/
Автор: Рейхенбах Г.
Теги: физика философия математическая физика теплофизика издательство нью йорк
Год: 1958
Текст
the philosophy of f\ f\ Д f\ p" Philosophy of Space
and Time
SPACE
&
II Л
■ If Jl
IW^I By Hans Reichenbach
HANS REICHENBACH
Translated by Maria Reichenbach and
John Freund: wUh introductory remarks by Rudolf Carnap
New York
1958
Для научных библиотек
Г.Рейхенбах
ФИЛОСОФИЯ ПРОСТРАНСТВА
И ВРЕМЕНИ
Перевод с английского
доктора философских наук
Ю. Б. МОЛЧАНОВА
Общая редакция
академика А. А. ЛОГУНОВА
Послесловие
академика А. А. ЛОГУНОВА
и доктора философских наук
И. А. АКЧУРИНА
Москва
«Прогресс»
1985
ББК 22.313
Р 35
Рейхенбах Г.
Р 35 Философия пространства и времени: Пер. с англ./
Общ. ред. А. А. Логунова; Послесл. А. А. Логунова
и И. А. Акчурина. —М.: Прогресс, 1986 — 344 с.
Книга известного логика и философа Г. Рейхенбаха посвящена
рассмотрению оснований геометрии, теории времени и теории
относительности Эйнштейна. В ней анализируются такие важные методологические
проблемы современной науки и философии, как отношение между
теорией и наблюдениями, между топологическими и метрическими
свойствами пространства и времени, психологическая проблема возможности
наглядного представления неевклидовых структур. Книга является одним
из самых обстоятельных исследований философских проблем,
поставленных неевклидовыми геометриями и их применением в теории
относительности.
_ 0302000000—744 4л off nnvooot*
Р 006(01)-85 ' 10-85 БВК 22-818
Редакция литературы по философии и лингвистике
© Перевод на русский язык, послесловие, «Прогресс», 1985
От издательства
Автор предлагаемой вниманию читателя книги «Философия
пространства и времени» Г. Рейхенбах (1881—1953) —
немецкий философ и логик, один из виднейших западных ученых
первой половины XX века, разрабатывавших методологические
проблемы развития научного знания и философские проблемы
естествознания. Ему принадлежат исследования в области
гносеологической природы геометрии, логической структуры теории
относительности, причинности, статистических и динамических
закономерностей, теории познания, логического анализа
высказываний, выражающих законы науки, и др.
Ранее на русский язык была переведена книга Г. Рейхенба-
ха «Направление времени» (М., 1962). Настоящая работа по*
священа рассмотрению философских, методологических проблем,
которые были поставлены в связи с созданием и осмыслением
специальной и общей теории относительности. К числу такого
рода проблем относятся, несомненно, и вопросы пространства и
времени как узловых концептуальных категорий физической
науки, лежащих в основании любой теории.
Публикуемая книга была издана на немецком языке в 1928 г.
В 1958 г. увидел свет английский перевод, частично
просмотренный автором и подготовленный к печати его женой при
активном участии его единомышленников. Русский перевод
осуществлен с английского издания. Несмотря на то что успехи в
5
разработке философских проблем современной физики
несомненны, вопросы, поставленные Г. Рейхенбахом, и логический
подход к их решению не потеряли своего интереса и в
настоящее время. Тем более что пути развития современной физики
требуют углубленного философского анализа пространственно-
временных представлений и несомненно связаны с очень
серьезными изменениями всего методологического и
теоретико-познавательного статуса категорий пространства и времени.
Издательство надеется, что публикация в русском переводе
книги Г. Рейхенбаха даст возможность критически оценить
результаты исследований западной мысли и будет
способствовать дальнейшей марксистской разработке рассматриваемых
проблем.
Анализ философских воззрений Г. Рейхенбаха и его труда
читатели найдут в послесловии, написанном академиком
А. А. Логуновым и доктором философских наук И. А. Ак-
чуриным.
Предисловие
к английскому
изданию
С древнейших времен вопрос о природе геометрии был
одной из основных проблем для любой теории познания.
Принципы геометрии, например аксиомы Евклида, обладают двумя
характеристиками, которые, видимо, не так-то легко согласо-*
вать. С одной стороны, они представляются непосредственно
очевидными и поэтому имеющими силу необходимости. С
другой стороны, их справедливость является не чисто логической,
но фактуальной; в специфической кантовской терминологии их
следует отнести к числу не аналитических, а синтетических
суждений. Это подтверждается тем фактом, что на основе
определенных измерений углов и длин физических тел могут быть
предсказаны результаты других измерений. Кант решительно
настаивал на связи обеих характеристик: исходя из очевидной
справедливости принципов геометрии, он пришел к выводу, что
знание о них есть знание априорное (независимое от опыта),
хотя эти принципы и являются синтетическими. Когда около
ста лет назад математиками были созданы системы
неевклидовых геометрий, возникла дискуссия о методах, позволяющих
определить, какая из систем — евклидова или одна из
бесконечного множества неевклидовых — имеет силу для
физического пространства. Гаусс был первым, кто высказал мысль о том,
что такое определение должно быть осуществлено с помощью
физических измерений. Однако подавляющее большинство
философов вплоть до последнего столетия придерживались
кантовской доктрины независимости геометрии от опыта.
7
В начале XX века Пуанкаре указал на следующий новый
аспект сложившейся ситуации. Не столь важно, какие факты
наблюдения имеют место. Физик волен приписывать физическому
пространству любую из возможных геометрических структур
при условии, что он внесет соответствующие поправки в законы
механики и оптики, а также в правила измерения длины.
Высказав эту важную мысль, Пуанкаре, однако, продолжал
утверждать, что физики всегда будут делать выбор в пользу
евклидовой структуры по причине ее простоты. История уже
через несколько лет опровергла его утверждение: Эйнштейн
использовал одну из неевклидовых геометрий в своей общей
теории относительности, достигнув тем самым существенного
выигрыша в простоте для общей системы физики за счет
усложнения системы геометрии.
В ходе развития общей теории относительности
определилось новое понимание природы геометрии, возникла
необходимость различения чистой, или математической, геометрии и
физической геометрии. Утверждения чистой геометрии имеют силу
в логическом плане, но они оперируют лишь абстрактными
структурами и ничего не говорят о физическом пространстве.
Физическая геометрия описывает структуру физического
пространства, она есть часть физики. Справедливость ее
утверждений должна быть установлена эмпирическим путем — как это
имеет место в любой другой части физики — после
формулирования правил измерения вводятся соответствующие величины,
например длина. (В кантовской терминологии математическая
геометрия априорна, но, как утверждал Кант, только потому,
что она является аналитической. Физическая же геометрия
является синтетической, но она основывается на опыте и,
следовательно, не имеет силы априори. Однако ни один из разделов
науки, называемой геометрией, не основан на априорных
синтетических суждениях, и поэтому от доктрины Канта следует
отказаться.)
В физической геометрии существуют два способа
формулирования теории физического пространства. Согласно первому,
физик может произвольно выбирать правила измерения длины.
После того как выбор сделан, вопрос о геометрической
структуре физического пространства становится эмпирическим; ответ
на него следует искать на основе результатов опыта. Согласно
второму, физик может произвольно выбирать структуру
физического пространства, но при этом он должен внести уточнение в
правила измерения, учитывая факты наблюдения. (Хотя
Пуанкаре выделял второй способ, он принимал во внимание и
первый. Это, видимо, упустили из виду те философы, в том числе
и Рейхенбах, которые рассматривали взгляды Пуанкаре на
геометрию как неэмпиристские и чисто конвенционалистские.)
Отмеченная точка зрения на природу физической геометрии,
с одной стороны, подчеркивает ее эмпирический характер, а с
8
другой — признает важную роль соглашений. Такие взгляды
развивали в 20-х годах нашего столетия те философы, которые
изучали логические и методологические проблемы, связанные с
теорией относительности, в том числе Шлик, Рейхенбах и автор
этих строк. Первое исчерпывающее и систематическое
представление об этой концепции было дано Рейхенбахом в 1928 году в
его работе «Философия пространства и времени», ставшей
важной вехой в развитии эмпиристской концепции геометрии. По
моему мнению, она все еще остается лучшей книгой в этой
области. Поэтому следует всячески приветствовать выход в свет
ее английского перевода: он удовлетворяет определенным
требованиям, значительно возросшим со времени публикации
немецкого оригинала.
Эта книга имеет своим предметом проблемы оснований
геометрии, а также теории времени, тесно связанной с теорией
пространства в концепции Эйнштейна, во всех их
разнообразных аспектах. Таковы, например, отношения между теорией и
наблюдениями, связанными координативными дефинициями,
отношения между топологическими и метрическими свойствами
пространства, а также психологическая проблема наглядности
неевклидовых структур.
Из множества плодотворных идей Рейхенбаха,
способствовавших развитию физической теории пространства и времени, я
упомяну только одну, представляющую, на мой взгляд,
большой интерес для методологии физики, но не пользующуюся до
сих пор должным вниманием. Это принцип элиминации
универсальных сил. Рейхенбах называл универсальными те
физические силы, которые действуют на все субстанции одинаковым
образом и от которых нельзя изолироваться с помощью каких-
либо стен или экранов. Пусть Г представляет собой
определенную форму теории Эйнштейна, использующую предложенную
им частную структуру пространства. В Т нет никаких
универсальных сил. Согласно вышеизложенному, Т может быть
преобразована в другую форму — Т'> которая физически
эквивалентна Т в смысле получения одних и тех же наблюдаемых
результатов, но которая использует иную геометрическую
структуру. Рейхенбах доказывает, что любая такая теория V должна
•предполагать сокращение или растяжение наших
измерительных стержней в зависимости от одного только их положения в
пространстве и, следовательно, должна вводить универсальные
силы, ответственные за эти изменения. В качестве общего
методологического принципа он предлагает принять положение о
том, что среди эквивалентных форм физической теории мы
выбираем такую ее форму (или, иными словами, такое
определение «жесткого тела» или «измерительного стандарта»), которая
исключает действие всех этих универсальных сил. Приняв этот
принцип, мы избегнем произвольного выбора измерительной
процедуры и получим единственно возможный ответ на вопрос
9
О геометрической структуре физического пространства, а
именно что она должна определяться путем физических измерений.
Еще более, чем разработка конкретных деталей,
примечателен тот дух, в котором написана эта книга. Постоянное
внимание к научно установленным фактам и к содержанию
научных гипотез, которые предстоит анализировать и логически
реконструировать, точная формулировка философских выводов,
а также ясное и убедительное изложение подтверждающих их
аргументов делают эту работу образцом научного мышления в
философии.
Калифорнийский Рудольф Карнап
университет
Лос-Анджелес
Июль 1956 г.
Английский перевод этой книги был частично просмотрен
моим покойным мужем. В подготовке рукописи к публикации
большая помощь была оказана мне проф. Рудольфом Карна-
пом, д-ром Весли К. Сэмоном и д-ром Брюсом Тейлором.
Особую благодарность я выражаю миссис Рут Анне Матерс,
много недель терпеливо работавшей со мной над
окончательным вариантом перевода.
Лос-Анджелес Мария Рейхенбах
Июль 1956 г.
Введение
Сравнение методов современной философии с методами
создателей великих философских систем XVII и XVIII столетий
делает очевидным основополагающее различие их подходов к
естественным наукам. Философы XVII—XVIII веков
поддерживали тесную связь с естествознанием своего времени, а
некоторые из них, такие, как Декарт и Лейбниц, были ведущими
математиками и физиками. Позднее между философией и
естественными науками возникло отчуждение, что привело к
непродуктивной напряженности отношений между двумя группами наук.
Философы, профессиональное обучение которых строится
обычно на историко-филологической основе, обвиняют
ученых-естествоиспытателей в чрезмерной специализации и обращаются к
метафизическим проблемам. Естествоиспытатели же со своей
стороны допускают ошибки в философской трактовке
эпистемологических проблем, которые хотя и решены такими
философами, как Лейбниц или Кант, в рамках науки того времени,
требуют нового анализа в рамках современного естествознания.
Такое отчуждение ведет к взаимному неуважению, неверному
пониманию целей исследования друг друга.
Исторические корни этого разделения можно проследить с
начала прошлого столетия. Для Канта познание в том виде,
как оно реализуется в математической физике, все еще былб
отправной точкой эпистемологии. Хотя такая основа
обусловливает определенную односторонность его системы, она объясняет
12
также четкость его эпистемологической позиции,
способствующую большому влиянию его философии. Однако вызывает
удивление, сколь мало опирался Кант при разработке своей системы
на частные научные результаты и сколь мал
естественнонаучный материал, использованный им в его главных трудах по
эпистемологии. Он рассматривал научную концепцию познания
скорее как нечто целое, порожденное его системой из того
опыта, который возникает в результате анализа чистого разума.
Именно такой была концепция познания в математической
физике его времени. О том, насколько хорошо он выполнил
поставленную перед собой задачу, свидетельствует тот живой
интерес, который проявили к его концепции познания
представители естественных наук. Независимо от того, были ли они ее
противниками или сторонниками, им казалось естественным
разъяснить свои позиции по отношению к точке зрения Канта,
и они постепенно стали отождествлять доктрину Канта с
философией как таковой. Однако решение Кантом
эпистемологической проблемы было в тоже время последним, где наука
играла какую-то роль. Более поздние философские системы
окончательно утратили связь с наукой своего времени; и хотя
некоторые из них, такие, скажем, как натурфилософские системы
Шеллинга и Гегеля, трактовали научный материал в более
широком плане, нежели Кант, их философия природы была
скорее наивной оценкой достижений науки, чем подлинным
пониманием духа научного исследования. Именно с этого времени
происходит разрыв естественных наук и философии.
Спекулятивные и рационалистически-аналитические компоненты кантов-
ской системы были сохранены, близость же с естественными
науками утрачена. Философ чувствовал свое родство с
представителями гуманитарных наук, и если его вообще
интересовали естественные науки, то он полагал, что проблема познания
природы уже решена со времен Канта и что дальнейшее
развитие естествознания состоит только в расширении кантовской
программы. Подобная концепция даже в ее более гибкой форме
у неокантианской школы не могла предотвратить конфликта с
действительным развитием естествознания. Между тем
естественные науки шли своим путем. Конечно, нельзя упрекать
Канта за то, что он не смог предвидеть такого развития, но нельзя
также ожидать и того, что современный
ученый-естествоиспытатель признает философию Канта в качестве основы своей
эпистемологии. Ни в философии Канта, ни в господствующих
школах философии он не найдет той эпистемологии, которая
позволит ему понять его научную деятельность. Философия все
еще относится к гигантскому комплексу естествознания как к
чему-то чуждому, не заслуживающему ее внимания.
В течение последнего столетия естествоиспытатели сами
разрабатывали эпистемологические основания одновременно с
содержанием своих научных теорий. Конечно, лишь немногие
13
выдающиеся ученые осознавали при этом философский
характер своей методологии. Большинство результатов было
получено неосознанно, без какого-либо намерения найти именно
философские решения с целью удовлетворения специально-научных
интересов, что, однако, вело к постановке философских
вопросов. Таким образом, как это ни странно, за последнее столетие
точная теория познания была создана не философами, а
представителями естественных наук. В ходе частных научных
исследований было выдвинуто больше эпистемологических
принципов и положений, чем в ходе философских спекуляций.
Проблемы, решенные таким образом, были подлинно
эпистемологическими проблемами. И если спекулятивно ориентированная
философия нашего времени отрицает философский характер
современного естествознания, если она называет
нефилософскими достижения таких теорий, как теория относительности и
теория множеств, относя их к области специальных наук, то это
свидетельствует лишь о ее неспособности понять философское
содержание современного научного мышления. Современная
математическая физика с ее тонкими математическими и
экспериментальными методами трактует те же самые проблемы,
которые составляли основу эпистемологии Декарта, Лейбница и
Канта. Но для того чтобы понять, сколь мощный инструмент
создан сегодня для анализа философских вопросов и осознать
возможности его философского применения, необходимо
адекватное проникновение в сущность методов научного
исследования.
Однако постепенно ситуация стала слишком сложной и для
ученого-естествоиспытателя. Он оказался более не в состоянии
разрабатывать собственно философские проблемы по той
простой причине, что один и тот же человек не может
одновременно проводить естественнонаучные и философские исследования.
Разделение труда становится неизбежным, поскольку как
эмпирические, так и эпистемологические исследования требуют
такого количества детальных разработок, которое превышает
возможности одного ученого. К тому же философские и
естественнонаучные задачи, совпадающие в общих чертах,
противоречат друг другу в рамках мыслительной деятельности
отдельного ученого. Философский анализ смысла и значения научных
утверждений может стать чуть ли не помехой процессу научного
исследования, парализовать инициативу ученого, лишить его
способности с безоглядной смелостью идти новыми путями.
Стиль современной науки постепенно обрел стремительность
техники, вызванную конкуренцией; можно было бы и сожалеть
об этой негуманитарной тенденции, но она, видимо, относится
к необходимым формам современной производительной
деятельности. Мы можем противодействовать этой тенденции не путем
отказа от применения технических средств, а только
посредством философского анализа самого процесса познания, путем
14
раскрытия смысла и значения этого машинизированного
познания. Такое познание рассматривается иногда как чистая
технология, но его система в целом обнаруживает более глубокое
содержание, которое может быть постигнуто только благодаря
совместному труду организованного коллектива ученых.
Создание такой философии познания природы должно быть
поэтому прерогативой особой группы ученых, которые, с одной
стороны, хорошо владеют математичекой техникой, а с
другой — не подчинены этой технике до такой степени, что за
деталями теряют философскую перспективу. Ибо точно так же, как
философское созерцание может стать препятствием на пути
ученого-исследователя, так и узкоспециализированное научное
исследование может стать помехой философской интерпретации
достижений науки. Упрек со стороны философов в адрес
естествоиспытателей в непонимании философских проблем не
менее справедлив, чем высказываемое другой стороной обвинение
в непонимании проблем научных. Однако из этого не следует,
что философию необходимо развивать в спекулятивном духе, в
отрыве от точных наук. Напротив, к естественным наукам
нужно подходить с философской точки зрения и попытаться создать
с помощью их отточенных инструментов философию такого
технически оснащенного познания.
С этих позиций автором был осуществлен ряд исследований
в различных разделах математической физики. Исходя из
сложившегося членения этой фундаментальной науки, он принял
решение опубликовать часть их, связанную с проблемами
пространства и времени, в качестве самостоятельной работы.
Результаты дальнейших исследований также будут обобщены.
Теорией пространства и времени был накоплен
исчерпывающий материал, относящийся, с одной стороны, к сфере
математического анализа геометрии, а с другой — к эйнштейновской
теории относительности. Эта теория служит ярким примером
плодотворности физических подходов для философской
экспликации. Поскольку философия пространства и времени является
сегодня философией теории относительности, эта
двойственность, вероятно, полнее всего характеризует и метод научного
анализа, который служит основой такой философиии.
Следует, очевидно, сказать также несколько слов о том
материале, которым мы будем оперировать. Одна только ссылка
на физико-математические публикации по данной
проблематике была бы недостаточной, поскольку все эти книги нацелены
главным образом на физико-математическую интерпретацию и
пренебрегают философскими основаниями. Вместе с тем вряд
ли возможно приступать к философской оценке этого
материала, не имея постоянно в виду четкого представления о его
содержании. Современная философия природы должна
развиваться в столь же тесной связи с реальными естественными и
математическими науками, как и философия культуры с ее
16
историческим материалом. И если мы признаем за философией
культуры право цитировать в ходе изложения оригинальные
исторические тексты, содержание которых не поддается переводу
или описанию с исчерпывающей полнотой, то не следует
удивляться, что мы в своих философских исследованиях природы
будем обращаться к математическому языку оригнала, на
котором написана «книга природы», поскольку математический
язык еще менее может быть передан путем описания или
перевода. Так как значительная часть математической работы была
выполнена автором в его книге «Axiomatik der relativistischen
Raum-Zeit-Lehre» \ мы сочли возможным опустить здесь
подробные математические вычисления. Философская
интерпретация теории пространства и времени предполагает знание этой
более ранней работы, и к ней я буду вынужден отсылать
читателя за строгими доказательствами многих утверждений,
которые он найдет в книге. Однако изредка встречающиеся в тексте
математические формулы позволят лучше осветить
эпистемологические основания.
Пути нашего философского исследования пролегают,
следовательно, через естественные науки. Однако обилие
математического и физического материала служит на этом пути не
препятствием, а, скорее, неисчерпаемым источником дальнейших
философских размышлений. Мы надеемся именно таким
образом продемонстрировать преимущества философского метода,
тесно связанного с результатами эмпирических наук. Все
обстоятельные математические труды, написанные выдающимися
учеными, находятся в распоряжении философии и
систематически обобщаются с ее точки зрения. Формулировки, которые
сами по себе в силу своей обобщенности ничего не означали,
приобретают почти универсальное значение, если они
опираются на подробный анализ частных примеров и становятся их
обобщением. Таким образом, современная научная эпистемология
находит подтверждение тем выводам, которые в прежние
времена свелись бы к пустым спекуляциям, фантазиям, не
имеющим эмпирического основания. Для этой намечающейся
научной тенденции в философии характерно именно сочетание
детальной разработки проблемы с ее всеохватывающим
пониманием; и те, кто обвиняет ее в узости или бесплодности,
показывают только, что они путают строгость метода с
ограниченностью цели.
Эта книга — результат осознания того, что решения
возможны. Автор намеревается исчерпывающим образом
представить в ней все богатство достижений философии, составляющее
1 См.: Reichenbach Н. Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre.
Braunschweig, Verlag Friedrich Vieweg und Sohn A. G., 1924 (в последующих
ссылках эта работа будет обозначена как [А]). Английский перевод см.:
Reichenbach Н. Axiomattzation of the Theory of Relativity. Berkeley,
University of California Press, 1969,
16
уже общее достояние точных наук, обращение к которому стало
своего рода традицией. Вместе с тем автор пытается указать
новые пути исследования: он видит их в тщательном,
детальном анализе математической физики. Поэтому если в ходе
изложения, носящего обобщающий характер, идеи не всегда
отсылаются к их авторам, то это должно быть понятно тем, кто
работает в данной области и знает, сколь часто сегодня
отдельные идеи как бы «носятся в воздухе», прежде чем они находят
свою окончательную формулировку в качестве результата
коллективной работы. Аккумуляция единого фонда знания есть
характерная черта этой новой философской ориентации,
которая обязана своим происхождением эмпирическим наукам и
даже в методологическом отношении противостоит
изолированным системам спекулятивной философии и черпает из этого
источника свое преимущество. Философия науки — это не одна из
тех систем, которые возникают в сознании мыслителя-одиночки
и возвышаются, подобно мраморным монументам, перед
созерцающими их поколениями. Она — наука среди других наук,
некий фонд совместно разработанных положений, признание
которых вне жестких рамок системы в целом может быть
необходимым для любого, кто заинтересован в исследовании своего
предмета. Конечно, смысл понятий может варьировать в
зависимости от контекста, в котором они используются, однако этот
вид неопределенности можно преодолеть, придавая языку
большую точность, что отнюдь не ведет к отказу от
объективного философского знания. Если результат деятельности
философии систем состоял в разрушении понятия философской истины
и замене ее понятием согласованности с данной системой, то
важнейшей целью научной философии можно считать
установление понятия объективной истины в качестве высшего
критерия философского познания.
Глава I ПрОСТраНСТВО
§ 1. Аксиома о параллельных
и неевклидова геометрия
В работе Евклида достижения античных ученых в области
геометрии получили свой окончательный вид. Геометрия была
сформулирована как замкнутая и завершенная система. Базис
ее был задан геометрическими аксиомами \ из которых были
выведены все теоремы. Великое практическое значение этой
конструкции состоит в том, что она обеспечила геометрии
такую достоверность, которой не достигала до этого ни одна
наука. Небольшое число аксиом, образующих основание системы,
были столь самоочевидными, что их истинность принималась
без оговорок. Система геометрии в целом была построена
путем искусного логического комбинирования этих аксиом без
каких-либо дополнительных предпосылок. Надежность
логических выводов, используемых в ходе доказательства, была столь
велика, что выводимые теоремы можно было считать в такой
же степени достоверными, как и аксиомы. Геометрия стала,
таким образом, примером доказательной науки, образцом
научной строгости, которая с тех пор была признана идеалом
каждой науки. Так доказательство more geometrico (по геометриче-
1 Евклид различал аксиомы, постулаты и определения Цели настоящего
исследования позволяют нам обозначить все эти понятия как аксиомы.
13
скому методу) считалось философами всех веков высшим
достижением науки.
Система евклидовой аксиоматики была важна также и в
другом отношении. Проблема доказательности науки решалась
Евклидом путем сведения ее к некоторой системе аксиом.
Однако далее возникает эпистемологический вопрос, как убедиться
в истинности самих этих первых положений. Если
достоверность аксиом переносилась посредством логических связей на
производные от них теоремы, то в таком случае проблема
истинности таких производных построений вновь переводилась на
аксиомы. Проблема научного познания с принятием
неопровержимости связи между аксиомами и теоремами сводилась к
утверждению истинности аксиом. Иными словами, был осознан
импликативный характер математической доказательности, то
есть тот бесспорный факт, что только импликация типа «если а,
то Ь» доступна логическому доказательству. Проблема
категорического утверждения «а истинно», «Ь истинно» вне связи с
союзом «если», требует независимого решения. В самом деле,
истинность аксиом — проблема, внутренне присущая каждой
науке.
Таким образом, аксиоматический метод оказался не в
состоянии обосновать познание с абсолютной достоверностью; он
смог только свести проблему познания к четко
сформулированному тезису и сделать его предметом философского
обсуждения.
Однако этот эффект аксиоматики нашел свое проявление
значительно позднее времени ее создания Евклидом. От той
наивной эпохи, когда философия еще не опиралась на
достаточно развитые специальные науки, нельзя было ожидать точных
эпистемологических формулировок. Мыслители того времени
имели дело скорее с более грубыми, более общими вещами, а
не с проблемой истинности таких простых и очевидных
положений, как геометрические аксиомы. Если вы не были скептиком,
то должны были удовлетвориться тем фактом, что
определенные предпосылки следует принимать как аксиомы.
Аналитическая философия лишь благодаря критической философии
Канта научилась видеть подлинные проблемы в тех вопросах,
которые скептики использовали для отрицания возможности
познания. Эти вопросы стали центральными проблемами
эпистемологии. В течение же двух тысячелетий до этого критика
аксиоматических построений ограничивалась рамками системы
математического знания, развитие которого привело, однако, к
ряду специфических открытий и в конечном счете к
философской постановке проблемы.
В рамках математики речь шла о редуцируемости
аксиоматической системы, то есть о том, являются ли аксиомы Евклида
окончательными положениями или их можно свести к еще
более простым и очевидным утверждениям. Поскольку отдельные
10
аксиомы были различны по характеру своей самоочевидности,
возник вопрос, нельзя ли некоторые из более сложных аксиом
рассматривать как следствия более простых, то есть нельзя ли
их включить в состав теорем. В частности, была исследована
доказуемость аксиомы о параллельных. Эта аксиома
утверждает, что через данную точку можно провести одну, и только
одну прямую, параллельную прямой, не проходящей через
данную точку, то есть прямую, которая лежит в той же самой
плоскости, что и первая прямая, и не пересекает ее. На первый
взгляд эта аксиома представляется очевидной. Однако тот
факт, что она содержит утверждение относительно
бесконечности, оставляет ощущение некоторой неудовлетворенности.
Утверждение, что две линии не пересекаются за пределами
конечного расстояния, превышает весь возможный опыт. Доказуемость
этой аксиомы подтвердила бы высочайшую степень
достоверности геометрии. История математики говорит нам, что многие
блестящие ученые от Прокла до Гаусса тщетно пытались
решить эту проблему.
Новая постановка вопроса стала возможной после открытия
того, что можно обойтись вообще без аксиомы о параллельных.
Доказательство истинности этой аксиомы было заменено
доказательством ее необязательности. Хотя существование
нескольких прямых, параллельных данной и проходящих через одну
точку, противоречит человеческой способности к наглядному
представлению, это предположение может быть введено в
качестве аксиомы, и на его основе в сочетании с другими аксиомами
Евклида может быть развита непротиворечивая система
геометрии. Это открытие было сделано почти одновременно в 20-х
годах прошлого столетия венгром Больяи и русским
Лобачевским. По-видимому, Гаусс пришел к этой идее несколько
раньше, но не опубликовал ее.
Но как мы можем представить себе геометрию, которая
предполагает противоположную евклидовой формулировку
аксиомы о параллельных? Для того чтобы понять возможность
неевклидовой геометрии, следует вспомнить, что
аксиоматические конструкции обеспечивают доказательства утверждений
только с помощью логических выводов из аксиом.
Схематическое изображение той или иной фигуры есть только средство,
способствующее созданию мысленного представления, но оно
никогда не служило в качестве доказательства. Мы знаем, что
доказательство возможно и с помощью плохо начерченных
фигур, в которых так называемые конгруэнтные треугольники
имеют стороны, явно различные по длине. Принять
доказательство позволяет нам не непосредственная наглядность фигуры,
а связь логических отношений. Это соображение имеет силу и
для неевклидовой геометрии. Хотя чертеж выглядит подобно
«плохо начерченной» фигуре, мы можем с его помощью
обнаружить, удовлетворяются ли логические требования, точно так же
20
как мы это можем сделать в евклидовой геометрии. Именно
поэтому неевклидова геометрия развивалась как некое
аксиоматическое построение, в противоположность евклидовой
геометрии, где сначала были известны теоремы, а аксиоматическое
обоснование было разработано позднее. В неевклидовой
геометрии аксиоматическое построение явилось одновременно
инструментом ее открытия.
Эти соображения, которые имели в виду сделать более
убедительной возможность неевклидовой геометрии, подводят нас
к проблеме наглядности геометрии. Поскольку этот вопрос в
дальнейшем будет рассматриваться более подробно, замечание
относительно «плохо начерченной» фигуры следует считать
лишь беглым комментарием. Мы намеревались только
подчеркнуть тот факт, что сущность геометрического доказательства
состоит в логике выводов, а не в пропорциях фигур. Неевклидова
геометрия есть система, которая может быть построена
логическим путем,— таков первый и наиболее важный результат,
полученный ее создателями.
Правда, строгое доказательство все еще отсутствовало.
И хотя не было обнаружено никаких противоречий, но означало
ли это, что они не встретятся в будущем? Этот вопрос
составляет фундаментальную проблему любой аксиоматически
построенной логической системы. Само собой разумелось, что
утверждения неевклидовой геометрии будут находиться в прямом
противоречии с утверждениями евклидовой геометрии. Например,
не следует удивляться, если сумма углов треугольника в ней
окажется меньше суммы двух прямых. Это противоречие
непосредственно следует из новой формулировки аксиомы о
параллельных. Однако при этом остается в силе требование, чтобы
новая система геометрии была внутренне непротиворечивой.
Следует считаться с возможностью того, что утверждение а,
доказанное в рамках неевклидовой аксиоматической системы,
окажется в дальнейшем опровергнутым, то есть будет
обнаружено, что утверждение не-а столь же доказуемо в рамках
данной аксиоматической системы. Поэтому перед первыми
приверженцами неевклидовой геометрии стояла задача доказать, что
такое противоречие никогда не возникнет.
В определенном смысле это доказательство было выполнено
в клейновской модели неевклидовой геометрии 1. Клейну
удалось установить связь между такими понятиями евклидовой
геометрии, как понятие точки, прямой линии и плоскости,
понятие конгруэнтности и т. д. и понятиями неевклидовой геометрии,
так что каждое утверждение одной геометрии соответствовало
некоторому утверждению другой. Если бы в неевклидовой
геометрии могла быть доказана справедливость некоторого
утверждения а, а также противоположного ему утверждения
Подробнее об этом см. в § 11.
21
не-а, то же самое имело бы место для соответствующих
утверждений а' и не-а' евклидовой геометрии. Любое противоречие в
неевклидовой геометрии будет иметь следствием
соответствующее противоречие в евклидовой геометрии. Тем самым впервые
в истории математики было дано доказательство
непротиворечивости. Оно состоит в сведении новой системы высказываний
к некоторой более ранней системе, непротиворечивость которой
можно считать доказанной К
После этих исследований Клейна математическое значение
неевклидовой геометрии получило всеобщее признание2. По
сравнению с естественной геометрией Евклида геометрия Больяи
и Лобачевского представлялась непривычной и
искусственной, однако ее внутренняя стройность и ее математическое
равноправие не вызывали сомнений. Позднее оказалось, что
возможен еще один вид неевклидовой геометрии. Аксиома о
параллельных в евклидовой геометрии утверждает, что по
отношению к данной прямой через точку, находящуюся вне ее,
можно провести только одну параллельную прямую. Кроме схемы,
предложенной Больяи и Лобачевским, которая отрицала эту
аксиому, предполагая существование нескольких параллельных,
имелась еще третья возможность, которая состояла в
отрицании возможности каких-либо параллельных. Однако для того,
чтобы непротиворечивым образом доказать справедливость
этого предложения3, требовалось внести определенные
изменения в ряд других аксиом Евклида, ссылающихся на
бесконечность прямой линии. С помощью таких изменений стало
возможным создание неевклидовой геометрии нового типа.
Результатом этих исследований было появление вместо
одной геометрии множества геометрий. Это математическое
открытие привело к новому решению эпистемологической
проблемы аксиом. Если математик не связан использованием опреде-
1 Позднее Гильберт доказал непротиворечивость евклидовой геометрии
путем сведения ее к арифметике Непротиворечивость же арифметики, которая
уже не может быть доказана путем редукции, нуждается в самостоятельном
доказательстве. Эта наиболее важная проблема, которая получила детальную
разработку в трудах Гильберта и его школы, до сих пор остается
дискуссионной.
2 Клейн не начинал свое исследование с четко сформулированного
намерения обосновать доказательство непротиворечивости: это доказательство
явилось, так сказать, побочным результатом построения модели, отвечающей
чисто математическим интересам. Л. Бибербах писал, что осознание
математиками значения неевклидовой геометрии было итогом долгих лет борьбы (см.:
Berl. Akademieber., phys.-math. Klasse, 1925, S. 381). Более раннюю историю
аксиомы о параллельных см.: В о п о 1 a R., L I е b m a n п К. О. G. Nichteukli-
dishe Geometric Leipzig, 1921; En gel F., StSckel P. Theorie der Pa-
rallellinien von Euklid bis Gauss. Leipzig, 1895.
3 Аксиома о параллельных не зависит от других аксиом Евклида лишь
постольку, поскольку она утверждает существование только одной
параллельной. То, что должна существовать по крайней мере одна параллельная,
может быть доказано с помощью других аксиом. Этот факт с достаточной
точностью формулируется в работе Евклида.
22
ленной системы аксиом и может применять аксиому не-а точно
так же, как и аксиому а, тогда утверждение а не относится к
математике, а математика есть не что иное, как наука об
импликациях, то есть об отношениях типа «если..., то...».
Следовательно, для геометрии как математической науки не существует
проблемы истинности ее аксиом. Эта представляющаяся
неразрешимой проблема оказывается псевдопроблемой. Аксиомы не
являются ни истинными, ни ложными, а лишь произвольными
утверждениями. Вскоре было обнаружено, что и другие
аксиомы могут трактоваться в том же духе, что и аксиома о
параллельных. Были созданы неархимедова, непаскалева и другие
виды геометрий. Более подробное их изложение дается в § 14.
Эти соображения ставят нас перед проблемой, в рамки
какой научной дисциплины следует включить вопрос об
истинности утверждения а? Никто не может отрицать, что мы
рассматриваем это утверждение как имеющее смысл. Здравый рассудок
убежден, что реальное пространство, пространство, в котором
мы живем и передвигаемся, соответствует аксиомам Евклида,
что по отношению к этому пространству а является истинным,
тогда как не-а ложным. Дискуссия на эти темы уводит далеко
за пределы математики, так как вопрос о свойствах
физического мира есть вопрос физический, а не математический. Это
различие, констатированное в результате открытия неевклидовой
геометрии, имеет фундаментальное значение. Проблема
пространства разделяется на две части: наряду с проблемой
математического пространства было признано существование
проблемы физического пространства.
Нетрудно понять, что философское осмысление двойственной
природы пространства стало возможным только после того, как
математики перешли от евклидовой геометрии к геометриям
неевклидовым. До тех пор физика принимала аксиомы
геометрии в качестве бесспорной основы описания природы. Когда
различные виды геометрий стали рассматриваться как
математически эквивалентные, возник вопрос, какая из этих
геометрий может быть использована для описания физической
реальности, ибо перестало считаться само собой разумеющимся, что
для этой цели применима только евклидова геометрия.
Математика предлагает физике ряд возможных форм отношений, среди
которых физика посредством наблюдений и эксперимента
выбирает одну реальную. Математика предлагает, например, схему
движения планет при условии, что сила притяжения Солнца
будет уменьшаться пропорционально второй, или третьей, или
п-еой степени их расстояния от Солнца; физика же решает, что
в реальном мире справедливо предположение о таком ее
уменьшении, которое будет пропорционально квадрату расстояния.
Что же касается геометрии, то здесь существовал только один
ее вид и не было проблемы выбора между различными
геометриями. После открытия неевклидовых геометрий была осозна-
23
на двойственность физического и возможного пространства.
Математика предлагает возможные пространства, физика
решает, какое из них соответствует физическому пространству.
В противоположность всем более ранним концепциям, в
частности философии Канта, определение геометрии физического
пространства становится отныне задачей физики, точно так же как
физика определяет с помощью наблюдения и эксперимента
пространственную форму Земли или движения планет.
Но какие методы следует использовать физике, чтобы
прийти к этому решению? Ответ на этот вопрос в то же время
позволит ответить и на другой вопрос: на каком основании мы
можем говорить о специфике физического пространства?
Прежде чем исследовать более подробно эту проблему, рассмотрим
другой аспект геометрии, а именно ее аналитическую
трактовку, которая становится для физики даже более плодотворной,
чем аксиоматическая трактовка.
§ 2. Геометрия Римана
Риманово расширение понятия пространства не исходило из
аксиом о параллельных, а имело своим центром понятие
метрики.
Риман развил мысль Гаусса, утверждавшего, что форма
искривленной поверхности может быть охарактеризована с
помощью ее внутренних геометрических свойств и отношений.
Проиллюстрируем идею Гаусса следующим образом. Мы
обычно характеризуем кривизну поверхности сферы ее отклонением
от плоскости. Если мы приложим плоскость к сфере, то они
будут соприкасаться только в одной точке, во всех других точках
расстояние между плоскостью и сферой будет возрастать. Это
описание характеризует кривизну сферы «с внешней стороны»;
расстояния между плоскостью и сферой лежат вне поверхности,
и решение вопроса о кривизне нужно получать, используя
третье измерение, которое только и позволяет установить
различие между кривой и прямой. Можно ли определить кривизну
поверхности сферы, не прибегая к внешним измерениям? Имеет
ли смысл различение искривленной поверхности и плоскости в
пределах двух измерений? Гаусс показал, что такое различение
на самом деле возможно. Если бы мы занялись «практической
геометрией» на этой сфере, производя топографическую съемку
с помощью небольших измерительных стержней, то очень скоро
обнаружили бы, что находимся на искривленной поверхности.
Так, отношение длины окружности и и диаметра круга d
оказалось бы меньше, чем число я = 3,14..., как это видно на рис. 1.
Поскольку мы оставались бы все время на поверхности, то
могли бы измерить не «реальный диаметр», который проходит че-
24
рез внутреннюю часть сферы, а лишь «искривленный диаметр»,
который лежит на поверхности сферы и обладает большей
длиной. Разделив длину окружности на величину этого диаметра,
мы получим число, меньшее я. Тем не менее имеет смысл
называть точку М «центром круга на поверхности сферы», поскольку
она находится на равном расстоянии от любой точки
окружности. То, что мы находимся на сфере, обнаруживается через
отклонение данного отношения от числа я. Таким путем мы
получаем геометрию сферической поверхности, которая отличается от
обычной геометрии тем, что в ней имеют силу иные метрические
<L-—>м
и
Рис. 1. Окружность и диаметр круга на поверхности сферы.
отношения. Наряду с изменением отношения между длиной
окружности и диаметром круга особенно важным является то,
что сумма углов треугольника на сфере больше 180°.
Еще более примечательно то, что это обобщение геометрии
плоскости на геометрию поверхности идентично с обобщением
геометрии, возникшим из анализа аксиомы о параллельных.
Ведущая роль, которая приписывалась аксиоме о параллельных
в ходе развития геометрической аксиоматики, едва ли может
быть оправдана с чисто аксиоматической точки зрения.
Неевклидовы геометрии столь же успешно могут основываться на
элиминации других аксиом. Не исключено, что критические
сомнения всегда сосредоточивались вокруг аксиомы о
параллельных в силу интуитивного чувства их теоретической
плодотворности. Ибо на этом пути была создана аксиоматическая основа
для такого расширения геометрии, где метрика представлялась
бы в качестве независимой переменной 1. Осознав с точки
зрения гауссовой теории плоскости значение метрики как
характерного свойства плоскости, в свою очередь легко установить ее
связь с аксиомой о параллельных. Свойство прямой линии быть
наикратчайшей связью между двумя точками может быть
перенесено на кривую поверхность и приведет к понятию
кратчайшей {геодезической) линии. Так, на сферической поверхности
большие круги играют роль наикратчайших линий связи, и
здесь их роль аналогична роли прямых линий на плоскости.
Однако если большие круги в качестве «прямых линий» сферы
разделяют с прямыми на плоскости это их наиболее важное
свойство, то они отличаются от последних в отношении к
аксиоме о параллельных: все большие круги сферы пересекаются
О связи аксиомы о параллельных с метрикой см. также с. 108—109.
25
и, следовательно, среди такого рода «прямых линий»
параллельных не существует. Здесь мы сталкиваемся со второй
возможностью отрицания (ср. § 1) аксиомы о параллельных,
исключающей их существование. Если последовательно
сформулировать все аксиомы таким образом, чтобы под «прямыми
линиями» понимались большие круги на сфере, а под плоскостью —
ее поверхность, то оказывается, что эта система элементов в
рамках двух измерений удовлетворяет системе аксиом, которая
почти во всех своих утверждениях идентична аксиоматической
системе евклидовой геометрии, за исключением формулировки
аксиомы о параллельных К Геометрия сферической поверхности
может рассматриваться как реализация двухмерной
неевклидовой геометрии: отрицание аксиомы о параллельных
характеризует то обобщение геометрии, которое происходит при переходе
от плоскости к кривой поверхности.
Коль скоро этот результат осознан для двухмерных
структур, то тем самым мы получаем новое, более глубокое
понимание соответствующей проблемы для нескольких измерений.
Аксиоматическое развитие неевклидовой геометрии для
трехмерных структур уже получено и составляет, следовательно,
расширение трехмерного пространства, аналогичное отношению
плоскости к кривой поверхности. Хотя евклидово пространство
содержит кривые поверхности, оно не имеет той степени
логического обобщения, которая характеризует эти поверхности. Оно
может реализовать только евклидову аксиому о параллельных,
но не противоречащую ей аксиому. Это наводит на мысль о
таком понятии пространства, которое включает «плоское»
евклидово пространство в качестве частного случая, но, кроме
того, охватывает также и все неевклидовы пространства. Лишь
такое понятие пространства означает для трех измерений то
же, что и понятие поверхности для двух измерений. Оно имеет
такое же отношение к евклидову пространству, как и
поверхность к плоскости.
На основе этих идей Риман смог предложить столь
обобщенное определение понятия пространства, что оно включало в
качестве частных случаев не только евклидово пространство,
но так же и пространство Лобачевского. Согласно Риману,
пространство есть только трехмерное многообразие; вопрос же
1 При рассмотрении сферической поверхности становится очевидным, что
любые два больших круга пересекутся в двух точках. Следовательно, здесь
мы сталкиваемся с отрицанием аксиомы, утверждающей, что две прямые
линии могут пересекаться только в одной точке Ибо, если все аксиомы
евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, остаются без
изменения, то можно доказать, что существует по крайней мере одна
параллельная. Однако, как мы убедились, для сферической поверхности эта теорема
неприменима. Она зависит от аксиомы, согласно которой прямые линии
пересекаются только в одной точке, следовательно, отрицание этой аксиомы
снимает противоречив.
2в
о том, какие аксиоматические системы справедливы для него,
остается открытым. Риман показал, что не следует развивать
какую-либо аксиоматическую систему, чтобы найти иные типы
пространства, гораздо удобнее использовать аналитическую
процедуру, аналогичную методу, разработанному Гауссом для
теории поверхностей. Геометрия пространства определяется
шестью функциями, компонентами метрического тензора,
которые должны быть заданы как функции координат1; вычисление
этих функций заменяет геометрические соображения; они
позволяют аналитически выразить все свойства геометрии. Эта
процедура подобна методам элементарной аналитической
геометрии, в которой предлагается уравнение с двумя или тремя
неизвестными, эквивалентное некоторой кривой или поверхности.
Воображению оказывается, таким образом, концептуальная
поддержка, что ведет к новым открытиям. По аналогии с
вспомогательным понятием кривизны поверхности, которая
измеряется величиной, обратной произведению главных радиусов
кривизны, Риман вводит вспомогательное понятие кривизны
пространства, которое обладает гораздо более сложной
математической структурой. В таком случае евклидово пространство
обладает кривизной нулевой степени по аналогии с плоскостью,
которая является поверхностью нулевой кривизны. Евклидово
пространство занимает среднее положение между
пространствами положительной и отрицательной кривизны. Можно
показать, что эта классификация соответствует трем возможным
формам аксиомы о параллельных. В пространстве
положительной кривизны не существует никаких параллельных данной
прямой линии; в пространстве нулевой кривизны существует
одна параллельная; в пространстве отрицательной кривизны
существует более чем одна параллельная. Вообще говоря,
кривизна пространства может меняться от точки к точке, подобно
изменению от точки к точке кривизны поверхности, однако
пространства постоянной кривизны имеют особое значение.
Пространство постоянной отрицательной кривизны есть пространство
Больяи — Лобачевского; пространство постоянной нулевой
кривизны есть евклидово пространство; пространство постоянной
положительной кривизны именуется сферическим, поскольку
оно есть трехмерная аналогия поверхности сферы.
Аналитический метод Римана привел к открытию большего числа типов
пространства, нежели синтетический метод Больяи и
Лобачевского, который привел лишь к определенным пространствам
постоянной кривизны. Современная математика трактует все эти
типы пространства как равноправные. Она исследует их
свойства и манипулирует ими столь же легко, как и свойствами
евклидовой геометрии.
1 Подробнее см. § 39.
27
§ 3. Проблема
физической геометрии
Вернемся теперь к вопросу, поставленному в конце § 1.
Проблему геометрии физического пространства следует
рассматривать как эмпирическую. Задача физики состоит в том,
чтобы выбрать среди возможных типов пространства
математики реальное, то есть физическое, пространство. Эту проблему
можно решить только эмпирическими средствами, но как это
осуществить?
Метод для такого исследования дается математической
процедурой Римана. Решение должно быть получено путем
практических измерений в пространстве. Подобно тому как обитатели
сферической поверхности могут обнаружить ее сферический ха-
Р'
Q'
"Г
I
I
Q
ABC
Рис. 2. Проекция неевклидовой геометрии на плоскость.
рактер с помощью измерений и как мы — люди — обнаружили
сферический характер поверхности Земли, которую не могли
рассматривать извне, так должна существовать возможность
выяснить с помощью измерений, какова геометрия
пространства, в котором мы живем. Существует геодезический метод для
измерения свойств пространства, аналогичный методу
измерения поверхности Земли, Однако было бы слишком поспешным
утверждать это без дальнейших ограничений. Для более ясного
понимания мы должны еще раз вернуться к примеру с
плоскостью.
Представим себе (рис. 2) большую полусферу, сделанную из
стекла, которая постепенно переходит в громадную стеклянную
плоскость, то есть выглядит подобно поверхности G,
представляющей собой плоскость с полусферической выпуклостью в
центре. Люди, находящиеся на этой поверхности, были бы в
состоянии определить ее сферический характер с помощью
геометрических измерений. Они бы очень скоро узнали, что их
поверхность является плоской вдали от центра, но в центре имеет
вид полусферы. Они достигли бы этого знания, заметив разли-
28
чие между их измерениями и двухмерной евклидовой
геометрией.
Ниже поверхности Q расположена непрозрачная плоскость
£, которая параллельна ее плоской части. На нее вертикально
падают световые лучи, образуя тени всех объектов,
расположенных на находящейся над этой плоскостью прозрачной
поверхности. Каждый измерительный стержень, который используют
G-люди на поверхности G, отбрасывает тень на нижнюю
плоскость, и мы бы сказали, что эти тени испытывают деформации
в центральной области. G-люди измеряли бы расстояния А'ВГ
и В'С как равные по длине, однако соответствующие длины
их теней АВ и ВС следовало бы назвать неравными.
Предположим, что на плоскости Е также обитают люди, и
сделаем еще одно удивительное предположение: какая-то
таинственная сила меняет на этой плоскости длину всех
измерительных стержней, перемещаемых по ней таким образом, что они
всегда остаются равными по длине соответствующим теням,
проецируемым с поверхности G. Однако подобному
воздействию подвергаются не только измерительные стержни, но и все
объекты, в том числе все другие измерительные инструменты,
а также тела самих людей. Поэтому люди не могут
непосредственно воспринимать это изменение. Однако какого рода
результаты измерений получат Я-люди? Во внешних областях
плоскости ничего не изменилось бы, поскольку отрезок P'Q'
проецировался бы на равный ему отрезок PQ. Но в
центральной области, которая лежит под стеклянной полусферой, уже
не будет более получено обычных результатов измерений.
Очевидно, результаты здесь будут теми же самыми, что и в
центральной области у G-людей. Предположим, что данные два
мира ничего не знают друг о друге и что нет никакого внешнего
наблюдателя, способного смотреть на поверхность Е. Что тогда
стали бы утверждать Е-люди относительно формы их
поверхности?
Конечно, они сказали бы то же самое, что и G-люди, то есть
что они живут на плоскости, которая имеет в центре
сферическую выпуклость. Они не заметили бы деформации своих
измерительных стержней. Но почему, собственно, они этого не
заметили бы?
Мы легко можем вообразить, что деформация вызывается
неким физическим фактором, например источником тепла под
плоскостью Е, действие которого концентрируется в
центральной области. Он расширяет измерительные стержни так, что
они становятся немного длиннее, когда достигают точки Л.
Отрезки СВ и ВА покрывались бы одним и тем же
измерительным стержнем, и теплота оказалась бы той таинственной
силой, которую мы вообразили.
Однако могут ли £-люди не обнаружить эту силу? Прежде
чем ответить на этот вопрос, мы должны сформулировать его
49
более точно. Если бы £-люди знали, что их поверхность на
самом деле плоская, то они могли бы, конечно, заметить эту силу
именно благодаря расхождению между их наблюдаемой
геометрией и евклидовой геометрией на плоскости. Вопрос,
следовательно, должен был бы звучать так: как может быть
обнаружено действие этой силы, если неизвестна природа геометрии?
Или, точнее, как может быть установлено наличие этой силы,
если природа геометрии не может быть использована в качестве
индикатора?
Если бы теплота была этой действующей силой, то
непосредственный индикатор ее присутствия можно было бы найти,
не используя геометрию в качестве косвенного метода. £-людй
могли бы просто ощутить повышение температуры.
Однако и без этого они были бы в состоянии доказать наличие
теплового расширения. Это выяснилось бы благодаря тому, что
теплота различным образом воздействует на разные материалы.
Так, £-люди получили бы одну геометрию, если бы
использовали медные измерительные стержни, и другую, если бы стержни
были деревянными. Таким путем они заметили бы
существование некоей силы. В самом деле, непосредственное
доказательство наличия теплоты основывается на том факте, что она
различным образом воздействует на разные материалы. Факт
различия в температуре между точками Л и С,
демонстрируемый с помощью термометра, также основывается на этом
явлении. Если бы ртуть не расширялась больше, чем стеклянная
трубка и шкала термометра, то инструмент давал бы
одинаковые показания для всех температур. Даже физиологическое
воздействие теплоты на человеческое тело зависит от различий
в реакциях отдельных нервных окончаний на тепловые
стимулы.
Таким образом, теплота, как сила, может быть обнаружена
непосредственно. Однако силы, которые мы ввели в нашем
примере, не могут быть продемонстрированы непосредственным
образом. Они имеют два свойства:
а) они одинаково действуют на все материалы;
б) для них не существует изолирующих барьеров.
Мы уже говорили о первом свойстве. Однако второе
свойство является столь же необходимым, если деформация
рассматривается в чисто метрическом плане. Более подробно мы
остановимся на этом в § 5. Здесь же мы приведем лишь
определение изолирующего барьера: это — покрытие, сделанное из
любого материала, которое изолирует заключенный в него
объект от действия сил, обладающих свойством а. Назовем силы,
которые обладают свойствами а и Ь, универсальными силами,
все же другие силы — дифференциальными силами.
Непосредственно может быть доказано наличие только
дифференциальных, но не универсальных сил*
30
Что же мы можем утверждать теперь относительно формы
поверхностей Е и G? G описывается как поверхность, которая
имеет полусферический выступ, а Е — как плоскость, которая
представляется нам как якобы имеющая такой выступ. Но что
же позволяет нам делать подобное утверждение? Измерения
на обеих поверхностях приводят к одинаковым результатам.
Ограничиваясь только этими результатами, мы с равным
успехом можем сказать, что G есть поверхность с «иллюзорным», а
Е — поверхность с «реальным» полусферическим выступом или
что полусферы имеются на обеих поверхностях. В нашем
примере мы с самого начала предполагали, что Е — плоскость, а
G — поверхность с полусферой. Но по какому праву мы
говорим о различии между Е и G? Отличается ли £ в каком-либо
отношении от G?
Проблема предстает здесь в несколько необычном ракурсе.
Мы начали с вопроса о действительной геометрии некоторой
реальной поверхности, а кончаем вопросом, имеет ли смысл
утверждение о геометрических различиях между реальными
поверхностями: такого рода неопределенность проблемы
физической геометрии указывает на то, что она не была
сформулирована исчерпывающим образом. Мы забыли, что только в этом
случае ответ может быть однозначным. Очевидно, нами была
опущена какая-то предпосылка. Поскольку определение
геометрии зависит от решения вопроса о том, равны ли реально два
отрезка (отрезки АВ и ВС на рис. 2), то мы должны заранее
знать, что это означает, когда говорят, что два отрезка
«реально равны». Однако имеет ли смысл само понятие «реального
равенства»? Мы видели, что если признать существование
универсальных сил, то этот вопрос в принципе не может быть
решен. Но допустимо ли тогда ставить такой вопрос?
Поэтому мы должны рассмотреть эпистемологические
предпосылки процесса измерения. Для этого следует ввести
понятие, необходимость которого до сих пор не учитывалась в
философии, но которое имеет существенное значение для решения
поставленной проблемы. Это понятие координативной
дефиниции (coordinative definition, Zuordnungsdefinition).
§ 4. Координативные дефиниции
Операция логического определения означает обычно
сведение некоторого понятия к другим понятиям. В физике, как и
во всех других сферах исследования, эта процедура находит
широкое применение. Однако здесь также используется и
другой вид определения, который обусловливается тем фактом, что
физика, в противоположность математике, имеет дело с
реальными вещами. Физическое познание характеризуется тем, что
31
понятия не только сводятся к другим понятиям, то есть
определяются с содержательной стороны, но также соотносятся с
реальными объектами. Это соотнесение не может быть
заменено разъяснением значений, оно просто утверждает, что данное
понятие соотносится с такой-то вещью.
Вообще говоря, это соотнесение не является произвольным.
Поскольку понятия связаны между собой отношениями,
которые доступны проверке, данное соотнесение может быть
верифицировано как истинное или ложное, если принимается
требование однозначности, то есть правило, согласно которому
одно и то же понятие всегда должно обозначать один и тот же
объект. Метод физики, как это ясно было показано Шликом 1,
состоит в установлении однозначности этого соотнесения.
Однако прежде, чем развивать далее метод соотнесения, или
координации, следует определить некоторые предварительные
соотношения.
Эти первые соотношения являются, следовательно,
определениями, которые мы будем именовать координативными
дефинициями. Они произвольны, подобно всем определениям. От их
выбора зависит система понятий, которая развивается с
прогрессом науки.
Использование координативных дефиниций становится
очевидным прежде всего там, где необходимо установить
метрические отношения. Если нужно измерить расстояние, то прежде
всего должна быть с помощью определения установлена
единица длины. Это определение и является координативной
дефиницией. Именно здесь легко осознать двойственность
понятийного определения и координативной дефиниции. Только
посредством других понятий можно определить, что мы подразумеваем
под единицей измерения. Например, «единица измерения есть
определенное расстояние, которое при перемещении вдоль
другого расстояния обеспечивает его измерение». Однако это
утверждение ничего не говорит о величине единицы, которая
может быть установлена только путем ссылки на физически
данную длину, такую, как эталонный метр, хранящийся в
Париже. Те же самые соображения имеют силу и для других
определений единиц измерения. Если данное определение гласит,
например, что «метр есть одна сорокамиллионная часть
экватора земного шара», то экватор здесь — физическая длина, на
которую ссылается данное определение с помощью введения
некоторых дополнительных понятий. И если в качестве
единицы выбирается длина волны света, испускаемого кадмием, то
свет кадмия есть тот физический феномен, на который
ссылается данное определение. На этом примере мы видим, что метод
соотнесения единицы с физическим объектом может быть очень
1 См.: Schlick М. Allgemeint Erkenntnislehre. Berlin, Verlag Springer,
1918, Ziff 10.
32
сложным. Пока еще никто не видел длины волны, наблюдались
только определенные явления, которые соотносились с ней в
теории, такие, как светлые и темные полосы, образующиеся в
результате интерференции. В принципе любая единица длины
может быть определена в терминах наблюдения, которое не
включает каких-либо метрических отношений, таких, скажем,
как «та длина волны, которая характерна для света, когда он
обладает определенной степенью красноты». В этом случае
образец красного цвета следовало бы хранить в Париже вместо
эталонного метра. Характерным свойством этого метода
является соотнесение, или координация, некоторого понятия с
физическим объектом. Эта координация и объясняет термин «ко-
ординативная дефиниция». Если данное определение
используется для измерений, как в случае единицы длины, то это —
метрическая координативная дефиниция.
Философское значение теории относительности состоит в
том, что она продемонстрировала необходимость метрических
координативных дефиниций там, где ранее предполагались
лишь эмпирические отношения. Ибо не всегда столь очевидно,
как в случае с единицей длины, что прежде, чем производить
измерение, требуется найти координативную дефиницию, а
поиски истины там, где нужны поиски определения, приводят к
возникновению псевдопроблем. Введение понятия
«относительность» помогает выявить, что результаты измерений зависят
от выбора координативных дефиниций. Проследим, как это
влияет на решение проблемы геометрии, из которого мы
исходим.
Решив таким образом проблему единицы длины, мы делаем
следующий шаг: сравниваем две единицы длины в различных
местах. Путем наложения измерительного стержня мы можем
определить длину только той части некоторого тела, скажем
стены, которая покрывается им в данный момент. Чтобы
измерить две разные части стены, измерительный стержень нужно
перенести. Предполагается при этом, что при перемещении
измерительный стержень не изменяется. Однако если такое
изменение вызывается универсальными силами, то его в принципе
нельзя обнаружить. Предположим, что существует два
измерительных стержня, равных по длине. Они перемещаются по
различным траекториям в удаленное место, где прикладываются
друг к другу и по-прежнему оказываются равными по длине.
Доказывает ли эта процедура, что они не испытывали
изменений на своем пути? Такое предположение было бы неверным.
Единственный наблюдаемый факт состоит в том, что два
измерительных стержня всегда равны по длине в том месте, где
они сравниваются друг с другом. Однако невозможно узнать,
испытывали ли они на своем пути расширение или сжатие.
Любое расширение, которое воздействует на все тела одинаковым
образом, ненаблюдаемо, поскольку непосредственное сравнение
S3
измерительных стержней, находящихся в разных местах,
невозможно.
Не помогает здесь и оптическое сравнение, например путем
измерения угловой перспективы каждого стержня с помощью
теодолита. При этом используются световые лучи, и
интерпретация такого измерения длины зависит от предположений
относительно распространения света.
В данном случае речь идет не о познании, а об определении.
Нет никакого способа установить, сохраняет ли неизменной
свою длину измерительный стержень при перемещении его в
другое место. Утверждение относительно этого факта может
быть сформулировано только путем определения. И для этой
цели следует использовать координативные дефиниции, так как
только таким путем можно постулировать, что два физических
объекта, удаленные друг от друга, равны по длине. При этом
должно быть не определено понятие «равенство по длине», а
выделен или указан реальный объект, соотносящийся с ним,
подобно тому как эталонный метр соотносится с понятием
«единица длины».
Итак, нам ясна взаимосвязь определения и эмпирического
утверждения. Как объяснялось выше, в эмпирическом
утверждении формулируется доступный наблюдению факт, что два
измерительных стержня, которые равны по длине при
сравнении в одной точке пространства, будут равны по длине и при
сравнении их в любой другой точке пространства независимо
от того, перенесены ли они в эту точку по одному и тому же
или по разным путям. Если же мы дополняем этот
эмпирический факт определением, согласно которому стержни следует
называть равными по длине и тогда, когда они находятся в
различных местах, то мы не делаем здесь необходимого вывода
из наблюдаемого факта; такое дополнение представляет собой
некоторое произвольное соглашение. Однако между фактом и
определением имеется известное отношение. Физический факт
делает соглашение однозначным, то есть независимым от
способа перемещения. Однозначность соглашения является поэтому
эмпирически верифицируемым высказыванием, что исключает
произвольный выбор. Можно сказать о фактуальных
отношениях, имеющих силу для локального сравнения стержней, что
хотя они и не требуют определения конгруэнтности с помощью
перемещаемых стержней, но все же делают это определение
допустимым. Определения, которые не являются однозначными,
в любой научной системе недопустимы.
Вышеизложенное означает только, что фактуальные
отношения допускают именно это простое определение
конгруэнтности, согласно которому конгруэнтность устанавливается
любым жестким измерительным стержнем. Если бы данные
фактуальные отношения не имели места, то следовало бы для
каждой точки пространства давать специальное определение еди-
34
ницы длины. Не только в Париже, но и в любом другом месте
следовало бы установить стержни, имеющие длину, равную
метру, и все эти произвольно выбранные стержни назывались бы
равными по длине, согласно определению. При этом
удовлетворялось бы только требование единообразия путем
перенесения во все места произвольно выбранного измерительного
стержня с целью изготовить его копии и расположить их
в этих местах в качестве единицы длины. Если бы две из этих
копий были подвергнуты локальному сравнению и оказались
различными по длине, то это не привело бы к «фальсификации»
определения. При этих условиях лишь яснее выступил бы де-
финициальный характер конгруэнтности. Однако в нашем бо-
более простом мире мы также можем выбрать такое
определение конгруэнтности, которое не соответствует реальному
поведению жестких стержней. Так, мы могли бы измерительные
стержни, которые в обычном смысле считаем равными по
длине, расположить в одну линию друг за другом и условиться
называть второй стержень равным половине первого, третий —
его трети и т. д. Такое определение усложнило бы все
измерения, однако в эпистемологическом отношении оно было бы
эквивалентно обычному определению, которое признает эти
стержни равными по длине. В этом утверждении мы
используем тот факт, что данное определение единицы длины в одной
только точке пространства еще не делает возможными общие
измерения. Ибо в самом общем случае определение единицы
длины должно быть дано как функция места (и времени) К То, что
к нашему миру применимо простое определение
конгруэнтности в силу названных фактуальных отношений,
обусловливающих поведение жестких стержней, не вызывает сомнений, но
это не лишает такое простое определение его дефинициального
характера.
Осознание дефинициального характера конгруэнтности
важно потому, что это приводит к решению эпистемологической
проблемы геометрии. Формирование той или иной структуры
геометрии зависит от определения конгруэнтности. В нашем
примере с поверхностью Е возникает вопрос, равны или нет
между собой отрезки АВ и ВС. В первом случае поверхность Е
будет иметь такую же геометрическую форму, как и поверхность G,
а во втором она будет плоскостью.
Теперь ответ на этот вопрос может быть дан в рамках
предшествующих рассуждений. Равен ли отрезок АВ отрезку ВС
есть дело не познания, а определения. Если на поверхности Е
конгруэнтность удаленных отрезков определяется таким
образом, что АВ = ВС, то Е будет поверхностью с выпуклостью в
середине, если же данное определение звучит иначе, то Е будет
» Ср. § 39 и § 46.
33
плоскостью. Геометрическая форма любого тела не есть
абсолютно данное в опыте, но зависит от заданной координативной
дефиниции. В зависимости от принятого определения одна и та-
же структура может быть названа плоскостью, сферой или
кривой поверхностью. Точно так же как обозначение высоты башни
не есть некое абсолютное число, но зависит от выбора
единицы длины или как высота горы определяется только в том
случае, когда выбран нулевой уровень, от которого следует
начинать измерение, так и геометрическая форма обусловлена
принятым определением. И это требование имеет силу как для
трехмерной, так и для двухмерной области. И если в
двухмерном случае наблюдаемая неевклидова геометрия еще может
быть интерпретирована как геометрия некоторой искривленной
поверхности в евклидовом трехмерном пространстве, то,
измеряя трехмерную структуру, мы вступаем в трехмерную
неевклидову геометрию. Простые соображения помогают уяснить эту
проблему. Выберем координативную дефиницию так, как это
делается при практической топографической съемке, то есть
введем определение, утверждающее, что жесткие
измерительные стержни при перемещении остаются конгруэнтными. Если
при этих условиях на поверхности Земли измеряется большой
круг, скажем радиусом 100 метров, то очень точное измерение
приведет к соотношению между длиной окружности и радиусом
меньшему, чем 3,14... Этот результат есть следствие кривизны
поверхности Земли, что не позволяет нам измерить диаметр,
проходя сквозь землю под искривленной поверхностью. В этом
случае следовало бы использовать третье измерение. Однако
при таком добавлении ситуация стала бы иной. Вообразим
большую сферу, сделанную из жести, которая укреплена изнутри
жесткими стальными прутьями. По данной сфере и по стальным
подпоркам внутри карабкаются люди, измеряющие
окружность и диаметр в различных точках теми же самыми
измерительными стержнями, которые они используют для
двухмерного случая. Если в этот раз результат измерения отличается от
я, то мы должны принять трехмерную неевклидову геометрию,
которую уже нельзя интерпретировать как кривизну
поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Мы приходим к
этому результату потому, что координативная дефиниция
конгруэнтности была выбрана указанным выше способом. Если бы
мы использовали координативную дефиницию более раннего
примера, в которой мы принимали длину второго
измерительного стержня равной половине длины первого, а длину
третьего— равной трети длины первого и т. д., то мы получили бы
иную геометрию пространства. Поэтому вопрос относительно
геометрии реального пространства не может быть решен, до
того как будет дана координативная дефиниция, которая
устанавливает конгруэнтность для этого пространства.
зе
Однако здесь перед нами встает проблема, какую коорди-
нативную дефиницию следует использовать для физического
пространства. Поскольку нам необходима геометрия, мы
вынуждены принять решение об определении конгруэнтности. Хотя
мы должны поступить таким образом, не следует забывать, что
мы имеем дело с произвольным решением, которое не является
ни истинным, ни ложным. Таким образом, геометрия
физического пространства не есть непосредственный результат опыта, но
зависит от выбора координативной дефиниции.
В этой связи нам следует искать наиболее адекватное
определение, то есть такое, которое имеет преимущества в смысле
логической простоты и вносит наименьшие изменения в
полученные наукой результаты. Наука во все времена уже неявно
применяла такую координативную дефиницию, хотя это не
всегда делалось осознанно. Можно предположить, что то
определение, которое использовалось до сих пор, обладает известными
практическими преимуществами, оправдывающими его
применение. Эта координативная дефиниция уже была
зафиксирована при рассмотрении определения конгруэнтности посредством
жестких стержней. Однако данное исследование не является
завершенным, поскольку до сих пор отсутствует точное
определение того, что является жестким телом.
§ б. Жесткое тело
С древнейших времен опыт говорит нам, что вещества имеют
различные агрегатные состояния. Твердые тела обладают
некоторым преимуществом перед жидкими, поскольку под
воздействием внешних сил они очень мало изменяют свою форму
и размеры. Поэтому к ним наиболее применимо определение
конгруэнтности. Однако, как следует из вышеизложенного, эта
относительная стабильность не может служить основой для
признания преимущества твердых тел. Как мы уже объясняли,
форма и размеры любого предмета зависят от координативной
дефиниции конгруэнтности. Если координативная дефиниция
относится к твердому телу, то утверждение о том, что это тело
не изменяет свою форму, не следует рассматривать как
познавательное утверждение. Оно может быть только определением:
мы определяем форму твердого тела как неизменную. Но как
можно дать определение твердому телу? Иными словами, если
агрегатное состояние твердого тела определить как-то
по-другому, то при каких условиях твердое тело будет называться
жестким? Бхли сохранение формы не может быть допустимым
критерием, то какой критерий следует применить?
Проблема осложняется еще и тем, что мы не можем решить
ее простым указанием на реальные предметы. Хотя ранее мы
37
ссылались на эталонный метр в Париже как на образец такого
определения, эта оценка была до некоторой степени
схематической, абстрактной. Фактически ни один предмет не является
непосредственно реализацией жесткого тела физики, ибо
следует учитывать, что на такой предмет могут оказывать влияние
многочисленные физические силы. И только после многих
коррекций, например, на влияние температуры и упругость,
полученная длина предмета может рассматриваться как адекватная
координативной дефиниции сравнения длин. Эталонный метр в
Париже не стал бы приниматься в качестве единицы длины,
если бы не хранился в подвале, где он защищен от влияния
температуры и т. д. Если когда-нибудь в результате
землетрясения он будет выброшен из подвала и деформируется, то он
уже не будет служить эталоном метра. Каждый согласится с
тем, что эталонный метр не будет более метром. Но к какому
типу относится это определение, если оно в один прекрасный
день может быть названо ошибочным? Не становится ли
бессмысленным понятие координативной дефиниции?
Оно не становится бессмысленным, но, как мы увидим, его
применение оказывается логически значительно более сложным,
чем это представлялось в ходе изложения. Ограничения
произвольности данной координативной дефиниции имеют два
источника. Первый состоит в требовании, чтобы предлагаемая мет*
рика согласовалась с ранее полученными физическими
результатами, особенно с результатами «физики обыденной жизни».
Никто не стал бы на логических основаниях возражать против
того, чтобы изогнутый стержень был принят в качестве единицы
длины, но тогда мы должны были бы принять другое
ограничение: нам пришлось бы согласиться с тем, что наш дом, наше
тело, мир в целом стали намного больше. Однако такая
интерпретация также не соответствовала бы нашему привычному
мышлению. Мы предпочитаем такую интерпретацию изменений,
включающих некую отдельную вещь, с одной стороны, и весь
остальной мир — с другой, которая ограничивалась бы
изменениями малого объекта. Подобная же идея используется в теории
движения. О мухе, ползущей внутри идущего поезда, мы
говорим, что она «движется» относительно данного поезда, а о
поезде говорим, что он «движется» относительно Земли. При
условии что мы ясно осознаем невозможность подтверждения
справедливости такого описания на логических основаниях, мы
можем без колебаний использовать его потому, что оно более
удобно. Однако не следует рассматривать его как «более
истинное», чем любое другое описание. Мы не должны
предполагать, что некая деформация эталонного метра в результате
землетрясения эквивалентна его изменению в каком-то
абсолютном смысле; на самом деле это только изменение в
различии между величиной данного стержня и остальным миром.
38
Конечно, нет никаких возражений против введения таких огра*
ничений для координатйвных дефШШЦий, потому что они
воздействуют только на адаптацию данного научного определения
к определению нашей обыденной жизни.
Эти ограничения гораздо более многочисленны, чем можно
было бы ожидать на первый взгляд. Наша обыденная жизнь
изобилует геометрическими понятиями. Мы называем пол и
потолок плоскостями, углы наших комнат и натянутый шнур
прямыми. Ясно, что все эти термины могут быть только
определениями и не имеют никакого отношения к познанию, как это
может показаться на первый взгляд. Однако при помощи этих
определений мы упростили физику нашей обыденной жизни.
Если бы мы попытались определить натянутый шнур как
кривую, что логически допустимо, то тогда нам потребовалось бы
ввести сложное силовое поле, которое оттягивает шнур в
сторону, несмотря на упругое натяжение, и не позволяет
рассматривать его как кратчайшую связь, наподобие натянутой цепи,
провисающей под действием силы тяготения. Все это внесло бы
в физику ненужные усложнения. Однако это является
единственным возражением, которое можно выдвинуть против
подобного описания. Утверждение, что натянутый шнур есть прямая,
представляет собой не эмпирическое, а только более удобное
определение.
С другой стороны, эти ограничения не составляют строгих
правил, они только ставят координативным дефинициям
некоторые пределы. Непосредственное наблюдение является
неточным, и мы признаем возможность небольших погрешностей
наблюдения. С научной точки зрения никто не будет отрицать,
что пол немного искривлен или что натянутый шнур слегка
провисает. Такое утверждение означало бы, что наука не
принимает реально пол, шнур, а также и другие предметы в
качестве стандартов для координативной дефиниции и что при
сравнении с ними других вещей допустимы небольшие
отклонения. Физика обыденной жизни дает нам лишь пределы для
координатйвных дефиниций, не устанавливая их достаточно
строго.
Для обыденной физики такая строгость не является
возможной, и поэтому задача научной физики состоит в том, чтобы
дать строгую формулировку координативной дефиниции в
заданных пределах. Эта задача уточнения и объясняет ту
важную роль, которую играют в измерениях длины
корректирующие факторы и дополнительные силы. Исследуем теперь более
глубоко тот основной принцип, в соответствии с которым
строится такое строгое определение. Что такое жесткое тело в
физике? Оно должно быть строго определено без использования
понятия изменения в размерах.
Для этой цели нужно провести различие между понятиями
жесткий и твердый. Твердыми телами являются тела, имеющие
89
такое физическое состояние, которому может быть дано остен-
сивное определение и которое отличается от жидкого и
газообразного состояний по ряду наблюдаемых свойств. Твердое тело
можно определить, не используя понятие изменения в
размерах. Жесткие тела, напротив, составляют физическую часть в
координативной дефиниции конгруэнтности и, согласно
определению, не изменяют своих размеров при перемещении. При
помощи понятия твердого тела может быть дано такое
определение понятия жесткого тела, которое не использует отношения
конгруэнтности.
Определение: жесткими телами являются такие твердые
тела, на которые не действуют дифференциальные силы или
относительно которых можно с помощью коррекций исключить
влияние дифференциальных сил; универсальные силы во
внимание не принимаются.
Рассмотрим детальнее это определение. Займемся сначала
последним предложением. Имеем ли мы право просто
пренебречь универсальными силами? Но мы отнюдь не пренебрегаем
ими; мы лишь постулируем по определению, что универсальные
силы равны нулю. Без этого нельзя дать определения жесткого
тела. Поскольку не существует никаких наглядных различий,
порождаемых универсальными силами, всегда остается
возможность отстаивать концепцию, согласно которой перемещаемый
измерительный стержень деформируется под действием таких
сил. По отношению к универсальным силам ни одно тело не
является жестким.
Это соответствует обычному методу физики. Все силы,
встречающиеся в физике, являются дифференциальными силами в
смысле нашего определения. В последующих параграфах
термины «физические силы» и «дифференциальные силы» будут
использоваться как равнозначные.
Обратимся теперь к первой части предложенного
определения жесткого тела. И вновь мы будем использовать методы,
которыми пользуется физик. Однако мы постараемся избежать
порочного круга при определении отсутствия внешних сил
путем ссылки на отсутствие изменения формы. Поскольку
универсальные силы исключались по определению, а наличие внешних
сил всегда может быть доказано дифференциальными
эффектами, то сохранение формы в свою очередь определяется через
отсутствие внешних сил.
Это правило нуждается в дополнении. Даже путем
вычисления невозможно полностью исключить внешние силы.
Небольшие эффекты ускользают от экспериментального
наблюдения, и данное определение дает нам лишь идеальный предел,
который может быть достигнут только в некотором
приближении. Обратимся поэтому к методу аппроксимации. Твердые
тела обладают значительными внутренними силами, или
напряжениями. Согласно обычной концепции, эти силы ответственны
40
за сопротивление изменению формы, однако в нашей
эпистемологической конструкции мы, напротив, можем обосновать
определение пренебрежимо малых изменений формы, опираясь на
наличие этих внутренних сил и напряжений. Изменение формы
называется малым, если внешние силы малы по отношению к
внутренним силам. Чем значительнее это неравенство, тем
более жестким является данное тело, но жесткое тело в
строгом смысле будет реализовано только в том недостижимом
пределе, где внешние силы по отношению к внутренним вообще
исчезают.
Данное определение жесткого тела связано с определением
замкнутой системы. В этом и состоит трудность проблемы.
Наше определение обходит два критических пункта. Во-первых,
замкнутая система никогда не может быть реализована
полностью; следовательно, должен быть задан переход к пределу,
позволяющий характеризовать систему как «замкнутую с
определенной степенью точности». Этот переход к пределу
достигается через соотношение между внутренними и внешними силами,
которое посредством технических манипуляций может быть
почти сведено к нулю. Однако понятие замкнутой системы не
может быть определено без учета внутренних сил: поскольку
всегда существует некоторая связь с внешним окружением и
необходимо установить те величины, относительно которых внешние
силы являются малыми.
Поэтому наличие внутренних сил следует считать
необходимым условием для замкнутой системы, и даже при переходе к
инфинитезимальной замкнутой системе внешние силы должны
исчезать в большей степени, чем внутренние. Вторая трудность
определения замкнутой системы состоит в том, что возможно
существование таких сил, наличие которых нельзя доказать с
помощью дифференциальных измерений, поскольку они
одинаковым образом воздействуют на все индикаторы. Физические, в
смысле нашего определения, силы могут быть исключены путем
соответствующего экранирования, но если имеются силы,
проникающие через все изолирующие барьеры (свойство б, с. 30),
то замкнутых систем не существует. Как и универсальные силы,
они, по определению, приравниваются к нулю и как таковые
исключаются. Без этого допущения замкнутая система
определена быть не может.
Данное определение жесткого тела не представлено явным
образом в физической литературе, но именно на этом
определении основана вся система физики в целом. При ином
определении все физические законы вообще изменились бы; это следует
из того факта, что в размерностях таких фундаментальных
физических величин, как сила и энергия, присутствует понятие
длины, и, таким образом, значения этих величин зависят от
определения конгруэнтности. Не следует, однако, утверждать, что,
напротив, «истинность» нашего определения конгруэнтности
41
может быть выведена из истинности физических законов.
Истинность физических законов может утверждаться только при
наличии предположения об определении конгруэнтности. Законы
являются истинными по отношению к жестким телам как
определениям конгруэнтности. Это положение можно
проиллюстрировать следующим примером: если бы для определения
конгруэнтности использовалась резиновая лента без какого-либо
указания на состояние ее натяжения, то энергия
замкнутых систем не была бы вообще постоянной, поскольку мера
энергии была бы изменчивой, будучи функцией от натяжения
резиновой ленты. Например, изменялась бы кинетическая
энергия, поскольку скорость тела, по предположению, менялась бы
с изменениями в состоянии резиновой ленты. Закон сохранения
энергии был бы заменен законом, постулирующим зависимость
энергии замкнутых систем от данного состояния резиновой
ленты. И этот закон был бы столь же истинным, как и закон
сохранения энергии. Недостаток состоял бы только в том, что
«биография» резиновой ленты должна была бы включаться во
все физические законы. Один из наиболее важных фактов
естествознания состоит в том, что имеется возможность
установить физические законы, свободные от таких усложнений; на
нем и основано значение понятия жесткого тела.
«■—^—^——■—i ■ II I ■ ■ II ■ ■ ■■ I I »1 ■ ■ ■ ■ ■■■!■■- ■■■! .— Ill ■■— 1Ш WWII I ■■■ II ■ —.^--^-^^-^
§ 6. Различие между
универсальными и
дифференциальными силами
Наше определение жесткого тела основано главным
образом на различии между универсальными и дифференциальными
силами. Когда мы в приведенном выше примере использовали
в качестве дифференциальной силы теплоту, то мы могли бы
сослаться на то, что непосредственное доказательство наличия
физических сил возможно в силу различия их действия на
различные материалы. Эта идея должна быть развита дальше.
Термометр действует в силу того, что ртуть и стекло имеют
неодинаковые коэффициенты расширения. Но может ли быть
доказана разница температур только благодаря различию реакций
различных материалов на теплоту?
Если мы примем во внимание практику измерения
коэффициента расширения стержня, то вынуждены будем допустить
другую возможность. Для этого измерения применяется
установка, схематически изображенная на рис. 3. Требуется
измерить отрезок ED. Конец D крепко зажат в держателе, конец Е
может двигаться свободно. До нагревания длина стержня
равна расстоянию AD. Нагревается только АЕ, а температура ВС
остается первоначальной. Таким образом, интервал AD остает-
42
ся постоянным, тогда как длина ED меняется. Точка Е будет
двигаться влево, за точку А. Воздействие теплоты является
наглядным, поскольку А и Е более не совпадают. Этот эффект
наблюдается даже в том случае, если вся аппаратура в
целом изготовлена из одного и того же материала. Вообразите
медную проволоку, согнутую в форме прямоугольника, как
показано на рис. 3. Два конца этой проволоки соприкасаются в
точках А и Е. Такое устройство было бы «термометром»,
поскольку давало бы возможность наблюдать изменения
температуры благодаря расхождению между А и Е. Здесь сила
измеряется с помощью индикатора, сделанного из одного материала.
Рис. 3. Схема аппарата для измерения теплового расширения.
Такой индикатор силы может служить вообще для
констатации наличия сил. Он будет реагировать всегда, когда силовое
поле является неоднородным, то есть если сила по-разному
действует на разных участках проволоки. Данное силовое поле
может заполнять пространство непрерывным образом; если
измерение проводится в поле тепловых сил, то полная изоляция
стержня DE от держателя, то есть прерывный характер поля
температуры, не является необходимым для качественной
демонстрации расширения.
Такой индикатор может иметь и другую форму, которая
делает его операции еще более очевидными. Представим себе
кольцо, сделанное из проволоки, с диаметром, изготовленным
из того же материала (рис. 4). В точке Р этот диаметр
прикреплен к кольцу, в точке Q диаметр 5 касается окружности,
так что Q и 5 совпадают. Такое устройство также будет
демонстрировать наличие высокой температуры в центре круга, ибо
тогда Q не будет совпадать с 5. Эта установка может быть
использована и для других целей. Если она будет передвигаться
вдоль поверхности, имеющей яйцеобразную форму, таким
образом, что везде будет находиться в контакте с поверхностью, то
Q больше не будет совпадать с 5. Индикатор укажет нам
непосредственно на кривизну поверхности путем сравнения
окружности и диаметра круга. В случае поверхностей переменной
кривизны, подобных яйцеобразной поверхности, индикатор
будет регистрировать кривизну.
Здесь мы имеем некий индикатор геометрических отношений
и замечаем, что доказательство наличия теплового поля
обеспечивается с помощью геометрического метода. Из изменения
43
геометрии мы делаем вывод о наличии теплового поля. Мы не
исключали возможности такого вывода. Однако мы должны
проанализировать вопрос, почему в этом случае мы выходим
за пределы геометрических наблюдений и делаем вывод о
наличии деформирующей силы. Ответ будет тем же, что и выше:
к этому выводу нас приводит различная реакция разных видов
материалов. В тепловом поле точки Q и S на медном
индикаторе были бы сдвинуты иначе, чем на индикаторе, сделанном из
железной проволоки, а на яйцеобразной поверхности оба
индикатора покажут одинаковые результаты. Таким образом, един-
Q
Рис. 4. Схема индикатора геометрической кривизны.
ственнои отличительной характеристикой теплового поля
является факт, что оно по-разному действует на различные
материалы. Однако нетрудно вообразить, что коэффициенты теплового
расширения всех материалов равны — тогда не было бы
никакого различия между тепловым полем и геометрией
пространства. Это позволяло бы говорить, что по соседству с нагретым
телом изменяется геометрия, точно так же как, согласно
Эйнштейну, искривляется пространство вблизи больших масс. Мы
можем последовательно проводить эту концепцию. Однако мы
не прибегаем к этой процедуре потому, что тогда мы получили
бы специальные геометрии для меди, для железа и т. д. Мы
избегаем подобных усложнений посредством определения
жесткого тела.
Хотя мы и ввели различные (дифференциальные) эффекты
воздействия на различные материалы в качестве указателей на
наличие физических сил, тем не менее доказательство наличия
этих сил не связано необходимым образом с этим различием.
Любое силовое поле может быть обнаружено с помощью только
одного материала, если установка является достаточно
большой, чтобы охватывать неоднородности данного поля. Однако
этот метод всегда будет обеспечивать только косвенное доказа-
44
тельство, поскольку наблюдаемое изменение столь же успешно
может быть интерпретировано как изменение геометрии. То
обстоятельство, что данное изменение интерпретируется как
результат действия некоторой силы, может быть обосновано
только неодинаковым действием этой силы на различные
материалы. Этот критерий указывает, что следует интерпретировать
как физическую деформацию, а что как геометрию
пространства. Геометрия пространства также может быть
продемонстрирована объективно, поскольку ее физические эффекты являются
наблюдаемыми. Данное различие между универсальными и
дифференциальными силами лишь классифицирует явления как
относящиеся к геометрии и к физике.
Можно было бы добавить замечание о трактовке этих
вопросов в специальной литературе. Силы, которые мы именуем
универсальными, часто характеризуются как силы,
сохраняющие совпадения. Предполагается, что все предметы
деформируются таким образом, что пространственные отношения
смежных тел остаются неизменными. Сюда относятся предположения
о том, что за одно и то же время все предметы увеличиваются
в одинаковой степени, что на величины перемещаемых
предметов оказывает одинаковое влияние их положение.
К этому типу рассуждений принадлежит также пример
Гельмгольца, где сравнивается мир вне и внутри сферического
зеркала1. Если бы наш мир был искривлен соответственно
геометрическим соотношениям образов в этом зеркале, мы бы
этого не заметили, потому что все совпадения были бы
сохранены. Справедливо отмечается, что существование таких сил
доказать невозможно, а отсюда следует правильный вывод о
том, что их, по определению, следует приравнять к нулю, чтобы
имел смысл вопрос о структуре пространства. Из выше
изложенного следует, что это необходимое, но не достаточное
условие. Силы, разрушающие совпадения, также должны быть
приравнены к нулю, если они удовлетворяют свойствам
универсальных сил, указанным на с. 30. Только в этом случае
проблема геометрии будет определена единственным образом. Наше
понятие универсальной силы является, таким образом, более
общим и включает понятие сохраняющей совпадения силы в
качестве частного случая. Поэтому не следует утверждать, что
существование универсальных сил недоказуемо. Подобное
утверждение имеет значение только для сил, сохраняющих
совпадения. Однако на рис. 4 представлен пример индикатора,
показывающего наличие универсальных сил, которые разрушают
совпадения (в нашем случае совпадение QS).
Мы можем определить такие силы как равные нулю, потому
что любая сила не есть некая абсолютная данность. При каких
1 См.: Н е 1 m h о 11 z Н. v. Schfiften zur Erkenntnistheorie, herausg. vt
Hertz und Schlick. Berlin. Verlag Springer, 1921, S. 19.
45
условиях мы можем говорить о существовании силы? Силой мы
называем нечто такое, что является ответственным за
геометрические изменения. Если какой-то измерительный стержень в
одной точке короче, чем в другой, то мы интерпретируем это
сокращение как эффект действия некоей силы. Поэтому
существование той или иной силы зависит от координативной
дефиниции геометрии. Если мы говорим: реально преобладает
геометрия G, но измерения дают нам геометрию G', то мы
одновременно определяем и силу F, которая вызывает различие
между G и G'. Геометрия G представляет собой нулевую
точку, от которой следует начинать измерение величины этой силы.
Если мы обнаружим, что имеются различные геометрии G',
отличающиеся друг от друга по материалам, из которых
изготовлены измерительные стержни, то F является
дифференциальной силой. В этом случае мы измеряем эффект действия силы
F на различные материалы таким образом, чтобы можно было
свести все геометрии G' к общей геометрии G. Однако если мы
найдем, что для всех материалов существует только одна
геометрия G', то F является универсальной силой. В этом случае
мы можем отказаться от различения G и G', то есть
идентифицировать нулевую точку с G', приравняв, таким образом, F к
нулю. Это и есть результат, которого достигает наше
определение жесткого тела.
§ 7. Техническая невозможность и
логическая невозможность
В этом параграфе мы рассмотрим критические замечания в
адрес нашей теории координативных дефиниций. Выдвигается
возражение, что мы основываем произвольный характер
выбора данного определения на невозможности проведения
измерений. Хотя и признается, что некоторые различия не могут быть
верифицированы с помощью измерений, считается все же
недопустимым делать из этого факта вывод о том, что они не
существуют. Если мы не имеем никаких средств для обнаружения
формы поверхности Е (см. рис. 2), то все же имеет смысл
поставить вопрос о том, какую форму имеет данная поверхность.
Хотя возможность проведения измерений и обусловлена
нашими человеческими способностями, все же данный объективный
факт не зависит от них. Таким образом, нас обвиняют в
смешении субъективной неспособности и объективной
неопределенности.
В самом деле, существует много случаев, где физика
неспособна производить измерения. Означает ли это, что величина,
которую нужно измерить, не существует? Невозможно, напри-
46
мер, определить точное число молекул в кубическом
сантиметре воздуха. Мы можем с уверенностью сказать, что никогда не
достигнем успеха при попытке пересчитать все молекулы. Но
следует ли отсюда, что этого числа не существует? Напротив,
мы должны сказать, что всегда будет существовать некое целое
число, которое точно обозначает это количество. Полагают, что
ошибка теории относительности состоит в том, что она
смешивает невозможность проведения измерений с объективной
неопределенностью.
Тот, кто выдвигает подобное возражение, упускает из виду
одно важное различие. Существует невозможность проведения
определенных измерений, которая обусловлена ограниченностью
наших технических средств. Я буду называть ее технической
невозможностью. Но кроме этого, существует и некая логическая
невозможность измерения. Даже в том случае, если бы мы
имели самую совершенную экспериментальную технику, мы
были бы не в состоянии избежать этой логической
невозможности. Логически невозможно определить, на самом ли деле
является метром эталонный метр, хранящийся в Париже.
Геодезические инструменты самой высокой точности не могут нам ничем
помочь в решении этой проблемы, потому что данному метру
нельзя дать определение в абсолютных терминах. В этом и
состоит причина, почему измерительный стержень в Париже
произвольно определяется как данная единица, а вопрос о том,
реально ли он представляет эту единицу, теряет свое значение.
Такие же соображения имеют силу для сравнения единиц
длины, находящихся в удаленных друг от друга местах. Здесь мы
имеем дело не с технической, а с логической невозможностью.
Невозможность определения формы некоторой поверхности, если
предполагается существование универсальных сил, не
обусловлена несовершенством наших инструментов, но есть следствие
неточной постановки вопроса. Вопрос относительно формы
данной поверхности не имеет точной формулировки, если ему не
предшествует координативная дефиниция конгруэнтности. Что
же тогда следует понимать под «формой реальной
поверхности»? Какие бы эксперименты и измерения мы ни проводили,
они никогда не обеспечат уникального установления формы
данной поверхности. Если признается наличие универсальных сил,
то измерения могут быть интерпретированы таким образом, что
различные формы поверхностей являются совместимыми с
одинаковыми наблюдениями. Существует одно определение,
которое закрывает логическую брешь и говорит нам, какие
интерпретации наших наблюдений должны быть элиминированы. Эта
задача выполняется координативной дефиницией. Она придает
точное значение вопросу о форме реальной пфверхности и
делает возможным единственный ответ, точно так же как вопрос
о длине имеет уникальное значение только в том случае, когда
задана единица измерения. И не техническая неудача не
47
позволяет нам определить форму поверхности без координатив-
ной дефиниции конгруэнтности, а именно логическая
невозможность, которая не имеет никакого отношения к ограниченному
характеру человеческих способностей.
Ситуация прояснится еще больше, если мы сравним
последний пример со случаем неопределенности числа молекул в
кубическом сантиметре воздуха. Это число определению
поддается, и только в силу ограниченности человеческих
возможностей мы не можем установить его совершенно точно. Однако в
этом случае допустима некоторая аппроксимация, которая
будет возрастать по мере совершенствования наших технических
инструментов. Когда же мы сталкиваемся с логической
невозможностью, не существует никаких аппроксимаций. Мы не
можем решить хотя бы приближенно, является ли поверхность Е
на рис. 2 плоскостью или поверхностью, имеющей
полусферический выступ в середине. Не существует никакого предела, к
которому могло бы приближаться измерение. Более того, хотя ко-
ординативная дефиниция и задана, все же остается техническая
невозможность точного измерения. Даже наше определение
жесткого тела не позволяет строго определить структуру
пространства. Все наши измерения все еще будут содержать
известную неточность, которая будет постепенно уменьшаться с
прогрессом техники, но никогда не будет преодолена.
§ 8. Относительность геометрии
Вопрос о том, какая геометрия имеет силу для физического
пространства, должен быть решен путем измерений, то есть
эмпирическим путем. Более того, это решение зависит от
предположения о произвольной координативной дефиниции
сравнения по длине. Против этой концепции могут быть выдвинуты
аргументы, которые выражают стремление при любых
обстоятельствах сохранить для физического пространства евклидову
геометрию, отдавая, таким образом, предпочтение ей перед
всеми другими геометриями. На основании полученных нами
результатов мы можем обсудить эти аргументы; их критический
анализ приведет нас к признанию относительности геометрии.
Один из аргументов сводится к утверждению об
ошибочности мнения, что выбор координативной дефиниции есть вопрос,
который мы можем решать по собственному усмотрению.
Геометрические измерения, как они выполняются на
практике, предполагают использование довольно сложных
измерительных инструментов, таких, как теодолит, и, следовательно,
эти измерения не могут быть оценены без той или иной «теории
измерительных инструментов». Однако эта теория
измерительных инструментов предполагает справедливость евклидовой
49
геометрии, и было бы поэтому противоречием выводить
неевклидову геометрию из этих результатов.
Разрешить это противоречие можно следующим образом.
