Автор: Яглом И.М.
Теги: история биографии история математики издательство знание серия математика и кибернетика
Год: 1977
Текст
НОВОЕ
В ЖИЗНИ. НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
11/1977
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА
НОВОЕ
В ЖИЗНИ, НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
Серия «Математика, кибернетика»
№ 11, 1977 г.
Издается ежемесячно с 1967 г.
И. М. Яглом,
профессор
ФЕЛИКС КЛЕЙН
И СОФУС ЛИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1977
51 (09)
Я29
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Предшественники: Эварист Галуа и Камиль Жордан 3
§ 2. Ученики Жордана................................ 14
§ 3. Геометрия XIX века; проективная и неевклидова
геометрии........................................... 20
§ 4. Непрерывные группы Ли .... .................. 36
§ 5. Эрлангенская программа Клейна.................. 46
§ 6. Жизненный путь............................. 53
Я гл ом И. М.
Я29 Феликс Клейн и Софус Ли. М., «Знание»,
1977.
64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Мате-
матика, кибернетика», 11. Издается ежемесячно с 1967 г.)
В брошюре рассказывается о жизни и творчестве выдающих-
ся математиков XIX—XX вв. Феликса Клейна и Софуса Ли.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей.
20 201
51(09)
© Издательство «Знание», 1977 г.
1
§ 1. ПРЕДШЕСТВЕННИКИ:
ЭВАРИСТ ГАЛУА И КАМИЛЬ ЖОРДАН
Утром 30 мая 1832 г. французский крестьянин, который
вез овощи на продажу на столичный рынок, подобрал
вблизи от Парижа и доставил в госпиталь обливающегося
кровью юношу; на следующий день юноша скончался в
присутствии вызванного к нему младшего брата, которого
он же и успокаивал. Этим юношей, которому не исполнил-
ся еще и 21 год, был Эварист Галуа, выдающийся мате-
матик и видный революционер, только недавно вышедший
из тюрьмы; считают, что дуэль, на которой он получил
смертельную рану, была подстроена полицией.
Краткая жизнь Галуа не была отмечена внешними ус-
пехами: он дважды держал экзамены в лучший вуз Фран-
ции — прославленную парижскую Политехническую шко-
лу — и дважды проваливался на экзаменах (а из гораздо
худшей в те времена Нормальной школы был исключен
после первого года учебы); его научные заслуги никем не
были признаны. Галуа писал о полученных им результатах
крупнейшим математикам своего времени — академикам
Огюстену Коши (1789—1857) и Симону Пуассону
(1781—1840), но Коши вовсе не ответил на письмо, а Пуас-
сон вернул обратно посланную ему статью, найдя ее не-
понятной. Галуа был уверен, что консерватор и роялист
Коши намеренно замалчивал достижения страстного рес-
публиканца, но здесь он был, видимо, несправедлив: Коши
просто не мог оценить полученные Галуа результаты, как
их не мог оценить в то время ни один человек в мире.
Если бы Коши прочел письмо Галуа, то его реакция, вер-
нее всего, была бы такой же, как у Пуассона. Однако в тот
период Коши был занят совсем другими заботами: он по-
кинул Францию, отказавшись присягать на верность Луи
Филиппу Орлеанскому, сменившему в 1830 г. Бурбонов,
1* 3
которым всегда был верен Коши (а Бурбоны, в свою оче-
редь, отличали Коши: Карл X даже пожаловал ему звание
барона); вернулся в Париж Коши лишь через много лет,
получив разрешение не присягать новым властям. Можно
не сомневаться, что письма Галуа Коши просто не читал —
и это оказалось очень большой удачей.
Коши умер в 1857 г.; в 60-х годах прошлого века встал
вопрос об издании собрания его сочинений. В этой связи
одному из ведущих французских математиков того времени
Камилю Жордану (1832—1922) было поручено ра-
зобрать бумаги покойного: а вдруг в них обнаружатся
какие-либо неопубликованные работы Коши, которые мог-
ли бы украсить проектируемое собрание его трудов.
Никаких ценных и неизвестных рукописей Коши Жор-
дан так и не нашел, но среди бумаг он обнаружил проле-
жавшее свыше 30 лет и, видимо, так никем никогда и не
прочитанное письмо Галуа, оно его буквально потрясло.
За истекшие 30 лет математика сделала большие успехи;
почва для признания заслуг Галуа была в известной сте-
пени подготовлена — главную роль здесь сыграли работы
Коши 1844—1846 гг., концентрирующиеся вокруг понятия
группы (хотя термина «группа» Коши, понятно, не упот-
реблял) и в чем-то повторяющие и развивающие неизвест-
ные Коши идеи Галуа. При этом Жордан был именно тем
ученым, который более других мог оценить заслуги Галуа.
Идеи, близкие к тем, которые содержались в замечатель-
ном письме Галуа, видимо, еще раньше волновали Жордана
и теперь сразу же властно захватили его. Жордан поста-
рался отыскать все работы Галуа, опубликованные при его
жизни или — таких было большинство — напечатанные
посмертно; ряд статей Жордана периода 60-х годов посвя-
щены разъяснению и дальнейшему раскрытию тех же идей.
Постепенно Жордан пришел к мысли о необходимости по-
святить этому направлению математики большую моно-
графию; соответствующая книга «Трактат о подстановках
и алгебраических уравнениях» вышла в свет в 1870 г. —
и ее роль в популяризации и углублении идей Галуа трудно
переоценить.
Что же сделал в математике Э. Галуа? Основные его ре-
зультаты относятся к важному вопросу о разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах*, однако, как ни су-
щественны доказанные Галуа теоремы, еще большее
значение имеют методы, с помощью которых эти ре-
зультаты были получены: важно не только (и даже не
4
столько) то, что именно доказал Галуа, но и то, как он
этого добился. Хорошо известно, что корни любого квад-
ратного уравнения х2+рх+^=0 можно найти по простой
формуле х,)2 = (“г)2 — <?.BXVIb. итальянские
математики Сципион дель Ферро (1456—1526), Ни-
кола Тартал ья (1500—1557), Джироламо Кар-
дано (1501—1556) и Луиджи Феррари (1522—
1565) нашли формулы для решения уравнений 3-й и 4-й
степеней. Однако на этом успехи в области решения алгеб-
раических уравнений остановились, и длившиеся столе-
тиями попытки найти формулу для решения произвольного
уравнения 5-й степени оставались безуспешными.
Первое доказательство невозможности решения в ради-
калах общего уравнения 5-й и высших степеней дал итальян-
ский врач и выдающийся математик-любитель Паоло
Руффини (1765—1822); оно было изложено в выпу-
щенном им за свой счет в 1799 г. учебнике алгебры, имев-
шем довольно длинное название «Общая теория уравнений,
в которой доказывается невозможность алгебраического
решения общих уравнений выше четвертой степени». Од-
нако вне Италии эта замечательная книга осталась мало
замеченной; в Италии же она встретила ожесточенное про-
тиводействие математиков (во главе с авторитетным Джан-
франческо М а л ьф а ттн (1731—1807), известным мно-
гими неудачными попытками найти формулу для решений
уравнения 5-й степени). Их, видимо, раздражало вторже-
ние «лекаря» в область, которую они рассматривали как
свою территорию (впрочем, в конце жизни Руффини занял
место профессора математики университета в Модене).
Правда, полученное Руффини доказательство неразреши-
мости общего уравнения 5-й степени было и в самом деле
не безукоризненно, но лучше всех это, вероятно, понимал
сам автор. В последующие годы Руффини в длинной серии
статей (1801—1813) предпринял несколько попыток усо-
вершенствовать свое доказательство, что ему удалось лишь
частично, но, независимо от этого, именно с появления
никем в свое время не оцененных работ Руффини сегодня
часто датируют историю современной алгебры.
Безупречное доказательство того, что не существует за-
писываемой с помощью алгебраических операций сложе-
ния, вычитания, умножения, деления, возведения в сте-
пень и извлечения корня формулы, позволяющей по коэф-
5
фициентам a, b, с, d, е и f общего уравнения 5-й степени
ax54-fex44-cx3+dx24-ex+/:=0 найти корни этого уравне-
ния, впервые дал в 1824—1826 гг. норвежский студент
Нильс Хенрик Абель (1802—1829), один из величай-
ших математиков XIX в., несли работы Руффини остались
неизвестными Галуа, то статьи Абеля он знал и ценил
чрезвычайно высоко. Но теорема Руффини — Абеля лишь
утверждала отсутствие общей формулы, годной для реше-
ния каждого уравнения 5-й степени, но не доказы-
вала существование конкретных уравнений, корни которых
никак нельзя записать с помощью радикалов (быть может,
с помощью формулы, пригодной лишь именно для данного
уравнения, но вовсе не для всех), кроме того, она никак
не позволяла установить, решается ли в радикалах задан-
ное нам частное уравнение или нет, и в случае разрешимости
указать, как именно это решение найти. На все эти вопро-
сы впервые ответил именно Галуа, причем использованным
им методам и понятиям суждено было сыграть выдающуюся
роль во всей математике XIX и XX вв.
Исследования Галуа- продолжили работы прославлен-
ного Жозефа Луи Лагранжа (1736—1813), в возрасте
19 лет ставшего профессором Артиллерийской академии
в родном Турине, в 23 года, по рекомендации знаменитого
Леонарда Эйлера (ПО?—1783), избранного иностран-
ным членом Берлинской академии наук, а после возвраще-
ний Эйлера из Германии обратно в Россию по совету того
же Эйлера поставленного вместо него во главе «математиче-
ского класса» этой академии. Позднее Лагранж переехал
в Париж и по настоянию высоко его ценившего Наполеона
стал профессором парижской Политехнической школы.
Вслед за Лагранжем Э. Галуа положил в основу своих
работ некоторые оценки «степени симметричности» того
или другого алгебраического уравнения.
Наглядно ясно, что уравнений 5-й степени х84-1=0,
(комплексные) корни которого изображены на рис. 1, а,
«симметричнее» уравнения Xs—х44-х3+х2+2=0 (см. рис. 1,
б, на котором изображены корни этого уравнения), а по-
следнее, в свою очередь, «симметричнее» уравнения 2х6—
—15х4-|-29х3-|-6хг—40х=0 с корнями хх= —1, х2=0, х8=
=2, х4=21/2, х5=4 (рис. 1, в); аналогично этому, скажем,
квадрат (рис. 2, а), «симметричнее» равнобочной трапеции
(рис. 2, б), а последняя «симметричнее» изображенного на
рис. 2, в «совсем неправильного» (несимметричного) четы-
рехугольника. Математически «степень симметрии» много-
6
Рис. 1
угольника оценивается набором перемещений, совмещающих
его с самим собой. Так, для квадрата AiA2AsA 4 (рис. 2, а)
этот набор включает поворот вокруг центра О квадрата на
90°, переводящий вершины Д4,Л2, Д8 и Д4 соответственно
в Д2, Д8, Д4 и Д4 (мы будем схематически записывать этот
поворот так: ДИИИ 4-»-Д2Д8ДИ1 или задавать под-
становкой Q з * указывающей, что вершина
с номером 1 переходит в вершину с номером 2, вершина
/V
Рис. 2
4,
а
е номером 2 — в вершину с номером Зит. д.; поворот
Д1Д2Д8Д 4->Д3Д ИИ2 или Q ® ) вокруг О на 180°
(центральную симметрию с центром О); поворот А гА 2Д 3Д 4->
(1 2 3 4\
4 12 3/ В0КРУГ На 2^°’ симметРии
(зеркальные отражения)А ХА 2А 3А хА 4Л дА 2 или
1 2 3 4\
1 4 3 2/
7
и А1А2А3А4->А3А2А1А4 или Q 2^4) относительно
диагоналей А гА 3 и А 2А 4; симметрии А гА 2А 3А 4->Л 4Л 3А 2А г
или 2 3 4\ и А2А2А3А i-^A^jA 4А3 или 2 4\
Д4 3 2 1 / 1234 2143 \2 1 4 3/
относительно средних линий KL и MN (а также, разуме-
ется, «тождественное перемещение» А ±А 2А 3А 4-+А 2А2АЬА 4
/1 2 3 4\
или I! 2 з 4)’ не слвигающее ни одной вершины квад-
рата). Таким образом, набор самосовмещений квадрата
является относительно «богатым»; он включает 8 подста-
новок:
/1 2 3 4\ /123 4\ /1 2 3 4\
1 \2 3 4 1/ 2 \3 4 1 2/’ ’ \4 1 2 3/’
_/1 2 3 4\ _/1 2 3 4\ _/1 2 3 4\
®‘ \1 4 3 2/ $2~ДЗ 2 1 4/’ °1~\4 3 2 1/’
/1 2 3 4\ /1 2 3 4\
2 ^2 1 4 3/ \1 2 3 4/
(1)
Для трапеции А1Л2Д3Л4 набор самосовмещений будет
уже значительно беднее, включая всего лишь симметрию
(1 2 3 4\
2 14 3/ относителЬно по-
раженной на рис. 2, б прямой PQ и «тождественное движе-
fl 2 3 4\
I; для изо-
браженного на рис. 2, в «полностью несимметричного» че-
тырехугольника мы будем иметь единственное тождествен-
ное (тривиальное) «самосовмещение» е.
Аналогично этому «степень симметрии» уравнения п-й
степени Дх)=0 по Галуа описывается совокупностью под-
становок его корней х19 х2, х3,...,хп, сохраняющих все ал-
гебраические зависимости между корнями (записываемые,
скажем, равенствами типа Р(х19 х2, ...,хп)=0, где Р(х1?
х2, •••Лп) — многочлен от п переменных хп х2,...,хп с це-
лыми коэффициентами, который, разумеется, может фак-
тически зависеть не от всех п переменных, а только от
части из них. Так, в случае «многочлена деления круга»
х5—1=0 все зависимости между корнями сводятся к ра-
венству х5=1 и «степенным соотношениям» х|=х2, xf =
=х3, х~=х4 и т. д ; все они сохраняются подстановками
(хь х2, х3, х4, х5)->(х2, х4, х19 х3, х5) или
1 2 3 4 5'
,2 4 1 3 5.
8
Х1=ХзУ (Xl> Xi> Х3> ХЬ Х'У^<Х^ XU Х4>
/1 2 3 4 5\ , . ,
L , , „ с ; (хъ х2, х3, х4, х5)->(х4, х3, х2,
\3 1 4 2 5/
2 3 4 5\
к разумеется, также и «тождествен-
(скажем, соотношение х|=х4 эта подстановка переводит .
в соотношение
х2, х5) или
ч /1
Хг, Х5) ИЛИ I
ная» подстановка (х15 х2, х3, х4, х5)->(х1, х2, х3, х4, х5) или
/1 2 3 4 5\
11 2345) тоже входит в нашу совокупность, насчиты-
вающую, таким образом, всего 4 подстановки:
/1 2 3 4 5\ _ /1 2 3 4 5\ _ /1 2 3 4 5\
\2 4 1 3 5/ Та \3 1 4 2 5/ ’ Тз \4 3 2 1 5/
/1 2 3 4 5\
"8 = (12 3<5)- й
Все алгебраические зависимости между корнями уравне-
ния х5—х4+х34-х2+2=0 сводятся к равенствам х4—
х| «= — 1; х8+х3=0; х2 —2х4+2=0; х4+х5=2;
соотношения
(1 2
1 1
/2: (Xi, х2, х3, х4, х5)->(х1, х2, х3, х5, х4) или (
-1;
эти
сохраняются следующими подстановками
3 4 5\
2 4 5/
2 3 4 5\
2 3 5 4/
. / ч ч /1 2 3 4 5\
И /3: (хь Х2, Х3> Х4, Х5)-ЧХ!, Х3, Х2, Х5, Х4) ИЛИ I ;
\1 о 2 и 4/
таким образом, совокупность подстановок, сохраняющих
все алгебраические зависимости между корнями рассмат-
риваемого уравнения, будет такова:
_ /1 2 3 4 5\ _ /1 2 3 4 5\ _ /1 2 3 4 5\
tl ~ V 3 2 4 б)’ <г “ U 2 3 5 4Г Г’“Ц 3 2 5 4/’
.-(' 2 3 4 S'i р)
\1 2 3 4 5/ '
(ясно, что эта совокупность содержит и «тождественную
подстановку» е). Наконец, поскольку среди «алгебраиче-
ских зависимостей», связывающих корни уравнения 2х 5—
—15х4-|-29х3+6х2—40х=0, имеются равенства хг= —1,
х2=0, х3=2, 2х4=5, х5=4, то единственной подстановкой,
сохраняющей все эти зависимости, является тождественная
/1 2 3 4 5\
подстановка е = (
\1 2 3 4 5/
Ясно, что совокупность всех самосовмещений четырех-
угольника F=A 4А 2AsA 4(или n-угольника F=?A tA2А3...Ап,
или произвольной фигуры F) обязательно содержит «тождест-
9
а =
л =
. /1 2 3... л\
венное движение» е (тождественную подстановку
\1 «ь О . . . fl/
вершин многоугольника): ведь 8, разумеется, переводит F
, „ /1 23 ... п\ /123 ...п \
в себя. Далее, если а=1 )и т= )
\^1^2^3 • • • аП/ Х^ТУЗ^з ’ * • Ьц/
— две подстановки вершин, отвечающие самосовмещениям
многоугольника F=A2Д2...ЛП, то также и «произведение»
/123 ... л\ /123 ... п \ / 1 2 3 ... п \
та = I J • I I =s / I
... ап) \b1b2bs.. .bn) I bababa*.. -ban I
входит в нашу совокупность: если и ст, и т переводят F
в себя, то также и последовательность то (сначала ст, за-
/12 п \
тем т!) переводит F в себя. Наконец, если ' ' ‘ ‘ ’
\PiPf -‘Рп!
подстановка, отвечающая самосовмещению многоуголь-
ника Р=Л1Д2...ДП, то самосовмещение F задает и «обрат-
(р.п,... р„\ /1 2 ... п \
12 г 1= , где,
1 2 ... п ) \д^2... qn)
например, — такой номер, что р<,,=Г, заметим,
/12 .. .п \
что в записи подстановки л-1 = 1 учитываются
\Р1Р2---Рп/
лишь ее столбцы ( |, ( ), .... I п ), но не порядок столб-
\Р11 \PJ \Рп/
цов, так что ту же подстановку л можно записать и так:
/ 1’2 ... i п \ .
