д. П. Голоскоков
ЮПИТЕР
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Решение задач в системе Maple
для студентов и преподавателей высших учебных заведений
теоретический материал и задачи для са мостоятел ьного решения
уравнения математической физики, интегральные уравнения и вариационное исчисление
примеры решения
типовых задач на компьютере
ББК 22.162.6я7
УДК 517.958(075)
Г61
Рецензенты:
Колгатин С. Н. — доктор технических наук, профессор кафедры экспериментальной физики СП6ГПУ.
Кафедра прикладной математики Академии гражданской авиации, Береславский Э. Н. — доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой.
Голоскоков Д. П.
Г61 Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.: ил.
ISBN 5-94723-670-2
В книге рассмотрены классические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, метод интегральных преобразований в конечных и бесконечных пределах, а также элементы вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Особенностью учебного курса является широкое использование системы аналитических вычислений Maple при решении учебных задач математической физики. В конце глав приводится большое количество задач для самостоятельного решения и примеры решения задач в Maple с текстами программ, что делает этот учебник удобным пособием для практических и лабораторных занятий по математической физике.
Учебник может быть также рекомендован студентам и аспирантам технических университетов и высших технических учебных заведений физико-математических и инженерно-физических специальностей.
ББК 22.162.6я7
УДК 517.958(075)
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 5-94723-670-2
© ЗАО Издательский дом «Питер», 2004
Краткое содержание
Предисловие ....................................... 9
1.	Введение........................................13
2.	Уравнения математической физики.................26
3.	Метод Фурье.....................................92
4.	Специальные функции математической физики......170
5.	Неоднородные задачи математической физики......243
6.	Преобразование Лапласа.........................322
7.	Интегральные уравнения в математической физике . . . 389
8.	Элементы вариационного исчисления..............465
Приложение........................................531
Литература .......................................533
Содержание
Предисловие.............................................................9
От издательства........................................................12
1. Введение.............................................................13
Предмет и задачи математической физики.................................13
Основные дифференциальные операторы математической физики..............14
Основные интегральные тождества........................................18
Криволинейные координаты...............................................21
2. Уравнения математической физики.....................................26
Уравнение колебаний....................................................26
Уравнение малых поперечных колебаний струны.........................27
Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня...............28
Уравнение малых поперечных колебаний мембраны.......................32
Телеграфное уравнение...............................................35
Уравнение диффузии.....................................................38
Уравнение теплопроводности..........................................38
Уравнение диффузии..................................................40
Стационарное уравнение.................................................41
Вывод уравнения электростатики......................................41
Вывод уравнения гидродинамики.......................................42
Основные уравнения математической физики...............................43
Классификация уравнений второго порядка................................46
Классификация уравнений в точке.....................................46
Классификация уравнений с двумя независимыми переменными ............50
Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных...51
Уравнение гиперболического типа.....................................53
Уравнение параболического типа......................................54
Уравнение эллиптического типа.......................................55
Классификация задач математической физики..............................55
Задача Коши.........................................................57
Краевая задача для уравнений эллиптического типа....................57
Смешанная задача....................................................59
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики..........59
Замечание о классе функций, среди которых ищется решение задачи.....60
О единственности решения задач математической физики................61
Содержание
5
Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных............... об
Примеры............................................................... . 67
Применение общего интеграла к решению некоторых задач математической физики...............................................69
Вопросы к главе 2.........................................................71
Задачи с примерами решений . ............................................ 73
Примеры решения типовых задач........................................ .76
3.	Метод Фурье............................................................92
Уравнения с разделяющимися переменными....................................92
Задача об охлаждении пластины.............................................97
Задача Дирихле для круга.................................................101
Преобразование решения задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуассона....103
Задача Штурма—Лиувилля.................................................. 106
Некоторые свойства собственных значений регулярной задачи Штурма—Лиувилля . . . 109
Фундаментальная система решений Штурма—Лиувилля..........................111
Асимптотическое поведение фундаментальных решений Штурма—Лиувилля при X —> +оо..........................................................113
Определение собственных значений и собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля.......................................................116
Разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма—Лиувилля. . . 119
Регулярная задача Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода .... 123
Сингулярная задача Штурма—Лиувилля.......................................127
Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных......129
Задача об охлаждении пластины, излучающей тепло..........................132
Вопросы к главе 3........................................................135
Задачи с примерами решения...............................................137
Примеры решения типовых задач.......................................  142
4.	Специальные функции математической физики...........................170
Эйлеровы интегралы.......................................................171
Эйлеров интеграл первого рода.........................................171
Эйлеров интеграл второго рода.........................................173
Интеграл вероятности.....................................................176
Функция Бесселя..........................................................179
Функция Вебера...........................................................182
Представление функции Вебера в виде ряда.................................185
Рекуррентные формулы для функций Бесселя.................................188
Интегральные представления для цилиндрических функций....................189
Примеры использования интегрального представления Пуассона............191
Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента........................................193
Модифицированные цилиндрические функции..................................195
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями............199
Разложение функции в ряды Фурье—Бесселя и Дини...........................202
Приложения цилиндрических функций в математической физике................205
Задача о колебаниях круглой мембраны..................................205
Решение задачи Дирихле для цилиндра...................................208
6
Содержание
Сферические функции. Полиномы Лежандра.....................................211
Производящая функция для полиномов Лежандра................................214
Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра................................217
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с полиномами Лежандра....................219
Вычисление нормы для полиномов Лежандра.................................220
Приложение полиномов Лежандра в математической физике......................222
Вопросы к главе 4..........................................................224
Задачи с примерами решения.................................................226
Примеры решения типовых задач...........................................228
5.	Неоднородные задачи математической физики.............................243
Метод приведения к однородной задаче.....................................  243
Задача о распределении температуры в бесконечной пластине...............244
Задача о нагревании бесконечного цилиндра...............................245
Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны........................246
Задача Дирихле для прямоугольника.......................................247
Метод Гринберга............................................................248
Краткая схема решения задачи методом Гринберга..........................251
Связь метода Гринберга с методом Фурье..................................251
Замечания о сходимости рядов, полученных методом Гринберга..............252
Способы улучшения сходимости............................................253
Примеры задач математической физики, разрешимых с помощью метода Гринберга . . 254
Задача Дирихле для прямоугольника.......................................254
Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны........................256
Задачи с непрерывным спектром..............................................259
Некоторые интегральные разложения, связанные с сингулярной задачей Штурма—Лиувилля......................................................260
Примеры задач с непрерывным спектром.......................................264
Задача об охлаждении полубесконечного тела..............................265
Задача Дирихле для полуплоскости .......................................267
Задача Дирихле для полупространства.....................................270
Задача о радиальных колебаниях газа.....................................272
Метод интегральных преобразований..........................................275
Интегральные преобразования.............................................275
Неоднородные задачи с непрерывным спектром..............................279
Примеры решения неоднородных задач с непрерывным спектром..................281
Задача Дирихле для полуполосы...........................................281
Задача об изгибе плиты..................................................283
Вопросы к главе 5..........................................................285
Задачи с примерами решения.................................................286
Примеры решения типовых задач...........................................291
6.	Преобразование Лапласа
Определение преобразования Лапласа
Поведение преобразования Лапласа при больших по модулю значениях параметра (р -> ос)................................326
Свойства преобразования Лапласа...............................................328
Обращение преобразования Лапласа..............................................333
Содержание
Леммы Жордана..............................................................336
Методы вычисления интеграла Римана—Меллина.................................340
Специальные методы обращения............................................344
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений...................346
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами...............................................350
Интегрирование дифференциальных уравнений в	частных	производных............353
Построение метода преобразования Лапласа на случай большего числа независимых переменных...............................................355
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики..........356
Задача о движении заряженной частицы в магнитном поле...................356
Задача о нагреве полубесконечного тела..................................358
Задача о нагреве пластины конечной толщины..............................362
Задача о продольных колебаниях полубесконечного стержня.................366
Задача о продольных колебаниях конечного стержня........................367
Вопросы к главе 6..........................................................369
Задачи с примерами решения.................................................370
Примеры решения типовых задач...........................................372
7.	Интегральные уравнения в математической физике . . . 389
Основные классы интегральных уравнений.....................................389
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение при помощи специальных приемов.............................................394
Уравнения Вольтерры второго рода с ядром, зависящим от разности.........394
Уравнения Вольтерры первого рода с ядром, зависящим от разности. Уравнения Абеля......................................................397
Уравнения Фредгольма с ядром, зависящим от разности и пределами от -оо до +оо . 399
Уравнения Фредгольма с ядрами, зависящими от суммы и произведения.......401
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром......................403
Примеры.................................................................407
Общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметра к . . 410
Общее решение уравнения Фредгольма разложением в ряд по степеням параметра X. . 414
Примеры.................................................................415
Замечание о решении уравнения Фредгольма при произвольном значении параметрах...........................................................417
Общее понятие резольвенты для уравнений Фредгольма......................418
Однородные уравнения Фредгольма............................................419
Определение собственных значений и собственных функций для некоторых интегральных уравнений.................................420
Альтернатива Фредгольма.................................................424
Интегральные уравнения Фредгольма с симметричным ядром.....................425
Краткий обзор теории уравнений с симметричным ядром.....................426
Приближенные методы решения интегральных уравнений.........................427
Сведение интегрального уравнения к уравнению с вырожденным ядром........427
Сведение интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений................................................429
Приложения интегральных уравнений в математической физике..................430
Сведение задачи Штурма—Лиувилля к интегральному уравнению...............430
8
Содержание
Сведение плоской задачи гидродинамики к интегральному уравнению Фредгольма . 433
Вопросы к главе 7........................................................437
Задачи с примерами решения...............................................438
Примеры решения типовых задач.........................................442
8.	Элементы вариационного исчисления.....................................465
Примеры вариационных задач...............................................465
Задача Дидоны.........................................................466
Задача о брахистохроне................................................467
Задача о геодезических линиях.........................................469
Задача о распространении света в неоднородной среде...................470
Задача об изгибе стержня..............................................471
Понятие функционала......................................................471
Основные леммы вариационного исчисления..................................473
Простейшая вариационная задача. Метод Эйлера.............................475
Методы интегрирования уравнения Эйлера...................................479
Примеры решения вариационных задач.......................................481
Задача о брахистохроне................................................481
Задача о распространении света в неоднородной среде...................482
Задача со свободной вариацией на границе.................................483
Вариационная задача для функционалов, содержащих производные высших порядков . . 488
Пример. Решение задачи об изгибе балки................................489
Вариационная задача для функционалов, зависящих от нескольких функциональных аргументов............................................................490
Пример. Вывод уравнений Лагранжа......................................491
Изопериметрическая задача............................................... 492
Пример. Задача о провисании каната....................................494
Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом....................................................496
Пример. Связь задачи Дирихле с вариационной	задачей...................498
Вторая вариация..........................................................499
Прямые методы решения вариационных задач.................................501
Метод Ритца...........................................................502
Приложения вариационного исчисления в математической физике..............504
Задача о стационарном распределении температуры в брусе прямоугольного сечения.....................................504
Вывод уравнения колебаний струны......................................507
Задача об установившихся колебаниях мембраны..........................508
Вопросы к главе 8........................................................509
Задачи с примерами решения...............................................511
Примеры решения типовых задач.........................................514
Приложение...............................................................531
Литература...............................................................533
Алфавитный указатель.....................................................535
Предисловие
Математическая физика — это математический аппарат изучения физических полей — одного из центральных объектов современной физики. Термин «математическая физика» имеет и более узкий, классический, смысл. Именно, под математической физикой часто понимают только такой математический аппарат изучения физических полей, который не связан непосредственно со сравнительно более поздними атомными, статистическими, релятивистскими и квантовыми представлениями. Этот аппарат является основой теоретической гидромеханики, теории теплопроводности, теории упругости, классической части теории электромагнитного поля. Поля, рассматриваемые в этих классических разделах физики, оказывается возможным в том или ином смысле трактовать как механические системы с бесконечным числом степеней свободы, что и обусловило общность соответствующего математического аппарата.
Как отмечают в предисловии авторы книги «Элементы математической физики»1, математическая физика является, быть может, одним из самых значительных достижений человеческого разума. Открытия огромного значения возникли благодаря математической формулировке физических явлений и математическому анализу и обобщению результатов опыта.
Математическая физика не ограничивается только получением математических соотношений, описывающих найденные из опыта зависимости между физическими величинами. Нужно подчеркнуть ее роль в формировании понятий, идей, образов. Упорные занятия математической физикой ведут к появлению своеобразной интуиции: общие свойства решений становятся столь же наглядно очевидными, как очевидно падение подброшенного камня.
Математическая физика имеет свою эстетику, свои понятия о красоте формулы, результата, теории. Подобно тому, как древние греки выработали определенные каноны и пропорции идеального человеческого тела, в математической физике установились определенные формальные требования к возводимой теории. Так, если какие-либо объекты являются в рамках данной теории в том или ином
1 Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д, Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973.
352 с.
10
Предисловие
смысле инвариантными, то эта инвариантность должна наглядно проявляться и в формулах, связывающих эти объекты. Теория должна удовлетворять общим принципам сохранения количества движения и энергии. Заметим, кстати, что оба этих принципа тесно связаны между собой, и выявление этой связи также есть заслуга математической физики.
Но выполнение формальных требований отнюдь не исчерпывает понятия красоты теории, подобно тому, как соблюдение анатомических пропорций не исчерпывает понятия красоты человека. Лучшие, гениальные воплощения математической физики замечательны тем, что они ведут дальше, чем предполагали их авторы. Классический пример здесь представляет история открытия античастиц. Как известно, первым был открыт позитрон. Его существование было предсказано Полем Дираком в 1929 г. с помощью чисто теоретических построений, оно получилось как математическое следствие квантовой теории движения электронов. И только позже, в 1932 г., позитроны были фактически наблюдены. Это крупнейшее физическое открытие было одновременно триумфом математической физики!
Настоящий курс является учебником, в котором излагаются основные разделы математической физики: уравнения математической физики, интегральные уравнения и вариационное исчисление. Курс написан на основе лекций, которые автор читал с 1998 г. в Санкт-Петербургском государственном университете водных коммуникаций на факультете информационных технологий для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика».
Запас сведений, сообщаемых в предлагаемой книге, автор старался сделать по возможности минимальным. Он состоит из изложения лишь тех фактов, которые рассматриваются обычно на лекциях, и необходимых дополнений к ним, которые касаются более углубленного рассмотрения некоторых понятий и предназначены ответить на вопросы и рассеять неясности, которые могут возникнуть у части слушателей лекций, и этим помочь преодолеть неизбежные затруднения.
Книга не является просто записью лекций, поэтому не все содержащееся в ней целесообразно излагать на лекциях. Так, например, при изложении теории специальных функций можно вполне ограничиться лишь перечислением их основных свойств, опуская в ряде случаев подробные выкладки и доказательства. При изложении вопросов, связанных с применением преобразования Лапласа, можно ограничиться такими задачами, которые допускают использование таблиц и не рассматривать задач, в которых требуется вычисление интеграла Римана—Мел-лина. Некоторые главы можно целиком исключить из лекционного курса — они могут составить отдельные небольшие курсы по методам математической физики. Это, в первую очередь, касается глав, посвященных интегральным преобразованиям, интегральным уравнениям и вариационному исчислению.
Материал в книге автор старался изложить так, чтобы максимально помочь учащемуся овладеть различными математическими методами, сделать их простыми и естественными, научить свободно их применять. С этой целью в учебнике много места отводится разбору решения задач на основе рассмотренных общих методов. Имеется также много задач и упражнений для самостоятельной работы, которые позволяют лучше усвоить изложенный материал, по существу разобраться в его содержании, проконтролировать его понимание, развить математическую
Предисловие
культуру мышления, научить применять математический аппарат к решению практических задач. Изложение материала ведется на уровне строгости, принятом в настоящее время в классической математике, излагаемой в технических университетах.
Отметим некоторые особенности построения нашего курса. Он должен, по замыслу автора, служить студентам инженерно-физических специальностей технических университетов руководством при изучении тех научных дисциплин, которые в учебных планах именуются «уравнения математической физики», «методы математической физики» или «математическая физика». Последнее наименование лучше отвечает существу рассматриваемых в книге вопросов.
Как обычно, курс содержит только теорию линейных уравнений в частных производных, почти исключительно второго порядка — уравнений математической физики. Естественным образом основное место в книге занимают наиболее разработанные и наиболее важные для приложений три классических типа уравнений: эллиптические, параболические и гиперболические. Дается вывод основных уравнений математической физики; классификация уравнений второго порядка и задач математической физики; дается понятие о корректно поставленной задаче математической физики; доказывается единственность решения задач математической физики для основных уравнений.
В книге рассматриваются следующие методы решения задач, связанных с уравнениями в частных производных второго порядка: метод Даламбера, метод Фурье с сопутствующей теорией задачи Штурма—Лиувилля (регулярной и сингулярной), метод интегральных преобразований в конечных и бесконечных пределах. Подробно излагается метод преобразования Лапласа.
Кроме того, в учебнике излагаются начальные сведения по специальным функциям, элементы теории интегральных уравнений и вариационного исчисления. Эти разделы математики становятся все более необходимы инженеру-исследователю и инженеру-математику, использующим в своей работе методы прикладной математики. Подробно содержание учебника отражено в оглавлении.
Следует сказать еще об одной особенности книги. В настоящее время специалист по прикладной математике не мыслится без хорошего знания компьютера. Современные вычислительные системы и базирующиеся на них информационные технологии совершенно изменили все стороны человеческого бытия. Пожалуй, в наибольшей степени изменился характер и повысилась производительность умственного труда. Теперь уже невозможно представить себе квалифицированного ученого, инженера, конструктора, не использующего Internet для получения самой свежей информации и обмена ею, получения программ для автоматизации выполнения и высококачественного оформления проектов. К числу наиболее замечательных программ такого типа можно отнести программу Maple. Этот пакет ныне широко используется для преподавания математики во многих учебных заведениях мира, в том числе и России. Его можно с успехом использовать для преподавания технических дисциплин: теоретической механики, сопротивления материалов, строительной механики и т. п. Для студентов Maple является неоценимым помощником в изучении разнообразных математических методов, освобождая их от рутинных математических вычислений и сосредоточивая их внимание на существе изучаемого метода. В этой книге в конце
12
Предисловие
каждой главы после перечня задач для самостоятельного решения приводятся решения типовых примеров с использованием замечательных возможностей пакета Maple. Обучающийся может использовать и другие математические пакеты, например Matlab, MathCad, Mathematica и т. п. Во всех примерах подробно описано составление программ для решения задач, и студенты смогут повторить эти программы на других языках программирования.
Трудно перечислить те учебники, монографии, статьи, под влиянием которых сложились методические взгляды автора. Очень важно здесь также влияние собственного опыта научной и преподавательской работы, научного и педагогического опыта петербургских коллег и друзей автора. Список литературы, которая наиболее широко использовалась, дан в конце книги. Некоторые монографии и учебники упомянуты в подстрочных замечаниях.
Д. Голоскоков
Санкт-Петербург, февраль—июнь 2003 г.
От издательства
Ваши замечания, предложения и вопросы отправляйте по адресу электронной почты comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).
Мы будем рады узнать ваше мнение!
Подробную информацию о наших книгах вы найдете на web-сайте издательства
http://www.piter.conT
1 Введение
Эта глава носит вспомогательный характер. Здесь кратко напоминаются некоторые понятия математического анализа, приводятся основные дифференциальные операторы и основные интегральные тождества, вводится произвольная криволинейная система координат.
Предмет и задачи математической физики
Построение и исследование математических моделей физических явлений составляют предмет математической физики. Уместно проследить основные этапы зарождения и развития математической физики [4]. Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно развитию физики и математики. В конце XVII в. было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн и стержней, а также решении задач, связанных с акустикой и гидродинамикой. В это же время закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, П. Лаплас). В XIX в. идеи математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики. В этот период создаются теория потенциала и теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, К. Гаусс, О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Б. Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт). В XX в. в математическую физику включаются задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые проблемы газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы.
Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений — уравнений математической физики.
Основными математическими средствами исследования этих задач служат теория дифференциальных уравнений (включая родственные области — интегральные уравнения и вариационное исчисление), теория функций, функциональный
14
1. Введение
анализ, теория вероятностей, приближенные методы и вычислительная математика.
Изучение математических моделей квантовой физики потребовало привлечения новых областей математики, таких как теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, топологических и алгебраических методов.
С появлением ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная возможность ставить вычислительный эксперимент.
Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач, то есть задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Хотя эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естественными, их, тем не менее, необходимо доказывать в рамках принятой математической модели. Доказательство корректности — это первая апробация математической модели: модель непротиворечива (решение существует), модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно), модель мало чувствительна к погрешностям измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задачи).
В этой книге мы будем изучать корректно поставленные краевые задачи для дифференциальных уравнений классической математической физики в терминах классических решений. В современной математической физике большое значение имеет понятие обобщенного решения. Обобщенные решения возникают при изучении интегральных соотношений типа локального баланса, и учет этих решений приводит к обобщенным постановкам краевых задач математической физики. Точное определение обобщенного решения опирается на понятие обобщенной производной и вообще, обобщенной функции. Аппарат теории обобщенных функций служит удобным средством для исследования линейных краевых задач математической физики как в обобщенной, так и в классической постановках. Однако эти вопросы выходят за рамки классической высшей математики, изучаемой в технических университетах и знание только которой мы предполагаем. В случае необходимости мы отсылаем к соответствующим учебникам [4]1.
Основные дифференциальные операторы математической физики
Напомним некоторые понятия и определения анализа. Пусть А — произвольное множество. Если элемент а принадлежит множеству А (содержится во множестве А), то это будем записывать так: а еА. Если элемент а не принадлежит множеству А (не содержится во множестве А), то это записывается так: а~ё А или так: а & А. Пусть В — другое множество. Обозначим АсВ включение А в В, А = В — совпадение А с В, А и В — объединение А и В, А п В — пересечение А и В, А \ В —
1 См. также Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1979. 320 с.
Основные дифференциальные операторы математической физики
15
дополнение В до А (рис. 1.1), Ах В — произведение Ли В (множество пар (о,й), a g A, b е В), 0 — пустое множество.
Рис. 1.1. Операции надмножествами
Обозначим и-мерное вещественное евклидово пространство через R”, а его точки через х = (%!, х2,..., хп), где xi (г = 1, 2, ...,п) — координаты точки х. Символами (х,г/)и х обозначим скалярное произведение и длину {норму) в R":
{х,у)^х.ух + х2у2 + --- + хпуп,
г, называется
Таким образом, число х-у есть евклидово расстояние между точками х и у.
Множество точек х е Rn, удовлетворяющих неравенству |х -х0
открытым шаром радиуса г с центром в точке х0. Этот шар обозначают так: t7(x0;r). Множество называется ограниченным в Rn, если существует шар, содер
жащий это множество. Точка х0 называется внутренней точкой множества, если существует шар с центром в точке х0, содержащийся в этом множестве. Множество называется открытым, если все его точки внутренние. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кусочно-гладкой кри
вой, лежащей в этом множестве. Связное открытое множество называется областью.
Последовательность точек xk = (х х g Rn, xk -> х, k —> оо, если х -xk
\ х2,х*) называется сходящейся к точке
-> 0, k —> оо. Точка х0 называется предельной
точкой множества А, если существует последовательность xk такая, что xk е А,
xk х0, xk -> х0, & —> оо. Если к множеству А добавить все его предельные точки, то полученное множество называется замыканием множества А и обозначается ; ясно, что А с А. Если множество совпадает со своим замыканием, то оно называ
ется замкнутым. Замкнутое ограниченное множество называется компактом. Окрестностью множества А называется всякое открытое множество, содержащее А.
Пусть G — область, то есть связное открытое множество. Точки замыкания G, не принадлежащие G, образуют замкнутое множество 5, называемое границей области G, так что 5 = G \ G. Например, границей открытого шара U{xQ;г)является сфера | х - х01 = г. Эту сферу обозначают 5(х0; г).
Множество функций /, непрерывных в области G вместе с производными до некоторого порядка р включительно (0 < р < оо), образует класс C^(G). Таким образом, класс C(0)(G) состоит из всех непрерывных функций в G; этот класс часто обозначают просто C(G).
16
1. Введение
В математической физике часто рассматривается величина, которая зависит не только от положения точки х = (Xj, х2,хл ), то есть от ее п (часто п = 1, 2, 3) пространственных координат, но и еще от какой-либо переменной, в большинстве случаев от времени t. Если рассматриваемая величина является числом, то принято говорить, что речь идет о скалярной функции точки; если же рассматриваемая величина — вектор, то говорят о векторной функции точки.
Вместо терминов «числовая функция точки», «вектор-функция точки» употребляются равнозначные: скалярное поле, векторное поле. Эта терминология подчеркивает, что значения рассматриваемых функций зависят именно от точек пространства (в которых эти функции определены), а не от их координат, при выборе той или иной системы координат.
Например, плотность заряда в различных точках изолированного наэлектризованного тела представляет собой скалярную функцию точки; электрическое поле, которое создается этими зарядами в различных точках тела, представляет собой векторную функцию точки. Электрические заряды создают скалярное поле плотности и векторное поле электрических сил. Если электрические заряды изменяются в зависимости от времени, то скалярное и векторное поля являются не только функциями координат рассматриваемой точки, но также и функциями времени.
Употребляя эту терминологию, можно сказать, например, что всякое скалярное поле и = и(М), определенное и дифференцируемое в некоторой области G, порождает векторное поле его градиентов: а(М) = grad(w).
Напомним основные дифференциальные операторы теории поля — операторы математической физики. Наиболее важные поля характеризуют следующие три функции:
□	градиент — векторная функция, аргументом которой является скалярная функция точки;
□	дивергенция — скалярная функция, аргументом которой является векторная функция точки;
□	вихрь — векторная функция, аргументом которой является векторная функция точки.
Оператор-градиент функции и: дана скалярная функция w(x,z/,z); градиентом этой функции называется вектор с координатами ди/дх, ди/ду, du/dz\
., ч т ди -.ди г ди grad(w) = z — + j — + k —.
дх ди dz
С этим оператором тесно связан оператор — производная (градиент) по направлению /:
[grad (и)], =
О1
ди .ди /7 х ди .у
— cos(/,x) + — cos (/, у ) + — cos(/,z дх	ду	dz
Здесь cos(/,x), cos(/, z/), cos (/, z) — направляющие косинусы, то есть косинусы углов, составляемых направлением I с положительными направлениями координатных осей.
Основные дифференциальные операторы математической физики
Очевидно,
ди ~д~1
= I • grad(u).
Оператор-дивергенция векторной функции А\ дана векторная функция А точки M(x,y,z); дивергенция вектора Л — это скалярная величина
Здесь предполагается, что А(АХ, A ,Az) = iAx + jA + kAz.
чУ	У
Оператор-ротор (или вихрь) вектора А — это векторная величина
rot А = i
Удобно символическое представление этого вектора в виде определителя третьего порядка1:
ПРИМЕЧАНИЕ ---------------------------------------------------
Дивергенция представима в виде следующих скалярных произведений:
, - т дА - дА 7 дА спуд = i---+ у----+ «----
дх ду dz
Вихрь представим в виде суммы следующих векторных произведений:
~л Т дА - дА 7 дА
rot Л = I х- + 7 X---h k х-.
дх ди dz
Оператором Лапласа (лапласианом) называют оператор
Если применить его к скалярной функции w, то
Под «произведением» символов д/дх,	^кдл^д^^^|^|^^д^ищо11имать, соответственно, скаляры Эф/дх, ду/ду, Эф/dz.	п	г,.
[	! I С :;.3 С? J Г'- ( ?• I ' '
’ ГОС

18
1. Введение
Применим оператор Лапласа к вектору А. Имеем
Так как A = гАх + jAy +kAz, то для вектора ДА получаем следующее выражение:
ДА = i ДАГ + /ДА,, + kAA>. у	£
Оператором Гамильтона (символическим вектором набла) называют векторный оператор
L 6U + k---
dz
Применяя его к скаляру ut получаем
г? ’ би
Vm = г — дх
= grad (и).
—4
Скалярное произведение векторов V и А равно
dz
= divA.
Векторное произведение векторов V и А равно
= rot А.
Аналогично получаем
Дм = V2m,
где скалярный оператор V2 = V • V обозначен через Д, то есть существует очевидная связь между операторами: div(grad(u)) = Дм.
Если от одной системы координат Охуг перейти к другой системе координат O'x’y'z', то форма основных операторов математической физики не изменится — операторы инвариантны по отношению к повороту и переносу координатных осей.
Основные интегральные тождества
Пусть заданы система координат Oxyz и область Z), ограниченная поверхностью 5, гладкой или кусочно-гладкой. Под кусочно-гладкой поверхностью мы будем понимать поверхность, которая состоит из конечного числа кусков с непрерывно меняющейся на них касательной плоскостью.
Основные интегральные тождества
19
Пусть А — векторная функция точки М е D. Предполагается, что эта функция непрерывна вместе со своими первыми производными в любой точке объема D и его границы 5. Тогда, как известно, справедлива формула Остроградского
|div Л dx = do,	(1Д)
D	s
где da — элемент поверхности 5; dx — элемент объема D; Ап = Л • й, п — вектор внешней нормали к поверхности 5. Формула (1.1) верна, если ЛеС(1)(О), D-D<jS.
Положим в формуле (1.1) Л = grad(u), тогда, очевидно,
div Л = div(grad(u)) = Д«;
с другой стороны,
Ап = А-п = grad(u)-n = —. дп
Таким образом, будем иметь
(Ди dx = [ — da. i { дп
(1.2)
Формула (1.2) верна, если и е С(2)(О).
Заменим в (1.2) функциюы на функциюы2/2. Имеем
Откуда получим
= иДи + (grad (и))2;
и, следовательно, вместо формулы (1.2) будем иметь
J [иДи + (grad(zz))2
D
(1-3)
Формула (1.3) верна, если и е C(2\l>).
20
1. Введение
Рассмотрим теперь плоскость Оху и плоскую область D, ограниченную контуром Г. В этом случае вместо формул (1.2) и (1.3) будем иметь формулы
| [z/Aw
[ kudo = [ — dl, D	Г
+ (grad(w))2 ]da = [и — dl. i дп
Здесь
ди дп
&и =—-дх2
— cos(zz1x) дх
2и
— cos (и, г/);
da — элемент плоской области D; dl — элемент дуги границы Г.
Приведем еще одну полезную формулу, известную в литературе как формула Грина. Пусть 5 — замкнутая поверхность, ограничивающая область D, Пусть и и v — две скалярные функции точки MeD. Покажем, что имеет место формула
j [мАг? -v&u]dx = j
d	s
dv du
U-----V---
дп дп
(1.4)
Воспользуемся легко проверяемой формулой (читателю рекомендуем проверить эту формулу!), определяющей дивергенцию произведения скалярного поля f на векторное поле А:
div (/Л) = А • grad(/) + f div (Л).
Будем иметь
div(zz grad (г)) = grad (а) • grad(w) + и div (grad (у)) = grad (г)  grad (и) + u&v.
Подставим в формулу (1.1) вместо вектора Л вектор и grad (г). Имеем
Г [zzA?? + grad(w) • grad (г)] di = [и — da.
Ъ	5
Меняя роли функций и и v, находим
[ [иДи + grad (г)- grad (u)] dx = (v— da. d	s dn
Вычитая последнее выражение из предыдущего, получим формулу (1.4).
Из формулы Остроградского (1.1), кроме перечисленных интегральных тождеств, вытекает важное следствие, которое мы сформулируем в виде леммы [25].
Криволинейные координаты
21
ЛЕММА. Пусть F — непрерывная функция, заданная в некоторой области трехмерного евклидова пространства. Для того чтобы для любой замкнутой поверхности S, проведенной внутри области задания векторной функции Т и ограничивающей область Q, имело место равенство
| F dx = j Тп des, О	5
необходимо и достаточно, чтобы
div Г = F.
(1.5)
(1.6)
Действительно, применяя формулу (1.1), равенство (1.5) можно привести к виду
J[divf-F]<ft=O. о
После этого достаточность условия леммы становится очевидной. Установим его необходимость. Будем рассуждать от противного. Допустим, что в некоторой точке, а тем самым в силу непрерывности и в ее окрестности, функция div Т~F отлична от нуля, например, положительна. Тогда интеграл, распространенный по малой области со вокруг упомянутой точки, будет отличен от нуля:
J[divT-F]JT *0, (О
и равенство (1.5) невозможно. Следовательно, наше предположение противоречит условию. Таким образом, необходимость равенства (1.6) доказана.
Точно так же может быть доказана аналогичная лемма для двумерной области, лежащей на плоскости.
Эта лемма часто используется в математической физике при получении дифференциальных уравнений (представляющих собой локальную форму законов сохранения) из законов сохранения в интегральной форме.
Криволинейные координаты
До сих пор, желая задать аналитически скалярное или векторное поле, мы пользовались декартовой системой координат. Так, например, скалярное поле мы задавали с помощью функции трех переменных; этими переменными были абсцисса, ордината и аппликата переменной точки пространства. Прямоугольная, декартова, система координат является широко рассматриваемой. Однако ясно, что задание абсциссы, ординаты и аппликаты точки — не единственный способ определения положения точки в пространстве. При решении ряда физических задач удобнее применять криволинейную систему координат.
Пусть даны трехмерное пространство и система декартовых координат Oxyz. Введем новые независимые переменные^1, q2, q3:
22
1. Введение
х = x(q',q2,q3), У = г/(?'><72-?3), z = z(q',q2,q3).
Будем предполагать, что данные функции однозначны, непрерывны и дифференцируемы, причем а( < ql <ру (i = 1, 2, 3). Будем предполагать также, что функциональный определитель М. В. Остроградского1 отличен от нуля (за исключением, быть может, отдельных точек пространства), то есть
дх	ду	dz
dq{	dq1	dq1
дх	ду	dz
dq2	dq2	dq2
dx	dy	dz
dq3	dq3	dq3
(1.7)
При сформулированных условиях можно утверждать о взаимно однозначном соответствии между переменными «у1, q2t q3 и х, у, z. Таким образом, положение точки в пространстве можно характеризовать переменными qx, q2, q3. Эти величины называются криволинейными координатами точки.
Важной характеристикой любой криволинейной системы координат является ее метрика, то есть выражение квадрата линейного элемента, определяющего расстояние между двумя бесконечно близкими точками
(<//)2 = {dx)2 +(dy)2 + (dz)2 =
где
дх дх ду ди dz dz . ,	. n о
gik =—-—г + — “^т + —г—г, гД = 1,2, 3.
dq1 dqk dq1 dqk dq1 dqk
Система криволинейных координат называется ортогональной, если gik =0 при i * k. Для ортогональной системы имеем
1 Здесь уместно сделать небольшое историческое отступление. В учебниках, авторы которых не интересуются историей математики, определитель (1.7) ошибочно называется якобианом. Немецкий математик К. Г. Якоби (1804-1851), который жил некоторое время в Петербурге и был знаком с М. В. Остроградским (1801-1862), в письме к своему брату Б. С. Якоби (физик и электротехник) подтверждал, что функциональный определитель (1.7) является частным случаем функционального определителя, впервые введенного М. В. Остроградским. Именно Остроградский первым указал на роль функциональных определителей типа (1.7) при замене переменных в кратных интегралах и при решении дифференциальных уравнений с частными производными. И только советский математик А. Я. Хинчин (1894-1959), опубликовавший свыше 150 работ по математике и ее истории, в своем учебнике «Краткий курс математического анализа» функциональные определители типа (1.7) называет определителями Остроградского.
Криволинейные координаты
23
= H^dq' )2+H22(dq2)2+H23(dq3)2, где величины Я, = y[g~, i = 1, 2, 3, называются коэффициентами Лямэ
dz
и
Заметим, что каждая из величин Я. имеет смысл коэффициента пропорциональности в равенстве, выражающем связь между элементарным приращением длины отрезка вдоль i-й координатной линии и приращением соответствующей криволинейной координаты dq': d^ - Hjdq'.
Приведем для справки аналитические выражения основных операторов математической физики в ортогональных криволинейных координатах:
□ оператор-градиент
(grad (и ))^, =
1 ди
(i = 1, 2, 3);
□	оператор Лапласа
Агг
□ оператор-дивергенция
Ч—► divA =
□	оператор-ротор
rnt 7-	1 Га<ЛзЯз) д(АЧ2Н2)
” Н2Н3 [ dq2 8q3
1 ГЗ(А Н,) 5(А,зЯ3) rot„ А =-----------------------
92 НХН3 dq3 dq1
1 [д(А Н2) д(А rot„ А =----------------------
93 H2Ht [_ dqx dq2
В заключение рассмотрим две важнейших системы ортогональных криволинейных координат в пространстве. Эти системы будут использованы при изучении уравнений распространения волн и Лапласа.
Цилиндрические координаты. Координатные поверхности: круговые цилиндры с осью вращения Oz, плоскости, перпендикулярные оси Oz, и полуплоскости, проходящие через Oz (рис. 1.2).
24
1. Введение
Рис. 1.2. Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты г, ф, 2 связаны с прямоугольными координатами х, у, z соотношениями
X = ГСОЭ(ф), у - Г5Ш(ф), 2=2.
Коэффициенты Лямэ: Hr = 1, -r,Hz = 1.
Оператор Лапласа
диу дг )
Сферические координаты. Координатные поверхности: сферы с центром О и радиусом р, круговые конусы с вершиной О, образующие которых составляют с осью вращения Oz угол 0, и полуплоскости, проходящие через Oz под углом ф к плоскости Oxz (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Сферические координаты
Криволинейные координаты
25
Сферические координаты р, 0, ср связаны с прямоугольными координатами х> у, z соотношениями
х =р sin(0) cos (ср), у = psin(0) sin(cp), z=pcos(0).
Коэффициенты Лямэ: Нр = 1,	= psin(0), Н0 = р.
Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид
1 д ( 2
— р 7" р ор др)
t 1 д р2 sin(O) дд
sin(0)—
I ае
1 д2и р2 sin2 (0) 5<р2
2 Уравнения математической физики
Математическое описание физических процессов приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. Широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка
п п
(«1 j =1
д2и dxfiXj
Л
:=1
ди dxi
+ с(х)и = F(x).
(2.1)
В этой главе мы рассмотрим характерные физические процессы, сводящиеся к различным краевым задачам для дифференциальных уравнений типа (2.1), классификацию таких уравнений и постановки задач математической физики.
Уравнение колебаний
Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний следующего вида:
р(х)—-= V • (р(х)Vu) - q(x)u + F(x, t),	(2.2)
dt2
где неизвестная функция u(x,t) зависит от п пространственных координат (обычно п = 1, 2, 3) и времени t\ коэффициенты р(х), р(х) и q(x) определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член F(x, t) выражает интенсивность внешнего возмущения. В уравнении (2.2), в соответствии с определением операторов дивергенции и градиента,
. / ч 574 д z х ди
V (p(x)Vm) = 2.7— X*)— •
f=t охД дх.
Уравнение колебаний
27
Уравнение малых поперечных колебаний струны
Продемонстрируем вывод уравнения (2.2) на примере малых поперечных колебаний струны. Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости (х,м) струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью х. Величину отклонения струны от положения равновесия в точке х в момент времени t обозначим через м(х,£), так что и = и(х,С)есть уравнение струны в момент времени t. Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с tg а = ди/дх.
Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение Т(х, t) в точке х в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х (рис. 2.1). Любой участок струны (о, Ь) после отклонения от положения равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины:
и, следовательно, в соответствии с законом Гука, величина натяжения | Т(х, t) будет оставаться постоянной, не зависящей от х и 11 T(xt t)\ - То.
Рис. 2.1. Натянутая струна
Обозначим через F(x,t) плотность внешних сил, действующих на струну в точке х в момент времени t и направленных перпендикулярно оси х в плоскости (х,и). Наконец, пусть р(х) обозначает линейную плотность струны в точке х, так что приближенно р(х)Дх — масса элемента струны (х,х + Дг). .
Составим уравнение движения струны. На ее элемент (х,х + Ах) действуют силы натяжения Т(х + Ах,£) и -T(x,t) (рис. 2.1) и внешняя сила, сумма которых, согласно законам Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проецируя это векторное равенство на ось w, на основании
всего сказанного получим равенство
То sin(a) х+Дг -Tosin(a)
F (х, i)Ar = р(х)Дх
д2и
dt2
(2.3)
Но в рамках нашего приближения sin(a) =	—
Jl + tg2(a)
28
2. Уравнения математической физики
а потому из (2.3) имеем
р(х)
д2и
дх
дх
+ F(x, t),
откуда при Дх 0 следует равенство
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. При F * О колебания струны называются вынужденными, а при F = 0 — свободными. Если плотность р постоянна, р(х) = р, то уравнение колебаний струны принимает вид
(2-4)
где f = F/p, a v2 - F0/p — постоянная. Уравнение (2.4) называется одномерным волновым уравнением. Впервые это уравнение было получено Ж. Л. Даламбером в 1743 г. Им же было предложено и общее решение уравнения (2.4).
Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня
Уравнение вида (2.2) описывает также малые продольные колебания упругого стержня (стержнем называется тело цилиндрической формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие; это отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая гнется свободно)
сд2и д(Гсди}	сч
р5—= — Е5— + F(x,0,	(2.5)
dt дх V дх J
где S(x) — площадь поперечного сечения стержня и Е(х) — модуль Юнга в точке х. Если 5(х), Е(х) и р(х) постоянны, то уравнение (2.5) приводится к виду (2.4), где f = F/(p5), a v2 = Е/р.
Дадим вывод уравнения (2.5). Представим себе прямолинейный стержень, диаметр поперечного сечения которого много меньше его длины. Допустим далее, что один конец этого стержня закреплен, а второй — свободен (рис. 2.2). Эти условия несущественны и принимаются для конкретности.
Рис. 2.2. Стержень
Уравнение колебаний
29
Будем считать, что все поперечные сечения стержня одинаковы. Выберем ось стержня как линию, проходящую через центры тяжести поперечных сечений. Координату вдоль оси стержня обозначим х. Каждому поперечному сечению стержня отвечает своя координата х. Реальный стержень является трехмерным телом, то есть занимает некоторый объем в пространстве. Однако если диаметр поперечного сечения стержня значительно меньше его длины, то при взгляде на стержень издалека он воспринимается как линия. Поэтому естественно рассматривать тонкий стержень как материальную линию, то есть объект, лишенный объема, но наделенный массой. Массу стержня удобно задавать посредством линейной массовой плотности, которую можно вычислить так. Если S(x) — площадь поперечного сечения стержня, то объем материала стержня, заключенного между поперечными сечениями АВ и CD, вычисляется по очевидной формуле dV = Sdx. Масса этого бесконечно малого объема dm - pSdx, где р — массовая плотность материала, из которого изготовлен стержень. Реальный стержень моделируется линией. Мы должны считать, что массы реального стержня и модели одинаковы. Если через рс обозначить линейную плотность массы стержня-модели, то масса его элемента dx равна dm = рс dx. Получаем соотношение для определения р(. через трехмерную плотность р
dm = pcdx = pSdx => рс = р5.
Представим себе, что мы ухватили за правый конец стержня, оттянули его вдоль оси х и отпустили. Ясно, что при этом точки стержня придут в движение и стержень начнет колебаться вдоль оси х. Такие колебания стержня называются продольными колебаниями. Чтобы описать состояние колеблющегося стержня, введем в рассмотрение функцию двух переменных u(x,t) — перемещение точки стержня с координатой х в момент времени t вдоль оси стержня. В процессе движения стержня в момент времени t поперечное сечение АВ стержня сместится вдоль оси на расстояние u(x,t), так что его координата будет равна х + u(x,t). Поперечное сечение CD стержня также сместится, и его координата будет
.	. ♦ if
ди
х + dx + и(х + dx,t) = х + dx + и(х, t) + — dx.
дх
Расстояние между сечениями АВ и CD в момент времени t будет
х + u(x,t) + dx +
- [х ч- и(х, £)] = 1 +
ди
Продольной деформацией стержня называется относительное изменение длины бесконечно малых отрезков стержня. В нашем случае относительное удлинение отрезка dx между сечениями АВ и CD, согласно последней формуле, равно
Составим уравнение движения стержня. На элемент стержня (х,х + dx) действу-ют силы натяжения Т(х + dx, t), -T(x,t) и внешняя массовая сила, распределен-
30
2. Уравнения математической физики
ная по длине стержня и изменяющаяся с течением времени (рис. 2.3). Усилие Т -T(x,t)i моделирует воздействие части стержня, находящейся правее точки с координатой х, на часть стержня, находящуюся левее точки с координатой х. Плотность массовой силы в момент времени t в сечении х обозначим F - F(x,t)i. Если T(x,t) >0, то усилие T(x,t) называется растягивающим, если T(x,t) <0, то усилие T(x,t) называется сжимающим, или усилием сжатия. Сумма всех этих сил, согласно законам Ньютона, должна быть равна произведению массы рассматриваемого элемента на ускорение.
Рис. 2.3. Усилия в стержне
На основании сказанного будем иметь
Т(х + dx,t)-T(x,t) + F(x,t)dx = p(x)S(x)dx—-
— dx + F(x,t)dx = p(x)S(x)dx^-^ dx	dt
^ + F(x,t) = p(x)S(x)^-.	(2.6)
dx	dt
 t t ' r '
Последнее уравнение содержит две неизвестные функции: усилие f = T(x,t)i и перемещение и(х, t). Таким образом, для решения задачи необходимо дополнительное условие. Мы будем рассматривать малые продольные колебания, поэтому таким дополнительным условием является закон Гука, устанавливающий пропорциональность силы и перемещения; в нашем случае
Т(х, О = ESt = ES —,	(2.7)
dx
где коэффициент пропорциональности ES называется жесткостью стержня на растяжение. Соотношение (2.7) называется определяющим уравнением, или соотношением упругости, справедливым только для малых деформаций е и упругих стержней. Подставляя (2.7) в (2.6), получаем (2.5).
Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны или стержня необходимо дополнительно задать величины смещения и и скорости ut = du/dt в начальный момент времени (начальные условия) и режим на концах (граничные условия).
Уравнение колебаний
31
Рассмотрим некоторые примеры граничных условий:
а)	если конец х0 струны или стержня движется по закону ц(0, то
ц х_хп =н(0;
б)	если на правый конец х0 струны действует заданная силау(£), то
ди	_ v(t)
дх	~Т
ил х =х 0	1 о
Действительно, в этом случае
ди
° дх
70sin(a)
г-ло =V(t);
л -л О
х=х0
в)	если правый конец х0 закреплен упруго и a — коэффициент жесткости закрепления, то в соответствии с законом Гука
г ди	л
Е — + aw	=0.
дх
X -X о
Таким образом, желая полностью охарактеризовать физическую задачу, мы не можем ограничиться только дифференциальным уравнением; необходимо добавить некоторые дополнительные соотношения — начальные и граничные условия.
Поясним необходимость добавления дополнительных соотношений на следующем примере. Колебания струны, как нам уже известно, описываются дифференциальным уравнением (2.4). Допустим, что струна имеет длину /ив состоянии равновесия занимает отрезок [0,/] оси х. Далее допустим, что струна в момент времени t =0 была выведена из положения равновесия и начала колебаться. Задача состоит в том, чтобы исследовать отклонение u(x,t) точки струны с произвольной абсциссой х е [0,/] в произвольный момент времени, следующий за на-; чальным, то есть в момент времени t >0. Иначе говоря, функция и(х, t), удовлетворяющая уравнению (2.4), должна быть определена на плоскости переменных х и t в области D: t > 0, 0 < х < I, Граница этой области состоит из отрезка [0, /] оси х и из двух лучей х = 0, t > 0, и х - I, t > 0. Единственными данными в уравнении (2.4) являются величина v2, которая определенным образом зависит от физических особенностей струны (от ее плотности и натяжения), и функция f(x,t\ характеризующая внешнюю силу, которая в момент времени t действует на точку х струны. Уравнение (2.4) не содержит никакой информации о том, каким образом струна была выведена из положения равновесия, а также о том, каково состояние концов струны (они могут быть закреплены или, наоборот, свободны или их перемещения стеснены теми или иными ограничениями). Указанная информация должна быть сообщена особо. Вывести струну из состояния равновесия можно, сообщив ее точкам либо начальное отклонение, либо начальную скорость, либо и то и другое вместе. Пусть точке х струны, 0 < х < /, сообщены начальное отклонение ср(х) и начальная скорость \у(х). Тогда искомая функция u(x,t) должна удовлетворять соотношениям
32
2. Уравнения математической физики
U М) = фО),
ди dt
г=о“ V(x)> 0 < X < /.
(А)
Пусть еще известны законы колебания концов струны: пусть в момент времени t >0 смещение левого конца струны равно |i0(O> а смещение правого конца — Ц/(0. Тогда должны выполняться еще соотношения
ML=o =Мо(0- «Lw =Н|(О-	(Б)
Условия (Б) нет необходимости ставить, если струна бесконечная, то есть если она в состоянии равновесия заполняет всю осьх.
Дополнительные условия (А) и (Б) должны выполняться на линиях t =0, х =0, х = /, то есть на границе области Z), в которой определена функция u{x,t)-По этой причине такие условия и называются граничными или краевыми условиями.
Заметим, что условия (А) и (Б) не вполне независимы. Если требовать, чтобы функция и(х, t) была непрерывной не только внутри области D, но и на ее границе, то необходимо, чтобы выполнялись соотношения
ср(О) = цо(О), Ф(/) = ц;(0).	(В)
Соотношения (В) называются условиями согласования. Они вытекают из требования, чтобы смещение концов струны было непрерывным в начальный момент времени. Если требовать, чтобы на границе области D были непрерывны также и некоторые из производных функции и(х, t), то могут возникнуть новые условия согласования. Например, если требовать непрерывности первых производных, то необходимо, чтобы
\|/(0) = ц'о(О),
Если требовать непрерывности вторых производных, то появляются условия
ц'о(0)-^2ф"(0) =/(0,0), ц';(0)-О2ф"(0) = /(/,0).
Далее мы покажем, что при достаточно слабых ограничениях уравнение (2.4) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее условиям (А) и (Б). Это означает, что уравнения (2.4), (А) и (Б) содержат всю информацию, необходимую для исследования колебаний струны (решение единственно) и не содержат избыточной, противоречивой информации (решение существует).
Уравнение малых поперечных колебаний мембраны
Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны (мембраной называется тонкая натянутая плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу, но оказывающая сопротивление растяжению)
р(х)
д2и
~dt*
+ F(x,t), х=(х1,х2).
(2.8)
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны
Уравнение колебаний
33
называется двумерным волновым уравнением.
Дадим вывод уравнения (2.8). Будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно плоскости мембраны, за которую мы примем плоскость Оху. Пусть и = w(x, у, t) — величина смещения точки с координатами (х,у) в момент времени t. Критерием малости колебаний служат условия
Пусть ds — элемент дуги некоторого контура, лежащего на поверхности мембраны, М — точка этого элемента. На этот элемент действуют силы натяжения Tds. Отсутствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу математически выражается в том, что вектор натяжения Т лежит в плоскости, касательной к поверхности мембраны в точке М, и перпендикулярен элементу ds, а натяжение Т в этой точке не зависит от направления элемента ds, содержащего точку М. Из предположения о малости колебаний следует:
□	Проекция 7^[р вектора натяжения Т на плоскость (х,у) равна Т.
□	Натяжение Т не зависит от времени t.
Действительно, 7^1р = Т cos (а), где а — угол между вектором Т и плоскостью (х, у). Но а не больше угла у между касательной плоскостью к поверхности мембраны, в которой лежит вектор Г, и плоскостью (х,уУ а < у. Поэтому
cos(a) > cos(y) =
Следовательно, cos (a) « 1, и значит, Т « Т.
Далее рассмотрим участок 5 невозмущенной мембраны. Его площадь равна
dxdy.
Площадь этого участка в момент времени t равна
dxdy
s C0S(Y)
^dxdy.
Таким образом, площадь фиксированного участка мембраны не меняется со временем, то есть участок не растягивается. Поэтому в силу закона Гука и Г не меняется со временем. Из того, что вектор Т направлен по перпендикуляру к элементу дуги ds, следует, что Т не зависит также от х и у.
Рассмотрим элемент мембраны, для которого точка N(x,y,u) — средняя точка. На этот элемент, кроме сил натяжения Т, действует внешняя распределенная по
34
2. Уравнения математической физики
поверхности нагрузка q(x,y> t), рассчитанная на единицу площади и перпендикулярная к поверхности мембраны (рис. 2.4). Равнодействующая внешних сил будет равна q(x,yyt)dx dy. Равнодействующая сил натяжения
dxdy.
' д2и д2и
^дх2 ду2
Рис. 2.4. Натянутая мембрана

Обозначим через р(х,у) поверхностную плотность мембраны (плотность, рассчитанную на единицу площади). Тогда масса рассматриваемого элемента мембраны будет р(х, y)dx dy. Таким образом, в силу законов Ньютона мы можем написать уравнение
р(х,у )dx dy = q(x,y,t)dx dy + Т\ dt1
1 д2и (д2и д2и'\ q(x,y,t) _ [Г v2 dt2 ,ох2 ду2 ; Т ’ у р
(2.9)
Величина v имеет размерность скорости. Она характеризует скорость распространения колебаний. В частном случае может быть q(x,y,t) = 0, тогда мы имеем уравнение свободных колебаний мембраны
(2.10)
Для завершения постановки задачи о колебаниях мембраны зададим начальные и граничные условия.
Начальные условия:
= у(х,г/).	(2.11)
/=0
, х ди =ф(х,г/), —
и
Граничные условия на контуре Г:
Уравнение колебаний
35
иг =0.	(2.12)
Итак, задача о колебаниях мембраны сводится к интегрированию уравнений (2.9) и (2.10) при начальных и граничных условиях (2.11) и (2.12).
Задача о равновесии мембраны
Если считать, что q = q(x,y), то есть внешняя поперечная нагрузка не зависит от времени, то можно ставить задачу о равновесии мембраны. Уравнение равновесия можно вывести непосредственно либо его можно получить из уравнения колебаний. Уравнение равновесия мембраны имеет вид
Z д2и д2и _ _q(x,y)
^дх2 ду2 j Т
Это уравнение надлежит интегрировать с граничным условием, например, с условием вида (2.12). Начальные условия не ставятся.
Задача об установившихся синусоидальных колебаниях мембраны
Пусть q - q(x,y,t) зависит от времени специальным образом
q(x,y,t) = Q(x,y)cos(<n0 либо
q(x,y,t) = Q(x,z/)sin(coZ),
где со — частота внешней возмущающей силы.
В этом случае и решение задачи целесообразно искать в виде
u(x,y,t) = U(x, у) cos(cot)
либо
и(х,у, О = l/(x,z/)sin(cot)
соответственно.
После подстановки этих функций и(х,у, 0в уравнение колебаний мембраны получим уравнение
которое надлежит интегрировать при граничных условиях, например, в виде (2.12).
Телеграфное уравнение
В качестве еще одного примера волнового уравнения рассмотрим телеграфное уравнение, которое применяется в теории распространения квазистационарных электрических колебаний по кабелям.
Если протяженность электрической цепи велика (например, телеграфные линии или линии передачи энергии), то такую цепь нельзя характеризовать сосредо
36
2. Уравнения математической физики
точенными параметрами (сопротивлением, емкостью, катушкой самоиндукции). В простейшем случае, когда электрическая цепь имеет большую протяженность, можно говорить о линиях с распределенными параметрами \ При изучении таких линий учитывают сопротивление проводов, индуктивность линии, утечку тока в атмосферу вследствие отсутствия изоляции провода или ее несовершенства, а также взаимную емкость между проводами (или между проводом и землей). Мы будем рассматривать однородную линию, то есть линию, для которой сопротивление, индуктивность, утечка и емкость распределены вдоль провода непрерывно и равномерно; для наглядности будем считать линию двухпроводной (рис. 2.5). Будем считать, что линия электропередачи обладает омическим сопротивлением 7?, самоиндукцией Z, емкостью С и утечкой изоляции g, рассчитанными на единицу длины. Пусть напряжение между проводами и ток на расстоянии х от начала линии х = 0 в момент времени t равны, соответственно, w(x, t) и I(x, t). Эти функции и являются искомыми; они связаны двумя дифференциальными уравнениями, которые мы сейчас выведем.
и
,ди а и + — дх дх
Рис. 2.5. Линия электропередач
Напомним, что самоиндукция L — коэффициент пропорциональности, связывающий электродвижущую силу самоиндукции со скоростью изменения тока, то есть ис = Ldl/dt. Емкость С — коэффициент пропорциональности между током смещения и скоростью изменения напряжения, то есть /см = Cdu/dt. Последнее равенство получается дифференцированием соотношения q = Си, где q — количество электричества, остающегося на участке провода, рассматриваемого как обкладка конденсатора, а и — напряжение. Наконец, утечка g есть коэффициент пропорциональности между током утечки и напряжением:/v ~gu.
Для составления дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять функции w(x, t) и /(х, t), выделим участок провода от точки с абсциссой х до точки с абсциссой х + dx. Если напряжение и ток в точке х в момент времени t равны, соответственно, w(x, t) и I(x, t), то в точке х + dx в тот же момент времени значения этих величин (с точностью до бесконечно малых высших порядков по сравнению с dx) будут равны и + {du/dt)dx и I + (dl/dt)dx. Падение напряжения на рассматриваемом участке будет вызываться потерей напряжения в проводе, то есть величиной Rdxl, и возникновением противодействующей электродвижущей силы самоиндукции и с -Ldx{dl/dt). Поэтому
1 Если длина электромагнитной волны настолько мала, что она сравнима с поперечными размерами проводника, то полученные здесь уравнения становятся неприменимы. В этом случае необходимо прибегнуть к решению уравнений электромагнитного поля, излагаемому в специальных курсах.
Уравнение колебаний
37
то есть
- Rdx I + Ldx
di
ди + di
дх dt
+ RI =0.
(2.13)
Далее изменение тока на этом же участке обусловлено током утечки и током смещения. Следовательно,
dx и + С dx
ди
откуда
д!
+ gu
-0.
(2.14)
Большое значение имеют начальные и граничные условия, которые должны выполняться на концах линии. Начальные условия в общем случае формулируются так:
и
г-0
= vU).
= чХ», I
Пользуясь уравнениями (2.13) и (2.14), легко найти du/dt и di/dt при t =0.
Если в начале линии х = 0 включен источник питания с электродвижущей силой Е, а на конце .г = / имеется приемник тока с сопротивлением Rf, то граничные условия будут
= £<ч. 4_, =vL.r
В частности, если, например, один конец х - 0 поддерживается под напряжением Е, а другой х = I замкнут накоротко, мы имеем
Если, например, конец х =0 линии открыт, то в этом конце мы должны иметь
/ л =0.
л-о
Вообще, если в конце (х ~ I) линии включены внешняя электродвижущая сила Е, сопротивление R и самоиндукция Е, то в этом конце мы должны иметь
Разумеется, можно рассматривать любую комбинацию условий при х = 0 и х = /. Исключим ток из уравнений (2.13) и (2.14), получим
д2и 1 д2и	t ^D\du t „	1
ут= — —T + (Lg	+ CR)— + Rgu,	v = -=.	(2.15)
дх v dt	ot	dLC
Уравнение (2.15) называется телеграфным уравнением’, v — скорость передачи сигнала по кабелю.
В силу симметрии уравнений (2.13) и (2.14) аналогичное уравнение получается и для тока I (заменой в (2.15) напряжения и на ток /).
38
2. Уравнения математической физики
Если считать R=0f g =0, то вместо уравнения (2.15) мы будем иметь уравнение для линии без потерь
д2и _ 1 д2и
дх2 v2 dt2
Это — одномерное волновое уравнение.
В завершение рассмотрения уравнений колебаний отметим еще, что в трехмерном координатном пространстве рассматривается трехмерное волновое уравнение
(2.16)
Это уравнение описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Ему удовлетворяют плотность и давление газа, потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы.
Уравнение диффузии
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии:
р(х)
ди dt
= V • (p(x)Vw) - q(x)u + F(x, t).
(2.17)
Уравнение теплопроводности
Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через u(x,t) температуру среды в точке х = (xt ,х2,х3) в момент времени t. Считая среду изотропной, обозначим через р(х), с(х') и k(x), соответственно, ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности в точке х. Обозначим через F(x, 0 интенсивность источников тепла в точке х в момент времени t. Если различные точки среды имеют различную температуру, то в этой среде будет происходить естественный процесс передачи тепла от участков более нагретых к участкам менее нагретым. Этот процесс передачи тепла можно характеризовать вектором плотности потока тепла q — вектором, направление которого совпадает с направлением потока тепла в данный момент времени. Величина этого вектора — количество тепла, протекающего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока тепла. Экспериментально установлено, что
q = -kVu.	(2.18)
Соотношение (2.18) называется законом Фурье. Выделим в среде бесконечно малый объем, средняя точка которого (х( ,х2,х3): dr - dx^dx^dx^. Составим баланс тепла для этого объема. Количество тепла, выделяемого в объеме dx за время АЛ будет dQ{ = F(x, t)dx\t. Количество тепла, израсходованного в dx за М на нагрев этого объема,
Уравнение диффузии
39
= cpdx[u(x,t + &t)-u(xtt)] = cpdx
du dt
Количество тепла, вытекающего из объема за At, будет
А
dx3 At = (V • q)dx At.
dx^

Из закона сохранения энергии dQ{ = dQ2 + dQ3, откуда получаем уравнение
du
(y-q) + cp^=F(X,t).	(2.19)
dt
Уравнения (2.18) и (2.19) содержат две неизвестные функции q и w(x,t). Исключив qt будем иметь
du
ср ™ _V .(kVu) = F(x,t).	(2.20)
dt
Если среда однородна, то есть с, р и k — постоянные, то уравнение (2.20) принимает вид
— =и2Дм + /(х,О, v2 = — , f =—.	(2.21)
dt	ср ср
Уравнение (2.21) называется уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье,
Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие).
Рассмотрим некоторые примеры граничных условий:
а)	если на границе S поддерживается заданное распределение температуры uQ, то
U $ Uq ,
б)	если на границе 5 поддерживается заданный поток тепла q, то
, du
-k— =q;
dn с
(2.22)
(2.23)
в)	если на границе 5 происходит теплообмен согласно закону Ньютона, то
(2.24)
где h — коэффициент теплообмена, uQ — температура окружающей среды;
г)	если граница 5 является границей раздела двух сред (теплообмен соприкасающихся твердых тел или конвективный теплообмен тела с жидкостью),
40
2. Уравнения математической физики -......................... '	t - 
когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова, то в этом случае граничные условия задаются как условия равенства температуры и плотностей теплового потока на поверхности соприкосновения двух сред (или тел)
. ди. . ди2
и. _ = м2	—- =k2 —-
1	5	25	1 дп s 2 дп
(2.25)
Возможны и многие другие граничные условия.
Уравнение диффузии
Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц. При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться законом Нернста
q = -DVw,	(2.26)
где D(x) — коэффициент диффузии и u(x,t) — плотность частиц в точке х в момент времени t. Уравнение для плотности u(x,t)будет иметь вид (2.17), где р обозначает коэффициент пористости, р = D и q характеризует поглощение среды.
Представим себе, что имеется некий объем, заполненный жидкостью или газом. Пусть С — концентрация диффундирующего вещества в этом объеме; q — вектор плотности потока диффундирующего вещества. Согласно закону Нернста (2.26)
q = -DVC.	(2.27)
Выделяем малый элемент объема dx и составляем баланс вещества. Пусть Q(x,z/,z, £) — плотность выделения вещества, тогда Q(x,y,z,t)dxdt — количество вещества, выделившегося в объеме dx за время dt. Имеем
Q(x,y,z,t)dxdt = [С|t+di -C|f ] dx + div(^)JrA.
Здесь первое слагаемое в правой части последнего уравнения характеризует увеличение вещества в объеме dx за время dt, а второе слагаемое — количество вещества, вытекающего из объема dx за время dt.
Таким образом, получаем следующее уравнение:
^ + div(^) = Q(x)v,z,0. dt
(2.28)
Исключим теперь из уравнений (2.27) и (2.28) вектор плотности потока диффундирующего вещества q. Окончательно будем иметь основное уравнение теории диффузии в виде
дС- —— -
D dt D
Это уравнение надлежит интегрировать с начальными условиями
С ,=0 = <pCr,^)
и какими-нибудь граничными условиями на поверхности S. Например, в случае непроницаемых стенок такими условиями будут
Стационарное уравнение
41
дС дп
Могут быть и другие условия.
Стационарное уравнение
Для стационарных процессов F(x,t) = F(x), u(xft) = u(x) уравнения колебаний (2.2) и диффузии (2.17) принимают вид
-V -(p(x)Vu)+ q(x)u =F(x,t).
(2.29)
При р - const и q = 0 уравнение (2.29) называется уравнением Пуассона
Ьи =-f, / =	(2.30)
Р
при f = 0 уравнение (2.30) переходит в уравнение Лапласа
Аи = 0.
Для полного описания стационарного процесса необходимо задать режим на границе — одно из граничных условий (2.22)-(2.25).
Пусть в волновом уравнении (2.16) внешнее возмущение f(x,t) периодическое с частотой сои амплитудой a2 f(x), то есть
f(x,t) = a2 f{x)el(at.
Если искать периодические возмущения u{x,t) с той же частотой и неизвестной амплитудой и(х)>
u(x,t) = a2u(x)el{S3t,
то для функции и(х) получим стационарное уравнение
Ди + k2u = -/(х), k2
а
которое называется уравнением Гельмгольца. К такому уравнению, как мы видели, сводится задача об установившихся синусоидальных колебаниях мембраны.
Вывод уравнения электростатики
Предположим, что в пространстве распределен электрический заряд с плотностью р = p(x,i/,z) — заряд в единице объема. Этот заряд создает электрическое поле, которое характеризуется вектором напряженности Е. Известно, что поле является потенциальным, то есть
Е = -grad(w),
где и — потенциал.
Выделим малый элемент объема со средней точкой A/(x, z/,z)co сторонами dx, dy, dz: dx - dx dy dz. Подсчитаем поток вектора Ё через поверхность объема dx
2
dy dxdz-E
у + —	*
2
dy dx dz +
42
2. Уравнения математической физики
+ EJ dzdxdy-Ez\ dzdx dy = div(E)^T.
Z+ 2	2 2
Согласно теореме Остроградского—Гаусса1, поток через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в этот объем
div(E) dx = 4лр(х,г/,г)й?т,
откуда
div(E) = 4лр(х,у,г)
или
Дгг = ~4лр(х,у,2).
(2.31)
Уравнение (2.31) — уравнение Пуассона. Если р =0, то уравнение (2.31) принимает вид
Ли =0.
Уравнение (2.32) — уравнение Лапласа.
(2.32)
Вывод уравнения гидродинамики
Пусть в пространстве имеется стационарный поток жидкости. Будем считать жидкость несжимаемой (плотность р = const). Такой поток характеризуется скоростью у, причем, если течение жидкости не вихревое, то скорость является потенциальным вектором, то есть
v - -grad(w)^	(2.33)
где и — потенциал скорости.
Рассмотрим элементарный объем в форме параллелепипеда и подсчитаем поток через поверхность этого объема за единицу времени
v
du dxdz-vu j^dxdy =div(n)fi?i. 2 2
у

Z
Условие стационарности и вытекает из него) дает
+ chdxdy -v
2	2
потока (сколько жидкости втекает в объем, столько же
div(fJ) = 0.	(2.34)
Учитывая соотношение (2.33), получим из (2.34)
Ли =0,	(2.35)
то есть потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Рассмотрим задачу об обтекании твердого тела потоком жидкости. Пусть некое тело, ограниченное поверхностью 5, помещено в поток жидкости, движущейся
1 Калашников С. Г. Электричество. — М.: Наука, 1970. 667 с.
Основные уравнения математической физики
43
с заданной скоростью d0. Поток жидкости предполагается однородным. Наша задача — определить поле скоростей в этом потоке.
Представим потенциал скоростей в любой точке потока как сумму и = uQ + где uQ — потенциал однородного невозмущенного потока (когда тело отсутствует)
«о = cos(a) + у cos(P) + z cos(y)],
а их — возмущение из-за присутствия тела в потоке. Здесь, очевидно, а,р,у — углы, которые составляет вектор скорости £0 с координатными осями.
Потенциал щ удовлетворяет уравнению (2.35) во всем пространстве, то есть
— 0.
Условие на границе S имеет вид
V I =0 => — =0	= /(Р),	(2.36)
fl Ч	л.	х '	х	<
071	О71	ОТ1
где f (Р) — заданная функция точки Р е 5.
Граничное условие вытекает из требования, что нормальная составляющая скорости на границе тела равна нулю. Кроме того, должно выполняться условие затухания возмущений на бесконечности, то есть
(2.37)
Таким образом, задача об обтекании твердого тела потоком жидкости сводится к интегрированию уравнения Лапласа при условиях (2.36) и (2.37).
Основные уравнения математической физики
В предыдущих параграфах мы достаточно подробно знакомились с разнообразными задачами физики и механики, которые приводят к уравнениям с частными производными. Можно привести еще много примеров подобного рода. Но основная наша цель состоит не в выводе уравнений в частных производных, а в исследовании и решении их.
В этом параграфе мы просто еще раз перечислим основные наиболее часто применяемые уравнения математической физики.
1.	Мы начнем с самого простого и, быть может, одного из важнейших уравнений математической физики — уравнения Лапласа
д2и	д2и д2и
дх2 ду2	дг2
(2.38)
Левая часть уравнения (2.38) обозначается, как мы видели ранее, символом Aw и называется оператором Лапласа над функцией и. Помимо уравнения Лапласа, оператор Лапласа входит в волновое уравнение, в уравнения теплопроводности и диффузии и в ряд других уравнений. Уравнение Лапласа встречается в электростатике, магнитостатике, гидро- и аэродинамике, теории теплопроводности, теории упругости и в других науках. Уравнению (2.38) должен удовлетворять
44
2. Уравнения математической физики
потенциал сил тяготения или сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс или вне зарядов, создающих поле. Этому уравнению должен удовлетворять потенциал скорости безвихревого течения несжимаемой жидкости. Уравнению (2.38) должна удовлетворять температура в однородном теле* если теплообмен является стационарным, то есть температура и зависит только от места, но не от времени.
2.	Уравнение Пуассона
д2и	д2и	д2и
----- I'
дх2, ду2	dz2
= -f{x,y,z).
Область применимости — та же, что и для уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа описывает поля, не имеющие внутренних источников, а уравнение Пуассона — поля с распределенными внутренними источниками. Эти уравнения встречаются почти во всех областях прикладной физики.
3.	Волновое уравнение
= -/(*» ЗА 0-
Это уравнение встречается при описании волновых процессов. Волны могут иметь разную природу.
4.	Уравнение теплопроводности Фурье
Au- — —-
Это уравнение встречается в теории теплопроводности, теории диффузии, теории ядерных реакторов.
5.	Уравнение Гельмгольца
Au + k2u - -f(x>y,z\ k - const.
Это — уравнение для амплитуд установившихся периодических колебаний заданной частоты; k - <&/v — волновое число.
6.	Уравнение Шредингера
2/TZ ^(£-V)V=0.
Это одно из уравнений квантовой механики. Здесь \|/(х) — волновая функция; т — масса частицы; Е — энергия частицы; У(х) — потенциал внешнего силового поля; h — постоянная Планка (А = 1,054 • 10'27 эрг • с).
7.	Распространение волн в средах с поглощением энергии описывается уравнением
Au -
д2и , ди
Все перечисленные уравнения представляют собой линейные уравнения в частных производных второго порядка. Эти уравнения стали уже классическими уравнениями математической физики. Однако уравнений второго порядка недостаточно для того, чтобы изучать даже важнейшие стационарные явления.
Основные уравнения математической физики
45
В качестве примеров приведем уравнения, которые используются в теории упругости. Так, теория изгиба упругой призматической балки приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению равновесия четвертого порядка относительно функции нормального прогибай
d2 dx2
=
Если нагрузка q зависит не только от координаты х, но и от времени, то балка будет совершать колебательное движение, которое описывается уравнением поперечных колебаний призматической балки в частных производных
q(x,t) -р5
д2и dt2'
Здесь Е — модуль упругости балки; J — момент инерции площади поперечного сечения 5 относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний; р — плотность. Если EJ = const, то, полагая Е J/(pS) - а2 и f(x,t) = = q{x,t)/(pE), получим окончательно уравнение колебаний в виде
д2и 2 бЛи
-~Г + а —7 dt2	дхА
= f(x,ty
Задача о поперечных колебаниях упругой призматической балки сводится к интегрированию данного уравнения с начальными и граничными условиями, зависящими от вида закрепления концов балки.
Начальные условия
ди
Tt
г=0
= vOO-
Приведем три вида наиболее распространенных граничных условий. В случае жесткой заделки конца балки граничные условия на этом конце имеют вид (прогиб и угол поворота — нулевые)
п ди w = 0, — = 0.
дх
В случае свободной опоры конца балки (прогиб и изгибающий момент на опоре — нулевые) граничные условия сводятся к уравнениям
дхЛ
В случае свободного конца балки (изгибающий момент и перерезывающая сила — нулевые) граничные условия сводятся к уравнениям
Л_о Л=о
дх2 дх3
Второй пример. Теория изгиба тонких пластин приводит к уравнению равновесия четвертого порядка в частных производных относительно функции нормального прогиба и
DVau = q(x,y).
(2.39)
46
2. Уравнения математической физики
Здесь D ~ так называемая цилиндрическая жесткость пластины, V4 = Д2 — би-гармонический оператор, который в декартовых координатах имеет вид
Уравнение (2.39) называется уравнением Софи Жермен—Лагранжа
Если нагрузка q зависит не только от координат х, г/, но и от времени, то пластинка будет совершать колебательное движение, которое описывается уравнением в частных производных
1 д2и 4„ _ q(.x,y,t)	4 _ D
.	_ I ▼ И*	'	у W	•
a4 dt2	D	ph
(2.40)
Здесь р — плотность, h — толщина пластинки.
Интегрирование уравнения (2.40) необходимо вести с учетом начальных и граничных условий. Рассмотрим наиболее распространенные граничные условия. Если один из краев прямоугольной пластинки шарнирно оперт, тогда прогиб и изгибающий момент вдоль этого края равны нулю. Это приводит к условиям л д2и п
и = 0, —- = 0.
дх2
Если край жестко заделан, то прогиб и угол поворота сечения в точках края равны нулю
л ди и = 0, — =0.
дх
Если край свободен, то на этом краю обычно ставятся следующие условия:
д3и
дх3
Здесь v — коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлена пластинка.
Классификация уравнений второго порядка
В этом параграфе мы дадим классификацию квазилинейных (линейных относительно всех старших производных) дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.
Классификация уравнений в точке
Будем рассматривать функции п независимых переменных и = u(x{ix2,...,xn). Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка I1
а,,(х) 5 -- + Ф(х,ц,Уц) = 0'	(2.41)
dXjdXj
с непрерывными коэффициентами а у (х) в области D. Можно считать без потери общности, что ау = а-. Зафиксируем определенную точку (х^х® ,...,х® )в области D и составим квадратичную форму
Классификация уравнений второго порядка
47
п
g(XltX2......Х„) =
i,)=l
(2.42)
Квадратичная форма (2.42) называется квадратичной формой, связанной с уравнением (2.41). Составим определитель формы (2.42)
а11	а12	*" а1п
а21	а22	••• а2п
•	«В	«
 « • «
в	в	*	В
«„1	&п2	' ’ &пп
Будем говорить, что квадратичная форма (2.42) определенная, если она сохраняет знак при любых изменениях переменных X, и неопределенная, если ее знак меняется.
Мы скажем, что уравнение (2.41) принадлежит эллиптическому типу в точке (х^Хз ,...,х°), если А * 0 и g — определенная форма; уравнение (2.41) принадлежит гиперболическому типу, если А * 0 и g — неопределенная форма; уравнение (2.41) принадлежит параболическому типу, если А = 0. Уравнение (2.41) принадлежит эллиптическому типу (соответственно, гиперболическому или параболическому) в области D, если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому (соответственно, гиперболическому или параболическому) типу. Если коэффициенты а1} постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных.
Отметим, что приведенная классификация не зависит от выбора переменных и остается неизменной при замене переменных. Введем вместо переменной х новые независимые переменные
= ^.(х1,х2,...,хя), 1 = 1,2,
при этом
Так как J * 0, то в некоторой окрестности можно выразить переменные х через переменные х - х(^). Обозначим п(х(£)) = й(^); тогда й(^(х)) = а(х). Имеем
ди _ у да
д2и dXjdXj
д2й
d^k dXi dXj
дй аЧ/
5^ дХ}дх}
48
2. Уравнения математической физики
Здесь мы, конечно, предполагаем, что функции % = £>(х) обладают непрерывными вторыми производными. После подстановки последних выражений в уравнение (2.41), получим
(2.43)
Обозначив теперь новые коэффициенты при вторых производных через
ij-l	дХ- дхj
перепишем уравнение (2.43) в виде п
Е«*/Щ^-+ф(^йл«)=о. *.М|
В фиксированной точке (х®, х°,	Л’°) обозначим £° = ^х°), ад = dE,/(x°)/dxi ;
тогда формула (2.44) запишется в виде
aw(£°) = ХМх°)°Чал-
1,7 =1
(2.45)
Формула (2.45) преобразования коэффициентов aij(xf>) совпадает с формулой преобразования квадратичной формы (2.42) при неособенном линейном преобразовании
И
Xi=1LajiYj’ det(ay,)*0, 7=1
(2.46)
переводящем форму (2.42) в форму
и»1
В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда существует неособенное преобразование (2.46), при котором квадратичная форма (2.42) принимает следующий канонический вид
г	т
Ет2(2.47)
1=1	i=r+t
Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм, целые числа г и тне зависят от преобразования (2.46).1
Приведенная классификация зависит от точки х°, так как числа г и т зависят
1 См., например, Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Паука. 1970. 400 с.; Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1980. 336 с.
Классификация уравнений второго порядка
49
Пусть коэффициенты ау в уравнении (2.41) постоянны, и пусть преобразование (2.46) приводит квадратичную форму (2.42) к каноническому виду (2.47). Тогда линейная замена независимых переменных
н
преобразует уравнение (2.41) к следующему каноническому виду:
Уравнения разных типов описывают разные по характеру явления и процессы и, наоборот, уравнения одного типа описывают схожие явления. Например, гиперболические уравнения описывают процессы распространения волн и колебания; параболические уравнения описывают явления переноса; эллиптические уравнения — статические процессы, задачи об установившихся стационарных движениях.
Рассмотрим ряд примеров.
1.	Уравнение Лапласа
. д2и д2и д2и Аи =-----н-----+----
дх2 ду2 dz2
Составим для него квадратичную форму g = X2 + У2 + Z2; определитель этой формы
1
О О
1 О
О 1
= 1^0.
О
Ясно, что g — определенная форма (положительно определенная). Следовательно, уравнение Лапласа принадлежит к эллиптическому типу. К этому же типу относятся уравнения Пуассона и Гельмгольца.
2.	Волновое уравнение
d2w д2и д2и	1 д2и
дх2	ду2 dz2 a2 dt2
Составим для него квадратичную форму g = X2 +Y 2 + Z2 -Г2/д2; определитель этой формы
10 0	0
0 10	0
а2
Очевидно, что g -- неопределенная форма; тип уравнения — гиперболический.
50
2. Уравнения математической физики
3.	Уравнение Фурье
д2и	д2и д2и ~ 1 ди
дх2	ду2 dz2 a2 dt
Квадратичная формаg =Х2 + У2 + Z2; определитель этой формы
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 0
Уравнение относится к параболическому типу.
4.	Уравнение Трикоми
Квадратичная форма g = уХ2 + У2; определитель этой формы
Это уравнение смешанного типа. Если у < 0 — тип уравнения гиперболический; если у > 0 — эллиптический тип, а если у = 0, то уравнение параболического типа.
Классификация уравнений с двумя независимыми переменными
В предыдущем разделе мы рассмотрели вопрос о приведении квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка к каноническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравнение. Для каждой точки х° имеется свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду. Дифференциальное уравнение с числом независимых переменных больше двух (если исключить случай постоянных коэффициентов), вообще говоря, невозможно привести с помощью преобразования независимых переменных к каноническому виду даже в сколь угодно малой области. В случае же двух независимых переменных такое преобразование независимых переменных существует при достаточно общих предположениях о коэффициентах уравнения.
Для случаев двух, трех или четырех независимых переменных классификацию уравнений можно упростить.
Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
ч д2и пп/ ч д2и	.д2и .
А(х, у)—~ + 2В(х, у)—— + С(х,у)— + Ф дх	дхду	ду
ди диу дх ду J
= 0,	(2.48)
Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных
51
где коэффициенты А, Ви С суть функции от х и у, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. Будем предполагать, что Л, В и С не обращаются одновременно в нуль. Уравнению (2.48) соответствует квадратичная форма
g = АХ2 + 2BXY + CY2,
определитель которой есть
Пусть А = АС -В2 > 0 => А * 0. Тогда можно записать
g = — [(AX + BY)2 + (AC-B2)Y2].	(2.49)
А
Форма (2.49), очевидно, определенная. Следовательно, уравнение принадлежит эллиптическому типу.
Пусть А-АС-В2 <0. Возможны два случая:
1. А * 0, тогда имеет место равенство (2.49), но в зависимости от Y знак g меняется; форма неопределенная. Следовательно, уравнение (2.48) — гиперболического типа.
2. А = 0, тогда запишем g в виде g - (2ВХ + CY )У. Ясно, что g — неопределенная форма, тип уравнения — гиперболический.
Пусть А -АС -В2 =0. Тип уравнения — параболический.
Таким образом, окончательно получаем: если А > 0, то уравнение эллиптического типа; если А <0, то уравнение гиперболического типа; если А = 0, то уравнение параболического типа.
Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных
Всякое линейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными может быть записано в виде
. d2u OD д2и „ д2и ^ди г ди г
А—- + 2В----+ С—- + D— + Е— + Fu xG = 0,	(2.50)
dr2 дхду ду2 дх ду
где А, В, С, D, Е, F, G — заданные функции от х и у (или, в частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены переменных
^ = Ф(х,г/);	,	(251)
Г| = у(х,у).
Здесь £и г| — новые независимые переменные. Функции ср и связывающие новые переменные со старыми переменными, будут подобраны позднее. Пока же мы будем считать, что отображение (2.51) является взаимно однозначным. Сделаем требуемую замену переменных:
52
2. Уравнения математической физики
ди _ ди д%	ди дг|
дх д^ дх	Зт] дх'
ди _ ди д^ ди Зг|
ду  д^ду дг\ ду’
(2.52)
д2и
дх2
ди д2^ ди 32Г| dq дх2 Зг| дх2
д2и д^ Зг[ дх дх
(2.53)
д2и
(2.54)
д2и _ди д2^ ±ди 32т[ дхду д^ дх ду Зц дх ду
д2и dt д$ д2и ( Зс, Зт| Зтй д2и Зг| Зц д^2 дх ду 3^3т|^3х ду ду дх) Зц2 дх ду
(2.55)
Правые части формул (2.52)-(2.55) представляют собой линейные функции относительно частных производных и[, и'ц, u'^t и^, и" . Подставляя и’х, и’у, и'^... из этих формул в уравнение (2.50), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с неизвестной функцией и и независимыми переменными £ и ц
где
(2.56)
а функция Ф линейна относительно и, и^, и’ц.
Уравнение (2.56) становится особенно простым, если в нем коэффициенты А и С окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (2.50) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных (2.51), подобрав функции <р и \|/ так, чтобы они являлись решениями
уравнения
(2.57)
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема показывает, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.
Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных
53
ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция z = f(x,y) во всех точках области Q удовлетворяла уравнению (2.57), необходимо и достаточно, чтобы семейство f{x,y}~ const было общим интегралом уравнения
A(dy)2 -2Bdxdy + C(dx)2 =0
(2.58)
в той же области Q, %
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге Ю. С. Очана [19]. Теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (2.50). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (2.58); оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (2.50). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно производной у\ получим два уравнения
В + ^В2 -АС
В-у1в2 -АС
(2.59)
(2.60)
Если общий интеграл уравнения (2.59) имеет вид ф(х,г/) = const, то, полагая ^ = ф(х,г/), мы обращаем в нуль коэффициент при производной и"&. Если ф(х, у ) = const является общим интегралом уравнения (2.60), независимым от интеграла <p(jr,z/) = const, то, полагая ц = ф(х,г/), мы обратим в нуль также и коэффициент при производной .
Интегральные кривые характеристического уравнения, то есть все кривые, входящие в семейства <р(х,у) = const и ф(х,у) - const, называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (2.50). В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (2.50) называется методом характеристик.
Уравнение гиперболического типа
Семейства ср(х,у ) = const и у (х,у) = const можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (2.58) — это уравнение распадается на два уравнения (2.59) и (2.60). Правые части уравнений (2.59) и (2.60) действительны и различны. Следовательно, согласно указанной теореме, функции z - ф(х,г/) и z = кр (х, г/) являются решениями уравнения в частных производных (2.57). Функции ф(х,г/)и ф(х,г/) линейно независимы (можно доказать, что их определитель Вронского отличен от нуля, если АС-В2 <0). Поэтому, возвращаясь к уравнению (2.50), мы можем в нем сделать замену переменных по формулам (2.51). Так как функции ф(х,у) и ф (х,у) удовлетворяют уравнению (2.58), то в результате этой замены переменных окажется А = 0 и С =0. Следовательно, уравнение (2.50) преобразуется к виду
ди ди

или, после деления на2В и переноса в другую часть равенства, к виду
54
2. Уравнения математической физики
(2-61)
Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (2.50); если мы его сможем решить, то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным.
Уравнение (2.61) представляет собой каноническую форму уравнения гиперболического типа. Иногда пользуются другой канонической формой уравнения гиперболического типа. Сделаем в уравнении (2.61) замену переменных по закону E, = £ + T,r| = t- T, где t и т — новые переменные. В результате этого преобразования уравнение (2.61) примет вид
д2и д2и ~ ---------= ф dt2 дх2
где Ф - 4Ф. (Проверьте самостоятельно!)
Уравнение параболического типа
В этом случае уравнения (2.59) и (2.60) совпадают, и мы получаем один общий интеграл <p(x,z/) = const, определяющий одно семейство характеристик. Тогда можно принять = ф(х,у), т| = ф (х,у), где ф (х,у) — любая функция, независимая от функции ф(х,у), лишь бы она была дифференцируеманужное число раз. Очевидно, при выбранной замене переменных коэффициент А в уравнении (2.56) обращается в нуль, то есть
С учетом того, что АС — В2 —0 или В = y[A^[Cf последнее равенство можно пере-писать в виде
Это поможет доказать, что коэффициент В = 0. Действительно,
дх дх	дх ду	дх ду ду ду
Итак, уравнение (2.56) принимает вид
Классификация задач математической физики
55
ди ди
дт|;