Наша концепция позволяет нам начинать с предположения о
справедливости евклидовой геометрии для физического
пространства. При определенных условиях, однако, мы получаем
результат, свидетельствующий о существовании силы F,
которая одинаковым образом деформирует все измерительные
инструменты. Но мы можем дать иную интерпретацию: по
определению приравнять силу F нулю и скорректировать в свою
очередь теорию измерительных инструментов. Мы в состоянии
проделать подобную операцию, потому что перевод всех
измерительных инструментов из одной геометрии в другую является
вполне возможным и не представляет никаких трудностей.
Правильнее будет сказать, что применению любых инструментов
должно предшествовать определение. Это подтверждается
признанием необходимости координативной дефиниции. Однако
ошибочным следует считать убеждение, что эта дефиниция не
может быть впоследствии изменена. Если допустимо, скажем,
измерить температуру термометром, градуированным по шкале
Фаренгейта, а затем перевести эти результаты на шкалу
Цельсия, то точно так же можно начинать измерения, исходя из
предположения о справедливости евклидовой геометрии, а
затем перевести их в неевклидовы измерения. Не существует
никаких логических возражений по отношению к этой процедуре.
На практике этот метод намного проще. Оказывается, что
неевклидова геометрия получается при нашей координативной
дефиниции жесткого тела в виде очень небольших
количественных отклонений от евклидовой геометрии, когда
рассматриваются малые области пространства. В этой связи «малые области»
означают «порядка размеров Земли». Отклонения от
евклидовой геометрии могут быть замечены только в астрономических
измерениях. Поэтому на практике нет необходимости
корректировать впоследствии теорию измерительных инструментов,
поскольку все эти корректировки находятся в пределах ошибок
наблюдения. Допустимым является и следующий метод вывода:
мы можем путем предположения постулировать, что евклидова
геометрия справедлива для малых областей, а для
астрономических размеров имеет силу неевклидова геометрия, которая в
бесконечно малом повсюду переходит в евклидову геометрию.
Против этого метода, который характерен для стиля мышления
современной физики, не может быть выдвинуто никаких
логических возражений. Он проверялся на практике
астрономических измерений, реально проводившихся с целью
подтверждения эйнштейновской теории гравитации.
Это возражение связано с априорной теорией пространства,
которая восходит к Канту и сегодня выступает в различных
формах. Но не только кантианцы и неокантианцы пытаются
49
отстаивать априорный характер геометрии; такая тенденция
провозглашается также и в философских школах, которые в
других аспектах кантианскими не считаются.
Моей целью здесь не является критический анализ
философии Канта. В ходе дискуссии вокруг теории относительности
стало ясно, что философия Канта была предметом столь
многих интерпретаций его учеников, что не может более служить в
качестве четко определенной основы для современного
эпистемологического анализа. Такое обсуждение гораздо менее
способствовало прояснению эпистемологического вопроса о
структуре пространства, нежели исторического вопроса о смысле и
содержании философской системы Канта. Автор уже изложил
свои взгляды на эту проблему в другой публикации К
Настоящая работа имеет целью позитивное философское исследование
и не будет касаться вопросов истории. Поэтому я отберу
только те аргументы кантовской теории пространства,
опровержение которых будет способствовать нашему пониманию этой
проблемы. Хотя, по моему мнению, существенная часть теории
Канта будет охвачена, я не претендую на исторически полную
оценку ее в этой книге.
Идеи, обсуждавшиеся ранее, мы могли бы оценить как
попытку обосновать эпистемологически априорный характер
геометрии Евклида, причем мы обнаружили, что это утверждение
не может быть обосновано и что евклидова геометрия не
является неизбежной предпосылкой познания. Мы обратимся теперь
к идее априорного созерцания или наглядности. Доктрина
Канта основывает преимущество евклидовой геометрии на
существовании определенного способа, с помощью которого мы
наглядно представляем себе пространство.
Эта доктрина утверждает, что некая внутренняя
предрасположенность человеческих познавательных возможностей,
способность к созерцанию, требует, чтобы мы твердо
придерживались евклидовой геометрии. Как определенная
самоочевидность вынуждает нас принимать на веру законы
арифметики, таким же образом наглядная самоочевидность вынуждает
нас поверить в справедливость евклидовой геометрии. Можно
показать, что эта самоочевидность не имеет логической основы.
Поскольку математика дает доказательство того, что
построение неевклидовых геометрий не ведет к противоречиям,
постольку нельзя говорить ни о какой логической
самоочевидности евклидовой геометрии. В этом и состоит причина, почему
самоочевидность евклидовой геометрии иногда выводилась на
кантовский манер из человеческой способности к созерцанию,
которая рассматривалась в качестве источника познания.
Каждый из нас имеет более или менее ясное представление
1 См.: Reichenbach Н. Relativitatstheorie und Erkenntnis a priori, Ber«
lin, Verlag Springer, 1920.
60
о том, что мы понимаем под наглядностью. Если на листе
бумаги мы нарисуем две точки, соединим их прямой линией, а
затем добавим кривую линию, связывающую их, то мы «увидим»,
что прямая линия короче кривой. Мы даже высказываем
уверенность в том, что прямая линия короче, чем любая другая
линия, соединяющая две точки. Но мы не можем доказать это
утверждение путем измерений, поскольку не можем ни
прочертить, ни измерить все линии. Сила воображения, заставляющая
нас утверждать это, называется способностью к созерцанию.
Подобным же образом с точки зрения созерцания кажется
необходимой и евклидова аксиома о параллельных. Нам остается
исследовать данное человеческое качество и выяснить его
значение для решения проблемы пространства.
Наши рассуждения мы разобьем на два этапа. Прежде всего
мы хотим выдвинуть предположение, что утверждение о
существовании особой способности к созерцанию является верным и
что евклидову геометрию можно отличить от всех остальных
геометрий, опираясь на тот факт, что она легко постигается
созерцанием. Возникает вопрос, какие выводы для физического
пространства следуют из этого предположения? Только после
того, как на этот вопрос будет дан ответ, можно будет
проверить само предположение. Второй этап наших размышлений
будет поэтому состоять в исследовании того, на самом ли деле
существует особая способность к созерцанию (§ 9—11).
Вернемся к первому вопросу, который следует приблизить
к нашим прежним формулировкам, для того чтобы ясно
увидеть его значение для эпистемологической проблемы.
В математике доказано, что любая геометрия риманова
вида может быть отображена в другой геометрии того же вида.
На языке физики это означает следующее:
Теорема 9: «Дана геометрия G', которой соответствуют
определенные измерительные инструменты; мы можем
вообразить универсальную силу F\ воздействующую на эти
инструменты таким образом, что реальной геометрией оказывается
произвольно избранная геометрия G, тогда как наблюдаемые
1 Вообще говоря, эта сила F является некоторым тензором. Если g„v
представляют собой метрические коэффициенты геометрии G\ a g„v —
коэффициенты геометрии G, то потенциалы F^v этой силы F задаются
формулой:
Измерительные стержни обеспечивают непосредственно g • F„v являются
«корректирующими факторами», с помощью которых gr корректируются
таким образом, что в результате дают ^>. Эта универсальная сила F,
влияющая на измерительный стержень, обычно зависит от ориентации стержня.
Относительно математического ограничения теоремы 6 см. § 12.
51
отклонения от G обязаны своим существованием универсальной
деформации этих измерительных инструментов».
Относительно корректности теоремы 0 нельзя делать
никаких эпистемологических возражений. Совместимо ли с ней
априорное созерцание?
На первый взгляд мы должны сказать — да. Поскольку
евклидова геометрия G0 принадлежит к геометриям риманова
типа, то из теоремы 9 следует, что мы всегда можем построить
такую геометрию для физического пространства, которая будет
иметь преимущества в смысле наглядности (созерцания).
Таким образом, мы доказали, что всегда можем удовлетворить
требованию наглядности.
Однако в теореме 9 доказывается нечто большее, что не
очень хорошо вписывается в теорию априорного созерцания К
Данная теорема утверждает, что евклидова геометрия не имеет
никаких эпистемологических преимуществ. Теорема 9
подтверждает равноправность всех геометрий. Она формулирует
принцип относительности геометрии. Отсюда следует, что не имеет
смысла говорить о какой-либо геометрии как об истинной
геометрии. Мы получаем утверждение о физической реальности
только в том случае, если добавим к геометрии пространства
G связанное с ним точно определенное поле универсальной
силы F. Только комбинация G -\- F является проверяемым
утверждением.
Теперь мы можем понять, что означает предпочтение
евклидовой геометрии на основе априорного созерцания. Речь здесь
идет только о выборе той или иной координативной дефиниции.
В нашем определении жесткого тела мы полагаем F = 0. В
таком случае утверждение о получаемой в итоге геометрии G
является однозначным описанием реальности. Эта дефиниция
означает, что в формуле G -f- F второе слагаемое равно нулю.
Априорное созерцание полагает, однако, G = G0. Но тогда
эмпирическая компонента в результатах измерений представлена
через определение F, и свойства пространства могут получить
исчерпывающее описание только через комбинацию G0 -f F.
Нет ничего ошибочного в координативной дефиниции,
основанной на требовании, чтобы определенный вид геометрии был
результатом измерений. Мы сами отказались от простейшей
формы координативной дефиниции, которая состояла в ссылке
на измерительный стержень, и вместо этого выбрали
значительно более сложную координативную дефиницию с помощью
проводимого нами различения между универсальными и
дифференциальными силами. Координативная дефиниция может
быть также введена путем предписания того, каким должен
1 Понятие, соответствующее немецкому Anschauung (в английском
переводе visualization), в настоящем издании переведено в зависимости от
контекста как созерцание, наглядность, воображение, визуализация. — Прим.
перев.
62
быть результат измерения. «Сравнение по длине должно быть
осуществлено таким образом, чтобы в результате получалась
евклидова геометрия» — это условие является одной из
возможных форм координативной дефиниции. Его можно
сопоставить с определением метра при помощи экватора земного шара:
«Данная единица должна быть выбрана таким образом, чтобы
ее длина, взятая 40 миллионов раз, была равна периметру
земного шара».
Хотя вполне можно допустить, что геометрия Евклида
является единственной в своем роде по своей наглядности, все же
теория чувственного созерцания априори не опровергает ни
теории относительности геометрии, ни необходимости координатив-
ных дефиниций для сравнения длин. Напротив, только эта
теория может указать точную эпистемологическую функцию
чувственного созерцания: возможность чувственного созерцания
есть основа для субъективного предпочтения одной из частных
координативных дефиниций. Но наличие чувственного
созерцания не предполагает ничего относительно пространства
реальных предметов.
В этой связи в поддержку преимущества евклидовой
геометрии часто приводится другой аргумент. Правда, этот
аргумент не имеет отношения к проблеме наглядности, но, подобно
априорному чувственному созерцанию, он. предполагает
специфическую эпистемологическую позицию по отношению к
евклидовой геометрии, и поэтому мы его здесь рассмотрим.
Утверждают, что евклидова геометрия является наиболее простой, и,
следовательно, физика должна выбрать координативную
дефиницию G = G0, а не координативную дефиницию F = 0. На это
можно ответить следующим образом: физика занимается не
вопросом о том, какая геометрия является более простой, а
вопросом о том, какая координативная дефиниция проще.
Представляется, что более простой является координативная
дефиниция F = 0, поскольку тогда выражение G -\- F сводится к G.
Но даже данный результат не является существенным,
поскольку и в этом случае простота не есть критерий истины. Простота,
Несомненно, играет в физике существенную роль именно в
качестве критерия выбора между физическими гипотезами.
Значение простоты как средства познания может быть детально
представлено в связи с проблемой индукции, которая не является
предметом нашего рассмотрения.
Геометрия связана лишь с простотой некоторого
определения, и поэтому здесь не возникает проблемы эмпирического
значения. Было бы ошибкой утверждать, что евклидова
геометрия является «более истинной», чем геометрия Эйнштейна, или
Наоборот, потому что она приводит к более простым метрическим
отношениям. Геометрия Эйнштейна ведет к более простым
отношениям, потому что в ней F — 0. Но мы не можем при этом
считать геометрию Эйнштейна более истинной, чем евклидова
63
геометрия, как не можем говорить, что метр является «более
истинной» единицей длины, чем, скажем, ярд. Более простая
система всегда предпочтительнее; преимущество метров и
сантиметров над ярдами и футами есть лишь вопрос
экономности и не имеет никакого отношения к реальности. Свойства
реальности раскрываются только в сочетании результатов
измерений с лежащей в их основе координативной дефиницией. Таким
образом, характеристикой объективной реальности (согласно
Эйнштейну) является то, что для пространства вблизи небесных
тел применима трехмерная неевклидова геометрия, если мы
проводим сравнение длин с помощью перемещения жестких
стержней. Однако только комбинация этих двух утверждений имеет
объективное значение. Поэтому одно и то же состояние дел
может быть описано различными способами. В нашем примере
можно с таким же успехом сказать, что вблизи любого
небесного тела существует универсальное силовое поле, которое
действует на все измерительные стержни, тогда как здесь
применима евклидова геометрия. Обе комбинации утверждений
равным образом являются истинными, как в этом можно
убедиться из того факта, что одна из них может быть переведена в
другую. Точно так же одинаково истинными являются и
утверждение, что периметр земного шара равен 40 миллионам метров,
и утверждение, что он равен 40 тысячам километров. Значение
подобной простоты не следует преувеличивать. Этот вид
простоты, который мы называем дескриптивной (описательной)
простотой, не имеет никакого отношения к истине.
Само по себе утверждение о том, что для пространства
имеет силу определенная геометрия, является бессодержательным.
Оно обретает смысл только при дополнении его
координативной дефиницией, используемой при сравнении удаленных друг
от друга отдельных длин. Такое же правило имеет силу для
геометрической формы тел. Предложение «Земля есть сфера»
является незавершенным, подобно предложению «Данная
комната имеет длину семь единиц». Оба утверждения говорят
нечто об объективном состоянии дел только в том случае, если
дополняются предполагаемыми координативными
дефинициями, и оба утверждения должны быть изменены, если
используются иные координативные дефиниции. Эти соображения
указывают на то, что подразумевается под относительностью
геометрии.
Такое понимание проблемы геометрии является, по
существу, результатом работ Римана, Гельмгольца и Пуанкаре и
известно как конвенционализм. И если Риман математической
формулировкой понятия пространства подготовил путь к
применению геометрии для описания физической реальности, то
Гельмгольц заложил ее философские основания. В частности,
он осознал связь проблемы геометрии с проблемой жестких тел
и правильно интерпретировал возможность наглядного изобра-
54
жения неевклидовых пространств (см. с. 82). Его заслугой
является также признание несостоятельности кантовой теории
пространства в свете достижений современной математики!.
Лекции Гельмгольца по теории познания должны поэтому
рассматриваться как источник современного философского знания
о пространстве 2. Достижением Эйнштейна было применение
теории относительности геометрии в физике. Это привело к
неожиданным результатам: как имеют обыкновение говорить
теоретики релятивистской физики, мир оказался неевклидовым. На
нашем же языке это означает: если F = О, то геометрия
становится неевклидовой. Ранее этого даже не предполагали, и
Гельмгольц и Пуанкаре еще продолжали верить, что отличие
вновь полученной геометрии от евклидовой не может быть
доказано. Только эйнштейнова теория гравитации предсказала
этот неевклидов результат, который был подтвержден
астрономическими наблюдениями. Однако отклонения от евклидовой
геометрии являются слишком малыми и в повседневной жизни
ненаблюдаемы.
К сожалению, философская дискуссия о конвенционализме
пошла по ложному пути из-за ее неудачного названия, не
отражавшего достаточно четко эпистемологический аспект
проблемы 3. Следствием принятия конвенционализма было признание
невозможности объективных высказываний о геометрии
физического пространства. Понятие геометрии реального
пространства было объявлено лишенным смысла. Однако такое
понимание глубоко ошибочно. Хотя данные той или иной геометрии
основаны на некотором произвольном решении, на
произвольном определении, сами они не становятся произвольными. Коль
1 Противопоставление Кант — Гельмгольц интерпретировалось
неокантианцами, в частности Рилем (См.: «Kantstudien», v. 9, S. 261 f.). и менее остро
Гёрландом (см.: «Natorp-Festschrifb, S. 94 L) не как противоречие, а как
неправильное понимание Гельмгольцем Канта. Такой же аргумент был
выдвинут неокантианцами в адрес теории Эйнштейна. Здесь мы имеем дело с
недооценкой различий двух точек зрения, и в интересах полной ясности было
бы желательно признать явное противоречие между единственно возможной
современной философией пространства и учением Канта. Такое признание
позволяет избежать опасности слишком неопределенной интерпретации
философии Канта, с тем чтобы она соответствовала любому конкретному
содержанию. Автор изложил свои соображения об этом предмете в статье
«Современное состояние дискуссий об относительности» (см.: «Logos», 1922, X, section
III, S. 341; см. также: Reichenbach Н. Selected Essays. London, Rout-
ledge and Kegan Paul).
2 См.: Hertz P., Schlick M. Helmholtz' Erkenntnistheoretische Schrif-
ten. Berlin, 1921.
3 Это можно отнести также и к высказываниям Пункаре, которому мы
обязаны определением геометрических аксиом как конвенций (см.:
Пуанкаре А. Наука и гипотеза. — В: Пуанкаре А. О науке. М., 1983, с. 41)
и заслугой которого является утверждение дефинициального характера
конгруэнтности в сознании ученых. Он не видел возможности объективных
высказываний о реальном пространстве при относительности геометрии и
полагал, что «невозможно найти разумное основание для геометрического
эмпиризма» (там же, с. 58). Ср. также § 44.
55
скоро решение принято, только объективной реальностью
определяется характер реальной геометрии. Используем наш
предыдущий пример: мы можем произвольно определить шкалу
температуры, однако показания относительно температуры
физического тела отнюдь не становятся от этого делом
субъективного выбора. Выбором шкалы мы можем обусловить некоторое
произвольное число градусов температуры для соответсвующего
тела, однако эти показания имеют объективное значение,
поскольку сочетаются с координативной дефиницией данной
шкалы. В свою очередь значение координативной
дефиниции состоит в том, чтобы придать объективный смысл
физическим измерениям. До тех пор пока не замечали, в каком
месте метрической системы вводится произвольное определение,
все конкретные результаты измерений были неопределенными.
Только путем обнаружения точек произвольности, только путем
идентификации их как таковых и классификации их как
определений можно получить в физике объективные результаты
измерений. Таким образом, объективный характер физического
утверждения сводится к утверждению об отношениях.
Утверждение о точке кипения воды не рассматривается больше как
абсолютное, но как утверждение о соотношении между кипением
воды и высотой столбика ртути. Подобное объективное
утверждение существует и для геометрии реального пространства;
это — утверждение об отношении между вселенной и жесткими
стержнями. Избранная для характеристики этого отношения
геометрия есть только вид языка, однако осознание ее
относительности позволяет нам выразить объективный характер
утверждения о геометрии физического мира как утверждения об
отношениях. В этом смысле мы имеем право говорить о
физической геометрии. Освобождение от произвольности описания
природы достигается не наивно-абсолютным ее отрицанием, но
только признанием и определением точек произвольности.
Единственный путь к объективному познанию ведет через осознание
того, какую роль играет субъективность в наших методах
исследования.
§ 9. Наглядность
евклидовой геометрии
Основываясь на выводах предыдущего параграфа,
обратимся теперь ко второму вопросу, существенному для теории
априорной наглядности евклидовой геометрии. Верно ли, что
евклидова геометрия является той единственной геометрией, которая
может быть наглядной? Если евклидова геометрия легко может
быть представлена в чувственном созерцании, то этот факт еще
ничего не прибавляет к нашему познанию физического
пространства. Однако обладает ли в действительности евклидова
геометрия этим отличием? Попытаемся выяснить это.
66
Наше исследование будет развиваться в двух направлениях.
С одной стороны, мы должны установить, могут ли быть
наглядными другие геометрии. Этот вопрос обычно считается
главным. С другой стороны — это и будет предметом
обсуждения в данном параграфе,— необходимо понять, что означает
наглядность в евклидовой геометрии и до какой степени сама
евклидова геометрия может быть наглядной. Наглядность
евклидовой геометрии отнюдь не следует принимать на веру.
Напротив, мы тщательно проверим это утверждение, которое столь
часто высказывается философами.
Уже в самом начале нашего исследования мы сталкиваемся
с трудностью. Как только мы пытаемся дать более точную
формулировку «чувственному созерцанию», мы сразу вступаем в
область психологических экспериментов. Мы начинаем именно с
анализа геометрических образов. В результате мы расходимся
во взглядах с теми философами, которые полагают, что
проблема наглядности, или чувственного созерцания, относится к
числу не психологических, а философских проблем. В частности,
подобная концепция представлена неокантианцами,
утверждающими, что чистое созерцание Канта не есть психологический
феномен. Эти затруднения не должны смущать нас. Чаще всего
такие «пограничные конфликты» не способствуют решению
проблемы. Иногда много труднее отнести проблему к той или иной
философской дисциплине, чем найти ее содержательное
решение. Поэтому мы не будем принимать во внимание такого рода
разногласия и попытаемся найти правильный метод для
анализа геометрического созерцания.
Здесь мы сталкиваемся с двумя характерными свойствами
чувственного созерцания. Во-первых, его сущность состоит в
том, что оно воспроизводит частный предмет в форме некоего
образа. Когда мы пытаемся наглядно представить себе какой-
либо предмет, например треугольник, в нашем сознании
возникает неясный образ, который, очевидно, связан с
предшествующими восприятиями. Мы можем вообразить белый треугольник на
черной доске или треугольник, начерченный карандашом на
листе белой бумаги, однако этот образ всегда будет чем-то
схематичным. Отдельные детали возникают лишь в том случае,
если мы концентрируем внимание на точном воспроизведении
воспринимаемых треугольников. Тогда мы обнаруживаем, что
меловые линии, обозначающие треугольник, имеют
определенную ширину и что они состоят из отдельных частиц мела.
Однако схематизированный треугольник определяется также
предшествующими восприятиями. Так, это не пламенно-красный
треугольник на синем фоне — такой треугольник увидишь не
часто. Схематизированный треугольник обнаруживает гораздо
более близкое сходство с треугольником, начерченным мелом
или карандашом, чем с подобным продуктом воображения. Он
как бы имеет «среднюю» форму, не превращаясь в треугольник
67
«с отклонениями», с редко наблюдаемым соотношением сторой.
С этим связана специфическая неопределенность, когда нам
трудно оценить величину угла, зная только его вершину. Если
же мы жаждем более точного утверждения, то должны
сосредоточиться более энергично; только тогда мы сможем
воспроизвести в воображении треугольник достаточно ярко, чтобы
оценить величину угла. Нет необходимости анализировать эти
явления подробно, поскольку они весьма широко варьируют у
каждого индивида. Будем именовать описанную выше функцию
чувственного созерцания образно-продуктивной функцией.
Наряду с образно-продуктивной функцией чувственное
созерцание обладает нормативной функцией — и это составляет
второе характерное его свойство. Чувственное созерцание не
является полностью произвольным. Мы используем созерцание
для того, чтобы раскрывать геометрические отношения. Я имею
треугольник и прямую линию, пересекающую одну из сторон
этого треугольника. Если ее продолжить, то пересечет ли она
также и другую сторону данного треугольника? Созерцание
говорит «да». Оно просто требует такого ответа, и я ничего не
могу с этим поделать. Я пытаюсь повернуть данную прямую в
моем воображении и вижу, что линией можно управлять таким
образом, чтобы она пересекла одну или другую сторону
треугольника, но я не в состоянии сделать так, чтобы она не
пересекала ни одной стороны. Это просто невозможно. В
философском отношении эта нормативная функция созерцания является
более важным компонентом. Она служит причиной
философской полемики об эпистемологическом значении созерцания.
И кантовские априорные синтетические суждения чистого
созерцания возникают именно из нормативной функции созерцания.
Эта функция ведет также к выделению евклидовой геометрии
из всех остальных, она же, видимо, заставляет нас
рассматривать аксиому параллельных Евклида как бесспорную истину.
Каково происхождение этой нормативной функции? На
чем основывается ее принудительный характер? Видимо, ее
источником, ее необходимым условием явдяется
образно-продуктивная функция. Только после того, как мы вообразим
треугольник и пересекающую его линию, мы «видим», что упомянутый
выше закон справедлив. Бывает, что мы, размышляя о какой-
либо проблеме, не можем решить ее до тех пор, пока не
построим ее ясный образ в своем сознании, а затем уже из этого
образа выводим искомый закон. Сколько диагоналей может быть
проведено из одного угла пятиугольника? Мы не в состоянии
ответить на этот вопрос немедленно; сначала мы предпринимаем
несколько тщетных попыток найти ответ, так сказать,
экспромтом, не используя образно-продуктивную функцию. Мы не
достигаем успеха и должны сначала мобилизовать свою волю.
Внезапно пятиугольник наглядно предстает перед нами с его
характерной асимметрией: один угол наверху и одна сторона в
68
качестве основания. Теперь проведем две диагонали из левого
угла основания в два угла направо. Более, очевидно,
невозможно. Этот четкий образ придает уверенность нашему ответу.
Четкость этой картины и достоверность утверждений
намного возрастают, если мы на самом деле начертим пятиугольник.
Мы видим результат непосредственно, и нам нет более
необходимости делать волевые усилия. Однако очевидно, что это
облегчение есть единственное достижение черчения. Восприятие
начерченного не играет роль некоего эмпирического открытия.
Данную ситуацию нельзя сравнивать с осуществлением какого-
либо эксперимента, в результате которого мы ожидаем такое
восприятие, которое обеспечит нам ответ. Если мы смешиваем
два неизвестных нам солевых раствора, то ожидаем, что
восприятие скажет нам, выпадет или нет осадок. Но вычерчивание
имеет и иную функцию. Мы не получаем результаты из него,
но привносим их в него. Предположим, что мы начертим
пятиугольник со всеми его диагоналями и попытаемся пересчитать
их. Если мы начертим этот пятиугольник тщательно, то
достигнем успеха. Однако легко может случиться так, что один из
углов начерчен слишком тупым, и поэтому, когда чертили
диагонали, его не заметили В этом случае мы должны поправить
чертеж. Очевидно, что мы не доверяем нашему восприятию,
а следуем внутреннему принуждению. Восприятие начерченного
лишь способствует осуществлению образно-продуктивной
функции. Обходной путь с помощью черчения делает конечное
утверждение более уверенным.
Все это наводит на мысль, что нормативная функция не
возникает в качестве результата образно-продуктивной функции.
Мы уточняем посредством нормативной функции не только
начерченное, но также и сами образы. Иногда
образно-продуктивная функция дает нам неверный образ. Я поставил упомянутую
выше проблему пятиугольника перед человеком, не искушенным
в математике, и немедленно получил необдуманный ответ:
«Пять». Он, очевидно, отвечал экспромтом. Затем
последовало: «Нет, минуточку». Здесь уже использовалась
образно-продуктивная функция, и после некоторого размышления был дан
ответ: «Три». Образно-продуктивная функция привела,
очевидно, к ошибочному результату. Вновь последовало: «Нет», и,
спустя некоторое время, правильный ответ: «Две». Вмешалась
нормативная функция и скорректировала образ. Это не тот
случай, когда мы просто ждем образов, которые будут
диктовать нам результат. Напротив, эти образы являются
объектами директивы, и, если они не соответствуют ей, они не будут
приняты.
Директива здесь является более сильной, чем это обычно
подозревают, и работает даже за сценой. Она не только
соотносится с условиями данной проблемы, но и добавляет некоторые
молчаливо подразумеваемые условия. Мы рассматривали
59
теорему о том, что прямая линия, пересекающая одну сторону
треугольника, должна также пересечь и одну из двух других его
сторон. Верно ли это? Ни в коем случае. Я могу вообразить
прямую линию, идущую вертикально в пространстве и не
расположенную в той же плоскости, что и треугольник. В таком
случае она пересечет только одну сторону. Этот ответ является,
конечно, тривиальным, но мы часто не замечаем, насколько мы
ограничиваем ту или иную проблему молчаливыми
предположениями. Во многих играх-шутках используется эта
неосознанность. Три спички располагаются на столе в виде треугольника.
Задача состоит в том, чтобы составить четыре треугольника,
добавляя еще три спички. Редко кто догадывается расположить
эти три спички над треугольником, лежащим на столе, так,
чтобы в результате получился тетраэдр. Отметим в этой связи
глубокий смысл истории с колумбовым яйцом. Следует учитывать,
какие условия вы налагаете на ваше воображение, и тогда то,
что во многих случаях представлялось «невозможным»,
оказывается «невозможным при таких-то и таких-то условиях».
Юмористический аспект только что приведенных примеров
обусловлен тем фактом, что эти молчаливые предположения
очень легко исключить. Однако вопросы, на которые нужно
дать ответ, ставятся таким образом, что наводят на мысль о
них. Поскольку спички разложены на столе, это подсказывает
мысль о том, что в головоломке речь должна идти о проблеме
на плоскости. Помимо данного частного аспекта этой проблемы,
такие переживания дают ключ для иных трудностей
геометрической наглядности. В истории математики довольно поздно был
открыт analysis situs (топология), который привел к иным
особенностям созерцания. Существует ли поверхность, имеющая
только одну сторону? Созерцание внушает немедленное «нет».
Однако каждый, кто слушал лекции по топологии, уже брал
полоску бумаги, перекручивал ее один раз вокруг самой себя и
склеивал в форме кольца. Эта бумажная поверхность имеет в
самом деле только одну сторону. Возможность наблюдать такую
модель увеличивает нашу способность к созерцанию. Еще один
пример. На некоторой поверхности начерчена замкнутая кривая.
Можно ли начертить на этой поверхности линию любой формы,
которая связывала бы точку поверхности, расположенную по
одну сторону от кривой, с некоторой точкой поверхности,
расположенной на другой стороне от кривой, при этом не пересекая
данную кривую? Созерцание вновь отвечает «нет», но только
потому, что образно-продуктивная функция показывает нам
плоскость, то есть мы пытаемся решить эту проблему на
плоскости, где это невозможно. Математика показала, что
существуют поверхности с иными топологическими свойствами, где
не все замкнутые кривые разделяют поверхность на две
разъединенные области. Мы легко можем вообразить такие
поверхности, или, точнее говоря, мы можем направить образно-про-
60
дуктивную функцию созерцания на то, чтобы выявить
элементы, для которых искомое свойство будет иметь силу. Если
случайно мы ответим «невозможно» в силу особенностей нашего
созерцания, то мы должны прежде всего проанализировать, в
какой степени элементы, поставляемые образно-продуктивной
функцией, включают неявные предположения. Наличие этих
предположений может помешать нам создать образ,
необходимый для решения рассматриваемой проблемы. Проблема может
получить верное решение только в том случае, если эти
предположения четко сформулированы. В примере с прямой
линией, пересекающей сторону треугольника, должно быть четко
сформулировано, что прямая линия лежит в плоскости данного
треугольника. Только тогда проблема будет сформулирована
правильно. В этом примере, видимо, довольно легко добавить
отсутствующие предположения, но далеко не всегда сделать это
так просто. Мы не знаем, не добавили ли мы неявно также и
другие предположения в приведенную выше теорему о
треугольнике.
Именно в этом примере определенную роль играют
некоторые последующие условия. Теорема правильна только в том
случае, если ссылается на евклидовы прямые линии и на
евклидову плоскость. Она не будет справедлива для любого вида
поверхности и ее прямых линий. Так, эта теорема не всегда
справедлива для тора (см. илл. I). И при этом речь не идет,
как это было выше, о «бегстве в третье измерение», все линии
остаются на той же самой двухмерной поверхности. Для того
чтобы строго сформулировать данную теорему, должно быть
добавлено условие, что под «прямой линией» и «плоскостью»
имеются в виду соответствующие феномены евклидовой
геометрии. Только тогда она будет убедительной.
Но в таком случае принудительность созерцания,
имеющаяся в этой теореме, не представляет собой ничего удивительного,
поскольку она не дает ничего иного, отличного от логического
принуждения, присущего евклидовой геометрии. В системе
геометрии Евклида эта теорема является необходимой, что мы
обнаруживаем путем логического анализа данной геометрии,
аксиомы которой заключают в себе эту теорему \ Без этой
теоремы такие элементы геометрии, как прямая линия и
плоскость, обладали бы совсем иными свойствами. Заслуга
созерцания состоит только в том, что оно переводит логическое
принуждение геометрии Евклида в принуждение созерцания.
Нормативная функция созерцания раскрывается как коррелят
логического принуждения и достижение тех же самых
результатов с помощью элементов, обеспечиваемых
образно-продуктивной функцией, как логический вывод, совершаемый с по-
1 Эта аксиома впервые была сформулирована Пашем. См.: Н i 1 b е г t D.
Foundations of Geometry. Chicago, The Open Court Publishing Co., 1921, p. 6.
61
мощью концептуальных элементов мышления. В этом состоит
значение созерцания. Мы полагаем, что часто намного легче
сделать логический вывод с помощью наглядных
представлений, чем с помощью абстрактных понятий. Доказательства,
которые математик нашел бы только ценою больших усилий (как,
например, теоремы, утверждающие, что непрерывная функция
предполагает в каждом интервале между двумя ее значениями
наличие промежуточного значения), становятся
непосредственно очевидными благодаря созерцанию. В этом даре наглядного
вывода наш разум приобрел одно из наиболее мощных средств
не только для науки, но и для обыденной жизни. Конечно, само
по себе удивительно, что такой результат созерцания является
возможным, но он получен не вне рамок логики. Способ
реального достижения логических выводов представляется здесь
странным и непонятным и имеет мало сходства с формальным
методом логики. Однако этот факт не имеет отношения к
проблемам наглядности геометрии. Поэтому мы можем считать
доказанным, что процессы созерцания играют известную роль в
логическом мышлении.
Приведенные нами примеры из двухмерной геометрии
показательны для нашего подхода к проблеме. Если мы говорим об
особой принудительности созерцания, то это означает, что для
созерцания существуют более строгие ограничительные законы,
чем для логического мышления. Именно это имел в виду Кант,
когда говорил о своих априорных синтетических суждениях, и
в этом видится также реакция априористской философии на
неевклидовы геометрии с момента возникновения последних. Их
можно построить логически, но нельзя представить наглядно.
В таком понимании созерцание предлагает более узкий выбор
геометрических структур, нежели логика. Мы покажем здесь,
что это утверждение является неверным уже в двухмерной
области. Нормативная функция созерцания не требует большего,
чем логика. То, что логически непротиворечиво, может быть
наглядным, коль скоро оно не превышает точности, достижимой
в наглядном представлении. Для двухмерной области это,
несомненно, является истиной. Аналогична в этом отношениии
трехмерная область. Образы, которые мы обычно используем, суть
образы евклидовой геометрии. Неудивительно, что на их основе
мы выводим только законы Евклида. При игре в шахматы
никогда не случается так, чтобы два слона, принадлежащие
одному игроку, стояли на полях одинакового цвета. Хотя вполне
возможно просто поставить их на две белые клетки. Это
утверждение остается верным до тех пор, пока придерживаются
установленных правил игры. Закон, которому подчиняются
ходы слона, логически подразумевает, что цвет его поля остается
неизменным. Образы, с помощью которых мы наглядно
представляем себе геометрию, всегда отрегулированы таким
образом, чтобы соответствовать тем законам, которые мы читаем в
62
них. Эти законы всегда подразумеваются. Поэтому
утверждение о том, что мы не можем наглядно представить себе
неевклидову геометрию, должно звучать иначе: мы не можем
наглядно представить себе неевклидову геометрию посредством
евклидовых элементов созерцания. В такой форме результат
представляется тривиальным. То, что он отрицает, есть
логическая невозможность. Вопрос должен быть поставлен иначе.
Можно ли изменить образно-продуктивные элементы в таком
направлении, чтобы мы могли прослеживать на их основе
законы неевклидовой геометрии? Только таким способом мы можем
попытаться наглядно представить себе неевклидову геометрию.
Этот вопрос будет рассмотрен в § И. Мы должны будем
проанализировать, в частности, в каком месте неявные
предположения проникают в образы, делая их евклидовыми и заставляя
нормативную функцию созерцания отклонять неевклидовы
законы.
§ 10. Пределы наглядности
Прежде чем перейти к проблеме наглядного представления
неевклидовой геометрии, мы должны рассмотреть другой факт,
значение которого для решения этой проблемы является
противоречивым. Мы показали, что образно-продуктивная функция,
исходя из нормативной функции, обеспечивает нас образами,
из которых посредством наглядных представлений могут быть
выведены логические законы. Следует отметить, однако, что
здесь существует ограничение, которое не позволяет при
создании образов выходить за рамки определенных простых
отношений. Мы в состоянии представить себе пятиугольник, однако в
случае с десятиугольником без вычерчивания его на листе
бумаги терпим неудачу. Многоугольник же с тысячью сторон,
даже в случае изображения его на бумаге, теряет свой
специфический образный характер, который отличает его от
многоугольника с числом сторон, равным тысяче четырем. Эти
ограничения и вынуждают математиков отказаться от визуальных
методов в пользу аналитических. Никто не будет пытаться
пересчитать число диагоналей в многоугольнике с тысячей
сторон. Мы не стали бы доверять даже результату, полученному
путем пересчета их на чертеже, но всегда предпочитаем
аналитический метод, который выводит число диагоналей из числа
углов при помощи простой формулы. Конечно, в способности
наглядно представлять себе геометрические фигуры
существуют индивидуальные различия, но эта способность ограничена
определенной областью, и за ее пределами для каждого
начинается царство геометрических фигур, которые наглядно
представить себе невозможно. Было бы ошибкой утверждать, что
63
вся евклидова геометрия может быть представлена наглядно.
Только элементарные геометрические фигуры могут быть
наглядными, то есть осознанными через образы.
И даже элементарные геометрические структуры могут быть
наглядно представлены только с учетом определенных
ограничений, зависящих от размеров этих фигур. Мы часто говорим,
что можем наглядно представить себе земной шар, но это
заблуждение. Мы можем наглядно представить себе сферу, но она
не будет иметь размеров Земли. То, что мы наглядно
представляем себе, когда говорим о возможности созерцания Земли,
есть небольшая сфера, которая, как мы полагаем, должна быть
подобна земному шару. Мы можем попытаться увеличить эту
представляемую в виде образа сферу. Вероятно, мы могли бы
наглядно представить ее столь же большой, как воздушный
шар или гора. Однако очень скоро мы должны были бы
признать свою неудачу. Можно было бы возразить, что
созерцаемые нами образы не имеют абсолютных размеров, но это
неверно. Сфера величиной с воздушный шар обладает чувственно-
наглядным качеством, отличным от качества сферы величиной
с теннисный мяч, а та в свою очередь качественно отличается
от сферы величиной с булавочную головку. В нашем
воображении такие структуры могут быть различены так же хорошо, как
треугольник и квадрат. Тот факт, что в реальном восприятии
размер зависит от перспективы, не имеет никакого отношения
к этой способности. Если случайно произойдет так, что мы
увидим удаленный от нас воздушный шар таких же размеров, как
теннисный мяч, лишь потому, что он рассматривается нами в
такой же угловой перспективе, как и мяч, то это будет означать
только, что мы переводим визуальное качество «теннисный мяч»
в физическую структуру «воздушный шар». Было бы ошибкой
утверждать, что этот перевод не имеет отношения к
наглядности, потому что отношения при больших размерах сходны с
отношениями при малых размерах. Если для того, чтобы
наглядно представить большие фигуры, используются образы малых
размеров, то это есть косвенный метод, в котором используются
посторонние образы. Этот окольный путь оказывается
возможным в силу одного из особых свойств евклидовой геометрии.
В системе евклидовой геометрии имеются теоремы подобия.
В неевклидовой геометрии таких теорем не существует: сумма
углов треугольника и соотношение между длиной окружности и
диаметром круга зависят там от абсолютных размеров фигуры.
Поэтому в неевклидовой геометрии косвенный метод следует
модифицировать: фигуры меньших размеров следует
представлять как деформированные. Такие аналогии возможны только
в пределах определенных ограничений, которые
подразумеваются при этом. Опасно искать наглядную необходимость там,
где ее нет. Наглядность не предполагает с необходимостью,
чтобы большие фигуры могли быть визуально заменены малыми
64
фигурами той же формы. Это является визуальным
требованием только в евклидовой геометрии, и даже в этом случае
переход к меньшим фигурам не имеет такого же эффекта, который
достигается в непосредственном восприятии.
Образно-продуктивная функция заменяется концептуальным координативным
методом, который тайком протаскивается с помощью метода
использования посторонних образов.
То же самое верно и для очень малых структур. Фигуры
атомарных размеров, такие, как орбита электрона, не могут
быть представлены наглядно. Здесь также используется
косвенный метод наглядного представления подобных фигур
промежуточных размеров.
Ограничение точности наглядных образов в промежуточной
области связано с невозможностью наглядного представления
очень малых фигур. Хотя мы можем наглядно представить себе
прямой угол, мы все же не можем отличить его от угла в
89° 59'. Если мы имеем дело с треугольником, обладающим
таким углом, то нет никакого иного пути, кроме как представить
себе угол, намного больше отклоняющийся от 90°, только тогда
мы можем заметить его отличие от прямого угла. Два отрезка
прямых линий, которые в случае их продолжения пересекутся
на Солнце, неотличимы на Земле от параллельных. Поэтому
мы обладаем лишь одним визуальным образом для обоих
феноменов. Те, кто оспаривает это утверждение, забывают о том, что
два непараллельных отрезка, которые можно наглядно
представить себе, должны пересекаться слишком быстро, и здесь вновь
используется косвенный метод, в котором подставляются
посторонние образы, удовлетворяющие данным специфическим
условиям.
Наконец, среди ограничений наглядности следует упомянуть
проблему бесконечности пространства. То, что этот вопрос
столь усиленно дискутировался, и то, что в связи с ним даже
были сформулированы антиномии, обязано своим
существованием только тому факту, что здесь терпит неудачу образно-
продуктивная функция созерцания. Мы не можем наглядно
представить себе евклидово пространство как целое. В этом
кратко выражается смысл всех аргументов за или против
бесконечности пространства. В концептуальных построениях
довольно легко иметь дело с понятием бесконечности
пространства, и вопреки Канту только то доказательство является верным,
которое приводит к заключению о бесконечности евклидова
пространства. Мы в состоянии делать теоретические
утверждения относительно пространства как целого, так же как
утверждение о том, что это пространство является трехмерным.
Однако наглядно представить его себе как целое невозможно; нельзя
охватить его одним взглядом, как это мы делаем по отношению
к сфере или земному шару. Попытки заменить
непосредственное созерцание поверхностным осмотром однородной области
65
пространства всегда будут лишь паллиативом. Бесконечность
пространства составляет такое свойство евклидовой геометрии,
которое не может быть представлено наглядно. Мы вернемся
к этому вопросу, когда будем рассматривать целостные
свойства неевклидовых пространств, где встретимся с аналогичными
явлениями.
Описанные выше пределы наглядности действительно
существуют, и было бы большой ошибкой со стороны философов
пренебрегать ими как «чисто психологическими».
Психологическое осознание является важным, любой логический вывод
может быть осознан психологически во всей строгости. Однако
наглядное представление прямого угла или бесконечного
пространства является невозможным.
Поэтому мы утверждаем, что из таких психологических
ограничений наглядности следует вывод о том, что за строгость
нашей работы несет ответственность не созерцание, а логика,
которая всегда присутствует при формировании наших образов.
Неряшливо начерченные фигуры, где гомологичные стороны
конгруэнтных треугольников являются на глаз различными по
длине, позволяют тем не менее вывести строгое геометрическое
доказательство. Точно так же нечеткие визуальные образы
позволяют нам делать строгие логические выводы, если
выполнены логические условия конгруэнтности. Эти выводы возможны
только потому, что решающим фактором является не
наглядность, а логические законы, мысленно подразумеваемые в
образах. Поэтому любой анализ наглядного представления
евклидовой геометрии должен подчеркивать пределы способностей
человека. Эти пределы доказывают, что нормативный характер
наших образов вытекает не из созерцания, а из логики.
Однако столь же ошибочной является попытка математиков
основать наглядность неевклидовой геометрии на этих же
ограничениях наглядности1. Отклонения физической геометрии от
евклидовой, согласно теории относительности, столь малы, что
они намного ниже пределов точности наглядных представлений,
поэтому было бы вернее сказать, что эйнштейново пространство
может быть наглядно представлено столь же хорошо, как и
евклидрво, поскольку в пределах визуальной области не
замечается никаких различий. Однако этот аргумент является спорным.
Недопустимо основывать утверждение о наглядности на
явлениях, где созерцание терпит неудачу. Конечно, имеются
заметные для созерцания различия, подобные различию между
углами в 90° и 45°. Проблема возможности наглядного
представления неевклидовой геометрии концентрируется вокруг вопроса
о том, можно ли использовать не негативные, а позитивные
1 Эта концепция была выдвинута Ф.Клейном. См.: Клейн Ф.
Элементарная математика с точки зрения высшей. Лекции, читанные в Гёттингенском
университете, т. 2. М.— Л., 1933, с. 288—310.
66
свойства созерцания для наглядного представления
неевклидовой геометрии. Если возможно наглядное представление
неевклидовой геометрии, то оно возможно и для пространства
большой кривизны, различимой, скажем, в пределах размеров
комнаты, и равным образом для эйнштейнова слабо
искривленного пространства. В противном случае не имеет смысла
говорить о наглядном представлении, а можно лишь сказать, что
мы в состоянии зафиксировать только не-наглядность различий
между двумя пространствами. Поэтому нецелесообразно
принимать пределы наглядности в качестве отправной точки в наших
попытках сделать неевклидову геометрию доступной для
наглядного представления. Единственной нашей заботой в
вопросе об этих пределах будет установить тот факт, что не
наглядное представление, а логика диктует законы, выводимые
нами из образов.
Ранее (§ 1) неевклидова геометрия уже была представлена
как воспринимаемая с помощью «плохо начерченных» фигур, и
теперь мы понимаем более глубокое значение этой схемы. С ее
помощью выражается идея о преобладании логики в
созерцании. Наша задача углубить этот метод таким образом, чтобы
мы могли вообразить для неевклидовой геометрии даже
возможность «хорошо начерченных» фигур. Посредством
понятийного мышления мы можем перейти от созерцания к
преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает
способностью, так сказать, «перехитрить» визуальные образы с помощью
абстрактных понятий и после этого продуцировать новые
образы. Не следует, разумеется, требовать, чтобы новые образы
обладали той же степенью очевидности, что и старые, и чтобы они
столь же легко бросались в глаза, как и образы, к которым мы
приучены. Неизбежно некоторое принуждение и некоторое
приспособление, а также тщательный анализ того, что есть на
самом деле визуального в так называемых визуальных
переживаниях.
§ 11. Наглядность
неевклидовой геометрии
Иногда математики, которые много работают в области
неевклидовой геометрии, утверждают, что они постепенно
получают возможность наглядного ее представления. Сторонники
теории относительности доказывают, что наглядное представление
евклидовой геометрии есть лишь результат привычки и что мы
могли бы постепенно приобрести способность наглядного
представления неевклидовой геометрии. Не следует, однако,
забывать, сколь мало проясняется таким утверждением, потому что
мы не знаем пока еще, что следует понимать под «наглядным
67
представлением неевклидовой геометрии». Математики
склонны откладывать рассмотрение этих философских вопросов,
отдавая предпочтение математической разработке геометрии.
Никто не отрицает, что математики добились успеха в привыкании
к неевклидовым понятиям, что благоприятствовало быстрому и
эффективному исследованию математических проблем. Однако
остается нерешенным вопрос о том, может ли такое
воображение неевклидовых соотношений сравниваться с феноменом,
который мы именуем «наглядным представлением» в рамках
евклидовой геометрии.
Математики разработали процедуру, которая позволяет нам
«наглядно представить себе» неевклидову геометрию
посредством евклидовой геометрии. Этот метод основывается на том
математическом факте, что неевклидова геометрия может быть
Р и с. 5. Модель неевклидовой геометрии, предложенная Клейном.
отображена, на евклидово пространство. Хорошо известный
пример проиллюстрирует этот вопрос. На рис. 5 начерчен круг,
внутренняя область которого может быть использована для
наглядного представления геометрии Больяи — Лобачевского.
Между хордами этого круга имеют место те же отношения, что
и между прямыми линиями геометрии Лобачевского, до тех пор
пока мы ограничиваем себя внутренней областью данного
круга. Через точку Р проведена (пунктирная) хорда,
пересекающая АВУ и две другие хорды, не пересекающие АВ. Данный
чертеж иллюстрирует аксиому о параллельных Лобачевского.
Это означает на языке геометрии, что возможно существование
нескольких прямых линий, проведенных через одну точку,
которые не пересекают данную прямую линию. Можно было бы
возразить, что эти прямые линии, если их продолжить
достаточно далеко за пределы круга, рано или поздно пересекут
продолжение прямой линии АВ. Однако это не противоречит
нашему утверждению. Мы говорили только, что отношения между
хордами во внутренней области данного круга идентичны
отношениям геометрии Лобачевского. Каждая теорема, справед-
63
ливая для прямых линий геометрии Лобачевского, имеет силу
и для хорд во внутренней области круга. Более того,
математика может показать, что плоскость Лобачевского в целом
может быть отображена на внутренней области этого круга. Но
при этом понятие расстояния между двумя точками в
геометрии Лобачевского соотносится не с понятием расстояния между
двумя точками в геометрии Евклида, а с математическим
выражением, которое в геометрии Евклида приобретает очень
усложненную форму1. Это выражение имеет следствием, что
равные отрезки на хорде в неевклидовой метрике соответствуют в
евклидовой метрике отрезкам, становящимся все меньше и
меньше по мере приближения к периметру круга, так что на
хорде оказывается расположенным бесконечное число таких
«равных» отрезков. Посредством этой схемы любая теорема
евклидовой геометрии соотносится с любой теоремой геометрии
Лобачевского. Конечно, соответствующие теоремы имеют в обеих
геометриях различный смысл. Например, теорема геометрии
Евклида о том, что «через одну точку можно провести
множество хорд, которые не пересекают данную хорду во внутренней
области круга», соответствует теореме Лобачевского — «через
одну точку можно провести несколько прямых, которые не
пересекут данную прямую линию». Теорема геометрии
Лобачевского относительно конгруэнтности треугольников
соответствовала бы теореме евклидовой геометрии, которая
утверждает нечто относительно сложной функции, заменяющей
евклидово понятие расстояния.
Способны ли мы теперь наглядно представить себе
неевклидову геометрию? Конечно, нет. В этом примере могут получить
наглядное представление только евклидовы элементы этих
теорем. Вместо одной из теорем Лобачевского, которая не может
быть представлена наглядно, мы зрительно представляем себе
одну из теорем Евклида и посредством этого обходного
маневра получаем возможность с большой легкостью манипулировать
с геометрией Лобачевского. Понятия Лобачевского
превращаются в сокращенные выражения для более сложных евклидовых
соотношений. Мы говорим на языке Лобачевского, но
связываем эти понятия с визуальным смыслом евклидовых
отношений. Этот путь подобен попыткам придать понятный смысл
предложению, представляющему собой бессмысленную,
случайную комбинацию слов, путем придания словам новых значений.
Нельзя, однако, сказать, что таким образом первоначальное
значение становится понятным.
Поэтому философы возражают против такого метода
математиков на том основании, что данный результат есть не
1 Это есть логарифм двойного отношения, образуемого двумя точками и
точками пересечения хорды с данным кругом. См,: Weil Н. Space —Time —
Matter. London, Methuen & Co. Ltd. 1922, p. 82,
69
наглядное представление неевклидовой геометрии, а лишь
указание на систему отношений между элементами евклидова
пространства, аналогичную некоторой системе неевклидовых
отношений. Этот метод был применен для демонстрации того, что
наглядное представление неевклидовой геометрии невозможно
и должно быть заменено отображением на евклидово
пространство, только так его можно наглядно представить себе.
Соответственно данный метод отображения имеет только логическую
функцию доказательства непротиворечивости неевклидовой
геометрии (см. § 1). Этот важный результат не подвергается
сомнениям, однако как наглядное представление неевклидовой
геометрии такой метод отображения отвергается.
Это отклонение представляется вполне обоснованным.
Поэтому мы не будем развивать наши исследования в связи с
этой математической трактовкой проблемы, но вернемся к ее
физической трактовке, где проблема геометрии реального
пространства и его измерения наиболее резко бросается в глаза.
На этом пути мы подойдем более близко к проблеме
наглядности, поскольку будем иметь дело с эмпирическими
восприятиями, а не с концептуальными построениями. Позднее мы
вернемся к методу отображения, описанному выше.
Прежде всего нужно объяснить, при каких обстоятельствах
физик решился бы назвать пространство неевклидовым. Он
справедливо стал бы придерживаться результатов измерений,
полученных с помощью жестких стержней, и определять ими
геометрию. Представим его опыт наглядно. Предположим, что
наблюдаемая геометрия является трехмерным аналогом той,
что представлена рис. 2 (см. с. 28). Мы проводим через
пространство двухмерное сечение (рис. 6), на нашем чертеже оно
выглядит подобно проекции поверхности G на поверхность Е на
рис. 2. Рис. 6 может рассматриваться как вид сверху на рис. 2
(см., однако, прим. на с. 71). Вообразим меридианы,
прочерченные от точки А' (см. рис. 2) на плоскости G, которые
превращаются в радиальные прямые линии на плоской части
поверхности G. На поверхности Е эти меридианы будут
представляться как прямые линии, исходящие из точки Л, как это показано
на рис. 6. Мы должны только добавить, что представляем себе
рис. 6 как поперечное сечение через подобное пространство, так
что из точки А прямые линии будут идти во всех направлениях.
Для того чтобы описать наши наблюдения, предположим,
что физик придерживается евклидовой геометрии. Тогда он
наблюдает следующее. С помощью измерительного стержня он
устанавливает АВ = ВС = АВХ = В\С\. Отрезок ВВХ и есть
длина жесткого стержня, который он накладывает. Далее он
накладывает этот стержень на линию СС\. Он находит, что
стержень простирается от С до С2, тогда как С2С{ короче
стержня. В евклидовой геометрии СС\ должно быть равно 2
{ВВ\)У и он скажет, что стержень увеличился под воздействием
70
поля силы F. Эта сила действует таким образом, что стержень
при его расположении по касательной становится тем длиннее,
Рис. 6. Поперечное сечение через неевклидово пространство.
В неевклидовых отношениях ВВ\ = СС2. Хотя АВ = ВС и
АВ\ = В\С\. Сплошная линия М есть линия разной
удаленности от DC, пунктирная линия М есть
наикратчайшая линия. Эти линии не совпадают.
чем дальше он отодвигается от точки Л, тогда как в
радиальном положении его длина остается неизменной К Если он
движется еще дальше от Л, то растяжение возрастает еще боль-
1 Можно также сказать, что сокращение происходит в радиальном
направлении, тогда как в направлении касательной никаких изменений не происходит.
Оба эти описания были бы эквивалентны. Второе соответствовало бы
соотношениям на проекции на рис. 2. Мы выбираем первое описание, поскольку оно
облегчает последующие представления. Так, на рис. 6 отрезки АВ и ВС равны
по длине, тогда как на рис. 2 ВС короче. Рис. 6 получен из поверхности О
рис. 2 не путем параллельной проекции, а через проекцию, которая сохраняет
длины меридианов, однако растягивает параллельные круги. Имея дело с
полем гравитации в окрестностях точечной массы, Эйнштейн выбирает второе
описание и говорит о сокращении радиального измерительного стержня (см.:
Эйнштейн А. Основы общей теории относительности. — В: Эйнштейн А.
Собр. научн. трудов, т. I. М., 1965, § 22, с. 500—504). Получающиеся в
результате отношения подобны уже описанным. Единственное различие состоит
в том, что сокращение возрастает, а не уменьшается, когда достигают центра.
В центре (или даже вблизи от него) мы обнаруживаем сингулярность. Здесь
мы имеем дело с геометрией параболоида, возникающей при вращении
некоей параболы вокруг касательной к ее вершине (или вокруг прямой линии,
проходящей вне параболы и параллельно касательной) (ср.: «Physikalische
Zeitschrifb, № 17, 1916, p. 438).
71
ше, затем уменьшается, пока наконец не исчезает и отношения
не приходят к норме. Считается, что силовое поле F должно
быть универсальным, то есть независимым от материала изме;
рительных стержней.
Подобные соотношения были представлены в качестве
результатов измерений на поверхности Е (см. рис. 2), где их
можно было объяснить как следствие проекции. Там, однако,
переход к неевклидовой геометрии, то есть «элиминирование по
определению» (defining away) силы Fy был проще.
Поскольку мы имели дело с двухмерной проблемой, мы могли наглядно
представить себе поверхность Е как обладающую
полусферическим выступом, подобно поверхности G. Таким образом, в
двухмерной области введение неевклидовой геометрии не
вызывает никаких затруднений с наглядностью. В трехмерной же
области ситуация оказывается иной. Если рис. 6 должен
представлять поперечное сечение пространства, для которого во
всех направлениях из точки А получаются одинаковые сечения,
то мы не можем интерпретировать здесь поперечное сечение
как выпуклость, потому что в таком случае мы вступили бы в
конфликт со всеми остальными сечениями. Данное поперечное
сечение должно поэтому оставаться плоскостью и все же
проявлять себя как геометрия сферы — это и есть требование,
противоречащее наглядности, которое останавливает нас, когда мы
хотим ввести неевклидово пространство. Можем ли мы
освободиться от противоречия?
Мы должны проанализировать, следовательно, в каком
отношении такая интерпретация дает решение для двухмерной
проблемы. Как можно наглядно представить себе кривизну
некоторой поверхности? То, что мы видим обычно, представляет
собой нечто отличное от трехмерного пространства, а не
геометрические отношения в пределах данной поверхности.
Изменение расстояния между кривой поверхностью и прилегающей к
ней плоскостью — вот критерий, согласно которому зрительно
фиксируется кривизна. Таким образом, мы пользуемся третьим
измерением для того, чтобы зрительно зафиксировать кривизну
двухмерного многообразия. Назовем этот вид кривизны внешней
кривизной. Хорошо известно, что внешняя кривизна некоторой
поверхности может меняться без изменения внутренней
кривизны, то есть без изменения геометрии поверхности.
Например, определенная зона сферы из эластичного листа металла
может быть закручена без растяжения, так что данный
металл приобретет иную форму, тогда как его внутренняя
геометрия останется сферической. (Это неверно для сферы как
целого.) Если листу бумаги придать форму цилиндра, он будет
иметь внешнюю, но не внутреннюю кривизну, потому что
скручивание не сопровождается растяжением. Поэтому поверхность
цилиндра имеет геометрию евклидовой плоскости. То, что мы
обычно зрительно воспринимаем как кривизну поверхности, есть
72
ее внешняя кривизна. Если бы мы попытались достигнуть
подобного зрительного восприятия для трехмерного многообразия,
то мы должны были бы поместить его (по крайней мере) в
четырехмерное пространство. В этом и состоит трудность данной
проблемы.
Ввести новое измерение с помощью зрительного
представления достаточно трудно. Физически это новое измерение также
не было бы представлено, поскольку все физические события
ограничены трехмерной областью. Позднее мы подробнее
исследуем вопрос о том, в каком смысле число измерений
(пространства) определяется физическими событиями. Однако
сейчас оказывается очевидным, что введение нового измерения
для решения нашей проблемы бесполезно, потому что мы не
можем делать каких-либо измерительных операций в
четвертом измерении и поэтому здесь не существует никаких
критериев, аналогичных «расстояниям искривленной поверхности от
плоскости». Проблема должна быть решена в трехмерном
пространстве, то есть мы должны попытаться наглядно
представить себе внутреннюю кривизну пространства.
Существует и другая причина, почему мы должны остаться
в трех измерениях. Евклидово пространство может быть
зрительно представлено только в трех измерениях. Как
искривленная поверхность может быть охарактеризована при помощи ее
отношений к трехмерному пространству, так и плоскость может
быть описана с помощью трех измерений. Например,
плоскостями являются структуры, сечения которых представляют собой
прямые линии. В том же самом смысле, в каком мы говорим
о существовании некоей внешней и внутренней кривизны, мы
можем говорить о ее отсутствии. Пытаясь описать неевклидово
пространство как помещенное в многообразие более высокого
порядка, мы могли бы потребовать того же самого и для
евклидова пространства. Но если ограничиться наглядным
зрительным представлением об отсутствии внутренней кривизны, то
можно также ограничить себя наглядным зрительным
представлением о внутренней кривизне, большей, чем ноль. Мы
хотели сравнить нашу способность наглядно представить себе
либо то, либо другое, поэтому попытаемся наглядно
представить себе неевклидово пространство таким же образом, как и
евклидово, то есть в рамках трехмерной области.
Это интуитивное понимание представляет собой первый шаг
на пути к наглядному представлению неевклидова
пространства. Мы не должны требовать от образа неевклидова
пространства свойств, которыми обладает образ поверхности в
трехмерном пространстве, но попытаться найти лишь аналогии свойств
поверхности, зрительно созерцаемой в двух измерениях, то
есть найти аналогию внутренней кривизны поверхности.
Какие визуальные восприятия в двухмерной области
побудили бы нас сказать, что некоторая поверхность является искрив^
73
ленной? Только одно свойство представляет кривизну визуально.
Если мы посмотрим на рис. 6, то отрезок СС2 кажется
больше, чем ВВ\. Однако если мы посмотрим на те же самые
измерительные стержни на поверхности G, то СС2 представится
равным по длине ВВХ. Визуальное восприятие кривизны в двух
измерениях состоит в том, что мы по-разному визуально
оцениваем отношение конгруэнтности. Не имеет значения, что
отрезок СС\ не становится вдвое длиннее ВВ\, несмотря на
равенство отдельных секций радиальных линий. На плоскость мы
проецируем конгруэнтность по-иному. Это интуитивное
понимание представляет собой второй шаг на пути к наглядному
представлению искривленного пространства.
Мы можем выполнить ту же самую процедуру и для трех
измерений. Можно так скорректировать наши зрительные
образы, что отрезки ВВ\ и СС2 будут казаться равными по длине.
Нам не нужна для этого выпуклость на поверхности, требуется
лишь скорректировать наше понятие конгруэнтности. Такая
корректировка допустима, поскольку для конгруэнтности речь идет
об определении. Даже евклидова конгруэнтность, которую мы
часто предполагаем само собой разумеющейся, основана на
определении. Это определение также проецируется нами на
пространство, а не обнаруживается в нем. Корректировка,
необходимая для зрительного наглядного представления
искривленного пространства, состоит в проецировании иной конгруэнтности
на трехмерное пространство.
Мы имеем столь яркое визуальное восприятие евклидовой
геометрии потому, что процедуры с жесткими стержнями учат
нас евклидовой конгруэнтности. Вспомним описание образно-
продуктивной функции наглядного представления, данное в
предыдущем параграфе, где мы объяснили, что способ наглядного
зрительного представления обусловлен главным образом
предшествующими восприятиями. Чтобы изменить нашу реакцию на
евклидову конгруэнтность, необходимо привести в
значительное напряжение нормативную функцию. Этого не потребовалось
бы, если бы в повседневной жизни мы сталкивались с
жесткими телами, которые самокорректируются, приспосабливаясь к
неевклидовой геометрии. Мы можем вообразить, каким был бы
наш опыт, если бы мы работали с измерительными стержнями,
ведущими себя так, как это наблюдается на рис. 6. Во-первых,
мы бы почувствовали, что предметы изменяются во время
перемещения, и применили бы формулу Go + F. Спустя некоторое
время мы избавились бы от этого чувства и не воспринимали
бы больше никаких изменений предметов при их перемещении.
Далее мы скорректировали бы наши зрительные восприятия
применительно к геометрии G, для которой F = 0. Когда
близорукий человек впервые надевает очки, хотя он и видит при этом
все предметы отчетливо, ему кажется, что они должны
двигаться, как только он начинает двигаться сам. Спустя некоторое
74
время это чувство исчезает, и он приспосабливается к новому
способу видения. Соответствующий опыт мы приобрели бы и в
неевклидовом мире. В тот момент, когда мы перестаем
замечать какие-либо изменения в перемещаемых предметах,
визуальная корректировка завершается.
Укажем на другой пример такой корректировки.
Автомобили часто снабжаются выпуклым зеркалом заднего обзора на
той стороне, где сидит водитель. Нетренированный человек
видит картину в зеркале в искаженном виде. Движущиеся
объекты кажутся ему изменившими свою форму. Однако водитель,
привыкший к этой картине, уже не имеет впечатления
искажения и изменения формы. Такого рода корректировка
осуществляется и применительно ко многим непривычным отношениям
перспективы нашего евклидова окружения. Подобные явления
наблюдаются у детей: так, они воспринимают движущийся
вдали поезд в размерах игрушечного поезда и получают
впечатление, что, удаляясь, поезд становится объективно меньше. Они
также не способны идентифицировать статичную картину
конгруэнтности удаленных предметов с конгруэнтностью
предметов, расположенных поблизости. Дети видят параллельные
обводы улицы как объективно сходящиеся и, когда доходят до
конца улицы, не могут понять, что это то же самое место,
которое они видели издалека. Любая корректировка конгруэнтности
есть продукт привычки, корректировка производится, когда при
движении предмета или наблюдателя изменение картины
переживается как изменение перспективы, а не как изменение
формы предмета.
Тот, кто успешно приспособился к различным конгруэнтно-
стям, может наглядно представить себе неевклидовы структуры
так же легко, как и евклидовы, и сделать в этой связи
соответствующие выводы. В качестве иллюстрации я хотел бы
использовать проблему параллельных. В римановом пространстве
не существует параллельных. Попытаемся наглядно
представить селе это свойство. На рис. 6 сплошная линия MN
проведена таким образом, что имеет везде постоянную удаленность от
«наипрямейшей линии» DC. Согласно евклидовой геометрии,
MN есть кривая, поскольку посередине она ближе к линии DC.
Жесткий стержень, расположенный поперечно между линиями
в качестве меры их удаленности друг от друга, имел бы
радиальное направление и не сокращался бы в середине рисунка,
по краям же он приобретал бы тангенциальное положение и
испытывал расширение. Если мы скорректируем наши глаза
применительно к другой конгруэнтности, то, вероятно, мы
сможем «увидеть», что расстояние между двумя линиями везде
будет одинаковым. Мы лишь должны ясно осознать, что
евклидова конгруэнтность, несмотря на ее кажущуюся
общеобязательность, точно так же есть только определение, с помощью
которого мы «смотрим на» плоскостной чертеж. Более того,
75
сплошная линия М не есть «наипрямейшая линия».
Пунктирная линия MN — бочее короткая связь между М и N. В
евклидовой геометрии это означает: измерительный стержень,
перемещаемый вдоль пунктирной линии, проходит в середине через
зоны, более удаленные от Л, и поэтому в данных областях он
становится длиннее. Таким образом, он может быть меньшее
число раз уложен вдоль пунктирной линии. Если же мы
переключим наше зрение на иную конгруэнтность, то мы ясно увидим,
как стержень укладывается вдоль пунктирной линии меньшее
число раз. Следовательно, в этом примере не существует
никаких параллельных. Два обозначения: «линия,
равноудаленная от данной прямой» и «наипрямейшая линия» — не
применимы к одному и тому же объекту. В этом и состоит смысл
утверждения о том, что не существует никаких параллельных.
Для того чтобы объяснить чертеж на рис. 6, мы до сих пор
использовали язык геометрии Евклида. Такое употребление
необходимо, однако, только в начале попыток достигнуть
корректировки. Утверждения типа «данный стержень здесь длиннее,
чем там» в конце концов заменяются утверждениями типа
«данный стержень покрывает здесь одно расстояние, а там
другое расстояние», и соответствующие отрезки затем
воспринимаются зрительно.
В конце концов можно забыть, что с точки зрения
евклидовой геометрии эти отрезки различны по длине. Нечто подобное
происходит, когда мы изучаем новый язык. Сначала мы
переводим с родного языка, и, даже когда мы говорим, новые слова
приобретают смысл только потому, что их перевод всегда
присутствует в нашем сознании.
Постепенно мы приучаемся ассоциировать значение
непосредственно с новыми словами, думать и выражать свои мысли
на новом языке, не прибегая к помощи родного языка.
Подобная эмансипация от «родной геометрии» происходит и в случае
наглядного представления неевклидовых отношений.
Итак, неевклидово пространство можно сделать наглядным
путем корректировки зрительного представления к иной
конгруэнтности. Тем самым евклидово пространство лишается
своего привилегированного статуса. Нельзя не согласиться, что
здесь мы также как бы только перелагаем неевклидовы
отношения на евклидово пространство. Пространство как таковое
не является ни евклидовым, ни неевклидовым, а лишь
некоторым непрерывным многообразием. Оно становится евклидовым,
если для него предполагается то или иное определение
конгруэнтности. Эта конгруэнтность математически характеризуется
тем фактом, что понятия «линия, равноудаленная от данной
прямой» и «наипрямейшая линия» относятся к линии
одинаковой протяженности. Коль скоро мы приспосабливаем наше
зрение к этой конгруэнтности, мы наглядно представляем себе
евклидово пространство. Если вводится иное определение конгру-
7в
энтности, для которого описанные выше математические
условия не имеют силы, пространство становится неевклидовым. Мы
не в состоянии представить его себе наглядно, поскольку не
можем освободиться от евклидовой конгруэнтности. В этом случае
неевклидовы отношения могут быть только отображены на
наглядно представляемое евклидово пространство. Пространство
будет зрительно восприниматься как неевклидово, если нам
удастся зрительно представить новое определение конгруэнтности
как конгруэнтность, то есть приспособить к ней наше зрение.
Фактически это есть результат тренировки глаз в
приспособлении к поведению твердых тел в различных угловых
перспективах, что позволяет нам наглядно представлять себе евклидову
конгруэнтность. Если мы скорректируем зрение, то мы сможем
подобным же образом зрительно представлять себе евклидову
конгруэнтность. Этим шагом мы добились успеха в наглядном
представлении всего того, что может быть наглядно
представлено в евклидовом или неевклидовом пространствах в рамках
трехмерной области. Мы наглядно представили себе
внутреннюю кривизну, поскольку внутренняя кривизна есть не что иное,
как отклонение от евклидовой конгруэнтности.
Мы можем теперь вернуться к методу отображения геометрии
Больяи—Лобачевского на внутреннюю область круга,
предложенному Клейном. Он основывается на соотношении
неевклидовых понятий с евклидовыми. Мы можем назвать его также
методом определения (иная дефиниция) конгруэнтности и
наглядно представить как корректировку применительно к иной
конгруэнтности. Определение неевклидовой конгруэнтности
сформулировано с помощью евклидовой конгруэнтности и
вытекает из природы модели, которая имеет своей задачей
установить соответствие между двумя геометриями. Эта процедура
представляет собой косвенный метод, описанный выше:
евклидова геометрия выступает как промежуточный этап с целью
перевода возможного наглядного представления определяемой
конгруэнтности. Отчасти, конечно, трудно забыть этот обходной
путь, однако можно понять определение конгруэнтности как
данное непосредственно в утверждении «это расстояние
конгруэнтно тому расстоянию». Только до тех пор пока метод Клейна
идентифицируется с процессом отображения, данный пример не
является представлением геометрии Лобачевского. Однако
можно приспособиться к иной конгруэнтности, то есть
рассматривать как конгруэнтные те части хорды, которые, говоря
евклидовым языком, становятся все меньше и меньше по мере
приближения к периферии. В этом смысле картина Клейна
является подлинно наглядным представлением геометрии
Лобачевского.
Модель Клейна связана с одной специфической трудностью. Бесконечное
пространство Лобачевского отображается здесь на конечную часть евклидова
пространства. Для того чтобы завершить наглядное представление, мы должны
77
«забыть» все, что находится вне круга (в трехмерной области вне сферы). Мы
должны вообразить себя внутри и помнить о том, что отдаленных областей
нельзя достичь за конечное число шагов
Таким образом, математик прав, когда говорит, что, работая
с неевклидовой геометрией, он привыкает наглядно
представлять ее себе. Однако мы можем теперь проанализировать тот
процесс, с помощью которого он изменял свое зрительное
представление. Он привык наглядно представлять себе как
действительно конгруэнтную такую конгруэнтность, определение
корой первоначально задавалось в качестве функции евклидовых
элементов, и стал освобождаться от впечатления изменения,
возникавшего вначале у каждого, кто работал с такими конгру-
энтностями, и проецировать конгруэнтность в пространство при
помощи способа, отличного от первоначального. Если его
понимание дефинициального характера конгруэнтности является
достаточно строгим, чтобы направлять образно-продуктивную
функцию его созерцания, он достигнет успеха. Наш
первоначальный тезис состоял в том, что очевидная невозможность
зрительного наглядного представления неевклидовой геометрии
возникает из того факта, что тайно проводится
противоположное предположение, в котором выдвигается требование, чтобы
неевклидова геометрия была наглядно представлена с помощью
евклидовых элементов. Это предположение может быть теперь
сформулировано более точно: евклидова конгруэнтность есть
неявное предположение, которое оказывает влияние на
образно-продуктивную функцию нашего созерцания, когда оно столь
упрямо отвергает неевклидову геометрию. Такой отказ
непременно подтверждается, потому что неевклидовы отношения не
могут быть наглядно представлены с помощью евклидовой
конгруэнтности, такое зрительное представление логически
невозможно. Евклидова конгруэнтность представляет собой правило,
предполагаемое для игры в шахматы, согласно которому
определенные ходы представляются невозможными. Альтернатива
возможна только тогда, когда изменяется правило игры. После
того как такое изменение достигнуто, можно выводить из
образов законы неевклидовой геометрии, такие, как несуществование
параллельных, точно так же, как необученный человек
принимает на веру аксиомы Евклида в своих визуальных образах.
§ 12. Пространства с
неевклидовыми
топологическими
свойствами
Понятие топологическое мы упоминаем впервые и поэтому
дадим ему краткое объяснение. Поверхности трехмерного
пространства отличаются друг от друга не только их кривизной,
но и более общими свойствами. Сферическая поверхность отли-
78
чается от плоской, например, не только своей округлостью, но
также и конечностью. Конечность есть некое целостное
свойство. Сфера как целое имеет характер, отличный от характера
плоскЬсти. Сферическая поверхность, сделанная из резины,
например мяч, может быть изогнута таким образом, что ее
геометрия изменится. Мы можем придать ей яйцевидную форму
или форму куба, однако ее нельзя изменить таким образом,
чтобы она стала плоскостью. Все сферические поверхности,
сделанные из резины и полученные путем искажения их формы,
обладают одинаковыми целостными свойствами: они замкнуты
и конечны. Плоскость же как целое обладает свойством быть
открытой, ее прямые линии незамкнуты. Математически это
свойство выражается следующим образом. Каждая
поверхность может быть отображена на другой поверхности путем
соотнесения каждой точки одной поверхности с некоторой точкой
другой, что можно проиллюстрировать проецированием
теневых картинок с помощью световых лучей. Для поверхностей с
одинаковыми целостными свойствами это преобразование
можно выполнить однозначно и непрерывно для всех точек.
Однозначно — это значит, что одна, и только одна, точка одной
поверхности соответствует одной, и только одной, точке другой, и
наоборот. Непрерывно означает, что в бесконечно малых
областях сохраняются отношения рядополоэюения, при которых
разрывов поверхности или сдвига относительных положений точек
не происходит. Для поверхностей с различными целостными
свойствами такие преобразования могут быть выполнены лишь
локально, но для поверхности как целого единого
преобразования не существует. В качестве иллюстрации возьмем
стереографическую проекцию сферической поверхности (см. рис. 9). От
северного полюса Р проведем проективные лучи, с тем чтобы
спроецировать каждую точку поверхности сферы на
горизонтальную плоскость. Вообще это преобразование является
однозначным и непрерывным, хотя метрические отношения
искажаются; для точки Р, однако, обнаруживается сингулярность.
Точка Р отображается на бесконечность, то есть никакая
расположенная на конечном расстоянии точка данной плоскости
ей не соответствует. Можно показать, что такое
преобразование обладает сингулярностью по крайней мере в одной точке.
Поэтому поверхность сферы называется топологически
отличной от плоскости. Только «сфера без северного полюса» была
бы топологически эквивалентна данной плоскости. Это была
бы сфера, где исключалась бы только одна математическая
точка, тогда как все смежные точки сохранились бы. Такая
сфера обладала бы отверстием в форме точки, где отсутствовала
бы граница, и таким образом она уже больше не была бы
замкнутой поверхностью.
Гораздо большие топологические различия возникают при
рассмотрении поверхностей различной связности. Тор пред-
79
ставляет собой двусвязную поверхность (см. илл. II). Он имеет
форму баранки. Характерное свойство тора состоит в том, что
на нем имеются замкнутые кривые, которые не могут быть
стянуты в точку. На плоскости такие кривые невозможны. Если
изобразить на плоскости любую замкнутую кривую (рис. 7), а
внутри нее начертить другую, внутри которой поместить еще
меньшую, и так далее, то в конце концов кривые стянутся в
одну точку. Такие кривые существуют и на торе, но не каждая
кривая на нем обладает этим свойством. Кривые, начерченные
на илл. II, не могут быть стянуты в точку. Если двигаться от
кривой / к кривым 2 и 3, то кривая 2 лежит между кривыми /
и «3, как и на рис. 7. Однако если продолжить переход к
дополнительным кривым на поверхности тора, то в конце концов
Рис. 7. Кривые, которые могут быть стянуты в одну точку.
мы вернемся к кривой /, поскольку кривые на другой стороне
тора постепенно увеличиваются в отличие от плоскости, где они
сжимаются в точку. Утверждения, что кривая 3 лежит между
кривыми 2 и 1 или что кривая 1 лежит между кривыми 2 и «3,
являются эквивалентными, поскольку порядок
промежуточности 1 не зависит от взаимных расстояний между кривыми.
Промежуточность есть чисто порядковое отношение. При
наглядном представлении, полагающем, что кривая 2 необходимо
лежит между кривыми 1 и «3, смешиваются метрические
отношения с отношениями порядка, и к результатам подобного
представления следует относиться критически. Только
концептуальный подход обнаруживает ошибки наглядного представления и
позволяет устранить их. Если концептуальная структура
осознана, соответственно меняется и созерцание. Отношение
промежуточности на торе для кривых, которые не могут быть
сжаты в точку, является неопределенным, иначе говоря, для трех
таких кривых однозначно не определено, какая из них
находится между остальными двумя. (Отношения промежуточности
для кольцеобразных кривых на поверхности тора такие же, как
и отношения точек на периферии круга.) Эта неопределенность
отношения промежуточности имеет своим следствием то, что
такая кривая не разделяет поверхность тора на две отдельные
1 Под промежуточностью будем понимать отношение, обозначаемое
словом «между».
3Q
области. Между точками «направо» и «налево» от данной
кривой существуют связующие линии, которые остаются на
поверхности тора и, однако, не пересекают кривую К
Кольцевые свойства тора находят свое концептуальное
выражение в существовании таких неразделяющих кривых. Это
есть целостное свойство, которое имеет место в случае, если тор
однозначно и непрерывно отображается на другую поверхность.
Резиновое кольцо, например, обладает целостными свойствами
тора и сохраняет их даже в том случае, если его скрутить и
деформировать. В силу других своих целостных свойств тор не
может быть отображен однозначным и непрерывным образом
ни на плоскость, ни на сферу, от которой он также отличается
топологически.
В топологии математика имеет дело с чисто качественными
свойствами геометрических фигур (которые доказывают,
между прочим, что утверждение «математика есть чисто количе-
1 Существуют случаи, когда кривая не может быть стянута в точку,
однако она разделяет поверхность на две отдельные области, такие, как
кольцевая кривая на бесконечном цилиндре. Однако соответствующая кольцевая
кривая на торе имеет те же свойства, что и кривые, начерченные на илл. II.
61
ственная наука», ошибочно). С точки зрения математики
топологическая эквивалентность — это возможность однозначного и
непрерывного преобразования одной поверхности в другую, то
есть преобразования, не затрагивающего каких-либо
метрических соображений. Таким образом, математика добивается
успеха в аналитическом формулировании тех геометрических
свойств, которые являются типично визуальными и на первый
взгляд бросают вызов концептуальной формулировке.
Посредством новых понятий математика учит нас, как наглядно
представлять себе такие свойства. В обыденном языке тор — это
поверхность с дырой. Однако дыра вводит третье измерение;
сама же поверхность тора не имеет никакой дыры. В процессе
движения по такой поверхности мы постоянно ощущаем себя в
некотором окружении. Тем не менее феномен так называемой
дыры тора дает себя знать в наших переживаниях, которые мы
испытываем, находясь на поверхности тора. Эти переживания
можно выразить с помощью кривых, которые не могут быть
стянуты в точку и для которых отношение промежуточности
является относительным. Даже для того, чтобы воспринять
поверхность тора как целое, мы должны изменить наше
восприятие примерно по такому же принципу, как мы изменяем его
при восприятии отношений промежуточности. Отсюда следует,
что в действительности восприятия, не выраженные в понятиях,
слепы. Это меткое замечание Канта лучше всего доказывается
с помощью логико-математического анализа, нежели всей его
философской системой.
Соображениями подобного рода мы будем руководствоваться
при рассмотрении топологических структур в трех измерениях.
Поскольку мы можем реконструировать метрические свойства
кривых поверхностей в трехмерной области, мы также в
состоянии осознать их топологические свойства в трехмерных
пространствах. Простые свойства связности евклидова
пространства— это особый случай, и мы должны анализировать
пространства, обладающие иными свойствами связности. При
этом нам нет более необходимости отделять вопрос о
теоретическом понимании в физике от вопроса о наглядном
представлении. Поскольку мы выяснили, что проблема наглядности
может быть решена в связи со строением чувственного опыта, мы
будем иметь дело с обоими вопросами сразу. Последуем
методу Гельмгольца. Гельмгольц уже дал четкое определение
«созерцания», утверждая, что ряды чувственных восприятий могут
складываться из событий, которые происходят в каждом
отдельном случае К Возникает вопрос: каким бы был наш чув-
1 Schriften zur Erkenntnistheorie. Ed. Hertz und Schlick. Berlin, 1921, S. 5.
Эта формула Гельмгольца, подкрепленная примерами, построенными на таком
принципе, открывает путь для решения проблемы наглядного представления
в геометрии.
82
ственный опыт, если бы пространство имело иные
топологические свойства? Попытаемся ответить на этот вопрос на примере
тора.
Для описания физических фактов воспользуемся тем же
методом, который успешно применялся в предыдущем параграфе.
Прежде всего допустим, что мы имеем дело с евклидовым
пространством, и будем описывать свои наблюдения согласно
схеме Go + F. Лишь позднее мы перейдем к формуле F = 0 и G.
На поверхности тора мы хотим построить трехмерную
аналогию неразделяющих кривых.
Рис. 8. Концентрические сферические оболочки.
Рисунок 8 следует рассматривать трехмерно; круги,
изображенные на рисунке, являются поперечными сечениями
сферических оболочек. Итак, допустим, что некий человек
карабкается по огромной сферической поверхности /. Путем измерений,
производимых с помощью жестких стержней, он устанавливает,
что это сферическая оболочка, то есть обнаруживает
геометрию поверхности сферы. Поскольку в его распоряжении третье
измерение, он переходит на сферическую оболочку 2.
Расположена ли вторая оболочка внутри первой или же она включает
в себя первую? На этот вопрос он может ответить путем
измерения оболочки 2. Предположим, он находит, что оболочка 2
имеет меньшую поверхность, следовательно, он может сказать,
что оболочка 2 расположена внутри оболочки /. Далее он
переходит к оболочке 3 и обнаруживает, что она столь же
велика, как и первая.
Как это возможно? Ведь оболочка 3 должна быть меньше
оболочки 2, Если бы мы имели дело с евклидовой геометрией,
то было бы именно так. Однако эти соображения не должны
83
сказываться на наблюдении. Физик будет объяснять
результаты своих измерений при помощи сокращения стержня:
измерительный стержень, а также собственное тело наблюдателя
сокращаются таким образом, что оболочка 3 представляется
большей, чем оболочка 2. Этой гипотезой он может
воспользоваться.
Переходя к следующей оболочке — оболочке 4, он
обнаруживает, что она больше, чем 3, и, следовательно, больше, чем
/. Его измерительный стержень сократился еще больше. На
оболочке 5 выясняется, что она такой же величины, как и
оболочки 3 и 1.
Однако здесь он наблюдает нечто странное. На оболочке 5
все знакомо ему, он узнает даже собственную комнату,
которая была построена в определенном месте оболочки /. Это
совпадение обнаруживается в каждой детали: он видит
собственную рукопись на письменном столе, а его полупустая чашка
чая стоит там, где он оставил ее раньше. Он совершенно
ошеломлен, поскольку уверен, что отделен от поверхности / рядом
промежуточных оболочек. Следовательно, он должен
предположить, что существуют два идентичных мира и что каждое
событие на поверхности / тождественным образом происходит
на поверхности 5.
Внезапно ему приходит в голову, что в этот же самый
момент его собственный двойник находится на поверхности / и
ломает себе голову над теми же проблемами, что и он сам.
Чтобы проверить эту идею, он ставит решающий эксперимент.
Записав свои мысли на листке бумаги, он добавляет кодовое
слово, кладет бумагу в ящик письменного стола, закрывает его,
кладет ключ в карман и покидает оболочку 5. Он исследует ее
еще раз и находит, что она полностью окружена оболочкой 4.
Затем он возвращается на оболочку /, по пути удостоверясь
в том, что каждая оболочка расположена между двумя
другими. Прибыв на оболочку /, он находит свою комнату; достав из
кармана ключ, открывает ящик письменного стола и узнает
листок бумаги с теми же записями, что он сделал, находясь на
оболочке 5.
Каким в этом случае предстанет в его глазах окружающий
мир? Если придерживаться евклидовой геометрии, то он
должен будет принять факт удвоения всех событий, включая
собственную персону. Однако не только удвоение. Он обнаружил
бы также, что, странствуя от оболочки 1 во «внешнем»
направлении или от оболочки 5 во «внутреннем», он встречает одни и
те же предметы. Он никогда не сможет достигнуть центра
оболочек, так как, приближаясь к нему, все предметы, как и он
сам, непрерывно сокращаются. Таким образом, по отношению к
наблюдателю центр находится на бесконечном расстоянии.
Этот мир состоит из бесконечного числа эквивалентных
сферических оболочек. В пределах каждого промежутка, скажем от
84
оболочки 1 до оболочки 5, все происходит в соответствии с
обычными физическими законами, однако за его пределами все
события повторяются. Каждой точке одного промежутка между
оболочками соответствует определенная точка на всех других
промежутках, но в то же время какой-либо границы между
оболочками не существует, а все переходы между ними
сглажены.
Это и есть описание тех ощущений, которые испытывает
человек, находящийся на поверхности тора, представленного в
рамках евклидовой геометрии. Заметим, что добавление
универсальной силы F к геометрии Go оказывается
недостаточным; кроме того, возникают каузальные аномалии, состоящие
в пространственной периодичности всех событий.
Взаимозависимость всех событий в соответствующих точках не может быть
интерпретирована как обычная причинность, поскольку она не
требует времени для перехода и не распространяется как
непрерывное действие, которое должно последовательно пройти
через все промежуточные точки. Нормальная причинность
имеет место только в пределах каждой оболочки.
Взаимозависимость же оболочек подобна своего рода предустановленной
гармонии. Возникает вопрос, следует ли понимать эту
предустановленную гармонию как мгновенную стыковку удаленных
друг от друга событий, то есть как действие на расстоянии,
распространяющееся без промежуточных эффектов, или же ее
следует рассматривать как параллелизм событий, которые
«благодаря случаю» имели одни и те же начальные условия и с тех
пор протекают соответствующим образом, напоминая ход
синхронизированных часов. В данном случае речь идет только
о различии в интерпретации1. Поскольку обе интерпретации
описывают события, существенно отличающиеся от
естественных законов природы, мы говорим о каузальной аномалии.
Больше мы не можем записывать нашу формулу в виде G0 + F,
ибо должны писать:
G0 + F + A,
где А обозначает каузальную аномалию.
В результате физика как наука оказывается в необычной
ситуации. Принцип причинности — один из наиболее важных
физических законов, от которого не так-то легко отказаться.
Однако предустановленная гармония несовместима с ним.
Поэтому для физики будет предпочтительнее перейти к
геометрии тора. Согласно этой концепции, оболочки 1 и 5
являются тождественными, а мир существует не в виде периодически
1 Последняя интерпретация возможна только с точки зрения
детерминизма, ибо в противном случае неизменность строгого параллелизма была бы
бесконечно невероятной.
85
меняющихся областей пространства, а в едином пространстве,
имеющем форму тора. С переходом от G0 к G исчезает не
только универсальное поле силы F, но также и данная
аномалия Д что является довольно сильным аргументом для
предпочтения G.
Возникает вопрос, совместим ли этот результат с
доказанной выше относительностью геометрии. Эта относительность
основывалась на теореме 0 (с. 51), которая утверждает
возможность отображения одной геометрии на другой. Как уже
говорилось в начале этого раздела, однозначное и непрерывное
отображение возможно только для геометрических структур,
обладающих одинаковой топологией. Теорема 0 действует лишь
в пределах этих ограничений. Если отображаются друг на
друге топологически различные пространства, то в некоторых
местах отношения рядоположения будут нарушаться.
Отображение тороидального пространства, представленное выше, в двух
измерениях соответствует случаю, когда поверхность тора
разрезана вдоль одной из кривых, начерченных на илл. II. Тор
примет форму плоского круглого кольца. При этом
поверхность тора деформируется таким образом, что точки вдоль
разреза будут отделены от прилегающих к ним точек. Два края
кольца соответствуют друг другу, то есть они тождественны на
торе. Непрерывность сохранится, если бесконечное число все
уменьшающихся колец будет располагаться концентрически
одно внутри другого. Правда, отображение перестанет быть
однозначным в одном направлении. В физической
интерпретации нарушение непрерывности или однозначности
соответствует каузальной аномалии, в данном же случае оно
соответствует предустановленной гармонии. Если полная свобода
выбора геометрии является conditio sine qua поп («непременным
условием»), то каузальные аномалии должны считаться
случайными.
Следует ли нам в этих условиях отказаться от евклидовой
геометрии? Нет, не следует, ибо никто не может помешать нам
верить в предустановленную гармонию. Если мы признаем ее,
то евклидова геометрия спасена. Однако если мы хотим
сохранить нормальную каузальность, то при определенных условиях
евклидова геометрия для физического пространства должна
быть запрещена. Если утверждение о геометрии пространства
имеет смысл, то вполне естественно ввести некоторое
дополнительное условие. Не вызывает сомнения, что физика требует
нормальной причинности, если вводится условие
нормализации F = 0. Всякий раз при обсуждении вопроса о геометрии
пространства это молчаливо предполагается, ибо без такого
предположения все положения геометрии физического
пространства теряют определенность.
Мы столь подробно остановились на анализе пространства
тора, с тем чтобы выработать важный аргумент против априо-
86
ристской философии пространства. Выше уже говорилось, что
стороннику априористской философии нельзя помешать
сохранить геометрию Евклида и что этот вывод следует из
относительности геометрии. Однако в данном случае этот человек
оказывается в затруднительном положении. Он по-прежнему
может придерживаться евклидовой геометрии, но должен
отказаться от нормальной причинности как всеобщего принципа.
Однако для такого философа причинность есть другой
априорный принцип. Таким образом, он должен отказаться от одного
из своих априорных принципов. Он не может отрицать, что
факты, подобные только что описанным, действительно могли
бы иметь место. Мы ясно показали, что в таком случае
возникают ощущения, которые не могут изменить никакие
априорные принципы. Следовательно, существуют обстоятельства, при
которых два априорных требования, постулируемые
философией, могут противоречить друг другу. Это — наиболее сильное
опровержение априористской философии К
Что теперь можно сказать о возможности наглядного
представления пространства тора? Соображения, изложенные в
предыдущем разделе, применимы и к метрической деформации
измерительных стержней. Эта деформация может быть
наглядно представлена посредством приспособления по отношению к
различным видам конгруэнтности. Однако идентификация
сферических оболочек 1 и 5 на рис. 8 представляет гораздо
большие трудности. Ясно, что мы бы считали отдельные предметы
на этих оболочках идентичными, если бы чувственно
воспринимали их таковыми в обычном смысле. Проблемы наглядного
представления в связи с взаимным включением этих сфер друг
в друга будут рассмотрены ниже.
Сферическое пространство топологически иное. Оно
вызывает особый интерес потому, что не только представляет одну
из возможных форм физической реальности, подобно
пространству тора, но и соответствует, согласно Эйнштейну, реальному
пространству. Для того чтобы вообразить его, вновь обратимся
к визуальному опыту с помощью двухмерной аналогии. Однако
выберем для нашей модели гораздо меньшие размеры, чем
размеры эйнштейновой вселенной, ибо в противном случае мы не
смогли бы описать визуальные впечатления, заметно
отличающиеся от визуальных впечатлений в евклидовом пространстве.
На сферической поверхности, как и на плоскости, любая
замкнутая кривая может быть стянута в точку. Разница лишь
в том, что на сферической поверхности кривые могут быть
стянуты в обоих направлениях: как в направлении северного по-
1 Мое опровержение кантианской системы, изложенное в работе «Relati-
vitatstheorie und Erkentrvis a priori» (Berlin, 1920, S. 29), основано на эгой
идее. Полагаю, что данное изложение более убедительно демонстрирует
противоречивость априорных принципов, нежели моя более ранняя работа, аргу*
ментйция которбй не вполне корректна.
87
люса, так и в направлении южного, поскольку сфера замкнута.
Поэтому по отношению к сферической поверхности нельзя
сказать, какая из двух взаимно заключенных друг в друге кривых
является внешней. Если взять два круга / и 2, близкие к
северному полюсу N (илл. III), то больший круг 2
представляется наружным. Однако круг 2 может считаться промежуточным
в процессе стягивания в точку круга / при условии, если
круги 3 и 4 стягиваются к южному полюсу. Включение есть
топологическое понятие; отсюда размер фигуры не может быть
показанием ее включенности. Поэтому нельзя говорить об
одностороннем включении кругов на сфере, как это можно было бы
сказать в случае с плоскостью. Понятие включения является
относительным; существует только некоторое «включение по
отношению к данной точке стягивания». Относительность
включения концептуально выражает конечность и замкнутость
сферической поверхности.