я=1 , где 01, ь,...Дп) — произвольная пе-
^РцР^--- Pinj
рестановка номеров (1,2, ..., п)). В самом деле, движение
л переводит многоугольник F^A1A2...An в тот же
самый многоугольник F'==APtAPi ...Ап, а обратное
движение л-1 переводит F' в F, т. е. также является само-
совмещением F. Очевидно, что и совокупность & подста-
новок корней алгебраического уравнения /(х)=0, перево-
дящих все алгебраические зависимости между корнями
в также выполняющиеся зависимости между корнями,
обладает теми же тремя свойствами:
1°. 0 содержит тождественную (единичную) подстановку
/1 2...п\
е~(1 2...л)’
n П 2 ... п\
2 . наряду с каждыми двумя подстановками <* = I
\«1“2 • •
(12 п\
I (где не исключено и равенство т=ст) 0
bjbt.. .Ьп/
содержит их произведение
10
т =
/ 1 2 ... л \ / 1 2 ... n\ __ / 1 2 .. .n \
\a1a2...an/’\b1b2---fcn/ \&a,ftas ••ban}’
/12 n \
3°. наряду с каждой подстановкой a = ’' ’ |совокуп-
• • •&П/
ность & содержит и обратную подстановку ст-1 = • 'йп ]_
\1 2 ... п)
/ 1 2 ... п \ (где _ {._ здесь t-_|, 2, п).
Совокупность подстановок, удовлетворяющих свой-
ствам Г, 2° и 3°, Э. Галуа назвал группой подстановок,
а совокупность всех подстановок, сохраняющих все алге-
браические зависимости между корнями уравнения, —
группой этого уравнения; замечательная идея
Галуа заключалась в характеризации уравнения его груп-
пой (которую сейчас называют группой Галуа алгебраи-
ческого уравнения). Самой простой (самой бедной) группой
является, разумеется, группа, состоящая из одной лишь
тождественной подстановки е; пример уравнения 2х5—
—15х4+29х3+6х2+40х=0 показывает, что самым простым
группам Галуа отвечают самые простые уравнения, корни
которых рациональны, т. е. записываются даже
без использования знака корня. От Галуа идет не только
отчетливое понимание важности понятия группы, но так-
же и более сложное понятие поля; при этом в опреде-
лении группы Галуа должно быть указано, «над каким
полем * она рассматривается» — группа Галуа сохраняет
алгебраические зависимости между корнями х]( х2, ...,хп
алгебраического уравнения /(х)=0, записываемые усло-
вием равенства нулю многочленов Р(хг, х2,.,хп) от п
переменных с коэффициентами из заданного поля
И построенная Галуа теория сводилась к параллельному
рассмотрению двух процессов: расширения «основного»
поля I, которому принадлежат коэффициенты рассматри-
ваемых зависимостей Р(хг, х2, ...,хп)=0 между корнями
уравнения, и одновременного сжатия групп Галуа.
Для того чтобы разобраться в довольно сложных по-
строениях, которые возникают в той области алгебры, ко-
торую сегодня называют теорией Галуа (которой
посвящено много обстоятельных книг; и по которой ныне
читаются подробные курсы на математических отделениях
всех университетов мира) Э. Галуа пришлось глубоко ра-
зобраться в учении о группах и о полях; свидетельством
высокого уровня владения Галуа абстрактно-алгебраиче-
11
ским формализмом может служить, например, то, что он
сумел дать исчерпывающее описание всех конечных
полей (в последние десятилетия эти поля, ныне называемые
полями Галуа, нашли неожиданные и важные применения
в прикладной математике, а именно в теории кодирования
информации). Галуа принадлежит вся основная термино-
логия теории групп, включая, скажем, термины: группа,
подгруппа (часть элементов группы, сама образующая
группу по отношению к существующему в группе «умно-
жению элементов»), порядок группы (число элементов
группы). [Впрочем, основная теорема о том, что порядок
подгруппы конечной группы обязательно является делителем
порядка самой группы была (в другой терминологии) из-
вестна еще Лагранжу. 1 Галуа впервые обратил внимание
на< особую роль так называемых нормальных делителей
иляч инвариантных подгрупп данной группы; от него идет
и термин «нормальный делитель». При этом основной ре-
зультат Галуа состоит в том, что он сумел полностью ха-
рактеризовать, какой должна быть группа Галуадля того,
чтобы уравнение можно было решить в радикалах — такие
группы Галуа назвал разрешимыми группами.
Ясно, что также и совокупность самосовмещений много-
угольника (или произвольной фигуры) F представляет
собой группу; эту группу сегодня называют группой сим-
метрии фигуры F. При этом, разумеется, входящие в
группу симметрии F движения вовсе не обязательно пред-
ставлять себе как подстановки; так, например, группа
симметрии (1) квадрата F^A^^A^A состоит из четырех
поворотов л19 лг, л9 и в (где 8 есть «поворот на 360°» или
«тождественное движение») и четырех осевых симметрий
s1? Qi и о2, причем «таблица умножения» элементов
группы имеет вид:
2-й множитель
8 я. Л2 n.s S1 s2 °2
е 8 Л1 л3 S1 «2 <*2
•fi £ л. л2 л3 8 <*2 S1 S2
S £ 3^2 л2 л3 8 «2 S1 <*2 <h
о ОБ S Лд л3 8 л2 *1 а2 Si S2
•S S1 «2 <*2 8 Л2 Л!
s2 s2 <*2 S1 Л2 8 Я,
S2 (J2 51 Л3 Л! 8 л2
а3 S1 *2 Л| л3 Л2 8
Вообще, группой (произвольной, а не обязательно
группой подстановок) называют любую (конечную или
бесконечную!) совокупность {а, (5, элементов
(элемент 8 группы играет в ней особую роль), для которых
определено «умножение», сопоставляющее двум элемен-
там аир группы третий элемент — их «произведение»
6=ар, причем должны выполняться следующие свойства:
1°. (ар)у=а(ру) для любых а, (3, v g & (ассоциативность);
2°. ае=8а=а для всех а £ з? (элемент е называется
единичным элементом группы);
3°. для каждого а существует такой элемент а”1 £
е что аа“'1=а~1а=8 (элемент а-1 называется обрат-
ным к а);
если, кроме того, имеет место свойство
4°. ар=(5а для любых а, f (коммутативность), то
группа э называется коммутативной. Этот «аб-
страктный» подход к группам, определяемым не как та или
иная совокупность подстановок, а исходя из общих свойств
1°—3°, идет от упоминавшихся выше работ О. Коши.
Идея задания конечных групп «таблицами умножения»,
подобными выписанной выше таблице умножения самосов-
мещений квадрата, принадлежит А. Кэли, с именем кото-
рого мы еще встретимся ниже; сегодня такие «таблицы ум-
ножения» называются таблицами К-ли.
Коммутативные группы — под другим наименованием—
играли большую роль в исследованиях П. Руффини и
Н. X. Абеля; в математической литературе их часто на-
зывают абелевыми группами. Существенный про-
гресс, достигнутый Галуа по сравнению с Руффини и Абе-
лем, в значительной степени определялся, как нам это
теперь ясно, тем, что наряду с коммутативными группами
Руффини и Абеля Галуа привлек к рассмотрению также
и некоммутативные группы.
«Большая симметричность» квадрата по сравнению с
равнобочной трапецией или, тем более, «полностью несим-
метричным» четырехугольником выражается в большем
объеме группы симметрии квадрата: эта группа (1) содер-
жит 8 элементов, в то время как группа симметрии трапе-
ции состоит всего из двух движений, а группа симметрии
«неправильного» четырехугольника — из одного лишь тож-
дественного движения я (входящего в группу симметрии
каждой фигуры!). А вот казавшееся нам сначала оче-
видным заключение о большей симметричности «уравнения
деления круга» х5—1=0 по сравнению с уравнением
13
хъ—xi+xa+x2+2=Q теперь можно и оспаривать: группы
Галуа (над полем рациональных чисел!) обоих этих урав-
нений содержат одно и то же число элементов (обе группы—
группы 4-го порядка); отличаются эти группы (2) и (3)
лишь «таблицами умножения» элементов:
8 Tj Т3 8 t2 t3
8 8 Т2 Т3 8 8 ^2 ^3
*1 Тх т3 е т2 (2') и 6 ^3 ^2 (3Z)
*2 Т2 8 Т3 Tj /2 8
*3 *4 ^2 ® /3 /2 G 8
Именно широкое (и глубокое) использование понятия
группы и привлекло прежде всего Жордана в работах
Галуа — и его «Трактат о подстановках...» явился первым
систематическим учебником теории групп, в котором были
введены и изучены те из основных теоретико-групповых
терминов и понятий, которые не успел открыть Галуа:
понятия фактор-грчппы и нормального ряда (включая
основную часть так называемой теоремы Жор-
дана — Гельдера о нормальных рядах), понятия
транзитивности, примитивности и т. д. Но этим не огра-
ничиваются заслуги К. Жордана в области учения о груп-
пах — и об еще одном его вкладе в это учение, близком
к основной теме настоящей брошюры, мы расскажем ниже.
§ 2. УЧЕНИКИ ЖОРДАНА
В тот период, когда Камиль Жордан был поглощен ра-
ботой над своей книгой, у него учились два молодых мате-
матика, уже окончивших университеты и приехавших
в Париж для углубления образования и начала самостоя-
тельной научной работы — норвежец Софус Ли и немец
Феликс Клейн. По современным нашим понятием этих мо-
лодых ученых можно было бы назвать «аспирантами»
Жордана; следует признать, что это были хорошие аспи-
ранты. Судьбе было угодно, чтобы учеба Ли и Клейна
у Жордана продолжалась совсем недолго, но она при-
несла глубокие плоды и в дальнейшей научной карьере
обоих ученых идеи Галуа — Жордана сыграли ведущую
роль.
Софус Ли родился в 1842 г. в семье пастора в Норвегии;
детство он провел в родительском доме на берегу океана
14
вблизи Бергена и на всю жизнь сохранил страстную лю-
бовь к красоте норвежских фиордов и к природе Норве-
гии, которую чуть ли не всю исходил пешком. В школе Ли
одинаково успешно учился по всем предметам и по окон-
чании долго не мог выбрать будущей специальности (отец
хотел, чтобы сын также был пастором — и Софус серьезно
думал о том, чтобы изучать богословие); лишь очень позд-
но, после многих раздумий и не без мучительных колеба-
ний, приступил он к изучению математики и естественных
наук. Первоначально учеба в университете Христиании,
как назывался тогда город Осло, не развеяла его сомнений,
однако в 1868 г. произошел перелом: в этом году Ли позна-
комился с сочинениями В. Понселе и Ю. Плюккера, о ко-
торых будет сказано ниже. Труды этих выдающихся гео-
метров произвели на молодого Ли сильнейшее впечатление
и вызвали первые его публикации, поток которых затем
не иссякал целый ряд десятилетий. В 1870 г. Ли, в целях
продолжения образования, переехал в Берлин, где позна-
комился и сразу же подружился с Ф. Клейном, который
был моложе его на 7 лет; этим же годом датируется первая
совместная научная работа Ли и Клейна, о которой будет
рассказано ниже. Зародившаяся в Берлине тесная личная
и Научная дружба Ли и Клейна, сыгравшая большую роль
в жизни обоих, продолжалась до самой смерти Софуса Ли.
Вместе с Клейном Ли посетил Париж; стимулом для
этого явилось желание познакомиться с Жорданом, а так-
же с авторитетнейшим Гастоном Д а р б у (1824—1917),
являвшимся самым известным представителем дифферен-
циальной геометоии — ветви геометрической науки, ис-
пользующей аппарат дифференциального исчисления для
изучения «локальных» (т. е. касающихся лишь малых ок-
рестностей выбранной точки) свойств линий и поверхно-
стей. Творчество Г. Дарбу (из его работ надо, в первую
очередь, назвать четырехтомную «Общую теорию поверх-
ностей», колоссальную как по количеству страниц, так и
по обвалу изложенного материала), оказало большое влия-
ние как на Ф. Клейна, так и, особенно, на С. Ли; поэтому
здесь уместно сказать несколько слов об этом незаурядном
ученом. Дарбу родился в Ниме, но вся его жизнь как уче-
ного и педагога была связана с Парижем, в котором он
безвыездно проживал с 18-летнего возраста и в интеллекту-
альной жизни которого играл выдающуюся роль — в
первую очередь как многолетний глава «Института» (Фран-
цузская академия наук), а следовательно, и как член
15
«Французской академии», в которую по положению входит
глава «Института». С именем Дарбу в значительной сте-
пени связан расцвет так называемой Нормальной школы.—
парижского педагогического института, а также традиция,
согласно которой все выдающиеся французские математики
после получения высшего образования несколько лет пре-
подавали в средней школе. Дарбу чуть ли не первый из
видных ученых выбрал для своего образования Нормаль-
ную школу, в то время как раньше преимущество обыкно-
венно отдавалось Политехнической школе, готовящей бу-
дущих инженеров. Впоследствии он много лет преподавал
в Нормальной школе. Именно влиянию Дарбу был обязан
С. Ли быстрому освобождению из заточения в 1871 г.
(см. ниже) — хотя в других случаях это влияние оказа-
лось не столь благотворным. Так, несколько консерва-
тивный в своих математических вкусах Дарбу долго про-
тивился защите докторской диссертации Анри Лебе-
гом (1875—1941), и лишь под влиянием своего буду-
щего преемника на посту президента Института Эмиля
Пикара (1856—1941) санкционировал эту защиту, сыг-
равшую выдающуюся роль в развитии математики XX в.
Пребывание Клейна и Ли в Париже оказалось весьма
кратковременным; впрочем, несмотря на это, личные кон-
такты обоих с Жорданом (а также с Дарбу) сыграли огром-
ную роль в их последующем научном творчестве. В 1871 г.
началась франко-прусская война — и немец Клейн вынуж-
ден был срочно покинуть Францию, чтобы иметь возмож-
ность снова вступить в нее в составе прусских войск (о,
эти идиллические времена, когда Клейн даже не был ин-
тернирован в Париже и мог свободно отбыть в Германию!);
впрочем, к военной службе он так и не приступил из-за
заболевания тифом и быстрого разгрома Франции. Остав-
шись без друга, опытный турист Ли решил использовать
вынужденный перерыв в занятиях для грандиозной пешей
прогулки — через всю Францию, затем через Альпы и по
Италии. Однако в условиях военного времени план этот
оказался мало удачным: дурно говоривший по-французски
и всюду бросавшийся в глаза из-за гигантского роста и
чисто «нордической», совсем не французской красоты, Ли
был немедленно задержан как немецкий шпион и заключен
в тюрьму. В тюрьме городка Фонтенбло вблизи Парижа
(на юго-западе от Парижа, но еще так далеко от Альп!)
Ли просидел около месяца; для его освобождения; поль-
зующемуся большим влиянием в правительственных кру-
16
rax Дарбу пришлось употребить все свои связи (но прежде
этого Дарбу должен был узнать об аресте Ли!). Впрочем,
условия в заточении не были особенно тяжелыми, и Ли
использовал это время для обдумывания некоторых ас-
пектов «линейчатой геометрии» Ю. Плюккера.
Совсем иную научную и человеческую индивидуальность
представлял собой друг и коллега Ли Феликс Клейн. При-
рожденный лидер (или вождь клана) по характеру и тем-1
пераменту, блестящий полемист и первоклассный педагог, I
великолепный организатор, которому по плечу были самые1
грандиозные замыслы и предприятия, Клейн в такой же
мере был предвестником науки XX в., насколько Ли
целиком принадлежал XIX в.: настолько представляемый
Клейном тип организатора-педагога-ученого впоследствии
с большой полнотой воплотили Лев Ландау и Жан Дьедон-
не. Характерно, что в личных отношениях Ли и Клейна
младший по возрасту Клейн выступал всегда скорее как
старший (впрочем, в чисто научных вопросах влияние Ли ’ t
на Клейна бесспорно превосходило влияние Клейна на ; ; *
Ли), так, по инициативе Клейна, друзья направились в
Париж; по предложению Клейна Ли впоследствии пере-
ехал из Норвегии в Германию и т. д.
Родился Ф. Клейн в 1849 г. в Дюссельдорфе в семье чи-
новника финансового ведомства. Его отец во всех воп-
росах придерживался чрезвычайно консервативных, «ста-
ропрусских» взглядов, которые Феликс частично унаследо-
вал, а частично, напротив, пламенно оспаривал. По воле
отца молодой Клейн окончил «классическую» гимназию,
в которой много внимания уделялось преподаванию древ-
них языков и совсем мало — математике и естествознанию;
глубочайшая неприязнь, которую эта гимназия внушала
Клейну, сыграла большую роль в становлении его даль-
нейших педагогических взглядов. [Любопытно отметить,
что также окончивший классическую гимназию итальян-
ский математик Фредериго Энрикес (1871—1946),
видный специалист по основаниям геометрии, напротив,
считал изучение древних языков (особенно греческой
грамматики) очень важным элементом общего образования,
в высшей степени способствующим развитию логического
мышления. 1
По окончании гимназии Клейн поступает в университет
в Бонне, где его немедленно замечает и выдвигает Юлиус
П л ю к к е р (1801—1868), занимавший в этом универси-
тете сразу две кафедры — (экспериментальной) физики и
2 Серия «Математика» №11 ]7
(чистой) математики — и уже в 1866 г. 17-летний Клейн
становится ассистентом Плюккера по кафедре физики.
Плюккер предполагал сделать из Клейна физика, и
очень интересующийся физикой (а также весьма «физиче-
ски мыслящий») Клейн нисколько против этого не возра-
жал. Но этим планам не суждено было осуществиться.
В 1868 г. Плюккер умер, и на плечи молодого Клейна лег
нелегкий труд по подготовке публикации незавершенных
работ его учителя, в первую очередь 2-й части замечатель-
ной «Новой геометрии пространства, основанной на рас-
смотрении прямой линии как образующего элемента».
