ЛЕНИНГРАДСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А. С. КОНДРАТЬЕВ, А. Е. КУЧМА
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРИИ
КВАНТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Учебное пособие
Ленинград
издательство
ленинградского университета
1989

Редактор Т. В. Мызннкова
Рецензенты: кафедра теор. физики Ленингр. нн-та точкой
механики н оптнки (зав. кафедрой проф. А. А. Киселев); проф. Л. Я. Васильев'
(Ленингр. ун-т, кафедра теории ядра и элемент, частиц)
Печатается по постановлению
Редакционно-издате гьского совета
Ленинградского университета
УДК 538.113/222 + 539.216.2
Кондратьев А. С, Кучма А. Е.
Лекции по теории квантовых жидкостей: Учеб.
пособие.— Л.: Издательство Ленинградского университета,
1989. 264 с. ISBN 5-288-00203-7.
Излагаются феноменологический и микроскопический подходы к
теории квантовых жидкостей, причем анализируются различные пути
обобщения исходной теории, которые позволяют применять ее в
разнообразных ситуациях, в частности — к сложным металлическим системам.
Рассмотрены как ферми-, так и бозе-систсмы, хотя основное внимание
уделяется фсрмн-жидкостям.
Книга полезна будет не только для студентов физических
факультетов университетов и вузов с расширенным изучением физики, не
только для аспирантов, по и чля специалистов, занимающихся
физикой твердого тела, магнитных явлений, физикой плазмы.
Библиогр. 16 назв. Табл. I. Ил. 20.
16С4100000—077 ло оп
К ___ 43—89
14 076(02)—89
Учебное издание
Кондратьев Александр Сергеевич
Кучма Анатолий Евдокимович
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ
КВАНТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Учебное пособие
Редактор Т. В. Мызникова. Художественный редактор С. В. Алексеев..
Обложка художника /О. И. Васильева. Технический редактор Г. М. Матвеева,.
Корректоры К. Я. Герловина, Т. Г. Павлова
ИБ № 2901
Сдано в набор I7.I0.F8. Подписано в печать 07.04.S9. М-21627. Формат 60X90Vie. Бумага тип.
jV> 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16,5. Усл. кр.-отт, 16,75,
Уч.-изд. л. 15,79. Тираж 2462 экз. Заказ 120S. Цена 50 коп.
Издательство ЛГУ 199034, Ленинград Университетская наб., 7/9.
Набор изготовлен в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 198052, г. Ленинград, Измайловский проспект, 29.
Отпечатано в типографии Изд-ва ЛГУ. Заказ Де 366. 199034, Ленинград,
Университетская наб., 7/9.
(Ё) Издательство Ленинградского*
ISBN 5-288-00203-7 университета, 1989

ЛРЕДИС ЛОВИЕ
Данное учебное пособие представляет собой подробный
развернутый конспект лекций, которые в течение ряда лет читаются
на физическом факультете Ленинградского государственного
университета для студентов, специализирующихся по
теоретической физике. Первоначальная программа курса «Теория
квантовых жидкостей» была разработана первым из авторов, который
и читал этот курс до 1986 г. В настоящее время курс читается
вторым автором. Курс лекций непрерывно дорабатывался и
совершенствовался как в плане отбора материала, так и
методически и в настоящее время представляет собой теоретический
спецкурс, посвященный систематическому изложению одного из
подходов современной теории систем сильно взаимодействующих
частиц — теории квантовых жидкостей.
Современная теория систем многих частиц отличается
исключительным разнообразием подходов, методов расчета и
используемых приближений. При этом в качестве полярных выступают
основанный на теоретико-полевых методах способ
приближенного решения основных уравнений и феноменологическое
рассмотрение конкретных вопросов. В действительности часто ока-
зывается, что феноменологические физические теории,
созданные на основе хорошо развитой физической интуиции, с одной
стороны, и применения мощного математического аппарата —
с другой, более ценны для понимания всей проблемы, чем
любые численные решения соответствующих уравнений. Именно так
обстоит, например, дело с теорией нормальной ферми-жидкости
Ландау—Силина. Сформулированная сначала на
феноменологическом уровне, эта теория, благодаря блестящим
экспериментальным подтверждениям сделанных на ее основе теоретических
предсказаний, сама стала объектом пристального изучения на
основе теоретико-полевого подхода.
Теория квантовых жидкостей представляет собой в
настоящее время самостоятельный раздел теоретической физики. Зна-
з

ченис этой новой области вес более возрастает, ее идеи и
методы находят широкое применение в других областях — теории
твердого тела, физике металлов, теории магнитных явлений,
теории ядра, теории строения звезд и т. д. Изложение материала в
пособии начинается с принципиальных теоретических основ и
завершается подробным рассмотрением ряда конкретных свойств
различных физических систем на основе развитой теории.
Структурно можно выделить следующие основные разделы:
1) феноменологическую теорию нормальной нейтральной
ферми-жидкости и свойства Не3.
2) феноменологическую теорию электронной ферми-жидкости
нормальных металлов и свойства щелочных металлов;
феноменологический подход к теории электронной жидкости магнито-
упорядоченных металлов;
3) феноменологический подход к теории бозе-жидкостн,
свойства Не4 и растворов ферми-бозе квантовых жидкостей;
сопоставление с микроскопическим подходом к теории
сверхтекучести;
4) микроскопический подход к обоснованию основных
положений теории квантовых жидкостей на основе меточа квантовых
функций Грина;
5) обобщение на основе микроскопического иоцхода теории
электронной жидкости в направлении рассмотрения свойетз
сложных металлических систем — металлов в квантующем
магнитном поле, тонких пленок в условиях квантового размерного
эффекта, магнитоунорядоченных переходных металлов группы
железа.
Пособие ориентировано на самостоятельную работу
студентов: каждая лекция сопровождается заданиями для
самостоятельной работы, которые бутут способствовать активному
усвоению материала.
Конкретные приложения теории рассмотрены с разной
степенью подробности в зависимости от того, насколько широко
представлен соответствующий вопрос в имеющейся учебной
литературе и монографиях. В частности, более сжато изложена
теория циклотронных волн в металлах, поскольку достаточно
подробное изложение этой темы имеется в рекомендуемой
литературе.
Авторы считают своим приятным долгом выразить
искреннюю благодарность В. П. Силину, многочисленные беседы с
которым способствовали более глубокому пониманию авторамп
наиболее тонких вопросов излагаемого материала. Авторы
признательны также А. Н. Васильеву и А. А. Киселеву за ненныо
замечания, направленные на улучшение изложения.

Лекция 1
КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ.
ПОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ
Теория квантовых жидкостей представляет собой часть общей
теории систем многих частиц» относящуюся к случаю квантовых
систем, когда взаимодействие между частицами не является
слабым и не может быть учтено в рамках теории возмущений.
Рассмотрим сначала совокупность нейтральных атомов,
взаимодействующих посредством короткодействующих парных сил.
При достаточно высоких температурах и достаточно низких
давлениях такая система обнаруживает обычные свойства
классического газа. Однако при росте давления и уменьшении
температуры картина будет изменяться по двум различным причинам.
Во-первых, взаимодействие частиц усиливается вследствие
увеличения плотности. Во-вторых, понижение температуры
уменьшает роль кинетической энергии по сравнению с энергией
взаимодействия частиц. При определенных условиях газ
совершает фазовый переход в жидкое состояние. Этот чисто классы-
чес кий эффект приводит к появлению классической жидкости.
При дальнейшем понижении температуры кинетическая
энергии частиц жидкости уменьшается, а их взаимодействие играет
все более важную роль. Вследствие этого почти во всех случаях
наблюдается фазовый переход из жидкого состояния в твердое.
Единственным исключением являются изотопы Не3 и Не4,
которые остаются жидкими вплоть до самых низких достижимых
температур. Для получения твердых фаз необходимо приложить
довольно высокое давление, равное 25 атм или выше. Таким
образом, в обычных условиях гелий остается жидким в области
температур, где следует учитывать квантовые эффекты — когда
средняя дебройлевская длина волны частиц h/(2mkT)['2
оказывается сравнимой со средним расстоянием между частицами.
Для гелия это происходит при 3—4 К- Квантовые эффекты
являются статистическими по своей природе: Не3,
подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, и lie4, подчиняющийся
статистике Бозе—Эйнштейна, обнаруживают совершенно различ-
5

ное поведение. Таким образом, в квантовой жидкости важную
роль играет как вырождение квантовой многочастичной
системы, так и взаимодействие между частицами.
Единственными «настоящими» квантовыми жидкостями
являются Не3 (ферми-жидкость) и Не4 (бозе-жидкость). Однако
квантовой жидкостью можно считать и электроны проводимости
в металлах, полуметаллах и вырожденных полупроводниках.
В действительности «электронная жидкость» неоднородна,
поскольку электроны в твердом теле движутся в периодическом
поле кристаллической решетки. Однако во многих случаях
влияние периодического потенциала можно учесть в рамках
приближения эффективной массы. К квантовой жидкости относятся
также ядерная материя, вещество нейтронных звезд и
некоторых других космических объектов.
Термин «квантовая жидкость» стал фигурировать в физике
начиная с 1956 г., когда Л. Д. Ландау предложил
феноменологическую теорию жидкого Не3. Годом позже В. П. Силин
сформулировал феноменологическую теорию электронной жидкости
нормальных металлов. Теория Ландау — Силина сразу
привлекла пристальное внимание и сама стала предметом детального
исследования с позиций современной теории систем многих
частиц. А последовавшие десять лет спустя блестящие экспери-
ментальныз подтверждения предсказаний новых неожиданных
фн?чческих явлений, которые были сделаны на основе теории
фермн-жидкостн, способствовали общему признанию теории
квантовых жидкостей и превращению се в самостоятельный
раздел теоретической физики. Фактически же квантовые жидкости
«родились» еще в 1940—1941 г., когда Л. Д. Ландау были
заложены основы теории сверхтекучести.
Бозе-жидкость обладает свойством сверхтекучести, которое
было открыто экспериментально П. Л. Капицей в 1937 г. При
температуре 2,17 К жидкий Не4 претерпевает переход, хорошо
идентифицируемый по аномалии теплоемкости (сплошные
кривые на рис. 1.1). Благодаря характерной форме этой аномалии
температуру 7\, при которой происходит переход, называют
X-точкой. Выше 7\ Не4 называется гелием I, а ниже — гелием II.
На фазовой диаграмме (рис. 1.2) области устойчивости этих
двух форм гелия разделены линией, наклон которой означает,
что с повышением давления температура перехода понижается.
Характерной особенностью гелия II является его способность
течь без диссипации по узким каналам (что указывает на от-
сутствие вязкого сопротивления потоку) и в то же время
демонстрировать наличие вязкости в экспериментах с движущимися
в нем твердыми телами. Таким образом, гелий II способен быть
одновременно вязким и невязким.
Математически сверхтекучесть характеризуется
макроскопическим заполнением одного квантового состояния — наличием
6

«конденсата». Физически сверхтекучесть наиболее ярко
проявляется как связанное с этим квантовым состоянием движение,
которому не оказывается сопротивление. А ее причиной является
бозе-эйнштейновская конденсация, которая имеет место уже в
идеальном бозе-газе.
Функция распределения частиц в бозе-газе имеет вид
</i(e„ D> = (exp^^-l) (1.1)
Будем считать, что уровню с наинизшей энергией частиц газа
соответствует энергия, равная нулю. Тогда из (1.1) следует, что
АДж/(г-К1
р,атгу
ио\-Тдердый
не
30
2.0
10
Hei
к-пиная
критическая
точна
Газ
Рис. 1.1.
}i ^ 0, ибо в противном случае некоторые из чиссч заполнения
<«> окажутся отрицательными. При сохранении числа частиц
в системе (;V) их распределение при любых температурах
подчиняется правилу сумм:
Z{n(et,T)) = N. (1.2)
i
Суммирование по дискретным энергетическим уровням в (1.2)
можно заменить интегрированием, однако при этом следует
учитывать, что плотность состояний в энергетическом представлении
р(е) — е1/2 обращается в н\ль при е = 0. Поэтому
со
X & (*t> Т)} = {п (0, Т)) + J dep (г) (п (г, Г» = Л'0 (Г) + Л" (Г) - N.
* о
(1-3)
При данной температуре Л" (Г) в (1.3) достигает максимума
при рл = 0. Поэтому, полагая |х = 0, определяем верхнюю
границу Nm(T) для N'\T):
ЛГи(Г)=$Лр(Е)(ехр^г-1) •
0
7

При высоких температурах Nm(T) достаточно велико для того,
чтобы все частицы оказались на возбужденных уровнях. Однако
при понижении температуры может быть достигнута
критическая точка — Гв, ниже которой Nm{T)<Z N. Другими словами,
ниже Ти частицы начинают заполнять наинизший энергетический
уровень е=0. Элементарное вычисление показывает, что число
частиц, находящихся в возбужденных состояниях, равно
Остальные Nq{T) частиц, находящихся на уровне с
наинизшей энергией, образуют конденсат:
Лго(Г) , / Т \з/2
N
ш-
Итак, при абсолютном нуле температуры все частицы
занимают наинизший энергетический уровень, а при температурах
выше Тв почти все частицы находятся в возбужденном
состоянии. В интервале между абсолютным нулем и Гв часть частиц
остается на наинизшем уровне. В системе макроскопического
размера наннизший уровень остается заполненным
макроскопически большим числом частиц вплоть до некоторой температуры.
Оценивая температуру начала бозе-эйнштейновской
конденсации для газообразного Не4, следует использовать для плотности
частиц значение N/V, соответствующее насыщенным парам при
нормальной точке кипения. Это дает значение Гв = 0,5 К.
Поскольку точка кипения равна 4,2 К» конденсация Бозе —
Эйнштейна в газе не наблюдается. Но если воспользоваться
плотностью жидкого Не4, то получается Гв = 3,1 К. Это достаточно
близко к температуре А-перехода и позволяет предположить, что
1\ и есть температура, при которой в жидком Не4 начинается
бозе-эйнштсйновская конденсация. Однако вычисляемая для
идеального газа аномалия теплоемкости (показанной пунктиром
на рис. 1.1) имеет совершенно иной характер, чем наблюдаемая
экспериментально.
Модель идеального бозс-газа не может дать точного
описания Я-перехода в Не4, поскольку в жидком гелии существенную
роль играет межчастичное взаимодействие. Оно проявляется
двояким образом: во-первых, уменьшается число частиц,
конденсирующихся на наннизшем энергетическом уровне, во-вторых,
меняется природа возбужденных состояний системы. Так, уже
при абсолютном нуле температуры не все частицы оказываются
на наинизшем энергетическом уровне—конденсат «истощается»
в результате взаимодействия. Однако конечное число частиц
по-прежнему остается на наинизшем уровне, и такое положение
сохраняется вплоть до некоторой температуры. Возбужденные
уровни теперь соответствуют не одночастичным состояниям в
а

системе, а элементарным возбуждениям всей системы —
квазичастицам.
Ферми-жидкость. Сверхтекучесть свойственна и ферми-жидко-
етям, но здесь это гораздо более тонкое явление,
наблюдаемое, например, для Не3 при очень низких температурах:
порядка 4-Ю-3 К. При более высокой температуре фермн-система
образует нормальную ферми-жидкость, в которой
взаимодействие квазичастиц вне зависимости от силы не меняет коренным
образом свойства системы. Другими словами, нормальная
ферми-жидкость сохраняет существенные свойства системы
невзаимодействующих фермионов: вследствие принципа Паули она
имеет определенную ферми-поверхность, ее теплоемкость
пропорциональна температуре и т. д. К нормальным ферми-жидко-
стям относятся Не3 выше 4-10~3К и электроны проводимости
в несверхпроводящих металлах, полуметаллах, вырожденных
полупроводниках и сплавах. При этом в силу дальнодействую-
щего характера кулоновского взаимодействия заряженная
ферми-жидкость существенно отличается по своим свойствам от
нейтральной.
Различие свойств газа нейтральных частиц,
взаимодействующих друг с другом посредством короткодействующего
потенциала, и газа заряженных частиц, взаимодействие которых в
первом приближении описывается законом Кулона, проявляется
уже в случае классической статистики. Взяв для нейтральной
системы для простоты модель газа типа твердых шаров,
описываемую параметрами т, /г, a, kT (m и а—масса и радиус
молекулы, п—их концентрация), можно убедиться, что
единственный независимый безразмерный параметр, который можно
составить из этих величии, имеет вид у = /ш3. При у ^ 1 Газ
сильно разрежен и подобен идеальному. Для рассмотрения
неравновесных явлений в системе необходимо определить
характерные времена протекания тех или иных процессов. Наиболее
общим выражением для параметра, имеющего размерность
времени, будет /—
'^а/\Д§г<р(у), (1.6)
где ф — произвольная функция безразмерного параметра у.
Вводя характерные времена: время взаимодействия или
корреляции /с ~ a^fmj(kT) и время релаксации гг — /г-1, для
которого с помощью (1.6) легко получить /г ~ п~1а~2 уmj{kT) = tjyt
видим, что иерархия временных масштабов Боголюбова будет
четко проявляться при у <^ 1. Именно в этом случае
кинетические свойства системы будут адекватно описываться уравнением
Больцмана.
В случае плазмоподобной среды, характеризуемой
параметрами /?г, п, е2, kT (ё2—квадрат заряда), единственный
независимый безразмерный параметр есть y = e2nl/3/(kT). Газовому
9

приближению соответствует случай у «С 1. Для величин,
имеющих размерность времени, в общем случае можно написать
' = «-'* Vsr ^ (L7)
Вследствие отсутствия характерного размера а ни одно из
времен, определяемых выражением (1.7), не может
интерпретироваться как время корреляции. Физически эта трудность
возникает из-за дальнодействующего характера кулоновских сил,
когда каждая частица системы взаимодействует одновременно
с большим количеством других частиц. Поэтому такое
взаимодействие нельзя свести к последовательности парных или даже
множественных соударений, которые испытывает частица за
конечное время и которые разделяются друг от друга временем
свободного пробега. Поэтому необходимо искать какое-то другое
характерное время, связанное с взаимодействием.
Положим в (1.7) cp(y) = Y~I/2- Получим
^р = V^/O^F- (1-8)
Это время не зависит от температуры, т. с. от скорости частицы.
Поэтому сразу возникает аналогия с гармоническим
осциллятором. С этой точки зрения tp можно рассматривать как период
колебаний частицы, которые она совершала бы под действием
упругой силы с постоянной жесткостью пе2. Такая аналогия с '
гармоническим осциллятором не случайна и связана с одним из
основных свойств плазмы —способностью совершать так
называемые ленгмюровские или плазменные колебания, квадрат
частоты которых определяется выражением
т*р = 4лпё*/т. (1.9)
Найдем время релаксации tu которое пропорционально п~1.
Полагая в (1.7) ф(у) = у-2, получим
tT = (neAflmv-2(kTf\ (1.10)
Из (1.8) и (1.10) определяется отношение этих характерных
времен: tp/tt = yd/2t или tp <С U при у <С 1. Проведенные
рассуждения привели к выбору двух характерных времен: /р и U,
соответствующих U и /г в случае нейтрального газа.
Переходя к рассмотрению квантовой плазмоподобной среды,
заметим, что появляется дополнительный параметр для
характеристики системы — постоянная Планка Тг. Теперь у =
= e2nl/z/(kT) больше не является единственным независимым
безразмерным параметром, который можно построить из
имеющихся величин — /я, я, е2, kTy /г. Безразмерным параметром, не
зависящим от у, является T = h2n2/d/(mkT). Этот параметр, не
содержащий заряда частиц, является мерой важности квантово-
■ статистических эффектов, или степени вырождения системы.
В классической области, которой соответствуют высокие темпс-
10

;ратуры и малые плотности (а также для чаетиц с доетаточно
большой массой), он очень мал. В общем случае безразмерный
параметр для квантовой тазмоподобной среды записывается
в виде 2 = уф (П. Он одновременно учитывает эффекты
межчастичного взаимодействия и квантовой статистики. Можно
исследовать некоторые предельные свойства функции <р(Г). В
классическом пределе, т. с. для очень малых значений Г, свойства
системы не зависят от Г, поэтому <р(Г)-^1 при Г-^0. В
ультраквантовом случае, т. е. в пределе очень низких температур,
2^_>оо, и свойства системы не должны зависеть от температуры.
Поэтому со (Г) должна иметь такой вид, чтобы параметр 2 не
■содержал температуры: 1|:(Г)-^Г-!
при Г-^оо. При этом имеем
.2
2 = \ф (Г)
■у те'
Г П2п
1/3
Легко видеть, что в
рассматриваемом случае параметр 2 с точность!'»
до численного множителя порядка
единицы равен среднему
расстоянию между частицами <г>~ л-|/3,
выраженному в единицах боров-
■ского радиуса этих частиц: а0 = Тг2/(те2). Примерный общий
вид функции ф(Г) доказан на рис. 1.3.
В теории металлов обычно рассматривается параметр /5,
определяемый соотношением
__(г). /_3_у/3 те*
Расчет энергии основного состояния электронной системы
металла в модели, где ионы заменены однородным
положительным фоном, выполненный в приближении Хартри— Фока, дает
на одну частицу величину
e0-(2,21/r^-0,916/rs)Ry. (1.11)
Первый член в (1.11) соответствует кинетической энергии
электронов и может быть получен элементарно. Второе слагаемое
соответствует обменной энергии Фока. Хартрисвская поправка к
энергии обращается в нуль для электроноиейтральной в целом
пространственно однородной системы.
Естественное для применимости теории возмущений
предположение состоит в том, чтобы считать rs малым параметром для
вырожденного электронного газа:
г,<1. (1.12)
Отмстим, что условие (1.12) соответствует приближению выео-
кой плотности электронного газа, в то время как классическое
приближение у =£2п1/г/{кТ)<^. 1 выполняется для газа с низ-
it

кой плотностью. Однако и в случае rs <С I попытки вычисления
энергии н более высоких порядках теории возмущений привели
к расходящимся результатам, что связано с чальиодействующим
характером кулоновского потенциала. Этот результат,
полученный Е. Вигпером еще в 30-е годы, на заре создания квантовой
механики, на целую четверть века задержал теоретическое
изучение влияния взаимодействия электронов на свойства реальных
металлов. Лишь в 1957 г, М. Гелл-Манну и К- Бракнеру удалось
с помощью теоретико-полевых методов просуммировать
бесконечную последовательность наиболее сильно расходящихся
членов ряда теории возмущений и получить конечное значение для
корреляционной энергии ес системы взаимодействующих
электронов:
E(z = (0,062 In rs — 0,096 + ars + brs In rs + cr\ + ...) Ry.
Плотность электронов в реальных металлах соответствует
значениям параметра г<, лежащим в интервале 1,8 4-5,6. Эта
область наиболее трудна для теоретического изучения, ибо здес
кинетическая и потенциальная энергии сравнимы по величин
и, следовательно, теория возмущений вообще не применима
Поэтому последовательная теория, учитывающая межэлсктрон
ное взаимодействие в реальных металлах, может быть тольк
теорией феноменологического типа, содержащей произвольны
константы, которые должны определяться из сравнения резуль
татов теории с данными эксперимента. А роль фундаментально:
микроскопической теории в таких случаях сводится к установле
нню правильного вида уравнений феноменологической теории i
доказательству определенных точных соотношений между
фигурирующими в теории величинами.
Переходя к рассмотрению неравновесных явлений, следуе
отметить, что в квантовостатнетической области основные черть
коллективного поведения не отличаются кардинально от класси
ческого случая. Поскольку плазменная частота <оР, оиределяе
мая формулой (1.9), не зависит от температуры, то можне
ожидать, что она играет в квантовой области такую же суще
ственпую роль, как н в классической. По отношению ко всем воз
мущениям, охватывающим достаточно большие расстояния, си
стема заряженных частиц всегда реагирует как непрерывна
среда, а законы эволюции составляющих ее частиц практичесю
никак не проявляются. Прн абсолютном нуле температуры суще
ствует конечная область значений волнового числа (ft), для кото
рых плазменные колебания являются незатухающими. Поэтому i
ферми-газс при нулевой температуре коллективные свойств*
проявляются еще отчетливее, чем в классическом газе. Состави>
отношение энергии плазмона Тгмр к энергии Ферми pv^ti2:i2/s/m
12

При rs *C 1» когда энергия плазменных колебаний много меньше
энергии Ферми, внутри сферы Ферми существуют много частиц,
имеющих достаточную энергию для создания незатухающих
плазменных колебаний. Это означает, что в основном
состоянии системы взаимодействующих частиц часть энергии при
нулевой температуре связана с упорядоченными формами
движения, в которых большое число частиц колеблется
в фазе.
В реальных металлах, где rs ^ 1, отношение hwp/sp > 1-
Поэтому электроны в основном состоянии не имеют достаточно
энергии, чтобы создать плазменные колебания, и, следовательно,
при нулевой температуре в системе не существует плазмонов.
Единственный эффект дальнодействующих кулоновских
взаимодействий проявляется в экранировании взаимодействия частиц.
Это позволяет после явного выделения самосогласованного
электромагнитного почя представить электронный газ в металле как
набор квазичастиц, взаимодействующих посредством
эффективных короткодействующих сил, и тем самым прийти к описанию
свойств системы, в целом аналогичному тому, которое принято
в теории нейтральной фермп-жпдкостн.
Заряженная фермп-жидкость также обладает свойством
сверхтекучести, которое проявляется в явлении
сверхпроводимости, открытом экспериментально Камерлпнг-Опнссом в 1911 г.
Считается, что сверхпроводящее состояние фактически
представляет собой состояние со строго равным нулю электрическим
сопротивлением. Может показаться, что сверхпроводящий переход
в металлах или переход в сверхтекучее состояние Не3 не связан
с конденсацией Бозе — Эйнштейна, поскольку участвующие в
этих процессах частицы являются фермиопамп. Однако при
выборе квантовой статистики, описывающей конкретную систему,
нужно учитывать не только внутреннюю природу частиц, но и их
взаимодействие. В частности, между двумя электронами может
наблюдаться взаимодействие, имеющее характер притяжения,
которое обусловлено обменом фононами—квантами колебании
кристаллической решетки. Взаимодействие двух изолированных
2>лелтропов приводит к образованию так называемой куперов-
ской пары, в которой суммарный импульс равен нулю, а спины
электронов направлены противоположно друг другу. При равной
нулю температуре система электронов в металле описывается
основным состоянием спаренных электронов, а не заполненной
сферой Ферми, как в нормальном металле. Это состояние
отличается от нормального, ибо если одно электронное состояние в
паре заполнено, то второе должно быть также заполненным.
В результате некоторые электронные состояния вблизи
нормальной фермн-поверхности заполнены, а некоторые, находящиеся
внутри этой поверхности, — не заполнены. В такой
конфигурации кинетическая энергия выше, чем в нормальном состоянии,
но полная энергия оказывается ниже энергии нормального со-

стояния, поскольку энергия связи электронных пар перевеши
вает увеличение кинетической энергии.
Куперовскис пары электронов ведут себя практически ка
бозоны и способны к бозе-эйнштейновской конденсации. Эт
позволяет говорить о сверхпроводимости металлов как о сверх
текучести электронной жидкости. Отметим, что подобные обра
зования двух или большего числа фермионов, обладающие свой
ствами бозонов, встречаются и в других физических явлениях
Примером может служить экситон, представляющий собой свя
занное состояние электрона и дырки в кристалле.
Задания
1. Получить соотношения (1.4) и (1.5)
2. Рассчитать теплоемкость идеального бозе-газа при низких темперап
pax и выяснить характер ее особенности при температуре бозе-эништейнов
ской конденсации.
3. Вычислить кинетическую энергию вырожденного ферми-газа при нулг-
вой температуре, определяемую первым слагаемым в правой части (1.11)
4. Рассчитать обменную энергию вырожденного электронного газа пр
нулевой температуре, определяемую вторым слагаемым в правой части (1.11)
Лекция 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ НЕЙТРАЛЬНОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Рассмотрим сначала систему «V невзаимодействующих ферми
нов массой т, заключенную в объеме V. Состояние каждой ч
стицы характеризуется двумя квантовыми числами: импульсо
р и проекцией спина с = ±1/2. Состояние в целом всей систем
можно характеризовать функцией распределения п{р. о), име
щей смысл вероятности того, что состояние р, а занято. Осно
ное состояние газа соответствует заполнению частицами вес
состояний внутри сферы радиусом pF в импульсном пространств
Фсрмиевский импульс рР связан с числом частиц соотношение
в котором учтено, что в отсутствие магнитного поля уровни энер
гии частиц двукратно вырождены по спину. Возбужденные с
стояния газа возникают, когда частицы переходят из состояни
заполненной сферы в какие-либо состояния с р > pF.
Чтобы установить связь с реальной системой, представи
себе, что взаимодействие между частицами включается беек
нечно медленно. При таком «адиабатическом» включении ид
альные собственные состояния переходят в собственные состо
14

кия реальной взаимодействующей системы. Однако априори
неясно, почему в результате этой процедуры должны возникнуть
все реальные собственные состояния. Например, может
случиться, что реальное основное состояние вообще не может быть
получено таким путем (как в сверхпроводниках). Поэтому
утверждение, что реальное основное состояние можно
адиабатически получить из некоторого собственного состояния п°(р)
идеальной системы, является предположением о свойствах
системы. Справедливость этого утверждения можно
рассматривать как определяющее свойство нормальной (несверхтекучей)
ферми-жидкости.
Если добавить одну частицу с импульсом р к системе с
идеальным распределением п°(р) и опять адиабатически
«включить» взаимодействие между частицами, то возникнет
возбужденное состояние реальной ферми-жидкости с импульсом р, так
как импульс сохраняется при столкновениях частиц. По мере
медленного роста взаимодействия добавленная «голая» частица
начинает постепенно воздействовать на окружающие ее, так что
когда взаимодействие будет включено полностью, добавленная
частица окажется движущейся вместе с тем возмущением
окружающих частиц, которое возникло вследствие взаимодействия.
«Одетая» таким образом частица, т. е. частица вместе с
возмущением окружающих частиц, — это кеазичастица в
ферми-жидкости. Возникающее таким способом возбужденное состояние,
соответствует реальному основному состоянию плюс
квазичастица с импульсом р.
Таким образом, исходным пунктом для построения теории
нормальной ферми-жидкости является утверждение о том, что
классификация уровней энергии остается неизменной при
постепенном включении взаимодействия между частицами, т. е. при
переходе от газа к жидкости. В этой классификации роль
частиц газа переходит к элементарным возбуждениям (квазнча-
стицам), число которых совпадает с числом частиц и которые,
как и частицы, подчиняются статистике Ферми.
Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом
р. Если п(р) есть функция распределения квазнчастиц по
импульсам, то условие нормировки для нее имеет вид
S-t^Fn(p> = ■■?■• (2-2)
а указанный принцип классификации уровней энергии означает,
что задание функции п(р) однозначно определяет энергию
ферми-жидкости. При этом основному состоянию соответствует
Функция распределения я°(р), при которой заняты все состояния
внутри ферми-сферы радиусом pF, связанным с числом частиц
той же формулой (2.1), что и в случае идеального газа.
Для идеальной системы существует простая линейная связь
Мсжду энергией данного состояния и соответствующей функцией
15

распределения. При учете взаимодействия частиц полная
энергия жидкости не сводится к сумме энергий квазичастиц. Она
представляет собой функционал от функции распределения ква
зичастиц, явный вид которого в общем случае найти не удастся.
Но если функция распределения п(р) достаточно близка "к
функции распределения в основном состоянии я°(р), то этот
функционал можно разложить в ряд, считая малым либо само
отклонение функции распределения от равновесного, либо область
импульсного пространства, где это отклонение отлично от нуля
При этом в линейном по вариации функции распределения при
ближении имеем
Здесь б£ — вариация плотности энергии ферми-жидкости; вели
чина е(р) соответствует изменению энергии системы при добав
лении одной квазичастицы с импульсом р и играет роль гамиль
тоновой функции квазичастицы в жидкости. Она тоже являета
функционалом функции распределения, так что вид функции
е(р) зависит от распределения всех квазичастнц в жидкости.
Предположение о том, что каждой квазичастице может быт
приписан определенный импульс, требует, чтобы его
неопределенность, связанная с конечностью длины свободного пробег-
квазичастчны, была мала по сравнению с шириной облает
(Др), в которой б/г(р) существенно отлично от нуля, т. е. облает
«размытости», где распределение квазичастиц значительно от
личается от ступенчатого л°(р). Это условие выполняется, есл
п(р) отличается от п°(р) только в малой области вблизи ферми
поверхности р = рр. В силу принципа Паули взаимно рассей
ваться мог\"т только частицы в области размытости распределе
кия, причем в результате рассеяния они должны переходить
свободные состояния в той же области. Поэтому всроятиост
столкновения пропорциональна квадрату ширины области ра.
мытости. В соответствии с этим как неопределенность энергш
так и неопределенность импульса квазичастицы пропорциональ
ны (Ap)s. Отсюда следует, что при достаточно малом Ар нсопре
делснность импульса будет мала по сравнению как с рг, так i
с Др. В результате приходим к выводу, что квазичастииы ка
стабильные образования с фиксированным импульсом р и фут
цией Гамильтона (энергией) е(р) можно рассматривать тольк
при р ж pF. Это позволяет описывать только такие возбужде*
иые состояния жидкости, для которых функция распределени
квазичастиц отличается от ступеньки лишь в области ржр-
Влияние рассеяния квазичастиц в квантовой жидкости н
примесях будет рассмотрено позднее.
При учете спина квазичастиц функция распределения стаи
внтся матрицей /г(р) по отношению к спиновым переменным, к
1А

тора я имеет вид ;гар(р), где а, р = ±:1/2. Условие нормировки
(9.2) записывается при этом в виде
sp S w д (р) в S (SiF "««(р) == т • (2-4>
д\атрицей является в общем случае и энергия квазичаетицы, так
что если явно указывать спиновые индексы, то соотношение
(2.3), определяющее е(р), записывается как
При не зависящих от спина энергии квазичастнцы и функции
распределения, когда
«up (р) = п (р) 6up, еар (р) = е (р) 6U(V (2.6)
соотношения (2.4) и (2.5) сводятся к
Т=2\Ш^»{»> »£ = *5ёй1г(р)в«(р). (2.7)
Соотношения (2.7) отличаются от соответствующих выражений
(2 2) и (2.3) только множителем 2, учитывающим спиновое
вырождение.
Равновесная функция распределения квазичастиц имеет вид
распределения Ферми, в котором роль энергии играет величина
е(р). Действительно, поскольку классификация уровнен энергии
ферми-жидкости такая же, как у идеального фермн-газа, то ее
энтропия S определяется таким же комбинаторным выражением:
Т = "5р572Й?{Л,11Л + (1"й)1п(1~Л)}" <2'8)
Условие экстремальности функционала (2,8) при
дополнительных условиях неизменности полного числа частиц и энергии
системы:
6А' \ dp - я А и. Г dp Л s „ ,,
— = *Р) (2^76;i=0' 6£ = sp ^ faHftp- e &я =- О
Дает искомое выражение для п:
й = [ехр(-^)-г if'. (2.9)
|'Де jii — химический потенциал жидкости. В случае не зависящих
от спина энергии и распределения (2.6) связь (2.9) имеет место
Для величин е(р) и н(р).
При нулевой температуре химический потенциал совпадает
с фаничнон энергией на поверхности Ферми:
Ц 1г.о = eF = в (М- (2Л0>
Следует подчеркнуть, что распределение (2.9), хотя и
совпадает по виду с фермневским распределением для идеального
2 А. С. Кондратьев, А. Е. Кучма 17

газа, существенно отличается от него тем, что входящая в (2.9)
энергия квазичастицы ё сама является функционалом от п, та!
что (2.9) представляет собой неявное определение п.
Условие малости ширины размытия Ар для равновесного рас-
предсления (2.9) приводит к тому, что допустимы лишь
достаточно низкие температуры. Ширина области размытия
распределения (2.9) порядка Т. Квантовая неопределенность энергии
квазичастицы, связанная со столкновениями, порядка %/% (т—^
время свободного пробега). Поэтому условие применимости
теории имеет вид
Й/т«7\ (2.11)
Поскольку, как уже отмечалось, вероятность столкновения про
порциональна квадрату ширины области размытия, то т — Т~2
Поэтому (2.11) выполняется при Г->0. Реально это означае
малость Т по сравнению с характерной энергией квазичастицы
ef, так что условием применимости теории является ограничение
Т «С eF.
При Г = 0 распределение (2.9) имеет вид фермневской
ступеньки при любом виде функциональной зависимости е(р) от
п(р). Поэтому при низких температурах, когда распредслени
квазичастиц мало отличается от распределения при Г — О
можно в низшем приближении заменить функционал е(р) еп
значением при n(p) = /z°(p), т. е. при ступенчатом распредс
лении:
f 1, Р<Р^
гг0(р>=и p>Pf. (2-12
В этом случае е будет определенной функцией величины и\
пульса, и (2.9) становится обычным распределением Ферми
Вблизи ферми-поверхности, где квазичастицы только и .явля
ются долгоживущими, так что е(р) имеет непосредственный фи
зический смысл, имеем с учетом соотношения (2.10) разложенш
е (р) « eF + vF [p — рру (2.13
Здесь скорость квазичастиц на ферми-поверхиости есть <
(2.14
р-рр
В идеальном ферми-газе, где квазичастицы тождественны ча
стнцам, f = p'2/(2m), так что vF = pv/m. По аналоги!! с соотно
шеиием (2.14) для ферми-жидкости можно записать
pF/m\ (2.15
v
F
введя таким образом эффективную массу квазичастицы (trf)
Связь между m и т* будет обсуждаться далее при рассмотрение
эффектов взаимодействия квазичастиц.
18

Эффективная масса определяет, в частности, энтропию (S) и
теплоемкость (С) жидкости в области Г->0. Выражения Д1Я
нНх имеют такой же вид, как и для идеального ферми-газа с
заменой лишь массы частицы т эффективной массой
квазпчастицы т*: т -
S=,C^V^f. (2.16)
Для получения соотношения (2.16) необходимо использовать
выражение для энтропии (2.8). В последнем при вычислении
интеграла для низких температур существенна лишь область
импульсов вблизи Pf, где функция распределения квазнчастиц в
фермн-жидкостн (2.9) имеет благодаря (2.13) такой же внд, как
и в фермн-газс.
Поскольку энергии квазичастицы ё(р) является
функционалом от функции распределения квазнчастиц, ее изменение
(бе(р)) при малой вариации функции распределения (fiw(p))
может быть представлено в виде
бе
<р>=sp' \ jSw р {р>р,) м (р/)> (2-17)
где sp — взятие шнура по спиновым индексам, отвечающим
импульсу р'. В развернутой форме (2.17) имеет вид
teop (р) = \ -j0j-f fay, ре (Р. РО б«бу (РО-
Фуикция F описывает эффект взаимодействия квазичастиц и
носит название корреляционной функции Ландау, В идеальном
фермп-газе ^ = 0. Так как к(р) есть вариационная производная
от Е по п, то функция Р(р, р') представляет собой вторую
вариационную производную от плотности энергии жидкости по
функции распределения квазнчастиц. В силу этого она должна
быть симметричной относительно перестановки импульсов р п р'
вместе с соответствующими парами спиновых индексов:
f«YlP6(P- ff) = Fvu.*W.Pl (2Л8)
Нел и учесть вклад в энергию квазичастицы (2.17),
обусловленный изменением функции распределения, то выражение для
энергии квазпчастицы вблизи ферми-поверхиостн можно,
используя разложение (2.13), представить в виде
^(p) = eF + uF(p-^F)+sp/5^rF(p, p') вй (р'). (2.19)
1аким образом, вследствие наличия f(pt р')—взаимодействия
Данной квазпчастицы с остальными возбужденными квазнчасти-
цами — ее энергия зависит от состояния системы. В частности,.
Д-Тя термодинамически равновесных распределений последнее
слагаемое в (2.19) определяет зависимость энергии
квазичастицы от температуры.
1^

Спиновая зависимость функции F определяется как
релятивистскими эффектами (мы позднее обсудим роль спин-спннового
и спин-орбитального взаимодействий), так и обменным
взаимодействием, которое наиболее существенно. Учитывая только
последнее, функцию F можно представить как
F(p, p') = q>(p, р') + 4(5-?Жр. Р'). (2.20)
где s — спиновые матрицы:
1 /0 1\ 1 /0 — «\ 1/1 0\
''Ых о)' 8'Ы* o>-s' = t(o -J- <2-21>
а функции ф(р, р') и ij? (Р* Р') описывают соответственно
изотропную по спину и зависящую от спинов части взаимодействия.
Имея в виду представление функции F в виде (2.20), удобно
использовать вместо п скалярную функцию распределения
частиц f(p) и векторную функцию спиновой плотности о(р). пред
етавляющих собой коэффициенты разложения матрицы п п
полной системе, которая состоит из единичной матрицы и спи
новых матриц (2.21):
«aP (Р> ^ Т f № 6аЭ + ° (Р) * S<4V <2'22)
а вместо е(р) ввести функции е(р) и е(р) согласно соотно
шенню
р-аЭ (Р) = е (Р) *ар + 2е (Р) * sap. (2.23*
Учитывая, что согласно (2.20)
?аУ> 0б (Р' Р') = Ф (Р> Р') **06Y* + 4* (Р' Р') Ы * SY6-
выражение для вариации квазичастичной энергии (2.17) можно
используя (2.22) и свойства спиновых матриц (2.21), п ре дета
вить в виде
&*0 (р) = $ ^р- Ф (р. р') bf (р0 6ttp + 2 J -^|р- ф (р, р') 6а (р') • sap
(2.24
Сравнивая выражение (2.24) для 6е«р с разложением (2.23)
находим, что вариации величин р(р) и е(р) описываются
выражениями
6е <р>=- S iSwф (р>р/) 6f (р/)' (2*25
6е ^=S iw *(р'р/) 6а №• (2-26
Поскольку реально 6п(р) отлично от нуля только при р
близких к pi-, и в этой же области лежат импульсы рассматри
ваемых квазичастиц, то в аргументах функций <р(р,р') и ф(р, р )
20

r-ожно положить |р| = |p/j = pF, так что в рассматриваемом
случае изотропной ферми-жидкоети эти функции зависят точь-
ко ог Угла X М^ЖД^' векторами р и р'. Далее, поскольку ф(р, р')
я ф(Р* Р')» как видно из (2.25) и (2.26), имеют размерность,
обратную размерности плотности состояний в расчете на
единицу объема, то от ср и ф можно перейти к безразмерным
функциям, выбирая в качестве масштабного множителя плотность
состояний p(€f) на ферми-поверхности:
о . , . t о
Безразмерные функции А (/) = р(еР)ф<х) и В(х)= pUf) + (x)
служат мерой отличия ферми-жидкостн от идеального ферми-
газа, поскольку в последнем случае Л(у) = В(х) = 0. Эти
функции удобно представить в виде разложений по полиномам
Лежа ндра:
Л(у)=Ё(2/+1)Л|Р/(со8х),
г-о
(2.28)
B(z)=I!(2/+l)B,P,(cosx).
/-о
Ограничиваясь тем пли иным набором слагаемых и (2.28),
можно строить разные аппроксимации корреляционных функций
Л(х) и В (у) для последующего сравнения результатов расчета
наблюдаемых свойств ферми-жидкоети с экспериментальными
данными. Реально такая процедура позволяет определить
несколько первых коэффициентов в разложениях (2.28).
Использование указанных разложений позволяет заметно
упростить связь между изменением квазичастичной энергии и
вариацией функции распределения, задаваемую формулами
(2.25) и (2.26). Рассмотрим, например, первое из этих
соотношений. Как уже отмечалось, функция 6/(р') отлична от нуля
только в области |р'| ж рР. Это связано с тем, что, как правило,
3/(р') всегда содержит множитель dfQ/dE\ где f0 — равновесная
Функция распределения квазичастиц, имеющая фермиевский
вид. При T~^Q имеем в соответствии с (2.12) выражение
dfv/дъ' ^ -26 (е' - eF), (2.29)
где множитель 2 —следствие того, что f0 определяет суммарную
концентрацию для двух проекций спина квазичаепш. Таким
образом, б/ отлична от нуля только на ферми-поверхностн и
зависит только от направления вектора pi--, задаваемого углами В
и ф в сферической системе координат с осью г в качестве поляр-
нон оси. Представляя в этой ситуации 6f(p') в виде
б/ (р') = 26 (е' - е,0 v <Q'), (2.30)
21

где СУ —направление, определяемое упами 0' и ср', для
величины 6е(р) при р = ру, имеем
6в (pF) = \ *>{£$'■ Ф (pF, р^) 26 (в' - eF) v (Q') =
= \~A(k)v(Q'). (2.31)
Здесь •/ — \гол между направлениями Q и СУ. Далее, разложим
бг(рР) и v в ряды по нормированным сферическим функциям
Y,m(Q):
бе(Рр) = бе(0)=2;бе/тУ1т(Ц),
"" (2 32)
а для полиномов Лсжанчра Л (cos/) в разложении (2.28) чля
/l(yj воспользуемся соотношением (теорема сложения для
сферических функций)
Л(«*х)=2ПГГ £ Пп(^)У,тШ (2-33)
Подставляя разложения (2.28) и (2.32) в (2.31), находим с
учетом (2.33) следующую простую связь между 6f/7„ и v/,n:
де1т = Atvlm. (2.34)
Аналогично можно показать, что связь между коэффициентам
beim и v:m разложений величии бе и 6о в ряды по сферических
функциям имеет вид
<*/« = S/Vlin. (2.35
Соотношения типа (2.34) и (2.35) мы в дальнейшем будем
неоднократно использовать.
Параметры At и Bi разложения корреляционной функции
Ландау по полиномам Лежандра удовлетворяют определенным
условиям, вытекающим из требования устойчивости основного
состояния фсрми-жидкости относительно возмущений функции
распределения квазичастиц. При этом естественно
рассматривать только возмущения в области импульсов квазичастиц,
близких к фермневскому импульсу pp. Наличие неустойчивости
приводило бы в этом стучае к самопроизвольной деформации
ферми-поверхности. Для исключения таких неустойчивостей необ
ходимо потребовать, чтобы свободная энергия ферми-жидкости в
основном состоянии обладала минимумом относительно дефор
маций ферми-поверхности. Условие положительной определен
ности соответствующей квадратичной формы и будет дават
искомые ограничения на ферми-жидкостные параметры At и Bt
22

Граничные значения параметров, отвечающие началу
неустойчивости, можно найти и более простым путем. Для этого
заметим, что если система находится на границе
неустойчивости, то при малой деформации фермн-повсрхности новое
состояние также должно отвечать равновесию. В случае
возмущений, не зависящих от спина, это означает, что добавка к
функции'распределения квазичастиц должна иметь вид
6f(p) = ~|^e(p). (2-36)
Поскольку при Т-+ О производная в правой части (2.36) имеет
вид б-функции, то можно полагать p = pv и использовать
разложения "(2.32) в ряды по сферическим функциям. Для
коэффициентов разложения из (2.36) имеем v/m = —Ьг1т. Поскольку
эти величины связаны, кроме того, соотношением (2.34), то
окончательно находим
(l+Ai)vtm = 0. (2.37)
Из соотношения (2,37) следует, что новое состояние,, возникаю1
щес при vtm¥=0, будет равновесным, если
1+Л, = 0. (2.38)
Условие (2.38) при заданном / определяет границу
устойчивости основного состояния ферми-жидкости относительно
возмущений, не зависящих от спина, зависимость которых от углов
на ферми-сфере описывается функциями У{т. Система будет
устойчивой относительно малых возмущений, описываемых
изменением функции распределения произвольного вида, если для
всех I выполняется неравенство
1 + Л, > 0. (2.39)
Рассматривая возмущения, связанные с изменением
спиновой плотности 5а(р), аналогичным способом можно показать,
что в этом случае граница устойчивости определяется условием
1~г£г=0, так что система является устойчивой, если для всех
/ выполнено соотношение
1 + Б, > 0. (2.40)
Несколько первых условий вида (2.39) и (2.40) допускают,
как будет показано далее, простую физическую интерпретацию.
Задания
.„ Получить выражение (2.9) для равновесной функции распределения
лвазнчастнц.
2. Получить выражение (2Л6) для энтропии.
д- Получить соотношение (2.24).
4- Проделать подробный вывод соотношений (2.34) и (2.35).
23

Лекция 3
РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА
НЕЙТРАЛЬНОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Применим изложенный в предыдущей лекции подход к исследо
ванню ряда макроскопических свойств, характеризующих разно
весиос состояние нейтральной фермл-жндкости.
Как уже указывалось, выражения для энтропии н
теплоемкости фермн-жидкости определяются тем же соотношением
(2.16), что и в случае идеального газа. Это объясняется еозпа
дением классификационных свойств энергетических состоянии
нормальной ферми-жидкости н газа. Единственное отличие
соответствующих выражений при переходе ог газа к жидкости
заключается в замене массы т истинных частиц жидкости зффег
тивной массой т* квазпчастиц. Реально такая замена связана
с изменением плотности состояний на уровне Ферми при
переходе от газа к жидкости и имеет место во всех случаях, когда
в выражение дли рассматриваемой равновесной характеристик!
входит указанная плотность состояний. Поэтому полезно выи
нить прежде всего вопрос о связи величин т и /л*.
Эффективная масса квазичастиц. Поскольку скорость кваз!
частицы есть дк/др, то ноток квазпчастиц описывается выра
жен нем
Г f/p <Je <р) г / х
J (2яА)3 <)р ' {Р}'
Далее, так как число квазичастиц совпадает с числом истинны
частиц, то перенос массы квазичастицами (плотность потох
массы) равен
f dp <1г (р) Р, ,
С другой стороны, плотность потока массы совпадает с н.~от
иостью импульса среды. Поэтому имеем
'»!^^ПР)Ч^ГР1(Р). (3-1
Проварьнруем обе части соотношения (3.1):
[dp ., , С dp <te (р) s,- / ч i f dp д бе (р) f ,s
(3.2
Используем соотношение (2.25), а именно:
бк(р»=57^з-ф1р. p')bf(p')
24

н проинтегрируем второе слагаемое в (3.2) но частям:
Поскольку, как следует из (2.18), функция <р(р, р') обладает
свойством симметрии: ф(р, р') = ф(р1 р'), в последнем интеграле
можно заменить переменные интегрирования р +± р'. Подставляя
получающийся таким способом результат в (3.2), находим
В силу произвольности вариации б/(р) отсюда саедует
^^-S^r^P')^3-" (3-3)
При Г->0 имеем
а/(р')/Ф'=-2б(е'-ег)у^
Подставляя это выражение в (3.3), учитывая определение
эффективной массы (2.15) и переходя в интеграле по р' к
сферическим координатам с полярной осью, направленной вдоль р,
имеем после интегрирования по модулю р соотношение
Используя разложение функции Л (8) (2.28), с учетом
соотношения ортогональности для полиномов Лежандра
J Pa u) Pt (х) dx - -^pj 6nt (3.5)
_j
из (3.4) иачоднм искомую связь:
т* = т\\ +Л1]. (3.6)
Как было показано, требование устойчивости основного
состоянии ферми-жидкости накладывает определенные
ограничения на величины At и В;. В частности, условие устойчивости
<2.39) при /=1 обеспечивает положительность выражения в
скобках в (3.6). Последнее означает, что эффективная масса
является положительной величиной. В противном случае система
была бы неустойчивой, так как при отрицательной эффективной
массе энергетически выгодно возбуждать квазичастнцы.
Сжимаемость ферми-жидкости и скорость звука. Вычислим
сжимаемость ферми-жидкости и2 = дР/др (Р — давление, р —
плотность жидкости) при 7-^0. Отметим, что величина и
определена как известное термодинамическое выражение для
скорости звука в жидкости. В силу того что S->0 при Г-»-0, нет
25

необходимости различать адиабатическую и изотсрмическу!
сжимаемость.
Плотность жидкости р есть p = mN/V, поэтому выражснц
для и2 можно записать в виде
и2
V дР
т dN
(3.7)
Для вычисления производной» входящей в (3.7), удобно
выразить се через производную от химического потенциала и.
Учитывая, что химический потенциал зависит только от отношения
N/V, имеем
Ф V д\\
dN ~~ ~" N W'
Используя фундаментальное равенство Гнббса
находим dP/dN = —d\x/dV. Выражая отсюда производную
dP/dN и подставляя ее в (3.7), получим
и*=.—
(V дц
т ON
(3.8
F
М^Я
Вычислим теперь входящую в (3.8) производную дц/dN. Уве
личим ц на бесконечно малую величину ф, Фсрми-поверхностг
слегка увеличится. Мы предполагаем, чт
энергия квазичастиц не зависит от спина
(система инвариантна относительно иг-
версии), так что имеется одна ферми-пс
вегзхпость для обеих проекций спин .
Произвольная точка Л исходной фермг-
поверхности (рис. 3.1) сместится по нор
мали на величину
Рис. 3.1.
dp.
(rsf)dl1
(3.9
и перейдет в положение В. На новой ферми-поверхностм энерги i
должна быть равна u + d\x, чем и определяется величина dp?
(3.9), связанная с изменением числа частиц, как это следует и
(2.1):
2
dN = V^dpF. (ЗЛО
Изменение энергии квазичастицы ф ПРИ переходе от точки А
на исходной поверхности к точке В на новой содержит два
вклада;
■ 1) при переходе изменяется импульс, что приводит к измене
нию энергии на v?dpv\
2А

2) увеличение ц на величину ф соответствует появлению но-
ых квазичасгиц в заштрихованной области импульсного
пространства; при этом энергия в точке В возрастает на величину,
вНук> энергии взаимодействия с добавочными квазичастицами.
Таким образом, изменение химического потенциала d\i
можно представить в виде
djx - vF dp, + \ -^g^ ф (pFf р') 6/ (р% (3.11)
[Изменение функции распределения квазичастиц б/(р),
отвечающее рассматриваемой деформации ферми-поверхности, можно
записать следующим образом:
б/ (р) = 26 (е (р) - ц) rF dpF. (3.12)
Подставляя (3.12) в (3.11) и учитывая, что функция qp(pF, pF)
зависит только от угла % между pF и pF, имеем
diL = vFdpF[l +\^A(%)], (3.13)
где А ("/)— корреляционная функция, определенная
соотношением (2.28). Учитывая, что интеграл в (3.13) дает согласно
(2.28) и (3.5) величину У10, из (3.10) и (3.13) для интересующей
нас производной находим
да я2Л3сР
-^ = -7^(1+Л,). (3.14)
Выразив в (3.8) N через рх но (2.1), после подстановки (3 14)
получим следующее выражение для и2:
Поскольку р\: и w связаны соотношением р? — m*vpt то
выражение (3.15) с использованием связи между т и nt (3.6) может
быть представлено в виде
ЛИОО И" =■- "о" —Г '] _i_ л ■ (оЛЬ)
1
3 т2 1 + Ах
*\ак следует из условий устойчивости (2.39), величина и2,
определяемая выражением (3.16), положительна. Именно это усло-
1 Ие не°бходимо, чтобы в системе не нарастали флуктуации
плотности. ' * "
»канчИвая обсуждение влияния ферми-жидкостного взаи-
в^ДеИствия на сжимаемость системы, отметим, что определение
дичины «, как уже указывалось, совпадает с выражением дтя
27

скорости звука в жидкости. Распространение звука возможно
если столкновения успевают устанавливать локальное термодн
чамическое равновесие. Вместе с тем сжимаемость (3.J6) полу
чеиа в пределе 7->0, когда столкновения квазичастиц редки
Таким образом, величина и2, описываемая (3.16), может рас
сматрпваться как скорость звука в ферми-жидкости только нр
определенных ограничениях на частоту колебаний со, а имени
при выполнении условия ют<С I (т — характерное время рела
саиип в жидкости). Более подробно мы обсудим этот вопр
при рассмотрении кинетической теории колебаний ферми-жнд
кости.
В отсутствие корреляционного взаимодействия, когда А
= Л]=0, формула (3.16) переходит, естественно, в выражени
"2 = J4, (3.17
определяющее скорость звука в слабо нсидсальном ферми-газе
Магнитная восприимчивость. Квазичастнца с отличным
нуля спином обладает, вообще говоря, и магнитным моменто
Для спина 1/2 оператор этого момента имеет вид 2ps (г-прое'
ция магнитного момента равна +р). Постоянная 2р/Й, опред
тяющая отношение магнитного момента квазичастицы к мех ■
ническому (Ь/2), совпадает с такой же постоянной для ист и
ныч частиц, поскольку величина этого отношения не меняет
при любом способе сложения спинов частиц в спин квазн*
стицы.
Наличие у квазпчастиц магнитного момента приводит к то i
что в присутствии магнитного поля В их функция распределен
п(р) отличается от равновесной функции в отсутствие поля. Э
является причиной парамагнетизма ферми-жидкости. Вычисл J
соответствующую восприимчивость.
Дли квазичастипы фермн-жидкости в пренебрежении взан>,
действием с другими возбужденными квазичастицами операт
энергии, приобретаемой в магнитном поле В, есть —2ps-
В реальной ситуации необходимо учесть тот факт, что в си
взаимодействия квазичастиц энергия каждой из них изменит
дополнительно в результате изменения функции распределен!
вызванного магнитным полем. Поэтому оператор изменен
энергии квазичастицы бё, вызванного включением магнитно
поля, представляется в виде суммы двух вкладов:
6ё (р) = — 2ps • В + sp' J -^r F (р, р') бп <р'), (3Л
где бп(р)—изменение функции распределения квазичастиц об
условленное магнитным нолем.
В случае постоянного и однородного поля В функция расгп?
деления квазпчастиц остается диагональной по спину и име
23

вид
п± = [ехр(в-г **)+ l] (3.19)
/f- энергии квазичастиц с соответствующей проекцией
спина! ■ Распределение (3.19) соответствует тому, что ферми-поверх-
ности для спинов +1/2 и —1/2 становятся различными: одна
из них сжимается, другая расширяется. В слабых полях,
рассмотрением которых мы здесь и ограничиваемся, две ферми-
иоверхности смещаются относительно исходного положения в
противоположных направлениях на одинаковое расстояние,
причем химический потенциал р остается при этом неизменным с
точностью до членов порядка В2. Изменение величины ц в
изотропной жидкости может быть лишь квадратичным по полю В.
В то же время изменение квазичастичной энергии (3.18) линейно
по нолю. Поэтому изменение функции распределения б/!(р) я
рассматриваемом случае может быть представлено в виде
6Д=~6е,. (3.20)
где п — равновесное распределение в отсутствие магнитного
ноля.
Подставляя выражение (3.20) в (3.18), получим интегральное
уравнение для 6е(р):
6Hp)--2psB + sp/5-^rF(pJp')^6e(p/)- (3-2I)
На языке введенных ранее величин (см. соотношения (2.20) —
(2.23)) уравнение (3 21) может быть записано в виде
«е (р) = » РВ + J-j^r * (р, P')-J^te(p'). (3.22)
При этом согласно (3.20)
ба(р) = |^6к(р), (3.23)
а для величин 6/ и 6f имеем 6/—0, бе =0. Иными словами,
слабое магнитное поле приводит только к возникновению
ненулевой спиновой плотности 5а и спиновому расщеплению энергий
квазичастиц, определяемому величиной бе.
Поскольку при 7-^0 df/de «—28(е —ц), то в (3.22) доста-
очно рассматривать только импульсы, лежащие на ферми-по-
верхности /? = р/=р,г. Решение этого уравнения ищем в виде
fl*(p) = -v(p)B. (З-24)
пределяемая соотношением (3.24) величина у имеет смысл эф-
■^тивного магнитного момента квазнчастпцы, отличие которого
момента р обусювлено взаимодействием квазичастиц.
2Э

Подстановка (3.24) в (3.22) даст уравнение для у(р):
¥(P) = P + J-^T*(P.IO^-Y(PO. (3-25
в котором, в силу отмеченной Й-образности производной df/0
существенны только р, р' ж pi?. Уравнение (3.25) имеет решенц
у(р) = const == у- Для величины у> используя определение кор
реляционной функции B(yJ, где ун — угол между pF и р£., нах
ДИМ
Поскольку интеграл в (3.26) дает согласно (2.28) коэффицпен
В0 в разложении функции В(%) в ряд по полиномам Лежандр-
то окончательно для эффективного момента квазичастицы
ферми-жидкости имеем
Y = P/(1+B0). (3-27
Парамагнитная восприимчивость Хпара определяется из выр
жения для магнитного момента единицы объема жидкости:
Хп.р.В = р \ -j0F 60 (р). (3.2
Поскольку 6а(р) определяется выражением (3.23), то, испол-
зуя (3.24) и (3.27), из (3.28) находим
V — Р2 f rfP °f /Q 00
Лнара— l+#0 J (2яА)3 de ' l * *
При Г->0 интеграл в правой части (3.29) дает с точностью
знака выражение для плотности состояний на уровне Фер
(2.27), так что для парамагнитной восприимчивости нейтральн \
ферми-жидкости имеем следующее выражение:
_ '*>р Р2 ,оо
Xnapa n2fl-6 1+^0 ' {
Используя связь (3.6) между эффективной массой пг* и масс
истинных частиц т, выражение (3.30) можно также представн
в виде
1-М,
у = у ■ -
лиара МТаули \ -}- £э *
где у., = —Sri- Р~ (o.ol
^ ЛПаул« п Д
— парамагнитная восприимчивость Паули для газа невзанм
действующих фермиоиов. Отличие восприимчивости фермн-жл
кости от восприимчивости ферми-газа обусловлено, как видй
из (3.31), не только перенормировкой массы (т-+т*), но и из
меиеннсм спинового расщепления энергии в магнитном пол
зо

шсываемым константой S0. Последнее означает, что мы не
°ожем вычислить хпарз, зная только плотность состояний р(ц),
МЛг- r гчучае невзаимодействующей системы.
Как следует из условии устойчивости основного состояния
Ферми-жидкости (2.4), величина В0 удовлетворяет соотношению
\ Х- Вь > 0- Отсюда вследствие положительности rtt следует,
что Упара ярлястся положительной величиной, имеющей конечное
значение. Границе неустойчивости 1 + #о = 0 отвечает
бесконечная величина восприимчивости. Физически это означает, что в
сл\*чае нарушения условия 1 + BG > 0 в системе становятся
неустойчивыми однородные (реально — длинноволновые)
флуктуации магнитного момента — система оказывается
ферромагнитной. Таким образом, условие 1 + В0 <С 0 может
рассматриваться как условие ферромагнетизма основного состояния фер-
ми-жидкости. Основанный на ферми-жидкостных представлениях
подход к описанию ферромагнитных систем будет обсуждаться
в лекции 10.
Некоторые экспериментальные результаты. Жидкий Не3 —
единственная «истинная» ферми-жидкость, обнаруженная в
природе,— становится вырожденным при очень низких
температурах. Если бы между атомами Не3 не было взаимодействия, то
температура, соответствующая энергии Ферми (для основного
состояния), была бы равна
^==Х=^-5К (3-32)
{к—постоянная Бочьцмана). Оценка (3.32) получается, если
положить т равной голой массе атома Не3, т. е. примерно
5-10-24 г> а рр вычислить по измеренной плотности, используя
соотношение (2.1): /?к —/г (Зя2р//п)|/3. Температура, при которой
начинают проявляться типично квантовые эффекты
(пропорциональность теплоемкости температуре, независимость магнитной
восприимчивости от температуры), приблизительно равна 7V/10,
т. с. согласно оценке (3.32) должна быть около 0,5 К.
Фактически же эти квантовые эффекты обнаруживаются
экспериментально при значительно более низких температурах, порядка
0Л К. Уменьшение температуры вырождения является
следствием взаимодействия между атомами, которое должно быть
очень сильным, чтобы привести к такому большому эффекту.
Измеряя различные макроскопические свойства, можно по-
учить информацию об эффективной массе т* и взаимодействии
квазичастиц F(p, р'), описываемом параметрами At и В(. Кроме
у°/0, ^ожно изучать зависимость этих параметров от внешних
t-ловий, в частности от давления, действующего на систему,
'анес мы получили выражения, даваемые теорией ферми-
ВуД^ости> для таких характеристик, как теплоемкость, скорость
^Ка (сжимаемость) и магнитная восприимчивость. Соответ-
3*

ствующис формулы суть
т'
>>Г- ,
3/i3
Т,
и*
9
Рр
0+Л»).
Лпапа
Pf
л2А3 1 + fi6 *
(см. (2.16))
(см. (3.16))
(см. (3.30))
Все эти величины измеряются экспериментально. Кроме того, из
соотношения (2.1), справедливого в сил} равенства числа части?)
числу квазичастиц, можно определить pF. Тогда из (2.16) мы
можем получить /л*, а из (3.16) н (3.30) соответственно Л0 и В
Зиая величину т*\ можно, используя соотношение (3.6),
определить параметр А\:
Л{ = т\т — 1.
Некоторые экспериментальные результаты, полученные для
величин т*/т (н А\), А0 и В0 в жидком Не3, указаны в табл. 3,1.
Таблица ЗЛ
Давление,
яти
0,28
27
т*( 41
3,1
5,8
-Ai
2Л
4.8
Ло
10.8
75,6
«о
—0.67
—0.72
Согласно приведенным значениям параметров можно отмети
следующее:
1. Все значения параметров велики, т. е. взаимодейств
между квазичастнцами является сильным.
2. Эффективная масса т* велика по сравнению с щ, что пр
водит к уменьшению Тг в согласии с экспериментом.
3. Значение параметра Л0 быстро возрастает при увеличен,
давления (значительно быстрее плотности); это изменение ев
зано с той частью взаимодействия атомов Не3 на малых рас
стояниях, которая аналогична взаимодействию твердых шаро
Расположение атомов в Не3 при высоких давлениях долж •
мало отличаться от плотиоупакованного.
4. Величина В0 отрицательна. Согласно выражению для вза
модействия (2.20) это означает, что среднее взанмодейств
между частицами с антипараллсльными спинами больше, ч
между частицами с параллельными спинами. Такой результ
находится в соответствии с принципом Паули, из которого ci
дует, что частицы с параллельными спинами «стремятся» р с
положиться дальше др\г от друга. Вследствие этого для части
32