Теперь перенесем эту идею на трехмерное пространство. Не
будем искать для аналогии модель, в которой конечная
поверхность сферы вложена в трехмерное пространство. Конечность
не означает сведения к некоему острову, затерянному в
огромном мире. Если ограничиться определенным числом измерений
данной структуры самой по себе, то, кроме нее и вне ее,
ничего другого не существует. В созданном таким образом мире
нет места, которого нельзя было бы достигнуть. Конечность
выражается скорее в специфически топологических отношениях
всех точек пространства. Соответственно с внешней и
внутренней кривизной различаются внешние и внутренние целостные
свойства. Здесь мы ограничимся рассмотрением внутренних
целостных свойств.
Сферические поверхности в трехмерном пространстве
соответствуют окружностям на поверхности сферы.
Проанализируем их отношения включения путем отображения трехмерной
структуры на евклидовом пространстве, то есть начертив
искаженные соответствующим образом фигуры в евклидовом
пространстве. Мы должны это сделать уже потому, что
намереваемся начертить сферическое пространство. «Начертить» —
значит отобразить на небольшой поверхности, а поскольку
небольшие поверхности в сферическом пространстве
приближаются к евклидовым, то обитатель сферического пространства не
сумеет начертить что-либо иное, отличное от того, что
намерены предложить мы х. Тем не менее нас крайне интересует, что
именно он увидит. На основе нашего рисунка можно сделать
вывод о его перспективе, которая значительно отличается от
евклидовой. Наш рисунок, следовательно, не исказит реальную
картину действительности, воспринимаемую наблюдателем, по-
1 Под словом «начертить» понимается отображение на небольшом
трехмерном объеме. Рисунок на плоскости является проекцией такой фигуры.
68
Рис. 9. Стереографическая проекция поверхности сферы. Если
воспринимать этот рисунок как поперечное сечение сферы,
то вид сверху (нижний рисунок) есть стереографическая
проекция сферического пространства.
скольку мы просто чертим плоскостные фигуры, которые,
проецируясь на сетчатке глаза, дают в итоге картины,
аналогичные реально существующим в сферическом
пространстве.
Отображение сферического пространства осуществимо с
помощью стереографической проекции. Начнем с проекции
двухмерной сферической поверхности. Из центра проекции Р
(рис. 9) все точки данной поверхности с помощью световых
лучей спроецируем на плоскость, касательную к сфере в точке
О, противоположной Р. Вид сверху на полученные в результате
фигуры приведен в нижней части рис. 9. Их центром является
точка О, противоположная Р. Точка же Р проецируется на
бесконечность. Все окружности, проходящие через точку Р, в
плоскости проекции становятся прямыми линиями. В
частности, большие круги сферы, проходящие через точку Р, стано-
89
вятся центральными прямыми линиями, то есть прямыми,
проходящими через О. Экватор QQ' становится фундаментальной
окружностью Q/CQ'/C', центром которого является О. Можно
показать, однако, что любая окружность данной сферы
превращается в окружность на плоскости. Этот результат не вполне
очевиден, но математикам он известен еще со времен древних
греков. Окружности больших кругов, в частности,
отображаются как окружности, пересекающиеся с фундаментальной
окружностью QKQ'K' в двух диаметрально противоположных
точках, поскольку они обладают этим свойством на сфере.
Назовем их главными окружностями. На виде сверху (нижняя
часть рис. 9) начерчены две такие главные окружности,
построенные как проекции окружностей больших кругов SS' и
TT'f фронтальный вид которых представлен на верхней части
рис. 9.
Из однозначного соответствия, задаваемого отображением,
следует, что система фигур, образуемая главными
окружностями, фундаментальной окружностью, а также центральными
прямыми линиями, удовлетворяет аксиомам двухмерной
сферической геометрии. Этот факт позволяет нам перевести
стереографическую проекцию в трехмерное пространство. Предположим,
что соответствующие трехмерные структуры удовлетворяют
системе аксиом трехмерного сферического пространства; в
действительности это легко доказать.
Нужно только осознать, что изображение на верхней части
рис. 9 представляет собой поперечное сечение трехмерного
пространства. Данная система сфер, представленная на рисунке
окружностями поперечных сечений, есть стереографическая
проекция сферического пространства.
Соответствия, заданные данной проекцией, приведем в
следующей таблице:
Элементы сферического Их представления
пространства в евклидовом пространстве
Плоскость Фундаментальная сфера или
плоскость, проходящая через
центр О фундаментальной сферы
(называемая центральной
плоскостью), или сфера, которая
пересекает фундаментальную
сферу по большому кругу
(называемая главной сферой)
Прямая линия Прямая линия, проходящая через
О (центральная прямая линия),
или окружность, образованная
пересечением центральной
плоскости и главной сферы (главная
окружность)
90
Точка, включая бесконечно
удаленную точку
Фигуры, которые могут быть
преобразованы одна в другую путем
сферического преобразования,
приводящего к фундаментальной
сфере того же размера
Приведем элементарное доказательство того, что система элементов с
правой стороны таблицы удовлетворяет аксиомам трехмерной сферической
геометрии.
Ясно, что на каждой центральной плоскости существуют те же самые
отношения, что и на плоскости рисунка (рис. 9, вид сверху), так как каждая
окружность, получающаяся в результате пересечения центральной плоскости
и главной сферы, должна обладать свойствами главной окружности,
определенными выше. (Окружность, образованная в результате пересечения
фундаментальной и главной сфер, есть окружность большого круга, согласно
определению главной сферы. Она пересекается в двух диаметрально
противоположных точках еще одной окружностью большого круга, получающегося в
результате пересечения центральной плоскости и фундаментальной сферы.
Поскольку обе точки принадлежат как центральной плоскости, так и главной
сфере, они должны быть расположены на окружности, образованной
пересечением этих двух элементов.)
Отсюда возникает необходимость доказательства еще трех теорем.
Первая: главная окружность каждой главной сферы должна удовлетворить
двухмерной сферической геометрии. Хотя эти главные окружности не являются
окружностями больших кругов главной сферы в евклидовом смысле, они следуют
той же системе аксиом, что и большие круги, поскольку возникают в
результате проекции всей совокупности больших кругов центральной сферы на
соответствующую главную сферу. Вторая: можно доказать, что любые две
главные сферы пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, которая
проходит через О. Очевидно, что прямая линия ЛШ', соединяющая точки
пересечения двух главных кругов, проходит через О, поскольку М и ЛГ
соответствуют диаметрально противоположным точкам сферы, указанным на
фронтальной проекции рис. 9. Поскольку прямая ММ' лежит в плоскости,
определяемой пересечением двух главных сфер, то О лежит в этой плоскости.
Третья: можно доказать, что две главные окружности, которые имеют общую
точку, определяют главную сферу, к которой они обе принадлежат. Прежде
всего докажем, что две главные окружности аир (не обозначенные на
рис. 9), имеющие общую точку G, должны иметь еще одну общую точку G',
которая представляет собой полюс сферы, противоположной данной точке G.
Это доказывается с помощью третьей главной окружности у, которая лежит
в той же центральной плоскости, что и а, и на той же главной сфере, что и
р. Затем построим сферу, проходящую через G, G' и через 2 произвольные
точки, принадлежащие аир, соответственно. Данная сфера определяется
этими четырьмя точками и должна содержать аир. Следовательно, она
должна быть главной сферой, потому что проходит через точку G и
противоположный ей полюс G'.
С помощью этой модели легко сформулировать и другие аксиомы.
Например, несуществование параллельных выражается теоремой, согласно
которой две главные окружности, принадлежащие одной и той же главной сфере,
должны пересекать друг друга. Существуют также скрещивающиеся прямые,
которые не пересекаются и все же не могут быть размещены на одной
плоскости. Они представлены двумя главными окружностями, соединенными друг
с другом по принципу цепи. Две плоскости всегда должны пересекаться,
поскольку для плоскостей принципа параллельности не существует. Данная
модель представляет это свойство как свойство главных сфер.
Уникальный характер центра О, фундаментальной сферы и центральных
плоскостей — только кажущийся. Можно выбрать другую проекцию, для ко-
Точка
Конгруэнтные
фигуры
91
торой любая другая данная точка станет центром, тогда как одна из бывших
главных сфер станет фундаментальной сферой, а другие главные сферы —
центральными плоскостями. Перевод одной проекции в другую достигается
путем преобразования обратных радиусов, так называемым сферическим
преобразованием. Этот факт оправдывает данное выше определение
конгруэнтности, а также нашу мысль о бесконечно удаленных точках евклидова
пространства. Бесконечно удаленная область евклидова пространства, собственно,
рассматривается как плоскость. Однако, поскольку она эквивалентна
единственной точке, расположенной в финитном пространстве — согласно
проведенным здесь преобразованиям, — мы говорим о бесконечно удаленной точке.
При помощи стереографической проекции легко построить
отношения сферического пространства. Поскольку мы
стремимся найти аналог относительности включения окружностей друг
в друга (см. илл. III), рассмотрим следующую структуру.
Представим себе в пространстве две большие сферические
оболочки I и II, сделанные из листового металла, которые
включают одна другую и жестко соединены между собой при
помощи балок. Некий наблюдатель передвигается между ними,
однако не может пройти через них, будучи ограничен
пространством между оболочками. Он намеревается определить, какая
из оболочек является внешней по отношению к другой.
.Для того чтобы наглядно представить его чувственный
опыт, построим следующую фигуру. Начертим две
концентрические сферы I и II в стереографической проекции. Их вид сверху
показан на рис. 10. Предположим, что они симметричны
фундаментальной окружности, обозначенной пунктирной линией, то
есть на исходной сфере (фронтальная проекция на рис. 9) они
соответствуют параллельным окружностям, симметричным по
отношению к экватору QQ'. Наблюдатель расположен в
точке А на фундаментальной окружности. Для того, чтобы
правильно сформулировать нашу проблему, предположим, что
световые лучи движутся в пространстве вдоль геодезических
линий К Следовательно, с помощью главных окружностей
и главных сфер мы можем определить, что видит
наблюдатель, а именно как результаты его наблюдений переданы
посредством прямых линий и плоскостей в евклидовом
пространстве. Начертим две главные окружности, проходящие через
точку А и касающиеся двух окружностей I и II. Они
обеспечивают угловую перспективу для точки А, соответствующую
линиям проекции в евклидовом пространстве. Поскольку каждая
плоскость, проходящая через точки Л и О, сохраняет в силе
одни и те же отношения, мы можем мысленно воспринять
рис. 10 как поперечное сечение трехмерной фигуры, которая
1 Следует отметить, что это предположение не соответствует условиям
общей теории относительности, поскольку, согласно этой теории, световые лучи
движутся вдоль четырехмерных геодезических линий, так что даже в
статическом гравитационном поле это явление не ведет к геодезическим линиям
трехмерного пространства (см.: [А], с. 128). Отклонение, однако, очень мало
в случае слабой кривизны.
02
получается в результате вращения вокруг оси АО А'. Если
взгляд наблюдателя ограничен угловым пространством а, он
увидит оболочку I; в угловом пространстве р он увидит
оболочку II, а в угловом пространстве у он увидит пустое
пространство между оболочками. Заштрихованное угловое пространство
на правой части рисунка остается невидимым для него,
поскольку оно заслонено оболочками. Это «теневая область» для
точки А.
Рис. 10. Стереографическая проекция сферического пространства!
перспектива наблюдателя в точке А.
Для того чтобы построить картину чувственных восприятий
наблюдателя, мы должны следовать за конусом световых
лучей, исходящих из точки А. Поскольку стереографическая
проекция воспроизводит исходные углы, этот конус
непосредственно задается касательными в точке А. Это «двойной» конус,
симметричный относительно Л О. Наблюдатель в точке А видит
пересечение этого двойного конуса с плоскостью проекции,
которая предполагается лежащей перпендикулярно направлению
взгляда наблюдателя. На рис. 12 представлены изображения,
которые воспринимаются зрительно в трех направлениях:
а) от точки А в направлении оболочки I, то есть вдоль
центральной оси а; Ь) от точки А вдоль направления, перпендику-
03
Рис. 11. Стереографическая проекция сферического пространства:
зрительные перспективы наблюдателя в точке А.
лярного первому, то есть вдоль центральной оси смежного
углового пространства Р; с) от точки А в направлении
оболочки II, то есть вдоль центральной оси у. На этих рисунках
оболочки отличаются друг от друга различной штриховкой. На
рис. 12а показана заштрихованная область, принадлежащая
оболочке I, на рис. 12с — область, принадлежащая
оболочке II.
На рис. II начерчены отношения перспективы для
наблюдателя, который находится рядом с оболочкой в точке А.
Двойной конус воспринимаемых им световых лучей вырожден в
плоскость: на одну сторону этой плоскости падают лучи от
полной поверхности оболочки I, тогда как другая сторона
полностью закрыта смежной частью оболочки II. Восприятия
наблюдателя обозначены на рис. \2d и 12е; изображение на
рис. I2d соответствует центральному направлению к
оболочке I, 12е — направлению, перпендикулярному направлению I2d.
Теперь можем представить себе, что видит наблюдатель.
Находясь в пространстве между оболочками, он видит обе
сферы как выпуклые поверхности, то есть, глядя в направлении
сфер, он обнаруживает, что световые лучи не скользят вдоль
поверхности и что в пределах пространства между оболочками
нет никаких связующих световых лучей между точками одной
и той же поверхности. Если он находится в пространстве
между оболочками и смотрит в направлении оболочки I, то видит
впереди выпуклую полусферу этой поверхности, окруженную
94
свободным пространством; когда он оборачивается, то видит
оболочку II таким же образом, то есть ее выпуклую полусферу,
окруженную свободным пространством. Эти восприятия
представлены на двух диаграммах — 12а и 12с, и мы можем
перенести их в трехмерное пространство, как на илл. III. Добавим
изображения окружающих балок — они вертикально вставлены
в промежутки между оболочками и обозначены на рис. 12а—
12/. Наблюдателю кажется, что, когда он поворачивает
голову, балки поворачиваются друг относительно друга, точно так
же как в обычном евклидовом пространстве, поворачивая
голову по направлению от потолка к удаленному концу длинной
комнаты, наблюдатель видит смещение друг относительно
друга линий соединения потолка и стен. Из этой точки
перспектива такова, что не видно включения одной сферы в другую.
Наблюдатель видит только, что они расположены рядом. Однако,
когда он меняет позицию, вид поверхностей странным образом
изменяется таким образом, что с увеличением расстояния от
какой-либо оболочки она становится все более плоской и
наблюдатель видит все большие и большие области,
превышающие полусферу. Если он находится непосредственно рядом с
оболочкой, то видит полностью поверхность другой оболочки,
которая выглядит, как если бы она была плоскостью. Из этой
Рис. 12. Восприятие наблюдателя в сферическом пространстве.
Положение наблюдателя:
а) в точке А, рис. 10, направление взгляда вдоль оси а;
Ы в точке А, рис. 10, направление взгляда вдоль оси Р;
c) в точке А, рис. 10, направление взгляда вдоль оси у\
d) в точке А, рис. 11, направление взгляда к оболочке I;
e) в точке А, рис. 11, направление взгляда перпендикулярно линии
АО;
f) в точке О, рис. 11, направление взгляда произвольное.
95
позиции наблюдатель не видит пустого пространства: балки в
этом случае располагаются впереди оболочки, что показано на
рис. I2d и 12е. На рис. 12е, соответствующем
перпендикулярному направлению, левая половина поля зрения наблюдателя
закрыта небольшой частью выпуклой оболочки II, на которую
направлены глаза наблюдателя.
Пустое пространство между оболочками обнаруживает
любопытные свойства. Поскольку все световые лучи, идущие от
наблюдателя, собираются в точке А' (см. рис. 10),
действительное оптическое изображение наблюдателя находится в этой
точке. Верно, что каждое направление его взгляда ведет к
точке А\ но это имеет силу только для одной точки. Точки из
окрестности точки А' видны только в одном направлении. В
таком случае окружению точки А' соответствует совокупность
лучей, исходящих из точки А. Поскольку внутренней структуре
глаза присуще естественное ограничение угла зрения, он будет
воспринимать только ту часть изображения, которую создают
радиальные линии, идущие от затылка наблюдателя. Таким
образом, наблюдатель будет видеть изображение своего
собственного затылка, сильно искаженное и заполняющее весь
задний план. Незаштрихованные области на рис. 12а — с
должны восприниматься как увеличенные изображения волос на
затылке наблюдателя.
В связи с приспособлением глаза к пространственной глубине заметим
следующее. Как правило, зрительный образ возникает в том случае, когда
пучок расходящихся световых лучей, идущих от предмета, попадает в
хрусталик глаза и преобразуется там в сходящийся пучок света; точка, в которой
он сходится, является точкой изображения и находится позади фокуса.
В сферическом пространстве пучок световых лучей, исходящих из какой-либо
точки предмета с расстояния, превышающего квадрант, сходится в глазу.
Хрусталик собирает эти лучи в точке, которая находится между хрусталиком
и фокусом. Ход лучей при этом совпадает с ходом лучей в лупе.
Следовательно, когда человек смотрит на такие удаленные предметы, хрусталик глаза
должен иметь меньшую кривизну, чем в обычном пространстве при
фокусировке на бесконечность. Поэтому человек с нормальным зрением в условиях
сферического пространства будет близоруким, и ему понадобятся очки с
вогнутыми стеклами. По той же причине при бинокулярном зрении также
происходит отклонение. Это значит, что для восприятия глубины в обычном
пространстве действуют те же законы, только выражены они более определенно:
стало быть, и нормальное зрение дает нам возможность правильно судить о
пространственной глубине. Мы видим, что тень от затылка наблюдателя
является наиболее удаленным объектом, что подтверждается, если заслонить ее
более близко расположенными предметами.
Измерения посредством жестких стержней могли бы
подтвердить симметрию изображения в целом. Наблюдатель смог
бы установить, что две сферических оболочки равны по
величине, как и связывающие их балки.
Продолжим наши рассуждения и рассмотрим переживания
наблюдателя, рассматривающего внутренность оболочек. Он
открывает окно и смотрит через него внутрь оболочки, которую
видит очень четко: от стены крест-накрест идут лучи, пе-
96
ресекающиеся в центре. Этот факт также подтверждает
симметрию, ибо, открыв окно в другой оболочке, наблюдатель
видит то же самое — внутренность оболочки и лучи,
встречающиеся в центре. Однако, если он проникнет в одну из
оболочек, его ожидает сюрприз. Предположим, что он обнаружил и
открыл в оболочке дополнительные окна. Если в этом случае
он находится в центре оболочки, то есть в точке пересечения
лучей, он видит не только окружающую его оболочку, но и
сквозь открытые окна просматривает стенки другой оболочки,
находящиеся от него на одном и том же расстоянии. Таким
образом, он обнаруживает, что одновременно находится в центре
второй оболочки. Такая ситуация представлена на рис. 12/, где
при каждом направлении взгляда наблюдатель видит одну и
ту же картину. С помощью рис. 11 объясняется, что видит
наблюдатель, находясь в точке О. Предположим, что
заштрихованная оболочка на рис. 12/ является вогнутой; здесь
визуальное восприятие концентрического строения оболочек точно
соотносится с соответствующими восприятиями в евклидовом
пространстве. Если наблюдатель занимает особое положение
(например, в точке В\ рис. И), он видит самого себя внутри
обеих оболочек; иначе говоря, глядя во всех направлениях, он
обнаруживает себя сначала внутри оболочки I, а затем —
сквозь окна — и внутри оболочки II, находящейся позади
первой. Однако картина второй оболочки странно искажена,
поскольку, если судить по главному кругу, проходящему через
точки В и В7 на рис. 11, большая сферическая поверхность
оболочки II представляется находящейся позади меньшей
сферической поверхности оболочки I, и наоборот. Внутренность
оболочки II соответствует картинам, которые были бы получены
в обратном порядке. Наблюдатель в точке В видит то же
самое, что и наблюдатель в точке Вг (см. рис. 11),
меняется только порядок оболочек. Восприятия, изображенные на
рис. 12/ (если изменить штриховку), принадлежат
наблюдателю, который в стереографической проекции (см. рис. 11)
находится на бесконечности.
У наблюдателя сложились следующие визуальные
впечатления об относительности взаимного включения оболочек. Один
раз он видит оболочку I внутри оболочки II, в другой раз —
оболочку II внутри оболочки I. Кроме того, существуют
промежуточные позиции, с которых он видит обе оболочки не как
концентрические, но как расположенные одна рядом с другой
н имеющие разные центры.
До сих пор мы строили наши рассуждения, переходя от
свойств сферического пространства к восприятиям
наблюдателя, находящегося в таком пространстве. Теперь воспользуемся
противоположным методом. Предположим, что некий
наблюдатель получил описанные выше впечатления. Какой бы вывод
он из них сделал? Только в такой форме данная проблема
97
доступна для эпистемологического анализа. И хотя нам удалось
выше описать некоторое состояние окружающего мира на
основании его восприятия, любая априористская философия может
выдвинуть любое число аргументов, отвергающих возможность
существования подобного мира. Однако, коль скоро мы начали
с восприятий, то эти доказательства снимаются, поскольку
восприятиям ничего нельзя предписать. Никакой априорный
постулат не может исключить возможности того, что некая
личность в какой-то момент времени может иметь определенные
восприятия. Спорной является только интерпретация таких
восприятий. Она касается выводов относительно связи восприятия
и физического мира. Эта интерпретация неоднозначна,
поскольку существуют различные геометрические интерпретации одних
и тех же перцептуальных данных. Рассмотрим две наиболее
важные интерпретации евклидова пространства и неевклидова
сферического пространства.
Интерпретация в рамках неевклидовой геометрии проста.
В ней мы имеем дело со сферическим пространством, для
которого не существует понятия абсолютно «внешнего». Каждая из
сфер является внешней по отношению к соответствующей точке
стягивания. Обе точки стягивания заданы в нашей модели
центрами подмостков. Пространство конечно, но оно не
напоминает остров, иначе говоря, каждая его точка может быть
достигнута. Возможен даже зрительный образ всей конструкции.
К каждой из сферических оболочек мы можем применить
привычные понятия «внутри» и «снаружи» и представить их
просто искривленными. Разумеется, зрительные образы меняются,
и не существует ни одного зрительного образа, способного
воспроизвести пространство в целом, в отличие от двухмерной
сферической поверхности, которая с одного взгляда
воспринимается целиком. Однако такое множество образов возникает
только потому, что мы сами являемся наблюдателями,
находящимися внутри данного пространства. Исходя из этого не
следует рассчитывать на создание визуального образа, который
мог бы возникнуть только в случае многообразия, обладающего
большей размерностью. Один визуальный образ,
охватывающий пространство в целом, невозможен даже в евклидовом
трехмерном пространстве. Однако общее впечатление о сфери*
ческом пространстве вполне можно получить с помощью, так
сказать, визуальной интеграции, то есть обводя взглядом все
окружающее. «Визуальное приспособление» достигается в том
случае, когда изменения восприятий (описанный выше переход
от выпуклой поверхности к плоскости, а от нее — к вогнутой
поверхности) воспринимаются не как результат реального
изменения формы поверхности, а как изменения перспективы.
Чтобы согласовать восприятия, описанные выше, в рамках
евклидовой геометрии нам нужны более сложные образы.
0а
В евклидовой геометрии только одна сторона оболочки может
рассматриваться как замкнутое пространство, на другой же
стороне существует окружающее внешнее пространство. Обе
оболочки могут восприниматься либо как концентрические,
либо как находящиеся рядом друг с другом. В первом случае
внешнее пространство соответствовало бы внутренности сферы
в неевклидовом восприятии, во втором — пространству между
оболочками. Для этой интерпретации должны предполагаться
универсальные силы: метрические деформации стержней и
световых лучей вызывают отклонения наших восприятий от
восприятий, описанных выше. Способ, с помощью которого
мы трактовали схематическое изображение сферического
пространства на рис. 9—11 как связанное с самим пространством,
и есть представление объективного мира: реально пространство
является евклидовым, однако измерительные инструменты при
передвижении меняют свои размеры, а световые лучи
искривляются, искажая тем самым результаты восприятий. И если
такое понимание естественно для черчения — так как здесь
отношения конгруэнтности жестких стержней и траекторий
световых лучей в малых масштабах не совпадают с
соответствующими отношениями больших масштабов,— то для большого
пространства это понимание предполагает своеобразный
характер пустоты. Различие в отношениях конгруэнтности не следует
считать результатом воздействия дифференциальных сил на
измерительные инструменты; его нужно понимать как
универсальную деформацию, которая воздействует на все предметы
без исключения.
Основная сложность евклидовой интерпретации состоит в
том, что бесконечность этого пространства физически
достижима. В этой интерпретации нет необходимости локализовать
бесконечность в некоей маркированной точке, такой, например,
как точка пересечения балок. Поскольку эту точку также
можно представить себе совершенно четко, попытаемся
предположить, что бесконечность относится к другой области этого
пространства. Физик достиг бы этого, протянув балку
определенной толщины через все пространство. Внутренняя часть этой
балки должна была бы достигать каждой точки пространства по
крайней мере один раз. Затем предположим, что материальная
структура изначально конечных размеров составлена таким
образом, что располагается одновременно и в конечной и
в бесконечной областях, без каких-либо разрывов. Более того,
следует предположить, что малое тело может пересечь
бесконечное евклидово пространство за конечное время и вернуться
к отправной точке с другой стороны. Данная концепция
содержит каузальные аномалии. Мы имеем дело с тем же случаем
Оо + F-\-А, который описали выше и который, если принять
наши предположения, без особой необходимости усложняет
каузальные отношения.
99
Для физики существует определенное различие между
конечностью и бесконечностью. Если математик, говоря о
бесконечно удаленной плоскости или о бесконечно удаленной
окружности, манипулирует ими как конечными структурами, то
физик с его реальными измерительными стержнями имеет дело
с конечными величинами и структурами. Он не может
соотносить физические объекты с понятиями бесконечных структур;
напротив, переводя понятия бесконечных структур в понятия
конечных, он должен выяснить, обладают ли они в этих
условиях физическим смыслом. Для него бесконечность
пространства означает, что для выкладывания измерительных стержней
не существует пределов и что, выкладывая измерительные
стержни в прямую линию, после конечного числа операций
отправная точка не будет достигнута. Но говорить о том, что
тело пробегает бесконечность или что тело, расположенное на
бесконечности, каузально воздействует на тела,
расположенные в некоторой конечной точке, является нарушением всех
наших прежних представлений о причинности в физике. В
некоторых случаях мы вынуждены принимать каузальные
аномалии, но до тех пор, пока их можно исключить, мы будем
придерживаться нормальной причинности как некоего постулата.
Подобным же образом физик не может принять преобразований,
которые отображают бесконечность на конечную область; для
него приемлема лишь одна из двух геометрий, связанных
такими преобразованиями, а какая именно — решает опыт. В
математике понятие топологии используется, как правило, в более
широком смысле, нежели тот, что был определен выше. В
группе преобразований, основанных на топологической
эквивалентности, допускаются определенные сингулярности, в результате
чего топологическое различие между конечностью и
бесконечностью исчезает К В физике, однако, должно применяться
более узкое понятие топологии, строго ограниченное
преобразованиями, которые непрерывны и однозначны в обоих
направлениях.
Другое требование, по-видимому, следует из того
математического факта, что данная аномалия возникает строго в одной
точке, как это показано на стереографической проекции
сферы, описанной выше, а то, что происходит в математической
точке, не может быть описано физиком по причине
ограниченности измерений. Если в рассматриваемом пространстве не
обнаружена бесконечная точка, то можно предположить, что она
будет находиться в пределах определенной области, которую
мы не воспринимаем как малую по причине увеличения
размеров всех физических предметов и которую мы не заполняем
материей, расположенной вокруг наших балок. Такая точка
может быть расположена, например, в порах деревянной балки
1 См.: Клейн Ф. Цит. соч., с. 155—156.
100
подмостков. В этом утверждении не учитывается тот факт, что
в физике результаты могут быть интерпретированы иным
образом, чем в математике. Физик может заменить неточность
измерения вероятностью вывода. Если, исходя из данного
предположения о сферическом пространстве, я не могу найти
аномалий, какие бы эксперименты я ни ставил, я высказываю
вероятностное предположение, что оно не существует. Если мы
строим свои рассуждения о геометрии на основе измерений, то
вероятностные утверждения неизбежны. Утверждение о
пространственной сингулярности имеет физический смысл только в
том случае, если оно в принципе может быть подтверждено
индуктивными методами, которые имеют силу и для
утверждений о бесконечности пространства. Утверждение о том, что
физическое пространство обладает топологическими свойствами
сферического пространства, имеет такой же физический смысл,
как и утверждение о метрических свойствах пространства. По-
скольку мы вводим требование, согласно которому никакие
каузальные отношения не должны нарушаться, постольку
топология есть дело опыта. Вопрос о том, возникают ли где-либо
каузальные аномалии или нет, решается обычными
индуктивными методами, действующими в физике. Примером того, как
установить такого рода аномалии, являются опытные данные,
которые мы получили бы в том случае, если бы стали
рассматривать поверхность Земли как плоскость, «переопределив»
ее. Если бы такое «определение» было топологически
допустимо, то на поверхности Земли существовали бы точки, которые
мы не смогли бы пересечь. И хотя человек не достиг всех
точек поверхности Земли, утверждение о том, что все точки в
принципе возможно достигнуть, имеет физический смысл.
Итак, мы можем заключить, что определение
топологических свойств пространства тесно связано с проблемой
причинности. Мы предлагаем такую топологию пространства, которая
ведет к нормальным каузальным законам. Только таким
образом поставленный вопрос о топологии пространства
приобретает научный смысл. Эмпирически достоверно, что существует
один вид топологии, который ведет к нормальной причинности,
и, уж конечно, не менее эмпирически определено, какая
топология приводит к этому результату. В дальнейшем мы более
подробно рассмотрим вопрос о связи пространства и
причинности (§ 27,42,44).
§ 13. Чистое созерцание
Эту главу мы начали с рассмотрения представлений о
математическом развитии геометрии. Мы показали, что проблема
пространства разделяется на математическую и физическую.
101
В процессе рассмотрения проблемы справедливости аксиом мы
обратились к физической проблеме пространства.
Математическую проблему природы пространства мы решили в той
степени, в какой доказали, что противоречащие друг другу
аксиоматические системы равным образом приемлемы, поскольку сами
математические понятия в рамках этих систем связаны с
логическими отношениями, а не с истинностью аксиом самих по
себе. В § 1 мы упомянули, однако, что эта концепция требует
дальнейшего анализа. Теперь мы имеем возможность
предпринять этот анализ, связанный с проблемой наглядного
представления геометрии. В процессе рассмотрения физической
проблемы пространства мы уже сталкивались с вопросами такого
типа.
Тот факт, что евклидову геометрию легко представить
наглядно, выдвигался в пользу ее уникального положения в
математике. Утверждалось, что математика есть не только наука
об импликациях, но что она должна установить преимущество
одной частной аксиоматической системы. Если физика
базируется на наблюдениях и эксперименте, то есть на ее
применимости к реальности, то математика основывается на созерцании,
наглядности, зрительном представлении, что в теоретической
науке является аналогией чувственного восприятия.
Соответственно математики могут иметь дело с неевклидовыми
геометриями, но в противоположность евклидовой, которая, как говорят,
«интуитивно понятна», эти геометрии не содержат ничего,
кроме «логических отношений»! или «искусственных
многообразий» 2. Они относятся к аналитической геометрии, то есть к
изучению многообразных связей между переменными в форме
уравнений, но не к геометрии, имеющей наглядный характер.
Ранее мы рассмотрели вопрос о наглядности и дали
визуальную иллюстрацию неевклидовой геометрии даже для
топологически различных пространств. Однако мы точно не
установили, имеем ли мы дело с физической или математической
визуализацией. Поскольку до сих пор мы обсуждали только
физическую проблему пространства, можно утверждать, что как
наш анализ наглядности, основанный на поведении жестких
тел, так и наша иллюстрация неевклидовой геометрии с
помощью возможных опытов имеют дело только с физической
визуализацией. Можно утверждать также, что существует некое
подобие математической наглядности, которое не подпадает
под наши выводы. Попытаемся разобраться в этом.
Для того чтобы зрительно представить себе положения
неевклидовой геометрии, мы начали с рассмотрения реальных
объектов и поставили опыты, позволяющие нам наглядно пред-
1 Drleech Н. Relativitatstheorie und Philosophic Karlsruhe, 1924, S. 43—
46.
* Kriee Jf von, Logik. Tubingen, 1916, p. 705,
102
ставить неевклидовы отношения. Однако, поступая таким
образом, мы пошли по пути, которым человеческое созерцание
следовало в течение всего своего естественного развития. В
поведении жестких тел и световых лучей природа предстает
перед нами в виде некоторого типа многообразия, который
настолько приближается к евклидовым законам, что порождает
наглядные представления исключительно евклидова
пространства. Мы, несомненно, имеем здесь дело с адаптацией
психологических способностей, развитие которых привело бы к
неевклидовым представлениям, если бы человечество оказалось
в неевклидовом окружении. Поэтому с точки зрения педагогики
лучшее средство получить наглядные представления о
неевклидовой геометрии состоит в том, чтобы изобразить неевклидово
окружение. Хотя сначала мы наблюдали только изменение тел
в евклидовом пространстве, наши переживания, как мы видели,
постепенно преобразовались в четкие зрительные
представления о неевклидовом пространстве, где тела более не
изменяются.
Опровергает ли этот анализ существование особого типа
математической визуализации? Это надо доказать. Ссылка на
биологические особенности не дает какого-либо
эпистемологического аргумента. Возникает вопрос, каковы действительные
законы человеческого разума, независимо от их исторического
развития. Не следует забывать, однако, что формирование
пространственных зрительных представлений как развивающаяся
адаптация уже само основывается на некотором
эпистемологическом суждении, которое оно лишь стремится подчеркнуть.
Это суждение, согласно которому существует реальное
пространство, независимое от пространств, имеющих место в
математике, и научное значение имеют вопросы о том, какой из
математически возможных типов пространства соответствует
физическому пространству, а также о том, что «порядок» 1
природы и человеческого рассудка не зависит от внутреннего
приоритета евклидова пространства, но что, напротив, данный
приоритет зависит от этого «порядка». Аргументы, с помощью
которых евклидово пространство представляется как
«целесообразное» или задаваемое природой, не должны
использоваться для доказательства преимущества определенного типа
математического пространства. Они могут выдвигаться в пользу
выбора для физики евклидова пространства, хотя в этом
случае мы могли бы добавить, что они свидетельствуют также и в
пользу противоположного вывода, поскольку, согласно
Эйнштейну, физическое пространство является неевклидовым.
Визуальное предпочтение евклидова пространства не может,
следовательно, зависеть от его специальной пригодности для наглядного
1 Карт И. Критика способности суждения. Соч., т. б. М., 1966, Введение,
ГЛ, V, с, 180-185,
103
зрительного представления природных объектов; скорее оно
зависит от некоторого внутренне присущего свойства, которое
не имеет никакой связи с внешним миром.
Для того чтобы избежать использования такого
неопределенного понятия, как внутренне присущее свойство, оправдание
предпочтения евклидовой геометрии строилось на основе
логики. Иначе говоря, это предпочтение объяснялось простотой
евклидовой геометрии. И действительно, евклидово
пространство имеет определенные логические преимущества — с точки
зрения логики оно проще, чем неевклидовы пространства.
Однако эта простота не столь уж важна. Оно проще в том
смысле, в каком круг, например, проще, чем эллипс.
Утверждение о том, что эллипс математически «неразумная» фигура,
низшая по отношению к кругу, который принадлежит к высшей
области математической реальности, означало бы возвращение
к пифагорейцам, которые пользовались аргументами, более
близкими к религиозной эстетике, нежели к математической
науке. Простота евклидовой геометрии не имеет отношения к
философской проблеме геометрии не только в рамках физики
(ср. § 8), но также и в рамках математики1.
Поэтому логическое преимущество евклидовой геометрии в
смысле эпистемологического превосходства недоказуемо. Это
предполагаемое преимущество можно объяснить только
специальным видом геометрической визуализации, которая не имеет
никакого отношения к восприятию физических объектов. Для
этого случая Кант изобрел понятие чистого созерцания в
противоположность эмпирическому созерцанию. Однако он также
вполне осознавал тот факт, что чистое созерцание должно
соотноситься некоторым образом с эмпирическим. С его точки
зрения, это есть форма эмпирического созерцания.
Следовательно, чистое созерцание без каких-либо ссылок на реальность
является пустым понятием, не имеющим эпистемологического
смысла. Поскольку мы уже показали, что эмпирическое
наглядное представление может быть изменено таким образом,
что будет согласовываться с неевклидовой геометрией, то,
стало быть, то же самое возможно и для чистого
созерцания.
Конечно, мы должны рассмотреть наши предыдущие
рассуждения в применении их к чистому созерцанию. Анализ
зрительных представлений евклидовой геометрии, произведенный
в § 9, имеет силу как для чистого созерцания, так и для
эмпирических наглядных представлений. В настоящей работе мы
1 Простота евклидовой геометрии выражается также в том, что
дифференциальные элементы неевклидовых пространств являются евклидовыми.
Этот факт аналогичен, однако, отношениям между прямой и кривой линиями
и не может привести к какому-либо эпистемологическому преимуществу
евклидовой геометрии, как полагают некоторые авторы.
104
имели дело с абстракциями, а не обращались к жестким
измерительным стержням. Что еще можно подразумевать под
наглядными геометрическими представлениями, как не те же
воображаемые структуры, которые возникают, когда мы
представляем, например, диагонали пятиугольника или форму
замкнутой кривой на торе? Если в § 11 мы полагали, что
неевклидова конгруэнтность была осознана с помощью реальных
измерительных стержней, то это также было продуктом
воображения, поскольку эти измерительные стержни в
действительности никогда реально не существовали. Подобное
представление реальных физических объектов нужно просто для облегчения
визуализации. Подобно тому как мы строили
геометрические фигуры в рамках чистого созерцания, точно так же мы
чертим на доске евклидовы треугольники. Графическое
построение геометрических фигур является не чем иным, как
реализацией геометрических фигур с помощью материальных
образов, которой мы пользовались в наших предыдущих
рассуждениях. Меловые полоски воссоздают на деревянной доске
форму треугольника — что это, как не физическая геометрия?
Каждый учитель, рисуя на доске геометрические фигуры или
вырезая их из бумаги, с тем чтобы объяснить евклидовы
законы конгруэнтности, с помощью эмпирически наглядных образов
достигает «чистой визуализации». Это удается ему потому, что
чистое созерцание есть не что иное, как чувственное качество,
которое осознается в чувственном восприятии. Это
соображение объясняет кантовский термин «форма созерцания». Он
демонстрирует тот же пример сочетания субъективного и
объективного, который имеет место в цветовом зрении и, являясь
результатом многомерного упорядочения, может переживаться
или воспроизводиться только в чувственном восприятии.
Визуальные формы не воспринимаются без цвета и яркости. Они
являются чувственными качествами, составляющими
визуальный характер геометрии.
Возражения против этой идеи состоят в том, что
непосредственные чувственные впечатления не являются чистым
созерцанием. Чувственное впечатление от двух железнодорожных
рельсов не создает впечатления параллельности. В то же время
при чистой визуализации мы воспринимаем рельсы как
параллельные. Поэтому следует различать перцептуальное
пространство и пространство чистой визуализации. Это возражение,
выдвинутое Дришем \ несостоятельно. Тот факт, что два рельса
не представляются параллельными, хотя они и являются
таковыми объективно, не дает доводов против перцептуального
пространства. Вопрос скорее должен стоять так: существуют ли
вообще какие-либо параллельные в перцептуальном пространстве?
1 См.: Driesch Н. Op. cit., р. 44.
105
Психологи уже давно ответили на ©тот вопрос К
Разумеется, в перцептуальном пространстве существуют
параллельные линии, однако в объективном физическом пространстве они
принимают форму двух слегка изогнутых расходящихся
кривых. В данном случае мы имеем дело не с соответствием
между субъективным и объективным параллелизмом, но скорее с
соотношением расходящихся линий в объективном
пространстве и' параллельных линий в перцептуальном, а также
параллельных линий в объективном пространстве и сходящихся
линий в перцептуальном. Все это, конечно, не имеет никакого
отношения к проблеме наглядного представления. В
перцептуальном пространстве действительно существуют параллельные
линии, и уже один этот факт достаточно важен, поскольку он
устраняет необходимость различения перцептуального
пространства и пространства чистой визуализации. В самом деле,
когда мы говорим, что два рельса параллельны, это означает
только следующее. Во-первых, они удовлетворяют
определенным физическим условиям. Расстояние между ними,
измеряемое с помощью жесткого измерительного стержня, повсюду
одно и то же. Во-вторых, для того чтобы наглядно представить
это физическое свойство, следует прибегнуть к явлению
параллелизма в перцептуальном пространстве. Причем, в данном
случае не имеет значения, что непосредственное чувственное
впечатление от параллельных рельсов не представляет факта
их параллельности. Наше утверждение не связано с
чувственным образом рельсов, мы просто констатируем их объективное
отношение друг к другу, уточняя его с помощью визуальной
картины. Мы утверждаем, следовательно, что объективное
состояние рельсов не соответствует чувственному образу их
сближения с расстоянием, но соответствует впечатлению
параллельности, которое может возникнуть при наблюдении объективно
расходящихся линий.
Мы часто сталкиваемся с необходимостью поиска способа
визуализации объекта, но не при восприятии этого
конкретного объекта, а в какой-то иной чувственно воспринимаемой
форме. Когда мы издали смотрим на рисунок световой рекламы, он
воспринимается как сплошная световая линия. Однако мы
знаем, что наше зрительное восприятие неверно. Скорее нам
следует представить цепь световых жемчужин, образующих
рисунок рекламы и хорошо видимых с близкого расстояния.
Таковы и оптические иллюзии. В них чувственно воспринимаемый
образ не соответствует реальной ситуации. Феномен сближе-
1 См.: Н i 11 е b a n d F. Theorie der scheinbaren Grosse bef binokularem
Sehen, Wiener Akademieberichte, 1902, math.-naturwiss. Klasse; В lumen-
feld W. Untersuchungen uber die schelnbare Grosse 1m Sehraume, — «Ztschr,
I. Psychologies, 65, 1912, S. 252.
Ш
ния параллельных есть не что иное, как оптическая иллюзия.
Известно, что оптические иллюзии дают превратную картину
мира, которая не «превратна сама по себе», но является
выражением несоответствия воспринимаемой картины мира
объективному состоянию дел. И тем не менее это несоответствие не
отрицает того факта, что визуальные представления являются
просто чувственным качеством перцептуального пространства.
Куда же еще можно обратиться в поисках истоков
специфических наглядных представлений? Для объективного
утверждения о том, что два рельса параллельны, не нужно никакой
визуализации. Достаточно зафиксировать результаты измерений,
произведенных с помощью жесткого стержня. Разумеется, для
того чтобы выполнить эти измерения, нужны чувственные
восприятия, но для воображаемых измерений они могут быть
заменены мысленными наглядными образами. Однако в этих
наглядных образах, которые могут мыслиться как «изображения
крупным планом» измерительного стержня и некоторого
отрезка рельсов, визуальная параллельность рельсов не
проявляется, хотя, вместе взятые, они подтверждают явление
объективного параллелизма. Чтобы наглядно представить явление
параллелизма, мы должны дополнительно описать
определенные качества, известные нам из перцептуального
пространства.
Хотя в предыдущем изложении мы не раз использовали понятие
перцептуального (зрительного) пространства (достаточно, кстати, распространенное),
на наш взгляд, оно не вполне удачно. Перцептуальное пространство — это не
специальное пространство, в дополнение к физическому, а именно физическое
пространство, которое мы наделяем особой субъективной метрикой (ибо
каждое чувство имеет свою особую метрику). Осознав этот факт, нетрудно понять
и нашу аргументацию. Различие между перцептуальным и физическим
пространствами подразумевает, что физически равные расстояния не всегда
воспринимаются таковыми. Третьего вида пространства, пространства
визуализации, не существует, поскольку, кроме определения конгруэнтности в физике
и определения, основанного на чувственном восприятии равенства, третьего
определения, выводимого из чистой визуализации, не существует. Последнее
есть не что иное, как определение физической конгруэнтности, применительно
к которой наша нормативная функция сформировала наше субъективное
восприятие конгруэнтности.
Итак мы видим, насколько визуальное восприятие
параллелизма определяется логическими соображениями и не
представляет собой, следовательно, чего-то абсолютно данного. Как
показали эксперименты Блюменфельда, одни и те же линии,
образованные в темной комнате рядами лампочек,
воспринимались иногда как параллельные, а иногда как расходящиеся в
зависимости от установки наблюдателя. Когда внимание было
направлено на «условие направления» параллельных,
объективные линии, по которым испытуемый располагал лампы,
получались другими, нежели когда оно было направлено на
107
«условие расстояния» между ними К Именно эта
вариабельность чувственных данных использовалась в наших наглядных
представлениях неевклидовой геометрии. Если в упомянутых
психологических экспериментах испытуемые в большинстве
случаев были пассивны, ограничивая свою деятельность
самонаблюдением, наглядное представление неевклидовой
геометрии зависит от активной концентрации воли на визуальных
переживаниях. Несомненно, что это активное поведение
испытуемых ведет к более широкому спектру возможных вариантов
созерцания.
Поэтому исследования, описанные в § 11 и приведшие к
наглядному представлению неевклидовой геометрии с помощью
приспособления наших чувственных восприятий к иным
отношениям конгруэнтности, в той же мере применимы к
математике, как и к физике. И хотя мы психологически упрощаем это
приспособление, связывая его с идеей измерительных
стержней, с изменяющейся конгруэнтностью, в этом нет большой
необходимости. Мы будем иметь дело непосредственно с
визуальными качествами, заменяя идею перемещения
измерительных стержней визуальными предписаниями такого, например,
рода: «Расстояния, которые я вижу, следует рассматривать как
конгруэнтные». Для абстрактной математики такая процедура
эквивалентна физической координативной дефиниции.
Эта эквивалентность затушевывается определенными
математическими сложностями, на основании которых может
сложиться впечатление, что пространство математической
визуализации предполагает специальные условия и что изменение
определения конгруэнтности не вызывает соответствующих
изменений визуализуемых законов. В отличие от физика
математик не пользуется визуальным предписанием «вот такое
расстояние», поскольку оно не приводит его к точным наглядным
представлениям. Зрительные оценки слишком неопределенны в
идеальной геометрии, чтобы принимать на себя функцию
перемещаемых измерительных стержней, которые используются в
геометрии практической. Математик скорее прибегает к
косвенному определению конгруэнтности, логически заключая, что
аксиома о параллельных в сочетании с некоторыми
дополнительными условиями может заменить определение
конгруэнтности. Поэтому в определении конгруэнтности он может избежать
необходимой для прямого определения ссылки на визуальные
расстояния. Вместо этого он вводит другие фундаментальные
элементы визуализации, которые легче представить наглядно и
1 См.: Blumenfeld W. Op. cit., p. 323, 346. «Условие направления» оз
начает, что внимание должно быть сосредоточено на очевидно одинаковом
направлении линий; «условие расстояния» означает, что внимание
концентрируется на очевидном равенстве поперечных (перпендикулярных) расстояний
между ними. Некоторые испытуемые продемонстрировали третий вариант,
сосредоточив внимание на «перпендикулярности к фронтальной плоскости».
108
которые также ведут к определению конгруэнтности. Эти
элементы аналогичны физическим компонентам координативной
дефиниции.
Легко убедиться в том, что аксиома о параллельных в
самом деле позволяет определить конгруэнтность. Пусть отрезок
АВ на рис. 13 параллелен отрезку А'В' и АА' параллелен ВВ'.
Тогда мы можем ввести определение, согласно которому АВ
конгруэнтен А'ВГ. Исходя из этого определения, с помощью
пунктирных параллельных мы получаем, что АГВ' конгруэнтен
ВС и, следовательно, АВ также конгруэнтен ВС, CD и т. д.,
Рис. 13. Определение конгруэнтности с помощью параллельных.
поскольку понятие конгруэнтности является транзитивным.
Поэтому аксиома Евклида о параллельных устанавливает
конгруэнтность вдоль любой прямой линии. Именно поэтому риманово
обобщение геометрии с помощью понятия конгруэнтности
приводит к тому же типу геометрии, что и обобщение,
введенное Больяи — Лобачевским с помощью изменения аксиомы
о параллельных. Несомненно, что одной аксиомы о
параллельных недостаточно, чтобы сравнить различным образом
направленные линейные отрезки. До тех пор пока мы ограничиваемся
аксиомой о параллельных, мы не можем решить, равен
отрезок АВ отрезку А А' или нет. Для сравнения мы должны
ввести прямой угол, являющийся как раз тем дополнительным
условием, о котором мы упоминали выше; иначе говоря, мы
должны дать правило, с помощью которого можно решить,
равны ли между собой четыре угла, образующиеся при
пересечении двух прямых. Теперь можно построить прямоугольники,
диагонали которых дают возможность определить равенство
направленных в разные стороны линейных отрезков.
109
Таким образом, визуальными элементами, которые
вводятся для определения конгруэнтности, заменяющей
непосредственное сравнение по длине, являются параллелизм и прямой
угол. Это перцептуальные элементы координативной
дефиниции. Всякий раз, когда математик строит визуальные
представления, он, как и физик, пользуется координативными
дефинициями, с той лишь разницей, что соотносимые им предметы
являются не реальными физическими объектами, а визуальными
качествами. Тот факт, что мы имеем здесь дело с
установлением связи, с соотнесением, объясняется следующими
соображениями. Наше определение конгруэнтности с помощью
визуальных элементов находит выражение в том, что при
графическом изображении геометрической фигуры на чертежной доске
мы можем обойтись без масштабной линейки и циркуля и
сравнивать линейные отрезки лишь с помощью рейсшины и
прямоугольного треугольника1. Именно этот вид определения
конгруэнтности мы имеем в виду, когда говорим о чистой
визуализации евклидовой геометрии, избегая таким образом
непосредственного сравнения по длине. Поскольку эта процедура может
быть также представлена посредством таких реальных вещей,
как рейсшина и треугольник, ее можно охарактеризовать как
соотнесение. С понятиями параллелизма и прямого угла
соотносятся такие наглядные качества, о которых нам известно на
основании опыта чувственных восприятий физических
предметов — рейсшины и прямоугольного треугольника. Здесь коорди-
нативную дефиницию конгруэнтности мы установили
косвенным методом. Разумеется, никаких возражений против
перестройки нашего образного мышления нет. Подобно тому как
мы перестроили наше восприятие конгруэнтности в
предыдущем примере, мы можем перестроить наше восприятие
параллельности и прямоугольности. Например, прямые на рис. 13
можно считать пересекающимися под прямым углом, при этом
угол АА'ВГ становится равным углу АПАГВГ. Таким образом,
визуальная картина на рис. 13 является допустимым и
непротиворечивым представлением прямоугольной сетки, правда с
одним недостатком: она не соответствует поведению рейсшины
и прямугольного треугольника. Визуальные элементы
математически допустимого пространства, следовательно, также могут
быть перестроены; и если мы чувствуем внутреннее
сопротивление такому изменению, то оно объясняется именно опытом
работы с жесткими телами.
Существуют и другие трудности, связанные с подобной
перестройкой. Понятие конгруэнтности в евклидовой геометрии
1 Мы имеем в виду обычно применяемое чертежное приспособление, в
котором линейка вращается на поперечине и, закрепленная винтом в
определенном положении, позволяет чертить параллельные в различных
направлениях.
110
не соответствует этому понятию в неевклидовой. Каждое
геометрическое понятие неявно содержит в себе все без
исключения геометрические аксиомы. Об этом мы поговорим в
следующем разделе, где рассмотрим природу неявного определения.
И хотя содержание геометрического понятия определяется
аксиоматической системой в целом, и поэтому понятия
евклидовой и неевклидовой конгруэнтности не тождественны, в
аксиоматических системах они играют одинаковую роль.
Выдвинутое нами ранее положение о соотношении между
конгруэнтностью и параллелизмом мы можем иллюстрировать
следующим образом: в евклидовой геометрии «конгруэнтный»
означает то же, что и «определяющий параллельность» —
соотношение, не имеющее места в неевклидовой геометрии. В
самом деле, что, собственно, означает равенство по длине?
Прежде всего это взаимно однозначное соответствие между всеми
точками отрезков; это определение высшего класса.
Специфическое отличие равенства в евклидовой геометрии состоит в
том, что: «Это равенство, приводящее к метрике, которая
соответствует аксиоме о параллельных». Уточним это положение:
евклидово равенство представляет собой уникальное
однозначное соответствие линейных отрезков, при котором кривая,
равноудаленная от прямой линии *, является также кратчайшей
линией и при котором две кратчайшие, но не равноудаленные
линии пересекутся на конечном расстоянии. Первое условие
отличает евклидову геометрию от геометрий с положительной
кривизной, второе — от геометрий с отрицательной кривизной.
Таким образом, мы видим, что характеристика неевклидовой
геометрии должна быть иной. Общим для этих двух видов
геометрий является только свойство взаимно однозначного
соответствия и правило, определяющее прямые линии как
кратчайшие, а также отношение их пересечения. Строго говоря, мы
не можем говорить, что равенство, представленное на рис. 6,
соответствует обычному понятию равенства. Оно соответствует
только эквивалентному понятию в неевклидовой геометрии,
иными словами, тому, что мы называем «молчаливо
предполагаемыми условиями». Если, принимая конгруэнтность,
определяемую на рис. 6, как некое равенство, мы чувствуем
внутреннее сопротивление, то это потому, что в этом равенстве нам
не хватает элемента, который «определяет параллелизм». Но
поскольку достичь этого логически невозможно, нам следует
отказаться от всяческих попыток подогнать наше образное
мышление к неевклидовой геометрии.
Итак подведем некоторые итоги. Не существует чистой
визуализации в смысле априористской философии. Любая
визуализация определяется предшествующими чувственными вос-
* Имеется в виду геометрическое место точек на плоскости, равноуда*
ленных от прямой. — Прим. перев.
111
приятиями и любое разделение на перцептуальное
пространство и пространство чистой визуализации недопустимо,
поскольку специфически зрительные элементы воображения
являются производными от перцептуального пространства.
Ошибочная концепция чистой визуализации была скорее следствием
неправильной интерпретации нормативной функции, которую
в § 9 мы определили как весьма существенный элемент
наглядных представлений. В самом деле, все аргументы,
которые были выдвинуты в пользу различения перцептуального
пространства и пространства чистой визуализации, основаны
на этом нормативном компоненте воображения. Хотя обычно
считается, что визуальная картина двух параллельных на
доске не отличается от визуальной картины двух линий,
пересекающихся на Солнце, визуальная «вера» в евклидову аксиому о
параллельных в принципе неизбежна. И это, пожалуй,
правильно: несмотря на все ограничения наглядных
представлений, чисто зрительно мы можем представить себе аксиомы
Евклида довольно хорошо. Рассмотрим, например, аксиому,
согласно которой прямая линия является кратчайшим
соединением двух точек. Мы интуитивно уверены, что прямая линия
короче любой другой, даже слабо искривленной. Это внутреннее
убеждение составляет особенность человеческого мышления,
которое на основании неясных визуальных образов способно
делать строгие выводы. Причем эта особенность одна из
важнейших, и мы постоянно ею пользуемся. Поэтому неясность
визуальных картин никак не опровергает существование чистой
визуализации. Напротив, оно еще более подтверждается,
поскольку интерпретируется с помощью различения между
неясным перцептуальным пространством и точным пространством
визуализации. Главным возражением против теории чистой
визуализации является наш тезис о том, что неевклидовы
аксиомы могут быть наглядно представлены столь же строго, если
мы соответствующим образом скорректируем определение
конгруэнтности. Этот тезис основан на открытии, согласно
которому нормативная функция образного мышления имеет не
визуальное, а логическое происхождение и что интуитивное
принятие некоторых аксиом объясняется чисто логическими
причинами, которые ранее «тайно проникли» в визуальные образы.
Аксиома о прямой как кратчайшем расстоянии между двумя
точками является в высшей степени интуитивной только
потому, что понятие «прямая» мы адаптировали к системе
евклидовых понятий \ Поэтому, для того чтобы достигнуть
соответственно интуитивного и ясного понимания иных систем аксиом,
необходимо просто изменить условия. Осознать этот факт
крайне важно, ибо он ослабляет наше интуитивное предпочтение
евклидовой геометрии. Итак наше решение проблемы сводится
1 Ср. с. 121.
из
к отрицанию чистой визуализации. Наглядное представление
не вынужденный акт, не связанный с законами логики, а чисто
логическая и рациональная нормативная функция. Однако,
коль скоро мы утверждаем возможность визуального
представления всех геометрий, то это можно понять как
распространение чистой визуализации на все геометрии. В таком случае
предикат «чистая» является лишь пустым дополнением, ибо он
обозначает только различие между переживаемыми и
воображаемыми картинами. Поэтому мы отказываемся от термина
«чистая визуализация» и будем говорить о нормативной
функции мышления, которая позволяет свести образные элементы
мышления в любую логически допустимую структуру.
§ 14. Геометрия
как теория отношений
Итак мы отвергаем преимущество евклидовой геометрии в
рамках математики. Так как математическая геометрия имеет
дело исключительно с импликациями, то есть представляет
собой чисто дедуктивную систему, в рамках математики мы не
можем утверждать, что аксиомы являются истинными.
Наше доказательство мы построили на существовании
визуальных картин в обоих видах геометрии, а теперь нам
надлежит ответить на вопрос, насколько визуальные образы
действительно необходимы в математической геометрии. Их роль
в физической геометрии совершенно ясна: они устанавливают
отношения между мышлением и реальностью и связывают
чувственные восприятия с понятиями. Поэтому в физике они
связаны с решением важного вопроса, какая из мысленно
возможных геометрий соответствует реальности. В математике для
такого решения аналога не существует, потому что не существует
проблем выбора между разными геометриями К Какой же цели
служат визуальные образы?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим теорию
интуитивных определений, разработанную в связи с аксиомами
Гильберта 2. Согласно этой теории, математическая геометрия не
нуждается ни в каких наглядных образах, а математический
смысл геометрических структур и законов исчерпывается чисто
1 Мы отрицаем также эпистемологическую эквивалентность между
восприятиями в физике и визуализацией в математике.
2 См. также: S с h 1 i с k М. Op. cit., р. 30 f. Наши критические замечания
в адрес теории образного мышления во многом соответствуют аргументации
Шлика (op. cit., р. 297), исследования которого по этому вопросу являются
новаторскими. См. также исследование Карнапа по пространству как
реляционной структуре, особую ценность которого составляют хорошо
подобранные примеры (Car nap R. Der Raum. Ch. I. Erganzungsheft der Kantsudien,
1922).
113
концептуальными отношениями. Такие элементы геометрии, как
точка, плоскость, линия и т. д., не имеют никакого смысла,
если не считать свойств, сформулированных в аксиомах.
Никакого дополнительного визуального смысла в математике не
существует.
Мы можем сказать, например, что точка есть нечто такое,
что никогда не находится одновременно на двух различных не
пересекающихся прямых и, кроме того, удовлетворяет условию,
согласно которому между двумя такими точками всегда
имеется по крайней мере третья, и т. д. Короче говоря, она
удовлетворяет всем условиям, сформулированным в системе аксиом.
Разумеется, сформулировать это определение столь четко,
чтобы определяемое понятие точки не встречалось с правой
стороны уравнения, невозможно. Поэтому мы должны говорить
о неявном определении. В качестве примера рассмотрим
уравнение
у2=*х + 2у.
Оно может быть решено относительно t/, в таком случае
у= 1 ± дЛ +*•
Здесь с правой стороны у не фигурирует. Напротив, уравнение
х = sin у
является неявным для уу иначе говоря, оно не может быть
решено относительно у. Иногда его записывают как бы в
решенном виде
у = arcsin х,
однако значение функции arcsin определяется только
предшествующим неявным уравнением. Следовательно, это только
новая формулировка, а не решение посредством независимо
определенных функций. Такой вариант пустой переформулировки
в явном виде возможен и для неявных определений. Это ясно
уже из следующей формулировки: точка есть нечто такое, что
обладает свойствами, определенными системой аксиом
геометрии Евклида К
Однако не определяет ли этот процесс лишь «предметы»
геометрии и не сохраняют ли свое визуальное значение
отношения связи между, лежит на и т. д.? Если бы это
возражение подтвердилось, неявные определения основных элементов
оказались бы явно недостаточными. Однако эти отношения
могут быть определены следующим образом. Мы можем сказать,
что отношение между есть трехместное отношение Ь, которое
применимо к трем точкам на прямой и свойства которого
должны быть определены. Таким образом, содержание оазлин-
1 Ср. с ограничениями, приведенными на с. 118,
114
ных отношений также неявно определено, и эта процедура не
составляет порочного круга. Неопределяемыми основными
понятиями остаются такие чисто логические понятия, как
элемент, отношение, взаимно однозначное соответствие,
логическое и, импликация и т. д. Все геометрические понятия (как
элементы, так и отношения) могут быть заданы как функции
этих основных понятий.
Если аксиомы выразить не словами, а логическими
символами, эта взаимосвязь проявится еще более четко. Однако
Гильберт1 для большей ясности предпочел слова, поскольку,
как выяснилось, нам трудно понять смысл основных понятий
геометрии без наглядных картин и образов. В то же время его
формулировки столь строги, что перевод их в логические
символы не представляет большого труда. Именно эта строгость
и составляет основное достоинство аксиоматической системы
Гильберта, отличающей ее от работ всех его
предшественников. Особенно несовершенной в этом отношении представляется
аксиоматическая система Евклида, который не сумел
полностью концептуализировать составляющие ее наглядные
элементы. Чтобы продемонстрировать чисто логический смысл аксиом
Гильберта и в то же время привести пример символизма
математической логики, процитируем три гильбертовых аксиомы
об отношении между, сформулированные на языке такого рода.
Они формулируются следующим образом2 (см. рис. 14):
II, 1. Если А, В и С являются точками на прямой и В
лежит между А и С, то В лежит также между С и Л.
II, 2. Если А и С являются двумя точками на прямой, то
существует по крайней мере одна точка В, которая
лежит между Л и С, и по крайней мере одна точка Д
такая, что С лежит между А и D.
II, 3. Среди любых трех точек, которые лежат на прямой,
существует одна, и только одна точка, которая лежит
между двумя другими.
Для нашего перевода мы нуждаемся в следующих
символах3:
Логические символы Геометрические символы
• и (конъюнкция) р(х) х есть точка
V или (дизъюнкция) s(x) х есть прямая
:э заключает в себе (имеет 1(х, у) х лежит на у (отноше-
следствием) ние лежит на)
(х) для всех х ... b (х, у, z) х лежит между у и z
(отношение между)
1 Н i 1 b е г t D. Op. cit.
2 Ibid., p. 6.
3 Подробнее о логическом символизме см.: Reichenbach Н. Elements
of Symbolic Logic. New York, 1947, § 6—7, 17—18.
116
Э х существует по крайней
мере один х> такой, что...
р не р.
Теперь эти три аксиомы читаются так:
II, I. (х) {у) (z) {р (х) • р (у) • р (z) • (3w) [s (w).t (x, w).l(z, w)].
,b{y> x, г) zd b(yy zy л:)}.
II, 2. {x)(z){p(x).p{z)*{x=£z).(3w)[s{w).l{x, w).l(z> w)]zd
=>(3y)[p(y).b(yy x, z)].(3v)[p(v).b(z, xy v)]}.
II, 3. (x)(y)(z){p(x).p(y).p(z).{3w)[s(w).l(x, w).l(y, w).l(z, w)]zd
zd [b (y, x, z)V b (x, у у z) V b (z, xy y)]
[b(y,
[b(y,
Xy
Xy
z).b (Xy
z\b (zy
У,
Xy
z]
y)\
\b{xy у у z).b{Zy Xy */)]}.
Эти предложения нужно понимать следующим образом:
только логические символы имеют независимое значение;
геометрически символы имеют производное значение — они
обозначают элементы и отношения, удовлетворяющие аксиомам,
смысл которых определяется только логическими символами.
0 0 о
А В С
Рис. 14. Отношение между
Несложно показать, что аксиомы содержат такие
ограничения, что этим аксиомам удовлетворяет лишь определенное
число представлений геометрии. На рис. 14 изображены три точки
на прямой. Какая из них лежит между двумя другими? Если
предположить, что это zy то мы идентифицируем b с
визуальным отношением, которое обычно называется лежит вне.
Аксиомы 11,1 и 11,2 совместимы с этим предположением, однако
11,3 несовместима, поскольку наше предположение дало бы
нам
(x)(y)(z){p{x).p(y).p(z).(3w)[s{w).l{x, w).l(y, w).l{Zy w]zd
ZD [b (Xy y, z).b{Zy Xy y)]}.
Это выражение противоречит символическому выражению
аксиомы II, 3, данному выше, согласно которому только одно из
выражений с правой стороны знака => является приемлемым.
А поскольку данная система определяется этими тремя
аксиомами, наше предположение исключено. То же самое касается
предположения, что х лежит посередине. Наш единственный
выбор состоит в том, что посередине лежит у. Только такое
визуальное отношение между (а не визуальное отношение ле-
116
жиг вне) удовлетворяет отношению Ъ, которое было
определено исключительно с помощью логических символов.
Установили ли мы визуальные отношения однозначно, иначе
говоря, дали ли мы им полные определения? Отнюдь нет,
поскольку мы знаем, что другие элементы и отношения с таким
же успехом удовлетворяют евклидовой системе аксиом.
Разумеется, определенные ограничения идентификации основных
геометрических понятий с наглядными отношениями имеют
место, однако произвольный фактор остается всегда.
Наглядные элементы не могут быть исчерпывающим образом
определены только фундаментальными логическими понятиями.
Вспомним о системе чисел. Если под «точкой» мы
понимаем триплет чисел, то есть упорядоченную комбинацию трех
действительных чисел, а под «прямой» — линейное уравнение
и т. д., то система этих объектов также будет удовлетворять
аксиомам Евклида. На этом факте основывается возможность
построения аналитической геометрии. Мы до того привыкли к
этому способу мышления, что подчас не замечаем различия
между терминами «прямая» и «линейное уравнение» и
употребляем их как равноценные. Эта ситуация — следствие того,
что свойства этих понятий, определяемые аксиомами Евклида,
являются наиболее важными и часто используемыми. Однако
в других отношениях это различие становится очевидным.
Натянутый шнур может быть идентифицирован с визуальной
картиной прямой линии, а не с визуальной картиной
линейного уравнения. Последнее соотносится с ним, но не является его
визуальным эквивалентом.
Другим примером элементов, которые удовлетворяют
аксиомам Евклида, является множество элементов, которые сами
принадлежат к евклидовой геометрии, но имеют смысл,
существенно отличный от смысла слов «точка», «прямая» и т. д.
Рассмотрим хорошо известный факт двойственности в
проективной геометрии, когда такие ее элементы, как точки и
прямые, рассматриваются как равнозначные. Эти элементы имеют
совершенно различные визуальные структуры, но одни и те же
свойства в проективной геометрии. Одна из систем,
удовлетворяющих всем аксиомам Евклида, образуется так называемым
семейством сфер. Представим себе фиксированную в
пространстве точку Р, через которую проходят сферы и круги
таким образом, что Р лежит на поверхностях сфер и на
окружностях кругов. Поставим в соответствие друг другу следующие
понятия:
точка — любая точка в пространстве, кроме точки Р;
прямая — окружность, проходящая через точку Р;
плоскость — сферическая поверхность, проходящая через
точку Р.
Остальные геометрические понятия сохраняют свое
первоначальное визуальное значение относительно новых элементов.
117
Например, в Отношении между двумя точками слово «между»
означает теперь по линии окружности, а не по прямой. Эта
новая система удовлетворяет всем аксиомам Евклида без
исключения, что не сложно доказать \ Аксиоматическая система,
следовательно, не может исчерпать визуального содержания
своих элементов и их отношений. Она не может даже
уникальным образом определить множество геометрических элементов
среди евклидовых сущностей.
Следует ли отсюда, что математика не может заменить
визуальные образы логикой? Такая интерпретация была бы
ошибочной. Математика имеет дело не с наглядными точками и
прямыми, но только с логическими структурами, которые
определяются системой аксиом. Соотносить эти понятийные
структуры с наглядными образами вовсе не входит в задачу
математики; решение этой задачи привело бы нас от математики
к физике.
Утверждая, что математика может определить свои элементы
посредством неявных утверждений, мы должны соблюдать некоторые меры
предосторожности. На этот факт обратил мое внимание Р. Карнап. Является ли
объект точкой, определяется не столько его природой, сколько другими вещами,
с которыми он соотносится. Начинать всегда нужно с множества объектов, а
затем определять, какие из них должны быть точками, какие прямыми и т. д.
Только тогда можно решить, соответствуют ли эти объекты в их совокупности
соотносимым с ними понятиям. Понятия точка, прямая линия и т. д.,
задаваемые неявными определениями, Карнап называет несобственными. Их
особенность заключается в том, что они характеризуют вещи не по их
свойствам, а по их отношению к другим вещам. Рассмотрим, например, такое
понятие, как последний вагон поезда. Попадает тот или иной отдельный вагон
под это .понятие, зависит не от его свойств, а от его положения по
отношению к другим вагонам. Поэтому мы можем говорить об относительных
понятиях, но при этом нам следует расширить их значение, понимая под ними
не только отношения, но и элементы отношений 2.
Почему математика должна использовать наглядные
картины? Для своих утверждений и логических выводов ей
нужны только логические свойства элементов. Точность
математических выводов как раз и состоит в том, что они используют
только логически сформулированные свойства наглядных
структур. Наглядные структуры есть не что иное, как
вспомогательное средство мышления, которое относится к психологическому
аппарату, осуществляющему выводы, но не к самому
содержанию мышления. Мышление имеет своей целью не создание
наглядных образов, а создание выражающей их логической струк-
1 Посредством стереографической проекции (см. рис. 9) мы можем
соотносить каждую сферическую поверхность с плоскостью проекции. Каждая
окружность, проходящая через Р по сферической поверхности, соотносится с
прямой линией в соответствующей плоскости проекции. Наше утверждение
доказывается, если рассмотреть произвольные сферы, проходящие через Р.
Само собой разумеется, что в приведенной выше таблице понятие
конгруэнтности евклидовой метрики должно быть заменено более сложной функцией. См.:
Weber R. —Wellstein J. Enzyklopadie der Elementarmatnematik. Teub-
ner, 1905, Vol. II, S. 34f, 52f.
2 См.: Carnap R. Symposium I, 1927, p 355.
11$
туры. Психологическое значение примеров основано на том
факте, что логические операции намного облегчаются, когда
наше мышление имеет дело с конкретными предметами. Если
записать логическое доказательство в его схоластической
форме1
МЕР
SAM
то его очень трудно завершить корректным выводом, которым
в данном случае является Е. (Это так называемая форма Се-
larent.)
Если же мы теперь сформулируем конкретный пример:
ни одно млекопитающее не имеет жабер;
все собаки — млекопитающие
то вывод «никакая собака не имеет жабер» следует без труда.
В этом примере мы, следовательно, не предпринимаем ничего,
кроме логических операций. Логическая структура последних
задана в символической форме, но манипуляции ими
существенно облегчаются логически несущественными терминами,
такими, как «млекопитающие», «жабры» и т. д. Подобным
образом математику гораздо легче сделать выводы из тех или
иных аксиом, если в его воображении они осознаются с
помощью физических объектов. Наглядные геометрические фигуры
приводят его в область физики, однако не для физики как
таковой, но ради той логической структуры, которая
иллюстрируется физическими объектами. Эта процедура не делает из
него физика, так же как и наш вывод по силлогизму Celarent
не делает нас зоологами.
В качестве элементарного примера рассмотрим
общепринятое изложение векторного исчисления, которое обычно
используется в гидродинамике. Чисто математическое понятие
дивергенции вводится как источник, а понятие градиента в
некоторых случаях — как скорость. Используя физику в качестве
средства визуализации, математик прекрасно осознает это, в
обычном же наглядном представлении геометрических аксиом
он об этом забывает. В данном случае он также имеет дело
с физикой, а именно с физикой жестких тел и световых лучей.
«Чистая визуализация» означает наполнение структуры
математических отношений физическим содержанием, аналогично
наполнению терминов векторного исчисления содержанием
1 Символы обозначают: S *=» субъект, М = средний термин, Р =
предикат, А ■=■ универсальное утверждение, Е = универсальное отрицание. Если две
посылки произвольно заданы в логической форме, то вывод определен.
Символы посылок Л и Е определяют соответствующий символ заключения.
Логические соображения определяют, каким он должен быть: в данном случае Е^
См.: Изложение логики в: К г i е s I, von. Op. cit., S. 662.
119
понятий динамики, В некоторых разделах геометрии эта
процедура достаточно очевидна. Вспомним «построение
геометрии на плоскости на основе движений», изложенное Клейном *.
Последний вводит представление о т. н. «трансляциях» в
пространстве, рассматривая точки, сдвинутые таким образом,
что они совпадают с некоторыми другими точками. Свойства
этих трансляций формулируются в аксиомах, одна из
которых утверждает, что две трансляции могут быть
взаимозаменяемы (рис. 15). Сначала мы можем передвинуть точку А в
сторону точки А\ а затем вверх или же сдвинуть ее вверх к
точке А", а затем в сторону. В обоих случаях мы прибываем
A" v В
о >о
1—J
А А'
Рис. 16. Способность двух сдвигов к взаимозаменяемости.
в одну и ту же точку В. Очевидно, что действия с понятием
движения не представляют собой математической операции.
Математическая точка не может двигаться, она может быть
только соотнесена с другой точкой. В терминах математики мы
можем говорить о координативной операции О, которая
сначала соотносит точку А с точкой А\ а затем соотносит точку В
с точкой А', Координативная операция между А и В есть
относительное произведение Oi02. Аксиома, которую мы
рассматриваем, гласит, что относительное произведение 0\02 равно
относительному произведению 020\2. Поэтому данное
произведение удовлетворяет закону коммутативности.
В символической форме запишем
0{02 = 020{ или А0{02... =А020{ ...
В этом состоит логическое значение нашего утверждения. Если
оно сформулировано на языке движения и говорит о сдвиге
точки А к точке В, то логическая схема переводится в
наглядные картины, полученные на основании поведения физических
тел при движении их вдоль жестких рельсов. Такой перевод
не изменяет математических отношений и не придает иного
содержания математическим высказываниям, но делает их более
живыми и легкодоступными для понимания. И хотя мы при-
1 См.: Клейн Ф. Цит. соч., с. 266.
2 Относительное произведение есть отношение, возникающее из
«последовательного соединения» двух отношений. Отношение шурин (свояк) есть
относительное произведение отношений брат — жена (или также муж — сестра).
120
знаем за математикой право пользоваться такими наглядными
образами для облегчения мыслительных процессов, мы все же
не можем допустить, чтобы они имели какое бы то ни было
математическое значение.
Те же аргументы имеют силу и для наглядного
представления конгруэнтности посредством совмещения линейных
отрезков. Логический смысл движения до совмещения и на сей
раз состоит в соотнесении неподвижных линейных отрезков.
Наглядное представление при помощи перемещения является
результатом опытов с жесткими стержнями. Мы только
придаем некоторое физическое содержание определенной логической
схеме. Понятие движения имеет здесь не большее значение, чем
зоологическое понятие «животное» в предшествующем примере
логического вывода.
Мы можем утверждать, следовательно, что математическая
геометрия — это не наука о пространстве, поскольку под
пространством мы понимаем наглядную структуру, которая может
быть заполнена предметами,— а чистая теория многообразий.
Наглядность в ней играет ту же роль, что и в арифметике или
анализе. Подобно последним, геометрия может быть сведена к
фундаментальным логическим понятиям, таким, как
соотношения, классы и т. д., составляющим реальное содержание
геометрических высказываний. Все геометрические аксиомы могут
быть сформулированы как математические законы при помощи
формул, подобных приведенным на с. 116. Визуальные
элементы пространства не являются необходимым дополнением.
Поэтому в математической геометрии вопрос об истинности той
или иной аксиомы даже не возникает. Аксиомы представляют
собой произвольно составленные отношения, содержание
которых может быть выражено некоторым сочетанием одних только
логических понятий. Последние с таким же успехом могут
быть заменены любым другим свободным от противоречий
сочетанием фундаментальных понятий.
Если мы хотим выразить наши идеи с помощью понятий синтетическое и
аналитическое, нам следует указать, что эти понятия применимы только к
предложениям, которые могут быть истинными или ложными, но не к
определениям. Поэтому математические аксиомы не аналитические и не
синтетические, они суть дефиниции. Это положение, казалось бы, противоречит
высказанному нами ранее положению о том, что наглядно принудительный
характер геометрических аксиом является по своей природе логическим, поскольку
он, по-видимому, указывает на то, что аксиомы являются аналитическими.
Кажущееся противоречие разрешается следующим образом: если а есть
геометрическая аксиома, то «точки», «прямые» и другие содержащиеся в ней
понятия существуют не независимо, а лишь в связи с другими аксиомами. Мы
можем рассматривать понятия «точка», «прямая» и т. д. как понятия,
которые должны определяться аксиоматической системой и вновь вводиться в
аксиому а. Однако эта процедура дала бы нам новую аксиому, которую мы
могли бы обозначить как а'. Аксиома а' является аналитической и истинной,
тогда как аксиома а есть определение, которое не истинно и не ложно. Чистая
визуализация дает нам аксиому а'\ геометрические же аксиомы сами по себе
являются аксиомами типа а.
121
Тем самым вопрос о том, являются ли аксиомы априорными, лишается
смысла, ибо аксиомы произвольны.
Как это ни странно, но Ф. Клейн, сделавший выдающийся вклад в
развитие неевклидовой геометрии, не считал аксиомы произвольными. Он называл
их «не произвольные, но разумные суждения, вызванные в общем
пространственным созерцанием и регулируемые в деталях соображениями
целесообразности» 1. Тем не менее предполагается, что аксиомы неевклидовой геометрии
являются столь же разумными суждениями, ибо созерцание требует аксиому
о параллельных только в определенных пределах точности2. Точка зрения
Ф. Клейна, на наш взгляд, несостоятельна, поскольку за пределами
определенной степени кривизны неевклидова геометрия стала бы «неразумной».
Замечание Клейна следует скорее понимать как намек математикам на
необходимость мыслить наглядно, а не как некое эпистемологическое доказательство.
В пределах математики лишь одна система аксиом
сохраняет претензию на истинность, а именно система аксиом
самой логики. Исследование этого вопроса увело бы нас далеко
за пределы данной книги, предметом которой являются
проблемы пространства и времени. Поэтому мы рассматриваем
только геометрические аспекты математики и ограничимся
констатацией того факта, что проблемы истинности геометрических
аксиом не существует и что в математике нет никакой особой
геометрической визуализации.
Мы касаемся только проблемы геометрической наглядности, с тем чтобы
избежать дискуссий, которые сравнительно недавно возникли в связи с
математическим интуиционизмом. Хотя из математики в общем и целом
невозможно исключить визуальные элементы, тем не менее геометрической
визуализации как таковой не существует. Не исключено, что интуитивные процессы
визуализации содержатся в каждом примере логического мышления и
проявляются, следовательно, равным образом во всех разделах математики. Этот
вопрос касается эпистемологии логики и соотношения между логикой и
математикой, но не специфической проблемы геометрии и геометрической
визуализации. Более того, исследование этой проблемы никогда не установит
различия между евклидовой и неевклидовой геометрией. Несомненно, что обе
системы имеют в математике совершенно равные основания. Подчеркивая
визуальный характер практических логических рассуждений и полагая при этом,
что он подтверждает кантову теорию созерцания, Гильберт (Math. Ann. 96,
p. 170—171) проявил чрезмерную терпимость к исторически определенной
философской системе. Кантова теория математического созерцания в математике
основана на визуальном характере синтетических аксиом и не касается
наглядного принуждения аналитических суждений. Дальнейшие рассуждения
Гильберта о существовании сверхлогических предметов и возможности их
созерцания имеют отношение только к созерцанию вообще (см. также с. 107).
§ 15. Что такое
графическое представление
Анализ геометрии как теории отношений станет более
понятным, если мы с его помощью выясним одну проблему,
которая редко осознается в полном объеме и своеобразии. Это
проблема графического представления.
1 Клейн Ф. Цит. соч., с. 309.
8 Там же, с. 294—296.
122
Графические представления используются довольно широко.
Любой физический или технический текст сопровождается
множеством чертежей, позволяющих нам разобраться в тех или
иных сложных явлениях. Ни один инженер не спроектирует
паровую машину, мотор, мост или электрическую сеть без
использования диаграмм. С их помощью он может определить
мощность машины, прочность материалов и т. д. Исходя из
пересечения прямых на диаграмме, он определяет устойчивые
состояния при вибрациях моторов и радиоаппаратуры. Эти
чертежи, которые он строит на миллиметровой бумаге и площади
которых подсчитывает планиметром, нужны ему не только для
понимания, но и для расчетов. Графически представляя законы
природы, физик, с одной стороны, интерпретирует
математические функции в виде кривых и плоскостей в соответствии с
правилами аналитической геометрии, а с другой — заносит
результаты своих измерений на миллиметровку, с тем чтобы
графически выразить полученную закономерность. Координаты,
изображенные на миллиметровке, представляют собой не только
расстояния и пространственные величины — они могут
представлять также давление, температуру, электрическое
напряжение, короче говоря, любые измеряемые величины, которые
встречаются в физике. Все это достаточно известно и не
нуждается в дальнейших объяснениях. Каждый из нас так или
иначе прибегал к спасительной помощи графических
представлений, пытаясь разобраться в той или иной физической
проблеме.
Однако возникает вопрос: как эти пространственные
диаграммы могут представлять столь различные вещи, как
уравнение состояния газа, путь электрического разряда и т. д.? Что
общего между ними? И в самом деле, почему такие
диаграммы облегчают понимание? Не кажется ли это странным? Быть
может, машинист стал работать лучше, если бы зрительно
представлял себе поток пара и повышение давления? Он
вполне мог бы представить все это наглядно, поскольку он в
состоянии чувственно воспринимать поток пара и давление. Но
использует ли он этот тип наглядных представлений? Нет, он
смотрит на манометр, графически выражающий уровень
давления, и решает, сколько угля следует добавить, чтобы указатель
на шкале достиг предписываемой цифры.
Если бы мы были в состоянии заглянуть в сознание всех
этих машинистов, электриков и инженеров, как мы смотрим,
например, фильмы, мы бы не смогли обнаружить там никаких
зрительных образов давления, напряжения или светимости
газа, а только схему кривой на миллиметровке. Думает ли
физик, глядя на электрическую схему, почему он повернул ручку
или передвинул рычаг? Перед его внутренним взором предстают
кривые, которые удлиняются, пересекаются или уменьшаются,
и точки, движущиеся вдоль этих кривых, направляемые
123
посредством переключателей. Несомненно, что большая часть
наглядных образов физических явлений мыслится с помощью
пространственных соотношений, которые полностью заменяют
непосредственные картины. Как это возможно?
Решение этой проблемы дает наша концепция геометрии
как теории отношений. Контроль за явлениями природы
осуществляется посредством математических понятий. Эти
понятия определяются неявными определениями и не зависят от
своеобразия и специфики наглядных представлений. Мы сами
решаем, какие наглядные предметы мы соотносим с ними. Это
может быть давление, ток или жесткое измерительное тело.
Такой процесс соотнесения эквивалентен координативной
дефиниции. Существуют координативные дефиниции не только для
прямых и жестких измерительных стержней, но также для
прямых и постоянных токов или возрастания механического
напряжения в растягиваемом стержне. Данное соотнесение
произвольно не только по отношению к определенному виду
вещей, но и по отношению ко всем вещам вообще. Поэтому
геометрические аксиомы могут быть применены как для жестких
тел и световых лучей, так и для сжимаемых газов,
электрических явлений и механических сил. Логическая структура такого
рода явлений может быть соотнесена как с математической
геометрией, так и с геометрией физической. Стало быть, их
можно представить посредством диаграмм.
Но является ли графическое представление соотнесением с
физической геометрией? Не соотносим ли мы между собой
лишь идеальные структуры? Несомненно, что соотносим мы
именно физические вещи, однако осознать это довольно трудно.
Мы настолько привыкли к соотнесению поведения жестких тел
с математической геометрией как теорией отношений, что уже
не замечаем некоторой двойственности. Тем не менее
соотнесение имеет место. С одной стороны, мы имеем систему
математических отношений Л, а с другой — физическую систему
жестких тел а. Каждое утверждение относительно А может быть
переведено в утверждение относительно а. Используются, как
правило, только утверждения относительно а, которые являются
символами утверждений относительно А. Это и называется
наглядной геометрией. Система а представляет собой наглядное
пространство системы А. Напротив, содержание системы А не
может быть представлено наглядно; оно может быть выражено
с помощью формул, подобных приведенным на с. 116. Эти
соображения объясняют также термин чистая визуализация. Мы
мыслим систему а не как систему природных объектов, но как
систему объектов, представляющих отношения евклидовой
геометрии. В таком случае система вещей а есть пространство
чистой визуализации. Конечно, мы не привязаны к евклидовой
геометрии А — с таким же успехом мы могли бы выбрать
неевклидову геометрию А'. Если мы мыслим об идеальных объ-
124
ектах а, которые имеют вид жестких тел, но удовлетворяют
законам системы А', то а представляет собой пространство
чистой визуализации неевклидовой геометрии. Система а также
является пространством либо чистой, либо эмпирической
визуализации в зависимости от того, придумали ли мы эти
предметы намеренно для системы а или обнаружили их в природе.
Так называемая наглядная геометрия является в таком
случае графическим представлением, отображающим
реляционную структуру А на систему реальных вещей а. Именно
поэтому даже чисто логические структуры можно представить в
графической форме. Представление вывода схоластической
схемы (см. с. 119) есть графическое представление некоего
логического вывода. Логическое соотношение большей посылки,
меньшей посылки и вывода представлено графически
пространственным расположением трех линий. Другим примером такого
типа является графическое представление комплексных чисел,
которые первоначально определялись в чисто логических
терминах, с помощью точек на плоскости. Это пример соединения
в обыденном языке системы А и а. Математика занимается
соотнесением комплексных чисел с системой Л, то есть с
плоскостью, определенной геометрическими элементами в
формулах, приведенных на с. 116. Вместо этого говорят, как правило,
о соотнесении с плоскостью чертежа, то есть с
соответствующими элементами системы а. Оба термина используются как
взаимозаменяемые. Таким образом, возможность мыслить
образами дает нам определенные преимущества, ибо наглядно
можно представить только систему а, но не систему А.
В результате возможность графических представлений
становится понятной. Логическая система отношений А может
быть соотнесена не только с физической системой а, но и
с множеством других физических систем 6, с..., например
с системами термодинамики, электрических явлений и т. д.
Возьмем в качестве примера Р-Т диаграмму постоянного
количества газа. Соотнесение некоторых ее элементов дается в
следующей таблице 1:
1. Точка = состояние газа при
постоянном давлении и
температуре
2. Прямая линия, проходящая = изменение состояния при
через начало координат постоянном объеме
3. Прямая линия, параллель- = изменение состояния при
ная оси Т постоянном давлении
4. Прямая линия, параллель- = изменение состояния при
ная оси Р постоянной температуре
1 Нижеследующие положения справедливы для уравнения состояния газа
РУ = RL
125
б. Любая прямая линия
изменение состояния, при
котором объем V связан с
температурой уравнением 1
Т
V
аГ + р
6. Две параллельные прямые = два изменения состояния
по формуле в пункте (5)
с той же самой а, но с
другой р
= два изменения состояния
по формуле в пункте (5),
для которых выражение
7. Два отрезка одинаковой
длины
Л/(Р2 ~ Pi? + (^2 - W .
зависящее от начального и
конечного состояний, имеет
одно и то же значение.
На основе такого соотнесения система b состояний газа
является столь же хорошей реализацией системы отношений А,
как и система жестких тел.
Однако как быть, если нас не удовлетворяет наша таблица
и мы действительно чертим диаграмму? Для этого введем
другую координацию, а именно соотнесение между а и 6, и не
будем больше говорить о системе Ау но только о системе а.
Будем говорить, что при изменении состояния, согласно
условию (5), газ движется вдоль прямой линии, понимая под
«прямой линией» начерченную фигуру, а отнюдь не изменение
состояния. На сей раз прямая линия на чертеже сама является
предметом системы а, который мы соотносим с изменением
состояния. Связь между системами А и а является столь тесной,
что для того, чтобы понять соотнесение между системами А и
6, нужно установить координацию между системами а и Ь.
Разумеется, с точки зрения логики в этом нет необходимости.
Мы можем опустить систему а и трактовать систему b как
непосредственное наглядное представление системы А. Однако,
поступив таким образом, мы можем не заниматься более
диаграммами, а приписать предметам системы b качества, данные
нам в восприятии. Мы можем мысленно представить,
например, давление и температуру, любое сочетание которых
представляется точкой. Если мы мысленно представим
равномерное возрастание обеих величин, то воспримем это как
прямую линию. Система b состояний газа в такой же степени
является реализацией системы Л, как и система жестких тел а.
Последняя также является реализацией системы А в терми-
1 а и р — произвольные постоянные.
126
нах восприятий, если мы действительно мыслим о состояний
газа и не подразумеваем эту систему в диаграммах.
Существует и множество других физических геометрий. Вообще говоря,
геометрия жестких тел предпочтительна исключительно по
соображениям практическим, но отнюдь не потому, что только
она может иметь наглядное представление. Мы столь привыкли
отдавать предпочтение жестким телам, что в качестве
пространства признаем только систему, представленную ими.
В принципе с таким же успехом множество состояний газа b
можно назвать физическим пространством. Однако термин
«физическое пространство», вообще говоря, предназначен для
системы жестких тел а.
Эти практические соображения, бесспорно, являются
наиболее важными, и поэтому под физической геометрией мы будем
подразумевать систему жестких тел а и световых лучей. Это
предпочтение обусловлено не только привычкой, но и
физическими свойствами тел, входящих в систему а. Их несложно
изготовить в виде геометрических инструментов, таких, как
линейка и треугольник, легко хранить, и, кроме всего прочего,
их всегда можно сравнить с другими физическими явлениями.
Этим и объясняется, почему предметам из системы а отдается
предпочтение как инструментам измерения и почему мы
привыкли измерять все физические состояния, сравнивая их с
жесткими измерительными стержнями. Мы измеряем
температуру в конечном счете с помощью столбика ртути,
закрепленного на жесткой шкале, а электрическое напряжение —
с помощью шкалы вольтметра и т. д. Однако это
предпочтение не является логически необходимым. Мы с таким же
успехом можем измерить длину с помощью электрических
напряжений, заменив эталонный метр, хранящийся в Париже,
стандартным же гальваническим элементом. Сведение всех
измерений к жестким измерительным стержням основано на
чисто прагматических соображениях. Уже не раз
предпринимались попытки доказать эпистемологическую необходимость
сведения всех измерений к измерениям пространства (и
времени). Такой принцип измерения целесообразен лишь в силу
практических преимуществ жестких измерительных стержней.
Теперь важность графических представлений становится
очевидной. Они есть не что иное, как координация, или
соотнесение, системы а с системой Ьу с и другими системами
физических объектов. Она возможна только потому, что все эти
системы являются реализациями одной и той же
концептуальной системы А. Называть графические представления
наглядными с точки зрения эпистемологии, вообще говоря,
некорректно, поскольку системы Мит. д. так же наглядны, как
и система а. Однако из соображений практики мы привыкли
выражать концептуальные отношения системы А
преимущественно с помощью системы а, представляя их не абстрактно, а с
127
помощью наглядных картин системы а. Представление других
физических систем с помощью привилегированной системы а
является упрощением. В самом деле, даже машинист, контролируя
работу машины, мыслит скорее с помощью диаграмм, а не
физических процессов.
Здесь мы хотели бы высказать мысль о том, что
представление геометрических отношений с помощью систем предметов
не просто вопрос удобства, а необходимое свойство
человеческого мышления. Об этих отношениях просто невозможно
мыслить абстрактно. Их нельзя понять без определенного
метода символических представлений, дающего конкретную
модель абстрактных отношений. Выбор системы а лишь одно из
возможных решений. Если мы используем чисто логические
отношения, приведенные на с. 115, мы применяем конкретную
модель, выраженную в виде буквенной записи, которая опять
же является не чем иным, как графическим представлением
данной системы отношений. Мышление вообще без каких-либо
символов невозможно. Однако отсюда не следует, что выбор
символа определяет содержание мышления. Для
арифметических операций, производимых на счетах, цвет костяшек не
имеет ровно никакого значения. Логический смысл
содержания зависит только от системы отношений, общей данному
множеству символических систем. Тот факт, что систему
отношений мы можем мыслить только с помощью конкретных
объектов, не влияет на ее независимость и чисто логическое
значение.
Глава II
Время
§ 16. Различие между
пространством и временем
Проблемы времени в философии науки исследовались
значительно меньше, чем проблемы пространства. Время обычно
рассматривалось как некая упорядочивающая схема, подобная
пространству, но проще его, так как имеет лишь одно
измерение. Некоторые философы полагали, что философское
разъяснение проблемы пространства будет способствовать также
решению проблемы времени. Кант представлял пространство и
время как аналогичные формы созерцания и рассмотрел их в
одной главе своего главного труда по теории познания. Время
при этом представлялось намного менее проблематичным,
поскольку не было связано с многомерностью. Время не касается
проблемы зеркально-образной конгруэнтности, то есть
проблемы существования равных и подобных по форме фигур,
которые не могут быть наложены друг на друга,— проблемы,
играющей определенную роль в философии Канта. Более того,
время не связано с проблемами, аналогичными проблемам
неевклидовой геометрии. В одномерной схеме не существует
различия между прямолинейностью и кривизной. Любая кривая
линия всегда может быть «выпрямлена» без каких бы то ни
было деформаций ее элементов. Поэтому с помощью
внутренних измерений невозможно определить, является ли
одномерный континуум прямым или искривленным. Любая линия
может иметь внешнюю кривизну, но не обладать внутренней,
поскольку возможность кривизны существует лишь для
129
континуумов двух и большего числа измерений. Таким образом,
одномерность времени исключает все проблемы, которые
предлагает философский анализ проблем пространства.
Параллелизм в трактовках проблем пространства и времени
имел тот существенный изъян, что определял только те
факторы, которые не имеют отношения к времени, а не свойства
самого времени. А между тем эти свойства обнаруживают себя
в том, что временной порядок возможен в такой области,
которая не имеет никакого пространственного порядка, а именно
в сфере психического опыта человека. В самом деле, в нашей
повседневной жизни мы не ощущаем пространство столь
непосредственно, как мы чувствуем течение времени. Переживание
времени связано с переживанием нашего собственного «я», с
переживанием собственного существования. «Я существую»
значит «я существую сейчас», однако существую в некоем «вечном
теперь» и чувствую себя тождественным самому себе в
неуловимом потоке времени.
