
оо j max | х^ (t) - (t) |
2* 1 + max|(01 *
Доказать, что С00[а, Ь] — л. в. п.
76
(лава 4. Топологические векторные пространства
71.	В С00 (а, Ъ) зададим топологию с помощью системы полунорм
Pk(x) = тах|ж(*)(£)|, fc = 0, 1,... .
Доказать, что эта топология не нормируема, но совпадает с топологией
задачи 70.
72.	В пространстве C°°(R) определим топологию полунормами
Pnm(x) = SUP |®(П)(<)|-
Доказать, что C°°(R) — ненормируемое метризуемое пространство.
73.	Пусть Co(R) — множество непрерывных функций с компактным но-
сителем. Для каждого Km = [-т, т] обозначим C/rm(R) множество не-
прерывных функций с носителем в Кт. В C#m(R) определим топологию
с помощью нормы
lk||w = SUP \x(t)\.
Выпуклое множество V непрерывных функций из Co(R) будем называть
окрестностью нуля в Co(R), если для каждого т найдется €т > 0, такое
что V D Вш(0, ет) для всех т € N. Здесь Bm(0, ет) = {х : ||ж||т ет}.
Показать, что
C0(R) = lim indCKTO(R).
(Оно обозначается JT(R).)
74.	Пусть Q — открытое множество в Rn и — совокупность всех к
раз непрерывно дифференцируемых функций на Q (к = оо, если функции
бесконечно дифференцируемы). Через @*(Н) обозначается совокупность
всех функций из <^(Q) с компактным носителем, а через @^(Q) — с но-
сителем в данном компакте К С Q. Проверить, что величина
РД,т(/) = SUP |Р“/(®)|,
где a — целочисленный вектор (аь ..., an), |а| = aj 4-... 4- an,
ла|+...+ап f
Daf= —___________—
является полунормой на <£*(Г2).
75.	На <^'*(Q) вводится топология на системе полунорм рк,т(Г)> когда К
пробегает все компакты изПит^к(т<к при к = оо). Указать базу
окрестностей нуля в
_____________________________ Ответы ________________________________
75.	Множество вида	где т к и Kn С Kn^i — исчерпы-
Vnm = {f(x)' sup	|Daf(x)\ 1}	вающая Q последовательность ком-
|u|^m,r6tfn	’	пактных множеств.
Задачи и упражнения
77
76.	Охарактеризовать сходящиеся последовательности в /*(Н).
77.	Описать все ограниченные множества в
("Доказать утверждения (78-80):
78.	(£<A:(Q) — пространство Фреше.
79.	^(Q) — бочечно и борнологично.
80.	<^(Q) — пространство Монтеля, т. е. каждое ограниченное множество
[ в <^(Q) относительно компактно.
81.	Наделим &к(&) топологией, индуцированной на <£*(Q). Показать,
что — банахово пространство, если к < оо, и	—
пространство Фреше.
82.	Показать, что ^(Q) не полно в топологии, индуцированной из <£(П) =
= ^°(Q).
83.	Определим на ^(Q) топологию следующим образом: обозначим М
семейство абсолютно выпуклых множеств V С ^(Q), таких что V A
является окрестностью нуля в &#(&) Для любого К С Q. Показать, что
множество Q всевозможных объединений множеств из $ является систе-
мой окрестностей нуля некоторой топологии т.
84.	Показать, что ^(Q) с топологией т, определенной в задаче 83, яв-
ляется л. в. п. Эту топологию на ^(Q) будем называть естественной.
85.	Доказать, что топология каждого совпадает с топологией, ин-
дуцируемой из для любого К.
86.	Доказать, что множество В С ^(Q) ограничено в тогда и
только тогда, когда В С ^(Q) при некотором К и ограничено в ^(Q).
87.	Охарактеризовать сходящиеся последовательности в 2^(Q).
("Доказать утверждения (88-92):
88.	2^(Q) = limind (Q) при некоторой последовательности компак-
j->00	}
тов (Kj).
___________________________ Ответы __________________________
76.	/п 4 0 в <Н*\п) тогда и только тогда,
когда последовательность Dafn О,
|а| к, равномерно на каждом ком-
пакте К С Q.
77.	Множество А С /^(Q) ограничено в
<И*)(9), если множество (Daf)Q^k,feA
равномерно ограничено на каждом ком-
пакте К С Q.
87.	/п 4 0 в	тогда и только то-
гда, когда найдется компактное мно-
жество К С П, такое что supp/n С К и
Dafn -» 0 равномерно на К для всех
|а|
78
Глава 4. Топологические векторные пространства
89.	2^(Q) полно, т. е. каждая последовательность Коши в ^(Q) сходится.
90.	^(Q) не метризуемо.
91.	^(Q) бочечно и борнологично.
| 92. ^(Q) является пространством Монтеля.
93.	Пусть 7 = (7п) — последовательность положительных чисел и S = (<5П)
— последовательность строго положительных чисел. Положим,
: sup |р/?^(ж)| 6n Vn € n|.
1	р^п,хекп	>
Показать, что является окрестностью нуля в ®(Q).
94.	Пусть € 0(R). Выяснить, есть ли среди последовательностей:
1	1	1 (х\
1)	7^(я); 2) -^(fcz); 3) -^1 - 1, k = 1, 2,... сходящиеся в ^(R)?
к	к	к \к/
95.	Обозначим £foc(Q) множество всех локально р-интегрируемых функ-
ций, т. е.
Lfoc(Q) = {/ : 1к/ С LP(Q) для любого К С Q — компакта}.
Топологию на L^C(Q) определим полунормами
9к,Р(Л = (J |Ъг/(ж)|₽ dx^ .
п
Доказать, что Lf0C(Q) — пространство Фреше.
96.	Для каждого компакта К положим
L^(Q) = {/ е LP(Q) : supp f С К}.
Топологию на LPK(Q) индуцируем из LP(Q). Обозначим Lc(ty = U LpK(ty.
К СП
На Lpc(ty зададим топологию строгого индуктивного предела пространств
где (Kj) — исчерпывающая Q последовательность компактов.
Доказать, что .?Г(Н) С Lpc(£l) и это вложение непрерывно.
97.	Показать, что функция
' 0	при ||ж|| > 1;
0(®) = <	(	-1	\	II II 1
7ехрVi-iw)	при ||ж||<1’
где 7 0 — константа, принадлежит ^(R).
_____________________________ Ответы _____________________________
94. 1) да; 2), 3) нет.
Задачи и упражнения
79
98.	Последовательность функций (0j)j€N С ^(Rn) называется регулярызу-
ющей последовательностью, если она обладает следующими свойствами:
1)	Oj(x) 0 для всех х Е Rn;
2)	f 0j(x)dx= \,Vj;
R"
3)	suppfy = B(0,£j), €j -> 0, j -» 00.
Доказать существование регуляризующей последовательности.
("доказать утверждения (99-106):
99.	2"(Rn) плотно в Lp(Rn).
100.	^(Rn) плотно в <^(Rn).
101.	Пусть f Е bio^R") и 0j(x) — регуляризующая последовательность.
Тогда fj =0j * f Е ®(Rn) для любого j.
102.	®(Q) плотно в LP(Q) для любого (Q).
103.	Пусть <р Е ^(R) и tj Е £0(R), Т)(х) = 1 в окрестности х = 0. Тогда
функция
<р(х) - № 52 н~х
L	к=0	’ J
т = 1,2...,
принадлежит ®(R).
104. Функция
1р(х) =
у>(а?) - 7i(x)<p(0)
а(х)
принадлежит ^(R), где ?/(ж) — функция задачи 103, а € C°°(R) имеет
единственный нуль порядка 1 в точке х = 0.
105.	<р\ Е ^(R) может быть представима как производная от некоторой
другой функции у>2(х) Е ^(R) тогда и только тогда, когда она удовлетво-
ряет условию
+оо
<Р\(х) dx = 0.
-00
106.	Всякая функция <р(х) из ^(R) может быть представима в виде
-Ьоо
<р(х) = <ро(х) J fp(x) dx + <р\(х),
-00
80
[лава 4. Топологические векторные пространства
где (р\(х) € ^(R), a ipo(x) — любая основная функция, удовлетворяющая
условию
Ч-оо
/ ipo(x)dx=\.
L
107.	По определению положим
S(Rn) = {/ € <£"(R") : qa,p(f) = sup\xaD0f(x)| < +oo}
1	s€Rn	J
V a,/3 E Nn. 5(Rn) называется пространством быстро убывающих беско-
нечно дифференцируемых функций на Rn. Топологию на S(Rn) опреде-
лим полунормами qQ^ для всех а, Д 6 Nn. Доказать, что S — пространство
Фреше.
[доказать, что следующие вложения имеют место и непрерывны (108-110):
108.	5(Rn) С Lp(Rn).
109.	5(Rn) С <^(Rn).
[110. 0(Rn)CS(R").
111.	Доказать, что ^(Rn), рассматриваемое как подпространство в 5(Rn),
плотно в 5(Rn).
112.	Пусть <р Е 5(Rn). Выяснить, есть ли среди последовательностей:
1	1	1 f х\
1)	7 (р(х); 2) 7 (р(кх); 3) 7 <^( 7 ), к = 1, 2,..., сходящиеся в 5(Rn).
к	к	к \к/
113.	Пусть <р € S(Rn) и Р(х) — полином. Доказать, что tpP(x) Е 5(Rn).
___________________________ Ответы __________________________
112.	I), 3) да; 2) нет.
Глава 5
Линейные операторы в топологических
векторных пространствах
5.1.	Линейные непрерывные операторы
и функционалы в л. в. п.
Пусть Е и F — л. в. п., Г и Г' — семейства полунорм, определяющие
топологию на Е и F соответственно, и Т : Е -» F — линейное непре-
рывное отображение. Для того чтобы Т было непрерывным, необходимо
и достаточно, чтобы для каждой полунормы q Е Г* существовали число
с > 0 и конечное семейство полунорм pi Е Г (1 С * С п), такие что
q(Tx) < с sup Pi(x) для всех х € Е.
Для того чтобы линейная непрерывная форма и на л. в. п. Е была
непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы на Е существовала непре-
рывная полунорма р9 такая что \и(х)| < р(х) для всех х € Е.
Пусть Е — векторное пространство, р — полунорма на Е, F —
векторное подпространство в Е и f — линейная форма на F, такая что
|/(ж)| < р(х) для всех х Е F. Тогда на Е существует линейная форма /,
продолжающая f и такая, что |/(ж)| < р(х) для всех х € Е (теорема
Хана—Банаха).
Для каждого xq Е Е существует линейная форма g на Е, такая что
|#(я)| < р(х) и g(xQ) = p(xQ). В частности, всякая непрерывная линей-
ная форма на векторном подпространстве л. в. п. может быть продолжена
до непрерывной линейной формы на всем пространстве.
Пусть EwF — л. в. п. иТ : Е F — линейное отображение. Говорят,
что Т — гомоморфизм, если Т непрерывно и образ каждого открытого
множества из Е открыт в Т(Е).
5.2.	Топологии в пространстве линейных
непрерывных отображений
Пусть Ef F — л. в. п. Через L(E, F) обозначают векторное простран-
ство для всех непрерывных линейных отображений из Е в F. Если F = R
или F = С, то L(E9F) называется сопряженным к Е и обозначается Е'.
Если Е = F, то L(E9 Е) = L(E).
82 (лава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
Пусть a — множество ограниченных подмножеств в Е и Г — множе-
ство полунорм, определяющее топологию в F. Для каждого Т Е L(E, F),
A € а и р Е Г положим
рЛ(Т) = sup р(Тх).
хел
Тогда L(E, F) становится л. в. п. с топологией, определяемой полунорма-
ми (ра)р€Г,Л€<т- Эта топология называется ст-топологией, a L(E,F) с а-то-
пологией обозначается La(E,F).
Наиболее важны следующие а-топологии:
1)	топология простой сходимости, когда а — множество всех конечных
подмножеств из Е. В случае сопряженного пространства Е она на-
зывается слабой топологией и обозначается су(Е1 , Е);
2)	топология компактной сходимости, когда а — множество всех ком-
пактных подмножеств из Е;
3)	топология ограниченной сходимости, когда а — множество всех огра-
ниченных подмножеств из Е; в случае сопряженного пространства
Е' она называется сильной топологией и обозначается /3(Е', Е).
Т. в. п. Е называется квазиполным, если каждое замкнутое ограничен-
ное множество из Е полно.
Если Е — бочечно, F — квазиполно и а покрывает Е, то Lff(E,F)
квазиполно.
Если Н С L(E, F) равностепенно непрерывно, то оно ограничено в
любой а-топологии в L(E, F). Обратно, если Е — бочечное пространство
и Н ограничено в топологии простой сходимости, то Н равностепенно
непрерывно (теорема Банаха—Штейнгауза).
Пусть Е — бочечное пространство, F — отделимое л. в. п. и (Тп) С
L(E,F). Если последовательность (Тпх) сходится к Тх Е F для каждого
х Е Е, то Т Е L(E, F).
Если Е — отделимое л. в. п. и Е' — к нему сопряженное, то на Е
определяются: слабая топология а(Е, Ег), т. е. топология равномерной схо-
димости на всех конечных подмножествах из Ег; (}(Е,Е') — топология
равномерной сходимости на всех слабо ограниченных подмножествах из Е1
и т(Е, Е1) — топология равномерной сходимости на всех слабо компактных
абсолютно выпуклых множествах из Е', называемая топологией Макки.
Топология т(Е, Е1) сильнее а(Е, Е') и слабее /3(Е, Е1) и является силь-
нейшей из всех локально-выпуклых топологий на пространстве Е, сопря-
женное, к которому совпадает с Е'. Такие топологии на Е называются
топологиями, согласующимися с двойственностью между Е и Е'.
Топология бочечного л. в. п. совпадает с т(Е, Е1).
Пусть Е — отделимое л. в. п. Сопряженное к нему Е' с сильной
топологией (3(Е', Е) называется сильно сопряженным к Е.
Задачи и упражнения
83
5.3.	Рефлексивные пространства
Пространство, сопряженное к сильно сопряженному Ef, называется
вторым сопряженным к Е и обозначается Е". Для каждого х € Е форма
j(x) : Е1 Э х {х, х) € С является непрерывной и, следовательно, j(x)
служит элементом Е". Отображение j : Е Э х -> j(x) Е Е" линейно и
инъективно, но не обязательно сюръективно. Пространство Е называется
полу рефлексивным, если j — сюръективно.
Для того чтобы Е было полурефлексивным, необходимо и доста-
точно, чтобы каждое ограниченное множество из Е было относительно
компактно в топологии a(Ef, Е).
В пространстве Е" будем всегда рассматривать сильную топологию
Предположим, что Е — полурефлексивное пространство. Для того
чтобы j : Е -» Е" было изоморфизмом л. в. п, необходимо и достаточно,
чтобы Е было бочечно. Тогда Е называется рефлексивным.
Монтелевским пространством называется каждое отделимое бочеч-
ное, пространство, в котором все ограниченные множества относительно
компактны.
Пусть Е, F — отделимые л. в. п., Er, F' — соответственно к ним
сопряженные и Т : Е -> F — линейное непрерывное отображение. Тогда
существует единственное линейное отображение Т' : Fr -» Е', такое что
{Тх,у} = {х,Т'у} для всех х € Е, у € F'. Это отображение Т1 называ-
ется сопряженным к Т.
Задачи и упражнения
1. Пусть Е и F — л. в. п. и Т € L(E,F). Доказать, что Т Е L(E, Fa),
Т Е L(Eff, Fff). Здесь Еа обозначает векторное пространство Е со слабой
топологией.
2. Пусть Т : Е -> F — непрерывный оператор. Показать, что множество
{х € Е : q(Tx) < с} замкнуто в Е для любой полунормы q на F и любого
с > О'.
3. Пусть Т : Е -» F — непрерывный линейный оператор. Показать, что
Тв — бочка в ТЕ, если в — бочка в Е и Т~'(0) — бочка в Е, если 0 —
бочка в F.
["Доказать утверждения (4-9):
4. Образ каждого ограниченного множества при непрерывном отображе-
нии ограничен.
84 Глава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
5.	Пусть Е — борнологическое л. в. п., Т : Е -> F — линейный оператор,
непрерывный на каждом замкнутом сепарабельном подпространстве из Е.
Тогда Т непрерывен.
6.	(Теорема о неподвижной точке.) Пусть Е — л. в. п., k С Е — выпуклое
компактное множество и пусть зУ С ЦЕ) — коммутативное множество,
содержащее тождественный оператор и произведение своих элементов.
Если ТК С К для всех Т Е *£/, то существует х0 Е К, такой что Тхо = Хо
для всех Т Е s/.
7.	Если Е — конечномерно, то всякий линейный оператор из Е в В,
где F — л. в. п., непрерывен.
8.	Пусть Е = lim ind En, F — произвольное л. в. п., Т : Е -> F линейный
оператор. Для того чтобы Т был непрерывен, необходимо и достаточно,
чтобы Т : En -» F был непрерывен для каждого п.
9.	Пусть Т : Е F — линейный оператор. Если ТЕ — конечномерно
| и kerT замкнуто в Е, то Т — непрерывен.
10.	Пусть Е — пространство Фреше, Т Е L(E,F). Показать, что если
существуют множества Nk, абсолютно выпуклые и замкнутые, такие что:
00
I)	N{ элг2э,..., П ^ = {0};
Л=1
2)	ТЕ + Nk = F для всех к;
3)	для каждой полунормы р и каждого е > 0 существует fc, такое что
Nk П ТЕ С ТВР(О, е), то ТЕ = F.
("доказать следующие утверждения (11-19):
11.	Если Е — пространство Фреше, Т Е L(E,F) и для каждой полу-
нормы р и каждого е > 0 существуют полунорма q и 6 > 0, такие что
ТВр(0,е) D Вд(0, <5), то ТЕ = F.
12. Каждый непрерывный оператор Т : Е F секвенциально непреры-
вен, т. е. сходящиеся последовательности переводит в сходящиеся.
13. Каждый секвенциально непрерывный оператор ограничен, т. е. пере-
водит ограниченные множества в ограниченные.
14. Если Е — борнологическое пространство, то каждый ограниченный
оператор Т : Е -> F непрерывен.
15. Пусть дано бочечное пространство В и л. в. п. F. Если последователь-
ность (Tn) Е L(E, F) сходится в каждой точке х € Е, т. е. Тх = lim Тпх,
П~>00
то TG L(E, F).
Задачи и упражнения
85
16.	Если линейный функционал f обращается в 0 на замкнутом вектор-
ном подпространстве конечной коразмерности0, то f — непрерывен.
17.	Если Е — борнологическое пространство, то каждый линейный функ-
ционал, преобразующий сходящуюся к 0 в Е последовательность в огра-
ниченную в С последовательность, непрерывен.
18.	Если Е — борнологическое пространство, то всякий секвенциально
непрерывный функционал непрерывен.
19.	Всякий секвенциально замкнутый линейный функционал секвенци-
| ально непрерывен.
20.	Л. в. п. Е называется инфрабочечным, если каждая бочка из Е, по-
глощающая все ограниченные множества, есть окрестность нуля в Е.
Показать, что каждое борнологическое и каждое бочечное пространство
инфрабочечно.
21.	Показать, что пополнение инфрабочечного пространства бочечно.
22.	Пусть Е — л. в. п. и т — его топология. Среди локально-выпуклых
топологий на Е, обладающих тем же запасом ограниченных множеств, что
и т, имеется топология т'9 мажорирующая все остальные, и это единствен-
ная из указанных топологий, в которых Е борнологично. Пространство,
получаемое путем наделения Е топологией т', называется борнологи-
ческим пространством, ассоциированным с Е. Для того чтобы линейное
отображение Т: Е -» F (F — л. в. п.) переводило ограниченное множество
из Е в ограниченное множество из F, необходимо и достаточно, чтобы
оно было непрерывно в топологии т. Доказать данное утверждение.
23.	Пусть Е — борнологическое пространство, F — л. в. п., М С L(E, F).
Доказать, что для того чтобы М было равностепенно непрерывным, не-
обходимо и достаточно, чтобы для любой стремящейся к нулю последова-
тельности (жп) С Е множество {(Txn) :T€M,n€N} было ограничено в F.
24.	Доказать, что для того чтобы л. в. п. Е было борнологическим, до-
статочно, чтобы каждое его линейное отображение в банахово простран-
ство F, переводящее всякую сходящуюся к 0 в Е последовательность
в ограниченную последовательность в F, было непрерывно.
["Доказать утверждения (25-32):
25.	Пусть Е — метризуемое векторное пространство. Каждое выпуклое
уравновешенное множество из Е, поглощающее все последовательности,
стремящиеся к нулю, есть окрестность нуля в Е.
° Коразмерностью подпространства называют размерность его алгебраического допол-
нения.
86 Глава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
26.	Линейное отображение метризуемого пространства Е в т. в. п. F, пе-
реводящее каждую стремящуюся к нулю последовательность из Е в огра-
ниченную последовательность в F, непрерывно на Е,
27.	Пусть Е — отделимое т. в. п. и F — метризуемое векторное простран-
ство над К. Тогда непрерывное линейное отображение Т 6 L(E, F), такое
что Г"1 (В) ограничено в Е для любого ограниченного множества В С F,
есть изоморфизм Е в F.
28.	Фактор-пространство инфрабочечного пространства инфрабочечно.
29.	Топологическая прямая сумма инфрабочечных пространств инфрабо-
чечна.
30.	Пусть (Ва)ае/ — бесконечное семейство л. в. п., не сводящихся к О,
и пусть каждое Еа борнологично. Если, кроме того, R7 — борнологично,
то произведение Е = Еа борнологично.
ает
Указание. Использовать задачи 23 и 24.
31.	Произведение любой последовательности (Еп) борнологических про-
странств борнологично.
32.	Если топология метризуемого л. в. п. Е не может быть определена
одной нормой, то в Е не существует счетной фундаментальной систе-
мы ограниченных множеств, т. е. не существует такой счетной системы
ограниченных множеств, что каждое ограниченное множество из Е со-
| держится в одном из множеств этой системы.
33.	Л. в. п. называется относительно ограниченным, если в Е существует
ограниченная бочка. Показать, что для того, чтобы Е было относительно
ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы топология Е мажори-
ровалась топологией, определяемой одной нормой. Тогда в Е существует
фундаментальная система ограниченных множеств, состоящих из бочек.
34.	Доказать, что для того, чтобы пространство Е было борнологическим
и относительно ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы его то-
пология была нижней гранью семейства нормированных топологий в Е.
35.	Пусть Е и F — т. в. п., F — отделимое т. в. п. и а — некоторое
множество ограниченных подмножеств пространства Е. Показать, что
если объединение всех множеств из а тотально в Е, то пространство
Lff(E, F) отделимо.
36.	Пусть Е и F — отделимые л. в. п. и а — множество ограниченных
подмножеств пространства Е. Показать, что если F / {0}, то для от-
делимости La{E,F) необходимо и достаточно, чтобы объединение всех
множеств из а было тотально в Е, т. е. имело плотную линейную оболочку.
Задачи и упражнения
87
37.	Пусть Е и F — л. в. п. и а покрывает Е. Показать, что существует
изоморфизм пространства F на замкнутое подпространство пространства
Lff(E,F). Вывести отсюда, что если L^E.F) — квазиполно, то необхо-
димо F квазиполно.
38.	Пусть Е — л. в. п. Множество а ограниченных подмножеств про-
странства Е называется насыщенным, если оно удовлетворяет следующим
условиям:
1)	каждое подмножество множества М € а принадлежит а;
2)	объединение каждого конечного числа множеств из а принадлежит а;
3) образы множеств из а при всевозможных гомотетиях принадлежат а;
4)	замкнутая абсолютно выпуклая оболочка каждого множества из а
принадлежит а.
Пусть а — произвольное множество ограниченных подмножеств про-
странства Е, — множество объединений всевозможных конечных на-
боров множеств из а, <72 — множество абсолютно выпуклых оболочек всех
множеств из (Г\, сгз — множество образов множеств из <т2 при всевозмож-
ных гомотетиях, и, наконец, а — множество всех подмножеств множеств
из аз. Показать, что а — наименьшее насыщенное множество ограни-
ченных подмножеств из Е, содержащее а, и что а-топология в L(E,F)
совпадает с а-топологией.
39.	Пусть а — насыщенное множество ограниченных подмножеств про-
странства Е и а1 — содержащее а множество ограниченных подмножеств
из Е, отличное от а. Показать, что а'-топология в Ьа(Е, F) сильнее а-то-
пологии.
40.	Пусть Е и F — отделимые л. в. п. и а — насыщенное множество
ограниченных подмножеств из Е, покрывающих Е. Показать, что для то-
го, чтобы Ь(г(Е, F) было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы
существовала последовательность (Мп) множеств из а, такая что каждое
множество из а содержалось бы в одном из Мп и чтобы F было метри-
зуемо.
41.	Даны те же условия, что в задаче 40. Показать, что для того чтобы
L^E, F) было нормируемым, необходимо и достаточно, чтобы F было
нормируемым и существовало такое М Е а, что каждое множество из а
содержалось бы в образе множества М при некоторой гомотетии.
42.	Пусть Е — т. в. п. над R (над С). Показать, что для каждого множе-
ства а — ограниченных подмножеств из R (из С), не сводящегося к {0},
пространство La(R, Е) (соответственно La(C,E)) канонически изоморф-
но Е.
88 Глава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
43.	Доказать, что для каждого целого п > 0 и каждого покрытия а про-
странства Rn (соответственно Сп), образованного ограниченными мно-
жествами, пространство Lff(Rn,E) (соответственно La(Cn,E)) изоморф-
но Еп.
44.	Пусть Е\, Ei, F — л. в. п., ip : Е\ -» Е2 — непрерывное линейное
отображение и (соответственно 02) — множество ограниченных под-
множеств пространства Е\ (соответственно Е2), такое что ^(ai) С 02. По-
казать, что u -» ио<р есть непрерывное линейное отображение ЬЦЕ2, F)
bLM,F).
45.	Пусть Е и F — л. в. п., М — векторное подпространство в Е,
<р : Е -» Е/М — каноническое отображение и 0- — множество ограничен-
ных подмножеств пространства Е. Показать, что отображение и -» и о
есть изоморфизм пространства ЦЕ/М,Р), наделенного <р(<т)-топологи-
ей, на подпространство пространства La(E,F), образованное всеми не-
прерывными линейными отображениями Е в F, аннулирующимися на М.
46.	Пусть (EQ)QeA ~~ семейство локально-выпуклых пространств, Е —
векторное пространство (над тем же полем скаляров, что и все Еа) и
hQ : Eq -» Е — линейное отображение для каждого а Е А. Наделим Е
сильнейшей локально-выпуклой топологией, в которой непрерывны все
hQ. Пусть (TQ для каждого а 6 А — множество ограниченных подмножеств
пространства Еа и ст — объединение множеств ha{(Ta) — ограниченных
подмножеств Е. Показать, что, каково бы ни было л. в. п. F, 0--топология
в L(E, F) есть слабейшая топология, в которой непрерывны линейные
отображения L(E, F) В и -» ио hQ G Laa(EQi F). В частности, если Е —
топологическая прямая сумма семейства (EQ)QeA (каждое Еа понимается
как подпространство пространства Е), то произведение ЬЦЕа, F)
аеА
канонически изоморфно пространству La(E,F), где а — объединение
множеств 0*^.
47.	Пусть Е, F\ и F2 — т. в. п. и гр : F\ -» F2 — непрерывное линей-
ное отображение F\ в F2 и а — множество ограниченных подмножеств
пространства Е. Показать, что линейное отображение La(E, F\) Эи-»
гр о и Е 1ЦЕ, F\) непрерывно.
48.	Пусть Е — т. в. п., а — множество его ограниченных подмножеств,
(Ра)аеА — семейство л. в. п., F — векторное пространство (над тем же
полем скаляров, что Е и GQ) и да : F -» Ga — линейное отобра-
жение для каждого а € А. Наделим F слабейшей топологией, в ко-
торой непрерывны все да. Показать, что 0--топология в L(E,F) есть
слабейшая из топологий, в которых непрерывны линейные отображения
Задачи и упражнения
89
L(E, F) Э u -»gaou € La(E, GQ). В частности, при F = JJ Ga произве-
а€Л
дение La(GQ) канонически отождествим© с La(E,F).
aeA
("Доказать утверждения (49-57):
49.	В отделимом л. в. п. каждое секвенциально полное ограниченное аб-
солютно выпуклое множество поглощается всякой бочкой.
50.	Если Е — секвенциально полное отделимое л. в. п., то, каково бы ни
было локально-выпуклое пространство F, каждое множество из L(E, F),
ограниченное в топологии простой сходимости, ограничено во всякой a-то-
пологии.
51.	Каждое инфрабочечное пространство, в котором всякое ограничен-
ное замкнутое абсолютно выпуклое множество секвенциально полно, —
бочечно.
52.	Каждое ультраборнологическое пространство борнологично и бочечно.
Л.в. п. Е называется ультраборнологическим, если каждое выпуклое мно-
жество в Е, поглощающее все секвенциально полные ограниченные аб-
солютно выпуклые множества, есть окрестность нуля в Е.
53.	Пусть Е — л. в. п., в котором замкнутая абсолютно выпуклая обо-
лочка множества точек всякой последовательности, стремящейся к нулю,
секвенциально полно. Если Е — борнологично, то оно ультраборноло-
гично.
54.	Каждое квазиполное борнологическое пространство ультраборноло-
гично.
55.	Каждое пространство Фреше ультраборнологично.
56.	Топологическая прямая сумма любого семейства ультраборнологиче-
ских пространств ультраборнологична.
00
57.	Произведение Е =	последовательности ультраборнологических
I	п=о
I пространств ультраборнологично.
58.	Пусть Е — ультраборнологическое пространство. Показать, что суще-
ствуют семейство (Еа)аед банаховых пространств и для каждого а € А —
линейные отображения fQ : Еа -» F, такие что Е =	и топо-
а€А
логия в Е есть сильнейшая локально-выпуклая топология, при которой
непрерывны все fQ.
90 Глава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
59.	Пусть Е — инфрабочечное пространство и F — л. в. п. Показать, что
каждое множество из L(E,F), ограниченное в топологии ограниченной
сходимости, равностепенно непрерывно.
60.	Пусть Е — борнологическое пространство и а — множество его
ограниченных подмножеств, содержащее все компактные множества. По-
казать, что если отделимое л. в. п. F квазиполно (соответственно полно),
то и La(E,F) квазиполно (соответственно полно).
61.	Пусть Е — отделимое л. в. п., F — пространство Фреше, (Fn) —
последовательность пространств Фреше: Т 6 L(F, E),Tn Е L(Fn, Е). По-
казать, что если
ад с U ад),
n€N
то существует номер п, такой что T(F) С Tn(Fn).
62.	Пусть Е — отделимое л. в. п., (Fn) — последовательность пространств
Фреше; Tn € L(FnfE)f АСЕ — полное абсолютно выпуклое ограничен-
ное множество, содержащееся в Tn(Fn). Показать, что существует но-
n€N
мер п, такой что А С Tn(Fn).
63.	Пусть А и В — произвольные множества, (са^)(а^)€4Хв — произ-
вольное семейство вещественных чисел, ббльших или равных нуля, и G -
векторное пространство всех семейств х = (жа)а€л вещественных чисел,
таких что
рр(х) = 52	< +°°
для каждого /3 Е В; р@ — полунормы на G. Для того чтобы G, наделенное
топологией, определяемой этим семейством полунорм, было отделимым,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого a G А существовало по край-
ней мере одно /3, такое что cQ,p > 0.
Показать, что если G отделимо, то оно полно и каждая непрерывная
линейная форма на G однозначно представима в виде х uQxQ, где
(ua)aeA — семейство вещественных чисел, обладающее тем свойством,
что по крайней мере для одного индекса /3 € В существует a > 0, такое
что |tza| < acQp для всех а, и обратно.
("Доказать утверждения (64-69):
64.	Пусть Е, F - отделимые л. в. п., a — множество подмножеств
пространства Е. Для того чтобы а-топология в L(E,F) согласовалась
со структурой векторного пространства, необходимо и достаточно, чтобы
каждое множество из ст было ограничено в В.
Задачи и упражнения
91
65.	Пусть Е — отделимое л. в. п. Для того чтобы в сопряженном про-
странстве Е* существовало поглощающее слабо ограниченное множество,
необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е мажорирова-
лась нормированной топологией.
66.	Пусть Е — отделимое л. в. п. Для того чтобы в Е' существовало
тотальное в слабой топологии равностепенно непрерывное множество,
необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е мажорировала
нормированную топологию.
67.	Пусть Е — отделимое л. в. п. Для того чтобы в Е' существовало
поглощающее равностепенно непрерывное множество, необходимо и до-
статочно, чтобы топология в Е могла быть определена одной нормой.
68.	Пусть в пространстве Е1, сопряженном к отделимому л. в. п. Е, суще-
ствует счетное множество, всюду плотное в топологии а(Е', Е). Показать,
что тогда топология пространства Е мажорирует метризуемую локально-
выпуклую топологию.
69.	Доказать, что сильная топология /?(^, Е) пространства Е', сопряжен-
ного к отделимому л. в. п. Е, метризуема тогда и только тогда, когда в Е
| существует счетная фундаментальная система ограниченных множеств.
70.	Когда сильная топология в Ег нормируема?
71.	Каким должно быть л. в. п. Е, чтобы слабая топология сопряженного
пространства Ег была метризуемой?
72.	Каким должно быть л. в. п. Е, чтобы топология а(Е', Е) на Е' была
нормируемой?
73.	Пусть Е — отделимое л. в. п., Е1 — его сопряженное. Показать, что
сопряженное к пространству Е, наделенному топологией a(E,Ef), сов-
падает с Е1. (Топология (т(Е'9 Е) согласуется с двойственностью между Е
и Е'.)
["Показать, что справедливы утверждения (74-84):
74.	Сильная топология /3(Е', Е) в Е1 не обязательно согласуется с двой-
ственностью между Е1 и Е.
75.	Если Е — квазиполное отделимое л. в. п., то каждое ограниченное
подмножество сопряженного пространства Е' сильно ограничено.
76.	Пространство Е', сопряженное к полурефлексивному пространству Е,
бочечно в топологии Д(^', Е).
