Основные понятия метода конечных элементов - Норри Д., Фриз Ж.де

Автор: Норри Д. Фриз Ж.де
Теги: физика строительство математика строительная механика
Год: 1981
Похожие
Динамика сооружений
Гидродинамика баллистических ракет подводных лодок
Физика процессов в генераторах когерентного оптического излучения
Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы
Текст
                    1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов первоначально появился в строитель-
ной механике, но в последующее десятилетие было установлено
[1, 2], что основные понятия метода могут иметь более широкое
применение и они начали использоваться в ряде других обла-
стей В дальнейшем метод конечных элементов развивался
весьма интенсивно, и сейчас он широко применяется во многих
научных и инженерных приложениях Хотя существует большое
разнообразие в формулировках, метод конечных элементов мо-
жет быть охарактеризован следующими свойствами
1)	Физическая область задачи делится на подобласти, или
конечные элементы
2)	Зависимая переменная (одна или несколько) аппрокси-
мируется функцией специального вида на каждом конечном эле-
менте и, следовательно, во всей области Параметры этих аппро-
ксимаций в последующем становятся неизвестными параметра-
ми задачи
3)	Подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения
(или эквивалентные им) дает систему множества уравнений с
неизвестными параметрами Решая эти уравнения, можно опре-
делить значения этих параметров и, следовательно, получить
прибтиженное решение задачи
Вместо определяющих уравнений часто используют вариа-
ционный подхоц Иногда ставится условие обеспечения малости
(в некотором смысле) разницы между истинным и приближен-
ным решениями, т е невязки метода конечных элементов Так
как число неизвестных в окончательной системе уравнений ча-
сто весьма велико, то общепринято использовать матричные
обозначения как для сокращения записи, так и для облегчения
программирования.
1.1. КОНСТРУКЦИИ И СЕТИ
1.1.1. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
Термин метод конечных элементов в данном контексте предпо-
лагает процедуру решения дня непрерывной системы, т е си-
стемы, охватывающей явление в непрерывной области. Многие
10
Глава t
задачи, однако, относятся к дискретным системам, состоящим
из конечного числа связанных элементов. Впоследствии будет
показано, что существует большое сходство между анализом ди-
скретных систем и методом конечных элементов. Это естествен-
но, так как метод конечных элементов возник из попыток ди-
скретизировать непрерывные задачи в строительной механике и
использовать для полученных дискретных систем методики, ко-
торые с успехом применялись к расчету сооружений.
Из тех же соображений матричная формулировка дискретной
задачи должна быть рассмотрена до конечноэлементного ана-
лиза непрерывных систем. В последующих разделах будут ис-
следованы два типа дискретных систем: строительные конструк-
ции и транспортные сети.
1.1.8. СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Хотя соединения строительных элементов обычно могут переда-
вать как силы, так и моменты, здесь мы рассмотрим только
плоскую шарнирно-соединенную ферму (рис. 1.1). Предпола-
гается, что ферма собрана без предварительного напряжения, а
нагрузки приложены в узлах, как это указано иа рисунке. Силы
F2 и F3, действующие в шпрнирах на типовой элемент es, пред-
ставлены на рис. 1.2 в виде их проекций Fz2, Н?2 и F*3, F^ иа
осн х, у соответственно. Смещения узлов элемента от их исход-
ного ^положения (до приложения усилий к ферме) обозначим
б2 и б3 с компонентами 6х2, бу2 и б«3, буз соответственно. В мат-
ричной форме силы и смещения описываются соответственно вы-
ражениями

где надстрочный индекс е$ обозначает элемент, к которому от-
носятся рассматриваемые величины. Там, где из контекста ясно,
о каком элементе идет речь, этот индекс будет опускаться.
Растяжение или сжатие стержня иенагружепной длины L
Основные-понятия метода конечных элементов
11
Рис. 1.2. Шарнирно-соединенный элемент е^.
12
Глава 1
определяется величиной (5x3 —6x2)cos 0+ (^3 — ^sjsin 0’), и
деформация получается в результате деления этой величины на L.
Так как напряжение равно модулю Юнга Б, умноженному на
деформацию, то продольная сила, приложенная к стержню
(рис. 1.2), описывается выражением
Р = (БЛ/L) [(бх3 - lx2) cos 0 + (ад - ад sin б],	(1.3)
где А-—площадь поперечного сечения стержня.
Компоненты продольной силы Р могут быть приравнены ком-
понентам шарнирных сил, н, таким образом, уравнение (1.1)
может быть записано в виде
Подстановка Р из уравнения
уравнении (1.4) дает
‘ — Р COS 0 -
— Р sin 0
Р COS 0
р sin 6 -
(1.3) в выражение для
(1.4)
Бл2 в
рх2=(EAjL) [— (dx3 — ад cos2 e — (ад — ад) sin о cos ej, (i.5a)
или, после перегруппировки,
Fx2 = (EA/L) [cos2 0 dx2 ~h sin 0 cos 0ад —-
— cos2 0dx3 — sin 6 cos 0ад],	(1.56)
В матричной форме уравнение (1.56) имеет внд
&х2
Fx2= (EA/L)[cos20, sin 0cos 6, — cos20, — sin 0cos0]
(1.5b)
d
Четыре уравнения типа (1.5в) для Fx2> Fy2i Fx3, Fy3 в матричной
форме записываются так:
Г‘ = (ЕЛ/Б)Х
cos2 0
sin 0 cos 0
— cos2 0
— sin 0 cos 6
sin 0 ebs 6
sin20
— sin 6 cos 6
- sin2e
— cos2 0
— sin 0 соз 0
cos20
sin 6 cos 0
— sin 0 cos 0 -
— sin26
sin 0 cos 0
sin2e
ад
ад
ад
_ад_
___________ (1.6а)
’) Обычно полагают, что продольная сила Р положительна прн растяже-
нии и отрицательна при сжатии.
Основные понятия метода конечных элементов
13
С множителем EA/L, внесенным в квадратную матрицу, урав-
нение (1.6а) приобретает вид
^л-2, Л2 &х2. у2 j ^х2, хз ^х2,уЗ
ky2. х2 &у2. у2 [ &у2, хЗ &у2, уЭ
&хЗ. х2 &хЗ, у2 | &хЗ, ХЗ &ХЗ, «3
_ ky3. х2 &уЗ. у2 ! &уЗ, ХЗ &уЗ, уЗ —
0x2
&у2
^хЗ
^уЗ
(1.66)
Если матрицы справа разбиты, как показано штриховыми ли-
ниями, то уравнение (1.66) можно записать следующим образом:
ре« —
(1.6в)
Уравнение (1.6в) является матричным уравнением для элемен-
та ев, и его квадратная матрица коэффициентов к называется
матрицей жесткости элемента. Подобные уравнения могут быть
получены и для других элементов. Чтобы различать подматрицы
различных элементов, необходт				МО вновь	ввести надстрочный			
индекс. Уравнение (1.6в)			может	быть расширено так, чтобы оно				
включало все уз пользовании пул	ловы. ей им ‘ 0 ~ F? F?	см еем	ещения "0 0 о кй 0 кЙ	системы. ООО к§ 0 0 kg 0 0	Пр О’ 0 0	и	под? "6/ 62 63	ходящем ис-
Гг' =	0 0 _0		0 0 0 0 О 0	ООО ООО ООО	0 0 0_		61 6S /б6-	(1.6г)
Уравнение (1.6г) представляет собой расширенное матричное
уравнение для элемента е6 и может быть записано как
Гв = кЧ	(1.6д)
где к*® — расширенная матрица жесткости элемента ев, а б —
вектор узловых смещений системы.
Внешние силы Rb R2. Re могут быть выражены через х-,
(/-компоненты Rxi, Ryi; RxZ, RyZ; ...; /?А6, Rytt а условия равно-
весия в узловых точках могут быть определены через эти ком-
поненты. Например, в узле с номером 2 условие равновесия в
направлении х имеет вид
Rxi = Ехг +	+ Г&.	(1.7)
14
Глава 1
Хотя ясно, что вклад в правую часть равенства (1.7) дают
только те элементы, которые содержат узел 2, удобно записать
это соотношение одним из следующих более общих способов:
(1.8а, б)
i	С-1
Аналогичное соотношение получается для другой компоненты
вектора R2:
₽У2=Е^2-	(1.8в)
е—1
Уравнения (1.86) и (1.8в) можно объединить в матричной записи:
Аналогичные уравнения могут быть записаны н для других
узлов. Результирующая система уравнений равновесия записы-
вается в виде
Подстановка выражений типа (1.6д) в уравнение (1.10) дает
R=£j?8,	(1.11)
ИЛИ
KS = R.	(1.12)
Уравнение (1.12) называется матричным уравнением системы, а
матрица К, задаваемая равенством
К=ГЕ*,	(1.13)
называется матрицей жесткости системы. Процедура, исполь-
зованная выше для объединения матричных уравнений элемен-
тов, называется поэлементным объединением.
Рассмотрение этого процесса объединения (который по су-
ществу является сложением расширенных элементных матриц
жесткости к) показывает, что элементы KYfl матрицы жесткости
Основные понятия метода конечных элементов
15
К задаются равенством
K,s=£k'».	(1-14)
е—I
Необходимо заметить, что кув = 0, если хотя бы один из узлов
с номерами у и б не является узлом элемента с номером е. Так
как у и б образуют систему подстрочных индексов, то в уравне-
нии (1-14) обозначения к^ могут относиться либо к расширен-
ному матричному уравнению [такому, как уравнение (1.6г)],
либо к матричному уравнению элемента [такому, как уравнение
(1.6в)1.
Напомним, что фактически являются подматрицами (см.
уравнения (1.66) и (1.6в)]. Однако это не приводит к каким-
либо трудностям, поскольку суммирование подматриц произво-
дится путем суммирования соответствующих элементов.
Так как размеры и свойства стержней в рассматриваемой си-
стеме известны, все матричные элементы куь могут быть вычис-
лены с использованием уравнений типа (1.6), и матричное урав-
нение системы составляется с помощью уравнения (1.14). Для
фермы, показанной на рис. 1.1, смещения 61, 65 и 6g должны
быть равны нулю. Если приложенные усилия R2, Rg и R4 из-
вестны, то система линейных алгебраических уравнений (1.12)
может быть решена последовательным исключением, обраще-
нием матрицы или выполнением итераций для неизвестных сме-
шений 62, 63 и б4 н реакций Rb Rs н Re-
Метод анализа конструкций, описанный выше, называется
методом перемещений и может быть распространен на случаи
а) начальных конструкционных (сборочных) или тепловых де-
формаций, б) массовых сил, таких, как гравитационные, и
в) распределенных нагрузок, приложенных к стрежням. Вводя
трн дополнительных вектор-столбца в уравнение (1.12), получим
К5 + Fe0 + Ffc+ Fd = R,	(1.16)
где Fe0, Fi,, Рй соответствуют конструкционным н тепловым де-
формациям в системе, массовым силам и распределенным на-
грузкам.
Этот анализ может быть распространен на трехмерные фер-
мы и случаи жестких соединений, когда силы и моменты пере-
даются через узлы.
Пример 1.1. Для шарнирно-соедянеяной фермы, показанной на риё. 1.3,
вычислим смещения в узле 2, предполагая, что каждый стержень имеет длину,
равную 10 см. и поперечное сеченне, равное 1 смг. Модуль Юнга Е полагаем
равным 2 106 кГ/см8.
Диаграмма нагрузок для этой задачи представлена на рнс. 1.4, а, а на
рнс. 1.4,6 показаны силы, действующие на типичный элемент е4. Согласно
16
Глава I
уравнению (1.3), для элемента 1 сила, действующая вдоль стержня, равна
Р == (EAJLJ [(бх2- б*,) cos 135° Ч- (6^ - 6^1) sin 135%	(1,16)
(Здесь предполагается, что используется подходящая система физических еди-
ниц.) Отсюда с помощью уравнений (1,4) и (1.6а) получаем
rFx,i
Fyi
Лк2
-F&2
’ — Peas 135°-
— P sin 135°
Pcos 135"
- P sin 135е-
= 10Б
1-1-1 1
Oxi
fy/1
&X2
- Ьу2 _
(1-17)
Для элемента 2 аналогично получаем соотношения
Д— (EAs/L2) [ (6x2 “ 6Хз) СОЗ 45е 4- (бра — б^з) sin 45е],	(1.18)
Fe’^=
Fxb~
Рув
FX2
PV2 '
Г —Pcos 45° 1 Г 1	1
I — P sin 45° I 51 1	1
I	Pcos 45° |= 10 I —1 —1
L P sin 45° J L_i _i
— 1 —1
-1 -1
1 1
I 1
&X3
5уз
5x2
- 5уг _
(1.19)
Для того чтобы проиллюстрировать процесс последовательного построения
более четко, преобразуем уравнение (1.19) так. чтобы нумерация узлов в его
Рнс. 1.3. Шарнирно-соеднкеиная ферма.
матрицах подчинялась той же последовательности, что и в уравнении (1.17),
r.ef
Fe' —
Fx2
Fy2
F xs
FyS
Г Pcos 45е-] Г 1	1 "~l
P sin 45е I	1	1-1
-Pcos 45° — 10 1-1 -I 1
L — P sin 45° J L_i -i i
(i.2o;
Расширяя (1 17) и (1.20) до размерности системы в формируя результирую-
щие уравнения поэлементным объединением согласно (1.11), получаем мат-
Основные понятия метода конечных элементов
17
Рис. 1.4. Шарнирно-соединенная ферма.
а—диаграмма нагрузки; б — диаграмма реакций.
рникое уравнение
#Х2
^1/2
Кхъ
- Я&3 _
= 10е
(1-21)
Так как
Rx2 = Ю00 cos 60° 500,
Ry2 = — ] ООО sin 60° = — 866,
6*1 — бу! — бдз = буз *= О,
(1-22)
то уравнение (1-21) можно записать в виде
Ryi
500
—866
Rxi
Rx&~
(1.23)
Разбиение матриц в (1.23). показанное штриховыми линиями, позволяет найти
6^2 и 6^2 как решение системы
т.е.
Ьи = 500/(2 • 10=) = 2,5 • 10-3 (см),	,, „„
.	_•>	(1.20)
= — 866/(2 • Юэ) = - 4,33 • 10 3 (см).
18
Глава 1
Подстановка равенств
ций:
(1.25) в (1.23) дает следующее выражение для реак-
Отсюда
/?*]-= —683 кГ, Ryl =683 кГ,
/?Х8=®183 кГ, = 183 kF.
Эти результаты могут быть проверены путем использования условий равнове-
сия фермы:
У 683+500+ 183 = 0,
7	(1.28)
У /^ = 683 — 866+ 183 = 0.
1.1.3. СЕТИ
Л4атричные уравнения для сети взаимосвязанных элементов ана-
логичны уравнениям, полученным в предыдущем разделе для
строительных конструкций. Для иллюстрации рассмотрим ги-
Рис. 1.5. Гидравлическая сеть.
дравлическую сеть, изображенную на рис. 1.5. В случае медлен-
ных (ламинарных) течений поток Q через поперечное сечеиие
трубы пропорционален разности давлений в начале и конце
трубы. Таким образом, для элемента ее (рис. 1.6) потоки в эту
Основные понятия метода конечных элементов
19
трубу в узлах 2 и 3 соответственно будут
<^ = ca(Ps-P8). ОГ = -с'‘(Рг-Рз).	(1-29)
где рг и р3 — давления в узлах 2 и 3, Qg и Q3 — потоки в тех же
узлах, а с—.постоянная, зависящая от свойств жидкости, диа-
метра и длины трубы.
Рис. 1.6. Элемент (труба) ее.
В матричной форме уравнения (1.29) приобретают вид
Уравнение (1 306)— это матричное уравнение для элемента ее
[ср. с (1.6в)] Оно также может быть записано в виде расши-
ренного матричного уравнения (1 6г) или в форме, соответствую-
щей уравнению (1.6д):
СГ=к*р,	(1.31)
где р — вектор, компоненты которого pi, рг, р8 равны дав-
лениям в узлах сети.
Предположим, что жидкость поступает в сеть в узлах 1, 2, ...
..., 8 с расходами А?2, .... /?в соответственно. Уравнение
неразрывности для узла 2, например, имеет вид
R, == Г	= о + 0 + 0 +	+ 0 + Q? + О + Q?. (1.32)
20
Глава 1
Система уравнений типа (1.32)
шим образом.[ср. с уравнением
/г,"
к2
может быть записана следую-
(1.Ю)]:
~Q‘
Ql »
=£<?-
(1.33)
_Дв_
„Qi.
R =
8
Подстановка уравнений типа (1.31) в (1.33) приводит, как и в
предыдущем разделе, к матричному уравнению системы:
Kp = R.	(1.34)
Уравнения (1.10) —(1.14) также 'применимы в данном случае,
если 6 заменить на р.
Для заданных подводимых потоков узловые давления могут
быть найдены путем решения уравнения (1.34). После этого
расходы через каждую трубу можно вычислить с помощью урав-
нений типа (1.30).
l = 1200 м;
/ = 900 m;
Упражнение 1.1. Сеть труб, показанная на рис. 1.5, является частью си-
стемы водоснабжения поселка. Из-за повреждения дамбы давление в системе
мало и поток в трубах считается ламинарным. Основываясь на этом, вычис-
лите вытекающие потоки в узлах 6, 7 и 8 для следующих данных:
Элемент е8 (подводящая магистраль) d = 5 см.
Элементы elt ег, е6	d=*2,5 см, .	...
Элементы е2, «4, e-е, е?	d = 2,5 см, I — 456 м;
Давление в узле 5	"'
Давление в узлах 6, 7, 8
2 кГ/см8;
атмосферное (1 кГ/см®).
Перепад давления Др для ламинарного потока в трубе диаметром d и дли-
ной I вычисляется по уравнению Гагена— Пуазейля Др — 32|xto/d2, где р,—
динамическая вязкость и v — средняя скорость, с использованием согласован-
ном системы физических единиц Предполагается, что вода в системе имеет
постоянную температуру 16°C, динамическая вязкость равна Li-10~4 кГ-с/мв,
все трубы горизонтальны и утечка в стыках пренебрежимо мала
Из эксперимента известно, что поток в трубе ламинарный, если число Рей-
нольдса Re = ptid/p, ие превышает 2000 Для больших значений числа Рей-
нольдса связь между перепадом давления и расходом становится нелинейной.
Принимая плотность воды |0~3 кг/см3, проверьте корректность предположения
о ламинариости потоков в трубах. (Ответ: Расходы на выходе из узлов 6, 7
и 8 равны 830, 350 н 480 см3/с; числа Рейнольдса изменяются от 3100 в
элементе ез до 40 000 в элементе ее и. следовательно, предположение о лами-
иарностн потока некорректно)
Упражнение 1.2. Имеется сеть постоянного тока с источником постоян-
ного напряжения V, показанная на рис 1.7. Составьте уравнения элементов
(как в разд. 12.3) и сформируйте из них матричное уравнение системы.
Определите узловые напряжения и V->. а затем шьл ft. !•> и /ч (Ответу
Vx — 29.268 В, Va = 4,878 В, /,	3,537 А, /а == 0,610 А, /в = 2,927 А.)
Основные понятия метода конечных элементов	21
Рис. 1.7, Сеть постоянного тока с источником постоянною напряжения V.
Л—20 Ом. &=40 Ом, R =Л0 Ом,	Ом, У=100В.
Рнс. 1,8. Простая шарннрно-соединеннаи ферма,
Упражнение 1.3. На рис 1.8 показана простая шарнирно-соединенная
ферма со следующими параметрами:
Элемент ei	Л —	10	см2,	L = 1,8	м;
Элемент е2	Л =	5	см2,	L — ?
Элемент еъ	А=	5	см2,	L— 2,4	м;
Элементе*	А =10	см2.	£ = 1,8м.
Мрдуль Юнга одинаков для всех элементов и равен 2  106 кРсм2. Я*2-— 80 кГ,
Дуа = 0, 7?хз = 0, Ry$ =160 кГ.
Определите неизвестные деформации и реакции.
22
Глава I
Рис. 1.9. Несбалансированная мостовая схема с источником постоянного тока Z.
О^ЗОм’1, G2-=2Om_i. G3=l Ом-’. О<=1 Ом”1, Gs=I Ом”1. Gc-=i Ом”1, /««BOA.
Рис. 1.10. Плоская шарнирно-соедииенная конструкция.
Упражнение 1.4. Рассматривается несбалансированная мостовая схема с
известным источником тока /, показанная на рис. 1.9 Найдите ток Л в эле-
менте с проводимостью используя значение напряжения в узле 3 в каче-
стве опорного
Эта задача может быть решена объединением уравнении элементов, как
в разд 1 23 Для проверки можно выписать непосредственно компонентные
(узловые) уравнения матричного уравнения системы, используя закон Кирх-
гофа Выбор опорною значения напряжения в какой либо точке эквивалентен
заданию-в этой точке напряжения, равного нулю. (Ответ. /1 — 0,792 А)
Упражнение 1.5. Определите неизвестные деформации и реакции для по-
казанной на рис. 1 10 конструкции при следующих даииых;
Элемент
Элемент е2
Элемент eg
Элемент в4
Элемент ея
Элемент е6
Элемент е7
А~ 5 см2,
А =10 см2,
А = 5 см2,
А =10 ей2,
А— 5 см2,
А= Ю см2,
А= 15 см2,
£ = 2,1 м;
£ = 2,4 м;
£ = 1,2 м;
£-?
£- ?
L = 1,5 м:
L = 2,4 м.
Основные понятия метода конечных элементов
23
Модуль Юнга Е одинаков для всех элементов и равен 2-10е кГ/см2.
Rxz = -—-120 кГ, Ryt = 160 кГ, = 0, Ry3 = —160 кГ, R*b °= 0, Z?pi==80 кГ.
(Ответ: Rx\ = —53 кГ, Rul = —52 кГ, Rxt ~ 147,5 кГ, Ryt — 73,8 кГ,
Яхв = 25,5 кГ, = —101,7 кГ, б»2 =« —1,17-10"’ см, 6,2 = —6.6 • 10"я см,
6x4 — —1,42 10“* см бц == —4,53 10“4 см.)
Упражнение 1.6. На рис. 1 11 изображена сеть с источником постоянного
тока I. Определить токи Л, /2 и /4 через проводимости Gt, <?s и (?*, считая.
Рис. 1.11. Сеть с источником постоянного тока /.
Gj=^8 Ом-1. о,=2 Ом-1. Gj=4 Ом7*. G<*=2 Ом’1. ft«l Ом“1* О6=2 Ом’1. /=100 А.
что в точке 7 напряжение равно нулю. При решении этой задачи используйте
оба способа, указанных в упражнении 1.4. (Ответ:	100 А, /± = 65 А,
/* = 35 А.)
1.2.	РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В разд. 1.1 для формулировки матричного уравнения системы
простой шарнирно-соединенной конструкции использовался ме-
тод перемещений Этот метод может быть распространен и на
другие конструкции, если только связь между силой и деформа-
цией для элементов этих конструкций сохраняет форму (1.6),
хотя н может быть значительно сложнее, чем (1.5). Распростра-
нение на трехмерный случай осуществляется просто, но приво-
дит к соответствующему увеличению размеров матриц. Даже в
наиболее сложных случаях общая форма матричного уравнения
системы имеет вид (1.15). Объединяя векторы F и R, итоговые
матричные уравнения системы можно свести к стандартной
форме (1.12).
Метод перемещений, однако, был не первым матричным ме-
тодом, предназначенным для анализа конструкций Формули-
ровка1), включающая податливости, с неизвестными силами
L) Метод напряжений — Прим, перев.
24
Глава 1
вместо перемещений, была хорошо разработана уже в начале
50-х гг., когда метод перемещений только появился. Значитель-
ный вклад был сделан в 1954—1955 гг. Аргирмсом [3], который
показал, что матричное уравнение системы как для метода на-
пряжений, так и для метода перемещений может быть получено
путем минимизации потенциальной энергии системы. Впослед-
ствии значительное внимание к вариационной формулировке
для колебательной энергии, использующей метод перемещений
и удобной для применения ЭВМ, позволило получить решения
широкого класса практических задач с точностью, ранее недо-
стижимой.
Метод конечных элементов впервые был применен в инже-
нерных приложениях в начале 50-х гг. Были предприняты по-
пытки применить матричные .методы для дискретных структур
к непрерывным структурам путем разбиения их на конечное
число элементов. В 1956 г. группа Тёрнера из Boeing Aircraft Со.
[4] описала процедуру такого типа, включающую некоторые
характерные черты метода конечных элементов1).
Последовавшее затем быстрое развитие этого подхода охва-
тило широкий класс задач в строительной механике и механике
твердого тела. Распространение метода конечных элементов на
другие задачи было предпринято в начале 60-х гг. на основе
вариационного подхода. Совсем недавно дополнительно к ва-
риационному методу конечных элементов, который можно на-
звать классическим, начали использоваться другие методы ко-
нечных элементов. Наиболее известные из них — метод Галер-
кина, который является частным случаем взвешенного метода
невязок, метод наименьших квадратов, процедура, называемая
прямым методом, и метод глобального баланса, или метод
Одена.
Вот некоторые из областей применения метода конечных
элементов: летательные аппараты, автомобили, суда; стальные
и железобетонные мосты; каркасы зданий; влияние землетрясе-
ний на плотины и дамбы; механика горных пород; пластичность
и механика разрушения конструкционных материалов; динамика
затопленных конструкций; композитные материалы; вязкие, до-
звуковые и сверхзвуковые течения; флаттер; звуковая локация;
акустические поля; электромагнитные поля; проектирование
*) Вариационный метод конечных элементов был развит независимо в
прикладной математике (хотя и под другим названием). В 1943 г. Курант [5]
описал процедуру решения, основанную на (вариационном) принципе мини-
мума потенциальной энергии, используя линейные аппроксимации на треуголь-
ных элементах Некоторые из основных понятий метода конечных элементов
были впоследствии испо шзоваиы Попта Прагером. Сингом и другими, но до
60-х гг. математики и инженеры не предпринимали совместных попыток со-
вершенствования этого метода.
Основные понятия метода конечных элементов
25
магнитов; газовая динамика плазмы; потоки в ядерных реакто-
рах; движение ледников; тектонические движения плит; поверх-
ностные и подземные водные потоки; проектирование нефте- и
газохранилищ; биомеханика, движение сока в деревьях; распро-
странение загрязнений в морских заливах; поверхностные вол-
ны; самовоспламенение; статистика.
Быстрое развитие метода конечных элементов иллюстрирует
увеличение числа опубликованных работ за последнее десяти-
летне:
Составитель	Год издания	Число работ
Сайхел [6]	1969	775
Эйкин, Фин гон, Стоддарт [71	1972	1096
Норри, де Фриз [8]	1974	2800
Уитмен [9]	1975	2166
Норри, де Фриз [10]	1975	3800
Норри, де Фриз [11]	1976	7115
1.3.	ОДНОМЕРНЫЙ ПРИМЕР ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этой книге будут рассматриваться только трн варианта ме-
тода конечных элементов: вариационный, невязок и прямой,
хотя существуют и другие формулировки [12, 13]. Вначале на
простом одномерном примере иллюстрируется использование
вариационного подхода.
Рассмотрим единичную массу, движущуюся под действием
силы, пропорциональной пройденному пути у. Если постоянная
пропорциональности равна 1, то движение задается уравнением
(d2^2) —!/ = 0.	(1.35)
Требуется найти пройденный 'путь за промежуток времени от
/ = б до / — 2, если дано
У Uo = У (0) = 1; у |<=2 = у (2) = е2 = 7,389.	(1.36)
1.3.1.	ОСНОВНАЯ ФОРхМУЛИРОВКА
В вариационном методе конечных элементов вместо определяю-
щего уравнения используется эквивалентная вариационная фор-
мулировка. Для рассматриваемой задачи можно показать, поль-
зуясь вариационным исчислением, что решение у уравнения
(1.35) совпадает с функцией, минимизирующей функционал
о-зт)
о
при условии, что пробные функции $, используемые в (1.37), не-
прерывны, имеют кусочно-непрерывные первые производные и
удовлетворяют главным граничным условиям (1.36).
26
Глава f
Область задачи 0 t 2 подразделяется на п конечных
элементов ei, е?, ...» и У аппроксимируется пробной функцией
Рис. 1.12. Разбиение области на п конечных элементов.
-----точное решение у (неизвестное); -------- приближенное решение 0.
$ei внутри каждого элемента (рис. 1.12). Функционал % может
быть записан в виде следующей суммы элементных интегралов:
х=1$[^+тТ'«+
tl
+w+mT*+
h
+ ••• +4 TW+(->)Тл+ ••• +4 ? x
4	fn-l
x [«я2++1T И+dt-
‘n
нли просто
n *1+1
»=El! [<^+Ш],£Й	(1-39)
i-l tt
Определяя элементный вклад как
Xе'= | $ [(«)2 + (^)Т'Л-	0-40)
Основные понятия метода конечных элементов
27
равенство (1.39) можно записать в виде
Х=£х*'.	(1-41)
г-1
Выбирая линейные пробные функции в виде
	^=<» + а'Ч,	(1.42)
где ар, ар — постоянные, которые могут быть определены из
условий в узлах:
=	=	(1-43)
Получаем
	=	а?=41±1_Д.	(1.44) 4+1 {i	Ii+1 {i
Подстановка (1.44) .в (1.42) дает элементную аппроксимацию
для у в виде
= ( £F?)В‘+ ((1Л5)
Определяя коэффициенты при yi и yt+i в (1.45) как базисные
функции N*1 и равенство (1.45) можно записать в виде
аппроксимаций базисными функциями;
У1 ==	+ Ne/+lyi+l, tt	(1.46a)
Необходимо отметить, что базисные функции являются функ-
циями только независимой переменной t и не зависят от узло-
вых координат (т. е. значений yt).
Вне элемента et пробная функция равна нулю:
yei~ 0, если t<ti или t > ti+i. (1.466)
Равенство (1.46а) можно записать в матричной форме:
U.47)
где
=	^J = [lVt> Nt+l]‘‘,	(1.48)
у*Ч1.Г (1-49)
Величина Ne» называется матрицей базисных функций, a уе* —
узловым вектором. Если в каждом элементе больше двух узлов,
но задаются лишь узловые значения функции в каждом узле, то
форма аппроксимации (1.47) сохраняется. Однако размерность
28
Глава 1
матриц при этом увеличится и будет равна числу используемых
в элементе узлов.
Если элементы ei, es, .... е„ выбраны равной длины1), то
//+1 —Л = 0п+1 —г1)/« а™ «=1. 2, .... п. (1.50)
Так как ti=0 и l„+i = 2, то равенство (1.50) принимает вид
0+1-С = 2/п.	(1.51)
Подставляя (1.51) в (1.45), получим элементную пробную функ-
цию (fl в виде
Ь*1 = (п/2) [(<(+1 — 1)й + (1 — Муг+i].	(1.52)
Подстановка (1 52) в (1.40) дает следующее выражение для эле-
ментного вклада:
а <<+1
Хе, = -т S {[<0+1-1)л + 0-Му(+1]г + (-?. + у<+1)2)Л-(1.53)
Интегрируя, получим выражение
которое в силу (1.51) сводится к
11‘' = t[(v+ O^ + Gsk-2)$<$'<+| + (з^ + Q^+i]-
(1.55)
Если в (1.55) последовательно использовать подходящие узло-
вые числа для каждого элемента, а результаты подставить в
(1.41), то х оказывается функцией узловых значений yit у2, ...
• •> т. е.
Х = Х(51, Уг...Уп> Уп+1)-	(1-56)
Из вариационного исчисления известно, что условия минимума
для функционала х имеют вид
^Х/^р=0, р = 2, 3, ...» и.	(1.57)
Система (1.57) не содержит уравнений при р=1 и р = я+1,
так как узловые значения у\ и yn+i могут быть заменены кон-
стантами в силу граничных условий (1.36). Граничные условия
£i—1,	(1.58а)
£п+1 = 7,389	(1.586)
н п—1 уравнений типа (157) дают n-f-1 уравнений, которые
могут быть решены относительно узловых значений уи у2, ...
*) Это условие не является необходимым, хотя и уменьшает объем вы-
числений (см , например, упражнение 1 В)
Основные понятия метода конечных элементов
29
..., yn+i- Более удобно, однако, получить минимизирующие
условия для всех узлов, т. е.
дх/^р = О, р=1, 2...п+1,	(1.59)
и заменить потом подходящие уравнения граничными условиями.
Здесь будет использован этот подход Используя представление
(1 41) для % через элементные вклады, уравнения (1.59) можно
записать в виде
йх/^р= Е^х‘‘/^р = О,	р=1, 2.....п + 1. (1.60)
t—1
Суммирование в (1 60) проводится по всем элементам, хотя до-
статочно выполнить суммирование лишь по элементной окрест-
ности, т. е. по индексам, примыкающим к р, так как вклады от
всех других элементов равны пулю Например, для узлового зна-
чения уг дают вклад в уравнение (I 60) только et-\ и et> так как
только эти элементы содержат узловое значение у, [см равен-
ство (1 55) и рис I 12]
Из равенства (1 55) для типичного элементе ег получаем
= [2 (+ + 1) У, + (+ - 2) $,+1].	(1.61)
Аналогично для элемента ег~1 имеем
б/‘~7ду< = ~[(+ — 2)р(_, + 2[++ 1)у,]. (1.62)
Подставляя равенства (161) и (1.62) в уравнение (1.60) и за-
мечая, что при суммировании в уравнении (1 60) дают вклад
только элементы и условия минимизации (1.59) при
р = i можно записать в виде
йх/<^| = ^[(+-2)р,_1 + 4(++ 1)й +
+ (+~2) »'+]=°- 0.63)
Не представляет труда показать, что уравнения (1.63) справед-
ливы при i = 2, 3, ..., «, тогда как для i1 и i ~ п + 1 имеем
WK, = | [2 (+ + 1) у. + (+ - 2) у2] = 0.	(1.64)
ад^+1=4[(+~2)»»+2(++ i)s«+i]=o, (1.65)
поскольку вклад в д%/ду\ дает только е\, а в dyJdyn+\—только
еп Подставляя уравнения (1.63) — (1 65) в (1.60), получаем си-
стему из п + 1 линейных алгебраических уравнений, которая мо-
жет быть записана в матричной форме (1.66):

Основные понятия метода конечных элементов
31
Чтобы учесть заданные граничные условия, необходимо заме-
нить первое и («4-1)-е уравнения на равенства (1.58а) и
(1.586) соответственно. Этого можно достичь1), во-первых,
записью единицы на диагонали в первой и (п 4- 1)-й строках в
первой слева матрице в уравнении (1.66), во-вторых, записью
нулей в остальных позициях этих двух строк и, в-третьих, заме-
ной первого и (и 4- 1)-го элементов в матрице после знака ра-
венства заданными значениями у в первой и («4- О-® узловых
точках. Результирующее матричное уравнение системы имеет
вид
где
с==(1/Зп)-(«/2), Ь=*(4/Зп) + п.	(1.68)
Уравнение (1.67) можно также переписать в форме
Ky = R.	(1.69)
Видно, что оно имеет такой же вид, как и уравнения (1.12) и
(1.34). Уравнение (1.69) может быть решено последовательным
исключением, обращением матрицы, итерациями или, что более
удобно, одной из стандартных библиотечных матричных про-
цедур, имеющихся для большинства вычислительных машин.
Введение условий Дирихле так, как описано выше (см так-
же замечание 1), приводит к тому, что симметричная матрица
системы К в уравнении (1.66) теряет свою симметрию, как это
видно из уравнения (1.67). Симметрия может быть сохранена,
если для введения условий Дирихле использовать метод Пей-
на-— Айронса [12]. Оба подхода кратко излагаются ниже.
Замечание 1
Первое правило для узловых точек с условиями Дирихле. Если р — узел,
в котором узловое значение задается явно, те уР — gP, то процедура вве-
дения условий Дирихле в матричное уравнение системы состоит в следующем
*) Gm. также замечание 1.
32
Глава 1
В рю строку матрицы системы К вносятся нули кроме диагональной
позиции, на которую помещается 1, а в рю строку матрицы R вно
СИТСЯ gp
Второе правило для узловых точек с условиями Дирихле Процедура
Пэйна — Айронса введения условий Дирихле в матричное уравнение системы
состоит в следующем
Если уР задается условием Дирихле ур = gp то диагональный элемент
в рй строке матрицы К умножается на очень большое число, а рй
элемент в матрице R заменяется произведением того же самого чиста
на н диагональный э юмепт
Очевидно что точность предыдущих приб жжений и факта чин и любого
конечпоэлементного решения может быть улучшена либо путем увеличения
чис ia Э1ементов либо путем использования пробных функций таких которые
более точно аппроксимируют решение Поэтому тля достижения более высо
кой точности обычно используются 1) простые элементы в большом количе
стве или 2) бо icc сложные1) э ie менты, описываемые полиномами более вы
сокой степени
Замечание 2
Для любого элемента в производная от элементного вклада %е по узловому
значению может быть записана в виде элементного матричного уравнения
Так, в рассматриваемом примере выражение для	и е*/д^е+1 на
основе (161) н (1 62) может быть записано в виде
э£_\<*‘ЧаЗ, 1 [<‘,	#(+1 Ip, I
*/ Lz/W+iJ b;u, <+1 J1 «'+ J’
или
вхе‘/<9уе‘ = к’"уе'.	(1.706)
et	„	„
где у 1 — элементный узловой вектор элемента е.
Формулировка, описанная выше, часто называется методом Ритца При
использовании этого подхода матрица системы К оказывается симметричной,
а матричное уравнение системы линейным что яв шется следствием квадра-
тичного или квадратично линейного* 2) функционала задачи [13]
Упражнение 1 7. Покажите что дгя задачи рассмотренной в разд 13 1,
матричные эгемситы э) могут быть представлены в виде
=	1ИЧ
De
где <х — 1, 2 р === I, 2 — локальные номера узлов элемента е
Упражнение 1.8. Покажите что если узлы элемента для задачи из
разд 131 имеют локальные номера I и 2 то коэффициенты элементного
матричного уравнения определяются выражениями [см (1 70)]
feII=A22 = (ft/3) + (l/A),	(172а)
fei2 = fe2i«=(A/6)-(I/A)	(1726)
для каждого эпемента, причем величина h для разных элементов может быть
различной
*) Узловыми параметрами таких узлов могут быть либо значения функ-
ций в узлах «ибо значения функций н их производных’
2) См приложение 4
8) Для поостоты если это не приводит к недоразумениям, мы будем ис-
пользовать для обозначения номера элемента е вместо et.
Основные понятия метода конечных элементов
33
Упражнение 1.0. Используя четыре элемента равной длины в задаче, рас*
смотренной в разд 13 1, вычислите элементные матричные уравнения с уче-
том равенств (1 70) Объедините эти матричные уравнения по элементам со-
гласно равенству (1 60) и покажите, что матрица системы К до учета условий
Дирихле имеет вид
52 —46 0	0 От
	-46	104	—46	0	0
	0	-46	104	-46	0
	0	0	—46	104	—46
	_ 0	0	0	-46	62 _
(1.73)
Используя первое правило для узловых точек с условиями Дирихле, пока-
жите. что матрица системы К равна
1	0	0
—46 104 —46
0 —46 104
0	0 —46
ООО
О 0 -
О 0
-46	0
104 —46
О 1 _
(1.74а)
а соответствующая матрица R имеет вид
(1.746)
Используя второе правило для узловых точек с условиями Дирихле, введите
граничные условия в эту задачу и покажите, что матрица системы К остается
симметричной
1.3.2. РЕШЕНИЕ НА ЭВМ
Если рассматривается только несколько элементов, то конечно-
элементное решение одномерной задачи из предыдущего раздела
может быть вычислено на ручном калькуляторе Если же ис-
пользуется много элементов и, в частности, если они имеют раз-
личную длину, то в этом случае элементная матрица к не яв-
ляется общей для всех элементов и становится необходимым ре-
шение задачи на ЭВМ.
Представленная ниже программа для задачи из разд 1 3 1
включает номера узлов 1 н 2 в элементном матричном уравне-
нии (1 70); вычисление величины kmn основано на выражениях
(1 72) Для получения матрицы системы К используется про-
цедура объединения по элементам, описанная ранее, т е эле*
ментиая матрица к каждого элемента прибавляется к систем-
ной матрице К сразу же после вычисления Эта объединяющая
процедура эквивалентна сложению расширенных элементных
матричных уравнений [см , например, (1 6д)] согласно объеди-
няющему уравнению вида (1 11) или (160). Так как в рас-
сматриваемом примере точное решение (у = е1) известно, то
34
Глава 1
величина ошибки в процентах как часть выдаваемых результа-
тов печатается для каждого узлового значения.
Программа работала в режиме разделения времени и ие оп-
тимизировалась.
1.3.2.1. Программа для ЭВМ
С .........F1MTI ELfMtWl ME thod, program i»....
( SOLUTION OF Ah ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION.
fc	THE RESULTING SYSTEM MATRIX equation is SOLVED uSING
C	'HE STANDARD itBRARY SUBROUTINE lFQTTF.
c c	.....т he	FOLLOWING 16 A VIRT OF SYMBOLS used.,.,.
c		
c	hPOlh	IOTAl number df nodes
c	NELEM	TOTAL NUMBER OF ELEMENTS
c	X(I)	X COORDINATE OF NODE 1	»-
c	9t£(M.h)	the m-n th element of the element л
c		matrix.m and n being node identifiers
c	ЯТ11 J]	the !-.i th element of the asbembleD
c		SYSTEM к MATRIX
c	RhSC1-1J	RIGHT-HAND SIDE matrix in Th|
c		SYSTEM matrix equation
c	lKQTIF	STANDARD LIBRARY SUBROUTINE USED
_ c		TO SOLVE ThE SYSTEM MATRIX EQUATION
JC	PERI I )	PERCENTAGE ERROR IN THE SDLuObh
c		AT NODE I
c		
c	.« «•.YnI	SYSTEM mAtrIx EQUATION to fi( Bolveo is.....
fc c c		ST ♦ SOLUTION • RHE
PROGRAM PRGM1 (INPuT , Du IPuT , T APE*>, F APE6)
DIMENSION к (20 ) .ST 120.20 ) .RUS(20,1) ,STE(2.2).we;AREA(20 ) ,РЕЙ(2в)
C
C .....The TOTAl NUMBER or ELEMENTS IS READ IN.....
READ(5.10) NELEM
10 FORMAT(Ij)
C
£	.....the total number of nodes ib determined,eo.
npoin^nelem**	’ '
L
C .....The X COORDINATES ARE BEAD IN FOR All NODES.....
REAO(5,20) (I,x(I).I-t.NPOIN)
£0 FORMAT(9(13.Fa . 1 ) )
c
C .........Th! TOTAL NUMBER DF NODES IS PRINTED OuT.......
WRITL(6,30) NPOIN
30 pormatf///// 1X.22H total number of nodes.I3>
c
c >....the total number of elements is printed out...,.
«VRITE (6.<50 ) NELEM
FORMATS ix ,2Sh TDT al "'NUMBER O' ELEMENTS.131
C
с Г....ГН1 A COORDINATES ARE PRINTED OUT FQR ALl NODEC....,
- 11ТЕ(6.5Й>
50 OHHAT(//,ix.3flb the NODES and thEIR x COORDINATES./1
»PI Tt [u.60 )	•
6C ГОЯМАГ(1X.10h NDDE x.4(14h ODE x))
AP’«F(b,70) (l.X(l),1-1,NPOIN)
7fi FORMAT((lx.14,F7.2.a{I7.F7.2)))
Основные понятия метода конечных элементов
35
с
с *».»»ТНЕ SYSTEM К MATRIX AND THE RIGHT-HAND SIDE
g	MATRIX ARE INITIALLED TO ZERO,....
DO 90 I-.1. NPOIN
DO B0 J-1.NPOIN
S0 £T(I.J)-0.0
90	Я№(1.1)“0.0
D
P	,**..THE ELEMENT К MATRICES ARE OBTAINED AND ASSEMBLED
C	FOR ALL ELEMENTS AND THE SYSTEM К MATRIX IS
f	OBTAINED.....
OD 100 I-1.NELEM
CPEF-X(I+1)-X(I)
STE(1.1 )-COEF/3.0+1 .0/COEF
STE( 1 ,2)-COEF/6.0-1.0/COEF
STE(2,1 )*»STE( 1 ,2 )
RTE(2.2)^STE(1,1)
ST(I,I)«ST(I,I)+STE(1.1)
ST(I.I+1)-ST(I,l+1)+ST£(l.2)
BT(I+1.l)-ST(I+1,l)+STE(2.f)
10f	GT(1+1.1+1)“ST(I+1,1+1)+STE(2,2J
t
С .«»..THE DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS ARE INSERTED
£	IN THE RIGHT-HAND SIDE MATRIX AND THE SYSTEM
С	К MATRIX IS CORRECTED,
INCR-NPOIN-1
DO 120 I-1.NPOIN.INCH
DD 110 J-1.NPOIN
110	6T(I.J)«0.0
6T(I.I)-=1.0
£20 RHS(I.1)-EXP(X(l))
£	.....THE SYSTEM MATRIX EQUATION IS SOLVED USING
t	THE STANDARD UBRARy SUBROUTINE LERflf, • « • »
MU-1
IDGT-0
NN-aja
CALt, LEOTlF(ST.MM.NP6lN.NN.nhS.IDfiT.WKAREA.IER)
C
C .........THE SOLUTION HAS BEEN OBTAINED ANO IS PRINTED QJJT,,...
WRITE(6,130)
130 FORMAT(//.1X.31H THE SOLUTION HAS BEEN OBTAINED)
WRITE(6,140)
140 FORMAT (//. 1X .36H, THE NODES AND THEIR FUNCTION VALUES,/)
WRITE(6,150)
150 FORMAT(1X.14H NODE VALUE,3(1BH NODE VALUE))
WRITE(6.160) (I,RHS(1.1).1-1.NPOIN)
160 FORMAT((1X,14.F10.3.3(IB.F10.3)))
C
C .........THE PERCENTAGE ERRORS ARE CALCULATED pRItlf&P OUT...,,
DO 170 1-1.NPOIN
170 PER(I)-ABS((RHS(I,1)-EXP(X(I)))/ЕХР(X(I)))*100.0
WRITER.1B0)
160 FORMAT(//.1X.26H THE PERCENTAGE ERRORS ARE,/)
WRITE(6,190)
190 FORMAT(1X.13H NDDF P£R.3(16H NODE PER))
WRITE(6.200) (I.PER(l).Ifcl.NPOIN)
200 FORMAT((1X,14,F9.2.3(I7,F?.2)))
STOP
END
86
Глава 1
Для иллюстрации работы программы ниже представлены, вход-
ные данные и результаты расчетов для шести неодинаковых эле-
ментов.
1.3.2.2, Входные данные
6
1 0.0 ?. 0.1 з 0.3 4 0.6 5 1.0 6 1.5 7 2.0
1.3.2.3. Результаты решения
THE THE	TOTAL NUMBER OF WOOER 7 TOTAL NUMBER OF ELEMENTS 6
THE	NODES AND THEIR X COORDINATES .
NODE	X	NODE	X	NODE	К	NODE	X	NODE	X	
1	0.00	2	.10	3	.30	4	.60	5	1,0# 1.50	7	2.00
THE SOLUTION НАБ BEEN OBTAINED
The nodes and their FuN'cTiofj Valves
JJODE 6	VALUE 1.000 2.699	NODE 2 6	VALUE 1.103 4.<62	NODE	VALUE			NODE 4	VALUE 1.810
				3	1. 7	7.		.344 .389		
THE	percentage	ERRORS	ARE					
NL	PER	NODE	PER	NODE	PER	NODE	PER	
	0.00	2	.19	3	.46	4	.67	
5	.70	6	.44	7	0,00			
1.3.3. ФОРМУЛИРОВКА В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
В предыдущем разделе представлены многие из основных по-
нятий вариационного метода конечных элементов. Матричная
формулировка была основана на фиксированной Ot системе ко-
ординат, показанной на рис. 1.12, а представление через базис-
ные функции для каждого элемента (и соответствующие уравне-
ния) записывалось в одной и той же системе отсчета. Такая
общая система отсчета называется глобальной системой коор-
динат.
Другой подход, дающий более краткую формулировку, для
получения элементного матричного уравнения требует приме-
нения локальной системы координат, специфической для каж-
дого элемента. Механизм и преимущества этого подхода станут
понятны, когда мы решим рассмотренную выше задач}' с исполь-
зованием локальных координат.
Основные понятия метода конечных элементов
На рис. 1.13 показаны для элемента et локальная 0g и гло-
бальная Ot системы координат. Соотношение между этими ко-
ординатными системами для элемента е, имеет вид
l =	(1.75)
где i~ 1, 2, п. Соотношение между двумя координатными
описаниями часто называется преобразованием.
Отметим, что сдвиг начала координат от О к б не влияет
на узловые параметры yt. Вообще, узловые значения функций
Рис. 1.13. Локальная система координат дли одномерного элемента
-----точное решение (неизвестное); —- пробная функиня Qei-
остаются неизменными при переносе начала и повороте осей
системы координат. Однако узловые производные, оставаясь не-
изменными при переносе, изменяются при вращении.
Длину элемента et обозначим йе‘, где
he^ii+i-tt.	(1.76)
Выбирая линейную аппроксимацию для у внутри элемента
в/, можем записать $ei в виде
д‘‘=<<+а‘ч, о < кh‘‘,	(1.77)
где аг1— постоянные, различные для каждого элемента,
которые могут быть определены через узловые значения yt и
у1+1 при g = 0 н | = соответственно. Использование выра-
жения (1.77) при Е = 0 и g = дает
yt —	5i+i = °? +	(1  78)
38
Глава I
Уравнение (1.78) можно записать в матричной форме
Г1 0]Г“1] = Р' 1
и н J L па J L ffi+i J’
(1.79)
где для удобства опущен верхний индекс е,. Уравнение (1.79)
может быть записано более просто
А« = у*,	(1.80)
где
Г 1
А = [а,„л] = [ j h J. «=1, 2, п=1, 2,	(1.81а)
n==[«ml = |	1.	«=1,2,	(1.816)
У*=Ы = И' ]. rn=l, 2.	(1.81в)
LZ/z+1 J
Нижние индексы m, n соответствуют номерам узлов элемента.
Легко видеть, что определитель матрицы коэффициентов А ра-
вен длине элемента й. Так как она никогда не рав,на нулю, то
матрица не вырождена, и, следовательно, может быть вычис-
лена обратная матрица
В = А-1 = [6„„] = |[_| °]. «=1,2, п=1, 2. (1.82)
Умножая на В уравнение (1.80), получим единственное решение
а = А"‘ув«Вуе.	(1.83)
Используя стандартное обозначение суммирования повторяю-
щимся нижним индексом1), запишем типичный элемент а в виде
«т = Мп. /71=1,2, /7=1, 2.	(1:84)
Подставляя соответствующие элементы матриц из уравнений
(1.81) в (1.84), определим и а2:
а1~Уь 02 = — £&+ }й+!.	(1-85)
4
О Например, если ?=1, 2....4, го = £ Cpqdq« Ср1Д, +
9-1
3
+ SA+Cp3d3 + CtA. » fc=l, 2, 3, то <141- £ а*е^ии+Ощ+«м.
Основные понятая метода конечных элементов
39
В локальной системе координат пробная функция р внутри эле-
мента Bi, согласно (L77) и (1.85), описывается выражением
= +	(1.86а)
^' = 0 ~i)si + -hi+1.	(1.866)
Уравнение (1.866) можно, конечно, получить путем простых
выкладок, однако в тех случаях, когда имеется больше двух
узловых параметров для каждого элемента, матричная про-
цедура, введенная выше, более удобна. Уравнение (1.866) мож-
но также, записать через базисные функции, имеющие форму
(1.46а), но заданные в локальной системе координат.
Получив выражение пробной функции и а элементе через его
узловые параметры [уравнение (1.86)J, можно подставить это
выражение в элементную форм}' функционала, для того чтобы
получить элементный вклад %Ч Однако в том случае, когда
пробная функция — многочлен, элементный вклад х*1 и эле-
ментное матричное уравнение д^1!ду могут быть получены бо-
лее непосредственно путем представления yei в виде ряда. Этот
подход нс требует явного определения базисных функций в
(1.866) и даст простую процедуру интегрирования для элемент-
ного вклада Из-за этих преимуществ *) указанный подход
используется в дальнейшем, однако необходимо заметить, что
эквивалентные матричные уравнения получаются с помощью
других процедур.
Пробная функция yei может быть представлена в виде, ряда
следующим образом [см. (1.77)]:
(1.87)
1=^1
где
mi — 0, m2— 1,	(1.88)
а верхние индексы у <%1 и «2 опущены.
Дифференцируя (1-87) по получим
=	(1.89)
Z-I
Использование преобразования координат в (1.75), очевидно,
дает для элементного вклада (1-40) в локальной системе коор-
J) Они будут очевидны, если выполнить упражнение 1.12.
40
Глава 1
динат выражение
/'чк^2+(-зг)Т^-	(1-9о)
о
Подставляя (1.87) и (1.89) в (1.90), получаем для типичного
элементного вклада
« ‘ = 4 $ Е Е hG^'"'+m/ + WW/T'*/-1] <%. (1.91)
о t=i/=]
Это выражение может быть записано в виде суммы интегралов
путем перестановки очередности интегрирования и суммиро-
вания'
Xе' = 4 Е Е н,а' П Г‘+'"/ + $ «г>'п/?и<+т/-!й|1. (1.92)
/=1/=1 Lo	о	J
Вводя обозначение
Л	tf
Su “ $ ^'+“'d? + m‘ml J dl, (1.93)
О	о
равенство (1.92) можно записать в виде
х'‘“4-ЕЕп^'“*'	(t04)
1 = 1 /“ 1
что является квадратичной формой (см. приложение А) н может
быть записано более кратко
%e‘—'/^iTGa,	(1.95)
Где а определяется равенствами (1.816), а величина G = [£,,].
определенная равенствами (1.93), называется элементной инте-
гральной матрицей Выполняя интегрирование в (1.93), полу-
чим для типичного элемента матрицы G выражение
, Ш/+гп,+ 1	m+m.-l
h * 1	।	h 1 1	Z1
Su=+~+t+m‘mi m;+t 	(LS6)
которое, очевидно, симметрично и, конечно, второй член справа
равен нулю, если mt или т, равны нулю Так как значения Л,
пц и т} известны, то интегральная матрица G может быть вы-
числена непосредственно по (1 96).
Подстановка (183) в (195) позволяет представить элемент-
ный вклад через узловой элементный вектор уе;
X*i = ,A(y')rBrGB(j').	(1.97)
Основные понятия метода конечных элементов
41
Дифференцируя это равенство по узловому вектору у* (см. при-
ложение Б), получим
дхв7<?у‘'=(в!'св)уе,
(1.98)
где
а е1
,0% 1
дуе
Более удобно записать равенство (1.98) в виде
бх”7<5ув = ку”,
(1.99)
(1.100)
где элементная матрица к определяется выражением
к = ВтСВ,
(1.101)
и равенство (1.100) оказывается элементным матричным урав-
пением.
Для иллюстрации приведенной выше процедуры разобьем
область 0 t 2 на п равных интервалов, так что длина каж-
дого элемента будет
ft = ftei = 2/л,
(1.102)
Подстановка (1.88) и (1.102) в (1.96) дает для интегральной
матрицы G некоторого элемента выражение
Г.
h “2
Л2 Л3 .
i= 1, 2, ..п.
_	6 3k
Л- i + L3ft 2Л2 + 6
Вычисленная матрица G является общей для всех элементов,
так как длина каждого элемента одна и та же. Подставляя
(1.82) и (1.103) в (1.101), получим выражение для элементной
Матрицы к:
. _jp -11Г6 3/г 1Г h °1_
ы Lo 1ЛзЛ 6 + 2Л2 JL-1 1 J
! Г2Л2 + 6 Л2 —6 1
— бГ[й2_б 2/г2 + б]' <Е1(М>
С учетом (1.102) равенство (1.104) можно записать как функ-
цию п:
1 Г4+ЗП2 2 —Зп2"|
k=^l2-3„2 4+3n2J-	<L105>
42
Глава 1
Таким образом, элементное матричное уравнение (1.100) при-
нимает вид
д££__1Г4 + 3п2 2“3«21ГЙ 1
W ~ Gn L 2 - Зп2 4 + 3n2 J L j//+i J
(1.106)
Аналогичные результаты можно получить для остальных эле-
ментов. Фактически, так как матрица к для всех элементов оди-
накова, четыре элемента в каждой матрице к одинаковы, хотя
появляются в различных строках и столбцах.
Объединяя элементы согласно (1.60), что совпадает с сум-
мированием расширенных элементных матричных уравнений
для всех элементов, получим матричное уравнение системы:
2 — Зп2	Й		’О’
8 + 6л2 2 — Зп2			0
2 — Зя2 8 + 6л2 2 - Зл2	й		0
2 — Зл2 8 +- бп1 2 — Зп2	У»	=	0
в 4- бе2 2 — Зл2	Й-1		0
2 — Зл2 8 + 6л1 2 - Зл2	Ул		о
2 — За2 4+За2.	Л*1-		_0_
(1.108)
Наконец, учет граничных условий Дирихле, как и прежде, дает
скорректированное матричное уравнение системы (1.67).
Для дальнейшей иллюстрации метода рассмотрим область,
разбитую на два равных элемента, т. е. п — 2 и h = 1. Вычисляя
скорректированное матричное уравнение системы, получим вы-
Основные понятия метода конечных элементов
43
ражение
В табл. 1.1 показано, как увеличение числа элементов повы-
шает точность решения.
Таблица 1.1
Точность как функция числа элементов
Число элементов равной длины	Ошибка для узловых значений (Юлька для внутренних узлов), %
2 3 4	3,53 1,64	1,11 0,85	0,81	0,47
Упражнение 1.10. Из (1.866) очевидно, что базисные функции для
имеют пид
2Vf =—1 — (g/Л),	=	(1.1Ц)
Используя 1 и 2 в качестве номеров узлов, покажите, что дли задачи, рас-
смотренной в разд. 1.3.3, элементы ka элементной матрицы к в локальной
системе координат имеют вид

