Похожие
Текст
Популярные .ioku,uu
ПО МАТЕМАТИКЕ
* о »¦
А. Г. КУРОШ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ
СТЕПЕНЕЙ
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 7
А. Г. КУРОШ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ
СТЕПЕНЕЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19/5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книжка написана на основе лекции, прочитанной
автором в Московском государственном университете
им. М. В. Ломоносова для участников математической
олимпиады — школьников девятого и десятого классов.
В ней, рассчитывая на уровень знаний ученика девятого
класса средней школы, мы даем обзор результатов и
методов общей теории алгебраических уравнений. До-
Доказательства при этом совсем не приводятся, так как
иначе пришлось бы переписывать почти половину уни-
университетского учебника высшей алгебры. Даже при этом
условии чтение книжки не превращается, понятно, в
легкое развлечение: всякая математическая книга, даже
популярная, требует от читателя сосредоточенного вни-
внимания, обдумывания всех определений и формулировок,
проверки вычислений во всех примерах, применения из-
излагаемых методов к другим примерам, придуманным са-
самим читателем, и т. д.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Школьный курс алгебры содержит разнообразный
материал, однако его центральным пунктом является
вопрос об уравнениях. Ограничиваясь уравнениями с од-
одним неизвестным, напомним то очень немногое, что о
них рассказывается в средней школе.
Всякий школьник умеет, прежде всего, решать урав-
уравнения первой степени: если дано уравнение
ах + b = О,
где а ф 0, то его единственным корнем будет число
*~f
Школьник знает, далее, формулу для решения квад-
квадратного уравнения
ах? + Ьх + с = 0,
где а ф 0. Именно,
2а
Если коэффициенты уравнения — действительные числа,
то эта формула дает два различных действительных
корня в том случае, когда под знаком радикала стоит
положительное число, т. е. Ь2— 4ас >> 0. Если же
Ъ2— 4ас = 0, то наше уравнение имеет лишь один ко-
корень; его называют в этом случае кратным корнем; при
Ъ2 — 4ас < 0 уравнение вообще не имеет действ1 итель-
ных корней.
Наконец, школьник умеет решать некоторые типы
уравнений третьей и четвертой степеней, а
именно те, решение которых легко сводится к решению
квадратных уравнений. Таково, например, уравнение
третьей степени:
а*3 + Ьх2 + сх = 0,
которое имеет один корень х = 0, а затем после сокра-
щения на х превращается в квадратное уравнение:
ах2 + Ьх + с == 0.
К квадратному уравнению сводится также и уравне-
уравнение четвертой степени:
называемое биквадратным; достаточно положить в этом
уравнении у2 = х, найти корни полученного квадратного
уравнения и затем извлечь из них квадратные корни.
Мы еще раз подчеркнем, что это всего лишь неко-
некоторые весьма частные типы уравнений третье» и чет-
четвертой степеней. Никаких методов для решения произ-
произвольных уравнений этих степеней и тем более для
решения произвольных уравнений более высоких степе-
степеней в школьной алгебре не дается. В различных воп,-
росах техники, механики и физики часто приходится,.
однако, иметь дело с алгебраическими уравнениями до-
довольно высокой степени. Теория алгебраических
уравнений произвольной л-й степени, где п — некоторое
целое положительное ч"исло, разрабатывалась на протя-
протяжении нескольких столетий и составляет сейчас одну из
основных частей курса высшей алгебры, изучае-
изучаемого в университетах и педагогических институтах.
§ 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Теория алгебраических уравнений существенным об-
образом опирается на теорию комплексных чисел, основы
которой изучаются в старшем классе средней школы.
Часто, однако, у школьника остаются сомнения в за-
законности этих чисел, в их реальном существовании. Та-
Такие сомнения возникали и у ученых, когда несколько
столетий тому назад комплексные числа начинали вхо-
входить в математический обиход; это отразилось и в со-
сохранившемся от тех времен названии «мнимые числа».
Для современной науки, однако, ничего таинственного
в комплексных числлх нет, и они являются столь же
мало «мнимыми», как и числа отрицательные или числа
иррациональные.
¦ Потребность в комплексных числах возникла в связи
с тем, что из отрицательного действительного числа
нельзя извлечь квадратный корень, оставаясь в области
действительных чисел. Это, как мы знаем, приводит
6
к тому, что некоторые квадратные уравнения не имеют
действительных корней; уравнение
будет простейшим из таких уравнений. Нельзя ли рас-
расширить запас чисел так, чтобы и эти уравнения обла-
обладали корнями?
Школьнику несколько раз приходилось встречаться
с расширением того запаса чисел, которым он распо-
располагает. Он начинал с изучения в элементарной ариф-
арифметике целых положительных чисел. Очень
скоро появились и д р о б и. В курсе алгебры были
добавлены отрицательные числа, т. е. была получена
система всех рациональных чисел. Наконец,
присоединение иррациональных чисел привело к си-
системе всех действительных (или веществен-
н ы х) чисел. -
Каждое из этих последовательных расширений за-
запаса чисел позволяло находить корни для некоторых из
тех уравнений, которые раньше, до рассматриваемого
расширения, корней не имели. Так, уравнение
2х - 1 = О
стало обладать корнем лишь после введения дробей,
уравнение
— после введения отрицательных чисел, а уравнение
*2 _ 2 = О
— лишь после присоединения иррациональных чисел.
Все это вполне оправдывает еще один шаг на пути
обогащения запаса чисел, и мы в общих чертах наме-
наметим сейчас, как этот последний шаг осуществляется.
0 1 А
I с I ¦*-
Рис. 1,
Как известно, если дана прямая линия и на ней за-
задано положительное направление, отмечена точка О и
выбрана единица масштаба (рис. 1), то всякой точке А
этой прямой можно поставить в соответствие ее к о о р-
д и на ту, т. е. действительное число, выражающее в
выбранных единицах масштаба расстояние от А до О,
если А лежит справа.от точки О, или расстояние, взя-
взятое со знаком минус, если А лежит слева оТ О. Всем
точкам прямой таким путем ставятся в соответствие
различные действительные числа, причем можно дока-
доказать, что всякое действительное число будет при этом
использованс. Можно считать, следовательно, что точки
нашей прямой являются изображениями соответствую-
соответствующих им действительных чисел, т. е. что эти числа как
бы уложены на прямую линию. Назовем нашу прямую
числовой прямой.
Нельзя ли расширить запас чисел так, чтобы новые
числа столь же естественным способом изображались
точками плоскости? Такой системы чисел, более широ-
широкой чем система действительных чисел, у нас пока нет,
её еще нужно построить.
Построение следует начать с указания того, из ка-
какого «материала» будет «строиться» новая система чи-
чисел, т. е. какие объекты будут играть роль новых чисел,
а затем нужно определить, как над этими объектами,
т. е. над этими будущими числами, должны произво-
производиться алгебраические операции — сложение и умноже-
умножение, вычитание и деление. Так как мы хотим построить
такие числа, которые изображались бы всеми точками
плоскости, то проще всего сами точки плоскости рас-
рассматривать в качестве новых чисел. Для того чтобы эти
точки действительно могли считаться числами, следует
лишь определить, как производить над ними алгебраи-
алгебраические операции, т. е. какая точка должна называться
суммой двух данных точек плоскости, какая должна
называться их произведением и т. д.