После деления на С окончательно получим
д2и
(2.62)
Уравнение (2.62) называется канонической формой уравнения параболического типа. Интересно отметить, что если правая часть уравнения (2.62) не содержит производной ди/д^, то оно становится обыкновенным дифференциальным уравнением, где роль параметра играет
Уравнение эллиптического типа
Правые части уравнений (2.59) и (2.60) комплексно сопряжены. Пусть <р(х,у) — комплексный интеграл уравнения (2.59). Тогда ср* (л\г/) - const — интеграл уравнения (2.60), где ф*(х,г/) — функция, комплексно сопряженная с функцией ф(х,у). Если теперь перейти к комплексным переменным Е, = ф(.г,?/), ц = ф* (х,у), то, согласно общей теории, уравнение (2.50) приведется к виду
ди ди
дц)
то есть точно к такому же виду, как и гиперболическое уравнение. Чтобы остаться в действительной области, сделаем еще одну замену переменных:
где аир — новые переменные. Тогда <; = а + i р, ц = а-/р. Нетрудно показать, что при такой замене переменных Л - С, В =0. Таким образом, уравнение (2.50) приводится к виду
д2и д2и
да2 др2
= 0 а,р,щ
ди ди
да др)
который называется каноническим видом уравнения эллиптического типа.
Классификация задач математической физики
В этом параграфе мы сформулируем математические модели для ряда характерных физических процессов, которые сводятся к различным краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Классификация задач математической физики осуществляется по характеру дополнительных условий, которые ставятся при решении задачи.
Ранее было отмечено, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка
56
2. Уравнения математической физики
аг
описывает процессы колебаний, уравнение
(2.63)
р(%)—- = V - (p(x)Vu) - q(x)u + F(x, t) dt
(2-64)
описывает процессы диффузии, и, наконец, уравнение
-V -(p(x)Vzz) + q(x)u = F(x)
(2.65)
описывает соответствующие стационарные процессы.
Пусть G g Rn — область, где происходит процесс, и 5 — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, G есть область изменения аргументов х в уравнении (2.65) — область задания уравнения (2.65). Областью задания уравнений (2.63) и (2.64) будем считать цилиндр Цт =Gx (О, Г) высоты Т с основанием G (рис. 2.6).
Цт
п
Рис. 2.6. Область задания уравнений
Его граница состоит из боковой поверхности S х [О, Г] и двух оснований: нижнего G х {0} и верхнего G х{Г}. Будем предполагать, что коэффициенты уравнений (2.63)-(2.65) не зависят от времени. В соответствие их физическим смыслом, будем считать, что р(х) >0, р(х)>0- q(x)>0, xeG. Наконец, в соответствии с математическим смыслом_уравнений (2.63)-(2.65), необходимо считать, что р е C(G), р е C(1)(G), q е C(G). При этих предположениях уравнение колебаний (2.63) — гиперболического типа, уравнение диффузии (2.64) — параболического типа, стационарное уравнение (2.65) — эллиптического типа. Таким образом, различие в математических типах уравнений тесно связано с различием физических процессов, описываемых этими уравнениями. Чтобы полностью описать тот или иной процесс, необходимо, кроме самого уравнения, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе области, в которой происходит процесс (граничные условия). Математически это связано с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный процесс, необходимо задать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые
Классификация задач математической физики
57
условия — начальные и граничные условия. Соответствующая задача называется краевой задачей. Различают три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:
□	Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия; область G совпадает со всем пространством Rn\ граничные условия отсутствуют.
□	Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе 5; начальные условия, естественно, отсутствуют.
□	Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов. В этом случае задаются как начальные, так и граничные условия, G * Rn.
Опишем подробнее постановку перечисленных задач для уравнений (2.63)-(2.65).
Задача Коши
Для уравнения колебаний (2.63) гиперболического типа задача Коши ставится следующим образом: найти функцию
и(х,Г)еС(2)(Г >0)пС(1)(£ >0),
удовлетворяющую уравнению (2.63) в полупространстве t > 0 и начальным условиям при t = +0
“Lo =“oU)>	=w1(x).	(2.66)
dt (.o
При этом необходимо, чтобы F е C(t > 0), uQ е С(1)(7?"), щ е C(Rn).
Для уравнения диффузии (2.64) параболического типа задача Коши ставится следующим образом: найти функцию
u(x,t)eC(2)(t >0)пС(£>0),
удовлетворяющую уравнению (2.64) в полупространстве t > 0 и начальным условиям при t = +0
4-0 = мо(*)-	(267)
При этом необходимо, чтобы F е C(t > 0), и0 е C(Rn).
Краевая задача для уравнений эллиптического типа
Краевая задача для уравнения (2.65) эллиптического типа ставится следующим образом: найти функцию и(х) g C(2)(G)nC(1)(G), удовлетворяющую уравнению (2.65) в области G и граничному условию на S вида
аи + р
ди дп
(2.68)
где а, р, v — заданные непрерывные функции на5, причем а > 0, р > 0, а + р > 0.
Выделяют следующие три типа граничных условий (2.68):
58
2. Уравнения математической физики
Граничное условие первого рода (а = 1,0 = 0)
и S - Wo.
(2.69)
Граничное условие второго рода (а = 0,0 = 1)
ди дп
(2.70)
Граничное условие третьего рода (а > 0,0 = 1)
ди сш н---
дп
(2.71)
S
Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами первого, второго и третьего рода.
Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого рода называется задачей Дирихле*. найти функцию и g C(2)(G)nC(G), удовлетворяющую в области G уравнению
Aw = -f
и граничному условию (2.69) на поверхности 5. Функция uQ непрерывна на 5. Точный смысл граничного условия (2.69) таков:
lim и(М) = и0(Р), MeG, Р е S. М^Р
Краевая задача второго рода
называется задачей Неймана: найти функцию и eC(2)(G)nC(1)(G), удовлетворяющую в области G уравнению Пуассона (или Лапласа) и граничному условию (2.70) на поверхности S. Функция их непрерывна на S. Точный смысл граничного условия (2.70) таков:
lim м -
= иДР),М eG,P &S. м
Функция и ДР) должна также удовлетворять дополнительному условию разрешимости задачи Неймана. Действительно, воспользуемся равенством
Aw dx =
В случае уравнения Лапласа условие разрешимости принимает вид
j щ do = 0;
последнее обычно пишут в виде
й, = — [ и, йо = 0, 5 5 .
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики
59
то есть среднее значение функции иДР) на поверхности должно быть равно нулю.
Краевые задачи первого, второго и третьего рода для уравнения Лапласа носят названия гармонических краевых задач.
Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (2.65) и во внешности ограниченной области G {внешние краевые задачи). Отличие состоит в том, что, помимо граничного условия (2.68) на 5, задаются еще условия на бесконечности. Такими условиями, например, могут быть условия вида и{х) = 0(1) или и{х) - о(1) при | х| со для уравнения Пуассона.
Смешанная задача
Для уравнения колебаний (2.63) гиперболического типа смешанная_задача ставится следующим образом: найти функцию и{х, t) g С{2) (Цт )оС(1’ (Цт ), удовлетворяющую уравнению (2.6^) в цилиндре Цт, начальным условиям (2.66) при t = 0,х g G (на нижнем основании цилиндра Цт) и граничному условию (2.68) (на боковой поверхности цилиндра Цт). При этом должны быть выполнены условия гладкости
РеС(Цт), uQ eC<1)(G), щ eC{G), v g C(S* [0,T])
и условия согласованности
. aduQ + p—
on
s
Аналогично для уравнения диффузии (2.64) параболического типа смешанная задача ставится так: найти функцию u{x,t) е С(2)(ЦТ ) п С(ЦГ ), gradv (и) е С{ЦТ ), удовлетворяющую уравнению (2.64) в цилиндре Цт, начальному условию (2.67) и граничному условию (2.68).
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики
Поскольку задачи математической физики представляют собой математические модели реальных физических процессов, то их постановки должны удовлетворять следующим естественным требованиям:
1.	Решение должно существовать в каком-то классе функций .
2.	Решение должно быть единственным в некотором классе функций М2.
3.	Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т. д.).
Непрерывная зависимость решения и от данного задачи й означает следующее: пусть последовательность данных йА, £ = 1,2,..., в каком-то смысле стремится к и и uk (k = 1, 2,... ),u — соответствующие решения задачи. Тогда должно быть uk —> и при k оо в смысле сходимости, выбранной надлежащим образом. Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента прибли
60
2. Уравнения математической физики
женно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректно поставленной (по Адамару), а множество функций Мх п М2 — классом корректности. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий 1 -3, называется некорректно поставленной.
К некорректно поставленным задачам часто приводят обратные задачи математической физики: по некоторой информации о решении прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физические величины, определяющие эту задачу (источники, краевые условия, коэффициенты уравнения и т. д.).
Замечание о классе функций, среди которых ищется решение задачи
Исследование корректности постановки задач математической физики представляет важнейшую и притом весьма трудную задачу теории уравнений в частных производных. Каждый тип задач имеет свои условия, обеспечивающие корректность постановки той или иной краевой задачи. Например, для уравнения Лапласа можно выделить группу условий, гарантирующих корректность постановки соответствующей краевой задачи. Искомая функция, дающая решение краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка, должна удовлетворять следующим условиям:
1.	Быть непрерывной в области, в которой ставится задача, вплоть до границы области.
2.	Внутри области иметь непрерывные вторые производные и удовлетворять заданному уравнению.
3.	Удовлетворять заданному краевому условию.
4.	Если область трехмерна и бесконечна, то при перемещении к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области, стремиться к нулю.
Таким образом, наиболее естественное требование — производные существуют и непрерывны во всей области; порядок производных определяется порядком уравнения.
Изложенные в предыдущих пунктах постановки краевых задач характеризуются тем, что решения их предполагаются достаточно гладкими и они должны удовлетворять уравнению в каждой точке области задания этого уравнения. Такие решения называются классическими, а постановки соответствующих краевых задач — классическими постановками. Таким образом, классические постановки задач уже предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных.
Если в уравнениях эллиптического и гиперболического типов решения всегда гладкие, то в уравнениях параболического типа производные не всегда непрерывны, а могут даже и не существовать в некоторых точках области.
В наиболее интересных задачах данные могут иметь довольно сильные особенности. Поэтому для таких задач классические постановки уже оказываются
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики
61
недостаточными. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от требований гладкости решения в области или вплоть до границы вводить так называемые обобщенные решения. Но тогда встает вопрос о том, какие функции можно называть решениями уравнения. Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить понятие производной и вообще понятие функции, то есть ввести так называемые обобщенные функции. Концепция обобщенного решения широко используется в книге В. С. Владимирова [4]1.
О единственности решения задач математической физики
Докажем единственность решения основных краевых задач для уравнения Пуассона, а также для уравнений теплопроводности и колебаний.
Единственность решения задачи Дирихле
Решение задачи Дирихле ищется в классе функций и с C(2)(G) n C(G). Утверждается, что решение задачи Дирихле в этом классе функций единственно. Докажем эту теорему в случае, когда и е С(2) (G) n С(1) (G ).
Допустим, что существует два решения задачиих ии2. ПустьЧ7 = их -и2. Очевидно, что
ДЧ7 =0, Ч7 еС(2)(С),
Ч7 . =0, Ч7 еС(1)(5).	(2.72)
Доказательство теоремы сводится к доказательству того, что в данном классе функций нет другого решения задачи (2.72), кроме как решения Ч7 =0. Это последнее решение очевидно в силу однородности задачи (2.72).
Воспользуемся тождеством
([ТД^ + (7^)2]Л = (Т — da, Т eC(2)(G)nC(1>(G).	(2.73)
G	5 дп
В силу (2.72), из тождества (2.73) находим
J (V'P)2Jt = 0=>V4?=0=>T = const, х е G. G
Так как функция Ч7 предполагается непрерывной и Ч7 - 0 на 5, то Ч7 = 0 в G, следовательно, их — и2 в G. Утверждение доказано.
Единственность решения задачи Неймана
Решение задачи Неймана ищется в классе функций и е C(2)(G)nC<n(G). Утверждается, что в этом классе функций задача Неймана имеет единственное решение, определяемое с точностью до аддитивной постоянной.
1 См. также Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Нау-
ка, 1979. 320 с.
62
2. Уравнения математической физики
Допустим, что существует два решения задачи^ ии2. Пусть ¥ = щ -и2. Очевидно, что
AVP=O,
54*
дп
= 0,
4х eC(l)(S).
s
Применяем тождество (2.73). Будем иметь
J(VT)2<7t = 0 => VT = 0 => Т - const =>	-и2 + const, х е G.
G
Таким образом, решение задачи Неймана определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Единственность решения третьей краевой задачи
Третья краевая задача формулируется следующим образом: найти функцию и & C<2)(G)nC(1)(G), удовлетворяющую в области G уравнению Пуассона (или Лапласа) и граничному условию (2.71) на поверхности 5
Aw = х е G,
ди аи + — дп
(2.74)
Утверждается, что задача (2.74) в рассматриваемом классе функций имеет единственное решение.
Допустим, что существует два решения задачиии2. ПустьТ = их -и2. Очевидно, что
АТ =0, Т gC(2)(G),

= 0, ТеС(0(5).
5
(2.75)
Задача (2.75) всегда имеет тривиальное решение Т = 0. Покажем, что другого решения не существует. Воспользуемся тождеством (2.73). С учетом (2.75), будем иметь
j(V'P)2</T = -ja'P2Jo=> J(V¥)2Jt + ja'P2rfa = 0 (a >0), G	S	G	S
последнее равенство возможно лишь, если каждый из интегралов будет равен нулю. Следовательно,
Т =0,
=> Т =0,
х е G
^>и{
X G G.
w2,
Таким образом, единственность решения третьей краевой задачи доказана.
О единственности краевых задач, связанных с уравнением Гельмгольца
В случае уравнения Гельмгольца единственность решения задачи может не иметь места для некоторых определенных значений волнового числа k. Рассмотрим,
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики
63
например, первую краевую задачу для уравнения Гельмгольца: найти функцию и g C(2)(G)nC(G), удовлетворяющую следующим условиям
Aw + k2u = /, х е G, u =g, х g S.
Пусть w, ии2- решения задачи (2.76). Пусть4? =ut -иг. Очевидно, что
ДТ + k2^ =0,
=0, ¥ eC(2)(G)nC(G).
kJ
(2.76)
(2.77)
Задача (2.77), очевидно, имеет решение 4х =0. Утверждается, что, кроме тривиального решения существуют другие решения при некоторых значениях волнового числа k. Построим такие ненулевые решения. Рассмотрим область в виде параллелепипеда со сторонами а, Ь, с. Будем искать решение задачи (2.77) в виде
Т = Xsin
, Л = const, 1,т, п - 1,2,3,...
(2.78)
После подстановки (2.78) в уравнение (2.77) получим
(2.79)
Уравнение (2.79) удовлетворится, если
кроме того, удовлетворяются все граничные условия
„ =0-
2 = 0, С
z/=O,h
х =0,а
Таким образом, видим, что имеется ненулевое решение задачи (2.77).
Единственность решения задачи для уравнения теплопроводности
Рассмотрим уравнение теплопроводности
*	1 Su f г- . о
Au  -----=-/, х е G, I > 0.
(.о =(Р<О-
Пусть начальные условия имеют вид и
Граничные условия будем рассматривать первого, второго или третьего рода, то есть
= <Pt(0,
либо
ди дп
- ч>2(0, 5
64
2. Уравнения математической физики
либо
ди дп
= <Рз(О. h>0
+ hu
Докажем, что решение задачи единственно в классе А. Мы скажем, что функция и е А, если:
1)	функция и непрерывна вместе с первой и второй производной по х = (Xj ,х2 ,х3) во всех точках области G при t > 0;
2)	производная du/dt непрерывна в G при t > 0;
3)	функция и непрерывна вместе с первой производной по х - (xt ,х2,х3 )в замкнутой области G + S, t > 0.
Предположим, что существуют два решения их,и2 еА; Пусть Т - и{ -и2. Ясно, что Т е А, и для Т будем иметь следующее однородное уравнение:
1
А*Р-—-— =0, х eG, t >0, a1 dt
с однородными начальными
г=0
-0,
и граничными условиями
либо
ЗУ
-0,
либо
—+ /ЛР дп
-0.
(2.80)
(2.81)
(2.82)
(2.83)
(2.84)
дП е
Задача (2.80) (2.84), очевидно, имеет тривиальное решение. Покажем, что другого решения не существует. Рассмотрим следующий интеграл, который в силу (2.81) равен нулю:
ДТ-
= 0.
Преобразуем этот интеграл с помощью тождества (2.73). Будем иметь
-Р4Д(^)2л
О G
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики
65
Для условий первого и второго рода будем иметь
0 = -iл Ш	Л =• 1Л JJJ <V4,)2 Л+Ш S Л'0
О G	G	О G	G
Здесь оба интеграла^ положительны, следовательно, каждый из них равен нулю, а значит, Т=0,хеС,^>0=>М| = w2. В случае условий третьего рода будем иметь
f dt ffl О7*)2 А + J Л ff	+ Jff Л = 0 =>
ОС	0	5	G *а
Т=0, х eG, t>0	щ = г/2.
Таким образом, единственность решения задачи для уравнения теплопроводности в классе функций А доказана.
Единственность решения задачи о колебаниях струны
Рассмотрим следующую задачу
(2.85)
и (=0 =
(2.86)
(2.87)
Докажем единственность решения задачи (2.85)-(2.87) в классе функций А . Функция и е А, если:
1) функция и непрерывна вместе с первой и второй производными по х и t в открытой области G =0 < % < /, t > 0;
2) функция и непрерывна и имеет непрерывные производные по х и t первого порядка в замкнутой области G + 5 = 0 <х <1, £ > 0.
Предположим, что существуют два решения задачи и{ и и2. Пусть Т -и2. Тогда Т е Л, и для Т будем иметь следующую однородную задачу:
.0,	=0,
(2.88)
Рассмотрим интеграл (который равен нулю в силу (2.88))
2п1	t
f 1 ат а-т
J * dt дх * о о	о
о о 8t LSx
2
2
0
ат ат
dt дх
i-дт а2т
| дх dtdx
f 1 52vP
0	0 a
2
66
2. Уравнения математической физики
Учитывая условия, накладываемые на функцию'!', будем иметь
dt =0,

Таким образом, будем иметь
dx = 0.
о
Последнее равенство возможно в том случае, когда
ат дх
ат
— =0; 0<х</; £>0. dt
Это означает, что Т = const. Функция Т непрерывна, и на границе Т = 0, следовательно, Т = 0 в области, а тогда щ - и2 для 0 < х < /, t > 0.
Таким образом, единственность решения задачи о колебаниях струны доказана в классе функций А.
Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных
Как мы знаем, для обыкновенного дифференциального уравнения «-го порядка вся совокупность решений (за исключением «особых» решений) представляется функцией от независимой переменной х, а также от п произвольных постоянных интегрирования С,, С2,	С„. Наоборот, для любого семейства функций
и = ф(х,С, ,С2,...,С„), зависящего от «параметров, существует дифференциальное уравнение «-го порядка, решение которого и = ф получается исключением параметров Сх, С2,..., Сп из уравнения и = ф(х, , С2,..., Сп) и « уравнений
и' = ф'Сг,^,^,...,^)
Для дифференциальных уравнений с частными производными дело обстоит сложнее. Здесь тоже можно искать всю совокупность решений, или «общее ре-
Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных
67
шение», то есть такое решение, которое дает любое частное решение после того, как фиксированы некоторые «произвольные» элементы (опять за исключением некоторых «особых» решений). В случае дифференциальных уравнений с частными производными эти произвольные элементы уже не могут быть постоянными интегрирования, а должны содержать произвольные функции; вообще говоря, число этих произвольных функций равно порядку дифференциального уравнения. Число аргументов этих произвольных функций на единицу меньше числа аргументов решения и. Более точная формулировка этого утверждения содержится в теореме существования Коши—Ковалевской [4], [21]. Здесь мы только получим некоторые сведения, разобрав несколько примеров.
Пожалуй, самое яркое отличие здесь заключается в том, что задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных, почти нигде не встречаются в такой форме, чтобы искомым являлось общее решение. Мало того, если вы располагаете таким решением, то знание его, за редким исключением, почти ничего не дает для решения основной частной задачи. Ведь общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций, и для нахождения частного решения придется рассматривать систему сложных функциональных соотношений, так что отыскание произвольных функций часто оказывается практически невозможным.
Примеры
Рассмотрим определение общих интегралов некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что этот вопрос тесно связан с преобразованием дифференциального уравнения в частных производных к каноническому виду.
Пример 1. Пусть и ~и(х,у). Дифференциальное уравнение
^=0
для функции и(х,у) означает, что и не зависит от г/; следовательно, и = w(x), где w(x) — произвольная функциях.
Пример 2. Для уравнения
-^.0.
дхду
глеи =и(х,у), можно сразу получить общее решение видах/ = w(x) + v(y). Здесь w(x) и v(y) — произвольные дифференцируемые функции.
Пример 3. Пусть и =и(х,у). Рассмотрим дифференциальное уравнение
ди _ ди
дх ду
Найдем общий интеграл этого уравнения. Для этого сделаем замену переменных
х + у = ^, х-у =п-
68
2. Уравнения математической физики
Тогда
ди _	ди д^	ди 9ц	_ ди	ди
дх	д% дх	дц дх	дЕ,	9т|’
ди _	ди	ди 9т|	_ ди	ди
ду	д^ду	дх\ду	д^	дт\
и уравнение принимает вид ^=0. 9г|
Значит, и - /(^). Возвращаясь к старым переменным, получим и ~ f(x + у), причем f — любая дифференцируемая функция.
Пример 4. Пусты/ =и(х,у). Рассмотрим дифференциальное уравнение ди ди Л х — + у — =0. дх ду
Сделаем замену переменных У t Х^’У =п’
Тогда ди _ ди у	ди	_ ди у
дх	д^ х2 9т| дЕ,х2 ’
ди ди 1 ди 4 — =------+----1
ду д^х дг\
и уравнение принимает вид = 0. 9т|
Значит, и = /(£). Следовательно, общий интеграл уравнения будет и = f (у/х\ причем f — любая дифференцируемая функция.
Пример 5. Пусть// =и(х,у). Рассмотрим дифференциальное уравнение
д2и д2и -Q дх2 ду2
Сделаем замену переменных
х + у = ^, х-у =Т]. Тогда ди _ ди ди дх дЕ> 9ц’ ди _ ди ди ду 51; 5т|’
Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных
69
д ди
д { ди ди
2
U + 2 d~U + д^2	5£дт| дх\2'
д ди
и о д2и д2и
Г + ЙТТ’
и уравнение принимает вид
2
= 0.
Значит, и - F(^) + 6(п)- Следовательно, общий интеграл уравнения будет и = F(x + y)+G(x-у),
где F и G — произвольные дважды дифференцируемые функции.
Пример 6. Пусть и = и(х,у). Общий интеграл дифференциального уравнения
= 0
2
2
дается функцией и = F(x + iy) + G(x - iy), где F и G — произвольные дважды дифференцируемые функции, i = V-i.
Применение общего интеграла к решению некоторых задач математической физики
1. Пусть некоторый процесс описывается одномерным волновым уравнением д2и 1 д2и dr2 v2 dt2
Обозначим vt = у, тогда уравнение примет вид д2и д2и _ q дх2 ду2
Следовательно, общий интеграл волнового уравнения будет
и = F(x + vt) + G(x - vt).
Причем здесь F(x + vt) — плоская волна, распространяющаяся влево от начала координат со скоростью^, форма которой (профиль) определяется функцией F. Такая волна называется обратной волной. Функция G(x -vt) описывает плоскую волну, распространяющуюся вправо от начала координат со скоростью v — прямая волна. Таким образом, рассматриваемый процесс представляет собой результат наложения двух волн.
2. Рассмотрим процесс, описываемый уравнением
1 д ( 2	1 _Q
г2 dr < dr; v2 dt2
Это трехмерное волновое уравнение, записанное в сферических координатах в предположении, что процесс не зависит от угловых координат (радиальные колебания).
I
70
2. Уравнения математической физики
W
Сделаем замену переменных и = —, тогда
ди 1 dw 1	2 ди dw 1 д ( 2 ди\ 1 d2w d2u 1 d2w
— ----------w^r = r г =-------------------------— =--------
dr г dr г2 dr dr r2 dry dr J r dr2 dt2 r dt2
В результате получим уравнение
d2w __ 1 d2w dr2 v2 dt2
Откуда
4 z_,z . F(r + vt) G(r-vt) w = F(r + vt) 4- G(r-vt) и = —--- + —----
r	r
Первое слагаемое представляет собой сферическую волну, распространяющуюся из бесконечности в начало координат со скоростью v (обратная волна), второе слагаемое — сферическая волна, распространяющаяся со скоростью v от начала координат в бесконечность (прямая волна). Таким образом, и в этом случае общее решение уравнения представляет собой наложение прямой и обратной волны.
Колебания неограниченной струны. Метод Даламбера
Пусть требуется найти функцию и = и(х,1), непрерывную в замкнутой области -оо < х < оо, t > 0, удовлетворяющую уравнению d2u 1 d2u А ---------------------------- =0 - 00 dx2 v2 dt
(2.89)
2
и начальным условиям
п(х,0) = Ф(х),
ди dt
==Т(х), -оо <х < оо.
(2.90)
Общий интеграл уравнения имеет вид
и - F(x + ztf) + G(x -vt)=> — -vF\x + vt)-vG\x -vt). dt
При t = 0 будем иметь
F(x) + G(x) = Ф(х), F’(x) - G'(x) = - T(x).
V
Откуда находим
2F'(x) = Ф'(х) + -'P(.r), 2G'(x) = Ф^х)--^*),
V	V
или
F(x) = lo(x) + ^-jT(0^ + ct, С(х) = Аф(х)-1ГТО^ 2 2vJ0	2 2vjq
После подстановки в выражение дляп получим
1	4 Л +&Г	J	4 X-Vt
и =-Ф(х + О + — |Т(0^ + -Ф(х
X) Q	Q
Вопросы к главе 2
71
где с = ct +с2. Легко видеть, что с=0. Это следует из начального условия w(x,0) = Ф(х).
Итак,
<291)
Формулу (2.91) называют формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения (2.89).
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на функции Ф(х) и ЧДх), фигурирующие в начальных условиях (2.90). Формула (2.91) будет давать решение задачи Коши в том случае, если функция Ф(х) обладает производными первого и второго порядков, а функция Ч^(х) — производной первого порядка. К этому выводу мы придем, когда захотим убедиться в правильности полученного решения путем подстановки его в уравнение (2.89). (Проверьте!)
Решение и зависит от начальной функции ЧДх) только в интервале (х - vt, х + vt). Значение функции Т(х) за пределами этого интервала не играют роли при определении решения и.
Метод Даламбера допускает распространение и на более сложные случаи.
Вопросы к главе 2
1.	Напишите общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка.
2.	Напишите общий вид уравнения колебаний.
3.	Что называется струной? Выведите уравнение колебаний струны.
4.	Что называется стержнем? Выведите уравнение продольных колебаний стержня.
5.	Напишите уравнение поперечных колебаний стержня. Приведите примеры граничных условий.
6.	Что называется мембраной? Выведите уравнение поперечных колебаний мембраны.
7.	Напишите уравнение поперечных колебаний тонкой пластинки. Приведите примеры граничных условий.
8.	Сформулируйте задачу о равновесии мембраны.
9.	Сформулируйте задачу об установившихся синусоидальных колебаниях мембраны.
10.	Выведите телеграфное уравнение.
И. Напишите трехмерное волновое уравнение. Какие дополнительные условия ставятся при решении волнового уравнения?
12.	Напишите общий вид уравнения диффузии. Выведите уравнение диффузии.
13.	Выведите уравнение теплопроводности.
14.	Напишите общий вид стационарного уравнения.
72
2. Уравнения математической физики
15.	Выведите уравнение электростатики.
16.	Выведите уравнение гидродинамики.
17.	Сформулируйте задачу об обтекании твердого тела потоком жидкости.
18.	Сформулируйте краевые задачи для уравнения теплопроводности.
19.	Сформулируйте краевые задачи для одномерного волнового уравнения на примерах поперечных колебаний струны и продольных колебаний стержня, ’ч
20.	Напишите уравнение Лапласа и уравнение Пуассона. Сформулируйте основные краевые задачи для этих уравнений.
21.	К какому типу уравнений относится уравнение Лапласа? Пуассона?
22.	Напишите уравнение Гельмгольца. Какие процессы описывает это уравнение?
23.	К какому типу уравнений относится уравнение Гельмгольца?
24.	Какое уравнение называется уравнением гиперболического типа? Приведите примеры.
25.	Какие физические процессы описывает гиперболическое уравнение?
26.	Какое уравнение называется уравнением параболического типа? Приведите примеры.
27.	Какие физические процессы описывает параболическое уравнение?
28.	Какое уравнение называется уравнением эллиптического типа? Приведите примеры.
29.	Какие физические процессы описывает эллиптическое уравнение?
30.	Запишите характеристическое уравнение. Что называется характеристикой дифференциального уравнения?
31.	Какие характеристики имеет одномерное волновое уравнение?
32.	Какие характеристики имеет двухмерное уравнение Лапласа?
33.	Напишите каноническую форму уравнения гиперболического типа.
34.	Напишите каноническую форму уравнения параболического типа.
35.	Напишите каноническую форму уравнения эллиптического типа.
36.	Дайте понятие об общем интеграле уравнения в частных производных. Приведите примеры.
37.	Дайте физическое истолкование общего решения уравнения колебаний струны.
38.	Выведите формулу Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.
39.	Расскажите о корректности постановки задач математической физики.
40.	Что такое начальные и граничные условия? С чем связана необходимость в постановке дополнительных условий? Приведите примеры.
41.	Что называется задачей Коши? Для какого типа уравнений ставится задача Коши? Приведите примеры.
42.	Что называется краевой задачей? Для какого типа уравнений ставится краевая задача? Приведите примеры.
Задачи с примерами решений
73
43.	Что называется смешанной задачей? Для какого типа уравнений ставится смешанная задача? Приведите примеры.
44.	Докажите единственность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
45.	Докажите единственность решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. В чем особенность решения этой задачи?
46.	Докажите единственность решения третьей краевой задачи для уравнения Пуассона.
47.	Что можно сказать о единственности решения краевых задач, связанных с уравнением Гельмгольца?
48.	Докажите единственность решения задачи для уравнения теплопроводности.
49.	Докажите единственность решения задачи о колебаниях струны.
50.	Дайте общее решение волнового уравнения в сферических координатах в случае радиальных колебаний. Каково физическое истолкование этого решения?
Задачи с примерами решений
1.	Рассмотреть случай, когда уравнение (2.50) имеет постоянные коэффициенты. Показать, что после соответствующей замены переменных это уравнение приводится к одной из простейших форм
ди , ди г п — + Ь9 — + си + t =0 д£ &г]
или
+ си + / = 0,
д2и
^5т|
когда В2 — АС >0 — гиперболический тип;
ди
5ц
+ си + f - 0,
когда В2 - АС = 0— параболический тип;
ди
5ц
+ си + f = 0,
когда В2 - АС <0 — эллиптический тип.
2.	Показать, что уравнения, полученные в п. 1, можно еще более упростить, если ввести новую неизвестную функцию г^£,т|), по формуле
«(^,Т|) =	(£,,Г|)>	= const
и числа X, ц подобрать так, чтобы исчезли члены с производными первого порядка в уравнениях гиперболического и эллиптического типов, а в уравнении параболического типа исчез один из членов с производной первого порядка
74
2. Уравнения математической физики
и член с неизвестной функцией. В результате таких преобразований привести уравнение гиперболического типа к виду
д2у
+ У^ + /, =0
или
d2v d2v
+ + Л = 0;
уравнение параболического типа ~ к виду
уравнение эллиптического типа — к виду
d2v d2v
+ w + Л
3.	Привести к каноническому виду уравнения: 4\ о d2u о д2и д2и пди ^ди Л
1 / <3	"Ь *J — и >
дх дхду ду дх ду
д2и , д2и г-д2и ди ..ди —-4-4-------+ 5—- + — 4-2 —
дх дхду ду дх ду
3)
d2zz	д2и +
дх2	дхду ду2
д2и	о д2и	д2и	,.ди	ди	.
—- -2------+ —- 4-2— 4- — 4- 4z z =
дх2 дхду	ду2 дх	ду
д2и . д2и „ д2и _ ди ди
5) —т + 4-----4- 3—- +5 — + — +
дх2	дх ду	ду “	дх ду
9	9	9
2 n d ZZ 9 д и „
о) х —- 4- 2хи-----4- и —- = 0;
дх дхду ду2 9	9
. 2 и 2г д и , 9 ди Л
7)	^У —т~е —— = 0;
дх2	ду дх
о\ 2 d2zz п д2и о 9 д2и ди Л
8)	У —- + 2ху---+ 2х^ —-4- у— =0;
дх2 дхду ду~ ду
пх л д2и	п д2и	д2и .ди .ди	Л
9)	2—-4-2----4- —- + 4— 4-4— +и =0;
дх2	дхду	ду дх ду
2 d2U п ди Л
10) —--2х-----+х2—--2—= 0.
дх2 дхду ду2 ду
4. Найти общее решение уравнений:
д2и о  z х д2и 2/	, .ди „
1) —~-2sin(x)-----cos (х)—--cos(x)—=0;
дх2	дхду	ду2	ду
Задачи с примерами решений
75
2
2
2)
с/ w 2 о и q ди л
ТТ“2^Т"=:0;
дх2 ^-2
2
4)
дх2
и о д2и 2 д2и ди ди Л
--2лт/-----+	—- + х—+ у— =0;
2 дхду ду2 дх ду
Л д2и д2и „ди „ди Л
— + 3— =0; дх ди
дхду ду
5) 4*/2Н
и /2
^=0.
дх
Найти решение уравнения
dt2 дх2
удовлетворяющее начальным условиям
(=о =sin(x),
и
= 0
t=0
(задача Коши).
Найти решение уравнения д2и , д2и
2
2
удовлетворяющее начальным условиям
= 0,
(=0	’
= A sin(x)
г=0
U
(задача Коши).
Бесконечной струне сообщена только на отрезке (-с, с) поперечная начальная скорость Vo = const. Решить задачу о колебаниях этой струны. Построить профиль струны для моментов времени tk = (c/2v)k, k ~ 1,2, 3.
Найти решение уравнения
2 дх2
если
и
= х2, t=Q	’
= 0.
t=0
Найти решение уравнения
2 дх2 ’
если
и
£=0
•о,
г=о
76
2. Уравнения математической физики
10.
Найти форму струны, определяемой уравнением д2и 2 д2н
--r=V ----- GO < X < +00, , dt2 дх2
в момент времени t = л/2о, если
и
=sin(x)’ S
(=0
Найти решение уравнения
2 дх2 ’
если
и
ди
г=0
f=0
12.
Найти решение уравнения
если
13.
= cos (х).
z=0
Найти форму струны, определяемой уравнением
*2..
= 0, -
dt2 дх2
в момент времени t = к, если
— со
= cos(x). /-0
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение
х >0, у >0,
2
и
(=0
U
г-о =
дх2 ’
и найти его общее решение.
Решение. Определим сначала тип уравнения. Имеем
А = х2, В=0, С = -у2 Л = АС-В2 =-х2у2 <0.
Следовательно, тип уравнения — гиперболический.
Составим характеристическое уравнение
x2dy2 -y2dx2 =0.
Это уравнение распадается на два уравнения с разделяющимися переменными xdy-ydx =0, xdy + ydx = 0.
Задачи с примерами решений
Откуда находим
Таким образом, прямые у = С2х и гиперболы у - — являются характеристиками
заданного уравнения.
Преобразуем теперь заданное уравнение к каноническому виду. Для этого, согласно общей теории, введем новые переменные по формулам
Е	У
£>=ху, Т| = —.
X д2и
Используя формулы (2.53) и (2.54), найдем—- и — дх ду
д2и = 2 д2и ^у2 д2и у2 д2и ~ У ди.
дх2 & дЕ? х2 х4 Зт]2 х3 дт|
52и _ 2 д2и «	1 d2w
ду2 д^2	х2 Зт|2
Подставляя эти значения вторых производных в исходное уравнение, окончательно получим
ди 1 ди Л Л Л -----------= 0, £ > О, и > 0.
2$ 5Т|
Последнее уравнение можно проинтегрировать. Для этого перепишем его в виде
1 ди 2^9q
Введем теперь новую неизвестную функциюо(£,г|) = —. Будем иметь Зт|
dv _ v _о
Ж=|1п1^1+1п|/(т1)Ь
где /(и)— произвольная функция?]. После потенцирования получим V = /01) Д
Далее,
=> ТГ = /01Х/^ => “ = Tif /(n)^n + ¥(& ОТ]	СТ]
где у(^) — произвольная функция^. Обозначив
ф(п) = //(п)^п-
окончательно получим
И =-Лф01)+ v(^)>
где \|/(^) и <р(т]) — произвольные функции ^и т] соответственно.
78
2. Уравнения математической физики
Возвращаясь к старым переменным х и у, получим и = 7^7 Ф ~ +ФСЧ/)-
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение 2 д2и о д2и 2 д2и л
о,
2
2
= 0.
и найти его общее решение.
Решение. Определим тип уравнения. Имеем
А = х\ В = ху, С = у2 => А = АС - В2 -х2у 2 Следовательно, тип уравнения — параболический. Составим характеристическое уравнение
х2dy2 -2ху dxdy + у2dx2 = 0 => (xdy - у dx)2 - 0 => xdy -ydx =0.
Разделяя переменные и интегрируя, получим одно семейство характеристик
У п	'
Это — семейство прямых. Новые переменные вводим по формулам У „ ..
Выбор второй функции сделан с учетом того, чтобы она была наиболее простой, но так, чтобы функциональный определитель Остроградского для преобразования переменных был отличен от нуля.
Находим теперь
2
2
и г) у ди
_ + 2 — —;
дх ду
и
Т
уди	1 ди
:2	х2 д^
2 д2и д2и
х дц2
Подставляя полученные выражения производных в заданное уравнение, окончательно получим каноническую форму этого уравнения
Эр2
Полученное уравнение легко интегрируется. Будем иметь
^=/(О=>« = [/(^)^п + ф(О dt]	J
или
W =/(Оп + ф(О, где f и ср — произвольные функции.
Задачи с примерами решений
79
Возвращаясь к старым переменным, получим общее решение заданного уравнения
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение д2и , д2и д2и Л —7-4---------------------------------+5—7 =0.
дх2 дхду ду2
Решение. Определим тип уравнения. Имеем
А = 1, В =-2, С = 5 => Д = АС-В2 = 5-4 = 1>0.
Следовательно, тип уравнения — эллиптический.
Составим характеристическое уравнение dy2 + kdxdy + bdx2 = 0.
Это уравнение распадается на два следующих уравнения y = -2 + i, y' = -2-i.
Интегрируя их, найдем два общих интеграла характеристического уравнения У = (-2 + i)x + , у = (-2 - г)х + С2.
Введем обозначения
<p = l/-(-2 + i)x, ср* =z/ + (2 + i)x,
Согласно общей теории, нужно ввести новые переменные а и р по формулам = а + ф = у + 2х - ix, т| = а - ф = у + 2х + ix.
Вычисляя производные по формулам (2.53)-(2.55), после всех преобразований окончательно получим канонический вид заданного уравнения
д2и д2и А
а^2 + ап2 ~
(Проверьте!)
Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение
д2и „ д2и Лъд2и ди ..ди Л —7-6------- + 10—7 +------3— =0.
дх2 дхду ду2 дх ду
Решение. Воспользуемся для решения задачи системой аналитических вычислений Maple. Для знакомства с этой системой можно рекомендовать книги [7] и [17]. Будем рассматривать уравнение общего вида
д2и	д2и	д2и	ди	ди	Л
а. —т +	—7 + а4 — +	— + аьи + ач = и.
ах2	дхду	ду2	дх	5 ду
Зададим коэффициенты нашего уравнения
> а: = 1.-6.10.1,-3.0,0;
а := 1, -6, 10, 1, -3, 0, 0
80
2. Уравнения математической физики
и само уравнение
>.equ:=а[l]*diff(u(x.y).x.x)+a[2]*diff(u(x.y),x,y)+
a[3]*diff(u(x,y),y.y)+a[4]*diff(u(x.y),x)+
a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x.y)+a[7]=0:
equ
Вычисляем матрицу старших коэффициентов и ее определитель
> eq:=lhs(equ):
ч(х,.у)
> А:= linalg[matrix](2.2.[coeff(eq.diff(u(x,y).x.x)).
coeff(eq.diff(u(x.y),x.y))/2,coeff(eq.diff(u(x.y),x.y))/2, coeff(eq.diff(u(x,y).y.y))]):
> Delta:’Simplify(11nalg[det](A)):
10
Так как определитель матрицы старших коэффициентов Д>0, то тип уравнения — эллиптический.
Формируем характеристическое уравнение и решаем его
> А[1,l]*zA2-2*A[l.2]*z+A[2,2]=0:
resl:=S01ve(A[l,l]*zA2-2*A[l,2]*z+A[2.2],z);
z2+6z+10 = 0
resl := -3 + Z, -3 - 1
>	res2:={seq(dsolve(diff(y(x),x)«resl[i],y(x)).i=l..2)};
res2 := {y(x) = -(3 - Z) x + _C1, y(x) = -(3 + Z) x + _CZ }
Таким образом, мы получили две комплексные характеристики. Выполняем замену переменных
>	res2:=subs(y(x)=y,res2);
res2 := {у = -(3 - Z) х + _С1, У = “(3 + Z) х + _С1 }
>	{seq(solve(res2[i]._CD,1=1.,nops(res2))};
{у + 3 х + х I, у + 3 х - х 1}
itr:- {xi-coeff(J[l].I).eta-X[l]-coeff(«[l].I)*I}:
itr := {T| = у + 3 x, £ = x}
Теперь приводим заданное уравнение к канонической форме
> tr:=solve(itr,{х.у));
PDEtools[dchange](tr.eq.itr.[eta,xi].simplify)«0:
tr:= {y=r)-3^,x=£,}
Задачи с примерами решений
81
^и(пЛ) +
гЧ(пЛ) +
^u(n,^)l = o
Пример 5. Привести к каноническому виду уравнение
Решение. Решаем задачу в системе аналитических вычислений Maple. Задаем уравнение
> а: = 4.4,1.0.-2.0.0;
а :=4, 4, 1,0, -2, 0,0
> equ:-a[l]*diff(u(x.y).x.x)+a[2]*d1ff(u(x,y),х.у)+
a[3]*diff(u(x.y),y,y)+a[4]*diff(u(x.y),х)+
a[5]*diff(u(x.y),y)+a[6]*u(x.y)+a[7]=0:
( d A
— u(x,^) 1 = 0
Вычисляем матрицу старших коэффициентов и ее определитель
> eq:“lhs(equ);
>	А:- 1inalg[matriх](2.2.[coeff(eq,diff(u(x.у),x,x)).
coeff(eq,diff(u(x.y).x.y))/2,coeff(eq,diff(u(x.y),x,y))/2.
coeff(eq.diff(u(x,y),y.y))]):
>	Delta:-simplify(11nalg[det](A));
Г 4
А :=
A := 0
Так как определитель матрицы старших коэффициентов А = 0, то тип уравнения — параболический.
Формируем характеристическое уравнение и решаем его
>	А[1.l]*zA2-2*A[l.2]*z+A[2,2]=0;
resl:-solve(A[l.l]*zA2-2*A[l.2]*z+A[2.2],z);
4 z2 - 4 z + 1 = 0
resl
1 1
2’2
>	subs(y=y(x) .reslCU);res2:«dsolve(d1ff(y(x).x)-X.y(x)):
1
2
res2 := y(x) = у + Cl
82
2. Уравнения математической физики
Получили одно семейство характеристик. Вводим замену переменных > res2:=subs(y(x)=y,res2);
~ х _ res 2 у = у + _С1
> 1tr:={xi=solve(res2._Cl),eta=y}:
/7г := {£> = у--^,т\=у}
Приводим заданное уравнение к каноническому виду
> tr:=solve(itr.{x,y}):
PDEtools[dchange](tr,eq,itr.[eta,xi].simplify)=0:
Гг':= {y=T],x=-2^ + 2r|}
^~2 u( П. )1 “ 2 (u( т] Д )1 - 2 (u( T),	= 0
lfr| J <^4 J к51! J
Обратим внимание: если выбрать другую замену переменных > itr:={xi=solve(res2._Cl) .eta=x):
/7г := {£ = у - ~ Т| = х}
то придем к уравнению вида
> tr:=solve(itr\{х.у});
PDEtools[dchange](tr.eq.itr.[eta,xi].simpl1fy)«0:
< ^2	\	✓ $	x
4 -Ли(П^) -2 ^u(n^) =°
1^1	J	;
Приведем программу, автоматизирующую преобразования по приведению линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными к канонической форме. Программа приводит к канонической форме уравнение следующего общего вида:
Формальным параметром программы служит именно это уравнение, так как при замене переменных преобразовывается только та часть уравнения, которая содержит производные. Если уравнение содержит еще и члены с отличными от нуля коэффициентами aG и а7, то эти члены просто необходимо добавить в преобразованное уравнение (после окончания работы программы), конечно, с учетом преобразования независимых переменных.
Программа имеет два глобальных параметра: параметр, который содержит формулы замены переменных, и параметр, который содержит преобразованное уравнение. Эти переменные можно независимо использовать в последующей работе. Например, можно перейти к другой канонической форме гиперболического уравнения, содержащей смешанную вторую производную (программа преобразо
Задачи с примерами решений
83
вывает квадратичную форму, соответствующую матрице старших коэффициентов, к сумме квадратов).
Еще одна особенность программы — классификация типов уравнений выполняется не по определителю квадратичной формы, он может зависеть от переменных, а по характеристикам, которые тоже однозначно определяют тип уравнения. Алгоритм программы достаточно прозрачен. При необходимости ее можно легко модернизировать под те или иные нужды.
> canonical_form:=proc(equ)
> global change_of_variables.eq_can:
> local
>	k. A. В. i t. J.eq_n.r.tr.i.itr.eq_type.mu.eq.
>	characteristics:
>	eq.'= Ihs(equ):
>	A:= linalg[matr1x](2.2,[coeff(eq.diff(u(x.y).x.x)).
>	coeff(eq.diff(u(x.y).x.y))/2.
>	coeff(eq,diff(u(x.y).x,y))/2,
>	coeff(eq.d1ff(u(x.y),y,y))]):
> simpl1fyC{solve(A[l.l]*z*2-2*A[l,2]*z+A[2.2],z)}):
>	simplify(£.power):simplify(£,power.symbolic);
>	subs(y-y(x).X);
>	if type(K[l],'*') and has(t[l],y) and has(l[l].I) then
>	mu:- l/select(has,X[1],y):
>	{seq(int(expand((diff(y(x),x)+U[1])*mu).x)-_Cl.
>	1-1. .nops(W)}:
>	else
>	{seq(dsolve(d1ff(y(x),x)-X[i],y(x)).1-l..nops(fc))};
>	end If;
>	characteristics:-subs(y(x)-yД);
>	print('Характеристики:'):print(character!sties);
>	{seq(solve(characteristics[i]._Cl)f
>	1-1..nops(characteristics))};
>	if nops(X)-l and not hastypeCI.nonreal) then
>	itr:-{xi-?[l].eta-x}; # либо eta=y
>	eq_tyPe:“'параболический тип';
>	el if not hastype(3».nonreal) then
>	1tr:-{xi-(m]+X[2])/2.eta-(X[2]^[lJ)/2};
>	eq_type:='гиперболический тип':
>	else
>	itr:« {xi“Coeff(^[l],I),eta=X[l]-coeff(X[l].I)*I}:
>	ед_Луре:-чэллиптический тип';
>	end if;
>	itr:=simplify(itr);indets(itr);
>	select(hasX[x,y]):
>	k:- solve(itr.l);
>	it:- convert(itr.list);
>	if has(X[l],eta) then it:- [Х[2]Д[1]] end if:
>	J:- Jacobian([rhs(1t[l]).rhs(1t[2])].[x.y]);
>	B:= map(simplify.evalm(J&*A&*transpose(J))):
>	eq_n:= B[l.l]*Diff(u,xi,xi)+2*B[1.2]*Diff(u,xi,eta)+
>	B[2.2]*D1ff(u.eta.eta)+
> simplify(subs(u(x.y)-rhs(1t[l])'.eq))*Diff(u.xi)+
84
2. Уравнения математической физики
>	s1mpl1fy(subs(u(x.y)-rhs(1t[2]).eq))*Diff(u.eta);
>	eq_n:= expand(eq_n);
>	k union map(x->l/lhs(x)=l/rhs(x).k);
>	subsd.eq_n):
>	If ер_1уре='параболический тип' then
>	simplify (solved, 01 ff(u.eta.eta))):
>	r: = s1mp!1fy(subs(k,numerd))/subs(k.denom(X))):
>	If hasC£.[x.y]) then
>	tr:- solvedtr. {x.y});
> If hasd.RootOf) then tr:- al 1 valuesd)[l] end If:
> slmpl1fy(expand(subs(tr.r)));
> end If
> eq_can:= D1ff(u.eta,eta)d=0:
> end If
>	If eq_type='гиперболический тип' then
>	slmpl1fy(solve(eq_n.01fftu.eta,eta))):
>	r: = s1mpl1fy(subs(k,numerd))/subs(k.denomd))):
>	If hasd.[x.y]) then tr:- solvedtr. {x.y}):
>	If hasd.RootOf) then tr:- all valuesd)[l] end If;
>	s1mpl1fy(expand(subs(tr.r))):
>	end If:
>	eq_can:= D1ff(u.eta.eta)-Diff(u.xi,xi)-
>	slmplifyd-Diff(u.xi.xi))-0;
>	end if:
>	If eq_typew'эллиптический тип' then
>	slmpl 1fy(solved.Diff(u.x1 .xi))):
>	r: = s1mplify(subs(k.numer(X))/subs(k.denomd)));
>	If has(X.[x.y]) then tr:= solvedtr.{x.y}):
>	If hasd.RootOf) then tr:- allvaluesd)[l] end If:
>	map(s1mplify.subs(tr,r).trig.power.symbol 1c):
>	end If;
>	eq_can:= D1ff(u.eta.eta)+0iff(u.x1,x1)-
>	s1mpl1fyd+D1ff(u.eta,eta))-0:
>	end If:
>	change_of_var1ables:-1tr:
>	print(eq_type):print('Замена переменных:'):print(1tr);
>	pr1nt('Каноническая форма:');
>	eq_can:= va1ue(subs(u=u(eta,x1),eq_can)):
>	RETURN(eq_can);
>	end proc:
При выборе замены переменных в случае уравнения параболического типа одна из переменных назначается произвольно: г| = х либо р = у (лишь бы она была независима от ^и дифференцируема нужное число раз). От этого выбора иногда зависит окончательный вид уравнения.
Рассмотрим применение этой программы к решению задач.
Пример 6. Привести к каноническому виду уравнение
2 д2и о д2и д2и п
—+—5" =0-
дх2 дхду ду
Задачи с примерами решений
85
Решение. Для решения задачи воспользуемся программой canon1cal_form.
>	а:= х*2,-2*х,1.0,0:
equ:-a[l]*diff(u(x.y).x.x)+a[2]*diff(u(x.y).х.у)+
a[3]*diff(u(x,y),у,y)+a[4]*diff(u(x.y),х)+
a[5]*d1ff(u(x.y),у)=0:
canon1cal_form(eqii):
а := х2, -2 х, 1, О, О
Характеристики: {у =-1п(х) + _С7 } параболический тип Замена переменных: {П = у, ^=у + 1п(х)}
Каноническая форма:
^дл\2
и(т],^)^ = 0
Тот же пример, но другая замена переменных
>	canon1cal_form(equ):
Характеристики:
{у = ~\ъ{х) + ~С1} параболический тип Замена переменных: {г| = х, ^=у+1п(х)}
Каноническая форма:
Пример 7. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к канони
ческому виду уравнение
Решение. Для решения задачи воспользуемся программой canon1cal_form. Задаем уравнение
> а:= у.0.-х.0,0:
а := у, 0, -х, О, О
> equ:= a[l]*diff(u(x,y),x,x)+aC2]*d1ff(u(x,y),х,у)+ a[3]*diff(u(x,y),y,y)+a[4]*d1ff(u(x,y),х)+
86
2. Уравнения математической физики
a[5]*diff(u(x,y),у)=0;
2
equ i=y
дх2
2
Рассматриваем уравнение в области х < 0, г/ <0:
> assume(х<0 ,у<0); canon ical_forni( equ);
Характеристики:
(3/2)	Л z (3/2)
(3/2)
(3/2)
{^ = -
гиперболический тип Замена переменных:
Каноническая форма:
2 U( П,
и(пЛ) р
-----=0
Рассматриваем уравнение в области х > 0, у > 0:
> assume(х>0,у>0)canonical_form(equ):
Характеристики:
f (3/2)	(3/2)	Л (3/2)	(3/2)
гиперболический тип Замена переменных:
(Г (3/2)	(3/2).
{^ = у~ > п =	}
Каноническая форма:
И(Г|, Г] ~
’£"2и(П^) -
Рассматриваем уравнение в области х > 0, у < 0:
> assume(x>0,у<0):canonical_form(equ):
Характеристики:
(3/2)
(3/2)
(3/2)= сц
(3/2)
— =0
эллиптический тип
Замена переменных:
~	(3/2)	л г
2 z	1
u(n^) П“
(
,п = -
3
3
Задачи с примерами решений
87
Каноническая форма:
и(И> А
Г4-и(л, ^)1П + f^-u(T], ol Е,
1	> А^П__________2_
3
Рассматриваем уравнение в области х < 0, у > 0:
> assume(x<0,y>0):canonlcal formCequ);
Характеристики:
эллиптический тип
Замена переменных:
Каноническая форма:
\ if а 1
Пример 8. Привести к каноническому виду уравнение
2 д2и 2 д2и
дх2 ду2
= 0.
Решение. Для решения задачи воспользуемся программой canonlcal_form. Задаем уравнение
> а: = хЛ2.О.-уЛ2,0.О;
eq:=a[l]*d1ff(u(x,y),x.x)+a[2]*diff(u(x,y).x.y)+a[3]*diff(u(x,y),y,y)+a[4]*diff(u(x.y).
x)+a[5]*d1ff(u(x,y),y)=0:
canonica Worm(eq);
a := x2, 0, -y2, 0, 0
Характеристики:
гиперболический тип
Замена переменных:
,П = ~
2 х
88
2. Уравнения математической физики
Каноническая форма:
д / г ч 1	(3	.	. . )
t-^u(t|,	- —^и(т],^) +
дгр )	)
4Zu(n>^)
Иногда бывает удобнее другая форма канонического уравнения
> eq сап:
> tr:={xi~t+tau,eta=t-tau}:
> itr:={t=(xl+eta)/2.tau=(xi-eta)/2}:
П
П
> PDEtools[dchange](tr.lhs(eq_can)Jtr. [t.tau]. simplify )»0:
Последнее уравнение легко интегрируется (как в примере 1). Впрочем, общие решения этих канонических уравнений можно найти и с помощью Maple
>	pdsolve(X);
u(r, т) = _F1(t) + _F2(?)/т
>	pdsolve(eq_can):
u(T],5) = _Fl(-n + О + _F2(T] + О
Пример 9. Найти общее решение уравнения с постоянными коэффициентами д2и п ди о д2и п дх дхду ду
Решение. Для решения задачи воспользуемся стандартными средствами Maple. Зададим уравнение
>	eq:= diff(u(x.y),x.x)-2*diff(u(x,y),x.y)-3*diff(u(x.y),y.y)=0;
Воспользуемся стандартной программой Maple — mapde(eq,canom). Эта программа преобразовывает исходное уравнение в возможно более простое, которое можно решить. Фактически, это еще один способ приведения заданного уравнения к каноническому виду. Разработчики системы, правда, предупреждают, что
Задачи с примерами решений
89
команда всегда будет успешно выполнена, когда коэффициенты уравнения постоянны. С переменными коэффициентами команда успешно выполняется только иногда. Для того чтобы воспользоваться этой командой, надо подключить пакет PDEtools
> wlth(PDEtools):
> mapde(eq.canom);
/16 L & g u(Jjl,	) &where {_!;! = 3 x +y, _^2 =
> op(X):
3x+y’-$2 4 4}
Найдем теперь общее решение полученного уравнения гиперболического типа с помощью команды pdsolve
> pdsolve(fc£l]);
Вернемся к старым переменным
> sol :=u(x,y)=subs(^[2] ,rhs(W:
Проверим найденное решение
> simpl1fyСsubs(sol,eq)):
дх2
^ду дх
= О
> simpl1fy(lhs(£));
0
Пример 10. Найти общее решение уравнения с постоянными коэффициентами
Решение. Зададим уравнение
> eq:»
3*diff(u(x.y),x.x)-5*d1ff(u(x,y),x,y)-2*d1ff(u(x,y).y.y)+3*diff(u(x,y).x)+diff(u(x,y),y )=2;
Преобразуем к канонической форме
90
2. Уравнения математической физики
> mapde(eq.canom):
(3/49 - 21)/49 (т-уу u( Jjl, Jj2)1 + (3/49 + 21)	u( Jjl, Jj2 )1 - 2
У О	у С/ J О	^(7 сД
+ /49 f  и(_Ц, J;2) Y] &where {_£1 = 2х + у, J;2 = у-4А
>	ор(Ж):
(3 /49 - 21) /49 [ u(JJ,	)1 + Ъ 3 /49 + 21) (u(J;l,	)1-2
+ /49 [	9	uQU.JgA {JU =2х + у, 32Ц-4А
\Ч_Ъ^ С—J	'	'
Решим уравнение
>	pdsolve(XEl]):
U( Jjl, J.2) = -Fl(J;2) + e‘‘-y * _F2( J;1) +
>	sol :=u(x.y )=subs(H[2] ,rhs(X));
(x 3 у A	I “7+ ”1	4 x 2 у
5o/:=u(x,y) = _Fl	+ev \F2(2x + y) + — + -f-
Проверим полученное решение
> slmpl1fy(subs(sol.eq)):
F2(2x + y)
_F2(2x + y)
F2(2x + y)
2
> simplifydhsd)):
Пример 11. Найти общее решение уравнения с постоянными коэффициентами
-^--2—-3—+ 6и =2ех+у. дх ду дх ду
Задачи с примерами решений
91
Решение. Зададим уравнение
> eq:=diff(u(x,y).х)-2*d1 ff(u(х.у) ,x)-3*diff(u(x.y) .y)+6*u(x.y)=2*exp(x+y):
(X + у )
+ 6 u(x, у) = 2 e
> mapde(eq.canom):
+ 6и(х,у)-2е(л+П
& where
the received pde is already in canom form
Система Maple сообщает нам, что уравнение уже имеет канонический вид. Решим это уравнение
>	sol:=pdsolve(eq);
sol := u(x,y) = е _Fl(x) + e _F2(y) + e
Выполним проверку найденного решения
>	simpl1fy(subs(sol.eq)):
f d2 (2y)	(3x)	-( д {ly}	(За)	и+>)Л
. (e Fl(x) + e F2(y) + e ) -2 — (e FI(x) + e _F2(y) + e )
dy OX	j ox	j
- ( d (2y)	(3.t)	(v+r) A (2>')	(3x)	(x+.v)
-3	_Fl(x) + e _F2(y) + e	) J + 6 e _Fl(x) + 6e _F2(y) + 6 e =
2 e
> simpl1fy(lhs(X)):
n (jf + y)
2 e
0
3 Метод Фурье
В этой главе мы приступаем к изучению одного из основных аналитических методов решения краевых задач математической физики — метода Фурье. Метод Фурье, или метод разделения переменных, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Применение метода Фурье будет иметь успех, если уравнение задачи является линейным и относится к классу дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Помимо метода Фурье следует отметить и другие аналитические методы, базирующиеся на интегральных преобразованиях. Это — методы преобразования Фурье, Лапласа и другие методы интегральных преобразований в бесконечных пределах, метод Гринберга интегральных преобразований в конечных пределах, метод функций Грина. Некоторые из этих методов мы также изучим в дальнейшем.
Все перечисленные методы относятся к аналитическим методам решения задач математической физики. Они позволяют получить точное решение задачи в формульном виде. Правда, не всегда такое точное решение бывает удобно для исследования. Следует также иметь в виду, что не всегда точное решение может быть получено, и поэтому на практике часто бывает необходимо использовать приближенные методы решения краевых задач математической физики. В этих случаях могут быть использованы асимптотические или численные методы.
Уравнения с разделяющимися переменными
Как мы отметили ранее, метод Фурье основан на разделении переменных и применяется для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Именно последние уравнения занимают особое место в общей теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это объясняется тем, что, с одной стороны, они составляют наиболее разработанную часть этой теории, а с другой стороны, описывая реальные физические процессы, линейные дифференциальные уравнения в частных производных находят многочисленные применения в физике и технике. Решения этих уравнений обладают рядом заме
Уравнения с разделяющимися переменными
93
чательных свойств, напоминающих соответствующие свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Напомним, что дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в это уравнение в первой степени и если оно не содержит членов с произведениями этих величин. Так, например, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, линейное и однородное относительно неизвестной функции и ее производных, имеет вид
п И
i=l ;=1
д2и dxidXj
+Х Z>,(x)— + с(х)и = О, ОХ;
(3.1)
где L — линейный дифференциальный оператор, и = u(xlf х2,..., хп) — искомая функция, коэффициенты этого уравнения — заданные функции от х = (Xj, х2,..., хп).
Если правая часть уравнения отлична от нуля, то есть
L(u) = F(x), и
где F(x) — известная функция от х = (Xj ,х2,...,хп), то линейное уравнение называется неоднородным.
В основе важнейших методов интегрирования линейных уравнений в частных производных лежит общая для всех таких уравнений идея. Она заключается в свойстве решений, которое называется принципом суперпозиции (наложения). Этот принцип можно высказать в виде следующей теоремы.
Принцип суперпозиции. Если каждая из функций
w1(x),u2(x),...,w„(x)
является решением однородного линейного дифференциального уравнения L(u) = О, то и их линейная комбинация
и(х) = C1w1(x) + C2w2(x) + ...+ Cnwrt(x),
где С{, С2,..., Сп — произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.
Действительно, достаточно проверить, что L(u) = 0, если
£(wt)=0, £(w2) = 0, ..., £(wrt) = 0.
Используя правила дифференцирования, легко получаем цепочку равенств
£(м) = С\L(U\) + C2L(и2) + ... + CnL(un) = О, что и требовалось доказать.
Принцип суперпозиции допускает следующее важное обобщение на случай бесконечных рядов.
Обобщенный принцип суперпозиции. Если каждая из функций
их(х),и2(х),...,ип(х),...
является решением однородного линейного дифференциального уравнения ...то ряд
94
3. Метод Фурье
«(х) = £с „и„(х)
Л = 1
также является решением этого уравнения, если он сходится к некоторой функции и(х) и допускает почленное дифференцирование.
В самом деле, если все производные функции и, фигурирующие в уравнении Л(н) = 0, вычисляются почленным дифференцированием ряда, то в силу линейности уравнения
L(u) = lf£c„MJ = JcnL(un) = O, \л=1 J n^i
так как сходящиеся ряды можно складывать почленно. Тем самым доказано, что функция и удовлетворяет уравнению. В качестве достаточного условия для возможности почленного дифференцирования ряда мы постоянно будем пользоваться условием равномерной сходимости ряда
00
XC„L(un),
П=1
получаемого после дифференцирования.
Как известно, принцип суперпозиции, аналогичный сформулированному ранее принципу для уравнения (3.1), имеет место и для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Из теории этих уравнений известно также, что линейное уравнение n-го порядка имеет не более п линейно независимых решений. Поэтому в этом случае имеет смысл говорить лишь о линейной комбинации этих решений в числе не более п.
В случае же линейного уравнения в частных производных можно выбрать бесконечное множество линейно независимых частных решений1. Это обстоятельство совместно с обобщенным принципом суперпозиции играет чрезвычайно важную роль в образовании решения уравнения в частных производных. Именно большой набор частных решений такого уравнения даст возможность выделить из общего решения то, которое должно удовлетворять, вообще говоря, произвольным дополнительным условиям.
Обобщение принципа суперпозиции идет еще дальше. Может оказаться, что решение уравнения в частных производных Ци) =0 имеет вид и(х, £), то есть зависит от некоторого параметра, изменяющегося в конечном или бесконечном промежутке (а, Ь). Эта зависимость понимается так, что при всех значениях £ е (а,Ь) функция и(х, Q является решением уравнения, то есть Ци(х, £)) s 0. Из предыдущего следует, что, в свою очередь, функция v(g)u(x, £), где v(^) — произвольная функция, будет также решением уравнения Ци) = 0. Как и ранее, интерес представляет бесконечная сумма выписанных решений. Но так как о(£) зависит от непрерывно меняющегося параметра £, то это суммирование должно осуществляться при помощи интеграла. Таким образом, мы приходим к рассмотрению интеграла
1 Бесконечное множество функций называется линейно независимым, если любое конечное множество этих функций линейно независимо.
Уравнения с разделяющимися переменными
95
а
Нетрудно убедиться, что этот интеграл является решением уравнения в частных производных Ци) = 0, конечно, при условиях его существования и законности выполнения операции дифференцирования пох под знаком интеграла.
Рассмотрим однородное линейное уравнение (3.1): Ци) = 0. Мы скажем, что это уравнение относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, если оно допускает бесконечное множество решений в виде
п
(3.2)
причем все решения Х((х,) получаются из обыкновенных дифференциальных, уравнений подстановкой (3.2) в (3.1).
Для того чтобы переменные в уравнении (3.1) разделялись, необходимо, чтобы оператор L имел определенную структуру. В частности, переменные разделяются, если уравнение имеет вид
Ци) = Ц (u) + Z2(n)+	(и) = 0,
где Ц — зависит только от х,, L2 — зависит только от х2, Ln — зависит только от х„. Например, если п =2, то будем иметь
Z(u) = Z1(m) + Z2(u) = 0.	(3.3)
Переменные разделяются, если оператор L имеет такой вид (в случае п = 3)
I(u) = Z1(M)+£2(W) + g(x2)I3(W)=0.	(3.4)
Рассмотрим подробнее методику разделения переменных на конкретных примерах. Если дано уравнение (3.1) с разделяющимися переменными, то все решения Xi(xi) в формуле (3.2) мы получим из обыкновенных дифференциальных уравнений путем подстановки (3.2) в (3.1). Пусть, например, уравнение имеет вид (3.3). Тогда это уравнение должно иметь решения видан(х1 ,х2) - Х{ )Х2(х2). Подставим это представление решения в уравнение (3.3), получим
X2Li(Xi) + XlL2(X2) = Q^^^ + b^l=0.	(3.5)
Л J	X 2
В последнем уравнении одно слагаемое зависит только от х,, а другое — только от х2. Равенство (3.5) возможно лишь в случае, когда
где X = const. Таким образом, имеем обыкновенные дифференциальные уравнения
Ц(Хх)+кХх =0, L2(X2)-kX2 =0,	(3.6)
и разделение переменных осуществлено (число X называется параметром разделения). Интегралы уравнений (3.6) зависят от параметра X и постоянных интегрирования, то есть получаем бесконечную совокупность частных решений.
96
3. Метод Фурье
Рассмотрим уравнение (3.4). Покажем, что это уравнение допускает решение в виде и(х{ ,х2,х3) = Х1(х1 )Х2(х2)Х3(х3). После подстановки этого представления в (3.4) получим
MX.) Z2(X2) g(x2)Z3(X3) -------1-------1------------у
X, Х2 Х3
или
(3.7)
Равенство (3.7) возможно лишь в случае
MX,)	. Z2(X2) g(x2)Z3(X3)
	— — —Л,--------г------------ — Л,
X,	х2 х3
Таким образом, получаем одно обыкновенное дифференциальное уравнение
Имеем далее
L{ (Xt ) +	= 0.
g(x2)X2 g(x2)
(3-8)
Равенство (3.8) возможно лишь в случае, когда
ВД X
g(x2)X2 g(x2)
Откуда получаем еще два обыкновенных дифференциальных уравнения
£3(Х3) + ЦХ3 =0, I2(X2)-[pg(x2)+X]X2 =0.
Иногда, чтобы добиться разделения переменных в некотором заданном уравнении, можно приняты/ = f(x{,x2,...,xn)w. После подстановки такого выражения в уравнение L(u) - 0 с не разделяющимися переменными можно получить новое уравнение вида M(w) = 0, у которого переменные разделяются.
В задачах математической физики часто приходится сталкиваться с оператором Лапласа. Помимо уравнения Лапласа, как мы знаем, оператор Лапласа входит в уравнение теплопроводности, в волновое уравнение и в ряд других. Поэтому в случае, если в некоторой системе криволинейных координат переменные могут быть разделены в уравнении Лапласа, есть основания надеяться на то, что и многие более общие краевые задачи (в которые входит оператор Лапласа) могут быть решены методом Фурье. Самой простой и наиболее распространенной системой координат, в которой переменные в операторе Лапласа разделяются, является декартова прямоугольная система координат. В цилиндрической и сферической системах координат переменные в уравнении Лапласа также разделяются (читателю мы рекомендуем убедиться в этом самостоятельно). Существует одиннадцать координатных систем, в которых возможно разделение переменных в операторе Лапласа. Использование специальных координатных систем может оказаться удобным в том случае, если граничные условия заданы на поверхностях, являющихся координатными поверхностями в соответствующей системе
Задача об охлаждении пластины
97
ортогональных координат. Так, например, если граничные условия заданы на сфере, удобно использовать сферические координаты, если границами являются цилиндрические и плоские области, следует перейти к цилиндрическим координатам, а если границей является сфероид, полезно использовать сфероидальную систему координат.
Задача об охлаждении пластины
Прежде чем начать систематическое изложение теории метода Фурье и общего алгоритма применения этого метода к решению краевых задач математической физики, рассмотрим пример, иллюстрирующий основные идеи, положенные в его основу.
Дана пластина толщиной а и бесконечной протяженности в двух других направлениях (рис. 3.1). Пусть задано некоторое начальное распределение температуры, зависящее только от координаты х. Требуется определить дальнейшее распределение температуры в пластине при условии, что стенки поддерживаются при нулевой температуре.
Рис. 3.1. Бесконечная пластина
Математическая постановка задачи. Процесс, очевидно, описывается следующим уравнением теплопроводности
^Т- — — =0, k dt
которое рассматривается в области 0 < х < a, t > 0.
Обозначим лишь для простоты записи т = kt/(cp) (напомним, что здесь р — плотность, с — удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности). Тогда уравнение теплопроводности перепишется в виде
д2Т дГ Л	/Ч£п
—--------0, 0<х<а, т>0.	(3.9)
дх2 дх
Сформулируем граничные и начальные условия. Граничные условия:
Тх-.о=О, Тх_а=0.
Начальное условие:
Т\„о = ф(х).
(3.10)
(3.11)
В нашем случае уравнение (3.9) является уравнением с разделяющимися переменными, так как оператор этого уравнения имеет вид
98
3. Метод Фурье
АТ	А^Т	АТ
ЦТ) =	= Lx (Г) + L Z(T), £v(D = |4- LdT) = ~•
дх дх	дх	дх
Будем строить частное решение уравнения (3.9) в виде
Т=Х(х)У(т).	(3.12)
Подставим (3.12) в (3.9), получим у« у/ YX” - ХУ' = 0 => — = — = -X. X Y
Здесь штрих означает дифференцирование по соответствующей координате. Таким образом, получили два обыкновенных дифференциальных уравнения
Х" + ХХ=0, У'+ХУ=0.	(3.13)
В силу граничных условий (3.10) будем иметь также
Х(0) = 0, Х(а)=0.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
Х" + ХХ=0, Х(0) = 0, Х(а) = 0.	(3.14)
Особенностью этой задачи является то, что дифференциальное уравнение и граничные условия — однородные. Поэтому такая задача всегда имеет нулевое решение Х(х) = 0. Это решение называется тривиальным решением. Очевидно, нас будут интересовать нетривиальные решения, не равные тождественно нулю Х(х) * 0. Такие нетривиальные решения называются собственными функциями рассматриваемой краевой задачи (3.14). Нетривиальные решения существуют при определенных значениях параметра X. Значения X, при которых существуют нетривиальные решения задачи, называются собственными значениями этой задачи.
Найдем собственные значения и собственные функции задачи (3.14). Общее решение уравнения (3.14), очевидно, имеет вид
Х(х ) = A cos(VXx ) + В sin(Vx^), А, В = const.
Из граничных условий находим
Х(0) = 0 => А = 0, Х(а) = 0 => Bsin(Via) = 0.
Нас интересует нетривиальное решение, поэтому считаем, что В т 0. Тогда будем иметь
sin(VXa) = 0.
Откуда находим собственные значения задачи (3.14)
п = 1, 2,... (п € N),
где N — множество натуральных чисел. Собственными функциями задачи (3.14) будут следующие функции, которые определяются с точностью до постоянного множителя:
Задача об охлаждении пластины
99
ппх
п = 1,2,...

а
Отдельно следует рассмотреть случай Л = 0. В этом случае общее решение уравнения (3.14) дается формулой
Х(%) = А + Вх.
Из граничных условий теперь будем иметь А = 0, В = 0. Таким образом, при Л = 0 получаем только тривиальное решение. Значит, Z = 0 не является собственным значением задачи (3.14).
Рассмотрим теперь второе уравнение (3.13)
(3.15)
Общий интеграл уравнения (3.15) имеет вид
Таким образом, мы получили бесконечное множество го уравнения (3.9)
частных решении исходно-
'п=Мпе^
sin
пп
Каждое из этих решений удовлетворяет исходному уравнению (3.9) и граничным условиям (3.10), но не удовлетворяет начальному условию (3.11). Чтобы удовлетворить этому начальному условию, воспользуемся принципом суперпозиции и составим формальный ряд. Решение задачи запишем в виде
00
П=1
(3.16)
Мы постулируем «достаточно хорошую» сходимость ряда (3.16), которая означает, что возможно почленное дифференцирование по х и т под знаком суммы. Можно утверждать, что полученное решение удовлетворяет граничным условиям (3.10) при условии, что можно переходить к пределу под знаком суммы при х -> 0 и х -> а. Будем также предполагать, что под знаком суммы возможен предельный переход при т —> 0. Имеем тогда
0 < х < а.
(3.17)
Основываясь на теории рядов Фурье и допуская, что функция Ф(х) разлагается в ряд Фурье, можно записать
2 а
Мп = -{Ф(х) sin ао
/771
100
3. Метод Фурье
Формально задача решена, при некоторых допущениях. Сделаем обоснование всех этих допущений. Проведем обоснование в предположении, что
Ф(х)еС(1)([0,а]), Ф(0) = 0, Ф(а) = 0.	(3.18)
Простота обоснования определяется тем фактом, что при выполнении условий (3.18) функция Ф(х) разлагается в ряд Фурье, то есть
Ф(х) = sin П=1
Мп = — f Ф(х)зш — к а
х dx, хе[0,а].
При этом сходится ряд
00
П=1
(3.19)
Опираясь на эти факты, докажем, что (3.16) есть решение нашей задачи. Будем рассматривать область 0<х<а,т^0. Легко видеть, что ряд (3.16) мажорируется сходящимся рядом. Действительно,
для всех хи т:0 < х <а,т >0. Ряд (3.19) сходится, сходится и ряд (3.16). Так как мажорирующий ряд является числовым, то ряд (3.16) сходится равномерно по Вейерштрассу относительно хит: 0<х<а,т>0. В силу этого законны предельные переходы при х -> 0, х -> а, т -> 0, то есть можно записать
Аналогично устанавливается, что
limT = 0, 1ппТ = Ф(х). л* —>а	т ~>0
Покажем, что (3.16) удовлетворяет уравнению (3.9). Для этого рассмотрим ряды, полученные формальным дифференцированием по х и т:
(3.20)
Покажем, что дифференцирование возможно. Выделим небольшую полоску (рис. 3.2) шириной 8 и рассмотрим область ZT: 0 < х < а, т > 8 > 0.
Задача Дирихле для круга
101
ТА
Рис. 3.2. К обоснованию решения
В этбй области ряды (3.20) мажорируются числовыми рядами
Значит, ряды (3.20) сходятся, причем сходимость равномерная в области D\
Следовательно, почленное дифференцирование законно и полученные выраже
ния (3.20) действительно являются производными функции (3.16). Таким образом, в области
Величина 8 произвольно мала, следовательно, последнее равенство справедливо в открытой области D: 0<х<а,т>0. Таким образом, все условия задачи проверены. Кроме того, мы можем утверждать, что Т е C(2\D).
Задача Дирихле для круга
Рассмотрим еще один пример. Решим первую краевую задачу для уравнения Лапласа в круге: найти функцию и, удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри круга радиуса а\
Аи -0
и граничному условию на границе круга
г ~
где f — заданная функция.
Мы предположим сначала, что функция f непрерывна и дифференцируема и решение и непрерывно в замкнутой области.
Введем полярную систему координат (г, <р) с началом в центре круга. Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид
102
3. Метод Фурье
2
г2 дф2
(3.21)
Граничные условия:
= 0(1), и
Г=Д=/(Ф).	(3.22)
Кроме того, мы должны поставить дополнительные условия, вытекающие из характера задачи — условия периодичности: ди 5ф
_ &u дф ф = -Д	'
Уравнение (3.21) допускает разделение переменных. Будем искать решение в виде
и = Я(г)Ф(ф).	(3.24)
После подстановки (3.24) в (3.21) и разделения переменных получим
Ф"(<р) + ХФ(<р) = О, г(г7?'(г))'-ХЛ(г) = 0.
В силу условий периодичности (3.23)
<р=-л
(3.23)
(3.25)
(3.26)
ф = -Л
ф = -Л	1ф = 7С
(3.27)
и
ф = 7t ’
ф = 7Г ’
f
ф = Л
Найдем собственные значения и собственные функции краевой задачи (3.25) и (3.27). Общее решение уравнения (3.25) имеет вид
Ф(<р) = Л cos( Vx <р) + Вsin(Vx ф), X * 0.
Из граничных условий (3.27) находим
2В sin(VI п) = О, 2ЛVx sin(Vx л) = 0.
Если sin(VXrc) * 0, то А = В - 0 и мы имеем только тривиальное решение. Следовательно,
sin(VXrc) = 0 => X = Х„ = п2, п е ЛХ
Собственные функции будут
Ф„(ф) = Вп sin(znp) + A„ соэ(пф).
Нетрудно убедиться (читателю рекомендуем это проверить!), что X = 0 есть собственное число, которому отвечает собственная функция Ф0(ф) = Ао = const.
Рассмотрим теперь уравнение (3.26) при X = Хл = п2. Это — уравнение типа Эй-
' лера. Будем искать решение уравнения (3.26) в виде /?(г) = г5. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид s2 -п2 =0. Откуда 5 = +п. Следовательно, общее решение уравнения (3.26) будет
Rn(r) = Cnrn + Dnr~\ neN.
В случае, когда X = 0, будем иметь
R0(r) = C0 +D0 ln(r).
Задача Дирихле для круга
103
Итак,
и„ =(C„rn + Z)„r’")(B„sin(n<p) +Д, cos(mp)), п ё N, “о =(со + А 1п(г))Л0, п = 0.
Так как функция и должна оставаться конечной, то необходимо принять £>0 = О, Dn =0 V neN: Таким образом, окончательно получаем
un =(Wnsin(n(p) + Mn cos(nq>))r", п е N, и0 = MQ, п = 0.
Построенные частные решения отвечают всем условиям задачи, кроме второго граничного условия (3.22). Чтобы удовлетворить этому условию, воспользуемся принципом суперпозиции и составим формальный ряд
и - MQ + £(N„ sin(nq>) + Мп cos(/?(p))r".
Л = 1
(3.28)
Будем постулировать «хорошую» сходимость ряда (3.28). Из второго граничного условия (3.22) находим
00
“1г.я = ма + sin(n<p) + Мя cos(n<p))a" = /(<p). n=i
(3.29)
Равенство (3.29) должно быть верно для всего интервала изменения ф. Предполагается, что возможен предельный переход при г а под знаком суммы. Если функция /(ф) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, то можно написать
апМл
anNn
— /(ф)со5(тр.)б/ф 71 -я
1 Л
- J/(cp)sin(n<p)6/<p,
Мо
2л
К
-я
(3.30)
Таким образом, получено формальное решение задачи.
Сейчас следовало бы доказать, что все наши рассуждения законны и ряд (3.28) действительно сходится к функции ы(г,ф), удовлетворяющей уравнению (3.21) и краевому условию (3.22). Оставляя в стороне эти доказательства, укажем лишь, что если функция /(ф) будет непрерывна и дифференцируема, то ряд (3.28) дает непрерывное решение рассматриваемой краевой задачи.
Преобразование решения задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуассона
Решение задачи Дирихле для круга может быть записано в другой форме. Получим соответствующую формулу. С этой целью подставим выражения для коэффициентов Фурье (3.30) в формулу (3.28). Меняя порядок суммирования и интегрирования, можно записать
104
3. Метод Фурье
1	00
u =
-к
4 П
<
” -71
— J7(y)<A|/ + £l - cos(ncp)— j /(x|/)cos(n\|/)6h|/+ sin(n(p)x я	w 1
1 Г	11?	[	00 < rY
- J/(v)sin(nv)<!/v =-[/(v)(fy l + 2£ - cos(n(y -<p))>.
я',	2л',	n.t\aj
-Я
Я	'
~7t
Для удобства введем обозначения г/а = р, \|/ — <р = а; найдем сумму
П
S = 1 + 2^р" cos(na), 0 <р < 1.
Л=1
Можно записать, используя формулу геометрической прогрессии со знаменате-
лем
ре,а
= р <1
S = l + 2ReJ(peia)" =l + 2Re
Л=1
peta 1-ре,а
1 + р2 -2рcos(a)
Решение задачи Дирихле для круга теперь можно записать в форме
1 f и = —
2л J,
------------------/( V ) d\\i
Г
-2-cos(v|/ -ф) a
или
2 2 а -г
(3.31)
и = т* J 7^—^----
2л -nla ~ %ar cos( V - ф) + г ]
Формула (3.31) называется интегралом Пуассона. Решение в форме (3.31) легче обосновать, и для этого требуется меньше ограничений, накладываемых на функцию /(ф). Функция /(ф) может быть только непрерывной или даже кусочно-непрерывной.
Замечание об обосновании формулы (3.31). Обозначим
_2	„2
к (г- ф- V) = 2	2 9-------;
a +r -2arcos(y -<р)
(3.32)
Тогда
1 п
и = — jK(r,<p,v|/)/(v)«ty.
2ти „
— 71
(3.33)
Нетрудно видеть, что функция (3.32) непрерывна и дифференцируема, пока г < а. Функция и(г,ф) непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. Можно показать, что
1 ар/п г dry or )
я
Следовательно, Ди = 0 при г < а. Более сложно проверить граничное условие: и /(ф) при г -> а. Из-за расходимости интеграла при ф = ф предельный переход недопустим. Перепишем (3.33) в виде
Задача Дирихле для круга
105
1 л	1 л
И = — f^><p.v)[/(w)-/(<p)]^v + /(<p)— [К(г,ф,ф)</ф.	(3.34)
2л \	2л \
—я	—я
Тогда
1 л
— fX(r,<p,\|/)[/(v)-/(q>)]rf\|/

а второй интеграл в формуле (3.34) можно вычислить
1 ”
— [Х(г,ф,ф)й?у = 1. 2”-п
Таким образом,
Итм(г,<р) = /(ф). г-+а
Интеграла Пуассона может быть использован для решения задачи Дирихле для произвольной плоской области. Рассмотрим следующую задачу Дирихле: найти функцию и е С<2> (Z)),w е C(D)f удовлетворяющую уравнению Лапласа в области D (рис. 3.3) и принимающую заданные значения на границе этой области Г, то есть
иг=/(Р), Ре Г.
(3.35)
У
Рис. 3.3. Произвольная плоская область
Будем рассматривать плоскость Оху как комплексную плоскость z = х + iy. Предположим, что известна функция z = F(a), о = £ + гг|, осуществляющая конформное отображение области D на круг D* (рис. 3.4).
При этом предполагается однозначность отображения. Функция z - F(a) равносильна замене переменных
х=х(£ц), г/=г/(^ц).
Произведем эту замену
ds2 - dx2 + dy2 =|tZz|2 - |F'(a)Ja|2 =
= |r(a)|(JV	=	+н2Л12.
106
3. Метод Фурье
Тогда
1 д ди д ди н~нц [д^ТЦ^д^УЦ^
1	(д2и д2иу
Следовательно, уравнение (3.35) в области D* примет вид
Ан =
У=°-
то есть уравнение Лапласа инвариантно по отношению к конформному преобразованию. Кроме того, имеем
< =/(?'), Р' еГ.
При конформном отображении области D на круг D* задача Дирихле для области D переходит в задачу Дирихле для круга /Г. Для круга £>* мы имеем интеграл Пуассона. После решения задачи Дирихле для круга D* результат можно перевести на исходную область D.
В заключение отметим, что приведенные здесь рассуждения могут быть с успехом применены и для решения других краевых задач для уравнения Лапласа, как двумерного, так и трехмерного. При этом метод разделения переменных даст опять должный эффект, если область, на границе которой будет задаваться краевое условие, является достаточно «хорошей»: граница ее должна совпадать с координатными линиями или поверхностями системы координат, в которой задается уравнение Лапласа. К таким областям можно отнести прямоугольник, цилиндр, параллелепипед, шар и др.
Задача Штурма—Лиувилля
В математической физике, как мы видели на рассмотренных ранее примерах, важны методы, при которых решение задачи поручается в форме ряда (или, как мы увидим дальше, интеграла), то есть в виде разложения по некоторой системе функций. Такие разложения хорошо изучены, когда каждая из функций, по которым осуществляется разложение, зависит только от одной из переменных,
Задача Штурма—Лиувилля
107
встречающихся в задаче. Чтобы найти естественную систему функций, по которой можно осуществить разложение, обычно необходимо найти решение некоторой граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получившей название задачи Штурма—Лиувилля. Здесь и далее мы рассмотрим элементы теории задачи Штурма—Лиувилля и сформулируем соответствующие теоремы разложения. При этом, опуская доказательства, будем стремиться к изложению результатов в виде, диктуемом практическими потребностями1
Рассмотрим обыкновенное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
[р(х)Х'(х)У + [Хг(х)-^(х)]Х(х) = 0, а<х<Ь,	(3.36)
где р(х), q(x\ г(х) — вещественные функции от х . Будем предполагать, что р(х), р'(х), q(x), г(х) непрерывны в (а,Ь)', р(х) и г(х) положительны в (a,b); X — параметр, принимающий любые значения. Уравнение (3.36) можно записать в виде
р(х)Х"(х) + р'(х)Х'(х) + [Хх(х) - д(х)]Х(х) = 0
(3.37)
или в виде
Х"(х) + ^Х'(г) + р(х)
хг-(£1 р(х)
д(х) р(х)
Х(х)=0.
Коэффициенты уравнения (3.37) в силу сделанных предположений непрерывны в интервале (а, Ь). Каждая внутренняя точка интервала (о, Ь) — обыкновенная точка уравнения (3.37). Концы интервала (а, Ь) могут быть как обыкновенными точками, так и особыми (сингулярными). Напомним, что если при некотором х хотя бы один из коэффициентов уравнения (3.37) имеет бесконечный разрыв или р(х) = 0, то говорят, что коэффициенты уравнения имеют особенность в точке х. Нас будут интересовать решения уравнения (3.36), удовлетворяющие однородным линейным граничным условиям с вещественными коэффициентами. Граничную задачу с такими условиями называют задачей Штурма—Лиувилля Таким образом, под задачей Штурма—Лиувилля понимается следующая задача: найти решения уравнения (3.36), принадлежащие классу С(2) ((а, 6)) и удовлетворяющие некоторым однородным граничным условиям, заданным на концах интервала (а,Ь). Примером таких условий могут быть условия
X *	0	х ->А-0 0.
Различают задачи двух типов — регулярную задачу и сингулярную задачу. Задача Штурма—Лиувилля называется регулярной, если интервал (а, Ь) конечен, концы интервала (а,Ь) — обыкновенные точки рассматриваемого уравнения. Задача называется сингулярной, если хотя бы одно из этих условий не выполнено. Сингу
1 Полную теорию можно найти в книгах: Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр, л-ры, 1958; Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1-2. — М.: Гостехиздат, 1957; Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанным с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1-2. — М.: Изд-во иностр, л-ры, 1960-1961.
108
3. Метод Фурье
лярная задача может быть с одним или двумя сингулярными концами. Характер однородных граничных условий регулярной и сингулярной задач разный.
Сформулируем типовые граничные условия. В случае регулярной задачи различают: граничные условия первого рода
X(a) = 0,X(&) = 0;	(I)
граничные условия второго рода
Х'(«) = 0, Х'(6) = 0;	(II)
граничные условия третьего рода
Х'(а)-haX(a) = 0, X'(b) + hьХ(Ь) = 0, ha,hb> 0;	(III)
граничные условия четвертого рода
X(a) = X(b), Х'(а) = X’(b), p(a) = p(b).	(IV)
Граничные условия четвертого рода называются условиями периодичности. Точный смысл сформулированных условий таков:
Х(а) =
lim Х(х), X(b) = lim Х(х), Х'(а) = х-нз+0	х -►6-0
lim Х'(х), х—>а+ 0
и т. д. Поэтому они иногда называются предельными условиями.
Все перечисленные условия — однородные.
В случае сингулярной задачи различают два варианта задач в зависимости от того, один или два конца сингулярны. Пусть х = а — сингулярный конец, х - b — регулярный конец. Тогда на сингулярном конце ставится условие ограниченности функции
^1x^0 =0(1)-	(V)
а на регулярном конце могут быть условия первого, второго или третьего рода, например,
xwwm hb >о.
Если оба конца сингулярны, то ставятся условия ограниченности функции
_»о+0=О(1), 4^0= 0(1).	(VI)
Иногда указывают порядок роста функции на сингулярном конце. В частности, это можно реализовать так ь
Jr(.r)|X(x)|2(Zr = 0(1).
Перечисленные условия V и VI также однородны.
Задача Штурма—Лиувилля всегда имеет не представляющее интереса решение X =0, называемое тривиальным. Нас будут интересовать нетривиальные решения задачи. Однако нетривиальных решений при данном произвольном X может и не быть. Поэтому содержанием задачи Штурма—Лиувилля является не только отыскание решений при данном X, но и определение совокупности значений X,
Некоторые свойства собственных значений регулярной задачи Штурма—Лиувилля
109
при которых существуют нетривиальные решения. Всякое нетривиальное решение задачи Штурма—Лиувилля называется собственной функцией данной задачи. При этом параметр X должен принимать некоторые определенные значения, которые называются собственными значениями (или числами) задачи. Собственные функции, по определению, находятся с точностью до произвольной константы. Иногда накладывается условие ь
J г(х)|Х(х)|2б(г = 1, а
тогда мы имеем дело с нормированными собственными функциями. Данному собственному значению могут соответствовать одна или две (не более) собственные функции. Множество всех собственных значений называется спектром данной задачи.
Некоторые свойства собственных значений регулярной задачи Штурма—Лиувилля
Рассмотрим регулярную задачу Штурма—Лиувилля с граничными условиями первого, второго, третьего или четвертого рода.
Уравнение Штурма—Лиувилля:
[р(х)Х'(х)]' + [Хг(х)-^(х)]Х(х) = 0, а<х < Ь,
(3.38)
где р(х), р'(х), <?(х), г(х) непрерывны в [а, А]; р(х) и г(х) — положительны в [а, 6]. Граничные условия: либо
X(a) = 0, Х(А) = 0,	(I)
либо
Х'(а) = 0, Х'(Ь) = Ъ	(II)
либо
X\a)-haX(a) = b X'(6) + ВДЙ) = 0, ha,hb >0,	(III)
либо Х(а) = Х(й), X' (а) = X’ (й), р(а) = p(b).	(IV)
ТЕОРЕМА 1- Все собственные значения регулярной задачи Штурма—Лиувилля
вещественны.
Доказательство. Рассуждаем от противного. Допустим, имеется комплексное собственное значение X = а + zp. Этому значению отвечает собственная функция
Х(х) = А(х) + iB(x). Так как все коэ