Однако прежде, чем рассмотреть вопрос о восприятии
времени, нам необходимо рассмотреть порядок времени * как
естественнонаучную проблему, подобную проблеме
пространственного порядка. Анализ естественных наук — единственный
путь к решению основных проблем эпистемологии. Поэтому
прежде всего нам следует изучать проблемы, связанные с
параллелизмом пространственного и временного порядков, и
показать, что изменения в философском анализе геометрии влекут
за собой изменения и в анализе временного порядка. Во-первых,
для временных интервалов, так же как и для пространственных
расстояний, существует проблема конгруэнтности. Параллелизм
проявляется еще более четко, если пространство и время
объединены в четырехмерное многообразие. В рамках этого
многообразия эпистемологические проблемы проявляются в том же
виде, в каком мы сталкивались с ними в трехмерном
многообразии пространства.
Несмотря на то, что концепция пространства и времени как
четырехмерного многообразия оказалась весьма плодотворной
для математической физики, ее эффект в области теории
познания свелся к тому, что она лишь запутала проблему.
Называя время четвертым измерением, мы придаем ему характер
таинственности. Создается впечатление, что время может
пониматься как один из видов пространства, и тщетно пытаться
добавить визуально к трем измерениям пространства
четвертое. Очень важно предостеречь от такой ошибочной трактовки
математических понятий. Добавляя к пространству в качестве
четвертого измерения время, мы ни в коей мере не лишаем его
* Под выражением «порядок времени» понимается порядок событий во
времени. Это выражение было использовано при переводе книги Рейхенбаха
«Направление времени» и сохранено в настоящем издании. — Прим. перев.
130
специфичности именно как времени. Соединяя пространство и
время в четырехмерном многообразии, мы только выражаем тот
факт, что для определения того или иного мирового события
нужны четыре числа, а именно три числа для пространственного
измерения и одно для временного. Такое упорядочение
элементов, каждый из которых задается четырьмя условиями
(координатами), всегда может быть математически понято как
четырехмерное многообразие. То же, разумеется, возможно и в других
случаях. Музыкальные тона могут быть упорядочены по силе
и высоте звучания и соответственно объединены в двухмерное
многообразие. Подобным же образом любой цвет может быть
составлен из трех основных — красного, зеленого и синего, если
суметь определить, в какой пропорции входят в него каждый из
этих трех компонентов. Такое упорядочение не меняет ни тонов,
ни цветов: мы лишь математически выражаем результаты нашего
опыта, накопленного в течение длительного времени.
Следовательно, наша трактовка времени как четвертого измерения не
вносит никаких изменений в само понятие времени.
Практически такая форма математического выражения
позволяет наглядно представить себе это многообразие с
помощью пространственных представлений, иначе говоря, с
помощью графического изображения. Так, мы можем символически
представить многообразие музыкальных тонов на плоскости.
Откладывая силу тона по горизонтальной оси, а его высоту —
по вертикальной, мы получаем соответствие каждой точки
плоскости (вернее, квадранта, поскольку высота и сила звука
не могут быть отрицательными) определенной силе и высоте
тона. Такое представление звука на плоскости целесообразно
с точки зрения практики, но не необходимо. Даже если под
силой и высотой звучания мы понимаем восприятие тона на
слух, тем не менее имеет место двухмерное многообразие,
которое является результатом нашего восприятия. Вспомним в
этой связи соображения, изложенные в § 15, о том, что
многомерное многообразие представляет собой концептуальную
структуру и что пространство визуализации есть только одна
из возможных форм, дополняющих содержание всей
концептуальной формы. Поэтому нет необходимости называть
представление многообразия тонов с помощью плоскости наглядным
представлением двухмерного многообразия тонов. Слуховое
восприятие музыкального тона само привносит чувственное
содержание в концептуальное многообразие тонов. То же
справедливо и для четырехмерного пространственно-временного
многообразия. При попытке представить его как
четырехмерное пространство мы потерпели бы неудачу, поскольку
пространство визуализации может иметь только три измерения.
В этой ситуации можно воспользоваться пространственными
представлениями поперечных сечений четырехмерного
многообразия. Отложим пространственные измерения по горизонтальной
131
оси, а временные по вертикальной, в результате чего получим
на плоскости многообразие определенных событий,
происходящих в некотором пространстве в различные моменты времени.
Такой метод наглядного представления течения времени с
помощью диаграммы может быть весьма плодотворным. Однако
визуализация такого рода не требует применения теории
относительности, поскольку железнодорожное расписание,
представленное, например, графически, дает тот же эффект.
Этот метод еще не изменяет наших представлений о времени.
Мы всегда можем заполнить четырехмерное пространственно-
временное многообразие непосредственным чувственным
содержанием, ранее связанным с пространством и временем. Наше
восприятие событий, определенных в пространстве и времени,
происходит в четырехмерном многообразии. Поэтому мы можем
сохранить перцептуальное различие между пространством и
временем, не вступая в противоречие с математическим
представлением. Подобно тому как, представляя на плоскости
музыкальный ряд тонов, мы не отказываемся от интуитивных
представлений о силе или высоте тона, так и объединение
пространства и времени в четырехмерное многообразие не дает
нам основания для отказа от наших интуитивных
представлений о пространстве и времени, которые для них заметно
различаются. Скорее наоборот, именно интуитивные представления
облегчают наше восприятие четырехмерного многообразия.
Те свойства времени, которые были установлены теорией
относительности, никак не связаны с пониманием времени как
четвертого измерения. Такая трактовка уже имела место в
классической физике и применялась достаточно часто. Однако
теория относительности дала новое понимание четырехмерного
многообразия. Законы, которым оно подчиняется, отличаются
от законов классической теории. Они были выведены на
основании того же самого анализа, который применялся к
трехмерному пространственному многообразию. Этот анализ
позволил осознать произвольный характер координативных
дефиниций даже в применении ко времени и привел к появлению
некоторых новых и довольно странных на первый взгляд идей.
Для объяснения этих изменений в понятии времени нам нет
необходимости прибегать к математическому аппарату.
Оставаясь в рамках чувственного восприятия времени, мы можем
раскрыть все положения теории относительности по проблеме
времени. В эпистемологии мы продвинемся несколько дальше.
Кроме того, мы хотим определить структуру четырехмерного
многообразия в терминах математики, лишив ее тем самым
таинственности. Наш анализ позволит нам обнаружить, что
положение о параллелизме пространства и времени дает
некорректную интерпретацию мира Минковского. Согласно Минков-
скому, специфика временного измерения состоит в том, что в
фундаментальную метрическую формулу время входит со зна-
132
ком «минус». Специфика времени проявляется даже в анализе,
не учитывающем субъективного ощущения времени. Мы
покажем также, что этот параллелизм пространства и времени не
существует объективно и что в естественных науках время
является более фундаментальным понятием, чем пространство,
поскольку топологические и метрические свойства пространства
могут быть полностью сведены к временным. И наконец, мы
увидим, что пространственно-временной порядок является
прототипом и схемой причинной связи.
В этой главе мы рассмотрим только физическое время. Мы
не станем уделять внимания психологическим характеристикам
времени, но проанализируем физический порядок времени по
такому же принципу, как проанализировали физический
порядок пространства. Такой порядок рассмотрения вполне
оправдан, поскольку мы можем выяснить, что физики понимают под
словом «время», точно так же как и то, что они понимают под
словом «материя». Нередко считается, что в этом случае
обнаруживаются только физические свойства времени, тогда как
психологическое ощущение времени сохраняет свой априорный
характер и подчиняется собственным законам. Эта точка
зрения, которая разделяется многими философами по поводу
теории относительности, должна быть решительно отвергнута.
Все наши так называемые априорные суждения в гораздо
большей степени определяются нашим первоначальным опытом
и практикой повседневной жизни, чем мы предполагаем.
Ничто не принесло бы науке большего вреда и столь пагубно не
сказалось бы на естественном развитии процесса познания, чем
подобная точка зрения. Она подменяет нормы физики как
науки нормами повседневной практики и только демонстрирует
наше нежелание способствовать развитию физики как точной
науки. Поэтому различие между субъективным восприятием
времени и физическим временем мы будем использовать только
как временное средство, которое поможет нам глубже
проникнуть в концепцию времени. Соответственно нам придется
изменить и наше интуитивное понимание времени. И действительно,
мы выясним, что именно релятивистское понятие времени
представляет восприятие времени в новом свете. Мы определим
смысл и содержание повседневного опыта. И наконец, с
помощью такого анализа мы скорее поймем «истинное» значение
субъективного восприятия времени, нежели с помощью
феноменологического анализа.
§ 17. Равномерность времени
Предложенное нами решение проблем физической
геометрии основано на идее координативной дефиниции. Первая
координативная дефиниция относится к единице длины,
133
вторая — к конгруэнтности. Вопрос о том, равны ли два
удаленных друг от друга линейных отрезка, есть вопрос не познания,
а определения; и это определение в конечном счете сводится
к соотнесению некоторого физического объекта и единицы
измерения. Мы увидели, что без координативной дефиниции
проблема физической геометрии осталась бы неразрешимой и
что сравнивать удаленные друг от друга линейные отрезки, не
имея координативной дефиниции конгруэнтности, не просто
технически, а логически невозможно. Определение
конгруэнтности посредством жестких тел оказалось наиболее полезным,
поскольку известно, что это определение не зависит от
выбранного пути, по которому перемещается данное жесткое тело.
Подобные же соображения могут быть перенесены на
проблему времени. То, что нам нужно определить единицу времени,
настолько очевидно, что мы только упомянем первую коорди-
нативную дефиницию. Однако сравнение по длине существует
и для времени. Прежде чем перейти к эпистемологическому
исследованию, рассмотрим, какие интервалы времени физики
считают равными по длине. Вращение Земли — один из
основных примеров такого рода. Предполагается, что
временные интервалы, необходимые для одного полного
обращения Земли вокруг своей оси, одинаковы. Для дополнительного
деления таких временных интервалов мы используем другой
метод, а именно метод измерения углов. Мы принимаем
временные интервалы за равные, если они соответствуют равным
углам вращения Земли. С помощью сочетания этих двух
методов мы получаем меру времени, и течение времени, которое
получено с помощью таких методов, называется
равномерным. Поэтому проблема конгруэнтности временных интервалов
приводит к проблеме равномерности времени.
В описанном измерении времени используются два
совершенно различных метода. Мы считаем, что обороты Земли
имеют равную длительность, поскольку они относятся к
периодам одного и того же типа. Утверждая, что периоды
колебаний маятника равны по длительности, мы используем тот же
принцип. Подсчет периодов маятника является первым и
наиболее естественным методом измерения времени. Второй
метод состоит в подразделении длительности суточного периода
посредством углов вращения Земли. В этом случае равное
время измеряется с помощью равных пространственных
величин. Такое сведение временных измерений к пространственным
имеет место также в инерциальном движении. Закон инерции
гласит, что если на свободно движущееся тело не действуют
силы, то оно будет проходить равные расстояния за равные
промежутки времени. Таким образом, мы используем это
движение как меру равномерности и определяем как равные
времена прохождения телом равных расстояний. И наконец,
еще один пример такого рода измерения — метод, опирающий-
134
ся на положение о том, что свет проходит равные расстояний
за равные отрезки времени. Следовательно, существуют два
основных метода измерения времени: один состоит в подсчете
периодических процессов, а другой — в измерении
пространственных расстояний, соответствующих определенным
непериодическим процессам.
Высказывалось мнение, что никаких реальных измерений
времени не существует и что все измерения времени должны
сводиться к измерениям пространства. Это неверно. Такое
сведение применимо только ко второму типу измерения времени,
поскольку первый метод не имеет отношения к измерениям
пространства. Подсчитывая периодические события, например
тикание часов, мы пользуемся чисто временной шкалой.
Последовательность звуков, которую мы слышим, называется вре-
меннйм интервалом. Они считаются равными на том
основании, что каждый звук — это период, за который качающийся
маятник достигает своего первоначального положения. Как он
движется в пределах этих периодов, не имеет значения. И хотя
известно, что движение маятника далеко от равномерного, мы
принимаем интервалы полных периодов за равные. Когда
система возвращается в ее первоначальное положение, период
закончен. Никакой необходимости в пространственном
измерении нет. Это измерение времени основывается, таким образом,
на повторении одного и того же состояния. Наиболее
наглядным примером такого измерения являются часы. Внутренняя
работа механизма имеет в этом случае единственно значение
считывающего устройства, и угловой путь стрелок есть только
мера числа зубцов, которые передвигают механизм, а,
следовательно, также и мера числа законченных периодов
балансира. Поэтому нормирование времени в часах обеспечивается
балансиром; стрелки указывают на число единиц измерения и
избавляют нас от их подсчета. В действительности этим
методом мы можем измерить лишь целое число временных
интервалов. Однако, если единица измерения достаточно мала,
суммарная погрешность может быть очень небольшой.
В особых случаях определенный период может быть
равномерным, как, например, в случае вращения Земли. Согласно
второму методу, мы достигаем дополнительного деления за
счет того, что измеряем угловой путь вращения Земли
относительно неподвижных звезд. Это дополнительное разделение
измерения времени требует особых пространственных измерений,
а именно измерений угловых расстояний, что существенно
отличается от наглядного использования угловых измерений в часах.
В виде резюме отметим, что для иэмерения равных
промежутков времени требуются механизмы, обладающие четкой
периодичностью. На самом деле, мы никогда не измеряем «чис-
•уое время», но всегда процессы, которые могут быть
периодическими, как в часах, или непериодическими, как в случае
185
свободного движения точечной массы. Каждый промежуток
времени связан с каким-либо процессом, ибо в противном
случае он не был бы воспринят вообще. Поэтому измерение
времени основывается на некоем предположении о принципе
работы механизма.
Как можно проверить это предположение? Ответ только
один — проверить его невозможно. Точно так же как нет
возможности сравнить два измерительных стержня без
наложения их друг на друга, нельзя сравнить два следующих друг
за другом периода времени. Мы не можем вернуть
прошедший временной интервал и совместить его с более ранним.
Эмпирически мы можем составить суждение о часах, но такие
суждения относились бы к несколько иному аспекту проблемы.
Сравним двое близко расположенных часов, начало и конец
периодов которых совпадают. Дальнейшим наблюдением
может быть установлено, что концы этих периодов совпадают
всегда. Этот опыт учит нас, что если на двух расположенных
близко друг от друга часах однажды установить равные
периоды, они всегда будут их сохранять. И это все. Мы не можем
сказать, потребуется ли большее время для этих периодов в
дальнейшем.
Почему? Быть может, законы физики, например законы
движения маятника, вынуждают нас верить в равенство
периодов? Конечно, эти законы, как они описаны в учебниках,
внушают эту уверенность, однако, если мы попытаемся
определить, откуда взялись данные законы, мы обнаружим, что они
следствие наблюдений за часами, градуированными согласно
принципу равенства их периодов. Получается порочный круг.
Если для наших измерений использовать другую шкалу, мы
получим иные законы, которые в свою очередь вынудили бы
нас считать последнюю шкалу правильной. Этот порочный круг
не может быть устранен и измерениями времени
непериодических процессов. Закон инерции предписывает определенную
меру времени, но этот закон несложно видоизменить в пользу
другой меры времени, при которой принимается, что свободно
движущееся тело замедляется, а тело, которое падает на
Землю, движется равномерно, и это предположение никогда не
приведет к внутренним противоречиям.
Решение проблемы можно найти, только использовав
предыдущие результаты по пространственной конгруэнтности в
сочетании с координативной дефицинией. Равенство
последовательных интервалов времени есть вопрос не познания, а
определения. Что касается пространственной конгруэнтности, то,
прежде чем сравнивать пространственные величины, следует
ввести некоторое правило. Оно может быть вновь
сформулировано только путем соотнесения с тем или иным физическим
явлением или процессом, таким, например, как вращение
Земли, который, по определению, используется в качестве
136
меры равномерности. Все определения в равной степени
приемлемы. Движение в гравитационном поле Земли можно
определить как равномерное и в качестве следствия получить
замедление для свободно движущегося тела. Однако физики
ввели особое определение, обладающее специальными
свойствами. Для определения равномерности времени применяются
три независимых метода.
1. Определение с помощью естественных часов.
2. Определение с помощью законов механики. (Сюда
входит не только определение с помощью инерциального
движения, но и определения, основанные на вращении Земли и
движении маятника.)
3. Определение, использующее распространение света
(световые часы).
Определения 1 и 2 рассмотрим в следующем параграфе, а
определение 3 — в § 27. А пока просто ограничимся
утверждением о том, что, как показывает опыт, все три определения
приводят к одной и той же мере течения времени. Поскольку
этот факт касается всех трех определений, ход часов является
столь же естественной мерой времени, как и жесткий
измерительный стержень является естественной мерой для измерений
в пространстве.
Таким образом, течение времени определяют процессы
природы. Однако использование часов в качестве определения
равномерности не является эпистемологической
необходимостью. С точки зрения теории познания любое определение,
дающее согласованное и непротиворечивое описание природы,
приемлемо. Исходя из соображений практики, определение
времени с помощью часов предпочтительно в том отношении,
что оно существенно упрощает описание природы. Но простота
и истина, как известно, не одно и то же, ибо простота в
данном случае носит чистб описательный, дескриптивный
характер.
В то же время мы утверждаем, что течение времени такого
рода существует и что, следовательно, все периодические
процессы и, более того, все инерциальные движения и
распространение света дают ту же меру времени. Это утверждение
не следует считать априорным, оно результат опыта. Оно
может быть и ложным, и далее мы рассмотрим случаи, при
которых оно действительно ложно. В данный момент нам только
известно, что оно применимо единственно к пространству,
свободному от гравитации, и к наиболее простым гравитационным
полям (в стационарных полях). Но поскольку, строго говоря,
подобных полей не существует, наше описание равномерного
протекания процессов справедливо лишь в очень ограниченных
пределах.
Эта аппроксимация соответствует земным и
астрономическим отношениям с Такой степенью точности, что отклонения
1*7
лежат намного ниже пределов точности измерений. Поэтому
астрономы имеют достаточно оснований, чтобы попытаться
установить равномерное время, не зависящее от флюктуации
движения Земли, которые возникают в результате ее
собственного вращения, колебаний ее оси, обращения вокруг Солнца и
влияний Луны. Отсюда следует, что координативная
дефиниция равномерности не столь легко достижима, как
схематическое ее изображение. Ибо периодического движения, которое
было бы полностью свободно от внешнего влияния и
возвращалось бы точно в исходное состояние, не существует. Даже
вращение Земли обладает этими свойствами лишь в
некоторой, хотя и весьма высокой, степени приближения. Прецессия
земной оси имеет своим следствием то, что после каждого
обращения вокруг оси Земля слегка отклоняется от прежнего
положения. В этой связи равномерное время не считается
равным непосредственно наблюдаемому времени, но косвенно
выводится из него путем ряда коррекций. Тот же метод
использовался и при измерении длины, когда единица измерения
была задана не непосредственно в виде перемещаемого
измерительного стержня, а рассчитывалась косвенным образом с
учетом таких корректирующих факторов, как, например,
температуры и т. д. Очевидно, разумеется, что этот метод не
выявляет, так сказать, «истинного» времени, но что астрономы
определяют с помощью законов механики то особое течение
времени, которое неявно определяется законами физики. Новое
определение равномерности с помощью изменения законов
физики могло бы дать астроному другое время. Здесь астроном
уподобляется физику, когда тот занят поисками единицы
измерения силы тока в системе СГС, если ампер уже определен
с помощью количества серебра, выделяемого при электролизе.
Это чрезвычайно сложная и важная задача, но ее решение не
дает нам ответа на вопрос, сколь велика должна быть едини*
ца силы тока.
Мы можем схематизировать определение равномерности,
задаваемое законами физики, таким же образом, как
схематизировали определение сравнения по длине. Для этой цели в
§ 6 введено различие между универсальными и
дифференциальными силами. Универсальные силы оказывают
одинаковое воздействие на все вещества, в то время как
дифференциальные— различное. Это различие мы используем для нашего
определения часов, которые выше были охарактеризованы как
замкнутая периодическая система. Однако понятие замкнутой
системы не определено до тех пор, пока допускаются
универсальные силы. Если рассматривать период вращения Земли
как переменный (к примеру, начав с произвольной точки,
назвать второе обращение в два раза длительнее первого,
третье— в три раза), то это определение стало бы заметным в
уравнениях физики благодаря появлению силы, которая вводи*
139
лась бы с помощью этого определения. «Эффект» воздействия
этой силы проявился бы в постоянном возрастании периода
вращения Земли. Мы обнаружили бы, что эта сила одинако*
вым образом замедляет ход всех часов и движение всех
других свободно движущихся тел, иначе говоря, что она обладает
всеми свойствами универсальной силы. Теперь приравняем эту
силу нулю, согласно определению, то есть определим
замкнутую систему как свободную от дифференциальных сил,
пренебрегая при этом универсальными силами. Наше определение,
таким образом, обозначает нулевую точку, от которой
начинается измерение сил. Без такой нулевой точки величина силы
осталась бы неопределенной, поскольку сила в некотором роде
считается причиной изменения, а изменения пространственных
и временных интервалов могут быть определены только при
условии, если известна координативная дефиниция
конгруэнтности. Определение конгруэнтности временных интервалов,
таким образом, связано с проблемой силового поля. Это
определение конгруэнтности для сравнения времени составляет основу
для измерения силы, и наоборот, определение конгруэнтности
может быть сформулировано в правилах для измерения силы.
Напомним еще об одной трудности, связанной с любым
определением замкнутой системы. Построить систему,
совершенно свободную от действия внешних дифференциальных сил,
возможно лишь с определенной степенью приближения.
Следовательно, понятие замкнутости существует лишь «до
некоторой степени приближения», которая зависит от отношения
между внешними и внутренними силами системы. В некотором
поле внешних (дифференциальных) сил одна система может
быть относительно хорошо замкнута, другая — относительно
плохо. Более того, одна и та же система иногда может быть
относительно хорошо замкнута, а иногда — относительно плохо,
в зависимости от внешнего (дифференциального) поля.
§ 18. Часы, используемые
в практической
деятельности
Рассмотрим часы в их каждодневном употреблении.
Существуют маятниковые часы, пружинные часы с балансиром
(карманные часы), часы — вращающаяся Земля и, наконец,
атомные часы, образуемые движением электронов внутри атома.
В действительности же маятниковые часы — это не часы в
прямом смысле слова, потому что они не образуют замкнутую
систему. Они идут только потому, что на них действует сила
притяжения Земли, которая входит в класс универсальных chjj
и может быть устранена по определению. Одновременно с ней
139
существует некая дифференциальная сила, которая
воздействует на поддерживающее маятник устройство и
компенсирует действие сил гравитации. Эта сила упругости является
внешней дифференциальной силой, действие которой, однако,
весьма существенно, поскольку, не будь ее, маятник не
колебался бы, а свободно падал вниз. Величина этой силы того же
порядка, что и величина силы, воздействующей на маятник;
отсюда система в целом весьма далека от замкнутой.
Маятниковые часы, следовательно, могут использоваться как мера
равномерного времени только с некоторыми оговорками, а
именно когда сила притяжения Земли постоянна.
Маятниковые часы есть не что иное, как индикатор земного
притяжения; сила же, которая определяется уравнениями механики,
будет постоянной только в том случае, когда время
определяется действительно замкнутыми часами, такими, например,
как вращающаяся Земля 1. Следовательно, даже маятниковые
часы могут быть мерой равномерного времени. Однако, если
поместить эти часы на другой широте земной поверхности, то
те же самые уравнения механики вынудили бы нас
рассматривать единицу времени этих часов как измененную, поскольку
сила гравитационного поля Земли при приближении к
экватору уменьшается по сравнению с полюсом за счет заметного
сплющивания земного шара. Поэтому определение времени
посредством маятника относятся ко второму типу определений,
о которых говорилось в предыдущем параграфе (с. 137).
Пружинные часы с балансиром — это часы в собственном
смысле слова. Сила, которая определяет период колебаний
балансира, есть упругая сила пружины, то есть внутренняя сила
часов. Гравитация в этом случае не оказывает никакого
воздействия, и, таким образом, время на пружинно-балансовых
часах не зависит от географической широты. Часы этого вида
в отличие от маятниковых работали бы даже в удалении от
каких-либо масс в межзвездном пространстве. Поэтому в
наших дальнейших рассуждениях мы будем иметь в виду
карманные часы как самый лучший пример замкнутой системы.
Однако для измерения времени эти часы имеют один
недостаток, который делает их менее пригодными для
астрономических процессов по сравнению с маятниковыми часами. Силы
упругости испытывают небольшие флюктуации, иначе говоря,
система не строго периодична, и, хотя она близка к нашему
эпистемологическому идеалу, ее время не столь точно, как
время маятниковых часов. До тех пор пока маятниковые часы
находятся на одном месте, они в значительной степени удов-
1 Понятно, что мера силы зависит от меры времени, которая проявляется
в размерности силы MLT~2. Любая сила измеряется тем ускорением, которое
она производит. Если бы мера времени получила новое определение, то
ускорение свободно падающего тела не было бы постоянным, а сила гравитации
изменялась бы с течением времени.
140
летворяют условию равномерности, поскольку земное
притяжение очень близко к постоянному. На кораблях, однако,
пользуются пружинно-балансовыми хронометрами, ибо при другом
способе измерения времени могло сказаться влияние
географической широты, а качка корабля вызывала бы флюктуации
упругих поддерживающих сил, которые для маятниковых
часов имеют тот же порядок, что и порядок величины движущих
сил.
Не следует, однако, забывать, что и пружинно-балансовые
часы только приблизительно свободны от воздействия внешних
физических сил. Они должны, например, лежать на твердом
основании, которое предотвращало бы их падение в
гравитационном поле. Эта внешняя упругая поддерживающая сила
воздействует на часы и вызывает легкое напряжение в
шестеренках и осях. Ход пружинно-балансовых часов слегка
меняется в зависимости от стороны, на которой они лежат. Однако
этот эффект крайне мал, и, исходя из нашей терминологии,
можно сказать, что внешние физические силы крайне малы
по сравнению с внутренней движущей силой часов. Степень
замкнутости этого типа часов является, следовательно,
достаточно высокой. Но этот вывод справедлив лишь при условии,
что упругие силы не очень велики. Если же закрепить
карманные часы на вращающемся диске, введя их таким образом в
сильное центробежное поле, то поддерживающие силы вызвали
бы столь сильные напряжения в шестеренках и осях, что часы
нельзя было бы считать замкнутой системой.
Основным типом часов, используемых в практике
измерения времени, является вращающаяся Земля. Мы уже
упомянули, что эти часы также нуждаются в коррекции, поскольку
они не являются строго периодичными, но все же в сравнении
с пружинно-балансовыми часами они обладают громадным
преимуществом. Поскольку Земля свободно парит в
космическом пространстве (эффектом солнечного излучения можно
пренебречь), как часы она является хорошо замкнутой
системой. Существуют небольшие возмущения со стороны
гравитационных эффектов Луны и Солнца, тормозящих вращение
Земли. В результате этого воздействия Земля может прийти в
состояние, подобное состоянию Луны, для которой период
поворота вокруг оси равен периоду обращения по орбите.
Однако для одного оборота Земли этим эффектом можно
пренебречь.
Как часы Земля характеризуется тем, что она движется
равномерно даже в пределах индивидуального периода. Таким
образом, единица времени может быть дополнительно
разделена посредством угловых измерений. С другой стороны,
подсчет числа периодов более сложен, поскольку завершение
любого индивидуального периода невозможно установить
непосредственно. Полное обращение Земли можно определить
141
только по отношению к окружающим телам. Отсюда различие
между звездными и солнечными сутками. Последние примерно
на четыре минуты продолжительнее, потому что период между
двумя кульминациями Солнца возрастает в силу орбитального
движения Земли. Если бы, кроме Земли, во вселенной ничего
не существовало, она как часы была бы бесполезной, ибо
ничто не указывало бы на конец того или иного индивидуального
периода. Поэтому в рамках наших рассуждений Земля не
может считаться естественными часами. В отличие от
маятниковых часов эти часы являются замкнутыми, но от идеальных
часов их отличает непериодичность. Коль скоро вращение
Земли является инерциальным, определение меры времени с
помощью вращения Земли должно скорее относиться к закону
инерции, чем к периодическим системам1. Исходя из этого, на
вопрос о моменте завершения «собственного» обращения
Земли можно ответить только на основе законов механики. Для
этого вращение Земли следует соотнести с определением
астрономических инерциальных систем (ср. § 36). Поскольку
звездные сутки практически идентичны «суткам инерциальной
системы», им обычно оказывается предпочтение.
Быть может, наши рассуждения не так уж важны, коль
скоро нас интересует равномерность времени, а не
длительность тех или иных суток, так как мы имеем возможность
использовать метод деления с помощью угловых измерений, что
объясняется равномерным течением времени в пределах любого
периода вращения Земли. Но как измерить этот угол
вращения? Известно, что угол вращения, измеренный по отношению
к Солнцу, не подходит для подобного подразделения (скорость
Земли вдоль ее пути меняется); использовать можно только
угол, измеренный по отношению к неподвижным звездам.
Причина подобного различения состоит в следующем: для того
чтобы определить равномерность, достаточно знать состояние
астрономической инерциальной системы, за исключением
случая ее равномерного вращения, тогда как для установления
длины суток даже эта переменная должна быть устранена.
Однако с практической точки зрения допущением такого рода
неизвестного вращения достигается не многое, так как остаются
почти все проблемы, возникающие при определении
инерциальной системы без вращения.
И наконец, хотелось бы упомянуть атомные часы, пока
не имеющие практического применения, но играющие важную
роль в экспериментальных исследованиях релятивистских
законов, имеющих отношение к часам. Электрон вращается внутри
атома с высокой степенью точности, и период его обращения
1 Эллиптическое движение Земли вокруг Солнца является периодическим
процессом. Точка, в которой Земля находится ближе всего к Солнцу, —
перигелий — может считаться окончанием периода ее обращения. Однако это не
инерциальное, а гравитационное движение.
142
дает нам весьма точную единицу времени. Сила, с которой
ядро атома воздействует на электрон, делая его путь
замкнутым, может рассматриваться как внутренняя сила часов. По
существу, не сам электрон, но атом в целом является часами,
период которых устанавливается обращением электрона. Эти
часы являются замкнутыми в высшей степени, так как
внешние силы, воздействующие на атом, очень слабы в сравнении
с его внутренними силами. Атом мог бы быть идеальными
часами, если бы не результаты квантовой теории. Мы никогда не
сможем наблюдать за атомными часами, как наблюдаем за
другими видами часов; мы можем только измерять частоту
испускаемого излучения. Согласно классической теории, частота
может быть непосредственной мерой периода обращения
электрона, которое, таким образом, можно наблюдать
непосредственно. Бор, однако, показал, что атом излучает свет
совершенно другим способом. Обращающийся электрон вообще не
излучает света, следовательно, о периоде его обращения мы ничего
не знаем. Свет излучается лишь тогда, когда электрон
перескакивает с одной орбиты на другую, поэтому условия
периодических систем не удовлетворяются. Тем не менее, согласно
теории Бора, частота определяется стационарными
состояниями, между которыми имеет место скачок. Однако все обстоит
гораздо сложнее. Возникает вопрос: может ли атом при этих
условиях рассматриваться как часы? Не располагая точной
информацией о процессах излучения света, мы можем только
высказывать по этому поводу предположения. В то же время
мы имеем возможность экспериментально установить,
насколько атомные часы удовлетворяют релятивистским законам,
имеющим отношение к часам, и, кроме того, мы можем
непосредственно определить, можно ли с точки зрения теории
относительности рассматривать атомные часы как измеритель
времени.
§ 19. Одновременность
Установив единицу времени как первую метрическую коор-
динативную дефиницию времени, мы перешли к проблеме
равномерности, второй метрической координативной дефиниции
времени, связанной с конгруэнтностью последовательных
интервалов времени. Однако существует второй тип сравнения
времени, который касается параллельных временных
интервалов, относящихся к различным точкам пространства, а не
последовательных временных интервалов в одной и той же его
точке. Сравнение таких временных интервалов и составляет
проблему одновременности и, следовательно, приводит к
третьей метрической координативной дефиниции времени. О том,
ИЗ
что равномерность есть вопрос определения, говорил уже
Э. Мах \ однако мысль о том, что отношение одновременности
также имеет характер определения, была впервые осознана
Эйнштейном и с тех пор стала известна как относительность
времени. Так как открытие Эйнштейна почти сразу же было
отнесено к теоретической физике, эпистемологическое значение
его открытия никогда явным образом не осознавалось
отличным от физических результатов. Поэтому мы не станем
следовать за Эйнштейном, который связал свое открытие с
принципом постоянства скорости света, а начнем с рассмотрения
эпистемологических проблем.
Чтобы разобраться в этой проблеме, начнем с различения,
установленного Эйнштейном. Будем различать одновременность
в одном и том же месте и одновременность пространственно
разделенных событий. Последняя и составляет реальную
проблему одновременности. Что же касается первой, то она, строго
говоря, является не одновременностью временных точек, а
некоторым тождеством. Стечение событий в одном и том же
месте и в одно и то же время называется совпадением. При
строгом совпадении пространство или время не сравниваются,
поскольку положение и время идентичны для обоих событий.
Однако на практике идентичность такого рода не встречается,
так как мы попросту не смогли бы различить два события. Но
приблизительное совпадение имеет место, примером чему
могут служить два сталкивающихся шара или два
перекрещивающихся световых луча. В случае грубо приближенного
совпадения одновременность не играет существенной роли, так как
различие удаленных во времени событий с событиями
смежными здесь столь незначительно, что его можно игнорировать.
Поэтому проблему сравнения смежных событий можно свести
к проблеме совпадения и ограничиться сравнением удаленных
событий2.
В результате наших исследований мы придем к
заключению, что одновременность удаленных событий основывается на
координативной дефиниции, что подтверждается ее
характерными свойствами. Исходя из этого мы можем утверждать, что,
во-первых, невозможно установить, показывают ли двое
удаленных друг от друга часов «правильное» время; во-вторых,
часы могут быть поставлены произвольно, и при этом никакого
противоречия не возникнет.
На основании первого положения возникает вопрос: как
зафиксировать (determine) одновременность удаленных
событии? Будем считать события удаленными, если расстояние
между ними велико в сравнении с размерами человеческого тела.
1 М а х Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития. СПб, 1909,
с. 187.
2 Более подробно о сравнении смежных событий см. [А], § &ч
144
Перцептуальное суждение об одновременности является при
данных обстоятельствах недостаточным. Услышав удар грома,
например, мы можем заметить, что стрелки наших часов
показывают 8.50. Фиксация одновременности, которую мы
произвели, представляет собой сравнение смежных событий. Мы
сравниваем момент, когда часы показывают 8.50, с моментом,
когда звук грома достиг нашего уха, а не с моментом
возникновения этого звука. Если мы на основании этой временной
фиксации хотим вычислить реальное время возникновения
удара грома, нам нужно иметь дополнительные физические
данные. Прежде чем начать расчет в обратном направлении —
от времени 8.50 к времени, когда удар грома имел место, —
мы должны знать расстояние, которое прошел звук, и скорость
его распространения.
Но нет ли другого способа? Известно, например, что в
данном случае можно избежать измерения скорости звука, если
мы наблюдаем не за громом, а за молнией. Предположим, что
молния наблюдалась в 8 ч. 49 мин. 50 сек. Таким образом,
мы можем считать, что в это время имели место как молния,
так и гром. Верно ли это утверждение? Очевидно, что при
таком способе фиксации времени ситуация изменилась
количественно, но не в принципе. После вспышки молнии свету
также потребуется определенное время, чтобы достигнуть глаза,
и поэтому наше суждение вновь касается мгновения, в которое
свет достиг глаза, а не момента реальной вспышки молнии.
Однако это временное различие столь незначительно, что на
практике мы можем игнорировать его.
Ясно, что временное сравнение удаленных событий
возможно только потому, что сигнал, посланный из одного места
в другое, представляет собой причинную цепь. Этот процесс
ведет к совпадению, то есть к сравнению смежных событий.
Из полученного таким образом измерения времени мы можем
установить время удаленного события только с помощью
вывода. В чем он заключается?
В том, что наряду со знанием расстояния требуется также
знание скорости сигнала. Как ее можно измерить?
В принципе существует только один метод, который
схематически изображается следующим образом. Сигнал выходит из
точки Pi в момент времени U и достигает точки Р2 в момент
t2. Скорость его дается отношением расстояния Р2 — Р\ к
интервалу времени t2 —1\. Следовательно, требуется два
временных измерения, которые должны быть произведены в
различных местах. Мы можем считать их заданными двумя
часами, расположенными в точках Pi и Р2. Однако, чтобы
установление временного интервала t2 — t\ имело смысл, эти двое
Часов должны быть предварительно синхронизированы, то есть
нужно установить, занимают ли их стрелки одно и то же
положение в одно и то же время. Таким образом, чтобы изме-
145
рить скорость, должна быть уже известна одновременность
удаленных событий.
Является ли это утверждение правильным? Быть может,
Физо иначе измерял скорость света? В самом деле, Физо
использовал устройство, которое не нуждалось в одновременности
удаленных событий. Схематически его можно представить
следующим образом. На рис. 16 световой луч посылается из
точки Л в момент времени t\ = 12.00; луч отражается в точке В,
которая находится на расстоянии / от точки Л, и, наконец,
возвращается в точку А в момент /3 = 12.06. Потребовалось
h
<-
АО I <*>в
*1
1
t
Рис. 16. Путь светового сигнала «туда» и «обратно*.
6 минут, чтобы луч дважды прошел расстояние 1У его
скорость задается, таким образом, соотношением между этими
двумя величинами. В устройстве Физо время измеряется только
в точке Л, используются только одни часы и одновременность
удаленных событий не оказывает влияния на решение
проблемы. Конечно, в реальном эксперименте временной интервал
был значительно меньше 6 минут, хотя расстояние / было в
несколько километров длиной, однако Физо измерял скорость
света по очень искусной схеме, включающей вращающееся
зубчатое колесо. Ббльшие числа мы выбрали для простоты
изложения.
При более тщательном рассмотрении выясняется, что это
измерение содержит некоторые непроверенные предположения,
а именно что скорость света — одна и та же в обоих
направлениях вдоль /. Если бы в направлении АВ она была меньше,
чем в направлении ВЛ, то скорость света, как ее подсчитал
Физо, не соответствовала бы ни одной из этих двух скоростей,
но представляла бы их среднее значение. Как доказать это
предположение Физо?
По-видимому, только при условии, если известно время £2,
за которое световой луч достигает точки В. Однако это
означает, что мы вновь используем двое часов и сравниваем
удаленные события. Следовательно, наше утверждение о том, что
измерение любой скорости в одном направлении предполагает
знание одновременности событий, правильно.
Таким образом, мы опять имеем дело с порочным кругом.
Для того чтобы установить одновременность удаленных
событий, нам нужно знать скорость, а для того, чтобы измерить
скорость, нам требуется знание одновременности удаленных
140
событий. Сам факт наличия порочного круга свидетельствует
о том, что одновременность есть вопрос не познания, но коор-
динативной дефиниции и что установление одновременности в
принципе невозможно.
Мы также замечаем, что выполняется вторая
характеристика координативной дефиниции, а именно ее произвольность.
Время прибытия светового луча в точку В мы можем
установить произвольно. Если предположить, что это будет 12.03, то
скорость света будет равной в обоих направлениях. Если же
мы предположим, что это будет 12.02, то световому лучу
потребуется 2 минуты в одном направлении и 4 в другом. Это
предположение также не противоречит измерениям Физо.
Поэтому не будем называть время 12.02 ошибочным или
невозможным, так как здесь мы имеем дело не с эмпирическим
утверждением, а с определением. Это определение относится
и к скорости света и к одновременности, и потому оно
никогда не приведет к противоречиям. Если мы хотим с помощью
измерения скорости определить, какие события являются
одновременными, мы получим ту одновременность, которая уже
была введена посредством определения.
Эти соображения помогут нам понять определение
одновременности, предложенное Эйнштейном
/2 = 'i+l/2(*3-'i). (1)
которое определяет время прибытия светового луча в точку В
как среднюю точку между моментом времени, когда световой
сигнал был послан из точки Д и моментом, когда он
возвратился в точку А. Это определение весьма существенно для
специальной теории относительности, но не является
эпистемологической необходимостью. Определение, предложенное
Эйнштейном, также является одним из возможных определений. Если
бы мы следовали некоторому произвольному правилу,
ограниченному только формой
(2) ^ = ^ + 803-^1), 0<8<1, (3)
то оно точно так же было бы адекватно и его нельзя было бы
назвать ошибочным. Если специальная теория относительности
отдает предпочтение первому определению, то есть полагает
е = у2, то это делается на том основании, что такое
определение ведет к более простым соотношениям. Несомненно, что
здесь мы имеем дело с простотой описания, которую мы
постараемся определить в § 27. Произвольность ограничивается
только условием (3), которое устанавливает, что £2 должно
находиться между t\ и /3, в противном случае сигнал прибыл
бы в точку В раньше, чем был послан из точки А.
Эпистемологическое значение этого ограничения будет подробно
рассмотрено в § 22.
147
Отсюда следует, что одновременность есть дело координа-
тивной дефиниции. Одновременность также имеет свою
специфику, выраженную в ее двойственности, которая наиболее
четко прослеживается при определении единицы длины. Единицу
длины можно определить концептуально: это расстояние, с
которым сравниваются другие расстояния. В качестве единицы
измерений может быть задано только какое-то реальное
расстояние. То же касается и одновременности. Концептуально
«одновременность» можно определить следующим образом: два
события, происшедших на расстоянии друг от друга, считаются
одновременными, если время, зафиксированное на месте их
свершения, будет одним и тем же. От какого конкретного
момента будет происходить отсчет времени для обоих событий, в
конечном счете определяется лишь путем ссылки на реальные
события. Эти ссылки, по существу, даются в такой форме:
«Эти частные события должны называться одновременными».
Только в «конечном счете» мы можем ссылаться на
измерительный стержень и одновременность в использованной выше форме,
так как известно, что она может быть изменена вмешательством
концептуальных отношений. Вспомним пример с определением
единицы длины с помощью цвета (§ 4), где опосредованно
используются пространственные расстояния. Соответственно,
определение одновременности, как правило, производится не на
основе фиксирования произвольных событий, а с помощью
свойств световых явлений, то есть физических процессов.
Таким образом, непосредственную ссылку можно заменить
описанием экспериментов, которые легко повторить, поскольку
хорошо известно, что подразумевается под «светом» и такого рода
экспериментами. Определение одновременности с помощью
световых сигналов, например определение Эйнштейна, нельзя
сравнивать с определением метра через эталонный парижский
метр: скорее оно сравнимо с определением метра через длину
экватора Земли. В таком определении физический феномен
длина экватора земного шара соответствует физическому
феномену света в определении одновременности, точно так же как
правило «пересчитать 40 миллионов раз» соответствует правилу
«послать световой сигнал из точки А в точку В и обратно и
представить время прибытия сигнала в точку В как среднее от
двух временных значений в точке Л». Такое правило не
изменяет природы координативной дефиниции, поскольку
содержание таких феноменов, как «свет» и «длина окружности земного
шара», может быть, в конечном счете установлено только с
помощью непосредственной ссылки.
Концептуализация координативной дефиниции
одновременности может оказаться бессмысленной. Определять
одновременность как равенство временных значений на параллельных
временных шкалах есть не что иное, как тавтология. Но, с другой
стороны, все концептуальные определения тавтологичны в том
14»
смысле, что имеют дело исключительно с аналитическими
отношениями. Любое понятие связано с рядом других понятий и
определяется только на их основе. Концептуальное определение
единицы длины также тавтологично. И тем не менее стремление
найти другой вид концептуального определения
одновременности имеет некоторое оправдание. Говоря об одновременности,
мы имеем в виду введение правила, которое бы ограничивало
установление шкал для параллельных течений времени. Помочь
нам в этом может только причинная теория времени, которую
мы рассмотрим в § 21 и § 22. Оговоримся заранее, что мы не
намерены отказаться от относительного характера
одновременности, но только настаивали на ограничениях на ее
произвольность, заданных формулой (3).
§ 20. Попытки установить
абсолютную
одновременность
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению,
рассмотрим некоторые возражения, выдвигавшиеся против
произвольного характера одновременности. Это даст нам гарантию того,
что предложенное нами решение проблемы одновременности
правильно. Суть этих возражений сводится в основном к
попыткам установить абсолютную одновременность.
Первая попытка состоит в использовании скоростей,
превышающих скорость света. В результате сокращается интервал
h—1\ (И, § 19) и определение одновременности становится
менее произвольным. Если бы существовал сигнал, обладающий
бесконечной скоростью, то этот интервал был бы равен нулю и
абсолютная одновременность была бы возможна. Даже если
бесконечная скорость недостижима, с помощью
соответствующих высоких скоростей мы могли бы по нашему желанию
сделать неточность крайне незначительной. Такого приближения
вполне достаточно, чтобы определить абсолютную
одновременность как предел. В самом деле, если достигнуть произвольно
высоких скоростей, то можно достичь и абсолютной
одновременности. Отношение между скоростью сигнала и интерпретацией
слова «абсолютный» будет рассмотрено в § 22. Здесь же просто
отметим, что данное возражение лишено смысла, поскольку
сигналов, которые передвигались бы со скоростями,
превышающими скорость света, не существует. Мы не говорим, что физика
еще не открыла более высокие скорости, но утверждаем, что
таких высоких скоростей не бывает. Доказательства этого
утверждения будут даны в § 32.
Второй вариант попыток определить абсолютную
одновременность основан на использовании специальных механизмов.
149
Схема действия одного такого электрического механизма
представлена на рис. 17 1. Ток от батареи Е проходит через
гальванометр G, если два выключателя Т\ и Т2 замкнуты. Если
замкнут только один выключатель, то ток через G не проходит.
Представим далее, что 7\ и Т2 на мгновение замкнуты. Если
это произойдет одновременно, то цепь будет замкнута и
короткий импульс электрического тока пройдет через G, который
покажет одиночное отклонение. Если же включатели замкнутся
не одновременно, то цепь не будет замкнута и G не покажет
никакого отклонения. Отсюда отклонение стрелки в
гальванометре является критерием одновременности двух событий, и эта
одновременность непроизвольно устанавливается.
^
т2
/is
■I
Рис. 17. Попытка определить абсолютную одновременность
с помощью электрического устройства.
Однако, сколь ни любопытен этот метод, более тщательная
его проверка показывает, что он ошибочен потому, что построен
на слишком примитивной теории электрических токов. Свойство
электрического тока проходить только по полностью замкнутым
цепям имеет силу лишь для стационарных состояний. Однако
при быстро меняющихся условиях электрический ток
обнаруживает совершенно иные свойства. То, что происходит в момент
замыкания обоих выключателей, можно описать следующим
образом. Предположим, что в данный момент замыкается Т\.
Электромагнитное поле, которое ранее распространялось от Е
к Ти достигает теперь G (и далее в сторону более низкого
потенциала, к выключателю Гг). Электроны в проводах приходят
в движение, и короткий импульс тока пройдет через G. Этот
ток есть не что иное, как ток смещения в силу емкости
незамкнутого контакта Г2. G будет показывать отклонение только в
том случае, если это чувствительный гальванометр, который,
разумеется, и используется в подобных экспериментах. Таким
образом, отклонение имеет место, даже если замкнут только
1 Об этом механизме см.: A d 1 е г F. In: Ortszeit, Systemzeit, Zonenzeit.
Vienna, 1920, p. 81.
150
один из выключателей. Если, кроме того, мы замкнем
выключатель Т2> то возникнет второй импульс тока, который увеличит
отклонение стрелки в G. Замыкаются ли Т\ и Т2 одновременно
или в рамках короткого интервала времени, не имеет значения.
В любом случае мы получим то же самое отклонение, состоящее
из суммы двух импульсов.
Только в том случае, если различие во времени столь
велико, что возмущение электромагнитного поля, которое
распространяется от Т\ через G, достигнет Т2 (если второй
выключатель замкнут), будет существовать различие по величине
отклонения в G. Распространение электромагнитного поля от Т\
к Т2 происходит, однако, со скоростью света. Таким образом,
существует небольшой интервал времени, в пределах которого
два импульса тока могут следовать один за другим, без
какого-либо изменения влияния на G. Поэтому на основании
отклонения в G нельзя делать вывод о том, что два выключателя
замкнуты одновременно; с таким же успехом они могут быть
замкнуты в пределах небольшого интервала времени.
Итак, такой механизм не дает необходимого метода для
установления одновременности. Он оставляет возможность
произвольно определять одновременность посредством сигналов,
поскольку сигнал в этом случае есть электромагнитное
возмущение, которое точно так же распространяется со скоростью
света. По существу, в этой установке реализуются скрытые
сигнальные процессы. Последствия замыкания цепи в Т2 зависят,
согласно закону близкодействия, только от состояния
электрического поля в непосредственном окружении Т2. Поэтому не
имеет ровно никакого значения, замкнут или разомкнут
выключатель Т\. Если же возмущение поля, вызванное более ранним
замыканием Гь уже достигло выключателя Т2, то это каким-то
образом повлияет на Т2. В этом случае цепь следует
предварительно замкнуть в 7i с таким расчетом, чтобы позволить
возмущению преодолеть расстояние T\GT2 со скоростью света.
Обозначив этот временной интервал А/, мы можем
установить, что величина отклонения в G свидетельствует только о
том, является ли различие во времени между замыканиями
выключателей 7i и Т2 большим, чем At. Если это различие
меньше, чем Д£, то невозможно установить, одновременно или нет
были замкнуты оба выключателя.
Электрический механизм для определения абсолютной
одновременности непригоден, так как электрические эффекты
распространяются со скоростью света. Соотношения для
стационарных цепей на первый взгляд наводят на мысль о
дальнодействии, но на самом деле в принципе никакого нарушения
близкодействия не происходит. Принцип близкодействия
является одним из наиболее фундаментальных законов физики.
Невозможно, чтобы эффект какого-либо события был немедленно
замечен на любом расстоянии, поскольку он распространяется,
161
проходя через все промежуточные точки. Этот принцип
применим к каждой форме распространения причинности. Гравитация,
например, не является исключеним, а ньютонов закон тяготения
верен только в стационарных условиях. Для быстро
движущихся систем этот закон должен быть скорректирован, с тем чтобы
учесть конечную скорость распространения гравитации К
Однако не следует делать вывод, что принцип близкодействия с
необходимостью подразумевает существование конечного предела
для скоростей применительно ко всем процессам
распространения причинности. Этот принцип исключает только бесконечные
скорости, но в то же время совместим с любой произвольно вы-
Рис. 18. Попытка установить абсолютную одновременность
посредством передвижения жесткого стержня.
сокой скоростью. Если бы мы утверждали, что конечный
предел скоростей существует, то это положение следовало бы
добавить к принципу близкодействия. Только на этом основании
мы можем утверждать, что не существует механизма,
способного зафиксировать абсолютную одновременность. В таком
механизме нельзя использовать даже силы гравитации, поскольку
они также распространяются со скоростью света.
В этой связи не станем касаться различных механизмов
для установления абсолютной одновременности, поскольку все
они представляют собой вариации одной и той же идеи и все
в равной мере несостоятельны, ибо каждый из них так или
иначе предполагает бесконечную или произвольно высокую
скорость распространения причинных процессов. Упомянем еще
один пример, который опирается на ошибочную концепцию
жестких тел. Пусть некий жесткий стержень находится в
состоянии покоя таким образом, что его концы лежат на отметках А
и В (рис. 18). Если стержень внезапно захватить в Л и
потянуть влево, то его концы не совпадут более с точками А и В.
Согласно законам классической физики, два мгновения, в
которые нарушается совпадение точек А и В с двумя концами
стержня, должны быть абсолютно одновременными. В физике
же, которая включает принцип близкодействия, такое недопу-
1 Это требование реально выполняется в эйнштейновой теории гравитации.
Однако известно, что ньютоновы законы являются приближениями и в дру*
гом смысле.
152
стимо, ибо в ней не существует абсолютно жестких тел. Когда
стержень захватывается в точке Д его конец, покоящийся на
точке 5, не сразу приходит в движение, поскольку этот эффект
распространяется от Л к В с помощью сил упругости. Скорость
распространения этих сил упругости не может превышать
скорость света (на самом деле она меньше ее). Поэтому данное
устройство не может использоваться для фиксации
одновременности. Сам факт существования предела для скоростей
распространения всех причинных взаимодействий исключает не только
бесконечные скорости, но и абсолютно жесткие тела.
Поскольку распространение причинных взаимодействий не
приводит к установлению абсолютной одновременности,
рассмотрим принципиально иные методы. Мы переходим к третьей
попытке установления абсолютной одновременности —
«абсолютной транспортировке времени».
Эта процедура связана с транспортировкой часов. Двое
часов, находящихся рядом, синхронизируются (то есть их стрелки
занимают одинаковое положение в одно и то же время), затем
одни из часов передвигаются. Таким образом, на расстоянии от
одних часов мы имеем другие, синхронизированные с первыми.
Будем называть такую установку часов синхронизацией при
помощи транспортировки.
Критические замечания в адрес этого метода могут быть
высказаны по двум направлениям. Во-первых, нам нужно
выяснить, действительно ли транспортировка часов приводит к
одновременности, свободной от противоречий. Мы должны прийти
к выводу, что время на часах не зависит от пути и скорости
их транспортировки, то есть прийти к истинности следующего
утверждения: двое часов, синхронизированные в одном месте,
остаются все еще синхронизированными, когда их переносят в
другие места по различным траекториям и с различной
скоростью. Однако релятивистская физика отрицает это
утверждение (см. § 30). Любая альтернатива представляется возможной,
но только опыт может решить, какая справедлива в
реальности. Даже не обращаясь к теории относительности, мы можем
утверждать, что возможность синхронизации при помощи
транспортировки зависит от эмпирического предположения,
которое должно подлежать проверке.
Однако даже если релятивистская физика ошибается и ход
часов не зависит от пути и скорости их транспортировки, все
равно такой тип сравнения времени не может изменить наших
эпистемологических результатов, поскольку транспортировка
опять не доказывает ничего, кроме определения
одновременности. Даже если при повторном сближении часов их показания
совпадают, откуда нам известно, изменяли они свои показания
в течение транспортировки или нет? Этот вопрос так же
неразрешим, как и вопрос о сравнении длины жестких стержней.
И решить его можно опять только в том случае, если рассмат-
153
ривать сравнения времени как определение. Если и существует
уникальная синхронизация с помощью транспортировки часов,
то это все еще только определение одновременности.
Особенности синхронизации путем транспортировки можно
продемонстрировать на примере схемы Минковского для
четырехмерного пространственно-временного многообразия.
Транспортировка часов составляет причинную цепь, протянувшуюся
от точечного события Е\ к точечному событию^. В этом
отношении данный метод установления одновременности и метод, в
Рис. 19. Определение одновременности посредством
транспортировки часов.
котором используются сигналы, не различаются. Здесь также
выясняется, что сравнение времени устанавливается с помощью
причинной цепи, сигнальная одновременность использует скорость
распространения причинных взаимодействий, тогда как
транспортировка часов опирается на соображения другого рода.
Изобразим точки, разграничивающие участки причинной
цепи EYE'2 (рис. 19). Транспортируемые часы производят
разграничение всякий раз, когда завершается отсчет единицы времени.
В то же время часы, которые остаются на месте, подразделяют
на отрезки цепь Е\Е2> и временные сравнения между Б'2 и Е
производятся на основе подсчета числа отрезков на двух
данных каузальных кривых. Очевидно, что это сравнение времени
предполагает, что разграничиваемые отрезки имеют равную
длину. Однако это предположение основывается на координа-
т#вной дефиниции, аналогия которой с координативной
дефиницией пространственной конгруэнтности совершенно очевидна.
154
Согласно теории абсолютного времени, диаграмма с
необходимостью должна выглядеть примерно так, как показано на
рис. 19Ь. Однако не вызывает сомнения, что сначала часы
обеспечивают лишь нерегулярные отношения, показанные на
рис. 19а, и что для совпадения с рис. 19Ь эта диаграмма
нуждается в новом определении. Чтобы такое определение не было
двусмысленным, нужно четко осознать некоторое
дополнительное условие. Это условие состоит в том, что часы, которые
движутся вдоль различно искривленных мировых линий от Е\ к
Е2, отмечают одни и те же количества отрезков. Конечно, это
только эмпирическое предположение.
Абсолютная транспортировка времени, определенная
уникальным образом, не дает ничего иного, кроме определения
одновременности в том же самом смысле, что и определение
конгруэнтности посредством стерж-ней. Однако теория
относительности утверждает, что здесь имеется существенное отличие.
В то время как конгруэнтность стержней не зависит от пути
транспортировки, конгруэнтность часов зависит. В силу этого
теория относительности исключает транспортировку времени
как физический факт.
Подведем итоги предшествующего изложения. Временная
метрика зависит от трех координативных дефиниций. Первая
имеет дело с единицей времени и определяет числовую
величину временного интервала. Вторая касается равномерности и
относится к сравнению последовательных интервалов времени.
Третья связана с одновременностью и сравнением интервалов
времени, которые параллельны друг другу и протекают в
различных точках пространства. Эти три определения делают
возможным измерение времени. Без них проблема измерения
времени будет логически неопределенной.
Не существует ни абсолютной одновременности, ни
абсолютной равномерности, если мы под словом «абсолютный»
понимаем свойство данного времени быть единственно истинным.
Однако не исключено, что физические механизмы или система
физических законов в целом выделят одно из определений как
наиболее простое. В этом смысле может существовать
абсолютное время. Мы знаем из опыта, например, что определение
равномерности при помощи часов или закона инерции выделяется
из других определений своей простотой. Этот факт
утверждается специальной теорией относительности и исчезает только в
более общих гравитационных полях. Среди определений
одновременности наиболее простыми могут оказаться и такие, которые
основаны на бесконечной скорости или транспортировке часов.
Являются они таковыми или нет — вопрос опыта, однако
обе возможности специальная теория относительности
отвергает. Следовательно, эта теория сыграла важную роль в
осознании того, что одновременность имеет характер
определения,
155
§ 21. Временной порядок
В предшествующем параграфе мы разработали три
метрические координативные дефиниции времени, которые касаются
единицы времени, равномерности и одновременности. Теперь
перейдем к другому типу координативных дефиниций, а именно к
топологическим дефинициям. Представим два таких
определения.
Первое топологическое определение времени имеет дело с
временным порядком в одной и той же точке. Представим
наблюдателя, который находится в некоторой точке пространства
и должен принять решение о временном порядке двух событий,
случившихся в том же самом месте. Этот аспект временного
порядка в числовом ряду соответствует отношению больше чем
и будет представлен тем же самым символом. «Е2 > Е{»
означает, что «событие Е2 произошло позже, чем событие £i».
По отношению к двум событиям, которые достаточно
разделены во времени, наблюдатель обладает непосредственным
ощущением временного порядка и использует это ощущение в
качестве основы для упорядочения событий. Однако в этой главе
мы не будем касаться субъективных восприятий временного
порядка. Впоследствии мы покажем, что использование
субъективных чувств для установления порядка внешних событий в
принципе невозможно. Поэтому установим другой критерий.
Этот критерий заключается в причинном отношении. Если
событие Е2 является следствием события Еи то считается, что
Е2 произошло позже, чем Е\. Это и есть топологическая коор-
динативная дефиниция временного порядка. Чтобы придать
этому утверждению законченный характер, добавим, что оно
применимо также и к случаю, при котором Ех есть только
частичная причина Е2 или Е2 есть только частичное следствие Е\.
Очевидно, что вместе с определением отношения «позже
чем» мы дали также и определение отношения «раньше чем».
Второе отношение есть не что иное, как логическая инверсия
первого. Если Е2 произошло позже, чем Ей то Е\ произошло
раньше, чем Е2. Этот вывод следует аналитически и не
нуждается ни в какой новой координативной дефиниции.
Однако теперь мы должны убедиться в том, что наше
определение отношения «позже чем» не является порочным кругом.
В самом деле, как можно установить, что является причиной,
а что следствием, если мы не знаем временного порядка
событий? Скорее мы можем утверждать, что из двух
причинно-связанных событий следствием является то, которое произошло
позднее.
Этот вывод следует из предположения о том, что
причинность указывает на некоторую связь между двумя событиями,
156
но не на ее направление. Это предположение, однако,
ошибочна. Причинность устанавливает отношения асимметричности
двух событий, а не симметричности их. Если представить
отношение между причиной и следствием с помощью символа С, то
можно различить два случая:
С(ЕиЕ2) и С(Е2,ЕХ).
На основании опыта мы знаем, какой из случаев
произошел на самом деле. Сформулируем это положение следующим
образом:
если событие Е\ является причиной события
Е2, то небольшое изменение (маркировка) в Е\
приведет к небольшому изменению в событии Е2,
тогда как небольшое изменение в событии Е2 не
приведет к изменениям в событии Ей
Если мы хотим четко выразить, что эта формулировка не
содержит понятия временного порядка, мы можем осуществить
это в следующей форме (события, обнаруживающие
незначительное отклонение, обозначаются буквой £*):
мы получаем только комбинации
^1^2» ^1^2» ^1^2 '*/
и никогда комбинацию
е:е2. (2)
В этом расположении два события являются асимметричными,
и поэтому оно определяет порядок. Событие, которое
появляется в ненаблюдаемой комбинации без звездочки, а именно Е2,
именуется следствием и, кроме того, событием, которое по ере-
мени произошло позднее.
Следует отметить, что утверждения (1) и (2) были
получены без предположений о каком-либо порядке. В этих
комбинациях мы могли бы поставить Е2 на первое место и тем не
менее имели бы возможность выделить Е2 в качестве следствия.
В то же время мы предположили, что в состоянии провести
различие между Е и £**, то есть что мы знаем, какое из этих
событий обладает специальной меткой. Это возможно потому,
что Е* должно быть интерпретировано как комбинация (Еуе),
где е обозначает некоторое дополнительное событие, а именно
специальную метку. Точно так же как мы можем принять, что
Е\ и Е2 можно зарегистрировать как два отдельных события,
мы можем принять, что и £* может быть представлено как
комбинация двух отдельных событий. Это допущение находится
в пределах нашей схемы, которая предполагает, что мы можем
различать индивидуальные события. Мы не можем обосновать
эту схему в рамках настоящего обсуждения, которое ограничи-
157
вается проблемами пространства и времени. Такое обоснование
относится к анализу понятия причинности. Здесь же мы
удовлетворимся утверждением, что пространственно-временная
проблема не может быть решена вообще без какой-либо
схематизации 1.
Пример: мы посылаем световой луч от Л к В. Если около
точки А поставить на пути луча красное стекло, то свет будет
красным и в точке 5. Если же поставить красное стекло на пути
луча около точки Ву то около точки А свет окрашен не будет.
Другой пример: мы бросаем камень из точки А в точку В.
Если на камень нанести мелом метку, то эта метка сохранится,
когда он достигнет точки В (событие £2). Если же нанести
метку на камень после достижения им точки В, то камень,
покидающий А (событие Е\), метки не имеет.
Примеры как будто бы тривиальные, однако они весьма
существенны. Теория причинности, которая игнорирует этот
элементарный факт, теряет и нечто существенно важное.
Процедура, которую мы описали, постоянно используется в
повседневной жизни и в научных исследованиях; для установления
временного порядка у нас нет другого метода определения
временного порядка событий, временные интервалы которых слишком
коротки для того, чтобы быть реально наблюдаемыми. Исходя
из этого, мы должны включить принцип меток в основания
теории времени.
В сформулированном выше принципе имеется критерий
причинного порядка, который не использует направления времени
и поэтому может быть применен в нашем определении
временного порядка. Существует топологическая координативная
дефиниция временного порядка. Вообще она основана на понятии
причинной цепи, в которой порядок событий соответствует
порядку времени. Иногда говорится о сигналах или сигнальных
цепях. Следует отметить, что слово «сигнал» означает передачу
знаков и, следовательно, касается самого принципа причинного
порядка, который мы рассматриваем.
Мы должны различать здесь две проблемы. Во-первых,
описанная процедура устанавливает порядок времени в том же
смысле, в котором упорядочиваются точки на линии. Такие
ряды точек обладают двумя направлениями, ни одно из которых
не имеет какой-либо отличительной характеристики. Временной
1 Представление причинного порядка, которое в принципе не использует
меток, но которое тем не менее предполагает некоторую схематизацию,
изложено автором в статье «Каузальная структура мира и различие между
прошлым и будущим» (Die Kausalstruktur der Welt und der Unterschied von Ver-
gangenheit und Zukunfb, Berichte der Bayerischen Akademie, math, naturwiss.
Abh., 1925, p. 133). Однако такое более строгое представление невозможно без
введения понятия вероятности. Об этом см.: Axiomatik der relativistischen
Raum-Zeit-Lehre. Braunschweig, 1924, p. 133, где говорится о возможности
связи принципа меток со вторым началом термодинамики.
168
порядок также имеет два направления: направление к более
ранним событиям и направление к более поздним, однако в
этом случае одно из двух направлений имеет отличительную
характеристику: время течет от более ранних событий к более
поздним. Поэтому время представляет не только упорядоченные
ряды, порождаемые асимметричным отношением, но является
также и однонаправленным. Этот факт обычно игнорируется.
Как правило, мы просто говорим: направление от более
ранних к более поздним событиям, от причины к следствию, есть
поступательное направление времени. Однако данное
утверждение является пустым, если мы не дадим точного определения
того, что означает поступательное течение времени. Точно так
же мы могли бы сказать, что точки на линии движутся слева
направо, но это утверждение также является пустым, поскольку
продвижение точек есть не что иное, как движение в избранном
направлении. Когда мы говорим о «поступательном течении
времени», мы, напротив, выносим синтетическое суждение, которое
относится как к непосредственному опыту, так и к физической
реальности. Эта частная проблема может быть решена только в
том случае, если мы сформулируем содержание этого
утверждения более точно. Оставим на время эту проблему и
удовольствуемся выводом, что направление, которое мы определили как
направление «раньше-позже», есть не что иное, как
поступательное течение времени. Для проблематики теории
относительности достаточно того, что существует линейный порядок
времени, то есть что существует различие между двумя
направлениями, которые противоположны друг другу. Пока же не будем
касаться однонаправленного характера времени.
Попытаемся решить вопрос, можно ли без противоречий
установить определенный выше временной порядок.
Если бы нам встретилось противоречие, это означало бы
следующее: согласно одному анализу, Е2 было бы позже, чем
Ей согласно другому, Е2 было бы раньше, чем Е\. Это
отношение изображено на рис. 20, где имеется такая причинная цепь
от Е\ к Е2> что Е2 есть следствие Ей а также имеется
причинная цепь, которая делает Е\ следствием Е2. Данная
комбинация имела бы своим результатом причинную цепь, которая
возвращалась бы к своему началу. Для того чтобы исключить
такое противоречие, мы должны сделать предположение, что
замкнутых причинных цепей не существует.
На первый взгляд это положение представляется слишком
смелым и что на самом деле замкнутые причинные цепи
существуют в таких, например, устройствах, как электрический
звонок. Притяжение (Р) рычага к электромагниту вызывает
разрыв (В) тока, что в свою очередь является причиной
возвращения (Pi) рычага; он включает (S) ток, который в конечном
счете вновь вызывает притяжение рычага. Эту цепь событий
159
El
Рис. 20. Замкнутая причинная цепь.
можно схематически изобразить так, как на рис. 21а,
представляющем замкнутую кривую.
Однако ошибочность этого аргумента легко показать.
Отдельные притяжения рычага являются различными событиями,
иначе говоря, хотя это и события одного и того же рода, это не
тождественные события. Следовательно, такая цепь должна
быть изображена так, как показано на рис. 216, то есть как
незамкнутая цепь. К этому заключению приводит нас уже
известный принцип меток. Если внести некоторые изменения в Si,
например сделать короткое замыкание тока и таким образом
предотвратить возвращение рычага, то Рч больше не произойдет.
Но такое вмешательство не влияет на Р\. Теперь ясно, что под
замкнутой цепью мы имеем в виду цепь, которая возвращается
к тождественному событию, а не к событию такого же рода.
Очевидно, что таких цепей не существует. (Хотя это
утверждение выведено из опыта, который подтверждался без каких-
либо исключений, можно вообразить опыт, опровергающий это
утверждение.)
Такие концепции вполне обычны. Выраженные в форме
учения о периодичности всех физических событий, они играли
известную роль во многих космологических системах. Можно
представить себе (хотя для этого нет никаких доказательств),
что однажды вся вселенная вернется в свое первоначальное
положение во всех его деталях и начнет развиваться заново.
Такой ход событий поставил бы нас перед выбором: либо
интерпретации в соответствии с рис. 21а, либо в соответствии с 216.
Как и при решении проблемы пространства, мы имеем выбор
из двух состояний одного и того же вида, но либо как
тождественных, либо как подобных. Наш принцип меток здесь
неприменим по причинам, которые мы рассмотрим позже. Это
свойство возвращения мира как целого не имеет никакого значения
для индивидуальных событий, и мы можем ограничить опреде-
160
ления временного порядка причинными цепями в пределах
одного мирового периода, начальная точка которого выбирается
произвольно. Следовательно, мы имеем дело не с периодической
вселенной, а с более сложным случаем, который представляет
для нас интерес в качестве контрпримера нашему заключению.
Предположим, что некоторые индивидуальные мировые
линии являются замкнутыми, тогда как другие нет. Проверим это
положение на примере, с помощью которого мы сможем
определить, от каких фундаментальных принципов нам придется
отказаться. Мировые линии I и II на рис. 22 являются мировыми
линиями отдельных людей. Мировая линия I является
нормальной, тогда как мировая линия II не пересекает самое себя
непосредственно, а представляет собой кривую, которая, подобно
спирали, реально не замкнута, а просто возвращается в место,
находящееся рядом с одной из точек на данной кривой. Этот
факт на рисунке обозначен небольшой дугой в этой точке.
Причинная связь между смежными частями этой мировой линии
может быть установлена посредством сигналов (речь) в
пределах области небольшой дуги. Если бы Вы как индивидуум
принадлежали мировой линии II, то испытали бы следующие
переживания.
Однажды Вы встречаете человека, который утверждает, что
Вы есть его более раннее Я. Он может предоставить Вам
полную информацию о Вашем состоянии в настоящий момент
времени и, возможно, даже расскажет Вам, о чем Вы сейчас
думаете. Он также предскажет Вам Ваше отдаленное будущее, в
Рис. 21 а и Ь. Принцип действия
электрического звонка.
/
I
и
Рис. 22. Замкнутая и незамкнутая
рядоположенные мировые линии.
котором Вы однажды окажетесь в его положении, встретив
Ваше более раннее Я. Вы, конечно, посчитаете этого человека
безумным и пойдете прочь. Ваш спутник на мировой линии I
согласится с Вами. Незнакомец пойдет своим путем с улыбкой
превосходства. Вы теряете его из вида, так же как и Вашего
спутника на мировой линии I и забываете о них обоих. Через
несколько лет Вы встречаете более молодого человека,которого
внезапно узнаете как свое более раннее Я. Вы говорите ему
дословно то же самое, что ранее говорил Вам незнакомец. Он
Вам не верит и принимает Вас за безумца. Вы же покидаете
его с улыбкой превосходства. Вы встречаете также и своего
бывшего спутника, который пребывает в таком же возрасте, в
каком Вы видели его в последний раз. Однако он отрицает свое
знакомство с Вами и вместе с Вашим более молодым Я
принимает Вас за сумасшедшего. Однако после этой встречи Вы
следуете за ним. Ваше более раннее Я исчезает из поля зрения,
и с этих пор Ваша жизнь идет нормальным путем.
Эти события трудно себе представить, но логически они
допустимы. Теперь мы ясно можем представить себе, от каких
фундаментальных принципов нам следует отказаться, если бы
эти события имели место в действительности.
Мы не могли бы больше говорить об уникальности
настоящего момента времени. На одной и той же мировой линии были
бы периодические «точки-теперь», следующие одна после
другой. В области R мы обнаружили бы две «точки-теперь» одной
и той же мировой линии, находящиеся в состоянии каузального
162
взаимодействия. Таким образом, мы потеряли бы возможность
постичь самих себя как единую тождественную себе в течении
времени личность. На этой мировой линии была бы
последовательность новых личностей, которые путешествовали бы по
одной и той же мировой линии через определенные интервалы
времени. На мировой линии I мы также можем отметить такие
периоды. Однако личности на этой мировой линии никогда бы
не заметили одна другую, поскольку их «точки-теперь» никогда
не вступали бы в причинное взаимодействие.
Понятно, что таким образом была бы утрачена не только
однозначность временного порядка, но также и тождество
личности в течение некоторого времени. Это главная трудность в
попытке представить такие события. Мы также узнаем те
свойства причинной цепи, которые составляют основу обычного
понятия индивидуальности. Это понятие следует из того факта,
что замкнутых причинных цепей не существует.
Здесь мы сталкиваемся с фундаментальным принципом,
контролирующим физическую реальность. Он позволяет нам
говорить об однозначном временном порядке и об уникальных
«точках-теперь». Более того, он допускает понятие индивида,
тождественного себе в течение времени х. Это, следовательно,
наиболее важная аксиома временного порядка. Теперь мы
видим, в какой степени обычное понятие временного порядка
основывается на этой характеристике причинности. Разумеется,
данная аксиома есть результат опыта. Следовательно,
описанные выше события не могут быть исключены априори.
Кроме этой аксиомы, существует несколько других, менее
важных аксиом порядка времени. Они касаются
непрерывности временнбго порядка и точно также являются
эмпирическими утверждениями относительно природы причинных цепей.
§ 22. Сравнение времени
Теперь вернемся к сравнению двух временных рядов в
различных точках пространства. Для этой цели опять воспользуемся
сигналами. Прежде всего выдвинем предположение,
согласно которому между двумя точками пространства всегда
существуют связывающие их сигналы. Поскольку мы используем
сигналы, наше предыдущее определение временнбго порядка имеет
важный результат. Пусть Е — событие отправления сигнала из
Р, а Е' — событие его прибытия в Р'. Тогда Е и Е' — два
события, связанные с помощью сигналов. Следовательно, они
1 Этот факт нередко обозначается термином генетическое тождество (ge-
nidentity), который был введен К. Левиным в работе; Lewin К. Der Begriff
der Qenese. Berlin, 1922.
1«
Рис. 23. События,
неопределенные по
отношению к временному
порядку.
упорядоченны: Е' должно быть позднее, чем Е. Отсюда
некоторые события оказываются уже упорядоченными, хотя они и
принадлежат к различным временным последовательностям.
Однако не все события являются упорядоченными. Для того
чтобы объяснить это, введем вспомогательное понятие первого
сигнала. Если различные виды сигналов посланы из Р в одно
и то же мгновение, они прибудут в Р1 в различные моменты
времени. Для того чтобы упорядочить время их прибытия в
Р\ нам нужна лишь временная последовательность в Р'. Тот
частный сигнал, который ранее других прибыл в Р',
называется первым сигналом и определяется как самый быстрый
переносчик сообщений между любыми двумя точками пространства.
Существование первых сигналов может быть выведено из
наших предшествующих аксиом.
Теперь посылаем первый сигнал из Р, называя факт его
отправки событием Е\ (рис. 23). Событие его прибытия в Р'
именуется Е'. Одновременно с прибытием этого сигнала другой
первый сигнал посылается из Р'. Прибытие этого сигнала в Р
есть событие Е2. Возникает вопрос, в каком порядке событие
Е' находится по отношению к событиям Е\ и Е2. Согласно
определению, мы имеем
Е' позже, чем Е\\
Ef раньше, чем Е2.
Пусть Е будет неким событием в Р между Е\ и Е2. Каково
положение события Е по отношению к событию £'? Здесь наше
определение временного порядка не годится. Первый сигнал,
посланный в момент Е, прибыл бы в Рг позже, чем Е\ а
первый сигнал от Е' прибывает в Р позже, чем происходит
событие £, как это видно на рис. 28. Поэтому связать события Е
164
и Е' с помощью сигнала в любом направлении невозможно, и
их временной порядок, следовательно, неопределен. Будем
называть такие события неопределенными по отношению к
временному порядку.
Теперь попытаемся установить различие между двумя
случаями. В случае, показанном на рис. 23. временной интервал
Е\Е2 соотносится с событием Е' и каждое событие этого
временного интервала, за исключением его конечных точек,
является во временном порядке неопределенным по отношению к
событию £'. Другой случай произошел бы, если бы не было
никакого предела для скоростей сигналов. Тогда первый сигнал
имел бы бесконечную скорость \ а временной интервал Е\Е2
был бы сведен к единственной точке £о. Эта точка Е0
соотносилась бы с событием Е' и была бы единственным событием в
точке Р, которое является неопределенным во временном
порядке по отношению к событию Е'.
Вопрос о том, какой из этих двух случаев происходит в
нашем мире, есть вопрос эмпирический. Согласно классической
физике, это — второй случай, согласно релятивистской —
первый. Существует решающее эмпирическое доказательство в
пользу релятивистской теории времени. Свет обладает
предельной скоростью; физически невозможно достигнуть более
высоких скоростей. Следовательно, свет есть первый сигнал.
Экспериментальное обоснование этого утверждения см. в § 32. Важно
отметить, что мы можем сформулировать предельный харак*
тер скорости света, не прибегая к понятиям скорости или одна-
временности; отправление и возвращение первого сигнала РР'Р
разделено в точке Р конечным интервалом времени.
Этот результат ведет к объяснению проблемы
одновременности. Определение одновременности приписывает равные
временные значения различным точкам в пространстве. Это не
должно противоречить нашему определению временного
порядка, которое ограничивает временные значения Е\, Е' и £2 в
смысле формулы (3). Поэтому только события, которые не
определены в отношении их временного порядка, могут
рассматриваться как одновременные. Однако среди этих событий ни*
какое другое правило не ограничивает нашего выбора. Исходя
из этого, мы предлагаем следующее определение: любые
два события, которые являются неопределенными по
отношению к их порядку во времени, могут быть названы
одновременными.
Этого топологического определения было бы достаточно для
однозначного определения одновременности в классической тео-
1 Это означает, что сам первый сигнал не был бы сигналом, но пределом
всех сигналов. Следовательно, два события, связанные такими первыми
сигналами, не были бы упорядоченными во времени. Это оправдывает наше
последующее утверждение о том, что в этом случае событие Е0 не было бы
определенным во временном порядке по отношении к событию В\
W
рии времени. Каждому событию Е' в точке Р' соответствует
одно-единственное событие Е в точке Р, которое является
неопределенным по отношению к временному порядку; и это событие
Е рассматривалось бы тогда как одновременное с событием
Е'. В случае же конечной предельной скорости, как показано
на рис. 23, топологическое определение одновременности не
ведет к однозначному установлению отношения одновременности,
но допускает, что любое событие Е между Е\ и Е2 является
одновременным с событием Е'. Относительность
одновременности следует из топологической особенности каузальной
структуры, согласно которой первые сигналы (рис. 23) устанавливают
конечный интервал (а не точечное событие) как
соответствующий единственному событию Е', расположенному в другой
точке пространства.
Эти соображения обогащают концептуальное определение
одновременности, которое мы рассматривали ранее (с. 149).
Понятие одновременный должно быть сведено к понятию
неопределенный по отношению к временному порядку. Этот
результат подтверждает наше интуитивное понимание отношения
одновременности. Два одновременных события расположены
таким образом, что причинная цепь не может быть протянута
от одного к другому в любом направлении. События,
которые происходят в данное мгновение времени в какой-либо дале-
йой стране, не могут более испытывать влияние с нашей
стороны, даже с помощью радиосигналов. И наоборот, они не
могут оказать какое-либо влияние на то, что происходит здесь в
Данное мгновение. Одновременность означает исключение
причинных связей. В пределах эпистемологического исследования
этот результат представляется достоверным. Однако нам не
следует допускать ошибку и пытаться сделать отсюда вывод,
что данное определение соотносит с любым данным событием
одно-единственное событие в другой данной точке. Этот случай
подходил бы только для каузальной структуры специальной
формы, которая не соответствует физической реальности.
Каузальная структура нашей вселенной позволяет сделать
вывод о том, что исключение причинной связи не приводит
однозначно к уникальной одновременности.
Таким образом, наш эпистемологический анализ дает
возможность сделать заключение, что относительность
одновременности совместима с интуитивным представлением
одновременности. Следовательно дело не в том, что это представление
неверно, а в том, что вывод из него, согласно которому
одновременность должна быть определена уникальным образом,
неверен. Таким образом, устраняются все трудности, которые
философы нашли в относительном характере одновременности.
В то же время наш вывод срывает с этого понятия покров
таинственности, в который облекли его сторонники теории
относительности. В выводах теории относительности имеются, по
!М
существу, две ошибки, которые запутывают эпистемологические
проблемы.
Одна ошибка возникает в процессе установления
относительности одновременности, исходя из различных состояний
движения различных наблюдателей. Верно, что можно
по-разному дать определение одновременности для различных
движущихся систем, что, между прочим, является основой для
простого соотношения измерений в преобразованиях Лоренца, но
такое определение не является необходимым. Мы могли бы
договориться об определении одновременности системы К таким
образом, что она привела бы нас к тем же результатам, что и
в другой системе К\ находящейся в состоянии движения по
отношению к системе /С В К е не было бы равно у2, согласно
определению одновременности, данному в § 19, но имело бы
несколько иное значение. Было бы серьезной ошибкой полагать,
что если в соображение принимается состояние движения, то
относительность одновременности является необходимой. На
самом деле относительность одновременности не имеет ничего
общего с относительностью движения. Она основывается только
на существовании конечной предельной скорости
распространения причинных воздействий. Произвольность выбора
одновременности дает возможность приписывать значение 8 = 1/2
каждой равномерно движущейся системе (или инерциальной
системе). Дальнейшее смешение возникает, если в
доказательство относительности движения в качестве аргумента вводится
субъективность наблюдателя. Относительность одновременности
не имеет ничего общего с субъективностью чувственного
восприятия. Наглядность нескольких логически эквивалентных
методов измерения лишь облегчается, когда различные
определения одновременности приписываются различным
наблюдателям. Множество наблюдателей в теории относительности не
имеет никакого значения. Дело здесь не в различении точек
отсчета, но в различении логических предположений
относительно измерений. Прежде чем говорить о каком-либо
измерении времени вообще, нужно каким-то образом определить
способы сравнения времени. Тот факт, что это определение
является произвольным в определенных пределах, объясняется
каузальной структурой мира и покоится, следовательно, на
эмпирических основаниях.
Причиной другой ошибки, возникающей порой при
изложении теории относительности, является уверенность в том, что
абсолютная теория времени логически несостоятельна. Такая
критическая оценка применима только к понятиям
абсолютного времени, обычно представляемым противниками теории
относительности. Однако содержание этих понятий выражено в
следующей формулировке: абсолютное время может иметь
место в такой каузальной структуре, в которой понятие неопредё-
т
ленное в отношении временного порядка приводит к
уникальной одновременности, то есть для которой не существовало бы
никакого конечного интервала между отправлением и
возвращением первого сигнала РР'Р в точке Р. Только такая точная
формулировка дает возможность обнаружить ошибку в
классической теории времени: эта ошибка состоит в том, что данное
свойство каузальной структуры было постулировано априори,
тогда как для его определения требуются эмпирические
исследования. Физики-релятивисты, конечно, формулируют теорию
времени правильно, однако их оппоненты остаются в
неведении относительно эпистемологических оснований их
предположений.
§ 23. Нереальные
последовательности
Рассмотрим еще одно возражение против изложенной нами
теории времени. Мы обосновали относительность
одновременности конечной величиной скорости света. Нельзя ли, однако,
получить произвольно высокие скорости, даже при условии
признания предельного характера скорости света?
Рассмотрим механизм, представленный на рис. 24. На одной
линейке лежит другая, которая перекрещивается с ней под
небольшим углом. Если верхняя линейка движется в направлении
стрелки, то точка пересечения линеек 5 движется вниз вдоль
края верхней линейки. Чем меньше угол между линейками, тем
больше скорость движения точки пересечения. Если линейки
лежат параллельно, то скорость движения точки пересечения
становится бесконечной. Не можем ли мы рассматривать эту
точку пересечения как движущийся сигнал и установить, таким
образом, скорость, которая нам нужна для определения
абсолютной одновременности?
Ответ на этот вопрос можно получить из нашего
определения сигнала. Точка пересечения не может переносить метку.
Если мы приделаем к нижней линейке, к примеру, выступ V
(обозначенный пунктиром), то сигнал будет прерван. В то же
время сигнал прибывает в неизменном виде в нижнюю часть
линейки. Такой сигнал, состоящий из движущейся точки,
является, следовательно, нереальным процессом и, строго говоря,
даже не сигналом. Мы будем называть его нереальной
последовательностью, которая в силу своих свойств не имеет
направления. Если мы назовем отправление точки пересечения от
верхнего конца Е\, а ее прибытие в нижний конец £2, то мы
168
^
V
Рис. 24. Движущаяся точка пересечения двух
линеек.
имеем порядок, состоящий из четырех комбинаций (1 и 2, § 21).
Мы наблюдаем
Е{Е2у Е{Е2, Е{Е2, (1)
но никогда
Е'&. (2)
В противоположность порядку (1) и (2) в § 21, мы находим,
что Е\ и Е2 появляются симметрично. Следовательно, на основе
этого явления нельзя определить, в каком направлении
передвигается точка пересечения.
Можно возразить, что это движение точки пересечения
устанавливается иначе: оно зависит от того, в каком направлении
наклонена линейка. Это возражение не учитывает тот факт, что
наклон линейки не может быть определен непосредственно,
поскольку мы имеем дело с линейкой в движении. Ее наклон
может быть определен только в смысле направления движущейся
линии; для этого спроектируем каждую точку линейки
одновременно на некую систему, находящуюся в покое, и измерим
наклон проекции. Подробно эта процедура будет описана в § 26.
Здесь же только отметим, что этот результат зависит от
определения одновременности. Согласно одному определению, линии
параллельны и точка пересечения будет двигаться с
бесконечной быстротой, согласно другому, она будет двигаться вверх;
согласно третьему, она будет двигаться вниз. Естественно
поэтому, что движение точки пересечения не может быть
использовано для определения одновременности. Более того, установление
движения точки пересечения потребует предварительного
определения одновременности.
То же самое касается всех нереальных последовательностей,
которые допускаются многочисленными построениями другого
рода. Еще один пример — поперечное движение светового луча,
109
посланного быстро вращающимся источником света. На
определенном расстоянии луч будет иметь скорость большую, чем
скорость света. Хотя направление вращения лампы как источника
света не может быть повернуто в другую сторону, поскольку
сама лампа является физическим механизмом, мы можем
определить одновременность таким образом, что за пределами
некоторого круга свет передвигается в направлении,
противоположном вращению лампы. Для доказательства этого мы можем
сослаться на другие работы К
Проведенное рассмотрение нереальных последовательностей
подчеркивает значение причинной теории времени. Только
события в реальном причинном процессе являются
упорядоченными во времени. Нереальные последовательности получают свой
временной порядок в зависимости от метода временного
сравнения, который уже определен в пределах системы. С учетом
такого разъяснения можно признать, что релятивистская теория
времени более адекватно, чем классическая теория, определяет
феномен времени.
1 [А] § 26.
■•
А. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ
МНОГООБРАЗИЕ
БЕЗ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
§ 24. Проблема объединенной
теории пространства и
времени
До сих пор мы рассматривали пространство и время в
отдельности. Мы обсуждали проблемы, которые были
представлены в каждом из этих двух типов порядка и составили
эпистемологическую основу, на которой теперь можно построить
объединенную теорию пространства и времени. Такое
построение должно быть конечной целью любого эпистемологического
исследования пространства и времени, поскольку физические
события упорядочены как в пространстве, так и во времени.
Следовательно, для окончательного решения пространственно-
временной проблемы необходим только объединенный порядок.
Такое решение сталкивается с известными трудностями,
поскольку объединение двух порядков приводит к появлению
специфических проблем, не возникавших в процессе изучения
каждого из них в отдельности. Исходя из этого, мы считаем
целесообразным посвятить анализу этих проблем отдельную
главу, в которой будет рассмотрен объединенный пространственно-
временной порядок.
Такое исследование потребует более основательного
углубления в физику, нежели это было в предшествующих двух
главах. Теперь попытаемся разработать реальную конструкцию
пространственно-временной метрики, а также основные
эпистемологические принципы теории пространства и времени. Тем
самым нам придется выйти за эпистемологические рамки этой
книги и коснуться проблемы физики, постоянно использующей
171
метрику. Этот шаг представляется вполне оправданным, если
учесть, сколь мало внимания уделяет физика
эпистемологическим аспектам данной проблемы. Эпистемологическим
высказываниям физиков не хватает определенности, что связано с их
желанием сделать физическую теорию насколько возможно
более правдоподобной. Физическая теория пространства и
времени, представленная в этой главе, включает определенные
аспекты теории гравитации. Такого рода включения объясняются
тем, что проведение жестких границ между различными
науками наносит ущерб их эпистемологической ясности. Философ,
постоянно избегающий выхода за пределы своей науки, рискует
остаться с бессодержательными обобщениями, ибо философия
недостаточно связана со специальными науками. Если
настоящее эпистемологическое исследование поможет также
разъяснить некоторые физические проблемы, мы будем считать, что
наша задача выполнена.
Посвятим часть А проблемам, связанным со специальной
теорией относительности. Однако предметом нашего обсуждения
будет только теория пространства и времени. Сопутствующие
проблемы, например проблемы электродинамики, выходящие за
рамки нашего исследования, мы будем опускать.
Эпистемологические соображения так или иначе будут превалировать
в нашем рассмотрении. Тем не менее мы попытаемся
выяснить, какие физические положения, имеющие отношение к
пространству и времени, представлены в специальной теории
относительности и как они обеспечивают физическое содержание
эпистемологической структуры, разработанной в предыдущих
главах.
Ограничение свободными от гравитации пространствами,
необходимое для специальной теории относительности, имеет свои
исторические корни в ньютоновском принципе относительности,
где равномерно движущаяся инерциальная система считается
нормальной системой. Для Ньютона проблемы гравитации
начинаются с появлением ускорения. Эта глубокая идея с
некоторыми оговорками была воспринята Эйнштейном, который
отнесся к ней столь серьезно, что равномерно движущиеся
системы стали занимать в его теории центральное место. С помощью
своего принципа относительности, который аксиоматически
исключает возможность приписывания преимущественного
положения какой-либо единственной системе в рамках данного класса
систем, он обеспечил дальнейшее продвижение ньютоновского
принципа. Согласно Ньютону, в рамках только механики
нельзя установить какого-либо различия между инерциальными
системами. Кроме того, если Ньютон полагал, что даже
движение света не может обеспечить такого различения, то только
потому, что рассматривал свет как истечение мельчайших частиц,
то есть как механический процесс. Однако дальнейшее
развитие оптики привело к созданию волновой теории света, а вме-
172
сте с ней и к эфиру как среде распространения волн. В
результате этих открытий и предположений при помощи движения
света должна быть выделена одна из инерциальных систем, как
система, находящаяся в покое относительно эфира. Поскольку
Эйнштейн не сделал этого заключения, вопреки волновой
теории света, он распространил ньютонову относительность на
область оптики.
Теперь даже эта форма теории относительности
превратилась в специальный случай в рамках общей теории
относительности Эйнштейна, которая включает явления гравитации.
Согласно этой теории, метрическое поле распространяется на
пространство в целом и, вообще говоря, не удовлетворяет условиям
специальной теории относительности. Только в особых случаях,
например в огромных пустых пространствах между
неподвижными звездами, метрические инерциальные поля допускают
создание инерциальных систем большой протяженности. Эти
немаловажные соображения дают полное объяснение специальной
теории относительности и определяют причины уникального
состояния движения инерциальных систем. Рассмотрим их в
части В, а в части А ограничимся аксиоматическим
предположением, согласно которому существуют некоторые пространства или
их часть, для которых может иметь силу специальная теория
относительности; в этих пространствах некоторые состояния
движения могут быть выделены как равномерные. Мы
попытаемся показать, как это специфическое состояние движения
может быть определено и зафиксировано с помощью некоторых
физических явлений. Этот подход вполне приемлем, ибо, как
будет показано в части В, он может быть распространен на
пространства, которые содержат гравитацию, при условии, что
мы ограничиваем себя бесконечно малыми областями. Кроме
того, этот подход дает, таким образом, обоснование и
общей теории относительности. Такое состояние движения,
так же как и детальное построение
пространственно-временной метрики, будет предметом нашего дальнейшего
рассмотрения.
Однако начнем с некоторого предварительного
исследования. В предыдущей главе мы рассмотрели относительность
одновременности, но, прежде чем заняться построением метрики
пространства и времени, мы должны выяснить, какие
последствия имеет эта относительность для измерения
пространства. Как раз на этом пути мы предложим некоторые
новые идеи, вошедщие в объединенную теорию пространства и
времени с помощью эпистемологического анализа понятия
времени.
§ 25. Зависимость измерения
пространства
от определения
одновременности
Тот факт, что определение одновременности может быть
выбрано произвольно, для измерения пространства имеет
определенные последствия, которые выявляются при рассмотрении
систем, движущихся с различными скоростями.
Наша прежняя концепция измерения пространственных
расстояний была основана на транспортировке измерительных
стержней. Число, полученное при последовательном наложении
измерительного стержня вдоль измеряемого отрезка, является
его длиной. Однако это определение длины применимо только в
том случае, если измерительный стержень находится по
отношению к отрезку в состоянии покоя. Хотя измерительный
стержень и передвигается, последовательно располагаясь вдоль
отрезка, он покоится в тот определенный момент времени, когда
измеряет его длину, то есть в тот момент, когда выполняет
свою метрическую функцию. Длина, полученная с помощью
такого метода, обычно именуется длиной покоя, то есть длиной
отрезка, измеренной измерительным стержнем, относительно
которого он покоится.
Прежде всего, мы видим, что при сравнении длин покоя
измерительных стержней, движущихся с различными скоростями,
существует некоторая неясность. Если ввести измерительный
стержень в систему с другим состоянием движения, то
сравнить его с измерительным стержнем в состоянии покоя с
помощью описанного метода оказывается невозможным. Поэтому
необходимо введение координативной дефиниции. Мы считаем
длину измерительного стержня, находящегося как в состоянии
покоя, так и в состоянии движения, одной и той же. Данное
определение не имеет никакого отношения к одновременности;
будем называть его первым сравнением по длине в кинематике.