Подобно тому как положение точки на прямой
вполне определяется одним действительным числом —
его координатой, положение всякой точки на плоскости
может быть определено парой действительных чисел.
Для этого возьмем на плоскости две взаимно перпен-
перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О, и на
каждой из них зададим положительное направление и
отметим единицу масштаба (рис. 2). Назовем эти пря-
прямые осями координат, в частности, горизонтальную пря-
прямую— осью абсцисс, вертикальную — осью ординат. Вся
плоскость разбивается осями координат на четыре чет-
четверти, которые нумеруются так, как указано на чертеже.
Положение любой точки А из первой четверти (см.
рис. 2) вполне определяется заданием двух положи-
положительных действительных чисел —числа а, выражающего
в выбранных единицах масштаба расстояние этой 'точ-
ки до оси ординат (абсцисса точки А), и числа Ь,
выражающего в выбранных единицах масштаба ее рас-
расстояние до оси абсцисс (ордината точки Л). Об-
Обратно, для любой пары (а, Ь) положительных действи-
действительных чисел можно указать в первой четверти вполне
определенную точку,
I
имеющую а своей аб-
абсциссой и b — своей л
ординатой. Аналогич-
Аналогично задаются точки ив
других четвертях. Од- '
нако, для того чтобы —
обеспечить взаимную
однозначность соответ-
соответствия между всеми ///
точками плоскости и
парами их коорди-
координат (а, Ь), т. е. избе- Рис 2.
жать того, чтобы не-
нескольким различным точкам плоскости соответствовала
одна и та же пара координат (а, Ь), мы считаем отрица-
отрицательными абсциссы точек, лежащих в четвертях // и ///,
и ординаты точек, лежащих в четвертях /// и IV. Заме-
Заметим, что точки, лежащие на оси абсцисс, задаются коор-
координатами вида (я, 0), а точки, лежащие па оси орди-
ординат, — координатами вида @,6), где а и b — некоторые
действительные числа.
Мы научились задавать парами действительных чи-
чисел все точки на плоскости. Это позволяет нам гово-
говорить в дальнейшем не о точке А, задаваемой коорди-
координатами (а, Ь),"Ъ просто о точке (а, Ь).
Определим теперь сложение и умножение точек пло-
плоскости. Эти определения покажутся в первый момент
очень искусственными, но можно было бы доказать,
что лишь при таких определениях достигается наша
цель, а именно появляется возможность извлекать квад-
квадратные корпи из отрицательных действительных чисел.
Пусть на плоскости даны точки (а, Ь) и (с, d). До
сих пор мы не знали, что следует понимать под суммой
и произведением этих точек. Назовем теперь их суммой
точку с абсциссой а-\-с к ординатой b-\-d, т. е.
(а, Ь) + (с, rf) = (а + с, b + d).
Назовем, с другой стороны, произведением заданных
точек точку с абсциссой ас — bd и ординатой ad'-fbc,
т. е.
(a, b){c, d) = {ac — bd, ad + bc).
Легко проверить, что определенные нами операции
над точками плоскости обладают всеми обычными свой-
свойствами операций над числами: сложение и умножение
точек плоскости коммутативны, или перестановочны
(т. е. можно переставлять слагаемые и сомножители),
ассоциативны, или сочетательны (т. е. сумма и произ-
произведение трех точек не зависят от расстановки скобок)
и связаны законом дистрибутивности, или распредели-
распределительности (т. е. правилом раскрытия скобок). Заметим,
что ассоциативность сложения и умножения точек по-
позволяет однозначным образом ввести сумму и произве-
произведение любого конечного числа точек плоскости.
Для точек плоскости выполнимы теперь и операции
вычитания и деления, обратные соответственно сложе-
сложению и умножению, обратные в том смысле, что в любой
системе чисел разность двух чисел может быть опре-
определена как число, сумма которого с вычитаемым равна
уменьшаемому, а частное двух чисел — как вдело, произ-
произведение которого на делитель равно делимому. Именно:
(a,b)-(c,d)=.(a-c,b-d),
(а, Ъ) I ас + bd be — ad
(с, d) \ с2 + d* ' с2 + d
Читатель без труда проверит, что произведение точки,
стоящей в правой части последнего равенства, на точку
(с, d), — произведение понимается, конечно, в смысле
того определения, которое было дано выше,— в самом
деле равно точке (а, Ь). Еще проще убедиться в том,
что сумма точки, стоящей в правой части первого ра-
равенства, и точки (с, d) действительно равна точке (а, 6).
Применяя наши определения к точкам, лежащим на
оси абсцисс, т. е. к точкам вида (я,0), мы получаем;
(а, 0) + F, 0) ==(а + &,0),
(а, 0)(&, O) = (abyQ),
т. е. сложение и умножение этих точек сводятся к сло-
сложению и умножению их абсцисс. Это же верно и для
вычитания и деления:
(а, 0) - (Ь, 0) = (а - Ь, 0), •
(а, 0) __ I а Л
(&, о; — U' Г
10
Если мы будем считать, что всякая точка (а, 0)' оси
абсцисс служит изображением действительного числа
а — своей абсциссы, т. е. отождествим точку (а, 0) с са-
самим числом а, то ось абсцисс просто превратится в
числовую прямую. Мы можем теперь считать, что по-
построенная нами из точек плоскости новая числовая си-
система содержит, в частности, все действительные чис-
числа, а именно в качестве точек оси абсцисс.
Точки оси ординат уже не могут быть отождествле-
отождествлены с действительными числами. Рассмотрим, например,
точку @, 1), лежащую на оси ординат на расстоянии 1
вверх от точки О. Обозначим эту точку буквой i:
i = @, 1),
и найдем ее квадрат в смысле умножения точек пло-
плоскости:
/2 = @, 1>@, 1) = @-O-bl, 0.1 + I-0) —(-1, 0).
Точка (—1, 0) лежит, однако, не на оси ординат, а на
оси абсцисс и поэтому изображает действительное чи-
число — 1, т. е.
/2 = -1.
Мы нашли, следовательно', в нашей новой числовой
системе такое число, квадрат которого равен действи-
действительному числу —1, т. е. теперь уже можно извлекать
из —1 квадратный корень. Другим значением этого
корня будет точка —i = @, —1). Заметим, что точка
@, 1), обозначенная нами через i, является вполне оп-
определенной точкой плоскости, и то, что ее называют
обычно «мнимой единицей», никак не мешает'ее реаль-
реальному существованию на плоскости.
Построенная нами числовая система, более широкая
чем система действительных чисел, называется системой
комплексных чисел, а сами точки плоскости с опреде-
определенными выше операциями над ними — комплексными
числами. Легко показать, используя эти операции, что
всякое комплексное число может быть выражено через
действительные числа и число L Пусть, в самом деле,
дана точка (а, Ь). Ввиду определения сложения спра-
справедливо равенство
(а, 6) = (а, 0) + @, 6).
Слагаемое (а, 0)лежит на оси абсцисс и поэтому яв-
является действительным числом а. Второе же слагаемое
может быть записано по определению умножения в
11
виде
(О, Ь) = (&, О)(О, 1).
Первый множитель правой части этого равенства со-
совпадает с действительным числом Ь, а второй равен L
Таким образом,
(а, Ь) = а + Ы,
где сложение и умножение нужно понимать в смысле
операций над точками плоскости.