параллельными спинами короткодействующая часть взаимо-
" *йствия играет менее важную роль. Однако различие в энср
Д<гях взаимодействия невелико, так как |/?о|<С Aq.
Задания
1 Проделать шпробнын вывод соотношения (3.3).
2 Получить соотношение (3.27).
Лекция 4
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ КВАЗИЧАСТИЦ НЕЙТРАЛЬНОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
До сих пор мы рассматривали устойчивые однородные
распределения квазичастиц в ферми-жидкости, для которых функция
распределения /2(р) не зависела от координат R и времени t.
Перейдем теперь к более общей задаче, когда на систему
действует неоднородное слабое возмущение, зависящее от времени.
Такое возмущение может быть обусловлено либо внешним
полем, либо внутренними флуктуапиями в системе.
Неравновесные состояния ферми-жидкости описываются
функциями распределения квазичастиц, которые зависят не
только от импульсов, но также и от координат и времени.
Наличие спина у квазичастиц приводит к тому, что их функция
распределения в общем случае является матрицей 2X2 по
спиновым переменным, как уже отмечалось ранее. Что касается
фазовых переменных р и R, то они рассматриваются как
классические величины. Использование функций распределения,
зависящих одновременно от координат и импульсов, которые
считаются классическими переменными, предполагает квазикчас-
сичность орбитального движения квазичастиц в неравновесном
состоянии. Условие квазиклассичности состоит в малости де-
бройлевой длины волны квазичастицы Тг/р? но сравнению с
характерной длиной L, на которой существенно меняется функция
распределения. Нел и вместо L использовать характерный
волновой вектор неоднородности k ~ 1/L, то это условие можно
записать в виде
ftft«/?F. (4.1)
Поскольку в вырожденной системе ft//?к — это величина порядка
межатомного расстояния, то ясно, что ограничение (4.1)
является очень слабым и позволяет рассматривать весьма широкий
^''асс возмущений. Частота со изменения функции
распределено^ ь° вРеменем> отвечающая колебаниям жидкости при задан-
L «» оказывается, как бузет видно из дальнейшего, порядка
А- С, Кондратьев. А. Е. Кучма 33

kvp и автоматически удовлетворяет условию
Гт <С et?. (4.2
В случае появления других характерных частот, например ча
стоты перехода между состояниями с разными направлениям
спина в магнитном поле, представление о квазичастнцах в фер
мн-жидкостн как о хорошо определенных возбуждениях, оста
ется в силе, пока эти частоты удовлетворяют условию (4.2).
Соотношение между 1ко и тепловой энергией хТ может быт
любым. Если 1к$ ^> vJ, то роль ширины области размытост
функции распределения играет именно величина Л<о. В этом ел
чае (4.2) есть обязательное для применения всей теории уел
вис, обеспечивающее малость квантовой неопределенности энер
гни квазичастиц, возникающей вследствие взаимных столкнов
ний, по сравнению с Л со.
В соответствии со сказанным теорию ферми-жндкости можн
применять к описанию макроскопических возмущений, масшта
бы которых велики по сравнению с атомными. Иначе говоря
длина волны возмущения должна быть много больше межатом
ного расстояния, а частота много меньше характерных атомны
частот. Это ограничение всегда следует иметь в виду.
Уравнение для матрицы плотности квазичастиц. В теорщ
ферми-жидкостн принимается, что неравновесная функция рас
пределения квазичастиц удовлетворяет кинетическому уравне
нню, аналогичному уравнению для функции распределения
газе ферми-частиц со спином 1/2. Отличие состоит в том, чт
роль гамильтоновой функции квазичастицы играет величи
ё(р, R, 0> определяемая согласно (2.5) как вариационная произ
водная от энергии жидкости по функции распределения ква.
частиц. Иными словами, специфика ферми-жидкости состоит
том, что поскольку энергия квазичастнцы сама является фунъ
ционалом от функции распределения, то в неоднородной жи
кости вместе с а зависит от координат также и f. Столкновеж
квазичастиц учитываются, как и столкновения в газе, дополни
тельным членом в кинетическом уравнении — интегралом столч
новений.
Для установления явного вида кинетического уравнения рас
смотрим вначале фермн-газ в пренебрежении столкновениям
частиц. Одночастнчная матрица плотности р удовлетворяет
этом случае уравнению
;*-§- = [//, р]_, (4.3
где Н — оциочастпчный гамильтониан; [Л, В]_ — коммутато
матриц А и В. сравнение (4.3) в развернутой форме моЖ
быть записано в координатном представлении следующим о
34

разом:
тг±1*!1= \ dr'{H(rb г'; /)р(г', г,; t) - p(rlf r'; t) H(r', r2; /)},
(4.4)
rle % (П. r2; 0 - 'Л** frlf r2; /) - 2ps - В (rj) 6 (r, - r2). (4.5)
В выражении (4.5) /?0рб — вклад в одночастичный
гамильтониан, связанный с орбитальными степенями свободы; второе
слагаемое отвечает энергии спинового магнитного момента
частицы в магнитном ноле В (г/).
Квазиклассическое описание па языке функций
распределения в пространстве координат и импульсов наиболее
естественно получается путем перехода в (4.4) к смешанному (вигиеров-
скому)" представлению и совершения предельного перехода
fi~+0 во всех слагаемых, не зависящих от спина. Получающееся
в результате такого перехода распределение остается матрицей
только по спиновым переменным.
Матрица плотности в вигнеровском представлении р (р, Rt)
определяется как фурье-образ матрицы плотности в
координатном представлении р(гьгг;0 ГЮ разности пространственных
переменных. Для совершения такого фурье-преобразования вводим
вместо i*i и г2 новые переменные — г и R— соотношениями
r = r,-r2, R=~(r, + r2). (4.6)
В новых переменных бунем записывать матрицу плотности
р(п, г2; t) в виде p(r, R/), сохраняя для нее прежнее
обозначение р. Тогда ил я р(р, R/) имеем
р(р, R/)-^rexp(-?:-^)p(r, R,/) (4.7)
или р(р, R,/)==^rexp(-/-^)p(R + y, R—g-;')-
Аналогичным образом можно записать и выражение для
гамильтониана в смешанном представлении /?(р, R/):
Я(р, R, /)=$rfrexp(-i-*jp)//(rt R, /), (4-8)
«ли Я(р, R|/)=Jrfrcxp(_/ilL)#(R + ff R--5-;/)-
Удобство использования вигнеровского представления свя-
Но с тем, что в пространственно однородном случае /?(г, Rt)9
61пМрСТе С ннм и ^г' ^ не завпсит от переменной R, так что
env ^^P(P' 0- При наличии медленно меняющихся в про-
Мо-,Нствс возмущений зависимость от R является плавной и
Жен^0 НСП0Ль30вать малость производной d/OR. Реально разло-
Не по степеням указанной производной в (4.7) и (4.8)
35

оказывается разложением по степеням h и в точности
соответствует, в чем мы убедимся непосредственно, разложению по пара
метру квазиклассичпоети движения частицы в поле возмущения.
Рассмотрим преобразование Фурье первого слагаемого в
правой части (4.3). В переменных, равных разности и полусумме
пространственных координат, оно записывается следующим
образом:
Яр = \ dr'U (г, - г', i + lL /) р (г' - г2, ^±£L /) ■
Выражая гх и г2 через г и R согласно (4.6) и вводя новую
переменную интегрирования г3 —г'— г2, последнее выражение
можно представить в виде
Яр = J dvzH (r - r3, R + Ц-.t) р (r3, R + Ii7p:, /) ■ (4.9)
Предполагая плавную зависимость подынтегрального пыраже
пия от R, с точностью до линейных по d/dR членов вктючи
тельно из (4.9) имеем
Яр = J rfr3 [// (г - r3f R, 0 р (г3, R, /) +
+ у Vr/7 (г - г3, R, /) ■ г3р (г3, R, /) -
-1 (г - г3) Н (г - r3, R, /) - VRp (r3, R, /)] - (4.10
Интеграл но г;. от каждого слагаемого в (4.10) имеет вид
\^г3Р\(г~ ij)f2(r3),
т. е. является сверткой двух функций. Учитывая, что ф)рье-о
раз свертки есть произведение фурье-образов сворачиваемы
функций, а также то, что при фурье-преобразовании происходи
замена rF(r)->iVvF(p)h, для результата преобразования Фурь
выражения (4.10) но переменной г получим
$rfrcxp(-^)//0 = >/(p, R, /)р(р, R, 0 +
+ -f~[VR//(p, R, 0-Vpp(p, R, 0-VpWlp, R, /)-VrMp, R> ')]-
(4.П)
Преобразование второго слагаемого из коммутатора в право *
части уравнения (4.3) производится аналогично, а результат
записывается в виде (4.11) с перестановкой я^>р.
Из соотношения (4.11) нетрудно видеть, что используемо
разложение в самом деле есть разложение по параметру квазп-
классичности. Для этого достаточно сравнить слагаемо

-«//■VrP c главным членом Нд в правой части (4.11). По-
rrcribKV VkP ~ p/L, a VPH ~Hfp, где I —характерный
пространственный масштаб неоднородности, а р — характерный им-
nvibC частицы, то параметр, определяющий малость
пространственной производной д/dR, есть ft/(/?!)< 1 и совпадает с
условием Ad ^ ^ гдс ^D— аебройлева длина волны частицы.
Используя (4.11), результат фурье-преобразовання уравнения
(4 4) по переменной г, т. е. уравнение для матрицы плотности
смешанном представлении, можно в квазиклассическом
приближении записать следующим образом:
а*У "4у[/?(р, R, О, Pip, R, /)]. +
+ j [VrP (P. R. Я • V»# (p, R, t) + VP// (p, R, t). VRp (p, R, /)] -
-i-[VR/?(p, R, /)-vPp(p, R, O + Vppfp, R, /)-Vr//(p, R, 0].
(4.12)
Напомним, чго #(p, R, i) и p(p, R, /) — матрицы в
пространстве спина, а коммутатор в (4.12)—это коммутатор только но
спиновым переменным.
Как уже указывалось, в теории ферми-жидкости полагается,
что функция распределения квазичастиц Л(р, R, ^удовлетворяет
уравнению, которое получается из (4.12) при замене одноча-
стнчного гамильтониана Я(р, R, /) квазичастичной энергией
s(p> R, /). Таким образом, в пренебрежении столкновениями
кинетическое уравнение для квазичастиц в нейтральной ферми-
жи^кости можно записать в виде
дА + 4- [е, /)]_ + 4- (wa * vPe + vPe. vRn) -
dt
i (VRe • Vp/J + УРЛ . VRe) = 0. (4.13)
При учете столкновений это уравнение должно быть
дополнено^ интегралом столкновений (dn/dt)CT в правой части. По
своей природе столкновения квазичастиц подобны
столкновениям молекул в обычной кинетической теории газов. Их роль
можно качествен но охарактеризовать некоторой частотой столк-
овений v. В интересующей нас области низких температур
столкновения происходят сравнительно редко (в силу принципа
а^ли) и частота v мала. Поэтому столкновения играют сущест-
" иную роль лишь в низкочастотных явлениях, когда со <? v
50Язкость> теплопроводность и т. д.). Если же частота со много
МрЛЬШ-° частоты столкновений v, то столкновения не играют за-
П[)^0и роли, и при исследовании таких процессов в простейшем
лее И>КСННИ М0Ж|Ю отбросить интеграл столкновений. При бо-
Детальном исследовании конкретных явлений в ферми-
37

жидкости можно использовать модельные интегралы
столкновений той или иной формы, обеспечивающей соблюдение
необходимых законов сохранения в процессе рассеяния квазичастиц.
Уравнения для функций /(р, R, /) и а{р, R, /). Получим из
уразнения (4.13) кинетические уравнения для функции
распределения частиц в фазовом пространстве координат и импульсов
f(p, R, t) и векторной функции спиновой плотности в фазовом
пространстве о(р, R, t), которые, как и в равновесном случае,
определяются разложением матричной функции n(p, R, t) по
базису из единичной и спиновых матриц:
/Ир, R, 0 = у/(р, R, 0 + s-a(p, RT 0-
Для этого используем аналогичное разложение и для квазича,
стичной энергии:
е(р, R, 0 = e(P, R,/) + 2s-e(p, R, ().
Подставляем эти разложения в (4.13) и преобразуем получаю
щисся выражения так, чтобы они вновь имели вид разложени
по указанному матричному базису. Результат нреобразовани
слагаемого, содержащего коммутатор, есть
-f[e, ,i]_ = ~-^[bXo]-s (4.14)
и содержит векторное произведение величин е и а.
Преобразование выражения в первых скобках в (4.13) дает
v*n - vPe + vPe. vra = Vnf • vPe + -J- • ~
+ 2 (V«f ■ Vp) (s . *) + 2 (VPe • Vr) (s- a), (4 Jo
где индекс j нумерует декартовы составляющие соответствуй
щих векторов. Для второй суммы в левой части (4.33) аналоги
но находим
+ 2(VRe-Vp)(s-ff) + 2(Vpf-VR)(s-e). (4.16)
При получении этих выражений использованы свойства спино
вых матриц, в частности то, что
(a-s)(b-s) = |a-b + 4-[aXb]-s, (4Л7)
где а и b — числовые векторы,
58
+

Используя соотношения (4.14) —(4.17), из уравнения (4.13)
аем систсм> уравнений идя величин / и а:
-J- + (VP£-VR)o-(VRe-Vp)a-|-[FXa] +
+ (VRf-VP)»-(Vpf-VR)e=-(-fJ-)cT. (4.19)
в правые части которых мы добавили соответствующие вклады
от интеграла столкновений (c)n/dt)CT.
Как уже отмечалось, существенное отличие кинетического
чравнения для квазичастиц в ферми-жидкости ог
соответствующего уравнения для ферми-газа заключается в том, что
квазичастичная энергия ё(р, R, t) (а значит, и величины е(р, R, /) к
f(p, R, 0) является функционалом от функции распределения
/1(р, R> О- При достаточно плавных распределениях, для
которых только и возможно используемое квазиклассическое
описание, соответствующая функциональная зависимость в
нейтральной ферми-жидкости может считаться локальной по
пространственным переменным. В этом случае связь между вариациями
квазичастичной энергии и функции распределения сохраняет вид
(2.17), только бе и 6ft зависят теперь от точки R. На языке
величин / и о соответствующие выражения аналогичны (2.25) и
(2.26) и имеют вид
6е(р, R0 = \ тййГ Ф (Р> P')6f (p'f RO,
' (4 20)
где ф и ij: — функции, описывающие взаимодействие между ква-
зичастицамп в ферми-жидкости. Соотношения (4.20) делают
систему уравнений (4.18) и (4.19) замкнутой, если
интересоваться только линейным по отклонениям всех величин от их
равновесных значений приближением. Иными словами,
кинетические уравнения (4.18) и (4.19) совместно с условиями замыка-
н"я (4.20) составляют основу линейной теории кинетических
явлений в нейтральной ферми-жидкости.
Линеаризация кинетических уравнений. Рассмотрим
подробнее ■линеаризованный вариант \равнсний (4.18) и (4.19). Дтя
^того представим все величины в виде суммы равновесных
значений и малых неравновесных добавок:
Ир- R0 = Mp) + tf(P. R0,
a(p, R0 = o0(p) + ea(p, RO,
MP, R/)« «o (p) + 6e (p, RO,
г(р, Ri) = eo(p) + 68(pf RO-
39

Подставив (4.21) в (4.18) и (4.19) и ограничившись линейным
по возмущениям слагаемыми, получим кинетические уравнени
в линеаризованной форме.
В простейшем случае фермп-жндкости в отсутствие внешней
магнитного поля равновесное состояние является изотропны *
но спину, так что е0 = 0, о0 = 0. В этом случае из (4.18) и (4.1 \
имеем соответственно
L + Vpco • V« 6/ - Vr 6e - Vp/o - ("fr)c.f. (4-22
+ (VPe0 * Vr) 6a - (Vp/0 ■ VR) бе - (-—-) т. (4,2: |
где учтено, что интеграл столкновений должен обращаться
нуль для равновесной функции распределения. Поскольку с »
гласно (4.20) 6я выражается через б/, а бг— через бег, то ура
нения (4.22) и (4.23) оказываются независимыми. Таким обр
зом, в отсутствие внешнего постоянного магнитного поля возм
щении пчотности частиц и возмущения спиновой плотности н
связаны друг с другом.
Равновесная функция распределения fQ зависит только с г
ео(р). поэтому чля псе справедливо
VP/o = i£nVpeb. (t.24
Используя (4.24), уравнение (4.22) можно преобразовать t
виду
£-+^-*(«-*«.)-(#,„
V»«.-V,(6/--*6«) = (^) (4.25.
Разность df — dfo/дгде имеет смысл отклонения функции распре
деления квазичастиц от локально-равновесного распределения
/(р, R> t), которое имеет такой же вид, как и равновесное
распределение при энергии е(р, R, t):
f(p, R,') = Me(p, R, i)). (4.21
Действительно, как следует из определения локально-равнове
ной функции f (4.26), в линейном но бе приближении справед
ЛИБО
/ (р, R, 0 =/о ЫР)) +-£ бе <р, R, О-
Поэтому отклонение б/ распределения от локально-равновесног
есть
fi/==/_fe;_/0_^-ds = e/—g-бе.
Далее, независимо от конкретного вида интеграла
столкновений (06f/dt)cT можно утверждать, что он должен обеспечивать
релаксацию системы к локальному равновесию. Поэтому инте-
40

столкновений должен зависеть только от 6/, обеспечивая
гРа'? хацию 6] к нулю. В простейшем приближении времени рс-
релаь ^ соответствующее выражение имеет вид
С -ммнруя сказанное, находим, что кинетическое уравнение
74 95) записывается следующим образом:
^ + v.VR6F = (-#)cT, (4-28)
есь мы использовали выражение v —VP£o iia скорости
квазичастицы.
Таким образом, основное отличие кинетического уравнения
(4.28) Д^я квазичастиц в ферм и-жидкости от обычного >
равнения Больцмана в газовой теории заключается в том, что в (4.28)
во всех слагаемых, кроме члена с производной по времени,
вместо б/ стоит величина 6f, равная б/ — dfQ/de• бе, где 6>
определяется из (4.20).
Аналогичная замена имеет место и в выражениях для
потоков разных величин. Например, линеаризованное выражение
для плотности потока частиц j записывается как
а для потока энергии имеем соответственно
в-5тйг'£Мт5^*£(,|'--£-*)- <4-30>
Иными словами, если вместо 6/ использовать величину 6/, то
выражения (4.29) и (4.30) для потоков сохраняют «газовую»
форму.
Что касается уравнения (4.23) для возмущений спиновой
плотности, то, пользуясь (4.24), его можно записать в форме,
аналогичной (4.25):
^ + (VPeo-VR)(6ff~^6e) = (-fL)cT. (4.31)
Так же, как и величина 6f — df0/dz&£t выражение ёа~д}0/д&бЕ
' еет СМысл отклонения от локально-равновесного
распределения R * *■ '
j. ■ о данном случае — это распределение спиновой плотности.
Bile 6 Того> интеграл столкновений в (4.31) также должен за-
л еть от ба только через 60—д/о/с^бе, чтобы обеспечивать ре-
сацию к локальному равновесию.
ппиг?И. ИСс11еД0вании малых возмущений в ферми-жидкостп в
что Твни постоянного магнитного ноля В необходимо учесть,
нУля ЭТ°М слУчае величины 0о(р) и ео(р) будут отличны от
» причем эти векторы параллельны полю: 0olkol|B.
41

Рассмотрим подробнее линеаризацию кинетических уравне
нин для возмущений, в которых неравновесная спиновая плот
ность перпендикулярна магнитному нолю, так что боХВ, а еле
довательно, ба±а0 и 6a_L.E0- Подставляя выражения (4.21)
уравнение (4.19) для о, нетрудно убедиться, что в силу уело
вня 6a_LB слагаемые с Vr£ и Vr/ оказываются квадратичными
по возмущению и в линейном приближении должны быть отбро
шепы. Линеаризация векторного произведения дает
[е X о] = [бе X *с] + 1Ч X И = [е0 X (во - ^ бе)], (4.32
здесь мы воспользовались соотношением
соответствующим выражению (3.23) для равновесной спиново
плотности в постоянном магнитном иоле, которое получено npi
вычислении статической парамагнитной восприимчивости фер
ми-жидкости. Далее, в линейном приближении имеем
Ш • Vr) е = -Ц (VpB0 • Vr)6e. (4.33)
Используя (4.32) и (4.33), результат линеаризации уравнени
(4Л9) можно представить в виде
-№)„■ <4-34
Учитывая, что интеграл столкновений реально зависит тиш
от величины ба — dfo/дебе, приходим к выводу, что, как и в от
сутствие магнитного поля, во всех членах кинетического уравн
ния, кроме временной производной, фигурирует отклонение ра
пределения от локально-равновесного.
Кинетическое уравнение (4.34) показывает, что возмущени
спиновой плотности, в которых ба перпендикулярно постоянном
магнитному полю, остаются не связанными с возмущениям
функции распределения частиц 6/. Рассматривая кинетическо
уравнение для функции f (4.I8), можно убедиться, что в линей
ной теории связанными оказываются возмущения плотности б
и возмущения спиновой плотности 6а, в которых вектор ба па
раллелен В.
Линеаризованные кинетические уравнения для функций 6/
ба совместно с условиями замыкания (4.20) используются дл
рассмотрения различных типов коллективных движений в ней
тральной фермн-жидкости.
42

Задания
1. Проследить подробно переход от уравнения (4.3) к уравнению (4Л2).
2. Проделать подробно вывод уравнении (4Л8) и (4Л9).
3. Получить выражении чля плотностей потоков (4.29) н (4.30).
1екция 5
ОЛЕ6АНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ.
НУЛЕВОЙ ЗВУК
Рассмотрим сначала возмущения вферми-жндкости,
описываемые уравнением (4.25) (или (4.28)). Такие возмущения, как
указывалось, не сопровождаются колебаниями спиновой
плотности а Учитывая условие замыкания (4.20), имеем исходную
нстему уравнений, описывающую интересующие нас колебания:
*е(р, W) = J-{^г Ф (Р, ,р')6/(р', R0-
Характер описываемых этими соотношениями волн
существенно зависит от соотношения между частотой, колебаний со "и
временем свободного пробега квазичастиц %• Поскольку скорость
волны оказывается порядка фермиевской скорости квазичастиц
l'f, то безразмерный параметр сот можно представить как сот ~
~ kv'ci —- kl (k — волновое число возмущения; / — длина
свободного пробега квазичастицы). При сот <С 1, когда
столкновения успевают устанавливать термодинамическое равновесие в
каждом элементе объема, в жидкости могут распространяться
обычные гидродинамические звуковые волны» скорость которых
(и) определяется соотношением и = *\/дР/др (см. лекцию 3).
Затухание звуковых волн при сот <С 1 мало, но при увеличении
сот оно существенно возрастает и при сот ~ 1 становится
настолько сильным, что распространение звуковых волн
оказывается невозможным.
При дальнейшем увеличении сот, когда сот ^> 1, в
ферми-жидкости снова становится возможным распространение волн, имею-
ЩИх' °Днако, другой физический характер. В силу условия
ют >• 1 (или kl^>\) столкновения частиц в таких колебаниях
ве "грают заметной роли, так что локальное термодинамическое
Р вновесие не успевает устанавливаться. Такие колебания
называют нулевым звуком.'
ко 5Сст°ылкновителЬный режим. Более подробное рассмотрение
со 'If ^ни^ мы начнем именно с высокочастотного случая, когда
'т^ - Согласно сказанному ранее, в этой ситуации можно в
^з

основном приближении опустить интеграл столкновений, ра
сматривай процесс как происходящий при абсолютном ну
температуры. Преобразуем кинетическое уравнение и уело-
замыкания применительно к данному случаю.
Принимая зависимость возмущений от координат и време]
в виде e\p(/k-R — kot), а "также учитывая, что при T~**Q npj
нзводная dfo/дг имеет вит. б-фупкцни, будем искать решен
кинетического уравнения в виде
б/ (р, R/) = 26 (е — 8Г) v (Q) ехр («к • R — /со/), (о.
где v(Q) — функция, зависящая от направления Q вектора
Как следует из условия замыкания (4.20), при выборе возм
щения в форме (5.1) выражение для 6е(р, R, 0 принимает в.
бе (р, R/) = бе (р) ехр (ik • R — ко/).
Далее, поскольку бе(р, R, ?) входит в уравнение (4.25) толь
с множителем д}о/да., достаточно рассматривать значения р =
В этом случае дг(р) является функцией только направления }
для которой имеем
бе (Q) = 2 J 10jr Ф (рн, р'р) б (е' - eF) v (Q'). (5. >
Напомним, что | рг, | = | рр | = pF. После интегрирования i
модулю // в (5.2) имеем совершенно аналогично соотношени
(2.31) выражение
бе (Q) =\^А (х) v (СУ),
где Л (%)— безразмерная корреляционная функция; % — уг
между направлениями Q и Q'. Сохранение связи (2.31) меж j
5е и v является следствием того, что условие замыкания (4.2()
локально по R и t-
Используя полученные результаты, приходим к следующее
уравнению для функции v(Q):
^-k-vF)v(Q)^k-vp5^/l(x)v(Q0. (5i
Нсли выбрать направление к в качестве полярной оси и взес \
обозначение s = u/vv, где и=ш/к—скорость распространен
волны,-то уравнение (5.3) приобретает вид
(5 - cos 6) v (0, Ф) = cos 0 J ~^~ A (%) v (8', ф'). (5.
Отсюда можно определить v(8, ф) и собственные значения
Ввиду того, что изменение функции распределения 6/ пропо»
ционально величине dfo/дг, ясно, что оно сводится к деформаЩ
ферми-поверхности. Вид этой деформации опредетястся фуи
цией v{8, ф).
4.1!

решение уравнения (5.4) существенно зависит от функции
Ну.)- Представим эту функцию в виде разложения (2.28) в ряд
[О полиномам Лежандра:
со
A(%)=Z (2«+1) Л„РП (cos-/>.
п =0
одета вл я я это разложение в уравнение (5.4) и используя
теорему сложения для полиномов Лежандра в форме
п
Pr(cos%)= У Р? (cos 6) Р;/ (cos В') ёт <* -^> \п 7!т 111-
т = — /г
де Рп' — присоединенные полипомы Лежандра, получим
OS ft
(5- cos6) v(6, <p) = cose£(2n+lMB £ {д + [*Ц1 Х
гг=^0 т =—п
"* /7О'
X Я" (cos 6) ^'"<е J -~^- Р™ (cos 6') е-"»*' v (9', ф'). (5.5)
ешение полученного уравнения будем искать в виде
v(e, q>)=fm{Q)ei'»*. (5.6)
Тодсгавив выражение (5.6) в (5.5), получим уравнение для
ункции /"«(О):
со
(,-cose)f/„(e)=cos^ (»+тИ#Й5!х
п~\т |
X ^ (cos 0) 5 tf6' sin 6' Р% (cos б') fm (6'), (5.7)
*e мы воспользовались свойством Р% = Р~т присоединенных
юлиномов Лежандра. Таким образом, мы приходим к выводу,
-то колебания функции v вида (5.6) для разных т оказываются
■^зависимыми. Более того, функция /т(0) удовлетворяет одному
тому же уравнению независимо от знака ш, так что имеет
1есто вырождение колебании с зависимостями eimtf и e~im^¥
Потому достаточно рассматривать т ^ 0 и в (5.7) опустить знак
Д}-1я. В результате при фиксированном т^О для fm(0)
Л!Сем Уравнение
оо
(S-cose)L(e)=coSeX («+t)^|ttSx
X Я? (cos 0) J dff sin VP% (cos 6') /m (6'). (5.8)
Л?

Полученное уравнение может иметь ненулевое решение тол
ко в том случае, если среди коэффициентов Аа с п ^ т сущест
вуют отличные от нуля. Незатухающим рсшенням соответствую!
при этом значения s > 1, что накладывает определенные огра
ниченпя на коэффициенты А„. Необходимость выполнения уел
вия s > 1 понятна из следующих рассуждении. Если s< 1,
существует значение угла 0, при котором cos 0 = s. В этой точ
функция /,н(0), как следует из (5.8), имела бы полюс, так ч
интеграл в правой части (5.8) получил бы мнимую добавь,
отвечающую обходу этого полюса согласно правилу s-*-s + *
Условие 5 = cos 0 может быть записано в виде <o=/eufCos9
выражает равенство фазовой скорости волны m/k Ц соотве
ствующей проекции фермневской скорости квазичастиц, т.
условие черенковского излучения. Затухание колебаний всле
ствие их черенковского поглощения квазнчастицами назьизает
затуханием Ландау, который впервые исследовал этот вопр
применительно к колебаниям в плазме.
Поскольку при достаточно плавной зависимости А (у) коэ
фициенты Ап быстро убывают с ростом п, для выяснения услов
существования решений уравнения (5.8) можно в простейте
приближении ограничиться первым слагаемым в правой част,
положив АтФО, Л„ = 0 при п> т. В этом приближении и
(5.8) имеем
U6)~ const Т^^Р-(cos 0),
а уравнение для определения s (дисперсионное уравнение) ее
Лт(т+ 1/2) ? d8sIn8cQSe[P^(cosG)|2
(2m)! ) s — cosG ~ ** ' '
Учитывая, что
PI (cos 0) = -^gfp (I - cos2 6) »*,
уравнение (5.9) можно записать следующим образом:
(2т + \)1Ат f dxx*{\ ~-v2)w ===1 (БП
22m(ml)2 J s2-x2
о
В области s > 1 интеграл в (5.10) является монотонно убыва
щей функцией s. При ш = 0 величина интеграла при изменен
s в области 1 < s < ос может принимать любые положите,
ные значения. Поэтому для /п = 0 решение уравнения (5
отвечающее незатухающим колебаниям, существует при выпо
нении условия А0 > 0. В случае т ^ I рассматриваемый инт
грал при всех s ^ 1 остается конечным и достигает наибоЛ
шего значения при 5 = 1. Таким образом, условие существов
46

н1)51 решения s > I при m ^ 1 есть
l (2д|+1)| f . ,
0
Вычисление интеграла дает
i
$rfxv2(l-~vT~'
Подставляя (5.11) в предыдущее неравенство, находим
ограничение на Ат в следующем виде:
Ат>2тщ (5.12)
Согласно сказанному, неравенство (5.12) даст правильное
ограничение и при га=0, хотя интеграл в (5.11) при т = 0
расходится. ^
Таким образом, если для существования колебаний с ш=0
достаточно положительности Л0, то колебания с т=\ будут
незатухающими при Ах>2. Соответствующие ветчины "для
Не3 принимают значения Л0=10,8 и А{=2Х Поэтому в
жидком Не3 возможно распространение как продольной
нуль-звуковой моды при т = 0, так и поперечных нуль-звуковых
колебаний, отвечающих т=\. Что касается высших мод нулевого
звука с/^2, то их распространение в Не3 оказывается
невозможным в силу нарушения условия (5.12). Действительно, уже
при /и = 2 это условие дает Л2 > 4, что представляется
совершенно нереальным при указанных значениях параметров Л0 и
А:, — естественно ожидать, что Л2 <; Л,.
Дисперсионное уравнение (5.9), а вместе с ним и условие
существования незатухающих решений (5.12) можно уточнить,
если в (5.8) учесть вклад слагаемых с п^т+1. В общем
случае уравнение (5.8) можно преобразовать в бесконечную
систему линейных уравнений для величин /,„„, онреюлясмых
соотношением
fmn-\desmeP-n"(XOsB)fm(6),
о
Для^ чего «достаточно умножить обе частн (5.8) Гна выражение
У cos6)-i sin OP™ (cose) и проинтегрировать по бот пуля дол.
в Результате имеем (&>ш)
Zm (bkn - AnQ'»n Щ fmn e о. (5.13)
^ 2а1Я(м1)а
2т\2т+ 1)! *
(5Л1)
47

Здесь коэффициенты Qkn выражаются следующим образом:
Qkn (S) = \ П + -s- J ■; ; 7Г \ ~ 5 " ■ (°- И
v 7 \ ] 2 / (л + т)\ J s ~~ cos 8 v '
и
В простейшем приближении, рассмотренном нами ранее, когд(
все коэффициенты, кроме Лт, полагаются равными нулю, ci--
стема (5.13) сводится к одному уравнению для \тт. Диспсрсиоь-
ное уравнение в этом случае имеет вид
I - ЛЛ£г (s) = 0 (5.9
и совпадает, естественно, с (5.9). Чтобы получить уточненно
дисперсионное уравнение, будем полагать, что отличен от пул
также коэффициент Ат+Ь т. е. считаем Ат> Ат+1 ФО; Л„ = 0 дл|
п ^ т + 2.
Как будет видно из дальнейшего, такое приближение оказь-
вается достаточным для описания колебаний ферми-жидкости уi
только в бесстолкновительной области, нон при учете
столкновений, и позволяет правильно описать при соответствующем вь
боре интеграла столкновений переход к гидродинамическом
режиму (от <С 1. В случае учета двух параметров Ат и Лт-и и
(5.13) имеем систему двух уравнений для величин fmm и fmm
Равенство нулю определителя этой системы дает искомое ди*
персионное уравнение:
1 — Аа&тт (s) — Ат+ &% „,+ i (s)
— Л,7;От + 1 т (s) 1 — Am+iQm+l та+I ($)
Раскрывая определитель (5.15), находим
= 0. (5 Л
1 - Am
итт (s) -т- ^ г— — и- 1о. 1
Рассмотрим подробнее коэффициенты Q'kn(s)t определяем
соотношением (5Л4). Используя приведенное ранее выражеш*
для Р™, а также формулу
Pw + I (C0S6)^ 2W + | ' (t - COS 9J COS0,
имеем после некоторых преобразований с учетом (5 11)
1
(2/я)! Г dxx2(\ — х2)т
Q^is)^i2m+l)^^\
s2 - х2
о
Qfn+i«(s) = (2m + l) sQSLn (s), (5.1
bimm+I W — 2m 4- 1 ^i/nw (,5/j
QJS+i m+i {s) — (2m + 3) s\lmm (s) — 1.
43

Далее» можно показать, что имеет место рекуррентное
соотношение
а^Х\т^(з) = щ^^{(2т + 3){1-82)а^г{з)+1}. (5.18)
Соотношения (5,17) и (5.18) позволяют выразить любые вели-
ЧИНЬП Qmm, Ытт+U l&m+l т И Ут+1 т+1 Через ВеЛИЧИНу Цо ($).
Последняя может быть вычислена явно. Действительно, при
?г = 0, вычисляя интеграл в (5.17), имеем
1
Ogo (s) == \
^—«W^T^-Sr-1- (5-19>
Используем полученные результаты прежде всего для уточ-
зения условия существования незатухающих решений (5.12).
Согласно (5.12), равенство s=lt отвечающее началу затухания,
ает Лт = 2га. Полагая в (5.16) s — 1 для волн с т^~ 1, для
предельных значений параметров Ат и Лт+1 находим
соотношение
1 —ЗУ! ./(2m)
4 = 2m у17 . (5.20)
Действительно, согласно (5.18) для т|> 1 имеем Q,nm (1) —
= I/(2m), а из (5.17) тогда следует
nm /n 2m + 1 nm ,, v 2m + 3
«m+l/я U/=—К-— » ь^шт+1 (I)
2т * ~^-м w 2т(2т + 1) '
Qm+lm+l (1)=-2^ -
Подставляя эти выражения в (5.16), приходим к (5.20). Решение
будет незатухающим, если вместо (5.20) будет иметь место
неравенство
Ат > 2т ' tfrД2Ш) • <5-21>
Видно, что при Л/и+| > 0 неравенство (5.21) является более
слабым ограничением на Лт, хотя и незначительно, если Лт+1 мало.
Tv^ касается колебаний с т —0, то при s-*-l коэффициенты в
(а-16), как следует из (5.19), неограниченно возрастают. Более
Детальный анализ показывает, что условие отсутствия бесстолк-
новительного затухания имеет в этом случае вид
А>+ТТл7>0- (5.22)
ппи1еТИМ' Что это условие формально след\ет также из (5.21)
РИ предельном переходе т^О.
чаю аким °брззом, вывод относительно существования незату-
Щих мод колебаний, сделанный в простейшем приближении,
А- С. Кондратьев, Д. Е. Кучма
49

учитывающем лишь одну константу Лш, остается в силе. Имен \
в Не3 выполнены условия (5.22) при т = 0 и (5.21) при т=*\
Что касается высших мод, то н уточненное условие (5.21) по*
водит к нереальному ограничению на параметры уже при т =
Поэтому распространение колебаний с/я^2в II с3 невозмож
в силу их подавления затуханием Ландау.
Учитывая сказанное, сосредоточим внимание на рассмот >*
шш колебаний с т = 0 и т = 1, предполагая при этом, что к ;
стаита Л2 мала, так что соответствующим вкладом будем и
небрегать. Иными словами, для /га = 0 будем использовать д
персионыое уравнение (5.16), ограничиваясь более прост
уравнением (5.9а) для случая т=\.
Как следует из соотношений (5.17),
Qio=toi(s), 0Si = 3sw (s), Q?i = 3s2ay(s) —1.
Здесь .функция tw(s) = Qoo(s) определена в (5.19). Подстав
эти выражения в (5.16), находим для скорости (s) распрост >
нения колебаний с/п = 0 уравнение
Для значений параметров Ло= 10,8, 4|=2,1, отвечающих i
уравнение (5.23) имеет единственное решение: s = «/uF ~ 3
Скорость Ферми (vr) определяется по известной эффектив*
массе (га* = 3,1т) и фермневскому импульсу и составляет ве
чину vp ~ 53 м с. Поэтому скорость (и) нулевого звука с т =
в бесстолкновигельной области, определяемая (5.23), ока
вается равной —194 м/с. Т.ля случая т = \ имеем согла*
(5.18) соотношение
Qu(s) ^^{3(1 - s2)w(s)+ \},
подстановка которого в (5.9а) даст дисперсионное уравне
для поперечного пулевого звука в виде
j 9
Решение этого уравнения при Ь =2,1 приводит к зна"е
скорости u = svp&54- м/с, что несколько больше, чем v?.
Колебания при учете столкновений. Для учета влпя
столкновений квазнчастиц на колебания, описываемые в i l
блнжении сот-^ оо дисперсионными уравнениями (5.23) и (5.*
а также возможности рассмотрения перехода от бесстолкно
тельного режима к гидродинамическому, в кинетическом уо
ненпи (4.25) необходимо учесть интеграл столкновений.
50

Как отмечалось в лекции 4, интеграл столкновений незави-
-имо оТ сг0 конкретного вида должен обесаечивать релаксацию
Луикини распределения квазичастиц к локально-равновесному
значению. В простейшем случае для этой цели вводят некоторое
эффективное время (т) и -заменяют интсграл столкновении
выражением вида (4.27):
V dt Лт V dt Лт т
Такое приближение применимо в условиях* ^когда столкновения
играют малую роль и затухание колебан!ш слабо зависит от
конкретного вида интеграла столкновений- В этом случае ис-
юльзованис (4.27) дает качественно прав»1ЛЬНОе описание. Но
при указанной замене из кинетического уравнения не будут
следовать законы сохранения для числа ква.'1|частии-* импульса и
энергии, что, в частности, делает нсвозмож!|ЫМ переход к
гидродинамическому пределу, когда столкновение играют
определяющую роль. Поэтому в интересующей нас ситуации выражение
(4.27) следует определенным образом модифицировать.
Поскольку в рассматриваемых колебаниям возмущение б/
согласно (5.1) и (5.2) отлично от нуля тольь0 ПРН Р ~ Рг,
релаксации сводится к переходам лишь между <*остоянчямп квазнча-
стмц па фермп-поверхности. При этом coxj?aHeHHC числа квази-
частлц обеспечивает одновременно и сох|,аненмс энергии при
столкновениях. Кроме того, должно соб.'^^ься сохранение
импульса. Реально это означает, что если ("б/у^Ост представить
в виде
V dt Лт Ое ч dt Л
ст оъ \ui /ст
О
то функция {dv/di)CT, зависящая от направления --• должна
удовлетворять усювиям
гдсМ^(0)_сферическая функция. Заметим, что ч силу связи
ч Ч — д{о/дь-$г величина v имеет вид
v (Р.) = v iQ) -f 6s (Q). (5.25)
Интеграл столкновений, удовлетворяющий поставленным усло-
|5И5-м, можно выбрать в форме
(§) ^ _ ±Г*(Q, - У У v *Уы«0)1 • (5.26)
4 i l Jut X ■ } L~i L-> J
I - m - I
51

где vim — коэффициенты разложения функции v(Q) в ряд по
сферическим функциям
со I
v(Q)=E E *t>»Yim(Q).
/=Gm=-/
При учете интеграла столкновений в форме (5.26) имеем для
функции v(O) вместо (5.3) следующее уравнение:
&-k.vP)v(Q) = k-vr^~A(%)v(Q')-
(5.2 '
Не представляет принципиальной трудности рассмотрение
интеграла столкновений и несколько более общей формы, че
(5.26), а именно: можно было бы считать, что времена релакс -
ции для гармоник />2 в разложении v по сферическим
функциям различаются между собой.
Имея в виду рассмотрение колебаний только с т=0 и т= ,
ограничимся в разложении Л (%) в ряд по полиномам Лежандра
двумя первыми членами. В этом приближении имеем
\ ^ А (X) v (Q0 = £ At £ vlmYlm (Q), (5.28)
/=0 m=—l
где Vfm — коэффициенты разложения v (Q)= £ VfmKfm (Q.
Далее, связь между vim и v/m, как следует из (5.25), (2.31)
5.28), имеет вид
vim = (l + Al)vtm. (5.29)
Подставляя соотношения (5.28) и (5.29) в уравнение (5 27)
выбирая направление к в качестве полярной оси, получим noci
некоторых преобразований
Гсо —)—^- — AofCosGJ v(B, ф) =
= YJ(AlkvFcos6 + -L) V VmYlm (8, Ф). (5.3
Так же, как и в отсутствие столкновений, возмущения с ра *
личными т оказываются независимыми, а зависимость функции
распределения от угла 8 не меняется при замене т->*—т.
Введем обозначения:
0 = — txkVr, fe = ^ ' , (o.<5
52

п0сле чего уравнение (5.30) запишем в виде
-$• ^ = 1А11°-!е° t ЪпУшФ, ф). (5.32)
/=,0
т = ~/
Рассмотрим решение, отвечающее т = 0. В этом случае из
(5.32) можно получить систему двух уравнений для величин
voo и Vi°: / ~ л
(1 — Qoo) voo - Qoivjo = 0, (5.33)
~SioVoo + (l — 611)^10 = 0,
где коэффициенты йтл определены соотношением (п, / = 0; 1):
а
Qni (I) = -g- J dB sin e (-1)" t»+'P„ (cos 6)
Ль cos G + l/a
cos6
X
X/3Hcose)V(2«+l)(2/+l).
(5.34)
Вычисление интеграла в (5.34) проводится аналогично тому, как
ранее были вычислены коэффициенты Qia. Результат имеет вид
Йоо = ( А0 + -^) w(l) + — ,
Q0I = / V3 Еда (|) (Л, + -^|-),
Qio=-*V3Ia>G)(i40 + -^).
(5.35)
Здесь ш(|) = 11п|±_|__1.
Дисперсионное уравнение для рассматриваемых колебаний
есть условие разрешимости системы (5.33), которое с
использованием (5.35) записывается в виде равенства нулю следующего
определителя:
- Ц ~ (Ч + -щ) w (|) - i л/3 (Л, + Jg-) Ъв (|)
/ V3 (л0 + ^) 1W (|) J + А, - 3 (А, + ^) 12ш (I)
скрывая определитель, записываем окончательно
<1+Л,)(1-Х)_ш(|)[(л, + 11-)<1 + Л,) +
+ *(„,+ ■)(,_■)]'_ а
0.
(5.36)
53

Это и есть уравнение, определяющее как зависимость скорое!ц
звука от частоты, т. е. дисперсию звука, так н его затухани
в ел еде т в и е стол к но в е п и й.
Рассмотрим сначала случай сот4С 1. В этом пределе, как ел -
ivct из определений (5.31). с-^0, с-^оо, о|-^ I. Для функии,
w(l) при больших | справедливо
™ (?) = ^т +
Ы* ' 5Г '
так что уравнение (5.36) при сот <С 1 после некоторых преобр .
зований приобретает внд
(5.3
Согласно (5.31) имеем о£ = 1—дот, а также
V al) |4*»fJ'
так что из (5.37) в первом порядке по о>т следует:
(^г)2=т(1 + л')(1 + л")~1^(1+л')/сйт- (5-3
Первое слагаемое в правой части (5.38) соответствует с корост
(и) обычного гидродинамического звука в ферми-жидкост
(3.15), второе описывает столкповитсльное затухание. При
Л|-->-0 скорость звука, определяемая (5.38), принимает знач
ние (3.17), отвечающее газовому приближению. Поглощение зв
ка (у), определяемое как мнимая часть волнового вектора \
при заданной вещественной частоте со, находится из (5.38) в ви
у = 1тк = -ш^Ц + А1). (5.3
Таким образом, поглощение, как следует из (5.39), пропо)
ционально квадрату частоты. Температурная зависимость поп -
щення определяется соответствующей зависимостью времени р
лаксации т. Поскольку частота столкновений квазичастиц, к ь
уже указывалось, пропорциональна квадрату теплового разм
тия фермиевского распределения, то т ~ Г-2. Соответственно *
коэффициента поглощения у имеем y ~ to2?4-2. Эксперимента i
ная зависимость в случае Не3 имеет вид (Т измеряется в ке.
винах) у ~ З-НН^ю/Г)2 см~!.
Рассмотрим теперь условия больших частот и низких темп
ратур, когда ют ^> 1. В этом случае а^ оо, а£ ->■ сю, | = s + '
(|li| <С 5) s = (i}/(kvy). Уравнение (5.36) в основном приблизь
нин записывается как
(1 + Ai) _ W(s)[(l + Ах) Л0 + 352Л1] = 0
54

, р точности совнадаег с уравнением (5.23) определяющим
скорость нулевого звука.
qTo касается поглощения нулевого звука, то для его
вычисляй* необходимо найти мнимую добавку (gi) к скорости. Из
(5.36) имеем в первом порядке по gi следующее уравнение:
bW«+*> Ы^- - iLi4±i) - **° ш] и=
{(1 + Л) (1 + ш (s)) + 3(1- /1,) she (s)}. (5.40)
ОТ
- помощью (5.31) для поглощения (у) можно получить такое
выражение:
1 ГЛ*.
(5.41)
V = Im k = •
С7» _Т
St'pT
S*»c
•до 5 —определяемая (5.23) скорость нулевого звука в прене-
.'оежепии поглощением. Таким образом, как следует из (5.41)
после подстановки выражения
.ля |; из (5.40), поглощение ну- ° -1
певого звука не зависит от
частоты и возрастает при увеличе- юг
чин температуры как 1/т, т. е.
пропорционально Р.
Зависимость скорости (и) и
поглощения (у) колебаний с 1°
w = 0 от температуры в случае $
Не3 показана и на рис. 5. Г для "*м/с
частоты (о^: Ю8 с-'.
В заключение рассмотрим
влияние столкновений на колсба-
!г*п т~ ]* В этом слУчае из
(o.ol) имеем уравнение для функ-
1«и v(0,q>);
19и
Ив
Рис. 5.1
т
7\мк
сн2нн^,?а3р°ШИМости этого Уравнения дает искомое диспер
и^ уравнение, которое имеет следующий вид:
я
1 =4 ^/0sine[p!(cos8)]2A|£ii±^. (5>42)
Поскольку Р1 ( а\ •
вписано в ф ш> Т0 УРавненне (5*42) может быть
я
1+T^(l)-4^8sm8A|2ii±^ = 0) (543)
55

где Йц(Е) определено в (5.35). Вычисляя интеграл в (5.43)
используя выражение для Яц(|), находим окончательно
W(t)= А~2 + 3/(аЮ -
В предельном случае шт-^оо уравнение (5.44) переходит, ест-,
ствснно, в (5.24). При больших, но конечных значениях от име \
место затухание, так что s = s + /|b где s — решение уравнен
(5.24), а для |, находим после некоторых преобразований ел
дующее выражение:
Sl ~~ сот Ails ~ (s2-\}w(s) (2s-\-1/2)] ' ^Л
Не приводя подробного анализа изменения скорости и зат
хания данных колебаний при уменьшении т (увеличении темп
ратуры), отметим лишь, что с возрастанием роли столкновеш
затухание монотонно растет, а скорость падает, так что кро
столкновительного затухания необходимо аккуратно учитыват
затухание Ландау. Область значений температуры, где затух
ние волны мало, оказывается, таким образом, достаточно узко
Резюмируя проведенное рассмотрение, можно сказать, чт
в Не3 существуют колебания с т = О, которые в предельном ел
чае от <С 1 представляют собой обычный звук, а в области
от ^ 1— продольный нулевой. Кроме того, в области от ^ 1
т. е. в случае достаточно высоких частот и низких температу.
возможно существование поперечных нуль-звуковых колебам
с т _ ] (аНалог сдвиговой волны), затухание которых опред
ляется выражением (5.45). Высшие моды колебаний, отвеча
щие т ^ 2, не могут распространяться вследствие сильно!
затухания.
Задания
1. Получить формулы (5.17) —(5.19).
2. Убедиться, что (5.26) удовлетворяет законам сохранения чиста част
и импульса при столкновениях,
3. Получить выражения (5.35).
4. Получить соотношение (5.38).
5. Получить выражение (5.40).
Лекци я 6
СПИНОВЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
В НЕЙТРАЛЬНОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Приступая к рассмотрению колебаний спиновой плотности, и
следуем прежде всего спиновые возмущения в ферми-жидкос
в отсутствие внешнего магнитного поля, ограничиваясь счучае
56

] (о) — частота колебаний; т — характерное время
релаксации). & этои ситУаи-ии можно исходить из кинетического урав-
нИЯ (4.31), пренебрегая в нем интегралом столкновений:
^Г + <V^ * V*> (б(Т - "Ж" б£) ~ °- <6 *>'
Связь между возмущением энергии бе и возмущением спиновой
плотности да определяется соотношением (4.20) и имеет вид
бе (р, Rr) = J -~£щ ф (р, р') 60 (p'f R0.
Для возмущения в виде плоской волны имеем '
6ст(р, R0 = 6a(p)exp(tkR — Ш), (6.2)
где бо(р) может быть представлено как
6a(p)=-4^v(Q). (6.3)
Далее, совершенно аналогично тому, как было получено
уравнение (5.4), для функции v(Q), зависящей от направления Q, из
(6.1) можно получить уравнение
(s - cos 6) v (6, Ф) = cos 6 J -^Г В (%) v (6', ф'), (6.4).
где, как и в (5.4),5 — оз/(£иР)—скорость волны в единицах фер-
мневской скорости.
Таким образом, для каждой из компонент вектора v
получается уравнение, отличающееся от (5.4) только заменой функции
Л[%) на В(%), где % —угол между направлениями Q и Q'.
Поэтому дальнейшее рассмотрение, проведенное в лекции 5,
может быть непосредственно применено и к спиновым волнам.
В частности, колебания, в которых зависимость v от ср имеет вид
eimv, независимы для разных значений т, а соответствующая-
зависимость от 0 не меняется при замене т на —т. Что
касается условий существования незатухающих решений
уравнения (6.4), то при фиксированном mi&O в простейшем прибли-
fife™n ДЛЯ коРРеляи-ИоННОИ функции В(х), в котором Втф0,
/"7о\ (п^^*+1)> соответствующее ограничение согласно
{оЛ2) имеет вид Вт > 2т. В частности, для /п = 0, т. е. в
случае изотропных по импульсу возмущений, это даст Бо>0. Как
(£а3<1Н° ?табл* 3.1, для жидкого Не3 величина В0 отрицательна
в э°/^~~^7). Поэтому распространение рассматриваемых волн
вие °И ЖИДкости невозможно. Отмстим, что и уточненное усло-
гично^1г^СТВОВания нсзатУхаюЩи^ решений, получаемое анало-
(£.21), не меняет сдечанного вывода в отношении Не3.
Ренной1^81"16 В0,Л1НЫ в магнитном поле. Отличная от рассмот-
нитного°НТУаЦИЯ пмеет место в присутствии постоянного маг-
поля В. В этом случае оказывается возможным рас-
57

пространенис в ферми-жидкости спиновых волн другого, по
сравнению с (6.4), типа.
Линеаризованное кинетическое уравнение для возмущение
спиновой плотности при наличии магнитного ноля — это уравие
ние (4.34). В пренебрежении интегралом столкновений имеем
<£ + <**.*)(**-£ 6e)-f[eoX(6a-|f *)]«<>.
(6.5
Здесь ео относится к равновесному состоянию. Как было пока
зано при вычислении парамагнитной восприимчивости (см. лек
цню 3), выражение для р: может быть записано как
f0 = -YB, (6.6
где у —эффективный магнитный моменг квазичастицы. Связ!
между ним и магнитным моментом истинной частицы жидкости
((3) имеет вид у = $(1-\-Во)~1. Представляя бег в форме (6.2)
для функции \»(Й), определяемой (6.3), после несложных
преобразований получаем из (6.5) следующее уравнение:
©v (Q) - к • vf (v (Q) + & (Q)) + Щ- [В X (v (Q) + бе (Q))] -= 0, (6.7
в котором использовано (6.6), а 6е(Й) связано с v(Q) соотис-
шенне.м
ве(0)=5-^-В(х)у(<У). (6.8
Полагая магнитное поле В направленным вдоль оси zy pa -
смотрим колебания спиновой плотности, в которых vJLB, та
что v = (vv, vyt 0). Соответственно этому и дг = {дех, бе(/, О*
Удобно вместо х, ^-составляющих ввести циркулярные комп
ненты векторов v и бе: v~ = w=hhv, бе± = беЛ =h/бе?/. В резуль
тате уравнение (6.7) принимает вид
wv± — к • vf (v± + бе±) «F сои (v± + бе±) = 0, (6.9
а усчовие замыкания (6.8) записывается следующим образо%
^-B(X)v*(Q'). (6. К
Введенная в (6.9) величина со0 представляет собой частоту сп i
нового расщепления энергии квазичастицы в магнитном поле В'
Оо = 2уВ/Л. (6.1 )
Поскольку уравнение для v_ получается из уравнения для v
при замене к~-э—к, со->—со, достаточно рассмотреть уравнени
дяя одной из этих величин, например v+:
(G)_tOo_k.VF)v+(Q)=(k.vF + co0)5-g:i3(x)v+(Q0- (6Л)
53

Обидего решения уравнения (6.12) при произвольном виде
реляционной функции В{%) не существует. Для
приближенно решения этого уравнения имеются две возможности. Во-
первых, если оборвать разложение функции В {у) по полиномам
Лежандра, т. е. предположить, что оно содержит конечное число
членов, интегральное уравнение сведется к системе связанных
линейных уравнений относительно коэффициентов разложения
функции v+(Q) RpH но сферическим функциям. Подобный
подход мы исиользовалн при рассмотрении нулевого звука. Другой
возможный способ приближенного решения состоит в
исследовании области, в которой член k-vF мал но сравнению с |со—со0|.
В этом предельном случае кинетическое уравнение (6.12) можно
решить при произвольной функции В(%).
Рассмотрим сначала в качестве примера случай, когда
функция В(;/,) аппроксимируется константой В(х) = Во. а
направление распространения волны к совпадает с направлением
магнитного поля В. В этом случае из (6.12) находим решение, не
зависящее от угла ф:
kvn cos 0 4- Щ С d~f
v. (Q) = ! ~- 5 #о \ 1— v, (9/). (6.13)
+ ■ 7 о> — о)0 — kvt- cos 6 °J 4л + v ; v J
Интегрируя обе части (6.13) по направлениям Q, приходим к
усювпю разрешимости;
1 , . Г dQ о)
■ + SI
BQ ) 4л to — ©0 — /et'j; cos 8
Вычисление интеграла дает следующее дисперсионное урав-
иенге:
Здесь введены обозначения: s = (o/(kvF) и so = o>o/(^f).
Условие существования вещественных решений s дисперсионного
уравнения (6.14), т. с. условие отсутствия затухания Ландау
для рассматриваемых колебаний, имеет вид
|s-s0[> 1. (6.15)
В случае длинных волн, когда k мало, так что s^> 1,
разложение логарифма дает
,„ s-Sq-H _ 2 , 2
jj-j т j-
S — So ™ 1 S — So 3 (S — So)3 "
Остановка этого выражения в (6.14) приводит к результат}
s=So(1+Bo)[i+i^.],
59

что дает для частоты колебаний следующее выражение:
® = ®о(1+В0)
1 +
v%k*
щ4
■]■
(6.1
Как следует из формулы (6.11) для оо и связи между эффекти
ным магнитным моментом квазичастицы (у) и магнитным м
ментом истинной частицы ф),
(6.1
щ(1+В0)^2$В/П^Щ
ft,—0,2
Таким образом, при k-^О частота рассматриваемых колеб
ний стремится к частоте спинового резонанса o>s свободных ч
стиц и не зависит от эффект
межчастичного взаимодействи
Это связано с тем, что колебан*
с частотой (6.16) при k->0 с
ответствуют однородной преце
сии магнитного момента всей с
стемы вокруг направления ма
нитного ноля, а полный магни
ный момент системы не завис*
от взаимодействия между част
цами. При конечной величине
значение частоты изменяете
В частности, при Б0 <С 0 часто
убывает с ростом k. Соотве
ствующая дисперсионная крив
имеет вид, качественно показа
ный на рис. 6.1. Заштрихова!
область, где отлично от нуля з
тухание Ландау, т. е. наруше
условие (6.15).
В случае произвольной зависимости В(%) мы ограничим
нахождением собственных частот колебаний с точностью до
Для этого рассмотрим прежде всего уравнение (6.12) при k= I
rffi'
Рис. 6.1.
(со - О v+ (Q) = «о J -g- В (х) v, (Q0.
(6.18
Представим v+(Q) в виде разложения в ряд по сферическ
функциям:
со п
v+(2)=E E vnmYnm(Q),
п =0 m =—n
(6Л9
а функцию В(%) разложим по полиномам Лежандра:
со
В(%)=Е(2/+1)ВЛ(созх).
*=0
(6.2
60

ь3уя теорему сложения для сферических функций в форме
"г933) нетрудно показать, что из (6.19) и (6.20) следует
В (х) v+ (Q-) = £ Вп £ vnmYnm (О). (6.21)
d9J
4я
п-0
m=»—n
одставив (6.21) в (6.18), получим
cou(l+5n)]vnmymn(^)
0.
(6.22)
йгк
В силу линейной независимости сферических функций из (6.22)
следует, что собственные функции уравнения (6.18) суть сфери-
еские функции Ynm, а частоты соответствующих колебаний
>прсделяются соотношением
п
0, 1, 2, ... (6.23)
Таким образом, при фиксированном п частота колебаний не
зависит от т — колебание оказывается (2п+ 1) -кратно вырож-
' енным. В частном случае п = т — 0 име-
*м шоо = <о5, где cos — частота спинового
резонанса, определяемая соотношением
(6.17), которая не зависит от ферми-жид-
костного взаимодействия. При п ^ 1
выражения для частот (ortm зависят от парамет-
)Ов В„, поскольку из (6.23) имеем
__ 1+£я
Рассмотрим теперь связанное с конеч-
■остью волнового числа k отличие частот
-пиковых волн в ферми-жидкости от их
предельных значений (6.23). Прежде всего преобразуем исходное
уравнение (6.12). Для этого выберем систему координат в
пространстве импульсов так, как показано на рис. 6.2. В этой
системе координат ^ = 0, а произведение kvF записывается в
к • vF = А • of (cos 0 cos Д + sin 6 cos <p sin A). (6.24)
*-\
Чню ^~~угол между к и В в плоскости (*, г). Представляя
шения гао+^ В оиде Разложения (6-19) и используя соотио-
(0.21) и (6.24), из уравнения (6.12) находим
Рис. 6,2.
Ри k
jL {со — [kvp (cos В cos A + sin В cos <p sin Л) + w0] X
X(l+flJ}v™Knm(Qf Ф) = 0.
"^0 (6.25) переходит, естественно, в (6.22).
(6.25)
м

Исследуем подробно дисперсию для ветви колебаний, отвс
чающих при £->0 частоте со0о = cos. Умножим обе части (6.2 j
па Уоо " проинтегрируем по телесному углу. Использовав ев {
ства ортонормнрованности сферических функций, а также явнц,
выражения
Уоо= /— » Ую = '" А/— cosB, Yi +i = + г д/— sin 8e±I>
■у At v -i.-t v 8л
после некоторых преобразований получим
(со — cos) vqo + -— kvr(l + _,) J"vI0cos A — (vn — v,_,) ^jfA = •
(б/
Для нахождения со с точностью т,о k2 необходимо определи
vim с линейной по k точностью. Это можно сделать, если (6.2
умножить на Y*mJ проинтегрировать по телесному углу и выр*
лить из полученного соотношения vim, оставляя в слагаемых
kvy только величины с v0o- Необходимая связь между \\т и ,
может быть получена таким способом в виде
[со - cotJ(l + Bt)\ vIm = AoF([ + B0) VodX
Х^[со5^-6,„0™^(61т~6_^)1, (6 7
где бтн-— символ Кронекера. Из (6.27) находим
ikvp cos Д
ikvv sin A
Vl±l = + _(1 + B^ ______ ¥oo.
Подстановка выражений (6.28) в уравнение (6.26) дает
co_03i ____л____о. (6.
Поскольку отличие со от сол- пропорционально к2, го мо_н
члене с &2 в (6.29) заменить со на ок. После этого находим
ражен не для ок
(6'8
а учитывая, что <ол- = con(1 + В0), имеем окончательно
СО == С0^ 1 1 п 7 " :—Т
3 (_?„-_?,)_*_
(6.'
Отметим, что, как видно из полученного выражения, «~ei
колебаний оказывается не зависящей ог направления pic
^2

хранения волны, поскольку в (6.30) отсутствует зависимость
от \тла Л между к и В. В то же время структура возмущенпч,
J зависимость функции v+ от углов 0 и сг, является, как
следует hj выражений (6.28) и (6.29), существенно различной при
разных А. Указанная особенность связана с тем, что в нулевом
приближении по k частоты спиновых волн в нейтральной фсрмп-
жидкостп соПт (6.23) не зависят от т — кшебания оказываются
вырожденными по азимутальному числу. Позднее, при
рассмотрении спиновых воли в заряженной фермн-жндкосги, а нмегно
электронной жидкости парамагнитных металлов, мы увидпм,
что в результате действия на заряженные квазичастицы силы
Лоренца отмеченное вырождение по т снимается. Вследствие
этого частоты колебаний при k = 0 оказываются различными
для разных т, а зависимость частоты колебаний от к перестает
быть изотропной, что существенно отличает свойства
заряженной ферми-жидкости от свойств нейтральной. Изменение
дисперсии спиновых волн при изменении угла А позволяет получить,
исходя из экспериментальных данных, дополнительную
информацию о параметрах корреляционного взаимодействия Вп в
ферми-жидкости.
Следует отметить также, что в пренебрежении константой В\
выражение (6.30) для частоты рассматриваемых колебаний
переходит в соотношение (6.16), полученное для случая
распространения волны вдоль магнитного лоля в простейшем
приближении В(%) = В0.
Основу проведенного рассмотрения возможных типов
спиновых колебаний в нейтральной ферми-жидкости и их
дисперсионных свойств составляет кинетическое уравнение для спиновой
плотности в фазовом пространстве 6о(р, R/) в пренебрежении
интегралом столкновений. Возможность пренебрежения
столкновениями квазичастиц приводит к необходимости соблюдения
определенных условий для частоты колебаний со и характерного
времени релаксации функции распределения т- Как мы видели в
предыдущей лекции, соответствующее условие в случае нулевого
звука имеет вид сот ^> I. Исследуем несколько более подробно
вопрос о влиянии столкновений применительно к
рассматриваемым спиновым возбуждениям.
Как уже отмечалось, независимо от его конкретной струк-
7>РЬ1, интеграл столкновений чолжен быть таким, чтобы вызы-
ь Релаксацию к локальному равновесию. Поскольку в рее-
сс J иваемой ситуации отклонение функции распределения ст
vjYo^1^1'110 Ра,шоиесного значении пропорционально величине
фунг ~~~?+'--)+ й<чШ), то интеграл столкновений должен быть
сов стШС? ТОлько от v-t-(-)- Следует различать два вида пропес-
нореи°ЛКИОВени" ква**пчастиц — орбитальные и спиновые. Стслч-
Hpi,Bo и Первого вида обеспечивают релаксацию импульса ч
пульсаЯо К ИзотРопизаа-|1И функции \v(Q) но направлениям нм-
— В простейшем приближении такой процесс можно
*3-

характеризовать временем т и записать соответствующий вкла
(dv,/d/)°P6 в интеграл столкновений в виде
Такие столкновения не меняют полной спиновой плотности, д
ваемой интегралом от v+(Q.) no Q. Столкновения другого ти
сопровождаются переворотом спина и приводят к убыванию по
ной спиновой плотности. Соответствующий вклад в интегр
столкновений может быть записан как
V dt Лт = %
v+. (6.3»
где Т2 — характерное время переброса спина. Поскольку пере
брос спина обусловлен слабыми магнитными взаимодействиям?
то в реальной ситуации Т2 ^> т. С учетом интеграла столкнове
ний в форме, определяемой соотношениями (6.31) и (6.32), к
нетическое уравнение для функции v+(Q), как следует из (6 9)
может быть записано следующим образом:
cov+(Q)_(k-VF-f«o)v+(0) =
Представляя v+(Q) в виде разложения (6.19), после аналогия
ных преобразований можно потучить обобщение уравнен
(6.25) на случай учета столкновений. Соответствующий резу
тат имеет вид
V | <о — kvF (cos 8 cos А + sin 8 cos <p sin A) -f- <o0 — — — -j-
ntn
X (1 + Bn)} vnmYnm (e, Ф) = -i (1 + Bo) v00y00. (6,
При k->0, как и в бесстолкновительном случае, из (6.34) с
дует, что собственными функциями уравнения (6.33) являют
сферические функции Ynm(Qt <р), а выражения для соответству
щих частот есть
= CDs-^-(l + £o), (6. Р
* 2
В последнем выражении реально можно пренебречь вклад
//72, поскольку 72 ~> т. Таким образом, получаем, что в шири
резонанса на частоте «о дают вклад только столкновения с пе
воротом спина, в то время как для колебаний с частота
(6.36) определяющим является затухание вследствие релак
^00
64

r импульса. При этом если В0 < 0, то (1 + В0)/Т2 < 1/Г2,
■ чТ0 эффективное время релаксации спина увеличивается по
^азненпю со случаем релаксации в отсутствие ферм и-ж ид
костного взаимодействия.
Н 'рассмотрим подробнее влияние конечности k в случае ко-
*-аКИ1Г, для которых предельное значение частоты колебаний
' (5.35). С этой целью, как и в бесстолкиовительном случае,
С'1Ччггм уравнение дли величины v0o с точностью до
квадратичных' по волновому числу членов. Умножая обе части (6.34) на
у и интегрируй по телесному углу, получим аналогично (6.26)
\равнение
ikv.?
со — ш<
т
4
(l + Bu^vpo+^d+'B^X
vKleos A — (v,. — v,. _,)^=-] = 0. (6.37)
Л 2 J
Дчя коэффициентов vi„, находим с необходимой точностью по
'? связь с voo"
= -^- (1 + В0) |^бм0 cos Л - (5Im - 6_Im) -^ J voo. (6.38)
Соотношение (6.38) получается, если домножить (6.34) на Y{m
г проинтегрировать по телесному углу, после чего оставить в
чиненных no kvp слагаемых лишь коэффициент voo- Выражая из
(6.38) величины vim и подставляя их в (6.37). находим искомое
\равнение для частоты колебании:
/ k2vl (l Ч- ВЛ(\ + Д.)
т^--г0 + Во) + _1д_^__^Д^;1' + Д|Г. (6.39)
Предполагая, что член с k2 дает малую добавку, ил (6.39) после
некоторых преобразований получаем
o^cos-^(l + ^ + ^-(B3_^t.n-r^. (6.40)
fi^Qb МИ воспользовалггсь соотношением 72 >> т. Формулы
о-оУ) [^ (6.40) позволяют исследовать характер эволюции воз-
ОЩснпй спиновой плотности при разных соотношениях межд-"
0 " т. Т*. В случае |ш —со0|т<С I + Bt m (6.39) слезет
/ 1"СЬТ
со — о, — (I + Л0) - -^- /г-.
'УДет""0" СИт-ацШ! групповая скорость спиновых волн ды/дк
мннмой. Это означает, что в таких условиях спиновые
.л
лываг Не сУщ-ествУК)т, и возмущения спиновой плотности рас-
0ТСя н пространстве по законам диффузии. При этом
' ' С- Кондратьев, Л. Е. К\чма 65

величина и^т/З играет роль коэффициента диффузии. В другч
предельном случае, когда о)0т|Б0— В{\ > ] + Ви в формул -
(6.39) и (6.40) можно опустить вклады стп 72, что приводит ]
результату (6.30), отвечающему бесстолкновнтельному режил
В этом случае вместо диффузионного расплывания возмущен
становится возможным распространение волн спиновой пл
НОсти — спиновых волн. Аналогичная ситуация имеет место \
электронной жидкости парамагнитных металлов, где указанн
особенности распространения спиновых возмущений в фер\
жидкости дополняются влиянием магнитного поля на орбита,
ное движение квазичастиц.
Задания
1. Получить соотношения (6.26) п ^6.27).
2. Продрать вес выкладки при получении выражения (6.39).
Лекция 7
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ ВЫРОЖДЕННОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ЖИДКОСТИ
НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ
Электронная теория металлов успешно использует для описан
многих и\ свойств представление об электронах проводимост
как о вырожденном ферми-газе. Наличие поля кристаллическ
решетки металла приводит во многих случаях к значительно
отличию свойств электронов в металле от свойств свободн
электронов. Это отличие характеризуется зависимостью энерг
электрона проводимости от его импульса и проявляется, в ча *
ностп, в несферичности поверхностей постоянной энергии, в т
числе поверхности Ферми, отвечающей граничной энергии эт
тронов в вырожденном распределении. В настоящее время т
рия своеобразных свойств газа электронов проводимости, об
ловленных влиянием кристаллической решетки, развита весь
детально.
Другая важная особенность отличия электронов проводи
сти металлов от свободных частиц обусловлена их сильн
взаимодействием. Действительно, средняя энергия кулоновск J
взаимодействия электронов металла по порядку величины с
падает с их средней кинетической энергией. Поэтому, несмо
на успешное объяснение широкого круга явлений в металч
с помощью представления об электронном ферми-газе, пол
ние оставалось длительное время неудовлетворительным,
скольку отсутствовала теория электронов проводимости, котор
последовательно учитывала бы сильное межэлектроннос взаи-'
66