_____________________________ Ответы ______________________________
70. Если существует ограниченное множе-	71. dim^=|N|.
ство А, такое что семейство (АЛ)дес 72. dim^< +оо.
образует базу ограниченных множеств.
92 Глава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
77.	Для полурефлексивности пространства Е необходимо и достаточно,
чтобы каждое выпуклое сильно замкнутое множество в Ег было слабо
замкнуто.
78.	Полурефлексивное нормированное пространство рефлексивно.
79.	Л. в. п., сопряженное к рефлексивному, рефлексивно.
80.	Сильно сопряженное к монтелевскому пространству есть монтелев-
ское пространство.
81.	Нормированное монтелевское пространство конечномерно.
82.	Для того чтобы в сопряженном пространстве Е1 сильная топология
совпадала со слабой, необходимо и достаточно, чтобы топология борно-
логического пространства, ассоциированного с Е (см. задачу 22), была
сильнейшей локально-выпуклой топологией в Е.
83.	Для того чтобы сильная топология в Е1 совпадала с т(Е',Е), необ-
ходимо и достаточно, чтобы Е было полурефлексивно.
84.	Если Е — инфрабочечно, то для того, чтобы сильная топология в Е'
совпадала с топологией компактной сходимости, необходимо и достаточ-
но, чтобы Е было монтелевским.
85.	Пусть Е — метризуемое л. в. п. и Е1 — его сильное сопряженное.
Показать, что если Е' метризуемо, то Е. нормируемо.
86.	Показать, что произведение и топологическая прямая сумма монте-
левских пространств являются монтелевскими пространствами.
87.	Показать, что строгий индуктивный предел возрастающей последова-
тельности монтелевских пространств есть монтелевское пространство.
88.	Пусть Е — метризуемое л. в. п. и Е' — его сильно сопряженное. До-
казать, что Е" — полное метризуемое пространство в сильной топологии
/3(Я", Е'\
89.	Пусть Е и F — отделимые л. в. п., Т: Е-» F — непрерывное линейное
отображение. Показать, что Т' Е L(Fp,Ey).
90.	Привести пример локально-выпуклых пространств Е и F и отобра-
жения Т : Е -» F, таких что Т непрерывно при топологиях (т(Е, Е') и
a(F,F,)i но не является непрерывным при исходных топологиях.
91.	Пусть Е и F — пространства Фреше. Доказать равносильность сле-
дующих свойств линейного отображения Т : Е -> F:
_____________________________ Ответы ______________________________
90.	Например, Е — I2 с топологией
<т(Е, Er), F = 12 с нормированной
топологией, Т = I: Е F.
Задачи и упражнения
93
1)	Т — гомоморфизм Е на ТЕ при исходных топологиях в Е и F, т.е.
Т непрерывно и открыто;
2)	Т — гомоморфизм Е на ТЕ при топологиях a(E,Er) и a(F, Fr);
3)	Т' — гомоморфизм F' на T'(F') при слабых топологиях a(Frf F) и
<тСЕ',Я);
4)	ТЕ замкнуто в F;
5)	T'(F') замкнуто в Е' в топологии ЦЕ1, Е).
92.	Пусть Е и F — отделимые л. в. п. Для каждого подмножества Н С
L(E,F) обозначим через Н1 множество отображений из F' в Е1, сопря-
женных ко всевозможным отображениям ТЕН. Показать, что если Е —
бочечно, то следующие свойства равносильны:
1)	Н ограничено в L(E,F) в топологии простой сходимости;
2)	Н равностепенно непрерывно;
3)	Н' ограничено в L(F', Е1) при наделении F1 сильной, а Е1 слабой
топологиями;
4)	Н' ограничено в L(F', Е') при наделении F' и Е' сильными топо-
логиями.
93.	Используя обозначения задачи 91, показать, что если Е — инфрабо-
чечно, то следующие свойства эквивалентны:
1)	Н равностепенно непрерывно;
2)	Нг равностепенно непрерывно, когда F1 и Е1 наделены сильными
топологиями;
3)	Н ограничено в L(E, F) в топологии ограниченной сходимости;
4)	Н1 ограничено в топологии простой сходимости в ЦЕ1, Е1), когда F1
и Ег наделены сильными топологиями.
|~Какие из следующих функционалов непрерывны на ^(R) (94-97)?
94.	<5(^) = у>(0).
95.	^akDk6.
Л=1
4-00	-€	4-00
9в. V, /*>*= !!„,(/+ [№<Ь.
J X €-*+0\J J / X
-00	-00	-€
____________________________ Ответы _____________________________
94. Да.	96. Да.
95. Да.
94 (лава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
Vt f dx = „(/ + 7) dx.
-00	-00	~€
00
98.	При каких ak ряд У^ akDkS сходится в пространстве D\R)2
k=\
99.	Какие из функционалов задач 94-98 непрерывны на <^(R)?
["Доказать сходимость рядов в ^'(R) при любых а* (100-101):
100.	У^ ak6(x-k).
k=-oo
[101. 52 akd{k)(x-k).
k—-oo
102.	Пусть (ап) — последовательность действительных чисел, стремяща-
яся к оо, (сп) — последовательность комплексных чисел. Показать, что
последовательность распределений (CnSan) сходится к 0 в ^(R) для силь-
ной топологии.
00
103.	Доказать, что если |а#| < A|fc|w +В, то ряд У^ ake'kx сходится
к=-оо
в </(R).
[Доказать, что в &’(R) выполняются равенства (104-105):
. оо	-Ьоо
1о4-	2^ S eikX= И
к=-оо	к=-оо
[ 105. - У^ cos [(2fc + 1)ж] = У^ (-1)*<?(ж - А?7г).
А:=1	к=-оо
["Доказать утверждения (106-110):
106.	Оператор дифференцирования непрерывен в пространстве <^(Q).
107.	Оператор дифференцирования непрерывен в пространстве ®(Q).
108.	Билинейное отображение (умножение)
<^(Q) х ^(Q) Э (<р,	^(Q)
непрерывно для любого к € N = N U {оо}.
____________________________ Ответы _______________________________
97. Да.	99. 94, 97 — да; 95, 96 — нет; 98 — нет,
98. Нет, если бесконечное множество	если бесконечное множество 0.
о>к £ 0.
Задачи и упражнения
95
109.	Билинейное отображение (умножение)
раздельно непрерывно.
110.	Пусть к € N; для всякого мультииндекса a € N*, |а| < к отображение
Da : <^(Q) -4 <^’|a|(Q)
| линейно и непрерывно.
111.	Используя обозначения задачи ПО, показать, что отображение
Da : @*(Q) -4 ^-|a|(Q)
линейно и непрерывно.
112.	Доказать непрерывность линейного отображения
<^(Rn) Э у>(х) -4 <р(х + у) е <^(R2n).
113.	Пусть у? — функция, определенная на Rn; для каждого у € Rn по-
ложим (ту(р)(х) = <р(х -у), х € Rn; Ту называется оператором сдвига. По-
казать, что для каждого к G N и для каждого а € Rn отображение сдвига
та : <^*(Rn) -4 <£*(Rn) непрерывно.
["Доказать утверждения (114-125):
114.	Для каждого к Е N и для каждого а € Rn отображение сдвига
та : &k(Rn) -4 <$k(Rn) непрерывно.
115.	Пусть к, h 6 N, к < h, тогда С ^,Л(Н), т.е. ^'*(Q) канони-
чески и непрерывно вложено в ^,Л(П).
116.	Для всех h, к € N, к < h существует каноническое отображение
Z*(Q) -» <£уЛ(Н), которое непрерывно.
117.	Вложение <^(Q) С ^(Q) непрерывно.
118.	Для каждого f €^(Q) и Те где &EN, определим (ip, fT) =
= для всех <р е &к(&). Тогда отображение
0'*(Q) Э Т -4 fT € 0'*(Q)
непрерывно (при наделении ^'*(Q) как слабой, так и сильной топологией).
119.	При обозначениях задачи 118 отображение
<^(Q) Э f -4 fT е &k(ty
непрерывно при наделении ^'*(Q) сильной топологией.
96 Глава 5. Операторы в топологических векторных пространствах
120.	Отображение
®(R) Э у> х<р 6 @(R)
линейно и инъективно и его образ Н есть замкнутая гиперплоскость
в 0(R).
121.	Отображение
®(R) Э р -> хр е ®(R)
является изоморфизмом @(R) на Н.
122.	Отображение
0'(R) Э Т хТ € 0'(R)
сюръективно и ядро этого отображения — одномерное подпространство
в ^'(R), порожденное мерой Дирака <5.
123.	Для любого мультииндекса а отображение
Da :	Э Т -+ DaT € ^(П)
непрерывно при наделении @'(0) слабой или сильной топологией.
124.	Отображение
0(R) Э <р -> е 0(R)
ax
инъективно и его образ Н есть замкнутая гиперплоскость коразмерно-
сти 1.
125.	Отображение
dT
gj'(R) Э Т -> — 6 ®'(R)
dx
сюръективно и его ядро — одномерное подпространство, порожденное
| функцией 1.
Глава 6
Нормированные векторные пространства
Пусть Е — векторное пространство над R или Сир- полунорма
на Е. Полунорма р называется нормой, если р(х) = 0 => х = 0. Норму
вектора х чаще всего обозначают ||ж||. Векторное пространство с заданной
в нем нормой называется нормированным. Топология, определяемая нор-
мой, совпадает с топологией, определяемой метрикой р(х,у) = ||ж - у||.
Нормированное пространство называется банаховым, если оно полно как
метрическое по указанной метрике.
Две нормы || || j, || ||2 на одном и том же пространстве Е называются
эквивалентными, если они определяют одну и ту же топологию.
Если F — замкнутое подпространство нормированного простран-
ства Е, то фактор-пространство Е/F является нормированным с нормой
ЦХ|| = inf и
хЕЛ
для каждого X € Е/F.
Теорема Ф. Рисса. Локально-компактное нормированное пространство
конечномерно.
Пусть Е — нормированное пространство и Е' — его сопряженное,
т. е. векторное пространство всех непрерывных линейных функционалов
на Е, наделенное нормированной топологией с нормой
||®'|| = sup К®, ж')|.
IkllCi
Существует естественная изометрия i: Е Э х -tx G Е" нормирован-
ного пространства Е в Е", где х(х') = {х, х) для всех х' € Е1. Если эта
изометрия сюръективна, то нормированное пространство Е называют ре-
флексивным и часто, отождествляя Е с Е" посредством г, пишут Е = Е".
Последовательность (хп) элементов нормированного пространства Е
называется базисом Шаудера, если каждому х G Е соответствует един-
ственная последовательность (Лп) скаляров, такая что
00
Ж = ХпХп,
п=1
и при этом коэффициенты разложения Хп непрерывно зависят от х.
98
Глава 6. Нормированные векторные пространства
Пара последовательностей (xn), xn Е Е и (ж'п) Е Е* 1 11 называется биор-
тогональной системой нормированного пространства Е, если (ж, х) = dij.
Пусть F — подмножество нормированного пространства Е, тогда
множество F1 = {х Е Е': x(F) = 0} называется аннулятором или ортого-
нальным дополнением F.
Банахово пространство Е называется равномерно выпуклым, если из
Iknll = llj/nll = 1, |жп + 2/n|| -» 2 вытекает, что |a?n - j/n|| -» 0.
Задача а упражнения
[Доказать утверждения (1-8):
1. Всякое нормированное пространство является топологическим вектор-
ным.
2. Замыкание открытого шара в нормированном пространстве есть зам-
кнутый шар.
3. Внутренность замкнутого шара в нормированном пространстве есть
открытый шар.
4. Открытый шар в нормированном пространстве гомеоморфен всему
пространству.
5. Замкнутый (открытый) шар в нормированном пространстве — замкну-
тое (открытое) множество.
6. Замкнутый шар в нормированном пространстве — выпуклое, уравно-
вешенное, поглощающее множество (бочка).
7. Выпуклость шара в нормированном пространстве эквивалентна нера-
венству треугольника.
| 8. В банаховом пространстве каждая бочка содержит некоторый шар.
["Показать, что векторные пространства — нормированные относительно
указанных норм (9-20):
z п	’
9. R", И=
Н=1
/ ОО	X 1/р
10.	1Р,	||а:||	=	(	1®*Н	(1Ср<оо).
Н=1	'
11.	(°°,	||а:|| =	sup |®J.
k
12. с, | |ж| I = sup |ж*|.
k
Задачи и упражнения
99
13.	/о°, ||ж|| = sup |ж*|.
к
Г г \|/р
14.	Lp(a,b), 1И1 = I / \x(t)\pdt\ .
a
15.	C[a, Ь], ||ж|| = sup |ж(0|.
a^t^b
16.	L°°(a,b), ||ж|| = esssup |ж(<)|.
a^&
17.	B(R), ||ж|| = sup |z(0|.
iGR
18.	C'[a,b], ||®|| = 52 m^ |®(fc)(t)|.
t=o
19.	Lip[a, Ь], ||ж|| = sup	+ sup |ж(0|
(M)G|a,&| x |a,&| t — S i€|a,&|
20.	H(D) — множество аналитических функций в единичном круге В,
| непрерывных в D, ||ж|| = max |ж(^)|.
21.	Показать, что I™ — замкнутое подпространство в с, а с — замкнуто
в/00.
22.	Доказать, что С1 [а, 6] — незамкнутое подпространство в С[а, &].
23.	При каких р, q lp С lql
24.	Показать, что Lip[a, Ь] — подпространство в С[а, Ь].
25.	Показать полноту каждого из пространств в задачах 9-20.
ь
26.	Доказать, что С[а, 6] не полно по норме ||ж||1 = J |я(£)| dt.
а
Ъ
27.	Проверить, что нормы ||ж||0 = sup |я(£)| и ||ж||| = / |я(£)| dt не эк-
J
а
вивалентны на С[а, Ь].
28.	Проверить, что нормы ||ж||иР|а,д| и lk||c|a,6| на Lip[a, 6] не эквива-
лентны.
 Ответы ----------------------------------
23. lp С Iя, если р q.
100
Глава 6. Нормированные векторные пространства
29.	Прямо показать, что замкнутый единичный шар с центром в нуле
не компактен по норме || • ||иР|а,&| в Lip[a, Ь].
30.	Показать, что нормы sup(||®i||, ||ж2||), Ikill 4- ||ж2||, \/||Я1||2 4- ||ят2||2
эквивалентны на Е х Е.
31.	Доказать, что если две сравнимые нормы на векторном пространстве
обращают его в банахово пространство, то эти нормы эквивалентны.
32.	Используя задачи 31 и 27, дать другое решение задачи 26.
("Доказать утверждения (33-38):
33.	Конечномерное пространство полно.
34.	На Rn все нормы эквивалентны.
35.	Конечномерное подпространство нормированного пространства зам-
кнуто.
36.	Всякое нормированное пространство над R изометрично подпро-
странству С(К) при подходящем компакте К.
37.	Пусть Е — нормированное пространство, разлагающееся в алгебраи-
ческую прямую сумму Е = F + G. Тогда следующие свойства эквивалентны:
1)	Е = F ф G — топологическая прямая сумма;
2)	существует непрерывный оператор р : Е -» F, р1 = р9 F = р(Е),
такой что G = (1 - р)(Е)\
3)	F-+E (G-+E) — вложение обладает непрерывным левым обратным;
4)	F, G — замкнуты и Е -» Е/F (Е -» Е/G) имеют непрерывный пра-
вый обратный.
| 38. Каждое конечномерное подпространство топологически дополняемо.
39. Пусть д — непрерывная числовая функция на [0, 1]. Предположим,
что существует последовательность полиномов ограниченной степени, ко-
торая равномерно сходится к д на [0, 1]. Показать, что д — полином
на [0, 1].
40.	Показать, что топологически дополняемое подпространство замкнуто.
41.	С помощью задач 38 и 40 решить задачу 35.
42.	Пусть F — замкнутое подпространство в банаховом Е, такое что E/F
изоморфно Z1. Доказать, что тогда F — топологически дополняемо.
43.	Пусть Е — банахово, Е = F + G. Доказать, что если F и G замкнуты,
то Е = F® G.
44.	Доказать, что замкнутое подпространство конечной коразмерности
(размерности алгебраического дополнения) топологически дополняемо.
Задачи и упражнения
101
1	1
—I— — 1.
Р	<7
["Показать, что (45-50):
45.	(R”)' = Rn.
46.	(Zp)' = I9, - + - =
р q
47.	(l0)'=l'.
48.	(/')'= l°°.
49.	(c)'=f.
[50. (Lp)' = L9,
51.	H — замкнутая гиперплоскость с уравнением u(x) = 0 в норми-
рованном пространстве Е, u : Е -> R — непрерывная линейная форма.
Показать, что V a € Е
, гм
Р( ’ } ||«Н ’
52.	Пусть Н — гиперплоскость с уравнением
00
«(®) = 52 =0
п=0
в пространстве I™. Показать, что Н — замкнуто и если a € Я, то не су-
ществует b е Н, такого что p(a, Н) = р(а, Ь).
53.	Пусть Е — действительное нормированное пространство, А С Е —
множество, такое что int А / 0, тогда опорная гиперплоскость к А зам-
кнута.
54.	Пусть А — компактное множество в Е, Е — действительное нор-
мированное. Показать, что для любой однородной замкнутой гиперплос-
кости Н, определяемой уравнением и(х) = 0, существуют две опорные
гиперплоскости множества А, определяемые равенствами вида и(х) — а,
которые, вообще говоря, могут совпадать. Расстояние между этими ги-
перплоскостями не превосходит диаметра множества А.
55.	Показать, что замкнутый шар В[0, 1] в I™ не имеет опорной гипер-
плоскости, определяемой уравнением
00
«с*) = 52 = а-
п—0
Сравнить с задачей 52.
102
(лава 6. Нормированные векторные пространства
(-Проверить, сепарабельны ли пространства (56-63):
56.
57.	lp (1 Ср < оо).
58.	Г°.
59.	R”.
60.	Lp.
61.	L°°.
62. С[о, Ь].
|_63. С1 [а, &].
64. Пусть (жп) — базис банахова пространства Е\ F — пространство всех
00
таких последовательностей у = (ап), что	сходится. Определим
в F норму
п=1
IIj/IIf = sup
n
Доказать, что тогда F — банахово.
00
Y^OlkXk
k=\
E
65. Пусть (жп) — базис банахова пространства Е и для элемента
00
Ж =
П=1
положим xn(x) = an, n = 1, 2,... . Показать, что тогда линейные функ-
ционалы хп непрерывны.
66. Показать, что ни один из элементов базиса не принадлежит замыка-
нию линейной оболочки остальных элементов этого базиса.
67. Пусть (жу), (жу) — биортогональная система банахова простран-
ства Е. Показать, что если
sup
п
< 00
для каждого х' 6 Е', то для каждого элемента ж из замкнутой линейной
оболочки последовательности (ж,) имеет место равенство
00
Ж =	Ж|*(ж)Ж|*.
Задачи и упражнения
103
("Доказать утверждения (68-75):
68.	Если
sup ^2xi(x)xi < 00
для каждого х G Е, то для каждого х из замкнутой линейной оболочки
последовательности (ж') имеет место равенство
х = x(Xi)Xi.
69.	Если Е — банахово пространство, F С Е — замкнутое подпростран-
ство, то E/F — банахово.
70.	Фактор-топология на E/F — самая сильная топология, при которой
Е -» Е/F непрерывно.
71.	Если Е — банахово, то Е -» Е/F отображает открытый единичный
шар из Е на открытый единичный шар в E/F.
72.	Пусть Е — нормированное пространство, не предполагаемое полным,
и F — замкнутое подпространство. Тогда если F и Е/F полны, то Е —
полно.
73.	Если Е — нормированное пространство, F С Е — подпространство,
то отображение Е1 /FL Э х + F1 -» z € F', определяемое равенством
(z, z} = (z, х} V z 6 F, является изометрическим изоморфизмом.
74.	Если F — замкнутое подпространство банахова пространства Е, то
отображение F1 Э х -> х € (Е/F)', определяемое равенством (ж+F, х') =
= {х,х}, является изометрическим изоморфизмом.
75.	Если Е — рефлексивное банахово пространство, F — замкнутое под-
пространство, то F11 = F. Справедливо ли это, если Е не рефлексивно?
76.	Пусть Е — рефлексивное банахово пространство, F — замкнутое его
| подпространство. Показать, что F и Е/F рефлексивны.
77.	Пусть Е — банахово, F — подпространство в Е причем F и E/F
рефлексивны. Показать, что тогда Е рефлексивно.
78.	Пусть Е — банахово пространство, F — плотно в Е. Показать, что
существует естественный изоморфизм Ег на F'.
79.	Показать, что если Е равномерно выпукло и хп -> х в слабой топо-
логии Е (см. гл.6) ||жп|| -> ||ж||, то хп -> х в нормированной топологии.
_____________________________ Ответы _____,________________________
75. Нет.
104
Глава 6. Нормированные векторные пространства
80.	Пусть К — замкнутое выпуклое множество в равномерно выпуклом
банаховом пространстве. Показать, что тогда f(x) = ||ж|| в точности один
раз достигает своего минимума на К.
81.	Показать, что топология на Е\ х Е2, определяемая одной из норм
задачи 30, — топология Тихонова.
82.	Пусть К С Е — компакт и х Е К. Доказать, что существует элемент
из К, на котором р(х, К) достигает своего минимума. Этот элемент един-
ствен, если К строго выпукло. Если К не строго выпукло, то найдется
х0 € Е, что d(xQ, К) будет достигать своего минимума в нескольких точ-
ках. (Множество К называется строго выпуклым, если внутренние точки
отрезка с концами на границе не лежат на границе.)
83.	В пространстве С[0, 1] задано подпространство L — {х : ж(0) = 0}.
Показать, что для жо(О = 1 существует не единственный элемент z € L,
такой что р(ж0, L) = р(х0, z). Найти все z 6 L, для которых справедливо
это равенство.
84.	Пусть L — замкнутое подпространство нормированного простран-
ства Е, L / Е. Доказать, что для любого е > 0 существует у с ||^|| = 1,
такой что р(у, L) = inf ||ж - у\\	1 - е.
x€L
85.	Показать на примере
о	о
Я = С[-1,1], L = ^x(t): J x(t) dt = J x(t) dt^,
-1	I
что постоянную 1 - e в задаче 84 нельзя заменить на 1.
86.	В пространстве R2 с нормой ||я|| = maxd^J, |ж2|} найти подпростран-
ство L и точку xq, такие что ближайший элемент до L не единственный.
["Доказать утверждения (87-91):
87.	Если замкнутое подпространство в С[0, 1] состоит из дифференциру-
емых функций, то оно конечномерно.
88.	Нормы
11®Н = max |ж(01; 11®Н = отах {|ж(01 + 1®'(01}
не эквивалентны ни на каком бесконечномерном подпространстве.
89.	Если QCR” - ограниченная область, то L2(Q) С L*(Q).
90.	Ни одно из включений L2(Rn) С L[(Rn), L{(Rn) С L2(Rn) не имеет
места.
 Ответы -----------------------------
86. L = {(zb0):Z| ER}, а?0 = (0,1).
Задачи и упражнения
105
91.	Пусть Q С R” - ограниченная область. При любом заданном е > О
и любой f Е L2(Q) найдется такая Д 6 C(Q), что J \f - Д|2 dx < е.
п
92.	Пусть р(х) — непрерывная положительная функция в Q. Обозначим
£р(Н) — множество измеримых в Q функций, таких что p(x)\f(x)\p Е L} (Q).
Показать, что LP(Q) — банахово пространство с нормой
11/11 = ( f Р(*)1/(аО1Р dx^
L
93.	Доказать, что Z2(Q) С Lp(fi), если р(х) ограничено в Q.
94.	Доказать, что Lp(ft) С L2(ty, если р(х) pQ > 0.
95.	Пусть xn(t) = e'nt (-к t тг). Показать, что xn(t) -» 0 в слабой
топологии Lp(-ir, я), но не в нормированной.
96.	Пусть Е С Z/2(—тг, я) состоит из множества функций	+
+	me'nt, т.п — целые, 0 < т < п. Е\ = {д € £2(-тг, тг) : д — предел
слабо сходящейся последовательности из Е} — слабое секвенциальное
замыкание множества Е:
1) найти Е|;
. 2) найти Eff — слабое замыкание множества Е;
3) показать, что 0 € Еа. О Е Е\. хотя 0 Е (Ej)j — слабому секвенциаль-
ному замыканию Е\.
97. Пусть С(К) — банахово пространство непрерывных комплексных
функций на компактном отделимом пространстве с нормой
Н/Нс(К) = sup |/(х)|.
хек
Для каждого х Е К определим функционал 6Х Е (C(7f))/, полагая ix(f) =
= /(ж). Показать, что отображение К 3 х -» dx Е (С(К))1 есть гомеомор-
физм, если в (С(К))1 задать слабую топологию.
98. Пусть Е — банахово пространство, и последовательность (жп) Е Е.
00
такая что ||жп|| = М < +оо. Доказать, что существует х Е Е. такое
П=1
00
ЧТО 52Хп и ii^ii м-
П=1
Глава 7
Линейные операторы и функционалы
в нормированных пространствах
Пусть Е и F — нормированные пространства и Т : Е -» F —
линейное отображение. Непрерывность оператора эквивалентна ограни-
ченности. Оператор Т называется ограниченным, если существует с > О,
такая что
I|T®IIf c||®||F.
Для того чтобы линейный оператор Т : Е -> F обладал непрерывным
обратным на своем множестве значений Im Т, необходимо и достаточно
существование константы с > 0, такой что выполняется неравенство
11®11я c||T®||F.
Топология равномерной сходимости в L(E, F) определяется нормой
Ill’ll^. F) = sup ||T®||F = sup 5-Tjt
||я|Ы
Если F — банахово пространство, то ЦЕ, F) — банахово простран-
ство.
Теорема Банаха—Штейнгауза. Пусть Е — банахово пространство,
a F — нормированное и (Тп) С ЦЕ, F). Если sup ||Тпж|| < оо для каж-
п
дого х € Е, то
sup||Tn||L(F,F) < 00.
п
Теорема Банаха об открытом отображении. Пусть Е и F банаховы
пространства и Т € ЦЕ, F). Если Т сюръективно, то Т открыто.
Линейный непрерывный оператор Т : Е -» F называется проектором,
если Т2 = Т.
Если Т € ЦЕ, F), то Т' Е ЦЕ1, Е1) и ||T||L(F,F) = ||T'||L(F^9.
Пусть Е — банахово пространство, Е1 — его сопряженное.
Задачи и упражнения
107
Теорема Банаха—Алаоглу. Единичный шар в Е1 компактен в тополо-
гии а(Е', Е).
Пусть Е — банахово пространство над полем С и ТЕ ЦЕ).
Резольвентным множеством р(Т) оператора Т называется множество
комплексных чисел Л, для которых (Л/ -Т)~[ существует, определен на
всем Е и непрерывен.
Спектром оператора Т называется множество а(Т) = С\р(Т). Функ-
ция 2?(Л, Т) = (Л1-Т)-1, определенная на р(Т), называется резольвентой
оператора Т. Спектр замкнут.
Точечным спектром стр(Т) оператора Т называется множество соб-
ственных значений оператора Т. Число Л называется собственным значе-
нием оператора Т, если существует х 0, такое что Тх = Хх.
Множество всех Л € сг(Т), для которых отображение XI - Т инъ-
ективно, (Л/ - Е)(Е) = Е, но (Л/ - Т)(Е) / Е называется непрерывным
спектром оператора Т и обозначается ас(Т).
Множество всех Л 6 а(Т), для которых отображение (XI - Т) инъ-
ективно, но (Х1-Т)(Е) Е, называется остаточным спектром (гг(Т)
оператора Т.
Задачи и упражнения
|~Являются ли линейными следующие функционалы в С[0, 1] (1-10):
1
1.	F(x) = у* z(£)sin£dL
о
2.	=
1
3.	F(x) = У x(t) sign^ - dt.
о
i
4.	F(x) = У ti/2x(t2)dt.
о
________________________________ Ответы _________________________________
1.	Да.	3. Да.
2.	Да.	4. Да.
108
Глава 7. Операторы в нормированных пространствах
5.	F(x) = j t~'/3x(t)dt.
О
1
6.	F(x) = У* x(t2) dt.
О
7.	F(x)=x\tQ).
i
8.	F(x) = У
О
9.	F(x) = max x(t).
o^i
i
|_10. F(x) = У x2(t) dt.
0
11.	Какие из функционалов 1-10 непрерывны в С[0, 1]? Вычислить их
нормы.
12.	Какие из функционалов 1-10 непрерывны в L2[0, 1]? Вычислить их
нормы.
[~Найти нормы следующих функционалов в пространстве Cq, если они огра*
ничены, х = (жь ..., хП9...) (13-16):
13.	/(ж) = Ж1.
14.	f(x) = 52 ж*.
fc=l
оо
к=\
___________________________ Ответы __________________________
5.	Да.	4-да, ||F|| = 2/3; 5 —да, ||F|| = 3/2;
6.	Да.	6 — да, ||F|| = 1; 7 — нет.
7.	Да.	12. 7 — да, ||F|| = 1/2д/2 - sin 2; 2 — нет;
8.	Нет.	3 - да, ||F|| = 1; 4 - да, ||F|| = Л/2;
9.	Нет.	5 — да, ||F|| = \/3; 6, 7 — нет.
10.	Нет.	в. ||/|| = 1.
И.	7 — да, ||F|| = 1 - cos 1;	14. Не ограничен.
	2 - да, ||F|| = 1; 3 - да, ||F|| = 1;	15. ||/|| = 1.
Задачи и упражнения
109
ОО
Lie. №) = £ %.
1/2
17.	Доказать, что функционал /(д) = J dp является ограниченным ли-
о
нейным функционалом на множестве V[0,1].
18.	Заключить из задачи 17, что С[0,1] не рефлексивно.
19.	Пусть Е — банахово пространство и f G Е1. Доказать, что ker f —
замкнутое подпространство в Е коразмерности 1.
20.	Пусть f — неограниченный линейный функционал, заданный на всю-
ду плотном подпространстве банахова пространства Е. Доказать, что ker f
плотно в Е.
[-Доказать утверждения (21-31):
21.	Для любого Xq Е Е, где Е — нормированное пространство, xq / О,
существует функционал f Е Ef f такой что ||/|| = 1, /(ж0) = ||жо||•
22.	Пусть Е — нормированное пространство, xq Ф у0 € Е. Тогда суще-
ствует f Е Е1, такой что Ц/H = 1 и /(ж0) / /(з/о)-
23.	Пусть Е — нормированное пространство, L С Е — замкнутое под-
пространство, L / Е, xq€L. Тогда существует f Е Е', такой что:
1)	f(x) = о,хец 2) f(x0) = 1; 3) Н/Н = —Ц-.
P(Xq, L)
24.	Для любой последовательности линейно-независимых элементов х\,
х2,... в нормированном пространстве Е существуют линейные функци-
оналы • • • € такие что ||у>*|| = 1 и = 6ki-
25.	Если Е — бесконечномерное нормированное пространство, то на нем
существует не непрерывный линейный функционал.
26.	Последовательность функционалов в Z>2(—тг, тг)
тг
/п(ж) = f x(t) cos nt dt
-тг
слабо сходится к нулю.
27.	Функционал f : С1 [а, Ь] Э x(t) -> x(tQ) 6 R непрерывен.
28.	Функционал f : С[а, Ъ] Э x(t) -> x(to) G R с областью определения
D(f) = С1 [а, Ь] неограничен.
_____________________________ Ответы _____________________________
16-	ll/и
110
Глава 7. Операторы в нормированных пространствах
29.	Пусть Е — банахово пространство, (/n) 6 Е1 такова, что lim fn(x) =
n->00
= /(®) существует для всех х Е Е. Тогда f Е Е1 и ||/|| < lim ||/п||.
30.	Пусть хп, х Е Е, f, fn Е Е'. Если хп -4 х в Е и fn -4 f в Е' слабо,
то fn(xn) -4 /(ж).
31.	Если хп -4 х в Е слабо и fn -4 f в Е', то fn(xn) -4 /(ж).
Даны операторы. Какие из них являются непрерывными (32-39)?
32.	Л : Rn -> R” определен по формуле
п
Vi = Ylai^k, 1=1,...,П.
к=\
t
33.	А : С[0,1] -> С[0, 1] определен по формуле Ax(t) = J ж(£) d£.
о
34.	:С'[0, 1] ->С[0, 1].
at
d
35.	— : С[0, 1] -4 С[0, 1] определен на множестве непрерывно диффе-
dt
ренцируемых функций из С[0, 1].
36.	А : С[0, 1] -4 С[0,1] определен формулой
1
Ax(t) = у* K(t,s)x(s) ds,
о
где K(t, s) непрерывна на квадрате [0, 1] х [0, 1].
37.	А : L2(0,1) -4 L2(0,1) определен формулой
1
Ax(t) = У K(t, s)x(s) ds,
о
где #(М)Е£2((0, 1)х(0, 1)).
38.	Е\ : L2(0, 1) -4 Ь2(0,1) определен формулой
z ч f x(t), t^X;
=	<> А.
	 Ответы 				
32.	Да.	36.	Да.
33.	Да.	37.	Да.
34.	Да.	38.	Да.
35.	Нет.		
Задачи и упражнения
111
39.	А : В2(-тг, я) -» Z2(-;r, я) определен формулой
*	sin(2n+l)^-^
Anx(t) = -	ж«)---------——— d(,.
. 5
-%	2 sin ——
2
40.	Проверить, что операторы
1
Ах(1) = tx(t), Bx(t) = у* ts x(s) ds
о
в L2(0, 1) линейные непрерывные, не являющиеся перестановочными, т. е.
[Л, В] = АВ - В А £ 0.
41.	Для каких функций a(t) оператор Ax(t) = a(t)x(t) непрерывен в
С[0, 1]? Найти норму оператора Л, если он непрерывен.
42.	Для каких функций a(t) оператор Ax(t) = a(t)x(t) непрерывен в
Ь2(0, 1)? Найти норму оператора Л, если он ограничен.
43.	Для каких a > 0 оператор Ax(t) = x(tQ) линеен и непрерывен в С[0,1 ] ?
Найти его норму.
44.	Для каких a > 0 оператор Ax(t) = x(ta) линеен и непрерывен в Ь2(0,1)?