dNet dN‘t
~dt~di

(1.112)
й проверьте что для n равных элементов длины h величины kq те же, что и
в выражении (I 72).
Упражнение 1.11. Покажите, что при четырех элементах равной длины
скорректированное матричное уравнение системы для задачи, рассмотренной в
разд. 1x1,3» имеет: вид
(1.113>
44
Глава I
Рис. 1.14. Локальная система координат для трехузлового элемента е?
Решите это уравнение последовательным исключением или каким либо
другим способом н проверьте, что решением является вектор
"Й"
&
§4
-УЪ -
~ 1
1,649
2,718
4,482
-7.389
(1.И4)
Упражнение 1.12. Используй квадратичную пробную функцию
^ = а^ + «?| + аЙ2
(1.116)
й локальную систему координат, показанную на рнс. 1 14, покажите, что А и
В, соответствующие уравнениям (I 81) и (I 82), имеют вид
10 0-
1 Л
2 4
1 h й2
! Г hz 0	О'!
В='Р'1 “ЗА ih ~h I
L 2 —4 2 J
(1.116)
Далее, выводи уравнение, аналогичное (1 93), покажите, что для интегральной
матрицы G справедливо выражение
[60 ЗОЙ 20й2	1
ЗОЙ 20й2 + 60 1Бй3 + 60й	(1.117)
20А2 1БЙ34-6ОЙ 12Й4 4- 80Й2 J
После этого проверьте, что элементная матрица к имеет вид
[4Й2 4-70	2Й2 - 80 - Л2 4-10 Д
2йг - 80 16й2 4- 160 2й2 - 80 I.	(1J18)
- й2 4- Ю 2Й2 - 80	4Й2 4- 70 - J
Упражнение 1.13, Модифицируйте программу для ЭВМ так, чтобы ис-
пользовать квадратичный элемент из упражнения 1.12 имеете линейного эле*
Основные понятая метода конечных элементов
45
мента Решите предыдущую задачу, используя два квадратичных элемента
одинаковой длины, и проверьте, что узловыми значениями будут
" £71'		" I
У2		1,649
	=3	2,720
		4,480
Ljrs -		_ 7,389 _
(1.119)
Литература
1	Zienkiewicz О С, Cheung Y К Finite elements in the solution of field
problems, The Engineer pp 507—510 (September 1965)
2	Martin H C. Carey G F, A Brief History of Finite Element Theory in
Introduction to Finite Element Analysis McGraw Hill, New York, 1973
3	Argyris J H Kelsey S, Energy Theorems and Structural Analysis, Butter-
worth London 1960
4	Turner M J, Clough R W, Martin II C, Topp L J, Stiffness and deflec-
tion analysis of complex structures, J Aeronaut Set, 23, No 9, 805—824
(September 195G)
6	Courant R Variational methods for the solution of problems of equilibrium
and vibrations, Bull Amer Math Soc, 49, 1—23 (1943)
6	Singhal A C, 775 Selected References on the Finite Element Method and
Matrix Methods of Structural Analysis, Rep S 12 Civil Engrg Dept, Laval
Univ , Quebec January 1969
7	Akin J E Fenton D L Stoddart W С T, The Finite Element Method —A
Bibliography of fts Theory and Application Rc-p EM 72 1, Dept of Engrg
Science and Meeh, Univ of Tennessee, Knoxsvilie, Tennessee, February
1972
8	Norrie D II de Vries G, A Finite Element Bibliography Part I — Rep 57,
Part il —Rep 58, Part III—Rep 59, Dept of Meeh Engrg, Univ of
Calgary, Alberta June 1974
9	Whiteman J R, A Bibliography for Finite Elements, Academic Press, New
York 1975
10	Norrie D H, de Vries G, A Finite Element Bibliography, Part 1-— Rep 57,
Part II — Rep 58 Part Hi — 59 Dept of Meeh Engrg, Univ ol Calgary,
Alberta 2nd ed 1975
II	. Norrie D H de Vries G, A Finite Element Bibliography, Plenum Press,
New York, 1976
12	Zienkiewicz О C, The Finite Method in Engineering Science, 2nd ed.
McGraw Hill New York 1971 [Имеется перевод Зенкевич О, Метод ко-
нечных элементов в технике — М Мир 1975 ]
13	Norrie D Н de Vries G The Finite Element Method — Fundamentals and
Applications, Academic Press, New York, 1973
2
ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Некоторые основные понятия вариационной формулировки ме-
тода конечных элементов были проиллюстрированы в предыду-
щей главе на одномерном примере. Ниже на примере двумер-
ного теплового потока через квадратный блок этот метод рас-
пространяется на двумерные задачи. Задача вначале формули-
руется в глобальной системе отсчета, а затем преобразуется с
использованием локальной системы координат.
2.1. ФОРхМУЛИРОВКА В ГЛОБАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности через брус
квадратного сечения (рис. 2.1). На верхнем торце бруса под-
держивается температура 100 °C, на нижнем 50 °C, а боковые
поверхности идеально изолированы. Требуется найти распреде-
ление температуры в брусе, и в частности температуру в точке
А (рис. 2.1). Воспользуемся вариационной формулировкой ме-
тода конечных элементов, в которой применяется глобальная
система координат Оху.
В принципе здесь можно получить точное решение, так как
задача может рассматриваться как одномерная. Однако приво-
димая ниже формулировка двумерная, и задача будет решаться
с использованием двумерного базиса. Эта формулировка будет
применяться также и в следующей главе для решения действи-
тельно двумерной задачи о тепловом потоке.
В данном случае определяющим уравнением является урав-
нение Лапласа [1,2]
У2Г = (д2Т/дх2) + (д2Т/ду2) = б в D	(2.1)
с граничными условиями Дирихле на части границы:
Г = 50, г/ = 0,	(2.2а)
Г =100, y = L	(2.26)
и условиями Неймаиа на остальной части границы:
дТ/дх — О, №*=0,	(2.3а)
дТ/дх = Ъ, x = L.	(2.36)
Вариационная формулировка метода конечных элементов
47
Задача определена на множестве состоящем из области D
и границы S, т. е. /? = D 4- S.
Уравнения (2.1) —(2.3) не будут использоваться непосред-
ственно. Вместо них будет построена эквивалентная вариацион-
ная формулировка. С помощью вариационного исчисления
можно показать (см. гл. 7), что решение Т(я,#), удовлетворяю-
Рнс. 2.1. Двумерная задача теплопроводности в брусе квадратного попереч-
ного сечения.
щее уравнениям (2.1)—(2.3), совпадает с функцией, которая
минимизирует функционал
D
где Т(х, у)—функция из допустимого множества пробных функ-
ций, заданных в D. Для этой задачи пробные функции Т(х, у)
являются допустимыми, если они непрерывны и имеют кусочно-
непрсрывиыс первые производные. Кроме того, пробные функ-
ции должны удовлетворять главным граничным условиям (2.2).
Граничные условия Неймана (2,3) будут выполняться автома-
тически для функции, минимизирующей функционал (2.4), как
естественное следствие вариационной формулировки и, следова-
тельно, будут называться естественными граничными условиями.
Разобьем область на I Конечных элементов. В рассматривае-
мом примере в качестве конечного элемента выбран треуголь-
ник (рис. 2.2). Общее число узлов обозначим п. В двух- и трех-
48
Глава 2
Рис. 2.2. Разбиение области иа I конечных элементов.
Рис. 2.8. Типичный треугольный элемент
Вариационная формулировка метода конечных влементов 49
мерном случаях нет определенной связи между общим числом
элементов и общим числом узлов, как это было в предыдущей
главе. Разбиение области и условия непрерывности, наклады-
ваемые на пробные функции, позволяют записать функционал
(2.4) в виде
X=Z'Z4	(2.5)
1-1
где — элементный вклад, определяемый равенством
е.
Рассмотрим типичный элемент elt показанный на рис. 2.3.
Номера узлов i, j и m должны быть указаны в порядке, соответ-
ствующем движению против часовой стрелки. Для произволь-
ного элемента et в этом примере пробная функция Те*(х, у) вы-
бирается линейной, т. е.
t*1 (х> у) — а? + а*‘х 4- а^у, х,уе eif (2.7)
где а,*, aj и а*»— постоянные, в общем случае различные для
разных элементов.
С целью определения этих постоянных запишем последова-
тельно уравнение (2.7) для узлов i, j и rm
Ti = cq 4	4“	(2.8a)
T} — «i 4 a2Xf 4 u3yh	(2.86)
f m = cq 4- «2*™ + u3ymt	(2.8в)
где Tlt Tf и Tm — значения Т в узлах I, } и m соответственно.
Верхний индекс е£ опущен ради упрощения записи. Система урав-
нений (2.8) имеет единственное решение длн постоянных а>, as и
«з, так как определитель ее матрицы коэффициентов не равен
нулю, т. е.
1 Xi yt
2Д =
1 X/ у{ У4
1 Хт Ут
(2.9)
С использованием тригонометрии легко установить, что этот
определитель равен удвоенной площади треугольника, как это
и показано в (2.9). Так как площадь треугольника никогда не
равна нулю, т. е. Д 4= 0, то решение ab а2 и аз существует и
единственно. Решая (2.8), получим для a2 и аз следующие
50
Глава 2
выражения;	_	_
а( = (1 /2 A) (ajt + a{Tt 4-	(2.1 Оа)
а2 = (1/2Д) (*tft +	+	6ffiTm),	(2.106)
а3 = (1/2Д)(е,П 4-*Л + cmT т),	(2. Юв)
где
а^ЪУт — xmyh bi^yf — ymi Ci = Xm — Xft (2.11)
а постоянные ah am, fy, bm, cb cm могут быть определены путем
циклической перестановки индексов. В приведенных выше выра-
жениях для а, Ь, с и а, верхний индекс et вновь опущен, чтобы
не усложнять запись формул. Подстановка выражений (2.10)
в (2.7) дает следующее представление через базисные функции:
Те'1 У)в 2А "Ь	4- Ьр: 4- с(у) Т{ 4-
4- («^ 4- ЬщХ 4- cmy) Тте],
или
Г8* == NiTi + NtTt 4- NmTm = NeTe,
где
Ne-(JV<, Nb Nm}
является матрицей базисных функций, а
(2.12а)
(2.126)
(2.13а)
(2.136)
представляет собой вектор узловых значений.
Требуемые производные можно получить, дифференцируя
(2.12а):
<214а)
-^-=»4г[е'7’'+сл+е«-7'“1-	<2-146>
Подстановка (2.14) "в выражение для элементного вклада (2.6)
дает
Xе' = ek	+Ь„тту + (с^т, + с if, + Cmf^] dx dy.
(2.15)
Так как подынтегральное выражение в (2.15) не завысит от л
и у и, кроме того,
(2.16)
‘I
Вариационная формулировка метода конечных элементов
61
то равенство (2.15) может быть переписано следующим обра-
зом:
Х*‘ = 8^- [(»<?. + 6/7, + bmT „)2 + (с,7, + с, Т, + стТ„Г\. (2.17)
Выражение вида (2.17) может быть получено для каждого эле-
мента. Подставляя все эти элементные вклады в (2.5), преобра-
зуем функционал, заданный равенством (2.4), в функцию всех
.узловых значений 7\, Т2, -т. е.
%=х(Т1, т2.....г„).	(2.18)
Здесь, как и в предыдущей главе, узловые параметры Ть Т2, ...
..., Тп рассматриваются в качестве переменных, значения ко-
торых необходимо определить. Условия минимума х могут быть
записаны в виде
=	р=1, 2, ..., п.	(2.19)
Подстановка (2.5) в (2.19) позволяет представить эти урав-
нения следующим образом:
= Р = 1. 2.	(2.20)
дТр дТр
Очевидно, что при суммировании в (2.20) ненулевой вклад дают
только те элементы, которые содержат узел р. Дифференциро-
вание равенства (2.17) по Тр позволяет определить вклад
элемента е, в выражении (2.20). Таким образом, если
номера узлов г, jam элемента в/ имеют во множестве иомеров
узлов системы значения р, q и г соответственно, то дифферен-
цирование (2.17) по Тр приводит к выражению
Ц>р (Ьртр + 6,7, + b,T,)+cp (СрТр + с,7, + ег7г)|. (2.21)
Объединение компонент элементных уравнений, задаваемое ра-
венством (2.20), называется объединением по узлам, так как
процесс объединения должен быть выполнен отдельно для каж-
дого узла системы (сравните с поэлементным объединением, ис-
пользованным в разд. 1.3.1). Формирование вкладов дх 7^Три
их объединение будет проиллюстрировано ниже. На рис. 2.4
показано разбиение области рассматриваемой задачи на 16эле-
ментов с общим числом узлов, равным 15.
В табл. 2.1 указаны номера узлов /, / и m для каждого эле-
мента системы. На рнс. 2.4 номера узлов приведены согласно
правилу обхода элемента против часовой стрелки. Размеры всех
элементов одинаковы, и имеется только два типа элементов,
62
Глава 2
отличающихся друг от друга порядком расположения узлов. Это
не является обязательным требованием, но упрощает дальней-
Рис. 2.4. Разбиение области на 16 конечных элементов.
шие Вычисления. Координаты узлов даны в табл. 2.2. В табл. 2.3
приведены значения параметров bi, bf, bm, Ci, С/ и cm, вычислеи-
Таблица 2.1
Соотношение между глобальными н локальными номерами узлов
Элемент	Глобальный номер узла			Элемент	Глобальный номер узда		
	1	i	m		1	i	m
1	4	1	5	9	10	7	11
2	2	б	1	10	8	11	7
8	5	2	6	11	11	8	12
4	3	6	2	12	9	12	8
б	7	4	8	13	13	10	14
6	б	8	4	14	11	14	10
7	8	5	9	15	14	11	16
8	6	9	б	16	12	16	11
ные по формулам (2.11). Для иллюстрации рассмотрим эле*
мент 5. Из табл. 2.1 видно, что его узлы i, / и m имеют номера
7, 4 и 8 соответственно. Подставляя эти данные и соответствую-
вариационная формулировка метода конечных элементов
53
Таблица 2.2
Координаты узлов
Узел	Координаты		Узел	Координаты		Узел	Координаты	
	X			X	У		X	У
1	О	О	6	2	0.5	11	1	1,5
2	1	О	7	0	1	12	2	1.5
9	2	0	8	1	1	13	О	2
4	0	0,5	9	2	1	14	1	2
б	1	0.5	10	0	1.5	15	2	2
Таблица 2.3
Характерные параметры элементов
	Параметры					
Элемент	Ь1	"1	‘’т	С1	С1	ст
1	-0,5	0	0,5	1	—1	0
2	0,5	0	-0,5	„1	1	0
3	-0,5	0	0,5	1	— I	0
4	0,5	0	—0,5	-1	1	0
5	-0,5	0	0,5	1	—1	0
6	0,5	0	-0.5	„1	1	0
7	-05	0	0,5	1	— 1	0
8	0,5	0	-0,5	—1	1	0
9	-0,5	0	0,5	1	-1	0
10	0,5	0	-0,5	—1	1	0
И	-0.5	0	0,5	1	-1	0
12	0,5	0	-0,5	—1	1	0
13	-0,5	0	0,5	1	-1	0
14	0,5	0	-0,5	—1	1	0
15	-0.5	0	0,5	1	—1	0
16	0,5	О	-0,5	—1	1	0
щие значения параметров для элемента 5 из табл. 2.3 в равен*
ство (2.17), получим для элементного вклада выражение
z5 = ^[(-4f? + 0^ + 4f«)! + (1?7- ,7< + °W (2-22)
Верхний индекс у площади Д указывает, для какого элемента
она вычислена; он может быть опущен, так как в этой задаче
64
Глрва 2
площади всех элементов одинаковы, а именно
Ле' = 0,25, 1=1, 2............16.
(2.23)
Из выражения (2.22) видно, что производная д^‘1дТр не рав-
на нулю только при р — 7. 4 или 8. Другими словами, элемент 5
дает вклад только в уравнения системы, включающие Ту, Тц и 7g.
Согласно (2.22), ненулевые производные для элемента 5 опре^
деляются выражениями
=^ [- Д- у г7 + °г4 +1 f 8) + 1 (1Л - 1 f4 + ОВД
(2.24а)
[° (~ Д'7 + °'Л Ь Да) - 1ПЛ ~ 1Л + 0Г|))]’
(2.246)
>=^[т(-т^+0Та+тТ8)+0(1Тг“1Т4+0?8)]-
(2.24в)
Уравнения (2.24) в матричной форме образуют элементное ма-
тричное уравнение:
&хЧдТ4	_ 1 ~ 16Д	 5—4—1" -4	4	0	1 SI SI ч 1
_д^/дТе_		--1	0	1	_П_
(2.25)
Три производные относительно Ту, Г.} и 7*8 в уравнениях (2.24)
были специально записаны в порядке, соответствующем порядку
узлов / и m для этого элемента (табл. 2.1). Таким образом,
уравнение (2.25)~это частный случай (для элемента 5) общегб
элементного матричного уравнения
д%/дТ<
(2.26а)
или
dx7ar=ker.
(2.266)
Вариационная формулировка метода конечных элементов
55
где
kl, ke„
kit k'„
_ kmi kmf
ktm
kjtn
kmrn
(2.27)
есть элементная матрица жесткости элемента е и Те — элемент-
ный узловой вектор, определяемый равенством (2.136). Для
упрощения записи в дальнейшем верхний индекс в уравне-
ниях (2.26) и (2.27) опускается.
Так как элементы 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 имеют одинаковые
размеры и ориентацию по отношению к системе отсчета Оху, то
можно показать, что элементная матрица жесткости к для этих
элементов одна и та -же при условии, что в уравнение (2.26а)
подставлены соответствующие номера узлов. Так, для элемента
9 матричное уравнение имеет вид
dyf/dTn	г 5
W “Ж -4
Vft.	L->
(2.28)
Остальные элементы (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16) также имеют об-
щую элементную матрицу жесткости к, которая в этой задаче
(что можно проверить) тождественна полученной матрице жест-
кости для элементов с нечетными номерами. Так, для элемента
10 матричное уравнение имеет вид
объединения их получим матричное уравнение системы. В пре-
дыдущей главе было продемонстрировано поэлементное объеди-
нение и показано, что эта процедура включает поочередное вы-
числение полных матриц жесткости к для каждого элемента.
Матрицы жесткости каждого элемента к прибавлялись к ма-
трице жесткости К системы до выполнения операций со следую-
щим элементом. Альтернативная процедура — объединение по
узлам — используется ниже и существенно отличается от поэле-
ментного объединения. Поэлементное объединение соответ-
ствует построению матрицы системы с помощью объединения
56
Глава 3
подматриц, тогда как объединение по узлам соответствует объ-
единению строк.
Для объединения по узлам основным объединяющим урав-
нением является уравнение (2 20). Например, для узла 7 соот-
ветствующим объединяющим соотношением является
t
У _ V у
дТ7 дТ7
е=1
^16.
(2.30а)
Из рнс. 2.4 видно, что для узла 7 дают вклад лишь элементы 5,
9 и 10, поэтому выражение (2.30а) сводится к
= д%5 ।	। д<10
дТ7 дТ7 дТ7 дТ7 ‘
(2.306)
Вклады элементов 5, 9 и 10, входящие в правую часть равен-
ства (2.306), уже были вычислены; они определяются равен-
ствами (2.25), (2 28) и (2.29) соответственно. Подставляя соот-
ветствующие выражения в (2.306), получим
н после объединения подобных членов
= тП- [- 4Т, + 107, - 2Т, - 4Л„1 = 0.	(2.32)
дТ7 16Д
Уравнение (2.32) можно также записать в расширенной форме:
-!&-=— [0 0 0 —4 0 0 10 —2 0 —4 0 0 0 0 0)Т = 0, (2.33)
дТ7 16Д
где узловой вектор Т системы имеет вид
(2.34)
Вариационная формулировка метода конечных элементов
67
Для каждого узлового параметра системы можно получить урав-
нение, аналогичное уравнению (2.33). Объединение этих урав-
нений в одно дает матричное уравнение системы:
дх1<Я\
ат
ду]дТ2
кт-о.
(2.35)
^х/5715_
Как и в гл. 1, его необходимо подправить для учета граничных
условий Дирихле. В качестве упражнения покажите, что вводе*
ние граничных условий Дирихле по первому правилу приводит
к следующему матричному уравнению системы:
“ 1 Ф
Ф 1
О О
—4 О
О -8
© О
© о
О Ф
Ф о
о о
о о
О о
о о
о о
. Ф О
о о о о о
ооооо
10 0 0 0
О 10 -2 0 -4
О -2 20 -2 О
-4 О -2 10 О
0-4 О О 10
О 0-8 0-2
0 0 0 -4 0
О О о 0 -4
ООООО
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ООООО
оороо
ооооо
ООООО
-8 0 0 0 0
0 -4 0 0 0
-2 0-4 О О
20 - 2 0 - 8 О
-2 10 О 0 -4
О 0 10 -2 О
-8 0 -2 20 -2
0-4 0-2 10
ооооо
ООООО
ООООО
О
О
О
о
о
о
о
о
о
-4
о
о
1
о
о
О О'
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
-8 О
О’-4
о о
1 о
о I,
рп
П
Л
Г4
Ts
Т6
Т-,
Д
Т9
Ти
Т12
* 14
“‘до-
зе
50
о
о
(2.36)
о
о
100
100
JQOw
о
о
о
о
О
Используя любую стандартную процедуру, можно найти, что
решением уравнения (2.36) является
7, = 50,	f2 = 50,	7^ = 50,
Л = 62,5, 75 = 62,5, 76 = 62,5,
Т7 = 75,	78 = 75,	79=75,	(2.37)
7,0 = 87,5, 7,1 = 87,5, 712 = 87,5,
Т,3 = 100, Гн = 100, 715 = 100.
68
Глава 2
Следовательно, требуемым решением в точке А будет
Г|А~Ги=^87,5°С.	(2.38)
Отметим, что здесь ие предпринималось каких-либо спе-
циальных мер для того, чтобы учесть граничные условия Ней-
мана (2.3а) и (2 36) в узлах 4, 7, 10 и 6, 9, 12 соответственно,
поскольку, как ранее установлено, минимизация в этих гранич-
ных точках является достаточной для выполнения граничных
условий Неймана в качестве естественного следствия.
Здесь уместно спросить, как программировать объединение
по узлам. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала
систему уравнений (2.36) и заметим, что уравнение (2.33), со-
ответствующее седьмому узлу, является седьмым индивидуаль-
ным уравнением в системе уравнений (2.36). Таким образом,
элементами матрицы-строки в уравнении (2 33) являются /<7в,
6—1,2,	15. Очевидно, что в более общем случае компо-
нента с номером у в матричном уравнении системы представляет
собой узловое уравнение
d%/dfv-[Л\1Ь Л\2, ..Kve, ..Kvl5]Т = 0.	(2.39)
Следовательно, задача сводится к вычислению матриц-строк
6x/(3TY, у= 1,2, ..., 15.
Анализ выкладок от выражений (2.24) до уравнения (2.33)
показывает, что формирование матрицы-строки связано с узло-
вым значением (2.39):
Х,»=1Х,	(2.40)
Где суммирование необходимо выполнить только по элементам,
соседним с узлом у, так как все другие элементы дают нулевые
вклады. Основанная на явной формуле1) вычисления#^, стра-
тегия программирования будет состоять в поочередном вычис-
лении строк матричного уравнения системы, соответствующих
каждому узлу, посредством уравнения (2 40).
Если бы использовалось поэлементное объединение, то объ-
единяющая процедура состояла бы в расширении элементных
матриц жесткости к и их последовательном добавлении к ма-
трице жесткости системы К Например, когда оператор цикли-
ческой обработки достигает элемента 9, элементная матрица
жесткости к вычисляется согласно (2.28) и добавляется непо-
*) Эту формулу можно получить подстановкой (2.21) в (2 266). См так-
же упражнение 2.1.
Вариационная формулировка метода конечных элементов
средствеино к матрице жесткости системы К с использованием
Упражнение 2.1. Имеется трехуэловой,треугольный линейный элемент е с
узлами 1, 2 и 3 Покажите, что уравнению Лапласа, рассмотренному в
разд. 2.1 1, соответствует элементная матрица жесткости, определяемая фор-
мулой
м —(tabfl + с«се). «= I. 2, 3, ₽ = 1, 2, 3,	(2.42)
где постоянные Ь и с определяются выражениями (2.11).
Упражнение 2.2. Функционал, соответствующий уравнению Пуассона
с граничными условиями Дирихле
4=g{x, У, г) на Si	(2.44)
и условиями Неймана *)
дФ дФ дФ дФ
m s* <2«)
имеет вид
D
Покажите, что для линейного треугольного элемента элементное матрич-
ное уравнение описывается выражением
4Х7дТ*.»к«Т’ + 1Ч	(2.47)
’) Полная граница S состоит из суммы	Здесь пх. Пи, пЛ— на-
правляющие косинусы единичной внешней нормали п к границе St
60
Глава 2
где элементы матриц к® я Fe вычисляются соответственно по формулам
г fdNa dNn dNa dNR f№a 0NR\
".
a= 1,2,3, f= 1,2,3,	(2.48)
Au= 5 lNa d“ d» dz- a“ I. 2. 3,	(2.49)
".
а цифры 1, 2 и 3 являются номерами узлов элемента е. (Замечание. Гранич-
ные условия Дирихле (2 44) являются главными граничными условиями и
должны быть использованы обычным образом для коррекции матричного
уравнения системы. Граничные условия Неймана (2 45) являются естествен*
иыми граничными условиями и в окончательном решении удовлетворяются
автоматически в силу того, что условия минимизации применяются и в узлах,
где эта граничные условия заданы.)
2.2. ФОРМУЛИРОВКА В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Переформулируем теперь задачу, которую иллюстрирует
рис. 2.1, с использованием локальной системы координат вместо
примененной ранее глобальной системы координат. Выберем
«У
Рис. 2.5. Шестиузловой треугольный элемент.
квадратичную аппроксимацию вместо линейной пробной функ-
ции. Возьмем шестиузловой треугольный элемент (рис. 2.5) с
тремя узлами в вершинах н тремя узлами в серединах сторон
Вариационная формулировка метода конечных элементов
61
треугольника, используя в качестве узловых параметров только
значении функций в каждом из узлов. Числа 1, 2, .... 6 обозна-
чают номера узлов такого элемента, занумерованных в соот-
ветствии с обходом треугольника против часовой стрелки.
В глобальных координатах х и у полином второго порядка,
С
Рис. 2.6. Локальная система кородинат шестиузлового треугольного элемента.
являющийся пробной функцией для шестиузлового треугольного
элемента, имеет вид
Т‘— а; + «2Х + ОзУ + OtX2 + а^ху + а^г,	(2.50)
где аь «2, ..., etc — постоянные, в общем случае свои для каж-
дого элемента. Для простоты записи верхний индекс е в правой
части выражения (2.50) опущен.
Если используется локальная система координат Ogq, пока-
зав ная на рис. 2.6, то квадратичная пробная функция может
бьпь записана следующим образом:
7" = с1 + <х2£ + ад + а4? + сф] + ад2.	(2.51)
Здесь также опущены верхние индексы у щ.
Далее будет показано, что характерные размеры а, Ь, с тре-
угольника е (рис. 2.6) играют существенную роль при формули-
ровке задачи в локальной системе координат. Их значения
могут быть вычислены но известным глобальным координатам
узлов I, 3, 5 следующим образом. Из тригонометрических сооб-
62
Глава 2
ражений получаем
г = [(х3-лг1)г + (й-»1Я,/2.	(2.52)
cos 6 = (х3 — Xi)/r,	(2.53а)
sin 6 = (f/з — £/,)/г,	(2.536)
где г —расстояние между точками 1 н 3. Характерные размеры
а, Ь, с вычисляются по формулам
а = (хз — хе) cos 6 — (у5 — уз) sin 6,	(2.54а)
Ь — (х6 — %t) cos 6 + (у6 — j/i) sin 6,	(2.546)
с = (уз — Уз) cos 6 + (х3 — х6) sin 6.	(2.54в)
Подстановка формул (2.53) в (2.54) дает следующие выражения
для характерных размеров:
а = 1(.>.'з — х3) (л'з — х,) — (уз — уз) (уа — у/)]/г,	(2.55а)
Ь = 1(х3 — х,) (х3 — xj + (уз — yi) (уз — yi)]!r,	(2.556)
с = 1(//.з — Уз) (х3 — X,) + (х3 — х5) (у3 — //1)]/г,	(2.55в)
которые и являются требуемыми соотношениями.
Для определения постоянных at применим формулу (2.51)
к каждому из узлов 1, 2, ...» 6 по очереди. После подстановки
узловых координат %, 7], выраженных через величины а, Ь> с, ре-
зультирующие уравнения могут форме				быть записаны в матричной				
1 —ь	0	Ь2	0	0 ’	”«1 “		Г,	
1 (с-6)/2	0	[(a — b)/2f	0	0	«2		Л	
1	а	0	а2	0	0	«3		Ь	
1	а/2	с/2	W	ас/4	(с/2)2	«4	=	ь	. (2.56)
1	0	с	0	0	с2	«5		л	
-1 — Ъ[2	с/2	(- 6/2)2	— Ьс/4 (с/2)2 _		_«6_			
Уравнение (2.56) может быть решено относительно аг при
условии, что определитель матрицы коэффициентов не равен
нулю. Можно показать, что определитель равен выражению
—с4 (а 6)4/64, которое никогда не обращается в нуль, так как
площадь треугольника, равная	никогда не равна
нулю. Следовательно, матрица коэффициентов уравнения
(2.56) не сингулярна и имеет обратную.
Обозначая символом А матрицу коэффициентов уравнения
(2.56), можем записать это уравнение в виде
Аа = Г	(2.57)
Вариационная формулировка метода конечных элементов
63
где
(2.58)
причем Те обозначает узловой вектор элемента е. Умножение
уравнения (2.57) на матрицу, обратную А, дает
а = А-1Те = ВТе>	(2.59)
где
А"‘=В = (6>,].	(2.60)
Следующим шагом рассматриваемой здесь формулировки
является представление элементного вклада, определяемого ра-
венством (2.6), через локальные координаты £ и г). Из (2.6)
видно, что эквивалентные выражения через локальные коорди-
наты требуются для производных д'Т/дх и д'Т/ду.
В предыдущей главе было отмечено, что перенос начала ко-
ординат не изменяет ни узловых значений, ии узловых произ-
водных; это значит, что они сохраняют свое численное значение
как в глобальной, так и в локальной системах координат. При
повороте системы координат узловые значения по-прежиему не
меняются, но производные( такие, как дТ/дху дТ/д*) нс являют-
ся одинаковыми в двух различных системах координат. Так как
пробная функции в равенстве (2.51) является результатом ин-
терполяции узловых значений Т(, Т2, ..., Т6 [уравнение (2.56)]
и не содержит каких-либо производных Т. то элементный узло-
вой вектор Те одинаков как в глобальной, так и в локальной
системах координат. Следовательно, в этом примере пет необхо-
димости использовать нижнне н верхние индексы для обозначе-
ния используемой системы отсчета.
Рассмотрим теперь соотношения между координатами х, у
н g, ц некоторой точки. С использованием элементарной тригоно-
метрии эти соотношения, получающиеся в результате поворота
нв угол 0, могут быть записаны в матричной форме:
[х 1	Г cos 6 — sin 6 "I Г g 1
у J	L sin 0 cos 6 J L J'
Обратные соотношения имеют вид
Г | 1	Г cos 6 sin В1 Г к 1
L Ц J	L — sin 0 cos 0 J L у J
(2.61a)
(2.616)
64
Глава i
Квадратаая матрица в правой части равенства (2.616) на-
зывается матрицей вращения. Ее мы будем обозначать симво-
лом R. Обратная матрице вращения матрица R-1 входит в ра-
венство (2.61а). Можно показать, что матрица, обратная R,
равна ее транспонированной матрице (это верно для любых ор-
тогональных преобразований [3]).
Если Т рассматривается как функция g, t], т. е. Т = Г(£, rj),
то можно записать
<2 62а)
дх дх + di] дх ‘	(AbZaj
— =х — Л_ -L	(2 626)
ду 0g ду 01] ду ’
Дифференцирование равенства (2.616) приводит к соотношениям
0g п де. • л
.	к.	(2.63)
= —	sin 0,	-|S- — cos 6,
дх	ду	’
а подстановка (2.63) в (2.62) дает	
0Г	о дТ , а дт -^^COS.0 -gg-sine дТ	. п дТ ,	а дТ — = sin0—-t-cosB^-,	(2.64а) (2.646)
или, в матричных обозначениях, Г дТ/дх 1	Г cos 6 — sin 0 1 Г дТ/дс, 1 L дТ[ду J	L sin 0 cos 0 J L дТ/дц J	(2.65а)
Обратным равенству (2.65а) будет Г дТ/дЪ, 1	Г cos е sin е 1 Г дТ/дх 1 L дТ/дц J	L — sin 0 cos 0 J L dTjdy J	(2.656)
Равенства (2.65) позволяют преобразовывать глобальные пер-
вые производные в локальные, и наоборот. Необходимо отме-
тить появление в равенстве (2.656) матрицы вращения, а в ра-
венстве (2.65а) — обратной ей.
Теперь подынтегральное выражение в равенстве (2.6) может
быть за пне а по через локальные координаты посредством под-
становки соотношений (2.64) или (2.65а). Выполнив это, полу*
чим
(1)!+«)-(4Г+«У-
Вариационная формулировка метода конечных элементов
65
На основе математического анализа имеем [4, 5]:
$ f (X, y)dxdy= J я ft, Ч)| J	(2.67)
D	D
где f(x, у) и g(e, ?])— эквивалентные выражения для функции в
двух возможных системах координат Оху и a J — якобиан
преобразования д(х, у)/д(& т)). Из формулы (2.67) для замены
dxdy в выражении (2.6) имеем
I ''М) 1 I ду/дЪ, ду1дт\ |
I cos 6 — sin 6 I
« .	(2.68)
| sin 6 COS 6 I
Здесь использовано выражение (2.61a) для производных дх/д!-,
дх/дх\> ду/dt,, ду/дх\. Подстановка (2.66) и (2.68) в (2.6) дает,
следующее выражение для элементного вклада:
е
Представление пробной функции (2.51) в виде
Те = Е	(2.70)
Z = 1
(здесь используются гЛ\, тъ .. -, tn6 и ль п$, ...» Ле из табл. 2.4)
позволяет записать производные дТе/д& дТе/дх\ следующим об-
разом:
=	(2.71а)
/-1
(2.716)
1=1
Подставляя выражения (2.71) в (2.69), получим следующие вы-
ражения для элементного вклада:
/=4 $ (ЕП^^+"'Лп'+"'+
е Ii = l/=1
+ «,с,,г1П(Г,+'"'п"‘+"^2] } d^dn.	(2.72)
Введение обозначения
Si/ = $	+ n<n/r,+"V‘+"'’2]^ d-ц (2.73)

Глава 2
Таблица 2.4
Показатели степени квадратичной
пробной функции шестиузлового элемента
i	nl i	п1		i		nt
1 2 3	0 1 0	0 0 1		4 5 6	2 1 0	0 1 2
позволяет записать (2.72) в виде
6 в
Х.“ = 4 У Г.	(2-74)
fal
В матричной форме (см. приложение А.З) равенство (2.74) имеет
вид
X^i^Ga,	(2.75)
где а определяется выражением (2.58), а
G = fed	(2.76)
является интегрирующей матрицей- Подстановка (2.59) в (2.75)
дает формулу для элементного вклада через узловые значения:
Х' = |(Т‘УВ’СВ(Г).	(2.77)
Как уже отмечалось ранее, узловые значения Ть 7$>, .... ТБ
в локальной системе координат совпадают с узловыми значе-
ниями fi, fg, .... 7*6 в глобальной системе координат. Следова-
тельно, равенство (2.77) применимо в любой из этих систем ко-
ординат. Равенство (2.77) также можно записать в виде
Xе = 4 (ТА СТ).	(2.78)
где
k B'GB	(2.79)
оказывается элементной матрицей жесткости к элемента е.
Дифференцирование равенства (2.78) (см. приложение В.2)
дает элементное матричное уравнение
djf/dF — kT*.	(2.80)
Интегрирующая матрица G еще должна быть определена яв-
но. Для вычисления элементов gl} необходимо [уравнение (2.73)]
Вариационная формулировка метода конечных элементов
67
вычислить интегралы вида
h (m. ri) = J dl dn,	(2-81)
где tn н rt — целые числа. С учетом рис. 2,6 этот интеграл может:
быть записан следующим образом:
П=(с/о) £+С
h (m, п) =	$	I"1!]" dq d% +
£--£>	ц-0
Е-а	ь+с
+ $	$ tVrfnfffi.	(2.82)
Е-о ч-о
где первый и второй интегралы в правой части равенства яв-
ляются вкладами, соответствующими подтреугольникам I и П.
Замена переменной
и = 1/Ь	(2.83)
Позволяет записать первый интеграл в виде
и—о
/i= J J b (ub)m rf du dx\	(2.84а)
«•—1 ч-о
или после интегрирования по т)
C''n‘+‘1+1	$ -Um(u+ l)"+l du.	(2.846)
ti——1
Формула (2.84) может быть преобразована к виду
Cn+V___
Йп+Ч1 -ti)mdu (2.85)
й-0
с использованием замены переменной
й = «+1.	(2.86)
Интеграл в выражении (2.85) является бета-функцией р(п-}-2,
я* 4-1), которая может быть выражена через гамма-функции и
факториалы:
( ЙП+1 Л _ й\т du =« -У.К+j)г (т + 0____(” 4~ I)1 т\ /„ g-v
do U Ю	Г(т-Ьп + 3)	“ («+ п + 2)! ‘
3*
68
Глава 2
Подстановка выражения (2.87) в (2 85) дает
5-0 ц-(с/Ь)5+с
л= $	$	с^(-ьг+1[(т^;2),].
.5—6	'1-0
(2.88а)
Аналогично может быть показано, что
5—с ч——(с/2) 5+с
/,== J	< . + „ + 2)|]- (2-886>
5-0	п=»0
Подставляя выражения (2.88) в (2.81), получим
h (т, п) = J Гп" dEdn = —	+^+Ч (2.89)
е
Вычисляя выражение
ёи = mitnjh {mi + гщ — 2, щ + щ) + щщН {mt 4- mb tii-j-nj — 2),
(2.90)
получим искомое значение (2.73).
Для дальнейшей иллюстрации формулировки в локальных
координатах рассмотрим задачу о двумерном тепловом потоке
Рис. 2.7. Разбиение области на восемь конечных элементов.
через брус квадратного сечения (рис. 2.1). Пусть область опре^
деления задачи разбита на восемь шестиузловых треугольных
элементов, как это показано на рис. 2.7, Таким образом, общее
число узлов п на рисунке равно 25.
Вариационная формулировка метода конечных элементов
69
Таблица 2.5
Координаты узлов
Узел	Координаты		Узел	Координаты		Узел	Координаты	
	X	V		X	У		X	V
1	0	0	10	2	0,5	19	1.5	1.5
2	0,5	0	11	0	I	20	2	1,5
3	I	0	12	0,5	1	' 21	0	2
4	1.5	0	13	1	1	22	0,5	2
5	2	0	14	1,6	1	23	1	2
6	0	0,5	15	2	1	24	1,5	2
7	0,5	0,5	16	0	1.5	25	2	2
8	1	0,5	17	0,5	1,5			
9	I.S	0,5	18	1	1,5			
В табл. 2.5 выписаны координаты узлов х и у. В табл. 2.6
дана связь между локальными и глобальными номерами узлов,
а также указаны характерные размеры а, b и с для каждого
элемента.
Подстановка величин а, Ь и с из табл. 2.6 в уравнение
(2.56) приводит к следующей матрице коэффициентов А:
	'10 0	0 0 0'	
А =	>10 1 1 0 , 1 1	4-0 0 4 1 0 0 111-	(2.91)
Обратная ей матрица В	2 2 2 2 2 10 10 0 1 1 0 1 0 0 | имеет вид 1	0 0 0 0 0"		
В = А“’ =	—3 4 -3 0 2 -4	— 10 0 0 0 0—1	4 2 0	0	0	(2.92)
	4 —4 2	0	0 4 0 —4 0 0	2 —4_	
Теперь необходимо вычислить интегрирующую матрицу G,
элементы которой заданы формулой (2.90). После подстановки
70
Глава 2
Таблица 2.6
Соотношение между глобальными и локальными иомерами узлов
и характерные размеры элементов
	Номер $зла						Размеры		
Элемент	1	2	3	4	5	6	а	b	е
1	11	6	1	7	13	12	1	0	1
2	3	8	13	7	1	2	1	0	1
3	1 13	8	3	9	15	14	1	0	1
4	б	10	15	9	3	4	1	0	1
5	21	16	11	17	23	22	1	0	1
6	13	18	23	17	11	12	1	0	1
7	23	18	13	19	25	24	1	0	1
8	15	20	25	19	13	14	1	0	1
величин а, b и с (из табл. 2.6 следует, что они одинаковы для
всех элементов) в выражение (2 89) получаем
h(m.n) = m\n\i{m + n 4-2)1,	I, 2,	8.	(2.93)
Наконец, подстановка выражения (2 93) в (2 90) дает тре-
буемые элементы g4.
В программе для ЭВМ величины h{m, п) вычисляются непо-
средственно с использованием формулы (2.89) и известных зна-
чений т, п, а, Ъ и с. Нулевые значения т, п, а, b и с могут при-
вести к ошибке, если в программе не позаботиться об этом зара-
нее. Рассмотрим, например, случай i— 1 и / —1. Из табл. 2 4
следует, что mt = 0,	= 0, nt — 0, п, = 0. Подставляя эти зна-
чения вместе с а~1, 6 = 0 и с—1 в выражение (2.89) для
т = mt + т, — 2 и п = nt 4- nit получим
h {mi + tnl — 2, tii + Hy) =
.П/+П/+1 r,m.+m.-l	.	_
> 1 ' Li ‘ ' -(-o) i +	+
= + «/)! * 1
Попытка непосредственно вычислить выражение (2.94) в дан-
ном случае привела бы к сообщению об ошибке в программе,
так как член (—0)	1 [здесь он получается равным (—О)-1]
не определен Эта трудность возникает, когда выражение mt ф-
4- т,— 1 имеет минимальное значение, равное -—1, т. е. когда
т, = 0. Как видно из формулы (2.90), выражение (2.94)
не нужно вычислять, если произведение nhmf равно нулю, т. е.
либо tnh либо mt равно нулю. Таким образом, эта трудность мо-
жет быть преодолена посредством проверки на равенство нулю
Произведения тлп, и вычисления члена h {т( + т, — 2,
только в том случае, когда это произведение не равно нулю.
Вариационная формулировка метода конечных элементов
71
Аналогично величина h(mt-\-mh nt-\-ni— 2) вычисляется толь-
ко в том случае, когда п-п, не равно нулю.
Применяя описанную выше процедуру при вычислении вы-
ражения (2.90), получаем матрицу
	-0	0	0	0	0	0 ‘
	0	h (0,0)	0	2/1(1, 0)	/1(0, 1)	0
G =	0	0	/1(0, 0)	0	/1(1,0)	2ft (0, 1)
	0	2ft(I, 0)	0	4/1 (2,0)	2/1(1, 1)	0
	0	Л(0, 1)	Л(1,0)	2/1(1, 1) /1(0,2) + /!(2,0) 2/1(1, 1)		
	_0	0	2/1(0, 1)	0	2/1(1, 1)	4/1(0, 2).
(2.95)
которая в результате вычислений по формуле (2.93) принимает
вид
0 =	1 12	"0 0 0 0 0 0" 060420 0 0 6 0 2 4			(2.06)		
		0 4 0 4 1		0 1 4_			
		0 2 2 .0 0 4	1 2 0 1				
Вычисление произведения BrGB (2.79)				С	использованием (2 92)		
и (2 96) дает следующее выражение для					элементной матрицы		
жесткости к:		6 —4	1	0	1	—4’	
		4 16	-4	-8	0	0	
к —ВГОВ = У		1 —4	3	0	0	0	
		0 -8	0	16	0	—8	(2.97)
		1	0	0	0	3	—4	
	—	4 0	0	-8	—4	16_	
Очевидно, что эта матрица симметрична. В качестве упражне-
ния оставляем доказательство того, что матрица к при задан-
ном порядке локальной нумерации узлов в выражении (2 97)
одинакова для всех элементов. Замена локальных номеров уз-
лов глобальными позволяет объединить матричные уравнения
элементов в матричное уравнение системы. Можно проверить,
что матричным уравнением системы после учета-'граничных
условий Дирихле, согласно первому правилу из гл 1, является
Уравнение (2.98). Невыписанные элементы матрицы коэффи-
циентов в этом уравнении равны нулю.

Вариационная формулировка метода конечных элементов
73
Решая уравнение (2<98) каким-либо стандартным способом,
получим следующие узловые значения:
Л = 50, Г2 = 50, 7з = б0, Д, = 50, fg = 50,
76 = 62,5, _f7 = 62,5, f8 = 62,5, Г9 = 62,5, Г10 = 62,5,
Г„ = 75, 7.2 = 75, f13 = 75, f„ = 75, 7~15 = 75,	(2.99)
Tl6 = 87,5, 7I7 = 87,5, fls = 87,5, fl9 = 87,5, f20 = 87,5,
T2l = 100, 722= 100, f23= 100, 724= 100, 7s=100,
и, наконец, находим требуемое решение в точке, Л (рис. 2.7):
Т |в л ~	= 87,5°С.	(2.100)
Замечание, В рассмотренной выше формулировке в качестве пробных
функций можно использовать вместо полиномиальных рядов интерполяцион-
ные многочлены [формула (2 70)]. В подходе с использованием пробных
функций выражение ( 2.51) может быть записано в виде
?* = [! | Ч |2 еп Ч21«-	(2.101)
Подставляя а согласно формуле (2.59), получим выражение
Ге = U ё Ч S2 ВТ«,	(2.102)
которое может быть записано через пробные функции
7*=NeTe,	(2.103)
где
№ = [1 ё Ч I2 Ь] Ч’]В.	(2.104)
Матрица пробных функций в равенстве (2 104) задана в локальной системе
координат. Для получения матрицы пробных функций в глобальной системе
координат можно использовать аналогичный подход
Далее можно использовать либо равенство (2 104) для получения матри-
цы жесткости 1с, подставляя его в приведенное ниже выражение (2 106), либо
подстановку (2 103) в (2 69) для получения в виде функции узловых зна-
чений элемента. Затем, при объединении по узлам, производные dyJdTp ис-
пользуются в уравнении (2 20), тогда как при поэлементном объединении
можио получать элементные матричные уравнения ду]дТЕ в форме, аналогич-
ной (2 80).
Подход пробных функций часто применяется на практике, но
следует заметить, что вычисление необходимых интегралов в
этом случае не так просто, как при использовании многочленов,
по крайней мере в случае применения локальной системы коор-
динат. Существует несколько типов элементов (см. гл. 9), для
которых представление через координатные ряды не так легко
Получить. В таких случаях предпочтительнее подход с исполь-
зованием пробных функций.
Упражнение 2.3. Покажите, что в двумерном случае для уравнения Пуас-
сона (2.48) при использовании линейного треугольного элемента
_ гс/ДАД дNa	'dNa dNa\
(2ло5)
О.
74
Глава 2
в глобальной системе координат н
г С / dNa dNo 3Na dNe \
(210e)
De
в локальной системе координат.
Упражнение 2.4 Используя полиномиальные ряды как в разд 2! 2,
постройте формулировку метода конечных элементов для линейной пробной
О	а
Рис. 2.8. Локальная система координат трехузлового треугольного элемента
функции н трехузлового треугольного элемента в локальной системе коорди-
нат, показанной на рнс 2 8
Упражнение 2.5. Выполните упражнение 24 с использованием подхода
пробных функций, описанного в замечании 1.
Литература
1.	Norrie D Н, de Vries G, The Finite Element Method — Fundamentals and
Applications Academic Press, New York 1973
2	Lee J F, Sears F W , Thermodynamics — An Introductory Text for Engi-
neering Students, Addison-Weslev, Reading Massachusetts, 1963
3.	Thompson E H Algebra of Matrices Adam Hilger, London, 1969
4.	Kreyzig E, Advanced Engineering Mathematics Wilcj, New York, 1962
6. Kaplan W, Advanced Calculus, 2nd ed, Addison Wesley, Reading, Massachu-
setts, 1973.
3
ПРОГРАММИРОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
3.1.	СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Широкому применению метода конечных элементов для расту*
щего многообразия задач способствмог
а)	внутренняя общность метода,
б)	его естественная формулировка в матричной форме;
в)	наличке эффективных процедур для решения очень боль-
ших систем уравнений;
г)	возможности современных вычислительных машин.
Первые два из указанных факторов станут очевидными для
чнтателя в процессе изучения этой книги и не будут здесь более
обсуждаться В отношении третьего фактора следует отметить,
что эффективные процедуры для очень больших систем уравне-
ний появились только после I960 г., как это видно из следую-
щей цитаты Биркгоффа [1]:
«Свыше пятидесяти лет тому назад математики знали, что решение си-
стемы линейных уравнений может быть вычислено методом исключения
Гаусса Таким образом, решение уравнения Пуассона с любой же-
лаемой точностью можно в принципе получить конечными методами.
Однако действительное вычисление решения с приемлемой точностью
в 1945 г с использованием арифмометра, вероятно, стоило бы по
меиьшей мере 10 000 долл В то время в большинстве эффективных
методов решения систем пинеиных уравнений вообще нс применялось
последовательное исключение переменных Использовалась «релакса-
ция» ,.., но каждая новая задача требовала затраты нескольких чело-
веко-месяцев для ее предварительного изучения специалистом В 1948 г
я предложил Дэвиду Лигу попытаться автоматизировать ре таксацион-
ные методы , для того чтобы их можно было программировать и
эффективно использовать на счетных машинах В принципе предложе-
ние состояло в решении посредством итерационной {релаксацион-
ной) техники Фактически Гаусс и Якобв уже использовали итерацион-
ные методы в девятнадцатом веке, но их алгоритмы сходились
слишком медленно Цель Янга состояла в том чтобы найти алгоритмы,
сходящиеся быстрее После двух лет упорной работы Янг преуспел в
этом В его последовательном алгоритме верхней релаксации (suc-
cessive overrelaxation, SOR) уменьшено в 10 и более раз требуемое
число итераций В дальнейшем эффективность вычислите |ьных ма-
шин возросла еще более существенно Сейчас для большинства мощных
вычислительных машин разработаны разновидности метола исключения
Гаусса (например, разложение Холесского) которые решают за-
дачи, подобные описанной, с 500 неизвестными меньше чем за 1 доллар
Однако во многих инженерных задачах для обеспечения необходи-
мой детализации н точности требуется до 50 000 неизвестных В таких
задачах, даже прн использовании мощнейших вычислительных машин,
74
Глава 2
в глобальной системе координат и
г г ( dNa dNo dNa 3Nr X
^<Н5Ьг~<т+^г-^>Л1	(iU06)
»е
в локальной системе координат.
Упражнение 2.4. Используя полиномиальные ряды как в разд. 2-1.2,
постройте формулировку метода конечных элементов для линейной пробной
О	х .
Рис. В.8» Локальная система координат тр.ехузлового треугольного элемента
функции н трехузлового треугольного элемента в локальной системе коорди»
нат, показанной на рнс. 2.8.
Упражнение 2.5. Выполните упражнение 2-4 с использованием подхода
пробных функций, описанного в замечании 1.
Литература
1.	Norrie D. Ц., de Vries G., The Finite Element Method — Fundamentals and
Applications, Academic Press. New York, 1973.
2.	Lee J. F., Sears F. W., Thermodynamics — An Introductory Text for Engl,
neering Students, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1963.
3.	Thompson E. H.. Algebra of Matrices. Adam Hilger. London, 1969.
4.	Kreyzig E., Advanced Engineering Mathematics. Wiley, New York, 1962.
6. Kaplan W., Advanced Calculus, 2nd ed., Addhon-Weslcy, Reading, Massachu^
setts, 1973.
3
ПРОГРАММИРОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
3.L СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Широкому применению метода конечных элементов для расту-
щего многообразия задач способствуют:
а)	внутренняя общность метода;
б)	его естественная формулировка в матричной форме;
в)	наличие эффективных процедур для решения очень боль-
ших Систем уравнений;
г)	возможности современных вычислительных машин.
Первые два из указанных факторов станут очевидными для
читателя в процессе изучения этой книги и не будут здесь более
обсуждаться. В отношении третьего фактора следует отметить,
что эффективные процедуры для очень больших систем уравне-
ний появились только после 1950 г., как это видно из следую-
щей цитаты Биркгоффа [1]:
«Свыше пятидесяти лет тому назад математики знали, что решение си-
стемы линейных уравнений может быть вычислено методом исключения
Гаусса.... Таким образом, решение уравнения Пуассона с любой же-
лаемой точностью можно в принципе получить конечными методами.
Одиако действительное вычисление решения с приемлемой точностью
в 1945 г. с использованием арифмометра, вероятно, стоило бы по
меиьшей мере 10 000 долл. В го время в большинстве эффективных
методов решения систем линейных уравнений вообше нс применялось
последовательное исключение переменных. Использовалась ... «релакса-
ция» ..., но каждая новая задача требовала затраты нескольких чело-
веко-месяцев для сс предварительного изучения специалистом. В 1948 г.
я предложил Дэвиду Яигу попытаться автоматизировать релаксацион-
ные методы .... для того чтобы их можно было программировать и
эффективно использовать на счетных машинах. В принципе предложе-'
ние состояло в решении ... посредством итерационной (релаксацион-
ной) техники. Фактически Гаусс и Якоби уже использовали итерацион-
ные методы ... н девятнадцатом веко, но их алгоритмы сходились
слишком медленно Цель Янга состояла в том, чтобы найти алгоритмы,
сходящиеся быстрее. После двух лет упорной работы Янс преуспел в
этом ... В его последовательном алгоритме верхней релаксации (suc-
cessive overrelaxation, SOR) уменьшено в 10 и более раз требуемое
число итераций .... В дальнейшем эффективность вычислительных ма-
шин возросла еще более существенно. Сейчас для большинства мощных
вычислительных машин разработаны разновидности метода исключения
Гаусса (например, разложение Холесского) которые решают за-
дачи, подобные описанной, с 500 неизвестными меньше чем за 1 доллар.
Одиако во многих инженерных задачах ... для обеспечения необходи-
мой детализации н точности требуется до 50 000 неизвестных. В таких
задачах, даже при использовании мощнейших вычислительных метни,
76
Глава 3
любые варианты метода исключения Гаусса практически ие применимы,
и необходимо использовать варианты SOR-мстода, такие, как цикличе-
ский алгоритм Чебышева».
Из предыдущего ясно, что четвертый фактор (возможности
современных вычислительных машин) является существенным
для решения больших систем уравнений, возникающих в реаль-
ных инженерных задачах.
Часть одной из последующих глав будет посвящена рассмо-
трению процедур решения больших систем линейных уравнений.
Дополнительно к приведенным ранее формулировкам в следую-
щем разделе представлена программа для метода конечных эле-
ментов. Хотя разработка эффективных программ для метода
конечных элементов очень важна, на данном этапе использованы
только основные принципы конечноэлементного программиро-
вания.
3.2. ПРОГРАММА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этом разделе обсуждается программа на Фортране IV для ре-
шения уравнения Лапласа, использующая формулировку в гло-
бальной системе координат, изложенную в разд. 2.1. Рассматри-
’ Рис. 3.1. Двумерная теплопередача в брусе квадратного сечения.
вается двумерная задача о передаче тепла теплопроводностью
в случае бруса квадратного сечения, показанного на рис. 3.1. На
двух боковых сторонах бруса задано линейное распределение
температуры, а на двух других предполагается идеальная тепло-
Программирование метода конечных элементов
77
изоляция. Требуется определить линии постоянной температуры
(изотермы) внутри бруса, используя метод конечных элементов.
Область ОЛВС разбивается иа 50 трехузловых треугольных
элементов с общим числом узлов, равным 36, так, как это
у
Рнс. 3,2. Разбиение области иа 30 конечных элементов.
Таблица 3.1
Координаты узлов
Увел	Координаты		Узел	Координаты		Узел	Координаты	
	X			X	•		X	
1	0,0	0,0	13	0,0	4,0	25	0,0	8,0
а-	2,0	0,0	14	2,0	4.0	26	2,0	8,0
3	4,0	0,0	15	4,0	4,0	27	4,0	8,0
4	6,0	0,0	16	6,0	4,0	28	6,0	8,0
б	8,0	0,0	17	8,0	4,0	29	8,0	8,0
6	10,0	0,0	18	10,0	4,0	30	10,0	8,0
7	0,0	2,0	19	0,0	6,0	31	0,0	10,0
8	2.0	2,0	20	2,0	6,0	32	2,0	10,0
9	4,0	2,0	21	4,0	6,0	33	4,0	10,0
10	6,0	2,0	22	6,0	6,0	34	6,0	10;0
И	'	8,0	2,0	23	8,0	6,0 1	35	8,0	10,0
12	10,0	2,0	24	10,0	6,0	36	Ю.О	10,0
78
Глава 3
показано на рис. 3.2. Основными исходными данными программы
являются: а) координаты х и у всех узлов; б) соотношение меж-
ду локальными и глобальными номерами узлов для всех эле-
ментов. Этн данные содержатся в табл. 3.1 и 3.2 соответственно.
Таблица 3.2
Соотношение между глобальными и локальными номерами узлов
	Номер узла				Помер утла				Номер узла		
мент		/	т	мент			т	мент	1	/	tn
1	1	8	7	18	10	11	17	35	21	28	27
2	1	2	8	19	II	18	17	36	2!	22	28
3	2	9	8	20	11	12	18	37	22	29	28
4	2	3	9	21	13	20	19	38	22	23	29
5	3	10	9	22	13	14	20	39	23	30	29
6	3	4	10	23	14	21	20	40	23	24	30
7	4	И	10	24	14	15	21	41	25	32	31
8-	4	5	1!	25	15	22	21	42	25	26	32
9	5	12	11	26	15	16	22	43	26	33	32
10	5	6	12	27	16	23	22	44	26	27	33
11	7	14	13	28	16	17	23	45	27	34	33
12	7	8	14	29	17	24	23	46	27	28	34
' 13	. 8	15	14	30	17	18	24	47	28	35	34
14	8	9	15	31	19	26	25	48	28	29	35'
15	9	16	15	32	19	20	26	49	29	36	35
16	9	10	16	33	20	27	26	50	29	30	36
17	10	17	16	34	20	21	27				
Стратегия программирования описана в следующем разделе
в виде блок-схемы, которая будет рассматриваться одновре-
менно с описанием алгоритма. В последующих разделах приве-
дены исходные данные и результаты решения.
8.2.1. БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ
На рис. 3.3 показана блок-схема программы. Эта программа
гибридная. В ее основе лежит объединение по узлам, которое
легко может быть заменено поэлементным объединением (см.
упражнение 3.3), поскольку элементные матрицы жесткости к
вычисляются и сохраняются в памяти для последующего исполь-
зования.
Так как в этой программе объединение элементных матрич-
ных уравнений проводится по узлам, необходимо знать элемен-
ты, окружающие каждый узел. Эта информация содержится в
Программирование метода конечных элементов
массиве NSUR (/, /). Переменная / определяет номер строки и
номер рассматриваемого узла одновременно. В столбце J = 1
записано число элементов, окружающих узел Дав столбца^
Рис. 3.3. Блок-схема программы.
*
Jв 2, 3, .... указаны номера этих элементов. Массив форми-
руется следующим образом. Сначала в первый столбец записы-
ваются нули, как это показано в табл. 3.3. Для простоты эта
и последующие таблицы содержат данные только для первых
десяти узлов. Первым обрабатывается элемент 1, у которою,
как это видно из табл. 3.2, глобальными номерами узлов яв-
ляются числа 1, 8 и 7. В массиве общее число элементов,
80
Глава 8
Таблица 3.3
Начальное состояние массива NSUR
NSIJR (7, Z)
Число
соседних
элементов 7=*1
Hovepa соседних элементов
1	0
2	0
3	О
4	0
б	о
6	о
7	0
8	О
9	0
10	0
окружающих каждый из указанных узлов, при этом увеличивает-
ся на единицу. Номер элемента, а именно!, записывается в сле-
дующем столбце 7 — 2 для каждого из этих узлов (табл. 3.4).
Таблица 3.4
Состояние массива NSUR носле обработки элемента 1
NSUR (I. J)
Узел
Число
соседних
элементов 7 = 1
Номера соседних элементов

2
3
4
5
6
7
S
9
10
о
о
о
о
о
(Г
О
Следующий элемент (2) с номерами узлов 1, 2 и 8 обрабатывает-
ся аналогичным образом. Общее число окружающих узел элемен-
тов получается для этих узлов увеличением на единицу, а номер
Программирование метода конечных элементов
81
элемента, а именно 2, записывается в следующем столбце, как
это иллюстрирует табл. 3.5. После обработки первых 18 элемен-
Таблица 8.5
Состояние массива NSUR после обработки
элементов 1 и 2
всех элементов массив NSUR формируется полностью.
Таблица 3.6
62
Глава S
3.2.2.	ПРОГРАММА ДЛЯ ЭВМ
С С С £ С с с с с с с г с  с F		FINITE	ELEMENT METHOD.PROGRAM 2.««t> PORTION OF A HEAT SINK.CONSISTING OF A TWO-DIMENSIONAL SQUARE RAR. THE RESULTING SYSTEM MATRIX EQUATION IS SOLVED USING THE STANDARD LIBRARY SUBROUTINE LEQT1F. M...THE FOLLOWING IS A LIST OF SYMBOLS LSEO,».»» TJPOIN	-	TOTAL	NUMBER	OF	NODES NELEM	-	TOTAL	NUMBER	OF	ELEMENTS fjpRES	-	TOTAL	NUMBER	OF	NODES WHERE	T’HBf ’	FUNCTION IS PRESCRIBED TJPT(I)	-	NODE	NUMBER OF NODE WHERE	THE	FUNCTION IS PRESCRIBED,WHERE 1=1,2	NpHES VAL(I)	-	THE PRESCRIBED VALUE OF THF FUNCTION AT NODE NPT(I).WHERE 1=1.?	NPRES
г t с с t С с t с £ с с с с с £ £ fc С с С	X(I).Y(I) -	X.Y COORDINATES.RESPECTIVELY.OF NODE I NOD(I.J)	-	THE THREE NODES.CORRESPONDING TO THE THREE NODE IDENTIFIERS J=1.2,3.OF ELEMENT I XX(l).YY(D-	X.Y COORDINATES.RESPECTIVELY.OF THE THREE NODES.CORRESPONDING TO THE THREE NODE IDENTIFIERS 1-1.2,3.OF ANY ELEMENT Cl(l)	* -	THF PARAMETERS DEFINED IN EQS.(2.11) *	OF ANY ELEMENT.WHERE 1-1.2.3 tJElTA	•«	AREA OF ANY TRIANGLE f>TE(IE,M,Nj-	THE M-N TH FNTRY Of THE ELEMENT К MATRIX OF ELEMENT IE»WHERE M=1.2.3 AND N=1.2,3 ARK THE NODE IDENTIFIERS BT(I,J/	-	THE I-J TH ELEMENT OF TljE SYSTEM к MATRIX RHS(I.1)	-	RIGHT-HAND SIDE MATRIX IN THE SYGTEM MATRIX EOUATION-DOUBLY SUBSCRIPTED TO SATISFY THE REQUIREMENTS OF THE SUBROUTINE LEQT1F UBUfl(I.J) -	AN ARRAY CONTAINING THE TOTAL NUMBER OF ELEMENTS SURROUNDING NODE I IN COLUMN J-1. AND THE ELEMENT IDENTIFICATION NUMBERS IN COLUMNS J=2.3,ETC. PROGRAM PRGM2(INPUT,OUTPUT,TAPE5,TAPE6) DIMENSION NOD(50.3),X(36),Y(36),NPT(11),VAL(11),N3UA(36,7) DIMENSION X>Xf3),YY(3) .A<3) ,O(3).C(3).STE (50,3,3).ST(36.36)
t с с £	DIMENSION RHS(36,1),WKAREA(36) f»..*THE TOTAL NUMBER OF NODES,THE TOTAL NUMBER DF ELEMENTS,AND THE TOTAL NUMBER DF NODES WHERE THE FUNCTION IS PRESCRIBED ARE READ IN,.... 'ЙЕАО(5,10) NPOIN.NELEM,NPRES
10 It С с	F0RMAT(3I3) 	THE	THREE NODES,CORRESPOND ING TO THE THREE NODE IDENTIFIERS J-1.2.AND 3.ARE READ IN FOR ALL ELEMENTS»»**! READ(5.20) (I.(NOD(I,dJ.J=1,3).II-1.NF.LEM)
20 С С	FDRMAT(24l3j	fc 	THE	X AND Y COORDINATES ARE READ IN FOR ALL NOots..»*» READ(5,30) (I,X(I).Y(I).J=1.NPOXN)
за £ с с	FORMAT(5(13,2F5.1)} .....THE NODES WHFRE THE FUNCTION IS PRESCRIBED AND THFIR PRESCRIBED VALUES ARE READ IN	 READ (5 .40 } ( NPT (I), VAI. (I) . Is 1, NPRES)
40	FORMAT(?(I?,F?,2})
Программирование метода конечных элементов
83
С
с .....the total Number of nodes is printed Out.....
WRITE(6,5B) NPOIN
5E F0RMAT(/////.1X,22H TOTAL NUMBER OF WOOES.13)
C
C .........THE TOTAL NUMBER DF ELEMENTS IB PRINTED OUT.....
WRITE(6.60) NELEM
6B	FORMAT(1X,25H TOTAL NUMBER OF ELEMENTS.13)
C
c .........the total Number of nodes where the function is
C	PRESCRIBED IS PRINTED OUT......
WRITE(6.70) NPRES
70	FORMAT(1X,37H TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES.13)
C
C .........THE X AND Y COORDINATES ARE PRINTED OUT
Г	FOR ALL NODES.....
WRITE(6,80)
80 FORNAT(//,1X,4tfH THE NODES ANO THEIR X AND Y COORDINATES,/)
WRITE(6.90)
90	FORMAT(IX,17H NODE X Y,2(21H NODE X Y))’
WRITE(£i, 100) (I.X(I).Y(I) ,1=1.NPOIN)
10B FORMAT((IX,I3,F8.?,F7»2.2(I6,FB.2,F7.2)))
t
£	.....THF ELENFNTB ANO THEIR THREE NODES,CORRESPONDING TD THg
C	THREE NODE IDENTIFIERS J-1.2.AND 3.ARE PRINTED OUT....»
V-RITE(6.110)
11E	F ORMATf//, 1X ,29)1 THE ELEMENTS AND THEIR NODES,/)
lf/RITE(6,120)
120 FORMAT(1X.13HELEM I J M,3(16H ELEM I J M))
WRITE(6,130) (I.(NOO(I.J).0=1.3),1=1,NELEM)
130 F0RMAT((1X,13,14,213,3(16.14,213)))
fc
C	.....THE NODES V/HERE THE FUNCTION IS PRESCRIBED
C	AND THEIR PRESCRIBED VALUES ARE PRINTED OUToi»»
WRITF(6,140)
140 Format(//.ix.3BH Moder v.ith prescribed function values,/)
ftRITE(6,150)
150	FORMAT(IX,1?H NODE V ALUE, 3 (15 H	NODE VALUE))
ftRITF(6.160) (NpT(I),VAL(I),1=1,NPRES)
L) о iXtAi»
..»«»THF ARRAY NSURfP.O),CONTAINING THE TOTAL NUMfiER Of,
ELEMENTS SURROUNDING NODE P IN COLUMN 0=1.ANO
THE IDENTIFICATION NUMBERS OF THE SURROUNDING
E)EMFNTS IN COLUMNS 0*2,3,ETC..IB OETERMINEP............
OD 170 I=1.NP0IN
170 NBUR(I.1)=B
DO 190 1=1.NELEM
fiO 180 J=1.3
LK=NDD(I,J)
NSUB(LK.1)»NSUR(LK.
I.L=NSUR(LK. 1 ) + 1
180 NSURtlK.LLkl
190 CONTINUE
C
C ...,.THF ELEMENT К MATRICES,^ASEO ON THE fffiDT ffiOfiflERS
£	1.2,ANO 3.ARE OBTAINED FOR ALL ELLEMENT6 AND STORED
c	IN MEMORY,,...
Dfl 270 1=1,NELEM
OQ 200 J»1,3
LK-NOD(I.J)
200	YY(j)«¥(LK)
DO 2<)й J-1,3
LK-J+1
LL-J+2
IF (I.K~3)230 .220 .210
21Й IK-1
LL=2
GO TO 23B
220	11=1
230 A{j)=XX{LK)*YY(LL)-XX(LL)*YY(LK)
R(d)=YY{LK)—YY(LL)
240 C(J)=XX(LL)-XX(LK)
DELTA-(C(3)*R(2J-C(2)«fi(3))/2,й
GO 260 IR=1.3
DO 250 10=1.3»
250 STE(I,IA,IC)=(B(IR)*S(IC)+C(IR)*C(IC))/(fl,0*OELTA)
260 CONTINUE
270 CONTINUE
C
C .....THE ELEMENT К MATRICES OF ALL ELEMENTS ARE ASSEMBLED
C	BY NODES.THE PRESCRIBED BOUNDARY CONDITIONS ARE
C	•INSERTED.AND THE FINAL SYSTEM MATRIX EQUATION IS
t	OBTAINED.....
DO 290 I=1,NPOIN
DO 280 J=1,NPOIN
200	8T(I,J)=0.0
290	RHS(I.1)=0.0
. DO 370 NOCE-1.KPOIN
00 310 I=1.NPRES
‘ IF(NODF-NPT{I))31Й»30Й,310
300 ST(NOOF,NOOE)=1.0 '
RHSfNOOE.I)=VAL(I)
GO TO 370
510 CONTINUE
IE=NSUR(N0DE,1)
IEL-IE+1
DO 360 ITEL=?.IEL
LEL-NSUR(riOOE,ITEL)
DO 32Й 1=1,3
Ifi-I
IF (NDO(LEL, I)~ND.DE)32B,340,320
320 CONTINUE
WRITE(6,33B)
330 FORMATf//.1X.32H ERROR IN ELEMENT NODE NUMBERING)
GO TO 410
340 DO 350 10=1,3
ICO-NOD(LEL.IC)
350 8T(NODE.ICO)-BT(NODE,ICO)+BTE(LEL,IR,IC)
360 CONTINUE
Э7Й CONTINUE
c .........the system matrix equation is bolveo ubinq
C	THE STANDARD LIBRARY SUBROUTINE LERTl F	,
ММ-1
IOGT=0
CALL LERT1F(BT,1,NPOIN,NPOIN,RHS.0,WKAREA,1ЕЙ)
c
C  ...«.THE SOLUTION HAS BEEN OBTAINED ANO IS PRINTED OUT,
WRITE(6.3B0)
3B0 FORMAT!//.1X.31H THE BOLD T ION-HAfi SEEN OBTAINED)
WRITE(6,390)
390	FORMAT!/,IX,12H NODE ТЁМР,3(15Н NODE TEMP))
WRITE(6,400) (I,RHS(I,i),I-1.NP0IN)
ПЙ»»	FORMAT( (IX.13 ,F9 .3,3 (16,F?.3) ))
41Й STOP
END
Программирование метода конечных элементов
3.2.3. ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
36
7
13
19
25
31
37
43
49
1
6
11
16
21
26
31
36
6
33
5И 11
1 8	7	2	1	2
4 11	10	В	4	5
£ 15	14	14	S	9
11 1В	17	20	11	12
15 22	21	26	15	16
19 26	25	32	19	20
22 29	28	ЗВ	22	23
26 33	32	44	26	27
29 36	35	50	29	30
0.0 0.0 2 2.0
10.0 0.0 7 0.0
6.0 2.0 12 10.0
6.0 4.0 17 8.0
4.0 6.0 22 6.0
2.0 8.0 27 4.0
0.0 10.0 32 Z.0
10.0 10.0
8 3	S	9	8	4	2
11 9	5	12	11	10	5
15 15	9	16	15	16	9
18 21	13	20	19	8?	13
22 27	16	23	22	28	16
26 33	20	27	26	34	2D
29 39	23	30	29	40	23
33 45	27	34	33	46	2?
36
0.0 3
2,0 В
2.0 13
4.0 18
6.0 23
8.0 28
10.0 33
4.0
2.0
0.0
10.0
8.0
6.0
4.0
0.0- 4
2.0 9
4.0 14
4.0 19
6.0 24
8.0 29
10.0 34
3 9	3 10 9
6 12 "1 7 14 13
10 16 17 10 17 16
14 20 23 14 21 20
17 23 29 17 24 23
21 27 35 21 2В 27
24 30 41 25 32 31
28 34 47 ?В 35 34
6.0 0.0 5 8.0.
4.0 2.0 10 6.0
2.0 4.0 15 4.0
0.0 6.0 20 2.0
10.0 6.0 25 0-й
8.0 8.0 30 10.0
6.0 10.0 35 8.0
6 3
12 7
1В 10
24 14
Зй 17
36 2 1
42 25
48 28
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
е.0
10.0
200.00 12
120.00 34
160.00 18
80.00 35
120.00 24
40.00 36
ВИ.ее зя шо 31 200.00
0.05
4
8'
15
18
22
26
29
10
14
17
21
24
2S
32
3S
32 16J3.00
3.24. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
TOTAL NUMBER OF NODES 36
TOTAL. NUMBER OF ELEMENTS 50
TOTAL NUMBER OF PRESCRIBEO VARIABLES 11
THE	NODES		AND THEIR		X ANO		Y COORDINATES							
NODE		X			NODE		X			RSCe				
1 "	0	.00		0.00	2		2.03	0.00		J	4.00		0.	00
4	6	.00		0.00	 5		8,00	0.00		6	10.00		0.	00
7	0	.00		2.00	В		2.00	2.00		9	4.00		2.	00
10	6	.00		2.00	11		8.00	2.00		12	10.00		2.	00
13	0	.00		4.00	14		2.00	4.00		15	4.00		4.	00
16	6	.00		4.00	17		6.0 0	4.00		18	10.00		4.	00
19	Й	.00		6.00	20		2,00	6.00		21	4.00		6.	00
22	6	.00		6.00	23		6.00	6.0B		24	10.00		6.	00
25	0	.00		8.00	26		2.00	8.00		27	4.00		8.	Й0
2B	6	.00		8.00	29		8.00	8.00		30	10.00		B.	0Й
31	0	.00	1	I0.00	32		2.00	10.00		S3	4.00		IB.	00
34	6	.00	1	1Й.00	35		8.00	10-00		J6	10.00		50.	00
THB	ELEMENTS			AND THEIR		NODE8								
ELEM	I	J	M	ELEM	I	J	В ELEM I			M	ELEM	I	J	M
1	1	8	7	2	1	2	6	3 ?	9	в	4	2	3	9
5	3	10	9	6	3	4	10	7	4	11	10	8	4	5	11
9	5	12	11	10	5	6	12	11	7	14	13	12	7	8	14
13	e	15	14	14	8	9	15	15	9	16	15	16	9	10	16
17	10	17	16	IB	10	11	17	19 11	IS	17	2Й	11	12	1B
21	13	20	19	22	13	14	20	23 14-21		20	24	14	15	21
25	15	22	21	26	15	16	22	27	16	23	22	28	16	17	23
29	17	24	23	30	17	18	24	31 19	26	26	32	19	20	26
33	20	27	26	34	20	21	27	35 21	2B	27	36	21	22	2B
37	22	29	2B	3B	22	23	29	39 23	30	29	40	23	24	30
41	25	32	31	42	25	26	32	43 26	33	32	44	26	27	33
45	27	34	33	46	27	28	34	47 2B	35	34	4B	2B	29	35
49	59	36	35	50	29	30	36							
86
Глава 3
NODES WITH PRESCRIBED FUNCTION VALUES
NODE VALUE NODE VALUE NODE VALUE NODE VALUE
6 30 34	200.000 40.000 ев.000	12 Й 31 35	160.000 200.000 40.000	18 3? 36	120^000 160.000 0.000	24 33	80.000 120.000
ГНЕ	SOLUTION	HAS BEEN OBTAINED					
NODE ГЕМР		NODE	TEMP	NODE	T( MP	NODE	TEMP
	132.826	p	1 32.826	3	133.925	4	139.417
5	156.020	6	200,000	7	132.826	fl	132.277
9	131.728	IB	133.861	1 1	142.331	12	160.000
13	133.925	14	131.72'	15	126.849	16	121.969
17	119.444	18	120.0Z0	19	139.417	2Й	133.861
2 1	121.969	??	107.7? i	?3	93.476	*4	8Z.000
25	156.020	26	142.331	27	119.444	28	93.476
29	66.738	З.И	40.000	31	200.000	32	16Z.000
V		34	80.000	35	40.000	36	0.000
Phc. 3.4, Изотермы в поперечном сечении бруса.
Результаты решения вычерчены в виде изотерм на рнс. 3.4.
Упражнение 3.1. Там, где необходимо, модифицируйте программу нз
разд. 3.2 2 для решения задачи теплопроводности из разд. 2.1, используя
16 треугольных элементов согласно рнс 24 Проверьте полученные ранее
результаты
Упражнение 3.2. Модифицируйте программу из разд, 3 2.2. согласно алго-
ритму объединения по узлам, заданному равенством (2.40). Здесь не должны
вычисляться элементные матрицы жесткости, и основой программы должно
быть объединение по узлам Проверьте полученные рапсе результаты, исполь-
зуя те же исходные данные.
Программирование метода конечных элементов	87
Упражнение 3.3, Перепишите программу приведенную в разд. 3.S.2, так,
чтобы Она основывалась на поэлементном объединении. Необходимо для каж-
Рис. 8.6. Задача I теплопроводности в двумерной треугольной области.
дого элемента по очереди вычислять матрицу жесткости и прибавлять ее
к матрице жесткости системы. Массив NSUR не требуется. Проверьте полу-
ченные ранее результаты, используя те же исходные данные.
Рис. 3.6, Задача II теплопроводности в двумерной треугольной области.
Упражнение 3.4. Составьте программу для решения задачи теплопровод»
ности (рис. 2.1), используя формулировки упражнений 2.4 и 2.5 и разбиение
88
Глава 3
иа конечные элементы, показанное иа рис. 2 7. Сравните результаты решения
с данными (2.99), полученными при использовании квадратичной пробной
функции
Упражнение 3.5. Используйте одну из программ, составленных прн выпол-
нении упражнения 3,4, для получения изотерм в двумерных задачах теплопро-
водности (рнс 3 5 и 3 6) Разбиение области на конечные элементы для обеих
этих задач показано на рнс 3 2
3 3. МОДИФИКАЦИЯ ПРОГРАММ
Программа метода конечных элементов, приведенная в
разд. 3.2.2, следует формулировке, изложенной в разд. 2.1, и-
узко ориентирована. Она не является хорошо сделанной про-
граммой. Ниже описаны модификации, необходимые для улуч-
шения такой программы. Первые четыре из них очень просты и
заслуживают включения в любую конечноэлементную програм-
му как большую, так и малую. Остальные модификации более
сложны и предназначены для больших, весьма сложных задач.
З.ЗЛ. СИММЕТРИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ
Ранее отмечалось, что do учета граничных условий матрица
жесткости системы К обычно симметрична. Действительно, мож-
но показать, что вариационная формулировка метода конечных
элементов с квадратичным или квадратично-линейным функцио-
налом всегда приводит к линейной системе уравнений с симме-
тричной матрицей [2].
Если матрица К — симметричная, то при вычислениях и хра-
нении в памяти можно ограничиться либо верхней, либо нижней
треугольной се частью, так как остальные элементы известны
в силу симметрии.
3.3.2. ПОДПРОГРАММЫ
Сегменты основной программы можно с успехом заменять под-
программами Свободное использование подпрограмм позволяет
не только упростить основную программу, но та^же более легко
ее структурировать и документировать, что особенно важно при
последующих модификациях. Например, замена одного типа
элементов на другой выполняется посредством подстановки раз-
личных подпрограмм. Широкое применение модульного подхода,
с помощью которого конец поэлементные программы для различ-
ных задач и различных элементов формируются из заданных
сегментов, было бы невозможно без подпрограмм. Другое преи-
мущество состоит в том, что каждая подпрограмма может ра-
ботать и проверяться как отдельная программа, что существенно
об л егча ет о тл а дку
Программирование метода конечных элементов	89
3.3.3- УЛУЧШЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Стандартная библиотечная подпрограмма LEQTIF, применяе-
мая для решения матричного уравнения системы из разд. 3.2.2,
не приспособлена специально для использования в методе конеч-
ных элементов, так как не учитывает такого преимущества, как
симметрия или ленточность матрицы системы. В гл. 6 и 10 об-
суждаются процедуры, которые учитывают такие свойства ма-
триц, и показано, как можно использовать специфические осо-
бенности матрицы для выбора наиболее подходящего метода.
Любой метод решения системы уравнений, специально пред-
назначенный для симметричной матрицы К. более эффективен и
требует меньший объем памяти, чем соответствующая процедура
для системы уравнений с несимметричной матрицей. Если ис-
пользуется метод решения, учитывающий симметрию, то сущест-
венно, чтобы после учета граничных условий Дирихле сохрани-
лась первоначальная симметрия матрицы жесткости системы К.
В следующем разделе обсуждаются два метода учета граничных
.условий, не нарушающие симметрию.
З.ЗЛ. СОХРАНЕНИЕ СИММЕТРИИ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
ПРИ УЧЕТЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Метод 1. Наиболее просто процедура, сохраняющая симме-
трию [3], может быть показана на примере. Рассмотрим матрич-
ное уравнение системы
"Хп
/<21
*31
-/<51
Ка Кн К*
Кза Кчл /<25
Кзз /<31 Кзэ
/<43 /<44 /<45
/<12
/<22
/<32
/<42
К52 KS3 /<54 /<55-
$2
*£з
?4
(3.1)
-Rs-
Яз
Предположим, что нужно учесть граничные условия
&==Сь ?4~с4.	(3.2)
Так как граничные условия и заданы явно, полученные
ранее уравнения для & н ф.3 неприменимы в системе (3.1) и
должны быть заменены равенствами (3.2). Хотя эта замена на-
рушает симметрию матрицы жесткости К, симметрию все же
можно сохранить подстановкой щ и — с4 во все осталь-
ные уравнения и переносом соответствующих членов в правые
части уравнений. Например, второе уравнение системы (3.1)
/<21^1 + /<22^*2 “Ь /<23^3 /<24^4 + /<2505 “ /?2	(3.3)
90
Глава 3
после подстановки н из (3.2) принимает вид
*2ici + К22Ф2 + *2з^*з + К24С4 + *25^0 = /?2,	(3.4)
или	_	_	_
0 + *22^2 + *23^3 + 0 + К25Ф5 ж (^2 — Кз1с1 — *24^)- (3.8)
С использованием этой процедуры система уравнений (3.1) пре-
образуется к следующей:
'1 0 0	ООО Ха Хаэ 0 *32 *33 0	0  Х25 X®	^-1 	1			С] *2 — *2L<4 — *24^4 *3 — *S1Q — *34^1	.	(3.6)
0	0 0 1	0	•ь		с4	
J)	*52 *53 0	KsS-			*51^1	*Б4С4-	
которая, очевидно, симметрична. Эт от’метод можно кратко сфор-
мулировать в виде следующего правила:
'Если узловые значения & заданы в виде ф1 = (п, то Ri
заменяется заданным значением сИ К» — единицей, а
остальные элементы i-й строки и i-го столбца —нулями.
Затем из остальных R, следует вычесть KtiCt.
Необходимо отметить, что в слуыас больших систем уравне-
ний с большим числом условий Дирихле типа (3.2) описанная
выше процедура может использоваться для уменьшения порядка
матрицы системы. Например, уравнение (3.6) может быть запи-
сано в виде
*22 К23
*32 *33
'*52 *53
*251
[/?2 — *21^1 — К24С4
*3 — *31^1	*34С4
*5~ *51^“ *54^4-
(3.7)
так как </>1 и ^>4 уже заданы равенствами (3.2). В результате
число неизвестных уменьшается с 5 до 3.
Метод 2. Правило Пэйна — Айронса, уже упоминавшееся в
гл. 1, аппроксимирует заданные граничные условия с высокой
точностью. Кратко оно формулируется следующим образом:
Если узловая переменная задана посредством равен-
ства — с„ то Ки следует заменить на RUB, a Ri — на
KiiCtBt где В — большое число, например 1012. Эта опера-
ция проводится со всеми заданными переменными.
Первый метод увеличивает разреженность матрицы системы,
что в некоторых случаях полезно, зато второй метод иногда
Программирование метода конечных элементов	61
легче программируется. Преимуществом этих методов является
то, что вследствие сохранения симметрии требуется память лишь
для половины матрицы.
3.3.5. МАКРОПРОГРАММИРОВАНИЕ И СЕГМЕНТАЦИЯ
Если программа, использующая метод конечных элементов, при-
меняется для решения ряда однотипных задач различной раз-
мерности, то приведение операторов DIMENSION, характери-
зущих массивы, в соответствие с каждой из задач вскоре ста-
новится довольно утомительным занятием. В больших програм-
мах ради экономии оперативной памяти можно использовать
операторы EQUIVALENCE и COMMON1), но любое после-
дующее изменение оператора DIMENSION обычно требует срав-
нительно хорошего знания программы, в частности тех ее ча-
стей, где запоминаются сегменты другого массива с помощью
оператора EQUIVALENCE. Обе эти задачи могут быть разре-
шены с помощью макрокодирования.
Макрос здесь определяется как последовательность предло-
жений, которые хранятся отдельно и последовательно объеди-
няются с программой по мере вызова. Другими словами, макро-
сом называется поименованный программный сегмент, который
может быть вызван всякий раз, когда этого требует специальный
код основной программы илн любой ее подпрограммы. Отличие
макроса от подпрограммы состоит в том, что обычно управляю-
щий им процессор бывает независимым от основной программы.
Для Фортрана часто используется макропроцессор, разработан-
ный Дэем и Шоу из Лондонского университетского колледжа
[4]. Для конечноэлементных программ размеры массивов обыч-
но связаны с характерными параметрами задачи, такими, как
число узлов и порядок интерполяции. Для каждой подпрограм-
мы размеры массивов могут определяться макросом в терминах
его формальных параметров. Размеры ..массивов для основной
программы получаются в результате вызова размеров массивов
макросов подпрограмм и одного нлн нескольких макросов, отно-
сящихся непосредственно к основной программе. Для различ-
ных задач все размеры массивов изменяются согласованно пу-
тем простого изменения этих нескольких макропредложений,
содержащих характерные параметры ’ [4]. Для очень больших
программ, в частности при ограниченной оперативной памяти,
иногда бывает полезно разбить программу на независимые
’) Оператор EQUIVALENCE предписывает выделение одного общего ме-
ста в памяти для двух или большего числа переменных одной и той же про-
граммы или подпрограммы, тогда как оператор COMMON предписывает вы-
деление общего места в памяти для переменной из подпрограммы и перемен-
ной из основной программы (или другой подпрограммы),
92
Глааа 3
части, называемые сегментами, которые вызываются и выполня-
ются по мере необходимости. Способ сегментации программы
зависит от архитектуры вычислительной машины и используемой
операционной системы. *
3.3.6. АВТОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ
Подготовка исходных данных для задач с большим числом эле-
ментов может быть утомительной и требовать много времени.
Один из путей ускорения этого этапа работы состоит в автома-
тическом построении сетки. Если задана некоторая основная
информация, такая, как положение угловых и граничных узлов,
тип элемента, а также плотность элементов, то типовая програм-
ма вычисляет требуемую сетку и дает список узлов и их коорди-
нат. Хотя такая программа может быть включена в конечиоэле-’
ментную программу, обычно выполняется она независимо, так
что результат ее работы может быть проверен. Особенно по-
лезна комбинация программы автоматического построения сет-
ки с программами построения графиков, так как в этом случае
результат имеет наглядную форму и даже может быть пред-
ставлен в изометрической или перспективной проекциях. Допол-
нительная информация о построении сеток имеется в работах
[5-9].
8.3.7. ПЕРЕНУМЕРАЦИЯ УЗЛОВ
В гл. 6 будет показано, что ширина ленты матрицы жесткости
системы К зависит от способа нумерации узлов. Если программа
решения системы уравнений не учитывает нулей внутри ленты,
то время и стоимость решения будет зависеть от ширины ленты.
В этой ситуации желательна такая нумерация узлов, при кото-
рой ширина ленты минимальна. Хотя для простых задач опре-
делить такую нумерацию легко, в случае сложной геометрии это
может вызвать затруднения. К счастью, существуют программы,
которые, используя в качестве исходных данных некоторую го-
товую нумерацию области, выполняют перенумерацию узлов
так, чтобы минимизировать ширину ленты. Обычно такая про-
грамма, используемая перед основной конечпоэлементной про-
граммой, вместе с программой обратной перенумерации назы-
вается алгоритмом перенумерации, который может входить в
общий процесс вычисления между первоначальным вводом ис-
ходных данных и окончательным выводом результатов решения.
Таким образом, первоначальная нумерация используется при
выводе результатов решения задачи. Дополнительная информа-
ция о программах перенумерации узлов имеется в работах
цю-13].
Программирование методе конечных элементов	03
8.3.8. ЯЧЕЕЧНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ И МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В гл. 10 будет показано, что при решении системы уравнений
нет необходимости размещать в оперативной памяти всю ма-
трицу жесткости системы К. Обычно при использовании прямых
методов решения в каждый момент времени активной является
лишь треугольная матрица элементов, тогда как для непрямых
методов необходимы всего лишь несколько строк.
В случае больших копечноэлементных программ оперативная
память современных машин может быть недостаточной для раз-
мещения всей матрицы жесткости системы К. В этом случае
необходимо, чтобы активную часть матрицы можно было после-
довательно считывать из внешней памяти и постепенно решать
матричное уравнение системы. Можно также организовать дан-
ные так, чтобы требуемая активная часть могла быть добавлена
в любой момент, когда это необходимо. Таким образом, объеди-
няются ячейки данных Этот подход при решении системы урав-
нений может существенно экономить оперативную память, од-
иако требуется тщательный план программирования для того,
чтобы дополнительные вычисления и обмен с внешней памятью
не превысили стоимость экономии оперативной памяти. Если
для решения системы уравнений, соответствующей отдельной
ячейке матрицы, применяются прямые методы, то процедура,
основанная на ячеечном объединении, называется блочно-пря-
мой. Процедура использовалась, например, во фронтальном ме-
тоде решения, который был исследован и пропагандировался
Айронсом [14] ив методе переупорядочения Кинга [10]. Ячееч-
ное объединение и исключение, так же как и другие подходы
уменьшения требуемой оперативной памяти, описаны в недавно
вышедшей книге Бэйза и Вильсона [15].
Литература
I.	Birkhoff G, Mathematics and computer science, Amer. Set., 63, No. 1,83—91
(January — February 1975).
2.	Norrie D. H., de Vries G., The-Finite Element Method, Academic Press, New
York, 1973.
3.	Feiippa C. A., Clough R W., The finite element method in solid mechanics,
in: Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics (SIAM —
 AMS Proc.), Vol. 2, pp. 210—252, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island, 1970.
4.	Day A. C., A Macro-Processor for FORTRAN, Tech. Rep. .No. 2, Computer
Centre, University Coilege, London, England, February 1971.
0-	Bueil W. R., Bush B. A., Mesh generation — a survey, J. E. [nd., 95,
No. 1,332—338 (1'973).
6.	Suhara J., Fukuda J., Automatic mesh generation for finite element analysis,
Proc. U. S. — Japan Seminar Comput '«Methods Struct. Meeh. Design, 2nd,
Berkeley, California, August 1972 (Oden J. T., Ciough R. W., Yamamoto Y.,
ads.), pp. 607—624. UAH Press, Huntsville, Alabama, 1972.
94	Глава 3
7.	Kamel Н. A.., Eisenstein Н. A., Automatic mesh generation in two- and
three-dimensional interconnected domains. Proc. Symp. Internal. Un. Theor.
Appl. Meeh. High Speed’ Comput. Elastic Struct, Univ. Liege, Belgium,
August 1970 (de Veubeke F., ed), pp 455—475, Univ, of Liege Press, Bel-
gium, 1971.
8.	Felippa C. A., An alpha numeric finite element mesh plotter, Internal. J.
Numer. Methods Engrg., 5, No. 2. 217—236 (1972).
9.	Zienkicwicz О. C., Phillips D V, An automatic mesh generation scheme for
_plane and curved surfaces by isoparametric coordinates, Internal. J. Numer.
Methods Engrg., 3, No. 4 519—528 (1971).
10.	King I. P., An automatic re-ordering scheme for simultaneous equations
derived fiom network systems, Internal. J. Numer. Methods Engrg., 2, No. 4,
. 523—533 (1970).
11.	Collins R J, Bandwidth reduction by automatic renumbering, Internet. J,
Numer. Methods Engrg., 6, No. 3, 345—356 (1973).
12.	Grooms H R., Algorithm for matrix bandwidth reduction, Proc. ASCE,
J. Struct. Div., 98, St. i. 203—214 (1972).
13.	Akras G., Dhatt G, An automatic relabelling algorithm for bandwidth
minimization, Proc. Canad Congr Appl. Meeh., 5th, Fredericton. 26—30 May, -
1975, pp. 691-692.
?4.	Irons В. M., A frontal solution program for finite element analysis, Internal.
J. Numer. Methods Engrg., 2, 5—32 (1970).
15.	Bathe K--J. Wilson E. J., Numerical Methods In Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
4
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих главах рассматривались только граничные усло-
вия Дирихле и Неймана. Однако существуют и другие типы гра-
ничных условий; применительно к формулировке метода конеч-
ных элементов некоторые из них весьма сложны. В этой главе
даны определения большинства обычно встречающихся гранич-
ных условий н показано, как можно модифицировать функцио-
налы для того, чтобы удовлетворялись различные виды гранич-
. пых условий. В заключительном разделе кратко рассматрива-
ются другие подходы к учету граничных условий.
4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Наиболее распространенными в научных и технических задачах
являются граничные условия Дирихле, Неймана и Коши, иногда
называемые граничными условиями первого, второго и третьего
рода соответственно. Если граница разбита на несколько частей,
для которых заданы граничные условия различных типов, то та-
кие граничные условия называют смешанными.
В случае граничных условий Дирихле на границе 5 задаются
значения зависимой переменной. Так, например, в двумерной
задаче с зависимой переменной ф соотношение
Ф = g (х, у) па S	(4.1)
задает граничные условия Дирихле, причем предполагается, что
функция g(x, у) известна явно. Задание напряжения иа границе
для электрического поля в проводяшен среде или температуры
для теплопроводящей среды — это примеры граничных условий
Дирихле.
В случае граничных условий Неймана на границе задается
нормальная производная зависимой переменной. Применительно
к двумерной задаче это условие может быть записано в виде
дф!дп + р = 0 на S,	(4.2)
где р — заданная явно функция точки, а л —нормаль к S. Спе-
циальным примером условий Неймана являются кинематиче-
ские граничные условия в потоке, при которых нормальная ком-
понента скорости жидкости на границе равна нормальной ком-
поненте скорости границы.
96
Глава 4
Говорят, что заданы условия Коши, если зависимая перемен-
ная н ее нормальная производная связаны иа границе условием
вида
(дф/дп) + р 4- q$ = 0 на S,	(4.3)
где р и q— известные функции точки на границе S. Например,
такое условие появляется, если на границе есть слой сопротив-
ления 1).
Рассмотренные выше граничные условия включают только
зависимую переменную и (или) ее первую производную. На
практике могут встречаться и более сложные граничные усло-
вия, содержащие более высокие производные. В следующем раз-
деле описан метод включения граничных условий в конечноэле-
ментную формулировку, иллюстрируемый ради простоты на гра-
ничных условиях низкого порядка. Однако он может быть рас-
пространен и на более сложные случаи.
4.2. ЗАДАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ГРАНИЦЕ
Ранее отмечалось, что в вариационной формулировке граничные
условия можно разделить на главные и естественные. Из вариа-
ционного исчисления известно, что любая пробная функция, кро-
ме того что опа должна быть допустимой, должна удовлетворять
главным граничным условиям, тогда как естественные гранич-
ные условия удовлетворяются в качестве естественного след-
ствия вариационной постановки задачи.
В гл. 7 детально будут исследоваться условия, при которых
функционал
*4[O+(4B>^+$prdS	<4-4’
D	S
имеет стационарное значение. Будет показано, что функция
Т(х, у), на которой функционал принимает стационарное значе-
ние, удовлетворяет уравнению
V2T = 0 в D,	(4.5)
а также условиям Дирихле
T — g на Si	(4.6а)
и Неймаиа
(дТ!дп) + р = 0 на S2,	(4.66
где S = S1-f-S2—полная граница области D. ВУ равенствах
(4.6)	переменные g и р являются заданными функциями точки
на и S2 соответственно.
*) Потоку тепла, жидкости или электрическому току. — Прим, персе.