ициенты уравнения и граничных условий
вещественны, можно утверждать, что существуют комплексно сопряженное соб
ственное значение Х = а-ф и соответствующая ему собственная функция
Х(х) = Л(х) - iB(x). Запишем тождества
[р(х)Х'(х)]' + [Хг(х)-^(х)]Х(х) — 0, а <х < Ь, [р(х)Х'(х)]' + [Хг(х)-<у(х)]Х(х) =0, а<х <Ь.
110
3. Метод Фурье
Первое из этих тождеств умножим на Х(х), а второе — на Х(х). После вычитания получим
X [р(х)Х'(х)]' -Х[р(хуХХх)] + (К-Х)г(х)Х(х)Х(х) = О.
Проинтегрируем последнее тождество по (а,Ь). При этом учтем легко проверяемое соотношение
^(р(х)[Х(х)Х'(х)-Х(х)Х'(х)]) = Х[р(х)Х'(х)]' -Х\р(х)Х'(х)]'. ах
Получим _	__ ,	__ ь	_
р(Х'Х-XX')л ‘ + (X- X) [r(x)X(x)X(x)dx = 0. X=&	J
а
Нетрудно убедиться, что слагаемое вне интеграла в последней формуле для всех типов условий (первого, второго, третьего или четвертого рода) обращается в нуль. А тогда будем иметь __ ь	_
(X- X) j r(x)X(x)X(x)dx = 0. а
После подстановки выражений
X = а.+ гр, X = а - гр, Х(х) = А(х) + гВ(х), Х(х) = А(х) - iB(x) получим ь
2i г(х)[А2(х) + В2(x)]dx =0. а
Так как [А2 (х) + В2 (х)] * 0 тождественно в [a, ft], то последнее тождество означает, что р = 0 и, следовательно, X = а — вещественное число.	□
ПРИМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------
Из вещественности собственных значений нельзя сделать заключение о вещественности собственных функций, так как собственная функция определяется с точностью до произвольной постоянной. Однако, не умаляя общности, можно ограничиться рассмотрением вещественных собственных функций.
ТЕОРЕМА 2. Все собственные значения регулярной задачи Штурма—Лиувилля ограничены снизу.
Доказательство. Пусть X — собственное значение (вещественное число), Х(х) — соответствующая собственная функция (вещественная функция). Эта функция удовлетворяет уравнению (3.38). Умножим (3.38) на Х(х) и проинтегрируем по (а, Ь): ь	ь	ь
|Х(рХ')' dx + Х|rX2dx ~^qX2dx = 0 => а	а	а
b	b	ь
pXX'Qba -\pX'2dx + 'k\rX2dx-\qX2dx =0=> а	а	а
A.J rX2dx = -pXX'\2ba +jpX,2dx + j qX2dx.	(3.39)
Фундаментальная система решений Штурма—Лиувилля
Нетрудно видеть, что в случае условий первого, второго и четвертого рода
-рХХ'х~ь =0.
В случае условий третьего рода
-pXX'\xx\ba = p(b)hbX2(b) + p(a)haX2(a) >0.
Далее
ь
j pXt2 dx >0. а
Равенство (3.39) превращается в неравенство, если выбросить неотрицательные
слагаемые справа
(3.40)
Функция q/r непрерывна на [a, i], следовательно, она имеет нижнюю грань, то есть q/r > типри х е [я, 6]. Неравенство (3.40) превращается в следующее:
ь	ь
Xj rX2dx > rX2dx.
a	a
Откуда X > nz, то есть все собственные значения расположены справа от т. В частности, если q = 0, то т = 0, и следовательно, все собственные значения положительны.	□
Фундаментальная система решений Штурма—Лиувилля
Рассмотрим регулярную задачу Штурма—Лиувилля для уравнения
[р(х)Х'(х)]' + [Хг(х) - #(х)]Х(%) =0, а <х < Ь,	(3.41)
где р(х), р’(х), q(x), г(х) вещественны и непрерывны в [а, Ь]; р(х) и г(х) положительны в [а, Ь]; каждая точка [а,Ь] — обыкновенная точка уравнения.
В соответствии с общей теоремой Коши, можно утверждать, что существует интеграл Х(х)еС(2) уравнения (3.41), удовлетворяющий условиям Х(с) = а, X' (с) = р, а, р — любые числа, с е (а, Ь), Если числа а, р не зависят от параметра X, то решение Х(х) при фиксированном х является целой функцией от X.
Напомним, что под целой функцией комплексного переменного X подразумевается такая функция, которая разлагается в ряд Тейлора во всей плоскости (радиус сходимости равен оо), то есть /(X) — целая функция, если
/(*) = Z СА" = £ z—Р - Н < *>• п=0	n=0 U .
Целыми функциями, например, являются следующие функции: /(Х) = (1 + Х); /(Х) = Р„(Х) — произвольный полином степени п\ /(Х) = е\ /(X) = cos(X), /(X) = sin(X) и другие. Примеры не целых функций: /(X) = tg(X), /(X) = 1/(1 - X).
112
3. Метод Фурье
В качестве точки х = с возьмем граничную точку х = а. Тогда существуют два интеграла ф(х, X) и ф(х, X), удовлетворяющие условиям
ф(х,Х): Х(а) = 1, Х'(а) = О,
у(х,Х):Х(а) = 0,Х'(а) = 1.
Можно записать
ф(дЛ) = 1, ф'(аА) = 0, ф(«, Х)-0, ф'(о>Х) = 1.
(3.42)
При этом интегралы ф(х,Х),ф(х,Х) е С(2\(а,Ь)) и являются, при фиксированном х, целыми функциям от X. Про такую систему функций (ф(х), у(х)} иногда говорят, что она обладает единичной матрицей в точке х = а или что она нормирована в точке х = а.
Докажем, что эти интегралы линейно независимы. Для этого рассмотрим определитель Вронского
1У{ф(х,Х), у(х,Х)} =
ф(х,Х) ф'(х, X)
ф(х, X) ф'(х, X)
(3.43)
Можно записать
[р(х ) <р'(х, МГ + [М*) “ 4(*)]ф(х, = О, [р(х)\|/'(х,Х)]' + [Хг(х)-^(х)]\|/(х,Х) = 0.
Умножим первое тождество на ф(х, X), а второе — на ф(х, X) и вычтем одно из другого; получим
ф(х, X) [р(х) ф' (х, X)]' - ф (х, X) [р(х )у' (х, X)]' = 0 =>
[р(х){ф(х,Х)ф'(х,Х)-ф(х,Х)ф'(х,Х)}]' = 0 =>
— (pW) = 0=> pW = C(= const).
dx
Для определения константы С примем х = а, тогда
P(a)Wl„a =р(а)
ф(оА) ф'(аА)
ф(а,Л.) у'(аД)
= Р(а) = С.
0
Таким образом, можно записать
1Т{ф(х, X), ф(х, А,)} = 4^. р(х)
(3-44)
У нас р(а) * 0, так как точка х = а — обыкновенная, следовательно, * 0, а значит, ф(х, X) и ф(х, X) — линейно независимы. Эти функции называются фундаментальной системой решений Штурма—Лиувилля.
Общий интеграл уравнения Штурма—Лиувилля (3.41) можно представить в виде
X(x, X) = Аф(х, X) 4- Вф(х, X), А, В = const.
(3.45)
Асимптотическое поведение фундаментальных решений Штурма—Лиувилля
113
Покажем, что всегда можно построить систему функций, удовлетворяющих условиям (3.42). Пусть ф(х,Х) и ф(х,Х) — некоторые линейно независимые решения уравнения (3.41). Тогда можно записать
ф(х, X) = Л/ф(х, Х) + ЛГф(х, X).
Выберем М и ДГтак, чтобы были удовлетворены условия (3.42), то есть
Мф(а,Х) + ^(а,Х) = 1,
Л/ф,(о,Х) + ^(д,Х) = 0.
(3.46)
Определитель системы (3.46) есть определитель Вронского
ф(а,Х)
Ф'(о,Х)
ф(о,Х)
Ф'(яЛ)
= 1Г{ф(а,Х), ф(а,Х)},
который отличен от нуля, так как решения ф(х, X) и ф(х, X) линейно независимы. Значит, система (3.46) разрешима, и всегда можно построить систему функций, удовлетворяющих условиям (3.42).
Если невозможно записать решение уравнения (3.41) через известные функции, то для определения функций ф(х, X) и \|/(х, X) остается какой-нибудь приближенный метод, например, метод последовательных приближений.
Пример. Нетрудно построить фундаментальную систему решений Штурма—Лиувилля для уравнения
Х"(х) + ХХ(х) = 0, 0<х</.
Эта система решений будет, очевидно, такой
ф(7Хг) = cos(VXr), ф(7Хг) =
sin(VXr)
причем функции ф(д/Хг)и \|/(VXr) разлагаются в ряды Тейлора
<p(VXx) = Y
п=0
(-1)"х2"Г
(2п)1
и=0

то есть это целые функции от Хпри всяком фиксированном х.
Асимптотическое поведение фундаментальных решений Штурма—Лиувилля при X -> +оо
Будем считать, что р(х) = r(x) = 1, тогда уравнение Штурма—Лиувилля принимает вид
Х"(х) + (Х-<7(х))Х(х) = 0, a<x<b.
(3.47)
114
3. Метод Фурье
Пусть ф(х, X) и ф(х, X) — интегралы уравнения (3.47), удовлетворяющие условиям ф(аД) = 1, ф'(аД) = 0, ф(оД) = 0, ф'(аД) = 1.	(3.48)
Изучим поведение функций ф(х, X) и ф(х, I) при X -> +оо.
При исследовании асимптотического поведения, как и при изучении других свойств, особенно полезным оказывается метод Стеклова—Лиувилля—Фубини [28], [29]; он состоит в «сравнении» заданного дифференциального уравнения с помощью интегрального уравнения типа Вольтерры с подходящим «приближающим» уравнением, которое можно проинтегрировать явно или для которого известны некоторые специальные свойства решений.
Запишем (3.47) в виде
Х"(х) + ХХ(х) = q(x)X(x) (=/(%)).	(3.49)
Здесь мы обозначили правую часть уравнения (3.49) через /(%). Будем формально считать, что /(х) — известная функция и применим к уравнению (3.49) метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Тогда можно записать
V/ х л / /Г/ хх Dsin(VX(x-a)) Х(х) = A cos (VХ(х - а)) + В —-—=--+
(3.50)
а
Подберем теперь константы А и В так, чтобы удовлетворялись начальные условия (3.48). Потребуем, например, чтобы выполнялись условия
Х(хД) = ф(хД): ф(дД) = 1, ф'(яД) = 0;
получим А = 1, В = 0. Аналогично, для функции ф(х, X) получим А = 0, В = 1. Равенство (3.50)< можно записать в виде
ф(х, X) = cos( VX(x - а)) +
X
J <А.У )<р(у. X)sin(Vx(x -y))dy. а
Аналогично, для функции ф(х, X) будем иметь
ф(х, X)
sin( VX(x - а))
X
f q(y)w(yX)sin(J£(x ~y))dy. a
(3.51)
(3.52)
Уравнения (3.51) и (3.52) — интегральные уравнения Вольтерры второго рода.
Пусть х е [аД]. Функция ф(хД) е С<2)([аД]) как интеграл уравнения (3.47). Следовательно, так как функция ф(хД) непрерывна в [яД], можно записать
|<р(х,Х)| < Мх, хе [а, />].	(3.53)
Здесь Мх, вообще говоря, какая-то функция от X. Из уравнения (3.51) получим для всех х е [аД ] и А, > 0 Д —> +оо
Асимптотическое поведение фундаментальных решений Штурма—Лиувилля
115
<р(х, Х)| < 1 +
dy < 1
b j\q(y)\dy.
a
Пусть |ф(с,Х)| =	Тогда
q(y)\dy.
(3.54)

Решая (3.54) относительно получим
1
ь jlq(y)\dy
а
Это верно при всех достаточно больших X (X —> +оо). Следовательно, Мк < М при X -> +оо. Константа М уже не зависит от X. Таким образом, можно записать ф(х,Х)| <М, х е [о, 6]. Тогда второе слагаемое справа в формуле (3.51) можно оценить так
X
f q(y ) ф(у. X)sin( -y))dy a
y=j\q(y)\dy, X
a
Поэтому (3.51) можно записать в виде
ф(х, А.) - cos(VX(x - а)) + 0(Х 2 ), X +оо, х е [о, Ь\.
Дифференцируя уравнение (3.51), получим
ф'(х, X) = -VXsin(VX(x - а)) + J ?(^)ф(г/, X)cos(VX(x -уУ)(1у, а
причем
г	b
J?G/)<P(Z/A)cos(VX(x-yS)dy <M\\q(y}\dy, X -> оо. а	а
В последнем неравенстве справа стоит некоторое постоянное число. Таким образом, Ф.'(хД) = -VXsin(Vx(x-«)) + 0(1), X -> +оо, х е [а, И
Аналогично, для функции ф(х, X) получим
z _ sin(VX(x-fl)) ( х .	г ,,
\|/(х, X) = —--р=---— + 0(Х ), X —> +оо, х g [а, о],
Vx
_£
ф'(х,Х) = cos(Vx(x-а)) +0(Х 2 ), Х->+оо, хе [а, Ь].
Читателю мы рекомендуем доказать эти формулы самостоятельно. Рассмотрим теперь общий случай:
(р(х)Х'(х)]' + [Хг(х)-<т(х)]Х(х) = 0, а < х < 6,
(3.55)
116
3. Метод Фурье
где р(х), р'(х), q(x), г(х) — вещественные и непрерывные функции в [а, Ь]\ р(х) и г(х) — положительные в [я, Ь].
Пусть <р(х, Л) и у(х, Л) — интегралы уравнения (3.55), удовлетворяющие условиям (3.48). Путем надлежащей замены переменных уравнение (3.55) можно превратить в уравнение рассмотренного случая1. Например, в случае, когда р(х) = г(х), формула преобразования имеет вид

£«У(х). р(х)
Уравнение (3.55) переходит в уравнение
У"(х) + (Х-?,(г))У(г) = 0, а<х<Ь,
причем
я t р" р'2 р 2р 4р2
В этом случае для функций ф(х,Х)и ф(х,Х)справедливы следующие асимптотические формулы:
ф(хА) =
ф(х, Х) =
cos(Vx(x-«))+О(Х 2 ), X —>+00, Хе[(2,6], X»
°» . о(г ’ X 16|,н
р(х) у/х
Определение собственных значений и собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля
Рассмотрим регулярную задачу Штурма—Лиувилля для уравнения
[^(хХ^х)]' + [Хг(х) - <y(:v)] JC(-r) = О, а < х < Ь,
(3.56)
где р(х), р'(х), q(x), г(х) вещественные и непрерывные функции в [а, Ь] ; кроме того, р(х)и г(х) положительные в [а, &]; каждая точка [а, 6] — обыкновенная точка уравнения.
Будем рассматривать граничные условия трех типов:
ВД = 0, ВД = 0,	(I)
Х'(а) = 0, *'(*>) = О,	(II)
Xf (a)-haX(a) = 0, X’(b)+hbX(b) = 0, ha,hb>0.	(Ill)
1 Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физмат-гиз, 1961.
Определение собственных значений и функций задачи Штурма—Лиувилля
117
Найдем собственные значения и собственные функции этой задачи. Пусть ф(х,Х) и ф(х, X) — фундаментальные решения уравнения (3.56), удовлетворяющие условиям
Ф(бг,Х) = 1, ф'(аА) = 0,
ф(я, X) = 0, ф' (о, X) = 1.
Такие решения существуют, причем ф(х,Х) е С(2)([а,Ь]), \|/(х,Х)еС(2)([о,4])| ф(х, X), у(х, X) — целые функции от X при фиксированном х е Будем считать ф(х,Х), ф(х, X) известными функциями. Запишем общий интеграл уравнения (3.56)
Х(х, X) = А ф (х, X) + В ф(х, X).
Ясно, что Х(х, X) е С(2)([я,Ь]). Задача заключается в том, чтобы выбрать числа Л, В, X так, чтобы полученное решение отвечало граничным условиям. В случае условий первого рода (I)
Лф(й, X) + Вф(а, X) = О,
Лф(£>, X) + Вф(й, X) = 0;
или
Л=0, Вф(6,Х) = 0, В#0=>
Ф(6,Х) = О.	(3.57)
I
Уравнение (3.57) — уравнение для определениях.
В случае условий второго рода (II)
Лф' (а, X) + Вф' (а, X) = 0,
Лф/(^,Х) + Вф'(А,Х) = 0;
или
В=0, Аф'(6,Х) = 0, Л *0=>
Ф'(Ь,Х) = О.	(3.58)
Уравнение (3.58) — уравнение для определениях.
В случае условий третьего рода (III)
Л[ф' (а, X) - ha<p(a, X)] + В[у’ (а, X)-ha у(а, X)] = 0,
Л[ф'(6, Х)+ /г6ф(й, Х)] + В[ф'(6,Х)+ hby(b, X)] = 0;
или
-ЛЛа+В=0, Л[ф'(й,Х) + /г6ф(й,Х) + ha\^(b,X) + hahb\y(b,X)] = 0, Л*0=>
ф'(6,Х) + Л6ф(£,Х) + Ааф'(/?,Х) + hahby(b, X) = 0.	(3.59)
Уравнение (3.59) — уравнение для определениях.
Заранее неизвестно, имеют ли уравнения (3.57)-(3.59) решения. Покажем, что все эти уравнения имеют бесчисленное множество решений. Доказательство проведем для случая, когда р(х) = r(x) = 1. Воспользуемся асимптотическими формулами. В случае условий первого рода
118
3. Метод Фурье
.... sin(7X(6-a))	.
X) = —----~=---— + О(Х ), X оо.
у X
Видим, что функция у(Ь,к) имеет колебательный характер при достаточно больших X. Следовательно, она бесчисленное множество раз проходит через нуль, то есть существует бесчисленное множество решений уравнения (3.57).
В случае условий второго рода
ф'(6, X) = -VXsin(Vx(i - а)) + 0(1), X —> оо.
При X -> оо функция ф'(^Х) — непрерывная функция, которая бесчисленное множество раз меняет свой знак, то есть проходит через нуль. Следовательно, уравнение (3.58) имеет бесчисленное множество решений.
В случае условий третьего рода
<р'(6, X) + /гАф(6, X) + Лау'(£, X) + hahb\y(b, X) =
Xsin(Vx(b - а)) + 0(1) + hb\ cos(Jk(b-a)) + O\ х’2
+ЛД cos(7X(6-«)) +О X 2
sin(Vx(i - а))
+ 0(Г)
Xsin(Vx(fe-а)) +0(1), X —> оо.
Видим, что этот случай эквивалентен случаю условий второго рода.
Рассмотрим теперь вопрос о распределении собственных значений и о природе спектра собственных значений регулярной задачи Штурма—Лиувилля. Ранее было доказано, что все собственные значения вещественны и имеют левую грань т. Справедлива следующая теорема1:
С . > ! И ! ‘	/ h J
ТЕОРЕМА. Если целая функция комплексного переменного не равна тождественно нулю, то ее нули есть изолированные точки.
У нас функции, стоящие в левых частях уравнений (3.57)-(3.59), — целые функции от X, не равные тождественно нулю. Следовательно, спектр регулярной задачи Штурма—Лиувилля состоит из множества собственных значений, отделенных друг от друга, и не имеет точек сгущения (рис. 3.5).
т Xt Хг	Xrt	X
Рис. 3.5. Дискретный спектр
1 См., например: Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980; Фукс Б. А., Шабат Б. Б. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Физматгиз, 1959.
Разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма—Лиувилля	119
Такой спектр называется дискретным’, <Х2 <... <	<... — последователь-
ность собственных значений. Противоположность дискретному спектру представляет непрерывный спектр или смешанный спектр. Таким образом, спектр регулярной задачи Штурма—Лиувилля — счетное множество вещественных чисел без точек сгущения.
Рассмотрим теперь вопрос о построении собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля.Пусть	<...<ХЛ <... —последовательность собст-
венных значений. Найдем собственные функции. В случае условий первого рода будем иметь
ХДх) = Вп\у(х,кп), п = 1,2,3,...
В случае условий второго рода будем иметь
Хя(х) = Алф(хА„), и = 1,2,3,...
В случае условий третьего рода будем иметь
Хп{х) = А„[ср(х,X„) + haу(х,)], п = 1,2,3,...
Мы видим, что каждому собственному значению соответствует одна собственная функция, определенная с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, можно построить бесконечную последовательность собственных функций А\(х), Х2(х), Х3(х),..., Хя(х),...
Разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма—Лиувилля
Предварительно установим одно важное свойство собственных функций задачи Штурма—Лиувилля. Пусть дана система функций (х), ф2 (хфя(х),... Будем предполагать, что все функции фл(х) этой системы вещественны и непрерывны на [а, 6]. Мы скажем, что рассматриваемая система функций ортогональна на [о, 6] с весом р(х), если существует такая функция р(х) > 0, что
ь
jp(x)<pm(x)<p„(x)«Zr =0, mtn.
Если т = и, то величина
г
Ч>„|| = JJp(*)<P* (*)<** >0 V о
называется нормой системы функций
для данной системы функций. Таким образом, для данной
ь
Jp(x)<p„(x)<p,,(x)dfr а
О, 77? И,
т-п.
Фи ’
Система функций {ф„(х)}”“^° называется ортонормированной, если
120
3. Метод Фурье
h
\p(x)<f>m(x)<pn(x)dx а
mtn, т-п.
Хорошо известным примером ортогональной системы функций на отрезке [0, а\ является система синусов
причем
т 1%
т = п.
Соответствующая ей ортонормированная система функций будет такой:
Рассмотрим регулярную задачу Штурма—Лиувилля для уравнения
[р(х)Х'(х)У + [V(x)-^(x)]X(x) = 0, а <х < Ь.
Относительно коэффициентов этого уравнения принимаем те же предположения, что и ранее: функции р(х), р'(х), q(x)t г(х) будем считать вещественными и непрерывными в [о, b]; кроме того, р(х) и г(х) положительные в [а, £]; каждая точка [а, Ь] — обыкновенная точка уравнения.
Будем рассматривать граничные условия трех типов:
ад=о, ад = о,	(I)
*'(«) = 0, X'(b) = 0,	(II)
X’(a)-haX(a) = 0, X’(b)+hbX(b) = 0, ha,hb>0,	(III)
Пусть {Хл (x)}"=“ — система собственных функций данной задачи, а {Хл }”J° — соответствующие собственные значения.
ТЕОРЕМА, Система собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувил-
ля ортогональна на [л, Ь] с весом р(%) = г(х), то есть
jr(x)Xm(x)X„(x)dx а
0, т и,
т = п.
Доказательство. Имеем
[p(x)X'm(x)]' + [Xmr(x)-q(x)]Xm(x) = 0,	(3.60)
[р(х)Х'п(х)]'+ [knr(x)-q(x)]Xn(x) = Q.	(3.61)
Умножим уравнение (3.60) на Хп(х), а уравнение (3.61) — на Хт(х) и вычтем одно из другого, получим
Разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма—Лиувилля	121
Хп(х)[р(х)Х'т(х)]'-Хт(х)[р(х)Х'„(х)]' + + (К~Юг(х)Хт(х)Хп(х) = О.
Последнее равенство можно переписать так:
{р(х ) [Х„ (х )Х'т (х) - Ха (х)Х'„ (х)]} + (Хя - )г(х)Хт (х) Хп (х) = 0. ах
Проинтегрируем теперь полученное равенство по [а,Ь]:
Х^)[^(х)х;(х)-хт(х)х;(х)^:; +
+ (4. -K)\r(x)Xm(x)Xn(x)dx=0.	(3.62)
а
Нетрудно убедиться, что для условий первого, второго и третьего рода будем иметь
Р(х)(хл(х)х;(х)-Хт(х)х;(х))^:; =0.
Таким образом, для этих условий из (3.62) получаем
(Ч -K)\r(x)Xm(x)Xn(x)dx а
а следовательно,
ь
^r(x)Xm(x)Xn(x)dx =0, т^п.	□
Таким образом, если {Хп(х)}"2® — система собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля, отвечающих граничным условиям первого, второго или третьего рода, то
J Kx)Xm(x)Xn(x)dx а
П,
т = п.
(3.63)
Пусть /(х) определена на [а,Ь]. Будем предполагать, что эта функция удовлетворяет некоторым условиям, которые мы уточним в дальнейшем. Поставим задачу: представить функцию /(х) в виде ряда
/(х) = £с„Хл(х).
Л=1
(3.64)
Если предположить, что такое разложение существует и ряд (3.64) сходится так, что он допускает почленное интегрирование, то можно найти коэффициенты разложения Сп. Действительно, умножим (3.64) на г(х)Хт(х)и проинтегрируем по [о,
7(х)г(х)(x)dx = £ Сп Г г (х)Хга (х)Х„ (x)tZr.
аг	«=1 а
122
3. Метод Фурье
В силу (3.63) будем иметь
f f(x)r(x)Xm (x)dx = Ст ||ХМ (г )||2 а
J/(x)r(x)Xm(x)<Zr
r - fl-----------------, т = 1, 2
т
2
Таким образом, окончательно получаем
|/(х)г(х)Х„(х)<£с . а
А
2
Я
Итак, мы формально получили следующее разложение:
j f(x)r(x)Xn(x)dx а
00
(3.65)

Для обоснования этого разложения наложим на функцию f(x) определенные условия. Справедлива следующая теорема разложения
ТЕОРЕМА. Пусть функция f(x) определена на [а, 6] и удовлетворяет там условиям Дирихле:
1) /(х) кусочно-непрерывна на [а, Ь];
2) f(x) имеет конечное число максимумов и минимумов на \а,Ь] .
Тогда ряд (3.65) сходится к значению функции f(x) во всех точках х g [a,Z>], где
функция непрерывна. В точке разрыва ряд (3.65) сходится и его сумма равна

где х = с — точка разрыва первого рода.
Пример. Разложить функцию /(х)по собственным функциям следующей задачи Штурма—Лиувилля:
I; Х(0) = 0, %(/) = 0.
Собственными функциями данной задачи, очевидно, будут функции „ , ч . (пп А
• м
а собственными значениями
пп
у
и
Регулярная задача Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода
123
Мы знаем, что
Таким образом, разложение будет иметь вид
О, т * тг,
т - 72.
Регулярная задача Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода
Рассмотрим регулярную задачу Штурма—Лиувилля для уравнения
[р(х)Х'(х)]' + [Хг(х) - #(х)]Х(х) = 0, а <х < Ь,	(3.66)
где функции р(х),р'(х), q(x)f г(х) вещественные и непрерывные в [«,&]; р(х) и г(х) положительные в [а, &]; каждая точка [а, — обыкновенная точка уравнения. Будем предполагать, что р(а) = р(Ь) и будем рассматривать следующие граничные условия (условия четвертого рода или условия периодичности):
X(a) = X(b), Х'(а) = Х’(Ь).
(3.67)
Пусть ф(х,Х), ф(х, X) — фундаментальная система решений Штурма—Лиувилля, удовлетворяющая условиям
<р(дД) = 1, ф'(а,Х) = 0; ф(а,Х)-0, ф'(а,Х) = 1.
Общий интеграл уравнения (3.66) запишем в виде
Х(х, X) = Лф(х, X) + Вф(х, X).
Из граничных условий (3.67) будем иметь
А [ф(о, X) - ф(6, X)] + В [ф(а, X) - у(6, X)] - 0, А [ф'(а, X) - ф'( X)] + В [ф'(а, X) - у'(6, X)] = 0;
или
А [1 - ф(й,Х)]- Вф(й,Х) = О,
-А ф'(й, X) + В [1 - ф'(А, X)] = 0.	(3.68)
Система (3.68) — однородная алгебраическая система относительно констант А и В. Эта система всегда имеет тривиальное решение А ~ В = 0, которое соответствует решению Х(х) = 0 уравнения (3.66). Поэтому собственные значения задачи (3.66)-(3.67) совпадают с решениями уравнения
Д(Х) =
1-ф(й,Х)
-фШ)
-ф(6, X) i-v'(U)
Раскрывая этот определитель и учитывая, что, с одной стороны,
124
3. Метод Фурье
w,vl = £« =pW = i. рО) x.h P(b)
а с другой стороны
W{(p, у} = (p(fcA)v'(^A)- у(й,Х)ф'(6,Х), будем иметь
Д(Х) = 2 - ф(й, X) - \|/'(6, X) = 0.	(3.69)
Уравнение (3.69) — уравнение для определения собственных значений. Можно показать, что при X -> оо это уравнение имеет бесконечное множество решений. Все собственные значения расположены на оси X правее некоторого числа т. Соседние собственные значения разделены конечными интервалами, то есть спектр задачи — дискретный.
Пусть X = Хп — собственное значение, тогда из системы (3.68) получим
А [1 - ф(£>, Хл)] - Ву(6, Хл) = 0.	(3.70)
Могут реализоваться следующие случаи:
1.	\|/(6,Хл) * 0; тогда
П =------------А,
следовательно, собственные функции будут
Х„(х)==А„ Ф(хА„) +
1-ф(*>Ап)
ч(х< К)
2.	y(Z>, ) = 0,	А.„) * 1; тогда из (3.70) находим А = 0. Собственные функции
будут иметь вид
Хп(х) = Впу(хМ
3.	ф(й, Хл) = 0, ф(£>, Хл) = 1; тогда собственные функции будут
*„(*) = ЛфОЛ ) + Я„у(х,Хл )•
Каждая из функций ф(х, Хл), ф(х, Хл) здесь сама является собственной функцией; X = Хл — кратное собственное значение. В дальнейшем собственные функции будем обозначать
Х„(х) = А„Х<1)(х) + В„Х<2)(х).
Рассмотрим вопрос об ортогональности собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля при граничных условиях четвертого рода. Пусть X = Хл — собственное значение, которому соответствует собственная функция Хп(х), X = Хт — собственное значение, которому соответствует собственная функция Хт(х), Будем иметь
[р(х)Х'т (х)]' + [Хи r(x) - q(x)]Xm (х) = 0, [р(х)Х’п(х)]' + [кпг(х) - q(x)]X п(х) = 0.
Регулярная задача Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода 125
Умножим первое уравнение на Хп(х), а второе уравнение — на Хт(х) и вычтем одно из другого; затем проинтегрируем полученное равенство по [а, 6]. В результате получим
(Xra-Xn)fr(x)Xm(x)X„(x)^=O.
Следовательно,
ь
|г(х)Хт(х)Хп(х)<& =0, т*п. а
Значит, собственные функции ортогональны с весом г(х) на [а, 6].
Сформулируем соответствующую теорему:
; s j j >. X- -Собственные функции регулярной задачи Штурма—Лиувилля с условиями четвертого рода, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу на [а, Ь] с весом г(х).
Собственные функции, соответствующие одному и тому же (кратному) собственному значению, вообще говоря, не ортогональны, но могут быть ортогонализированы с помощью следующего процесса ортогонализации. Пусть X =	—
кратное собственное значение, которому соответствуют собственные функции Х^1)(х)и Х„2)(х). Тогда, вообще говоря,
ь
Jr(x)X^(x)X<2)(x)6Zr *0.
Образуем две новые функции
X <’ >(х) = Х<‘ > (х), X <2 > (х) = Х<2) (X) - уХ<’ > (х).
Ясно, что эти функции будут тоже собственными функциями. Покажем, что у всегда можно выбрать так, что функции X^(x)fX(2)(x) будут ортогональны. Действительно, потребуем, чтобы
|г(х)Х^(х)Х(п2)(х)б& = а
Ь	b
= |г(х)Х(У(х)Х(п2)(х)с1х -yj*г(х)[ХУ)(х)]2 dx = 0.
a	a
Откуда
p{x')X^\x)X^\x')dx a
Jr(x)[X^1)(x)]2 dx a
Это всегда можно сделать, так как знаменатель в последней формуле отличен от нуля. Таким образом, не умаляя общности, можно всегда считать собственные функции ортогональными.
126
3. Метод Фурье
Сформулируем теперь теорему разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля. Существо теоремы остается прежним: всякая функция f (х), удовлетворяющая условиям Дирихле в замкнутом интервале, разложима по собственным функциям. Коэффициенты разложения определяются из условий ортогональности собственных функций.
Пример. Рассмотрим следующую задачу Штурма—Лиувилля:
Х"(х)+ХХ(х) = 0, 0<х<2л;
Х(0) = Х(2л), Х'(0) = Х'(2л).
Фундаментальная система решений, очевидно, будет такой:
<р(х, X) = cos(VXx),
z .. sin(VXr) \|/(х, X) =--
л/Х
Общий интеграл уравнения Штурма—Лиувилля
Х(х) = A cos( Лх) + В
Подставив этот интеграл в граничные условия, получим
А [1 - cos (ТХ2л)] - В	= О,
Vx
AVXsin(VX2n) + В [1 - cos (Тх2л)] = 0.
Собственные значения находим из условия разрешимости однородной системы
Д(Х) =
1 - cos(VX2k)
VXsin(VX27c)
sin(VX27t) Vx
1 -cos(VX2n)
Д(Х) = 2(1- cos(VX2n)) = 0 => cos(Vx2n) = 1 => X„ = n2, n = 0,1,2,...
Собственные функции будут иметь вид
v / X Л / ч о sin(nx) Х„(х) = Лп cos(nx) + Bn------.
п
Или, можно записать
Х0(х) = 1, Х^Сх) = cos (их), Х„2)(х) =sin(nx), и = 1, 2,...
Таким образом, Хо = 0 — простое собственное значение, все остальные собственные значения имеют кратность 2.
Разложение произвольной функции /(х), удовлетворяющей условиям Дирихле в замкнутом промежутке [0,2л], имеет вид
Сингулярная задача Штурма—Лиувилля
127
/(.г) = а0 +^[а„ cos (nr) + b„ sin(nr)],
П = 1
ao = 7Г I/(*)an=- [ fix)cos(nx)dx, bn =- \ f(x)sm(nx)dx.
2л Jo	л 0	л Jo
Сингулярная задача Штурма—Лиувилля
Подробно эта задача будет изучена в главе 5 «Неоднородные задачи математической физики*. Здесь мы ограничимся только рассмотрением ряда примеров.
Пример 1. Рассмотрим задачу
Г(1)+ад = 0, 0 < х < оо; Х(0) = 0, Х|Д^=О(1).
Общий интеграл уравнения Штурма—Лиувилля
Х(х) = A cos(VXx) + Bsin(VXx).
Из первого граничного условия находим: Х(0) - 0 => А = 0. Таким образом,
Х(х) = Bsin(VXx).
Из второго граничного условия Х| г^ао - О(1)слеДУет> 410 Vx ~ вещественное число, значит, X >0. Отдельно проверим значение X -0. В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид Х(х) = А + Вх; из граничных условий находим А =0, В=0, следовательно, X = 0 не есть собственное число задачи.
Таким образом, X е(0, +оо). Данная задача имеет непрерывный спектр собственных значений. Удобно принять X = Xv = v2,0 < v < оо; тогда собственные функции будут Xv (х) - sin(vx).
Пример 2. Рассмотрим задачу
(r2T?'(r))' + Ь-2Я(г) = 0, 0 < г < а; ^^=0(1), /?(а) = 0.
Прежде чем записать общий интеграл заданного уравнения Штурма—Лиувилля, преобразуем это уравнение следующим образом:
г2 R" + 2r R' + Хг2 R = 0 => rR" + 27?' + ХгТ? = 0.
Легко проверяется формула
(г7?)" =г7?"+27?'.
С учетом этой формулы наше уравнение преобразовывается в следующее:
(г7?)" + ХгТ? - 0.
Общий интеграл последнего уравнения имеет вид
rR(r) = A cos(VXr) + Bsin(VXr).
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
128
3. Метод Фурье
R(r) = А
cos(V^r)
sin(VXr)
Из граничных условий находим
/?^0=O(l)=>A=0,
R(a) = 0 => В sin<^g) = о => вт(Ла) = О (В * 0). а
Таким образом, собственные значения будут
п = 1, 2,
Соответствующие собственные функции будут
Лп(г) =
Если X = 0, то общий интеграл имеет вид R(r) = А/г + В; из граничных условий находим А = 0, В = 0, следовательно, X = 0 не есть собственное число задачи. Данная задача имеет дискретный спектр.
Пример 3. Рассмотрим задачу
(гЯ'(г))' + - R(r) = 0, 0 < г < а, /?| г^о = <Х1). Л(а) = 0. Г
Преобразуем уравнение задачи следующим образом:
rR" + R + -R=Q^> г2 R" + rR' + kR = 0.
Г
Последнее уравнение есть уравнение Эйлера; решение его ищем в виде R = rs. После подстановки в уравнение получим характеристическое уравнение для определения s
s(s -1) + s + X = 0 => 5 = i = V-l.
Таким образом, решение имеет вид
R(r) =
±Л/Х ln( г)
Удобно взять фундаментальные решения в виде cos(Л 1п(г)) и sin(Л 1п(г)). То-гда общий интеграл уравнения можно записать так:
/?(r) = Acos Vila
4-Bsin Vxln
Из граничного условия R(a) =0 находим А = 0; из условия В(0) = 0(1) вытекает, что л/Х — вещественное число, следовательно, к > 0. Полагая Z = Xv = v , 0 < v < оо,
получим собственные функции в виде
Rv(r) =sin vIn
Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных
129
Если X = 0, то общий интеграл имеет вид R(r) - A ln(r) + В; из граничных условий находим А = 0, В =0, следовательно, X = 0 не есть собственное число задачи. Данная задача имеет непрерывный спектр X е (0,+оо).
Пример 4. Рассмотрим еще одну задачу
Х’(х) + (Х-х2)Х(х) = 0, -оо<х<+оо; Х|^±И=О(1).
Можно показать, что собственными значениями этой задачи будут Л =	= 2п +1,
п = 0,1,2,.... а собственными функциями будут функции
Х„(х) = /2 Н„(х),
2 dn _ 2
где Нп (х) - (-1)” ех ---е х , п = 0,1,2,... — полиномы Эрмита. Спектр задачи —
dxn
дискретный.
Подведем некоторые итоги рассмотренным примерам. Характер спектра сингулярной задачи зависит от граничных условий на концах интервала. Если спектр задачи оказывается дискретным, то можно перенести теорию регулярной задачи на случай сингулярной задачи. Если же спектр оказывается непрерывным или смешанным, то теория регулярной задачи не верна для сингулярной задачи.
Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных
Сформулируем следующую задачу. Пусть требуется найти функцию и =и(х,у\ которая удовлетворяет следующим условиям: линейному дифференциальному уравнению
Zx(u) + Afv(w) = 0, a<x<b, c<y<d,
(3.71)
где
т / \	1 б ( , .Эи А .
г(х) ОХ	иХ /
Му{и) = А^ + В^- + Си.
ду2 ду
Функции p,q,r — вещественные функции от х; А, В, С — вещественные функции от у. Предполагается, что р, p\q,r непрерывны на [а, 6]; р > 0, г > 0; А, В, С непрерывны на(с,</) (интервал (с, d) может быть и бесконечным).
По переменной х выполняется одно из условий первого, второго или третьего рода, то есть
либо
и|х.« =0> «1х=Ь=°-
(3.72-1)
(3.72-П)
130
3. Метод Фурье
либо
ди ,
— ~паи
= 0, х =а
ди дх
+ hhu
= о, ha> 0, hb > 0.
(3.72-Ш)
По переменной у выполняются определенные условия, которые зависят от типа уравнения (3.71). Квадратичная форма, связанная с уравнением (3.71), имеет вид
Тип уравнения определяется знаком А, Если А > 0, то уравнение (3.71) эллиптического типа и условия на концах интервала (c,d) имеют характер условий первого, второго или третьего рода, например,
и = и . = Л (%).
у =с	J с v 7 у=а j а \ s
Если Л <0, то уравнение (3.71) гиперболического типа. Этот тип встречается в случае, когда переменная у — время, у е(с,+оо). Условия имеют вид
= фСО-
ди
= 1|/(х).
Если А = 0, то уравнение (3.71) параболического типа; переменная у — время, У G (с, +оо). Условия имеют вид
и =ф(-г)-
Таким образом, уравнение (3.71) должно быть однородным и допускать разделение переменных; условия по переменной х — однородные, по переменной у — не обязательно.
Будем искать решение задачи в виде
u=X(x)Y(y).
(3.73)
После подстановки (3.73) в (3.71) получим
L (X) MAY)
YL (X) + ХМ (Y) = 0 =>	=----ХХА. = -х.
А X /	У \	х	у
Таким образом, уравнение (3.71) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения
Lx (X) + /.X = 0,	(3.74)
MU(Y)-XY =0.	(3.75)
7
Уравнение (3.74) в явном виде записывается так:
(pX,)t + (kr-q)X =0.	(3.76)
Это уравнение Штурма—Лиувилля. В соответствии с граничными условиями (3.72) для функции Х(х) должно выполняться одно из трех условий
X “О
= 0, X
(3.77-1)
Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных
131
либо
dX
dX
dx
(3.77-11)
либо
dX
dX
dx
^ = 0, ha >0, hb >0.	(3.77—III)
Таким образом, мы имеем дело с регулярной задачей Штурма—Лиувилля. Согласно рассмотренной ранее теории, задача имеет дискретный спектр собственных значений X = причем п = 1, 2, 3,..., оо. Каждому собственному значению соответствует собственная функция X = Хл(х). Эти собственные функции ортогональны на [а> Ь] с весом г(х), то есть
Jr(x)Xm(x)X„(x)<ir =
0, т п;
(3.78)
т = п.
Подставляя собственные значения X = Хп в уравнение (3.75), получим
МДУ)-Х„У =0.	(3.79)
Для определенности будем считать, что мы имеем дело с гиперболическим случаем (А <0). Тогда общий интеграл уравнения (3.79) имеет вид
Y„(y) = C„Y^(y)+DnYni24y),
где Ул2}(у) — линейно независимые решения уравнения (3.79), то есть их определитель Вронского отличен от нуля
Ж,(1)Т„(2>}*0.
Таким образом, мы получили бесконечную совокупность частных решений уравнения (3.71)
zz=w„ = [М„У„(1)(г/)+Лг„У„<2)(у)]Х„(х), п = 1, 2, 3,.... оо.
Каждое из этих решений удовлетворяет уравнению (3.71) и однородным граничным условиям по переменной х. Для того чтобы удовлетворить неоднородным условиям по переменной у, мы применяем принцип суперпозиции и составляем решение в виде ряда
И = £>„
= У[М„У„<1)(г/) + ^Уп(2,(.!/)|Х„(х). ь
(3.80)
Мы постулируем здесь сходимость ряда (3.80), допускающую предельный переход и дифференцирование под знаком суммы. Таким образом, можно написать
= ф(х) = ^[МлУ”)(с) + М„У„<2)(С)]^„а-), а<х<Ь,
(3.81)
Sy
= v(x) = I[M„y„(1)'(c) + N„y„<2> (C)]X„(x), a <x < b.
(3.82)
f
132
3. Метод Фурье
Равенства (3.81) и (3.82) означают разложения функций <р и по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля (3.76)-(3.77). Если имеет место такое раз-
ложение, то можно написать
MnY^4c) + NnY^(c) =
ь
Jr(x)<p(r)X„(x)ifr а
ь
J r(x)y(x)Xn(x)dx MnYn^(c) + NnYn^(c) = *----------------= Vw.
(3.83)
(3.84)
Таким образом, мы имеем систему уравнений (3.83) и (3.84) для определения неизвестных констант Mn,Nn. Определитель этой системы есть определитель Вронского, который отличен от нуля в силу линейной независимости функций Y^(y),Y™(y)
Г„(,)(с)
Гв(1>'(с)
yn(2)(O
= 1Г{У„(1),Ул(2)}*0.
Следовательно, система разрешима относительно Mn,Nn, и формула (3.80) дает формальное решение задачи.
В заключение укажем краткую схему решения задачи методом Фурье:
Произвести разделение переменных и свести задачу к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сформулировать задачу Штурма—Лиувилля и найти совокупность собственных значений и собственных функций рассматриваемой задачи.
3.	Проинтегрировать второе уравнение и построить совокупность частных решений задачи, удовлетворяющих однородным граничным условиям.
4.	Составить формальный ряд из частных решений и, пользуясь теоремой разложения по собственным функциям, найти коэффициенты разложения.
5.	Дать строгое обоснование полученному формальному решению для определенного класса функций.
Данная схема остается в силе для случая условий четвертого рода регулярной задачи Штурма—Лиувилля. Схема также переносится и на сингулярный случай, если спектр задачи оказывается дискретным. Если спектр задачи будет непрерывным или смешанным, то возникают некоторые изменения в схеме.
Задача об охлаждении пластины,
излучающей тепло
Завершим изложение метода Фурье рассмотрением еще одного примера. Рассмотрим тонкую однородную пластину толщины а и бесконечных размеров в двух других измерениях. Будем предполагать, что задано начальное распределение температуры ф(х); левая стенка (х - 0) теплоизолирована, а правая (х = а) излу-
Задача об охлаждении пластины, излучающей тепло
, _ ‘ - --------- _  - --
133
чает тепло в окружающую среду, температура которой равна нулю. Требуется определить температуру пластинки в любой момент времени t > 0.
Математическая формулировка задачи:
д2Т дТ п п	„ kt	QC4
— ------=0, 0 <х <а, т >0, т = —,	(3.85)
дх дт	ср
дТ
дх х-о
= <р(х).
(3.86)
(3.87)
Будем искать решение в виде
Т(х,т) = Х(х)У(т).
После подстановки в (3.85) получим
Х\х) _ У'(т) Х(х) У(т)
Откуда находим
Х"(х) + ХХ(х) = 0, Х'(0) = 0, Х'(а) + hX(a) = 0;	(3.88)
У'(т) +ХУ(т) = 0.	(3.89)
Общее решение уравнения (3.88) имеет вид
Х(х) = A cos(VZx) + Bsin(V^x), А. * 0.
Из граничных условий находим В = 0, ctg(VXa) = ^, Л*0. па
Обозначим у = VXa; тогда последнее соотношение принимает вид
Ctg(y) =	(3.90)
па
На основании общей теории можно утверждать, что все собственные значения вещественны и положительны, поэтому у вещественно. Решение уравнения (3.90) можно найти графически.
134
3. Метод Фурье
Пусть у = (п = 1, 2, 3,..., оо) ~ положительные корни уравнения (3.90). Тогда собственные значения будут
i п
« ~ J *
Соответствующие собственные функции будут
X(x) = X„(x) = cos у„- .
Отрицательные значения п и у не дают новых собственных значений и собственных функций.
Если X = 0, то общее решение уравнения (3.88) имеет вид Х(х) = А + Вх, Из граничных условий находим В = 0; А = 0. Следовательно, X = 0 — не собственное значение задачи (3.88).
Рассмотрим теперь уравнение (3.89); оно принимает вид
/г
У(т) = 0
а"
Совокупность частных решений исходного уравнения (3.85) имеет вид
Л’
Т = Т„ = М„е °-
cos у,,
Каждое такое решение удовлетворяет однородным граничным условиям (3.86) и однородному уравнению (3.85) и не удовлетворяет начальному условию (3.87). Чтобы удовлетворить этому начальному условию, мы, в соответствии с принципом суперпозиции, составляем сумму у2 -Т — Л/f хэ О-"
cos у„
л=1
Откуда, постулируя «хорошую» сходимость написанного ряда, находим
т=0
/7 = 1
Последнее соотношение — разложение функции <р(х) по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля (3.88). Следовательно,
м„

2 J
0

причем
а
Г 2
COS
0
п
sin(2y„)
2УЯ
Окончательно, формальное решение задачи будет иметь вид
Вопросы к главе 3
135
а
f (p(x)cos
о
t ! sin(2y„) 2Y„
cos ул
Например, в частном случае, когда ср(х) = Го = const, будем иметь
и тогда
00
т = 4Т0£
И = 1
sin(y„)
[2у„ +sin(2y„)]
Замечание о вычислении корней уравнения (3.90). Корни уравнения (3.90) можно найти методом последовательных приближений, например, по схеме
(т)
= arcctg
m = 1, 2,...,

причем, в качестве нулевого приближения можно снять значение у(0) с графика. Если величина ha не мала, то процесс последовательных приближений сходится быстро. Вычисления следует продолжать до тех пор, пока десятичные знаки начнут повторяться.
Вопросы к главе 3
1.	Какое уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка? Приведите примеры таких уравнений.
2.	Перечислите свойства решений линейного уравнения в частных производных (принцип суперпозиции).
3.	Какое уравнение в частных производных называется уравнением с разделяющимися переменными? Приведите примеры.
4.	Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения с двумя независимыми переменными. Что такое параметр разделения?
5.	Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения с тремя независимыми переменными. Сколько параметров разделения мы будем иметь в этом случае?
6.	Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения Лапласа в декартовых координатах.
7.	Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.
8.	Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения Лапласа в сферических координатах.
136
3. Метод Фурье
9.	Выполните процесс разделения переменных в случае одномерного волнового уравнения с двумя независимыми переменными.
10.	Выполните процесс разделения переменных в случае одномерного уравнения теплопроводности с двумя независимыми переменными.
11.	Дайте решение задачи об охлаждении пластины методом разделения переменных.
12.	Сформулируйте задачу Дирихле для круга. Получите решение этой задачи методом разделения переменных.
13.	Напишите интеграл Пуассона. В чем преимущества такого представления решения задачи Дирихле для круга?
14.	Как можно использовать интеграл Пуассона для решения задачи Дирихле для произвольной плоской области?
15.	Сформулируйте задачу Штурма—Лиувилля.
16.	Что называется собственной функцией задачи? Что такое собственное значение задачи?
17.	Какая задача Штурма—Лиувилля называется регулярной? Сингулярной?
18.	Что называется спектром задачи Штурма—Лиувилля? Какие спектры возможны?
19.	Сколько собственных функций могут отвечать данному собственному значению?
20.	Приведите примеры граничных условий для регулярной задачи Штурма— Лиувилля.
21.	Какие граничные условия ставятся в случае сингулярной задачи Штурма— Лиувилля?
22.	Перечислите свойства собственных значений регулярной задачи Штурма— Лиувилля.
23.	Докажите теорему об ограниченности снизу множества собственных значений регулярной задачи Штурма—Лиувилля.
24.	Докажите теорему о вещественности собственных значений регулярной задачи Штурма—Лиувилля.
25.	Что называется фундаментальной системой решений Штурма—Лиувилля? Приведите пример.
26.	Какими свойствами обладают фундаментальные решения задачи Штурма— Лиувилля?
27.	Докажите свойство линейной независимости фундаментальных решений Штурма—Лиувилля.
28.	Получите асимптотические формулы фундаментальных решений Штурма— Лиувилля при X -> оо.
29.	В чем заключается основная идея метода Стеклова—Лиувилля—Фубини?
30.	Изложите в общем виде вопрос об определении собственных значений и собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля.
Задачи с примерами решения
137
31.	Сколько собственных функций могут отвечать данному собственному значению в случае регулярной задачи Штурма—Лиувилля с граничными условиями первого, второго или третьего рода?
32.	Какие функции называются ортогональными? Приведите примеры ортогональных систем функций.
33.	Что называется нормой для данной системы функций?
34.	Сформулируйте и докажите теорему об ортогональности собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля.
35.	Сформулируйте условия Дирихле.
36.	Сформулируйте теорему о разложении функции в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма—Лиувилля. Приведите пример.
37.	Сформулируйте регулярную задачу Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода. Приведите пример.
38.	Изложите в общем виде вопрос об определении собственных значений и собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода. В чем особенность этой задачи?
39.	Сформулируйте и докажите теорему об ортогональности собственных функций регулярной задачи Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода.
40.	В чем особенность собственных функций, отвечающих граничным условиям четвертого рода? Сколько собственных функций могут отвечать данному собственному значению?
41.	В чем состоит процесс ортогонализации?
42.	Приведите пример задачи Штурма—Лиувилля с граничными условиями четвертого рода.
43.	Приведите примеры сингулярных задач Штурма—Лиувилля с дискретным спектром.
44.	Приведите примеры сингулярных задач Штурма—Лиувилля с непрерывным спектром.
45.	Дайте общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных.
I
46.	Дайте решение задачи об охлаждении пластины, излучающей тепло, методом Фурье.
47.	Приведите краткую схему применения метода Фурье.
Задачи с примерами решения
1.	Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи
1)	у” + ку=0, г/(0) = 0, у(Г) = 0, хе[0,/];
2)	у" + ку=0, г/(0) = 0, у’ (I) + hy(l) = 0, хе [О,/], А > 0;
3)	у" + ку=г0, у(1) = 0, - у' (0) + hy(0) = 0, хе[0,/], А > 0;
138
3. Метод Фурье
4)	z/" + Zz/=O, г/(0) = 0, г/'(/)=0, х е[0,/];
5)y" + Xy^Q, У'(Ъ) = Ъ, 3/(Z)=0, xe[0,Z];
6)	у" + ку=0, г/'(0)=0, у‘(1) = 0, хе [О,/];
7)	г/" ч-Хг/ = 0, г/'(0)~ 0, у’(l)+hy(l) = Q, хе [О,/], А>0;
8)	у"+ 7^=0, yf(l)-O> -у'(0) + hy(Q) ~ 0, xe[0,Z], Л > 0;
9)	у" + ку=О, -у'(0) + Az/(O) = O, y’(l)+hy(l}=§, хе[0,/], А>0;
10)
+ —jy-Q, //(«) = О, y(b)=§, х е[о,А],
a * 0,
b 0;
И)
d dx
+ kx2y - 0,
y(a)-Q, y(b)-O, x e fafa],
a * 0, b * 0;
12)	=0, yfal) = 0, г/(/)=0, x e[-Z,Z |;
13)	y" + Xy-0, y’fal)^, y’tT)^ xe[-Z,Z];
14)	z/" + ky-0, -y'falfa hyfal) = 0, y' (Z) + hy(l) =0, x e [-/,/], h > 0;
15)
y'(«)=°> у'(Ь) = О> ie[a,H
a * 0,
btO.
2.	Разложить функцию /(x) = x2 в ряд по собственным функциям задачи yf, + ky-Q, у(~1)=у(1), y’fal)=y'(fa хе [-/,/]*
3.	Разложить функцию
в ряд по собственным функциям задачи
г/" + \г/=О, z/(-Z) = z/(Z), «/'(-/) = z/ЧО» хе [-/,/].
4.	Разложить функцию /(х) = х2 в ряд по собственным функциям задачи
/' + лг/=0, г/(0)-0, z/(Z)=0, xe[0,Z]-
5.	Разложить функцию /(х) - 1 в ряд по собственным функциям задачи 1.10.
6.	Разложить функцию /(х) ~ х2 в ряд по собственным функциям задачи
+ Хх2г/ =0,
г/(0) = О(1), у’(а) = §, хе[0,4
7.	Разложить функцию /(х) = с2 -х2 в ряд по собственным функциям задачи
+ Хх2г/=0, 2/(0) — 0(1), у' (а) + hy(a) = 0, хе[0,а],
А >0.
8.	Разложить функцию /(х) = 1 + сх в ряд по собственным функциям задачи yff + ку =0, - yf (0) + hy(Q) - 0, y(a)-Q, xe[0,a], h > 0.
Задачи с примерами решения
139
9.	Разложить функцию /(х) ~х в ряд по собственным функциям задачи 1.10.
10.	Решить сингулярные задачи Штурма—Лиувилля для уравнения
х е (0, а), /г > 0
при условиях
У ,г=о=0(1); г/1л=о =0(1); г/Lo = 0(1),
И. Струна 0<х</ с жестко закрепленными концами до момента t=0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы Fo = const, приложенной к точке х0 струны перпендикулярно к невозмущенному положению струны. В начальный момент времени t - 0 действие силы F() мгновенно прекращается. Найти колебания струны при t > 0.
12.	Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительно перпендикуляра к середине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю, а начальное максимальное смещение равно h.
13.	Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого плоского молоточка, сообщающего ей следующее начальное распределение скоростей:
Найти колебания струны, если начальное отклонение равно пулю.
14.	Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого выпуклого молоточка, сообщающего ей следующее начальное распределение скоростей:
Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю.
15.	Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом острого молоточка, передающего ей импульс I в точке х0. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю.
16.	Найти продольные колебания стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = /) свободен, при начальных условиях:
w(x,0) = kx, = 0, 0 < х < /.
dt (=о
140
3. Метод Фурье
17.	Стержень длины /, закрепленный в точке (х =0), растянут силой Fo = const, приложенной на его другом конце. В момент t - 0 действие силы Fo мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю.
18.	Найти колебания упругого стержня со свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в продольном направлении произвольны.
19.	Найти колебания упругого стержня со свободными концами, получившего в начальный момент времени продольный импульс / в один из концов.
20.	Найти колебания упругого стержня, один конец которого жестко закреплен, а другой конец свободен и получает в начальный момент времени продольный импульс I.
21.	Найти распределение температуры в стержне 0 < х < I с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура равна Го = const.
22.	Дать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа вне круга.
23.	Дать решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа вне круга.
24.	Дать решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга.
25.	Дать решение третьей внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, если граничное условие записывается в виде
26.	Дать решение третьей внешней краевой задачи для уравнения Лапласа для круга.
27.	Дать решение внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа, если на границе круга задано условие
w|r=a =^sin<p.
28.	Дать решение внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа, если на границе круга задано условие
= Л sin3 ср + В.
29.	Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R с центром в начале координат и такую, что
= А соз(ф),
r=R
= А соз(2ф);
= 5Ш3(ф).
r=R
30.	Найти стационарное распределение температуры и(г,ф) внутри бесконечного цилиндра радиуса /?, если на его поверхности поддерживается температура
Задачи с примерами решения
141
w|r=ft = /Isincp.
31.	Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга с центром в начале координат и такую, что
1)	м|г=1 =cos2(<p);
2)	u|r.( =cos4(<p);
3)	u|r,t = sin3(<p);
4)	u|r=1 = cos6(<p) + sin6(<p).
32.	Решить задачу о колебаниях струны0 <х <1 с закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму синусоиды
и\ fss0 = A sin
ппх
(п — целое).

33.	Найти закон выравнивания заданного начального распределения температуры /(х) в пластине, грани которой х=0их = ане пропускают тепла.
34.	Дать общее решение задачи об охлаждении шара радиуса а при условии, что начальное распределение температуры задано
= f(r),
а температура поверхности равна нулю. Рассмотреть случай /(г) = То = const. 1
35.	Найти распределение температуры в шаре радиуса а, поверхность которого, начиная с момента времени t - 0, излучает тепло по закону Ньютона, а начальная температура равна TQ = const.
36.	Пластина толщины 2а (-а <х < а) с заданным начальным распределением температуры и(х,0) = /(х), начиная с момента времени t = 0, излучает тепло в окружающую среду, температура которой принимается равной нулю. Считается, что излучение подчиняется закону Ньютона. Найти распределение температуры в пластине в произвольный момент времени.
37.	Найти закон колебаний струны длиной /, расположенной на отрезке [0, / ] и закрепленной на концах, если в начальный момент струне придана форма кривой f(x) я х(1 -х)/(8/), а затем струна отпущена без начальной скорости.
38.	Однородная струна длиной / натянута между точками х = 0 и х = / . В точке х = с струна оттягивается на небольшое расстояние h от положения равновесия и в момент времени t = 0 отпускается без начальной скорости. Определить отклонение u(x,t) струны для любого момента времени.
39.	Решить задачу:
1 ди _ д2и a2 dt дх2 ’
0 < х < /, t > 0 ;
u(0,t) = 0, —	=0, w(x,0) = To.
142
3. Метод Фурье
40. Решить задачу:
1 д2и _ д2и a2 dt2 дх2
0 < х < /, t > 0;
ди
дх
.г=0
= 0,
ди
= 0,
z/(x,O) = x(J -х),
ди ~dt
г=0
41. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате D{0 < х < Z; О < у < 1} при краевых условиях: w(x,0) = и(х,I) = х(1 -х\и(0,у) = и(1,у) - 0.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Разложить функцию /(х) = х2 в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям сингулярной задачи Штурма—Лиувилля
+ кх2у = 0, .1/(0) = 0(1),У\а) = 0,х е [0, а].
Решение. Воспользуемся системой аналитических вычислений Maple. Зададим уравнение. При этом, рассмотрим два случая, X 0 и X = 0:
> eq:=diff(x^2*d1ff(y(x),х),x)+lambda*xA2*y(x)=0;
> lambda:=0:eqO:=subs(у(х)=уО(х),eq):
> lambda:3'lambda';
Xx2 y(x) = 0
X := 0
eqO := 2 x
1У0(х) =0

Рассматриваем случай, когда 0. Находим общее решение заданного уравнения:
>	dsol:=dsolve(eq.ytx)):assign(dsol):
Cl sin(Jz" x)	C2 cos( Jx" x)
dsol - y(x) = --------- + ------------17----L
X	X
Проверяем правильность этого решения:
>	simpl1fy(valueteq)):
0=0
Видим, что решение будет ограниченным в нуле, если принять константу при косинусе равной нулю:
>	y:=subs(_C2=0.y(x));	_
_С7 sin(7^ х) у :=--------------
Задачи с примерами решения
143
Находим производную:
> yl:“Simpl1fy(diff(у.х)):
jCl (-sin(/x" *)
yl :=
+ cos(/A?х) fk х)
Получаем уравнение для определения собственных значений задачи:
>	eql:-expand(subs(х-а.у1)/_С1*аЛ2)-0:
>	eql:-expand(lhs(eql)/cos(lambdas 1/2)*а))“0:
eq I := -sin( fk a) + cos( fk a) Jk a = 0
sin(T^a) . ЛГ • n
eql :=--------1=---+ у Л a - 0
cos(7^ fl)
Преобразовываем это уравнение и определяем функцию, нулями которой задаются собственные значения:
>	eql:-convert(eql.tan)s:
>	f:-subs(lambdas1/2)*а-ти,lhs(eql));
eql -tan( *fk a) + *fk a = 0
f:= -tan(p) + p
Здесь мы ввели обозначение /(ц) = -tg(p)-t- ц, причем ц = VXzt.
Пусть k = 1, 2, 3,... — положительные корни уравнения /(ц) ~ 0. Тогда собственные значения задачи определяются по формуле kk = (ц^/а)2 . Собственные функции будут зш(цАх/а)/х. Определяем эти функции:
> y:-(x,n)->sin((mu[n]/a)*x)/x:
Согласно общей теории, эти функции ортогональны на [0,а] с весом х\ Проверим это:
>	Int(x*2*y(x.n)*y(x,m),х=0..а):res:-value(fc):
>	simplify(res.{s1n(mu[m])“fTiu[ni]*cos(mu[m]).
>	sin(mu[n])“mu[n]*cos(muEn])});
a (цл cos( ) sin(	sin( цл) cos( ))
res :=------------------—2-----------r-------------------
0
144
3. Метод Фурье
Вычисляем квадрат нормы:
> Int(xA2*y(x,n)A2,x-0..а);Norma:-slmplify(valме(Ж)): a
sin
а
2
dx
0
1 <’(cos(nn)sm(nn)-Mn) Norma :=	---------------------

Упрощаем полученный результат:
> Norma:-subs(sin(mu[n])’smu[n]*cos(mu[n]) .Norma):
> Norma:=simplIfyfNorma.{cos(mu[n])A2--sin(mu[n])A2+l});
1 a (cos(	)
Norma := -------------------------
u
” n
Norma :=-a sin( )
таким образом, искомое разложение имеет вид
sin
*2-с0+£си-Л=1
Необходимость нулевого члена Со мы установим далее.
Вычисляем коэффициенты разложения Cnt п = 1,2,...:
> c:=Int(xA2*xA2*y(x.n),х=0..а):
а
а
(3.91)
о
х3 sin
а
dx
>	c:=value(c);
>	c:=subs(sin(mu[n])=mu[n]*cos(mu[n]).c);
a4 (-6 ця cos(pn) + 6 sm(nj + ц/ cos(gj - 3 ц/ sin(pn))
2 a4 cos( цл) c :=-------------
~n
> C:-s1mplify(subs(sin(mu[n])-mu[n]*cos(muLn]),c/Norma));
> C:=tinapply(C,n);
cos(nn)
Задачи с примерами решения
145
ня cos(nn)
Итак, мы получили С„ = 4а3/[ц3 cos(n„ )], п = 1,2,...
Отдельно проверим, будет ли X = 0 собственным значением задачи:
>	sol0:-dsolve(eq0.y0(x));assign(sol0);
>	simplify(value(eqO));
С2
solO := у0(х) = _С7 +=—
0 = 0
Мы получили общее решение уравнения при X = 0 в виде yQ(x) = С\ + С2/х. Видим, что это решение будет ограниченным в нуле, если С2 = 0, а тогда оно удовлетворяет второму краевому условию при любом С\. Таким образом, получаем, что X = 0 является собственным значением задачи, которому отвечает собственная функция, равная единице. Отсюда и вытекает необходимость нулевого члена Со в формуле (3.91).
Вычисляем теперь коэффициент Со искомого разложения. Для этого мы интегрируем выражение (3.91) на [0, а] с весом хг:
>	Int(xA2*y(x.n),х-0, .а); valued);
>	simpl1fy(subs(sin(mu[n])-mu[n]*cos(mu[n]) Д));
а
dx
а
"О
a2(-sin(pn)+ цл cos(nn))
Л
о
>	СО:-1пКхж4,х-0. ,a)/Int(x*2,x-0. .a) ;CO:=value(CO);
га х4 dx
СО--2-—-
а
С0:=
Таким образом, искомое разложение имеет вид
(3.92)
146
3. Метод Фурье
Выполним теперь некоторые численные расчеты для конкретного интервала [О, а) Определим функцию, стоящую в правой части (3.92), в Maple:
> g:в(х,К)->C0+sum(С(к)*у(х.к),к-1..К);д(х.К);
g:=(xi К)-+С0 +
( к	А
L C(k)y(x,k)
i k = I	j
Посмотрим на распределение корней характеристического уравнения /(ц ) = -tg(n ) + ц =0;
построим график левой части этого уравнения:
>	plot(f.mu-0..ll*Pi.-0.5..0.5.discont-true.color-black):
  0.4- J  0.2-											
0. • 0.2- • 4  0.4- 	f	5	10		15 rr	2( u	I	25	3	0	
Найдем, например, первые сто корней характеристического уравнения:
>	K:-100:mu:=array(l..К):
>	for I from 1 to К do
>	mu[1]:-fsolve(f-0.mu.mu-1*Pi..(1+1)*Pi):
>	end do:
p, — 4.493409458
p2 := 7.725251837
p •= 10.90412166
pd := 14.06619391
”4
Задачи с примерами решения
147
ц5 := 17.22075527
ц6 := 20.37130296
ц7 := 23.51945250
и. := 26.66605426 1 о
р9:= 29.81159879
ц10:= 32.95638904
и так далее. Все последующие значения корней мы, по понятным причинам, напечатать не можем. Но мы можем посмотреть, скажем, на 87-й или 100-й корни:
>	mu[87]:mu[100];
274.8857193
315.7268944
Зададим теперь конкретный интервал, на котором мы хотим разложить функцию х2; пусть, например,
>	а:-3;
а 3
Построим график заданной функции х2:
>	pt: =
>	plot(x*2.x-0..a.style-point,symbol-circle.color-black,
>	legend-'Заданная функция'):
>	plots[d1splay]({pt}):
Посмотрим, как аппроксимируют эту функцию частичные суммы ряда (3.92):
р21: =
148
3. Метод Фурье
>	plot(g(х,21),х=0..a.linestyle-3.color-blue.
>	legend-'К-2Г):
>	p20: =
>	plot(g(x.20) .x-0..a. 1 1nestyle-4,color-brown.
>	legend-'K-20'):
>	pl9:-
>	plot(g(x,19),x-0..a.linestyle-5,color-black,
>	legend-'K-19'):
>	plots[display]({pt,pl9}); 8- 4 4 4 6-  4-♦ 1 2-s	1  >	plots[display]({pt.p20}): <  8- *  - 6- ч 4 * 4-   4 2- • 	с t л 1	1.5	2	2.6	3 X ° ° ° о о о Заданная функция 	К=19 О 0 9 * 0 0 0 0 0 0 ^0 / Г 1.5	2	2.5	3 X о о о о о о Заданная функция
plots[display]({pt,p21});
Задачи с примерами решения
149
Видим, что сходимость ряда хорошая, однако она ухудшается вблизи сингулярной границы:
>	p_21:-plot(g(x,21),x-0..а/5,11nestylе=3,со]or-blue,
>	legend-'K-21'):
>	р_20:-plot(g(х,20),х-0..а/5.11nestylе=4.color=brown.
>	legend-'К-20'):
>	p_19:-plot(g(x,19),х=0..а/5,11nestylе=5,color-black.
>	legend-'К-19'):
>	pt_:=plot(xA2,x=0.,a/5,style=po1nt,symbol-circle,
>	color-black.legend-'Заданная функция'):
>	plots[dlsplay]({pt_.p_19,p_20.p_21});
--------K=19
о о о о о о Заданная функция
С увеличением числа удерживаемых членов ряда аппроксимация улучшается:
150
3. Метод Фурье
> plot({g(x,100).g(x.91),g(x,50),хА2},х=0.,a/5.
> color=[blue.red.black.brown]):
Пример 2. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма—Лиувилля:
у" + Ху =0, - z/'(0) + Аг/(О) =0, у'(а) + hy(a) = 0, х е [0,a], h>0.
Решение. Воспользуемся системой аналитических вычислений Maple. Зададим уравнение. При этом рассмотрим два случая, X * 0 и X - 0:
>	eq:=diff(y(x) .x$2)+lambda*y(x>0;
>	Iambda:=0:eq0:=subs(y(x)=y0(x),eq): lambda: = ’lambda’;
д?2 A
Т1У(Х) +^y(x) = 0
ax
eq :=
Z :=0
d1
eqO = j^y°(x) = 0 ax
X :=X
Рассматриваем случай, когда X 0. Находим общее решение заданного уравнения:
>	assume(a>0):assume(lambda>0):
>	dsol:=dsolve(eq,у(х));assign(dsol);
dsol := y(x) = Cl sin(/X^x) + _C2 cos(/X^x)
>	simplify(value(eq));
0 = 0
Вычисляем производную:
>	у:=y(x);yl:=Simplify(diff(y.x));
у _C1 sin(7^ x) + _C2 cos(7^~ •*)
Задачи с примерами решения
151
у1 := -/Х~ (_С1 COS(7а7х)-_С2 sin(7х))
Получаем уравнение для определения собственных значений. Для этого составляем систему уравнений по граничным условиям:
>	eql:-simpl1fy(subs(x-0,-yl+h*y))-0;
>	eq2:=s1mpl1fy(s ubs(x-a,уl+h*y)) “0:
eql :=	_C1 + h _C2 = 0
eq2 := cos(7^ a-) -	2 sin (7^ a~) + Л _CI sin (7^* a~) + Л _C2 cos(/X^ a~) - 0
A :=
Формируем матрицу системы и находим ее определитель:
>	A:-linalg[genmatrix]({eql.eq2}.{_Cl._C2}):
>	Delta:“Slmplify(linalg[det](A)):
7l~ cos(7^ а~) + h sin(7^~ а~) ~7^ sin(7^~ а~) + й cos(*/Z^ а~)
—7	й
А := 2 h ^к~ cos(7а~) + h2 sin(7^ к~ sin(7л~)
Равенство нулю определителя и будет характеристическим уравнением для определения собственных значений задачи. Преобразуем полученный определитель в уравнение:
> eq:“expand(Delta/cos(1ambda*(1/2)*a))-0:
, /г— h2 sin(7^* a~) k~ sin(7^~ a~) eq := 2 h *jk~ +------/=----------------j=-------= 0
cos(7^ a-)	cos(7^-~
> eq.=convert(eq,tan):
eq := 2 h *]k~ + h2 tan(7k~ a~)- k~ tan(7k
Упростим найденное уравнение — сначала решим его относительно тангенса, а затем введем новую переменную:
> solve(eq.tan(1ambda*(1/2)*a)):
2*7^
-h2 + x~
Делаем замену X = (ц/а)2:
> assunre(mu>0):simplify(subs(lambda-(mu/a)*2Д));
2 h p— a— h2 a^2 - p~2 Таким образом, удобно ввести новую переменную по формуле ц - 4ка, причем значения ц определяются из уравнения /(ц) = tg(p)---=0. Определим
ц -h a
эту функцию в Maple
> f:-tan(mu)-X:
f := tan( p~) +
2 h a~ д2 Л 2 Г-? й а~ —
152
3. Метод Фурье
Пусть \kk,k = 1, 2, 3,... — положительные корни уравнения /(ц) = 0. Тогда собственные значения задачи определяются по формуле =(цА/а)2. Определяем теперь собственные функции:
> _С2:-solve(eql,_С2);
> _C2:’Slmplify(subs(lambda-(mu/a)*2,_C2));
С2 :=
Д^_С7 Л
ц~С7
a- h
> у:-col 1 ect(simpl 1 fy(subs(lambda*(mu/a)*2’у)) ,_С1):
Cl
а~ h +
a~ h
> у:-unapply(subs(mu-mu[n].select(has.y.x)).x.n):
sin
П
a~ h + li~ cos “ л
Таким образом, собственные функции будут
y„(x) = a/zsin
+ ци cos
Согласно общей теории, эти функции должны быть ортогональны на отрезке [0, а]; проверим это
> Int(y(x,n)*y(x,m),х=0..a) :res:=value(X);
a~h + 1 ж
•'о
res :=-a~(h2a~2 ц~л cos(n~n) sin( ц~т) + ц~л cos(p~n) sin( ц-J - Л2 а~2 sin(ц~л) cos(n~m)
-a~h ц~л 2 sin( ц~л) sin( ц~т) -	p~m sin(ц~л) cos( ц~т) + а~ h ц-/ sin(ц~л) sin( Ц~т)) / (
2	2
Ц*-' —	)
Упростим результат с учетом характеристического уравнения /(ц) = 0:
> res_cos:-solve(Delta.cos(1ambda*(l/2)*a)):
res^cos
1 sin(7Д~) (-Л2 +	)
2 h
>	simpi1fy(
>	subs(cos(muM)-subs(lambda~(mu[niJ/a)A2.res_cos).res)):
>	slmplifyCsubs(
>	cos(mu[n])-subs(lambda-(mu[n]/a)A2.res_cos)Д));
0
Задачи с примерами решения
Все в порядке. Вычислим теперь норму нашей системы собственных функций:
> Int(y(x.n)*2,x=0,.а):Norma:“Simplify(value(X)):

Norma
h2 cos( ц~п) sin( ) - ц~„ - ц~„
cos( ц~л) sin( ц~л) - h ц~л
+ 2 a- ц~л h cos( ц~л) - 2 ц~п a- h) /
Упростим результат:
>	Norma:=simpl1fy(
siibs(cos(mu[n])“Subs(lambda“(mu[n]/a)A2.res_cos).Norma)):
Norma
(2a~ h +	+ h2 a-2)
Проверим теперь число X = 0:
>	sol0:=dsolve(eq0.y0(x));assign(sol 0):
> simpl1fy(value(eqO));
solO := y0(x) = _C7 x + _C3
0 = 0
> yl_O:“d1ff(yO(x),x):
y7 J) := _C1
> eql_0:“-yl_0+h*subs(x“0.y0(x));
> eq2_0:“yl_0+h*subs(x»a.y0(x)):
eql_0 := -_C7 + h JJ3
eq2_0	_C7 + h (_C1 a + _C3)
> A0:*llnalg[genmatrlx]({eql_0,eq2J)},{_C1._C3}):
> DeltaO:“Simplify(11nalg[det](AO));
A0 =
-1
1 + h a
h~
h
ДО := ~2 h - a h2
Определитель не равен нулю, следовательно, имеем только тривиальное решение. Значит, число X = 0 не является собственным значением задачи.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма—Лиувилля:
у" + Хг/=О, y(a) = 0, yr(b) = Of хе[о,А].
Решение. Зададим уравнение. Рассмотрим сначала случай X 0:
> eq:=diff(y(x),x.x)+lambda*y(x)=O;
+ X у(х) = 0
154
3. Метод Фурье
Находим общее решение уравнения:
> dsolve(eq,y(x)):y:-unapply(rhs(X),х):
у(х) = Cl sin(/T*) + _С2 cos(7a?х) у := х —> _С7 sin( A х) + _С2 COS(Ах) Задаем граничные условия:
> assume(b>a):
> eql:-y(a)-0: eq2:-D[l](y)(b)-0:
:= _С1 sin( а-) + _С2 cos(Дн = о
eq 2 := _С1 cos(-A ^~) •А ~ -С?	b~)	= О
Формируем матрицу коэффициентов и вычисляем ее определитель:
>	1 Inalg[genmatrlx]({eql.eq2}.{_Cl._C2}):
>	linalg[det](X);Delta:-combine(X):
sin(7^ a~) cos(/A? a~)
cos-sin(7^
-sin( ) sin( -/A? b~) 7^ - cos(A a~) cos(A	A
Д := ~A^ cos( A^a— № b~)
Приравниваем нулю этот определитель и решаем полученное характеристическое уравнение:
> Delta:-select(has,Delta.[cos]): Д := cos(a—	b~)
>	_EnvAllSolutions:-true:
>	1ambda:-solve(Delta.lambda):
,	7Г2 ( 1 + 2 Z/~)2
X :=—--------=----7-
4 (-b~ + a~ )2
> 1ambda:-subs(_Zl«’k'.lambda):
_ я2(1 + 2Х)2 4(_^ + fl~)2
Находим собственные функции: *
> assume(k.posint):у(х);
Задачи с примерами решения
155
> simplify(subs(_Cl-Cl,y(x)));
> combine(X);
С2 sin
-it а~ + тс х - 2 л а- к~ + 2 л х А
“2 Ь~ + 2 а~
> Уп:“unapplу(seiect(has Л.[х]).х.к):
Yn :=(хД~)->
Проверим дифференциальное уравнение:
> у:"‘у' :Yn(x.k) ;simplify(subs(y(xM.eq)):
0=0
Проверим граничные условия:
> Yn (a. к)=0;simplify(D[l](Yn)(b,к))=0:
0 = 0
0 = 0
Проверим ортогональность собственных функций на отрезке
> assume(n.posint):assume(m,pos1nt):
> Int(Yn(x.n)*Yn(x.m),х-а..b);slmplifytvalue(X)):
. ( -л a~ + л x - 2 тс a- n~ + 2 тс x n- Л
( -л + л x - 2 л m- + 2 л x m- \
0
Вычислим норму собственных функций:
> Norma :-Int(Yn(x,n)A2,x=-a. .b): simp Шу (value(X)):
Norma :=
a-

2	2
156
3. Метод Фурье
Можно преобразовать аргумент у собственных функций к более удобному виду:
> simp'llfy(collect(
(-Р1*а+Р1*х-2*Р1*а*к+2*Р1*х*к)/(-2*Ь+2*а).х));
(1 + 2 k~) л (-a~ + x)
2 (— b- + a-)
Таким образом, собственные значения задачи будут
(2k +1)2 л2
4(b-а)
а собственные функции —
y/r)=sin
(2k + i)rtta-x)y 2(b - а) ,
Рассмотрим теперь случай X = 0:
> lambda:“O:eq;
X :=0
> dsolve(eq,y(x));assign(l):yO:=unapply(y(x),х):
у(х) = _С7 х + _С2 уО х —> _С1 х + _С2
> eqO_l:ву0(а)~0: eq0_2:=D(y0)(b)=0;
eqO_l := _С1 а + _С2 = О ец0_2 := _С1 = О
> Iinalg[genmatrix]({eq0_l.eq0_2}.{_С1._С2}): > DeltaO:eUnalgLdet](£);
"О Г
1 а
ДО := -1
Видим, что определитель отличен от нуля, значит, существует только тривиальное решение. Следовательно, Z = 0 — не есть собственное значение задачи.
Пример 4. Решить задачу о колебаниях струны 0 < х < / с закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму синусоиды
(-о =Xsin
Задачи с примерами решения
157
Решение. Эта задача может быть решена методом Фурье. Мы рекомендуем читателю построить решение задачи этим методом. Можно, однако, использовать для решения данной задачи и формулу Даламбера. Покажем, как это сделать.
Нам необходимо проинтегрировать уравнение колебаний струны при начальных данных
t=0
= ф(х) = Asin
= у(х) = 0, г=0
и при краевых условиях
Wr=0 =0> W.r=/=0’
Продолжим функции ф(х) и ф(х) на отрезок [-/,0] нечетным образом, а затем периодически на всю ось. В результате получим функции
Ф(х) = Asin
Т(х) = 0, “ОО <Х <00,
совпадающие на отрезке [0, /] с функциями ф(х) и ф(х). и
Подставляя функции Ф(х)иТ(г)в формулу Даламбера (2.91), находим решение уравнения колебаний в виде
или
w(x,£) = Asin
(nat\
cos
Пример 5. Решить задачу для уравнения теплопроводности
ди 2
dt дх2
= 0, 0 <х < /, t >0,
с начальными
м(х,0) = х(1-х)
и граничными условиями
и(0,£) = 0, w(/,O=0.
Решение. Эта задача может быть решена методом Фурье. Мы воспользуемся для ее решения системой Maple.
Определяем задачу в Maple:
> eq:-cliff(u.(x,t) ,t)-aA2*d1ff(u(x,t).x.x)=0;0<x.x<l,t>0:
0 < x, x < /, 0 < t
> init c:=u(x,0)-ph1(x);
init_c := u(x, 0) = ф(х)
158
3. Метод Фурье
>	bound_c:-u(0.t)*0.u(l,t)-0:
bound_c := u(0, t) = 0, u(/, t) = 0
>	phi:-x->x*(l-x);
ф := x —> x (Z - x)
Выполняем разделение переменных:
>	res:=pdsolve(eq,HINT»'*');
res :=(u(x, Z) = _Fl(x) _F2(Z)) &where {- F2(Z) = a2 _c. _F2(Z),	_
at	dx
>	resl:=op(l.res);res2:-op(2.res):
res2-.= {- F2(t) = a2_Cl_F2(t),—2_ dt	dx
>	res2[l];
^_F2(r) = a dt
F2(r), —
dx
> sl:=op(l.res2[l]);s2:=op(2.res2[l]):
d2
si := —;
dx2~
s2 :=—_F2(t) = a2 _F2(t)
Таким образом, мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения. Сформулируем теперь соответствующую задачу Штурма—Лиувилля. Мы имеем однородные условия по переменной х. Поэтому рассматриваем уравнение si, которое удобно записать в виде
> eql:«lhs(sl)+lambda*_Fl(x):
eql :=
X_Fl(x)
Находим общее решение этого уравнения и формируем систему однородных уравнений по граничным условиям:
>	assumedambd>0):dsolveCeql,_Fl(x)):
_Fl(x) = _C1 sin(7T x) + _C2 COS(%)
>	_Fl:«unapply(rhs(l),x);
>	el:-_Fl(O)=O: e2:»_Fl(l)=0:
>	sist:-{el.e2}:
_F1 := x —> Cl sin(7X x) + _C2 cos(/A^ *)
el := C2 = 0
Задачи с примерами решения
159
е2 := jCl sin(7X" /) + _С2 cos(7^ 0 = 0
sist := {_C1 sin(/x” /) + _C2 cos(/k I) = 0, _C2 = 0}
Вычисляем определитель этой системы:
> A:«linalg[genmatrix](sist.{_Cl._C2});
sin(7A? /)
cos(A i)i
0
> Delta:*convert(linalg[det](A).trig):
A := sin(7^ /)
Приравниваем определитель нулю — это будет уравнение для определения собственных значений; решаем полученное уравнение и находим собственные значения задачи:
> _EnvAlisolations:* true: > solveCDelta.lambda);
л2 _Z/~2
T2
> indets(X) minus {1}:
> subs(X[l]»‘k' ,W:
> ev:*unapply(£.k);
{.zi-}
л2 k?
ev := к —> —
l2
Определяем теперь соответствующие собственные функции:
> _Fl:*'_Fr :assumefk.posint): > subs(lambda=ev(k).eql);
> dsolve({X._Fl(0)*0,_Fl(l)*0},_Fl(x)):
Fl(x) = _C1 sin
Нормируем эти функции:
> rhs(X)/sqrt(int(rhs(X)*2.x=0..1)):
> simplify(X,radical.symbolic):
> ef:=unapply(£.(k.x)):
160
3. Метод Фурье
Итак, собственные значения и нормированные собственные функции задачи Штурма—Лиувилля найдены:
> ev(k):ef(k,x);
„2 и 2
Л л~
Читателю мы предоставляем возможность самостоятельно убедиться в том, что X = 0 не является собственным значением рассматриваемой задачи Штурма—Лиувилля.
Найдем теперь общее решение второго дифференциального уравнения s2:
> eq2:’lhs(s2)+a*2*ev(k)*_F2(t):
а2 л2 к~2 _F2(r)
“ Т2
> dsolve(eq2, F2(t));
F2(r) = _C7 ek
Решение исходной задачи ищем в виде ряда:
> spr:®Suni(C(k)*exp(-ev(k)*aA2*t)*ef(k,x),k=l..infinity);
Коэффициенты этого ряда определяем согласно теореме разложения из начальных условий. Будем иметь формулу для коэффициентов Фурье:
> Ck:=Int((phi(x))*ef(k.x),x=O.. l);Ck:=value(Ck);
Ck:=
о
„ ,(5/2)
Ck\
> C:=unapply(Ck.к):