-1СЙСТБИС. Оставалось неясным, какие свойства модели электрон-
ного газа отвечают реальности, а какие характерны лишь для
гипотетического вырожденного газа частиц, подчиняющихся
статистике Ферми.
Выход из создавшегося положения оказалось возможным
найти на основе феноменологической теории ферми-жидкостн
Чандау, сформулированной им применительно к нейтральной
квантовой жидкости, какой является Не3. В результате дально-
деиствующего характера сил, действующих между заряженными
частицами, вырожденная электронная ферми-жидкоегь по своим
свойствам значительно отличается ог нейтральной.
Необходимое обобщение теории ферми-жидкостн Ландау на случай
вырожденной электронной жидкости металлов было дано В. П.
Силиным. Формулировка теории электронной ферми-жидкости
металлов оказалась возможной во многом благодаря
предшествовавшей разработке кинетической теории ферми-газа
заряженных частиц.
Некоторые результаты теории электронной жидкости
Ландау— Силина являются фактически обоснованием возможности
использования модели газа для широкого круга кинетических
явлений электронного переноса в металлах. Было показано, что
теория проводимости, теплопроводности, гальвано- и
термомагнитных явлений, основанная на ферми-жидкостных
представлениях, приводит во всех случаях стационарных и медленных
процессов к результатам, по существу совпадающим с результатами
обычной теории электронного газа.
Существенное качественное отличие свойств электронной
фермн-жндкости от электронного газа проявляется в достаточно
высокочастотных процессах. К таким процессам относится, в
частности, распространение воли в электронной жидкости в
присутствии постоянного магнитного поля. Изучение волн в
металлах, находящихся в магнитном ноле, привело к
экспериментальному обнаружению специфических свойств электронов
проводимости, отличающих их от электронного газа и присущих
вырожденной электронной ферми-жидкости. Свойства
исследуемых воли полностью соответствуют предсказанным теорией
Ландау— Силина. При этом оказалось возможным
экспериментально определять значения ряда феноменологических параметров,
используемых в этой теории.
, СН0ВНЫе соотношения. Теория вырожденной электронной
нон Кк?ТИ ^анДаУ — Сплина, как и теория Ландау для нейтраль-
татои *>МИ"ЖИДК0СТ|1, явилась фактически обобщением резуль-
норма Ныивленных Уже в приближении Хартри — Фока. Для
екая тЬНЫх (несверч11роводящих) металлов феноменологичс-
Х0Дны\е°^ИЯ э,1ектРоннои жидкости основывается на тех же ис-
Ф^Р-Мн-ч^011^1^011"114' что и теория нейтральной нссверхтекучей
'v 'Дкости. Во-первых, это предположение о том, что
5*
67

спабовозбужденные состояния жидкости могут быть описаны н
языке квазичастнц, которые, как и истинные электроны,
обладают определенным импульсом и спином, подчиняются
статистике Ферми, а их число совпадает с числом частиц в жидкость
Соответствующее условие записывается з виде
a' = sp$-Hf"(p- r°' (7л)
где «(р, Rt)—функция распределения квазичастиц, являющаяс
матрицей в пространстве спина. Далее, как и в теории нейтрал ,-
пой ферм и-жидкости, полагается, что энергия квазпчастнцы
определенном состоянии зависит от состояния других квазич
стиц, так что полная энергия всей системы не складываете
аддитивно из энергий отдельных квазичастнц, а является иск *
торым нелинейным функционалом их функции расиределени ,,
В этой ситуации энергия квазичастицы определяется как вари -
циониая производная от полной энергии системы Е по функц* *
распределения квазичастиц:
б£=sp \ i£rе <р- R/>м ^ R/>- <7-)
Величина е(р, R/) играет роль гамнльтоновой функции
квазичастицы.
В силу того что соотношении (7.1) и (7.2) вполне
аналогичны соотношениям (2.4) и (2.5) теории нейтральной ферми-
жидкости, можно, не повторяя заново всех рассуждений,
использовать и в рассматриваемом случае результаты и выводы, выр -
жаемые формулами (2.8) — (2.16). В частности, равновесное
распределение квазичастиц описывается выражением (2.9),
теплоемкость электронной жидкости, связанная с фермиевскимй
электронными возбуждениями, дается формулой (2.16). Что к
сается возможности пренебрежения уширением квазичастичны*
уровней энергии, то оно законно лишь для распределений, ела о
отличающихся от ступенчатого, отвечающего нулевой
температуре. Следует отметить, что для электронов проводимости
металла уширение уровней возникает не только вследствие
столкновений между квазичастицами, но также благодаря столки -
вениям с фононами. Такое уширение относительно невелико, п
скольку оно определяется параметром, содержащим отношение
массы электрона к массе иона.
Будучи вариационной производной от энергии системы, ве
личина к(р, Rt) сама является функционалом от функции рас
пределения квазичастиц. Соответствующая функциональная
зависимость в нейтральной ферми-жидкости, где отсутствуют дал
нодействующие силы, считалась локальной по пространственн
переменным. Из-за наличия дальнодейств\7ющих сил в систе е
заряженных частиц, находящейся в неравновесном состояние-
указанное свойство, вообще говоря, нарушается. Такое наруДО
68

тс связано с необходимостью учитывать самосогласованное
электромагнитное поле, влияние которого в целом ряде случаев
существенно отличает заряженную ферми-жидкость от
нейтральной.
В общем случае локальной по времени связи между
вариациями fie и &п можно записать:
6е(р, RO^sp'J-g^Ffp, р'; R, R')o/2(p', R'/). (7.3)
Это соотношение, в отличие от (2.17) для нейтральной жидко-
стн( означает, в частности, что вторая вариационная
производная F от энергии системы ферми-частиц зависит не только от
импульсов р н р' и спинов, но также является и функцией
координат R и R'. В простейшем приближении самосогласованного
поля Хартри, пренебрегающем обменными эффектами, для
частиц, взаимодействующих с потенциальной энергией t>(|R—R'|),
функция Р имеет следующий простой вид:
Fa (p, р'; R, R') - v (R - R'). (7.4)
Такое выражение отвечает приближению, не учитывающему кор-
реляции частиц. В то же время разность F — Fu обусловлена
корреляционными эффектами, простейшим из которых является
эффект обменной корреляции, возникающей вследствие
квантовой тождественности частиц.
В металлах характерное расстояние межэлсктроиной
корреляции совпадет по порядку величины со средним расстоянием
между электронами (г0), или, что то же самое, с дсбройлевой
длиной полны электрона на уровне Ферми: го ~ Я ~ ГО-8 см.
Поэтому для широкого круга явлений, в которых характерное
расстояние существенно превышает г0, можно принять
Р(р, р'; R, Rf)~Fn ^oCR-R')/^?, р')- (7-5)
С использованием соотношений (7.4) и (7.5) выражение для
вариации квазичастичной энергии (7.3) можно записать в виде
М (р, R/) = sp' \ ^^ v (R - R') Ьп (р', R't) +
+ SP' \ "йг р (Р> р') м (Р'> R/>- <7-6>
HdnJ>f4aC мс'жчзстичных сил с малым радиусом действия (как,.
нзмсн*10^* В ^°3^ для состояний с плавным пространственным
М0>Кн^НПем Функции Ьп в первом слагаемом этой формулы
5п(р' |£ч^Тать оя постоянным в существенной области, полагая
соотпош/ (^^р/* R^- При этом Ф°РмУла <7-6) отличается ог
ФУ»К1П[иСН^Я ^*'7) ■1НШЬ переопределением корреляционной
стиц, ко ^» Р')- В интересующем нас случае заряженных ча-
гда u(R)==c2^ физическая картина, соответствующая
69

формуле (7.6), выглядит несколько иначе. В равновесии, когда
распределение частиц не зависит or координат, пространствен
ио-нелокальная связь в (7.6) несущественна. Поэтому в равно
весии свойства системы заряженных фермиопов подобны
свойствам нейтральной ферми-жидкости. При этом первое слагаемо
в выражении (7.6), если понимать его буквально, приводит j
случае пространственно однородного распределения частиц t
расходящемуся выражению. Эта расходимость в действительн -
сти компенсируется наличием положительно заряженного фона
(ионы), обеспечивающего элсктронейтральность системы в ц -
лом. Поэтому под 6п в указанном слагаемом следует поннмат
отклонение функции распределения от пространственно опн<-
родного.
При неоднородном в пространстве распределении квазич -
стиц первое слагаемое в (7.6) описывает потенциальную энер
гию квазичастицы в самосогласованном электрическом поле
потенциалом cp(R/):
ар(Ш) = sp J |||^ jR^p-y вЛ (р, R'O. (7. |
Потенциал самосогласованного поля ф, как следует из выраж -
ния (7.7), удовлетворяет уравнению Пуассона
ДФ (R0 = ед \ jw^WJ SP \ W 6"(р- Г/) =
= _4^spJ-p||F6n(P, R0- (7.1
Если электронная жидкость находится во внешнем магии •
ном поле, то в выражении для 6ё необходимо учесть изменени
энергии, связанное с магнитным моментом квазичастицы. Пр
этом в выражении (7.6) появляется еще одно слагаемое, онис ■
вающее взаимодействие магнитного поля В с магнитным моме
том электрона р. Предполагая, что обусловленные магнитны
ролем вклады в члены, описывающие межчастичное взаимодс ■
ствие, малы, выражение (7.6) можно, с учетом соотношен
(7.7), записать в этом случае следующим образом:
бё (р, R0 - -2ps~* В + еФ (R0 + sp' \ -~^- F (р, р') Ьп (р', Ш .
(7
где s — совокупность спиновых матриц. Выражение (7.9) отл*
чается от выражения (3 18) в теории нейтральной фсрми-жеЯ
кости наличием вклада eq>t обусловленного кулоновским взан\*
действием между частицами электронной жидкости, котор
определяется уравнением (7.8).
Влияние электромагнитного поля на орбитальное движен*
квазичастиц учитывается в теории Ландау — Силина аналогии
тому, как это делается в задаче о движении заряженной части
?о

0 внешнем поле. Именно, помимо добавки еср к гамильтониану
частицы, описывающей потенциальный вклад, наличие
электромагнитного поля приводит к различию между кинематическим
|1Мп\'Льсом р и каноническим (канонически сопряженным
координате R) импульсом Р:
p=p_JLA(R/), (7.10)
где А—векторный потенциал поля. Поскольку в теории
электронной жидкости роль гамильтониана квазичастпиы играет вс-
чи^ина р, то зависимость от электромагнитного поля сводится
к тому, что р в (7.9) является кинематическим импульсом,
связанным с каноническим импульсом соотношением (7.10). При
этом потенциалы ноля ф и А должны определяться из системы
уравнений Максвелла, в которых плотности электрического
заряда и тока необходимо выразить через функцию распределения
квазичастиц, что обеспечивает самосогласованность
электромагнитного поля. Что касается потенциальной части поля, то это
самосогласование, как указывалось, отвечает приближению
Хартри но отношению к кулоновскому взаимодействию
v[R—R')- Аналогичным способом можно исследовать и
самосогласованис вихревой составляющей, описываемой векторным
потенциалом A(Rr), если учесть вклады во взаимодействие
между электронами, связанные с магнитными силами. Этот
вопрос мы обсудим позднее более подробно на основе
квазирелятивистского гамильтониана Брсйта для системы заряженных
частиц.
Обсудим кратко возможность использования для приращения
энергии локальной по времени связи (7.3). В общем случае
линейная связь между бе и бп должна быгь, естественно,
нелокальной во времени, что отвечало бы учету предыстории
распределения. Такая нелокальность несущественна, если матрица
плотности квазичастиц изменяется достаточно медленно.
Количественные критерии, определяющие такую медленность, связаны с
•характерными временами, существенными для динамических
свойств вырожденной электронной жидкости. Для самих элек-
ронов, как и квазичастиц в нейтральной фермп-жидкости,
характерное время есть tf ~ й/гг, что в случае реальных метал-
' е дает Т;т ~ 10-16-f- Ю-15 с. Для использования локальной по
ния 6НИ связи необходимо, чтобы время изменения распределе-
ческие33'14"30™11 ^ыло намного больше тн. Помимо зтого динами-
модей Своиства фермиевских квазичастиц определяются их взаи-
являетТВИЕМ С Фон°нами, для которых характерным временем
мсталтс»Я Т° ~ ^(й0' где <°D — дебаевская частота. Для реальных
"ым'изм* Т° ~" Ю-,4ч-10-'3 с. Поэтому действительно
медленным врееНеНИем РаспРеДелеиия является изменение с характер-
Мо*но си0116*1' большим тп. В этом случае соотношение (7.3)
итать точным. В условиях, когда .характерное время
71

изменения распределения велико но сравнению с tf, но мало пс
сравнению с td, также можно использовать связь (7.3). Прц
этом, вообще говоря, функция Р(р. р') будет иной.
В условиях, когда можно пренебречь релятивистским эффец
том спин-орбитального взаимодействия, магнитный момент эле
трона проводимости в металле практически не отличается ц
магнитного момента свободного электрона. В таких же услози г,
для матрицы f(p, р'), описывающей корреляционное взаимод
ствне, можно использовать выражение (2.20):
F (р, р') =• Ф (р, р') + 4 (s ■ s') if (р, р').
Пслн поверхность Ферми можно считать сферической, то •
силу того, что фактически в теории вырожденной ферми->:а*д
кости фигурируют лишь импульсы, лежащие на иоверхнос i
Ферми, функции ф(р, р') и ф(р, р') оказываются завнеящи ,
только от угла у между векторами р и р'. При этом удобно ис
пользовать разложение этих функций но полиномам Лежандрз
Используя соотношения (2.27) и (2.28), можно записать:
Ж7Ф(Р1 р') = £(2* + V'bP^cosy), (7.1I
о со
^Йг *(Р- Р') = Z{21 + 1>BiPl (cos Х>• (7-''"
Здесь р\- и w — импульс и скорость квазнчастип на порерхьге i
Ферми, кроме того, |p| = |p'| = pF. Величины At и В: являг
как и в теории нейтральной ферми-жидкостн, феноменологии
скими параметрами, характеризующими корреляционное взг. .ме
действие квазичастиц, п подлежат определению на основа \
сравнения следствий теории электронной жидкости с экС: " к
ментальными данными.
Как уже было отмечено, равновесные свойства электро- о
жидкости могут быть исследованы вполне аналогично ел*
нейтральной жидкости. В частности, могут быть получены
логичное (3.27) соотношение, связывающее эффективный 1
нитиый момент квазичастицы {у) с магнитным моменте
свободного электрона (р), а также выражения для спин
плотности и намагниченности электронной жидкости, вызван*'
слабым постоянным магнитным полем.
Кинетическое уравнение- Основу теории неравновесных
цессов в вырожденной электронной жидкости составляет i
ченне движения для функции распределения (матрицы i °
ности) квазпчастнц— кинетическое уравнение. В теории
дау — Си чина оно записывается, как и в теории нонтраг
фермп-жидкостн, как уравнение -твижения для одпс"астп *
72

матрицы плотности, в котором роль гамильтониана квазнчасти-
цЫ играет величина е(р, Ш). При наличии электромагнитного
поля р является кинематическим импульсом (7.10). Используя
канонический импульс Р и, следовательно, учитывая
зависимость от векторного потенциала А электромагнитного поля,
положим
е(Р, /?/) = e(p~4A(R/), R/)s=e(P, R'),
/ л ~ (7.13)
й(р, R/) = /*(P-f A(R/), Rt) = n(P, R/).
Здесь функции, записанные в представлении канонического
импульса, отмечены тильдой. Уравнение движения для функции п
может быть в соответствии с результатом (4.12) записано, как
и уравнение (4.13), в виде
дп
dt
*Г
Т [ё* «L 4- - (Vr« • Vpe -f VPf • VR£)
- у (VrI * Урй + УрЯ ■ VRe) - (^)ст. (7.14)
Здесь в правой части мы добавили интеграл столкновений квази-
частпц.
Для перехода от уравнения (7.14) к уравнению для
интересующей нас функции /2(p. R/), т. е. к кинетическому уравнению
в представлении кинематического импульса, необходимо
преобразовать входящие в (7.14) производные, используя связь (7.10)
между кинематическим и каноническим импульсами. Учитывая
определения (7.13), можно убедиться, что соответствующие
формулы преобразования для производных от функции
распределения имеют вид
дп дп е ЗА дп дп дй
(7.15)
dt dt с dt dp ' dP dp
дп dn e dAf дп
OR — OR с OR dPi '' ! ~~ X> lh Z'
^°рмулы преобразования для производных от квазнчастччиой
в гсРгип записываются cie дующим образом:
. Ли
(7.16)
дР
дР ~
(t.
dp '
оё
•R
дг е dAj дг
" dR с dR др1
И
Р - уравнения дли функции распределения частиц
г и спиновой плотности в фазовом пространстве ai P, R/)-
73
^1Ьо1)и1°1Цимся индексам подразумевается суммирование
(4.19)Х°ТЪГ из *7-14) можно, так же как и при выводе (4.18) :
мг>\? .1!0лУЧ"ть уравнения дли функции распределения части:

Рассмотрим сначала уравнение для функции f, аналогичное
(4.18):
а/ + ар * aR or ' ар ~*~ а/>/ * а/?; а/?/ * ар, ~V а/ Лт*
(7Л7)
Здесь е и е —коэффициенты разложения e = e + 2s-e.
Формулы преобразования производных от f и о при переходе к
представлению кинематического импульса даются (7.15), а нрон -
водны\ от г и е — выражениями (7.16). Используя эти соотно
шения, результат перехода к кинематическому импульсу
(7.17) можно после некоторых преобразований представить
виде
д? j_ E!L Ж j!L J!L 4- dt да дг да
dt ' ар aR aR ар l dpf dRf dR{. dpf
e dA df e дг /dA. dA, \ df
f e ae / dA. дА, \
__j J —i L |
с dt dp ~ с dpt V dRj d#i J dpf '
1aei/^4L__ а^л^^/а^ч
"*" с dp, \dR{. dR.J dp. \dtJCT' K/'l0}
В выражении для е удобно выделить в явном виде вклад,
обусловленный отличием от нуля скалярного потенциала
самосогласованного электромагнитного поля:
е(р, Н0 = МР> R/) + ap(R;). (7.19)
Используя далее обычные выражения для напряженности эле!
трнческого (Е) и индукции магнитного (В) полей через поте!
циалы
E=-V(p-~^-, В-rot A, (7.20)
имеем с учетом (7.19) соотношения
\дя^~ с dt )' ар VaR eiv aP '
as /dAt dAj\ df _Г<Эе "| df
'Щ \Щ ""~Щ) "фТ"" L^p" ^ 1"др'
В результате уравнению (7.18) можно придать следующу
форму:
df_ , d£\ df ^_ d&\ df . ae2 аст _ аег a<r af ,
a/ "^ ap aR aR " aP + ap;. * аяу. a/?y. ' a/?y + etl" ар ^
+f[£x.]4+f[^x.]"£-(5)„- («■»
74

g0 избежание случайной путаницы величины ег и одной из
компонент вектора е мы снабдили последний индексом 2, так что
рассмотрим теперь уравнение для спиновой плотности в
фазовом пространстве о(Р, R/). В представлении канонического
импульса Р это уравнение имеет вид, аналогичный (4.19):
до t ( дъ д \~ ( дё
. ( дг д \~ ( дё д \~ 2 г~ , ~, ,
+ (f-4)«-(#-Jr)Mf)„ с-я>
Преобразуя производные согласно соотношениям (7.15) и (7.16)
можно аналогично тому, как было получено уравнение (7.21),
результат перехода к представлению кинематического импульса
р в уравнении (7.22) записать в виде
где ei определено согласно (7.19), а векторная часть е
квазичастичной энергии снабжена, как и в (7.21), индексом 2.
Кинетические уравнения (7.21) и (7.23) составляют основу
описания неравновесных процессов в вырожденной электронной
жидкости. Эти уравнения необходимо решать совместно с
системой уравнений Максвелла для самосогласованного
электромагнитного поля:
div Е — 4пр; rot Е = -^-;
divB = 0; rotB^^j+||f- (7.24)
Плотность электрического заряда р описывается выражением
Р«0 = е J-j-grf (p. R0. (7.25)
а плотность электрического тока j в (7.24) представляется сум-
'®:l ДВУХ вкладов» один из которых обусловлен скоростью квази-
СТ1Щ дг/дру а дрчгой связан со спиновым намагничением:
75

Линеаризованные кинетические уравнения. Сравнение с тео*
рией ферми-газа. Для состоянии, слабо отличающихся от
равновесного, уравнения (7.21) и (7.23) могут быть линеаризованы
по отклонениям всех величин от их равновесных значений. При
этом напряженность электрического поля Е и неравновесная
добавка 6В к индукции магнитного поля являются величинами
первого порядка малости по отклонению от равновесия.
Рассмотрим некоторые следствия кинетической теории э~е -
тронной жидкости, вытекающие из уравнения для функций
распределения квазичастиц (7.21), в условиях, когаа можно
полностью пренебречь эффектами спинового парамагнетизма, а -
лагая при этом о —0 и г2 = 0. Функцию распределения /
проставим в виде/ = /о + б/", где6/ — малое отклонение от
равновесного пространственно однородного фермиевского распределения
/о- Аналогично квазичастичная энергия ei записывается как е<
= 8i0 + 6fi. Подстановка этих выражений в уравнение (7.21)
приводит к линеаризованному уравнению для функции
распределения:
dbf , d£io dbf __ ^б£| dfp , F dh_ , е_ Г <?е|0 v R*j dbf
di ^ dp 'OR дП ' dp "" ^' dp ^ с L dp A i' dp
Здесь учтено, что равновесная функция распределения зависит
только от энергии ею = е. поэтому
dfp vh дe^o
dry dp ** -
и слагаемое, содержащее неравновесную часть магнитной
индукции 6В, обращается в нуль. Уравнение (7.27) можно заппс уь
следующим образом:
' # + ("£ + *[»ХВ].£)(»/-§Ь..,) +
Здесь использовано обозначение v = дгю/др. Возмущение ква-
зичастпчной энергии 6t?i выражается через 6/ с использован.е^
соотношений (7.9) и (7.19). Соответствующая связь имеет иД
бе, (р, R0 - \ ^г Ф (р, р') б/ (р, R0. (7.291
Выражение для плотности электрического тока (7.26) в
рассматриваемом случае, когда о = 0, е2 = 0, переписывается С1
дующим образом:
i«0-«iT&-£f-
(7.3W
76

Аналогично может быть записано и выражение для потока
энергии хвазичастиц. Таким образом, можно сделать вывод, что
неравновесные потоки в электронной жидкости, как и в случае
нейтральной ферми-жидкости, характеризуются величиной 67 =
_^^- — dfo/de-b&u имеющей смысл отклонения функции
распределения от локально равновесного значения, соответствующего
энергии eio + 6t"i.
При обсуждении колебаний в нейтральной ферми-жидкости
мы отмечали, что независимо от конкретного вида интеграла
столкновений (d6j/dt)Cr он должен быть таким, чтобы
обеспечивать релаксацию функции распределения к се локально
равновесному значению, т. е. должен зависеть только от б/. Чтобы
исследовать этот вопрос несколько более подробно, рассмотрим
crovKTvpy интеграла столкновений на примере столкновений
квазичастиц в заряженной жидкости с примесями в условиях,
когда магнитные взаимодействия несущественны, а эффектами
спинового парамагнетизма можно пренебречь. В этом случае
интеграл столкновений имеет вид (зависимость распределений
от R и t не указываем)
(!)„= \ J0rW{f' Р- pWiM-Mp'HX
х{Нр')[1-1Нр)]-/(р)[1-у/(Р')]}- (7.31)
Здесь ei (p) — энергия квазичастицы; W определяет вероятность
рассеяния электрона на примеси. Выражение в фигурных
скобках в (7.31) записано в форме, явно отражающей принцип
Паули.
Для состояний электронной жидкости, слабо отличающихся
от равновесного, интеграл столкновений (7.31) удобно записать
следующим образом:
Йг)ст = S t^F w (h + 6/; р' р0 61е'°(р) + бе'(р) _
- е,, (р') - бе, (р')] [f, <р') + 6/ (У) - /о (Р) - 6/ (Р)]. (7.32)
* и^еаризуем это выражение по отклонению от равновесного со-
<bv?-ИЯ* <• ^авновесное фсрмнсвскос распределение /п является
Функцией только от энергии гю. Поэтомч с точностью до линей-
ых «о 6ei членов имеем
^(Р) = /о (ею (Р)) - /о [е10 (Р) + бе, (?)] - Щ± бе, (р). (7.33)
бла^ТаВЛяя выраженне (7.33) в формулу (7.32), находим, что
мы^' с f я закону сохранения полной энергии ею + бе{ слагас-
тагГЧт'° в Разности Ыр')4-6Др')—Ыр) —6/(р) сокращаются,
и 5ej р0стаются лишь малые слагаемые, пропорциональные б/
бречь в ТомУ п оставшихся малых слагаемых можно прсне-
еличкной 67 в вероятности переходов W, а также всличн-
77

нами 6ei(p) и 6ei(p') в законе сохранения. В результате указав
ных преобразований получим линеаризованный вариант имт
грала столкновений (7.32) в виде
(^г)сх = S ISW W (h' Р' Р'} 6 [е>° (Р} - *" (Р'^ { [6/ (Р0 -
- Ъ-6е' (р'^ ] -[# < р) - -ж бе> И} • ^7-3
Таким образом, вместо б/, возникающей в линеаризованном ив
теграле столкновений в случае ферми-газа, в интеграле столкно
вений квазичастиц в электронной жидкости действительно фиг-
рирует величина 6f = 6f — df0Jde'6el. Из приведенных расс\
дсний нетрудно сделать вывод, что этот результат не зависит
частного вида выбранного нами интеграла столкновений и оста
ется справедливым и для столкновений электронов с фононамц
а также для межэлсктронных столкновений.
В результате можно сказать, что для медленно меняющих <
во времени состояний, когда в кинетическом уравнении (7.28
можно пренебречь производной от функции распределения ■
времени, как в выражении для плотности электрического то
(7.30) и соответствующей формуле для потока энергии, так и .
всех оставшихся членах кинетического уравнения фигурир\е
только величина 6f вместо 6/, обычной для теории ферми-га а
Фактически это означает тождественность предсказаний Teopi
электронной жидкости с предсказаниями теории электронна
газа с заданным законом зависимости энергии квазичастиц
импульса, касающимися всех медленных процессов. Иными ел
вами, в теории вырожденной электронной жидкости полиосты
сохраняются обычные классические результаты отиоситсль
электро- и теплопроводности, термоэлектрических, гальваи *
термомагннтиых эффектов, полученные в предположении,
электроны проводимости металла образуют вырожденный ф[
ми-газ. Тождественность результатов теории электронной жй
кости с данными теории электронного газа представляет собо
обоснование старой электронной теории металлов для так г
круга явлении.
Качественного отличия предсказаний теории Ландау — Си
на следует ожидать для быстрых процессов, когда нельзя п
небречь временной производной. Такие процессы имеют мес
в частности, при распространении в металлах электромагнит^
волн, предсказанных теорией вырожденной электронной жиД*
сти, которые впоследствии были обнаружены эксперименталь 1
Задания
1. Получить соотношения (7.15) и (7.16).
2. Проделать вывод уравнения (7.23).
3. Получить уравнение (7.28).
73

Лекция 8
ЦИКЛОТРОННЫЕ ВОЛНЫ
в вырожденной электронной жидкости
Явление распространения электромагнитных волн в металлах
представляет собой интересную и важную проблему. Понимание
свойств таких волн требует всестороннего изучения природы
коллективного движения электронов в твердом теле.
В определении характеристик этих волн важную роль играет
зонная структура металла, поскольку существенной частью
рассматриваемых эффектов являются электрические и магнитные
токи, возбуждаемые волной. В большинстве металлов
усложнения, связанные с топологией поверхности Ферми, обычно не
позволяют достичь глубокого понимания самого волнового
процесса. Важным исключением являются щелочные металлы Na,
К и Rb. В этих металлах зонно-структурные эффекты или
эффекты, связанные с несферичностью поверхности Ферми,
практически отсутствуют. Они представляют собой реальные
системы, к которым наиболее применимо приближение изотропного
газа взаимодействующих электронов. Почти полное отсутствие
зонно-структурных эффектов и наличие сильного
электрон-электронного взаимодействия делают изучение свойств щелочных
металлов чрезвычайно интересным. Онн являются идеальными
объектами для сопоставления предсказаний теории электронной
жидкости нормальных металлов с результатами эксперимента.
Одним из типов волн, в которых проявляется существенное
отличие свойств электронной жидкости металлов от свойств
электронного газа, оказываются электромагнитные волны,
распространяющиеся в металле, находящемся в постоянном и
однородном магнитном поле В, с частотами, близкими к частоте
циклотронного вращения электрона в магнитном поле и к се
гармоникам. Такие волны, получившие название циклотронных,
впервые были хорошо изучены в теории газовой плазмы. Харак-
ернстнки циклотронных волн в металле определяются кулонов-
^Нм взаимодействием электронов. Следует, однако, отметить,
о многочастичные эффекты, модифицирующие распростраие-
пон ?ИклотРоиных волн, в большинстве случаев являются лишь
топо ВКЙМи к "риближению невзаимодействующих частиц, ко-
ченяс ^Остаточно хорошо описывает свойства этих воли.
Исклюем С0Ставляет распространение волн вдоль магнитного поля.
отсуТсМ СлУЧае распространение циклотронных волн даже при
взаи.моЙИ" СтоЛкиовен,,й оказывается невозможным в газе не-
хани'я ^}ИствУюи*их частиц в силу бесстолкновителыюго зату-
м°Дейст Зменение частот колебаний, вызванное эффектом взап-
непиСтВИя '1астии в электронной жидкости, делает распростра-
та«их волн возможным.
79

Для описания распространения волн в электронной жидкост
металла необходимо использовать систему уравнений, опис
вающих макроскопическое электромагнитное поле в сред
Это — уравнения Максвелла (7.24), в которых плотность эле
трического заряда ,о и плотность электрического тока j опред
ляются выражениями (7.25) и (7.26) соответственно. Иптер
сующие нас циклотронные волны не сопровождаются возмуще-
нием спиновой плотности. Кроме того, с большой точность
можно пренебречь влиянием на них эффектов спинового пар .
магнетизма. Поэтому неравновесное распределение квазичастнц
электронной жидкости, возникающее при распространении
циклотронных волн, описывается кинетическим уравнением (7.28
При достаточно низких температурах можно ограничиться уч
том лишь столкновений с примесями и использовать интегр ;
столкновений в форме (7.34). Таким образом, в основу теор!
циклотронных волн в электронной жидкости металлов мож
быть положено уравнение
dbf : ( 0 . с% WDI д \/л, dfо . Л . с df
К-Ж + ^ХВ]^)(^|ае,) + £Е.
О
dt \ dR ' с 1 /ч J dp ) \ ' де Ч ' де
=S тир-w (f°; р-р,) 6 1е<°(р)" е«°(p/)1 > [6/ (р,) ~ "S~ 6fi (р,)1 -
-[*/<Р)-^*Мр>]}- (8.1
Связь между 6ei(p, R/) и 6[(р, Ш) дается формулой (7.29), г
выражение для плотности электрического тока j(R/) — соотнс
шением (7.30).
Собственные частоты. Если в пространстве скоростей пе
рейти к сферической системе координат с полярной осью, щ
правленной вдоль постоянного магнитного поля В, то слаг с
мое с силой Лоренца в (8.1) преобразуется следующим образов
Здесь <р — азимутальный угол; циклотронная частота
[е| BvF \e\B
0). =
с cpF т*с
(8.'
т* — эффективная масса квазичастицы. Мы здесь ограничив
емся рассмотрением случая изотропной электронной жидкое
Принимая для возмущений зависимость от координат и вр
мени в виде exp(ikR — not), уравнение (8.1) при учете (8.2)
80

(S3) можно записать следующим образом:
ш6/^(к.у-шс^)(б/-Г§ fa.J + fcE.v-S-
= / J т1^ г (fe р> ?'> 6 ^ <Р> ~ е<° (Р')1 X
X {[*/ <р') - -й- 68i (рО] - [в/ (р) - 4г 6ei И } • <8-4)
Поскольку вынуждающий член eE-vdfo/дг в уравнении (8.4)
ограничивает отклонение функции распределения областью,
близкой к поверхности Ферми, удобно ввести функцию v(0, ф),
определяемую соотношением
6f = ~ iSr v = 26 (ei° ~ ер)v <9' Ч>>' (8*5)
для которой из уравнения (8.4) находим
COV — ( к * Vf — 'Юс^Г-J (V + 6Ei) + IE • VF =
2д я
= _L( i / f iQ/ ■ у v (В7. ¥) 4- бе, (В-, фр - [у (6, Ф) + 6гх (6, Ф)]
4л J ф J т(х)
о о
(8.6)
При получении (8.6) мы использовали то обстоятельство, что
для импульсов, лежащих на поверхности Ферми, величина.
№(/0; р, р') оказывается в изотропном случае функцией лишь
угла 1 между направлениями р и р', и ввели величину т(х)
соотношением "
то 2 оо
(8.7)
входящая в (8.6) величина 6ei вычисляется при |p| = Pf и
поэтому так же, как и v, является функцией только углов 0 и <р.
о формуле связи 6ei н б/ (7.29) функция <р(р, р') также берется
ри ip^jp/j ==гр]г^ так чт0 для нее можно использовать разло-
v/0HHev^-^) по полиномам Лежандра Pi (cos х). Если функцию
1шя\ пРе^ставить в виде разложения по сферическим функ-
v(^)-Ev^(^)( (8.8)
п, т
иаходимеТ°М сказанного» Для 6ei, входящей в уравьение (8.6),
бе, (6, ф) = £ (2л + 1) AnvnmYnm (6, ф). (8.9)
п, т
6 V С 1г„
' ^"-аратьев, А. Е. Кучма 81

Подставив выражения (8.7)—(8.9) в правую часть уравне^
(8.6) и использовав теорему сложения для сферических функ
(2.33), после некоторых преобразований получим
tov — (V vF — /шс -^ (v + &гк) + leE • vF =
= - £ X (Т" ~ Т~) ^ + А^ ^1пУш (6, ф). (8.1
U т
Рассмотрим некоторые простые следствия, вытекающие
уравнения (8.10) для собственных частот электронной жидко *
отвечающих колебаниям в пределе длинных волн, когда мом
пренебречь влиянием пространственной неоднородности расп
деления квазичастиц, и в пренебрежении электрическим поле'
В этом частном случае уравнение (8.10) сводится к
ЮЛ? + /(°с ~Щ (V + б6^ = "" l X ("г" "" Т") ^ Ч + Л') vtmtlm (6> Ф).
/, т
(8.1
Используя (8.8) и (8.9), нетрудно видеть, что собственн *
функциями уравнения (8.11) являются сферические функ г
для которых это уравнение даст
aYl!n + mc(l+Al)^Ylm = i(~---^yi+Al)Ylm.
Отсюда для собственной частоты колебаний следует выражен
© ^ ®1т = [™>с — 1 (— — "^-) J (1 + Al)- (8.1
Затухание колебаний оказывается малым при выполнении уст
вия (то ^ ti)
(0c»J--J-. (8.1
В отличие от электронного газа (Л* = 0) собственные част
(8.12) оказываются зависящими от /, и такая зависимость оо)
ловлена эффектом междуэлекгронной корреляции в вырож '
ной электронной жидкости.
Собственные частоты (8.12) проявляются в распростране
циклотронных волн в металле. Для такого проявления нео *
димо выполнение неравенства (8.13), позволяющего говорит
относительной малости роли столкновений. Далее, обсу*
циклотронные волны, мы будем пренебрегать столкновени
предполагая неравенство (8.13) выполненным.
Дисперсионное уравнение. Как и обычно в теории рас f
странения электромагнитных волн, для получения условий с
ществования циклотронных воли необходимо с помощью к
82

i еского уравнения выразить функцию распределения б/ через
"'-грическое ноле и найти выражение для плотности тока.
Линейной теории плотность электрического тока связана с
' жениостью поля линейным функциональным соотноше-
?ем Для Щ>0СТРанственн0 однородной в равновесии среды со-
' ехствующая связь между фурье-амнлитудами плотности тока
Гноля сводится к алгебраической:
!i = oik(kw)Ek (/, k = х, у, z). (8.14)
вный вид тензора проводимости aik должен определяться в на-
ием случае из решения кинетического уравнения (8.10).
Далее, для полей, изменяющихся по закону exp(r'kR— i<at)
,з уравнений Максвелла (7.24) находим
[kX[kXE]]+^E = -if4 (8.15)
Подставляя в уравнение (8.15) выражение для плотности тока
(8.14), получим однородную систему уравнений для компонент
метрического поля £,-, условие разрешимости которой дает
дисперсионное уравнение для рассматриваемых волн в виде
| ©%„ (к©) - сЧЧц + <*ktk, | = 0, (8.16)
де тензор комплексной диэлектрической проницаемости гц
определен соотношением
г11(Ы = 6„ + — а„{кш). (8.17)
В экспериментах по изучению циклотронных волн
компоненты тензора еу велики по сравнению с величиной (cfe/w)2 и
единицей. Фактически это связано с большой проводимостью
металла, обусловленной высокой концентрацией носителей,
вследствие чего сор/о) ~ 10s для частот СВЧ-диапазона (соР —
плазменная частота электронов). В этих условиях можно пренебречь
током смещения, так что в (8.17) |е,-/| « 14n:ia(-/co| > 1.
Дисперсионное уравнение (8.16) сводится при этом к
| о„ (ka>) | = 0, (8.18)
с' 5Равнеиия для электрического ноля — к системе уравнений
/£ = oiyf,- = 0. (8.19)
ЧТр3и^ескнй смысл уравнений (8.18) и (8.19) заключается в том,
тоРаспРостранение циклотронных волн может иметь место
чс'кото П"И У°лозии обращения в нуль тока проводимости для
i'-нй и ?°И комбипации значении частоты, длины волны колеба-
т°к. свяНДУКЦИИ магнитного поля. В действительности, конечно,
"ако дираННЫЙ с B0'IH0H B металле, не равен строго нулю. Од-
(с точноПеРСИ0Н11Ь1е свойства циклотронных волн определяются
11[РоволимТЬЮ Д0 велич"н порядка (ck/щ)2) из условия, что ток
аимости равен нулю.
6*

Парадоксальное на первый взгляд требование обращена
нуль полной проводимости выполнимо только благодаря н
кальной природе проводимости ац, т. е. зависимости а,у- от
Нелокальность означает, что полный ток в некоторой точке q
ды складывается из локального тока, связанного с Электра
ским полем в данной точке, и нелокального, возникающег
счет электронов, которые попадают в эту точку со скорост \
.приобретенными в более ранние моменты времени в других г
ках среды. Только в этом случае может происходить взаймы
компенсация локальных и нелокальных токов, при которой
новится возможным распространение циклотронных волн.
Согласно уравнению неразрывности вместе с плотност
тока обращается в нуль и плотность заряда:
Равенства (8.20) означают, что дисперсионные свойства ци
тронных волн не зависят в рассматриваемом приближении
параметров А0 и Ах в разложении корреляционной функции Л
дау — Силина ф(р, р') в ряд по полиномам Лежандра. Это
дует из того, что в силу (8.20) в разложении (8.9), как мозк
показать, отсутствуют слагаемые с я = 0 и п = \. Поэтом)
условиях экспериментов по изучению циклотронного резона!
коэффициенты А0 и Aj не могут быть определены непоср
ственно.
Следует отметить, что в циклотронных волнах проявл i
эффектов, отличающих электронную жидкость от газа, пег
ляется с уменьшением длины волны. Это связано с тем,
короткие волны соответствуют не только резкой пространст
ной зависимости функции распределения, но и резкой завж
мости ее от импульсов. Характерный масштаб изменения расв[
деления по скоростям частиц определяется отношением а-
Поскольку с уменьшением длины волны такой масштаб t
вает, то соответственно убывает и интеграл
■который в этом случае содержит быстро изменяющуюся ф)
:Цию б/. Таким образом, эффекты зависимости энергии ква в
стиц от их распределения подавляются в пределе коротких ct
При рассмотрении решений дисперсионного уравнения (&'
используем систему координат, показанную на рис. 6.2, в к
рой ky = 0, kz = kcosA, ft* = ft sin Д, где Д — угол между
правлениями распространения волны и индукции магнит
поля. Пренебрегая интегралом столкновений, кинетическое >Р
нение (8.10) запишем в выбранной системе координат в
cov — kvv (cos Д cos в + sin Д sin О cos <р) — "uc-^r (v + <W ■
+ ie [Ex sin 6 cos <p + Ey sin 9 sin qp + £z cos 6] vf = 0. (
84

я получения дисперсионного уравнения в явном виде необхо-
\о решить уравнение (8.21), по найденной функции v(0, ф)
НЬйСлить различные компоненты тензора проводимости с,7 и.
Ыдставить их в уравнение (8.18). Один из возможных способов
чцения уравнения (8.21) состоит в исследовании области, в ко-
'пой член k-VF мал. В этом предельном случае кинетическое
-авнение (8.21) можно решить при произвольной корреляцион-
ой функции ф(р, р'). т. с. без ограничения каким-либо набором
аоам"етров ^ д,\ы используем именно этот способ, позволяю-
ий рассмотреть влияние ферми-жидкостных эффектов в пре-
ельном случае длинных волн.
Используя явные выражения для сферических функций Ylmy
равнение (8.21) можно записать так:
©V
— { kvF[i y\J~T (Yn ~ Yi.-J sin A ~" l Л/Т" F'°cos Л J
~mc-^,}(v + 6ei) + e^J^-vF[Ex(Yu_l-Yu) +
+ iEy (F„ + yIt_,) - V2 EzYl0] = 0. (8.22>
ыраженис для плотности электрического тока в рассматривае-
ом случае записывается, согласно (7.26) и (8.5), следующим:
бразом:
J =wJ-*TV <* + *•>• (8-23)
де интегрирование ведется по направлениям вектора vf. зада-
асмого углами 0 и ф. Используя соотношения (8.8) и (8.9), для
роекций вектора j получим из (8.23) следующие выражения:
i е2рр / 2л
ix^i^w Л/т*1 + л'>^- v».->)«
e~p| /~2~гГ
^■sfVtI' + ^^i + ^J. (8-24>
ie2p% 1~Ш
ензоп ом' для нахождения плотности тока, а значит, и
азток ПР0водимости необходимо знание коэффициентов vim
ки'м фу'ШЯ ФУнки-ии v(0. ф)> определяемой (8.22), по сфернче-
иями nn'nH3^e>KaTb излишних трудностей, связанных с вычисле-
равлению ИСследовании распространения волн под углом к на-
аспростпя Магнитного поля, мы рассмотрим лишь случаи их
мнения поперек (k_LB) и вдоль (к || В) поля.
слУчае |{Ц|И|^10тРонных волн при поперечном распространении.
-"-В имеем Д = л./2, и из уравнения (8.22), представ-
85

ляя v и 6?i в вивд разложений (8.8) и (8.9), находим
£ { ю — [ikv¥ /\J— {Yn — YK _,) + mtocJ (1 + A,) ] У1тУы -f
i, m
+ ev> V"T t£* (F'.~' ~ F") + гТ^п + F'.-l) - V2 EzYl0\ =
(8.2
J множив обе части уравнения (8.25) на Y\m и проинтегриро (
по телесному углу, получим систему уравнений для величин
[ш — та, (1 + Hi)] vtm — kv* £ С/'~'(1 + А г) viw +
l', m'
+ evF Д/з \Ex {bm,-\ — 6m,i) + iEy (6(„, i + 6m,_i) —
-V2£26m,oJ 6/1 = 0, (8.2
где коэффициенты С1ш определены соотношением
и могут быть выражены через хорошо известные в теории уг,
вого момента коэффициенты Клебша — Гордана. Существен!*
что величины С\'™' отличны от нуля только при /' = /+ 1, т
= т± 1. Таким образом, в системе (8.26) оказываются свя а
ными друг с другом лишь величины v;m, у которых одинако-
четность суммы индексов 1-\-т. В силу отмеченного свойст
коэффициентов С{^"' из (8.26) следует, что компоненты тензо
проводимости в рассматриваемой геометрии удовлетворяют ус.-,
вню алг = суг = агх = агу = 0. Чтобы убедиться в этом, по.)
жим Е = (0, 0, Ez), тогда при к = 0 из (8.25) следует, что v~5
Наличие члена с kvv приводит к связыванию со сферически'
гармониками более высокого порядка. При этом значения I и
меняются на rbl, так что сумма 1-\-т не меняет своей четное'
Поэтому в случае Е || В отличными от нуля оказываются 1й'
коэффициенты v;m, у которых / + т — нечетное число. Анал
гично для случая Е _L В отличны от нуля лишь коэффицие
разложения v;m с четным значением суммы / + т. Из выра
ний (8.24) тогда следует, что при Е || В выполняется условие jl
а при EJ_B имеем j_LB, т. е. указанные компоненты тензе
проводимости действительно равны нулю.
Общее дисперсионное уравнение (8.16) распадается в р
сматривасмом случае на два независимых уравнения, отвеч*1
щих полям Е || В и EJ_B. Волна, в которой Е || В, называе*
обыкновенной волной. Она является чисто поперечной, а дисП
снонное уравнение дтя определения частоты, как следует
(8.16), имеет вид г
е2г = с2&2/ю2. (8'
85

аЯ волна, у которой Е ± В, — необыкновенная. Она
отдается от обыкновенной тем, что не является чисто поперечной
,,а жет иметь продольную компоненту электрического поля.
" рассмотрим подробнее волну, описываемую уравнением
(8 27)- Поскольку для нее Ех — Ёу = 0, то уравнение (8.26), с
омошью которого необходимо вычислить величину azz,
приобретает вид
[(О — тСОс (1 + At)] Vtm — kvF 2] С\т (1 + Af) Vfm' =
I'.m'
= evF/\l
^■Ez6nbm0. (8.28)
Для вычисления плотности тока /z необходимо в соответствии
с (8.24) найти величину vio- Искомое выражение может быть
получено, если использовать (8.28) как рекуррентное
соотношение" между коэффициентами v;m и записать цепочку уравнений
для этих величин. Именно, положим в (8.28) /= 1, т = 0:
ото — kvF^C[o'{\ + At)vtm = evF л/-^-Ег. (8.29)
t, m
В силу свойств коэффициентов Ctm величина v10 оказывается
связанной соотношением (8.29) с v2i и \% -\. Для этих величин
из (8.28) можно получить соотношения, связывающие их с \'ю,
V30, гэг» vs. -2- Последние с помощью (8.28) связываются с
коэффициентами vtm при более высоких гармониках и т. д.
Получающуюся цепочку можно схематически представить в виде
V2|
^2.
/V32
I-*v30
V4-
-2
rvT' -Д ^'ЭИ каждом переходе в реккурентном соотношении фи-
кто'^-еГ М110жктель kvp, так что гармоника п, т входит в возни-
щую цепочку уравнений только при учете членов в (8.28),
пР°порцнональных k«~K
предельном случае k->-0 из (8.29) для v0 имеем выражение
Димости°ВКа К0Т0Р0Г0 в формулу (8.24) для \г дает для прово-
iz ine2
°гг ~ Е, — т'ы •
87

здесь вместо рР мы ввели концентрацию электронов п. Для ди
электрической проницаемости при k-^-0 соответственно имее
гг р/
При конечных k зависимость \'ю от волнового числа и частот
определяется, как следует из (8.28), безразмерными параметр .
ми Al'f/o)c и ю/о)с. Поэтому в общем случае выражение для о г
будет иметь вид
о-гг(/гсо) = __:ф(-_Lt _), (8.30)
ггч ' та V ©с ©с/ '
где функция Ф удовлетворяет условию Ф *■ 1. Выражение
для егг запишется как
о; / kvB ш \
егг(М = 1--^ф(^. -).
Таким образом, егг, как и указывалось, действительно содержит
большой множитель ч>1/а>2, что позволяет вместо (8.16) исполь
зовать (8.18). В нашем случае вместо (8.27) можно использо
вать уравнение
оггг = 0, (8.31)
что означает в соответствии с (8.30) U)(kvF/a>c, о)/о)с) = 0. Ины
ми словами, мы еще раз убеждаемся, что обращение тока в
нуль возможно лишь при учете зависимости огг от к, т. е. эффее-
тов пространственной нслокальностп проводимости электронной
жидкости.
Из условия (8.31) следует, что для нахождения спектра рас
сматривасмых циклотронных волн достаточно исследовать
систему уравнений (8.28), полагая в ней vio = 0 и отбрасывая
одновременно член, содержащий Ег. Это означает, что спектр
циклотронных волн, вообще говоря, не совпадает со спектром
собственных колебаний системы. Последние определяются
решениями системы уравнений (8.28) при £г = 0, однако vio^O
В квадратичном по k приближении это различие касается толь
ко колебаний с частотой вблизи собственных частот со2ш-
Действительно, для колебаний с частотой, близкой к о»/т, основное
слагаемое есть vtm. При этом в силу свойств коэффициенте
С1ш выражение для частоты с точностью до k2 получается при
учете, кроме \ч„„ лишь членов с v,_i, m±] и vi+i,m±u так что
для / > 2 слагаемое с v10 не входит в соответствующее диспер
сионнос уравнение. Таким образом, при / > 2 из (8.28) для ча
стот цикчотронных волн можно получить выражения, справед
ливые с точностью до k2:
v>lm{k) = nwe{l + Ai) + fiimk\ (8.32)
88

Язесь коэффициенты |3;m определены соотношением
Р'т_~шс Zj / m(l+Л,)-m'(!+>!,,) ' l°- °;
-,1'т'
ать что в развернутой форме выражение (8.33) записывается
Испочьзуя явные выражения для величин Ctm , можно
показать,'4™ в развернут™ ••— — - '° Q^ -—•• —
следующим образом:
1 4 X+Ai [l + Ai-\\ (f-l+m)(/ + m)
(/ - 1 - т) (I - т) "J 1+Лг-И Г (? + 1 - т) (I + 2 - /и)
_ (^+l+m)(/ + 2 + w) I) ,R o4^
В предельном случае Ли-»-О, т. е. в отсутствие ферми-жид-
костных эффектов, все коэффициенты р*т равны нулю. Это
означает, что для колебаний с I > 2 коэффициент при квадратичном
члене в дисперсии отличен от нуля только благодаря эффектам
межэлектронного взаимодействия, будучи равным нулю в
модели электронного газа.
Для колебаний с 1=2 возникает отличие от случая />2
в силу того, что основное слагаемое v2m, отвечающее этому
случаю, связывается с \'ю- Поскольку л>ю полагается равным нулю,
то коэффициент при квадратичном по k члене в дисперсии
получается для этого случая, если в (8.33) положить / = 2, а в
сумме по /', т' отбросить слагаемое с /'=1, т' = 0.
Соответствующее выражение для частоты циклотронных волн может
быть с учетом (8.32) и (8.34) представлено в виде
( 1 + А» k2vl
t. 140 <£>с
v Г (3-w)(4-m) (3 + m)(4 + m) 1 \ (R o^
^Ll + mA2-lm-l)A3 l-mAt + (m + l)As\r K f
При Лг->о формула (8.35) переходит в выражение для частоты
обыкновенной циклотронной волны в электронном газе,
порождаемой резонансом на основной частоте сос:
"2т-
L Ю <£ У
= тю„ 1 гг- , т = ±1.
в обЗКИМ обРазом. эффекты межэлектронного взаимодействия
элект30™ длинных волн снимают вырождение, характерное для
того Р0^Н01'° газа, в котором со/т = ыит для всех / и V. Кроме
Персия е Высоких модах колебаний (/>2) появляется дис-
Типа k2. С помощью этих результатов были интерпрети-
8?

3
г
i
о
7,2 %к
рованы данные экспериментов. На рис. 8.1 показаны результаты,
относящиеся к распространению циклотронных волн в кали**
вблизи первой гармоники для Е || В (точки— данные эксперт*,
меита, сплошные кривые — теоретический расчет при разных
значениях А2 в теории Ландау — Силина). При этом расщепле
нке мод не наблюдается, по-видимому, из-за малости эксперт
ментальных значений о>ст и Ап, Имеется, однако, заметный сдви
предельной частоты в сторону более вы-
сокнх полей относительно <ос- Для калия
данные экспериментов хорошо
согласуются с дисперсионной кривой моды со^,
если в (8.35) положить Л2 ^ —0,03.
Данные по сдвигу предельной частоты
вблизи второй гармоники (со = 2<ос) дают для
величины As оценку |Лз|<0,01.
Использование более высоких частот и более
чистых образцов (большие значения
о)ст) позволило бы в принципе
определить значения параметров Ап для п > 2
по сдвигу предельных частот,
отвечающих более высоким модам колебаний.
Учет этих параметров вносит малые
поправки к явлениям, существующим при распространении цикто-
тронных волн в перпендикулярном к магнитному полю
направлении в отсутствие ферми-жидкостного взаимодействия.
Распространение волн вдоль направления магнитного поля.
В системе взаимодействующих частиц имеется также набор
длинноволновых электромагнитных воли, распространяющихся
вдоть вектора постоянного магнитного поля (к || В) в окрест
ности резонанса оз = озс. Они представляют интерес, иоскодьк)
в отличие от рассмотренных циклотронных волн при k_LB эти
моды не существуют в отсутствие ферми-жидкостных эффектов.
При рассмотрении волн, распространяющихся вдоль вектора
магнитного поля, исходим из уравнения (8.22), полагая в нем
Д = 0: _
cov + * ( Д/з kv?Y\b + ©с -g^J (v + te|) +
+ е VlT °F t(£* + Шу] У«. -i - (£* ~ 1Еу] Г" ~ V2 EZY
шс/ш
Рис. 8.1.
ю;
0.
Отсюда для коэффициентов \чт разложения функции v по сф^
рическим функциям аналогично (8.26) находим
[©-тшсО + Ai)]vim — kvF £ uliml\ + Ar)vrm- +
/2я
Г, т'
+ evp V"F ^Е* + iEy* Ьт> -1 ~~ (£jc ~ iEytб*.!"" ^2 £«6moI
(8.36
90

Здесь коэффициенты Di,n определяются разложением
i'\]irYitfim= £ Dl&'Yt.m>. (8.37)
/', т'
Л'т*
Величины Dim отличны от нуля только при m' = mtl —/±:1,
причем ненулевые коэффициенты имеют вид
1+1. m Г (t + D2-m2 V/2
7'm'
Б силу этих свойств величин /)/m коэффициенты v/m с
разными значениями т в уравнении (8.36) не связываются друг с
другом. Отсюда прежде всего следует, что колебания с |ш|^2
не "возбуждаются электрическим полем, а собственные частоты
таких колебаний могут быть найдены так же, как и результат
(8.32). Именно, при |/п|^2 дня частот колебаний с точностью
до к2 можно получить выражения
^«-^cO + ^ + P'lm*2- (8-4°)
4 гпП + ;4i) П + А,,) I Dl,'tf P
где
г
Колебания с т = 0 соответствуют полю Ег- В этом случае
отлична от нуля только составляющая плотности тока jZt так что
}г = оггЕг. Дисперсионное уравнение для т = 0 получается
тогда из (8.15) и (8.17) в виде
8^-0. (8.42)
Око определяет спектр продольных плазменных волн,
распространяющихся вдоль магнитного поля. В случае k->~0
выражение для ег~ имеет, естественно, такой же вид, как и при к X В, т. е.
ггг = 1 — cdp/cd2.
Из уравнения (8.42) тогда находим cd2 = cd~, что соответствует
Длинноволновым плазменным колебаниям, свойства которых не
3аВяСЯТ-0т ФеРми_жВДкостного взаимодействия.
_^аиболыиий интерес представляют колебания, отвечающие
ван~ " ^лектРнчсское поле этих волн циркулярно поляризо-
вб °; так что ЕХ = +1ЕУ, При т = ±\ колебания с частотами
СКи 'зи 0)'т для />2с точностью до k2 не связаны с элсктриче-
сы ' ПОлем, так что их спектр, как и спектр мод с т ^ 2, опи-
КаТСЯ фоРм>'лой (8-40)-
предстК и ПРИ поперечном распространении, мода cd2i (/==2)
анаюгпЛЯСТ ос°бый случай. Дисперсию этой моды можно найти
!чно тому, как это было сделано в случае k_LB. С этой
91

целью достаточно приравнять к нулю vn — амплитуду первой
сферической гармоники в разложении для v, что отвечает
обращению в нуль плотности тока. В результате для частоты
колебаний можно, учитывая (8.40) и (8.41), а также формулы
(837) — (8.39), получить следующее выражение:
©21 (k)
-О + Аф + £?»£&■ «МЧ
О)с/о)
а^-0,03 ложение
нм
Как в выражении (8.40), так и в (8.43) коэффициент при
квадратичном по k члене расходится в пределе Ai^-О. Это
отражает то обстоятельство, что при Л/ = 0 уравнение (8.36)
дает непрерывный спектр для | со zfc m<oc| ^ kvP> отвечающий
бесстолкновительному затуханию волны вследствие
циклотронного резонанса. С формальной точки
зрения решения (8.40) и (8.43)
получены как результат разложения
проводимости в ряд по параметру
AiW|g> — ттс\' При о> = щсос это раз-
несправедливо. Отличие Ai
от нуля сдвигает частоту резонанса,
так что при достаточно малых k бес-
столкновительное затухание исчезает
и становится возможным
распространение волн. Сходная ситуация имеет
место в явлении распространения
спиновых волн в ферми-жидкости. Мы
уже рассматривали этот вопрос
применительно к нейтральной
ферми-жидкости.
Волна, дисперсия которой определяется соотношением (8.43),
является наиболее важной для случая малых значений Ап
(п ^ 2), который представляет интерес с экспериментальной
точки зрения. Эта мода является единственной, когда Л„ = 0
при п > 2, а А2Ф0. В последнем случае решение кинетического
уравнения Ландау—Силина может быть найдено в замкнутом
виде при произвольном, не только малом, значении k. Поскольку
в реальной ситуации Ап при п > 2 действительно являются
малыми величинами, такое приближение может быть весьма
хорошим. Результат этого рассмотрения позволяет определить
предельное значение kt при котором |о> — <Oc\ = kvF, так что
становится возможным черенковскос взаимодействие волны с
электронами. При малых значениях Л2 волна существует лишь в
области малых k. Зависимость m\(k) показана на рис. 8.2.
Заштрихована область, где отлично от нуля бесстолкновительное
затухание.
В заключение отметим, что пренебрежение столкновениями
для рассматриваемых колебаний оправдано, если выполнено
92

условие
|Л2(ост|> i. (8.44)
Соотношение (8,44) означает, что указанная мода может
хорошо наблюдаться лишь при очень больших значениях о>ст в
длинноволновой области, где отсутствует бесстолкиовительное
затухание.
Задания
1. Убедиться в справедливости соотношения (8.2).
2. Получить систему уравнений (8Л5).
3. Проделать все выкладки при получении системы уравнений (8 26).
4. Получить выражение (8 32).
Лекция 9
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
В ПАРАМАГНИТНЫХ МЕТАЛЛАХ
Экспериментальное обнаружение спиновых волн в
неферромагнитных щелочных металлах, находящихся в магнитном поле,
явилось первым эффектом, отчетливо продемонстрировавшим
качественное отличие электронов проводимости от газа. Именно
взаимодействие между электронами, приводящее к зависимости
энергии квазичастиц от их распределения, обусловливает
возможность существования в электронной жидкости таких
коллективных возбуждений, какими являются спиновые волны.
Теория спиновых волн в вырожденной электронной жидкости
нормальных металлов основывается на уравнениях Максвелла и
кинетическом уравнении для функции распределения квазича-
«тиц. Мы рассмотрим результаты линейной теории спиновых
волн, в рамках которой колебания спиновой плотности в
фазовом пространстве о(р, R*) либо совсем не связаны с
колебаниями функции распределения квазичастиц f(p, Rf), либо эта
связь оказывается слабой в силу малости отношения спинового
Расщепления уровней энергии электронов в магнитном поле
энергии Ферми, так что указанной связью можно пренебречь.
3 д Дальнейших рассуждений будет в целом аналогичен исполь-
ми анномУ ПРИ рассмотрении спиновых волн в нейтральной фер-
г -жидкости, находящейся в магнитном поле (см. лекцию 6).
равное отличие от нейтральной жидкости связано с влиянием
част^ИТН°Г0 Ополя на орбитальное движение заряженных квази-
яИц;~ Действием силы Лоренца. Одним из существенных про-
В0ЛнНии такого^ влияния становится зависимость частоты
спиновых колебаний в заряженной жидкости от направления их
93

распространения. Б нейтральной фермп-жидкости такая
зависимость отсутствовала.
В соответствии со сказанным будем пренебрегать
возмущением функции распределения квазичастиц /(р, R/)» полагай
/(р, R/) = [0, где /о—равновесная ферм невская функция распре
деления, зависящая от импульса только через энергию ею(р).
Сшшовио тотиость в фазовом пространстве представим в виде
0(Р, RO = ao(p) + 60(pf ВД, (9.1)
где 6о—малая неравновесная добавка, описывающая отклоне
кие спиновой плотности от равновесного значения оо(р)- Анало
гично запишем п выражение для квазичастичной энергии:
^ (Р, R0 = е20 (р) + 6е2 <р, Ш). (9.2)
Величина е2о описывает спиновое расщепление уровней энергии
квазичастицы в постоянном магнитном поле В и выражается
формулой 82о==—V^» r^e V — эффективный магнитный момент
квазичастицы (3.27). Соответствующая этому спиновому рас
щеплению спиновая плотность есть
°о(р)=#-е
де
-2о-
Используя соотношения (9.1) и (9.2), линеаризованный
вариант кинетического уравнения (7.23) можно записать
следующим образом:
^ + ('"аг+т1»хв|"£)(«—-£..,) +
+ £[»х0-£*-)]-(тг)..- (м
Здесь v = де\о/др. Что касается величины бег» то, как следует
из выражения (7.9), имеет место соотношение
бе,(Р, R0 РвВ+J -]0щг Ф(р> р')6а(р', R/). (9.4)
Переменная составляющая магнитной индукции 6В
удовлетворяет уравнениям поля:
div6B=^0,
rot вВ = 4я rot P J -j^ISp- ба (р, R0.
В последнем уравнении пренебрежено током смещения, который
мал при сравнительно низких частотах, характерных для ens-
новых волн.
Уравнения (9.3) и (9.4) совместно с уравнениями ноля со
ставляют основу теории распространения спиновых волн в эллк
тронной жидкости. Имея в виду случай достаточно низких
температур, будем полагать, что главным механизмом, формирую
94

щпм интеграл столкновений (d6o/dt)c7, является рассеяние на
примесях. В указанной ситуации явное выражение для
интеграла столкновений может быть найдено аналогично тому, как было
получено выражение (7.34). Особенностью рассматриваемого
случая является необходимость различать процессы рассеяния
с" переворотом и без переворота спина квазичастицы. С учетом
этого обстоятельства интеграт столкновений можно запасать
в виде
Здесь та и т(х) характеризуют релаксацию импульса и
определяются формулой (8.7), а Т определяет время переброса спина.
В последнем легко убедиться, проинтегрировав выражение (9.5)
по импульсам. Результат такого интегрирования:
Г dp (д 6а \ 1 Г dp Г df,
(2яА)-
(тг)„—г тйг ""»-&*■*>
что соответствует релаксации спиновой плотности к
равновесному значению с характерным временем Т.
Если орбитальное рассеяние изотропно, так что % не зависит
от угла % между ри р', то т(%) = то, и интеграл столкновений
(9.5) совпадает по структуре с использованным нами ранее при
обсуждении спиновых воли в нейтральной фермн-жидкости.
Вместо функции 6а удобно ввести величину v согласно
соотношению
6о(р, Ъ) = -%-х(р, R0-
При этом из кинетического уравнения (9.3) с учетом выражения
Для интеграла столкновений (9.5) находим
f+ (vF-^- + coc^)(v+6e2) + ^[BX(v + 6e2)] =
* - (i+т) <v + б^> + \ I1 тш[v {8'> ф,) +бв2 (8'' ф')]-
(9.6)
Равнение (9.6) записано в системе координат с полярной осью
' НапРавленной вдоль вектора магнитного поля В. При полу-
ии этого уравнения учтено, что в силу dfo/дг ж —2б(е — £f)
^- кция v зависит, кроме R и /, только от направления импульса
-.задаваемого углами 8 и <р; vF — скорость квазичастицы на
^^-поверхности.
95

Условие замыкания (9.4) с использованием функции v
записывается как
бе2 = - рбв + $ -g- В (х) v (Q'), (9.7)
где В(%)—■ зависящая от угла % между направлениями Q и Q
спиновая часть корреляционной функции Ландау—Силина,
описывающей взаимодействие между квазичастицами.
Для возмущений, зависимость которых от координат и
времени имеет вид exp(ik-R— Ш), из уравнения (9.6), используя
систему координат, показанную на рис. 6.1, имеем
cov — \kvp (cos A cos 9 -f- sin Д sin 0 cos ф) — /cuc-^—I(v+ 6e2) +
+ ^[BX(v + 6B2)] = ~-f(v+6e2)-
~l X (ir ~ чг){Хш+ЬЧы) Уш (G> ф)- (9-8)
I, m
Здесь xi определяется разложением т(х) в ряд по полиномам
Лежандра, a \im и бег/т — коэффициенты разложения
соответствующих величин по сферическим функциям. Уравнение (9.7)
дает для последних соотношение
ЬЧш = - РбВб/обт0 + Вы,п, (9.9)
в котором Bi — коэффициенты в разложении (7.12)
корреляционной функции в ряд по полиномам Лежандра.
Рассмотрим сначала собственные частоты и собственные
функции уравнения (9.8), пренебрегая неравновесным
магнитным полем, а также пространственной неоднородностью
возмущений. Полагая k = 0, из уравнения (9.8) можно с учетом (9.9)
лолучить для составляющей vz и циркулярных компонент v* =
= vzdtivy следующие уравнения:
G>VZ + Шс -^ (Vz + вб,2) = — -J (Vz + б82г) —
~/E(^~^)(1+^)v^y^^ ф)> (9Л0)
1,т
wv±- + (Ч -$£ + "о) (v* + бе?) = - -f (v- + fie*) -
-1Е {ч; ~ v) (1 + Bl) vfJlm (e' ф)" {9Л1}
где 6г~ = 6г2х ± /6е2 , ш0 — частота спинового расщепления,
определяемая выражением (6.11). Нетрудно видеть, что
решениями уравнений (9.10) и (9.11) яшяются сферические фунь
ции, т. е. v ~ Yim. Выражения для соответствующих собственны4
96