Граничные условия
Из равенства (4.66) видно, что если р равна нулю на S2, то
задача, определенная равенствами (4.5) и (4.6), становится
тождественной задаче о ^распространении тепла, рассмотренной
в гл. 2. Второй член в равенстве (4.4) обращается в нуль, и функ-
ционал принимает прежний вид. Отметим, что возможна ситуа-
ция, при которой функционал для задачи с граничными усло-
виями типа Коши получается из функционала с подходящими
условиями Неймана просто прибавлением дополнительного ин-
теграла, Возникает вопрос, всегда ли граничные условия для
любой задачи могут быть включены в функционал добавлением
подходящего интеграла. Во многих случаях это так, хотя опре-
деление дополнительного интеграла не всегда просто. Для дву-
мерной задачи, к которой такой подход возможен, дополнитель-
ный интеграл будет криволинейным В трехмерном случае до-
полнительный интеграл будет поверхностным. Дальнейшую
информацию о соотношении между такими интегралами и гра-
ничными условиями задачи можно найти в монографиях пр ва-
риационному исчислению [1, 2]. В заключение этого раздела
остановимся на вопросе о том, как обращаться с криволиней-
ными и поверхностными интегралами при вычислениях, если,
конечно, получен функционал с учетом главных и естественных
граничных условий?
Включение криволинейного илн поверхностного интеграла в
конечноэлементпую формулировку будет показано на примере.
Рассмотрим трехмерное квазигармоннчное уравнение
где kx, ky, kz п R — функции x, у и z. Это уравнение описывает
ряд физических явлений в неизотропной среде, т. е такой среде,
свойства которой различны в разных направлениях. Форма этого
уравнения соответствует совпадению главных осей характери-
стики среды k с осями х, у н z. Напримеф, для задачи теплопро-
водности Т — температура, R—внутренний источник тепла, а
kx, ky и kz — коэффициенты теплопроводности в направлениях
х, у н z соответственно. Другие физические явления, к которым
применимо уравнение (4.7), описываются в литературе [3, 4 и
др.]. В изотропной среде kx = ktJ = kg и уравнение (4.7) сво-
дится к уравнению Пуассона1), Если член, характеризующий
источник, обращается в нуль, то уравнение (4.7) становится
уравнением Лапласа.
*) Ради строгости необходимо еще условие однородности среды.—
Прим, персе.
98
Глава 4
Рассмотрим теперь двумерное квазнгармоническое уравне-
ние, которое в соответствии с (4.7) имеет вид
(4-8>
Пусть на части границы заданы условия Дирихле
T = g(x, у) на Si,	(4.9а)
а на остальной части — условия Коши	•
+ky^-nll +р + <1Т = 0 на S2,	(4.96)
где пх, пу соответственно х-, ^-компоненты единичной внешней
нормали к S, a g, р и q — заданные функции точки на Si и Sz.
Используя вариационное исчисление, можно показать, что
функционал для этой задачи описывается выражением
*=IS S D [*« (£)!+k> «У+Мdx d«+
+ J	+	(4.10)
Уравнение (4.10) удобно представить в виде
Z = ZD + xs,. ’	(4.11)
где слагаемые в правой части равенства обозначают интегралы
по области и поверхности соответственно. Конечноэлементная
формулировка для интеграла по области аналогична изложенной
в предыдущих главах. Присутствие поверхностного интеграла в
функционале приводит к дополнительным членам в элементном
матричном уравнении, вычисление, которых сейчас будет рас-
смотрено.
Вспомним, что пробная функция Те в полиномиальной форме,
выраженная через глобальные координаты, имеет внд
+ «2х + ед + а4х2 + ...,	(4.12)
где число членов ряда и значения коэффициентов зависят от
типа используемого конечного элемента. Применение равенства
(4.12) к каждому нз узлов элемента дает систему уравнений
Аа = Т,	(4.13)
где А=й[я,7]—матрица коэффициентов, вычисляемая через ко-
ординаты узлов, «— матрица-столбец с элементами ссь а2> ...,
а Т = (Г(] — элементный узловой вектор’). Обращая матрицу А,
') Узловые параметры Tt будут включать значения Т в узлах и их произ-
водные, если в конечном элементе используются производные (например, для
интерполяции Эрмита).
Граничные условия
99
обозначая полученную матрицу через В =» А~' и умножая равен-
ство (4.13) на В, получим для а формулу
а=ВТ.	(4.14)
Если равенство (4.12) записано в виде
«1
f=[lКцхг ...] J
(4.15)
то обозначение
Х==[1 хух2 ...]	(4.16)
позволяет получить следующее представление пробной функции:
fe = Xa.	(4.17)
Рассмотрим теперь криволинейный интеграл в выражении
(4.10), который может быть записан в виде суммы интегралов по
границам элементов, принадлежащим границе 5г1). Для неко-
торого элемента, граница которою имеет общую часть с гра-
ницей $2, элементный граничный вклад с учетом выражения
(4.Ю) может быть записан в виде
xs,=hp^+i'?(^)2]ds'	(4д8)
о
где ГЛ— длина границы элемента, принадлежащей S2, а Те —
представление пробной функции на этой границе. В более об-
щем случае криволинейный интеграл равенства (4.10) может
быть представлен через элементные вклады следующим образом:
1
\(pT + j-<^)dS2 = £%t,	(4.19)
St	е-1
где I — общее число элементов в D. Таким образом, функционал
задачи, заданный равенством (4.10), может быть записан в виде
i
%=XD + Xs, = e§[xb + xSj.	(4.20)
Необходимо отметить, что, хотя суммирование в выражении
(4.20) выполняется по всем элементам, фактически будут необ-
ходимы для вычисления вклада Хл- лишь те элементы, часть
границы которых принадлежит Sz.
') В аппроксимационном смысля»
100
Глава 4
Если уравнение границы.элемента задано выражением
у=ах-±Ь,	(4.21)
то подстановка его в (4.16) позволяет следующим образом запи-
сать интерполяционную матрицу из равенства (4 15):
X = [ 1 х (ах + «фх8... ].	(4.22)
Черта в выражении (4.22) указывает на то, что матрица X вы-
числена на границе. Пробная функция на границе с учетом
(4.15) и (4.22) может быть записана как
fc = Xa.	(4.23)
Элементный граничный вклад в выражении (4.18) после под-
становки (4.23) принимает вид
Le
= Jj [рХ“ + 4 <7 (Xa)2] as.	(4.24)
О
С использованием (4.14) можно записать (4.24) следующим об-
разом:
Le
[pXBT + 4?(XBT)’]dS.	(4.25)
Из предыдущих глав известно, что элементное матричное урав-
нение, основанное на функционале, содержащем лишь интеграл
по области, описывается выражением
^/ат = кет.	(4.26)
Для функционала, имеющего вид (4.10), в уравнение (4.26) дол-
жен быть добавлен член d^sJdT, учитывающий криволинейный
интеграл. Этот дополнительный член получается дифференци-
рованием равенства (4.25) (см. приложение Б):
LB
= jj [рВтХг + <?BrXT ХВТ] dS.	(4.27)
о
Так как матрица В является функцией только координат
узлов, то выражение (4.27) можно записать в виде
ат
J рХт dS + Вг jj tfX'X d.S ВТ. (4.28)
Граничные условия
101
Использование обозначений
Le	Le
P = J pXFdS, Q = J9XrXdS	(4.29)
0	0
позволяет упростить запись выражения (4 28):
= BrP + BTQBT.	(4.30)
Наконец, сложение равенств (4 26) и (4.30) дает элементное
матричное уравнение для элемента, часть границы которого
принадлежит S* в виде
ат ат + ат ’ т + * >	(4-31)
где
k* = k + BrQB,	(4.32а)
Г=ВТР.	(4.326)
Дополнительные члены BrQB ихВ7Р в элементном матричном
уравнении были выведены с использованием глобальной систе-
мы координат. Подходящая модификация позволяет использо-
вать локальную систему координат со значительным упрощением
процедуры.
4.3. ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Кроме процедуры, описанной в разд 4 2, существуют и другие
способы удовлетворения граничным условиям в методе конечных
Элементов Например, в гл. 7 показано, что путем использова-
ния множителей Лагранжа в вариационную формулировку мо-
гут быть включены уравнения связи Так как граничные условия
можно рассматривать как уравнения связей, значение такого
подхода очевидно В методе множителей Лагранжа граничные
условия вводятся непосредственно в матричное уравнение систе-
мы Хотя достоинством этого метода является простота, его су-
щественный недостаток состоит в том, что расширенное матрич-
ное уравнение системы должно решаться и для дополнительных
неизвестных, т. е множителей Лагранжа С деталями этого ме-
тода, выходящими за рамки нашей книги, читатель может озна-
комиться по работам [5—7]
В предыдущих главах в качестве узловых параметров конеч-
ных элементов использовались только значения функции. В сле-
дующей главе представлены конечные элементы, узловыми па-
раметрами которых могут служить и производные. Преимуще-
ство таких (эрмитовых) конечных элементов состоит в том, что
’02
Глава 4
граничные условия, содержащие производные функций, могут
быть включены в элементную матрицу жесткости непосредствен-
но как эквивалентные условия Дирихле. Этот способ включения
граничных условий также описывается в следующей главе,
Литература
1.	Berg Р. N., Calculus of variation, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Fltigge W.. ed.). Chapter 16, McGraw-Hili, New York, 1962.
2.	Schecter R. S.. The Variational Method in Engineering, McGraw-Hili, New
York, 1'967. [Имеется перевод: Шехтер P. С., Вариационный метод в инже-
нерных расчетах. — М.: Мир, 1'971'.]
3.	Huebner К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
1975.
4.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1'976.
5.	Zienkiewicz О. C., The Finite Efement Method in Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: .Зеикевич О., Метод ко-
. печных элементов в технике..— М.: Мир, 1975.]
6.	Gallagher R. В., Finite Element Analysis, Prentice-Ball, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
7.	Green В. E, Jones R, E., McLay R. W., Strome D. W., Generalized varia-
tional' principles in the finite element method, AIAA J., 7, No. 7, 1254—1269
(1969), [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 7, № 7М
с. 47—55, 1969.]
5
ЭРМИТОВЫ ЭЛЕМЕНТЫ, КОНДЕНСАЦИЯ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих главах узловыми параметрами элементов явля-
лись значения функции (переменной) в узлах. Такие элементы,
обычно известные как лагранжевы, часто применяются па прак-
тике. Во многих случаях, однако, целесообразно использовать в
качестве параметров не только значения функции, но и ее произ-
водных в узлах. Эти так называемые эрмитовы элементы по-
дробно будут рассмотрены позже, а в настоящей главе иллю-
стрируются на примере четырехузлового треугольного кубиче-
ского элемента.
Если эрмитовы элементы записаны в локальной системе ко-
ординат, то необходимо, используя матрицу преобразования*
преобразовать производные из одной координатной системы, в
другую; эта процедура также описывается в настоящей главе.
Преимущество эрмитовых элементов состоит в том, что крае-
вые условия, включающие производные (Неймана или Кошн),
часто могут рассматриваться как эквивалентные условия Ди-
рихле. Если условия с производными включают д/дп, то можно
получить эквивалентные связанные (coupled) условия Дирихле,
однако нх введение требует некоторой осторожности. Такие свя-
занные условия также рассматриваются в этой главе.
5.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА
Для иллюстрации основных понятий вариационного метода ко-
нечных элементов в предыдущих главах широко использовалась
задача, связанная с уравнением Лапласа. Она вновь рассматри-
вается в настоящей главе как удобное средство для пояснений..
Попутно заметим, что предлагаемые принципы применимы так-
же и для явлений в других областях.
Рассмотрим двумерный тепловой поток через треугольную
область О АВ (рис. 5.1). В точке В поддерживается температура
О °C, ннжпяя поверхность О А имеет температуру 30 °C, а боко-
вые стороны АВ и ВО идеально изолированы. Требуется найти’
изотермы внутри треугольного блока.
Равдслнм область ОАВ на девять треугольных элементов
(рис. 5.2) с п~ 10 и / = 9. Задача формулируется в локальных
’02
Глава 4
граничные условия, содержащие производные функций, могут
быть включены в элементную матрицу жесткости непосредствен-
но как эквивалентные условия Дирихле. Этот способ включения
граничных условий также описывается в следующей главе,
Литература
1.	Berg Р. N., Calculus of variation, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Fltigge W.. ed.). Chapter 16, McGraw-Hili, New York, 1962.
2.	Schecter R. S.. The Variational Method in Engineering, McGraw-Hili, New
York, 1'967. [Имеется перевод: Шехтер P. С., Вариационный метод в инже-
нерных расчетах. — М.: Мир, 1'971'.]
3.	Huebner К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
1975.
4.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1'976.
5.	Zienkiewicz О. C., The Finite Efement Method in Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: .Зеикевич О., Метод ко-
. печных элементов в технике..— М.: Мир, 1975.]
6.	Gallagher R. В., Finite Element Analysis, Prentice-Ball, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
7.	Green В. E, Jones R. E., McLay R. W., Strome D. W., Generalized varia-
tional' principles in the finite element method, AIAA J., 7, No. 7, 1254—1269
(1969), [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 7, № 7М
с. 47—55, 1969.]
5
ЭРМИТОВЫ ЭЛЕМЕНТЫ, КОНДЕНСАЦИЯ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих главах узловыми параметрами элементов явля-
лись значения функции (переменной) в узлах. Такие элементы,
обычно известные как лагранжевы, часто применяются па прак-
тике. Во многих случаях, однако, целесообразно использовать в
качестве параметров не только значения функции, но и ее произ-
водных в узлах. Эти так называемые эрмитовы элементы по-
дробно будут рассмотрены позже, а в настоящей главе иллю-
стрируются на примере четырехузлового треугольного кубиче;
с-кого элемента.
Если эрмитовы элементы записаны в локальной системе ко-
ординат, то необходимо, используя матрицу преобразования*
преобразовать производные из одной координатной системы, в
другую; эта процедура также описывается в настоящей главе.
Преимущество эрмитовых элементов состоит в том, что крае-
вые условия, включающие производные (Неймана или Кошн),
часто могут рассматриваться как эквивалентные условия Ди-
рихле. Если условия с производными включают д/дп, то можно
получить эквивалентные связанные (coupled) условия Дирихле,
однако нх введение требует некоторой осторожности. Такие свя-
занные условия также рассматриваются в этой главе.
5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА
Для иллюстрации основных понятий вариационного метода ко-
нечных элементов в предыдущих главах широко использовалась
задача, связанная с уравнением Лапласа. Она вновь рассматри-
вается в настоящей главе как удобное средство для пояснений..
Попутно заметим, что предлагаемые принципы применимы так-
же и для явлений в других областях.
Рассмотрим двумерный тепловой поток через треугольную
область О АВ (рис. 5.1). В точке В поддерживается температура
О °C, ннжпяя поверхность О А имеет температуру 30 °C, а боко-
вые стороны АВ и ВО идеально изолированы. Требуется найти’
изотермы внутри треугольного блока.
Равдслнм область ОАВ на девять треугольных элементов
(рис. 5.2) с п== 10 и / = 9. Задача формулируется в локальных
104
Глава 5
координатах с системой координат o&q (рис. 5.3); принята ло-
кальная нумерация узлов 1, 2 и 3 против часовой стрелки. Ко-
Рис. 5.1. Задача теплопроводности в двумерной треугольной области.
ординаты хну в£ех узлов приведены в табл. 5.1. В табл. 5.2
для каждого элемента указаны соотношения между локальными
Рис. 5.2. Разбиение области на девять конечных элементов.
и глобальными номерами узлов, а также характерные размеры
а, b и с.
В качестве пробной функции выберем полный кубический по-
лином относительно переменных £ и тр, тогда для элемента
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
105
Рис. 5.3. Локальная система координат хрехузлового треугольного элементе.
Рис 5.4. Узловые параметры треугольного элемента.
Имеем
Tl — at + a^ + аат) +	+ а„!;Ц + од)2 + а??3 +
+ «8£2П + О'ЛЧ2 + ЗД3,
(5.1)
106
Глава 5
где нижний индекс L указывает на локальную систему коорди-
нат во избежание путаницы с интерполяцией в глобальных ко-
ординатах Для определения 10 констант аь «г, . , <х!0 эле-
мент должен иметь 10 узловых параметров, в качестве параме-
тров выберем три значения функции и ее первых производных
Таблица 5.1
Координаты узлов
Узел	Координаты		Узел	Координаты	
	X	У		X	У
1	0	0	6	2	1
2	1	0	7	3	1
3	2	0	8	2	• 2
4	3	0	9	3	2
5	1	1	10	3	3
в каждом узле вместе со значением функции в центре масс1),
как показано иа рнс 5 4.
Координаты центра масс С, обозначаемые (£,?]), задаются
в виде
£=-з—.	М
Температура в третьем узле обозначается 73, а ее производные
по £ и г; записываются соответствен ио как Т63 и 7\]3 Для узлов
1 и 2 используются аналогичные обозначения, Тс -есть темпера-
тура в центре масс
Рассматривая функцию, определяемую равенством (5 1), и
ее производные по g и т) поочередно для узлов 1—3 и в центре
масс С, получим
!	-Ъ	0	Ь’
О	1 О —2Ь
0	0	1	О
I	я	0	а1
о	1	о	2а
о	р	1	О
<	о	е	0
0	10	0
ОС! о
! (а - fc>/3 с/3 (а - b)*/9 с(а - fc)/9 сг!9
о о
0 о.
-fc о
о о
о о
а О
О с1
с О
О 2с
(5$
О При таком выборе пробные функции непрерывны, а их первые произ-
водные кусочно непрерывны во всей рассматриваемой области.
t Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
107
Систему уравнений (5 3) проще можно записать в матричной
форме.
Act = TL	(5.4)
Матрица А с элементами arj в уравнении (5 4), т е
А —[<*«]> / = 1,2,	10, / = 1,2, .... 10,	(5.5)
является матрицей коэффициентов уравнения (5 3), а — вектор-
столбец,	_	_
«1 ~
(5 6)
L«io_
a Ti есть узловой вектор элемента в локальных координатах, а
именно
Tt= [Гук =
Уравнение (5 4) относительно а может быть разрешено един-
ственным образом тогда и только тогда, когда матрица А ие
вырождена, т е определитель |А| отличен от нули Вычисле-
ние определителя дает
det А = | А |= — с’(а+ Ь)7/27.	15.8)
Поскольку площадь треугольника определяется произведением
|-с(п + Ь) и никогда не равняется нулю, из (5 8) видно, что
определитель |А| также никогда не может быть нулевым и,
следовательно, матрица А не вырождена и обратима Поэтому
умножение слева уравнения (5 4) иа матрицу, обратную к А,
108
Глава 5
Таблица 5.2
Соотношение между глобальными н локальными номерами
узлои элементов
позволяет переписать уравнение (5.9) в виде
а=ВТЕ	(5.11)
или, по другому, используя стандартное обозначение суммиро*
вания,
Щ = ЬцТь /«=1,2....10,	/=1,2, ...» 10.	(5.12)
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ
Пробная функция [равенство (5.1>] может быть записана в виде
Т£=Х<х<Г‘п"‘.	(5.13)
Где показатели т, и п, задаются табл. 5.3. Дифференцирование
равенства (5.13) по £ и т) и подстановка этях производных в вы-
ражение для элементного вклада [равенство (2.69)]
<5л4‘
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
109
Таблица 5.3
иием того, что верхняя граница суммирования заменяется с 6
на 10, т. е.
10 10
(5J5)
.Значения gq задаются соотношением (2.90),,
- gi/ = И1,т/Л (mi + т, — 2, nt + п,) + п,п,Л (т, + т,, П/+П,— 2),
(5.16)
для которого индексы 1, / имеют другие границы, а именно i —
= 1, 2, ..., 10, /=!, 2, ..., 10. Здесь h(m, п) определяются
из (2.89)
,	c”+1 [ага+1 - (- mini	 „ ,7.
•	---- (Д+Т+г)!----------•	(5J7)
Равенство (5.15) может быть записано в матричной форме
/ =	(5.18)
а с учетом уравнения (5.11) оно принимает вид
/ = 1т[(В,С.В)Т£.	(5.Г9)
Из равенства (5.7) видно, что в матрице Тд_узловые пара-
метры записаны в локальной системе координат Теперь не-
обходимо произвести преобразование их в глобальную систему
Оху. Связь между первыми производными в глобальной н ло-
кальной системах, установленная в гл. 2, имеет вид
Г07М1 г cose smeipr/dq (2 65fi)
L дТ/дц J L — sin 0 cos 6 J L дТ[дц J
110
Глава 5
где 6 — угол между двумя системами координат. Следовательно,
узловые параметры в Системе Ogi] связаны с соответствующими
параметрами в системе Охи посредством матричного уравнения
Т,		’1	0 _	0	0	0	0	0	0	0	o'		T, ’	
Т,		0	cos 0	sin 0	0	0	0	0	0	0	0		Л1	
Л.		0	— sin 0	cost)	0	0	0	0	0	0	0		T>1	
7,		0	0	О	!	0	0	0	0	0	0		T2	
7 ,		0	0	0	0	cos О	sintf	0	0	0	0		Л2	
Л=		0	0	0	0	-sin 0	cos О	0	0	0	0		Tyl	• (5.20)
Л		0	0	0	0	0	О	!	0	0	0		ТЛ	
Ла		0	0	0	0	О	О	0	COS0	sin fl	0			
Ла		0	0	0	0	О	0	0	—sintf	cosO	0		TtS	
_Т,_		.0	0	0	0	0	0	0	0	0	1		T. _	
которое может быть записано в виде
T£=RT,	(5.21)
где Т—'вектор узловых параметров элемента в глобальной си-
стеме координат, т. е.
’Л П
(5.22)
а матрица определена равенством (5.7). Матрица преобра-
зования R представляет собой матрицу коэффициентов в урав-
нении (5.20).
Подставляя (5.21) в (5.19), получим
Z’ = -g-TrR7B’GBRT,	(6.23)
или
Х' = |тгкТ,	(6.24)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
111
где
k = RrB’GBR
(5.25)
есть элементная матрица жесткости к. Наконец дифференциро-
вание равенства (5.24) дает матричное уравнение для любого
элемента е в виде
Oz7dT = к'Т*.	(5.26)
(5.27)
где верхний индекс е указан для того, чтобы различать элемен-
ты. С целью проиллюстрировать вышеприведенную процедуру
для задачи рис. 5.1 подставим значения а, b и с, взятые из
табл. 5.1, в матрицу' коэффициентов А из уравнения (5.3). В ре-
зультате получим
'10-0 0 0 0 О 0 0 * 0‘
о	I	о	а	о	о	о	о	о	о
001000 о о о о
1	1	0	1	0	0	10	0	0
0	1	0	2	0	,0	3	О	О	О
-*001010 0.1 0 0'
1	0	1	О	.0	1	0	0	0	1
0	10	0	1	0	0	0	1	0
0 0 1 0 0*2 0 -0 0 .3
Обращая эту матрицу, найдем
',1 00000000
0. 1	О	0. о	о	о	о	о
001000000
-3-2	О	3-1	0	.0	О	О
„	...	-13 -3 -3 -7* 2 -1 г7 -1 2
(J> = А 1 =
-3	.0	-2	О	О	О	3	0-1
2	t	0-2	I	0	0	0	0
13	3	_2	7	-2	2	.7	t	-2
13	2	3	7	-2	1	7	2	-2
2	0	1	0	0	0	-2	0	1 .0
Из равенства (5.16) и табл. 5.3 получается матрица G в виде,
заданном равенством (5.29)1
О*
О
О
О
27
О
О
-27
-27
(5.28)
« jc •«
сГ	S о
«	3 г
—	—1 чм	— г-j ег>
S о о о 9- о <2 о
-е -ST -s:	-с
гч п tj rj -з- чо
С о — о — е7
II
С
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия ИЗ
Вычисление элементов (5.29) с
помощью (5.17) дает G в виде
	0	0	0	0	0
	0	.90	0	60	30
	0	0	90	0	30
	0	60	0	60	15
„ 1	0	30	30	15	30
G =						
180	0	0	60	0	15
	0	45	0	54	9
	0	15	15	12	15
	0	15	15	6	15
	0	0	45	0	.9
0	0	0	0	0	
0	45	15	15	0	
60	0	15	15	45	
0	54	12	6	0	
15	9	15	15	9	
60-	0	6	12	54	. (5.30)
0	54	9	3	0	
6	9	10	6	3	
12	3	6	10	9	
54	0	3	• 9	54	
Произведение B'GB в уравнении (5.25) после подстановки из
равенств (5 28) и (5.30) определяется матрицей
	39$	38	38	71	-22	3	71	3	-22	-540"
	38	10	0	11	-4	-1	5	1	Т1	-54
	38	О	10	5	-1	1	11	-1	-4	-54
	71	11	5	248	-52	42	140	36	-34	-459
bTGB = —	-22	-4	-1	-52	14	-9	-34	-9	8	108
180	3	-1	1	42	-9	14	36	10	-9	-81
	71	5	И	140	-34	36	24$	'42	-52	-459
	3	1	-1	36	-9	10	42	14	-9	-81
	-22	-1	-4	-34	8	-9	-52	-9	14	108
	^—540	-54	-54	-459	108	-81	-459	-81	108	1458
(5.31)
Матрица поворота R для каждого элемента может быть най-
дена из равенства (5.20). Иа рнс. 5.2 и табл. 5.1 следует, что
0 = 90°, , tos0 = 0, sin 0=1	для е= 1, 3, 5, 6, 8, 9,
(5.32а)
0 = — 90°, cos6 = 0, sin6 = —1 для е = 2, 4, 7,	(5.326)
я поэтому необходимо вычислять только две матрицы поворота.
Подстановка уравнений (5.32) в (5.20)' дает эти матрицы ново-
1*4
Глава 5
ррта в виде
	‘1	0	0	0	0	0	0	0	0	(Г
	0	0	1	•0	0	0	0	0	0	0
	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
)< =	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	0	0	0	0	-1	4)	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	t	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
	0	0	0	0	0	0	0	-1	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	♦	V	к
для элементов 1, 3,-5, 6, 8, 9 и
(5.33)
	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0‘
	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0
	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	О'	1	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0
R =										
	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	0	0	0	0	0	,0	0	0'	-1	0
	0	0	0	0	0	0	6	1	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
(5.34)
для элементов 2, 4, 7.
Далее, вычисляя матрицу жесткости к в виде произведения
RrBrGBR с использованием равенств (5.31), (5.33) и (5.34), по<
лучнм
 398 -38 38	7! -3 -22	7!	22	3 -540‘
-38	10	0	- 5	1 I -П -4	1 - 54
X = R'B’GBR = —
38	0	10	11	1	-4	5
71-5	II	248	-42	-52	140
-3	1	1	.-42	14	9	-36
-22	I	-4	-52	9	14	-34
71	-11	5	140-36	-34	248
22-4	!	34	- 9	- 8	52
3	1	1	36	-10	-9	42
1 I -54
34 36 -459
-9 -10	81
-8 -9 108
$2 42 -459
14	9-108
9	14	81
^-540 54 - 54 - 459 81 108 -459 -108 -В! 1458^
(5.35)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
115
для элементов		1, з,	5, 6, 8, 9 и								
	г	398	38 -38	71	3	22	71	-22	-3	-540	
		38	10	0	5			11	-4	' 1	-54	-
		-38	0	10	-II	1	- 4	-5	|	1	54	
		71	5 -II	248	42	52	140	34	-36	-459	
к =» RTBTGBR = ,4;		3	1	1	42	14	9	36	-9	-10,	-81	
180		22	1 -4	52	9	14	34	-8	-9	-108	(5.36)
		71	II -5	140	36	34	248	-52	-42	-459	
		-22	-4	I	-34	— 9	-R	-52	14	9	108	
		-3	1	1	-36	- 10	-9	-42	9	14	81	
		540	-54	54	-459	-81	-108	-459	108	81	1458	
для элементов 2, 4, 7.
5.3.	КОНДЕНСАЦИЯ
’ Узел, лежащий в центре масс, влияет только на вклад элемента,
которому он принадлежит; следовательно, обычные условия ми-
нимизации получаются в виде
(5.37)
дте дтс дТс	1	1
где индекс с соответствует центру масс элемента ес. Используя
(5.37), из каждого матричного уравнения для элемента можно
исключить узловой параметр, относящийся к центру масс. Эта
процедура называется конденсацией и может быть использована
. в общем случае для исключения параметров любых узлов, ле-
жащих внутри элемента. Использование (5.26) вместе с (5.37)
дает для узлового параметра Тс в центре масс элемента е урав-
нение	i
= W/ = 0, /= 1, 2, ..., 10,	(5.38)
' или
= *ю. tT, + *1о.юГе = О, /=1.2....,9.	(5.39)
где Tj — элементы матрицы Т (5.22), а верхние индексы у k для
упрощения записи опущены. Уравнение (5.39) можно разрешить
относительно узлового параметра в центре масс:
т /=1,2.........9.	(5.40)
к10, 10	»
Подстановка (5.40) в оставшиеся девять выражений
=	'=1.2......9, /-=1.2......10,	(6.41)
116
I"лава 5
дает следующее сконденсированное матричное уравнение эле-
мента:	•
=	7,, 4=1,2......9, 7=1,2........9.
* I •	«10, 10
(5.42)
Из уравнения (5.42) следует, что элементы сконденсированной
матрицы жесткости к, обозначаемой к и называемой элементной
матрицей жесткости к, описываются выражениями
fe=fe-	_ 4=1 2......9, 7=1,2, ...,9. (5.43)
4	1	«10, 10	>
Рассматривая элементную матрицу жесткости к (5.35) для
элементов 1, 3, 5, 6> 8, 9, заметим из (5.43), что элементы- соот-
ветствующей матрицы к имеют вид
<5'44*
Дальнейшее вычисление (5.44) с использованием информации о
kij из (5.35) дает
	198	-18	-18 -99	27	18	-29	-18	-27	
	-18	8	2 12 —2	— 3	6	0	4	
	18	2	8-6	4	0	-12	-3	— 2	
	-99	12	-6 103,5 -16,5	-18	-4,5	0	10,5	
£=— Д80	27	— 2	4 — 16,5	.9,5	3	-10,5	-3	-5,5	(5.45)
	18	-3	0 -18	3	6	0	0	-3	
	-99	6	-U -4,5 -10,5	0	103,5.	18	16,5	
	-18	0	-3	0	-3	0	18	6	3	
	-2J	4	-2. 10,5 -5,5	-3	16,5	3	0,5	
для элементов 1, Э-, 5# 6, 8, 9. Таким же ббразбм получается
	’ 198	18	-18 -99 -27	-18	-99	18 27	
	18	Я	2 -12 ’-2	-3	-6	0	4	
	-18	2	8	6	4	0	12	-3 -2	<
1	-99	-12	6 103,5	16,S	18	-4,5	0 -10,5	
1 = — 180	-27	-2	4 16,5	9,5	3	10,5	-3 -5,5	(5.46)
	-18	-3	0 18 * 3	6	0	0 -3	
	-99	-6	12. -4,5 10,5	0	1(33,5	-18 -16,5	
	18	0	-3	0	-3	0	-18	6 ,3	
	27	4	-2 -10,5 -5,5	-3	-J6/	3	
для элементов 2, 4, 7.
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 1!?
5 4. ОБЪЕДИНЕНИЕ В СИСТЕМУ И УЧЕТ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Составление матрицы жесткости К системы может быть прове-
дено как по узлам, так и по элементам. После получения ма-
тричного уравнения системы его необходимо скорректировать
для того, чтобы учесть условия Дирихле. Из рис. 5.2 и 5.3 вид-
но, что главными граничными условиями являются
'	. 7, = 30, Г2 = 30, Т3 = ЗО,
л = 30 И Ло = О,	(5.47)
которые могут быть учтены обычным способом.
Условия Неймаиа
dTjdn — Q иа АВг	(5.48а)
dT/dn = 0 на ВО .	(5.486)
являются естественными граничными условиями и удовлетво-
ряются автоматически, по крайней мере в том же приближенном
смысле, что и. остальное решение. Другой способ учета условий
(5.48), которые должны удовлетворяться естественно и прибли-
женно, состоит в их точном задании через узловые значения со-
ответствующих производных. В результате этого граничные усло-
вия Неймана превращаются в эквивалентные условия Дирихле,
как они будут именоваться в дальнейшем.
Условия Неймана (5.48а) .могут быть записаны в виде
-Т I —I — о	(5.49)
&п 1вдольдв &х (вдоль АВ *
поэтому соответствующие узловые значения вдоль АВ равны
Гх4~=6, Т\7 = 0, ^=±=0/ 7„о = О; (5.50)
Граничные условия Неймана вдоль ВО (5.486) имеют вид
дТ дТ . дТ л D_	е1.
-5-=-j7«, + ^,=0,iaBO,	(5.51)
где пх и Пу — х- и ^-компоненты единичной внешней нормали /1
к ВО, соответственно равные — 1/V2 и 1/-у2. Следовательно,
(5.51) сводится к условию
“^+37 = О иа во-	(Б-Б2)
118
Глава 5
Эрмитовы элементы, конденсация, и граничные условия
119
В терминах подходящих узловых значений иа ВО эквивалент-
ные условия Дирихле записываются так:	- -
-Д1 + Л,1 = °г	(5.53а)
-Тя + Ти = О,	(6.536)
~Д8 + Д8 = 0.	(5.53в)
Лю 4“ Лю в	(5.53г)
Из (5.50) следует, что Тхю = 0, и поэтому равенство (5.53г)
принимает вид	__
’^10 = 0.	(5-54)
Оставшиеся условия (5.53а)- (5.53в) не являются независи-
мыми эквивалентными условиями Дирихле, а представляют со-
бой эквивалентные связанные условия Дирихле. Существуют два
способа, которыми оии могут быть учтены:
1) посредством определения пробных функций для тех эле-
ментов, которые имеют узел с предписанными связанными усло-
виями Дирихле, так чтобы эти условия были введены в пробную
функцию, или
2) изменением матрицы к элемента, так чтобы удовлетворя-
лось условие связи.
В одном из последующих упражнений рассмотрен первый ме-
тод; второй метод описывается' ниже. Рассмотрим следующий
функционал:
' *==Х(Л, Ль Ль   - , Л, Л5, Л3, ..., Ло, Лю, Лю)- (5.55а)
Условия минимизации н матричные уравнения для Элемен-
тов получены в предположении, что все узловые переменные в
правой части (5.55а) являются независимыми. Наложим теперь
дополнительное ограничение
Л5 = л5,	(5.56)
полученное из (5.536). Это означает, что величина Ле в (5.55а-)
ие является независимой, как предполагалось ранее, а представ- «
ляет собой функцию от Лб; поэтому уравнение (5.55а) прини-
мает вид
X = X [Л, Лн Ль • • •» Л» Лб> Л5 (Лб)....Ло, Лю, 7ую]. (5.556)
Следовательно, рассмотренные-ранее условия минимизации
'	.	' <W\5 = 0, , д^дТуЪ = 0,	(5.57а, б)
основанные па (5,55а), должны быть заменены па обычное усло-
вие
(дхЖЛп = 0,	*	(5.57в)
соответствующее уравнению (5.556). Производная в левой ча-
сти (5.57в) отмечена иижним индексом, чтобы показать, что она
де совпадает с производной (5 57а)
Дифференцируя (5.556) как сложную функцию J1J, можно
записать модифицированное условие минимизации (5.57в):
(ЛЦ	(5.58а)
X д’Л-5 /т дТхЪ дТуъ х дТу5 /
с учетом (5.56) оно сводится к выражению
(5-58б)
х dTxs	дТxs	dTys
Производные в правой части (5.586) соответствуют производным
(5.57а, 6). Таким образом, если задано ограничение (5.56), то
равенство (5.586) показывает, что узловые уравнения для ТК5 и
Лб, записанные в первоначальном матричном уравнении систе-
мы, должны быть скомбинированы для получения одного усло-
вия минимизации. В этом случае для получения одного заме-
щающего узлового уравнения предыдущее уравнение в узле для
Л& умножается на 1 и складывается с предыдущим уравнением
для Лб-
Вместо того чтобы вводить указанные изменения в матрицу
системы, их можно ввести в матрицы жесткости -элементов к,
окружающих 5-й узел (в нашем случае еь е% и ев). Это следует
из того факта, что столбцы и строки ТХ5 и Ту$ в матрице жестко-
сти системы К являются объединением столбцов и строк ТА5 и
Туе в матрицах жесткости к этих элементов. Такой подход опи-
сывается ниже.
Изменения элементных матриц к, необходимые для учета
граничного условия (5.56), состоят в следующем. Во-первых, для
элементов, окружающих рассматриваемый узел, _строка, соот-
ветствующая Лз в матрице жесткости элемента к, умножается
на 1 и складывается в соответствии с (5.586) со строкой, соот-
ветствующей Тх&. Во-вторых, для подстановки, согласно (5.56),
Лб вместо Лб в уравнение системы столбец, соответствующий
Лб, умножается на 1 н складывается со_столбцом, соответствую-
щим Лб- Наконец, так как зависимость Лб теперь учтена в узло-
вом уравнении для Лб, исключение исходного узлового уравне-
ния для Лб завершается путем замены нулями строк и столб-
цов, соответствующих Л$-
Здесь отметим следующую трудность, которая должна быть
преодолена. Нули в строках, соответствующих Лб в матрице си-
стемы, приводят к вырожденности этой матрицы и мешают после-
дующему решению системы уравнений. Эта трудность легко мо-
жет быть устранена исключением из системы уравнения для
120
t Глава 5
Эрмитовы элементы, Конденсация и граничные условия
Г21
указанной переменной (т. е. вычеркиванием соответствующих
строки и столбца) и, следовательно, уменьшением размерности
системы. Другая возможность состоит в том, чтобы оставить
уравнение для этой переменной, но изменить вес элементные
матрицы, дающие вклад в это уравнение, одним из следующих
способов:
1) В строку, соответствующую Туъ, которая ранее была за-
менена нулями, вводится 1 в диагональную позицию. После
объединения элементных матриц к, поскольку нуль в правой
части системы не'заменялся, эта процедура даст ошибочный ре-
зультат:
7^ = 0.	(5.59)
Этот результат отбрасывается, поскольку из (5.56) и вышеопи-
санной процедуры преобразования известно, что на самом деле
Туч, равно Тх5- Этот способ, хотя и нс выглядит привлекательным,
является полезным иа практике для сохранения симметрии, при-
сущей объединенной матрице системы.
2) Условие —Тх5 -\-Ту5 = 0 (5.536) и (5.56) учитывается не-
посредственно в строке, соответствующей Ту5 в элементной ма-
трице к, записью —1 и 1 в столбцы, соответствующие Тхъ и Ту?,.
После объединения элементных матриц к э’тот метод включает
равенство (5.536) как одно из уравнений системы, поскольку
нуль в правой части системы не заменяется. Это условие уже
было выполнено за счет изменения элементных матричных урав-
нений, и ист необходимости в его дополнительном учете. Этот
метод делает матрицу системы К несимметричной, что часто не-
выгодно. Однако метод имеет то достоинство, что правильное
значение Ту5 появляется как часть решения.
Применяя второй из указанных выше подходов вместе с пре-
дыдущими преобразованиями для учета граничных условий
(5.53) к элементам 1, 6, 9, получим скорректированную элемент-
ную матрицу
	 198	-18	18	-99	45 0	-99	-45 0'	
	-18	8	2	12	-5 0	6	4 0	
	18	2	8	-6	4 0	-12	-5 0	
	-99	12	-6	103,5	-34/ 0	-4,5	10,5 0	
it-	45	-5	4	-34,5	2t,5 0	-10,5	-11,5 0	(5.60)
-	0	0	0	0	-.1 г	0	0 0	
	-99	6	-12	-4,5	-10,5 0	103,5	34,5 0	
	-45	4	-5	10,5	-ПЛ 0	34,5	21,5 0	
	0	0	0	0	0 0	0	-1 I	
Аналогично .определяется скорректированная элементная ма-
трица к для элементов 2 и 7:.
	' 198 0	0 -99	-27	-18 -99	18 . 27 ’	
	0 20	0 -6	. 2	-3	6	-3	2	
	0 -1	1	0	О	0	0	0	0	
	-99 -6	0 103,5	16/	18 -4,5	0 -10,5	
	-27 2	0 16,5	9,5	3 10,5	-3 -5,5	. (5.61)
	-18 -3	0 18	3	6	0	0 -3	
	-99 6	0 -4*5	*10,5	0 103,5	-18 -16/	
	18 -3	0	0	-3	0 -18	6	3	
	27 2	0 -10,5	-5,5	-3 -16,5	3 .9,5	
Теперь элементные матрицы к (кс) можно объединить в ма-
трицу системы К, используя для элементов 3, 5, 8 выражение
(5.45), для элемента 4—'Матрицу (5.46), для элементов 1, 6,
Рис. 5.5. 'Локальная система координат элемента 1.
9 —матрицу (5.60), а для элементов 2 и 7 —матрицу (5.61).
Включая условие Дирихле в матрицы правых частей н кор рек-
Тируя соответствующим образом матрицу К, получаем оконча-
тельное уравнение системы (5.62). В этой матрице показаны
только ненулевые элементы.
122
Глава 5
I
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
123
1

t
'12 -1	32)	»	-27	4 -2.	-14 ‘ |	jo] -Sj
-12	-3	-2	52)	8	24 -27	4 -?	24	1
-	i
-12 -J -2	18	2	8
-41 I0J	-198	-15 —24	405	-1®8	14
-in) -II)	J? -3	1.	“	Ы	_ю	]
— 3 3
-9	10}	104 -IW -15 —24_	,-198 -39	8]0
-10)	-6	-5]	IS -4	1	24	]	47
-10} -SJ -6	24	I	IS -X	16
-9	10}	10} -99	12 -6	—198	-24
-10}	-J)	-6	|8 -3	1$	t
-4)	10}	-198	-15
-10} -11}	39	-3
-9	10}
-10)	-5]

15
16
Ю)
10)
-198
-24
-15
405
10)
IB
-Я
-52)


12
ioi
-10)
-Щ
-198
405
63
-198
-39
10)
Ю)
-198
405
-10) -10)
— 10)
-5)
27
-52)
18
-16)
23)
-*1
10)
(5.62)
"На рнс. 5.1 видно, что Т постоянна вдоль ОА и, следова-
тельно, ее производные по х также должны равняться нулю, т. е.
дТ/дх — Q вдоль О А.	(5.63)
Следовательно, в матрице системы учтены дополнительные экви-
валентные условия Дирихле
7\i = 0, Т\2 = 0, Тх3==-0, Тж4 = 0,	’	(5.64)
см. (5.62). Узловые параметры	Tyi, ТУю в резуль-
тате получаются решением уравнения (5.62) какой-нибудь стан-
дартной процедурой.
Упражнение 5.1. В разд Б 4 было показано, что связанные эквивалентные
условия Дирихле (заданные в глобальных координатах) могут быть учтены
подходящим изменением элементной матрицы к после ее получения в глобаль-
ной системе координат Данное упражнение показывает, что те ж самые
условия (по записанные в локальных координатах) могут быть введены до
преобразования элементной матрицы к из локальной системы в глобальную.
Этим _________ _________ л______ ____,___ _ _________________ _________
На рис 5 5 глобальная Оху и локальная системы координат (рис 53 н
табл 5 2) показаны для элемента 1 при разбиения области рис. 5 2.
а) Используя преобразование	__
способом связанные
н замечая, что
где
условия
вводятся в пробную
cos 0	sin 6
— sin 0	cos 6
дт	от . дт
“Х. = -— tlx -г- 	1  Пу,
дп	дх х ‘ ду и
дх
= ——
дп
ду
дп
функцию
элемента.
(5.65)
(6.66)
(8.67)
х~ и у-компонентЫ единичной внешней
представляют собой' соответственно	.	...
нормали п к стороне 5—1 (рис 55), покажите, что в локальной системе
дТ дТ . дТ
(5.68)
124
Глава 5
где гг^ и являются £- и ^-компонентами нормали и Соответственно По-
скольку	лп « l/VsT для обоих узлов 5 и 1, го ранее приведен-
ные связанные эквивалентны^ условия Дирихле [равенства (5.53а) н (5536)]
могут быть записаны в локальных координатах в виде
Ч\ 4-7^=0 для узлов 5 и I.	(5.69)
б) Дифференцированием пробной функции (5 1) получите выражения для
7g и Г и подставьте их вместе с координатами узлов 5 н 1 в (559), чтобы
найти связанные граничные условия в обоих узлах
в) Как и ранее (5 3), сформируйте матрицу коэффициентов А н заме-
ните уравнения, соответствующие 1\5 и Тц в пятой и восьмой строках соот-
ветственно, связанными граничными условиями, полученными из (5 69).
Далее, покажите, что
В = А-
О
О
-3
-J3
-3
2
13
13
2
о
-2
-3
о
1
3
2
о
О
1
о
-3
-2
О
2
3
1
О
О
3
-7
О
-2
7
7
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
С
о
-3
О
о
о
о
-7
3
о
7
7
4
3
О -2
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
3
О
-3
-4
1
о
о
о
27
О
О
-27
-27
О
(5-71)
125
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
д) Умножьте
«1
«2
«з
«4
«6
а7
а8
а9
аю.
1
О
О
-3
-13
-3
2
13
13
2
(5 70) на матрицу, обратную
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
-2030100
—3—3 -7 0 -3 -7 О
0 —2 0 0 0 3 0
1 0-2 0—1- 0 0
3	2	7	0	-4	7	0
2	3	7	0	3	7	0
О	1	0	0	0	-2	0
А из (5 71). и покажите, что
0	♦О'	Л’	
0	0		
0	0	т„	ч
0	0	т, •	
3	27	0	
-1	0	т„	(5.72а)
0	0	7,	
-3	-27	0	
-4	-27	т„	
1	0	Те	
Убедитесь также в том» что (572а)
эквивалентной форме.
мбжет быть переписано в следующей

О
«3
а$
«7
«в
_а10_
О
о
-3
-13
-3
2
U
43
2
о
-2
-3
О
3
2
О
О
О
о
-3
-2
О
2,
3
О
О
О
3
-7
0
-2‘ О
7
7
О
О
о
о
о
о
о
0
О
О
О
О
О
О
О
о
о
-3 -7
О
о
о
о
о
3
3
о
7
7
4
3
О -2
О
о
,0
*0
о
0 -1
о о
О -3
О -4
О 1
0
О
о
о
27
О
о
-27
-27
О
Т2
г
п
Л
тг
т..
т.
<5-71 rf)
Л
Г,
где вышеприведенная матрица коэффициентов _будет называться модифициро-
ванной матрицей В и будет обозначаться как В
е) Используя G из (5 30> и модифицированную матрицу В из (5726'									
покажите, что		произведение		BrGB	принимает вид				
	* 398	38	38	71	0	25	71	0	-25 - 540*
	38	10	0	И	0	3	5	I)	-2 -54
	• 38	0	10	5	0	2	11	0	-3 -54
	71	11	5	248	0	94	140	0	-70 -459
1	0	0	0	0	0	0	0.	0	0	0
180	25	3	2	94	0	46	70	0	-36 -189
	71	5	11	140	0	70	248	0	-94 - 459
	0	0	0	6	0	0	0	0	0	0
	-25	-2	-3	-70	0	-36	-94	0	.46 189
	-540	-54	-54 -	-459	0	-189 -	459	0	189 1458
(5-73)
126
Глава 5
ж} Проверьте, что полученные в результате нулевые строки и столбцы в
вышеприведенной матрице будут объединяться с аналогичными строками и
столбцами из других элементов, окружающих узлы 5 и 1, что в результате
дает соответствующие нулевые строки и столбцы в матрице системы- Таким
образом, матрица системы К сингулярна Чтобы избежать этого и гарантиро-
вать то, что значения Т%5 и получаются как часть окончательного ре-
шения, условие 7g + Г^ = 0 в узлах 5 и 1 должно быть включено в элемент-
ную матрицу к Это может быть выполнено включением коэффициентов урав-
нений	+	в матрицу (5.73) и получением скор-
ректированной формы для BrGB, которая обозначается BrGB в виде
	' 398	38	38	71	0	25	71	0	-25	-540"
	38	10	0	11	0	3	5	0	-2	-54
	38	0	10	5’ *	0	2	II	‘ 0	-3	54
	71	II	5	248	0	94	140	0	-70	-459
1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0
180	-25	3	2	94	0	46	70	0	-36	-189
	71	5	И	НО	0	70	248	0	-94	-459
	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0
	-25	-2	-3,	-70	0	-36	-94	0	46	189
	-540	-54'	-54	-459	0	-189	459	 0	189	|458_
(5.74)
Проверьте, что вышеприведенная процедура дает этот результат.
3)l Используя (5 33) и (5.74), покажите, что скорректированная элемент-
ная матрица к в глобальной системе координат имеет вид
	'398	-38	38	71	-25	0	71	25	0 -540"
	-3»	10	0	-5	2	0	- 11	‘ -3	0	54
	38	0	10	11	-3	0	5	2	0 -54
	71	-5	п_	248	-94	0	140	70	0 -459
К ~ rtbtger « Д	-25	2	-3	-94	46	0	-70	-36	0 189
190	0	0	0	0	-1	1	0	0	0	0
	71	-11	5	140	-70	0	248	94	0 -459
	25	—3	2	70	-36	0	94	46	0 - 189
	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	0
	-540	54	-54	459	189	0	-459	-189	0 1458
									(5.75)
н) Используя процедуру конденсации,
что конденсированная скорректированная
опйсариую в разд. 5.3, покажите,
матрица к в глобальной системе
Эрмитовы еле менты, конденсация и граничные условия
12,7
координат имеет вид										
	"Ж	-18	18	-99'	' 4$'	0	-99’	-45	0*	
	-18	8	2	12	-5	0	6	4	0	
	18	2	"8	-6	4	0	-12	-5	0	
	-99	12	-6	103,5	-34,5	0	-4,5	10,5	0	
Е = — 180	45 0	-5 0	4 0	-34,5 0	‘ 21,5 -1	0 1	— 10,5 0	-11,5 0	0 0	. (5.76)
	-99	6	-12	-4,5	-10,5	0	103,5	34,5	0	
	-45	4	-5	10,5	-45	0	34,5	21,5	0	
	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	
Комментарий. Совпадение равенств (5 76) н (Б 60) показывает эквива-
лентность двух процедур учета связанных граничных условий Первый метод
предпочтителен, поскольку он является более непосредственным и требует
меньше вычислений
Упражнение 5.2. Выполните предыдущее упражнение, используя локаль-
ную систему кордипат для элемента I, показанного иа рис. 5.6. Манипуляции
Рис. 5.6. Модифицированная локальная система координат элемента I.
над матрицами могут быть выполнены с помощью модифицированного подхо-
дящим образом варианта вычислительной программы, описанной в разд. 5.5.
Почему в этом примере в отличне от предыдущего получается симметрия
в матрице М
Указание. Узлы элемента рассматриваются в последовательности 5. 1 н 2,
а характерные размеры имеют значения а = V2/2. 6—V2/2,
Условие д71дн = 0 в точках 5 и 1 теперь принимает вид dT/di] = 0 Для
того чтобы обеспечить выполнение условия Неймана в узлах 5 и 1, замените
уравнения, соответствующие Т § и Т
123
Глава 5
Ответ
	~ 103,5	-17,25	-17,25	-4,5	5,25	5,25	-99	12	-6 ‘	
	-17,25	5,87	4,87	-5,25	-2,87	-2,87	22,5	-2,5	2	
	-17,25	4,87	5,87	-5,25	—2,87	-2,87	22,5	-2,5	2	
	-4,5	-5,25	-5,25	103,5	17,25	17,25	-99	6	-12	
Ес = —	5,25	—2,87	-2,87	17,25	5,87	4,87	-22,5	2	-2,5	(5.77)
с- 180	5,25	-2,87	-2,87	17,25	4,87	5,87	-22,5	2	-2,5	
	-99	22,5	22,5	-99	-22,5	-22,5	198	-18	18	
	12	-2,5	-2,5	6	2	2	-18	8	2	
	-6	2	2	-12	.-2,5	-2,5	18	2	8 w	
Упражнение 5.3. Для элемента 4 с выбором узлов в порядке 6, 3, 7, как
в табл 5 2, элементная матрица к в глобальной системе координат, заданная
равенством (546), имеет вид									
	198	18	-18	-99	-Я	-18	-99	18	'21
	18	8	2	-12	-2	-3	“6	0	4
	-18	2	8	6	4	0	12	-3	-2
f	-99	-12	6	103,5	16,5	18	-4,5	0	— 10,5
К4 = —	-27	-2	4	16,5	9,5	3	10,5	-3	-5,5
J.0V	-18	“3	0	18	3	6	0	0	-3
	-99	“6	12	-4,5	10,5	0	103,5	-18	-16,5
	18	0	-3	0	-3	0	-18	6	3
	27	4	-2	-10,5	-5,5	-3	-16,5	3	9,5
(5.78)
В блочной форме эта матрица может быть записана следующим
образом:
к4=——
180
Г4 |Л
*66 *63
^36 ’Мз
_ *<76 ^73
^67
*<37
(5.79)
а)	Используя вычислительную программу, разработанную в упражне-
нии 12, и выбирая узлы элемента 4 в последовательности 3, 7, 6 так, чтобы
локальная система координат имела вид, показанный иа рис 5 7, сформируйте
|2Й
Эрмитовы элементы, конденсация и ераничные условия
Рис. 6.8. Модифицированная локальная система координат элемента 4.
элементную матрицу к для элемента 4. Покажите, что она может быть запи-
сана в терминах подматриц нз (5.79) а виде
1
180