Теперь сформулируем правило, которое будем называть
вторым сравнением по длине в кинематике и которое имеет
дело с длиной движущихся линейных отрезков. Эта проблема
возникает в связи с отнесением всех длин к одной координатной
системе К (рис. 25), которая может рассматриваться как
структура, построенная из жестких стержней. Мы можем,
следовательно, производить измерения только с помощью стержней,
которые находятся в состоянии покоя по отношению к этой
координатной системе. Как в этом случае определить длину
отрезка А'В'\ который движется по направлению стрелки? Если
измерить его измерительным стержнем, то это даст нам длину
покоя в системе К\ но не его длину, измеренную в системе К.
Поэтому такое измерение должно быть выполнено каким-то
косвенным методом, который включает время измерений. Пред-
174
положим, что определение одновременности дано для системы
К и что в данное мгновение времени, определенное для /С, мы
отмечаем на оси К точки, совпадающие с конечными точками
Аг и Вг движущегося отрезка. Движущийся отрезок
проектируется, таким образом, на систему /С, и длина проекции АВ
может быть теперь установлена с помощью измерительного
стержня, который находится в системе К в состоянии покоя. Будем
называть длину покоя отрезка АВ длиной движущегося отрезка
AfB\ измеренной в системе /С
Правилен ли этот метод? Этот вопрос не имеет смысла,
поскольку речь здесь опять идет об определении. Что мы
понимаем под длиной движущегося отрезка? В классической
кинематике никогда не отмечалась необходимость введения такого
А' ) В*
\ t
К А В
Рис. 25. Длина движущегося линейного отрезка.
понятия, потому что обычный метод определял только длину
покоя отрезка. Молчаливо предполагалось, что длина
движущегося отрезка должна быть идентична с его длиной в состоянии
покоя. Однако мы видим, что этим способом длина покоя
движущегося отрезка определяется аналогично длине покоя
отрезка, находящегося в состоянии покоя. В то же время измерение
длины отрезка с помощью измерительного стержня, который
движется относительно него, требует формулирования
некоторого нового понятия. Эта формулировка есть дело определения.
Выберем его таким образом, чтобы оно привело к разумному
расширению понятия длины. Это определение гласит: длина
движущегося линейного отрезка есть расстояние между
одновременными положениями его конечных точек.
Метод расширения понятия, который мы используем здесь,
может быть проиллюстрирован на следующем элементарном
примере. Он соответствует введению в векторный анализ понятия
геометрической суммы (векторной суммы) двух отрезков.
Понятие суммы двух отрезков сначала определяется для
одинаково направленных отрезков, то есть как их алгебраическая
сумма. На рис. 26 сумма отрезков АВ и ВС задана расстоянием
АС, но мы не узнаем, как подсчитать сумму отрезков АВ и BD,
пока не введем новое определение. Было бы неверно
предполагать, что эта сумма задана с помощью поворота BD в
положение ВС и суммирования в предыдущем смысле, то есть с
помощью АС. Это утверждение не следует из предыдущего, но
представляет собой новое определение, которое мы будем
именовать скалярной суммой. С таким же успехом мы могли бы
17$
дать новое определение иначе и определить расстояние AD как
сумму двух отрезков АВ и BD. Эта новая сумма является
геометрической суммой. Правильно ли это новое определение?
Этот вопрос также не имеет смысла, потому что новое
определение не следует из старого и поэтому является произвольным.
Введем только одно ограничение, а именно что новое
определение, которое является более общим, чем старое, будет совпадать
с ним в тех специальных случаях, где применимо старое
определение. Этому условию удовлетворяет геометрическая сумма,
/
£ в/ с
Рис. 26. Геометрическая сумма двух линейных отрезков как
пример расширения понятия.
потому что она дает в итоге АС как сумму АВ и ВС. Новое
определение является, следовательно, непротиворечивым
расширением старого. Несомненно, что этому условию удовлетворяет
также и скалярная сумма. Принцип, согласно которому такое
расширение не должно вступать в противоречие с
существующими определениями, приводит не к однозначно определенным
понятиям, а к произвольно установленным в определенных
пределах. Выбор в векторном анализе геометрической суммы
вместо скалярной основывается на других соображениях.
Геометрическая сумма дает различные результаты для сложений
АВ + BD и АВ + BE, а именно расстояния AD и АЕ, тогда как
скалярная сумма дает одинаковые результаты в любом случае,
а именно АС. Следовательно, преимущество первого понятия
состоит в его большей целесообразности и не имеет никакого
отношения к истине.
Тот же метод расширения применяется при формулировании
понятия длины движущегося отрезка. Это понятие вводится для
случая, который не рассматривался в классической
кинематике. Здесь вновь выполняется правило непротиворечивого
расширения, поскольку длина движущегося стержня становится
идентичной его длине покоя в том случае, когда он находится
в состоянии покоя. Поэтому новое понятие удовлетворяет
единственному условию, которое может быть введено при таких
обстоятельствах. Поскольку это условие не предписывает
единственного способа расширения понятия, мы не можем заявить,
что новое понятие истинно. Оно целесообразно и может
рассматриваться как разумное расширение понятия длины — и это
все, что можем мы требовать.
176
Несложно показать, что длина движущегося стержня в том
виде, как мы ее определили, зависит от определения
одновременности. Представим себе, что отрезок находится в данном
состоянии движения относительно системы координат. В таком
случае длина проекции зависит от определения
одновременности, используемого в системе К- Если изменить определение
одновременности, длина движущегося отрезка также изменится.
Предположим, что проекция точки А' получается в то же
время, что и раньше, а проекция точки В' чуть-чуть позднее К
Точка В' передвинется несколько вправо, и точка В также
окажется правее; следовательно, отрезок АВ станет длиннее.
Предположим теперь, что одновременность получит другое
определение, причем такое, чтобы сделать мгновения, соответствующие
этим двум проекциям, одновременными. Тогда новое
расстояние АВ даст в итоге длину движущегося отрезка А'В'. Эта
длина теперь больше, чем была, согласно первому определению
одновременности, и, следовательно, измерение пространства
зависит от измерения времени.
Можно также показать, что длина движущегося отрезка
зависит от его скорости. Предположим, осуществлена
одновременная проекция стержня, движущегося со скоростью v
относительно системы /С, в которой одновременность определяется
по Эйнштейну (1, § 19). Затем стержень переносится в
систему К и располагается там рядом с этой проекцией. Совпадает
ли он теперь с проекцией? Априори сказать, что совпадает,
нельзя, поскольку это есть физическая гипотеза, которая
должна быть проверена на опыте. Теория относительности отрицает
такую гипотезу. Она утверждает, что данная проекция короче,
чем длина покоя, и что это различие становится больше с
возрастанием v. Сейчас мы не можем подтвердить этот результат,
однако интуитивно мы это допускаем как возможное
выражение свойства жестких тел. Ясно, что и противоположное
утверждение точно так же является только гипотезой. В § 22 мы
сформулировали абсолютную теорию времени и показали, что
абсолютная одновременность существовала бы, если бы скорости
сигналов были неограниченными. Но и в этом случае
предположение о том, что проекция движущегося стержня, основанная
на этой одновременности, равнялась бы его длине покоя,
составляло бы не что иное, как дополнительную гипотезу. Такова
природа расширенного понятия длины, согласно которому
длина движущегося отрезка, вообще говоря, отличается от его
длины покоя.
Даже уже это простое логическое соображение приводит к
выводу, что вопрос об истинности неуместен. Ставился вопрос:
1 Точнее, проекция А' есть то же самое точечное событие, что и раньше,
тогда как проекция В' есть точечное событие, которое находится в отношении
позже чем к использовавшемуся ранее соответствующему точечному событию.
177
какова «истинная длина» стержня: его длина в состоянии
покоя или же в состоянии движения? Ясно, что этот вопрос не
имеет смысла. Является ли алгебраическая сумма «более
истинной», чем векторная сумма? Этот вопрос также не имеет
смысла. Длина движущегося стержня концептуально
отличается от длины стержня в состоянии покоя и будет поэтому в
большинстве случаев иметь другие размеры. Самое большее,
что мы можем спросить,— это: существует ли наибольшая или
наименьшая длина стержня? Согласно преобразованиям
Лоренца, длина покоя является наибольшей длиной. Это не
истинная длина стержня, но только его истинная длина покоя.
Длина движущегося стержня другая. При сравнении этих двух
типов длин понятие истины не применяется. В качестве примера
Рис. 27. Угол зрения как пример относительной величины.
этих логических отношений приведем стержень АВУ
рассматриваемый из точки Рх (рис. 27). Мы видим его под углом
зрения аь Размеры этого угла меняются, когда точка Pi движется
по горизонтали; в точке Р2 он имеет меньшее значение а2.
Какой из этих углов является истинным углом зрения? Этот
вопрос опять лишен смысла. Угол зрения cti определяется только
для данного расстояния Р0Р\ и может быть истинным углом
зрения для такого и только такого расстояния. Существует также и
наибольший угол зрения, когда точка Pi совпадает с точкой
р0> a ai = ao=180°. Однако это не истинный, а наибольший
угол зрения, или, если мы хотим охарактеризовать его иначе,
угол зрения для нулевого расстояния. Расширенное понятие
длины, которое мы только что ввели, имеет точно такую же
логическую структуру. Длина движущегося отрезка соответствует
углу зрения. Она зависит от состояния движения, точно так же,
как угол зрения зависит от расстояния. Длина покоящегося
стержня есть его длина при скорости, равной 0, точно так же,
как ссо есть угол зрения для расстояния, равного нулю. Обе
величины являются максимальными.
Однако между ними имеется незначительное различие:
длина движущегося отрезка зависит не от одного, но от двух
параметров — от состояния движения отрезка и от определения
одновременности. Если мы обозначим длину движущегося
отрезка /, тогда / есть функция от v и 5, где v есть скорость,
а s — определение одновременности. Таким образом, можно
записать
/-/(i>, s). (1)
178
Это функциональное отношение обладает одной особенностью,
а именно что для v = О данная функция становится
независимой ОТ S и
/(О, s) = l0 = const. (2)
В самом деле, если v = О, то проекция точки Вг (см. рис. 25)
на прямую К, произведенная позднее, все еще является В и
определение одновременности не оказывает больше никакого
влияния.
По этой причине длина покоящегося тела может быть
определена без ссылок на одновременность. После того как мы
ввели расширенное понятие длины, которое содержит понятие
одновременности, специальный случай покоя должен, строго
говоря, также содержать понятие одновременности. Длина покоя
должна быть, следовательно, определена как расстояние между
одновременными положениями конечных точек. Однако
полученное значение не зависит от определения одновременности.
Каждое такое определение приводит к одному и тому же
результату для длины покоя; следовательно, мы можем опустить
это добавление в определении длины покоя.
Строгий анализ этих соображений приводит к уточнению правила
непротиворечивости для расширенных понятий, часто используемых в математике.
Нельзя сказать, что более широкое понятие в некоторых специальных
случаях становится идентичным с более узким понятием; можно только сказать,
что оно дает в итоге тот же самый результат. Различие здесь в том,
специализируем ли мы понятие, придавая одной из переменных специальное
значение, или же зависимость от этой переменной вообще не вводится в данное
определение. Таким образом, l(v, s)v=o не идентично /о, но дает то же
расстояние в данной системе координат. Подобным же образом мы не можем
говорить, что понятие геометрической суммы идентично понятию
алгебраической суммы для однонаправленных расстояний, — они просто дают
одинаковый числовой результат.
Отношение (1) формулирует знаменитое положение
Эйнштейна о том, что длина стержня зависит от его скорости и от
выбора определения одновременности К В этом отношении нет
ничего таинственного, ибо оно основывается на том факте, что
мы измеряем не движущийся стержень, а его проекцию на
систему, находящуюся в состоянии покоя. Зависимость длины этой
проекции от определения одновременности лучше всего можно
проиллюстрировать на примере фотографии, сделанной при
помощи шторного затвора. Такой затвор, необходимый для
очень коротких экспозиций, расположен не между линзами, а
непосредственно перед пленкой. Он состоит из широкой шторы
с горизонтальной щелью, которая скользит вертикально вниз.
1 Формулировка Эйнштейна обычно другая, так как он использует только
специальное определение одновременности (1, § 19) для каждой координатной
системы, и, следовательно, состояние движения отрезка задает в то же время
определение одновременности, которое должно использоваться. Поэтому мы
имеем s « s(v), которое сводит (/) к l(v)\ таким образом, длина отрезка
зависит только от его скорости.
170
Отдельные полосы образов последовательно фотографируются
на пленке. Движущиеся объекты искажаются довольно
странным образом: колеса быстро движущегося автомобиля,
например, на фотографии выглядят искаженными.
Изображение формы предметов будет, очевидно, зависеть от скорости
движения затвора. Подобным же образом длина движущегося
отрезка зависит от определения одновременности. Одно
определение отличается от другого, потому что события,
являющиеся одновременными для одного определения, происходят
последовательно для другого. То, что может быть одновременной
проекцией движущегося отрезка для одного определения, есть
«моментальная фотография» для другого. Изображение,
получаемое с помощью первого определения, представляется
искаженным для другого. Сравнение с «моментальной
фотографией» делает это различие особенно отчетливым; правда,
шторный затвор действует намного медленнее. Это физический
механизм, функционирующий со скоростью намного меньшей,
чем скорость света, тогда как события при проекции
составляют нереальные последовательности со скоростями,
значительно превышающими скорость света (ср. § 23). Однако это
различие не имеет значения для качественного описания, и
изменение длины движущихся стержней наглядно представить
несложно.
Мы обращаем внимание на этот способ наглядного
представления соотношения между пространством и временем
потому, что во многих изложениях оно описывается неверно. Они
основаны на следующем замечании Минковского: «Отныне
пространство само по себе и время само по себе должны
обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих
должен еще сохранить самостоятельность» К Верно, что в
релятивистской теории пространства и времени мы можем говорить
о соединении пространства и времени. (Подробнее см. об этом
§ 29, с. 209.) Первая часть замечания Минковского оказалась,
к несчастью, причиной ошибочного впечатления о том, что все
наглядные представления о времени как времени и о
пространстве как пространстве должны «обратиться в фикции». На
самом деле относительность одновременности приводит к
сопряжению пространственных и временных измерений и является
причиной объединения пространства и времени. В этом
замечании нет ничего нового в сравнении с тем, что уже было
выражено в понятии одновременной проекции и проиллюстрировано
на примере шторного затвора. Для того чтобы объединение
пространства и времени стало более очевидным, приведем
следующий пример. Рассмотрим пространство, заполненное
движущимися точечными массами, например газ, молекулы кото-
1 Минковский Г. Пространство и время. — В кн.: Принцип
относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М., 1973,
с. 167.
180
рого находятся в состоянии беспорядочного передвижения.
В некоторое мгновение времени каждая молекула занимает
определенное положение. Если теперь изменить определение
одновременности, то мы получим то же самое положение для
одних молекул, но не для других. Это распределение молекул
есть теперь «моментальная фотография». Поэтому
определенное состояние пространства в данное время устанавливается не
в абсолютном смысле, но зависит от определения
одновременности. Эту ситуацию вполне можно представить наглядно. Она
выражает все то, что утверждается понятием относительности
одновременности об объединении пространства и времени.
Важность определения одновременности подчеркивается
еще более, если рассматривать не только длину отрезка или
положение точки, но также и форму движущегося объекта.
Поскольку форма определяется одновременными проекциями всех
точек, она будет, очевидно, зависеть от скорости объекта и от
определения одновременности. Согласно положениям
Лоренца— Эйнштейна, движущийся круг принимает форму эллипса,
меньшая ось которого направлена по линии движения. Этот
эллипс — результат того факта, что преобразования Лоренца
предполагают сокращение только тех размеров стержня,
которые параллельны линии движения. Такая деформация вполне
понятна. Она демонстрирует, что одновременная проекция
точек движущегося круга имеет форму эллипса в системе
координат, находящейся в состоянии покоя. Идея «моментальной
фотографии» окончательно объясняет это утверждение.
Наш анализ позволяет устранить все трудности, интуитивно
возникающие в связи с признанием относительности
одновременности и изменения формы движущихся тел. Нужно только
помнить, что одновременность есть вопрос определения.
Должны ли мы ассоциировать временной порядок удаленных
событий с идеей «щелканья» шторного затвора или же «тиканья»
часов, определяется не самими событиями, а их восприятием:
«щелканье» з?твора — восприятием последовательности
событий, а «тиканье» часов — мгновенным восприятием. В
действительности мы никогда не переживаем удаленных событий, но
только их действие на нас. Следовательно, мы имеем
возможность выбрать, как соотносить эти события с нашими
наглядными образами.
§ 26. Следствия
для центрально-
симметричных процессов
распространения
Зависимость пространственных измерений от определения
одновременности имеет особое значение для таких процессов,
как распространение световых и звуковых волн, которые пере-
181
ч
\
N
\
\
\
\ 1
f /
/
/
/
/
Рис. 28. Изменение определения одиночного светового импульса,
процесс распространения которого меняется с
центрально-симметричного на эксцентричный
мещаются из одного центра во всех направлениях.
Оказывается, что форма одиночного импульса зависит от определения
одновременности таким образом, что невозможно установить
точку возникновения этого импульса. В целях простоты в
дальнейшем будем говорить только о движении света. Подобная же
аргументация применима, однако, и к звуку и любому другому
центрально-симметричному процессу распространения. В
нашем анализе природа волн не имеет значения — важен только
тот факт, что процесс протекает во времени.
Рассмотрим (рис. 28) одиночный импульс света, который
возникает в точке А в момент времени t\ = 0. Какую форму он
будет иметь в момент времени £2? Ответ на этот вопрос
зависит от определения одновременности. Используем сначала
выражение (1, § 19) и положим е = 1/2 в формуле
*2 = *i + e('3-*i). 0<е< 1. (1)
Затем в каждой точке пространства поместим часы,
синхронизировав их из Л, согласно данному определению. Предположим
далее, что все эти точки помечены и что световой импульс
достигает их в момент времени t2} то есть что они расположены
вокруг точки А по окружности. Сплошные круги на рис. 28
указывают на положение светового импульса в различные
моменты времени t2. Данная фигура начерчена на плоскости, и
круги следует понимать как поперечные сечения сфер. Свет
распространяется в виде сферических поверхностей вокруг точки Л.
182
Теперь мы выберем другое определение одновременности.
Оставим часы в точке А неизменными, но воспользуемся
свободой выбора при установлении других часов. Вновь используя
формулу (1), введем множитель е, отличающийся от 7г> и
сделаем его зависимым от направления; мы выбираем
е = - с. (2)
2 (a cos ф + V°2 — я2 sin2 ф)
Устанавливаем все часы на основе А, согласно этому правилу.
Следовательно, множитель е будет постоянным вдоль каждого
луча г. Однако е зависит от направления луча ф; числовое же
значение е задается формулой (2). В этой формуле а есть
произвольная константа, ас — числовая величина скорости света,
которая была получена при помощи первого определения
одновременности. Дополнительное ограничение на е в формуле (1)
касается только пределов значения а} которое несложно
осуществить. Подставив (2) в (1), мы получим допустимое
определение одновременности.
Назовем заново определенное время t't момент же, в
который световой импульс отправляется из точки Л, опять будет
^ = 0. Каково расположение светового импульса в момент^?
Если допустить, что г — длина луча, измеренная в момент t'2,
и если затем произвести отражение луча в конечной точке В
луча г, то он вернется в точку А в момент t'3. Тогда мы имеем
/о = ^з —mt[ = 2r/c. Это измерение, которое произведено в точке Л,
не требует ^-времени и может, следовательно, иметь место в
формуле, полученной с помощью первого определения времени.
Прибытие луча в точку В рассчитывается теперь с помощью
формул (1) и (2) следующим образом:
/;=/; + е (*; — /;) = < = еЦ-= / , . (з)
2 1 ' V з W з с асоэф + Vc2--a2 sirr ф w
Положение светового импульса в момент t'2 есть кривая,
задаваемая этим уравнением, если мы рассматриваем t'2 как
константу. Сделаем подстановки:
< = б х
ct' = R C0S(P = T r2==*2 + #2> (4)
из которых первые две являются сокращениями, а вторые
представляют переход от полярных координат к прямоугольным.
Формула (3) может быть записана теперь следующим образом:
(х - е)2 + у2 = /?2. (5)
Расположение светового импульса в момент t2 вновь
происходит вдоль окружности, однако центр этой окружности переме-
1*3
щается на расстояние e = at'2 вдоль горизонтальной линии от
точки А. «Семейство» окружностей, которое получится в
результате возрастания значений/^, обозначено на рис. 28
пунктирной линией. Центр этих окружностей движется вправо со
скоростью а, в то время как их соответствующий радиус R
возрастает со скоростью с. Для трехмерных процессов эти
окружности точно так же должны рассматриваться как поперечные
сечения сфер.
В итоге получаем следующее. Поверхности распространения
светового импульса не определяют какого-либо центра. В
зависимости от определения одновременности либо стационарная
точка Л, либо точка, которая движется равномерно по
отношению к точке А со скоростью а, могут считаться центрами
светового импульса. В любом случае скорость света равна с. Этот
результат является основой эйнштейнова принципа
постоянства скорости света. Движение света может рассматриваться
как сферическая волна в любой равномерно движущейся
системе.
Необходимы дальнейшие разъяснения. Наше доказательство применимо
лишь к одиночному импульсу света; только в этом случае нельзя определить
центр. Однако непрерывный источник света давал бы определение центра.
Если бы этот постоянный источник света покоился в точке Л, то поверхности
распространяющихся различных световых импульсов образовали бы
сплошные круговые линии на рис. 28, согласно первому определению
одновременности. Однако второе определение дало бы нам не «семейство» пунктирных
окружностей, а систему таких «семейств». Тогда мы не могли бы более
считать, что эти окружности имеют один движущийся центр, но каждый
индивидуальный импульс имел бы свой собственный центр, который перемещался бы
вправо и находился бы в точке А в тот момент времени, когда был послан
этот импульс. Каждый индивидуальный импульс имел бы тогда поверхность
распространения, которая возрастала бы со временем и относилась бы к типу
окружностей, обозначенных пунктиром на рис. 28. Следовательно, здесь
можно было бы определить состояние движения точки Л. На рис. 28
представлен, следовательно, единственный импульс света в различные моменты
времени, а не периодическая последовательность световых импульсов в один и
тот же момент. Эта характеристика состояния движения постоянного
источника света полностью соответствует концепциям теории относительности. По
типу распространения света можно установить систему, относительно которой
постоянный источник света находится в состоянии покоя, например по
эффекту Доплера, который проявляется для другой системы и качественно
различен для противоположных направлений от источника света. Принцип
постоянства скорости света утверждает только, что непрерывное движение света
имеет форму концентрических сферических волн относительно той системы
координат, в которой источник света находится в состоянии покоя. На языке
Минковского это значит, что каждый световой конус ds2 = 0 имеет вершину;
линия, соединяющая вершины какого-то числа конусов, есть мировая линия
точки, находящейся в определенном состоянии движения. Теория
относительности, как и классические теории, допускает, что постоянный источник
определяет центр для всех импульсов. Теория относительности добавляет только,
что распространение всех импульсов может рассматриваться как сферическое,
если оно измеряется из системы, в которой источник света находится в со-
тоянии покоя (при условии, что определение одновременности связано с
состоянием движения источника света).
184
Следует отметить, что преобразование времени, заданное по формуле (2).
может быть выражено также формулой
, , , _г_ с — a cos ф — л/с2 — a2 sin2 qp
с a cos ф + ус2 — a2 sin2 ф
которая не является преобразованием Лоренца. В преобразованиях Лоренца
пространственные измерения также меняются, потому что они получены по
отношению к движущейся системе. В нашем примере меняется только время,
тогда как расстояние между точками, находящимися в состоянии покоя,
остается тем же; пространственные координаты, следовательно, остаются
неизменными.
Наше изложение позволяет наглядно представить себе
результаты, полученные Эйнштейном. Форма поверхности
световой волны определяется не единственным образом, а зависит от
определения одновременности. Ее так называемая форма
всегда представляет собой одновременную проекцию движущегося
светового импульса на систему координат. Если мы выбираем
первое определение одновременности, мы получаем сплошные
окружности, показанные на рис. 28. Если же мы мысленно
представим себе «моментальную фотографию» этих
окружностей, где шторный затвор движется слева направо, то получим
пунктирные окружности. Это несложно представить наглядно.
Чем дальше этот затвор движется вправо, тем позднее он
зафиксирует источник света, и пунктирные окружности
сдвинутся, следовательно, вправо. Тем не менее у нас нет оснований
утверждать, что второе определение ложно. Пунктирные
окружности появляются подобно «моментальным
фотографиям» только по отношению к первому определению. По
отношению же ко второму проектируемые события являются
одновременными и сплошные окружности изображают
«моментальные фотографии», полученные шторным затвором, который
движется справа налево. Это также можно наглядно
представить. Для этого нужно начать анализ с пунктирных
окружностей.
§ 27. Построение
пространственно-временной метрики
После этих предварительных замечаний, касающихся связи
определения одновременности с измерениями пространства, мы
можем перейти к центральной проблеме теории пространства и
времени, а именно к полному построению
пространственно-временной метрики. Свяжем это построение с причинной теорией
времени, с помощью которой ранее мы ввели определения
временного порядка и сравнения времени (§21, 22). Мы проде-
185
монстрируем, что метрические определения могут быть
добавлены к этим топологическим координативпым дефинициям
таким образом, что полученная в результате физическая
геометрия пространства-времени будет основана, по сути дела, на
понятии причинной цепи. Мы проведем тщательное различение
эмпирических утверждений и определений и покажем, к каким
утверждениям релятивистской теории пространства и времени
применимы две эти категории. Как и ранее, эмпирические
утверждения называются «аксиомами», так как они играют
роль логических предпосылок в пространственно-временной
теории К
Представим себе огромное число материальных точек,
беспорядочно движущихся в пустом пространстве. На каждой из
этих точек имеется наблюдатель; эти наблюдатели общаются
между собой посредством сигналов, с тем чтобы установить
пространственно-временной порядок.
Для своих измерений наблюдатели пользуются первыми
сигналами, то есть световыми сигналами, поскольку временной
порядок, построенный таким образом, имеет преимущество в
том отношении, что не может нарушать отношений раньше и
позже для всех других видов сигналов, более медленных.
Далее, перед наблюдателями поставлена задача выбрать такую
систему точек, которая может быть названа системой,
находящейся «в покое относительно другой», с тем чтобы в этой
«жесткой системе» определить пространственно-временную
метрику. И на этот раз выбор жесткой системы является
произвольным и состояние относительного покоя есть дело коорди-
нативной дефиниции. Однако одно определение отличается
простотой и относится к ньютоновской инерциальной системе.
Утверждения о том, существует такое определение или нет,
могут быть как истинными, так и ложными. Поэтому мы
должны сформулировать фундаментальные эмпирические факты в
виде аксиом. Эти аксиомы должны выполняться при всех
условиях, но только в пространствах, свободных от гравитации.
В то же время применимость этих аксиом есть критерий для
установления свободных от гравитации пространств. Таким
образом, само собой разумеется, наше изложение
ограничивается пространствами, свободными от гравитации. Это
ограничение налагается тогда, когда мы предполагаем справедливость
этих аксиом.
Построение жесткой системы или системы точек,
находящихся в относительном покое, совершается постепенно, с
помощью определенных операций, осуществляемых
расположенными на различных материальных точках наблюдателями. На-
Мы изложим эту проблему в самом общем виде. Подробнее см. об этом
в работе [А]. Нумерация аксиом и определений в последующем изложении
будет дана по этой работе.
186
блюдатель в точке А знает, чтб подразумевается под
«временным порядком в точке А», но он пока еще не знает, что
подразумевается под «двумя равными последовательными
временными интервалами». Временно он устанавливает совершенно
произвольное правило, то есть выбирает меру времени,
отличающуюся от «равномерного времени», которое должно быть
определено позднее, некоторой монотонно возрастающей
функцией К
Далее, он пытается достигнуть сигналом некоторой
точки В, обладающей тем свойством, что временой интервал ABA
светового сигнала2, отражаемого в точке 5, всегда будет иметь
одну и ту же величину, если измеряется в точке А по
произвольно выбранной метрике. Следовательно, ABA есть
константа. Чтобы сделать это возможным, точка В должна находиться
в специфическом состоянии движения относительно точки Л,
которое зависит от временной метрики, выбранной в этой
точке. Используя такой метод, наблюдатель в точке А ищет
некоторое число точек В, С, ..., формирующих «систему,
соотнесенную с точкой Л».
Наблюдатель в точке А может теперь перенести свою меру
времени на другие точки В, С, ... с помощью, например, подачи
сигналов каждую «секунду». Наблюдатели В, С, ... считают
прибытие временных сигналов из точки А равными
временными интервалами. (Такая процедура пока еще не требует
определения одновременности.) Временные интервалы не
обязательно должны быть равны интервалам в точке А в обычном
смысле, поскольку о состоянии движения точек В, С, ...
относительно точки А пока еще ничего не известно. Мы дали только
предварительные определения.
Далее, наблюдатели в точках В, С, ... проводят следующий
эксперимент. Они измеряют, обеспечивают ли световые сигна-
лы BABt ВСВ, С АС и т. д., чтобы BAB = const, ВСВ = const,
САС = const и т. д., используя для своих измерений временную
шкалу, которой их предварительно обеспечили в точке А.
Вообще говоря, они найдут, что не обеспечивают. Даже если они
не будут пользоваться метрикой, полученной из Л, тем не
менее в точке В не будет существовать метрики, которая для всех
точек обеспечит BAB = const, ВСВ = const и т. д. Иными
словами, «система, соотнесенная с точкой Л», не является
«системой, соотнесенной с точкой В».
Используем эту идею, чтобы скомбинировать отбор точек в
некоторую специальную систему. Для этой цели выдвинем тре-
1 Монотонно возрастающая функция у = f(х) есть функция, при
которой с возрастанием х всегда возрастает и у, хотя скорость возрастания
может меняться нерегулярно.
2 Линия над буквами указывает, что выражение относится к временному
интервалу, а не к пространственному расстоянию.
187
бование, согласно которому система S таких точек должна
быть выбрана таким образом, чтобы она была соотнесенной
системой для каждой из своих точек. То, что такая система
существует, есть эмпирический факт (аксиома IV, 1), а то, что мы
выбираем эту систему из всех остальных, есть некое
произвольное определение.
Используя точки системы S, полученные таким способом,
осуществим следующий эксперимент. Пошлем один световой
сигнал вдоль треугольного пути ABC А, а другой — в
противоположном направлении вдоль АСВА и проверим, равен ли
временной интервал ABC А временному интервалу АСВА. И опять
мы пока не используем понятие одновременности для удаленных
точек. Пошлем два сигнала одновременно из точки А и
понаблюдаем, в одно и то же время они вернутся в А или нет.
Вообще говоря, это условие будет удовлетворяться не для любой
произвольно выбранной системы. Поэтому наложим
дальнейшие ограничения, потребовав, чтобы из системы S была
выбрана такая система S\ которая удовлетворяла бы описанной
выше аксиоме пути «туда — обратно». То, что такая система
S' существует, есть опять-таки дело опыта (аксиома IV, 2).
До сих пор мы не сравнивали время между движущимися
материальными точками, но сделать это можно при помощи
определения (2, § 19):
f2 = 'i + e('3-'i). 0<а<1, (1)
поскольку это определение не содержит никаких
предположений об относительном состоянии движения этих точек.
Представим себе только, что часы в точке В постоянно
устанавливаются в соответствии с часами в точке Д ибо мы не можем
построить какой-либо часовой механизм в точке В, который
благодаря произвольному характеру временной метрики в
точке Л и произвольному характеру относительного движения
точек А и В всегда сохранял бы раз и навсегда установленную
одновременность. Это положение не содержит каких-либо
трудностей, и получаемая в результате одновременность всегда
будет удовлетворять фундаментальному топологическому
требованию, согласно которому отношение одновременности
связывает только те события, которые остаются неопределенными по
отношению к временному порядку *.
Сделав выбор из точечных масс и скомбинировав некую
систему S' из этих точек в пространственную систему координат,
поставим вопрос, можно ли для этой системы ввести
предпочтительное определение одновременности. При этом
определении одновременности е должно быть равно 7г- Его
преимущество состоит в следующем:
1. Если часы в точке В устанавливаются в соответствии с
информацией, полученной из точки А, согласно уравнению (1),
1 Это утверждение требует специальной проверки; см. [А], § 7,
188
a e = V2, если также затем мы установим часы в точке А по
сведениям, полученным из точки В, используя то же самое
правило, то показания времени на обоих часах А совпадут
(синхронизация является симметричной).
2. Если двое часов в точках В и С поставлены в
соответствии с информацией, полученной из точки Д согласно
уравнению (1), а е = 7г> если также эти двое часов сравниваются
непосредственно друг с другом при помощи того же самого
правила, то их показания совпадут (синхронизация является
транзитивной).
Эти свойства отнюдь далеко не очевидны — они требуют
предположения о справедливости ранее упомянутых аксиом о
свойствах света, примененных в системе S'. Эти свойства
делают временной порядок в S' особенно простым и
подтверждают определение одновременности, использованное
Эйнштейном в специальной теории относительности, где е = 7г-
Однако на этом основании не следует делать вывод о том, что это
определение «более истинно» по причине его простоты. Здесь
мы опять имеем дело ни с чем иным, как с дескриптивной
простотой. Выбор более сложного определения не представляет
каких-либо трудностей для нашего воображения. Не следует
только смешивать «транзитивность одновременности» и
«транзитивность одновременности согласно одному и тому же
правилу синхронизации». Первое применимо всегда, коль скоро
одновременность однозначно определена для одних часов,
согласно уравнению (1). Для сравнения любых данных часов
должно быть выбрано специальное значение е, которое может
изменяться со временем. Второй вид транзитивности зависит от
некоторых физических условий. Но даже если последние
удовлетворяются, мы вовсе не обязательно должны следовать
этому простому виду одновременности.
Помимо простоты временного порядка, системы S'
обладают вторым важным свойством. Они разрешают нам
проводить пространственные измерения. Этот факт чрезвычайно
важен, поскольку он доказывает, что пространственные
измерения сводимы к временным. Следовательно, с точки зрения
логики время первично по отношению к пространству.
Прежде всего, определим одно важное топологическое
понятие пространственного порядка, а именно понятие между.
Рассматривая его в § 14, мы доказали, что логическое
содержание этого понятия может быть определено с помощью неявного
определения. Здесь мы хотим раскрыть физическое отношение,
определяющее понятие между, и тем самым допустить
применение этого логического понятия для описания физической
реальности. Как уже было показано в § 14—15, это
логическое понятие не предписывает какого-либо частного
применения. Здесь мы рассмотрим его применение к физической
геометрии. Следовательно, мы должны дать координативную де-
189
финицию понятия «между». Странно, но эта дефиниция может
быть дана только с помощью временных понятий.
Следовательно, топологические отношения смежности в пространстве
сводимы к временным, а отсюда — к каузальным отношениям.
Определение е. Некая точка В лежит между точками Л и
С, если первый сигнал ABC достигает С в то же самое время,
что и первый сигнал АС (короче говоря, если ABC = АС).
Для того, чтобы это определение не противоречило чисто
математико-логическому значению понятия «между», добавим
следующее эмпирическое правило:
Аксиома G. Если для двух точек J3i и В2 верно, что АВ\С =
= АС, так же как и АВ2С = АС} тогда либо АВ2В\ = АВ\, или
В\В2С = В\С.
N. С
Р к с. 29. Определение равенства пространственных расстояний
с помощью измерения временных интервалов.
Определив понятие между, сделаем следующий шаг в
направлении пространственных измерений и определим понятие
прямая линия, которое является метрическим. Будем
пользоваться не методом неявного определения, описанным в § 14,
а другим логически допустимым методом, который выводит
понятие прямой линии из понятия между и фундаментального
логического понятия множества.
Определение f. Прямая линия, проходящая через точки А
и С, есть множество точек, удовлетворяющих между собой
отношению между и включающих две точки Л и С.
Следует доказать, что прямая линия, определяемая этой ко-
ординативной дефиницией, согласуется с геометрическим
понятием прямой линии, например что прямая линия от Л к В
идентична прямой линии от В к Л и т. д. Доказать это можно
на основе приведенных ранее аксиом.
Теперь определим метрику в ее физическом смысле,
сформулировав координативную дефиницию пространственной
конгруэнтности.
Определение 10. Если интервал времени ABA = АСА, то
пространственное расстояние АВ равно пространственному
расстоянию АС (рис. 29),
1*0
Вот и все определения, требуемые для геометрии
пространства. Теперь мы можем ответить на все вопросы о природе
геометрии, пользуясь исключительно измерениями времени. Мы
дали даже лишние определения и должны доказать теперь
непротиворечивость нашей системы, что сделать нетрудно. Так,
можно показать, что прямая линия определения / есть также
кратчайшая линия в смысле метрики определения 10.
Представим себе одну из систем S', в которой мы намерены
провести измерения. Точнее, мы хотим определить геометрию
системы S'. Коль скоро определение конгруэнтности дано,
выбор геометрии уже более от нас не зависит, вернее, геометрия
теперь есть просто эмпирический факт.
Если измерить длину окружности и диаметр круга, то будет
ли их соотношение равно я? Вообще говоря, геометрия не
будет евклидовой. Но мы можем выбрать из систем S' некоторые
системы S", если мы хотим, чтобы выбранные системы
удовлетворяли условию, согласно которому определяемая геометрия
была бы евклидовой. Существование таких систем S'
(аксиома V) опять есть эмпирический факт, в то время как их выбор
вновь основывается на определении.
Теперь мы достигли некоторой важной цели: мы определили
в каждой системе класса S" полную и уникальную метрику,
не прибегая к использованию жестких тел или естественных
часов. С помощью одних только световых сигналов мы
обеспечили метрическую структуру четырехмерного пространственно-
временного континуума. Назовем это построение геометрией
света. Степень ее применимости зависит от истинности
упомянутых ранее аксиом, которые относятся только к световым
сигналам и точечным массам и называются аксиомами света.
Но вторая цель еще не достигнута. Мы еще не имеем
достаточно ограниченного класса систем S", чтобы отождествить его
с классом Ньютоновой инерциальной системы /. Класс S" все
еще слишком общий и, кроме системы /, содержит другие
системы. Здесь требуется дальнейшее объяснение. Мы начали со
свободно движущихся индивидуальных точечных масс и
построили из них систему точек /С, налагая определенные
ограничения на результаты измерений, выполняемых с помощью
световых сигналов. Теперь можно доказать, что существует не
одна, но множество систем, удовлетворяющих этим
требованиям и образующих класс S". Мы не намерены определять
класс, содержащий только одну систему, поскольку
Ньютоновы инерциальные системы образуют класс / систем, которые
равномерно движутся друг относительно друга. Цель нашего
построения состоит в том, чтобы получить этот специфический
класс /, то есть определить с помощью световых сигналов не
только геометрию в пределах данной системы точек, но и
сделать выбор из множества систем точек, причем таким
образом, чтобы только системы в особом состоянии движения
191
удовлетворяли нашим требованиям. Иначе говоря, мы хотим
точно установить состояние движения в пространстве,
принимая движение света в качестве физической «системы отсчета»,
к которой «привязаны» данные системы. Однако движение
света как система отсчета слишком неопределенно для того, чтобы
достаточно определить состояние движения для
отождествления его с движением инерциальных систем. Мы получаем более
общий класс S", который содержит инерциальные системы в
качестве своего собственного подкласса. Однако, существенное
ограничение всех возможных состояний движения уже
достигнуто; указан также метод, с помощью которого может быть
определено состояние движения в свободном пространстве, при
условии, что существует физический процесс, независимый от
процедуры измерения, который можно использовать.
В чем состоит избыточная общность класса S"?
Математически этот класс можно понимать следующим образом. Если
дана любая система К класса S", то с помощью
преобразований координат ее можно преобразовать в другую систему К',
принадлежащую к тому же классу
Теперь следует установить точную форму этих образований
для класса S". В этой связи выскажем следующие
соображения.
Геометрия света построена для каждой системы S", и
равенство расстояний определяется за счет того, что световой луч
проходит равные расстояния за равные промежутки времени,
то есть скорость света становится постоянной. Поскольку,
согласно нашему предположению, геометрия света является
евклидовой для каждой из этих систем, распространение света
задается уравнением
Ax2{ + /ix22 + /ixl = c2M\ (1)
где Д обозначает разность между соответствующими
координатами двух конечных точек. Если записать *4 для ct (не более,
чем удобное обозначение для единицы времени) и поставить
х\ в левую часть уравнения, оно будет читаться следующим
образом:
Ах2 + Ах\ + Ах2 — Ах] = 0. (2а)
В движущейся системе К' распространение света должно
быть задано соответствующим уравнением той же формы
Ах2 + Ах2 + Ах2 - Ах'2 = 0. . 26)
Следовательно, искомое преобразование преобразует (2a)t
в (2Ь).
Решение этой задачи хорошо известно математикам. Данное
условие выполняется с помощью линейных преобразований 1
xi = alx'k> (За)
где коэффициенты удовлетворяют условию
( +k2 для / — / — 1, 2, 3,
[а^К 0 для 1Ф1, (36)
I — k2 для / = / = 4
и суммирование производится по повторяющимся надстрочным
индексам. Эти преобразования идентичны с преобразованиями
Лоренца, за исключением константы ky которую мы сейчас
рассмотрим. Другое преобразование, которое удовлетворяет
данному условию, задается формулой
г
xi
Эти соотношения называют преобразованиями подобия.
Если задана одна координатная система, удовлетворяющая
уравнению (2а), то класс S" определяется как совокупность
таких систем, которые могут быть выведены из данной с
помощью преобразований (3) и (4).
Итак, класс S" является слишком общим, поскольку класс
инерциальных систем / связывается только
преобразованиями Лоренца, в то время как преобразование (4) выводит за
пределы этого класса. Отсюда класс S" является пределом для
определения состояния движения при помощи геометрии света.
Определение класса / как подкласса S" невозможно до тех
пор, пока мы не воспользуемся еще какими-либо физическими
средствами, к^оме световых сигналов. В пользу определения
класса / только одними средствами геометрии света можно
выдвинуть лишь один аргумент — показать, что система Г,
которая принадлежит классу S", но не принадлежит классу /,
обладает физической сингулярностью. В такой системе Т
существуют световые сигналы, которые проходят через
бесконечность и все же возвращаются в пределах конечного интервала
времени. В эту систему входят точки, расположенные на
конечном расстоянии, которые могут быть связаны световыми
сигналами только в одном направлении, тогда как обратные сигна-
1 Здесь используется обычная система обозначений, в которой опускается
знак суммирования. Вместо этого мы используем правило, согласно которому
нужно суммировать по каждому индексу, появляющемуся дважды. Формула
(За) представляет четыре уравнения, правая сторона каждого из
которых есть сумма четырех членов. В формуле (36) эта система обозначения
применяется более широко. Суммирование проводится по т. Квадратные
скобки означают правило, при котором если m = 4, то соответствующий член
должен быть записан со знаком минус.
193
лы никогда не достигают своих целей. Если рассматривать
различие между конечным и бесконечным как наблюдаемое в
физическом смысле (§ 12), то класс / может быть определен
при помощи геометрии света. Однако поскольку аксиомы
света применимы (о чем мы поговорим позднее) лишь в
ограниченных областях пространства и поскольку никакие
неограниченные пространства не могут быть использованы для
решения, этот метод недостаточно плодотворен. Мы всегда можем
описать системы Г, которые отличаются от систем класса /,
только вне того пространства, которое мы имеем в своем
распоряжении.
Поэтому нужно искать другой путь исключения
преобразований (4) и тем самым систем типа Т. Если с помощью
преобразований (4) перейти от системы К к системе /(', то точки
последней не будут находиться в состоянии покоя по отношению
к точкам системы К и ее пространственные оси будут
непрерывно растягиваться по отношению к системе К. Поэтому К'
имеет иную меру времени ].
Мы можем, следовательно, исключить преобразование (4)
путем введения материальных тел. Точки системы / всегда
можно связать посредством жестких стержней, в то время как
в системе Т это невозможно. Таким образом, мы получили
определение инерциальной системы. Более того, время
системы / соответствует времени по естественным часам, которое
для системы Т неверно. Это соотнесение с часами могло бы
также использоваться как определение класса инерциальных
систем. Таким образом, введение материальных тел дает нам
возможность исключить системы Г. Следует отметить, что в
этом методе не используется даже наиболее важная функция
материальных тел. Жесткий стержень используется не для
определения пространственной конгруэнтности в рамках
системы, но только для установления одного — и действительно
только одного — расстояния как жесткого, то есть для
определения временнбй конгруэнтности пространственных расстояний.
Поэтому для определения жесткости могут использоваться
обычные часы. Для этого достаточно установить временную
метрику в любой точке пространства. Затем посредством
световых сигналов устанавливается жесткость системы в целом,
множества систем и даже их состояния движения. Хотя такое
определение относится только к инерциальному состоянию
систем, оно таким образом устанавливает их состояние движения
в пространстве. Это возможно только потому, что геометрия
света вводит довольно строгие ограничения и связывает
каждое возможное состояние движения с соответствующей
внутренней метрикой.
1 Более точные расчеты этого случая см. в [А], § 16. См. также: Zeit-
schrift fur Physik, v. 34, 1925, S. 34.
194
Наконец, мы рассмотрим, как преобразования (3)
превратить в преобразования Лоренца, с которыми они еще не
идентичны по причине присутствия постоянной k. Наши требования
сводились к тому, чтобы преобразования оставляли
выражение (2) инвариантным. Эти требования предполагают принятие
некоторого условия, согласно которому геометрия света должна
выполняться в каждой системе, что, однако, еще не определяет
сравнения единиц между системами с различными состояниями
движения. Нам еще нужно установить сравнение длин покоя
движущихся линейных отрезков, то есть первое сравнение длин
в кинематике (ср. § 25). Если использовать жесткие стержни
как единицы системы К, то длину покоя стержня,
перенесенного в движущуюся систему К', целесообразно считать такой же
в новой системе. Однако в геометрии света эта процедура
невозможна, поскольку в ней нечего переносить. Следовательно,
нужно найти другое сравнение единиц. Оно выполняется с
помощью второго сравнения длин в кинематике. Если
рассматривать произвольные единицы длины соответственно в системах
Л' и /(', то единица системы К может быть измерена в системе
К' и, наоборот, путем введения понятия длины движущегося
отрезка. Так как единицы выбираются произвольно,
коэффициенты сокращения или расширения будут различны. Однако если
потребовать, по определению, тождества этих коэффициентов, то
выбор единицы длины покоя в одной системе будет зависеть
от соответствующего выбора другой. Таким образом, у нас есть
правило для первого сравнения длин в кинематике.
Эти условия идентичны положению &= 1, что несложно
доказать. Поскольку координативные дефиниции произвольны, мы
можем положить Л= 1. С учетом этого правила
преобразования (3) становятся идентичными преобразованиям Лоренца,
которые могут быть записаны теперь в следующем виде:
+ 1 для / ===== / == 1, 2, 3,
(5а) Xi — alkxk\ [afa™'] == 0 для / Ф /, (56)
— 1 для / = / = 4.
Чтобы отсюда перейти к хорошо известной форме этих
преобразований, нам необходимы лишь небольшие упрощающие
специальные условия, которые опять являются определениями.
Предположим, что нулевые точки двух координатных систем
совпадают, что их пространственные оси параллельны и что
направление движения одной системы является направлением
оси х\ другой. Таким образом, возникает известная форма
преобразований Лоренца
x{ + vt _ /e __ ^ __ г +7^ 1
Х1 = I * Х2== XV ХЪ XV ' / v2 ' (6)
195
в которой «ct» и «cf» поставлены вместо «х^ъ и «х[»
соответственно. Двадцать констант преобразований (5) сведены,
таким образом, к единственной константе v.
Точное изложение этих специальных условий дано в § 17 работы Л, где
они представлены в виде ограничивающих уравнений для ak. Простые
расчеты ведут от них к специальным значениям а£, которые появляются в
уравнениях (6). Вывод уравнений (6) из инвариантности уравнений (2) можно
найти во многих работах по теории относительности, однако различия между
определениями и эмпирическими утверждениями обычно ясно не
формулируются.
Итак, мы достигли поставленной цели — определили класс
инерциальных систем и их метрику; таким образом, эту главу
по теории пространства и времени можно считать
законченной. Однако поскольку, кроме света, имеются другие
измерительные инструменты, а именно измерительные стержни и
часы, и поскольку в нашем построении они пока играют
подчиненную роль, очень важно поставить вопрос, как эти предметы
ведут себя по отношению к геометрии света. Мы могли бы
начать с этих измерительных инструментов и использовать свет
только для определения одновременности. В этом случае мы
также получили бы какую-то геометрию. Теперь поставим
вопрос, как эта геометрия соотносилась бы с геометрией света.
Утверждения об этих отношениях формулируются как аксиомы
тел, в противоположность аксиомам света, которые
использовались до сих пор.
Формулирование этих утверждений требует дополнительных
соображений. В силу введенных определений построенная
геометрия света является произвольной. В зависимости от выбора
определений будет получена релятивистская или классическая
геометрия света. Аксиомы света могут быть одинаковы для той
и другой. Следовательно, релятивистская геометрия света,
которую мы построили выше, отличается от классической теории
только выбором определения. Таким образом, вместо
преобразований Лоренца могли бы быть введены, по определению,
преобразования Галилея. Для этой цели следовало бы дать такое
определение пространственной конгруэнтности, которое
менялось бы от системы к системе. Расстояния, проходимые светом
за равные промежутки времени, были бы, вообще говоря,
неравными, поскольку, согласно преобразованиям Галилея,
скорость света зависит от направления движения системы. Более
того, следовало бы ввести иное сравнение длин покоя
движущихся отрезков, а также другое определение одновремености,
для которого коэффициент е в формуле (1) зависел бы от
направления. Классическая геометрия света возможна потому,
что аксиомы света в теории относительности не отличаются от
таковых в классической теории, за исключением утверждения
О предельном характере скорости света. Однако даже если при-
196
менить эту аксиому, Галилеевы преобразования могут быть
определены. Различие состоит только в том, что реализовать в
материальных телах можно только такие системы, которые
движутся со скоростями, меньшими скорости света.
Содержание аксиом тел (аксиомы VI—X) может быть
суммировано следующим образом: материальные системы следуют
релятивистской геометрии света. Если расстояния равны с
точки зрения геометрии света, то и при измерении их жесткими
стержнями они также равны. Если в геометрии света течение
времени определяется как равномерное, то при сравнении его с
ходом естественных часов обнаруживается их соответствие.
Подобные же результаты имеют место для утверждений
относительно перемещения часов и измерительных стержней в
движущихся системах. Это соответствие обнаруживается при
сравнении их с единицами, которые внесены в движущиеся системы
с помощью геометрии света. Для такого внесения мы
используем определения релятивистских геометрий света, а не
классические определения. Утверждение Эйнштейна можно
выразить таким образом: материальные системы соответствуют не
классической, а релятивистской геометрии света.
Это утверждение и составляет то новое, что есть в теории
относительности с точки зрения физики. И если все аксиомы
света имеют силу в классической оптике, к которой теория
относительности добавляет только положение о скорости света
как верхнем пределе скорости сигналов, то аксиомы тел
означают отклонение от классической теории. Они утверждают, что
преобразования Лоренца, которые в геометрии света
отличаются от преобразований Галилея только по определению, есть
одновременно преобразования для измерительных стержней и
часов. Следовательно, это утверждение касается той части
релятивистской теории пространства и времени, которая должна
быть проверена экспериментально.
Вот теперь мы четко можем установить различие между
физическими положениями релятивистской теории
пространства и времени и ее эпистемологическим основанием. Это
эпистемологическое основание связано с обнаружением того
факта, что координативные дефиниции требуются гораздо чаще|
чем полагали в классической теории пространства и времени.
Особенно часто они нужны при сравнении длин в различных
местах и системах, находящихся в различных состояниях
движения, а также для установления одновременности. Однако
ядро этой теории составляет гипотеза, согласно которой
естественные измерительные инструменты следуют иным координа-
тивным дефинициям, чем те, которые предполагаются в
классической теории. Это утверждение основано, разумеется, на
опыте. От его истинности зависит только физическая теория
относительности. Философская же теория относительности,
то есть открытие дефинициального характера метрики во всех
197
ее деталях, справедлива независимо от опыта. Разработанная
в результате физических экспериментов, она тем не менее
составляет философское знание, которое не может быть
предметом критики со стороны отдельных наук.
Ниже мы покажем, как содержание аксиом света и аксиом
тел может быть наглядно представлено геометрически с
помощью геометрии мира Минковского.
§ 28. Пространство
индефинитного типа
Мы вывели преобразования Лоренца путем преобразования
выражения
Ах2 + Ах2 + Ах2 - Ах2 = О (1)
в подобное ему выражение с переменными^, то есть с помощью
преобразования, которое оставляет уравнение (1)
инвариантным. Можно показать, что преобразование Лоренца (5, § 27)
обладает дополнительным свойством, которое оставляет также
выражение
А*? + Ах2 + Ах2 - Ах2 = As2 (2)
инвариантным. Это — специальное свойство линейного
преобразования (5, § 27), которым преобразование (4, § 27) не
обладает1. Следовательно, преобразование Лоренца может
быть исчерпывающим образом определено чисто
математическим путем, при условии, что оно оставляет выражение (2)
инвариантным,— условие, из которого автоматически следует,
что величина &= 1. Это свойство является основой
геометрической интерпретации Минковским преобразований Лоренца.
Эта интерпретация осуществляется на основе формальной
аналогии уравнения (2) с теоремой Пифагора. Поэтому для
начала рассмотрим расширение того типа пространства,
который получается из этих соображений (о его применении
говорится в § 29). Расширение начинается с понятия длины.
Под длиной линейного отрезка мы понимаем не отрезок cav
по себе, а соотносимое с ним число. Отрезок является опреде>
ленным, если заданы координаты всей совокупности точек, его
составляющих. Однако эта информация еще не определяет его
длину. Установление длины предполагает также сравнение это-
1 Последнее преобразует левую часть уравнения (2) в то же самое
выражение с переменными xif которое, однако, умножается на коэффициент
Я(х{...хЛ. Только если правая сторона уравнения равна 0, как в уравнении
(1), это преобразование оставляет (2) mmapHaHTHbiMi поскольку мы можем
в этом случае разделить его на К.
198
го отрезка с другими отрезками. Отсюда длина определяется
только с помощью определения конгруэнтности. Определение
конгруэнтности задается в аналитической геометрии формулой,
сопоставленной с координатами отрезка и определяющей длину
отрезка как функцию координат. Для отрезка прямой было бы
достаточно знать две конечных точки. В этом случае формула
Ах2 + Ах2 + Ах\ = As2, (За)
которая идентична теореме Пифагора, выражает расстояние в
трехмерном пространстве. Между прочим, эта простая формула
может быть использована только в том случае, если
координаты удовлетворяют определенным условиям. Они должны быть
прямолинейны и ортогональны. (Обобщение этой теоремы на
случаи произвольных систем координат будет рассмотрено в
§ 39.) Распространяя данную теорему на четырехмерное
пространство, получим
Ах2 + Ах\ + Ах2 + Ах2 = As2. (36)
Однако эта формула еще не эквивалентна выражению (2),
в котором член Ах\ имеет отрицательный знак. Как
распространить нашу теорему на такую формулу?
Это можно сделать с помощью обсуждавшегося выше
правила непротиворечивого расширения. Определим понятие
длины таким образом, что оно будет включать выражение (2) в
следующем виде.
Определение. Соотнесение числа As с разностью координат
Ах\ ... Ах\ осуществляется посредством фундаментальной
метрической формы
Ах2 ± Ах2 ± А*2 ± Ах\ = As2, (4)
определяющей меру длины.
Расширение понятия длины представляет собой логическую
процедуру, которая объяснялась ранее (§ 25) на примере
понятия векторной суммы. Оно не может быть названо истинным
или ложным, поскольку является лишь определением. Оно
удовлетворяет правилу непротиворечивого расширения, потому что
становится идентичным уравнению (3) в том специальном
случае, когда все знаки одинаковы. Метрику этого случая мы
именуем дефинитной; когда же эта метрика имеет как
положительные, так и отрицательные знаки, она называется
индефинитной.
Различие между дефинитной и индефинитной метрикой
формулы (2) объяснено на рис. 30а и Ь. Для простоты фигуры
начерчеьы только для двух координат. Мы имеем
(5а) As2 = Ах\ + Ах2; As2 = A*f-A4 (5b]
199
Фигура на рис. 30а соответствует дефинитному типу (5а).
Линии, которые находятся на постоянном расстоянии от начала
координат, контурные линии, являются окружностями,
поскольку уравнение (5а) есть уравнение окружности с радиусом As.
Рис. 306 соответствует индефинитному типу (56). Контурные
линии являются теперь гиперболами, поскольку (56) есть
уравнение гиперболы, вершина которой находится от начала
координат на расстоянии As. Гипербола As2 = 0 вырождается в две
асимптоты.
Рис. 30. Дефинитная и индефинитная метрика.
Далее, формула (5) определяет метрику, отсюда As должна
пониматься как расстояние точки (х\, х^) от начала координат.
Это утверждение четко представлено на рис. 30а: на нем
просто ОА равно ОВ. То же должно быть истинным и для
рис. 306, и, следовательно, каждая точка гиперболы должна
иметь одинаковое постоянное расстояние от начала координат;
О А должно быть равно ОВ и на рис. 306. И если это
равенство соответствует нормальной конгруэнтности для рис. 30а, то
для того, чтобы понять рис. 306, мы должны помнить о дефи-
нициальном характере конгруэнтности. Расстояния ОА и ОВ
воспринимаются на рис. 306 как разные (§ 11), так как наша
визуальная оценка основана на поведении жестких тел,
которое удовлетворяет отношениям, представленным на рис. 30а.
Поэтому мы можем опять применить использовавшийся ранее
метод и наглядно представить себе новую метрику и тела,
которые бы ей удовлетворяли. Допустим, что расстояние О А
реализуется посредством некоторого стержня. Теперь будем
поворачивать стержень таким образом, что один его конец
останется зафиксированным в начале координат, второй будет пе-
200
ремещаться вдоль гиперболы, а стержень будет занимать
положение ОВ и другие подобные положения. Мы легко представим
себе эту ситуацию, если вспомним, что конгруэнтность есть
вопрос определения. Таким образом, поведение воображаемых
стержней предлагает наглядную реализацию метрики (56).
Трудности, связанные с метрикой, представленной на
рис. 306, объясняются не сравнением длин, а свойством
метрики. Линии, имеющие наклон 45°, являются нулевыми линиями,
то есть любое расстояние на них, скажем расстояние OEt имеет
длину, равную нулю. Это свойство несовместимо с обычным
наглядным представлением длины, однако его можно наглядно
представить, что мы и попытаемся сделать.
Стержень ОВ поворачивается вокруг точки О, достигает
положения О А и упирается концом в ту же самую гиперболу
таким образом, что этот конец отодвигается, когда стержень
приближается к наклону в 45°, и уходит в бесконечность, когда
стержень достигает этого наклона. В этом положении стержень
был бы растянут до бесконечности. Предположим (§ 12), что
это невозможно; а это в свою очередь означает, что наклон под
углом в 45° есть предельное положение, которого нельзя
достичь, но к которому можно приблизиться так близко, как мы
хотим. Будем приписывать отрезку ОЕ в этом сингулярном
положении длину, равную нулю, так как асимптота представляет
собой вырожденную гиперболу и соответствует контурной
линии кратчайшей меры длины.
В любую сторону от предельного положения стержни ведут
себя нормально, согласно гиперболическим контурным линиям.
Однако из-за недостижимости предельных положений
невозможно повернуть стержень из положения ОС в положение ОА.
Вместо этого он может быть перемещен в положение OD.
Исходя из этого, мы имеем два вида стержней, назовем их синими
и красными. Направление синих стержней всегда лежит в
квадрантах I и II, направление красных — в квадрантах III и
IV. Можно перемещать стержни так, что они пересекут
асимптоты, но их нельзя повернуть за предельные положения.
Следовательно, красный стержень никогда не может быть
перемещен в положение синего, и наоборот. Для того чтобы
установить различие между этими двумя видами длин, припишем
величине As2 в квадрантах I и II отрицательный знак.
Особая форма метрики, которая допускает длины Д$2 = 0
и As2 < 0, является естественным выражением описываемых
измерительных инструментов. Разделение на два типа
стержней, которые не могут сравниваться, символизируются
различием между As2 >0 и As2 < 0, а также предельным случаем,
когда As2 = 0. Эта метрика содержит некоторые отклонения от
обычного понятия длины, но эти отклонения необходимы для
описания поведения стержней. Продолжим наши рассуждения
более детально.
20)
Ранее мы говорили, что понимаем под длиной отрезка не
отрезок сам по себе, а сопоставляемое с ним число. Хотя
обычное измерение длины и признает это различение, оно выдвигает
дополнительное требование, согласно которому длина, равная
нулю, соотносится только с точкой. Это требование нарушается
для предельных положений (но только для них). Понятия
длины и протяженности в этом случае более не совпадают. Любой
отрезок в предельном положении может быть длинным в
смысле протяженности и все же иметь длину, равную нулю.
Протяженность есть топологическое понятие; любая геометрическая
структура является протяженной, если она содержит
непрерывную последовательность точек. Существует эта протяженность
или нет, определяется системой координат. Протяженность,
следовательно, является понятием, связанным с координатами.
Однако вопрос о том, какую длину нужно соотнести с тем или
иным геометрическим элементом, не определяется
координатной системой. Измерение длины характеризует поведение
измерительных инструментов. Это поведение включает
сингулярность в предельных положениях. В предельном положении
стержень конечной длины не совпадает с конечным отрезком,
но по сравнению с ним будет обладать бесконечной длиной.
В силу этой особенности мы приписываем каждой конечной
протяженности в предельном положении длину, равную нулю.
Если бы мы были в состоянии повернуть протяженность,
подобную ОЕ, в ином направлении, то это предполагало бы
протяженность, соответствующую нулю. Отрицая для предельных
положений требование, согласно которому длина, равная нулю,
должна относиться только к точке, мы приспосабливаем нашу
метрику к поведению наших измерительных стержней, по
отношению к которым мера конечной протяженности в предельном
положении в самом деле равна нулю. Здесь мы имеем дело с
топологически различным поведением измерительных
инструментов и вынуждены, следовательно, отказаться от
упомянутого требования, хотя оно удовлетворяется при обычном
измерении длины.
Допущение отрицательных чисел для выражения квадрата
длины есть лишь разумное расширение понятия длины.
Обычно длина определяется как положительное число, однако
нередко представляется целесообразным введение отрицательной
длины. В метрике на рис. ЗОЬ даже квадрат длины может стать
отрицательным, а сама длина — мнимой. Но данный факт
имеет второстепенное значение, поскольку он не имеет
отношения к тому, рассматриваем мы As или As2 как длину или нет.
Такое различение есть только вопрос целесообразности. Так
обычно введение мнимых чисел является простым
арифметическим приемом, который отнюдь не предполагает, что
«пространство или измерительный инструмент становятся
мнимыми». Это было бы бессмысленно.
202
Выше мы показали, что многообразие индефинитного типа
можно с таким же успехом наглядно представить, как и
пространство дефинитного типа. Если считается, что нельзя
наглядно представить неисчезающую протяженность, длина
которой равна нулю, или длину, квадрат которой отрицателен, то
это молчаливо предполагает, что сохраняются требования,
которые применимы только к обычным измерительным
инструментам. Эти требования для обычной геометрии пространства
сохраняются не в силу их наглядности, а только в связи с
поведением обычных измерительных инструментов, которое
побуждает нас проектировать метрику дефинитного типа на
окружающее нас пространство. Если бы измерительные
инструменты действительно выполняли роль синих и красных стержней,
то их поведение было бы представлено метрикой
индефинитного типа в том же смысле, как поведение обычных
измерительных стержней характеризуется метрикой дефинитного типа.
Таким образом, мы наглядно представили индефинитный тип
пространства, вообразив соответствующее поведение
измерительных инструментов.
В то же время мы выяснили, что обычные измерительные
инструменты представляют специальный тип геометрических
отношений. Этим фактом мы можем дополнить наши
предшествующие рассуждения по проблеме пространства, хотя цель
настоящего параграфа — способствовать применению
индефинитной метрики к совершенно иному многообразию, а именно
к пространственно-временному многообразию.
§ 29. Четырехмерное
представление
геометрии
пространства — времени
В предыдущем параграфе мы представили пространство
индефинитного типа с помощью поведения жестких стержней,
рассматривая их как реализацию As2. Таким образом, мы
описали этот тип пространства как чистое пространство. Однако в
преобразованиях Лоренца четвертое измерение задается
временем, в связи с чем реализация As2 должна быть
осуществлена иначе. Рассмотрим этот метод реализации в связи с
указанной выше работой Минковского.
Напомним соображения, изложенные в § 16, согласно
которым временное измерение в корне отличается от
пространственного. Если мы хотим изучить реальное пространственно-
временное многообразие, нам следует заняться поисками
пространственно-временных объектов, которые ведут себя,
подобно расстояниям ОЛ, ОВ ... и т. д. Такими объектами являются
часы и, с дополнительной оговоркой, измерительные стержни,
203
/1
•Определенные по отношению
к временному порядку ^\
Ч As2<0 / У
/
Неопределенные пр отношению \^1 и j %
°*<h* I ^г Неопределенные по отношению
As2> 0 IH ^.-^оЧ 1
-*"* /1 \
к временному порядку X i I X^ к временному порядку
г ^^ / I
I
j As2< О
Определенные по отношению
к временному порядку
/
/1
Рис. 31. Разделение пространственно-временного многообразия.
Точкой пространственно-временного многообразия является
точка-событие, то есть некоторое событие, определенное тремя
пространственными координатами и одной временной. «Тик-
так» часов и есть пример такого события. Пространственная
точка Р представлена линией, которая соответствует течению
времени в точке Р и называется ее мировой линией.
Пространственная точка в состоянии покоя представлена вертикальной
линией; наклонная прямая линия соответствует равномерно
движущейся пространственной точке, поскольку ее положение
в системе координат изменяется со временем. Два точечных
события определяют «расстояние» As. Будем называть такое
расстояние интервалом в отличие от пространственных
расстояний и, как мы увидим дальше, в отличие от временных
расстояний. Интервал является, следобательно, метрическим
понятием, которое соответствует длине, но не протяженности, и
определяется своими двумя конечными точками.
Для начала найдем интервал As2 = 0. Он задается
движением света, которое удовлетворяет уравнению As2 = 0.
Согласно с. 200, это уравнение представлено асимптотами на рис. 306,
и мировая линия светового луча, проходящего вдоль оси,
задается прямой линией, имеющей наклон 45°. Для этого светового
луча xi = Х4, следовательно, скорость света мы полагаем
равной 1,
204
Предельное положение на рис. 306 представлено, таким
образом, движением света. Мировые линии, направления которых
попадают в квадранты I и II, именуются времениподобными
(рис. 31); они соответствуют пространственным точкам, которые
движутся медленнее, чем свет. Наклон прямой линии есть
непосредственная мера скорости соответствующей
пространственной точки; чем больше ее наклон приближается к асимптоте,
тем выше будет ее скорость. Мировые линии, направления
которых попадают в квадранты III и IV, именуются простран-
ственноподобными. Они не могут быть реализованы
движущимися точечными массами, поскольку это потребовало бы
скоростей, превышающих скорость света. Различие между
синими и красными стержнями в нашем примере (§ 28)
соответствует, следовательно, различию между времениподобными и
пространственноподобными мировыми линиями.
Времениподобными мировыми линиями, согласно нашему определению
временного порядка (§ 21), являются те линии, точки-события
которых следуют одна за другой во времени, поскольку они
могут быть связаны посредством сигналов. Однако простран-
ственноподобные линии связывают те точки-события, которые
являются неопределенными по отношению к временному
порядку (§ 22).
Выбор координатных осей имеет следующее значение. Мы
можем выбрать любую времениподобную линию как
временную ось, поскольку она совместима с определением временного
порядка. Поскольку по-разному наклоненные времениподобные
линии представляют мировые линии точечных масс в
различных состояниях движения, выбор одной из них как временной
оси составляет выбор одного из состояний движения как
состояния покоя. Следовательно, выбор временной оси
определяет состояние движения координатной системы. В то же
время любая пространственноподобная линия может быть
выбрана как пространственная ось, поскольку мы всегда можем
определить ее точки-события как одновременные. Выбор
определенной пространственноподобной линии в качестве
пространственной оси представляет, таким образом, частное
определение одновременности.
Вообще говоря, любая пространственная ось может
сочетаться с любой временной осью, как, например, на рис. 31 вре-
мениподобная линия 1 и пространственноподобная линия 31.
Однако если мы, согласно релятивистской геометрии света,
требуем, чтобы одновременность определялась коэффициентом
1 Допустимо даже выбирать в качестве координатных осей кривые линии.
Ограничение временных осей прямой линией означает ограничение
равномерно движущейся системой в смысле § 24, а ограничение пространственной оси
прямой линией означает, что коэффициент е в определении одновременности
(2, § 19) есть константа, не зависящая от положения и времени.
205
ft
As2<0
I
Рис. 32. Реализация индефинитной метрики посредством часов и
измерительных стержней.
е = 7г для каждого состояния движения, то это требование
соотносит каждую временную ось с определенной
пространственной осью (на рис. 31, например, линия 2 соотносится с
линией 1). Можно показать, что это предписание соответствует
в геометрическом представлении требованию, согласно
которому временные и пространственные оси должны образовывать
сопряженные диаметры гипербол.
Теперь найдем реализацию отрицательного As2, то есть
попытаемся найти такой физический объект, который бы
удовлетворял отношениям конгруэнтности, определяемым гиперболами
квадрантов I и II. Обратимся к рис. 32, в котором
начерчены только четыре оси гиперболы As2 =± 1. Рассмотрим
сначала интервал OQ, который принадлежит квадранту As2 < 0.
Каким образом может быть реализован этот интервал?
Вертикальная ось OQ соответствует мировой линии точки,
находящейся в покое в координатной системе /С. События О и Q
заданы, следовательно, началом и концом периода единичных
часов, покоящихся в системе К. Если мы напишем для этих
206
событий интервал
Ах] + Ах\ + А** - Ах\ = As2, (1)
то эта формула сведется к
- А** = As2, (2)
так как никаких изменений в положении точки относительно
системы К не произошло, то есть Ах\ = Ах2 = Д*з = 0. Данный
интервал OQ измеряется, следовательно, периодом единичных
часов, покоящихся в системе К.
Теперь рассмотрим интервал OQ', который равен OQ и
также равен 1. Он соответствует части OQ' мировой линии
движущейся пространственной точки Р', на которой события
имеют место в точках О и Q'. В системе К его величина
определяется при помощи уравнения (1). Если теперь с помощью
преобразований Лоренца мы перейдем к координатной системе К',
то тот же самый интервал выражается уравнением
a*;2 + д*;2+д*;2 - д<2=д*2, (з)
поскольку особенностью преобразований Лоренца является тот
факт, что они оставляют данное выражение инвариантным
(см. с. 198). Координаты, определяемые метрикой геометрии
света, являются точно теми же координатами, для которых
данная метрическая формула принимает такую простую форму.
Этот результат аналогичен геометрическим утверждениям
предыдущего параграфа, согласно которым простая формула
метрики (За, § 28) применима только к прямолинейным
ортогональным координатам. Мы можем пойти даже дальше. Координаты,
заданные измерительными стержнями и часами, должны
соответствовать тем координатам, которые удовлетворяют
уравнениям (1) и (2) соответственно, поскольку это соответствие
выражено аксиомами тел.
Теперь можно дать очень простую интерпретацию OQ\
Если мы выбираем систему /С7, относительно которой Р'
находится в состоянии покоя, то выражение (3) сводится к
- A*;2 = As2, (4)
поскольку мы вновь имеем Ах\ =* Дл^ = Дл;^ = 0. Это означает,
что интервал OQ' также измеряется периодом единичных
часов, если эти часы движутся вдоль мировой линии OQ'.
Поэтому мы называем As собственным временем данных часов
и можем теперь сказать, что времениподобный интервал
реализуется собственным временем движущихся часов, а поворот
интервала OQ в полооюение OQ' реализуется перемещением
часов в иное состояние движения.
207
Теперь найдем реализацию положительного As2, то есть
попытаемся найти физический объект, который удовлетворяет
отношениям конгруэнтности гипербол в квадрантах III и IV.
Выберем сначала интервал OS, который соответствует двум
одновременным событиям в системе /С, пространственное
расстояние между которыми равно 1. Поскольку теперь кх^ = О,
выражение (1) сводится к
Ах2 + Ах2 + Ах2 = As2, (б)
Этот интервал измеряется, следовательно, пространственной
длиной As2 единичного измерительного стержня.
ТегГерь давайте выберем интервал 0S'y который равен OS
и также равен 1. Он измеряется в системе К по формуле (1).
Если мы хотим свести формулу (1) к выражению,
соответствующему формуле (5), мы должны ввести иную одновременность,
для которой OS' есть сечение одновременности. Это несложно
сделать, если поместить стержень в движущуюся систему /(' —
поскольку OS' есть пространственная ось, соответствующая
временной оси 0Q', согласно эйнштейновской
одновременности,— и если 0Q' и OS' являются сопряженными диаметрами.
Два конца этого стержня описывают мировые линии 0Q' и
S\S\ и стержень представляется наклонной полосой,
заключенной между этими мировыми линиями. Следовательно, OS'
есть положение стержня для сечения одновременности х^ OS
представляется событиями, происходящими в двух его концах,
если, согласно эйнштейновскому определению
одновременности, эти события одновременны для системы К'. Это
определение сводит уравнение (3) к выражению
Д*;2 + Дд/2 + Д^2 = Д.2. (6)
Следовательно, интервал 0S/ также измеряется длиной
измерительного стержня, если этот стержень движется описанным
образом. Теперь соответственно данному понятию собственного
времени мы сформулируем понятие собственной длины:
собственная длина измерительного стержня определяется двумя
событиями, происходящими на его конечных точках, когда,
согласно эйнштейновскому определению одновременности, эти
события одновременны для системы, в которой стержень
находится в состоянии покоя. Пространственноподобный интервал
реализуется собственной длиной измерительного стержня, а по-
ворот интервала OS в положение OS' реализуется помещением
измерительного стержня в другое состояние движения и
осуществлением таких событий на его концах, которые
одновременны, согласно соответствующему определению одновремен*
ности.
Этот результат выявляет своеобразное различие между
часами и измерительными стержнями. Часы, по сути дела, явля-
209
ются четырехмерными инструментами, поскольку конечными
точками их единичных расстояний являются события. В то же
время измерительные стержни являются трехмерными
измерительными инструментами^ их конечными точками являются
пространственные точки, и они могут быть превращены в
четырехмерные измерительные инструменты только в том случае,
если события на их концах происходят в соответствии со
специальным правилом.
Отсюда следует, что часы и измерительные стержни
обеспечивают реализацию индефинитной геометрии, представленную
на рис. 306, и что эта геометрия характеризует структуру
пространственно-временного многообразия. Утверждение, согласно
которому измерительные стержни, часы и лучи света ведут
себя в соответствии с соотношениями конгруэнтности
индефинитной метрики, представляет собой геометрическую
формулировку аксиом света и аксиом тел.
Ранее мы обсуждали (с. 180) положение об объединении
пространства и времени. Теперь мы можем на основе
геометрического представления разъяснить это положение. Конечно,
графическое представление времени, объединение пространства
и времени в одно многообразие не ново, поскольку оно
справедливо и для классической теории времени. Новое содержание
может быть суммировано в следующих двух утверждениях.
Во-первых, положение о том, что элемент многообразия,
определяемый двумя точками-событиями, а именно интервалом,
естественным образом реализуется в часах, измерительных
стержнях и лучах света. Это означает, что эти измерительные
инструменты вводят в многообразие определенные отношения
конгруэнтности весьма специфического вида. Именно этот факт
делает четырехмерную трактовку пространства и времени
столь плодотворной. Она выражается в утверждении, что часы,
измерительные стержни и световые лучи принимают на себя
в четырехмерном пространственно-временном многообразии
некоторую функцию, подобную функции, выполняемой жесткими
стержнями в трехмерном пространстве. Верно, что
классическая теория пространства-времени могла бы трактовать
пространство и время как четырехмерное многообразие, в рамках
которого можно было бы даже определить некоторую метрику.
Однако в этом случае не нашлось бы таких физических
объектов, которые бы реализовали в этой метрике отношения
конгруэнтности. Следовательно, утверждение о том, что для
пространственно-временного многообразия существует
естественная метрика, имеет для физики огромное значение. В этом
смысле мы можем говорить о объединении пространства и
времени. Однако это не значит, что пространство и время
лишаются своих специфических индивидуальных различий, ибо ясно,
что часы и измерительные стержни — совершенно разные типы
измерительных инструментов. Таким образом, это объединение
209
сохраняет за пространством и временем их специфические
свойства.
Переход от индефинитной метрики теории относительности к
классической теории времени предполагает замену предельной скорости с на оо. В
таком случае фундаментальная метрическая формула утрачивает свое
значение, ибо величина х4 = ct становится бесконечной и какая-либо метрика
подобного вида невозможна. Если бы в классической теории времени нам
нужно было построить какую-то метрику, мы не стали бы иметь дело с
индефинитной метрикой, но использовали бы дефинитную метрику (36, § 28),
определив конгруэнтность четырехмерных интервалов произвольным образом.
Конечно, даже в классической теории пространства и времени такие интервалы
существуют, но в этом случае для ее отношений конгруэнтности, то есть для
измерения длины, не существует естественного правила, а только
произвольные определения. Часы были бы не реализацией этих интервалов, но мерами
контурных уровней (см. § 30).
Во-вторых, считается, что многообразие пространства и
времени есть многообразие индефинитного типа. Следствием этого
положения является тот факт, что поворачиваться могут не
только временные оси (это можно сделать и в классической
теории пространства и времени, поскольку это лишь средство
для того, чтобы отличить движущуюся систему от
покоящейся), но и пространственные. В классической теории
пространства и времени пространственные оси не могли бы
поворачиваться, потому что углы в квадрантах III и IV были бы
равны 0. Эта особенность новой теории пространства и времени
явилась причиной многих ошибок. Считалось, что сопряжение
пространственных и временных осей, обеспечиваемое
преобразованиями Лоренца, согласно которым любой выбор временной
оси определяет соответствующую пространственную ось как
сопряженный диаметр, означает более фундаментальное
объединение пространства и времени. Однако это сопряжение не так
уж существенно, поскольку оно основывается на некотором
произвольном добавочном требовании, вводимом только для
простоты описания и не имеющем какой-либо
эпистемологической необходимости. Ошибка, допущенная в этом случае,
описывалась на с. 167. Она возникает на основе ошибочной
концепции, согласно которой существует соотношение между
относительностью одновременности и относительностью движения.
Только тот факт, что пространственная ось может
поворачиваться независимо от временной оси, является новым в
индефинитной метрике. Это положение означает, что
одновременность в рамках некоторого углового интервала произвольна.
Мы видели (§ 22), что этот факт представляет
специфическое свойство релятивистской теории пространства и времени,
которое мы сформулировали как некоторое структурное
свойство причинных цепей и проиллюстрировали на рис. 23.
В § 25 мы показали, что дефинициальная природа
одновременности имеет следствием неопределенность
пространственных измерений. Поэтому до тех пор, пока не будет дано опре-
210
деление одновременности, мы не можем говорить о состоянии
пространства в определенное время. По этой причине
индефинитная метрика — второй важный пункт, характеризующий
объединение пространства и времени. Однако эта
характеристика пространственно-временной геометрии может привести к
резкому разделению пространства и времени, так как в
уравнении (1) индефинитной метрики одно измерение явным
образом отличается от других своим отрицательным знаком. Верно,
конечно, что даже этим не исчерпываются специфические
характеристики времени. Дело в том, что чисто пространственная
метрика (§ 28) также представляет собой индефинитный тип,
то есть она может быть также реализована с помощью одних
лишь пространственных измерительных инструментов. Однако
уравнение (1) выражает некоторую асимметрию между
пространством и временем, которая приводит к явному различию.
Таким образом, теория относительности не утверждает, что
время есть «четвертое измерение пространства»; время
остается временем во всех своих специфических свойствах.
Символически изображая время (рис. 31 и 32) посредством прямой
линии, мы даем лишь графическое представление, которое
означает, что логическая структура отношений, выраженная при
помощи стержней (как это описано в § 28), может быть
реализована пространственно-временным многообразием. Это
представление аналогично графическому представлению
термодинамических отношений (§ 15), которые обнаруживают ту же
самую логическую структуру, что и жесткие тела (в данном
случае обычные жесткие тела). Следовательно, объединение
пространства и времени в одной метрике не стирает их различий.
Если мы говорим о геометризации физических событий, то
за этим не кроется некий таинственный смысл. Мы имеем в
виду тождество типов структур, а не тождество соотносящихся
физических элементов. Напротив, некоторые важные свойства
времени не могут быть выражены геометрически, несмотря на
индефинитный тип метрики. Однако, если помнить об этих
ограничениях, геометрическим и наглядным представлением в
виде чертежей можно пользоваться всегда, поскольку они
объединяют строгий логический вывод с математической
элегантностью и ясностью.
§ 30. Замедление часов
В этом и следующем параграфе мы будем иметь дело с
двумя следствиями аксиом тел, которые дали повод
ошибочным интерпретациям и необоснованной критике.
Предположим, что двое часов U\ и \]ч установлены,
согласно эйнштейновскому определению (1, § 19), в некоторой инер-
211
и* О—»
"lO 0U2
Рис. 33. Замедление часов.
циальной системе К (рис. 33). Часы V с равной единицей
времени покоя (то есть, оставаясь в покое рядом с часами f/i,
они всегда показывали бы то же время, что и U\)
движутся в направлении стрелки со скоростью v. Если рядом
с U\ они показывают то же время, что и U\ (такое условие
требует только сравнения часов, расположенных рядом), то
какое время они будут показывать, достигнув часов £/2?
Согласно теории Эйнштейна, по отношению к часам U2 они
будут отставать.
Это утверждение называется также эйнштейновским
замедлением часов, согласно которому движущиеся часы идут
медленнее по отношению к времени системы, находящейся в
состоянии покоя.
El
Рис. 34. Различие между интервалом и координатой времени.
Геометрическая интерпретация этой проблемы возвращает
нас к соотношениям, указанным на рис. 19. Восстановим
рис. 19 в (рис. 34), с тем, однако, отличием, что в нашем
определении одновременности мы пользуемся не движущимися
часами, а сравниваем ее с одновременностью, полученной по
определению Эйнштейна. Горизонтальные линии соответствуют
теперь эйнштейновской одновременности. Более того, мы пред-
212
положим равномерное движение, то есть что мировая линия
Е\Е2 часов U' есть прямая линия. Согласно эйнштейновскому
выводу о замедлении часов, число секций, которые
движущиеся часы отмечают вдоль мировой линии Е\Е2у отличается от
числа контурных уровней, через которые они проходят.
Отношения, представленные на рис. 32, предлагают простое
объяснение. OQ есть период единичных часов. Событие Q\
одновременно с событием Q в соответствии с эйнштейновской
одновременностью, определенной в системе К. Когда
движущиеся часы достигают точки Qi, они еще не закончили своего
периода, который завершается только в точке Q'. Исходя из
этого, различие между классической и релятивистской теорией
времени в нашей геометрической интерпретации выражается
следующим образом: согласно классической теории времени,
движущиеся часы измеряют координатное время, а согласно
релятивистской теории, они измеряют интервал.
Какая из двух теорий истинна? Во всяком случае, различие
между интервалом и координатным временем достаточно
корректно. Различие между двумя теориями времени состоит в
чисто физическом утверждении. Невозможно определить
априори, что показывают движущиеся часы — координатное время
или интервал. Эпистемологически возможны оба
предположения. Какое из них соответствует реальности, покажет только
опыт.
Поэтому нельзя утверждать, что релятивистское замедление
часов непостижимо. Любое явление постижимо, вопрос только
в том, какое из них происходит в действительности. Ответ на
этот вопрос может дать не визуализация, а только
наблюдение. Релятивистская гипотеза может быть подтверждена
наблюдением над перемещающимися атомными часами, которые
действительно показывают эйнштейново замедление К
Классическая теория также основана на гипотезе, поскольку
утверждение, согласно которому часы, перемещающиеся вдоль Е\Е2
(см. рис. 34), отмечают контурные уровни, а не длину мировой
линии, является лишь физической гипотезой. Эта гипотеза
идентична принятию специфической одновременности, поскольку
передвигающиеся часы могут показывать временные различия
только для одной системы контурных линий, которая тем самым
будет отличаться от всех остальных.
Одним из возражений против релятивистской теории часов,
достаточно часто встречающимся в литературе и потому
заслуживающим обсуждения, является так называемый парадокс
часов. Часы V (см. рис. 33) отстают по сравнению с
временем в системе /С; достигнув часов U2t они показывают более
1 Я использую здесь эксперименты Г. Айвса (Н. Ives) по поперечному
эффекту Доплера в катодных лучах. По этому вопросу см. также [А], §23—
24.
213
раннее время, чем те. Предположим, что часы V прервали
свой путь в некоторое мгновение и повернули назад, чтобы
вернуться назад к часам U\. Время, затраченное на поворот
часов, можно игнорировать, поскольку оно пренебрежимо мало
по сравнению с временем, затраченным на путь туда и
обратно. То же замедление времени произойдет и на обратном пути,
поэтому V должны отставать, достигнув U\. Последнее
положение не зависит ни от определения одновременности для
системы /С, ни от поведения часов £/г. Отсюда мы можем
заключить, что если часы U' сначала движутся от часов £Л, а затем
возвращаются к ним, то по отношению к часам U\ они будут
отставать.
Может показаться, что, согласно теории относительности,
этот процесс может быть интерпретирован противоположным
образом. Будем рассматривать часы V как покоящиеся, а
часы U\ как движущиеся (влево), а затем возвращающиеся.
Отсюда нам следовало бы сделать вывод, что часы U\ отстают
относительно часов U', поскольку движущимися часами
являются часы Uu Такой результат противоречив, так как
сравнение расположенных рядом часов независимо от
определения одновременности покажет нам, какие из часов при
встрече отстают.
Это противоречие совершенно поразительно, и рассмотрение
двух утверждений — «при встрече часы U' отстают
относительно часов U\» и «при встрече часы U\ отстают относительно
часов U'» 1 — как совместимых, конечно, никак его не
разрешают. Сравнение двух часов не зависит от определения
одновременности. Если оба приведенных выше утверждения
считать истинными, то это противоречило бы фундаментальному
правилу теории относительности, согласно которому
точка-событие (совпадение) имеет объективное значение. Решить это
противоречие можно только в том случае, если мы докажем,
что один из как будто бы правильных выводов ошибочен.
В действительности таким выводом является второй.
Ошибка кроется в неверном понимании относительности, что
объясняется следующим образом. Согласно теории гравитации
(см. § 39), специальная теория относительности приемлема
только потому, что удаленные массы неподвижных звезд
(обозначенные на рис. 35 окружностью) определяют особое
метрическое поле. Если учитывать массы неподвижных звезд F} то
кажущаяся равноценность двух утверждений исчезает.
Согласно первому утверждению, движутся часы [/', тогда как
неподвижные звезды F и часы U остаются в состоянии покоя.
Согласно второму, часы V находятся в состоянии покоя, а часы
1 Таково мнение И. Петцольдта. См.: Р е t z о 1 d t J Die Stellung der
Relativitatstheorie in der geistigen Entwicklung der Menschheit. Dresden, 1921,
S. 104.
214
U и неподвижные звезды t — в состоянии движения.
Симметрия этих двух процесов устраняется: второй существенно
отличается от первого, так как эффект движения удаленных звезд,
которые порождают гравитационное поле в момент обращения
движения, является причиной замедления хода часов £/'.
Благодаря гравитационному полю часы [/' замедляют свой ход даже
в соответствии со вторым утверждением. Расчеты показывают,
что этот вывод количественно верен 1. Следовательно, ошибка,
порождающая парадокс, объясняется тем фактом, что
игнорировались существенные эффекты гравитации.
Рис. 35. Асимметрия парадокса часов.
Несколько слов о распространении эйнштейновской теории
часов на живые организмы. Для иллюстрации замедления
часов нередко прибегают к примеру с близнецами. Из двух
новорожденных близнецов один предпринимает космическое
путешествие со скоростью чуть ниже скорости света и возвращается
мальчиком, тогда как второй близнец тем временем
становится стариком. Этот вывод, который многие считают
абсурдным, на самом деле вполне реален и целиком
согласуется с теорией относительности. Подобный случай был описан
в поэме В. Мюллера «Монах из Хейстербаха». В ней
рассказывается о монахе, который отправился в паломничество и
через триста лет вернулся в свой монастырь, но там его никто
не признал. Так воображение поэта породило идею, которую
современная физика рассматривает как вполне возможную.
Утверждая, что теория относительности как физическая
теория применима только к физическим процессам, а не к живым
организмам, не следует забывать, что немало фундаментальных
физических принципов применимо непосредственно к живым
1 См., например: Kopff A. Grundzuge der Einsteinschen Keiativitatstheo-
rie. Leipzig, 1921, S. 117, 189.
215
существам- Галилееву закону падения тел падающий камень
подчиняется точно так же, как и падающее яйцо или
падающий человек. Законы тяготения, вообще говоря, применимы в
равной мере как к живым существам, так и к предметам. На
основании открытия сферической формы Земли тотчас же был
сделан вывод о том, что люди, живущие на противоположной
стороне этой сферической поверхности, обладают субъективным
чувством вертикального положения, ибо живым организмам
свойственно приспособление к физическому гравитационному
полю. Нечто подобное утверждает и теория относительности на
примере близнецов, а именно что живые организмы, как и
часы, приспосабливаются к метрическому полю.
Предположение о том, что они вели бы себя иначе, гипотетически не
оправдано, поскольку принцип, согласно которому временная
шкала естественных часов идентична временной шкале живых
организмов (насколько последняя вообще может быть
определена), есть один из древнейших принципов естествознания.
Пример с близнецами объясняется тем фактом, что в конечном
счете все живые организмы состоят из атомов. Если каждый
период обращения электрона внутри атома замедляется в
одинаковой степени под влиянием движения или метрического
поля, то физиологические явления должны были бы
обнаруживать такое же замедление, поскольку они проистекают из
интеграции множества атомных периодов.
§ 31. Лоренцево сокращение и
эйнштейново сокращение
Утверждению о поведении часов аналогично утверждение
теории относительности о поведении жестких стержней. Оно
гласит, что собственная длина стержня измеряет интервал. На
основе геометрической интерпретации на рис. 32 мы можем
легко установить, что это утверждение ведет к следствиям,
отличным от следствий классической теории пространства и
времени. Согласно классической теории, движущийся стержень
представлен не полосой между мировыми линиями OQ' и
S\S't но более широкой полосой, ограниченной слева OQ'} а
справа Si S'r Это соответствует классической теории, так как
длина движущегося стержня, измеренная в системе /С,
задается отрезком 05, и его длина покоя в системе К' была бы,
таким образом 0S'T Согласно теории относительности,
стержень имеет меньшую длину покоя OS' в системе /С7.
Это утверждение теории относительности основано, главным
образом, на опыте Майкельсона *, который доказывает, что
1 Но, разумеется, не еледует из одного лишь этого эксперимента. См.
также [А], § 21, 24.
210
стержни удовлетворяют требованиям определения
конгруэнтности в геометрии света (см. рис. 29), где
АВ = АС, когда АВА = АСА (1)
в каждой инерциальнной системе и для любой ориентации осей
координат. Согласно классической теории, уравнению (1)
удовлетворяет только одна из инерциальных систем, а именно
система, находящаяся в состоянии покоя относительно эфира. Во
всех других системах длина покоя одной из ветвей
координатных осей не удовлетворяет более уравнению (1). Поскольку
опыт Майкельсона был подтвержден с высокой степенью
точности, этот вопрос можно было бы считать решенным и
не имеющим никакого отношения к эпистемологическим
соображениям, если бы ему не давали обычно ошибочных
интерпретаций в дискуссиях о теории относительности.
Для того чтобы объяснить данный эксперимент, Лоренц
выдвинул предположение, что одно из плеч аппарата при его
движении относительно эфира сокращается пропорционально
величине Vl — (v2/c2)- Эйнштейн со своей стороны
рассматривал оба плеча как равные по длине в каждой инерциальной
системе и получил коэффициент сокращения совершенно иным
образом, как следствие относительного характера
одновременности. Возникло предположение, что сокращение одного из плеч
аппарата является ad hoc гипотезой, тогда как гипотеза
Эйнштейна представляет собой естественное объяснение, которое
является следствием относительности понятия одновременности.
Однако оба эти объяснения равно неверны. Относительный
характер одновременности никак не связан с сокращением в опыте
Майкельсона, и теория Эйнштейна столь же мало объясняет его,
как и теория Лоренца.
Возникшее предположение является неверным уже потому,
что сокращение плеча аппарата отмечается для движущейся
системы, относительно которой аппарат находится в состоянии
покоя. Эйнштейново сокращение объясняло бы сокращение
плеча, только если бы было измерено с точки зрения иной
системы, и, следовательно, недостаточно для объяснения опыта
Майкельсона. Этот эксперимент доказывает, что стержень,
который расположен вдоль направления движения, короче, чем
следовало бы согласно классической теории, если он измеряв
ется в системе, относительно которой покоится. Иными
словами, сравнение длин покоя движущихся стержней не следует
классической теории. Если бы существовала некая специальная
инерциальная система /, которую можно было бы
рассматривать как систему, находящуюся в состоянии абсолютного
покоя, и если бы мы имели в этой системе два одинаковых по
длине жестких стержня, один из которых вел бы себя
согласно классической теории, а другой — согласно теории Эйн-
217
штейна, то эти стержни перестали бы быть равными по длине
при перенесении их в другую инерциальную систему S, если
бы они были расположены вдоль направления движения
системы S. Эйнштейновский стержень оказался бы короче.