частот получаются в виде
cof^^-i,-/^ - J-)](l + Bl). (9.12)
Чт
lm
[nmc±%~lr-i(±-±^i+Bl). (9.13)
Зхп формулы определяют значения частот спиновых волн при
£-*0. При / = 0 и т = 0 из выражения (9.13) имеем
«£
(±(o0-4)(l+B,) = ±«s-/^-, (9.I4)
где о)./— частота спинового резонанса для свободных
электронов, описываемая соотношением (6.17). Таким образом,
предельное значение частоты указанной ветви колебаний не
зависит от эффектов междуэлектронной корреляции, а мнимая часть,
характеризующая ширину линии спинового резонанса,
приобретает множитель 1 + />о, что при В0 < О соответствует сужению
резонанса. В этом отношении ситуация вполне аналогична
рассмотренной в лекции 6.
Существенное отличие выражений для частот (9.12) и (9.13)
от соответствующих выражений в случае нейтральной ферми-
жидкости связано с зависимостью этих частот от азимутального
числа т\ снимается имевшее место в нейтральной жидкости
вырожчепне. Это обусловлено действием силы Лоренца.
Влияние магнитного поля на орбитальное движение чаепщ в случае
колебаний с ш = 0 проявляется в слагаемых, описывающих
дисперсию частоты, которая имеет место при конечных значениях
волнового числа k. Мы рассмотрим этот вопрос на примере ветви
колебаний с предельным значением частоты (9.14). Эта ветвь
представляет особый интерес в связи с тем, что она отвечает
^кетериментально наблюдавшимся спиновым волнам в
щелочных металлах.
Множим обе части уравнения (9.8) па У'0о и проинтегрируем
п° телесному углу. В результате получим для величины v^
соотношение
X ! v,4. cos Л - Л""*?--1 Sin \ ) = 0. (9.15)
Т01я На*ождения частоты колебаний с точностью до k2 доста-
Но определить величины vj1^ с линейной по k точностью. Со-
Чит^ТствУ1ощие выражения, как уже говорилось, можно пол>-
' сслн уравнение (9.8) домножить на Ylmt проинтегрировать
7 А.
Кои-фатьев, А. Е. Куч

c v-u.
по углам, после чего в слагаемых с kv\- сохранить лишь член^
Он*
[со-(<о0+шсос-^)(1 + В,)]л7;,-г
kvu-
V3
(1 + B0)[6„i0cosA-(6Im-6_lim)^] v(b= 0. (9.
16.
Здесь введено обозначение: х~ ' =-Т~1 + т"1—т~!. Используя
соопюшеиие (9.16), имеем
Ax'p cos А
*у V3 V °-' со - (o)0 - ifr) 0 + ZJ,) w'
feyK sin л
J i y6 ^ °-' со - (o)0 + ®c - //t) (l + Д i) UJ
£yR sin \
Подставляя выражения (9.17) в уравнение (9.15), получим
дисперсионное уравнение:
9 ■>
1 + В* k-vb
<*_<*,+i —_l_-JL(l+B0,O+Bi)X
v f ^os2^ j
i [со — (<й0 — i/т) (1 -I- B,)] sing A 1 __ n ,Q .g-
"^ [to - (coo - i/t) (1 + B,)]8 - [coc (1 + Я1)]2 J l
Поскольку член с &2 является малым, для нахождения частоты
достаточно подставить в фигурные скобки вместо со величин»
,о5 — £\1 ~\-В0)/Т. В результате после некоторых преобразова и
из (9.18) находим
-in ,2 2
1 4- Br, Ьр
(0 = (Ds-X-^+-r1(l+Bo)(I+B|)X
х{
3
cos2A
©о(Во-^1)-Ь/(1+В1)/х '
4- [о)о (Во - ДО + / (1 + £i)/t] sin2 А ) q ш
~*~ t<Oo(B0-BI) + /(l+«1)/T]2"[o)c(l-b^i)]2J* l
При получении (9.19) мы использовали то обстоятельство, что
в реальной ситуации справедливо неравенство Т ^> т.
Основное отличие выражения для частоты спиновых волн h
электронной жидкости (9.19) от соответствующего выражснй»
для нейтральной ферми-жидкости (6.40) заключается в напнчн*
слагаемого с <ос "в (9.19), описывающего влияние магнитно^
поля на орбитальное движение квазичастиц. При сос->0 (зар*
«астицы стремится к нулю) (9.19) переходит, естесгвенио, f
93

f640)t поскольку в этом случае коэффициенты перед cos2A и
cjri2A в (9.19) становятся одинаковыми, и частота волны пере-
" ает зависеть от направления распространения.
Как и в нейтральной ферми-жндкости, характер возмущений,
описываемых соотношением (9.19), существенно зависит от
относительной роли эффекта межэлектронной корреляции,
описываемого параметрами В0 и Ви и эффекта столкновений,
определяемого временем релаксации импульса т. В случае
>£0— В\ |о)от <С 1 групповая скорость волн с частотой (9.19)
оказывается мнимом, что соответствует диффузионному расплы-
чаипю возмущений, причем выражение для коэффициента
диффузии D получается при 5/—>-0 в форме-
Зависимость выражения (9.20) от угла А указывает на
анизотропный характер диффузии, обусловленный магнитным полем.
При наличии эффектов взаимодействия и достаточно большом
значении т, когда \В0—Б]|о)от^> 1, групповая скорость,
согласно (9.19), становится вещественной, что и отвечает возможности
распространения спиновых волн.
Нели волновой вектор к направлен вдоль постоянного
магии гного поля, требование относительно большого значения т
приводит к условию
<^Ц^>1. (9.21)
Что касается щелочных металлов, то измерения статической
магнитной восприимчивости в Na ^ают Ви ж —0,2. Это означает, что
значение шлт должно быть несколько больше 20, чтобы условие
(9.21) выполнялось и спиновые волны были хорошо
определенными возбуждениями.
Обнаруженные на опыте спиновые волны соответствуют
частотам, близким к частоте to.v спинового резонанса электронов
проводимости. Поскольку при этом условие (9.21) выполнено, то
зависимость частоты от волнового вектора может быть, как еле-
Дует ил (9.19), представлена в виде
0fk) = a>4[l—A^tk)], (9.22)
гда „ м _ * c + nh■+»■> i^i, „од
3(0" Вь-Вх Л-1
,1 __ <] +^Н1 + Я?> Юг"1*
Вп — Вх 05
Из
*-\* (9.24)
' выражении (9.24) непосредственно следует, что для неза-
* Генных частиц (шс-^0) /1=0. В результате величина а(к),
д '^^ляемая соогиошеннем (9.23), перестает зависеть от угла
Для электронной жидкости .зависимость от угла Л является
7*
99

&=90°
существенной и позволяет получить дополнительную эксперт
ментальную информацию о параметрах ферми-жидкостного
взаимодействия Bt. При Д = 0 (к || В) зависимость со(к)
совпадает с соответствующей зависимостью при Л =0. При этом для
щелочных металлов (Na, К) коэффициент а положителен. По
мере увеличения угла Д дисперсия волны становится все более
слабой, и при некотором значении угла Д=ДС коэффициент
при k2 в (9.22) обращается в нуль. Этот угол определяете
условием
^cos2Ac=i. (9.25)
При Д > Дс убывающая зависимость со (к) сменяется
возрастающей, как показано на рнс. 9.1.
Эксперимент, в результате которого были обнаружены
спиновые волны в неферромагнитных металлах, аналогичен опытам
по наблюдению селективной
прозрачности металлических пленок,
обусловленной спиновым
резонансом электронов
проводимости. Обычно в таких
экспериментах имеет место следующая
физическая картина.
Электромагнитное иоле резко убывает в
малой области скин-слоя. Именно
в скин-слое спиновый момент
электронов проводимости
оказывается ориентированным под
действием падающего СВЧ-поля.
Электроны с ориентированным
спином диффундируют из скин-
слоя в толщу металла.
Поскольку время релаксации спина (Т)
велико, то намагничивание,
обусловленное ориентированными спинами, диффузионно
распространяется в глубь металла на расстояния, много большие гл\-
бины скин-слоя. Поэтому при толщинах металлической пленки,
меньших (DT),/2 (D — коэффициент диффузии, определяемой
соотношением (9.20)), поле прошедшей волны практически Hv
зависит от толщины образца. Такая селективная прозрачность
металлической пленки в малой окрестности со = со* и
наблюдается на опыте. Ширина этой окрестности определяется
временем переброса спина Т.
Описанная картина селективной прозрачности имеет место
при малых временах релаксации импульса (т), когда спиновые
волны не существуют. С увеличением т возникает возможность
распространения спиновых волн, когда из области скин-слоя
намагничивание распространяется не диффузионно, а в виде воЛ
ны. Поэтому возникает увеличение прозрачности на частотах
пЛ 2nlL 5nlL
Рис. 9.1.
100

-пнновых волн. В пластине толщиной L возбуждаются при этом
стоячие спиновые волны (отвечающие волновым числам kn =
^пл/L. п = О, 1, 2, ...) в направлении, перпендикулярном
поверхности пластины. Таким образом, частоты со,,,
соответствующие линиям прозрачности, определяются условием
ffl«(A) = co(* = ftrt> Л), (9.26)
а угол Л в указанной ситуации — это угол между направлением
вектора поля В и перпендикуляром к поверхности пластины.
В результате в дополнение к обычной линии селективной
прозрачности при спиновом резонансе, отвечающей п = 0, имеет
место серия лниий с я=1, 2, ..., соответствующих спиновым
волнам. Зависимость частоты колебаний с данным п от угла Д,
определяемая согласно (9.22) и (9.26), приводит к соотношению
ш* W ~ <*s ^1 — 4 cos- \ (9 27)
Величина Л определяется, таким образом, по угловой
зависимости (9.27) или по углу Дс, при котором, как следует из (9.25)
и (9.27), линии прозрачности, соответствующие спиновым
волнам, совмещаются с основной линией электронного спинового
резонанса.
В эксперименте по прохождению излучения с заданной
частотой через пластину натрия было получено, что в магнитном
поле, параллельном поверхности образца (Л = 90°), спин-волно-
зые линии прозрачности (максимумы в зависимости
коэффициента прохождения излучения от ноля В) проявляются слева
от линии основного спинового резонанса, т. е. со стороны
меньших значений индукции постоянного магнитного поля. Это
соответствует отрицательной константе BG. При повороте вектора
постоянного магнитного поля в направлении нормали к
поверхности образца сиии-волновые линии сближаются с линией
основного спинового резонанса, а при угле Д = 69,5° все моды
сходятся вместе. При дальнейшем уменьшении угла между
направлением В и нормалью к поверхности пластины дополнительные
линии прозрачности проявляются в соответствии с георетической*
1ависимоетью (9.22) со стороны больших полей от основной ли-
ЙИЙ п = 0. Обработка экспериментальных кривых позволила
^Ределнть параметры В0 и Я,. Для натрия В0 ж — 0,22, В} ж
2^ 0.005. При таких значениях параметров В0 и В\, полагая
"~~0 при п ^ 2, удалось достичь превосходного согласия
^иериме-нтальных кривых с рассчитанными иа основе теории
в' ектРонной жидкости. Экспериментальное обнаружение спино-
ни* ВОлн в ц^'10,шых металлах явилось блестящим подтвержден
£ ем теоретических положений и предсказаний теории Ландау —
лнна для вырожденной электронной жидкости неферромагнит-
т Металлов.
101

Задания
1. Получить уравнения (9Л0) и (9Л1).
2. Проделать вмвоч выражения чли частоты (9Л9).
3. Получить формулу (9.27).
Л екци я 10
ФЕРМИ-ЖИДКОСТНЫЙ ПОДХОД
К ПРОБЛЕМЕ МАГНЕТИЗМА МЕТАЛЛОВ
Проблема магнитны к свойств вещества относится к одной из
самых сложных задач физики твердого гела. Причина этого
заключается в том, что магнетизм—это чисто квантовое явление,
которое не допускает корректного объяснения на языке
представлений классической физики. Кроме того, магнитные свойства
вещества не могут быть объяснены в рамках традиционного
однозлектронного приближения в теории твердого тела. Именно
взаимодействие электронов определяет структуру и свойства
магнитоунорядоченных систем. Поэтому с ферми-жндкостным
подходом связываются сейчас наиболее реальные надежды на
существенный прогресс в теории магнитоунорядоченных
металлов и сплавов, где формирование магнитных свойств
определяется коллективизированными электронами системы.
Первые попытки объяснения магнитных свойств металлов на
основе зонной теории были предприняты еще в 30-е годы, когда
Е. Стонер предложил простую модель, носящую ныне его имя.
В этой модели задолго до построения теории норма/плюй
электронной ферми-жидкости фактически возникло представление
об электронах ферромагнитного металла как о квазичастицах
электронной жидкости. Однако как оригинальное изложение
Стоиера, так и современные интерпретации его подхода
базируются на конкретных, сильно упрощенных модельных
представлениях об энергетической зонной структуре металла. В
отличие от теории Стонер а в современном фермн-жидкостном
подходе модельные представления не играют решающей роли
могут вводиться на разных этапах построения теории. Простое
этих представлений определяется исключительно
соображениями удобства и простоты вычислений.
Однозонная модель электронной жидкости. Основные нЧ#
применения ферми-жидкоетного подхода к изучению феррома*
нитного металла можно продемонстрировать, рассматривав
однородную изотропную электронную ферми-жидкость и я°т
ностью пренебрегая конкретными чертами энергетической зой
ной структуры кристалла. Благодаря спонтанной намагничен
ности ферромагнетик имеет в равновесном состоянии отличнУ
от нуля полный спин п магнитный момент. Обозначив едини4
102

нын вектор, направленный вдоль спонтанного магнитного \
мента, через т, запишем энергии квазичастиц электронной жп

момента, черсл ш, jduniuL'.M энергии квазичастиц электронной Ж!Ц*
ности, зависящие от ориентации спина относительно т, и
следующем виде:
ё (р/ а) = е0(р) — 2Ъ (р) s « т.
Рис. !0.!
рассматриваемой системы
(ЮЛ)
Здесь Ь(р) можно назвать обменным интегралом, так как эта
чегнчпна характеризует межэлектронное взаимодействие,
приводящее к возникновению магнитного порядка в системе; го(р)
характеризует не зависящую от спина часть квазичастичной
энергии. В соответствии с приведенным выражением энергия
ква.шчастицы ео спином, парад- А
лельным ni, равна р0(р)— 6(р),
а равновесная функция
распределения есть гц= п(го — Ь). У ква-
зпчастнцы с противоположным
направлением спина энергия
равна е0(р)+ Мр)» a равновесная
функция распределения есть
щ(е0 + Ь). Здесь п(г)
—функция распределения квазичастиц,
введенная в лекции 2. Одноча-
стгчную матрицу плотности для
можно записать в виде
/Пк 0 \ |
А(р, о) = [у1 /?|j-y(% + "v)/ + («A-^)s.m. (10.2)
Используя обычное выражение для корреляционной функции
f, описывающей взаимодействие квазичасгнц:
f(p, р0 = ф(р, рО + Жр, p')S-s*\ (И>.3)
можно установить связь между функциями *|(р; р') и Ь(р). Для
этого запишем выражения для вариации энергии квазичастицы
при повороте вектора m на угол бб. Поскольку при этом 6т =
— S6X in (рнс. 10.1), то длябг с помощью (10.1) получаем
be = — 2b (р) [т X sJ - 6»). (10.4)
^РУгой стороны, записав вариацию матрицы тотности в виде
6/1 = (п$ — щ) \т X s] • б<>,
'Учаем с помощью (10.3) такое выражение для Ьа:
Учтено, что sp'4 (s • s') s' = 2s,
103
3Аесь

Сравнивая выражения (10.4) и (10.5), приходим к соотно.
шению
ь (р)=" \ wф (р> р/) {щ (р,) ~л*(р,))- (10'6)
Потученное соотношение (10.6) позволяет установить критерий
возникновения ферромагнитного упорядочения в системе. Счц.
тая Ь{р)~~*~0, имеем
п+ — н* = /г (е0 - Ь) — /г (е0 + Ь) = — 21^ 6 (р).
Поскольку при нулевой температуре функции /г(е) представл :ет
собой обычную фермневскую ступеньку, то
пк — щ = 26 (е — 81) 6 (р).
Подставляя это выражение в (10.6) и используя разложение
для корреляционной функции \\ но полипомам Лсжандра,
находим
со
b (р) = - 2 \ (Щ TJ& £ <2,г + ! > ЯЛ(со5-/)6(е (//) - cF) Ь (р)
Отсюда следует:
I + В0 = 0, (10.7)
ибо именно при выполнении этого условия возможны
нетривиальные решения Ь(р)ф0 получившегося уравнения, которые
соответствуют установлению в системе спонтанного однородного
магнитного порядка. В лекции 2 условие 1 + В0 > 0 было
порчено как одно из условий устойчивости состояния системы.
Изложенная однотонная модель ферромагнитной электронной фер-
ми-жидкости до спх пор успешно используется при
теооет.песком изучении ряда свойств магнитных металлов, несмотря на
свой слишком упрощенный характер.
Магнитоупорядоченная электронная ферми-жидкоеть в дв}'<"
зонной модели. Реальные магнито\порядочсппые металлы таже
при рассмотрении их свойств в одноэлсктронном приближений
имеют весьма сложные, состоящие из нескольких энергетччес^
зон и сильно анизотропные электронные спектры. Весьма пр1'
чудливый вид имеет и найценная в результате выполненных ?
том или ином приближении численных расчетов одноэлектрой
пая плотность состояний. При этом результаты' расчетов ah
энергетических зон, так и плотности состояний оказывают^
весьма чувствительными к выбору используемого приближен^-
Поэтому для современного состояния феноменологической т<#
рпп магннтоупорядочениой электронной житкости ларакт^ ,(
104

модельный подход уже на начальном этапе построения теории.
Это связано, прежде всего, с имеющимся не очень большим
числом детальных экспериментальных сведений об энергетической
зонной структуре и форме ферми-поверхности. Так, при
построении теории электронной ферми-жидкости переходных d-метал-
лов приходится учитывать целый ряд особенностей зониой
структуры, связанных с наличием недостроенных 3d-оболочек.
Поскольку ^/-состояния в переходных металлах группы железа
лежат вблизи уровня Ферми, то З^-элсктроны вместе с
валентными 45-элсктронами коллективизируются и образуют сложную
ферми-жидкость квазичастиц — электронов проводимости.
В качестве простейшего приближения ее можно
рассматривать как смесь двух ферми-жидкостей с разными законами
дисперсии, соответствующих s- и tf-элсктронам. Ферми-жидкость
s-электроиов подобна электронной жидкости простых металлов.
Ее квазичастнцы практически полиостью коллективизированы,
имеют эффективную массу, близкую к массе свободных
электронов, а соответствующие волновые функции мало отличаются
от плоских волн. Квазичастицы ^-состояний имеют
эффективную массу, существенно превышающую массу свободного
электрона. Модулирующий блоховский фактор их волновых функций
сильно отличается от постоянной и сохраняет в себе в
значительной мере черты локализованной атомной ^/-функции.
Благодаря этому зарядовая и спиновая плотности в подсистеме d-элек-
троиов сильно локализованы.
При таком модельном подходе, разумеется, игнорируются
многие характерные конкретные детали энергетической стр^к-
туоыч и успех того или иного варианта теории фермн-жидкостн
при описании свойств металла определяется тем, насколько
удачным был выбор исходной модели. Обычно в отличие от
формулы (2.17) зависимость ферми-жидкостного межэлектронного
взаимодействия от импульсов на разных участках поверхности
Ферми для многих явлений оказывается достаточно
аппроксимировать дискретным параметром, характеризующим
принадлежность к той или иной энергетической зоне v, определенной
3 рамках однозлектропного приближения.
Коллективизированная система электронов проводимости
трактуется при таком подходе как смесь фермп-жидкостей
нескольких типов квазичастиц с произвольными н разными
законами дисперсии £Y(--iTi-d/dr) и разными магнитными
моментами pv. в конфигурационном представлении одночастнчную мат-
Пии-У плотности удобно записывать как <г', a'|f»v|rt a). В
зонной модели электронной ферми-жидкости часто можно
ограничиться простейшей аппроксимацией, описывающей межэлектрон-
30с нелокальное взаимодействие с помощью набора функций
^w(r-— г'). При этом выражение для эффективного гамнльто-
а|]а квазнчасгицы в v-н энергетической зоне записывается в
105

следующем виде:
«veev(-'ft£)-2pv£.B(r) +
+ Z S ^w <r - r'> SP' <r' I Pv I r'> +
v'
+ 4 sp' s ■ £' £ \ dr%v,(r - r')<r I pv,| r'>. (Ю.8)
Здесь <r|fiv|r'> понимается как матрица в спиновом
пространстве, <pvv, характеризует не зависящую от спинов часть
межэлектронного взаимодействия, а ф,—зависящую от спинов
(в смысле разложения (2.20)). Зависимость 1|\.*-# от г отвечает
так называемому неоднородному обмену.
Одноэлектронную матрицу плотности удобно представить в
виде разложения
(г', a'|pvfr, o)=6CtQ,%(rt r) + 2^,0-Gv(r\ г), (10.9)
где «v(r', г) н аУ(г\ г)—матрицы электронной н спиновой
плотности соответствен но. В обозначениях, принятых в (10.2), их
можно записать следующим образом:
\ ■** -■
nv = -j (пч + nVif), 2s • (TV = (лУд — л¥у) s - гл.
Рассмотрим основное состояние .магнетика с
коллективизированными электронами, описываемыми соотношением (10.9).
считая, что для электронов можно использовать фермиевское
распределение по энергетическим уровням. Для простоты основное
состояние системы считается пространственно однородным, хотя
это предположение и не является необходимым. В качестве
набора квантовых чисел, характеризующих электронные состояния
в v-й энергетической зоне, берем импульс р и проекцию спина
электрона. В этом случае для равновесного состояния имеем
(г\ о' | pv! г, о) = 6аа, J -j^ nvo (р) exp [j- р (г - г')] -
Здесь но о нет суммирования, a nxtj = n(ev(p9 о)) соответствует
собственным значениям гамильтониана (10.8) для
пространственно однородного состояния, когда кулоновское поле
электронов компенсируется полем решетки. Аналогично соотношению
(10.1) можно записать
£v (Р> о) = ev (р) — oby (р) = е¥ (р) — у cQv (Г).
Здесь o = d:I, a ev(P)—собственное значение ev(—ih-д/дг).
Система уравнении для величин bv получается при
подстановке приведенных соотношений в (10.8) н при наличии
постоим

янного однородного магнитного поля В, направленного по оси г;
0ца имеет такой вид:
К - М* - Z 4'w(°) \ S^- [n (<v (р) - м - «(V(р) + Ml-
(10.10)
функция 4'VV'(0) соответствует фурье-образу
Ч'V4, (k) = J dnj;vv, (r) ехр (- (к ■ г)
при к = 0. Подчеркнем отличие выражения (10.10) от формулы
(10.6), где if(p, р') фигурировало под знаком интеграла по р".
Ненулевые решения системы уравнений (10.10) в отсутствие
внешнего магнитного поля соответствуют спонтанному
нарушению симметрии, когда в системе возникают спонтанные
магнитные моменты электронов различных зон:
м*s S jSrAU (p)=p* \ i&w (,iv* ~ "•*)•
Условие разрешимости системы уравнений (10.10) определяет
критерий магнитного упорядочения. Рассмотрим случай слабого
магнетика, когда энергия спинового расщепления hQx = 2bv
мала по сравнению с энергией Ферми ?v. Для кинетической
энергии электронов используем простейшее приближение
изотропной кристаллической эффективной массы:
cv(p) = ev(0) + -£;- (10.11)
Как следует из (10.10), энергия спинового расщепления уровней
зависит от температуры. Подставляем формулу (10.11) в
систему уравнений (10.10) и вычисляем интеграл по импульсу,
считая тепловое размытие фсрмисвских функций распределения
малым. В результате система уравнений (10.10) для слабого
магнетика принимает виц
0,(r)-a„-^Q,(r)fi„.ri-'Mi'-,rf:'U"f''1. (.0.12)
£е ^Sv = 2pv£, eFv = eF-Ev(0). BV¥.=-VV¥.(0)(2//t>Fv),/s/(^'3)-
P случае, когда магнитные свойства системы опрецсляются
'^ектронами одной энергетической зоны (BVV' = Вп), в отсут-
ст&ие магнитного поля из системы уравнений (10.12) следует
аналог критерия ферромагнитного упорядочения (10.7): #0=—1-
Для слабого ферромагнетика должно быть также выполнено
-С'Ювне |l-f-Bol^:l, При реализации указанных условии из
- Равнений (10.12) в случае абсолютного нуля температуры
1П7

следует равенство
/iQj(0) = 4 V6 [eF-eo(0)](l + 1/Д,)"4,
а температурная зависимость энергии спинового расщепления
определяется формулой
оЛГ) = оо(0)[1_(^)2]1«. (10Л3)
Поскольку ilo(T) пропорционально спонтанному магнитному
моменту электронов, то при хТ > Л£20(0)/(2л) магнитное
упорядочение в системе невозможно. Между тем термодинамически не-
выгодным магнитоупорядоченное состояние системы может
оказаться уже при значительно более низких температурах в
результате различных тепловых флуктуации, в частности из-за
температурного возбуждения спиновых волн. При температурах,
низких но сравнению с температурой магнитного фазового
перехода, предыдущая формула переписывается следующим
образом:
Oo(r) = Qf)(0)[l-2(1igr)2].
Рассмотрим теперь случай, когда магнитные свойства
системы определяются электронами двух энергетических зон. При
этом система уравнений (10.12) при абсолютном нуле
температуры имеет нетривиальное решение при выполнении условия
(\+Bss)(\+Bdfi)-BsdBds = Q.
ОгсюДа следует, что в отличие от однозонной модели в
рассматриваемом случае магнитное упорядочение в принципе возможно
при разных знаках параметров ферми-жидкостного
взаимодействия 4rw'- При этом в системе оказываются возможными
разные типы магнитного упорядочения: ферромагнитное,
антиферромагнитное, ферримагнитное и даже нсколлннеарные
магнитные структуры, для реализации которых, правда, необходимо
наличие более двух энергетических зон.
Рассмотрим последовательно различные возможные случаи.
Ислн недиагональные элементы Bds малы, то соответствующая
двухзонная модель принципиально ничем не отличается от одно-
зонной. Исследуем подробнее ситуацию, когда преобладающим
в межэлектронном взаимодействии является так называемы»
косвенный обмен. Такая модель может использоваться при
описании магнитных свойств ферромагнетиков с 5—с/-электроиа*ий:
s—d обменное взаимодействие, приводящее к косвенному
взаимодействию типа взаимодействия Рудермана — Киттеля межДУ
квазнлокализованными ^/-электронами. В этом случае для ф**'
гурирующих выше параметров x\?w' используется прнближенй6
tflR

С помощью системы уравнений (10.12) условие слабого маг-
нСТлзма записывается теперь в виде
0<1 *£- <1,
msmdPsPd1F~ds <°>
гдо pv = (2mvtFV)l/2, При абсолютном нуле температуры в
отсутствие внешнего магнитного поли из системы (10.12) ел с чует
гае
Ф
г[
ПО
//у$ + mdP'l L insmdPsP<Pds (0)
Температурная зависимость энергии спинового расщепления
2 _ _3 ...2 , _ _3.„2 -1/2
■л\'чается аналогично (10.13):
*УГ) Г. *я*П2 pjffls + PdPWd
% (°> " [ 6Ф т^ + /и^*
Для парциальных магнитных моментов электронов s- и d-зон
справедливо
Afrf __ P^s (Г) (1014)
Из системы уравнений (10.12) видно, что при х¥ьа < 0 оба
парциальных магнитных момента направлены в одну сторону, что
соответствует ферромагнитному упорядочению системы. При
Ч^а >0 парциальные магнитные моменты направлены антипа-
раллелыю, поэтому при равенстве численных значений
парциальных моментов система оказывается антиферромагнитной.
С учетом изложенного из соотношения (10.14) следует:
£-&Й£)И«»1-*«(0»|. ' 00.15)
Таким образом, антиферромагнитнос упорядочение системы
оказывается возможным даже в модели металла е полностью
коллективизированными электронами, если в системе имеется
больше одной энергетической зоны. В реальных 34-мсталлах
твРй ^ msps> что соответствует большой плотности состояний
I1?.Уровне Ферми я^я d-электронов. Поэтому (в соответствии с
ъ ; ^)) s-электроны дают малый вклад в намагниченность.
зтом случае роль двух зон, необходимых для возможности
обп'1ИЗации а1ггиФсрромагиитного состояния, могут играть зоны,
РазУ*°Щисся в результате расщепления кристаллическим по-
м решетки пятикратно вырожденных d-состоянин.
рии апйШем вытекающие из системы уравнений (10.12) крите-
зНр0антиФсрромагиитного упорядочения металла с коллектпви-
Ванкыми электронами в приближении двух энергетических
109

зон с одинаковыми параметрами р1 = р2 = р, Бц=Б22, Bi2-~^
= В2|. При этом возможны случаи QI=Q2 и Q, =—Q2.
Исследование показывает, что на самом деле система уравнений
(10.12) имеет еще два решения, которые, однако, оказываются
комплексными.
Выпишем явно условие слабого магнетизма:
l+fi„+-§f-B12
<1
и критерий магнитного упорядочения системы:
l+B„+^-flI2<0.
Отсюда видно, что антнферромагпитное состояние, отвечающее
условию Q* ==—Q2, может возникать при ]-\~ Ви < В)2..
В рамках фермп-жпдкостпого подхода оказывается
возможной реализация ангнферромагнигного упорядочения с разным»
типами пространственной магнитной структуры. Прежде всего
возможен так называемый «антиферромагнетизм без
пространственной структуры», когда с каждым магнитным узлом решетки
связаны равные но величине и противоположные по
направлению магнитные моменты, обусловленные электронами разных
энергетических зон. Во-вторых, возможна и традиционная
модель антиферромагнетизма, предполагающая существование
двух сдвинутых относительно друг друга магнитных нодрешеток.
Реализация такой модели связана с возможностью
существования в кристаллической решетке магнитных узлов разного типа.
Наконец, возможно антиферромагинтное упорядочение,
соответствующее волне спиновой плотности, когда период
пространственной магнитной сверхструктуры оказывается вообще
несоизмеримым с периодом кристаллической решетки.
Остановимся несколько подробнее на случае зонного
антиферромагнетизма с пространственной структурой типа
магнитных поярешеток. Для определения пространственного
распределения спиновой плотности необходимо знать волновые функций
cZ-электронов в блоховском представлении <р (г), где v—
зонный индекс; р — квазннмпульс; о — спиновое квантовое числа
Для плотности магнитного момента имеем
М (Г> = Z Pv J W i *vp (Г) Г I" К (Р) - Ь <Р)) - "О5* (Р) + МР))1'
(10.10
Интегрируя ^то выражение по объему кристалла, получим
намагниченность системы М. В антиферромагпитном состоянии
М —£vAfv===0, однако для электронов каждой зоны намагн*1
ченность отлична от нуля:
И0

функции <р (г), отвечающие магнитным d-элекгронам, удобно
разложить по атомопот.обным функциям Ваньс %« (г), где и,
нумеруют состояния ^/-электронов в атоме, а па характеризуют
магнитные узлы решетки тина а:
Ф
vp(r) = -V,-/2 £ лЧ1(р,а)*||Яа(г)ехр(^р.р ). (10.17)
«. «a. и
Здесь Л'—полное число магнитных электронов в кристалле.
Введение коэффициентов ауд(р, а) в формулы преобразования
(10.17) соответствует явному учету гибридизации затравочных
энергетических зон в кристалле, образующихся из
определенных атомных состояний. Неэквивалентность различных
магнитных узлов в антиферромагнетике приводит к зависимости
коэффициентов аУд(р, а) от типа узла а.
Поскольку функции Ваньс сильно локализованы в
пространстве, выражению (10.16) для М(г) можно придать вид
JW(r)~^ £ J -^г | avll (р, а) |21 ф,„а (г) f ЛЛ, (р). (10.18)
v, и, «а, it
Видно, что магнитные моменты в основном локализованы вблизи
узлов магнитных нодрешеток. Момент Л1,-, приходящийся на один
атом (-н магнитной иодрешетки, равен
м'=ir Z т&' "w(р- °|2 -и* (p)
v. ti
и имеет, вообще говоря, дробное (в единицах магнетона Бора)
значение.
Обсудим кратко температурную зависимость магнитного
момента Mit приходящегося на один узел. Такая зависимость, как
и в ферромагнетиках, возникает благодаря перераспределению
блоховских электронов по энергетическим состояниям при
изменении температуры и благодаря изменению самих
квазичастичных состояний. Дополнительная зависимость Mi от температуры
возникает из-за изменения с температурой коэффициентов
й*и(р, х). Чтобы пояснить это, рассмотрим сначала случай, когда
^сментарные химическая и магнитная ячейки антиферромагне-
тнка совпадают (как, например, у MnF2). При этом магнитные
*злы разных сортов помимо разных магнитных моментов,
сосредоточенных вблизи них, отличаются также неэквивалентным
Сложением в кристаллической решетке. Поэтому и в отсутствие
^гннтного порядка узлы остаются неэквивалентными: аХ1Х(1)Ф
~^ачЛ1) при 1ф\ и, например в случае двух магнитных
подросток, величина Q* = 1],ЛIa4|l<pf OP —(^(p, Of] отлична
^т нуля. В магнитоуиорядоченном состоянии в условиях, когда
сРгия спинового расщепления мала, величину Q; можно
in

приближенно считать не зависящей от температуры. Такая си.
туацня имеет место вблизи точки Нееля или в слабоантиферр0>
магнитных металлах, где энергия спинового расщепления мала
по сравнению с энергией Ферми. При этом магнитный момент ц
энергия спинового расщепления, как и для ферромагнетика,
связаны линейным соотношением.
Совершенно иная ситуация реализуется в случае, когда
элементарная химическая ячейка содержит один магнитный атом
и не совпадает с магнитной (например, МпО). Тогда в
неупорядоченном состоянии различие между узлами отсутствует. Это
означает, что Q,-= 0. При малых Qo(T) можно считать, что
Q(7*) ■—■ £>о(У), поскольку состояние кристалла не должно
зависеть от направления оси квантования. В таком предположении
оказывается, что приходящийся на одни атом магнитный момент
зависит от температуры как куб энергии спинового
расщепления: Mi(T)~iH(T).
В заключение отметим, что в случае изотропной
корреляционной функции ферромагнитное состояние системы
оказывается вырожденным относительно вращений вектора намагн»
ченности М. Действительно, при переходе в ферромагнитное
состояние происходит спонтанное нарушение изотропии:
возникает выделенное направление, определяемое вектором
намагниченности. Исходная изотропность модели проявляется теперь в
эквивалентности всех ориентации этого вектора —
взаимодействие фиксирует лишь его величину, но не направление.
Исходная изотропия системы нарушается уже при у"сте
существования кристаллической решетки металла. Величины,
характеризующие состояние электрона в анизотропном кристалле,
могут зависеть от комбинаций р-п (кристаллическая
анизотропия) и s-n (магнитная анизотропия), где п — единичный вектор
вдоль какой-либо кристаллографической оси. Поэтому при \чсте
анизотропии в модель жидкости коллективизированных электро
нов приходится вводить большее число феноменологических
параметров. В частности, корреляционная функция / начинает
зависеть от указанных комбинаций р-п и s-n. В простейшем ва
рианте при рассмотрении одноосного магнетика корреляционную
функцию можно аппроксимировать выражением
f (Р, Р0 = ф (Р, Р') + 4s~- »Ч (Р. Р') + 41» • v) (s' • v) фа (р, р'К
(10.19)
где v — единичный вектор в направлении оси магнитной анизо
тропни. Релятивистски малая анизотропная часть
корреляционной функции f обусловливает возникновение избранных нанрав
лений ориентации магнитного момента. При этом в зависимое!*
от знака анизотропной части корреляционной функции в систем
реализуется магнитная анизотропия типа «легкая ось» или
«легкая плоскость». Рели i|-a < 0? то в основном состоянии М || v #
112

наблюдается анизотропия типа «легкая ось», при i|ia > 0 в
основном состоянии MJLv и наблюдается анизотропия типа «чег-
аЯ плоскость».
Задания
1. Получить систему уравнений (10Л2).
2. Получить формулу (10.13), определяющую температурную зависимость
энергии спинового расщепления.
3. Получить выражение (10-18), определяющее пространственное
распределение намагниченности.
Лекци я 11
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ КВАНТОВОЙ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ
Переход в сверхтекучее состояние, который происходит в
жидком Не4 при температуре 7\ = 2,18К, представляет собой
фазовый переход второго рода. Сверхтекучестью называют
способность жидкого гелия II протекать без трення через узкие
капилляры. При указанной температуре дебройлевская длина волны
атомов гелия сравнима с межатомными расстояниями. Поэтому
система является существенно квантовой.
Возбуждения в сверхтекучей жидкости. Всякая квантовая
система произвольно взаимодействующих частиц в
слабовозбужденном состоянии может рассматриваться как совокупность
отдельных элементарных возбуждений — квазичастиц. Квазнча-
стица в однородной системе характеризуется законом
дисперсии: зависимостью энергии от импульса, который является
хорошо определенным квантовым числом. Обозначим через е
энергию элементарного возбуждения в жидком гелии как
функцию импульса р. Вид закона дисперсии легко устанавливается
прн малых значениях импульса, которым соответствуют
длинноволновые возбуждения в системе. В жидкости такими
возбуждениями являются продольные звуковые колебания, поэтому
соответствующие квазичастицы представляют собой звуковые
кванты— фононы. Энергия фононов пропорциональна импульсу;
в=.ир. (11.1)
°десь и — скорость звука. По мере увеличения импульса
происходит переход к более коротковолновым возбуждениям, а кри-
^ая £(р) отклоняется от линейного закона. Дальнейший ход этой
Ривой не может быть установлен из общих соображений. По-
к°льку одних фононов оказывается недостаточно для объясне-
ия температурной зависимости и величины термодинамических
А С. Кондратьев, А. Е. Кучма 113

характеристик системы, таких, как, например, теплоемкость,.
Л. Д. Ландау предложил вид энергетического спектра
квазичастиц, показанный на рис. 11.1. При малых значениях энергии
кривая представляет собой прямую линию, соответствующую
дисперсионному соотношению для фононов (11.1). При более
высоких энергиях спектр отклоняется от прямой линии, проходя
сначала через максимум, а затем через минимум, которому
соответствует некоторое значение импульса р0. Кроме фононов
существенный вклад в термодинамические характеристики системы
будут вносить лишь возбуждения с энергиями вблизи минимум
t Свободные частииы
Рис. П.2.
на кривой, которые получили название ротоны. Из общих
свойств функции вблизи минимума следует, что закон дисперсии
для ротонов может быть записан в виде
Ъп
(П.2)
где m — эффективная масса ротонов. Наличие энергетической
щели в спектре ротонов играет решающую роль для
существования сверхтекучести в гелии II.
Предложенная Л. Д. Ландау форма энергетического спектра
была подтверждена экспериментами по рассеянию нейтронов в
гелии. Медленные монохроматические нейтроны рождают и
поглощают элементарные возбуждения в гелии II. Измеряя
энергию и отклонение рассеянных нейтронов, можно получить
кривую г(р). На рис. 11.2 приведен полученный на основе
эксперимента энергетический спектр, с помощью которого были найдены
значения фигурирующих в (11.2) параметров; « = 239 м/с,
0,16т
Д/А = 8,65 К» Ро/А = 19,2 нм"1, m = и, ютн^
Согласно описанным представлениям, в гелии II газ
возбуждений состоит из смеси фононов и ротонов. Температурная
зависимость теплоемкости определяется суммой вкладов фононов й
ротонов. Количество элементарных возбуждений мало при очень
низких температурах, поэтому энергия их взаимодействия не
велика по сравнению с их собственной энергией. Следовательно,
газы фононов и ротонов можно рассматривать как идеальные-
114

Поскольку при возбуждении жидкости фононы и ротоны могут
появляться поодиночке, то они должны обладать целочисленным*
спином и подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна. Однако-
благодаря тому, что в функцию распределения ротонов зходит
большая величина: A/(kT), фактически для ротонов оказывается
справедливой статистика Максвелла — Больцмана. Ниже
температуры 0,6 К число ротонов пренебрежимо мало и
единственными существенными возбуждениями являются фононы. Выше 1 К
доминирующая роль в формировании термодинамических
свойств системы принадлежит ротонам.
разумеется, модель идеального газа непригодна при
температурах, близких к Я-точке. В этом случае возбуждений много,
и их взаимодействие становится существенным. Фактически газы
фононов и ротонов можно считать идеальными при 7^1,5 К-
Выше этой температуры при расчетах необходимо учитывать
два дополнительных фактора: растущие вклады возбуждений,
нежащих вне фононной и ротонной областей спектра, и
изменение формы самой дисперсионной кривой.
Термодинамические характеристики гелия II. Рассмотрим
покоящийся гелий II при температуре, не очень близкой к Я-точке.
Поскольку при Т <С 7\ ц = 0, то свободная энергия Гельмгольца
(F) совпадает с термодинамическим потенциалом (Q). Запишем-
для единицы объема системы:
Q^f — pN^f (ц = 0).
Используя обычное выражение для термодинамического
потенциала единицы объема бозе-газа:
* р2 dp dO
ахр— (2nft)3 ;
Q^kT^dxv\n(l-e-^kT),
где
dO— элемент телесного угла в импульсном пространстве, и
подставляя в него выражение для функции распреде пения Бозе —
Эйнштейна п при ц = 0:
"^fexp-^r— l) .
получаем
F=*-JW$£/Tpln(l+n). (11 3}
Проинтегрировав равенство (11.3) по частям, имеем
F^±kT\dxX)-~^rT^^p. (11.4)
3 J Р п +1 дг dp r v '
Я* 115

Поскольку для функции распределения Бозе—Эйнштейна
справедливо
да 1 о е I . , 1Ч
то выражение (11.4) принимает вид
Для фонониого газа, используя закон дисперсии квазичастиц
(11.1), получим с помощью (11.5)
Ль= — J ) атрел = g- ,
здесь £ф — энергия единицы объема фонониого газа, которая с
помощью выражения для функции распределения
Бозе—Эйнштейна записывается как
Г ( е Л-1
£Ф = \ dxps[exp-jy — 1J . (11.6)
Интегралы такого типа вычисляются с помощью соотношения
со
J с1ххЪ-Цехрх-1Г} = Г(ч)Ш (rj>l),
о
See
J/exp(— l)i^~l, а £(г}) —
о
j n~\ В результате
выражение (11.6) для £ф принимает вид
Число фононов в единице объема:
Пф=$ЛР«=8я£(3Кет)3-
так что формула (11.7) может быть приближенно переписана
в виде
Для энтропии (5ф) и теплоемкости (Сф) фонониого газа
находим с помощью (11.6) и (11.7):
dF^ 16л5 f ( kT у
(11.3)
5Ф~ аГ "" 45 *
, ^5Ф _ 16п
*ф —i аг "" 15
(—У
а5ф 16л5 / А Г Ч3
116

При вычислении свободной энергии ротонного газа следует
воспользоваться законом дисперсии (11.2) и учесть, что
импульсы ротонов по величине близки к р0- Поскольку, как уже
отмечалось, для ротонов фактически справедлива классическая
статистика, то при вычислении свободной энергии удобно
воспользоваться соотношением (J1.3). Тогда, учитывая," что «<1,
a In (1 + п) ~ п, имеем
Fp = - kT J dTp In (1 + л) = - kT J dxpn = - kTnv, (11.9)
где концентрация ротонов пр определяется выражением
.»> = №= (,^ • <1M°>
С помощью (11.9) и (11.10) находим
dF
Sn=-
Полученные результаты позволяют представить энтропию и
теплоемкость гелия II ниже Л-точки в следующем виде:
с— с _l о ~ а^ f Л _l3i i 16я5А ( kT V
Из этих соотношений видно, что температурная зависимость ро-
тонной части термодинамических величин в основном
экспоненциальна, поэтому при низких температурах преобладает фонои-
ный вклад, а при более высоких — ротонный.
Сверхтекучее и нормальное движения гелия II. Рассмотрим
жидкий Не4 при абсолютном нуле температуры, находящийся
в основном (нсвозбужденном) состоянии. Пусть он течет по
капилляру с постоянной скоростью v. Пели бы при этом жидкость
испытывала трение (т. е. обладала вязкостью), то часть кине-
тической энергии диссипировала бы, превращаясь в тепло, что
приводило бы к постепенному замедлению потока.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с потоком,
Г' е- обладающую скоростью v в лабораторной системе отсчета.
° новой системе гелий покоится, а стенки капилляра движутся
т° скоростью —v. При наличии вязкости покоящийся гений
^е должен был бы начать двигаться. Увлечение жидкости
^енками трубки не может сразу привести всю ее в движение.
0явлсние движения в покоящейся жидкости должно начаться
появления в ней элементарных возбуждений.
117

Пусть в жидкости появляется одно элементарное возбужде.
<мие с импульсом р и энергией г(р). Тогда энергия
первоначально покоившейся жидкости Е0 будет равна энергии появившегося
возбуждения е(р), а ее импульс Р0—-импульсу возбуждения р.
В лабораторной системе отсчета энергия (Е) и импульс (Р)
.жидкости даются соотношениями
£в£0+Р0.у + -*£-.
Р = Р0 + Жу,
здесь М — масса всей движущейся жидкости. Выражение для
энергии Е можно переписать в виде
г , , Mv*
Член Mv2/2 представляет собой первоначальную кинетическую
энергию всей жидкости. Поэтому g-j-p-v равно изменению
энергии жидкости благодаря появлению возбуждения. Это изменение
должно быть отрицательным, поскольку энергия движущейся
жидкости убывает при наличии трения:
e + p-v<0. (11.12)
Наиболее благоприятная для выполнения этого условия
ситуация реализуется, когда импульс образовавшегося возбуждения
антипараллелен скорости жидкости: е — pv < 0. При этом
получаем из (11.12)
v>e{p)/p. (11.13
Очевидно, чго возбуждение может возникнуть в жидком гелии,
если условие (11.13) выполнено по крайней мере в той точке
энергетического спектра квазичастиц (11.2), где отношение г/р
имеет минимальное значение. Эта точка спектра определяется
пунктирной прямой на рис. 11.1,— касательной к дисперсионной
кривой е(р), проходящей через начало координат. Таким
образом, условие рождения возбуждения в текущем гелии имеет вид
о > min-^ = окр. (11.14)
При скоростях v <C vKP рождение возбуждения энергетически
невыгодно, и течение жидкости не будет замедляться, т. е. буде?
наблюдаться явление сверхтекучести. Условие наличия
сверхтекучести сводится к требованию, чтобы кривая е(р) не
касалась оси абсцисс в самом начале координат. Поэтому к явление
сверхтекучести, вообще говоря, должен приводить всякий спектр-
в котором достаточно низко лежащие возбуждения являются
фононами.
При v > vKp движение гелия будет сопровождаться рожДс'
нием возбуждений, т. е. трением. Для жидкого гелия точка, с°*
418

ответствующая vKp, лежит недалеко от минимума кривой е(р),
причем окр « 60 м/с. Это на несколько порядков превосходит
величину, наблюдающуюся на опыте в гелии II. Объяснение этого
факта связано с возможностью существования в гелии кроме
фононов и ротонов еще возбуждений другого типа, называемых
квантованными вихрями. Критическая скорость, связанная с
рождением квантованных вихрей, зависит от диаметра
капилляра (d)y причем справедливо приближенное равенство: vKPd ~
.~s ti/m. Поэтому сверхтекучесть экспериментально наблюдается
только в узких капиллярных трубках.
Двухскоростная модель движения сверхтекучего гелия.
Рассмотрим теперь текущий но капилляру гелий при температуре,
отличной от абсолютного нуля, но существенно ниже
температуры перехода в сверхтекучее состояние. В приведенном ранее
выводе никак не использовался тот факт, что в системе заранее
отсутствуют элементарные возбуждения. Поэтому критерий
(11.14) остается справедливым и при ТФО. Движение жидкости
при v <C vKp по-прежнему не сможет привести к появлению в ней
новых элементарных возбуждений. Однако наличие уже
имеющихся возбуждений вносит определенное своеобразие в характер
течения гелия II по капиллярам при отличной от нуля
температуре.
Пусть газ возбуждений движется со скоростью v3
относительно жидкости. В системе отсчета, где газ возбуждений как
целое покоится, жидкость движется со скоростью —vB. Энергия
(£) жидкости в этой системе связана с энергией (£0) в системе
отсчета, где жидкость неподвижна, соотношением
Пели в покоящейся жидкости появляется еще одно
элементарное возбуждение с энергией е(р), то в системе, где жидкость
Движется со скоростью —vB, дополнительная энергия равна
е(р) — p-vB. Именно такой энергией обладает возбуждение в
системе, где жидкость движется со скоростью —vB, а газ
возбуждений неподвижен. Поэтому функция распределения
элементарных возбуждений имеет вид л(е — p*vB) (n — функция
распределения Бозе — Эйнштейна для газа возбуждений в состоянии
Равновесия).
Полный импульс единицы объема газа элементарных
возбуждений есть
Р= Ц dxppn(e — p- vB). (11.15)
При малой скорости (vB) движения газа возбуждений
функцию п(г — p-vB) можно разложить по степеням pvB. Нулевой
Член разложения исчезает после интегрирования по р в (11.15),
119

так как под знаком интеграла — нечетная функция р. Далее,
полеченное выражение следует усреднить по направлениям р. При
вычислении линейных по vB членов это можно сделать, домно-
жив подынтегральное выражение на косинус угла между р и
vB. В результате с точностью до линейных no vB членов найдем
P = jvB$rfTpp2(-4g-). (11.16)
Видно, чго движение газа квазичасгиц сопровождается
переносом массы, причем эффективная масса единицы объема газа
возбуждении равна коэффициенту пропорциональности между
Р и vB в (11.16). Однако при течении жидкости по капилляру
квазичастицы могут сталкиваться со стенками трубки и
обмениваться с ними импульсом. Благодаря этому часть жидкости,
увлекаемая движением квазичастнц, будет вести себя как
нормальная вязкая жидкость и тормозиться в результате трения
о стенки. Остальная часть жидкости будет вести себя как не
обладающая вязкостью сверхтекучая жидкость. При этом
важно, что межту этими движущимися друг сквозь друга частями
жидкости нет внутреннего трения и не происходит взаимной
передачи импульса, поскольку описанная картина соответствует
термодинамическому равновесию в равномерно движущемся
газе квазичастиц: макроскопическое относительное движение в
состоянии теплового равновесия возможно только в отсутствие
трения.
Итак, при 7 = 0 через капилляр вся жидкость течет без
трения, а при ТфО — лишь ее часть. Такая ситуация позволяет
развить двухскоростную модель, согласно которой гелий II
ведет себя как «смесь» двух жидкостей: одна из них — нормальная
жидкость с обычной вязкостью, а другая — сверхтекучая,
способная течь без трения мимо препятствий и через узкие каналы.
Отмстим, что фактически эти жидкости разделить нельзя.
Недопустимо считать, что некоторые атомы принадлежат к
нормальной жидкости, а другие—к сверхтекучей. Все атомы
гелия II одинаковы. Однако в нем одновременно могут
существовать два движения — сверхтекучее со скоростью vs и нормальное
со скоростью v„, причем каждому из этих движений
соответствует своя эффективная масса. Плотность (о) гелия может
быть представлена в виде
где рп и ps — плотности нормальной и сверхтекучей частей
жидкости. Полный нмпульс Р единицы объема гелия II также
слагается из двух частей:
P = Pnvn + p5vs^j. (11.17)
Величина j обычно называется пготностыо тока или плотностью
потока.
in

Поскольку полная масса гелия остается неизменной, то р и j
удовлетворяют уравнению непрерывности
|- + divj = 0.
гы
'О
К-лпо-'г*&
Справедливость двухскоростной модели наиболее ярко
демонстрируется в эксперименте, где стопка параллельных друг
другу и расположенных на одинаковых расстояниях друг от
друга тонких металлических дисков подвешивается на упругой
нити таким образом, чтобы диски могли совершать крутильные
колебания в жидком гелии. Расстояние между дисками берется
настолько малым, чтобы выше
7\ вся жидкость между
дисками увлекалась вместе с ними.
Ниже Т% период колебаний ,8
резко падает. Это указывает
на то, что не вся жидкость в
промежутках между дисками ^
увлекается ими. Таким
образом, сверхтекучая часть
жидкости не оказывает влияния на
крутильный маятник. Этот экс- q 7,0 ZZ г^к
перимент дает возможность
непосредственно измерять из- Рис. 11.3.
мснение отношения рп/р с
температурой. Оказалось, что отношение рп/р в л-точке равно
единице. С понижением температуры оно уменьшается и
обращается в нуль при Т=0. Эксперимент показывает, что при
температурах ниже 1 К в гелии II доминирует сверхтекучая
компонента (рис, 11.3).
Волновая функция конденсата. Изложенная двухскоростпая
модель сверхтекучего гелия II может быть обоснована в рамках
микроскопического подхода. Именно, можно показать, что
развитые представления не противоречат основным положениям
квантовой механики.
. Как было предположено в лекции 1, жидкий Не4 ниже
/--точки содержит конденсат: макроскопически большое число
частиц, заполняющих одно квантовое состояние. Для описания
СвеРхтскучего движения гелия — «сверхиотока»—можно ввести
^°лновую функцию конденсата и выразить скорость сверх потока
ГеРез фазу этой волновой функции.
В отсутствие сверхтекучего движения квантовое состояние,
^По-чненное частицами конденсата, есть состояние с равной
З^К) энергией. Однако при наличии сверхпотока квантовое со-
оянне конденсата — это состояние с отличной от нуля энер-
еи> равной кинетической энергии потока. Предположим, что
121

ъ стационарном состоянии конденсата его волновую функцию
можно записать в виде
-ф(г) = ^5Ч (11.18)
где S (г) — вещественная функция радиус-вектора г. Пока будем
считать, что ifo—константа. Выражение для импульса
конденсата получается по обычному правилу:
р-ф =^ — ИгЩ = рф.
Отсюда при учете (11.18) следует, что
p = hVS. (11.19)
Определяемый выражением (11.19) импульс р — это импульс,
канонически сопряженный радиус-вектору г. Если
интерпретировать его как нмпульс одной частицы сверхтекучей жидкости, то
можно записать: p = mne«vs, или, при учете (11.19):
Vs = ftVS/mHcu (П.20)
Из (11.20) видно, что сверхтекучая скорость пропорциональна
градиенту фазы волновой функции конденсата. Когда
сверхтекучая компонента находится в покое, фаза всюду одинакова.
При отличной от нуля сверхтекучей скорости фаза равномерно
меняется в направлении vs. Фаза волновой функции (11.18)
когерентна для всей сверхтекучей жидкости. Другими словами,
S(r)— плавно меняющаяся функция даже в макроскопическое
масштабе. Вследствие когерентности фазы частицы конденсат'
оказываются в состоянии равномерного движения.
Теперь предположим, что и амплитуда, и фаза волновой
функции конденсата могут меняться в пространстве и во
времени:
Ф(г, 0 = ^о(г, 0е"(г''}. (И-21'
Будем считать, что ф(г, t) есть решение уравнения Шредингеря
где F(r) — средняя потенциальная энергия, смысл которой буд#
установлен ниже. Нормируем if (r, t) таким образом, чтобы $1
было равно средней концентрации атомов сверхтекучей ком*10
ненты: ,
фЧг, 0* (г, /) = ^(r, t) = pjmiw. (П-*
■1
Испочьзование выражений (11.21) и (11.23) основано
предположении, что можно одновременно измерить и плотное
ps (т. е. число частиц), и фазу S. Известно, что число част
(N) и фаза (S) связаны соотношением неопределенное*
AN-AS ;>, 1. Поэтому для возможности одновременного изм^Р
ния этих величин число частиц в системе должно быть вел1
1?2

т, е. система должна быть при температуре существенно ниже
уточки. Плотность ps в таких условиях постоянна в областях,
имеющих макроскопические размеры. Это позволяет описывать
сверхтекучее движение в терминах термодинамических
параметров. В частности, таким параметром является средняя
потенциальная энергия V в (11.20), причем ее можно отождествить
с химическим потенциалом. Действительно, обратимый процесс
в жидкости удовлетворяет фундаментальному равенству Гиббса:
dU = TdS — pdV + \idN,
поэтому V = (-jf)sy- (П.24)
С учетом выражения (11.24) нетрудно показать, что химический
потенциал всей покоящейся жидкости ведет себя как отнесенная
к одной частице потенциальная энергия сверхтекучей компонен-
ты. Следовательно, в уравнении (11.22) можно
V(r) = \it а М = тш>:
»-3-~т£**+*-
положить
(11.25)
Подставляя в (11.25) волновую функцию (11.21), легко получить
уравнение для фазы S. В пределе больших N такое уравнение
можно получить, учитывая, что HS и N являются канонически
сопряженными величинами. Поэтому
^т^-ж- "-дГ^ж- (11-26)
В качестве функции Гамильтона (Н) следует использовать
полную энергию (£/), которая содержит кинетическую энергию
сверхтекучей части жидкости. Тогда первое из уравнений (11,26)
принимает вид
Градиент уравнения (11.27) представляет собой уравнение
гидродинамики идеальной жидкости — уравнение Эйлера.
Действительно, взяв градиент от (11.27) и учитывая соотношение
(П.20), записываем:
т,
vO*+Tmn.'°d' {lL28)
'Не4 dt
*° Уравнение движения для сверхтекучей жидкости. Оно
опивает потенциальный поток без диссипации энергии.
3аДания
чего ге^0лучить соотношения (11.8) для фоноиных характеристик
сверхтекучего ' ^Учить соотношения (11.11) для ротошых характеристик сверхтеку-
123

3. Проделать все необходимые выклачки для перехода or (11.21) к
(11.25).
4. Получить уравнение непрерывности т.ля сверхтекучей компоненты
dpjdt -Ь div js = 0 н уравнение для фазы S, подставляя выражение 111.21)
в уравнение Шредингера (11.22). Обсудить, чем отличается последнее
уравнение от уравнения (11.27).
Лекция 12
ГИДРОДИНАМИКА
СВЕРХТЕКУЧЕЙ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ
Изложенные в предыдущей лекции соображения, основанные на
квантовомсханических представлениях о сверхтекучей жидкости,
непосредственно привели к уравнению гидродинамики для
идеальной сверхтекучей жидкости (11.28). Следуя этому пути,
можно построить полную систему гидродинамических уравнений.
Однако се можно построить и в рамках феноменологического
подхода. Основные положения, на которых основывается такое
рассмотрение, заключаются в следующем. Возбуждения в
сверхтекучей жидкости при своем упорядоченном движении со
скоростью vn увлекают часть жидкости, характеризующуюся
нормальной плотностью рп. Остающаяся сверхтекучая часть с
плотностью ps = р — рп совершает независимое движение со
скоростью \У, которое является потенциальным:
rotvs = 0. (12.11
Условие потенциальности сверхтекучего движения не
нарушается до тех пор, пока скорости движения не достигнут
критических значений, при которых становится существенным
взаимодействие нормальной и сверхтекучей частей жидкости. При
учете этих соображений полная система гидродинамически
уравнений может быть сформулирована с помощью законов
сохранения и принципа относительности Галилея.
Закон сохранения любой физической величины в
дифференциальной форме имеет универсальный вид: производная по зре-
мени от плотности сохраняющейся величины равна дивергент*
некоторого вектора. Например, закон сохранения массы я^Д"
кости выражается уравнением непрерывности:
^- + divj=0. (12-'
Закон сохранения импульса приводит к уравнению движения
124

где П-t — тензор потока импульса. В пренебрежении дисснпа-
тивными процессами движение является обратимым и энтропия
системы (S) сохраняется. Поэтому аналогично (12.2) можно
записать;
|£ + divF = 0, (12.4)
где F—поток энтропии. Энтропия гелия II связана со
статистическим распределением элементарных возбуждений в системе,
поэтому она переносится нормальным, а не сверхтекучим
движением. При всяком движений жидкости, когда «газ» квазича-
i-тш остается неподвижным, не возникает макроскопического
переноса энтропии. Поэтому для потока энтропии F справедливо
F = Svn. (12.5)
Однако в рамках чисто феноменологического подхода
соотношение (12.5) можно получить из законов сохранения, поэтому
поток энтропии F пока будет оставаться неизвестной величиной.
В сверхтекучей жидкости возможны два движения, поэтому
в гидродинамике этой системы должны присутствовать два
уравнения движения. Одно из них — это уравнение (12.3). Второе
сравнение определяет величину vs. Поскольку выполнено
условие потенциальности сверхтекучего движения (12.1), это
уравнение может быть записано в виде
dt
+ VU + -3T =0. (12.6)
Разумеется, уравнение (12.6) совпадает но виду с уравнением
(11.28), однако теперь оно получено на основе
феноменологических соображений и <р является некоторой неизвестной
скалярной функцией.
Уравнения (12.2) — (12.6) образуют полную систему
гидродинамических уравнений сверхтекучей жидкости. Для возможности
и\ практического использования следует определить явный вид
потоков l\iky F и V<p. Это можно сделать, потребовав, чтобы
гидродинамические уравнения приводили к выполнению закона
Охранения энергии, который запишем в виде
d£+divQ = 0. (12.7)
dt
одесь Е — энергия единицы объема жидкости, a Q—поток энер-
3 и" Принцип относительности Галилея позволяет определить
отнИСИМОСТЬ вссх величин от скорости Vs при зацанном значении
цц°Сительной скорости vn — v5 обоих одновременно проиеходя-
*'в жидкости движений.
Двнй<Воднм систему отсчета /Со, в которой скорость сверхтекучего
дВц ения Данного элемента жидкости равна нулю. Система Л'о
ется относительно лабораторной системы отсчета К со
125

скоростью vs. Значения физических величин в системе К связаны
с их значениями в системе Ко следующими соотношениями:
J = PVs + j0, (12.8)
п« = Р»,(°.* + ».Л* + vs kirn + lW (12-9)
F = Sv3 + F0) (12.10)
Q=(-5-P^ + v.-j0 + £0)v1 + |»|i0 + II0v1 + QJ. (12.11)
£ = YP^ + vs-j0 + £o- (12-12>
Отметим, что энтропия не изменяется при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой.
В выражении (12.11) П0у5 обозначает вектор с проекциями
JloikVsk. Приведенные соотношения непосредственно следуют из
принципа относительности Галилея. Покажем, например, как
получается соотношение (12.9). Тензор потока импульса:
П« = рщик — pbiki (12.13)
здесь и — скорость жидкости; р — давление. Скорость жидкости
и в лабораторной системе отсчета связана со скоростью ио в
системе отсчета, движущейся со скоростью vs, соотношением
u = Uo + v5. Подставив значение и в (12.13), находим
Hik = pvsiVsk + pitoiVsk + puokVsi + puoiuok — pbtk. (12.14)
Последние два слагаемые в правой части (12.14) определяют
тензор По1> в системе Ко, а произведение рио равно импульсу
единицы объема жидкости j0 в этой системе. Поэтому (12.14)
совпадает с равенством (12.9).
В системе отсчета Ко жидкость совершает лишь одно
движение— нормальное движение со скоростью vn — vs. Поэтому все
величины в этой системе могут зависеть лишь от разности
vn — vs. В частности, векторы j0, СЬ и Fo направлены вдоль
вектора vn — vs- Таким образом, при заданном значении vn—v*
формулы (12.8) — (12.12) определяют зависимость стоящих в
правых частях величин от скорости сверхтекучего движения vs-
Энергия Е0 единицы объема жидкости удовлетворяет
термодинамическому соотношению
dE0 = TdS+p.dp + (vn - vs) • dj0. (12.15)
Первые два слагаемые в правой части (12.15) имеют обычный
вид, а последнее соответствует тому, что производная от энер*
гии по импульсу равна скорости движения. Для вектора jo ь
силу сказанного справедливо
Jo = P„(vn-vs). (12.16)
12*

Легко видеть, что при этом соотношение (12.8) совпадает с
формулой (11.17):
J=P,ve + pnvn. (12.17>
Подставляя в уравнение закона сохранения энергии (12.7)
выражения для Е и Q из (12.11) и (12.12), записываем производную
дЕъ/dt через производные от р, 5 и j0 согласно соотношению
(12.15). После этого все производные по времени исключаются
с помощью гидродинамических уравнений (12.2) —(12.6). В
результате после весьма громоздких выкладок приходим к
соотношению
div Qo = - Mlk ^ + (vni - vsi) ™*. + hi {Vak - vsk) ^L +
+ [/« - ^ (vnl ~ vsi)] -£- (ф - ix) - -g- [F„ - S (vni - vsi)] +
+ -d~(FolT+i0^)- (I2.18>
Здесь тензор М введен с помощью равенства
М1к = noift + [£0 - TS + цр - (v„ - vs) ■ j0] 6lk.
В отсутствие диссипативных процессов величины М, Qo, F0 и ф
могут зависеть только от термодинамических переменных и от
разности vn — vs, но не от каких-либо градиентов этих величин.
Это условие позволяет однозначно определить выражения для
искомых величин с помощью соотношения (12.18):
F0 = S(v„-v.), (12.20)
Ф = ц, (12.21)
Q0 = FF0 + W'0 - [(vn - v.) • vj j6 + (v„ - v.) (v„ ■ j0). (12.22)
Подставив выражения (12.19)—(12.22) в формулы
преобразования (12.9) —(12.12), получим
К = pvslvsk + vj0k + vnkjoi -[E-TS-tip- (vn - v.) • j0] 6ik,
(12.23)
F = 5vn> (12.24)
Q = (li + 4p) (Jo + Pvs) + TSvn + (vn • j0) vn. (12.25)
иДно, что (12.24) совпадает с написанным из эвристических
°°бражений выражением (12.5). Выражение в квадратных
обках в (12.23) представляет собой полное давление, которое
°пределению с точностью до знака равно производной от
127

полной энергии жидкости по объему при постоянной полной
массе, энтропии и импульсе относительного движения:
р = - EQ + TS + цр + (vn - у%) • j0. (12.26)
Отметим, что в обычной гидродинамике не возникает вопроса
об определении понятия давления при рассмотрении идеальной
жидкости, ибо всегда можно выбрать систему отсчета, в которой
данный элемент объема жидкости покоится. В гидродинамике
сверхтекучей жидкости выбором системы отсчета можно
исключить лишь одно из двух одновременно происходящих движение
а потому обычное определение давления не применимо.
С учетом соотношений (12.26) и (12.17) выражение (12.23)
для тензора потока импульса можно представить в виде
Выражение (12.27) является естественным обобщением
формулы гидродинамики обычной жидкости:
Подставляя полученные выражения (12.23) — (12.25) в
уравнения (12.3) — (12.6), приходим к полной системе
гидродинамических уравнений сверхтекучей жидкости в пренебрежении дисси-
патпвными процессами:
|B- + divj = 0, (12.28)
|f- + vsdivj+(j.V)vs + j0divva+(vn.V)j0 + Vp===0, (12.29)
dS + div (Sv„) = 0. (12.30)
dt
dt
+ VU +
avs 'Ч«* + -г-)-°- <12-31)
Обсудим граничные условия для этих уравнений. На всякой
неподвижной твердой поверхности должна обращаться в нуль
перпендикулярная к этой поверхности компонента потока маесь
жидкости j. При установлении граничных условий для скорости
нормального движения v„ следует учитывать, что нормальнее
движение в действительности представляет собой движение газа
элементарных возбуждений, который обладает всеми свойства*'11
вязкой жидкости.
При движении вдоль твердой поверхности квазичастнй*
взаимодействуют с ней, что макроскопически может быть оП«"
сано как прилипание нормальной части массы жидкости к сте#
ке. Поэтому тангенциальная составляющая vn на поверхнос^
твердого тела равна нулю. Для установления граничных услов*1
для нормальной к стенке составляющей v„ следует иметь в вйД)'
123

иго кванты возбуждения— квазнчастицы — могут поглощаться
пли испускаться твердым телом, что соответствует теплопередаче
между жидкостью и твердым телом. Это означает, что на
Гранине нормальная к стенке составляющая потока тепла должна
gbiTb непрерывной. Согласно (12.25) при /г = 0 эта
составляющая равна Qz = TSvnz (ось z направлена перпендикулярно
стенке а оси л\ у—параллельно ее поверхности). Температура (Т)
испытывает на границе скачок, пропорциональный тепловому
потоку: AT — aQz, где коэффициент а зависит как от свойств
жидкости, так и твердого тела. Появление этого скачка связано
с особенностями теплопередачи в гелии II. Все теплосопротпв-
-еннс между твердым телом п жидкостью сосредоточено в
пристеночном слое жидкости, поскольку конвективное
распространение тепла в жидкости практически не связано с каким бы то пп
было теплосопротивлсинем. В результате весь перепад
температуры, вызывающий появление теплового потока, происходит
практически у самой поверхности.
Собирая вместе все перечисленные результаты, запишем
граничные \тювия дли системы гидродинамических уравнений
(12.28)—"(12.31) з виде
vnx = vag=r.Q. (12.33)
^-в-*(-згХ." <12-34>
Г» - Гта = oQe- (12.35)
В выражении (12.34) -а — коэффициент теплопроводности
твердого тела. В некоторых случаях тсплопроводпостЕ>ю твердого
тела можно пренебречь. Тогда из (12.34) и (12.32) следуют
такие граничные условия для vn н v5:
Гп2=0, г,г = 0. (12.36
Из (12.33) и (12.36) видно, что в пренебрежении
теплопроводностью твердого тела граничные условия для v„ такие же, как
Увязкой жидкости, а чля vs — как у идеальной жидкости.
Теплообмен между твердым телом и движущейся
сверхтекучей жидкостью приводит к появлению тангенциальных сил,
действующих на поверхность твердого тела. Это видно из того, что
к°мпонента тензора потока импульса Uxz при наличии
теплообмена отлична от нуля. Действительно, используя соотношении
(«2.27> н (12.32), имеем
1]хг = Р.Л'пЛ* + P,0„*« = P„*„r {Vnx ~ Г„). (12.37)
^Разив сп~ через нормальную составляющую потока тепла па
гРан1щс Q* = STvm, получим из (12.37)
ST
9 д
А- С. Кондратьев, А. Е. К}чма 129
т-т **пчг , ч
\\tz = - ST (Vnx — Vsx)-