Получив эту обычную запись комплексных чисел,
мы сейчас же можем соответственно переписать при-
приведенные выше формулы для операций над комплекс-
комплексными числами:
(а + Ы) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i,
(а + Ы) (с + di) = (ас - bd) + (ad + be) i,
(а+Ы)-(с + di) = (a -c) + (b-d)i,
a-\-bi ac + bd . be — ad .
c + di c* + d2 +rc2 + rf2 U
Заметим, что данное нами ранее определение умно-
умножения точек плоскости находится в полном согласии
с законом дистрибутивности: если в левой части вто-
второго из написанных выше равенств мы найдем произ-
произведение по правилу умножения двучлена на двучлен,
вытекающему из закона дистрибутивности, а затем вос-
воспользуемся равенством i2 = —1 и приведем подобные
члены, то как раз и получим правую часть этого ра-
равенства.
§ 3. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Располагая комплексными числами, мы можем из-
извлекать квадратный корень не только из числа —1, но
и из любого отрицательного действительного числа,
причем будем получать два различных значения. Имен-
Именно, если —а есть отрицательное действительное число,
т. е. а > 0, то _
Y-a=±Yai,
где V а —положительное значение квадратного корня
из положительного числа а.
Возвращаясь к решению рассматривавшегося во вве-
введении квадратного уравнения с действительными коэф-
коэффициентами, мы можем теперь сказать, что и в случае
Ь2 — Аас < 0 это уравнение имеет два различных кор-
корня, но уже комплексных.
12
Комплексных чисел достаточно и для того, чтобы
извлекать квадратные корни из любых комплексных
чисел, а не только из действительных. Именно, если
дано комплексное число a -f bi, то
где оба раза берется положительное значение радикала
Va?+b2. Читатель видит, конечно, что при любых а
и b и первое слагаемое правой части, и коэффициент
при i будут действительными числами. Каждый из этих
двух радикалов имеет два значения, которые комбини-
комбинируются друг с другом по следующему правилу: если
Ъ > 0, то положительное значение одного радикала
складывается с положительным значением другого, а
отрицательное — с отрицательным; если же b < 0, то
положительное значение одного радикала складывается
с отрицательным значением другого.
Пример. Извлечь квадратный корень из числа
21 — 20t. Здесь
Va2 + b2 = 1/441+400 = 29,
\ (а + V^Tb2) = ]/у B1 + 29) = ± 5,
Так как b = —20, т. е. b ¦< 0, то комбинируются значе*
ния последних радикалов с разными знаками, т. е.
— 20/ = ± E - 2г).
Научившись извлекать квадратные корни из комп-
комплексных чисел, мы получили возможность решать квад-
квадратные уравнения с любыми комплексными коэффи-
коэффициентами. Действительно, вывод формулы для решения
квадратного уравнения сохраняет силу и в случае ком-
комплексных коэффициентов, а вычисление входящего в
эту формулу квадратного корня мы можем, как пока-
показано выше, свести к извлечению квадратных корней из
двух положительных действительных чисел. Квадратное
уравнение с любыми комплексными коэффициентами
обладает, следовательно, двумя корнями, которые могут
случайно совпасть, т. е. дать один кратный корень.
Пример. Решить уравнение
13
Применяя формулу, получим
' _ D - 0 ± У D - /)' - 4 E - Ы) _ D - I) ±У- 5+121
Х~ 2 2
Извлекая изложенным выше методом входящий сюда
квадратный корень, мы найдем, что
откуда
D -I) ±B + 30
* 2
Корнями нашего уравнения будут, следовательно, числа
Х[ = 3 + /, х2 = 1 — 2г.
Легкая проверка показывает, что каждое из этих чи-
чисел действительно удовлетворяет уравнению.
Переходим к вопросу об извлечении корней любой
целой положительной степени п из комплексных чисел.
Можно доказать, что для любого комплексного числа а
существует ровно п таких различных комплексных чи-
чисел, что каждое из них, будучи возведено в я-ю сте-
степень (т. е. если будет взято произведение п множите-
множителей, равных этому числу), дает число а. Иными ело-
вами, справедлива следующая очень важная теорема:
Корень п-й степени из любого комплексного числа
имеет ровно п различных комплексных значений.
Эта теорема применима и к действительным числам,
которые являются частным случаем комплексных чи-
чисел: корень п-й степени из действительного числа а
имеет ровно п различных значений, в общем случае
комплексных; действительных среди этих значений, как
известно, будет два, одно или ни одного в зависимости
от знака числа а и четности числа п.
Так, кубичный корень из единицы имеет три зна-
значения:
_1 ¦ Уз .
2 2 •
1 ;
1' 2 "*" 2 2 2
легко проверяется, что каждое из этих трех чисел, взя-
взятое в кубе, дает единицу. Значениями корня четвертой
степени из единицы служат числа
1, -1, i и -и
Выше была приведена формула для извлечения
квадратного корня из комплексного числа a -j- Ы. Эта
формула сводит извлечение указанного корня к извле-
извлечению квадратных корней из двух положительных дей-
14
ствительных чисел. К сожалению, при п "!> 2 не суще-
существует формулы, которая выражала бы корень гс-й
степени и? комплексного числа а + Ы через действитель-
действительные значения радикалов из некоторых вспомогатель-
вспомогательных действительных чисел; доказано, что такая фор-
формула и не может быть получена. Корни п-й степени из
комплексных чисел'извлекаются обычно путем перехода
к новой записи этих чисел, так называемой тригоно-
тригонометрической, чего, однако, мы не будем здесь излагать.
§ 4. КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Мы знаем формулу для решения квадратного урав-
уравнения, причем эта формула годна даже в случае комп-
комплексных коэффициентов. Оказывается, что для уравнений
третьей степени, или, как говорят, кубичных урав-
уравнений, также может быть указана формула, правда,
более сложная, выражающая корни этих уравнений че-
через их коэффициенты при помощи радикалов; эта фор-
формула также справедлива для уравнений с любыми
комплексными коэффициентами.
Пусть дано уравнение
Преобразуем это уравнение, положив
а
где у— новое неизвестное. Подставив это выражение х
в наше уравнение, мы получим кубичное уравнение от-
относительно неизвестного у, причем более простое, так
как коэффициент при у2 окажется равным нулю. Коэф-
Коэффициентом при первой степени у и свободным членом
будут соответственно числа
а2 . . 2as ab .
P + b q+ с
т. е. уравнение сокращенно запишется в виде
Если мы найдем корни этого нового уравнения, то, вычи-:
тая из них по -^, получим корни исходного уравнения.
13
Корни нашего нового уравнения выражаются через
его коэффициенты при помощи следующей формулы: '
Каждый из входящих в нее кубичных радикалов
имеет, как мы знаем, три значения. Нельзя, однако,
комбинировать их произвольным образом. Оказывается,
что для каждого значения первого радикала можно
указать одно единственное такое значение второго ра-
радикала, что произведение их равно числу — у. Имен-
Именно эти два значения радикалов и нужно складывать для
того, чтобы получить корень уравнения. Мы получим
таким путем три корня нашего уравнения. Всякое ку-
кубичное уравнение с любыми числовыми коэффициен-
коэффициентами имеет, следовательно, три корня, в общем случае
комплексных; некоторые из этих корней могут, конечно,
совпадать, т. е. превратиться в кратный корень.