В этой книге обосновывалась плюккерова «линейчатая гео-
метрия», базирующаяся на замене трехмерного «простран-
ства точек» четырехмерным «пространством прямых» (за
координаты в котором можно, например, принять числа
х, у, у г и z, где Р(х, у) и Q(pb z) — точки пересечения про-
извольной прямой I пространства с плоскостями Оху и
Oyz). Эта книга (она вышла из печати в 1869 г.) сразу же
вызвала у Клейна ряд мыслей — из из нее родился первый
цикл его самостоятельных работ, способствовавший оформ-
лению Клейна как ученого-математика.
По смерти Плюккера потерявший свое место ассистента
Клейн оставляет Бонн и направляется в Геттинген (затем
в Берлин), где сводит знакомство с молодым, но весьма
влиятельным гёттингенским математиком Альфредом Кл е б-
ш е м (1833—1872), е физиком Вильгельмом Вебером
(1804—1890) — другом и соратником великого Гаусса и с
главой берлинской математической школы Карлом В е й -
/ерщтрассом (1815—1897). При этом заслуживает
' быть отмеченным, что если отношения Клейна с Клебшем
и с физиком Вебером сразу же становятся весьма друже-
! скими, то его общение с Вейерштрассом с самого начала
1 характеризовалось трудно скрываемой взаимной антипа-
! тией, корни которой лежали в полной несовместимости
научных позиций Вейерштрасса и Клейна.
О «физичности» мышления Клейна мы уже упоминали;
эта физичность нашла отражение во многих его научных
публикациях, например, в замечательных «Лекциях о ри-
мановых поверхностях» (прочитанный в Гёттингене и раз-
множенный ротапринтным способом курс), в которых Клейн
позволяет себе для доказательства математических теорем
привлекать рассмотрение распределения электрических за-
рядов по проводнику, имеющему форму абстрактной ри-
мановой поверхности весьма сложного топологического
<8
строения; той же «физичностью», наглядностью — и как
следствие этого некоторой нестрогостью — отличалось и j
преподавание Клейна. Эта манера изложения в значительной >
степени шла от знаменитого Римана, которому Клейн всегда
поклонялся, в то время как ригорист и фанатичный при-
верженец «строгости» Вейерштрасс (ему современная мате-
матика в значительной степени обязана своим духом и сти-
лем) всячески нападал на Римана и на его друга Дирихле,
считая многие результаты этих математиков не доказан-
ными, а возможно, даже и неверными — из этой конструк-
тивной критики родились ’как все теории вещественного
числа, так и многие топологические понятия. В этой связи
интересен рассказ хорошо знакомого русскому читателю
по переводу ряда книг и статей Арнольда Зоммер-
ф е л ь д а (1868—1951) — одного из выдающихся физиков
XX в. и в то же время ученика и многолетнего сотрудника
Ф. Клейна, которого Клейн взял своим ассистентом на
кафедру математики подобно тому, как его самого в свое
время взял ассистентом на кафедру физики Ю. Плюккер.
1И с тем же, к слову сказать, успехом: принятый Плюкке-
ром на кафедру физики для подготовки к научной работе
в области физики Клейн стал выдающимся математи-
ком; приглашенный ассистентом на кафедру математики
Зоммерфельд впоследствии прославился как физик. ]
Зоммерфельд (с чужих слов) рассказывает, как в начале
60-х годов прошлого века К. Вейерштрасс и выдающийся
немецкий физик, математик, биолог и врач Герман Гель-
мгольц (1821—1894) летом отдйхали вместе где-то
в сельской местности; при этом Вейерштрасс взял с собой
на лето знаменитую работу Римана, от которой пошла вся
современная теория функций комплексного переменного,
чтобы попытаться ее на досуге проработать и разобрать,
в то время как в высшей степени обладавший «физическим
мышлением» Гельмгольц никак не мог понять, что, соб-
ственно, здесь еще надо разбирать (см. А. Зоммер-
фельд. Пути познания в физике. М., «Наука», 1973,
с. 156).
Впрочем, отсутствие плодотворных научных контактов с
Вейерштрассом с лихвой компенсировалось для Клейна
зародившейся здесь же в Берлине тесной дружбой с Ли,
научное влияние которого на Клейна было весьма значитель-
ным. О совместной поездке Ли и Клейна в Париж, сыграв-
шей большую роль в дальнейшей научной карьере обоих
математиков, мы уже рассказывали выше. По возвращении
2*
19
из Франции Клейн поселяется в Гёттингене, где жили
Клебш и Вебер. Это время было для него весьма плодотвор-
ным. Однако прежде чем говорить подробно о научных до-
стижениях Ф. Клейна и С. Ли, необходимо кратко остано-
виться на ученых, заложивших фундамент всех этих успе-
хов, и на некоторых фактах из истории геометрии в XIX в.
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ XIX ВЕКА;
ПРОЕКТИВНАЯ И НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИИ
Первой «неевклидовой» геометрией, детально изучен-
ной математиками XIX столетия, явилась так называемая
проективная геометрия, анализирующая свойства фигур,
скажем, плоскости, сохраняющиеся при возможных
(параллельных и центральных!) способах проектирования
на другую плоскость. В известной мере соответствующие
идеи идут от основателя прославленной парижской Поли-
технической школы, ее многолетнего директора и профес-
сора Гаспара Монжа (1748—1818). Однако создатель
так называемой начертательной, геометрии Монж интере-
совался в первую очередь параллельным проекти-
рованием плоскости на плоскость, что же касается цен-
тральных проекций, то они больше связаны с именем уче-
ника Монжа Жана Виктора П о н с е л е (1788—1867).
Офицер наполеоновской армии В. Понселе попал в
плен во время русской кампании 1812 г. и два года провел
в качестве военнопленного в деревне под Саратовом. Впро-
чем, условия жизни французских офицеров в русском
плену не были тяжелыми; и чтобы занять время, Понселе
стал читать лекции по геометрии группе своих товарищей—
в большинстве таких же выпускников Политехнической
школы и учеников Монжа, как он сам. По возвращении на
родину и ознакомлении с существующей научной литерату-
рой молодой офицер с удивлением обнаруживает, что изла-
гавшиеся им в «саратовских лекциях» идеи были совершен-
но оригинальны, и что они могут служить базой для по-
строения совершенно новой геометрической дисциплины,
которую Понселе и назвал проективной геометрией.
Полученные в плену результаты Понселе просуммиро-
вал в обширном «Трактате о проективных свойствах фи-
гур» (1822), принесшем автору широкую известность, на
которую горько сетовал впоследствии уже генерал Пон-
селе, работая в старости (в 1864—1866 гг.) над новым из-
20
данием своего «Трактата». Успех выпущенной в 1822 г.
молодым офицером книги послужил трамплином для ,его
административной карьеры. В. Понселе занимал впо-
следствии весьма высокие военные и научные посты, яв-
ляясь, например, членом национального Комитета обо-
роны, директором (начальником) прославленной Политех-
нической школы (учеба в которой некогда так много дала
ему самому), он принимал также руководящее участие в
организации Лондонской (1851) и Парижской (1855) Меж-
дународных выставок. Однако связанные с высокими зва-
ниями и чинами обязанности почти полностью оторвали
Понселе от столь любимой им науки. Так, например, по-
следовавшие за появлением его «Трактата» триумфальные
успехи проективной геометрии достигнуты были почти без
всякого участия Понселе, о чем он очень горевал в по-
следние годы жизни. Возможно, что именно это обстоя-
тельство определило ожесточенность и остроту приоритет-
ных споров между Понселе и еще одним французским гео-
метром Жозефом Диазом Жергонном (1771—1859). В этих
спорах речь шла о том, кто раньше сформулировал так на-
зываемый «принцип двойственности» проективной геомет-
рии.
XIX в. был веком расцвета проективной геометрии,
в течение этого периода являвшейся, бесспорно, первой
из всех геометрических дисциплин. Кроме В. Понселе
и Ж. Жергонна в развитии проективной геометрии принимал
активное участие еще один видный французский геометр —
многолетний профессор парижской Политехнической шко-
лы (где в 1846 г. специально для него была создана кафедра
геометрии)Мишель Шаль(1793—1880).По возрасту Шаль
был моложе Понселе всего на 4 года, но их научная дея-
тельность приходится на разные эпохи; если Понселе ак-
тивно занимался математикой только в молодые годы, то
Шаль, напротив, реализовал свои возможности ученого
весьма поздно. Его первая научная работа относится к
периоду учебы в Политехнической школе; однако по полу-
чении высшего образования Шаль не торопился заняться
наукой, считая необходимый ранее того обеспечить себя
материально другим путем: он поселился в родном городе
Шартре, где быстро приобрел известность как предпри-
имчивый и удачливый финансист. Разбогатев за счет бан-|
ковской деятельности, он переключился на геометрию и 5
проявил здесь выдающиеся дарования и завидную работо-
способность. Во Франции он возглавлял так называемое
21
«аналитическое направление», базирующееся на использо-
вании координат: Шаль обладал выдающейся аналитиче-
ской интуицией, позволявшей ему извлечь из мира сле-
пых формул максимум впечатляющих геометрических фак-
тов. Последние годы жизни Шаля были, к сожалению,
омрачены случившейся с ним скандальной историей, имев-
шей широкий резонанс в Париже: выяснилось, что знамени-
тый ученый и профессор первого вуза Франции Шаль,
много лет увлекавшийся коллекционированием автографов,
непозволительно попался на удочку мелкого мошенника,
поставлявшего ему явно фальшивее документы, вроде
писем Клеопатры к Юлию Цезарю; эта история доставила
Шалю сомнительную честь-послужить прототипом главного
героя известного романа А. Доде «Бессмертный».
Культивируемые Шалем аналитические подходы к гео-
метрии базировались на исследованиях немецкого геометра
Августа Фердинанда Мёбиуса (1790—1868), указав-
шего, как можно ввести координаты в проективной плос-
кости. В свою очередь, Мёбиус охотно подчеркивал влияние,
оказанное на него французами В. Понселе и Ж. Жергон-
ном, — ведь развитие науки всегда интернационально, и
вывоз за государственные границы научных идей никогда
не считался контрабандой. При этом, если в научном отно-
шении Мёбиуса естественно рассматривать рядом с
М. Шалем, возглавлявшим аналитическое направление во
французской геометрии, то в чисто человеческом отношении
это была совсем иная и, надо сказать, гораздо более при-
влекательная индивидуальность.
Родился А. Ф. Мёбиус в Саксонии, в Шульпфорте непо-
далеку от Лейпцига; его отец исполнял при дворе обязан-
ности танцмейстера и учителя танцев. Любителя размыш-
лять над проблемами наследственности может заинтересо-
вать еще и тот факт, что сын А. Ф. Мёбиуса впоследствии
приобрел громкую известность кай врач-невролог, автор
нашумевшей книги «О физиологической слабости женщины».
Там же в Шульпфорте Мёбиус окончил среднюю школу
и в 1809 г. поступил в Лейпцигский университет, где изу-
чал сначала юриспруденцию,* а затем и цикл физико-мате-
матических наук. В 1813—1814 гг. молодой Мёбиус учился
в Гёттингене у Гаусса, который, впрочем, лишь готовил
его к карьере астронома и в те годы так и не обнаружил
выдающихся математических способностей своего студента.
Впрочем, на Мёбиуса учеба в Гёттингене все равно произ-
вела сильнейшее впечатление: он всю жизнь считал себя
22
учеником Гаусса, любое письмо которого являлось для
Мёбиуса предметом несколько даже ребяческой гордости.
В 1814 г. Мёбиус вернулся в Лейпцигский университет,
по окончании которого получил место в астрономической
обсерватории в Плейсенбурге, в пригороде Лейпцига.
В этой обсерватории Мёбиус проработал свыше 50 лет
вплоть до своей смерти в 1868 г.; здесь он прошел путь
от рядового наблюдателя до директора обсерватории (эти
обязанности он в конце жизни совмещал с профессурой в
университете Лейпцига). Вся жизнь Мёбиуса протекла в
стенах Плейсенбургской обсерватории; в этом здании на-
ходился его рабочий кабинет, квартира, в которой он
проживал е женой и детьми, лекционный зал, в котором
он охотно выступал ё лекциями и докладами. Заметим, что
к своим обязанностям по обсерватории Мебиус относился
со свойственной ему во всем добросовестностью: ему при-
надлежит ряд работ по практической астрономии, включая
исследования по вопросам усовершенствования оптических
систем телескопов.
Выпущенное Мёбиусом пособие по наблюдательной ас-
трономии пользовалось широкой популярностью в Герма-
нии еще и в 20-х годах нашего века.
Как личность Мёбиус представлял собой типичного
«рассеянного профессора» из расхожих анекдотов. Он был
застенчив и мало общителен, робок с незнакомыми и на-
столько углублен в евои мысли, что ему пришлось разра-
ботать целую систему мнемонических правил (помогавших,
впрочем, далеко не всегда), направленных на то, чтобы не
забыть взять с собой, когда он отправлялся на прогулку
или в университет, ключи от дома, неизменный зонтик или
носовой платок. Вся его жизнь протекла в одном городе
и в одном доме; учеба в Гёттингене и две-три краткие эк-
скурсии по Германии в молодости были в ней главными
«приключениями». Полное представление об его жизни
дает заполнявшийся Мёбиусом каждый вечер «научный
дневник», позволяющий следить за эволюцией его взкля-
дов, интересов и идей — единственным, что менялось в
этой размеренной жизни. Парадоксально, что житейская
скромность и даже робость сочеталась в нем с научной
смелостью, фантазией и изобретательностью, глубиной
мысли и выдающимся талантом педагога и популяризатора.
Все сочинения Мёбиуса, в том числе две его большие книги:
«Барицентрическое исчисление» («проективные коорди-
наты» Мёбиус связывал с понятием центра тяжести и на-
23
зывал барицентрическими координатами) и двухтомный
«Учебник статики», подкупают не только новизной содер-
жания и широтой охвата темы, но и красотой слога, яс-
ностью и отчетливостью изложения, продуманностью ком-
позиции. При этом ^замечательно, что в противоположность
обычному для математики явлению математические дарова-
ния Мёбиуса' как будто нисколько не тускнели с течением
времени. Так самое, быть может, впечатляющее из своих
открытий — открытие так называемых односторонних по-
верхностей (вроде известного листа Мёбиуса) — он сделал,
когда ему было уже почти 70 лет, а обнаруженные в его
бумагах после смерти работы, которые Мёбиус не успел
даже опубликовать, отличаются тем же совершенством
формы и глубиной мысли, что и ранние его сочинения.
Развитие геометрии в XIX в. ознаменовалось выдаю-
щимися достижениями, но, к сожалению, получены они
были не в процессе объединенной дружной работы, а в ус-
ловиях непрерывных ссор и ожесточенной конкуренции:
сторонники «чисто геометрических» (Синтетических) мето-
дов обрушивались на «аналитиков»; представители «фран-
цузской школы» враждовали с немцами и т. д., В этих спо-
рах и ссорах оказались замешаны В. Понселе и М. Шаль,
Я. Штейнер и Ю. Плюккер. Скромнейший Мёбиус стоял
в стороне от любых дискуссий, не имевших чисто научного
характера; однако своим творчеством он вносил в веду-
щиеся обсуждения чрезвычайно импонирующую ноту уме-
ренности. В работах Мёбиуса было достигнуто то единение
аналитических и синтетических подходов к геометрии,
которое явилось базой многих последующих ее триумфов.
С другой стороны, этот выдающийся ученый был полностью
лишен не: только личного, но и национального чванства.
Самой колоритной фигурой (и самым ярким геометри-
ческим талантом) в математике XIX столетия следует,
видимо, признать швейцарского пастуха, а впоследствии
знаменитого ученого Якоба Штейнера (1796—1863).
Родился Штейнер в бедной крестьянской семье, вдали от
научных и культурных центров и в детстве не получил
никакого образования: он сам любил впоследствии вспоми-
нать. что в 18 лет едва умел писать, хоть и приобрел са-
моучкой некоторые познания в области математики и в
особенно увлекавшей его в молодости астрономии. Эти
знания и интересы молодого пастуха поразили случайно
встретившего Штейнера сотрудника видного швейцарс-
кого педагога Песталоцци, который не без труда уговорил
Штейнера-отца отказаться от ценного помощника в сель-
скохозяйственных работах и отправить Якоба в школу
Песталонци, в которой Штейнер сначала учился, а потом
преподавал математику В 1818 г. Я. Штейнер покидает
школу Песталоцци и уезжает в ближайший крупный уни-
верситетский центр — в г. Гейдельберг в Германии; вы-
нужденный, однако, перегружать себя частными уроками,
единственно доставляющими ему средства к жизни, он не
сумел окончить университет и получил от пребывания в
Гейдельберге (где все же прослушал несколько универси-
тетских курсов) сравнительно немного. В 1821 г., соблаз-
ненный известием о вакантном месте преподавателя мате-
матики в одной из берлинских гимназий, Штейнер пере-
езжает в Берлин и далее не покидает его до самой своей
смерти. На экзамене, который Штейнеру пришлось держать
в связи с отсутствием документа Ъб образовании он по-
казал обширные познания в геометрии, более чем скромные—
в алгебре и в тригонометрии и зияющие пробелы ь об-
ласти (математического) анализа. Лишь с учетом представ-
ленных Штейнером лестных характеристик и бросающихся
в глаза геометрических способностей, ему было дозволено
преподавать математику во всех классах гимназии, кроме
одного лишь выпускного. В средней школе Я. Штейнер
проработал до 1835 г., лишь изредка, когда уже совсем
становилось невмоготу, бросая регулярную работу и вновь, ।
как в молодости, добывая пропитание частными уроками
с отстающими по математике школьниками (тоже — горь-
кий труд!); при этом преподавателем гимназии Штейнер
был довольно неважным, ибо он явно ориентировался
лишь на самых способных учащихся, в то время как все
остальные только раздражали его. Большой удачей Штей-
нера. в эти годы явилось знакомство с богатым инженером 4
и любителем математики А. Крелем, который сразу же ”
поверил в Штейнера и всячески его поддерживал: создан-
ный в 1826 г. «журнал Креля» явился той трибуной, с ко-
торой скромный школьный учитель мог возвещать («городу
и миру») свои геометрические идеи. Выдающиеся научные
работы обеспечили избрание в 1834 г. Я. Штейнера в Бер-
линскую академию наук. В 1835 г. Штейнер навсегда рас-
стался с гимназией, перейдя на постоянную работу в Бер-
линский университет. Любопытно отметить, что если школь-
ное преподавание шло у Штейнера с большим скрипом, то •
его университетские лекции, напротив, с самого начала
пользовались у студентов выдающимся успехом, который
25
в истории геометрии частично оказался даже вредным:
влияние курсов Штейнера было таково, что даже р в на-
стоящее время во многих университетах мира курсы про-
ективной геометрии читаются по разработанной Я. Штей-
нером и сегодня уже изрядно устаревшей схеме с исполь-
зованием весьма архаической терминологии. В другом
отношении влияние Штейнера, пожалуй, весьма положи-
тельно: страстность й ожесточение, с которым «синтетик»
Штейнер нападал на главу немецкой аналитической школы
(и представителя богатейшей прирейнской промышленной
династии) Ю. Плюккера, побудили последнего временно
полностью изменить геометрии и обратиться к (экспери-
ментальной) физике, в которой он достиг весьма многого
(так что, быть может, именно полемическому задору Штей-
нера человечество обязано открытием катодных лучей).