Найти его норму.
45.	Для каких а, fl оператор Ax(t) = tPx(ta) линеен и ограничен в Ь2(0,1)?
Найти его норму.
46.	Вычислить нормы операторов в пространстве С[0,1]:
t	1
1)	Ax(t) = у* x(g)d£;	2) Ax(t) = J sin [тг(£-$)]#($) ds;
о	0
1 1
3) Ax(t) = У e*”5o?(s)ds; 4) Ax(t) = j* tnsmx(s)ds.
о	0
___________________________ Ответы __________________________
39. Да.
41.	a(t) — непрерывна, ||Л|| ^max^ |a(t)|.
42.	a(t) € L2(0,1), ||Л|| = ||a||£o»(0.i).
43.	a > 0, ||A|| = 1.
44.	0<a^l, ||A|| = -1=.
ya
45.	a>0, a-2/?«S 1, ||4|| = -J=.
ya
46.	1) 1;2) ;; 3) e- 1; 4)	.
112
(лава 7. Операторы в нормированных пространствах
47.	Вычислить в L2(0, 1) норму оператора
48.	Вычислить норму оператора
«Г sin(2n+l)^
Лпа:(0 = - / ®(£)------—-----d£,
J	_ . ?“I
-тг	2 sin --
2
в пространстве С(-тг, я) и в Ь2(-тг, л).
49.	В I2 рассмотрим оператор
, ж2,..., хп,...) = (а 1 хj, а2ж2,..., anxn,...).
При каких ..., anf... он непрерывен в Z2? Найти его норму.
50.	Для каких ..., ап,... оператор задачи 49 имеет непрерывный
обратный? Доказать, что если существует правый обратный, то существует
и левый обратный, равный правому.
51.	Оператор А(жь ..., жп,...) = (0, xif ж2,..., хп,) действует в I2. До-
казать, что А имеет левый обратный, но не имеет правого обратного.
52.	Проверить, что оператор дифференцирования ~ : С1 [О, 1]	С[0, 1]
dt
имеет правый обратный, но не имеет левого обратного.
53.	Пусть d/dt — оператор, действующий из подпространства С1 [0, 1],
состоящего из функций, обращающихся в нуль при t = 0 в С[0, 1]. Найти
обратный, если он существует.
54.	Пусть
Со[0,1] = {x(t) е С2[0, 1] : ®(0) = х(1) = 0}.
d?	j
Найти обратный к оператору —? + Л : Со [О, 1] -» С[0, 1], если он суще-
dtl
ствует. Для каких Л существует обратный?
Ответы ___________________________
47.	1.
f-t
* sin (2n 4-
48.	max / ---------------—-----d£
J	э • £-*
-г	2sm —ч
49.	|afc| M УЛ, ||Д|| = sup|afc|.
50.	3m > О, M>0, такие что тп^|а*|
t
53. Ax(t) = У x(s)ds.
о
54. Л = (Лтг)2.
Задачи и упражнения
113
55.	При каких Л существует обратный к оператору
t
Ax(t) = У х(£) d£ + Аж(0?
о
Построить его.
56.	Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор А : X -» Y линеен,
непрерывен и сюръективен. Показать, что если yn -> yQ в У, то существуют
с > 0 и хп -> х0, такие что Ахп = уп и ||жп|| < с||уп||.
57.	Пусть LhN- замкнутые подпространства банахова пространства X
и для любого х Е X имеет место единственное представление х = у + г,
у € Z, z Е N. Показать существование постоянной с > 0, такой что
llj/l С с||а?||, ||z| < с||®||.
(-Доказать утверждения (58-63):
58.	Для подпространства L банахова пространства Е существует подпро-
странство М, такое что Е = L&M тогда и только тогда, когда существует
непрерывный проектор на L, т.е. такой оператор Р : Е -» L, что Р2 = Р
и Рх = х для всех х € L, и только для них.
59.	Множество обратимых операторов в банаховом пространстве открыто
в пространстве всех непрерывных операторов. Для любого обратимого
оператора указать окрестность, в которой каждый оператор обратим.
60.	Слабая сходимость в I2 сильнее покоординатной сходимости и они
не эквивалентны.
61.	Последовательность операторов Anx(t) = ж(£1+1/п) в С[0,1] сильно
сходится к единичному оператору, но не равномерно.
62.	Последовательность операторов
#2,...) = (0,... ,0, жьж2,...)
п-1
в I2 слабо сходится к нулевому оператору, а сильно не сходится.
63.	Последовательность операторов
Рп(х{,х2,...) = (жь ..., жп, 0,..., 0,...)
| в I2 сильно сходится к единичному оператору, а равномерно не сходится.
_____________________________ Ответы _______________________________
t
55. А 0, Л-'у«) =	<*»•
о
114
Глава 7. Операторы в нормированных пространствах
64.	Исследовать в Z>2(—7г, я) и в С[-тг, я] на слабую, сильную и равно-
мерную сходимость последовательность операторов
ж sin (2п +
Апа?(^) = — /* я(£)	- -	d(.
7Г j	с — с
-тг	2 sin ——
2
65.	Доказать, что последовательность функционалов
7Г
/п(я) = у* x(t)e'nt dt
-п
слабо сходится к нулю в Ь2(-тг, я).
66.	Показать, что если точка х0 € I2 принадлежит слабому замыканию
ограниченного множества А С /2, то хо служит слабым пределом некото-
рой последовательности элементов множества А.
67.	Установить, что каждое слабо замкнутое множество в I2 сильно за-
мкнуто; показать на примере, что обратное утверждение не имеет места.
("Доказать утверждения (68-89):
68.	В I2 шар слабо компактен.
69.	Любое замкнутое подпространство в I2 слабо замкнуто.
70.	Из хп -> х (слабо) в I2 и ||жп|| -> ||ж|| следует хп -» х в I2.
71.	Пусть Е, F, G — нормированные пространства. Если Sn, S € ЦЕ, F),
Tn, T E Z(F, G) и Sn -> S в ЦЕ, Р),Тп-+Тв L(F, G), to TnoSn -> T°S
в ЦЕ, G).
72.	Пусть E,F — нормированные пространства. Если Tn, Sn, T, S € ЦЕ, F),
и Tn сильно сходится к T, Sn сильно сходится к S, то Тп о Sn сходится
к Т о S сильно.
73.	Пусть Е9 F — нормированные пространства и Тп, Т € ЦЕ, F). Если
хп -> х в Е, Tn -» Т в ЦЕ, F), то Тпхп ->Тх в F.
74.	Пусть Е, F — нормированные пространства и Тп, Т Е L(E, F). Если
хп -» х в Е, Тп слабо сходится к Т в ЦЕ, F), то Тпхп слабо сходится
к Т в F.
75.	Пусть Е, F — банаховы пространства и Tn Е L(E,F) таковы, что
(Тпх, у'} ограничены при всех х Е Е и всех у € F'. Тогда (||ТП||) ограни-
чена.
Задачи и упражнения
115
76.	Пусть Tn(x\, х2,...) = (Жп+i, Хп+2, • • •) в I2. Тогда Тп и Т'п сходятся
к нулю в слабой топологии, но ТП°Т'П не сходится к нулю в этой топологии,
ХОТЯ Тп о Тп сильно сходится к нулю.
77.	Пусть Е — нормированное пространство. Отображение ЦЕ) ЭТ ->
Tr Е ЦЕ') непрерывно в равномерной и слабой топологии, но не является,
вообще говоря, непрерывным в сильной топологии.
78.	Естественный гомеоморфизм Е -> Е/F непрерывен, открыт и имеет
норму, меньшую или равную 1.
79.	Пусть Е, F — банаховы пространства, Т Е ЦЕ, F). Если Т1: F1 -> Е1
— гомеоморфизм, то Т — гомеоморфизм.
80.	Пусть Е — нормированное пространство. Не существует Г, S Е ЦЕ),
таких, что [Т, 5] = Т о S - S о Т — 1#.
81.	Линейный оператор в нормированном пространстве с конечномерной
областью определения непрерывен.
82.	Ядро непрерывного оператора в нормированном пространстве зам-
кнуто.
83.	Пусть Т Е ЦЕ, F), где Е и F — банаховы пространства и R(T) = F.
Если D = Е, то TD = F.
84.	Пусть Е, F — банаховы пространства. Тогда Т Е L(E,F) является
изометрией тогда и только тогда, когда Т1 Е ЦР1, Е1) есть изометрия.
85.	Пусть Е, F, G — банаховы пространства, Т Е ЦЕ, F), S Е L(F, G).
Тогда (S о Т)' = Т' о S' и (Тп)' = (Т')п.
86.	Пусть ТЕ ЦЕ,F),E,F — банаховы пространства. Тогда Т' Е ЦР',Ег)
и ЦТ'11 = ||Т||.
87.	Пусть S, Т Е ЦЕ, F), Е, F — банаховы пространства. Тогда
(АТ + д£)' = АТ' + pS',
где А, д — комплексные числа.
88.	Если Т Е ЦЕ, F), Е, F — банаховы пространства, то Т'% = Т.
Здесь Т'% — сужение оператора Т" на Е С Е".
89.	Если Т Е L(E,F), Е, F — банаховы пространства и оператор Т
имеет ограниченный обратный, то Т' имеет однозначный обратный и
Ijt')-1 = (у-1)'.
116
Глава 7. Операторы в нормированных пространствах
x(t)9 t Л;
0, t > Л;
90.	Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в L2(0,1):
t
1)	Ax(t) = У x(s)ds; 2) Exx(t) =
о
3)	Ax(t) = x(ta)\ 4) Ax(t) =
91.	Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в 1Р:
1)	Т(х\, х29...) = (О, Х\9 Ж2, • • •);
2)	Т(х]9х29...) = (Л|Ж1,а2Ж2,...);
3)	Т(х]9 х2,...) = (0, 0, а\Х\9...), где оц — комплексные числа.
92.	Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в Z1:
1)	= (Ж1,ж2,... ,жп,0,...);
2)	Т(х\9х29...) = (0,... ,0, Ж1,0,...);
п-1
3)	Т(х\, х2,...) = (апжп, &n+i#n+i, • • •)•
93.	Пусть Е — банахово пространство и Т9 S € L(E). Показать на при-
мере, что из Т о S = I не следует, вообще говоря, что SоТ = I.
94.	Пусть Q С Rn - открытое множество и пусть
K(s, t) € L2(Q х Q), (Tx)(s) = У K(s, t)x(t) dt, x(t) 6 L2(ty.
Q
Доказать, что T € L(L2(Q)).
95.	Пусть di(t)9 bi(t) € L2(fl)9 1 г < n. Положим
= ^ai(s)bi(t), (T\x~)(s) =
i=i
Доказать, что T € Z(L2(Q)) и dim ImT^n.
K\(s9t)x(t) dt9 x(t) € Z2(Q).
___________________________ Ответы __________________________
90.	1) A1 y(t) = J y(s)ds;
2)EX.=EX-
3)	A'y(t)= ^t'/a-'y(t'/ay,
4)	A'y(t) = a(t)y(t).
91.	1) T'(xx,x2,...) = (x2,x},...);
2)	T'(xl,x2,...) = (а^ьагхг,...);
3)	T'iibXb ...) = (ai«3,a2®4,.--)-
92.	1)1* Э (zi,®2,...)->
(®1...................xn,o,...)ei°°-,
2)T':Z009(a:i,i2.---)^
.............
3)7* :l°° 3(zi,i2, ••)-*
(0,..............)	e/00.
Задачи и упражнения
117
96.	Пусть Т, S Е ЦЕ), где Е — банахово пространство. Доказать, что
отображение ЦЕ) х ЦЕ) Э (Т, S) -> ToS € ЦЕ) является непрерывной
функцией по каждой переменной в отдельности, если в ЦЕ) рассматри-
ваются равномерная, сильная и слабая топологии.
97.	Что можно сказать о непрерывности отображения задачи 96 по обеим
переменным?
^Доказать утверждения (98-114):
98.	Пусть Е, F — банаховы пространства и Т € ЦЕ, F). Если Т имеет
непрерывный обратный оператор, то JmT замкнуто в F.
99.	Пусть Е, F — банаховы пространства, Т Е L(E,F). Множество
Jm Т замкнуто в F, если существует с > 0, такое что для любого у € Jm Т
существуют х, у = Тх, для которых ||ж|| < c||j/||.
100.	Пусть Е, F — банаховы пространства, Т Е ЦЕ, F), Т инъективно,
если Jm Г' = Е'.
101.	Пусть Е, F — банаховы пространства, Т Е ЦЕ, F). Т' инъективно
тогда и только тогда, когда Jm Т = F.
102.	Пусть Е, F — банаховы пространства, Т Е ЦЕ, F). Если Jm Т = F,
то оператор Т' имеет обратный.
103.	Пусть Е — банахово пространство, Т Е ЦЕ). Если Jm Tf = Е' то Т
имеет непрерывный обратный оператор.
104.	Пусть Е — банахово пространство и Е = Е\ ФР2, где Е\ замкнуто,
а Е2 конечномерно. Предположим, что Т Е L(E,F), где F — банахово.
Для того чтобы ТЕ было замкнуто, необходимо и достаточно, чтобы было
замкнуто ТЕ\.
105.	Для каждого ненулевого конечномерного собственного подпро-
странства банахова пространства Е существует бесконечное множество
проекторов, отображающих Е на него.
106.	Если Р — проектор с n-мерной областью значений, то и Р' —
проектор с n-мерной областью значений.
107.	Линейное отображение Р : Е -» Е, такое что Р2 = Р, является
проектором тогда и только тогда, когда JmP и Jm(I-P) замкнуты. Здесь
Е — банахово пространство.
108.	Пусть Р Е ЦЕ) — проектор, F = Р(Е), Q = (I - Р)(Р). Тогда
Е‘ = Fl ф Gx, Р'(Р') = G1 и (/ - Р')(Р') = Р1.
______________________________ Ответы _______________________________
97. Непрерывна в равномерной топологии
и разрывна в сильной и слабой.
118
Глава 7. Операторы в нормированных пространствах
109.	Пусть Pj, Р2 € ЦЕ) — проекторы и Р, = Pt(B), G, = (I- Р,)(В)
(г = 1,2). Тогда Pj о Р2 = Р2 эквивалентно Р2 С Pj, а Р2 о Pj = Р2
эквивалентно G\ С G2.
110.	Если Р|,..., Рп — проекторы, то Р = Р\ +.. .+РП — проектор, если
Р: о Р; = 0 для i / j. В этом случае F = Pj ф... ф Fn, G = Gj П... П Gn.
111.	Если Р|, Р2 — проекторы, то Р = Р\ - Р2 является проектором
тогда и только тогда, когда Р\ о Р2 = Р2 о Pj = Р2. При этом Р = Pj П G2,
G = G\ ф Р2.
112.	Если Pj, Р2 — проекторы, то Р\ о Р2 является проектором в том
и только том случае, если P\(F2) С Р2 Ф Gj П G2.
113.	Если Р|, Р2 — проекторы, то Р\ о Р2 = Р2 о Pj тогда и только тогда,
когда Р2 = Р2 П Pj ф Р2 П Gj и G2 = G2 П F\ ф G2 П Gj.
114.	Если Pj, Р2 — проекторы и Pj о Р2 = Р2 о Р}, то Pj + Р2 - Pj о Р2
является проектором с областью значении (Pj U Р2) и нулевым подпро-
| странством Gj U G2.
115.	Показать, что линейный оператор Т в конечномерном пространстве
можно представить некоторой матрицей. Как связана с этой матрицей
матрица сопряженного оператора?
116.	Пусть tr А — след матрицы А. Показать, что
tr(A + В) = tr А + trB, tr(AB) = tr(BA).
117.	Пусть Е — конечномерное пространство и Р : Е -> Е — проектор.
Показать, что tr Р = dim Р (Р = Р(В)).
118.	Пусть E,F,G — банаховы пространства и пусть В: Е х Р -» G — не-
прерывное билинейное отображение. Доказать, что существует 0<М< +оо,
такое что 11В(х, у)\\ < М||ж|| • ||^|| (ж Е В, у € Р). Существенно ли здесь
условие полноты?
119.	Доказать, что билинейное отображение, непрерывное в точке (0,0),
непрерывно.
120.	Определим отображение
В : R2 х R э (Ж1, ж2; у) -> (х}у, х2у) Е R2(#j, ж2) Е R2, у Е R.
Показать, что В — непрерывное билинейное отображение R2 х R на R2
и что В не является открытым в точке (1,1; 0).
_____________________________ Ответы _____________________________
118. Да (см. задачу 121).
Задачи и упражнения
119
121.	Пусть Е — нормированное пространство всех вещественных поли-
номов от одной переменной с нормой
1
11/11 = f
О
и пусть
1
= J f(x)g(x)dx.
О
Показать, что В — билинейный функционал на ЕхЕ, который раздельно
непрерывен, но не непрерывен.
122.	Описать явно два изометрических изоморфизма и: с -»Z1 uv:cq->11 .
123.	Определим оператор 5 : со -> с, полагая Sx = х. Описать оператор
v о S' о u~' : Z1 -И1, где u, v — операторы из задачи 122.
124.	Определим оператор Т : с -> со, полагая Тх = у, у\ = Уп+\ =
= Хп-Хъ для 1,2/ = (j/i,...,2/n,...), ® = (®1,...,жп,...), Жоо= lim хп.
п->оо
Доказать, что этот оператор биективен.
Найти ||Т|| и ||Т”,||. Описать оператор uoT'ov’1 : Z1 -» Z1, где
операторы и и v взяты из задачи 122.
125.	Доказать, что ar(T), <гс(Т) и (тр(Т) не пересекаются и сг(Т) =
= аг(Т) U (тс(Т) U (тр(Т), где Т е В(Е).
126.	Найти точечный, остаточный и непрерывный спектры оператора
у = Тх в С[0, 1], определяемого равенством
y(s) = у* x(t) dt.
О
Изменится ли ответ, если Т рассматривать как оператор в 1/(0, 1) или
в Со[О, 1] — пространстве всех непрерывных функций на [0, 1], обраща-
ющихся в нуль в точке 0?
122. и(/) = (/(еп))„>0,
е0 = {1,1,.
И/) = (/(*»»»> 1-
123. («оУ ow"')(yn)n>l =
= (^Ук,У\,---,Уг,-
Ответы ____________________________________
124.	||Т|| = ||Т-|||= 1,
(uoT'ov	...) =
ОО
= (lh -^,Ук,У2,Уз---)-
к=2
126.	В С[0,1] <гр(Т) = 0, <гс(Т) = 0,
аг(Т) = {0}. В Со[0, I] и£'[0, 1]
<г„(Т) = 0, <гс(Т) = {0}, <гг(Т) = 0.
120
Глава 7. Операторы в нормированных пространствах
127.	Пусть у = Тх — оператор в С[0, 1], определяемый равенством
y(t) = tx(t). Найти аг(Т), стр(Т), ас(Т).
128.	Пусть (ап) — ограниченная последовательность комплексных чисел
и Т — отображение в I2, определяемое равенством (Tx)n = anxn. Найти
<7р(Т), <7С(Т), <7Г(Т).
129.	Показать, что любое компактное множество на плоскости может
быть спектром некоторого оператора.
130.	Пусть Т — отображение в lp, 1 < р < оо, определяемое равенством
T(x\,x2f...) = (ж2,жз, •••)• Найти стр(Т), (тг(Т), <гс(Т).
131.	Пусть Е — проекционный оператор. Выразить резольвенту Я(Л, Е)
явно через Е и Л. Найти спектр &Р(Е), ar(E)f (тс(Е).
132.	Показать, что для любого ограниченного линейного оператора Т
выполнены соотношения ar(T) С (тр(Т') С сгг(Т) U сгр(Т).
133.	Показать, что если существует число Л на окружности |Л| = ||Т||,
принадлежащее точечному спектру оператора Г, то Л также принадлежит
точечному спектру оператора Т1.
134.	Показать, что если для операторов Т{ и Т2 из L(E) выполнено со-
отношение Tj72 = Т2Т}, то г(Т| +Т2)	г(Т]) + г(Т2), но если Т\Т2 Т2Т},
то это неравенство не обязательно имеет место, даже если Е двумерно;
r(T) = sup |Л| спектральный радиус оператора Т.
XEff(T)
135.	Оператор Т называется квазинильпотентным, если lim д/||Тп|| = 0.
п->оо
Показать, что оператор Т квазинильпотентен тогда и только тогда, когда
<т(Т) = {0}.
_____________________________ Ответы _____________________________
127. <7р(Т) = 0, <тс(Т) = [0, 1],	= 0.
128. <7р(Т) = (вп)»^ ।» <гг(Т) = 0»
ас(Т) — (Оп)п^ I \ (®п)п> I •
130.	<т„(Т) = {А6 С: |А|< I},
<гс(Т) = {А е С : |А| = 1}.
в1
ар(Е) = {0,1}, <гс(Я) = 0,аг(Е) = 0.
Глава 8
Уравнения с вполне непрерывными
операторами в банаховых пространствах
Оператор А, действующий из линейного нормированного простран-
ства Е\ в линейное нормированное пространство Ег, называется вполне
непрерывным (компактным), если он любое ограниченное множество из Е\
переводит в предкомпактное множество в Ег.
В алгебре ЦЕ) линейных ограниченных операторов множество К(Е)
вполне непрерывных операторов образует двусторонний идеал.
Пусть Е — банахово пространство, А : Е Е — линейный вполне
непрерывный оператор. Разрешимость уравнения с вполне непрерывным
оператором вида
х — Ах — у	(1)
устанавливается с помощью однородного уравнения	
х - Ах = 0,	(2)
сопряженного уравнения f~A'f = g	(1')
и однородного сопряженного уравнения	
/-л'/ = о	(2')
теоремами Фредгольма*.
I. Для того чтобы уравнение (1) имело решение для данного у, необходимо
и достаточно, чтобы f(y) = 0 для любого ограниченного линейного функ-
ционала f, удовлетворяющего однородному сопряженному уравнению (21).
II. Уравнения (2) и (2Z) имеют одинаковое конечное число линейно-незави-
симых решений.
Следствие (альтернатива Фредгольма). Для уравнения (1) возможны два
случая:
I. Однородное уравнение (2) имеет только нулевое решение, однородное со-
пряженное уравнение (2х) также имеет только нулевое решение, урав-
нения (1) и (1') разрешимы для любой правой части.
122
Глава 8. Уравнения в банаховых пространствах
II. Однородное уравнение (2) имеет п линейно-независимых решений Х\,
. ..,жп, однородное сопряженное уравнение (2') имеет также п ли-
нейно-независимых решений , fn; для разрешимости уравнения (1)
необходимо и достаточно, чтобы fk(y) = Q, k =	. ,тг, при выпол-
нении этих условий общее решение уравнения (1) имеет вид
ж = ж0 + с1ж1 + ... + спяп,
где Xq — частное решение неоднородного уравнения (1), сп — произволь-
ные постоянные.
Пусть Е\ и Е2 — банаховы пространства, А : Е\ -» Е2 — линейный
ограниченный оператор. Уравнение Ах = у называется нормально раз-
решимым, если для его разрешимости достаточно выполнения условия
f(y) = 0 лпя любого функционала f € Е2, удовлетворяющего уравнению
A'f = 0.
Ограниченный линейный оператор Т :Е\ ->Е2, где Е\ и Е2 — бана-
ховы пространства, называется фредгольмовым (нётеровым), если:
1) конечны размерности dim kerT и dim кегТ';
2) образ ImT замкнут.
Индексом фредгольмова оператора Т называется целое число
indT = dim kerT - dim kerT'.
Задачи и упражнения
(-Доказать утверждения (1-4):
1.	Линейный вполне непрерывный оператор ограничен.
2.	Любой линейный оператор А : Rn -» Rm вполне непрерывен.
3.	Любой линейный оператор А : Е\ -» Е2 вполне непрерывен, если Е\ —
конечномерное пространство.
4.	Любой ограниченный линейный оператор А : Е\ -» Е2 вполне непре-
рывен, если Е2 — конечномерное пространство.
5.	Привести пример линейного оператора А : Е\ -» Е2, где Е2 конечно-
мерно, не являющегося вполне непрерывным.
6.	Доказать, что линейный ограниченный оператор, образ которого ле-
жит в конечномерном пространстве (оператор конечного ранга), вполне
непрерывен.
Задачи и упражнения
123
7.	Доказать, что ограниченный линейный оператор конечного ранга в нор-
мированном пространстве Е представляется в виде
Ах = ^2 fk(x)ek,
k=\
где ek € Е, fk € Е1, е* — линейно-независимы.
8.	Может ли тождественный оператор быть вполне непрерывным?
9.	Может ли оператор, удовлетворяющий условию Р2 = Р (проектор),
быть вполне непрерывным?
10.	Доказать, что если Ап — вполне непрерывные операторы из Е\ в J?2
и ||Ап - Л|| -» 0, то А также вполне непрерывный оператор.
11.	Может ли вполне непрерывный оператор иметь левый обратный?
Ограниченный левый обратный?
12.	Может ли линейный вполне непрерывный оператор иметь правый
обратный?
13.	Показать на примере, что предел сильно сходящейся последователь-
ности вполне непрерывных операторов может не быть вполне непрерыв-
ным.
[-Доказать утверждения (14-19):
14.	В пространстве I2 любой вполне непрерывный оператор представля-
ется в виде А = А\ 4- Л2, где А} — оператор конечного ранга и ||Л2|| < 1.
15.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в пространстве I2. Суще-
ствует последовательность операторов конечного ранга, по норме сходя-
щаяся к А.
16.	Пусть Е — банахово пространство с базисом, А : Е -» Е — вполне
непрерывный оператор. Существует последовательность операторов ко-
нечного ранга, по норме сходящаяся к А.
17.	Вполне непрерывный оператор переводит слабо сходящуюся последо-
вательность элементов банахова пространства в последовательность, схо-
дящуюся по норме.
----------------------------- Ответы -----------------------------
8. Только в конечномерном пространстве.
9. Только в случае, если подпростран-
ство L = {х: Рх = х} конечномерно.
11.	Левый обратный может иметь. Огра-
ниченный левый обратный — только в
случае конечномерного пространства.
12.	Только в конечномерном пространстве.
13.	См. задачу 63 гл. 7.
124
(лава 8. Уравнения в банаховых пространствах
18.	Если Е\ — рефлексивное банахово пространство, то линейный опе-
ратор А*. Е\ Е2, который переводит слабо сходящиеся последователь-
ности в сильно сходящиеся, является вполне непрерывным.
19.	Образ вполне непрерывного оператора является сепарабельным мно-
жеством.
20.	Может ли образ вполне непрерывного оператора быть замкнутым?
21.	Доказать, что множество М в банаховом пространстве Е предком-
пактно тогда и только тогда, когда:
1)	множество М ограничено;
2)	существует последовательность вполне непрерывных операторов Ап,
сильно сходящаяся к единичному оператору, такая что ||Апх - ж|| -> О
равномерно на М,
22.	Пусть А и В — линейные операторы (ограниченные), АВ — вполне
непрерывный оператор. Обязательно ли один из операторов А или В
вполне непрерывен?
23.	Привести пример оператора Л, не являющегося вполне непрерывным,
такого что А2 вполне непрерывен.
24.	В случае пространства с базисом, используя задачу 16, показать, что
оператор, сопряженный к вполне непрерывному, является вполне непре-
рывным.
("Доказать утверждения (25-28):
25.	Оператор, сопряженный к вполне непрерывному, является вполне не-
прерывным (теорема Шаудера) для произвольных банаховых пространств.
26.	Если сопряженный оператор А' вполне непрерывен, то и оператор А
вполне непрерывен.
27.	Если А : Е\ -> Е2 — вполне непрерывный оператор, L = ker Л, то
оператор А\ : Е\/Ъ -> Е2, действующий по формуле Л1(ж + L) = Ах
(индуцированный оператором Л), является вполне непрерывным.
28.	Если Л — ограниченный линейный оператор в гильбертовом про-
странстве Я, такой что ЛЛ* — вполне непрерывный оператор, то Л впол-
не непрерывен.
 Ответы __________________________.__
20. Образ вполне непрерывного оператора 22. Нет.
замкнут только тогда, когда это опера-
тор конечного ранга.
Задачи и упражнения
125
29.	В пространстве I2 оператор А действует по формуле
Ах = (а,®!,... ,anxn,...),
где а, — заданные числа, х = (®ь..., хп,...) € I2. При каких а, оператор
вполне непрерывен?
30.	Определим в пространстве I2 оператор сдвига S и оператор умноже-
ния М, полагая
ГО, если п = 0;	хп
Sxn = <	, Мхп =------------- . при п 0.
[ хп_\ если n 1;	n + 1
Пусть Т = М о S. Показать, что Т — вполне непрерывный оператор, не
имеющий собственных значений, и что его спектр состоит из единствен-
ной точки. Вычислить нормы ||Tn||, n = 1, 2,... и предел lim ||Tn||1/n.
n->00
31.	В пространстве I2 оператор А действует по формуле
(Ax)i —	aijxj»	1 — Ь 2.
00
где aij — заданные числа, причем |а,у|2 < оо. Проверить, что опера-
М=1
тор А вполне непрерывен.
00
32.	Показать на примере, что условие предыдущей задачи	1% |2 < 00
t’J=i
не является необходимым для полной непрерывности оператора А.
33.	Может ли оператор умножения на функцию Ax(t) = a(t)x(t) быть
вполне непрерывным в пространстве С[0, 1]? В пространстве С(Т), где Т —
метрическое пространство?
34.	Может ли оператор умножения на функцию Ax(t) = a(t)x(t) быть
вполне непрерывным в пространстве £2(0,1)? В пространстве Ь2(Т,д),
где д — мера на множестве Т?
___________________________ Ответы __________________________
29. Если а,- ограничены, то оператор А
непрерывен, если а, -> О, то опера-
тор А вполне непрерывен.
32.	См. задачу 29.
33.	В пространстве С[0,1] оператор умно-
жения на ненулевую функцию не яв-
ляется вполне непрерывным. Если в
пространстве Т существуют изолиро-
ванные точки, то оператор умножения
на функцию в С(Т) может быть впол-
не непрерывным.
34.	В пространстве L2(0,1) оператор умно-
жения на функцию является вполне
непрерывным только тогда, когда эта
функция почти всюду равна нулю. Ес-
ли в пространстве Т есть точки, име-
ющие ненулевую меру /х, то в L2(T, 71)
оператор умножения на функцию мо-
жет быть вполне непрерывным.
126
(лава 8. Уравнения в банаховых пространствах
35.	Пусть K(t, з) — непрерывная функция на [О, 1] х [О, 1]. Доказать, что
интегральный оператор
1
Ax(t) = у* K(t,s) x(s) ds
о
вполне непрерывен в пространстве С[0, 1].
36.	Пусть D — ограниченная замкнутая область в R” и функция K(t, s),
определенная на D х D, удовлетворяет условиям:
1)
У \K(t9 s)| ds < с = const;
D
2) для любого £ > 0 существует S > 0, такое что из неравенства |^i - ^1 <
следует
У |ЛГ(«I, з) — X'(t2,s)| ds < Е.
D
Доказать, что интегральный оператор с ядром K(t, s) вполне непрерывен
в пространстве С(Р).
37.	Пусть ядро K(t, s), определенное на D х Р, где D — замкнутая
ограниченная область в Rn, представляется в виде
где К\(t, s) — непрерывная функция. Доказать, что если a < п, то инте-
гральный оператор
Ax(t) = У K(t,s) x(s) ds
D
вполне непрерывен в пространстве С(Р).
38.	Пусть D — область в Rn и K(t9 s) Е L2(D x P). Доказать, что ин-
тегральный оператор с ядром K(tfs) вполне непрерывен в пространстве
L2(P).
39.	Пусть Р — ограниченная область в R", и ядро K(t, s), определенное
на Р х Р, представляется в виде
где K\(t,s) — ограниченная измеримая функция. Доказать, что если
a < п/2, то интегральный оператор с ядром K(t,s) вполне непреры-
вен в пространстве L2(D).
Задачи и упражнения
127
40.	Доказать, что если ядро K(t, s) представляется в виде
и непрерывная функция K\(t,s) отлична от нуля хотя бы в одной точке
диагонали t = s, то интегральный оператор с ядром K(t, s) не является
вполне непрерывным в пространстве С[0, 1].
41.	Пусть K(t, s) — непрерывная функция на [0,1] х [0, 1]. Доказать, что
нагруженный интегральный оператор
Г	п
Ax(t) = / K(t, s) x(s) ds + dk(t)^(tk)
о	k='
является вполне непрерывным в С[0, 1]. Можно ли утверждать, что этот
оператор является вполне непрерывным в пространстве Ь2(0,1)?
("Являются ли вполне непрерывными следующие операторы в пространстве
С[0, 1]? В пространстве L2(0, 1) (42-54)?
о
43. Ax(t) = j
о
—===== ds.
44. Ax(t) = j\ts + t2s2) x(s) ds.
о
f	 и.
I .	= ds.
J vising ” sins|
о
J
___________________________________ Ответы _______________________________________
42.	Да.	45. Да.
43.	Нет.	46. Да.
44.	Да.
128
(лава 8. Уравнения в банаховых пространствах
о
48' Ax(f> =
О
49.	Ax(t) = f ds.
J t s
0
1
50.	Ax(t) = J dSt
о
51.	Ax(t) = x(t2).
i
52.	Ax(t) = У x(s2) ds.
о
53.	Ax(t) = x(Vt).
0
55. Пусть оператор А задан на дважды непрерывно дифференцируемых
функциях формулой
।
Ax(t) = у* K(t,s)x"(s) ds,
о
где К 6 С2 и выполнено условие К(1, 0) = K(t, 1) = 0. Доказать, что опе-
ратор А продолжается до вполне непрерывного оператора в пространстве
С[0, 1].
56. Доказать, что оператор вложения J : С*[0, 1] -» С[0, 1], действующий
по формуле Jx = х, является вполне непрерывным.
________________________________ Ответы __________________________________
47.	Нет.	51. Нет.
48.	Нет.	52. В С[0, 1] - да; в I2(0, I) - нет.
49.	Нет.	53. Нет.
50.	Да: в С[0, 1], если a < 1; в £2(0, 1),	54. Нет.
если а.< 1/2.