Различие могло быть замечено в системе S как различие между
их длинами покоя, а в любой другой системе — как различие
между длинами движущихся стержней. Теория Эйнштейна, как
и теория Лоренца, предполагает, следовательно, что поведение
жестких стержней измеримо отличается от их поведения
согласно классической теории, но это различие не имеет
никакого отношения к определению одновременности.
На мои предшествующие замечания по этому вопросуJ
было высказано возражение, что невозможно сравнивать две
величины, принадлежащие двум различным теориям. Это
возражение неправильно. Путем соотнесения с третьим телом мы
можем осуществить сравнение, если высчитаем, как ведут себя
две рассматриваемые величины в сравнении с третьим телом.
Более того, этот способ часто используется в физике. Мы
можем сказать, например, что газ под высоким давлением ведет
себя по-иному, чем это предписано законом Мариотта. Это
означает, что реальный газ g, когда он сжат до определенной
степени, занимает больший объем, чем газ G, который
удовлетворяет соотношениям Бойля — Мариотта. Третье тело,
используемое в этом сравнении, есть измерительный стержень,
определяющий объем. Третье тело не всегда упоминается явно,
часто применяются сокращенные формулировки, потому что
различие в реальном поведении подразумевается достаточно
ясно. Сокращение Лоренца, конечно, должно рассматриваться
как реальное различие в этом смысле. В данном случае ter-
tium comparationis (третьим сравниваемым) является свет,
который с помощью определений геометрии света дает стандарт
для возможного сравнения стержней различных теорий.
Однако было бы неверно сказать, что эйнштейново сокращение
является кажущимся различием. Оно не имеет ничего общего с
различием между реальным и кажущимся, но вытекает из
различия в условиях измерения. Мы будем говорить о метрогени-
ческом различии, потому что это различие коренится в природе
измерения. Поскольку же мы особо интересуемся
кинематическими условиями измерения, мы будем говорить о метрокине-
матическом различии.
Мы указывали ранее, что длина любого стержня не есть
стержень сам по себе, но его логическая функция. Это есть
число, соотносимое со стержнем и выражающее его отношение
к другим стержням. Этот процес соотнесения зависит от
определенных специфических условий. При обсуждении понятия
длины движущегося стержня (§ 25) мы подчеркивали, что
1 См.: «Zeitschrift fur Physib, 1925, v. 34, S. 44f.
218
сопоставляемая длина / зависит от одновременности s, так же
как и от скорости v. Поэтому следует ожидать, что / будет
изменяться с изменением параметров s и v. Это различие
внутренне присуще самой системе кинематики. Точно так же
как мы говорили о различиях в перспективе в
предшествующем примере относительно угла зрения, мы можем говорить
здесь о метрокинематических различиях. Стержень без каких-
либо изменений в нем самом подчиняется различным
кинематическим условиям измерения и будет поэтому указывать
разные размеры в рамках одной непротиворечивой теории.
Для лоренцева сокращения ситуация оказывается иной,
Здесь стержни сравниваются при одинаковых условиях
измерения, которые соотносятся с различными теориями. Здесь мы
сталкиваемся с конфликтующими эмпирическими
утверждениями, поскольку теории исключают одна другую. Один и тот же
жесткий стержень ведет себя по-разному при одинаковых
условиях измерения в зависимости от того, верны ли теории
Лоренца и Эйнштейна, с одной стороны, либо классическая
теория — с другой. Поэтому мы говорим о реальном различии,
когда сравниваем реальное поведение объектов с их
возможным поведением. В объяснении опыта Майкельсона это
реальное различие существует как между классической теорией и
теорией Эйнштейна, так и между классической теорией и
теорией Лоренца. И в то же время между теориями Эйнштейна
и Лоренца нет никакого различия. Обе они утверждают
состояние дел, сформулированное в уравнении (1), тогда как
классическая теория в этом отличается от них. Понятие
одновременности не имеет отношения к этой проблеме.
Было бы разумным поэтому не использовать одно и то же
название для двух «сокращений». Эйнштейново сокращение
является результатом относительного характера одновременности
и сравненния длины движущегося стержня с длиной стержня
в состоянии покоя. Лоренцево сокращение вытекает из
сравнения длины жесткого стержня, удовлетворяющего опыту
Майкельсона, с той длиной стержня, которая определяется согласно
классической теории. В силу случайного совпадения оба
сокращения имеют один и тот же коэффициент сокращения
д/l — (у2/с2), поэтому, вероятно, их часто смешивают между
собой. Однако означают они нечто совершенно различное.
Наряду с эйнштейновым сокращением теория Эйнштейна включает
в себя также и лоренцево сокращение, которое она «объясняет»
столь же мало, как и теория Лоренца. Оно просто принимается
аксиоматически.
В чем состоит различие между теориями Эйнштейна и
Лоренца? Чтобы ответить на этот вопрос, проследим, в чем
различие двух следующих утверждений:
а) длина покоя движущегося стержня отличается от длины
покоя покоящегося стержня;
219
б) длина покоя движущегося стержня отличается от длины
покоя другого стержня, который движется совместно с ним, но
удовлетворяет классической теории.
Утверждение б) является верным. Это было доказано опытом
Майкельсона и некоторыми другими предположениями. Мы
будем называть его лоренцевым сокращением. В геометрическом
представлении ему соответствует различие между отрезками
OS' и OS'2 (см. рис. 32). Утверждение а) в том виде, как оно
сформулировано, не является ни истинным, ни ложным. Его
истинность зависит от координативной дефиниции для
сравнения длин покоя движущихся отрезков (см. § 25). В
геометрическом представлении утверждение а) означает сравнение OS' и
OS. Видимо, Лоренц полагал, что утверждение а) следует из
утверждения б). Однако такое предположение было бы
эпистемологической ошибкой. Теория Эйнштейна отклоняет вывод
Лоренца и, признавая существование некоторой координативной
дефиниции, рассматривает две длины покоя, упомянутые в
утверждении а), как равные. Сторонники теории
относительности иногда упускают из виду, что утверждение б) является
тем не менее верным. Отсюда следует, что теория Эйнштейна
также содержит предположения о сокращении, независимом от
относительной по своему характеру одновременности, а именно
лоренцевом сокращении. Однако наряду с этим она
предполагает различие между длиной покоя и длиной движущегося
отрезка, иными словами, эйнштейново сокращение.
Если мы говорим, что равенство двух коэффициентов
сокращений «случайно», то это означает, что оно зависит от
определенных предпосылок, и тем не менее между ними
существует теоретическая связь. Может быть доказано, что они
всегда должны быть равны, если, и только если,
преобразования являются линейными. Доказательство следующее. Пусть
/ будет стержень, поведение которого соответствует теории
Лоренца или Эйнштейна, a L — стержень, который ведет себя
согласно классической теории. Их длины покоя в системе К
равны или lkK = L^ (где верхний индекс обозначает систему, в
которой осуществляется измерение, а нижний — систему, в
которой стержень покоится). Лоренцево сокращение,
следовательно, связано с отношением
тогда как эйнштейново сокращение связано с отношением
/с * Kf I '
Согласно классической теории, мы имеем Щ-, = L* (это
сравнение использует одновременность в системе К и не зависит от
одновременности в системе К\ а поскольку /£ = L5, то мы по*
220
лучаем Z,£, = /£. Отношение (3) поэтому равно отношению
К! * К' * ^
По причине линейности преобразования (и только поэтому)
отношение (4) равно отношению (2), а это означает, что
отношение (3) также равно отношению (2).
С другой стороны, отношение
К ' К' * ' '
которое равно отношению (3), согласно пробразованиям
Лоренца, может быть совершеннно иным, даже если мы
применяем линейные преобразования. Этот факт позволяет нам
построить пример, предполагающий эйнштейново сокращение, но
исключающий лоренцево. Если жесткие тела будут вести себя
не подобно / в релятивистском смысле, но подобно L в
классическом смысле, это сделает невозможным лоренцево
сокращение; однако эйнштейново сокращение при переходе от К' к К
также будет исчезать, поскольку
L*:I*=1. (6)
Если тем не менее определить одновременность в системе
К' согласно Эйнштейну, положив е = 1/2 (см. 2, § 19), то
обратное сравнение от К к /С' будет обнаруживать эйнштейново
сокращение
^к • К' = fi2~ ' (')
величина которого есть квадрат величины лоренцево-эйнштей-
нова сокращения. Это доказательство поясняет
фундаментальное различие между двумя сокращениями.
Это различие, возможно, наиболее заметно в
геометрическом представлении (см. рис. 32). Преобразования Лоренца
утверждают, что OS' короче, чем OS'2, поскольку OS' = fe, а
OS'2 = L£,. Эйнштейново сокращение утверждает, что OS\
короче, чем 05, поскольку 0S{ = /$,, a OS = l*. Легко
можно показать, что второе утверждение есть следствие
первого, потому что, согласно релятивистской теории времени,
стержень представлен более узкой полосой. Даже если бы
классическая теория была правильной и стержень
представлялся бы более широкой полосой, то OS'3 = LK' был бы все
же короче, чем OS'2 = L% (SS'3 параллельна 0Q и эти две линии
являются границами мировой полосы стержня в состоянии
покоя в системе /С). Это означает, что для К' существует
эйнштейново, но не лоренцево сокращение.
Другим примером эйнштейнова сокращения без лоренцева
сокращения является случай, когда стержни ведут себя
подобно L, то есть нет лоренцева сокращения, но одновременность в
221
системе К определяется не согласно Эйнштейну (е = 1/2), а по-
иному. Это делает L£,: L^-ФХ. Данный пример, который
использовался подобным же образом в § 25, где мы обсуждали
зависимость длины движущегося отрезка от определения
одновременности, делает, в частности, ясным, что эйнштейново
сокращение есть метрогенический феномен. В геометрическом
представлении это означает, что мы можем выбрать в качестве
длины различным образом направленные сечения через
мировую полосу стержня. С другой стороны, геометрическое
представление на рис. 32 показывает, что через различия в ширине
полосы лоренцево сокращение указывает на различия в
реальном поведении стержня. Эти соображения также объясняют,
каким образом оказывается возможным сравнивать стержни /
и L, хотя физически реализуется только один из них. Отрезок
05 один и тот же в обеих теориях. Классическая теория
утверждает, что правая граница полосы, параллельная 0Q\
должна быть проведена через точку 5, тогда как новая теория
помещает границу вдоль касательной к гиперболе, которая
проходит через 5.
Если проложить наше объяснение, то нужно прежде всего
отметить, что путаницу в проблему часто вносит употребление
самого слова «сокращение». Это слово привело к ошибочному
применению принципа причинности. Стремясь найти причину
сокращения, некоторые философы и физики полагали, что
должна быть найдена также причина различия между величинами.
Эта концепция приписывала преимущественное положение
одной теории, а именно классической теории, законам которой
физические объекты должны удовлетворять без каких-либо
причин, тогда как причины несут ответственность лишь за
отклонения от этого поведения. Проблема причинности должна
быть поставлена в иной форме: если мы ищем каузального
объяснения, то мы должны спросить, почему происходит так,
что измерительные стержни и часы приспосабливаются к
некоторым преобразованиям, определяемым с помощью геометрии
света? Эта каузальная проблема тождественна с вопросом,
приспосабливаются ли измерительные стержни и часы к
релятивистским или классическим преобразованиям. Слово
«приспособление» (Einstellung), которое было впервые применено
в этой связи Вейлем (ср. § 39), очень точно характеризует
проблему. Не может быть случайным то, что два
измерительных стержня, которые имели одинаковую длину в одном месте,
имеют ту же самую длину, когда переносятся в другое место
по разным траекториям. Это должно быть объяснено как
приспособление к полю, в которое они помещены, подобно
пробным телам. Точно так же как стрелка компаса
приспосабливает свое направление к магнитному полю своего
непосредственного окружения, так и измерительные стержни и часы
приспосабливают свои единицы длины к метрическому полю.
222
Именно так должны объясняться все метрические отношения
между физическими структурами, включая опыт Майкельсона,
согласно которому жесткие стержни приспосабливаются
определенным способом к движению света. Ответ может быть дан
только в обстоятельной теории материи, которая пока еще не
разработана. Она должна объяснить, почему аккумуляция
плотности в некоторых частях поля, электронах и подобных им
частицах, непосредственно обусловливает метрику
окружающего поля. Слово «приспособление» скорее ставит проблему, а
не дает ее решения. Существующая ситуация формулируется
строгим образом аксиомами тел без применения слова
«приспособление». Если бы эта теория материи была точно
сформулирована, мы могли бы объяснить метрическое поведение
физических структур. Но пока мы столь же мало можем
говорить об объяснении этого в теории Эйнштейна, как и в теории
Лоренца и в классической теории.
В чем преимущество теории Эйнштейна перед теорией
Лоренца? Было бы ошибкой утверждать, что теория Эйнштейна
дает объяснение опыту Майкельсона, поскольку она этого не
делает. Опыт Майкельсона просто принимается как некая
аксиома. Однако теория Эйнштейна превосходит теорию
Лоренца в силу того, что она отвергает поиски объяснения опыта
Майкельсона с помощью «сокращения». В подобного рода
объяснении, предлагаемом теорией Лоренца, и состоит ее
слабость. Она предполагает, что классические отношения
«самоочевидны», и ошибочно постулирует, что любое отклонение от
этих отношений должно иметь причину. Теория Эйнштейна
использует произвольный характер координат иеной дефиниции
для сравнения длин покоя движущихся отрезков и называет
два стержня равными, если они ведут себя сообразно опыту
Майкельсона. Преимущество теории Эйнштейна состоит в
признании эпистемологической законности данной процедуры.
§ 32. Принцип постоянства
скорости света
Наконец, мы должны упомянуть в этой связи постоянство
скорости света как еще одно утверждение теории
относительности, которое, как считается, невозможно наглядно
представить себе. Утверждение о том, что один и тот же световой
импульс может рассматриваться как сферическая волна по
отношению к системам, находящимся в различных состояниях
движения, представляет собой только кажущееся противоречие.
Оно разрешается, если мы вспомним, что волновая поверхность
есть не материальная поверхность, а идеальная структура,
воплощенная в процессе распространения. Следовательно, ее фор-
223
ма зависит от природы ее построения, которая обусловлена
методом измерения длины и, следовательно, определением
пространственной конгруэнтности, а также определением
одновременности. Поскольку мы имеем дело с поверхностью
движущейся структуры, измеряемой с позиций покоящейся
системы, ее форма может рассматриваться как одновременная
проекция на данную покоящуюся систему Если изменяется
определение одновременности, то изменяется и форма
проекции, а если преобразования Лоренца предполагают
специфическое определение одновременности для каждого состояния
движения, тогда форма каждой одновременной проекции легко
может быть сделана сферической для каждого состояния
движения. Если утверждают, что невозможно себе представить
наглядно один и тот же световой импульс в форме
сферической волны для каждой из двух систем, находящихся в
различных состояниях движения, то мы отвечаем, что это
кажущаяся невозможность вытекает из неявно вводимых
предположений, игнорирующих требования теории. В самом деле, теория
не говорит, что волновые поверхности в этих двух системах
состоят из одних и тех же точек-событий, напротив, каждая
волновая поверхность при сравнении с поверхностью другой
системы представляет «моментальную фотографию» движения
света.
Нам следует вспомнить § 26, где мы показали, что
каждый центрально-симметричный процесс распространения (и не
только света) представляет собой некую индефинитную
структуру и что она сама по себе не может определять состояние
движения своего центра; эта задача решается только при
дополнении ее определением одновременности. Там же мы
показали, что распространение одного и того же светового
импульса может пониматься либо как система концентрических сфер,
либо как система эксцентрических сфер, центры которых
движутся с постоянной скоростью. Определение одновременности,
использованное в § 26, не было определением одновременности
преобразований Лоренца, потому что мы определяли
одновременность с позиций системы, относительно которой эти центры
находились в состоянии движения Если определение
одновременности задается с позиций движущейся системы, то
сферическая поверхность будет получена при применении
эйнштейнова определения с е = 7г, поскольку, согласно этому
определению, скорость света равна во всех направлениях.
Поэтому ядром принципа постоянства скорости света
является не утверждение, что свет можно рассматривать как
сферическую волну в каждой движущейся системе. Эта часть
принципа выражает лишь общее свойство всех
центрально-симметричных процессов распространения. Физическое содержание
этого принципа составляет скорее утверждение об уникальных
свойствах процессов распространения света. Поэтому мы бы го-
224
ворили о принципе уникальности света. Этот принцип состоит
как бы из двух частей.
Первая часть касается принципа предельного характера
скорости света. Согласно этому принципу, свет обладает
наивысшей скоростью и идентичен первому сигналу, которому
было дано определение в § 22. Это утверждение, которое
относится к аксиомам света, не есть некое произвольное
предположение, но физический закон, основанный на опыте. Утверждая
это, физика не впадает в заблуждение, когда отсутствие
знания считается доказательством знания чего-то прямо
противоположного. Не отсутствие знания о более быстрых сигналах,
но позитивный опыт учит нас, что скорость света не может быть
превышена. Для всех физических процессов скорость света
обладает свойством бесконечной скорости. Для того чтобы сообщить
телу скорость, равную скорости света, требуется бесконечное
количество энергии, и именно поэтому физически невозможно,
чтобы какое-нибудь тело достигло этой скорости. Этот результат
был подтвержден измерениями, которые проводились над
электронами. Кинетическая энергия точечной массы растет
быстрее, нежели квадрат ее скорости, и становится бесконечной
для скорости, равной скорости света. Мы не можем сказать, что
этот вывод является логически необходимым. Возможны или
нет физические скорости, имеющие конечный более высокий
предел, может быть решено только опытом. Если наблюдения
говорят о существовании некоторого предела, мы обязан^
признать его, а не пребывать в бесплодной надежде на то, что
когда-нибудь могут быть обнаружены более высокие скорости.
Разумеется, наука сделала множество таких открытий, о
которых никогда не думали раньше, но это были главным образом
действительно новые открытия, а не те, которые
противоречили бы ранее установленным законам. Правда, такое
опровержение всегда может произойти, и тогда нам придется
допустить, что прежний научный закон был неверен. Однако такая
возможность не должна препятствовать нашей вере в
справедливость научных законов до тех пор, пока они подтверждаются
опытом.
Между прочим, сделать предельный характер скорости
света весьма правдоподобным можно довольно просто. Свет
представляет собой лишь небольшую часть бесконечного
спектра электромагнитных волн, и все они имеют одну и ту же
скорость. Согласно современному состоянию научной теории,
электромагнитные волны являются архетипом передачи
причинных воздействий. Все другие формы причинных процессов,
например распространение волн упругости в жестком теле или
электрический ток, сводимы к электромагнитным процессам *.
1 Исключение составляет распространение гравитационных сил, которые,
однако, согласно Эйнштейну, также передаются со скоростью света.
Q25
Представляется правдоподобным, что каузальные процессы,
состоящие из множества таких элементарных процессов, должны
распространяться медленнее, чем электромагнитные процессы.
Например, столкновение отдельных электронов может вызвать
замедление. Однако трудно представить себе, чтобы такая
сложная передача причинных взаимодействий вела к их
ускорению. Отсюда следует, что современная физика имеет
существенные позитивные основания для утверждения о том, что
скорость света есть предельная скорость распространения всех
причинных взаимодействий.
Вторая часть принципа уникальности света может быть
сформулирована как принцип метрической уникальности света.
Она содержит утверждение, что естественная геометрия
световых лучей, геометрия света, есть одновременно геометрия
жестких тел и часов. Это утверждение обозначается
Эйнштейном как «принцип постоянства скорости света». Согласно этому
принципу, скорость света постоянна, даже если метрика
пространства — времени определяется посредством стержней
и часов. Только такая формулировка придает принципу
завершенность и ясно выражает его физическое значение. Она
утверждает соответствие между геометрией света и геометрией
тел и делает очевидной эмпирическую природу данного
принципа. Терминология Эйнштейна, однако, может привести к
ошибочному пониманию. Физика не может утверждать, что скорость
света постоянна, поскольку мера скорости содержит некоторый
произвольный элемент в определении одновременности.
Допустимо только утверждать, что скорость света может быть
определена как постоянная, и это не ведет к противоречиям.
Однако слово «может» содержит далеко идущее утверждение
относительно физической реальности, а именно что геометрия
света и геометрия тел тождественны. Поэтому более
адекватным было бы говорить о принципе метрической уникальности
света.
Иногда против относительного характера одновременности
выдвигается возражение, которое состоит в том, что
определение Эйнштейна могло быть дано с таким же успехом, если бы
в нем использовались другие сигналы, например такие,
как звук. Это верно. Использование других сигналов
оправдывается полной относительностью одновременности, то есть
возможностью выбора для г любого значения между 0 и 1.
Однако не следует полагать, что эта геометрия звука имеет
столь же уникальный характер, как и геометрия света.
Геометрия звука не была бы ни идентичной с геометрией часов и
стержней, ни исключающей скоростей выше скорости звука.
В силу последнего факта одновременность, как она
определяется в этом случае, вела бы к противоречиям в рамках
причинного определения временного порядка, поскольку скорости
сигналов, используемых в ней, выше, чем скорость звука, Осо
226
бые свойства света не являются следствиями теории
относительности, но ее предпосылками. И наоборот, эти
эмпирические факты придают физический смысл релятивистскому
пространству — времени, ибо они делают геометрию света
естественной геометрией физики.
Э. Кон построил очень наглядную и поучительную модель
преобразований Лоренца \ которая правильно и очень четко выявляет все отношения, и
прежде всего относительный характер одновременности. Модель представляет
скорость света в некоторой редуцированной шкале, и поэтому для двух
движущихся систем выбираются такие единицы, которые не совпадают, если их
перевести в одно и то же состояние движения. Эти построения увеличивают
иллюстративную силу модели, поскольку весьма эффективно демонстрируют
уникальность света. Эпистемологические возражения, выдвинутые И. Петцоль-
дом 2, совершенно неосновательны.
Принцип уникальности света является одним из
фундаментальных предположений теории относительности. Его характер
как физического, а не как эпистемологического
предположения должен быть осознан, прежде чем будет обоснована
пространственно-временная доктрина теории относительности. Его
разделение на две части также является важным для
физической теории, поскольку только первая часть — принцип
предельного характера скорости света — сохраняется в общей
теории относительности. Вторая часть — принцип метрической
уникальности света — имеет силу только в специальной теории
относительности, в то время как в общей теории
относительности от него постепенно отказываются, что и будет показано в
§ 38 и 41—42.
§ 33. Теорема
сложения скоростей
Обратимся, наконец, к рассмотрению проблемы сложения
скоростей, которая решена в теории относительности с помощью
особой теоремы Эйнштейна. Если тело имеет в одно и то же
время две скорости, то как могут быть они сведены в одну
результирующую скорость? Этот вопрос имеет важное значение
потому, что он также касается проблемы разложения скорости
на ее компоненты; сведение этих компонент скорости в некую
результирующую скорость является лишь специальным случаем
теоремы сложения скоростей, в которой индивидуальные
скорости перпендикулярны друг другу. Мы должны исследовать, в
какой степени сложение скоростей может быть выведено
логически и в какой степени это дело опыта.
1 См.: Cohn Е. Physikalisches uber Raum und Zeit, Teubner, 1910, и no»
следующие издания.
2 См.: «Verh. d. d. phys. Ges.», 1919, S. 495.
227
Прежде всего сформулируем проблему более точно. Что эта
означает, когда говорят, что тело имеет две скорости в одно и
то же время? Очевидно, что это выражение весьма
неопределенно. Мы можем сказать, например, что тело имеет в одно
-> •>
время скорость и, а в другое время скорость vy какова будет
->
скорость w9 если тело одновременно обладает обеими
скоростями? Этот вопрос возвращает нас к первому вопросу, поскольку
мы используем здесь выражение «одновременно обладает».
Поэтому предпочтительнее поставить обратный вопрос: тело
имеет скорость w, и мы ставим вопрос, каким образом эта
скорость может быть разложена на две компоненты.
Мы можем продолжать следующим образом, при условии что
мы рассматриваем только равномерное прямолинейное
движение; все другие движения сводимы к нему в бесконечно
малой области. Пусть тело движется от точки Р0 к точке Pi со
скоростью и} а от Pi к Р2 со скоростью v в другом
направлении. Для каждого из этих путей используется один и тот же
временной интервал At. Если мы в другое время посылаем это
—>
тело непосредственно из Ро в Р2 со скоростью w, такой, что
тело использует тот же самый интервал At, который ранее
требовался для отдельных частей пути, то мы можем сказать, что
это тело имеет одновременно скорости и и v. Теперь мы дали
определение того, что означает «имеет одновременно», и можем
логически вывести теорему сложения векторов
u-\-v = w. (1)
В этой форме теорема сложения скоростей логически
непротиворечива, и в то же время оправдывает разложение скорости
на ее компоненты. Компоненты данной скорости определяются
посредством общей скорости таким же образом, как и индиви-
дуальные скорости и и v были определены с помощью скорости
т. Закон для компонент скорости, который является
специальным случаем закона (1),есть, следовательно, дело чистой логики.
Мы можем также придать выражению «имеет
одновременно» совершенно иной смысл, который имеет непосредственную
физическую интерпретацию. Для этой цели мы используем
вспомогательную систему К' при исходной системе отсчета /С.
Пусть К' имеет скорость и относительно К, и пусть данное тело
—^
имеет скорость v относительно системы К'. Какую скорость w
имеет это тело по отношению к системе R} Точнее говоря, ка-
ким образом его скорость w относительно К вычисляется ив
скоростей и и v?
Совершенно очевидно,,что ответ на этот вопрос будет
зависеть от определений измерений длины и одновременности в
223
двух системах К и К'. Предположим, что эти два измерения
определяются некоторым образом в системе К', и, следователь-
->
но, данное тело имеет скорость v по отношению к системе К'.
Его скорость относительно системы К будет тогда w. Если мы
изменяем определения для двух измерений в К' и снова рассма-
—^
триваем тело, которое имеет скорость v относительно
системы К', то это тело будет иметь состояние движения,
отличающееся от первого состояния, и, следовательно, будет иметь иную
->
скорость — ш* — относительно системы К. Следовательно, ее
-> -> ->
скорость w* должна высчитываться с помощью и и v иначе,
чем скорость w первого тела. Мы можем поэтому
сформулировать теорему сложения, соответствующую второму значению
выражения «имеет одновременно», только в том случае, если
установим, каким образом измерения длины и времени должны
быть осуществлены в К и /('.
Легко можно показать, каким образом должны выполняться
эти измерения, чтобы была получена теорема сложения (1). Для
получения этого результата необходимы следующие условия:
1. Одновременность и мера времени в системе К' должны
быть определены таким образом, чтобы каждые часы в
системе К! всегда показывали то же время, что и часы в
системе /С, мимо которых они движутся в этот момент.
Иными словами, время системы К' идентично времени системы /С
2. Длина отрезка V в системе К' должна измеряться тем
отрезком / системы К, который является проекцией длины V
на систему К на основе одновременности, определенной для
системы К. Иными словами, измерение длины в системе К'
идентично измерению длины в системе К.
Легко можно показать, что теорема сложения векторов (1)
логически следует из этих условий, поскольку они определяют
так называемые галилеевы преобразования
*а = < + UJ> а =35 U 2, 3, / - /', (2)
в которых компоненты иа вектора и определяются согласно
указанному выше правилу *.
Для релятивистской теории пространства и времени
проблема ставится совершенно по-иному. Она определяет меру
времени, одновременность и измерение длины в системе К' иным
способом, выдвигая требование, чтобы релятивистская
геометрия света была установлена в системе К', так же как и в
системе К. Поскольку это требование эквивалентно применению
преобразований Лоренца для перехода от одной системы к дру-
1 См. [А], § 14—15, где преобразование Лоренца выводится через
преобразование Галилея и где объясняется, что различие между преобразованиями
является только дефинициальным.
229
гой, то для релятивистской геометрии света мы получаем иную
теорему сложения скоростей. Эту теорему можно вывести из
преобразований Лоренца. Мы представим здесь для простоты
случай, когда скорости и и v имеют одинаковое направление К
w = ! . (3)
с4
Подобно теореме сложения скоростей (1), данная теорема
логически необходима, но основывается на иных предпосылках.
Мы можем, следовательно, рассматривать сложение
скоростей как эмпирический результат, если мы определяем метрику
в системе К' не с помощью геометрии света, а с добавлением
часов и жестких стержней. Тогда теорема (3) гласит: если
длины и временные интервалы измеряются в системах К и К'
с помощью одного и того же вида естественных часов и
стержней и если одновременность определяется для обеих систем
согласно формуле Эйнштейна (см. 1, § 19), тогда теорема
сложения скоростей (3) имеет силу для второго типа определения
выражения «имеет одновременно» две скорости. Это есть,
очевидно, некоторый эмпирический закон, поскольку он касается
поведения часов и стержней, которое не может быть определено
априори. С другой стороны, ясно, что такой закон не имеет
никакого иного содержания, кроме содержания, выраженного
соответствием между геометрией света и геометрией тел. Данной
формулировкой мы исчерпали эмпирическое содержание
релятивистской кинематики, насколько это относится к
измерительным инструментам.
Наконец, сохраняя второе значение выражения «имеет
одновременно» две скорости, мы можем дать теореме сложения
скоростей иную интерпретацию, используя следующее правило
для установления меры скорости в системе /('. Установим в
системе К механизм, который с помощью выстрела будет прида-
вать телу скорость vy например пушку с пороховым зарядом.
Если эта пушка перемещается в систему К' и стреляет, то мы
—^
можем сказать, что снаряд имеет скорость v относительно К'.
Поскольку система К' движется со скоростью и относительно /С,
-> -> ->
то как можно подсчитать w из и и v7 Скорость в системе К!
определяется не часами и стержнями, но переносом
стреляющего механизма. Следовательно, возникает вопрос: какому
определению пространственно-временной метрики в системе К
соответствует это устройство?
Релятивистская механика утверждает, что эта ситуация
соответствует релятивистским определениям для измерений в
системе К\ тогда как классическая механика утверждает, что
1 Более общий случай рассмотрен в работе: L a u е М, v. Relativists-
prinzip, vol. I. Braunschweig, 1913, p. 46.
230
оно согласуется с теми определениями для измерений в системе
К', которые связаны со сформулированными выше условиями
(1) и (2) (с. 229). Это два совершенно различных утверждения
о мире. Теория относительности утверждает, что при одних и
тех же физических условиях в системе К' будет получена одна
и та же скорость, согласно релятивистской метрике, тогда как
классическая теория утверждает, что соответствующая скорость
является той же самой, только если измерение в системе К
осуществляется согласно правилам (1) и (2). Для теории
относительности релятивистская метрика К' есть нормальная система.
Этот анализ привносит дополнительное физическое
содержание в уравнение (3); объединение скоростей, порождаемых
рядом физических механизмов, удовлетворяет теореме сложения
(3). По этой причине повторение операции со стреляющим
механизмом никогда не приведет к скорости света, хотя каждый
выстрел из уже движущегося механизма будет увеличивать
скорость. Скорости будут приближаться к скорости света
асимптотически, этот результат может быть выведен из
уравнения (3) с помощью простых расчетов К
Последнее утверждение идет дальше релятивистских
утверждений о пространстве и времени в узком смысле и ведет
в область релятивистской физики, следовательно, принцип
относительности содержит утверждение не только об
инструментах для измерения пространства и времени, но также и о всех
физических феноменах вообще. Исследование этого аспекта
теории относительности выходит за пределы того круга
проблем, которым посвящена данная книга. Здесь мы
ограничиваемся проблемами пространства и времени.
В. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ
МНОГООБРАЗИЯ
С ГРАВИТАЦИЕЙ
§ 34. Относительность
движения
Переходя к рассмотрению проблемы движения, мы
обратимся к трактовке проблемы пространства, исторически гораздо
более ранней, чем геометрическая трактовка этой проблемы.
Если последняя начала формироваться лишь после создания
неевклидовой геометрии в начале XIX века, то относительность
движения привлекала внимание еще во времена Ньютона и
Лейбница. Раскол между релятивистами и антирелятивистами
1 Легко можно показать, что если и < с и v < с, то, следовательно, и
w < л
231
существовал уже в те времена, когда широко известная
переписка между Лейбницем и Кларком \ последователем Ньютона,
составляла предмет обсуждения их современников. Тот, кто
читает эти письма сегодня, находит в них много аргументов и
возражений, которые известны ему из современных дискуссий
о проблеме движения.
То, что относительность движения имела защитников еще в
столь давние времена, объясняется ее очевидностью. Движение
есть изменение положения, однако ясно, что оно не может
наблюдаться, если не является изменением положения
относительно какого-то тела, а не некоей идеальной точки
пространства. При таких обстоятельствах вряд ли имеет смысл говорить
об абсолютном движении или о движении относительно
пространства, если может наблюдаться лишь движение относительно
других тел. Различение того, что может наблюдаться, и того,
что существует, представляется на первый взгляд разумным, но
оказывается довольно сомнительным при тщательной проверке.
Очевидно, что не имеет смысла постулировать различия в
объективном существовании, если они не соответствуют различиям
в наблюдаемых явлениях. Лейбниц выразил эту идею в
принципе тождества неразличимых и выводил из него теорию
относительности движения, которая и сейчас составляет основу
теории относительности. Согласно этому принципу, движение тел
существует только относительно других тел; невозможно
выделить одно из этих тел как находящееся в состоянии покоя,
потому что покой означает не что иное, как покой по отношению
к другому телу, то есть сам покой есть относительное понятие.
Мы будем называть эту концепцию кинематической
относительностью. Движение как кинематический процесс, как изменение
в пространственных расстояниях относительно, поскольку все
кинематически наблюдаемые феномены можно считать одними
и теми же независимо от того, предполагаем ли мы, что то или
другое из двух тел находится в состоянии покоя. Космологии
Коперника и Птолемея кинематически эквивалентны. Обе они
представляют собой описание одних и тех же фактов, и
птолемеевы эпициклы планет являются кинематическими
эквивалентами круговых орбит Коперника.
Однако даже эти ранние дискуссии о проблеме движения
уже имели дело с вопросом другого рода — с динамической
проблемой движения. Именно Ньютон — отец механики ввел в
круг обсуждения иные критерии движения, отличные от
кинематических. Открыв количественное соотношение между
производящими движение силами и такой кинематической величиной,
как ускорение, он смог в свою очередь использовать силу как
меру ускорения и тем самым состояния движения. Поэтому
Ньютон отрицал относительность движения. Он не считал, что
1 См.: Лейбниц Г. В. Переписка с Кларком.-—В: Лейбниц Г. В.
Соч., т. I. М., 1982, с. 430—628.
282
все наблюдаемые явления одинаковы, если мы рассматриваем
то или другое из двух тел как покоящееся, и что, как только в
сферу наших наблюдений включаются динамические явления,
сразу же возникают различия. Измерение действия силы
позволяет, следовательно, определить состояние движения
относительно пространства. Это привело Ньютона к понятию
абсолютного пространства, которое «по самой своей сущности,
безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда
одинаковым и неподвижным»1. Он, конечно, осознавал трудности,
заключенные в высказывании о таких нереальных структурах
или «относительных количествах», которые «не суть те самые
количества, коих имена им обычно придаются, а суть лишь
результаты измерений сказанных количеств (истинные или
ложные), постигаемые чувствами и принимаемые обычно за самые
количества»2. С помощью своего основного закона динамики
сила = масса X ускорение
он смог указать на другие средства, позволяющие определить
движение относительно пространства и в то же время
установить существование самого абсолютного пространства. Если мы
наблюдаем относительное или «кажущееся» движение тела, то
есть его движение относительно наблюдателя, и измеряем
действующую силу, то мы можем рассчитать абсолютное движение
тела. С помощью законов динамики мы можем, следовательно,
определить состояние движения относительно ненаблюдаемого
абсолютного пространства с помощью наблюдаемых явлений.
Ньютон развивал эти идеи, главным образом ссылаясь на
вращение. Если мы вообразим диск, вращающийся в пустом
пространстве, то кинематически невозможно определить
состояние его движения. Это, однако, становится достижимым, если
мы примем во внимание динамические явления. Наблюдатель,
находящийся на диске, мог бы измерить центробежную силу h9
то есть давление в направлении края, которое испытывает тело,
закрепленное на диске, и рассчитать скорость вращения при
помощи формулы k = moaV. Тем же способом Ньютон
определял также и направление вращения. Используя его идею в
нашем примере, представим себе, что в центре первого диска
находится второй, меньший диск, который вращается относительно
первого. На втором диске центробежная сила будет либо
больше, либо меньше, чем на первом, в зависимости от того,
вращаются ли оба диска в одном и том же или в противоположных
направлениях. То направление вращения второго диска, которое
приводит к возрастанию центробежной силы, есть,
следовательно, также и направление вращения первого диска.
1 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — Вз
Крылов А. Н. Избр. труды, т. VII. М. — Л., 1936, с. 30.
2 Там же, с. 35.
23?
Поэтому Ньютон проводил различие между реальным и
кажущимся движением тела. Это различие не всегда очевидно, и
цель механики, по Ньютону, состоит в том, чтобы разработать
методы для определения различий между реальным и
кажущимся движением. «Нахождение же истинных движений по
причинам их производящим, по их проявлениям и по разностям
кажущихся движений и, наоборот, нахождение по истинным или
кажущимся движениям их причин и проявлений излагаются
подробно в последующем. Именно с этой целью и составлено
предлагаемое сочинение»1. Эти заключительные слова
«Введения» к главному труду Ньютона иллюстрируют
противоположность, которая может существовать между объективным
значением открытия и субъективной интерпретацией, которую
дает ему автор. Если физическая система динамики Ньютона
составляет фундаментальную часть науки, которая была
дальнейшим развитием преобразована в более высокую форму
знания, но всегда будет сохранять свое значение в качестве своего
рода аппроксимации, то его философская интерпретация
оказалась не столь жизнеспособной. Однако, только до конца
проследив путь теории абсолютного пространства, мы смогли
прийти к более глубокому современному его пониманию. Только
путем ниспровержения аргументов Ньютона были развиты
логические концепции, которые явились источником идеи общей
относительности и вывели за пределы релятивистской
кинематики к релятивистской динамике.
Даже современные Ньютону оппоненты Лейбниц и Гюйгенс
отвергали его точку зрения. Они вновь и вновь возвращались
к проблеме дополнения релятивистской кинематики
релятивистской динамикой. Лейбниц пытался достигнуть этой цели путем
отрицания ньютоновской гравитации как дальнодействия и
сводя гравитацию, так же как и инерцию, к движению масс
относительно окружающего эфира. Он утверждал, например,
что появление центробежных сил на диске, изолированном в
пространстве, доказывает его вращение относительно эфира, а
не относительно пустого пространства2. Более того, он заявлял
о aequipollentia hypothesium (эквивалентности гипотез) для
любого описания состояния движения, в том числе и
динамических процессов3, но не дал математического доказательства
своей теории. Однако собственная философская система
привела его к ограничению динамической относительности. Он писал
Гюйгенсу, что «каждому телу соответствует определенное коли-
* Ньютон И. Цит. соч., с. 37.
2 Эта точка зрения не сформулирована*четко у самого Лейбница, но
представляет собой законную экстраполяцию одного из отрывков его «Динамики»
(см. Gerthardt, Pertz. Leibnitzens mathematische Schriften, VI, I860,
S. 197), подтверждением ее может служить также защьга им относительности
движения в переписке с Кларком.
8 Ibid., р. 607.
234
чество движения или, если угодно, силы, несмотря на
эквивалентность предположений». Он полагал, что для каждого
движения существует свой субъект как источник этого движения, и
пришел к выводу, «что в природе есть нечто большее, чем может
определить геометрия, но это не является последним из
оснований, которые я использую, чтобы доказать, что, помимо
измерений, в их различных аспектах, которые являются чем-то чисто
геометрическим, мы должны признать существование чего-то
более высокого, а именно силы» !. Следовательно, мы не можем
рассматривать точку зрения Лейбница как последовательную
теорию относительности движения. Он оказался не в состоянии
опровергнуть аргументы Ньютона. Сделать это не удалось
также и Гюйгенсу, хотя он и нашел очень интересную
интерпретацию центробежной силы, которую, однако, нельзя сейчас
считать справедливой2.
Аргумент, который может быть противопоставлен
ньютоновской теории центробежных сил и который ведет к
релятивистской динамике, выдвинул Эрнст Мах. Мах рассматривал
эксперимент с ведром, описанный Ньютоном. Ведро, наполовину
наполненное водой, подвешено на веревке и приводится в
состояние вращения путем раскручивания веревки. Вначале вращаться
будет только ведро, не увлекая за собой воду. Однако
постепенно оно начнет увлекать за собой воду, и поверхность воды
примет вогнутую форму, которая возникает благодаря
центробежной силе. Когда ведро останавливается, вода продолжает
вращение и сохраняет свою параболическую поверхность. Ньютон
сделал вывод, что центробежная сила не может быть
объяснена относительностью движения, поскольку относительное
движение существует между ведром и водой как в начале, так и
в конце процесса, тогда как центробежная сила появляется
только в конце. Если ведро вращается, когда вода находится в
состоянии покоя, то не существует никакой центробежной силы.
Однако если вращается вода, а ведро находится в состоянии
покоя, то центробежная сила существует.
Мах утверждал, что Ньютон не принял во внимание того,
что в рассматриваемую систему должны быть включены массы
Земли и неподвижных звезд. Вода находится в состоянии покоя
не только по отношению к ведру, но также и относительно тех
больших масс, которые могут рассматриваться как причина
центробежной силы. Следовательно, центробежная сила
указывает не на вращение по отношению к абсолютному
пространству, а только на вращение относительно масс Вселенной. Если
мы рассматриваем воду с ее вогнутой поверхностью как
находящуюся в состоянии покоя, тогда Земля и неподвижные
1 Цит. по: Reichenbach Н. Die Bewegungslehre bei Newton, Leibnitz
und Huyghens. — «KantstucHen», 1924, v. 29, S. 432, где дана подробная
трактовка этой проблемы.
2 Ibid, p. 434f.
285
ввезды вращаются вокруг воды. В этой концепции центробежная
сила есть динамический гравитационный эффект вращающихся
масс. Такое усиление растяжения, возникающее во
вращающихся массах, очень легко себе представить. Движущийся
электрический заряд, как аргументировал позднее Эйнштейн,
порождает силы, которые не существуют, когда заряд находится в
состоянии покоя.
Новой в концепции Маха является идея, что сила инерции
может быть интерпретирована в соответствии с релятивистским
подходом как динамический гравитационный эффект.
Относительность можно распространить на динамику, если дать силам
релятивистскую интерпретацию. Сила, воздействующая на тело
К\ как результат его вращения, согласно одной интерпретации,
воздействует на него, согласно другой интерпретации, как
результат вращения тела /С2. Мы, таким образом, полностью
перетолковываем понятие силы (хотя Мах до конца не осознал
этого). Силы не являются абсолютными величинами, но зависят
от систем координат. В физике существуют два вида величин.
Электрический заряд и энтропия являются величинами
инвариантными, то есть величинами, не зависящими от системы
координат. Скорость и ускорения являются величинами кова-
риантными, то есть зависят от координатной системы. После
решения Махом проблемы вращения гравитационное поле
утратило свой абсолютный характер и было осознано как ковари-
антная величина, которая изменяется в зависимости от
состояния движения системы координат. В этом мы видим главную
заслугу Маха, впервые выразившего фундаментальную идею
принципа общей ковариантности.
Из своих соображений Мах сделал очень интересный вывод.
Не только большие массы небесных тел, то также и меньшие
массы должны оказывать динамические гравитационные
воздействия, хотя в соответственно меньшей степени. Если бы мы
придали стенкам ньютонова ведра толщину в несколько миль 1,
тогда его вращение вокруг покоящейся воды также порождало
бы вогнутость ее поверхности, подобную вогнутой поверхности
вращающейся воды, но в меньшей степени. Эта идея Маха была
проверена экспериментально Фридлендером на маховике
прокатного стана, который порождал по соседству со своей осью
центробежное поле, оказывавшее действие на тела, не
принимавшие участия во вращении колеса 2. Однако эффект вообще
1 См.: М а х Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития. Спб,
1909, с. 194.
2 См: FriedlSnder В, Friedlander I. Absolute odcr relative Be-
wegung Berlin, Verlag Leonhard Simion, 1896 Эти эксперименты были
осуществлены в 1894 году Иммануилом Фридлен пером при помощи крутильных
весов. Он указывает, что получил ожидаемый эффект, но не был уверен, не
вызван ли этот эффект другими причинами. Между прочим, Фридлендер
гораздо последовательнее, чем Мах, настаивал на необходимости эмпирического
236
был недоказуем, поскольку находился ниже пределов точности
измерения. Тем не менее утверждение Маха признается
современной теорией относительности.
Эти выводы из идей Маха показывают, с другой стороны,
что динамическая относительность движения представляет
собой нечто большее, чем некий философский принцип, поскольку
она ведет к наблюдаемым следствиям. Хотя эти следствия
представляются убедительными, мы все же не можем сказать
Рис. 36. Иллюстрация проблемы вращения.
априори, будут ли они истинными, поскольку это может
подтвердить только эксперимент. Поэтому мы должны исследовать
предложенное Махом решение проблемы вращения более
подробно.
Рассмотрим две мировые системы (рис. 36), каждая из
которых состоит из Земли Е\ и Еъ и сферы неподвижных звезд
F\ и F2 соответственно. Эти две системы находятся на
больших расстояниях друг от друга, однако световые сигналы
могут посылаться туда и обратно, что позволяет определить
решения проблемы относительности движения. Он также признавал, что
«правильная форма закона инерции будет найдена только в том случае, если
относительная инерция как взаимодействие вдасс и гравитация, которая также
представляет собой взаимодействие масс, будут сведены к единому закону»
(там же, с. 17).
237
относительные состояния их движения. Предположим теперь, что
состояние движения должно быть следующим (мы используем
для его описания одну или другую из предлагаемых ниже
интерпретаций, осью вращения является пунктирная линия):
Интерпретация I: Е\ вращается, F\ в состоянии покоя,
Е2 в состоянии покоя, F2 вращается.
Интерпретация II: Е{ в состоянии покоя, F\ вращается,
Е2 вращается, F2 в состоянии покоя.
Эти две интерпретации кинематически эквивалентны. Но
эквивалентны ли они также и динамически? Теория Маха
утверждает, что они эквивалентны. Согласно этой теории, если
центробежные силы появляются в Е\9 они должны также появиться
и в £2, поскольку обе Земли находятся в состоянии движения
по отношению к соответствующим неподвижным звездам. Это
утверждение допускает эмпирическую проверку. Предположим,
что оно не подтверждается и что центробежные силы
появляются только в Е\. Опровергает ли это динамическую
относительность?
Данный пример мы построили в соответствии с теорией
Ньютона, и Ньютон сказал бы, что он вынудит нас принять
интерпретацию I, и это констатирует наличие абсолютного
пространства. Однако более тщательная проверка показывает, что такое
утверждение односторонне. Интерпретация II также может быть
выполнена динамически. Интерпретация I утверждает
динамически: если Е будет вращаться по отношению к абсолютному
пространству, возникнут центробежные силы. Поэтому
центробежные силы существуют в Ей но не в Е2. С другой стороны,
интерпретация II утверждает: если сфера неподвижных звезд
F вращается по отношению к абсолютному пространству, то
это динамически порождает гравитационное поле в Е. Поэтому
силы притяжения возникают в Е\, а не в Е2. Выведенное
состояние является одним и тем же в любом случае, и,
следовательно, ни одна из двух интерпретаций не будет динамически
неверной. Мы находим, что если реализуются условия, которые
предполагал Ньютон, тогда существует абсолютное
пространство, но его состояние движения определено быть не может.
Мы получили следующий результат: идея Маха (принцип
Маха в широком смысле) состоит в том, что механические силы
нужно рассматривать как ковариантные величины, которые в
соответствии с состоянием движения координатных систем
нужно интерпретировать как инерцию или динамическую
гравитацию, и позволяет применять динамическую относительность при
всех условиях. Однако это не исключает абсолютного
пространства. Такое исключение выполняется лишь в утверждении,
которое идет еще дальше, а именно в принципе Маха в более
узком смысле, связывающем появление центробежных сил
единственно с относительным движением масс и следовательно от-
238
рицающем состояние, описанное выше и требующее появления
центробежных сил в Е\, так же как и в Е2. Однако этот
принцип, несомненно, является эмпирическим.
Динамическая теория относительности Маха (а также
Эйнштейна) основывается, следовательно, на суперпозиции двух
принципов, один из которых эпистемологический, а другой —
эмпирический. Эпистемологический принцип утверждает, что
каждое явление должно получить одинаковую интерпретацию с
точки зрения любой движущейся системы координат. Поэтому
наблюдаемые явления не выделяют какого-либо состояния
движения. Эмпирический принцип утверждает, что все физические
явления зависят только от относительного положения тел, а не
от положения этих тел в пространстве. Две подобные системы,
по-разному ориентированные в пространстве, должны,
следовательно, обнаруживать одинаковые физические явления.
Хотя динамической теории относительности пытались
приписать чисто формальное значение, в соответствии с чем
релятивистская интерпретация описывает реальность, но не
претендует на истинность, такое несостоятельное разделение основано
на неверном понимании теории Маха — Эйнштейна.
Динамическая теория относительности не относится к чисто
академическим вопросам. Она опрокидывает коперниканскую точку зрения
на мир. Не имеет смысла поэтому говорить о различии в
истинности теорий Коперника и Птолемея. Обе концепции являются
эквивалентными описаниями. Ныне мы подвергаем сомнению
претензии на истинность того, что ранее считалось
величайшим открытием западной науки по сравнению с
античностью. Однако, сколь бы строгим предупреждением при
формулировании и оценках научных результатов ни казался нам этот
факт, он вовсе не означает регресса в историческом развитии
науки. Теория относительности не утверждает истинности
концепции Птолемея, она скорее оспаривает притязания на
абсолютную значимость и той и другой теории. И такой подход стал
возможным только потому, что историческое развитие прошло
через обе эти теории, и потому, что преодоление Коперником
птолемеевской космологии привело к возникновению новой
механики, которая в свою очередь позволила осознать
односторонность коперниканского взгляда на мир. Путь к истине в
этом случае обусловлен той диалектикой в ее чистейшей форме,
которую Гегель рассматривал как сущность любого
исторического развития.
Конечно, не следует интерпретировать идеи Маха как
завершение синтеза. Когда Мах возражал Ньютону и говорил, что
центробежные силы нужно объяснять только посредством
относительного движения, он формировал не физическую теорию, а
лишь программу для физической теорий, которая должна в
конечном счете иметь дело со всеми механическими явлениями, а
не только с центробежной силой. Главным образом она должна
239
релятивистски объяснять явления движения в гравитационном
поле, например движения планет. Величайшая заслуга
ньютоновой механики состоит в том, что она дала динамическое
обоснование коперниканскому взгляду на мир. Если с точки
зрения кинематики между вселенными Птолемея и Коперника
не существует никаких различий, то с точки зрения динамики
Ньютон принял решение в пользу Коперника. Ибо только для
коперниканского описания мира его теория гравитации
предлагала механическое объяснение. Сложные же планетарные
орбиты Птолемея не получали на ее основе объяснения. Чтобы
динамически установить эквивалентность обеих концепций мира,
необходимо найти такую теорию гравитации, которая была бы
достаточно общей и могла объяснить коперниканское, а также
птолемеевское движение планет как гравитационное явление.
В этом и состоит великое достижение Эйнштейна, по сравнению
с которым идеи Маха предстают только как предварительные
соображения. Эйнштейн разработал такую исчерпывающую
теорию тяготения, и это открытие поставило его на один уровень
с Коперником и Ньютоном, а проблема относительности нашла
в физике свое завершение.
§ 35. Движение как проблема
координативной дефиниции
Прежде чем мы продолжим рассмотрение теории
гравитации, то есть физической части принципа относительности,
к которому нас привела динамическая относительность,
сделаем дополнительное замечание, касающееся ее
эпистемологических аспектов. Теперь мы в состоянии дать строгую
формулировку философского статуса эпистемологических
утверждений теории относительности на основе ранее разработанных
понятий.
Почему движение может быть охарактеризовано только как
относительное? Этот вопрос вновь приводит к понятию
координативной дефиниции; ненаблюдаемость абсолютного движения
указывает на отсутствие координативной дефиниции. Обычные
представления не всегда делают эту проблему ясной. Если
согласиться с тем, что наблюдаемо только относительное
движение и, следовательно, оно может считаться единственным
объективным явлением, то такое утверждение, основанное на
принципе тождества неразличимых, представляется спорным, так
как имеет метафизический характер. Если мы не в состоянии
установить различия, то означает ли это, что в объективных
явлениях никаких различий нет? Здесь мы упускаем из виду
тот факт, что речь идет о чисто логических соображениях.
Вопрос о том, какая система находится в движении, есть вопрос
24Q
неопределенный, и поэтому на него нельзя дать ответа. Речь
здесь идет не о неудачах познания, но о логической
невозможности. Две концепции, между которыми нам нужно провести
различие, не могут быть сформулированы содержательно, и,
следовательно, любой ответ, выносящий решение в пользу
одной из них, был бы бессмысленным. Поставить вопрос о
состоянии движения тела можно только в том случае, если мы
предварительно определим, какая система должна быть
покоящейся. Таким образом, прежде чем ставить вопрос о состоянии
движения, следует дать координативную дефиницию покоя. Это
утверждение эксплицирует фразу «относительность движения».
В § 33 мы нашли, что эта относительность, которая зависит от
произвольного характера координативной дефиниции,
применима даже в том случае, если динамическая относительность
Маха не может быть осуществлена и динамические эффекты
зависят от ориентации системы координат в пространстве.
Следовательно, проблема движения ведет здесь к открытию
новой координативной дефиниции для пространства в
дополнение к координативным дефинициям для единиц длины и
для сравнения длин, а именно к координативной дефиниции
покоя.
Именно по этой причине идея простоты не приводит к
решению либо в пользу концепции Птолемея, либо в пользу
концепции Коперника. То, что концепция Коперника проще, не
делает ее ни в коей мере «более истинной», поскольку это всего
лишь дескриптивная простота. Эта простота обусловлена тем
фактом, что одна из концепций использует более
целесообразные определения. Но объективное состояние дел не зависит от
выбора определений. Таким путем мы можем прийти лишь к
более простому описанию, но оно не дает нам «более истинной»
картины мира. То, что эти определения, например определение
покоя по Копернику, ведут к более простому описанию,
отражает, конечно, свойство реальности и является, следовательно,
некоторым объективным утверждением. Поэтому выбор самого
простого описания возможен только с прогрессом познания и
может быть, вообще говоря, осуществлен лишь в известных
пределах. Одно описание может быть более простым для одних
явлений, другое — для других, но не существует простейшего
описания, отличаемого от других описаний по его отношению к
истине. Понятие истины здесь неприменимо, поскольку мы имеем
дело с определениями.
Основывая относительность движения на необходимости
координативной дефиниции, мы приходим тем самым к еще
более глубокой относительности. Координативная дефиниция
состояния покоя для некоторой координатной системы в целом,
вообще говоря, не достигается одной лишь ссылкой на малые
области. Такая дефиниция предполагала бы понятие жесткого
тела, позволяющее свести определение покоя к определению
241
состояния движения трех точек1, которые определяли бы
состояние движения системы в целом. Однако в общем случае
(то есть без ссылки на жесткие тела) мы должны установить
особое состояние покоя для каждой точки. Мы можем тогда
определить целостную систему точек как систему, находящуюся
в состоянии покоя, даже если ее отдельные точки при сравнении
с жесткими телами меняют свои взаимные расстояния.
Например, если мы охарактеризуем растянутую (в обычном
смысле) резиновую ленту как находящуюся в состоянии покоя,
то это определение никогда не приведет к противоречиям.
Преимущество определения жесткости с помощью жестких тел
опять же основано только на дескриптивной простоте. Чтобы
понять эту процедуру, следует вспомнить, что использование
жестких тел позволяет нам определить единицу длины с
помощью единственной пространственной точки и расширить ее до
других пространственных точек путем перемещения жестких
стержней. Та же самая процедура применима к определению
покоя с помощью трех точек в пространстве; состояние покоя в
других точках пространства определяется тогда при помощи
соотнесения их с первоначальными тремя точками посредством
жестких стержней. Этот частный вид определения не является,
конечно, логически необходимым.
Результат, полученный Махом и еще более ранними
релятивистами, иногда формулируется в высказывании, что
объективным фактом является только относительное движение Земли и
звезд, но не их индивидуальные движения. Однако
представленные нами соображения вынуждают нас сделать дальнейший
шаг и утверждать относительность относительного движения.
В качестве грубо приближенной модели представим себе
Землю прикрепленной к неподвижным звездам резиновыми
лентами. Мы можем теперь определить постоянно растягиваемые
резиновые ленты как находящиеся в состоянии покоя и, таким
образом, исключить путем преобразований относительное
движение из системы Земля — звезды. Следовательно, даже это
относительное движение не является абсолютным фактом; оно
применимо только для некоторых специфических координатных
систем, а именно для тех, которые могут быть реализованы с
помощью жестких тел. Поэтому если мы говорим о некотором
«объективно познаваемом» относительном движении, то это
1 Даже и эти три точки не могут быть заданы произвольно. Они должны
удовлетворять трем ограничивающим условиям на значения девяти
координат, которые предписывают взаимные расстояния между точками. Если же мы
рассматриваем эти девять пространственных координат как функции времени,
то только шесть из таких функций могут быть заданы произвольно.
Утверждение, что жесткое тело имеет шесть степеней свободы, эквивалентно этому
положению,
24?
может означать только движение по отношению к жестким
телам, определяющим состояние относительного покоя.
Для пояснения ситуации используем пример,
рассматриваемый для простоты в двухмерной области. В некоторой инерци-
альной системе К конечной протяженности — мы можем взять,
например, ньютонову инерциальную систему — будем
определять нормальные пространственно-временные измерения,
согласно Эйнштейну. Вообразим радиусы г, протянутые из точки
Рис. 37. Расширяющаяся система точек, которая может быть
определена как жесткая.
Pi, которые покрывают плоскость во всех направлениях
(рис. 37), и движущиеся точки Р', находящиеся в каждой
точке Р этой плоскости.
Предположим, что все эти точки Р' начинают в одно и то
же время t = О (определенное в системе К согласно
эйнштейновской дефиниции одновременности) удаляться вдоль
соответствующих им радиусов от точки Pi. Скорость v каждой точки
постоянна и i> = ro<7, гДе Я— некоторая общая постоянная, а
Го — расстояние от точки Pi в момент / = 0. Следовательно,
уравнение движения каждой точки будет иметь вид:
r0qt + r0. (1)
Точки, находящиеся на некоторой окружности вокруг точки
Pi, в момент tf = 0 всегда будут иметь одинаковую скорость,
243
однако точки, лежащие на ббльших окружностях, будут
удаляться с соответственно большими скоростями, так что расстояния
между окружностями, равно как и длины этих окружностей,
будут постоянно возрастать. Только точка Р[, которая лежит на
точке Р\, будет оставаться в покое (г0 = 0). Следовательно,
точки Р' образуют некоторую расширяющуюся систему точек,
если ее сравнивать с жестко связанной системой. Однако мы
можем определить систему точек Р' как внутренне
находящуюся в состоянии покоя, тогда мы, по определению, лишаем
относительного движения точки Р'. Система К точек Р,
которая ранее называлась жесткой, таковой более не является, ее
точки движутся в направлении точки Р\. Система К
признается, следовательно, жесткой только в том случае, если мы
используем жесткие тела для нашего определения жесткости.
Избранный нами пример имеет и другую особенность.
Система Р' была выбрана нами, чтобы показать ее нормальные
свойства, если к ней применяется геометрия света. Мы можем
определить такую меру времени для часов в Pi, что время
Р\Р'Р\ остается постоянным для световых сигналов,
посылаемых из точки Pi, хотя точки Р' удаляются от точки Pi, если
рассматриваются из системы /С. Система К! будет тогда
удовлетворять аксиомам света IV, 1 и IV, 2. Мы можем также
определить меру пространства в геометрии света таким образом,
что расстояние между двумя точками Р' остается постоянным,
хотя оно будет постоянно возрастать, если наблюдать его из
системы К. Единственное различие, которое эти измерения
обнаруживают при сравнении их с измерениями в системе /С,
состоит в том, что геометрия системы Р' будет неевклидовой. Но
система Р' является статичной, то есть независимой от
времени, и с помощью измерений, осуществляемых в рамках
геометрии света, невозможно установить, что между этими точками
имеет место относительное движение. Основываясь же на
неевклидовом характере геометрии, можно сделать вывод, что мы
находимся не в инерциальной системе и что эта система не
является жесткой в смысле евклидовой геометрии света и
особенно в смысле геометрии тел. Следовательно, в классе систем,
определяемых аксиомами света I—IV, мы имеем более общее
определение жесткости. Однако становится ясно, что даже эти
системы представляют собой специальные случаи и что системе
иным образом расширяющихся точек также можно дать такое
определение, которое позволит рассматривать ее как внутренне
находящуюся в состоянии покоя. Итак, мы вновь имеем дело
только с определением *.
1 Более подробное обсуждение этого примера см. в ГА! с. 49 и 128.
Другой пример системы радиально расширяющихся точек, где геометрия света
является евклидовой, приведен там же на с. 60 Относительно применимости
к жестким стержням определения жесткости геометрии света см. также § 27
настоящей книги.
244
§ 36. Принцип
эквивалентности
Перейдем теперь к следствиям динамической
относительности, выходящим за пределы эпистемологической
относительности. Для этой цели необходимо проанализировать эйнштейнову
теорию гравитации, поскольку Эйнштейн принял идею Маха о
динамической относительности и развил ее дальше. Если Мах
ограничивал свои исследования рассмотрением вращения, то
Эйнштейн применил этот принцип ко всем видам движений,
следовательно, его формулировка представляется
преимущественной. Он пришел к этой общей формулировке благодаря
преобразованию идей Маха в некоторый дифференциальный
принцип.
Рис. 38. Эквивалентность ускорения и силы тяжести.
Эйнштейн выразил свой принцип эквивалентности в форме
мысленного эксперимента. Пусть масса m подвешена на
пружине в закрытой кабине лифта (рис. 38). Физик, находящийся в
этой кабине, наблюдает, что пружина внезапно растягивается.
Он может легко проверить это, используя измерительный
стержень. Возрастание напряжения в пружине указывает на
увеличение веса массы т. Как может физик найти причину этого
увеличения? Он может дать два объяснения.
Объяснение I. Кабина получила ускорение вверх (в
направлении стрелки Ь) под действием некоторой внешней силы.
Действие инерции массы т направлено, следовательно, вниз и
растягивает пружину в направлении, противоположном ускорению.
Объяснение II. Кабина остается в покое, но направленное
поле g (стрелка g) возрастает и, следовательно, действует с
большей силой на массу т.
Находясь внутри кабины, невозможно экспериментально
вынести решение в пользу того или другого из объяснений. Даже
если мы позволим физику выглянуть в окно, это не поможет
делу, поскольку он будет наблюдать только кинематические
явления, а этого недостаточно для выбора одного из объяснений.
245
m
I*
'V/////////////A
Рис. 39. Измерение гравитационной массы.
Могут возразить, что объяснение II требует появления больших
наблюдаемых масс ниже кабины, но это верно только в том
случае, если предполагаются статические гравитационные поля.
Поскольку же мы допускаем существование динамических
полей в смысле Маха, гравитационное поле g может быть
приписано движению окружающих масс.
Какова основа этой неразличимости? Согласно Эйнштейну,
такой эмпирической основой является равенство
гравитационной и инерциальной масс. Это новое различие должно быть
добавлено к обычному различению между массой и весом.
Следовательно, существуют три понятия: «инерциальная масса»,
«гравитационная масса» и «вес».
Первое различение возникло после открытия Ньютоном того,
что вес тела зависит не только от самого тела, но также от
расстояния, на котором расположено данное тело по отношению
к тяготеющей массе. Некоторая масса т (рис. 39), покоящаяся
на пружинных весах, будет обнаруживать различную силу
(измеряемую натяжением пружины, которое указывается ее
длиной) давления на опору в соответствии с расстоянием от
центра Земли. Этот факт выражается формулой
F = m-g, (1)
где сила F давления тела на его опору зависит от напряженно-
сти гравитационного поля Земли (векторная природа g при
этом обычно игнорируется и пишется просто g) и
пропорциональна множителю т, который зависит от самого тела.
Структура формулы (Г) аналогична структуре формулы
F = e-E (2)
из электростатики, где механическая сила F определяется, с од-
—^
ной стороны, напряженностью Е, которая не зависит от
притягиваемого тела и характеризует данное поле, а с другой сто-
246
роны, пропорциональна множителю е, который
интерпретируется как электрический заряд данного тела. Соответственно мы
можем назвать т гравитационным зарядом К Множитель m
есть гравитационная масса тела, то есть постоянная величина,
которая выражает действие на него силы тяготения.
Масса тела имеет также совершенно иной эффект. Если
тележка, на которой лежит масса пг} приводится в движение по
горизонтальной плоскости с помощью ранее сжатой пружины
(рис. 40), тогда сила F пружины порождает ускорение ft,
определяющее скорость, с которой тележка продолжает катиться
горизонтально после толчка. К этому отношению применимо сле-
дющее уравнение
F = m-b (3)
Оказывается, что в этом уравнении масса имеет ту же самую
величину, что и в уравнении (1). Это эмпирическое
утверждение, которое мы можем проверить следующим образом.
Предположим, что имеются тела из различных материалов, которые,
1/>
'У//ШШ
%
Рис. 40. Измерение инерциальной массы.
согласно рис. 39, показывают одно и то же сжатие пружины, а
затем испытывают толчок (см. рис. 40) со стороны пружины,
находящейся под одинаковым напряжением. Толчок придает им
одинаковые скорости. Такой результат не является
самоочевидным. Можно вообразить, например, что объем будет оказывать
влияние на инерцию и что среди масс равного веса те, которые
имеют больший объем (в эксперименте на рис. 40), будут
приобретать меньшую скорость. Этот вопрос может быть решен
только опытом.
Принцип равенства инерциальной и гравитационной массы,
который, между прочим, служит объяснением равенства
скоростей падающих тел (тело, которое испытывает большую силу
тяжести, должно преодолеть соответственно большую инерцию),
подтвержден экспериментами с высокой степенью точности. Он
упоминается Эйнштейном как некий эмпирический принцип,
составляющий оснойу его принципа эквивалентности,
1 См.: Weyi Н. Raum — Zeit — Materie, S. 226.
247
Рис. 41. Локальное «элиминирование путем преобразований»
гравитационного поля.
Эквивалентность инерции и гравитации есть строгая
формулировка принципа Маха в более узком смысле. Он означает,
что каждое связанное с инерцией явление, которое наблюдается
в ускоряемой системе, может быть объяснено также и как
гравитационное явление. Поэтому его нельзя интерпретировать как
уникальный указатель состояния движения. И наоборот, мы
можем использовать принцип эквивалентности, чтобы устранить
путем преобразований то гравитационное поле, которое
рассматривалось как абсолютно данное в классической механике.
Свободно падающая кабина лифта представляет собой систему,
в которой устранено гравитационное поле Земли. В ней любому
предмету после толчка сообщается прямолинейное, свободное
от сил движение в смысле закона инерции.
Данная возможность «устранить путем преобразований»
сопровождается рядом существенных ограничений. Вообще
говоря, мы можем устранить путем преобразований гравитационные
поля только в бесконечно малых областях. Рассмотрим,
например, гравитационное поле Земли (рис. 41). Если мы приведем
жесткую систему клеток (пунктирные линии на рис. 41) в
движение по направлению стрелки Ь с ускорением g = 981 см/сек2,
то земное поле будет устранено в клетке а, но не во всех
остальных. Мы можем теперь утверждать, что для любой данной
малой области Ь можно всегда точно определить для такой
системы клеток ускоренное движение, которое будет устранять
гравитационное поле в Ь. Поэтому мы можем сказать, что
любое гравитационное поле всегда может быть устранено путем
преобразований в любой данной области, но не во всех обла-
248
стях в одно и то же время и с помощью тех же самых
преобразований.
Этот принцип имеет место в ньютоновском понятии инер-
циальной системы. Под инерциальными системами 1 Ньютон
понимал те астрономически определяемые системы, к которым
применим закон инерции, то есть такие системы, которые
движутся равномерно относительно абсолютного пространства.
В рамках ньютоновой теории допустимо получение локальных
инерциальных систем (хотя эти системы находятся в
различных состояниях движения) через устранение путем
преобразований гравитационного поля и при условии предполагаемой
эквивалентности инерциальной и гравитационной масс.
Существующее как таковое гравитационное поле компенсируется в
этих локальных системах их ускорением относительно
абсолютного пространства и возникающими в результате
инерциальными силами. Однако, согласно Эйнштейну, только эти локальные
системы являются подлинно инерциальными системами. В них
поле, состоящее из гравитационной и инерциальной компонент,
преобразуется таким образом, что гравитационная компонента
исчезает и остается инерциальная компонента. Строго говоря,
существуют только локальные инерциальные системы.
Астрономические инерциальные системы Ньютона представляют
собой в лучшем случае аппроксимации, которые вблизи звездных
масс постепенно изменяются. Только потому, что расстояния в
космическом пространстве слишком велики по сравнению с
массами звезд, и потому, что звезды имеют очень низкие
скорости, астрономические инерциальные системы возможны как
некоторые аппроксимации.
Мы должны сформулировать эту идею более точно. Прежде
всего необходимо уточнить, что подразумевается под
«подлинно» инерциальной системой, характеристика которой пока лишь
более или менее интуитивно угадывается. Исследуем сначала,
как возникают, согласно Ньютону, локальные инерциальные
системы. Уравнение Ньютона для движения точечной массы в
гравитационном поле задается формулой
*«=£. (1)
Если мы теперь свяжем координату х со свободно падающей
системой, то есть введем преобразование
* = *' + |Л (2)
тогда
* = *+£,
1 Это термин был введен Л. Ланге (см.: L a n g е L. Uber die wissen-
schaftliche Fassung des Galilelschen Beharrungsgesetzes. — In: «Wundts Philos.
Studien», vol. II, 1885).
249
и формула (1) примет вид
х = О, (8)
то есть будет представлять собой уравнение движения в
некоторой инерциальной системе. В рамках механики не существует
никаких различий между этими двумя видами инерциальных
систем, и утверждать, что одна или другая из них является
«подлинно» инерциальной, было бы лишь игрой в слова.
Однако, принимая во внимание экстрамеханические явления,
явления вне механики, такое различие возникнет: если, согласно
Ньютону, астрономические инерциальные системы составляют
нормальные системы для всех явлений, то Эйнштейн
утверждает, что нормальными системами являются именно локальные
системы. Мы рассмотрим вытекающие отсюда различия на
примере с движением света.
Согласно теории Ньютона, лишь астрономические
инерциальные системы являются нормальными системами для
распространения света. Только в них свет перемещается по прямым
линиям, тогда как в локальных инерциальных системах его
траектории искривлены. Движение светового луча, параллельное
оси у, задается в ньютоновой инерциальной системе следующим
дифференциальным уравнением
* = 0,
(4)
у = с. w
Ньютон считает эти уравнения справедливыми, даже если
существует гравитационное поле, как, например, на поверхности
Земли. Земля (для коротких интервалов времени) включена в
определенную астрономическую систему, на которую
гравитационное поле Земли накладывается только локально. По
отношению к свету это гравитационное поле не существует вообще.
Если мы теперь применим преобразование (2) к этим
уравнениям, то они примут следующий вид
У'*=с.
(б)
По отношению к системе К? свет более не движется вдоль
прямых линий, потому что его координата х не является
больше линейной функцией времени.
Однако, согласно Эйнштейну, локальные инерциальные
системы являются подлинно инерциальными системами для всех
других явлений. В случае светового луча, например, уравнение
движения в локальной инерциальной системе К должно быть
линейным и дифференциальные уравнения должны быть
поэтому следующими:
i' = 0,
(6
у = с.
260
Рис. 42. Отклонение светового луча как следствие принципа
эквивалентности.
Если мы теперь в свою очередь применим преобразование (2)
к системе К, которая стационарно закреплена на поверхности
Земли к, следовательно, находится в состоянии покоя в
астрономической инерциальной системе, то уравнения примут
следующий вид
По отношению к этой системе траектория света является теперь
искривленной.
Мы проиллюстрируем ход мыслей, который ведет от
уравнений (6) к уравнениям (7), с помощью траектории светового
луча, что поможет выявить чисто кинематическую основу этого
вывода. Представим себе некую камеру (рис. 42),
находящуюся в состоянии покоя на Земле. По отношению же к локальной
инерциальной системе она будет осуществлять ускоренное
движение вверх. Предположим, что луч входит в камеру через
щель с левой стороны. Мы можем определить его путь в
пределах камеры, если условимся, что локальная инерциальная
система находится в состоянии покоя и если мы построим
движение светового луча по отношению к камере путем накладывания
прямолинейной траектории луча света на ускоренное
движение камеры. Различные последовательные положения,
занимаемые, согласно нашим предположениям, камерой,
обозначены на рис. 42 квадратными скобками. Для каждого
последующего положения конец светового луча перемещается немного
правее в соответствии с отметками на пунктирной линии.
Далее, легко можно увидеть, что эти отметки имеют различные
позиции по отношению к различным положениям камеры.
С правой стороны мы схематично изобразили тот же самый
процесс по отношению к камере как системе, находящейся в
<-—>-
•?
4
251
состоянии покоя, и обозначили метки на этот раз в их
положениях относительно камеры. Поэтому путь светового луча
представляет собой кривую линию по отношению к камере. Это
чисто кинематический эффект. Он образуется потому, что
горизонтальное движение света является равномерным, тогда как
вертикальное движение камеры — ускоренным. Мы начали
рассуждения с предположения, что световой луч движется по
прямой линии относительно локальной инерциальной системы,
находящейся в состоянии свободного падения по отношению к
Земле. Теперь мы подошли к выводу, который имеет далеко
идущие последствия в физическом плане, а именно что можно
предположить искривление пути светового луча по отношению к
системе, находящейся в состоянии покоя на Земле. В
гравитационном поле центра масс луч света искривляется.
В этом случае не имеет значения, покоится ли сам центр
масс в какой-то астрономической инерциальной системе,
поскольку эта система вблизи от центра масс не представляет
собой более нормальной системы. В самом деле, не имело бы
смысла говорить об инерциальной системе с каким-то
наложенным гравитационным полем. Астрономическая инерциальная
система вблизи от центра масс разрушается и не может быть
расширена из окружающего пространства до области поля
массы, не теряя своего инерциального характера. Ее функции
выполняются определенной локальной инерциальной системой, с
которой она не может быть жестко связана.
Такие предположения составляют ядро общей теории
относительности. Это подлинно физический принцип, который с
включением в характеристику локальной инерциальной системы
всех немеханических явлений формулирует определенную
физическую гипотезу, выходящую далеко за пределы опыта,
представленного в эквивалентности инерциальной и гравитационной
масс. Гипотеза Эйнштейна соответствует некоторой
методологической процедуре, часто используемой в физике. Хотя эта
гипотеза и не следует логически из эмпирической очевидности, но
утверждает нечто гораздо большее: она принимается в
надежде на то, что наблюдение подтвердит в будущем вытекающие из
нее выводы. После того как специальная теория
относительности сформулировала законы часов, измерительных стержней,
движения света и т. д. для инерциальных систем, могла быть
сформулирована новая гипотеза, утверждающая, что для
специальной теории относительности имеют силу не
астрономические инерциальные системы, а локальные инерциальные
системы. Поэтому идеальный случай полной свободы от гравитации,
который требуется для специальной теории относительности,
реализуется не в астрономических инерциальных системах, а
только в локальных инерциальных системах. Таким образом,
мы можем говорить о принципе локальных инерциальных
систем, согласно которому локальными инерциальными система*
252
"t©
Рис. 43. Эффект Доплера как результат
равномерного движения.
ми являются системы, удовлетворяющие аксиомам света и
аксиомам тел \ С помощью этой гипотезы Эйнштейн вводит
общую теорию относительности, а специальная теория
относительности становится предельным случаем общей теории.
Чтобы придать завершенность нашим рассуждениям, мы
продемонстрируем, как те же выводы, которые ведут к
физическим следствиям относительно света, ведут к подобным же
следствиям относительно часов. Мы вновь рассмотрим
кинематический эффект, который возникает в результате ускоренного
движения часов по отношению к некоторой инерциальной системе,
и выведем из него некоторый эффект в гравитационном поле.
Кинематический эффект, с которым мы будем иметь дело,
называется эффектом Доплера.
Рассмотрим эффект Доплера, возникающий в результате
равномерного движения (рис. 43). Предположим, что некий
наблюдатель движется по прямой линии, с равномерной
скоростью удаляясь от часов U\. Всякий раз, когда часы U\
завершают период, посылается сигнал, который будет достигать
наблюдателя во все более удаленных точках. Следовательно,
интервалы между различными световыми сигналами будут для
этого наблюдателя длиннее, чем единичные интервалы часов
U2, которые он несет с собой. Для него часы U\ идут
медленнее, чем часы f/2. Рассмотрим теперь подобный процесс в
случае ускоренного движения (рис. 44). Двое часов U\ и U2
связаны жестким стержнем, и система, которую они образуют,
движется с ускорением. Часы U\ вновь посылают сигнал после
каждого единичного периода. Первый сигнал покидает точку
А\ и достигает часов С/2, когда они приближаются к точке А$.
1 Строго говоря, это следует читать так: «в которых эти аксиомы
удовлетворяются С высокой степенью приближения». Ср. [А], § 34.
253
Co..
B2"f
A2
Ai
QU2
Oui
Рис. 44. Эффект Доплера как результат
ускоренного движения.
Второй сигнал покидает часы U\ в точке В\ и достигает часов
U2 в точке В2 и т. д. Отрезки А\А2, В\В2, С\С2 ... становятся
все длиннее и длиннее, и наблюдатель, который движется
вместе с часами U2t будет, таким образом, испытывать эффект
Доплера в смысле замедления часов U\. Следовательно, в
каждом случае существует замедление одних часов по отношению к
сигналам, которые прибывают от других часов. Если в случае
равномерного движения движутся только одни часы, тогда как
другие пребывают в состоянии покоя, то этот эффект будет
появляться в случае ускоренного движения, даже когда двое
часов находятся в состоянии покоя относительно друг друга,
что обеспечивается жесткой системой, которую они образуют,
двигаясь как единое целое. Последний случай допускает иную
интерпретацию с помощью принципа эквивалентности. Двое
часов, находящихся в состоянии покоя в гравитационном поле
некоторого центра масс, пребывают в состоянии ускоренного
движения по отношению к соответствующей локальной инер-
циальной системе. Наши соображения приведут, следовательно,
непосредственно к утверждению, что гравитационное поле
вызывает замедление часов, расположенных в областях, где выше
абсолютное значение гравитационного потенциала. В случае
атомных часов существовало бы красное смещение
спектральных линий, потому что запаздывание частоты обнаруживает
себя как сдвиг длины волны в направлении красного конца
спектра.
Следует заметить, что этот эффект не зависит от
замедления часов, обсуждавшегося в § 30. Для его вывода мы не
использовали ничего, кроме эффекта Доплера. Эффект Доплера
был известен также и в классической теории времени, которая,
однако, не включала замедления часов, обсуждавшегося в § 30.
Замедление часов в гравитационном поле должно, следователь-
264
но, возникать, если верен принцип эквивалентности,
безотносительно к тому, существует ли эйнштейново замедление часов
для равномерного движения. Последний эффект обнаруживает
себя только в количественных расчетах замедления часов в
гравитационном поле, где он проявляется как небольшой
корректирующий коэффициент.
Последний результат обусловлен тем фактом, что эффект Доплера
может быть рассчитан как суперпозиция двух эффектов, а именно: классического
эффекта Доплера и эйнштейнова замедления часов. И наоборот, из этого
результата мы можем установить, что эйнштейново замедление часов при
равномерном движении не имеет ничего общего с эффектом Доплера.
Искривление света и замедление часов являются
непосредственными следствиями принципа эквивалентности, они ясно
демонстрируют гипотетический характер этого принципа,
поскольку представляют собой эмпирически подтверждаемые
явления. Третий из так называемых эффектов Эйнштейна, а
именно смещение перигелия планетарных орбит, не следует
непосредственно из принципа эквивалентности, но вытекает из
основанной на нем эйнштейновой теории гравитации, особенно из
уравнений поля, которые будут упомянуты в § 39.
§ 37. Эйнштейново
понятие гравитации
Продолжая исследование принципа локальных инерциаль-
ных систем, мы приходим к определенному понятию
гравитации, которое является намного более сложным, чем понятие
гравитации у Ньютона.
Согласно Ньютону, сила тяготения задается выражением
(mi/n2)/r2. Эта формула — результат подхода к
гравитационному полю как к чему-то налагаемому на некоторую инерци-
альную систему, что позволяло измерять и описывать его с
помощью координат этой инерциальной системы. Такое
выражение справедливо для силы тяготения только в том случае, если
система отсчета является инерциальной системой. Однако в
эйнштейновой концепции гравитационное поле не может быть
измерено по отношению к некоторой инерциальной системе,
поскольку гравитационное поле не рассматривается более как
явление, наложенное на данную инерциальную систему, но как
область, в которой не существует никакого расширения
астрономических инерциальных систем. Если локальные инерциаль-
ные системы рассматриваются в пределах такой области, то
гравитация должна быть локально уничтожена путем
преобразования и, следовательно, нельзя найти такую инерциальную
систему, по отношению к которой гравитационное поле могло
бы существовать и быть измерено. Гравитационное поле
255
Эйнштейна должно быть описано без ссылки на какую-то
уникальную координатную систему.
Это предположение согласуется с идеями Маха,
рассматривавшего гравитацию как ковариантную величину, выражение
которой преобразуется с изменением системы координат.
В каждой системе отсчета, отличной от локальных инерциаль-
ных систем, должно быть возможно формулирование
уравнений гравитационного поля. Более того, нельзя выделить среди
других ни одну систему как такую систему, относительно
которой мы могли бы измерить «истинную» силу тяготения.
Следовательно, нам нужно искать для гравитации такое
математическое выражение, чтобы оно было достаточно «эластичным» для
достижения столь общей характеристики.
Скалярная теория гравитации уже не выполняет эту задачу.
Такая теория характеризует состояние гравитации в каждой
точке единственным числом — потенциалом, и сила тяготения
будет тогда характеризоваться градиентом потенциала,
который может быть вычислен для каждой точки из потенциального
поля. Таким образом, никаких иных параметров не требуется.
Задача новой теории гораздо шире. Возьмем менее простую
систему отсчета, например вращающийся диск. Все
механические явления, наблюдаемые на диске, должны быть
интерпретируемы, согласно нашему принципу, как гравитационные
эффекты. Центробежная сила, которая возрастает прямо
пропорционально расстоянию от центра, все еще может быть
представлена по закону потенциала, хотя и не будет полностью
соответствовать фундаментальному дифференциальному
уравнению потенциального поля, АФ = 0, поскольку центр
представляет собой исключение для этого условия. Однако эта сила
не является единственной действующей силой на данном диске.
Наблюдатель, расположенный на диске, заметил бы также
эффект так называемой силы Кориолиса, которая оказывает
боковое давление на движущиеся объекты, например отклонение
от прямой снаряда под влиянием вращения Земли. Новое
математическое выражение для гравитации должно быть
достаточно исчерпывающим, чтобы оно могло дать оценку как
центробежной, так и кориолисовой силе, и эта задача не может быть
выполнена скалярным потенциалом.
По этой причине мы должны использовать тензорный потен-
циал, который подразумевает, что гравитационное поле в точке
характеризуется не единственным параметром, но некоторым
множеством параметров, системой компонент тензора, дающей
оценку всем возникающим силам. Простой случай ньютонова
поля, для которого достаточен один параметр, включается в
новую концепцию в качестве специального случая. Можно
предположить, что ньютоново поле будет существовать лишь как
некоторая аппроксимация и никогда не будет реализовано строгим
образом. То, что астрономы до сих пор обходились одним пара-
Я56
метром для каждой точки (например, в поле Земли), обусловлено
тем фактом, что одна из компонент тензора преобладает над
другими, и поэтому она одна и принималась во внимание.
Следовательно, новое выражение не только формулирует ковариантность
гравитации, но ведет также к некоторым качественным и
количественным изменениям гравитационного поля даже в
«нормальных» случаях, что должно быть заметно при достаточно точных
измерениях. Таким образом, в эйнштейновой концепции
гравитации мы имеем дело с физической теорией. Мысль об этой теории
возникла под влиянием эпистемологических соображений, однако
она отнюдь не была непосредственно выделена из них.
Согласно этой теории, гравитационное состояние в
некоторой точке лучше всего сравнить с состоянием напряжения,
существующим, например, в балке моста. Состояние напряжения
в каждом несущем элементе моста вызывает напряжение в
отдельных элементах объема. Это состояние не может быть
охарактеризовано просто соотнесением каждой точки с некоторой
силой, с вектором, но требует более сложного выражения. Если
мы предположим, что данная балка разрезана вдоль какой-то
наклонной плоскости, то две половинки будут сдвигаться
относительно друг друга под действием некоторой силы. Величина
и направление этого движения будут зависеть от направления
плоскости, вдоль которой разрезана балка, следовательно,
каждый разрез определяет специфическую силу. По этой
причине мы не можем выявить состояние внутреннего
напряжения, соотнося каждую точку с единственным вектором.
Ситуация в данном случае намного сложнее. Для каждой точки
существует бесконечное множество соотносимых с ней векторов —
по одному для каждого элемента плоскости, проходящей через
точку. Чтобы упростить ситуацию, вводится понятие
компоненты тензора. Мы не требуем бесконечного множества векторов.
Достаточно определить три элемента плоскости и
соответствующие им векторы. Затем мы можем рассчитать вектор для
любого другого элемента плоскости, проходящей через эту точку,
согласно законам преобразования компонент. Поскольку
каждый из трех основных векторов задается тремя компонентами
(в трехмерном пространстве), то состояние внутреннего
напряжения балки требует 3X3 = 9 спецификаций для каждой
точки. Более того, механика утверждает, что эти девять компонент
тензора должны удовлетворять условиям симметрии, которые
сводят число независимых спецификаций до 6.
Гравитационное поле следует рассматривать аналогичным
образом. Его характеристика усложняется необходимостью
оценивать состояния движения точечных масс. Точечная масса,
несомая гравитационным полем, не остается в состоянии покоя,
подобно объемным элементам балки, но падает «вниз».
Требуется также учитывать еще и изменения во времени, а
отсюда следует, что гравитационное поле характеризуется не
?«т
пространственным, а пространственно-временным тензором.
Такой пространственно-временной тензор имеет 4X4=16, а не
3X3=9 компонент. Как и ранее, они могут быть сведены в силу
условий симметрии к 10 независимым числовым членам. Чтобы
сделать аналогию с балкой более полной, мы должны
использовать четырехмерное пространство Минковского, в котором
точечная масса в состоянии покоя представлена вертикальной прямой
линией, мировой линией данной точки. Под влиянием тензорного
поля эта прямая линия будет искривляться, подобно балке
моста, и такая искривленная мировая линия будет линией точки,
находящейся в состоянии движения. Поэтому движение точки
может быть охарактеризовано тензорным полем.
Определенным изменениям будет подвергаться также
понятие веса. В механике Ньютона вес образуется единой силой
тяготения, которая тянет тело вниз во всех точках. Тогда как в
механике Эйнштейна тело находится в «состоянии напряжения»,
обусловленном гравитационным полем; оно подвержено
напряжению и сжатию во всех направлениях, которые, объединяясь,
образуют некоторую равнодействующую, именуемую весом.
Ньютонова механика знает только эту равнодействующую.
Таким образом, очевидно, что четырехмерная тензорная
характеристика гравитационного поля делает его координатной
величиной, то есть количеством, которое меняется с изменением
координат. Мы охарактеризовали тензор его 4X4
компонентами, а не бесконечным числом составляющих его векторов.
Изменяя систему координат, мы также переходим к иному
множеству основных компонент тензора, то есть среди
бесконечного числа векторов мы выбираем другое множество основных
компонент. В трех измерениях это означало бы, что три
основных элемента плоскости выбраны иным образом. В
четырехмерном случае учитывается также состояние движения,
поскольку отклонение поднимающейся мировой линии указывает
на состояние движения. Введение координатной системы,
находящейся в ином состоянии движения, означает, следовательно,
разложение тензора на иное множество компонент.
Здесь мы вновь пришли к тому различению, с которым
сталкивались ранее и которое выражает основную идею
современной науки. Система компонент тензора является ковариантной,
то есть она имеет различные числовые составляющие для
каждой координатной системы. Тем не менее таким способом мы
выражаем определенное независимое от системы координат
состояние, то есть инвариантное состояние. Тензор как целое есть
некоторая инвариантная величина. Мы можем осознать это
свойство, представив его посредством компонент, поскольку
эти компоненты могут быть высчитаны для каждой системы
координат, если они известны для одной из них. К сожалению,
это хорошо известное математическое различение не нашло
отражения в физической терминологии. Под «гравитационным
258
полем» мы понимаем соответствующую систему компонент
тензора, и это делает гравитационное поле ковариантной
величиной. Инвариантное тензорное поле как целое не получило
своего названия. Нам кажется, что его можно называть
метрическим полем. Это согласовалось бы с ходом наших последующих
рассуждений, и к тому же этот термин иногда использовался
именно в таком смысле. В соответствии с принятой
терминологией гравитационное поле предстает как частная система
компонент, на которые может быть разложено метрическое поле.
Все сказанное служит объяснением того, почему
гравитационное поле может быть устранено путем преобразования. Для
этой цели метрическое поле разлагают таким образом, чтобы
его компоненты, гравитационные потенциалы, стали
независимыми от координат, то есть константами (это всегда возможно
по крайней мере для локальных областей), чтобы не
существовало никакого гравитационного градиента. Исчезновение
градиента в таком случае называется «исчезновением
гравитационного поля». Но, по существу, эта проблема затрагивает три
понятия: тензор как целое, или метрическое поле, частное
множество компонент тензора, или гравитационное поле в
более широком смысле, и, наконец, частное множество
градиентных коэффициентов компонент тензора, или гравитационное
поле в более узком смысле. Последние два понятия отличаются
друг от друга как понятие потенциала и понятие градиента и
могут поэтому различаться как гравитационное потенциальное
поле и гравитационное градиентное поле. Только градиентное
поле может быть обращено в ноль; в этом случае
потенциальное поле становится постоянным.
В математическом представлении метрическое поле задается тензором g,
гравитационное потенциальное поле — частным множеством компонент g„v, а
гравитационное градиентное поле — символами Римана — Кристоффеля Г*
которые состоят из — . Выражение Г* образует не реальный, а только
ОХх ^
линейный тензор, и может быть поэтому целиком обращено в ноль путем
нелинейных преобразований.
Иногда вводится четвертое понятие. Мы полагаемg = g + y„v, где
g являются нормальными ортогональными значениями g и
рассматриваем g как инерциальное поле и только, a Y„v — как гравитационное по-
тенциальное поле. Тогда Г* может рассматриваться как производная от Yn,v
поскольку £mV, будучи постоянной, не вносит вклада в градиентное поле.
Однако это разложение на инерциальное и гравитационное поля представляет
собой адаптацию к терминологии ньютоновой механики и поэтому едва ли
является подходящим.
Наконец, мы можем дать исчерпывающую формулировку
идей динамической относительности, используя разработанные
выше понятия.
259
Для любой координатной системы существует некоторое
гравитационное поле. Для любой координатной системы в ином
qocтoянии движения существует ийое гравитационное поле.
Если мы хотим последовательно провести общую
относительность всех координатных систем, то есть осуществить общее
применение относительности к кинематически эквивалентным
описаниям состояний движения, то гравитационное поле должно
соответственно определяться для каждой координатной
системы. Сами системы координат не являются эквивалентными,
но каждая координатная система с соответствующим ей
гравитационным полем эквивалентна любой другой координатной
системе с соответствующим ей гравитационным полем.
Каждое из этих ковариантных описаний служит допустимым
представлением инвариантного состояния мира.
§ 38. Точка зрения
Эйнштейна на проблему
вращения
Исследуем теперь проблему вращения, основываясь на идее
Эйнштейна, согласно которой для каждой координатной
системы должно предполагаться специальное гравитационное поле.
С одной стороны, если мы рассматриваем Землю в
состоянии вращения, то это движение должно быть относительно
одной из ньютоновских инерциальных систем, введенных в
качестве аппроксимации. По отношению к этой координатной
системе существует не гравитационное, а только некоторое инер-
циальное поле. С другой стороны, если мы рассматриваем
Землю в состоянии покоя, то по отношению к системе осей, с
которыми она жестко связана, должно существовать некоторое
тензорное гравитационное поле. Это гравитационное поле
обнаруживает себя как вихревое поле, которое можно сравнить
с вихревым полем трехфазного электрического тока, три фазы
которого пробегают через соответствующим образом
разделенную обмотку. Точно так же как такое поле вызывает вихревое
движение находящихся внутри него железных опилок, так и
тензорное гравитационное поле сообщает круговое вращение
неподвижным звездам, которые начинают двигаться с
одинаковыми скоростями вокруг его оси. Одновременно вращаются
и лучи, которые отклоняются в гравитационном поле, подобно
тяжелым телам. Только введение такого вихревого поля
приводит к динамическому эквиваленту вращающейся
координатной системы. Отдельные возражения, выдвигаемые против этой
концепции, будут рассмотрены ниже *.
* См. также дискуссию между Вульфом, Рейхенбахом и Андерсоном
(«Astron. Nachr.», 1921, vol, 213, № 5083-84, 5107; vol. 214, № 6114; 1922,
vol. 215, №6154),
250
1. Эквивалентность вращающихся координатных систем
вводит скорости, превышающие скорости света. Точки
координатной системы, которые находятся ближе к периферии, будут
иметь все большие скорости, и те из них, которые находятся
вне окружности с радиусом г = — (о — угловая скорость),
будут, следовательно, иметь периферические скорости cor,
большие с, относительно данной координатной системы.
Уже планета Нептун будет иметь скорость, большую, чем
скорость света, если мы рассматриваем Землю как находящуюся
в состоянии покоя, скорость Же неподвижных звезд будет еще
большей. Этот вывод представляется противоречащим
требованию теории относительности.
Однако этот вывод является ошибочным прежде всего
потому, что мы имеем здесь дело с проблемой общей, а не
специальной теории относительности. В специальной теории
относительности мы можем утверждать, что скорость 3-Ю10 см/с
является предельным значением, потому что мы допускаем
только определенные системы координат, по отношению к
которым должны измеряться все скорости. Если же мы допускаем
произвольные координатные системы, то величина 3-Ю10 см/с
может быть превышена. Предельный характер скорости света
может все же утверждаться даже в общей теории
относительности, но такое утверждение формулируется здесь по-иному.