Практическое значение приведенной формулы весь-
весьма невелико. В самом деле, пусть коэффициенты рад—
действительные числа. Можно показать, что если урав-
уравнение
имеет три различных действительных корня, то выра-
выражение
jL + jL
4 ^ 27
будет отрицательным. Оно стоит в формуле под знаком
квадратного корня, а поэтому после извлечения этого
корня мы получим под знаком каждого из двух кубич-
кубичных корней комплексное число. Выше было сказано, од-
однако, что извлечение кубичного корня из комплексного
числа требует перехода к тригонометрической записи,
. а это может быть сделано лишь приближенно, по таб-
таблицам.
Пример. Уравнение
х3- 19* + 30 = 0
не содержит квадрата неизвестного, и поэтому приме-
применяем к нему указанную выше формулу, не выполняя
предварительных преобразований. Здесь р =—19,
q = 30, следовательно,
f | Ръ _ 784
4 ~г 27 ~ 27 '
16
т. е. отрицательно. Первый из кубичных радикалов, вхо-
входящих в формулу, имеет вид
784
27
Мы не можем выразить этот кубичный радикал через
радикалы из действительных чисел, а поэтому не можем
найти по формуле корни нашего уравнения. На самом'
же деле, как показывает непосредственная проверка,
этими корнями служат целые числа 2, 3 и —5.
Указанная формула для решения кубичного уравне-
уравнения практически приводит к разысканию корней урав-
о2 . в3
нения лишь в тех случаях, когда выражение -V + -^~
положительно или же равно нулю. В первом из этих
случаев уравнение имеет один действительный и два
комплексных корня, во втором — все корни действи-
действительные, но один из них кратный.
Пример. Решить кубичное уравнение
*3-9л;2+ 36*-80 = 0.
Полагая
мы получим «приведенное» уравнение
к которому можно применить формулу. Здесь
-? + ? = 196=14*.
и поэтому
Одним из значений этого кубичного радикала будет
число 3. Произведение этого значения на соответствую-
соответствующее ему значение второго кубичного радикала, входя-
входящего в формулу, должно, как мы знаем, равняться чис-
числу — -j, т. е. в нашем случае равняться числу —3.
Искомым значением второго радикала будет, следова-
следовательно, число —1, и поэтому одним из корней приве-
приведенного уравнения служит
17
Теперь, когда один из корней кубичного уравнения
получен, найти два других можно многими разными
способами. Можно, например, найти два других значе-
значения радикала У 27, вычислить соответствующие им зна-
значения второго радикала и сложить соответствующие
друг , другу значения радикалов. Можно поступить
иначе, а именно разделить левую часть приведенного
уравнения на у — 2, после чего останется решить квад-
квадратное уравнение. Любой из этих способов покажет,
что двумя другими корнями нашего приведенного урав-
уравнения служат числа
- 1 + I /12 и - 1 - / /12.
Корнями исходного кубичного уравнения будут, следо-
следовательно, числа
5, 2 + i 1/12 и 2 — 1 /12.
Понятно, что далеко не всегда радикалы берутся так
легко, как в рассмотренном нами специально подобран-
подобранном примере, — гораздо чаще их приходится вычислять
приближенно и поэтому получать лишь приближенные
значения корней уравнения.
§ 5. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
И О СУЩЕСТВОВАНИИ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
Для уравнений четвертой степени также может быть
указана формула, выражающая корни этих уравнений
через их коэффициенты. Эта формула гораздо слож-
сложнее формулы для решения кубичного уравнения, она со-
содержит еще более многоэтажные радикалы, а поэтому
ее практическая применимость оказывается гораздо
меньшей. Из этой формулы можно вывести, однако, что
всякое уравнение четвертой степени с любыми числовы-
числовыми коэффициентами имеет четыре комплексных корня,
некоторые из которых могут быть и действительными.
Формулы для решения уравнений третьей и четвер-
четвертой степеней были найдены еще в XVI в. В это же
время начались поиски формулы для решения уравне-
уравнений пятой степени и более высоких степеней. Заметим,
что общий' вид уравнения л-й степени, где п—целое
положительное число, таков:
аохп + аххп~х + а,хп-2 + ... + ап_хх, + ап = 0.
Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX в.,
18
когда был, наконец, доказан следующий замечательный
результат:
Ни для какого' п, большего или равного пяти, нельзя
указать формулу, которая выражала бы корни любого
уравнения п-й степени через его коэффициенты при по-
помощи радикалов. , •
Больше того, для любого п, большего или равного
пяти, можно указать уравнение п-и степени с целыми
коэффициентами, корни которого никак не выражаются
через радикалы, сколь угодно многоэтажные, если в
подрадикальных выражениях используются лишь це-
целые и дробные числа. Таково, например, уравнение
д5 _ 4х _ 2 _ о.
Можно доказать, что это уравнение имеет пять кор-
корней— три действительных и два комплексных, но ни
один из этих корней не может быть записан через
радикалы, т. е. это уравнение «не разрешимо в
радикалах». Таким образом, запас чисел, действи-
действительных или комплексных, которые служат корнями
уравнений с целыми коэффициентами (такие числа на-
называются алгебраическими в противоположность числам
трансцендентным, которые не являются корнями ника-
никаких уравнений с целыми коэффициентами), много шире
запаса чисел, записываемых через радикалы.
Теория алгебраических чисел является
важной ветвью алгебры; существенный вклад внесли в
нее отечественные математики: Е. И. Золоторев A847—
1878), Г. Ф. Вороной A868—1908), Н. Г. Чеботарев
A894—1947).
Доказательство невозможности разыскания общих
формул для решения в радикалах уравнений и-й сте-
степени при п^5 было найдено Абелем A802—1829).
Существование не разрешимых в радикалах уравнений
с целыми коэффициентами установил Галуа A811 —
1832); он нашел также условия, при которых уравнение
может быть решено в радикалах. Все эти результаты
потребовали создания новой глубокой теории, а именно
теории групп. Понятие группы позволило исчер-
исчерпать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах,
а позже оно нашло многочисленные другие применения,
в различных отделах математики и за ее пределами и
стало одним из важнейших объектов изучения в ал-
алгебре. Мы не будем определять сейчас этого понятия,
19
но отметим, что в разработке теории групп руководя-
руководящая роль принадлежит в настоящее время советским
алгебраистам.
Отсутствие формул для решения уравнений п-й сте-
степени при п ^ 5 не вызывает серьезных затруднений, если
говорить о практическом разыскании корней уравне-
уравнений. Оно полностью компенсируется многочисленными
методами приближенного решения уравнений, которые
даже в случае кубичных уравнений ведут к цели го-
гораздо быстрее, чем применение формулы (там, где она
вообще применима) и последующее приближенное из-
извлечение действительных радикалов. Однако существо-
существование формул для уравнений второй, третьей и четвер-
четвертой степеней позволило доказать, что эти уравнения
обладают соответственно двумя, тремя или четырьмя
корнями. Как же обстоит дело с существованием
корней для уравнений гс-й степени при любом п?