Задачи и упражнения
129
57.	Доказать, что оператор А, действующий в пространстве как умно-
жение на бесконечную матрицу {a»j}, вполне непрерывен, если выполне-
но условие
00
|at;| < с = const, i = 1,2,...
и ряды сходятся равномерно по i, т. е. для любого е > 0 существует по,
такое что
00
52 । <е
j-По
для всех г.
58.	Является ли вполне непрерывным оператор сдвига S в простран-
стве Z2, действующий по формуле Sx = (О,	..., хп,...)?
59.	Пусть оператор А действует из пространства I2 в Z1 по формуле
(Ах)к = Хк/к. Проверить, что оператор А вполне непрерывен.
[доказать утверждения (60-63):
60.	Любой ограниченный линейный оператор из I2 в 1[ является вполне
непрерывным.
61.	Если банахово пространство Е рефлексивно, то любой оператор
Т Е L(E, I1) вполне непрерывен.
62.	Если пространство F рефлексивно, то любой оператор Т 6 F)
вполне непрерывен.
63.	Оператор дифференцирования d/dt является вполне непрерывным
| оператором из С2 [0,1] в С[0, 1].
64.	При каких а, /? и 7 > 0 является вполне непрерывным в пространстве
С[0,1] оператор
!
Ax(t) = у* fs^s7) ds?
о
65.	При каких а, /? и 7 является вполне непрерывным в пространстве
L2(0, 1) оператор
1
Ax(t) = у* t^xf^) ds?
о
____________________________ Ответы _____________________________
1	7
64. При 7>0, а>0, Д>-1.	65. При 7 > 0, a > -	(3 > - - 1.
130
Глава 8. Уравнения в банаховых пространствах
66.	При каких а является вполне непрерывным в С[0, 1] любой оператор
вида
1
Ax(t) = У K(t, s)x(sa) ds,
о
где s) € С([0, 1] х [0, 1])?
67.	Является ли вполне непрерывным в С[0, 1] оператор
1
Ax(t) = У K(t, s)x(sa) ds,
о
где K(t, s) € С([0, 1] х [0,1])?
68.	При каких а и /3 оператор
1
Ax(t) = / K(t,s)s^x(sa) ds
о
вполне непрерывен в Ь2(0, 1)? Ядро K(t,s) непрерывно.
69.	Пусть функция K(t, s) непрерывна и удовлетворяет условию
+оо
j \K(t,s)\ds ^В.
-00
Доказать, что интегральный оператор
+оо
Ax(t) = У K(t,s)x(s)ds
-00
является непрерывным в пространстве CB(R). Является ли он вполне
непрерывным?
70.	Может ли оператор свертки
4-оо
Ax(t) = j K(t-s)x(s) ds, KEL'(R),
-00
быть вполне непрерывным в пространстве L2(R)?
______________________________ Ответы _______________________________
66. Да, если 0 < a < 2.	68. При a > О, Д > — - 1.
67. Да, если а 0.
Задачи и упражнения
131
71.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в бесконечномерном ба-
наховом пространстве Е. Доказать, что существует у Е Е, такое что
уравнение Ах = у не имеет решения.
72.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в бесконечномерном ба-
наховом пространстве Е и решение уравнения Ах = у единственно.
Доказать, что нет непрерывной зависимости решения х от правой части у
(для у Е Jm Л).
73.	Пусть Е\ и Е2 — банаховы пространства, А — ограниченный линей-
ный оператор из Е\ в Е2. Доказать, что для того, чтобы при данном у
существовало решение уравнения Ах = у, необходимо, чтобы f(y) = О
для любого функционала f Е Е2, удовлетворяющего уравнению A!f = 0.
74.	Показать, что условие задачи 73 не является достаточным для разре-
шимости уравнения Ах = у (на примере оператора
t
Ax(t) = у* x(s) ds
о
в пространстве L2(0,1)).
75.	Пусть Е\ и Е2 — банаховы пространства, А : Е\ -> Е2 — линейный
ограниченный оператор. Доказать, что для нормальной разрешимости
уравнения Ах = у необходимо и достаточно, чтобы образ оператора А
был замкнут.
76.	Пусть оператор А действует в пространстве I2 по формуле Ах =
= (&\Х\,..., anxn,...) (диагональный оператор). При каких для урав-
нения Ах = у справедлива первая теорема Фредгольма? Вторая теорема
Фредгольма?
77.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е, Т = I - А. Доказать, что kerT конечномерно.
78.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е, Т = I - А. Доказать, что пространство Е разлагается на прямую
сумму Е = ker ТфЬ, причем оператор Т биективно отображает L на Jm Т.
79.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е, Т = I - А. Доказать, что образ Jm Т замкнут.
80.	Доказать первую теорему Фредгольма.
______________________________ Ответы ______________________________
76. Первая теорема Фредгольма справед-	ось ограничены. Вторая теорема спра-
лива, если число 0 не является пре-	ведлива, если среди чисел а* есть лишь
дельной точкой множества чисел а* и	конечное число равных нулю.
132
(лава 8. Уравнения в банаховых пространствах
81.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е. Доказать, что для того, чтобы уравнение f - A'f = д в сопря-
женном пространстве Е' было разрешимо при данном д, необходимо
и достаточно, чтобы д(х) = 0 для любого ж, удовлетворяющего уравне-
нию х - Ах = 0. Является ли это утверждение частным случаем первой
теоремы Фредгольма?
82.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е, Т = I - А. Доказать, что в цепочке вложенных подпространств
kerT С кегТ2 С начиная с некоторого п, выполняются равенства
кегТ” = кегТп+1 = ... .
83.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е, Т = I - А и m - наименьшее из целых неотрицательных чи-
сел п, для которых ker Tn = ker Tn+1. Доказать, что Е = kerTm ф JmTm
и сужение оператора Т на JrnTm взаимно-однозначно отображает JmTm
на Jm
84.	Пусть А — вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е. Доказать, что уравнение х - Ах = у разрешимо для любого у
тогда и только тогда, когда уравнение х - Ах = 0 имеет только нулевое
решение.
85.	Доказать вторую теорему Фредгольма, используя результат задачи 83.
86.	Доказать вторую теорему Фредгольма, используя результат задачи 84.
87.	Дать прямое доказательство теорем Фредгольма для уравнения вида
х- Ах = у, где А — оператор конечного ранга. Записать условие, при вы-
полнении которого имеет место первый случай альтернативы Фредгольма.
88.	Доказать теоремы Фредгольма для уравнения вида Aqx - А^х = у, где
i4j — вполне непрерывный оператор, Ло имеет ограниченный обратный.
89.	Дать прямое доказательство теорем Фредгольма для уравнения вида
х - Ах = у, если оператор А представляется в виде А = Л| + Лг, где
|| Л JI < 1, А2 — оператор конечного ранга.
90.	Доказать теоремы Фредгольма для уравнения вида х - Ах = у, где
оператор А не является вполне непрерывным, но некоторая его степень Ап
есть вполне непрерывный оператор.
91.	Пусть S — оператор сдвига в пространстве Z2, действующий по фор-
муле Sx = (О, Ж|, Ж2,...). Доказать, что для уравнения Sx = у справедлива
первая теорема Фредгольма, а вторая не выполняется.
_____________________________ Ответы ______________________________
81. Для рефлексивных пространств
является.
Задачи и упражнения
133
92.	Пусть S —* оператор сдвига в пространстве I2, А — вполне непрерыв-
ный оператор в I2. Доказать, что для уравнения Sx - Ах = у в простран-
стве I2 справедлива первая теорема Фредгольма и следующая теорема,
аналогичная второй теореме Фредгольма: уравнение Sx-Ах = 0 имеет ко-
нечное число П\ линейно-независимых решений, уравнение S'f - A!f = О
имеет конечное число п2 линейно-независимых решений, причем всегда
П| - П2 = 1.
93.	Пусть Т и R — ограниченные операторы в банаховом пространстве Е
и TR = I + Л, где А — вполне непрерывный оператор. Доказать, что:
1)	ядро ker R конечномерно;
2)	образ Jm Г замкнут;
3)	образ Jm# имеет конечномерное (ортогональное) дополнение.
94.	Доказать, что образ JmT фредгольмова оператора Т имеет в про-
странстве Е2 дополнение В, причем dim В = dim kerT'.
95.	Доказать, что ограниченный линейный оператор Т : Е -» F является
фредгольмовым тогда и только тогда, когда существует ограниченный
оператор R : Е2 -> Е\, такой что TR = I+Ai, RT = Z+Л2, где А{ и А2 —
вполне непрерывные операторы (оператор R называется регуляризатором
для оператора Т).
[-Доказать утверждения (96-105):
96.	Если оператор Т Фредгольмов, то и оператор Т + Л, где Л — вполне
непрерывный, тоже Фредгольмов.
97.	Множество фредгольмовых операторов открыто в топологии, порож-
денной нормой оператора, т.е. для любого фредгольмова оператора Т
существует е > 0, такое что любой оператор Т\ удовлетворяющий усло-
вию \\Т - TJI < е, является фредгольмовым.
98.	Произведение фредгольмовых операторов является фредгольмовым
оператором.
99.	Если операторы Л и В действуют в конечномерных пространствах,
то ind(АВ) = ind А 4- ind В.
100.	Если Т : Е\ -4 Е2 — Фредгольмов оператор, L С Е\ — подпро-
странство, причем L П ker Т = {0} и Т\ : E\/L -> E2/T(L) — оператор,
порожденный оператором Т, то ind Т\ = ind Т.
101.	Если Л и В — фредгольмовы операторы, то ind^B) = ind Л 4-ind В.
102.	Если Т — Фредгольмов оператор, Л — вполне непрерывный опера-
тор, то ind Т = ind(T 4- Л).
103.	Если Т — Фредгольмов оператор, то существует число € > 0, такое
что ind Т = ind Т\, если \\Т - Т\ || < е.
134
Глава 8. Уравнения в банаховых пространствах
104.	Если Т — Фредгольмов оператор, то сопряженный оператор Т' также
Фредгольмов.
|_105. indT = -indT'.
106.	Пусть ядро K(t,s) определено и измеримо на произведении DxD,
где D — область в R" и
У* У* \K(t,s)\2dsdt<oo.
D D
Доказать, что интегральное уравнение
x(t) - у* K(t,s) x(s) = y(t)
D
разрешимо в L2(D) при y(t) Е L2(D) тогда и только тогда, когда
f y(t)fk(t)dt = 0
D
для всех функций fk Е L2(D)9 удовлетворяющих уравнению
f(t)_ У K(s,t)f(s) ds = 0.
D
107.	Пусть ядро K(t, з) определено и непрерывно на произведении DxD,
где D — замкнутая ограниченная область в Rn. Доказать, что интегральное
уравнение
x(t) - У K(t,s) x(s) ds = y(t)
D
имеет непрерывное решение при данной непрерывной функции y(t) тогда
и только тогда, когда
f У(*)М) dt = O
D
для всех непрерывных функций Д(<), удовлетворяющих уравнению
f(t)- У K(s,t)f(s) ds = 0.
D
108.	В пространстве С[0,1] рассмотрим оператор умножения на непре-
рывную функцию Ax(t) = a(t)x(t). Для каких функций a(t) оператор А
Фредгольмов?
_____________________________ Ответы _____________________________
108.	a(t) 0. В этом примере оператор Фред-
гольмов тогда и только тогда, когда он
обратим.
Задачи и упражнения
135
109.	В пространстве С[0,1] рассмотрим оператор, действующий по фор-
муле Ax(t) = a(t)x(t) 4- (Kx)(t), где К — вполне непрерывный оператор,
a(t) — непрерывная функция. Найти необходимые и достаточные условия,
при выполнении которых оператор А Фредгольмов, и вычислить ind А.
|~Решить интегральные уравнения (110-120):
?г/2
110.	x(t) - 4 у* sin21 x(s) ds = 2t - тг.
о
7Г
111.	x(t) = Л y* sin (2t 4- s) x(s) ds 4- 7Г - 2t.
0
7Г
112.	x(t) = А У sin (t - 2s) x(s) ds 4- cos 2t.
о
7Г
113.	x(t) = А У cos (2t 4- s) x(s) ds 4- sin L
о
1Г
114.	x(t) = А У sin (3t 4- s) x(s) ds 4- cos L
о
i
115.	x(t) = А У (ts 4- t2s2) x(s) ds 4-12 -t4.
-i
i
116.	x(t) = A j(t4 4- 5t3s) x(s) ds -H2 - *4.
-i
i
117.	x(t) = А У (t2 - ts) x(s) ds +12 + t.
-i
i
118.	x(t) = А У(t - 1) x(s) ds 4-1.
о
___________________________________Ответы _______________________________________
109. a(t) ind 4 = 0.
110. x(t) = 2t - 7Г 4- c sin21.
136
Глава 8. Уравнения в банаховых пространствах
1
119.	x(t) = \J 2et+sx(s) + 1.
О
тг
| 120, x(t) = - у* sin t x(s) ds + cos t.
0
|~He решая уравнений, определить, для каких непрерывных функций y(t)
следующие уравнения имеют решения (121-126):
1
121.	x(t) - у* x(s)ds = y(t).
о
7Г
122.	x(t) - ~ у* cos (t + s) x(s) ds = y(t).
0
1
123.	x(t) - ~ У (5fs3 + 4£2s + 3ts) x(s) ds = y(t).
-i
7Г
124.	x(t) - - f sin t x(s) ds = y(t).
о
2
125.	x(t) - У |£|sr(s) ds = y(t).
-2
I
| 126. x(t)-4 У ts2x(s) ds — y(t).
0
|~При каких значениях параметра А интегральное уравнение
1
я(£)-А У K(t,s) x(s) ds = y(t)
о
разрешимо для любой непрерывной функции y(t), если (127-131):
127. K(t, s) = min(£, s).
f s(t - 1),
128. K(t, s) = < ;	'
V MG*-!),
t s;
t> s.
Задачи и упражнения
137
129. K(t, s) = <	| s(t +1), t s; t(s +1), t > s.
130. K(t, s) = <	[ (el - e-t)(es 4- e2~s), t < s; ( (e‘ + e2-<)(e’ - e~s), t > s.
|_131. K(t, s) = <	i sin t sin (t - s), t s; 1 sin (1 -£)sins, t > s.
132.	Пусть K(t) — четная непрерывная функция с периодом 2тг. Пока-
зать, что интегральное уравнение
	1Г x(t)-X J K(t-s) x(s)ds = 0 -1Г
имеет ненулевые решения только при А =------------, где
7гап
1Г
an = — / К(t) cos (nt) dt,
7г J
-1Г
133.	Пусть K(t) — 2тг-периодическая функция, K(t) = t1 при |£| < я.
Решить интегральное уравнение
x(t)-X У K(t-s) x(s) ds = y(t).
-к
Глава 9
Теория интегрирования
9.1.	Полунепрерывные функции
На расширенной числовой прямой R, полученной добавлением к R
двух несобственных чисел -оо и +оо, операция сложения (х,у)->х + у
определена и непрерывна для всех пар (ж, у), кроме (-оо,+оо) и (+оо,-оо);
операция умножения определена и непрерывна для всех пар, кроме (±оо, 0)
и (0, ±оо).
Пусть X — топологическое пространство. Функция f : X -» R назы-
вается полунепрерывной снизу (сверху) в точке Жо, если для любого a € R,
а < /(«о) (а > /(жо)) существует окрестность V точки жо, такая что
из соотношения ж Е V следует неравенство /(ж) > а (/(ж) < а). Функ-
ция f : X -» R, полунепрерывная снизу (сверху) в каждой точке ж € X,
называется полунепрерывной снизу (сверху) на X.
Замыкание множества {ж; /(ж)	0} называется носителем supp(/)
функции f : X -» R; если носитель функции f компактен, то функция f
называется финитной.
В этой главе мы будем считать X сепарабельным метрическим ло-
кально-компактным пространством, если не оговорено иное.
9.2.	Мера
Определение 1. Комплексный линейный функционал р на векторном
пространстве Жс(Х) финитных непрерывных функций f : X -> С на-
зывается мерой, если для любого компактного множества К С X суще-
ствует число ак € R, а* 0» такое что для любой непрерывной финит-
ной функции f : X -> С с носителем из К выполняется неравенство
1д(/)1 С М/Il. где Н/Н = sup |/(ж)|.
X
Из определения меры следует, что множество комплексных мер Mq(X)
является векторным пространством.
Векторное пространство .Л£(Х) является строгим индуктивным преде-
лом банаховых пространств :Хс(Х, К), состоящих из непрерывных функ-
ций f : X -> С с носителями из К, где К пробегает компактные подмно-
жества X, объединение которых есть X. Пространство .Лс(Х) является
9.3. Верхний и нижний интегралы по положительной мере 139
прямой суммой пространств и	(J^(X) состоит из непре-
рывных финитных функций f : X -» R). Сужение комплексной меры р
на .^r(X) есть R-линейный комплексный функционал, поэтому из раз-
ложения f = /1 + ifi следует равенство д(/) = /z0(/i) + Фо(Л), где д0 —
сужение д на сужение д0 вполне определяет меру д.
Если д — мера, то отображение f -» //(/) также является мерой,
которая называется сопряженной к мере р и обозначается через р. Если
р = р, то мера называется вещественной.
р + р	р — р
Меры р\ = —-— и р2 = —........ являются вещественными. Они на-
зываются соответственно вещественной и мнимой частями меры р и обо-
значаются Re р и Im р. Очевидно равенство р = Re p + i Im д, т. е. всякая
мера выражается через вещественные меры.
Мера р называется положительной, если для каждой функции / О
из .Xr(X) выполняется неравенство д(/)	0. В векторном простран-
стве вещественных мер Mr(X) это позволяет ввести отношение порядка:
считаем и < р, если мера р- и положительна. Наименьшая положитель-
ная мера р, для которой выполняется неравенство |д(/)| < р(|/|) при
любой функции на J^(X), называется модулем меры р. Модуль меры
р обозначается через \р\. Всякая вещественная мера есть разность двух
.	_	\р\ + Р -	\р\ “ Р
положительных мер: р = р - р , где р = —-— и р = —-—
положительны.
Значение меры р на функции f Е J^c(X), p(f) называют интегралом
от функции f по мере р, / /(ж) dp(x) или, короче, / fdp.
9.3.	Верхний и нижний интегралы
по положительной мере
Обозначим через J(X) множество полунепрерывных снизу функций
f : X -> R, для каждой из которых существует функция g Е /Ля(Л’),
зависящая от f и такая, что выполняется неравенство g < /.
Выражение p*(f) = sup{/z(<?); g < /, g Е J£r(X)} называется верхним
интегралом функции f Е J(X). Верхний интеграл функции f Е .Xr(X)
совпадает с p(f). Пусть теперь f : X -> R — произвольная функция;
всегда существует функция h Е J(X), которая удовлетворяет неравенству
h f (хотя бы h = +оо). Это замечание позволяет распространить
понятие верхнего интеграла на произвольные функции, полагая p*(f) =
= inf{/(/i); h^f,he J(X)}.
Нижний интеграл функции f : X -> R определяется соотношением
p*(f) = -p*(-f). Если положить S(X) = -J(X), то S(X) состоит из
140
[лава 9. Теория интегрирования
полунепрерывных сверху функций /, для каждой из которых существует
д Е со свойством f ^д. Отсюда для f Е S(X)
= inf{p,(5); f с g, де JrR(X)}.
Если f : X -» R — произвольная функция, то
д,(/) = $ир{дФ(Л); h^f, he S'(A’)}.
Верхний и нижний интегралы всякой функции f : X -» R связаны
неравенством //*(/) < д*(/). Их обозначают соответственно через
У* /d/z и У /d/z.
Выражения д*А = д*(^л), Д=М =	где А С X, а <рл — харак-
теристическая функция множества Л, называются внешней и внутренней
мерами множества А.
9.4.	Пренебрежимые функции и множества
Функция f : X -4 R называется пренебрежимой относительно меры р,
если /х*(|/|) = 0; аналогично множество А С X пренебрежимо, если
д*(А) = д‘(<рл) = 0.
Свойство Р(х) на X выполняется почти всюду, если множество
X \ {ж; Р(х)} пренебрежимо.
Отношение f=д почти всюду является отношением эквивалентности.
Функция, определенная на множестве А С X, определена почти всю-
ду на X, если X \ А пренебрежимо. Продолжая f каким-либо способом
на X и рассматривая класс / функций, эквивалентных f, видим, что этот
класс не зависит от продолжения. Мы можем распространить отношение
эквивалентности на функции, определенные почти всюду на X, именно:
функции f и д, определенные почти всюду, эквивалентны, если f = д,
т. е. дополнение множества, где f и д определены и выполняется равен-
ство /(ж) = <?(ж), является пренебрежимым.
Если f : X -» R определена почти всюду и почти всюду принимает
конечные значения, то она эквивалентна функции на X, не принимающей
значений -оо и +оо. Для двух функций f и д, определенных почти всюду
и принимающих почти всюду конечные значения, f + д и fg такие же.
Классы, содержащие f + д и fg, не зависят от выбора представителей f
и д из классов f и д, поэтому f + д = f+g, fg = f'9- Пишем неравенство
f ^д, если f < д почти всюду для каких-то двух конкретных элементов
классов f и д, так как в этом случае неравенство /j < д\ почти всюду
будет справедливым для любых представителей f\ и д\ классов f ид.
9.6. Измеримые множества и функции
141
9.5.	Интегрируемые функции и множества
Функция f : X -4 R интегрируема по мере д, если д*(/) и д*(/)
конечны и равны. Их общее значение называется интегралом от функции f
по мере р, и обозначается
Интегрируемая функция почти всюду принимает конечные значения, но
не обязательно ограничена. Для функций f Е J£r(X) определение инте-
грируемости и значение интеграла совпадают с ранее определенными.
Теорема Лебега. Пусть (fn) — последовательность интегрируемых
функций, для которой почти всюду существует предел f(x) — lim
Если |/n| < g почти всюду и p*(g) < 4-оо, то f интегрируема и
fdp = lim / fn dp.
Множество А С X интегрируемо, если интегрируема функция
Интеграл от обозначается рА и называется мерой множества А. Пре-
небрежимое множество интегрируемо, и его мера равна нулю. Если А
интегрируемо и ЛАВ пренебрежимо, то В интегрируемо и рА = рВ
(в частности, р0 = 0).
Определение 2. Мера р называется ограниченной, если д(1) = рХ < +оо.
9.6.	Измеримые множества и функции
Множество А С X называется измеримым, если оно является объ-
единением последовательности попарно непересекающихся компактных
множеств и пренебрежимого множества. Множество А С X называется
универсально-измеримым, если оно измеримо относительно любой меры.
Функция f : X -> R называется р-измеримой, если существует пред-
ставление X в виде последовательности попарно-непересекающихся ком-
пактных множеств Кп и пренебрежимого множества таких, что сужения
/\кп непрерывны при каждом п. Функция /, измеримая относительно
любой меры, называется универсально-измеримой.
Непрерывные функции универсально-измеримы. Эквивалентные функ-
ции измеримы или неизмеримы одновременно. Если f : X -» R измери-
ма, то f~\B) измеримы для любого замкнутого или открытого множества
ВСЁ.
142
Глава 9. Теория интегрирования
Теорема Егорова. Функции fn :X —> R измеримы, предел f(x)=\mfn(x)
существует почти всюду*, тогда:
1)	f измерима*,
2)	для любого е > Q и любого компактного множества К С X суще-
ствует компактное множество К1 С К, такое что р(К\К’) < в,
а сужения fn/К’ сходятся к f/K1 равномерно на К1.
Если f интегрируема, а множество А С X измеримо, то функция
/ • интегрируема. В этом случае интеграл
f<PA<in = У fdn
А
называется интегралом от функции f по множеству А.
9.7.	Пространства Lp
Далее считаем, что произведение ху элементов из R равно нулю,
если один из сомножителей — нуль, а второй — произвольный (включая
-оо и +оо).	_
Для произвольной функции f : X -» R положим
/♦	/ /*♦	\ 1/р
1/1 dfi, Np(f)=(J \f\pdiij ,
Имеют место неравенства
(неравенство Буняковского) и
Np(f+g)^Np(f) + N2(g), р>\,
(неравенство треугольника).
Обозначим через ^(Х, р) множество измеримых функций, для кото-
рых Np(f) < +оо. Из соотношения Np(af) = |a|7Vp(/) и неравенства тре-
угольника следует, что ^r(X, р) есть векторное пространство с полунор-
мой Np(f). Рассмотрим векторное пространство Н пренебрежимых функ-
ций {/; Np(f) = 0}. Фактор-пространства LpR(X,p) = ^(Х,р)/Н явля-
ются нормированными векторными пространствами с нормами Np(f),
р 1, это и есть пространство LPR.
Топология, индуцированная топологией LpR(X,p) на :Xr(X,K), где
К — компактное подмножество X, более сильная, чем топология нормы
11/11 = sup\f(x)\.
9.7. Пространства Lp
143
Комплексная функция f = fa + if2 интегрируема тогда и только
тогда, когда интегрируемы fa и f2\ J fdp, = J fadp + if2 dp. Для ин-
тегрируемости f необходимо и достаточно, чтобы f была измеримой
/♦
\f\dp < +оо. Интеграл
от комплексной функции обладает свойствами:
1)	/ fdp = fdp;
j \f\dp.
Множество комплексных интегрируемых функций обозначается че-
рез L[C(X, р). Аналогично вводится пространство 1%(Х,р) д-измеримых
комплексных функций, для которых \f\p — р-интегрируемая функция.
Полунормы Ni(f) и N2(f) определяются так же.
Из очевидных неравенств |/i| |/| |/j| + |/2|, 1Л1 1/1 I/1I + I/2I
следует, что любая функция / G Lq(X, р) однозначно представима в виде
/ = /1 +i/2»где /1, /2 6 £r(X, д). Все свойства пространств д) пере-
носятся на комплексные пространства Lq(X, р), в частности Lq(X, р), —
банаховы, a Lc(X,p) (и Lr(X, д)) — гильбертовы относительно скаляр-
ного произведения (f,g) = J f(x)g(x)dp.
Для измеримой функции / : X -4 R рассмотрим выражения:
ЛМ/) = ess sup / = inf /{а; д{ж; f(x) a} — О};
^оо(/) — ess inf / = sup{a; д{ж; f(x) а} = 0}.
Если Afood/I) < -f-оо, то функция / называется существенно ограни-
ченной (относительно меры д). Если / существенно ограничена, а функ-
ция д 0 интегрируема, то
”»оо(/) / 9 dp с/ fgdp^M^f) f gdp.
Для интегрируемого множества А (при д — <рд) отсюда вытекает
неравенство
/Поо(/) • рА < / fdp < Maoif) • рА.
А
Множества измеримых функций, удовлетворяющих неравенству
^оо(/) — Afood/I) < +00, отображающих X в R или С, образуют вектор-
ные пространства ^{Х,р) и «/с°(Х, д) с полунормами N^f). Факто-
ризуя эти пространства по векторному подпространству Н пренебрежи-
144
(лава 9. Теория интегрирования
мых функций {/; ^оо(/) = 0}, получим банаховы пространства Lr(X, р)
и Lq (X, д) с нормами N^f).
Отметим, что сопряженное к L}C(X, fi) есть Lq (X, д).
9.8.	Порожденные меры и теорема
Лебега—Радона—Никодима
Функция д : X -> С (или R) называется локалъно интегрируемой, если
для любого компактного К С X выполняется неравенство
j Itfk* Лц < +оо.
Всякая локально //-интегрируемая функция почти всюду принимает
конечные значения и измерима. Пусть функция д локально //-интегри-
руема, тогда при любой функции f € .Л£(Х) интеграл J fgdp конечен.
Кроме того, для всякого компактного К С X
f9 dp
^ll/ll f \9<Pk\dp,
если носитель f содержится в К. Отсюда следует, что функция д опре-
деляет меру. Эта мера обозначается символом др и называется мерой
плотности д по отношению к мере р.
Множество локально интегрируемых функций образует векторное
пространство b}ocR(X, р) или L}ocC(X, р).
—
Теорема Лебега—Радона—Никодима. Пусть р и и — две положи-
тельные меры на X, Следующие условия эквивалентны.
1)	и есть мера, порожденная мерой р;
2)	всякое р-пренебрежимое множество является у-пренебрежимым',
3)	для каждой р-интегрируемой и и-интегрируемой f 0 и любого
с > 0 существует д > 0, такое что из неравенств 0 h < f,
j* h dp < д следует неравенство j* hdy < е ;
4)	для всякого компактного К С X и любого € > 0 существует 6 > О,
такое что из соотношений р*А < д, А G К следует неравенство
у*А <с {абсолютная непрерывность меры у относительно меры р).
Интегрируемость относительно комплексной меры Л равносильна
интегрируемости относительно |Л|, интегрируемости относительно двух
9.10. Произведение мер. Теорема Лебега—Фубини
145
вещественных мер Aj = ReAHA2 = ImAn интегрируемости относительно
четырех положительных мер A*, Af, А^-, Х^.
9.9.	Каноническое разложение меры.
Носитель меры. Конечные меры
Меры д и у называются дизъюнктными, если inf(|/z|, |i/|) = 0. Мера д
сосредоточена на множестве М С X, если X\М |д|-пренебрежимо. Дизъ-
юнктность мер д и и эквивалентна сосредоточенности этих мер на непе-
ресекающихся множествах М и N. Не умаляя общности, можно считать,
что множества М и N универсально-измеримы.
Мера д на X называется рассеянной, если для любой точки х € X
|д|({ж}) — Мера д на X называется атомической, если она сосредото-
чена на конечном или счетном множестве.
Пусть д — некоторая мера. Дополнение наибольшего открытого д-пре-
небрежимого множества называется носителем меры д и обозначается
supp(/<).
Для произвольной меры д определим норму
Нд11 = sup |д(/)|.
11/IIC । /€.*£ W
Очевидно равенство ||д|| = |д|*(1). Конечность ||д|| равносильна огра-
ниченности меры |д|, а тогда ||д|| = |д|( 1) = |д|(Х)
Если ||д|| < Ч-оо, то мера д называется ограниченной. Для положи-
тельной меры д это определение совпадает с приведенным ранее. Всякая
мера с компактным носителем ограничена. Мера др ограничена тогда
и только тогда, когда д является д-интегрируемой. В этом случае
\\9^\\ =	= J |</|ф|.
Если мера д ограничена, то
1%(Х, ц) С I&X, ц) С 4(Х Д)-
9.10.	Произведение мер. Теорема Лебега—Фубини
Даны два локально компактных пространства X и Y с мерами Аид
соответственно. На пространстве X х У существует единственная мера у,
такая что для любой пары функций / С .Л<(Х), д € .Лс(У) выполняется
равенство
[ f(.x)g(y) dv(x, у)=( f fix) dX(x)\ ( f g(y) dfi(y)\.
146
(лава 9. Теория интегрирования
Рассмотрим компактные множества Lc X и М С У; если hEJCc^XxY)
и supp(/i) С L х М, то простые выкладки показывают, что
меняя ролями X и У, получим
Опираясь на эту формулу, левую часть y(h) записывают в виде
h(x,y) dX(x) dji(y).
Меру у называют произведением мер Л ид, и = Л 0 д. Отображение
(Л, д) -4 Л 0 д прямого произведения Мс(Х) х Мс(У) в Мс(Х х У)
является билинейным.
Пусть меры Л, д положительны и заданы соответственно на X и У,
мера и = Л 0 д — их произведение. Для любой функции h € J(X х У)
функция х -4 J h(x,y) dp(y) принадлежит J(X) и выполняется равен-
ство
jj h(x, у) dX(x) dy(y) = J dX(x) J h(x, y) dp,(y).
Если же взять произвольную функцию h : X х У —> R, то справедливы
неравенства
h(x, у) dX(x) dfi(y) > у* dA(a?) J h(x, у) dy,(y);
Применяя первое из этих неравенств к характеристической функ-
ции ipN 1/-пренебрежимого множества N С X х У, получим, что мно-
жество тех ж, для которых сечения N(x) = {у; (х,у) € N} не являют-
ся д-пренебрежимыми, есть Л-пренебрежимое (т. е. почти всюду относи-
тельно меры Л дЛГ(ж) = 0).
Для ^/-измеримой функции h : X х У -4 R отображение у -4 h(x, у)
д-измеримо почти для всех х относительно меры Л. В этом утверждении
можно поменять ролями х и у, однако существуют функции h : X хУ —> R
не являющиеся ^-измеримыми, для которых отображение х -4 Л(ж, у)
Л-измеримо для всех у и отображение у -4 Л(ж, у) д-измеримо для всех х.
Задачи и упражнения
147
Теорема Лебега—Фубини. Пусть А, д — положительные меры на X
и Y соответственно^ мера и = А 0 д — их произведение. Если функ-
ция h : X х Y R и-интегрируема, то почти всюду относительно
меры А отображение у —> h(x, у) является р-интегрируемым, функция
х -» J h(x, у) dp(y), определенная почти всюду относительно меры А,
является Х-интегрируемой и выполняется равенство
h(x, у) dX(x) dp,(y) = У dX(x) J h(x, у) dp(y).
Меняя ролями x и у, получим равенство
Ц h(x, у) dX(x) dfi(y) = J d/i(y) J h(x, y) dX(x).
Во всех задачах этой главы, если нет дополнительных оговорок, пред-
полагается, что пространства, на которых рассматриваются меры, являют-
ся локально-компактными сепарабельными метрическими пространства-
ми, а меры — положительными.
Задачи и упражнения
1.	Доказать полунепрерывность снизу функции f(x) = 0, если х — ир-
рационально, f(x) = \/q, если х = p/q, где q > 0 и дробь несократима,
7(0) = 0.
2.	Пусть X — топологическое пространство. Установить, что полунепре-
рывность снизу отображения f : X -> R на X эквивалентна тому, что
/“’(а, +оо] является открытым множеством при любом а € R.
3.	Пусть — характеристическая функция множества А. Проверить
соотношения:
О Ч>х\а = 1 - Ч>а\
2)	Ч>аЧ>в = Ч>апв\
3)	<Ра + 4>в — <Pa\jb + <Рапв ;
4)	ФАГ\СВ = Ч>А - фАфВ''
5)	\у>А - ^в| = Ч>АПСВ + Ч>ВС\СА\
6)	infy?4. =
7)	supy>A =рцЛ(.
148
(лава 9. Теория интегрирования
4.	Пусть X — топологическое пространство. Доказать, что множество
А С X открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда полунепрерывна
снизу (сверху).