Итак, мы получили формальное решение задачи:
Задачи с примерами решения
161
> sol:=Spr;
-3 7 з Л
Преобразуем это решение к другому виду. Индекс k заменим на 2т + 1:
>	subs(k<*m+l,op(l.sol)):assume(m.integer):
а2к2(2т~+ I )2 t
...	.2
sin
> simpllfy(fc):factor(t):
a2 re2 (2	+ I)2/
,2
е
sin
>	SunO,m=0. .infinity):
>	solution:“subs(a=’a'. k=’k' ,1 = 'T ,m='nT Д);
00
solution :=
Таким образом, мы окончательно получили решение задачи в виде
а2^2 (2m+1 )2
u(x,t) =
8/2
sin
f л(2ти + 1)
/ /2
(2т +1)3
Пример 6. Рассмотреть продольные колебания стержня, конец которого х ~ 0 жестко закреплен, а свободный конец х -I получает в начальный момент времени продольный ударный импульс Р. До удара стержень находился в состоянии покоя.
Решение. Поставим задачу — найти решение уравнения колебаний
д2и _ 1 д2и
дх2 v2 dt2
О < х < /, t > О,
подчиняющееся граничным условиям
_ п ди
U X=0 ~ 0,	- О
дх г=/
и начальным условиям. Начальные условиям мы можем записать в следующем виде:
162
3. Метод Фурье
Здесь 5 — площадь поперечного сечения стержня, р — плотность.
После того как решение сформулированной задачи будет получено, необходимо перейти к пределу при е —> 0.
Можно начальные условия сформулировать в другом виде, использующем понятие дельта-функции Дирака:
г=0 “
Коэффициент при дельта-функции 5(х - /) выбирается так, чтобы суммарный импульс, передаваемый стержню в момент t = 0, был равен Р, то есть
j ди^о) = р
i dt
Рассмотрим обе возможности задания начальных условий. Для решения задачи воспользуемся Maple. Поставим задачу — дифференциальное уравнение колебаний:
> eq:=diff(u(x,t).t,t)/v*2-diff(u(x.t).х,х)=0;0<х,х<1,t>0;
0 < х, х < I, 0 < t
Начальные условия:
> 1nit_c:=u(x,0)’=0.D[2](u)(x,0)-phi(x):
init_c := u(x, 0) = 0, D^(w)(x, 0) = ф(х) ter
Функцию ср(x) определим двумя способами:
> ph11:=piecewise(0<x and х<1-epsi 1 on.0.1-epsilon<x and x<ltP/rho/epsilon/S):
0
-x < 0 and x - /~ +	< 0
-x +	< 0 and x -	< 0
или
> phi2:=x->P/rho/S*Dirac(x-l):
ф2 := x —>
P Dirac(x- /) PS
Граничные условия:
Задачи с примерами решения
163
> bound_c:=u(0,t)=0.D[l](u)(0.t)=0;
boundc := u( 0, г) = О, Dj( и)(О, /) = О
Выполним разделение переменных в уравнении колебаний:
> subs(u(x.t)=X(x)*T(t),eq):
2
2

дх1
> expanddhsU)/X(x)/T(t))=O;
d1 dt1
d1
dx1
= О
> si:=op(1,Ihs(£))=-lambda;s2:=op(2,1hs())=1ambda:

dr
d1 dx1
Таким образом, мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения. Сформулируем теперь соответствующую задачу Штурма—Лиувилля. Мы имеем однородные условия по переменной х. Поэтому рассматриваем уравнение s2. Находим общее решение этого уравнения и формируем систему однородных уравнений по граничным условиям:
>	assumed ambda>0):dsolve(s2.X(x)):
X(x) - _C7 sin(7^~ x) + _C2 cosCv'X- x)
>	X:=unapply(rhs(£). x):
X := x —> CI sin(7^ x) + C2 cos( x)
>	el: =X(0)=0 : e2:=D(X)d )=0: > si st:={el.e2}:
el '= _C2 = 0
e2 := _C1 cos(#~ /) 7^ ~ _C2 sin(7^~ 0 7^ =
sist := { _C2 = 0, _C1 cos (л/	/) 7	~ _C2 sin( 7^^ 0 7^"" -- 0}
Вычисляем определитель этой системы:
>	A:d iпа 1gtgenmatrix](s1st,{_C1,_C2});
Г о	i
д	_ _____
cos(ЛЛ 1)A~ -sin( 7	) 7^''^'
164
3. Метод Фурье
>	Delta:=convert(11nalg[det](A).trig);
Д := -cos
>	Delta:=op(2,Delta);
Д := cos(7x^ /)
Приравниваем определитель нулю — это будет уравнение для определения собственных значений; решаем полученное уравнение и находим собственные значения задачи:
>	_EnvAllSolut1ons:= true:
>	solve(Delta.lambda);
2
>	IndetsU) minus {1}:
>	subsU[l]=’k' .И):
>	ev:=unapply(£,k);
2
ev := к
/
Определяем теперь соответствующие собственные функции:
>	assume(k.poslnt):
>	Х:=‘Х';subs(lambda=ev(k),s2);
Х=Х
>	dsolve({£,X(0)=0.D(X)(l)=0},Х(х));
Х(х) = _С1 sin
Нормируем эти функции:
>	rhs(%)/sqrt(1 nt(rhs(X)A2.x=0..1));
>	slmplifytX,radical.symbolic):
>	ef:=unapply(£,(k,x)):
Итак, собственные значения и нормированные собственные функции задачи
Штурма—Лиувилля найдены:
>	ev(k);ef(к,х):
Задачи с примерами решения
165

Читателю мы рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что \ = 0 не является собственным значением рассматриваемой задачи Штурма—Лиувилля.
Найдем теперь общее решение второго дифференциального уравнения si:
> sl:=lhs(sl)=-ev(k);
> dsolve({sl.T(0)=0},T(t));
— T(z)
dr	Tt2 (1 + 2 к-)2
T(r)y2	4/2
Здесь мы сразу учли одно из начальных условий. Решение исходной задачи будем строить в виде ряда:
> spr:=Sum(C(k)*op(2,rhs(X))*ef(k.x).infinity):
00 spr := s
Jt~ = 1
Определим теперь неизвестные константы в формуле решения. Рассмотрим первый случай задания начальных условий — с предельным переходом. Пользуясь соответствующей теоремой разложения и учитывая второе начальное условие (на производную), будем иметь формулу для коэффициентов Фурье:
> assume(l>0):
> Ckl:«P/rho/epsilon/S*
> I nt(ef(k.х),х-1 -epsilon..1 )/ev(k)*(l/2)/v:
Ckl
> Ckl:=simpl1fy(value(CkD);
Осуществим теперь предельный переход:
> Ckl:=Linrit(Ckl.epsilon=0) :Ckl:“factor(value(CkD):
166
3. Метод Фурье
Ckl := lim
Е -> О
л (1 + 2 р 5 v
Рассмотрим второй вариант задания начальных условий — с дельта-функцией. В этом случае будем иметь формулу для коэффициентов Фурье:
> assume(epsilon>0):Ck2:-simpl1fy(value(Ck2)):
Результат, как и следовало ожидать, один и тот же!
> C:=unapply(Ck2.k):
= ,	2#^РУ2(-1)*'
л (1 + 2 к~) р S v
Итак, мы получили формальное решение задачи:
> sol:“Spr:
Это решение можно преобразовать, введя в рассмотрение массу стержня М - pSl: > subs(rho=M/l/S.op(l,sol));
sin
> solution:=Sum(2,k=l..infinity);
sin
solution :=
Таким образом, мы окончательно получили решение задачи в виде
,	. fn(2£ + l) Л .
Z	--- \ -----/vt sm
21 J
2/
4PZ w(x,O = —— X tivm k=i
Задачи с примерами решения
167
Пример 7. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R и такую, что «1г.я=/(ф). гДе:
1)	/(ф) = cos2(<p), R = 1;
2)	/(ф) =sin3(<p), 7? = 1;
3)	/(<р) = cos6(<p) + sin6(<p), R = 1;
4)	/(ф) = cos(3cp), R = 1.
Решение. Воспользуемся готовым решением задачи Дирихле для круга и реализуем решения наших задач в Maple. Для этого разработаем процедуру, реализующую известное решение рассматриваемой задачи в рядах:
>	D1richlet:=proc(f,R)
>	local a.b;
>	a :=n->l/Pi*Int(f*cos(n*phi),phi=-P1. . Pi);
>	b:=n->l/P1*Int(f*sin(n*phi),phi=-Pi.. Pi):
>	a(0)/2+
>	add(r*n/R^n*(a(n)*cos(n*phi)+b(n)*sin(n*phi)).
>	n=l..Order):
>	RETURN(map(s1mpl1fy,va1ue(£))):end proc:
Эта процедура-функция строит отрезок ряда до порядка Order или точное решение в виде сравнительно простой формулы, если это возможно.
Применим нашу программу для решения поставленных задач. Пример первый:
> f:=COS(phi)A2;R:=1;
f := cos( ф)2
R := 1
> sol :=Dirichlet(f.R):
Проверим найденное решение:
> 1 inalg[laplacian](sol.[r.phi],coords=polar):
> simpl1fy(subs(r=R,sol)-f):
Пример второй:
> f:=sin(ph1)A3:R:=1:
f := sin(<j))
R := 1
sol:=Dir1chlet(f,R);
Проверка:
> combined inalg[laplaci an] (sol.[r.phi],coords=polar)):
> simplify(subs(r=R,sol)-f);
168
3. Метод Фурье
О
О
Пример третий:
>	f:=s1n(phi)*6+cos(phi)*6:R:»1;
>	sol:’Dir1chlet(f,R);
f := sin( ф )6 + соз(ф)6
R := 1
sol
-+-r* соз(4ф)
О о
Проверка:
>	11nalg[laplacian](sol.[r.phi],coords=polar);
>	simplify(subs(r=R.sol)-f);
0
0
Пример четвертый:
>	f:=cos(3*phi):R:=1:
>	sol:=D1rlchlettf,R):
f := cos(3 ф)
Я:= 1 sol := r3 cos(3 ф)
Проверка:
>	1 Inalg[laplacian](sol,[r.phl].coords=polar);
>	slmpl1fy(subs(r=R,sol)-f);
0
0
Рассмотрим еще примеры. Зададим теперь функцию /(ф) случайным полиномом:
>	f:=randpoly(Ex.y]);R:=3;
f:= 19x/- 50/+ 88x/- 53x4y + 85x3/ + 49 x2/
Л := 3
Перейдем к полярным координатам:
>	f:=subs(x=r*cos(ph1),y=r*s1n(ph1).r*R.f):
f := 513 со&(ф) &ш(ф)2 - 1350 з1п(ф)3 + 7128 соз(ф) sin(ф)3 - 12879 со&(ф)4 sin(ф)
+ 20655 соз(ф)3 51п(ф)2 + 11907 соз(ф)2 sin(ф)3
>	sol:=Dir1chlet(f,R);
sol := r (803 соз(ф) - 336 51п(ф)) + 198 r2 sin(2 ф) - -7 г3 (841 cos( 3 ф) + 790 sin( 3 ф)) - 11 г4 sin(4 ф)
8	16
17
-	— г5 (5 cos( 5 ф) + 6 sin( 5 ф))
16
Задачи с примерами решения
169
Проверка:
>	combined Inalg[laplacian](sol,[г.phi],coords=polar));
>	combine(subs(r=R,sol)-f):
0
0
Решим еще один пример:
>	f:~phi*2+phi+l:R-1;
>	Order:=6:sol6:eD1richlet(f,R):
sol6
1 + 2 r (-2 cos(4>) + sin( ф)) + r2 (cos(2 ф) - sin(2 ф)) - - r3 (2 cos(3 ф) - 3 sin(3 ф))
+ - r4 (cos(4 ф) - 2 sin(4 ф)) - — r5 (2 cos( 5 ф) - 5 sin( 5 ф)) + - r6 (cos( 6 ф) - 3 sin( 6 ф))
Проверка:
> simpi1fy(11nalg[laplaclan](sol6.[r.phi],coords~polar));
> err6:=simplify(subs(r“R,sol6)-f):
0
Теперь посмотрим, как выглядит ошибка при удержании только шести членов ряда:
> plot([err6],phi--3..3(color^black);
Читатель может самостоятельно проверить, как уменьшается эта ошибка с удержанием большего числа членов ряда.
4 Специальные функции математической физики
Настоящая глава посвящена одному из разделов математики, знание которого представляется весьма существенным для научных работников и инженеров-исследователей, имеющих дело с математическими расчетами.
В ряде случаев, например, при пользовании методом Фурье разделения переменных в цилиндрических и сферических координатах, мы приходим к так называемым специальным функциям: цилиндрическим, сферическим и др. Специальными (или высшими трансцендентными) функциями называются все не элементарные функции. Характерная особенность этих функций состоит в том, что многие из них являются решениями уравнений с особыми точками вида
- q(x)y = О,
где коэффициент р(х) обращается в нуль в одной или нескольких точках промежутка изменения переменной х. Решения таких уравнений имеют ряд специфических свойств.
Специальные функции находят применения в широком круге задач. В этой главе мы рассмотрим основные свойства цилиндрических и сферических функций, а точнее, простейшего их класса — полиномов Лежандра. Изложение элементов теории специальных функций мы начнем с описания гамма-функции, что стало уже традиционным в учебной литературе.
Приведем примеры специальных функций:
00
Г(х) = | e~! tx'A dt — гамма-функция*, о
Ф(х) =
— интеграл вероятности*,
5sin(0
Si (х) =
— интегральный синус;
Эйлеровы интегралы
171
—• интегральный косинус;
xfcos(0 .
Ci(x) = - ----— at
_ t
К(х) =
— эллиптический интеграл первого рода;
Е(х) =
dt — эллиптический интеграл второго рода;
Цилиндрическими функциями называются решения уравнения Бесселя
Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе как функции Бесселя, и иногда это название присваивается всему классу цилиндрических функций: и(х) = Jv(x) — функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода.
Сферическими функциями называются решения уравнения
(1 -х2 )w" - 2хи' + v(v + l)u = О,
u(x) = Pv(x) — сферическая функция Лежандра первого рода.
Гипергеометрическая функция u(x) = F(a,fty,x), где a, ft у — параметры, является решением уравнения
х(1 -х)и" + [у -(а + р + 1)х]ы' - apw = 0.
Эйлеровы интегралы
Эйлеров интеграл первого рода
Так называется (по предложению Лежандра) интеграл вида
В(х,у) =	Л,	(4.1)
О
х > 0, у > 0. Он представляет функцию от двух переменных параметров х и у. функцию В — бета-функцию.
Заметим, что если одновременно х > 1, у > 1, то В(х,у) — интеграл собственный. Если же хотя бы одно из этих двух неравенств нарушается, то В(х,у) — несобственный интеграл. Покажем, что В(х,у) сходится, если одновременно х >0, у >0. Имеем
1/2	1
В(х,г/)= рх-'(1-0!'-1Л+ р-'а-гЛ' dt.
0	1/2
Рассмотрим интеграл
1/2 л = jr-'a-o*-1 dt.
о
172
4. Специальные функции математической физики
Точка t =0 — особая точка, еслих < 1:
/(£) =	(1 - ГУ‘ » “гг- *У, при t -> 0.
t
Мы знаем, что интеграл
сходится, если 1-х<1<=>х>0. Итак, Jx сходится при х > 0 и Vt/.
Рассмотрим интеграл
1
J2 =	dt.
1/2
Точка t = 1 — особая, если у < 1:
—, Vx, при t
У

Мы знаем, что интеграл
сходится, если 1-у <1 <=> у >0. Итак, J2 сходится при у > 0 и Vx.
Откуда заключаем, что В(х,у) сходится, если одновременно х > 0, у > 0. Отметим некоторые свойства бета-функции.
1. Свойство симметрии:
B(x,z/) = B(z/,x).
Доказательство. Сделаем замену t = 1 - т => -dt = dx
B(x,#) = JV ’(I-t)'-1 dx = B(z/,x). о
2. Пусть у > 1,
b(x,z/)=}(1-<у* 0
Можно записать tx = tx 1 -tx 1 (1 - f), тогда
В(х,г/) = -—-
j t"' (1 - ГУ2 dt - J t1’1 (1 - ty~x dt 0	0
= ICJ[B(x^-l)-B(r,z/)].
Итак,
Эйлеровы интегралы
173
j	4
В(х,у) = -—В(х,г/ -1)- ——В(х,г/),
или
В(х,г/) =
(г/- 1)В(х,г/-1)
X + Z/-1
(4-2)
Формула (4.2) позволяет второй аргумент бета-функции уменьшить на единицу.
По свойству симметрии можно записать
D7 х (X -1)В(Х —1,2/)	.
В(х,^) =  ---———х > 1.
x + t/-l
Пусть теперь у = п (п — натуральное), тогда
П/ X	1 D/dX
В(х,п) =--------------------------------В(х,1),
Х + И-1 Х + П-2 X + Z7-3 х + 1
но
откуда
В(х, п) =------.
х(х + 1)...(х + п -1)
Пусть далее х = т (т — натуральное), тогда
(п-1)!
т(т + 1)...(?и + п-1)
В(ллд п) -
(п -1)! (пг-1)! (т + и-1)!
3. Другое выражение для бета-функции — сделаем в (4.1) замену, приняв
dt -
2 ‘
Тогда
2

О
4. Отметим без доказательства еще одно свойство
Sin( ТЕХ )
Эйлеров интеграл второго рода
Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу
1 Доказательство можно найти, например, в книге: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1962.
174
4. Специальные функции математической физики
00
о
который сходится при любом х >0 и определяет функцию Г — гамма-функцию. Покажем, что Г(х) сходится при х > 0. В самом деле,
Г(х) = j e~ltx~{ dt - J e~ltx~x dt + e~(tx~{ dt. 0	0	I
- v---' '----v---'
J\	J 2
Рассмотрим интеграл . Точка t - 0 — особая, если % < 1,
=	=±4	£->0;
t t
интеграл
сходится, если 1 -x < 1 <=> x > 0, то есть сходится, если х > 0.
Рассмотрим интеграл J2. Для любого х
f(t) = е 11х 1 - —--> 0, t +ОО.
е1
Это означает, что существует число b такое, что для t > b будет, например,
Можно считать, что это справедливо для b > 1 , а тогда для t > b
Мы знаем, что
(й>1)
сходится, следовательно, J2 сходится для любого х, а тогда Г(х) сходится при х >0.
Рассмотрим выражение хГ(х):
Итак,
Эйлеровы интегралы
175
х Г(х) = Г(х + 1).	(4.3)
Применяя формулу (4.3) повторно, получим I1
Г(х + п) = Г((х + п -1)+ 1) = (х + п - 1)Г(х + п -1) =
= (х + п - 1)(х + п -2)- • • (х + 1)х Г(х),
в частности, при х = 1, будем иметь
Г(п + 1) - п(п - 1)(п-2).2	• 1 • Г(1),
но
00
Г(1)= \e~‘dt =	= 1,
о
потому
Г(п+ 1) = п\.
(4.4)
Справедливо следующее соотношение, связывающее между собой функции Г и В:
Г(х + у)
Отсюда, в частности, получаем, если 0<х<1,г/ = 1- х
т>/ 4 ч л Г(х)Г(1-х)
В(х,1 -х) =--------=	------ =>
sin(Tix) Г(1)
Г(х)Г(1-х) = —-—. sin(jix)
На рис. 4.1 приведен график гамма-функции, построенный в Maple:
>	pl:-plots[textplot]([1.10.'Г(х)'].aligne{ABOVE,RIGHT}):
>	p2:»plot(GAMMA(x),x=-5.,5.y=-10.. 10,color^blacx,
>	labels«['x'xtlckmarks=5.ytlckmarks=4):
>	plots[display]({pl.p2}):
(4.5)
(4.6)
Рис. 4.1. Гамма-функция
176
4. Специальные функции математической физики
Эйлеровы интегралы первого и второго рода определяются и для комплексных значений аргументов. В случае комплексных % и у интеграл (4.1) сходится, когда Re(x) >0 и Re(z/) >0.
Гамма-функция — одна из важнейших трансцендентных функций математического анализа, распространяющая понятие факториала z! = 1-2-3.z на случай
комплексных значений z. Знание ее свойств необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических.
Под гамма-функцией (или эйлеровым интегралом второго рода) понимается значение интеграла
r(z) = J е-‘	dt	(4.7)
о
для всех комплексных значений z, для которых Re(z) >0 или его аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость за исключением точек z = 0, -1, -2, -3, ..., -оо. Эти точки, в которых функция не определена, называются особыми точками. Можно показать, что гамма-функция (4.7) является регулярной функцией от z в полуплоскости Re(z) > 0. Кроме перечисленных свойств гамма-функ-. ции, отметим еще следующие:
1-3--(2«-1)
(4.8)
« = 0,1,2,...,
Г(-я) = оо, п =0,1,2,.,.,оо.
С гамма-функцией тесно связана еще одна специальная функция — пси-функция или логарифмическая производная гамма-функции:
Ч>(2) =
Г'(2)
Г(2)
= 11П[Г(2)], dz
Т(1) = Г'(1) = -7,
у =0,5772...,
где у — постоянная Эйлера—Маскерони
Интеграл вероятности
Интегралом вероятности Ф(г) называется функция, которая для любых комплексных z определяется равенством
(4.9)
где интегрирование производится по произвольному пути, соединяющему начало координат с точкой t = z. Так как подынтегральное выражение является целой функцией комплексного переменного Г, вид пути интегрирования не играет роли,
Интеграл вероятности
177
и можно считать, что интегрирование производится вдоль отрезка прямой, соединяющей точки t = 0 и t = z. В таком случае, как известно1, Ф(и) представляет целую функцию, которая может быть разложена в степенной ряд, сходящийся при любых значениях переменного z. Для того, чтобы получить это разложение, достаточно подставить в (4.9) соответствующий ряд для экспоненты и проинтегрировать его почленно. Мы получим тогда
ф(г) 2	2
*1 yRhk\(2k + l)
(4.Ю)
так как процесс интегрирования степенного ряда является законным.
Из формулы (4.10) видно, что Ф(г) — нечетная функция otz.
Интеграл вероятности не может быть выражен через элементарные функции, однако его производная — элементарная функция
, z х 2	,2
Ф'(г) = — е .
В частности, при вещественных значениях аргумента z-x функция Ф(х) представляет собой вещественную монотонно возрастающую функцию, так как
2	2
Ф'(х) - —= е х > 0, х е (-оо, +оо).
V7C
Значение функции при нуле Ф(0) = 0, а при возрастании х быстро приближается к предельному значению Ф(оо) = 1, ибо
оо	/
О
Разница между Ф(х) и этим предельным значением может быть представлена в форме
1 - Ф(х) = J е-‘2 dt - A f е"2 dt = f <г'2 dt, X 7^0 ylTlQ	Vni
0.
(4Л1)
Получим асимптотическую формулу. Для этого воспользуемся формулой (4.11) и преобразуем входящий в нее интеграл с помощью интегрирования по частям. Мы находим последовательно
взятый по произвольному пути, принадлежащему односвязной
Z
Интеграл (p(z) = J
а
области, в которой f(t) регулярна, есть регулярная функция в этой области. См., например, Смирнов В, И.. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2. — М.: Гостехиздат, 1956.
178
4. Специальные функции математической физики
где
Оценим г(х).
2	2	2
2 °? е~1	?	ех	х
r(x) < хех	—— dt = —-— dt (t > х) <
J t	J t
X L	X	b
Таким образом, будем иметь
r(x)
Следовательно, можно записать
1 —Ф(х) =
х —> +00.
График функции Ф(х) изображен на рис. 4.2, построенном в Maple:
> pl:=plots[textplot]([0.1.1.'Ф(х)'].align«{ABOVE,RIGHT}):
>	p2: =
> plots[textplot](L3.95.0.05.'x'Lal1gn={ABOVE,RIGHT}):
>	p3: =
>	plot(erf(x) ,x=-4. .4,color=black,labels=L" , "L
>	xt1ckmarks=5.ytickmarks=8):
>	plots[display]((pl.p2,p3}):
Рис. 4.2. Интеграл вероятности
Интеграл вероятности встречается в различных разделах прикладной математики, в частности, в теории вероятностей и теории ошибок, в математической теории теплопроводности и в других разделах математической физики.
Функция Бесселя
179
Функция Бесселя
Многие задачи приводят к необходимости решать уравнение вида
(4.12)
К такому уравнению мы придем, например, при решении задач методом разделения переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными) координатами (задача о колебании круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.).
Уравнение (4.12) называется уравнением Бесселя. Решения этого уравнения, не равные тождественно нулю, называются цилиндрическими (или бесселевыми) функциями. Здесь z — комплексное переменное, v — некоторый параметр, вообще говоря, комплексный.
Один класс цилиндрических функций мы построим следующим образом. Будем искать решение уравнения (4.12) в виде обобщенного степенного ряда
и = z°(aQ + a{z + a2z2 + ...),	(4.13)
где aQ ф 0. Тогда
zu’ - г°[аост+ (а+ l)z + а2(ст + 2)z2 + ...], z2u" = zCT[a0a(o-l) + ах (ст+ 1)qz + а2(с + 1)(а + 2)z2 +...]. Перепишем уравнение (4.12) в виде
z2u" + zu’ +(z2 -v2 )и =0;	(4.14)
подставим значения u, zu', и z2u'' в уравнение (4.14) и соберем члены с одинаковыми степенями z.
zCT[a0o2 -яоу21 + 2°+l IA(a+ I)2 -atv2 ] + zo+2[a2(<j + 2)2 -a2v2 +а0]+...
... +za+n [ал(ст +n)2-a„v2 + а0_2 ] + ... = 0.
Чтобы ряд (4.13) был решением уравнения (4.14), необходимо выполнение равенств
я0[ст2 -v2]=0;
ах [(о + I)2 -v2]=0;
а2[(о + 2)2 -v2] + u0 =0,
а„ [(ст + п)2 -v2] + a„_2 =0;
Из первого равенства находим а = ±v, так как а0 0. Возьмем а = v. Тогда из второго равенства находим а{ = 0. Далее,
180
4. Специальные функции математической физики
п
л-2_____
\2	. .2
п-2
Очевидно а2А+1 = 0 для всех целых неотрицательных k, а
a2k “
a2k-2
О
Полагая
о
и используя формулы (4.3) и (4.4), получим
(-1/
2* 2W+V Г(£ + 1)Г(4 + v + 1)
Таким образом, мы построили одно формальное решение уравнения (4.12) в виде обобщенного степенного ряда
и = и
(4.15)
где z — комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом (-оо, 0): z| < оо, | argz| < л; v — параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения. Ограничение, наложенное на z, необходимо для однозначности функции zv и может быть отброшено, если v — целое число.
Докажем, что ряд (4.15) сходится. Обозначим общий член этого ряда
Будем иметь
^4+1
х24+2+v
&!Г(& + у+ 1)
(& + 1)! Г(& + v + 2)
(Aj + 1)(A> + v+1)
(4.16)
lim
4^00
(fc + l)(4 + v + l)
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд (4.15) сходится при любых конечных z.
Функция Бесселя
181
В плоскости с разрезом (-оо, 0) каждый член ряда (4.15) — однозначная и регулярная функция комплексного переменного z. Данный ряд сходится при любых z и v, причем в области |z| < 7? и |v| < W (7?, ЛГ — произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных. Действительно, начиная с достаточно большого k, отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное на основании (4.16) величине
uk
4(£ + 1)(£ + 1-Л9’
не будет превосходить некоторой правильной положительной дроби q, не зависящей от z и V. Отсюда, согласно известному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной области1.
Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом (-оо,0), то сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного z, регулярную в рассматриваемой области. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом v и обозначается символом Jv(z). Таким образом,
Jv(*) = X
jt=O
k! Г(* + v + 1)’
z < оо, argz < тс,
(4.17)
Покажем, что этот ряд в его области сходимости является фактическим решени-п
ем уравнения (4.12). Имеем
00
ьо
&!Г(£ + у+ 1)’
z \ 26+v-l
я (-1/(2* + v) |
м' = У----------------------
*!f(* + v + l)
1	<Ю
Функциональный ряд ^uk(z) сходится равномерно в некоторой области, если для всяко-го z, принадлежащего этой области и k > т, выполняется неравенство
где q не зависит от z.
2 Равномерно сходящийся ряд регулярных функций можно дифференцировать почленно.
182
4. Специальные функции математической физики
00
4=0
Умножаем функцию и на 1 —- , функцию и' — на - функцию и” — на 1 и скла-&	л*
дываем, получим
Ци) = и" + -и + 1—- и = м	а
СО
24+V-2
Jt=O
00
k _2А+v
Далее имеем
Тогда
00
24+V-2
оо
k 24+v
00
4=1
(4=1)
2i+v-2
k 24+v
24+V-2
4 _24+v-2
00
4 _ 24+ v
00
4 _24+v
sO.
4=0
Функция Вебера
По определению, цилиндрическая функция есть произвольное решение дифференциального уравнения второго порядка (4.12), поэтому общее ее выражение содержится в формуле
и = Zv(z) = C>1(z) + C2u2(z),
гден1 им2 — какие-нибудь линейно независимые решения уравнения (4.12), Cj и С2 — постоянные, являющиеся, вообще говоря, произвольными функциями параметра v. Легко получить общее выражение цилиндрической функции для случая, когда v отлично от целого числа. Действительно, для того чтобы записать общий интеграл уравнения (4.12), необходимо получить второе линейно независимое решение. Поскольку уравнение (4.12) не меняется при замене v на -v, то функция J_v(z) также является решением уравнения (4.12), то есть второе решение может быть записано так:
Функция Вебера
183
и2
(4Л8)
Рассмотрим поведение функций (4.17) и (4.18) в окрестности начала координат. Если v не равно целому числу, асимптотическое поведение рассматриваемых решений при z —> 0 будет
(4.19)
J_v(z)«—, |z|^0.
J vV Ц-v + l)
(4.20)
Эти формулы верны для всех v за исключением тех значений v, когда знаменатель обращается в бесконечность, то есть v * -1,-2,-3,... для (4.19) и v * 1,2,3,... для (4.20). Таким образом, при v * ± 1, ±2, ± 3,... справедливы обе формулы. Далее,
А». £ -
J..W Uj r(v+l)
Таким образом, функции (4.17) и (4.18) будут линейно независимы, если v * 0,± 1,±2,± 3,..., то есть общее выражение цилиндрической функции при условии, что v *0,±1,±2,±3,..., будет таким:
w =4Jv(z) + 5J-v(z).
(4.21)
Рассмотрим теперь случай, когда v = п (и = 0, 1, 2, ...,). В этом случае
ОО
А» О
оо, п = 0,1,2
(4.22)
Функция (4.22) регулярна на всей плоскости без разреза. Это целая функция. Далее
поскольку Г(& -п + 1) = оо для всех k = 0,1,2,...,п-1. В последней сумме произведем замену переменной суммирования & = s + п. Получим
= (“i)nL(4
184
4. Специальные функции математической физики
Таким образом, бесселевы функции с целым индексом линейно зависимы
J_n(z) = (-l)”Jn(z), и =0, ±1, ±2,...
Поэтому выражение (4.21) не является общим интегралом уравнения (4.12) в этом случае. Следовательно, для целых п надо построить еще одно решение уравнения (4.12).
Будем предполагать, что v не является целым. Введем в рассмотрение функцию Бесселя второго рода Yv(z), которую для произвольных z, принадлежащих плоскости с разрезом (-оо, 0), определим выражением
и =и3
Jv(z)cos(v7t)-J v(z) sin(vji)
z| < оо, | arg z| < л.
(4.23)
Это выражение для v не целого — цилиндрическая функция, линейно независимая с функцией Бесселя (4.17). Функция (4.23) — цилиндрическая функция второго рода или функция Вебера. В некоторых работах, посвященных теории функций Бесселя, для обозначения этой функции вместо Yv(z) используется символ Nv(z), а сама функция называется функцией Неймана.
При v, равном целому числу, правая часть рассматриваемого выражения (4.23) приобретает неопределенный вид, и мы условимся понимать под значением функции в этом случае предел
Y„(z) = limYv(z). v-*rt
Так как числитель и знаменатель в (4.23) — целые функции v, то рассматриваемый предел существует и может быть вычислен по правилу Лопиталя, применение которого дает
(4.24)
Из определения функции Yv(z) следует, что эта функция регулярна в плоскости с разрезом (-оо, 0), а при фиксированном z представляет собой целую функцию параметра v. Выражение (4.23) удовлетворяет уравнению Бесселя. Докажем, что функция Yn(z) удовлетворяет уравнению Бесселя. Имеем
Продифференцируем каждое из этих тождеств по v. Получим
Представление функции Вебера в виде ряда
185
Умножим теперь первое соотношение на 1, а второе — на (-1)” и вычтем одно из другого. Получим
{ dv J { dv J z
Разделим теперь последнее соотношение на л и перейдем к пределу при v -> п. Получим
I(Y„)B0,
это и доказывает, что функция Y„(z) — решение уравнения (4.12).
Решения их = Jv(z) и м3 = Yv(z) линейно независимы между собой. Для v 0, ± 1, ±2, ±3,... этот результат является следствием линейной независимости решений Jv(z)и J_v(z). Линейная независимость для v = п (и = 0, 1,2, ...) вытекает из сопоставления поведения рассматриваемых функций при z —> 0.
Таким образом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях v, будет
u =Zv(z) = C1Jv(z) + C2Yv(z).
Введем в рассмотрение еще две новые функции
«д =jv(z)+»yv(4
«5 = H<v2> = Jv(z)-iYv(z).
Это — цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкеля). Очевидно, эти функции линейно независимы с функцией первого рода и между собой. Они определены для |z| < оо, | argz| < л . Все цилиндрические функции при фиксированном z есть целые функции параметра v.
Представление функции Вебера в виде ряда
Ряд для функции Вебера Yv(z), где v — не целое, получается непосредственно из формул (4.17), (4.18) и (4.23). Для того чтобы получить разложение в ряд функции Y„(z), достаточно воспользоваться формулой (4.24) и вычислить производные по значку v, исходя из разложения (4.17), причем ввиду соотношения
Y„(z) = (-l)”Y„(z), и=0, 1,2,...,
являющегося следствием (4.24), можно ограничиться рассмотрением случая целых положительных п = 0, 1, 2, ...
Так как ряд (4.17) сходится равномерно по отношению к v, мы можем дифферен-
цировать его почленно1, получая
1 Переход к пределу при v —> п под знаком суммы законен, так как ряд, полученный почленным дифференцированием равномерно сходящегося ряда регулярных функций, сходится равномерно.
186
4. Специальные функции математической физики
ajy(z)
In— -y(k + п + 1) ,
где \|/(z) — логарифмическая производная гамма-функции. Аналогично имеем
dv
О)
k=o
fe!T(fe-v + l)
— In — + y(k -v + 1)
При k - ОД2, ...,n -1 и v -> n r(k -v +1) —> oo, y(k -v + 1) -> оо, поэтому первые n членов ряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись формулами (4.4), (4.6), получим для таких k
lim-------= <	1
— Г^-v + l) 1^—
k =0,1, ...» n — 1;
k - n, n+ 1, ...,oo.
Имеем далее
Г(г)Г(1-г) = —
Sin(7U)
f(z)sin(nz)
= — [r'(z)sin(nz)+ ncos(nz)f(z)]
—— = -[r'(z)sin(7cz)+ n cos (xz)r(z)].
Будем здесь предполагать, что k =0,1, 2,..., п -1, z-n-k. Тогда из последней формулы получаем
—V +— =i[r'(n-£)sin(7t(n~&))+ 7tCOS(7t(n-£))r(n-£)] =
«о
= (-1)я'*(п-А-1)!
Таким образом,

v|/(£- n+ 1)
Г(£-п + 1)’
v“*n V(k -v + 1)
k =0, 1, 2,..., n -1;
k = n, П + 1,..., 00.
Тогда
rdJ vO)l
(-!)"-*(«-l)!(-l)7z
k=n
v=n
k=0
k\(k-n)\
In- - y(k -n + 1)
Представление функции Вебера в виде ряда
187
или
8J-Az)
k \(k + и)!

Таким образом, можно записать (согласно (4.24))
2 In- - у(& + п + 1) - \\f(k + 1) ,
(4-25)
причем |z| < оо, | argz| < л, п = О, 1, 2,...
-1
Если принять во внимание, что £ = 0, то окончательный результат верен и для k=0
п = 0. Можно также записать
Л fc=o
[\|/(& + п+ 1)+ y(k + 1)],
Полученный результат показывает, что функция Вебера есть регулярная функция в плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Далее, Yn(z)ecTb решение, линейно независимое от решения J„(z).
Из (4.25) вытекает, что при z —> 0 справедливы асимптотические формулы
показывающие, что Yn(z) —> оо, когда z —> 0.
Отметим также формулы
> • • *
Следовательно, функция J„(z) ограничена, когда z 0.
Асимптотическое поведение функций Ханкеля при z -> 0 такое:
Н<‘>(г) « iYn(z), Н<2)(г) «-iYn(2), п = 0,1,2,...
Z~>0	Z-4U
Таким образом, ограниченной при z —> 0 остается только функция Бесселя первого рода.
188
4. Специальные функции математической физики
Рекуррентные формулы для функций Бесселя
Будем исходить из представления (4.17)
Z \2Л+У
(-!)*[-
*=о к !Г(Л + v + 1)
z < оо,
arg z < 7L
Умножим это равенство Hazv и продифференцируем noz, получим
- zv I (z) = - У	= у (~1)*2(Аг+ V)z2*-2v~1
dz v dzM22k+vk\r(k + v + i) h 22k+v kW(k+ v + i)
(-i)kz2k+v-'(k + v)
Ш!22Ь,-‘ Г(£ + у + 1)
k=0

Таким образом,
42''Jv(2) = 2''L-,(2).	(4.26)
dz
Аналогично получаем
-^-2-vJv(z) = -z-vJv+1(z).	(4.27)
dz
Продифференцировав в левых частях (4.26) и (4.27), получим
2" -7- J v (2> + v2' J * (2) = 2 v J V-I (2).	(4.28)
dz
z-v Jv(z) -vz^'Jv(z) = -z-vJv+1 (z).	(4.29)
dz
Откуда
"V” J v (2) + ~ J v (2)= J v-i (2)>	(4.30)
dz z
^Jv(2)--Jv(2) = -Jv+i(2).	(4.31)
dz z
Складывая и вычитая равенства (4.30) и (4.31), получим
24Jv(2) = Jv-1(2)-Jv+1(2).	(4.32)
dz
-Jv(2) = Jv-.(2) + Jv+1(2).	(4.33)
z
Функции Бесселя второго и третьего рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и функции первого рода, то есть соотношениям (4.26)-(4.33). При v, отличном от целого числа, справедливость этих формул для функций Бесселя второго рода (функций Вебера) вытекает из определения функции Вебера и соответствующих формул для функций первого рода. Для целого v требуемый
Интегральные представления для цилиндрических функций
189
результат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к индексу v, что позволяет осуществить в соотношениях (4.26)-(4.33) предельный переход при v —> п. Отметим еще формулы
hvJv(z) = z''-'"Jv_„,(z),

(4.34)
(4.35)
Формулы (4.34) и (4.35) получаются путем повторного применения равенств (4.26) и (4.27). Приняв v =0 из (4.32), (4.33), получим
4Jo(^) = J.1(2),J_1(z) = -J1(z).
dz
Интегральные представления
для цилиндрических функций
Цилиндрические функции допускают простые интегральные представления, которые бывают двух типов: интегралы по некоторому отрезку (определенные интегралы) и контурные интегралы. Контурные интегралы удобнее, требуют меньше ограничений, но они более сложны. Определенные интегралы наиболее часто встречаются в приложениях, поэтому мы ограничимся рассмотрением формул этого типа.
Одно из наиболее простых интегральных представлений для функций Бесселя принадлежит Пуассону. Будем исходить из формул (4.1) и (4.5)
1
B(x,z/) = tx~l (l-t)y~l dt, o’ .	Г(х)Г(г/)
r(x + z/)
Возьмем в этих формулахх = k + 1/2, у = v + 1/2. Тогда
k =0,1, 2,..., оо; Re(v)
Делаем замену s = t2 => ds = 2tdt, тогда
2j^/f-1(l-^)V ^tdt-0
r(£ + v + 1)
Откуда
1
r(fc + v + l)
-t2) 2 dt.
190
4. Специальные функции математической физики
Теперь можно записать
Меняем порядок суммирования и интегрирования, тогда
(4.36)
Воспользуемся формулой (4.8), в которой примем z = k + 1/2. Тогда
22* rfk +	r(k +1) = Vn Г(2& + 1)
или
22irhi>!=^)!-
Тогда из (4.36) находим
Окончательно получаем
1
V----
я, Re(v)
(4.37)
о
Так как подынтегральная функция четная, то формулу (4.37) можно переписать в виде
cos (zt)dt,
argz
< л, Re(v) > -1
(4.38)
Интегральные представления для цилиндрических функций
191
Применяя к формуле (4.38) подстановку t = cos (6), dt = -sin(O)б/0, при которой (1 -t2 ) 2 = sin2v(0)/sin(0) и 0 = л при t = -1; 0 = 0 при t = 1, получаем
Jv(*) =
j sin2 v (0 ) cos (z cos 0 ) dt, 0 z
л, Re(v)
(4.39)
Формула (4.38) или равносильная ей формула (4.39) — интегральное представление Пуассона.
Отметим еще основные интегральные представления для функций Ханкеля
H<'*(z) = — Te'“h(t)-V‘A, Imz>0,
(4.40)
H<2)(z) = -
111
vru
T
f -izch (i)-vr
v — любое.
Примеры использования интегрального представления Пуассона
Примем в (4.37) v = 0, z = х — вещественное число. Тогда
О 1	-1
J0(x) = — J(1 -t2 ) 2 cos(xt)dt, -oo<%<oo.	(4.41)
л 0
Отсюда, в частности, следует
Таким образом, для вещественных значений х
JoCO^l.
Примем теперь v = п + 1/2, п = 0,1, 2,... Тогда
J .(г) = л+ —
2
1
|(1 -t2 У cos(zt)dt. о
Отсюда следует, что функции Бесселя с положительным половинным индексом выражаются через элементарные функции. Но зная функции Бесселя с положительным половинным индексом, с помощью рекуррентных соотношений легко получить и функции с отрицательным половинным индексом. Например,
192
4. Специальные функции математической физики
Таким образом,
sin(z).
В качестве упражнения предлагаем самостоятельно получить формулы
cos (z),
Лиувиллем доказано, что случай полуцелого индекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся к элементарным.
В качестве еще одного примера применения интегрального представления для цилиндрических функций рассмотрим вычисление интеграла
/ = je	а>0, Ь>0.
о
(4.42)
Для этого воспользуемся формулой (4.41) и в интеграле сделаем замену t = sin<p. Будем иметь
2
Jo(x) = ~ [cos(xsm((p))d<p.
71 0
Тогда интеграл (4.42) примет вид
оо	2 ^2	2 ^2 оо
I = jе'™ dx — jcos(fcrsin((p))(i(p = — J<Zq>Jeax cos(6xsin(<p))<Zr.
0	71 0	71 о	0
Воспользуемся известной формулой
fcos(bx}dx = ——a>0, b>0. a + b
Тогда
_ 2a V dtp _ 2a _________________1________dtp _
я Jo a2 + b2 sin2(cp) я ° a2 + ^2sin2((p)
sin2(cp)
(делаем замену ctg ср = t)
Асимптотические представления цилиндрических функций
193
2а г dt = 2 °? d(at) п • а2 + Ь2 + a2t2 л | а2 + b2 + (at)2
Итак,
Je^j^bxjdx
О
Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента
р
Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях г и фиксированном значении индекса v. Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции. Более точные выражения можно получить исходя из интегральных представлений. Мы здесь не будем рассматривать строгий вывод асимптотических представлений, а ограничимся следующими интуитивными соображениями.
Рассмотрим уравнение Бесселя (4.12)
Сделаем подстановку
Уравнение Бесселя примет вид
w

(4.43)
Если v ограничено, z|->oo, то вместо уравнения (4.43) можно рассматривать
уравнение
w” + W = 0.
Откуда
is) = Acos(z) + Bsin(z) = Cen + De tz =>
Xcos(z) + Bsin(z) _ Celz + De u
194
4. Специальные функции математической физики
Коэффициенты А, В, С, D зависят от индекса v, а также от вида рассматриваемой цилиндрической функции.
Можно получить следующие асимптотические формулы [15]:
H(v1)(z) =
при этом |z| —> оо, | argz| < л-5, v ограничено.
Из определения функций Ханкеля следует
Ht’>(z) + H<2)(z)	. Н^(г)-Н‘2)(г)
------’ Vv(z) =---------------------
Тогда
cos
Yv(z)= f^sinfz-(2v+l)^+0|-!-
V 7U V	4J Uz *
(4.44)
(4.45)
Таким образом, если функции Ханкеля на бесконечности-имеют экспоненциальный характер, то функции Jv(z)и Yv(z) на бесконечности описываются формулами (4.44) и (4.45). В частности, для вещественных z = х и v = О
Далее Jt (х) = -J'0(x), следовательно, нули функции (х) совпадают с экстремумами функции J0(x). Отсюда, в частности, вытекает, что уравнение Jo(x) = O имеет бесчисленное множество корней. На рис. 4.3 представлены графики Бесселевых функций, полученные в Maple.
>	рО: =
>	plots[textplot]([l.l.'J[0](x)al1gn-{AB0VE.RIGHT}):
>	pl:-
>	plots[textplot]([5.1.'J[l](x).'].align-{AB0VE.RIGHT}):
>	p:-plots[textplot]([23.5.0.05.V].align-{ABOVE.RIGHT}):
>	ppO:«
>	plot(BesselJ(0.x),x=-4..25,color-black.labels-[" .''].
>	tlckmarks-ClO.10].legend='J[O](x)'):
>	ppi:=plot(BesselJ(l,x),x«-4..25,color=blне.11nestyle-4,
>	labels«[“.''],tlckmarks-[10.10].legend-'J[l](x)'):
>	plotsEdlsplay]({p.pO.pl.ppO.ppl});
Модифицированные цилиндрические функции
195
Рис. 4.3. Бесселевы функции J0(x), J^x)
На рис. 4.4 представлена поверхность z = /(x,v) = Jv(x), которая показывает, как изменяются функции Jv(x), если непрерывно изменять переменные х и v.
> plot3d(BesselJ(nu,x).nu-O..150.x-0..25,numpo1nts~1200);
25 10
Рис. 4.4. Поверхность z = f(xt v) = Jv(x)
Для v = 0 функция Jo(x) равна единице при х =0. Это единственная функция Бесселя, имеющая при х =0 конечное значение, не равное нулю. Для v >0 все функции Jv(x) равны нулю при х = 0.
Модифицированные цилиндрические функции
Рассмотрим уравнение
V
и" +—и'—
и = 0, 0 < х < оо.
(4.46)
196
4. Специальные функции математической физики
Сделаем замену переменной z - ix, тогда du
du . — i dz
a и .2 dz^1
и уравнение (4.46) примет вид
1 du
и =0.
Таким образом, мы пришли к уравнению Бесселя. Откуда f . л
M=AJv(z) + BH*l)(z) = AJv хе'*
1—
xe 2
(4.47)
Таким образом, уравнение (4.46) интегрируется через цилиндрические функции мнимого аргумента. Однако пользоваться решением в форме (4.47) неудобно, так как при вещественному функция (4.47) является комплексной.
Вводятся в рассмотрение функции
. TTV Iv(x) = /'TJv
Г—
2
(4.48)
•	. RV
'т
xe 2
(4.49)
и
2

J
V
т
которые называются модифицированными цилиндрическими функциями', функция (4.49) называется функцией Макдональда. Общее решение уравнения (4.46) теперь может быть записано в виде
u(x) = AIy(x) + BKv(x)>
Рассмотрим вкратце теорию этих функций.
Из формул (4.17) и (4.48) следует
00
Таким образом, Iv(x) вещественно, когда х > 0, v вещественно. Получим вспомогательную формулу (будем пока считать, чтоу * 0, ± 1, ±2,...)
„(1) Z.4 _ т , -ЛЛ /.ч __ т Z.X . • JvG)cOS(yn)-J v(z) =
sin (у л)
ГУЛ
V
fvn
ivn
- ie 2
sin (ул)
Следовательно,
jvn
Kv(z) = -eTie~ -—
sin (ул)
2sin(vTi)
2 ;

Модифицированные цилиндрические функции
197
Итак,
к z,x . n[I-v(*)-!*(*)]
2sin(v7i)
(4.50)
причем 0 < х < оо, v * 0, ± 1, ± 2,...
Отсюда следует, что Kv(x) вещественно, если v вещественно. Покажем, что (4.50) приобретает неопределенный вид, если v стремится к целому числу. Действительно,
имеем
Таким образом,
1_л(х) = 1„(х), и=0, 1,2,...,
и следовательно, формула (4.50) обращается в неопределенность при целом индексе V.
Доопределим функцию Макдональда для целых индексов по формуле
К„(х) = limKv(x) = v->n
dl-y(x) dv
aiv(x)
, n = 0,l,2,...
v=n
v-н
Из формулы (4.50) следует
K_v(x) = Kv(x),
то есть функция Макдональда есть четная функция индекса v.
Для модифицированных цилиндрических функций существуют интегральные представления, аналогичные представлениям цилиндрических функций. Так, например, исходя из формулы (4.37)
(zt)dt, |argz|< я, Re(v)
находим
или
cos(ixt)^,
IVU) =
(1 -£2 ) 2 ch(xt)rft. «
о
Из формулы (4.40)
198
4. Специальные функции математической физики
находим
vni 9	+00
Л1 ~
mv
• iTtv 2 +oo
— eT -— f dt =
2 ш „
+00
Г -Avh (()-vt
“h (,) ch(vi) dt, x>0,
-vt
-00	0
так как e~vt = ch(v£)—sh(vO- Таким образом,
-xch(O-v^ =
' e'x chtyt) dt, ,r>0, 0
v — любое.
Отметим рекуррентные формулы, которые легко получаются из формул (4.32) и (4.33),
dlv(x)
— Iv(*) = Iv-i (*)-Iv+i(*)-
Аналогично
</Kv(x)
Отметим также асимптотические формулы

, x—> 0; limKv(x) = oo,
поэтому функция Iv(х) ограничена при v > 0;
Iv(x) = -==, Kv(x) = V27LX
, X -> 00.
На рис. 4.5 приведены графики функций К0(х) и 10(х), полученные в Maple.
>	qO: =
plots[textplot]([0.2.5.5.'К[О](х).al1gn-{AB0VE.RIGHT}):
>	ql:*
plots[textplot]([0.7.5.5/I[0](x)/].align»{AB0VE.RIGHT}):
>	p:=plots[textplot]([2.9.0.3.'x'].aligr>{ABOVE.RIGHT}):
>	qqO:=
>	plot(BesselK(O.x),x=0..3.color=black.labels=[" ."].
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями
199
> tickmarks-[5.5]. legend='K[O](x)'):
> qql.-
> plot(Bessel I(0.х).х-0..3.color=black.11nesty1e=3.
> labelS“[" . "] ,tickmarks=[5.5].legend-'I[0](x)'):
> plots[display]({p.q0.ql.qqO,qql});
Рис. 4.5. Модифицированные цилиндрические функции
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями
Рассмотрим следующую задачу на собственные значения
d dr
+ XrR = 0, 0 < г < а,
(4.51)
/г г=0 = 0(1), 7?г=в=0,
(4.52)
либо
R г=о = 0(1),
(4.53)
Чтобы записать общий интеграл уравнения (4.51), сделаем замену переменной
х -л[кг=>
dR
Уравнение (4.51) примет вид
d2R \dR „ л
— +--------+ 7? = 0
dx2 х dx
(4.54)
Уравнение (4.54) — уравнение Бесселя нулевого порядка (v = 0). Общий интеграл этого уравнения имеет вид
R = AJ0(%) + BY0(x), следовательно, общий интеграл уравнения (4.51) будет иметь вид
200
4. Специальные функции математической физики
^r) = XJ0(VXr) + BY0(VXr),
Мы знаем, что
lim J0(VXr) = 1, limY0(VXr) = 00, г—>0	г—>0
следовательно, в силу ограниченности функции в нуле, В = 0.
Таким образом, для условий первого рода будем иметь
Jo(JIa) = O(A*O),	(4.55)
а для условий третьего рода
М 0 (VXa) - Vxaj J (Via) = О (Л # 0).	(4.56)
Докажем, что полученные уравнения (4.55) и (4.56) имеют бесчисленное множество решений. Будем считать, что X вещественное и X —> оо. Воспользуемся асимптотическими формулами
Jv(x)
Тогда в случае условий первого рода
Видим, что при достаточно больших X функция J0(VXa) имеет колебательный характер, и, следовательно, она бесконечное число раз обращается в нуль, то есть имеет бесконечное число корней.
В случае условий третьего рода будем иметь
A«J0(VXd)-VXaJi(VXa) = ha I—— cos
V мка
Видим, что и в этом случае при достаточно больших X рассматриваемая функция имеет колебательный характер, то есть имеет бесконечное число корней.
Покажем, что все собственные значения вещественны. Предположим, что X = о + и — собственное значение и ему отвечает собственная функция R = А + iB. Тогда вследствие вещественности функций и констант, входящих в дифференциальное уравнение (4.51) и граничные условия (4.52) и (4.53), существует собственное значение X = о - п, которому отвечает собственная функция R = A- iB. Можно записать
(гЯ')' + Хг/? = 0, (rRry + IrR =0.
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями
201
Первое соотношение умножим на R, а второе — на R и вычтем одно из другого, получим
R(rR')' - R(rR')f + (X -X)rRR = 0.
Учитывая легко проверяемое соотношение
R(rR')' -R(rR')’ = — [r(RR -RR')], dr
будем иметь
— [r(RR' - RR')] + (X-k)rRR =0. dr
Проинтегрировав последнее соотношение на [0, а], получим
[r(RR' - RR')К:“ + (X - X)J rRRdr = 0. о
Внеинтегральный член равен нулю, следовательно,
(X- X)]rRRdr = 0 => 2ix[r(A2 + В2 )dr =0 => т = 0. о	о
Следовательно, X = ст — вещественное число.
Докажем теперь, что все собственные значения неотрицательны. Допустим, что X = ст — собственное значение, причем ст < 0. Тогда для условий первого рода будем иметь
J 0 (Via) = J 0 (1‘7ы а) = 10 (у[\ё\а).
Последнее выражение заведомо положительно, так как
Z X 2*
> о.
" ' ' /L |\2 fc=o (я!)
Следовательно, JQ(i4\a\a) * Q и отрицательных собственных значений быть не может.
В случае условий третьего рода будем иметь
AaJ0(Vx^)-VXaJi (VXa) = Aalo(д/foja) 4- (л/Ыа) >
так как
z х 2Ы л(х)=5-^— >о. ’	йа!(* + 1)!
Следовательно, отрицательных собственных значений не существует.
Покажем, наконец, что спектр задачи дискретный. Это вытекает из того, что функции, стоящие в левых частях уравнений (4.55) и (4.56), есть целые функции от X. Эти функции не равны нулю тождественно, следовательно, их нули — изолированные точки. Таким образом, спектр задачи дискретный.
202
4. Специальные функции математической физики
Удобно принять в уравнениях (4.55) и (4.56) -fka = у, тогда будем иметь для условий первого рода
Jo(Y) = O-
а для условий третьего рода
Ио (y) - yJi (у) = 0.
(4.57)
(4.58)
Так как X > 0, то у — вещественные; это позволяет находить корни уравнений (4.57) и (4.58) графически. Пусть ун у2, у3, ..., уп, ... — положительные корни уравнений (4.57) или (4.58), тогда собственные значения будут
(4.59)
а собственные функции будут иметь вид
Л1(О = Jo У1 -
W = Jo у„-
(4.60)
» - • • J
Рассмотрим отдельно случай X = 0. В этом случае уравнение имеет вид
Откуда
R = А + В In г.
В случае условий первого и третьего рода, как легко видеть, будем иметь А = О, В = 0 (/z * 0); таким образом, X = 0 не является собственным значением задачи. В случае условий второго рода R'(d) = 0 (А = 0), и мы будем иметь X = Хо =0 собственное значение; R = RQ(r) = 1 — соответствующая собственная функция.
Разложение функции в ряды Фурье—Бесселя и Дини
Рассмотрим следующую задачу на собственные значения
либо
Пусть
А
dr
+ XrR = 0, 0 < г < Оу
Rr.^O(X), 7?_=0,
R r=0 = 0(1),
— + hR\ =0, Л>0. dr
n = 1, 2,... — собственные значения, Rn = Jo
n = 1, 2,... —
(4.61)
(4.62)
(4.63)
собственные функции задачи (4.61)-(4.63), причем — положительные корни уравнений
Jo(Y) = O
Разложение функции в ряды Фурье—Бесселя и Дини
203
в случае условий первого рода и
Mo(Y)-YJt(Y) = °
в случае условий третьего рода.
Докажем, что собственные функции ортогональны на [0, а] с весом г. Имеем (rR^ + \nrRn =0, (гК )' + Хт rRm = 0.
Первое соотношение умножим на Rm, а второе — на Rn и вычтем одно из другого, получим
Rm (rR'„ У - R„(rR'm )' + (Х„ - )rR„Rm = 0 =* ^-[r(RmR'n -7?X)] + a„ ~^m)rRnRm =0. ar
Проинтегрируем последнее соотношение на [0, а], получим а [r(RmR'n -ЯХ)Ц +(ХЯ -Ч)J= 0. о
Внеинтегральные члены равны нулю, следовательно,
(К -^)frR„R„dr=0. о
Откуда получаем, если
J rRn Rm dr = 0, о что и требовалось доказать.
Последнее соотношение можно записать в виде
В дальнейшем нам понадобится норма собственных функций, то есть необходимо уметь вычислять интеграл
]rR2ndr =||К||2-	(4-64)
о
Для вывода формулы вычисления интеграла (4.64) удобно ввести обозначения Ях(г) = Jo(Vv), R^r) = JoG/pr). Тогда можно записать
(гЯ' )' + ХгЯх =0,
(г7?'и)'+	=0.
Далее, повторяя все рассуждения, как и при доказательстве ортогональности собственных функций, мы придем к соотношению
204
4. Специальные функции математической физики
[г(Я' - R, Я' )П + (X - м)J rR, Яр dr = 0 =>
О
(X -ц)J rR, R^dr = -а [Яр (д)Я' (а) - R, (д)Я'ц(а)].
О
Имеем далее
я'(г)=-л:}1(У1г)1
R\(r) = "л/мJ |(д/Й >')
Откуда
а
fdo(7nr)Jo(V^r)^r о
a [V^Jо (л/цаЯ 1 (Лл) ~ л/ЙЭ о ( ЛлЦ, (7на)] (X — р.)
Перейдем теперь к пределу в последнем равенстве при X -> ц; неопределенность раскроем по правилу Лопиталя. При этом воспользуемся формулами
Будем иметь
а
\rJi(4vr)dr =
О
5о(л/н«)7ца5о(77а)
+	a J j (7Й a) J, (д/Й а)——
2д/Ц
= ^-По(л/ца) +Ji (7ря)]-
tww
Примем в последнем равенстве у/ца = уг1, п ~ 1,2,... Тогда
а
(4.65)
Здесь у п — положительные корни уравнений
Jo(yW в случае условий первого рода и
Mo(y)-yJi(y)=O
в случае условии третьего рода. Таким образом, мы имеем
а
J 'ао о
[°,
dr = \ а2

т = п.
Пусть теперь задана некоторая функция /(г), определенная на [0, а\. Предположим, что эта функция допускает разложение в ряд следующего вида
О < г < а.
Приложения цилиндрических функций в математической физике
205
Тогда мы можем записать
а
о
dr
о
Полученные таким образом ряды называются рядами Дини, Ряды Дини связаны с граничными условиями третьего рода. Частным случаем, отвечающим граничным условиям первого рода, является ряд Фурье—Бесселя Для этого частного случая будем иметь
Полученные ряды носят формальный характер. Сформулируем условия, при которых эти ряды справедливы:
1) /(г) ~ кусочно-непрерывна на (0, а) и имеет конечное число максимумов и минимумов на любом [а,0] с: (0, а).
а
2) | Vr | /(r)| dr существует, о
Условие 2 допускает обращение функции /(г) в бесконечность при г —> 0.
При сформулированных условиях функция /(г) разлагается в ряд Дини при любом г е (0,а). Условия являются достаточными. В точках разрыва будем иметь
/(г + 0) + /(г-0) 2
Приложения цилиндрических функций в математической физике
Как уже упоминалось, цилиндрические функции имеют весьма широкую область применения в математической физике и технике. Настоящий параграф посвящен приложениям цилиндрических функций к некоторым задачам математической физики, причем выбор задач рассчитан главным образом на то, чтобы иллюстрировать различные стороны применения аппарата цилиндрических функций.
Задача о колебаниях круглой мембраны
Рассмотрим малые колебания круглой мембраны радиуса а, закрепленной по контуру. Будем предполагать колебания осесимметричными, то есть и =u(r,t). Изучение таких колебаний сводится к решению следующей задачи:
206
4. Специальные функции математической физики
дг
— — =0, о v2 dt2
мм0=О(1), и
(.0 = ф(г)> ~
(4.66)
= \|/(г).
/=0
Ищем решение в виде и = R(r)T(t)=>	=	=
rR v2T X
Таким образом, приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
(rR')' + 7.rR = О,
(4-67)
(4.68)
В силу граничных условий (4.66) будем иметь = Ш R
(4.69)
Таким образом, получили задачу Штурма—Лиувилля (4.67), (4.69). Мы знаем, что собственными значениями этой задачи будут числа (4.59)
z \2	Z \2	z х2	Z \2
г=а
= 0.
г«в _
и
Уз
Л
> '^2
> 'v3
, . . . ,
> • • • >
а собственные функции будут иметь вид (4.60)
и


где уп — положительные корни уравнения Jo (у) = 0. Теперь уравнение (4.68) примет вид
..2
2
Откуда
№
У^
п п
п
Таким образом, мы получили совокупность частных решений
п = 1, 2, 3,...
Чтобы удовлетворить начальным условиям, воспользуемся принципом суперпозиции и составим ряд
Приложения цилиндрических функций в математической физике
207
Будем считать, что ряд сходится так, что его можно дифференцировать, и переходить к пределу под знаком суммы. Тогда будем иметь
00
о
л
U
t=0

ди
П=1
= v(O = ZDn
г=0	и=1
, о
п
а
Откуда
л
а
f rcp(r)J0
Л
Г dr = 4>n.
а
л
а
О
— г dr = v п.
О
Таким образом, окончательно формальное решение задачи будет иметь вид
00
И=1
4/„sin
о
Л
а
Рассмотрим пример. Пусть начальные условия имеют вид ди
U
,=о =Ф(г) = “о
а
= \|/(г) = 0.
1=0
Тогда очевидно = О,
о
Л
-г dr.
(4.70)
а2
Для вычисления интеграла в (4.70) удобно воспользоваться уравнением Бесселя
dr
dr °
л
а
л
л
Откуда
(4.71)
После подстановки (4.71) в (4.70) интегрирование производим по частям. Разбивать интеграл на два интеграла не следует:
»0
208
4. Специальные функции математической физики
Таким образом,
Rn
Окончательно решение задачи примет вид
Решение задачи Дирихле для цилиндра
Важный класс задач математической физики составляют краевые задачи теории потенциала, которые заключаются в определении функции и, гармонической в некоторой трехмерной области т, удовлетворяющей на ее границе условию одного из трех типов
(1)«|о = /, (II) = /• (III) ^- + hu\„ = f, дп о	дп
где f — заданная функция точки на поверхности а, п — внешняя нормаль к поверхности.
В качестве простого примера рассмотрим задачу об отыскании стационарного распределения температуры в теле, которое имеет форму цилиндра, по известному распределению температуры на его поверхности. Эта задача эквивалентна первой краевой задаче, соответствующей условию вида (I). Такая краевая задача может быть решена при помощи метода разделения переменных, если предположить, что функция равна нулю на боковой поверхности или на торцах цилиндра. Общий случай произвольных граничных условий первого рода может быть сведен к этим частным случаям путем разложения задачи на две вспомогательные, с граничными условиями указанного специального вида.
Введем систему цилиндрических координат (r,q>,z), ось z которой совпадает с осью цилиндра, а начало координат лежит в плоскости одного из торцов. В соответствии с замечанием, сделанным ранее, достаточно ограничиться рассмотрением двух частных случаев, когда граничные условия имеют вид
« Гх0 = О, и
(4.72а)
и r,a = F, и 2=0 = 0, и 2Х, = 0.
(4.726)
Для упрощения предположим, что граничные условия не содержат переменной <р, то есть /0 = /0(г), fi ~ fi(r\Р ~ F(z)> Искомая функция и тогда также не будет зависеть от (р, поэтому частные решения уравнения Лапласа могут быть пред
Приложения цилиндрических функций в математической физике
209
ставлены в форме и = J?(r)Z(z), где множители — интегралы дифференциальных уравнений
{rR)' + KrR = О, Z"-XZ=O
Выполнив интегрирование, находим
R(r) = AJ0(Лг) + BY0(Лг), Х#0, Z(z) = Cch(Tte) + Dsh(Vte) = '
(4.73)
= Csh(7X(/-z)) + zjsh(7Iz), X*0.	(4.74)
Предположим, что граничные условия имеют вид (4.72а). В силу ограниченности решения на оси цилиндра мы должны принять В =0. А тогда допустимыми значениями параметра X будут числа
где уп — положительные корни уравнения (4.57): J0(y) = 0. Таким образом, получаем следующую совокупность частных решений уравнения Лапласа
и — 1, 2,...,
(4.75)
из которых путем их суперпозиции может быть построено решение рассматриваемой задачи. Действительно, предположим, что каждая из функций /0(г), fi(r) может быть разложена в ряд Фурье—Бесселя
f у \	О я	/ V >
//(O = EAn Jo —r ’ fi.n = -2т2, Jr/XHJo — г dr, п=1	{a) “Ji(Yn)o	J
и рассмотрим ряд
(4.76)
составленный из членов вида (4.75). Тогда граничные условия будут удовлетворены, и ряд (4.76) дает формальное решение поставленной задачи.
В случае граничных условий типа (4.726) для того, чтобы удовлетворить однородным граничным условиям, необходимо принять С = 0 и выбрать X < 0, то есть 7х будет чисто мнимым числом, равным шл//, п - 1, 2,... Интегралы уравнений (4.73), (4.74) принимают в этом случае вид
210
4. Специальные функции математической физики
о/ х л т W71 пт/1 TlTt п, ч yv . ZZ7T
7?(г) = Л10 —г + ВК0 —г , Z(z) = Z)sm —z . \ J	\ J	\ J
В силу ограниченности функции в нуле следует принять В =0; следовательно, подходящая система частных решений уравнения Лапласа будет
Искомое решение может быть построено в форме ряда
(4.77)
где Fn — коэффициенты Фурье в разложении функцииF(z) в ряд по синусам
Решение краевых задач с граничными условиями других типов получается аналогичным образом, причем подходящим аппаратом, заменяющим ряды Фурье-Бесселя, являются в этом случае ряды Дини.
Несколько слов о сходимости рядов (4.76) и (4.77)
В обоих случаях мы имеем разложение по колеблющимся функциям. Сходимость ряда (4.76) определяется соотношениями
Таким образом, видим, что множители в формуле (4.76) убывают по экспоненте, пока z не слишком близко к 0 и /.
Для ряда (4.77) будем иметь
Ряд сходится экспоненциально в области 0 < г < а.
Сферические функции. Полиномы Лежандра
211
Таким образом, ряды (4.76) и (4.77) сходятся плохо около тех участков границы, где условия неоднородные.
Общий случай произвольных граничных условий первого рода
Представим функцию и в виде и =	+ и2. Функцию и{ будем определять из сле-
дующих условий:
0, W]|z-() /о(0> z=l flfy')' ^1 г->0	^0)’ г=а 0’
а функцию и2 — из условий
Ди2 =0, и2 г=0
= 0, и2 г=/ =0, и2 Г^ = О(\), и2 г=а

Функция и{ удовлетворяется формулой (4.76), а функция и2 — формулой (4.77). Таким образом, общая задача сводится к рассмотренным случаям (4.72а) и (4.726).
Сферические функции. Полиномы Лежандра
Сферическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения
(4.78)
где z — комплексное переменное, ц и v — параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения.
Уравнение (4.78) встречается в математической физике в связи с интегрированием уравнения Лапласа в специальных системах ортогональных криволинейных координат — сферических, сфероидальных, тороидальных и других, которые применяются при рассмотрении краевых задач для областей соответствующего вида. Простейшими среди них являются краевые задачи для сферической области, что служит основанием для того, чтобы называть рассматриваемый класс функций сферическими или шаровыми функциями. В этом случае переменная z принимает вещественные значения из промежутка (-1,1), а параметры ц и v имеют целые положительные значения.
Простейший класс сферических функций составляют полиномы Лежандра, кото-рые являются решениями уравнения (4.78) при ц = 0 и целых положительных v = п (п = 0, 1, 2, 3, ...). Следующий по степени сложности класс сферических функций образуют сферические функции Лежандра, которые представляют собой решения уравнения (4.78) при ц =0 и произвольном вещественном или комплексном V.
Рассмотрим уравнение (4.78) в предположении, что z =х с [-1,1]; ц - 0, у = п = = 0, 1, 2, ...,оо, то есть уравнение
[(1 -х1 >7 + п{п + 1> =0.
(4.79)
212
4. Специальные функции математической физики
Построим интегралы уравнения (4.79). Покажем, что одним из интегралов уравнения (4.79) является функция
(4.80)
Функции (4.80) называются полиномами Лежандра, а формула (4.80) — формулой Родрига для полиномов Лежандра.
Обозначим
Тогда
2лх П7
__ ц/,
или
(l-x2)W'+2nxW = 0.
(4.81)
Продифференцируем равенство (4.81) (п + 1)раз. Получим [(1 -х2 )1Г](п+1) +2п(х1Т)(п+1) =0.
Дифференцирование можно выполнить по формуле Лейбница
TYlijTl — 1) гг(т-2)ттн
(W)
(4.82)
Примем в (4.82) для первого слагаемого U = W', V = (1 -х2 ), т = п + 1; для второго слагаемого U -W,V = х,т~ п+ 1.
Будем иметь
(1-х2 )Wf(”+2)
ИЛИ
(l-x2)IV<,,+2)-2xWin+i) + n(n + l)W(n) = 0.
(4.83)
Умножим (4.83) на-, получим
(1-х2)Р;(х)-2хРпЧх)+п(п+1)Рп(х)н0,
или, что то же самое,
[(1-х2)Л(х)Г + /г(л + 1)Р„(х)г0.
Итак, мы показали, что полиномы Лежандра удовлетворяют уравнению (4.79).
Найдем второе решение уравнения (4.79), которое было бы линейно независимо от решения и{ = Рп(х). Пусть и{ и и2 — решения уравнения (4.79). Тогда
Сферические функции. Полиномы Лежандра
213
[(1-х2 )w[ ]' + n(n + l)wt — О, [(1 -х2 )и2 У + n(n + l)w2 =0.
Умножим первое уравнение на и2, второе — на щ и вычтем одно из другого. Получим
и2 [(1-х2	]'-щ [(1-х2 )и'2 у = 0
[(1-х2 )(ихи2 -и2и{ )] = 0.
Проинтегрируем полученное тождество:
(1-х2 )(и{и2 — и2и\ ) = С = const =>
+ D, D - const
«1
(4.84)
Таким образом, если их и и2 — решения уравнения (4.79), то они связаны соотношением (4.84), в котором С и D могут быть любыми. Если С ф 0, то и{ и и2 линейно независимы. Возьмем в качествещ полиномы Лежандра: = Рп(х). Тогда на основании (4.84) будем иметь
и2 = C„P„(x)f---+ D„P„(x) = Q„(x).
J (1-х2)РДх)
Здесь (2п(х) — линейно независимая функция с Р„(х). Функция Q„(x) называется функцией Лежандра второго рода (Сп * 0).
Пусть п = 0. Тогда
Ро(*) ~
<2о(х) = Мт^Т + °0 = % 1 (7“ + 7^~ 'l Л + = J 1-х	2 Ч1-х 1 + х)
Возьмем CQ = 1, Dq =0. Тогда
Q0(*) = |ln
1 + х
1 -X
Пусть п = 1. Тогда
Р((х) = х,
214
4. Специальные функции математической физики
Здесь константы Ct и Dt выбраны надлежащим образом. И вообще,

Выпишем первые несколько функций Р„(х) и Qn(x):

2

Р3(х) = -(5х3 -Зх), (23(х) =
2
In
Так как функции Рп(х) и Qn(x) линейно независимы, то общее решение уравнения (4.79) может быть записано в виде
w(x) = C1P„(x)+C2Qn(x), xg[-UL п = 0Д 2, ...,оо,
где Ct и С2 — произвольные константы.
ПРИМЕЧАНИЕ ----------------------------------------------------------
Уравнение (4.79) называется уравнением Лежандра; оно имеет особые точки х = -1 и х = 1. Полиномы Лежандра Рп(х) являются собственными функциями для уравнения (4.79) в промежутке [-1,1], ограниченными в особых точках х - ±1, то есть ^(х)^^ — ограничены. Очевидно, Qn(x) -> оо, х —> ±1.
Производящая функция для полиномов Лежандра
Функция
W(x,z) = -==£=	(4.85)
Vl-2xz + z2
является производящей для полиномов Лежандра, то есть полиномы Лежандра — коэффициенты разложения этой функции в ряд по положительным степеням z\
1	00
- 1	=^Ря(х)г".	(4.86)
л/1—2xz + z2 л=о
Здесь z — комплексная переменная,х е [-1,4-1], х — параметр.
Производящая функция для полиномов Лежандра
215
Докажем формулу (4.86). Имеем 1Т(х, 0) = 1. Особые точки (критические точки или точки разветвления) функции (4.85) — корни уравнения
г2 -2xz + 1=0,
то есть
z12 = X ± Vx2 -1 = х ± z'Vl-x2, |z12| = 1.
Следовательно, особые точки лежат на круге радиуса 1; Zj и z2 — особые точки функции lV(x,z) (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Особые точки W(x,z)
Внутри круга | z| < 1 особых точек нет. Функция УИ(х, z) — регулярная функция переменного z, | z| < 1. Следовательно, внутри круга | z | < 1 функция 1У(х, z) допускает разложение в ряд Тейлора. Таким образом, можно записать
Коэффициенты разложения С„ определяются равенством
VV(w)(x,0)
п = 0,1, 2,...
или, в силу интеграла типа Коши,
(4.87)
Напомним, что коэффициенты разложения функции/(z) в ряд Тейлора
/(г) = £ Сп (г - а)п п=0
вычисляются по формуле
г п\ '
а в силу интеграла типа Коши будем иметь
2га J.
(4.88)
216
4. Специальные функции математической физики
В качестве контура Г в формуле (4.87) можно взять любой замкнутый контур, лежащий целиком в пределах круга |z| < 1 и охватывающий точку (0,0). Вычислим интеграл (4.87) с помощью подстановки Эйлера. Имеем
l-2x? + z2 =l-2zw + z2u2 => z(u2 -1) = 2(u -x)=>
Таким образом,
Откуда
С 1 I <ц2 ~1>2(ц2 -2^ + W2-l)n+1	1 1
п ~2Щ(и2 -2ur + l)(u2 -1)22"+1 (и-%) И+1 “ “ 2п 2ш <(и-х)п+{
Здесь Г* — замкнутый контур вокруг точки х в плоскости Ut соответствующий замкнутому контуру Г вокруг точки 0(0,0) в плоскости z (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Комплексная плоскость U: особая точка х
Можно записать в соответствии с формулой (4.88)
Л
2nn\dun
= Р„ )•
Окончательно будем иметь
W(x,z) = ^РП(Х)2Л.
н=0
Рассмотрим некоторые примеры применения производящей функции:
= = 1, 1-Z	„.о	Я.О
откуда находим
Р„(1) = 1, 77 = 0,1,2,...;
Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра
1У(-1,2) = -^- = Jp„(-l)z" = £(-1)"г", |z|<l, 1 + 2	,_o	n.o
откуда находим
Р„(-1) = (-1)";
W(-x,-z) = W(x,z)=> £ Р„ (-x)(-z)" =±P„(x)zn,
и=0	л=0
откуда находим
Р„(-х) = (-1)”Рп(х), п = 0,1,2,...
Из последней формулы, в частности, следует, что Р2п_} (0) = 0.
Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра
Исходя из производящей функции, легко получить рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра.
Имеем
(4.89)
Продифференцируем (4.85) по z, получим
или
Откуда
(l-2xz+ z2)JnPn(x)z"-1 + (z-x)Jp„(x)z" =0=> и=0	л=0
±ПРп(х)2п-' -±2nxPn(x)zn +±nP„(x)zn+i +
л=0	п-0	п=0
СО +£л(^)2л+1 п=0
-^xPn(x)z" = 0=> п=0
00	оо	оо
Ё Pn(x)nz""1 -£(2n +l)xP„(x)z" + £(n + l)P„(x)z"+1 =0=>
и=0	и=0	«=0
(п=1)	(и+1—>п)
+	~'£(2п + 1)хРп(х)гл +'^nPn_t(x)z" =0.
л=0	п=0	п=1
t
218
4. Специальные функции математической физики
Объединим в одну сумму в последнем соотношении слева, получим [Р1(х)-хР0(х)]2° +
£[(n + l)P„+l(x)-(2n + l)xPn(x) + nPe.,(x)]z" =0.	(4.90)
?1 = 1
Равенство (4.90) возможно лишь тогда, когда коэффициенты при степенях z равны нулю. Откуда
Р1(х)-хРо(х)^О,
так как Р{ (х) = х, PQ (х) = 1,
(n+l)Pn+1(x)-(2« + l)xPrt(x)+nPn_1(x) = 0, и = 1,2,3,...	(4.91)
Формула (4.91) — требуемое рекуррентное соотношение.
Получим, второе рекуррентное соотношение. Рассмотрим производную
д	dW
^[(z-x)W] = (2-x)^L dz	dz
(l-x2)W l-2xz + z2
(4.92)
С другой стороны,
(4.93)
Сравнивая (4.92) и (4.93), получим
1 8W
[(z-x)W]
5W д ,,	,п/1
' — = 2 — [(z-x)WJ=> dx dz
dW z xdW uz ---= z(z-x)----+ zW.
dx	dz
(4.94)
Подставим (4.89) в (4.94), получим цепочку равенств
СО	ОО	00
(1-х2)£р„'(х)2" =2(2-х)£р„(х)п2яЧ +2ХД(х)гп = п=0	п=0	п=0
= £^(-Y)«z"+1 -£хР„(х)И2Л + £р„(х)2- = п=0	п=0	и=0
0D	00
= £(И+1)РЛ(Х)2"+1 -£nxP„(x)z" =
п=0	п=0
(п+1 -*п)
00	99	оо
= ЁПЛ-1(Х)2" - £nxPn(x)z" =£и[Р„_1(х)-хР„(х)]2п.
П=1	п=0	Я=1
(п=1)
Откуда получаем второе рекуррентное соотношение
(1-х2 )Р„'(х) = иР„_1(х)-пхР„(х), п = 1,2, 3,...
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с полиномами Лежандра
219
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с полиномами Лежандра
Рассмотрим следующую задачу:
[(1-х2)Х'(х)]' + ХХ(х) = 0,	(4.95)
ВДи±1 =0(1).	(4.96)
Докажем, что
Х = Х„ = и(и + 1), п = 0,1,2,...	(4.97)
—	собственные значения;
ад = х„(х) = р„(х)
—	собственные функции задачи (4.95), (4.96).
Подставим (4.97) в уравнение (4.95); получим уравнение Лежандра
[(1-х2 )Х']' +(и+ 1)пХ =0.	(4.98)
Общий интеграл (4.98), как было установлено ранее, имеет вид
Х(х) = Хп (х) = АРп (х) + BQn (х).	(4.99)
а
Имеем
Л(х)|_±1 =0(1), Q„(x)|^±I -><».
Следовательно, в (4.99) необходимо принять В=0, чтобы удовлетворить (4.96). Таким образом, действительно, Х(х) = Xп(х) = Рп(х) — собственные функции задачи (4.95), (4.96), а Х = ХЛ = п(и + 1), п =0,1, 2,... — собственные значения этой задачи.
Более полная теория устанавливает, что других собственных функций и собственных значений нет.
Докажем, что полиномы Лежандра образуют ортогональную систему функций на отрезке [-1,1]. Действительно, имеем
[(1-х2)Р']'+(л+1)пРп =0, [(l-x2)P;]'+(m+l)mP„ =0.
Первое соотношение умножаем на Рт(х), а второе — на Рп(х)и вычитаем одно из другого, получаем
Рп [(1 - х2) р;у - Рт [(1 - х2) р; ]' + [(т + 1) т - (п +1) п] Р„ Р„, = 0 => ^-(1-х2)[Р„Р; -PM + Um+Vm-tn + lMP^ =0. ах
Проинтегрируем последнее соотношение на отрезке [-1,1], получим
(1 -X2 )[РЯР; -РтР'п +[(m+ l)m-(n+ l)n]jp„pra dx =0.
-1
Откуда находим
220
4. Специальные функции математической физики
1
\PnPmdx =0, mtn.
-1
Таким образом, справедлива формула
(x)Pn(x)dx =
mtn, т = п.
2
Вычисление нормы для полиномов Лежандра
Воспользуемся рекуррентным соотношением (4.91) и заменим в этом соотношении п на (zz -1). Будем иметь
иРп(%)-(2п-1)хР„_1(х) + (и-1)Рп_2(х)=0, п = 2, 3, ...	(4.100)
Умножим соотношение (4.91) на (2п - l)Pn_{, а соотношение (4.100) — на (2п + 1)Рп и затем вычтем одно из другого. Получим
(2n-i)(n+1)Рп_хРп+х + (2п-1)пРп2_, -
-(2п+\)пР2 -(2/2+1)(и-1)РлР^2 =0, /2=2,3,...	(4.101)
Проинтегрируем (4.101) на отрезке [-1,1]; учитывая ортогональность полиномов, получим
(2п - 1)/г jР2_х dx -{2п + \)пP2dx - 0, п = 2, 3,...
-1 -1
Откуда находим +1	9»? — 1
JP„2dx = ^-1 JрД,dx, п = 2,3,...	(4.102)
Имеем
+1	+i
далее по формуле (4.102)
и так далее. Таким образом,
Л(*)|2 = ^Pt<X)dx =
-1
2
2п + Г
п = 0, 1,2, 3,...
Доказательство завершается переходом по индукции.
Задача Штурма—Лиувилля, связанная с полиномами Лежандра
221
Итак, можно записать
+i
\PAx)PAx)dx
-1
2т? + Г
77? П, т = п.
Рассмотрим теперь вопрос о разложении произвольной функции в ряд по полиномам Лежандра. Пусть задана функция /(х), х е (-1,1). Можно формально
предположить, что
f(x) = ^CnPn{x}, -1<х<+1.
п=0
(4.103)
Тогда
-1__________
РАх)2
-1
Справедлива следующая теорема разложения.
ТЕОРЕМА. Пусть f(x),x е(-1,1) такая, что
1) /(х) кусочно-непрерывна на (-1,1)и имеет конечное число максимумов и минимумов на любом [а,р] а (-1,1);
2)
интеграл
dx — ограничен.
Тогда ряд (4.103) сходится к функции f(x) во всех точках, где f(x) непрерывна. В точках разрыва ряд сходится к полусумме значений функции справа и слева от разрыва, то есть к числу
/(х + 0) + /(х-0)
2
Условия теоремы 1 и 2 являются достаточными.
Пример. Разложить функцию х2 в ряд по полиномам Лежандра.
Имеем
/(х) = х2 = ^фЄ(х) = С0Р0(х) + С1Р,(х) + С2Р2(х) п=0
ИЛИ
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
Таким образом, будем иметь
X2 =^Ро(х)+^Р2(.х).
222
4. Специальные функции математической физики
Приложение полиномов Лежандра
в математической физике
В качестве простого примера рассмотрим задачу об обтекании шара потоком идеальной жидкости.
Как известно из гидродинамики, потенциал скоростей U идеальной жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа
Д[/ =0, v = VU,
где v — вектор скорости частицы жидкости.
Пусть жидкость движется относительно шара радиуса а со скоростью и в направлении отрицательной оси z (рис. 4.8).
М(г,е)
U
Рис. 4.8. Обтекание шара потоком жидкости
По определению потенциала скорости U, нормальная компонента скорости vn прилегающей к поверхности шара частицы жидкости есть
dU
Введем сферическую систему координат по формулам
х = rsin(G)cos(<p),. у - rsin(0)sin((p), z = г cos(0).
Представим потенциал скоростей в виде суммы
и=и. + и21
где Uy — потенциал потока при отсутствии шара, U2 — потенциал возмущенного потока. Ясно, что
Uy =-uz =-мг cos(0)
где г -- радиус-вектор точки, 0 — меридиональный угол. Для потенциала U2 будем иметь следующую задачу:
&U2 =0, г > а,
(4.104)
dU
ди
= и cos(0), и2
= 0(1).
(4.105)
г=а