Если бы существовали уравнения с числовыми коэф-
коэффициентами, действительными или комплексными, ко-
которые не имеют ни одного действительного или комп-
комплексного корня, то возникла бы задача дальнейшего
расширения запаса чисел. В этом, однако, нет необхо-
необходимости: комплексных чисел достаточно для решения
любых уравнений с числовыми коэффициентами. Имен-
Именно, справедлива следующая теорема:
Всякое уравнение п-й степени с любыми числовыми
коэффициентами имеет п корней, комплексных или, в
частности, действительных; некоторые из этих корней
могут, конечно, совпасть, т. е. оказаться кратными.
Эта теорема называется основной теоремой высшей
алгебры. Она была доказана Даламбером A717—1783)
и Гауссом A777—1855) еще в XVIII в., хотя лишь в
XIX в. эти доказательства были доведены до полной
строгости; в настоящее время существует несколько де-
десятков ее различных доказательств.
Понятие кратности корня, упомянутое в формули-
формулировке основной теоремы, имеет следующий смысл. Мож-
Можно доказать, что если уравнение п-й степени
имеет п корней а,\, ач, ..., а„, то левая часть уравне-
уравнения обладает следующим разложением на множители:
а$.п + a,J^-J + ... + ап-хх + ап =
= ао{х — а,){х — az) ... (х — а„).
20
Обратно, если для левой части нашего уравнения дано
такое разложение, то числа щ, а2. •••, ап будут слу-
служить корнями этого уравнения. Среди чисел а\, а%, ...
...., ап некоторые могут оказаться равными друг другу.
Если, например, си = а% = ... = ан, но oti ф ai при
l = k-\- 1, k-\-2, ,.., п, т. е. в рассматриваемом разло-
разложении множитель х— а\ встречается на самом деле k
раз, то при k>\ корень сц называют кратным или, точ-
точнее, k-кратным.
§6. ЧИСЛО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ
Основная теорема высшей алгебры находит суще-
существенные применения во многих теоретических иссле-
исследованиях, ио не дает никакого метода для практического
разыскания корней уравнений. Во многих вопросах
техники встречаются, однако, уравнения, как пра-
правило, с действительными коэффициентами, о корнях ко-
которых необходимо иметь ту или иную информацию.
Знать точно эти корни обычно нет необходимости, так
как сами коэффициенты уравнения получены в резуль-
результате измерений и поэтому известны лишь с некоторым
приближением, зависящим от точности измерений.
Пусть дано уравнение, гс-й степени
с действительными коэффициентами. Оно имеет, как мы
знаем, п корней. Первые вопросы, которые естественно
возникают, таковы: имеются ли среди этих корней дей-
действительные, сколько их, где примерно они располсь
жены? Ответ на эти вопросы может быть получен сле-
следующим путем. Обозначим многочлен, стоящий в левой
части нашего уравнения, через f(x), т. е.
f(x) = a()x'i + alxn-] + ... +ап-1х+ап.
Читатель, знакомый с понятием функции, поймет,
что мы рассматриваем левую часть уравнения как
функцию переменного х. Беря для х произвольное чис-
числовое значение а и подставляя его в выражение для
f(x), мы после выполнения всех указанных операций
получим некоторое число, которое называется значе-
значением многочлена f(x) и обозначается через /(а). Так,
если
21
и а = 2, то
Построим график многочлена f(x). Для этого
возьмем на плоскости оси координат (см. выше) и, вы-
выбрав для х некоторое значение а и вычислив соответ-
соответствующее значение f(a) многочлена f(x), отметим на
плоскости точку с абсциссой а и ординатой /'(а), т. е.
точку (а, /(а)). Если бы мы могли проделать это для
всех а, то точки, отмеченные нами на плоскости, соста-
составили бы некоторую кривую линию. Точки пересечения
или касания этой кривой с осью абсцисс указывают
нам, каковы те значения а, для которых /(a) = 0, T; е.
каковы действительные корни заданного нам уравнения.
К сожалению, мы не можем найти точки (a, f(a))
для всех значений а, так как их бесконечно много, и
принуждены ограничиться конечным числом таких то-
точек. Для простоты можно взять сначала несколько иду-
идущих подряд целых значений ее, положительных и отри-
отрицательных," отметить на плоскости соответствующие им
точки, а затем соединить их по возможности плавной
кривой линией. При этом, как оказывается, достаточно
брать лишь такие значения а, которые заключаем между
—В и В, где граница В определяется следующим
образом: если \ао\ — абсолютная величина коэффициен-
коэффициента при хп (напоминаем, что |а| = о при а > 0 и \а\ =
— —а при о<0), А — наибольшая из абсолютных ве-
величин всех остальных коэффициентов aj, а2, ..., an~i,an,
то
В = 7ТТ+1-
I аз I
Часто бывает видно,' впрочем, что эти границы слиш-
слишком широки.
Пример. Построить график многочлена
Здесь \ао\ = 1, А = 5, и поэтому В = 6. На самом деле
в этом примере можно
ограничиться лишь теми
значениями а, которые за-
заключены между —1 и 5.
Составим таблицу значений
многочлена f(x) и построим
график (рис. 3).
22
a
— 1
0
1
2
3
4
5
— 7
1
— 1
— 7
— И
• — 7
11
График показывает, что все три корня аи «2 и.«з
нашего уравнения действительны и что они заключены
в таких пределах:
— 1<а, <0, 0<О2<1, 4<а3<5.
Мы замечаем, что график можно было и не строить:
его пересечения с осью абсцисс расположены между
такими соседними значениям»
ее, для которых числа /(а)
имеют разные знаки, а по-
поэтому достаточно было по-
посмотреть на таблицу значе-
значений /(а).
Если бы мы нашли в на-
нашем примере не три точки пе-
пересечения графика с осью абс-
абсцисс, а меньше, то могли бы
возникнуть сомнения, не про-
пропустили ли мы благодаря несо-
несовершенству нашего построения
еще несколько корней уравне-
уравнения,—мы проводили кривую
линию, зная лишь семь ее то-
точек. Существуют, впрочем, ме-
методы, позволяющие точно уз-
узнавать число действительных
корней уравнения и даже чис-
число корней, расположенных ме-
между любыми данными числами
а и Ъ, где а < Ь. Излагать эти
методы мы не будем.
Иногда полезны следующие Рис- 3.
теоремы, дающие некоторые
сведения о существовашш действительных или даже по-
положительных корней.
Всякое уравнение нечетной степени с действитель-
действительными коэффициентами имеет хотя бы один действитель*
ный корень.
Если в уравнении с действительными коэффициен-
коэффициентами старший коэффициент а0 и свободный член ап
имеют разные знаки, то уравнение имеет хотя бы один
положительный корень. Если же наше уравнение имеет,
кроме того, четную степень, то оно обладает, также и
хотя бы одним отрицательным корнем^
23
Так уравнение
х7 - &х3 4- х - 2 = О
имеет хотя бы один положительный корень, а уравнение
л:6 + 2х5 - х2 + 7х - 1 = О
обладает как положительным, так и отрицательным кор-
корнем. Все это легко проверяется при помощи графика.
§ 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Выше мы нашли те соседние целые числа, между
которыми расположены действительные корни урав-
уравнения
х3 — Ъх"- + 2х + 1 = 0.