' *33 *37 *36
*73 *77 *76
_*63 *67 *66.
(5.80)
б)	Повторите часть (а) упражнения, выбирая узлы элемента 4 в последо-
вательности 7, 6, 3 (рис 5 8), и покажите, что
к4 —
I
180
*77 *76 *73
*6? *65 *63
*37 *36 *33 _
(5.81)
ISO
Глава, IS
Комментарий. Вышеприведенные результаты [равенства (5.79)—(5.81)]
показывают, что составляющие элементной матрицы к не зависят от выбора
локальной системы координат и последовательности узлов.
5Л. ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В.в.1. ПРОГРАММА НА ФОРТРАНЕ-IV
Формулировка, описанная в разд. 5.1—5.4, используется в вы-
числительной программе, приведенной ниже для решения урав-
нения Лапласа (задача рис. 5.1). Включен также способ учета
связанных эквивалентных условий Дирихле, рассмотрен-
ный в разд. 5.4. Система формируется поэлементным^ объедине-
нием. Программа дается без блок-схемы и другой докумен-
тации.
3.5.1.1. Основная вычислительная программа
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
.....FINITE ELEMpNT kETHOi). PROGRAM 3..**»
Solution qf thl heat conduction problem sftowNik Fig.5.1,
THE RESULTING SYSTtM OF EQUATIONS IS SOLVED USING THE
STANDARD LIBRARY SUBROUTINE IEOT1F,
NPQIN	-	TOTAL NUMBER OF NODES
NElEM	-	TOTAL NUMBER OF ELEMENTS
NPR	TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES",
COMPRISING THE-FUNCTION AND/OR ITS
DERIVATIVE(S)
NPP(I.J) « NPP(I.g) IDENTIFIES THE DEGREE OF FREEDOM7
WHICH IS PRESCRIBED Aj NODE NPP(I,1),
WHERE I-1,2.....DPR
VALP(I) * THE PRESCRIBED VALUE OF THE VARIABLE АГ
NODE NPP(I,1).WHERE I-1NPR
NOP	-	TOTAL NUMBER OF NODES WHERE THE COUPLED
CONDITION -TX+TY-0 IS PRESCRIBED
NPC(l)	-	NODES WHERE THE COUPLED CONDITION
-TX+TY-0 IS PRESCRIBED.WHERE' ..........NCP
- X,Y COORDINATES OF NODE I
NPP(i.j) - ’ THE THREE NODES OF ELEMENT I,CORRESPONDING
TO THE THREE NODE IDENTIFIERS J=1t2.3
PROGRAM PRGRM3(INPUT.OUTPUT.TAPES.TAPES)
DIMENSION NPP(1?,2),VALP( 12),NPC(4),X(10),Y(10).N00(9.3)
□IMENSIAn XX(3).W(3),STE(10.10).STEINVf10.10).WKAREAf10)
DIMENSION 0(10.10),RDT(10,10).STNEW(9,9).N(3),1ST(3 )
DIMENSION ISTNEW(jl).ST(30.30) ,RHS(30,1) ,WKAR(30)
.....SUBROUTINE DATAIN IS CALLED TO READ IN THE REOUIREQ,
DATA.....
CALL DATAIN(NPOIl^NELEM.Npfl,NPP.VALP.NCP,NPCtKtY,NGO)
t
с
I
С
с
с
£
iin^UBWUYXKE GAYADUY IS CALLED то prINt WY Yhe
INPUT DATA FDR CHECKING PURPOSES.........
CALL DATAOUT{NPOIN.NELEM,NPR,NPP.VALP.NCP.NPC.X,Y,NOD)*
NPDIN3-3*NP0IN
4
5
JC
С
С
с
С
€
С
£
««...THE SYSTEM К MATRIX,DENOTED 'EY &T.AND THE RIGHT-.
HAND SIDE MATRIX.DENOTED RY RHS.ARE INITIALIZED
TD ZERO...,.
DO 5 I=1.NPOIN3
DO 4 J=1.NPO1N3
ST(I.J)=0.0
PHS(i.i)=e.a
.....IN THE NEXT DO LOOP.FOR EACH ELEMENT IN TURN, THg’
• FLEMFNT К MATRIX IS OBTAINED AND ASSEMBLED.DIRECTLY*
INTO THE SYSTEM K, MATRIX.......
DO ^60 IE=1,NELEM	f
^0
С
С
с
с
с
£
t
С
с
с
С
с
£
t
с
£
t
С
С
С
с
t
с
.4,..THE X AND Y COORDINATES OF THE NODES FOR ТЙЕ
ELEMENT,IE.UNDER CONSIDERATION.ARE OBTAINED ANO
DENOTED BY XX(I).YY(l),b=1.2.3.....
DO 10 J-1,3
LK-NOD(IE,J)
XX(J)-X(LK)
YY(j)-Y(l.K)
.....SUBROUTINE PARAM" IS CALLED TD CALCULATE THE
- PARAMETERS A.B.C,COS(THETA)«fN.SIN{THETA)-SN.......
CALL PARAM(XX,YY,A,B,C.CN,SN,R)
.....SUBROUTINE COEFMAT IS pALLED TO CALCULATE YHE )
- COEFFICIENT MATRIX A, HERE DENOTED BY STE. USING1
THE PARAMETERS A.El. AND C OBTAINED ABOVE..... >
GALL«COEFMAT(A,B.C,STE) л	«
• НйиТНЕ STANDARD LIBRARY SUBROUTINE LINV1F IS CALLED
TO INVERT THE MATRIX A(-STE) TO GIVE THE INVERSE
OF A,DENOTED IN THE TEXT AS B.AND IN THE PROGRAM
. AS STEINV.....
CALL LlNV1F(STF,10.10,STEINV,0.WKAREA,IFR)
n «SUBROUTINE INTEG 18 CALLED TO CALCULATE THE
INTEGRATION MATRIX G.HERE DENOTED BY O'.....
CALL INTEG{A.B.C.D)
^♦••SUBROUTINE MULT IS CALLED TD CALCULATE THE MATRIX
PRODUCT (TRANSPOSE DF B)*G*B.THE RESULT Of-THIS
'' PRODUCT IS FiETURNED TO THE MAIN PROGRAM AS ........
CALL WULT(D,STEINV)
.*.SUBROUTINE ROTAT IS CALLED TO CALCULATE THE
- ' ROTATION MATRIX R.HERE DENOTED BY RQT.....
CALL jyjTAT(cN.SN.RDT)
.SUBROUTINE MULT IS CALLED AGAIN TO CALCULATE
THE ”ATRIX PRODUCT (TRANSPOSE Of R)«{TRANSPOSE DE
B)*G*B*R.THE RESULT IS RETURNED ‘TO "THE MfilN PROGRAM
AS D......
CALL MULT(D.ROT)
••THE CONDENSATION PROCEDURE,Dl^’USSt? IN SECTION 5,3.
IS NOW CARRIED ОЦТ-‘«.»
5*
132
Глава 5
DO 30 1-1.9
DD 20 J-1,9
20	STNEW(I.J)-D(l,J)—(D(I,10)*D(10,J))/D(10.10)
30	CONTINUE
C
c .....THE VECTOR DENOTED RY N- (Л1 (1).N(2 ) ,N(3) ) IS SET TO
C	7ERO.THIS VECTOR XS USED TO INDICATE WHETHER ANY
C	NODE OF ELEMENT IE HAS THE CONDITION -TX+TY-0
C	PRESCRIBED.IF SO THE N(I) CORRESPONDING TO THAT
c	node identifier i is set fdual to one.....
00 65 1-1,3
65 N(I)-C
DO 70 I-1.NCP
LK-NPC(I)
-	DO 60 J-1,3
IF(NOD(IE,J)—LK)60,50,60
50	N(J)-1
60	CONTINUE
70	CONTINUE
C
C .........SUBROUTINE CHANGE JS CA( LED TO MODIFY THE ELEMENT
С	К MATRIX IF THE CONDITION -TX+TY-0 APPLIES AT ANY
P	OF THF NODES OF ELEMENT IE.....
CAL» CHANGE(STNEW,N)
C .........THE CORRECT ROWS AND COLUMNS FOR THE SYSTEM К MATRIX
C	(ST) АПЕ DETERMINED ANO DENOTED RY IR AND IC,
C	RESPECTIVELY.THE CORRESPONDING ROWS AND COLUMNS FDR
C	THE ELEMENT К MATRIX (ETNEW) ARE OBTAINED ANO DENOTED
C	BY I AND J,FINALLY THE ELEMENT К MATRIX IS ASSEMBLED
C * INTO THE SYSTEM К MATRIX............
00 110 1-1,3
• LK-NOD(IF,I)
IST(I)-(I K-1)*3
110 ISTNF*(I)=(I-1)*3
DO 130 11=1.3
DO 120 JJ.1,3
DO 210 IRR-1,3
IR-1ST(II)+IRR
I-ISTNEw(II)+IRR
DO 220 ICC-1,3
IC-IST(JJ)+ICC
J-ISTNFW(JJ)+ICC
220 ST(IR,IC)-M(IR, IC)+STNEW(l.J)
210 CONTINUE
120 CONTINUE
130 CONTINUE
C
C .........IN THE FOLLOWING ALL NODES WITH PRESCRIBED VARIABLES
C	ARE CHECKED,FOR EACH PRESCRIBED VARIAPLE.THE ByBTEM
С . К MATRIX IS CORRECTED...».
DO 150 I-1.NPR
LK-NPP(I.I)
LOC-(LK-1)*3+NPP(I,2)
00 140 J-1.NPOIN?
140 ST(LOC,J)-0.0
BT(L0C,L0C)-1.0
150 RHS(IOC.1)-VALP(I)
160 CONTINUE
C
C	.....THE FINAL SYSTEM MATRIX EQUATION HAS NOW BEEN OBTAINED
C	AND IS SOLVED BY CALLING THE STANDARD LIBRARY
C	fiiWPTJNE LEQTtF.THE F^NAL REBULTP ARE RETURNED
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 133
С	TD THE MAIN PROGRAM AS RH8.....
CALL LEDTIFfST,1,30.30.PHS.0.WKAR,IER)
C .....THE FINAL RESULTS ARE PRINTED OUT...........
WRITE(6.17Й)
%7S FORMAT(//,31H THE SOLUTION HAS BEEN OBTAINED)
V/RITF(6, 1B0)
1B0	FORMAT(/,IX,31H NODE T	Tx	tV
LK-0
DO 190 I-1.2B.3
I K-L K+t
190	WRITE(6.200) LK.AHS(I,l).RHS(I+1.1).RHS(I+2.1)
/200 F0flMAr(2X.I3.4X.F6,2,3X,F6.2,JX,F6.2)
STOP	'	.
ENO
Б.5.1-2. Подпрограммы
SUBROUTINE DATAIN(npOIN.NELEM.NPR.NPP,VAI P.NCP,NPC.X,V,fiob)
DIMENSION NPP(12.2).VALP(12),NPC(4),X(10),Y(10),NOD(9.3)
c .........The total number of nodes,the TOTAL number of
c"	ELEMENTS.THE TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES,
C	AND THE TOTAL NUMBER OF NODES WHERE THE COUPLED
C	CONDITION -TX+TY-0 IS PRESCRIBED ARE fi£AD IN.....
RFAD(5,1B) NPOIN.NELFM.NPR,NCP
1И FORMAT (4 13)
C .........THE THREF NODES,CORRESPONDING TO THF THREE NODE
C	IDENTIFIERS J-1,2,3, ARE READ IN FDR ALL ELEMENTS....,
READ(5.20) (I.(NDD(I,J).J. 1.3).JJ-1.-MSLE4)
20 FORMAT(2413)
C
C .....THF X AND V COORDINATES ARE READ XRl Et)R ALL NODES,»»..
RFAD(5.30) (I.X(I).Y(I), J-f. NPOIN)
30 FORMAT(5(I3.2F5.1 ))
C
C .....THOSE nodes there A VARIABLE is prescribed,the
C - DEGREE OF FREEDOM WHICH IS PRESCRIBED.AND THE
C	PRESCRIBED VALUE ARE READ IN..;..
READ(5.40) (NPP(I,1),NPp(I.2).VALPfI),I-1,NfR)
Й0	FORMAT(6(213.F6.?))
C
P .........THOSE NODES WHERE THE CftUPLEO CONDITION -TX+TY-0
C	IS PRESCRIBED ARE READ IN......
READ(5.?0) (NPC(I).I-I.NCP)
RETURN
E^O
SUBROUTINE DATAOUT(NPOIN,NELEM.NPR,NPP,VALP.NCP.NPC.X.Y,NOD)
DIMENSION NPP(12.2).VALP(12),NPC(4),X(10).Y(10).NOD(9.3)
C .........THE TOTAL NUMBER OF NODES.THE TOTAL NUMBER OF
c	FlFMFNTb.THF TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES,
C	AND THE TOTAL NUMBER OF NODES THERE THE COUPLED
C	CONDITION -TX+TY-0 IS PRESCRIBED ARE PRINTEC OUT....*
WRITE(6.10) NPOIN
IB	FORMAT(/////,1X,22H TOTAL NUMBER OF NODES,13)
WRITE(A,20) NELEM
2fi	FORMAT(IX.25H TOTAL NUMBER OF ELEMENTS.13)
WRITE(6.30) NPR
^0 FORMAT(1X,37H TOTAL NUMBER Of PRESCRIBED VARIABLES.13)
WRITE(6.4B) NCP
40 FORMAT(1X,5V< TOTAL NUMBER OF fJODES WHERE -TX+TY-0 IB PRESCRIBED, I
c
H’on
С .........THE X AND Y CQofifilNATES Дй£ PRINTED. DOT FOR ALL NODES.....
WRIT£(6,50)	 r '
50 FORMAT(//,1X.40H the NODES and THEJR X AND Y COORDINATES*/)
WRITE{6,60)
>611 FORMAT( 1X. 15HNDDE	X Y.2(20H NODE X Y))
WRITE(6.7D) {I,X{I),V{I),I-1,NPOIN)
70 CCRMAT((1X.I3.F7.1.F6.1.2(17.F7.1.F6.1)))
C
-C ........THE ELEMENTS AND THEIR THREE NODES ARE PRINTED CUT»*»**
V/RITE(6,80)	.
,6Я FORMAT(//,1X.29H THE ELEMENTS ANo THEIR NODES,/) ?
WRITE(6.90)
50 FORMAT(1X,13HELEM 1 2 3.3(16H ELEM ,1 2 3)/
•'	WRITE(6.100) {I,(NDD(I.j).J-1.3).I-1.NELEM)
100	FORMAT((1X,13.14,213,3(16.14.213)))
.♦...THOSE NODES WHERE THE COUPLED CONDITION -TX+TY-0
IS PRESCRIBED ARE PRINTED OUT......
WRITE(6.110)
r WRITE(6.120j
110	FORMAT(//.1X.3BH THE NODES WHERE THE COUPLED CONDITION)
4.20	FORMAT(1X,23H -TX+TY=0 IS PRESCRIBED»/)
WRITE(6.130) (NPC(I).I-I.NCP)
130	FORMAT (616)
C .........THE NODES WHERE A VARIABLE IS PRESCRIBED.THE DEGREE?
C <* OF FREEDOM WHICH IS PRESCRIBED,AND THE PRESCRIBED "
£	VALUE ARE PRINTED OUT
t WRITF(6,140)
140	FORMAT(//.IX,32H NODES WITH PRESCRIBED VARIABLES,/)
WRITE(6,150)
150	FORMAT(1X,72H NODE DEC.OF FREEDOM PRES.VALUE NOO£ OEC,pF
♦FREEDOM PRES.VALUE)
WRITE(6.160) (NPP(I,1),NPP{1,2).VALP(I),1-1,NPR)
16.0 FORMAT(1X.14.BX. I3.10X.F6.2.BX.I3.SX.I3.10X.F6.2)
RETURN
END
SUBROUTINE PARAM(X.Y.A,B.C,CN,BN,R)
DIMENSION X(3).Y{3)
R=((X(2)-X(l))**2+(Y(2)-Y(1))**?)**0*5
CN=(X(2)-X(1))/R	*
SN=(Y(2)-Y(1 ))/fl	,
A- (x (2 )-x (3) )*CN-(Y(3 M{2))*sH
R=(X(3)-X(1))*CN+(Y(3)-Y(1))*^H’
C=(Y(3)-Y(2) )*CN+(X (2 )-X{3 ) )*Stf’i
RETURN
END
SUBROUTINE COFFMAT(A.B,C,STE)
DIMENSION STE(10.10)
A?oA*«2 $ А?.Л»«3 $ Р2-.В**2 $ B3«B»*3 $ С?-Й«»2 $" C3-U**3
С
С ........The matrix ste IS INITIALIZEO to zero........
DO 2 0 1= 1.10
00 10 J-1,10
10	STE(I,J)-0.0
20	CONTINUE
c
£	.....THE NON-ZERD FNTRIEB OF THE MATRIX STE ARE1 DETEtWINED<11*.
STE(1.1)=1.0 $ STE(1.2)— В $ STE(1.4) = B3 $ STE(1.7) = -B3
STE(2.?)=1.0 S STE(2,4 )— 2.0*B $ STE(2,7)-3.0*B2-
BTE(3.3)=1.0 $ STE(3,5)=-B $ &ТЕ(З.В)-В2
STE(4.1)-1,0 $ STE(4.2)-A $ STE(4.4)-A2 $ STE(4.?)-A3
STE(5.2)=1.0 $ STE(5.4)=2.0*A S STC(5.7)-3.0*A2
STE(6,3)-1.0 $ STE(6,5)-A S STE(6,B)-A2
5 STE(7.3)-C $ 6ТМ2-.б)»С2 $ STE(7,10)-C3
Ste(8.2)-<.0'$ fiTE'(e.S)-C 4 ste(b.«)-c2
STE(9.31=1.0 $ STE(9,6)-?.0*C $ STE(9.10)=3.0*C2 ,
STE(10.1)=1.0 $ STE(10.2) =(A-8>/3.0 $ STE(10,3)-C/3.0
STE(10.4)=((A-В)**2)/9.0 $ STE(10.5)=(C*(A-B))/9.0
STE(10,6) =(0**21/9.0 $ STF(10.7)-((A-В)**31/27.0
STE(10,8)=(((A-B)**2)*C1/27.0
STE(10.9)=((A-8)*(0**2))/27•0
STE(10,10)-(C**31/27.И
RETURN
END
Subroutine integ(a.b.c.o)	,,
DIMENSION FAC(71.M(10),N(10),0(10,10)
c
Г .....IN THE FOLLOWING, FAC(I)-(I-l) FACTORIAL .*•. «r
FAC( 1)=1 .0
DO 10 1-1.6 *
DET-I
1? FAC(1+1)=DET*FAC(I)
M(1)=0 $ M(2)-1 $ M(3)=0 $ M(4)=2 S M{5)-1 $ M(6)-B S fo(7)-3
M(S)=? $ M(9)-1 $ M(10)«0
N(l)=0 $ N(2)=0 $ N(3)-1 $ N(4)-0 $ N(5)-1 $ N(6)-2 $ N(7M
N(B)-1 $ N(9)=2 $ N(10)-3
DO 30 1=1,10
t)O 20 J-1,10
Ml-(M(I)+M(J)-?)+1
М2-(M(I)+M(d)) + 1
N1-(N(l)+N(J))+1
N2=(N(I)+N( J)-?.)+!
COEF1=M(I)*M(j)
C0EF2-N(I)*N(J)
IF(C0EF1140,50.60 •
40	WRITE(6,70)
?0	FORMAT(*COEFFICIENT	INTEG IS FjfSATlVE*).
RETURN
S0	01=1.0
60 TO 80
60	G1= (C**N1)*( (A**M1 )-( (-B)**M1) )*FAC(U1 )*FAC(Nl )/^ACNl+M+A }
B0	IF(C0EF2140.90.100
90	62=1.0
.60 TO 20
100	G2= (C**K2 )*((A**M21-{ (-E)*»M2) )*FAC(М2 )*FAC(N2 )/FAC( M2+№+1)
20	0(1.J)=G1*C0EF1+G2*C0EF2
30	CONTINUE
RETURN
END
eUBAOUTINE MULT(D.STE)
DIMENSION STF(10.10).0(10.10},R(10.10)
C
C .....THE PRODUCT D*5TE IS CALCULATED....,
DO ЗИ 1=1.10
DO 20 J=1,10
H(I.j)-0,0
00 10 I K- 1.1 0
10	H(I,J)-H(I,J)+D(I.LK)*STe(LK.J)
20	CONTINUE
30	CONTINUE
C
c	.....THE	PRODUCT	(8TE	TRANSPOSE*D*STE) IS CALCULATED.
DO 70 I=f.10
DO 60 J-1.10
0(1.Jl-0.0
DO 50 LK-1,10
50	O(I.U)«D(I,J)+STE(LK.I)*H(LK,J)
60	CONTINUE
,70	CONTINUE
RETURN
fND
'SUBROUTINE ROTAT (Ch. SN, ЙОГ J
DIMENSION ROT00.10)
C	,....THE MATRIX	RUT 16 INITIALIZED TD ZERO.»..
DO 20 1-1.10
DO 10 J-1.10
10	ROT(I.J)-0.0
20	CONTINUE
C .........THE- NON-ZERD ENTRIES OF THE MATRIX ROT ARE OETERMINtu,
ROT(1,1 J-1-0 S RQT(2.2)-CN $ RDT(2,3)-SN $ R0T(3,2) — SN
- RDt(3.3)=CN S ROT (4.4 )* 1 .0 $ ROT(5.5)-CN ® R0T(5.6)-SN
R0T(6.5)»-SN S AOT(6.6)-CN S RDT(7.7)-1.0 $ ROT(B,B)-CN
RDT(B.9)-SN $ ROT(9.8)—SN $ RDT(9,9)-CN $ ROT < 10,1# )- 1.0
Return
END
‘SUBROUTINE CHANGE (ST. N |
DIMENSION N{3).ST(9f?)
DO 40 1=1.3 '
TF(N(I))4B,40,10
10 IFTX=(1-1)*3+2
IRTY=(I-1)*3+3 -
DO 20 J-1,9
₽t(iatx.j)-st<IRTX,jH,ST(IRTY, jJ
20 ST(IRTY.j)«0.jJ
• DO 30	1 ,9 Л
ST(d.IRTX)-ST(j.IRTX)+ST(J.iRTV)
J30	.ST (,J. IRT¥) = B .0
' ₽T(IRTY,IRTX)»—1.0
ST(IRTY.IRTY)-1.'0
40 -CONTINUE
RETURN
tfJD
S.5.1.3.	Входные данные
10 9 12 4
^2512526336246
17669679699 10 6
•1	0.0 0.0 2	1.0 0.0	3	2.0	0.0	4
6	2.0	1 .0 7	3.0	T.-0	S	2.0	2.0	9
T	1 30.0	1	2 0*0 a 1	30.0	2	2
4	1 30.0	4	2 tf.Q 7 2 Й.0	9	‘2
1	5 В 10.
375Д7366В5
3.0 0.0 5 1.0 1.0
3.0- 2.0 10 3.0 3.0 -
0.0	3 1 30.0	3 2 0.0
B.0 .10 1 0.0 10 2 0.0
5.5.1.4.	Результаты
TOTAL	NUMBER	OF	NDOEB 10
TOTAL	NUMBER	OF	ELEMENTS 9
Total	number	of	prescribed variables	12
TOTAL	NUMBER	OF	NODES WHERE	-TX+TY-0	IS PRESCRIBED 4
THE NODES AND THEIR X AND				Y COORDINATES				
NODE	X	Y	NODE	X		NODE	X	
1	0.0	0.0	2	1.0	0.0	3	2.0	0.0
4	3.0	'*0.0	5	1.0	1.0	6 -	2.0	1.0
7	3.0	1.0	В	2.0	' 2.0	9	3.0	2.B
10	3'0	3.0						
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
137
the elements ano their nodes
<£LEM 1 2 з ELEM 1 2 3
1	2	5	1	2	5	2	6
,5	4	7	3	6	6	В	5
9	9 10 8
ELEM 1 2 3 ELEM 1	2	3
3	362	4	6 3 7
7	В 6 9	8	796
JllE NODES WHERE THE COUPLED'CONDITION ^jX+TY-0 IS PRESCRIBED				
1	5	в 10			
.NODES	WITH PRESCRIBED VARIABLES			
NOOE	DEC.OF FREEDOM PRES.VALUE	NODE	DEC.OF FREEDOM	PRES.VALU£
1	1	30.00	1	2	0.00
2	1	30.00	2	2	0.00 •
3	1	30.00	3	2	0 .00
4	1	30.00	4	2	0.00
	г	0.00	9	2	0.00
1.0	1	0.00	10	2	0.00
THE SOLUTION HAS BEEN’ OBTAINED
NODE		TX	T Y
1	30.00	0.00	0 .00
'₽	30.00	0.00	-1 .99
3	30.00	0.00	-4.16
4	30.00	0.00	-5.16
5	27.85.	— 1 .71	-1.71
V	25.65	-1.41	-4 .41
9	24.51	0.00	-6.35
8	20.90	-2.05	-2.05
9	16.19-	0 .00	1-11.01
1J3	0.0,0	0.00	0.00
5.6. ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ЭЛЕМЕНТОВ.
БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
И БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Процедуры, описанные в этой главе для элементов с производ-
ными и связанных граничных условий, не ограничиваются толь-
ко элементами с первыми производными и применимы к проб-
ным функциям более высокого порядка. Более сложные краевые
условия, такие, как условия Коши дф/дп + дф 4~ р = 0, могут
быть учтены путем модификации методов, описанных выше.
В самом деле, любое граничное условие, включающее функцию
и (или) ее производные в узле, также может быть учтено, если
эти переменные являются узловыми параметрами элемента.
В программе из разд. 5.5 использовано объединение по эле-
ментам; этот подход применяется наиболее широко. Полная
окончательная матрица системы (несимметричная) помещалась
138	Глава 5
в память, и задача решалась с помощью подпрограммы, исполь-
зующей полную запись матрицы системы. Для больших задач
работа с полной записью матрицы не является ни экономичной,
ни практичной, и целесообразно выбирать другие подходы. На-
пример, в следующей главе показано, что соответствующий вы-
бор последовательности узлов позволяет минимизировать ши-
рину ленты так, чтобы память могла быть использована более
эффективно. Другим подходом 'к сокращению требуемого объ-
ема памяти, также описанным в следующей главе, является раз-
биение и приведение к трехдиагональному виду. В гл. 10 рас-
сматриваются другие процедуры для сокращения требований к
памяти. Дополнительные подробности можно найти в литера-
туре [2—4].
Литература
1.	Kaplan W., Advanced Calculus, 2nd ed_, Addison-Wesley, 1973, p. 135.
2.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976.
3.	Fences S, J., Perrone N., Robinson A. R., Schnobrich W. C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press, New York,
1973.
4.	Bathe K-J„ Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
6
ЭКОНОМИЯ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ,
РАЗБИЕНИЕ И ПРИВЕДЕНИЕ
К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Ученому или инженеру часто приходится отказываться от вы-
числительных программ, так как их требования превышают
возможности используемого оборудования. В таких случаях ре-
шение задачи обычно лимитируется памятью, а не вычисле-
ниями, т. е. память, требуемая для программы, превышает
имеющиеся возможности. Эту ситуацию легко себе вообразить
для программ, реализующих метод конечных элементов, особен-
но в случае трехмерных задач. С целью уменьшения требований
к оперативной памяти разработано много процедур, в том числе
и за счет дополнительных вычислений; некоторые простые под-
ходы описываются в настоящей главе. Другие возможности
рассматриваются в гл. 10.
6Л. ШИРИНА ЛЕНТЫ
Окончательную систему уравнений можно решать либо пря-
мыми методами, которые дают решение за одни шаг, либо не-
прямыми (итерационными) методами, которые путем последова-
тельных приближений улучшают точность исходного прибли-
жения решения. Прямые методы можно .приближенно класси-
фицировать в зависимости от того, для какой матрицы жестко-
сти системы они предназначены — полной, ленточной илн раз-
реженной. В общем прямые процедуры для решения систем с
полными или ленточными матрицами более эффективны, если
К симметрична; кроме того, для матрицы данной плотности ')
ленточные методы более экономичны, чем методы, разработан-
ные для решения систем с полными матрицами. Методы для
ленточных матриц становятся дешевле методов для разрежен-
ных матриц по мере уплотнения ленты.
В случае матриц с данной плотностью эффективность пря-
мых методов для ленточных матриц обычно возрастает с умень-
шением ширины ленты, В следующем разделе показано, что
*) Плотность определяется как отношение числа ненулевых элементов к
общему числу элементов матрицы. По поводу предварительной оценки плот-
ности матрицы дли элементов с прямолинейными сторонами см. работу [1].
138	Глава 5
в память, и задача решалась с помощью подпрограммы, исполь-
зующей полную запись матрицы системы. Для больших задач
работа с полной записью матрицы не является ни экономичной,
ни практичной, и целесообразно выбирать другие подходы. На-
пример, в следующей главе показано, что соответствующий вы-
бор последовательности узлов позволяет минимизировать ши-
рину ленты так, чтобы память могла быть использована более
эффективно. Другим подходом 'к сокращению требуемого объ-
ема памяти, также описанным в следующей главе, является раз-
биение и приведение к трехдиагональному виду. В гл. 10 рас-
сматриваются другие процедуры для сокращения требований к
памяти. Дополнительные подробности можно найти в литера-
туре (2—4].
Лктера1ура
1.	Kaplan W., Advanced Calculus, 2nd ed_, Addison-Wesley, 1973, p. 135.
2.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976.
3.	Fences S, J., Perrone N_, Robinson A. R., Schnobrich W. C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press, New York,
1973.
4.	Bathe K-J„ Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Clilfs, New Jersey, 1976.
6
ЭКОНОМИЯ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ,
РАЗБИЕНИЕ И ПРИВЕДЕНИЕ
К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Ученому или инженеру часто приходится отказываться от вы-
числительных программ, так как их требования превышают
возможности используемого оборудования. В таких случаях ре-
шение задачи обычно лимитируется памятью, а не вычисле-
ниями, т. е. память, требуемая для программы, превышает
имеющиеся возможности. Эту ситуацию легко себе вообразить
для программ, реализующих метод конечных элементов, особен-
но в случае трехмерных задач. С целью уменьшения требований
к оперативной памяти разработано много процедур, в том числе
и за счет дополнительных вычислений; некоторые простые под-
ходы описываются в настоящей главе. Другие возможности
рассматриваются в гл. 10.
6Л. ШИРИНА ЛЕНТЫ
Окончательную систему уравнений можно решать либо пря-
мыми методами, которые дают решение за один шаг, либо не-
прямыми (итерационными) методами, которые путем последова-
тельных приближений улучшают точность исходного прибли-
жения решения. Прямые методы можно .приближенно класси-
фицировать в зависимости от того, для какой матрицы жестко-
сти системы они предназначены — полной, ленточной илн раз-
реженной. В общем прямые процедуры для решения систем с
полными или ленточными матрицами более эффективны, если
К симметрична; кроме того, для матрицы данной плотности1)
ленточные методы более экономичны, чем методы, разработан-
ные для решения систем с полными матрицами, Методы для
ленточных матриц становятся дешевле методов для разрежен-
ных матриц по мере уплотнения ленты.
В случае матриц с данной плотностью эффективность пря-
мых методов для ленточных матриц обычно возрастает с умень-
шением ширины ленты, В следующем разделе показано, что
*) Плотность определяется как отношение числа ненулевых элементов к
общему числу элементов матрицы. По поводу предварительной оценки плот-
ности матрицы дли элементов с прямолинейными сторонами см. работу [1].
140
Глава 6
требуемая память также может быть уменьшена при уменьше-
нии ширины ленты. Поэтому, прежде чем применять ленточную
процедуру, обычно целесообразно минимизировать ширину лен-
ты матрицы жесткости системы К- Факторы, оказывающие
влияние па ширину ленты, будут проанализированы ниже.
Рассмотрим показанную на рис. 6.1- часть двумерной сетки
метода конечных элементов. Пусть на каждом треугольном эле-
Рис. 6.1. Двумерная сетка метода конечных элементов.
менте точное решение задачи, которое обозначим здесь как ф,
аппроксимируется линейными пробными функциями.
Как показано ранее, объединение по узлам дает п уравнений
для узлов вида
р=1, 2......п,	(6.1)
где в суммирование необходимо включить только элементы,
окружающие узел с номером р, поскольку вклад остальных эле-
ментов нулевой. Из уравнения (6.1) и рис. 6.1 следует, что
уравнение для узла 8 может быть записано следующим- образом:
^ = ^-+-^ + ^- + ^- + ^- + -^- = 0.	(6.2)
дФь &Ф& дФ^ дФв дФв
После подстановки соответствующих значений %е в уравнение
(6.2) уравнение в узле может быть приведено к виду
Кв, 101 + Kfi, 707 4~ Ка. 808 + Къ. I20I2 +
4" Кв, 28028 4~ Кв. 49049 4~ ^8. 92092 = 0. (6.3)
Вновь отметим, что в уравнение (6.3) входят узлы только нз
соседних элементов. Это объясняется тем, что для всех осталь-
ных узлов коэффициенты KYS являются нулевыми.
Экономия Оперативной памяти, разбиение и приведение 141
Член уравнения (6.2), вносящий вклад от элемента 9, может
быть записан как
Фс’/ЗД = *8,8?8 + *128?28 + *8, Л-	(6.4)
Подобные выражения можно получить и для других членов
уравнения (6.2).
Для каждого из элементов 1, 2, 4, 9, 18 и 24 уравнения для
узлов можно записать в матричной форме по аналогии с урав-
нением (6.4) и расширить их до размера системы путем вклю-
чения соответствующих нулевых компонент. Будет показано, что
квадратная матрица коэффициентов для каждого из этих рас-
ширенных уравнений в узлах содержит только s ненулевых
членов (где s — общее число узловых параметров элемента, в
рассматриваемом случае s = 3), один из которых всегда распо-
ложен на диагонали. Ширина ленты1) в таком расширенном
уравнении определяется как число, на единицу большее раз-
ности между номерами крайних правого и левого столбцов,
содержащих ненулевые компоненты.
Это же правило применимо для системы любой размерности.
Например, для расширенной матрицы, сформированной на осно-
ве уравнения (6.3)2), крайний правый ненулевой элемент нахо-
дится в 92-м столбце матрицы коэффициентов, а крайний ле-
вый— в первом. Следовательно, «ширина ленты» для этого
уравнения 6 = 92—1-}-1=92. Поскольку диагональный эле-
мент расположен в восьмом столбце, видно, что лепта не цен-
трирована относительно положения диагонали. Ширина ленты
слева от диагонали, которую мы обозначим Ьт, равна разности
между номерами столбцов, в которых расположены диагональ-
ный элемент и крайний левый ненулевой элемент. Точно так же
ширина лепты справа от диагонали, Ьр, равна разности между
номерами столбцов крайнего правого ненулевого элемента и
диагонального элемента. Таким образом, для уравнения (6.3)
Ьг = 8 — 1 = 7 и Ьр = 92 — 8 = 84.
Рассмотрим теперь всю матрицу жесткости К системы и
представим себе две прямые, параллельные главной диагонали,
проведенные таким образом, чтобы расположенная между ними
лента содержала вое ненулевые элементы и была минимальной
ширины. Ширина части ленты, расположенной левее диагонали
матрицы К, которую обозначим Bi, совпадает с максимальной
bL для урввнений в узлах. Аналогично ширина части ленты
справа от диагонали матрицы жесткости К системы, которую
’) Полоса из элементов от крайнего левого ненулевого до крайнего пра-
вого ненулевого.
2) Как следует нз уравнения (6.2), оно эквивалентно сумме расширенных
уравнении в узлах сетки для 1, 2, 4, 9, 18 н 24-го элементов.
142
Глава 6
Таблица 6.1
Односторонняя ширина ленты
Узел
Наибольший
номер узла
для соседних
элементов
Ширина леиты
, справа, bR
Наименьший
номер узла
для соседних
элементов
Ширина ленты
слева, Ь/^
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
16
15
8
12
14
16
7
8
9
12
11
12
13
14
45
16
16
14
6
9
10
11
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
о
1
2
1
1
'1
2
2
3
9
3
3
4
1
1
5
0
1
1
3
4
б
-5
6
6
1
8
9
9
13
14
11
обозначим BR, равна максимальной bR для уравнений в узлах.
Ширина лепты матрицы жесткости системы К, включающая
главную диагональ, равна
B = BL + BR + 1.
(6.5)
Эта лента уже сбалансирована относительно диагонали. С це-
лью иллюстрации в табл. 6.1 приведены значения ширины леиты
для узлов из рис. 6.2. Из этой таблицы видно, что
В£ = Мах(Ь£)=14,	(6.6а)
BR~ Мах(^)=14,	(6.66)
а из уравнения (6.5)
в = 29.	(6.7)
Как можно проверить по рис. 6.2, полуширина В$ леиты ма-
трицы жесткости К системы, не включающая главную диаго-
наль, равна 14. Из вышесказанного следует
BL = BR — BS,	(6.8)
а В$ получается как разность между максимальным и мини-
мальным номерами узла в любом элементе.
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение
143
Для случаев когда узлу соответствует более чем один пара-
метр, как, например, у эрмитовых элементов, вышеприведенная
процедура может быть обобщена следующим образом. Предпо-
ложим, что в каждом узле есть <? степеней свободы. Тогда
Bs = (d+ 1)<7 —I,	(6.9)
где d— максимальная разность между самым меньшим и св'
мым большим номерами узла любого элемента в системе.
Для минимизации ширины ленты матрицы жесткости К си-
стемы необходимо пронумеровать узлы в системе таким обра«
Рис. 6.2. Разбиение полого блока.
<1—схема нумерации А‘, б—соответствующая матрица К.
зом, чтобы эта максимальная разность была как можно мень-
ше. Рассмотрим двумерный полый блок, разделенный на 16
треугольных элементов, показанных на рисунках 6.2, а н 6.3, а.
Можно заметить, что на этих рисунках узлы пронумерованы
по-разному. Если в данном узле имеется только один параметр
и если не рассматривать граничные условия, то соответствую-
щие матрицы К системы примут вид, схематично показанный на
рис. 6.2,6 и 6.3,6. Полуширина ленты для первого способа ну-
мерации определяется как Bs — 15—1 — 14, тогда как для
второго способа Bs — 4 Из рисунков также видно, каким обра-
зом разбиение области связано с разбиением соответствующей
матрицы К, что будет обсуждаться позже.
На данной стадии полезно рассмотреть взаимосвязь между
элементами матрицы К и физическим взаимодействием между
узлами. С целью иллюстрации рассмотрим уравнение для 10-го
узла 8-го элемента (рис. 6.2, а); оно имеет вид
*Й,Л+*?о.Л+С1А1=°>	<610>
144
Глава 6
где номера узлов, соответствующие локальным номерам узлов
1, 2 и 3, были взяты в порядке 9, 10 и 11.
В результате анализа этих членов можно установить, что:
kio, 9 есть воздействие узла 9 на узел 10;
£fo, io есть воздействие узла 10 на себя;
&1о, и есть воздействие узла 11 па узел 10.
Для самосопряженных задач влияние одного узла на другой
является обратимым, т. е. воздействие узла т на узел п такое
Рнс. 6.3. Разбиение полого блока.
а—схема нумерации В; б—соответствующая матрица К
же, как воздействие узла п на узел т. Поэтому результирую-
щие матрицы жесткости К системы, по крайней мере в их неиз-
менной форме, являются симметричными, как показано на
рис. 6.2 и 6.3.
6.2.	СПОСОБЫ ХРАНЕНИЯ
Поскольку матрица жесткости К системы обычно является ред-
кой симметричной ленточной матрицей, требуемая память ма-
шины может быть сокращена путем запоминания лишь тех эле-
ментов, которые расположены в ленте. Этого можно достичь
запоминанием элементов главной диагонали и элементов кодна-
гоналей слева или справа, что называется соответственно под-
диагональным и наддиагональным способами представления в
памяти. Указанную процедуру иллюстрирует табл. 6.2 для слу-
чая поддиагоиального запоминания симметричной матрицы жест-
кости К системы с полушириной ленты Bs = 2. Изображены
только первые пять строк матрицы. Диагональные элементы по-
ставлены в последний столбец табл. 6.2. Если используется над-
диагональное запоминание, то диагональные элементы распола-
гаются в первом столбце прямоугольной матрицы.
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение
 145
Таблица 6.2
Запоминание симметричной ленты
Полное авпомиваняе (матрица системы К с полушириной		Элементы, сохраняемые для поддиаго- иильного запоминания	Запоминание симметричной лепты
Кн	Ки /*Г18 о	о	#и	0 0 #ц
Км	#22 #аз #24 0	.0	#21 К 22	0	#21 #ss
#з.	#82 #33	#34 #ЗБ 0	.	.	0	#31 #33 #33	#31 #32 #33
0	К41 #43 К 44 #45 К*е 0	0 ... 0	#42 #43 #44	#42 #43 #44
0	0	#БЗ #54 #ББ #56 #57 0 ... 0	#53 #54 #55	#5$ #54 #53
В случае поддиагонального запоминания элемент Кса ма-
трицы жесткости К системы в первоначальном представлении
перейдет в элемент Ксе ленточного представлении в памяти сим-
метричных матриц, где
e = d + Bs — с+ 1,	(6.11)
а В$ — полуширина ленты матрицы. Аналогично соотношение
справедливо для надднагонального запоминания. Часто жела-
тельно запомнить матриц}7 или ее часть как вектор, т. е. в виде
строки. Показанное в правой стороне табл. 6.2 представление
симметричной ленты может быть свернуто в вектор запомина-
нием последовательных строк или последовательных столбцов.
Ленточная матрица системы, соответствующая методу ко-
нечных элементов, редко имеет контуры1) в виде прямых линий,
параллельных главной диагонали. Поэтому предпочтительнее
запомнить последовательно части столбцов матрицы (между
контурами) в виде вектора, особенно в том случае, когда в ка-
честве алгоритма решения используется исключение по столб-
цам |2]. Когда лента очень редкая, может быть предпочтитель-
ным использование одной из процедур, описанных в разд. 10.2.4,
исключающей хранение пулевых элементов. Однако при недо-
статочно аккуратном программировании эти методы могут тре-
бовать большого количества управляющих данных и становятся
неэффективными. Для редких матриц может быть ценной про-
цедура с запоминанием гнперматрицы, базирующаяся на разбие-
ниях, за исключением случаев, в которых алгоритм решения
основывается иа манипуляциях со специальными строками и
столбцами [3]. *
Верхний контур — это линия раздела между ненулевыми элементами
и областью, лежащей сверху справа н содержащей только нули. Нижний кон--
тур определяется аналогичным образом (по диагонали). Вместо термина «кон-
тур» иногда используется термин «линия горизонта».
146
Глава 6
6.3,	ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УЗЛОВЫМ
И ПОЭЛЕМЕНТНЫМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ
В принципе объединение в матрицу системы К по узлам не-
сколько проще, чем по элементам, и может быть легче запро-
граммировано. Однако объединение по узлам имеет недостаток,
который состоит в том, что вычисленные однажды подходящие
параметры элемента приходится запоминать для повторного
использования в других узлах того же элемента или забывать
и псрсвычислять их вновь, когда понадобятся. В первом случае
необходима дополнительная память, а во втором случае тре-
буется больше вычислений в сравнении с объединением по
элементам.
Существуют ’две ситуации, когда объединение по узлам вы-
годнее. Одна возникает в случае решения предельно больших
задач на обычных ЭВМ, а другая — при решении задач средних
размеров на мини-ЭВМ. В обоих случаях ограничением является
память ЭВМ, а не дополнительные арифметические действия,
поэтому целесообразен выбор непрямого (итерационного) алго-
ритма решения с минимальной памятью (гл. 10). Простейшие
итерационные схемы, использующие только несколько строк
матрицы, вполне совместимы с этим требованием. До настоя-
щего времени итерационные схемы редко включались в пакеты
программ, реализующие метод конечных элементов [2—4], но
в результате прогресса вычислительной техники применение
мини-ЭВМ станет обычным, в связи с чем возникает необходи-
мость в больших программах, приспособленных для ннх. Совер-
шенствование новых формулировок метода конечных элементов,
таких как метод абсолютных и относительных перемещений
(5], которые приводят к итерационному решению, может значи-
тельно ускорить использование мини-ЭВМ.
В случае объединения по элементам элементные матрицы
жесткости к',' получаемые для всех элементов по очередн, вклю-
чаются в матрицу системы К- Для каждого элемента параметры
необходимо вычислять только один раз. Как показано выше,
при использовании локальных координат необходимые преоб-
разования для элементных матриц можно осуществлять быстро.
С этой и других точек зрения объединение по элементам ши-
роко применяется, и в большинстве больших пакетов программ
принят этот подход.
Приведенные в предыдущих главах вычислительные про-
граммы использовали для решения системы уравнений библио-
теку подпрограмм, которая требует, чтобы матрица жесткости
системы К вместе с ее очевидной излишней информацией вхо-
дила в память. Это препятствие можно обойти несколькими
путями; один из них, называемый тридиагонализацией, описы-
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение
147
вается ниже. Другие, более эффективные подходы, такие как
фронтальный метод решения (см. разд. 10.2.4) и блочно-прямой
метод (см. разд. 3.3.8), детально описываются в литературе
[2-4].
6.4.	ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
В том случае когда матрица жесткости системы К слишком ве-
лика для полного запоминания (нли запоминания симметрич-
ной ленты), может быть использовано разбиение матрицы си-
стемы на последовательность подматриц, каждая из которых
имеет размер, допустимый к обработке. Этот путь может быть
использован для приведения матрицы системы к трехдиагопаль-
ному виду, что позволяет получить решение из системы под-
матриц. Хотя есть и другие приемлемые процедуры, три диаго-
нализация остается полезным подходом, который позволяет зна-
чительно сократить требования к памяти за счет использования
некоторых дополнительных программ.
Рассмотрим разбиение области, показанное на рис. 6.2, а, и
соответствующее разбиение матрицы системы на рис. 6.2,6. Ис-
пользуя это разбиение, можно записать матрицу системы в виде
Г Кл Ci 1 Г 96] 1 = Г Ril
lc2 kJL&J Lr2J’
(6.12)
где Ki п Кг — подматрицы К, 961 и —блоки узловых векторов,
a R( и Ra— матрицы правых частей, соответствующие разбие-
ниям I и II. Матрица Cj представляет влияние части II па часть
I, а Сг—-влияние части I на часть II. Вследствие симметрии
матрицы К матрицы Ci и С2 должны содержать одинаковые со-
ответствующие элементы. Следовательно, уравнение (6.12) мо-
жет быть записано в виде
гк, cqr^-i гкл
Lcf k2JL*J=LrJ-	(6ЛЗ)
Из уравнения (6.13)	получаются два уравнения с подматри-
цами
Ki9*i + С!562=- Rb	(6.14)
cTs61 + K2^2 = R2.	(6.16)
Обратив матрицу Ki, обозначив обратную к ней через КГ1 и
умножив уравнение (6.14) слева на КГ1» придем к следующему
результату:
(6.16)
148
Г лава б
Подстановка уравнения (6.16) в (6.15) дает после некоторых
преобразований выражение
02 “(Кг) Иг.	(6.17)
где	_
К2 = К2-СГКГ‘С, R2 = Rs-crKr,Ri.	(6.18)
Поскольку подматрицы в уравнении- (6.18) известны явно,
уравнение (6.17) может быть решено относительно 02 Подста-
новка решения ф2 в уравнение (6.16) позволяет получить реше-
ние и вместо матрицы К в памяти достаточно хранить только
подматрицы Ki, Кг и Ci. Подматрицы Ki и Кг имеют различный
порядок, вследствие чего подматрица Cl не является квадрат-
ной, что часто встречается на практике. Пример рис. 6.2, а с не-
большим количеством узлов и только двумя разбиениями не
обнаруживает преимуществ рассмотренного подхода по сравне-
нию с ленточным хранением матрицы К.
Рассмотрим нумерацию н разбиение рис. 6.3, а. Соответ-
ствующая ленточная матрица с ее разбиением приведена на
рис. 6.3,6 Предположим, что матрица жесткости системы К
симметрична. Тогда она может быть представлена с разбиением	
на подматрицы в виде “К] Ct	““0,"	
сГ Кг С2	02 _ R2 Сг Кз Сз 0з	Кз	(6.19)
_	Сз К4 _ _04 „	.-Ri_	
где Кь 0< и К, — разбиение матрицы К, вектора узловых значе-
ний и вектора правых частей соответственно для i-ro разбиения
(где I — 1, 2, 3, 4). Ct представляет влияние t -f- 1-го разбиения
иа Те, где i=l, 2, 3. Видно, что матрица коэффициентов в
уравнении (6.19) является трехдиагональной ленточной матри-
цей. Разбивая область на произвольное количество частей
(^3), можно всегда получить матрицу системы в трехдиаго-
нальной форме.
Процедура решения уравнения (6.19) аналогична предыду-
щему случаю и получается как обобщение равенств (6.18):
К(+1 = К(+1-СГ(К,)-'Сг, «=1,2........N—1, (6.20а)
Ri+i = R«+, - СГ(К()_1 R/, /=1,2.....IV- 1,	(6.206)
где N — число частей. Для i — 0 имеет место следующее соот-
ношение:
Ki = Kl, Ri = Ri.	(6.20в, г)
Экономия оперативней памяти, разбиение и приведение
149
Рис. 6.4. Разбиение сетки метода конечных элементов.
Первую подсистему из уравнения (6.19) описывают выра-
жением
KjjSi 4- С 1^2 — Кь	(6.21)
которое после использования равенств (6.20) и обратной ма-
трицы (Ki)”1 принимает вид
01==(K.rIR1-(Kir’C1S42.	(6.22)
Для второй подсистемы из уравнения (6.19) получаем выра-
жение
К2Ф2 “г С2963 ~ Ra»	(6.23)
которое после подстановки фу из (6.22) и использования ра-
венств (6.20) может быть представлено в виде
& = (КГ* Й2 - (КГ* С2^3.	(6.24)
Из уравнений (6.22) и (6.24) становится очевидной общая
форма решения $5,, и можно легко показать, что
^Kf’R.-K.'CA+b 1 = 1.2........N—1.	(6.25)
1Б0-
Глава 6
. Из последней подсистемы получим
^лФл + К<04 — Ri.
Используя (6.20) н (6.25), придем к выражению
A = (K()-‘r4.
Обобщение этого результата-дает
fSjv = (к % Ку,-
(6.26)
(6.27)
(6.28)
что вместе с (6.25) определяет совокупность уравнений для всех
фс, г==1, 2, ...» N. Поскольку подматрицы известны явно,
уравнение (6.27) может быть разрешено относительно ф^ За-
тем последовательная обратная подстановка с использованием
уравнений (6.25) для i = 3, 2 и 1 дает решения 03, ф2 и j5lt
Иллюстративный пример 6.1. Рассмотрим задачу теплопередачи рис, 2.1
с использованием копечноэлемелтпой сетки рис 2.4. Пусть область теплопере-
дачи разбита, как показано на рис. 6.4. Матрица системы уравнений была
получена ранее и определяется выражением (2.36) Как показано на рис. 6.4,
решение известно в узлах с номерами 1, 2. 3 и 13, 14, 15. Следовательно,
соответствующие уравнения в узлах могут быть исключены в соответствии
с алгоритмом, описанным в разд. 3.3.4. Можно показать, что матрица жест-
кости системы К приводится к виду
10 -2	0	-4 0	0		
-2 20	-2	0 -8	0		Л
0 -2	10	0 0		L	К'
-4 0	0п	16 -2	оН	-4 0 0	Т-,
0 -8	0	-2 20	-2	0-8 0	тв
0 0	-4	0 -2	10	0 0-4	л
		-4 0	0	10 -2' 0	Ло
		0 -8	0	-2 20 -2	Л1
		0 . 0	-4	0 -2 10	т12
'200'
400
200
400
800
4.400.
, (6Z29)
где подматрицы соответствуют разбиению уравнения (6.29).
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение
151
Используя равенства (6.20)
К,
10-2
-2 20
О -2
для К/ и Rz при i =a 1, 2 н 3, можно получить
О
-2
10
к
200"
400
200
(6.30
К;
8,36667
- 2,33333
-0,03333
- 2,33333
16,66667
- 2,33333
- 0,03333"
’ 2,33333
8,36667
R
’100"
200 ,
100.
(6.32)
К:
8,0060 - 2,5833 -0,0893
- 2,5833 15,8333 -2.5833
-0,0893 -2,5833 8,0060
R,
’466,6667'
933,3333
466,6667
(6.33)
Далее вычисляются матрицы, обратные к Ki? Кг и Кз:
д шо
196
20
. 4
20
100
20
4
20
196
(6.34)
KJ1
1075,2000
6
" 120,0880
20,9126
_ 8,0874
Теперь получается решение Тз из Т3 =
---------- -------- 8 087^
20,9126
120,0880.
(6.25) при I
— юо л
v-1._____!___
3	906,6788
Г 134 19,6 6 "
| 19,6 70 19,6 ,
19.6 134 _
20,9126
64,0881
20,9126
(Кз)-1Кз в виде
~Г 466,6667 Л
8,0874 ~
20,9126
120.0880 _
(6.35)
(6.36)
20.9126
64,0881
20,9126
Решейие Т2 следует из уравнения
6 1
19,6
134 J
906,6788
1075,20
I-" 120,0880
20,9126
_ 8,0874
Г134 19.6
19.6 70
L 6 19,6
"87,50 “
. 87,50
„87,50 _
(6.37)
[ = 2:
“ —4
О
О
о
-8
О
О-----87,50
О
87,50
„87,50_____I
(6.38)
Наконец, Ti вычисляется из уравнения (6.25)
Г 4 О
 0 —8
!_о О -
1920
“196 20 4
 20
_ 4
100 20
20 196 J
Г200“Т
400 -
0 200 J
при i
0~|Г
о
"75,00
Г 62,50 Л
(63 »
152
Глава 6
Из уравнений (6.37)—(639)	можно составить	сводку значений решения.
71=50,	7а=50,	73 = б0,
Г* = 62,5,	7S = 62,5,	7в = 62,5,
77 = 75,	7в=75,	7в = 75,	(6.40)
71о = 87,5,	7И =67,5,	712 = 87Д
713=100,	7Н = юо.	71Б=юо,
которая совпадает с приведенной ранее [см. (2.37)].
Упражнение 6.1. Составьте блок-схему и разработайте вычислительную
программу, основанную на алгоритме приведения к трехдиагональному виду,
описанному в разд 6.4.
Литература
1.	George J A, On the density of finite element matrices, Internal. J. Numer,
Methods Engrq, 3, 297—300 (1972)
2.	Bathe К-J , Wilson E L, Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nev Jersey, 1976
3.	Fenvcs S J, Perrone N, Robinson A R, Sclinobrich W C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics. Academic Press, New York,
1973
4.	Norrie D H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,-.
1976
5.	Wilson E L, Special numerical and computer techniques for the analysis
' of finite element systems. Proc U. S —Germany Symp. Formulations and
Computational Algorithms in Finite Element Analysis, 9—13 August 1976,
MIT, Cambridge. Massachusetts.
7
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этой главе кратко описываются некоторые основные понятия
теории вариационного исчисления и их приложения к задачам
расчета полей. Дополнительные подробности вариационного ис-
числения могут быть найдены в соответствующих учебниках
[1—3]. Вариационное нсчнсление широко применяется в физике;
некоторые наиболее важные приложения описываются в конце
настоящей главы.
7.1. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ
7.1.1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основная теорема математического анализа устанавливает, что
любая функция t/ = f(x), непрерывная1) в области а^х^Ь,
достигает своих минимального и максимального значений в
этой области. Более того, если f(x) достигает своего минимума
(или максимума) в х = хо, где a <Z хо <Z Ь, то Хо может быть
иайдеио как решение х = хо уравнения
df (x)/dx = 0,	(7.1)
если в х0 существует первая производная функции Дх). *
Утверждение, приводящее к уравнению’ (7.1), может быть
выражено в следующей альтернативной форме. Если непрерыв-
ная функция y — f(x), определенная в области а х Ь, до-
стигает своего максимального или минимального значения в
точке х = хо, то первая производная f(x) по х в этой точке
должна обращаться в нуль, н, следовательно, первая вариация
функции f, обозначаемая 6f, которая иногда рассматривается
как дифференциал df, должна обращаться в нуль для любого
изменения бх в х, т. е.
bf = (df/dx)bx = O.	(7.2)
Дальнейшее дифференцирование функции у — f(x) определяет
относительный минимум, максимум или минимаксное условие
Здесь и ниже предполагается, что удовлетворяются условия, необходи*
мые для существования и непрерывности функции и ее производных.
152
Глава 6
Из уравнений (6.37)—(6.39) можно составить сводку значений решения:		
Л =50,	= 50,	Та = 50,
Т4 =» 62,5.	Т5 = 62,б,	Тв = 62,5,
Т7 ==75,	Тв = 75,	Те = 75,	(6.40)
		.			
Т10 = 87,5,	Тп=87,5,	Tj2 = 87,5,
713=100,	f 14 = 100,	Т15=100,
которая совпадает с приведенной ранее [см. (2.37)].
Упражнение 6.1. Составьте блок-схему н разработайте вычислительную
программу, основанную на алгоритме приведения к трехдиагональному виду,
описанному в разд. 6.4.
Литература
1.	George J. Л., On the density of finite element matrices, Internal. J. Numer.
Methods Engrg., 3, 297—300 (1972) .
2.	Bathe К-J., Wilson E. L., Numerical Methods in Finite'Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
3.	Fenves S. J., Perrone N_, Robinson A. R., Schnobrich W. C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press, New York,
1973.
4.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,-
1976.
5.	Wilson E. L., Special numerical and computer techniques for the analysis
' of finite element systems. Proc. U. S. — Germany Symp. Formulations and
Computational Algorithms in Finite Element Analysis, 9—13 August 1976,
MIT. Cambridge. Massachusetts.
7
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этой главе кратко описываются некоторые основные понятия
теории вариационного исчисления и их приложения к задачам
расчета полей. Дополнительные подробности вариационного ис-
числения могут быть найдены в соответствующих учебниках
[1—3]. Вариационное исчисление широко применяется в физике;
некоторые наиболее важные приложения описываются в конце
настоящей главы.
7.1.	МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ
7.1.1.	ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основная теорема математического анализа устанавливает, что
любая функция y = f(x), непрерывная1) в области a^sZx^b,
достигает своих минимального и максимального значений в
этой области. Более того, если f(x) достигает своего минимума
(или максимума) в х — х0, где а < х0 < Ь, то хо может быть
найдено как решение х = хо уравнения
df (x)/dx==0,	(7.1)
если в Хо существует первая производная функции f(x). '
Утверждение, приводящее к уравнению (7.1), может быть
выражено в следующей альтернативной форме. Если непрерыв-
ная функция y~f(x), определенная в области а х Ь, до-
стигает своего максимального или минимального значения в
точке х = х0, то первая производная f(r) по х в этой точке
должна обращаться в пуль, и, следовательно, первая вариация
функции f, обозначаемая которая иногда рассматривается
как дифференциал df, должна обращаться в нуль для любого
изменения бх в х, т. е.
df==(df/dx)6x = 0.	(7.2)
Дальнейшее дифференцирование функции y — f(x) определяет
относительный минимум, максимум или минимаксное условие
*) Здесь и ниже предполагается, что удовлетворяются условия, иеобходн’
мые для существования и непрерывности функции и ее производных.
1Б4
Гпава 7
функции f(x) в точке х = х0:
минимум, если d2f/dxz > О
максимум, если d?f/dx2 < О
минимакс, если d2f/dxz~0
при	х = х0,	(7.3а)
при	х = х0,	(7.36)
при	х = х0.	(7?3в)
Уравнение (7.1) [или, в альтернативной форме, (7.2)] пред-
ставляет собой необходимое условие существования минимума
функции f(x) в точке хо, хотя выражения (7.3) показывают, что
оно не является достаточным условием. Уравнение (7.2) явля-
ется, однако, необходимым и достаточным условием стационар-
ности функции f(x) в точке х = хс Говорят, что функция f(x)
стационарна в точке х —хо, если она в этой точке либо дости-
гает своего минимума или максимума, либо удовлетворяет
условию минимакса.
* 7.1.2. ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теперь рассмотрим необходимые условия стационарности зна-
чений непрерывной функции
Z = f(*. ff)-	'	(7.4)
Поскольку z зависит и от х, и от у, необходимо дифференциро-
вать по обеим переменным и совместно решать полученные в
результате уравнения. Таким образом, если функция z является
стационарной в точке (хо, уо), то х0 и у0 будут решениями си-
стемы уравнений
df/dx~ 0,	(7.6 а)
df/dy~O;	(7.56)
С другой стороны, если z = f(x, у) стационарна в точке
(х, у)"(х$, t/o), то вариация этой функции должна быть нуле-
вой для любых вариаций бх и бу, т. е.
бМ^->+(<>=°	<7-е>
в точке (х, у) — (х0, Уо) - Уравнения (7.5а) и (7.56) следуют из
(7.6) ввиду произвольности и бх, и бу.
7.1-3. ФУНКЦИИ п НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Процедура, приведенная в предыдущем разделе, может быть
обобщена на функции п независимых переменных. Рассмотрим
функцию f{xlt х2, ..., х„), непрерывную в замкнутой области.
Вариационное исчисление и его приложение	155
Можно ожидать, что найдется точка (хр х2, .... ^в)=(44 •••
хп) = -^°’ в к0Т0Р°й Функция f(x<) стационарна. Обобще-
ние уравнения (7.6) показывает, что необходимым и достаточ-
ным условием стационарности функции f(x/) в точке Х° яв-
ляется равенство нулю в этой точке первой вариации функции
f{x() для произвольных вариаций бх;, t= 1, 2, п, т. е.
у=«-)^+(<)^+-+«)^+-
+(^)Ьх" = °- <77)
Уравнение (7,7) может быть переписано в более простой форме:
где
df (Х°) df (х,\ 1	, „
=	, < = 1, 2, .... п.	(7.9)
dXj	dxf |Ло	’	’	'	'
есть частная производная от f(xt) по х/, вычисленная в точке Х°.
Поскольку уравнение (7.7) является верным для любых ва-
риаций бхъ /— 1, 2, п, все они кроме одной могут быть
выбраны нулевыми. Пусть независимой переменной, для кото-
рой выбрана ненулевая вариация, будет xfe, т. е.
бх/^0, /=l,2,.,.,n,/VA.	(7.10)
Подставляя уравнения (7.10) в (7.7), получим
6/=^-^6^ = 0	(7.11)
для произвольного значения бх*. Отсюда следует, что
df(X°)/dxk = 0.	(7.12)
Поскольку независимая переменная хк была выбрана произ-
вольной, выражение (7.12) должно быть справедливо для всех
Хц. Поэтому необходимое и достаточное условие стационарно-
сти функции f(xx) в точке Х° сводится к системе совместных
уравнений
df (X^/dxj^O, 1, 2, .... пс	(7.13)
7.2. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА
В предыдущем разделе были рассмотрены необходимые и до-
статочные условия стационарности функции независимых пере-
менных. Однако во многих приложениях не все переменные
156
Глава 7
независимы. Рассмотрим, например, необходимые и достаточные
условия стационарности непрерывной функции f(x,), i = 1,2, ...
..., п, определенной в данной области, если х{ удовлетворяют
т уравнениям связей
gk М = 0.
k= 1, 2.т, т<п.
(7-14)
Один из возможных методов решения состоит в следующем:
т уравнений связи могут в принципе быть решены для т пере-
менных в терминах оставшихся п — т переменных. Полученные
таким образом связи после подстановки в функцию f(xt),i =
= 1, 2, ..., п, дадут новую функцию F(xm+b хт+2, ..., х„).
В этой функции все переменные хот+ь хт+2, .... хп независимы,
поскольку уже исключена первоначальная зависимость. Поэтому
критерий, описанный в разд. 7.1.3, может быть непосредствен-
но применен к Г(хж+ь Хт+2, .х»), что даст п — т уравнений
^U'ri+ь хт+2, .. > хп)1дх1 = 0, j =	1, m + 2, n, (7.15)
которые вместе с т уравнениями (7.14) образуют систему п
уравнений, из которой могут быть определены п искомых пере-
менных х°, xj, ..., х^.
Хотя вышеприведенная процедура дает правильное решение,
она является весьма громоздкой на практике, особенно если
рассматриваются функции трех и более переменных. Более эле-
гантный подход получается при использовании метода множи-
телей Лагранжа, который описывается ниже.
Уже установлено, что необходимым и достаточным условием
стационарности функции f(xz) в точке явлиется равенство
нулю в этой точке первой вариации f(xt) для произвольных ва-
риаций бх/, т. е.
•	п
(7.16)
В рассматриваемом случае, однако, не все X/ независимы, и,
следовательно, нельзя сделать вывод, что все частные произ-
водные df(X°)/dxl одновременно обращаются в нуль. Из урав-
нений связи (7.14) получаем
6&(П = Ё^^-а«/ = 0. А=1, 2...........т, т<п. (7.17)
В эти уравнения следующим образом вводятся т новых пере-
менных—множители Лагранжа	Каждое нз урав-
нений (7Л7) умножается иа соответствующее X*, а результаты
Вариационное исчисление и его приложение
157
прибавляются к (7.16), что дает
tn
Поскольку величины Кц произвольны, оии могут быть выбра-
ны так, чтобы первые т членов в квадратных скобках в (7.18)
обращались в нуль. Оставшиеся п—т переменных х, в (7.18)
независимы, следовательно, их вариации 6х} произвольны и соот-
ветствующие п — т членов в квадратных скобках (7.18) также
должны обращаться в пуль. Таким образом, эти два условия
дают систему п уравнений
4^ + 1 >-*4^ = 0- /=>.2.....................п. (7.19)
1	й—1	1
которые вместе с т уравнениями связи (7.14) образуют си:
стему т -f- п уравнений с т + п неизвестными Хр К2, ..Xm, xj.
Процедура, описанная выше, может быть построена нз Дру-
гих соображений. Пусть новая функция F(хь х2,	, хп; Хц
%2> ...» Кп) определяется как
F (х,-, >./) = f (Xi) + Е Kkgt (xt), 1 = 1, 2.n, (7.20)
/ = 1, 2, ..., m, m < n.
Поскольку m уравнений связи (7.14) включены в выражение
(7.20) для F(xr, X/), очевидно, что F(x(; Х;) есть функция п-\-т
незввисимых переменных. Поэтому (см. разд. 7.1.3) для стацио-
нарности F(x,\ X/) необходимы и достаточны следующие усло-
вия:
dF{xe,	j=l, 2,	(7.21a)
dF(xt; X/J/dX^O, 1, 2, .... m. (7.216)
Подставляя F(x,-; Xz) из (7.20) в (7.21), получим систему
т + п уравнений
+	=	/ = !. 2.....«.	(7.22)
1	к-1	1
gt(,xl} = 0, k=l, 2.......m,	(7.23)
которые совпадают с (7.19) и (7.14) соответственно.
158
Глава 7
Изложенное выше показывает, что метод множителей Ла-
гранжа является эффективным средством, когда приходится
иметь дело с уравнениями связи. Часто граничные условия в
задаче расчета поля могут рассматриваться как уравнения
связи и может применяться метод множителей Лагранжа.
7.3. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
В предыдущем разделе рассмотрена задача поиска стационар-
ных значений явной функции. Во многих приложениях, одиако,
требуется найти стационарное значение интеграла, а не функ-
ции. Поскольку известно, что интеграл является функционалом,
будут рассмотрены условия, необходимые для его стационар-
ности.
7.3.1. ОДНА НЕЗАВИСИМАЯ И НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ —УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
В этом разделе будут исследованы функционалы с одной неза-
висимой и несколькими зависимыми переменными Рассмотрим
функционал
. Х= $ Г[мх).	«’ = *• 2..т, (7.24)
а
при условиях
(«) = «; yt(b) = bt,	(7.23)
где функция F зависит не только от х, но и от т функций yi(x)
и их первых производных dy,{x)/dx. Пробные функции yi(x) в
(7.24) должны быть допустимыми, т. е. они не должны нару-
шать каких-либо требований вариационного процесса. Для этой
задачи к допустимым функциям относятся те функции, которые
являются непрерывными и имеют кусочно-непрерывные первые
производные в а х Ь.
Рассмотрим теперь вариацию х» которая для стационарного
значения интеграла (7.24) примет вид1)
ех= (FJLaj,+—2£_б(^1)1йл:=о.	(7.26)
А J L & dfdyjdx) \ dx J J	'	'
Записывая
l/t = dytldx	(7.27)
и замечая, что
6 {dy^dx) = d {tyd/dx = {by д',	. (7.28)
ч) Используя стандартное обозначение суммирования (см. разд. 1.3.3).'
Вариационное исчисление и его приложение
15$
перепишем (7.26) в виде
+	=	(7.29)
aVl J
Интегрируя по частям второй член (7.29), получим
6% “ SHF “ Т~ (dx + 7^ Ъу* £ - °- (7.30)
Если пробные функции yt(x) удовлетворяют главным гранич-
ным условиям (7.25), то (7.30) сводится к
вх=Ц^-^(&)]^‘к=0-	(7-31)
Поскольку выражение в квадратных скобках (7.31) внутри
Интервала интегрирования непрерывно, а вариации бу» I =
= 1, 2, ♦ т, произвольны,
-	*=1Д-.,т.	(7.32)
dpt dx \ ду . )
Уравнения (7.32) являются обыкновенными дифференциаль-
ными уравнениями второго порядка и называются уравнениями
Эйлера для этой задачи. Специальные пробные функции *д(х),
для которых х имеет стационарное значение, также удовлетво-
ряют уравнениям Эйлера.
7.8.2. ОДНА ЗАВИСИМАЯ И НЕСКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Во многих задачах функционал имеет только одну зависимую и
несколько независимых переменных. Для иллюстрации необхо-
димых и достаточных условий наличия стационарного значения
будет наследован функционал
(7.33)
D	S
где р— функция координат т'очки, расположенной на границе
S, заключающей область D, и где для допустимости пробных
функций Т(х, у) требуется их непрерывность вместе с кусочной
непрерывностью первых производных в О S.
160
Глава 7
Как и ранее, необходимым условием стационарности % яв-
ляется обращение в нуль вариации 6%, т. е.
=$ [£6 (Ю+>6 ОdD+S рът dS=°- (7-34)
D	S
Замечая, что	‘ "
6(-^)=-^<67)-	<7-35а)
6«)==w(67k	(7-35б)
можно записать (7.34) в виде
«х= S [<4<67> + <i-<67>PD+ $ P67dS = °- (7.36)
D	»
Формула Грина может быть записана следующим образом:
С(-Л а^_+&<_	_г ГЛ Лч
j V дх дх 1 ду ду J ~ j V сЪс2 1 ду2)	1
D	'	D
+ \v(£n*+^n*)ds- (7'37)
S
где пх и пу — компоненты единичной внешней нормали к S, обо-
значаемой и. От функций и — и(х, у) и v = v(x, у) требуется
их непрерывность в D-f-S и кусочная непрерывность их вторых
производных в D-f-S. Первые производные функции и должны
быть непрерывными, а функции v могут быть кусочно-непрерыв-
ными [4].
Сначала рассмотрим случай, когда функция Т непрерывна
вместе со своими первыми производными в D 4- S. Поскольку
условия непрерывности 6Г те же, что и для Т, формула Грина
может быть использована для того, чтобы преобразовать инте-
грал по области к виду
S О4<67» + И dD = - $ bnVdD +
D	D
+	M ЬГ dS = - $67727 dD + $ 67 dS- <7-38>
S	D	S
где
V2? = (d2T/dx?) _|_ (д2т/ду2).	(7.39)
Подставляя (7.38) в (7.36), получим окончательно
ex=-$V2767dD + $(p + ^-)67dS==0.	(7.40)
D	$
Вариационное исчисление и его приложение
К1
(7.40.) нёзави-
Поскольку интегралы по области и по границе в
симы, имеем
^2Тбгао=о D	<7.4 la)
^p+^bTds-°- S	(7.416).
Ввиду произвольности 67 в D из (7.41а) следует	
?2Г-0 в D,	(7.42)
а из (7*416)	
(дТ!дп) -ф р = 0 иа S.	(7-43)
С другой стороны, если функции Т(х,у) на части	границы, обо-
зиачаемой Si, предписано условие Т ~ g, т. е.	
Т = £ на Sj,	(7-44)
которое не оговаривается для оставшейся части,	обозначаемой•
S,1). где	
s=s1 + s2.	•(7.45)
и, кроме того, если пробные функции Т(х, у) выбираются таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (7.44), то	
вариации / обращаются в нуль на Si, т. е.	
67 — 0 иа Sj.	(7.46)
Тогда выражение (7.416) принимает вид	
Kp+^)firdS=°- Si	(7.47)
что с учетом произвольности 67 на S% дает	
(дТ1дп) ф р = 0 на S2.	(7.48)
Теперь рассмотрим случай, когда функция Т является непре-
рывной и имеет кусочно-непрерывные первые производные. По-
верхности разрыва первых производных разделяют область Ь
на подобласти. К каждой из подобластей может быть приме-
нена формула Грина, и, следовательно, уравнение (7.38) спра-
ведливо для подобласти.
Объединение этих уравнений для подобластей дает уравне-
ние для области, совпадающее с уравнением (7.38), за исклю-
чением дополнительного члена в?правой части — интеграла по
поверхности раздела. Этот интеграл оказывается слагаемым в
’) В этом случае поверхностный интеграл в (7.33) и последующих урав-
нениях относится соответственно к Ss.
16Й
Глава 7
среднем выражении уравнения. Одиако благодаря тому что 67
является произвольной величиной на D-|-S, интеграл по обла-
сти, поверхностный интеграл и интеграл по поверхности раздела
в (7.40) должны быть независимыми и по отдельности рав-
няться нулю. Поэтому уравнения (7.41) — (7.48) остаются спра-
ведливыми, когда функция Т непрерывна и имеет кусочно-непре-
рывные первые производные.
Короче говоря, из вышеизложенного следует, что функция г)
Т(х, у), обеспечивающая стационарность функционала (7.33),
является также решением уравнения для поля
V27 = 0 В D	(7.42)
и удовлетворяет условию Дирихле
на Sj	'	(7.44)
и условию Неймана
(д7/сМ + р = 0 на S2.	(7.48)
В рассмотренном примере граничное условие Дирихле (7.44)
является предписываемым, или главным граничным условием,
тогда как условие Неймана (7.48) представляет собой естест-
венное граничное условие. Последний термин естественным об-
разом вытекает из самой вариационной процедуры. Кстати, сле-
дует заметить, что в некоторых случаях естественное граничное
условие может быть изменено модификацией функционала,
чтобы удовлетворить требованиям исследуемой задачи
7.4.	ДОПУСТИМОСТЬ И КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Важно, чтобы была совершенно понятна роль, которую играют
условия допустимости, налагаемые на пробные функции в ва-
риационной задаче. Функционал для такой задачи может быть
записан в общем виде следующим образом:
....ym)dD,	(7.49)
D
где yt,- i = 1, 2, ..., гп,— функции Независимых переменных.
Для использования * вариационных процедур, описанных в
разд. 7.3.1 и 7.3.2, нужно указать требования к гладкости проб-
ных функций уи у2, ...» Ут, которые используются в (7.49). Эти
требования к гладкости являются условиями допустимости
функций в рассматриваемой задаче. Для простоты будет про-
>) Из класса допустимых функций, т. е. таких, которые являются вепре*
рывными и имеют кусочио-нспрерывиые первые производные.
Вариационное исчисление и его приложение
163
анализирован случай одной зависимой переменной, т. е. т — 1
в (7.49), но рассуждения легко могут быть обобщены на случай
двух и более зависимых переменных.
Следует отметить, что требования к гладкости, налагаемые
на пробную функцию определяющим дифференциальным урав-
нением, функционалом и вариационными преобразованиями1),
вообще говоря, различны. Рассмотрим в качестве примера за-
дачу из разд. 7.3.2, которой соответствует дифференциальное
уравнение второго порядка (7.42). В физической задаче, опи-
сываемой этим уравнением, физическое решение обычно яв-
ляется непрерывным вместе с непрерывными первой и второй
производными. Функционал (7.33) содержит только первые
производные и может быть вычислен, если пробная функция
непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные.
Если бы функция сама была кусочно-непрерывной, то первые
производные были бы неопределенными * 2) в точках разрыва и
значение интеграла соответственно было бы неопределенным.
Хотя вариационные преобразования между (7 35) и (7.38) на-
кладывают требования непрерывности пробной функции вместе
с непрерывностью первых производных, заметим, что формули-
ровка может быть обобщена на случай непрерывности пробной
функции и кусочной непрерывности первых производных Усло-
вия для этого случая являются самыми слабыми допустимыми
условиями относительно гладкости функций, налагаемыми ва-
риационной процедурой, и поэтому рассматриваются как усло-
вия допустимости задачи.
Заметим, что условия гладкости, допускаемые вариацион-
ными преобразованиями, совпадают с аналогичными условиями,
налагаемыми функционалом. Действительно, условия гладкости,
связанные с вариационными преобразованиями, нс могут быть
более общими, чем соответствующие условия, определяемые
только функционалом. В следующей главе будет определен до-
вольно широкий класс инженерных задач, определяемых урав-
нением (8.3). Для этого класса наиболее общие условия гладко-
сти, допускаемые вариационной процедурой, совпадают с усло-
виями, получающимися из функционала. Но, как показано в
разд. 8-8, это не всегда верно для других задач.
!) Условия допустимости задают гладкость, требуемую для вариационной
процедуры Для удобства в этом разделе гладкости, допускаемые функцио-
налом и (остальными) вариационными преобразованиями, рассматриваются
по отдельности, поскольку преобразования налагают более жесткие требова-
ния, чем условия допустимости
2) В литературе такие неопределенные производные иногда представля-
ются бесконечными производными В рамках обычного математического ана-
лиза это не корректно, но, определяя разрывность в терминах 6-фупкции,
такое представление можно согласовать [5, 6].
164
Глава 7
Для задачи из разд. 7.3.2 необходимо рассмотреть следую-
щие условия непрерывности:
Источник.
а)	Дифференциальное
уравнение
б)	Функционал
в)	Вариационное преоб-
разование
Требования к непрерывности пробной
функции
Непрерывность функции и ее первой и второй
производных
Непрерывность функции и кусочная непрерыв-
ность первой производной
Непрерывность функции и кусочная непрерыв-
ность ее первой и второй производных
Класс пробных функций а) входит в классы б) ив), поскольку
непрерывную функцию можно рассматривать как частный слу-
чай кусочно-непрерывной функции. Рассмотрим теперь случай,
когда решение дифференциального уравнения ищется посред-
ством выбора среди допустимых пробных функций именно той
функции, которая обеспечивает стационарное значение функ-'
ционала.
Если ие указаны дополнительные условия гладкости, одно и
то же решение может быть найдено независимо от того, сделан
ли выбор из ограниченного множества пробных функций, ука-
занных в а), или более широкого класса, допускаемого в в). Это
решение непрерывно вместе с первой и второй производными.
Как показано Курантом и Джоном [7], вариационная процедура
всегда дает решение, непрерывное вместе с производными, если
допустимые пробные функции обладают такой же гладкостью.
Однако если пробная функция описана в терминах конечных
элементов, то тип выбранного элемента может помешать непре-
рывности производных при переходе через границу между эле-
ментами. Для пояснения этих идей рассмотрим линейный трех-
узловой треугольный элемент в задаче из разд. 7.3.2. Непрерыв-
ная пробная функция для температуры Т имеет точно1) кусоч-
но-непрерывные первые производные. Поскольку при условиях
непрерывности б) и в) вариационная процедура справедлива,
то в классе допустимых функций может быть найдена конкрет-
ная пробная функция, для которой функционал принимает ста-
ционарное значение. Может быть показано, что для рассматри-
ваемой задачи стационарное значение, полученное вариационной
процедурой, действительно является минимумом. Однако при
выбранном конечном элементе этот минимум не так мал, как
-минимум* 2), который был бы получен, если использовать проб-
ную функцию нс только непрерывную, но п имеющую непрерыв-
ные производные. Поэтому решение, полученное с помощью ко-
’) Т. с. имеются причины, мешающие непрерывности первых производных.
2) Он должен быть наименьшим значением для фупкшюпача, которое
можно получить при ограничениях па гладкость, определяемых вариационной
процедурой для рассматриваемой задачи.
Вариационное исчисление и его приложение	165
иечных элементов, является аппроксимацией точного решения ’)
дифференциального уравнения.
Из вышеизложенного следует, что выбранная для некоторой
задачи пробная конечпоэлементная функция не .должна нару-
шать вариационной процедуры, т. е. ее гладкость должна удов-
летворять условиям допустимости* 2).
- 7.5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ФИЗИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ
Для многих физических задач правильно сформулированный ва-
риационный подход приводит к функционалу, стационарное зна-
чение которого дает решение задачи. Некоторые часто исполь-
зуемые функционалы удачно описаны Десаи и Абелем [8]. Как
замечено Финлейсоном и Скрайвеном [9], истинные функцио-
налы обычно могут быть найдены только для линейного и само-
сопряженного определяющего уравнения. Для других задач
было предложено большое количество различных так называе-
мых вариационных принципов. Одним из первых был вариа-
ционный принцип Онзагера [10]; за ним были введены прин-
ципы Розена [11—13], Чамберса [14], Херайвэла [15], Хейса
[16], Гленсдорфа и Пригожина (он ввел локальный потенциал)
[17, 18] и Байота [19—22].
Указанные вариационные принципы были проанализиро-
ваны Финлейсоном и Скрайвеном [9], показавшими, что эти
принципы не являются чисто вариационными, а эквивалентны
„методу Галеркипа или аналогичному методу невязок, который
фактически легче применим. Другие вариационные принципы
разработаны Либером и др. [23, 24], Виссером [25] и Гартипом
[26]. Метод последней работы был использован для конечно-
элементного анализа динамических задач [27—29], но по край-
ней мере в одном случае была показана [30] эквивалентность
этого подхода методу Галеркина.
Из вышесказанного трудно не сделать вывод, что, кроме,
линейных самосопряженных задач, не представляют особой цен-
ности попытки найти вариационное конечноэлементное решение
более простым путем, чем методом невязок. Как было указано
Финлейсоном и Скрайвеном [9],
«эти схемы аппроксимации гораздо легче воспринимаются как прямой метод
Галеркина или другой близкий вариант метода взвешенных невязок. Посколь-
J) Т. е. это решение непрерывно вместе со своими первыми и вторыми
производными.
2) Иногда можно нарушить эти условия и все же получить решение, ко-
торое ие только дает удовлетворительную аппроксимацию точного решений,
но и сходится к нему, когда размер элемента стремится к нулю (см. подраз-
дел в разд. 8.4, посвященный несогласованным элементам).
166
Глава 7
ку эти процедуры прямой аппроксимации полностью обходятся без красот
вариационной формулировки, им не придается особого значения в литера-
туре...
Кроме того, линейные самосопряженные системы на практике встречаются
сравнительно редко, так что в вариационной формулировке нет особой прак-
тической необходимости. Для получения приближенною решения лучше по-
советовать ученому-прикладнику и инженеру непосредственно использовать
для их задач методы прямой аппроксимации вместо того, чтобы разбираться
в квазивариациоиных формулировках и ограниченных вариационных прин-
ципах».
Литература
1.	Schccter R. S., The Variational Method in Engineering, McGraw-Hill, New
York, 1967. [Имеется перевод: Шсхтср P. С., Вариационный метод в ин-
женерных расчетах. — М.: Мир, 1971.]
2.	Forray М. J., Variational Calculus in Science and Engineering, McGraw-
Hill, New York, 1968.
3.	Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике. — М-: Нау-
ка, 1970.
4.	Sternberg W. J. and Smith Т, L., The Theory of Potential and Spherical
Harmonics, Univ. of Toronto Press, Toronto, 1944; rev. ed. 1946.
5.	Lynn P. P., Arya S. K., Finite elements formulated by the weighted least
squares criterion, Ini. I. Num. Meth. Engrg., 8, 71—90 (1974) .
6.	Strang G„ Variational crimes in the finite element method, in: Mathematical
Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial
Differential Equations (Aziz A, K., cd.), pp. 689—710, Academic Press, New
York, 1972.
7.	Courant R.. John F., Calculus and Analysis, Vol. 2, Wiley -"Сш terscience),
New York, 1974.
8.	Desai C. S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Nostrand-Rcinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
9.	Finlayson В A., Scriven L. E., On the search for variational principles,
Internal. J. Heat Mass Trasfer,\Q, 799—821 (1967).
10.	Onsager L., Reciprocal relations in irreversible processes, Phys. Rev., 37,
405—426 (1931).
11.	Rosen P., On variational principles for irreversible processes. J. Chem.
Phys., 21, No. 7. 1220—1221 (1953).
12.	Rosen P., Use of restricted variational principles for the formation of diffe-
rential equations, J. Appt. Phys., 25, 336—338 (1954).
13.	Rosen R., Variational approach to magneto-hydrodynamics, Phys. Fluids, I,
251 (1958).
14.	Chambers L. C, A variational principle for the conduction of heat, Quart.
I. Meeh. Appl. Math., 9, 234—235 (1956).
15.	Herivel J. W., A general variational principle for dissipative systems, I &ll,
Proc. Roy. Irish Acad., 56, Sect. Л, 37—44, 67-75 (1954).
16.	Hays D. F., Variational formulation of the heat equation: Temperature-
dependent thermal conductivity, in: Non-Equilibrium Thermodynamics, Varia-
tional Techniques and Stability (Donnely R. J.. Herman R., Prigogine I.,
eds.), pp. 17—43, Univ, of Chicago Press, Chicago, Illinois, 1966.
17.	Glansdorff P-, Prigogine f.. On a general evolution criterion In mascroscoptc
physics, Physica, 30, 351—374 (1964).
18.	Glansdorff P., Prigogine 1., Sur les proprietes dlfferentielles de la produc-
tion d’enlropie. Physica Grav., 20, 773—780 (1954).
19.	Biol M, A., Variational principles in irreversible thermodynamics with
application to viscoelasticity, Phys. Rev., 97, 1463—1469 (1955).
20.	Biot M. A., New Methods in heat flow analysis with application to flight
structures, /. Aeronaut. Set., 24, 857—873 (1957).,
вариационное исчисление и его приложение	167
21.	Biot М. A., Further developments of new methods in heat-flow analysis,
J. Aerospace Sci., 26, 367—381 (1959),
, 22. Biot M. A., Variational Principle? in Heat Transfer, Oxford Univ. Press,
London — New York, 1970.
23.	Lieber P., Koon-Sang W., A principle of minimum dissipation for real fluids,
Proc. Internal. Congr. Appt. Meeh., 9th, Brussels, pp. 114—126, 1957.
24.	Lieber P., Anderson O., Кооп-Sang W., A principle of virtual displacements
for real fluids, Proc. Internal. Congr. Appl. Meeh., 9tli, Brussels, pp. 106—-
113, 1957.
25.	Visser U7., A finite element method for the determination of nonsiationary
temperature distribution and temperature distortion, Proc. Conf. Matrix Me-
thods Struct. Meeh., 1st, Wright-Patterson AFB, Ohio, 26—28 October 1965
(AFFDL-TR-66-80), pp. 925—943, November 1966.
26.	Gurtin M, Variational principles for linear initial value problems, Quart.
Appl. Math., 22, No. 3. 252—2o6 (1964).
27.	Wilson E. L.. Nickell R. E., Application of the finite element method to
heat conduction analysis, Nucl. Engrg. Design, 4, 276—286 (1966).
28.	Brocci R. A., Analysis of axisymmetric linear heat conduction problems by
finite clement method, Paper 69-WA/UT-37, ASME Winter Annual Meeting,
Los Angeles, California, November 16—20, 1969.
29.	Javandel 1., Witherspoon P. A., Application of the finite element method
to transient flow in porous media, Soc, Pet. Engrg. J.. 241—252 (September
1968) (also in the Transactions, 343 (1968)].
30.	Lemmon E. C., Heaton H. S., Accuracy, stability and oscillation characte-
ristics of finite element method for solving heat Conduction equation. Paper
69-WA/HT-35, ASME Winter Annual Meeting, Los Angeles, California, No-
vember 16—20, 1969.
8
СХОДИМОСТЬ, ПОЛНОТА И СОГЛАСОВАННОСТЬ
Обычно решение, полученное методом конечных элементов, яв-
ляется приближением к истинному, или точному, решению. Как
близко это вычисленное решение к точному и сходится оно или
нет — вот два важных вопроса. В этой главе с помощью эври-
стических аргументов оцениваются точность и сходимость ме-
тода конечных элементов.
8.1.	точность, устойчивость и сходимость .
ПРИ ЧИСЛЕННОМ решении
Когда выбирается вычислительная процедура, необходимо оце-
нить наряду с другими ее характеристиками точность, устойчи-
вость и сходимость. Точность — это мера близости численного
решения к точному, или истинному, решению. Устойчивость1)
определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вы-
числительных операций. Неустойчивое вычисление является ре-
зультатом аппроксимации, округления или других ошибок, ко-
торые неограниченно накапливаются, вследствие чего истинное
^решение вскоре тонет в ошибках. Сходимость — это постепенное
приближение последовательно вычисляемых решений к пре-
дельному по мере того, как уточняются некоторые вычислитель-
ные параметры, такие, как размер элемента или число членов в
пробном решении. Термин «сходимость» в этом же смысле при-
меняется и к итерационной процедуре, в которой некоторые или
все результаты одного вычисления становятся входной информа-
цией для другого (повторного) вычисления. Таким образом, в
сходящейся процедуре разница между последовательными ре-
зультатами уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Эти три
термина иллюстрирует рис. 8.1. Более точные определения мож-
но найти в книгах по численному анализу и методам вычисле-
ний [1—3]. Следует отметить, что желательной является устой-
чивость каждого вычисления, когда последовательные резуль-
таты быстро сходятся к точному решению.
’) Анализ устойчивости метода конечных элементов выходит за пределы
данной книги и не будет рассматриваться Однако везде пред полагается, что
решение является устойчивым.
Сходимость, полнота и согласованность
IQQ
Из рис. 8.1 видно, что по мере уточнении параметров вы-
числительной процедуры точность растет, если процесс схо-
Рис. 8.1. Точность, устойчивость и сходимость.
• расходящаяся процедура; X сходящаяся процедура.
дится, и падает, если он не'сходится. Таким образом, анализ
ошибок и их причин в методе конечных элементов естественно
приводит к рассмотрению сходимости.
8.2.	ОШИБКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В добавление к обычным ошибкам округления и аппроксима-
ции, связанным с какой-либо вычислительной процедурой, есть
и ошибки, связанные с самим методом конечных элементов
[4—6]. К ним относятся:
а)	ошибки дискретизации, являющиеся результатом геоме-
трических различий границы области и ее аппроксимации по
•методу- конечных элементов;
б)	ошибки пробной или базисной функций, обусловленные
разностью между точным решением и его представлением проб-
ной функцией.
Ошибки дискретизации могут быть уменьшены использова-
нием более мелких элементов или расположением криволиней-
ных элементов около границ и, во всяком случае, стремятся к
нулю по мере стремления к нулю размера элемента. Ошибки
пробной функции не обязательно уменьшаются по мере умень-
шения размера элементов и могут поэтому мешать сходимости
к точному решению или даже приводить к расходимости.
170
Глава 8
В следующих разделах рассматриваются ошибки пробной
функции в связи с ее поведением в пределах элемента, разрыв-
ности на границе между элементами и ее-ч допусти мости.-
8.3.	ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ И -ПОЛНОТА
Рассмотрим множество линейно независимых функций, которые
обозначим Фг. Говорят, что такое множество является полным,
м
если линейная комбинация У, агФг (где а,—константы, выби-
Г“1
раемые подходящим образом) сходится в некотором смысле к
произвольной функции f, когда Af стремится к бесконечности.
Хотя возможны различные определения полноты [7—9], зави-
сящие от определения сходимости, здесь рассматривается пол-
нота только в смысле сходимости в среднем. Для этой ситуа-
ции множество функций является полным, если любая функция
f может быть аппроксимирована с любой требуемой точностью
выбором необходимого числа членов в линейной комбинации
м
Z	[9] , что в пределе дает
м
Пт £агф,->Т.	(8.1)
r=-I
Можно показать, что полиномиальные ряды от одной или
нескольких переменных со всеми членами являются полными
в этом смысле. Из вышеприведенного очевидно, что в общем
случае полиномиальная пробная функция может только тогда
дать точное решение па элементе конечного размера, когда по-
лином является полным и имеет бесконечную степень. Посколь-
ку на практике необходимо использовать конечное число чле-
нов, представление пробной функции в виде полинома не может
быть ничем другим как приближением к точному решению.
Иначе говоря, при представлении пробной функции в виде по-
линома конечной степени на элементе приемлемого размера
пробная функция практически всегда содержит ошибку. Теперь
мы исследуем условия, при которых эта ошибка пробной функ-
ции будет стремиться к нулю но мере .стремления к нулю раз-'
мера элемента.
Для иллюстрации рассмотрим одномерную задачу (тем ие
менее выводы, которые мы получим, могут быть распростра-
нены на дву- и трехмерные случаи). Пусть функционал содер-
жит функцию й и ее производные до порядка р включительно.
Полиномиальное представление для й должно содержать сте-
пень р как минимум, если p-я производная отлична от пуля.
Сходимость, йолнота и согласованность
171
Выбирая полином р-й степени, получим в пределах элемента
следующие представления:
а0 + «|Х + а2х3 + а2хэ + ”*	-
-V = «, + 2а2х + За,.№ + • • •	+ rv4"' 1 •
«л
~-2аа + 6а,х- 	+	2
Аг 1
(В.2)
dp "’к
rfx₽"‘
= (р — 1)!аг-1 + р-^рХ,
№
dxp
гЧ-
Из (8.2) можно заметить, что, поскольку полином для й
является полным, каждая из производных имеет в своем пред-
ставлении член, не зависящий от х. По мере того как размер
элемента стремится к нулю, каждая из производных стремится
к своему точному значению, и, следовательно, так же ведет себя
вклад от элемента yve. Функционал тоже будет стремиться к
своему точному значению, следствием чего будет аналогичное
поведение конечноэлсментного решения. В результате процеду-
ра сходится.
Вышесказанное позволяет сформулировать следующий кри-
терий ограниченной сходимости:
Критерий I (R). Условием сходимости является представле-
ние переменной внутри элемента в виде полного полинома как
минимум степени р, где р — наивысший порядок производной,
входящей в функционал.
Когда для представления переменной используется полный
полином более высокой степени, чем указанный минимум, от
аппроксимации можно ожидать большей точности и меньшей
ошибки пробной функции и как следствие более высокой скоро-
сти сходимости. По крайней мере для согласованных элементов
это предположение подтверждено численными экспериментами
[10].
До сих пор не рассматривались физические параметры, та-
кие, как проводимость, модуль упругости и подобные, которые
могут входить в функционал. Если такой параметр не является
постоянным но всей области, он может быть аппроксимирован
на каждом элементе полиномом, у которого есть как минимум
первый постоянный член, что обеспечивает стремление его зна-
чения к точному по мере уменьшения размера элемента.
172
Глава 8
Следует отметить, что критерий полноты, сформулированный
выше, является частным случаем более общего требования:
Критерий I. Для того чтобы выполнялось требование сходи-
мости, необходимо, чтобы представления переменной и любой
ее производной, появляющейся в функционале, стремились к их
точным значениям на каждом элементе по мере стремления к
нулю размера элемента.
8.4.	ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ
И СОГЛАСОВАННОСТЬ
В механике твердого тела при формулировке определяющего
уравнения в терминах деформации, а искомого решения — в
терминах перемещений стало обычным описывать поле переме-
щений как совместное, если перемещения меняются непрерывно
по области; в таком случае деформации кусочно-непрерывны.
Это определение было перенесено в область конечных элементов
для того, чтобы описать представление пробной функции, не-
прерывной в области. Более общий термин согласованность ис-
пользовали, по-видимому, впервые в 1965 г. [11] Бэйзели, Ченг,
Айронс и Зенкевич [12]. Пробная функция рассматривается
как согласованная, если переменная и ее производные вплоть
до порядка р — 1 непрерывны при переходе через границу
между элементами, где р— порядок самой высокой производ-
ной, содержащейся в функционале.
Для класса задач
(8.3)
где S?— линейный, самосопряженный и строго положительно
определенный’) дифференциальный оператор, а и и f — функ-
ции независимых переменных, возможна вариационная форму-
лировка [9, 11] с функционалом, имеющим вид квадратичной
линейной формы. Этот класс, включающий много технических
задач, может быть расширен рассмотрением и как вектора;
в этом случае S’ становится матрицей, a f—вектором. Для того
чтобы пробная функция была допустимой, она должна в общем
случае быть непрерывной и иметь непрерывные производные
вплоть до порядка р—1, где р— наивысший порядок производ-
ных, содержащихся в функционале. Поэтому при использова-
нии для таких задач формулировки метода конечных элементов
По Ритцу условие допустимости -требует использования согла-
сованных элементов.
*) Определения самосопряженности и строгой положительной определен-
ности см. в работах [7, 9, П]. Вместо самосопряженности иногда исполь-
зуется термин симметричность.
Сходимость, полнота и согласованность
173
Для задач линейной упругости (являющихся подклассом за-
дач вышеназванного класса, для которых требуется положи-
тельная определенность S’) сходимость метода Ритца, основан-
ного на принципе минимума потенциальной энергии, может
быть установлена для согласованных элементов (т. е. допусти-
мых пробных функций) использованием разложения решения и
в ряд Тейлора на каждом элементе. Такой подход использо-
вался Маклеем [13, 14], Купером [10, 15] и другими авторами;
результаты исследований можно резюмировать следующим об-
разом. Если представление энергии деформации содержит про-
изводные и, наибольший порядок которых равен р, то сходи-
мость гарантируется, когда пробная функция й на каждом эле-
менте описывается полным полиномом степени как минимум р.
Более быстрая сходимость достигается при выборе полиномов
более высокого порядка. Для таких полиномов, полных только
вплоть до порядка р, ошибка больше и сходимость хуже, чем
для совершенно полного полинома. Эти результаты согласуются
с рассуждениями в разд. 8.3 и критерием !(/?).
Более общий подход к сходимости использует запись функ-
ционала в виде суммы вкладов. В результате производные ь
функционале вычисляются не дифференцированием по области
а дифференцированием на каждом элементе по отдельности,
что позволяет обойти проблему разрыва производных при пере-
ходе через границу между элементами. Поэтому сходимость
даже несогласованных элементов может быть исследована на
основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным
способом) к истинному значению по мере стремления к пулю
размера элемента. Анализ сходимости наиболее удобным обра-
зом формулируется в терминах гильбертовых пространств и
энергетических норм. Оливейра [16J с использованием послед-
него подхода продемонстрировал, что для класса задач, рас-
смотренных выше, можно быть уверенным в сходимости метода
Ритца, если и в пределах элемента аппроксимируется полным
полиномом вплоть до порядка р (где р — порядок наивысшей
производной в функционале) при условии, что требование со-
гласованности выполняется. То, что полнота1) и согласован-
ность являются достаточными условиями сходимости, было под-
тверждено Оденом [11] с помощью более общего анализа того
же самого класса задач.
Вышесказанное позволяет для рассмотренного класса задач
установить критерий ограниченной сходимости.
Критерий II (R). Условие сходимости состоит в том, что эле-
менты должны быть согласованными, т. е. при переходе через
Ч Этот термин используется здесь и далее в том смысле, что аппрокси-
мацией иа элементе является полином, полный до порядка р включительно
174
Глава 8
границу между элементами должны быть непрерывны сама
функция н ее производные вплоть до порядка р—1 включи-
тельно, где р —наивысший порядок производных, содержащихся
в функционале.
Таким образом, вывод Оливейры состоит в том, что для од-
ного и того же класса задач критерии 1(А?) и II(А?) являются
достаточными условиями сходимости метода Ритца.
8.5.	ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ
И НЕСОГЛАСОВАННОСТЬ
Паттерсон [17], используя технику гильбертовых пространств,
показал, что критерий полноты и критерий слабой согласован-
ности являются достаточными условиями сходимости вариацион-
ного метода конечных элементов. Эта согласованность, т, е.
межэлементный критерий, требует того, чтобы разность или
разрывность в й при переходе через границу между элементами
стремилась к нулю быстрее, чем диаметр наибольшей подоб-
ласти.
В двумерных задачах этот критерий удовлетворяется, если
разность й обращается в нуль как минимум дважды (па каж-
дой границе между элементами). Класс задач, для которого
были получены такие результаты, совпадает с рассмотренным
ранее; отличие состоит в том, что использовалось более общее
соотношение £\х — f, где оператор об’ должен быть положи-
тельно определенным. В работе [17] рассматривались однород-
ные граничные условия, но было также установлено, что те же
результаты получаются для общего класса неоднородных
условий,
Межэлементный критерий Паттерсона может быть обобщен,
исходя из соображения,; что условие сходимости к точному ре-
шению должно состоять в том, чтобы пробная функция й стре-
милась к точному решению по мере того, как сетка становится
все более мелкой. Это приводит к более общему критерию схо-
димости.
Критерий II. Условие сходимости состоит в том, что по мере
стремления к нулю размера элемента члены с производными и
функцией в функционале должны стремиться-к функции той же
гладкости *), что и точное решение.
8.6.	НЕСОГЛАСОВАННОСТЬ, НЕПОЛНОТА И ТОЧНОСТЬ
Для рассмотренного класса задач показано, что критерий I (/?)
(полноты) и критерий II (Я) (согласованности) являются доста-
') Здесь предполагается непрерывность точного решения, ио есть физиче-
ские задачи, в которых решение разрывно, например в областях, где имеются
ударные волны или трещины.
Сходимость, полнота и согласованность
17Б
точными условиями сходимости. В более общем смысле любой
из критериев !/!(/?) вместе с каким-нибудь из критериев
11/11(7?) представляют собой достаточные условия сходимости
вариационного метода конечных элементов.. Стоит отмстить так-
же следующее:
1) Если удовлетворяется критерий I, то критерий II будет
удовлетворяться как следствие, поэтому критерий I есть необ-
ходимое и достаточное условие сходимости.
2) Как показывает работа Паттерсона, полнота представ-
ляет собой более сильное требование, чем согласованность, и
на практике часто является достаточным условием сходимости.
Очевидно также, что критерии I и II становятся достаточ-
ными условиями сходимости для других методов конечных эле-
ментов, таких, как метод взвешенных невязок и метод наимень-
ших квадратов, если термин функционал в формулировках этих
критериев заменить на определяющий, или ключевой, интеграл.
Как было подчеркнуто Зенкевичем [18], такой интеграл полу-
чается во всех методах конечных элементов из определяющего
уравнения задачи с помощью соответствующей процедуры.
Из предыдущего может показаться, что все типы элементов,
для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны, но
это далеко не так. Нельзя игнорировать того, что на практике
очень важна точность. Если результаты при конечном размере
элемента, диктуемом экономией вычислений, дают большую по-
грешность, "то наличие элемента, который дает сходимость ре-
зультата к точному решению по мере стремления размера эле-
мента к нулю, является слабым утешением. Как можно на прак-
тике определить точность вычисленного решения? Ответ таков:
в общем случае никак. Одним из двух способов, однако, часто
можно получить достаточный показатель точности. Первый со-
стоит в том, что с помощью таких же элементов решается ана-
логичная задача с известным аналитическим решением. Опре-
деленная таким образом ошибка может быть использована для
оценки ошибки в рассматриваемой задаче. Второй метод тре-
бует того, чтобы тип сходимости был предварительно определен
для конкретной формулировки метода конечных элементов и
для конкретной задачи. Если известно, что сходимость улуч-
шается монотонно ’) по мере уменьшения размеров сетки, то
можно решить задачу несколько раз с последовательно умень-
шаемыми элементами и для получения опенки сходимости ре-
шения экстраполировать результаты.
Как было показано Оденом [11], 'монотонная сходимость
метода Ритца к точному решению имеет место, если:
*) Заметим, что монотонная сходимость определяет только тип сходимо-
сти, ио не гарантирует верного решения.
176
Глава 8
1)	тип элемента удовлетворяет условиям полноты н согла-
сованности по критериям 1(/?) и
2)	размеры сетки уменьшаются таким образом, чтобы эле-
менты каждого последующего уровня представляли собой части
соответствующих элементов предыдущего уровня;
3)	подмножество разбиений каждого уровня содержится в
подмножествах предыдущего уровня.
Рассмотрим, например, функцию, линейную на треугольном
элементе, и предположим, что удовлетворяются условия пол-
ноты и согласованности (1). Разбиение каждого треугольника
соединением середин его сторон удовлетворит условию (2); а
поскольку каждое последующее'разбиение является лниейпым,
условие (3) также удовлетворяется. Однако для более слож-
ных формулировок удовлетворить требованиям монотонной схо-
димости нелегко. В частности, уменьшение размеров сетки
определенной процедурой может породить после некоторого раз-
биения больше элементов, чем может быть обработано имею-
щимся вычислительным оборудованием.
Часто, когда не удовлетворяются ни условия полноты, ни
условия согласованности, а выполняются более общие критерии
I и П, гарантирующие сходимость в пределе, предполагают, что
при некотором размере элемента получается единственное ре-
шение. Однако при больших размерах элементов вычисление
может быть неустойчивым либо может существовать множе-
ство решений; но по мере уменьшения размера элемента дости-
гается критическая точка, ниже которой получается устойчивое
сходящееся решение.
Единственная трудность состоит в том, что этот критический
размер настолько мал, что вычисления становятся неэкономич-
ными. Даже тогда, когда для любого размера элемента полу-
чается единственное решение, ошибки для элементов разум-
ных размеров могут- быть большими и, если сходимость не
монотонна, могут также изменяться неожиданным об-
разом.
Указанные выше трудности не означают, что не следует
применять несогласованные и/или неполные элементы. Бывают
полезные несогласованные, а в некоторых случаях и неполные
элементы, которые дают высокую точность н быструю сходи-
мость. Действительно свойства таких элементов могут быть
лучше, чем у согласованных полных полиномиальных элементов
той же степени. ЗепкевиЧ [ 1ЕГ| указывает, что в некоторых слу-
чаях нанлучшимп для практического использования являются
несогласованные, или несовместные, элементы. Несогласован-
ные элементы, конечно, не следует недооценивать, но и нельзя
рекомендовать неопытному вычислителю.
Сходимость,, полнота и согласованность .	, 177
8.7.	ВЫБОРОЧНЫЙ JECT
Практический подход к вопросу сходимости дает выборочный
тест Айронса [19, 20], который описывается здесь в общих чер-
тах для задач механики твердого тела. В простейшей форме
теста группа элементов, или кусок как минимум с одним не-
впутреиним узлом, полностью окруженным элементами, нагру-
жается на границе силами, соответствующими постоянным де-
формациям на всем куске. Если метод сходится, то по выбо-
рочному тесту вычисленные методом конечных элементов пере-
мещения, деформации и напряжения должны согласовываться
с приложенной постоянной деформацией. Тестом может служить
также использование приложенных перемещений, соответствую-
щих состоянию постоянной деформации на всем куске. Приме-
нимы также выборочные тесты более высокого порядка, требую-
щие па всем куске согласования решения с более сложными
нагрузками, предписанными на границе. Выборочный тест не
ограничивается полными или согласованными элементами, а
может также применяться для определения того, дают ли схо-
дящееся решение элементы, не удовлетворяющие этим крите-
риям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции,
был обоснован математически Стренгом [21] как необходимый и
достаточный признак сходимости в следующих случаях: а) ког-
да используются несогласованные элементы; б) когда в фор-
мулы входит численное интегрирование. Как недавно указал
Оливейра [22], этот признак можно распространить на задачи,
отличные от задач механики твердого тела.
8.8.	ДОПУСТИМОСТЬ
Для класса задач, описываемых уравнением (8.3), оператор 3?
имеет порядок 2р, т. е. имеет высшую производную порядка 2р,
тогда как квадратично-линейный функционал задачи содержит
производные с- наибольшим порядком р. Главные граничные
условия содержат производные вплоть до порядка р— I, а есте-
ственные граничные условия включают производные порядка
р, р 4-1, ..2р—1 [И]. Для того чтобы пробная функция й
была допустимой, в общем случае она должна быть непрерыв-
ной и обладать непрерывными производными вплоть до порядка
р—1 во всей рассматриваемой области. Как показано в
разд. 7.4, вариационная процедура верна только в том случае,
если пробные функции принадлежат классу допустимых
функций.
Следует заметить, что для класса задач, описываемых опре-
деляющим уравнением (8.3), условие допустимости требует со-
гласованности элемента. Иногда считают, что допустимость И
178
Глава 8
согласованность и для других задач являются эквивалентными,
ио, как показывает следующий пример, это в общем случае не
так. Рассмотрим определяющие уравнения, описывающие поле
в двумерном потоке невязкой несжимаемой жидкости в терми-
нах х- и (/-компонент скоростей и и v соответственно:
(ди/дх) + (dvjdy) = 0 в D,	(8.4а)
(dv/dx) — (dujdy) — 0 в D.	(8.46)
Используя метод наименьших квадратов, получим функционал
<*-5)
D
Согласованность требует непрерывности только пробных
функций й и 0, но не их производных. В работе [23] показано,
что для допустимости й и v необходима нх непрерывность, не-
прерывность первых и кусочная непрерывность вторых произ-
водных.
8.9.	ФИЗИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ ПОЛНОТЫ
И СОГЛАСОВАННОСТИ
Иногда математические требования полноты и согласованности
отражают важные физические условия. Рассмотрим, например,
функции перемещений и и у в направлениях х и у соответствен-
но в двумерной задаче плоских деформаций. Положим, что ин-
тересующая пас область разбита на конечное число треуголь-
ных элементов, а аппроксимации и для и, и для v линейны на
каждом элементе.
Функционал для плоских деформаций (см. гл. 11) включает
функции и и v и их первые производные; таким образом, для
этой задачи р — I. Условием согласованности будет непрерыв-
ность и и 5, что обеспечивается выбранными элементами. Усло-
вие полноты для обеих функций и и v также удовлетворяется,
поскольку их пробные функции являются полными полиномами
первого порядка. Перемещения жесткого тела (т. е. перемеще-
ния, не деформирующие элемент) возможны благодаря нали-
чию постоянных членов в представлении и и V. Деформации, бу-
дучи первыми производными от перемещений, аппроксимиру-
ются на каждом элементе константами и, следовательно, имеют
в рассматриваемом области кусочно-постоянный вид. Когда ис-
пользуются полные полиномы более высокого порядка, даже в
более общей трехмерной задаче упругости присутствие постоян-
ных и линейных членов в пробных функциях псе чаще гаранти-
рует присутствие жестких перемещений и кусочио-постоянНых
деформаций.
Сходимость, полнота и согласованность
179
В ранней литературе по методу конечных элементов выска-
зывалось предположение, что для сходимости необходимо, что-
бы функция перемещений учитывала движение жесткого тела
и равномерную деформацию на элементе. Из вышеуказанного
и разд. 8.3 следует, что эти условия заключаются в критерии
полноты. Важно заметить, однако, что в приведенных выше рас-
суждениях предполагалось использование прямолинейных ко-
ординат. Если полиномиальные элементы выражаются в терми-
нах криволинейных координат, что было бы естественным, на-
пример, для криволинейных пластин и оболочек, то константы
и линейные члены уже не соответствуют движению жесткого
тела и равномерным деформациям [10, 11].
8.10.	ПОЛНОТА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЗОТРОПИЯ
Представление зависимой переменной на элементе не должно
зависеть от используемой системы координат или, точнее, дол-
жно быть геометрачесйи инвариантным для ортогональных
преобразований системы координат. Позднее стало более рас-
пространенным называть это пространственной, или геометри-
ческой, изотропией. Кроме инвариантности, геометрическая изо-
тропия также гарантирует вдоль любой границы или ребра эле-
мента полноту полиномиального представления того же по-
рядка, что и внутри элемента [24].
Как показано в предыдущих главах, часто бывает удобным
получать уравнения для элемента в локальной системе коорди-
нат и затем преобразовывать их в глобальную систему. В таких
случаях важно, чтобы элементы обладали геометрической изо-
тропией, иначе преобразование может нарушить ранее удовле-
творенные условия сходимости.
Когда в качестве пробной функции выбран полный полином,
можно показать, что соответствующий элемент обладает гео-
метрической изотропией. Если из полинома исключаются неко-
торые члены, то это следует делать так, чтобы элемент, соответ-
ствующий неполному полиному, оставался по-прежнему геоме-
трически изотропным. При определении того, какие члены мож-
но отбросить, ясно, что симметричные пары (как х3, г/3 или х5у2,
х^у6) не вносят несимметричность по отношению к той или иной
координате. Действительно, можно показать, что полиномы, пол-
ные, за исключением симметричных пар, дают геометрически
инвариантное представление и, следовательно, обладают гео-
метрической изотропией при условии, что порядок исходного
полного полинома не уменьшился.
Для иллюстрации отбрасывания симметричных пар полного
полинома рассмотрим содержащий десять членов полный
180
Глава 8
кубический полином от двух переменных для Ф:
Ф = «! + «2% + «3*/ + «4*2 + щху + аеу2 +
+ ОуХ3 + а&хРу + щху2 + al0t/3. (8.6)
Элемент, которому соответствует этот полный полином, обла-
дает гео метр нческор изотропией, но то же имеет место при ис-
пользовании следующих неполных кубических полиномов;
Ф = €ц + а2х + а3 у + а5хг/ +	+ а&х2у + щху\+ аюу3, (8.7)
Ф = О] + а2х + а3г/ + а5ху + а?*3 + аю/. (8.8)
Для элемента, представляемого одним из вышеприведенных
полиномов, подстановка уравнения границы у = ах-}- b в соот-
ветствующее уравнение порождает полный кубический полином
от к. Таким же образом получается полный кубический полином
от s, где s изменяется вдоль границы элемента, что подтверж-
дает выводы первого раздела настоящей главы.
Литература .
1.	Crandell S. Н., Engineering Analysis, McGraw-Hill, New York. 1956.
2.	Ames W. F., Numerical Methods of Partial Differential Equations, 2nd .ed.,
Academic Press^ New York, 1977.
3.	Forsythe G. E., Wasow \V. R., Finite Difference Methods for Partial Diffe-
rential Equations, Wiley, New York, 1960, [Имеется перевод: Базов В.,
Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений
в частных производных. — М.: ИЛ, 1963.]
4.	Schrem F., Computer implementation of the finite element method, In: Nu-
merical Computer Methods in Structural Mechanics (Fenves S. J. et. al.,
eds.), pp. 79—122, Academic Press, New York, 1973.
5.	Von Fuchs G., Roy J. R., Solution of the Stiffness Matrix Equations in
ASKA, Rep No 50, fnst, fur Statik und Dynamic Univ. Stuttgart, 1968.
6.	Roy J. R., Numerical error in structural solutions, 7. Struct, Div., ASCE,
97, 1039—1054 (i97l).
7.	Rektorys K., A Survey of Applicable Mathematics, lliffe Books, London,
1969.
8.	Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике. — М-: Нау-
ка, 1970.
9.	Norrie D. Н, de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press, New
York, i973.
10.	Cowper G. R., Variational procedures and convergence, in: Numerical and
Compuier Methods in Structural Mechanics (Fenves S. J., et af., eds.),
pp. 1—12, Academic Press, New York, i973.
II.	Oden J. T., Finite Elements of Non-Linear Continua., McGraw-НШ, New-
York, 1972. [Имеется перевод: Оден Дж., Конечные элементы в нелиней-
ной механике сплошных сред. — М.: Мнр, 1976.]
12.	BIzely G. Р., Cheung У. К- Irons В. М., Zienkiewicz О. С., Triangular
elements in piate bending.—conforming and non-conforming solutions,
Proc, Conf. Matrix Methods Struct. Meeh., Wright-Palterson AFB, Ohio,
October 26—28, i965 ,AFFDL-TR-66-60), pp. 547—576, November 1965.
13.	Johnson M. W., Jr., McLay R. M.. Convergence of the finite element method
in the theory of elasticity, J г Appt. Meeh., 35, 274—278 (1968).
Сходимость, полнота и согласованность	181
 14. McLay R. W., Completeness and convergence properles of finite element
displacement functions, AIAA 5lh Aerospace Sci. Meeting, New York, Paper
No. 67—i43, Januaiv i967.
15.	Cowper G. R„ Kosko E., Lindberg G. M., Oison. M. D., A high precision
triangular plate bending eiement. National Research Council of Canada,
Aero. Rep. LR-5I4, December i969.
16.	De Arantes e Oliviera E. R., Theoretical foundations of the finite element
method, Internal. 1. Solids and Structures, 4, 929—952 (1968).
17.	Patterson C., Sufficient conditions for convergence in the finite element
method for any solution of finite energy, in: The Mathematics of Finite
Elements and Applications (Whiteman J. R., ed.), pp. 213—224, Academic
Press, 1973.
18.	Zienkiewicz 0. C., Recent developments, trends, and applications of finite
element methods, Proc, fnternat Conf. Finite Element Methods in Engrg.,
Dept, of Civil Engrg., Univ of Adelaide. December 6—8, 1976, pp. 1.1—1.38.
19.	Irons В M, The patch test for engineers. Proc. Finite Element Symp., Atias
Computer Lab., Chilton, Didcol, England, 26—28 March, i974, pp. 171—192.
20.	Irons В. M., The super patch theorem and other propositions relating to the
patch test, Proc. Canad. Congress Appl Meeh.., 5th, University of New
Brunswick, 26—30 May, 1975, pp. 651—652.
21.	Strang G., Variational crimes in the finite element method, fn: The Mathe-
matical Foundations of the Finite Element Method (Aziz A. K., ed.),
pp. 689—710, Academic Press, New York, i972.
22.	De Arantes e Oliviera E. R., Convergence and accuracy in the finite element
method, Proc. World Congr. Finite Element Methods Struct. Meeh., Bour-
nemouth, England, 12—i7 October, 1975, pp. 0.1—0.24; Robinson and Asso-
ciates, Verwood, Dorsel, England.
23-	De Vries G, Labrujere T., Norrie D. H., A least-square finite element so-
lution for potential flow, Dept, of Mechanical Engineering, University of
Calgary, Rep 86, December 1976.
24.	Huebner К. H., The Finite Eiement Method for Engineers, Wiley, New York,
1975
9	.
ЭЛЕМЕНТЫ И ИХ СВОЙСТВА
В предыдущих главах при формулировке и в приложениях ме-
года конечных • элементов использовалось несколько различных
видов элементов. Пробная функция каждого элемента представ-
лялась линейной комбинацией узловых переменных. Последние
состояли из значений самих функций в узлах и, в. случае эле-
ментов с производными, из значений нх производных. В прин-
ципе возможна аппроксимация, учитывающая нелинейную за-
висимость от этих узловых переменных, однако некоторое улуч-
шение точности вряд ли оправдывает дополнительную слож-
ность такого подхода.
Ранее было отмечено, -что пробная функция должна быть
согласована с соответствующим элементом таким образом, что-
бы ее коэффициенты az определялись однозначно. Однако в об-'
щем случае пробная функция,-положение и число узлов эле-
мента, так же как и число неизвестных параметров в узле '), не
могут быть указаны независимо. Более того, тип и порядок
определяющих уравнений и требования сходимости вариацион-
ной процедуры также должны быть приняты во внимание при
выборе элементов и пробных функций.
С учетом вышеупомянутых ограничении был разработан ряд
приемлемых элементов; некоторые, наиболее важные из них,
рассмотрены в данной главе. Дополнительные подробности
можно иайти в различных обзоэах [1—4], а также в стандарт-
ных руководствах по методу конечных элементов [5—17]. В по-
следнем специальном библиографическом издании [18] указы-
ваются работы по многочисленным различным типам элементов.
9.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
Наиболее очевидная классификация элементов делит их на од-
номерные, двумерные и трехмерные; последующее изучение эле-
ментов в данной главе будет делаться на этой основе. Далее,
эти группы могут разделяться в зависимости от того, включают
лн узловые переменные только значения функций (лагранжевы
элементы) или также и значения производных (эрмитовы эле-
менты) . -
*) Число степеней свободы узла.
Элементы и их свойства
183
9.2.	БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТА
Произвольная пробная функция, определенная на элементе е,
записывается в линейной форме
^ = Neue,	(9.1)
где N — матрица базисной функции, а и — узловой вектор эле-
мента 1).
Для лагранжева элемента в узле имеется только одна сте-
пень свободы — значение функции, и, следовательно, уравнение
(9.1) может быть записано в виде _ _
щ~
й2
й==[^^2 ... Nk ... MJ
(9.2)
где 1, 2, .k, .s—номера узлов, a s —общее количество
узлов элемента е.
Цля эрмитова элемента каждая из компонент Uk должна за-
писываться как столбец, включающий и производные указанной
функции, которые в этом случае также являются узловыми пе-
ременными. Если каждый из s узлов элемента е имеет q степе-
ней свободы, то каждая компонента йь в уравнении (9.2) пред-
ставляет собой столбец:
(9.3)
_ Hkq—.
и аналогично базисные функции Nk должны записываться как
строки:
Nft = Wi Nk2... Nkq], Л=1, 2, ..., s. (9.4)
Таким образом, уравнение (9.2) при соответствующем выборе
переменных является общим для случаев лагранжева и эрми-
това элементов.
*) В оставшейся части главы верхний индекс е для упрощений aaWn
будет опускаться.
184
Глава 9
В предыдущих главах было установлено, что базисные функ-
ции являются функциями независимы глобальных (или локаль-
ных) координат х, у (или ц) и координат узлов. Действитель-
но, базисные функции все!да являются функциями независимых
переменных и узловых координат Для получения базисных
функций любого отдельного элемента применимы два подхода;
в одном из них используются обобщенные координаты, а в дру-
гом — интерполяционные формулы. Эти процедуры кратко рас-
смотрены в следующих двух разделах.
9.2.1.	ПОЛУЧЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИИ В ОБОБЩЕННЫХ
КООРДИНАТАХ
Этот подход особенно удобен для простцх элементов, исполь-
зующих полные полиномы низкого порядка1)- В случае более
М’