Для любых двух точечных масс световой сигнал будет наиболее
быстрой связью между ними. Свет— самый быстрый вестник,
он движется быстрее, чем любое другое средство сообщения
из одного места и за одно и то же время. Мы дали
определение этого свойства выше с помощью понятия первого
сигнала. Этот принцип выполняется, даже если мы предполагаем,
что координатная система жестко связана с Землей. Любой
световой сигнал, посланный с планеты Нептун вдоль
касательной к планетной орбите, движется быстрее, чем сама планета,
и убежит от нее. Здесь свет имеет даже большую скорость,
хотя сама планета уже превышает скорость 3-Ю10 см/с.
Следовательно, эта величина не имеет никакого значения, если
допускаются полностью произвольные
пространственно-временные измерения.
Кроме того, из предельного характера скорости света
вытекает другое ограничение. Система осей, жестко связанная с
Землей, в идеале может быть расширена на неопределенное
расстояние, но за пределами окружности г = — невозможно
реализовать эти оси материально. Вне пределов этой
окружности не может быть никаких материальных точек, которые
находились бы в состоянии покоя относительно данной
координатной системы. В этом случае система координат не является
861
более реальной системой 1. Нептун, следовательно, имеет
высокую периферическую скорость только по отношению к
идеальным точкам покоя, но не относительно точек, которые могут
быть реализованы материально. Это ограничение обусловлено
тем фактом, что в непосредственной близости от Нептуна, как
и в каждой точке, специальная теория относительности остается
справедливой в бесконечно малых областях. Это требование
ведет к одному важному различию. Не все кинематически
возможные системы могут быть реализованы материальными
структурами, находящимися в состоянии покоя по
отношению к ним. Мы должны, следовательно, различать реальные
и нереальные системы (см. § 41).
2. Исходя из общей относительности вращения, мы можем
рассматривать не только Землю, но также любую
вращающуюся систему, например карусель, как покоящуюся систему.
Однако это приводит к абсурдным выводам. Лошадь, которая,
согласно обычной интерпретации, вращает карусель, должна
при второй интерпретации быть способной приводить в
движение Землю и даже Вселенную посредством своего движения,
поскольку здесь карусель сохраняет состояние покоя. Но какой
силой должна обладать лошадь, чтобы сделать это?
Здесь не следует упускать из виду тот факт, что в
релятивистской концепции вращение звезд обязано своим
существованием гравитационному вихревому полю, но не лошади.
Последняя имеет совершенно иную задачу: предотвратить вовлечение
карусели в это вихревое поле и участие ее в общем вращении.
Мы видим, что, даже согласно релятивистской интерпретации,
лошадь должна выполнить задачу, определенную массой
карусели, а не массой звезд. Если лифт медленно скользит вниз,
а муха внутри него ползет вверх, оставаясь на одном уровне
по отношению к зданию, то она должна перемещать только
свою собственную массу, а не «толкать вниз» лифт.
3. Даже если лошадь при карусели не нуждается в такой
силе, чтобы вращать звезды, все же она является причиной
вращения, поскольку вращение звезд возникает по отношению
к карусели лишь тогда, когда лошадь начинает свой бег.
Начало бега лошади должно, следовательно, быть также
причиной вихревого тензорного поля. Действие этого поля должно
достичь неподвижных звезд через достаточно долгое время в
силу предельного характера скорости распространения
причинных взаимодействий. Но мы знаем, что этого в данном случае
не происходит.
Тот факт, что в гравитационных полях возможны скорости
более высокие, чем скорости света, не может здесь служить
объяснением. Согласно вышесказанному, любое действие,
возникающее на Земле, не может достигнуть Сириуса быстрее,
1 См. § 45 наст, книги и [А], § 46.
262
чем световой сигнал, да и свет будет идти туда намного
дольше, чем это требуется для нашего примера. Ошибка,
следовательно, состоит в чем-то другом.
Она возникает из-за того, что вопрос о причинности
поставлен неверно. Мы начинаем с предпосылки, что нужно найти
причину для каждого изменения, которое происходит по
отношению к данной системе координат. Отсюда следует, что
каждому изменению системы координат должно соответствовать
какое-то изменение в причинных цепях и что в нашем примере
мы должны найти причинную цепь, ведущую от лошади к
неподвижным звездам. Согласно этому требованию, причинная
цепь, подобно гравитационному полю, была бы ковариантным
понятием. Этот вывод, однако, ошибочен: отношение причина —
следствие является не ковариантным, а инвариантным
понятием. Изменение данной координатной системы не будет
оказывать воздействия на статус причинных цепей. Они являются
инвариантными последовательностями, которые будут всегда
связывать одни и те же идентичные точечные события,
независимо от типа описания. В нашем примере каузальная
последовательность идет от лошади к карусели, а не к неподвижным
звездам, и это остается верным, даже если мы используем
такую систему координат, для которой карусель находится в
состоянии покоя.
Далее, если мы выясняем причину гравитационного
вихревого поля, то нам следует искать динамический эквивалент
этого поля в кинематически иной концепции, а именно в
обычной. Согласно этой концепции, неподвижные звезды находятся
в состоянии покоя и определяют некое инерциальное поле,
которое пронизывает, так сказать, все пространство и придает
инерцию каждой движущейся точечной массе. Та же самая
причинная связь применима и в релятивизированной
концепции: инерциальное поле соответствует гравитационному
вихревому полю, которое опять же должно лорождаться
неподвижными звездами. Своим движением вращающиеся неподвижные
звезды порождают вихревое поле, которое в свою очередь
поддерживает постоянство, неизменность их вращения. Те же
самые отношения, которые определяют инерциальное поле как
эффект действия масс этих звезд, в релятивизированной
концепции представляют вихревое поле в качестве эффекта масс
этих же звезд. То, что мы в одном случае говорим об инерци-
альном поле, а в другом — о вихревом поле, есть различие
лишь в описании^ но не в описываемых фактах. Поэтому,
когда мы переходим от одного описания к другому, нам не
следует искать различия в этих фактах. Следовательно, не имеет
смысла искать причину происхождения вихревого поля в тот
момент, когда карусель начинает свое движение. Если же мы
продолжаем соотносить все измерения пространства с
каруселью, то мы должны описывать остальной мир на ином языке,
263
Мы вынуждены сделать это в силу причины, действующей на
карусель, а не на остальной мир. Говоря о выборе иного
языка, мы не имеем в виду, что изменяется нечто в остальном
мире, но констатируем только изменения в отношениях между
данным миром и нашей системой отсчета.
4. Далее. Делается допущение, что вихревое поле есть
некое «воображаемое», или «фиктивное», силовое поле. Мы не
можем доказать его реальное существование, и оно в отличие
от обычных гравитационных полей не является чем-то
реальным. Это допущение основано на ошибочной интерпретации
ковариантных понятий. Состояние дел, описываемое ковариант-
ным понятием гравитации, в другой координатной системе
может быть представлено по-иному. Каждое из таких описаний
специфическим образом представляет объективное состояние.
Совокупность этих описаний определяет некоторую
инвариантную ситуацию, тогда как одно описание дает, так сказать,
лишь одну компоненту ситуации, а именно ее проекцию на
частную систему координат. Между этими компонентами нет
различия в отношении к истине. Точно так же как мы можем
доказать существование обычного гравитационного поля Земли,
ссылаясь на давление, которое тело оказывает на свою опору,
мы можем объективно доказать и существование вихревого
поля с помощью центробежных и кориолисовых сил.
§ 39. Аналитическая
трактовка римановых
пространств
Прежде чем продолжить обсуждение проблемы гравитации,
мы введем параграф, развивающий математическую трактовку
общей геометрии. Знакомство с предлагаемыми
математическими методами необходимо для эпистемологического изучения
пространства. Мы увидим, что эта математическая разработка
проблемы не столь трудна для понимания, как это обычно
считают нематематики.
Мы будем использовать аналитическую трактовку проблемы
пространства, которая была введена Риманом и Гауссом (см.
§ 2), кратко развивая основные идеи их математических
методов. Представим себе плоскость, разделенную сеткой кривых,
которые пронумерованы. После этого мы можем указать
положения каждой точки на данной плоскости посредством
небольшого параллелограмма, в котором она лежит. Точка Р,
например, на рис. 45 лежит в параллелограмме 4—5/1—2. Чтобы
задать ее положение более точно, необходимо еще разделить
ячейку сети, и тогда мы могли бы оценить положение точки Р
как 4, 7/1, 9. Кривые линии составляют систему координат,
поскольку они обеспечивают нумерацию всех точек на данной пло-
264
скости. А это все, что требуется от любой системы координат.
Мы задаем вопрос: какую длину имеет диагональ с
рассматриваемого параллелограмма? Если бы мы использовали
прямолинейные, ортогональные координаты, как на обычной
миллиметровке, вместо криволинейных координат, ответить на
этот вопрос было бы очень легко. Поскольку координатами
конечных точек являются 5 и 1 и 4 и 2, расстояние между
ними задается д/(5— 4)2 + (2 — I)2 согласно теореме Пифагора.
Однако этот ответ неприменим к криволинейным координатам,
поскольку эти координаты являются лишь обозначающими
числами, подобно номерам домов, и не имеют отношения к мере
длины. Как можем мы обойти эту трудность?
Назовем реальные длины сторон рассматриваемого
параллелограмма а и Ь. Эти две стороны вместе с диагональю с
образуют косой треугольник. При этом а и b выступают как
прямые линии, и такая аппроксимация оказывается тем
точнее, чем мельче сеть. Следующие ниже выражения корректнее
было бы понимать как предельный случай a = b = 0. Согласно
«расширенной теореме Пифагора», мы можем теперь написать:
с2 = а2 + Ь2 — 2ab • cos qp. (1)
Если мы далее обозначим переменной Х\ числа, идущие
вправо, а переменной х2 числа, идущие вверх, тогда а и b
будут находиться в некотором отношении к приращениям
координат dx\ = (5—4) и dx2 = (2—1). Они, конечно, не
тождественны этим приращениям координат, поскольку приращения
выведены только из идентификации чисел, а не из измерения
Рис 45. Определение метрики для криволинейных координат,
265
расстояний. Длина отрезка а не равна 1, как в приращении
координат dxu она меньше. Мы можем поэтому написать
a = adxu b=$dx2, (2)
где аир — коэффициенты. Подставляя соотношения (2) в
формулу (1), мы получаем уравнение
с2 = a2 dx\ + р2 dx\ — 2ар dxx dx2 cos ср, (3)
где ар и cosq) являются числовыми характеристиками ячейки,
содержащей Р. В других ячейках сети эти числа будут иметь
иные значения, тогда как уравнение (3) будет оставаться тем
же самым. Поэтому мы должны рассматривать эти числа как
функции положения.
Применив сокращения,
a2 = ff 11, Р2 = g22> — ар cos ф = gl2 = g2l, (4)
и заменяя с2 на ds2, мы можегд записать уравнение (3) в
обобщенной фундаментальной метрической форме
ds2 = #nv dx^ dxvy ji, v = 1, 2. (5)
Если мы предположим, что \х и v принимают значения 1 и 2
независимо друг от друга, то мы имеем четыре члена, которые
совместно с формулами (4) дают нам выражение (3).
Следовательно, формула (5) есть сумма ] четырех членов.
Выражение ds обычно рассматривается как «линейный
элемент плоскости». Величины g^ указывают, как в данном
месте плоскости должна высчитываться длина линейного
элемента из дифференциалов координат. Поскольку gwv
представляют собой функции положения, они должны быть
записаны как g^v (х\,х2)- Эти функции определяют метрику. Если
g^v заданы для каждой точки на плоскости, то мы можем
высчитать длину As для любого криволинейного или
прямолинейного отрезка, если нам известны координаты всех точек,
через которые проходит данная линия. Эта длина равна сумме
тех многих интервалов ds, которые могут поместиться вдоль
этой линии, и, следовательно,
As = J dssss) V#nv dx^ dxv. (6)
p p
Такая математическая трактовка имеет следующее значение.
Она разделяет функцию обычной ортогональной системы
координат на две абсолютно разные части. Она оставляет
топологическую функцию нумерации координатной системе, однако
приписывает метрическую функцию измерения длин метриче-
1 Напомним еще раз правило, упомянутое на с. 193, согласно которому
каждый индекс, .встречающийся дважды, нужно суммировать.
JW
ским коэффициентам g^v. Таким способом описание
плоскости подразделяется на топологическую и метрическую часть,
что делает возможным аналитическую трактовку метрики.
Эта математическая операция имеет величайшее значение
для эпистемологической проблемы пространства. Этот метод
показывает, что в дополнение к метрической функции, обычно
ассоциируемой с «координатами на миллиметровке», такая
координатная система имеет и важную топологическую функцию.
Она состоит в приписывании идентификационных номеров
каждой точке, что может быть, конечно, выполнено как
криволинейными, так и прямолинейными координатами. Несмотря на
произвольный характер нумерации, таким образом достигается
очень важный результат, поскольку нумерация определяет
отношения взаимного соседства. Если имеются точки А, В и С,
лежащие вдоль некоторой линии таким образом, что В лежит
между Л и С, то этот факт устанавливается положением этих
точек на линии по отношению к данной координатной системе.
Приведем следующий пример: если мы знаем, что на такой-то
улице г-н X живет в доме № 37, г-н У — в доме № 45, а г-н
Z — в доме № 61, то мы знаем также, что г-н У живет между
X и Z. Но из данной информации мы не знаем ничего о
соответствующих расстояниях между их домами, поскольку дома
эти могут быть расположены на различных расстояниях вдоль
улицы. Мы говорим о топологической функции координатной
системы, потому что она определяет порядок отношений между.
В примере на рис. 45 мы начинали с плоскости. Этот факт
выражен аналитически через свойство величины gp,v, как мы
не может изменить топологического основания, определяемого
координатной системой, она лишь добавляет к ней
метрическую суперструктуру. Однако в этой роли величина g^
становится весьма важной, ибо на нее обычно ссылаются как на
гештальт (Gestalt) данной плоскости. В качестве пояснения
приведем следующие математические соображения.
В примере на рис. 45 мы начинали с плоскости. Этот факт
выражен аналитически через свойство величины gpiv, как мы
в этом убедимся, когда исследуем преобразования к другим
координатным системам. Представим себе, что введена вторая
координатная система и что положение нового семейства
линий задается как фуннкция старых координат, так что мы
можем записать:
#2 = I2\X\> X2J>
где функции / являются произвольными. Мы добавим теперь
одно ограничение, а именно что переход к новым координатам
не должен изменять какое-либо из метрических отношений.
Следовательно, этот переход ведет только к иной форме опи-
267
сания. Мы должны затем точно определить новую систему #'
метрических коэффициентов по отношению к новым
координатам х', причем такую, при которой сохраняются старые
отношения конгруэнтности. Если два линейных отрезка имеют
одинаковую длину, когда измеряются с помощью старых g^v в
старой координатной системе, то они должны оставаться
равными по длине, когда измеряются с помощью новых g' в
новой системе координат. Это требование ведет к условию, что
ds2 = «W dx» dXv = Sax dxa dxr (8)
Мы можем поэтому сказать, что ds2 является инвариантом
данного преобразования, и мы можем показать на примере
формулы (8), как следует вычислять новые величины g'^ из
старых.
Это доказательство не является трудным. Из формулы (7)
следует, что дифференциалы преобразуются линейно:
dx№ = ag dx'a ^ = -^-- (9)
Подставляя (9) на левую сторону уравнения (8), мы
получаем, используя тождество с правой стороной:
дх.. дх„
<ь-т£т£*~ (10)
Формула (10) представляет собой так называемый закон
преобразования тензоров, и поэтому величина g^v называется
тензором. Этот термин не обозначает ничего, кроме величины,
которая преобразуется согласно формуле (10), когда мы
переходим к новой системе координат.
Теперь мы можем аналитически выразить характерное
свойство рис. 45, а именно что он представляет отношения на
плоскости. Если мы выбрали прямолинейные ортогональные
координаты, то линейный элемент будет
ds2 = dx\ + dx\.
Это означает, что по отношению к нормальной системе коор-
дийат gp,v удовлетворяет матрице
*И*12 10 (П)
£21^22 0 1
Теперь мы можем ввести следующее требование: поскольку
поверхность, рассматриваемая на рис. 45, является плоскостью,
то должно существовать некоторое преобразование (7),
переводящее величину g^y из криволинейных координат в
нормальную форму (11).
268
Это требование выражает определенное свойство системы
£p,v. Можно показать, что система g^v обладает этим
свойством только потому, что она была первоначально построена
для плоскости. Если бы построение на рис. 45 было
осуществлено на поверхности сферы, то мы получили бы систему
gp,v, для которой не существовало бы никакого
преобразования в нормальную матрицу (11). Мы рассмотрим эти
соотношения более подробно, потому что их математическая
разработка может быть осуществлена довольно легко.
Предположим, что заданы четыре функции g^v- Как мы
сформулируем условие их преобразования в нормальную
матрицу? Это условие, очевидно, сводится к требованию, чтобы
преобразование координат (7) удовлетворяло следующим
уравнениям:
дхц дх^ (10
Л
{
дх'а дхх С = *«-(о г (12)
Выражение (12) представляет четыре уравнения для
четырех частных производных функций в преобразовании (7). Это
число переменных соответствует числу уравнений, но поскольку
переменные являются функциями, а не числами, то они
должны удовлетворять условиям интегрируемости Коши — Римана:
д2х.. д2х.,
*- — * (13)
дха дх% дх% дха
Выражение (13) представляет четыре других уравнения, и
мы теперь имеем восемь уравнений для четырех частных
продам
изводных ——. По причине этой переопределенности уравне-
дх0
ния (12) и (13) не могут вообще быть решены.
Нам следует сформулировать наши результаты иным
образом, а именно: любая данная система g^ может быть
преобразована в другую систему g'ox посредством преобразований
(7). Однако преобразование этого вида, начинающееся с
определенного набора g"p,v, не дает нам всех мыслимых систем, но
только ограниченный класс систем. Все системы этого класса
геометрически эквивалентны начальной системе g^, и данный
класс как целое характеризует некоторую определенную
геометрию. Другие классы, построенные подобным образом,
характеризовали бы другую геометрию. Особым классом
¾вляeтcя класс, который содержит нормальную систему (11).
>то есть класс евклидовой геометрии.
Теперь возникает вопрос, существует ли особая
характеристика этого класса евклидовой геометрии. Математики
показали, что сформулировать такой критерий возможно. Для этой
269
цели нужно составить некоторую математическую комбинацию
из величин g^, -^- и ^ ^ , именуемую #^ох и
преобразуемую согласно правилу, аналогичному правилу (10).
Следовательно, R^vox есть тензор 4-го ранга. Непосредственно из
правила (10) мы можем вывести очень важное свойство всех
тензоров, а именно: если все компоненты некоторого тензора
равны нулю в одной системе координат, то они будут равны
нулю в каждой системе координат. Этот результат следует
непосредственно потому, что при суммировании выражения (10)
все члены исчезают. Поскольку можно показать, что /?^VQT для
нормальной системы исчезает, то отсюда следует, что каждая
система, относящаяся к классу евклидовых систем,
характеризуется условием
Величина R^vox называется римановым тензором кривизны. Она
является мерой кривизны1.
Легко может быть показано следующее: если мы
ограничиваемся требованием, что величина g^ принимает нормальную
форму (11) для одной-единственной точки, то это требование
всегда можно удовлетворить соответствующим выбором
системы координат. Для этого ограниченного требования исчезает
условие интегрируемости, поскольку условию (12) подчиняются
в данном случае не функции—г-» а только их числовые зна-
дха
нения в некоторой специфической точке. Таким образом,
переопределенности более не существует. Однако нормальная
система не может быть реализована для всех точек посредством
одного и того же преобразованния. Если мы построим
некоторую координатную систему, удовлетворяющую условиям для
одной точки, то, вообще говоря, она не будет удовлетворять
этим условиям в других точках. В этом общем случае система
величин g^ может быть преобразована в форму (11)
системы плоскости только в бесконечно малых областях. Таким
путем мы формулируем аналитически некоторое свойство
кривых поверхностей, а именно что их бесконечно малые элементы
могут трактоваться как плоские, точно так же как бесконечно
малый элемент кривой может пониматься как прямая линия.
Искривленные структуры отличаются по своей форме от
прямых структур только в больших размерах, в то время как их
бесконечно малые элементы имеют одинаковую форму. Это
интуитивно очевидное правило находит свое соответствующее
выражение в аналитическом представлении формы той или
1 В двухмерном случае тензор Rnva% может быть заменен одним числом
R, так называемой гауссовой мерой кривизны.
270
иной поверхности. И напротив, данная формулировка геометрии
с помощью метрических функций g^ может быть
охарактеризована как распространение этого понятия геометрии на
такие случаи, где евклидова геометрия сохраняет силу только в
бесконечно малых областях.
Благодаря этой аналитической трактовке сравнительно легко
отнести наши соображения к трехмерному пространству и даже
к многообразию с произвольно большим числом измерений.
Для трех измерений мы только изменяем индексы в
первоначальной формуле от 1 до 3, чтобы достигнуть аналитической
трактовки пространства. Мы обязаны этим методом гению Ри-
мана, который обобщил гауссову трактовку поверхностей. Что
же касается более подробного рассмотрения этого вопроса, то
здесь мы можем сослаться на § 2. Существование нормальной
формы g^v в бесконечно малой области означает для
трехмерного случая, что любое риманово пространство является
евклидовым в бесконечно малых областях. Искривленное
пространство составлено, таким образом, из плоских
дифференциальных элементов, точно так же, как и кривые поверхности.
Чтобы иметь дело с четырехмерным пространством —
временем, нам требуется необходимое изменение, поскольку его
метрика является метрикой индефинитного типа, как это мы
уже показали в § 28 и 29. Нормальная форма g^v в этом
случае принимает вид:
10 0 От
8цч
0 10 о
0 0 1 о
L0 0 0 -1J'
(16)
Однако это не приводит к существенным различиям в
аналитической трактовке. Значения в бесконечно малых областях
предполагают теперь, конечно, индефинитную форму (15). Мы
можем охватить все эти формулы одним выражением, изменяя
индекс от 1 до 4:
ds2 = g^dxlidxvf \i, v, а, т=»1 ... 4, (16)
dx»=l%dx* (18)
дх„ dx„
Как можем мы установить метрику четырехмерного
пространственно-временного многообразия посредством физических
измерений? Для этой цели нам необходимы:
1) некоторая координатная система, то есть все точки—•
события должны быть пронумерованы;
271
2) 10 метрических функций g^v по отношению к данной
координатной системе.
Рассмотрим теперь эту проблему с физической точки
зрения. Не останавливаясь пока на первой из этих задач, просто
предположим, что такая нумерация задана. Однако, ставя
перед собой цель решить вторую задачу, мы придем к области
теории гравитации.
§ 40. Гравитация и
геометрия
Мы завершили рассмотрение проблемы гравитации в § 37
утверждением, что специальная теория относительности может
быть применена только к бесконечно малым областям. Ранее,
характеризуя пространственно-временные отношения
специальной теории относительности, мы отмечали, что геометрия,
определяемая часами, измерительными стержнями и светом,
предполагает индефинитную метрику особой формы (1, § 29).
В общем случае эта геометрия применима только для
бесконечно малых областей. Для гравитационных полей имеет силу
еще более общая геометрия. Она относится к типу геометрий,
описанных в предыдущем параграфе, и характеризуется
системой метрических функций g^. Проиллюстрируем сказанное
на примере искривленной поверхности. Если люди живут на
искривленной поверхности, геометрию которой они желают
установить, то они должны прежде всего ввести некоторую
систему координат. Выбор координатной системы не ограничен
предпосылками метрического типа. Предположим, что для
определения отношения конгруэнтности во всем данном
пространстве они применяют бесконечно малые измерительные
стержни. Если они расположат какой-то единичный стержень
в точке Р, тогда его концы будут устанавливать определенную
разность координат dx^. Объединив данные dx^ согласно
частной формуле
dx\ + dx\ «=» ds2,
они выяснят, что результирующая величина ds2 не будет
равна 1. Прежде всего следует ввести «корректирующие
коэффициенты» g^vy такие, что выражение
gllvdxlldxv = ds2 (1)
становится равным 1. Осуществить это очень легко. Выбор
целого ряда числовых коэффициентов ведет к этому
результату. Однако, если мы требуем, чтобы величина ds2 была равна 1
для одного и того же g^ и для любого направления стержня,
поворачиваемого в точке Р, то величина g^ будет определ$-
672
на однозначным образом. Можно представить себе, что
величины gp,v определяются с помощью эксперимента.
Численные значения величин g^v индивидуальных точек могут быть
затем скомбинированы в функции.
Легко установить, что эта процедура имеет результатом
переопределенность. Если данный стержень расположен в
направлении линии х2 = const, тогда dx% = О и выражение (1)
сводится к gndx\. Поскольку это выражение должно быть
равно 1, оно будет определять gu. Соответствующим образом мы
находим g22, помещая стержень в направлении линии х\ =
= const. Если мы добавим наклонное направление, то этот
эксперимент будет определять £12= #2Ь Следовательно,
должна существовать какая-то аксиома, то есть утверждение,
имеющее характер истины, согласно которой величина g^ ,
полученная таким образом, будет удовлетворять условию ds2 = 1
для всех положений единичного стержня. Эта аксиома должна,
конечно, рассматриваться как некий эмпирический закон. Если
он не подтвердится, мы будем поставлены перед двумя
альтернативами. Первая из них исходит из того факта, что
данная аксиома удовлетворяется только в бесконечно малых
областях и, следовательно, каждая процедура, в которой
используются стержни конечной величины, должна содержать
некоторую ошибку. Поэтому мы предполагаем, что единичный
стержень не был выбран достаточно малым, и утверждаем, что
эта аксиома удовлетворялась бы при последующем
укорачивании стержня. Величины g^ в этом случае должны
трактоваться в пределах первоначальной точечной области не как
константы, а как функции положения, и первоначальная длина
стержня вычислялась бы не как dst а как \ds. Можно
установить, правильно ли это предположение, поскольку можно
проверить, лучше ли удовлетворяется эта гипотеза, когда
стержень становится короче. Затем мы бы сделали индуктивный
вывод относительно того, может ли утверждаться данная
аксиома в качестве предельного случая. Если бы получилось так,
что описанный метод является неадекватным, то мы
обратились бы ко второй альтернативе. Нам следовало бы повторить
описанный выше процесс с линейными элементами более
высокого порядка, поскольку линейные элементы второго порядка
не выполнили своей задачи. Мы могли бы начать с линейных
элементов четвертого порядка
ds4 =» gp vox dXp dxv dxa dxx. (2)
Мы имели бы, таким образом, большее число метрических
коэффициентов, и могли бы приспособить их к большему числу
условий. Чем выше порядок линейного элемента, тем лучше он
будет приспосабливаться к реальным условиям природы. Тот
факт, что линейные элементы второго порядка оказываются
273
достаточными, указывает на некоторое свойство реальности. Он
говорит о том, что в области бесконечно малых измерительные
инструменты повинуются евклидовой геометрии.
Чтобы гарантировать однозначность координативной
дефиниции, здесь также следует дополнить ее некоторым
эмпирическим утверждением. Однако этот факт не лишает координа-
тивную дефиницию ее дефинициального характера. Напротив,
определение величин g^v для данной координатной системы
имеет некоторый физический смысл и выполняет свою задачу
только в том случае, если предварительно была дана координатив-
ная дефиниция конгруэнтности. Мы должны теперь дать
аналогичную разработку для пространственно-временного многообразия.
Координативная дефиниция вновь задается при этом с
помощью часов, стержней и света, точно так же, как и в
специальной теории относительности. Интервал ds2y реализуемый
этими измерительными инструментами, будет определен как
единичный, и после выбора системы координат будут
высчитаны соответствующие g^ . Таким образом, мы построим
единую систему бесконечно малых клеток. Часы дают нам ds2 =
= —1, измерительные стержни ds2 = +1 и свет ds2 = 0. С
помощью эксперимента мы обнаруживаем в каждой точке числа
gp,v , на которые нам надлежит помножить разность координат,
чтобы получить интервал, равный 1. Числа g^v вновь
комбинируются в функции.
Метод здесь тот же самый, что использовался в
специальной теории относительности, где мы построили метрику с
помощью координативной дефиниции, основанной на часах,
измерительных стержнях и свете. Однако там координаты
выбираются таким образом, что величины g^v удовлетворяют
нормальной матрице (15, § 39). В § 27 мы показали, как
следует осуществлять этот выбор специальных координат. Если
мы теперь примем произвольные координатные системы, то
нормальная матрица не будет достаточной, и нам надлежит
использовать более общую форму (1).
Очевидно, что и здесь предполагается нечто большее, чем
только определение. Как и ранее, система величин g^ для
одной точки определяется некоторым числом (10) положений
интервала. То, что другие положения не вводят никаких
противоречий, должно формулироваться как некая дополнительная
аксиома. Поскольку в данной геометрической интерпретации
наклонные положения интервала являются эквивалентными
различным состояниям движения измерительных инструментов
(см. § 29), такая аксиома составит некоторое предположение
о поведении движущихся измерительных инструментов. Эта
аксиома уже получила частичное выражение в специальной
теории относительности, где она формулируется в аксиомах тел,
и утверждает, что измерительные инструменты равномерно
движущейся системы удовлетворяют релятивистской геометрии
274
света. Для общей теории мы должны расширить эту аксиому
таким образом, чтобы она включала ускоряемые
измерительные инструменты. Расширенная формулировка утверждает, что
метрическое поведение некоторого тела зависит только от его
скорости, а не от его ускорения. Если часы, например, при
ускоренном движении имеют ту же скорость, что и равномерно
движущиеся часы в тот момент, когда они проходят друг около
друга, тогда эти двое часов будут показывать одинаковое течение
времени в общем для них бесконечно малом периоде времени.
До сих пор мы имели дело только с определением
пространственно-временной геометрии гравитационных полей. Теперь мы
перейдем к рассмотрению дополнительного свойства этой
теории. Можно утверждать, что метрический тензор g^ идентичен
с тензором гравитационного поля, который, как мы обнаружили,
необходим для характеристики гравитации (см. § 37). Этот
вывод следует непосредственно из принципа эквивалентности.
Если мы устанавливаем метрику в некоторой точке
локально инерциальной системы К', величина g01. будет
удовлетворять нормальной матрице. Если же мы описываем ту же
самую локальную область мира из некоторой ускоренной
системы /С, то величины g^v этой системы не могут более
удовлетворять нормальной матрице, поскольку они будут выводиться
из gGX путем таких преобразований, которые не принадлежат
к классу преобразований Лоренца и которые приведут к
разрушению ортогональной формы (1, § 29) линейного элемента.
Величины g^v будут, следовательно, характеризовать
состояние ускорения системы К. Но если они характеризуют
состояние ускорения системы /(, то они должны также
характеризовать в силу принципа эквивалентности гравитационное поле
системы К. Таким образом, метрический тензор должен здесь
быть также и гравитационным тензором.
Мы можем разъяснить это соотношение следующим
образом. Если мы переходим от инерциальной системы к
ускоренной системе посредством определенного преобразования (17,
§ 39), то коэффициенты уравнения этого преобразования бу-
дут содержать ускорение а. Эта величина через -г— включа-
ется в метрический тензор g^v и, следовательно, g^
содержит ускорение а выбранной нами координатной системы.
И обратно, поскольку ускорение а может быть также
интерпретировано, как напряженность g гравитационного поля,
метрический тензор g^v содержит также и эту величину и
является, следовательно, мерой гравитационного состояния,
существующего для этой координатной системы. Мысль о том, что
в силу тождества гравитационной инерциальной массы мы
можем идентифицировать гравитационное поле g с ускорением
свободно падающих тел, в простой форме содержится уже в
275
теории Ньютона. Следовательно, нет необходимости проводить
различие между данными двумя величинами, которые
первоначально были концептуально различными.
Поставим теперь вопрос: содержит ли это новое
утверждение что-то фактуальное? Означает ли гравитация нечто
большее, чем то, что выражается метрической функцией
тензоров g^v? Конечно, содержит. Ибо гравитация может быть
также установлена через проявление сил, через напряжение
упругих балок и движение точечных масс (планет).
Фактуальное значение нового утверждения состоит в том, что та же
физическая величина, которая определяет движение
материальных точек и искривление балок, определяет и длины стержней,
периоды часов и траектории света. В самом деле, это
утверждение имеет исключительно важное физическое значение.
Поскольку мы объединили поведение измерительных инструментов
в понятии метрики, а проявление сил упомянутого выше вида
в понятии гравитации, мы можем сформулировать это
утверждение как отождествление метрического и гравитационного поля
и характеризовать это поле, которое заполняет все пространство
в целом как определенное метрическое поле. Такое
отождествление есть следствие применения принципа эквивалентности.
Отметим здесь возникающие в связи с этим трудности.
Упомянутое отождествление основывается прежде всего на том
факте, что геометрия теории относительности включает
временное измерение. Если мы интерпретируем g^v, которые
возникают при переходе от нормальной системы к другой системе
как гравитационное поле, то мы предполагаем преобразование
состояния движения. Однако поскольку преобразования
состояния движения не являются единственными координатными
преобразованиями четырехмерных пространственно-временных
многообразий, то тождество метрического тензора и
гравитационного тензора говорит о чем-то большем, нежели
было первоначально выражено принципом эквивалентности.
Даже чисто пространственные координатные преобразования
должны теперь интерпретироваться как переход к новым
гравитационным полям. Если мы, например, переходим к
трехмерным полярным координатам, тогда как временная координата
остается неизменной, то величина g^ будет принимать форму,
отличную от матрицы (15, § 39) К Следовательно, для этих
1 Полагая г «=■ X\t Ф =* х2 и 9 = дг3, получаем следующую величину g^*
1 О О
g =° А о
О 0 х\ cos2 *2.
Легко можно убедиться в том, что частные производные ■ не исчезают
UXq
повсеместно.
276
координат должно существовать гравитационное поле. Чисто
временные преобразования, которые оставляют
пространственные координаты неизменными и не выражают изменения в
состоянии движения, означают изменение определения
одновременности, например определение одновременности, задаваемое
формулой (1, § 27). Они также будут вызывать отклонение
метрического тензора g^ от нормальной формы и порождать
некоторое гравитационное поле. Отождествление метрического
тензора g^ данной системы с гравитационным полем придает
понятию гравитации более широкий, хотя и несущественный
смысл, ограниченный введением динамических гравитационных
полей. Но благодаря своей всесторонности понятие гравитации
доступно математической трактовке с помощью геометрии Ри-
мана.
Если же мы хотим избежать слишком общей трактовки
гравитации, то мы можем использовать понятие метрического
поля. Все системы g' выведенные из систем g^v путем
преобразований координат, представляют собой лишь различные
разложения одного и того же тензора на компоненты. Этот
тензор, или метрическое поле, является, следовательно,
независимым от специфических координатных систем. Если мы
отождествляем теперь гравитационное поле с метрическим полем g,
то полярные координаты и системы, в которых
одновременность устанавливается согласно иному определению, будут
обладать теми же самыми гравитационными полями, что и
система, из которой они получены в результате преобразований.
Таким образом, мы можем сохранить интуитивно
предполагаемое нами свойство гравитационного поля, а именно его
независимость от преобразований координат. Конечно, это
приводит к необходимости допустить также вывод, что
преобразования состояний движения не будут менять состояний
гравитационного поля, поскольку они оставляют метрическое поле
инвариантным. Всех этих трудностей можно избежать, если
мы вспомним, что прежнее понятие гравитации распадается
теперь на два отдельных понятия. Одним из них является
понятие метрического поля, которое воспринимает от прежнего
понятия гравитации свойство независимости от координатной
системы. Другим же является система компонент метрического
поля, которые сохраняют остальные свойства прежнего
понятия гравитации и на которые обычно ссылаются как на
гравитационное поле. Неудивительно, если мы обнаружим, что это
более узкое понятие гравитации приписывается полям, которые,
собственно говоря, не могут быть подведены под прежнее
понятие гравитации.
Мы можем продолжить анализ. Поскольку мы в состоянии
показать, что метрическое поле пространства является
одновременно и проявлением гравитации, может быть поставлен
277
вопрос о причине данного метрического поля. Обычно этот
вопрос не ставится, потому что геометрия пространства
воспринимается как факт, не требующий никаких причинных
объяснений. Однако причина гравитации была известна. Со времен
Ньютона на гравитацию смотрели как на действие масс. Эта
концепция была дополнена идеей Маха, утверждавшего, что
массы являются также и причиной инерции. Далее, если
гравитация и инерция, объединяясь, образуют поле g^Vi то
отсюда вытекает вывод, что причину поля g^, а, следовательно,
также и причину геометрии нужно искать в распределении
масс и что должен существовать закон природы,
определяющий, каким образом поле g^ соотносится с распределением
материи.
В классической механике этот закон задается уравнением
Ньютона:
f = jnp_ (3)
или соответствующим дифференциальным законом
Аф = 4яр, (4)
так называемым уравнением Пуассона. Оно показывает, каким
образом материя р определяет гравитационное поле ф. В
теории гравитации Эйнштейна тензорное поле g^v занимает
место скалярного поля ф, и вместо скалярной массы р мы
имеем тензор материи j^v, который представляет плотность
массы и внутренние напряжения материи. Направляемый этой
аналогией, Эйнштейн угадал, так сказать, новый закон:
#nv ~ J SuvR = — *7Vv (Б)
Левая сторона уравнения (5) — сложная функция величин
g,j,v, которая сокращенно выражается символами «Z?^» и «R»\
k — константа. Этот закон подразумевает уравнение (4): он
показывает, как гравитационное состояние g^ может быть
вычислено из распределения материи Т^. Однако поскольку
величина g^y представляет также и метрический тензор в
отличие от классической гравитационной функции ф, то
уравнение (5) утверждает нечто существенно новое по сравнению с
уравнением (4): оно поясняет, как геометрия Вселенной
определяется распределением материи. Эйнштейновы уравнения
поля выражают, следовательно, новый закон природы, о
существовании которого ранее не подозревали.
Уравнение (5) представляет собой наиболее
фундаментальную идею теории гравитации Эйнштейна как в физическом,
так и в философском смысле. Рассмотрим сначала его
физическое значение. Уравнение (5) дает ключ к упомянутым
ранее эффектам теории относительности: отклонению света и
замедлению часов в гравитационном поле. Поскольку поведение
часов и света определяется величиной g^ и поскольку Т^
278
представляет массы звезд, то эти эффекты могут быть теперь
строго вычислены с помощью уравнения (5). Соображения, в
общих чертах представленные в § 36 и основанные на
ньютоновой теории гравитации, могут быть в лучшем случае лишь
аппроксимациями. Более того, выражение (5) подразумевает
изменение в физическом содержании закона тяготения. Он
отличается от закона (4), даже если мы рассматриваем
величины gp,v только как гравитационные функции. Это очевидно,
поскольку в уравнении (5) гравитационное поле в каждой
точке характеризуется 10 параметрами, тогда как в уравнении
(4) — только одним. Соотношение (5) может, следовательно,
содержать ньютоново гравитационное поле ф только как
некоторую аппроксимацию. В самом деле, может быть показано,
что данная аппроксимация реализуется, когда все компоненты
g^v, за исключением компоненты gu, приближаются к
нормальному виду. В этом случае gu = Ф- Если бы нам нужно
было рассчитать из уравнения (5) чисто гравитационные
процессы, например движение материальной точки вокруг центра
масс, то этот результат несколько отличался бы от результата,
вычисленного из уравнения (4). Движение планет в теории
Эйнштейна отличается, следовательно, от движения планет в
теории Ньютона. Она утверждает, что в дополнение к их
эллиптическому движению имеется слабое вращение
эллиптических орбит. Этот вывод был подтвержден смещением
перигелия планеты Меркурий — явлением, которое было известно
уже давно.
Рассмотрим теперь отождествление гразитации и метрики с
философской точки зрения. Высказывается мнение, что эта
концепция лишает гравитацию ее физического характера и что,
следовательно, гравитация становится геометрией. Далее мы
попытаемся установить, является ли это заключение
обоснованным.
В § б мы говорили о различии между универсальными и
дифференциальными силами. Эти понятия важны здесь,
поскольку мы нашли, что гравитация есть некоторая
универсальная сила. В самом деле, она воздействует на все тела
одинаковым образом. В этом и состоит физическое значение
равенства гравитационной и инерциальной масс. Если бы
гравитационная и инерциальная масса были неравны, мы не смогли
бы рассматривать пути свободно падающих точечных масс как
(четырехмерные) геодезические, поскольку для точечных масс,
состоящих из различных веществ, получали бы различные
геометрии. Более того, в силу влияния гравитации на свет он
может рассматриваться в этой геометрии как реализация
ds2 = 0, и гравитационное влияние на бесконечно малые часы
и стержни может выступать как реализация ds2 = ±1. Это
универсальное влияние гравитации на все виды измерительных
инструментов определяет, следовательно, единую геометрию,
279
В этом отношении мы можем сказать, что гравитация геомет-
ризована. Мы говорим не об изменении, вызываемом
гравитационным полем в измерительных инструментах, но об
измерительных инструментах как «свободных от деформирующих
сил», несмотря на гравитационные эффекты.
Однако мы убедились в том, что применительно к
геометрии, как и ко всем остальным явлениям, мы должны поставить
вопрос о причинности. Даже если бы мы не вводили некоторую
силу для того, чтобы объяснить отклонение измерительного
инструмента от нормальной геометрии, мы должны были бы
все же обратиться к какой-то силе как причине того факта,
что существует общее соответствие всех измерительных
инструментов. Мы выразили эту идею в § 31 при помощи понятия
приспособления. В этом смысле мы должны приписать
гравитационному полю физическую реальность как силовому полю. Мы
рассматриваем это силовое поле как причину самой геометрии,
а не как причину нарушения геометрических отношений.
Мы всегда можем физически продемонстрировать
существование этого силового поля, поскольку гравитационное поле
измеряется теми же инструментами, что и применяемые в
геометрии. Эти измерительные инструменты являются одновременно
индикаторами гравитационного поля. Следовательно, мы
преобразуем реальные отношения, когда говорим о сведении
механики к геометрии: не теория гравитации становится
геометрией, а геометрия становится выражением гравитационного
поля. Теория относительности не превращает часть физики в
геометрию. Физика включается в геометрию даже в большей
степени, чем можно полагать, исходя из эмпирической теории
физической геометрии. Геометрия вселенной есть не только
факт, который может быть установлен эмпирически, но также
и факт, который должен быть объяснен как эффект действия
сил. В дополнение к проблеме измерения физического
пространства, известной со времен Гаусса, Римана и Гельмгольца,
Эйнштейн ввел проблему научного объяснения физической
геометрии, которая находит свое математическое решение в
уравнениях гравитационного поля.
Согласно теории Эйнштейна, мы можем считать, что
действия гравитационных полей на измерительные инструменты
должны быть такими же, как и все известные нам действия
сил. Его концепция находится в противоречии с точкой зрения,
которая интерпретирует геометризацию физики как некое
исключение сил из объяснения планетарного движения. Такая
интерпретация основана на законах движения материальной
точки. В классической механике эти законы утверждают, что
точка, свободная от действия сил, движется по прямой линии.
Вместо «по прямой линии» Эйнштейн поставил «по
геодезической линии». Однако, поскольку данная характеристика
гравитационного поля содержится в геометрии, эти законы включают
MQ
даже тот случай, когда точка подвергается воздействию
гравитационных сил. Движение планет и движение точки, свободной
от воздействия сил, подчиняются, таким образом, единому
закону, который утверждает, что данная точка движется вдоль
геодезической. Этот результат подводит к мысли о чисто
геометрической концепции гравитационного движения.
Соответственно планета следует своему искривленному пути не потому,
что на нее воздействует некоторая сила, но потому, что
пространственно-временное многообразие, так сказать, не оставляет
ей альтернативного пути. Ее движение похоже на движение
шарика, катящегося по неровной поверхности, как бы следуя
по определенным кривым.
Эта точка зрения верна, поскольку в соответствии с
принципом близкодействия мы считаем, что движение планеты
должно вызываться состоянием метрического поля в
непосредственной близости от нее. Таким образом, мы отказываемся от
ньютоновой концепции дальнодействия, согласно которой
планеты движутся вокруг Солнца как бы при помощи некоторой
струны. Вместе с тем не только это метрическое поле
определяется 1 удаленными массами через подлинно физические
процессы распространения причинных воздействий, но и само
воздействие метрического поля на планету может быть
интерпретировано как подлинно физическая сила, направляющая
планету по пути. Причинная обусловленность данной орбиты
природой пространства несовместима с нашими обычными
физическими понятиями. Если шарик катится по материальной
плоскости, то, выражаясь схематически, можно сказать, что
геометрия данной плоскости влияет на путь шарика. Мы
знаем, что более детальное исследование обнаружит наличие
молекулярных силовых полей, воздействующих на молекулы
плоскости и шарика и принуждающих его, таким образом,
следовать определенному пути. Так, уже в классической
физике геометрические эффекты сводятся к эффектам динамическим.
Даже в пустом евклидовом пространстве, где точечная масса
движется по прямой линии, согласно закону инерции, мы не
должны считать этот путь следствием геометрии, которая
разрешает данной точечной массе двигаться по кратчайшему пути.
Здесь также обнаруживает себя ведущее гравитационное поле,
тензор которого g^ сводится к нормальному виду, которое
благодаря силе вынуждает материальные точки двигаться вдоль
определенной орбиты.
Следовательно, признание связи гравитации и геометрии не
ведет к отказу от динамических концепций, а говорит о том,
что такие концепции применимы даже в тех случаях, которые
1 Изменения в метрическом поле, обусловленные изменениями в распре-
делении материи, распространяются со скоростью света, а не происходят
мгновенно.
281
ранее трактовались чисто геометрическим образом. Более
нельзя считать, что геометрия пространства независима от
физических реальностей. Геометрическое измерение есть
оперирование индикаторами. Их метрика есть одновременно та мера
поля, которая определяет их взаимное приспособление.
§ 41. Пространство и время
в специальных
гравитационных полях
Перейдем теперь к более подробному описанию геометрии
гравитационного поля. Сошлемся здесь на § 27, где мы
охарактеризовали свободное от гравитации пространство с
помощью некоторых специальных аксиом, разрешающих выбор тех
или иных координатных систем. Представленный в § 27
переход от элементарного понятия временного порядка к полной
метрике имеет фундаментальное значение: если мы следуем в
противоположном направлении и постепенно опускаем
специальные аксиомы, то уровни этого перехода становятся
уровнями возрастающего обобщения гравитационного поля.
Пространственно-временные свойства гравитационного поля на каждом
уровне заданы, таким образом, теми аксиомами, которые
удовлетворяются на этом уровне.
Первый шаг в этом направлении состоит в пропуске
аксиомы V1, которая постулирует возможность выбора координатной
системы с помощью евклидовой геометрии света. Пространство,
характеризуемое остающимися четырьмя аксиомами (I—IV),
соответствует пространству статического гравитационного поля.
Здесь вновь, как и в случае свободного от гравитации
пространства, следует принимать во внимание возможность
связать пространственные точки координатной системы жесткими
стержнями. Одних только аксиом света по-прежнему
недостаточно для того, чтобы дать исчерпывающее определение
состояния движения. На языке геометрии Римана для статического
гравитационного поля характерно, что хотя величины g^ и
не предполагают более нормальной формы g^v (15, § 38), но
имеют все еще довольно простой вид, потому что задаются
только функциями пространства координат, независимо от
времени, с дополнительным условием, что величина (ga4) (аш
= 1, 2, 3) исчезает.
В таком гравитационном поле пространство и время все
еще обладают очень простыми свойствами, как и в случае
отсутствия гравитации, за исключением того, что геометрия
пространства является неевклидовой. Время же, с другой стороны,
1 Номера отсылают к формулировке аксиом в [А]. — Прим. перев.
282
сохраняет свое особое свойство, согласно которому
эйнштейновское определение одновременности (2, § 19, при г = V2)
ведет к симметричной и транзитивной синхронизации. Мы
показали это в § 27, предшествовавшем введению аксиомы V.
Мы можем, следовательно, понимать время статического
гравитационного поля аналогично времени инерциальной системы.
Разница лишь в том, что перемещаемые часы испытывают
отклонение не только по отношению к одновременности данной
системы, но и по отношению к единице времени, передаваемой
световым сигналом. Эта единица времени не может,
следовательно, перемещаться, однако различие между перемещаемой
единицей и проецируемой единицей зависит только от
положения, а не от пути перемещения.
Это следует из того, что часы указывают интервал,
который сводится к величине
— g^dx\ = ds2 (1)
для часов, находящихся в состоянии покоя. Если величина g\4
различна для двух точек Р и Р\ тогда соответствующие dx4
должны также быть различными, поскольку единичные часы
дают одно и то же ds. Если мы теперь назовем dx4 единицей
координатного времени в Р и dx\ временной единицей в
системе Р\ которая передавалась посредством световых
сигналов из системы Р согласно уравнению (1, § 27), то тогда мы
имеем
dxA: dx\ = д/^44: V^44- (2)
Эта формулировка является выводом из положения о
замедлении часов в гравитационных полях (красное смещение),
о котором кратко говорилось в § 36. Она утверждает только,
что указанная единица временной координаты не может быть
перенесена. Однако мера временного интервала в точке Р
задается не величиной dx4t но величиной <y/g44 dx4. И поскольку
она везде реализуется посредством часов, то данная мера
временного интервала может, очевидно, перемещаться. Эту
особенность более четко характеризует другой способ. Можно
попытаться определить временную координату таким образом,
чтобы равные меры времени соответствовали везде равным
dx4i то есть gu было равно — 1. Хотя мы можем сначала
объединить это правило для меры времени с произвольным
определением одновременности, которое устанавливает
неравенство для коэффициента е, заданное в формуле (3, § 19),
все же одновременность стала бы постепенно сдвигаться
таким образом, что позднее это неравенство было бы нарушено
и одновременными стали бы события, временной порядок
которых определен. Время, введенное таким образом, нарушало
бы, следовательно, фундаментальное топологическое требова-
283
ние измерения времени. Поэтому мы можем сказать, что в
гравитационном поле невозможно определить такую временную
координату, которая везде соответствовала бы данной мере
времени.
Вернемся к вопросу об измерении пространства.
Пространственная конгруэнтность задается собственной длиной жестких
стержней. Поскольку события, одновременные на обоих концах
стержня в смысле его естественной длины, одновременны
также и в смысле координатного времени в статическом
гравитационном поле, мы имеем для собственной длины dx\ «а 0 и
ds2 сводится к
ds2 = ga$ dxa dxp a, p =» 1, 2, 3. (8)
Это означает, что пространственная конгруэнтность
определяется непосредственно жестким стержнем. Два стержня, равные
по длине при сравнении их в одном месте, также называются
равными по длине, когда они расположены в разных местах.
Как и в случае временнбй единицы часов, это определение
конгруэнтности применимо только к мере отрезка,
определенного данными стержнями, тогда как соответствующие разности
пространственных координат dxa(a= 1,2,3) везде являются раз
личными. Следовательно, невозможно построить такие
пространственные системы координат, в которых везде
элиминировалось бы это различие между стержнем и координатными
дифференциалами.
Следовательно, поведение пространственных и временных
измерений некоторым образом параллельно. Измерительные
инструменты еще обеспечивают меру длины, но их нельзя
более использовать для определения однородной координатной
системы. В свободных от гравитации полях оба понятия
совпадают, там часы и стержни обеспечивают как меры, так и
нормальную координатную систему. В гравитационном же поле
мы уже не можем построить нормальную координатную
систему. Вместо этого измерительные инструменты дают нам
величину g^v, которая соответствует избранной координатной
системе.
Эти соотношения имеют специфические следствия
применительно к скорости света. Представим себе, что опыт Майкель-
сона (см. рис. 29) должен быть осуществлен в некотором
гравитационном поле, а плечи интерферометра протянуты столь
далеко, что они выходят за пределы области, в которой
специальная теория относительности применима с достаточной
степенью приближенности. Оба плеча должны быть равны по
длине в смысле уравнения (3), то есть когда вдоль этих плеч
располагаются небольшие измерительные стержни, они
отделяют равное число отрезков на обоих плечах. В этом случае
можно показать, что время прохождения светового сигнала
1284
«туда — обратно» вдоль этих плеч оказывается неравным,
то есть
ABA ф АСА. (4)
Следовательно, равенство расстояний в рамках геометрии тел
расходится с равенством расстояний в геометрии света.
(Выражения в уравнении (4) были бы равны, только если бы
плечи интерферометра Майкельсона стали бесконечно малыми.)
В гравитационных полях скорость света уже не является
постоянной и свет не перемещается вдоль наикратчайшего пути
в пространстве. Однако в некотором статическом
гравитационном поле скорость света все еще не зависит ни от времени, ни
от направления движения. Конечно, мы не можем сказать,
что определение равенства расстояний в геометрии света (10,
§ 27), приводящее к постоянной скорости света даже в этом
случае, является некорректным. Поскольку аксиомы света
I—IV, 2 все еще удовлетворяются, определение геометрии света
осуществляется в постоянном гравитационном поле везде и
всегда, однако оно вступает в противоречие с аксиомами тел.
Интервал ds2y определенный перемещением часов и стержней,
не согласуется более с интервалом, определенным с помощью
света. Выбор определения остается произвольным. Эйнштейн
предпочел определение геометрии тел по причине ее
описательной простоты.
Указанные геометрические соотношения могут служить
иллюстрацией того, что «естественные» определения
пространственной метрики не всегда ведут к той же самой метрике.
Определение длины в геометрии света представляет собой
некоторый стандарт, столь же простой и естественный, как и
заданный геометрией тел. И если оба они совпадают в поле,
свободном от гравитации, то в любом гравитационном поле
этого уже не происходит. Мы столкнемся с подобным
несоответствием в ходе дальнейшего обобщения.
Следующим шагом в нашем обобщении будет пропуск
аксиомы пути «туда — обратно» IV, 2, согласно которой
существуют такие координатные системы, где время, необходимое для
прохождения пути вдоль треугольника, одинаково в обоих
.направлениях. Пространство, характеризуемое остающимися
аксиомами света, соответствует стационарному гравитационному
полю. Дополнительным условием достаточно полного
определения системы координат вновь оказывается здесь связь всех
точек пространства данной координатной системы с помощью
жестких стержней. На языке римановой геометрии
гравитационное поле задается при этом тем условием, что величины g^v
еще не зависят от времени, но в отличие от статического поля
g'a4 (a = 1, 2, 3) не исчезают.
Последнее свойство делает определение времени более
сложным. Скорость света становится разной вдоль двух на-
285
правлений любого отрезка. Мы можем установить это, исходя
из отказа от аксиомы пути «туда — обратно», поскольку
только эта аксиома обеспечивает транзитивность синхронизации,
установленной согласно эйнштейновому определению. Если эта
аксиома более не удовлетворяется, тогда определение
синхронизации не будет удовлетворяться для двух часов,
отрегулированных применительно к некоторым центральным часам
(при условии, что е = у2). Этот результат означает, что не
существует такого определения времени, согласно которому
скорость света может быть равной в обоих направлениях на
всем протяжении одного и того же отрезка пути.
В качестве примера подобной стационарной системы может
служить диск, вращающийся относительно некоторой инерци-
альной системы К. Для этого диска мы можем получить
достаточно простое определение времени, если мы установим
часы в его центре и синхронизируем с ними все часы на диске,
принимая е = 7г (1, § 27). Двое часов на периметре диска
будут в этом случае иметь относительно друг друга различные
величины е, постоянные тем не менее во времени и
зависящие от соответствующих положений часов. Такое определение
времени является, следовательно, вполне правдоподобным.
Между прочим, оно идентично с эйнштейновым определением
времени в системе К, то есть любые часы на диске всегда
показывают то же время, что и соответствующие часы системы К,
над которыми они расположены в данный момент времени.
Важно отметить, что в стационарных системах даже
пространственные измерения предполагают некоторые довольно
сложные свойства. Собственная длина ds единичного стержня,
составляющая некоторый интервалу уже не идентична
пространственной длине (da) стержня, согласно уравнению (3),
потому что длина (da) измеряется двумя событиями,
происходящими на двух концах стержня и одновременными в
смысле одновременности стационарных систем. Однако поскольку
эта одновременность не согласуется с эйнштейновым
коэффициентом е = V2, данные события не являются
одновременными в смысле характеристической длины. Вследствие этого
пространственная конгруэнтность стационарных систем не
определяется более жесткими стержнями. Здесь должен
подключаться корректирующий множитель1, который зависит как
от положения, так и от направления. В отличие от
статического поля это означает не только различие в
пространственных координатных дифференциалах, определяемых стержнем,
но также различие в мере длины, определяемой этим
стержнем. Два стержня одинаковой длины при сравнении их в
одном месте оказываются разными по длине в отдалении друг
1 Эта коррекция связана с так называемым парадоксом круга. Ср. [А],
§44.
286
от друга (при этом они всегда будут иметь одинаковую длину,
если сравниваются в одном месте после перемещения в это
место по разным траекториям). Следовательно,
пространственная геометрия стационарных гравитационных полей не
основывается более на определении конгруэнтности при помощи
жестких тел.
Изменение этой единицы при перемещении может быть
интерпретировано как действие какой-то силы, которая имеет
здесь свойство универсальной дополнительной силы.
По-видимому, это определение конгруэнтности противоречит нашим
выводам в § 5 и 6, согласно которым универсальные силы
исключались по определению. Однако данная ситуация является
более сложной: если эйнштейново определение интервала ds2 с
помощью часов и стержней исключало универсальные силы из
четырехмерного многообразия, то теперь такие силы
оказываются неизбежными в трехмерном пространстве.
Если же, напротив, мы должны определить
пространственную конгруэнтность на вращающемся диске с помощью
жестких стержней при условии исключения универсальных сил, что,
конечно, также допустимо, то мы ввели бы тогда
универсальные силы в четырехмерное пространство — время и должны
були бы, таким образом, отказаться от эйнштейновой
реализации интервала ds2. Следовательно, здесь появляется
некоторое расхождение между двумя естественными определениями
метрики в рамках самой геометрии тел. Поэтому мы не можем
полностью устранить универсальные силы путем
преобразования. Это показывает, что существуют определенные
ограничения для произвольного характера определений.
§ 42. Пространство и время
в общих
гравитационных полях
Перейдем наконец к наиболее общим гравитационным
полям, опуская аксиому IV, 1, которая постулирует
существование стационарных систем, где время ABA пути светового луча
является постоянным для любых двух точек. На языке рима-
новой геометрии это системы с произвольной величиной g^v1,
которая изменяется с изменением положения и времени.
Как должны мы понимать пространственно-временную
метрику такого многообразия? Здесь мы сталкиваемся с миром
na'vta pei, где в самом деле все находится в состоянии непре-
1 Здесь следовало бы добавить определенные условия с помощью
некоторого детерминанта, выражающего индефинитный характер
фундаментальной квадратичной формы. См. [А], § 48.
287
рывного течения. Если бы мы должны были измерить диаметр
и периметр круга, то их частное сегодня было бы не таким,
как завтра. В самом деле, сделанный сегодня из проволоки
материальный круг не был бы завтра кругом, так как его
изогнули бы флюктуирующие гравитационные поля.
Следовательно, статические структуры невозможны в этом мире,
который со временем все сгибает и скручивает. Здесь понятие
жесткости теряет свой смысл, в нем «твердыми» телами,
которые не ломаются, были бы только резиновые шнуры. Ранее
(см. § 34) мы установили относительность понятия
относительного покоя и показали, что жесткость твердых тел есть
только удобное определение относительного покоя. Некоторые
координатные системы обладают таким свойством, что все их
точки могут быть связаны жесткими стержнями и, связанные
таким образом, с течением времени сохраняют свое
тождество. Эти специфические свойства исчезают в более общих
гравитационных полях. Конечно, мы все еще могли бы
определять конструкцию из стальных балок как внутренне
находящуюся в состоянии покоя, устраняя, по определению, таким
способом ее внутреннее движение. Это было бы возможно,
если бы флюктуации метрического поля были еще
недостаточно сильными, чтобы превысить пределы упругости материала
и разрушить конструкцию. Однако мы бы также нашли, что
соответствующая конструкция, сделанная из медных балок,
которая первоначально была одинаковой с первой по своим
размерам и форме, приобрела бы через некоторое время иные
размеры и форму. Следовательно, ее точки должны были бы
двигаться относительно первой конструкции. Поэтому жесткие
тела уже нельзя было бы определять как жесткие в силу
отличия их свойств упругости. Таким образом, мы теряем
возможность определять некоторое геометрическое состояние как
жесткое с помощью твердых тел, поскольку это определение
основывалось прежде всего на однородном поведении
различных материалов. А это значит, что геометрии жестких тел
более не существует.
Подобные соображения возникают и для геометрии света.
Световые лучи не могут более определяться как прямые
линии, потому что их пути вперед и назад не совпадают. Прямая
линия от Л к Б будет отличаться от прямой линии от В к Л.
Даже точки, через которые свет проходит в одном
направлении от А к В, будут меняться с течением времени. Свет теряет
также свою уникальность по отношению к времени,
поскольку не существует более специфического определения
одновременности, на основе которого скорость света признается
постоянной. Каким бы образом мы ни установили наши часы, не
только скорость света будет, вообще говоря, различной в
разных точках, но различными будут также значения линейных
элементов, проходящих через одну и ту же точку; эти значе-
288
ния подвержены изменениям с течением времени.
Следовательно, в этих наиболее обших гравитационных полях также не
существует больше геометрии света.
Возникает вопрос, остается ли нечто такое, что можно было
бы назвать геометрией? Если не существует никаких жестких
тел, тогда наше первоначальное определение физической
геометрии как системы отношений жестких тел теряет силу, а
если не существует никакой геометрии света, тогда свет не
может занять место твердого тела в координативной
дефиниции геометрии. Соединение геометрии и гравитации, которое
следует из теории относительности, имеет, следовательно,
особое значение. Величайший успех этой теории состоит в
объяснении геометрии, раскрывающем поведение измерительных
инструментов как эффект некоторого гравитационного поля. Но
эта концепция подчиняет геометрию изменяемости
гравитационных явлений, и геометрия теряет свою определенность в тех
полях, где поведение измерительных инструментов
неоднородно. Разумно ли тогда говорить о геометрии в таких
гравитационных полях?
Как решает эту проблему физик? Он использует
применимость специальной теории относительности к бесконечно
малым областям. В этих областях, которые практически
являются достаточно большими применительно к сфере человеческих
отношений, поскольку отклонения от геометрии специальной
теории относительности появляются только в астрономических
масштабах, он может с достаточной точностью установить
метрические отношения, согласно методам специальной теории
относительности. Он может использовать геометрию света и
найти достаточное число жестких тел. Он может
воспользоваться этими телами, если предположит, что их аксиомы
удовлетворяются только для ограниченных областей пространства
и так как величины g^v рассматриваются как переменные во
времени, если он ограничивает себя малыми временными
интервалами. Следовательно, он будет рассматривать как
флюктуирующие только явления больших масштабов. Он может
определить теперь даже крупномасштабную метрику, трактуя
флюктуирующие явления таким образом, что данная метрика
везде в бесконечно малых областях соответствует метрике
специальной теории относительности. Он стал бы описывать
поэтому пути световых лучей и движения планет с помощью
корректирующих коэффициентов, так что в свою очередь эти
физические процессы определяли бы метрику, соответствующую
везде в бесконечно малых областях специальной теории
относительности. Этот метод дает физическую геометрию для
больших размеров, которая, конечно, не содержит
«непосредственных» реализаций геометрических элементов; она может
определяться «косвенной связью» с физической реальностью. Таким
образом, мы подчиняем этот изменяющийся мир определенной
289
концептуальной системе, которая вынуждает хаос представать
как какое-то упорядоченное течение. Геометрия становится в
этом случае той концептуальной схемой, которая привносит в
хаос порядок.
Это определение физической геометрии является, конечно,
весьма абстрактным. Оно построено путем ссылки на
бесконечно малые области, и мы должны признать, что понятия
пространства и времени, согласно этой точке зрения, могут
иметь смысл только для этих областей.
Пространственно-временные определения такой геометрии не отражают поэтому
отношений больших физических объектов, но только описывают
их поведение относительно бесконечно малых измерительных
инструментов. Такая концепция приводит к заметным
существенным ограничениям первоначального значения понятия
геометрии.
Но можно ли тогда вообще установить между
крупномасштабными структурами в подобном мире такие отношения,
которые рассматривались бы как геометрические? Направление
поисков указывает нам мысль о том, что реализация
геометрических отношений применительно к бесконечно малым
измерительным инструментам устанавливает некоторые отношения и
между крупномасштабными структурами. Дело лишь в том,
чтобы раскрыть эти крупномасштабные отношения. Такая
задача выполнима. С математической точки зрения это та же
самая проблема, что и поиск интегральных свойств римановой
геометрии, которая, как известно, соответствует евклидовой в
дифференциальной области.
Ответ на этот вопрос можно найти в понятиях топологии,
которые мы использовали ранее (см. § 12 и 21). Хотя
метрика римановых пространств полностью произвольна, их
топология вполне определена, поскольку основные топологические
свойства являются общими для всех римановых пространств.
Конечно, допустимы некоторые вариации в топологической
форме, которая может быть сферой, тором, открытым
пространством и т. д. Однако это только специальные случаи,
независимо от которых существует общая топологическая основа,
задаваемая тем условием, что каждое риманово пространство
должно быть «плоским в своих мельчайших элементах», то есть
соответствовать специальной теории относительности. Это
топологическое свойство является общим для всех кривых
поверхностей. Все они построены из «бесконечно малых плоскостей»
и поэтому топологически родственны. Мы можем
сформулировать эти общие топологические свойства, как это мы сейчас
увидим, характеризуя их как свойства «вырезанных областей»
(cut—out regions).
Рассмотрим в качестве примера тор. Любой тор не может
быть отображен на плоскость топологически (непрерывно и
во взаимнооднозначном соответствии), потому что он имеет
290
иную топологическую форму. Однако мы можем вырезать из
поверхности тора определенную область, которая станет
топологически эквивалентной некоторой ограниченной области на
плоскости при соответствующем выборе границы. Кривизна в
этом случае не имеет значения. Невозможность непрерывного
и взаимнооднозначного отображения применима только к тору
как целому, но не к вырезанной области. Поскольку все
кривые поверхности ведут себя подобным образом, можно
топологически отобразить вырезанные области любой поверхности
непосредственно на любую другую. Таким образом, мы находим
способ устранять различия в топологической форме: мы будем
называть два многообразия топологически родственными, если
сможем везде из них вырезать области, которые являются
топологически эквивалентными.
Важно отметить, что в этом утверждении не используется
понятие бесконечно малой области, поскольку мы не говорим,
что оно применимо к конечным областям только в смысле
некоторой аппроксимации и, строго говоря, является
справедливым лишь в некотором пределе. Данное утверждение строго
применимо к конечным областям. Эта характеристика общих
топологических свойств отличается от формулировки,
ссылающейся на «плоскостность в мельчайших элементах» или на
«евклидовость мельчайших элементов», хотя она математически
эквивалентна последней. Последняя формулировка содержит
метрические понятия и может поэтому применяться лишь в
предельном случае. Характеристика с помощью вырезанных
областей использует, однако, исключительно топологическое
понятие, а именно понятие взаимнооднозначного и непрерывного
отображения, которое может удовлетворяться строгим образом
для неисчезающих областей. Если мы говорим о «вырезанных
областях», то мы всегда имеем в виду неисчезающие конечные
области. Следовало бы также отметить, что мы говорим только,
что такие области могут быть вырезаны, поскольку, конечно, не
всякая вырезанная область обладает описанными свойствами.
В целях удобства мы примем правило, что высказывание
«Пространство обладает такими-то и такими-то свойствами
вырезанных областей» означает, что такие области могут быть
вырезаны.
Проблема теперь сводится к нахождению топологических
свойств вырезанных областей пространственно-временного
многообразия наиболее общего гравитационного поля. Ответ на
этот вопрос очень прост: они имеют те же самые
топологические свойства, что и свойства, обнаруживаемые
пространственно-временным многообразием бесконечно малых областей.
Любая кривая поверхность в вырезанных областях
эквивалентна плоскости. Подобным же образом
пространственно-временной порядок в вырезанных областях в наиболее общем
гравитационном поле должен быть топологически эквивалентным
291
пространственно-временному порядку специальной теории
относительности. Это и есть ключ к характеристике геометрии
гравитационного поля.
Мы уже рассматривали топологические свойства
пространственно-временного порядка, анализируя специальную теорию
относительности. Мы обнаружили, что понятие временного
порядка имеет первостепенное значение и что оно может быть
сведено к понятию причинной цепи. Причинная цепь
оказывается фундаментальным топологическим элементом временного
порядка. Понятия раньше, позже и одновременно проявляют
себя как упорядочивающие понятия, посредством которых мы
можем охарактеризовать наиболее общие свойства каузальной
структуры. Более того, последующее рассмотрение покажет, что
даже пространственный порядок может быть основан на
причинной цепи. Определение пространственного расстояния
(см. § 27) равнозначно высказыванию, что некоторая точка
пространства находится дальше, если распространению
причинных воздействий требуется большее время, чтобы ее
достигнуть. Используя эти понятия в геометрии света для
определения пространственной метрики, мы предпосылали им их
топологическую основу в форме специальной координативной
дефиниции. Это было понятие пространственной промежуточности,
которое обосновывалось распространением причинных
взаимодействий. Несомненно, это понятие раскрывает основное
значение топологии пространства. Оно содержит ответ на вопрос,
,чтб на самом деле подразумевают, когда говорят о порядке
пространственно смежных областей. Обозначение Сириуса как
более удаленного, а Солнца как относительно более близкого,
означает не что иное, как то, что некоторая причинная цепь,
возникшая у нас, достигнет Сириуса намного позднее, чем
Солнца. «Световой год» астронома, который был первоначально
введен из соображений целесообразности, соответствует
логическому архетипу всех измерений длины. Время и через него
причинность обеспечивают меру и порядок пространства: не только
временной порядок, но и объединенный
пространственно-временной порядок раскрываются как упорядочивающая схема,
управляющая причинными цепями, и, таким образом, как
выражение каузальной структуры вселенной.
Система причинно упорядочивающих отношений независимо
от какой-либо метрики представляет собой, следовательно,
наиболее общий тип физической геометрии, а именно тот тип,
который реализуется большими объектами даже в наиболее
общих гравитационных полях. Если бы жесткость и
равномерность должны были исчезнуть, причинная цепь все же осталась
бы как некоторый тип порядка. Причинная цепь есть реальный
процесс, который составляет непосредственный физический
коррелят чистого упорядочивания геометрии римановых
пространств. Хотя все находится в непрерывном течении, существу-
292
ет все же структура, различимая в этом течении. Она может
быть разложена на цепи, которые определяют строгий
топологический порядок. Анализ понятий пространства и времени,
который был осуществлен теорией относительности и имел своим
кульминационным пунктом отрицание какого-либо
метрического значения геометрии, прояснил познавательное значение
понятий пространства и времени. Во всех
пространственно-временных определениях в конечном счете отражается порядок
причинных цепей.
Причинная теория пространства и времени, к которой нас
привело эпистемологическое исследование оснований теории
пространства и времени, составляет также основу
релятивистской теории гравитации. Только эта теория может раскрыть
физическую структуру, служащую воплощением отношения
пространственно-временного порядка даже тогда, когда все
метрические свойства пространственно-временного континуума
разрушены гравитационными полями. Таким образом, если мы в
причинной теории пространства и времени видим философский
результат теории относительности, то мы все же хотели бы
отметить, что идея причинного пространственно-временного
порядка была осознана задолго до ее появления. И высказал эту
мысль не кто иной, как Лейбниц, который в своей работе
«Initia rerum mathematicorum metaphysica» развил основные
идеи этой концепции К Это развитие не является
непосредственным продолжением работы Лейбница, который, естественно,
не знал об относительном характере одновременности.
Исследование причинной теории пространства и времени было
предпринято автором 2, когда он еще ничего не знал о
соответствующей работе Лейбница. Наиболее замечательным является то,
что Лейбниц, как подлинный философ, оказался в состоянии
понять природу естественнонаучного познания в такой степени,
что спустя двести лет новое развитие физики и анализ ее
философских оснований подтвердили его точку зрения.
С. НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
§ 43. Сингулярность времени
Продолжим теперь разработку более точных выводов,
следующих из причинной теории пространства и времени, с тем
1 См. также: Reichenbach М. Die Bewegungslehre bei Newton,
Leibniz und Huyghens. — «Kantstudien», 1924, v. 29, S. 42H.
2 См.: «Physical. Zeitschr.», 1921, № 22, S. 683, и более подробно в [Al.
Подобные же идеи были развиты К. Левином (см.: «Zeitschr. f. Phys », 1923,
v. 13, 62) и Р. Карнапом (см.: «Kantstudien», 1925, v. 30, S. 331).
293
чтобы выразить общие свойства пространственно-временного
порядка. Математическая формулировка вновь обеспечит нас
удобным подходом к этой проблеме. Основные топологические
свойства специальной теории относительности находят
выражение в основных особенностях ее метрики, а именно в ее
индефинитном характере и ее четырехмерное™. Мы рассмотрим
оба эти фактора, остановившись в этом параграфе на
индефинитном характере метрики.
Индефинитный характер фундаментальной метрической
формы выражает сингулярную природу времени. Однако мы уже
отмечали в § 29, что такая характеристика не дает еще
исчерпывающего описания природы времени. Она отмечает различие
между пространством и временем, но не ведет к полному
пониманию специфических характеристик времени. Одним из
дополнительных существенных свойств времени является его
направленность. Это специфическое свойство основано на том факте,
что время — и только время — служит измерением причинных
цепей, на которых мы основываем нашу теорию пространства и
времени. Время дает направление многообразию причинных
цепей, тогда как пространство отражает только отношение
смежности или соседства между сосуществующими причинными
цепями. Направление причинных цепей есть также направление
мировых линий вещей, идентичных самим себе и
представляющих, следовательно, специальные случаи причинных цепей. Эти
линии наиболее четко выявляют сингулярность времени. Атомы
материального стержня, расположенные рядом друг с другом
на пространственно-подобной мировой линии, отличаются друг
от друга. Они, конечно, связаны динамическими узами, но эти
силы лишь объединяют их в некий комплекс, не нарушая их
индивидуальности. Точки же любой времени-подобной мировой
линии являются состояниями одной и той же вещи. Атом вчера
и атом сегодня тождественны, тогда как атом на левом конце
стержня отличается от атома на правом его конце. Мы можем
обозначить этот вид тождества термином генетическое
тождество (Genidentitat), введенным К. Левином К Возьмем,
например, такую сложную структуру, как человеческий организм.
Г-н А вчера и г-н А сегодня тождественны, но мы не можем
сказать того же о г-не А и г-не В. Если бы не существовало
этого решающего различия между пространством и временем,
то мы могли бы рассматривать вчерашнего г-на А как
сегодняшнее (или даже вчерашнее) продолжение г-на В и могли бы
построить мировую линию человека как проходящую через две
различные индивидуальности.
Теория генетического тождества была поколеблена отказом
от понятия субстанции, вызванным пересмотром теории эфира.
Согласно теории генетического тождества, нет необходимости
1 См.: L е w i п К. Der Bergriff der Genese. Berlin, 1922.
294
A7
A6
ни
ббоо
A50 4 0 QEQ 9
Г / I
a44 4 \Л я я
А30 О
Аоб
///////
ПИН
1//1//
ИИ*
/I / / / / /
ни
III/
и*
//////
НИИ
I 1\1
ШШл
/ /
и
А1
Рис. 46. Произвольность разложения непрерывного поля на
мировые линии.
рассматривать мировые линии любого материального поля как
идущие в одном определенном направлении, характер их
переплетения в известной степени произволен. Если состояние
некоторого поля представлено графически обычным способом, как
это показано на рис. 46, тогда вертикальные линии, точно так
же, как и наклонные пунктирные линии, могли бы
рассматриваться как мировые линии отдельных «полевых частиц».
Частица А\ предполагалась бы, таким образом, генетически
тождественной с частицами Л2, Аз, так же как и с частицами Б2,
С3, D4... Природа не дает нам на этот счет какого-то жесткого
предписания. Эйнштейн видел в этом факте крушение прежнего
понятия субстанции 1. Это может означать только то (и именно
это утверждал Эйнштейн), что существуют материальные поля,
в которых подобная произвольность имеет место. Таким
образом Эйнштейн хотел охарактеризовать метрическое поле,
которое передает гравитационные силы. С другой стороны,
существуют также материальные поля, в которых имеется
естественное разложение. Примером может служить атомистическое
1 См.: Эйнштейн А. Эфир и теория относительности —В:
Эйнштейн А. Собр. научн. трудов, т I М., 1965, с. 682—689; его ж е
Геометрия и опыт. — Там же, с. 83—94.
295
строение вещества, где узловые пункты связи мировых линий
отнюдь не могут рассматриваться как произвольные в смысле
рис. 46. Мы не будем останавливаться здесь на значении
понятия генетического тождества, поскольку это увело бы нас в
сторону от непосредственной проблемы пространства и времени к
проблемам существования, на которые нет нужды ссылаться в
данном исследовании, поскольку время сохраняет те свойства,
с которыми мы имеем дело даже в непрерывных полях,
согласно рис. 46. Мировые линии на рис. 46 могут быть выбраны
произвольно только в пределах времени-подобного конуса, то есть
они не могут превышать определенный наклон. Даже
непрерывные поля выделяют измерение времени как единственно
соответствующее понятию генетического тождества, понятию,
которому никогда не могут удовлетворять
пространственно-подобные мировые линии.
Понятие генетического тождества тесно связано, таким
образом, с понятием причинности. Различные состояния могут
быть генетически тождественными только в том случае, если
они каузально сопоставимы. Эта концепция согласуется с
нашим определением причинной связи, рассматривающим
причинную цепь как сигнал, то есть как перенос какой-то маркировки.
Чтобы говорить об опознании одной и той же маркировки,
нужно предположить, что пространственно-временное
многообразие имеет как бы волокнистую структуру. Не все мировые
линии могут быть интерпретированы как линии переноса
некоторой маркировки. Однако в то же время наша
характеристика причинности посредством определенной маркировки в
принципе достаточно широка, чтобы включать произвольность в
выборе линий генетического тождества, схематически
изображенную на рис. 46.
Более подробная характеристика топологических свойств
времени дается в § 21 и 22. Законы, сформулированные там,
как аксиомы временного порядка и временного сравнения
охватывают те свойства временного порядка, которые сохраняются
даже в наиболее общих гравитационных полях.
Фундаментальные понятия раньше, позже, неопределенно по отношению к
временному порядку остаются, следовательно, вне воздействия
релятивистского анализа пространства и времени. Эти
фундаментальные понятия составляют ядро физического порядка
времени. Отметим здесь, что тем самым сохраняется интуитивная
основа временного порядка. Релятивистская теория гравитации
не разрушает интуитивного характера времени.
Как мы уже объясняли, справедливость топологических
аксиом временного порядка может утверждаться в
гравитационных полях только для вырезанных областей. Структура мира
как целого не может быть определена, пока в качестве
единственной математической основы будет приниматься
специальная теория относительности, применяемая к бесконечно малым
296
областям. Если описание ограничено бесконечно малыми
областями, то целостные свойства и взаимосвязи будут
неопределенными и вопрос о топологическом характере Вселенной
останется открытым. В частности, аксиома о несуществовании
замкнутых причинных цепей (с. 159) может оказаться неверной для
Вселенной в целом. Во всяком случае, математически можно
представить себе мир, в котором специальная теория
относительности применима для бесконечно малых областей без
каких-либо ограничений и в то же время каузальные цепи
замкнуты для этого мира как целого.
Чтобы лучше представить себе такую возможность,
рассмотрим графическое изображение некоторого двухмерного мира с
одной пространственной и одной временной координатами, на-
S
х >
Рис. 47. Свободный от сингулярности двухмерный мир,
содержащий замкнутые временные линии.
черченное на поверхности цилиндра (рис. 47). Временная
координата соответствует линии, опоясывающей цилиндр,
пространственная координата — линии, идущей в бесконечность в обоих
направлениях, параллельно оси цилиндра. Такое многообразие
не имеет никакой кривизны и в любом отношении
удовлетворяет требованиям специальной теории относительности для
конечных вырезанных областей. Однако как целое оно
обладает особенностью, состоящей в том, что временные линии могут
быть замкнуты. Световой сигнал L будет спиралеобразно
уходить в бесконечность, однако он может быть отражен (в
точке 5) таким образом, что вернется в свою исходную точку.
Эта простая модель строго доказывает возможность существования
замкнутых времени-подобных мировых линий в мире, где специальная теория
относительности является справедливой без каких-либо ограничений.
Доказательство основывается на идее, что геометрическое представление
индефинитной метрики Минковского устанавливают взаимнооднозначное соответствие
между дефинитной и индефинитной метрикой и что некоторая поверхность,
возможная в дефинитном пространстве, будет соответственно вести к
некоторой возможной поверхности в индефинитном пространстве. Это
доказательство отвечает на один из поставленных ранее вопросов (см. [А], § 48). Таким
образом, модель показывает несостоятельность доказательства выполнимости
в реальных системах аксиомы I, 1 (см. [А], с. 148). Это доказательстго
упускало из виду тот факт, что существование замкнутых мировых линий
требует только некоторой «кажущейся сингулярности» (см. [А], с. 142) данной
координатной системы, такой, как сингулярность координатной системы на
рис. 47 в начале временной оси.
297
Ранее мы описывали (с. 162) тот особый опыт, который
может возникать как результат существования замкнутых
причинных цепей. Общая теория относительности должна допускать
возможность такого опыта, поскольку она не признает никаких
иных принципов, касающихся пространственно-временного
порядка, кроме принципов специальной теории относительности
для бесконечно малых областей. Возможно, разумнее было бы
рассматривать этот принцип как недостаточный и исключить
топологические структуры, подобные изображенной на рис. 47,
при помощи некоторой специальной аксиомы. Во всяком
случае, пока все говорит за то, что временной порядок не является
замкнутым.
Этими результатами исчерпывается вклад теории
относительности в проблему времени. Теория относительности
продемонстрировала связь между понятиями времени и причинности
и привела к формулировке общих аксиом временного порядка.
Дальнейшее проникновение в природу времени требует более
подробного анализа понятия причинности. Эта тема будет
предметом обсуждения другой публикации К
§ 44. Число измерений
пространства
Вернемся ко второму из упомянутых выше основных свойств
метрической формы. Ее индефинитный характер выражается
сингулярностью времени. Теперь мы рассмотрим значение ее
размерности. Поскольку одно из измерений отличается от
других в силу сингулярности времени, мы можем ограничить наши
исследования тремя измерениями пространства.
Относительно этого вопроса высказывались различные
точки зрения. Отвечали на него чаще всего в субъективном
смысле. На трехмерность пространства часто смотрели как на
некоторую функцию перцептуального аппарата человека, который
может зрительно представлять себе пространственные
отношения только таким образом. Пуанкаре пытался даже найти
физиологические основания для этого числа; он считал, что два
измерения обязаны своим существованием образу,
возникающему на сетчатке, а «восприятие третьего измерения сводится к
ощущению усилия, сопровождающему аккомодацию, которую
надо выполнить, и к ощущению, сопровождающему то схождс
ние обеих глазных осей, которое необходимо для отчетливого
восприятия предмета»2. Даже если бы это физиологическое
объяснение было обоснованным, оно совершенно упускает из
1 См.: Рейхенбах Г. Направление времени. М., 1962.
2 Пуанкаре А. Наука и гипотеза. — В: Пуанкаре А. О науке. М.,
1983, с. 43.
296
виду тот факт, что число измерений, равное трем, является
прежде всего фактом объективного мира и что функция
зрительного аппарата обусловлена историко-эволюционной адаптацией
к физическому окружению. Это подтверждается нашим
обоснованием существования физической геометрии. Займемся теперь
рассмотрением объективного значения трехмерности
пространства.
Ранее мы показали (см. § 12), что топологические свойства
пространства в большей мере могут рассматриваться как
факты, чем его метрические свойства. Мы показали, что
переопределение геометрии в иной топологический тип ведет к
каузальным аномалиям. Тот же вывод применим и к числу
измерений, которое также представляет собой топологическое
свойство. Два многообразия различной размерности не могут быть
отображены друг на друга путем непрерывного и
взаимнооднозначного преобразования. Введение иного числа измерений
в физическое пространство путем какого-то преобразования —
столь же возможное, как и введение иной геометрии,—
разрушило бы все существующие причинные законы. Характеристика
трехмерности состоит в том, что она, и только она, позволяет
формулировать для физической реальности непрерывные
причинные законы. Мы не можем изменить этот эмпирический
факт, отражающий определенное свойство реальности и
составляющий объективный смысл утверждения о том, что
пространство имеет три измерения.
Ранее мы видели, что измерения пространства сводимы к
измерениям времени и что в наиболее общих гравитационных
полях, где не существует никакой геометрии жестких тел,
порядок пространства может быть определен только как
структура причинных цепей. Теперь мы можем перейти к более
глубокому пониманию связи между размерностью пространства и
понятием причинности. Выше (см. § 27) мы сформулировали
определение 10, согласно которому пространственная
удаленность измеряется временем, необходимым свету, чтобы
преодолеть ее. Если мы теперь отвлечемся от меры, которую дает нам
это определение, то оно будет сведено к более точной форме
определения е (С. 190), предложенного для понятия между, чьи
свойства определяются прежде всего аксиомой G. Оно имеет то
же самое значение, что и принцип близкодействия: причинное
воздействие не может достигнуть удаленных точек
пространства, не пройдя предварительно через промежуточные точки.
Благодаря данному выше определению пространственных
отношений между принцип близкодействия возвышается до
фундаментального принципа пространственного порядка: отношения
соседства в пространстве должны выбираться таким образом,
чтобы удовлетворялся принцип близкодействия. Этот принцип
выражает предписание, предлагаемое понятием причинности
для топологии пространства.
»99
Из дальнейшего изложения мы увидим, что этот принцип
определяет размерность пространства. Прежде всего, следует
принимать как эмпирический факт существование по крайней
мере одной размерности, удовлетворяющей принципу близко-
действия. Однако если такая размерность существует, то она
может быть только одна. Сведение к другому числу измерений
всегда нарушает принцип близкодействия, потому что не
существует никаких непрерывных и взаимнооднозначных
преобразований между пространствами разных размерностей. В этом нам
видится основа для определения числа измерений. Проследим
эту идею более детально на простом примере.
В физике существует ряд случаев, где мы фактически имеем
дело с преобразованиями пространства в более высокую
размерность, а именно когда мы используем так называемое
параметрическое пространство. Представим себе, например,
состояние облака молекул, как это случается в газе. Состояние
газа может быть определено в любой момент времени t, если
известны три координаты каждой из п молекул, то есть оно
задано спецификацией п точек в трехмерном координатном
пространстве. Вместо этого мы можем рассматривать все
координаты как измерения 3/г-мерного пространства, которое
называется параметрическим пространством. Состояние газа тогда
задается одной точкой в этом Зп-мерном пространстве. Очевидно,
эти описания являются эквивалентными; одно из них всегда
может быть преобразовано в другое. Несмотря на это, мы
рассматриваем параметрическое пространство лишь как некоторое
математическое средство, не имеющее никакого объективною
значения, тогда как трехмерное пространство мы считаем
реальным пространством. Как обосновать такое различие,
обычно принимаемое как самоочевидное без каких-либо дальнейших
объяснений? Разве эквивалентные описания не соответствуют
равным образом реальности?
Ответ состоит в том, что эти описания не являются
эквивалентными описаниями. Принцип близкодействия выносит
решение в пользу описания с помощью координатного пространства.
Мы объясним это, используя пример, когда параметрическое
пространство имеет столь малое число измерений, что может
быть схематически изображено обычным образом (рис. 48).
Рассмотрим две независимые материальные точки,
движущиеся по прямой линии. В этом случае координатное пространство
является одномерным, а параметрическое — двухмерным.
Состояние системы точек в данный момент времени определяется
двумя координатами Х\ и х2 материальных точек.
Следовательно, расположение точек задается либо двумя точками р\
и /?2 в одномерном координатном пространстве, либо одной
точкой Р в параметрическом пространстве. С формальной точки
зрения мы можем представить себе движение такой системы
точек либо как движение двух точек в одномерном
пространно
p2-
/N
I
I
I
7
I
I
1
Рис. 48. Распространение возмущений в параметрическом
пространстве.
стве, либо как движение одной точки в двухмерном
пространстве. Но если мы теперь введем принцип близкодействия,
описания перестают быть эквивалентными.
Рассмотрим такое возмущение в одномерном пространстве,
как звуковая волна, возникающая в точке р\. Согласно
принципу близкодействия, она будет постепенно распространяться
из точки /?i в обоих направлениях. Какова будет ее
конфигурация в двухмерном параметрическом пространстве? Каждая
точка Р данной плоскости соответствует комбинации двух
точек pipK на оси х\. Все комбинации (р\рк) лежат на прямой
линии р\Р. Поскольку возмущение действует в точке /?ь оно,
следовательно, должно воздействовать на все точки на линии
РхР одновременно, и распространение возмущения будет
представлено боковым сдвигом линии р\Р в направлении стрелки.
Однако в то же самое время должен возникнуть некоторый
горизонтальный, симметрично расположенный фронт возмущения
р\Ру поскольку точка р2 также будет испытывать возмущение,
коль скоро ее достигнет область возмущения. В то время как
в координатном пространстве возмущение распространяется из
некоторого центра, в параметрическом пространстве оно не
имеет центральной точки, но действует непосредственно на две
пересекающиеся прямые линии. Этот факт показывает, что
«реальным пространством» в этом примере является одномерное.
301
Только для одномерного пространства справедлив принцип
близкодействия, тогда как в двухмерном пространстве
существуют бесконечные скорости распространения возмущений вдоль
пересекающихся прямых линий.
Кроме этой интерпретации, существует другая, в которой мы говорим не
р бесконечных скоростях распространения возмущений вдоль прямой линии,
а о предустановленной гармонии. Всякий раз, когда в одной из точек,
лежащих на данной прямой линии, возникает возмущение, оно в то же самое
время возникает и во всех других ее точках, потому что в каждой точке имеется
соответствующая причина для возникновения возмущения. Эти две
интерпретации являются эквивалентными и представляют собой одно и то же
нарушение принципа причинности. Признание принципа близкодействия исключает,
следовательно, идею предустановленной гармонии (см. также с. 85).
Мы должны обосновать наши выводы более подробно.
Переход от координатного пространства к параметрическому
предполагает некоторую произвольность, и нам следует теперь
более точно определить предположение, согласно которому
точечное возмущение в координатном пространстве превращается
в линейное возмущение в параметрическом пространстве. Если
точка р\ лежит в пределах области данного возмущения, ее
путь будет отклонен. Таким образом, путь представляющей ее
точки Р также будет отклонен, и произойдет это независимо от
того, будет затронута возмущением точка р2 или не будет. Из
предположения, что отклонение точки Р может случиться,
только если Р лежит в пределах области возмущения в
параметрическом пространстве, с необходимостью следует, что
возмущение в параметрическом пространстве должно возникать вдоль
некоторой линии и не может быть ограничено областью,
непосредственно близкой к точке.
Это возмущение имеет и вторую особенность. Прежде всего,
оно не оказывает никакого влияния на состояние движения
точки /?2, поскольку воздействует только на точку рь В
двухмерном параметрическом пространстве оно может, следовательно,
воздействовать на точку Р данной системы лишь некоторым
ограниченным образом, а именно: возмущение может изменить
лишь координату х\, но не координату #2 точки Р. Если РР'
есть отрезок невозмущенного пути точки Р, а РР" есть
соответствующий отрезок пути точки, подвергшейся возмущению,
тогда точки Pf и Ph\ лежащие на одной и той же
горизонтали, должны соответствовать одновременным событиям. Путь
точки Р получает от линейного возмущения только некоторую
выпуклость в сторону, перпендикулярную фронту возмущения.
Центральное возмущение, распространяющееся в координатном
пространстве во всех направлениях, в параметрическом
пространстве будет линейным и будет распространяться в одном
направлении.
Если, с другой стороны, процесс возмущения в двухмерном
пространстве был бы центрально ориентирован, то он таким же
образом был бы ориентирован и в одномерном пространстве,
802
Возмущение, распространяющееся из центра в точке Р, будет
представлено в одномерном пространстве двумя возмущениями,
которые воздействуют на точки pi и р2 одновременно и
распространяются из центра к каждой из этих точек. Между
этими двумя возмущениями существовало бы дальнодействие: если
бы точка р\ вступала в одну из областей возмущения, то она
испытывала бы возмущение только в том случае, если бы
удаленная точка /?2 была бы расположена одновременно в другой
области возмущения К Центральное близкодействие в
параметрическом пространстве вело бы, следовательно, к
дальнодействию в координатном пространстве. В этом случае мы говорили
бы, что двухмерное пространство является «реальным», тогда
как одномерное пространство есть только математическое
средство.
Как указывалось ранее, описанное различие в
распространении причинности в этих двух пространствах основано на том
факте, что никакое непрерывное взаимнооднозначное
преобразование между пространствами различных размерностей
невозможно. Может существовать только преобразование,
изменяющее элементы этого пространства, то есть точка в двухмерном
пространстве соответствует комбинации точек в одномерном
пространстве, а точка в одномерном пространстве
соответствует некоторой прямой линии (или пересекающимся прямым
линиям) в двухмерном пространстве.
Распространить сказанное на более высокое число
измерений не составляет труда. Если координатное пространство
является двухмерным, а параметрическое м-мерным (м>3), то
возмущение в координатном пространстве, которое подчиняется
принципу близкодействия, будет представлено в
параметрическом пространстве пересекающимися гиперплоскостями,
движущимися в сторону. Эти гиперплоскости вновь могут
испытывать возмущения только некоторым ограниченным образом, и
они будут покрывать с течением времени цилиндрическую
область, имеющую трехмерное поперечное сечение. Любое
центрально-симметричное возмущение в координатном пространстве
соответствует, следовательно, группе цилиндрических и
однонаправленных возмущений в параметрическом пространстве.
И, наоборот, любое центрально-симметричное возмущение в
параметрическом пространстве было бы в координатном
пространстве эквивалентно некоторому числу отдельных
возмущений, связанных дальнодействием.