Ф. Клейн рассказывает, что Плюккер вновь снял с полки
свои старые рукописи геометрического содержания, лишь
получив известие о смерти Штейнера.
Еще одним школьным учителем, сыгравшим большую
роль в развитии геометрии в XIX в., был Христиан фон
Ш т а у д т (1798—1868), во всем остальном, впрочем,
являющийся полной противоположностью Штейнеру. Шта-
удт происходил из знатной семьи, в юности учился в Гёт-
тингене у Гаусса, который, однако, не сумел распознать
способностей молодого Штаудта. По окончании универси-
тета Штаудт много лет преподавал в гимназии и в Политех-
ническом училище (соответствующем современному техни-
куму). Лишь в 1835 г. он получил профессуру в универ-
ситете г. Эрлангена; там он проработал до самой смерти,
мало общаясь с людьми и неторопливо работая над своими
, книгами, изложенными в весьма строгом и предельно
| формализованном стиле, скорее соответствующем тенден-
L циям XX, чем XIX в. Лишенная какого бы то ни было педа-
гогического темперамента форма сочинений Штаудта сделала
их мало доступными, в силу чего оценены они были отнюдь
не сразу: так, даже будущий преемник Штаудта по кафедре
в Эрлангене Ф. Клейн не сумел первоначально пробиться
(Через тяготы штудтовского стиля и его познакомил с сочи-
1 нениями Штаудта университетский друг Штольц. Впрочем,
! впоследствии Клейн полностью оценил выдающиеся дости-
; жения Штаудта, обосновавшего независимость проектив-
ной геометрии от евклидовой, и всячески эти достижения
: пропагандировал (но книг Штаудта, кажется, так и не
прочел).
26
Важнейшим событием в истории геометрии XIX в. яви-
лось создание неевклидовой геометрии Лобачевского (или
гиперболической геометрии) и крах уверенности в единст-
венно возможной геометрической системе, моделирующей
в терминах чистой математики окружающее нас «физиче-
ское» пространство. Связанный с выдающимся открытием
Николая Ивановича Лобачевского (1792—1856),
Карла Фридриха Гаусса (1777—1855) и Яноша
Бойяи (1802—1860) переворот был весьма значителен
и очень сильно сказался на всей науке XIX в. Однако по
этому поводу русский читатель имеет весьма обширную ли-
тературу (см., например, Б. Л. Л а п тев. Геометрия-Лоба-
чевского, ее история и значение. М., «Знание», 1976), пе-
релагать которую здесь нет никакой нужды.
Н. И. Лобачевский, К. Ф. Гаусс, Я. Бойяи исходили в
своих исследованиях из чисто аксиоматических построе-
ний: они просто заменяли одну из аксиом евклидовой пла-
ниметрии (аксиому параллельности, утверж-
дающую, что через каждую не принадлежащую прямой а
точку А проходит единственная не пересекающая а прямая)
ее отрицанием (утверждением о наличии точки АТ через
которую проходят д в е не пересекающие а прямые). Раз-
вивая возникающую на этой новой аксиоматической базе
систему, они не получили никаких противоречий, откуда
и сделали вывод о том, что соответствующая геометрия ло-
гически непротиворечива и в известном смысле равноправна
с привычной нам геометрией Евклида. Однако при этом
могло остаться некоторое сомнение в том, что и при даль-
нейшем развитии гиперболической геометрии противоречие
в ней никогда не будет ^обнаружено; кроме того, неоснова-
тельным было сложившееся у создателей неевклидовой
геометрии убеждение в том, что существуют всего две
a priore возможные геометрические системы: евклидова и
гиперболическая.
Дальнейший (и притаи — весьма существенный) про-
гресс геометрии связан с именем Георга Фридриха Берн-
гарда Римана (1826—1866), бесспорно, одного из вели-
чайших математиков в истории мировой науки и одного из
двух (наряду с К. Ф. Гауссом) крупнейших математиков
XIX в. Сын сельского священника он в 1846 г. был направ-
лен отцом в Гёттинген, являвшийся в те годы математиче-
ским центром мира (в Гёттингене преподавал Гаусс), но
не для занятий математикой, а для изучения богословия.
Впрочем, математические интересы вскоре возобладали, и
27
. молодой Риман, пренебрегая семейными традициями, ме-
няет профессию и с zuapOM отдается математике. С Гёттин-
геном связана вся недолгая математическая судьба Рима-
на — сначала студента, затем доцента, экстраординарного
(внештатного) и ординарного (штатного) профессора.
Педагогический путь Римана отнюдь не был усыпан
розами: робкий и неуверенный в себе он не пользовался ус-
пехом у слушателей и не рассчитывал на такой успех
Осенью 1854 г. Б. Риман с гордостью сообщает отцу, что
। его курс собрал уже восемь слушателей; поразительный же
по богатству идей курс теории функций комплексного пе-
ременного, который Риман читал зимой 1855/56 г. и летом
’ 1856 г. и из которого выросла вся теория функций XIX
t, и‘начала XX в., а также черпали множество идей и другие
U разделы математики, например топология, слушали вооб-
V ще всего три человека. Правда, в обоих случаях одним из
слушателей был самый талантливый и самый верный из
учеников Римана Рихард Дедекинд (1831—1916), за-
слуги которого в организации (к сожалению, в большинст-
ве случаев, посмертной) публикации работ Римана й выпус-
ке отдельными книгами (увы! —обычно не особенно точных)
записей читанных последним лекционных курсов трудно
переоценить. Но все же скромное положение в универси-
тете, где многие, куда менее одаренные, коллеги относились
к нему довольно иронически, чувствительно ранило Ри-
мана. Преданность студента Дедекинда и сердечная друж-
ба с берлинским профессором Полем Леженом Дирихле
(1805—1859) не могли нейтрализовать испытываемые им
уколы самолюбия, тем более чувствительные, что при всей
'1 внешней скромности свою научную ценность Риман созна-
ч вал очень хорошо.
Француз по национальности, выходец из эмигрантской
французской семьи, П. Лежён Дирихле осуществлял, так
сказать, личную унию между немецкой и французской ма-
тематикой. После получения в Германии среднего образо-
вания он ряд лет провел в Париже, где зарабатывал себе
на жизнь, будучи домашним учителем в богатой семье;
неформальное же математическое образование он получил
в кругу аналитиков из Политехнической школы, из числа
которых наибольшее влияние имел на него Жан Батист
Фурье (1768—1830). По рекомендации знаменитого геог-
рафа и путешественника Александра фон Гумбольд-
т а (1769—1859; имя Гумбольдта сейчас носит Берлинский
университет), долго жившего в Париже и тесно связанного
28
с французскими учеными, Дирихле был приглашен доцен-
том сначала в Бреславль (нынешний Вроцлав), а затем
и в Берлин, где он позже стал профессором. Риман позна-
комился с Дирихле в Берлине, куда он приезжал для по-
полнения своего математического образования, и сразу же
подружился с ним; эта «математическая дружба» очень
скрашивала жизнь Римана и оказала заметное воздействие
на все научное творчество Дирихле.
Положение Римана в Геттингене несколько облегчилось
с возвращением в этот город влиятельного Вильгельма
Вебера. Вебер сразу же оценил Римана и все годы вся-
чески его поддерживал. Вебер же способствовал укрепле-
нию формального положения Римана на факультете, при-
гласив его в качестве ассистента на (возглавляемую Вебе-
ром) кафедру экспериментальной физики — при разносто-у
ронности физических интересов Римана его нисколько не\
-тяготили ассистентские обязанности при студенческом фи-
зическом практикуме. Еще увереннее почувствовал себя
Риман, когда после смерти Гаусса на его место был пригла-
шен дружески относящийся к Риману Дирихле. К этому
периоду относится вступление Римана на должность эк-
страординарного профессора, чему немало содействовали
тот же Вебер, Дирихле и приобретший к тому времени из-
вестное влияние Дедекинд. По смерти Дирихле кафедра
Гаусса была передана Риману, который теперь-то мог, как
будто, отдохнуть от обид молодости (и даже жениться,
чего раньше робкий и застенчивый Риман не считал воз-
можным себе позволить). Однако, к сожалению, времени
ему было отпущено в обрез. В 1862 г. Риман женился,
но в том же году серьезно заболел и выхлопотанные Вебером
троекратные поездки за счет университета в Италию для вос-
становления здоровья уже не смогли ему помочь: в Ита-
лии Риман и умер от туберкулеза в возрасте 40 лет.
Работы Римана во многом изменили лицо современной
математики; слова Ф. Клейна «Никто другой не оказал
более решительного влияния на современную математику,
чем Риман» вряд ли можно считать устаревшими даже
сегодня. При этом поражает диапазон научных интересов
Римана, охватывающий почти все разделы современной
ему математики (а иногда и выходящий за эти пределы;
так, например, Римана можно считать предтечей топо-
логии, возникшей лишь в XX в.), большой вклад он сделал
в теоретическую и прикладную физику, физиологию орга-
нов чувств и философию естествознания, где, в частности,
29
явился прямым предшественником А. Эйнштейна, «общая
теория относительности» которого целиком базируется на
идеях Романа.
Летом 1854 г. Риману была предоставлена возможность
прочесть в присутствии членов совета Гёттингенского универ-
ситета лекцию на избранную им самим тему: в соответствии
с существующими в немецких университетах обычаями на
основании такой лекции выносится постановление о допу-
щении читавшего лекцию лица к преподаванию.
Риман предложил на выбор две совершенно разные темы
аналитического и геометрического содержания; возможно,
не без влияния престарелого Гаусса выбрана была тема
п© геометрии. Лекции «О гипотезах, лежащих в основании
геометрии», была выслушана со вниманием, но без понима-
ния: гениальные идеи Римана, создавшего совершенно но-
вую и весьма глубокую концепцию геометрии, настолько,
обогнали свое время, что понять ее мог разве что Гаусс,
а поддержка молодых талантов отнюдь не входила в при-
:• вычки человека, которого еще чуть ли не при жизни почти
! официально именовали mathematicorum princeps^ («король
В математиков»). Впрочем, все присутствующие отметили, что
с лекции Римана Гаусс ушел «в глубокой задумчивости»,
но право преподавания в университете Риману было пре-
доставлено.
Лекция «О гипотезах...» была впервые опубликована
Р. Дедекиндом в 1868 г. — через два года после ранней
смерти Римана, впрочем, сомнительно, чтобы Дедекинд тогда
понимал всю глубину этого замечательного сочинения.
В 1876 г. тот же Дедекинд осуществил первое издание сочи-
нений Римана, куда вошел и текст названной лекции; впо-
следствии это собрание сочинений неоднократно переизда-
валось и переводилось на другие языки (в том числе и на
русский), так что в настоящее время лекция Римана име-
ется, практически, на всех европейских языках. Однако
истинное признание идеи Римана получили только после
обработки их одним из крупнейших математиков XIX в.
Германом Вейлем (1885—1955; о нем см., например,
И. М. Я г л о м. Герман Вейль. М., «Знание», 1967) и
Альбертом Эйнштейном. Вейль выпустил в 1919 г.
новое издание лекции Римана, снабженное глубокими ком-
ментариями, устанавливающими связь построений Римана
(в устной лекции изложенных им, естественно, лишь в весь-
ма общем виде и почти без формул) с современными «тен-
зорными» подходами к так называемой «теории римановых
SO
пространств». С другой стороны, прославленный мемуар
Эйнштейна «Основы общей теории относительности» содер-
жал весьма подробный — причем замечательный по ясности
мысли и стройности композиции — разбор идей Римана.
(Возможно, что здесь сказалось влияние математика Г. Вей-
ля — коллеги физика Эйнштейна по кафедре Высшего
технического училища в Цюрихе, где они оба тогда рабо-
тали.)
Геометрические идеи Римана имели своим отправным
пунктом замечательный мемуар К. Ф. Гаусса «Общие ис-
следования о кривых поверхностях» (1828), продолжающий
и развивающий то идущее от Л.Эйлера и Г. Монжа
направление математики, которое сегодня называют диф-
ференциальной геометрией. В этой работе Гаусс развил кон-
цепцию «внутренней геометрии» произвольной (кривой) по-
верхности Ф, как-то расположенной в трехмерном прост-
ранстве: объектом внутренней геометрии является сово-
купносЗЕЬ тех геометрических свойств Ф, которые можно
уставвииъ «не выходя за пределы Ф», т. е. с помощью
«привязанных к Ф» измерений: так, например, «внутрен-
нее» расстояние между двумя точками А, В £Ф Гаусс оп-
ределяет как длину кратчайшей из принадлежащих Ф ли-
ний, соединяющих А и В. Главным из результатов Гаусса
было заключение о возможности в рамках внутренней гео-
метрии поверхности вычислить в каждой точке ее («внут-
реннюю» или гауесову) кривизну, тождественное равенство
кривизны нулю означает, что поверхность можно «разогнуть
в плоскость». Б. Риман предложил вместо вмещенной в
(обыкновенное или трехмерное) пространство поверхности
рассматривать произвольные «искривленные» многообразия
любой размерности, «метрика» которых задается формулой,
позволяющей измерять расстояния между любыми двумя
точками рассматриваемого многообразия (сегодня такие мет-
ризованные многообразия называют римановыми прост-
ранствами). При этом существенную роль в построениях
Римана играло понятие кривизны пространства; особое мес-
то среди всех метризованных многообразий играли (одно-
родные « изотропные, т. е. такие, что все их точки равно-
правны и в каждой точке ни одно направление не отлича-
ется от другого) пространства постоянной кри-
ви з н ы: евклидово пространство нулевой кривизны,, ги-
перболическое пространство отрицательной кривизны и эл-
липтическое пространство положительной кривизны. В слу-
чае, если рассматриваемое многообразие является двумер-
31
ным, случай нулевой кривизны приводит нас просто к ев-
клидовой плоскости; гиперболическая плоскость не отли-
чается от плоскости Лобачевского, а эллиптическая плос-
кость «устроена» как поверхность обыкновенной (евклидо-
вой) сферы.
Таким образом, в ряду рассматриваемых в лекции Ри-
мана пространств особое место занимает пространство Ев-
клида и два в известном отношении равноправных с ним
«неевклидовых» пространства: пространство Лобачевского
и эллиптическое пространство, сегодня зачастую называемое
неевклидовым пространством Римана. Однако еще важнее
было то, что, по существу, у Римана появилось множество
(как правило — искривленных) «не евклидовых» прост-
ранств, что сыграло огромную роль в последующих по-
пытках Эйнштейна включить распределение масс, вызываю-
щее гравитационные физические эффекты, в саму геометрию
Вселенной.
Мы уже указывали, что, поражающая наше воображе-
ние еще и сегодня, речь Римана в свое время не была по
достоинству оценена. Возможно, ббльшее впечатление про-
извела еще одна попытку расширить рамки геометрии Ло-
бачевского, включив ее в систему новых геометрических
систем. Эта попытка принадлежала Ф. Клейну — и она
сыграла весьма важную роль в формировании его общих
взглядов на природу геометрии, о которых мы будем го-
ворить ниже.
Трамплином для Клейна послужила одна работа англий-
ского алгебраиста Артура Кэли (1821—1895). Видный
лондонский адвокат и замечательный ученый А. Кэли был
заметной фигурой в математике XIX в.— в значительной
степени от него идет концепция многомерных пространств;
ему также принадлежат глубокие алгебраические резуль-
таты, заложившие основы теории инвариантов. При этом
научная смелость совмещалась в облике Кэли с глубокой
привязанностью к традиционному укладу жизни и консер-
вативностью, неожиданно сыгравшей положительную роль
в истории американской математики. С консервативностью
влиятельного Кэли было связано фактическое изгнание из
Англии в США его основного соперника Джона Силь-
вестра (1814—1897), имя которого в истории науки
всегда фигурирует рядом с именем Кэли (ибо научные ин-
тересы этих двух выдающихся ученых были очень близки)
и который сыграл первостепенную роль в становлении мо-
лодой американской математики. В Сильвестре Кэли разд-
32
ражали «экстравагантные», по его мнению, педагогические
взгляды (сыгравшие, между прочим, большую роль в фор-
мировании педагогических установок Клейна, о которых
мы еще скажем ниже). Так, например, Сильвестр всячески
нападал на принятые в английских средних школах «пе-
дагогические обработки» евклидовских «Начал», считая их
недопустимо далекими от типичных для математики второй
половины XIX столетия взглядов и подходов.
В 1854—1859 гг. Кэли напечатал в-лондонском журнале
«Phylosophical Transactions» шесть мемуаров «О формах»,
в которых рассматривались однородные алгебраические
многочлены («формы») второй или высших степеней; разви-
ваемые Кэли методы были чисто алгебраическими, но «про-
странство переменных», от которых зависили рассматривае-
мые многочлены, можно было, разумеется, трактовать как
проективное пространство. С этой геометрической точки
зрения появившийся в 1859 г. «Шестой мемуар о формах»
можно было рассматривать как попытку внесения в проек-
тивное пространство той или иной «метрики», позволяющей
измерять расстояния между точками пространства или углы
между прямыми, базируясь на заданной в пространстве
квадратичной форме; в зависимости от характера формы \
Кэли приходил к разным типам «проективных метрик».