Uz,y£J
Рис. 9.1. Прямоугольный четырехузловой элемент е.
сложных элементов указанный подход становится неэффектив-
ным и вместо него обычно применяется метод Интерпол иции.
Рассматриваемый подход иллюстрируем на .прямоугольном
элементе е со сторонами, параллельными осям глобальной си-
стемы координат Оху (рис. 9.1). Просгейшая пробная функция
для элемента содержит только четыре неизвестных параметра
соответствующих четырем узлам элемента. Пробная функция
и может быть получена отбрасыванием двух членов из полного
полинома второго порядка, который содержит шесть членов.
Отбрасывание симметричной пары х2, у2 ^с целью сохранения
Г1 Полные полиномиальные элементы будут далее называться линейным^
квадратичными и т. д. в соответствии с порядком полинома.
Элементы и их свойства
1в5
геометрической изотропии дает пробную функцию
й ~ aj +	4- а3у 4- а4ху,	(9.5)
которая линейно меняется вдоль границ элемента. Здесь коэф-
фициенты <хг являются обобщенными координатами элемента.
Поочередно используя (9.5) для четырех узлов, получим следую-
щие уравнения:
Щ = Ct| 4- 02*1 J- Ct3(/| 4- alXjyit	.
«2 = Ct] 4- 0-2^2 4- азУ2 4" «4^2,
- I 1 I	(9.6)
«3 = Ct] 4- «2^3 4* азУз 4- «4^3,
Й-4 = Ct|'-|- a2X4 4- азУл 4- СфЧУ*.
В матричном .обозначении система (9.6) может быть запи-
сана.как
и = Ла,	(9.7)
где и — узловой вектор элемента,
<1=М =
-йг
йъ
йз
-Ид-*
(9.8)
А = [ач]«
X]
х2
*3
х4
У1
У*
Уз
Ул
•W
Х2У2
ХзУз
ХлУл ~
« [«/]===
«г
-°2
«3
-а4
(9.9)
М
Равенства (9.9) позволяют записать уравнение (9.5) в виде
где
u = Xa,
х = [1 х ‘у ед].
(9.10)
(9.11)
Матрица А в равенствах (9.9) может быть обращена, если ее
определитель отличен от нуля. Можно показать, что
det А = -Д2,	.	(9.12)
где Д — площадь прямоугольника. Следовательно, det А не ра-
вен нулю, если матрица А ие вырождена. Обращая А, обозна-
чая обратную матрицу через А-1 и умножая слева уравнение
(9.7) на А-1, получим
a—А"‘и.	(9.13;
186
Глава 9
Подставляя (9.13) в (9.10), получим равенство
й = ХА~‘и,	(9.14)
которое может быть переписано в виде
й== Nu,	(9.15)
где матрица формы N есть
N = XA“l	(9.16)
Описанная процедура может быть записана и в терминах ло-
кальной системы координат где, например, О совпадает
с узлом I, а оси g и q параллельны осям х и у соответственно.
Последующие действия упрощаются благодаря обозначениям
а = х2 —Х]==х3 —х4,	Ь = у4 — У'^уз — уъ.	(9.17)
Для лагранжевых элементов с известной в явном виде фор-
мой аппроксимирующего полинома базисные функции в прин-
ципе всегда могут быть вычислены согласно описанной про-
цедуре. В случае больших алгебраических выражений можно
прибегнуть к численному расчету базисных функций. Для эрми-
товых элементов приведенный подход требует модификаций.
9.2.2.	ПОЛУЧЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ
Снова рассмотрим прямоугольный элемент е (рис. 9.1), ио пред-
положим, что пробная функция, заданная равенством (9.5), не-
известна. Одиако связь базисной функции с й всегда известна
в общем виде из уравнения (9.2), т. е.
fl = Nu = W	Md
(9.18)
Базисная функция Nk должна иметь значение 1 в узле k и ну-
левое значение во всех других узлах; при этом й сводится к
когда уравнение (9.18) рассматривается в узле k. Как показано
в следующем разделе, это свойство позволяет использовать ин-
терполяционные формулы для получения базисных функций.
9.2.2.1.	Лагранжевы элементы
Рассмотрим аппроксимацию функции и(х) полиномом р-го
порядка, где значения и(х) заданы как «ь up+1 в р+1
точках'лт, .... хр+1. Из численного анализа известно, что фуик-
Элементы и их свойства
187
ция и(х) может быть записана как полином р-го порядка
«(х) = Е	(х) и,,	(9.19)
*=1
где Li(x)—полином Лагранжа, определяемый равенством
М*) = П	(э.2О)
1 1
Следует отметить» что так называемые базовые точки jcj, ...
..., не обязательно расположены равномерно, хотя это ча-
сто бывает удобным.
'Использование равенств (9.19) и (9.20) на стороне 1 — 2 пря-
моугольника в (рис. 9.1) позволяет определить й на этой сто-
роне:
й li _2 = (х) «1 -J- L2 (*) Й2»	(9 -21
где
=	(9.22)
Диалогично для стороны 4 — 3 получим
П-з « £i (х) й3 + L2 (х) й4,	(9.23)
где Li(x) и L2(x) определены равенствами (9.22).
Представления типа (9.21) и (9.23) используем при постоян-
ных у (у = yi и у = у4 соответственно). Снова может быть при-
менена интерполяционная формула Лагранжа, иа- этот раз в
направлении у:
й== Li (у) й |i_2 -f- Д-2 (У) Ц_зэ	(9.24)
где
=	(9-25)
Подстановка равенств (9.21) и (9.23) в (9.24) позволяет окон-
чательно записать пробную функцию й элемента е в виде
й = Lt (х) Lt (у) й| + L2 (х) Li (у) й2 + L, (х) L2 (у)й3 + L2 (х) £2 (у) щ,
(9.26)
где разные полиномы Лагранжа заданы равенствами (9.22) н
(9.25). Сравнивая выражения (9.26) и (9.18), получим базис-
ные функции в виде
Nl = Ll(x')Ll(y),	Nz=*L2(x)Li(y),
N3 = Lt(x}L2(y).	Nt = Lz(x)L2(y).	(9'27>
Можно показать, что базисные функции, полученные подста.
новкой равенств (9,22) и (9.25) в (9.27), идентичны базисным
188
Глава 9
функциям, следующим из (9.15), что свидетельствует об экви-
валентности обоих подходов. Проверка этого факта предостав-
ляется читателю в качестве упражнения.
В.2.2.2.	Эрмитовы элементы
Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть полу-
чены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых
полиномов вместо полиномов Лагранжа. При этом узловой век-
тор будет включать узловые значения ие только функции, но н
ее производных.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент е с s
узлами, причем узлы не обязательно расположены равномерно.
Пусть у каждого узла имеются две степени свободы — функция
и и ее производная ди/дх. Следовательно, пробная функция для
элемента е может быть записана в виде
й= X [м» (*) «/ +	.	(9.28)
У базисной функции N/7 в равенстве (9.28) первый индекс .
обозначает порядок дифференцирования соответствующей узло-
вой переменной, а второй — номер узла.
Для того чтобы (9.28) в узле k давало ilk и diik/дх, функции
Мы(х) и Мц(х) должны (при i #= /) удовлетворять соотноше-
ниям
А/ДСхД —О,
*М=0,	М((^)-1,	.
7Vo<(x,)=O,	Nu(x,)=O.
М((х,) = О.
Равенствам (9.29) удовлетворяют эрмитовы полиномы [19]
#«(*) = П 77 ^[>+2 £ ДдП (9.30а)
' / L /-!,/*« 1 1 J
И
П w=^(x~Xl)-	(9,30б)
В качестве конкретного примера рассмотрим случай s == 2.
Равенство (9.28) при этом принимает вид
e = ^,U)«1 + JV1I(x)^L + ^(J;)«i! + ^(JC)^, (9.31)
Элементы и их свойства
189
где базисные функции
+ 2(S)]'
= S&11 +2 (S)] 	(9'32>
Na(x) = l^y^-(x-JC2)
получены из (9.30) и (9.31). В случае использования локальных
координат l = (x~ xi)/£, где L — х2 — хь равенства (9.31) и
(9.32) принимают вид
й = Nol й) й, + Nn й) + Nm Й) й2 + ЛГИЙ) . (9.33)
Мп Й) = 1 - 3? + 2g3, Й) = 3gs - 2g3,
w» й) = U (1 - a2.	W12 й) = L й3 - Е3). 	(934)
Узловые производные дГц/дх и дйг/дх в (9.33) могут быть за-
менены на dili/д^ и дйъ/дЪ, соответственно с помощью соотно-
шения д/дх = L-^d/dc,; при этом L из второго и четвертого ра-
венств (9.34) исчезают.
Описанная процедура может быть [10, 11, 17} обобщена
включением дополнительно к функции и ее первым производным
также производных от и более высокого порядка. Для двумер-
ных элементов интерполяция применяется дважды: первая —в
направлении х и вторая-—в направлении у (как в разд. 9.2.2.1),
что дает базисные функции в виде произведения одномерных
базисных функций. В разд. 9.5-2.3 будет рассмотрен простейший
прямоугольный элемент с четырьмя степенями свободы в каж-
дом узле, а именно и, ди/дх, ди/ду и &*и/дхду.
9.3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
Когда используется произвольная глобальная система коорди-
нат, значения узловых координат ограничены только границами
области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремаль-
ные значения этих координат принимали значения —1,0 или 1.
Этого можно достигнуть выбором локальной системы коорди-
нат, привязанной к элементу так. чтобы координаты менялись
линейно между нормированными узловыми координатами. Си-
стема координат такого типа называется системой естественных
координат.
Преимущество естественных координат состоит в том, что
интегрирование па элементу для метода конечных элементов
Часто может быть проведено в, стандартном аналитическом виде.
tOO	Глава 9
9.3.	L ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Рассмотрим одномерный элемент е с узлами 1 и 2, как по*
казано на рис. 9.2. Координатами узлов 1 и 2 в глобальной си*
стеме Ох являются. и х% соответственно. Вводя локальную
а
g
________jJ_____|2 , r
О'	ж,	&
Рис. 9.2. Одномерный элемент е.
систему с началом в хь и с осью направленной вдоль
оси х, получим
61=Х—*1,	(9.35)
или, разделив на длину (хг — Xi) элемента,
Ь—(9.36а)
В равенстве (9.36а) и дале^в оставшейся части раздела черта
сверху используется для обозначения нормированной коорди-
наты.	_
Если выбрана локальная система 0^ с началом, совпадаю-
щим с Ха, и осью ^2. направленной противоположно оси х, то
тогда получим
-(9.366)
Xi -м
Из равенства (9.36а) можно заметить, что |i = 0 при x = xi
и gi = 1 при х = х'2. Аналогично из (9.366) Ь = 1 при x — Xi
и ^ = 0 при х — х2- Легко удостовериться, что и совпадают
с L%(x) и Li(x), о пр ед елейным и. соответствующим и равенствами
(9.22). Обе координаты Ь и & изменяются линейно в зависимо-
сти от х, как можно видеть из (9.36а) и (9.366). При этом неза-
висима только одна из координат и Ь, что следует из соотно-
шения
Ii + &=s£2(x) + М(х) = 1.	(9.37)
которое легко доказывается.
Естественные координаты и [нли Ь%(х) и Li (х)] явля-
ются функциями независимой переменной х и узловых коорди-
Элементы и их свойства
191
нат «1 и х2 и принимают значения 1 в одном из узлов н 0 — в
другом. Поэтому аппроксимацией для й на элементе е будет
ж	й — £,2Й( + ii«2»	(9.38)
или
й = L\ (х) й[ 4- L2 (х) и2-	(9.39)
Сравнение уравнений (9.39) и
функции Ni и определяются
/V^L^x),
(9.2) показывает, что базисные*
выражениями
N2^=Lz(x).	(9.40)
Используя- метод обобщенных координат из предыдущего раз-
дела, можно также показать, что пробная функция
4 = at4-O2X	(9.41)
дает те же базисные функции, что и в уравнениях (9.40). Для
рассматриваемого элемента базисные функции определяются
либо неявно через уравнения (9.15) методом- обобщенных коор-
динат, либо явно интерполяционным методом Хотя оба метода
оказываются в этом частном случае вполне простыми, интерпо-
ляционный метод обычно выгоднее для элементов более слож-
ного вида.
При вычислении вклада элемента обычно встречаются про-
изводные, такие, как ди/дх, ди/ду, и произведения членов вида
хди[дх. Обычно элементные вклады могут быть выражены в
естественных координатах как произведения узловых значений
н интегралов типа L\ (х) Lz (х) dx, где а и b — целочисленные
показатели степени. Интегрирование можно провести аналити-
чески согласно формуле
(9.42)
где he — длина элемента е.
9.3.2.	ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Координата площади в двумерном случае аналогична коорди-
нате длины в одномерном случае. Для точки Р в трехузловом
треугольно» элементе такая координата определяется делением
площади треугольника, образованного точкой Р в соответствую-
щим основанием, иа площадь всего треугольника Поэтому, как
показано па рис. 9.3, координата Ц равна
А,
(9.43)
192-
Глава 9
где Л1 — площадь треугольника с вершиной в точке Р и осно-
аанием Ц = 0, а А — площадь треугольного элемента Коорди-
наты Lz и Ls определяются аналогично Основаниям треуголь-
ника соответствуют £,1=0, Lz — ^ и £з = 0, а в противополож-
ных вершинах эти координаты -равны соответственно Li — 1,
£2 = 1 и £3 — I.
Из простой схемы рис 9 3 ясно, что связь между декарто-
выми координатами и координатами площади определяется ма-
тричным уравнением
Xg %з £j
У1 Уг Уз U
Li 1 1 JLlJ
(9.44)
где выражение для третьей компоненты легко получается из
рис. 9.3 и определений Li, Lz и £3. Координаты площади £ь £2
Рве ‘9,3 Координаты площади для типичного трехузлового треугольного эле-
мента е.
и £3 подобны базисным функциям в том, что они имеют значе-
ния 0 и I в узловых точках Поэтому аппроксимация для и на
(линейном) элементе е может быть записала в виде
d = Р\Щ Н- £чЦ-2 Ч- £зйд.	(9.45)
Сравнение уравнений (9 45) и (9.2) показывает, чт£ базисные
функции Ль Л^2 и /V3 для рассматриваемого элемента задаются
как
Л\ = L\, Л2 “ £2, Л3= £з-	(9.46)
Вклад элемента, полученный первоначально в глобальной
Системе координат, может быть преобразован к естественной
Элементы и их свойства
193
системе координат площади с помощью уравнения (9 44). В об-
щем случае элементные вклады содержат интегралы вид в
LiLiLzdDg, которые можно вычислить аналитически по фор-
е
муле
^?^ШД.= (д^ + г)Т2Д.	(9.47)
Заметим, что естественные координаты могут быть определены
и для четырехугольных элементов [6].
9.3.3.	ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В трехмерном случае естественными координатами служат от-
ношения объемов, или объемные координаты. Объемная коор-
Рнс. 9.4. Объемные, координаты для типичного четырехузлов го тетраэдраль-
ного элемента е.
дината £5 точки Р в показанном иа рис. 9.4 тетраэдральном эле-
' менте е с четырьмя узлами определяется по формуле
С^.
(9.48)
где Vi — объем, охватываемый точкой Р и гранью, противопо-
ложной узлу 1, а V —объем всего тетраэдра Объемные коор-
динаты £2, Т-з и 7-4 определяются аналогичным образом Связь
между декартовыми координатами х, у, г и объемными коорди-
194
Глава 9
Для тетраэдра с четырьмя узлами базисные функции N,-, по-
лученные из линейной интерполяции
4е = d -|- а2х а3г/ + а42,
(9.49)
(9.50)
совпадают с соответствующими объемными координатами; сле-
довательно, для такого элемента
 •	=	/*=1,2, 3,4.	(9.51)
Объемные координаты могут быть выражены через глобаль-
ные координаты путем обращения уравнения (9.49), а- именно
Li = ^(al-\-blx^cly-\-diz}t /=1,2,3, 4,	(9.52)
где
6У =	- 1 х, yt Z1 - 1 Х2 -у2 г2 1 х3 уз г3 - 1 х4 у4 г4 -	(8.53)
a d, bi' ci получаются циклической перестановкой индексов 1,		
2, 3, 4, например
«1= С1=	X -X	У‘2 г2 Уз %з Уа г4-		4 J	£>, = - dt = ~	' 1 te г2 1 Уз г3 -1 У4 х4 'Хз Уз Г Хз Уз 1 - х4 у4 1-	(9,54)
		‘*2 Хз -х4	1 г 1 г 1 г				
Заметим, что знаки в			этих выражениях зависят от				порядка со-
ответствующих узлов. Вышеприведенные формулы отвечают
правосторонней декартовой системе координат, когда узлы 1, 2,
3 располагаются против часовой стрелки, если смотреть из
узла 4. Интегралы в элементных вкладах можно вычислить в
объемных координатах ио формуле
Ш (.+4Х+3), er, 0.55)
е
Элементы и их свойства
195
где V — объем элемента е. Отметим, что естественные коорди-
наты можно также определить и для шестигранных элемен-
тов [6].
9.4.	ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
9.4.1.	БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ
Несмотря на существование других одномерных элементов,
здесь можно ограничиться теми простыми элементами, которые
описаны в разд. 9.3 и гл. 1.
9.5.	ДВУМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Треугольники являются простейшими1) многоугольниками, на
которые, можно разделить любую двумерную область, н это от-
части объясняет популярность треугольного конечного элемента.
Следующий возможный тип, который широко распространен,—
это прямоугольные или, в более общем смысле, четырехуголь-
ные элементы. Многоугольники более высокого порядка обычно
не используются.
9.5.1.	ТРЕУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Из различных треугольных элементов наиболее широко исполь-
зуются простые трехузловые лагранжевы, соответствующие ли-
нейной пробной функции. Однако в последнее время стали ши-
роко использоваться элементы, основанные на полиномиальных
пробных функциях более высокого порядка.
9.5.1.1.	Лагранжево семейство треугольных элементов
Треугольные элементы этого семейства могут быть сформиро-
ваны просто выбором достаточного числа узлов, обеспечиваю-
щих едииствеиное решение для коэффициентов выбранной по-
-линомиальной пробной функции. Полный полином порядка п
содержит •—(« + 1)(п4-2) коэффициентов; s-узловой лагранжев
треугольный элемент, основанный на этом полиноме, должен со-
держать такое же число узлов, следовательно.
s=|(n+l)(» + 2).	(9.56)
') В этом разделе рассматриваются только правильные (прямосторонипе)
многоугольники. Криволинейные элементы описываются в разд. 9.7.
7*
196
Г пава 9
Хотя существуют другие возможности расположения s узлов,
варианты, показанные в табл. 9.1, приводят к относительно
простым базисным функциям.
Базисные функции для указанных полных полиномиальных
элементов могут быть получены описанным ранее методом обоб-
Таблица 9.1
Лагранжево семейство треугольных элементов
Элемент	Тип	Порядок полинома, используемого 6 качестве пробной функции	Число членов ~ В пробной функции
	линейный	1	3
	квадратичный	2	6
	кубический	3	10
	четвертой' степени	4	15
	пятой степени	5	2L
щеиных координат, хотя сама алгебра становится все более
сложной по мере роста порядка. С другой стороны, можно поль-
зоваться и методом интерполяции, выбирая каждую базисную
Функцию как произведение трех интерполирующих функций
Лагранжа [6, 11, 20].
Все лагранжевы элементы, представленные в табл.-9.1, ха-
рактеризуются непрерывностью пробных функций при переходе
Элементы и их свойства
197
через границу между элементами и, следовательно, по всей об-
ласти, где решается задача. Это можно проверить, заметив, что
полные полиномы обусловливают геометрическую изотропию
соответствующих элементов (см. разд. 8.11). Из того факта, что
число узлов на любой стороне элемента совпадает с числом
коэффициентов полинома вдоль этой стороны, также следует
возможность определения этих коэффициентов единственным
образом. Поскольку полином на общей стороне соседних эле-
ментов определяется единственным образом одними и теми же
узловыми значениями, пробная функция должна быть непре-
рывна при переходе через границу между элементами.
9.5.1.2.	Четырехузловой кубический треугольный элемент
В гл. б был введен треугольный эрмитов элемент с четырьмя
узлами и полной кубической пробной функцией. Геометрия
этого элемента с четырьмя узлами такая же, как и у элемента
с тремя узлами, за исключением дополнительного четвертого
узла, выбираемого в центре. Напомним, что в дополнение к
определению функции и ее первых производных (по хну), как
узловых параметров в каждой из трех вершин, функция опре-
деляется также в центральном узле. Этих десяти значений уз-
ловых параметров достаточно для однозначного определения
полной кубической пробной функции.
Полный перечень базисных функции для этого элемента был
дан Фелиппа и Клафом [21]. Однако, как показано в гл. 5,
можно обойти явное использование базисных функций, что при-
водит к упрощениям формулировки. В той же главе показано,
как можно сократить порядок матрицы элемента путем устра-
нения центрального узлового значения посредством конденса-
ции. С другой стороны, этот узловой параметр можно исключить
методом, описанным в работах [22—24].
Представляет интерес межэлементная совместимость для
рассматриваемого типа элемента. Вдоль любой стороны эле-
мента пробная функция и может быть представлена в виде ку-
бического полинома от s, измеряемого вдоль стороны. Узловые
параметры и, ди/дх и ди/ду определяются в каждой вершине.
Производная du/ds в направлении $ может быть получена как
линейная комбинация ди/дх и ди/ду и, следовательно, извест-
на в каждой вершине. Таким образом, значения и и du/ds в
конечных точках любой стороны известны; этого достаточно
для нахождения четырех коэффициентов кубического полинома.
Поскольку кубические представления вдоль общей стороны со-
седних элементов однозначно определяются одинаковыми узло-
выми значениями, пробная функция сохраняет непрерывность
при переходе через границу между элементами. Из аналогичных
198
Глава 9
соображений ясно, что первые производные кубической проб-
ной функции при переходе через границу между элементами
терпят разрыв Если такая непрерывность необходима, то, как
описано в следующем разделе, приходится использовать интер-
поляцию более высокого порядка.
9.5.1.3.	Треугольный элемент пятого порядка с шестью узлами
Элемент такого типа, показанный на рис. 9.5, был впервые пред-
ложен де Вебеке [25] и основывался на полном ^полиноме пятой
степени. Его узловыми параметрами в каждой вершине являются
Рнс. 9.5. Типичный шестиузловой треугольный элемент.
значения и, ди/дх, ди/ду, &и!дх\ d^ujdxdy, д*и!ду\ а также па-
раметр ди}дп в каждом узле, лежащем па середине стороны.
Таким образом, для однозначного определения 21 коэффициен-
та полного полинома пятой степени имеется 21 условие. Чита-
телю предлагается в качестве упражнения тем же способом, что
и в предыдущем разделе, показать, что при переходе через гра-
ницу между элементами пробная функция и ее нормальные
производные сохраняют непрерывность Таким образом, проб-
ная функция и ее производные по л п у непрерывны во всей
области. Элемент с 18 степенями свободы можно получить, за-
давая изменение ди/дп вдоль стороны как кубического поли-
нома и отбрасывая узлы, лежащие на серединах сторон [26—
30]. При этом сохраняется межэлементная непрерывность и
пробной функции, и ее первых производных.
Элементы пятого порядка не только дают решение в виде не-
прерывной поверхности с непрерывными первыми производны-
ми, но также позволяют получить вторые производные в уз-
лах как часть решения. Поэтому граничные условия, заданные
Некоторые треугольные элементы
Мсточии*	5.	ст	[WIF] —		5.	
§ ё § I н ?. 8. it	&		и 8 случае несогласованны! элементов и, ди/дп в случае согласованных .элементов	s>	
Узловые параметры е с	•ё|«	•ёк		•§1^ 5»	
Узловые параметры : в О 1			*	Зп	• ди ди а' дх*ду	-eig 5»’ ’	
| Количество степеней , свободы			о>	I 4?'	
Полином ।	полный квайратичный	полный ндйичеркии	связанный кубический 	 полный четвертой	5: I
J			А		
200
Глава §
в терминах вторых производных, при желании могут быть запи-
саны в виде эквивалентных условий Дирихле (разд. 5.4).
Как показано в гл. 5, для пробных функций более высокого,
например пятого, порядка выгодно использовать локальную си-
стему координат
9.5.1.4.	Другие треугольные элементы
В табл. 9.2 приведены некоторые другие часто используемые
треугольные элементы. Дополнительные подробности о них
можно найти в литературе.
Термин связанный в таблице необходимо пояснить. Здесь
связанный полином — это полный полином, коэффициенты ко-
торого подчиняются одному или нескольким уравнениям связи.
Связанный кубический полином из табл. 9.2 выражается пол-
ным кубическим полиномом (10 членов) с одним уравнением
связи. Для элемента требуются только 9 узловых параметров, и
этого с учетом уравнения связи достаточно для определения
десяти коэффициентов полинома.
9.5.2.	ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Прямоугольные элементы сами по себе не очень удобны в при-
менении к нерегулярным двумерным областям, но очень часто
используются совместно с более широко распространенными
треугольными элементами. Четырехугольные элементы в этом
отношении более удобны, но все же онн не получили такого
широкого распространения, как треугольные. Поэтом}' здесь
будет дано только краткое описание прямоугольных н четырех-
угольных элементов. Тем не меиее следует помнить, что в не-
которых приложениях такие элементы можно с успехом исполь-
зовать.
9.5.2.1.	Лагранжевы прямоугольные элементы
Хотя есть н другие прямоугольные элементы, являющиеся ла-
гранжевыми в том смысле, что узловыми параметрами служат
только значения функций, это частное семейство элементов ча-
сто идентифицируется как лагранжево прямоугольное семей-
ство, поскольку оно происходит непосредственно от полиномов
«Лагранжа.
Рассмотрим показанный на рис. 9.6 прямоугольный элемент
ест равномерно расположенными узлами в каждой строке и п
равномерно расположенными узлами в каждом столбце. Для
узла ij базисная функция выражается произведением двух по-
линомов Лагранжа:

(9.57)
Элементы и их свойства
201
где полиномы Lf{x\ Щ (у) определяются из равенства (9.20),
а верхние индексы тип используются для обозначения порядка
полинома.
Как требуется для базисной функции, N„(x, у) равна 1 в X/,
yi и 0 во всех остальных узлах, что следует из свойств полино-
мов Лагранжа. Поэтому интерполяционная формула Лагранжа
Рис. 9.6. Типичный лагранжев прямоугольный элемент е.
пробной функции й для лагранжева элемента тп может быть
записана в виде
Й = МцЙц + #12^12	... + ^1тЩт + ^№1 + Л/22Й22 +•...
... + #2тЙ2т +	+ WnlWnl + #П2ЙИ2 + ••• + МЛтйпт, (9.58)
илн
(9.59)
Лагранжевы элементы этого семейства характеризуются меж-
элементной непрерывностью только для й и представляются
неполным интерполирующим полиномом. Можно показать, что
геометрическая изотропия имеет место, если по направлениям
к и у используется одинаковое число узлов. Кроме первого
(билинейного) элемента этого семейства, лагранжевым элемен-
там присущи недостатки вследствие наличия внутренних узлов
и плохого совмещения, особенно для полиномов более высоких
порядков. Поэтому прямоугольные лагранжевы элементы, от-
личные от билинейных, используются редко.
202
Глава 9
Иллюстративный пример 9.1. Показанные на рис. 9.7 базис-
ные функции для билинейного элемента с нумерацией узлов
1, 2, 3 и 4 получаются по отношению к локальной системе коор-
динат Ogq следующим образом. Базисная функция для узла 1,
Рис. 9.7, Типичный билинейный элемент е.
определяемая равенством (9.57), после опускания (с целью
упрощения записи) верхних индексов принимает вид
= JVU = Lj (t) (п).	(9.60)
Подстановка (9.20) в (9.60) при tn, п = 2 дает
*>=(w (^) -
(9.61а)
Точно так же можно определить
ЛГ2 = -|(|+1)(п-1),	(9.616)
Л'з=4® + 1><,1+1)’	(9-61в)
Л?4 = -|(£-1)(ч+1).	(9.61г)
Тогда пробную функцию й можно записать в виде
й = Д/1й1 -f- N2uz+ N&h + TV4S4	(9.62)
е базисными функциями, вычисляемыми из уравнений (9.61).
Элементы и их свойства
203
0.5.2.2. Сирендиповы элементы
В табл. 9.3 приведены первые три члена этого семейства. Сле-
дует заметить, что характеристика этих элементов как линей-
ного, квадратичного и кубического относится к изменению проб-
ной функции в направлении с, при постоянной или в направле-
нии т] при постоянной g. Пробными функциями для этих элемен-
Таблица 9.3
тов являются неполные полиномы второго, третьего и четвертого
порядков по £ и ц соответственно.
Базисные функции для первых трех сирсндиповых элемен-
тов первоначально были найдены Путем подбора; они пред-
ставлены в табл. 9 4 в локальных координатах § и ц. Для опре-
деления этих базисных функций могут быть также использо-
ваны следующие неполные полиномиальные пробные функции:
линейная й = at + a2g + аз») +	(9.63а)
квадратичная й = at +	+ a3'»l + °Ug2 + «5&0 + ад2 +
+ a7^+a8^2>	(9.636)
кубическая fl = at + a2£ + а3П + «Д2 + a5bl + «s'»!2 + «7*3 +
+	+ a9£n2 + «i&n3+aiii3n+ai2^n3- (9.63b)
Заметим, что в уравнениях (9 63) из полного полинома для
сохранения геометрической изотропин (см. разд. 8.11) опущены
симметричные пары членов.
Базисные функции для снрендиповых элементов	Таблица 9.4
XModoiUQ он iwsfi	.... 1 1 4?i				N, = «1 - ?Х1 + И,)		n, - id + ee.Mi - л		f + fr •й- + II	ег?б + iXt? - 1x4л +1)¥ - 'н
	i □ xsmw | лме»у				О II		о II S?		+1 +1 II И &	44 +1 11 11
1 « 1	1 Базисная функция	+ + и			+ к? >5 ₽ + % 11 X'				с1	
										
									* N* ~	+ ^(Х1 + фйЖ2 +	
	Координаты точек 			?|. 1:			•, (ь 41					
Тип злемеияю				я			1			*
		г			р-				с* Т	
				о		' ю			1	° А
										-S	
Элементы и их свойства
205
Первоначально разработанные сирендиповы элементы обла-
дали равным количеством узлов по направлениям х и у. Позд-
нее [36] был развит алгоритм для сирендиповых элементов
с равным или неравным числом узлов в двух (или трех) направ-
лениях, В той же работе показано, как построить модифициро-
ванные сирендиповы элементы, имеющие полные полиномиаль-
ные пробные функции, без дополнительных узлов в двумерном
случае, но с узлами, лежащими на середине боковой грани, в
трехмерном случае. Модифицированные элементы более эффек-
тивны с вычислительной точки зрения, чем лагранжевы прямо-
угольные и полные треугольные элементы. Болос того, исполь-
зование элементов с разным числом узлов вдоль каждой
стороны позволяет согласовывать элементы, низкого порядка в
областях, где нс предполагается резкого изменения характери-
стик, с элементами более высокого порядка в других областях.
Пробная функция сирендипова элемента вдоль границ эле-
мента представляет собой полный полином, и, следовательно,
имеет место непрерывность пробной функции при переходе
через границу между элементами.
Сирендиповы элементы образуют полезный класс прямо-
угольных элементов, которые в комбинации с треугольными
элементами могут достаточно эффективно использоваться в об-
ластях с криволинейными границами.
9.5.2.3. Эрмитовы элементы
Базисные функции для прямоугольных эрмитовых элементов
могут быть определены путем перемножения эрмитовых полино-
мов в каждом координатном направлении аналогично тому, как
это сделано в разд. 9.5.2.1 для лагранжевых прямоугольных
элементов. Рассмотрим, например, показанный на рис. 9.8 эрми-
тов прямоугольник, где используются локальные координаты
| = (я — xt)/a и т]==(г/ —	а параметрами в каждом узле
являются значения и, ди!дх, ди!ду я сРи/дхду.
В разд. 9.2.2.2 было показано, что для одномерного эрми-
това элемента с двумя узлами и первыми производными, вхо-
дящими в число узловых параметров, аппроксимацию й на эле-
менте можно записать как
й==Е[Л,м®й‘+Л'1г®’^г]-	(9-64)
f-I
Подобно лагранжевой, эту интерполяцию можно распростра-
нить на двумерный случай (хну). Используя систему коорди-
нат для прямоугольного элемента рйс. 9.8 й можно аппро-
206
Г шва 9
ксимировать выражением [37]
_	— дй, — ди, — д2и.
a^Y,Nuiil + Ni‘~d^ + Nit^- + N»'a^-	(9-65>
Ml
где _	_
n^n^n^,
_	-	(9.b6)
N3t^NH^NQl{n\
Функции Л7// в уравнениях (9.66)1) определяются как
(IHMm (Ю=1~ЗГ + 2g3 *, /V01 (i))=tf02 (П)==1~3п2 + 271s,
^(e)=^03(g)=3g2-2g3,	ЛГо4(п)=^з(п) = Зп2-2П3,	' ’ }
Л^12 (В)==ЛЪ (I)= - a (£M3), JVI4 0])=ЛЪ (л) = - b fa2 -1]3).
Пробная функция является неполным полиномом шестого по-
рядка по g и q. Можно также показать, что пробная функция
Рис. 9.8. Эрмитов прямоугольный элемент первого порядка.
'[уравнение-(9.65)] и ее первые производные непрерывны. Ма-
трица жесткости для прямоугольного эрмитова элемента пер-
вого порядка в задаче изгиба пластины получена в работе [37].
Были построены [38, 39] пробные функции более высокого
порядка, основанные на эрмитовых элементах с более чем двумя
узлами па стороне н использующие производные более высо-
кого порядка чем второй, но они слишком сложны и исполь-
зуются редко. Смитом [40] было проведено сравнение резуль-
татов применения нескольких эрмитовых элементов высокого
порядка к изгибу пластин.
3) Базисные функции Лг1( из уравнений (9 66) и (9.67) тождественны
одномерным базисным функциям Лг// из уравнении (9.33) и (9.34),
Элементы и их свойства
207
9.6.2Л. Прямоугольный элемент с двенадцатичлеиным полиномом
Базисные функции элемента типа рис. 9.7. имеющего узловыми
параметрами и, ди/дх и ди/ду, можно определить по методу
разд. 9.2.1.2 посредством неполного квадратичного полинома
с 12 членами. Полный полином четвертого порядка содержит
Таблица 9.5
Базисные функции дли двеиадцатичленного четырехугольника
- i	Базисные функции			Переменные
	Nti	иг.	N*	
1	- if h - ef- gh)		b 1 1. ^egh	e = tj — 1
i	iefc(4ell - 1/e + ef + ell)		lel^h	/-Ш
3				
4	- bft + e/ + gh)			1 = 5 + 1
15 членов, поэтому три из них должны быть исключены. Обычно
это £2i]2 плюс симметричная пара g4, г]4, что дает интерполяцию
й = а, + а& +	+ aff + а5Ь1 + ад2 +	+ us'S2’l +
+ сф]2 + аюЧ® + «I is34 + Kiss’!3-	(9.68)
Пробная функция выражается через базисные функции и их
производные следующим образом:
й=£ад,+лЦ>),+М€)<-	<9-69>
Прн этом можно показать, что при использовании локальных
координатных осей £, ц из рис. 9.7 базисные функции имеют
вид, представленный в табл. 9.5.
9.5.3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Согласно одному из подходов, четырехугольные элементы обра-
зуют из треугольных. Рис 9.9 показывает, как можно предста-
вить четырехугольный элемент простыми линейными треуголь-
никами. Четырехугольник делится сначала одной диагональю.
208
Глава 9
а затем другой. Для каждого деления четырехугольника эле*
ментная матрица k получается из линейного представления со-
ставляющих треугольных элементов. Затем две элементные ма-
трицы k усредняются для получения окончательной матрицы
четырехугольного элемента. Для формирования четырехуголь-
Рис. 9.9. Четырехугольный элемент — усреднение.
ников более высокого порядка можно использовать треугольные
элементы более высокого порядка.
На рис. показан четырехугольный элемент, построен-
ный де Вебеке [41] из четырех полных кубических полиномиаль-
ных треугольников. У этого элемента 16 степеней свободы: трн —
Рис. 9.10. Четырехугольные элементы.
а—де Вебеке (41]; б—Клафа и Фелипна [42].
и, ди/дх и ди/ду — ъ каждой вершине и одна — ди}дп — в каж-
дом узле на середине стороны.
Четырехугольный элемент, изображенный на рис. 9.10,6, по-
строен Клафом и Фелпппа [42] из четырех треугольников, каж-
дый из которых образуется из трех треугольных подобластей.
У элемента имеется 12 степенен свободы, по .три в каждой вер-
шине.
Рнс. 9.11 иллюстрирует другой подход к четырехугольному
элементу, по которому четырехугольник формируется из ква-
драта путем преобразования из естественных координат в гло-
бальные. В этом случае связь между естественными (g, tj) и
Элементы и их свойства
209
глобальными (х, у} координатами определяется в виде
х = |[(1-Ш1~'П)Х1 + (1+Е)(1-’1)Х2+(1 + Ш1 + ч)*з +
+ (1 - 0(1 + Ч)Ы.	(9.7.0а)
9 = т[(1-Ю(1-Ч)».+-(1+Ю(1-'П)й + (1+1)(1+’1)й +
+ (1 - 0(l + n)»J. (9.706)
Пробную функцию в системе можно взаимно однознач-
ным соответствием Перенести на четырехугольник, поскольку
пробная функция в соответствующих друг другу точках g, tj н
Рис. 9.11. Типичный четырехугольный’элемент.
с—естественные координаты; б—глобальные и локальные координаты.
к, у имеет одинаковые значения. Например, можно перенести с
помощью преобразования (9.70) пробную функцию и для от-
дельного прямоугольника с четырьмя узлами, полученную в
разд. 9.5.2.1 [уравнение (9.62)], на общий четырехугольный эле-
мент. В общем случае описанная процедура может быть исполь-
зована для преобразования простого порождающего элемента
к элементу более общей формы. Этот подход рассматривается
в разд. 9.7.
9.6.	ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Трехмерные задачи обусловливают большое число степеней
свободы. Например, в механике твердого тела три перемещения
и, v и w и их производные по направлениям х, у и z приводят к
48 степеням свободы для простого тетраэдрального элемента.
Даже с умеренным числом элементов система может иметь
несколько тысяч неизвестных. Поэтому неудивительно, что
210
Г лава 9
трехмерные конструкции, даже типи оболочек, которые исполь-
зуются в летательных аппаратах, автомобилях и кораблях, могут
содержать десятки тысяч неизвестных. Применение трехмерных
конечных элементов и в других областях, например при иссле-
довании распространения загрязнений в эстуариях рек во время
приливов, также приводит к очень большому числу неизвестных.
Обычно выгоднее выбирать узловые параметры в вершинах,
поскольку вершины являются общими для большего количества
элементов, чем узлы на ребрах или боковых гранях. При фикси-
рованном числе узловых параметров элемента это приводит к
уменьшению числа узловых параметров системы и сокращению
размера матрицы системы. Узлы на гранях избегают использо-
вать, поскольку они являются~общнми только для двух элемен-
тов. Цена использования узлов па ребрах значительно меньше,
особенно при использовании фронтального метода решения.
В вышеприведенных рассуждениях внутренние узлы не прини-
мались во внимание, поскольку они легко могут быть исклю-
чены с помощью конденсации.
В силу сказанного выше особое внимание в следующих раз-
делах будет уделяться элементам с узлами *в вершинах. Для
всех рассматриваемых ниже элементов характерна межэлемент-
иая непрерывность функции. Описание других элементов и их
свойств можно найти в работах [18, 43—46).
9.6.1.	ТЕТРАЭДРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Наиболее широко используются тетраэдральные трехмерные
элементы, хотя иногда бывает трудно разделить область только
иа элементы такого типа1). Из-за этого тетраэдральные эле-
менты часто смешиваются с шестигранными элементами («кир-
пичиками») .
9.6.1.1.	Лагранжевы тетраэдры
На рис. 9.12 изображены первые три элемента из этого семей-
ства — 4-узловой, 10-узлояой и 20-узловой, соответствующие
полным, линейной, квадратичной и кубической полиномиальным
пробным функциям. Каждый узел имеет только одну степень
свободы, а именно значение функции й в узле. Базисные функ-
ции можно определить методом обобщенных координат, хотя
для элементов, отличных от линейного, их легче получить как
произведение интерполирующих функций [47].
’) Точность, вероятно, снижается, если элементы становятся длинными
И тонкими.
Элементы и их свойства
211
a	<S	в
Рис. 9.12. Лагранжевы тетраэдры.
д—четырехузловой; б—десятиузловой; в—двадцатиузловой.
Для четырехузлового элемента пробная функция линейна:
И = cq + «2х + + «4z.	(9.71)
Легко показать, что базисные функции для такого элемента
определяются простыми соотношениями
М = £ь N2 = LZ, N3 — Ls, =	(9.72)
где Li, L2, L3 и £4 —объемные координаты, определенные ранее
в разд. 9.3.3.
0.6.1.2. Другие тетраэдры
Как отмечалось выше, при использовании элементов высоких
порядков выгодно концентрировать узловые параметры в вер-
шинах. На рис. 9.13 изображен представляющий практический
Рис. 9.13. Тетраэдральный элемент Т48.
интерес тетраэдральный элемент с параметрами только в вер-
шинах. Пробная функция для такого элемента представляет
собой неполный кубический полином от х, у, г [46]. Узловыми
параметрами являются функция и и ее первые производные по
212
Глава 9
х, у и z, что в итоге дает 16 степеней свободы. Поскольку пол-
ный кубический полином от трех переменных имеет 20 членов,
для однозначного определения базисных функций четыре члена
отбрасываются. Вычисление базисных функций для этого эле-
мента н дифференцирование матрицы жесткости можно найти
в лнтерату ре [43, 48] В задачах упругости, когда в любой точке
возможны три перемещения и, и и w в направлениях х, у и г со-
ответственно, получающиеся в результате 48 узловых параме-
тра дают элемент с общепринятым названием. Т48
Другие тетраэдральные элементы рассматриваются в рабо-
тах [6, 43—46].
9.6.2.	ШЕСТИГРАННЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Шестигранные элементы за их внешний вид иногда называют
«кирпичиками». Большая часть используемых шестигранных
элементов принадлежит к лагранжеву и сирен ди пову семейст-
вам; они и рассматриваются далее.
9.6.2.1.	Лагранжевы элементы
Так же как н в двумерном случае, трехмерные лагранжевы
элементы имеют базисные функции, представляющие собой про-
изведение интерполяционных полиномов Лагранжа. Как пока-
Рнс. 9.14. Типичный восьмиузловой шестигранный лагранжев элемент.
зано на рис. 9.14, первый элемент из этого семейства имеет
восемь узлов. В каждом узле оговаривается только значение
функции, что дает всего.восемь узловых параметров Элементы
более высокого порядка в дополнение к узлам в вершинах мо-
гут иметь узлы на ребрах, гранях и внутри, по такие элементы
используются реже Можно показать, что при использовании
естественных ортогональных координат q, £ н выборе начала
кор дипат б в центре Элемента (рис. 9.14) базисные функции
Элементы и их свойства
218
для первого лагранжева элемента описываются выражением
Л/<=4(1+&)(1 + ’1П|)(1 + &). 1=1, 2...8. (9.73)
Пробная функция й на элементе е может быть представлена в
терминах этих Nt следующим образом:
8
и = £ ЛД,й4.	(9.74)
9.6.2.2.	Сирендиповы элементы
Трехмерные сирендиповы элементы, как и двумерные, не содер-
жат внутренних узлов. На рис. 9.15 изображены первые три
элемента из этого семейства, где видно, что они обладают 8, 20
Рис. 0.15. Сирендиповы шестигранные элементы.
а—линейный; б—квадратичный; «г—кубический.
и 32 узлами соответственно, и в каждом из этих узлов задается
значение функции. В системе координат такой же, как на
рис 9.14, базисные функции для указанных сирендиповых эле-
ментов имеют следующий вид [49]:
«линейный» элемент
Nt = |( 1 + й<) (1 + ЧЧ.) (I + &):	(9.75)
«квадратичный» элемент
узел в вершине
W/=4<1 +К<)(1 +чч.)(1 +К.)ЙЕ< + чч> + Йг-2); (9.76)
типичный узел на середине стороны
£/ = 0, Т1< = ±1, ^=-±1,
lv,-4(i-E2)(i+44f)(l+K,);
(9.77)
214
Глава $
«кубический-» элемент
узел в вершине
АГ,- = -gj (1 + й<) (1 + та) (1 + Ш [9 (Г + П2 + Е2) - 191; (9.78)
типичный узел на середине стороны
Ь=±|. ч.- = ±1. ь = ±1,
Nt = ~ (1-^(1+	(1 + та) (1 + й<).
(9.79)
Базисные функции для линейного элемента из этого семей-
ства выглядят так же, как и у линейногст лагранжева элемента.
Все рассмотренные выше элементы используются на практике.
9.6.3.	ПЯТИГРАННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Эти элементы, имеющие вид треугольных призм, используются
довольно часто совместно с шестигранными элементами. Их
базисные функции образуются с помощью функции, интерполи-
рующей на треугольнике, которая умножается па лагранжеву
или сиреидипову функцию по оставшейся размерности [49].
9.7.	ИЗОПАРАМЕТРПЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для
удовлетворительного геометрического представления этих гра-
ниц необходимо использовать большое количество граничных
элементов с прямыми сторонами (гранями). Если используются
криволинейные элементы, то число необходимых элементов мо-
жет быть заметно сокращено, и в результате уменьшится общее
число переменных в системе. Для трехмерных задач, которым
присуще большое число переменных, такое сокращение может
быть очень полезным.
Хотя п существуют различные методы построения криволи-
нейных элементов, единственный широко используемый на прак-
тике метод основывается па отображении регулярных (прямо-
реберных или прямосторонних) элементов. Если известны ба-
зисные функции для регулярного порождающего элемента в
локальной системе координат, то можно определить и порож-
денный криволинейный элемент Как было показано Айронсом,
Зенкевичем и др. [49-— 51], отображение из локальной системы
координат g, I], £ в декартову х, у, г осуществляется посред-
Элементы и их свойства
215
ством соотношений
х = Nmx,	(9.80а)
i/ = N«y,	(9.806)
2—-Nmz.	(9.80в)
Элементы в уравнениях (9.80), которые входят в матрицу
базисных функций Nm, являются функциями от а столб-
Рис. 9.16. Отображения нзопараметрических элементов.
а—двумерного; б—трехмерного
Цы х, у и z образуют список значений естественных координат
по отношению к глобальной системе. В локальной системе
216
Глава 9
координат пробная функция й может быть записана в виде
fi = Nu,	'	(9.81)
где элементы матрицы базисных функций N зависят от q и £.
Из рис. 9.16 видно, что для любой точки порождающего эле-
мента с локальными координатами &, т), £ в порождаемом эле-
менте на основании уравнений (9.80) может быть получена со-
ответствующая точка в глобальных координатах х, у, г. Значе-
ние пробной функции в точке х, у, z совпадает со значением
функции в соответствующей точке од, £, н его можно вычислить
с помощью уравнения (9.81).
Удобно выбирать матрицы базисных функций NOT и N оди-
накового вида; в этом случае порожденный элемент называется
изопараметрическим. Если матрица базисной функции N™ имеет
меньший порядок, чем матрица N, го полученный криволиней-
ный элемент является субпараметрическнм, а если Nm более
высокого порядка, то элемент является суперпараметрическим.
Если в уравнениях (9.80) и (9.81) используются линейные
базисные функции, то двумерный прямоугольник отображается
на произвольный четырехугольник, а трехмерные кирпичики
станут шестигранниками с плоскими, но не параллельными гра-
нями. Для получения криволинейных элементов можно исполь-
зовать отображения более высокого порядка, такие, как ква-
дратичные и кубические.
Прн формировании элементных матриц с использованием
изопар аметрических элементов необходимо вычислять производ-
ные от базисных функций в системе из соответствующих
производных в системе Oxyz. Эти наборы производных могут
быть удобно связаны через якобиан преобразования.
Для двумерных областей разработано несколько криволи-
нейных треугольных элементов. Например, кубический криволи-
нейный элемент, первоначально предназначавшийся для ана-
лиза потенциальных течений, описан Айзексом [52] Дополни-
тельные подробности об нзопараметрических элементах н их
применении можно найти в уже упоминавшихся литературных ~
источниках.
9.8.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
В ГЛОБАЛЬНЫЕ
Установлено, что многие базисные функции легко могут быть
представлены в той или иной локальной системе координат.
В этом случае элементные матричные уравнения будут содер-
жать неизвестные переменные по отношению к локальной си-
стеме. Эти уравнения должны преобразовываться в соответ-
Элементы и их свойства
217
ствующие уравнения в глобальной системе до их включения в
матрицу системы.
Для неизотропных сред матрица элемента имеет простейший
вид, если опа получена в таких локальных осях, которые соот-
ветственно параллельны главным осям материала в этой точке.
И вновь до объединения следует провести преобразование из
локальной системы в глобальную.
Как показано далее, преобразование легче всего осущест-
вить, если используется подходящая матрица преобразования.
Рассмотрим вклад элемента, полученный в локальной системе
и записанный в виде
- %e = (uL)TkLuL,	(9.82)
где kz. — элементная матрица k, a Uz — элементный узловой век-
тор, оба в локальной системе. Пусть преобразование нз локаль-
ной системы в глобальную задается в виде ’)
ut = Tu,	(9.83)
где и — элементный узловой вектор в глобальной системе, а
Т — матрица преобразования между системами. Подставляя
(9.83) в уравнение (9.82), получим
/ —(u)rT?kLTu.	(9.84)
Следовательно, элементная матрица к в системе глобальных
координат, обозначаемая к, записывается как
k = TrkLT,	(9.85)
Поскольку в гл. 5 было проиллюстрировано преобразование
из локальной в глобальную систему, дополнительные примеры
такого рода в этом разделе не приводятся.
9.9.	ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА
В предыдущих разделах представлен обзор наиболее распро-
страненных элементов. Однако для конкретной задачи важен
вопрос выбора элемента. На выбор элемента сильно влияет
сложность программирования, затраты времени и средств и точ-
ность решения. К сожалению, нет четких правил выбора луч-
шего элемента, так как выбор зависит от типа задачи, геоме-
трии границ, граничных условий, требуемой точности, характе-
ристик ЭВМ, максимально допустимой стоимости расчета и
других факторов.
Тем не менее можно сформулировать несколько рекоменда-
ций, помогающих выбору элемента. Прежде всего для пробной
функции должны существовать все производные, появляющиеся
*) В тех случаях, когда преобразование.сводится к вращению, матоица
преобразования обычно обозначается R.
213
Глава 9
в функционале. Простейший способ удовлетворения условий схо-
димости состоит в том, чтобы применять элементы, основанные
на полном полиноме, и, более того, использовать только допу-
стимые функции, которые для широкого класса задач соответ-
ствуют использованию согласованных элементов. Элементы, не
удовлетворяющие требованиям полноты и согласованности, мож-
но использовать только после тщательной проверил их харак-
теристик. Поскольку такие элементы могут быть весьма эффек-
тивными, их не следует заранее исключать из рассмотрения.
Для задач с регулярными границами обычно выбираются
элементы простой геометрии, тогда как для криволинейных гра-
ниц выбор более сложен, поскольку в этих случаях можно
успешно применять как регулярные так и криволинейные эле-
менты. При подгонке к криволинейной Гранине- можно выбирать
из большого количества регулярных элементов или нескольких
более сложных нзопараметрических элементов.
Как показано выше, есть значительная выгода в том, чтобы
выбирать элементы, у которых узловые параметры концентри-
руются в вершинах. Элементы с производными представляют
ценность тогда, когда решение включает производные, по-
скольку в этом случае нет необходимости вычислять их после-
дующей интерполяцией.
Литература
1-	Argyrls J. Н., Continua and dfecontinua, Proc. Conf. Matrix Methods Struct.
Meek, 1st, Wright-Patterson AFB, Ohio, October 26—28, 1985 (AFFDL-TR-
66-80, November 1966)
2.	Clough R. W, Comparison in three-dimensional finite elements, in: Finite
Element Mqjhods in Stress Analyses (flola'nd f., Bell K., eds.), Tapir Press,
Trondheim, Norway 1969.
3.	Zicnkiewicz О. C., Isoparametric and allied numerically Integra ted ele-
ments — a review, Proc. Symp. Num. Comput. Methods Struct. Meeh., Univ.,
of Illinois, Urbana. Illinois, September 1971.	‘ •
4.	Mitchell A. R., Element types and base functions, in: Numerical Solution of
Partial Differential Equations (Gram J. G., ed.), pp. 107—150 Retdel,
Dordrecht, 1973.
5.	Norrie D. II., de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press, New
York, 1973.
6.	Huebner К- H., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New
York, 1975.
7.	Fenner R. T., Finite Element Methods for Engineer’s, MacMillan, New "York,
1975.
8.	Zienkiewicz O; C„ The Finite Element Method In Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод ко-
нечных элементов в технике. — М.: Мир. 1975]
9.	Ural О., The Finite Element Method, Intext Educational Publ., New. York,
1973.
10	Martin H, C., Carey G. F-, Introduction to Finite Element Analysis, McGraw-
. Hill, New York, 1973.
11.	Gallagher *R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975,
Элементы и их свойства
219
12.	Robinson J. Н., Integrated Theory of Finite Element Methods, Wiley (In-
terscience), New Y’oik, 1973.
13.	Rockey К. C., Evans H. R., Griffiths D. W_, Nethercot D. A., The Finite
Element Method, Crosby Lockwood Staples, London, 1975.
14.	Brcbbia C. A., Connor J. J., Fundamentals of Finite Element Techniques.
II a Is ted Press, 1974.
15.	Desia C. S., Abel J. F„ Introduction to the Finite Element- Method, Van
Nostrand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1972
16.	Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley,
New York. 1974.
17.	Pin Tong, Rossettos J. N., The Finite Element Method, MIT Press, Camb-
ridge, Massachusetts, 1977.
18.	Norrie Г). H., de Vries G., Л. Finite Element Bibliography, Plenum Press,
New York. 1976.
19.	Hamming R. W., Numerical ’Methods for Scientists and Engineers, McGraw-
Hill, New Y'ork. 1962. [Имеется перевод: Хсмминг P. В., Численные методы
для научных работников п инженеров. — М: Наука. 1968.]
20.	Silvester Р., Higher-order polynomial triangular elements for potential pro-
blems, Inlernat. J Engrg Set.. 7. No 8, 849- 861 (1969).
21.	Felippa C. A., Clough R W. The mte Heinen! method in solid mechanics,
in: Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics (SIAM—
AMS Proc.l, Vol. 2, 210—252. Amer. Math. Soe.. Providence, Rhode Island
1970.
22.	Tocher J. L., Hartz B. J., Higher-order finite element for plane stress.
Proc. ASCE. J. Engrg Meeh. Div., 93, No. EM4, 149—174 (1967).
23.	Holand I., Bergan P. G., Discussion ol higher-order finite element for plane
stress. Proc ASCE, J. Engrg. Meeh. Div., 94, No. EM2 698—702, (April
1968).
24.	Holand I, The finite element method in plane stress analysis, in: The Finite
Element Method in Slrcss Analysis (Holand L, Bell K-, eds.). Chapter 2,
Tapir Press, Trondheim, Norway, 1969.
25.	Fraeijs de Veubeke B„ Displacement and equilibrium models in the finite
element method, Symp. Numei. .Methods in Elasticity, University College of
Swansea, January 1964, in: Stress Analysis (Zienkiewicz О. C., Holister G..
eds.), Chapter 9, pp. 145—147, Wiley, New Y'ork, 1965.
26.	Brebbia C., Connor J., Plate bending, in: Finite Element Techniques m
Structural Mechanics (Tottenham H., Brcbbia C., eds.) Chapter 4, 112—114,
Stress Analysis Publ., Southampton. I97i.
27.	Bell K., A refined triangular plate bending finite element, Int. J.- Nutner.
Methods Engrg, I, No. I, 101—122 (1969).
28.	Cowper G. R. Kusko E., Lindberg G., Olson M., Static and dynamic appli-
cations of a high precision triangular plate bending element, Al A A J.. 7,
*No. 10, 1957—1965 (1969). [Имеется перевод: Ракетная техника н космо-
навтка. т. 7. № 10, с. 165—175, 1969.]
29.	Bntlin G., Ford R„ A compatible triangular Plate bending finite element,
Inlernat. J. N timer. Methods Engrg., 6, 323—332 (1970).
30.	Bell K., Triangular plate bending dements, in: Finite Element Methods in
Stress Analysis (Holand 1., Bell K., eds.), Chapter 7, Tapir Press, Trond-
heim, Norway, 1969.
31.	Morlev L. S. D., The constant-moment plate bending element, /. Strain
Anal.'b, No. 1, 2—24 (1971).
32.	Clough R. W„ Tocher J. L., Finite element stillness matrices for analysis
of plate bending. Proc. Conf. Matrix Methods Struct. Meeh., 1st, Wright-
Patterson AFB, Ohio, 26—28 October, 1965 (AFFDL-TR-66-80, pp. 515—546,
November 1966).
33	Bazeley G., Cheung Y. I\., Irons B., Zienkiewicz O., Triangular elements In
plate bending-conforming and non-forming solutions, Proc. Conf. Matrix
220
Глава 9
Methods Struct. Meeh., 1st, Wright-Patterson AFB, Ohio, 26—28 October
1965 (AFFDL-TR-66-80, pp. 547—576. November 1966).
34.	Harrison D. Ci., Cheund Y. K.. A higher-order triangular finite element for
the solution of field problems in orthotropic media, internal. J. Nuttier. Me-
thods. Engrg.. 7, 287 —295 (1973). (Отмстим, что на стр. 294 есть Ошибка.
Первый момент подматрицы Syl должен иметь вид 10с/ — 4Ci+i£i-i- В на-
печатанном варианте утерян показатель степени 2 в первом'члене.)
35-	Bell К., Analysis of Thin Plates in Bending Using Triangular Finite Ele-
ments, Div. of Struct Meeh., Technical Univ of Norway, Trondheim, Nor-
way, February 1968.
36.	Taylor R. I... On completeness of shape functions for finite eiement analysis,
Internat. J. Numer. Methods Engrg., 4, No. 1, 17—22 (1972).
37.	Bogner F. K-, Fox R. L_. Schmidt L. A., The generation of interelemcnt-
compatible stiffness and mass matrices by the use of interpolation formulas,
Proc. Conf. Matrix Methods Struct. Meeh'., 1st, Wrighl-Patterson AFB, Ohio,
26—28 October. 1965 (AFFDL-TR-66-80, November-1966).
38.	Birkhoff G., Schultz M H., Varga R. S., Piece-wise hermitian interpolation
in one and two variables with application to differential equations, Numer.
Math., 2, 232—256 (1968).
39.	Smilh I. M„ Duncan W., The effectiveness of nodal continuities in finite
, element anaysis of thin rectanguar and skew plates in bending. Internat.
J. Numer. Methods. Engrg., 2, 253—258 (1970).
40.	Smith I. M, A finite element analysis for moderately thick rectangular
plates in bending, Internat. J. Meeh. Set., 10, 563—570 (1968).
41.	Fraeijs de Veubekc B., A conforming finite element for plate bending, In-
ternat I. of Solids Struct., 4, No 1, 95—108 (1968).
42.	Clough R W., Fclippa C, A refined quadrilateral element for the analysis
of plate bending. Proc. Conf. Matrix Methods Struct. Meeh., 2nd, Wright-
Patterson AFB, Ohio, 15—17 October, 1968 (AFFDL-TR-68-150, pp. 399—440.
December 1969).
43.	Fjeld S. A., Three-dimensional theory of elasticity, in; Finite Element Me-
thods in Stress Analysis, pp 333—364, Tapir Press, Trondheim, 1969.
44.	Hughes J. R., Allik 11., Finite, elements for compressible and incompressible
continua, Proc. Svmp. Appl. Finite Element Methods Civil Engrg., Vander-
bilt Univ., Nashville, Tennessee, November 1969.
45.	Clough R. W., Comparison of three dimensional finite elements, Proc. Symp.
Appl. Finite Element Methods Civil Engrg., Vanderbilt Univ., Nashville,
Tennessee, November 1969.
46.	Rashed Y. R., Smith P. D., Price N., On further application of lhe finite
element method of Ihree dimensional elastic analysis, Proc. Symp. High
Speed Comput. Elastic Struct., Univ, of Liege Press, Belgium, 19/0.
47.	Silvester P., Tetrahedral Unite elements for the Helmholtz equation, Inter-
nal. I. Numer Methods Engrg., 4, No. 3. 405—413 (1972).
48.	Argy-ris J. H . Fried 1., -Scharpf D. W., The TET20 and TEA8 elements for
the matrix displacement method, Aero. J., 72, No. 691, 618—623 (July 1968),
49.	Zienkiewicz О. C, Irons В. M. Ergatoudis J., Ahmad S., Scott F. C., Iso-
parametric and associated element families for two- and three-dimensional
analysis, in: Finite Element Methods in Stress Analysis, pp. 383—432, Tapir
Press, Trondheim. Norway, 1969.
50.	Ergatoudis L, Irons В. M., Zienkiewicz О. C.; Curved iso-parametric 'quad-
rilateral' elements for finite element analysis, Internat. J. Solids Struct., 4,
31—42 (1968).
51.	Zienkiewicz О. C., Irons В. M., Iso-pararoetric elements, in: Finile Element
Techniques in Structural Analysis (Tottenham H., Brebbia C., eds.). Chap-
ter 10, Southampton Univ. Press, 1970.
52.	Isaacs L. T., A curved cubic triangular finite element for potential flow-
problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 7, No. 3, 337—344 (1973).
10
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
И ТЕХНИКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ
&
В случае линейной стационарной задачи метод конечных эле-
ментов приводит к системе линейных алгебраических уравнений
вида
АХ —В,	(10.1)
где А = [а/Д—матрица коэффициентов, Х = [х/] — системный
узловой вектор неизвестных и В = [£,-] — заданная матрица-стол-
бец. Задачи на собственные значения и динамические задачи
также приводят к линейным алгебраическим уравнениям, хотя
и отличным от (ЮЛ).
Существующие способы решения систем линейных уравнений
можно разделить на прямые и итерационные. В прямых методах
решение X получается непосредственно в результате одного
применения вычислительной процедуры. Напротив, в итерацион-
ных методах решение задачи требует повторяющегося примене-
ния алгоритма. Для начала итерационной процедуры необхо-
димо задать начальное приближение решения. При последую-
щих итерациях получаются все более точные оценки решения.
Для проверки сходимости последнее полученное приближение
решения сравнивают с предыдущим. Итерационный процесс за-,
канчивается, если разность последовательных приближений
становится меньше заданной величины.
Создано много вариантов прямых и итерационных методов,
В некоторых вариантах для уменьшения количества вычисли-
тельных операций и(или) объема требуемой памяти исполь-
зуются, например, такие свойства матрицы А, как симметрия,
лснточность илн разреженность. Лучшие из известных алгорит-
мов запрограммированы для ЭВМ, „и многие из ннх являются
стандартными библиотечными подпрограммами. Такие програм-
мы часто называют решателями уравнений (equation solvers),
хотя иногда этот термин используется также в качестве Назва-
ния метода, на котором основана нрограмма.
В настоящей главе описаны наиболее важные способы ре-
шения уравнений и сравниваются их достоинства. Также даны
пояснения но поводу выбора программы решения уравнений для
той или иной конкретной задачи.
222
Глава tO
10.1.	ВЫБОР ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ уравнении
Прн выборе программы решения системы линейных уравнений
прежде всего нужно решить, должен лн быть метод прямым или
итерационным. Для простых задач с небольшой матрицей коэф-
фициентов А обычно используются стандартные библиотечные
подпрограммы. Для более сложных систем, требующих боль-
шого объема вычислений и значительной памяти, стоимость вы-
числений становится весьма важной, и приходится искать и,
если необходимо, создавать процедуру минимизации стоимости
вычислений. Наиболее важными критериями выбора метода
являются объем вычислительных операций, трудности програм-
мирования, память и количество обслуживающих программ, не-
обходимых для создания программы. Может оказаться, что
многие методы решения требуют больше оперативной памяти,
чем имеется в наличии. Это побуждает выбирать программы,
требующие дополнительных вычислений. Обычно приходится
идти на компромисс между количеством обменов с внешней па-
мятью, объемом вычислений, объемом памяти, временем н стои-
мостью вычислений.
В 50-х годах вычислительные машины имели небольшую
оперативную память и малую скорость записи (считывания)
данных на магнитную ленту. Следовательно, прямые методы
можно было применять только для простых задач. Для более
сложных задач использовались итерационные методы ввиду не-
большого объема требуемой памяти. После того как существен-
но увеличился объем оперативной памяти, нашли применение
лучшие из прямых методов. В оперативной памяти больших со-
временных вычислительных машин можно полностью разме-
стить матрицы коэффициентов для задач средних размеров, что.
позволяет быстро получить решение, используя прямой метод.
В случае больших задач (или даже для небольших при реше-
нии на минимашннах) может быть полезным то обстоятельство,
что для прямых методов в каждый момент времени нужна в
оперативной памяти только часть матрицы коэффициентов. При
большой современной скорости обмена с внешней памятью мож-
но быстро пересылать в оперативную память части матрицы. Это
позволяет последовательно продолжать решение без чрезмер-
ных затрат времени. Однако в случае очень больших задач все
еще могут быть необходимы итерационные методы даже при
использовании современных способов экономии оперативной
памяти.
Отвлекаясь от частностей, можно дать следующие общие ре-
комендации выбора метода решения системы уравнений:
Методы решения уравнений и техника программирования
223
1)	для небольших задач целесообразно использовать наи-
более удобные стандартные программы, основанные, как пра-
вило, на прямых методах;
2)	для задач средних размеров следует выбирать прямой -
метод, экономя иа режимах хранения данных, когда это воз-
можно;
3)	для больших задач, когда память ограничена, необходимо
рассматривать итерационные методы.
Хотя в этой главе рассматриваются лишь системы линейных
уравнений вида (10.1), получающиеся в случае эллиптических
дифференциальных уравнений, аналогичные процедуры сущест-
вуют и для других, типов задач. Например, конечноэлемеитная
формулировка линейной задачи на собственные значения при-
водит к алгебраической задаче на собственные значения, кото-
рая может быть решена либо прямым, либо итерационным ме-
тодом. Рекомендации относительно выбора метода аналогичны
рекомендациям для стационарной задачи. Линейные динамиче-
ские задачи, однако, приводят к уравнениям, зависящим от вре-
мени, для которых более подходящими являются итерационные
методы. Для решения нелинейных систем уравнений не сущест-
вует прямых методов, поэтому приходится использовать итера-
ционные процедуры. В следующих разделах лап краткий обзор
прямых и итерационных методов, а также некоторых соответ-
ствующих приемов уменьшения времени н стоимости решения.
10.2.	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Используемые на практике прямые методы решения обычно
состоят из двух процедур, первая нз которых — приведение ма-
трицы системы к треугольному виду последовательным исклю-
чением или факторизацией, а вторая — обратная подстановка.
И исключение, и факторизация являются, строго говоря, про-
цедурами разложения, и именно так они будут здесь рассма-
триваться, хотя некоторые авторы используют термин «разло-
жение» только применительно к факторизация.
В настоящее время метод Гаусса, ГО!/-факторизация, раз-
ложение Холесского и фронтальный метод являются наиболее
важными из прямых методов для рассматриваемого примене-
ния. Последние три из них могут рассматриваться как варианты
метода исключения Гаусса [I]. Среди недавно предложенных
методов наиболее привлекательными являются метод быстрого
преобразования Фурье и метод разбиения на блоки [2]. Сущест-
вуют и другие методы, использующие разреженность ленточной
матрицы А. Они будут рассмотрены в разд. 10.2.6. Тексты Фор-
тран-программ ряда прямых методов опубликованы в удобной
форме [3, 4]. В публикациях можно иайти программы н для
других методов.
224
Глава It)
10.2.1.	МЕТОД ГАУССА
В методе исключения Гаусса с помощью действий над стро-
ками симметричная ленточная матрица А приводится к верх-
ней треугольной матрице U, а матрица-столбец В преобразуется
соответственно к матрице-столбцу С. Ниже излагается процеду-
ра для ленточной матрицы А с шириной лен гы, равной 5. Верх-
няя часть матричного уравнения системы (10.1) в этом случае
принимает вид
<hl	. «12	«13
а21	«22	«23 «24
«31	«32	«33 «34 «35
	«42	«43	«44	«45	«46
		«53 «54 «55 «56
(10.2>
На первом шаге исключения, умножая первую строку в урзвие-
Черта иад элементом матрицы в уравнении (10.3) указывает на
то, что этот элемент модифицирован. Например, величины баз
и получены по формулам
«32 — «32 ~ («31/«11)«12>
= Ь2 — («з1/ац)1»1.
(Ю.4)
На втором шаге исключения второе уравнение (10.4J умно-
жается на [a(i (или ащ)]/ай2 и вычитается из i-й строки, где I
Методы решения уравнений и техника программирования
225
принимает значения 3, 4, ..
аН- «12 «13 "
^22	«23	«24
^33	Я34	«35
«43	«44	«45
«S3	«54'	«55
Например, числа «аз, б43 и
«аз = «33 — («за/йгг) «23»
«43 ~ «43 ~~ («4э/«22) «24»	(10.6)
Ясно, что процедура исключения преобразует симметричную
ленточную матрицу А в уравнении (10.1) к верхней треугольной
ленточной матрице С, и итоговое уравнение приобретает вид
UX = C.	(10.8)
Можно показать, что исходное уравнение (10.1) восстанавли-
вается умножением уравнения (10.8) на подходящую нижнюю
треугольную матрицу L. Следовательно, процесс исключения со-
ответствует разложению матрицы А на Ей U, т. е.
A = LU.	(10.9)
Подстановка равенства (10.9) в (10.1) и умножение слева ре-
зультата иа обратную к L матрицу дает уравнение
IX-L_1B = C,	(10.10)
совпадающее с полученным ранее уравнением (10.8).
Значение переменной хп получается непосредственно из
n-го уравнения системы (10.7). Подстановка этого значения
226
Глава 10
в (п— 1)-е уравнение дает xn~i- Продолжая этот процесс обрат-
ной подстановки в системе уравеннй (10.7), последовательно
получим значения остальных неизвестных. Очевидно, что эта
процедура эквивалентна умножению слева уравнения (10.10) на
обратную к И матрицу, т. е.
X = l)~lL“1B = ir1C.	(10.11)
Детальное исследование метода исключения показывает, что на
й-ом шаге исключения в оперативной памяти нужна лишь тре-
угольная часть ленточной матрицы, обозначенная I иа
рнс. 10.1, с. Коэффициенты в треугольнике II также необходимы
Рис. 10.1. Процедура исключения Гаусса.
а—рабочая область на Л-ом шаге исключении; б—изменение активной области при пере*
ходе от fc-ro к (Л4-1)-му шагу исключения.
для вычислений, но в силу симметрии матрицы они .могут быть
получены из треугольника I.
После А-го шага исключения (часто называемого Л-н редук-
цией) &-я строка из активной части памяти может быть отправ-
лена во внешнюю память, а новый столбец данных переслан в
оперативную память (рис. 10.1,6). После этого можно выпол-
нить следующий шаг исключения.
10.2.2.	LDL’-ФАКТОРИЗАЦИЯ
Матрица коэффициентов А может быть разложена в произведе-
ние нижней треугольной, диагональной н верхней треугольной
матриц, т. е.
A = LDU,	(10.12)
при условии, что А и ее верхние левые главные подматрицы не
вырождены [5, 6]. Кроме того, если А симметрична, то верхняя
треугольная матрица является транспонированной по отноше-
Методы решения уравнений и техника программирования
227
нню к нижней треугольной матрице, и у обеих этих матриц на
главной диагонали находятся единицы. Таким образом,
A=LDLr.	(10.13)
По очевидным причинам это разложение часто называют трой-
ной факторизацией [7]. Используя представление (10.13), мож-
но решить матричное уравнение системы за два шага, -так как
уравнение (10.1) может быть записано в виде
LC — B,	(10.14а)
где
DLrX=C.	(10.146)
Сначала решается уравнение (10.14а) относительно С, а затем
уравнение (10.146) относительно X. Элементы матриц D-и L мо-
гут быть вычислены по формулам
««==««-	(Ю.15а)
/„=1,	(10.156)
kf = ( М^//)	> i > />	(10.15в)
/г7 = 0, i<j,	(10.15г)
где сумма полагается равной -нулю,	если верхний предел сум-
мирования меньше нижиего. Ве'кторы С и X определяются по
формулам
Ci = bi — lincnt	(10.16а)
L
^ = (l/di()(q— X	(10.166)
где п — размерность квадратной матрицы коэффициентов А.
Разложение LDLr может быть выполнено весьма эффек-
тивно посредством вычисления элементов D и L по столбцам
[5]. Эта процедура предпочтительнее простого метода исклю-
чения Гаусса,' так как она значительно более быстрая.
10.2.3.	РАЗЛОЖЕНИЕ ХОЛЕССКОГО
Разложение Холссского, иногда называемое методом квадрат-
ного корня, возможно только для симметричной положительно
определенной матрицы А1). При этом условии матрица А может
’) Матрица А называется положительно определенной, если квадратичная
форма (А.43а) в приложении А положительна для всех ненулевых и.
228
Глава Ю
быть разложена в произведение нижией треугольной матрицы
L с положительными диагональными элементами на ее транспо-
нированную, а именно:
А=ЫЛ	*	(10.17а)
С другой стороны, матрица А может быть разложена в произ-
ведение верхней треугольной матрицы U на ее транспонирован-
ную:
A-IU7.	(10.176)
Для первого из этих разложения подстановка выражения
(10.17а) в (10.1) дает уравнение
LLrX = B,	,	(10.18)
которое может быть записано в виде последовательности урав-
нений
LC-B,	(10.19а)
L7X —С.	(10.196)
Прямая подстановка, использующая (10.19а), дает матрицу С, а
обратная подстановка, основанная иа уравнении (10.196), мо-
жет быть использована для получения требуемого решения X.
Треугольная матрица L = [!«/], небходимая в этих вычислениях,
может быть определена явно через элементы матрицы А с по-
мощью следующих соотношений:
/	1-1	\Н2
>	' = 1......«.	(10.20а)
=	/=«+1. i + 2...........
/=1.......и,	(10.206)
1(/ = 0, KI,	(10.20b)
где сумма полагается равной нулю; если' верхний предел сум-
мирования меньше нижнего.
Очевидно, что для этого алгоритма при вычислении элемен-
та 1Ч требуются лишь элемент ац и элементы матрицы L, ука-
занные на рис. 10.2, а двумя жирными линиями. Если элементы
в треугольнике I находятся в оперативной памяти, а элементы
а,, заменяются вычисляемыми элементами lt}, то элементы, не-
обходимые для вычисления элементов //у (указанных жирными
линиями в матрице L) находятся в выделенных линиями частях
матрицы А. После определения каждый новый элемент за-
писывается вместо соответствующего элемента Таким обра-
зом, вычисление элементов ltl осуществляется вдоль линии ВС
Методы решения уравнений и техника программирования 229
вплоть до нижней границы ленты. После этого необходимо пе-
реслать одну строку во внешнюю память из активного тре-
угольника, а новый столбец ах/— в оперативную память, как
это схематически показано на рис. 10 2,6.
Оба алгоритма — Ы)17-факторизация и разложение Холес-
ского — требуют значительно меньше времени вычислений и, та-
Рис. 10.2. Разложение Холесского.
л—рабочие области, б—изменение активной области.
ким образом» дают более быстрое н дешевое решение по сравне-
нию с простым методом Гаусса, хотя они не имеют больших
преимуществ в отношении памяти; Процедура ЬОЬг-факториза-г
ции содержит несколько меньше операций, чем алгоритм Холес-
ского.
10.2.4.	ФРОНТАЛЬНЫЙ МЕТОД
В разд. 10.2.1 показано, что метод исключения Гаусса может
применяться поэтапно при условии, что на каждом этапе в опе-
ративной памяти находится лишь активная область матрицы.
Аналогичным образом, обратная подстановка может выпол-
280
Глава W
ияться последовательно с использованием необходимой актив-
ной области.
Если применяется' поэтапное исключение, то объединение
элементных матриц жесткости к в матрицу коэффициентов жест-
кости системы также может выполняться поэтапно с вычисле-
нием н объединением лишь тех элементных матриц жесткости,
которые необходимы для вычисления значений коэффициентов
в текущей активной области.
Фронтальный метод элегантно использует эти принципы.
Фронтальная линия, перемещаясь по области задачи, захваты-
вает элементы в том порядке, в каком они необходимы для
обьединения. Дополнительным достоинством метода является
•то, чю нули матрицы коэффициентов исключаются из вычисле-
ний. Другое достоинство состоит в том, что вычисления в узлах
посередине сторон н граней требуют ненамного больше затрат,
чем в угловых узлах.
Хотя принципы фронтального метода решения установлены
довольно давно1), метод прочно вошел в конечпоэлементную
практику лишь благодаря формулировке, данной Айронсом в
1970 г. Более подробное описание фронтального метода решения
имеется в его работе [8] и других публикациях J1, 5, 7, 9, 10].
10.2.5.	БЛОЧНОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ
Если симметричная матрица коэффициентов разделена на квад-
ратные подматрицы Atf (обычно называемые блоками), а ма-
трицы X и В аналогично разделены на подматрицы X/ и Вг, то
процедура исключения Гаусса может быть использована для
нахождения Х} точно так же, как и раньше. Предыдущие фор-
мулы и алгоритмы остаются в силе, за исключением того, что
а,/ заменяется иа Аг/, bt—-на Вг и х/— на X/. Единственное от-
личие состоит в том, что всякий раз, когда в первоначальной
процедуре появляется умножение на аЙ (обратное ctkk), в блоч-
ной процедуре оно заменяется умножением на матрицу, обрат-
ную А^(АГй)- Таким образом, с помощью процедуры обраще-
ния симметричных подматриц А^ можно использовать метод
исключения Гаусса для сведения квадратной матрицы, состоя-
щей из подматриц А,-,-, к верхней треугольной блочной матрице.
Аналогично, подматрица В; преобразуется к соответствующей
подматрице С,. Так как каждая новая подматрица известна яв-
но, то процесс обратной подстановки, аналогично использован--
ному ранее, дает неизвестный вектор X. Анализ этого процесса,
показывает, что для выполнения процедуры исключения необ-
ходимы в оперативной памяти в каждый момент времени только
трн блока матрицы коэффициентов А. Соответственно для про-
Этот подход впервые используется в фирме «Боинг» примерно с I960 г.
Методы решения уравнений и техника программирования 231
цесса обратной подстановки в оперативной памяти одновре-
менно необходимы только три блока матрицы В.
Блочное разбиение может также использоваться и в других
прямых методах, таких, как процедура Холссского. Широкое
применение блочных процедур в последние годы связано с
уменьшением требуемого объема оперативной памяти при ре-
шении больших систем уравнений. Например, в работе [11]
использовались два блока. Нижний блок перемещался и а место
верхнего, пересылаемого во внешнюю память, и считывался но-
вый нижний блок, В работе [12] использовались строки целых
чисел для записи положения блоков с ненулевыми элементами.
В работе [13] описан блочный (по узлам) алгоритм. В рабо-
тах [14—16] также применены блочные алгоритмы исключе-
ния, причем в алгоритме работы [16] сохраняются только не-
нулевые элементы. В более поздних работах [17, 18] размеры
блоков автоматически приводятся в соответствие с масштабом
решаемой задачи.
Несмотря на постоянный интерес к блочным схемам, не вид-
но каких-либо особых преимуществ блочных алгоритмов, осно-
ванных на безусловном разбиении на блоки1), в отношении
ленточных матриц. Первоначальным толчком развития блочных
схем было то, что они по-прежнему позволяли использовать
прямые методы даже в том случае, когда система уравнений
была настолько велика, что матрица коэффициентов нс поме-
щалась целиком в оперативной памяти. Разбиение матрицы на
части и сохранение только тех блоков, которые необходимы в
текущий момент времени, снижают требования'к оперативной
памяти (н тем самым позволяют решать задачи большей раз-
мерности), по появляются дополнительные издержки за счет
обмена между оперативной и внешней памятью, поскольку тре-
буются дополнительные обслуживающие программы, для ко-
торых нужны память и время. Хотя блочная схема в принципе
могла бы работать с меньшим объемом оперативной памяти, чем
описанный выше подход с треугольной активной областью, и,
следовательно, допускает решение задач большей размерности,
из-за дополнительного вычислительного времени другие под-
ходы оказываются предпочтительнее. Если активная треугольная
область не помещается целиком в оперативной памяти, то можно
прибегать к процедурам, для которых память требуется мень-
шими порциями [19]. Использование разреженности матрицы
коэффициентов, обсуждаемое в следующем разделе, может
*) В этом случае разбиение носит произвольный характер. Если разбиение
выполняется так, что матричные* элементы .руппируются в соответствии с
некоторым выбранным критерием, то разбиение называют условным. Для по-
лучения желаемой |руппировки может быть необходимо переупорядочение
уравнений.
232
Глава 10
расширить применимость прямых методов без обращения к
блочным методам с безусловным разбиением. С другой стороны,
для решения больших задач может применяться условное раз-
биение. Если эти подходы достигают пределов своей примени-
мости (нли даже раньше), то следует использовать итерацион-
ные методы.
10.2.6.	ОПЕРАЦИИ С РАЗРЕЖЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
Обычно симметричная ленточная матрица коэффициентов со-
держит много нулей как вдоль краев ленты1), так и внутри ее.
Редкость ненулевых членов в ленте может быть даже такой, что
Число нулевых членов превышает число ненулевых. В большин-
стве прямых методов, в их простейшей форме, все элементы
внутри ленты предполагаются ненулевыми; соответственно уста-
навливаются требования к памяти н объему вычислений. Од-
нако программа может использовать некоторую проверку для
предотвращения фактических вычислений с нулями. Эффектив-
ность таких бесхитростных подходов применительно к некото-
рой конкретной задаче повышается, если разреженность умень-
шить за счет уменьшения ширины ленты матрицы коэффициен-
тов. Как отмечалось ранее, ширина ленты зависит от способа
нумерации узлов. Нумерация, обеспечивающая минимум ши-
рины ленты, обычно очевидна только для простых задач. В слу-
чаях больших задач для уменьшения ширины ленты могут быть
использованы подпрограммы автоматической перенумерации уз-
лов (см. разд. 10.4.4). В таких случаях становится все более
важным использовать разреженную природу матриц для умень-
шения требуемых памяти и вычислений. В математическом пла-
йе алгоритмы для разреженных матриц должны учитывать очень
важную идею, состоящую в том, что граф матрицы является
ключом к ее структуре [2].
К относительно простому типу процедур для разреженных
матриц относятся профильные методы исключения, использую-
щие детальную форму профиля ленты* 2). Каждой строке матри-
цы коэффициентов соответствуют маркеры, указывающие но-
мера крайнего левого и крайнего правого ненулевых элемен-
тов. Внутренние элементы рассматриваются как ненулевые.
Более сложные процедуры исключают из памяти нулевые
элементы, поэтом у нужно запоминать размещение всех ненуле-
вых коэффициентов. Методы, с помощью которых это можно
сделать, детально изложены в работах [20, 21]. В целострочном
методе каждой строке матрицы в памяти соответствует строка
’) Ленточная матрица с так называемым рваным профилем
2) Границы каждого из краев леиты, вне которой лежат нули.
Методы решения уравнений и техника программирования 233
целых чисел, указывающая номера ненулевых элементов. Дру-
гой подход использует для каждой строки матрицы булеву стро-
ку, иногда называемую бинарной маской. Бинарная маска пред-
ставляет собой последовательность двоичных чисел, соответ-
ствующих элементам строки матрицы: ненулевые элементы в
ней указываются единицей, а пулевые обозначаются нулем.
При использовании методов для разреженных матриц появ-
ляется трудность, состоящая в том, что некоторые элементы
матрицы коэффициентов, первоначально считавшиеся нулями,
становятся ненулевыми в процессе вычислений. Это называется
заполнением. Желательно уменьшить его, насколько это воз-
можно, так как каждый дополнительный ненулевой элемент вы-
зывает впоследствии дополнительные вычисления. Одни из ал-
горитмов, который во многих случаях значительно уменьшает
заполнение, основан на автоматической перенумерации узлов.
Другой подход состоит в том, что в методе исключения Гаусса
[22] не сохраняются члены меньше заранее заданной величины.
Опыт показывает, что требуется большая изобретательность
для уменьшения объема памяти и вычислений за счет исполь-
зования нулей внутри ленты. Было предложено много различ-
ных схем, в том числе фронтальный метод Айронса (см.
разд. 10,2.4) и разложение Холесского для разреженных матриц
и изложении Дженнингса н Таффа [23]. Другие процедуры и
дополнительные подробности о разреженных матрицах изложе-
ны в работвх [24—32].
Хотя в алгоритмах для разреженных матриц обслуживаю-
щие программы сами могут требовать значительной оперативной
памяти и существенных вычислений, из публикаций следует, что
обычно достигается выигрыш в общей стоимости решения (по
крайней мере для больших задач) по сравнению с эквивалент-
ными алгоритмами для неразрежепных матриц. Для небольших
систем уравнений такие алгоритмы могут не давать существен-
ного преимущества. Усложнение программы обычно нс дает вы-
игрыша для малых систем. Например, Биркгоф и Фикс [2] при
обсуждении схем исключения для ленточных матриц отмечают,
что «выигрыш в эффективности, который может быть достигнут
за счет использования изощренных схем, редко значителен, если
число неизвестных не превышает 2000». Чтобы обеспечить мак-
симальную эффективность решения больших и сложных задач,
нужно учитывать в стратегии программирования оборудование
н операционную систему [33].
10.2.7.	ИТЕРАЦИОННОЕ УТОЧНЕНИЕ
Точность решения, полученного прямым методом, может быть
значительно улучшена сравнительно небольшими дополнитель*
234
Глава 10
ними вычислениями1)—посредством итерационного улучшения,
или уточнения. Пусть X—решение, полученное прямым мето-
дом. Используя арифметику с двойной точностью, вычисляют
невязку
R = B —АХ.	(10.21)
После этого решают новое матричное уравнение
AY-R . -	(10.22)"
для переменной Y с использованием треугольных матриц разло-
жения А в прямом методе. Затем в качестве улучшенного реше-
ния принимают
X = X + Y.	(1CL23)
Если X и Y вычислены точно, то X будет точно удовлетворять
уравнению (10.1), так как из равенств (10.21) — (10.23) следует
АХ ~ АХ + AY = В — R + R —В.	(10.24)
Поскольку X и Y вычислены не абсолютно точно, X оказы-
вается приближенным, но более точным решением, чем X. Этот
процесс можно повторить для повышения точности решения.
Если элементы Y малы по сравнению с соответствующими
элементами X. то можно было бы ожидать, что система уравне-
ний (10.1) хорошо обусловлена и что X — точное решение. Это,
однако, не всегда так [34]. Если Y не мало, то это означает, что
матрица А плохо обусловлена. Если число обусловленности
матрицы А нс очень велико, то при последующих итерационных
уточнениях X обычно еще сходится к более точному значению.
Дополнительную информацию об итерационных уточнениях
можно найти в работе [34].
10.2.8.	ТОЧНОСТЬ
При выборе и применении метода решения системы линейных
алгебраических уравнений важно учитывать требования к объ-
ему памяти* 2) и времени вычислений, но нельзя игнорировать
точность. Количество вычислительных операций метода влияет
как на точность решения (посредством ошибок аппроксимации
и округления), так н на время и стоимость вычислений.
Здесь уместно рассмотреть, каким образом возникают вы*
числительные ошибки. Обычно вычислительная машина выпол-
’) Требования к объему памяти увеличиваются, так'как необходимо со-
хранять матрицу-А и треугольные матрицы ее разложения.
2) Обычиьш является ограничение на оперативную память, но может так-
же ограничиваться объем внешней, или вспомогательной, памяти (обычно ди-
сковой).
Методы решения уравнений и техника программирования 235
ияет арифметические операции, используя заданную длину
слова для каждого числа. Для объяснения примем десятичную
запись чисел*, хотя обычно числа хранятся не в десятичной фор-
ме, а, например, в двоичной или восьмеричной. Предположим,
что длина слова в вычислительной машине равна 10 знача-
щим цифрам и выполняемся действия с числами 685378,9879 и
437896,4879. Простое сложение этих двух чисел дает
1123275.4758, но так как можно записать лишь 10 десятичных
цифр, то вычислительная машина запишет в качестве суммы
1123275,475 или 1123275,476 в соответствии с используемым пра-
вилом округления. И в том, и в другом случаях произойдет по-
теря существенной информации, и вносимые ошибки сложным
образом будут увеличиваться в последующих вычислениях.
Предположим, что к предыдущей сумме должно быть прибав-
лено число 111111,1111. Прибавление 111111,1111 к 1123275,475
дает 1234386,586 как при усечении, так н при округлении.
Аналогично, прибавление 111111,1111 к 1123275,476 дает
1234386, 587, Чтобы получить точное значение суммы, нужно
прибавить 111111, 1111 к 11-значиой форме предыдущей суммы,
в результате чего получается 1234386,5869. Необходимо заме-
тить, что округление дает приближенный результат, более близ-
кий к точному значению, чем усечение (при усечении ошибка
равна почти единице десятой значащей цифры), по оба резуль-
тата содержат ошибку. Последующие операции сложения, вы-
читания, умножения или деления приводят в результате усече-
ния последовательно к ошибкам в девятом знаке, восьмом и так
далее. При округлении будет происходить точно такой же про-
цесс, но с меньшей скоростью. Следовательно, в любом случае
численный результат в итоге будет содержать ошибку, которая
зависит от длины слова и количества и типа выполненных опе-
раций. Для заданного набора операций ошибка может быть
уменьшена путем использования кратных слов *) и большей
длины слова. Прн заданной длине слова ошибка может быть
уменьшена за счет процедур с меныним числом операций.
Заметим, что резкое увеличение ошибки происходит при вы-
читании почти равных чисел. Если, например, значащими циф-
рами являются только две последние, то последующие вычисли-
тельные ошибки вскоре поглотят эти две цифры полностью.
Таким образом, при определении скорости нарастания ошибок
длн фиксированной длины слова необходимо принимать в ра-
счет кроме числа операций и их типа также и относительную
величину чисел. Например, если матрица А плохо обусловлена,
то это означает, что относительные значения коэффициентов
*) Например, как в арифметике с двойной точностью.
236
Глава 10
таковы, что в процессе решения ошибка в X быстро накапли-
вается.
В случае заданного прямого метода решения есть два пути
повышения точности решения X. Можно использовать арифме-
тику с двойной точностью, что непрактично для больших задач,
так как требует примерно в два раза больше оперативной па-
мяти. При использовании арифметики с двойной точностью так-
же увеличивается и время выполнения операций. Другая воз-
можность состоит в использовании итерационного уточнения при
условии, что элементы матрицы А и ее треугольного разложения
сохраняются1) в процессе исключения или разложения (деком-
позиции). Этот метод имеет преимущество в том, что значитель-
ное увеличение точности может быть достигнуто за счет сравни-
тельно малого увеличения времени вычислений н некоторого уве-
личения памяти при условии, что матрица коэффициентов хо-
рошо обусловлена.
Если для больших задач желательно повышение точности,
то выбор итерационного уточнения очевиден. Для меньших за-
дач может использоваться либо двойная точность, либо итера-
ционное уточнение. В таких случаях численные эксперименты
[3, 4] показывают, что арифметика с двойной точностью яв-
ляется легчайшим путем для выигрыша точности без значитель-
ных затрат времени вычислений.
10.3.	ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Итерационные методы по сравнению с прямыми имеют следую-
щие преимущества: они а) значительно проще для программи-
рования; б) могут эффективно справляться с разреженными
матрицами, сохраняя и обрабатывая только ненулевые коэффи-
циенты; в) требуют меньше оперативной памяти. Сходимость
итерационных методов быстрая, если есть преобладание диаго-
нальных членов в матрице коэффициентов, но она может быть
очень медленной для плохо обусловленных задач. Если исполь-
зуются итерационные методы, то предпочтительнее объедине-
ние по узлам (см. разд. 6.3.3). Итерационные методы особенно
подходят для конечпоэлементных формулировок, в которых объ-
единение в матричное уравнение системы и его решение осу-
ществляются с использованием ячеек (см. разд. 3.3.8), чем обес-
печивается дополнительная экономия оперативной памяти. Сле-
довательно, для очень больших задач, для которых неизбежны
ограничения на оперативную память, итерационные методы ока-
зываются предпочтительнее. Одиако разработанные для реше-
ния таких задач программы используют прямые методы [19, 32].
') Первоначально в оперативной памяти с последующей пересылкой на
диск.
Методы решения уравнений и техника программирования
237
Обычно считается, что, за некоторыми исключениями, пря-
мые методы требуют меньше времени, чем итерационные. Од-
нако это является чрезмерным упрощением, так как количество
вычислительных операций зависит не только от метода, но так-
же от типа и размера ’) задачи. Исследование некоторого за-
данного класса задач с помощью различных прямых и итера-
пнонных методов показывает, что количество вычислительных
операций обычно связано с некоторой степенью k от размера
задачи [2, 35]. Оценка общего числа операций для итерацион-
ных методов, вычисляемая умножением числа операций одной
итерации на число итераций, необходимых для достижения точ-
ности, эквивалентной точности прямого метода, позволяет срав-
нить время вычислений для этих двух подходов. Если это сдела-
но, то становится ясным смысл сравнения величины индекса k
для прямых и итерационных методов. Рассматривая общее число
операций для линейных второго порядка задач излучения, Бирк-
гоф и Фикс [2] установили, что показатель k меньше для после-
довательного метода верхней релаксации (SOR), чем для стан-
дартного ленточного исключения. Однако хотя для задач вто-
рого порядка небольшого размера ленточное исключение требует
меньше времени, чем SOR-метод, ситуация меняется на обрат-
ную, если задача становится достаточно большой. Действитель-
но, численные эксперименты подтвердили это [36]. Отсюда был
сделай вывод, что «итерационные методы имеют больше преи-
муществ, чем прямые, для большинства эллиптических задач
с достаточно большим числом неизвестных. Таким образом, они
становятся более предпочтительными для довольно больших
линейных задач излучения в двумерном и трехмерном случаях,
а также для довольно больших трехмерных задач четвертого
порядка. Единственным исключением (средн проверенных слу-
чаев) являются линейные четвертого порядка плоские задачи,
подобные задаче с бигармоннческим уравнением, для которого,
по-видимому, нет такой точки, когда итерационный метод ста-
новится более эффективным» [2]. Эта оценка смягчается в той
же работе замечаниями о том, что, «хотя предыдущие выводы
опираются на экспериментальную проверку..,, все же необхо-
димо сделать некоторые оговорки. Прежде всего эти выводы до
некоторой степени зависят от задачи, и экспериментальные те-
сты... не покрывают широкой области задач. По-видимому, це-
лесообразно использовать некоторую кмбинацию прямых и ите-
рационных методов для решения больших линейных эллиптиче-
ских задач, но такие комбинации не изучались <в'цитированной
экспериментальной работе^».
‘) Определяемого, например, размерностью матрицы коэффициентов.
238
Глава tO
10.3.1.	ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ЯКОБИ И ГАУССА — ЗЕ И ДЕЛ Я
Классическим итерационным методам — алгоритмам Якоби и
Гаусса ”3 ей деля — свойственны следующие достоинства:
1)	простота;
2)	оба метода всегда сходятся1), если матрица коэффициен-
тов А симметрична и положительно определена;
3)	требуется меньше оперативной памяти, чем в методе ис-
ключения Гаусса.
К сожалению, эти достоинства обесцениваются кр.айне мед-
ленной сходимостью. По сравнению с другими итерационными
методами, описанными ниже, процедуры Якоби и Гаусса — Зей-
деля требуют большего числа итераций для достижения той же
самой точности. Таким образом, для больших задач методы
Якоби и Гаусса — Зейделя совсем нс подходят. Для малых за-
дач прямыми методами можно обеспечить эквивалентную точ-
ность при гораздо меньшем объеме вычислений. Например, для
ленточной системы из 100 уравнений лучшая из двух подпро-
грамм Гаусса — Зейделя требует при существенно худшей точ-
ности в 25 раз больше машинного времени, чем самая быстрая
из программ, основанных на прямом методе [4]. Сравниваемые
программы были специально предназначены для разреженных
матриц и использовали только оперативную память.
Из сказанного выше следует, что методы Якоби н Гаусса —
Зейделя сыграли определенную роль в развитии вычислитель-
ных методов, но не имеют существенного утилитарного значения.
10.3.2.	ТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Обычно в итерационных методах совокупность приближенных
значений элементов х, неизвестной матрицы X [см. уравнение
(10.1)] используется в качестве исходных данных для процеду-
ры, вычисляющей новые значения этих элементов. Итерацион-
ный процесс начинается с исходной оценки совокупности зна-
чений Xi и продолжается до тех пор, пока соответствующие
разности для совокупностей значений xt последних двух при-
ближений станут меньше некоторой заданной величины.
На k-vi итерации точечного итерационного метода прибли-
женные решения хк. для неизвестных xt определяются явно из
уравнения, содержащего приближенные значения xt из преды-
дущих итераций. В ранних применениях этих методов каждое
xt единственным образом соответствовало некоторой точке в
области физической задачи и поэтому было естественно описы-.
вать такие методы как точечные итерационные (подразумева-
Алгоритм Гаусса — Зейделя сходится быстрее алгоритма Якоби.
Методы решения уравнений и техника программирования 239
лось, что уточнение решения получается последовательно в
каждой точке). Такое определение в настоящее время нельзя
признать удовлетворительным, так как в конечиоэлементных
формулировках высокого порядка несколько переменных х, мо-
гут принадлежать одной точке.
Общая линейная итерация для системы уравнений (10.1) мо-
жет быть определена в виде
X*=.G4X*-, + R»,	(W.25)
где ХА, Xfe-1 — приближения для X на k-й н (k—1)-й итера-
циях соответственно, — матрица, зависящая от А и В, a Rfe—
вектор-столбец. Для различных итераций О* и Rfe, вообще го-
воря, разные, на что и указывает нижний индекс k.
В предельном случае при /?->оо X* сходится к точному ре-
шению
Х = А’В(	(10.26)
и, подставляя (10.26) в итерационное равенство (10.25), полу-
чаем
А-,В = G»A-IB + Rt.	(10.27а)
Из (Ю.27а) определяем Rfe в виде
Rs = (1 - G,J А- ’В.	(10.276)
Таким образом, выполнение равенства (10.276) налагается в ка-
честве условия согласованности на итерационный процесс.
(10.25). Равенство (10.276) можно также записать в виде
=	(10.27в)
где определяется формулой
M4 = (I-Gk)A-1-	(10.28)
Общую итерационную схему теперь можно записать следую-
щим образом:
х” = GjX‘-‘ + М*В,	(10.29)
где матрица Rfe, как это можно видеть из (10.25), заменена на
М*В.
Различные линейные точечные итерационные методы разли-
чаются конкретизацией итерационных матриц G* и М* и будут
рассматриваться на этой основе. Математический вывод методов
и соответствующие условия сходимости здесь рассматриваться
не будут; они могут быть найдены в работах [37—41].
240
Глава 10
Ряд методов использует представление матрицы А в виде
суммы
A = L4-D4-U,	(10.30)
где L— строго1) нижняя треугольная матрица, D—диагональ-
ная матрица и U — строго верхняя треугольная матрица. •
10.3.2.1.	Метод Якоби2)
В этом методе итерационные матрицы Gt и Ms в равенстве
(10.29) не зависят от йомера итерации k и выражаются следую-
щим образом:
G = - D-1 (L + U),	(10.31а) 
М = Ь~'.	(10.316)
В алгебраической форме иа основе (10.29), (10.31а) и (10.316)
итерационная схема может быть записана в виде
4 = [ £	(1D.32)
где xlt ga и di—-элементы X, G и D~’B соответственно, а пре-
дел суммирования п означает число элементов в матрице X-
10.3.2.2.	Метод Гаусса — Земделя	*
Для этой итерационной процедуры матрицы Gfc и также по-
стоянны для всех итерации и записываются следующим образом:
G-=-(L + Dr1U,	(10.33а)
M = (L+ D)"1.	(10.336)
В алгебраической форме на основе (10.29), (10.33а) и (10.336)
итерационная схема может быть представлена в виде
*?= 5 £</*/ +	+rf<-	(10.34)
Здесь обозначения те же, что и в разд. 10.3.2.1.
10.3.2.3.	Метод последовательной верхней релаксации (SOR)
Метод SOR может рассматриваться как обобщение процедуры
Гаусса — Зейдсля с ускорением сходимости. Итерационные ма-
трицы здесь также постоянны для всех итераций и имеют соот-
*) То есть без диагональных элементов
Этот метод часто называют методом простой итерации. — Прим, перев.
Методы решения уравнений и техника программирования
241
ветственно вид
О = (D + ©L)"1 [(1 — и) D — ©U],	(10.35а)
M = ©(D + ®L)-1,	(10.356)
где о — параметр релаксации (фактор верхней релаксации).
В алгебраической форме на основе (10.29), (10.33в) и (10.356)
итерационная схема может быть записана в виде
*J = (l—	+<of Sg,X + Е gy*7-1 + d< Г 00-36)
1	11 1	/=i+l	1	J
где используются введенные ранее обозначения.
Для симметричной положительно определенной матрицы А
метод сходится [37] со скоростью, зависящей от параметра ре-
лаксации со. Если матрица А имеет некоторое характерное свой-
ство (определим его как «свойство' А»), то можно показать
[39, 41], что оптимальное значение о, максимизирующее ско-
рость сходимости, может быть определено непосредственно по
элементам А. Хотя матрицы со «свойством А» появляются в
конечноэлементных формулировках нечасто, метод SOR обычно
дает очень хорошие результаты. Иногда близкие к оптималь-
ным значения со могут быть выбраны на основе предыдущего
опыта решения аналогичных задач- Например, «выбор 1,85 <С
< со < 1,92 обеспечивает хорошую сходимость для хорошо по-
ставленных двумерных задач упругости в напряжениях» [42].
В тех случаях когда нет такой рекомендации для выбора со,
можно использовать некоторые способы определения со, близ-
кого к оптимальному [43, 44].
Хотя итерационный метод SOR довольно прост для програм-
мирования, он сходится намного быстрее, чем метод Гаусса—*
Зейделя. При выборе из итерационных методов в качестве пер-
вого можно рекомендовать SOR-метод, за исключением регуляр-
ной области, как это ниже поясняется:
«Существует точка зрения, что SOR-метод в случае очень
нерегулярных областей является простейшим и лучшим методом
для программирования, требующим сохранения только одного
вектора. Однако для вполне регулярных областей необходимо
обеспечить улучшение сходимости метода, иначе время вычис-
лений становится чрезмерным» [22].
Если задача настолько велика, что вычислительные затраты
даже для SOR-метода неприемлемы, то следует обратиться к
одному из методов, описанных ниже. Для некоторых задач блоч-
ные итерационные варианты SOR-метода сходятся быстрее, чем
точечный SOR-метод. Полуитерационные схемы также иногда
улучшают SOR-ироцедуру.
242
Глава 10
10.3.2.4.	Градиентные методы
Особенность итерационных методов этого класса заключается
в том, что на решении X уравнения (10-1) достигается минималь-
ное значение квадратичного функционала
F = XTbX-2VTX.	(10.37)
Выражение (10.37) можно использовать для определения семей-
ства подобных эллипсоидов, общий центр которых соответствует
условию минимума. Приближенное решение X* соответствует
некоторой точке на поверхности некоторого частного эллипсои-
да. Итерационный градиентный метод состоит из последова-
тельных шагов от большего эллипсоида к меньшему; при этом
точка, соответствующая приближенному решению, стремится по
направлению к общему центру. Градиентные методы различа-
ются выбором направления на каждом шаге.
В градиентном методе наискорейшего спуска итерационный
шаг выполняется вдоль внутренней нормали к эллипсоиду, и
можно показать (43, 45], что это приводит к итерациям, опре-
деляемым схеме# (10.29), где
G* = l-vft_A	(10.38 а)
=	•	(10.386)
v*-i=(R‘-1y R* AR^1,	(10.39)
R*"1 == В — AX6~'.	(10.40)
Сходимость метода относительно медленная, вследствие чего он
не рекомендуется для практического использования.
В методе сопряженных градиентов каждый итерационный
шаг состоит из двух подшагов, причем первый делается вдоль
внутренней нормали, а второй —параллельно предыдущему ите-
рационному шагу, что улучшает скорость сходимости. Хотя уже
основной вариант этого метода полезен [46, 47) из-за малых
требований к памяти, существует усовершенствованный вариант
[22], который является еще более обещающим. Сопряженный
метод Ньютона [48], алгебраически эквивалентный методу со-
пряженных градиентов, использует кроме итераций значитель-
ное число исключений Гаусса и кажется перспективным.
10.3.2.5.	Метод Ричардсона
Этот метод основан иа итерационной схеме, определяемой урав-
нениями (10.29), (10.38а) и (10.386), но использует итерацион-
ный параметр Vk-i, выбранный другим -способом. Имеется не-
сколько вариантов метода определения va-ь но в каждом из
них требуется, чтобы отклонение приближенного решения X* от
Методы решения уравнений и техника программирования
243
точного А-1В было мало в некотором смысле. При прочих рав-
ных условиях предпочтительнее использовать SOR-метод, так
как он сходится быстрее и требует меньше памяти, чем метод
Ричардсона [43].
10.3.2.6.	Полуитерационные методы
Рассмотрим общую итерацию (10.29) в виде
X,+' = GX‘+MB.	(10.41)
Для некоторого заданного номера итерации N новое приближе-
ние решения X = А”1 В, обозначаемое Y,v, может быть построе-
но следующим образом:
¥"=£₽„.№.	(10.42)
^0
Здесь коэффициенты * рдг, k должны удовлетворять требованию
N
Е ₽«.* = !	(10.43)
fc-0
и минимизировать в некотором смысле матрицу ошибок
 EW = YV-X,	(10.44)
При условии, что последовательность X1, X2, ..., Xft сходится,
из уравнений (10.42) (10.43) следует W ->-XN при Лг->оо.
Уравнения (10.41) — (10.44) определяют полуитерациониый
процесс. Прн подходящем выборе итерационного метода (10.41)
из остальных уравнений можно получить рекуррентное соотно-
шение, включающее \N, Y1V~’, Y‘v-2, но не содержащее прибли-
жения Xй основного метода Это новое соотношение затем ис-
пользуется для получения последовательных значений Y,v, на-
чиная с заданного значения Y0.
Если матрица А имеет некоторые свойства и может быть
расчленена специальным образом, то можно применить тот или
иной вариант полуитерационного циклического чебышевского
метода [37, 43, 49, 50]. Сравнивая их с другими точечными
SOR-методами, Бнркгоф и Фикс [2J полагают, что «для общего
использования могут быть рекомендованы полуитерационные
многослойные циклические чебышевские методы» Другим полу-
итерационным методом, который кажется весьма обещающим,
является полуитерациониый метод верхней релаксации (SSOR),
введенный Шелдоном [51, 52J.
244
Глава 10
10.3.2.7.	Изменение обусловленности
Выше было показано, что скорость сходимости основных итера-
ционных методов с симметричными и положительно определен-
ными матрицами зависит обратным образом от Р —-числа обу-
словленности матрицы коэффициентов А [53]. Один из путей
уменьшения этого числа настолько, насколько это возможно, со-
стоит в преобразовании равенства (10 1) путем умножения на
подходящую несингулярную матрицу Q [22, 53], определяемую
равенством
Q = (I — ©L)-1,	(10.45)
где матриц» L получается нз следующего разложения ма-
трицы А:
д-1-[ _ Lr	(10.46)
Нетрудно показать, что матричное уравнение (10.1) преобра-
зуется в эквивалентную систему
BY = D.	(10.47)
Число обусловленности Р матрицы В можно минимизиро-
вать подходящим выбором параметра со, максимизируя таким
образом скорость сходимости выбранного итерационного про-
цесса решения уравнения (10.47). Дополнительные вычисления
для изменения обусловленности процесса по мере увеличения
размерности задачи все более перевешиваются ускорением ско-
рости сходимости при решении уравнения (10.47) [22]. В ра-
боте [22] утверждается, что при использовании рассмотренного
здесь преобразования метод сопряженных градиентов стано-
вится «весьма привлекательным»,
10.3.3.	ГРУППОВЫЕ И БЛОЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В точечных итерационных методах на каждой ’Итерации новое
приближенное решение определяется отдельно для каждой не-
известной величины xt. Более того, ria &-й итерации значение
каждой величины хк получается по явной формуле, включаю-
щей ранее вычисленные приближенные значения xt.
В групповых итерационных методах новые приближенные
значения для группы неизвестных Xg матрицы X получаются
одновременно. Эти методы относятся к неявным, так как новые
приближенные значения группы переменных определяются на
k-н итерации совместным решением системы уравнений, вклю-
чающей ХоИ ранее вычисленные на предыдущих итерациях зна-
чения Xg.
Если группы получены в результате простого расчленения
вектора X, то они называются блоками. Групповой итерацнон-
Методы решения уравнений и техника программирования
245
ный метод, основанный на таком расчленении, называется блоч-
ным итерационным методом .Любая желаемая группировка эле-
ментов X может быть получена переупорядочением уравнений в
системе (10.1) и затем подходящим расчленением. Можно также
выполнить переупорядочение путем перенумерации узлов ко-
нечноэлементной сетки, а затем получить желаемую группи-
ровку расчленением. Поскольку групповые итерационные мето-
ды могут быть преобразованы таким способом в блочные-ме-
тоды, то в дальнейшем будут рассматриваться лишь последние.
Для любого точечного итерационного метода можно по-
строить аналогичный блочный итерационный метод, во-первых,
разбиением X на блоки, во-вторых, разбиением А и В соответ-
ствующим образом и, в-третьих, построением итерационного
алгоритма того же вида, что и точечная итерация, но с заменой
элементов матрицы блоками. Отметим, что алгебраическое вы-
числение обратной величины в точечном методе заменяется опе-
рацией обращения матрицы в блочном методе. Таким образом,
блочная Гаусса — Зейделя итерация может быть записана в
виде
Г/-1	Л	-1
В,-ЕА„Х?- £	,	(10.48)
/“1	/-i+1	J
где матрица X разбита на N блоков X», а- матрицы А и В — со-
ответственно на блоки Ац и В..
Если матрица коэффициентов А ленточная, то некоторые из
А„ в (10.48) могут состоять только из нулевых элементов. Объем
вычислений уменьшается, если нумерация узлов и разбиение
выполнены таким образом, что в уравнении (10.48) имеется
наименьшее число блоков Х„ соседних и близких блоку X,. Если
область задачи регулярная, то узлы могут быть выбраны на ре-
гулярной сетке и занумерованы по строкам или по столбцам;
при этом матрица коэффициентов А будет иметь блочный трех-
диагональныц вид1). Далее, разбиение матрицы очевидным об--
разом для блочного итерационного метода дает в выражении
(10.48) блоки Х?, соседние блоку X*. Кроме того, необходимо
заметить, что в этом случае А удовлетворяет блочному «свой-
.ству А» [22, 45J, так что SOR-метод может быть использован в
блочно-итерационной форме с оптимальным значением ц>, опре-
деляемым теоретически. Для таких регулярных задач блочная
SOR-процедура сходится быстрее, чем блочный метод Гаусса —
Зейделя, который в свою очередь сходится быстрее блочной
итерационной схемы Якоби.
*) Матрица называется блочной трехдиагоналыюй, если она может быть
разбита иа блоки так, чтобы ненулевые блоки находились только на главной
дна!опали и соседних с пей верхней н ннжней диагоналях, а блоки на глав-
ной диагонали являлись квадратными подматрицами.
246
Глава 10
При сравнении блочных методов с соответствующими точеч-
ными необходимо учитывать дополнительные вычисления для
решения неявных уравнений, например (10.48). От рассматри-
ваемой задачи зависит, уменьшится ли обшее время вычисле-
ний по блочному методу в сравнении с аналогичным точечным.
Для регулярных областей блочные методы обычно быстрее, чем
соответствующие им точечные итерационные методы Для нере-
гулярных областей превосходство того или иного метода опре-
деляется размером задачи.
Недавно развитые неявные методы переменных направлений
(alternating direction implicit —ADI) могут быть отнесены к блоч-
ным процессам, но все же существенно отличаются от них.
Для некоторых задач ADI-методы могут быть много быстрее
SOR-методов, однако такие модельные задачи являются исклю-
чительными [2].
Так как матрицы, возникающие а конечноэлементных фор-
мулировках, нс часто являются блочными трехдиагональными
с блочным «свойством Л», которое обеспечивает преимущество
блочно-итерационных методов, то, по-видимому, эти методы не
найдут широкого применения в рассматриваемой области. До-
полнительную информацию о блочных методах можно иайти в
работах [37, 39, 43].
10,4.	СПОСОБЫ ОБЛЕГЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В предыдущих разделах описано большинство обычно исполь-
зуемых методов решения систем линейных уравнений. Обычной
проблемой конечноэлементных приложений является^несоответ-
ствие возможностей вычислительной машины размеру задачи.
По мере того как возможности вычислительных машин увели-
чиваются, возникает потребность решения задач еще большего
размера, так что возможности вычислительных машин все равно
-остаются лимитирующими. В литературе имеется много указа-
ний относительно способов уменьшения эффективного размера
задачи, таких, как разбиение иа блоки, конденсация, расчлене-
ние конструкции и перенумерация Хотя эти способы особенно
полезны для больших задач, они часто дают существенную эко-
номию машинного времени и в других случаях. Некоторые из
этих способов описываются в следующих разделах, другие мо-
гут быть найдены в литературе.
10.4.1.	УСЛОВНОЕ РАЗБИЕНИЕ НА БЛОКИ
Как указывалось ранее, матричное уравнение системы может
расчленяться либо произвольно, либо условно. Существуют
различные критерии расчленения. Например, в большой про-
Методы решения уравнений и техника программирования 247
грамме структурного анализа NASTRAN «важным средством
повышения эффективности» [32} оказалось разбиение вектора
X в уравнении (10 1) иа векторы К, и Хо, где Ха содержит те
неизвестные, которые существенно связаны между собой. В ци-
тированной работе показано, что Ха получается решением урав-
нения вида
PXa = Q,	(10.49)
а Хо находится по формуле
X0 = x;; + Guxo.	(10.50)
Хотя матрицы Р, Go, Q и X? должны вычисляться на основе
подматриц уравнения (10.1), в конечном итоге вычисления сво-
дятся к решению уравнений (10.49) и (10.50), которые имеют
меньшую размерность, чем исходное (10.1). Как уже отмеча-
лось, некоторым дополнительным достоинством является повы-
шение эффективности.
Можно также использовать условное разбиение для исклю-
чения заданных переменных. Первое разбиение матричного
уравнения системы (10.1) осуществляется следующим образом:
К1 ж ]-ti]
Здесь подматрица X) содержит только те узловые значения, ко-
торые заданы. Необходимая группировка может быть достиг-
нута путем перенумерации уравнений или с помощью подпро-
граммы перенумерации, которая присваивает соответствующие
номера предписанным узлам. Можно показать, что при этом
разбиении Ац есть единичная матрица I, А12 — прямоугольная
матрица нулевых элементов, А2| — разреженная прямоугольная
матрица, А22 — симметричная квадратная матрица.
Уравнение (10.51) представляет собой систему двух урав?
нений:
Х! = ВЬ	(10.52 а)
A2IXt + А22Х2 = В2.	(10.526)
Подстановка (10.52а) в (10,526) после перегруппировки дает
А22Х2=-В0,	(10.53)
где
Во —В2 —А21В(.	(10.54)
Матрица-столбец Во может быть вычислена по известным
значениям согласно (10.54). В результате получается уравне-
ние (10.53), которое имеет тот же самый общий вид (10.1) и
должно решаться обычным образом. Если область задачи
248
Глава to
регулярна и производится нумерация ’) непредписанных узлов
так, чтобы минимизировать ширину ленты, то оказывается, что
ширина ленты А22 несущественно отличается от ширины ленты А.
Таким образом, решение уравнения (10.53) проще решения
(Ю.1), но требует некоторых дополнительных,вычислений со-
гласно равенства (10.54).
Другие варианты условного разбиения на две части и более
можно найти в литературе. Обсуждаемое в разд. 10.4.3 расчле-
нение конструкции может рассматриваться как форма услов-
ного разбиения.
10.4.2.	КОНДЕНСАЦИЯ
Описанный в предыдущем разделе способ исключения задан-
ных узловых значений также может быть использован, хотя и в
модифицированной форме, для исключения узловых значений
Рнс. 10.3. Четырехугольный элемент с внешними н внутренними узлами.
внутренних узлов из элементного матричного уравнения* 2).
Предположим, что уравнение (10.51) является .элементным ма-
тричным уравнением для элемента с узлами на границе (внеш-
ние узлы) и в области (внутренние узлы).
Таким элементом может быть четырехсторонняя фигура, по-
казанная на рис. 10.3. Эле^итное матричное уравнение могло
быть расчленено так, как показано в уравнении (10 51), груп-
пировкой внешних узловых значений в матрице Х2 и внутренних
узловых значений в матрице Xi Два возникающих в (10.51) под-
матричных уравнения могут быть сведены к
АХ2 —В,»	(10.55)
где
A = Aj2‘—* AsiAn А12	(10.56а)
и	_
	В = В2~А*21Ап1В1.	(10.566)
Следующая из нумерации предписанных узлов
2) Процедура конденсации может быть выполнена н на элементном уров-
не, как показано в гл. 5,
Методы решения уравнений и техника программирования
249
Таким образом, элементное матричное уравнение (10 51), со-
держащее как внешние, так и внутренние узловые значения,
сводится к уравнению (10.55), которое имеет аналогичный внд,
но содержит только внешние узловые параметры. Применение
такой процедуры конденсации ко всем элементам системы дает
после объединения матричное уравнение системы, содержащее
только внешние (по отношению к элементу) узловые параметры.
Напротив, объединение без конденсации дало бы большего раз-
мера матричное уравнение системы, содержащее как внешние,
так и внутренние (по отношению к элементу) узловые пара-
метры.
Описанный выше способ может быть использован при дина-
мическом анализе для исключения безмассовых степеней сво-
боды и соответственно уменьшения размера матриц системы в
задаче на собственные Значения. Такая процедура часто назы-
вается статической конденсацией [54]. Более подробное описа-
ние метода конденсации дано в работах [55—58].
10.4.3,	РАСЧЛЕНЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ
Для большого матричного уравнения системы можно использо-
вать процесс расчленения с целью конденсации уравнения до
приемлемых размеров. Область нли конструкция делится иа две
Рис. 10.4. Расчлененке конструкции самолета «Боинг-747».
я—общий вид самолета; б—схема расчленения.
или более секций, каждая из которых разбивается на конечные
элементы. Для каждой секции элементные матричные уравне-
ния объединяются в секционные матричные уравнения. Рассма-
тривая секции как укрупненные элементы со многими внутрен-
ними и внешними узлами и используя процесс конденсации, как
в предыдущем разделе, каждое матричное секционное уравнение
250
Глава 10
можно сконденсировать в уравнение, содержащее только вну-
тренние узловые значения. Сконденсированные таким образом
секционные матричные уравнения теперь могут быть объединены
в матричное уравнение системы меныпего размера, из которого
можно определить секционные узловые векторы. Эти внешние
значения используются теперь для задания граничных условий
каждой секции, чтобы решить некондепсировапные секционные
матричные уравнения для внутренних узловых значений.
Одним из достоинств расчленения конструкции является то,
что допускаются значительные конструктивные изменения каж-
дой секции без необходимости пересчета первоначально задан-
ных граничных условий. Этот подход, в частности, используется
при проектировании конструкций самолетов. Рис. 10.4 иллюстри-
рует способ расчленения конструкции самолета «Боинг-747»
159].
IQ.4.4. ПЕРЕНУМЕРАЦИЯ УЗЛОВ ИЛИ СМЕНА МЕТОК
В гл. 6 было показано, что ширина ленты матричного уравне-
ния системы зависит от способа нумерации узлов. Для-простых
конструкций или областей легко разметить узлы в некотором
порядке, который минимизирует ширину ленты, но это стано-
вится почти невозможным в случае .больших задач. Более того,
в настоящее время обычно используется автоматическое по-
строение сетки, и номера узлов, присваиваемые сеточным алго-
ритмом, могут давать ширину ленты, далекую от минимальной.
Если для решения матричного уравнения системы исполь-
зуется прямой метод ленточного типа (см. разд. 6.1 и 10.2), то
уменьшение ширины ленты позволяет получить более быстрое
и дешевое решение. В результате может оказаться приемлемой
программа решения уравнения, ориентированная лишь на ис-
пользование оперативной памяти1), вместо программы, исполь-
зующей также н внешнюю память. Если программа основана на
технике для разреженных матриц, то обычно, за исключением
некоторых специальных случаев, уменьшение ширины ленты не
имеет значения.
Большинство автоматических ленточных схем перенумера-
ции допускает произвольную начальную нумерацию сетки. За-
тем до решения матричного уравнения системы некоторый алго-
ритм меняет нумерацию узлов для уменьшения ширины лепты
матрицы системы. Часто, после того как решение получено, пе-
ренумерацию узлов в первоначальное состояние обеспечивает
другой алгоритм.	•
*) Когда коэффициенты матрицы А находятся полностью в оперативной
памяти.
Методы решения уравнений и техника программирования
251
Техника автоматической перенумерации рассматривалась -в
работах [60—74]. Недавнее сравнение различных подходов [72]
показывает, что обратный метод Катхилла и Мак-Ки [63] и ме-
тод Кинга [68] являются лучшими алгоритмами, причем послед-
ний более предпочтителен для конечноэлементного класса ма-
триц. Это сравнение, однако, не включало алгоритма Грумса
[66], Разработанный недавно алгоритм [69] показал прекрас-
ные результаты по сравнению с методами Катхилла—Мак-
Ки1), Розена, Экайза — Атку и Грумса.
Как отмечали Болстэд и др. [72], минимизация ширины лен-
ты не обязательно обеспечивает минимальные требования к па-
мяти, так как нумерация влияет на величину блоков, если ис-
пользуется разбиение на блоки. В цитированной работе авторы
также рассматривают некоторые /детали взаимного влияния ну-
мерации и разбиения на блоки.
10.4.5. ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ПРОГРАММЫ
Конечпоэлементиые программы широкого применения обычно
имеют обширную диагностику для обнаружения ошибок во вход-
ных данных, поскольку обработка неправильной информации
может обойтись слишком дорого и привести к превышению пла-
нировавшихся затрат машинного времени. Некоторые полезные
диагностики для программ решения уравнений рассматриваются
в работе [47].
Литература
1	. Schrem Е., Computer implementation of the finite element procedures, Jn:
Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics (Fenves S. J.,
Robinson A. R', Schnobrich W. C„ eds.), pp. 79—121. Academic Press, New
York, 1973.
2	Birkhoff G., Fix G., Higher order finite element methods, Tech. Rep. No. 1,
Office of Naval Res. Contract N0O0I4-67-A-O298-O015, AD-779341, March
1974.
-3. Sequi \V. T., Computer programs for the solution of systems of linear al-
gebraic eguations. Int. J, N timer. Methods Engrg., 7, No. 4, 479—490 (1973).
4.	Sequi W. T., Computer programs for the solution of systems of linear al-
gebraic equalions. NASA Contractor’s Rep. CR-2173, January 1973.
5.	Bathe K-J, Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
6.	Westlake J R, A Handbook of Numerical Matrix Inversion and Solution of
Linear Equations. Krieger, Huntington, New York, 1975,
7.	Pin Tong, Rossettos J. R., The Finite Element Methods. MIT Press, Cam-
bridge, Massachusetts. 1977.
8.	Irons В. M., A front al solution program for finite element analysis, Inter-
net. J. Numer. Methods Engrg., 2, No. 1, 5—32 <1970).
9.	Molosh R. J., Bamford R. M., Efficient solution of load-deflection equations,
„ Proc ЛЕСЕ, J.' Struct. Div., 94, No. ST4, 661—676 (1969).
*) Однако ои не сравнивался с обратным метрдом Катхилла — Мак-Кн.
254
Глава 10
55.	Wilson E. L., The static condensation algorithm, Л Nunter. Methods Engrg.,
8, No. 1, 198- 203 (1974).
56.	Felippa C. A., Clough R. W_, The finite element method in solid mechanics,
in: Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics (SIAM —
AMS Proc.), Vol. 2, pp. 210—252, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island. 1970.	Л
57.	Desai C. S., Abel J. F„ Introduction to the Finite Element Method, Van
Nostrand-Reinhold, Princeton, New Jersey. 1972.
58.	Hueber К- H., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
• 1975.
59.	Hansen S. D., Andeison G. L., Connachcr N. ,E.t Dougherty C. S., Analysis
of the 747 aircraft wing-body intersection, Proc. Conf. Matrix Methods
Struct Meeh., 2nd, Wright-Patterson, Ohio, 15—17 October, 1968, AFFDL-
TR-68-150, December 1969
60.	Alway G. C., Marlin D. W., An algorithm for reducing the bandwidth of
a matrix of symmetrical configuration, Coinput. J., 8, 264—272 (1965).
61,	Akyuz T. A., Utku S., An automatic node-relabelling scheme for bandwidth
minimization of stiffness matrices, ALAA J., 6, No. 4, 728—730 (April 1968).
[Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 6, № 4, с. 212,
1968.1
62.	Cutliill Е., Several strategies for reducing the bandwidth ol matrices, in:
Sparse Matrices and Their Applications (Rose D., Willoughby R., eds.),
Plenum, New York, 1972.
63.	Cuthill E., McKee J-, Reducing the bandwidth of sprasc symmetric matrices,
Proc. Nat. Conf. Assoc. Comput. Machinery, San Francisco, pp. 157—172
(1969).
64.	Arany L, Smyth JV- F., Szoda L., An improved method for reducing the
bandwidth of sparse symmetric matrices, in: Information Processing 71:
Proceedings of IFIP Congress, North-Holland Puhi., Amsterdam, 1972.
65.	Barlow J., Marples C. G., Comment on An automatic node-relabelling
scheme for bandwidth minimization of stiffness matrices, Al A A J., 7, No. 2,
380—382 (1969) [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 7,
№ 2, с. 242—244, 1969.1
66.	Grooms Н. R., Algorithm for matrix bandwidth reduction, J. Struct. Div.-
.Am. Soc. Civ. Eng., 98, STI, 203—214 (1972); See also discussion: ibid. 98,
No. ST12, 2820—2821 (1972).
67.	Rosen R., Matrix bandwidth minimization, Proc. Nat. Conf. Assoc. Comp,
Mach., 23rd, pp. 585— 595, 1968.
68.	King I- P-, An automatic re-ordering scheme for simultaneous equations de-
rived from network systems, internat. J. Numer. Methods Engrg., 2, No. 4,
523—533 (1970).
69.	Collins R. J., Bandwidth reduction by automatic renumbering, Internal.
J. Numer. Methods Engrg., 6, No. 3, 345—356 (1973).
70.	Cheng K. Y„ Note on minimizing the bandwidth of sparse symmetric matri-
ces, Computing (Arch. Elektron. Rechnen), 11, 27—30 (1973).
71.	Roberts E., Jr., Relabelling of Finite Element Meshes Using a Random
Process, NASA TM X-2660 (October 1972)
72.	Bolstad J. H., Leaf G. К.» Lindeman A. J., Kapcr H. G., An empirical in*
vestigation of the reordering and data management for finite element sy-
stems of equations, Rep. ANL-8056, Argonne Nat. Lab.. Argonne, Illinois
(September 1973).
73.	George J. A., Computer Implementation of the Finite Element Method,
’ Ph. D. Thesis, STAN-CS-71-208, Stanford Univ., California, 1971.
74.	Dhatt G., Akhras G.. An Automatic relabeling algorithm for bandwidth
minimization, Proc. Canad. Congr. Appl. Meeh., 5th, University of New
Brunswick, 26—30 May 1975, pp. 690—691,
11
ИЗБРАННЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
В предыдущих главах этой книги демонстрировалось примене-
ние метода конечных элементов к задачам равновесия. С целью
иллюстрации процедур в различных ситуациях ради простоты
было выбрано уравнение Лапласа. В этой главе рассматрива-
ются приложения метода конечных элементов к другим задачам,
11.1. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА —ПЛОСКИЕ
ДЕФОРМАЦИИ И ПЛОСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В этом разделе рассматривается только простейшая задача
упругости — плоское напряженно-дефор мированное состояние.
Для более полного ознакомления с применением метода конеч-
ных элементов в механике твердого тела читателю следует обра-
титься к специализированным работам [1—9J.
В задачах о плоских деформациях предполагаются равными
нулю деформации, нормальные к плоскости нагружения. Таким
образом, перемещения и напряжения в длинном прямом брусе
(нагруженном равномерно в продольном направлении) могут
быть определены в предположении, что ’ поперечное сечение
остается плоским и не поворачивается. В задачах о плоскона-
пряженном состоянии тонкой пластины предполагаются равными
нулю напряжения, нормальные к плоскости пластины.
Конечноэлементные формулировки одинаковы для обоих слу-
чаев, но матрицы упругих постоянных различны. В дальнейшем
ради простоты будут использоваться линейные треугольные эле-
менты. Однако, как показано в предыдущих главах, анализ мо*
жет быть модифицирован для аппроксимаций высокого порядка.
Рассмотрим двумерную область D с границей S (рис. 11.1, а),
являющуюся плоской проекцией упругого тела толщины t. На
части Ат наружной граничной поверхности прилагается распре-
деленная нагрузка, которая в любой точке может быть выра-
жена в виде силы Т, приложенной к единичной площади. На-
гружение равномерно вдоль толщины I, и часть St граничной
кривой соответствует части Ат наружной поверхности. Обозна-
чая через Тк и Ту соответственно х- и ^-компоненты матрицы Т
в точке, матрицу поверхностных напряжений Т в точке можно
2Б6
Глава fl
записать следующим образом:
(11.1)
Пусть Р — массовые силы на единицу объема и U — вектор пе-
ремещений в точке аналогично заданы через их х- и //-компо-
ненты соответственно в биде
р=И- Н“]<	<“-2>
Для двумерных задач механики твердого тела иа основе прин-
ципа минимума потенциальной энергии можно получить следую-
щий функционал:
Z= J 4 еГа(1]/ - $ ИПМ!7 - J 1ЯТ<?Л7,	(11.3)
V	V	' Ат
где векторы деформаций е и напряжений о определяются ма-
трицами
а на объем V .и внешнюю поверхность Ат действуют соответ-
ственно силы Р и Т (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Двумерное упругое тело, разбитое на конечные элементы,
о—двумерная область; б—типичный элемент е
В выражениях (11.4) величины ех, еу и сгх, ау представляют
собой нормальные деформации и напряжения в направлениях
х и у соответственно. уху— деформация1) сдвига, а-т^ — каса-
*) \ху — инженерная деформация сдвига, связанная с деформацией сдви-
га ехи тензора деформаций соотношением уХу = 2eXJ/.
Избранные приложения метода конечных элементов
237
тельное напряжение. Первый нижний индекс при т обозначает
ось. нормальную к плоскости касательных напряжений, а вто-
рой указывает ось, параллельную касательной силе.
На основе принципа минимума потенциальной энергии мож-
но показать, что поле перемещений, удовлетворяющее уравне-
ниям равновесия (и совместности) для двумерной задачи упру-
гости, также минимизирует функционал, заданный уравнением
(11.3).
Для разбиения, доказанного на рнс. 11.1, а, выражение (11.3)
может быть записано в виде
$игтdsT,, сп.5)
е«1 D_	е—1 D-	е—1 St
е	е	* е
где De — элементная подобласти tE— ее толщина, а /—общее
число элементов в системе. Последний справа член не равен
нулю лишь для элементов, расположенных вдоль границы St.
Матрицы е, а и U для каждого элемента могут быть выражены
через элементный вектор узловых перемещений 6е; как пока-
зано ниже, это позволяет определить х в виде функции вектора
узловых перемещений системы б. Кроме того, смещения U вну-
три элемента выражаются через узловые смещения с использо-
ванием базисных функций:
U «= Ne6*.
(Н.6)
Здесь N* — матрица базисных функций элемента, а б* — вектор
узловых перемещений элемента, определяемый выражением
(бц 62» Мг = (“ь “ь 02, йз, v3)T. С целью упрощения записи
в оставшейся части этого раздела индекс е будет опускаться,
если контекст исключает возможность недоразумений.’
В случае линейных треугольных элементов, выбранных для
рассматриваемой задачи, выражения перемещений, и и о через
базисные функции имеют вид
Й]
Na #3] й2