Представим себе схематически, что некий наблюдатель
желает экспериментально установить размерность пространства.
1 Это следует из того, что представляющая ее точка Р располагается в
области возмущения параметрического пространства только при этих
условиях. То, что точка Р испытывает возмущение только при этих условяих,
является здесь очевидным, поскольку в противном случае мы не могли бы
говорить о близкодействии в параметрическом пространстве.
303
Он попытается скомбинировать параметры наблюдаемых
событий в одном пространстве и проверить, удовлетворяется ли в
этом многообразии принцип близкодействия. Если этого не
происходит, то он попытается использовать различные
комбинации параметров, то есть различную размерность
параметрического пространства, испытывая, таким образом, различные
параметрические пространства до тех пор, пока не найдет какое-
то одно, которое обладает искомыми свойствами. Это
пространство он назовет координатным пространством. Рассматривая
координатное пространство как специальный случай
параметрического пространства, мы можем сделать из наших
рассуждений следующий вывод:
Принципу близкодействия может удовлетворять только один
выбор размерности параметрического пространства; такое
частное параметрическое пространство называется координатным
пространством, или «реальным пространством».
В этом выводе выражены требования, на которых основана
координативная дефиниция топологического пространства.
Следовательно, топология принципиально квалифицируется
равнозначно метрике: без координативной дефиниции она
неопределима, и поэтому мы не можем рассматривать ее как нечто
абсолютно данное. Метрика пространства становится эмпирическим
фактом только после того, как постулируется исчезновение
универсальных сил. Подобным же образом топология
пространства становится эмпирическим фактом, только если мы добавим
постулат о принципе близкодействия. Эта идея рассматривалась
нами (см. § 12), когда мы имели дело с топологическим
характером пространства и установили, что он определяется только в
том случае, если мы добавим постулат об исчезновении
каузальных аномалий. Этот результат следует учитывать и в
настоящем, более общем требовании, согласно которому не только
топологический характер, но также и отношения рядоположе-
ния определяются только в том случае, если предполагается
постулат близкодействия. Выявление таких произвольных
компонентов делает еще более очевидной объективную природу
топологии. То, что требование принципа близкодействия вообще
может быть удовлетворено, и то, что в частности оно
удовлетворяется в римановом пространстве трех измерений, есть
физический факт, независимый от произвольности определений.
Утверждение, что физическое пространство обладает тремя
измерениями, имеет столь же объективный характер, как и
утверждение, например, что существует три физических состояния
вещества: твердое, жидкое и газообразное; оно описывает
фундаментальный факт объективного мира.
Точно так же, как и в случае метрики, можно после
признания трехмерности физическим фактом перейти к ее объяснению,
то есть к поискам причины трехмерности пространства. Можно
попытаться, например, рассматривать трехмерность как след-
304
ствие определенных условий. Это получило бы подтверждение,
если можно было бы показать, что трехмерный порядок
материи является единственным стабильным порядком. Любое такое
доказательство предполагает существование определенных
законов природы, которые могут быть сформулированы независимо
от размерности пространства. Доказательство может быть
следующим: если пространство имеет п измерений и общим
законом природы является то, что притяжение между массами
изменяется в обратном отношении к (я —1)-й степени расстояния
между ними, тогда размерность пространства должна быть
равна трем (д = 3), поскольку в противном случае движение
планет, а также расположение звездных масс было бы
нестабильным. Конечно, эта идея не может быть перенесена в геометрию
Эйнштейна, где ньютонова сила тяготения не играет более
первостепенной роли и имеет место только как некоторое
приближенное решение. Доказательство могло бы также быть
основано на более общем предположении: если полевые уравнения
материи содержат только дифференциалы второго или менее
порядка, то пространство имеет три измерения. Мы привели
эти примеры, не имея, конечно, намерения представить
подтвержденные законы природы либо законы,
подтверждение которых дело ближайшего будущего, но только для того,
чтобы выразить основную идею объяснения трехмерности
пространства. Это объяснение, подобно всем другим, может
состоять только в соединении двух природных явлений в одно целое,
то есть в выводе одного из другого. Трехмерность, таким
образом, устанавливалась бы как логическое следствие из
некоторых основных свойств материи, которые в свою очередь
воспринимались бы как окончательные факты. Любая другая попытка
объяснения была бы безрезультатной. Трехмерность
пространства не может утверждаться как некая абсолютная
необходимость. Это физический факт, подобный любому другому, и,
следовательно, он подлежит тому же самому виду объяснения.
Имевшие место попытки трактовать данную проблему с этой
точки зрения, например попытки Г. Вейля * и П. Эренфеста 2,
не привели к успеху.
Остановимся кратко на вопросе о наглядном представлении
пространств более высокой размерности. Не вызывает
сомнений, что в мире более высокой размерности сила человеческого
воображения приспособилась бы к своему окружению и что
можно было бы получить наглядную картину этого
пространства, аналогично его настоящим трехмерным наглядным
представлениям. Когда мы пытаемся вообразить такую картину
согласно правилу, сформулированному Гельмгольцем (с. 82), а
именно путем описания чувственных восприятий в четырех-
1 См.: Weyl Н. Raum —Zeit hMaterie, S. 245.
2 См.: «Ann. d. Phys.», 1920, v. 61, p 440.
305
мерном пространстве (то есть в пятимерном пространственно-
временном многообразии), мы встречаемся с определенными
трудностями. В таком пространстве человеческое тело так же
было бы четырехмерным, а его перцептуальный аппарат был
бы совсем иным. Сетчатка глаза вместо двухмерной была бы
трехмерной. Если визуальное восприятие трех измерений,
«глубина», сейчас достигается прежде всего за счет объединенного
эффекта двух глаз и, следовательно, качественно отличается от
восприятия двух других измерений, то трехмерные восприятия в
четырехмерном пространстве были бы так же непосредственны,
как и двухмерные восприятия в нашем трехмерном
пространстве. Объединенный эффект двух трехмерных картин на
сетчатке давал бы визуальное восприятие четырехмерного
пространства. Попытавшись представить себе такие переживания с
помощью наших настоящих ощущений, мы обнаружим их
определенную ограниченность. Новый перцептуальный опыт,
который мы должны описать, имел бы новые чувственные качества,
не существовавшие при известных нам условиях.
Поэтому мы только косвенно можем указать, какого рода
чувственные восприятия будут существовать в таком мире.
Используем для этой цели схему подстановки. Вместо новых,
неизвестных чувственных качеств мы попытаемся подставить
качества, нам известные. Предположим, что три измерения
пространства представлены наглядно обычным образом, а вместо
четвертого измерения подставим цвет. Каждый физический
объект может изменять свой цвет, так же как и положение. Любой
предмет был бы, например, способен пройти через все оттенки
от красного через фиолетовый к синему, физическое
взаимодействие между любыми двумя телами возможно только в том
случае, если они близки друг к другу как пространственно, так
и по цвету. Тела различного цвета будут проходить друг через
друга без какого-либо взаимодействия. Таким путем мы
получаем координацию каждой точки в трехмерном пространстве с
одномерным непрерывным многообразием цвета от красного
через фиолетовый к синему. Следовательно, объединенное
многообразие этих состояний является четырехмерным. Такое
многообразие составляет пространство в собственном смысле слова,
потому что оно удовлетворяет принципу близкодействия.
Отсюда могут быть выведены все свойства четырехмерного
пространства. Столкновение двух бильярдных шаров
происходило бы, например, следующим образом: два шара
приближаются к одной и той же трехмерной точке, и в то же время их
цвета становятся все более и более подобными. Если они
близки друг к другу не только пространственно, но также и по
цвету, возникает звук столкновения. Может случиться, что два
шара находятся в одной и той же точке пространства, но,
поскольку их цвета различны, они будут проникать друг в друга.
Если они остаются в той же самой точке, а их цвета становятся
303
все более подобными, то мы наконец слышим звук их
столкновения в тот момент, когда их цвета окажутся тождественными.
Тот факт, что замкнутая трехмерная поверхность не включает
более пространственной области, станет более ясным из
следующих соображений. Если мы посадим несколько мух в
красный стеклянный шар, они могут вырваться оттуда: они могут
изменить свой цвет на синий и пройти через красный шар.
В таком мире строение человеческого тела было бы иным,
чем в нашем. Оно имело бы протяженность не только в трех
измерениях пространства, но также и в измерении цвета. Оно
состояло бы из подобных друг другу взаимопроникающих тел,
в какой-то степени различных по цвету и заполняющих таким
образом в непрерывном изменении небольшой цветовой
интервал. Сетчатка также состояла бы из таких взаимопроникающих
слоев. Пучок световых лучей, ударяющих в глаз, имел бы
дополнительное измерение. Если он был двухмерным, то он
стал бы трехмерным в четырехмерном пространстве.
Представим теперь, что каждый световой луч способен принимать
любой цвет. От каждой точки пространства красный луч будет
идти к красной точке сетчатки. Одна и та же точка сетчатки
«пронизывается» полностью синим лучом, идущим от
соответствующей синей точки пространства к соответствующей синей
точке сетчатки. Новое чувственное качество может быть
установлено следующим образом. Поскольку соответствующие
красный и синий лучи воспринимаются различными элементами
сетчатки, мы воспринимали бы их как по-разному
расположенные в пространстве, точно так же, как мы воспринимаем
направления лучей как пространственно различные, если они
падают на различные элементы сетчатки. Это различие в
пространственной локализации, которое было заменено в нашем
примере различием в цвете, не может быть воспринято
трехмерными людьми. Четырехмерные люди воспринимали бы постепенно
возрастающее подобие цветов бильярдных шаров как изменение
в пространственном положении, так же как мы воспринимаем
растущее расстояние между шарами в трех измерениях как
изменение их положений в силу последовательного
возбуждения различных клеток сетчатки. Эти четырехмерные изменения
положений не нужно, конечно, связывать с феноменом цвета,
поскольку мы использовали цвет только как некоторую схему.
Здесь мы наталкиваемся на предел нашей способности к
наглядным представлениям. Новые чувственные качества не могут
быть предсказаны; мы можем использовать для них только
подстановки. Эта трудность выражает основополагающее значение
размерности. Наглядное представление событий, которые
имеют место в метрически ином пространстве или в топологически
ином пространстве трех измерений, возможно потому, что эти
пространства являются евклидовыми в бесконечно малом,
поэтому чувственные восприятия существенно не меняются, Однако
307
возрастание числа измерений воздействует даже на
мельчайшие области и приводит поэтому к качественно иным
чувственным восприятиям.
Мы можем, однако, представить себе специальные случаи, где
пространство является четырехмерным, однако чувственные восприятия не
отличаются от восприятий в трехмерном пространстве. Это произошло бы, если бы
человеческое тело как трехмерная структура было помещено в четырехмерное
пространство. Такая ситуация соответствует той, где двухмерные люди живут
в трехмерном пространстве, сохраняя способность воспринимать его. Однако
поскольку, видимо, должен существовать физический закон, согласно
которому объекты, способные к физическому существованию, должны иметь
столько же измерений, что и окружающее их пространство, то этот пример
соответствует миру, который не может быть физически реализован. Другой случай
имел бы место, если бы пространство было четырех- или многомерным в своих
мельчайших элементах, но трехмерным как целое. Так, например,
расположенные тонким слоем песчинки, каждая из которых является трехмерной,
если брать ее индивидуально, взятые как целое составляют, по существу,
двухмерное пространство Подобным же образом атомы, которые
индивидуально обладают более высокой размерностью, могли бы группироваться
в трехмерные структуры. В таком мире любая макроскопическая структура
имела бы только степени свободы трехмерного пространства, тогда как
любой атом имел бы степеней свободы намного больше. Чувственные восприятия
в таком мире были бы заметно отличными от восприятий в нашем обычном
мире, и наоборот, в принципе можно вывести из нашего обыденного опыта
характер такого микроскопического мира, который обладает большей
размерностью. Между прочим, весьма возможно, что квантовая механика придет к
таким результатам.
§ 45. Реальность пространства
и времени
Суждения о топологических свойствах оказались наиболее
надежными из тех, на которых мы строим порядок пространства
и времени. Они применимы даже к наиболее общим
гравитационным полям. Мы говорили ранее (см. § 39), что гаусс-рима-
ново разделение координатной системы и метрики оставляет
за координатной системой функцию установления
топологических свойств пространства. Следовательно, мы можем
рассматривать следующее утверждение как наиболее общее
высказывание о пространственно-временном порядке: везде и во все
времена существуют пространственно-временные координатные
системы.
Это подразумевает топологическую различимость
пространства и времени. В пространственно-временной координатной
системе одно из измерений должно рассматриваться как время и
три других как пространство. Подразделение на времени-подоб-
ные и пространственно-подобные направления выполняется
мировыми линиями света. На рис. 49 начерчены разделяющие
линии, на рис. 49а — для специальной теории относительности, на
рис. 496 — для общей теории относительности. Вторая диаг-
308
Рис. 49. Топологическая различимость
пространственно-временного многообразия.
рамма существенно отличается от первой по своей метрике,
тогда как топологически эквивалентна ей. На обеих диаграммах
мы указали штриховыми линиями времени-подобную линию
(идущую снизу вверх) и пространственно-подобную линию.
Легко увидеть, как угловые области, пересекаемые этими
линиями, могут быть охарактеризованы топологически путем
ссылки на стрелки мировых линий света: времени-подобные
мировые линии проходят через угловую область между теми
ветвями линий, которые имеют стрелки, тогда как
пространственно-подобные мировые линии проходят через угловую область
между одной ветвью со стрелкой и одной без стрелки. Если бы
мы должны были начертить таким же образом множество вре-
мени-подобных и множество пространственно-подобных мировых
линий, то они представляли бы пространственно-временную
координатную систему (реальную систему).
Конечно, нет необходимости описывать многообразие того
типа, что представлен рис. 49, с помощью такой координатной
системы. Мы могли бы получить уникальное описание также
посредством двух множеств пространственно-подобных
мировых линий. Однако тот факт, что топологически разделенная
координатная система может быть выбрана, выражает
наиболее важное свойство физического мира.
Мы можем наглядно представить данную ситуацию по
отношению к пространственно-временному многообразию
следующим образом. Любая пространственно-временная координатная
система образуется в том случае, если точки пространства
пронумерованы некоторым непрерывным образом, а время
измеряется часами, одновременность которых определяется так, что
она связывает только те события, временной порядок которых
не определен (как это описано в [А], с. 152). Но мы можем
заменить данное определение совершенно иным. Предположим,
что это пространство пересекает град пуль, которые
последовательно пронумерованы. Вместо указания времени мы можем
309
тогда использовать в качестве четвертой координаты номер
пули, наиболее близко расположенной к описываемому
событию. Координатная система, полученная таким образом, не
является реальной системой (ее сечение одновременности лежит
в области временной последовательности), однако она
обеспечивает уникальное определение всех событий. Мы имели дело с
нереальной системой иного рода в § 38, где мы установили, что
вращающаяся система осей становится нереальной за
пределами определенного расстояния от центра. Следовательно, мы не
можем сказать, что выбор пространственно-временной
разделенной координатной системы является необходимым, но что он
всегда возможен, и это означает то же самое, что и
возможность топологического разделения пространственно-временного
многообразия.
Здесь возникает вопрос, выводима ли возможность такого выбора из
справедливости специальной теории относительности в бесконечно малых
областях. Пока такое доказательство возможно только для вырезанных
областей (см. также [А], с. 154). Возможность такого выбора координат для мира
в целом должна была бы, следовательно, утверждаться в некоторой
специальной аксиоме.
Тот факт, что упорядочение всех событий возможно в
пределах трех измерений пространства и одного измерения
времени, является наиболее фундаментальным аспектом физической
теории пространства и времени. В сравнении с ним
возможность любой метрики имеет, видимо, подчиненное значение.
Однако это только та метрика, которая в общей теории
относительности понимается как действие гравитационного поля.
Сущность пространственно-временного порядка, его топология,
остается окончательным фактором природы, независимым от
этих соображений. Поэтому мы должны удовлетвориться
утверждением, что некоторое упорядочение с помощью
пространственно-временных координат является возможным.
Объяснение топологии все же оставалось бы неполным, даже если бы
нам удалось найти объяснение трехмерности, обсуждавшееся в
предшествующем параграфе. Трехмерность представляет собой
одно из топологических свойств пространства и времени, и
любое объяснение должно было бы начинаться с предположения
о том, что существует какой-то непрерывный порядок
пространства и времени.
Были предприняты и другие попытки объяснить топологию
пространства и времени. Координатная система приписывает
системе совпадений точечных событий взаимный порядок,
который независим от какой-либо метрики. Следовательно, этот
порядок совпадений должен пониматься как некоторый
окончательный факт. Была сделана попытка обосновать этот порядок
как необходимый, он рассматривался как функция перцептуаль-
ного аппарата человека, а не как функция объективного мира.
В соответствии с этим утверждалось, Что чувственные восприя-
310
тия обеспечивают непосредственно только совпадения и что
каждый элемент пространственно-временного порядка
определяется характером наших чувственных восприятий. В этой связи
апеллировали к экспериментальным методам физики, где
совпадения стрелок и делений шкал играют важную роль.
Такая точка зрения является несостоятельной. Прежде
всего, очевидно, что мы не можем рассматривать этот порядок
совпадений как непосредственно данный, поскольку субъективный
порядок восприятий не соответствует с необходимостью
объективному порядку внешних событий. Он может служить только
в качестве основы более сложной процедуры, с помощью
которой выводится объективный порядок. Это различие обязано
своим существованием тому факту, что восприятия образуют
одномерную цепь, в то время как объективные точечные
события принадлежат четырехмерному многообразию. Мы должны
поэтому ввести правила для построения объективного порядка,
и такие правила сформулированы в топологических координа-
тивных дефинициях.
Было бы серьезной ошибкой идентифицировать совпадение в
смысле точки-события пространственно-временого порядка с
совпадением в смысле чувственного опыта !. Последнее
представляет собой субъективное совпадение, в котором сочетаются
чувственные восприятия: например, переживание звука может
сочетаться с впечатлением от света. Первое же, с другой
стороны, есть объективное совпадение, где сталкиваются такие
вещи, как атомы, бильярдные шары или лучи света, и которые
имеют место даже в отсутствии наблюдателя.
Пространственно-временной порядок имеет дело только с объективными
совпадениями, и мы выходим за пределы области этой проблемы,
когда задаемся вопросом, как соотносится система
объективных совпадений с соответствующей субъективной системой.
Анализ этого вопроса принадлежит к той части эпистемологии,
которая объясняет связь между объективной реальностью, с
одной стороны, и сознанием и восприятием — с другой. Скажем
здесь только, что любое утверждение об объективных
совпадениях имеет тот же самый эпистемологический статус, что и
любое другое утверждение, касающееся какого-либо физического
факта.
Поэтому невозможно свести топологию пространства и
времени к субъективным основаниям, вытекающим из природы
наблюдателя. Напротив, мы должны точно определить
принципы, согласно которым должно быть установлено объективное
совпадение. Это означает, что мы должны установить, с
помощью какого метода мы будем решать, должно ли некоторое
физическое событие рассматриваться как одно, два или более
отдельных точечных событий. Такие методы часто применяются
См. об этом различии [А], § 4.
311
физиком, хотя он и не всегда осознает этот факт. Он решает,
например, что толчок какой-либо частицы в броуновом
движении должен быть представлен не как одно совпадение, но как
большое число разделенных в пространстве и времени
совпадений, интегральный эффект которых он наблюдает. Общая
основа всех таких процедур была объяснена в § 43, где мы
показали, что принцип близкодействия является решающим для
определения размерности пространства. В примере, приведенном
там, мы исследовали вопрос, должно ли некоторое событие
рассматриваться как одно точечное событие в двухмерном
пространстве или как два точечных события в одномерном
пространстве. Любое решение зависит от ответа на вопрос, в какой
координатной системе удовлетворяется принцип близкодействия,
хотя обе системы представляются сначала совершенно
адекватными. Эта процедура используется физиком для того, чтобы
решить, что представляет собой точечное событие: события
являются точечными, если предположение о том, что они
являются точечными событиями, в комбинации с наблюдением ведет
к выводу, что удовлетворяется принцип близкодействия.
Объективные совпадения есть, следовательно, физические
события, подобные любым другим, их осуществление может
быть подтверждено только в рамках контекста теоретического
исследования. Поскольку все случившееся до сих пор было
сводимо к объективным совпадениям, мы должны рассматривать
как наиболее общий эмпирический факт то, что физический мир
есть система совпадений. Это именно тот факт, на котором
основывается весь пространственно-временной порядок, даже в
наиболее сложных гравитационных полях. Однако какого рода
физические события следует считать совпадающими, не
определяется единственно возможным образом путем эмпирического
доказательства, но зависит опять-таки от всей совокупности
нашего теоретического знания.
Наиболее важным выводом из этих соображений является
положение об объективности свойств пространства. Реальность
пространства и времени оказывается неопровержимым выводом
из нашего эпистемологического анализа, который провел нас
через множество важных отдельных проблем. Этот результат
в какой-то степени нивелируется появлением элемента
произвольности в выборе определенного описания. Однако, указывая
на то, что произвольный характер свойствен координативным
дефинициям, мы смогли сделать точное утверждение об
эмпирической компоненте всех пространственно-временных
описаний. До сих пор философы рассматривали идеалистическую
интерпретацию пространства и времени как единственно
возможную эпистемологическую позицию, потому что они не обратили
внимания на двойственную природу математической и
физической проблем пространства. Математическое пространство есть
концептуальная структура, и как таковая она идеальна. Физика
312
имеет своей задачей соотнесение одной из этих математических
структур с реальностью. Выполняя эту задачу, физика делает
утверждения относительно реальности, и нашей задачей было
очистить объективное ядро этих утверждений от субъективных
добавлений, вводимых из-за произвольности в выборе описания.
Более глубокое понимание этой проблемы было бы, конечно,
возможно только при более детальном анализе проблемы
реальности и описания, то есть проблемы физического познания
вообще. Здесь, возможно, достаточно отметить, что проблема,
связанная с пространством и временем, не отличается от
проблемы описания любого другого физического состояния как
выражаемого в законах физики.
Однако если свойства пространства и времени отражают
законы природы, то их физическая трактовка требует
существенных уточнений. Мы можем использовать понятие пространства
и времени лишь до тех пор, пока имеются явления, которые
реализуют их. В настоящее время существование таких явлений
подтверждено только для макрокосма. Все физические понятия,
основные для порядка пространства и времени, а именно
жесткие тела, часы, причинные цепи, совпадения, относятся к
макроскопическим явлениям. Мы не можем быть уверены, что их
можно расширить до микрокосма, то есть мира внутри атома.
Кроме понятия совпадения, только понятие причинной цепи
имеет некоторые перспективы для такого расширения. Если мы
надеемся, что пространственно-временной порядок может быть
построен даже для мельчайших элементов материи, то этот
оптимизм проистекает из того обстоятельства, что именно понятие
причинной цепи оказалось окончательной основой
пространственно-временного порядка макрокосма, когда все другие
средства установить этот порядок потерпели неудачу в наиболее
общих гравитационных полях. Однако окончательное решение
этой проблемы должно быть отложено до тех пор, пока не
будет решена проблема материи, которая сейчас находится в
центре научных исследований !,
См.: Рейхенбах Г. Направление времени, гл. V.
а. а. Логунов Рейхенбах,
Эйнштейн и
современные
представления
о пространстве
и времени
Предлагаемая вниманию советских читателей книга Г. Рей-
хенбаха «Философия пространства и времени» рассматривает
проблемы, которые и сейчас находятся в центре внимания
естествоиспытателей и философов, затрагивает вопросы, которые не
совсем ясны многим физикам и в настоящее время. Анализ ряда
проблем, относящихся к специальной теории относительности,
дан нами в «Лекциях по теории относительности и гравитации»1.
Для более глубокого понимания сущности теории
относительности остановимся кратко на современном подходе к решению
этой проблемы.
Известно, что евклидова геометрия пространства задается
расстоянием между двумя близлежащими точками
пространства. В декартовых координатах квадрат расстояния
записывается в виде (теорема Пифагора):
dl2 = dx2 + dy2 + dz2. (1)
Если бы мы взяли какие-либо другие в общем случае криво*
линейные координаты:
* = f 1 (*» У у *)> У = /г (*» У у *)» * = /з (*» У у *)» (2)
то в этих новых переменных х, у> г квадрат расстояния
запишется в виде
dl2 = yapdxadxt. (3)
1 См.: Логунов А. А. Лекции по теории относительности и
гравитации. М., 1985.
314
Величина уа$, являющаяся тензором второго ранга, называется
метрическим тензором пространства Евклида. Следует
заметить, что при преобразовании координат (2) геометрия
пространства, конечно, не изменяется, поэтому тензор кривизны,
определяющий структуру пространства, для геометрии Евклида
всегда равен нулю, независимо от выбора системы координат.
В основе классической механики лежит представление о
пространстве Евклида, а время задается независимым параметром,
одним и тем же в любой точке пространства Евклида. Более
того, оно всегда одно и то же, независимо от выбора инерциаль-
ной системы отсчета. В классической механике расстояние между
двумя точками пространства, а также время, прошедшее между
двумя событиями, являются величинами абсолютными, они не
зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Когда
изучались электромагнитные явления и даже тогда, когда были
открыты уравнения Максвелла — Лоренца, никто не предполагал,
что они изменят сложившиеся представления о пространстве и
времени. Изучение электромагнитных явлений привело к
открытию фундаментальной важности—пространство и время едины
и геометрия его псевдоевклидова. Так же, как и геометрия
Евклида, псевдоевклидова геометрия определяется расстоянием
между двумя точками пространства — времени (называемым
интервалом).
В галилеевых координатах квадрат интервала записывается
в виде
ds2 = с2 dt2 — dx2 — dy2 — dz2. (4)
Данная псевдоевклидова структура геометрии пространства —
времени следует из уравнений Максвелла — Лоренца как
строгая математическая истина. Здесь с есть универсальная
постоянная, равная скорости света.
Таким образом, изучение электромагнитных явлений как
одной из новых форм материи заставило пересмотреть прежние
представления о пространстве — времени и выдвинуть общую
гипотезу, согласно которой все физические процессы протекают в
четырехмерном пространстве — времени, геометрия которого
псевдоевклидова. В этом и состоит сущность (специальной)
теории относительности. Если мы перейдем от галилеевых
координат к общим криволинейным координатам х1:
Х0 = fO (Х0у xly Х2у JC3)> х* _ f* (^ х^ Х2у ^3) (5)
а= 1, 2, 3,
где х° = ct, то квадрат интервала примет вид
ds2 = yik dx1 dxk. (в)
Здесь тензор второго ранга у/* является метрическим тензором
псевдоевклидова пространства — времени (пространства Мин-
ковского), он легко выражается через четыре функции /',
816
Преобразования координат (5), конечно, не изменили
структуры пространства — времени. Тензор кривизны
псевдоевклидова пространства — времени равен нулю в любой системе
координат. Однако многие физики до сих пор считают, что переход к
ускоренным системам отсчета не относится к кругу проблем
специальной теории относительности. Преобразования же
координат (5) в общем случае переводят нас от инерциальной
системы отсчета (галилеевы координаты) к произвольной
ускоренной системе отсчета. Это означает, что специальная теория
относительности справедлива и для ускоренных систем отсчета.
Именно это обстоятельство не было понято Эйнштейном, Паули,
Меллером, Мандельштамом и др. Почему даже Эйнштейн не
осознал этого? По-видимому, это объясняется тем, что
специальную теорию относительности он воспринимал только через
«постулат о постоянстве скорости света» в галилеевых координатах,
а ускоренные системы отсчета отождествлял с гравитацией.
Однако сфера применимости «постулата» о постоянстве скорости
света (даже в правильной формулировке), как мы увидим,
ограниченна, поскольку он имеет смысл только для инерциальных
систем. Это означает, что в силу его физической ограниченности
на его основе в принципе невозможно выйти за рамки
инерциальных систем отсчета. Таким образом, теория
относительности предстает как псевдоевклидова структура пространства —
времени, а это значит, что такие проблемы, как синхронизация
часов, одновременность, постулат о постоянстве скорости света
и т. д., — это лишь отдельные частности, не отражающие ее
основной сущности. Такого рода ограниченность уровня
понимания привела к сужению области применения специальной теории
относительности.
Мы остановимся в этой связи на одной проблеме, подробно
обсуждаемой в работе Рейхенбаха, на вопросе о неоднозначности
синхронизации часов в различных точках пространства. Подход
Рейхенбаха можно изложить следующим образом. Во-первых,
экспериментально недоказуемо, что скорость света в одном
направлении должна быть равна его скорости в противоположном
направлении. Пусть, например, в положительном направлении
оси х скорость света равна с\, а в противоположном направлении
равна (—Cs). Тогда для синхронизации часов в точках Л и В мы
должны в момент прихода светового сигнала из точки Л в
точку В показания часов в точке В установить следующим образом:
tB-tA + ±ff-t (7)
ГДё %ав~— расстояние между точками А и В.
Совершенно аналогично возвращение сигнала в точку А по
«Л-часам» должно произойти в момент времени
^ = ^--¾^. '2<0. (8)
816
Вычитая из этого выражения предыдущее, получим
^в='в-<л-^в(тг+-гг)- (9)
Складывая выражения (7) и (8), найдем
*«-(й-'д)т^г- <10)
Подставляя это соотношение в (9), получим
>в = 'л + <(>л-'л)> 00
где
Поскольку скорости света С\ и с2 могут принимать любые
конечные постоянные значения, отличные от нуля, то всегда
0<€<1. (13)
Таким образом, мы приходим к синхронизации Рейхенбаха:
'в-'л + €('л-'л)' 0<с<1. (14)
Синхронизация Пуанкаре— Эйнштейна получается только в
случае € = 1/2
t'A + tA
tB = -AT^-. (15)
Какую же выбрать синхронизацию? В чем здесь дело? Какова
причина произвольности выбора?
Решение может быть найдено только при понимании сути
теории относительности. Коротко говоря, выбор той или иной
синхронизации означает просто выбор той или иной системы
координат в инерциальной системе отсчета. Физические
результаты, конечно, не должны зависеть от такого выбора.
Остановимся подробнее на этом вопросе исходя из структуры
псевдоевклидовой геометрии пространства — времени. Выражение для
интервала в галилеевой системе координат инерциальной
системы S равно
ds2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 ~ dz2. (16)
Перейдем к другой инерциальной системе отсчета S', в которой
координаты выбраны так, что интервал имеет вид
ds2 = yikdxidxki (17)
причем для простоты примем метрические коэффициенты у*л в
качестве постоянных, а следовательно, не зависящих от х1.
Величины yik достаточно произвольны, поскольку они отражают
произвольность выбора системы координат.
Ш
Вычислим теперь скорость света в инерциальной системе
отсчета S' в выбранных координатах из уравнения
yikdxldxk = 0 или Yoo(^0)2 + 2Yoa^0^a + Yap^a^p = 0- (18)
Компоненты скорости света обозначим через va
dxa
v« = 4f- (19)
Тогда уравнение (18) будет иметь вид
с2
V'ут + 77=] ~ V*^ = °- <20>
Здесь
YoaY)fl /П1Ч
Kafi = —^o Yap. (21)
Поскольку тензор хар является метрическим тензором
трехмерного пространства, величина
*aPX^p = t>2 (22)
по определению является квадратом скорости света.
Представим компоненты скорости света va в виде
va = vlat (23)
где /a — компоненты единичного вектора в направлении вектора
скорости света. Подставляя (22) и (23) в выражение (20),
найдем
откуда
1 — Yoa
Vy
oo
Величина скорости света в нашем случае постоянна, но зависит
от значения произвольных величин метрических коэффициентов
и направления распространения светового сигнала. В силу
определения единичного вектора имеем
.а л
1 = кар/Т - - ya/f + [^=-] • (26)
Но поскольку величина уа^а^ всегда отрицательна, то
Vvoo -
[
< 1, (27)
818
а следовательно, выражение, стоящее в знаменателе формулы
(25), всегда положительно.
Величина скорости светового сигнала, распространяющегося
в положительном направлении оси х, равна
с = с ^Уо° (28)
1 Vo1
VYoo
и не совпадает с величиной с. Тогда как в противоположном
направлении она будет уже другой и также не будет совпадать с
величиной
с21 = с —Vvoo— (29)
1+ Yo1
Vy
00
Таким образом, в данном случае речь идет о синхронизации
Рейхенбаха. Однако скорости света, с которыми мы здесь имеем
дело, являются координатными скоростями, они связаны с
определенным выбором времени и координат пространства. Выбор
тех или иных координат (х, у, z, t) для описания какого-либо
явления в значительной степени произволен и соответствует
выбору той или иной координатно-временной сетки или, как иногда
говорят, определенной арифметизации точек пространства —
времени. Но при этом следует подчеркнуть, что процедура
построения координатной сетки, то есть сопоставление каждой
точки пространства — времени с набором четырех чисел (х, у,
z, /), является процедурой операционной, предполагающей
произвольный, но определенный физический способ арифметизации
пространства — времени. Величина координатной скорости света
в принципе может быть совершенно произвольной в зависимости
от выбора координатных переменных и направления
распространения света, но обязательно конечной и отличной от нуля Как
же найти физическое время и расстояние между двумя
близлежащими точками пространства? Ведь только определив эти
величины, мы можем ввести понятие физической скорости. Для
этой цели запишем квадрат интервала в следующем виде
ds2 = c2Yoo dt2 + 2cYoa dt dxa + Yap dxa dx& =
-ф/У^ + -~^] ~dl\ (30)
где
dP = [-y4+:!^]dx*djfi. (31)
Yoo
Времени-подобная часть интервала
i Yn« dxa
/— (32)
с VYoo
319
является полным дифференциалом и может быть определена
как физическое время, поскольку она не зависит ни от выбора
координат в трехмерном пространстве, ни от выбора
координатного времени. Другими словами, эта величина инвариантна
относительно преобразований вида
f = f° (U х, у, г), х'а = Г (*, у, г), а = 1, 2, 3 (33)
которые всегда допустимы в данной инерциальной системе
отсчета. Таким образом, физическое время dx не зависит от
произвола выбора системы координат в данной инерциальной
системе отсчета.
Аналогичное утверждение справедливо и относительно
пространственно-подобной части интервала dl2
df = кч dxa dx*t (34)
являющейся квадратом расстояния между двумя близлежащими
точками трехмерного пространства. Теперь физическая скорость
света может быть определена по формуле
Она всегда в инерциальной системе отсчета равна с, чего нельзя
сказать о координатной скорости света.
Как мы видели, различная синхронизация часов у Рейхен-
баха, а отсюда и разные способы определения одновременности
в пространственно разделенных точках обусловлены тем, что
речь шла всегда о координатных величинах, последние же
отражают обычный произвол в выборе системы координат в
инерциальной системе отсчета. Однако произвол в выборе системы
координат в данной системе отсчета всегда имеет место в
теории, но от него никогда не зависит описание физических
явлений. Таким образом, Рейхенбах и Мандельштам оперировали с
координатными величинами. Что касается Эйнштейна, то он
также не внес ясности в этот вопрос. Так даже в 1917 году он
писал: «Утверждение, что свет проходит расстояние AM и ВМ в
одно и то же время, в действительности не является
предпосылкой или гипотезой о физической природе света, а утверждением,
которое можно сделать на основании свободного выбора, чтобы
прийти к определению одновременности (курсив наш. — А. Л.)»1.
Следовательно, неясность возникла из-за нечеткого
определения физических величин, из-за того, что порой координатным
величинам безосновательно придавался физический смысл. Вве*
дение понятия физической скорости света позволяет устранить
эту неоднозначность, возникающую из-за различных способов
1 См.: Эйнштейн А. О специальной и общей теории относительности*
Общедоступное изложение, — В: Эйнштейн А. Собр. научн. трудов, т. I.
М., 1965, с. 542.
320
синхронизации часов. Понятия физического времени, расстояния
и физической скорости света дают возможность, если это
необходимо, устанавливать однозначную синхронизацию часов в
разных точках пространства заданной инерциальной системы
отсчета. Хотя Эйнштейн и допускал различные способы
синхронизации часов «на основании свободного выбора», сам он всегда
работал в галилеевых координатах. И синхронизация часов, и
так называемый постулат о «постоянстве скорости света» (даже
в нашем общем его определении формулой (35)) являются
частными следствиями псевдоевклидовой структуры геометрии для
инерциальной системы отсчета. К общему же случаю, когда мы
имеем дело с ускоренными системами отсчета, они в принципе
неприменимы, хотя применение специальной теории
относительности здесь вполне оправданно. Таким образом, нам
представляется неверным сведение специальной теории относительности к
принципу относительности и принципу постоянства скорости
света, практикуемое многими физиками, и в том числе авторами
целого ряда советских и зарубежных учебников и монографий,
которые все еще не понимают глубокого содержания работ Мин-
ковского, хотя эти работы появились более семидесяти лет назад.
Трудно найти в физике другую область, где существовало бы
столько догматизма, путаницы, а порой и просто
профессиональной некомпетентности. К сожалению, путаница в физической
литературе перешла в этой части и в философскую. Как мы
видим, ошибки в понимании многими физиками специальной
теории относительности носят принципиальный характер и
проистекают в конечном счете от непонимания сути теории
относительности, того факта, что пространство и время едины и
геометрия их псевдоевклидова. Выбор же системы координат
(системы отсчета) не изменяет структуры пространства — времени.
В философской литературе после работ Пуанкаре и
Эйнштейна вопрос о соотношении между физикой и геометрией и
возможном произволе в выборе геометрии неоднократно
становился предметом обсуждения. Рассмотрим этот вопрос в рамках
современных представлений о движении материи.
Геометрия не произвольна, она определяется физическими
законами. Наличие физических законов сохранения энергии —
импульса и отдельно законов сохранения момента количества
движения для замкнутой системы, которые являются
определяющими принципами физики, постоянно подтверждаемым
опытом в сфере как макро-, так и микромира, однозначно
определяет псевдоевклидову структуру пространства — времени. В
соответствии с этими законами псевдоевклидова геометрия
выступает как строгая математическая истина, определяемая
характером физических процессов и исключающая свободный
выбор геометрии. Эта геометрия точно обеспечивает выполнимость
специального принципа относительности. В общей же теории
относительности (ОТО) применима риманова геометрия. В ней
321
отсутствуют законы сохранения энергии — импульса и момента
количества движения, и, как следствие, энергия гравитационного
поля нелокализуема. Последнее обстоятельство широко
известно. Исходя из этого, некоторые физики рассматривают отказ
ОТО от законов сохранения как важнейший принципиальный
шаг, который сделала эта теория, низвергнув понятие энергии.
Этот вывод правилен как следствие ОТО. Однако это не
означает, что мы должны с излишней поспешностью, без должных
экспериментальных оснований отказаться от важнейшего
закона природы — закона сохранения энергии — импульса и момента
количества движения для замкнутой системы. В рамках
специальной теории относительности, от которой Эйнштейн и
Гильберт неоправданно легко, на наш взгляд, отказались при
построении ОТО, мы построили 1 релятивистскую теорию
гравитации (РТГ), где гравитационное поле как универсальное
физическое поле является полем в духе Фарадея — Максвелла: оно
обладает энергией, импульсом и спинами 2 и 0.
Универсальность гравитационного поля нашла в этой теории
отражение в принципе геометризации, определяющем характер
взаимодействия поля с веществом. Принцип геометризации мы
формулируем следующим образом: движение вещества в
пространстве Минковского с метрическим тензором ytk под
действием гравитационного поля Ф/* можно представить как
движение вещества в эффективном римановом пространстве с
метрическим тензором gtk, который является функцией от у/л и поля
Oik. На основании специального принципа относительности и
принципа геометризации может быть построена однозначная
теория гравитационного поля, описывающая всю совокупность
экспериментальных данных и предсказывающая, что Вселенная
бесконечна и она только «плоская». Отсюда следует, что во
Вселенной должна существовать «скрытая масса» в той или иной
форме материи. В РТГ законы сохранения энергии — импульса
и момента количества движения строго выполняются, а рима-
ново пространство возникает, в соответствии с принципом
геометризации, как силовое пространство полевого происхождения.
Таким образом, мы можем утверждать, что пространство
Минковского и по сей день является универсальным, справедливым
для всех форм материи, включая гравитационное поле.
Логунов А А. Цит. соч.
и. а. Акчурин Методологический
анализ концепций
пространства
и времени
Рейхенбаха
Книга Рейхенбаха «Философия пространства и времени» —
одно из наиболее фундаментальных исследований философских
оснований современного естествознания с точки зрения физики
наших дней и с позиций широко известных в первые
десятилетия нашего века (привлекших тогда внимание таких ученых, как
А. Эйнштейн и Н. Бор, В. Гейзенберг и П. Дирак) Венского и
Берлинского кружков так называемых «аналитических
философов». Слишком огрубленно зачисляемая у нас нередко целиком
по ведомству «неопозитивизма» их исследовательская программа
выявления методологических (и прежде всего — логических,
допускающих теоретический анализ с помощью исчисления
высказываний и исчисления предикатов) принципов осмысления
эмпирических данных оказала несомненное — и во многом очень
глубокое— влияние почти на всех творцов теории относительности
и квантовой механики — теоретического фундамента
современного способа «видения» и понимания окружающего мира.
Между тем и Венский и Берлинский кружки с самого своего
основания были в высшей степени неоднородны как в чисто
философском, гносеологическом, так и особенно в
социологическом плане. В своей интеллектуальной автобиографии Рудольф
Карнап — коллега и друг Рейхенбаха и также один из идейных
лидеров обоих кружков — прямо пишет, что с самого начала в
них шла довольно ожесточенная идейно-теоретическая борьба
представителей «левого» (Мориц Н. Шлик, Отто Нейрат и др.)
323
и «правого» (Виктор Крафт и др.) крыла. И Г. Рейхенбах и
Р. Карнап обычно занимали в ней «серединное», «центристское»
положение, чаще примыкая, однако, к «левому» крылу, где
уделялось, по свидетельству Эйнштейна, больше внимания
серьезным научным проблемам.
При этом необходимо также иметь в виду, что сама по себе
исследовательская программа анализа основных понятий
естественных наук (и математики) с помощью исчисления
высказываний и исчисления предикатов была в те годы безусловно
прогрессивной; в плане критического противопоставления
многочисленнейшим и часто графоманским натурфилософским писаниям,
столь характерным для немецкой философии, она в чем-то даже
продолжала и завершала начатую К. Марксом и особенно
Ф. Энгельсом в прошлом веке борьбу против отжившей
натурфилософии. Не случайно эта программа привлекла внимание
столь большого числа выдающихся физиков и математиков
первой половины XX века и даже в наши дни все еще является
одной из основ современной методологии физики и других
«точных» наук.
Действительные ее неопозитивистские злоключения
начинаются не на этом этапе, а тогда, когда она, будучи уже довольно
успешно и результативно использованной в ходе серьезного
теоретического анализа таких философских категорий, как
пространство и время (см. настоящую книгу), причинность и
случайность, количество и модель и т. д., была довольно
легкомысленно распространена на решение других, гораздо более
сложных и глубоких —- гносеологических проблем, в частности
основного вопроса философии. И исчисление высказываний и
исчисление предикатов хронологически возникли, как известно,
в процессе логического анализа специфически математического,
в довольно большой степени чисто «выводного», «дедуктивного»
научного знания, в котором вопрос о происхождении —
например, об эмпирическом источнике основных постулатов и аксиом —
вообще не имеет четко определенного, однозначного смысла.
Именно поэтому в пылу чисто «программного экстремизма»
и Венский и Берлинский кружки необоснованно объявили в
первые десятилетия нашего века основной вопрос философии,
понятие материи и другие чисто гносеологические категории
(включая даже, как это ни странно, понятие материальной,
физической причинности) «псевдопроблемами» и «бессодержательными,
пустыми абстракциями». А. Эйнштейн и Н. Бор решительно
выступили против этих крайностей неопозитивизма, особенно
против провозглашенного им примата описания над объяснением
в физике и, в частности, против признания «псевдопонятием»
физической, активной и даже в некотором смысле генетической
причинности. Жизнь очень скоро опровергла легкомысленный
экстремизм неопозитивистов, подвергнувших знаменитую фразу
Мартина Хайдеггера «Ничто ничтожит» излишне обстоятельному
824
логическому анализу и объявивших ее в результате этого верхом
бессмыслицы. На авансцену политической жизни в Германии
вскоре выдвинулось такое абсолютное ничтожество (почти во
всех планах), как Адольф Гитлер, и оказалось, что ни
исчисление высказываний, ни исчисление предикатов отнюдь не
адекватны сути дела в таких жизненных проблемах, где почти
абсолютное «ничто» вполне способно «ничтожить», причем
достаточно эффективно: представителям и Берлинского и Венского
кружков, спасая свою жизнь, пришлось бежать и из Берлина,
и из Вены.
Строгая же логическая экспликация, уточнение основных
категорий теории познания могут быть разработаны лишь на
базе новейшего, послевоенного развития математики и
альтернативной перестройки с его учетом всех ее теоретических
оснований — с помощью новых, более глубоких понятий
категории и функтора, которые, образно говоря, учитывают (в
определенном смысле) «развитие» — концептуальное изменение даже
таких, казалось бы, абсолютно неизменных объектов, как
математические точки. Мы не можем здесь входить, к сожалению,
во все детали и подробности, отсылая заинтересованных
читателей к соответствующей литературе. Подчеркнем только, что
вопреки утверждениям представителей Венского, Берлинского и
других кружков «аналитической философии» все основные
теоретико-познавательные проблемы и понятия (материи,
сознания, физической, активной и даже генетической причинности
и т. д.) могут быть однозначно эксплицированы с помощью
абстрактных математических моделей.
Возвращаясь к книге Г. Рейхенбаха, отметим, что
описанные выше специфически позитивистские умонастроения, столь
характерные в особенности для второго и третьего десятилетий
развития «аналитической философии», здесь почти не
ощущаются. Дело в том, что первое издание книги (на немецком языке)
вышло в свет в 20-е годы, когда «аналитическая философия»
еще не сформировалась. В этот период автор после
обстоятельного и глубокого изучения специальной и общей теории
относительности (в том числе и слушая лекции Эйнштейна в
Берлинском университете) осознал, по его собственным словам, что его
первоначальные кантианские философские взгляды почти
полностью опровергаются новыми, очень глубокими и
революционными идеями Эйнштейна.
В эти годы Г. Рейхенбах, по-видимому, на некоторое время
вообще перешел со своих исходных позиций кантианства на
философские позиции большинства серьезных
естествоиспытателей того времени — на позиции естественнонаучного
материализма. Более позднее же — американское издание появилось
после того, как пришедшее с годами углубленное понимание
непреодолимых трудностей применения чисто позитивистской
методологии в физике и начавшийся по этой причине глубокий и
325
острый кризис всего неопозитивизма в целом, заставили всех
серьезных исследователей «элиминировать» из своих работ
довольно задиристую и крикливую антиматериалистическую и
антидиалектическую риторику 30-х — начала 40-х годов нашего
века.
Книга Рейхенбаха серьезна, фундаментальна, но вместе с тем
и очень доступна, даже «прозрачна» в наиболее трудных местах
(например, при анализе пространств с изменившейся
топологией). В ней чувствуется высокое педагогическое мастерство
автора, и вместе с тем она до сих пор является одним из самых
глубоких и основательных руководств по философскому анализу
таких основополагающих для науки категорий, как пространство
и время в свете идей теории относительности. В наши дни эти
категории составляют, как известно, необходимый базис всякого
теоретического построения в качестве порой очень обобщенных,
но все же вполне определенных представлений о той или иной
протяженности, целостности и «близости» (или «удаленности»)
друг от друга интересующих нас объектов.
Особенно актуальным становится углубленный философский
анализ пространственно-временных представлений современной
физики в последние годы — в связи с широким,
«массированным» внедрением в ее квантово-теоретические и релятивистские
конструкции таких новейших понятий современной математики,
как расслоения, гомотопические классы, связности,
нетривиальные топологии, локальные симметрии и т. д. Происходящий
буквально на наших глазах этот процесс энергичной
математической концептуальной модернизации «лидера современного
естествознания» рано или поздно приведет, по нашему мнению,
к серьезному и основательному углублению всего обобщенно-
пространственного представления и понимания физических
процессов и явлений на очень малых расстояниях и при очень
высоких энергиях.
Это углубление будет связано, по-видимому, также и с
новым, основательным изменением методологического и теоретико-
познавательного статуса философских категорий пространства
и времени. Особенно резко это будет происходить в физических
ситуациях и процессах в условиях серьезного изменения
топологических характеристик пространства — времени (числа Чже-
ня, Понтрягина, Уитни и т. д.). Даже чисто философские,
гносеологические отношения субъекта и внешнего мира могут
изменить при этом свою столь обычную для нас наглядно-
пространственную тривиальную трактовку (какой-то
«внутренней части» пространства и дополняющей ее до всего
пространства «внешней» его —- объемлющей части). При попытке
применить эти, казалось бы, само собой разумеющиеся и совершенно
очевидные интуитивно-пространственные представления о
субъекте и объекте, например, к топологически нетривиальным про*
странствам § 12 главы 1 книги, получается очень странный ре-
326
зультат: в таких пространствах «внешний мир» можно
трактовать и как своего рода «внутреннюю часть» субъекта. Эта
ситуация, конечно, не отменяет разделения объекта и субъекта, но
выглядит все-таки довольно необычной.
Наш пример показывает, как много нового, оригинального —
и до сих пор еще не оцененного по достоинству — материала
содержит настоящая книга. Широко известная у нас
фундаментальная монография А. Грюнбаума была вдохновлена (по его
собственному признанию) именно книгой Г. Рейхенбаха, но
посвящена, к сожалению, только чисто метрическим аспектам
релятивистского обобщения пространственно-временных
представлений и почти не обсуждает топологическую проблематику,
которая в наши дни в общей теории калибровочных полей и
гравитационного коллапса становится определяющей.
Очень основательно и глубоко рассмотрены в монографии
Г. Рейхенбаха также и довольно традиционные для работ
такого рода проблемы «необычных» релятивистских эффектов
(типа «замедления времени» быстро движущихся объектов),
осмысления их физической природы и способов их теоретико-
познавательного истолкования. Достаточно подробно
анализируется в связи с этим и поставленная еще А. Пуанкаре общая
проблема универсальных и дифференциальных сил. Ее
решение — с помощью специально разработанной в книге
методологии так называемых «координативных дефиниций» —
характеризуется, на наш взгляд, вполне определенной материалистической
ориентацией автора.
С современной точки зрения, «координативные дефинции»
Г. Рейхенбаха — это далеко не тривиальный способ задания
определенной физической, операциональной (а не только чисто
математической, теоретико-множественной) семантики
абстрактных математических пространств. Только на первый взгляд они
кажутся чисто конвенциональными, условными, но при
малейшей попытке их изменения в чем-то существенном в
развиваемой теории неизбежно возникают самые серьезные, просто
непреодолимые логические противоречия. Конечно, они не могут
быть «выведены» из данного конкретного фактического,
эмпирического материала теории поля: напротив, именно они позволяют
упорядочить, «скоординировать» этот материал более или менее
«когерентно», логически последовательно. Но они выступают как
теоретические структуры иного, более высокого,
методологического уровня научной абстракции в физике.
За ними стоит и Декарт с его гениальнейшей идеей
аналитической геометрии как универсально- «координативного»,
координатного метода сопоставления каждой тройки действительных
чисел с определенной точкой трехмерного евклидова
пространства, а каждого уравнения трех переменных — с некоторой
поверхностью в этом пространстве и т. д.
327
За ними стоит и Эйнштейн с его поистине революционными
выводами из предложения операционально-физически
синхронизировать часы в движущихся друг относительно друга
системах отсчета с помощью световых сигналов, что, как показал
чуть позже Г. Минковский, ведет к принципиально новой не
теоретико-множественной, а содержательно-физической семантике
многомерных математических пространств. В каком-то смысле
за ними стоит и основной постулат Борна—Дирака об
операциональной «физикализации» бесконечно-мерных гильбертовых
пространств, утверждающий, что квадрат модуля
соответствующей волновой функции пропорционален вероятности найти
квантовый объект именно в данном состоянии.
Таким образом, «координативные дефинции» — это,
по-видимому, совершенно новый и абсолютно необходимый
методологический компонент всякой новой фундаментальной физической
теории, фиксирующий в этой теории некоторую новую,
операционально-физическую (а не только теоретико-множественную —
как в «чистой» математике) семантику все более и более
абстрактных, структурно не тривиальных пространств
современной математики. Только благодаря такого рода определениям
эти последние рано или поздно могут в каком-то смысле «физи-
кализироваться» — приобрести «онтологическую» материально-
физическую «инкарнацию», определяющую основные
закономерности движения материи на некотором более глубоком уровне ее
строения. Не случайно, на наш взгляд, что впервые — после
Декарта — координативные дефиниции появились в физике
именно в годы создания теории относительности и уже тогда
озадачили многих физиков (и философов) весьма высокой степенью
своей конвенциональности, «невыводимости» из непосредственно
наблюдаемых, конкретных эмпирических фактов данного
фрагмента материально-физической действительности.
Предположение, например, о том, что свет распространяется
(между любыми двумя точками) с одной и той же скоростью
как в прямом, так и в обратном направлении, действительно
«невыводимо» непосредственно из каких-либо конкретных
физических экспериментов. Наоборот, оно — совершенно
необходимая, но достаточно произвольная гипотеза, лежащая в основе
любых таких физических экспериментов со световыми
сигналами. Но оно все же в определенном методологическом смысле
«выводимо», «навевается», как любил говорить А. Эйнштейн,
всей совокупностью важнейших методологических принципов
физики как наиболее высокого уровня обобщения эмпирических
данных этой науки: принципом симметрии, принципом
причинности, принципом соответствия и т. д. в их совместном,
целостном, «системном» действии.
Здесь, конечно, мы излагаем только основную идею
правильного, материалистического решения проблемы весьма высокой
конвенциональности почти всех координативных дефиниций.
828
И она, разумеется, еще требует очень серьезной, углубленной и
подробной разработки с помощью той же самой теории категорий
и функторов (а не теории множеств, поскольку даже корректная
формулировка перечисленных выше основных методологических
принципов физики на языке последней ведет к совершенно
непреодолимым логическим и теоретико-множественным
трудностям). Кстати говоря, совершенно аналогичная проблема коор-
динативных дефиниций в основаниях современной квантовой
теории (типа упомянутого выше постулата Борна — Дирака об
операциональной «физикализации» квадрата волновой функции
в «старой» классической квантовой механике или аналогичных
ему аксиом новейшей конструктивной теории квантованных
полей или квантовых логик) до сих пор вызывает интенсивнейшие
дискуссии (и исследования) крупнейших специалистов — с точки
зрения их также весьма высокой конвенциональности и
необходимости логического «оправдания» этих аксиом наиболее
«типичными» физическими экспериментами в этой области (типа
рассеяния элементарных частиц и т. д.).
Эти действительно трудные философские и методологические
проблемы очень квалифицированно обсуждаются Г. Рейхенба-
хом (с некоторыми совершенно неоправданными, на наш взгляд,
уступками конвенционализму) в первых главах книги. По мере
же продвижения от специальной к общей теории
относительности происходит как бы постепенное усиление материалистических
умонастроений автора, так что в конце
пространственно-временные ртношения рассматриваются уже как вполне объективные,
независимые (в существенном) от субъекта абстрактные
структуры, испытывающие определенные (и не менее объективные)
воздействия — в соответствии с уравнениями тяготения
Эйнштейна — со стороны материи, особенно при высоких скоростях ее
механического перемещения или высоких ее концентрациях в
тех или иных областях (характеризуемых так называемым
тензором энергии — импульса). А на с. 239 мы встречаем столь не
свойственное автору признание диалектики.
* * *
Возникает вопрос, развивался ли и в каком направлении
философский анализ новейших физических концепций
пространства и времени после появления книги Г. Рейхенбаха?
Развивался, причем очень интенсивно. И как раз в тех областях
исследования, которым посвящена работа Рейхенбаха, но которые
в годы ее написания только начинали выходить на авансцену
научных дискуссий и поэтому им почти не затронуты. Это
относится прежде всего к так называемой геометродинамике Уилера,
к теории гравитационного коллапса и черных дыр, к новым
решениям уравнений тяготений Эйнштейна, к меняющимся,
вариабельным топологиям.
329
Объемлющим геометрическим целостно-«гештальтным»
образованием, охватывающим в единой
пространственно-концептуальной схеме все эти интереснейшие и достаточно трудные
проблемы, являются так называемые топосы — пространства с
переменной, вариабельной топологией, введенные впервые в физику
под именем «сверхпространств» Дж. Уилером \ а в
математику—А. Гротендиком2. Они представляются нам сейчас, так
сказать, современными аналогами пространств с переменной
метрикой — римановых многообразий, о которых идет речь в
конце этой книги. Но в отличие от последних в них от точки
к точке меняются уже не расстояния, метрика, а способы
перехода к пределу, способы «предельной выстроенности» любого
данного множества из своих подмножеств. Топосы были введены
в математику в начале 60-х годов нашего века выдающимся
французским математиком Гротендиком, исходя из конкретных
теоретических потребностей ее ведущего раздела — абстрактной
алгебраической геометрии.
Но уже очень скоро, проявив весьма высокую степень
самостоятельности и, по-видимому, в какой-то мере вопреки воле
их творца, они стали на редкость эффективным средством
унификации, установления внутреннего теоретического единства
самой математики. Дело в том, что наряду с данным
Гротендиком исходным определением их как обобщенных про-
тяженностей с вариабельной топологией, допустимо и
совершенно иное, предложенное Лаввером чисто логическое
представление их как обобщенно-пространственных моделей
существенно неклассических логических построений, например модальной
логики или интуиционистской математики. Этому чисто
логическому, аксиоматическому определению топосов можно придать,
оказывается, так называемую элементарную первопорядковую
форму (то есть такую, что в ней используются только
логические исчисления первого порядка и в соответствущих аксиомах
кванторы существования и общности применяются
исключительно к индивидуальным логическим переменным). Тем самым
теория топосов приобретает статус математического построения,
независимого в логическом отношении даже от теории
множеств— более того, множества оказались довольно частным,
специальным случаем топосов, описывающих, образно говоря,
только собрания объектов, которые на некоторое время
«застыли»— временно прекратили свое внутреннее развитие.
Например, множество точек на данной странице в
определенных пределах обладает свойством своего рода временной
«выключенное™» из всеобщего диалектического процесса
становления. Но этого нельзя сказать о множествах точек,
расположенных, например, «в самых центрах» «новых» элементарных ча-
1 См.: Уилер Дж. А. Предвидение Эйнштейна. М., 1978.
2 См. об этом: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М., 1981,
330
стиц — кварков, гиперонов, резононов и др. «новых» корпускул.
Эти явно не даны нам с той же степенью одинаковой фиксиро-
ванности во все моменты времени, определенности вне времени,
что и точки данной или следующей страницы. Так что
применение к точкам в «самом центре» кварка понятия множества,
отражающего наиболее существенные свойства собраний только
неизменных, неразвивающихся объектов, в конечном счете и
приводит, по-видимому, к логическим противоречиям
современной квантовой теории поля — бесконечно большой собственной
энергии частиц, их бесконечно большому «голому» заряду и т. п.
Теория топосов 1 берет в качестве исходного понятия не
точки и свойства их принадлежности интересующим нас классам
множеств, а определенные отображения, свойства которых
характеризуются другой, более простой системой аксиом и которые
в современной физике на самом деле фактически появляются
операционально гораздо раньше многих классов точек.
Последние фиксируются, например, в физике высоких энергий отнюдь
не непосредственно как, скажем, точки данной страницы, а
только как результат предельного перехода по какому-то
физическому параметру — напряженности электрического или
магнитного поля, времени пролета и т. п. В самом деле, чем реально,
на практике — операционально — выделяется любая точка
пространства в физике элементарных частиц? Только тем, что в ней
напряженность какого-то физического поля равна определенной
величине или что какая-то корпускула пролетает именно ее в
определенный момент времени.
Теория топосов предпринимает попытку учесть в своих
логических построениях эту историю, «генезис» операционального
формирования точек реального физического (и биологического)
пространства в современной науке. По своему философскому
содержанию она является, по-видимому, точной математической
экспликацией восходящего еще к Гауссу стремления
естественных наук отразить в теории происходящий благодаря
совершенствованию техники физического эксперимента процесс
постепенного «становления» и операционального уточнения положения
«отдельных» точек в реальном физическом пространстве.
Надо сказать, что в другом своем исследовании философских
оснований, но уже квантовой теории, Г. Рейхенбах2 еще в
1944 году, так сказать, вплотную подошел к раскрываемой
благодаря топосам симметрии высшего типа — логики и топологии —
и «остановился» перед формулировкой их весьма своеобразной
дополнительности (двойственности) — ввиду незнания теоремы
Герока, отсутствия в то время общего понятия пространства с
меняющейся топологией и, конечно же, теоретической «немощи»
1 См.: Гольдблатт М. Топосы: категориальный анализ логики. М.,
1983.
2 См.: Reichenbach Н. Philosophic Foundations of Quantun Mechanics,
University Press, San Francisco, 1944.
331
позитивистской методологии. Тем не менее, тщательно
проанализировав аргументы Бора и Гейзенберга по обоснованию
принципа неопределенности и идеи дополнительности, Рейхенбах
пришел к выводу, что в квантовой механике перед нами всегда
стоит дилемма: вводить в применении к определенным
физическим состояниям в микромире трехзначную логику, в отличие
от обычной, двузначной, или же согласиться, что для некоторых
классов микроявлений (названных им интерфеноменами) имеет
место нарушение закона причинности, возникают так
называемые каузальные аномалии.
Если мы теперь применим к этому принципиально важному
результату Рейхенбаха так называемую теорему Герока об
эквивалентности изменения топологии физических объектов
кажущемуся нарушению для этих объектов закона причинности
(с точки зрения старой топологии), мы как раз и получим новое
и весьма фундаментальное свойство дополнительности любых
физических теорий: мы можем пользоваться в последних только
классической (двузначной) логикой, но тогда в квантовых (и
определенных гравитационных) процессах будет иметь место
динамическое изменение топологии, которое будет нами
восприниматься как резкое нарушение — в понятиях старой
топологии — принципа причинности (как принципа передачи любых
физических воздействий только от одной окрестности данной
точки к ее ближайшей — соседней — окрестности).
Общая логическая теория топосов Лаввера показывает, что
такое изменение топологии физических объектов в принципе
рано или поздно должно вести к полной перестройке
физической теории этих объектов как определенного способа самого
их «видения», восприятия (в смысле их «составленное™»,
например, из определенных, наиболее «элементарных» в данной
теории структур, их глобального пространства возможных
вариаций последних и т. п.). Или же мы можем топологию
исследуемых нами объектов оставить неизменной (классической,
тривиальной топологией Евдокса — Архимеда), но тогда мы
должны быть готовы к тому, что определенные их состояния не
«подчиняются» классической (двузначной) логике, что фактически и
утверждает, как показал Г. Рейхенбах, «копенгагенская»
интерпретация квантовой механики.
Нам кажется, что этот новый фундаментальный принцип
дополнительности (двойственности) топологии и логики в физике
представляет интерес прежде всего с точки зрения методологии
применения неклассических логик в физических и вообще
естественнонаучных теориях, против чего, как известно, были
выдвинуты довольно серьезные возражения, сводящиеся к тому, что
во всех таких случаях простая аналогия с неевклидовой
геометрией не «проходит»: последнюю мы ведь не применяем для
логического построения, например общей теории относительности,
тогда как классическая логика существенно необходима для но-
832
вого, использующего в некоторых пунктах неклассическую
логику построения квантовой механики. Теперь мы получаем
известную «свободу маневра»: на начальных этапах построения
теории мы жестко фиксируем логику и делаем переменной
только топологию, после того же как теория в основном построена,
мы можем в определенных пунктах допустить и изменение
логики.
Однако, разумеется, наиболее перспективны применения
нового принципа дополнительности в самой теоретической физике,
где возможность виртуального (квантового) образования черных
дыр в любой области пространства очень остро ставит вопрос
о детерминации физических процессов в ней не только
начальными и граничными условиями на фиксирующих эту область
гиперповерхностях, но и неизвестными нам состояниями материи
в далеких галактиках. С ними она начинает «соседствовать»
благодаря «кротовой норе» черной дыры, обусловливая тем
самым новый принцип неопределенности, о котором Стифен Хау-
кинг говорит, что бог не только играет в кости, но играет
преимущественно там, где человек никогда не увидит результата К
Но меняющиеся, вариабельные топологии вошли в
современную физику и другими путями. Еще в прошлом веке при
решении отдельных, частных видов нелинейных уравнений
классической физики (колебательные движения поверхности воды в
каналах при больших амплитудах колебания и т. п.) были
обнаружены так называемые солитоны — устойчиво
распространяющиеся четко локализованные уединенные волны, существующие
довольно длительные промежутки времени. Английский ученый
Джон Скотт Рассел очень эмоционально описал еще в 1844 году
погоню верхом на лошади по берегу небольшого, но глубокого
оросительного канала за таким солитоном. Наличие у
нелинейных уравнений солитоноподобных решений вселяло надежду,
что при их квантовании удастся получить и решения,
соответствующие появлению элементарных частиц с определенным
спектром масс.
Однако квантование этих уравнений дало гораздо более
интересные и даже неожиданные результаты. Оказалось, что
наинизшее энергетическое состояние — вакуум — нелинейных
квантованных систем с бесконечным числом степеней свободы в
большой мере зависит от топологических свойств их
конфигурационного пространства. В отличие от «классической» квантовой
теории такие системы могут обладать не единственным вакуумным
состоянием — началом отсчета энергетической шкалы, — а
несколькими, отличающимися друг от друга определенными
топологическими характеристиками (числа Эйлера, классы Понтря-
гина, Уитни, Чженя и т. д.). Точные формулировки здесь очень
1 См.: Хаукинг С. Нарушение детерминированности при
гравитационном коллапсе.—В.: Черные дыры, М., 1978, с. 180.
833
сложны, поэтому ограничимся изложением интуитивных идей
теории так называемых инстантонов на уровне аналогий.
Рассмотрим, например, сферу (поверхность шара) и поле векторов,
касательных к ней в каждой ее точке и плавно (непрерывно)
меняющих свое направление. Мы можем как угодно выбирать
такие векторные поля касательных на сфере, как угодно
деформировать самую сферу, но во всех случаях (в простейшем
примере— на ее полюсах) у нас обязательно обнаружатся две (и на
сфере всегда только две!) точки, в которых направления
векторов мы должны положить совершенно произвольными,
неопределенными, чтобы они были согласованы (по непрерывности
изменений) со всеми соседними, близлежащими точками.
А на торе (баранке), как легко убедиться, любое плавно
меняющееся векторное поле касательных уже не имеет такого
рода особых точек, в чем и проявляется глубокое отличие
топологической природы сферы от топологической природы тора. Так
появляется инстантон — это, грубо говоря, частицеподобное
образование, возникающее в квантовой динамической системе,
конфигурационно связанной с тором, в результате «туннельного»,
«подбарьерного» взаимодействия ее вакуума с вакуумом
квантовой динамической системы, характеризующимся
топологическими инвариантами конфигурационного пространства типа
сферы. Очень неточно, хотя и образно, инстантоны называют иногда
квантово-туннельными «ушами», «торчащими» в вакууме одной
топологической природы из-за существования вакуума другой
топологической природы.
Таким образом, как и в геометродинамике Уилера,
определенные материальные объекты оказываются
«сконструированными» из чистого «ничто», из «чистой протяженности», но
обладающей некоторыми далеко нетривиальными топологическими
характеристиками. На этих путях впервые топология
приобретает, как нам кажется, операционально-физическую
«инкарнацию», переставая быть — как до сих пор — только наиболее
теоретической «математикой для математиков».
Таковы вкратце те новые философские проблемы физических
теорий пространства (и времени), которые встали в
современной физике за годы, прошедшие со времени написания книги
Г. Рейхенбаха.
В заключение уместно напомнить, что, по словам автора,
«важнейшей целью научной философии можно считать
установление понятия объективной истины в качестве высшего критерия
философского познания» (с. 17).
Адлер Ф. 150
Айве X. 213
Андерсон 260
Бибербах Л. 22
Блюменфельд В. 106, 107, 108
Больяи Я. 22, 27, 68
Бонола Р 22
Бор Н.143
Бухенау А. 282
Вебер Р. 118
Вейль Г. 69, 222, 247, 305
Велленштайн 118
Вульф Т. 260
Галилей Г. 196, 197, 229
Гаусс К. 20, 24, 27, 264, 280, 308
Гегель Г. В. Ф. 239
Гельмгольц Г. 54, 55, 82, 280, 305
Герланд А. 55
Герц П. 55, 82
Гиллебранд Ф. 106
Гильберт Д. 22, 61, 113, 115, 122
Гюйгенс X. 234, 235
Доплер К. 253, 255
Дриш Г. 102, 105
Евклид 18, 22, 114, 115
Кант И. 12, 13, 19, 24, 49, 50, 55,
57, 58, 62, 65, 103, 104, 122, 129
Карнап Р. 7, ИЗ, 118, 293
Кларк С. 232, 234
Клейн Ф. 21, 22, 66, 77, 100, 120, 122
Кон Э. 227
Коперник Н. 232, 239, 240, 241
Копф А. 215
Кориолис Г. 256
Коши О. 269
Крис Ф. 102, 119
Ланге Л. 249
Лауэ М. фон 230
Левин К. 163, 293, 294
Именной указатель
Лейбниц Г. 12, 14, 231, 232, 234, 235,
293
Либманн Г. 22
Лобачевский Н. 20, 22, 68, 69, 77, 109
Лоренц Г. 207, 217—220, 223
Майкельсон А. 216, 217, 219, 223,
284
Мах Э. 144, 235, 246, 256, 278
Минковский Г. 132, 154, 180, 184,
198, 203, 297
Мюллер В. 215
Ньютон И. 231, 233, 249, 250, 255,
278, 279
Паш М. 61
Петцольд И. 214, 227
Пифагор 198, 265
Прокл 20
Птолемей 232, 239, 240
Пуанкаре А. 54, 55, 298
Пуассон С. 278
Риль А. 55
Риман Б. 24, 26, 27, 54, 264, 271,
280
Физо А. 146, 147
Фламм Л. 71
Фридлендер Б. 236
Фридлендер И. 236
Шеллинг Ф. 13
Шлик М. 32, 55, 82, 113
Штекель П. 22
Эйнштейн А. 53, 54, 55, 71, 87, 103,
144, 197, 217, 239, 240, 243, 245,
246, 247, 250, 252, 258, 278, 279,
280, 295
Энгель Ф. 22
Эренфест П. 305
335
Абсолютное пространство 233, 238
— время 167
— транспортировка времени 153
Абсолютизм 234
Аксиома 18, 186
— о параллельных 20—25, 27, 108,
109
— пути туда—обратно 188, 285
— света 189, 191, 196, 197, 198,
209, 225, 244, 253, 283, 285
— тел 191, 196, 198, 207, 209,211,
223, 285
Аксиоматическая конструкция 20
— метод 19
— система 19, 115
Алгебраическая сумма 175
Ампер 138
Аналитическое 121
Аналитическая трактовка геометрии
24
Analysis situs 60
Аппроксимация 48, 137, 234, 249, 260,
279
Априористская философия 87, 98, 111
Априорный постулат 98, 168
— принципы 87
— созерцание 50
— теория пространства 49
— характер геометрии 50
, эпистемологически 50
Бесконечность 99
— пространства 65
Бесконечно малая область 270, 291
Бесконечно малый элемент кривой 270
Близкодействие 151, 152, 281, 299,
302, 306, 312
Больше, чем 156
Большой круг 25
Векторное исчисление 119
Вероятность 158
Вес 245, 246, 258
Взаимнооднозначное преобразование
300
— соответствие 79, 111, 115, 290,
297
Предметный указатель
Визуализация, геометрическая 104.
122
— «чистая» 105, 119, 124
Визуальное восприятие
четырехмерного пространства 306
— интеграция 98
— оценка 200
Вихревое поле 260
Включение 88
—, относительность 88
Внутренняя непротиворечивость 21
Вогнутая поверхность 98
Возможное 23, 24
Волновая теория света 172
Восприятие 59, 93, 96, 98, 298,
306
— времени 133
Вращение 233, 260
Временной порядок 156, 157, 163,165,
292
в одной точке 156
Времени-подобный 205, 308, 309
Время, измерение 134
— инерциальной системы 283
— как ощущение 133
— как четвертое измерение 132,
211
— координатное 213
—, метрика 194
—, ось 205, 210
— статического гравитационного
поля 283
— «чистое» 135
Второе сравнение по длине в
кинематике 174, 195
Выбор координативной дефиниции
36
Вывод 118, 119, 125, 145
Выпуклая поверхность 94, 98
Выпуклое зеркало 75
Вырезанные области 290, 291, 296,
310
Гауссова мера кривизны 270
Гаусс-риманово распределение 308
Генетическое тождество 294
Геодезическая 24, 92, 280, 281
336
Геометрические аксиомы 18
— сумма 175, 176
— форма 36
— эмпиризм 55
Геометрия звука 226
— и гравитация 289
— истинная 52
— математическая 124
— мира 198
— наглядная 124, 125
— неархимедова 23
— непаскалева 23
— пространства 86
— Римана 24, 277
— риманова 287
—, Риманово обобщение 109
, интегральные свойства
290
— света 192, 193, 196, 197, 222,
226, 230, 244, 282, 288, 292
— —, определение равенства
расстояний в 115
— сферической поверхности 25
— физическая 124, 127, 289, 299
Геометризация гравитации 280
Гештальт 267
Гидродинамика 119
Главная окружность 90
— радиус кривизны 27
— сфера 90
Глубина 306
Гравитационный заряд 247
— масса 246, 247
— поле 246, 278, 287, 288
градиентное 259
потенциальное 259
, тензор 275
Гравитация как универсальная сила
279
Градиент 119
Графическое представление 122, 125,
211
Дальнодействие 151, 234, 303
Движение маятника 136
— кажущееся 234
— планет 240, 276
— реальное 234
— света 172
Дедуктивная система ИЗ
Действие на расстоянии 85
Дескриптивная простота 137
Десятиугольник 63
Детерминизм 85
Диаграмма 123, 125
Диаметр 25, 36
Дивергенция 119
Дифференциальный принцип 245
Длина 32, 177, 202
— волны света, испускаемого
кадмием 32
— движущегося отрезка 177
стержня 174, 175
— покоя 174,175, 176, 220
Доказательная наука 18
Доказательство непротиворечивости
22
Достоверность 18
Евклидова геометрия 49, 50, 53, 56,
102, 104, 269, 282
.визуализация ПО
, наглядное представление
67, 68
—, простота 53, 103, 104, 269
Евклидовость 291
Единица длины 33, 148, 223
— времени 134, 155, 283
— измерения в системе СГС 138
Естественные часы 137, 142, 216
Жесткая система 186
— тело 37, 40, 41, 102, 124, 153,
242, 288
Жесткость 288
Живой организм 215
Закон инерции 136
— сохранения энергии 42
Законы механики 137
Замедление часов 211, 214, 278, 283
Замкнутая кривая 80, 87, 160
Замкнутость «с определенной
степенью точности» 41, 139
Земля как часы 140, 141
Значение примеров 119
И (логическое) 115
Изменение формы 40, 75
Или (логическое) 115
Импликативный 19
Импликация 23, ИЗ, 115
Инвариант 207, 236
Инвариантная величина 258
Индефинитная метрика 258
Индефинитное понятие 263
— состояние 260
Индикатор 44, 140, 282
Инерциальная масса 246, 247
— система 167, 172, 249, 250,252
Инерциальное поле 259
Интервал 204, 212, 213, 286
— конечный 166
Интуиционизм 122
537
Исключение причинных связей 166
Искривление света 255
— траектории света 251
Истина 19, 241
Истинная длина движущегося
стержня 178
Истинность аксиом 19, 23, 122
Источник света 184
Карусель 262
Каузальная аномалия 85, 86, 99
— структура 167, 292
Каузальное взаимодействие 162, 292
Качественные свойства 81
Квантовая теория 143, 308
Кинетическая энергия 42, 225
Классическая физика 165
Клейна евклидова модель
неевклидовой геометрии 21
Ковариантная величина 236, 256, 259
Ковариантное понятие 263
Кольцеобразная кривая 80
Конвенционализм 54, 55
Конвенция 55
Конгруэнтность 74, 75, 78, 105, 121,
134
— временная 194
— зеркально-образная 129
—, определение 74, 78, 108
—,простое определение 34, 35
— пространственная 136, 194
Конечность 79, 100
Конечный предел скорости 152
Координативная дефиниция 31, 33,
56, 110, 124, 136, 147, 154, 155,
174, 190, 195, 197, 223, 240, 241,
292
метрическая 33, 156
топологическая 156
— операция 120
Координатное время 213
Корректировка 74, 75
Корректирующий коэффициент 255
— множитель 284
— фактор 39, 51
Коррекция 40
Коши — Римана условия
интегрируемости 269
Коэффициент расширения 42, 44, 195
— сокращения 195, 217, 219
Красное смещение 254, 283
Кратчайшая линия 24, 25, 111
Кривизна, внешняя 72
— внутренняя 72
—, мера 270
— нулевой степени 27
— отрицательная 27
— поверхности сферы 24
— положительная 27
Кривизна, постоянная 27
— пространства 27
Кривые, которые не могут быть
стянуты в точку 80
— неразделяющие 81
Круговая орбита 232
Линейные преобразования 193, 220
Линейный элемент 266
второго порядка 273
четвертого порядка 273
Линия 114
Логика 62, 67
Логическая невозможность 46, 47, 63
Логическое доказательство 19
— отношение 102
Майкельсона опыт 216, 217, 219, 223,
284
Маркировка 157, 296
Массы звезд 214, 249
Математическая геометрия ИЗ
— физика 15, 17
Материальная точка 186, 280
Между (понятие) 114, 116, 189, 267
—, аксиомы 115, 190
—, координативная дефиниция 189,
190
—, определение 190, 299
Меркурий 279
Метка 158
Метр 32, 33
Метрика 25
— дефинитная 199
— индефинитная 199
—, пространства 304
Метрическая уникальность света 226,
227
— форма 199
Метрические коэффициенты 51
— отношения 25
— свойства 82
Метрический тензор 27, 275, 277, 278
Метрическое поле 173, 223, 259, 276,
281
Метрогенический феномен 222
Метрогеническое различие 218
Метрокинематическое различие 218
Механика 172
Мировые линии 161, 162, 163, 204,
294, 295, 309
времени-подобные 294
пространственно-подобные 294
Многообразие, искусственное 102
— музыкальных тонов 131
— четырехмерное
пространственно-временное 130, 131, 132
338
Многоугольник с тысячью сторон 63
Молчаливое предположение 60, 111
Монотонно возрастающая функция
187
Наглядное представление пространств
более высокой размерности 305
Наглядность евклидовой геометрии
56, 102, 104
— неевклидовой геометрии 67, 69,
78, 102
—,ограничения 66
—, пределы 63
Наибольшая длина 178
Наипрямейшая линия 76
Направленность 294
Научная философия 17
Научное объяснение 280
Неокантианская школа 13
Неокантианцы 49, 55, 57
Непрерывность 86
Непротиворечивая система 20
Непротиворечивое расширение 176
Нереальная последовательность 168
— система 262
Несобственные понятия 118
Нормальная причинность 86
— система 250
Нормативная функция 58, 61, 63, 74,
112
Нулевая линия 201
Ньютона теория 276
Ньютонов закон тяготения 152
Ньютонова теория тяготения 279
Ньютоновская инерциальная система
186
Ньютоновский принцип
относительности 172
Образно-продуктивная функция 58,
63, 65, 74, 78
Объединение пространства и времени
180, 209
Объективная истина 17
Объективный смысл 56
Одновременность 144, 155, 182, 188
— абсолютная 149, 155
— в одном и том же месте 144
— в различных местах 145
—.определение 148, 174, 188
—, относительность 149, 166, 167,
168
—.транзитивность 189
— уникальная 168
Одновременно 292
Однозначность 32, 86
— настоящего момента 163
— временного порядка 163
Однонаправленное время 159
Описание природы 137
Описательная (дескриптивная)
простота 54, 137, 147, 189, 210, 241,
242, 285
Определение 34, 35, 53, 136, 137
— конгруэнтности 108
— концептуальное 149
— метра 148
— неявное 111, 114, 118, 124, 190
— понятийное 32
— явное 114
Отклонение света 278
Относительное понятие 118
— произведение 120
Относительность времени 144
— геометрии 53, 54, 86, 87
— динамическая 238
— кинематическая 232
— одновременности 149, 226
— относительного движения 242
Относительный покой 288
Отношение 114
— асимметричное 157
— логическое 102
— симметричное 157
— рядоположения 79, 86
— причина — следствие 263
Отображение 69, 70, 77, 79, 86, 88,
291
Отождествление метрического и
гравитационного поля 276
Отсутствие внутренней кривизны 73
Ошибки наблюдения 49
Парадокс круга 286
— часов 213
Параллелизм событий 85
— в перцептуальном пространстве
106
Первое сравнение по длине в
кинематике 174, 195
Первый сигнал 164, 165, 186, 190, 261
Период 135
Периодические процессы 135, 136
Перспектива 64, 75, 88, 98
Планетарные орбиты 240
«Плоскостность в мельчайших
элементах» 291
Плоскость 24, 25, 72, 73, 114, 267,
269
Поверхность, геометрия 72
— замкнутая 79, 88
Позже 156, 164, 186, 292, 296
Познание 34
Покой, координативная дефиниция
241
Покоящаяся система 224
Поле, метрическое 173
339
Поле, силовое 43, 44
— тензорное 258
— тепловое 44
—, уравнения 278, 305
Порочный круг 115, 146
Порядок времени 158
— линейного элемента 273
Постоянство скорости света 144,184,
224
Потенциал 51, 256
—, градиент 256
Правило непротиворечивости 179
— непротиворечивого расширения
179, 199
«Практическая геометрия» 24
Предельная скорость распространения
причинных взаимодействий 226
Предельный характер скорости света
165, 225, 261
Предустановленная гармония 85, 302
Преобразование Галилея 196, 197,
229
— инвариантное 198
— Лоренца 167, 177, 178, 193,
203, 207, 210, 224, 227, 229,230
— однозначное и непрерывное 79
— подобия 193
— инвариантное 198
Прецессия земной оси 138
Пример с близнецами 215
Принцип близкодействия 299, 304
— общей ковариантности 236
— относительности 231
геометрии 52
— постоянства скорости света 223,
224
— предельного характера
скорости света 225, 227
— причинности 85, 302
— тождества неразличимых 232,
240
— уникальности света 225
, метрической 226, 227
— эквивалентности 245, 275, 276
Приспособление 222, 280
Причина гравитации 278
— инерции 278
Причинная связь 133
— теория времени 185
— теория пространства и
времени 293
— цепь 145, 154, 158, 159, 161,163,
186, 210, 263, 292 294, 297
замкнутая 159, 160, 297
Причинное отношение 156
Причинность 296
Проективная геометрия 117
Промежуточность 80, 292
—, отношение 80
—, порядок 80
Простота 53, 155
— дефиниции 53
— евклидовой геометрии 105
Пространственная конгруэнтность
стационарных систем 286
— глубина 96
— сингулярность 101
Пространственно-временная
координатная система 308
— метрика 186
— объекты 203
Пространственно-временной порядок
133, 292, 308
— тензор 258
Пространственное измерение 189
Пространственно-подобный 205, 308,
309
Пространственный порядок 292
Пространство 34, 203
— более высокой размерности 305
— возможное 24
—.двойственная природа 23
— замкнутое 99
—, измерение 135, 299
— координатное 300, 304
— математическое 23
— математической визуализации
108
— наглядное 124
— параметрическое 300, 304
— перцептуальное 105, 106, 107,
112
— постоянной кривизны 27
—, размерность 305
— реальное 23, 300, 301, 303, 304
— риманово 75, 271, 304
, метрика 290
,топология 290
— свободное от гравитации 172
— сферическое 97, 98, 101
—, тензор 258
— физическое 24
— чистой визуализации 105, 112,
124
Противоречие 21
Процесс 135
Прямая линия 51, 190, 191
центральная 281
Прямой угол 109, ПО
Псевдопроблема 23
Пятимерное
пространственно-временное многообразие 306
Пятиугольник 58, 63, 105
Равномерность 142
—.времени 134, 144, 156
—, определение 138
Различие, кажущееся 218
— реальное 218, 219
540
Различные состояния вещества 37
Раньше, чем 156, 164, 292, 296
Распространение гравитации 152
Расширение 202
Реально равный 31
Реальность 313
Реальность пространства и времени
312
Релятивистская динамика 234
— кинематика 230, 234
— механика 230
Самоочевидность 50
Самоочевидный 18, 19, 22
Световая волна 223
Световой год 292
— луч 92, 103, 124
Связность 79
Связь 20
Семейство сфер 117
Сигнал 145, 158, 296
Сигнальная цепь 158
Силы 30, 41, 42, 44, 233, 235
— внешние 40, 41
— внутренние 40, 41, 140
— дифференциальные 30, 40, 42,
139, 140, 279
— Кориолиса 256, 264
— разрушающие совпадения 45
— сохраняющие совпадения 45
— универсальные 30, 32, 38, 41,
42, 51, 85, 99, 139, 140, 279,
280, 287
— упругости 153
— центробежные 233, 256, 264
Символы Римана — Кристоффеля 259
Синтетические априорные суждения
58, 62
чистого созерцания 58
Синтетическое 121
Синхронизация 189
— при помощи транспортировки
153
— симметричная 283
— транзитивная 283
Система, замкнутая 41, 138, 140
— инерциальная 142, 172, 192
— координатная 238, 266, 271
— нормальная 250, 268
— реальная 262
— совпадений 312
— соотнесенная 167, 188
Скалярная сумма 175
— теория гравитации 256
Скалярное поле 278
Скалярный потенциал 256
Скорость звука 145
— превышающая скорость света
170, 261
— света 146, 184
Собственная длина 208
Собственное время 207, 208
Совпадение 144, 145, 311
Соглашение 34
Созерцание 51, 80
— априорное 50
—, «форма» 104
— чистое 104
— эмпирическое 104
Сокращение, лоренцево 218, 219
— эйнштейново 216, 219
Состояние движения 191
, наблюдателя 167
Спекулятивный 13
Сравнение 33
— длин покоя движущихся
отрезков 195
— смежных событий 144
— удаленных событий 144
Статическое гравитационное поле 92,
282, 283
Стационарная система 286
Стационарное поле 137
Степени свободы 242
Стереографическая проекция 79, 89,
100, 118
Субстанция 294
Субъективное совпадение 311
Субъективность наблюдателя 167
Субъективный порядок восприятий
311
Сферическая волна 224
— поверхность 78, 88, 224
Сферическое зеркало 45
— пространство 87
Схоластическая схема 125
Тавтология 148, 149
Тензор 51, 268
— кривизны, риманов 270
— материи 278
— поля 278, 281
Тензорный потенциал 256
Теорема 18
— 0 (тэта) 51, 86
— Пифагора 198, 265
— подобия 64
— сложения 227
Теория множеств 14
— поверхностей 27
— относительности 14
общая 173, 227, 309
специальная 147, 155,
172, 173, 227, 289, 290,
292, 310
физическая 197
философская 197
— отношений 122
Теперь 130
N1
Теплота 30, 42, 43
Термометр 30, 42
Техническая невозможность 48
Тождественный 160, 294
Тождество геометрии света и
геометрии тел 226
— гравитационной и инерциаль-
ной масс 275
— личности 163
Топографическая съемка 24
Топологическая форма 290, 291
— функция 266
— эквивалентность 82, 100, 291
Топологически разделенные системы
координат 309
— родственные 291
— эквивалентные 79, 291, 309
Топологическое 78
Топология пространства 304
Тор 61, 79, 290
Точечное событие 154, 166, 205, 224
Точка 114, 115
«сТочка-теперь» 162
Трансляция 120
Триплет чисел 117
Угловое измерение 135
Угол зрения 178
Универсальная деформация 99
Универсальное силовое поле 72, 86
Уравнения механики 140
— Ньютона 249
— потенциального поля 256
— Пуассона 278
— состояния газа 125
Ускорение 172, 232, 233
«Устранение путем преобразований»
248
Феноменологический анализ 133
Физика обыденной жизни 39
Физическая геометрия 56
— реальность 23
Физические силы 40
— состояния вещества 304
Физический вопрос 23
Физическое время 133
— пространство 23, 127
Философия природы 13
Фокусировка (глаза) 96
Форма движущегося тела 181
, изменение 40, 75
Фотография, сделанная при помощи
шторного затвора 179, 180, 185
—, моментальная 224
Фундаментальная метрическая форма
266, 294
— окружность 90
— сфера 90
Хорда 68
Celarent 119
Целостные свойства 66, 79, 81, 88,
297
Центральная плоскость 90
Центрально-симметричный процесс
182, 224
Центробежное поле 141
Часы 135, 137, 253, 284
— атомные 139, 213
— маятниковые 140
— парадокс 213, 215
— пружинные 140, 141
— световые 137
Черчение 88
Четырехмерное многообразие 130
— пространство 73, 306
Четырехмерность 294
Четырехмерный
пространственно-временной континуум 191
Число измерений 298
Чувственные качества 105, 107
Эйнштейново гравитационное поле
255
— замедление часов 255
— определение времени 286
— пространство 66
— теория гравитации 152
Экватор 32, 53
Эквивалентность гипотез 234
Эквивалентные описания 239
Эксперимент с ведром 235
Электродинамика 172
Электромагнитные волны 225
Электрон 142, 143
Элемент 114, 115
«Элиминирование по определению»
72
Эмпирическая теория физической
геометрии 280
Энергия 41
Энтропия 236
Эпистемология 13, 16
Эпициклы 232
Эталонный метр 32, 38
Эфир 234, 294
Эффект Доплера 213, 253—255
Содержание
От издательства 5
Предисловие к английскому изданию 7
Введение 12
Глава I. ПРОСТРАНСТВО 18
§ 1. Аксиома о параллельных и неевклидова геометрия .... 18
§ 2. Геометрия Римана 24
§ 3. Проблема физической геометрии 28
§ 4. Координативные дефиниции 31
§ 5. Жесткое тело 37
§ 6. Различие между универсальными и дифференциальными
силами 42
§ 7. Техническая невозможность и логическая невозможность ... 46
§ 8. Относительность геометрии 48
§ 9. Наглядность евклидовой геометрии 56
§ 10. Пределы наглядности 63
§ 11. Наглядность неевклидовой геометрии 67
§ 12. Пространства с неевклидовыми топологическими свойствами 78
§ 13. Чистое созерцание 101
§ 14. Геометрия как теория отношений ИЗ
§ 15. Что такое графическое представление 122
Глава II. ВРЕМЯ 129
§ 16. Различие между пространством и временем 129
§ 17. Равномерность времени 133
§ 18. Часы, используемые в практической деятельности 139
§ 19. Одновременность 143
§ 20. Попытки установить абсолютную одновременность 149
§ 21. Временной порядок 156
§ 22. Сравнение времени 163
§ 23. Нереальные последовательности 168
Глава III. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 171
А. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ МНОГООБРАЗИЕ БЕЗ
ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ 171
§ 24. Проблема объединенной теории пространства и времени . . .171
§ 25. Зависимость измерения пространства от определения
одновременности 174
343
§ 26. Следствия для центрально-симметричных процессов
распространения 181
§ 27. Построение пространственно-временной метрики 185
§ 28 Пространство индефинитного типа 198
§ 29. Четырехмерное представление геометрии пространства —
времени 203
§ 30. Замедление часов 211
§ 31. Лоренцево сокращение и эйнштейново сокращение . . • • • 216
§ 32. Принцип постоянства скорости света 223
§ 33. Теорема сложения скоростей • • • . 227
B. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ С
ГРАВИТАЦИЕЙ 231
§ 34. Относительность движения . . 231
§ 35. Движение как проблема координативной дефиниции .... 240
§ 36. Принцип эквивалентности 245
§ 37. Эйнштейново понятие гравитации 255
§ 38. Точка зрения Эйнштейна на проблему вращения ...... 260
§ 39. Аналитическая трактовка римановых пространств . • • • • 264
§ 40. Гравитация и геометрия • . • 272
§ 41. Пространство и время в специальных гравитационных
полях 282
§ 42. Пространство и время в общих гравитационных полях . . . 287
C. НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 293
§ 43. Сингулярность времени 293
§ 44. Число измерений пространства . . . ......... 298
§ 45. Реальность пространства и времени 308
А. А. Логунов. Рейхенбах, Эйнштейн и современные представления
о пространстве и времени . . 314
И. А. Акчурин. Методологический анализ концепций пространства и
времени Рейхенбаха 323
Именной указатель ЗЗЙ
Предметный указатель 336
■ ■ ■ ' ' , „ . .
Г. Рейхенбах
ФИЛОСОФИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
ИБ № 13657
Редакторы Н. В. Вербицкая и О. Я. Клссиди. Художник А. М. Игитхаили.
Художественный редактор Ю. В. Булдаков. Технический редактор Е. В. Джиовва. Корректор Я. Е. Умс-
тупене. Сдано в набор 19.10.84. Подписано в печать 21.11.85. Формат 60X90 Vie. Бумага
типографская М 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Условн. печ. л. 21,5. Усл.
кр.-отт. 22. Уч.-изд. л. 22,14. Тираж 8Э00 экз. Заказ № 356. Цена 1 р. 50 к. Изд. М 38178.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Прогресо Государственного комитета
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 119847, ГСП, Москва, Г-21,
Зубовский бульвар, 17. Ленинградская типография № 2, головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им.
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский
проспект, 294
;л'"" ••v':- Hr-W ••'"- -:..-^-.^
Г.Рейхенбах
ФИЛОС• •• Я ПРОСТРАНСТВ *
и •
•л.-' flWW*
- МЕНИ
.* ••
■ * : ч. *
4 " * *
* А •. . Ф
• .^«N •***.*** ■'•'.:.■:■:'■:
S'fctfv-fc'J
•
А т
'■•'
• • • • >♦ • . -« •. * . . л . »' ..' „• % »
• -1 ■ '•' « " •• -. ч .♦„ - : Л'lit
•• . .. ... ••*•'» 1 -.*•♦'. - * • ч ^ • > •
ЩЪА,1*' - •''*,< ♦л**?;*4 «' ■. • ■■ ■* «■* -:• Л " < *
$•.■■;. №п?^?^^щ?^^^ £*;• •
. ..л*...,.. ^ .г*^»:..;.: *A ■ ;• -v »u