В феврале Г870 г., во время пребывания Клейна в Бер-
лине, он выступил на семинаре Вейерштрасса с докладом
о работах Кэли, где, в частности, высказал предположение
о связи этих работ с неевклидовой геометрией Лобачевского
(с которой, кстати сказать, сам Клейн был знаком в это вре-
мя довольно поверхностно). Однако пуриету и фанатичному
приверженцу математической строгости Вейерштрассу эта,
никак пока не оформленная автором, мысль не показалась н
привлекательной (Вейерштрасс терпеть не мог «скороспе- |(
лых идей» и признавал в математике только полностью за-
вершенные и формально безукоризненный построения). ‘
Клейна он жестоко раскритиковал.
Последний, однако, лишь временно оставил мысль о
близости результатов алгебраиста Кэли и геометра Лоба-
чевского. Он попросил .своего друга Штольца подробно из-
ложить ему результаты Лобачевского и Бойяи, и сравнил .
их с построениями Кэли. В результате в 1871 г. появилась
обширная статья Клейна «О так называемой неевклидовой
геометрии», содержавшая широкую трактовку системы «про-
ективных метрик» на плоскости и в пространстве (их сегод-
ня называют геометриями Кэли — Клейна). Лишь одной
зз
из этих открытых Клейном геометрических систем явля-
ется классическая геометрия Евклида, в которой (в плоском
случае) расстояние d^A, между точками А (х, у) и At (х1?
у г) определяется по формуле d2—(x1—х)г+(У1—у)2; в из-
вестном смысле равноправны с ней так называемые псевдо-
евклидова и полуевклидова геометрии, в которых расстояние
между точками А (х, у) и A Jxj, yj определяется по форму-
лам d2=(Xi—х)2—(ух—у)2, соответственно d2=(xx—х)г (т. е.
d—\xx—х|). Особо выделял Клейн также входящие в рас-
сматриваемую систему «проективных мероопределений» ги-
перболическую геометрию Лобачевского и эллиптическую
геометрию Римана. В частности (плоскую), геометрию Ло-
бачевского Клейн трактовал как геометрию внутренности
конического сечения К. (например, окружности, рис. 3);
при этом «точками» плоскости Лобачевского называются
точки ограниченного окружностью К круга (без точек самой
окружности); «прямыми» — (открытые, т. е. не содержа-
щие концов) хорды круга; «расстояние» dAB между точками
А и В плоскости Лобачевского вычисляется п© простой фор-
муле d=log (Л, В; С/, И (=M0gtfAt/W):(AKW) 1),
гдё U и V — точки пересечения прямой АВ—/и с «абсо-
лютом» К неевклидовой геометрии, а выбор определенного
основания системы логарифмов равносилен выбору единицы
измерения длин (рис. 3; из нашей формулы сразу следует,
что длина всей «неевклидовой прямой» UV или даже «не-
евклидова луча» AU или AV бесконечна). Из рис. 3 легко
усмотреть, что через точку М вне прямой т проходит как
бесконечно много прямых, пересекающих т (как прямая
МА), так и бесконечно много непересекающих тпрямых
(как прямые PQ или RS); «отделяющие» прямые первого ро-
да от прямых второго рода лучи MU и MV называются
параллельными, по Лобачевскому, прямой т. Эта «модель»
геометрии Лобачевского очень наглядна и весьма часто
используется в педагогических целях при изложении гео-
метрии Лобачевского.
Именно с этим последним замечанием и связан был в пер-
вую очередь широкий резонанс работы Клейна. Открытие
богатого класса новых геометрий, включающих системы
Евклида, Лобачевского и Римана как частные случаи, не
вызвало первоначально у математиков особого энтузиазма,
а ряд ученых (в том числе и Артур Кэли, чье имя совершен-
но справедливо носят сегодня указанные Клейном геомет-
рические системы) так и не признали этого открытия, по-
дозревая Клейна в каких-то внутренних противоречиях;
34
возможно, что здесь играло роль неосознанное чувство
протеста против того, что геометрий становится слишком
уж много. (С этой точки зрения любопытно, что сам
Клейн в своей работе от 1871 г. (см. также посмертно выпу-
щенную учениками Клейна книгу: Ф. Клейн. Неевкли-
дова геометрия. М.—Л., ОНТИ, 1935) видел свою главную
заслугу не в вычленении большой серии новых геометриче-
ских систем, а в свежем (и общем) подходе к теории извест-
ных ранее геометрий Евклида, Лобачевского и Римана.
Так, например, он даже не дал себе труда подсчитать ко-
личество полученных им «геометрий», полную классифика-
цию которых дал лишь в 1910 г. английский геометр Дункан
Маклорен Юнг Саммервиль (1879—1934); согласно
Саммервилю, число n-мерных «геометрий Кэли — Клей-
на» равно о", так что на про-
ективной плоскости можно
определить 9 «проективных
метрик», а в трехмерном
пространстве — 27. ] Однако
простая модель геометрии
Лобачевского встретила еди-
нодушное сочувствие мате-
матиков; она была безогово-
рочно принята большинством
ученых. Правда, в это вре-
мя считалось, что непроти-
воречивость геометрии Ло-
бачевского уже доказана
итальянским математиком
Эудженио Бельтрами
(1835—1900), указавшим
в 1868 г. возможность реализации (плоской) гео-
метрии Лобачевского на некоторой поверхности евклидова
пространства (в виде «внутренней геометрии» так называе-
мой псевдосферы). Отсюда, поскольку псевдосферу трехмер-
ного евклидова пространства можно задать простым урав-
: нением, следовало, как будто, что если не содержит про-
тиворечий евклидова стереометрия, то не может содержать
их и планиметрия Лобачевского. Однако педагогически «мо-
дель Бельтрами на псевдосфере» по своей убедительности
и наглядности никак нельзя было сравнить с очень простой
моделью Клейна, которая гораздо удобнее, скажем, для
первоначального ознакомления с геометрией Лобачевского,
i Любопытно, что на самом деле ситуация здесь оказалась
совсем иной, чем это сначала предполагали. В 1903 г. зна-
35
менитый Д. Гильберт, о котором мы еще будем иметь воз-
можность сказать ниже, обнаружил в эффектной «модели
Бельтрами на псевдосфере» гиперболической геометрии Ло-
бачевского принципиальные и неустранимые дефекты. В свя-
зи с этим базирующиеся на рассмотрении псевдосферы по-
строения Бельтрами сегодня уже не считаются решающими
задачу доказательства непротиворечивости геометрии Ло-
бачевского. Однако в знаменитой статье Бельтрами «Опыт
интерпретации неевклидовой геометрии» от 1868 г. после
эффектной, но, как выяснил Гильберт, некорректной «мо-
дели на всевдосфере» была весьма кратко указана еще одна
«модель в круге» гиперболической геометрии, полностью
совпадающая с изображенной на рис. 3. В свое время на
это заключение мемуара Бельтрами не было обращено до-:
статочного внимания; не заметил его также и Ф. Клейн.
И в настоящее вреь^я изображенную на рис. 3 модель не-
евклидовой плоскости Лобачевского чаще всего совершен-
но справедливо именуют «моделью Бельтрами — Клейна».
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Софуса Ли и Феликса Клейна мы оставили после их
возвращения из Парижа от Камиля Жордана, в центре науч-
ных интересов которого стояла в этот период теория групп.
Жордан был твердо убежден, что в будущем развитии мате-
матики учению о группах суждено сыграть выдающуюся
роль, и это свое убеждение он сумел передать Ли и Клейну.
При всем том вес теории групп в математике будущего
Жордан все же недооценил, ибо на рубеже 60-х и 70-х годов
прошлого века было невозможно представить себе то зна-
чение, которое вскоре приобретет в математике понятие
группы — так, академик П. С. Александров писал в пре-
дисловии к своему «Введению в теорию групп» (М., Учпед-
гиз, 1939): «Я думаю, что ... понятия числа, множества,
функции и группы являются теми четырьмя краеугольными
камнями, на которых зиждется все здание современной ма-
тематики и к которым сводится всякое другое математиче-
ское понятие». Впрочем, Жордан, разумеется, и не мог пред-
видеть то внедрение теоретико-групповых концепций бук-
вально во все разделы математики, которое в значительной
степени оказалось связано с деятельностью его учеников
С. Ли и Ф. Клейна!
36
В геометрии, по убеждению Жордана, главную роль
суждено сыграть группам геометрических преобразований,
таким, как группа движений (или преобразований подобия)
евклидовой плоскости, группа аффинных преобразований
(лишенной метрики) аффинной плоскости, или группа про-
ективных преобразований проективной плоскости, а также,
скажем, группа (3) симметрии квадрата, состоящая всего
из 8 элементов. При этом Жордан четко различал родствен-
ные группе симметрии квадрата дискретные группы,
элементы которых «разъединены» (такие группы преобразо-
ваний сегодня называют кристаллографическими, ибо сход-
ным образом устроены группы симметрии кристаллов), и
непрерывные группы, как группа У? (собственных)
движения плоскости:
х' = х cos а — у sin а + а,
(4)
j/'==xsina+ t/cosa + 6.
Прилагательное «непрерывная» в названии подобных групп
подчеркивает, что принадлежащие группе преобразования
можно менять непрерывно, слегка искажая характеризую-
щие конкретное преобразование параметры так, в случае
группы 2^ движений, где каждое движение б £ Охаракте-
ризуется углом а поворота л и вектором t=(a, Ь) сопро-
вождающего л параллельного переноса т, мы «мало» из-
меним S, лишь слегка изменив параметры а, Ь, а. Впослед-
ствии научные интересы Ли и Клейна разделились: С. Ли
всю свою жизнь посвятил теории непрерывных групп (такие
группы сегодня обычно называют группами Ли), явившись
единоличным создателем этой обширной теории, в то время
как Ф. Клейн больше занимался дискретными группами
преобразований.
Основой теории Ли явилась установленная им глубокая
связь между (непрерывными) группами и своеобразными
алгебраическими системами, которые сегодня называют ал-
гебрами Ли. Эту связь легче всего пояснить, исходя из
группы (собственных) пространственных вращений
с фиксированным центром вращения О. Все такие движения
представляют собой повороты вокруг проходящих через О
осей, характеризуемые прямой /(осью поворота) и углом
(углом поворота); это позволяет «расщепить» группу
яг на семейство ее однопараметрических подгрупп, каждая
из которых состоит из поворотов вокруг фиксированной
оси Z, — ясно, что эти повороты характеризуются единст-
венным параметром, а именно углом поворота ф. Близкие
37
к тождественному преобразования группы sr характеризу-
ются осью / (указывающей, какой из рассматриваемых од-
нопараметрических подгрупп принадлежит данное преоб-
разование) и (малым!) углом поворота Д<р; если условиться
считать, что рассматриваемые преобразования осуществля-
ются за твердо заданный (но очень малый) интервал време-
ни Д £, то можно будет заменить (малый) угол Д<р «угловой
скоростью» © = -^-соответствующего поворота. Откладывая,
как это принято в механикр, на оси вектор I угловой скоро-
сти, где ] 11 =<в и поворот на угол Д<р наблюдается из конца
вектора / происходящим против часовой стрелки, мы со-
поставим группе множество отложенных от О «векторов
угловых скоростей » I (трехмерное векторное простран-
ство).
Далее, в теории Ли существенную роль играют своеоб-
разные «характеристики некоммутативности» непрерывной
группы. Рассмотрим два (очень близких к тождественному
преобразованию или «инфинитезимальных») вращения а н
olt характеризующихся векторами I и угловых скоро-
стей; различие между преобразованиями ббх и 6^ характе-
ризуется преобразованием х=(бб1)~1(б1б)=6~}б_161б, на-
зываемым коммутатором преобразований б и бх и обозна-
чаемым символом [ббх]. Преобразованию х отвечает свой
вектор k угловой скорости, который Ли обозначал! через
Таким образом, каждым двум векторам I и на-
шего трехмерного векторного пространства сопоставляется
третий вектор k — lll^Y, несложный расчет показывает, что
в рассматриваемом случае вектор k представляет собой не
что иное, как векторное произведение векторов I и 1г, т. е.
k_Ll, kSji, |&| = 111 • |/j |-sin<(/,/j) и векторы I, 1±
и k образуют «правую тройку»: из конца k вращение (на
наименьший возможный угол) от вектора I к вектору 1{
наблюдается происходящим против часовой стрелки (см. лют
бой учебник векторного исчисления или аналитической гео-
метрии). Таким образом, группе зг Ли сопоставляет (трех-
мерное) векторное пространство V, в котором, наряду с ос-
новными для каждого векторного пространства операциями
сложения векторов и умножения вектора на число, опре-
делена еще операция векторного умножения, сопоставляю-
щего каждым двум векторам а и b новый вектор [об]; при
этом векторное умножение обладает следующими свойст-
ствами:
38
[ab'l=—Ibal (антикомму!ативность);
[Ла,Я=МаЫ (ассоциативность относительно умножения
вектора на число); (5)
lai+a2, 6J=lai&]+lo2b) (дистрибутивность);
(а[ЬсП + IblcaH + |с[аЬЦ = 0.
Последнее из правил (5) называется правилом
(тождеством) Якоби; это дает нам основание ска-
зать несколько слов еще об одном незаурядном ученом,
по своему организационному таланту и педагогическим да-
рованиям явившемуся прямым предшественником Феликса
Клейна. Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851) — брат
известного русского физика Бориса Семеновича (Морина
Германа) Якоби (1801—1874 ) — был одним из крупней-
ших математиков XIX в., внесшим большой вклад почти
во все разделы математики. К. Якоби происходил из бо-
гатой банкирской семьи (впрочем, в 40-х годах он разо-
рился в результате неудачных финансовых операций и в
конце жизни вынужден был зарабатывать на жизнь мате-
матикой^).
Якоби получил широкое образование и, в частности,
был глубоким знатокам и поклонником классической фило-
логия (во многом определившем и его отношение к математи-
ке, в основе которой он склонен был видеть эстетические
потребности человечества, — что, кстати сказать, резко про-
тиворечило позиции Клейна, всегда подчеркиравшему при-
кладное значение математики). Большая общенаучная
культура сказалась и в творчестве Якоби, затрагивающем
почти все разделы «чистой» математики, а также включаю-
щем работы по прикладной математике, астрономии и ос-
новополагающие исследования по механике (в которых,
кстати сказать, впервые и возникло связанное со свойст-
вами дифференциальных операторов тождество, сегодня но-
сящее имя Якоби). Большую часть жизни Якоби проработал
в Кенигсберге (нынешний Калининград); именно его энер-
гичнейшей научной, педагогической и организационной
деятельности (равно как и трудам знаменитого астронома
и математика Фридриха Вильгельма Бесселя, 1784—
1846) обязан физико-математический факультет Кениг-
сбергского университета той высокой репутации, которую
он долгие годы имел в Германии и которую «подорвал»
лишь Ф. Клейн, «переманивший» в Гёттинген группу ве-
дущих кенигсбергских математиков и физиков.
39
V -
Колоссальная нагрузка Якоби в Кенигсберге истощила
в конце концов его силы, с чем в основном связан переезд
Якоби в Берлин, где он и не пытался сохранять свойствен-
ную кенигсбергскому периоду работоспособность (харак-
терно, например, что Якоби и не пробовал з_авязать науч-
ные контакты со слушавшим его лекции в Берлине Рима-
ном, полностью «передоверив» последнего своему другу
Дирихле). В Берлине Якоби умер от оспы в возрасте 47 лет
(«умер в Блаттерне», как кратко сообщает русский перевод
упоминавшихся «Лекций о развитии математики...»
Ф. Клейна; немецкое слово die Blattern означает «оспа»,
а существительные в немецком языке, к сожалению, всегда
пишутся с большой буквы, независимо от того, идет ли речь
о названии города или болезни).
Векторное пространство, в котором определено удовлет-
воряющее свойствам (5) «векторное произведение» векторов,
называют сегодня алгеброй Ли. В приложениях
векторного исчисления к механике и физике наряду с фи-
гурирующими уже в самом определении векторного прост-
ранства операциями сложения векторов и умножения век-
тора на число широко используются также (коммутативное)
скалярное произведение, сопоставляющее каждым двум век-
торам а, b число (скаляр) (а, Ь)—о и (антикоммутативное)
векторное произведение, сопоставляющее двум векторам а,
b вектор la, &|=s. В более общем плане(n-мерное) вектор-
ное пространство, в котором определено скалярное произ-
ведение (а, &), обладающее основными свойствами комму-
тативности и линейности:
(а, b)=(b, а) (коммутативность);
(Ла, &)=Л(а, Ь) (ассоциативность относительно умноже-
ния вектора на число); (5')
(ai+a2, 6)=(a16)+(a2, b) (дистрибутивнесть)
называется евклидовым пространством; ес-
ли же в векторном пространстве наряду с аффинными опе-
рациями векторной алгебры задать еще удовлетворяющее
условиям (5) векторное произведение, то мы придем к по-
нятию алгебры Ли При этом, однако, надо иметь в виду,
что в то время как задача перечисления евклидовых прост-
ранств заданной размерности, — даже и без присоединения
к определению евклидова пространства дополнительных тре-
бований невырожденности (или даже положительной оп-
ределенности) скалярного произведения, — является весь-
ма простой (в случае положительного определенного ска-
лярного произведения такое пространство заданной раз-
40
мерности вообще единственно), проблема классификации
алгебр Ли является весьма сложной, и к ее решению на се-
годняшний день не видно никаких подходов.