Приложение полиномов Лежандра в математической физике
223
Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид
1 d2U2 sin2(0) 5<р2
(4.106)
Задача (4.104), (4.105) является внешней задачей Неймана для уравнения Лапласа, записанной в сферической системе координат. Из соображений симметрии ясно, что U2 не зависит от угла ф, то есть U2 = U2(r, 0). Поэтому можно отбросить последнее слагаемое в (4.106) слева и искать решение задачи в виде
г/2(г,0) = /?(г)У(0).
Переменные в (4.106) разделяются, и мы получаем два уравнения
V" + ctg0V' + XV =0,	(4.107)
г2 R" + 2rR' - XR = 0.	(4.108)
Уравнение (4.108) относится к типу уравнений Эйлера. Ищем его решение в виде R(r) = г\ тогда характеристическое уравнение имеет вид
^ + 1)-Х = 0.	(4.109)
С другой стороны, решениями уравнения (4.107) являются полиномы Лежандра
V(0) = P„(cos(0)),
и при этом имеем X = Хл = п(п + 1). Действительно, сделаем замену независимой переменной в (4.107) по формуле х = cos(O), -1 < х < 1, и обозначим у(х) - V(0). Тогда
dV dy dx . /лч --= — — = -sm(9) de dx de dx
d2V de2
/r\\ dy . /Лх d2y dx
= ~cos(0)— -sin(0)—v— =
V > dx v } dx2 de
= -cos(O)— dx
+ sin2(0)
Таким образом, вместо (4.107) будем иметь
sin2(0)^-~ -2cos(0)— + Ху =0, dx	dx
или, учитывая, что sin2(0) - 1 -х2, cos(0) = х,
(1-х2)у''-2ху' + Ху=0.
(4.110)
Уравнение (4.110) — уравнение Лежандра; его решениями, ограниченными в точках х = ±1, являются полиномы ЛежандраР„(х), причем X = п(п + 1).
Следовательно, из (4.109) по теореме Виета находим = п, k2 = ~(п + 1). Решение внешней задачи, ограниченное на бесконечности, ищется в виде ряда оо
t/2(r, 0) = ^£)„r4"+l>Pn(cos(0)).
п=0
Подставим этот ряд в (4.105)
224
4. Специальные функции математической физики
dU,
Ль дг
т=а
= tDn -1)й‘(п+2)Л (COS(0)) = и cos(0). п=0
Учитывая, что Рх (cos(O)) = cos(O), приходим к выводу
иа
Поэтому искомое течение определяется потенциалом скорости
^2
иа3 cos(O) 2р
Таким образом, потенциал обтекания шара поступательным потоком
Заметим, что из вида граничного условия (4.105) и значения первого полинома Лежандра можно было сразу догадаться, что решение имеет вид
U 2 = l?(r)cos(0).
Подробное исследование проведено с целью выработки навыков решения задач с более сложными граничными условиями в сферической системе координат.
Вопросы к главе 4
1.	Какие функции называются специальными функциями? Приведите примеры специальных функций.
2.	Сформулируйте определение бета-функций с помощью несобственного интеграла.
3.	Перечислите основные свойства бета-функции.
4.	Сформулируйте определение гамма-функции с помощью несобственного интеграла.
5.	Запишите формулу, выражающую связь между бета- и гамма-функциями.
6.	Перечислите основные свойства гамма-функции.
7.	Запишите уравнение Бесселя индекса v.
8.	Как можно построить частное решение уравнения Бесселя?
9.	Какова область сходимости ряда, определяющего бесселеву функцию первого рода?
10.	Каков вид общего решения уравнения Бесселя?
И. Почему возникла необходимость введения бесселевых функций второго рода?
12.	Установите зависимость, существующую между функциями Бесселя индекса п и -и.
13.	Сформулируйте определение функции Вебера.
14.	Как определяются цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкеля)?
15.	Получите представление функции Вебера с целым индексом в виде ряда.
Вопросы к главе 4
225
16.	Получите рекуррентные формулы для функций Бесселя.
17.	Получите интегральное представление для функции Бесселя.
18.	Приведите примеры использования интегрального представления Пуассона.
19.	Какие из цилиндрических функций выражаются через элементарные функции?
20.	Какие функции асимптотически определяют цилиндрические функции при больших по модулю значениях аргумента?
21.	Что такое модифицированные цилиндрические функции?
22.	Напишите уравнение, решениями которого являются модифицированные цилиндрические функции.
23.	Сформулируйте задачу Штурма—Лиувилля, связанную с цилиндрическими функциями.
24.	Что вы можете сказать об ортогональности системы бесселевых функций?
25.	Дайте вывод формулы для нормы бесселевых функций с нулевым индексом.
26.	Запишите ряд Фурье—Бесселя функции f(x) и выражения его коэффициентов. С какими граничными условиями связан ряд Фурье—Бесселя?
27.	Запишите ряд Дини функции f(x) и выражения его коэффициентов. С какими граничными условиями связан ряд Дини?
28.	Сформулируйте условия, при которых справедливы ряды Фурье—Бесселя и Дини.
29.	Дайте решение задачи о колебаниях круглой мембраны.
30.	Дайте решение задачи Дирихле для цилиндра. Что можно сказать о характере сходимости получающихся рядов?
31.	Какие специальные функции называются сферическими функциями?
32.	Напишите уравнение, решениями которого являются полиномы Лежандра.
33.	Напишите уравнение, решениями которого являются сферические функции Лежандра.
34.	Напишите формулу Родрига для полиномов Лежандра.
35.	Как связаны между собой любые два решения уравнения Лежандра? Напишите формулу.
36.	Как определяется функция Лежандра второго рода? Напишите формулу.
37.	Каков вид общего решения уравнения Лежандра?
38.	Как ведут себя полиномы Лежандра и функции Лежандра второго рода в особых точках?
39.	Какая функция является производящей функцией для системы полиномов Лежандра?
40.	Приведите примеры применения производящей функции для полиномов Лежандра.
41.	Получите рекуррентные формулы для полиномов Лежандра.
42.	Сформулируйте задачу Штурма—Лиувилля, связанную с полиномами Лежандра.
226
4. Специальные функции математической физики
43.	Что вы можете сказать об ортогональности системы полиномов Лежандра?
44.	Дайте вывод формулы для нормы полиномов Лежандра.
45.	Сформулируйте теорему разложения функции в ряд по полиномам Лежандра.
46.	Дайте решение задачи об обтекании шара потоком идеальной жидкости.
Задачи с примерами решения1
1.	Воспользовавшись уравнением для функции J0(x), вычислить интегралы
JXJ0(х)dx, jx3J0(x)<Zr. О	о
2.	Вычислить (выразить через элементарные функции)
^±1/2 (х)» К ±1/2 (х), У±1/2 (X), н<‘>2, ^±1/2’ J 3/2 (х), J72(x).
3.	Вычислить по формуле Родрига Рн(х) при п = 4, 5, 6,7.
4.	Записать общее решение уравнений
х2у" + ху' + (х2 — 9)г/ =0;
х2у" + ху' +(х2 -4)у =0;
5.	Написать уравнение, решениями которого были бы функции
—-sin(x), J—cos(x).
7tX	V 71X
6.	Написать интегральное представление Пуассона функции J_2(x).
7.	Найти температуру круглого бесконечного цилиндра радиуса а при условии, что на его поверхности поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна
W	0
8.	Изучить осесимметричные колебания круглой мембраны радиуса а, вызванные ударным импульсом Р, приложенным в момент t = 0 и распределенным по площади круга радиуса е.
Указание*, начальные условия задачи имеют вид (р — поверхностная плотность мембраны)
1
Часть задач, требующих применения специальных функций, помещена в конце глав 5 и 6.
Задачи с примерами решения
227
и
/=0
= 0,

Я8 р
(=0
0,
Дать общее решение задачи о колебаниях кольцевой мембраны, закрепленной по окружностям г = а и г = Ь, при произвольных начальных условиях
г/ х dw	, ч
,=o=/(r)> —	=g(O-
и
Г=0
10.
Исследовать свободные упругие поперечные колебания круглой плиты радиуса а с жестко закрепленным краем при произвольных начальных условиях dw z ч , —	= £(г).
и
Г=0
/=0
11.
На круглую мембрану, закрепленную по краю, действует внешняя гармоническая сила q(x,t) - Apsin(coZ’), непрерывно распределенная по всей площади мембраны. Проверить, что вынужденные колебания мембраны выражаются равенством (7? — радиус мембраны)
О)
U = —
СО"
0)
sin(co7)«
12.
Разложить в ряд по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля
13.
14.
15.
16.
+ кху = 0, у
г=0=О(1)
dx
следующие функции: а) /(х) = 1; б) /(х) - а2 -х2.
Найти закон выравнивания заданного осесимметричного начального распределения температуры w(r,0) = f(r) в бесконечном цилиндре радиуса г = а, боковая поверхность которого не пропускает тепло.
Цилиндр радиуса а нагрет до температуры Го и охлаждается с поверхности таким образом, что ее температура, начиная с момента времени t - 0, поддерживается постоянной и равной нулю. Найти закон охлаждения цилиндра, считая, что распределение температуры во всех поперечных сечениях одинаково.
Найти температуру круглого бесконечного цилиндра радиуса а при условии, что на его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, а начальная температура равна и О <г <а. Рассмотреть, в частности, случай, когда /(г) = UQ = const.
Цилиндр с радиусом R и высотой h имеет во все время опыта температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную О °C, а температура верхнего основания есть определенная функция от г. Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.
Указание', для решения задачи необходимо отыскать такой интеграл уравнения Лапласа, который удовлетворял бы условиям и
U z=h
г=о
г-0
= 0(1), и^=0
r-R ~ О’
А =О=0> У

228
4. Специальные функции математической физики
17. Решить задачу 16 в предположении, что боковая поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом.
Указание: третье из пограничных условий, указанных в задаче 16, заменить
следующим:
dr r=R
18. Решить задачу 16 в предположении, что боковая поверхность цилиндра свободно охлаждается в воздух, имеющий температуру О °C.
Указание: пограничное условие на боковой поверхности имеет вид условий
третьего рода — + п{и dr
19.
Центр круглой мембраны отклонен при t - 0 на малую высоту h. Начальные скорости точек мембраны равны нулю. Исследовать колебания мембраны.
Указание: начальные условия имеют вид и f=0
ди
dt
z=o
= 0.
20. Цилиндр, радиус основания которого /? и высота h имеет температуру обоих оснований, равную 0°С, а температура боковой поверхности есть данная функция от г. Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.
21. Разложить функцию /(х) на интервале (-1,1) в ряд Фурье по полиномам Лежандра, если
f(.x) =
-1 <х <0, 0 <х <1.
Примеры решения типовых задач
X 2
Пример 1. Разложить функцию f(x) = 1 —- на отрезке [0, Ь] в ряд по собствен-ft
ным функциям у п (х ) - J
-n-Й по величине нуль функции J0(x).
Решение. Функции уп(х) = Jo
являются собственными функциями крае-
вой задачи (4.51)-(4.52), рассмотренной в разделе «Задача Штурма—Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями». Эти функции ортогональны на отрезке [0, ft] с весом р(х) = х, причем, как мы знаем, квадрат нормы
Находим коэффициенты разложения
/(х) = 1~7 о
Задачи с примерами решения
229
по формуле
Интеграл, стоящий справа в последней формуле, мы уже вычисляли (раздел «Задача о колебаниях круглой мембраны», формула (4.70) и далее). Таким образом, будем иметь
и, следовательно,
Продемонстрируем, как этот пример решается в Maple. Задаем уравнение:
>	eq:=diff(x*diff(y(x),х),x)+lambda*x*y(x)“O;
4- X X у( X ) = 0
Находим общее решение этого уравнения:
>	res:=dsolve(eq.у(х));
res := у(х) = _С1 BesselJ(0, Jk х) + _С2 BesselY(0, /к х)
Так как ограниченной в нуле является только функция Бесселя первого рода, то полагаем в найденном решении _С2 = 0
>	subs(_С2=0,rhs(res)):
_С1 BesselJ(O, /х"х)
Таким образом, уравнение для определения собственных значений будет таким
>	eql;=£/_С1*0;
eql := BesselJ(0, /Х~ х) = 0
Пусть ап,п = 1,2,... — последовательные положительные корни уравнения
J0(x) = 0, тогда собственные значения будут Хм

, п - 1, 2,... Таким обра-
зом, основное уравнение для определения собственных значений будет:
>	eql:=subs(lambdaA(l/2)*x=alpha.eql);
eql := BesselJ( 0, a) = 0
Определяем теперь собственные функции:
>	Yn:»(x,n)->BesselJ(O.alpha[n]*x/b):
Yn := (x, л) —> BesselJ 0,
230
4. Специальные функции математической физики
Сделаем проверку. Проверяем дифференциальное уравнение:
> у: = 'у';Yn(x.п):
>	simpl1fy(subs(lambda=(alpha[n]/b)x2.y(x)=X.eq)):
У -=У
BesselJ О,
0=0
Проверяем граничное условие:
>	subs(alpha=alpha[n].eql):simpl1fy(Yn(b.n),{£})=0;
BesselJ(0, an) = 0
0=0
Все в порядке.
Проверим ортогональность собственных функций на отрезке [0, Ь] с весом р(х) = х :
>	assume(n.posint):assume(m.posint):
>	Int(x*Yn(x.n)*Yn(x.m) ,х~0. .b);
>	i nt J: =si mpl 1 fy (val ue( %)):
b
x BesselJ 0, Jo
BesselJ 0
b2 (a BesselJ(0, a ) BesselJ( 1, a ) - a BesselJ( 1, a ) BesselJ(0, am ))
ini J	;-------------------------------------------
Упростим результат с учетом характеристического уравнения:
>	el:=subs(alpha=alpha[n].eql):
>	е2:=subs(alpha=alpha[m].eql):simplify(intJ.{el.e2});
el := BesselJ(0, ) = 0
e2 := BesselJ( 0, am ) = 0
0
Вычисляем норму собственных функций:
>	Norma:=Int(x*Yn(x.n)A2.x=0..b);
>	Norma:=simpl1fy(value(Norma).{el});
Norma :=
о
Norma := - b2 BesselJ( 1, a )"
Задачи с примерами решения
231
Приступим теперь к разложению заданной функции на отрезке [О,Ь\. Определим функцию в Maple:
> f :=х->Ьх"2/Ь"2;
Вычислим коэффициенты разложения:
> Cn:=Int(x*f(x)*Yn(x,n),х=0..b)/Norma:
2
b2 BesselJ( 1, а/г )
BesselJ О,
> Си:=s1 mp31 Ту(va1ueCCn).{el}):
8
BesselJ( 1, a ) an~
> C:=unapply(Cn.n):
8
BesselJ( 1, a ) a
И, наконец, запишем формулу разложения в виде суммы первых N членов ряда:
>	F:=(х.N.alpha)->sum(C(n)*Yn(x.n).n=l..N):
F := (x, /V, a) —>	C(n) Yn(x, n)
n = i
Проверим на численном примере полученный результат. Вычислим, например, первые десять корней функции Бесселя:
>	N:=10:alpha:=array(1..N):
>	s:=BesselJZeros(0, 1..N):evalf(s):
>	seq(alpha[i ]=Ц1 ], 1=1. ,N) :assignU):
a, = 2.404825558, a. = 5.520078110, a = 8.653727913, a = 11.79153444, a = 14.93091771, a. = 18.07106397, a = 21.21163663, a, = 24.35247153, a = 27.49347913, a = 30.63460647
О	f	<5	7	IО
Зададим интервал разложения, например,
Построим графики функций:
>	pl:=plot(f(х).х=0..b.color=black.1egend='функция f(x)"):
>	p2:=plot(F(x.N,alpha),х=0..b.color=black,style=point.
>	legend=cat('сумма при N=',convert(N.string))):
>	plots[display]({pl,p2}):
232
4. Специальные функции математической физики
I     I  >   ? 0 5	1	1.5	2	2 5	3
функция f(x)
Пример 2. Решить уравнение колебаний круглой мембраны
1 д2и _ д2и 1 ди 1 д2и
v2 dt2 dr2 г dr г2 дф2
при краевом условии (мембрана закреплена по контуру)
и начальных условиях
Решение. Краевые и начальные условия не зависят от ф, можно ожидать, что и решение не будет зависеть от ф . Поэтому будем искать решение в виде u(r,t) = R(r)T(t). Функции R(r) являются при этом собственными функциями краевой задачи
/У2 7?	/77?
г^ + ^ + ХгЯ = 0, Я(0) = 0(1), ВД = 0.
dr2 dr
Как было найдено в задаче (4.51)—(4.52), рассмотренной в разделе «Задача Штурма—Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями», собственные значения и собственные функции будут
К
<4

*n(0 = Jo
п - 1, 2,
где ап — n-й положительный корень уравнения J0(x) - 0. Функция T(t) удовлетворяет уравнению
d2T
^- + Ь2Щ) = 0
dt2
при X =	, общее решение которого имеет вид
Задачи с примерами решения
233
T„(t) = An cos
t + В „sin
Очевидно, Ап - 0, Уп, так как при t - 0 должно быть м(г,0) - 0. Таким образом, получаем решение задачи в виде
и(Г,1) = ^Вп Sin
Jo
апг
причем коэффициенты разложения вычисляются по формуле (см. пример 1)
Таким образом, окончательно получаем
Пример 3. В качестве примера приложения полиномов Лежандра рассмотрим задачу о колебаниях однородной струны длиной /, закрепленной одним своим концом на неподвижной опоре и могущей свободно вращаться около точки опоры [13, с. 205 и далее]. Если мы пренебрежем силой тяжести и сопротивлением воздуха, то положение равновесия струны будет изображаться прямой линией, вращающейся в плоскости, проходящей через точку опоры, с постоянной угловой скоростью со (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Вращающаяся струна
Струна может колебаться около этого положения равновесия, если она будет из него выведена. При изучении колебаний мы можем отвлечься от равномерного движения линии равновесия и рассматривать только смещения и струны от линии равновесия. Смещение является функцией времени t и расстояния от точки опоры х: и = w(x, t). При этом будем считать, что и перпендикулярно к плоскости вращения струны (параллельно оси Ог).
В случае вращающейся струны мы должны найти ускорение точки, представленное суммой двух векторов: одного постоянной длины х и другого (перпендикулярного к х) переменной длины и. Оба эти вектора вращаются с угловой скоростью со. Ускорение точки будет -со2х вдоль оси Ох п д2и/dt2 вдоль оси Ои. Сила, действующая на элемент длины dx струны на расстоянии х от неподвижной опоры, равна pdx • со2х, где р — плотность струны.
234
4. Специальные функции математической физики
Натяжение в точке х будет определяться суммой сил, действующих на все элементы струны от точки х до наружного ее конца:
Г(х) = Jрсо2х dx -	— х2 ).
Отсюда нетрудно получить и уравнение свободных колебаний вращающейся струны, а именно
или
Мы решим поставленную задачу о малых колебаниях вращающейся струны, если найдем решение уравнения (4.111), удовлетворяющее граничному условию
а,в0 =0	(4.112)
и начальным условиям
<о=Щ). $	= W-	<4113)
3Z г=0
Будем искать частные решения уравнения (4.111) в виде u(x,t) = X(x)T(t).
Подставляя последнюю формулу в (4.111), имеем
Г _[(/2 -х2)Х']'
77“ х
Обозначая обе части последнего равенства через -X, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
[(/2 -х2)Х']' + ХХ =0,	(4.114)
Г + и2Т = 0.	(4.115)
Удобно перейти к безразмерным координатам. Полагая х = преобразуем уравнение (4.114) к виду
d'^
(4.116)
Уравнение (4.116) есть уравнение Лежандра.
По физическому смыслу смещение струны u(x,t) должно оставаться ограниченным в интервале [0,/]. Мы знаем, что при X = п(п + 1), где п — целое положительное число, уравнение Лежандра (4.116) в интервале [-1,1] имеет решение, ограниченное в точках = ±1. Это решение есть полином Лежандра Рл(^). Следовательно, возвращаясь к переменной х, мы можем утверждать, что
Задачи с примерами решения
235
ВД = Р„[д'
есть решение уравнения (4.114), ограниченное в точкахх = ±1 при X = п(п + 1а).
Удовлетворяя условию (4.112), получим
Л (0)=о.
Последнее возможно, когда п = 2k -1, где k — целое положительное число.
Таким образом, нетривиальные решения уравнения (4.114) при граничных условиях Х(0) = 0, Х(1) = 0(1) возможны лишь при значениях Xk = 2k(2k -1), k = 1, 2, 3,... Этим собственным числам соответствуют собственные функции
которые образуют ортогональную систему функций на отрезке [0,/].
При X = общее решение уравнения (4.115) имеет вид
Tk(t) = Ak cos(^2k{2k -1)vt) + Bk sm(^2k(2k - l)t>0.
Таким образом, совокупность частных решений исходного уравнения (4.111)
имеет вид
uk(x, t) = [ЛА cos (^2k (2k -1) vt) + Bk зт(Л/2^(2/г - l)^t)]P24,_1
Каждая из этих функций удовлетворяет уравнению (4.111) и граничному условию (4.112) при любых Ak и Bk. Для решения задачи составляем ряд
u(x,t) = £[Л* сов(72^(2ГЛ)гО + В45ш(Л/21(2ГЛ)гО]/>2*-1| у! (4.117) k=\	\ I J
и требуем, чтобы выполнялись начальные условия (4.113)
«(х,0) = £а*Р2*_1 ы
(4.118)
= t^k(2k-l)vBkP2k^
ot jfc=l
Предполагая, что ряд (4.118) сходится равномерно, мы можем определить коэффициенты разложения Ak, умножив обе части равенства (4.118) на Р2А_1
И
проинтегрировав по интервалу [0,/]. Тогда, принимая во внимание ортогональность собственных функций, получим
1	(г\	1	(Г Л	1А I	1А
dx=Ak\P^ dx=^ P2\j£)dE, = —±_
о UJ i	2 Д	4£-1
Откуда
/ i 11У
Аналогично найдем
236
4. Специальные функции математической физики
В,
К
4fe-l vl^2k(2k-l)
(4.120)
Таким образом, решение задачи дается рядом (4.117), где коэффициенты Ak и Bk определяются формулами (4.119) и (4.120).
Переписав решение (4.117) в виде
u(x, i) = £ Ak sin(yl2k(2k -l)vt + ср* )P2JM
мы видим, что малые колебания вращающейся струны слагаются из гармонических колебаний. Частота колебаний соА /f-го обертона выражается формулой
<£>„ = J2k(2k-1) v = Jk(2k-1) а.
Отсюда следует, что частоты колебаний зависят от угловой скорости <в и не зависят от длины струны и ее плотности, пока плотность постоянна. При увеличении длины или плотности увеличивается масса струны, которая стремится понизить частоту колебаний; при этом также увеличивается натяжение, что должно вызвать повышение частоты. Эти два фактора компенсируют друг друга.
Пример 4. Исследовать упругие поперечные колебания круглой плиты радиуса а с закрепленным краем при произвольных начальных условиях
Решение. Задача сводится к интегрированию уравнения колебаний плиты в полярных координатах
с заданными начальными условиями и с краевыми условиями
п ди п
и =0, —	=0.
г=а дт г=а
Здесь D — цилиндрическая жесткость плиты, р — плотность материала плиты, h — толщина плиты.
Для решения задачи используем систему Maple.
> restart:wlth(11nalg):
Задаем уравнение поперечных колебаний плиты в полярных координатах
> eq:=collect
> (laplacian(laplacian(u(r.t).[r.phi],coords=polar).
> [r.phi].coords-polar).r)+diff(u(r.t).t.t)/b*4»0;
Задачи с примерами решения
237
Задаем начальные и граничные условия
> 1rrit_c:=u(r.0)~f(r) ,D[2](u)(r.0)-g(r):
>	bound_c:su(a,t) = O.D[l](u)(a.t)-O;
bound c := u(a,/)= 0, Dt(u)(a, t) = 0
>	icl:-rhs(init_c[l]):1c2:-rhs(init_c[2]):dp:=rhs(eq);
dp := 0
Разделяем переменные в исходном уравнении
> pdesol:-pdsolve(eq.u(r.t),HINT-R(r)*T(t)):
pdesol := (u( r, t) - R( r) T( t)) &where
 d2	л d4
—zT(Z) = -T(/)*4 С„—7 dt2	“ 1 dr4
ж к.
>	eql:=ор(1.opt 1.opt2.pde_sol)));
>	eq2:=op(2.op(l,op(2.pde_sol)));

dr3
dr2
dr
dr
“>2 ~
Формулируем соответствующую задачу Штурма—Лиувилля
>	eql:-subs(_c[l]-lambda.eql):sl:=R(a)*0:s2:-D(R)(a)*0: / j3 \	/ j2 \

dr3
dr1
T R(r) dr
s2 :=D(R)(a) = 0
Решаем эту задачу. Сначала находим общее решение уравнения Штурма—Лиувилля
>	assumedambda>0):resl:=dsolveteql.R(r));
resl := R(r) = _C1 BesselJ(0, A~(l'4) r) + _C2 BesselY(0, Х~“М) r) + _C3 BesselI(0, A.-'"0
+ _C4 BesselK(0, A~(‘/4>r)
Выбираем ограниченное в нуле решение
>	R:eunapply(subs(_C2=0,_C4-0.rhs(resl)).г);
R := г -> _С1 BesselJ(O, А,- '/4> г) + _СЗ BesselI(0, А~ '/4> г)
238
4. Специальные функции математической физики
Формируем систему пограничных уравнений и находим ее определитель
> si st:={sl,s2}:
sist := {_C1 BesselJ( 0, X~*1/4 ’ a) + _C3 Bessell( 0, X~*1/4 ’ a) = 0, ,T, , . (IM) 4, (1/4)	(1/4)	(1/4)
- С/BesselJ( 1,	a)A,~	+ _C3 Bessell( 1, a)A~ =0}
> genmatr1x(s1st.{_Cl._C3});
Гп 1T/1 Л <Щ) ЧЛ (1/4) О 1T/1 Л О'4) ХЛ 0M)n
-BesselJ( 1,	a~)k~ Bessell( 1, Л- а- ) A~
BesselJ(0, X~(i 4) a-)	BesselI(0, X~(I 4) a-)
> Delta:=det(X):
А О IT/ 1 'I (1/4) Al (I/4) D 1Т/Л 1 ‘(,/4) A
A := -BesselJ( 1, A~ л~) BesselI(0, A^ я~) d it/ 1 i <1/4) а г (,/4) d it/п -i (,/4) A — Bessell( 1, A~ а-) A~ BesselJ(0, A- a-)
Пусть щ положительные корни уравнения A = 0. Найдем соответствующие собственные функции
> sist[l]:_C3:=solve(sist[l],_СЗ);
_С1 BesselJ(O, Х-1'"" а) + _СЗ Bessell(0, Х~<1/4) __ _С1 BesselJ(0, Х~('/4>а)
„•	(i/д)
BesselI(0, а)
Cl (-BesselJ(0, Х~(14) г) BesselI(0, Х~('4) а) + BesselJ(0, Х~( 1 > a) BesselI(0, л~( }
BesselI(0, *4) а)
> subs(1ambda"(l/4)=mu[k]/а.ор(2.% ));
а
BesselI(0, ц.) + BesseIJ(0, ц,) Bessell 0, А	Л
-BesselJ 0,
а
Таким образом, собственные функции и собственные значения задачи Штурма— Лиувилля есть
> ef:=unapply(Л,k,r):ev:=k->(mu[k]/a)A4;
BesselJ 0,
Bessell( 0, р.*) - BesselJ(0, pA) Bessell 0,
. И* ev := к —> —;
Определим норму собственных функций
> assume(a>0):
> Norma:=1nt(r*ef(k.r)A2.r=0..а):
Norma :=
r BesselJ 0
BesselI(0, ц ) - BesselJ(0, pA) Bessell 0,
2
dr
о
Задачи с примерами решения
239
К сожалению, Maple не справился с вычислением этого интеграла. Попробуем упростить наши вычисления. Разобьем подынтегральную функцию на отдельные слагаемые и попытаемся вычислить интегралы от этих слагаемых по отдельности. Выпишем характеристическое уравнение (с его помощью мы будем упрощать вычисления)
> subs(lambda*(l/4)=niu[k]/a .Delta);
> ql:=s1mpl1fy(-£*a/mu[k])=0;
BesselJ( 1, p*) p* BesselI(0, р*)
Bessell( 1, рА) рА BesselJ(0, р*)
а~
ql BesselJ( 1, pt) BesselI(0, |\) + Bessell( 1, р*) BesselJ(O, р^) = О
Раскрываем теперь выражение для квадрата собственной функции
> z:=expand(ef(k,г)А2):
2
Bessell( 0, р. )2 - 2 BesselJ 0, Л
2

z := BesselJ О,
BesselI(0, р. ) BesselJ(O} ц,) Bessell О, А	л
a
+ BesselJ( 0, p.) Bessell 0, л
Вычисляем интегралы от полученных трех слагаемых по отдельности
> Nl:-1nt(r*op(l.z),r-0..а);
> N2:=int(r*op(2,z),г=0..а):
> N3:=1nt(r*op(3,z).г-0..а);
i а~2 Bessell(0, р,) (/тГ р. BesselJ( 0, р,) + fit р. BesselJ( 1, р.)“)
а-
N2 :=
N3 :=
-2 г BesselJ 0,
о
BesselI(0, ll ) BesselJ(O, p.) Bessell 0, Л	Л
dr
BesselJ(O, р^) (fit рА BesselI(0, р^) I - fit р* Bessell( 1, р*) /)
Второй интеграл опять не удалось вычислить. Упростим полученные интегралы с учетом характеристического уравнения
> Nl:es1mplify(N1.{ql});
N1 := ~ Bessell( 0, p. )2 a~2 BesselJ( 0, p, )2 + a-2 Bessell( 1, p. )2 BesselJ( 0, p, )2 9	Л-	Л	9	Л	Л
> N3:-simpl1fy(N3.{ql});
N3 := - BesselI(0, p, )2a~2 BesselJ(0, p. )2- -a~2 Bessell( 1, p. )2 BesselJ(0, p, )2 j	* A	A	A	A
> simpl1fy(N1+N3.{ql});
240
4. Специальные функции математической физики
> N2:=simplify(N2/BesselI(0,mu[k])/BesselJ(0,mu[k])/2);
W2 := -
г BesselJ О,
Bessell О,
dr

Второй интеграл по-прежнему неизвестен. Можно доказать, что этот интеграл будет равен нулю. Таким образом, норма определяется по формуле
> Norma:-simplify(Nl+N3.{ql});
2	?	2
Norma := BesselI(O, p,) a~ BesselJ(O, p,)
Решаем теперь второе уравнение
> subs(_c[l]=lambda.eq2):
> res2:=dsolve(£.T(t));
res2 T( t) = _C7 sin( b21) + _C2 cos( b21)
> I:-unapply(
> subs(lambdaA(l/2)-(mu[k]/a)A2,
> Cl=Cl(k), C2=C2(k).rhs(res2)).k.t):
T := (Ar,/)—>Cl(fc)sin
+ C2(A:)cos
Таким образом, решение нашей задачи строим в виде ряда
> spr:=Sum(T(k,t)*ef(k, r).k-l..infinity);
00 vn spr 2. к = i
Cl(k) sin
+ C2(/c) cos
-BesselJ 0
BesselI(O, рЛ) + BesselJ(O, pA) Bessell 0,
Для определения коэффициентов разложения мы имеем задачу
> el:-value(subs(te0.spr))-ic1;
el := У C2(£) -BesselJ 0, BesselI(O, p,) + BesselJ(O, p.) Bessell 0, —— = f(r)
*=1\	\ u J	\ w / 7
> diff(spr.t):e2:=value(subs(t=0.X))=ic2;
00
к = 1
С1(А)ц/б2
-BesselJ 0,
BesselI(O, p,) + BesselJ(O, p ) Bessell 0, A	A
Откуда находим
Задачи с примерами решения
241
> C2:^unapply(int(icl*r*ef(к.г).г=0..а)/Norma.к):
2 Bessell(0, p, )2 BesselJ(0, p )“ A	rt
f(r) r -BesselJ О,
BesselI(0, pAJ + BesselJ(0, pA) Bessell О,
dr
^0
> Cl:-unapply(
> 1 nt(ic2*r*ef(k.r).r-0.,a)*aA2/bA2/mu[k]A2/Nornia,k):
T 2	2	2
b~ p, BesselI(0, p,) BesselJ(O, p,) Л	Л	Л
a-
g(r) r -BesselJ 0,
BesselI(O, pA.) + BesselJ(O, p*) Bessell 0,
dr
о
Окончательно получаем
> sol:=spr:
□0
sin
Ьг p*2 BesselI(O, p^)2 BesselJ(O, pA)
м/ b2t
~ 2
a
I	Mt
g(r) r -BesselJ 0, —
Bessell( 0, p,) + BesselJ(0, p,) Bessell 0 л	л
Ml
a-
dr +
f(r) r -BesselJ 0,
-BesselJ 0,
cos
2 Bessell( 0, p,} BesselJ(0? p, )2 rt	Л
BesselI(O, p,) + BesselJ(O, p,) Bessell 0, A	A
BesselI(0, p,) + BesselJ(O, p,) Bessell 0, Л	Л
Итак, решение нашей задачи имеет вид
_А22_
а
О
dr
0
о
-5
242
4. Специальные функции математической физики
sin a^rg(r)R^(r)dr , < а Jo
Mr) = Io(MJof—KJoCmJIo' I « J I
где ц „ — положительные корни уравнения
It(M)Jo(H) +=0.
Покажем теперь, как можно найти норму собственных функций. Значение интеграла
а
$rR^(r)dr
о
может быть найдено из соотношения
которое принимает вид z 2 X 2
•rT?^(r)Jr = 4 —=a2I^(u„)J^(nn).
о	4 [dr2
Указанное соотношение может быть получено с использованием уравнения, которому удовлетворяют функции, точно так же, как была получена формула (4.65). Читателю мы предоставляем возможность проделать все необходимые выкладки самостоятельно. Отметим, что, например, в системе аналитических вычислений Mathematica 4 норма наших собственных функций вычисляется.
5 Неоднородные задачи математической физики
До сих пор мы рассматривали однородные задачи математической физики с разделяющимися переменными: основное разрешающее уравнение задачи и обязательно дополнительные условия (начальные или граничные условия) по одной из переменных были однородными.
В этой главе мы приступаем к изучению методов решения неоднородных задач математической физики с разделяющимися переменными.
Неоднородные задачи характерны тем, что они описываются неоднородным уравнением и неоднородными дополнительными условиями — граничными или начальными условиями. Это означает, что правые части уравнений — не нули, а заданные функции. Левые части уравнений сохраняют структуру однородной задачи. Ясно, что к таким задачам метод Фурье разделения переменных неприменим.
Для решения неоднородных задач служат два метода:
□	метод приведения к однородной задаче;
□	метод Гринберга, или метод конечных интегральных преобразований.
Метод приведения к однородной задаче
Рассмотрим применение метода приведения к однородной задаче на примерах. Сущность метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде суммы двух функций и = их +и2, причем одна из них подбирается так, чтобы уравнение для не и граничные условия по одной из переменных были однородными. Этот метод требует применения искусственных приемов. Его целесообразно использовать в простых случаях, когда легко бывает выделить частное решение.
244
5. Неоднородные задачи математической физики
Задача о распределении температуры в бесконечной пластине
Рассмотрим бесконечную по координатам у и z пластину толщины а (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Задача о распределении температуры в пластине
Пусть задано начальное распределение температуры; одна стенка пластины х =0 поддерживается при постоянной температуре TQ, другая х = а — при нулевой температуре. Требуется найти закон распределения температуры в пластине.
Математическая формулировка задачи:
т т=0 =ф(*)-
(5-1)
(5.2)
(5.3)
Будем искать решение задачи (5.1)-(5.3) в виде
Т = 7](х)+Т2(х,т).
Функцию 7] (%) выбираем так, чтобы она удовлетворяла уравнению (5.1) и граничным условиям (5.2). Тогда будем иметь следующую задачу для определения функции
Cv=O-r>l.r-o=^T1|^fl=O.	(5.4)
дх2
Решением задачи (5.4), очевидно, будет функция
7](х) = Т0
которая описывает стационарное распределение температуры. (Проверьте!)
Для определения функции Г2(х,т) будем иметь следующую однородную задачу:
Метод приведения к однородной задаче
245
Здесь	(х) = ф(х)-7’0
s2t2 зт2 _0 дх2 дх
Т2 л,о=О, Г2_=0,
Т2|т.о = ф(х)-7](х).
(5.5)
(5.6)
(5.7)
— заданная функция. Задача (5.5)-(5.7) мо-
жет быть решена методом Фурье разделения переменных.
Задача о нагревании бесконечного цилиндра
Через цилиндр (рис. 5.2) пропускается электрический ток, который выделяет тепло плотностью Q = const. Температура на поверхности цилиндра поддерживается равной нулю. Требуется найти закон распределения температуры в цилиндре.
Рис. 5.2. Задача о нагревании цилиндра
Математическая формулировка задачи:
1 д ( дТ\ дТ
--- г —-------- г дг\ dr J дт
, О
(5.8)
Г = 0(1), Г , = 0.	(5.9)
Г|тж0 = <р(г).	(5.10)
Здесь ф(г) — заданное начальное распределение температуры.
Ищем решение задачи (5.8)—(5.10) в виде
7’= 7] (г) + 7’2(г,т), где 7] (г) — стационарное распределение температуры.
Требуем, чтобы функция 1] (г) удовлетворяла уравнению (5.8) и граничным условиям (5.9). Тогда для определения (г) получаем следующую задачу:

+0 - ограничена,
Т =0.
1 i -a J
246
5. Неоднородные задачи математической физики
Откуда находим (проверьте!)
Для функции 72(г,т) будем иметь следующую однородную задачу:
Т2 - ограничена, Т2 г=а = О,
Г т=о = Ф(О-Т1(г).
(5.И)
(5-12)
(5.13)
Функция ф(г)-7;(г) = ф(г)-^-| 1-^
4я а
задана.
Задача (5.11)—(5.13) может быть решена методом Фурье.
Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны
Мембрана закреплена по контуру и колеблется под действием осесимметричной нагрузки (рис. 5.3)
q - ^(r)sin(cot).
Требуется установить закон вынужденных колебаний мембраны.
Математическая постановка задачи: найти функцию u(r,t), удовлетворяющую уравнению колебаний
1 д( ди} 1 д2и q(r) . z . _	л 2	/г л/х
----г— - ——- = —-sin(cot), 0 < г < a, t>Q, v = —,	(5.14) г dr v dr) v 2 dt TQ	p
где 1} — натяжение, p — плотность мембраны; и дополнительным условиям
(5.15)
и г_>0 — ограничена, и г=а =0,
где ф(г), ф(г) — заданные функции (начальное смещение и скорость).
(5.16)
Метод приведения к однородной задаче
247
*
Будем искать решение задачи (5.14)-(5.16) в форме и = и{ + и2, где их = A(r)sin(a)£), и2 = u2(r,t). Функция Wj — установившиеся гармонические колебания. Требуем, чтобы функция Wj удовлетворяла уравнению (5.14). Тогда для определения функции А(г) получаем следующее уравнение:
1 d ( dA(r)^ г dr \ dr j
A(r) = "
Кроме того, в соответствии с условиями (5.15) должны выполняться дополнительные условия
Л|м0 = О(1), Л|
Для функции и2 - и2 (r,t) однородная задача имеет вид
2 z=0
ди2
dr
2 =0,
^2 г—>0	6^(1), U 2 г=а
= (p(r)-A(r)sin(co£)
z ч ди
= V(r)—-
z-o	dl
= 0,
z=0
- <и(г)-С0^(г)-
Z-0
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
и
2
2
Задача (5.17)-(5.20) может быть решена методом Фурье.
Задача Дирихле для прямоугольника
Требуется решить следующую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в прямо-
угольнике
wL=o = /ойД и
х=а = /АУ)>
Uy=Q =<PoU)> «У=6 = Фа(^>
Ищем решение задачи в виде и = их + и2, где — решение задачи
Дм, =0, M1|J=o=O, MiL.e=0, = Фо(х), м, g,b = Фь(х), (5.21)
я. и 2 — решение задачи
Аи2 —0, U2 r=0 —/oG/)’ ^2 х=а — /'а(У\ ^2 i/=0 U2 у=ь 0.	(5.22)
Задачи (5.21) и (5.22) — однородные. Их решения могут быть найдены методом Фурье.
Ограничимся рассмотренными примерами. Настоятельно рекомендуем читателю в качестве упражнений решить полученные в этих примерах однородные задачи методом Фурье и тем самым довести до конца решение сформулированных ранее задач.
248
5. Неоднородные задачи математической физики
Метод Гринберга
Метод Гринберга, или метод конечных интегральных преобразований, является обобщением метода Фурье на случай неоднородного уравнения и неоднородных граничных условий.
Изложим идею метода на примере следующей задачи: найти функцию и = w(x,у), удовлетворяющую следующим условиям.
Функция и -u(xty) удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению в частных производных:
Lx(u) + M (u) = F(x,y), a<x<bt c<y<d,	(5.23)
ч7
где Lx и Л/ — линейные дифференциальные операторы
С7

1 г(х)
-q{x)u ,
Му (и) = А(у)^- + В(у)^ + С(у)и. дуг ду
Интервал (а,Ь) считаем конечным; функции р(х),р* (x),q(x),r(x) непрерывны в интервале [a, fe], причем р(х) >0, г(х) >0. Интервал (c,d) может быть конечным или бесконечным.
Кроме того, функция и = и(х,у) удовлетворяет по переменной х условиям одного из следующих типов:
и
х=а
(5.24-1)
ди
ди
(5.24-П)
----hau
дх
Х=Л
а(У)>
ди j
— +
дх
(5.24-Ш)
х
J

Далее выполняются некоторые условия по переменной у — такие же, как мы рассматривали при изучении метода Фурье. Например, если А > 0, то уравнение (5.23) — эллиптического типа и ставится одно из условий первого, второго или третьего рода, то есть	\
= Ф<Л*)>
ди
Sy
ди , -----пи
V
= фс(х).
ди
ду
= фЛ*)>
= Фс(У)>
+= фДу)-
(5.25-1)
(5.25-П)
(5.25-Ш)
y=d
Если Л <0, то тип уравнения (5.23) — гиперболический; тогда у е (с,+оо) и ставятся условия
и у=с = ф(х),
ди
Sy
= ф(х);
у =с
(5.26)
Метод Гринберга
249
если А = 0, то тип уравнения (5.23) — параболический; у е(с,+оо) и ставится условие
и у=с = Ф (х).
(5.27)
Рассмотрим следующую задачу Штурма—Лиувилля, связанную с нашей задачей: найти нетривиальные решения уравнения
Zx(X(x)) +ХХ(х) = 0, a<x<bt
удовлетворяющие однородным условиям первого, второго или третьего рода. Или, в явном виде, найти нетривиальные решения уравнения
(рХ'У + (V-<?)X =0,
(5.28)
подчиняющиеся граничным условиям
*х=я=о, *и*=о
либо
либо
дХ дх
дх дх
х~а
При сделанных предположениях эта задача регулярна и имеет дискретный спектр собственных значений X = Хп, п = 1,2,3... Пусть X = Хп(х) — собственные функции этой задачи.
Ссылаясь на общую теорию регулярной задачи Штурма—Лиувилля, можно за-
ключить, что
jr(x)Xn(x)Xm(x)dx а
т* п, т-Пу
и произвольную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям этой задачи.
Идея метода Гринберга заключается в том, чтобы искать решение задачи (5.23)-(5.27) в виде ряда
и(х, у) = ^Сп(у)Х„(х),Сп(у) = n~i
^r{x)u(x,y)X„{x)dx а
Хп(х) 2
ип(у)
ХАх)
Покажем, что исходя из первоначальных уравнений задачи, можно получить уравнения для функции и п (у ) (эта функция иногда называется трансформантой от функции м(х,г/)). Для того чтобы показать это, умножаем уравнение (5.23) на г(х)Хл(х) и интегрируем по интервалу [а,й]. Получим
ь
-qu dx + My(u)r(x)Xn(x)dx =
а
250
5. Неоднородные задачи математической физики
ъ
= j F(x,z/)r(x)X„(x)(ir.
а
Первый интеграл слева преобразуем по частям
(5.29)
Теперь вместо формулы (5.29) будем иметь
+ \и{(рХ'п )' ~qX„]dx +
ь
F(x,y)rXn dx. *
а s------V------'
С учетом уравнения (5.28)
(pX'„y-qX„ = -ХпгХп
и обозначения
j F(x,y)r(x)Xn(x)dx = F„(y) а
получаем уравнение для трансформантыип(у)
Му(ип)-\ил =F„(y)-p
(5.30)
Уравнение (5.30) — обыкновенное дифференциальное уравнение относительно трансформанты и„(у). Здесь Fn(у) — известная функция. Покажем, что функция
g„(y) = -p х„
—	тоже известная функция.
Для условий первого рода будем иметь
£„(«/) = P(^)^(^)A(z/)-p(«)^(fl)/a(v)
—	известная функция;
для условий второго рода
SAy} = -p(b)x„Cb)fh(y) + p(a)X„(a)fa(y)
—	известная функция;
для условии третьего рода
g„(y) = -p(b) xn(b)^
х~Ь
Метод Гринберга
251
+р(а) Хп(а^-
дх
-Х’„(а)и х.а
х-а
= -p(.b)X„(b)fh(y) + p(a)X„(a)fa(y)
—	известная функция.
Условия (5.25-1), (5.25-П), (5.25-Ш) можно трансформировать аналогичным образом. Например, для условий (5.25-1) будем иметь
ь
a„l =hc(x)r(x)X„(x)dx = <р„,, 1 $7 I* * а h
un\^d =\(Pd(x)r(x)Xn(x)dx = <pd„. a
Таким образом, решив задачу (5.30),*(5.31), найдем функциюип(у).
Окончательно получаем решение нашей задачи в виде ряда:
„ -^ип(у)Хя(х) ---------~2-----•
(5.31)
(5.32)
Все сказанное ранее переносится на случай условий четвертого рода, а также на случай сингулярной задачи, если ее спектр дискретный.
Краткая схема решения задачи методом Гринберга
Приведем краткую схему, которой следует придерживаться при решении задач математической физики методом Гринберга.
1.	Поставить задачу Штурма—Лиувилля, связанную с рассматриваемой задачей, и найти систему собственных значений и собственных функций.
2.	Трансформировать исходное уравнение в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение для трансформантыип(г/).
3.	Преобразовать граничные условия по второй переменной в условия для трансформанты ип(у).
4.	Найти трансформанту ип(у) и получить решение исходной задачи в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля.
5.	Рассмотреть вопрос о сходимости полученного формального ряда и в случае необходимости улучшить ее.
Связь метода Гринберга с методом Фурье
Допустим, что в рассматриваемой задаче F(x,y) = fa(у) = Д(#) = 0, то есть задача является однородной. Тогда, очевидно, Fn(y) = 0; gn(y) = 0. Уравнение (5.30) принимает вид
My^n)~KUn =°-
252
5. Неоднородные задачи математической физики
Последнее уравнение совпадает с уравнением (3.79). Таким образом, в этом случае функцияип(у) соответствует функции Yn(y), рассмотренной при изложении метода Фурье (раздел «Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных»), и ряд (5.32) совпадает с разложением, полученным методом Фурье.
Таким образом, если задача однородная, то она может быть решена как методом Фурье, так и методом Гринберга, причем применение метода Гринберга приводит к совершенно таким же результатам, что и применение метода Фурье. Если же задача неоднородная, то метод Фурье неприменим.
Замечания о сходимости рядов, полученных методом Гринберга
Рассматривается краевая задача для уравнения
Lx (и) + Му (и) - F(x,y), a<x<b, c<y<d.
Реализуется одно из условий:
wL-e = /АУ\ Ux.a=fa(.y\
либо
ди
дх
J
х=а
ди
дх
х-Ь
либо

^ + hhu\x.b = fb(y)-дх
Будем искать решение в виде
оо
и = ЕС„(г/)Х„(х),
П=1
(5.33)
где Хп(х) — собственные функции, полученные из решения соответствующей задачи Штурма—Лиувилля для уравнения
Lx(X)+kX=0
при соответствующих однородных условиях первого, второго или третьего рода. Рассмотрим сходимость ряда (5.33). Утверждается, что ряд (5.33) не сходится равномерно во всем замкнутом интервале [а,6]. Если fa(y) * 0, /ь(у) * 0 (одна из них или обе), то имеет место неравномерная сходимость ряда.
Действительно, допустим, ряд (5.33) сходится вплоть до точки х = а. Тогда
lim и = lim£С„(у)Хп(х) = ХС„(у)Х„(а) = 0.
х	х —_ 1
Но это невозможно, так как fa(y) * 0 для [#,&)• Для (я, 6]
оо	оо
limw = lim £ С„ (г/)	(х ) = ^Сп(у)Х(Ь) = 0.
*-*л=1	„=1
Последнее также невозможно, так как fb(y) * 0 для (а,Ь].
Метод Гринберга
253
Таким образом, если граничные условия неоднородны, то имеет место неравномерная сходимость ряда (5.33).
Источником плохой сходимости рядов является попытка разложения функции, которая удовлетворяет неоднородным условиям, в ряд по функциям, удовлетворяющим однородным условиям. Обычно считается, что и е С<2)((а,й)), поэтому внутри интервала функция ы(х, у ) достаточно гладкая.
Способы улучшения сходимости
Рассмотрим вспомогательную функцию и eC(2)((a,i)) и удовлетворяющую условиям
W‘lx=« = fa(y\ fb(y\
За исключением соответствия этим требованиям функция и* может быть вполне произвольной.
Разложим функцию и’ в ряд типа (5.33) по собственным функциям Хп(х):
и‘ =ХС'ЛУ)хЛх)> а<х<Ь, И=1
b
^u*r(x)Xn(x)dx
(5.34)
Хп(Х)
Ясно, что ряд (5.34) обладает такой же сходимостью, как и (5.33). Запишем так:
00	00	00
И = ^СпХп(х) = ^С'пХ„{х) + Z(C„ -с'„ )Х„(х).	(5.35)
И = 1	Н = 1	Л = 1
медленно сходится
хороню сходится
Имеем
w=u-u‘, wx=a=Q, w хжЬ = 0.
Формула (5.35) дает улучшение сходимости, так как сумма ряда (5.34) нам известна (функция и*), а второй ряд справа хорошо сходится, функция да удовлетворяет однородным условиям.
В случае условий первого рода функцию а* можно взять линейной пох:
=fAy)+^[fb(y)-fa<y)]-Ь-а
Для условий второго рода функцию!/’ можно выбрать квадратичной по х:
= fa (У )(* ~ Д) + о* ,	Л/ь(У)-/а(У)1
2(Ь-а)
Кроме предложенного способа можно пользоваться справочными таблицами. Рассмотрим пример. Пусть имеется ряд
и -
sin(nr), 0 <х
254
5. Неоднородные задачи математической физики
Ряд, стоящий справа, обладает плохой сходимостью. Преобразуем П _ 1 П 1 _ 1 + п2 — п2 -1 _ 1	1
п2 +1 п и2 + 1 п п (п2 +1)и п п(п2 + 1)
Таким образом, . . .2^ (-1Г1 . . . и = —	-------sin(nr)----У ,----------sin(zir).
ПЛх1 п	л„,1 п(п + 1)
'--------V---------' ч__________v_________/
д е(Ол)	быстро сходится
л
Первый ряд справа суммируется х 2у (“1)	• /	\ /л \
— =	-------sm(nx), х g (0, л),
л л л=1 п
а второй — хорошо сходится.
Примеры задач математической физики, разрешимых с помощью метода Гринберга
Здесь мы рассмотрим технику применения метода Гринберга к решению некоторых задач, сформулированных в разделе «Метод приведения к однородной задаче».
Задача Дирихле для прямоугольника
Рассматривается следующая задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямо-
угольнике:
О <х < а, 0 <у < Ь,
ux=o=fAy)’ и ,.а=/п(У)-
= Фо(т), uy=b = <ph(x).
(5.36)
(5.37)
(5.38)
Обозначим
Lx (и)=
д2и дх2
Сформулируем соответствующую задачу Штурма—Лиувилля:
£V(X)+XX=O, Х(0) = 0, Х(а) = 0.
(5.39)
Как известно, собственные значения и собственные функции задачи (5.39) будут
Ищем решение задачи (5.36) -(5.38) в виде
00
и(х,у) = ХсАу>х„(х), п=\
Примеры задач математической физики, разрешимых с помощью метода Гринберга 255
причем
а
fu(x,y)X„(x)dx
0	1иЛу}
^*9
2
п
п
Умножаем (5.36) наХп(х)и интегрируем по отрезку [0,а]: а	а
• О и „ , Г О и „ г Л
о дх
2
2 п
2 а
а а
п
п
о о
г , S ПЛ

ПП
2
2 2
ип п п
—-----------и
,2	~2	«
/	а
mt а
(5.40)
Преобразуем граничные условия по у: умножаем (5.38) на Х!}(х) и интегрируем по отрезку [0, а], получаем
=f(Po(X)^n(-r)^ =Фол- и о
Общее решение уравнения (5.40) имеет вид
а
= \^b(.x)Xn(x)dx = yhn.
о
(5.41)
mt а
где и'п(у) — какое-нибудь частное решение (5.40).
Условия (5.41) позволяют найти Ап иВп; таким образом, будет определена функция иП(у). Тогда искомое решение задачи имеет вид
mt
пп
и(х,у) = ~Y,u „(У )sin О и=1
Рассмотрим специальный случай. Будем считать, что граничные условия имеют вид
Фо(х) = О; ф6(х) = Ах. j"
Будем иметь вместо уравнения (5.40) следующее уравнение:
т z _ „
»л И2Л 2	„2
(5.42)
Условия (5.41) при этом примут вид
Un у=0
-0; и
п У=Ь
пп

2

У + и'п(у),
256
5. Неоднородные задачи математической физики
Общее решение уравнения (5.42) мы можем записать в виде
«,.(//) = Л ch
ИЛ
а2У-
Из условий (5.43) находим Ап = 0 и Вп =0 (проверьте!). Таким образом,
6-1V1
=-------а2 у.
тт
Следовательно,
илх
(5.44)
П = 1
и(х,у) =	-------sm
п
Ряд, стоящий справа в (5.44), суммируется, а именно, имеет место формула
(5.45)
X
которая легко может быть получена разложением функции /(х) = — в ряд Фурье а
по синусам на отрезке [0, а] (проверьте!).
Таким образом, окончательно будем иметь
и(х,у)=ху.	(5.46)
Решение задачи методом приведения в рассматриваемом
случае дает формулу
(проверьте!)
w(x,z/) =
2й&£(-1Г‘
я п
п
Отметим, что из формулы (5.44) следует
и(х,у) = уФ(х).
Подставив это решение в уравнение (5.36), определим Ф(х):
Ф"(х)г/ = 0 => Ф"(х) = 0 => Ф(х) = Мх + N.
Таким образом,
и(х,у) = (Мх + N)y,
где М, N ~ константы. Из граничных условий для и находим М = 1, N ~ 0. Таким образом, решение (5.46) может быть получено и без использования формулы (5.45).
Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны
Рассмотрим следующую задачу: найти функцию u(r,t), удовлетворяющую уравнению колебаний
Примеры задач математической физики, разрешимых с помощью метода Гринберга 257
1 ди <ХГ) v2 dt2
2 = -А,	(5.47)
Р
г дг
где То — натяжение, р — плотность мембраны; и дополнительным условиям г-а - 0,
= ф(О>
(=0
— ограничена, и
) = ф(О> —
и
о
где <р(г), \|/(г) — заданные функции (начальное смещение и скорость). Обозначим оператор
Lr(u) = -
Сформулируем соответствующую задачу Штурма—Лиувилля:
Lr(R)+ XRr =0 <=> (rR'y + XRr = 0, 0 < г < a, ограничена, R{a) = 0.
Как мы знаем, собственные значения и собственные функции этой задачи будут иметь вид
п
и
О
>

°0,
где уп — положительные корни уравнения Jo (у) = 0.
Далее, умножив уравнение (5.47) на rRn(r) и проинтегрировав по отрезку [0,а], получим
1 d2ип	1 г р л
—Т~ГГ~Х”ип = -^-\rR^r^dr=>
vl dt1	То Jo
d2un , гУ ,, _ АЛО
Jx 2	+	2 U n	T ’
(5.48)
где введены обозначения
un{t) = ]rRn(r)u(r,t)dr, о
<7„(O = f rRn(r)q{r,t)dr.
0
Преобразованные начальные условия имеют вид
=°,
dt
= 0.
t=0
(5.49)
" («0
258
5. Неоднородные задачи математической физики
Выпишем общее решение уравнения (5.48) в виде
w„(t) = 3„ cos

где и'п(С) — какое-нибудь частное решение уравнения (5.48). Учитывая, что
q(r,t) = ^r)sin(cof),
получим
=sin(co£)[q(r)rRndr = qn sin(wJ).
О
Следовательно, для частного решения уравнения (5.48) можно записать1
un(t) = Cn sin(co^).
Подставив (5.50) в (5.48), находим
У с = v^_ с __v2q„
7 п	Чп г
а Тй
-со2
(5.50)
л“2
о
Тогда, обозначив со„
—, получим а
Ч____
т0
sin(co£).
Из начальных условий (5.49) находим
Л Л О _ Ап
со
п
0
Таким образом,
z х v q
о
sin(cof) - — si
„	co„
л	n
2	2
(0п - СО

где
п
г	(	Г \
rq(r)J0 Уп - dr-о	<	а)
Решение задачи имеет вид
К п	>
ОО
я
и

а
rRnti dr.
о
Или явно,
1
Здесь мы предполагаем, что ш * шп, Vn, то есть случай резонанса не рассматриваем.
Задачи с непрерывным спектром
259
sin(©0- — sin(co„t) Jo
__________Ч____________
J
Рассмотрим в качестве примера случай сосредоточенной в центре нагрузки Qsin(co0. Будем считать сосредоточенную нагрузку предельным случаем распределенной нагрузки. Тогда можно записать (рис. 5.4)
r)r dr = Jo(O)^ =
Q
2 л
^Jo(O)J<7(
О

Рис. 5.4. К определению сосредоточенной нагрузки
В этом случае
«=1
sin(a>t)-—-sin(ca„f) Jo " со,______________________
,ч2	2	т
со, - со J
Задачи с непрерывным спектром
В тех случаях, когда применение метода Фурье приводит к совокупности частных решений, непрерывно зависящих от некоторого параметра, изменяющегося в заданном промежутке, рассматриваемый вопрос относится к классу задач математической физики с непрерывным спектром. Особенность данного случая, который встречается, как правило, при рассмотрении задач для бесконечных областей, заключается в том, что искомое решение строится из найденных частных решений путем интегрирования по параметру, то есть представляется в форме разложения в интеграл по собственным функциям.
260
5. Неоднородные задачи математической физики
На рис. 5.5 приведена таблица, классифицирующая соответствующие задачи Штурма—Лиувилля.
Рис. 5.5. Классификация задач Штурма—Лиувилля
Как нам уже известно, в случае регулярной задачи Штурма—Лиувилля мы имеем дискретный спектр, которому соответствует счетное множество собственных функций. В случае сингулярной задачи Штурма—Лиувилля спектр может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Если спектр задачи непрерывный, то мы имеем дело с несчетным множеством собственных функций. В этом случае решение задачи получается в виде разложения в интеграл. Для определения коэффициентов такого разложения используются теоремы о разложении функции в интеграл.
Некоторые интегральные разложения, связанные с сингулярной задачей Штурма—Лиувилля
К числу наиболее простых и важных интегральных разложений, встречающихся в математической физике, относятся классическое разложение функции, заданной в промежутке (-оо,+оо), в интеграл Фурье и его различные модификации (разложение функции, заданной в промежутке (0,+оо), в синус- и косинус-интеграл Фурье и другие разложения по тригонометрическим функциям), разложение функции, определенной в промежутке (0,+оо), в интеграл Ханкеля по цилиндрическим функциям и некоторые другие разложения.
I. Простейшие интегральные разложения связаны со следующей задачей Штурма—Лиувилля:
X" + XX = 0, 0 < х < 00,
(1)Х(0) = 0, (П)Х'(0) = 0,
либо
либо
— ограничена.
(5.51)
(5.52)
(Ш)Х'(0)-ЛХ(0) = 0 (h>Q)
Найдем собственные значения и собственные функции задачи (5.51), (5.52).
Задачи с непрерывным спектром
261
Общий интеграл уравнения (5.51), очевидно, имеет вид
Х(х) - A cos(VXr) + Bsin(VXx), X * 0.
Для условий первого рода
Х(0)=0=>Л=0=>
X = Bsin(VXr), Х|х->оо “ ограничена => X > 0.
Таким образом, собственные значения будут
X = Xv = v2, 0 < v < оо.
Собственные функции:
X = Xv(x) =sin(vx).
Легко проверить, что X = 0 не является собственным значением. Таким образом, окончательно получаем, что в случае условий первого рода спектр задачи непрерывный, X е (0, +оо).
Для условий второго рода (X 0) имеем
X'(O) = WX=O=> В =0; X=Acos(VXr),
ограничена => Х>0.
Таким образом, собственные значения будут
X = Xv - v2,0 < v < оо.
Собственные функции:
X =Xv(x) = cos(vx).
Легко проверить, что число X = Хо =0 является собственным значением, которому соответствует собственная функция Хо(%) = 1 .
Таким образом, в случае условий второго рода спектр задачи непрерывный,
Для условий третьего рода (X * 0)
Следовательно,
h
Х(х) = А cos(VXr) + ~7=sin(VXx) .
Из условия ограниченности на бесконечности находим X > 0. Итак, собственные значения и собственные функции будут
X = Xv - v2, 0 < v < оо,

cos(vx) + —sin(vx) v
Здесь А — произвольная константа. Удобно принять
262
5. Неоднородные задачи математической физики
Тогда условия первого и второго рода получаются из условий третьего рода как частные случаи. Очевидно, X = 0 не является собственным числом задачи (за исключением случая h - 0).
Таким образом, окончательно
X=Xv(x) =
v cos(vx ) + h sin(vx)
— собственные функции задачи. Спектр — непрерывный, X е (0,+со).
Каждому из рассмотренных трех случаев соответствует своя теорема о разложении функции в интеграл.
Для условий первого рода это будет синус-интеграл Фурье:
ОО
f(x) = j F(v)sin(vx) Jv, 0 < х о
(5.53-1а)
при этом
Г) 00
F(v) = - J/(x)sin(vx)dx, *0
(5.53-16)
Для условий второго рода — косинус-интеграл Фурье:
f(x)= F(v)cos(vx)dv, 0<х<-ню, ч о
(5.53-2а)
при этом
Q 00
F(v) = — f f(x)cos(yx)dx.
(5.53-26)
Для условий третьего рода — обобщенный интеграл Фурье:
/(г) = р(у).\.со^)+/г^_) о	y/v2+ h2
(5.53-3a)
при этом
Q 00
F(v) = -J/(x) л 0
v cos( vx ) + h sin( vx ) Vv2 +/г2
dx.
(5.53-36)

Сформулируем достаточные условия для применимости всех трех теорем — функция /(х) должна удовлетворять условиям Дирихле в любом замкнутом промежутке на полуоси (0, + оо) и быть абсолютно интегрируемой на этой полуоси, то есть:
□	/(*) — кусочно-непрерывна на (0, +оо) и имеет конечное число максимумов и минимумов на [ос,Р] cz (0,+оо);
ос
□	|| /(х) | dx сходится.
о
Задачи с непрерывным спектром
263
В точках разрыва интеграл Фурье сходится к значению 1[/(х-0) + /(х + 0)].
Второе из сформулированных условий допускает обращение функции /(х) в бесконечность, если только несобственный интеграл сходится.
II.	Рассмотрим следующую сингулярную задачу Штурма—Лиувилля:
Xм + XX =0, - 00 < х < +00,
А = 0(1).
Имеем
Х(х) - A cos(VXx) + Bsin(V^x), Z О,
Х(х) = Л + Вх, Х~0.
(5.54)
Очевидно, условие ограниченности будет выполнено, если принять X > О (В - О для (5.54)). Таким образом, собственные значения формируют непрерывный спектр X е [0, +оо); обозначим
X = Xv =v2, 0 < v < +оо.
Собственные функции будут
X(x) = Xv (x) = A cos(VXx) + Bsin(7Xx).
В этом случае теорема разложения имеет вид
00
/(х) = J [M(v)cos(vx) + N(v)sin(vx)]rfv, - оо <; о
—	обычный интеграл Фурье, где
M(v) = 1
(5.55а)
j f(x)cos(yx)dx,
N(v) = -
+00
j f(x)sin(yx)dx.
(5.556)
Сформулируем достаточные условия для применимости теоремы разложения — функция /(х) абсолютно интегрируема на всей оси и удовлетворяет условиям Дирихле в любом замкнутом промежутке, то есть
□	/(х) — кусочно-непрерывна на (-оо,+оо) и имеет конечное число максимумов и минимумов Vx е [а, р] cz (-оо,+оо);
00
□	fl/U) dx — сходится.
Можно записать интеграл Фурье в комплексной форме
+00
/(х)= fF(v)e-iwJv,
-оо
л +оо
F(v) = +f/(x)e'v^.
-00
(5.56)
264
5. Неоднородные задачи математической физики
III.	Рассмотрим следующую задачу:
(rR’y + XrR = 0, 0 < г < +оо,
R г_+о ~ ограничена; R — ограничена.
Имеем
Я(г) = AJ 0 (Лг) + BY0 (Лг), X * О,
R(r) = А + Blnr, Х = 0.
В обоих случаях В = 0, так как 7?(0) = 0(1). Условие 7?(+оо) = 0(1) приводит к тому, что X > 0. Таким образом, собственные значения будут
X = Xv = v2, 0 < v < оо.
Собственные функции
/2 = ^(r) = J0(vr).
Спектр задачи непрерывный, X е [0, +оо).
Теоремой разложения в этом случае служит формула интеграла Фурье—Бесселя:
со
/(г) = f F(v)J0(vr)dv, 0 < г < +00, « о
^(v) = vj/(r)rjo(vr)rfr.
о
(5.57)
Сформулируем достаточные условия для применимости теоремы разложения: функция абсолютно интегрируема в интервале (0,+оо) и удовлетворяет условиям Дирихле в любом замкнутом промежутке из этого интервала, то есть: □ /(г) кусочно-непрерывна на (0,+оо)и имеет конечное число максимумов и минимумов Vr е [а,р] с (0,+оо); 00
□ j Vr| /( г)| dr сходится, о
Отметим [15], что имеет место аналогичная теорема для Jp(vr), где р >1/2. Соответствующее разложение называется интегралом Ханкеля.
Отметим в заключение, что приведенные формулы (5.53-1а), (5.53-16), (5.53-2а), (5.53-26), (5.53-3а), (5.53-36), (5.55а), (5.556) и (5.56) называются также преобразованиями Фурье (прямым и обратным). Формулы (5.57) представляют, соответственно, частный случай преобразования Ханкеля.
Примеры задач с непрерывным спектром
Здесь мы рассмотрим несколько примеров решения задач математической физики с непрерывным спектром, на которых продемонстрируем технику применения разложений в интеграл.
Примеры задач с непрерывным спектром
265
Задача об охлаждении полубесконечного тела
Начнем с рассмотрения задачи теплопроводности. Если мы имеем линейный поток тепла в полубесконечной среде [0,+оо), то есть изменением температуры относительно гиг/ можно пренебречь, и если источники тепла в среде отсутствуют,
ЗШЁ
то дифференциальное уравнение теплопроводности примет следующий простои
вид:
(5.58)
Предположим, что граница тела х = 0 поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура задана в виде функции ср(х). Тогда дополнительные условия будут
Т v=0 = О, Т ~ ограничена,
(5.59)
Т|т=0=ф(х).	(5.60)
Будем искать решение в форме
Т(х,т) = Х(х)У(т).
Разделяя переменные в уравнении (5.58), находим
X" + XX-0,	(5.61)
У' + ^У =0.	(5.62)
Кроме того, учитывая условия (5.59),
Х(0) = 0, Х(оо) — ограничена.	(5.63)
Таким образом, мы пришли к задаче Штурма—Лиувилля (5.61) и (5.63). Мы знаем, что X == Xv -v2,0<v<+oo — собственные значения и X = Xv(x) =sin(vx) — собственные функции этой задачи. Спектр задачи — непрерывный: X е(0,оо).
Уравнение (5.62) принимает вид
r+v2y=0^yv(T) = Cv^v2\
Таким образом, совокупность частных решений нашей задачи имеет вид
Т(х,т) = Tv(x,x) = Cve"v2t sin(vx), 0 < v < +oo.
Применяя обобщенный принцип суперпозиции, составим интеграл
Т(х,т) = jCve~^ sin(vx)dv.	(5.64)
о
Здесь мы предполагаем, что интеграл (5.64) сходится так, что можно переходить к пределу под знаком интеграла и дифференцировать. Тогда
ОО
Т|г=0 = ф(х) = JCV sin(vx)rfv, 0 < v < +QO.
о
266
5. Неоднородные задачи математической физики
По теореме разложения в синус-интеграл Фурье и предполагая, что функция ф(х) разлагается в синус-интеграл Фурье, находим
2 00
Cv - — j (p(x)sin(vx)6Zr.
Л О
(5.65)
Таким образом, мы получили формальное решение нашей задачи в виде формул (5.64) и (5.65). Сейчас следовало бы доказать, что все наши рассуждения законны и интеграл (5.64) действительно сходится к функции Т(х, т), удовлетворяющей уравнению (5.58) и начальному условию (5.60). Вместо этого мы представим решение задачи в другой форме, которая позволяет проще обосновать это решение и оказывается справедливой для более широкого класса функций.
Преобразование полученного решения
Объединяя формулы (5.64) и (5.65), можно записать
rj 00
7’(х,т) = -(е"Л л 0
00
sin(vx) Jvj <p(^)sin(v^)(/^. о
(5.66)
Допустим, что можно переставить порядок интегрирования. Тогда
П ОО	00
Т(х,т) = - J ф(^)г/^| е~у2х sin(vx)sin(v^)dv -71 о	о
J 00	00
=- J(p(i;)^J я о	о
Воспользуемся известной формулой
оо г 2 2 Г х
-v2t
[cos(v(^-x)) - cos(v(£,+ .r))]c/v.
(5.67)
cos(bx)dx - — 2а
(5.68)
О
Тогда (5.67) можно переписать в виде
Л со	I
Т(х,т) = - J<p(^)
71 0
-А' )2
4т
4а~
2
2
2
1 Г
2-у ят о
(5.69)
Проведенное преобразование решения (5.66) упрощает вычисления; формула (5.69) справедлива для более широкого класса функций: функция ф(х) может быть уже и константой, в то время как в (5.66) это не имеет места.
Можно непосредственно проверить, что функция
К(х, т, ^) = —= 2Улт
-X)2 4т
. 2
1- .г ) 4т
является решением уравнения (5.58) при любому.
Примеры задач с непрерывным спектром
267
Пример. Пусть <р(х) = TQ = const, тогда, в силу (5.69), имеем
Здесь в первом интеграле делаем замену
а во втором — замену
Тогда
Г(х,т) =—^=г2л/т je~s ds- ds
24 m	x
277	277
277
Таким образом, решение рассматриваемой задачи выражается через интеграл ве-
роятности
Ф(х) =
то есть
Т(х,т) = Г0Ф
(5.70)
Теперь, пользуясь известными свойствами интеграла вероятности, легко проверить граничные и начальные условия
7Uo = WO) = O, Г|х_=Т0Ф(оо) = 7’0, 7’|1=0=Т0Ф(оо) = Г0.
Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что решение (5.70) удовлетворяет также и уравнению (5.58).
Задача Дирихле для полуплоскости
Рассмотрим следующую задачу: найти функцию и е С(2) , удовлетворяющую уравнению Лапласа
д2 и д2и п п
Дм = тт + тт=0’ у >0
дх ди
и граничным условиям
wL=0 =/(*)> М1 гт~2 “ ограничена
(5.71)
268
5. Неоднородные задачи математической физики
в области у > 0, -оо < х < +оо.
Ищем решение задачи в форме
п-Х(х)У(г/).
Откуда, разделяя переменные, получаем
X" + ХХ =0,	ограничена,	(5.72)
У'-ХУ =0.	(5.73)
Собственные функции и собственные значения задачи (5.72) имеют вид:
X - Xv = v2, 0 < v < +оо, Х(х) - Xv(x) - Xv cos(vx) + Bv sin(vx).
Из уравнения (5.73) при X = Xv = v2 находим
Yv(y>Cve~^
Учитывая ограничённость на бесконечности, получаем Dv =0. Таким образом, частное решение задачи имеет вид
uv(x,z/) ~ е vy [Mv cos(vx)+ Nv sin(vx)], 0 < v < +oo.
Воспользуемся обобщенным принципом суперпозиции и составим интеграл
оо
и(х,у) - j e~vy [Mv cos(vx)+ Nv sin(vx)]<7v.
0
(5.74)
Считая сходимость интеграла (5.74) достаточно «хорошей», можем записать
□о
u[y=0 = /(х) - j[Mv cos(vx) + Nv sin(vx)’]dv. о
Согласно теореме разложения и предполагая, что функция /(х) разлагается в интеграл Фурье, запишем
+30
Mv =- f f (x)cos(yx)dx,
(5.75)
Таким образом, получили формальное решение задачи в виде формул (5.74) и (5.75).
Преобразование полученного решения
Объединяя формулы (5.74) и (5.75) и предполагая возможной замену порядка интегрирования, запишем так:
оо
j7(^)cos(VQ^+ J/Wsin(v^ = к Л	к д
Примеры задач с непрерывным спектром
269
+00
dv j /( £) cos(v(t, - х.)) dt, =
«□о
>4 +00	00
= -/Жхф-'*
-00	О
cos(v(^-%)) dv.
Воспользуемся известной формулой
jе	cos(bx)dx =
о
--, a>Of -оо<Ь<+со. а + b
Тогда
и(х,у) = - J/(Q
*rr •
(5.76)
Формула (5.76) упрощает вычисления и справедлива для более широкого класса функций. Легко убедиться непосредственной проверкой, что функция
(£,-х) + у
удовлетворяет уравнению Лапласа при любом Убедимся в выполнении граничного условия (5.71). В формуле (5.76) предельный переход при у -> 0 неприемлем. Поэтому запишем так:
и(х,у} = - J ---------у[/(^)-/(х)]^ +
л-оо(^-х)2 + /
V- . —	__ -	-	_
>/(х).
Здесь первый интеграл справа стремится к нулю при у —> 0, а второй интеграл равен единице. Таким образом, и
Пример. Рассмотрим следующую задачу: найти стационарное распределение температуры и =и(х,у) в полу бесконечном теле, ограниченном плоскостью у = 0, часть которой (| х
(| х| > а) — при температуре, равной нулю.
= /(*)
а) находится при заданной температуре и0, остальная часть
Ясно, что сформулированная задача является рассмотренной нами задачей Дирихле для полуплоскости в случае, когда
f{x) =
Из (5.76) будем иметь
270
5. Неоднородные задачи математической физики
где ср = оц + а 2 — угол, под которым отрезок -а < х < а, у = 0 виден из точки М(х,у) (рис. 5.6).
Задача Дирихле для полупространства
Рассмотрим следующую задачу:
A w - -
^=0, о
dz2
и
— ограничена, и
— ограничена,
и
г=о =/(О-
Будем искать решение в виде
u(r,z) = R(r)Z(z).
Разделяя переменные, получим:
(rR')' + krR = 0.
Я| r-о - ограничена, Я|
Z" -xz=o.
(5.77)
(5.78)
(5.79)
(5.80)
— ограничена,
Задача Штурма—Лиувилля для уравнения (5.78) с граничными условиями (5.79) имеет непрерывный спектр собственных значений:
А. е [0,+оо),	=v2, 0<v<+oo.
Собственные функции будут:
Kv(r) = Jo(vr)-
Из уравнения (5.80) и условия ограниченности функции на бесконечности находим:
Zv(z) = Cve~" +Dve", Dv =0.
Примеры задач с непрерывным спектром
271
Таким образом, совокупность частных решений имеет вид
uv(r,z) = Cve'vlJ0(vr), 0<v<a>.
Чтобы удовлетворить условию (5.77), запишем разложение в интеграл
00
u(r,z) = j Cve~"J0 (vr)tZv.	(5.81)
О
Предполагая возможным предельный переход под знаком интеграла при z -»0, получим
= f (z) = ] CJ u(vr)dv. о
Предполагая, что функция /(z) разлагается в интеграл Фурье—Бесселя, находим
оо
с. =vj7(r)rJo(vr)</r.	(5.82)
О
Таким образом, получено формальное решение задачи в виде формул (5.81), (5.82).
Пример. В качестве примера использования полученного решения рассмотрим следующую задачу (рис. 5.7). Пусть массивное тело нагревается так, что на некотором круге радиуса а поддерживается постоянная температура и = Го, а за пределами этого круга — температура и = 0. Требуется найти стационарное распределение температуры и ~u{r,z).
-а 0 а
и - О	и “ TQ	и ~ О
Рис. 5.7. Пример
Математическая формулировка задачи:
Aw = О, 0 < г < оо, z > О,
и г_,0 — ограничена, и г—7	— ограничена,
Воспользуемся полученным решением (5.81), (5.82) и вычислим интеграл
а
Cv =vTo J rjo(yr)dr.
о
Имеем, учитывая уравнение Бесселя, которому удовлетворяет функция Jo,
272
5. Неоднородные задачи математической физики
d dr
r.^Mvr) + v2rJo(vr) = 0=> rjo(vr) = —y[rj'o(vr)]'. dr J
Следовательно,
cv =-^rJ'o(vr)|;:“=roaJ1(va).
V
Соответственно, распределение температуры определяется формулой
u(r,z) = Гоа j e’V2Ji (v«)Jo(vr)rfv.
0
Часто интерес представляет распределение температуры вдоль оси z. В этом случае
□О	00
«I г-0 = тоа je“v2J( (ya)dv = -То je'w<J0(va) =
О	о
= -Т0 e“V2J0(va)
о +z je'v2 Jo (va)6?v
О
Таким образом, стационарное распределение температуры вдоль оси z дается формулой
Замечание о других краевых задачах
Плоские задачи решаются для областей следующего вида (рис. 5.8): а) полуплоскость} б) полоса. При этом рассматриваются уравнения Aw =0 или Aw + k2u -О в области D. Граничные условия — первого, второго или третьего рода. Аппарат решения — разложение функции в интеграл Фурье по координате х.
Рис. 5.8. Плоские задачи: а — полуплоскость, б — полоса
Пространственные задачи решаются для областей: а) полупространство; б) слой. При этом искомая функция удовлетворяет уравнению Aw = 0 или Aw + k2u =0. Граничные условия — первого, второго или третьего рода. Решение ищется в виде разложения в интегралы Фурье—Бесселя.
Задача о радиальных колебаниях газа
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задано начальное распределение плотности газа в пространстве. Требуется проследить дальнейшее распределение плотности — процесс выравнивания давления.
Примеры задач с непрерывным спектром
273
Будем рассматривать так называемые радиальные колебания газа, которые образуются в том случае, когда начальные условия зависят только от г — расстояния от колеблющейся частицы газа до начала координат.
Положение произвольной точки в пространстве в данном случае удобно характеризовать сферическими координатами (г, 0, (р).
Математическая формулировка задачи:
и\ г_0 — ограничена, и\ г_^а0 — ограничена.
Будем искать решение в виде
u(r,t) - R(r)T(t).
Разделяя переменные, получим
(r2/?')' +V2T? = 0.
Г" + Х<у2Г = 0.
(5.83)
(5.84)
Очевидно, необходимо потребовать
R г_,о — ограничена, R r^rj — ограничена,
(5.85)
Уравнение (5.83) можно записать так:
rR" + 2R! + АЯ? = 0 <=> (гЯ)" + UR = 0.
Откуда
rR = A cos(4hr) + Bsin(VXr), X * 0
или
Следовательно,
cosVXr DsinVIr
F 15	,
или
Х=0.
Из граничных условий
находим: X е [0,+оо). Спектр задачи непрерывный:
Xv = v2, 0 < v < qo
- собственные числа;
sin(Jx7r)
Rv(r) = Bv V v =BV
sin(vr)
собственные функции задачи (5.83), (5.85).
274
5. Неоднородные задачи математической физики
Из уравнения (5.84) будем иметь
Tv (£) = Cv cos(w£) + Dv sin(v^f),
du n	П A
и так как —	- 0, то следует принять Dv = 0.
,=о
Итак, получаем совокупность частных решений
sin(vr) .	. Л
uv = Mv —-—- cos (yvt), 0 < v < оо, г
откуда находим
/	71 .г sin(vr) z ч ,
м(г, t) = mv —cos(vctf)av.
о г
Предполагая возможным предельный переход при t -» 0, получим
и
t=0 = <P(r) = f sm(vr) о < r < оо, о г
или, допуская, что функция r<p(r) разлагается в синус-интеграл Фурье, находим
оо
2 00
Mv = — jrcp(r)sin(vr)r/v, 0<r о	71 о
Полученная форма решения часто неудобна из-за плохой сходимости интеграла, причиной которой является характер подынтегральных функций. Поэтому преобразуем полученное формальное решение.
Имеем
(5.86)
и = ? Mv	cos(yvt)dv =
о r
1 г
= — Mv [sin(v(r + vt)) + sin(v(r -ztf))]</ 2r Jo
ru
1 Г 00	00
= - < J Mv sin(v(r + vt))dv + j Mv sin(v(r -vt))dv 2 n	л
о
10
На основании формулы (5.86) можно записать (0 < г + vt
ru = -{(г + 77f)cp(r + Vt)± Г-vt ф( Г-vt\ )}.
Здесь выбираем знак «+» при г > vt и «-> — при г < vt. Таким образом, окончательно
и ~—{(r + ^0<p(?* + ^0 + (r ~vt)(f>( r-vq )}.
(5.87)
Метод интегральных преобразований
275
В формуле (5.87) первое слагаемое — сферическая волна, идущая из бесконечности к началу координат; второе слагаемое — сферическая волна, распространяющаяся из начала координат.
Метод интегральных преобразований
Для решения задач математической физики с непрерывным спектром, наряду с описанным выше методом, во многих случаях может быть с успехом использован метод интегральных преобразований. Под интегральным преобразованием функции /(х) понимается значение определенного интеграла, взятого по заданному промежутку1 от произведения f(x) на ядро преобразования, представляющее собой функцию переменной х и некоторого параметра, который может принимать произвольные значения в заданной вещественной или комплексной области.
Интегральные преобразования
Интегральные преобразования, встречающиеся в математической физике, могут быть условно разделены на «вещественные» и «комплексные» в зависимости от значений, принимаемых параметром преобразования.
Пусть задана некоторая функция К(х, v), где а < х < оо, Ь < v < оо. Будем предполагать эту функцию непрерывной от х и v в указанной области. Пусть /(х) еЛ ~ функция вещественной переменной (Л — некоторый класс функций). Если для каждой функции класса А интеграл
jF(v) = JX(x,v)/(x)dk	(5.88)
сходится, то в этом случае говорят, что определено интегральное преобразование F(v) от функции f(x) на классе А. При этом функция K(x,v) называется ядром интегрального преобразования.
Во многих случаях существует обратная зависимость для (5.88). Она имеет вид
f(x) = $M(xy)F(y)dv.	(5.89)
ь
Функция M(x,v) называется ядром обратного преобразования. Формула (5.89) — обращение преобразования (5.88). Конкретная структура ядра Af(x,v) зависит от ядра K(x,v) и пределов изменения переменных. Как правило, формула (5.89) имеет место в некотором классе В (не на всем классе А:Вс А), то есть f(x) е В.
Обе формулы (5.88) и (5.89) можно объединить в одну
f(x) = JM(x,v)dvJ K(y,v)f(y)dy, f(x) e В, a<x < oo. (5.90) b	a
1 В задачах математической физики этот промежуток совпадает с интервалом изменения той переменной, по функциям которой ведется разложение.
276
5. Неоднородные задачи математической физики
Формула (5.90) — разложение функции f(x) по функциям A/(x,v). Часто случается, что формулы (5.88) и (5.89) взаимны.
В разделе «Задачи с непрерывным спектром» мы уже встречались с интегральными преобразованиями Фурье и Ханкеля. К группе вещественных преобразований, общий вид которых может быть представлен в форме (5.88), относятся, например, следующие преобразования.
Сину с-преобразование Фурье.
F(v) = j f(x)sin(vx)dx, 0<v<oo.	(5.91)
о
Формула обращения синус-преобразования Фурье:
2 00
/(х) = — J F(v)sin(vx)6/v, 0 < х < оо.
71 о
(5.92)
Здесь X(x,v) =sin(vx), M(x,v) = 2sin(vx)/n. Обратим внимание на то, что теперь, в отличие от формул (5.53-1а), (5.5^-1б), числовой коэффициент 2/л стоит перед интегралом для функции F(v). Положение этого коэффициента, вообще говоря, неважно. Иногда, чтобы сделать формулы типа (5.91) и (5.92) симметричными, ставится числовой коэффициент ^/2/л перед обоими интегралами в этих формулах. Аналогичное замечание справедливо и для других преобразований.
В качестве класса А можно взять класс кусочно-непрерывных и абсолютно интегрируемых функций на (0, +оо). Класс В — класс таких же функций, но имеющих конечное число максимумов и минимумов на любом [а, 0] <z (0,+оо).
Косинус-преобразование Фурье.
00
F(v) = j /(x)cos(vx)<ir, 0 < v о
Формула обращения
2 00
f(x) = — j F(v)cos(vx)rfv, 0 < х 71 0
(5.93)
(5.94)
Обобщенное преобразование Фурье.
f(v) = f f{x) о
v cos(vx ) + h sin(vx )
dx, 0
< V < OO.
(5.95)
Формула обращения
0<x<oo
rcJo	л/v2 +h2
(5.96)
Классическое преобразование Фурье.
F(y) = j f(x)elvx dx, - oo < v < oo.
(5.97)
—00
Метод интегральных преобразований
Формула обращения:
/(%) = —?F(y)e~lvxdv, -оо <х <оо.	(5.98)
Ядра классического преобразования Фурье имеют структуру
K(x,v) = eivx, M(x,v) = — e~ivx.
2л
Преобразование Фурье—Бесселя.
F(y) = /(r)rJo(vr)^r> 0<v<oo.	(5.99)
J a
Формула обращения
/(r) = J ^(v)vJo(vr)^v’ 0 < r < oo.	(5.100)
a
Здесь ядра имеют вид K(r,v) - rjo(vr), Af(x,v) = vjo(vr). Класс функций, для которых справедливо преобразование, определяется теоремой разложения в интеграл Фурье—Бесселя.
Типичными представителями другой группы преобразований, которые могут быть представлены в виде
F(p) = J K(x,p)f(x)dx а
(а — заданное число, р = о + и — параметр, изменяющийся в некоторой области D плоскости комплексного переменного, К — ядро преобразования), являются:
□	преобразование Лапласа: К(х,р) = е~хр, а - 0, D ~ полуплоскость, лежащая правее некоторой прямой о = параллельной мнимой оси;
□	преобразование Меллина: К(х,р) =	, а = О, D — полоса, заключенная меж-
ду параллельными прямыми о - и о = о2.
С преобразованием Лапласа мы познакомимся в следующей главе.
С помощью интегральных преобразований можно решать неоднородные задачи математической физики по схеме метода Гринберга. Применение интегрального преобразования к дифференциальному уравнению в частных производных временно исключает одну из независимых переменных, вследствие чего интегрирование заданного дифференциального уравнения в частных производных сводится к интегрированию уравнения в частных производных, содержащих на единицу меньше независимых переменных, чем заданное уравнение. Если исходное уравнение с двумя независимыми переменными, то применение интегрального преобразования сводит задачу к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.
Решение преобразованного таким образом уравнения является функцией от v и остальных переменных. После того как указанное решение получено, требуется «обратить» его, чтобы восстановить «утерянную» переменную. Этот процесс
278
5. Неоднородные задачи математической физики
обращения сводится, по существу, к решению одного из интегральных уравнений (5.91), (5.93), (5.95), (5.97), (5.99) относительно функции /(х); функция F(v) предполагается известной. Формальные решения этих интегральных уравнений даются соответственно формулами обращения (5.92), (5.94), (5.96), (5.98), (5.100).
Достоинствами метода интегральных преобразований являются возможность применения метода к однородным и неоднородным задачам, упрощение выкладок и разделение принципиальной и чисто вычислительной части решения, а также возможность построения операционного исчисления для данного ядра путем составления таблиц прямых и обратных преобразований различных часто встречающихся в приложениях функций.
Преобразование Фурье
Ввиду большой важности интегрального преобразования Фурье напомним здесь некоторые основные свойства этого преобразования.
Пусть /(х) — произвольная функция, определенная на интервале (-оо,+оо) и удовлетворяющая следующим условиям:
1) f(x) — кусочно-непрерывна на(-оо,+оо).
2) f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть конечное значение.
-н»
j| /(х)| dx имеет
—ОО
Будем говорить, что тогда /(х) еЛ. При таких условиях функция /(х) может быть представлена в виде разложения в интеграл Фурье
причем в точке разрыва первого рода х = с левая часть формулы должна быть заменена полусуммой [/(с-0) +/(с + 0)]/2.
Преобразованием Фурье от функции /(х) называется интеграл
оо
/($) = \f(x)e,sxdx,-x
-00
(5.101)
Для функций, удовлетворяющих перечисленным условиям, преобразование Фурье всегда существует. Действительно, интеграл
₽
-а
где аир — любые конечные числа, всегда существует (интеграл Римана), кроме того, |/(х)еш |= |/(х)|. Поэтому интеграл (5.101) сходится.
Преобразование Фурье обладает следующими свойствами.
Если /(х) = cxJ\(x)+ c2f2(x), где функции Л(х),/2(х) <= А, а и с2 — констан-
ты, то /(s) = q /t (5)+ с2 f 2(s) (свойство линейности преобразования Фурье).
Метод интегральных преобразований
279
Сверткой двух функций fi(x),f2(x) е А называется функция, определяемая по 00
формуле f(x) = j f\(y)fi(x ~y)dy - {/нА)5 причем свертка коммутативна, то
—со
есть	Справедлива формула f(s) = /,(s)f2(s),
/(*)
-> 0 при 5 —> ±оо.
Имеет место формула обращения, которая справедлива для функций /(х) е В, удовлетворяющих условиям:
О f(x) ~ кусочно-непрерывна и имеет конечное число максимумов и минимумов в любом замкнутом промежутке [а, 6] с (-оо,+оо).
+ОО
2) /(х) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть j| /(х)| dx имеет конечное значение.	-<*>
Формула обращения имеет вид (в точках непрерывности)
/(х) =
Неоднородные задачи с непрерывным спектром
Рассмотрим технику применения метода интегральных преобразований на примере следующей задачи: найти функцию и = и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям: уравнению
Lx(u) + Му(и) = F(x,y), жх<оо, c<y<d,
где Lx, М — линейные дифференциальные операторы,
г(х)
-q(x)u ,
д2и ду2
М (и) = А(у) .*7
+ В(у)^-+ С(у)и. ду