5.	Пусть X — топологическое пространство и функции /(ж), д(х) полу-
непрерывны снизу. Доказать, что если сумма /(ж) + д(х) определена при
любом ж, то она также полунепрерывна снизу.
6.	Пусть X — топологическое пространство. Доказать, что sup(/,<?),
inf(/,#) полунепрерывных снизу функций /(ж), д(х) являются полуне-
прерывными снизу.
7.	Установить, что произведение fg полунепрерывных снизу неотрица-
тельных функций /(ж), д(х) является полунепрерывной снизу функцией,
если оно определено при любом ж € X.
8.	Проверить, что функция, равная -J—, если /(ж)	0, и равная +оо,
если /(ж) = 0, является полунепрерывной сверху, если /(ж)	0, и полу-
непрерывна снизу.
9.	Пусть (/а)аел — семейство полунепрерывных снизу функций. Дока-
зать, что sup — полунепрерывная снизу функция.
a
10.	Для любого рационального числа г рассмотрим характеристическую
функцию fr множества R\{r}. Доказать, что эта функция полунепрерывна
снизу. Найти inf fr и показать, что эта функция не является полунепре-
reQ
рывной снизу.
11.	Представить неотрицательную полунепрерывную снизу функцию f
как sup0n, где дп — полунепрерывные снизу функции с компактными
п
носителями, образующие возрастающую последовательность.
12.	Пусть А — открытое множество, замыкание которого компактно. По-
строить возрастающую последовательность (/п) финитных непрерывных
функций, такую что у? л = sup fn.
п
Указание. Рассмотреть функции fn(x) = п inf{d, X \ 4, 1/п}.
10. inf fr =
rGQ
___________________________________Ответы
1, если х — иррациональное;
О, если х — рациональное.
В иррациональных точках эта функ-
ция не является непрерывной снизу.
11. Рассмотрим последовательность от-
крытых множеств {Gn}, замыкание
которых компактно и которые удовле-
творяют соотношениям Gn С Gn^i,
00
X = (J Gn (использовано свойство
П=1
локальной компактности метрическо-
го пространства X). Тогда f = supдп,
где дп = fGn(x)f(x), fGn(x) - харак-
теристическая функция множества Gn.
Задачи и упражнения
149
13.	Пусть f : X -» R — неотрицательная полунепрерывная снизу функ-
ция с компактным носителем. Доказать, что h =
/ £ +00, Л = 1
при / = -hoc — неотрицательная, полунепрерывная снизу функция с ком-
пактным носителем, удовлетворяющая неравенству 0 < h < 1.
14.	Представить полунепрерывную снизу неотрицательную функцию f
с компактным носителем, значения которой лежат на отрезке [О, 1],
в виде sup#n, где gn полунепрерывны снизу и удовлетворяют неравен-
п
ству 0 < gn < 1 - 1/п.
Указание. Рассмотреть множества
Akn =	+оо], к = 0,1,... , п - 1,
и функции
1 П’1
15.	Дана полунепрерывная снизу функция / : X -> R, для которой су-
ществует финитная непрерывная на X функция g : X -> R, удовлетворя-
ющая неравенству f д. Установить существование последовательности
непрерывных финитных функций /п : X -> R, такой что f = sup fn. Здесь
n
X — локально-компактное сепарабельное метрическое пространство.
["Установить, что следующие отображения являются мерами (16-22):
16.	X — локально-компактное, Xq 6 X, f /(xq) (мера Дирака в точке xq
или мера массы единица в точке х^).
17.	Пусть (ап) — последовательность различных точек из X, (tn) — по-
следовательность комплексных чисел, такая что для любого компактного
множества К С X числа tn с индексами, для которых an Е X, образуют аб-
солютно сходящийся ряд. Рассматривается отображение f -> W(an)
п
(массы tn, помещенные в точках ап).
_____________________________ Ответы ______________________________
15. Пусть 0	1 и supp / компактен.
Для любого n 1 рассмотрим откры-
тые множества Л*п = f~[ {(k/n, -Foo]},
О k п — 1. Замыкания Л*п ком-
1
пактны. дп = - У^ (см. задачи
n к=\
12, 14) полунепрерывны снизу и 0
f(x) - дп(х) I/п. Значит, f =
= sup$n. Каждая ipAkn = swphkmn, где
n	т
hkmn непрерывны.
1
Полагая hmn — - У^ hkmn, получим
n fc=i
/ = sup hmn.
150
Глава 9. Теория интегрирования
ОО
18.	Отображение f -> J переводящее функцию f € .^c(R) в ее
-00
интеграл Римана (мера Лебега на R).
19.	Пусть д — мера на X, а д — некоторая функция из Сс(Х) (не-
прерывная на X комплексная функция). Если f € Jfc(X), то ясно, что
fg € .^с(Х). Рассмотреть отображение f -> p(gf) (мера плотности д
по отношению к мере д, или порожденная мера).
20.	Дан гомеоморфизм тг : X -> X7, переводящий локально компактное
пространство X в локально-компактное пространство X1. Рассмотреть
отображение f -> д(/о?г), где f € .Л/с(А'/), ад — мера на X (образ
меры д при отображении тг, обозначаемый через тг(д)).
21.	Пусть Y — замкнутое подмножество X (значит, оно локально-ком-
пактно), и — мера на У. Для любой функции f € .Л'с(Х) рассмотрим
отображение f -> р(/|у), где f\y — сужение функции f на У (образ
меры v при канонической инъекции У -> X, или каноническое продол-
жение меры v на X).
22.	Пусть U — открытое подмножество X. Если компактное подмноже-
ство К С U, то отображение f -> f/U является изометрией
на :X'(U,K). Обратная изометрия каждой функции д € :X'(U,K) ставит
в соответствие функцию ди = д на U, ди = 0 на X \ U. Отображение
д -> ди из .%c(U) в .Л<(Х) инъективно. Пусть д — мера на X, рассмот-
реть отображение д -> р(ди) (мера, индуцированная мерой д на U, или
| сужение меры д на U, p/U).
23.	Дано открытое покрытие (Ua)aeA пространства X; для каждого a Е А
на Ua задана мера да. Эти меры таковы, что для любых двух индексов а,
/3 сужения мер да и д^ на UariUp равны. Установить существование един-
ственной меры д на X, сужение которой на Ua есть да при любом а Е А.
Указание. Использовать разложение единицы.
24.	Проверить, что меры Лебега и Дирака являются вещественными.
25.	Доказать, что линейный функционал д на .Л^(Х), обладающий свой-
ством д(/) > 0 при / О, есть мера.
Указание. Использовать теорему Урысона.
26.	Даны комплексная мера д на X и f € J£r(X), f 0. Определим
д(/) = sup{|д(<?)|; д Е .AZC(X), |j|	/}. Установить ограниченность р(/),
положительную однородность p(af) = а 0, и положительную
аддитивность p(f} + /2) = р(/1) + р(Л), /1, /2 € .^r(X), f\ 0, /2	0.
Задачи и упражнения
151
27.	Доказать, что р(/) — линейный функционал на :Xr(X)9 представляя
f Е *Xr(X) в виде разности двух неотрицательных функций.
28.	Пусть д — комплексная мера на X. Установить существование наи-
меньшей положительной меры р на Х9 такой что для любой функции
f Е *Хс(Х) выполняется неравенство |д(/)| p(f) (мера р называется
модулем меры р9 и обозначается |д|).
29.	Проверить соотношения \р + р| |д| + |р|, \ар\ = |а| • |д|, а Е С для
произвольных мер, и что |д| = д, если мера р положительна.
30.	Доказать, что образ меры при гомеоморфизме тг: X -> X1 удовлетво-
ряет равенству |тг(д)| = тг(|д|).
31.	Проверить соотношение
Д*(/) = sup д*(/п) = lim
п
если f = sup fn, где (/n) — возрастающая последовательность функций
п
из J(X)9 а мера р положительна.
32.	Пусть/i, f2eJ(X). Проверить равенство дЧ/i+ /2) = Д*(/|) + Д*(/2),
мера р положительна.
33.	Доказать соотношение
✓ 00	к	00
д‘ (52 />»)= 52 д‘(/д д > °-
'п=1	'	п=1
для последовательности (/п) неотрицательных функций в J(X).
34.	Пусть f ^д9 доказать неравенство p*(f)	Д*(#)-
35.	Пусть f : X -> R — произвольная функция. Установить равенство
p*(af) = ap*(f)9 р^ 0, если число а > 0.
36.	Даны две произвольные функции f\9 f2i переводящие X в R. Прове-
рить выполнение соотношения p*(f\ 4- /2) Д*(/|) + /**(/2), /О О, если
сумма /1 + /2 определена для любого ж Е X и д*(/1) > -оо, p*(f2) > -00.
37.	Доказать равенство
/** (sup /п) = sup n*(fn) = lim д‘(/п)
n	n
для возрастающей последовательности (/п) функций, удовлетворяющих
неравенству p*(fn) > -00 при больших п.
152
Глава 9. Теория интегрирования
38.	Доказать неравенства
/ (52 f") 52 /**(/"); /(lim inf f„) < lim inf /(/„)
'fl—1	' n=l
(лемма Фату) для последовательности (/п) неотрицательных функций.
39.	Для произвольной функции f : X —> R проверить соотношение
д*(7) /(/)•
40.	Пусть (а, Ь) — интервал на R, а А — мера Лебега на R. Установить
соотношение A*(a, b) = b — a. С помощью этого результата доказать ра-
венство
A‘G = 52(ftfc - «д
к
где (ak, bk) — составляющие попарно-непересекающиеся интервалы от-
крытого множества G,
41.	Дана д-пренебрежимая функция f : X -> R. Доказать, что функции
af, а € R и д : X —> R, |<?| < |/| также д-пренебрежимы.
42.	Проверить, что если последовательность (/п) состоит из неотрица-
00
тельных д-пренебрежимых функций, то и fn — д-пренебрежимая
п=1
функция.
43.	Доказать, что счетное объединение д-пренебрежимых множеств яв-
ляется д-пренебрежимым.
44.	Пусть А — мера Лебега на R. Установить, что всякое одноточечное
множество и любое счетное множество элементов из R А-пренебрежимы.
45.	Пусть А — мера Лебега на R. Построить пример несчетного А-
пренебрежимого множества.
46.	Доказать, что функция f : X -> R д-пренебрежима тогда и только
тогда, когда f = 0 почти всюду относительно меры д.
47.	Установить, что из неравенства д*(/) < +оо (д*(/) > -оо) следует
f(x) < +оо (f(x) > -оо) почти всюду.
48.	Даны две эквивалентные функции /, д, переводящие X в R. Прове-
рить выполнение равенства д*(/) = д*(<?) и д*(/) = д*(#).
49.	Пусть А — мера Лебега на R. Привести примеры ограниченной не-
интегрируемой функции и неограниченной интегрируемой функции.
_____________________________ Ответы _________________________________________
45.	Канторово совершенное множество. 49. f(x) = 1 на R; р(х) = In |а?|, |z|	1,
<р(х) = 0, |s| > I.
Задачи и упражнения
153
50.	Доказать утверждение: «интегрируемость функции f : X -> R эк-
вивалентна существованию для любого е > 0 двух функций g e.S(X),
h 6 J(X), таких что g f < h и д*(Л) - д*(р) = Д*(Л - д) < €».
51.	Проверить, что для интегрируемости функции f : X R необходимо
и достаточно существование убывающей последовательности (hn) функ-
ций из J(X) и возрастающей последовательности (дп) функций из S(X),
таких что < 7 On и lim n*(hn) = lim ц*(дп) =
52.	Установить эквивалентность интегрируемости функции / : X -> R су-
ществованию для любого е > 0 функции u Е .^r(X), удовлетворяющей
неравенству д*(|/ - и|) < е.
53.	Обозначим через L\^X, р) множество д-интегрируемых на X функ-
ций, принимающих конечные значения. Доказать, что Lr(X, д) — вектор-
ное пространство над R, а отображение f -+ j* fdp — положительный
линейный функционал на Lr(X, д), т.е., если / ^ О почти всюду относи-
тельно меры д, то у* fdp 0.
54.	Пусть f и д — интегрируемые функции. Установить, что функции
sup(/,#), inf(/, д), |/|, /+, /” интегрируемы и выполняется неравенство
[ fdp	[ \f\dp.
55.	Проверить, что интегрируемость функции h 6 J (д 6 S) эквивалентна
выполнению неравенства д*(Л) < +оо (д*(<?) > -оо).
56.	Доказать, что если А и В — пренебрежимые множества, то A U В,
ЛпВ, А ГУ СВ пренебрежимы.
57.	Доказать, что компактное множество интегрируемо.
58.	Доказать, что открытое множество G интегрируемо тогда и только
тогда, когда д*(б) < 4-оо.
59.	Рассмотрим отрезок [а, Ь], а, b Е R, a < Ь, и функцию ^|о,ь|
Проверить, что эта функция интегрируема, и вычислить ее интеграл от-
носительно меры Лебега.
60.	Установить, что интегрируемость множества А С X эквивалентна су-
ществованию для любого е > 0 компактного множества if С Л и открыто-
го множества G D Л, для которых выполняется неравенство p*(G\K) < е.
_____________________________ Ответы _____________________________
59. b-a.
154
Глава 9. Теория интегрирования
61.	Построить пример ограниченного множества на R, которое не инте-
грируемо относительно меры Лебега.
62.	Доказать, что интегрируемость f = sup/n, где (/п) — возрастающая
п
последовательность интегрируемых функций, эквивалентна неравенству
sup у* fn dp < +оо. Проверить равенство
У (sup /п) dfi = sup J fn dfi.
63.	Дана произвольная последовательность (/п) интегрируемых функций.
Доказать, что sup fn — f интегрируем тогда и только тогда, когда суще-
/*
д dp < +оо и fn д почти всюду для любой
функции из последовательности.
64.	Последовательность интегрируемых функций (/п) такова, что выпол-
няются почти всюду неравенства |/n| h при любом п, кроме того,
У hdp < +оо. Доказать, что lim inf fn и lim sup fn — интегрируемые
функции и выполняется соотношение
У (lim inf fn) dp lim inf J fndp lim sup J fndp J(lim sup fn) dp.
65.	Исходя из предыдущей задачи, доказать теорему Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла.
66.	С помощью теоремы Лебега установить возможность почленного ин-
тегрирования ряда из интегрируемых функций
00	00	л
f(x) = 52 fn(x) при усл°вии 52 /	< +°°-
П=1	П=1
67.	Доказать, что р| Ап последовательности (Ап) интегрируемых мно-
п
жеств интегрируемо.
68.	Доказать, что (J Ап интегрируемо, если каждое Ап интегрируемо
п
и Ап С В, где В интегрируемо.
69.	Доказать интегрируемость U Ап и неравенство
д(и л«) 52 ^Ап’ если 52 ^Ап < +о°-
в	п
_____________________________ Ответы _______________________________
61. См.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Эле-
менты теории функций и функциональ-
ного анализа. М.: Наука, 1976. С. 294.
Задачи и упражнения
155
70.	Проверить свойство счетной аддитивности.
71.	На дискретном пространстве N введем меру д(п) = 1. Доказать, что
функция п -> хп интегрируема тогда и только тогда, когда ряд knl
в
СХОДИТСЯ,
/ xn dfi(n) = ^2 хп
п
и пространство Lr(N, д) есть пространство Банаха Z1.
72.	Для любого числа а, 0 < а < 1, на отрезке [0, 1] построить неплотное
замкнутое множество меры Лебега а.
73.	Пусть Л — мера Лебега на R. Обозначим через Е векторное простран-
ство L^RA), снабженное топологией точечной сходимости. Доказать, что
линейный функционал f -> j* fdp не является непрерывным на Е.
74.	Пусть А — интегрируемое подмножество Е. Показать, что А пред-
ставимо в виде счетного объединения попарно-непересекающихся ком-
пактных множеств и пренебрежимого множества.
75.	Установить эквивалентность измеримости А С X и интегрируемости
А П К для любого компактного К С X.
76.	Доказать, что дополнение измеримого множества измеримо.
77.	Доказать, что счетное объединение и счетное пересечение измеримых
множеств измеримы.
78.	Установить, что открытые и замкнутые множества универсально-из-
меримы.
79.	Показать, что операции счетного объединения, счетного пересечения
и переход к дополнению не выводят из семейства универсально-измери-
мых множеств.
80.	Показать, что для каждого д-измеримого множества А существуют уни-
версально-измеримые множества В и С, В С А С С, такие что д(С\В) = 0.
81.	Доказать, что измеримость А С X эквивалентна измеримости
82.	Функция f :X->Y, где Y — топологическое пространство, называ-
ется ^-измеримой, если существует представление
х = ^и(0*п),
___________________________ Ответы __________________________
72. Из отрезка [0,1] удаляем интервал дли-
ны (1 - а)/3, середина которого в точ-
ке 1/2. Из двух полученных отрезков
удаляем интервалы длиной (1 -а)/32,
середины которых — в серединах от-
резков, и т.д.
156
Глава 9. Теория интегрирования
в котором N //-пренебрежимо, Кп компактны, а все сужения /\кп непре-
рывны. Пусть функция f : X -> У, где Y — топологическое пространство,
//-измерима. Доказать, что любое компактное множество К С X пред-
ставимо в виде счетного набора попарно-непересекающихся компактных
множеств (Ln) и //-пренебрежимого множества таких, что каждое сужение
/\ьп непрерывно.
83.	Любое компактное множество К С X разбивается на счетный на-
бор компактных множеств (£п) и //-пренебрежимое множество М, такие
что /|ьп непрерывно при каждом п. Установить для любого компактного
К С X и любого е > 0 существование компактного К1 С К, на котором
/\к> непрерывно и р(К\К') < е. Здесь f : X -> У и У — топологическое
пространство.
84.	Пусть для любого компактного К С X и любого е > 0 существует
компактное К1 С К, обладающее свойствами:
1) сужение f\K> непрерывно;
2) ц(К\К')<е.
Доказать //-измеримость функции f : X -> У, где У — топологиче-
ское пространство.
85.	Проверить эквивалентность //-измеримости функции f : X -> R и
//-измеримости произведения f<pK для любого компактного К С X.
86.	Задана последовательность //-измеримых функций fn : X -> Yn, где
Yn — топологические пространства. Показать, что для каждого компакт-
ного К С X и любого е > 0 существует компактное К1 С К, для которого
каждое сужение /п\к> непрерывно и р(К \ К') < е.
87.	Даны топологические пространства У*, k = 1, 2,..., п, и Z. Устано-
вить, что если fk : X -> Yk
//-измеримы, а функция и :
-> Z
непрерывна, то функция х -> u[f\(x),..., fn(x)] //-измерима.
88.	Доказать, что sup(/, </) и inf(/, д) //-измеримы, если f,g — //-изме-
римые функции, значения которых находятся в R.
89.	Проверить, что f +д и af измеримы, если f9g — измеримые функ-
ции, значения которых находятся в векторном пространстве, a — произ-
вольный скаляр.
90.	Дано измеримое отображение f : X -> У, где У — топологическое
пространство. Установить измеримость	если М — любое откры-
тое (замкнутое) множество из У.
91.	Доказать теорему Егорова, используя результаты предыдущих задач.
Задачи и упражнения
157
92.	Для любой последовательности (/п) измеримых функций fn : X -> R
установить измеримость sup/n, inf /п, lim sup /п, lim inf fn.
93.	Показать, что полунепрерывные функции f : X -> R универсально-
измеримы.
94.	Проверить, можно ли в задачах 87-90 слово «измеримость» заменить
на слова «универсальная измеримость».
95.	Доказать, что для любого конечного набора интегрируемых множеств
{Л,}, 1 i р существует конечный набор {Вк}, 1 к г, попарно-
непересекающихся интегрируемых множеств, таких что каждое Л, есть
объединение конечного числа множеств В^
96.	Представить измеримую функцию f : X -> R как предел почти всю-
ду последовательности (gn) измеримых финитных ступенчатых функций,
каждая из которых универсально-измерима, и для них выполняется нера-
венство |0П|	|/| при каждом п.
97.	Установить, что измеримость функции / : X -> R и справедливость
неравенства д*(|/|) < +оо эквивалентны интегрируемости функции /.
98.	Доказать, что если функция / интегрируема, а множество Л измери-
мо, то функция {уд интегрируема и для любой возрастающей последо-
вательности измеримых множеств (Лп), объединение которых отличается
от X на пренебрежимое множество, выполняется соотношение
/ fdn = lim / f<pAndn.
99.	Пусть А — мера Лебега на R и -оо < a < Ъ < +оо. Рассмотрим
простую0 функцию / с носителем, содержащимся в I = [а, Ь]. Доказать,
что / измерима,
ь
J fdX = f f(x) dx
I	a
и если / — произвольная простая функция, то для ее интегрируемости
необходимо и достаточно, чтобы
п
lim у* |/(я)| dx < +оо.
-п
_____________________________ Ответы ______________________________
94. Можно.
° Функция называется простой, если в каждой точке интервала (о, Ь) она имеет одно-
сторонние (конечные) пределы.
158
[лава 9. Теория интегрирования
100.	Построить пример функции / : R -> R, такой что
В
lim
Ч-оо,
—п
а
п
lim /
—п
существует и конечен.
101.	Проверить, что всякая измеримая ограниченная функция интегри-
руема, если мера д ограничена, при этом
102.	Установить, что для ограниченной меры р и любого е > 0 существует
компактное К С X, такое что р(Х \К) < е.
103.	Доказать, что если sup N\(fn) < 4-оо и lim fn = f почти всюду на X,
то для любой ограниченной меры р при измеримости функции fn спра-
ведливо соотношение
lim
104.	Доказать неравенство Буняковского и неравенство треугольника для
случаев р = 1,2.
105.
106.
107.
Доказать полноту пространств Lr(X д), р^ 1.
Проверить, что плотно в Lr(X, д), р 1.
Показать, что £r(X д), р= 1,2, сепарабельны.
Пусть А — мера Лебега на отрезке [0, 1 ]. Для любого целого п = 2к 4-1,
и fn = О
108.
2*’ 2
О < I < 2к, определим функцию: fn = 1 на отрезке
вне этого отрезка. Установить, что (/п) сходится к нулю по норме про-
странств Lr, р = 1,2, но не сходится ни в одной точке отрезка [0, 1].
109.	Пусть Л — мера Лебега на отрезке [0, 1]. Построить функцию
f : [0, 1] -> R, такую что /2 и |/| измеримы и интегрируемы, a f не из-
мерима, а значит, и не интегрируема.
 Ответы -----------------------------

{1, на измеримом А С [0,11;
-1, на [0,1]\А.
Задачи и упражнения
159
110.	Для р > 1 положим q = р/(р - 1). Для любой функции f : X -> R
определим
NP(f) = }Jf
Доказать неравенство Гёльдера
и неравенство Минковского
ВД + <7)^ВД) + ВД.
111.	Рассмотреть пространство Ь^(Х,р), 1 < р < оо, и доказать, что
Zr(X, д) — сепарабельное банахово пространство.
112.	Доказать, что сходимость по норме Noq в пространстве Lr эквива-
лентна равномерной сходимости на дополнении к пренебрежимому мно-
жеству.
113.	Установить, что пространство Lr не является сепарабельным.
114.	Установить, что локальная интегрируемость функции g : X -> R
(или С) эквивалентна утверждению: «при любой h е .Лс(Х) произведение
gh интегрируемо».
115.	Проверить, что локальная интегрируемость комплексной функции f
эквивалентна локальной интегрируемости Re / и 1т/.
116.	Показать, что локальная ^-интегрируемость функции g влечет ло-
кальную интегрируемость функции |<?| и равенство \др\ = |<?| • д.
117.	Показать, что пространство Lioc C(Xf р), полно относительно топо-
логии, задаваемой полунормами
Pk -9^ j \9<Рк\<1ц,
где К — компактное подмножество X.
118.	Пусть <7^0— локально д-интегрируемая функция на X и v = др.
Установить равенство
/* Г*
/ fdv= / fgdp, если f^J(X).
119.	Даны меры р и v — др, где д 0 локально р-интегрируема. Про-
верить, что всякое д-пренебрежимое множество является р-пренебрежи-
мым.
160
[лава 9. Теория интегрирования
120.	Рассмотрим меры р и v = др, д 0 и локально д-интегрируема.
Доказать, что
/* г*
fdv = fg dp,
если f : X -> R обладает свойствами:
1)	supp(/) = К компактен;
2)	f\K непрерывна.
121.	Пусть меры р и v связаны друг с другом, как в задаче 120. Показать,
что v{x; х е X, д(х) = 0} = 0.
122.	Меры р и v заданы, как в задаче 120. Проверить равенство
f fdu = f f9dp,
если supp(/) = К компактен, /\к полунепрерывна снизу и не принимает
значения -оо.
123.	Доказать равенство
f f du = У fgdp
для произвольной функции /:X->R если меры р и и заданы, как в за-
даче 120.
124.	Пусть задана произвольная функция f : X -> R, а меры р и v взяты
из задачи 120. Доказать эквивалентность утверждений:
1)	f ^-измерима;
2)	f(/>s д-измерима (S = {х; х € X, д(х) > 0});
3)	fff д-измерима.
125.	Пусть дир — меры из задачи 120. Показать, что ^-интегрируемость
функции f : X -> R эквивалентна д-интегрируемости функции fg, при
этом
f f dv = j fgdfi.
126.	Меры дир заданы, как в задаче 120. Установить, что мера р огра-
ничена тогда и только тогда, когда д д-интегрируема, а равенство р = 0
эквивалентно тому, что функция д д-пренебрежима.
127.	Пусть дир— две положительные меры на X, р д и р ограничена.
Доказать существование локально д-интегрируемой функции д, такой что
р = ^д.
128.	Решить задачу 127, сняв условие ограниченности меры р.
Задачи и упражнения
161
129.	Показать, что для любого конечного набора комплексных мер (/я),
1 к г, на X существует положительная мера Л, такая что каждая
мера ць порождается мерой А.
130.	Установить существование sup(/z, и) и inf(д, и) для любых двух мер
из MR(X).
131.	Положим д+ = sup(/z,O), д" = зир(-д,0), д € MR(X). Проверить
равенства тГ(д+, д”) = 0, д = д+ - д“, |д| = д+ 4- д" = 8ир(д, -д).
132.	Меры д, и вещественны. Доказать равенства
д 4- и = зир(д, р) 4- 1пГ(д, р),
SUp(/i, и) = | (д + и + \ц - 1/|),
inf(p,i/) = |(д + р- |д-р|).
133.	Пусть А — положительная мера, д\, д2 — две вещественные локаль-
но А-интегрируемые функции. Введем меры Д| = <?|А и Д2 = д2А. Уста-
новить равенства
sup(^i, д2) = [sup(0b02)]A и !пГ(дьд2) = [inf(jbj2)]A.
134.	Задана положительная мера А и локально А-интегрируемая вещест-
венная функция д. Проверить равенства (<?А)+ = д+Х, (<?А)~ = д~Х.
135.	Для мер д1 и Д2 из задачи 133 показать эквивалентность неравенства
Д1 Д2 соотношению д\ д2 почти всюду относительно меры А.
136.	Задана возрастающая последовательность (дп) локально А-интегри-
руемых функций, где А — положительная мера. Установить, что возрас-
тающие меры дпХ мажорируются в MR(X) тогда и только тогда, когда
supgn А-интегрируем, при этом sup(<?nA) = (sup gn)X.
n	n	n
137.	Доказать, что любая мажорируемая часть Н С MR(X) имеет точную
верхнюю границу р, для которой существует возрастающая последова-
тельность (Дп) С Н, такая что и = sup дп.
п
138.	Доказать теорему Лебега—Радона—Никодима.
139.	Заданы две положительные меры д и и на X, Проверить эквива-
лентность следующих утверждений:
1)	пренебрежимые множества для д и для и одни и те же;
2)	и = <?д, где д локально д-интегрируема и д(х) > 0 почти всюду
относительно д. Меры дир называются эквивалентными.
162
[лава 9. Теория интегрирования
140.	Показать, что для любой положительной меры д на X существует
непрерывная функция h(x) > 0, для которой мера v = hp ограничена.
141.	Установить, что для любой последовательности (дп) положительных
мер существует ограниченная положительная мера v на X, такая что
каждая мера рп порождается мерой р; если v\ — другая такая мера, то v
и i/i эквивалентны.
142.	Доказать, что если v = sup дп, где (дп) — возрастающая последо-
вательность положительных мер, то v-интегрируемость функции f экви-
валентна (дп)-интегрируемости при каждом п и выполнению неравенств
sup у*\f\dpn < +оо. Тогда J fdv = lim J fdpn.
143.	Для положительных мер р и v проверить соотношения:
1)	(д -I-1/)* = д* + р*;
2)	/ (д + v)-интегрируема (измерима) тогда и только тогда, когда f
д-интегрируема (измерима) и ^-интегрируема (измерима);
3)	У fd(p + v) = j fdp + У fdv.
144.	Показать, что любая комплексная мера Л на X представима в вйде
А = Л|А|, где h — локально |А|-интегрируема, |Л(ж)| = 1 почти всюду
относительно меры |А|.
145.	Установить, что дуальное (сопряженное) к пространству Lr(X, д)
есть Ьк(Х,д).
146.	Доказать, что дизъюнктность мер д и v эквивалентна тому, что
М A N = 0, где X \ М |д|-пренебрежимо, а X \ N |i/|-пренебрежимо.
147.	Установить, что если мера v дизъюнктна относительно мер Аид,
то v дизъюнктна относительно (А + д).
148.	Проверить равенство |А + д| = |А| + |д| для дизъюнктных мер Аид.
149.	Показать дизъюнктность д = sup А и v, если Н — мажорируемое
множество положительных мер А, дизъюнктных с v.
150.	Задана положительная мера д на X. Доказать, что любая комплекс-
ная мера v на X единственным способом представима в виде v = V\ + v2,
где Vi порождена мерой д, а мера v2 дизъюнктна с д; если v 0, то v\
и v2 положительны и V\ = sup (inf (f, пд)).
п
151.	Проверить, что мера Лебега на R является рассеянной.
152.	Установить, что всякое счетное множество является д-пренебрежи-
мым, если д — рассеянная мера.
Задачи и упражнения
163
153.	Доказать, что сумма двух рассеянных мер является рассеянной мерой.
154.	Пусть д — произвольная мера на X. Показать, что множество А =
= {х\ х Е Х\ |д|({я}) > 0} конечное или счетное.
155.	Доказать, что всякая мера д единственным способом представима в
форме д = Л + р, где Л — рассеянная мера, a v — атомическая.
156.	Пусть А — мера Лебега на R, а д — произвольная мера на R. Устано-
вить, что д единственным способом представима в виде д = Д] 4- Д2 4- Дз,
где Д| порождена мерой А, Д2 — атомическая мера, а дз — рассеянная
мера, дизъюнктная с А.
157.	Пусть д — атомическая мера. Проверить, что счетное множество
А = {ж; х € X; |д|({ж}) > 0} — наименьшее множество, на котором
сосредоточена мера д.
158.	Пусть д — атомическая мера, a D = (хп) ~ счетное множество,
на котором сосредоточена мера д и |д|({жп}) =7П- Показать, что:
1)	^2 7п < H-сю для любого компактного К С Х\
хп^К
2)	IДГ(/) = 54 7п/(®п) Для любой функции / 0;
3)	/ д-интегрируема, если ^27п|/(а:п)| <+оо и f fdp =
где /Зп = д{яп}.
159.	Задана произвольная мера д на X. Установить, что объединение от-
крытых д-пренебрежимых множеств является д-пренебрежимым.
160.	Проверить, что если х Е зирр(д), то для любой функции f Е .Лс(Х),
7(®)^о, Ы(|/|) > о.
161.	Установить соотношения:
1)	зирр(д) = зирр(|д|);
2)	5ирр(ад) = 5црр(д), если скаляр а 0;
3)	5ирр(<?д) = supp(g) П зирр(д) для любой локально д-интегрируемой
функции;
4)	5нрр(д 4- у) = 5ирр(д) U supp(i/), если меры д и v положительны;
5)	5прр(д) есть замыкание объединения носителей мер из Я,
если v = sup Н, Н — мажорируемое множество положительных мер.
162.	Пусть д — атомическая мера на R, сосредоточенная на счетном
плотном множестве и такая, что мера каждой точки из этого множества
не равна нулю. Доказать, что мера д и мера Лебега А дизъюнктны, однако
их носители совпадают.
164
[лава 9. Теория интегрирования
163.	Показать, что всякая непрерывная комплексная функция д-инте-
грируема тогда и только тогда, когда зирр(д) компактен.
164.	Установить равенство 8ирр(тг(д)) = 7r(supp(/z)), где д — мера на X,
а тг — гомеоморфизм X на X1.
165.	Проверить включения: L°° С L2 С L1, если |д|Х < +оо.
166.	Пусть L — компактное подмножество X, а М — компактное под-
множество У. Доказать, что если h(x, у) € ЯЦХ хУ) и supp(ft) С LxМ, то
д(у)= / h(x, у) dX(x)
непрерывна на У и supp(<?) С М, здесь Л — мера на X,
167.	Проверить, что произведение мер есть билинейная форма.
168.	Установить, что произведение вещественных (положительных) мер
является вещественной (положительной) мерой.
169.	Пусть I/ = Л0 д, где Л и д положительны. Доказать, что если
h € J(X х У), то функция
. J h(x,y)dp,(y)
принадлежит J(X) и выполняется равенство
J hdv = J dX(x) J h(x,y) d[i(y).
170.	Проверить неравенство
/ hdv Л* I / h(x, y) dp,(y) )
для произвольной функции h : X x У -> R.
171.	Доказать неравенство
УУ** h(x, у) dX(x) dy,(y) < У dX(x) J h(x, y) dp,(y).
172.	Показать, что если h : X x У —> R ^-измерима, то множество то-
чек ж, для которых отображение у —> h(x,y) не является д-измеримым,
есть Л-пренебрежимое.
173.	Доказать теорему Лебега—Фубини, используя результаты предыду-
щих задач.
Задачи и упражнения
165
174.	Пусть О 0 и ^-измерима. Проверить, что функция
A-измерима и выполняется равенство
h(x,y)dX(x)dfi(y) = У dA(a?) J h(x,y) dfi(y).