Система гидродинамических уравнении (12.28) — (12.31)
сильно упрощается в случае, когда скорости vn и vs малы ло
сравнению со скоростью звука. Этот вопрос будет рассмотрен далее.
Отдельно будет также рассмотрен вопрос о движении растворов
квантовых ферм1ьбозс-жидкостсй, например смеси жидкого Не4
с изотопом Не3. Применительно к растворам фсрми-жидкостей
этот вопрос кратко обсуждался при рассмотрении
многокомпонентной электронной жидкости переходных металлов в
лекции 10.
Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости.
Полученная система гидродинамических уравнений описывает движение
сверхтекучей жидкости в отсутствие диссипации энергии. Для
учета диссипативных процессов в эти уравнения следует ввести
дополнительные члены, линейные по пространственным
производным скоростей vn и vs и температуры Т. Вид этих членов
устанавливается законом возрастания энтропии и принципом
симметрии кинетических коэффициентов Онсагера.
В неравновесных условиях обычные определения
термодинамических величин нуждаются в уточнении. Если под р
по-прежнему понимать массу единицы объема жидкости, а под j—ее
импульс, то уравнение непрерывности сохраняет свой вид:
-|£L+divj = 0. (1238)
Под £о будем no-прсжиему понимать энергию единицы объема
жидкости в системе отсчета, г-тс сверхтекучая часть покоится.
Остальные термодинамические переменные определяются как
функции плотности (р), энергии (Е) и относительной скорости
(vn — v5). Закон сохранения импульса записывается как
где пи — неизвестный днесипативный член, подлежащий
определению. Аналогично записываем уравнение для vs с подлежащей
определению функцией h:
dv* ■.у([1 + |_+/г)===а (12.40)
dt
Сверхтекучее движение по-прежнему считается потенциальны^
rotvs = 0. Наконец, уравнение для Е содержит некоторый
неизвестный дополнительный поток энергии Q':
~- + div(Q + Q') = 0. (12'41)
Уравнение для энтропии, однако, теперь уже не имеет впД*
уравнения непрерывности, ибо энтропия должна возрастать. *е
не менее для энтропии можно использовать старое выражен"
130

5==S(£, p, vn — vs). Действительно, разложение энтропии по
градиентам параметров начинается с квадратичных по градиен-
гам членов, так как в равновесии энтропия максимальна.
Поэтому в теории, справедливой с точностью до линейных но
пространственным производным членов, этими поправками следует
пренебречь. Найдем уравнение для энтропии.
Вычислим производную по времени от энергии (Е),
определяемой соотношением (12.12), учитывая (12.15):
^ (ц + ~) 9 + vs • j + vn . j0 + TS. (12.42)
дЕ
Исключаем производные по времени в (12.42) с помощью
уравнений (12.38) —(12.40). Учитывая соотношения (12.25) и (12.27),
находим
-jj- + div (Q + q + h (j — pvn) + tv„) «=
^r[^ + dIv(svn+^)]+Adiv(J-pvn) + Tifc-^ + y--VT.
(12.43))
Здесь tv„ означает вектор с проекциями t^^W К правой и левой
частям соотношения (12.43) добавлены члены с дивергенцией
некоторого неизвестного потока q, который может появиться в
неравновесных условиях в потоке энтропии. Сравнивая (12.43)
с уравнением (12.41), получаем уравнение, определяющее
скорость возрастания энтропии:
Г [#+«"v(Svn+-?-)]
= - A div (j - pVn) - т„ -Jf - -i- q • Vf (12.44)
it
и выражение для дополнительного днеенпативного потока тепла:
Q' = q + h (j — pv„) + tvn.
Выражение в правой части уравнения (12.44) представляет со-
б°й Дисснпатнвную функцию сверхтекучей жидкости. Из закона
возрастания энтропии следует, что диссииатнвная функция
Должна быть существенно положительной квадратичной формой
пространствснны\ производных. Отсюда следует вид введенных
"^известных членов:
ik
/ dv„.
— в<* [£i div<j -
А = —bdiv(j-
q==
dvnk 2 д dvm"
dv- 3 ltt dxt
-pVnJH-Sad-iWnl,
-pv„) —bdivvn»
~xVT.
9*
(Г2.45)
(12.46)
(12.47)

В диссипативной части тензора потока импульса (12.45) выде.
лена комбинация производных от vrt со следом, равным нулю,
которая соответствует первой вязкости. Соответственно ц назы'
вается коэффициентом первой вязкости, он связан с нормальным
движением. В соответствии с принципом Онсагера для
кинетических коэффициентов в (12.45) и (12.46) справедливо
соотношение
£i = b- (12-48)
Коэффициенты li (/=1, 2, 3, 4) имеют смысл коэффициентов
второй вязкости, причем в силу (12.48) их теперь три вместо
одного в обычной гидродинамике. Коэффициент у. в (12.47) есть
коэффициент теплопроводности. Коэффициента, аналогичного
первой вязкости, для сверхтекучего движения не возникает.
Окончательно, с учетом полученных выражений уравнения
гидродинамики сверхтекучей жидкости при наличии диссипатив-
ных лроцессов записываются в следующем виде:
f- + divj = 0,
_i_
dt ' dxk дк/с
?1±
dt
+ 6i£i div (j - pvn) + 6t& div v„], (12.49)
+ V (и + •£-) = V (b div (J - pv„) + li div vn],
+ div(Sv„+-f)=-f Я.
Диссииативная функция (R) может быть записана следующим
•образом:
Д = Ь (div Vn)2 + £з(div (j - pvn))2 + 25, div vn div (j - pvn) +
, 1 (9vM dvak 2 dvnl у / VT у
Для положительности функции /? все кинетические
коэффициенты гк ^ь Ц2. £з и у- должны быть положительными, причем
необходимо выполнение неравенства £?^£2^з-
Задания
1. Получить соотношение (12.18).
2. Получить соотношение (12.43).
3. Получить выражения (12.45) —(12.47).
132

Цекция 13
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА
в СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
При достаточно малых частотах, когда выполнено условие
ют <С 1 (где о — частота звука, а т — характерное время
релаксации), исследование вопроса о распространении звука в среде
может производиться с помощью гидродинамических уравнений.
При этом вполне адекватно может быть рассмотрен вопрос о
поглощении звука, если в гидродинамических уравнениях учесть
циссипативные члены. Вопрос о распространении звука в
сверхтекучей жидкости при больших частотах, когда о>т ^ 1, не может
быть рассмотрен в гидродинамическом приближении и должен
изучаться на основе кинетического уравнения для функции
распределения элементарных возбуждений.
Применим уравнения гидродинамики сверхтекучего гелия II
для изучения распространения низкочастотного звука. В
звуковой волне скорости vs и vn считаются малыми по сравнению со
скоростью звука, а плотность, давление и энтропия — почти
равными своим равновесным значениям. В этих условиях система
гидродинамических уравнений (12.28)—(12.31) может быть
линеаризована. Пренебрегаем в этих уравнениях квадратичными
по скоростям членами, а в выражении div(Svn) выносим из-под
знака дивергенции S = Sf>, поскольку этот член уже содержит
малую величину vn. После указанных операций система
гидродинамических уравнений принимает вид
-£+div] = 0, (I3.1)
dt
dt
+ V/?-0, (13.2)
d{ps) -f P5clivv„--0, (13.3)
dt
dv.
dt
+ V*i=-0. (13.4)
Рассмотрим различные типы звуковых волн, которые могут
Распространяться в гелии П.
Первый и второй звуки. Исключая из уравнений (13.1) и
'13-2) импульс j, имеем
^=v¥. (ВД
д^лючасм теперь скорости vn и vs из уравнений (13.2), (13,4).
1\2<)ЭТОго нах°Дим выражение для dp с помощью соотношения
lW> н 1юдставляем в исго dE0 из (12.15), учитывая при этом
систво (12.16) и пренебрегая квадратичными по скоростям
133

слагаемыми. Получим dp = pd\\ + psdTt откуда следует равен-
ство
Vp = pVu. + psV7\ (13.6)
Подставим в (13.6) Vp из (13.2) и Уц- из (13.4):
Pnl(vn-vs) + psvr = 0. (13.7)
В очевидное тождество
ds 1 d{sp) s^ dp
dt p dt p dt
подставляем выражения для др/dt из (13.1) и для d(sp)/dt из
<13.3):
д$ $ sp
— = — s div vn + — div j = — div (vs — vn),
откуда div (vs — v«) = -jj~ ~jp - (13.8)
Применяя операцию div к (13.7) и подставляя получающийся
разультат в (13.8), приходим к уравнению
■5-^^sVT. (13.9)
dt* P„
Уравнения (13.5) и (13.9) определяют изменения
термодинамических величин в звуковой волне в сверхтекучей жидкости.
Поскольку этих уравнений два, то существуют две скорости
распространения звука. Для определения этих скоростей
поступим следующим образом. Выражая давление и температуру
через энтропию и плотность, перепишем уравнения (13.5) и (13.9)
в следующем виде:
Ищем решения этих уравнений, имеющие вид плоских волн:
Р =- Ре + 9 exp [to U — ~-Y|,
s=?sQ + s' ехр[ш (/ — ---)] ■
Здесь ш—-частота: « — скорость звука вдоль оси х. Подставл**
выражения (13.12) в уравнения (13.10) и (13.11), находим
[Ш'-Ф'-Ш„Ш/=«. .,,„
«34

где использованы следующие обозначения:
u\ = {dpld9)s, (13.14)
t4 = J±si(£L) . (13.13)
Устовие существования ненулевых решений системы (13.13)
записывается в виде равенства нулю ее определителя. Это усю-
вие представляет собой дисперсионное уравнение для опреде-
1ения скорости звуковых колебаний:
Используя правила преобразования термодинамических
переменных, легко показать, что правая часть соотношения (13.16)
равна (Ср — Cv)/Cp. Благодаря аномальной малости
коэффициента теплового расширения гелия II ниже /„-точки его
теплоемкости Ср п Cv оказываются практически одинаковыми, так что
дисперсионное уравнение принимает вид
При этом формулы (13.14) и (13.15) определяют два
приближенных решения дисперсионного уравнения.
Первый корень определяет скорость обычного (называемого
первым) звука. Именно с такой скоростью распространяются
в гелии II колебания давления или плотности. В волнах первого
звука гелий движется как целое. Второй корень определяет
скорость распространения так называемого второго звука. С такой
скоростью распространяются колебания температуры или
энтропии. Возможность распространения незатухающих
температурных волн является специфическим свойством сверхтекучего
гелия. •
Скорость и\, определяемая формулой (13.14), почти постоян-
Hai в то время как даваемая формулой (13.15) скорость и->
сильно зависит от температуры, обращаясь в /-точке в нуль
вместе с р,. Вблизи л-точки pn ^ р, поэтому для и\ имеем
4 = Ts\/(Cpo).
^я скорости и\ остается справедливой формула (13.14).
При самых низких температурах почти все элементарные воз-
- бдения в гелии II являются фононами. Поэтому, как нетрудно
Раг^ИТЬСЯ с помои*ью формул (11.8) для термодинамических ха-
*терпстик гелия вблизи абсолютного нуля температуры, спра-
иеДливы
соотношения
о Тер
135

Используя эти выражения, нетрудно получить с помощью фо ,
■кул (13.14) и (13.15) й2 = а,/Уз (T-+Q).
Второй звук можно рассматривать как волны сжатия и раз.
режения в газе элементарных возбуждений, поскольку колеба.
чия температуры приводят к колебаниям плотности тепловых
возбуждений. Скорость второго звука — это скорость звука Ё
газс возбуждений, а предельное значение и2 = щ/^3 при Г-ц)
соответствует общему результату для скорости звука в газе
квазичасгиц с энергетическим спектром г^=и\р.
Рассмотрим подробнее физическую природу обоих видов
звуковых волн. В волне первого звука, распространяющегося со
скоростью щ, энтропия не меняется, а колеблется плотность.
Действительно, из первого уравнения (13.13) следует, что прй
и ж их (/Ф07 a s' —0. Далее, из уравнения (13.9) следует, что
у7 = 0, а тогда из (13.7) видно, что vs = vn- Эго соответствует
распространению волн плотности в гелии II с практически
постоянной энтропией при совместном движении нормальной а
сверхтекучей компонент, причем скорость равна обычной
скорости звука, определяемой формулой и2 — (др/др)3. В волне
второго звука, распространяющегося со скоростью и2, не
меняется плотность, а колебания совершает энтропия (пли
температура). Из второго уравнения (13.13) видно, что при и ж и2
р'—0, а я'ФО. Из уравнения (13.5) видно, что Vp = 0. а из
уравнения (13.2) при этом следует, что psvs + pnVn = 0. Эти
условия соответствуют распространению волн энтролни при
почти постоянной полной плотности. При этом нормальная и
сверхтекучая компоненты гелия II движутся в противофазе, что
обеспечивает равенство нулю суммарного потока массы.
Различная физическая природа первого н второго звуков
обусловливает и различие в способах их возбуждения.
Плоскость, совершающая колебания в направлении нормали к самой
себе, излучает в основном первый звук. Эго легко понять, есч»
заметить, что иа поверхности твердого тела vs = v„, а второй
звук связан с наличием разности vn — vs. Экспериментально
скорость первого звука измерялась путем определения длины
золны и импульсными методами, в которых в качестве
передатчика и приемника использовались резонаторы из кристалл
кварца. Результаты измерений показаны на рис. 13.1.
Относительное движение нормальной и сверхтекучей ком»0"
чент жидкости можно вызвать с помощью периодически измС"
няющего свою температуру тела, погруженного в гелии П. Ск°'
рость второго звука определялась путем генерации стоячих во
в резонаторной трубке. При этом передатчиком служил элеь
тронагрсватсль, питаемый переменным током, а приемников
термометр сопротивления. Частота второго звука оказывает
сдвос больше частоты переменного тока. Зависимость скоро0
второго звука от температуры показана на рис. 13.2. Имен*1
13S

к такой зависимости приводят выполненные на основе
выражения (13.15) расчеты.
Затухание первого звука в гелии II обусловлено обычными
эффектами вязкости и теплопроводности, которые приводят к
диссипации энергии волны. В затухание вносят вклад и эффекты
релаксации тепловых возбуждений в системе. Вес факторы, ири-
зодягдне к затуханию первого звука, вносят вклад и в затухание
второго звука. К ним добавляется теплопроводность, связанная
с дрейфом возбуждений. Как уже отмеча.чось, в общем случае
первый и второй звуки являются связанными. В частности, при
учете теплового расширения гелия возникают колебания
температуры в волнах первого звука и колебания давления в волнах
второго звука.
z/2,m/g
80
40
„м/u
240
120
200
то
\
^^L
1 It I
2 3
Рис. 13Л.
т»к
о
:х
Рис. I3.2.
J3 TtK
Для исследования вопроса о распространении звука при
учете его затухания следует воспользоваться системой
гидродинамических уравнений (12.49) для сверхтекучей жидкости с
учетом диесипатпвных членов. Не приводя соответствующих
расчетов, выпишем выражения для скоростей первого и второго звука.
3 рассматриваемом случае они будут комплексными, причем
мнимые части будут определять поглощение. Для квадрата
скорости первого звука в пренебрежении эффектами теплового
расширения расчет даст
"НФ.+-г (4 »+«.)•
Л*1 и квадрата скорости второго звука в том же приближении
ц2 о (ЯТ \ р. ко р„ Г 4 > ^ , рп * ( ОТ \ "1
;->ЛИл-г комплексностп и комплексными будут и волновые числа
"-^ <•)///, причем мнимая часть есть просто коэффициент ногло-
137

щения звука се:
Для второго звука
a2==Im — = —т— -'»! + & + Р"ьз — 2рСН —(—) .
и2 2р«5 рп L3 Ps ? V<* /pj
Третий и четвертый звуки. Рассмотрим два специфических
волновых движения в гелии II, связанные со вторым звуком. Так
называемый третий звук— это поверхностная волна в пленке
гелия II, в которой сверхтекучая компонента колеблется
параллельно подложке, а нормальная компонента «зажата» благодаря
наличию вязкости. На гребне такой волны оказывается больше
сверхтекучей компоненты, чем в равновесном состоянии, а во
впадине — меньше. В результате этого температура во впадине
повышается, а на гребне понижается. Чтобы получить
качественную оценку для фазовой скорости третьего звука, можно
использовать выражение для скорости поверхностной волны на
неглубоком слое обычной классической жидкости толщиной d:
Здесь f —сила, действующая на единицу массы гелия,
обусловленная ван-дер-ваальсовым притяжением со стороны подложки;
о — поверхностное натяжение. Учитывая, что в гелии II
движется лишь сверхтекучая компонента, можно написать для
скорости третьего звука выражение
fc2 = PJJ/p.
По порядку величины «3 совпадает с наблюдаемыми скоростями
потока в пленках (от 10 до 100 см/с). Третий звук возбуждается
при освещении пленки сверхтекучего гелия пучком
инфракрасного излучения, которое прерывается с определенной частотой.
Возникающие колебания толщины пленки наблюдаются по
поляризации света. Теория третьего звука основана на
использовании соответствующих граничных условий к уравнениям двух-
скоростной гидродинамики.
Четвертый звук представляет собой колебания сверхтекучего
гелия II в узких капиллярах при неподвижной нормальной
компоненте. В этом случае возникают осцилляции температуры и
полной плотности. Действительно, в узких капиллярах возможна
ситуация, когда длина свободного пробега квазичастиц
становится сравнимой или даже превосходит диаметр трубки. При
этом нормальная компонента гелия при его течении будет оста
ваться неподвижной. По сверхтекучей компоненте могут распр0
страняться звуковые колебания, скорость которых наход«тс
13R

из линеаризованной системы гидродинамических уравнений
(]3.1) —(13.4) при vrl = 0. Имеем
p + Psdivvs = 0, (13,18)
vs + V.u = 0, (13.19)
s = 0. (13.20)
Исключив vs из уравнений (13.18) и (13.19) и использовав
соотношение (13.6), получим
9-~V2P-sqsV2T. (13.21)
В пренебрежении тепловым расширением жидкости из (13.20)
следует соотношение
p-|fv2r + s-|Lv2p = 0. (13.22)
Уравнения (13.21) и (13.22) приводят к волновому уравнению:
Оно имеет периодические решения, соответствующие
распространению возмущения (четвертого звука) со скоростью,
определяемой соотношением
"Hj^i+y^ <13-23>
где ы\ и и-2 — скорости первого и второго звука, определяемые
равенствами (13.14) и (13.15). В выражении (13.23)
практически при всех температурах второй член оказывается
существенно меньше первого.
Кинетическое уравнение для квазичастиц в квантовой бозе-
жидкости. Как и обычно в статистической физике, можно
ставить вопрос о получении гидродинамических уравнений не
Феноменологическим путем, а в рамках микроскопического иод-
хода на основе кинетического уравнения, описывающего
временною эволюцию системы. Кинетическое уравнение может служить
сновой для описания неравновесных процессов в системе в усло-
йях, когда гидродинамическое приближение становится
неприменимым.
ч -^вУ*скоростная гидродинамика при рассмотрении сверхтску-
те\° гелпя становится неприменимой нрн достаточно низкой
лпературе, когда резко возрастает длина свободного пробега
ценЗКчастиц' в пеРвую очередь вследствие уменьшения и к кон-
вен ^ацпи- При этом система квазичастиц становится
существа ° н.еРавновесной. Теряют смысл понятия температуры и пор-
босг Н°^ СК0Р°сти v„: их можно определить только при равно-
м (пли квазиравновесном) распределении квазичастиц.
139

Вместе с vn теряет смысл и разделение плотности жидкости на
сверхтекучую и нормальную части. Разумеется, полная
плотность (р) сохраняет смысл. То же самое относится и к
сверхтекучей скорости v5, которая, по существу, является
механической, а не статистической переменной. Полная система
уравнений для описания сверхтекучей жидкости на кинетической
стадии ее временной эволюции содержит кинетическое уравнение
для функции распределения квазичастиц п(р, г, г), уравнение
непрерывности для плотности системы р и уравнение,
определяющее зависимость ог времени скорости vs-
Прн выполнении условий квазиклассичносги— медленного
изменения всех величин на расстояниях порядка дебройлевой
длины волиы квазичастицы h/p — кинетическое уравнение
записывается обычным образом:
дп , дп дъ дп дг 7 / ч ,1Q 0.ч
_ + _г.____.__==/(/г)> (13.24)
где 8—энергия квазичастнцы, зависящая от скорости
сверхтекучего движения v3. Через е обозначим энергию квазичгетицы в
покоящейся жидкости, т. с. в системе отсчета /С0, где vs = 0. При
наличии только одной квазичастнцы энергия жидкости в этой
системе равна е(р), а ее импульс совпадает с импульсом квази-
»астицы р. Тогда в лабораторной системе отсчета, где
сверхтекучая скорость равна vs, энергия Е и импульс Р жидкости массой
М есть
(13.25)
Р = р + М vs. V
Отсюда видно, что в жидкости, совершающей сверхтекучее
движение, энергия квазичастицы
s(p) = e(p) + p-v«. (13.26)
Энергия квазичастнцы f может зависеть от координат зз
счет изменяющейся в пространстве плотности р, от которой е
зависит как от параметра. Далее, сверхтекучее движение
потенциально, поэтому roivs = 0. В силу этих условий и соотношения
(13.26) фигурирующие в кинетическом уравнении (13.24)
производные равны:
дг дг .
= __ -{- Vst
dp dp
(13.27)
Сравнение непрерывности для плотности р имеет обычный внД-
<3p/cW + divj = 0.
Зыраженпс для импульса единицы объема жидкости j в лао
раторной системе отсчета можно найти с помощью второи
140

формул (13.25). Суммируя по всем квазичастицам в единице
объема жидкости, имеем
j-pvs + <p). (13.28)
Угловыми скобками в (13.28) и далее обозначено усреднение с
функцией распределения квазичастиц п{р, г, t):
<P>==5l^Fp"(p,r'/)- (13-29)
Таким образом, <р> — импульс единицы объема жидкости в
системе отсчета /С0, где vs =0. Поскольку полный импульс системы
сохраняется, то для нахождения уравнения для сверхтекучей
скорости v3 можно воспользоваться законом сохранения
импульса в форме
ж + ^7=0' (13-3°)
где П-й—тензор потока импульса. Воспользуемся соотношением
(12.9), связывающим между собой компоненты тензора потока
пмлульса в лабораторной системе отсчета (И-*) и в системе /С0
(Пс-*):
П«КР°Л + vsikk + oJv + ] W (13*з1>
В формуле (13.31) jo означает импульс единицы объема в
системе /Со- В силу (13.29) j0 = <p>, поэтому соотношение (13.31)
можно переписать в виде
п« = pw* + *« W + »* (Р() + * W О3-32)
Умножим кинетическое уравнение (13.24) на pt и
проинтегрируем по импульсной переменной. Вследствие сохранения
суммарного импульса квазичастнц при столкновениях правая часть
Уравнения обращается в нуль. Левую часть уравнения можно
записать следующим образом:
-§r<Pi)+ iw4f^~tt)=0- (13-33)
Второе слагаемое в (13.33) преобразуем так:
J (2яА)« Pi cHk dPk ~ dXk ) {2ah)3 npi dpk J {2пЪУ ftPi dxkdpk '
(13.34)
Ti
1етье слагаемое в (13.33) интегрируем по частям:
f_^P__ дп дв __ Г rfp дй ■ Г dp
J (2nft)3 Pi дрк дХк — j (2:ifi)* /l ах. "*" J (2я/>)3 Л"*
<Э2ё
дхкдрк
(13.35)
141

Подставляя (13.34) и (13.35) в (13.33), получаем
ж<Р'>+-4(л^г> + (^)=°-
Подставим в это уравнение соотношения (13.27):
1(^> + ^(^- + ^> + (^-> + ^(Р-5> = 0. (13.36)
Теперь подставим в уравнение (13.30) выражения (13.28) для]
и (13.32) для П;к. Б получившемся уравнении исключим
производные Op/dt с помощью (13.1) и (Kp}/dt с помощью (13.36).
Найдем
р— + &*игк +-^Г"\щ)"игк \P'-dib) = 0- <13-37>
Из условия rotvs = 0 следует, что сумма последних трех
слагаемых в левой части (13.37) должна равняться произведению
плотности р на градиент некоторой функции. Далее, в
соответствии со вторым равенством (13.27) de/dxi — de,/dp*dp/dxi.
Тензор Птк в отсутствие квазнчастпц при абсолютном нуле
температуры равен роб(А, где р0 — давление сверхтекучего гелия при
7 = 0. Отсюда следует вид тензора По/*:
Согласно соотношению (13.6)
oXi -P^-. (13-39>
где индексом нуль отмечены величины при Г —0, Подставляя
выражение (13.38) в уравнение (13.37) и учитывая (13.39),
получаем
dt
Это уравнение сверхтекучего движения. Сравнивая (13.40) и
(13.31), находим
■>-"■.+$■$?-'■$• <13-4"
Второе слагаемое в правой части (13.41) соответствует вклзД^
тепловых возбуждений в системе. Аналогичным построение
можно получить выражение для вектора потока энергии; у
Уравнения двухскоростной гидродинамики могут быть по*
чены путем усреднения приведенных ранее уравнений по раВ
весному распределению квазнчастиц. Равновесная функция Р
предслемия квазичастиц в системе отсчета, где газ квазичзс
142

как целое покоится (v„ = 0), есть функция распределения
5озе—Эйнштейна с энергией квазнчасгиц е, даваемой
формулой (13.26). Распределение квазичастнц в системе отсчета, где
нормальная скорость отлична от нуля, получается заменой г на
е —p-Vn. Поэтому равновесная функция распределения прн
наличии обоих движений есть
г £ + p*(v — v_) I"1
п (р) = [exp Ц^ ^ - IJ .
g случае, когда равновесие нарушено, функция распределения п
отличается от равновесной и находится из кинетического
уравнении. Знание функции распределения позволяет вычислить
кинетические коэффициенты и коэффициент теплопроводности,
причем для этого достаточно рассмотреть слабонеравновесное
состояние системы.
В рамках кинетического подхода исследуется вопрос о
распространении звука при tor ^ 1. При этом удобно
конкретизировать вид энергетического спектра квазичастиц н рассматривать
отдельные кинетические уравнения для функций распределения
фононов и ротонов. Для получения полной системы уравнений
к ним добавляются уравнение непрерывности и уравнение
сверхтекучего движения.
Задания
1. Получить уравнение (13.9).
2. Получить чнеперснонное уравнение (13.17).
3. Покажите справедливость равенств с = 3s, pa = Tcpf\Zuf) вблизи
абсолютного нуля температуры.
4. Получите выражение для плотности потока энергии:
Q-(<P> + Pv,)(l^ + (^) + -^)+((e + P-ve)(^+ve)).
Лекция 14
растворы квантовых
ферми-бозе-жидкостей
ра
Смотрим раствор Не3 в Не4. При достаточно низких темпера-
^.Рах такая система представляет собой квантовую жидкость,
г] От°рой одновременно имеются ферми- и бозе-возбуждения.
Пр Тсмпературе ниже 0,8 К раствор Не3 в Не4 расслаивается,
ToiJ?M кРивая расслоения при Т-^0 одним конном уходит в
8 то?'* С00твстствующую чистому веществу (Не3), а другим —
1кУ> соответствующую раствору с концентрацией Не3 в Не1
143

около 6%. При концентрации ниже 6% раствор не
расслаивается и при понижении температуры всегда переходит в
область фермиевского вырождения. Получается фермиевская
квантовая жидкость, растворенная в сверхтекучей бозе-жидкости:
ферми-бозе-квантовая жидкость.
Элементарные возбуждения в ферми-бозе-жидкостях.
Феноменологическая теория ферми-бозе-квантовых жидкостей может
быть построена в том же духе, что-и теория квантовой ферми-
жндкости. Выясним сначала связь между энергией и импульсом
фермиевской квазичастицы в отсутствие и при наличии
сверхтекучего движения. Обозначим через £0 и Р0 энергию и импульс
единицы объема жидкости в системе отсчета, движущейся со
скоростью сверхтекучего движения vs. Тогда для Е и Р в
лабораторной системе отсчета имеем
■>
P = Po + Pvs- (14.2)
Этот же импчльс Р можно представить в виде суммы импульса
сверхтекучего движения бозе-жидкости, равного *itvs, и полного
импульса ферми-возбуждений:
здесь я (р)—функция распределения фермиевских квазичастиц.
Как и в теории фермп-жндкости, будем считать, что число
фермиевских возбуждений в растворе Не3 в lie4 равно числу* ферм»-
частиц. Тогда плотность бозевской части раствора
p.=p-'»Siwn(p)- (И-4'
где т — масса ферми-частицы. Сравнивая формулы (14.2) "
(14.3)г находим выражение для Р0:
пли, после замены переменной:
Из выражения (14.5) следует, что импульс квазичастпцы р **°
но представить в форме функциональной производной'
^ Ьп (р -"- mvs) *
144

Для энергии ферми-возбуждения (г(р)) можно получить
аналог чное выражение:
Отмстим, что формулы (14.6) и (147) определяют'импульс
и энергию элементарных возбуждений в системе, где vs = 0.
Состояние системы описывается тремя функциями:
плотностью фсрми-бозе-жидкости р (или плотностью бозе-части ри
определяемой формулой (14.4)), скоростью сверхтекучего
движения vs и функцией распределения фермиевских возбуждений
я(р + wvs). Вычислим энергию фермиевского возбуждения
е(р + /hvs) при наличии сверхтекучего движения со скоростью
vs, когда импульс возбуждения, очевидно, равен р + mvs. Полная
энергия единицы объема жидкости в лабораторной системе
отсчета при наличии сверхтекучего движения со скоростью v5
складывается из энергии, обусловленной бозе-возбуждениями,
v. энергии, обусловленной ферми-возбужденпями. С учетом
соотношений ((4.1), (14.6) п (14.7) находим
в (р + wv,) *= ы (р + тvj = в (р) + р • vs. (14.8)
Энергия г(р) является функционалом плотности квазичастпц.
Поыому можно ввести корреляционную функцию /(р, р'),
аналогичную функции (г(р, р') в лекции 2:
которая описывает взаимодействие элементарных возбуждений.
Энергия квазнчастицы при малом отклонении от равновесия,
которое можег вызываться разными факторами, в том числе и
колем скорости vs, по аналогии с ферми-жидкостью определяется
в В1'де
е (Р) = Ь(Р) + \ тЙ^ f (р" РОв«(Р'+'«vA (НЛО)
r^c во{р) — энергия элементарного возбуждения в системе, на-
^оДлщейея в термодинамическом равновесии. Величина
Ьп(Р + т\\) равна
б/г (р + mv$) = п (р + wvs) — п0 (р).
*есь /?п(р) — равновесная функция распределения. Такое онре-
'CT.:i0HlIc вариации ф\нкщш распределения согласуется с равен-
°м П4.5), которое можно переписать так:
Ро = $ -(jjfjr Р [п (Р + /W.) - «о (р)], (Н.11)
с- Кончратьеп, А. Е. Кучма 145

поскольку в состоянии равновесия, характеризующемся
функцией распределения п0(р), общий импульс возбуждений равен
нулю.
Запишем энергию возбуждения 5(р) как функцию импульса
р. Используя соотношение (14.8) и формулу (14.10), выделим
в явном виде линейные по v5 члены:
с(р) = е(р —mvs) + (p —/hvs)-vs«c0(p)+(p«-/H-|^-) • vs^
+ \ {2^Н)г /(p — mvs, pO^/Mp' + wvs). (14.12)
При низких температурах существенны лишь импульсы, близкие
к фермневскому граничному импульсу. Для дальнейших
преобразований вводим, как и в теории ферми-жндкости в лекции 2,
величину Л (х) соотношением
Р (вь-) / ОС) = Л(х), (14.13)
где /(х) — значение функции /(р, р')» даваемое (14.9) при р =
= р'=рР и-зависящее только от угла у между векторами р л
р'. Величины А, — коэффициенты разложения функции А(%) по
полиномам Лежандра (2.28). Для значений импульса, близких
к pf, из (14.12) с учетом (14.13) следует
с (р) = е0(р) + (р — m^§0 ' Vs — т (^ * Vs) Л» +
+ $ tJSf ; (р*р,) [п {р,)"Ло (p/)1- °4*14)
Запишем энергию возбуждения €о(р) в виде
Mp) = «o+p7<2m")f (H.15)
где т* — эффективная масса квазичастицы, определяемая
взаимодействием ферми-частнцы как с бозс-, так и с ферми-частями
раствора; ео—нулевая энергия возбуждения. Для закона
дисперсии (14.15) соотношение (14.14) дает
g(p) = e0 + -^r + P-vs[l-^(l + .4I)] +
+ $ -$щг f <Р, Р') [п <р') - Щ(р')Ь (ИЛА
Отметим, что в чистой фермн-жндкостн коэффициент при члене
p-vs в (14.16) обращается в нуль в силу соотношения (З.б)-
В выражении (14.16) первые два слагаемых в правой ч2
сти — это энергия возбуждения с учетом взаимодействия феР"
мневской квазичастнаы с бозе- и фермп-часгями раствора, тре*
тнй член —добавка к энергии квазичастицы, обусловленная п°
чем скорости vs. а последний член —добавка, возникающая пр1
наличии каких-либо внешних возмущений, например магнитно
поля или градиента температуры.
146

Равновесная функция распределения. Для расчета различных:
тсрмодпнамичсских .характеристик раствора квантовых
жидкостей необходимо знать явный вид равновесной функции
распределении квазичастиц. Как и в теории квантовой ферми-жидко-
сТп, равновесную функцию распределения можно определить
лутсм минимизации комбинаторного выражения для энтропии:
s=- * S тшИ"1п п+(1 ~п} !п {'_ п)]
лрп заданных значениях полной энергии (£"), числа
элементарных возбуждений (N) и импульса относительного движения
(Р0). Другими словами, минимизации подлежит функционал
«F) = S--^r(£-|i.V-vfl-P0)f (14.17)
где l/(kT), ц и vn — множители Лагранжа, имеющие обычный
в статистической физике смысл. Варьируя функционал (14.17)
по 6л (р + >«vb), получаем
MP + wvs) = J exp-^ kT Ь lj • (14.18)
Термодинамическое тождество для энергии при использовании
независимой переменной о имеет вид
dE0 = T dS + ii dN + ^-it, dp+(v,~vs)^dPof
III I
где m\ — масса атома Не4.
Нормальная плотность и теплоемкость раствора.
Подсчитаем вклад ферми-возбуждеиин в плотность нормальной
компоненты раствора. В соответствии с (14.11) импульс Р0 единицы
объема ферми-возбуждений ц системе отсчета, движущейся со
скоростью vSl равен
?*= \ l2^Pto(P + mv*>' <14Л9>
Для изменения энергии возбуждения при наличии сверхтекучего
Р3 нормального движений и нспользонании равновесной функции
Распределения (14.18) найдем с помощью (14.8) и (14.10):
65fP) = J-^^P' PO-^eS' + P^v.-Vn). (14.2,))
"сложный расчет на основе соотношения (14.20) приводит к
результату:
^Пользование (14.21) позволяет получить из (14.19) счедую-
1°е выражение для импульса единицы объема Р0:
. Г dp дп0 *- m'V , ч
Ю* |47

При этом полный импульс в лабораторной системе отсчета й
соответствии с (14.2) равен
р = р0+pvs=(Р - т^глг) vs+r+-A;Va- (14-22)
Учитывая обычное соотношение Р = psvs + pnvn» находим с по^
мощью (14.22) выражение для плотности нормальной
компоненты ферми-бозе-жидкости (рп), обусловленной фермиевскими
квазичастицами:
р-= /«*#/(!+Л,). (14.23)
Видно, что р„ не равна плотности ферми-части раствора mh\
Поскольку рассматриваемая область температур ограничена
условием £Г<Сер, то теплоемкость всей жидкости обусловлена
лишь ферми-возбуждениями, а вклад бозе-возбуждеинй крайне
мал. Теплоемкость ферми-возбуждений вычисляется так же, как
и в теории ферми-жидкости, и совпадает с теплоемкостью
идеального ферми-газа с массой т*:
Отметим, что в отличие от формулы (14,23) для рп в выражение
(14.24) для теплоемкости входит полная эффективная масса т*
ферми-возбуждений.
Уравнения для ферми-бозе-жидкости. Запишем полную си
стему уравнений, описывающих раствор квантовых жидкостей.
Если при рассмотрении звуковых колебаний не накладывать
никаких ограничений на величину сот, то следует исходить не из
гидродинамических уравнений, а из кинетических уравнений для
функций распределения квазичастиц. При достаточно низких
температурах' основную роль в формировании свойств ферми-
бозе-жидкости играют ферми-возбуждения, а вкладом фоноиов
и ротонов можно пренебречь. Тогда при наличии сверхтекучего
движения в ферми-бозе-жидкости полная система уравнений,
описывающая распространение звука, содержит кинетическое
уравнение для функции распределения ферми-возбуждений;
дп (р + mvs) дп (р A- mvs) de (р -+■ wvs)
_ ( _ _
дп (р + mvs) дЪ (р 4* rovs) __
уравнение непрерывности для всей жидкости:
J^ + divj = 0 (j = p)
и уравнение сверхтекучего движения:
дх^ / дЕ \
(14.2э)
(14.26)
(14.27
148

Здесь В и Р — энергия н импульс единицы объема жидкости в
лабораторной системе отсчета. Уравнения (14.25) и (14.26)
ямеют обычный вид, а уравнение (14.27) требует специального
вывода. Для этого рассмотрим закон сохранения импульса
Ж + '™£ = 0, (14.28)
где Uik — неизвестный пока тензор потока импульса. Умножим
кинетическое уравнение на р,- и проинтегрируем по импульсной,
переменной. При этом учтем, что в силу соотношения
Г dp
I (n) = О
справедливо также равенство
5 wр/ {п)=S w (р+ravs) 7 w=°-
В результате, выполнив в последнем слагаемом в (14 25)
интегрирование по частям, получим
дРы д г dp dl (p + шу5)
_lr„(p + mVs)_lL_^i=0. (14.29)
Вычтем уравнение (14.29) из уравнения (34.28) и воспользуемся
уравнением непрерывности и соотношением (14.2)
dv ( д Г г dp "I
Р -§; vsi j^ [ovsk + J -щ^ Pkn (p + mvs)J +
д Г г dp , дЁ (p + ^vs) "I
+ a^LH,'*"315SFftn(p + lflVe) ^T^J"
f Jp r)e(p + mvs)
/г (p + mvs) jrz = 0.
J (2аЙ)8 '^и ' ""*' dxi
Преобразуем это уравнение, учитывая усювие потенциальности
сверхтекучего движения rotvs = 0:
/ dv., д vl\ д г
0 Ы~ + -ш:т) + -&гк ["«-р"*0-* ~
f rfP ae(p + /«vs)-j
Р«« (Р + mvs) yp J —
(2яй)э
Vei
к
д
" а*„
Sl2SF^(P + mVs)
-s
dP n(p + mvs)^Lj^)=o. (14.30)
(2яА)3 ук ' s/ «to.
149

Преобразуем последнее слагаемое в правой части (14.30):
г dp dt (р + mvs)
JlS5F"(P + mv.)—щ—-
= S 15*$г "Й~ * (Р + mVs) ё(р + mVs) "~
Г ^Р dn(p + mvs) _
-Jtssf Щ «* + mv») =
5
^|гг Л (Р + WVs) £ (Р + WVS) —
дх. J (2яА)
о£ d£ dp d£ 6vsk
с)*-, ар dx. d»sft дх.
^^[Siwrt(p+mvs)g(p+mvs)~£+"^pb
Учтем (14.31) и соотношение, следующее из (I4.I):
= pusft + J (2^)3 pfe« (p + mvs),
дБ
и тогда получим
/ dv^; д дЕ\ д Г г г/р , . дё (p+mvs)"|
(°»' l£)~ a^[$ "РИГ Д(р + '"v.)I(p + mv,)-£+
д
dxk
+ p§]=0. (14.32)
Из соотношения (14.32) следует уравнение (14.27) и выражение
для тензора потока импульса П^:
nift=S T^rPj^tP+mv»)-^- + J ^0f(P^sti+PkOsi)n(p+m\s)r
+ pVsiVsk + bik [^ (2^)3 n (p + mvs) e (p) — EQ + p -^-] -
Уравнение (14.27) с учетом (14.1) можно переписать в виде
д\\ (д£Л vz \
Первый и второй звуки в ферми-бозе-жидкости. Рассмотри
звуковые колебания ферми-бозе-жидкости низкой частоты. ^
ходим из кинетического уравнения для функции распределен*
Ферми-возбуждений, хотя при <от -С 1 справедливо гидродина»1
ческое приближение как для всей жидкости в целом, так и Д-
.'50

ее ферми-части. Обозначим малые отклонения п и о от их
равноосных значений через 6/г и бр. Ветчиной того же порядка ма-
10CTH будет и скорость vs- В плоской звуковой волне эти вети-
ц\\\\ы меняются по закону ехр(/кг—Ш). Тогда с помощью
уравнений (14.25) — (14.27) находим
■ / (о — к ■ v) 6/г + /к • v -~~ [-—- 6р + Р - vs +
rfp'
(14.33)
tudp — ik- (pvs+ ]-[2^1гр6/г) = {)'
tov* ~ /к(т бр + S Tw" $ б/г) = °-
Б этих выражениях v = de/dpt s2/p~d2Efdp2.
, Для упрощения записи вводим некоторые обозначения и
безразмерные переменные:
Ьп = -р- mVpv (cos 8),
0 —угол между р и волновым вектором к;
де де о со ,._ ч , -
<>р
В этих обозначениях система уравнений (14.33) принимает
следующий вид:
(и — cos В) v (cos 8) +
+ cos G [а 6р — $ diYA (%) v (cos 9') + cos 9 • f-s] = / (v\
Л- - . Nm* n (14 34)
ибр —i>s + v1-y = 0, \i<*.>v
s2 ,~ . 0 A'm* s2 n
ttlis ™ op + За 7- v0 = 0.
Vp P CJ.
° этих выражениях vo и V| — коэффициенты разложения функ-
Ц1*и vfcosB) по полиномам Лежандра:
v (cos 0) = £ vftPft (cos 9). (14.35)
n
Система уравнений (14.34) справедлива для любых значс-
Ии параметра ют, так как основана на использовании кинетп-
ескрго уравнения. При шт «С 1 справедливо гидродинамическое
Риближение. Для рассматриваемой системы уравнений это об-
°ятельство проявляется в том, что из всех гармоник функции
icosG) существенно отличными от нуля оказываются только
роевая к первая гармоники. Собирая коэффициенты при
°\cos0) и Pj(cos9) в уравнении для v(cosO) в системе (14.34),

получаем два уравнения для коэффициентов v0 и у} в разложе
нии-(14.35):
"v° "~ -3- (1 + ^i) V| + у 5S = 0,
S2
(1 + Л0) v0 — uvx — а-г- 6р = 0.
(14.36)
Условие совместимости двух последних уравнений системы
(14.34) и уравнении (14.36) дает дисперсионное уравнение для
определения относительной скорости звука (в единицах vF)
"'"""{^t1 + ft(lX+^)((a(1 + -llJ+1)2""1)] +
+ ^U + 4|)11+Л0)} + 1(ц- у(1 + Л;)4(1-^~^)==о,
(1137)
Здесь Л0 = Л0 — За2 (s?Arp) (iV/n*/p) — перекормированная за счет
фоионного взаимодействия константа Ло- Для малых
концентраций ферми-частиц в растворе уравнение (14.37) имеет два
приближенных корня;
"•=^{1+7(т^1(а(1 + Л1,+ 1)2~11}' (1Ш)
«1 = т(1+Л,)(1+Ло)[1 - p{i+Ai) (Р-И + Л^+Щ. (14.39)
Формула (14.38) определяет скорость обычного (первого) зчука,
а формула (14.39) — скорость второго звука. Поскольку второй
звук в жидком гелии можно трактовать как обычный звук,
распространяющийся в газе возбуждений, то в рассматриваемом
случае скорость второго звука в ферми-бозе-жидкостн должна
совпадать со скоростью первого звука в фермн-жидкостн.
Нетрудно видеть, что формула (14.39) в первом приближении сор-
падает с формулой для скорости звука в ферми-жндкосги. Оглн-
чис проявляется в замене константы Л0 па перснормироваьиыЙ
параметр Л0.
Результаты измерений скорости первого звука в 5.5%-'0>1
растворе Не3—Не4 оказались довольно неожиданными.
Во-первых, была обнаружена зависимость скорости от температ ры
вплоть до самых низких, достигаемых в эксперименте, темпере
тур (~0,035 К). В чистом Не4 скорость первого звука
практически не зависит от температуры, начиная с 0,2—0,3 К.
Во-вторых, вплоть до 0,3 К скорость звука в растворе уменьшается
ростом температуры в противоположность Не4. Измерения, ^
полненные на разных частотах, показали, что и{ сильно *-"lCfl
няегся с частотой. Дисперсия скорости звука сопровождав^
заметным ростом поглощения. На рис. I4.1 показано логлош-1
152

первого звука в растворе, содержащем 5 % Не3, при низких
температурах; точки — экспериментальные значения
коэффициента поглощения Г, сплошные линии — теоретические кривые. При
температурах ниже 0,3 К, когда можно пренебречь влиянием
тепловых.фононов, поглощение первого звука в слабых
растворах Не3 в Не4 обусловлено взаимодействием акустических фоио-
йов с квазичастицами Не3. Поскольку U\ > vF, то поглощение
фонона не взаимодействующими между собой квазичастицами
невозможно, так как законы сохранения энергии и импульса
могут быть удовлетворены
только при наличии взаимодействия
Не3 — Не3. При температурах
Т > 0,3 К существенный вклад в
поглощение звука вносят
тепловые фононы, взаимодействующие
с квазичастицами Не3. В этой
области, кроме кинетического
уравнения для функции
распределения ферми-возбуждений,
необходимо рассматривать п
кинетическое уравнение для функции
распределения фононов.
Особенность
экспериментального изучения второго звука в
вырожденных растворах связана
с тем, что эти колебания
распространяются в фермн-компо-
ненте жидкости и, как уже
отмечалось, имеют много общего с первым звуком в
ферми-жидкости. Хотя в волне второго звука по-прежнему основную роль
играют колебания температуры, при очень низких температурах
нагреватель генерирует второй звук в основном не прямым
путем, а через взаимодействие возбуждаемых теплом фононов и
ротонов с квазичаетнцамн Не3, Поэтому одним из возможных
способов наблюдения второго звука в квантовом растворе
Не3—Не4 является возбуждение его с помощью механических
колебаний плоской поверхности.
Специальные механические преобразователи представляют
собой конденсаторные датчики, в которых в качестве
колеблющейся мембраны используется пористая пленка, проницаемая
лишь для сверхтекучей компоненты. Анализ показывает, что
Доля энергии, излучаемой таким датчиком в виде первого звука,
1}Ри (>п <С о пренебрежимо мала. Подобные преобразователи
-Спсшно используются для изучения второго зв\*ка в слабых
Растворах Не3 в Не4 при низких температурах.
Третий и четвертый звуки. До спх пор рассматривалось рас-
J Устранение звука в условиях, когда можно пренебречь влия-
Рис. НЛ.
153

нием стенок сосуда. Вопрос о третьем звуке в ферми-бозе-жид.
кости в настоящее время остается открытым. Для рассмотрения
четвертого звука, который может распространяться в достаточно
узких каналах, когда их размер меньше либо глубины
проникновения вязкой волны, либо длины свободного пробега
элементарных возбуждений, следует исходить из системы уравнений
(14.34) и учитывать, что в рассматриваемом случае не выпоп-
няется закон сохранения импульса. Не останавливаясь на
подробных выкладках, приведем получающийся результат.
Выражение для скорости распространения четвертого звука имеет вид
'> — — (\ Ыт* \
и'А 4у рО + ^а
Эта формула пригодна для определения скорости четвертого
звука в чистом Не3 в облети температур, где наступает
сверхтекучее состояние.
Нулевой звук. Рассмотрим вопрос о возможности
распространения нулевого звука в вырожденных растворах. Как и в чистой
ферми-жидкости, этот тип колебаний может существовать в
случае высокой частоты, когда оказывается выполненным условие
сот ^ 1. При таком бесстолкновительном режиме можно
пренебречь в кинетическом уравнении (14.25) для функции
распределения фермн-возбуждений интегралом столкновений. Для
решения кинетического уравнения разложим б/г в ряд по
полиномам Лежандра:
б/г = 4^- tnv% £ ynPn (cos 6). (14.40)
п
Для простоты будем считать отличными от нуля только две
первые сферические гармоники корреляционной функции F. Тогда
уравнение (14.25) даст два уравнения для коэффициентов vo K
vj в разложении (14.40), которые получаются в результате
собирания коэффициентов при P0(cosG) и Pi (cos 6) в кинстнчеко*
уравнении:
S2
[ 1 — Л0ф (и)] v0 — Лхщ [и) Vi.+ ^г а бр + щ (и) vs = 0,
- Л0шр(«) v0 + у 11+ А, - ЗЛ^ф(и)] V[ + (14-41)
+ -Чгащ (и) 6р — — — u2t$ (и) \us = 0.
vp L 3 J
Функция сг(и), как и раньше функция w, дается выражением
v(«) = Tlnir=T-1-
154

условие совместности уравнений (14.41) и двух последних
уравнений системы (14.34) даст дисперсионное уравнение в области
больших значений параметра (от. Поскольку константы Л0 и А\
для квантового раствора невелики, у дисперсионного уравнения
имеется корень порядка единицы. Вблизи этого корня
дисперсионное уравнение приобретает довольно простой вид:
1~(Ло+гЙп)ф(") = 0, (14.42)
где Аг = Л, - Nm (a + 1)/(Зр).
Уравнение (14.42) определяет скорость нулевого звука в
растворе. Оно имеет незатухающее решение только при выполнении
условия
А 1 ЗЛ*Я> ^ О
ло + х + А{ > U.
Величина Ла отрицательна и порядка единицы по модулю.
Относительно Л{ нет достаточно надежной информации, поэтому
вопрос о нулевом звуке в ферми-бозе-жидкости остается открытым.
Задания
1. Получить соотношения (П.21) н (14.22).
2. Получить соотношения (14.30) и (14.32).
3. Получить дисперсионное уравнение (14.37).
4. Получить прнб-шжешые корни дисперсионных сравнений (14.38) й
(14.о9).
Лекция 15
КВАНТОВЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
В ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ
Квантовомеханическую систему, состоящую из большого числа
одинаковых частиц, удобнее всего описывать, используя
представление вторичного квантования. В этом представлении
оператор энергии системы частиц, имеющих массу т, взаимодействие
Которых описывается мгновенным двухчастичным потенциалом
с(г), выражается следующим образом:
+ ~ J rfr dr\^ (rO ф+ (г'/) v(j — О if (г'/) i|) (r/). (15.1)
>кГСЬ ^ н Ф— соответственно операторы рождения и уничго-
^ЧИи» взятые в гейзенберговском представлении. Оператор
Действуя направо на какое-либо состояние системы,
155
t+.ro;

добавляет к этому состоянию одну частицу в пространственно*
временной точке г, /. Оператор if(r/), действуя направо, удаляет
частицу в точке г, /. Использована система единиц с Й == 1.
Операторы всех физических величин могут быть выражены
через \fi и if-. Например, оператор плотности частиц есть
л (гО = -ф+ (г/) -ф (г/), (15.2а)
так что ^ля оператора полного числа частиц имеем
.V = Jdnl)+(r/)iKrt). (15.26)
Одно из преимуществ формализма вторичного квантования
состоит в том, что требование определенной симметрии
многочастичной волновой функции по отношению к перестановкам
частиц очень просто выражается с помощью перестановочных со-
отношении для операторов рождения и уничтожения, взятых в
один и тот же момент времени. Эти перестановочные
соотношения записываются как
Ф(г/) Ф (г'/) ч= Ф (г7) ф (г/) = О,
ф+ (г/) г|)+ (г'/) ч= ф'ь (r'f) ф+ frr) = 0, (15.3)
ф (г*) ф+ (r7) =F Ф+ (г7) -ф (г/) = б (г — г').
Здесь верхний знак относится к бозонам, нижний — к фермио-
нам. В дальнейшем мы будем придерживаться такого выбора
знаков.
Уравнение движения для любого оператора F(t) в поедстав-
лении Гейзенберга имеет вид
iEJtL= [f(t). Щ-- (15-4)
Здесь и в дальнейшем используем обозначение [А, В]±=ЛВ±
=ь ВЛ. Так как в силу [/7, Я]_ = 0 гамильтониан (15.1) ие
зависит от времени, то уравнение (15.4) можно проинтегрировать:
F(l) = eimF(0)e-iHt. (15.5)
Оператор полного числа частиц (15.26) коммутирует с
гамильтонианом и поэтому также не зависит от времени.
Систему частиц, находящуюся в состоянии
термодинамического равновесия, будем описывать с помощью большого
канонического ансамбля, в котором статистический оиератоо
записывается так:
р = ехр(—P# + p.u.V),
здесь (> — параметр распределения Гиббса; ц—химический п°'
тенциал. Основному состоянию системы соответствует H-yie^a*
температура, т. е. р = 1/(А7")-*со. Среднее значение любого
156

оператора Л дастся в рассматриваемом случае выражением
<-4>=sp(p/l)/spp.
Функции Грина, которые мы будем использовать для
описания многочастичных систем, являются термодинамическими
средними от произведений операторов ф и фь. Одночастичная
функция Грина определяется соотношением
0(1, 1') = ~(Щ(1)у+(1')), (15.6)
а двухчастичная —
02(12, \'2') = ^(ТШМ2)Ъ+&)Ъ+(1')). (15.7)
Здесь мы воспользовались сокращенными обозначениями: I
означает rE, tif а I' — /V, iv и т. д. В этих функциях Грина
оператор Т производит упорядочение операторов \\> по времени так,
что операторы, относящиеся к более позднему моменту времени,
располагаются слева. В случае фермионов в оператор Т удобно
включить дополнительно множитель ±1 в зависимости от того,
четным или нечетным числом перестановок упорядоченное
произведение получается из первоначального. Например,
T$(l)$-(l')={ *1 V , (15.8)
Аналогично можно определить и функции Грина более высоких
порядков: трехчастичиую функцию С3 и т. д.
Кроме функций Грина, содержащих упорядоченное по
времен;» произведение операторов я)* и i]-"1-, определим
корреляционные функции
0>(1, П = 7<*<1,*+<1'>>'
G<(h 1') = ±т№(1'Н{1)). (15-9)
Индексы ■> и < указывают, чго G = G> при tiXv и G = G<
ПР» /i < iv.
Введенные функции Грина содержат, как мы увидим, подроб-
У10 Динамическою и полную статистико-механнческую ипформа-
шк> о рассматриваемой системе.
'Раничные условия для функций Грина. Временная
зависнуть операторов, определяемая соотношением (15.5), позво-
^ет определить ф и i|-+, а значит, и функции G< и G> для комп-
сных значений временных аргументов. Действительно, функ-
157

ция G (1, Г)> которую можно записать в виде
г>п .,, 5р[е-Р^-^У^(Г|, о)Г'С'-"'> У(г,. о)Г"''й]
является аналитической в области 0 > Im(fj —Л') > — Р, если
множитель схр(—Р(// — нЛ7}} обеспечивает абсолютную
сходимость следа операторов при действительных значениях
временных аргументов. Аналогично этому функция G<(1, 1')
аналогична в области 0 < Im (/1 — М < р.
Согласно определению (15.9) и с учетом свойства sp(AB)^
= $р(ВЛ) можно запиеать:
С<(1, 1')1,1«о==Ьт^+(г1'/|')*(г:* 0)} =
= ±4-<ср(Я"*иУ,ф(г|1 0)e-p(W-ll4V(rrM>. (15,10)
Поскольку, как можно убедиться, справедливо
*(гь 0)/(Al) = f(,V+l)*(ri, 0),
где f{i\) — любая функция от оператора числа частиц, то
е-Р*1Л'ф(г,, 0)H*-v=<?foMf<rlf 0). (15.11)
Из равенства (15.5) следует, что
ер"Ф(гь 0)e-Pw==iHrlf — ф). (15.12)
Используя выражения (35.11) и (15. 12), из (15.10) иаходчм
Чтобы получить соотношения типа (15.13) для функции б*,
рассмотрим временные переменные в интервале O^if^P-
Определение функций Грина можно расширить на эту область,
если обобщить оператор упорядочения по времени Г, включив
упорядочивание по мнимой оси времени: чем ниже расположена
временная точка на мнимой осп, тем она «позднее». В итог?
функции Грина будут полностью определены. Например, одно-
частичная функция Грина есть
' С>(1, Г), #s>i7i'f
. G<(], I'), it, <itv.
В области 0 < iti' < p имеем
Gil. 1,)1(1.0 = G<(1, l')l„-o-
158
0(1, l')=H „<

Отсюда следует, что соотношение (15.13) можно рассматривать
как связь между значениями функции 0(1, Г) на границах
области определения для мнимых времен:
Gil, 10U)=±^0(1, l')\it__ir (15.14)
Функция Грина G2 на оси мнимых времен подчиняется, как
ложно показать, таким же граничным условиям:
02П2, 1г201/:==0=±^'О2(12, 1/2/)|/1_„ф,
0,(12, Г2')1гг=0-=±^О2(12, I'*)!,,,....,. (15'I5)
Уравнения движения. Используя уравнение (15.4) п
коммутационные соотношения (15.3), для операторов if и \р+ имеем
0"^ + ^)*(г/)те$йг1с<г-г|)*+(г|О*(Г|/)Ф(гО, (15.16а)
(15.166)
Из уравнения (15.16а) при учете определения (15.7) следует
_±^^Г2У(Г1„Г2)<^(1)^(2)^(2")^(10>|;^-
' =±/^^(^-^00(12, l^)^. (15.17)
Здесь использовано обозначение 2~, которое показывает, что
«ременной аргумент у ф+(2) должен быть выбран больше
временных аргументов у \р(2) на бесконечно малую величину: так,
чтобы упорядочение по времени в 02 приводило к такому же
порядку множителей, что и в (15.16а). Оператор Т коммутирует
с пространственными производными, но не коммутирует с
производной по времени. Используя (15.8) и (15.3), можно показать,
что
Oh
= Л (/i — Гг><* (1> ф+ (!') =F *+ U') + (1)> =
«6(Л-/г)6(Г|-гг) = й(1 —1').
Используя это соотношение, для функции Грина, определяемой
сражением (15.6), получим из (15.17) уравнение движения в
виде
в(1 — l')±i$drao(r, —r2)G2(l2, 1'2+) !,_.„.,,. (15.18а)
159

Подобным образом можно получить уравнение для G2,
содержащее трехчастичную функцию Грина G3, затем уравнение для С,
содержащее G±t и т. д.
Исходя из jравнения движения (15.166) для оператора
1|з+(Г) получаем также сопряженное уравнение движения для
функции G:
(
д
G(\t Г) =
= в (1 — Г) =fc / J dr2u (Г2 — г.О С (12", r2)|/2-fl,. (15.18о)
Уравнения (15.18) справедливы для функций Грина как от
действительных, так и от мнимых временных аргументов.
Различие состоит лишь в том, что для мнимых времен б-функцию от
времени следует понимать как определенную по отношению к
интегрированию вдоль мнимой оси времен.
Оба уравнения (15.18) выражают G через G2. В общем civ-
час невозможно точно вычислить функцию G2. Однако, даже
если бы она была известна точно, уравнения (15.18)
недостаточны для однозначного определения функции G. Они являются
уравнениями первого порядка но времени, поэтому для
однозначного выбора решений необходимо задать одно
дополнительное граничное условие. Соотношение (15.14) как раз и
является требуемым граничным условием.
Получение аппроксимаций для функций Грина. Обобщим
определение одночастичнон функции Грина в чисто мнимом
временном интервале [0, —/р]:
G(1)1';f/)=|<Z^J^iO>. {15.19)
Здесь Г —оператор упорядочения вдоль мнимой оси времени,
а оператор S есть
Г ~~ф 1
S = exp —I jj rf2L(2)n(2)| (l5.2n)
где л(2) = ф+(2)ф(2), U(2) — числовая функция. Функция Гри«*
(15.19) >довлетворяет тем же граничным условиям, что и р<*»н°'
весная функция G(l, I'):
С(1. Г; U)\ti^^±e^G(\t Г; U)\it_^. (l5-2l)
Уравнение движения дтя функции С(1, Г; U) может быть А
лучено точно тем же способом, что и уравнение движения Д*
160

функции G(l, Г). Соответствующий результат имеет вид
= 6 (1 - 1') ± / 5 dtiV (г, - Га) G2 (12, 1'2+; [/) ^^, (15.22а)
= в (1 - Г) ± / J Лл (г* - г,-) С2 (12", 1'2) |/2=(г, (15.226)
где G.Al2,Vr;U)^(TS^^%^+^l. (15.23)
Единственным отличием от уравнений (15.18) является
появление новых членов вида UG* При (J-+0 имеем S-+ 1 и все
соотношения (15.19) — (15.23) переходят в соответствующие формулы
для равновесных функций.
Рассмотрим изменение функции Грина G(U) при бесконечно
малом изменении поля V. Для этого положим U(2)-+ U{2)-\-
+ 66'(2). Соответствующее изменение функции G имеет вид
- х L (Г5> (TS) {Щ J' (15'24)
Приращение 6S, возникающее в упорядоченном по времени
произведении, может быть представлено как
W = ejexp _Л d2U(2)n(2) \\ = $т \ ^2 61/(2) я (2), (15.25)
^скольку оператор Т автоматически обеспечит правильный
порядок сомножителей. Подставляя (15.25) в (15.24), находим
6G(1, I'; U) =
М м i iTS*W*" (Пи (2)> _(УДФ»)^ (Г)) <гдд (2))Ь-,,^
-с
J d2[G,{l2, V-f; U)-G{\, Г; t/)(2, 2+; С/)]бС/(2)
О
G ^Юда следует, что функциональная производная от функции
0 L имеет вид
Ч%^ = ±[Св(а *'2+'1 «/)-0(lf l'; f/)C(2, 2+; с/)].
ll А г ,
■ V-. Кондратьев. А. Е. К)чма ^|

Выражая из полученного соотношения функцию 02 через
производную &G/SU и подставляя в уравнение движения (15.22а)>
получаем
{* -щ + ~& - и (1) + l 5dr2° (Г1 ~Гг) [G ^ь ы^' ^ ±
±^bf)]}0(ul':t/)=e(1-1/)- (15-26)
Таким образом, функция G{U) определяется одним
функционально-дифференциальным уравнением. Оно носит название
уравнения Швингера. Практических приемов точного решения
таких уравнений не существует. Оно, однако, может быть
использовано для получения приближенных выражений для
функции Грина G.
Обычная теория возмущений. Уравнение (15.26) можно
преобразовать в интегрально-функциональное уравнение,
позволяющее строить ряд теории возмущений для вычисления функции
G. Для этого введем функцию Грина G0(l, 1'; U),
описывающую невзаимодействующие между собой частицы. Эта функция
определяется уравнением
с граничным условием (15.14), которому удовлетворяет и
точная функция Грина G(l, Г; U). С помощью уравнений (15.26) и
(15.27) находим
G(l, l';*/)=Go(l, l';t/)±
±i \ d2dSG0(\, 2; U)V(2, 3)[g(3, 3+; £/) ±^]G (2, j/; W
(15.28)
где введено обозначение:
V(l, lO = o(rj-ri')6(/i-M- (15'29)
Чтобы разложить функцию G(£/) в ряд по степеням V, не'
обходимо выполнить последовательные итерации в уравнения
(15.28). В нулевом порядке по взаимодействию G = Go- Перв°^
приближение получается при подстановке G = GQ в прав)
часть уравнения (15.28). Таким образом, в первом порядке п
V имеем
G<J>(1, 1'; £/)=G0(l, 1'; U)±i J d2d3G0(l, 2; U)V(2, 3)X
о
б тЛ ,ft ,,_ ,,ч /ifi.30)
X [G0 (3, 3+; t/) ± -^^-'J G0 (2, 1'; U). 0s
152

Для вычисления слагаемого с б/б£/(3) определим обратную
функцию Грина соотношением
J d2Go(l,2;U)Gol(2t 1'; £/) = в<1 - Г). (15.31)
о
Согласно уравнению (15.27) записываем:
Go-'a i/;U)^{i~ + ^r^U(i)}6(\-n (15.32)
Для краткости перепишем матричное равенство (15.31) в форме
GoGq1 = 1- Варьируя обе части этого равенства, имеем
6GqGq +Gq6Go = 0,
откуда 6Go = — Go 6G<T Go.
В подробной записи последнее равенство имеет следующий вид:
bGQ(l I; £/) ~г* бС^Чз, 4; (/)
fit/ (2) ^ ~ 3 ^^4Go(l, 3; £/)_—_ G0(4, Г; U).
о
Величину 6GJ/6U вычисляем с помощью (15.32). Учитывая,,
что 6t/ (3)/dt/ (2) = в (2 — 3), получаем
Ш±1^ = О0(\, 2; £/)G0(2, I'; /7). (15.33)
Подставляя выражение (15.33) в формулу (15.30), находим
G«)(l, Г; t/) = G0(l, Г; £/)±i J d2d3G0(l, 2; t/)K<2, 3) X
о
Х[С0(3, 3+; t/)G0(2, Г; £/)±G0(2, 3; U)G0(3, l'; £/)]. (15.34)
Если в (15.34) положить £/ = 0, то мы найдем искомую функцию-
G(li 1') в первом порядке теории возмущений по межчастич-
&0\1.1') Q0(1,1f) V(2,3)|3 r^W
7 7 7 19 1 2 1f 1 ~ 2 3 1*
Рис. 15.I.
е^мУ взаимодействию V. Подставив выражение (15.34) в пра-
у№> часть уравнения (15.28), получим вторую итерацию и т. д.
еРационная процедура порождает диаграммные разложения
ДИа ^Нкции ^- Например, соотношению (15.34) соответствует
гРаммное равенство, представленное на рис. 15.1. Правила
'»* 163

вычисления вкладов, соответствующих различным диаграммам
на этом рисунке, очевидны из сравнения с выражением (15.34).
Массовый оператор. Улучшенная теория возмущений. Часто
оказывается более удобно строить теорию возмущений не для
функции Грина, а для обратной ей величины. Перепишем
уравнение (15.26) в форме
-»*Р
L(1)G(1, l';t/) = 6(l-l') + \ 422(1, 2; U)G(2, Г; С/),
(15.35)
где t(i)s=/^ + -|L_[/(i). (15.36)
Соотношение (15.35) является фактически определением
величины 2(1, 2; U)t которая носит название массового оператора.
Вводя функцию G~l с помощью соотношения
J d2G(lt2;U)G-l(24 I'; £/) = 6(1 - Г),
о
из уравнений (15.26) и (15.35) после несложных преобразований
находим
2(1, 2; 1/) = ±»(1-2) J d3K(l,3)G(3, 3+;t/)-
о
-* ( d3d4l/(l,3)G(l,4;L0-^^^-. (15.37)
Дом ножи м уравнение (15.35) на G_l(l'» 3; £/) и проинтегрируем
по 1 . С учетом соотношения (15.32) получим равенство
G"!(l, Г; (/) = GiTl(l> Г; t/) —S(l, Г; U), (15.38»
называемое уравнением Дайсона. Нетрудно убедиться, что его
можно представить также в виде
G=--Go+G0W>
Подставляя G-1 из формулы (15.38) в выражение (15.37) и в
числяя 6G~l/6U с использованием (15.32), имеем
2(1, 2; t/) = =b/ft(l-2) J d31'(l, 3)G(3, 3*; t/)+
о
+ Л'(1, 2)G(1, 2;U) + i \ rf3d4K(l, 3)G(lf 4; U) —V^
о (15^
154

В результате мы получили интегрально-функциональное
уравнение для массового оператора S. Его, как и уравнение (15.28),
можно решать методом итераций, строя в силу соотношения
(15.38) теорию возмущений для функции G~~K Такой подход
подучил название улучшенной теории возмущений, ибо, как можно
показать, уже первое приближение в таком подходе
соответствует суммированию определенной бесконечной
последовательности диаграмм в обычной теории возмущении, связанной с
разложением функции G в ряд по V. Итерационная процедура для
хфавнения (15.39) порождает диаграммные разложения для
функции 2.
Кулоновские системы. В случае, когда потенциал
межчастичного взаимодействия является кулоновским, описанные
итерационные процедуры приводят к расходящимся интегралам уже
во втором порядке теории возмущений. Для устранения этих
расходнмостей необходимо провести переразложенис выражения
для 2, т. е. перегруппировку различных членов разложения с
последующим суммированием отдельных последовательностей
расходящихся членов. Такое персразложенне в принятом нами
подходе осуществляется путем замены варьирования функций G
по внешнему полю U варьированием по эффективному полю
Ь\\ь определяемому следующим образом:
U3b(\y £/) = [/(I)±/Jd2V(I, 2)С(2, 2f; и). (15.40)
Здесь 1/(1, 2) определяется соотношением (15.29)в. Введение
эффективного поля обусловлено тем, что фактически на частицы,
обладающие электрическим зарядом, действует не внешнее поле
U* а самосогласованное поле £/Эф. Другими словами, введение
Ь'эф означает явный учет динамического экранирования:
выделяется та часть кулоиовского межчастичного взаимодействия,
которая связана со всеми процессами поляризации, а оставшееся
взаимодействие между частицами описывается экранированным
потенциалом. Такой подход к теории кулоиовскнх систем был
предложен В. П. Силиным.
Замена варьирования осуществляется по следующему
правилу:
М?(1, Г; U) г JO bG(\y 1; U) 6С/Эф(3) пКАи
ЩЩ) —)м №эф(3) №(2) * <lix41'
г»
помощью иЭф уравнение (15.35) переписывается в виде
4(I)G(l, l'iU) = 6(l-\')+\d2Z'(l,2\U)G(2, 1'; U), (15.42)
v *-эф получается из L заменой U на /7эф, а I отличается от
ТсУтствием первого слагаемого в правой части выражения
165

(15.39). Из соотношения (15.37) при этом видно, что
Г(1, 2; U)^-i\d3dW(U 3)C(1, 4; V) ^У (э? U) • (15.43)
Заменяя варьирование по V варьированием по £/Эф согласно
соотношению (15.41) и вводя экранированный потенциал V* с
помощью соотношения
l/,(l, 2)=\d3V(U 3) ^ , (15.44)
перепишем выражение (15.43) в виде
2'(1, 2; t/) = -f$d3d4IMl. 3)G(l, 4; С7) 6G^g){7) ■ (15.45)
Определим функцию ОГф равенством
Сэ-ф(1, Г; £/) = 1эф(1)в(1-П- (15-46)
Домножим уравнение (15.42) на G_I(l'» 3; 6') и проинтегрируем
по 1'. С учетом (15.46) получим
G^(l, 1'; U) = G-{(1, Г; t/) + S'U, Г; У). (15.47)
Подставляя G-1 из формулы (15.47) в выражение (15.45) и
вычисляя 6С7ф/би с помощью (15.46), находим уравнение для 2':
2'(1, 2; U) = iVs(L 2)G(l, 2; t/) +
+ f$d3d4I'.(l, 3)G(1, 4;^) ^Д^ . (15.48)
При получении уравнения для экранированного потенциала Vs
необходимо вычислить функциональную производную 6£Лф/^.
Используя определение (15.40) и учитывая правило замены
варьирования (15.41), получаем
6UЭф (1) г 6(7(3, 3"; 6Г) 6*Уэф(4)
^w^6(i-2)±i\d^d4V(l, Щ-ьи^Щ ь^Г-
(15.49)
Подставляем соотношение (15.49) в определение
экранированного потенциала (15.44). Тогда, учитывая еще раз определение
(15.44), заменяя 6G согласно формуле 6G =— G6G~lG и
используя выражения (15.48) и (15.47), окончательно находим
V,(l, 2)=V0.2)±iJd3d4K,(l,3)V(2f 4)G(4, 3; t/)G(3, 4; U)*
=b*\d3d4d5d6V,(l, 3)1'(2, 4)G(4, 5; U) **'}?' 6i-^ G(6, 4; ^
Ф .(15.50)
166

Уравнения (15.48) и (15.50) можно решать совместно
методом итераций. Эти уравнения порождают диаграммные
разложения для экранированного потенциала V* и массового
оператора 2'-
Как уже отмечалось, функции Грина содержат полную ста-
хистнко-механическую информацию о рассматриваемой системе.
g частности, знание функций С< и G> позволяет найти любую
равновесную характеристику. В свою очередь, определение этих
функций можно свести к нахождению функции Грина от мнимых
временных аргументов. Для расчета последних могут быть
использованы описанные приближенные методы, основанные на
теории возмущений. Вместе с тем, рассматривая аналитическую
структуру функций Грина и корреляционных функций, можно
установить некоторые их общие свойства, знание которых
оказывается чрезвычайно полезным с точки зрения построения
феноменологических теорий многочастичных систем, в том числе
теории ферми-жидкости, и позволяет выявить приближения, по-
-юженные в основу феноменологического описания, и границы
его применимости. Более подробному рассмотрению свойств
функций Грина посвящена следующая лекция.
Задания
'. Пол>чить граничные условия (15Л5).
2. Вывести уравнение (15.16).
'Л. Получить условие (15.21).
4. Получить уравнения (15.22).
о. Проделать все выкладки при получении уравнения (15.50).
•Лекция 16
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАЗИЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим корреляционные функции G> и £*% определяемые
Равенством (15.9). Благодаря трансляционной инвариантности
в пространстве и во времени гамильтониана (15.1) равновесные
Функции С> и G< зависят чишь от п — iv и /i — /г,так что их
м°жно записывать в следующем виде:
G*(l, l') = G*(l-l') = G*{r, /),
Дег = г. _ r^ j = j} — fVt В этих обозначениях равенство (15.13)
Риобретает вид
G<(rf f)^±e^G>(rt t-ф).
16?