При сравнении свойств (5) и (5') векторного («лиева»)
и скалярного («евклидова») произведений векторов кажется
излишним тождество Якоби — самое сложное из свойств
(5); поэтому полезно прокомментировать причины, делаю-
щие его естественным. В ряду равенств (5) и (5') фигу-
рирует «ассоциативность относительно умножения вектора
на число» (Ха)’6=Х(а°б), где кружок ° — символ умно-
жения векторов а и b (безразлично, скалярного или век-
торного); однако «настоящей» ассоциативности среди этих
свойств нет. Впрочем, для скалярного умножения, где про-
изведение а°Ь имеет совсем другую природу, чем сомножи-
тели b и а (является числом, а не вектором), обычная ас-
социативность (не имеет смысла); в случае же векторного
умножения условие ассоциативности легко выписать, но нет
никаких оснований ожидать его выполнимости. В самом
деле, мы привыкли, что коммутативная операция а°Ь «дол-
жна» быть и ассоциативной, т. е. что здесь обычно а°(Ь°с)=
—Ь°(с°а)—с°(а°Ь) для любых а, Ь, с, если же заменить
коммутативность a°b=b°a антикоммутативностью а°Ь+
+ЬоС=0, как это имеет место в случае векторного умноже-
ния (в последнем равенстве О — «нулевой элемент» нашей
«арифметики», т. е. нулевой вектор), то ассоциативность
естественно заменить «антиассоциативностью» или тождест-
вом Якоби: a°(boc)+bo(c°a) + с°(ааЬ) = 0.
Главным в исследованиях Ли как раз и явилось сопо- .
ставление каждой непрерывной группе гораздо более про-
стого алгебраического объекта—алгебры Ли. Так, в случае
(коммутативной!) группы^ параллельных переносов про-
странства мы приходим к «тривиальной» алгебре Ли: трех-
мерному векторному пространству Гт, где (а, 6]=0 для
любых а, Ь. В случае группы (собственных) вращений
пространства «произведение Ли» (или «векторное произве-
дение») в трехмерном пространстве Гэ с базисом {ех, е2,
е3), отвечающим трем (инфинитезимальным) вращениям
вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, Ох, Оу, Ог,
задается условиями let, е2]=е3, fcges]—Bi и (е3е1]=е2.
В силу этого мы приходим к «обычному» векторному произ-
ведению: если d—(X, Y, 'Z) (=Xe1+l/e2,+Z3e) и b=(Xu
Y i, ZJ, то
41
X Y \[_ YZ
YtZt
Z X
2гХг
ei +
X Y
X^!
(6a)
+
ea +
Для группы W плоских (собственных) движений (4) с бази-
сом {ег,е3,е3}, отвечающей алгебры Ли Ve, порожден-
ным (инфинитезимальными) сдвигами в направлениях Ох
н Оу и поворотом вокруг начала О координат, «умножение
Ли» задается, как легко проверить, соотношениями \е1е3]=
=0 (это равенство является тривиальным следствием ком-
мутативности переносов в направлениях Ох и Оу),
=ei и [^1е3]=—е2, в силу чего здесь для векторов а=
=(Х, Y, Z) (=Xe1+Yei+Zes) и b=(Xlt Уъ Zr) имеем:
[а 61 =
Y Z-
YJi
Z X
Z.X.
Z X
Y Z
Y&
ei +
(66)
Поучительна бросающаяся в глаза близость формул (6а)
и (66)! Ясно, что, описав в трехмерном евклидовом прост-
ранстве, в котором действуют преобразования группы яг,
сферу с центром в центре О рассматриваемых вращений,
мы сможем интерпретировать группу яг как группу сфе-
рических движений или как группу движений эллиптиче-
ской плоскости Римана. С другой стороны, обозначив через
ej и et векторы, отэвчающие (инфинитезимальным) сдви-
гам гиперболической плоскости Лобачевского в направле-
ниях (взаимно перпендикулярных) осей Ох и Оу (эти сдвиги
уже не будут коммутировать между собой!), а через е3—
вектор, отвечающий (малому) повороту плоскости Лобачев-
ского вокруг начала координат О, мы придем к следующей
системе соотношений, задающих законы коммутирования
рассматриваемых неевклидовых (гиперболических) движе-
ний: kie2J=—е3, k2^sl=6i (6^31=—е2, так что в ал-
гебре Ли Vp, отвечающей группе 5? гиперболических дви-
жений, «векторное произведение» векторов а—(Х, Y, Z)
(=Xei + Ye3 + Ze3) и Ь=(Хи У\, ZJ задается так:
[а 6] =
Y Z
Y&
Z X X Y
ZxXx ’ XtY3
Y Z I
^12ХГ1 +
42
Z X
ztxt
^8
(6в)
Глубокое сходство между формулами (6, а—в) и определяет
родство между тремя типами «плоских геометрий постоян-
ной кривизны», т. е. между евклидовой, эллиптической и
гиперболической геометриями.
Теорию групп (и алгебр) Ли, создатель этой теории,
разработал с редкой основательностью и полнотой; он по-
святил ей ряд книг и множество статей. Софус Ли представ-
ляет собой довольно редкую в истории науки фигуру аб-
солютного «однолюба» — все его колоссальное по объему
продукции творчество было посвящено разработке одной
единственной темы: теории непрерывных групп. Тщатель-
но проанализировал Ли связь между группами и алгебрами
Ли, позволившую перенести в учение об алгебрах Ли все
специфически теоретико-групповые понятия: так, подгруп-
пе & группы Ли з отвечает подалгебра v алгебры Ли V,
т. е. множество векторов из V, «замкнутое» относительно
операций сложения векторов, умножения вектора на число
(т. е. образующее подпространство векторного пространства
И) и «векторного умножения». Если подгруппа & является
инвариантной, т. е. g~1^g—3^ для всех g Qsr, то подалгебра
v является идеалом, т. е. при а£о и любом х имеем
[ах 10; если группа я является простой, т. е. она не имеет
инвариантных подгрупп, отличных от всей группы & и
«единичной подгруппы» {е}, где е — единица группы
то алгебра V также является простой, т. е. не имеет
идеалов, отличных от всей алгебры V и от «нулевого идеала»
о = (0},. и т. д. На этом пути определяются также и раз-
решимые алгебры Ли, отвечающие так называемым разре-
шимым группам Ли, родственным (дискретным) разреши-
мым группам подстановок Э. Галуа и т. д.
Непрерывные группы Софус Ли сопоставлял дифферен-
циальным уравнениям: в принадлежащем ему варианте
«теории Галуа для дифференциальных уравнений» роль
«группы Галуа» (или «группы симметрии») дифференциаль-
ного уравнения играла уже не конечная, анепрерыв-
н а я группа, по свойствам которой оказывалось возмож-
ным судить о возможности разрешить рассматриваемое
уравнение «в квадратурах» (т. е. записать решение с по-
мощью символов элементарных функций и операций ин-
тегрирования). Так разрешимыми в квадратурах являются
43
те (и только те) уравнения, которым отвечают разреши-
мые (непрерывные) группы.
Очень красивая «теория Ли дифференциальных урав-
нений» очень высоко ценилась ее автором и некогда была
весьма популярна: так, изложение этой теории служило
украшением больших университетских курсов математиче-
ского анализа. Ныне, однако, в связи с порожденными
ЭВМ новыми подходами к вопросу о решении дифферен-
циальных уравнений само значение «разрешимости уравне-
ния в квадратурах» потеряло былое значение, и теория Ли
оказалась почти забытой.
' Еще одна область учения о непрерывных группах, при-
влекшая большое внимание С. Ли, — это теория так назы-
ваемых «касательных» преобразований. Под касательным
преобразованием Ли понимал такое преобразование х, ска-
жем, плоскости, которое точку (или прямую) переводит,
вообще говоря, в (кривую) линию; линию у преобразование
х переводит в новую линию у' == х(у), причем касание
линий х сохраняет*, если ?! — касающаяся у линия и =
j=^(Yi), то линии?'итакже касаются. Касательные пре-
образования плоскости можно описать как преобразования
в множестве касательных элементов (точек
с проходящими через них прямыми): все линии, касающиеся
друг друга в точке А и имеющие в этой точке направление
(касательную) а, определяют касательный элемент Л=(Д,
а)* преобразование х переводит эти линии в также касаю-
щиеся между собой линии, задающие касательный элемент
Л'=(А',а'): при этом можно писать Л'=х(Л). Однако для
того чтобы преобразование л в множестве касательных эле-
ментов было касательным, надо, чтобы оно сохраняло так
называемое «условие примыкания» касательных элементов,
так как иначе л может перевести образующее линию мно-
жество касательных элементов Л в множество касательных
элементов Л'=л(Л), уже вовсе не образующее никакой ли-
нии.
Частным случаем касательных преобразований Ли яв-
ляются (также открытые С. Ли) круговые касательные
преобразования, переводящие каждую окружность (к чис-
лу которых здесь причисляются и «окружности нулевого
радиуса» — точки, и «окружности бесконечного радиуса»—
прямые) снова в окружность (но и точку, и прямую перево-
дящие, вообще говоря, в окружности). Эти преобразования
можно описать следующим образом. Хорошо известны
44
«обыкновенные» (или «точечные») инверсии, «инверсии Мё-
биуса», переводящие каждую точку снова в точку и окруж-
ность .(к числу которых здесь причисляются и «окружности
бесконечного радиуса», т. е. прямые) — в окружность. Со-
ображения, связанные с (проективным) «принципом двой-
ственности», привели французского математика Эдмонда
Никола Л а г е р р а (1834—1886) к концепции «двойст-
венных» или «осевых» круговых преобразований (преобразо-
ваний Лагерра), переводящих каждую (направленную) пря-
мую а снова в прямую, а точку (как и произвольную ок-
ружность) переводящих, вообще говоря, в окружность.
Эти преобразования порождаются так называемыми «осе-
выми инверсиями» (или инверсиями Лаггера), которые мож-
но описать так: инверсия с осью о и степенью k переводит
каждую прямую а в прямую а', пересекающую о в той же
точке, что и а, и такую, что tg(1/2<(a, o))-tg(V, o))—k
(это определение надо еще дополнить указанием закона пре-
образования не пересекающих о прямых). Если же мы про-
изведем последовательно несколько круговых преобразова-
ний Мёбиуса и Лагерра, то придем к (круговому) преобра-
зованию Ли, не сохраняющему уже ни, понятия точки, ни
понятия прямой. Впоследствии учение о касательных (или
контактных) преобразованиях Ли оказалось тесно связан-
ным с механикой; оно сохраняет серьезное значение и се-
годня.
В известном смысле можно сказать, что вся научная
деятельность С. Ли и Ф. Клейна была инспирирована их
первой (и довольно частной) совместной работой, выпол-
ненной еще в Берлине, до поездки в Париж — работой
о так называемых «^-кривых» (этот термин идет от Клейна
и Ли). Хорошо известно, что единственными «однородными»
линиями (плоской) евклидовой геометрии, ни одна точка
которых не отличается от другой точки той же линии, яв-
ляются прямые и окружности. Однородность этих линий
связана с существованием «группы самосовмещений» ли-
нии — совокупности движений, переводящих линию в себя
и совмещающих любую точку линии с каждой другой ее
точкой. Этими группами самосовмещений («симметрий»)
является группа параллельных переносов в направлении
прямой I иди группа поворотов вокруг центра окружности
s. Впрочем, существует еще одна плоская линия, обладаю-
щая почти столь же полной «степенью однородности» как
прямая и окружность: это логарифмическая спираль L, в по-
лярных координатах г, <р, задающаяся уравнением г=аф.
45-
Дело в том, что линия L допускает «подобные скольжения»
по себе, т. е. преобразования подобия, переводящие L в се-
бя и совмещающие любую точку L с каждой другой .ее точ-
кой. Эта преобразования в полярных координатах задаются
формулами г’—ас-г, <р'=<р+с; они переводят точку М(г, <р)
в точку М'(г', <р'), а спираль L — в себя. С. Ли и Ф. Клейн
поставили целью отыскание всех линий W плоскости, об-
ладающих полной группой «проективных скольжений по
себе» (проективных преобразований, переводящих W в се-
бя; прилагательное «полная» подчеркивает, что нашими
преобразбваниями можно совместить любую точку линии
W с каждой другой ее точкой); такие линии они и назвали
W-линиями.
Работа о ИТ-кривых оказалась важной для дальнейшего
творчества Ли потому, что в ней изучались однопараметри-
ческие подгруппы заданной (непрерывной) группы (группы
проективных преобразований), играющие столь значитель-
ную роль в общей конструкции алгебр Ли; существенным
оказалось и использование при отыскании ^-кривых по-
нятие «инфинитезимального» преобразования .Для Клейна
же эта работа характерна в первую очередь присущим ей
«теоретико-групповым подходом» (базирующимся на рас-
смотрении группы проективных преобразований) к объек-
там проективной геометрии (какими являются ТГ-кривые)
и возникающим уже в самом определении ^-кривых поня-
тием «группы проективных симметрий» линии W.
§ 5. ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА КЛЕЙНА
XIX в. явился периодом бурного развития геометриче-
ских учений — и если в начале этого столетия было повсе-
местно распространено глубокое убеждение в уникальности
евклидовой геометрии, так что выражение «геометрия» пол-
ностью отождествлялось с понятием «.евклидова геометрия»,
то во времена Клейна и Ли положение дела оказалос ь
совсем другим. К рубежу 20-х и 30-х годов этого века от-
носятся первые публикации Лобачевского и Бойяи, посвя-
щенные гиперболической геометрии; в конце 60-х годов была
опубликована замечательная речь Римана, постулирующая
равноправность трех «геометрий постоянной кривизны»: ев-
клидовой, гиперболической и эллиптической. Начиная с
«Трактата» Понселе самостоятельное значение приобрело
изучение проективной геометрии (полная независимость ко-
46
торой от геометрии Евклида была установлена Штаудтом);
от Мёбиуса можно вести изучение круговой геометрии. Ha-
tt онен, в работах Кэли и (особенно!) Клейна было сформи-
ровано представление об «общих» проективных метриках,
охватывающих как «классическую» геометрию Евклида,
так и неевклидовы геометрии Н. И. Лобачевского и Б. Ри-
мана.
Эта бурная экспансия геометрии, расширение объема
контролируемых ей территорий, доставила на повестку дня
вопрос об общем описании всех рассматриваемых математи-
ками «геометрических систем» — и никто лучше Клейна,
активно участвовавшего в расширении списка представ-
ляющих интерес «геометрий», не понимал актуальности
поставленной задачи. При этом влияние К. Жордана, при-
вившего Клейну понимание важности понятия группы и
концепции симметрии, сказалось на попытке «теоретико-
группового» подхода к самому понятию геометрии. Вот как
рассуждал Клейн.
Содержание каждой науки можно описать, указав те
объекты, которые эта наука рассматривает, и те свойства
этих объектов, которые изучаются в рамках интересующей
нас науки. При этом изучаемые той или иной наукой свой-
ства всегда представляют собой только часть весьма мно-
гообразных свойств реальных объектов. Например, инте-
ресующие физика так называемые физические свойства тел
касаются их масс, Приложенных к телам сил, скоростей
и ускорений движения, в котором участвует тело, и совсем
не касаются внутреннего строения тела, элементов, из ко-
торых тело состоит — последнее относится уже к области
химии, а не физики. Аналогично этому, скажем, нату-
ральные числа первоначально возникли как характеристи-
ки произвольных (но конечных!) наборов каких-то предме-
тов; однако математика интересует лишь одно свойство
подобных наборов — число входящих в набор предметов.
На пути отказа от изучения всех других свойств и возникла
арифметика, игнорирующая все данные о совокупностях
объектов, не связанные с числом индивидуальных объек-
тов, входящих в данную совокупность.
Последний пример очень удобен тем, что он позволяет
понять характер условий, выделяющих ту или иную сово-
купность свойств, представляющих интерес с точки зрения
определенной научной дисциплины. Для того чтобы понять,
какие именно свойства нас интересуют, достаточно указать,
какие свойства не представляют для нас интереса,
47
нами отбрасываются. В случае с натуральными числами
такими свойствами явились все те, которые не состоят в ука-
зании числа предметов в рассматриваемой совокупности
или не связаны с характером этого числа: поэтому, скажем,
возможность разбиения совокупности предметов на две рав-
ные по численности части интересует математика, а возмож-
ность разбиения ее на две равные по массе части его ни-
сколько не касается. Другими словами, любые совокуп-
ности предметов, содержащие одно и то же число предме-
тов— например, совокупность 11 футболистов в команде,
11 машин на автостоянке, 11 гусей на лугу и 11 отметок
в зачетной книжке студента, — с нашей точки зрения сле-
дует считать одинаковыми (неразличимыми или «равны-
ми»); все интересующие нас свойства одной совокупности
присущи также и любой другой. При этом одинаковыми
или равными эти совокупности являются только с рассмат-
риваемой здесь точки зрения. Во всех других отношениях
они отличаются друг от дру га весьма значительно (скажем,
футбольный болельщик даже два разных «набора» из 11
футболистов никак не сочтет одинаковыми), что, впрочем,
совсем не касается математика, рассматривающего каждую
совокупность предметов лишь с чисто арифметической ее
стороны.
Теперь нам уже нетрудно ответить и на вопрос о содер-
жании геометрической науки. Для того чтобы (евклидову
или «школьную») геометрию охарактеризовать, необходимо
указать объект исследования и совокупность подлежащих
изучению свойств. Объектом исследования здесь являются
всевозможные фигуры или тела-, вместо термина (плоская
или пространственная) фигура можно также говорить про
множества точек плоскости или пространства. Что же ка-
сается рассматриваемых в геометрии свойств фигур, то эти
свойства полностью задаются указанием того, какие фи-
гуры мы считаем одинаковыми, обладающими одними и
теми же свойствами, равными. В «школьной» геометрии,
как известно, равными (или конгруэнтными) называются
две фигуры, которые можно совместить с помощью движе-
ния — геометрического преобразования плоскости или про-
странства, сохраняющего расстояния между точками. Та-
ким образом, можно сказать, что геометрия изучает те
(и только те) свойства фигуры F, которые наряду с F при-
сущи всем равным F фигурам, или — и Эта последняя фор-
мулировка будет нам особенно полезной,— что геометрия
изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях.