Если х = а — регулярная граница, то удовлетворяются условия одного из следующих типов:

ди
дх
х*а

— -hu дх
=	h>0.
х=а
На сингулярной границе выполняется условием = 0(1).
Если х - а — сингулярная граница, то и х^а - 0(1), и = 0(1). Далее выполняются некоторые условия по переменной у, которые зависят от типа уравнения.
280
5. Неоднородные задачи математической физики
Соответствующая задача Штурма—Лиувилля имеет вид (рХ'У + (kr-q)X=0.
Если х = а — регулярная граница, то
либо
dX
либо
.г =а
*^ = 0(1).
и
Если х = а — сингулярная граница, то
Х|_о=О(1),	=0(1).
Будем считать, что сформулированная задача Штурма—Лиувилля имеет непрерывный спектр собственных значений, которые обозначим X = Xv =v2; а собственные функции — X = Xv (х), 0 < v < оо.
Поступим по аналогии с методом Гринберга:
оо к
а
Р<х)^
оо	оо
-q(x)u dx + My(u)rXvdx = ^F(x,y)rXvdx
ди дх
а
а
Х=оо
х=а
00
= J F(x,y)rXv dx. а
i --- -у-	— j
= fv (У )
Введем в рассмотрение интегральное преобразование
00
uv - ^urXvdx.	(5.102)
а
Тогда наше уравнение будет иметь вид
где
М (uv)-Xvuv = Fv(y)-Gv(y),
СЛУ) = Р
(5.103)
(5.104)
Пусть х - а — регулярная граница. Имеем
Примеры решения неоднородных задач с непрерывным спектром
281
ди
х-а
' -p(a)X'v(d)f(y) p(a)Xv(a)f(y)
. P(a)Xv(a)f (y)
для условий первого рода, для условий второго рода, для условий третьего рода.
Таким образом, правая часть в формуле (5.104) при х = а — известная функция. Наложим некоторые дополнительные условия при % = оо. Будем считать, что
00
При таких условиях Gv(y) — известная функция.
Если х = а — сингулярная граница, то потребуем, чтобы
Р
ди дх
X =00
При таких дополнительных условиях метод интегральных преобразований применим. Для полной постановки задачи для уравнения (5.103) необходимо еще трансформировать условия по переменной у.
Решив уравнение (5.103) с соответствующими условиями по переменной г/, найдем функцию z7v. Затем функцию и найдем по формуле обращения
и(х,у) = j M(x,v)uv(y)dv, а
где M(x,v) — ядро обратного преобразования для преобразования (5.102); ядро преобразования (5.102) имеет вид K(x,v) - r(x)Xv(x).
Может оказаться так, что сформулированные дополнительные условия неприемлемы для рассматриваемой задачи. Тогда метод интегральных преобразований тоже неприменим.
Примеры решения неоднородных задач с непрерывным спектром
Здесь мы на нескольких примерах рассмотрим технику применения интегральных преобразований для решения неоднородных задач математической физики с непрерывным спектром.
Задача Дирихле для полуполосы
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в области, представляющей собой полуполосу D = {0 <х < оо, $ <у <Ь} (рис. 5.9).
Требуется найти функцию и e C(2)(D), удовлетворяющую условиям
Ди =0, (х,г/) е D,
их*о =fW)> их^,=О(Х),
=Фо(^)- и у= (рь(х).
(5.105)
282
5. Неоднородные задачи математической физики
У*
Рис. 5.9. Полуполоса
b
О
Соответствующая задача Штурма—Лиувилля имеет вид(0 < х < оо):
X" + XX = О, Х(0) = 0, Х\х_^ = 0(1).
(5.106)
Спектр задачи (5.106) непрерывный: X е (0, +оо). Собственные значения X = Xv = v2 (О < v < оо); собственные функции — Xv(x) = sin(vx).
В соответствии с общей теорией
sin(vx)</x +
sin(vx)^Zr =0
Х=оо
r=0
ди дх
sin(vx) - uv cos(vx)
СО
-v2 jwsin(vx)^Zr + о
Потребуем, чтобы
d2
—- fwsin(vx)6Zr dy Vo
(5.107)
ди дх
(5.108)
Условие (5.108) должно быть согласовано с поведением функций (5.105): (р0 -> О,
—> 0 при х -> оо. Теперь уравнение (5.107) примет вид
d2u dy2
-v2u =-vf(y),
(5.109)
где
и = Jwsin(vx)<Zr. о
Трансформируем условия (5.105):

у=0 ” Фо» ~~ Фб>
(5.110)
где введены обозначения
00	ОО
Фо = | <Po(x)sin(vx)^r’ Фь = J<pA(x)sin(vx)dbr. о	о
Решив уравнение (5.109) при условиях (5.110), найдеми -uv(y), Откуда, по формуле обращения,
Примеры решения неоднородных задач с непрерывным спектром
283
2 00
w(x, у ) = - J й v (у) sin( vx) dv.
л 0
Пример. Пусть /(#) = w0’Фо(х) =0, срДх) = 0. В этом случае уравнение (5.109) будет иметь вид
2
-v2u = -vw0.
Откуда находим
и = Xsh(vz/) + Bsh(v(6-#)) + —
Имеем далее
у=0 = 0 => Bsh(vZ>) + —
= 0,
и
y=ft = 0^4sh(vb) + ^
= 0,
откуда
Цр
v sh(vh)’
В =------.
v sh(vfe)
Таким образом,

sh(vft) sh(vi)

откуда окончательно получаем
sh(vy) sh(v(6 - г/))1 sin(vx)
2w0 и ~	”
к Jo [ sh(vZ?) sh(vb)
Задача об изгибе плиты
Рассмотрим пластину в виде бесконечной полосы ширины b (рис. 5.10). Будем считать, что края плиты жестко закреплены.
Рис. 5.10. Изгиб плиты
284
5. Неоднородные задачи математической физики
Известно, что прогиб такой пластины удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
д*и
.2 л .2
____	1
Л2 и = — дх
Здесь q(x,y) — плотность заданной распределенной нагрузки, действующей на плиту; D — так называемая цилиндрическая жесткость плиты. Уравнение (5.111) — уравнение Софи Жермен—Лагранжа
Сформулируем граничные условия:
и
= 0(1),
ди
= 0(1),
(5.112)
y~O,h
ди
(5.113)
ъ.
Условия (5.112) означают, что прогиб и угол поворота на бесконечности (х —> ±оо) должны быть ограничены; условия (5.113) — условия закрепления кромок плиты (прогиб и угол поворота должны быть равны нулю).
Умножим уравнение (5.111) нае1ух и проинтегрируем от -оо до +оо. Обозначим
Будем требовать, чтобы, в соответствии с (5.112), дополнительно выполнялись условия
и
о,
00
о, —
дх
0.	(5.114)
2
°' 755
Это требование должно быть согласовано с поведением функции q(x,y). После интегрирования получим
Вопросы к главе 5
285
Таким образом, вместо уравнения в частных производных (5.111) имеем обыкновенное дифференциальное уравнение
(5.115)
где введено обозначение
+00
= \^х,у)е^х dx.
Условия (5.113) трансформируются в следующие условия:
(5.116)
Решив уравнение (5.115) при условиях (5.116), мы найдем функцию и =uv(y), а тогда прогиб плиты определится по формуле
и(х,у) = 2- fwv(y)e'ivxdv.
ПРИМ ЕЧАН И Е ---------------------------------------------------------
Дополнительные условия (5.114) физически означают, что на бесконечности прогибы, углы поворотов (первые производные от прогибов), изгибающие моменты (пропорциональны вторым производным от прогибов) и поперечные силы (пропорциональны третьим производным от прогибов) исчезающе малы. Такое требование представляется физически разумным, если, конечно, оно согласовано с поведением функцииq(x,у).
Вопросы к главе 5
1.	Дайте характеристику неоднородных задач математической физики. Какие методы служат для решения неоднородных задач?
2.	В чем заключается сущность метода приведения к однородной задаче? Приведите примеры.
3.	Сформулируйте основную идею метода Гринберга.
4.	Изложите применение метода Гринберга для уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
5.	Приведите краткую схему решения задачи методом Гринберга.
6.	Как связаны между собой методы Гринберга и Фурье?
7.	Дайте решение задачи Дирихле для прямоугольника методом приведения к однородной задаче.
8.	Дайте решение задачи Дирихле для прямоугольника методом Гринберга.
9.	Дайте решение задачи о вынужденных колебаниях круглой мембраны методом приведения к однородной задаче.
10.	Дайте решение задачи о вынужденных колебаниях круглой мембраны методом Гринберга.
286
5. Неоднородные задачи математической физики
И. Что можно сказать о сходимости рядов, полученных при решении методом Гринберга?
12.	Дайте классификацию задач Штурма—Лиувилля.
13.	Приведите примеры интегральных разложений, связанных с сингулярной задачей Штурма—Лиувилля.
14.	Сформулируйте теорему разложения функции в синус-интеграл Фурье. С какой краевой задачей связано это разложение?
15.	Сформулируйте теорему разложения функции в косинус-интеграл Фурье. С какой краевой задачей связано это разложение?
16.	Напишите формулы интегрального разложения, связанного с граничными условиями третьего рода на полуоси.
17.	Сформулируйте теорему разложения в интеграл Фурье—Бесселя. С какой краевой задачей связано это разложение?
18.	Дайте решение задачи об охлаждении полубесконечного тела.
19.	Дайте решение задачи Дирихле для полуплоскости.
20.	Дайте решение задачи Дирихле для полупространства.
21.	Дайте решение задачи о радиальных колебаниях газа.
22.	Сформулируйте понятие интегрального преобразования. Приведите примеры интегральных преобразований.
23.	Напишите формулы прямого и обратного преобразования Фурье.
24.	Напишите формулы прямого и обратного преобразования Фурье—Бесселя.
25.	Напишите формулы прямого и обратного обобщенного преобразования Фурье.
26.	Напишите формулы прямого и обратного синус-преобразования Фурье.
27.	Напишите формулы прямого и обратного косинус-преобразования Фурье.
28.	Изложите применение метода интегральных преобразований для уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
29.	Дайте решение задачи Дирихле для полуполосы.
30.	Дайте решение задачи об изгибе плиты.
Задачи с примерами решения
1.	Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа
-0; и
t=o
г =о “ 0, и
_п ди (=0 “ О,
= 0.
2.	Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа
Задачи с примерами решения
287
3.	Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа
4.	Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения параболического типа
ди д2и ,z . Л л „ — =— +	+ и 0<х<1, £>0;
dt дх2
5.	Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения гиперболического
типа
b - const, 0 < х < /, t > 0;
ди
t*0
0» х=о “ 0, и x=i — 0.

6.	Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа
—- -—- + cos(t), 0<х<л, t >0; dt2 дх2
1; » о
7.	Решить задачу о колебаниях однородной струны (0 < х < /), закрепленной на концах х = 0, х - /, под действием внешней непрерывно распределенной силы с плотностью p(x,£) = Apsin(co£), со* ккиЩк = 1,2, 3... Начальные условия — нулевые.
8.	Решить задачу о вынужденных поперечных колебаниях струны, закрепленной на одном конце х = 0 и подверженной на другом конце х = I действию возмущающей силы, которая вызывает смещение, равное ^sin(co^), где со^ knv/lt k = 1, 2, 3,... Начальные условия — нулевые.
9.	Решить смешанную задачу для уравнения гиперболического типа
288
5. Неоднородные задачи математической физики
и
г=0
= 0,
= 0; и
= 0, и
г=0
10.
Решить смешанную задачу для уравнения гиперболического типа д2и д2и а . п —	, 0 < х < 1, £ > 0,
dt2 дх2
ди J * L
и
i=0
= 0; и
х=0
f=0
И.
Решить смешанную задачу для уравнения гиперболического типа д2и о. 2
2 v и ^2 ’
и
;=0 ~
= 0; и
= 0 —
Л =0 V’ ~
= const.
t=0
12.
Решить смешанную задачу для уравнения гиперболического типа
U
г=0
= 0,
2
2
о„2 ’
.г =0 “ 0’
г=о
Asin (nt ES
13.
Найти стационарное распределение температуры в брусе, сечение которого имеет форму криволинейного прямоугольника (а < г < Ь, 0 < (р < а) при следующих условиях:
и
14.
15.
16.
ф=о — w
r=« =0; и
Решить смешанную задачу для уравнения гиперболического типа д2и 2
г-Ь “ Л0 ’
<р=а 0
и
f=0
дх2 ди
= F(x); и
Г=0
= 0, и
— 0.
Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закрепленной на концах х = 0, х = I и подверженной действию внешней возмущающей силы FQ sin(cot), kwo/l, k = 1,2,3,..., Решить
сосредоточенной в точке х - с, с е (0,/), струны, краевую задачу ди 2 d2w От-	£
_г=0 “ ^0 ’ W
г=0
-0.
Решить
краевую задачу
dt
2 u и з„2 ’
х=0 ~ ZZ
М) = у(х) = <
о ’ о,
Задачи с примерами решения
289
18.
Решить краевую задачу
19.
дх
----hu дх
х=0
20.
21.
22.
23.
t=0 = f(x).
t«0	> 0.
dt	дх2
Решить краевую задачу ди 2	л
— = « —г, 0< dt дх2
Найти решение уравнения теплопроводности, если начальная температура имеет вид
и
^r2, x < 0.
Найти какое-нибудь ограниченное решение уравнения теплопроводности в области х > 0, удовлетворяющее граничному условию u(0,t) = A cos (cot)-
Решить краевую задачу
dt дх2 ' ' J л
Решить краевую задачу du 2 — = Л ----------------
dt дх2
,г=0 — /(О> U
,=о = 0.
24. Решить краевую задачу
ди дх
1-0
= 0.
л^О
25. Решить краевую задачу
26. Решить краевую задачу
х=0
du
дх
27.
Решить краевую задачу
1 д2и
a2 dt2
—- + Xsino>t, 0<х<1, t > 0, дх2
ди
290
5. Неоднородные задачи математической физики
Решить краевую задачу
2
2 ’
х в0 = A COS (Dt,
дх
'•°‘°’ dt
-0.
г=о
29.
Решить краевую задачу в полукруге радиуса b
2
zz(p, ф)
р=А = Й8тф, u(p,0) = и(р,л) = 0, и
= 0
t-0 и*
=о.
t=0
30.
Решить краевую задачу в круге радиуса b
- = Au + Tlsincot,
31.
= 0.
/=0
Решить краевую задачу в полукруге радиуса Ь
и(р, ф)
p=i
= 0 — г=0 и’
2
= Au + рsin(psin cot, О < p < 6,0 < ф л;
32.
ди дп
Решить краевую задачу в цилиндре радиуса Ь, высоты h
= 0, и
= 0 —
Z=0 — и» -
= 0.
t=0
- = Aw, и
Лл
=0,
/=0
u(p, ф,2, t)|2e0 = A, u(p,(p,z,t)|2eA = B, u(p,<$,z,t)\^b Решить краевую задачу в цилиндре радиуса Ь, высоты h
t=Q ~
- Аи, и
2=0
= 0, u
= kt sin
= 0.
z=0 ” 0*
34. Решить уравнение Пуассона в параллелепипеде 0 <х<а,0<у<Ь, 0 <>z < с Аи = А,
mLo=°> wL,0 = c w|j,.o=o>	= wLo=o> “г-с = °-
35. Решить уравнение Пуассона в цилиндре0 < р < £>,0 < (р <2к,0 < г < h
Аи - Д
ди
= 0, и| г=0 =0, и\!ж1, =рсо5ф.
h
~ р=Ь
Задачи с примерами решения
291
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти распределение температуры в пластине толщиной а, грань х = О которой излучает тепло в окружающую среду по закону Ньютона (температура окружающей среды равна нулю), а другая грань х = а поддерживается при постоянной температуре То, равной начальной температуре пластины.
Решение. Математическая формулировка задачи: требуется найти функцию и(х,х), удовлетворяющую следующим условиям:
ди д2и л Л	~
7=0, 0<х<о,т>0, Ар
дх
Л>0.
Здесь для простоты записи введено приведенное время т = kt/(cp). Задача является неоднородной в граничных условиях.
Наметим план решения задачи. Можно искать решение задачи в виде суммы двух функций и(х,х) = [/(х) + г^(х,т), причем функцию U(x) выбрать так, чтобы она удовлетворяла исходному уравнению и неоднородным граничным условиям. Тогда для функции w(x,x) получим однородную задачу, решение которой можно построить методом Фурье:
d2U n dU ,	т . Т0(1 + йх)
= 0, —-/zt/	=0, U]x^a=T0 =>U(x) = -y-——,
dx dx хя0	(1 + hd)
дх дх2
= 0, 0 < х < а, т>0,
Можно поступить иначе. Будем ориентироваться на применение метода Гринберга. По-прежнему будем искать решение в виде и(х, т) = U* (х) + w* (х, т), но теперь от функции [/* (х) потребуем только, чтобы она удовлетворяла неоднородным граничным условиям, а в остальном она может быть произвольной. В этом случае в качестве функции U* (х) можно взять, например, такую функцию: 17* (х) = TQ х2/а1. Тогда для функции w' (х, т) мы получаем следующую задачу:
Реализуем, например, первую возможность с привлечением системы Maple. Построим сначала функцию U(x):
> u:=(x,tau)->U(x)+w(x,tau):
и := (х, т) -> U(x) + w(x, т)
> ode:«diff(U(x),x,x)*0:
292
5. Неоднородные задачи математической физики
ode- — U(x) = 0
dx2
> dsolve(ode.U(x)):assign(£):U:-iinapply(U(x),x,_Cl._C2):
> eql:-D[l](U)(0._Cl,_C2)-h*U(0._Cl,_C2)-0;
> eq2:-U(a._Cl._C2)-T0:
eql := _C1 - h _C2 = 0 eq 2 := _C1 a + _C2 = TO
>	solve({eql,eq2},{_Cl._C2});assign(X);
>	factor(U(x._Clt_C2)):U:*unapply(X.x):
Cl=^
Итак, функцию {7(х)мы построили:
I7(x) =
(1 + ha)
Определим теперь дифференциальное уравнение для функции
> eqW:-diff(w(x.tau).tau)-diff(w(x,tau),х,х)-0;
> 0<x,x<a.tau>0:
:= — w(x, т)
дх2
и выполним разделение переменных
> res:-pdsolve(eqW.HINT-'*4);
res := (w(x, t) = Fl(x) _F2(t)) &where {-t-_F2(t) = _c ~	ax
’ dx2
> resl:-ор(1,ор(2,res));
dx~
> sl:-resl[l]:s2:-resl[2J:
dx2
si :=
i -
dx~

Сформулируем соответствующую задачу Штурма—Лиувилля (параметр разделения, как обычно, обозначим X):
> eql:-lhs(sl)+lambda*_Fl(x)-O:
> el:- Fl(a)-0; e2:=D( Fl)(O)-h* Fl(0)=0;
Задачи с примерами решения
293
2
dx2
el :==_Fl(a) = 0
e2 := D(_F1 )(0) - h _F1(O) = 0
Находим общее решение дифференциального уравнения Штурма—Лиувилля
> assumed ambd>0):dsolve(eql. Fl(х));
_Fl(x) = _C3 sin(/AT x) + _C4 cos(>/A? x)
Подставляем это решение в граничные условия и получаем уравнение для определения собственных значений — характеристическое уравнение
> _Fl:-unapply(rhs(X),х);sist:-{el.e2};
_F1 := x —>	sin(/x" x) + _C4 cos(7?7 x)
> A:-11nalgLgenmatrlx](si st,{_C3,_C4)):
sin( a) cos( a)
A -h
> Delta:-convert(linalg[detКA).trig);
Л := -sm
> ch:-expand(Delta/cos(sqrt(1ambda)*a))=0:
f sin(J^ л)Л
ch :	7=z
cos(yX a)
> ch:-convert(1hs(ch).tan)=0;
> tan(sqrt(lambda)*a)=solve(ch,tan(sqrt(lambda)*a)):
e ch tan(J\ a) =--
~	XV/	ft
Удобно ввести обозначение VX/z = p, тогда последнее уравнение перепишется в виде
> e_ch:-subs(sqrt(lambda)-mu/a,e_ch);
p, e ch := tan( ii) =--r
“	ah
Пусть цп - положительные корни уравнения
tg(p) = ~-an
294
5. Неоднородные задачи математической физики
Тогда собственные значения задачи будут
п - 1, 2, 3,...
> lambda :=п->(ти[п]/аГ2:
Определим теперь собственные функции
> C3;=solve(e2, СЗ):
СЗ :=
> simplify(_Fl(x)):
С4 (h sin( д/Т х) + cos( fk х) 7^)
> simplify(V_C4*sqrt( lambda)):
h sin(7^" x) + cos( A x)
> simplify(subs(lambdaA(l/2)=mu[n]/aД));
> simplify(fc*a);
> X:=unapply(Xx,n);
X := (x, n) —> h sin
Таким образом, собственные функции будут
Хп(х) = a/zsin
а
+ cos
Проверим ортогональность найденных собственных функций и вычислим их норму
> In:=Int(X(x,n)*X(x,m),хж0.,а);
> In:=expand(simplIfy(valueCIn))):
о
Задачи с примерами решения
295
In
a3 h2 cos(nn) sin(jim)
cos(nn) sin(nm) а3/г2цт5ш(цл)со8(цт)
-	- н	-	-
Рп - Иш	ц -
1 л 1 гп	* л * т
a2hu sin(u )sin(u )
1 Л	4 1 Л ' х 1 Л1 z
аИ„ sin( Цп) cos( Hm) аЧцш sin( цл) sin( цт)
2	2	2	2
г Л • Л1	ГЛГЛ1
Упростим полученный интеграл с учетом характеристического уравнения:
> In:=combine(subs(sin(mu[m])=-mu[m]/a/h*cos(muLm]).
> sin(mu[n])=-mu[n]/a/h*cos(mu[n]).In));
In := О
Вычислим норму
> погта:=1пШ(х.п)л2.х=0. .a): > norma:=value(norma);
> norma:=
> expandtsubs(sin(mu[n])=-mu[n]/a/h*cos(mu[n]).norma)):
norma :=
a + cos
dx
2	2
Ц - Ц г п гт
2	2
U. “ ц *л ~т
norma :=
1 я(а1 2й2С08(цл)8т(цл)-ц„ - цл cos(nj sin(nn) - h2 а2 цл + 2 а цл h cos(nn) -2цлЬ)
1	2,	..212	1
norma	h cos( цл) + - цл a - -
cos(n„) h2a3 , г
2
Учтем известное тригонометрическое тождество cos (цл) =
и, кроме
того, учтем еще, что из характеристического уравнения следует .2..„^2;
> norma:-
> simplify(subs(cos(muEn])*2=aA2*hA2/(a*2*h*2+mu[n]*2). > norma)):
norma :=
a) a
> norma:=unapply(norma.n);
norma := n
- (p 2 + h2 a2 + h a) a 2 л
Итак, мы получили
а
\Xn(x)Xm(x)dx
О
о,
— (a2h2 +а!г + 112),
т* п, т~п.
296
5. Неоднородные задачи математической физики
Рассмотрим теперь второе обыкновенное дифференциальное уравнение
eq2:-lhs(s2)+lambda(n)*_F2(tau)*0;

Найдем общее решение этого уравнения
> dsolve(eq2,_F2(tau));
(	2 1
м Т и
2
_F2(x) = _C4e °
Таким образом, мы получили счетное множество частных решений нашей задачи
а2
a/isin
Каждая такая функция удовлетворяет уравнению и однородным граничным условиям, но, вообще говоря, не удовлетворяет начальным условиям. Как обычно, воспользуемся принципом суперпозиции и составим формальный ряд
nih г
00
a/zsin
+ ц„ cos

а
> spr:-Sum(C(k)*exp(-lambda(k)*tau)*X(x.k).k«l..Infinity);
Перейдем к пределу при х О (считая это возможным), получим
да(х,О) = То -U(x)~^Cn ahsin
П = 1	\	>
+ ц„ COS
Откуда находим коэффициенты разложения
а
|[Г0 -U(x)]X„(x)dx
п	2
> Ck:-Int((TO-U(x))*X(x,k) .х-0.. a)/norina(k);Ck:“value(Ck);
2 a h ТО (й a sin(pt) + ц* сов(цЛ) - й а - ц4)
Ск :=----------- ,---—--------г~-------------------
(ha + l)(Ht +й2а2 + йа)
Задачи с примерами решения
297
Упростим полученный результат с помощью характеристического уравнения
> Ck:-simplify(subs(sin(niu[k])--mu[k]/a/h*cos(mu[k]),Ск));
2 а h ТО Ск :=-------z--------------
> C:=unapply(Ck,k);
2а h ТО
Итак, мы получили
п
Окончательно, решение
w(xt т) = 2ahTQ £ n=
+ a2h2 + ah) нашей задачи дается формулой
е а
_	1	2,2	, fl^Sin
.1Ц„(ц„ +a hl +ah)Y k a
> sol:=spr:
к т
2 а
00
2 a h TO e
h sin
a
a

Заметим, что решение можно представить и в другой форме. А именно, собственные функции можно преобразовать по известной тригонометрической формуле asin(z) + pcos(z) = -Ja2 +02 sin(z + ср), q> = arctg — .
Ф = arctg
n >
X„(x) = sin
В нашем случае с учетом характеристического уравнения будем иметь Ми? =. ah }
и, таким образом, собственные функции будут
a J
Множитель перед синусом мы опускаем для простоты, так как собственные функции определяются с точностью до множителя. Определим эти функции в Maple
>	X2:=(x.k)->sin(niu[k]*(x-a)/a);
sin
a
Вычислим норму этих функций
>	norma2:=Int(X2(x.п)Л2.х=0..а);
298
5. Неоднородные задачи математической физики
> norma2:=value(norma2):
погта2
погта2 :=
•'о
1 a (cos(pn) sin(цл) - цл)
Упростим с учетом характеристического уравнения
>	norma2:=
>	simplify(subs(sin(mu[n])=-mu[n]/a/h*cos(mu[n]).
>	norma2));
1	cos(pn) +ha
norma2 -------------------
2	h
И наконец, учтем отмеченное тригонометрическое тождество
> norma2:=
> simplify(subs(cos(mu[n])A2=aA2*hA2/(aA2*hA2+mu[n]A2).
> norma2));
norma2
1 (м„ +h2a2 + ha)a h2a2+p.2
> norma2:eunapply(norma2,n);
norma2 := п
2 + h2 а2 + I п
h2 а2 + р ” п
Таким образом, решение задачи можно искать в виде разложения
w(x,t) = ^Спе °2 sin п- —
П = 1	\
>	Spr2:=
>	Sum(C2(k)'*exp(-lambda(k)*tau)*X2(x.k).k“l..infinity);
ОО
spr2	Z C2(£)
t = i
Для коэффициентов разложения мы получим
> Ck2:=Int((TO-U(x))*X2(x,k).х-0..a)/norma2(k);
> Ck2:’value(Ck2);
TO(hx+ 1)A . ( O-, ---------- Sln 	 h a + 1---)	a j

о
Задачи с примерами решения
299
2 (-sin(	cos( ц*)) а ТО h (h2 а2 + ц/)
Ck2 :=--------2----------2--------'--------
(h а + l)(n* +h2а2+h а)
> Ск2:-
> slmplify(subs(sin(mu[k])~-mu[k]/a/h*cos(mu[k]).Ck2));
Ck2 :=
2 cos(p.) TO (Л2 a2 4-A
> C2:-unapply(Ck2,k);
2cos(p.) T0(h2a2+ ц /)
И тогда решение будет иметь вид
> so!2:-spr2:

2 а
ОО
sol2 := £
*= 1
sin
Итак, другая форма представления решения
и?(х,т) = 2Г0
у-ф2 +^2«2)cos(|in)c-7F si f
Zi + h2 а2 + ha) ( a j
Читателю мы рекомендуем самостоятельно реализовать вторую возможность решения — в виде н(х,т) = //’(х) + ^’(х,т)с использованием метода Гринберга.
Пример 2. Решить краевую задачу в шаре радиуса/?:
= Л cos 0 sin cot.
ди
(5.117)
Решение. Поскольку ни одно из данных задачи не зависит от угла <р, можно ожидать, что искомая функция будет функцией трех переменных и	Удобно
освободиться от неоднородности в граничном условии. Будем искать решение задачи в виде
u(r, 0, t) = Ar cos 0sin cot 4- w(r, 0, t).
(5.118)
Тогда для функции ?^(r,0,t) получаем следующую задачу:
1 d2w а2!^
= Ада +
А со2 г
cos 0 sin cot,
(5.119)
300
5. Неоднородные задачи математической физики
Таким образом, мы перешли от задачи (5.117) с неоднородным краевым условием к задаче (5.119) с однородным краевым условием. Теперь неоднородности появились в начальных условиях и в уравнении. Решение задачи (5.119) будем искать в виде
w(r, 0, t) = (г, t) cos(0).
Тогда для функции wi (r,t) будем иметь следующую задачу:
Лео2 г .
+ —— sin со£, а
(5.120)
Решение задачи (5.120) будем искать методом Гринберга, то есть в форме ряда
(5.121)
Л=1
где Rn{r) — собственные функции соответствующей задачи Штурма—Лиувилля. Чтобы сформулировать эту задачу, рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению задачи (5.120) и произведем разделение переменных. Воспользуемся системой Maple для проведения всех выкладок. Задаем однородное уравнение задачи (5.120):
> PDE_2J):-diff(wl(r,t).(t,2))/а*2в
> (2*r*diff(wl(r.t).r)+rA2*diff(wl(r,t),3'(r.2))-> 2*wl(r.t))/rx2;
Производим разделение переменных:
>	res-pdsol ve(PDE_2_0.HINT«R(r)*T(t)): res := (wl(r, t) = R(r) T(z)) &where
dr2
4.
R(r) = R(r)_c1-
и приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:
>	deT—op(l.op(l.op(2.res)));
> deT:=lhs(deT)-subs(_c[l]=-lambda.rhs(deT))»O;
deT :=—2T(t) = T(t) a2 _c
deT :=
+ T(z)a2X = 0
> deR—op(2.op(l,op(2,res))):
> deR-
Задачи с примерами решения
301
> collect(simpl1fy((1hs(deR)-
> subs(_c[l>-lambda.rhs(deR)))*rA2).R(r))“0:
deR := T2 R(r) = R<r) -Cl “ dr
r - R( r)
deR := (k r2 - 2) R(r) +
r = 0
Таким образом, задача Штурма—Лиувилля заключается в определении ограниченных в нуле решений уравнения
2 ^^ + 2г— + (Хг2 -2)Я = 0, dr dr
(5.122)
удовлетворяющих граничному условию
dR dr
r=b
(5.123)
Найдем общее решение уравнения (5.122):
> assume(lambda>0);dsolveCdeR.R(г));
nz x _C7 e(Vj7r/,(T^~/+X~r)
R( r ) =--------------------+
r	r
Работать с таким решением неудобно. Перейдем к вещественным функциям. В системе Maple 8 это проще всего сделать так. Замечаем, что наше уравнение (5.122) является частным случаем (при п = 1) уравнения
Г2 + 2г— + (Хг2 -п(п +1))Я = 0. dr dr
(5.124)
Рассмотрим это уравнение:
> _DE:-
> r*2*diff(R(r)(r.2))+2*r*diff(R(r).г)+
> (lambda*rA2-n*(n+l))*R(r)«0;
JDE := г2
r+(X~ r2-n(n+ l))R(r) = 0
> assume(n.posint):dsolve(_DE.R(r));
R(r) =
Cl BesselJ n~ +
C2 BesselY n~
> assign(X);R:=R(r);
Cl BesselJ л- +
C2 BesselY n~ +

302
5. Неоднородные задачи математической физики
Таким образом, общее решение уравнения (5.124) имеет вид
Вернемся теперь к нашему случаю п = 1. Мы знаем, что функция Бесселя первого рода ограничена в нуле, а функция второго рода — нет. Проверим ограниченность нашего решения.
> RR:-Subs(n=l,R);
> L1nrit(1/Г(l/2)*BesselJ(3/2.sqrt(lambda)*r)tr=0)-> limit(l/rx(l/2)*BesselJ(3/2,sqrt(lambda)*r),r-0);
> Limit(l/r*(l/2)*BesselY(3/2.sqrt(lambda)*r),r-0)« > 11m1t(l/r*(l/2)*BesselY(3/2,sqrt(lambda)*r).r-0);
_C1 BesselJ 7^
ЯЯ :=------------------
C2 BesselY -
_	(cos(V r) r - sin
— 0
lim
r 0
^2 (sin(7^~ r)	r + cos(^7 r))
(3/2)
Итак, в силу требования ограниченности функции в нуле, мы должны в нашем общем решении принять равной нулю константу _С2: _С2 - 0.
Следует отметить, что, например, система Maple 6 сразу выдает общее решение уравнения (5.122), выраженное через соответствующие вещественные элементарные функции, отвечающие функциям J (7Хг)и У (д/Хг).
о/ Z	Л
Воспользуемся теперь краевым условием (5.123) и найдем собственные значения и собственные функции нашей задачи:
> RR:-subs(_С1=1,_С2=0,n-1.R);
> RR:=unapply(RR.r.lambda):
RR :=
RR~(r, X~)->-
УУ (cos(7^~ r) 7x~ r- sin(7^~~ r))

> eq:-simpl1fy(diff(RR(r,lambda).r))-0;
> eq:=s1mpl1fy(subs(r=b,lhs(eq)))=O;
^l~2 (2 r cos(7^~ r) - 2 sin(/X~” r)	+ sin(7X- r) r2)
Задачи с примерами решения
303
J2 (2 X- b cos( J Х~ Ь) - 2 sin(7X~ b) + sin( JХ~ b) Х~(3/2) b2) eq :=-------------------------------------------------------------- о
(5/4)
Таким образом, уравнение для определения собственных значений имеет вид (приравниваем нулю числитель последнего уравнения)
> eql:-numer(Ihs(eq))/sqrt(2)-0;
eql := 2 X~ b cos(7x~^ b) - 2 sin(7x^ b) + sin(7X~ b) X~(3/2) b2 = 0
Удобно ввести обозначение Vx = — b
> assume(mu>0,b>0):
>	eql:- •
> slmplify(subs(sqrt(lambda)-mu/b.
>	lambda-(mu/b)A2.Ihs(eql)))-0;
eql :=
p~ (2 p~ cos( p~) - 2 sin( p~) + sin( p~) p~2)
> eql:-numer(lhs(eql))/mu-O:char:-unapply(1hs(t),mu):
eql := 2 p~ cos( p~) - 2 sin( p~) + sin( p-) p~2 = 0 char := p—>2 p~ cos( p~) - 2 sin( p~) + sin( p~) p~2
Итак, получили характеристическое уравнение для определения собственных значений в виде
2р cos (н) + (ц2 -2)sin(n) = 0.
(5.125)
Пусть р = рп — положительные корни уравнения (5.125) (нули функции char(p)).
Тогда собственные значения определяются по формуле X = Хп
а соответствующие собственные функции будут
>	lambda:-n->(mu[n]/b)A2:
>	assume(mu[n]>0):
>	slmpl1fy(RR(r,lambda(n)));
2
“ Л
b~ *^2 b'-'
Поскольку собственные функции определяются с точностью до множителя, то мы упростим найденные функции, отбросив ненужные множители
304
5. Неоднородные задачи математической физики
> R:»(r.n)->
> -(cos(mu[n]/b*r)*mu[n]*r-sin(mu[n]/b*r)*b)/rA2:
( К.Н
г - sin
b
Согласно общей теории эти собственные функции должны быть ортогональны на отрезке [О, Ь] с весом г2. Проверим это:
>	Integral :»int(rA2*R(r.n)*R(r1m),rs=0. .Ь):
>	eqm;~char(mu[m])4):eqn:“Char(mu[n]>0:
>	slmpl1fy(integral.{eqn.eqm});
0
Вычислим теперь норму собственных функций:
>	norma:“int(rA2*R(r,n)A2,r=0..b);
norma
Таким образом, имеем
jr2Rn(r)Rm(r)dr = <
О
о,
№
т*п, m = nt
2
причем
K„(r)||2 = jr2R2(r)dr = О
cos(n„)sin(|in)-Z> + 6cos2(p„)+-и*.
Итак, решение задачи (5.120) ищем в виде ряда (5.121)
w, (г, t) = £ Тп (t)R„ (г).
П=1
В такой же ряд разлагаем правую часть уравнения (5.120), то есть функцию F(r,t) = ^-^sin(cof):
а
F(r,t) = ^^sin((ot) = ^-sin(<ot)Ec«^»(r)-	(5.126)
a	a	n.i
причем
jr3R„(r)dr
0_________
K(o||2
Вычислим этот коэффициент:
> intF:=simplify(int(r*rA2*R(r,n),r=0.. b));
Задачи с примерами решения
305
Ь~3 (-3 sin( ц~ ) + sin( ) ц~ + 3 cos( )) intF :=--------------------------------5-------------------------
Ц~
> Сп:-simplify(1ntF/norma.{eqn});Cn:«factor(Cn);
2 sin( ) b~2 - 2 cos( ) b-1
Cn	д	“
”2Р~П~ + 2 Ц~я~ cos( Ц~й J sin( )
2 b~2 (sin( ) - ц~л_ cos( ц~л_))
Cn :=-----------------------------------------------
- 2 ц~л_ + 2 cos( ц~л_) sin( p~n_))
>	C:-(n)->
>	2*bA2*(sin(mu[n])-mu[n]*cos(mu[n]))/niuCn]/ > (mu[n]*3’2*mu[n]+2*cos(mu[n])*s1n(mu[n]));
2д2(5Ш(Цл)-ЦлСО8(Цл)) c := n -+-------5-------------------------
H„(M„ - 2 цл + 2 cos(nn) sm(nB))
Итак,
c 2Z>2[sin(p„)-p„ cos(gH)]
HnlHn -2Pn + 2cos(g„)sin(p„)]
Подстановка формул (5.121) и (5.126) в уравнение (5.120) дает
(5.127)
и=1 a ut
d2Rn(r) 2 dRn(r) 2р,.
--Т~2--+-----J------2К'ЛГ' ar г аг г
^^-s\n{(at)^CnRn{r). а	„=1
Выражение, стоящее в квадратных скобках во второй сумме слева в последней формуле, равно -ХЯл(г) (в силу уравнения (5.122)):
d2Rn{r} {2dRn{r) 2
dr1 г dr г2
Rn(r) =-KRn(r).
А тогда
f d2T„(t) h a2dt2
+ XTn(t) Rn(r) =
A(J32
00 sin((ot)^CnRn(r). n=l
Откуда получаем уравнение для определения функцииTR(t):
З'г- /х\ Асо2 . ,	.
— ,;2 ~ гя(0 = Сп ^-sin(cDt). dt	а
(5.128)
Решаем теперь полученное уравнение с учетом начального условия Гп(0) = 0
>	DEt:«
>	diff(T(t).t$2)+lambda(n)*aA2*T(t)=
>	_Cn*A*omega*2*sin(omega*t);
306
5. Неоднородные задачи математической физики
2
” л**
DEt :=
dt2
> dso1ve({DEt,Т(0)=0},T(t));
Г М
T(r) = sin
Л*
2
П-*
Таким образом, решение уравнения (5.128) удовлетворяющее условию Т„(0) = 0, есть
Vnat b
CnA<$2b2 sin(co£)
2 2
Здесь мы предполагаем, что резонанса нет, то есть со262 *p2a2,Vn. Остается определить константу С2. Для этого составляем ряд (5.121)
□о
СпAv2b2 sin(a»t)
л„(г>

2 2
П=1
Вычисляем производную
со
t=0
= -Acor
п=1
Откуда находим
цла С„Лсо3Ь2
2
_2l2	2 2
СО О
R„ (г).
СпА^Ь2 (&2Ь2
ь
-AcoJ r^Rn(r)dr о
Или, учитывая уже полученную формулу,
М-	п
2
2,2	2 2 =-А^Сп-
со о -у.па
Откуда находим коэффициент С2:
СпАацпаЬ '“'2 z 9 f 9	9	9 х*
Итак, окончательно, мы получили , ч А А(оЬСп „=1	- со b
w(r, 0, Г) = COS (0) X 2А2>^СП2<2 „=1 ц„а -<о о
pnasm
-cofesin(cof) Rn(r),
-cofesin(cot) 7?„(г),
ц(г,0,£) = Arcos(0)sin(cot) +
1
2

2
pnflsm —----
Задачи с примерами решения
307
А&ЬСп
2 2	2
п«1|1па -со
-a)6sin(co£) Rn(r),
• Г pnasm ——
где Сп определяется по формуле (5.127).
Пример 3. Решить задачу
— -а2^-^-=0, а| о = ф(х), -оо<х<оо, t>0. dt дх2
Решение. Переменная х меняется в бесконечных пределах, поэтому для решения данной задачи естественно попробовать применить преобразование Фурье по переменной х. Воспользуемся системой Maple. Определим задачу. Сначала загрузим необходимые нам команды
> with(lnttrans.founer.invfourier):
> wlth(student.changevar):
Задаем уравнение и начальные условия
eq:-d1ff(u(x.t),t)-a*2*diff(u(x,t),х,х)-О: > ic:=u(x.O)=phi (х);
ic := u(x, 0) = ф(х)
Применяем преобразование Фурье
> assume(a>0.t>0);
> fourierteq, х. w);
а~2 w2 fourier(u(x, f~), х, и1) +
fourier(u(x, Z~), х, w) = О
Решаем полученное уравнение для трансформанты Фурье
> subs(fourier(u(x.t),x.w)*v(t)Д):
a-2 vv2 v( Ь-) +
dt
> dsolve({X.v(0)Mwr1er(rhs(ic) .x.w)} ,v(t)):
v( ) = fourier( ф(х), x, vv) e( й 1 } > subs(v(t)-fourier(u(x,t),x,w)Д);
fourier(u(x, t~), x, w) = fourier(4(x), x, w) e(
Находим обратное преобразование и упрощаем полученный результат
> invfoiiriег(1 hs(%) ,w,x)=invfourier(rhs(X) .w.x);
—00
308
5. Неоднородные задачи математической физики
> changevar(_Ul=’Xi.X.xi):
> expanded.exp):
Итак, мы получили формальное решение нашей задачи в виде интеграла
Пример 4. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для верхней полуплоскости.
Решение. Эта задача рассмотрена нами в разделе «Задача Дирихле для полуплоскости». Продемонстрируем ее решение в Maple с помощью преобразования Фурье. Переменная х меняется в бесконечных пределах, поэтому применяем преобразование Фурье по переменной х. Определим задачу:
> w1th(1nttrans.fourier,1nvfourier):
> eq:“11nalg[laplacian](u(x.y).[x.y])eO;
2
eq
дх2
2
Применяем преобразование Фурье:
> assume(y>0);
> fourier(eq,x.w);
2 fourier(u(x, x, w) = 0
> subs(fourier(u(x,y).x.w)-v(y)Д):
-v(y~) =0
>	dsol veC {Ж, v(0)*foiirier(rhs(bc) .x.w)}. v(у)):
>	v(y)=exp(-abs(w)*y)*fourier(ph1(x).x.w):
fourier((|>(x), x, w)
Задачи с примерами решения
309
> 1nvfourler(rhsС X).w.х):
4 я 4>(-J77)y~ у~2 + х2 + 2х_Ш + JJ12
> expanded);
<К -JH) у~2 + х2 + 2 х _U1 +_U12
> student[changevar](_Ul=-xiД,х1);
00
К12____-
t\2 ,	2
> u(x.y)=student[completesquare](X.x);
Итак, получили формальное решение в виде интеграла и(х,у) = J  ------------------------—- d^,
которое, как и следовало ожидать, совпадает с формулой (5.76).
Пример 5. Решить задачу
а2	t
—- + Хи =хуе , ut=0 =0, dt
ди dt
t=o
= 0, -оо <X,Z/,Z < оо, £ > 0.
Решение. Продемонстрируем решение задачи в Maple с помощью преобразова ния Фурье. Переменные х, у, z меняются в бесконечных пределах, поэтому после довательно применяем преобразование Фурье по этим переменным.
Определим задачу:
> withClnttrans.fourier,Invfourler):
>	withdinalg.laplacian):
>	d1ff(u(x,y,z.t),t$2)=
>	-laplacian(laplac1an(u(x,y.z.t).[x.y.z]),[x.y.z])+
> 1c:=u(x,y.z,0)=0;ict:a=D[4](u)(x,y,z,0)=0:
eq := —z dt2
dz1 dx2
2
2
2
dz
310
5. Неоднородные задачи математической физики
ic u(x, у, z, 0) = 0
ict := D4( u )(x, y, z, 0) = 0 Применяем преобразование Фурье
> fourler(eq.x.wl):
fourier(u(x,y, z, z), x, wl) = -w/4 fourier(u(x,y, z, z), x, w/) + 2 wl2 dt
fourier(u(x, y, z, t), x, w/) +2 wl2
—fourier(u(x, y, z, z), x, w/) -2
> fourlertfc.y,w2):
fourier (u( x, y, z, t), x, wl)
2 fourier(u(x, y, z,t), x, wl)
2 fourier(u(x,y, z, z), x, wl) ~ 12y2 z2 л Dirac(2, wl)
d2 dt2
fourier (fourier(u(x, y, z, Z), x, wZ),y, w2) = 2 w22
fourier(fourier(u(x, y, z, Z), x, wZ),y, w2)
+ 2 wl2
fourier(fourier(u(x,y, z, z), x, wl),y,w2)
- w24 fourier(fourier (u(x, y, z, z), x, wl),y,w2) + 24 z2 n2 Dirac(2, wl) Dirac(2, w2)
-	wl4 fburier( fourier(u(x, у, z, Z), x, wl),y, w2)
-	2 wl2 w22 fourier(fourier(u(x,y, z, Z), x, wl),y, w2)
(d4	A
-	— fourier( founer( u( x, y, z, t), x, wl), y, w2 )
)
> fourier(X.z.w3);
d2
—r fourier(fourier (fourier(u(x, y, z, Z), x, w/),y, w2), z,w3) =
J»-] 4 **
-fourier(fourier(fourier(u(x,y, z, Z), x, wl),y, w2),z, w3) w24
-	fourier(fourier (fourier(u(x, y, z, Z), x, w7),y, w2), z, w3) wl4
-	2 fourier(fourier(fourier(u(x,y, z, Z), x, wl),y, w2), z, w3) wl2 w22
-	w34 fourier(fourier(fourier(u(x, y, z, Z),x, wl), y, w2), z, w3)
-	2 w32 fourier(fourier( fourier(u(x, y, z, Z), x, wl),y, w2), z, w3) w22
-	2 w32 fourier(fourier(fourier(u(x, y, z, Z),x, wl),y, w2),z,w3) wl2
-	48 л3 Dirac(2, wl) Dirac(2, w2) Dirac(2, w3)
Решаем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно трансформанты Фурье
>	subs(fourler(fourler(fourier(
>	u(x,y,z.t),x.wl),y.w2),z,w3)«s(t)Д):
d2
—2 s( Z) = -s( z) w24 - s( Z) wl4 - 2 s( Z) wl2 w22 - w34 s( Z) - 2 w32 s( Z) w22 - 2 w32 s( Z) wl2 dt
- 48 n3 Dirac(2, wl) Dirac(2, w2) Dirac(2, w3)
>	dsolvet{X.s(O)=O,D(s)(O)=O},s(t));
Задачи с примерами решения
311
48 cos( (и>/2 + w22 + w32) t) л3 Dirac( 2, w/) Dirac( 2, w2) Dirac( 2, w3) w24 + wl4 + 2 wl2 w22 + w34 + 2 w32 w22 + 2 w32 wl2
48 л3 Dirac(2, wl) Dirac(2, w2) Dirac(2, w3)
(wl2 + w22 + ж?2)
Последовательно вычисляем обратное преобразование
>	1nvfourler(rhs(Ж),w3,z);
24 л2 Dirac(2, wl) Dirac(2, w2) (z2 wl2 - wl2 z2 cos(( w/2 + w22) t) - 2 wl2 sin(( wl2 + w22) t) t + z2 w22 - z2 cos((wl2 + w22) t) w22 - 2 sin( (wl2 + w22) t) t w22 - 4 cos({wl2 + w22) t) + 4) / (wl2 + w22) > 1nvfourier(X,w2,y);
12 л (2 wl* ty2 sin( w721) + 16 sin(>v/2t) t wl2 - 4 wl* t2 cos(wl2t)~ 4 z2 wl2 + 4 z2 cos( w72 /) wl2 + z2 wl* y2 cos( w/21) + 2 z2 wl* sin(w72 t) t + 4y2 cos (w 72 r) wl2 + 24 cos (w 721) - z2 wl*y2 - 4y2 wl2 - 24) Dirac(2, wl) / wl*
>	1nvfour1er(X,wl,x);
—t2 (2 z2t2 + 2 y212 + 2 x2 t2 - 3 x2 y2 z2)
Итак, мы получили решение
> u(x,y.z,t)~collect(X.t):
u(x,y, z, t) = (-2 z2 - 2y2 - 2x2) t4 + 3 x2y2 z212
Выполним проверку полученного решения
> u:“itnapply(rhs(X).(x.y.z.t)):
>	simplify(1hs(eq)-rhs(eq));
> simplify(lhs(ic)-rhs(ic)):
>	slmpl1fy(lhs(let)-rhs(let)):
0
0
0
Таким образом, решением данной задачи будет функция
= Зх2у2z1t2 -2(х2 +у2 +z2)£4.
Пример 6. Решить задачу
д2и д4и л ।	/ 2Ч
— + — = о и\ = cos (х Y —
Решение. Продемонстрируем решение задачи в Maple с помощью косинус-преоб-разования Фурье по переменной х.
>	eq:*diff(u(x,t).t$2)e-d1ff(u(x,t),х$4);
> ic:=u(x,0)«COS(xA2);ict:“D[2](u)(x.0)=0;
т-5 u(A О dx
dt1
ic := u(x, 0) = cos(x2) id D2(u)(x, 0) = 0
312
5. Неоднородные задачи математической физики
> fourlercos(eq.x.w);
$	В, t [(м)(0, t) + w2, ^2 D((u)(0, Z) + w4 fouriercos(u(x,/), x, w) Jit
fouriercos(u(x, Z), x, w)  ----=——---------------------------==~--------------------------------
dr	Jn
> subs(fouriercos(u(x,t),x.w)-s(t).D[l,l,l](u)(0.t)-0.
> D[l](u)(0,t)=(U):
£ dt2
s( t) = -w4 s( t)
> dsolve({X.s(0)-
fouriercos(rhsdc) ,x.w) ,D(s)(0)=0}. s (t)):
s(/) =
cos(w21)
> expand(fc);
S(Z) = “ COS(w2 Z) cos
+ - cos( w21)
> combined.trig):
> factor(X):
s( r) = - cos
- - sin
> su:={4*t+l=a,4*t-l=-b}:sui:=solve(su.{a.b}):
su := {4 Z - 1 =	4 Z + 1 - a }
sui{b = -4 z + 1, a = 4 t + 1}
> subs(su,гИз(Ш));
> s1mpl“ify(X);assiime(a>0,b>0);
> fouriercos(X.w.x);
> map(simpHfy,expand(^));
Итак, мы получили решение

Задачи с примерами решения
313
> sol:-u(x.t)«subs(suiД):
Выполним проверку:
> u:=unapply(rhs(sol).(x.t)):
>	simpl1fy(1hs(eq)-rhs(eq));
>	simplify(lhs(1c)-rhs(ic));
>	simpl1fy(lhs(1ct)-rhs(ict));
0
0
0
Таким образом, решением данной задачи будет функция
Пример 7. Пусть u(x,t) — температура в некоторой одномерной области, причем начальная температура u(xfl) = f(x). Исследовать решения уравнения теплопроводности при различных начальных температурах: /(х) = е т — гауссов начальный профиль; /(х) = 0(х + 1)- 0(х -1) — равномерное начальное распределение температуры на отрезке [-1,1], где 0(х) — единичная функция Хевисайда; /(х) = (1 -х)[0(х)- 0(х -1)] — треугольный начальный профиль температуры.
Решение. Задача сводится к решению одномерного уравнения теплопроводности в бесконечной области
ди 2 d2u п I Г/ ч I	л	z Л
ТТ=0’ u\^=f(x)> wL=-a> ~ w х=-н» = О, -оо<х<оо, t>0. dt дх
Продемонстрируем решение задачи в Maple с помощью преобразования Фурье по переменной х.
> restart:
> assume(n,Integer):with(plots):with(inttrans)
Задаем уравнение:
>	alias(u=u(x,t),U4J(k.t)):
>	Eq:=diff(u.t) - cA2*diff(u,(x.2)):
Применяем преобразование Фурье:
>	Eq2:=subs(fourler(u.x.k)*U.fourler(Eq,x.k)):
Eq2 := f -f t/1 + c2 d2 U dt
>	SU:=subs(_Fl(k)=F(k),(dsolve(subs(Eq2).11))):
314
5. Неоднородные задачи математической физики
к^ t)
SU:=U=F(k)e '
Вычисляем обратное преобразование:
> Su: = u=1nvfourier(subs(SU.U),k.x);
(-С к Г)
Su := и - invfourier(F(&) е , х)
> convert(Su.int):
" т:<1\ <-с2*2'> <**'> „
F(£)e е ак
Преобразуем полученное решение, подставив в него значение интеграла F(k):
>	assumetс>0);
>	assumetk>0):assumett>0):
>	Su:=l/2/Pi*
>	Int(Int(f(xi)*exp(-c*2*k*2*t-I*k*xi+I*k*x).
>	k=-infinity..infinity),xi»-infinity,.infinity);
00	\
f( £) e	dk~ de,
Внутренний интеграл вычисляется:
> int_1nt:=int(exp(-cA2*kA2*t-I*k*xi+I*k*x), > k’-infinity..infinity);
int_int \-
и, таким образом,
> Su:=simplify(
> Int(f(xi)*simplify(int_int/(2*Pi)), > xi=-infinity..infinity));
00
2
Su :=
1 We
Можно представить решение и в другой форме
>	simplifytstudent[changevar]
>	(1/2/c/sqrt(t)*(xi-x)-z.Su. z));
Задачи с примерами решения
315
Нам удобнее будет первоначальная форма решения: > и»ХХ;
и(х, /~) =
Итак, решение нашей задачи для достаточно произвольной интегрируемой функции имеет вид
и(х,0 =—=f/(Qe 4?' dt,. led nt t
Рассмотрим теперь конкретные начальные условия. Пусть начальная температура имеет вид (гауссов профиль) /(х) = е"х:
> fl:=у->ехр(-ух2);assume(t.positive):assume(c,positive):
> plot(fl(y),y--3..3,th1ckness=3.color=black);
В этом случае мы можем вычислить интеграл точно: > Sul:-simpl1fy(value(subs(f-fl,Su))):
316
5. Неоднородные задачи математической физики
Sul
Таким образом, наше решение имеет вид
и(х, t)
^4c2t + 1
> u:=(x,t) -> exp(-xA2/(4*cA2*t+l))/(4*cA2*t+l)A(l/2);
Интересно посмотреть на развитие процесса. Пусть с = 1/2:
> с:=1/2;
>	pl:-seq(plot(u(x,i).x--10..10,
>	color=black,th1ckness=2),1=0..12):
>	p2:=seq(plot(u(xT6*1).х=-40..40,
>	color=black.th1ckness=2),1=10..20):
>	dlsplayCLpl].title-Тауссов профиль (t=0..12)");
>	dlsplay([p2],t1tle=TayccoB профиль (t=60..120)");
Гауссов профиль (t==0..12)
Гауссов профиль (t=60, .120)
X
x
Посмотрим развитие процесса в движении:
> animate(u(x.t),х=-3..3,t=0..20,color=black,thickness=3.
>	numpoints=60.title”"Движение Гауссова профиля"):
Задачи с примерами решения
317
Движение Гауссова профиля
ж
Возьмем теперь начальный профиль в виде/(х) = 9(х + 1) - 9(х -1):
>	f2:=y->Heav1s1de(y+l)-Heavlslde(y-l):
/2 := j -> Heaviside(y + 1) - Heaviside(y> - 1)
>	plot(f2(y),y=-3.,3,th1ckness=3,color=black);
>	subs(f-f2,Sii);Sol_u:“Simplify(value(subs(f~f2.Su))): Г00 f (4 + *)2> lf2(^)e	4c~2'^
—   . —- —.......... /
Как видим, здесь опять интеграл вычисляется, и мы имеем решение в виде
и(х, t) = - Ф

> u:-(x.t)->
318
5. Неоднородные задачи математической физики
> l/2*erf((x+l)/2/c/sqrt(t))-l/2*erf((x-l)/2/c/sqrt(t));
Посмотрим на развитие этого профиля:
>	с:=1/2:
1
С2
>	pl:=seq(plot(u(x.1),х=-10..10,color=black.thickness=2).
>	1=0.001..12):
>	p2:=seq(plot(u(x.6*1),х=-40.,40.color=black,
>	thickness=2).1=10..20):
> d1splay(Cpl] ЛН1е="Равномерный профиль (t-0..12)"):
> dlsplay(Lp2].tltlе="Равномерный профиль (t=60..120)"):
Равномерный профиль (t=0.12)
Равномерный профиль (1=60.120)
x
х
Посмотрим развитие процесса в движении:
> animate(u(x,t),x*-4.,4,tw0.001..2,color=black.
> th1ckness=3,numpo1nts=60.
> Г1Ь1е="Движение равномерного профиля"):
Равномерный профиль (1=60..120)
х
Задачи с примерами решения
319
Мы видим, что процесс развивается быстро и выравнивает край прямоугольника; профили очень быстро приближаются к гауссову профилю.
Возьмем теперь асимметричный треугольный начальный профиль температуры /(х) = (1-х)[0(х)-0(х-1)]:
>	f2:ey->(l-y)*(Heaviside(y)-Heaviside(y-D);
/2:=у->(1-у)( Heaviside(y) - Heaviside(y - 1))
>	plot(f2(y),у--1..1.5.thickness-3.color-black);
>	Sol_u:»
>	Int(l/2*((l-x1)*(Heav1s1de(x1)-Heaviside(xi-1)))*
>	exp(-l/4*(xi-x)A2/cA2/t)/c/tA(l/2)/PiA(l/2).
>	xl - -infinity..infinity);
00
2
Sol_u :=
1 (1 - ^) (Heaviside( ^) - Heaviside( £ - 1)) e
> Sol_u:=s1mplify(value(Soljj));
Таким образом, решение дается функцией
>	u:=(x.t)->l/2*(erf(l/2*x/c/tA(l/2))*Р1А(1/2)-
>	erf(l/2*(T+x)/c/tA(l/2))*PiA(l/2)-2*c*tA(l/2)*
> exp(-l/4*xA2/cA2/t)-x*erf(l/2*x/c/tA(l/2))*PiA(l/2)+
>	2*c*tA(l/2)*exp(-l/4*(-l+x)A2/cA2/t)+
>	x*erf(l/2*(-l+x)/c/tA(1/2))*PiA(l/2))/PiA(l/2):
320
5. Неоднородные задачи математической физики
Посмотрим развитие этого профиля:
>	с:=1/2:
1
2
>	pl:-seq(plot(u(x.i).х--10..10.color=black,thickness-2).
>	1=0.001..12):
>	p2:=seq(plot(u(x.1).х=-40..40.color-black.thickness-2),
>	1=10..20):
> plots[d1splay]([pl].title-''Эволюция треугольного асимметричного профиля (t-О..12)"):
Эволюция треугольного асимметричного профиля (t=O .12)
0.8-
0.6-
0.4
х
> plots[d1splay](Lp2].title-"Эволюция треугольного асимметричного профиля (t=60..120)"):
Эволюция треугольного асимметричного профиля (t=60., 120)
х
Задачи с примерами решения
321
Посмотрим развитие процесса в движении:
>	plots[animate](u(x,t).2.
>	t-0.00000000000000001..2.color-black.
>	thickness=3,numpoints=60.
>	title-"Эволюция асимметричного профиля");
Здесь снова наблюдается быстрое сглаживание, обеспечиваемое экспонентой е'г в интеграле. Решение имеет тенденцию быстро приближаться к гауссову профилю, центрированному вокруг среднего значения.
6 Преобразование Лапласа
Применение преобразования Лапласа к решению нестационарных задач математической физики в настоящее время получило всеобщее признание как наиболее эффективный метод рассмотрения проблем данного типа. В этой главе мы рассмотрим преобразование Лапласа, делая главный упор на приложения.
Определение преобразования Лапласа
Пусть задана некоторая функция f(t), t е (0,+оо). Рассмотрим интеграл (интеграл Лапласа)
+00
7(Р)= \fC)ep,dt,	(6.1)
О
где р — некоторое комплексное число, Re(/>) > а (а — любое).
Если интеграл (6.1) сходится при некотором конкретном значении а для данной функции f(t), то говорят, что этот интеграл определяет преобразование Лапласа от функции f(t). В этом случае комплексная, вообще говоря, функция f(t) действительного аргумента t называется оригиналом, или начальной функцией, a f(p)~ изображением, или трансформантой Лапласа.
Для обозначения того, что f(p) служит изображением f(t), будем применять символ ^==ь, то есть будем писать f(t)^=± f(p), Re(p) > а.
Как мы знаем, преобразование Лапласа можно рассматривать как частный случай некоторого интегрального преобразования с ядром K(p,t) = ехр(-р^). Например, преобразование Лапласа существует для следующих функций:
Л О = t2 (а = 0); ДО = e2t (а = 2); ДО = (а = 0).
Для функций
Л0 = е?; Л0 = 7
t
преобразование Лапласа не существует (интеграл (6.1) расходится при любом р).
Определение преобразования Лапласа
323
Введем в рассмотрение класс функций М, для которых преобразование Лапласа заведомо существует. Мы скажем, что /(f) g М, если:
□	функция f(t) кусочно-непрерывна на (0, +оо);
+00
□	интеграл j f(t) e~ctdt сходится при соответствующем значении с. о
Докажем, что для функций класса М преобразование Лапласа всегда существует.
Действительно, ясно, что интеграл
\\f(t)\e^dt
а
существует в обычном римановом смысле для /(f) е М. Далее
/(Ое-'1' = /(0	< f(t) е~а,
Re(/?) > с.
Таким образом, если Re(p) > с, то интеграл
__	+0G
f{p) = \f(t)e~pcdt
О
будет сходиться/то есть преобразование Лапласа определено. Число с не обязательно должно совпадать с числом а (а < с). Сходимость в указанной области D будет абсолютной и равномерной (рис. 6.1).
ПРИМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------
Имея в виду прикладную цель нашего анализа, мы можем ограничить класс рассматриваемых функций кусочно-непрерывпыми функциями /(f) вещественной переменной f, определенными при t > 0 и принимаемыми равными нулю при t < 0. Из класса кусочно-непрерывных функций мы выделяем подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента f. Мы предполагаем, что можно указать такие независимые от f числа £ и с, что каково бы ни было f |/(Z)| < Lea, то есть при любом f > О, модуль /(f) растет медленнее, чем некоторая экспоненциальная функция.
324
6. Преобразование Лапласа
Таким образом, функция /(£) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:
О /(О ” дифференцируемая достаточное число раз на всей оси t, кроме точек, где она и ее производные претерпевают разрыв первого рода, причем число таких точек в конечном промежутке конечно;
2)	для всех отрицательных t функция f(t) = 0;
3)	f(t) возрастает не быстрее показательной функции.
Преобразование Лапласа
+00
/(р) =//(£)<?''*<*, Re(p)£ с,
О
представляет собой функцию комплексного переменного р.
Имеет место теорема [22].
ТЕОРЕМА. Преобразование Лапласа есть функция комплексного переменного р, регулярная в полуплоскости Re(p) > с (во всякой конечной части этой полуплоскости).
Доказательство этого факта основано на следующей теореме.
ТЕОРЕМА. Пусть имеется интеграл
+00
f(p) =
О
Пусть
1)	функция f (t, р) кусочно-непрерывна по переменной t е (0,+оо)п/ш фиксированном р eD;
2)	функция f(t,p) регулярная функция по переменной р е D при фиксированном t g(0, +оо);
3)	интеграл +00
О
сходится равномерно в D (D — некоторая область).
Тогда F(p) регулярна в D.
В нашем случае f(t,p) = f (t)exp(-pt). Условия 1 и 2 теоремы выполнены для р из любой конечной части полуплоскости. Далее интеграл
+00 f(p) = \f(t,p)dt О
сходится равномерно в D. Таким образом, функция
+00
F(p) = \Rt)e^dt
О
регулярна в области D = {p:Re(p) > с}.
Определение преобразования Лапласа
325
За пределами области D, вообще говоря, интеграл (6.1) расходится. Пусть Е — множество всех действительных значений р, для которых интеграл Лапласа сходится. Пусть а = inf£ — нижняя грань множества £ Число а, очевидно, может быть конечным или -оо. Таким образом, обязательно существует предельная линия х = а, называемая абсциссой сходимости, такая, что левее нее преобразование Лапласа не существует (интеграл расходится). Значения преобразования Лапласа в области вне области D находятся с помощью аналитического продолжения. При этом может получиться неоднозначная функция. Те точки, на которые нельзя аналитически продолжить функцию, называются особыми точками функции. Аналитическое продолжение преобразования Лапласа возможно только в случае, когда интеграл удается выразить через элементарные функции. Например, для функции /(0 = 1 будем иметь
f(p) - j 1’е ptdt =
1, Re(p)>0. Р
Эта функция дает аналитическое продолжение всюду, за исключением точки 0(0, 0). Следовательно, точка О — особая точка функции (в данном случае точка О — полюс первого порядка).
Имеет место следующая теорема (принцип аналитического продолжения)1.
ТЕОРЕМА. Если исходная функция удовлетворяет какому-нибудь уравнению с аналитическими коэффициентами, то этому же уравнению удовлетворяет и аналитическое продолжение функции.
Рассмотрим некоторые примеры. Пусть /(0 е М и
f(p) = \f(t)e~ptdt, Re(p)>c. «
1. /(t) = 1 => f(p) = f e^dt = Re(p) > 0. о P
f(t) = e м, a — вещественное число =>
2.
f{p} = \e~^,dt = ——, Re(p)>-a. о	P + a
f(t) = cos(pz), p — вещественное число =>
f(p) = [cos(pt)e’/“rZt = —7^—7, Re(p) > 0. о	P + ₽
f(t) = sinflk), p — вещественное число =>
f(p) = (sin(pt)e ptdt =
Re(p)>0.
P2 +₽
5.	= v >-!=> f(p)= \t',e~p‘dt = fsve’sds
1 _ f(v + 1)
i
Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2. — М.: ГИТТЛ, 1956. 675 с.
326
6. Преобразование Лапласа
Здесь временно (при вычислении) предполагается, что р > 0 (еслир — комплексное, то можно интегрировать по лучу). В силу свойств аналитического продолжения формула примера 5 верна для всей области Re(p) > 0 (здесь р - 0 — точка разветвления).
6. /(Г) = tn, п = 0,1,2, ...=> f(p) = (следствие5).
7. /(О =
(следствие 5).
/(^)-вещественное число =>
ЯрУ = j	=	1 .l. , Re(p) > 0.
о	y/p + a
9. Функция с разрывом:
f(p) = J fttye^dt = Je~ptdt =	vp.
о	о	P
В примере 9 преобразование Лапласа — регулярная функция для всех значений р.
= sh(РО> ₽ ~ вещественное число =>
10.
f(p) = jsh(p?)e’/’£<* =
О
Re(p)>p.
f(t) = ch(PO> P ~ вещественное число =>
7(рУ = f ch(POe’'’'dt = о	P -P
Re(p) > p.
В приложении приведена сводная таблица наиболее часто встречающихся функций и их преобразований Лапласа.
ПРИМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------
В таблицах преобразований Лапласа неявно подразумевается, что функции f(t) равны нулю при t < 0. Значения этих функций приводятся только при t > 0. Это обстоятельство может привести к серьезным ошибкам, если не обращать на него внимания.
Поведение преобразования Лапласа при больших по модулю значениях параметра (|р|--><ю)
Докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА. Пусть f(t) е М и имеет место формула (6.1)
+°°
7(Р) = {f(tye~p‘dt, Re(p) > с.	(6.2)
•Г
о
Определение преобразования Лапласа
327
Тогда
/(/?)-► О при р
arg(p) <--8, 8 > О,
равномерно относительно arg(p) (то есть когда мы удаляемся по произвольному лучу (рис. 6.2)).
Рис. 6.2. К доказательству теоремы
Доказательство. Можно записать (Re(^) > с)
e-Re<")crft =
а	А	-ню
= J |/(O|e'Re(")tA + j|/(O|e’Re(M‘</£ + f |/(t)|e~Re<'”iA.
О	а	Л
'--------v---------' *.---------v---------> *----------v---------->
= J1	=7 2	=./з
Оценим каждый из интегралов Jx, J2, J3. Возьмем произвольное число £>0 и выберем числа Лиа так, чтобы выполнялись неравенства
Л < j |/(£)| e~adt < -
О
Л	J
А
Функция f(t) кусочно-непрерывна для t е [а,Л] (а, А — фиксированные числа). По теореме Вейерщтрасса, можно утверждать, что найдется такое число L, что f(t) < L. Тогда
2
Л	A	-Re(p)a _ -Ке(р)Л
/(О e-^p)cdt<L ie-^(p)tdt = L---------------
Г	1	Re(p)
Re(p)
-----—- |arg(p)| <-8, 8>0. p sm(o)	2
328
6. Преобразование Лапласа
Взяв достаточно большое р , можно утверждать, что
L £
р sin(8) 3
Таким образом,
f(p) <е, arg(p) <^-8, 8>0.
Так как у нас е — константа, не зависящая отр, то доказано, что
равномерно.
ПРИМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------
Если рассматривать всю область D, где определен интеграл (6.2), то можно утверждать лишь, что
+00
7(р)| - J до
е adt, — ограничен Re(p) > с,
о
то есть f(p) =0(1).
Свойства преобразования Лапласа
Мы не ставим своей целью подробное изложение всех свойств преобразования Лапласа. Рассмотрим только некоторые из этих свойств, которые понадобятся нам в приложениях. За подробной информацией мы отсылаем к соответствующей специальной литературе ([9], [10], [23])1.
Будем предполагать, что все рассматриваемые функции принадлежат классу М.
Свойство 1. Пусть (0 е М,/2(0 е F(0 = C\f\ (0 + C2f2(t). Тогда
F(p) = CJi(p) + C2f2(p)
(свойство линейности).
Доказательство. Так как (t) е M,f2(t) g М, то существуют интегралы
_ +00
fi(p)=	R£(p)>cit
О
(6.3)
__	+оо
f2(P>=	Re(p)>c2.	(6.4)
0
Пусть c = max(q, c2 ). Тогда
1 См. также: Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950; Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. — Минск: Вышэйшая школа, 1976.
Свойства преобразования Лапласа
329
F(p) ^FCtye^dt = Ct j J\	+ C2 J f^tye^dt =
0	0	0
= G7(p)+C272(p)> Re(p)>c.
Таким образом, cbohctboI доказано для всех p:Re(p)>c. Это свойство верно всюду, где функции j\ и /2 остаются аналитическими функциями.
„	7	1	1
Пример. Пусть f(t) - cos2 (pt) = - + - cos (2pt)-2 2
Имеем
1^-, cos(PO^ P -p	p +p
Следовательно,
7 _ 1 ( 1 P 2p 2 p2 + 4p2
Определение. Пусть /,(f) eM,/2(Z) eM. Сверткой двух функций /j(t) и /2(0 называется интеграл
ЛО = f /1 (т)/2 (^ - т) А = {ft (ty,f2 (£)}. о
Нетрудно показать, что этот интеграл существует и F(t) — непрерывная функция в интервале (0,+оо). Если заменить т -> t -т, то будем иметь
о	t
ЛО = -J /1G -= J (t -	= {f2 <tff\(*)}
r	0
Таким образом,
{/1(01Л(О}={/2(0./1(0}
(свойство коммутативности свертки).
Свертка двух функций играет роль произведения в теории преобразования Лапласа. А именно, справедливо
Свойство 2. F(p) = 7i(p)72(P)*
Доказательство. Рассмотрим интеграл
F(p)= ^F^e^dt, Re(p) > с = max(c1,c2), о
где ct и с2 — числа, определяемые формулами (6.3) и (6.4). Имеем
F(p ) ~ j e~pldt J ft (т)/2 (t - т) dx.	(6.5)
о о
Заменим порядок интегрирования (пока формально) (рис. 6.3)
330
6. Преобразование Лапласа
00
00
F(p) = J/i (Оdi J/2(t - т)e~ptdt = J J\ (t)dx j f2 (5)e*p(s+ x)ds = От	0	0
= j/1(T)e-pt^J/2(5)e-'“* =/, /2. 0	0
Рис. 6.3. Замена порядка интегрирования
Таким образом, формально свойство 2 доказано. Чтобы доказательство было строгим, нужно оправдать законность изменения порядка интегрирования. У нас интегралы несобственные, поэтому общая теорема о перестановке пределов интегрирования для непрерывных функций и конечных пределов интегрирования не применима. Воспользуемся следующей теоремой анализа.
ТЕОРЕМА. Пусть:
1) функция f(x,y) — непрерывная функция отх иу, х е (о,+оо), у е (6,+оо);
2) сходится абсолютно один из интегралов
либо
Ь а
\dx\\f(x,y^dy. а b
Тогда справедлива формула
00 СО	00	00
J dy$f(x,y)dx = j dxj f(x,y)dy. ba	a	b
Рассмотрим интеграл
J |/i C0| di j |/2 G -
О	г
CO	00
dt < ||/1(т)|Л	=
о
00	00	00	00
= j /i (T) e /2(s)	/t(r) e^^drf /2(s) e~C2Sds.
0	0	0	0
J
Здесь учтено, что
= g-<Re(P) < Re(p) > G
Свойства преобразования Лапласа
331
и в равенстве сделана замена переменной t -т = s. Интегралы справа сходятся, значит, условия теоремы выполнены и справедлива перестановка пределов интегрирования в (6.5).
Свойство 3. Пусть
F(t) = \f(T)dT,	(6.6)
О
Легко видеть, что интеграл (6.6) существует и F(t) — непрерывная функция от Л Утверждается, что
F(p) = -7(р).	(6.7)
р
Доказательство. Справедливость утверждения (6.7) следует из свойства 2. Действительно, примем fx (t) = f(t), f2(t) = 1- Тогда будем иметь
Свойство 4. Пусть
Тогда
F(t) = f'(t),	<zM.
F(p) = pf(p)~f(0).
Здесь класс Mx определяется следующими свойствами: /(t) е Мх, если:
функция f(t) непрерывна на [0,+оо);
функция ff(t) кусочно-непрерывна на (0, +оо); +Х
интеграл J f(t) e~lCdt сходится при соответствующем значении с. о
ЛО
-> 0.
г—юз
Все эти условия являются достаточными.
Доказательство. Имеем цепочку равенств
□С	00
F(p) = J FCtye-^dt = j f\t)e~p'dt =
О	о
= Л0^
z^O
+ Р f f(f)e~pidt =	+pf(p).
О
Обоснование формальных преобразований: рассмотрим интеграл
jf'(t)e-pCdt = f(A)e-pA	+ р]f(t)e~p‘dt.
а	а
(6.8)
Справедливость формулы (6.8) вытекает из первых двух условий. Переходим к пределу при а О, А оо. Тогда
332
6. Преобразование Лапласа
lim/(а)е‘°₽ = /(0), а-и)
так как функция f(t) непрерывна на [0,+оо); далее
Re(p)Zc,
и в силу четвертого свойства класса ,
lim f(A)e рА =0.
А — Re(p)£c
Далее, в силу первого и третьего свойств класса л
lim ^f(t)e~ptdt = /, Re(p)>c. Д -юо a
Таким образом, из (6.8) получим
Jim J f'kt'ye ^ dt = -/(0) + pf.
Л—>со a
Распространим результаты на случай функций, имеющих разрывы первого рода. Пусть функция f(t) удовлетворяет всем поставленным ранее условиям, за исключением того, что в точке t - с она имеет разрыв первого рода. Имеем
ОО	с	ОО
F (р) = J/'(tye-^dt = f /'(t^dt + J/'(Oe^dt = 0	0c
=	+ p j f(t)e~pCdt + f(t)e~p‘
0
+ P]f(t)e-p‘dt = c
= f(c-Q)e^ -f(O)-f(c + Q)e-* +p]f(t)e-pldt.
0
Таким образом, получаем
F (P) = P f<P) - /(0) + e-* [f(c - 0) - f(c + 0)].	(6.9)
Если бы точек разрыва было больше (конечное число), то в формулу (6.9) вошла бы сумма скачков.
Свойство 5. Пусть
F(t) = f^(t), f(t)eMncM.
Тогда
Здесь класс Мп определяется следующими свойствами: f(t) е Мп, если:
□	функции /(£),/'(О»--м/0* 1}(О непрерывны на[0,+оо);
□	функция/(л)(0 кусочно-непрерывна на (0,+оо);
интеграл ||/(0 о
е “dt сходится при соответствующем значении с;
Обращение преобразования Лапласа
333
□ /(*И
(П-1)
(О еа
->0.
Доказательство свойства 5 проводится аналогично доказательству свойства 4.
Частный случай. Пусть
/(0) = /'(0) = ...=/<',1)(0) = 0.
Т огда
F(p) = p”/(p>
Пусть /(f) еМ, и /(0) = 0; тогда
о	Р
Отметим еще без доказательств такие свойства:
Свойство 6. Изменение масштаба аргумента оригинала

а >0.
Свойство 7. Теорема запаздывания
т>0.
Обращение преобразования Лапласа
Проблема обращения — это определение функции (оригинала) по ее преобразованию (изображению). При этом возникают два вопроса: 1) как построить обращение; 2) будет ли построенное обращение единственно? Вообще говоря, обращение преобразования Лапласа не единственно. Действительно, пусть /(f), g(f) е Л/, и эти функции отличаются друг от друга в конечном числе точек, или, как говорят, /(f) = g(f) почти всюду в интервале (0,+оо). Нетрудно видеть, что тогда / = g (значение интеграла не меняется, если изменить подынтегральную функцию в конечном числе точек). Единственность обращения достигается, если усилить требования для функций. Именно, если функции /(f) и g(f ) непрерывны в интервале (0,+оо), то из того, что / = g, вытекает равенство /(f) = g(f) всюду в(0, +оо). Это утверждение известно как теорема Лерха [12].
Установим формулу обращения преобразования Лапласа. Пусть определено преобразование Лапласа
+00
/(р) =	Re(j))>c.
о
Будем считать в дальнейшем, что /(f) е N с М. Мы скажем, что /(f) g N, если
1)	функция /(f) кусочно-непрерывна в интервале (0,+оо);
+0О
2)	интеграл J f(t)\e~adt сходится при соответствующем выборе числа с; о
3)	функция f(t)e at,a>ct имеет конечное число максимумов и минимумов на любом замкнутом промежутке [а, Л] cz (0,+оо).
334
6. Преобразование Лапласа
Формула обращения имеет вид
(6.10)
4	«+1ОО_
/(0 = ^7 jf(p)eptdp. a-i<n
Предполагается, что а > с, t > 0 — точки непрерывности. Здесь интеграл в (6.10)
понимается в смысле главного значения, то есть
а + ;х_	a+iT
dp = Кш j/(p)e',fJp.
«-i®	a-iT
Формула (6.10) называется формулой Римана—Меллина, а интеграл справа — интегралом Римана—Меллина.
Для доказательства формулы (6.10) рассмотрим интеграл
(6.11)
2?u a_iT
Интеграл (6.И) имеет смысл, так как путь интегрирования находится в области, где функция f(p) регулярна (заштрихованная область D на рис. 6.4).
Рис. 6.4. Область регулярности D
Можно записать
a+iT	оо
a-iT 0
Переменим порядок интегрирования (это возможно, так как внутренний интеграл сходится равномерно по отношению к р, внешний интеграл имеет конечные пределы интегрирования). Тогда
4 ОС
2тп* *	*
0	a-iT
4 X
X	1 рРО-О
P{t~s)dp = [f(s)ds-----
Jo	t~s
sin[T(r-s)] ,
a-iT
Таким образом,
sinfTXr-s)]
0
Обращение преобразования Лапласа
335
Доказательство теоремы обращения сводится к вычислению предела от JT при Т -> оо. Воспользуемся интегралом Дирихле
lim 1J F(s)Sin[7^ ds = F(t).
т^ао nJQ t—s
(6.12)
Формула (6.12) справедлива при следующих условиях:
1)	функция F(t) кусочно-непрерывна в интервале (0,+оо); +00
2)	интеграл j|F(O dt сходится (t >0 — точки непрерывности); о
3)	функция F(t) имеет конечное число максимумов и минимумов на любом замкнутом промежутке [a, A] cz (0,+оо).
В нашем случае примем F(t) - /(f)exp(-^f). Тогда из условий 1, 2, 3 для функции /(f) вытекают условия 1, 2, 3 для функции F(t). Поэтому
lim JT -eaLf{t)e at = /(f) (t >0 — точки непрерывности). Т ~>оо
Теорема доказана.
В дальнейшем формулу обращения будем писать в виде
/(f) = —J f{p)ePtdp (f >0 — точки непрерывности). (6.13)
Данное доказательство позволяет утверждать, что значение интеграла обращения не зависит от а.
Если величина с известна, то путь интегрирования (прямая) должен быть проведен правее с. Если величина с не известна, то прямую интегрирования нужно провести правее всех особых точек функции f(p) (в области регулярности /(/?)).
В некоторых случаях важно найти значение интеграла (6.13) для f <0. Можно показать, что при f <0 интеграл (6.13) равен нулю. Таким образом, будем иметь
/(0=^J7(p)^=f?
2тп:	0,
Иногда возникает следующая задача. Задана функция F(p) комплексного переменного р. Требуется определить, при каких условиях эта функция может рассматриваться как преобразование Лапласа. Ответ на этот вопрос дают следующие достаточные условия:
□ функция F(p) — регулярная функция р при Re(p) > с (в конечной части этой области);
□ F(p)
(Re(p) > с, р
— , М = const, а > О а
Пример. Пусть даны функции
Ыр) =
; f2(p) =
336
6. Преобразование Лапласа
Здесь Fi (р) не является преобразованием Лапласа, так как F{ (р) —> 1 при |р| -> оо; F2(p) — является преобразованием Лапласа.
Леммы Жордана
Чтобы получить удобное для вычисления контурных интегралов выражение, в большинстве случаев следует в них надлежащим образом деформировать путь интегрирования. При этом часто оказываются полезными следующие леммы Жордана [10].
ЛЕММА 1. Пусть сп и Сп — дуги окружностей
Пусть lim Rn - оо. Если функция /(z) комплексного переменного z на дугах сп и—
и Сп равномерно относительно arg(z) стремится к нулю при п —> оо, то
lim \f(z)e*dz = 0при£ <0, сп
lim \ f(z)eadz-Onpnt >0. *
(6.14)
(6.15)
Доказательство. В силу равномерного (относительно arg(z)) стремления функции /(z) к нулю на дугах сп и Сп существует достаточно большое число 7V(e) (зависящее только от е, но не от z) такое, что при п > N(e) на дугах сп и Сп имеем <£.
Для любой точки z = о + Rn ехр(цр), лежащей на этих дугах (рис. 6.5), в силу того,
что i = 1 и ехр(кр) = 1, будем иметь
iRne'*d<p - Rnd<p,
Рис. 6.5. К доказательству леммы 1
Леммы Жордана
337
С помощью интегральной оценки
J /(zMz
с
получим
Для оценки интеграла
л/2	л/2
eR„e‘a ]e,R”m{v}d<f> = 2ERne‘a }е'й"со8(ф></ф,
-я/2	О
Зту'2	л
zRnem |е'л”с<ю(ф)</ф=2Е7?„е'а |е'я"с<к(ф)</<р.
л/2	я/2
я/2
}е"г''с<к<ф)«/ф(Г <0), О
входящего в (6.16), примем Т = — - ср. Тогда будем иметь 2г
к/2	л/2
Р‘я-ак(ф)</ф= je'/'-sin(4')JT> i<0.
О	о
Учитывая, что (рис. 6.6) в интервале (0, л/2)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
найдем
к/2
sin СР) >
71
я/2 2t/?„y
f е " №.
О
Отсюда следует, что при t < О
^/2 2£/?л
<2£«„era j е " № =
О
ел
и так как е произвольно, то из последнего неравенства вытекает справедливость (6.14).
338
6. Преобразование Лапласа
Для оценки интеграла
Р^с<*(ф)</Ф, г>0, ^2
входящего в (6.17), примем Т -	+ <р. Тогда будем иметь
2
л	rt/2	к/2
je(/?„coS(1p)6/(p:= p-^sinfV)^ = j
л/2	О	О
то есть опять имеем интеграл (6.18). Поэтому при t > О
что в силу произвольности с и доказывает справедливость (6.15).
В качестве примера покажем, что для функции
где т и п — целые числа, н > О, m > О, n-m-r>Q, ат * О, Ьп * 0, выполняются предположения леммы Жордана.
1
После замены переменной по формуле z = - будем иметь
= <Р(О=Ч
Так как Ьп ф 0, то в плоскости (^существует замкнутый круг радиуса 7^ с центром в точке = 0, в котором нет ни одного нуля полинома Pn(Q. Поэтому для всех внутри этого круга
Л, (О л (О
М при
и, следовательно,
чКО < См,
поэтому
Но это и означает, что функция f(z) равномерно стремится к нулю при z —> оо. При практическом применении леммы Жордана часто бывает удобно пользоваться следующей ее модификацией.
Леммы Жордана
339
ЛЕММА 2. Пусть функция /(z) комплексного переменного z на дугах окружностей (рис. 6.7)
rR:|z| = /?, -е < arg(z) <+ е
удовлетворяет неравенству
|/(*)| <
где R>R0,	— некоторые константы, и
Рис. 6.7. К доказательству леммы 2
е = arcsin
; тогда
lim f /(z) е*dz = 0, t > 0.
Г/?
Доказательство. Утверждение этой леммы следует если доказать, что
из предыдущей леммы 1,
где Сд и CR дуги АВ и DE окружности z ~ R (рис. 6.7).
Имеем:
я/2
* Л/о)
(л/2)-е
e'^Rdy.
Но
и Re(z) < а,
поэтому
М l(lr. М	(аЛ
< —г е R& - —г е Raxcsm —
Rk Rk	{RJ
При R —> оо имеем
lim R arcsin
R—>oo
поэтому
lim eot<3 - 0,
Я-+00
что и требовалось доказать. Подобным же образом можно доказать, что
lim \f(z)eztdz =0, £>0.
Cjj
Отметим, что лемма верна для любого участка дуги Гл , а также верна, когда R возрастает не непрерывно, а дискретно
340
6. Преобразование Лапласа
< ^2	< Яп+1 <
Лемма верна заведомо, если
f(p)	а >0.
г« |р|“
Действительно, в этом случае
при R —> оо равномерно относительно arg(p).
Методы вычисления интеграла Римана—Меллина
Можно применять обычные методы теории функций комплексной переменной для вычисления интеграла Римана—Меллина
1 -
f(t) ~ -— ]f(P)eptdp (t > 0 — точки непрерывности). (6.19) 2ти JL
Рассмотрим некоторые примеры.
1.	Пусть функция f(p) — рациональная функция отр:

р(р)
Окр)
(6.20)
Можно считать, что степень числителя не выше степени знаменателя. Будем также считать, что Р(р) и Q(p) не имеют общих множителей. Особые точки (6.20) — нули знаменателя. Пусть р = pk — корни многочлена Q(p) (& = 1, 2,..., N). Эти точки являются полюсами подынтегрального выражения в (6.19).
Поступим следующим образом. Образуем замкнутый контур Z, состоящий из отрезка прямой АВ, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстояние а > ст0 (ст0 — действительная часть самой правой особой точки функции /(/?)), и дуги окружности Г радиусом R с центром в начале координат (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Особые точки — полюсы рациональной функции
Методы вычисления интеграла Римана—Меллина
341
Справа от прямой Re(/?) = о > ст0 функция /(/>) аналитична: все особые точки /(р) находятся левее этой прямой. Радаус окружности У? подберем таким образом, чтобы все особые точки функции /(р) попали внутрь построенного замкнутого контура. Тогда на основании теоремы Коши о вычетах будем иметь
f{t) = 2-kf{p)ep,dp = -^ [7(p)e'"Jp =
L	2пг АВСА
1 „ _	N
— \f(p)ep‘dp = £ гез[/(р')ер'].
2пг	*=i
(6-21)
Перейдем в (6.21) к пределу при R —> оо. Мы знаем, что рациональная функция (6.20) удовлетворяет всем условиям леммы Жордана, поэтому будем иметь
2- \f(P)eptdp	2-(f(p)ep,dp—^ >0.
Zni	Ztu p
Таким образом, получим
/(t) = £ res[f(p)ePtl
(6.22)
Вычисление вычетов осуществляется по правилам теории функций комплексной переменной. Так, например, если р = pk — простой полюс, то
res [/(/?)е"£] = lim [f(p)ept(p - pk)], p=pk	P-+Pk
если p ~ pk — полюс кратности n, то
res [f(p)ep‘
p=pk
1	,. dn~'
------- lim------ (n-1)! p^Pk dpn 1
Шр}ер\р-РкУ].
В случае, когда все полюсы простые, формула (6.22) упрощается. Именно, раскрывая предел по правилу Лопиталя, находим
г7/ \ Pt, г Р(р)ер res[f(p)ep ]= hm -£ p^Pk	p^pi, Q(p)
P(Pk)ePi‘
QM
Таким образом, формула (6.22) принимает вид
У т) \рР^
= \ • (6-23) bi Q (pk)
Формула (6.23) называется разложением Хевисайда.
2.	Пусть функция f(p) — мероморфная функция, то есть однозначная функция комплексной переменной, не имеющая в ограниченной части плоскости комплексной переменной других особых точек, кроме полюсов. Мероморфная функция — отношение двух целых функций. Мероморфная функция является обобщением рациональной функции. Примером мероморфной функции является, скажем, функция
7<р) -
р
342
6. Преобразование Лапласа
„х	, 2п + 1 .
полюсами для которой будут точки р - +---пг.
2
В этом случае строим последовательность кругов возрастающего радиуса
< R2 <.,.<Rn < Rn+i <•••
так, чтобы дуги не проходили через особые точки (рис. 6.9).
Рис. 6.9. Особые точки — полюсы мероморфной функции
Будем иметь
т— [/(Р)е'"Ф =
/ТГ7 v AN BNCNAN
(6.24)
Здесь запись (pk) с Г\ означает, что суммирование осуществляется по всем особым точкам pk, лежащим внутри дуги 1\. Предположим, что
/(р)
(равномерно на Гдг). Тогда, по лемме Жордана, jf(p)ep,dp —
кроме того,
— \f<P>eP‘dp 2т лХ
Поэтому из (6.24) имеем
/(О = lim X
N —>оо ,
>/(*)•
res [f(p)ep‘].
Р=РЬ
3.	Пусть функция f(p) — многозначная функция с точками разветвления р = ak (k = 1,2,п), причем число точек конечно. Например,
Методы вычисления интеграла Римана—Меллина
343
р - 0 — точка разветвления;
р = +i — точки разветвления.
Пусть, кроме того, функция f(p) имеет еще особые точки — полюсы p-bs (5 = 1,2,..., У). В этом случае поступим так^ Построим систему разрезов так, чтобы сделать выбранную ветвь функции f(p) однозначной. Обозначим ykf k = l,2,...,?z — контуры вокруг точек разветвления, включающие в себя окружность малого радиуса вокруг точки разветвления и берега разреза (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Особые точки многозначной функции
Далее дополним контур интегрирования дугой окружности радиуса R > max bs . Обозначим Г5 (5 - 1, 2, ..., N + 1) дуги этой окружности между разрезами. Будем иметь
= =
2тгг 7
= Zres[/(p)e',f]. s-1
Устремим R —> оо. При этом будем предполагать, что
/(р)
равномерно на Г5. Получим
/(О = £ re?tf(P)ePt] - ЁТ~. Jf(.P)ePdp-ы	ы 2га
344
6. Преобразование Лапласа
Специальные методы обращения
Существуют и специальные приемы, позволяющие часто получить результат без непосредственного вычисления интеграла. Перечислим некоторые из них:
1.	Использование таблиц преобразований Лапласа.
2.	Разложение изображения на сумму.
3.	Разложение изображения на произведение.
4.	Комбинированные — 2 и 3.
Приемы 2 и 3 предполагают также использование таблиц преобразований.
Рассмотрим примеры.
1.	Разложение изображения на сумму. Пусть
у
где fk(p) ~ преобразования Лапласа от известных функций Тогда на основании свойства линейности
N
ы
Этот прием можно использовать и в случае, когда N — несобственное число, то есть = оо. Необходимым условием тогда является требование сходимости на прямой L ряда
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1. Пусть
f{p} =
1 р2(р + 1)
Представим /(/?)как сумму простых дробей
Таким образом,
Пример 2. Пусть
Имеем
Методы вычисления интеграла Римана—Меллина
345
Выберем прямую интегрирования L так, чтобы р
, > 1(рис. 6.11).
Тогда
Рис. 6.11. Прямая интегрирования L
2.	Разложение изображения на произведение. Допустим, что можно представить изображение в виде
где f}(p) — преобразование Лапласа от функции	~ преобразование
Лапласа от функции /2(0- Отметим, что J\(p) и /2(р) должны убывать вдоль L. Тогда
/(0 =
О
Пример 3.
7	1	1	1	-77 7	1 у- =	1
у[р(р-1) jp(p-i) 12	1	2	(p-i)
Имеем
Таким образом,
3.	Комбинированный способ. Здесь комбинируются способы разложения изо бражения на сумму и произведение.
Пример 4. Пусть
346
6. Преобразование Лапласа
Имеем
TF(p-i) 4р 4р(р-1)
где
С учетом решения примера 3 будем иметь
/(<) = -^= + е‘Ф(7г)
\Kt
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений
Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
аоу{п) +аху(п~'} +... + an_ly' + а„у а0 * 0.	(6.25)
состоит в нахождении решения у = y(t) этого уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям
= .?/о- 1/Ъ-г0 = */о- -- /"-'’и =У^}-	(6-26)
Операционным методом (то есть с помощью преобразования Лапласа) эта задача может быть решена в предположении, что функция f(t) удовлетворяет условиям, определяющим оригинал, а следовательно, тем же условиям удовлетворяет и искомая функция y(t) со своими производными до n-го порядка включительно и начальные условия заданы при tQ = 0.
Пусть
4-00	+OQ
у(р) = [y^e-^dt, f(p) = jfitye-^dt.	(6.27)
О	о
Будем иметь
Jy'itye'^dt = у'= ру-у0, О
]y"(t)e~ptdt = y" =р2у-ру0 -у'о,
О
=рпу-р”-'уй -р”-2у'а	(6.28)
О
Интегрирование дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
347
Пользуясь свойством линейности изображений и соотношениями (6.27) и (6.28), от уравнения (6.25) переходим к так называемому операционному, или изображающему, уравнению
У(аоРП + aipn'i +...+ a„)-Qn_,(p') = f
или
у pAp) - Qn-Лр) = f 
(6.29)
где
Л(Р) = «оРп +<hPn~X +- + ап
— характеристический многочлен степени п, Qn^(p)^ многочлен не выше (п - 1)-й степени относительно р, определяемый начальными значениями (6.26). Из (6.29) находим
f + Qn-i (р) Рп(Р)
(6.30)
Откуда
y<t) = ^jy(p)e'’‘dp, 2га;
причем прямая L проходит правее всех особых точек функции ^(р).
Если начальные условия нулевые, то есть
У ~ 0» У (=о ~	, у( \=0 — 0,
то в этом случае Qn^ (р) = 0 и
у(р) =
?Ар)
Преимущество операционного метода решения задачи Коши перед классическими методами состоит в том, что, во-первых, изображающее уравнение является линейным алгебраическим уравнением относительно у{р} и, следовательно, в математическом отношении более простым, чем исходное дифференциальное уравнение. Во-вторых, операционным методом сразу находится частное решение уравнения (6.25), удовлетворяющее заданным начальным условиям (6.26), и не надо искать общее решение этого уравнения.
Операционным методом можно найти и общее решение уравнения (6.25), для чего в начальных условиях (6.26) нужно принять
У® ~^1> У§ ~~ ^2^ У~Сп-
Тогда оригинал, соответствующий изображению (6.30), будет содержать п произвольных постоянных.
Пример 1. Найти решение задачи Коши
/' + Зг/'+2г/=еЛ z/(0) = 1, г/'(0) = -1.
348
6. Преобразование Лапласа
Решение. Пусть
у{р) = \y(t)e-ptdt, О
тогда
□о
= РУ -1,
О
00
о
и изображающее уравнение имеет вид
Откуда находим
(Р + 1)(Р + 2)(р + 3) р + 1
По формуле (6.23) находим решение задачи Коши y(t) = — -e 21+ — + е = —
-3Z
Пример 2. Найти решение задачи Коши
у" + 4z/ =2sin(2O; г/(0) = -1, г/'(0)=0.
Решение. Пусть
у(р)= \y(t)e~ptdt, О
тогда
00
н „ 2 ~
о
и изображающее уравнение имеет вид у{р2 +4) =
Откуда находим
2
Правую часть последнего равенства приводить к общему знаменателю не смысла, так как оригинал для второго слагаемого известен,
имеет
cos (2f),
а оригинал для первого слагаемого
Интегрирование дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
349
4
(р2 + 4)2
удобнее найти по теореме свертывания. Известно, что
—Д- ^sin(2r),
р + 4
поэтому
4
о2 +4)2
О2 +4)(/22 +4)
t
- j sin (2т) sin(2(£ - т))<Л.
о
Далее,
jsin(2r) sin(2 (t - т))dx - - j [cos (4т - 2t) - cos (2t)] dx ~
0	2 0
1 sin(4T-20 -----------£ _ T cos (2H
2	4
sin(20 t 0 -----------cos (2f).
4	2
Таким образом,
sin(20 t
y(t)  ----------cos (20 - cos (20
4	2
sin(20 t + 2
=--------------cos (2t\
4	2
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом решаются так же, как и одно уравнение. Отличие будет лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения будем иметь систему таких уравнений, причем эта система в отношении изображений искомых функций будет линейной алгебраической системой. Всякую систему можно интегрировать в ее первоначальном виде, без каких бы то ни было предварительных преобразований.
Пример 3. Решить систему линейных дифференциальных уравнений
х* + Зг + у =0, \у' ~* + У =0
при начальных условиях
х(0) = 1, z/(0) = 1.
Решение. Пусть
х{р) = ^x(t)e~ptdt, у(р) = ^y(t)e~ptdt, о	о
тогда, в силу начальных условий,
]y'(t)e~ptdt =у' = ру -1, о
jx'(0e ptdt =х' = рх -1. о
Изображающая система будет иметь вид
-%+(/> + !)?/ -1
350
6. Преобразование Лапласа
Решение ищем по формулам Крамера:
у
тогда
2 *
2 ’
Известно, что
—^(l + atye^, (р-а)2
(Р -а)2
Следовательно,
х = —т- => x(t) = (l-2i)e'2t, (Р + 2)2
_ р + 4 р	4
~(р + 2)2 "(р + 2)2 + (р+2)2 '
z/(t) = (l-2t)e“2' + 4te“2' =(1 + 20е-2'.
Итак, решением нашей системы будут функции x(O = (l-2t)e’2z,
Операционным методом можно найти и общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае соответствующие начальные значения берутся произвольными.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
ао(Оу<п>+а1(ОР<"'1)+--- + a„-i(Op' + a„(OP =/(О. «о * °-
Сразу же оговоримся, что в общем случае операционный метод здесь не применим. Однако в некоторых специальных случаях удается решить рассматриваемое уравнение с помощью преобразования Лапласа. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть требуется решить уравнение
tu" + и' + tu = О,
(6.31)
причем будем считать, что при t = 0 сама функция u(t) и ее первая производная ограничены. Умножим (6.31) на ехр(-/?0и проинтегрируем от 0 до +оо. Получим
Интегрирование дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
351
+00	+оо	+00
^tu”e~prdt + ^u'e~prdt + tue~ptdt=Q.
О	0	0
Обозначим
Имеем
+00
й - ^ue~p[dt. о
+00	1 +оо	1~
\ tue~ рс dt = -[ие-'* dt =
о	Ф о	Ф
+оо
^u'e~ptdt - ри -w|f=0, о
+00	I +<зо	z/?7/r	/7
[<«’6-^ = -— [iTe'^dt =	[р2й-ри\, й-и’
о	Ф о	Ф	Ф
Таким образом, вместо (6.31) получим
2 du п —	— du п /2 4 \ du _ Л	/ г* п п \
-р-----2ри + ри---- 0 => (р + 1)— + ри =0.	(6.32)
dp	dp	dp
Уравнение (6.32) проще исходного. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Будем иметь
~ + ~^-=0^1n(u) + lh(p2 +1) = 1п(С)=>.
и (р2 +1)	2
Примем С = 1, тогда
«(О = у- f -,е d%= => «(О = J о (О, 2га 1т]р2 +1
так как мы знаем, что
Пример 2. Пусть требуется решить уравнение (и =0,1, 2,...)
tu* +(1-£)^' + пи =0,
(6.33)
причем будем считать, что при t =0 сама функция u(t) и ее первая производная ограничены. Умножим (6.33) на ехр(-/?£)и проинтегрируем от 0 до +оо. Получим
+00
+00
+00
+00
j tune ptdt + jue ptdt ~ j tuf e ptdt + njue pldt ~0. ООО	0
(6.34)
352
6. Преобразование Лапласа
Имеем
400 й - ^ue~ptdt,
о
г=0 •
du п __
— -2ри + и
Таким образом, вместо (6.34) получим
р(1-р)^- + (п + 1-р)й =0. dp
Откуда
Ж +	э , |П(С) + г,
U р(1 -р)	Р)
п
Возьмем С = 1, тогда
Следовательно,
w(0 =
Особые точки подынтегральной функции: р — 0 полюс (п + 1)-го порядка. Та
ким образом,
u(t) - res
р=о
Р
1 г
— 11Ш
п!
л (")
—	[(р
п \ p-^dp”
Обозначим
тогда
Интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных
353
(и = 0, 1,2,...). Полученное выражение есть полином степени п. Этот полином обозначается £„(£)и называется полиномом Лагерра. Таким образом,
е' /Г
=	=	п=0,1,2....
п\ dt
I0(O = l; L,(O = i-f; L2(t) = l-2i + y; ...
В заключение отметим, что метод преобразования Лапласа к нелинейным уравнениям не применим.
Интегрирование дифференциальных уравнений
частных производных
Пусть и	Рассмотрим уравнение
-b— -си = F(xtt), 0<х</, t>0, v2 dt2 dt
(6.35)
где
v,b,c — постоянные или вещественные функции от х; р, р, q,r — непрерывные функции от х на [О,/]; р,г >0. Уравнение (6.35) — гиперболического или параболического типа (в зависимости от п2).
Пусть по переменной х выполняются граничные условия первого, второго или третьего рода, то есть либо
либо
либо
(6.36-1)
(6.36-2)
(6.36-3)
Кроме того, поставлены начальные условия, например, для гиперболического уравнения условия имеют вид
= ф(х);
du
= фОО-
Обозначим
ос
i7(x,p) = Ju(x, t)e ~ptdt, о
Умножим уравнение (6.35) наехр(-р0и проинтегрируем от 0 до +оо. Получим
354
6. Преобразование Лапласа
Г Lx (uye^'dt --L [	e~ptdt -bl— e^dt - с f ue^dt = f F(x, f)e-p,dt.
J	n2 J fit2	3 dt	3	J
О	U q UL	0 07	Q	о
Откуда
V
p2u -pu\t,a
du dt
f=0
-b[pu -w|(=0
— cu - F(xtp\
(6.37)
где
F(x,p) = F(x,t)e ptdt. о
Уравнение (6.37) можно переписать в виде
где
4(Ю-
+ Ьр + с и ^g(x.p),
(6.38)
g(x,p) = F(x,p)-^-<p(x)—-y(x)-b<p(x)
V	V
— известная функция.
Граничные условия (6.36-1)-(6.36-3) соответственно трансформируются в сле
дующие условия:
либо
либо
(6.39-1)
(6.39-2)
(6.39-3)
Решая уравнение (6.38) с соответствующими условиями (6.39-1), (6.39-2) или (6.39-3), найдем й =и(х,р). Тогда
u(x,t) = — \u(x,p)eptdp, 2ni i
где прямая интегрирования L проходит правее всех особых точек подынтегральной функции.
Изложенный метод справедлив, если вместо условий (6.36) рассматриваются ус-
ловия
аои + ₽0
du dx
= /о(0; a;w + ₽;
du
= fM, x-l
где а0, p0, Yo» ai > Pi > Yi — некоторые константы.
В этом случае вместо (6.39) будем иметь
Интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных
355
о — + 7о(Ри ~и дх
.и-О
ди
При этом величины
и г=од =о J и t=o,x=i
должны быть заданы.
Отметим, что для уравнений эллиптического типа метод преобразования Лапласа, как правило, не применим, так как в задачах эллиптического типа почти никогда не заданы одновременно производная и функция на одной из границ. Кроме того, для успешного применения преобразования Лапласа необходимо, чтобы одна из переменных изменялась в бесконечном интервале (0,+оо). Задача для уравнения эллиптического типа (для бесконечной области), демонстрирующая исключение из этого правила, рассмотрена далее (см. «Примеры решения типовых задач», пример 2).
Построение метода преобразования Лапласа на случай большего числа независимых переменных
Пусть, например, и = u(x,y,t)- Рассмотрим уравнение
.	1 д и , ди	\	л
Дм—~—-~Ь-----------cu=F{x,y,t)> (х,м)еД £>0,
v2 dt2 dt
(6.40)
где D — некоторая плоская область с границей Г (Г — простой самонепересекаю-щийся контур),
д2и д2и Дм - —у + — дх2 ду
Станем рассматривать для определенности граничные условия третьего рода
ди дп
+ hu
= /(Р,О, А = /г(Р) > 0, г
Кроме того, выполняются начальные условия
и ,=0 = ф(х);
ди
dt
= ф(х).
г=0
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (6.40), получим
Дм -
U = g(x,y,p),
(6.41)
где
g(х,у, р) = F(x,у,р)-^-<р(х,у) —- у(х, у ) - &р(х, у ) V	V
— известная функция.
356
6. Преобразование Лапласа
Граничные условия преобразуются к виду
~- + hu
(6.42)
Таким образом, если мы можем решить краевую задачу (6.41)-(6.42) и найти функциюй =й(х,у,р), то
и(х, у, t) = — Г и (х, у, р ) е р‘ dp.
2т
Отметим, что краевую задачу (6.41)-(6.42) методом преобразования Лапласа решить нельзя, так как уравнение (6.41) эллиптического типа. Эта задача должна решаться независимо.
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
Задача о движении заряженной частицы в магнитном поле
Рассмотрим движение заряженной частицы массы т в однородном магнитном поле с напряженностью Н (рис. 6.12).
Рис. 6.12. Заряженная частица в магнитном поле
Уравнение движения частицы может быть записано в виде
mr = F =-г х Н,
с
где с — скорость света, е — заряд частицы. Здесь, как обычно в механике, точкой сверху обозначается производная по времени. В проекциях на оси координат будем иметь (Н - Н k)
—у; у =-—х; z = тс	тс
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
357
Обозначим со = —, тогда уравнения движения в проекциях на оси принимают тс
вид
% = со г/; у = -сох; z = 0.	(6.43)
Поставим начальные условия. Будем считать, что
£=0
“ 0, у t=Q 0, z z_q — О,
*1с=о =Vo cos(a), y|(l0 =и0 sin(a), z|(=0 =0.
Легко видеть, что при таких условиях z = 0 при t > 0.
Применим преобразование Лапласа к первым двум уравнениям (6.43). Будем иметь
Р 2х - рх| t=0 -х| (=0 = а(ру - у\у
Р2У~РУ\f=o~У\ыа = -со(рх -х|г=0 ).
Откуда находим
р2х -тру ~vQ cos (a), р2у + трх =vQ sin(a).
(6.44)
Решая систему (6.44), находим
a0 cos(a) a0cosin(a) р2 + со2 р(р2 + со2 )’
vQ sin(a) rococos (a)
2 ;	2~	/ 2	F\*
p + co p{p + co )
(6.45)
Заметим, что
1 - cos(cof)
co
t
= sin(cox)dT,
0
t
sin(co£)
co
0
1 - cos(co£) v co co p(co2 + p2)
Тогда из (6.45) получим
vn cos(a) . z . r>osin(a)z. z x =-^~—^sm(cot) + —------— (l-cos(coO),
co	co
aosin(a) . a0 cos(a)
у	- (1 — cos (coO).
co	co
Последнюю систему можно записать в виде
Vq sin(a) VQ и “ — sin(coz^-a), со
со
Vq cos (a) r0
cos (co£ - a).
co co
358
6. Преобразование Лапласа
Уравнение траектории частицы будет иметь вид
со
v0 sin(a)V
Vq cos(a)V
СО j
Отсюда заключаем, что частица движется по окружности радиуса
vQ _vQmc со еН
Задача о нагреве полубесконечного тела
Пусть тело занимает область х > 0 в пространстве (рис. 6.13). Начиная с момента времени t =0, стенка х =0 поддерживается при температуре, изменяющейся по заданному закону. Начальная температура тела равна нулю. Требуется найти распределение температуры в теле при t > 0.
У
г|х-о = /«
т\
о
Рис. 6.13. Полубесконечное тело D
Математическая формулировка задачи: kt ср’
дх дх
(6.46)
х=0
0,
(6.47)
Для решения поставленной задачи воспользуемся преобразованием Лапласа. Обозначим
Т(х,р) = jT(x,x)e pxdx.
о
Умножим (6.46) на exp(-pt) и проинтегрируем от 0 до +оо. Получим
-<рТ-Т
г=0
(6.48)
Условия (6.47) преобразуются в условия для функцииТ(х,р), т\х.0=7(р), т|х_->о.
(6.49)
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
359
Из (6.48) находим
Т(х,р) = Ае
Будем считать, что

тогда из условий (6.49) будем иметь В = О, А - f. Таким образом,
Т(х,т) = -~ 2тп
(6.50)
где прямая L проходит правее всех особых точек.
Рассмотрим для определенности случай /(т) = То = const. Тогда
о
Следовательно, из (6.50) находим
(6.51)
Подынтегральная функция в (6.51) имеет одну особую точку р =0 — точку разветвления (не полюс!). Примем
р -re^ => yjp	.
Если -л < ф < л, то Ле(д/р) > 0 в разрезанной плоскости (рис. 6.14), в частности, и на прямой L.
Рис. 6.14. Полюс р = О
360
6. Преобразование Лапласа
Таким образом, рассмотрим интеграл
dp - О
2га пл
(этот интеграл равен нулю в силу теоремы Коши, так как внутри контура нет особых точек). Будем иметь
, pP'-xJp
J -------ф=0.
uGA Р
Далее легко видеть, что
lim —; д“*°° 2га
dp = lim — 2га
Действительно,
kJ В С ,kj(7A
О
равномерно, следовательно, условия Леммы Жордана выполнены на иВС и uGA Далее
1 Г eP^xJP
— [ ------------dp +
(J.D) Р
(6.52)
Имеем p = -г на \jCD и uGF. Тогда из (6.52)
1	4 P „“Ft + trVr
A f v	* Iff?
2га
2га
е
2 я* и De?
00
IX f €
2 га •
Или
-гг

р
2тП kJ De?
Далее
2тП uDe?
_L c 4p+J_ г £ uDeF P 2Л1
dp =-l + O(7p),
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
361
так как
Р
Таким образом, получаем
2та{ р л; г
Переходя к пределу при р —> 0, получим
sin(xVr) dr -1 + Од/р = 0.
-I-2га ,
dp ~ 1 — Г----sin(xVr)d
nJ0 г
(6.53)
Для вычисления интеграла, стоящего справа в (6.53), обозначим Vr =
т 2°?бГА . z ч , dj 2^	1 ~
J - — I---sm(xs)os => —~ = — I е	cos(xs)ds = ~= е 4т.
л; s	dx	л Jn	<лт
Тогда
(6.54)
Здесь мы воспользовались известной формулой
оо	г
[е~а2*2 cos(bx)dx = —е 4“2
2а
р
Имеем =0. Тогда из (6.54) находим ..2
Таким образом, окончательно будем иметь
-I-2га I
dp - 1 - Ф
(6.55)
0 v 71Т
=у v Л» о

2
Р
и, следовательно, решение задачи будет иметь вид
о
(6.56)
Прямой подстановкой нетрудно убедиться, что формула (6.56) удовлетворяет уравнению (6.46), кроме того,
То[1-Ф(О)] = То,

то есть выполняются все граничные и начальные условия задачи.
362
6. Преобразование Лапласа
Задача о нагреве пластины конечной толщины
Определить распределение температуры в пластине толщины а, если, начиная с момента времени t = 0, стенка х = 0 поддерживается при температуре изменяющейся по заданному закону, а стенка х = а поддерживается при нулевой температуре. Начальная температура пластины равна нулю (рис. 6.15).
Рис. 6.15. Бесконечная пластина толщиной а
Математическая формулировка задачи:
д2Т дТ п kt
—г ~	т = — >
дх2 дх	ср
71V=„ =0,
(6.57)
(6.58)
71^=0-
Для решения поставленной задачи воспользуемся преобразованием Лапласа. Обозначим
T(xtp) - J Т(х, x)e~px dx. о
Умножим (6.57) на exp(-/rt) и проинтегрируем от 0 до +оо. Получим
^-{pT-T\^0) = Q=>^L-pT	(6.59)
dx	dx
Условия (6.58) преобразуются в условия
T\x.o=f(j>),T\x,a=O.	(6.60)
Общее решение уравнения (6.59) удобно записать в виде Т = Ash(yfpx) + Bsh(7/?(a-х)).

Из условий (6.60) находим
sh(Jpa)
Таким образом, будем иметь
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
363
h(7p(a-x))
shtjpa)
Следовательно,
2га { зЬ(д/ра)
Прямая L расположена справа от мнимой оси правее всех особых точек подынтегральной функции.
В качестве примера рассмотрим случай, когда /(т) = Т0 = const. Тогда будем иметь
f(p) = ^
(6.61)
2га i	sh(7 pa)	р
Рассмотрим два способа вычисления интеграла (6.61).
1. Применение теории вычетов. Подынтегральное выражение содержит д/р. Заметим, что
sh(yfp(a-x)) sh(7pa)
_Х)+Ь£<^)11+... {a_x}+p^)L+...
3!= 	3!
г- (Vpo)3	Pfl3
°+~зг+'"
— однозначная функция, так как д/р на самом деле выпадает из рассмотрения. Следовательно, подынтегральное выражение — однозначная функция р (нет точек ветвления). Из последней формулы следует также, что
sh(Jp(a~x)) а-х
lim----------=-----.
p-о sh(^)	«
Особыми точками подынтегральной функции являются:
1) р =0 — полюс первого порядка;
2) корни уравнения sh(^[pa) = 0.
Корни уравнения зЬ(д/ра) = 0, очевидно, имеют вид
Р=Рк=-

Таким образом особыми точками подынтегральной функции являются полюсы первого порядка: р = 0, pk = -
>
Согласно общей теории, дополняем контур дугой круга радиуса (рис. 6.16):
364
6. Преобразование Лапласа
2
'N
2
Будем иметь
1 с sh(7p(g-x)) ept •	1 f sh(y[p(a-x)) е"'
2лг anbnCnAh sh(VFa) Р 2ni Anbn sh(-Jpa) р
1	, sh(7p(a-x))e'n	A
+ — J ,	--------dp = res F( p )+	res F (p).
BjvCjvZjv sh(^pa) p	^=1 p=Pk
dp
(6.62)
где
Pf. sh(7p(a-x))eP' *
По лемме Жордана можно написать ..	1 г sh(7p(a-x)) ерт ,	„
Inn —	----——---------ар = 0 =>
2гаВл,с;.Лд, sh(Vpa) р
1 f sh(7F(a-^))	,	1 fsh(7p(a-x))e;,t
hm —	----—=---------ар = — -----—=--------ар.
^ЪйлнВн sh(Vpa) Р 2т I sh(Vpa)	Р
Действительно, имеем
sh(7p(a-x)) sh(7pa)
sh(7p(a-x)) 1 sh(7F«) р
м в

ГУ
НО
м
rn
0.
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
365
Модуль отношения гиперболических синусов ограничен на дуге Г\ . Это следует из того, что на дуге rN р - и этот модуль можно вычислить. Переходя к пределу при N —> оо в (6.62), получим
— \F(p)dp = resF(p)+^resF(p).
2.Т11 т	р-0	4=1	p = pt
Имеем
res F(p) = \mpF(p) = 1—, p=o	a
res F(p) ~ p~pk
sh(7F7(a-^))e''‘T
Pk
2-yJPk
2sh(kni(a - x))e a ' knich(kiti)
Таким образом, окончательно получаем
(6.63)
2. Разложение в ряд. Имеем sh(7p(a-x)) _ , sh(-yjpa)
-Jp(a-x)
-(2л-х
00
00
-(2ak+x)J~p	-(2ak+2a-x )y[p
&=0 _
L	J k=Q
%
Подставим это разложение в комплексный интеграл (6.61) и почленно проинтегрируем. Получим
рх -(2д£+х )^~р
dp .
L
Согласно (6.55),
4=0 2tcz
Таким образом, будем иметь
(6.64)
Проанализируем полученные решения. Решение в форме (6.63) — разложение по собственным функциям (метод Гринберга). Сходимость ряда (6.63) хорошая,
366
6. Преобразование Лапласа
если большие отношения т/а (большие времена, тонкие пластины). Решение в форме (6.64) удобно при малых отношениях х/а (малые времена, толстые пластины). Таким образом, оба решения взаимно дополняют друг друга. Решение (6.64) позволяет проанализировать характер процесса. Имеем
Первый член ряда тепловая волна, распространяющаяся от стенки х = 0 вглубь тела. Если т мало (начальные стадии процесса), то до определенного момента времени все члены малы и влияние второй стенки не сказывается, процесс носит характер тепловой волны, идущей в бесконечность. Второе слагаемое — отраженная тепловая волна, идущая от стенки х = а, и т. д. Члены ряда (6.64) — отраженные тепловые волны, идущие либо от стенки х - 0, либо от стенки х = а. Легко заметить, что (см. (6.56))
lim Т ~ Т{) а—
Задача о продольных колебаниях полубесконечного стержня
Рассмотрим продольные колебания полубесконечного стержня, занимающего область х > 0 вещественной оси.
Математическая формулировка задачи: найти функцию и =u(x,t), удовлетво-
ряющую уравнению
(6.65)
граничным условиям
и начальным условиям
«!л-о = /С>	=0
(6.66)
Будем решать поставленную задачу с помощью преобразования Лапласа. Пусть
СО й(х, р) = u(x,t)e~pt dt. « о
Применим преобразование Лапласа к уравнению колебаний стержня (6.65) и граничным условиям (6.66). Будем иметь
d2u р1 _ л ТТ—Ти =0’ dx v
йL.0	->0-
(6.67)
(6.68)
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики
367
Общее решение уравнения (6.67) имеет вид
и = Ае v + Bev
Из граничных условий (6.68) находим
Таким образом, будем иметь
-Дг
и =f{p}e ” ,
и, следовательно,
u(x,t') = ~\f(p)e 1 v 2т {
(6.69)
Имеем формулу Римана—Меллина
2/л
о,
(6.70)

Поэтому формулу (6.69) можно переписать в виде
1
u(x,t) =
V
О,
V
Таким образом, процесс представляет собой бегущую волну, распространяю-щуюся со скоростью v от конца стержня х = 0.
Задача о продольных колебаниях конечного стержня
Рассмотрим теперь задачу о продольных колебаниях конечного стержня 0 < х < /. Математическая формулировка задачи: найти функцию и ~u(x,t), удовлетворяющую уравнению
граничным условиям
и начальным условиям
и|х=о=/(0, w.r=/=0
п ди
и ,=п = 0, —	= 0.
Будем решать поставленную задачу с помощью преобразования Лапласа. Пусть
00
й(х,р) = ^u(x,t)e~ptdt.
о
368
6. Преобразование Лапласа
Рассуждая, как и в предыдущем случае полубесконечного стержня, мы приходим
к задаче
d2u dx2
V2
w|J=0 =/(Р). М1а=/=°-
Откуда находим
ы(х,р) = /(р)
и, следовательно,
(6.71)
При вычислении интеграла (6.71) воспользуемся разложением в ряд
Подставляем это разложение в (6.71) (предполагается, что можно интегрировать почленно). Получим
f(p) dp
(6.72)
В силу формулы Римана—Меллина (6.70) заключаем, что каждый из рядов в (6.72) содержит конечное число членов (так как всегда найдется такое число k, при котором, по формуле (6.70) мы будем иметь нуль). Это снимает вопрос о сходимости.
Будем иметь:
Вопросы к главе 6
369
и т. д. Таким образом, решение для каждого интервала времени представляется в конечной форме. В стержне движутся плоские волны. Они отражаются от сте-
нок и постепенно накладываются друг на друга.
Вопросы к главе 6
1.	Преобразование какого вида называется преобразованием Лапласа?
2.	Какая функция называется оригиналом и каковы его свойства? Приведите примеры функций, являющихся оригиналами. Приведите пример функции, которую нельзя назвать оригиналом. Почему?
3.	Каким свойствам должна удовлетворять функция, чтобы для нее существовало преобразование Лапласа?
4.	Какая существует связь между оригиналом и его изображением? Укажите область существования изображения и назовите его свойства.
5.	В какой области изображение f(p) является регулярной функцией?
6.	Сформулируйте свойства преобразования Лапласа.
7.	В чем состоит свойство линейности преобразования Лапласа?
8.	Как записать изображение /<л)(0, если известно изображение функции f (t)? t	_
9.	Какое изображение имеет функция j f(x)dx, если
о
10.	Что называется сверткой двух функций?
И. Назовите прямое и обратное преобразования Лапласа.
12.	Каково поведение преобразования Лапласа при больших по модулю значениях параметра? Сформулируйте соответствующую теорему.
13.	В чем заключается проблема обращения преобразования Лапласа? Единственно ли обращение?
14.	Сформулируйте леммы Жордана.
15.	Как вычисляется интеграл Римана—Меллина в случае рациональной функции/(р)?
16.	Как вычисляется интеграл Римана—Меллина в случае, когда f(p) — мероморфная функция?
17.	Как вычисляется интеграл Римана—Меллина в случае многозначной функции f(p) с конечным числом точек разветвления?
18.	Приведите примеры специальных методов обращения преобразования Лапласа, позволяющих получить результат без непосредственного вычисления интеграла Римана—Меллина.
19.	В чем состоит преимущество решения дифференциального уравнения операционным методом перед классическим методом?
20.	Приведите схему решения дифференциального уравнения операционным методом. К каким последовательным шагам можно свести решение дифференциального уравнения операционным методом?
370
6. Преобразование Лапласа
21.	Как решаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Лапласа?
22.	К каким дифференциальным уравнениям и системам уравнений применим метод преобразования Лапласа?
23.	Можно ли использовать преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами? Для решения нелинейных уравнений?
24.	Изложите схему применения преобразования Лапласа для интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.
25.	Какие типы уравнений в частных производных можно решать с применением преобразования Лапласа? К каким типам уравнений метод преобразования Лапласа не применим?
26.	Дайте решение задачи о движении заряженной частицы в магнитном поле с помощью преобразования Лапласа.
27.	Даnie решение задачи о нагреве полубесконечного тела с помощью преобразования Лапласа.
28.	Дайте решение задачи о нагреве пластины конечной толщины с помощью преобразования Лапласа.
29.	Дайте решение задачи о продольных колебаниях полубесконечного стержня с помощью преобразования Лапласа.
30.	Дайте решение задачи о продольных колебаниях конечного стержня с помощью преобразования Лапласа.
Задачи с примерами решения
1.	Найти изображение функции если оно существует:
7
0 /(0 = А 2) /(0 = sill3(0; 3) /(0 = cos(20 sin(30; Г
4)	/(/:) = teM sin(PO; 5) f(t) = te°* cos(PO; 6) f(t) = feclZsh(p/);
7)	/(0 = te“'sh(p0; 8) /(0 = -Ц; 9) /(0 =
Г-2	у/t
e'(t2 -2t + 2)-2
10)	f(t) = sin(0sh(0; 11) /(0 = —--------------L_.
2.	Найти оригинал функции f(p), если он существует:
О 7о) = АА 2) f(p) = /71-fi; 3) f(P) = ( /	;
(р + 1)	р“-4р + 6	р(р +а )
4)	7(р) = z 1	5) 7(Р) = АЦ
(р~ + а У	р + 4
6) f{p) =
1
(р2 -4р + 5)
7)	7(р) = А—8) 7(р) = -Ар 9> 7(р) = р (р -1)	1+р
Задачи с примерами решения
371
( 2	2	1^1
ю)/(р)= 4+4+“ е~р-р р)
3.	Найти оригинал /(f), удовлетворяющий уравнению
/(t)+J(t-T)/(x)A = 1.
О
4.	Решить дифференциальное уравнение:
1)г/" + 3у' + 2^=0; г/(0) = 1; г/'(0) = 0.
2)г/" + г/=1; г/(0) = 0; г/'(0) = 0.
3)	у" + 4г/ = cos(3t); г/(0) = 2; г/'(0) = 2.
4)2/" + 2/ = tcos(2i); г/(0) = 0; г/'(0) = 0.
5)	г/''- 4г/= в2'; г/(0) = 1; г/'(0) = 1.
6)	у" + 9у = sin(3£); г/(0) = 0; г/'(0) = 0.
7)	г/''-2г/'+ 2г/= 1 + 9(t -1); г/(0) = 0; 2/'(0) = 0’.
8)	г/<4> - г/ = 1; г/(0) = г/'(0) = г/"(0) = г/'"(0) = 0.
9)г/(4)+2г/"' + Зг/" + 2г/' + г/=0; Х«) = г/0; г/'(0) = у"(0) = г/"'(0) = 0.
10)г/(4) + /"-2z/"=20£sin(;); г/(0) = г/'(0) = г/'"(0) = 0, г/"(0) = -1.
5.	Решить систему дифференциальных уравнений:
1)	у'-у + 7=°; 4г/-г'-z = 4ef; г/(0) = г(0) = 1.
2)x'=z-y; г/' =z; z'=z-x; х(0) = г/(0) = 0; z(0) = 1.
3)	у' -2у + 4z + cos(f); z' = -у -2z = sin(f); z/(0) = -2; z(0)-0.
4)	x' =z + y\ y'=3x + z; z'=3x + z/; x(0)-0; y(0) - 2; z(0) = 3.
5)	y’ ~ 2x— y-2cos(f); x' - 4x-3y + sin(f); z/(0) — 0; x(0)=0.
6)x"+2z/=0; г/"-2х=0; x(0) = г/(0) = 0; x'(0) = 0; z/'(0) = 1.
7)	y' —y ~ el\ 2x* +y' +2y =cos(t); z/(0)=0; x(0)=0.
8)	x' = -2x-2y - 47; у = -2x + у-2z; z1 = 5x + 2y + lz\
х(0>1; г/(0) = 2; z(0) = -l.
9)x' = -z + z/; yf~z~2x\ / = -z/+2x; х(0) = 1; г/(0) =0; z(0)=0.
10)x' = z + z/; y' = x + z; z'-x + z/; x(0) = 1; z/(0) =0; z(0)=0.
6.	Стержень подвешен вертикально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В момент времени t - 0 стержень освобождается, оставаясь закрепленным в верхней точке. Определить колебания стержня под действием собственного веса. Указание: задача сводится к интегрированию уравнения
1	[1, t > 1,
Здесь 0(t - 1) = <	’ — единичная функция Хевисайда.
372
6. Преобразование Лапласа
колебаний
д2и
—- + g при следующих начальных и граничных условиях2
= 0, и\х=0 = 0,	=0.
ах х=/
Температура и - u(x,t) в тонком стержне удовлетворяет одномерному уравне-
о
ди 2 д и 2
нию теплопроводности — = а —где а dt дх2
— постоянный коэффициент. Рас-
смотреть распределение температур в полуограниченном стержне 0 < х < оо, если на левом конце стержня происходит теплоизлучение в среду с нулевой температурой, начальная температура стержня u0 = const. Указание: задача сводится к интегрированию уравнения теплопроводности при следующих начальных и граничных условиях: zz|f=0 -uQ, — =hu\x=Q, h >01.
^.i=0
8.	Рассмотреть распределение температур в ограниченном стержне 0 < х < /, левый конец которого теплоизолирован, а на правом поддерживается постоянная температура и1; начальная температура uQ также постоянна.
9.	Материальная точка массы т совершает прямолинейное движение под действием возмущающей силы #sin(to£), восстанавливающей силы mk2 х, пропорциональной смещению, и силы сопротивления 2тпх, пропорциональной скорости. Начальные отклонение и скорость равны, соответственно, х0 и х0. Найти движение точки в случае малого сопротивления (k > п). Считая п =0, рассмотреть случай k и резонансный случай со - k.
10.	Конденсатор емкости Со, заряженный до потенциала V, разряжается в момент времени t - 0 на бесконечную линию без потерь (7? = g = 0) с параметрами (£, С). Найти распределение тока I(x,t) в линии. Указание: граничные и начальные условия имеют вид w|x=0 = Ve~^T ,и\х_^ = 0(1), w|r=0 = 0, /|г=0 =0, где т = рС0 — постоянное время разряда, р = ^L/CQ — волновое сопротивление цепи.
И. Конец х =0 полубесконечной линии, обладающей самоиндукцией L и емкостью С на единицу длины, присоединяется в момент времени t - 0 к источнику ЭДС Е = f(t). Найти напряжение и(х, t) в каждой точке линии. Указание: граничные и начальные условия имеют вид u|v=0 = f(t),	= 0(1), w|(=0 =0,
^=о=0.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. К концу х = 0 полубесконечного кабеля (линия с параметрами 7? и С) подключается в момент времени t = 0 постоянная ЭДС Е. Найти напряжение в каждой точке кабеля.
Решение. Выпишем основные уравнения с учетом того что L = g =0:
1 Задачи 7 и 8 рассмотрены в книге Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматгиз, 1958. 680 с.
Задачи с примерами решения
373
ди дх
+ RI =0,
Исключив ток, получим
1 д2и ( г ди
-^7~T + C"77 -U
и 1 ди	л 1
v = тс
7) Оъ	jvO
Поставим начальные и граничные условия
Подобная задача уже решена нами (см. «Задача о нагреве полубесконечного тела»). Продемонстрируем решение этой задачи в Maple.
Определим уравнение и дополнительные условия:
> eq:=diff(и(х.t),х.x)-RC*diff(u(x.t).t)=0: x>0.t>0: > bc:=u(O.t)=E: t>0;
> ic:=u(x,0)=0: x>0:
eq :-
— 0
0 < x, 0 < t bc:= u(0, t)~E 0< I ic u(x, 0) = 0 0 < x
Подключим необходимые программы из пакета inttrans: > with(inttrans,laplace,inviaplace);
[ laplace, invlaplace ]
Применяем преобразование Лапласа к нашему уравнению и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно трансформанты Лапласа:
> 1aplасе(eq,t.р):
- laplace(u(x, t / t, р ) - RC (p laplace( u(x, t), z, p) - u(x, 0)) - 0 4м*
> ode: =subs (lapl acet u(x,t) ,t.p)=U(x). 1c Д):
- RCp U(x) = 0
Решаем полученное уравнение
> res: =dsolve(ode,U(x));assignees):U(x):
tv \	77 -<)	(-/Ec	.v)
res := U(x) = _C7 e + _C2 e
(/RC /p x)	(-/RC /p a- )
Cl e + C2 e
374
6. Преобразование Лапласа
Выбираем ограниченное на бесконечности решение: > U:=subs( Cl=0,U(x));
(-JRC Jp х}
U'.
Определяем вторую константу из граничного условия и тем самым полностью решаем задачу для трансформанты:
>	subs(х=0.U)=Е/р:solved, {_С2});assign(X) ;U;
( -JRC 4р X)
>	U:=subs(U(x)=laplace(u(x,t),t.p)Д):
( -Jkc 4p x )
E e
Находим теперь обратное преобразование Лапласа: > invlaplace(U.p.t):
(x-jRC
Е erfc
Таким образом, окончательно получаем
и(х, t) = Е 1 - Ф
x^RC ~24Г
1
где Ф(х) — интеграл вероятности.
Пример 2. Решить следующую задачу:
9-—^-+ 4-—= 36e2v sin(3i), х>0, t>0, дх2 dt2
Мг=.о=°- т- =sin(3O-дх ж.о
Решение. Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple. Определим задачу:
>	eq:=9*diff(u(x.t),х,x)+4*diff(u(x.t),t,t)=
>	36*exp(2*x)*sin(3*t); x>0,t>0;
>	bcl;=u(0.t)=0: t>0:
>	bc2:=D[1](u)(0,t)=sin(3*t): t>0;
>	icl:=u(x,0)=0: x>0;
>	1c2:=D[2](u)(x.0)=3*x*exp(2*x); x>0;
n , (2x)
= 36 e sin(3 t)
Задачи с примерами решения
375
О < х, О < t bcl := u(O, t) - О O< t
bc2 D](w)(O, Г) = sin(3 t) O< t id := u(x, 0) = 0 0 < x
ic2 := D2( и )(x, 0) = 3 x e( } 0 < x
Подключим программы преобразования Лапласа и его обращения:
>	wlthdnttrans. 1 aplасе,Inviaplace);
[ laplace, invlaplace ]
Применяем преобразование Лапласа к заданному уравнению и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для трансформанты
> laplace(eq,x.p);
9p (p laplace(u(x, Z), x,p) - u(0, /)) - 9 D (w)(0, t) + 4 —r laplace(u(x, z), x,p) = \dt
>	subs(laplace(u(x,t),x,p)=v(t).bcl,Ьс2Л):
36 sin( 3 t)
dt2
Решаем полученное уравнение с учетом граничных условий для трансформанты
dsolve({X,v(0)=1aplacet rhs(1 cl),x,p),D(v)(O)-
laplace(rhs(1c2),x,p)}.{v(t)});
sin(3 z) (P-2)2
subs(v(t)-laplace(u(x.t),x.p)Д):
laplace( u(x, Z), x, p) =
sin( 3 z) (P-2)2
Вычисляем обратное преобразование и получаем решение нашей задачи
>	1nvlaplace(t,р.х):
u(x, z) = sin(3 z) х е
Итак, решение нашей задачи оказалось возможным представить в элементарных функциях
и(х, t) - хе2х sin(3£)-
Выполним проверку решения:
>	u:-iinapply(rhs(fc).(x,t)):
>	simpl1fy(rhs(eq)-1hs(eq)):
>	If t<>0 then combined,trig) else X f 1:
>	simplify(rhs(bcl)-lhs(bcl)):
376
6. Преобразование Лапласа
> s1mp!1fy(rhs(bc2)-lhs(bc2));
> simpl1fy(rhs(Icl)-1hs(icl)): > simpl1fy(rhs(1c2)-1hs(1c2)):
О О О О О
Все в порядке!
Пример 3. Решить следующую задачу:
д2и
дх2
— + u=f(x), х>0, f>0, dt
Решение. Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple. Определим задачу:
> restart:with(Inttrans.laplace,Inviaplace);
[ laplace, invlaplace ]
> eq:=diff(u(x,t),x,x)-diff(u(x,t).t)+u(x.t)=f(x): > x>0,t>0;
0 < x, 0 < t
> bc:-u(0.t)*t:bcx:»D[l](u)(0,t)»0: t>0:
be := u( 0, t) = t bex := Dl(u)(0, t) = 0
0</
Применяем преобразование Лапласа по переменной х. Построение решения:
> laplace(eq.x.p):
Р (р laplace( u(x, t),x,p) - u(0, /)) - Dj(u)(0, /) -
— laplace( u( х, t), j, p) ot
+ laplace(u(x, /), x,p) -
laplace(f(x), x,p)
> subs(bc,bcx,laplace(u(x,t),x.p)=v(t)Д):
p(p
+ v(z) = laplace(f(x), x,p)
> dsolveU.v(t));
z ,	((p2+d/) e	(tp^ +p t + p + laplace(f(x), x,p)p + laplace(f(x), x,p)) e
v( t) = e _C 1 +---------------------------------------------5-------------------------------
(#2+l)
Задачи с примерами решения
377
Находим обратное преобразование:
> 1nvlaplасе(rhs(X).р,х):
^,-11	,	((Р2 + 1 )/>	/
С/ mvlaplace(е ,р,х) +
Из полученного решения необходимо исключить (за счет выбора произвольных постоянных) неограниченные члены:
> u(x,t)=subs( С1=0Д);
•'о
Выполним проверку полученного решения:
>	u:-unapply(rhs(X).(x.t)):
>	slmpl1fy(1hs(eq)-rhs(eq));
>	s 1 mpl 1 fy (1 hs (be) - rhs (be)):
>	slmplify(lhs(bcx)-rhs(bcx));
О О
О
Все в порядке!
Таким образом, решение нашей задачи дается формулой
X	j
u(x,t) = j/(^)sin(x - %)<&> + -xsin(x) + tcos(x).
Пример 4. Тело ограничено изнутри сферической поверхностью радиуса а, а снаружи не ограничено (рис. 6.17). Начальная температура тела равна нулю, а на сферической поверхности температура поддерживается постоянной, равной Го. Найти температуру тела в произвольный момент времени t.
Рис. 6.17. К примеру 4
Решение. Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple. Определим задачу:
> v:»[r.theta.phi]:
378
6. Преобразование Лапласа
>	eq-.«simpl 1fy(linalg[laplac1an]
>	(u(r.tau),v.coords=spherical))-d1ff(u(r,tau),tau)=0;
>	1c:-u(r.0)-0:
>	bc:=u(a,tau)=T0:
V := [r, 0, ф]
ic := u(r, 0) = 0 be := u(a, t) - TO
Здесь, как обычно, т = kt/ср — приведенное время.
Применяем преобразование по переменной т и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для трансформанты:
>	withtlnttrans.laplace.invlaplасе);
[ laplace, invlaplace ]
> laplace(eq.tau.p):
2 — laplace( u( г, т), т, p) or
— laplace( u( г, т), т,р)
ur
--------------------------- p laplace( u( г, т), т, p) + u( r, 0) = 0
>	ode:«subst1aplacetu(r.tau),tau.p)»R(r). 1c Д);
ode :=
dr
dr1
Ищем общее решение полученного уравнения:
>	res:=dsolve(ode,R(r)):ass1gn(res):R(r);
z 4 Cl sinh(7F r) 672 cosh(7p r) res := R( r) =--------------+-----------------
r	r
C1 sinh(7F r) 672 cosh(7p r)
Наше решение должно быть ограничено на бесконечности, поэтому удобно перейти к экспонентам:
>	subs(sinh((р*(l/2)*r))=
>	ехрИАШ2)*гксозШрлШ2У*г)>
>	ехр(рА(1/2)*г)Д):
С2С1*'1
Теперь мы видим, что константу _С2 следует принять равной нулю.
>	R:=subs( С2=0 Д);
r
Задачи с примерами решения
379
Вторую константу находим из граничного условия, которое тоже предварительно нужно преобразовать по Лапласу:
>	laplace(bc.tau.p);
ТО laplace(u(a, т), т,р) = — р
>	subs(laplace(u(a.tau),tau.p)=subs(r=a,R)Д);
>	solved,{_Cl}):assign(X);R;
_С1	TO
a	p
> R:«subs(R(r)-laplace(u(r,t).t.p)Д);
Выполним теперь обратное преобразование Лапласа:
> Sol_u:=invlaplace(R.p.tau);
ТО а
Sol_u :=-----
VI -> 0+
Вычислим предел:
> assume(r>a):Sol_u:=value(Sol__u):
Sol и
Выполним проверку полученного решения. Для удобства вычислений определим функцию — решение нашей задачи:
> u:=(r,tau)->T0*a/r*(l-erf(l/2*(-a+r)/tau*(l/2))):
w :=(г, т)
ТО а
Проверим справедливость уравнения и граничных условий:
>	slmpl1fy(rhs(eq)-1hs(eq));
>	slmpl1fy(rhs(bc)-1hs(be));
0
0
380
6. Преобразование Лапласа
Таким образом, уравнение и граничное условие удовлетворяются. Проверим начальное условие:
> Limit(u(r.tau) ,tau=O. right); valueU):
TO a-
lim --------
т -> o+
0
Итак, решение нашей задачи определяется по формуле
где Ф(х) — интеграл вероятности.
Пример 5. Два полубесконечных тела из различных материалов (рис. 6.18), одно из которых нагрето до температуры То, а другое имеет температуру, равную нулю, приводятся в контакт своими плоскими границами начиная с момента времени t = 0. Найти закон выравнивания температур.
о
Рис. 6.18. К примеру 5
Решение. Задача сводится к решению следующих уравнений
при начальных
и граничных условиях
Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple. Определим задачу:
> eql:=dift(ul(x,t).х$2)-bl*diff(ul(x.t).t)=0: > eq2:=diff(u2(x,t),x$2)-b2*diff(u2(x.t),t)=0; > icl:=ul(x,0)=T[0]:1c2:=u2(x,0)=0;
Задачи с примерами решения
381
> bcl:=ul(0.t)*u2(0.t):
>	bc2: =kl*D[l](ul)(0.t>k2*D[l](u2)(0.t):
eql
eq2 :=
-bl
- b2
id := ul(x, 0) = TQ ic2 := u2(x, 0) = 0 bcl := ul(O, t) = u2(0, t) bc2 “ kl	r) = )t2Dl(w2)(0, t)
Выполним преобразование Лапласа над заданными уравнениями:
>	wlth(inttrans.laplace.invlaplace);
[Iaplace, invlaplace ]
>	pl:*laplace(eql,t.p);p2:-laplace(eq2.t.p);
pl := —z laplace(ul(x, t), t, p) - bl (p laplace(ul(x, t), t,p) - ul(x, 0)) = 0 dx
—- laplace(u2(x, /), t, p) - b2 (p laplace(u2(x, t)*t,p) - u2(x, 0)) = 0 dx
Получим уравнения для трансформант и найдем их общие решения:
> odel:-subs(1aplace(ul(x.t).t.p)-Ul(x).icl.pl):
> ode2:=subs(laplace(u2(x.t),t,p)=U2(x), 1c2.p2):
odel
-bl (^Ul(x)-ro) = O
ode2
U2(x)
b2 pU2(x) = 0
> resi :=dsolve( odel .111 (x)):res2:“dsolve(ode2,U2(x)):
/ TTI^ \	(-JbTJpx)	Л
resi Ul(x) = e	C2 + e	Cl ч—
P
Э ТТП/ \	-fp x)	(~4b2&x)
res2 := U2(x) = Cl e + _C2 e
Учтем ограниченность функций на бесконечности. Кроме того, удобно ввести новые обозначения для произвольных постоянных интегрирования (разные для разных функций). Одновременно вычислим производные, так как они понадобятся для определения оставшихся констант:
>	assign(resl):Ul(x);
>	Ul:=subs(_C2=0._Cl=A.^):dUl:=d1ff(Ul,x);
(/ьГ77x) (-7*^77*) „j
e	C2 + e	Cl + —
P
382
6. Преобразование Лапласа
U1
(-7^77*) 'о
:= е А + — Р
dUl := -/bl /р е( > А
>	assign(res2):U2(x):
>	U2:=subs(_C2=0._Cl=8 Д) :dll2:=d1ff(U2.x):
(7*2*77X)	(~/Ь2 4р *)
_С7 е + _С2 е
dU2 := В -] Ь2 /р е*^
Получим теперь уравнения для определения констант Л и В и решим их:
> pcl:=laplace(bcl.t.p):pc2:=laplace(bc2.t.p):
pci := laplace( u 1 (0, t), t, p) = laplace( u2( 0, tt, p)
pc2 kl laplace( и I)(0, t), t, p) = k2 laplace( Dj( u2)(0, t), Z, p)
>	el:=subs(laplacetul(O.t) ,t.p)=subs(x=O.lll),
>	laplace(u2(0.t).t,p)=substx=0.U2).pci):
>	e2:=substlaplace(D[l](ul)(0.t),t.p)=subs(x=O,dUl).
>	lap!acetD[l](u2)(O.t).t,p)=subs(x=0.dU2),pc2):
° D Л0
о
>	res_e:’solve({el,e2}.{A.B});assign(res_e):U1:U2:
Tokl /bl res e := {B =--------?=-------.— , A =
p(kl Jbl +k2,jb2)
k2,/h2 To
p(kl /bT + k2 /b2)
e'^/v₽ '42^2 TQ To p {kl /bT + k2 /b2) P
„ > , ггт -Ip
р (к 1 /ГТ + к2 /Ь2 )
Итак, мы нашли трансформанты Лапласа:
>	U1 ;=subs(Ul(x)=1aplacetultx.t) ,t ,р) .111) ;
>	U2:=substU2fx)=laplacetu2(x<t),t,p),U2):
UI ---------------------7=— + —
p(kl /bl +k2</b2) P
J , ГТТ Vp x)
U2 ;=  •	----—
p(kl Jbl ^k2/b2)
Выполним теперь обратное преобразование Лапласа и получим решение нашей
задачи:
Задачи с примерами решения
383
>	assume(x>0);Sol_ul:-invlaplace(Ul.p.t):х:
>	assume(x<0):Sol_u2:=invlaplace(U2.p,t);
Sol ul :
то kl JbT erfc -
Sol u2 :=----f=—~
Выполним проверку найденного решения. Для удобства вычислений определим функции — решения задачи:
>	ul:-proc(x.t) options operator, arrow;
>	-k2*b2x( 1/2)*Т[0]/(к1*Ь1*(1/2)+к2*Ь2Л( 1/2))*
> erfc(l/2*x*blA(l/2)/C(l/2))+T[0]
>	end proc;
к2 <[b2 TQ erfc -
о
>	u2:= proc (x. t) options operator, arrow;
>	Т[0]*к1*Ь1ж(1/2)/(к1*Ь1Л(l/2)+k2*b2A(1/2))*
>	erfc(-1/2*Ь2ж(1/2)*х/Г(1/2))
>	end proc;
Проверим справедливость уравнений:
> simp!ify(rhs(eql)-lhs(eql)):
>	simplify(rhs(eq2)-lhs(eq2)):
О
О
Проверим справедливость граничных условий:
>	slmplify(rhs(bcl)-lhs(bcl)):simplify(rhs(bc2)-lhs(bc2));
0
0
Проверим, наконец, справедливость начальных условий:
>	dssume(x>0);assume(bl>0):
>	Limit(uKx.t) .te0. right)»
>	va1ue(LI mlt(ul(x.t),t=0. r'
lim
kl Jbl~ +к2/Ь2
384
6. Преобразование Лапласа
> assumefх<0):assumetЬ2>0):
> Limit(u2(x.t),t=0,right)»
> value(Limit(u2(x,t),t=0,right));
TQ к! 7 bl~ erfc -
6.
lim
kl + k2-.[b2
Все в порядке. Итак, решение нашей задачи определяется формулами
2Л

2Л

где Ф(х) — интеграл вероятности.
Пример 6. На границу полупространства x >0 подается тепловой поток плотности qQ. Начальная температура равна нулю. Найти температуру в каждой точке при t > 0.
Решение. Требуется найти решение уравнения теплопроводности
д2и	ди2	kt	п
—--------=0,	т= —,	%>0,	f>0,
дх	дх _	ср
при начальных и граничных условиях
л г ди
и
т=0
= <7о-
л =0
Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple. Подключим пакет с командами, выполняющими преобразование Лапласа:
>	with(inttrans.laplace.invlaplасе):
[laplace, invlaplace ]
Задаем задачу:
>	eq:=diff(u(x,tau),x,x)=diff(u(x,tau),tau);
> bc:=-k*D[l](u)(O.tau)=qO:
d2
eq := —r dx2
be := “A:D1(u)(0, т) = q0
Задачи с примерами решения
385
ic := u(r, 0) - 0
Выполняем преобразование Лапласа; решаем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение для трансформанты и, таким образом, находим общее выражение для трансформанты:
> laplace(eq.tau,p);
—z laplace(u(x, т), т,р) -р laplace(u(x, т), т,р) - и(х, 0) дх
>	ode:=subs(laplace(u(x.tau).tau.p)-U(x).1 с.X):
ode := —т dx2
>	res:=dsolve(ode.U(x));ass1gn(res);U(x);
res := U(x) - _С1 е
Учтем теперь ограниченность нашей функции на бесконечности и преобразуем граничное условие по Лапласу:
> U:*subs(_Cl’eO.X):laplace(bc,tau.p):
qo
-к laplace(D.(w)(0, т), т,р) ~ — Р
Получим уравнение по граничному условию и определим произвольную постоянную:
>	subs(1aplасе(DE 1](и)(0,tau),tau.р)=
>	subs(x=O,diff(U,x))Д):
>	solved,{_C2}):assign(5>) ;U:
яо
Я0 j (3/2) kp
qO e
(3/2) kp
Таким образом, мы решили задачу для трансформанты:
qO e
(3/2) к p
Выполним теперь обратное преобразование Лапласа и найдем решение нашей задачи:
>	Invlaplace(U.p.tau);
386
6. Преобразование Лапласа
Выполним проверку найденного решения:
>	u:=unapply(Mx.tau));
>	simpHfy(rhs(eq)-lhs(eq));
>	simplify(rhs(bc)-lhs(bc));
О
О
Таким образом, уравнение и граничные условия удовлетворяются. Проверим теперь начальное условие:
> assumetх>0) :Limit(u(x.tau) ,tau-0.right): valued);
Итак, решение нашей задачи имеет вид
О
где Ф(х) — интеграл вероятности.
Пример 7. Решить задачу для обыкновенного дифференциального уравнения: d2y cdy п л , л
—^ + 5-т- + 6г/ =0, t >0, dt2 dt
Решение. Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple. Здесь мы можем применить несколько способов решения нашей задачи. Прежде всего, определим задачу:
> del:» diff(y(t) ,t$2) + 5*d1ff(y(t) ,t)	6*y(t) » 0;
> ic:=y(O)=O;icl:,=D(y)(O)al:
del
+5 at
+ 6y(z) = 0
ic := y(0) = 0
Задачи с примерами решения
387
id :=D(y)(0)=l
Самый простой способ — решение задачи с помощью программы dsol ve с указанием или без указания метода решения. Например, решим нашу задачу с помощью преобразования Лапласа, но всю работу поручим компьютеру:
dsolvet{del. 1с. Icl}. y(t),method=laplace);
assignCK) :del:

y(0 “ 2 e '' sinh —
0 = 0
Здесь мы одновременно и проверили правильность результата. Итак, решение нашей задачи дается формулой
y(t) = 2е 2 sh - .
Можно решать задачу командой dsolve без указания метода решения:
> у:='у':dsolve({del, 1с. Icl}, y(t)): > assignee):del:
0 = 0
В этом случае мы получили решение в другой, эквивалентной форме
+ e~2t.
Можно, наконец, «вручную» применить преобразование Лапласа:
> у: = 'у':laplacetdel,t,р);
р (р laplace(у(t), t,p) - у(0)) - D(y)(0) + 5р laplace(у(t), ?,/?)- 5 у(0) + 6 laplace(y(r), t.p) = 0 > subs(1с,Icl.laplace(y(t),t,p)“YД);
p1 2 Y- 1 + 5p K+ 6 У= 0
1
p2 + 5 p + 6
> solve(O):
> 1 nvlaplace(X,p,t);
Как и следовало ожидать, мы получили тот же результат.
Пример 8. Решить задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
d2y dt2
388
6. Преобразование Лапласа
£=0
Решение. Воспользуемся для решения нашей задачи системой Maple:
> restart:
> ODE1:»{diff(x(t),t$2)-8*x(t)+sqrt(6)*diff(y(t).t)e0};
> ODE2-{-sqrt(6)*diff(x(t),t)+d1ff(y(t),t$2)+2*y(t>0}:
0DE1 :=
ODE2 := {--/б
+ 2y(O = 0}
> sysODE:^ ODE1 union 00E2;
> 1nit:»{x(0)=l.D(x)(0)=0.y(0)»0.D(y)(0)’0}:
sysODE {~4&
+ 2y(O = 0,
init := {x(0) = 1, D(x)(0) = 0, y(0) - 0, D(y)(0) = 0}
> dsolve(sysODE union init.{x(t),y(t)}.method-laplace):
> assign(X):x:-unapply(x(t),t);y:«unapply(y(t),t):
{x(O cos(2 t) cosh(2/), y(Z) ~ 8 ч/б sin(2 t) + ---sinh(2 t) } 2	2	16	16	/
-> cos( 2 t) + - cosh( 2 t)
sin(2 t) +
sinh(2 t)
Проверим полученный результат:
>	simplify(sysODE) ;SlmpHfy(ODEl) :s1mplify(0DE2);
{0 = 0}
{0 = 0}
{0=0}
>	simplify(value(in1t));
{1= 1,0 = 0}
Итак, решение системы имеет вид
x(t) = --sin(2£) + - ch(2£),
cos(2t)+
sh(20-
7 Интегральные уравнения в математической физике
Интегральными уравнениями обычно называют уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком определенного интеграла, как одномерного, так и кратного. Теория интегральных уравнений составляет сейчас внушительный раздел математического анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение. Отдельные интегральные уравнения встречались уже в первой половине XIX в.; систематическая их теория была заложена на рубеже XIX и XX вв. в работах математиков В. Вольтерры (V. Volterra, 1860-1940), Э. И. Фредгольма (Е. I. Fredholm, 1866-1927), Д. Гильберта (D. Hilbert, 1862-1943) и др.
Интегральные уравнения являются одним из наиболее плодотворных средств математического исследования как в чистом, так и в прикладном анализе. Это относится, в частности, к задачам теории механических колебаний и соответствующих областей техники и теоретической физики, где интегральные уравнения не только полезны, но зачастую даже совершенно необходимы для численных расчетов.
Цель настоящей главы — дать студентам и инженерам, имеющим дело с прикладной математикой, первоначальные сведения об интегральных уравнениях, делая упор, главным образом, на практической стороне вопроса. По этой причине от читателя требуется минимум математических знаний (твердые знания основ дифференциального и интегрального исчисления и элементов теории функций вполне достаточны).
Основные классы интегральных уравнений
Интегральные уравнения можно разделить на два больших класса: линейные и нелинейные интегральные уравнения. Примером линейного уравнения может служить следующее уравнение
ф(х)~ ^еху y(y)dy =х- — + -—0<х<1	(7.1)
390
7. Интегральные уравнения в математической физике
или уравнение
ос
$sin(xy)<p(y)dy = fix'), 0 <х <оо. О
Пример нелинейного уравнения:
ХУ <Р (*/)
О 1 ' V \у 7
Таким образом, интегральное уравнение называется линейным, если в него неизвестная функция входит линейно.
Решить интегральное уравнение — значит найти такую функцию, которая обращает данное уравнение в верное тождество. Например, решением уравнения (7.1) является функция ф(х) = х. Действительно, имеем
ф(х)- J ^{y)dy = х - \е** у dy = з
О	о
= х — уеху
1/^0 J о
2 ’
что и требовалось Доказать.
Уравнение (7.2) — синус-преобразование Фурье функции ср(х). А тогда по формуле обращения будем иметь
ф(г/) = -Jsin(^)/(x)6Zr, 0<^<оо.
71 О
Таким образом, формула (7.3) дает решение уравнения (7.2).
Интегральные уравнения подразделяются на уравнения первого рода и уравнения второго рода. В уравнения первого рода неизвестная функция входит только под знаком интеграла. В уравнения второго рода неизвестная функция входит как под знаком интеграла, так и вне интеграла.
Уравнения первого и второго рода могут быть с постоянными пределами интегрирования, а могут иметь переменный верхний предел. Уравнения с постоянными пределами интегрирования называются уравнениями Фредгольма, а уравнения с переменным верхним пределом называются уравнениями Вольтерры^.
Таким образом, линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид
(7.3)
1 В большинстве книг по интегральным уравнениям такие уравнения называются уравнениями Вольтерра (при произношении ударение ставится на букве «е»), то есть фамилия не склоняется. Однако по правилам русского языка иноязычные фамилии мужского рода должны склоняться. Фамилия Вито Вольтерра склоняется, например, в книгах: Большой энциклопедический словарь. Математика. — Москва: Большая Российская энциклопедия, 1998; Верланъ А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справ, пособие. — Киев: Наук, думка. 1986.
Основные классы интегральных уравнений
391
4
|К(х,г/)ф(г/)<й/=/(х), а<х<Ь. а
Линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид
ь
ф(х)-\K(x,y)<p(y)dy = f(x), a<x<b. J a
Линейное интегральное уравнение Вольтерры первого рода имеет вид
X
|Х(х,г/)ф(г/)<й/=/(х), а<х. а
Линейное интегральное уравнение Вольтерры второго рода имеет вид
X
ф(х)-^K(x,y)<p(y)dy =f{x), а
а <х.
Во всех перечисленных уравнениях <р(х) — неизвестная искомая функция; /(х) — заданная функция, называемая свободным членом интегрального уравнения; К(х,у) — заданная функция, называемая ядром интегрального уравнения.
Уравнения второго рода иногда записывают с параметром X так:
ь
ср(х)-Х K(x,y)ty(y)dy - f(x), a<x<b
а
или
х
ф(х)-^|Х(х,г/)ф(г/)ф =/(х), а<х. а
(7.4)
(7.5)
Тогда уравнения (7.4) или (7.5) представляют собой не одно уравнение, а семейство уравнений, зависящее от числового параметра. Параметр А. может быть отнесен к ядру уравнения.
Пределы интегрирования а, b могут быть как конечными, так и бесконечными.
В уравнениях Фредгольма обычно предполагают:
1)	интервал (а, Ь) — конечен;
2)	ядро К(х,у) — непрерывно при а<х<Ь,а<у <Ь;
3)	функция f(x) — непрерывна на [я, 6].
В этом случае говорят, что уравнение является регулярным. Решение ищется в классе непрерывных функций. Если какое-либо из перечисленных условий нарушено, то уравнение называется сингулярным.
Часто накладываются следующие условия
JJ|X(x,z/)|2dxdy <+<ю,	(7.6)
а а
392
7. Интегральные уравнения в математической физике
f(x)
а
Ядра, удовлетворяющие условию (7.6), называют фредгольмовыми. В таком случае решение ищется в классе функций, квадрат которых интегрируем.
Если f(x) =0, то интегральное уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.
Уравнения Вольтерры более просты, чем уравнения Фредгольма; уравнения второго рода более просты, нежели уравнения первого рода.
Уравнение Вольтерры можно при некоторых ограничениях рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма. Ядро Х(х,г/)в уравнении (7.5) по смыслу задачи определено при а < у < х. Доопределим его при у > х, приняв К(х,у)=0, х <у < Ь. Тогда уравнение (7.5) можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма с ядром К(х,у), определенным следующим образом
К(х,у)
К(х,у), у<х, 0, у > х.
При таком определении ядра К(х,у) — интегральное уравнение Фредгольма
ь
ф(х)-А.|К(х,г/)ф(1/)ф = /(х) а
тождественно уравнению Вольтерры (7.5).
Это простое замечание позволяет переносить результаты, полученные для уравнений Фредгольма, на уравнения Вольтерры как на частный случай фредгольмо-вых уравнений.
Однако уравнения Вольтерры обладают некоторыми свойствами, характерными именно для них.
Нелинейные уравнения настолько разнообразны, что даже их классификация затруднительна. Отметим только нелинейное уравнение Урысона
ь
q(x) = \K(x,y,q(yy)dy.
а
Функция К(х,у,у) обычно предполагается непрерывной при а<х<Ь, а <у <Ь;
-М < ср < М, где М > 0 — достаточно большая постоянная.
Нелинейное уравнение Вольтерры
ср(х) = |К(х,г/, ф(г/))бй/, а
где функция К(х,у, ср), например, непрерывна по совокупности аргументов х, у, ср в области а < х < Ь, а < у < Ь,- М < ср < М.
Основные классы интегральных уравнений
393
Мы будем заниматься исключительно линейными уравнениями.
Отметим еще уравнения, в которых интегрирование производится по некоторой поверхности S. В таком случае уравнение Фредгольма первого рода имеет вид
JJK(M,N)y(M)dsM = f(N), NeS. s
Здесь индекс М у дифференциала dsM означает, что дифференцирование выполняется по координатам точки М.
Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид
^(N)-\\K(M,N)^(M)dsu = f(N), NeS. s
Пример. Распределение заряда по поверхности 5 проводника в соответствии с законом Кулона определяется уравнением
_j_ff= v>
4тс£0 \MN\
где о(М) — поверхностная плотность заряда, V — потенциал, е0 — электрическая постоянная.
Наконец, отметим уравнения, содержащие интегралы по контуру в плоскости комплексной переменной. Здесь характерны следующие интегральные уравнения:
±^dy=f(z), zer,	(7.7)
2ni • у - z
=f(z), z е Г.	(7.8)
2ш р у - z
1
Ядро K(t/,z) =---. Интегралы в (7.7) и (7.8) понимаются в смысле главного
У-z
значения.
Во всех рассмотренных примерах область изменения переменных х, у была одна и та же. Встречаются также уравнения вида
00
\K(x,y)y(y)dy = f(x), а<,х<с,
а >
jK(x,y)p(y)tf>(y)dy =g(x), с<х<со.
а
(7.9)
Здесь К(х,у) — ядро; /(x),g(x) — заданные функции; р(г/) > 0 ~ заданная функция. Уравнения типа (7.9) называются парными интегральными уравнениями. Возникают такие уравнения при решении краевых задач математической физики со смешанными условиями.
394
7. Интегральные уравнения в математической физике
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение при помощи специальных приемо
Уравнения Вольтерры второго рода с ядром, зависящим от разности
Уравнения вида
X ф(х)-А, К(х -y)y(y)dy - f(x), а<х, е а
а также аналогичные уравнения первого рода
|к(.г-г/)ф(г/)ф = /(х), а<х а
представляют собой важный специальный класс интегральных уравнений Вольтерры, которые обычно называются уравнениями типа свертки, так как операция
{К,ф} = [К(х-y)y(y)dy е а
представляет собой свертку двух функций К и ср.
Заметим, что, не теряя общности, можно считать нижний предел интегрирования равным нулю: а - 0. Действительно, сделав замену переменной х - а = %, у - а ~ т|, мы придем к уравнению
с
ф(а +^)-Х|Х(^-т])ф(а + т])й?П = /(£). ^0.
о
Далее мы будем рассматривать уравнения вида
X
ф(х)-Х[К(х-y)y(y)dy =f(x), л>0.	(7.10)
о
Основным средством изучения подобных уравнений служит преобразование Лапласа, поскольку это преобразование при некоторых ограничениях преобразует свертку в обыкновенное произведение. Таким образом, решение интегрального уравнения сводится к обращению преобразования Лапласа.
Применяем преобразование Лапласа к уравнению (7.10). В результате получим
ф-Х/Сф =/=> ф(1-ХК) = f ф
(7.11)
Здесь, как обычно, введены обозначения преобразований Лапласа функций
ОО	00	00
Ф = jу(х)е~рх dx, К = jK(t)e~p'dt, f = J/(x)e'"rdx.
0	0	0
Таким образом, обращая уравнение (7.11), находим
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение
395
— Г ^?).epxdp, 2га { 1 - ХК(р)
где прямая L расположена правее особых точек подынтегральной функции. Рассмотрим преобразование полученного решения. Запишем формулу (7.11) в виде
- -	/	- 7(1"ХХ)+ХХ _ 7 ХК т
1-ХК	\~кК'
Обозначим
Тогда
ф = f + ^RJ.
Будем рассматривать R} как преобразование Лапласа некоторой функции
Rx = Rx(t)e~p,dt.
О
Тогда можно записать
X
ф(*) = /(*) + 4 К>ЛХ -y)f(y)dy.
Г
о
(7.12)
Таким образом, если мы знаем функцию R^(t), то формула (7.12) дает решение нашей задачи.
Имеем
1 г К(р)
2ш 11 - ^К(р)
Функция Rk(x - у) называется резольвентой интегрального уравнения (7.10),
ПРИМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------------
Функция К(р) — регулярна в области Re(p) > с, К(р) 0 при р\ -> оо равномерно относи-
тельно arg(p) в области |arg(p)| <-8. Следовательно. =---— — регулярная функ-
2	1 — 7JK
ция, если 1 - ХК * 0, а это так при достаточно больших Re(p). л оо равномерно относительно arg(p) в области arg(p) < -— 8.
Далее Rx{p) -> 0 при р
Таким образом, можно рассматривать как преобразование Лапласа от некоторой функции.
Рассмотрим примеры решений уравнений частного вида.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
<р(х)- A.Jsin(x-y)^(y)dy = /(х),
О
396
7. Интегральные уравнения в математической физике
Здесь ядро уравнения K(t) = sin(i). Находим преобразование Лапласа этого ядра К = i/(p2 + 1). Составляем выражение для функции Rx(p) и находим оригинал Rdt)-
к = -^-==-Е-— =*
1-ХХ р2+1-Х	ДЗх
Следовательно, решение нашего уравнения имеет вид
ф(х) = f(x) + X j sin[(x._^r^.j/(j/)^. о Vi — х
Это решение справедливо при любом X. Оно представляет собой целую функцию от X. Если Х = 1, то нужно раскрыть неопределенность с помощью разложения в ряд.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
<p(x)-Xjj0(x-z/)cp(z/)dz/= J0(x), х >0. о
Здесь ядро уравнения K(t) = J0(O- Имеем К = f = 1Д/р2 + 1. *
Применяем преобразование Лапласа к нашему уравнению. Будем иметь - = ? = 1
1 ~	гр 2 +1 _ х
Рассмотрим частный случай, когда X = 1. Будем иметь

где введены обозначения
Отсюда находим
j\ (х) = X,
лон j»co
Теперь можно записать решение нашего уравнения
X
4>(х) = х + J0(x) + f(x-z/)J0(y)rfz/. о
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение
397
Уравнения Вольтерры первого рода с ядром, зависящим от разности. Уравнения Абеля Речь идет о решении уравнений вида
X
\К(х-y)^y)dy = /(х), х>0.
О
(7.13)
Можно и в этом случае воспользоваться преобразованием Лапласа. Будем иметь
Откуда находим
<р(х) = — { ерх dp, 2ni{K(p)
(7-14)
(7.15)
где прямая L расположена правее особых точек подынтегральной функции.
Может, однако, оказаться так, что ф не будет стремиться к нулю при |р| оо. Тогда формула (7.15) теряет смысл. Отсюда вытекает дополнительное условие разрешимости с помощью преобразования Лапласа рассматриваемого уравнения (7.13)
(7.16)
Выполнение условия (7.16) зависит от вида функций f и К. Таким образом, метод преобразования Лапласа не всегда применим к решению подобных уравнений.
Уравнение Абеля
Так называется уравнение вида
| Ф(У)
о (*-!/)“
dy = /(х), х >0, 0 <а
(7.17)
Здесь ядро зависит от разности и имеет вид = Откуда находим К = rXl-a)//?1'*. Следовательно, согласно формуле (7.14), будем иметь
pl af
Г(1-а)
Так как 1 - a > 0, то условие (7.16) принимает вид р1 a/| L считать, что это условие выполнено. Тогда
—> 0 при р
оо. Будем
ф(*) = 77^~—
Г(1-а)2ш£
(7.18)
Перепишем формулу (7.18) в виде
398
7. Интегральные уравнения в математической физике
<Р(*) = —т1---^/-.\f(p)p-aePXdP.	(7.19)
Г(1-а) dx 2tcijl
Теперь можно воспользоваться формулой для свертки. Примем g = 1/р°\ Тогда g(%) = x"1+a/r(a)i Таким образом, из (7.19) находим
Ф(*) = r7-.;r7i-к 4- J f(y )(* - у )’+a dy-
Г(а)Г(1 -a) dx Jo
Учитывая формулу
Г(а)Г(1-а) = —, sin (ла)
получим окончательно sin (ла) d f /(г/)	,	._„n.
<р(х) = —— Г •/v7 dy.	(7.20)
л dx{(x-y)
В частном случае при a = 1/2 будем иметь уравнение ]-^=dy=f{x)	(7.21)
oV^-г/
и, соответственно, z х 1 d } f(y) i	Z7
ФО) = --гЧ }——dy.	(7-22)
к dx q yj x — у
Формулы (7.17) и (7.20) (а также (7.21) и (7.22)) можно рассматривать как некоторое интегральное преобразование и его обращение.
Рассмотрим еще уравнение вида
j - . .	- dy = f(x), X > 0.
Од/Х -У
Это уравнение может быть сведено к уравнению Абеля. Действительно, сделаем замену переменных х2 =£,у2 =г|. Будем иметь
о 2д/п	ь 2д/г| д/^-г|
Обозначим
ф-(п)=^2> /-(^)=/(^).
2д/^
Тогда будем иметь уравнение
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение
399
совпадающее с уравнением (7.21). Его решение имеет вид фСД) 1 d f/(7n) , —=_______________________________________av\.
Возвращаясь к старым переменным, получим
л .л
Ф(х) = -
ядром, зависящим
ОТ -ОО до +00
Уравнения Фредгольма с от разности и пределами
Рассмотрим уравнение следующего вида:
ф(х)-1рС(х-г/)ф(г/)гй/=/(х), -оо -00
Это уравнение также относится к уравнениям типа свертки; здесь операция
{К,ф}= |Х(х-у)ф(г/)<Л/
(7.23)
представляет собой свертку двух функций К и ф.
Поэтому для решения уравнения (7.23) удобно воспользоваться преобразованием Фурье. Умножим уравнение (7.23) на е1* и проинтегрируем по интервалу (-оо,+оо). Получим
(7.24)
Здесь введены обозначения
X(s)= jK(t)e'sidt,
-СО +оо
+00
cp(s) = j ф(х)е^ б/х.
—00
Из уравнения (7.24) находим
1-ХК
Отсюда по формуле обращения получим
е ds.
-оо
400
7. Интегральные уравнения в математической физике
Так же как и в случае уравнения Вольтерры, здесь тоже иногда удобно пользоваться резольвентой. Можно записать