Введем фурье-образы функций G> и G<f определяя их
следующим образом:
G>(pco) = /Jdr ^ dte-ipt+mG> {r, i),
•оо
оо
G< (рсо) - ± i ^dr J rf/e-/pr+'w*G<(r> 0.
(16.1)
В эти определения введены множители i и ±i, чтобы-величины
G>(pco) и G<(pco) были вещественными неотрицательными.
Полагаем /1=1, так что р — это импульс, а со — энергия.
Используя (16.1), условие (15.13) можно свести к равенству
G< (рсо) = е~р <"-*>(?> (рсо). (16.2)
Спектральную функцию А (рсо) вводим согласно соотношению
Л (рсо) = G> (pa>) =F G< (рсо). (16.3)
Равенства (16.2) и (16.3) позволяют выразить G> и G< через
спектральную функцию Л следующим образом:
С>(рсо) = [1±/(со)]Л(рсо),
, (10.4)
G< (рсо) = / (со) А (рсо),
где /(со) = [ехр (рсо - pjx) =F I]"1. (I6.5)
Функция /(со) представляет собой среднее значение числа
заполнения состояния е энергий со, вычисленное в большом
каноническом ансамбле. Это означает, что в епучае, когда
гамильтониан системы можно представить в виде Хел^^-' гдеф^ —
л
оператор рождения для состояния системы с энергией £>.,
среднее значение числа заполнения состояния > есть (^ф;) = /(е;)'
Из определения G> и G< следует
со
Л(рсо)=^г $ rf/exp(—/р*г+^)<*(г>0*+(0,0)=Рф+(0,0)ф(г,Л>-
— оо
Интегрируя это равенство по со и используя перестановочны^
соотношения (15.3), находим, что функция А (рсо) удовлетвори
следующему правилу сумм:
J^-lfpJa)=5rfrexp(-ipT)<iKr>0)il)-!'(0J 0)=Рф+(0, 0)ф(г, 0))^
= Jdre(r)=l. (l6-6)
168

фурье-образ полевого оператора ф(г/)( определяемый
соотношением
ТО СО
ф (рй>) =}dr [ dtexp (— /р • г + "*0 Ф («*)»
—СО —ОО
является оператором уничтожения частицы с импульсом р и
энергией со. Заметим, что плотность частиц в системе
определяется формулой
<*(г0> = <ф+(г0Ф(г/)>. (16.7)
Согласно определению функции С< в (15.9) выражение (16.7)
с учетом (16.1) можно переписать следующим образом:
(п (гф = ± Ю< (г/, vt) « \^г G<(P«). (16.8)
Отсюда видно, что полная плотность частиц в пространственно-
временной точке (г, t) равна интегралу по всем значениям р н со
от функции G<(pco). В равновесной пространственно-однородной
системе n(rt) в действительности не зависит от г и г.
Полученный результат означает, что функцию G<(pco) можно
отождествить со средней плотностью частиц в системе, имеющих
импульс р и энергию о):
G< (р©) = </i (р©)) = А (рю) / (©). (16.9)
Как было уже отмечено, функция f (со) представляет собой
среднее значение числа заполнения состояния с энергией со;
спектральная функция Л (рсо) является нормированной условием
(16.6) весовой функцией, которая при отличных от нуля
значениях определяет спектр возможных значений энергии ш для
частицы с импульсом р в среде.
Проиллюстрируем сказанное на примере системы свободных
частиц, гамильтониан которой равен
и Г ^ И>*(г. О^тКг, t)
п — — \ йт ~ •
J 2m
Зависимость оператора ф(р, /) от времени, определяемая этим
гамильтонианом, имеет вид
ф(р, t) = €?Ht^(9t Oje-Mt^e-tirtibnntjpfa о),
так что
со
G<(P0)= J й'еш (ф+ (р, 0)ф(р, /)> =
— со
_ 2л6 (© - £-) (У (р, 0) * (р, 0)>.
169

■Отсюда согласно выражению (16.9) следует, что функция Л(рсо)
пропорциональна 6(о> — р2/(2т)), причем константа
пропорциональности, определяемая из правила сумм (16.6), равна 2л.
Таким образом, для свободных частиц
Л(рю) = И0(Ра))=-2лб(ю"'-^). (16.10)
С<(гЛ) = + ^^ехр[ф-г^^ф(-£). (16.11)
Выражение (16.10) показывает, что единственное возможное
значение энергии свободной частицы с импульсом р есть р2/(2т).
Для среднего числа частиц с импульсом р получаем из
соотношений (16.9) — (16.11) известную в теории идеальных газов
формулу
(я(р)) = /(^)=[ехр(^-р|х)Т1Г1.
Для взаимодействующих частиц <4(р<о) уже не представляет
собой просто одну б-функцию. Те значения со, при которых
Л (рсо) отлична от нуля, определяют допустимые значения
энергии системы, имеющие место при добавлении одной частицы с
импульсом р. Энергетический спектр системы почти всегда
достаточно сложен, так что функция А (ро>) в реальной ситуации
не содержит б-функций, а является непрерывной функцией со.
Однако в ряде случаев функции А имеет острые максимумы.
Они соответствуют долгоживущим возбуждениям в системе,
поведение которых оказывается во многом подобным поведению
свободных или слабо взаимодействующих частиц. Эти
возбуждения обычно и называют квазичастицами.
Чтобы определить вид спектральной функции в системе с
взаимодействием, обратимся к уравнениям для функции Грина
G(l, Г) от мнимых временных аргументов. Это — уравнения
движения (15,18а) и (15.186) с граничным условием
G(l, l')U=±^G(l, I')!,,__,(,•
Наиболее естественным представлением функции G,
автоматически учитывающим квазипериодическне граничные условии, №
ляется выражение G в виде ряда Фурье, который мы введем Длй
функции Грина в импульсном представлении следующим
образом:
G (р, /-/') = у £ ехр [- izv (/ - /')] G (p, zv), (1б-1Й
v l3)
где 2v = wv/p + fi. О6-1
Суммирование производится по всем четным целым числам г
бозе-частиц и по всем нечетным целым числам в случае феР'
17Q

-частиц, чтобы обеспечивался правильный знак в граничном
условии. Переменные / и /' лежат в промежутке 0 ^ *7 ^ Р,
О ^ if ^ р.
Уравнение движения определяет фурье-коэффициенты
С(р, Zv)- Чтобы связать функцию А(Р<о) с величинами G(p, zv),
обратим фурье-разложение (16.12):
о
Поскольку этот интеграл не должен зависеть от /', вычислим
его, полагая *'= 0. В этом случае, используя (16.4), имеем
°h'-o-o>feo-ig-'-M,T^:7i.->H.
так что
— oo 0
d® Л (рсо)
i
2я zv — со
Таким образом, фурье-коэффициенты С(р, zv) представляют
собой взятые в точках zVt определяемых (16.13), значения
аналитической функции G(p, z), задаваемой соотношением
со
G<P,*)=i££S- (16-I4)
— со
В итоге приходим к следующей процедуре отыскания
спектральной функции Л(рш). Сначала с помощью уравнений
движения определяются величины С(р, гч). Далее, от С(р, z¥)
переходим к аналитической функции G(p, z) для всех значений г
исключая действительную"ось). Функция (16.14) является
единственным аналитическим продолжением с множества точек zv>
^имеющим особенностей при z-^oo. Тогда искомая функция
*Ф«) находится как скачок функции С(р, z) при переходе
ЧоРез вещественную ось:
i4(p©) = /[G(p} а> + "0 —G(p, w —/e)], (16.15)
Скольку справедливо
о> — ©' ± /е
€^-б 03Пачает интегрирование в смысле главного значения, а
бесконечно малая положительная величина.
171

Рассмотрим сначала указанный способ нахождения А (р&)
в простейшем случае свободных частиц. В этом случае
уравнение движения (15.18а) имеет вид
Ож+'Ю^'-п^а-!'). (16.16)
Умножим эго уравнение на
ехр [— ф * (f*i — iv) +1 (mv/fJ + p.) (h — ty)]
и проинтегрируем по всем !*! и по И интервале от 0 до —/р.
В результате уравнение (16.16) сводится к уравнению для фу-
рье-коэффициентов G(p, zv), из которого имеем
Gtp, zJ = [zv-p2/(2m)]-\
Аналитическое продолжение этой функции сводится к замене
zv на z:
G(P, z) = [z-p2/(2m)}-\ (16.17)
Подставляя выражение (16.17) в формулу (16.15), находим для
спектральной функции выражение
А (рсо) — I (^ щ _ ра/(2«) + /е со - р2/(2,«) + *"е )
__ 2е 0 „/ р^Л
[ш-р2/(2ш)]2 + е2 е-*+о
т. с. уже известный результат (16-10).
Рассмотрим теперь взаимодействие между частицами в
приближении Хартри— Фока, чему соответствует учет первых двух
слагаемых в правой части уравнения (15.39) для массового
оператора. Иными словами, массовый оператор в приближении
Хартри — Фока есть
SHF(1, 2; t/)=±»(l —2) J d3V{\, 3)G(3, 3+; U) +
о
+ iV(\, 2)G(lf 2; U).
Уравнение для функции Грина G в рассматриваемом нрнблиЖ1
нии в соответствии с (15.35) записывается в виде
О ж+ik)Gv>n=6(1 - V)±i \dW{1' 3>с(3' 3")о(1, l0+
+ tJd2V(l, 2)0(1, 2)0(2, 1'). (l6j8)
t?2

раскладывая уравнение (16.18) в интеграл Фурье по импульсу,
после некоторых преобразований находим
[/^r-£»F(p)]o(p,/i-/r) = 6(/i-/r). (16.19)
где ^%> = £ + 2HF(p) =
-^ + w(0)±J-jgjr»(p--p/Kn(p')>; (16.20)
о (р) = J dre-'rtv (г); v{0) = v(p = 0);
л —средняя концентрация частиц; <гс(р)> — функция
распределения частиц по импульсам. Уравнение (16.19) приводит к
такому же по виду выражению для G(p, г), что и выражение
(16.17), с единственной заменой p2/(2m)-^£HF(p). В результате
в [приближении Хартри — Фока получим для спектральной
функции следующее выражение:
Л(рш)=-2:т6(ш-£ПГ(р)).
Таким образом, если межчастичное взаимодействие
учитывается в хартри-фоковском приближении, то в системе возможны
стабильные одночастичные состояния с энергией £HF(p),
определяемой выражением (16.20). Отметим, что в случае кулонов-
ского потенциала слагаемое v(0) в этом выражении обращается
в бесконечность. Реально эта расходимость устраняется
наличием компенсирующего фона, обеспечивающего
электронейтральность системы в целом.
При точном учете межчастичного взаимодействия необходимо
рассмотреть и последнее слагаемое в правой части уравнения
(15.39). Этот вклад в массовый оператор описывает так
называемое корреляционное взаимодействие между частицами. Имея
=*то з виду, будем обозначать его как 2С, так что полное
выражение для массового оператора есть 2 = 2I!F + 2С.
Свойства величины 2С можно исследовать, рассматривая
последовательные итерационные приближения, получаемые из
Уразнения (15.39). Таким способом можно показать, что функ-
ЦИя £j(I, Г) так же, как и функция G, состоит из двух
аналитических функций 2^ в том смысле, что каждое ее птерацион-
0е выражение состоит из таких функций:
, f 2>(1, \% it\>iti>*
zc(i, v) = \ v ;
( 2<(1, 10, iti<itv-
ъ
tjopot важное свойство функции 2C(1, 1') заключается в том.
и гЬ°На Удовлетворяет тому же самому граничному условию, что
ФУнкция G. Это условие можно вывести из граничного условия
173

(15.15) для ф>нкаии G2. Для 0<i7r<p имеем
2c(U П1Л-0 ===*=**%: 0 > 1')l,1—,p
или (16.21),
В рассматриваемом здесь равновесном случае функция Ес зави
сит реально только от разности переменных, так что Хс(1, 1') =
= Sc(l — 1')- Поэтому величины 2? и Т^ удобно представить.
в виде интегралов Фурье:
V-
(16.22)
— оо
оо
—оо
Определенные выражениями (36.22) функции 2^ (рсо) являются
вещественными неотрицательными величинами, которые, как
следует нз граничного условия (16.21), связаны соотношением
2< (рш) = <ГР ^-^ (рш). (16.23>
Если определить функцию Г(рсо), аналогичную функции Л(рш),
равенством
Г фа) = S> (рш) + 2< (рш), (16.24)
то подобно (16.4) получим
2>(Pco)^[3if(co)]r(pto),
2* (рш) ==/(©) Г (рсо),
где Дш)—функция, определяемая выражением (16.5).
Поскольку функция £с подчиняется квазипериодическим
граничным условиям (16.21), ее можно разложить в ряд Фурье
аналогично (16.12). Соответствующие коэффициенты Фурье даются
выражением
оо
у /п -)_ [ ^LlS^L (16.25)
где 2V, как и прежде, определяется соотношением (16.33).
Вернемся теперь к уравнению для функции G, которое в им
пульсном представлении может быть записано в виде
[/~-£Hir(p)]G(Pj f-O- J d*iSc(P, /-/<)Х
о
XG(P, ti-t') = 6(t-t').
174

чмножим это уравнение на exp{izv(t — /')] и проинтегрируем
По t от 0 до —ф. В результате получим
[zv - Енр (р) _ 2С (р, zv)] G (р, zv) = 1.
Это соотношение связывает функции <?(р, г) и 2с(р, г),
определенные на множестве точек zv, н, следовательно, оно должно
быть справедливо для всех комплексных г. Поэтому нужное нам
аналитическое продолжение приводит к выражению
G(P, г) = [г - £нр (р) - 2С (р, г)]"1-
где мы заменили 2с(р, г) согласно (16.25):
со
■оо
Для вычисления спектральной функции /i (рсо) используем
формулу (16.15). Подстановка в эту формулу выражения (16.26)
приводит к следующему результату:
А (рсо) = IГ т
L со - £н*(р) - Re Yc (рсо) + («72) Г (рсо)
1
со - £1,F (р) - Re 2С (рсо) - (i/2) Г (рсо)
где мы воспользовались соотношением
1
1, (16.28)
Р (^) =F шб (х)
X + 1В
и в соответствии с (16.27) положили
Re^M^J^f-^. (16.29)
Окончательное выражение для А через Re2c и Г, как следует
из (16.28), может быть представлено в виде
Л(рш) = -= гш Г (р(0) ,„ j Г- (16.30)
W } [(o-£Hb(p)-ReSc(p(o)h + r2(p(o)/4
Полученное выражение имеет совершенно общий характер и
справедливо во всех случаях. Если функции Re2c и Г медленно
^еняются с изменением частоты, то зависимость А от со (16.30)
^еет вид лоренцева контура шириной Г. Иными словами, в та-
с°и ситуации можно принимать Г-1 за время жизни
одночастного возбужденного состояния с импульсом р. Величину
^2С можно при этом интерпретировать как среднюю энергию,
Риобретаемую частицей с импульсом р вследствие корреляции
175

с другими частицами системы. В случае, когда Г мала,
соответствующее возбуждение (квазичастица) является долгоживущим
Отметим, что сдвиг энергии ReZc, определяемый (16.29), и щи^
рина Г не являются независимыми. Функции Re2c(po>) и Г (рсо)
связаны условием (16.29) — дисперсионным соотношением.
Проведенное рассмотрение в равной степени справедливо как
для ферми-, так и для бозе-систем. В качестве конкретного
примера возможности существования квазичастичных возбуждений
мы рассмотрим случай предельно вырожденной ферми-системы
с взаимодействием (фсрми-жидкость). При абсолютном нуле
температуры функция f(co), определяемая (16.5), в случае фер-
мионов есть
В результате для функций Х> и Х<, используя соотношения
(16.23)' и (16.24), получаем
s>(pco) = o, о)<и;
(16.31)
Предположим, что функции Е>(ро>) и 2^ (рсо) являются
непрерывными функциями о при о) = а. Эта непрерывность может
быть доказана во всех порядках теории возмущений. Однако в
тех случаях, когда теория возмущений не применима, это
может быть и не так. Ферми-системы, у которых есть указанная
непрерывность, называют нормальными. Для них вблизи ы = и
функция Г=И>+2<, как следует из (16.31), мала, н,
следовательно, по отношению к этой области энергий можно говорить
о долгоживущих одночастичных состояниях — квазичастицах с
энергией £(р), равной корню следующего уравнения:
Е (р) = Еш (р) + Re Ic (рш) |ш.Е(р). (16.32)
Действительно, если в некоторой области энергий Г(со)-*-0, то
в этой области спектральная функция имеет б-образную
особенность, энергетическое положение которой (энергия киазичастииы
с импульсом р) и определяется уравнением (16.32). Выражение
для спектральной функции в указанной области может быть
представлено как
Л (рсо) = 2я6 (со - £rrF (р) - Re Хс (рсо)) + Л (рсо), №$%
где А(ры)—плавная часть, мало меняющаяся при изменении ®
в интересующей нас об пасти со ^ и. Выражение (16.33) моЖн
представить в эквивалентном виде
А (рсо) = 2rtZ (р) б (со - Е (р)) + Л (рсо), (1^34)
176

где Е(р) определяется согласно (16.32), а перснормировочный
множитель Z(p) равен
z-« (р)=1 -д Re:c (p(a) . (16.35)
да>
о)=£(р)
используя представление (16.29) и условие Г ^ 0, можно
показать, что 0<Z< 1. Учет плавной части Д(рсо) необходим для
выполнения правила сумм (16.6), именно;
J-S"^(p©)-Z(p) + J-g-i4(p©)
1.
В случае ненулевых, но достаточно низких температур, когда
ри > 1, представление Л(рсо) в виде (16.34) по-прежнему
остается справедливым в области энергий |ш — м| ^ fl-
Выражение для корреляционной функции G<(pco),
отвечающей спектральной функции (16.34), имеет вид
6<(р(м) = 2nZ6 (со - Е (р)) f (со) + 5<(рш). (16.36)
Здесь мы положили Z(p)^Z, поскольку рассматриваются
только энергии Е(р) вблизи и, где можно считать д Re Sc/dto~const
Через <?< обозначена регулярная часть функции GK.
Функция распределения частиц по импульсам, которую мы
обо?начим здесь через /(р), связана с G<(poj) соотношением
f(p)==Sf-G<(po3).
Используя представление (16.36), находим
f<P)= -p[g(P,-m. . +У(Р). (16-37)
где f(p)— функция, которая слабо, по сравнению с первым
слагаемым, зависит от р. При стремлении температуры к нулю
№-»-оо) функция (16.37) имеет разрыв при £(р) = д, т. с. при
значении импульса p = pi-t где импульс р? связан с а условием
Р" +2НРЫ + Ке2с(рк, ш = ц) = р.
Ветчина скачка, однако, равна Z, а не 1, как в случае
идеально фермн-газа: f(p = рг~-0) — f(p = pF + 0) = Z.
Вместо функции распределения частиц /(р) (16.37) можно
Ьв^стп функцию распределения квазичастиц п(р) соотношением
п (р) =4 5 if- с< (рф) - gP[£fp^i+1 - (] б-з8>
До)
Tin
Но* ^"^Рированис идет но области б-образного пика спектраль-
ф !| Функции; Z—перенормировочный множитель, определяемый
Рм>"лой (16.35). Эта функция, как и функция распределения
* А- С. Кондратьев, А. Е. Кучма 177

частиц в идеальном газе, при 7 = 0 имеет следующий вид;
I °> Р > PF.
Следует иметь в виду, что представление (16.37), как и понятие
об энергии £(р), оправдано лишь при £(р) « tu или, что то же
самое, при р ж pF. Поэтому введение квазичастиц с функцией
распределения (16.37) оправдано лишь в области р & pF для
состояний, слабо отличающихся от равновесного при Т = 0,
когда между функциями /(р) (16.37) и л(р) (16.38) имеется
однозначная связь. Последнее обстоятельство связано с тем, что
только при малом отклонении состояния системы от
равновесного с нулевой температурой можно пренебрегать вызванным
этим отклонением изменением плавной части распределения
?(Р).
Таким образом, концепция описания свойств системы многих
частиц, основанная на представлении о квазичастичном
характере некоторых ветвей энергетического спектра, получает для
нормальной ферми-системы строгое обоснование без каких-либо
предположений специального типа. Условием, определяющим
справедливость такого представления, является малость
величины Г в определенной области значений энергии. Газ
квазичастиц соответствует не истинно стационарным, а лишь квазиста-
ционарным состояниям системы, и пользоваться этим
представлением можно лишь при достаточно малом затухании: пока
ширина соответствующего энергетического уровня мала по
сравнению с энергией возбуждений, отнесенной к одной частице
Отметим, что величина £(р), играющая роль энергии
квазичастиц, зависит от состояния системы и оказывается, вообще
говоря, зависящей от температуры, как это и предполагается в
рамках феноменологической теории ферми-жидкости.
В заключение этой лекции обсудим вопрос о вычислении
равновесных характеристик системы в методе функций Грина.
Как ддя ферми-, так и для бозе-систем равновесная спектраль*
ная функция Л(рш) содержит всю возможную информацию о-
статистической механике рассматриваемой системы. Используя
уравнения движения для операторов -ф и я))4", нетрудно получить-
следующее соотношение:
39)
+ 4" \dr dr'V (r/) г|з+ (T't) v (r - г') г|> (г'<) Ц> (г/). (1б-
Правая часть этого равенства описывает половину кинстическ<^
и всю потенциальную энергию системы. Добавляя член, соотве
173

схвующий второй половине кинетической энергии, получим
следующее выражение для среднего значения энергии системы:
(Я) = 4- J dv [(/ 4г - i£r + *£-) <*♦ <rV) ф (r/))lr,=r ,,=, =
=±^s,r[01_^+^l)G<(r, rr)krr(=
=FjwSf-a+p22/(2w)/H-4^ <16-40>
где V — объем системы.
Вычислим теперь большую статистическую сумму системы:
Z0- Sp [exp(~p# + Piitf)]. (16.41)
Для этого введем константу связи (К) перед членом
потенциальной энергии в выражении для гамильтониана системы Н: Н =
= //0 + Х#ь где #о — оператор кинетической энергии, a #i—.
оператор потенциальной энергии, описываемый соотношением
Н{ = ~ J dr dr'i|?+ (rf) ф+ (r'f) и (г - О -ф (г7) ф (г/).
Используя выражение (16.40), дифференцируем InZ0 по % при
фиксированных параметре Гиббса р, химическом потенциале р,
и объеме V. Учитывая, что некоммутативность операторов Н{ и
#о—\iN не играет роли, так как значение следа произведения
операторов не меняется при их перестановке, получаем
|г1пг0 = го-|8Р{-|гехр[-р(Яо+Я//1-11ЛГ)]} = -р(Я1>.
Интегрируем обе части этого равенства по % в пределах от Я=0
до Я,— 1. в результате находим
In Z0 U-i - In Z0 K=o= -P J -f4^i>, (16.42)
0
гДе <Я//!> — среднее значение потенциальной энергии
взаимодействия с константой связи X. Эту величину можно выразить через
спектральную функцию, вычитая из выражения (16.39) для сред-
Него значения энергии системы кинетическую энергию. Тогда
Эт°м выражении Лх(ро>)—равновесная спектральная функция
Стемьг, у которой оператор потенциальной энергии взаимодей-
ЛеВИя есть %Н{. С помощью соотношений (16.41) и (16.42)
сигК° Написать выражение для термодинамического потенциала
12»
179

Учитывая, что —р l\nZ0\K ь есть термодинамический потенции
системы невзаимодействующих частиц Q0, получаем
i
О
Знание термодинамического потенциала позволяет найти все
равновесные характеристики.
Задания
1. Получить соотношение (16.2).
2. Проследить переход от уравнения (16.18) к уравнению (16.19).
3. Получить формулу (16.42).
Лекция 17
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА
ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ
При рассмотрении неравновесных свойств систем многих частиц
остановимся сначала на случае, когда возмущение системы
осуществляется внешним силовым потенциальным полем 1/(г, /).
Это силовое поле можно учесть добавлением к гамильтониану
дополнительного слагаемого:
H'(i)^^drU(rt /)^|(r, /)^u(r, t). (17.1)
Оисраторы ферми-поля т}-и(г, t) в (17.1) взяты в
гейзенберговском представлении, причем индекс и указывает, что уравнения
движения для этих операторов содержат полный гамильтониан
системы H + H'(t) (П^=\):
. а^лг, t) _г^{t th H{t)+^dt>u(t't t)^(r\ ()Ыг\ /)Ь
(17.2)
Оператор H(t) определяется выражением (15.1).
В качестве конкретного примера будем рассматривать систе-
му заряженных частиц, имея в виду применение полученных Iй
зультатов к электронной жидкости металлов. Продольное *ieh
трнческое поле» действующее на заряженную систему, привод^
к возникновению электрического тока. Этот процесс сопровО'
дается появпением потока тепла. Каждый из этих пронес0^
приводит к возникновению макроскопически наблюдаемы^ ^,
личин — заряда и энергии, поэтому их часто называют яв \
ниями переноса. Цель теории явлений переноса, как квантов
так и классической, состоит в вычислении пространственное
183

мсниых реакций системы на действие изменяющихся в
пространстве и во времени внешних возмущений.
Вводим гипотезу об адиабатическом включении возмущения
ц какой-то удаленный в прошлое момент времени U\.
Предположим, что, прежде чем возмущение V было включено, система
находилась при опредеченной температуре и обладала оиреде-
денным химическим потенциалом. Иначе говоря, система
находи *ась в состоянии термодинамического равновесия,
описываемого большим каноническим ансамблем. В гейзенберговском
представлении физическая система всегда находится в
неизменном состоянии, а со временем меняются только операторы
физических величин. Поэтому, вычисляя средние значения этих
величин, мы должны проводить усреднение по большому
каноническому ансамблю собственных состояний системы в любой
момент, предшествующий i0:
<*в<г, 0)
Е t. .v, ехР I- № - H-V*)/(*r)l </, \'i | Хи 0\ /) | /, .V£>
J]£e А. ехр [— (^ — |x.Vf>/(9er)l
Здесь Хи(г, t)—оператор любой усредняемой физической
величины X, взятый в гейзенберговском представлении, а <Х;(г. г)>—
среднее значение этой величины, вычисляемое в момент t в точке
с радиус-вектором г.
Формальное решение уравнения движения ал я любого
оператора Хи(г, i), заданного в гейзенберговском представлении,
можно найти, перейдя к представлению взаимодействия, В этом
представлении изменение операторов со временем описывается
уравнением
«iI£iL = [*(r, о, Я (01-
Переход от представления взаимодействия к гейзенберговскому
представлению описывается соотношением
*«<г, t)=V-*(t)X(r9 t)V(t),
где оператор V(t) определен выражением
(17.3)
-I J &? \ dx'U (г', {') ф+ (г', f) ф (г\ П
(17.4)
^писанным через операторы ноля -ф и ф+ в представлении взан-
°Действия, причем^ — любой момент времени,
предшествующи *о- Из соотношения (17.3) следует, что проблема вычне-
ния среднего значения какого-либо оператора при действии
1S1

возмущения U сводится к вычислению величины
<*Лг, /)> = <* (г, t))u =
= sp {exp [- (Я (Q - |iJV)/(x7)] V~x (t) X (r, t) V (<)}
sp {exp [- (tf (Q - 1*ЛГ)/(хГ) j} * * *
При использовании представления взаимодействия оператор
Я(^) не зависит от t'Q, следовательно, и все выражение (17.5)
не зависит от t'Q. Поэтому можно записать:
<*(r, t))u*={V-l(t)X{rf t)V(t))9
где V(0 = r|exp\~i \ dirdr'U(r\ t')y+(r', О*(г', OjJ.
а среднее, не отмеченное индексом и, означает среднее значение
по равновесному состоянию. В соотношении (17.5) зависимость
операторов от времени имеет такой же вид, как и в случае
равновесного ансамбля. Зависимость от внешнего поля U в (17.5)
представлена в явном виде. Средние значения типа (17.5)
удобно вычислять, используя уравнения движения для обобщенных
функций Грина, определяемых для вещественных временных
аргументов соотношениями •
g(l, Г) =-)-(Гфа(1) *?(!')>.
. (17-6)
&(1, 2; 1', 2') = -НГф„(1)1Ы2Н.Т(2')^+(1')>
и корреляционных функций g< и g>:
g<(l, l') = *<*« (1')*«<D>. (177)
^(1. 1') <'<Фи(1)Ч>и (10>-
С помощью введенных соотношениями (17.6) и (17.7) гринов-
ских и корреляционных функций можно описать реакцию
системы, первоначально находившейся в термодинамическом раВ"
новесии, на возмущение U. Например, средняя плотность частик
и плотность тока в пространственно-временной точке с коорД*|на"
тами г, t определяются равенствами
<п(г, /)> = <1|£ (г, t)%(r, t))=-ig<{tt\ г/),
Уравнения движения для гриновских функций получаю*
обычным образом с помощью уравнений движения (17.2) #*
«82

^операторов поля в гейзенберговском представлении и имеют вид
— оо
Xft(1.2;l',2*),f-«-f-+Jil-t/(l/)lg(l, l')= (17.8)
со
= 6(1-1')-* \ d2V(V, 2)ft(l, 2; Г, 2+).
— со
Здесь У(1, 2) = d (г,-г2) 6 (/,-/<>).
При построении конкретных приемов решения уравнений
движения для гриновских функций необходимо следить за тем,
чтобы в процессе эволюции системы выполнялись
фундаментальные законы сохранения — числа частиц, энергии и импульса. Эти
законы строго ограничивают возможные пути возвращения
системы в состояние термодинамического равновесия после
прекращения действия возмущения. Например, мы должны быть
уверены, что любые приближенные вычисления g приводят к
таким функциям <п(г, t)} и <j(r, f)>» которые удовлегворяют
дифференциальному закону сохранения числа частиц в системе
~A>(r, 0> + V-(j(r, /)> = 0. (17.9)
Несложными вычислениями можно показать, что для
выполнения перечисленных законов сохранения достаточно, чтобы гри-
новская функция удовлетворяла обоим уравнениям (17.8), а
двухчастичная гриновская функция g2 обладала свойством
симметрии:
g,(\, 2; Г, 20-ft(2, 1; 2', Г). (17.10)
Уравнения для корреляционных функций. Чтобы развить
вычислительную процедуру для определения функций g,
необходимо, как мы видели, задать граничные условия для гриновских
Функций. Их, однако, трудно получить непосредственно, так как
граничные условия для двухчастичной функции g2 достаточно
сложны. Поэтому введем, как и раньше, функции Грина G от
мнимого временного аргумента, определив их, однако, не в
интервале [0, —гр], а в интервале [/0, *о—ФЬ где *о —некоторая,
п°ка произвольная, вещественная величина (р = \/(хТ)):
G(l,V;t0)^~i<TS*^(V)\ (17.11)
гАе S = exp \-l \ d2£/(2)*a-(2)i|;(2)|. (17.12)
183

В соотношениях (17.11) и (17.12) ()<*(* — /0)< Р, а оператор
Т производит упорядочение согласно значению аргумента
i(t—10): операторы с большими значениями i(t—/0)
переставляются палево. Операторы фсрми-поля i|> взяты в
гейзенберговском представлении с оператором Я, не содержащим
взаимодействия с внешним полем [/, Свойства функции G{t0)
аналогичны свойствам функции G, рассмотренной в лекцич 15.
В частности, вместо граничного условия для функции G:
G(I, Г) Ь.-о = — схрф|г) G(l, l'Jk.—и
функция Gi/q) удовлетворяет граничному условию
0(1, Г; г0)|f.«f. = — ехр(р|г)G(1, Г; /Q)k=^. (17.13)
Изменение, которое необходимо сделать в формулах лекции 15,
чтобы их можно было применять для функции b(t0), состоит в
замене всех временных интегралов в интервале [0, —ф] на
интегралы в интервале [/о, *о —ф]. В частности, функция G(t0)
удовлетворяет уравнениям движения
6(1-Г)+ J d22(l, 2; f0)G(2, l'; /0),
[
1 (17Л4)
t—tft
= 6(1 —Г)+ \ d2G(l, 2; *0)2(2, 1'; г0).
t,
Чтобы преобразовать уравнения (17.14) в уравнения движения
для функции g, установим связь между функциями G(to) и g-
Рассмотрим случай i(t{ — iQ) < i{ty — tQ). В соответствии с
определением действия оператора упорядочения по времени (П
имеем
П(\ 1Л f * ATS*+(У) iHp)_
ЩЬ * » roJ— * 7™ —
= -М'г> <0-Ф)*+(ПУ(^ 'к)*0>у('» *i)> n7iS)
ОП*о.'o-*P)> ' V
rie
184
1Г ^ 0 = ГI exp —f J d2U (2) -ф+ (2) if (2) i. (17*l6)

Выражение (17.15) можно переписать следующим образом:
GO, Г; /о) = *Х
(^ ('» ^о —^Р)[^+ fa *г) ^+ О') ^ fa ^)] У* (*» 'Q Ф О) ^ ('о. *i)>
>< <№ (*о. *о - /р»
(17.17)
что очевидно при учете (17.16).
Запишем теперь выражение для g< в соответствии с (17.7),
перейдя от гейзенберговского представления для операторов
поля к представлению взаимодействия:
о<(1, П-1 ([W^ (t^^UnW (ty)]W^ (t^^i^W (t,)). (17.18)
В этом выражении, как следует из формулы (17.4),
W(t) = T<exp\~~i J d2U(2)^ (2)^(2) |.
Рассмотрим случай, когда внешнее поле U(t) является
аналитической функцией временного аргумента при —р < Im t < О,
удовлетворяющей условию
lim £/(0 = 0. (17.19)
Такому условию удовлетворяет, например, функция U(t) =
= t/0exp(—fflf), ™e ImQ>o.
Если U(t)—аналитическая функция времени, то W(to9 t) и
$'(/) также будут аналитическими функциями временных
аргументов в том смысле, что каждый матричный элемент от любого
члена в их степенном разложении апалитичеп. При равномерной
сходимости рядов функции (3(1, Г; U) и g(U Г) являются
аналитическими функциями временных аргументов.
Аналитические функции lF(/0, /) и 1Г(0» как нетрудно
видеть, могут быть также определены уравнениями
Z--A."7(0-Jdrt/(l)^(l)^(l)r(0, W(-oo)=l,
бедствие аналитичности этих функций имеем
lim W((6t t)=W(i). (17.20)
читывая условие (17.19) и определение (17.16), находим
lim W(/0, tQ-m=\. (17.21)
р
НнеВНИВая вьЧ>ажения (17.17) и (17.18) н принимая во рнима-
"-соотношения (17.20) и (17.21), получаем, что при выпот не-
185

нии условия i(tx — t0) < ~l ifv —* О справедливо
lim G(l, Г; fo) = g<(l, V). (1/.22)
Рассматривая случай i (tx — /0) > / (/^ — /0) и рассуждая
совершенно аналогично, придем к следующему результату:
iimG(i, 1'; g = g>(l, Г)- (17.23)
*0-»—оо
Введем по определению величины
aHF(l, 1')= lim SHF(1, Г; Q,
•о<(1,1')=- Нт Sc(l, 1'; t0), i(tl -10)< i{tr-t0), (17.24)
c^O, l') = HraSc(l, 1'; /0), /(/,-f„)>/(*,'-*„)■
Б этих выражениях 2HF и Ес — хартри-фоковская и
корреляционная части массового оператора.
Соотношения (17.22) — (17.24) позволяют написать
уравнения для корреляционных функций g< и g>, используя
уравнения (17,14) для функций G(/0). Рассмотрим первое из уравнений
i\7A4) при условии l(ix —tQ) < i{ty — /0). Разбивая область
интегрирования по времени в правой части этого уравнения на
части от /0 до tv от t{ до t{, и от tx, до г0 — /р, получаем после
.перехода к пределу при /0->—оо
1Ж+2^~и{1)\ё<{1' l') = $d2oHF(l, 2)g<(2, 10 +
+ J d2(a>-a<)(l, 2)g<(2, 1')-
—oo
- J d2a<(l, 2) (£> - g<) (2, 1'). (17.25>
— OO
^Рассмотрев первое из уравнений (17.14) при условии f(/|—-*о)^
> (f,/ — /0), аналогично получим
д V?
/ 1 -
. dlx ' 2m
"У(1)]^>(1, n=$<*2aIIF(l, 2)g>(2, 10 +
+ \ d2(a>-a<)(l, 2)g>(2, Г) -
— oo
t
\d2a>(l, 2)(g>~g<)(2, V). (l7-26)
ns

Предельный переход при /0-) оо во втором уравнении (17.14)
дает следующие два уравнения:
+ -Sf-*/<1')]g<(l, 10=5^(1, 2)aHt(2, Г) +
+ \ d2(g>-g<)(\, 2)о<12. Г)
I
— oo
J d2£<(l, 2)(a>-a<)(2, 1'). (17.27)
а г?.
-^ — + 1^-^(1')U>(1, l')=S^(l, 2)aHF(2( 1') +
и
+ \d2(g>^g<)(lt2)a>& 10
■oo
- J d2g>(l, 2)(a>-a<)(2, 1')- (17.28)
— oo
В написанных уравнениях не указана область интегрирования
по времени в слагаемых, содержащих aHF. Эти члены фактически
не содержат интегралов по времени вследствие того, что в
определение массового оператора в приближении Хартри —Фока
входит 6-функция от его временных аргументов. Точные
уравнения движения для корреляционных функций от вещественных
временных аргументов (17.25)—(17.28) были впервые получены
Л. Кадановым и Г. Беймом. Величины 0HF. a< и <**> входящие
в эти уравнения, выражаются через корреляционные функции
f? н g>, поэтому система этих уравнений является замкнутой.
Система уравнений Каданова — Бейма нелинейна относительно
Функций g< и g>. Это указывает на немарковский характер
э&олюции во времени корреляционных функций g и g .
Уравнения для корреляционных функций в смешанном
представлении. Полученные точные уравнения движения для корре-
•^ОДюнных функций g< и g> слишком сложны и поэтому мало
^Ригодны для исследования неравновесных свойств конкретных
^тем. Однако эти уравнения могут с!\*жить основой для даль-
^шего развития микроскопической теории необратимых про-
СкАС°чВ' ^ля этого их УД°бно переписать в смешанном (вигнеров-
°м) представлении. Для перехода в это представление нере-
137

пишем уравнение (17.25) в следующем виде:
(Я.
[i -^7 + -^ — «/(1)] в(1 — 2) д<(2, Г)
— оо
СО X)
= 5 d2a»p(l. 2)g<(2, Г) -f ^ d28(f1-.'a)(o>-o<)(l, 2) X
-ОО
Xg<(2, П- 5 d20(^,-/2)a<(l, 2)(g>-g<)(2, 1'). (17.29)
— оо
Здесь 0(х)—ступенчатая функция Хевисайда: 6(х)= i при
х > 0 и 0(а') = 6 при х<0. Переходим к новым переменным,
равным полусумме и разности пространственных и временных
координат:
В новых переменных все функции координат и времени будем
записывать так:
F(l, i')-*f(l-r; I±21).
При такой записи уравнение (17.29) принимает нид
со
Sd2K(l-2;l±l)g<(2-l';l±il) =
— эо
= 5"^нр(1-2;1±1)в<(2-1';^-) +
— оо
оо
+ 5 d2e(/I-/2)(a>-0<)(l-2;-^)g<(2-l';^-)-
d2G (*,. - д а< (l - 2; i±i) ^ ~ «<) ('2 - 1'; ^j'
(17.30)
Здесь использовано обозначение
В уравнении (17 30) совершим фурье-преобразование по пеР^
менным 1 — 1'. Фурье-образы функций, входящих в это ураБ
-оо
оо
— оо
183

иие, определяем следующим образом:
ее
g* (рю; RT) = ±/ \ dt dr ехр(/ю/ — ф • г)^ (r/; RT),
— со
ОС
g* (рю; R74) == ± / \ d/ dr ехр (ш/ — /р ■ r)as (г/, R7),
— ос
со
a"h {p; R71 = { Л dr ехр (to/ - ф - г) cm' (r/; RF),
■' (17.32)
— оо
оо
К (рю; RT) = \ d/ dr ехр (ко/ — /р - г) К (п; R7),
— ее
оо
/• (ра>; R7") = \ d/drcxp(ta-ip-r)e(-0(g>-g<)(i*;R7')>
■со
оо
М (рю; RT) = \ dt dr ехр (ml - /р • г) 0 (/) (а> — а<) (г/; Rf).
— оо
При проведении ф}рье-иреобразования уравнения (17.30)
воспользуемся формулой
оо
J d (1 - 1') ехр [ш (г, - /,,) - /р • (г, - г,,)] Х
— со
оо
X \ d2A (1 - 2; !±2-) В (2 - Г; ^11) = {Л (pto; RT),
— оо
В(рш; RT)}. (17.33)
Здесь фурье-образы /1(рсо; RF) и Щрю; RT) определяются
четвертой из формул (17.32). Фигурные скобки в правой части
равенства (17.33) означают операцию
{Л(рю; R7-), Й(рю; RT)} =*
^ехР[¥(жЖ~^^ + Ур1,¥к,~Ур'Ук)]Х
X ^ (рю; Rt'A) Б (р,©,; RT) Ц^ р|_р. Tl_r. R:=R -
Для пояснения формулы (17.33) рассмотрим фурье-преобра-
3ование по одной переменной. Пусть /-—интеграл вида
ос
г(* л- * £1±£*Л — С Hy п ( у у Xi + Хг Л ^'г
J \^Х{ — Л2, 2 ) \ йХЪа \Xl ~~ Лз> 2 ) /ч
— ос
X6(-v-3--vv, ^±^)- <17-34)
189

Вводя новые переменные x = xI—х2 и X = {х\ + х2) /2 и делая-
замену переменной интегрирования х3 = а'2 + -£» перепишем
формулу (17.34) в виде
/ (*, X) = ^ dm (.* - х; X + |) b (х; X - iZ-Ё.). (17.35)
— 00
Рассмотрим фурье-образ этого выражения:
оо
I{ptX)= ^ dxexp{—ipx)I{x, X). (17.36)
— оо
Подставляем соотношение (17.35) в (17.36) и раскладываем
величины а и Ъ как функции второго аргумента в ряды Тейлора
оксло точки X. В результате получаем
оо оо
I(p,X)=r. Y, "—j^T \ dxdxexp{— ipx)^a(x — xt Х)Х
k, rt=0 * '* ^oo
Х(т)^И^^)(^)"- (17.37)
Производные по X в выражении (17.37) можно вынести за знак
интеграла. Тогда каждое слагаемое в правой части (17.37)
представит собой фурье-прсобразоваыие свертки двух функций. При
этом следует иметь в виду, что фурье-образ свертки двух
функций есть произведение фурье-образов этих функций, а
умножение преобразуемой функции на координату соответствует диф-
ференцированиюее фурье-образа по импульсу.хф(л')™>/-^—ф(р)-
С учетом сказанного
пр,л)— ^ кы ^2) dxk k х
fe,n=0
Xa{pl.X)b(plX{)\pt^Xi_x.
Перегруппировывая слагаемые в двойной сумме по k и /г,
последнее выражение можно переписать в виде
оо $
'<**>-Ш)£
s=Q fe=0
dk dk ds~k ds-k , x)h, x), fl7-38>
Теперь нетрудно видеть, что суммирование по k в выражен"
(17.38) представляет собой разложение бинома Ньютона. А*
190

эТому выражение для 1{р, X) приобретает вид
оо
s О
X«to^)MA^U,x^^exp[4(^^~^^)]x
Ха{риХ)Ь(р, Х{)\р^х^х. (17.39)*
Возвращаясь к формуле (17.33), отметим, что
фурье-преобразования по каждой переменной совершаются независимо.
Поэтому результат полного фурье-преобразования можно получить
путем последовательного применения формулы (17.39).
Поскольку возникающие при этом производные от функций А и В по
различным переменным коммутируют друг с другом, то в итоге
приходим к соотношению (17.33).
Использование формулы (17.33) позволяет записать
результат фурье-преобразования уравнения (17.25) в виде
{#(рсо; RT)-cHF(p; R7)-Af(pco; RT)t g<(pco; RT)} +
+ {a<(pco; RT), F(pco; RT)} = 0. (17.40)
Для вычисления функций F и М определяем, как и в лекции 15,
спектральные функции
а(рсо; КГ) = g>(pco; RT) + g<(pa; RT),
Г(рсо; RF) = a>(pco; RF) + a<(pco; RT}. {17ш У
Выразим функцию F через спектральную функцию а. Учитывая
предпоследнюю из формул (17.32), имеем
о
F(pco; RT) = \dtexp(mt)(g>-~g<)(pt; RT). (17.42).
— оо
Подставим входящие в выражение (17.42) функции g> н g<
в виде обратного преобразования Фурье. Учитывая первую из
Формул (17.41), получим после замены переменной
интегрирования * = —*,:
оо оо
F(pM; RD= J ||^5 Л exp [/(©'— ш) f] a (рш'; RT). (ПАЗ)
—оо 0
^чтеграл по времени в (17.43) вычисляется по обычному пра-
ИлУ, соответствующему физическому принципу причинности:
00 оо
\ dt ехр [I (со' — w) t] = lim \ <i/ехр [г (со'— со + ix\)t] =
= @{—± ) + лб (со' - со). (17.44),
191

Учитывая формулу (17.44), получаем
со
F ft»; RT) = 9 \ <«. ^LMi _ <.а(р(й; Ш {17 45)
Совершенно аналогично вычисляется и функция Л? (рсо; RT):
со
М(рсо; RT)=<? ] ^И^П-^ГЙм,; RF). (17.46)
— оо
Определяем функции g(pz; RT) и о(рг; Rf):
£(pz, RF) = ^ — 2_^ , (17.47)
a (pz; RT) = о"* (р; RT) + \ -g- -Ц^ ■ (17.48)
Здесь г — комплексная величина. При стремлении г к
вещественной оси сверху или снизу (.г-*-ш zh п], т]~*-+0), учитывая
формулу Сохоцкого:
т^=**(т) *'**<*>•
получаем с помощью (17.47)
da/ a (рсо'; R7") i
г->-
im *(,*; т = 0>\^^Ш±+±а^ RT). (17.49,
Аналогичное соотношение для функции а получается с помощью
(17.48):
lim a (pz; RT) = о"" (р; КГ) + 9 \ %- г<^»г> +
+ i Г (рш; RF). (17.50)
Сравнивая соотношения (17.49) и (17.45), находим
Г (рсо; RT) = - g (рсо - Ю; R7") =
= -Re g (рсо; R7) -1 о (pw; R7), (17.5«
а сравнивая формулы (17.50) и (17.46), получаем
М (рш; R7) = 0 (рсо + /О; RT) - от (р; RT) =
= Re о (рсо; RT) - он,Г (р; R7") - -|- Г (рсо; RT). (17-б2)
192

^вное вычисление фурье-образа К(р(й\ RT) при учете (17.31)
яриводит к
К (рсо; RT) = \ dtdr ехр (Ш — ф • г) X
х^-яг + ^ + ^ + т- г+4)]в(/)в(г)=
Подставляя соотношения (17.51) — (17.53) в уравнение (17.40),
переписываем его в виде
{й--£-^(К' Л " Re a (pco; RT) + ^T(pw; R7), g<(pco; Rf)}-
-{а<(рсо; RD, Re^(pco; RT) +-i-а (рю; Rr)} = 0. (17.54)
Подвергнув описанным ранее преобразованиям уравнение
(17.27), сопряженное уравнению (17.25), получаем второе
уравнение, которому удовлетворяет корреляционная функция g<:
{гЧрсо; R7), <o--|l-^(R, r)-Recr(po); КГ)_£-Г(рш; RF)}-
-{Re£(pto; R7)-|-a(pco; RF), a<(pco; R7)}=0. (17.55)
Ьсли подвергнуть описанным преобразованиям уравнения
(17.26) и (17.28) для функции g>, то получаются уравнения,
имеющие такую же структуру, как и уравнения (17.54) и (17.55)
с заменой индекса < индексом >.
Полученные уравнения для корреляционных функций в
смешанном представлении являются точными, поскольку при их
выводе не накладывалось никаких ограничений на величину и
скорость изменения внешнего потенциального поля в
пространстве и во времени. Дополненные уравнениями для массового
оператора они могут служить основой для описания любых ти-
Rob явлений переноса, однако они весьма сложны и не могут
быть решены точно. Ценность полученных точных уравнений
включается в том, что с их помощью можно получать более
ЦРостые приближенные уравнения со строгой оценкой условий,
Ри которых эти приближенные правильно описывают рассма-
Рйваемые неравновесные явления. В частности, с помощью
приеденных уравнений могут быть получены обобщенные кинети-
еские уравнения, решение которых может быть найдено в яв-
й°^ виде. Последние позволяют последовательно получить ки-
етические уравнения теории ферми-жидкости.
*3 А. С. Кондратьев, А. Е. Кучма 193

Задания
1. Проверить соотношение (17.3), дифференцируя его но / и используя
равенство
i ^Jf- « \ dvU (г, /) ij)+ (г, 0 ф (г, О V (0-
2. Записать дифференциальные законы сохранения энергии и импульса
системы, аналогичные (17.9), и показать, что для выполнения этих законов
достаточно выполнения уравнений (17 8) и свойства (17.10).
3. Показать справедливость граничного условия (17.13) для функции
G(i.i; U).
4. Показать справедливость соотношения (17.22) при выполнении vcio-
вия i(tl~f0)>i(t[~t0).
5. Проверить справедливость уравнении (17.26)—(17.28) для
корреляционных функций.
Лекция 18
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В ТЕОРИИ НОРМАЛЬНОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
При медленном изменении внешнего поля t/(R, T) в
пространстве и во времени в точных уравнениях (17.54) и (17.55) можно
разложить экспоненты в ряды Тейлора и ограничиться членами,
содержащими только первые производные по переменным R и
Т. В таком приближении формула (17.33) принимает вид
{Л, В) = АВ+±[А, В]Р, (18.1)
где \Л, В\р — обобщенные скобки Пуассона, определяемые
равенством
И- *1* = Ж !г " 4ГЖ - VI • VkB + ^ ■ ЪВ. (-18.2)
Теперь уравнения (17.54) и (17.55) переписываются в
следующем виде:
*-£-U-Rev + ir,g<]p
o<(Reg + ±a)-±[<y<Reg + ±a]p=0, (l8-3)
8<(.-^-U-Rea-iY) +
.2
+ i[g<,*-:t-U-Rev-^rl-
(Reg—i-a)a<--i[Reg-4aJ0<]i, = O. (l8-4)
194

Использовав уравнения (18.3) и (18.4), легко получить
кинетические уравнения для описания явлений переноса в медленно
роняющемся в пространстве и во времени внешнем поле.
Пренебрежем для простоты спином частиц. Все входящие в
,,-равнения (18.3) и (18.4) величины при этом коммутируют, и
скобки Пуассона обладают очевидным, следующим из (18.2)
свойством антисимметрии:
[Л, В]р = —IB, Л]Р. (18.5)
Вычитаем уравнения (18.3) и (18.4) почленно, учитывая
определения (17.41) и свойство (18.5). В результате получаем
уравнение, названное Л. Кадановым и Г. Беймом обобщенным
кинетическим уравнением:
\*-^-u-*e*'S<)p + [Reg.a<]p = o<g>-o>g<. (18.6)
Аналогичными преобразованиями приходим к уравнению для
корреляционной функции g>9 которое иногда называется
антикинетическим:
[0~^"^-Rea^>]i> + tRe^a>]p = ^>^<™^<^>« (18.7)
Складывая уравнения (18.6) и (18.7), получаем
[ю - "£■ ~ U - Rc °> а\ + [Re & Пр = 0- (18-8)
Уравнение (18.8) может быть легко проинтегрировано. Ему
удовлетворяет функция Грина g, взятая в виде
g (рг; RT) = [z—*L.-U{RtT)-o (рг; R7)]"1. (18.9)
Действительно, используя формулу (16.15) для вычисления
спектральной функции а, выражение (18.9) и соотношение (17.48)
Для с, находим
а (о©- ът\ — Г (рсо; КГ)
v * *А ] [со - р2/(2щ) - U (К, 7) - Re с (рсо; КЩЯ + Г2 (рсо; КГ)/4 *
(18.10)
Вычисляем Reg с помощью выражения (18.9):
Reg (рсо; ЦГ) =
&. со - p'/(2i») - U (R J) - Re a (рсо; RT) ПЯ 1 П
[со - р2/(2ш) - U (R, Г)-Re a (род КГ)]2 + Г* (pa>; RH/4 ' и°Л 1;
Подставляя формулы (18.10) и (18.11) в уравнение (18.8), убеж-
*^емся, что оно обращается в тождество в силу вытекающего
i3 (18,2) очевидного равенства:
[A, f (А)]Р = 0,
4е ((Д)—произвольная дифференцируемая функция А.
13* 195

Таким образом, и в неравновесном случае при медленно
меняющемся внешнем поле U спектральная функция а(рсо; R74
дается таким же соотношением (18.10), как и в равновесии. Рас.
сматриваемое приближение, при котором учитываются только
члены, содержащие первые производные от всех величин по
переменным R и Т в точных уравнениях (17.54) и (17.55),
соответствует квазиклассическому описанию движения частиц во внещ.
нем поле £/(R, T).
Основное предположение, которое делается при написании
кинетических уравнений в феноменологической теории
нормальной ферми-жидкости, заключается в том, что при малом
отклонении системы от равновесия сохраняется концепция
квазичастиц, т. е. возможность рассматривать возбужденное состояние
макроскопической системы как совокупность отдельных
элементарных возбуждений. Как было видно при микроскопическом
обосновании концепции квазичастиц в равновесном случае,
возможность введения этого понятия в соответствии с
используемым в феноменологической теории нормальной ферми-жидкости
зависит от свойств функций и< и о<1 выражаемых
соотношениями а<(р, со) = 0, со > jj,; ст> (p, со) = 0, co<!,ii. Эти
соотношения" являются следствием свойств функции /(со) при
нулевой температуре.
Таким образом, предположение о возможности
квазичастичного описания неравновесного состояния фактически означает,
что при малом отклонении системы от равновесия можно ввести
локальную функцию распределения f(pco; R7), которая в
равновесии при нулевой температуре переходит в функцию /(со),
равную нулю при со > [х и единице при со ^ \х. При достаточно
низкой температуре в равновесии f(co) не равна нулю или единице
только для частот со, очень близких к ii. Если рассматриваемое
неравновесное состояние системы мало отличается от
равновесного, то функция Дрок RT) будет равна нулю при со >• p,(R, T)
и единице при о <: |i(R, Г), где локальный химический
потенциал jx(R, T) является теперь функцией координат и времени.
Такая зависимость f от со фактически определяет понятие
низкой температуры для неравновесной системы. Сделанное преД"
положение о поведении функции f(pco; RT) приводит к
непротиворечивому решению обобщенных кинетических уравнений, чт0
свидетельствует в пользу справедливости приведенных
качественных соображений.
Итак, предполагаем, что в неравновесном случае выполнен
условия
<т<(рсо; R7*) = 0, <o>HR, Г), 8Л2)
<т>(рсо; RT), co<|x(R, T).
Будем, как и в равновесии, считать функции а< и а> для н^
мальной ферми-системы непрерывными функциями со в рТ)
<а = [я. Тогда из определения спектральной функции Г(р^
196

(]7.41) и соотношений (18.12) следует, что в области частот
ф & \x(Ry Т) можно положить Г(рсо; RT)« 0. В результате,
рассматривая возбуждения, лежащие вблизи уровня Ферми ^(R, Г),
можно пренебрегать членами, содержащими сг<, о> и Г в
уравнении (18.3). Спектральная функция <з(р(о; RT), даваемая фор-
яулой (18.10), приобретает при этом б-образный характер. Все
вместе это означает, что пренебрегается затуханием одночастич-
Hbix состояний системы, расположенных вблизи уровня Ферми,
н не учитывается интеграл столкновений. В рассматриваемом
приближении, приравнивая к нулю вещественную и мнимую
части уравнения (18.3), получаем
[<й—Щ—и{К 7-)-Retx(PG>; RT)]g<{pwy RD = 0, (18.13)
w^^^U(Rj 7-)-Rea(Pco; RT), g<(p*y, Rr)l=0. (18.14)
i
Из уравнения (18.13) следует, что корреляционную функцию
g< можно представить в виде
g<(po>; R7,) = 2^(ffl-^--t/(Rf T)~Reo(pm; R7,))f(pco; RT),
(18.15)
где /—пока произвольная функция своих аргументов, которая
при равновесии системы переходит в функцию /(ю), входящую
в соотношение g<(p, (о) = / (со) а (р, <о). В отсутствие равновесия
функция / определяется из уравнения (18.14). Подставляя
выражение (18.15) в уравнение (18.14) и учитывая приведенное
ранее свойство обобщенных скобок Пуассона, находим
6(to~-^~~£/(R, r)-Rea(pco; RT)) X
X[<o~-j£--£/(R, r)-Rea(pco; RT), f (рщ RT)]p = 0. (18.16)
Определим величину £(р; RT) как корень уравнения
£(p; RT) = ^r + U(R9 T) + Reo(pc»; RT) |й=Я(р; яту (18.17)
д^Жно показать, что Recx(p(o; RT) является монотонной функ-
Цией о) вблизи o) = n(R, Т):
д
да*
г, / «ал 5 Г Аа' Г (рс/; RT)
s
2я
Чко.
dtt# Г (pa/; Rr)(n-a/r2<0,
(181 bKy 1' —П0Л0ЖитеЛьная функция. Поэтому уравнение
Ule"17) имеет в этой энергетической области единственное ре-
197

Определим функцию n(p; RT) соотношением
п(р; Rr) = /(pco; ROU£(p;Rrr (18.18)
Величина £(р; RT) играет роль энергии квазичастицы, а
функция n(p; RT)—роль функции распределения квазичастиц,
которая в равновесии совпадает с функцией распределения Ферми -~
Дирака п(р). Получим уравнение, которому удовлетворяет эта
функция. Раскрываем скобки Пуассона в уравнении (18.16)
согласно определению (18.2) и интегрируем уравнение по
некоторой области частот вблизи <o = |i(R, T). Входящую в уравнение
(18.16) б-ф\нкцню можно с учетом (18.17) записать в виде
5(cd--|1-£/(R, r)-Rea(po; RT)) =
= Z(p; RT)6{w-E(p; R/*)), (18.19)
где: перенормировочпыи множитель есть
2-'(р;КГ)=1-^С0(рШ;КГ)
д(а
<»=£(P;Rr)
(18.20)
Производные от Re о и f по р, R и 7, возникающие при
раскрытии обобщенных скобок Пуассона, в силу соотношения (18.19)
вычисляются при со=£*(р; RT). С помощью равенств (18.17) и
(18.18) эти производные выражаются через производные от
функций £(р; RT) и м(р; RT). Например:
дп(р; RT) __ dfljm; RT) j , d/Oxo; RF)
дТ дТ 1щв£(р; кг) Й6>
д£ (р; R?)
©-£(p;RT) аГ
Такой же вид имеют и формулы для производных от п по р и R
Аналогично могут быть записаны формулы для производных от
£(р; R^)* С помощью определения (18.20) их можно записать
в весьма компактном виде:
^r[£/(R, r) + Rea(pco; RT)] \^E(K КТ) = 2Г' (p; RD^if^-
Такое же представление справедливо и для производных по
р и R.
После указанных преобразований все слагаемые, содержа-
щие производные по со, сокращаются, и результат интегрир°0а
ния уравнения (18.16) по <о принимает вид
дп%т + vP£(р; КГ) • yRn(Р; RT) -
- VR£ (p; RT) - Vp/z (p; RT) = 0. (18'2,)
Это уравнение в точности совпадает с кинетическим для Ф> „
ции распределения квазичастиц в феноменологической теор
нормальной ферми-жидкости.
198

Функция распределения частиц системы вблизи уровня
Ферми f(p; R^) равна произведению перенормировочного
множителя 2(р; R7") на /г(р; RF). Действительно, с помощью формул
(18-15) и (18.16) получаем
/(р; RT) = [^g<(p<*; RT) = Z(p; RT)n(p; RT).
Даже в равновесии функция распределения частиц не совпадает
с распределением Ферми — Дирака. В отличие от f функция
распределения квазичастиц п(р; RT) в равновесии имеет
простой впд и при нулевой температуре равна единице или нулю
в зависимости от того, где лежит энергия квазичастицы — ниже
или выше уровня Ферми p(R, Т).
Величина Vp£(p; R^) имеет смысл скорости квазичастицы.
В случае заряженной ферми-жидкости в выражении для
квазичастичной энергии (18.17) можно выделить из Re о массовый
оператор в приближении Хартри он. Вместе с внешним полем
U(R, T) это слагаемое описывает действующее на квазичастицы
самосогласованное потенциальное поле, которое определяется
из уравнения Пуассона. Остающаяся после выделения о*н часть
массового оператора содержит обменное (фоковское) и
корреляционное слагаемые и описывает короткодействующее
взаимодействие между квазичастицами. Таким образом, даже в
пренебрежении интегралом столкновений кинетическое уравнение
(18.21) учитывает взаимодействие квазичастиц. В силу того что
квазичастичная энергия £(р; R7") зависит от распределения
квазичастиц, это уравнение является гораздо более сложным,
чем обычное кинетическое уравнение Больцмана в бесстолкнови-
гельном приближении.
Кинетическое уравнение (18.21) может быть линеаризовано
по отклонению от равновесия. Для этого представим функцию
распределения п(р: RT) в виде суммы равновесной части п(р)
и малой добавки Ьп:
п (р; ИГ) - п (р) + Ьп (р; КГ).
Аналогично представим квазпчастичную энергию:
£(р; RT)^E(p) + bE(p; RT).
линейном по возмущению приближении уравнение (18.21)
и*еет вид
^Р^- + VPE (р) • Vr Ьп (р; RT) - Vr ЬЕ (р; RT) - VPn (р) = 0.
г (18-22)
^аДиент равновесной функции распределения квазичастиц
*Л\Р) можно представить в форме
199

Теперь кинетическое уравнение (18.22) записывается как
Ш1**Т) + VPE (p). V, [in (p; RT) - |lgL ЬЕ (р; RГ)] = 0.
(18.23)
Выражение в квадратных скобках представляет собой
отклонение функции распределения квазнчастиц n(p; RT) от локально-
равновесной n(p; RT), зависимость которой от R и Т
обусловлена только зависимостью £(р; RT) от этих переменных.
Действительно, функция Я(р; RT) отличается от равновесной
функции п(р) лишь тем, что вместо £(р) в качестве переменной в
нее входит £(р; RT). Поэтому отклонение бЯ-функции
распределения от локально-равновесиой связано с отклонением от
истинно равновесной функции бп соотношением
вл(р; Rr) = n(p; RT)-n(p- Rr) + n(p; цТ)-п{р) =
-6n(p;RD + g^6£(p; RT).
Рассмотрим подробнее выражения для б£ и бя. В линейном
по отклонению от равновесия приближении нз соотношения
(18.17) при учете определения равновесной квазичастичной
энергии имеем
6£ (р; RF) = U (R, Г) + aRe^p'a) ЬЕ (р; ЦГ) +
0(0 о>^£ (р)
+ б Res (рсо; R^U^p,-
Для б£", учитывая определение перенормировочного множителя
Z{p) в равновесии, отсюда находим
б£(р; RF) = Z(p)[£/(R, F) + 6Re0(pco; RF)|tt_£(p)]. (18.24)
Соотношение (18.24) связывает изменение энергии
квазичастицы б£ с величинами, характеризующими взаимодействие частич
системы. Получим аналогичное соотношение для бя(р;
RT).,Линеаризация выражения (18.18) дает для §п:
6«(р; RD = 4? 6Е(Р= W + V (Рш: RF> U?»r (18-25)
(й=£ (р)
С другой стороны, линеаризуя выражение (18.15), получаем
bg< (рсо; RT) = 2л { б/ (рсо; RF) б (« - -^- - Re 0 (р, со)) -
-/((o)6'((o--|l-_Re0(p, со)) [(/(R, Г) + б Re о со; R7)]}'
200

Интегрируя это выражение по области частот вблизи <о =■
= jx(R, Г), имеем
J "g- «£< (ри; RD = { Z (р) б/ (рсо; RD + Z2 (р) 4? X
X [U (R, Г) + 6 Re о (рсо; RF}] + Z2 (р) / (ш) д6 Re У Rr) } I
Учитывая выражения (18.24) и (18.25), полученное
соотношение можно переписать в виде
Ьп (р; RD = Z-1 (p) J -g. 6g< (pco; RT) -
^Z(p)n(p)a6Regjpco;Rr) . (18.26)
Кинетическое уравнение (18.23) не является замкнутым. Для
его решения необходимо установить связь между изменением
квазичастичной энергии б£(р; R7*) и отклонением функции
распределения квазичастиц от равновесного значения 6n(p; R7).
Выделим из Rea в выражении (18.17) для квазичастичной
энергии массовый оператор ан в приближении Хартри. Вместе с
внешним полем /7(R, T) это слагаемое дает самосогласованное
поле £/34>(R, T)t действующее на квазичастицы Оставшуюся
после выделения <тн часть Rea обозначим через с. Тогда
выражение (18.17) для энергии квазичастицы можно записать как
^Е(р; ЦТ) + иэф(Я,Т). (18.27).
Величина Е(р; ЦТ), как видно из (18.27), равна квазичастичной
энергии за вычетом энергии взаимодействия квазичастицы с
эффективным самосогласованным потенциальным полем. В
результате линеаризованное кинетическое уравнение (18.23) с
учетом (18.27) можно записать следующим образом:
^+VP£^VR(fin"^e£)+-|g-eff-Vp£==0, (18.28)
°сли рассматривается заряженная ферми-жидкость. В уравне-
Нии (18.28) е — заряд электрона;с?—напряженность самосогла-
с°ванного электрического поля:
eff=-VRM/*4>(R. T). (18.29)
^Деление самосогласованного электрического поля, как уже
сУЖдалось ранее, соответствует явному учету динамического
СтрамиРования. В рассматриваемом случае величина 6Е пред-
3 авляет собой изменение корреляционной части квазичастичной
ЧаоРГИи* вызванное отклонением функции распределения квази-
ТиД от равновесной. В случае нейтральной ферми-жидкости
о г.