48
Клейн, однако, заметил, что на самом деле подавляющая
часть задач и теорем, рассматриваемых в элементарной
(евклидовой) геометрии, такова, что в них не различаются
между собой не только конгруэнтные, но даже и подоб-
ные фигуры. Две фигуры F и F' называются подобными
(с коэффициентом подобия k), если они отличаются только
своими размерами: форма фигуры F' не отличается от фор-
мы фигуры F, однако, все размеры F' в k раз больше
(а при k < 1 — меньше) соответствующих размеров фи-
гуры F (между точками фигур F и F' можно установить
такое взаимно однозначное соответствие л, что если А
и В — точки F, а А' (— л (Д)) и В' (= л (В)) — отвечаю-
щие им точки F’, то А'В’ — АВ). Равносильная этому фор-
мулировка гласит: F' подобна F <s> F' = л (F), где л —
преобразование подобия, F' получается из F преобразова-
нием подобия л, т. е. таким преобразованием плоскости
или пространства, которое изменяет все расстояния в по-
стоянном отношении k (называемом коэффициен-
том подобия) или которое сохраняет отношения
длин отрезков (отношения расстояний).
Основная роль преобразований подобия в геометрии
связана с тем, что размеры фигур, определяемые сравне-
нием расстояний между точками фигуры с выбранной
единицей длины, скажем, метром, сантиметром или дюй-
мом, не могут учитываться в геометрических теоремах.
В самом деле, выбор единицы длины неизбежно апеллирует
к не относящимся к математике соображениям, а тем самым
выходит за пределы геометрии и понятие длины отрезка,
числа, указывающего сколько раз укладывается в отрезке
единица длины Напротив, величина угла (измеренного
в градусной мере, в радианной мере или, скажем, в долях
прямого угла) полностью относится к геометрии; также
и отношение отрезков имеет в геометрии «объективный»
смысл (т. е. не связано с выбором единицы длины) и потому
вполне может фигурировать в геометрических теоремах.
Ясно, что преобразования подобия, меняющие длины от-
резков, но сохраняющие как отношения длин, так и вели-
чины углов, не могут изменить никаких «геометрических»
свойств фигур, и что одинаковыми или «равными» для гео-
метра являются подобные фигуры, имеющие одну и ту же
форму, но, быть может, разные размеры; именно из этой
неразличимости подобных фигур исходит учитель, когда
°н предлагает учащимся «точно» воспроизвести в тетрадях
нарисованный им на доске чертеж, который без пропор-
49
ционального уменьшения никак не уместился бы на тет-
радном листе. Однако в отдельных случаях мы в геомет-
рии имеем дело с задачами и теоремами, в которых масштаб
длин считается заранее заданным — так обстоит дело,
например, в теоремах о величинах площадей, поскольку
само понятие площади предполагает заданную единицу
измерения площадей (ясно, что если мы не будем разли-
чать между собой подобные фигуры, то понятие площади
потеряет смысл), или в задачах на построение, где заранее
считаются заданными отрезки, с длинами которых при-*
ходится согласовывать нами фигуры, которые мы строим
(и где поэтому из двух подобных, но не равных фигур толь-
ко одна может явиться решением заданной задачи). Это
обстоятельство подчеркивается тем, что школьный курс
геометрии обычно начинают с признаков равенства тре-
угольников, которые не имели бы смысла, если бы мы не
различали между собой подобные фигуры.
Таким образом, в некоторых задачах и теоремах геомет-
рии нам приходится исходить из соглашения о том, что
«геометрическими» называются свойства фигур, сохраняю-
щиеся при движениях; в большинстве же случаев оказы-
вается естественным считать, что предметом геометрии яв-
ляется изучение свойств фигур, сохраняющихся при пре-
образованиях подобия. Другими словами можно сказать,
что в школе мы изучаем не один предмет «геометрию»,
а (довольно затейливое) соединение двух разнородных
научных дисциплин, изучающих свойства фигур, сохраняю-
щиеся при преобразованиях подобия, и свойства фигур,
сохраняющиеся при движениях (назвать их можно было
бы, скажем, «геометрией подобий» и «геометрией движе-
ний»). Это обстоятельство лежит в основе общей концеп-
ции Клейна, который предложил фиксировать какую-
нибудь совокупность з преобразований и принять
изучение сохраняющихся при преобразованиях из & свойств
геометрических фигур за определенную «ветвь» геометрии,
так сказать, «подчиненную» совокупности преобразований
При таком общем определении геометрии мы вынуж-
дены будем считать «одинаковыми» или «равными» любые
две фигуры, переводимые одна в другую преобразованием
из совокупности Однако для того чтобы это понятие
«равенства» фигур было осмысленным, необходимо, чтобы
для него выполнялись следующие три условия, которые
справедливы для всех без исключения типов «равенства»,
с которыми мы встречаемся в математике, в других на-
60
уках, в обыденной жизни (равенства чисел, алгебраиче-
ских* выражений, расстояний, углов, векторов, геометри-
ческих фигур; равенства сил, скоростей, напряжений
электрического или магнитного поля, потенциалов, тепло-
проводностей, валентностей, калорийностей; равенства спо-
собностей, успеваемости, храбрости, художественных или
иных достоинств, успехов, ловкости или хитрости и т. п.)
и которые, собственно, определяют саму возможность упо-
требления слова «равенства»:
1°. Каждая фигура F «равна» сама себе (рефлексивность);
2°. Если фигура F «равна» фигуре Fi, то и обратно,
«равна» F (симметричность);
3°. Если фигура F «равна» Ft, a Flt в свою очередь,
«равна» F2, то и F «равна» Fz (транзитивность).
Ясно, что в случае совершенно произвольной совокуп-
ности з преобразований определенное с помощью з «ра-
венство», вообще говоря, не будет обладать свойствами
1°—3°. Для того чтобы обеспечить выполнение этих свойств,
естественно потребовать, чтобы:
1°.а Совокупность з содержала «тождественное» или
«единичное» преобразование 8, переводящее каждую фи-
гуру F саму в себя;
2°.а Наряду с каждым преобразованием <р, переводя-
щим фигуру F в фигуру Ft, совокупность з содержала
и «обратное» <р преобразование <р-1, переводящее Fx в F;
3°.а Наряду с каждыми двумя преобразованиями <р и ф,
переводящими фигуру F в фигуру Ft, соответственно Fi
в F,, совокупность з содержала и их «произведение» ф<р
(сначала <р, затем ф), переводящее F сразу в F.,.
Но условия 1°.а—3°.а, очевидно, суть не что иное, как
требования, определяющие группу преобразований;
за «групповую операцию» в совокупности преобразований
принимается «умножение» или последовательное выполне-
ние преобразований). Таким образом, мы приходим к при-
надлежащему Ф. Клейну следующему общему определе-
нию геометрии, которое впоследствии (мы расскажем об
этом ниже) получило название «Эрлангенской программы»
Клейна: геометрия — это наука, изучающая свойства фи-
гур, сохраняющиеся при преобразованиях тех или иных
групп преобразований (или, как еще говорят, изучающая
Инварианты групп преобразований-, латинское сло-
во invarians означает «неизменный»).
Возникновение в этом определении понятия группы
можно пояснить еще и так. Выделение изучаемых какой-
51
либо наукой свойств определенных объектов сводится к
отождествлению или «склеиванию» всех объектов, у кото-
рых совпадают все рассматриваемые нами свойства; эти
объекты составляют один «класс эквивалентных (неразли-
чимых) объектов», который, собственно, и составляет
предмет рассмотрения данной науки. Так, в арифметике
число 4 можно понимать как то общее, что есть у всевозмож-
ных наборов из четырех (произвольных!) предметов или
просто как совокупность всех наборов из четырех
предметов, а то, что в (элементарной) геометрии называют
треугольником — это, собственно, класс всех конгруэнт-
ных треугольников (ибо при любом другом понимании
термина «треугольник», теряет смысл, скажем, обычное
утверждение: по двум заданным отрезкам а и b и углу ср
можно построить единственный треугольник
АВС. где ВС — а, АС = Ь, <АСВ == ср) Но хорошо из-
вестно, что разбиение любого множестваЖ>= {а, р, у, ...}
объектов на (какие-угодно!) «классы эквивалентности»
равносильно заданию действующего на ж* отношения
эквивалентности обладающего свойствами 1°а—3°а
рефлексивности, симметричности и транзитивности: а ~ а
для всех а а~|3=>|3~а;а~|3 и|3~у=>а~у —
здесь отношение а ~ £ означает, что объекты аир при-
надлежат одному классу. В арифметике, как мы, собствен-
но, уже указывали, связывающее конечные множества
.Ж и ^отношение ~:оно означает возможность установле-
ния между и взаимно однозначного соответствия*,
в геометрии же отношение F ~ G имеет смысл соответствия
(р: F-+G или G = ср (F), где ср принадлежит к заданной
совокупности & преобразований. При этом для того, чтобы
введенное, таким образом, отношение ~ между фигурами
явилось отношением эквивалентности, надо, чтобы сово-
купность & преобразований была группой.
Таким образом, по Клейну, геометрия задается «об-
ластью действия» А (плоскость, пространство и т. д.)
и «группой автоморфизмов» (или группой симметрий)
X области А; изменение группы X существенно меняет
рассматриваемую геометрическую схему, т. е. приводит
нас к новой «геометрии». Так, например, евклидова плани-
метрия определяется заданием на плоскости л группы
® движений (или группы преобразований подобия);
так называемая аффинная геометрия плоскости задается
выбором в качестве «основной группы» преобразований
плоскости л так называемой группы аффинных преобра-
52
зований М порождаемой всевозможными «параллельными
проектированиями п на себя» (т. е. на ту же плоскость л,
которую мы мыслим как-то по-новому расположенной в
пространстве). Плоская проективная геометрия задается
группой 5s проективных преобразований (проективной!)
плоскости л, порожденных всевозможными центральными
(и параллельными) проектированиями л на себя; неевкли-
дова геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия)
может быть задана совокупностью L проективных пре-
образований плоскости л, переводящими в себя изобра-
женную на рис. 3 окружность К. (точнее, переводящими
в себя внутренность L окружности К — круг L можно
принять за «область действия» геометрии Лобачевского);
эллиптическая геометрия Римана, согласно схеме Кэли —
Клейна, задается другой подгруппой группы проективных
преобразований и т. д. Таким образом, основное различие,
скажем, евклидовой и гиперболической геометрии Клейн
видит вовсе не в возможности проведения через данную
точку А одной или нескольких прямых, не пересекающих
указанную прямую а — второстепенное и довольно мало-
существенное различие! — а лишь в разном строении
групп симметрии евклидовой и гиперболической плоско-
стей.
§ 6. ЖИЗНЕННЫЙ ПУТЬ
Выше мы подробно остановились на случайной (но сы-
гравшей важную роль в жизни обоих) встрече Ли и Клей-
на в Берлине и на их поездке в Париж, продолжим жизне-
описание этих двух выдающихся ученых. О Софусе Ли
нам осталось сказать совсем немного — его биография
была небогата внешними событиями. Выполненные на
рубеже 60-х и 70-х годов прошлого века исследования
(в частности, результаты, полученные им в тюрьме города
Фонтенбло) принесли Ли широкую известность (о которой
больше всего позаботился Ф. Клейн, высоко ценивший
Ли и обладавший большими связями в математическом
мире); поэтому совершенно естественным было приглаше-
ние Ли на профессорскую кафедру единственного в Норве-
гии университета в г. Христиании (будущем Осло). В Нор-
вегии Ли работал 14 лет. Университет в Осло привлекал
его близостью к столь любимым фиордам и туристскими воз-
можностями; однако в научном отношении это была в тот
53
период глубокая провинция, и Ли страдал от отсутствия
полноценного научного общения и от недостатка сильных
учеников, которые могли бы далее развивать его идеи
и решать поставленные им задачи (а на недостаток идей
и задач Ли не жаловался никогда). Поэтому он охотно при-
нял предложение Клейна заменить последнего на кафедре
геометрии Лейпцигского университета — кроме более вы-
сокого уровня преподавания и лучших, чем в Осло, сту-
дентов Лейпциг привлек еще Ли возможностью непосред-
ственного наблюдения за печатанием своих книг (все
книги Ли, о которых мы еще скажем ниже, были опубли-
кованы известным лейпцигским «математическим издатель-
ством» Б. Г. Тейбнер).
В Лейпциге Ли работал 12 лет; в научном отношении
эти годы были весьма продуктивны, но полного удовлет-
ворения они не принесли. Рослый и физически очень силь-
ный, отличавшийся редкой искренностью и прямотой,
общительный и приветливый со всеми, кто бы к нему ни
обратился, Ли производил вовсе не соответствующее его
внутреннему облику впечатление — на самом деле это
была весьма тонкая и легко ранимая натура. Он всегда
остро нуждался в друзьях, которые поддерживали бы его,
а этого был почти лишен в последние лейпцигские годы,
когда лучшие его ученики (из числа которых надо в пер-
вую очередь отметить Вильгельма Кил линга (1847—
1923), Фридриха Энгеля (1861—1941) и Георга Шеф-
ф е р с а (1866—1945), которые, «оперившись», покинули
своего учителя и разлетелись по многим германским уни-
верситетам. В Норвегии источником новых сил для Ли
всегда являлась столь любимая им природа; в Германии
же он в значительной мере чувствовал себя чужим. Воз-
можно также, что охватившая его в конце пребывания
в Лейпциге депрессия была связана и просто с переутом-
лением — о редкой производительности Ли-математика мы
еще скажем. В 1898 г. Ли расстался с Лейпцигом и вернул-
ся в родной университет Осло, где он сам некогда учился,
но, увы, не надолго. Он еще успел порадоваться северному
морю и норвежской речи на улицах города, но жить и ра-
ботать ему оставалось совсем мало: С. Ли умер в Осло
в 1899 г.
Бедная событиями жизнь Софуса Ли была до конца
заполнена напряженным творческим трудом. Все, сделан-
ное этим выдающимся математиком, группируется, как
уже говорилось, вокруг одной темы — теории непрерыв-
54
пых групп, преобразозаний,— но с какой страстностью
л каким трудолюбием разрабатывал Ли эту открытую им
«математическую жилу»1 Теории непрерывных групп Ли
посвятил множество статей и ряд книг. При этом боль-
шинство статей Ли (и все его книги) очень велики по объ-
ему: Ли любил неторопливое, литературно обработанное,
тщательное в деталях и сопрождаемое достаточным числом
примеров изложение. Хотя, на наш сегодняшний взгляд,
книги и статьи Ли могут показаться в чем-то архаичными
и не всегда выдерживающими тот «стандарт строгости»,
который достигается в тех же вопросах современными ма-
тематиками. При этом несмотря на то, что иногда построе-
ния Ли и кажутся довольно запутанными, в целом спорт-
смен в жизни Ли относился к науке совсем «не по-спорт-
сменски»: он терпеть не мог «преодоления трудностей
ради трудностей», справедливо считая, что «естественная»
математическая теория должна быть достаточно прозрач-
ной и что осложнения в математике чаще всего возникают
не от существа дела, а лишь от непродуманности основных
определений.
Издание полного собрания математических сочинений
Ли было начато в 1920 г.; общую редакцию осуществляли
один из ближайших учеников Ли Ф. Энгель и крупнейший
норвежский математик тех лет Пауль Хегор, а за поли-
графическую часть отвечали издательство Б. Г. Тейбнера
в Лейпциге и одно из крупных норвежских «математиче-
ских книгоиздательств» в Христиании (Осло). Это изда-
ние растянулось более чем на 15 лет; оно состоит из 15 (!)
толстых книг и насчитывает много тысяч страниц. При
этом в «Собрание сочинений», естественно, не были вклю-
чены книги Ли: трехтомная «Теория непрерывных групп»,
составленная в сотрудничестве с уже упоминавшимся
Ф. Энгелем (около 2000 страниц) и три обширные
книги более специального содержания, в которых соавто-
ром Ли выступал другой его ученик Г. Шеффере
(«Лекции о непрерывных группах с геометрическими и
другими приложениями»; «Лекции о дифференциальных
уравнениях с известными инфинитезимальными преобра-
зованиями»; «Теория касательных преобразований»). Впро-
чем, необычайная близость стиля и даже языка всех шести
книг указывает на то, что основным их автором являлся
сам Софус Ли.
Можно сказать, что Ли был одним из последних великих
математиков XX в.; в его научном облике было что-то
55
от К. Ф. Гаусса или от Б. Римана (хотя человечески Гаусс,
Риман и Ли представляют собой совсем разные индиви-
дуальности) Уже одна связанная с семейными традициями
глубокая религиозность Ли (роднящая его с Риманом, но
совершенно чуждая, скажем, Феликсу Клейну) полностью
противоречит нашему представлению о «типичном ученом
XX века». Как и его великие предшественники, Ли мало
нуждался в коллективе: он ценил, конечно, учеников, но ни-
чего от них не брал, а только давал, предоставляя встре-
ченным им на жизненном пути молодым математикам раз-
рабатывать принадлежащие ему идеи.
XIX в. создал легенду об «одиноком творце» — ком-
позиторе или философе, математике или писателе, создаю-
щем нетленные ценности вдали от людей, силой собствен-
ного духа Конечно, и в XIX в. уже не было таких «вели-
ких затворников», и, скажем, Гаусс или Бальзак были
достаточно зависимы от времени и от среды, но сам образ
заточенного в «башне из слоновой кости» мыслителя не
случайно оказался дорог людям XIX в. Напротив, Клейн
ничем не напоминал этот привычный для XIX в. образ.
Мы уже указали, что сразу после франко-прусской
войны Клейн поселился в Гёттингене, куда его привлекла
в первую очередь дружба с А. Клебшем и В. Вебером;
однако оставался он тут недолго. В 1872 г. оказалось
вакантным место профессора вновь организованной ка-
федры математики университета г. Эрланген, и влиятель-
ный А. Клебш, который Клейна высоко ценил, рекомен-
довал его на это место.