' б] ‘
ДГ3] б2 , (11.7)
-68-
где «ь й2, йз — х-компоненты, а бь бг, 6s— ^-компоненты узло-
вых перемещений 61, 62, 63 соответственно (рис. 11.1,6).
9 Зак. 1063
288
Глава 11
Используя (11.2) и (11.7), можно
(11.6) следующим образом:
записать выражение

Nt О Ns О iVa
О N, О N, О
"Й1 ‘
«1
«2
0
(И.8)
йз
_ »з_
В двумерном случае деформации связаны с перемещениями
стандартными соотношениями
__  ди	___ dv ________ ди , до
С* дх ’ 8у" ду ’	ду ' дх '
Используя (11.9), матрицу деформаций е можно записать в виде
-д}дх
О
-О/ду
(И.9)
' д/дх О
О д/ду Г"
-д/ду 3/<3xJLs
Подстановка (11.6) в (11,10) дает
Vjq,-
0
а/31/
д/дх
е =
L. (11.10)
8 =
N« = B8,
(И.И)
где матрица В определена самим равенством. Можно просто
показать, что для рассматриваемого
элемента матрица В имеет вид
у& — У1
о
*1 — Х3
трехузлового линейного
Уй — Уъ
О
-Хз — х2
О
х, — х3
Уз— lh
в=2а
0
х3 —Xs
J'S — Уз
У1 — У2
о
х2 — Xi
° 1
— хЛ. (11.12)
У1 — У2 J
Теперь выражая о через е и подставляя 8 из (11.11), можно
определить матрицу напряжений о в терминах б. Для плоских
напряжений (равно нулю напряжение иг, нормальное к рассма-
триваемому плоскому телу) из учебников по теории упругости
известны соотношения
(11.18а)
—VQX Gy
*уш Е "г Е *
2(1+V)
Уху ”= I----Тяу.
(11.136)
(11.13b)
Избранные приложения метода конечных элементов	259
С использованием (11.13) е может быть записано как
	сЛ ’		- 1	— V	0	"I	-
Е =	«к		 1 ~ т	— V	,1	0		(П-14)
			- 0	0	2(1 4-V)-	Lvz»-*	
где Е — модуль упругости Юнга и v — коэффициент Пуассона.
Решая (11.14) относительно вх, и xxyj получаем
v О Г ех '
1	0 еу
О (1 - v)/2 L
(11.15)
или, проще,
o = De,
. (11.16)
где D определяется выражением (11.15).
Соотношение (11.16) также применимо к задачам о плоской
деформации, ио в этом случае матрица D имеет вид
D=
g(l — у)
(1+ v) (I - 2т)
1
v/(l — v)
- О
v/(l — v)
1
О
° 1
О I. (11.17)
(1 — 2v)/2(l — v)J
Заметим попутно, что матрица D в равенствах (11.15) и (11.17)
симметрична. Наконец, подставляя (11.6), (11.11) и (11.16) в
(11.5), получаем следующее выражение для функционала
i	i
*-	е-1 De
I	I
-’£te~\jtT№PdDs~'£te J	(11.18)
«71 De	с“* STt
где матрица D задана либо равенством (11.15), либо равен-
ством (11.17) в зависимости от того, рассматривается ли задача
о плоских напряжениях или о плоских деформациях.
Теперь нз уравнения (11 18) получаем элементное матричное
уравнение дифференцированием *) элементного вклада по’ б,
^- = $ 4BrDB8d£>e - J leNTPdDe - J /eNrTdS.. (11.19)
D«	De	STe
*) Используя выражение (Б.16а) приложения Б.
9»
260
Глава 11
где
Уравнение (11.19) можно записать в стандартной форме
	’ (11.20)
ke = t, ^B’DBdD,,	(11.21a)
ое	
F£ = Z, $ NrPd£>.,	(11.216)
- °.	
F| = U N’TdSr<,	(11.21b)
sT
а нижний индекс е у 6 в (11.20) [а также в (11-1), (11.18) и
(11.19)] опущен.
Матрицы в выражениях (11.21) ие зависят от переменных
интегрирования и могут быть выне.сены за знак интеграла.
Остающийся интеграл равен — площади треугольника, так
что элементная матрица жесткости kf принимает вид
ke = BTDBAX-	(П.22)
Так как размерность матрицы 8е равна 6X1 [см. (11.6) н
(118)], то матрица кй имеет размерность 6X6. Равенство
(11 22) задает элементы ке в виде функций от Е, v и узловых
координат элемента. Таким образом, для случая плоских напря-
жений имеем
^11 4Ле { 1 — V8 (^2	+ 2(1 +?) (*3	ха)2}'	(11.23)
Для других элементов к* получаются аналогичные выражения.
Подстановка Nr из (11.8) и Р из (11.2) в (11.216) позволяет
записать вектор столбец FJ> в виде