Тот же метод позволяет найти корни этого уравнения
точнее. Пусть, например, нас интересует корень а% рас-
расположенный между нулем и единицей. Вычисляя значе-
значения левой части нашего уравнения f(x) при х =
= 0,1; 0,2; ...; 0,9, мы нашли бы, между какими
двумя из этих последовательных значений для х график
многочлена f(x) пересекает ось абсцисс, т. е. вычислили
бы корень и.ч уже с точностью до одной десятой.
Продолжая так далее, мы могли бы найти значение
корня сс2 с точностью до одной сотой, до одной тысяч-
тысячной и теоретически с любой нужной нам точностью.
Этот путь связан, однако, с громоздкими вычисле-
вычислениями, которые очень скоро делаются практически невы-
невыполнимыми. Ввиду этого разработаны различные ме-
методы, позволяющие быстрее вычислять приближенные
значения действительных корней уравнений. Мы изло-
изложим самый простой из этих методов и сразу же при-
применим его к вычислению корня а2 рассматриваемого
нами кубичного уравнения. При этом полезно сначала
найти более узкие границы для этого корня, чем те
границы: О<ос2<, которые нам пока известны. Для
этого вычислим наш корень с точностью до одной де-
десятой. Если читатель будет вычислять значения много-
многочлена
/ (х) = ^ - Бх2 + 2х + 1
при х — 0,1; 0,2; ...; 0,9, то найдет, что
/@,7) = 0,293, /@,8) = -0,088,
а поэтому, так как знаки этих значений f(x) различны,
0,7 < а2 < 0,8.
24
Метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение
п-й степени, левую часть которого обозначим через f(x),
и пусть уже известно, что между а и Ь, где а < Ь, ле-
лежит один действительный корень а этого уравнения, не
являющийся кратным. Если границы а < а < b уже
достаточно узки, то по определенным формулам можно,
найти для корня а новые границы с и к, много более
узкие, т. е. гораздо точнее определяющие положение
этого корня; при этом будет или с < а < d, или же
d < а < с.
Граница с вычисляется по формуле
bf (а) -а] (!>)
, . f{a)-f(b) '
В нашем примере а = 0,7, Ь = 0,8, а значения f(a)
и /(ft) указаны выше. Поэтому
_ 0.8 ¦ 0.293 - 0,7 • (— 0,088) _ 0,2344-f 0.0616 _ „ ?7fiq
С~~ 0,293—(—0,088) ~~ 0,381 — U.//DJ...
Формула для границы d требует введения одного
нового понятия, которое будет играть у нас лишь слу-
служебную роль; по существу же оно относится к другой
части математики, а именно к дифференциальному ис-
исчислению.
Пусть дан многочлен я-й степени
f (х) = аХ + а\Х*~1 + а-^~2 + ¦ ¦ • + an_2xz + ап_хх + ап.
Назовем производной этого многочлена и обозначим че-
через /'(*) следующий многочлен (я—1)-й степени:
f (х) = па^х"-1 + (я - 1) а,*»-2 + (л - 2) а2х«-* + • • •
Он получен из многочлена /(х) по следующему пра-
правилу: каждый член ahxn-h многочлена f(x) умножается
на показатель степени п — k при х, сам же этот пока-
показатель уменьшается на единицу; при этом свободный член
On пропадает, так как можно считать, что ап = апх°.
От многочлена f'(x) можно снова взять производ-
производную. Это будет многочлен (п — 2)-й степени, который
называется второй производной многочлена f(x) и обо-
обозначается через f"(x).
Так, для рассматриваемого нами многочлена
/(*) = х3 — Бх2 + 2х + 1 будет
Г (je) = 3je*—IOjc + 2,
25
Граница d вычисляется теперь по одной из формул:
А п На) A_h f(b)
Какую именно из этих двух формул следует выбрать,
устанавливается по такому правилу. Если границы а, Ь
были выбраны достаточно узкими, то вторая производ-
производная f"(x) будет обычно иметь при х = а и при х = Ь
один и тот же знак, в то время как знаки f(a) и f(b) бу-
будут, как нам известно, различными. Если совпадают
знаки f"(a) и f(a), то нужно взять первую формулу для
d, т. е. ту, в которой используется граница а; если же
совпадают знаки f"(b) и f(b), то должна быть взята вто-
вторая формула, относящаяся к границе Ъ.
В рассматриваемом нами примере вторая производ-
производная f"(x) отрицательна как при а — 0,7, так и при
6 = 0,8. Поэтому, так как f(a) положительно, a f(b)
отрицательно, следует взять для границы d вторую фор-
формулу. Так как f @,8) = —4,08, то
<* = 0,8--^^=0,8-0,0215 ••* ==0>7784 •••
Таким образом, мы нашли для корня ач следующие
границы, много более узкие, чем те, которые были из-
известны нам раньше:
0,7769 ... < сс2 < 0,7784 . ..
или, немного расширяя эти границы,
0,7769 < а2 < 0,7785.
Отсюда следует, что если мы возьмем для аг среднее
значение, т. е. полусумму найденных границ,
сс2 = 0,7777,
то сделаем ошибку, не превосходящую числа 0,0008,
равного полуразности этих границ.
Если полученная точность недостаточна, то к най-
найденным новым границам корня а2 можно было бы еще
раз применить изложенный метод. Это, впрочем, потре-
потребовало бы гораздо более сложных вычислений.
Существуют другие методы приближенного решения
уравнений, дающие лучшую точность. Наиболее совер-
совершенным из них, позволяющим приближенно вычислять
не только действительные, но и ¦ комплексные корни
уравнения, является метод, предложенный великим рус-
русским математиком, создателем неевклидовой геометрии
Н.И.Лобачевским A793—1856).
26
§ 8. ПОЛЯ
Вопрос о существовании корней алгебраических
уравнений, с которым мы уже встречались выше, мож-
можно рассматривать с более общей точки зрения. Для,
этого необходимо ввести одно новое понятие, принад-
принадлежащее к числу важнейших понятий алгебры.
Рассмотрим сначала следующие три системы адсел:
совокупность всех рациональных чисел, совокупность
всех действительных чисел и совокупность всех комп-
комплексных чисел. В каждой из этих числовых систем мо-
можно выполнять, не выходя за ее пределы, сложение,
умножение, вычитание и деление (кроме деления на
нуль). Этим они отличаются от системы всех целых чи-
чисел, где не всегда выполнимо деление, — нельзя, на-
например, нацело разделить число 2 на число 5,— а так-
также от системы всех положительных действительных чи-
чисел, где не всегда выполнимо вычитание.
Читателю уже приходилось встречаться с такими
случаями, когда алгебраические операции производятся
не над числами: напомним сложение и умножение мно-
многочленов, а также встречающееся в физике сложение
сил. Впрочем, и при определении комплексных чисел
нам пришлось рассматривать сложение и умножение
точек плоскости.
Вообще пусть дано некоторое множество (т. е. сово-
совокупность) Р, состоящее или из чисел, или из объектов
геометрической природы, или вообще из некоторых ве-
вещей, которые мы назовем элементами множества Р.
Говорят, что в Р определены операции сложения и
умножения, если для любой пары элементов а, Ь из Р,
указаны вполне определенный элемент с из Р, назы-
называемый их суммой:
с = а-\-Ъ,
и вполне определенный элемент d из Р, называемый их
произведением:
d = ab.
' Множество Р с определенными в нем операциями
сложения и умножения называется полем., если эти
операции обладают следующими свойствами I—V.