разделение (18.27) квазичастичной энергии на две части не
целесообразно.
В отсутствие малого параметра в системе вычисление
массового оператора по теории возмущений невозможно. Поэтому
в соответствии с подходом, принятым в феноменологической
теории, следует каким-либо образом параметризовать выражение
для изменения энергии квазичастицы. В теории нейтральной
ферми-жидкости параметризация осуществляется в соответствии
с соотношением
6£(р; RT) = U(Rt T)+ J-^Ff(p, р')6/г(р'; R7), (18.30)
ГДе /(р, р')— корреляционная функция Ландау, являющаяся
феноменологическим параметром теории. Для сравнения этого
выражения с формулой (18.24) перепишем выражение (18.24)
в ином виде, явно выделяя слагаемое с внешним полем, не
содержащее перенормировочного множителя:
6£(р; nt) = U(R, T) +
+ Z(p)[6Rea(pco; RT) + i*^t/(R, Т)] | • (18.31)
Выражение в квадратных скобках представляет собой
отклонение массового оператора от его значения в случае, когда система
находится в состоянии локального равновесия в медленно
меняющемся в пространстве и во времени внешнем поле U{R, T).
Действительно, второе слагаемое в этих скобках в (18.31),
взятое с обратным знаком, характеризует сдвнг одночастичных
уровней, обусловленный внешним нолем.
Сравнивая выражения (18.30) и (18.31), виднм, что
параметризации подвергается отклонение массового оператора от
локально-равновесного значения, умноженное на иеренормиро-
вочный множитель Z(p).
В случае заряженной ферми-жидкости в феноменологической
теории принимается, что связь между 6Е и &п имеет следующий
вид:
6£ (р; RT) = биэф (R, Т) + \ -^^ f (р, р') 6/г (р; КГ).
Из формулы (18.27) при этом видно, что параметризуется bcj
лнчина б£— изменение корретяциониой части квазичастичиои
энергии, вызванное отклонением от равновесия. С другой
стороны, из формулы (18.27), аналогично соотношению (18-31)'
имеем
6Е(р; Rr) = 6£/^(R, T) +
+ Z(p)f6Rea(pco; RT) + д Re*(» m) 61/* (R, Г)]| . (18.32)
202

Выражение в квадратных скобках в (18.32) есть отклонение
корреляционной части (включая обменное слагаемое) массового
оператора от се локально-равновесного значения в
самосогласованном поле 667Эф(1?, Т). Таким образом, в отличие от
нейтральной ферми-жидкости параметризации в данном случае
подвергается не изменение полного массового оператора, а лишь
вариация его корреляционной части при отклонении от
локального равновесия не во внешнем, а в самосогласованном
поле.
Сравнивая результаты, относящиеся к нейтральной н
заряженной ферми-жидкости, можно видеть особенности поведения
электронной системы металла, частицы .которой
взаимодействуют между собой посредством дальиодействующих кулоновских
сил. В нейтральной системе корреляционная функция Ландау
f(p, р') описывает полное взаимодействие между
квазичастицами. В заряженной системе полное межчастичиое
взаимодействие сингулярно вследствие большого радиуса кулоновского
потенциала. Эту трудность удастся обойти путем выделения
самосогласованного поля, действующего на частицы. Корреляционная
функция Ландау — Силина /(р, р') в этом случае описывает
только короткодействующее экранированное взаимодействие.
При решении кинетического уравнения для электронной ферми-
жидкости самосогласованное поле 6£/9<i>(R, Т) находится как
решение уравнения Пуассона, а корреляционная функция /(р, р')
ятяется феноменологическим параметром.
Перепишем линеаризованное кинетическое уравнение (18.28)
с учетом равенства (18.29) в фчрье-представлении:
(к • v - Q) fin (р; Ш) + к • v \ -$^г \f <р, р') + ^£] Ьп (р', kQ)=0.
Видно, что слагаемое с [(р, р'), характерное для нейтральной
ферми-жидкости, в кинетическом уравнении для заряженной
электронной жидкости заменяется на f(p, р') + 4ne2/k2. Этим
объясняются особенности в поведении заряженной
ферми-жидкости по сравнению с нейтральной. Сингулярный член 4ne2/k2
во взаимодействии заметно сказывается на длинноволновых
продольных колебаниях. В частности, появляется коллективная
мода, соответствующая плазменным колебаниям вместо
колебаний акустического типа, характерных для нейтральной ферми-
^ндкости.
Задания
1. Получить уравнение непрерывности для квазичастиц с помощью ли-
1еаРизованного кинетического уравнения (18.23).
2. Получить уравнение непрерывности для исходных частиц системы, вос-
°льзовавшись для этого соотношением (18.26).
20

3. сравнивая между собой уравнения непрерывности для квазичастиц н
для исходных частиц системы, получить соотношение
5тЙг*—St&vC--й-и).
эквивалентное формуле (3.2), используемой в феноменологической теории для
определения эффективной массы.
Лекция 19
КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ
ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Включение внешнего магнитного поля сводится в
нерелятивистском приближении к замене оператора импульса р на р — (е/с)А
и к появлению в гамильтониане дополнительного слагаемого,
описывающего энергию магнитного спинового момента частиц
в поле. Соответствующий гамильтониан системы электронов в
представлении вторичного квантования записывается в виде
tf«i^+(rt)["^A(rf)1,^(rO +
+ у \ dQ аяЛ+ (г/) ^+ 0"i0 v (r - fi) * <fi0 * И + *
+ \ dqU(rt)t+(r()^{rt)-^^dq^+(rt)s-rotA(r()^(rt). (19.1)
В этом выражении использована система единиц с fi = с = 1 и
введены обозначения: ip+ и -ф— операторы ферми-поля в
представлении Гейзенберга, представляющие собой двухкомпонент-
ные спиноры; -ф есть столбец из двух операторов ^а— ^ и 'Ф*,
a ^+ —строка из ^ и ip*; [/и А- скалярный и векторный
потенциалы электромагнитного поля, умноженные иа заряд
электрона. Оператор s, как и прежде, выражается через
матрицы Паули:
s*=i(i J) *'=т(° ~о) s-=t(o -i) (19"2)
Интегрирование по q в формуле (19.1) означает интегрирование
по пространственным и суммирование по соответствующим
спиновым переменным.
Операторы % и гр+ удовлетворяют обычным перестановочным
соотношениям:
[\Mj+f(r4=V(r-r,)'
1% (г/), ^р (г'/)]+ = [>+ (г/), 1>£ (г'0]+ = 0; о, р = f, 4-
204

Уравнения движения для операторов поля получаются с
помощью выражения (15.4). Для вычисления коммутатора удобно
лри этом представить последнее слагаемое в гамильтониане
(19.1) в следующей форме:
= tfB*% + ^tB-% + ^tB+% - ^tBz%- <19-3)
Здесь В = rot A, B± = Bx ± iBy. Вследствие перестановочных
соотношений ненулевой вклад в коммутатор [^, •§*$- rot Аф]_
дадут только те слагаемые из формулы (19.3), которые
содержат оператор ф*ь В итоге уравнение движения для оператора ifr
может быть получено в виде
*—5Г— = 2^ Vr/) +
+ J d9lo (г - г,) 1|Л (г,/) * (г,/) ^ (г/) + 6' (г/) ^ (г/) -
В этом уравнении принята кулоновская калибровка векторного
потенциала divA = 0, обеспечивающая коммутативность
оператора импульса —/V с А. Далее определяем матричную функцию
Грина g(lt У):
*(i, П=--{^(1, П} — *{<г*в(I)*+ (1')»-
Аналогично определяются двухчастичная функция Грина
£г(12, 1'2') и матричные корреляционные функции ^(1, V) и
8>(U П
С помощью уравнений движения для операторов поля так
Же, как и раньше, получаем уравнения для функции Грина в
виде
1Ж^(и П = ЧбП-П + А*у(1)^(1, П-
-i'Jd2K(i, 2)glm(\2, Г2+), * (19.4)
""'■^■^(1. l')^6Gp6(i-l') + £av(i, П^(П-
— * J Д2И(1', 2)gJ*e(l2~, 1'2), (19.5)
Ae оператор Dap определен соотношением
°0)^{Da,(l)} = {^^A<l>y + ty(l)}/-^g-rotlA(l).
705

Здесь / — единичная матрица в пространстве спина;
D~—матрица, эрмитовски сопряженная D. По дважды повторяющимся
спиновым индексам проводится суммирование. Отмстим, что в
произведении gD+ дифференциальный оператор, входящий в
Д^, ставится перед gay.
Уравнения (19.4) и (19.5) являются естественным
обобщением уравнений для функций Грина (15.18а) и (15.186) на
случай учета взаимодействия электронов с произвольным
электромагнитным нолем. Аналогично изложенному в лекции 17
осуществляются дальнейшие преобразования этих уравнений.
Определяем функции Грина G(l, Г; t0) от комплексных временных
аргументов. Вводим массовый оператор 2, с помощью которого
уравнения для функции Грина G записываются как
■ ° G(l, l';/0)-/6(l-l') + £(l)G(l, !';/„) +
Oh
+ J d2S(l, 2; /0)С(2, 1'; *0),
ь-*е
to
д G(l, Г;/0)-/6(1-1') + С(1, l';fo)0+O') +
dU,
+ $ <*2G(1, 2; t0) 2 (2, 1'; t6).
и
Для матрицы 2(1, Г; t0) получается следующее интегрально-
функциональное уравнение:
tz-W
2(1, 1; У = -/6(1-1') J d2V(\, 2)spG(2, 2";0 +
+ iV(l, l')G(l. l';*o) + * S ^^1/(1, 2)G(lt3;/0)-6Sg}jy^.
(19.6)
В рассматриваемом случае кулоновского межчастичного
взаимодействия в (19.6) необходим переход к эффективному полю
Uэф, чтобы, как указывалось ранее, избежать расходимостей,
обусловленных дальнодействующим характером кулоновского
потенциала.
Уравнения для корреляционных функций от вещественны4
временных аргументов получаются таким же образом, как и в
случае без магнитного поля, путем предельного перехода /о"*"
-*—оо. В этих уравнениях можно совершить фурьс-преобра30*
вание по разностям пространственных и временных аргументов-
Нетрудно убедиться, что формула преобразования (17.33) со*ра'
няет свой вид, однако теперь, в силу нскоммутативности матрИ4
206

ных функций, следует выдерживать неизменным порядок
сомножителей.
В случае медленно меняющихся внешних полей в точных
уравнениях для корреляционных функций в смешанном
представлении можно ограничиться слагаемыми, содержащими
только первые производные по переменным R и Т. При этом можно
воспользоваться формулами (18.1), (18.2), имея, однако, в виду,
что свойство антисимметричности обобщенных скобок Пуассона
(18.5) теперь не имеет места. В итоге уравнения для
корреляционной функции записываются так же, как и уравнения (18.3)
и (18.4) в отсутствие магнитного поля:
(со/ -._ е + ^_ Г) я< + ^ [ш/ _ ^ + J. Г> ^_
-e<(g+±a)-±[o<g + {a)p = Qt (19.7)
e<^I~e^^r) + ±[g< а>/-*-4Г]р-
-(£-та)а<-т[£-!а> а<]Р = 0- (19*8)
Здесь величина е определена соотношением
е(рщ КГ) = { [p^m(Rr)]2 + U (RT) } I -
— — s-rotA(R7,) + a(p<o; RT). (19.9)
НС
Входящие в выражения (19.7) — (19.9) величины g и о суть
эрмитовы части матриц g(pz; RT) и а(рг; RT), определяемых, как
и раньше, соотношениями вида (17.47) и (17.48). Обратим
внимание, что в отсутствие магнитного поля величины g и а
превращаются в вещественные части соответствующих функций,
поскольку в этом случае спектральные функции я и Г
вещественны. В магнитном поле а и Г становятся эрмитовыми матрицами.
Уравнения для корреляционной функции g> получаются из
Уравнений (19.7) и (19.8) простой заменой индексов <; на >.
Обобщенные кинетические уравнения получаются с помощью
Уравнений для корреляционных функций g< и g> и имеют вид
Ы-е, £*>« + {£. o*}e = {g*f a^}s-{a^, g*}s, (19.10)
Г;*е для компактности записи использованы следующие
обозначения:
{А В}8 = ±{А, В}±±~{В, ЛЬ
а
{А, В}+=±[А, В)Р + ±[А, В]+,
{А, В)_ = [А, B]p-i\A, B]_.
207

Уравнения (19.10) представляют собой обобщение уравнений
(18.6) и (18.7) на случай взаимодействующих ферми-чэстиц со
спином, которые помещены в произвольное электромагнитное
поле, медленно меняющееся в пространстве и во времени.
Кинетические уравнения в теории электронной жидкости
в магнитном поле. При выводе кинетических уравнений для од-
ночастичной матрицы плотности вырожденной электронной жид-
кости будем исходить непосредственно из уравнений (19.7) и
(19.8). В пренебрежении функциями о^ и Г, что оправдано для
нормальных ферми-систем при ш « рДЯГ), эти уравнения имеют
вид
(®/-е) g< + Yl©/-e, g<lp = 0. (19.11)
£<(©/-е) + 4 [g<,G>/-e]p = 0. (19.12)
Разложим матрицы g< и е по полной системе матриц в
спиновом пространстве:
g<=4*o' + s-S, (19.13)
e = exI + 2s -e2. (19.14)
Коэффициенты разложения gQ и g в соотношении (19.13)
характеризуют распределение частиц и распределение спиновой
плотности. Коэффициенты е\ и е2 в формуле (19.14)
характеризуют не зависящую от спина часть одночастичных энергий и
спиновое расщепление одночастичных уровней в магнитном поле.
Получим кинетические уравнения для функций g0 и g.
Вычтем уравнение (19.10) из уравнения (19.11), одновременно
подставив разложения (19.13) и (19.14). После приведения
подобных членов имеем
~2 [ш — еи go]p/~[s -e2, fijp + fa —e„ s • g]p —
— [s * e2f s 'g]p+[s -g, s-e2]p +
+ 2/(s • e2)(S ■ g) - 2i(s ■ g)(s • e2) -0. (19.15)
Учитывая перестановочные соотношения для спиновых матриц
(19.2):
SiSfc + 8bSi=z-gI6ib*
перепишем четвертое и пятое слагаемые в правой части равс^"
ства (19.15) в виде
Is * g. s . е2]р — [s . е2, s • g]p = -j I [gh e2i]p-
20S

Здесь латинские индексы нумеруют декартовы составляющие
соответствующих векторов. По повторяющимся индексам идет
суммирование.
С помощью соотношения
(s-a)(S.b) = i./a-b + -i-s-[aXb]
шестое и седьмое слагаемые в (19.15) дают
2i [(S • е2) {£• g) - (s • g) (s • e2)] - -2s • [e2 X g].
В результате равенство (19.15) переписывается следующим
образом:
•j [® — еь £oJP / — Si [e,h g0]p + Si [& — <?,, #,-]р —
- yfo/> gi]P / - 2? • [е2 X g] = 0. (19.16)
Беря шпур от уравнения (19.16), получаем
[со - еи £0]р " [*>/. #,-JP == °- (19.17)
Умножая уравнение (19.16) па s,- и беря шнур, находим
[« — *i > ft]P — t%> £о]Р ™ 2eiIke2Igk = 0, (19.18)
где Р|7а — антисимметричный символ Леви— Чивнта.
Соотношение (19.18) можно переписать в векторном виде:
[ю-еь g]P ~ [e2, ftlp - 2 [е2 X g] = 0. (19.19)
Если подвергнуть аналогичным преобразованиям сумму
уравнений (19.11) и (19.12), то в результате получим
следующие два уравнения:
(<o-et)#o-t\>-g-0, (19.20)
(ш — ex)gt — e2ig0 + YeHk K-, ЫР = 0. (19.21)
Сравнения (19.20) н (19.21) позволяют найти спектральные
Представления для функций ^0 и g, с помощью которых,
отправляясь от уравнений (19.17) н (19.19), можно получить кинетн-
^еские уравнения для функции распределения квазичастиц в фа-
зовом пространстве и векторной функции спиновой плотности в
Фазовом пространстве.
При определении спектрального представления функций g.y и
^ можно в уравнении (19.21) отбросить слагаемые, содержащие
бобщенные скобки Пуассона, ибо учет этих слагаемых привел
ы к появлению членов, содержащих вторые производные в урав-
сниях (19.17) и (19.19). Учет этих членов был бы последова-
^ьным только для последнего слагаемого в уравнении (19.19).
И Д. С. Кондратьев, А. Е. К>чма 7-Г9

ю — е\
в2х
е2у
e$z
в2х
Ш — в|
0
0
е-2у &2г
0 0
-со — ^1 0
0 со — ^i
Поскольку, однако, это слагаемое уже содержит постоянную-
Планка, то учет в выражении для спектральной функции
членов, происходящих от обобщенных скобок Пуассона в (19.21),
соответствовал бы второму порядку по параметрам
квазиклассичности для остальных слагаемых.
В пренебрежении последним слагаемым в формуле (19.21)
уравнения (19.20) и (19.21) образуют однородную
алгебраическую систему уравнений для величин gQi gXi gy, gz. Условие
существования ненулевых решений имеет вчд
= 0.
Раскрывая этот определитель, находим корни:
щ = ех — | е, | = <?л, щ = е{ + | е21 = ^, ш3,4 = ev (19-22)
Первому из корней (19.22) соответствует решение
причем вектор fA антипараллелси вектору е2. Второму корню
соответствует решение
£о = Ъ(№*Т)6(®-еу), g = ^(pcD;Rr)e(cD-^)f (19.23)
где ff — вектор, параллельный е0. Последней паре корней
отвечает решение
£0=0, g - f (рсо; RD 6 (со - еО, (19.24)
а вектор f перпендикулярен вектору е2. Двукратное вырождение
последнего решения соответствует двум независимым
направлениям в плоскости, перпендикулярной вектору ег-
Как следует из соотношений (19.23) и (19.24), общий вид
функций go и g таков:
(19.25)
(19.26)
Приступим к выводу кинетических уравнений. В уравнен*^
(19.17) и (19.19) следует подставить функции go и g, опреде*1*^
мые выражениями (19.25) н (19.26), и провести интегрирован!
по со. Поскольку аргументы б-функций в формуле(19.25) не.с°р.
падают с со — еь то при подстановке выражения для go в ^в0-
нение (19.17) и раскрытии скобок Пуассона будут присутс*
210

вать слагаемые, содержащие производные or 6-функции.
Напомним, что в отсутствие спинового расщепления энергии электрона-
в магнитном поле такие члены отсутствовали в силу свойства
скобок Пуассона [Л,/(Л)]р = о.
Рассмотрим подробно результат подстановки первого
слагаемого из (19.2о) в уравнение (19.17):
[Ш-*Л+* О»-*■)]„ =
{(л _ д1' } afA dei %*■ 1
В силу наличия в (19.27) б-функций все производные
вычисляются в точке со = еА, Для дальнейших преобразований введем
величину Ел(р, ЦТ) как корень уравнения £* = <?* (со) |а==£л и
функцию щ согласно соотношению
% (P. *') = /* (Р»; RT) \а=Е^ т. (19.28)
Выражение для Е* с учетом определений величин е+и«ув
формуле (19.22) можно записать в виде
£f (p, R7-) = ел (р, R7-) -1 ел (р, RT) |, (19.29)
Ч(Р,ПТ)^е.2(Рш;КТ)^ЕМрт. {19М>
помощью введенных величин входящие в соотношение (19.27)
Роизводные от ех выражаются следующим образом:
со=£А дТ да
£+ (19.31)
An
Логичной формулой выражается и упе,.
нНя.мРОизводные от функции еА заменяются согласно соотноше-
деА | лр
■H„-* = Z*V' ^U*, = V^ (19.32X
2Н

и аналогичной формуле для Vr<?+. Перенормпровочнын
множитель Za определен равенством
, деА (роу, RF)
(19.33)
G помощью определения (19.28) выражаем производные от f :
дТ
<Э«а dft
w_£a дГ да>
щ=£л^. (19.34)
Аналогичный вид имеют формулы, содержащие VpfA и VJ..
Используя соотношения (19.28) — (19.34), интегрируем
выражение (19.27) по со. При вычислении интеграла, содержащего
производную от б-ф^нкции, учтем, что необходимо удерживать
только члены с первыми производными. Определяя перенорчи-
ровочный множитель Za равенством
Za (р, RD = 1 ^
ш=£А(р. RT)
запишем результат интегрирования выражения (19.27) в виде
S~ д/гА
de> [со — е,, fj> (со - е^)]р = ZJ,-1 ~~ +
+ ZA (VpeA • VRnA - VReA • VpnA) +
+ ZA(I - ZV) (vR£+ • Vb«a - VP£A • VR«A). (19.35)
Подобные преобразования скобок Пуассона, содержащих /у,
приводят к результату, совпадающему с записью (19.35), если в
последней заменить индекс f на |:
S~ дп-
dm [со - е„ f .6 (со - еу)\р = Zv2-' -^ +
+ Z, (I - Z-') (VRE, • Vp«y - Vp£, ■ V*)- <19-36)
7
Величины £,, e,, e , re и перенормировочные множители "а
и Z^ определяются такими же формулами, что и соответствуй
щие величины с индексом f; при этом в соответствии с выра*
нием (19.22) в формуле (19.29) разность вечпчин е и |f| заМ
няется их суммой. ч
Складываем соотношения (19.35) и (19.36). После прос1^
преобразований, используя формулу (19.29) и аналогичн
формулу для Е^, получаем следующее выражение для ре3^'
212

тата интегрирования первой скобки Пуассона в уравнении
(19.17):
i ~_, д/гА ~, дп,
j Ао {со - еь 8о]р = ZaZ*. ~ + ZiZY -^f- +
+ V* • VRtt* + Vv • VR*v ~ VR£* • V* - VR6* • Vp'4 +
+ (z*~ WpN • Vt - vrIM • V*) ~
"(2v-1)(vP|%|-vR«,-vR|e,|-vp«,) +
+ (1 - Z/~l) (VR£A • Vp«A - Vp£A • VR«A) +
+ (1 - Z.Zf) (VR£, • VA - Vp£y • VRn,). (19.37)
Для дальнейшего преобразования соотношения (19.37) вводим
величину е(р, R7") как корень уравнения
е(Р) R7') = cl(pco;R7')U(PiRr).
Раскладываем первую из формул (19.30) в ряд Тейлора около
значения со = е, ограничиваясь линейными по еа членами
разложения
де
е. = е,
'!)-£>.
£+^иоч-ы-4
*<о=е
Вводя перснормировочный множитель Z(p, RT) соотношением
z-Чр, RT)=i-deiip'r'RT)\
ае> la=E(p, RD
перепишем предыдущую формулу в виде
eA = e_(Z-l)|eA|. (19.38)
Аналогично для величины е получим выражение
e+ = e + (Z-l)|e+|. (19.39)
Подставляем выражения (19.38) и (19 39) в соотношение
(19.37). После приведения подобных членов
da[со — еь g,,]p = Z^Z; -ту- + Z^ —pjr +
+ V ■ VR Cn* + "*) - VR£ • Vp К + rt+) +
+ (Z* - Z) (^ К I ■ V4 - VR |ел I • Vp«A) -
+ 0 - 7ЛГ') (Vr^* ' V* - VpfA • V*) +
+ 0 ~ V;') (VR£¥ • Vpn, ~ Vp£, • V^).
^образование второй обобщенной скобки Пуассона из (19.17)
^'Ществлястся таким же образом. Для этого в уравнение
213

(19.17) подставляются три слагаемых из спектрального пред.
ставления функции g (19.26). Преобразование производных Ro
Т, р и R осуществляется, как и раньше, с помощью форму,
(19.31), (19.32). В результате после приведения подобных чле-
нов дтя части второй скобки Пуассона в формуле (19.17), Со.
держащей первое слагаемое из выражения (19.26), получим
\ rfco [- e2i, Ufi (со - ^)]р = ZA { ZAJ —^- VReA,- • Vp«A,. +
+ Vv " VRn*«" + ZM (Vp£* " W ~ VR£+ • W)}- <19-40)
В этом выражении использованы следующие обозначения. Век
торный перенормировочный множитель
z>(p, RD = -ae,(gRT)|
а векторная функция распределения
па(Р, Rr) = fA(pcu; Rr)U£A(p Rr).
Точно такой же вид, как и (19,40), имеет выражение,
получающееся в результате подстановки во вторую скобку Пуассона в
уравнении (19.17) второго слагаемого из формулы (19.26),
только все индексы f заменены на |. Совпадает по виду с
(19.40) и выражение, получающееся при использовании
последнего слагаемого в спектральном представлении (19.26). В этом
выражении все величины вообще не имеют индексов f или |,
причем векторный перенормировочный множитель Z(p, RT) и
векторные функции распределения спиновой плотности n(p, RT)
и спинового расщепления энергии е(р, RT) определены
соотношениями
де2 (рсо; RT) I
Z(p, R7) =
де> lco-e(p. RD
n(p, RD = f(pa>; RT)\a e(p Rr),
8(р, Rr)-e2(pco; Rr)U,pRr).
Собирая вместе все полученные соотношения, можно записать
результат интегрирования уравнения (19.17) по со в виде
z+V -ж + z A' -Sr + V • vr К + >Ч) - V • vP {н + "*)+
+ (zt-Z)(Vp|M-V^-VR|et|.V^)-
-(Z+-Z)lVp|eJ-VR",-VR|«',|-Vpnv) +
+ (l - zAf->) (vR£t • уЛ - Vt • V4) +
+ (1 - Zl-S) (Vr£, • Vp«+ - Vp£, • VRn+) -
- 2A (VReA£ • vpntf - Vpe+/ • VR«A(.) -
214

- z* (V,i • V\t - Vv.- • Vv.) - z (V* • V* - V* • V.-) +
+ z*z* i {-jf- - VRE+ ■ Vpntt + Vp£f • VR«t,J +
+ Z A<' ("^r - VRf, • Vpnvi + Vp£, • VR»J +
+zzi hf- - v • Vi+v • vv=°- <19-41)
Интегрирование уравнения (19.19) проводится точно таким
же образом. Результат интегрирования нетрудно записать,
используя формулу (19.41). Приведем только слагаемое,
получающееся из векторного произведения в (19.19), не имеющего
аналога в уравнении (19.17):
Jdco[e2Xg] = 5rf»[e2Xf]6(w-^) = 2[eXn].
Отметим, что вклад в это слагаемое даст только последнее
слагаемое из правой части выражения (19.26), так как остальные
слагаемые в (19.26) параллельны е2.
Уравнение (19.41) записано в бесстолкновительном
приближении. Поэтому оно последовательно учитывает влияние
межчастичного взаимодействия лишь на перенормировку одиоча-
стичного энергетического спектра. Для описания диссипативныч
процессов кинетические уравнения должны быть дополнены
соответствующими интегралами столкновений, которые возникают
при подстановке найденных спектральных представлений для
корреляционных функций в отброшенные при выводе (19.41)
слагаемые в уравнениях (19.7) и (19.8).
Исследуем уравнение (19.41) в различных случаях. Прежде
всего отметим, что это уравнение немедленно сводится к
соответствующему уравнению феноменологической теории Ландау —
Сплина, если мсжчастичное взаимодействие учитывается в
приближении Хартри — сЬока. Действительно, в этом случае
величины £>| и е2, как следует из (19.28), не зависят от со, так что все
скалярные переиормировочные множители обращаются в
единицу, а зекторные—в н\ль, и уравнение (19.41) принимает вид
дп
~дТ + Vpe, • VR« - VRe, • Vp« + Vpe,t ■ VR0(- - VReM ■ Vpo, = 0, (19.42)
гДс использованы обозначения: п = n^ + n,, a = n^ + ny + n.
Функция л(р, RT) имеет смысл функции распределения ква-
Зичастиц в фазовом пространстве, а а(р, RT)—векторная функ-
Цня спиновой плотности в фазовом пространстве.
После перехода к представлению кинематического имп\льса
^Равнение (19.42) превращается в кинетическое уравнение тео-
Ри!1 Ландау —Силина, отвечающее результату (7.21).
215

Рассмотрим теперь случай, когда е2 не зависит от ш. Это
означает, что не зависящая от спина часть энергии электрона
учитывается точно, а зависящая — в приближении Хартри —
Фока. В этом случае
Za = Z^, Zi — Z^ (19.43)
н, кроме того,
e* = ev = 8 = e2(p, КГ). (19.44)
С учетом соотношений (19.43) и (19.44) уравнение (19.41)
принимает вид
W + V • V1 - V' V + (Zv - Z) (Vp | e21 ■ VR^ - VR | e21 • Vp«t) -
- (Z+ - Z) (Vp I e, I - VR»+ - VR | e, | • vp/r) -
- z+ (VRe2i ■ Vp«:, - V« ■ VRre* t) ~ Zi (V« • V* * - V*' v*"v д -
~ z i V* • V*i - V/2t. • VR«.) = 0. (19.45)
Это уравнение переходит в уравнение феноменологической
теории, если пренебречь различием между перенормиповочными
множителями Z^, Z+ и Z:
Yf + VPs • Vr« — Vrs - Vp/г + VPe2,- • Vro« — VRe2,- • VPOi = 0, (19.46)
где Е2 определяется соотношением
e2(p, Rr) = Ze2(p, Rf). (19.47)
Из выражения (19.47) видно, что, хотя величина е2 берется в
хартри-фоковском приближении и могла бы быть вычислена
явно, функция е2 из-за наличия неренормировочного множ;-:тсля
Z должна, как и е, ооъярляться феноменологическим папаметром
теории, если в системе отсутствует малый параметр, по которому
можно было бы построить теорию возмущении.
При точном учете всего межэлектронного взаимодействия,
когда и е\ и е2 зависят от w, справедливость кинетических
уравнений феноменологической теории определяется величиной
производной d|е21/Ли|Ш=Н1. В случае, когта с)|е2|/Ло < (,е2!/^)о'
уравнение (19.45) сводится к уравнению феноменологическом
теории с точностью |е2/ц|2. Таким образом, для нормальных
фермн-енстем параметром, определяющим степень справедтпв^-
сти кинетических уравнений теории Ландау — Силина, является
отношение спинового расщепления уровней энергии электрона 1ч
химическому потенциалу системы.
В полученные кинетические уравнения для функшгл распр
деления квазичастнн входит гот же самый векторный потенси13-
А, что и в исходный гамильтониан системы электронов. Поле ^
может считаться при этом самосогласованным, если оно оп?е'1'.
ляется из уравнении .Максвелла, в которых заряды и токи в
216

ражены через функции распределения квазичастиц. Чтобы
убедиться в этом и построить последовательную схему
самосогласования вихревой составляющей поля, необходимо выйти за
рамки нерелятивнетского приближения, которому соответствует
гамильтониан (19.1). Обсуждению этого вопроса посвящена
следующая лекция.
Задания
1. Проделать все выкладки при получении уравнений (19.17) и (19.19).
2. Убедиться <в справедливости представлений (19.25) н (19.26).
3. Получить выражения (19.38) н (19.39).
Лекция 20
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ
ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КВАЗИЧАСТИЦ
Чтобы последовательно провести самосогласование магнитного
поля, а также распространить феноменологическую теорию
электронной жидкости на случаи, когда существенно спнн-орбиталь-
ное взаимодействие, можно исходить из квазирелятивнстского
гамильтониана Брейта, справедливого с точностью то членов
порядка 1/с2, где с — скорость света. В представлении
вторичного квантования этот гамильтониан может быть записан в виде
И = jVr^j (г,*,) 7> (rlf tj h (г,*,) +
+ -j\drldri-lf+Xrltl)-bt-{r2t1) W,?I(r„ r^iiy^fry,),
где очноэ.тсктроиный оператор Та§ определен выражением
et,
8/n-V + eUo\rih)
2m
«; +
eh
s'?-[\-L'„(r^;) X "(гЛ)] -^s^-rotAotr,^), (20.1)
J оператор Уа6ру> описывающий межэлектроннос
взаимодействие, есть
r-,r-\r,ty>- (г-J)
И-* (Г,. Г,) = f V - ~. (£)- i (Г) --Н^ (* (Г,0- Г. (Г,0) +
— {sfop..-f 2s-i8..-). [rx- (r,01) +
Wfsf.sV' 3.s;8-r)is-^_fe ,f,s^( ?i (2a2)
r{mcj \—p. г. о i 2 /j
217

В этих выражениях 6'0 и А — ска!ярный и векторный
потенциалы внешнего электромагнитного поля; s — спиновые матрицы в
обычном представлении; г = Г! — г2; л— оператор кинетического
импульса:
я (г,Л) + — /ftvi — (е с) А0 (г^,).
По дважды повторяющимся индексам предполагается
суммирование. Здесь нам удобно в явном виде выписывать константы
е, ft и с.
Член с я4 в формуле (20.1) появляется как результат учета
зависимости массы электрона от скорости. Второе слагаемое в
(20.1) описывает опии-орбитальное
взаимодействие—взаимодействие движущегося магнитного момента с внешним
потенциальным полем. В выражении (20.2) для энергии
взаимодействия частиц слагаемые, содержащие произведения импульсов,
описывают магнитное взаимодействие движущихся зарядов.
Члены, линейные по операторам спина, соответствуют
спин-орбитальному взаимодействию, квадратичные но спиновым
операторам члены описывают спин-спиновое взаимодействие.
Использовав уравнения движения для операторов поля:
«fti!!^=r„(r1*1)-i.(r,*t) +
-f \dr-/j+(roti) ViTa.5(«"i. r2),^(r-,ti)^(rlt1),
получим следующее уравнение для обычным образом
определяемой функции Грина gap(rifi; г2/г):
'*^g«?(rif,; г2*2)=M(«-i-rs)8 С.-*г)+ 'Mr,*,) grffi'i: га*3)-
- Jors йг3о (*, — /;.)> 7у+ (iy,) V«Tf (r„ r3) X
Х^.(г,г3)^(гЛ)^(г^2)> (20.3)
и сопряженное уравнение, содержащее dg/dt2-
Запишем оператор межчастичного взаимодействия в виде
V = e2/r -f- 9, явно выделяя слагаемое, отвечающее кулоновско-
му взаимодействию. В результате последний член в уравнении
(20.3) распадается на два слагаемых. При дальнейшем
преобразовании этого уравнения слагаемое, содержащее кулоновскую
часть энергии взаимодействия частиц, учтем точно, используя
изложенный ранее метод описания с помощью массового
оператора. Напротив, часть взаимодействия электронов,
описываемую оператором V, будем учитывать в приближении
самосогласованного поля, поскольку этот член имеет релятивистское пр°"
нехождение и является величиной порядка 1/с2 по отношению
к кулоновскому слагаемому. В результате для корреляционно!
218

функции g< после обычных преобразований пол\чаем
следующее уравнение:
ih~g^(h 2) = 7^(1)^(1. 2)+р33ДР(1, 3)g-5,(3, 2) +
+ \ d3(3>-o<).,(l, 3)^(3, 2)-
- ] Жо< (1, 3) (g> -g<)t(3, 2), (20.4)
— со
Аналогично мог^т быть написаны уравнения для g<, содержащие
производную по t2,n два уравнения дая функции g>. Массовый
оператор aai удовлетворяет тому же
интегрально-функциональному уравнению (18.6), что раньше. Оператор Тл..
определяется выражением
?а1 (г,*,) = Та, (г,*,) - i J dr.2 [ адг,, r2) g<(rar,; г/,)] lr,_r,. (20.5)
Рассмотрим подробнее часть оператора ГЯ7, содержащую
взаимодействие V. Введем по определению следующие величины:
Ц (Mi) = **(—) гп(М.; Mi)-*'a^Fj^-^-
[r2 X я (Mi)] g«< (Mii г3^)|гз=п, (20.6)
А.(г,М = -^-^[*(гА) + ^(г-*(гА))}
*<(M.; M,)lr,-r, + ^j$[rXs"r]ff£(M,; г/Д (20.7)
Функции С'! и А! представляют собой скалярный и векторный
потенциалы электромагнитного поля, определяемого
релятивистскими эффектами движения электронов, учитываемыми с
точностью до членов порядка 1/с2. Кроме того, введем величины
Н, (г,/,) = * -JL- J -£l [г X л (Mi)] g£ (r2f,; r3/,) |Гз=Г; +
+ i ^- J dr2[^ - $■ (s* • г.] ^<М,; М.) -
-г-Т-Й-^^(М.;М,), (20.8)
#i (г,/,) = -re J dr2~gfy (iy,; r2/,)- (20.9)
Согласно выражению (20.2) второе слагаемое в операторе Тау

(20.5) с помощью введенных равенствами (20.6) — (20.9)
величин может быть записано в виде
—i\dr2Vay^(ru r2)g^(r2tx\ r3/!)lr-r.- =
= [eUx <г,/,) - -^ Ax (vxtx) • % (rxtx)] 6ay + ^r X
aY tsp { * \ i a \i e?1
X suv • [«", (r,f,) • я (г,*,)] - -%r s"v • H, (r,f,). (20.10)
mc
Это выражение можно еще упростить, если установить связь
между введенными векторами А* и Их и установить смысл
величины <£х. Легко видеть, что величина Ь>х определяется хар-
триевской частью массового оператора он:
e^x(rxtx) = VloH(rifx). (20.11)
Поэтому слагаемое в (20.10), содержащее &и соответствует
взаимодействию движущегося спинового магнитного момента с
кулононекмм полем в системе.
Величины Н, и Ai связаны соотношением
HI(r,/I) = rotIAI(r1;I). (20.12)
Убедиться в его справедливости можно непосредственно,
вычисляя rot от правой части выражения (20.7). При этом при
дифференцировании под знаком интеграла следует воспользоваться
равенствами
rot (т) = — Т5" 1г ' аЬ
rot
rot
[г. а]
г3 '
г (г • а)
/-3 '
а
"~ г3
— — .
Зг(г
7^[г-
•а)
-а],
8л
3
аб
(г),
(20.13)
где а — постоянный вектор. Появление б-фуикцип в последней
из формул (20.13) связано с наличием особенности у функции
|гХа]Д*3 в точке г = 0. Для выделения этой особенности можно
представить исходное выражение в виде
rot[4r-a] = (a, V)tt — adiv (---).
Далее, коэффициент при б-функции не должен зависеть от
направления, вдоль которого г стремится к рулю. Поэтому для
выделения вклада, имеющего вид б-функции, из слагаемого
(аЛ)(г/г) можно провести его усреднение по направлениям г*
В результате, учитывая соотношение div(r/r3) = 4n6(r), пол}
чаем искомую формулу.
220

Подставив соотношения (20.11) и (20.12) в выражение
(20.10), мы приходим к следующей формуле для оператора ТаУ:
Т„
-^rot,(A0 + Al)(l) + -jj^Fs1b[v1(et/o + «H)(l)X«(l)].
Переход от уравнения (20.4) и сопряженного уравнения к
кинетическим уравнениям осуществляется в той же
последовательности, что и раньше. Преобразуя эти уравнения к смешанному
представлению и ограничиваясь линейными по операторам
дифференцирования членами, приходим к уравнениям, совпадающим
с (19.7) и (19.8), в которые вместо величины е(рю; RT) из
соотношения (19.9) входит
Г ip -(p-.c) A„(RТ))"- (р - (с с) A„(RD)* ,
+ e(U0+Ul)(RT)-£-c(p-^A0(RT))-Al(RT)
+ а(рш: R7-) -£s -rotR(A0 + A1)(R7') +
/ +
mc
i
VR(^o + "n)(Rn-(p-7A0(Rr)]]. (20.14)
Из выражения (20.14) видно, что с точностью до членов порядка
1/с2 в теории действительно фигурирует самосогласованное
магнитное поле, складывающееся из внешнего поля, описываемого
векторным потенциалом Ао, и поля, создаваемого движением
частпц системы и определяемого соотношением (20.7). Кроме
того, в этом же приближении в формуле (20.14) оказываются
учтенными эффекты еннн-орбитального взаимодействия.
Использованный подход позволяет в рамках фермн-жидкост-
иого подхода к теории электронов в металлах учесть магнитное
взаимодействие между частицами системы в приближении более
высоком, чем приближение самосогласованного поля. Для этого
можно, например, взять двухчастичную функцию Грина в (20.3)
в хартри-фоковском приближении. В результате в правой части
уравнения (20.4) появится дополнительное слагаемое
1J cir3dt3b (tt —13) Va--u (r„ г.,) g$ (r/i; r,/..) gf? (r-U, r2t,\ \т^и.
(20.15)
Выполнив в выражении (20.15) в слагаемых, содержащих
градиенты функции gtfr, интегрирование по частям, вместо (20.15)
получим J d3a„v(l, 3)g<p(3, 2), где
om (1, 3) = /Г;(уб£ (г,, г3) б (г, - /3) g$ (1,3). (20.16)
221

3 последней формуле У^и(ги гл) поучается из l/,-&(rlf r3)
1утем замены оператора я (r3t3) комплексно-сопряженным
оператором, который ставится чевсе всех остальных сомножитечей.
Дальнейшие преобразования этого выражения
осуществляются обычным образом. В итоге получаются кинетические
уравнения той же структуры, что и раньше, только в формуле
(20.14) для е появляется дополнительное слагаемое, представ-
тяющее собой результат фурье-преобразования выражения
(20.16). Например, матричный элемент а'аг добавки к е,
возникающей от членов, описывающих спин-спииовое
взаимодействие при учете обмена, есть
*' (a im=4*f«M'f dp' ^-Р-Р'К^-Р-Р')
0Е ' \rncl J К2т.пу>[ ip-p'H
— sa?-s4g-<(p', R7). (20.17)
Рассмотрим, к каким изменениям в условиях замыкания
кинетических уравнений теории ферми-жидкости (7.3) приведет
учет членов, описывающих спин-спиновос взаимодействие в
обменном приближении. При этом для простоты мы исследуем
систему в отсутствие постоянного внешнего магнитного поля.
В соответствии с (20.17) изменение энергии квазичастицы
о« обусловленное спин-спиновым взаимодействием,
8а' /„ Rr. aJ*)*[ rfP' /(s«T-p-p')(S*-p-p')
oj0£(p, K/)_4,^mJ J {2кПу\ |р-р'|»
-^•s4S/;.(,;(P',Rr).
Отсюда вытекает, что соответствующая добавка к
корреляционной функции F1^6 имеет вид
^(Р. P0 = 4g(g.)Ys'T-p 7р2У,;Р~Р> -s-t-4 (20.18)
При учете только кулоновского межчастичного взаимодействия
корреляционная функция Fa\ записывалась следующим
образом:
/?;(р. р') = а»з«Т9(р, p')+4s»-s*t-«kp, р')- (20.19)
Сравнивая выражения (20.18) и (20.19), можно видеть, какая
часть спин-спинового взаимодействия учитывается
традиционной формой корреляцирнной функции, а какая приводит к
появлению слагаемых иной структуры.
Поскольку для спиновых матриц справедливо
s«v ■ s* = -§- 6ae66v - -j s« • s6?,
222

то видно, что это слагаемое в выражении (20.18) полностью
вписывается в традиционную форму лаписи корреляционной
функции (20.19), приводя только к переопределению
феноменологических параметров ф и \|\ Аналогичное преобразование
первого слагаемого в фигурных скобках в (20.18) приводит к
выражению
(s°T-P-p')(s5c.p-p) =1Й s. _1S«..S57 +
|p-p'p ь 2
fS'£.p-n'Hs8T-p-p')
"*" р-р'И
В результате все выражение (20.18) представляется в
эквивалентной форме:
/*<Р. Р') = 4* (^Н('"'РТрР'-УРР—-Т^84 (20.20>
Видно, что структурно новым по сравнению с (20.19) является
первое слагаемое в фигурных скобках.
Фурье-преобразование вклада в аае, обусловленного спин-
орбитальным взаимодействием оЦ°, может быть записано
следующим образом:
\г IP'KJ > — Ли[тс) J (2г.к? | р - р' Н
•[se-3i.-8nS*']^(P'. RH- (20.21)
При получении (20.21) пренсбрежено малыми поправками,
обусловленными нелокальностью обменного взаимодействия. С
использованием соотношения
sa'86E — SnsSE = — 2t [s^-S'T]
формулу (20.21) можно переписать в виде
120.22 >
Проведя в смешанном произведении в (20.22) циклическую
перестановку сомножителей и раскрыв возникающее при этом
Двойное векторное произведение, это выражение можно
переписать следующим образом:
Объединяя полученный результат с (20.20), находим, что при
Учете спин-орбитального и спин-спинового взаимодействий вы-
223

раженне (20.19) для корреляционной функции должно быть
дополнено слагаемым
&(Р. Р'>-«*(Й[ P'Pk~^ViPk^. (20-23)
Ислользуя соотношение 6av66e=6ae6V6/2 + 2saE-s6v, нетрудно
показать, что учет релятивистских поправок во
взаимодействии электронов, диагональных по спиновым переменным, не
требует введения дополнительных членов в выражение для
корреляционной функции, поскольку возникающая добавка
имеет структуру, совпадающую с (20.19).
Отметим, что выражение (20.23) остается справедливым и
при включении в рассмотрение внешнего неквантующего
магнитного поля.
Таким образом, учет релятивистских эффектов в межэлек-
тронном взаимодействии приводит к появлению в
корреляционной функции Ландау — Силина новых слагаемых, имеющих
структуру XtrtSiSh , где коэффициенты y;fe в обменном
'приближении определяются выражением (20.23). Присутствие таких
слагаемых может приводить, в свою очередь, к связыванию волн
в электронной жидкости, которые представляют собой
независимые ветви спектра коллективных возбуждений в приближении,
учитывающем корреляции, обусловленные только кулоновской
частью взаимодействия. Отметим также, что в тяжелых
металлах более существенным может оказаться влияние
спин-орбитального взаимодействия электроноз с кристаллическим полем
решетки, при учете которого происходит смешивание одноча-
стичныч состояний с разными значениями проекции спина, что
также приводит к связыванию различных ветвей колебаний в
системе.
Задания
1. Проследить переход от выражения (20.15) к выражению (20,16). -
2, Проверить используемые при выводах тождества для спиновых матриц.
Лекция 21
КВАЗИЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОННОЙ ЖИДКОСТИ
СЛОЖНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Проведенное в предыдущих лекциях исследование, основанное
на использовании метода квантовых функции Грина, показало,
что теория фермн-жидкости для медленно меняющихся
возмущений является точной теорией, если объектом рассмотрений
служит нормальная фермн-систсма, основное состояние которой
пространственно однородно. Для электронной системы металлов
такая теория непосредственно применима, если рассматриваются
224

щелочные металлы, у которых поверхность Ферми почти сфе-
рична. Совершенно последовательным оказалось и включение в
схему теории электронной жидкости неквантующего магнитного
поля.
В большинстве реальных металлических систем поверхность
Ферми анизотропна, а импульс (или квазиимпульс) далеко не
всегда является подходящим квантовым числом, с чем мы уже
сталкивались при рассмотрении феноменологического подхода
к- теории электронной жидкости магннтоупорядоченных
металлов. Рассмотрение микроскопического подхода к теории
электронной жидкости сложных металлических систем начнем с
вывода кинетического уравнения для электронной жидкости в
произвольном представлении, характеризуемом набором квантовых
чисел одночастичных состояний 7Ч описывающих орбитальные и
спиновую степени свободы электрона. При этом не делается
предположения о прострапстзенной однородности основного
состояния системы.
Запишем оператор энергии системы в представлении
вторичного квантования:
Я (0 « J drt|>+ (г, /) [h (г) + ft, (г, /)] ф (г, /) +
+ {^rrfrV(r, />*+(r', /) v (г - г') ф (r', /)iKrf t).
Как и раньше, т|? и я(;+ — операторы ферми-поля в
гейзенберговском представлении; h (г) —одночастичный оператор энергии
электрона, не учитывающий межчастичного и спин-орбитального
взаимодействия; h\(v,t)—оператор взаимодействия с
переменными внешними полями; v(v—r')—оператор парного
меж-частичного взаимодействия.
Получаем уравнения для корреляционных функций g< и g
гем же способам, что и раньше. В этих уравнениях переходим
к новым временным переменным, равным полусумме н разности
исходных переменных, и совершаем фурье-преобразование по
разности временных аргументов. Вместо преобразования Фурье
по пространственным переменным используем матричное
представление, осуществляемое собственными ф) нкциями фл(г, со)
эффективного волнового уравнения, описывающего движение
электронов в системе в состоянии равновесия:
h(r)bAr> <ti)+ J*^(r, г', со)<рх(г', ш)=ех(<а)ок(г, со). (21.1)
Здесь мы пренебрегли антиэрмитовой частью равновесного
массового оператора а, которая считается малой, поскольку в
дальнейшем будут рассматриваться только слабовозбужденные
состояния нормальных ферми-систем. Функции фя образуют
полную систему.
'•> Л, С. Кондратьев. А. Е. Кучма
225

После описанных преобразований уравнения для матрнчных
элемеитов корреляционной функции g"< принимают вид
{<*|©-й-МГ)-а(ю + |0, T)\kl\(kl\g<((*> T) ] Я')} —
_{<л|а<(о>, Т)\к{), (Msfa-iO, Г)|*/>} = 0. (21.2)
Уравнение (21.2) является аналогом уравнения (17.54), при его
получении используются соотношения, аналогичные тем,
которые привели к (17.54). Как и раньше, символ {Л, В} означает
применение к произведению А В операторной экспоненты,
которая теперь содержит только временные переменные:
{Л, ej^cxplj^ir-i^^fe ТЛЩщ, 70U-*r-r.
(21.3)
Аналогично (21.2) записываются уравнения, сопряженные с
ними, н соответствующие уравнения для матричных элементов
корреляционной функции g>.
Вывод кинетических уравнений в рассматриваемом ст\чае
удобно проводить в линейном по отклонениям всех величин от
их равновесных значений приближении. При этом оказывается
достаточным найти спектральные представления только
равновесных корреляционных функций, что технически значительно
легче.
Линеаризованные кинетические уравнения. Линеаризуем
полученные уравнения (21.2) для матричных элементов g< no
отклонениям всех величин от их равновесных значений. Примем
временную зависимость для возмущений всех величин в виде
ехр(—IQT). Поскольку равновесные величины не зависят от
переменной Тг то применение формулы (21.3) дает
{Л(ю), вВ(<о, п}«ехр(4-^^)Л(ю)«ВК. Q)cxp(-iQT) =
= Л (со + -§-) 6В (со, Q) ехр (—ЮТ). (21.4)
Видно, что сдвиг частотных аргументов па +Q/2 происходит
только у функций, относящихся к равновесному состоянию-
С учетом (21.4) линеаризованное уравнение (21.2) принимает
вид
(^\^ + ^~h-G(oi + ^ + l0)\lX?ч\6g<(ш>Q)\K,)-
- (к | A, (Q) + Ьо (со + ffl, Q) | h{)Q4 \ g< (о> - ^) I ;/) ~~
- {I | а< (<а + ■§-) | Л1)(/.11 bg (со - /О, Q) | //> -
-(Л:1ба(со, Q)]Xl)(Kl\g^--f-i0)\}/) = 0. (2Ь»
226

Для решения уравнения (21.5) необходимо знать равновесные
функции g и g В равновесии при сделанном выборе базиса
разложения (21.1) у функции g отличны от нуля только
диагональные матричные элементы:
МЯК =№'. (21.6)
Для величины g} в пренебрежении иедиагопальнымн
матричными элементами <Я|Г|//> аналогично соотношению для G{py z).
МОЖНО-ЛОЛУЧИТЬ
&.(*-&) =
«-M«)±-i.l\H f. (21-7)
Здееь и в дальнейшем для диагональных элементов равновесных
функций используется обозначение с одним индексом.
Записав нулевое приближение уравнения (21.2) и учитывая
соотношение (21.7), получаем для g\
gr (и) = а< (ю g.f (oi + iO) gk (w — 10). (21.8)
Аналогичное выражение справедливо и для функции g\ .
Вводим квазичастичиую анергию £;, как корень уравнения
Ei — еу.{«>) |(Ы==£;. Из соотношений (21.7) и (21.8) следует, что
при со, близких к уровню Ферми, где 1\->-(), корреляционную
функцию g\ можно представить в виде
gx (*) = Z:.2n/(«) 5 (*-£,), (21.9)
где /(со)—функция распределения Ферми — Дирака, a ZA—пс~
ронормировочиый множитель, определяемый соотношением
7 J = 1 де'^Ф)
t:>.
Теперь можно приступить к выводу кинетических уравнений
для матричных элементов функции распределения квазичастиц.
Выведем эти уравнения в пренебрежении интегралом
столкновений. В бесстолкнонптельном приближении с учетом
соотношения (21.6) уравнение (21.5) можно переписать следующим
образом:
L + q - е L + JL)1 ig<v (о, о)=ъегх* <«, я) g<f U - у).
(21.10)
Здесь использовано обозначение:
to*. («, £2) = . >.|Л, (О) + Й*<», Q) |>/>, (2Ы1)
^—неравновесная добавка к эрмитовой части массового опе-
^тора. Уравнение, сопряженное уравнению (21.10), получается
15 227

аналогично.
дВхк' &> Q) [w — Т — Ч- (® "" т)] = 8f (ш + т) e*w ^Wj Q)"
(21.12)
Вычитая почленно уравнения (21.10) и (21.12), получаем
flg&К Q) = а - .Л (со + о/2) + gfc, (<а _ о/2) **». &> Р)- (2ЫЗ)
■Соотношение (21.9) позволяет проинтегрировать это выражение
ло маюй области частот вблизи уровня Ферми. Запишем
результат интегрирования первого слагаемого в (21.13);
О-е fm4-Q/21l ТТ~ 6eW (®> Q) U-W+Ey* (21.14)
.Здесь fb = i(Ei)—равновесная функция распределения
квазичастиц. Разложим второе слагаемое в знаменателе выражения
(21.14) в ряд Тейлора около значения <о = £>—Q/2,
ограничиваясь линейными членами разложения;
^(- + f)U№=^ + -rU «> + *'-£,>. (21-15)
'J,
Далее, разложим в ряд Тейлора величину fieus также
ограничиваясь линейными членами:
+ -^ 6ew (со, Q)!«, (£л+еХ/)/2 [-у- + &/ — -у (£"?. + £V)j •
Теперь удобно ввести обозначения:
Zw (Q)=ii6е^ ^ Q> l*-c№>/* (21 ■16)
бЕла/ (Q) = вей' (©, ^) la-^+fiv)/2'
'С помощью которых выражение для бем/ переписывается в
следующем виде:
hew (ю, Q) 1=Ш2+Ек, = в£«, (Q) + Zu- (Q) (Q + fit- - £*).
Теперь выражение (21.14) существенно упрощается и в раС'
сматриваемом приближении записывается как
Совершенно аналогично может быть преобразован результ
интегрирования по со второго слагаемого в правой части раБ
-ства (21.13).
J228

Определяем матричные элементы возмущений функции
распределения квазичастиц б/ и квазичастнчной энергии
следующими равенствами:
*/и- (О = (ВД/Г * J -g- 6^<, (со, Q) _ (ад,)* ZAV (D) (/Л + fv)f
(21,17)
6£u- (Q) - (ЗДЛ1-* б£ы/ (D). (21Л8)
При учете определений (21.17) и (21.18) и приведенных выше
результатов соотношение (21.13) приводит к следующему
линеаризованному кинетическому уравнению для функции
распределения квазичастиц:
(Q - £. + £?/) 6/w, (Q) = fa _ f)) 6Ем/ (О). (21.19)
Отметим, что соотношения (21.17) и (21.18) представляют
собой естественное обобщение формул (18.26) и (18.24),
определяющих возмущения функции распределения квазичастиц и
квазичастичной энергии в системе, которая в равновесии
является пространственно однородной. Появление в этих формулах
перенормировочных множителей н дополнительных слагаемых,
содержащих равновесные функции распределения квазичастиц,.
связано исключительно с процессом линеаризации уравнения.
При получении кинетического уравнения (21.19), используя
соотношение (21.15), мы пренебрегли слагаемыми порядка
Q + £? — Evffii2. Поэтому с принятой степенью точности
можно пренебречь различием между перенормировочными
множителями Zx и Z)/. В этом случае выражение (21.18) для-
изменения квазичастичной энергии 6£u' записывается
следующим образом:
6£av (Q) = 1фе»> («, Q) U* • (21-20)
л
При феноменологическом построении кинетических уравнений
теории электронной ферми-жидкости в произвольном
представлении величина б£ля/ может быть записана в виде суммы двух
слагаемых: взаимодействия с самосогласованным
электромагнитным полем 6££ги и корреляционной части ЬЕ$л'. Для 6£еи
обычно записывается выражение, содержащее произведения
Плотностей заряда и тока на скалярный и векторный
потенциалы самосогласованного электромагнитного поля возмущения.
Корреляционная часть возмущения квазичастнчной энергии
параметризуется путем введения квантового аналога
корреляционной функции Ландау — Силина:
6£Sx'(Q)=Z^V*/xa. (21.21)
^сли выделить взаимодействие с самосогласованным э!ектро-
Магнитным полем возмущения в микроскопическом выраже-
HliH для вариации квазичастнчной энергии 6£м/ из выражения
229

(2L20), то с помощью соотношения (21.11) можно убедиться
что 6£u' принимает вид
ЬЕ}Х № = ^ I /г, (Q) + ба<■ (О) | //) + ZK {баи- (о>, Q) +
+ $£{к | /г, (9J + 6а" (Q)| //)} Uv (2I-22)
Здесь 6а?.л—вариация эрмитовой части корреляционного и об-
менного слагаемых в массовом операторе. Соотношение (21.22)
яв!яется аналогом выражения (18.31) для вариации
квазичастичной энергии в пространственно однородной системе.
Сравнение формул (21.21) и (21.22) показывает, что в
рассматриваемом случае через корреляционную функцию Ландау — Силина
параметризации подвергается умноженное на
перенормировочный множитель Z?v отклонение корреляционной части массового
оператора от значения, соответствующего
локально-равновесному состоянию с учетом самосогласованного поля возмущения.
Проведенный анализ показывает, что теория электронной
жидкости может быть последовательно сформулирована и для
случая произвольной системы, в которой в состоянии равновесия
одночастпчные состояния характеризуются набором квантовых
чисел %. Из вывода уравнений (21.19) следует, что они
справедливы при выполнении двух условий:
£«1, |Я\£>/1 <1. (21.23)
Поэтому любой получаемый с помощью ^тих уравнений
результат представляет собой главный член в разложении
соответствующей величины по указанным параметрам. Неравенства
(21.23) означают, что теория ферми-жндкости правильно
описывает низкочастотные возмущения в системе, пространственная
конфигурация которых мало отличается от равновесной, причем
на последнюю никаких ограничений не накладывается.
Электронная жидкость в металлах, помещенных в
квантующее магнитное поле. Применим полученные результаты для
описания электронной жидкости в металлах, помещенных в
достаточно сильное магнитное поле. В чистых металлах при низкие
температурах практически достижимые магнитные ноля
приводят к квантованию орбитального движения электронов
проводимости. В однородном магнитном поле при этом сохраняегся
пространственная однородность системы, однако импульс (или ква-
зипмпульс) уже не является подходящим квантовым числом.
Рассмотрим однородную и изотропную электронную
жидкость, помещенную в постоянное магнитное поле В, которое
будем считать направленным вдоль оси г. Интегралы движения
квазичастиц, а следовательно, и квантовые числа,
характеризующие одночастичные состояния, будут такими же, как и у
свободного электрона в магнитном поле. Набор квантовых чисел л
/30

состоит в данном случае из р-проекции импульса па направление
магнитного поля; _v0—координаты центра циклотронной орбиты;
п — номера энергетического уровня осциллятора Ландау и
спинового квантового числа а. Собственные значения энергии не
зависят от положения центра осциллятора Ландау д-0. В
выражении для квазичастичной энергии Е} удобно выделить и явном
виде слагаемое, отвечающее энергии взаимодействия спинового
магнитного момента квазичастицы с магнитным полем:
Ех = Е{п, р, о) = Е(п, р) — 2ysloB = Е (/г, р) — ^~
(у—магнитный момент квазичастицы, отличный от магнитного
момента свободного электрона). В дальнейшем будем считать,
чго энергия циклотронного кванта шс и разность между
спиновыми уровнями энергии квазичастицы малы по сравнению с
энергией Ферми и:
^-< 1, — < 1. (21.24)
При этом можно пренебречь зависимостью \ от значений п и р
и считать, что дискретные энергетические уровни осциллятора
Ландау эквидистантны. Температуру будем считать достаточно
низкой, полагая выполненным неравенство хТ/шс <С 1.
В магнитном поле не происходит разделения
электромагнитных колебаний на чисто продольные и поперечные. Однако при
распространении волны строго вдоль магнитного поля такое
разделение имеет место. Поэтому, имея в виду рассмотрение
продольных колебаний, распространяющихся вдоль магнитного
поля, можно в кинетическом уравнении (21.19) учесть лишь
взаимодействие квазичастиц с самосогласованным
потенциальным полек. Поскольку в равновесии система является
пространственно однородной, достаточно рассмотреть возмущение вида
схрц&г).
При сделанных предположениях (21.24) о величине
магнитного поля волновые функции квазичастпц можно записать в
таком же виде, как и для свободного электрона в магнитном поле.
В частности, для координатной части волновой функции имеем
?яр* (г) = (LyLzTV,i exp [jpz + ^тг) <F, (* — х0\
где К2 = (еВ)~1 — квадрат магнитной длины; L!b Lz — линейные
размеры системы по осям у и г. В этом случае для матричного
элемента энергии взаимодействия с самосогласованным полем
(л|А, (О) + ба11 (Q)| */> = <>. |66'эф(0)| >/> =
= Ьиэф (AQ) 6^ 6М> 6v;6ft рЧ ,. (21.25)
23 J

Соотношение (21.25) вместе с предположением об однородности
основного состояния системы позволяет записать величну 6f.. r>
виде
«/«/ = \. р' + А»'*, /б00'б/ (kQ- Про).
о о
В пренебрежении спин-орбитальной связью ядро ферми-жид-
костного взаимодействия в выражении (21.21) записывается как
'Чл' — Фаа'0со'°о,о. + 4ljw Soo' S
CtO;'
Здесь а = (л, р, Л'и)—набор квантовых чисел, характеризующих
орбитальное движение квазичастицы. При качественном
исследовании картины спектра коллективных возбуждений величины
q; и \\> можно считать константами.
С учетом всего изложенного кинетическое уравнение (21.19)
для рассматриваемых продольных мод колебаний можно
представить как
[Q — Е(п, p, u) + E(nt p-fe, o)]6f(kQ; пра) =
= [/(£(«, p-k, a))-/(£(*, p, o))}(6U^(kQ) +
+ £ (Ф + 4*s00 * w) 6/ («2; nfp'o')\ . (21.26)
/ / * t
n p xQo
; rt'pV)|.
Для получения дисперсионного уравнения вводим амплитуды
плотности частиц 6n(kQ) н с-компоненты спиновой плотности
6oz(kQ) следующими соотношениями:
бя(*$})= X 6/(/cQ; про), (21.27)
баг(Ш)= 2 */(*Q; 'W)5oo. (21.28)
п, р, х-, с
Уравнения для величин 6n(kQ) и 6oz(kQ) получаются с
помощью кинетического уравнения (21.26), если последнее разрешить
относительно df и воспользоваться определениями (21.27) и
(21.28). Величина б£/эф(Ш) удовлетворяет уравнению Пуассона,
в котором в качестве плотности заряда фигурирует dn{kQ)-
Окончательно систему уравнений для величин 6Us${kQ)> 6n(kQ)
и 6az(kQ)t определяющую спектр продольных колебаний
электронной системы металла в квантующем магнитном поле, можно
записать в виде
Ьп + ($6п + 6£/эф) (РL + Р~) + $6oz (Pr + Р~) = О, (21.29)
(ербл + Швф) (Р+ - Р~) + [1 + * (Р+ + Р~)\ бо* = 0, (21.30)
к2биэф^4яе6п. (21.31)
232