(11.24)
Если рх и р{, внутри элемента полагаются постоянными (на-
пример, равными их средним значениям), то Интегрирование в
(11.24) выполняется легко. Так, для второго элемента Fp полу-
Избранные приложения метода конечных элементов
261
чаем
(f')a = 4 N^dD^P^\ NtdD^^-pf, (11.25)
De	De
где p® — постоянное илн среднее значение ри для элемента в.
Обобщая, можно показать, что пары элементов в матрице
Fp, соответствующие локальным номерам узлов /= 1, 2, 3, мо-
гут быть записаны в виде
(РЙ' = ^-ГМ.	(11.26)
.	L ну J
Матрица граничных нагрузок, задаваемая равенством
(U-21b), может быть вычислена в форме, идентичной (11.26),
Но с заменой величин рх> ру на Тх, Ту и с интегрированием по
STe вместо De. Из этого соотношения при условии, что I— гра-
ничный узел, как показано на рис. 11.2, соответствующая пара
элементов в матрице Ff- определяется выражением
Те
где Leu— длина стороны элемента вдоль Sr- При выводе (11.27)
приложенные нагрузки Тх и Ту предполагались постоянными
вдоль границы элемента (например, равными их средним зна-
чениям) .
* Так как для этого элемента пробная функция линейна, то
базисная функция Ni может быть записана (рис. 11.2) в виде
линейного выражения
IV,=[!-(«/£?/)]	(11.28)
относительно s. После подстановки (11.28) в (11.27) н интегри-
рования получается следующее выражение для (Ft)*:
(Fr)‘=-^-[^]-	(И.29)
Для узла I рассматриваемого элемента (рис. 11.2) соотно-
шение Nf = s/L[; заменяет (11.28), но легко можно проверить,
что последующее интегрирование дает выражение, идентичное
(11.29). Следовательно, равенство (11.29) применимо к любому
узлу элемента, лежащему на границе Sr- Для узла, не лежа-
щего на границе, правая часть (11.29), конечно, должна быть
262
Глава 11
заменена нулем. Так, если узлы 2, 3 лежат на границе St, а
узел 1 — нет, то Fr будет иметь вид
’ 0 1
0
г!
Л
г,
.Л
F‘t = Lz>
(11.30)
Следовательно, в случаях плоских деформаций или плоских на-
пряжений выбор трехузловых треугольных элементов с линей-
ными пробными функциями позволяет относительно легко опре-
Рис. 11.2. Граничные элементы области.
делить элементное матричное уравнение в виде (11.20). Затем
обычным образом осуществляются объединение этих элементных
матричных уравнений в матричное уравнение системы и учет
заданных перемещений. Решение этого уравнения дает узловые
перемещения, а затем по формулам (11.11) и (11.16) опреде-
ляются напряжения и деформации.
Для трехузлового треугольного элемента, использованного в
этом разделе, линейная пробная функция соответствует линей-
ному распределению перемещений на элементе. Однако распре-
деление деформаций является постоянным, как это видно из
равенства (11.10). По этой причине элемент часто называется
треугольным с постоянной деформацией (constant strain trian-
g1e —CST). Можно, конечно, использовать и другие элементы
при соответствующей модификации формулировок.
Избранные приложения метода конечных элементов
£63
11.2. ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕНИЙ
В этом разделе кратко рассматривается распространение фор-
мулировок плоского на пряжен но-деформированного состояния
на общие трехмерные задачи механики твердого тела. Более
подробно эти вопросы излагаются в монографиях по методу
конечных элементов в строительной механике и механике твер-
дого тела [ 1 —9].
Функционал, соответствующий принципу минимума потен-
циальной энергии, в трехмерном случае также имеет вид (11.3),
за исключением того, чго Л/ теперь является частью поверхно-
сти, ограничивающей трехмерную область. Число элементов в
каждой из матриц е, о, F, Р и Т должно, конечно, соответство-
вать трехмерной ситуации. Так, е содержит шесть компонент,
необходимых для описания деформаций в точке, а и содержит
аналогичное число компонент, задающих напряжения. Исполь-
зуя упоминавшееся ранее стандартное обозначение нижних ин-
дексов для компонент напряжений и деформаций, можно запи-
сать матрицы о и е следующим образом:
8л
8/
8г
Уху
Уу*
а===
(11.31)
Если ограничить рассмотрение лагранжевыми элементами с з
узлами, то матрицу перемещений 6 можно записать в виде
или
8 = [йь Of, й2, Й2, аъ; Ua, йв, ws]T (11.32)
8 = [й1, u2t й/,	о2, .... wl9 w2, ...» ®eF, (11.33)
где й, v,w — узловые перемещения в направлениях х, у, я соот-
ветственно, а нижний индекс обозначает локальный номер узла
элемента. Каждая из матриц Р и Т имеет по три элемента
(х-, у- и z-компоненты).
Конечноэлементная формулировка в целом аналогична фор-
мулировке предыдущего раздела и имеет лишь модификации,
соответствующие трехмерному случаю. Например, матрица D
становится симметричной матрицей упругих постоянных раз-
мерности 6X6. г 3 вычисляется из соотношений между дефор-
мациями и перемещениями, аналогичных (11.10) и (11.11).
264
Глава 11
Если имеются начальные деформации ео, то дополнительную
матрицу сил Fe0, которая вычисляется по формуле
FJ>=	(11.34)
нужно вычесть из правой части (11.20). Аналогично матрицу
сил от температурных деформаций е.*, также имеющую вид
(11.34), необходимо вычесть нз правой части (11.20).
ПринцигГ минимума потенциальной энергии, на основе кото-
рого была получена формулировка метода конечных элементов
Рис. 11.3. Линейный прямоугольный элемент.
Задача в перемещениях, нумерация узлов по часовой стрелке.
в перемещениях, не является единственно возможным вариа-
ционным принципом в механике твердого тела. Принцип мини-
мума дополнительной энергии приводит к функционалу, вклю-
чающему вариации напряжений, и соответствующая ему конеч-
ноэлементная формулировка, таким образом, основывается на
некотором предполагаемом поле напряжений вместо поля пере-
мещений. Принцип Райснера допускает использование как поля
перемещений, так и поля напряжений. Дополнительные подроб-
ности, касающиеся этих и других принципов, можно найти в ци-
тированных ранее монографиях.
Для иллюстративных целей в этой главе рассматривались
только лагранжевы элементы. При соответствующей модифика-
ции процедур можно использовать и другие элементы, например
эрмитовы. Использование локальной системы координат для
элемента в общем случае приводит к упрощению формулировки.
Для частных типов задач, таких, как изгиб пластины и нагру-
жение оболочечных конструкций, были развиты специальные
подходы, описание которых может быть найдено в литературе.
Упражнение ILL Выведите явные формулы для коэффициентов элемент-
ной матрицы жесткости к через координаты узлов н упругие постоянные для
Избранные приложения метода конечных элементов
266
треугольного элемента с постоянными деформациями (CST-элемента):
а) в плоских деформациях; б) в плоских напряжениях.
Упражнение 11.2. Покажите, что для линейного прямоугольного лагран-
жева элемента, представленного на рис. 11.3. матрица В описывается фор-
мулой
д ab	оЬ
О
b ab	ab
° <И 35>
,1+2L _1+Z. 1_Z_
b. ab a ab b ab
1_2L х у
ab ab a ab- ab ab
м отсюда определите коэффициенты элементной матрицы жесткости к через
коэффициенты узлов в упругие постоянные как для плоских деформаций, так
и для плоских напряжений.
Проект 11-1. Используя CST-элементы, составьте пррогамму для решения
задачи плоского напряженною состояния, показанной на рис. 11.4, Выберите
Рис. 11.4. Отверстие в нагруженном брусе.
подходящие размеры области и нагрузки. На основе численных расчетов
оцените коэффициент концентрации напряжений и сравните с опубликован-
ными данными. Пропустите программу дважды для различных размеров эле-
ментов н сравните результаты.
Проект 11-2. Модифицируйте программу проекта 11-1 для решения за-
дачи о плоских деформациях, аналогичной показанной на рис. 11.4, но с
прямоугольным отверстием вместо кругового Используйте линейные прямо-
угольные лшранжевы элементы типа, показанного на рис 11.3.
Проект 11-3. Переработайте либо проект 11-1, либо проект 11-2, исполь-
зуя вокруг отверстия CST-элсменты и прямоугольные элементы в остальной
части области.
11.3. АКУСТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
И ДВИЖЕНИЕ поверхностных волн
Периодические волновые явления типа свободных колебаний
обычно описываются уравнением Гельмгольца
i (*«<)+4	=°- 1 -36)
266
Глава 11
где ф — скалярная переменная, kx, ky, kz— свойства среды в на-
правлениях главных координатных осей xt у, z соответственно,
а Ъ.— частота колебаний. Для однородной и изотропной среды
kx = ky — kg = k = const. В этом случае k можно ввести в ча-
стотный параметр X, и уравнение Гельмгольца запишется в про-
стой форме
V2^4-X2^ = 0,	(11.37)
где V2 — оператор Лапласа. Обычно на части границы задается
условие Дирихле, а на остальной части границы — однородное
условие Неймана.
Для акустического поля внутри замкнутого объема опре-
деляющее уравнение Гельмгольца имеет вид
V^ + (<o/c)2p==0,	(11.38)
где р-— изменение давления (по отношению к внешнему давле-
нию), со — волновая частота и с — скорость звука. Распростра-
нение электромагнитных волн в полом волноводе, заполненном
однородным диэлектриком, также описывается уравнением
Гельмгольца, которое в этом случае записывается в виде
+	= 0,	(11.39)
где ф— компонента вектора поля магнитной напряженности Н
или вектора электрического поля Е, <о — волновая частота, go —
магнитная проницаемость в вакууме, а ео и — диэлектриче-
ские проницаемости в вакууме и диэлектрике соответственно.
Стоячие волны для массы воды в озере или гавани могут быть
описаны тем же самым уравнением в следующей форме:
£(*>)+<ПЛО)
где z — амплитуда стоячей волны, измеряемая от среднего уров-
ня воды, h — средняя глубина водоема, g— гравитационное
ускорение и Г— период колебаний. Для этих и других явлений,
описываемых уравнением Гельмгольца, можно получить реше-
ния на основе вариационной конечноэлементной формулировки,
как это показано в оставшейся части данного раздела.
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в виде (11.37). На осно-
ве вариационного исчисления (гл. 7) можно показать, что ре-
шение ф этого уравнения минимизирует функционал
Н{(>УЧ<УН>У-^-
D
Пробные функции ф, используемые в (11.41), должны принад-
лежать классу допустимых функций. В данном случае тре-
буется, чтобы они были непрерывны и имели кусочио-непрерыв-
Избранные приложения метода конечных элементов
267
ныс первые производные в D 4- X. Кроме того, пробные функции
должны удовлетворить заданному граничному условию Ди-
рихле. Однородное граничное условие Неймана
дф/дп = О,
заданное на части границы, является естественным граничным
условием и выполняется автоматически.
Первая часть изложенной конечноэлементной формулировки
близка к формулировке дли уравнения Лапласа, так как функ-
ционал для уравнения Гельмгольца имеет лишь один дополни-
тельный член - л2</>2. Разбиение области D на 1 конечных эле-
ментов, подстановка элементных пробных функций в элемент-
ные вклады у/ и дифференцирование по компонентам вектора
узловых параметров ф дают элементное матричное уравнение
в виде
-% = k«5i‘-Z2he0'’.	(11.42)
Можно показать, что элементы матриц, к* и he описываются вы-
ражениями
« _ с (BNa ал-« алг, gNa
““ J а* йл +’А,- а» + & Иг )dD‘ ,11ЛЗ)
кр-= \NJitdD..	(11.44)
Dg
где Na, — базисные функции, а а, р— локальные номера уз-
лов (1, 2, ...) элемента.
Для четырехузловых тетраэдральных элементов с линейными
Пробными функциями предствнление через базисные функции
имеет внд
(11.45)
В гл. 9 было показано, что базисные функции Nt для этих эле-
ментов совпадают с объемными координатами Lt. Выполняя
эту подстановку и дифференцируя по х, у и z, получим
dLt bt dLt ci dLt dt
(11.46)
где bi, а н di определены в разд. 9.3.3. Следовательно, для рас-
сматриваемых элементов выражение (11.43) может быть запи-
сано, в виде
ggy 4”	4“	(11 »47)
Избранные приложения метода конечных элементов
2в9
268
Глава 11
Аналогично выражение (11.44) с учетом равенства (9.55)!) дает
( 1-710, а = ₽
йа» = 1 1720, а¥=₽’
(11.48)
Затем обычным образом производится объединение элементных
матричных уравнений для получения матричного уравнения си-
стемы
К0-Л2Н0 = О,	(11.49а)
где ф— узловой вектор системы н 0 — нуль-матрица. Предполо-
жим, что граничные условия Дирихле имеют вид ф, — 0. Учет
нх в (11.49а) позволяет исключить эти ф> и множество уравне-
ний (11.49а) сконденсировать к
К*#- W0* = O,	(11.496)
где ф*— уменьшенный узловой вектор системы (т. е.ф без ис-
ключенных ф,), а К’, Н* — уменьшенные матрицы К, Н. Уравне-
ние (11.496), записанное в виде
=	(11.50)
является уравнением на собственные или характеристические
значения. В общем случае число собственных значений ?., удо-
влетворяющих уравнению (11.50), равно порядку входящих в
него квадратных матриц. Каждому собственному значению со-
ответствует частное решение — вектор-столбец^*, называемый
собственной функцией, который определяет соответствующее
распределение (моду) ф* по области. Поскольку уравнения
. (11.50) однородны, собственные функции не могут быть опре-
делены однозначно, хотя для любой собственной функции может
быть определено отношение ее элементов. Часто удобно считать
'равным единице наибольший элемент собственной функции, а
остальные элементы определять явно по отношению к этому
опорному знщению.
Уравнения на собственные значения типа (11.50) могут быть
решены как прямыми, так и итерационными истодами. Так как
во многих физических задачах на собственные значения ампли-
туды колебаний мод уменьшаются с увеличением частоты, то
часто требуется лишь несколько первых собственных значений
Z, и соответствующих им собственных векторов ф^ В этом слу-
чае итерационные методы, как правило, более предпочтительны.
Подробности процедур решения задач на собственные значения
описываются в литературе [12—15].
>) Заметим, что 01	1,
11.4.	НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
физические задачи с уравнениями типа уравнения Гельмгольца
в действительности являются нестационарными, но периодич-
ность движения часто позволяет снести определяющие уравпе-.
иия к рассмотренной ранее не зависящей от времени задаче на
собственные значения. Такие задачи, как нсустановившпеся ко-
лебания, в которых зависимость от времени в определяющих
уравнениях сохраняется, значительно сложнее для решения. Для
них полезен также конечноэлементпый подход, но, поскольку в
большинстве случаев вариационный принцип не может быть
применен, нужно использовать другие формулировки, такие, как
метод Галеркина.
Можно показать [1, 8, Н]. что метод конечных элементов
для нестационарных задач .приводит к матричному уравнению
системы в виде
Ksb+C^ + Msb^Pf/),	(П51)
где К — матрица жесткости системы, С—матрица демпфирова-
ния (пли емкостного - сопротивления), М — матрица инерции
(обычно матрица масс) и Р(1) — дискретизированная вынуж-
дающая функция задачи. Матрицы^, ф ф являются системными
векторами узловых значений для ф,дф7д1 и сРф/д? соответствен-
но. В этой формулировке функция ф аппроксимируется в про-
странственной области пробной функцией ф Другой подход ис-
пользует пробную функцию для аппроксимации ф как в про-
странстве. так и во времени, но он не будет рассматриваться в
данной книге.
Процедура решения уравнения (11.51) будет зависеть среди
других факторов от точных характеристик уравнения, типа вы-
нуждающей функции и числа узловых параметров системы. Ши-
роко используются супёрпозйцйя-мод)и расчет слоями по вре-
мени-но так;кс""сущсствуют и специализированные-процедуры,
развитые для определенных задач. Во всех нестационарных за-
дачах существует опасность численной неустойчивости.
Более подробную-информацию по затропутым~здссь вопро-
сам читатель может получить в цитированной литературе, так
как детальное исследование нестационарных задач выходит за
рамки этой книги.
11.5.	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Метод конечных элементов применялся к разнообразным физи-
ческим и инженерным задачам. Обзоры, такие, как [16, 17],
указывают границы возможности и применимости метода, а с
270
Глава 1!
конечноэлементными формулировками для специфических за-
дач можно познакомиться по библиографии [18]. Подробные
описания специальных подходов имеются в литературе.
Литература
“~1. Zienkiewicz О. С., The Finite Element Method In Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод ко-
нечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.]
2.	Ural О, The Finite Element Method, Intext Educational Publ., New York,
1973.
3.	Martin H. C., Carey G. F., Introduction to Finite Element Analysis, McGraw-
Hill, New York, 1973.
4.	Gallagher R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
5.	Robinson J. H., Integrated Theory of Rnite Element Methode, Wiley (In-
terscience), New York, 1973
6.	Rockey К. C., Evans II. R. Griffiths D. W., Nethercot D. A., The Finite
Element Method, Crosby Lockwood Staples, London, 1975.
'	7. Brebbia C. A., Connor J. J., Fundamentals of Finite Element Techniques,
Ha feted Press, Wiley, New York, 1974.
8.	Desai C. S„ Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Noslrand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
9.	Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wtiey,
New York, 1974.
10.	Norrie D. H., de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press, New
York, 1973.
11.	Huebner К. H., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York,
1975.
12.	Acton F. S., Numerical Methods That Work, Harper, New York. 1970.
13.	Wilkinson J. H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press,
London and New York, 1965. [Имеется перевод: Уилкинсон Дж. X., Алгеб-
раическая проблема собственных значений.—М.: Наука, 1970.]
14.	Ralston A., Wilf Н S., Mathematical Methods for Digital Computers, Vol. 2,
Wiley, New York, 1967.
15.	Brebbia C. A., Tottenham H., Warburton G. B., Wilson J., Wilson R., Vibra-
tions of Engineering Structures, Computational Mechanics, Southampton,
England, 1976.
,16. Zienkiewicz О. C, From intuition to generality, Appl. Meeh. Rev., 23, 249—
256 (1970). [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод конечного элемента:
от интуиции к общности, сб переводов «Механика», № 6, i970]
17. Norrie D. Н.. de Vries G, A survey of finite element applications in fluid
mechanics, Rep. No. 83, Dept, of Meeh. Eng., Univ, of Calgary. Alberta
Canada (December 1976).
18. Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Pienum, New York
1976.
12
ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Выше отмечалось, что условия, при которых для линейных са-
мосопряженных задач функционал имеет стационарное значе-
ние, можно использовать в формулировке метода конечных эле-
ментов для вычисления решения определяющего уравнения. Для
задач других типов, когда функционал такого типа не сущест-
вует, возможно тем не менее сформулировать вариационный
метод конечных элементов, если можно установить квазивариа-
циониый или ограниченный вариационный принцип. Однако в
таких случаях обычно предпочитают [1] использовать неварна-
ционный подход.
Наиболее популярным из других методов конечных элемен-
тов является метод Галеркина, являющийся, как и метод наи-
меньших квадратов, частной формой метода невязок. Другой
метод, имеющий широкую область применения, известен в раз-
ных названиях как прямой метод, метод энергетического ба-
ланса, метод глобального баланса или метод конечных элемен-
тов с подвижным (контрольным) объемом.
12.1. МЕТОДЫ НЕВЯЗОК
Рассмотрим задачу, для которой определяющее уравнение в об-
f пасти D содержит одну зависимую переменную и с ее производ-
ными и несколько независимых переменных Хь л'2....обо-
значаемых вместе через xt. Пусть определяющее уравнение за-
писано в обшей форме
(12.1)
Подставляя приближенное решение й в уравнение (12.1), в об-
щем случае не получим
(12.2)
поэтому погрешность или невязка /? для урввнения может быть
определена в виде	t
(«: xf) — fD (4; xt).	(12.8)
С приближением аппроксимирующего решения й к точному и
невязка R стремится к нулю. Подстановка уравнения (12.2) в
270
Глава 11
конечноэлементными формулировками для специфических за-
дач можно познакомиться по библиографии [18]. Подробные
описания специальных подходов имеются в литературе.
Литература
“~1. Zienkiewicz О. С., The Finite Element Method In Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод ко-
нечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.]
2.	Ural О., The Finite Element Method, Intext Educational Publ., New York,
1973.
3.	Martin H. C., Carey G. F., Introduction to Finite Element Analysis, McGraw-
Hill, New York, 1973.
4.	Gallagher R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
5.	Robinson J. H., Integrated Theory of Finite Element Methods, Wiley (In-
terscience), New York, 1973.
6.	Rockey К. C., Evans II. R. Griffiths D. W., Nethercot D. A., The Finite
Element Method, Crosby Lockwood Staples, London, 1975.
'	7. Brebbia C. A., Connor J. J., Fundamentals of Finite Element Techniques,
Halsted Press, Wiley, New York, 1974.
8.	Desai C S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Noslrand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
9.	Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley,
New York, 1974.
10.	Norrie D. H., de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press, New
York, 1973.
11.	Huebner К. H., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York,
1975.
12.	Acton F. S., Numerical Methods That Work, Harper, New York. 1970.
13.	Wilkinson J. H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press,
London and New York, 1965. [Имеется перевод: Уилкинсон Дж. X., Алгеб-
раическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.]
14.	Ralston A., Wilf Н S„ Mathematical Methods for Digital Computers, Vol. 2,
Wiley, New York, 1967.
15.	Brebbia C. A., Tottenham H., Warburton G. B., Wilson J., Wilson R., Vibra-
tions of Engineering Structures, Computationai Mechanics, Southampton,
England, 1976.
16.	Zienkiewicz О. C., From intuition to generality, Appl. Meeh. Rev., 23, 249—
256 (1970). [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод конечного элемента:
от интуиции к общности, сб. переводов «Механика», № 6, 1970.]
17.	Norrie D. Н., de Vries G, A survey of finite element applications in fluid
mechanics, Rep. No. 83, Dept, of Meet). Eng., Univ, of Calgary, Alberta,
Canada (December 1976).
18.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Pienum, New York,
1976.
12
ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Выше отмечалось, что условия, при которых для линейных са-
мосопряженных задач функционал имеет стационарное значе-
ние, можно использовать в формулировке метода конечных эле-
ментов для вычисления решения определяющего уравнения. Для
задач других типов, когда функционал такого типа не сущест-
вует, возможно тем не менее сформулировать вариационный
метод конечных элементов, если можно установить квазивариа-
ционный или ограниченный вариационный принцип. Однако в
таких случаях обычно предпочитают [1] использовать неварна-
ционный подход.
Наиболее популярным из других методов конечных элемен-
тов является метод Галеркина, являющийся, как и метод наи-
меньших квадратов, частной формой метода невязок. Другой
метод, имеющий широкую область применения, известен в раз-
ных названиях как прямой метод, метод энергетического ба-
ланса, метод глобального баланса или метод конечных элемен-
тов с подвижным (контрольным) объемом.
12.1.	МЕТОДЫ НЕВЯЗОК
Рассмотрим задачу, для которой определяющее уравнение в об-
i пасти D содержит одну зависимую переменную и с ее производ-
ными и несколько независимых переменных xit .......х„,	обо-
значаемых вместе через Xi. Пусть определяющее уравнение за-
писано в обшей форме
/D(«; *f)z=0.	(12.1)
, Подставляя приближенное решение й в уравнение (12.1), в об-
щем случае не получим
(12.2)
поэтому погрешность или невязка /? для урввнения может быть
определена в виде	t
(«; *<) — Id (Л; Xt).	(12.8)
С приближением аппроксимирующего решения й к точному и
невязка R стремится к нулю. Подстановка уравнения (12.2) в
I272	Глава I!
(12.3)	позволяет получить невязку в простой форме
/?=---(12.4)
В методах невязок для пробной функции требуется, чтобы
невязка /? удовлетворяла некоторому условию, которое вынуж-
дает ее быть малой. Для конечноэлементного метода невязок
’ это взвешенный интеграл по области Wf(R)dD, который дол-
D
жен удовлетворять критерию малости, где W—весовая функ-
ция. Выбор W и / (/?) определяет конкретные методы, а именно
метод Галеркина'. J IFpRdD=>Ot р=1, 2, н, (12.5)
b
где Wp — определяемые последовательно интерполянты по об-
ласти, а п— общее число узловых параметров;
метод наименьших квадратов'. /?2tf£> = mln. (12.6)
D
Очевидно, что в (12.5) уравнений столько же, сколько и узло-
вых параметров, что позволяет получить решение. В случае ме-
тода наименьших квадратов подстановка конечноэлсментпой
интерполяции в при помощи уравнения (12.4) преобразует
подынтегральное выражение в функцию от всех узловых пара-
метров системы. Условием минимальности R является исполь-
зованное ранее условие равенства нулю производных по всем
узловым параметрам. Таким образом, получается система п
уравений для п неизвестных узловых значений.
До сих пор рассматривались только невязки, возникающие
из определяющих уравнений. Если пробная функция не удовле-
творяет граничным условиям точно, то невязки на границе1),
определяемые аналогично невязкам в области, не будут нуле-
выми, и их также следует рассматривать. В этом случае метод
невязок основывается на обоих множествах невязок. Обычно,
однако, требуют, чтобы пробная функция удовлетворяла гра-
ничным условиям точно; тогда невязки на границах равны нулю
и в дальнейшем не учитываются.
12.2.	МЕТОД ГАЛЕРКИНА
Для метода Галеркина используется уравнение (12.5), где в об-
щем случае Wp — интерполянты пробной функции в области
вида
в D.	(12.7)
__________ р”’
’) В задачах переноса (зависящих от времени) начальные условии позво-
ляют также определить начальные невязки.
Другие формулировки метода конечных элементов	273
Здесь йр — узловые параметры системы, а п — общее их число.
По аналогии с уравнением (9.1) для пробной функции Wp мо-
гут быть описаны как базисные функции и, чтобы это подчерк-
нуть, UZP будут обозначаться как Np. Поэтому уравнения (12.5)
и (12.7) могут быть записаны соответственно как
^NfP,dD — O, р=1, 2.................  (12.8)
D
й= £ NpU„.	(12.9)
Р=1
Каждая базисная функция в области является сучимой элемент-
ных базисных функций; это можно показать следующим обра-
зом. Для любого элемента в пробная функция выражается на
этом элементе в терминах базисных функций Nk следующим
образом:
й‘ — Ел1й4 в е,	(12.10)
А—I
где m определяется как
m~s-q.	(12.11)
В уравнении (12.11) s обозначает общее число узлов элемента,
a q— число степеней свободы в узле. Нижний индекс узлового
параметра Щ в уравнении (12.10) указывает на локальную ну-
мерацию узла, а не на номер узла во всей системе (см. разд. 9,2).
Пробная функция в уравнении (12.10) может быть записана
в более общей форме как
йе= У Мрйр в е,	(12.12а)
р-1
1де, очевидно, Л^=0 при р, не совпадающем с номером узло-
вого параметра, принадлежащего элементу е. В уравнении
(12.12а) m номеров узловых параметров йр являются номерами
узлов во всей системе, соответствующими номерам из уравне-
ния (12.10).
В матричной форме уравнение (12.12а) принимает вид
ae = Neu в е,	(12.126)
где и — узловой вектор системы, a Ne — расширенная матрица
базисной функции для элемента е.
Набор пробных функций, возникающих при применении урав-
нения (12.126) к элементам системы, позволяет записать интер-
полирующую функцию в области как
i	i
й=£йе = £мви в D.	(12.13)
274
Глава /2
Уравнение (12.9) описывается в матричной форме выражением
d==Nu,	(12.14)
где N определяется из уравнения (12.9). Сравнение уравнений
(12.13) и (12.14) приводит к выводу, что
N=S№	(12.15а)
—	е=1 —
и что элемент NP матрицы N определяется по формуле
i
Nj,= LK,	(12.156)
что и требовалось Доказать. Система уравнений (12.8) может
быть представлена в матричной форме:
$№?</£>= 0.	(12.16)
Подставляя уравнения (12.4) и (12.15а) в (12.16), получаем
Ne|fD(a; jq)JZ)=»O.	(12.17а)
Суммирование в уравнении (12.17а) можно вынести из под
знака интеграла, что дает
= 0.	(12.176)
Выражение (12.176) определяет систему уравнений. Рассмо-
трим р-е уравнение системы, которое имеет вид
У \^fDe(Ae-,xbdDe = O.	(12.18)
Из (12.18) видно, что вклад элемента Xе можно выразить фор-
мулой
= £едо(Ае; *i)dDe.	(12.19а)
я.
Для линейных задач подстановка в уравнение (12.19а) выбран
ной интерполирующей базисной функции для йе и последующее
интегрирование позволяют получить Хр в виде
=	+	(12.196;
Е[$Йс(А'; xt)dDe
Другие формулировки метода конечных элементов	276
где узловой элементный вектор ис состоит из узловых значений
элемента е в соответствии с узловыми номерами (указаны ннж-
лими индексами), а к„ — матрица-строка.
Объединение элементных вкладов, задаваемых уравнением
(12.196), в уравнении (12.18) дает р-е уравнение системы в виде
i
ZXp^KpU+Fp^O,	(12.20)
е=1
где матрица-строка Кд формируется расширением матриц-строк
kJ до размеров системы и сложением расширенных матриц kJ,
a Fp получается как сумма членов Fp.
Матричное уравнение системы, р-й строкой которого яв-
ляется уравнение (12.20), можно записать как
Ku + F = 0.	(12.21)
Элементы матриц К и F в уравнении (12.21) можно предста-
вить соответственно выражениями
i	i
= Е F„ = У Fp, (12.22а, б)
е=1	е=1
где р и q — номера узлов и kepq~ элемент матрицы-строки kJ.
Процесс объединения, Использованный выше, соответствует объ-
единению по узлам.
Матричное уравнение для элемента е, р-й строкой которого
является уравнение (12.196), записывается в виде
Xe = kV + Fj.	(12.23)
Объединение этих элементных уравнений согласно (12.176) со-
ответствует объединению по элементам и вновь дает систему
уравнений (12.21). Легко показать, что уравнения (12.22а, б)
остаются в силе для этого последнего случая.
Неявно предполагалось, что пробна я. функция й точно удов-
летворяет граничным условиям, поэтому невязки на границе
равны пулю. Это легко достигается для граничных условий Ди-
рихле путем коррекции матрицы системы К. Следующий при-
мер иллюстрирует эту процедуру для других условий:
Иллюстративный пример S2.1. Рассмотрим двумерную область (рис. 12 1)
с находящимся внутри источником тепла, теряющую тепло в результате кон-
векции через часть границы.
Для однородной и изотропной среды определяющим является уравнение
Пуассона
в О.	(12.24)
где Т(х, у)—температура в точке и Q(x,y)—внутренний (локальный) источ-
ник тепла Предположим, что па части границы Si задана температура
на Si,	(12.25а)
10*

Глава 12
а через оставшуюся часть Se sa счет коввекции происходит отвод тепла, т. е.
(дТ/дп)h ( Т — 7'fl) = 0 на S2,	(12.256)
где п —- направление внешней нормали к S2, Тв — температура окружающей
среды, h — коэффициент передачи тепла конвекцией, a S = Oi -J- S2 — граница,
охватывающая область D (см рис. 12.1).
Пусть область разделена па I конечных элементов лагранжевою типа
так, что узловыми параметрами являются только температуры. С использова-
Рис. 12.1. Задача теплопередачи в двумерной области с источником тепла.
нием базисной функции можно записать пробную функцию ? иа элементе е
в виде
fe = NeT‘’,	(12.26)
Переписывая уравнение (12.24) в терминах пробной функции Г* в подстав-
ляя результат во вклад элемента (уравнение (12.19а)], получим
(12’27)
De
Подстановка уравнения (12.26) в (12.27) дает
*₽= W^+‘^4TMD‘+	<12-28>
De	De
Заметим, что это уравнение имеет тот же вид, что н уравнение (12.196).
Хотя подобный вид получается п из вариационной формулировки, в данном
случае производные во вкладе элемента имеют тот же порядок, что и в опре-
деляющем уравнении, тогда как для вариационной формулировки производ-
ные в элементном вкладе имеют более низкий порядок (см разд 2.1) Таким
образом, в случае метода Галеркина получается, что для соответствующей
вариационной формулировки требуется пробная функция более высокого по-
рядка Далее, однако, показано, что это требование можно обойти Граничное
условие Дирихле (12.25а) может накладываться обычным способом, но совсем
не очевидно, как ввести условие Коши [уравнение (12.256)]. Ниже также
будут рассмотрены средства, с помощью которых этого можно достигнуть.
Формулу Грина для двух переменных и и v в области D# можно записать
Другие формулировки метода конечных элементов
277
следующим образом:
^Vu-VvdDe + иШВе~=
De	se
где Se—«граница области £>e. Замена и на lVp и и нав уравнении (12.29)J)
позволяет преобразовать первый интеграл по области в (12.28) в интеграл
по области (с производными меньшего порядка) н интеграл по поверхности.
Запишем
(12.29)
+^>.+ $ N’QdD'
De
dN* dTe dNen дТе\
__—__1_JL _ I АГь _
в.
NepQdDe.
(12.30)
(12.30)

J \ дх дх ' ду
De
Подстановка уравнения. (12.26) в интегралы по области из уравнения
приводит к
д№. <Же dN^ dN*
ду
JjVjQdD,+
De
(12.31)

Член дТе!дп в интеграле по поверхности из уравнения (12.31) может быть
использован для учета граничных условий Коши [уравнение (12.256)]. Ис-
пользуя выражение (12,26), условие Кошн (12.256) можно подставить в ин-
теграл по поверхности из уравнения (12.31), что позволяет получить эле-
ментный вклад в виде
6N* дНе	д№р дЫе
дх , дх	ду ду
 ^>4-
(12,32)
^’4
- U'[/.NeT«-WjdS2e,
4
Для любого элемента его вклад задается формулой (12.32), ио интеграл
по поверхности существует только для элементов вдоль границы Sz.
Вклад каждого элемента, вычисленный с использованием (12.32), будет
выражаться в форме (12.196). Объединение этих вкладов в матричное урав-
нение системы можно провести обычным способом После подстановки усло-
вий Дирихле уравнение системы можно решить с помощью любой стандартной
процедуры и явно определить узловые параметры Обзор по методу Га-
леркина, включая формулировку метода конечных элементов, можно найти
в работе [2].
Упражнение 12.1. Решите методом Галсркина двумерную задачу тепло-
проводности (рис. 2.1), разбивая область треугольной сеткой, показанной на
рис. 2.4, и используя трехузловые треугольные элементы с линейными проб-
*) При условии, что Np и Тв удовлетворяют требованиям гладкости, не-
обходимым для использования формулы Грина [уравнение (7.37)].
278
Глава 12
ными функциями. Вычислите вклады элементов по уравнению (12 32) и объ-
едините их по узлам в матричное уравнение системы Повторите решение,
используя объединение по элементам Скорректируйте матричное уравнение
системы с учетом граничных условий Дирихле и сравните результат с урав-
нением (2 36), полученным вариационным конечноэлементным решением
Можно показать [3], что для линейных самосопряженных задач, рассматри-
ваемых здесь, вариационный метод конечных элементов и метод Галеркина
в случае одинаковых сеток дают одинаковые матричные уравнения системы.
12.3.	МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Основой метода наименьших квадратов, как установлено вы-
ше, является критерий
WR2 dD — min,
(12.33)
где	—(положительная) весовая функция. Обычно К? вы-
бирают равной единице, и тогда критерий малости сводится к
виду	“	_ ?
Jfl2dD = min.	(12.34)
Для иллюстрации формулировки рассмотрим уравнение в
двумерной области
Au = f в D,	(12.35)
подчиненное граничному условию
Bu = g на S.	(12.36)
В уравнениях (12.35) и (12.36) А н В являются линейными
дифференциальными операторами, fug опредставляют собой
функции от х и у, a S— обозначает границу £>. Невязка Re на
элементе для элементной пробной функции йе в терминах урав-
нения (12.35) определяется выражением
Re — Aue~f в е.	(12,37)
Представляя уравнение (12.34) как сумму интегралов по эле-
ментам и подставляя (12.37), получаем
i	i
J К? dD = £ [ $ R*	J (Ай' _ fl! . (12.38)
Пробную функцию на элементе можно записать в терм и*
нах матрицы базисной функции как
(12.39)
Лругие формулировки метода конечных элементов
где ue — узловой вектор. Уравнение (12.39) в другой форгЛ
имеет вид
йе = Ыеи,	(12.40)
где Ne — расширенная элементная матрица базисной функции,
а и — узловой вектор системы. Подстановка уравнения (12.40)
в (12.38) дает выражение
i
Ji?2dD = ^ И (AN'u-f)2^].	(12.41)
D	е-1 L4	J
Поскольку правая часть (12.41) представляет собой функцию
от узловых параметров системы, минимизация, требуемая по
(12.34), может быть достигнута дифференцированием этого вы-
ражения последовательно по каждому узловому параметру и
.приравниванием нулю каждого результата. Полученное таким
образом множество уравнений образует уравнение системы Этп-г
же результат может быть получен непосредственно в матричной
форме дифференцированием правой части уравнения (12 41) по
узловому вектору и и приравниванием полученного выражения
нулю: -
-аг X $ (Л NT.	/)а dDe = 0.	(12.42)
Внося дифференцирование под знак интеграла в уравнении
(12.42), имеем	* '
Е $-^-MN'a-/)2^ = 0.	(12.43)
.	De
Возводя в квадрат выражение в скобках, приходим к вираже-			
НИЮ	Ё S	(u7ArAu -т- 2и7Аг/ + Г) dD = 0,	(12.44)
где	е-1 П„	A = ANe.	(12.45)
В результате дифференцирования’) в (12.44) получаем
2 Г V f (ArAudDe- ( А7<Я)Д] = 0.
L-. ц 4 Ji
(12.46)
*) Используя (Б.16) и (Б. 17) из приложения Б,
280
Глава 1$
Замечая, что и не является функцией от х и у, можно запи-
сать уравнение (12.46) в виде
i
' Ik*u + F* = O,	(12.47)
е=1
Где
к* = АГА <iD., F' — - J &TfdDc. (12.48)
°, °'
Очевидно, что матрицы ке и* F® имеют расширенный вид, т. е.
соответствуют размеру системы; таким образом, уравнение
(12.47) является расширенным элементным матричным уравне-
нием. Вышеприведенные соотношения можно записать также
для элемента, что представляется сделать читателю в качестве
упражнения
’ Объединяя уравнения для элементов либо по узлам, либо по
элементам, приходим к матричному уравнению системы
Ku + F = 0.	(12.49)
Для получения из (12.49) окончательного уравнения системы
теперь необходимо обычным путем учесть условия Дирихле.
Из уравнения (12 48) видно, что матрица элемента ке яв-
ляется симметричной и положительно определенной. Следова-
тельно, матрица системы К метода наименьших квадратов до
учета граничных условий Дирихле также симметрична и поло-
жительно определена в отличие от метода Галеркииа, при кото-
ром симметричная матрица получается только в случае само-
сопряженной задачи. „
Вол ее подробная информация о методе наименьших квадра-
тов имеется в работах [4—14].
12.4. ПРЯМОЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для получения конечноэлементной формулировки необходимо,
чтобы уравнение, описывающее физические законы конкретного
явления, привязывалось к определенной области. Примерами
таких связей являются функционал, соответствующий вариа-
ционному принципу, н критерий малости в методе невязок.
Определяющие уравнения в обычной дифференциальной форме
ие годятся, поскольку они применяются к точке, а не к области.
Оден [151, одиако, заметил, что имеются формы определяющих
уравнении, которые можно использовать в качестве основы для
метода конечных элементов Например, в механике сплошной
среды энергетический баланс**для области может быть записан
jT общей форме или на основе контрольного объема. Аналогич-
ным образом уравнения неразрывности могут быть получены
Другие формулировки метода конечных элементов
281
на основе контрольного объема. Дискретизация области на ко-
нечные" "элементы и прямая" подстановка аппроксимирующих
функций в такие интегральные формы определяющего уравне-
ния, как показано ниже, образует конечноэлементную процеду-
ру, известную как прямой метод, метод глобального или энер-
гетического баланса. Оден и другие [15—20] успешно приме-
няли этот метод к различным стационарным и нестационарным
задачам.
Далее рассматривается только стационарная равновесная
задача. Интегральная форма уравнения для области в этом слу-
чае следующая:
!{и\ х,) = 0,	(12.50)
где и — зависимая переменная, a х,— независимые переменные.
В общем случае интеграл / по области можно представить в
виде суммы элементных вкладов Л, т. е,
1
/=£/е = 0.	(12.51)
е-1
Подстановка элементной пробной функции во вклад каждого
элемента по уравнению (12.51) преобразует правую часть в вы-
ражение, включающее узловые параметры элемента, базисные
функции и независимые переменные xt Полученные уравнения
для элементов можно преобразовать в обычную систему эле-
ментных матричных уравнений и с помощью (12.51) объединить
в матричное уравнение системы вида
Ku + F = 0.	(12.52)
Граничные условия Дирихле можно учесть путем коррекции
матрицы системы, а другие граничные условия вводятся с цо-
мощью соответствующих интегралов по поверхности.
Литература
t Finlayson В A, Scriven L Е, On the search for variational principles.
Internal J Heat Mass Transfer, 10, 799—821 (1967)
?. Fletcher C A J, The Galerkin method' An introduction. WRE-TM-1632
(WR&D), Weapons Research Establishment. Dept, of Defense, Adelaide,
South Australia, June 1976
3	. Finlayson В A Scriven L E, The method of weighted residuals — a re-
view, Appl Meeh Rev, 19, No 9, 736—748 (September 1966).
4	Lynn P p, Arya S K, Use of least squares criterion in the finite element
formulation, Internal I Numer Methods tn Engrg, 6, 75—88 (1973)
5	. Lynn P P Arya S K, Finite elements formulated by the weighted least
squares method, Internal I Numer Methods in Engrg, 8, 71—90 (1974).
6	Zienkiewicz О C, Owen D R J, Lee К N, Least square finite element
for elastostatic problems — use of ‘reduced’ integration, Internal. J. Numer.
Methods tn Engrg, 8, 341—3§8 (1974).
282
Глава 12
7	. Lynn Р. Р.» Least-squares finite element analysis of laminar boundary
layer flows, Internat J Numer Methods in Engrg, 8, 865—876 (1974)
8	Akin J E, A least squares finite element solution of non linear operations,
in Mathematics of Finite Elements and Applications (Whiteman J R, ed),
Academic Press, New York, 1973
9	Lee К N, A Note on least square residues in linear elasticity, J. Appl.
Meeh, Ser E, 96,553—554 (June i974)
10	Rossow M P, The Least squares variational principle for finite element
applications J Appl Meeh, 97 900—90i (December 1975).
11	. tthorpe J F M, Steven G P, On the least squares, approach to the In-
tegration of the Navier — Stokes equations, Preprints of lhe Second Sym-
posium of Finite Element Methods in Flow Problems, St Margherita, Italy,
14—i8 June 1976, pp 71—82
12	Steven G P, Dynamics of a fluid subieci lo thermal and gravity diffusion,
Proc Internal Conf Finite Element Methods in Engrg., Univ, of Adelaide,
South Australia, 6—8 December 1976, p 17 1—17 16
13	De Vries G, Labrujcre T E, Norrie D И, A least squares finite element
solution for potential flow, Rep No 86, Dept of Meeh. Engrg, Univ of
Calgary, Alberta, Canada (Decembci 1976)
14	Nome D FI, de Vries G, Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976
15	Oden J T, A general Theory of finite elements, Internet J Numer. Me-
thods Engrg (Part 1), 1, 202-221, (Part 2), 1, 247—259 (1969).
16	Oden J T, Finite Elements of Non Linear Contmua, McGraw-Hill, New
York, 1972 [Имеется перевод Оден Дж , Конечные элементы в нелинейной
механике сп тошных сред —М Мир. 1976]
17	Oden J Т, Finile clement analogue of Navier—Stokes equations. Proc
ASCE, J Engrg Meeh Div, 96, No EM4, 529—534 (1970)
18	Oden J T Somogvi D, Finite element applications in fluid dynamics. Proc
ASCE, 1 Engry, Meeh Div, 95, No EM3, 821—826 (1969)
19	Aguirre Ramirez G Oden J T, Finite element technique applied to heat
conduction in solids with temperature dependent thermal conductivity,
Paper 69 WA/HT 34, ASME Winter Annual Meeting, Los Angeles, 16—20
November 1969
20	Oden J T, Kelley В E, Finite element formulation ol general tliennoelasti-
city problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 3, 161—179 (1971).
Приложение А
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
А.1. МАТРИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрица определяется как прямоугольный массив символов
'или чисел, упорядоченных в строки и столбцы, и обычно запи-
сывается в следующем виде:
л = И = j =
«ml
<*12	’**	<*Ц	**’	«Ц,*
«22	<*2J	**’	«2л
ai2	(*ij	<hn
am2	«mJ	***	amx
(АЛ)
Нижние индексы i и / в первой и второй позициях указывают
соответственно на i-ю строку и /-Й столбец.
Матрица (АЛ) имеет m строк и п столбцов; ее типичный
элемент atJ расположен в i-й строке и /-м столбце. Говорят, что
такая матрица А имеет порядок m X л.
Матрица-строка имеет порядок 1Х^ и может быть пред-
ставлена в виде
А — [аи а,2 ... atl ... ai„],	(А.2)
а матрица-столбец имеет порядок m X 1 и записывается в виде
«н
«12
(А.З)

Далее в тексте матрица обозначается буквой жирного шриф-
та (например, А).	х .
282	Глава 12
7.	Lynn Р. Р., Least-squares finite element analysis of laminar boundary
layer flows, Internat. J. Numer. Methods in Engrg., 8, 865—876 (1074).
8.	Akin J. E„ A. least-squares finite element solution of non-linear operations,
in: Mathematics of Finite Elements and Applications (Whiteman J. R., ed,),
Academic Press, New York, 1973.
9.	Lee К. K., A Note on least square residues in linear elasticity, J. Appl.
Meeh., Ser. E. 96, 553—554 (June i974).
10.	Rossow M. P., The Least-squares variational principle for finite element
applications. J. Appl. Meeh., 97, 900—901 (December 1975).
11.	tthorpe J. F. M„ Steven G. P., On the least-squares, approach to the In-
tegration of the Navier — Stokes equations, Preprints of the Second Sym-
posium of Finite Element Methods'in Flow Problems, St. Margherita, Italy,
14—18 June 1976, pp. 71—82.
12.	Steven G P., Dynamics of a fluid subjeci to thermal and gravity difiuslon,
Proc. Internal. Conf. Finite Element Methods in Engrg., Univ, of Adelaide,
South Australia, 6—8 December 1976, p 17.1—17.16.
13.	De Vries G., Labrujcrc T. E., Norrie D. Fl., A least squares finite element
solution for potential flow, Rep. No. 86, Dept, of Meeh. Engrg., Univ, of
Calgary, Alberta, Canada (December 1976).
14.	Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976.
15.	Oden J. T., A general Theory of finite elements, Internat. J, Numer. Me-
thods Engrg. (Part 1), 1, 202-221, (Part 2), 1, 247—259 (1969).
16.	Oden J. T., Finite Elements of Non-Linear Continue, McGraw-Hill, New
York, 1972. [Имеется перевод: Оден Дж„ Конечные элементы в нелинейной
_ механике сплошных сред. — М.: Мир. 1976.]
17.	Oden J. Т., Finite clement analogue of Navier—Stokes equations. Proc.
ASCE, J. Engrg. Meeh. Div., 96, No. EM4, 529—534 (1970).
18.	Oden J. T., Somogvi D., Finite element applications in fluid dynamics. Proc,
ASCE, I. Engrt- Meeh. Div., 95, No. EM3, 821—826 (1969).
19.	Aguirre-Ramirez G. Oden J. T., Finite element technique applied to heat
conduction in solids with temperature dependent thermal conductivity,
Paper 69-WA/HT-34, ASME Winter Annual Meeting, Los Angeles, 16—20
November 1969.
20.	Oden J. T., Kelley B. E„ Finite element formulation of general [liennoelasti-
city problems, Internal. I. Numer. Methods Engrg., 3, 161—179 (1971).
Приложение А
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
Л = И = [a,J =
АЛ. МАТРИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрица определяется как прямоугольный массив символов
'или чисел, упорядоченных в строки и столбцы, и обычно запи-
сывается в следующем виде:
Д12	’**	Ду	“ ’	di*
аа	а22	**•	a2j	“•	а2п
*’	:	: .	(А.1>
ад	ai2	’*•	Рц	»•*	а1н
&ml	am2	’**,	Огп}	”*	атп
Нижние индексы i и j в первой и второй позициях указывают
соответственно на i-ю строку и /-й столбец.
Матрица (АЛ) имеет m строк и столбцов; ее типичный
элемент ац расположен в х-й строке и /-м столбце. Говорят, что
такая матрица А имеет порядок m X п.
Матрица-строка имеет порядок 1 и может быть пред-
ставлена в виде
А = [an ац ... ач ... «,„].	(А.2)
а матрица-столбец имеет порядок m X 1 и записывается в виде
’«и ’
«и
(А.З)
_«ml_ ’
Далее в тексте матрица обозначается буквой жирного шриф-
та (например, А).	„
284
Приложение А
У нулевой, или нуль-матрицы, все элементы равны нулю, и
оиа обозначается как 5).
Квадратная матрица имеет равное число строк и столбцов
и записывается следующим образом:
	«и	«12	‘	 ач '	’* «1/	
	«21	С22	• у .	“	«2л	
А =	а(1	fli2	• Чу •	*/	(А.4)
	«и!	аи2 *		вкп	
Далее определяются отдельные типы квадратных матриц,
такие, как скалярная, тождественная (единичная), диагональ-
ная, ленточная, треугольная, симметричная и кососимметричная.
1.	Скалярная матрица — это матрица, элементы которой
определяются следующим образом:
fa, l=j,
.	С"=10, /¥=/,
Где а —скаляр. Например,
[а 0 Oi
О а О 
О 0 а]
(А.5)
(А.6)
2.	Тождественная, или единичная, матрица обычно обозна-
чается I и имеет элементы
'"={£ (А’7)
Например, единичная матрица 4X4 записывается как
	1 0 0 0’ 0 10 0	
1 =	0 0 10	(А.8)
	ООО 1.	*
3.	У диагональной матрицы вне главной диагонали все эле-
менты нулевые. Элементы диагональной матрицы определяются
следующим образом!
££ (А-9)
Матричная алгебра
285
Поэтому диагональная матрица может быть записана в виде
(АЛО)
4.	Ленточная матрица имеет ненулевые элементы в полосе,
расположенной вдоль главной диагонали, и только нулевые вне
этой полосы. Например, ленточной является следующая ма-
трица:
	>11		0	0	0	0	0
	«21		«23	0	0	0	0
А=	0	«32	«33	«34	0	0	0
	*		••			*	
	0	0	6	0	0	4-J, л-2	
	Q	Q	0	0	0	•а*	0	«.,1.-1
О ’
О
О
4.-1.»
«™
(А.11)
5.	У треугольной матрицы равны нулю все элементы либо
над главной диагональю (в этом случае оиа называется нижней
треугольной матрицей), либо под ней (тогда это верхняя тре-
угольная матрица). Верхняя и нижняя треугольные матрицы
обычно обозначаются соответственно U и L Например, -
	“11 «12	“13	•• “1„		
	0	«22	“23 ‘' «2.		
и-	0	0	“зз -• “з.	•	(А.12а)
	0	0	6		
		-In 0 0..	. 0 	
		4l ^22 0 • 	. 0	
L =		1зЛ ^32 4з *	• 0	(А.126)
- 4il ^пЗ • ^пп - .
6.	Симметричная матрица — это квадратная матрица, в кото-
рой элементы, расположенные симметрично относительно глав-
286
Приложение А.
ной диагонали, равны,
аи~ап Для всех 1 и /•
(А.13)
7. У кососимметричной матрицы элементы,
симметрично относительно главной диагонали,
лютной величине, но имеют противоположные
тельно, элементы на главной диагонали такой
расположенные
равны по абсо-
зиаки. Следова-
матрицы
нулю Таким образом, для кососимметричной матрицы
{О	при t
— alt при i	I.
8 Косая матрица отличается от кососимметричной
тем, что не все элементы на ее главной диагонали равны нулю.
9 Блочная матрица — это матрица, разделенная на подма-
трицы. Например,
равны
(A.I4)
только
А.2. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
А.2.1. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Сложение возможно только для матриц одного порядка и опре-
деляется как сложение соответствующих элементов, т. е. _
С = А + В,	(А.17)
где элементы С задаются равенством
Матричная алгебра
287
А.2.2. ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ
Вычитание матриц выполняется по тому же правилу, что и сло-
жение, с той разницей, что производится вычитание соответ-
ствующих элементов:
С = А —В,	(А.20)
где элементы С задаются в виде
=	—	(А.21)
Д.2.3. КОММУТАТИВНОСТЬ И АССОЦИАТИВНОСТЬ
К матрицам применим закон коммутативности, т. е. они могут
складываться или вычитаться в любом порядке, например,
А + В = В + А. 7	(А.22)
Матрицы также удовлетворяют ассоциативному закону и мо-
гут складываться или вычитаться в любой комбинации. На’
пример,
(А + В) + С = А 4- (В + С).	(А.23)
Л.2.4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Для получения транспонированной матрицы нужно все строки
поменять местами с соответствующими столбцами. Матрица,
транспонированная к А, обозначается АЛ Например, если
А =
«11 «12'
«21 «22 »
(А.24а)
.«31 «32-
то соответствующая транспонированная матрица имеет вид
«11 «21 «31
.«12 «22 «32
(А.246)
Транспонирование блочной матрицы получается заменой
каждой подматрицы на транспонированную, а затем переменой
строк и столбцов блочной матрицы. Например, для матрицы
(А.15)
д___ГА], А)2 А1з
La2i А2з Агз,
(А.25а)
получаем транспонированную
'аГ,
аП
_ аГз
Аг —
21
aL,
(А.256)

288
Приложение А
Симметричная матрица совпадает со своей транспонирован-
ной, т. е.
АТ = А.	(А.26)
Для кососимметричной матрицы транспонированная равна ис-
ходи ой с противоположным знаком, т. е.
Аг = —А.	(А.27)
А.2.5. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Для умножения матрицы А на скаляр с каждый элемент ма«
трицы умножается на с. Например, если			
А--	«Ц «12 «21 «22		(А.28а)
то «А —	_«31 «32- ~сац са& ««21 ««22		(А.286)
	««31 С«32		
Перемножение двух матриц А и В требует того, чтобы число
столбцов А совпадало с числом строк В; матрицы, удовлетво-
ряющие этому условию, называются согласованными Произве-
дением С двух согласованных матриц А и В (порядков m\k и
соответственно) является матрица порядка тУ\П с эле-
ментами
си= 1^а1<1Ь<гЬ / = 1. 2..., т, j=l, 2.......и. (А.29а)
Использование обозначений суммирования1) позволяет запи-
сать равенство (А.29а) в виде
Сц — а^Ь^, *«= 1» 2,... ,т, /= 1, 2, ... ,n.	(А.296)
Рассмотрим в качестве применения формулы (А.29) следую-
щий пример. Пусть	_	__
Произведение С = АВ получается следующим образом:
“	9 1 4~i
—-г;<»->
*) Суммирование проводится по повторяющимся индексам.
Матричная алгебра
289
----------------------------------------------7-------------
Операцию умножения можно распространить иа произведе-
ние более чем двух матриц в том случае, если они имеют со-
гласованные порядки. Произведение матриц
D —ABC	(А.31)
возможно, если матрицы А, В, С имеют порядки тХр,
q%n соответственно; тогда матрица D имеет порядок т%п.
Если последовательность перемножаемых матриц не нару-
шается, то к произведению матриц применимы законы ассоциа-
тивности и дистрибутивности. Например,
(АВ) С = А (ВС) = АВС	(А.32а)
и
А(В-|-С-j-D)~ А(В-|-С) + AD = АВ + А(С + D)-=j
f	=AB + AC + AD. (А.326)
В общем случае перемножение матриц не коммутативно, т. е.
АВ BA.	(А.ЗЗ)
Блочные матрицы перемножаются точно так же, как обыч-
ные матрицы1).
А.2.6. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ
Обратной к квадратной матрице является матрица, которая
после умножения на исходную дает единичную матрицу того же
порядка. Матрица, обратная А обозначается А~1. Следователь-
но, по определению
А“’А = АА~‘ = I.	(А.34)
Можно показать, что матрица, обратная А, существует, если
определитель А (см. приложение В) отличен от нуля, т. е.
det А 0.	(А.35)
Проиллюстрируем операцию обращения на примере матри-
цы, имеющей вид
	«11	«12	«13	
А =	«21	«22	«23	(А.36)
	-«31	«32	«33-	
Обратная матрица А**1, если она существует, будет того же по-
рядка, что и А, и, следовательно, А-1 можно представить в виде
	^11 ^12 ^13	
А"1-	^21 &22 ^23	(А.37)
	_t>31 ^32 ^33_	
*) Естественно, необходимо согласование порядков соответствующих блог
ков. — Прим перев.
290
Приложение А
Подстановка равенств (А.36) и (А.37) в (А.34) дает
Система уравнений для t, / “ 1, 2, 3, получается простым
приравниванием соответствующих элементов в (А.38). Напри-
мер, из равенств
получаем1)
&цО!ц +	+ ^13^31 == L
^11«12 + ^12^22 + bl3a32 == 0»
ЬцЯю + ^12^23 + ^13^33 = О
^11 ~ (fl22^33 — й32®2з)/^е1 А,
Ь12 — (а32®1з "" &12азз)/^е1 А,
Ь13 = (а 12^23 — fl22^ia)/d^t А,
(А.39)
(АЛО)
где
det А — вц {а^зз й2зйзг) ^21 (^12^33 — Я13а32) -f- «31 (й^гз — ЯйЙйя)»
(А.41)
Аналогичный результат можно получить и для остальных bq.
Матрица называется сингулярной, если ее определитель ра-
вен нулю. Следовательно, только несингулярная матрица имеет
обратную.
Более подробную информацию о матрицах можно получить
из соответствующих учебников [1, 2].
*) Заметим, что если знаменатель в (А 40), а также в уравнениях для
оставшихся Ьц отличен от нуля, то выполняется условие,, задаваемое равен-
ством (А.35),
Матричная алгебра
291
А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Квадратичной формой для переменных и\, и2, ип назы-
вается выражение, которое можно представить в виде
F («1, «2» • • • > «л) в «11м! + «12 Щ «2 4“ • • • + б,1„ III Un 4~
4* а21 11% U\ + «22 «2 Ч7 • - • + «2л «2 «л 4* - • . 4’
+ a„iuna, + a^unu2+ ... +а„пип- (А.42)
Равенство (А.42) можно записать в матричной форме
где
F(ui,u2.....
(А. 43а)
«1
«2
(А.436)
(А.43в)
Без потери общности [4] можно предположить симметричность
матрицы А, т. е. а1} = alt.
Квадратичным функционалом [5] функции ф — ф(х, у, z) в
области (на поверхности, на линии) называется интеграл от
F вида
F(ui,u2....u„)dV,	(А.44)
V -
где F определяется равенством (А.42) или (А.43а) и где щ,
Пг, ..., и» представляют собой ф и ее различные частные произ-
водные фх, Фи, фг, фхч, фхг, фуг, - - - . В ЭТОМ Случае КОэффИЦИСНТЫ
в (А.42) являются функциями координат.
Линейная форма от переменных iii, 112, .ип определяется
как линейная комбинация
С1«1 + сги, + ... + c„u„.	(А.45)
Равенство (А.45) может быть записано в матричной форме
/	Citi\ C2U2 + ... сл«п ~	С в Ut (А.46)
292	Приложение А
где
Коэффициенты ci, eg, сп линейной комбинации (А.45) в
общем случае являются функциями координат.
Литература
1	Aitken А. С, Determinants and Matrices, Univ. Math, Tests, Oliver & Boyd,
Edinburgh, 1964.
2.	Sawyer W. W, An Engineering Approach to Linear Algebra, Cambridge
Univ Press, London — New York, 1972.
3.	Forray M J, Variational Calculus in Science in Engineering, McGraw-Hill,
New York. 1968
4	Dettman J W, Mathematical Methods in Physica and Engineering, McGraw-
Hill, New York, 1962
5.	Berg P. W, Calculus of variations, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Fiugge W., ed.). Chapter 16, McGraw-Hill, New York, 1962.
Приложение Б
МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Б.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Дифференцирование матрицы выполняется посредством диффе^
ренцироваиия каждого ее элемента [1]. Таким образом, если
А = А(/)— матрица порядка р X 9,

«и(0 «12(0 ffi/0"
«21(0 «22<0 •" «2?(0
«до МО’ ••• .«„(о.
(Б.1)
то
dA
dt
D(A) =
dai Jdt
da2 Jdt
d^i/Л
da12/dt •  • datJdt
da22/dt • da2,/dt
daf2/dt • •  da„/dt
(Б.2)
Интегрирование определяется аналогично:
J [А(0]Л =
Jatldt fa12dt Jaltdi
fa2ldt §a22dt'’“ ^d2qdt

Если матрицы A(0, ВЦ) и СЦ) согласованы по сложению или
умножению, то можно показать [2, 3], что
1)	D (А + В) = ДА + ДВ,	(Б.4)
2)	Д (АВ) = (ДА) В 4 А (ДВ),	(Б.5)
3)	Д(АВС) = (ДА) В.С 4- А (ДВ) С 4~ АВ (ДС),	(Б.6)
4)	Д(А“‘) = -А“'(ДА)А“‘.	(Б.7)
Приложение А
где
(А.47)
Коэффициенты ci, eg, сп линейной комбинации (А.45) в
общем случае являются функциями координат.
Литература
1.	Aitken А С., Determinants and Matrices, Univ. Math, Tests, Oliver & Boyd,
Edinburgh, 1964.
2.	Sawyer W. W.. An Engineering Approach to Linear Algebra, Cambridge
Univ. Press, London — New York, 1972.
3.	Forray M. J., Variational Calculus in Science in Engineering, McGraw-Hill,
New York. 1968.
4.	Dettman J. W., Mathematical Methods in Physica and Engineering, McGraw-
Hill, New York, 1962.
5.	Berg P. W., Calculus of variations, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Fiugge W., ed.). Chapter 16, McGraw-Hill, New York, 1962.
Приложение Б
МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Б.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Дифференцирование матрицы выполняется посредством диффе^
ренцироваиия каждого ее элемента [1]. Таким образом, если
А = А(/)— матрица порядка р X 9,

«nW «ЛО " МЬ”
«21(0 «21(0 •" «2,(0
«,1(0 ОрЛО’ ••• .«ло.
(Б.1).
то
dA
1Г~В(А)’
dat Jdt
i/dt
4«,i/A
da12/dt •  • datJdt
da22/dt • da2,/dt
daf2/dt • •  da„/dt
(Б.2):
Интегрирование определяется аналогично:
J [А(0]Л =
J«ll</t J«i2& "•
fa2idr §a22dt'"• ^d^dt
§apldt $a„2dt  $aMdl

Если матрицы A(0, B(0 и C(<) согласованы по сложению или
умножению, то можно показать [2, 3], что
1)	D (А + В) = ДА + ДВ,	(Б.4)
2)	Д (АВ) = (ДА) В 4 А (ДВ),	(Б.5)
3)	Д(АВС) = (ДА) В.С 4- А (ДВ) С 4~ АВ (ДС),	(Б.6)
4)	Д(А“‘) = -А“'(ДА)А“‘.	(Б.7)
294
Приложение Б
Б.2. ЧАСТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Частное дифференцирование матрицы определяется точно так
же, как и общее дифференцирование Если X и Y — матрица-
столбец и матрица-строка соответственно, т. е.
XI
х2
» К = [й й ... !/„],
(Б.Ва.б)
то частная производная dY/dxi определяется как
дх/clx, = [dyifdXt dy^dXt ... ду^/вх,].
(Б.9)
Система величин
'dY/дхГ
д\/дх2
'dyjdxt dyddxi ... dy„Jdxt ~
дщ1дхг ду2!()х2 ... dy„Jdx2
(Б. 10)
_dY/dx„_ _dyjdx„ ду2!дхп ... dymjdxn_
может быть просто записана в виде 5Y/6X Аналогично, запись
БХ/dY раскрывается как
0X/5Y = [ПЦдух д*/ду2 ... дК/ду„],	(Б. И)
или, более подробно,
dxx/dyi dXx/dyi ..
дх^дух дх2!ду2 ..
dxi!dy„
дх2/дут
Х =

(Б. 12)
_dx,Jdyi dxjdtk ... дх„[дут_
Смысл выражений вида dA/dY (А —треугольная матрица)
и dKIdZ (Z—матрица-столбец) объяснить трудно, а их нсполь*
зования можно избежать с помощью приведенных ниже стан-
дартных соотношений При этом ограничении указанные ранее
правила (общего) дифференцирования сумм и произведений
могут быть использованы и при частном дифференцировании.
Матричное исчисление
295
Если матрицы X, Y, Z, С имеют вид
X
(Б. 13)

а матрицы А и В имеют согласованные порядки по умножению
или сложению в зависимости от требования, то справедливы
следующие стандартные соотношения:
1)	SY/aX = [й¥7йХгГ>	' (Б. 14)
2)	az7oz=az/azr=aY/aYr=aY7av=i.	(Б.15)
3)	Для квадратичной формы X1 АХ, где А #= f (х,):
а)	Й(ХГАХ'/ЙХ = 2АХ,	(Б. 16а)
б)	5(Х'АХ)/<1ХГ==2ХГА.	(Б. 166)
4)	8 (ХтВ)/йХ = В, где В =# f (х,).	(Б. 17)
5)	Для линейной комбинации YX (называемой также ска-
лярным, или внутренним, произведением), когда 'элементы Y и
Z являются функциями элементов X, т. е. у„ г, = f(xt),
_biyz| r> |zy| si' vr , av ?
ax “ ax = ax ' ' ax ’
a[vz| a[zY| az r 8YT
axr “ axr — v ax7 ' z axf ’
(Б. 18а)
(Б.186)
**	Литература
T. Fifikbemer D T, Matrices and Linear Transformations, 2nd ed Freeman.
San Francisco Caliioinia 1965
2 Michal A D, Matrix and Tensor Calculus, Wiley, New York, 1947
3. Thompson E li Ini odinion to the Algebra of Matrices with Some Appli-
cations, Hilger, London, 1969.
Приложение В
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определитель — это число, которое получается из квадратной
матрицы с помощью определенной процедуры. Определитель
матрицы А	_
		1 — 2	4*		
А =		8	6	2		(ВЛ)
		4	3-4.		
записывается как				
		' Г-2	4~	
detA = |A		— 8	6	2	(В.2)
		.4	3 -	4_	
Минор определителя получается вычеркиванием одинако-
вого числа строк и столбцов из этого определителя. Таким об-
есть миноры | А|.
Алгебраическое дополнение элемента ац в определителе | А)
определяется как произведение (—1)<+/ и минора, полученного
вычеркиванием строки и столбца, содержащих ац.
Правило вычисления определителя состоит в следующем.
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений
элементов любой строки (или столбца) на соответствующие
алгебраические дополнения Следовательно, определитель ма-
трицы А из (ВЛ) получается следующим образом;
= 1 {[6Х(- 4)]-(2X3)} 4- 2{[(- 8) Х(- 4)1-(2X4)} +
+ 4 {[(- 8) X 3] - (6 X 4)} == - 174,	(В.4)
Определители имеют следующие свойства:
1)	Если какая-либо строка или столбец содержит только
нули, то определитель равен нулю.
Определители	297
2)	Если переставить любые две строки (или два столбца),
то определитель изменит знак.
3)	Если какие-либо две строки (или два столбца) совпадают,
то определитель равен нулю.
4)	Умножение каждого элемента в строке (или в столбце)
и а скаляр X эквивалентно умножению всего определителя на X.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация базисными функция-
ми 27
Арифметика' с двойной точностью
234—236
Изотропия геометрическая 179
— пространственная 179
Инте! рал ключевой 175
Исключение блочное 230
Исчисление вариационное 153
Баланс энергетический 271, 281
Бета-функция 67
Вектор напряженности магнитного
поля 266
узловой 27, 63
—---- элемента 32, 55, 110
— узловых перемещений 257
-----смещений системы 13
— электрического поля 266
Волны электромагнитные 266
’Вычитание матриц 287
Гамма-функция 67
Гильбертовы пространства 173
Гнпер матрица 145
Деформации плоские 255
Диагональ (главная) 141, 227,- 284
Дифференцирование матрицы 293
Длина слова 235
Задача динамическая 221, 223
— на собственные значения 223
—- нестационарная 269
Запись матрицы полная 138
Заполнение 233
Запоминание блочное 231
— цаддиагональное 144
—- -поддиагональное 144
Значение собственное 221, 268
Изотермы 86
Изменение обусловленности 244
Кирхгофа закон 22
Кодиагонали 144
Конвекция 275
Конденсация 115, 197, 248
— статическая 249
Координаты естественные 169, 209
криволинейные 179
— обобщенные 184
— объемные 193
— площади 192
Контур 145
Лимитирование памятью 139
Линия горизонта 145
Маска бинарная 233
Ма крокодн рова ние 91
Макропрограммирование 91
Макрос 91
Матрица базисных функций 27
—	вращения (новорЪта) 64, ИЗ
—	демпфирования 269
—	деформаций 258	*
•	— диагональная 284
—	единичная 284
— жесткости системы 14, 147
---элемента 13, 55, 66, 111
— — — расширенная 13
— инерции 269
—	интегральная элементная 40
—	интегрирующая 66
квадратная 284
—	косая 286
— кососимметричная 286, 288-
— коэффициентов 62, 124, 148, 233
— ленточная 139, 221ж 225, 285
Предметный указатель
299
Матрица масс 269
—	напряжений 258
—	несингулярная 290
—	обратная 289
—	полная 139
— преобразования 103, НО, 217
—	разреженная 139, 232, 250
— симметричная 285,-288
—	скалярная 284
—	столбец 283
—	строка 283
—	тождественная 284
—	транспонированная 287
—	треугольная 285
------ верхняя 285
---нижняя 285
—	— строго верхняя 240
--------— нижняя 240
Матрицы итерационные 239
Метод	а бсолготны х-относительных,
перемещений 146
—	блочно-прямой 93, 147
— взвешенных невязок 24
—- Галеркина 24, 165, 271, 272
— Гаусса — Зейделя 75, 240
— глобального баланса 24, 271, 281
— градиентный 242
— исключения Гаусса 223
--профильный 232
— использующий внешнюю память
_250
— итерационный 221, 236
----блочный 245
------- групповой 244
---поточечный 238
— квадратного корня 227
— конечных элементов вариационный
24, 46
---,— прямом 24, 280
— наименьших квадратов 24, 271, 278
— наискорейшего спуска 242
—	невязок 271
—	Ньютона сопряженный 242
—	Одена 24
—	переменных направлений неявный
246
—	перемещений 15, 23
—	переупорядочения 93
—	полуитерационпый 243
Пэйна— Айронса 31, 90
—	разбиения на блоки 223
— расчета по временным слоям 269
-	г решения уравнений прямой 139, 223
— — фронтальный 93, 147, 223, 229
—	Ритца 32
—	Ричардсона 242
>	— сопряженных градиентов 242
-	* суперпозиции мод 269
Метод целострочный 232
— Чебышева циклический 76, 243
—	Якоби 240
Мин и-ЭВМ 146
Минор 296
Множители Лагранжа 155
Модульный подход 88 .
Монотонность 175
Напряжения плоские 255
—	поверхностные 255
Невязки в области 272
—	граничные 272
—	начальные 272
Несогласованность 174, 176
Номера узлов локальные 32, 45, 7Г
Нормы энергетические 173
Нуль-матрица 284
Область активная рабочая 226
Обозначение суммирования 38, 288
Обращение матрицы 31
Обусловленности изменение см. Из-
менение обусловленности
Обусловленность плохая 234
Объединение по узлам 51, 58, 78, 146
236
— поэлементное 14, 33, 51, 58, 73,
78, 146
Объем подвижный 271
Оператор Лапласа 266
строго положительно определен-
ный 172
Определители 296
Ортогональные преобразования 64,
179
Оси главные 217
Отладка программ 88
Отображение 214
Ошибка аппроксимации 235
— дискретизации 169
Ошибки округления 235
Параметр верхпей релаксации 241
Перенос начала координат 63
Перенумерации алгоритм 92
Перенумерация автоматическая лен-
точная 2о0
— узлов 92
Поворот осей системы координат 37
Подматрицы главные 226 '
Подпрограммы 88
Поле акустическое 266
Полиномы Лагранжа 187, 200
—- Эрмита 188
300
Предметный указатель
Полнота 170, 175
Полуширина ленты матрицы 142, 144
Построение сетки автоматическое 92,
250
Поток ламинарный 20
Преобразование 123, 208, 216
Приведение к трехдиагональному
виду 147
Принцип минимума дополнительной
* энергии 264
---потенциальной энергии 256,257,
264
— Райснера 264
Принципы вариационные 165
— квазивариационные 166
Программа построения графиков 92
— решения в оперативной памяти
250
Программы диагностические 251
Произведение скалярное (внутреннее)
295
Производные-узловые 37 . •
Проницаемость диэлектрическая 266
—	магнитная 266
Профиль 232
Разбиение на блоки 231
—	условное 246
Разложение 223
— Холлесского 75, 223, 227
---для разреженных матриц 233
Разреженность 90
—	матрицы 236
Расчленение конструкции 248, 249
Релаксация 75
<	— последовательная верхняя 75, 237,
240
Решатель уравнения 221
Самосопряженность 144, 166, 172, 271
Свойство Л 246
Сегментация 91
Сети 18
Симметрия 31
	— матрицы жесткости системы 88
Система дискретная 10
—	координат глобальная 36, 48, 209.
215
---локальная 36, 60, 215
—	непрерывная 9
Сложение матриц 286
Смена меток 250
Совместность 172
Согласованность 172, 176, 178
Среда изотропная 97
—	иеизотропная 97
Сходимость 168, 221
— монотонная 175
Тейлора ряд 173
Текст выборочный 177
Тетраэдр 194
—	лагранжев 211	*
Точки узловые с условием Дирихле
31
Точность 234
Транспонирование 287
Транспортная сеть 10
Узел в центре масс 197
Узлы внешние 248
•	— внутренние 248
Умножение матриц 288
Упругость 258
Уравнение бигармоническое 237
—	Гагена — Пуазейля 20
—	- Гельмгольца 265
—	квази гармоническое 97
~~ Лапласа 46, 76, 97
— матричное элементное 13, 19, 32,
41, 54, 100, 108, 248, 259, 267
— Пуассона 59, 73, 75, 97, 275
— связи 156
— системы матричное 14, 20, 31, 71,
147, 234, 249
Уравнения Эйлера 158
Ускорение 240
Условие граничное 95
— -— главное 47, 96, 117, 162, 276
— — Дирихле 31, 42, 46, 57, 59, 95,
117, 162, 276
— — естественное 96, 137, 276
— — Коши 96, 137, 276
— — Неймана 46, 59, 95, 117, 162
— минимакса 154
Условия Дирихле эквивалентные 102,
ЮЗ, 117
---— граничные связанные 103,
Н8
— допустимости 158, 162, 1/7
Устойчивость 168
Уточнение итерационное 234, 236
Факторизация 223
— тройная 226
Форма блочная трехдиатональная 246
—	записи восьмеричная 235
—	— двоичная 235
— квадратичная 40, 291, 295
—	квадратично-линейная 172
Предметный указатель
301
Форма линейная 291
Формула Грина 160, 276
Функции интерполяционные 186
— пробные допустимые 47
Функция базисная 27, 183
— пробная квадратичная 61
— собственная 268
Функционал 158
— квадратичный 291
Фурье быстрое преобразование 223
Число обусловленности 244
Ширина ленты 139
Элемент билинейный 201
—	высокого порядка 137
—	изопараметрический 214
—	кирпичик 212
—	криволинейный 214
Элемент лагранжев 183, 186, 195, 200
—	несовместный 176
—	прямоугольный 200
---с двенадцатью членами 207
—	пятигранный 214
—	сирендипов 203, 213
—	субпараметрический 216
— суперпараметрический 216
— тетраэдральный 209, 267
— треугольный с постоянной дефор-
мацией 262
— трехмерный 209
— четырехугольный 193, 200, 207
— шестигранный 195, 210, 212, 214
— эрмитов 101, 103, 143, 183, 188,
197, 205
---прямоугольный 206
Элементный вклад 26, 49, 192
Якобийн преобразования 65
Ячеечное объединение 93
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода....................................'. 5
Предисловие ....................................................... 6
Глава 1. Основные понятия метода конечных элементов.................9
1.1.	Конструкции и сети.......................................	9
1.2.	Развитие метода конечных элементов .......................23
1.3.	Одномерный пример вариационного метода конечных элементов 25
Литература....................................................'45
Глава 2. Вариационная формулировка метода конечных элементов . . 46
2.1. Формулировка в глобальных координатах для двумерной задачи
теплопроводности	...............................46
2.2. Формулировка в локальных координатах для двумерной задачи
теплопроводности . ......................................60
Литература...........“......................................  74
Глава 3. Программирование метода ^конечных элементов . , .... 75
* 3.1. Совершенствование вычислительной математики и метод конеч-
ных элементов..............................................75
3.2.	Программа для решения уравнения Лапласа методом конечных
элементов........................-	.	.	...............76
3.3.	Модификация программ.....................................88
Литература................................................... 98
Глава 4. Граничные условии . . . . ............................  ,95
4.1.	Классификация граничных условий..........................95
- 4.2. Задание граничных условий с помощью интегралов иа грайице 95
4.3. Другие формулировки граничных условий ......... 101
Литература......................................'	.... 102
Глава 5. Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия . , «103
5.1.	Постановка задачи и выбор элемента......................103
5,2.	Определение матричных уравнений элементов.............  108
5.3.	Конденсация.............................................115
5,4. Объединение в систему н учет граничных условий.........117
5.5. Программирование . . . -..............................  130
5.6.	Обобщение на случай элементов более высокого порядка и бо-
лее сложных граничных условий............................  137
Литература.................................................138
Оглавление
303
Глава 6. Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение н трех-
диагоиальному виду.............................................. 139
6-1. Ширина ленты ...	 139
6.2,	Способы хранения......................................."144
6.3.	Взаимосвязь между узловым и	поэлементным объединением -	. 146
6.4.	Приведение к трехдиагоиальиому	виду.....................  147
Литература..........................................   ......	152
Глава 7. Вариационное нсчнсление и его приложение , . . « . . . 153
7.1.	Максимум и минимум функций ............................153
12.	Множители Лагранжа . . . ."............................155
7,3.	Максимум н минимум функционалов .......................158
7,4.	Допустим ость и конечные элементы......................162
7.5.	Вариационные принципы в физических задачах ....... 165
Литература . -	- -..........-..........................166
Глава 8. Сходимость, полнота и согласованность . . ....... 188
8,1.	Точность, устойчивость н	сходимость прн численном решении 168
8.2.	Ошибки	метода конечных	элементов . . . ’...............169
8.3.	Ошибка пробной функции и полнота..................-	. . . . 170
8-4.	Ошибка	пробной функции	и согласованность...............172
8.5.	Ошибка	пробной функции	и несогласованность.............174
8.6.	Несогласованность, неполнота н точность . .................. , 17-1
8.7.	Выборочный тест ....................................... 177
8.8.	Допустимость..............................................  177
8.9.	Физические эквиваленты полноты и согласованности. . . . . .178.
8,10. Полнота и геометрическая изотропия........................179
Литература......................................................180
Глава 9. Элементы и их свойства ......................................182
9.1.	Классификация элементов................................182
9.2.	Базисные функции элемента..............................183
9.3.	Естественные координаты......................................189
9.4,	Одномерные элементы....................................195
9.5	Двумерные элементы.....................................195
9.6	Трехмерные элементы........................................  209
9.7.	Изопара метрические элементы.......................	.	,	214 •
9-8. Преобразование из локальных координат в глобальные . »	.	.	216
9.9.	Выбор элемента . . . . ......................................217
Литература...............................  .	. .	... 218
Глава 10. Методы решения уравнений и техника программирования , « 221
JQ.1 Выбор программы решения системы,-линейных уравнений . . . 222
10.2. Прямые методы решения ...................................223
10 3. Итерационные методы....................................  236
10.4. Способы облегчения решения уравнений . .	............246
Литература . ................................................  251
Глава 11. Избранные приложения метода конечных элементов .... 255
11.1. Механика твердого тела — плоские деформации и плоские на-
ПрЧ’-J еппч.............................................255
}1.2. Трехмерный анализ напряжений...........,...............263
1.3. Акустические и электромагнитные волны н движение поверх-
ностных воли . ............................................	. 265
304
Оглавление
114 НестационарньТе задачи............................. .	269
115 Другие приложения....................................... 269
Литература .	  270
Глава 12. Другие формулировки метода конечных элементов..........271
12 1 Методы невязок	 271
12 2 Метод Галеркина.........................................272
12 3 Метод наименьших квадратов............................. 278
12 4 Прямой метод конечных элементов.........................280
Литература .	   281
Приложение А. Матричная алгебра................................  283
А1 Матричные определения.....................................283
А 2 Матричная алгебра........................................286
АЗ Квадратичные и линейные формы.............................291
Литература	   292
Приложение Б. Матричное исчисление...............................293
Б 1. Дифференцирование матриц................................293
Б 2 Частное дифференцирование матриц.........................294
Литература .	  295
Приложение В. Определители.......................................296
Предметный указатель............................................ 298
Д Норри, Ж де Фриз
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ст. научный редактор Ю Б Воронов Мл научные редакторы Е. П. Орлова, Н И, Сивилева
Художник В. Н Тнкунов. Художественный редактор А Е. Безрученков
Технический редактор Н Д Толстякова. Корректор Н. В Серегин
ИБ № 2533
Сдано в набор 03 03 81 Подписано к печати 20 10 81 Формат 60Х90*/№ Бумага типограф-
ская № 3,Гарннтура литературная Печать высокая Объем 9,50 бум. л Усл печ л. 19,00
Усл кр «отт 19,00. Уч -изд л 16,54. Изд .Vs 20/0945 Тираж 15 000 экз Зак. 1063.
Цена 1 р. 40 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография Кв 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли, 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29