I. Обе операции коммутативны, т. е. для любых
а и Ь .
a-\-b — b + at ab — ba.
27
II. Обе операции ассоциативны, т. е. для любых а,
Ь и с
III. Справедлив закон дистрибутивности умножения
относительно сложения, т. е. для любых a, b и с
а (Ь + с) = ab -f ас.
IV. Выполнимо вычитание, т. е. для любых аи Ь
можно найти в Р корень уравнения
а + х = Ь,
притом только один.
V. Выполнимо деление, т. е. для любых а и Ь,
если только о не равно нулю, можно найти в Р корень
уравнения
ах = Ь,
притом только один.
В условии V говорится о нуле. Его существование
можно вывести из условий I—IV. Действительно, если
а — произвольный элемент из Р, то ввиду IV в Р суще-
существует вполне определенный элемент, удовлетворяющий
уравнению
а + х = а
(мы в качестве Ь берем само о). Этот элемент зависит,
быть может, от выбора элемента а, и поэтому мы обо-
обозначим его через 0а, т. е.
а + Оа = а. A)
Если b — любой другой элемент из Р, то снова суще-
существует такой единственный элемент Оь, что
b + Ob = b. B)
Если мы докажем, что 0„ = 0ь при любых а и Ь, то су-
существование в множестве Р элемента, играющего роль
нуля для всех элементов а сразу, будет доказано.
Пусть с — корень уравнения
а -\-х= Ь,
существующий ввиду условия IV; следовательно,
a -f с = Ь.
Прибавим к обеим частям равенства A) элемент с,
что равенства не нарушает ввиду единственности суммы:
Правая часть этого равенства равна Ь, а левая ввиду
28
условий I и II равна b}fOa. Таким образом,
& + 0о = 6.
Сравнивая с равенством B) и учитывая, что по IV су-
существует лишь одно решение уравнения b^-x = b, мы
приходим, наконец, к равенству
0а = 0й.
Теперь уже доказано, что во всяком поле Р суще-
существует нуль, т. е. такой элемент 0, что для всех а
из Р выполняется равенство
a-f 0 = а,
а поэтому формулировка условия V делается вполне
осмысленной.
Мы уже имеем три примера полей, а именно поле
рациональных чисел, поле действительных чисел и ноле
комплексных чисел, в то время как множество всех
целых чисел или множество положительных действи-
действительных чисел полями не являются. Помимо трех на-
названных существует бесконечно много различных дру-
других полей. В частности, много различных полей содер-
содержится внутри поля действительных чисел, или поля
комплексных чисел; это — так называемые числовые
поля. Существуют, с другой стороны, поля, более ши-
широкие, чем поле комплексных чисел. Элементы этих по-
полей уже не будут называться числами, но сами такие
поля используются в различных математических иссле-
исследованиях. Укажем один пример такого поля.
Рассмотрим всевозможные многочлены
f{x) = abxn + alxn~1 + ... +ап-хх + ап
с любыми комплексными коэффициентами и любой сте-
степени; в частности, многочленами нулевой степени будут
просто сами комплексные числа. Если мы будем скла-
складывать, вычитать и перемножать многочлены с комп-
комплексными коэффициентами по тем же известным нам
правилам, что и многочлены с действительными коэф-
коэффициентами, то поле еще не будет получено, так как
деление многочлена на многочлен не всегда может
быть выполнено нацело.
Будем теперь рассматривать отношения многочленов
g (х) '
или, как говорят, рациональные функции с
комплексными коэффициентами, причем условимся
29
обращаться с ними так, как это принято с дробями.
Именио,
t(x) ср(лг)
g (х) в * (х)
тогда и только тогда, когда
f
Далее
Г(х) и(х) f (х) р (лг) ± g (х) и (х)
8(х) ~ v(x) g(x)v(x)
f(x) t в(х) ^ f(x)a(x)
g(*) ' v(x) g(x)v(x) '
Роль нуля играют дроби, числитель которых равен
нулю, т. е, дроби вида
0
17x7'
все дроби этого вида равны, очевидно, между собой. На-
Наконец, если дробь " '*; не равна нулю, т. е. и(х) Ф О, то
fix) . и(х) _ Цх)у(х)
g (х) • v (х) g (х) « (х) '
Легко проверяется, что описанные нами операции
над рациональными функциями удовлетворяют всем
требованиям, входящим в определение поля, а поэтому
можно говорить о поле рациональных ф.унк-
ц и й с комплексными коэффициентами. В этом поле со-
содержится целиком поле комплексных чисел, так как
рациональная функция, числитель и знаменатель кото-
которой являются многочленами нулевой степени, будет про-
просто комплексным числом, ,и всякое комплексное число
представимо в таком виде.
Не следует думать, что всякое поле или содержится
в поле комплексных чисел, или же содержит его внутри
себя, — существуют и иные поля, в частности, такие,
которые состоят лишь из конечного числа элементов.
Всюду, где используются поля, приходится рассмат-
рассматривать уравнения с коэффициентами из этих полей, а
поэтому возникает вопрос о существовании корней та-
таких уравнений. Так, в некоторых вопросах геометрии
встречаются уравнения с коэффициентами из поля ра-
рациональных функций; корни этих уравнений называют-
называются алгебраическими функциями. Основная теорема выс-
высшей алгебры, относящаяся к уравнениям с числовыми
коэффициентами, уже не может быть использована в
30
случае уравнения с коэффициентами из произвольного
поля и заменяется следующими общими теоремами.
Пусть Р — некоторое поле н
аоХ" + аххп-1 + ... + аа~\Х + ап = О
— уравнение га-й степени с коэффициентами из этого
поля. Оказывается, что ни в самом поле Р, ни в каком-
либо большем поле это уравнение не может иметь бо-
более чем п корней. Вместе с тем поле Р можно расши-
расширить до такого поля Q, в котором наше уравнение уже,
имеет п корней (некоторые из них могут быть крат---'
ными). Справедлива даже такая теорема:
Всякое поле^ Р можно расширить до такого поля Р,
что любое уравнение с коэффициентами из Р и даже
любое уравнение с коэффициентами из Р обладает в Р.
корнями, причем число корней равно степени уравнения.
Поле Р, о котором говорится в формулировке этой
теоремы, называется алгебраически замкнутым. Основ-
Основная теорема высшей алгебры показывает, что к числу
алгебраически замкнутых нолей принадлежит поле ком- /Л
плексных чисел. Vj>
§ 9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассматривали все время уравнения некоторой
степени с одним неизвестным. Начало этой теории ле-
лежало еще в элементарной алгебре, где после изучения
уравнений первой степени перешли к изучению квадрат-
квадратных уравнений. Однако в элементарной алгебре был
сделан один шаг и в другом направлении: после изу-
изучения одного уравнения первой степени с одним неиз-
неизвестным там перешли к рассмотрению системы двух
уравнений первой степени с двумя неизвестными и си-
системы трех уравнений с тремя неизвестными. Это на-
направление получает дальнейшее развитие в универси-
университетском курсе высшей ^алгебры. Здесь изучаются ме-
методы решения любой системы п уравнений первой сте-
степени с я неизвестными, а также методы для разыскания
решений таких систем уравнений первой степени, у ко-
которых число уравнений ие равно числу неизвестных.