Здесь поляризационные операторы Р° (о = +) определены
соотношениями
р, /£0\ = X1 f{ntp-k,z\-f(ntp, о)
""' жвш& — £'(1> Р> с) + Е(,г> р — k> ">"
Поскольку амплитуда потенциала самосогласованного поля 66'Эф
определяется уравнением Пуассона (21.31), то в уравнениях
(21.29) и (21.30) можно пренебречь величиной ср при к~ <С
<С 4л<?2/ф ~ ft^, где &о— дебасвскнй волновой вектор. При этом
получается такое дисперсионное уравнение для спектра
продольных колебаний:
1 + * (р+ + р-) + l^i (/н + р- + ЦР+Р~) = О- (21.32)
Незатухающим волнам соответствуют те корни уравнения
(21.32), для которых мнимая часть поляризационного оператора
обращается в нуль. Один из таких корней дает плазменную
ветвь колебаний. Исследование дисперсионного уравнения
показывает, что существуют также решения, соответствующие
квантовым сниново-акустичсским волнам.
Возможность существования квантовых волн в металле
обусловлена простой физической причиной: разбиением вырожденной
системы электронов в квантующем магнитном поле на
совокупность подсистем, каждая из которых объединяет электроны,
принадлежащие одному уровню Ландау и имеющие одну проекцию
спина. Если, например, при температуре абсолютного нуля
заполнены два уровня поперечного квантования, то имеются две
группы частиц с различающимися фермиевскими скоростями
продольного движения. В таком случае помимо плазменных волн
оказываются возможными волны, в которых возмущение
плотности заряда группы электронов с одной фермиевской скоростью
практически компенсируется возмущением группы электронов
с другой скоростью. Электронейтральность колебаний приводит
к тому, что такие волны имеют акустический закон дисперсии
при малых значениях k> а фазовая скорость имеет значение,
промежуточное между фермиевскими скоростями электронов двух
групп. При заполнении- п уровней Ландау имеется п—I
квантовая волна.
За шния
1. Получить уравнение 1ля матричных элементов корреляционной
функции (21.2).'
2. Получить соотношения (21.7) н (21.8).
3. Получить соотношение (21.22).
4. Найти спектр квантовых спииово-акустических волн с помощью
дисперсионного уравнения (21.32).
233

Лекция 22
ЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ
В РАЗМЕРНО-КВАНТОВАННЫХ ПЛЕНКАХ
В достаточно тонких металлических пленках дебройлевская
длина волны электрона, находящегося вблизи уровня Ферми, может
оказаться сравнимой с толщиной образца. В этом случае имеет
место квантование движения носителей размерами пленки, что
проявляется в так называемых квантовых размерных эффектах.
Возможность использования теории фермн-жндкости для
изучения электронных свойств тонких металлических пленок
определяется характером динамического экранирования
взаимодействия электронов в пленках в условиях квантового размерного
эффекта. Исследование этого вопроса показало, что даже в тех
случаях, когда толщина пленки (L) становится сравнимой с бо-
ровекпм радиусом электрона (а0), в длинноволновом
приб•жжении kL -С I при любом выборе модели пленочного потенциала
выражение для экранированного потенциала взаимодействия Vs
имеет вид
Здесь R— расстояние между частицами в плоскости пленки,
полагается, что R^> L. Используя асимптотические разложения
для функций Струве (Я0) и Неймана (Дго), можно убедиться,
что при больших R главный член в выражении для z>6
пропорционален R-3. Это означает, что даже в очень тонких
металлических пленках, толщина которых сравнима с а0, возможно
рассмотрение длинноволновых возбуждений системы в ферми-жид-
костном приближении.
Размерное квантование поперечного движения электронов в
пленках приводит к появлению в спектре коллективных
возбуждений электронной системы новых ветвей, в частности квантовых
волн. Как и в массивных образцах, помещенных в квантующее
магнитное поле, основной причиной, определяющей возможность
существования таких волн в тонких пленках, является
дискретность уровней энергии движения электронов поперек пленки,
которая приводит к разбиению электронов на отдельные группы,
характеризуемые разными значениями скоростей Ферми для
движения в плоскости пленки. Однако определяющую роль в
возникновении волн акустического типа в электронной системе
размерно-квантованных пленок теперь играет пространственная
неоднородность поля возмущения по толщине образца, что
существенно отличает рассматриваемый случай от имеющего
место в массивном образце в квантующем магнитном поле.
Основой описания неравновесных свойств электронной
системы размерно-квантованных пленок служит кинетическое урав-
234

нение для функции распределения квазнчастиц. В отсутствие
внешнего магнитного поля в пренебрежении столкновениями
квазичастиц для возмущений функции распределения вида
6/ар (р; ЯТ) = 6/„е (р; Ш) ехр (/к • R - HIT)
(а—номер энергетической подзоны и проекция спина
квазичастицы; р—импульс квазпчастицы в плоскости пленки; к —
двумерный волновой вектор возмущения) линеаризованное
кинетическое уравнение, как следует из (21.19), записывается
следующим образом:
[о - Еа (р + -Ь-) + £р (р - -§-)] А/ар (Р; kQ) =
= [h (р - т) - f« (р + Т )] 6£"р (р; ш^' &2-1)
где £а(р)—энергия квазичастицы; fa(v)—равновесная функция
распределения. Выражение для вариации квазичастнчной
энергии б£яв, как и раньше, представим в виде суммы авух вкладов:
взаимодействия с самосогласованным электромагнитным нолем
6Е%$ и корреляционного взаимодействия 6££р. При
рассмотрении колебаний, не сопровождающихся возмущением спиновой
плотности, под аир следует понимать лишь номера пленочных
подзон, полагая, что по спиновым переменным проведено
суммирование. В этом случае выражение для tEni можно записать
как
6£?„ (р; кО> = e<f„t (kQ) - ■£• р • Ап1 (kQ) - -£- А'щ (kQ), (22.2)
где ф„г, Ani и Ani — матричные элементы скалярного и
векторного потенциалов самосогласованного ноля, вычисленные на
волновых функциях ^-„(г), которые являются решениями
эффективного уравнения Шредннгера, описывающего движение Э1ск-
тронов поперек пленки в равновесном состоянии. Выражения для
этих матричных элементов имеют вид
Ф„,(kQ) = ^ dz\\-n (г) ф(г, kQ) фг (г),
А„г (kQ) = J dztn (г) А (г. kQ) ifc (г),
A*nl (kQ) = -L \dz [if* (г) U (г) - < (г) ti Щ Аг (г, kQ).
Здесь А — составляющая векторного потепциала, параллельная
плоскости пленки; Аг — его проекция на ось z; ti = 1.
Корреляционная часть 6£«/ выражается через отклонение
функции распределения квазичастиц от равновесного значении
235

с помощью параметров ферми-жидкостного взаимодействия
В пренебрежении спиновой частью связь между 6E%i и 6fnt
выражается как
6£<((р; kQ)=,-l £ \ -(^Fniip, P')ef„(p'; kQ).
r, s
Электромагнитные колебания в тонких пленках в общем
случае не разделяются на чисто продольные и поперечные. Поэтому
для определения спектра коллективных возбуждений системы
кинетическое уравнение (22.1) следует решать совместно с
полной системой уравнений Максвелла или с эквивалентными ей
уравнениями для скалярного н векторного потенциалов
самосогласованного электромагнитного поля.
Квантовые волны, связанные с переходами между подзонами
размерного квантования. При рассмотрении квантовых волн
такого типа исходной является система уравнений для
скалярного и векторного потенциалов поля волны:
(5--*2)ф(г; kQ> = -4*p(z; kQ)>
(-&-*2)Л(г; kQ) = -4j(z; kQ),
{^-^)Az(z\ kQ)=-4nf (z; kQ>-
Здесь y2 = k2 — Q2 (c=l), а плотности заряда и тока
выражаются через 6/rt/(p; kQ):
0(2; kQ) = e^^n(z)^l(z)^lj^6fnl(p't kQ), (22.3)
Tit
j (z; kQ) = £ £ *» & */ (z) \ -$$■ pb}nl (p; kQ) -
nt
- £-[A (z; kQ) N (z), (22.4)
f (z; kQ) = -£■ £ [4-; (z) ift (z) ~ < (г) ф, (г)] J -^ 6fnl (p; kQ) -
--^Лг(г; kQ)tf(z), (22.5>
где Лг(г) — локальная концентрация электронов:
Ч*) = £ И>„ (г) Р J -^г f„ (р), Л' = ± \ dzN (z).
П
236

Решения волновых уравнений можно представить с помощью
•соответствующих функций Грина:
Ф(г; kQ)=Jd^G0(z, z')p(z'; kQ),
А (г; kQ) =^dz'G(z, гОЬОг'; kQ),
Аг(г; kQ)= J d2,G(z> z')j*(zT; kQ),
■где jj и /f —токи, связанные с движением частиц, выражениями
для них служат первые слагаемые формул (22.4) и (22.5).
Далее,
Gc (г, г') = ~ ехр (—х| г — г' |),
a G(x, г') определяется из уравнения
[-£- - *2 - ^1 с <*• ^=-4пб <г - г,)> (22-6)
где со| (г) = 4лЛУ (г)/щ — локатьная плазменная частота элек
тронов.
С помощью приведенных соотношений матричные элементы
потенциалов поля можно выразить через матричные элементы
функций Грина:
<pnl (kQ) = е £ G™ f \ Sf $" & Ш>'
Г, S
Ki(kQ)=£ £G"1 \ mr&f»(p; kQ)-
r, s
Л5,(kQ) = -~^Щ-^) б/"(p; kQ)-
Г, 5
Рассматривая колебания с частотой, близкой к частоте
перехода «л/ = гп — е/, воспользуемся резонансным приближением,
возможность применения которого обсудим далее, и оставим в
суммах только слагаемые с r = nt s = l. Будем писать у всех
величин Gnli только одну пару индексов. В разложении
корреляционной функции по полиномам Лежандра ограничимся двумя
первыми слагаемыми:
Рщ (Р, р') = Fnl + Рп\ cos (6 - е'),
где 0 —угоч между р и осью х, вдоль которой распространяется
волна (k = {&, 0}). В результате кинетическое уравнение (22.1)
237

принимает вич
(Q - вя| - i-JL) а/я| (р; ко) = [,, (р - А) - /. (р + 1)] X
X ! (УЧ; ~ 7^б«< + ^01 S W bLl (р'; Ш) +
+ S ■(&■ (^ —S- р • p'G«0cos <G - е'> б^< (р,; к--)- (22-7>
В силу того что равновесное распределение, описываемое
функциями /н(р), является изотропным в плоскости пленки,
система (22.7) имеет решения двух типов, описывающие колебания
разных поляризаций. Независимыми оказываются волны s-поля-
ризации (волны £-тнна, Е= {0, Еи> 0}) к волны р-полярпзацин
(волны /У-типа, Е= {£х, 0, £«})•
Вводим поляризационные операторы:
"*i\ai-)-i2$raW «-©„/-ftp*/* * (22'8)
Для волн s-поляризации с помощью (22.7) поручаем
дисперсионное уравнение в виде
и;
= 0.
(22.9)
Для выяснения условий, при которых ферми-жндкостное
взаимодействие играет главную роль, а прямым электромагнитным
взаимодействием между частицами можно пренебречь,
рассмотрим приближенное уравнение
l-^II»i{si"Se>e0-
(22.10)
определяющее спектр колебаний, порождаемых
корреляционным взаимодействием. При вычислении поляризационного
оператора (22.8) воспользуемся длинноволновым приближением.
Разлагая в ряды Тейлора функции
fn {Рх
±~. Ри)~Ш^~гЬ(р-рп),
а также знаменатель подынтегрального выражения по
параметру kpjm(il — (ип1) -С 1 и используя соотношение pj — pl^
™2mtd,lb получаем
«КО,,, Г (pf. + Р/) k2 I
n,lf(sin2e)= _ „ , i+ ■
2п (Q - »я|)
&S{a-mnlf
238

Теперь находим решение сравнения (22.10):
„.,,{, +^Г,+ К?«>*Л. <2->.П)
I 2я L 8ffAo^(wfJ(V/(2^))2JJ
Используя его, оценим отличие приближенного дисперсионного
уравнения (22.10) от точного (22.9), которое можно записать
следующим образом:
Выражения для входящих сюда поляризационных операторов,
полученные в описанном ранее приближении, имеют вид
+
т®
«/
Рп + Р„Р/ + р'|
я(Й-ии/) L 3(ря+р,)
+
20(ЯЯ"гР/)то21Й-«»л/)г
J-
(22.13)
П« Ю) - щ£^> [/*+/>? + l;g,^ *' ] ■ (22.14)
Для оценки правой части уравнения (22.12) положим & = 0 и
pi ж /?„. Поскольку для решения (22.11) справедливо
U)
я/
9^
то на частоте волны имеем
пл\ру*\пЦ*^% "*№)*:
р\
Для функции Грина G<2, г'), определяемой нз уравнения (22.6),
обычным образом можно получить выражение
О (z, с') +
2л
$hq\z~zl \ +
(22.16)
+
|(^Т^) cxp(-2^) + l]ch?(r-2:') + 2-|^exp(-^)ch^(z+o'
(|-ij cxp<- 2*1,-1
где <?2 = х2 + w^ полученное в предложении Л'(z) = .V0 при
— L,2^z *^L 2 и Л(г)=0 вне пленки, так что ay^=4^e2NJm.
Функция Грина (22.16) экспоненциально убывает при z—^dz°°-
При вычислении матричного элемента используем волновые
функции, соответствующие аппроксимации пленочного потен-
239

циала моделью прямоугольной ямы с оесконечно высокими
стенками:
Фд (г) = ^Jy sin ("Г + т) шг<
Не приводя громоздкую формулу, получающуюся при точном
вычислении матричных элементов функции Грина (22.16),
выпишем лишь приближенное выражение, получаемое в
предположении qL ж copL/c <g; 1 и п ~ I ~- яр > 1 (при I — Ю-7 см, qL ~
- Ю-1 и nF^ 10):
Используя только первое слагаемое матричного элемента, так
как xZ. <£ 1, с помощью (22.15) представим правую часть
равенства (22.12) в виде
aa/(ml$)
Iй 577 TiTTt (22.18)
i+^7K/))
здесь множитель y™1> a ~ постоянная тонкой структуры.
Таким образом, при выполнении условия а- <С тРЦ} ферми-жид-
костное взаимодействие превалирует над электромагнитным, и
дисперсия квантовой волны описывается формулой (22.11). Учет
электромагнитного взаимодействия приводит к появлению в
выражении для частоты добавки, явный вид которой можно
получить, включив в формулу (22Л8) второе слагаемое матричного
элемента (22.17):
Ai ~ гя-
——— 1 — ~ (1 — cos т. (п — I))
nt
Тогда вместо формулы (22.11) имеем
1
SnF»*at[mftf (Щ*
+ h
Здесь для величины х при ck <С Q выбирается значение х =
= —iQ/c% что связано с граничным условием для функции Грина
при г-»-±оо. Мнимая часть частоты отвечает затуханию,
обусловленному излучением энергии из пленки. Анализ показывает,
что для переходов одинаковой четности затухание присутствует
только в следующем порядке по qL-
Аналогично могут быть исследованы и квантовые волны р-по-
ляризации.
Подведем итоги. Без учета ферми-жидкостного
взаимодействия отличие предельных значений частот квантовых волн от
резонансных крайне мало: можно показать, что Q — ссы —- а2сы-
При учете этого взаимодействия Q — w^-^m/^a^. Данное
обстоятельство делает более реальной возможность эксперимен-
240

тального обнаружения рассмотренных волн, которые должны
проявляться в особенностях коэффициента прохождения
электромагнитных волн соответствующего диапазона через
размерно-квантованную пленку.
Поскольку в предельных значениях частот параметр а2,
отвечающий электромагнитному взаимодействию, заменяется в
рассматриваемом случае на tnF^j, условие применимости
резонансного приближения имеет вид nFmF^I<C\. To же можно
сказать об условии существования квантовых воли, при
выполнении которого их дисперсионные кривые лежат в окнах
прозрачности, где отсутствует затухание Ландау. В
рассматриваемом случае данное условие принимает вид kL ^ w{/2mF$.
Следует отметить, что при получении дисперсионных зависимостей
квантовых волн вбчизи границ окон прозрачности необходимо
использовать точные выражения для поляризационных
операторов. Для существования квантовых волн в металлах необходимо,
как известно, чтобы частота столкновений электронов и
температура были достаточно малы. При рассмотрении спектров этих
волн для простоты считалось, что они могут быть вообще
положены оавными и who.
Квантовые электронные акустические волны. В заключение
остановимся кратко на вопросе о распространении в размерно-
квантованных пленках электронных акустических волн,
существование которых в кулонохзских системах обусловлено
динамическим экранированием взаимодействия благодаря наличию
частиц разных сортов. В пленке разные типы носителей
соответствуют электронам, находящимся в разных энергетических
подзонах.
Как показывает получающийся результат, фазовые скорости
акустически к квантовых волн малы по сравнению со скоростью
света. Поэтому их рассмотрение можно проводить в
потенциальном приближении на основе уравнения Пуассона. Тогда
дисперсионное уравнение для определения спектра колебаний
электронной системы пленки можно записать в виде равенства нулю
следующего определителя:
[ в„А, - № + < Щ ! hs (k«) l = °- (22.19)
В этом уравнении t'^(k)— матричный элемент дв\ мерного
фурье-образа кулоновского межчастичного потенциала:
^(Ю = ^Т^ \ dzdz{% (z)Гг (z) exp l- к | z - zx | ] *, (г,) ^ (г,).
(22.20)
Поляризационный оператор n,ir описывается выражением
п fj-oi - ' [ • rfP fr <P - W ~ fn (P + k/2)
16 A. C. Kotiipa7i.cn. A. E. Кучма 2П

Явное вычисление матричных элементов vjfr требует знания
волновых функций электронов в пленке \pn(z). Однако, разлагая
экспоненту в формуле (22.20) в ряд Тейлора, легко убедиться*
что при любом виде равновесного потенциала в пленке
выражение для vlnsr можно записать в виде ряда по степеням
параметра kL:
vu (k) = 2**L (б,Лг + aukL +...). (22.21)
Для оценок можно использовать модель прямоугольной
потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками
При расчете поляризационных операторов приходится
вычислять интеграл вида
/ = f ЁФ_, (22.22)
J a — costp ' v ;
о
где а — константа с произвольным знаком. Здесь удобно перейти
к интегрированию по комплексной переменной г = ехр(кр), так
что интеграл (22.22) переходит в интеграл по окружности с
единичным радиусом:
J (z — zl)(z — z2)
Здесь z\ и zi—корни уравнения z2— 2аг+1=0. При а~> 1
корни расположены на положительной полуоси, причем один из
них лежит вне, а другой — внутри окружности. При 0 < а < 1
корни лежат на правой половине окружности, при —1<а<0 —
на левой. Если a <Z—1, то корни лежат на левой половине
вещественной оси, причем один из них — внутри окружности. При
вычислении поляризационного оператора следует учитывать
правило обхода полюса Ландау: а^а + Ю. Тогда при учете
изложенного по теореме о вычетах получаем
l = sgna-B(\a\-l) J^-*e(l-lfl|) 2jl
где 0(л") — ступенчатая функция Хевисайда.
В итоге для вещественной и мнимой частей
поляризационного оператора П„г имеем
т ( , (m\&tr\ MY'^tV >Т/2
Renw(Kl)=-^{sgnQi.e(-J^-pJ^^ -Pi J -
_sgnDi.e(^-P,)[(^)!-^"*-4'
."^«-i{.U-^i)[«-№)T-
где QZ = Q — £« + er ± k2f(2m).
242

В общем случае исследование дисперсионного уравнения
(22.19) представляет собой сложную задачу. Однако учет
симметрии пленочного кристалла позволяет провести
классификацию собственных колебаний по типу их пространственной
симметрии. Если равновесный пленочный потенциал симметричен
то, используя свойства симметрии волновых функций,
описывающих движение электронов поперек пленки, можно показать, что
дисперсионное уравнение (22.19) распадается на два, одно из
которых описывает симметричные в смысле отклонения
плотности электронов от равновесного значения колебания, а другое —
антисимметричные.
В длинноволновом приближении, когда /eL->0, собственную
частоту симметричных колебаний можно найти из уравнения
(22.19) без каких-либо упрощающих предположений.
Действительно, ограничившись главным по k слагаемым в формуле
(22.21) для матричного элемента vl*n получим
соответствующее дисперсионное уравнение:
*^£iinn(k«) = i.
п
Оно приводит к следующему выражению для частоты
модифицированных плазменных колебаний:
O^co^L/2,
где сор — плазменная частота электронов.
Дисперсионное уравнение, соответствующее симметричным
мо^ам колебаний, имеет также решения, описывающие
интересующие нас квантовые вочны с акустическим законом
дисперсии. Число таких волн на единицу меньше числа заполненных
энергетических подзон в пленке. Для нахождения спектра их
частот можно, например, рассмотреть укороченную систему
уравнений для матричных элементов потенциала, а затем с
помощью полученных результатов провести оценку вклада
отброшенных членов.
Задания
1. Получить выражение (22.2) для 6£^; (р; kQ).
2. Получить выражения (22.3) — (22.5) для плотностей заряда и тока.
3. Получить приближенные выражения (22ЛЗ) и (22Л4) для
поляризационных операторов.
4. Получить выражение (22.16) для функции Грина G(z> z').
о. Определить спектр частот акустических квантовых волн с помощью
дисперсионного уравнения, соответствующего симметричным модам колебаний.
16*
243

Лекция 23
ЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ
В ПЕРЕХОДНЫХ d-МЕТАЛЛАХ
Характерной чертой изложенного в двух предыдущих лекциях
способа построения фермн-жидкостной теории сложных
металлических систем была диагональиость фигурирующих в теории
величин в состоянии равновесия. Несколько иначе приходится
формулировать ферми-жидкостный подход при рассмотрении
электронных свойств переходных ^-металлов и изучения
магнитного упорядочения системы, если ставится цель сопоставления
результатов с выводами, получаемыми при использовании
других подходов.
Современная теория магнитных явлений, как никакой другой
раздел физики твердого тела, характеризуется исключительным
разнообразием моделей, методов и приближений, используемых
при расчетах конкретных явлений. Однако практически любой
аспект теории магнетизма при рассмотрении того класса
веществ, магнитные свойства которых определяются
коллективизированными подвижными электронами, может быть адекватно
описан в рамках ферми-жидкостного приближения.
В лекции 10 был рассмотрен феноменологический почход к
формулированию ферми-жидкостной теории переходных магии-
тоупорядоченных металлов, основанный на предположении о
существовании в кристалле хорошо определенных гибридизироваи-
ных энергетических зон s- н d-типа. В то же время в разных
модельных подходах из полного микроскопического
гамильтониана системы на основе некоторых эвристических соображений
выделяют небольшое число взаимодействий, играющих опрете-
ляющую роль в формировании изучаемых свойств.
Формулирование ферми-жидкостного подхода на основе микроскопического
гамильтониана без предварительного предположения о
существовании гибридизироваипых энергетических зон позволяет
установить связь ферми-жидкостного приближения с разными
модельными подходами.
На первом этапе построения теории уравнения для функций
Грина преобразуются таким образом, чтобы они приняли вид,
пригодный для развития определенной интерпретации отдельных
входящих в эти уравнения членов. В отсутствие малого
параметра, по которому можно было бы развить теорию возмущении
для вычисления этих членов, они либо целиком объявляются
феноменологическими параметрами теории, либо подвергаются
определенной параметризации на основе каких-либо
эвристических соображений, соображений симметрии и так далее. Пр1Т
этом в принципе остается возможность проводить явное
вычисление этих объектов на основе определенных приближений для
244

получения качественных оценок, поскольку все рассмотрение
основывается на использовании точных уравнений.
Успех в построении теории, использующей
феноменологические параметры, зависит от удачного выбора того, что именно
должно объявляться параметрами теории, а что подвергаться
вычислению. Например, феноменологическим параметром
разумно объявлять обменный интеграл взаимодействия электронов
J-тина, локализованных на разных узлах кристаллической
решетки, а вот для определения вкладов этих интегралов в кон
фигурациях, отличающихся количеством и порядком
расположения соседей в решетке, с которыми возможно такое
взаимодействие, разумно проводить явные расчеты. Далее будет
изложен вариант построения фермп-жндкостной теории для описания
электронных свойств магнитоупорядочениых переходных
металлов группы железа на основе использования представлений
модели Андерсона о межзонной гибридизации.
Уравнения для функций Грина и массового оператора.
Гамильтониан электронной системы выберем в виде суммы
оператора кинетической энергии, энергии взаимодействия элекгронов
с полем кристаллической решетки и энергии кулоновского
межэлектронного взаимодействия. Пренебрегаем спнп-орбитальным
и спин-спиновым взаимодействиями, поскольку их роль в
формировании магнитных свойств переходных d-мсталлов мала по
сравнению с ролью корреляционного взаимодействия электроноз.
В состоянии равновесия при указанном выборе гамильтониана
все величины могут считаться диагональными по спиновым
индексам, которые для упрощения записи пока явно указываться
не будут. Определяем одиоэлектронную функцию Грина
обычным соотношением;
О (1,1 )= — I ^щ ■
Здесь ф(1)—компонента спинора с определенным значением
проекции спина. Оператор S определяется таким же
соотношением, как и в лекции 15.
Разложим входящие в уравнение для функции Грина
величины в ряды Фурье но полной системе функций блоховского
типа, характеризуемых номером энергетической зоны (Л) и
квазиимпульсом (к), и совершим преобразование Фурье по
времени. Поскольку в равновесии все величины могут зависеть
только от разности временных аргументов, имеем
со со
Л(1, 2) = Л(г„ r2; t{-t2)= £ J -~^exp[-M>(fi-/2)]X
Лк, Л,к: ~оо
X^Ak.A..b:N*Ak(ri)+:v.kl(r*)- <23Л>
245

Здесь коэффициенты разложения даются формулами
ос
Avk. ay (со) = (Лк | /1 (ю) | Л'к'> = \d(U- ta) ] dvx dr2 X
— со
X exp \m [ix - /2)] ^;k (r,) *AV (r2) A (rp r2; tt - /2).
В результате такого преобразования уравнение для функции
Грина принимает вид
©Од*, л'к'(ю) — Е (Лк|й + а(ю) | A^Ga*,. А'к'И = 6лл'6кк',
Л: к;
(23.2)
здесь /г — одночастичный гамильтониан электрона в
периодическом кристаллическом иоле. Интсгро-функциональное уравнение
для массового оператора о порождает диаграммную технику
феинмаповского типа, допускающую графическое суммирование
диаграмм, поскольку операторы ферми-поля электронов анти-
коммутируют на с-числа. Если в этих диаграммах, взятых в
координатном представлении, провести разложение типа (23.1), то
среди диаграмм в Лк-представлении будут, вообще говоря,
присутствовать диаграммы, содержащие аномальные функции
Грина, зависящие от разных зонных индексов. Например,
диаграммам в хартри-фоковском приближении соответствуют
аналитические выражения
<Лк | a»F | Л'к') =• - i Y. \ !г[<А"' Л<'< I v I Л'к'- Л'к'> Х
/ /
-V|ki- Ajkj
X sp G / / (со) - (Ак, Aft | v IЛ^, Л'к') G / / (со)1
Aik].\.|k| \ i t i i i 1 / Ajki, Ajk| J
где матричный элемент оператора межчастичного
взаимодействия (Ак, A'k'|ti lAjkp Afkf) определяется соотношением
(Ак, A'k'|o|A,kIf л%)=
= J dvx dr^\k (гх) i£Vfc, (r2) v (ri - r2) !])Aiki (r,) i|>A/k/ (r2).
Конкретные вычисления, разумеется, было бы удобнее
проводить в представлении, диагонализующем функции Грина
Сдк. л'к'(ю). Однако развиваемый вариант теории удобен для
рассмотрения гибридизации затравочных энергетических зон.
При проведении расчетов матричных элементов массового
оператора в более высоком, чем хартри-фоковское, приближении
могут появиться расходимости, связанные с дальнодействующим
характером кулоновского потенциала, если в нулевом
приближении 5-электроны считаются свободными. Эти расходимости,
246

как и раньше, устраняются путем переразложения выражения
для о с дальнейшим суммированием отдельных
последовательностей расходящихся членов. Это означает явный учет
динамического экранирования кулоновского взаимодействия электронов
и соответствует подходу, принятому в теории электронной фер-
ми-жидкости. При этом в уравнении для перснормированного
потенциала взаимодействия могут использоваться различные
приближения для s- и d-электронов в соответствии с разным
характером экранирования их взаимодействия.
Дальнейший прогресс в рассмотрении на основе уравнения
(23.2) связан с конкретным выбором системы базисных
функций, по которой выполняется разложение. Будем считать, что
электронный спектр Зй-металла хорошо аппроксимируется
моделью двух зон, соответствующих 4s- и 3*/-электронам, причем
d-зону будем пока считать невырожденной. Различный характер
пространственной локализации s- и d-электронов в кристалле
приводит к тому, что наиболее существенные части межчастич-
иого взаимодействия для этих групп электронов описываются
разными диаграммами. В частности, для квазилокализованных
^/-электронов наиболее существенная часть взаимодействия
описывается кулоиовским интегралом. Поэтому вследствие фейнма-
новского характера диаграммной техники наибольший вклад
дается скелетной диаграммой типа «головастик», что
соответствует перенормированной хартриевской поправке к энергии.
Напротив, для s-электронов определяющую роль играют обменные
диаграммы: в приближении однородного положительного
компенсирующего фона хартриевская поправка к энергии
свободного электрона вообще равна нулю.
Учитывая изложенное, конкретизируем выбор базиса
разложения следующим образом. Будем считать, что базис задается
собственными функциями эффективного волнового уравнения*
имеющего в матричном представлении следующий вид:
<Лк I /г + 0S (со) 1 \{к{) = ЕХк (со) блл-Дк, (23,3)
Здесь через оЛ со) обозначена эрмитова часть фурье-образа
массового оператора, составленного из диаграмм, наиболее
существенных цля s-элсктронов. Введем обозначения:
Edk. rfk, M = {dk\h + ad(со)|dk{),
Ум, Sk, (со) = (dk | h + ods (со) | sk,), (23.4)
VSk, «л, (со) — {sk | h + <ySd (») I dkxh
где a*, Ods u oS(i — эрмитовы части фурье-образов массовых
операторов, составленных из диаграмм, которые по тем пли иным
соображениям отобраны для описания соответствующих групп
электронов. При этом система уравнений (23.2) записывается
247

как
X [tOOkk, — Edk, dk (CO)] Gdku dW (to) — X! 17dk. skt (©) G.ck> rfk' (o>) = 6kk',
ki к.
[со — Esk (со)] Gsk. dk' N — X Vrsk. dk, (to) Gdku dkf((a) — 0,
k (23.5)
X [tu6kk: — £dk. dk, (tO)] Grfki, Sk' («) — X ^ 'rfk. 5k, (tO) Gsfc:, Sk' (tO) = G,
к k,
[(0 — Esk (to)] Gsk, sk' (tO) — X I sk. dk, (to) Cdk„ sk' (to) — 6kk'.
k,
Нел и межзлектроннос взаимодействие учитывается не выше,
чем в хартри-фоковском приближении, то все величины £ и у
в (23.4) не зависят от со. Система уравнений (23.5) по виду
аналогична системе уравнений, которая получается в так
называемой периодической модели Андерсона. Рассмотрим этот вопрос
несколько подробнее.
Построим ортоиормпроваиные функции срл как линейные
комбинации блоховских функций ^dki относящихся к d-зоне, таким
образом, чтобы функция ср« была локализована вблизи п-го узла
кристаллической решетки. Этому условию удовлетворяют,
например, функции Ванье:
Фя (г* = ЛГ"2 X ехр (- /к - R„) i:dk (г),
где Л—число узлов кристаллической решетки с
радиус-векторами R„. В новом базисе система уравнений (23.5) принимает
вид
X [«6,т — Епп, (0>)] Ощп' (СО) — X 1'лк М Gkn' Ш = bnti'y
П: к
[со — £к (to)] Gkn (to) — X Г„к, i л) Gn n (to) = О,
"' „ (23.6)
La [собгл, — Etm- (co)J Gn.k (to) — 2. Vnv- (to) Gk.k (to) = 0,
[со —■ £k (со)] С? к к' (to) — X Vkn (to) Gnv (©) = 6kk'.
Здесь использовано обозначение Ек (со) = £sk (со), а
матричные элементы гриновских функций и энергетических
характеристик системы связаны с соответствующими величинами в бло-
ховском представлении соотношениями
Gdk, dk-. M = Ar_I X схр(— ik • Rtt + /ki - RB:) Gnn-, (to),
G^k. sk! (со) = Л7"1'2 £ cxp(-k • R„) Gnk, (со),
Edk.dk.. (со) = Л'"1 X exp(— ik • R„ + ik, • Rnl) EfWl (coj,
«. «I
I *rfk, ski (<o) ^ Л'"1'2 X exp (- ik • Rn) K«k.. И.
243

Нетрудно видеть, что в обозначениях (23.4) справедливо
Еппх(®)={n\h + od(со) Iя,),
Vnk (со) = (п ] h + ods (со) | sk), (23.7)
Vkn (со) = <sk | h + csd (со) | п).
Диагональные элементы Епп можно трактовать как энергию
^-электрона, локализованного на п-м узле решетки.
Недиагональные элементы Епп, в соответствии с идеями Хаббарла
описывают «перескоки» rf-элсктронов от одного узла решетки к
другому. Величины Vnk и Vkn можно рассматривать как
потенциалы гибридизации затравочных .энергетических зон. Если учесть
пятикратное вырождение уровней в атоме и расщепление
вырожденной d-зопы кристаллическим полем, то в системе
уравнений (23.6) будут присутствовать уравнения для всех
матричных элементов гриновских функций. Например, первое из
уравнений (23.6) для функции Грина ^-электронов превращается в
следующую систему уравнений:
Z И™А,: - 3* И &fn. (со) - S \% (со) G[n, (ш) = Ъпп,Ьи„
где индексом / обозначены вырожденные зонные состояния
d-электронов.
Система уравнений (23.6) отличается от системы уравнений
для матричных элемептоз гринозских функций, получаемых в
хартри-фоковском приближении с помощью модельного
гамильтониана Андерсона, тем, что учет корреляционной части
межэлектронного взаимодействия приводит к появлению
зависимости от о) у фигурирующих энергетических параметров. Эти
уравнения содержат в себе как частные случаи разные,
используемые в теории магнитоупорядочениого состояния, модели: при
Епп, = ЕпЬпп, они соответствуют исходной непериодической
модели Андерсона, а в приближении, когда равны нулю
потенциалы межзонной гибридизации, — модели Хаббарда.
Таким образом, уравнения модели Андерсона могут быть
получены при весьма общих предположениях о свойствах
изучаемой системы на основе истинного микроскопического, а не
модельного, гамильтониана. При этом последовательный учет
корреляционной части взаимодействия электронов приводит к тому,
что фигурирующие в уравнениях энергетические параметры
становятся функциями о). Отметим, что в отличие от подхода
Андерсона, при котором межзонная гибридизация возникает за счет
отличия локализованных атомных d-уровней от реальных зон
в кристалле, получаемых в одноэлектронном приближении, в
излагаемом подходе гибридизация затравочных 5- и d-зон
определяется эффектами межэлектронного взаимодействия, поскольку
используемые для разложений базисные функции не являются
собственными для одночастичного оператора энергии, а нахо-
249

дятся из эффективного волнового уравнения, содержащего
массовый оператор.
Единственное серьезное ограничение, наложенное в процессе
вывода, — это пренебрежение неэрмитовой частью массового
оператора. Последнее соответствует допущению существования одно-
частичпыч состояний и является, как мы видели, обычным в
теории нормальной ферми-жидкости. Отметим, что система
уравнений типа (23.6) может быть получена и при использовании в
(23.3) полной эрмитовой части массового оператора без
выделения разных групп диаграмм для описания s- и J-электронов. При
этом гибридизация энергетических зон возможна только в
Результате учета неэрмитовой части. Однако такой подход
соответствует выходу за рамки ферми-жидкостного приближения и
требует особого рассмотрения, поскольку многие из
используемых в теории ферми-жидкости приближений окажутся заведомо
несправедливыми. Конкретные расчеты в рамках такой схемы
предъявят, по-видимому, более жесткие требования к
подставляемому в формулы энергетическому спектру квазичастиц,
поскольку последний определяется здесь при учете полной эрмитовой
части массового оператора.
Системе уравнений (23.6) для матричных элементов гринов-
ских функций можно придать несколько иной вид, если
по-другому выбрать базис разложения. Наряду с уравнением (23.3)
рассмотрим эффективное волновое уравнение
(п | h + od to) | tti) = En to) бйп:. (23.8)
Здесь п — совокупность квантовых чисел, определяющих
состояние локализованных d-электронов. Как и (23.3), это уравнение
определяет всю зонную структуру металла. Однако если (23.3)
хорошо определяет состояния электронов в s-зоне и плохо—
в d-зоне, то уравнение (23.8) в силу отбора в cj диаграмм,
адекватно описывающих взаимодействие ^/-электронов, хорошо
опишет состояния d-электронов и хуже — s-электронов. Теперь при
вычислении матричных элементов по формулам (23.7) будем для
локализованных состояний ^-электронов использовать
собственные функции, определяемые уравнением (23.8), а для
коллективизированных — уравнением (23.3). Разумеется, при таком
подходе остается открытым вопрос о полноте системы функций,
используемых для разложения уравнения (23.2). При
использовании указанного базиса в приближении двух s- и d-зон
уравнение (23.2) эквивалентно системе
[0> — Еп (0>)] Gnn' (0>) ~ Yi Vnb М ®Ьп' («) = бя«',
к
[о> - £к to)] Gun (©) - Е Vkn: to) Gntn to) = 0,
"' (23.9)
to - Ea to)] Gnv to) - £ Vnv.. to) ck!k to) = o,
[o> — Ek (со)] Gkk' (со) — X ^kn (со) Gnk- (со) = 6кк'.
n
250

Подчеркнем еще раз, что системы уравнений вида (23.6) или
(23.9), получаемые в хартри-фоковском приближении на основе
определенных модельных гамильтонианов, учитывают и
корреляционную часть межэлектронного взаимодействия, если Е и V
ятяются функциями со.
Таким образом, как и обычно в теории нормальной
электронной ферми-жидкости, приближение Хартри — Фока
позволяет получить правильный вид основных уравнений теории.
Последовательный учет корреляционной части межэлектронного
взаимодействия заключается при этом в учете зависимости от to
энергетических параметров, фигурирующих в уравнениях.
Разумеется, при этом изменяется смысл некоторых входящих в
уравнения величин по сравнению с хартрн-фоковским приближением.
В дальнейшем интегрирование по о> приводит к появлению перс-
нормировочных множителей, значения которых зависят только
от корреляционного взаимодействия между частицами системы.
Конкретные модельные представления используются при выборе
условий замыкания полученной системы уравнений, т. е.
функциональных связей между квазичастичными энергиями и
функциями распределения квазичастиц.
Различные типы магнитного упорядочения электронной
жидкости. Полученные уравнения для функций Грина могут быть
использованы для исследования вопроса о характере магнитного
упорядочения системы и о величине магнитных моментов,
связанных с d- и ^-электронами в переходных металлах группы
железа.
Гассмотрим систему уравнений (23.6). Прежде всего
отметим, что входящие в нее уравнения связаны попарно.
Подставляя в первое из этих уравнении выражение для Gknt найденное
из второго, и выделяя слагаемое с т=п, получаем
[©-i?rt<©)]G,m'<©)- Z Vnn, (со) Gn*' И = <W, (23.10)
к, -t= я
где Еа («) = Enn (©) + X Vnk (<a) Vkn (©) [© - Ek (©)]"',
^k _* (23.11)
Vnn% (©) = Enn, («) + L Vnb H ^k«. {©) [© — £"k (©)] •
к
Уравнение (23.10) можно решать итерациями, получая для
функций Gan' разложение по степеням 9, что соответствует
разложению по степеням потенциалов межзонной гибридизации Vnk и
по степеням интегралов перескока d-элсктронов l/rtrtl. Последнее,
в свою очередь, соответствует последовательному учету d—d-
взаимодействия между выделенным атомом и атомами,
находящимися в разных координационных сферах от него. При таком
подходе выражение для функции Gnn получается в следующем
251

виде:
Gnn (со) = [©-£„ (со) - ап (со)]'1, (23.12)
где для величины а«(со) справедливо следующее разложение:
or„(©)= > !—- Ь > т гт ^ г + ...
(23.13)
Суммирование в этом выражении производится по всем ггутям
перескоков d-электронов, начинающихся и заканчивающихся на
я-м узле.
Аналогичное представление получается и для функций (?kk.
Подставляя в третье из уравнений (23.6) выражение для С^ъ и:*
четвертого и опять выдепяя слагаемое с п\ ==п, получим
[Ш - Ёп (СО)] Gnli И - Z Vnnt И втк (©) = V*k (©) [СО - Ек (to)]^
здесь Еп и i'rt/t. по-прежнему даются формулами (23.11).
Решая это уравнение итерациями и подставляя получающееся для
Gnh выражение в четвертое уравнение (23.9), получаем
Gkk (со) = [со - Ек (со) - ок (со)]-'. (23.14)
Массовый оператор Ок(со) описывается выражением, имеющим
структуру, сходную (23.13):
Ok (СО) = > - ^ > — ^ -~ р -f- .
to - £„ (со) п^п [to - Еп (to)] [to - Ещ (©)]
(23.15)
С помощью формул (23.12) — (23.15) при использовании
определенных модельных представлений относительно входящих в
них энергетических параметров функции Грина d- и «-электронов
величины Gnn и Gkk могут быть вычислены в явном виде.
Соотношения (23.12) — (23.15) позволяют в рамках единой
схемы описать различные типы магнитного упорядочения
системы и получить соответствующие критерии. В
ферромагнетиках реализуется однородное по кристаллической решетке
упорядочение магнитных моментов. В этом случае параметры Еп
и Vun не зависят от номера узла п, а интегралы перескока
Упщ зависят только от расстояния между узлами п и п\. Из
уравнения (23.10) тогда следует, что функция Грина GnTll, а
следоватепьио, и магнитные моменты одинаковы для всех узлов
решетки.
Антнферромагнитное упорядочение системы в излагаемом
подходе может рассматриваться в двух аспектах—как имеющее
252

и не имеющее пространственную структуру. В первом случае
антиферромагнитное упорядочение характеризуется тем, что
соседние спины в магнетике направлены в противоположные
стороны и компенсируют друг друга. При этом для энергии d-элек-
тронов, локализованных на узлах п и ль находящихся в разных
магнитных состояниях, справедливо Ёп = Ёп1°. Могут
различаться между собой и интегралы перескока между локализованными
электронными состояниями соседних узлов.
Полученная система уравнений может использоваться и для
описания влияния поверхности образца на его магнитные
свойства и описания слоисто-иеоднородного состояния.
Задания
i. Получить систему уравнений (23.6) лри использовании
локализованной картины состояния ^-электронов.
2. Проверить справедливость формул (23.7).
3. Получить систему уоавиенип (23*9) поп использовании базиса
разложения (23.8).
4. Получить разложения (23ЛЗ) для о«(о>) и (23.15) для о*к (со).
Лекция 24
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ ГРУППЫ ЖЕЛЕЗА
И ИХ СПЛАВОВ
Прежде чем говорить о магнитных свойствах магиитоупорядо-
ченных переходных металлов и их сплавов, исследуем вопрос об
изолированном магнитном атоме, помещенном в немагнитную
матрицу. Эта задача была рассмотрена Ф. Андерсоном в 1961 г.
в хартри-фоковском приближении на основе предложенного им
модельного гамильтониана и положила начало определенному
подходу в теории магнитных свойств металлов и сплавов — так
называемой периодической модели Андерсона.
Наше рассмотрение будет основано на использовании
выведенных в лекции 23 уравнений для одного из вариантов ферми-
жидкостного подхода к теории магнитных свойств переходных
металлов.
Магнитная примесь в немагнитной металлической матрице.
Исходим из первых двух уравнений (23.9), ибо в
рассматриваемой задаче важно точнее описать локализованное состояние
электронов магнитной примеси. В пренебрежении вырождением
d-состояний индекс п в рассматриваемом случае прини*шетодно
единственное значение, и для функции Грина Gnn= Glt получаем
G^H^Ito-E^^-ZindHPIto-EbH]-1!"1. (24.1)
253

Вводим обозначения:
£ (со) = Re £d (<о) + 9 I | Гм (со) |2 [со - £к (со)]"1,
(94 2}
Г(©) = л1ц ы(о))|26(со-£к(со)) + 1т£^(о). " * '
к
Будем считать, что в рассматриваемой модели затухание с/-со-
стоянпя определяется в основном эффектами s—^-гибридизации,
а собственная ширина ^-уровня мала. С помощью величин (24.2)
выражение для спектральной функции d-состояния,
определяемой скачком гриновской функции (24.1) при переходе через
вещественную ось а>, записывается следующим образом:
а^(со) = 2Г(оз){[со-£(со)р+Г2(со)}"1. (24.3)
Функция а*(со) формально имеет лоренцев вид, однако величины
Е и Г зависят от со. Если эти функции медленно меняются с ш,
то величину Г-1 в соответствии с изложенным в лекции 16 можно
принять за время жизни соответствующего одночастичного
состояния. Из второй формулы (24.2) видно, что в отличие от
случая простых парамагнитных металлов ширина ^-уровня в
рассматриваемой модели всегда имеет конечное значение, даже если
он расположен непосредственно па уровне Ферми. В этом
заключается первое серьезное отличие, вносимое
микроскопическим подходом при формулировке ферми-жидкостной теории
магнитоупорядоченных металлов в результаты
феноменологического рассмотрения.
Проанализируем переход к описанию свойств системы на
языке квазичастиц, характерном для теории электронной
жидкости. Выражение (24.3) позволяет написать следующее
соотношение для среднего числа tf-электронов (па) при абсолютном
нуле температуры:
<«*>= J -^ Г (со) { [со-£ (со)]2 + Г2 НГ1. (24.4)
Будем считать, что Г не зависит от со. Строго говоря, такое
предположение неверно, так как оно противоречит дисперсионному
соотношению (16.29), Однако это предположение существенно
облегчает выкладки и позволяет получить правильную
качественную картину- явления. Совершая замену переменных со—■
— £(<о) = х, перепишем соотношение (24.4) в виде
eF+E(eF)
(nd> = j[ \ dxZ {x) х2 + г2 ,
где Z(v) = (l—<9£/<?(о)-\ рассматриваемое как функция
переменной х. В пренебрежении зависимостью дЕ/дт от о> этот нн-
254

теграл легко вычисляется:
(па) = - arcctg l г;г г . (24.5)
Если следовать обычному, изложенному в лекции 16, правилу
перехода от функции распределения частиц </г^> к функции
распределения квазичастнц ndj то соотношение (24.5) слетует
разделить на перенормировочный множитесь Z:
пй = - arcctg {г,г г • (24.6)
Этому выражению можно придать несколько иной вид, если
разложить Е(ег) в ряд Тейлора около £rft являющегося корнем
уравнения
^-^МЦ. (24.7)
Тогда £(ег) —ep = Z~ (Еа~~*£г), и выражение (24.6)
переписывается следующим образом:
пл =-1- arcctg ^Х (24.8)
Выражение (24.5) отличается от соответствующего ему в
хартри-фоковском приближении наличием перенормировочного
множителя Z. Напомним, чго в этом приближении нет различия
между частицами и соответствующими им квазичастицами.
Таким образом, учет корреляционного взаимодействия электронов
приводит к появлению Z в выражении для числа частиц (rid),
однако при переходе к квазнчастицам по обычному в теории
ферми-жидкости рецепту этот множитель пропадает. Далее, в
формуле (24.6) величина £(«) берется в точке со = eF- В
выражении (24.8) £(о>) берется в точке &=Еа, являющейся
корнем уравнения (24.7), но зато в знаменателе Г заменяется иа
Z\\ Эго соответствует перенормировке ширины квазичастнчного
уровня.
Будем учитывать только кулоновское отталкивание между
локализованными rf-электронами. Как отмечалось в лекции 23,
фейнмаиовский характер используемой диаграммной техники
позволяет в этом случае аппроксимировать массовый оператор
одной скелетной диаграммой типа «головастик». При этом
выражение для £(ег) в формуле (24.5) можно записать в виде
E(BP) = E + U(nd\ (24.9)
в результате чего формула (24.5) превращается в уравнение для
самосогласованного определения среднего числа d-электронов:
<«d>. При переходе от (24.5) к (24.6) выражение (24.9) можно
тождественно переписать следующим образом:
Е (eF) = Е + Und, где U = ZU.
255

При этом формула (24.6) также превращается в уравнение для
нахождения функции распределения квазичастиц nd. Итак, если
под энергией квазичастицы понимать величину £(eF), то
соотношения (24.5) и (24.6) оказываются эквивалентными. При
переходе к квазичастичному представлению в этом случае
перенормируется только величина кулоновского интеграла U: £/-*0=*=
= ZU. Если же под энергией квазичастицы понимается
величина Ed = E-\- Undy то, как следует из формулы (24.8),
перенормировке подвергаются \*же две величины: U —>U = ZU, Г—>Г=
= ZY.
Поскольку в рамках ферми-жидкостного подхода все эти
величины являются феноменологическими параметрами теории,
то все соотношения (24.6) — (24.8) оказываются эквивалентными.
Таким образом, при рассмотрении задачи об одиночной
магнитной примеси в немагнитной металлической матрице возможны
разные способы определения энергии квазичастиц. При этом
второй способ, основанный на использовании соотношения (24.8),.
возможно, ближе соответствует идеям определения квазичастиц
в нормалькых ферми-систсмах, когда их энергии задаются
полюсами одиочастичных гриновских функций. Отметим, что
приведенные разные способы введения квазичастиц совпадают при
Г^О, т. е. в исходном ферми-жидкостном подходе.
Выражения (24.5) — (24.8) позволяют сравнить между собой
условия появления локализованного магнитного момента в
приближении Хартри — Фока и при учете корреляционного
взаимодействия электронов. Для этого запишем в явном виде
уравнения для самосогласованного определения средних чисел d-элск-
тронов с данным значением проекции спина о, который до сих
пор явно нс выписывался. Отметим, что интегрирование по со
в (24.4) по существу идет только в пределах контура лоренцева
типа. Поэтому фактически при переходе от (24.4) к (24.5) Z
выносится из-под знака интеграла средним значением, лежащим
вблизи значения оз, соответствующего максимуму контура. В
результате при определении квазичастиц на основе равенства
(24.6) область магнитных решений можно находить из
уравнения *
(n^^arcctg^-^. (24.10)
r,e Za-=l-^£°(co)|
a Ed — корень уравнения
Е*а = Ё* (со) | „о-
Условие появления локализованного магнитного момента в
хартри-фоковском приближении оказывается завышенным в
25S

пользу магнитного упорядочения. Более точный учет
межчастичного взаимодействия делает эго условие более жестким.
Покажем это. Будем для простоты учитывать только кулоновское
отталкивание электронов примеси с разными значениями
проекции спина. При этом выражение (24.9) приобретает вид
Еа (eF) = Е + U (rQ% (24.11)
а система уравнений (24.10) записывается следующим образом:
Здесь, имея в виду качественную оценку, положены
одинаковыми перенормировочные множители Za и Z^ и ширины ^-уровней
ро и \~о Эти уравнения удобно решать графически. Вводя
величины х = (е:г — E)/U, y = U/Tf перепишем их так:
Z
<*£ *) = arcctg {у [(n j ♦) - х] ).
(24.12)
Согласованные решения уравнений (24.12) определяются
точками пересечения графиков (п5)((п^а))- ^а Ркс- 24.1
приведены графики этих функций для
значений параметров х = ОД у = 0 при <л*>
2 — 1 (приближение Хартри—Фока)
и Z = 0,6. Для сплошных кривых
таких точек пересечения оказывается
три, две из которых отвечают
магнитным состояниям, отличающимся только
направлением магнитного момента.
Третья точка пересечения
соответствует неустойчивому состоянию без
магнитного момента. Для пунктирных
кривых существует единственная точка
пересечения, отвечающая
немагнитному решению. Из рисунка видно, что магнитное решение,
реализующееся при 2=1, становится невозможным при тех же
значениях а* и у, но 2 = 0,6.
Для получения критерия существования магнитных решений
заметим, что при наличии таких решений в центральной точке
пересечения кривых необходимо выполнение неравенства
ч(4)
<л*>
*<«2>
<-i,
(24.13)
На границе областей магнитных и немагнитных решений
должно выпо1няться \хловие
17 -V С. Кондратьев, А. Е. Кучма
257

Вместе с уравнением (24.12) оно даст для точек границы
y№-x)=Qtg2p-. (24.14)
Из неравенства (24.13) с учетом (24.12) следует, что магнитное
решение возможно при условии
IlL
-I
[1 + иЧкп)-х)Т1>1,
причем знак равенства соответствует точкам границы. Отсюда
следует критерий возникновения магнитных решений,
определяемый шириной локализованного ^-уровня:
y>n(Zsin2-^y"\ (24.15)
На рис. 24.2 показаны области существования магнитных
решений при Z= 1 и Z — ОД которые получаются при
исследовании выражений (24.12) и (24.15). Видно, что учет корреляцион-
х I ного взаимодействия электронов
существенно сужает область, в которой
оказывается возможным магнитное
состояние примеси.
При определении квазичастиц на
основе соотношения (24.8)
исследование проводится аналогичным образом,
причем вместо (24.14) получается
уравнение
'Л
L
0,5
Z/2
ШтМ<
ш^
s^vks;
i
w"
i
1
J
О
1ft
ту
#(« —-jf)=ctg(rm).
Рис. 24.2.
Рассмотрим теперь вопрос о
спиновой поляризации электронов в зоне
проводимости металлической матрицы при наличии
локализованного магнитного момента. Исследование второй пары
уравнений (23.9) показывает, что для гриновской функции
электронов проводимости в отсутствие суммы по п справедливо
выражение
(
|Vkrf(©) f
-1
j © - £d (©) - £ | Vkid (©))- [© - £kl (©)] f
(24.16)
Спектральная функция k-состояний, получаемая с помощью
формулы (24.16), с учетом выражения (24.3) может быть
представлена в следующем виде:
аиН = |УкЛсо)|2[со-£кН]-2аЛсо). (24.17)
Прос\*ммнровав выражение для а^((л) по всем к, получаем
плотность состояний электронов проводимости а5. Особенно простой
258

гид она получает в случаи, когда затухание <т/-состояний мало,
а £к(со) и потенциал s—-^-гибридизации слабо зависят от со:
а* (о) = ■ ; ad (со).
При малом ргзмытии tf-уровнсй отсюда следует такое выражение
для спиновой поляризации электронов проводимости:
А/7
<«i> ~ <л?> = ~
Zy dE
А
s \ s/ \ s/ я d&
,к
со=£^
Е • Up) - eF
arcctg—^ L +
+
v
гг day
£v(eF)
arccte
ь г
Таким образом, микроскопический подход к построению фер-
чи-жидкостиой теории электронных свойств магнитной примеси
в немагнитной металлической матрице приводит к выводу о
существовании спиновой поляризации зоны проводимости в
условиях существовании локализованного магнитного момента,
связанного с примесью. Такая поляризация отсутствует при учете
межэлекгрошкк о взаимодействия в приближении Хартри —
Фока.
При конечных температурах выражение для среднего числа
<i-электронов (пР\ в соответствии с формулой (16.37)
записывается в виде
ос
— со
а функция, определяющая число квазичастиц tf-типа, может быгь
представлена следующим образом:
ud
ос
С da Г / о — ц . . V
) Vu-isy+i4gxp~+1)
где Ed— корень уравнения (24.7).
Исследование, выполненное на основе приведенных
соотношений, показывает, что учет межзониой гибридизации в рамках
фермн-жидкостного подхода не меняет характера температурной
зависимости намагниченности, определяемой теорией Стонера
илк традиционной формой теории ферми-жидкости. Однако в
отличие от этой теории, где электронные состояния вблизи уровня
Ферми считаются стабильными, в рассматриваемом случае в
теории в явном виде фигурирует затухание электронных
квазичастичных состояний, определяемое эффектами межзонной
гибридизации. Гасчсты показывают, что величина магнитного момента
при учете корреляционного взаимодействия убывает с ростом
температуры быстрее, чем в хартри-фоковском приближении.
17*
259

Локализованные состояния электронов в переходных
металлах. Обсудим кратко вопрос об описании электронных состояний
в переходных металлах на основе изложенного подхода. При
описании магнитных свойств реальных переходных металлов
оказывается необходимым учитывать конкретные особенности их
энергетической зонной структуры, в частности обусловленные
пятикратным вырождением атомных d-уровней и расщеплением*
вырожденной d-зоны кристаллическим полем. Относительно
величины расщепления вырожденной зоны в З^-металлах в на-
стоящее время отсутствуют надежные экспериментальные
данные, а весьма произвольные теоретические оценки дают
значение порядка I эВ. Поэтому в простейшем варианте ферми-жид-
костпого подхода можно вообще пренебречь таким
расщеплением и считать d-состояния в кристалле вырожденными.
Прежде всего обратимся к рассмотренной задаче о
магнитном атоме примеси в немагнитной матрице. В этом случае,
обозначив краткость вырождения локализованного уровня через т
и считая, что кулоновские (U) и обменные (/) интегралы
одинаковы для всех вырожденных состояний, приходим к следующему-
выражению для энергии каждого вырожденного
локализованного состояния:
£3 = £+адЧ(£/-Л^Й (24.18>
lit
где Nd — полное число локализованных электронов с
определенным значением проекции спина. Покажем, что при /и-крат-
ном вырождении локализованных состояний по-прежнему можно
пользоваться уравнениями такого же вида, как и (24.12).
Подставляя определяемое соотношением (24.18) значение £3 &■
формулу (24.6) и вводя обозначения х = (eF — E)/U, y==U/T>
/==/д\ получаем следующие уравнения для
самосогласованного определения средних чисел заполнения п& и я&
одинаковых для каждого вырожденного состояния:
пик v = arcctg (yNAd * + [y~~ i] ~~ Л# * - ху) . (24.19>
Если в пренебрежении вырождением локализованных уровней
магнитный момент есть
М = р (па ~ па) = -£- [ctg Ы) - ctg М)], (24.20>
то при учете вырождения, как следует из (24.19):
AI = Р (Лгё - Л'З) = u + ff_iu [ctgЫ) - ctg (лпАа)\. (24.21)
Видно, что выражение (24.21) совпадает с выражением (24.20),
если в последнем изменить смысл параметра U. Поскольку этот
параметр является феноменологическим, то при расчетах дли
260

энергии d-электронов можно использовать соотношение (24.11),
а получаемые при этом значения nd умножать на т—кратность
вырождения.
К изменению смысла феноменологических параметров теории
приводит и учет расщепления d-уровней в поле кристаллической
решетки. Так, в кристаллическом поле кубической симметрии
пятикратно вырожденные З^-состояиия расщепляются на
двукратно вырожденные de-состояния и трехкратно вырожденные
^-состояния. Несколько более громоздкими выкладками, чем
приведенные, нетрудно показать, что в этом случае можно
независимо рассматривать уравнения для состояний каждого типа,
считая их невырожденными. При этом величина магнитного
момента, приходящегося на один атом, есть
-И = р [2(4 - 4) + 3 (4 - nj)].
Средние числа заполнения de- и ^-состояний: nl и п® — входят
также в выражение для полного числа (Лтс-) З^-электронов в
атоме, которое записывается в виде
iVd = 2(4 + 4) + 3v4 + 4).
Попытки более точно описать энергетический спектр системы
лриводят к увеличению числа феноменологических параметров,
которые приходится вводить в теорию. Так, при учете
расщепления ^-уровней кристаллическим нолем появляется
дополнительный параметр, описывающий величину этого расщепления.
Однако введение этого параметра не меняет кардинальным
образом уравнений теории и может оказаться оправданным при
описании тонких экспериментов. С другой стороны, величины,
описывающие энергетический спектр системы и входящие в
настоящее время в теорию как феноменологические подгоночные
параметры, могут быть в дальнейшем, с развитием
экспериментальной техники, определены независимым образом,
непосредственно из эксперимента. Таким образом, уточнение
экспериментальных данных об энергетических параметрах позволит
получить более детальную информацию о магнитном состоянии
вещества и избежать неоднозначности при выборе значений
феноменологических параметров, связанной с их большим числом.
Рассмотрим теперь влияние вырождения d-состояний при
учете перескоков локализованных d-электронов между узлами
кристаллической решетки. Такой учет предполагает вычисление
ап в том или ином приближении. Для пятикратно вырожденных
З^-состояннй выражение для ап будет содержать не только
суммирование по узлам, но также и по различным вырожденным
состояниям на каждом узле. Однако последнее суммирование
может быть выполнено явно. При этом изменяются вечичины
эффективных интегралов перескока,, но вид ап остается таким
.же, как и в невырожденном случае.
261

Спектральная функция d-состояний, которая может быть
найдена после вычисления о\., уже не будет иметь вида простого
лоренцсва контура, как без учета d—^-взаимодействия. Тем ис
менее ее можно представить как суперпозицию нескольких ло-
ренцевых контуров со смещенными центрами. Для каждого из
них согласно (24.21) учет вырождения приводит к
переопределению некоторых феноменологических параметров и умножению
на кратность вырождения при вычислении полного магнитного
момента, приходящегося на атом.
Аналогичные результаты получаются и при разложении
функций Грина в ряды Фурье по решетке. И в этом случае
оказывается возможным решать самосогласованную систему
уравнений для чисел заполнения электронных квазичастичных
состояний с определенным значением проекции спина, считая
^-уровни невырожденными, а при нахождении полного
магнитного момента и числа rf-электронов — умножать результат на
кратность вырождения уровней.
Изложенный вариант ферми-жидкостного подхода позбочяст
исследовать вопрос о магнитных свойствах металлов группы
железа, где кристаллическое поле «замораживает» орбитальный
магнитный момент, так что в нервом приближении магнитные
свойства такой системы обусловлены исключительно спином.
Следует отметить, что получающиеся иа основе изложенного
подхода системы уравнений для самосогласованного
определении локализованных магнитных моментов, связанных с d-элск-
тронамн, н для поляризации зоны проводимости оказываются
весьма громоздкими и требуют выполнения численных расчетов
с помощью ЭВМ. При этом удается описать весьма тонкие
особенности магнитных свойств переходных металлов и их
разбавленных сплавов.
Задания
1. Исследовать область существования магнитных решении при
определении квазичастиц иа основе равенства (24.8).
2. Получить формулу (24.17) для спектральной функции к-состояши.
3. Получить соотношение (24.18) для энергии вырожденного по
магнитному квантовому числу локализованного состояния {/-электрона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На физическом факультете Ленинградского университета
данный спецкурс сопровождается спецсеминаром, на котором
подробно рассматриваются свойства различных физических систем
на основе теории квантовых жидкостей. Программа этого
спецсеминара не является строго установленной. Каждый год в
научной литературе появчяется несколько десятков статей,
посвященных развитию теории квантовых жидкостей млн ее
применению к исследованию физических свойств новых систем. Поэтому
и содержание спецсеминара меняется от года к году. Примерный
круг разбираемых вопросов в соответствии с тенденциями
развития теории можно обозначить следующим образом:
микроскопические расчеты параметров ферми-жидкостного
взаимодействия для простых и магнитоупорядоченных металлов;
подробное рассмотрение электронных свойств металлов в
квантующем магнитном поле и тонких металлических пленок в
условиях квантового размерного эффекта;
расчеты магнитных свойств металлов группы железа и их
разбавленных сплавов на основе ферми-жидкостного
приближения;
рассмотрение гидродинамики сверхтекучей жидкости;
рассмотрение вопросов теории сверхпроводимости в рамках
подхода, основанного на использовании теории квантовых
жидкостей;
теория квантовых жидкостей в задачах астрофизики.
На этом же спецсеминаре подробно разбираются одна-две
дипломные работы, посвященные теории квантовых жидкостей,
которые ежегодно выполняются на кафедре статистической
физики.
263

УКАЗАТЕЛЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрикосов А. Л. Основы теории металлов. М., 1987.
2. Абрикосов А. А., Горько в Л. П., Дзялошииский И. Е.
Методы квантовой теории поля в статистической физике. М., 1962.
3. Кадаыов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. М.. 1964.
■4. Кондратьев Л. С, Куч м а А. Е. Э1ектронная жидкость нормальных
металлов. Л., 1980.
5. Кондратьев А. С., Уз дни В. М. Электронная жидкость магнию-
упорядоченных металлов. Л., 1988.
6. Л а н д а у Л. Д. Собрание трудов. Т. 1,2. М, 1969.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц И. М. Теоретическая физика. Т. 6. М., 19S6;
Т. 9. М.. 1978; Т. 10. М., 1979.
8. Мигдал А. Б. Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер.
M.t 1983.
9. Пайис Д., Нозьер Ф. Теория квантовых жидкостей. М., 1967.
10. Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. AL, 1978.
П. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме
твердого тела. М, 1975.
12. Растворы квантовых жидкостей Не3 — Не4/Есельсон Б. И.,
Григорьев В. Н., Иваииов В. Г., Рудавский Э. Я-, Саиикидзе Д. Г., Сербии И. А.
М. 1973.
13. С и л и и В. П. К теории вырожденной электронной жидкости//Журн.
экспер. и теор. физ. 1957. Т. 33. Вып. 3.
14. Силин В. П. Электромагнитные волны в металлах и теория электрон-
нон жидкости//Физ. металлов и металловед. 1970. Т. 29. Вып. 4.
15. Тилли Д. Р., Тилли Дж. Сверхтекучесть и сверхпроводимость. М.,
1977.
16. Халатников И. М. Теория сверхтекучести. М., 1971.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . ..... . . . 3
Лекция /. Квантовые системы многих частиц. Понятие о квантовой
жидкости . 5
Лекция 2. Основные положения теории нейтральной ферми-жндкости 14
Лекция 3. Равновесные свойства нейтральной ферми-жидкости .... 24
Лекция 4. Кинетическое уравнение для квазичастиц нейтральной ферми-
жидкости . 33
Лекция 5. Колебания нейтральной фермн-жндкостн. Нулевой звук . . 43
Лекция 6. Спиновые возбуждения в нейтральной ферми-жидкостн . . 56
Лекция 7. Основные положения теории вырожденной электронной
жидкости нормальных металлов 66
Лекция 8. Циклотронные волны в вырожденной электронной жидкости 79
Лекция 9. Спиновые волны в парамагнитных металлах 93
Лекция 10, Ферми-жидкостный подход к проблеме магнетизма металлов 102
Лекция 11. Основные положения теории квантовой бозе-жидкостн . . .113
Лекция 12. Гидродинамика сверхтекучей бозе-жидкости ... . 124
Лекция 13. Распространение звука в сверхтекучей жидкости . . . 133
Лекция 14, Растворы квантовых ферми-бозе-жидкостей 143
Лекция 15. Квантовые функции Грина в задаче многих тел 155
Лекция 16. Спектральная функция. Определение квазичастиц в квантовой
жидкости . 167
Лекция 17. Метод функций Грина для неравновесных систем .... 180
Лекция 18. Кинетические уравнения в теории нормальной ферми-жидкости 194
Лекция 19. Квантовая жидкость во внешнем магнитном поле 204
Лекция 20. Релятивистские эффекты во взаимодействии квазичастиц . - 217
Лекция 21. Квазичастнцы в электронной жидкости сложных
металлических систем 224
Лекция 22, Электронная жидкость в размерно-квантованных пленках . . 234
Лекция 23. Электронная жидкость в переходных ^-металлах ..... 244
Лекция 24. Магнитные свойства металлов группы железа и их сплавов 253
Заключение . ... ... 263
Указатель рекомендуемой литературы . . 264