175.	Доказать, что ^-интегрируемость ^-измеримой функции h(x, у) эк-
вивалентна выполнению неравенства
176.	Дано ^-измеримое множество А С XxY. Установить, что множество
х е X, для которых сечение А(х) = {у; (х, у) 6 Л} не есть д-измеримое,
является А-пренебрежимым, функция х -4 д*А(х) A-измерима и
р*Л = J д*Л(ж) dX(x).
^-измеримо. Показать, что если А(х) д-прене-
х относительно меры А, то Л 1/-пренебрежимо.
у-интегрируемо. Проверить, что множество тех
177.	Пусть Л С X х Y
брежимо для почти всех
178.	Пусть Л С X х Y
х € X, для которых А(х) не является д-интегрируемым, есть А-пренебре-
жимое, функция х -> дЛ(ж) А-интегрируема и
у А = J дЛ(ж) dX(x).
179.	Доказать, что N х Y есть р-пренебрежимое, если N С X является
А-пренебрежимым.
180.	Пусть Е, F, G — топологические пространства, u : Е х F -4 G —
непрерывное отображение. Установить, что если f : X -4 Е А-измерима,
a g : Y -4 F д-измерима, то (ж, у) -4 u(f(x),g(y)) — ^-измеримое отоб-
ражение X х Y в G.
181.	Показать, что функция (х,у) -4 f(x)g(y) ^-интегрируема, если f :
X -4 R А-интегрируема, a g : Y -4 R д-интегрируема, кроме того,
[[ f(x)9(y) dX(x) dp(y) = (J f(x)dX(x)^ (J g(.y)dn(y)^.
182.	Даны множества Л С X, В С Y. Проверить соотношение
\/*(Л х В) = А*Л • д*В.
166
Глава 9. Теория интегрирования
183.	Пусть А и В — множества из задачи 182, соответственно А-изме-
римое и д-измеримое. Доказать, что А х В ^-измеримо.
184.	Пусть А и В — множества из задачи 182. Установить, что из А-инте-
грируемости А и р-интегрируемости В следует ^-интегрируемость Ах В.
185.	Даны f : X -> R — локально А-интегрируемая функция и д : Y R
— локально д-интегрируемая функция. Пусть f 0 д : X х Y -> R —
функция (ж, у) -> f(x)g(y). Доказать, что f ®д локально ^-интегрируема
и (/ 0 д)(Х 0 fl) = (/А) 0 (дд).
186.	Для комплексных мер А — на Хид — на У проверить равенство
|А 0 д| = |А| 0 |д|.
187.	Для мер из предыдущей задачи, используя дополнительное условие
«А сосредоточена на А С X, а д — на В С У», установить соотношение
«А 0 д сосредоточена на А х В».
188.	Для мер из задачи 186 показать, что имеет место равенство
supp(A 0 д) = supp(A) х зирр(д).
189.	Проверить равенство ||А 0 д|| = ||А|| • ||д|| для мер из задачи 186.
190.	Пусть у — мера Лебега на Rn, определенная как произведение п
множителей из мер Лебега на R. Доказать равенство
dX\... dXm J*... J* f dXm+\... dXn.
191.	Пусть д — положительная мера на X, А — мера Лебега на R,
a f : X -> R неотрицательна. В XxR определим подграфик Df функции f
как множество (ж, у), 0 у f(x). Установить, что д-измеримость
функции f эквивалентна v-измеримости подграфика Df, где у = д 0 А.
192.	Взяв меры д, и, функцию f : X -> R и ее подграфик Df из предыду-
щей задачи, показать, что f д-интегрируема тогда и только тогда, когда Df
р-интегрируем, при этом
Ч-оо
vDf = у* fdp = J g(t) dt,
о
где g(t) = д*(/-1[£,+оо]).
193.	Заданы положительная мера днаХ, / :X-»R,/^0,hA — мера
Лебега на R. Рассмотрим график функции f Г/ = {ж, f(x)} С X х R.
Пусть А — мера Лебега и и = д 0 А. Проверить, что из д-измеримости
функции / следует 1/-пренебрежимость множества Г/.
Задачи и упражнения
167
Г 3
Г 1	3
194.	Для каждого п > 0 положим Лп = тт, тттт ) > Вп = тттт, ztt I
2n 2П+* /	2п+1 2П” /
в R. В R2 определим множества Cn = AnxAn, Dn = ВпхВп, Еп = АпхВп
и Fn — Вп х Ап, Рассмотрим функцию f(x,y) = 4n+I на Сп и Dn,
f(x, у) = -4n+I на Еп и Fn и f(x, у) = 0 на дополнении этих множеств
в R2 при каждом п. Доказать, что f измерима, интегралы
f dy f f(x,y)dx и f dx f f(x,y)dy
существуют и равны, однако f не интегрируема относительно меры Лебега
Глава 10
Гильбертово пространство
10.1.	Определение гильбертова пространства
Векторное пространство X над полем комплексных чисел С назы-
вается предгильбертовым, если задано отображение ( , ) : X х X -> С,
удовлетворяющее условиям:
1)	(х, х) 0, (ж, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	(х,у) = (у,х)1);
3)	(х + хьу) = (x,y) + (xt,y);
4)	(Хх,у) = Х(х, у).
В этой главе пара (ж, у) — не элемент пространства X х X, а ком-
плексное число, хотя обозначаются они одинаково. Это комплексное чис-
ло (ж, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Из свойств
2-4 следует равенство
✓	п	т	\ п т
(5	2 а*®*’ 52 )= 52 52	у0-
'*=1	/=1	'	к=\ /=1
Кроме того, имеет место неравенство Коши—Буняковского
К®. у)|2 < (Ж, х)(у, у).
Предгильбертово пространство является нормированным, так как
скалярное произведение определяет норму ||ж|| = (х, ж)|/2. Полное отно-
сительно этой нормы предгильбертово пространство называется гильбер-
товым и обозначается буквой Н. Условимся, что слова «подпространство
гильбертова пространства» будут означать замкнутое векторное подпро-
странство Н.
10.2.	Ортогональность и теорема о проекции
Элементы х и у из Н называются ортогональными, если (х, у) = 0.
Элемент х ортогонален подпространству L, х ± L, если (х, у) = 0 для
любого элемента у € L.
Черта означает комплексное сопряжение.
10.3. Ортонормальные базисы
169
Теорема 1. Если L — подпространство Н, то для каждого хЕН суще-
ствуют единственные элементы у € L и z ± L, такие что х = у + z.
Элемент у называется проекцией элемента х на подпространство L.
Множество элементов г, ортогональных подпространству L, образует под-
пространство М, которое называется ортогональным дополнением подпро-
странства L. В этом случае Н является ортогональной суммой подпро-
странств L и М:
H = L&M.
Ортогональная сумма подпространств является частным случаем тополо-
гической прямой суммы. Множество элементов z, ортогональных произ-
вольному множеству М С Н (не обязательно подпространству), обозна-
чается через М1.
10.3.	Ортонормальные базисы
Система элементов {еа}, а 6 А называется ортонормальной, если
(еа, ер) = 5ар, где дар — символ Кронекера. Максимальное ортонормальное
подмножество Н называется ортонормальным базисом в Н. Мощность ор-
тонормального базиса называется размерностью Н и обозначается dim Я.
Сепарабельность Н — необходимое и достаточное условие существова-
ния не более чем счетного ортонормального базиса в Н, Доказательство
достаточности проводится с помощью процесса ортогонализации, пред-
ставляющего самостоятельный интерес. Бесконечная система элементов
{hk} называется линейно-независимой, если всякая конечная подсистема
этой системы линейно-независима. Система линейно-независимых эле-
ментов {hk} превращается в ортогональную с помощью ортогонализации.
Положим
h\	Л 2 — «2161
е' = НМ’ С2= ЦЛ2-а21е1||’
где число «21 подобрано так, чтобы вектор Л2 - «21^1 был ортогонален
вектору в| затем
_ h3 - «3161 - «32^2
3 _ ||h3 -а3|в| - а32е2|| ’
где комплексные числа «31, «32 подобраны из условий
(Лз - «3!б! - «32^2, ек) = о, к = 1, 2.
Этот процесс продолжаем неограниченно, полученная система будет ор-
тонормальной.
170
Глава 10. Гильбертово пространство
10.4.	Ряды Фурье
Пусть {еа}, a G А, — ортонормальная система в Н. По произ-
вольному элементу х ЕН построим комплексные числа (х, еа), которые
называются коэффициентами Фурье вектора х. Для всякого конечного на-
бора {еаА}, к — 1, 2,...»п, имеет место неравенство Бесселя
п
22 К®. еО1)|2 11®Ц2,
к=\
откуда следует суммируемость ряда |(ж, еа)|2, что дает только счетное
аЕА
множество отличных от нуля коэффициентов Фурье (ж, еа) элемента х
и приводит к неравенству
22 к®. е<л2 < п®112-
аЕА
Суммируемость ряда произвольной мощности, как обычно, означает,
что ряд суммируем к числу Л, если для любого € > 0 найдется
аеА
конечное множество индексов Jo, такое что при любом конечном наборе
индексов J D Jo выполняется неравенство |а - У^ Аа| < в. Из это-
a€J
го определения вытекает критерий суммируемости: семейство чисел {Ла}
суммируемо тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует ко-
нечное множество индексов Jq , такое что | У^ Ла | < е при любом конечном
aEJ
множестве индексов J, удовлетворяющем условию JqC\J = 0.
Если {Аа} суммируемо, то множество индексов, для которых Ха О,
не более чем счетно.
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны'.
1)	{еа} ~ ортонормальный базис в Н;
2)	если (х, еа) = 0 при всех а Е А, то х = 0;
3)	х = У^(ж, еа)еа V х Е Н (разложение Фурье)',
а
4)	(х, у) = У^(ж, во)(ео, У) Vх,у Е Н (равенство Парсеваля)',
а
5)	||®||2 = У^ 1(ж> е«)|2 V ж € Я (теорема Пифагора).	I
а
10.6. Ограниченные линейные операторы
171
п
Сумма 52(ж, eak)eak называется отрезком ряда Фурье элемента х.
к=\
Для произвольного набора комплексных чисел fi\, fii, • • •, fin имеет место
неравенство
п
х — 52^’
к=\
п
х - 52
л=1
Это свойство носит название экстремального свойства отрезка ряда Фурье.
10.5.	Линейные и билинейные функционалы
Всякий непрерывный линейный функционал f : Н -> С представим
в виде скалярного произведения f(x) = (х, и), где элемент и Е Н опре-
деляется функционалом однозначно. Кроме того, имеет место равенство
Н/||я' = ||М1я- Из этого факта следует, что сопряженное пространство Н1
с точностью до изометрического антиизоморфизма совпадает с Н. Непре-
рывным билинейным функционалом называется отображение f : НхН -> С,
удовлетворяющее соотношениям:
1)	f(ax + fiy,z) = af(x,z) + fif(y,z);
2)	f(x,ay + fiz) = af(x,y) + fif(x,z)\
3)	существует постоянная с > 0, такая что при любых х, у е Н выпол-
няется неравенство \f(x, у)\ < с||ж|| • ||у||.
Билинейный функционал называется симметричным, если f(x, у) =
= f(y,x) при любых х, у. Каждый билинейный функционал f(x,y)
порождает квадратичную форму <р(х) = f(x, х). Симметричный билиней-
ный функционал f(x, у) называется строго положительным, если <р(х) —
= f(x, х) > 0 для х 0, и положительным, если <р(х)	0. Норма били-
нейного функционала ||/|| определяется соотношением
11/11 = sup{|/(ж, у)|; ||х|| = 1Ы1 = 1}.
Норма квадратичной формы <р(х), порожденной билинейным функциона-
лом f(x,y), определяется аналогично:
IMI = sup{|y>(a:)| = |/(®,®)|; ||®|| = 1}.
10.6.	Ограниченные линейные операторы
Понятия ограниченного линейного оператора А : Н -> Н, нормы
оператора, операторов аА, АВ, Ап, А+В,р{А) = ao/+«i^4-.• -+<*пАп,
где р(А) = а0 + с*|А 4-... 4- апХп — комплексный многочлен, а опера-
тор I есть оператор тождественного преобразования, уже определены для
172
Глава 10. Гильбертово пространство
банаховых пространств, а значит, и для гильбертовых. В этой главе слово
«оператор», если нет оговорок, будет означать ограниченный линейный
оператор в гильбертовом пространстве.
Оператор А называется обратимым, если существует оператор В,
такой что АВ = В А = I, оператор В называется обратным по отношению
к оператору А и обозначается через А"1.
Теорема 3. Оператор А обратим тогда и только тогда, когда АН плот-
но в Н и существует число с > 0, такое что при любом х € Н выпол-
няется неравенство ||Лж|| с||ж||.
Каждый ограниченный линейный оператор А порождает билиней-
ный функционал
f(x,y) = (Ах,у), 11/11 = IMII-
Обратно, для каждого ограниченного билинейного функционала f суще-
ствует единственный линейный оператор А, такой что f(x,y) = (Ах, у)
при всех х, у.
Для всякого ограниченного линейного оператора А существует един-
ственный оператор Л*, называемый сопряженным по отношению к опе-
ратору А, такой что при любых х,у 6 Н выполняется равенство
(Ах, у) = (х, А*у).
Нормы операторов Л и Л* одинаковы. Оператор Л называется самосо-
пряженным (или эрмитовым), если Л* = Л. Самосопряженный опера-
тор Л называется положительным, Л О, если выполняется неравенство
(Ах,х) > О Уж € Н, Это определение позволяет ввести на множестве
самосопряженных операторов отношение порядка, именно: оператор Л
не меньше оператора В, А В, если Л - В > 0. Всякий оператор Л од-
нозначно представим в виде Л = В + гС, где В, С — самосопряженные
операторы.
Оператор Л перестановочен (или коммутирует) с оператором В, если
АВ — В А, или [Л, В] = АВ - В А — 0. Оператор Л называется нормаль-
ным, если [Л, Л*] = 0; унитарным, если ЛЛ* = Л* Л = I, и изометричным,
если ||Лж|| = ||ж|| для любого х € Н.
10.7.	Инвариантные и приводящие подпространства
Подпространство L С Н называется инвариантным относительно
оператора Л, если AL С Ь; подпространство L приводит оператор Л,
если L и Z1 инвариантны относительно Л. Если каждое из подпро-
10.9. Спектр оператора
173
странств La инвариантно для оператора А (приводит Л), то Q La и под-
ог
пространство, порожденное всеми подпространствами La, инвариантны
относительно А (приводят Л). Подпространство, порожденное некоторым
М С Я, определяется как наименьшее из подпространств, содержащих М.
10.8.	Сходимость
Последовательность (xn) С Н сходится к элементу х, хп -> х, если
||ж ~ ®nll 0- Эта сходимость называется сильной сходимостью или сходи-
мостью по норме. Последовательность (хп) С Н сходится к элементу х € Н
слабо, хп -> ж, если Чу € Н (хп,у) -> (х, у). На множестве всех ограни-
ченных линейных операторов L(H) определяются три вида сходимости:
1)	(Лп) равномерно сходится к оператору Л, Ап => Л, если ||Ап - Л|| -> О,
это сходимость по норме пространства L(H);
2)	(Лп) сильно сходится к оператору Л, Ап -> Л, если для каждого х 6 Н
||Апх - Лж|| -> 0, это точечная сходимость;
3)	(Лп) слабо сходится к оператору Л, Ап Л, если для любых х,у 6 Н
(Апх,у) -> (Ах, у).
10.9.	Спектр оператора
Спектром а(Л) ограниченного линейного оператора А называется
множество комплексных чисел Л, для которых оператор Л - XI необра-
тим. Спектр является ограниченным замкнутым множеством, содержа-
щимся в круге {z; |z|	||Л||}. Спектр любого оператора будет непустым
подмножеством С, если только гильбертово пространство не сводится
к единственному нулевому элементу. Дополнение спектра С \ а(Л) назы-
вается резольвентным множеством оператора Л и обозначается р(Л).
Точка Л принадлежит непрерывному спектру оператора Л, ас(Л), если
оператор А-XI инъективен, (Л-АТ)Я Н, (Л - XI)H = Н. Точка А при-
надлежит остаточному спектру оператора Л, аг(Л), если оператор Л - XI
инъективен и (Л - XI)H Н. Точка А принадлежит точечному спектру
оператора Л, сгр(А), если существует вектор х 0, такой что Ах-Хх = 0.
Числа, принадлежащие точечному спектру оператора Л, называются соб-
ственными значениями оператора Л. Пусть А 6 ар(Л), размерность под-
пространства {х; Ах — Аж} = Н\ называется кратностью собственного
значения А. Если оператор Л - XI инъективен и (Л - XI)H = Н, то в этом
случае оператор Л - XI обратим по теореме Банаха и А 6 р(А).
174
(лава 10. Гильбертово пространство
Точка Л принадлежит существенному или предельному спектру опера-
тора А, сгс(А), если она является либо собственным значением бесконеч-
ной кратности, либо точкой непрерывного спектра. Число А принадлежит
предельному спектру тогда и только тогда, когда существует последова-
тельность (хп) С Н, ||а?п|| — L слабо сходящаяся к нулю, для которой
||(Л - Х1)хп||	0. Объединение сгс(А) U сгр(А) называется аппроксима-
тивным точечным спектром, аар(А), оператора А. Точка A Е сгар(А) тогда
и только тогда, когда существует последовательность (хп) С Н, ||жп|| = 1,
для которой || (Л - Х1)хп || -> 0.
10.10.	Неограниченные линейные операторы
В приложениях теории операторов часто встречаются неограничен-
ные операторы. Они обычно определены не на всем пространстве, а лишь
на векторном подпространстве гильбертова пространства. Простейший
пример неограниченного оператора — оператор дифференцирования d/dt
в L2(0, 1), который определен на всех абсолютно непрерывных функциях
x(t) Е Z2(0, 1), x(t) Е L2(0, 1). Если взять
хп = sin (irnt), то, хотя ||жп|| = ~=, но ||^|| =	-> оо.
Отображение Т : D(T) -> Н, удовлетворяющее условию
Т(ах 4- Ру) = аТх + рТу,
называется линейным оператором, если D(T) — векторное подпростран-
ство, D(T) называется областью определения оператора Т, а образ D(T),
TD(T) = Jm(T) — областью значений.
Если D(T) С D(T\) и Тх = Т\Х при х Е D(T), то оператор Т
называется сужением оператора Т\ на D(T), а оператор Т\ называется
продолжением оператора Т на D(T\). Это обстоятельство записывается
с помощью знака включения: Т С Т\.
Сумма операторов и произведение оператора на число определяются
стандартным способом:
(Т 4- Т\)х = Тх -I- Т\х, (аТ)х = аТх.
Однако D(T 4- Т\) — D(T) П D(T\)x, D(aT) = D(T). Композиция опре-
деляется формально, как и раньше, (Т<>Т\)(х) — Т(Т\х). Но D(ToT\)
состоит из тех х Е D(T\), для которых Т\Х Е D(T).
Обратный Т~х существует для инъективных операторов Т, оператор
Т~х определяется равенством Т~хТх = х, х е D(T), таким образом,
D(T~X) = Jm(T), Jn^T'1) = D(T).
10.12. Замкнутые операторы
175
10.11.	Сопряженные, симметричные
и самосопряженные операторы
Пусть T:D(T)->H — линейный оператор, D(T) = H, если у ЕН —
такой элемент, что ему можно поставить в соответствие элемент у* Е Н,
для которого равенство (Тх, у) = (х, у*) выполняется при всех х Е D(T),
то у* однозначно определяется по у и формула у* = Т*у задает опера-
тор Т*, называемый сопряженным по отношению к оператору Т.
____Линейный оператор Т называется симметричным, если Т С Т* и
D(T) = Н. Линейный оператор Т, D(T) = Н называется самосопряжен-
ным, если Т = Т*.
10.12.	Замкнутые операторы
Линейный оператор Т называется замкнутым, если для всякой по-
следовательности (хп) С D(T), такой что хп -> х и Тхп -> у, следует
х Е D(T) п Тх = у, т. е. график2) Gt оператора Т замкнут: Gt = Gt-
Свойство замкнутости оператора играет существенную роль в продолже-
нии операторов.
Теорема 4. Если оператор Т замкнут и D(T) = Н, то D(T*) = Н,
значит, существует (Т*)* = Т**, при этом Т** = Т.
Теорема 5. Пусть Т — линейный оператор', D(T) = Н. Тогда D(T*) = Н
тогда и только тогда, когда оператор Т имеет замкнутое линейное про-
должение. Если оператор Т имеет замкнутое линейное продолжение, то
оператор Т** является наименьшим замкнутым линейным продолжением.
Теорема 6. Всякий симметричный оператор Т имеет замкнутое сим-
метричное расширение, именно'. Т**.
Теорема 7. Если Т — замкнутый линейный оператор и D(T) — Н, то
оператор Т*Т самосопряженный.
Графиком Gt оператора Т : D(T) -> Н называется множество
{(z,Tz); x£D(T)}QH*H.
176
Глава 10. Гильбертово пространство
Задачи и упражнения^
[Доказать утверждения (1-3):
1. Сложение в гильбертовом пространстве непрерывно.
2. Умножение на комплексные числа непрерывно.
| 3. Скалярное произведение непрерывно.
["Проверить тождества (4-5):
4.	||® 4- з/||2 4-1|® - у||2 = 2(||®||2 4- |Ы|2) (равенство параллелограмма).
5.	4(®, у) = ||® 4” у\\2 - ||® ~ у\|2 4- г||® 4- ij/||2 - г||® - ij/||2 (поляризационное
6.	Доказать, что в банаховом пространстве над R можно ввести скалярное
произведение, для которого ||®||2 = (®, ®) тогда и только тогда, когда при
любых ®, у выполняется равенство
11® + у112 + Н®-у112 = 2(М2 + ||У||2).
^Проверить, что следующие векторные пространства являются гильберто-
выми (7-8):
г	00	т
7.	I2 = < ®; х = {£ь	. •}> 52	< 00 Г соскаляРным произведением
к=\	'
00
(*> у) = 12 Ык, где у = {j/1, J/2, • • •}•
| 8. L2(S, р) со скалярным произведением (®, у) = j* x(s) y(s) dp.
9.	Рассмотрим векторное пространство линейных комбинаций периоди-
ческих функций с различными периодами ® : R -> С со скалярным про-
изведением
т
1 ? ---------
(®. у) = ^liin — J x(s) y(s) ds
-т
и пополним его по норме, определяемой этим произведением. Установить
несепарабельность такого гильбертова пространства.
В задачах слово «подпространство» означает замкнутое векторное подпространство,
а слово «оператор» — ограниченный линейный оператор. Случаи неограниченных операто-
ров всегда будут оговариваться, а сами неограниченные операторы — обозначаться буквой Т.
Задачи и упражнения
177
10.	Доказать теорему Пифагора:
п	п
«если (xk, xi) = 0, к I и ж = то ||ж||2 =	1к*||2»-
Л=1	Л=1
[Доказать утверждения (11-20):
11.	Для любого множества М С Н является подпространством.
12.	MLL = (М1)1 D М.
13.	М11 = М тогда и только тогда, когда М — подпространство.
14.
15.	М1 = М±±±.
16.	М, N — подпространства, М ± N. Тогда M + N — подпространство.
17.	М — векторное подпространство. Тогда М = Н тогда и только тогда,
когда из х ± М следует х = 0.
18.	В I2 рассмотрим два подпространства:
L = {x- x = {6,0,6,0,6,0,...}};
М = {х-,х = {б, 6,6,6/3,6,6/5, ...}}•
Тогда М + N = I2, но М + N 5^ I2. Иначе говоря, М + N не является
подпространством.
19.	Пусть {е*} — ортонормальный базис в Н. Положим
1 . 1
Xk = cos -eik + sm -в2*+1.
к к
Обозначим через L подпространство с ортонормальным базисом {егл},
а через М — подпространство с ортонормальным базисом {ж*}. Тогда
векторное подпространство L + М не замкнуто.
20.	L 4- М является подпространством, если L и М — подпространства,
удовлетворяющие соотношению
| sup{|(x, j/)|, ||z|| = |М| = 1, х G L, у € М} < 1 -е, е > 0.
21.	Пусть х 6 Н. Построить его проекцию на n-мерное подпространство
LCN.
22.	Для функции е найти многочлены рп(0 степени п = 0, 1,2, такие
что норма ||е* -рп(ОН минимальна в Ь2(-1, 1).
_____________________________ Ответы ______________________________
21.	Если{е1)е2.еп} — ортонормаль- 22	= pi(t} = tLzl + 11,
ный базис в L, то P^z =	15 е2_?
*=|	P2(t) = -2e + — + -t+-^---t2.
е е 4 е
178
[лава 10. Гильбертово пространство
23.	Для функции t3 найти многочлены pn(t) степени п = 0, 1,2, такие,
что норма ||£3 -^Рп(ОН минимальна в Z2(-l, 1).
24.	В Z2(-l, 1) построить проекцию любой функции на подпространство
четных функций, а также на подпространство нечетных функций.
25.	Доказать существование ортонормального базиса в любом гильберто-
вом пространстве.
26.	Установить, что размерность dim Н гильбертова пространства Н не за-
висит от выбора ортонормального базиса.
27.	Проверить, что изоморфизм гильбертовых пространств Н и Н} имеет
место тогда и только тогда, когда dim Н = dim Н\.
28.	Провести процесс ортогонализации для функций 1, t, t2, t3, ... в
L2(--1, 1) и показать, что
dn
Pn(t) — Сп~ЙГп ~~ 1)°’
оь
Найти коэффициенты сп. (Многочлены pn(t) называются многочленами
Лежандра}
29.	Доказать, что многочлены Лежандра образуют ортонормальный базис
в L2(-1, 1).
30.	На отрезке [0,1] рассмотрим функции xn(t) = (-1)*, t 6 I —, j ,
n = 0, 1,2,...; к = 0, 1, 2,..., 2n“I, в концах этих интервалов xn(t) = 0.
Установить, что эта система (система Радемахера) функций ортонормальна
в L2(0, 1), но не является базисом.
Указание. Проверить, что функция x(t) = t(t - 1) + ортогональна всем xn (t).
6
31.	Проверить, что функции ^у — sinnfj образуют ортонормальный
базис в Z2(0,тг), но в то же время это только ортогональная система
в £2(-тг, тг), не являющаяся базисом.
( 1	/ .
32.	Проверить, что функции < —..._ exp I 2тггп~- 1 > образуют ор-
{у/0-а	\ P-Otj)
тонормальный базис в L2(a,/3).
_______________________________ Ответы _________________________________
23. Po(t) = O,Pi(t)=3-t,P2(t)=- t. 28. С„ = Х+1.
J	J	V 2 2" • П!
24. ----------, -----Z-----.
Задачи и упражнения
179
33.	Доказать, что функции xn(t) = sin/znf, где — положительные корни
уравнения tg/z = д, образуют ортогональный базис в Z2(0, 1).
[~Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих
классах функций из 7/(0, 1), будут линейными; непрерывными (34-43)?
1
34.	f[x(t)] = У x(f)sin^dt
о
35.	/[а;(0] =1^0.
I
36.	flx(t)] = у* «(<)sign^-0 dt.
о
1/2
37.	f[x(t)] = У t'/2x(t2)dt.
о
i
38.	f[x(t)] = У t~'/3x(t)dt.
о
i
39.	/[«(£)] = J x(t2)dt.
0
40.	/[x(0] = x'(to).
1
41.	f[x(t)] = j' |ж(0|Л.
0
42.	/[«(<)] = sup |ж(0|.
t
I
| 43. /[ж(0] = У x2(t)dt.
о
___________________________ Ответы __________________________
34.	Линеен и непрерывен.	39.	Линейны.
35.	Линеен.	40.	Линейны.
36.	Линейны и непрерывны.	41.	Непрерывен.
37.	Линейны и непрерывны.	42.	Нет.
38.	Линейны и непрерывны.	43.	Непрерывен.
180
[лава 10. Гильбертово пространство
44.	Вычислить нормы ограниченных линейных функционалов задач 34-43.
["Какие из приведенных ниже функционалов, определенных на соответству-
ющих классах элементов из I2, будут линейными и непрерывными (45-54)?
00
45.	fix) = 5? 6 sin к.
*=i
46.	f(x)=£n.
00
47.	f(x) = 22 & sign(fc - n).
Л=1
оо
48.	Лх) = ^Ь'П&.
к=\
оо
49.	f(x) = ^k-'/2^.
к=\
50.	f(x) = f^.
к=\
51.	f(x) — £n — £n-j.
оо
52.	fix) = 22 fol.
Л=1
53.	fix) = sup |&|.
к
oo
[54. f(x) = YM-
k=\
55.	Вычислить нормы ограниченных линейных функционалов задач 45-54.
56.	Установить, что д(х,у) = f(y,x) — билинейный функционал, если
/(ж, у) — билинейный функционал.
I '			 Ответы 	
44. 34 — ->/2 — sin2; 36 - 1,	49. Линейны.
2	50. Линейны.
37- '- ;38- Л.	51. Линеен и непрерывен.
2	52. Нет.
45. Линеен.	
46. Линеен и непрерывен.	53. Нет.
47. Линейны.	54. Непрерывен.
48. Линейны.	55. 46 — 1, 51 - 1.
Задачи и упражнения
181
п
57.	Проверить, что fk(x)gk(y) — билинейный функционал, если Д(ж),
9к(х) — линейные функционалы.
58.	Доказать поляризационное тождество
4/(я, у) = <р(х + у) - <р(х - у) + i<p(x 4- iy) - i(p(x - iy),
где р(х) — квадратичная форма, порожденная билинейным функциона-
лом f(x,y).
[Доказать утверждения (59-65):
59.	Билинейные функционалы f(x, у) и д(х, у) совпадают, если совпада-
ют порожденные ими квадратичные формы р(х) и ф(х).
60.	Билинейный функционал f(x, у) симметричен тогда и только тогда,
когда порожденная им квадратичная форма <р(х) принимает вещественные
значения.
61.	Положительный симметричный билинейный функционал /(ж, у) удо-
влетворяет неравенству Буняковского \f(x, у)\2 f(x, x)f(y, у).
62.	Скалярное произведение является симметричным строго положитель-
ным линейным функционалом.
63.	Симметричный строго положительный билинейный функционал f(x, у)
является скалярным произведением и порождает норму ||х|| = [^(я)]1/2 =
= [/(ж, я)]|/2.
64.	Норма билинейного функционала f(x, у) и порожденной им квадратич-
ной формы <р(х) связаны неравенством ||^||	||/|| < 2||9?||.
65.	Для симметричного билинейного функционала /(ж, у) и порожден-
ной им квадратичной формы <р(х) выполняется равенство ||/|| = ||^||.
Проверить предложения (66-78):
66.	Пусть операторы Л, В, С € L(H). Если АВ — С А = I, где I — опе-
ратор тождественного преобразования гильбертова пространства Н в себя,
ТО В = С = А~'.
67.	Если для оператора А при Уж 6 Н выполняется неравенство
1|Лж|| > с||ж||, с > 0, то АН — подпространство.
68.	Обратный к линейному оператору А € L(H) линеен.
69.	Если ограниченные линейные операторы А, В в гильбертовом про-
странстве Н обратимы, то имеет место равенство (АВ)~1 = В_,Л-1.
70.	Если Л € ЦН) удовлетворяет неравенству ||1-Л|| < I, то Л обратим.
Найти Л"1.
182
[лава 10. Гильбертово пространство
71.	Множество обратимых операторов из ЦН) открыто в ЦН) по топо-
логии, определяемой нормой в ЦН).
72.	Функция /(Л) = Л”1 непрерывна на множестве обратимых операто-
ров из ЦН).
73.	Не для любого оператора Л из ЦН) существует последовательность
(Лп) С ЦН) обратимых операторов, для которой выполняется соотноше-
ние ||Ап - Л|| -> 0.
74.	Для обратимого оператора В и оператора Л € ЦН) выполняется
неравенство ||ЛВ|| ||Л||/||В~,||.
75.	Если Л, В е В(Я), Л обратим и [Л, В] = 0, то тогда и [Л”1, В] = 0.
76.	Если оператор Л из ЦН) имеет единственный правый обратный В
(ЛВ = I), то Л обратим.
Указание. Рассмотреть оператор В А + В - I.
77.	Если (Лж, х) = (Л|Ж, х) V х е Н, то Л = А\; Л, А} е ЦН).
[_78. Если [Л[Л, В]] = 0, то [Лп, В] = пЛп-|[Л, В].
79.	Пусть р(А) = а0 + А + ... + апХп — многочлен, а оператор Л в С”
задается матрицей с единицами над главной диагональю (остальные эле-
менты нули) в некотором базисе. Найти р(Л).
80.	Пусть {е*} — ортонормальный базис в В, Л € ЦН). Найти матрицу
оператора Л в базисе {е*}.
81.	Следует ли из ЛВ = 0 соотношение В А = 0 для Л, В из ЦН)!
82.	Установить существование Л*, если Л € ЦН).
83.	Верно ли равенство ||Л*Л|| = ||ЛЛ*|| V Л е ЦН)?
84.	Проверить равенства
Г=1, 0* = 0, (аЛ)*=а-Л*,
Л** = Л, (Л + В)* = л* + В*, (ЛВ)* = в* л*,
где I — оператор тождественного преобразования, О — оператор анну-
лирования, Л, В Е ЦН), а € С.
85.	Доказать обратимость оператора Л* и равенство (Л*)"1 = (Л-1)*,
если Л обратим.
Ответы ___________________________
73. Оператор из задачи 92.
(Оо «I ••• «п-1
О во ... ап-2
О 0 ... оо ,
80. атп — (Леп, ет).
81. Нет.
83. Да.
Задачи и упражнения
183
[Оператор А подобен оператору В, если существует обратимый оператор С,
такой что А = С~ХВС. Проверить утверждения (86-89):
86.	Если А подобен В, то Ап подобен Bn Vn Е N.
87.	Если А подобен В, то А* подобен В*.
88.	Если А подобен В, А и В обратимы, то А”1 подобен В"1.
89.	Если хотя бы один из операторов А, В обратим, то АВ подобен В А.
| Возможно ли это, если оба не обратимы?
90.	Доказать, что множество 17(A) = {(Аж, ж); ||ж|| = 1} (числовой образ
оператора А) выпукло в С VA € Ь(В’).