Теория систем уравнений первой степени, а также не-
некоторые связанные с нею теории, в частности, так
называемая теория матриц, составляют особую
ветвь алгебры — линейную алгебру; по своим
применениям в геометрии и в других отраслях
2J
7
математики, а также в физике и теоретической механике
она является первой среди всех частей алгебры.
Впрочем, и теория алгебраических уравнений, и ли-
линейная алгебра сейчас представляют собой в значитель-
значительной мере законченные части науки. Потребности смеж-
смежных отделов математики и физики привели к тому, что
в алгебре на первое место выдвинулось изучение мно-
множеств, в которых заданы алгебраические операции. По-
Помимо теории полей, в состав которой входят тео-
p^Hf алгебраических чисел и теория алгебраических
функций, сейчас разрабатывается также теория ко-
колец. Кольцом называется множество с операциями
сложения и умножения, в котором выполняются усло-
условия I—IV из определения,поля, таково, например, мно-
множество всех целых чисел. Выше мы упоминали уже о
другой очень значительной ветви алгебры — о теории
групп; группа является множеством с одной алге-
алгебраической операцией — умножением, причем эта опе-
рация должна быть ассоциативной и должно неограни-
ченно выполняться деление.
Интересно заметить, что в различных приложениях
встречаются, притом весьма часто, некоммутатив-
некоммутативные алгебраические операции — произведение меняет-
меняется при перестановке сомножителей, а иногда и н е а с-
социативные операции —произведение трех мно-
множителей зависит от расположения скобок. В частность,
те группы, которые используются при рассмотрении
вокроса о решении уравнений в радикалах, являются
некоммутативными.
ЛИТЕРАТУРА
Систематическое изложение основ теории алгебраических урав-
уравнений и основ линейкой алгебры можно найти в учебниках высшей
алгебры. Сейчас в университетах и педагогических институтах исполь-
используются преимущественно следующие учебники:
А. Г.Курош, Курс высшей алгебры, «Наука», 1971.
Л. Я. Оку не в, Высшая алгебра, «Просвещение», 1966.
Элементарное изложение простейших свойств колец и полей, пре-
преимущественно числовых, можно найтн в книге:
И. В. Проскуряков. Числа и многочлены, «Просвещение»,
1965.
Ознакомление с теорией групп можно начать по книге:
П. С. Александров, Введение в теорию групп, Учпедгиз,
1951.
5 кон.*
ПОПУЛЯРНЫ!. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Hun. I. А. И. Маркушсвич. Возвратные not лед-мате тыючи.
Вып. 2. И. П. Натансон. Про теншне зал'чи на максимум и минимум.
иШ. 3. И. С. Соминским. М шд математи1 кои ни 1укции
Вып. 4. Л. И. Маркушевич. ьримечательиыг крнш с
Вып. 5. П. П. Коровки». Н.равенства
'jbiii. 6. Н- Н. Воробьев. Чи( та Фибo^ 1чн.
Вып. 7. А. Г. Куриш. Алг^раичеки равн^-и» щюи ч- . ,,..iu.\ 44niu
Вып. 8. А. О. fc'i ронд. Решение не ". и и^"'.1> чн< ¦ ¦•«
Вып. 9. А. И. Маркушсвич. П )щ > и ирифмы
Вып. 10. А. С. Смогоржсвский. Метод Kuoi дннат.
Вып. II. Я. С. Дубнов. Ошибки в геомсг! 1ческих , . исшегиа
Вып. 12. И. Д1. Натансон. Суммир aim С ч м. .i ж
Вып. М. А. И. Маркушсвич. IvjMi 1ек^ни и huiiqinpMin
бражиння
Вып. П. А. И. Фетисов, и док jt< и п г MCipnn.
Вып. 15. И. Р. Шафаревич. О решении ури к пин niiiuuii\
Вып. 16. В. Г. Шерватоо. Гиперйгчическис ф\икцин.
Вып 17. В. Г. Болтянский. Чт i п >Ф<. знцнров.ши
11ып. 18 Г. М. Мнрлкьян. При юн кругоы»'! цилиндр.
Ьып 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линнч.
Вып. 20. А. М. Лолшиц. Вычнс i.-:mc плош,1Д( I приещириианиы, ij'Mi
Цып 21. Л. И. Головина и И. М. Я'лом. IIiu\muih i> re моцнш.
Вып 2 . В. Г. Болтянский. Равновеликие и раииосостлвлеиные фш)|ч>-
Вып. 1 А. С. Спогоржсвский. О i втрни .Побачг ого
Вып. 2,. Б. И. Аргунов и Л. А. Скорняков. Kcmpnrv) щноши ic>'|icmi>).
Пын. i . А. С. Смогоржевский. Лннепк.1 в 1еометрнч-;кп.\ пос1росинях.
Цып. 2и. Б. А. 1ра\тснброт. A iropin и пишите решение задач.
Вып. 2.. В. А. Успенский. Немпорь ¦ приложения м аники к матсма
тике.
Пип. . Н. А. Архангельским н П. И. Зайцев. [этические цифропм
машины.
L лп. . А. Н. Костовскии. Гсгчетрищ.* кье uui гриенпн i ишм цирк
В] п. /. Г. Е. Шилов. К 1К ст| шть графики.
13ып I. А. Г. Дорфман. Оптиьа конических ч iciih
Вып . Е. С. Венгцсль. Элементы т"орнн игр.
Г iiii. Л. С. Барсов. Чтотлкпр imie п^с "poi |1..ммир(Ш.1иие.
Вып. ui. Б. Е. Маргулис. Си ми inn пи vi inuciiiiii.
Вып. Н. Я. Иплеикин. Mciwl поел . прмблил пи
Нып. . В. Г. Болтянский. Огибающий
^ып. Ai. Г. Е. Шилов. Прс л i гямма (\ ip ) м\ '.iiK-i'uai' mik ¦ mi)
Вып. 3 . Ю. А. Шреидер. Что lur.oe - lh
Г ш. 3 . Н. И. Воробьев. Пришакп iimivth
Нып. 'Ю. С. В. Фомин. Ci 1Ы гчн пши
Выл. л\ Б. Ю. Коган. При шжгпно Mi- аники к n jMcrpnu.
Вмп 4-'. Ю. II. Любим и .'I. А. Шир. I инемашч' ист и imMi i|»i
четких ладачл .
>!ып. . В А. Успенский. Трс ш-И н> П
!ми. II И. Я. Баксльман. Нииерсия.
Нып. I . И. М. Яглом. Меоб| кио синаи rcrtp.i
libiii. 40 И. М. Соболь. Мете , Монтс-hap ю
Пып. 47 Л. А. Калужниц. Основная теорема арифмешм!
Вып. 4." Л. С. Солодовников. Снстрмы шненш" нграиоп<1 .
Вып. 49. Г. Е. Шилов. Математический .шали; i: uu mi p.iuniiii.i ian.i<
функции.
Вып и. В. г Г. Болтянский, И. Ц. Го\Г>ср| PujCncnm '|mi\|i на mciii>iiiu<
части.
Вып. 51. Н. М. Бескин. Ill t t »гння пр»и. граиственшлх фигур.
Вып. 52. Н. М. Бсскин. Д i.e треп ^ п данном ошошеинн.
Вып. 53. Б. А. Розенфсльд и Н. Д. Сергеева. Стереги рафическая npi
екни i.