В то время для занятия профессорской кафедры в Гер-
мании требовалось прочесть перед Ученым Советом уни-
верситета открытую лекцию на выбранную самим канди-
датом тему: на основании обсуждения этой лекции и вы-
носилось решение о приглашении на должность. 23-летний
Клейн выбрал для вступительной лекции тему «Сравнитель-
ное обозрение новейших геометрических исследований»,
подобно тому как шестнадцатью годами раньше в сходной
обстановке Б. Риман выбрал для своей лекции тему «О ги-
потезах, лежащих в основании геометрии». Таким образом,
обе основные «общие» концепции геометрии, обобщающие
к«к «традиционную» геометрию Евклида, так и «неевкли-
дову» геометрию Лобачевского, впервые были изложены
в сходных обстоятельствах. Лекция Клейна, основную
мысль которой мы постарались воспроизвести в § 5, за яс-
ность позиций автора и открываемые ей широкие гори-
56
зонты дальнейшего прогресса геометрии почти сразу по
лучила в научном мире почетное название Эрланген
с к о й программы*, она очень способствовала росту
авторитета ее автора. Трамплином для Эрлангенской про-
граммы, и в то же время непосредственным приложением
ее идей явились все предшествующие «конкретно-геомет-
рические» работы Ф. Клейна и С. Ли, начиная от статьи
о й7-кривых и вплоть до принадлежащего Клейну широ-
кого взгляда на «неевклидовы геометрии». (О которых пос-
ле статьи «О так называемой неевклидовой геометрии»
оказалось возможным говорить в множественном числе.)
В настоящее время все работы этого направления всегда
рассматриваются с позиций Эрлангенской программы.
Соответствующая струя геометрических исследований была
некогда очень популярна; она весьма подробно освещалась
в университетских учебниках геометрии (в первую оче-
редь — в немецких).
Эрлангенские годы Клейна (1872—1875) были чрез-
вычайно продуктивны в научном отношении; этому он был
обязан последовавшему в 1875 г* почетному приглашению
в пользующуюся в Германии отличной репутацией «Выс-
шую техническую школу» в Мюнхене, где он проработал
еще 5 лет. В 1880 г. Клейн переходит на кафедру геомет-
Рис. 4
рии Лейпцигского университета, а в 1886 г. отдает эту
кафедру С. Ли и переселяется в Гёттинген, который уже
не покидает до конца жизни.
Максимум научной активности Клейна падает на мюн-
хенские и первые лейпцигские годы; работы его относятся
к геометрии, механике и теории функций комплексного
переменного (теория автоморфных функций). Особо напря-
женными были 1880—1882 гг., когда Клейн разрабатывал
57
(геометрическую) теорию автоморфных функций, следуя
тенденции «сочетания Галуа с Риманом», как он сам ее
позже охарактеризовал, т. е. стремясь насытить геометриче-
ские подходы Римана идущими от Галуа теоретико-груп-
повыми соображениями. При этом существенную роль
в исследованиях Клейна играли «картинки» типа рис. 4, а
или 4, б и (дискретные!) группы преобразований (дробно-
линейных подстановок комплексного переменного), свя-
занных с такого рода «картинками» (переводящих в себя
рис. 4, а или, скажем, рис. 4, б). Эти группы оказались
тесно связанными с правильными многогранниками и с за-
дачей решения в радикалах алгебраических уравнений
(этому кругу вопросов была посвящена одна из первых
написанных Клейном книг). Однако Клейн не заметил,
что рассматриваемые им группы можно понимать как
(дискретные) подгруппы группы движений плоскости Ло-
бачевского L, роль которой играет ограниченный К (или /)
круг (полуплоскость); при этом «движениями» L мы объ-
являем круговые преобразования Мёбиуса, переводящие
L в себя; «прямыми» — перпендикулярные К (или /) ок-
ружности (и прямые); «углами» — обычные углы и т. д.
Сегодня просмотр модели глубоко владевшего неевкли-
довой геометрией моделей Клейна может показаться уди-
вительным, тем более что между моделями Клейна и Пуан-
каре (плоской) неевклидовой геометрии Лобачевского
существует довольно простая связь; однако первоначально
обнаружить связь между столь, казалось бы, далекими
темами, как теория автоморфных функций комплексного
переменного и неевклидова геометрия, было весьма не
просто.
В разгаре своей работы Клейн обнаружил напечатан-
ный во французских журналах цикл статей на ту же
примерно тему, принадлежащий молодому и ранее мало
ему известному французскому математику Анри Пуанкаре
(1854—1912); дальнейшая деятельность Клейна развива-
лась в условиях острого соперничества с замечательным
французским ученым, параллельно разрабатывавшим тот
же круг вопросов. Впоследствии А. Пуанкаре вырос в од-
ного из крупнейших математиков конца XIX — начала
XX в., внесшего значительный — часто решающий —
вклад в создание ряда новых разделов математики (напри-
мер, топологии} и в развитие старых ее разделов, однако
в те годы он был еще мало известен, и чуткость, с которой
отнесся Клейн к своему молодому коллеге (которому он
58
прежде всего сообщил в письмах абсолютно все, известное
ему об интересовавшей обоих ученых предмете), может
вызвать только восхищение. Научные интересы Пуанкаре
отличались большой широтой, захватывая, наряду с мате-
матикой, физику (где он должен считаться наряду с
А. Эйнштейном одним из создателей специальной теории
относительности), механику и астрономию. Благодаря
выдающемуся литературному таланту, Пуанкаре своими
статьями и учебниками оказал большое влияние даже
на те области науки, в которых у него не было особо вы-
дающихся личных достижений, например на теорию ве-
роятностей; эти же таланты обеспечили ему не только
членство во Французской академии наук (так называемый
Институт — L'Institut, но и (крайне редкий случай!)
одновременное членство по разряду литературы в знаме-
нитой Французской академии (L’Academie Frangaise),
называемой также «Академией бессмертных», поскольку
число ее членов, равное 40, никогда не меняется — новые
члены академии выбираются лишь на место умерших.
Стойкому пацифисту А. Пуанкаре принадлежит широко
известное во всем мире в годы, предшествующие первой
мировой войне, прозвище его двоюродного брата Раймона
(ставшего впоследствии президентом Франции) «Пуанка-
ре — война»: политических взглядов своего кузена Анри
Пуанкаре никогда не разделял.
Пуанкаре впервые заметил связь круговых преобразо-
ваний плоскости с неевклидовой геометрией Лобачевского;
по его имени «модель» гиперболической геометрии в круге
или на полуплоскости %, «движениями» которой служат
круговые преобразования, переводящие 26 в себя, назы-
вается сегодня моделью Пуанкаре геометрии Лоба-
чевского. Установление связи между геометрией Лобачев-
ского и автоморфными функциями произвело на Пуанкаре
сильнейшее впечатление, оно дало ему в руки «геометри-
ческий ключ» ко всей теории, чем он, разумеется, и вос-
пользовался. Это обстоятельство уже доставило Пуанкаре
некоторое преимущество над Клейном; кроме того, могла
сказываться и разница возрастов: ведь Пуанкаре был на
5 лет моложе Клейна, а математика — это дело молодых.
Во всяком случае напряженная работа, связанная со сло-
жившимися условиями ожесточенной научной конкурен-
ции, совершенно ненормальными для спокойного научного
творчества, окончилась для Клейна тяжелым заболева-
нием от переутомления. Это заболевание позволило Пуан-
59
каре торжествовать победу (хотя некоторые из крупней-
ших современных математиков склонны считать» что боль-
шие достижения в этом соревновании были получены Клей-
ном, а не Пуанкаре) и, к сожалению, сказалось на актив-
ности Клейна во все последующие годы, которая в чисто
научном смысле никогда не достигла уровня начала
80-х годов.
Впрочем, чрезвычайно деятельный по натуре Клейн
не был рожден для отдыха, и сокращение творческой актив-
ности он немедленно компенсировал поистине колоссаль-
ной педагогической, литературной, организационной и
административной работой. В 1872 г. неожиданно умирает
от дифтерита 39-летний Клебш — и Клейн сразу же «при-
бирает к рукам» основанный и руководимый Клебшем
журнал Mathematische Annalen, фактическим (а с 1876 г.—
и формальным) редактором которого он становится и ко-
торый под руководством Клейна вскоре приобретает ре-
путацию первого математического журнала мира. С 1882 г.
начинают выходить книги Клейна («Лекции о римановой
теории алгебраических функций и их интегралов», 1882 г.;
«Лекции об икосаэдре и решении уравнений 5-й степени»,
1888; четыре тома совместных с Р. Фрикке книг «Тео-
рия эллиптических модулярных функций» и «Теория авто-
морфных функций», 1890—1912; четыре тома совместной
с А. Зоммерфельдом «Теории волчка», 1898—1910 и др.).
Наряду с этим все годы его работы в Гёттингене регулярно
выходили ротапринтные варианты его лекционных курсов,
многие из которых впоследствии — зачастую, уже после
смерти автора — публиковались типографским способом
и переводились на многие языки. С 1898 г. Клейн руково-
дил грандиозной работой по изданию полного собрания
сочинений К. Ф. Гаусса (это обширное издание было за-
вершено только в 1918 г.); он возглавил также работу
над созданием колоссальной «Энциклопедии математиче-
ских наук», которая по замыслу создателей должна была
охватить весь массив полученных до начала XX в. в об-
ласти чистой и прикладной математики результатов и ме-
тодов; сегодня эта энциклопедия занимает много полок
во всех крупнейших библиотеках мира но она никогда
не была доведена до конца (ибо постепенно стало ясно,
что с течением времени количество «все еще» не включен-
ного в нее материала не убывает, а, напротив, возрастает!)
и — увы! — в настоящее время уже безнадежно устарела.
При этом он ни на год не прекращал и устного преподава-
60
ния, привлекавшего, в частности и из-за выдающихся лек-
торских талантов Клейна, в Гёттинген талантливых студен-
тов из всех стран мира.
Особого внимания, как нам кажется, заслуживает по-
пытка создания всеобъемлющей «Энциклопедии математи-
ческих наук», к работе над которой Клейн привлек круп-
нейших ученых своего времени и которая должна была
дать читателям свод всего достигнутого в математике;
независимо от неудачи этой попытки она представляется
весьма поучительной. Клейн лучше кого бы то ни было
понимал, что столь радующее многих бурное накопление
знаний представляет для математики реальную угрозу:
оно приводило к чрезмерной специализации, к полному за-
бвению смежных разделов науки, ибо даже охватить все,
достигнутое в той узкой области, в которой специализи-
ровался тот или иной ученый, становилось очень и очень
трудно. Такое положение сделало также естественным ти-
пичный для XX в. переход от индивидуального к коллек-
тивному творчеству. Хорошо известно, что выдающиеся
достижения в области физики сегодня, как правило, труд-
но приписать определенному лицу: трансурановые эле-
менты обнаруживают в наши дни «Беркли», «Церн» или
«Дубна», а не индивидуальные исследователи, как Г. Си-
борг или Г. Н. Флеров. Также и выдающиеся произведе-
ния искусства, наиболее характерные для нашего време-
ни,— будь то кино- или телепостановки, архитектурные
ансамбли или джазовые мелодии,— создаются большими
коллективами, в которых лишь условно (да и то не всегда!)
можно выделить «главное» личо. Именно на эту столь
характерную для XX в. тенденцию и откликнулся Клейн
своей «Энциклопедией», которая должна была с единой
точки зрения и с учетом всего многообразия существующих
связей представить читателю всю математику; попытка
Клейна оказалась мало удачной, но она сыграла огромную
роль, скажем, в гораздо более продуманном эксперименте
группы «Никола Бурбаки» (сравните с рассказом Жана
Дьедонне о возникновении замысла «Элементов математи-
ки» Бурбаки: Ж-Дьедонне. Дело Никола Бурбаки. Сбор-
ник «Очерки о математике». М., «Знание», 1973).
С этих же позиций, столь характерных для XX в.,
подходил Клейн и к деятельности Гёттингенского универ-
ситета! В течение многих лет и даже десятилетий он делал
все возможное для создания в маленьком Гёттингене все-
мирного физико-математического центра: он стремился
61
объединить здесь многих выдающихся ученых, совместный
труд и взаимные консультации которых создавали идеаль-
ные условия для научного творчества. Наибольшую роль
сыграло привлечение Клейном в Гёттинген нескольких
крупнейших кенигсбергских математиков и физиков, из их
числа прежде всего надо упомянуть Давида Гильбер-
т а (1862—1943), которого ныне многие считают крупней-
шим математиком XX в. А вслед за Гильбертом
перешел в Гёттинген и его друг Герберт Минков-
ский (1864—1909).
Начиная с конца 90-х годов прошлого века и вплоть
до разгрома фашистами этого выдающегося научного цен-
тра Гёттинген прочно связывался в сознании всех мате-
матиков мира с именами Феликса Клейна и Давида Гиль-
берта! Большой удачей явилось также последовавшее по
инициативе Клейна приглашение в Гёттинген из Франкфур-
та одного из крупнейших физиков-теоретиков Макса Борна
(1882—1970), впоследствии лауреата Нобелевской премии
и руководителя гёттингенской школы теоретической физи-
ки, из которой вышли такие видные ученые, как один из
создателей квантовой механики лауреат Нобелевской пре-
мии Вернер Гейзенберг (1901—1976) или американский
физик Роберт Оппенгеймер (1904—1967), позже возглавив-
ший работу по созданию атомной бомбы.
Для того чтобы охарактеризовать стиль Клейна, до-
статочно остановиться на одном типичном для него эпи-
зоде. В 1904 г. на Международном математическом кон-
грессе в Гейдельберге (Германия) Клейн услышал произ-
ведший на него большое впечатление доклад по гидро-
динамике ранее мало известного немецкого инженера
Людвига Прандтля (1875—1953). Не долго разду-
мывая, Клейн немедленно приглашает Прандтля в Гёт-
тинген, поручая 29-летиему ученому руководство спе-
циально для него созданным Институтом прикладной
математики — из этого института впоследствии выросла
всемирно известная гёттингенская школа механики!
Наконец, следует остановиться на еще одной стороне
деятельности Клейна, в которой он также явился пред-
шественником многих характерных для наших дней сторон
математической жизни. Мы уже говорили об отвращении,
которое внушала Клейну классическая прусская гимназия,
какую он некогда окончил. Раньше и глубже всех других
ученых понял Клейн необходимость коренной реформы
всей системы школьного математического образования.
62
р борьбе за такую реформу Клейну удалось объединить
многих крупных математиков и педагогов; в 1898 г. он ор-
ганизовал «Международную комиссию по преподаванию
математики», которой руководил несколько лет; под не-
посредственным руководством Клейна прошел ряд первых
международных Конгрессов по преподаванию математики.
На пропаганду своих педагогических взглядов Клейн
затрачивал массу времени и сил; при этом основные уста-
новки Клейна и возглавляемой им комиссии — стремление
к наглядности, повышение внимания к функциональной
точке зрения в алгебре и в анализе и к использованию гео-
метрических преобразований в преподавании геометрии,
призыв к разрушению «китайских стен» между отдельными
математическими предметами и к учету в курсах мате-
матики запросов смежных дисциплин, тяга к приближению
математического образования к современному состоянию
науки — сыграли огромную роль во всем дальнейшем
прогрессе в этой области.
Клейн достиг в науке весьма высоких административ-
ных степеней: в 1913 г. он был избран членом-корреспон-
дентом Германской Академии наук в Берлине; он был
«тайным советником»,— звание которого удостаивались
лишь немногие из немецких ученых, и представителем
Гёттингенского университета в «палате господ» — верхней
палате прусского парламента. Политические взгляды Клей-
на отличались «умеренной консервативностью». Впрочем,
в одном отношении он был очень далек от начавшего на-
ступление еще при жизни Клейна германского мракобе-
сия — шовинистом и расистом он никогда не был. (Так
что последовавший почти сразу после прихода к власти
фашистов разгром Гёттингенского университета, из кото-
рого часть профессоров была изгнана, а другие ушли сами»
вполне можно связать с жизненностью в этом универ-
ситете традиций Ф. Клейна.) Когда в начале первой миро-
вой войны группа видных немецких ученых во главе с из-
вестным физиком Вильгельмом Освальдом (1853—1932)
выпустила отвратительный манифест, весь проникнутый
антифранцузскими и антианглийскими настроениями, член
«палаты господ» Феликс Клейн подписать этот манифест
отказался. И в своих замечательных «Лекциях о развитии
математики в XIX столетии» (ч. I, М.—Л., ОНТИ, 1937)
Клейн с удовлетворением констатирует большой вклад,
который внесли в немецкую математику ученые француз-
ского (как Поль Лежен Дирихле) или еврейского (как
63
постоянный соперник и антипод Гаусса Карл Якоби)
происхождения, а в связи с упоминавшимся уже «Тракта-
том о подстановках» К. Жордана указывает, что написана
эта выдающаяся книга довольно скучно — «скорей в немец-
кой, чем во французской манере».
Полное собрание сочинений Ф. Клейна в трех томах
было выпущено его учениками в 1918—1924 гг.; оно долж-
но было ознаменовать 70-летний юбилей «господина тай-
ного советника», как указывается в открывающем 1-й том
обращении, а завершено было в год его 75 летия. В связи
с выходом этих томов и 75-летием в научных журналах
были напечатаны многочисленные посвященные Клейну
статьи, которые почти сразу же были продолжены статьями
уже не юбилейного, а некрологического содержания —
22 июля 1925 г. Феликса Клейна не стало.
Исаак Моисеевич ЯГЛОМ
ФЕЛИКС КЛЕЙН И СОФУС ЛИ
Гл. отраслевой редактор В. П. Демьянов. Редактор
В. И. Ковалев. Мл. редактор Т. И. Полякова.
Обложка Л. П. Ромасенкова. Худож. редактор
М. А. Бабичева. Техн, редактор Л. А. К и р я к о в а.
Корректор А. А. П у з а к о в а.
T-17023 Индекс заказа 74311. Сдано в набор 23/VIII 1977 г.
Подписано к печати 19/Х 1977 г. Формат бумаги 84ХЮ8’/з2.
Бумага типографская № 3. Бум. л. 1. Печ. л. 2. Усл. печ. л. 3,36.
Уч.-изд. л. 3,55 Тираж 43500 экз. Издательство «Знание».
101835, Москва, Центр, проезд Серова, д. 4. Заказ 2087
Цена 11 коп.
Чеховский полиграфический комбинат Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области
64
11 коп.
Индекс 700