91.	Доказать неравенство ||А||	2о>(А), где о>(А) = зир{(Аж, ж); ||ж|| = 1}
(числовой радиус).
рТайти сопряженные к следующим операторам, действующим в I2 (92-98):
92.	А{6,= {0,6,6,-..}.
93.	А{6,6,...} = {6,6,...}.
94.	А{6,6,...} — {«16, «26, ...}•
95.	А{6,6,...} = {0, о, «16, «26,...}.
96.	А{6,6,...} = {6,6,...,6,0,0,...}.
97.	А{6,6,.. J = {OJO^, 6,0,0,...}.
п-1
| 98. А{6,6,...} = {«пб, «п+16+1, ...}•
рТайти сопряженные к следующим операторам, действующим в В2(-оо, оо)
(99-101):
99.	Ax(t) = x(t + h).
100.	Ax(t) = a(t)x(t 4- h).
|_101. Ax(t) = I [ж(£) + «(—£)].
___________________________Ответы ___________________________
89. Вообще говоря, нет.
92.	4,{«1,6,...} = {6,6,...}.
93.	ЛЧб.б,...} = {0,6,6.
94.	4‘{6,fe, •••} = {ai6.«26. •••}
95.	Л‘{6,6,.. } = {5i6,a26..••}•
96.	Л‘{6.6,•••} = {6.....6.0,...}.
97.	•••}	=	{«»,0,0,...}.
98.	л‘{6,6.. .} =
= {0,.. , 0, ап6. <»n+16> •  
п-1
99.	A*x(t) = x(t-h).
100.	4*а:(1) = а(1-Л)х(1-Л).
г,», .
184
Глава 10. Гильбертово пространство
102.	Найти сопряженный к оператору А : Rn -> Rm.
103.	Найти сопряженный к оператору
00
•••} = {»?1Л2, •• •},	=	в I2.
/=1
104.	Какие из операторов задач 92-103 будут самосопряженными?
["Доказать предложения (105-122):
105.	Оператор А самосопряженный тогда и только тогда, когда билиней-
ный функционал f(x, у) = (Ах, у) симметричен.
106.	Оператор А самосопряженный тогда и только тогда, когда квадра-
тичная форма f(x, х) — <р(х) = (Ах, х) вещественна.
107.	Если оператор А самосопряженный, то ||А|| = sup{(Ax,x); ||ж|| = 1}.
108.	Операторы А, В самосопряженные. АВ самосопряжен тогда и толь-
ко тогда, когда М,в] = о.
109.	Оператор А самосопряженный и обратимый, тогда А-1 самосопря-
женный.
110.	Любой оператор А € L(H) однозначно представим в виде А = B+iC,
тле В и С самосопряженные.
111.	Если оператор А самосопряженный, то 14- iA обратим.
112.	Если оператор А 0, то Ап О V n € N.
113.	Если оператор А самосопряженный, то А2п > О Vn е N.
114.	Если [А, #] = 0 и А О, В 0, то АВ 0.
115.	Если оператор А 0, то существует единственный оператор В О,
такой что В2 = А, оператор В будет положительным квадратным корнем4)
из оператора А.
Указание. Для 0 А I определим Bq = 0 и Вп±1 = Вп + |(Л - В2п), вп
сходится к квадратному корню из А.
_____________________________ Ответы _____________________________
102. (т х п)-матрица, транспонированная	103. 4*{£|,• • •} = {^ь 72, • • •},
к исходной (п х т)-матрице.	оо
7* = yZaikti-
z=i
104. 94, если otk вещественны, 96, 101.
4) Оператор В называется квадратным корнем из оператора А, если В2 = А, и обозна-
чается А1/2.
Задачи и упражнения
185
116.	Для выполнения соотношения А 0 необходимо и достаточно су-
ществование оператора В е ЦН), такого что А = В*В.
117.	Если А В и В А, то А = В.
118.	Если	0	А	В и [А,	В] = 0, то An	Bn Vn € N.
119.	Если	0 <	cl	< А < В,	то В~' < А"1.
120.	Если	0	А	В, то 0	Л1/2 В1'2.
121.	Если оператор А самосопряженный, то существует единственный
самосопряженный оператор В, такой что В3 — А.
122.	Для самосопряженных перестановочных операторов А и В суще-
ствует наименьший самосопряженный оператор С, перестановочный и с А,
| и с В, такой что А < С, В С.
123.	Привести пример несравнимых самосопряженных операторов А и В.
124.	Привести пример операторов 0 < А В, для которых А2 и В2
несравнимы.
[Обозначим через |А| положительный квадратный корень из оператора А2для
1 1
самосопряженного А. Введем операторы А+ = -(|А|+А), А_ = -(|А|-А).
Доказать утверждения (125-127):
125.	Оператор |А| наименьший из положительных самосопряженных, пе-
рестановочных с А, такой что А |А|, -А |А|.
126.	Оператор А+ наименьший из положительных перестановочных с А,
для которых А А+.
127.	Оператор А_ наименьший из положительных перестановочных с А,
| для которых -А А_.
128.	Привести примеры операторов, не имеющих квадратного корня
(в конечномерном и бесконечномерном пространствах).
[Доказать утверждения (129-138):
129.	Оператор А = В 4- гС нормален тогда и только тогда, когда [В, С] = О,
где В и С самосопряженные.
130.	Оператор А нормален тогда и только тогда, когда ||Ах|| = ||А*ж||
Уже я.
___________________________ Ответы __________________________
123. Л2 и В1 из задачи 124.
124.
/о Л
128. I 1 в двумерном пространстве, опе-
ратор задачи 92 в бесконечномерном.
186
Глава 10. Гильбертово пространство
131.	Если оператор А нормален, то ||ЛП|| = ||Л||П.
132.	Если оператор А нормален, то ||Л|| = ш(А) (см. задачу 91).
133.	Оператор А е L(H). Если |а| = |/3| = 1, то оператор аА + /ЗА*
нормален.
134.	Если оператор А2 = А и А нормален, то А самосопряженный.
135.	Если оператор А2 = 0 и А нормален, то А = 0.
136.	Если оператор А нормален и [Л, В] = 0, то [Л*, В] = 0.
137.	Если оператор Л нормален и [Л, В] = 0, то [Л, В*] = 0.
[138. Если операторы Л, В нормальны и [Л, В] = 0, то АВ нормален.
139.	Пусть операторы Л, В нормальны. Будет ли нормальным оператор
Л + В? Если будет, то при каких условиях?
140.	Будет ли для нормальных операторов Л, В из соотношения АВ = 0
следовать соотношение В А = 0?
141.	Доказать, что если нормальные операторы Л и В подобны, то Л и В
унитарно эквивалентны, т. е. существует унитарный оператор U, такой что
Л = UBU*.
142.	Пусть L — подпространство. В разложении x=y + z,y€L,z 1L
положим Рх — у. Доказать, что Р — линейный самосопряженный, Р2 == Р,
||Р|| = 1 (если L {0}). Этот оператор называется ортогональным проек-
тором5^ на подпространство L.
[^Доказать утверждения (143-155):
143.	Р — проектор на подпространство L. Пусть L\ = {х; Рх = х} и
L2 = PH. Тогда L\ = L2 = L.
144.	Р — проектор на подпространство L. Если ||Рж|| = ||ж||, то Рх = х
и, значит, х € L.
145.	Пусть оператор Л удовлетворяет условиям Л2 = Л и Л* = Л. Обо-
значим L = {х\ Ах = ж}. Тогда Л — проектор на подпространство L.
146.	Если Р — проектор, то ||Рж||2 = (Рх,х).
147.	Р — проектор на подпространство L; L инвариантно для Л тогда
и только тогда, когда АР = РАР.
_____________________________ Ответы ______________________________
139. Нет. А+В нормален, если [Л, В] = 0.	141. См.: Халмош П. Р. Гильбертово простран-
140 Нет	ство в задачах- М-: Мир, 1970. С. 294.
5) Все проекторы в этой главе предполагаются ортогональными.
Задачи и упражнения
187
148.	Р — проектор на подпространство Z; L приводит А тогда и только
тогда, когда [Р,Л] = О.
149.	Если Р — проектор на подпространство L, то I - Р — проектор
на подпространство L1 = {х; Рх = 0}.
150.	Пусть Р — проектор на L, Q — проектор на М. Тогда следующие
условия эквивалентны:
1)	L1M; 2) PQ = 0; 3) QP = 0; 4)РМ = {0}; 5)QL = {0}.
151.	Pa — проектор на La, a 6 J. Тогда Pa — проектор тогда и только
aeJ
тогда, когда PQPp — 0 при а Д, что эквивалентно соотношению La ± Lp
при /3.
152.	Пусть Р — проектор на L, Q — проектор на М. PQ — проектор
тогда и только тогда, когда [Р, Q] = 0. В этом случае PQH = PH П QH.
153.	Пусть Р — проектор на L, Q — проектор на М. Тогда следующие
условия эквивалентны:
1)	Р Q; 2) \\Рх\\ HQxll Уж е Я; 3) L С М;
4)	QP = Р; 5) PQ = Р.
154.	Если Р — проектор на L, Q — проектор на М, то Р- Q — проектор
тогда и только тогда, когда Q Р. При выполнении этого условия (Р -
Q)H = LQM.
155.	Если [Р, Q] = 0, Р — проектор на L, Q — проектор на М, то PQ
| и Р 4- Q - PQ — проекторы. Найти PQH и (Р 4- Q - PQ)H,
156.	Оператор V называется изометричным, если ||Уж|| = ||ж|| Уж С Н.
Доказать, что V изометричен тогда и только тогда, когда V*V = I.
157.	Какие из операторов задач 92-103 изометричны?
158.	Какие из операторов задач 92-103 унитарны?
159.	Установить, что оператор U унитарен тогда и только тогда, когда
унитарен Я*.
160.	Проверить, что оператор
Ax(t) = -^= У x(s)e'ts ds
-00
унитарен в L2(R).
_____________________________ Ответы ______________________________
157. Операторы задач 92, 99.
158. Оператор задачи 99.
188
Глава 10. Гильбертово пространство
161.	Доказать, что для любого унитарного оператора U существует само-
сопряженный Л, такой что U — егА.
162.	Установить, что всякий оператор A G L(H) представим в виде A — VB,
где оператор В самосопряженный и положительный, а оператор V частич-
но изометричный (V изометричен на подпространстве L и равен нулю на Lx).
163.	Если оператор А нормален, то Л = UB, где U унитарный, а В
положительный.
164.	Если оператор Л нормален, то существует унйтарный U, такой что
Л* = UA. При каких дополнительных условиях на Л оператор U един-
ственный?
Гоператор Л называется гипонормальным, если ||Л*ж||	||Лж|| V х € Я.
Проверить утверждения (165-169):
165.	Если оператор Л гипонормален и |а| > |/3|, а, /3 € С, то aA -I-/ЗЛ*
гипонормален.
166.	Оператор Л - XI гипонормален для любого А € С, если Л гипонор-
мален.
167.	Обратный к гипонормальному оператору, если он существует, явля-
ется гипонормальным оператором.
168.	Для гипонормального оператора Л при любом n € N выполняется
соотношение ||ЛП|| = ||Л||П.
169.	Изометричный оператор является гипонормальным.
Доказать предложения (170-186):
170.	Если оператор Л вполне непрерывен, а {е*} — ортонормальный
базис, то Aek 0 при k -> оо.
171.	Если оператор Л вполне непрерывен, а хп ж, то Ахп -> Ах.
172.	Если оператор Л вполне непрерывен, то из хп х и уп у следует
(Ахп,уп) -> (Ах, у).
173.	Если оператор Л переводит всякую слабо сходящуюся последова-
тельность в сильно сходящуюся, то Л вполне непрерывен.
174.	Если оператор Л таков, что при любых последовательностях хп х
и УпУ (Ахп, уп) -> (Ах, у), то Л вполне непрерывен.
175.	Если Л*Л и В вполне непрерывен, то и Л вполне непрерывен.
176.	Оператор Л вполне непрерывен тогда и только тогда, когда Л* впол-
не непрерывен.
____________________________ Ответы ____________________________
164. См. задачу 141. КегЛ = {0}.
Задачи и упражнения
189
177.	Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда Л* Л
вполне непрерывен.
178.	Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда вполне
непрерывен (Л*А)к при некотором целом k 1.
179.	Пусть {е*} — ортонормальный базис. Если
^2 М^е*, е,)|2 < оо,
к,1
то А вполне непрерывен.
180.	Вполне непрерывный гипонормальный оператор А является нор-
мальным.
181.	Если оператор А гипонормален, а подпространство L инвариантно
для Л, то сужение Л|х гипонормально.
182.	Если сужение Л|х гипонормального оператора Л на инвариантное
подпространство L является нормальным оператором, то подпростран-
ство L приводящее.
183.	Подпространство L, порожденное собственными векторами гипо-
нормального оператора Л, приводит Л, и сужение А\ь является нормаль-
ным оператором.
184.	Подпространство L инвариантно для оператора Л тогда и только
тогда, когда Z1 инвариантно для Л*.
185.	Подпространство L приводит оператор Л тогда и только тогда, ко-
гда L инвариантно для Л и для Л*.
186.	Подпространства Lm = {0,..., 0, £ш+1 +6п+2, • • •} инвариантны для
[оператора ,&,•••} = {0.£1 ,&,•••} в .
187.	Проверить, что оператор Л из предыдущей задачи не имеет нетриви-
альных приводящих подпространств, т.е., если 0 х € L, L приводящее,
то L = I2.
188.	Найти инвариантное подпространство оператора
Ax(t) = tx(t) в Z2(0,1).
189.	Найти инвариантное подпространство оператора
t
Ax(t) = / x(s)ds в L2(0, 1).
о
_____________________________ Ответы _____________________________
188. L2(0,q), 0<а< 1.
189. £2(а, 1), 0<а< 1.
190
Глава 10. Гильбертово пространство
["Доказать утверждения (190-223):
190.	L(H) — банахово пространство с нормой ||Л|| = sup{||4x||; ||ж|| = 1},
кроме того, ||Л*|| = ||Л|| и ||ЛЛ*|| = ||Л||2.
191.	Если (xn,yn) -> 1 для ||жп||	1, ||j/n||	1, то хп - уп -> 0.
192.	Если хп х и ||жп|| -> ||ж||, то хп -> х.
193.	Пусть Ап -> Л, ВП-)В, Ап, Вп, А, В е ЦН). Тогда Ап + Вп -> Л 4-В,
aAn -> аЛ, АПВП -> АВ.
194.	Если Ап -> Л, Лп, Л нормальны, то А„ -> Л*.
195.	Если Ап -> Л, то Akn -> Ак V fc € N.
196.	Если Ап => Л, Вп => В, тогда АПВП => АВ.
197.	Если Ап => Л, то А*п => Л*.
198.	Если Ап А и Вп -> В, то АПВП АВ.
199.	Если Ап Л, то А*п Л*.
200.	Пусть Лп{£|,£>,...} = {бн-i, &н-2, • • •}• Тогда Ап О, Л* О,
А„АП -> 0, но АПА„ не сходится к нулю даже слабо.
201.	Определим операторы Лп, как в предыдущей задаче. Тогда Ап -> О,
но А„ к нулю сильно не сходится.
202.	Спектр а(Л) ^0 УЛе ЦН).
203.	а(Л) замкнут.
204.	ЦА) С {z; \z\ < ||Л||}.
205.	а(Л*) = а(Л).
206.	Если Л* = Л, то а(Л) С R.
207.	Если Л* — Л, то ||Л|| = sup{|А|; Л € сг(Л)}.
208.	Если Л*=Л, то inf (Ах,х) = ти sup (Лж, х)=М принадлежат^ Л).
1И1=1	Ы=1
209.	Если Л* = Л, то <т(Л) С [т, М].
210.	Если [Л*, Л] = 0, то из Л G <Гр(Л) следует А € сгр(А*).
211.	Если [Л*, Л] = 0, то собственные векторы, отвечающие различным
собственным значениям, ортогональны.
212.	ар(Л*) = аг(Л).
213.	авр(Л*)иавр(Л) = а(Л*).
214.	<гр(А) = аг(Л*).
Задачи и упражнения
191
215.	(Tap(A) U <Tflp(A*) = а(Л).
216.	Если А обратим, то аСА"1) =	.
бг(Л)
217.	Если q(X) — многочлен, тогда а[^(Л)] = ^[а(Л)] = {<?(А); А € а(Л)}
(теорема об отображении спектра).
218.	ap[q(A)] = ?[ар(Л)].
219.	сгар[</(^4)] = <7[<7ар(Л)].
220.	аг[?(Л)] =д[аг(Л)].
221.	Если А и В подобны, то а, сгр, сгар, &т операторов А и В совпадают.
222.	аар замкнут.
| 223. Если А нормален, то сгг(А) = 0, а(Л) = бгвр(Л).
224.	Найти собственные значения и собственные векторы оператора Р
проектирования на подпространство L.
225.	Для оператора Л{£ь • • •} = {0,6,6» • • •} в I2 найти спектр и его
части.
226.	Для оператора Л{£j,• • •} =	• • •} в I2 найти спектр и его
части.
227.	Для оператора умножения Ax(t) = tx(t) в L2(0, 1) найти спектр и его
части.
228.	Доказать существование предела lim ||ЛП||1/П = г(Л) (спектральный
п->оо
радиус) V А € ЦН). Установить включение а(Л) С {z; \z\	г(Л)} и со-
отношение а(Л) П {z; |z| = т(Л)}	0.
229.	Проверить включение а(Л) С 1У(Л) (справа — замыкание числового
образа оператора Л).
t
230.	Найти спектр оператора Ax(t) = J x(s) ds в L2(0, 1).
о
_______________________________ Ответы _______________________________
224.	Собственные значения 0; 1 с собствен-
ными подпространствами КегР и PH.
225.	а(Л) = {А; |А|	1},
<тг(Л) = {А; |А| < 1},
ар(Л) = 0,
ас(Л) = {А; |А| = 1},
авр(Л) = {А; |А| = 1}.
226.	См. задачу 225. Учесть зависимости
между частями спектров операторов А
и А*.
227.	Спектр чисто непрерывен и заполняет
отрезок [0, 1].
230.	Спектр непрерывен и состоит из од-
ной точки нуль.
192
Глава 10. Гильбертово пространство
231.	Найти спектр оператора Фурье
Ax(t) = -у= [ x(s) etts ds,
v2;r J
R
действующего в L2(R).
Указание. Использовать равенство Л2[ж(0] = x(-t) и теорему об отобра-
жении спектра.
232.	Найти спектр оператора Ax(t) = x(t + h), действующего в L2(R).
["доказать предложения (233-240):
233.	Если Л — собственное значение гипонормального оператора А, то
А — собственное значение оператора Л*.
234.	Собственные векторы гипонормального оператора, соответствую-
щие различным собственным значениям, ортогональны.
235.	Если оператор А гипонормален и г(А) = 0, то А = 0.
236.	Изолированная точка спектра гипонормального оператора является
его собственным значением.
237.	Если оператор А гипонормален, то для А € р(А) имеет место соот-
ношение ||(Л - А1)~1|| = \/d, где d = inf{|A - д|; р € сг(А)}.
238.	Если оператор А гипонормален, то выполняется равенство ТУ (Л) =
= сопУбг(Л), где слева стоит замыкание числового образа оператора Л,
справа — выпуклая оболочка спектра оператора Л.
239.	Если оператор Л гипонормален и а(Л) С {z; |z| = 1}, то Л унитарен.
240.	Если спектр гипонормального оператора вещественный, то этот опе-
ратор самосопряженный.
241.	Найти спектр оператора Ax(t) = a(t)x({t -I- h}), действующего
в L2(0, 1), где {t + h} — дробная часть t + h, a(t) € C[0, 1], a(0) = a(l).
242.	Найти собственные значения и собственные векторы оператора
действующего в L2(R).
_____________________________ Ответы ______________________________
231. Четыре собственных значения ±1, ±«.	241. Спектр является окружностью
232. Спектр заполняет единичную	г	/1	\ >
окружность.	s А; |А| = exp f / In |а(/)| dt) >.
о
242.	Это проектор на множество четных
функций (см. решение задачи 224).
Задачи и упражнения
193
243.	Найти собственные значения и собственные векторы интегральных
операторов в задачах 110-120, 127-131 главы 8, действующих в соответ-
ствующем L2(a, Ь).
244.	Найти собственные значения и собственные векторы интегрального
оператора с ядром
( e~ssh(t), t s;
K(t, s) = <	.
1 e 1 sh(s), t > s,
действующего в Ь2(0, 1).
["Решить интегральные уравнения
1
x(t) - А у* K(t,s) x(s) ds = y(t)
о
для следующих значений K(t, s) (245-248):
245.	K(t, s) = sin [2;r(f - s)].
( s(t - 1), t < s;
246.	=	2/(0 =1-
t(s - I), t > s,
{s(t + 1), t < s;	/v ,
_ A/l, 2/(0 = e‘.
t(S -hl), t > s,
| 248. K(t,s) = min{£, s}, y(t) = 1.
249.	F — замкнутое ограниченное подмножество С. Доказать существо-
вание А Е ЦН), такого что а(А) = F.
|”6ператор А е L(H) вполне непрерывен. Установить следующие свойства
спектра оператора А (250-252):
250.	а(А) не более чем счетное множество в С, каждая точка которого
(кроме, может быть, нуля) изолирована, 0 6 а(А), если dim Н бесконечна.
251.	Если 0	А Е а(А), то А 6 сГр(А).
| 252. Если 0	А Е <г(А), то dim Яд = dim {х; Ах — Аж} < оо.
253.	Доказать, что оператор А{£|, £2>•••} = {0, £i/2, &/22,...} в Z2 вполне
непрерывен, не имеет собственных значений, а его спектр состоит из
единственной точки нуль.
254.	Проверить, что если А* = А и А вполне непрерывен, то sup{|(Ax, х)|;
||ж|| = 1} достигается на некотором X] Е Я, ||a?j|| = 1; вектор Xi является
собственным вектором оператора А, а соответствующее собственное зна-
чение удовлетворяет равенству |Aj| = sup |(Аж, ж)| = ||А||.
194
Глава 10. Гильбертово пространство
255.	Возьмем А и Х\ из предыдущей задачи. Установить, что sup{|(Аж, ж)|;
||ж|| = 1, (х,х\ = 0)} реализуется на векторе х2, ||ж2|| = 1, с собственным
значением А2, |Л2| |А| |.
256.	Доказать, что процессом, описанным в двух предыдущих задачах,
можно получить все отличные от нуля собственные значения с учетом их
кратностей.
[Доказать следующие утверждения для неограниченных
операторов (257-277):
257.	Тх + Т2 = Т2 + Тх.
258.	(Т|+Т2) + Т3 = Г|+(?2+Тз).
259.	ОТ С 0.	Х
260.	ТХ(Т2Т3) = (Т^Тз.
261.	(Т| + Т2)Т3 = Т|Т3 4- Т2Т3.
262.	Tj(T24-T3) ЭТ|Т2Ч-Т|Т3.
263.	(Т|Т2)-1 =Т2”1Т|“1, если Tj"1, Т2-1 существуют.
264.	Обратный к линейному оператору линеен.
265.	Сопряженный к линейному оператору линеен.
266.	Т* замкнут.
267.	(аТ)*=аТ*.
268.	(ТЧ-Tj)* D Т* Ч-Tj*.
269.	(Т Ч- Tj)* = Т* Ч- Tf, если Т ограничен.
270.	(TT|)* DTj*T*.
271.	(TTj)* = Tj*T*, если Т ограничен.
272.	TCTj oTj* СТ*.
273.	Т линеен, существуют операторы Т”1, Т*, (Т”1)*. Тогда существует
(Т*)"1 =(Т-1)*.
274.	Определенный на всем гильбертовом пространстве Н замкнутый
линейный оператор ограничен.
275.	Если Т линеен и замкнут, Р(Т) = Я, то тогда оператор А = (IЧ- Т*Т)"1
самосопряженный положительный, ||А|| < 1.
_____________________________ Ответы _____________________________
270. Композиция оператора дифференци-
рования и умножения на функцию Ди-
рихле в L2(0, 1).
Задачи и упражнения
195
276.	Если оператор Т удовлетворяет условиям предыдущей задачи, то
оператор В = Т{1	ограничен, ||В||	1.
| 277. Обратный к самосопряженному оператору самосопряженный.
278.	Если Т линеен и замкнут, D(T) = Н, то оператор самосопря-
женный.
279.	Построить линейный оператор Г, область определения которого
плотна в Я, но D(T2) — {0}.
280.	Привести примеры линейных операторов Г и Т|, для которых
D(T + T\) = {0}.
281.	Определим предел Т == lim Тп следующим образом: Тх = lim Тпх для
хе п ад таких, что ПтТпж существует. Установить, что оператор
п^по(л;)
Т линеен (Тп линейны) и (limTn)7o — lim(Tn7o)-
["ограниченный линейный оператор А перестановочен с линейным опера-
тором Т общего вида, если АТ С ТА. Это обстоятельство записывается
в виде А Т. Доказать соотношения (282-287):
282.	Если	А	Г, А Т\ то А (Т + Т\)	и А	ТТ\.
283.	Если	А	Т и А\ Т, то (Л + 4j)	Т и	АА{ Т
284.	Если	А	Т и существует Т”1, то А	Т~1.
285.	Если	А	Тп, то А lim Тп.
286.	Если А Т и существует Т*, то Л* Т*.
| 287. Если проектор Р Т, то Т = TP + Т(1 - Р).
Гв Z2(0, 1) рассмотрим оператор Tx(t) = i^rx(t), D(T) = {я(0 € L2(0, 1),
1	at
x(t) абсолютно непрерывна, x(t) Е L2(0, 1), ж(0) = ж(1) = 0}. Решить
задачи (288-290):
288.	Установить, что Т замкнут.
289.	Найти Т*.
290.	Доказать, что если расширить область определения оператора Т,
заменив условие ж(1) = ж(0) = 0 на ж(1) = Ая(0), |А| = 1, то оператор Тд
| самосопряжен.
_____________________________ Ответы _______________________________
289. Т* —d/dt, D(T*) из абсолютно непре-
рывных функций x(t) Е Ь2(0, 1), для
которых х'(1) Е Ь2(0, 1).
196
Глава 10. Гильбертово пространство
291.	Пусть Т — симметричный оператор. Доказать эквивалентность сле-
дующих условий:
1)	Т существенно самосопряженный6);
2)	Т симметричный;
3)	Т* самосопряженный;
4)	Т** самосопряженный.
292.	Пусть Т — симметричный оператор. Индексом дефекта оператора Т
называется пара (тп, п), где
т = codim(T - XI)H, Im Л > 0;
п = codim(T - ХГ)Н, Im Л < 0.
Установить, что т постоянно в верхней полуплоскости (т. е. не зависит
от выбора A, Im А > 0), а п постоянно в нижней полуплоскости.
293.	Пусть симметричный оператор Т таков, что т = п = 0. Проверить,
что в этом случае сг(Т) С R.
294.	Показать, что для симметричного оператора Т, резольвентное мно-
жество которого содержит вещественное число, выполняется равенство
m = п = 0.
295.	Доказать, что для замкнутого симметричного оператора Т равенство
rn = п — 0 эквивалентно самосопряженности Т.
296.	Пусть Т —- симметричный оператор, для которого тп = 0, п > 0.
Установить, что а(Т) — {z; Imz 0}, р(Т) = {z; Imz > 0}.
297.	Пусть Т — симметричный оператор с индексом дефекта (т, 0). По-
казать, что в этом случае а(Т) = {z; Imz 0}, р(Т) = {z; Imz < 0}, тп>0.
298.	Если одно из чисел тп или п (или оба) равно нулю, то симметричный
оператор Т называется максимальным. Проверить, что максимальный сим-
метричный оператор не имеет собственных симметричных расширений.
299.	Дан симметричный оператор Т с индексом дефекта (тп, п), тп > 0,
п > 0. Доказать, что в этом случае а(Т) — Си р(Т) — 0.
300.	Установить, что симметричный оператор Т является существенно
самосопряженным тогда и только тогда, когда выполняется одно из сле-
дующих условий:
1)	Т* не имеет невещественных собственных значений;
6) Симметричный оператор Т называется существенно самосопряженным, если его замы-
кание Т** самосопряженно.
Задачи и упражнения
197
2)	(Т - Х1)Н плотно в Н для каждого невещественного Л;
3)	(Т - XI) Н плотно в Н для некоторого А = Л1,1тА|>0и для неко-
торого А = Аг, Im Аг < 0.
301.	Найти индекс дефекта оператора Т = i^- в Z2(0,1).
dt
D(T) = {x(t) € L2(0, 1), x(t) абсолютно непрерывна, x(t) e L2(0, 1),
ж(0) = x(l) = 0}.
d 2
302.	Найти индекс дефекта оператора Т = i—- в L (0, оо).
dt
D(T) = {«(<) € L2(0, оо), x(t) абсолютно непрерывна, x'(t) € Ь2(0, оо),
®(0) = 0}.
_________________________________ Ответы ___________________________________
301. (1,1).	302. (0,1).
Глава 11
Банаховы алгебры
11.1.	Определения и некоторые свойства
Нормированное пространство А, в котором определено отображение
А х А -> А, (х,у) ху (умножение) со свойствами:
1)	x(yz) = (xy)z;
2)	(х + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz;
3)	a(xy) = (ax)y = x(ay);
4)	||®y|| <ll®ll -IIj/II,
называется нормированной алгеброй. Если нормированное пространство А
полно, то алгебра называется банаховой. Нормированная алгебра, в кото-
рой существует элемент е (единица), такой что
хе = ех = ж, ||е|| = 1,
называется алгеброй с единицей. Банахова алгебра А называется комплекс-
ной, если она рассматривается над полем С; если для любых элементов х,
у € А выполняется соотношение ху = ух, то алгебра коммутативна.
Элемент х € А называется обратимым, если существует х~х 6 А,
такой что х~1х = хх~1 = е, а элемент х~х — обратным по отношению к х.
Множество комплексных чисел А для которых элемент х-Хе не имеет
обратного, называется спектром элемента х и обозначается а(х). Спектр
любого элемента х Е А непуст, замкнут и содержится в круге |А| ||ж||. До-
полнение спектра С\а(х) = р(х) называется резольвентным множеством
элемента х, а число r(x) = sup{| А|; А € сг(х)} — спектральным радиусом х.
Банахова алгебра, в которой каждый ненулевой элемент обратим,
изометрически изоморфна полю С.
11.2.	Идеалы и гомоморфизмы
коммутативных банаховых алгебр
Векторное подпространство I С А называется идеалом, если IA С /,
т. е. ху Е I при любых х 6 А и у € I. Если I {0} и I А, то
идеал I называется собственным идеалом. Собственный идеал, который
не содержится ни в каком другом идеале, называется максимальным.
11.3. Основная теорема
199
Линейное отображение h:A->B алгебры А в алгебру В, удовле-
творяющее условию мультипликативности h(xy) = h(x) • h(y) для лю-
бых х, у € А, называется гомоморфизмом. Непрерывный биективный го-
моморфизм с непрерывным обратным называется изоморфизмом. Всякий
линейный мультипликативный функционал h : А -> С, отличный от тож-
дественного нуля, называется комплексным гомоморфизмом. Между ком-
плексными гомоморфизмами и максимальными идеалами I существует би-
екция. Именно, подпространство I С А является максимальным идеалом
тогда и только тогда, когда существует комплексный гомоморфизм h,
для которого Ker h = I. Этот факт дает возможность топологизировать
множество максимальных идеалов {1} — Д. В дальнейшем мы не будем
различать множество Д и множество комплексных гомоморфизмов.
Пересечение всех максимальных идеалов алгебры А называется ради-
калом алгебры А и обозначается через rad А. Если rad А = {0}, то алгебра А
называется полу простой.
11.3.	Основная теорема
Формула x(h) = h(x), Л € Д, каждому элементу х € А ставит в соот-
ветствие функцию x(h), определенную на Д. На Д существует слабейшая
из топологии, в которых все функции x(h) непрерывны. Эта топология
определяется базой окрестностей комплексных гомоморфизмов Ло
U(ho; е, Х\, Х2,..., хп) = {Л; |Л(ж») - Ло(ж>)| < г, г = 1, 2,..., п),
где Ж|,	•••,	€ А, е > 0. Таким образом, топология на Д индуциру-
ется сг(А', Л) — топологией сопряженного банахова пространства А1.
Теорема. Если пространство максимальных идеалов Д коммутативной
банаховой алгебры А с единицей топологизировано базой окрестностей
комплексных гомоморфизмов, указанной выше, то Д отделимо и ком-
пактно.
Теорема Гельфанда. Отображение х -> x(ti) является гомоморфизмом
алгебры А на подалгебру А алгебры непрерывных на Д функций С(Д);
ядро этого гомоморфизма совпадает с радикалом алгебры А.
Множество значений функции x(h) совпадает со спектром а(х) для
элемента х е А и
||ж(Л)|| = max |£(Л)|	||х||.
п
200
[лава 11. Банаховы алгебры
Элемент ж € rad А тогда и только тогда, когда г(х) = 0. Отображение
х -> x(h) называется гомоморфизмом Гельфанда,
11.4.	С*-алгебры
Отображение х -> ж* комплексной алгебры А в себя, удовлетворяю-
щее условиям:
1)	(х + з/)* = ж* +/;
2)	(Лж)* = Аж*;
3)
4)	ж** = ж,
называется инволюцией.
Банахова алгебра А с инволюцией х —> ж*, такая что для каждого эле-
мента х € А выполняется соотношение ||жж*|| = ||ж||2, называется С*-ал-
геброй.
Теорема Гельфанда—Наймарка. Если А — коммутативная С* -ал-
гебра, содержащая единицу, с пространством максимальных идеалов А,
то отображение х -> х(h)) является изометрическим изоморфизмом
алгебры А на алгебру С(Д), при котором инволюция переходит в ком-
плексное сопряжение.
Теорема Стоуна—Вейерштрасса. Пусть X — компактное простран-
ство, А — подалгебра алгебры Сс(Х), содержащая единицу, разделяю-
щая точки X и замкнутая по отношению к комплексному сопряжению',
тогда замыкание А совпадает с Сс(Х).
Задачи и упражнения
[Доказать утверждения (1-47):
1.	Единица алгебры единственна.
2.	Умножение в банаховой алгебре непрерывно справа, непрерывно слева
и непрерывно по обоим аргументам.
3.	Обратный к элементу х, если он существует, единственный.
Задачи и упражнения
201
4.	Единица алгебры с нормой, удовлетворяющей мультипликативному не-
равенству ||жу||	||ж|| • ||у||, подчиняется соотношению ||е|| > 1.
5.	А — банахова алгебра, х € А, ||ж|| < 1. Тогда элемент е - х обратим
(найти элемент (е - я)”1).
6-	||(е - х) 1 - е - ®|| ( _||а.||, если 11®Н < !•
7.	Если h — комплексный гомоморфизм на алгебре А с единицей е, то
h(e) = 1 и h(x) 0 для любого обратимого элемента х € А.
8.	Комплексный гомоморфизм h на банаховой алгебре А удовлетворяет
соотношению ||ж|| < 1 => |Л(ж)| < 1.
9.	Норма комплексного гомоморфизма на банаховой алгебре равна еди-
нице.
10.	Множество обратимых элементов банаховой алгебры образует муль-
типликативную группу.
11.	Множество обратимых элементов открыто.
12.	Отображение х -> х~х непрерывно на множестве обратимых элементов.
13.	Если х и ху обратимы, то обратим и у.
14.	Если ху и ух обратимы, то оба элемента х и у обратимы.
15.	Если ху = е ух, то (ух)2 — ух.
16.	Если е - ух обратим, то обратим и е - ху.
Указание. Рассмотреть элемент е + у(е - ух)~хх.
17.	Для любого элемента ж 6 Л / {0} спектр непуст.
Указание. Использовать теорему Лиувилля для функции (х — Ле)-1, которая
аналитична на всей плоскости, если спектр элемента х пуст.
18.	Банахова алгебра, в которой каждый ненулевой элемент обратим,
изометрически изоморфна полю С.
19.	Спектр а(х) замкнут для каждого элемента х € А.
20.	Спектр а(х) элемента х е А содержится в круге |z|	||ж||.
21.	Для любого комплексного многочлена р(х) = ао + а\Х + ... + апХп
и любого х 6 А выполняется соотношение а[р(ж)] = р[а(ж)] (теорема
об отображении спектра).
22.	Если х обратим, сг(ху) = сг(ух).
23.	Если Л 0 принадлежит спектру сг(ху), то А € сг(ух); однако нуль
может принадлежать спектру сг(ху) и не принадлежать спектру <г(ух).
202
[лава 11. Банаховы алгебры
24.	Пусть R(X, х) = (ж - Ле) 1, тогда
Я(А, х) - R(p, х) = (Л - д)Я(А, x)R(p, х).
25.	Я(А, х) - R(X, у) = R(X, х)(х - y)R(X, у).
26.	r(x) = Нт ||ж"|||/п.
27.	г(хк) = [г(ж)]*, i'(ax) = |а|г(а:), г(х) ||®||.
28.	г(ху) = г(ух).	1
Указание. Воспользоваться соотношением (ху)п = х(ух)п~ху.
29.	Если ху = ух, то г(х + у) г(х) + г(у), г(ху) г(х) • г(у).
30.	В коммутативной банаховой алгебре отображение х -> г(х) непре-
рывно.
31.	Если г(х) = 0, то х не имеет обратного.
32.	Если х принадлежит границе обратимых элементов и хп -> х, хп
обратимы, то Ill’ll -> оо.
33.	Собственный идеал не содержит обратимых элементов.
34.	Замыкание идеала есть идеал.
35.	Всякий идеал содержится в максимальном идеале.
36.	Максимальный идеал замкнут.
37.	Отображение тг: А -> А/I, где I — идеал, является гомоморфизмом.
38.	Если х обратим, то h(x) 0 для любого комплексного гомоморфизма h.
39.	Если х обратим, то х не принадлежит никакому максимальному идеалу.
40.	Ядро любого комплексного гомоморфизма является максимальным
идеалом.
41.	Любой максимальный идеал I коммутативной банаховой алгебры А
есть ядро некоторого комплексного гомоморфизма.
42.	Если А € v(x), то Л = h(x) для некоторого комплексного гомомор-
физма.
43.	Множество максимальных идеалов отделимо и компактно.
Указание. Использовать теорему Банаха—Алаоглу.
44.	Отображение х -> x(h) = h(x), h € Д, является гомоморфизмом ал-
гебры А на подалгебру С(Д).
45.	Ядро гомоморфизма х -> x(h) есть rad А.
46.	а(х) = {x(h)\ h € Д}.
[_47. ||ж(Л)|| = шах |ж(Л)| < ||®||.
Задачи и упражнения
203
48.	Пусть А — банахова алгебра без единицы. Рассмотрим А\ = А х С.
Сложение и умножение на скаляры в А\ определим соотношениями
(х, а) 4- (у, ft) = (х 4- у, а 4- /3), А(ж, а) = (Аж, Ха),
а умножение и норму — равенствами
(х, а) (у, fi) = (ху + ау + fix, afi), ||(ж, а)|| = ||ж|| + |а|.
Эта процедура носит название «присоединение единицы». Доказать, что А। —
банахова алгебра с единицей е = (0,1).
49.	Проверить, что отображение х -> (ж, 0) — изометрический изомор-
физм алгебры А на подалгебру банаховой алгебры Л|.
["задана нормированная алгебра А с единицей е, норма которой не равна 1.
Рассмотреть в алгебре А операторы Тху = ху, ж € А и доказать утвер-
ждения (50-58):
50.	Тх линейны и ограничены, ||ТЖ||	||ж||.
51.	Отображение ж -> Тх непрерывно.
52.	Отображение Тх -> ж непрерывно.
53.	Норма ||ж||1 = ||Tj|| эквивалентна исходной.
54.	Helh = 1 = ||Л|.
55.	Отображение ж -> Тх — изоморфизм.
56.	Т е {Тх; ж е Л} тогда и только тогда, когда Т(ху) = (Тх)у.
57.	Существование ж-1 эквивалентно существованию Тх].
[_58. а(х) = сг(Тх).
["проверить справедливость утверждений (59-74):
59.	Множество непрерывных на отрезке [0,1] комплексных функций
Сс[0, 1] с естественными операциями сложения, умножения, умножения на
комплексные числа и sup-нормой является коммутативной С*-алгеброй.
60.	Пусть (S, г) — компактное хаусдорфово пространство. Тогда мно-
жество всех непрерывных комплексных функций Cc(S, т) на этом про-
странстве с обычными операциями сложения, умножения, умножения на
комплексные числа и sup-нормой является коммутативной С*-алгеброй.
61.	Cr[0, 1] является коммутативной банаховой алгеброй с естественными
операциями и sup-нормой.
62.	Cr(S, т) является коммутативной банаховой алгеброй с естественны-
ми операциями (умножение на элементы из R) и sup-нормой.
204
Глава 11. Банаховы алгебры
63.	Пусть X — банахово пространство. Тогда Ь(Х) — множество огра-
ниченных линейных операторов на X — является некоммутативной ба-
наховой алгеброй.
64.	Пространство Lc(R) с естественными операциями сложения и умно-
жения на комплексные числа и умножением, задаваемым сверткой
00
(х * y)(t) = У x(t - s)y(s) ds,
-00
образует алгебру без единицы.
65.	В Lc(R) операция x*(t) = x(-t) является инволюцией.
66.	Ограниченные функции х : S -> С, где S — некоторое множество,
образуют коммутативную С*-алгебру относительно sup-нормы.
67.	Непрерывные функции ограниченной вариации х : [0, 1] -> С с есте-
ственными операциями и нормой
образуют банахову алгебру CBV[0, 1].
68.	Се") [0,1] с нормой
" к(Л)(01
И = max 53^—
fc=0
и естественными операциями образует банахову алгебру.
69.	Множество комплексных многочленов
х = akXk
Л=0
с естественными операциями сложения и умножения на комплексные
числа и с обычным умножением, но с дополнительным условием Лп+1 = О
образует банахову алгебру относительно нормы
п
ini = Е i«*i-
Л=0
70.	Множество H(D) аналитических в круге |z| < 1 и непрерывных
на множестве \z\	1 функций с естественными операциями и sup-нор-
мой образует банахову алгебру.
Задачи и упражнения
205
71.	Множество Z1 двусторонних абсолютно суммируемых последователь-
ностей х = {... , £_п, ••• >£-|>£о,£ь ...} с покоординатным сложением
и умножением на комплексные числа и со сверткой
00
= (ж * у)п —	'2 £>п-кЦк
к=-ос
в качестве умножения образует банахову алгебру относительно нормы
00
и=Ei6i.
-00
72.	Множество W абсолютно сходящихся тригонометрических рядов
00
=	0^^2тг.
-00
с естественными операциями сложения, умножения и умножения на ска-
ляры образует коммутативную банахову алгебру относительно нормы
цх||=£ I&I-
-оо
73.	Определим покоординатное умножение в Z1: ху = Uity, • • •}•
Тогда Iх является банаховой алгеброй без единицы относительно нормы
00
и=£|&|.
I
| 74. Алгебры Iх и W изометрически изоморфны.
75.	Рассмотреть алгебру Сс[О, 1 ]. Установить биекцию между замкнутыми
множествами F С [0,1] и замкнутыми идеалами
= {x(t); x(t) е Сс[О, 1], x(t) = 0 при t е F}.
76.	Доказать, что
4 = {®(«) G Сс[0, 1], x(t0) = 0}
— максимальный идеал в алгебре Сс[О, 1].
77.	Установить, что всякий максимальный идеал I в Сс[0, 1] имеет вид
I = Д, для некоторого to Е [0, 1 ].
78.	Проверить, что отображение	= x(to)9 : Cc[0, 1] -> С яв-
ляется комплексным гомоморфизмом.
206
Глава 11. Банаховы алгебры
79.	Показать, что всякий комплексный гомоморфизм h : Сс[0, 1] С
имеет вид h = при некотором to € [0, 1].
80.	Доказать, что отображение Iq ->	— биекция между [0, 1] и Д.
81.	Для алгебры Сс(5, т), где S — компактное хаусдорфово пространство,
установить биекцию между замкнутыми множествами F С S и замкнуты-
ми идеалами
IF = {x(s) € Cc(S, т), x(S) = 0, s € F}.
82.	Показать, что
Is„ = {x(s) € Cc(S, т), x(s0) = 0}
— максимальный идеал в Сс(5, т).
83.	Проверить, что всякий максимальный идеал I в Cc(S, т) имеет вид
I = 18о для некоторого элемента sQ € S.
84.	Доказать, что отображение Лао [x(s)] =x(sq), hSi}:Cc(S,r) -> С явля-
ется комплексным гомоморфизмом.
85.	Установить, что всякий комплексный гомоморфизм h : Сс(5, т) -> С
имеет вид h = hS() при некотором s0 € S.
86.	Проверить, что отображение Sq -> hS() есть биекция между S и Д.
[Доказать утверждения (87-90):
87.	Для каждого to 6 R отображение Л*о [я?(£)] = ж(^о),	: W -> С является
комплексным гомоморфизмом.
88.	Всякий комплексный гомоморфизм h : W ->. С имеет вид h = Л^() для
некоторой точки to € R.
Указание. Рассмотреть функцию y(t) = elt. Тогда ||j/|| = ||l/j/|| = 1, значит,
|Л(?)| ss 1 и |Л(1/у)| = |1/Л(у)| < 1 => |Л(у)| = 1, Л[у(О] = е“" = у(to).
Затем перейти к тригонометрическим многочленам.
89.	Для алгебры W множество максимальных идеалов гомеоморфно окруж-
ности |z| = 1.
90.	Если x(t) € W и x(t) 0 на R, то —J-r разлагается в абсолютно
I сходящийся тригонометрический ряд (теорема Винера).
91.	Описать максимальные идеалы алгебры из задачи 70.
92.	Найти максимальные идеалы алгебры С^[0, 1].
93.	Найти максимальные идеалы алгебры СВУ[0, 1].
94.	Доказать, что у алгебры есть единственный максимальный идеал
(см. задачу 69).
Задачи и упражнения
207
95.	Установить существование биекции между замкнутыми идеалами ал-
гебры I и подмножествами N (см. задачу 73).
96.	Показать, что для алгебры I существует биекция между максималь-
ными идеалами и натуральными числами.
97.	Проверить, что топология в пространстве А максимальных идеалов
алгебры I дискретна.
98.	Привести пример алгебры Л, для которой Л = rad Л.
[Доказать утверждения (99-108):
99.	Элемент х алгебры с инволюцией называется эрмитовым, если х = ж*.
Элементы х + ж*, г(х - ж*), хх*, е эрмитовы.
100.	Всякий элемент х алгебры с инволюцией однозначно представйм
в виде х = и 4- w, где и, v эрмитовы.
101.	Элемент х обратим тогда и только тогда, когда обратим ж*, при этом
(я’)-'=(*')*•
102.	В коммутативной С*-алгебре ||ж|| = ||ж*|| и ||ж2|| = ||ж||2 для всякого
элемента х.
103.	А 6 а(х) тогда и только тогда, когда А 6 а(ж*).
104.	Если х — эрмитов элемент коммутативной С*-алгебры, то функция
x(h) = h(x), Л € А вещественна.
105.	Если x(h) — вещественная функция, то элемент х эрмитов.
106.	Для любого элемента х коммутативной С*-алгебры выполняется со-
отношение ж*(Л) = Л(ж*) = h(x) = x(h).
107.	Для каждого элемента х коммутативной С*-алгебры выполняется
равенство max |ж(Л)| = ||х||.
лед
108.	Множество функций x(h), х 6 А, где А — коммутативная (^-ал-
гебра, плотно в Сс(А).
| Указание. Воспользоваться теоремой Стоуна—Вейерштрасса.
109.	Элемент х банаховой алгебры с инволюцией А называется нормаль-
ным, если х*х = хх*. Множество N С А называется нормальным, если N
коммутативно и вместе с каждым элементом х содержит ж*. Пусть В —
максимальное нормальное подмножество А. Проверить, что если х Е А,
хх* = х*х и ху = ух Чу^В, то х е В.
110.	Доказать, что В является коммутативной С*-алгеброй.
111.	Показать, что для каждого элемента х Е В, а в (х) = <гд(х).
208
[лава 11. Банаховы алгебры
[""Пусть А — С*-алгебра. Доказать предложения (112-118):
112.	Если х = ж*, то a(x) С R.
113.	т(х) — ||ж|| для нормальных элементов х Е А.
114.	г(хх*) = ||ж||2 Vz Е А.
115.	Элемент х Е А называется положительным, ж 0, если х = х*
и a(x) С [0, оо). Если х^Оиу^О’ТОх + у^О.
116.	хх* 0 для каждого х Е А.
117.	е 4- хх* обратим при любом х Е А.
118.	Для каждого х 0, х Е А существует эрмитов у Е А, такой что
| у2 = х (квадратный корень из ж).
Литература
1.	Архангельский А, В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упраж-
нениях. М.: Наука, 1974.
2.	Ахиезер Н, И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. М.: Наука, 1966.
3.	Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
4.	Бурбаки И. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.
5.	Бурбаки Н. Общая топология. 4.1. М.: Мир, 1969.
6.	Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир, 1972.
7.	Владимиров В, С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука,
1976.
8.	Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.
9.	Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967; 3-е изд. М.:
Издательство Л КИ/URSS, 2010.
10.	Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные коль-
ца. М.: Физматгиз, 1960.
11.	Глазман И. М.у Любин Ю. И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.:
Наука, 1969.
12.	Грибанов Ю. И. Функциональный анализ в упражнениях и задачах. Ч. 1: Мет-
рические пространства. Казань: КГУ, 1970.
13.	Данфорд И., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. М.: ИЛ, 1962; Т. 2. М.:
Мир, 1966; 3-е изд. М.: URSS, 2010.
14.	Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
15.	Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967; 3-е изд. М.: Издательство
. ЛКИ/URSS, 2010.
16.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
17.	Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.
18.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М.: Наука, 1976.
19.	Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения (задачи
и упражнения). М.: Наука, 1976; 4-е изд. М.: Ком Книга/URSS, 2007.
20.	Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1971.
21.	Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1975.
22.	ЛюстерникЛ.А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука,
1965.
23.	Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1: Функ-
циональный анализ. М.: Мир, 1977.
210
Литература
24.	РиссФ., Надь Б.-С. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954.
25.	Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир,
1967.
26.	Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
27.	Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. В. С. Вла-
димирова. М.: Наука, 1975.
28.	Топологические, метрические и векторные пространства (методические указа-
ния и упражнения по функциональному анализу). Минск: Изд-во БГУ, 1973.
29.	Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972.
30.	Халмош П. Р. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.
31.	Халмош П, Р. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.
32.	Хилле Э., Филлипс К. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Мир, 1962.
33.	Шварц Л. Анализ. Т. 1. М.: Мир, 1972.
34.	Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.
35.	Шеффер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
36.	Эдвардс Р.Э. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.
37.	Dieudonne J, El’ements d’analyse. Vol. II. Paris: Gauthier-Villars, 1969.
38.	Garnir H.G., De Wilde M., Schmets J. Analyse fonctionelle. Vol. I. Basel, 1968.
39.	Halmosh P. R. Introduction to Hilbert space and spectral multiplicity. N.-Y.: Shelsea,
1951.
40.	Problemes d’analyse. Paris: Dunod, 1967.
41.	Schwartz L. Theorie des distributions. Paris: Hermann, 1966.
42.	Vo-Khac Khoan. Distributions, analyse de Fourier, operateurs aux derivees partielles.
Vol. I-II. Paris: Vuiber, 1972.
Предметный указатель
Аддитивность меры счетная 155
аксиома симметрии 36
—	счетности вторая 21
--- первая 21
—	тождества 36
алгебра банахова 198
---коммутативная 198
---комплексная 198
—	нормированная 198
—	полупростая 199
—	с единицей 198
—	с инволюцией 200
альтернатива Фредгольма 121
аннулятор (дополнение
ортогональное) 98
ассоциативность 65
База (фундаментальная система)
окрестностей точки 20
—	топологии 21
—	фильтра 11
		счетная 11
базис ортонормальный 169
—	Шаудера 97
бочка 67
Внешность множества 20
внутренность множества 20
Гиперплоскость 67
—	однородная 67
—	опорная 67
гомеоморфизм 21
гомоморфизм 81, 199
—	Гельфанда 200
—	комплексный 199
гомотетия 67
граница множества 20
грань множества верхняя 10
---нижняя 10
график оператора 175
—	отображения 8
Дополнение множества 7
—	ортогональное (аннулятор) 98
—	подпространства ортогональное
169
Замыкание множества 20
значение оператора собственное 107,
173
—	функции 8
Идеал 198
—	двусторонний 121
—	максимальный 199
—	собственный 198
---максимальный 198
изометрия 37
изоморфизм 199
инволюция 200
индекс дефекта оператора 196
—	фредгольмова оператора 122
интеграл от функции по мере 139, 141
---по множеству 142
—	функции верхний 139
---нижний 139
Класс Я-эквивалентности 9
—	эквивалентности 9
коммутативность 65
компактификация одноточечная 62
212
Предметный указатель
композиция (произведение)
отношений 8
— отображений (отображение
сложное) 9
коразмерность подпространства 85
корень оператора квадратный 184
коэффициенты Фурье 170
кратность собственного значения 173
Мажоранта множества 10
мера 138
— атомическая 145
— вещественная 139
— Дирака 149
— множества 141
---внешняя 140
---внутренняя 140
— ограниченная 141, 145
—	плотности g 144
—	положительная 139
—	рассеянная 145
—	сопряженная 139
меры дизъюнктные 145
—	эквивалентные 161
метрика 36
миноранта множества 10
многочлены Лежандра 178
множество 7
—	I категории 38
—	11 категории 38
—	абсолютно выпуклое 66
—	бесконечное 15
—	вполне ограниченное 38
—	всюду плотное 20
—	выпуклое 66
—	замкнутое 19
—	измеримое 141
—	линейно упорядоченное 10
—	меры нуль 47
—	направленное 11
—	нигде не плотное 38
—	нормальное 207
—	ограниченное 38
—	открытое 19
—	плотное 20
—	поглощающее 66
—	пустое 7
— резольвентное 107, 173, 198
—	счетное 9
—	универсально-измеримое 141
—	упорядоченное 10
—	уравновешенное 66
модуль меры 139, 151
Направление 11
неравенство Буняковского 142
—	Коши—Буняковского 168
—	треугольника 36, 142
—	четырехугольника 39
норма 97
—	билинейного функционала 181
—	квадратичной формы 171
—	меры 145
нормы эквивалентные 97
носитель меры 145
—	функции 138
Область 36
— значений оператора 174
--отношения 8
—	определения оператора 174
--отношения 8
оболочка абсолютно выпуклая 66
—	выпуклая 66
—	множества линейная 66
—	уравновешенная 66
образ множества 9
объединение множеств 7
окрестность нуля 76
—	открытая 19
—	точки 19
оператор вполне непрерывный
(компактный) 121
—	гипонормальный 188
Предметный указатель
213
— диагональный 131
— замкнутый 175
— изометричный 172, 187
—	интегральный Вольтерра 55
---нагруженный 127
—	квази нильпотентный 120
—	коммутирующий
(перестановочный) 172
—	компактный (вполне
непрерывный) 121
—	конечного ранга (конечномерный)
122
—	линейный 174
—	нётеров (Фредгольмов) 122
—	нормальный 172
—	обратимый 172
—	обратный 172
—	ограниченный 106
—	перестановочный
(коммутирующий) 172
—	самосопряженный (эрмитов) 172,
175
---положительный 172
—	сдвига 95
—	симметричный 175
---максимальный 196
---существенно самосопряженный
196
—	сопряженный 172, 175
—	унитарный 172
—	Фредгольмов (нётеров) 122
—	Фурье 192
—	частично изометричный 188
—	эрмитов (самосопряженный) 172
отношение 8
—	включения 16
—	левое обратное 14
—	обратное 8
—	порядка 10
—	правое обратное 14
—	рефлексивное 9
—	симметричное 9
—	транзитивное 9
—	функциональное по у 8
— эквивалентности 9
отображение 8
— биективное 9
— замкнутое 21
— инъективное 9
— каноническое (проекция
каноническая) 10
—	линейное 65
—	непрерывное 21
	в точке 21, 38
— обратное 9
— открытое 21
— постоянное 13
— равномерно непрерывное 38
— сжимающее 37
— сложное (композиция
отображений) 9
—	сопряженное 83
— сюръективное 9
— тождественное 13
отрезок ряда Фурье элемента 171
Пересечение множеств 7
подмножество 7
— компактное 22
— несобственное 7
— собственное 7
подпокрытие 22
подпространство 37
— векторное 65
----максимальное 65
----собственное 65
— инвариантное 172
— порожденное подмножеством 66
— приводящее 172
— топологического пространства 21
покрытие 22
— конечное 22
— открытое 22
полунорма 66, 67
пополнение пространства 37
214
Предметный указатель
последовательность 8
— Коши (фундаментальная,
последовательность сходящаяся
в себе) 37
—	обобщенная (направленность) 11
—	регуляризуклцая 79
—	сходящаяся 20
---в себе (фундаментальная,
последовательность Коши) 37
— финитная 44
— фундаментальная (Коши,
п. сходящаяся в себе) 37
предбаза окрестностей точки 21
предел последовательности 20
— пространств индуктивный строгий
69, 138
—	топологий индуктивный 69
принцип вложенных шаров 37
—	сжатых отображений 38
присоединение единицы 203
продолжение оператора 174
—	функции 8
проектор 106
—	ортогональный 186
проекция каноническая
(отображение каноническое) 10
—	пары вторая 8
--- первая 8
—	элемента 169
произведение (композиция)
отношений 8
—	декартово (прямое) 8
—	мер 146
—	• множеств 8, 9
—	прямое (декартово) 8
—	топологических пространств 21, 22
—	элементов скалярное 168
прообраз множества 9
пространства метрические
изометричные 37
—	топологические гомеоморфные 21
пространство борнологическое 68
—	бочечное 68
— векторное предгильбертово 168
---топологическое вещественное
67
-------квазиполное 82
-------комплексное 67
—	гильбертово 168
—	инфрабочечное 85
—	локально-выпуклое 67
—	метрическое 36
---полное 37
---предкомпактное 38
—	монтелевское 83
—	над полем векторное 65
—	нормированное 97
--- банахово 97
---рефлексивное 97
—	полурефлексивное 83
—	порожденное множеством 66
—	равномерно выпуклое 98
—	размерности п 66
—	рефлексивное 83
—	сильно сопряженное 82
—	сопряженное 81
---второе 83
— топологическое 19
---компактное 22
---линейно-связное 22
---локально-компактное 22
---метризуемое 39
---несвязное 22
---нормальное 23
---отделимое (хаусдорфово) 20
---связное 22
—	ультраборнологическое 89
—	Фреше 68
—	хаусдорфово (топологическое
отделимое) 20
Равенство параллелограмма 176
—	Парсеваля 170
радикал алгебры 199
радиус спектральный 198
Предметный указатель
215
разложение единицы 150
— Фурье 170
размерность подмножества 169
разность множеств 7
расстояние между множествами 36
---точками 36
—	от точки до множества 36
—	хаусдорфово 37
регуляризатор оператора 133
резольвента 107
Свойство отрезка ряда Фурье
экстремальное 171
сечение упорядоченного множества
17
символ Кронекера 169
система множеств центрированная 57
— нормированного пространства
биортогональная 98
— окрестностей точки
фундаментальная (база
окрестностей точки) 20
— элементов линейно-независимая
66, 169
---ортонормальная 169
сложение 65
спектр оператора 107, 173
---непрерывный 107, 173
---остаточный 107, 173
---точечный 107, 173
-------аппроксимативный 174
—	предельный оператора 174
—	элемента 198
сужение оператора 174
—	функции 8
сумма подпространств прямая
топологическая 69
—	прямая 69
суммируемость ряда произвольной
мощности 170
существование нуля 65
сходимость по норме (сильная) 173
—	равномерная 173
—	сильная 173
--(по норме) 173
—	слабая 173
— точечная 32
Теорема Банаха об открытом
отображении 106
—	Банаха—Алаоглу 107
—	Банаха—Штейнгауза 82, 106
—	Бэра 39
—	Винера 206
—	Гельфанда 199
—	Гельфанда—Наймарка 200
—	Егорова 142
—	Лебега 141
—	Лебега—Радона—Никодима 144
—	Лебега—Фубини 147
—	Лиувилля 201
—	о неподвижной точке 84
—	об отображении спектра 201
—	Пифагора 170
—	Рисса 97
—	Стоуна—Вейерштрасса 200
—	Тихонова 22
—	Урысона 23
—	Хана—Банаха 81
—	Хаусдорфа 38
—	Шаудера 124
теоремы Фредгольма 121
тождество поляризационное 176
топологии, согласующиеся
с двойственностью между
пространствами 82
топология 19, 21
—	антидискретная 19
—	дискретная 19
—	естественная 77
—	индуцированная 21
—	инициальная 29
—	компактной сходимости 82
—	Макки 82
—	ограниченной сходимости 82
216
Предметный указатель
топология определяемая множеством
полунорм 68
—	простой сходимости 82
—	равномерной сходимости 82
—	сильная 82
—	сильнейшая 22
—	слабая 82
—	слабейшая 22
—	тихоновская 22
—	финальная 29
точка множества внешняя 20
		внутренняя 20
		граничная 20
		изолированная 20
		предельная 20
—	отображения неподвижная 37
— прикосновения множества 19
Ультрафильтр 11
умножение на число 65
упорядочение 10
уравнение нормально разрешимое
122
Фактор-множество 10
фактор-пространство 22
фактор-топология на
фактор-множестве 22
фильтр 11
форма линейная 66
функционал билинейный
непрерывный 171
----симметричный 171
----положительный 171
----строго положительный 171
— линейный 66
—	Минковского 67
функция 8
—	р-измеримая 141, 155
—	калибровочная 67
—	локально интегрируемая 144
— полунепрерывная сверху 138
•	снизу 138
—	пренебрежимая относительно
меры 140
—	простая 157
—	существенно ограниченная 143
— универсально-измеримая 141
— финитная 45, 138
Часть меры вещественная 139
----мнимая 139
Шар замкнутый 36
— открытый 36
Элемент алгебры с инволюцией
эрмитов 207
— максимальный 10
— минимальный 10
— нормальный 207
— обратимый 198
— обратный 198
— положительный 208
элементы линейно-зависимые 66
— линейно-независимые 66
— ортогональные 168
Ядро линейного отображения 66
С* -алгебра 200
е-сеть 38
а-топология 82
.  . ,.... ..J,.... ... (. ..	_ ••	... ' '''
IIRSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
UHSS.ru UWSS.ru UHSS.ru URSS.ru UHSS.ru UHSS.ru
Другие книги нашего издательства:
Учебники и задачники по математике
Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-7.	v
Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборники задач	URSS
«Вся высшая математика» с подробными решениями.
Тактаров Н. Г. Справочник по высшей математике д ля студентов вузов.
БоярчукА. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антидеммдович). Т. 1-5.
Босс В. Лекции по математике. Т. 1-15:
Т. 1: Анализ; Т. 2: Дифференциальные уравнения; Т. 3: Линейная алгебра;
Т. 4: Вероятность, информация, статистика; Т. 5: Функциональный анализ;
Т. 6: От Диофанта до ТЬюринга; Т. 7: Оптимизация; Т. 8: Теория групп; Т. 9: ТФКП;
Т. 10. Перебор и эффективные алгоритмы; Т. 11. Уравнения математической физики;
Т. 12. Контрпримеры и парадоксы; Т. 13. Топология; Т. 14. Теория чисел;
Т. 15. Нелинейные операторы и неподвижные точки.
Алексеев В. М. (ред.) Избранные задачи по математике из журнала “АММ”.
Жуков А. В. и др. Элегантная математика. Задачи и решения.
Арлазаров В. В. и др. Сборник задач по математике для физико-математических школ.
Медведев Г. Н. Задачи вступительных экзаменов по математике на физфаке МГУ.
Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями).
Попов Г. Н. Сборник исторических задач по элементарной математике.
Золотаревская Д. И. Теория вероятностей. Задачи с решениями.
Золотаревская Д. И. Сборник задач по линейной алгебре.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.
Сурдин В. Г. Астрономические задачи с решениями.
Гамов Г., Стерн М. Занимательные задачи.
Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.
Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Кн. 1,2.
Базылев Д. Ф. Олимпиадные задачи по математике.
Куланин Е.Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах.
Серия «Классический университетский учебник»
Колмогоров А. И., Драгалин А. Г. Математическая логика.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии.
Ишханов Б. С., Капитонов И. М., Юдин Н. П. Частицы и атомные ядра.
Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. В 4 т.
Телефакс: (499) 135-42-46, (499) 135-42-16, E-mail: URSS@URSS.ni http://URSS.ru	Наши книги можно приобрести в магазинах: «Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мясницкая. 6. Тел. (495) 625-2457) «Московский дом книги» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат. 8. Тел. (495) 203-8242) «Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка. 28. Тел. (495) 238-5001.780-3370) «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр-т. 40. Тел. (495) 137-6019) «Дом книги на Ладожской» (м. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр.1. Тел. 267-0302) «Гнозис» (м. Университет, 1 гум. корпус МГУ, комн. 141. Тел. (495) 939-4713) «У Кентавра» (РГГУ) (и. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (499) 973-4301) «СПб. дом книги» (Невский пр., 20. Тел. (812) 448-2355)	
		
JRSS.ru
URSS.ru URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.l
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Россий-
ской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономи-
ческих условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.
URSS
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Князев П. Н. Функциональный анализ.
Князев П. Н. Интегральные преобразования.
Иосида К. Функциональный анализ.
Луговая ГД., Шерстнев А. Н. Функциональный анализ: Специальные курсы.
Городецкий В. В., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П. Методы решения задач
по функциональному анализу.
Грищенко А. Е., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П. Теория функций комплексного
переменного: Решение задач.
Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике.
Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций.
Титчмарш Э. Ч. Дзета-функция Римана.
Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье.
Марченков С. С. Элементарные арифметические функции.
Марченков С. С. Представление функций суперпозициями.
Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу.
Харди Г Г Курс чистой математики.
Харди Г Г. Расходящиеся рады.
Харди Г Г, Рогозинский В. В. Рады Фурье.
Харди Г Г, Литлвуд Дж. И., Полиа Г Неравенства.
Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике.
Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.
Окстоби Дж. Мера и категория.
Уиттекер Э. Т, Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.
Гливенко В. И. Интеграл Стилтьеса.
Порошкин А. Г. Теория радов.
Порошкин А. Г. Теория меры и интеграла.
Гелъфонд А. О. Вычеты и их приложения.
Гелъфонд А. О. Исчисление конечных разностей.
Серия «Физико-математическое наследие: математика (теория функций)»
Бор Г. Почти периодические функции.
Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной.
Артин Э. Введение в теорию гамма-функций.
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс(Ю9) 135-42-16, 135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература
URSS.ru UBSS.ru UHSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
URSS.ru URSS.ru URSS.ru
Анатолий Борисович АНТОНЕВИЧ
(род. в 1942 г.)
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры функцио-
нального анализа Белорусского государственного университета.
Окончил БГУ. Автор свыше 200 научных работ по функциональному
анализу и его приложениям, в том числе 11 книг — монографий,
учебников и учебных пособий. Лауреат премии им. А. Н. Севченко.
Павел Николаевич КНЯЗЕВ
(1926-2005)
Кандидат физико-математических наук, доцент. Окончил Ленинград-
ский государственный университет. С1962 г. до конца жизни работал
в Белорусском государственном университете. Автор около 50 работ
по теории операторов, в том числе трех книг.
Яков Валентинович РАДЫНО
(род. в 1946 г.)
Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий ка-
федрой функционального анализа БГУ. Член-корреспондент НАН
Беларуси. Окончил БГУ. Автор 130 научных работ по функцио-
нальному анализу и его приложениям, в том числе 10 книг. Лауреат
премии Ленинского комсомола Белоруссии и Государственной пре-
мии Республики Беларусь.
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Тел./факс: 7 (499) 135-42-16
Тел./факс: 7 (499) 135-42-46
E-mail:
URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Интернете:
http://URSS.ru
URSS
Любые отзывы о настоящем издании, а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru. Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги в нашем интернет-магазине http://URSS.ru