где
Будем рассматривать как преобразование Фурье некоторой функции flx(s) = j R^tye^dt,
-00
1	00
2л
Тогда можно записать
+оо ф(х) = /(x)+zf Rl(x-y}f{y)dy.	(7.25)
«J
“00
Таким образом, если мы знаем функцию Rx(t), то формула (7.25) дает решение нашей задачи. Функция R^(x -у) называется резольвентой интегрального уравнения (7.23).
Очевидно, для разрешимости уравнения (7.23) необходимо выполнение условия
l-XK(s)*O, -oo<s<+oo.	(7.26)
Такое условие не требовалось при рассмотрении уравнений Вольтерры второго рода (путь интегрирования в интеграле Римана—Меллина проходил правее всех особых точек подынтегральной функции, где 1 - кК(р) ф 0).
Таким образом, из формулы (7.26) видно, что уравнение Фредгольма (7.23) разрешимо не при всех значениях параметра X.
Пример. Рассмотрим уравнение
ф(х)-Xj ty(y)dy - f(x), - оо < х < +оо.	(7.27)
—30
Здесь ядро имеет вид K(t) -	. Имеем
K(s) = K(t)eistdt = j	[cos (st) + isin(st)]dt -
—30	"00
= 2 J e~^ cos (st) dt -—(|t| ~ t, f>0).
о	1 + s
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение
401
Отсюда находим
+зс Q -Mt
-------ds.
—00
Условие разрешимости: 52 + (1-2Х) * О
Из формулы (7.28)1 находим
п ч 2 7 cos (50
~|Z) V1-2X
Таким образом, резольвента интегрального уравнения (7.27) имеет вид
Решение уравнения (7.27) дается формулой ф(*) =/О)+ -?=== е
f(y)dy.
—00
причем X
ПРИМЕЧАНИЕ ----------------------------------------------------------------
Относительно уравнений Фредгольма с ядром, зависящим от разности, но с другими пределами интегрирования можно высказать следующее. Рассмотрим уравнения вида
+00
ф(х)-А.|Х(х-г/)ф(г/)ф =/(х), 0<х<+«>	(7.29)
О
или
ь
ф(х)-Х|*Х(х ~y}ty(y)dy = /(х), a<x<b,	(7.30)
а
где а, b — любые.
Уравнение (7.29) относится к классу уравнений, которые допускают решение в явном виде. Такое решение получается с помощью преобразования Фурье и методов теории функций комплексной переменной. Метод решения называется методом Винера Хопфа. Уравнение (7.30), вообще говоря, не решается в явном виде.
Степень сложности решения интегрального уравнения зависит от структуры ядра, а также от пределов интегрирования.
Уравнения Фредгольма с ядрами, зависящими от суммы и произведения
Рассматриваются уравнения следующего вида:
Здесь мы воспользовались
формулой
7 cos(/xr)
2	2
{ х + а
а > О, b > 0.
402
7, Интегральные уравнения в математической физике
+0Q
ф(х)-Х |Х(х + г/)ф(г/)<й/=/(х), -оо <х <+оо,	(7.31)
—00
+00
ф(х)-Х|Х(х^)ф(г/)«/у =/(х), 0<х<+оо.	(7.32)
О
Покажем, что уравнение вида (7.31) решается с помощью преобразования Фурье.
Применим преобразование Фурье к уравнению (7.31). Получим
+00	+оо
ф ($) - X J	dx j К(х + у )<p(y)dy = f(s).
—00	—00
Можно записать
+оо	+оо	+оо	+оо
je^dx [K(x + y)<p(y)dy = j<p(y)dy JX(x + y)eistdx. —00	-00	—00	—00
Сделаем замену переменной по формуле х + у = t. Получим
+00	+00	+00	+оо
^ty(y)dy К(х + у)е^х dx = §<p(y)dy ^K(t)el5{^y}dt = —QO	—ОС	—00	—00
+00	+оо
= ^y(y')e~isy dy ^K(t)eLStdt = <p(-5)K(s). -CO	-CO
Таким образом, будем иметь уравнение для трансформанты Фурье
ф(х)-Хф(-$)ВД = /($).	(7.33)
Соотношение (7.33) верно при всех s € (-оо,+оо). Заменив s на (-5), получим
ф(-х)-Хф($)К(-5) = /(-$).	(7.34)
Умножим теперь (7.34) на АХ($)и сложим результат с (7.33). Получим
<p(s)-X2 <p(5)X(s)X(-s) = 7(s)+X/(-s)^(s).
Откуда находим
.	7(5)+x7(-s)^(s)
W I О ) “	—1 гш-	#
1-х2 Х(5)К(-5)
(7.35)
Следовательно, решение уравнения (7.31) можно найти по формуле
2к Д 1-Х! K(s)X(-s)
Здесь, конечно, также должно выполняться условие разрешимости
I
1 -X2 X(s)K(-s) * 0, -00 < S < +00.
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
403
Что касается уравнения (7.32), то отметим только, что с помощью соответствующей замены переменных оно может быть сведено к уравнению вида (7.31). Кроме того, уравнение вида (7.32) можно решать с помощью преобразования Мелли-на [23]
+оо	। с + гоо
ф($) = |х5_1ф(х)г/г, ф(х) = —: |х-5ф($)бк.
о	2тп* с_/оо
Здесь предполагается, что интеграл
+00
11	ф(х)| dx о
ограничен для некоторого k > 0 и с > k.
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
Существует класс интегральных уравнений, которые легко сводятся к линейным алгебраическим уравнениям. Такими интегральными уравнениями являются уравнения с так называемыми вырожденными ядрами.
Рассмотрим уравнение общего вида ь q>(x)-'kjK(x,y)<f>(y)dy = f(x), a<x<b.	(7.36)
а
Мы скажем, что ядро этого уравнения вырождено, если его можно представить в виде
К(х,у) = Х а,-(х)₽,(:/).	(7.37)
1=1
Здесь и Р, — непрерывные функции; N — конечно.
Приведем примеры вырожденных ядер. Вырожденными ядрами будут функции Х(х,г/) = (х +г/)2, К(х, у) = cos(x + у), К(х,у) = sin3(x + у), К(х,у) = Р(х,у) ч
где Р(х,у) — произвольный полином. Наоборот, ядра
и
не являются вырожденными.
404
7. Интегральные уравнения в математической физике
Уравнения с вырожденным ядром допускают явное решение. Более того, решение уравнения общего вида можно аппроксимировать решением уравнения с вырожденным ядром.
Рассмотрим уравнение (7.36) с вырожденным ядром (7.37). Будем считать, что функция f(x) непрерывна, и предположим, что существует решение уравнения (7.36) в классе непрерывных функций. Подставим формулу (7.37) в уравнение (7.36). Получим
6^	"I
ф(*)-М Еа.(*)₽>(#) ф(#)Ф =fM а -
У	{
ф(^)-^Ёа>(х)1₽>(^)ф(^)г^ =/(*)• 1=1	а
Обозначим константы
Ci а
Тогда
<р(х) -	а,(х)С,. = /(х).
1=1
(7.38)
Отметим, что в формуле (7.38) функция f(x) задана, а,(х) — известные функции. Таким образом, задача сводится к определению числовых коэффициентов С,. Если константы найдены, то решение нашей задачи определяется по формуле
<р(х) = /(х) + А£С,а((х).
1=1
Ясно, что функция ср (х) непрерывна на отрезке [о>й].
Чтобы найти коэффициенты С,, умножим уравнение (7.38) на функции рЛ(х) и проинтегрируем от а до Ь. Получим
£ Cj а, (х)р*(х)<& = J f(x)$k(x)dx.
(7.39)
Ь	м b	ь
j<p(x)Pfc(x)rfr-X а	а	а
Обозначим числовые константы Ь '	b	’	ь
Ck = J<p(x)0t(x)<Zr, ай|а,(х)0*(х)б£г, fk = j7(x)₽4(x)<fr.	(7.40)
а	а	а
Тогда из уравнения (7.39) получим
C4-X£ai4C,. =fk, А = 1,2....N.	(7.41)
1=1
Совокупность уравнений (7.41) — система N линейных уравнений относительно
N неизвестных С,. Образуем определитель системы (7.41)
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
405

1-Хаи
—ХОЦ j
-Ха 2|
1 Ха 22
V2
-Ха
2 Л'

1
^ССдг!
Ясно, что определитель Z)(X) — полином степени п < N относительно X. Рассмотрим уравнение
ДХ) = 0.
(7.42)
Это уравнение будет иметь п корней. Обозначим корни уравнения (7,42) через Х5, 5 = 1, 2,п.
1. Пусть параметр X в уравнении (7.36) не совпадает ни с одним из корней уравнения (7.42), то есть Х*Х5, s = 1, 2,...,п. Это означает, что D(X)^0; система (7.41) разрешима и имеет единственное решение. Это решение может быть записано в виде (формулы Крамера)
где определители Д (X) получаются из определителя D(k) заменой г-го столбца столбцом свободных членов (/t, /2,..., fN )т
Д^) =
1 - Хаи -Za12
Ха 21
1 — Ха 22
Х,а1Лг
Заметим, что определители Д(Х) — полиномы относительно X.
Таким образом, в этом случае решение нашей задачи может быть записано в виде
/ х г/ XiiV^'W ф(х) = /(*) +Х£-^— 1=1 ДХ)
a ,(*)-
(7.43)
Итак, если X * Х5, s = 1, 2,п, где ХЛ — корни уравнения (7.42), то интегральное уравнение (7.36) с вырожденным ядром (7.37) имеет решение, и притом единственное, которое задается формулой (7.43).
Преобразуем полученное решение (7.43). Для этого разложим определитель Д (X) по элементам i-го столбца
ад) = Е(-1),+*ад)Л.
(7.44)
где Д(Х) — миноры соответствующего элемента определителя Di(X). Подставим (7.44) в (7.43), получим
N N	Г) П \
<р(х) = /(х)+хХ£(-1у/>,(*)• j=i k=\
(7.45)
406
7. Интегральные уравнения в математической физике
Теперь в формулу (7.45) вместо констант fk подставим интеграл (7.40) и поменяем знаки сумм и интеграла (суммы конечные). Получим
b	N N t D ПЛ
ф(х) = f(x) + 4 f(y)dy X I(-l)i+*	a1(x)p,(z/).
a	i=l 4=1	Щ)
Обозначим
N N
1=1 4=1
~~~ a i,(y )
Тогда решение нашей задачи можно записать в виде
h
<p(x) = f(x) + X\Rx(x,y)f(y)dy,X*\.
а
Очевидно, полученное решение — непрерывная функция в[я, 6].
Выражение для резольвенты (%,у) можно записать так:
х a и
КЫ = £-^Z(-Oi+%WIW) = i=l 1>(А) 4=1
-Ха2(	₽,(z/)---	-ХаЛ,)
1 —Za22 ••• Р2 (?/)	—^a,v2
*  ♦	в • »
—Ха2х	’*• Ptf(z/)*" 1 —Ха^
(7.46)
Формула (7.46) совпадает по структуре с формулой (7.37).
2. Пусть параметр X в уравнении (7.36) совпадает с одним из корней уравнения (7.42), то есть X = Xs.. Это означает, что £)(Х) = 0; система (7.41) не разрешима при произвольных правых частях. Поэтому интегральное уравнение (7.36) не разрешимо при произвольной функции f(x). Если же D;(XS.) = 0, D(XS) = 0, то система (7.41) имеет бесчисленное множество решений. Интегральное уравнение (7.36) также будет иметь бесконечное множество решений.
Окончательно результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.
ТЕОРЕМА. Интегральное уравнение (7.36) с вырожденным ядром (7.37) имеет единственное решение, если параметр X отличен от корней характеристического уравнения £>(Х) =0; не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений, если параметр X совпадает с каким-нибудь из корней уравнения £>(Х) = 0.
Случай бесконечного множества решений реализуется, когда числитель и знаменатель в формулах Крамера обращаются в нуль, в частности, когда fk = 0, k ~ 1, 2,..., N, то есть система (7.41) — однородная. Равенство fk -0означает, что либо /(х)=0, либо /(х)^0, но f(x)ортогональна ко всем функциям рДх)на отрезке [я, Ь].
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
407
Примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
1
ф(х)-А.|хг/ф(г/)й!г/=/(х), 0<х<1.
О
Здесь ядро К(х,у) = ху — вырожденное.
Имеем
ср(х)-Ъ:|'г/ф(уХу =/(х)=> ф(х) =/(х) +ХС.х,
О
(7.47)
(7.48)
G = [yyiyjdy.
О
Умножим (7.48) нахи проинтегрируем от 0 до 1. Получим
о
о
о
(7-49)
о
Характеристическое уравнение в нашем случае имеет вид £>(Х) = 1 —.
1. Пусть X * 3. Тогда £)(Х) * 0 и, следовательно,
Отсюда находим
ф(х)=/(х) +
3
или
<₽(*) = /(*) +
~ J yf{y) dy =>
”з
1
ф(х) = /(х) + Л.’ о
Л
"з
Здесь резольвента Rx(x,y) =
408
7. Интегральные уравнения в математической физике
2. Пусть теперь X = 3. Тогда, если 0, то уравнение (7.49) не имеет решений. Если же
1
Л = j xf(x)dx =0, о
то уравнение (7.49) — верное тождество, — произвольно; решение интегрального уравнения (7.47) будет иметь вид
ф(х) = /(х) + \С{х.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
(7.50)
ф(х)-Х](х + г/)ф(г/)гй о
Здесь ядро K(x,у) -х + у — вырожденное.
Имеем
ф(х)-кх|ф(г/)<й/-^y&jfidy = f(x) о	о
(p(x)-XCtx -ХС2 = /(х), 1	1
G = \<?(y)dy, С2 =\y<$(y)dy. о	о
Проинтегрируем уравнение (7.51) от 0 до 1. Получим 1	1	it
j ф(х)<£г - XCt jxdx - XC2 j dx - j f{x}dx. 0	0	0	0
(7.51)
(7-52)
Умножим (7.51) нах и проинтегрируем от 0 до 1. Получим 1	ill
jx<p(x)dx - XQ ^x2dx - ХС2 jxdx - jxf(x)dx. 0	0	0
о
Таким образом, мы будем иметь систему линейных алгебраических уравнений относительно констант и С2
= /,, — Q +С2^1-^ = /2.	(7.53)
Здесь введены обозначения
1	1
Л = \f(x)dx, /2 = ^xf(x)dx.
о	о
Определитель системы (7.53) равен
П(Х)^
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
409
Вычислим также определители
А (V =
d2 (X) =
2
X , т; Ji
Найдем корни характеристического уравнения
Л(Х) = 1-Х-^=0^Х1.2
1. Пусть X * Xt 2. Тогда D(X) * 0 и, следовательно, система (7.53) однозначно разрешима
Решение нашей задачи будет иметь вид
ф(*) = /(*)+Х
D(X)
или, окончательно,
<р(х) = /(*) +
/(г/) dy, X * X! 2
Резольвента уравнения (7.50)
12
Видим, что решение уравнения (7.50) и его резольвента — суть рациональные функции от параметра X.
2. Пусть теперь X = X, или X = Х2. Тогда при произвольной функции /(х) реше-
ний нет. Рассмотрим случай, когда j\ = /2 =0, то есть
Л
1	1
- J j\x)dx =0, /2 - ^xf(x)dx =0. о	о
В этом случае система (7.53) будет иметь вид
410
7. Интегральные уравнения в математической физике
(7.54)
Из первого уравнения системы (7.54) находим
1,2
(7.55)
2
2
Подставим соотношение (7.55) в формулу (7.51); получим
7
или окончательно решение принимает вид
фО) = /(*) +С
где Cj — произвольно.
Таким образом, в этом случае будем иметь бесчисленное множество решений.
Общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметрах
Рассматривается уравнение
1
ф(х)-А.| K(x,y}q(y}dy = f(x), а
(7.56)
Будем предполагать, что:
1) функция /(х) непрерывна в [о,+оо);
2) функция К(х,у) непрерывна для х е[л,+оо), у е[д,+оо).
Решение уравнения (7.56) будем искать в виде
ф(^) = ЁС„(х)Г.
п-()
(7-57)
Для определения неизвестных функций С„(х) подставим разложение (7.57) в интегральное уравнение (7.56); получим
XС„(х) X" -Х[К(х,У)^С„(У)Кdy = /(х). и=0	а	п~0
(7.58)
Считая возможным изменение порядка суммирования и интегрирования, запишем уравнение (7.58) так:
£сп(х)Г-X^+ilfK(x,y)C„(y)dy=f(x).	(7.59)
п=0	п=0 а
Заменим теперь индекс суммирования во второй сумме в (7.59) п + 1 на п, получим
Общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметра X 411
£с„(х)Г-±r]K(x,y)Cn_.Sy)dy = /(х)=>
П=0	И = 1 л
С0(х)Х°
П«1
C0{x} = f{x\
=/(*)=>
Сп(х) = jK(x,y)C„_l(y')dy, п = 1,2, 3,... а
(7.60)
(7.61)
г
Таким образом, мы получили рекуррентные формулы (7.60), (7.61) для вычисления коэффициентов Сп(х) разложения (7.57).
Для обоснования полученного решения предположим, что х е [<2,cz [я,+оо). В этом интервале функции /(х)и К(х,у), {у е [#,£>])имеют верхние грани. Таким образом, можно записать \f(x)| < F, \К(х,у)\<М.
Заметим, что при вычислении по формулам (7.61) под знаком интеграла — непрерывные функции. Следовательно, все Сп(х) будут непрерывны на отрезке [а, Ь]. Таким образом, коэффициенты ряда (7.57) — непрерывные функции.
Имеем
С0(х) <F,
У
Ct(x)|= j К(х,у)С0(у^у < ||К(х,г/)||С0(г/)|ф < MF^dy = MF(x-a) а
а
C2(x)| = \K(x,y)C^y)dy <M2F
а
а
По индукции получаем
Cn(x)<MnF
(х - а)п
п =0,1, 2,...
Можно усилить последнее неравенство, записав так:
Cn(x]<MnF{b , п = 0,1,2,... п\
Отсюда
00	ОО
£сп(х)г|<2
л=0	п=0
MnF(b~a)n X и!
= Fe
М(6-а)|Х|
(7.62)
Таким образом, ряд (7.57) мажорируется сходящимся рядом, поэтому ряд (7.57) сходится при всех значениях параметра X. Формула (7.62) доказывает не только сходимость ряда (7.57), но и его равномерную сходимость по переменной х во всем интервале [я, 6]. Члены ряда (7.57) — непрерывные функции от х. Следовательно, по второй теореме Вейерштрасса, сумма ряда (7.57) — непрерывная функция от х. Таким образом, функция ф(х) непрерывна в [а, Ь], а так как b — любое, то функция'ср(х) непрерывна в [а,+оо).
412
7. Интегральные уравнения в математической физике
Покажем теперь, что полученная функция ф(х) удовлетворяет нашему уравнению (7.56). Имеем
X
а
СО	%	00
= £С„(х)Х" -\[K(x,y^CnWkndy =
п=0	п	и=0
= £с„(х)Х" -£r+1jK(x,z/)C„(y)^ =
п =0	71=0 Z.
= Ё Сп (х К - Ё Г J К(х, у)Сп_, (у )dy = 71 = 0	71 = 1	Л
71 = 1
= 0
= f(X ).
Таким образом, функция ф(х) —решение уравнения (7.56), непрерывное в [а,+оо). Итак, мы фактически доказали следующую теорему.
ТЕОРЕМА. Интегральное уравнение Вольтерры с непрерывным ядром и непрерывной правой частью допускает непрерывное решение при любых значениях параметра X. Это решение представляется рядом по степеням параметра X, причем коэффициенты ряда выражаются рекуррентными формулами. Решение является непрерывной функцией от х и целой функцией параметра
Докажем теперь теорему о единственности решения.
ТЕОРЕМА. Интегральное уравнение Вольтерры с непрерывным ядром и непрерывной правой частью допускает единственное непрерывное решение.
Доказательство. Рассмотрим уравнение Вольтерры f 7
(p(x)-XjK(x,y)q>(y)dy =f(x), а<х. а
(7.63)
Допустим, что уравнение (7.63) имеет два решения в классе непрерывных функций. Обозначим эти решения <р1(х)и ср2 (х), причем , <р2 е С([а,+оо)). Рассмотрим разность ф(х) = Ф1(х)-ф2(х). Ясно, что \|/ е С([я,+оо))и функция ф(х)удовлетворяет однородному уравнению
ф(х)-Х|К(х,г/)ф(#)бй/ = 0, а<х. а
(7.64)
Очевидно, что ф(х) = 0 есть решение уравнения (7.64). Покажем, что других решений уравнения (7.64) не существует.
Допустим, что х е \a,b] а [о,+оо), Ь — любое. Тогда в [й,6] мы имеем
\|/(х) < N.
С учетом уравнения (7.64) можно написать
Общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметра X 413
X
у(х) = X j К(х,у) y(y)dy.
а
Откуда
\|/(х)| < |Х| ||К’(х,^)||\|/(г/)|dy < |Л|^MNdy - |Х| A£V— а	а
'Зжсъ \К(х, у )| < Mt у е [а, й].
Из уравнения (7.65) с учетом неравенства (7.66) имеем
wCd < X f MX MN^-^-dy = X 2 M2N^—
а
X
и т. д. Таким образом, мы можем написать
у ч! . Л л > J.W ,
п!
Доказательство последнего неравенства завершается по индукции. Итак, для любого п мы имеем оценку
[|Х| М(Ь - а)]"
у(х) <N—!-------------,
п\
(7.65)
(7.66)
(7.67)
причем левая часть неравенства (7.67) от п не зависит. Отсюда следует, что ф(х) sO для х е [а, А], а так как b — любое, то ф(х) ^0 в [а,+оо). Следовательно, Ф1(*) = Ф2(*>	□
СЛЕДСТВИЕ. Однородное уравнение Вольтерры имеет только одно непрерывное решение <р(х) = 0.
Пример. Рассмотрим уравнение
X
(р (х) - х| г/Ф (г/) ей/= 1, х>0.
О
Согласно общей теории, ищем решение в виде (7.57)
ф(^) = £ся(х)Х", и=0

Имеем f(x) = 1 => С0(х) = 1,
X
CAx) = $yCn-i(y)dy> п = 1,2,3,... а
Таким образом,
X
G (^) = JУ dy а
С2(х)
414
7. Интегральные уравнения в математической физике
и т. д.,
2-4-6-(2и) 2"п!
п = 0,1, 2,...
Отсюда находим решение нашей задачи
ф(х) = £
П\
Общее решение уравнения Фредгольма разложением в ряд по степеням параметра к
Рассматривается уравнение
ь
ф(х)-Х,[ K(x,y)<$(y)dy - /(х), а <х < Ь.
(7.68)
Предполагается, что интервал [а,Ь] — конечен, функция /(х) — непрерывна на [а. 6], функция К(х,у) непрерывна для х е [а, 6], у е [а, Ь\
Будем строить решение уравнения (7.68) в виде
<р(х) = £Ся(х)Г.
(7.69)
Преобразованиями, аналогичными проделанным преобразованиям в разделе «Общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметра X» при построении решения уравнения Вольтерры, получим
Со (х) = /(х),
С„(х) = К(х,у)С„_' (у)dy, п = 1,2, 3,...
(7.70)
(7.71)
Таким образом, и в случае уравнения Фредгольма мы получили рекуррентные формулы (7.70), (7.71) для вычисления коэффициентов СДх)разложения (7.69). Можно считать, что в интервале [а, 6] функции /(х) и K(x,z/), (z/ е [я,/?]) имеют верхние грани. Таким образом, можно записать |/(х)| < F, К(х,у) < М.
Заметим также, что при вычислении по формулам (7.71) под знаком интеграла — непрерывные функции. Следовательно, все С„(х) будут непрерывны на отрезке [«,/?]. Таким образом, коэффициенты ряда (7.69) — непрерывные функции.
Имеем
С0(х) <F,
Общее решение уравнения Фредгольма разложением в ряд по степеням параметра X 415
С/х)! < ||К'(х,г/)||Со(г/)|(/у <MF(b-a), а
|С2 (х)| £ J \К(х,у )||С, {у )| dy < М2F(b - а)2. а
По индукции получаем
Сп(х) <F[M(b-a)]n, и = 0,1,2,...
Имеем далее
£|Ся(х)Г|^г£[М(/>-а)|Х|Г = л»0	и=0
i-M(b-a)X
(7.72)
при условии, что
М(Ь-а)
(7.73)
Если условие (7.73) не выполняется, то мажорирующий ряд в (7.72) расходится и ничего нельзя сказать о сходимости ряда (7.69). Если же условие (7.73) выполнено, то формула (7.69) дает решение уравнения (7.68). Действительно, тогда ряд (7.69) сходится равномерно на отрезке [а,Ь], следовательно, <р(х) е С([о, ft]), и легко заметить, что функция ф(х) удовлетворяет уравнению (7.68).
Таким образом, можно сформулировать теорему.
ТЕОРЕМА. Интегральное уравнение Фредгольма с непрерывным ядром и непрерывной правой частью допускает решение в виде ряда по степеням параметра X, сходящегося при достаточно малых X. Это решение является непрерывной функцией отхв[а,Ь]и регулярной функцией параметра Xв круге сходимости.
Можно показать, что при ограничениях, наложенных на X, полученное решение уравнения Фредгольма единственно в классе непрерывных функций.
Примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
1
ф(х)-Х|елуф(г/)бй/= 1, 0<х<1.
о
Ядро нашего уравнения К(х,у) = е*. Согласно общей теории ищем решение в виде (7.69)
<р(*) =
п=0
Имеем Л/ = е, ft -а = 1. Поэтому ряд сходится при условии, что X
-. Далее
/(х) = 1=> С0(х) = 1,
Cn(x) = ^exyCn_,(y)dy, п = 1,2,3,... о
416
7. Интегральные уравнения в математической физике
Отсюда находим
г	ех -1
Q(x) = f^^=^—' о	х
г еу -1
С2(х)~ е*  --dy.
о У
Последний интеграл не выражается через элементарные функции. Таким образом, мы имеем
ф(х) = 1 +
• >
В частности, если X = 1, то рассматриваемый метод теоретически не годится.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
1
ty(x)~)^xyty(y)dy - 1, 0 <х < 1.
о
Ядро нашего уравнения К{хуу) = ху является вырожденным. Ищем решение уравнения в виде ряда
ф(*) = £€„(*)*"•
и=0
(7.74)
Имеем М = 1, b - а = 1. Поэтому ряд сходится, если X < 1 Далее,
/(х) = 1=>С0(х) = 1,
1
С„(х) = $xyCn^(y)dy, п = 1,2,3,...
О
Отсюда находим
и т. д. По индукции получаем
= п = 1,2,3,... zS ‘ о
Таким образом,
(7.75)
Общее решение уравнения Фредгольма разложением в ряд по степеням параметра Л 417
Полученное решение (7.75) — рациональная функция от X с особенностью в точке X = 3. Таким образом, ряд (7.74) сходится в круге радиуса р = 3, в то время как по общей теории радиус сходимости р = 1. Действительный радиус сходимости равен расстоянию от начала координат до ближайшей особой точки (в данном случае — точки X = 3).
Уравнения Фредгольма всегда имеют особые точки. Эти точки ограничивают радиус сходимости ряда. Для вырожденных ядер радиус сходимости р - min|Xj, Х5 — корни характеристического уравнения £)(Х) = 0.
В то же время уравнения Вольтерры дают решения как целые функции параметра X.
Замечание о решении уравнения Фредгольма при произвольном значении параметра X
Вновь вернемся к уравнению (7.68)
ь
<p(x)-Aj K(x,y)<p(y)dy = f(x),
а<х < b.
Согласно изложенному ранее
□о
ф(х) = £с,(хЯя(
«=0
(7.76)
Ca(x) = f(x),
Сп(х) = f ^(x,y)C„_, (у)dy, п = 1, 2, 3,... а
Здесь радиус сходимости р не известен.
Можно показать, что решение уравнения (7.68) может быть представлено в виде отношения степенных рядов
£а„(х)Г
Ф(х) =	----- (7-77)
п=0
причем ряды
п=0
И
Ё^(х)Г
л--=0
сходятся на всей плоскости
оо, й0(х) * О, X * ХЛ, где Х4 — нули функции
и=0
418
7. Интегральные уравнения в математической физике
Таким образом, решение уравнения Фредгольма — мероморфная функция с полюсами Хв.
Если Хмало, то функция (7.77) может быть приведена к виду (7.76) делением рядов. При этом радиус сходимости ряда (7.76) р = min|Xj, Х¥ — нули (особые точки) функции g(X).
Для уравнения с вырожденным ядром ряды в (7.77) обрываются на конечном числе слагаемых, и решение есть рациональная функция отХ.
Общее понятие резольвенты для уравнений Фредгольма
Рассмотрим уравнение
<p(x)-^K(x,y)(?(y)dy = /(х), а<х<Ь.	(7.78)
Мы скажем, что функция Rx (х,у) есть резольвента уравнения (7.78), если решение уравнения (7.78) может быть представлено в виде
ь
ф(х) = /(*) + xj Rx(x,y)f{y)dy.
а
(7.79)
Получим условия для функции Ях(х,г/), при которых функция (7.79) является решением уравнения (7.78). Для этого в (7.79) заменим переменную интегрирования у на t
ь
ср(х) = /(%)+ Xj Rk(x,t)f(t)dt.
Далее заменим х на у
ф(г/) = f (У) +	Ri.(y,t)f(t)dt.
а
Будем иметь
h	ь
ф(х)-Х]К(х,^)ф(г/)ф =/(x)+Xj а	а
~^K{x,y)dy^ f(.y) + >]Rt{y,t)f{t)dVt = a	I	a	J
= < f(x)-^K(x,y)f(y)dy\ + a	J
b
b
+	Rl(x,t)-^\K(x,y)Rx(y,t)dy ►.
а
а
Потребуем, чтобы ь
7?z(x,f)-XjK(xyy)R)\y,t)dy = K(x,t), a<x<b, a<t<b. (7.80) a
Однородные уравнения Фредгольма
419
Тогда
ь	ь
<p(x)-Xj K(x,y)t?(y)dy =/(x)-Xj K(x,y)f(y)dy + a	a
h
+ X.J K(x. r)f (t)dt =
a
Таким образом, при условии (7.80) выражение (7.79) удовлетворяет уравнению (7.78).
Видим, что отыскание резольвенты сводится к решению уравнения (7.80). Но это последнее уравнение есть частный случай исходного уравнения (1П1) при ф(х) =	f(x) = K(x,t). Из уравнения (7.80) ясно, что резольвента опреде-
ляется исключительно структурой ядра и не зависит от правой части уравнения (7.78).
Однородные уравнения Фредгольма
Уравнение называется однородным, если ггравая часть этого уравнения тождественно равна нулю. Таким образом, однородное уравнение имеет вид
ь
ф(х)-Х К(х,y)<?(y)dy = 0, а<х<Ь. « а
(7.81)
Очевидно, уравнение (7.81) всегда имеет тривиальное решение ф(х) = 0.
Всякое нетривиальное решение уравнения (7.81), непрерывное на отрезке [а, Ь], будем называть собственной функцией этого уравнения. Те значения параметра X, при которых существует нетривиальное решение интегрального уравнения (7.81), называются собственными значениями этого уравнения.
Данному собственному значению может отвечать одна или несколько линейно независимых собственных функций. Множество всех собственных значений образует спектр данного интегрального уравнения. Число линейно независимых собственных функций, отвечающих данному собственному значению, называется рангом этого собственного значения. Решение однородного уравнения определено с точностью до произвольной константы. Следовательно, собственные функции интегрального уравнения определены с точностью до произвольного множителя. Часто выбирают постоянный множитель так, чтобы
а
Если X ~ л() — собственное значение ранга г интегрального уравнения (7.81), то этому значению отвечают соответствующие линейно независимые собственные функции ф, (х),ф2(х),...,фг(х). Тогда, очевидно, и функция
г
ф(х) = £с,ф,(.г)
есть также собственная функция интегрального уравнения (7.81).
420
7. Интегральные уравнения в математической физике
Решить однородное интегральное уравнение — значит, найти совокупность собственных функций данного уравнения (полную систему).
Определение собственных значений и собственных функций для некоторых интегральных уравнений
Рассмотрим определение собственных значений и собственных функций интегральных уравнений на примерах.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
Л
ф(х) - X jsin(x)cos(z/)<p(i/)6?z/ =0, 0 <х < о
Ядро этого уравнения К(х,у) - sin(x)cos(z/) — вырожденное. Имеем
Л
ф(х) = Xsin(x)j со8(г/)ф(г/)б?у = CXsin(x).
о
Отсюда находим
л	л
J ф(х)соз(х)бСг = XCjsin(x)cos(x)zZr
о	о
ХС г . 2 / — [sin (х)]
г =л
= 0.
л =0
Таким образом, ф(х) -0, то есть данное уравнение имеет только тривиальное решение; собственных значений и собственных функций у него нет. Спектр уравнения — пустое множество.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
1
ф(х)-Zj(x + y)ty(y)dy =0, 0<х<1.
о
Ядро этого уравнения К(х,у) = (х + у) — вырожденное. Имеем
п	к
<p(x)-Xx$<p(y)dy -)jy<p(y)dy =0 о	о
Ч--v'	Ч---v---/
=С[	=с2
ф(х)-^гС! -ХС2 =0.
Отсюда находим
J ф(х)</г - ZCj jxdx - ХС2 j dx - 0,
О	0	0
|хф(х)б/х -XCj
t	i
x2dx -\С2fxdx =0,
о	0
или
Однородные уравнения Фредгольма
421
\--lc. -А.С, =0, --С. +Г1--Ъ, =0. 2J 1	3 1 <	2) 2
Для того чтобы последняя система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю. Таким образом, собствен-
ные значения нашего интегрального уравнения совпадают с решениями уравнения
£>(А.) = 1-Х-
12
Будем иметь: Х1>2 = -6± 4^3 — собственные значения интегрального уравнения;
соответствующие им собственные функции
Ф2(х) = С
С — произвольно.
Таким образом, рассматриваемое интегральное уравнение имеет два собственных значения; каждое из них ранга единица (г = 1). Спектр данного уравнения — конечное множество, состоящее из двух элементов.
Пример 3. Рассмотрим общее уравнение Фредгольма
л
ф(х) - xj K(x,y)tp(y)dy = 0, а
(7.82)
где К{х,у) --- произвольное вырожденное ядро
K(xty) = Y,^>(x^i(yy i=l
Имеем
^x}-’kYia.i{x)^{y')^1{y}dy =0 i=l	а
'—  у > =с,
или
ы
Отсюда находим
|<р(х)₽Д.г )dx -	J «.СОР k(y) dy =0
а	а
\v--------> *---------v-----'
=СА	=а^
или
G	=0, £ = 1,2,...,М
1=1
(7.83)
Для того чтобы система (7.83) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, то есть
422
7. Интегральные уравнения в математической физике

1 - Хап
-Ха
~Ха21
1 Ха< 22
= 0.
(7.84)
Ха1Лг
-Ха
1 ХаЛЛ,
2 У
Пусть ХИХ2, ...,ХП (п < У) — решения уравнения (7.84). Каждому такому значению X = X- соответствует нетривиальное решение интегрального уравнения (7.82). Корни уравнения (7.84) — собственные значения интегрального уравнения (7.82); соответствующие им функции — собственные функции интегрального уравнения (7.82).
Итак, в случае интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром спектр уравнения — конечное множество. Собственные значения интегрального уравнения совпадают с корнями определителя (7.84).
Пример 4. Рассмотрим уравнение
1
ф(х)-Х|Х(х,г/)ф(г/)^г/=0, 0 <х < 1,
О
(7.85)
где ядро К(х,у) имеет вид
К(х,у)
|z/(l-%), у <х; [х(1-у), х <у.
В целом, ядро не является вырожденным; оно непрерывно, но не аналитическое. Такие ядра называются ядрами типа функции Грина.
Перепишем наше уравнение (7.85) в виде
X	1
ф(х)-Х|г/(1-х)ф(г/)ф -}^x(l-y)<p(y)dy =0.
0	х
(7.86)
Продифференцируем уравнение (7.86) по х (дифференцирование законно, если вообще существует непрерывное решение). При этом воспользуемся известной формулой дифференцирования
// р(х)
~г~ \f(x,y)dy fa
Р(х) ЛГ
= Г -fady + P'(x)/(x,₽)-a'(x)/(x,a).
; х дх a(x)
Будем иметь
ф'(х) + Xjyty(y)dy -Хх(1-х)ф(х)-
о
1
— xj(l - y)ty(y)dy + Хх(1 -х)ф(т) =0
X
или
X	1
ф'(х)+ ^yq(y}dy - (1 - г/)ф(#)</г/ =0.
0	х
Однородные уравнения Фредгольма
423
Продифференцируем еще раз
ф"(х) + Ххф(х) + л(1 ~х)ф(х) = 0 => ф"(х) + Хф(х) = 0.
Далее, имеем из уравнения (7.86)
ф(0) = 0,ф(1) = 0.
(7.87)
(7.88)
Таким образом, видим, что данное интегральное уравнение (7.85) сводится к задаче Штурма—Лиувилля (7.87), (7.88). Следовательно, собственные значения и собственные функции нашего интегрального уравнения (7.85) совпадают с собственными значениями и собственными функциями задачи Штурма—Лиувилля (7.87), (7.88).
Мы знаем, что = и2 л2, п - 1,2, 3,... — собственные значения и фя(х) = sin(wux) — собственные функции задачи (7.87), (7.88). Таким образом, данное интегральное уравнение имеет бесконечное множество собственных значений. Спектр уравнения — счетное множество без точек сгущения. Такой спектр, как мы знаем, называется дискретным.
Пример 5. Рассмотрим уравнение
+00
ф(х)-X j~y\ty(y)dy = 0, -оо <х < +оо,
—ос
(7.89)
где ядро К(х,у) имеет вид
К(х,у) = е~х~у
еу , у < х;
(7.90)
Ядро (7.90) также является, ядром типа функции Грина. Уравнение (7.89) — сингулярное интегральное уравнение.
Имеем
.V	+00
ф(х)-X\ey~xy(y)dy - X ех~у ty(y)dy =0.	(7.91)
? »	*
-ОО	Д’
Если существует непрерывное решение, ограниченное на бесконечности, то можно дифференцировать. Будем иметь тогда
ф'(х)+ X Jеу~л cp(y)dy -Хф(х)-” ОО
+00
-X J ег ~у <р (у) dy + Хф (у) = 0 =>
X
+00
у'х qty'ldy - \\ех~у vXy)dy =0.
424
7. Интегральные уравнения в математической физике
Далее,
ф"(х)-Х|еу~х <p(y)dy + Хф(х)-X jех~у <p(y)dy + Хф(х) =0 -а?	х
*
или, с учетом (7.91),
ф"(х) + (2Х- 1)ф(х) - 0.	(7.92)
Кроме того, решение должно быть ограничено на бесконечности
фМ^=0<1>	<7-93)
Таким образом, данное интегральное уравнение (7.89) эквивалентно задаче Штурма—Лиувилля (7.92), (7.93).
Общее решение уравнения (7.92) имеет вид
ф(х) = Ct cos(xV2Z,-l) + С2 sin(xV2X-1).
В силу ограниченности на бесконечности получаем X > 1/2 . Таким образом, спектр задачи — непрерывный: X е [1/2, +оо). При этом собственные функции будут
Ф^(х) = cos(x72Z,-l), Фз(х) = sin(xV2X-1).	(7.94)
Итак, спектр нашего интегрального уравнения (7.89) — бесконечное несчетное множество (непрерывный). Каждому собственному значению X е [1/2, +<*>) отвечают две линейно независимые собственные функции (7.94). Все собственные значения имеют ранг г - 2, за исключением собственного значения X = 1/2, которое имеет ранг г - 1; ему отвечает одна собственная функция ф^ (х) = 1.
Подводя итог рассмотренным примерам, мы можем сделать вывод о том, что спектр интегральных уравнений Фредгольма может быть самым разным.
Все уравнения Вольтерры имеют своим спектром пустое множество.
Альтернатива Фредгольма
Альтернатива Фредгольма устанавливает связь между разрешимостью однородного и неоднородного уравнений Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
ь
<p(x)-Z.JX(x,z/)<p(y)6?z/=/(х), а<х<Ь,	(7.95)
а
b
ф(х)-ZjK(x,y)ty(y)dy = 0, a<x<b.	(7.96)
а
Будем предполагать, что функции/(х)и К(х,у)непрерывны в [о,6],у е интервал Ь] — конечен.
Интегральные уравнения Фредгольма с симметричным ядром
425
Грубо говоря, можно сформулировать следующую альтернативу: если одно из уравнений (7.95) или (7.96) разрешимо, то другое уравнение — не разрешимо. Такая ситуация называется альтернативой Фредгольма.
Рассмотрим специальный случай. Допустим, что К(х,у) — вырожденное ядро
K(x,y) = Yai(x^i(y)-
1=1
Мы знаем, что в случае вырожденного ядра спектр интегрального уравнения — конечное множество и собственные значения совпадают с корнями уравнения
A.aV2
1 A.ct 11 А-сс 21
(7.97)
Пусть X =	5 = 1, 2,..., и (n <N) — собственные значения уравнения (7.96).
Приведем точную формулировку альтернативы Фредгольма для случая вырожденных ядер:
Если X ф ks, то уравнение (7.95) имеет решение, и притом единственное, в классе непрерывных функций. Уравнение (7.96) не имеет решения, кроме тривиального ф(х) = 0.
Если Х = то уравнение (7.95) не имеет решения (кроме как для специальных правых частей /(х); в этом случае — не единственное). Уравнение (7.96) имеет решение (собственная функция или набор собственных функций, если ранг г > 1). Справедливость сформулированной альтернативы следует из теории, рассмотренной ранее. В общем случае произвольных (невырожденных) ядер формулировка альтернативы сохраняется, за исключением того, что теперь уже не являются корнями определителя (7.97), а являются просто собственными значениями интегрального уравнения.
Интегральные уравнения Фредгольма с симметричным ядром
Теория линейного интегрального уравнения с параметром X ь
ф(х)-Х|Х(х,г/)<р(г/)б/г/=/(х), а<х<Ь,	(7.98)
а
развитая Фредгольмом, элементы которой мы рассмотрели ранее, основывалась на предположениях, что ядро К(х,у)\
1)	вещественно,
2)	непрерывно,
3)	тождественно не равно нулю в области R-{a<x <Ь, а<у < Ь}.
426
7. Интегральные уравнения в математической физике
4)	В теории Гильберта—Шмидта делается еще четвертое предположение, что ядро симметрично:
К(х,у) = К(у,х).
Примеры симметричных ядер: К(х,у) = (у + х)2, К(х,у) = елу , К(х,у) = е'Л"у'.
Конечно, все результаты теории Фредгольма полностью сохраняются и здесь. Но кроме того, из дополнительного условия 4 вытекает целый ряд новых результатов.
Краткий обзор теории уравнений с симметричным ядром
Параллельно с уравнением (7.98) будем рассматривать однородное уравнение
ь
ф(г) - zj K(x,y)q(y)dy = /(.г), а
а <х <Ь.
(7.99)
Предполагаем, что ядро К(х,у) — вещественная непрерывная функция от х и у, а <х <Ь,а< у < Ь, /(х) — непрерывная функция отх и К(х,у) - К(у,х).
Основные результаты сформулируем в виде теорем.
ТЕОРЕМА 1. Интегральное уравнение с симметричным ядром имеет по крайней мере одно собственное значение.
ТЕОРЕМА 2. Все собственные значения интегрального уравнения с симметричным ядром вещественны.
ТЕОРЕМА 3. За исключением случая, когда ядро вырождено, имеется бесконечное множество собственных значений, образующих дискретный спектр.
ТЕОРЕМА 4. Ранг собственных значений интегральных уравнений с симметричным ядром всегда конечен.
ТЕОРЕМА 5- Собственные функции интегрального уравнения с симметричным ядром, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны на отрезке [а,Ь\с весом, равным единице.
ТЕОРЕМА 6. Пусть ф1 (х),ф2(х),...,ф„(х),... — полная ортонормальная система собственных функций уравнения (7.99), причем такая, что
□	собственному значению	отвечают собственные функции срj, ф2,..., ф ;
□	собственному значению Х2 отвечают собственные функции ф +1,ф +2, ...,фг,, и т. д.\
2
Тогда, если произвольная функция g(x)может быть представлена в форме ь
g(x) = \K(jx,y)p.(y)dy, а
где \х{х)есть функция, непрерывная в интервале [а,Ь], то
*
Приближенные методы решения интегральных уравнений
427
она может быть разложена в ряд по собственным функциям g(x) = YCn(?n(x)t
’	П=1
причем
ь
cn = \g(x)<pn(x)dx.
а
Указанный ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке
ТЕОРЕМА 7. Справедлива формула Шмидта
/I=t л —
где
ь
fn - \f{x)^n(x)dx, X* Х„.
а
Приближенные методы решения интегральных уравнений
В практических проблемах физики и техники часто встречаются задачи, где точное решение либо не может быть найдено, либо имеет настолько сложное строение, что им трудно пользоваться при расчетах. В таких случаях приходится прибегать к приближенным методам решения задач математической физики. Здесь мы рассмотрим некоторые приемы приближенного исследования интегральных уравнений.
Сведение интегрального уравнения к уравнению с вырожденным ядром
Возможность удобного решения уравнений с вырожденным ядром приводит, естественно, к мысли о том, чтобы при решении уравнения с любым ядром заменить это ядро приближенно на вырожденное и решить соответствующее ему уравнение вместо данного уравнения.
Пусть мы имеем интегральное уравнение
ф(х)-Х|Х(х,г/)ф(г/)бй/=/(х), а<>х<Ь	(7.100)
а
с произвольным (невырожденным) непрерывным ядром К(х,у) и непрерывной правой частью f(x).
Образуем некоторое вырожденное ядро Н(х,у)
N
Я(х,г/) = ^аДх)РДг/),
А=1
428
7. Интегральные уравнения в математической физике
которое подберем так, чтобы
К(х,у)-Н(х, у) < е, а<х<Ь, а<у<Ь.
Тогда можно считать (с некоторым приближением) К(х,у) = Н{х,у). Будем иметь вместо уравнения (7.100)
ь tp(x)-^H(x,y)<p(y)dy =f(x), а<х <Ь. '	(7.101)
а
Пусть ф(х) есть решение уравнения (7.101). Можно ожидать, что решение ф(х) уравнения (7.100) такое, что | ф(х)- <р(х)| < 5 и ф(х) = ф(.г) (8 зависит от с и определяется е).
Таким образом, — это можно строго показать [И]1, — если построить достаточно близкое к ядру К(х,у) вырожденное ядро Н{х,у\ то, решив уравнение с вырожденным ядром Н{х,у), мы получим решение, близкое к решению уравнения с ядром Х(х,г/)при той же правой части. Более того, если мы построим последовательность {Нп(х,у)} вырожденных ядер, равномерно сходящуюся к ядру К(х,у\ то последовательность {фл(х)} решений уравнений с ядрами Нп(х,у) будет равномерно сходиться к решению ф(х) уравнения (7.100) с ядром К(х,у).
Способы построения вырожденных ядер, близких к данному ядру К(х,у), могут быть самыми различными. Если ядро К(хуу) непрерывно, то, по теореме Вейер-шграсса, эту функцию можно аппроксимировать полиномом с заданной степенью точности, то есть существует такой полином Р(т,г/), что
|К( X, у) - Р(х, у) <е, а <х < Ь, а <у < Ь.
Практически этот способ мало пригоден. Обычно ядро разлагается в ряд того или иного типа и за аппроксимирующую функцию выбирают отрезок этого ряда. Например, если ядро К(х,у) разлагается в ряд
QO
К(.г,г/)= Ха„,(х)₽га(г/), а<х$Ь, а<у<Ь, т=0
ТО
*
Н(х,у)= £ат(х)Рт(г/), т=0
причем
К(х,у)-Н(х,у) =
ОО
ЕМОРДг/)
m=N
Чем больше Af, тем точнее аппроксимация, но сложнее решение уравнения с вырожденным ядром.
1 См. также Краснов М. Л. Интегральные уравнения (Введение в теорию). — М.: Наука, 1975. 304 с.
Приближенные методы решения интегральных уравнений
429
На практике обычно ядро К(х,у) приближают частичными суммами степенного (ряд Тейлора) или тригонометрического (ряд Фурье) ряда, если ядро К(х, у) разлагается в равномерно сходящийся в прямоугольнике {а < х < Ь, а < у < Ь} степенной или тригонометрический ряд. Можно также приближать ядро К(х,у) алгебраическими или тригонометрическими интерполяционными полиномами.
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение
л
<pO)-xJ
О
1	2 Л	0<Л'<Л, 0 < Е2
1 - £ C0S(x)C0S(z/)
Разлагаем ядро этого уравнения в ряд
Х(х,у) =
1
1 - £2 COS(x)COS(//)
О	j£	Q	*"}
= 1+6 C0S(x)C0S(z/)+£ COS (x)C0S (//)+....
В качестве аппроксимирующего ядра берем отрезок этого ряда в виде
Н(х,у) = 1 + £2 cos(x)cos(у).
Тогда
К(х,у)-Н(х,у^ <О(£4).
Более того, можно оценить погрешность аппроксимации
N-1
К(х,у)~ c°Sm (x)cosm (у) т~0
cosm(x)cosm(у)

Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно довести решение уравнения до конца.
Сведение интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений
Пусть дано интегральное уравнение второго рода
ь
ф(х)-Xj K(x,y)ty(y)dy ~ f(x), a<x<b	(7.102)
Входящий в это равенство интеграл мы можем с помощью любой из квадратурных формул приближенно заменить некоторым простого вида выражением, не содержащим знака интеграла. Разобьем отрезок [я,Ь] точками = а, , £2, ..., = b на части; тогда, например, с помощью формулы трапеций определенный интеграл представляется в виде
430
7. Интегральные уравнения в математической физике
В таком случае наше интегральное уравнение (7.102) заменяется следующим уравнением:
1	jV-1	1
Ф(х)-М -К(х,^0)ф(^0)+^Х(х,^т)ф(^и) + -К(х, ^)ф(^) =
т=1
= /О)-
(7.103)
В этой формуле неизвестными являются значения функции ср в узловых точках деления, то есть значения ср(£,0), ф(^ ), ф(^2 )> •••> <P(^v )•
Равенство (7.103) справедливо во всех точках интервала [а, Ь]. Тогда, приняв х =	, получим
Ф(^„)-А.А
^0)ф(^0)+ ХЖ,. ^)Ф(^) + ^(^„, ^)ф(^)
2	гл=1	£
= и =0,1, 2, 3,..., ЛГ.
(7.104)
Таким образом, мы пришли к системе N + 1 уравнений с N +1 неизвестными — значениями искомой функции в узловых точках ф( ^0), ф(^), <р(^2)> •••> ф(£лД Очевидно, что точность результата, полученного при замене интегрального уравнения (7.102) системой линейных уравнений (7.104), будет тем выше, чем меньшую погрешность мы совершаем, заменяя интеграл суммой. Точные оценки погрешности, получающейся при применении этого метода, и некоторые рекомендации по выбору той или иной квадратурной формулы можно найти, например, в книге [И].
Приложения интегральных уравнений в математической физике
Интегральные уравнения имеют обширную область приложений в математической физике. Отметим, например, приложения в статической теории упругости, в задачах обтекания в гидродинамике, в теории колебаний, в задачах об устойчивости сжатых стержней и во многих других задачах.
Сведение задачи Штурма—Лиувилля к интегральному уравнению
Рассмотрим регулярную задачу Штурма—Лиувилля для уравнения
[/?(%)X'(x)]' + [Хг(х)- <?(х)]Х(х) = 0, а < х < b
с граничными условиями первого, второго или третьего рода.
Такая задача всегда может быть сведена к решению интегрального уравнения с симметричным ядром. Собственные функции и собственные значения обеих проблем совпадают.
Для простоты преобразований будем считать, что q(x) =0, и рассмотрим граничные условия первого рода. Будем иметь следующую задачу:
Приложения интегральных уравнений в математической физике
431
[р(х)Х'(х)Г + Xr(x)X(x) = 0, а < х < Ь, Х(а) = 0, Х(й) = 0.
Преобразуем уравнение (7.105) так
[р(х)Х'(х)]' =-f(x)t f(x) = Xr(x)X(x), где будем считать (временно) функцию /(х) известной. Проинтегрировав (7.107), получим
-V
р(х)Х'(х) = -J/(г/)dy + М, М = const
а
(7.105)
(7.106)
(7.107)
Отсюда
Х'(х) = —L-]f(y)dy+ М
Р(х)'
Проинтегрируем еще раз:
, p(x)>0, r(x)>0. Р(х)
Х(х) = М[——
; р(?) Ja p(z)-a
f(y}dy + М N = const
а
Переставим порядок интегрирования, получим
г /7? х	х И?
Обозначим
f-тЦ. X е [а, Ь]. а P(z)
Тогда формулу (7.108) можно переписать так:
Х(х) = Ма(х) - j /(г/)[со(х) - a(y)]dy + N.
а
Константы Ми N выбираем так, чтобы выполнялись условия (7.106).
(7.108)
(7.109)
Имеем
X(a) = 0^> N = 0,
Х(Ь) = 0=з> Ma(b)-jf(y)lco(b)-a)(y)]dy =0. а
Ясно, что а>(Ь) > 0, а тогда находим
М = a&j j	dy'
Формула (7.109) принимает вид
432
7. Интегральные уравнения в математической физике
Перепишем эту формулу в виде
со(6)
®(*)j/(*/)[«(&) - <»(y)\dy а
b
+ ®(х)|/(г/)[св(й)-со(г/)]«й/ -
-co(i)j/(z/)[w(x) - <£>(y)]dy, а
ИЛИ
Х(х) = -^-со(й) h
+J<в(х)[ю(6)-<o(y)]f(y)dy к
или
b
X(x) = ^G(x,y)f{y)dy, a<x<b, а
(7.110)

t а
причем
G(x, у)
ю(г/)[ю(/>)-ю(х)] со(/>) го(х)[го(й)>-со(г/)] co(i)
Функция G(x,у) — известная функция. Эта функция называется функцией Грина данной задачи (7.105), (7.106). Функция Грина непрерывна в области {а < х < Ь, а < у < Ь}, но не является аналитической (производные при у - х не совпадают). Кроме того, очевидно, G(x,y) - G(y,x).
Имеем далее
/(г) = Хг(х)Х(х).
Таким образом, (7.110) принимает вид
Л
X(x)-X^G(x,y)r(y)X(y)dy =0, a<x<b. а
Последнее уравнение можно переписать так:
ь ф(х)“Х|Х(%,г/)(р(г/)х4/-0, а<х<Ь,	(7.111)
а
где введены обозначения
у[г(х)Х(х) = ф(х),
7r(x) r(y) G(x,y) = К(х,у).
Приложения интегральных уравнений в математической физике
433
Интегральное уравнение (7.111) — очевидно, уравнение с симметричным ядром /С(х, г/) = К(у,х). Таким образом, наша задача свелась к однородному интегральному уравнению Фредгольма с симметричным ядром. Аналогичные выкладки можно проделать для условий второго и третьего рода, а также при q(x) ф 0. Отметим еще, что сингулярная задача Штурма—Лиувилля сводится к сингулярному интегральному уравнению.
Пример. Рассмотрим следующую задачу Штурма—Лиувилля
Х''(х)+ХХ(х) = 0, 0<х </, Х(0) = 0, Х(/) = 0.
Сведем эту задачу к интегральному уравнению. Воспользуемся полученными ранее результатами. Имеем а = 0, b = /, р(х) = 1, д(х) = 0, r(x) = 1; далее
£о(х) = J dz = X, w(A) = со(/) = I, о
G(x,y) = <

Кроме того, <р(х) = X(x)t К(х,у) = G(x,y). Таким образом, окончательно получаем следующее интегральное уравнение:
i
Х(х)-Х\ K(x,y)X(y)dy =0, 0<х</,
о
где
К(х,у)
I х(1-У)
У sx,
Сведение плоской задачи гидродинамики к интегральному уравнению Фредгольма
Пусть цилиндрическое тело помещено в плоскопараллельный поток идеальной несжимаемой жидкости. Требуется найти скорость установившегося потока в каждой точке пространства.
Удобно представить вектор скорости как сумму двух векторов v ~vQ +	, где
v0 — скорость невозмущенного потока (при отсутствии тела), — возмущение. Соответствующие потенциалы обозначим и0 и w1 , так что vQ - -Vtz0,	= -Vwt.
Потенциал невозмущенного потока, очевидно, есть линейная функция координат х и у \ u0 = -а°х у + const, где и — проекции вектора скорости vQ на оси координат х и у соответственно. Потенциал их удовлетворяет следующей краевой задаче для уравнения Лапласа:
434
7. Интегральные уравнения в математической физике
д щ д2их
г + —Г=°> N(x,y)eD, дх ду
где область D — внешность цилиндра;
= и„°(Р), Ре Г,
(7.112)
(7.113)
где vQn (Р) — нормальная к контуру цилиндра Г составляющая вектора скорости г0, N(x,y) g D — некоторая точка в пространстве, 0(0,0) — начало координат в центре цилиндра (рис 7.1).
Рис. 7.1. Обтекание цилиндра
Будем искать решение нашей задачиих -и{(х,у) = и{(N) в виде
Ы1(У) = -|ц(М)1п|МУ|Лм> г
(7.И4)
где М — некоторая произвольная точка на контуре Г, ц(М) — некоторая непрерывная неизвестная функция от положения точки М(хм,ум). При этом будем предполагать, что
=0.	(7.115)
Интеграл вида (7.114) называется логарифмическим потенциалом простого слоя. Функция ц(М) — плотность этого слоя. Можно утверждать, что (7.114) существует и является непрерывной функцией от точки У, более того, (N) е C(2)(D). Далее
= -jp(A/)Aln|Af/V| dsM, NeD, г
но A ln|AflV = 0. Таким образом, Awt = 0 в области D, то есть уравнение (7.112) выполнено независимо от вида функции ц(Л/).
Проверим справедливость условия на бесконечности. Имеем
MN\ = yj\OM\2 +|ОУ|2 -2|OM||ON|cos(a),
где a — угол между векторами ОМ и ON (см. рис. 7.1).
Приложения интегральных уравнений в математической физике
435
Учитывая, что ON
оо, ОМ — ограничено, можно преобразовать, разлагая в ряд
MN = ON 1-2
ОМ
ОМ|
ом\2
2
ON
= ONll-
ОМ cos(a) + --->
ON
Поэтому
In MN = InON + In 1 -
ОМ
ON
= ln|CW -
> |0,V|->x
ОМ
ON
Таким образом, при условии, что |ОУ
Ml(N) = -ln|CW|fp(MXfcM +
Л
^f|i(M)|OM|cos(a)<Zsw +
U/V| г
=o
ON
так как первый интеграл справа равен нулю в силу формулы (7.115).
Остается подобрать функцию ц(М)так, чтобы выполнялось условие (7.113). Имеем
дп • дп
Поэтому
Отсюда
-—\\~\MN = дп
— (ln|AfV|)cos(n,x) + —(ln|AfV|)cos(n,у) ~ dx	dx
_ (x -xM )cos(n,x) + (у-Ум )cos(n,y) _
|w|2
_ cos(MN,x)cos(n,x) + cos(MN,y)cos(n,y) _ cos(MN,n)
MN\
\MN
дп Jr \MN\
dux dn
= lim ^ = - lim
N^P dn H-+pJ^ |Л/ДГ|
= 0
|<w |->®
м •
436
7. Интегральные уравнения в математической физике
При замене точки N на точку Р (на контуре) интеграл превращается в несобственный, но, тем не менее, предел существует. Вычисления дают
<7Л67)
Строгое доказательство этого факта дано в теории потенциала [13], [26].
Получаем, таким образом,
г	[IWr'l
или
n(P) + ljn(M)COSj(^’n)<fcA/ = реГ. (7.116) п г \МР\	л
Таким образом, плотность р(Р) — решение интегрального уравнения (7.116) с ядром
Х(М> Р) = cos(^n)	(7117)
и параметром X = -1/л.
Можно показать для широкого класса контуров, что X = -1/л не является собственным значением однородного уравнения, соответствующего уравнению (7.116), и, следовательно, уравнение (7.116) разрешимо (по альтернативе Фредгольма), при этом оказывается выполнимым условие разрешимости (7.115).
Пример. Рассмотрим случай обтекания круглого цилиндра, когда Г есть круг радиуса а (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Обтекание круглого цилиндра
В этом случае ОМ ~ a, MP =2acos(MP,n), следовательно,
К(М,Р) =
cos(MP, п)
Вопросы к главе 7
437
Далее
£0 cos(OP,x).
Таким образом, интегральное уравнение будет иметь вид
vQ cos(OP,x)
2itaJr
Но в силу формулы (7.115) интеграл слева равен нулю. Итак, мы получили
р(Р) = -
cos(OP,%)
Вопросы к главе 7
1.	Какие уравнения называются интегральными? Приведите примеры.
2.	Что называется решением интегрального уравнения?
3.	Приведите общий вид интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
4.	Приведите общий вид интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
5.	Приведите общий вид интегрального уравнения Вольтерры первого рода.
6.	Приведите общий вид интегрального уравнения Вольтерры второго рода.
7.	Что называется ядром интегрального уравнения?
8.	Что называется правой частью интегрального уравнения?
9.	Какие требования обычно накладываются на ядро и правую часть интегрального уравнения? В каком классе функций ищется решение интегрального уравнения?
10.	Какое интегральное уравнение называется регулярным? Сингулярным?
И. Приведите пример интегрального уравнения, в котором интегрирование производится по поверхности.
12.	Приведите примеры интегральных уравнений, содержащих интегралы по контуру в плоскости комплексной переменной.
13.	Какое интегральное уравнение называется линейным? Нелинейным? Приведите примеры.
14.	Дайте решение интегрального уравнения Вольтерры второго рода с ядром, зависящим от разности.
15.	Дайте решение интегрального уравнения Вольтерры первого рода с ядром, зависящим от разности. Какое дополнительное условие разрешимости должно выполняться в этом случае?
16.	Какое уравнение называется уравнением Абеля? Дайте решение этого уравнения.
438
7. Интегральные уравнения в математической физике
17.	Как решаются интегральные уравнения Фредгольма с ядром, зависящим от разности, и с бесконечными пределами интегрирования? Какое условие разрешимости должно выполняться в этом случае?
18.	Как решаются интегральные уравнения Фредгольма с ядром, зависящим от суммы, и с бесконечными пределами интегрирования? Какое условие разрешимости должно выполняться в этом случае?
19.	Какое ядро называется вырожденным? Приведите примеры.
20.	Изложите метод решения интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром.
21.	Дайте общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметра.
22.	Сформулируйте и докажите теорему единственности решения интегрального уравнения Вольтерры.
23.	Дайте общее решение уравнения Фредгольма разложением в ряд по степеням параметра.
24.	Что называется резольвентой интегрального уравнения?
25.	Как определяется резольвента интегрального уравнения Фредгольма?
26.	Какие интегральные уравнения называются однородными? Неоднородными?
27.	Что такое собственные функции интегрального уравнения?
28.	Что такое собственные значения интегрального уравнения?
29.	Что называется спектром интегрального уравнения?
30.	Что такое ранг собственного значения?
31.	Укажите связь между разрешимостью однородного и неоднородного интегральных уравнений Фредгольма.
32.	Сформулируйте альтернативу Фредгольма.
33.	Какое ядро называется симметричным? Приведите примеры.
34.	Сформулируйте основные теоремы теории интегральных уравнений с симметричным ядром.
35.	Изложите метод сведения интегрального уравнения к уравнению с вырожденным ядром. Приведите пример.
36.	Изложите метод сведения интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений.
37.	Сведите регулярную задачу Штурма—Лиувилля к интегральному уравнению с симметричным ядром.
38.	Сведите плоскую задачу гидродинамики к интегральному уравнению Фредгольма.
Задачи с примерами решения
1.	Проверить, что данные функции являются решениями соответствующих интегральных уравнений:
Задачи с примерами решения
439
2 х
1)ф(х) = -—<р(*) =
2-у . л , г-т-^У)ау.
ф(х) = ех [cos(ex ) ~ ех sin(e‘v )];
2)
ф(х) = (1 -хе2х )cos(l)-е2х sin(l) + [1 -(х -у)е2х }<$(y)dy. о
3) (р(х)-хех; (р(х) ~ех sin(x) + 2 j cos(x -y)y(y)dy. о
4) <р(х) = х ~
-\sh(x-y)y(y)dy.
О
5)ф(х) = —dy = 1.
Решить уравнение
ф(*) = у+ |рг/ф(г/Ш
Решить уравнение
2
ф(х) = Зх -2 + З^ху y(y)dy.
о
Решить уравнение
ф(х) = Зг -2 + З^ху <p(y)dy. о
При каких значениях параметра X система имеет нетривиальное решение
ф(х) = Х[(х-у)у(у)ф, О
ф(х) = ф(у-x)v?{y)dy.
О
Найти собственные значения и собственные функции уравнения
ф(х) = Х[(х2 + y2)y(y)dy.
О
Найти собственные значения и собственные функции уравнения 1Г	3	"I
q>(x) = Xj Злу+ 1--(х + г/) ф(у)</у. о L	£
Найти собственные значения и собственные функции уравнения ^2
ф(х) = X Jsin(x + y)q(y)dy.
О
440
7. Интегральные уравнения в математической физике
9. Решить уравнение
<р(х)-^- [K(x,y)ip(y)dy = £, К(х,у) = 4 J	2
О
10.
Найти собственные значения и собственные функции уравнения
/ ч ifizz s /	\ I cos(i/)sin(x), у <x,
<p(x) = Xj K(x,y)y(y)dy, K(x,y) = <	, . . , s
Jo	[cos(x)sm(i/), x<y.
Решить уравнение
ф(х) -4 J sin2 (л:) ф(г/) г/г/ ~ 2х -о
Решить уравнение
^2
(р (х) - Л j* sin(x ) cos(у )ty(y)dy = sin(x).
о
Решить уравнение
К
(p(x)-2jsin(x -y)y(y)dy - cos(x).
о
14.
15.
Решить уравнение
71
ф(х)-Х|[хcos(z/) + у2 sin(x) + cos(x)зш(г/)]ф(у)dy -х
-к
Решить уравнение
ф(х) = ег -\ex~yq(y)dy. о
16.
Решить уравнение

ф(х) = х -] ехф(у)dy.
О
Решить уравнение
cp(x) = e2j + ^ey~xy(y)dy. о
18.
Решить уравнение
19.
Решить уравнение
X
о
<f>(.y)dy.
j sin(x - у) <р (у) dy.
О
Задачи с примерами решения
441
20. Решить уравнение
21. Решить уравнение
22. Решить уравнение
23. Решить уравнение
24. Решить уравнение
<р(х) = х - jsh(x -y)<p(y)dy.
О
cp(x) = er + 2jcos(x-y)tp(y)dy.
0
ф(х) = 1 + 2j cos(x-y)<p(y)dy.
О
ф(х) = cos(x) + J ф(г/)<й/.
О
J ex~y<p(y)dy =sh(x). О
25.	Решить уравнение
J е2(х y}^(y)dy =sin(x).
26.	Решить систему уравнений
Ф](х) = е2х + \<?2(y)dy, О
Ф2(х) = 1 - f e2{x~y)^(y)dy.
о
27.	Решить систему уравнений
X	X
4>i(.x) = ex +^tpi(y)dy-jex'y <?2(y)dy, О	о
х	х
ф2(х) = -х — J (х-y)<?l(y)dy + |ф2(г/)б/г/. О	о
28.	Решить систему уравнений
Ф](х) = ех
X	X
-/ф1(г/)^г/ + 4j ех~у <p2(y)dy,
О	о
ф2(х) = 1-
о
е
<?t(y)dy+ <?2(y)dy.
О
442
7. Интегральные уравнения в математической физике
29.	Решить систему уравнений
Ф!(х) = х +|ф2(г/)ф,
О
ф2(х) = 1-|ф1 (y)dy, О
ф3(х) = 8ш(х) + -|(х-1/)ф1 (y)dy. о
30.	Решить систему уравнений
Ф,(х) = 1-|ф2(г/)бй/,
О
ф2(х) = cos(x)-1 +
X \<P3(y)dy, О
х
Фз(х) = cos(x) + j Ф1 (y}dy.
О
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Решить уравнение
ф(х)=х2 + 2 J (1 + Эху ) ф (у ) dy.
О
Решение. Данное уравнение является уравнением с вырожденным ядром. Перепишем его в виде
1	1
ф(х) = х2 +2|ф(г/)ф +&x\yq(y)dy.
о	о
Обозначим
1
G =|ф(г/)йг/,
о
1
Сг =\y<v(.y)dy.
о
Тогда наше уравнение примет вид
ф(х) = х2 +2Cj + 6хС2.
Сначала проинтегрируем последнее уравнение, затем умножим его на х и опять проинтегрируем. Получим два уравнения относительно констант Ct и С2:
+ 6С
о
Задачи с примерами решения
443
Остается только решить полученные уравнения относительно Сх и С2. Все это удобно выполнить на компьютере в системе Maple. Задаем уравнение
> restart:
> with(Student[Calculusl]):
> eq:=ph1(x)=xA2+2*int((l+3*x*y)*phi(у),y=0..1);
2	С *
eq :=ф(х) = х2 + 2	(1 + 3 xy) ф(у) dy
^0
Вводим обозначения констант Сх и С2
>	phi(x)-
>	x*2+2*int(phi(у),у^0,.l)+6*x*int(y*phi(у),у=0.. 1);
г1	г'
ф(х) = х2 + 2 tyy)dy+6x y^y)dy
^0	^0
>	sol:=
>	subs(int(phi (у) ,y=0.. 1X1.1nt(y*ph1 (y) .y=0. .1X2.3»):
sol := ф(х) = x2 + 2 CI + 6x C2
Формируем систему уравнений относительно констант С( и С2
> el:”
int(1hs(sol),x«0..l)=rhs(Rule['+'](Int(rhs(sol).x-0..1))):
el
>	e2:=int(x*lhs(sol).x=0..1)”
rhs(Rule['+'](Int(expand(x*rhs(sol)).x=0..1))):
e2 := x ф(х) dx =
J
2 x Cl dx +
6 x1 C2 dx
>	el:-subs (1 nt (phi (x) ,x”0.. 1X1 .lhs(el))=value(rhs(el)): e2:=subs(int(x*phi (x) ,x=0. ,lX2.1hs(e2))*=value(rhs(e2)):
el := Cl = | + 2 Cl + 3 C2
e2 := C2 = | + Cl + 2 C2
4
Решаем полученную систему
>	res:-solve({el.e2}.{C1.C2});assign(res):
>	sol:
7	5	1
ф(х) = х2- —--X IX *т
phi:sunapply(rhs(X),x);
444
7. Интегральные уравнения в математической физике
Делаем проверку полученного решения
> simplify(lhs(eq)-rhs(eq)):
О
Итак, решением нашего уравнения будет функция
ф(х) -х1
1 _5
4Х 12
Пример 2. Решить уравнение
п/2
ф(х)-4 |зш2(х)ф(г/)г/г/ ~ 2х - л.
о
Решение. Решаем в Maple:
>	restart:
>	.with(Student[Calculusl]):
>	eq:=phi(x)-4*int(sin(x)A2*phi(y),y=0..Pi/2)=2*x-P1:
phi(x)-4*sin(x)A2*int(phi(y),y=0..P1/2)=2*x-P1:
n
7
eq ф(х) - 4 sin(x)2 ф(у) dy = 2 x - я
Л
ФО) dy=2x-n 0
> eqn:=subs tint (phi (y) ,y=0. .Pi /2)=СЛ) :
> Rule[' + ' ](Int(lhsU) .х=0.. Р1/2)):
>	value(subs(Int(phi (x),x=0..P1/2)=C,rhs(W )= simpl1fy(int(rhs(eqn),x=0,.Pi/2));
>	res:-solved.С):С:=Х:
res
solve(eqn,phi(x)):
sin(x)2 7l2~2x+2x7l+7l“7t2
л
2
о
2
п
2
о
2
2
2
л
2
о
Задачи с примерами решения
445
> collects.sin);
-2х+2хл+л
> ор(1 Д)+погта1(ор(2Д));
>	phi;=unapply(X.x);
>	simpl1fy(eq);
Итак, решением интегрального уравнения будет функция
<р(х) =
л sin (х)
+ 2х - л.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
1
<p(x) = Xj(x2 + у2 )<p(y)dy.
О
Решение. Решаем в Maple:
>	restart;
>	eq;-phi(x)=lambda*int((x*2+yA2)*phi(y),y~0..1);
phi(x)“1ambda*xA2*i nt(ph i(y).y=0..1)+
lambda*int(yx2*phi<У>.y=0.•1):
i
eq := ф(х) = X (x2 + у2) ф(у) dy ^0
ф(х) = Хх2
ф(у)<^+ X
ФОО/Ф
0
>	eqn:=
subs(1 nt(phi (у) ,y=0.. 1X1, int(y*2*phi (у) ,y=0.. 1X2 Д);
eqn := ф(х) = X x2 Cl + X C2
>	eqnl:=»1nt(lhs(eqn),x=0..l)=int(rhs(eqn),x=O..1);
eqn2:~int(x*2*lhs(eqn),x=0..l)=int(x*2*rhs(eqn),x-0..1);
f'	1
eqnl := ф(х) dx = - X Cl + X C2
Л	3
>	eqnl:=subs(int(phi(x).x*0.. 1X1 .eqnl);
eqn2:=subs(int(xA2*phi(x),x=0..D=C2,eqn2):
446
*
7. Интегральные уравнения в математической физике
eqnl := Cl = | X Cl + X С2 eqn2 := С2 = X Cl + | X С2
> А-.-11 nalgEgenmatrlх]({eqnl,eqn2}, {С1.С2});
> Delta:-1InalgCdet](A);
> res:-solve(Delta.lambda):
Итак, мы нашли собственные значения интегрального уравнения. Обозначим их Mi иц2:
> mu[l]:-res[l]:mu[2]:=res[2];
15 ! 9^5
Найдем теперь собственные функции:
> el:-subs(lambda-mu[l].eqnl):
e2:-subs(lambda-mu[l],eqn2):
solve({el.e2}.{Cl.C2});
assign(fc):
{C2 = C2, Cl = C2 ^5 }
> factor(eqn):
xz x /5 (T^+5x2)X C2 ф(л) =------------------
> CL-'Cl^CZi-’CZ':
el:=subs(1ambdaMnu[2].eqnl):
e2:“subs(lambda=niu[2] ,eqn2):
Задачи с примерами решения
447
solve({el.e2}.{Cl.C2}): assign(fc):
{С2 = С2, Cl = -C2j5}
> factor(eqn):
ф(х) =
/5 (7? - 5x2) X C2
5
Итак, собственные функции (обозначим их ^(х) и \|/2 (х); они определяются с точностью до произвольного множителя):
> psi[l]:ex->5*xA2+5A(l/2):
> psi[2]:-x->-5*xA2+5A(l/2):
\|/ := х —> 5 х2 + -/У у2 :=х—> -5 х2 + */5
Выполним проверку полученного результата:
> simplify(subs(phi(x)-psi[1](x).lhs(eq))-subs(lambda=mu[l],phi(y)-psi[l](y).rhs(eq)));
0
> simp1ify(subs(ph1(x)-ps1[2](x).lhs(eq))-subs(lanibda=mu[2],phi(y)=psi[2](y),rhs(eq)));
0
Пример 4. Решить интегральное уравнение Вольтерры
<р(х) = <Гт + jsin(x-i/)<p(z/)Ji/.
О
Решение. Ядро данного уравнения зависит от разности, поэтому решаем его с помощью преобразования Лапласа. Выполним все выкладки в Maple. Определим уравнение
>	restart:with(inttrans.laplace.inviaplace):
>	eq:-phi(x)=exp(-x)+int(sin(x-y)*phi(y),y=0..x):
eq := ф(х) = e + sin(x - у) ф(у) dy
Применяем преобразование Лапласа и получаем уравнение для трансформанты Лапласа
>	laplace(eq.x.p);
448
7. Интегральные уравнения в математической физике
, 1	/1/ ч ч 1 1ар1асе(ф(х),х,р)
1ар1асе( ф(х), х,р) = ---+.......... -.......
1+р	д> + 1
> subs(laplace(phi(х).x,p)=Phi Л):
1
Решаем уравнение для трансформанты
> solve(^,Phi):
р2 + 1
(1 +р)р2
Вычисляем обратное преобразование
>	1nvlaplасе(% .р,х);
>	phi :=unapply(£,x):
Делаем проверку
>	s1mpl1fy(1hs(eq)-rhs(eq));
0
Итак, решением нашего уравнения будет функция
<р(х) = 2е г + х -1.
Удобно все такие вычисления автоматизировать. Для этого разработаем процедуру решения интегрального уравнения Вольтерры с ядром, зависящим от разности. Процедура может иметь, например, следующий вид:
>	Volterra:=proc(eq.ph1)
prlntt'Решаемое интегральное уравнениеprlnt(eq);
1nttrans[laplace](eq.x,p);
pr1nt("Уравнение для трансформанты Лапласа:');
subs(1aplacetphl(x),xtp)=Ph1 Л):
prlnt(t):
solved,Phi):
prlntt"Решение уравнения для трансформанты Лапласа:');
prlnt(%);
1nttrans[1nv1aplace](I.p,x);
prlntt"Решение задачи;');
phi :=ипарр1у(Гх);
end proc:
Параметрами процедуры Vol terra являются решаемое уравнение eq (входной параметр) и искомая функция phi (выходной параметр). Процедура очень проста и не нуждается в дополнительных комментариях. Проверим работу процедуры на уравнениях. Зададим несколько уравнений
>	eql:=1nt(exp(2*(x-x1))*ph1(xl),х1=0..х)=хл2*ехр(х);
>	eq2:=1nt(cos(x-x1)*phi(xl),х1=0..х)=х+хА2;
Задачи с примерами решения
449
>	eq3:=phi(x)=l+l/2*int(sin(2*(x-xi))*phi(x1),xi-O.,х):
>	eq4:-
phi(x)~l-2*x-4*x*2+3*int(phi(xi),xH..x)+
6*int((x-xi)*phi(xi).xi«O..x)-
4*1 nt((x-xi)*2*phi(xi),xi=O..x):
>	eq5: =
phi(x)=xA2/2+int((x-xi)*exp(x-xi)*phi(xi),xi-O.,x);
>	eq6: =
phi(x)=x+2*lnt((x-xi)*phi(xi),xi=O.. x)-
2*1 nt(sin(x-xi)*phi(xi).xi=O.,x):
>	eq7:-int(BesselJ(0,(x-xi))*phi(xi),xi=O..x)=sin(x):
.	(2x-2^l X/ t \	2 r
eql := e ф(£) d^ = x e'
eq 2 :=
cos(x - ^) ф(^)	= x + x2
1 x
eq3 :=§(x) = 1 + - | sin(2x-2	ф(^) </£,
X*	*
^0
eq4 := ф(х) = l-2x-4x2+3
<K^)^ + 6 f (x-<K^) di, - 4 I (x-^)2<K^)^
eq5
x2 Cx	< -n
:=ф(х) = —+	(х-^)ех’0ф(^)^
•'о
eq6 := ф(х) = x+2 (х-£)ф(£)<Я;-2 Л
X
sin(x- £) ф(^) dt,
^o
eq7 :=	BesselJ(0, x - J;) ф(£) d^ = sin(x)
•'o
Решим эти уравнения:
> phi:=’phi1:k:=l:
Vol terra(eq||k.phi);
printt'Проверка:'):
simplify(convert(lhs(eq||k)-rhs(eq||k),exp)):
k-^ 1
Решаемое интегральное уравнение:
(2x"2^)	2 t
e ф(^)^ = х e
Уравнение для трансформанты Лапласа:
^0
450
7. Интегральные уравнения в математической физике
Решение уравнения для трансформанты Лапласа:
Решение задачи: х —> -(-2 х + х2) ех Проверка: О
> phi:='phi':k:=2:
Vol terra(eq11k.phi):
print('Проверка:'):
simplify(convert(lhs(eq||k)-rhs(eq||k).exp)):
k:=2
Решаемое интегральное уравнение:
cos(x - ^)ф(^)б7^ = х + х2 Л
Уравнение для трансформанты Лапласа:
Фр 12
Решение уравнения для трансформанты Лапласа:
Решение задачи:
2
Проверка:
О
Vol terra(eq11k,phi):
print('Проверка:');
simpl1fy(convert С1hs(eq11k)-rhsteq11k).exp)):
Решаемое интегральное уравнение:
ф(х) = 1+1 f sin(2x-2 ф(^)^
К
Уравнение для трансформанты Лапласа:
4
Задачи с примерами решения
451
Решение уравнения для трансформанты Лапласа: р2 + 4
Решение задачи:
Проверка:
О
> phi:='phi’:к:=4:
Vol terra(eq||k.phi);
print ('Проверка	;
simplify(convert(Ihs(eq| |к)-rhs(eq| |k).exp));
A:-4
Решаемое интегральное уравнение:
ф(х)= 1 -2х-4х2 + 3
X	V
<К^)^ + 6 f (х-^)ф(^)^-4
^0	Л)
сх
•'о
Уравнение для трансформанты Лапласа:
Решение уравнения для трансформанты Лапласа:
1
Р- 1
Решение задачи:
ехр
Проверка: О
> phi:='phi';к:=5;
Volterrateq||к.phi);
print('Проверка:');
simpli fy(convert(1hs(eq|[к)-rhs(eq||к).exp)):
k~5
Решаемое интегральное уравнение:
(x-^)eU 4)ф(^)^
Л
Уравнение для трансформанты Лапласа:
1 ф ф = _ +-----------------------
452
7. Интегральные уравнения в математической физике
Решение уравнения для трансформанты Лапласа:
Решение задачи:
1 3 1	3 2 1
Х^“12Х ~8	8 +8е Slnh(x)
Проверка:
О
> phi:='phi ':k:-6:
Vol terra(eq11k.phi);
print('Проверка:');
simpl1fy(convert(value(lhs(eq||k)-rhs(eq||k)).exp)): k :=6
Решаемое интегральное уравнение:
ф(х) = х+2 f (х-^)ф(^)^-2 f sin(x-^)<K^)^ Л	Л
Уравнение для трансформанты Лапласа:
Решение уравнения для трансформанты Лапласа: р2+ 1
Решение задачи:
х -> ~ /2 sin(7^ х) + | sinh(x)
6	3
Проверка:
О
> phi:='ph1’:k:=7;
Vol terra(eq11k.phi):
printf'npoBepKa:');
simpl1fy(convert(1hs(eq||k)-rhs(eq||k).exp)):
k:=l
Решаемое интегральное уравнение:
rx
BesselJ(0, х-^)ф(^)^ = sin(x)
Уравнение для трансформанты Лапласа:
Ф 1
Задачи с примерами решения
453
Решение уравнения для трансформанты Лапласа:
1
Решение задачи:
х -> BesselJ(O, х)
Проверка:
BesselJ( 0, х - £) BesselJ( О, £)	- sin(x)
Последняя строка, конечно, не является подтверждением правильности полученного результата (здесь Maple не смог вычислить интеграл от произведения бесселевых функций). Однако справедлива формула1
j Jo(* - OJo(^) = sin(x). о
Пример 5. Решить систему интегральных уравнений Вольтерры
<р(х) = 1 +j(x - у) у(у) dy, у(х) = х + ^(х-y)(?(y)dy. О	о
Решение. Ядра уравнений системы зависят от разности, поэтому решаем эту систему с помощью преобразования Лапласа. Выполним все выкладки в Maple. Определим систему уравнений
>	restart;with(Inttrans. laplace,invlaplасе):
>	eql:=phi(x)=l+int((x-y)*psi(y),y=0.,x):
>	eq2:=psi(x)=x+int((x-y)*phi(y),y=0.,x);
X
eql :=ф(х) = 1 + (x-y) y(.v) dy
eq2 := v(x) = x + (x - у) <Ю) dy
К
Применим преобразование Лапласа к данной системе интегральных уравнений и сформируем систему уравнений для трансформант
>	pl:=laplace(eql,х,р):p2:=laplace(eq2.x,p);
,	. ,	.	,1 laplace(y(x),x,p)
pl := laplace( ф(х), х, р) = — +-----------------
Р	Р
,1, 1ар1асе( ф(х), х, р) р2 := 1ар1асе( ( х), х, р) = - +------------------
Р	Р
>	el:-
1 См. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигаи. — М.: Наука, 1979. 831 с.
454
7. Интегральные уравнения в математической физике
>	subs(laplacetphi(х),х,р)Ч1.laplace(psi(х),x.p)»V.pl); > е2: =
>	subs(laplace(phi(х),x,p)4J.laplace(psi(х).x,p)=V.p2);
1 V
е2 ;=У=-+-Р Р
Решаем полученную систему и находим оригиналы
> solve({el.e2}.(U. V}): assign^):
> U:phi:=invlaplace(£.p.x);V:psi:=invlaplace(£.p.x):
P p3-p2+p- 1
Выполним проверку полученного решения
>	phi:=unapply(phi,x):psi:=unapply(psi,x);
ф := x ~ cos(x) -1 sin(x) + ex

.r
>	slmplify(lhs(eql)-rhs(eql))simplify(Ihs(eq2)-rhs(eq2)):
0
0
Итак, решение системы имеет вид
1 11 1 11 ф(х) - - cos(x)—sin(x) + - ех, ф(х) = — cos(x) + -sin(x) + -ел .
2	2	2	2	2	2
Здесь, так же как и для одного интегрального уравнения, удобно автоматизировать выкладки, приводящие к решению задачи. Поэтому разработаем процедуру решения системы интегральных уравнений Вольтерры с ядрами, зависящими от разности:
>	restart:wlth(1nttrans.laplace.inviaplace):
[ laplace, invlaplace ]
Задачи с примерами решения
455
>	sysVolterra:=proc(eq,y,N)
local 1,j.Y.p.e.eqns.var.res;
var;»{};eqns:~{};
print('Решаемая система интегральных уравнений:');
for 1 from 1 to N do print(eq||i) end do;
for 1 from 1 to N do p||1:*1aplace(eq|(1.x.p) end do;
pr1nt('Уравнения для трансформант Лапласа:');
for 1 from 1 to N do
e||i:=subs(seq(laplace(y||j(x),x.p)=Y||j,j»l.,N).p||i);
end do:
for 1 from 1 to N do
var:=var union {Y||1):
eqns:=eqns union {e||i};
end do;
res:=solve(eqns. var):assign(res);
pr1nt('Решение уравнений для трансформант Лапласа:'):
prlnt(res):
prlntt'Решение задачи:'):
for 1 from 1 to N do
Y	||1;y||1;=1nvlaplace(X.p.x);
y||1:=unapply(y||1,x);
pr1nt(y||1(x));
end do:
end proc:
Параметрами процедуры sysVolterra являются: решаемая система уравнений eq (входной параметр), N — количество уравнений в системе и искомые функции у (выходной параметр). Процедура также очень проста и не нуждается в дополнительных комментариях. Проверим работу процедуры на системах уравнений. Зададим несколько систем уравнений
>	eql;syl(x)=l~1nt(y2(x1),х1=0..х);
>	eq2:-y2(x)»cos(x)-l+int(y3(xi),xi*0..х);
>	eq3:=y3(x)=cos(x)+1nt(yl(x1),х1=0..х);
eql :=yl(x)=l- f у2(
Л
eq2 := у2(х) = cos(x) - 1 + уЗ(^)^
Л
eq3 := уЗ(х) = cos(x) + Г yl(^)
К
>	sysVolterra(eq.y,3):
Решаемая система интегральных уравнений:
у1(х)=1- Гу2(^)^
•^о
у2(х) = cos(x) “ 1 +	уЗ(^) d^
Л
456
7. Интегральные уравнения в математической физике
уЗ(х) = cos(x) +	yl(^)J^
“'о
Уравнения для трансформант Лапласа:
1 Y2
Y1 =------
Y2 =
1
Y3 =
Yl
Решение уравнений для трансформант Лапласа:
Y2 =
Yl =
Решение задачи:
cos(x) + sin(x)
>	eql:=yl(x)»x+l+int(y3(xi),x1*0..x):
>	eq2:-y2(x)--x+int((x-xi)*yl(xi),xi-0..x);
>	eq3:ey3(x)=cos(x)-l-int(yl(x1),xi=0..x);
eql :=yl(x) = x + 1 +	y3(^)<7^
•'O
eq2 ~ y2(x) =-x +	(x-yl(^)
.r
eq3 := y3(x) = cos(x) - 1 -	yl(£,)t/£,
>	sysVolterrat eq,y,3);
Решаемая система интегральных уравнений:
X
yl(x) = x+ 1+ Г уЗ(^)
•^о
у2(х) = -х+ (х- ) у 1() dt, К
г
уЗ(х) = cos(x) - 1 -	yl(£,)</S,
^0
Уравнения для трансформант Лапласа:
Задачи с примерами решения
457
Y1 =
Y3
1
Р
Y1
Решение уравнений для трансформант Лапласа:
Решение задачи:
Выполним проверку полученного решения
>	ргзnt('Проверка:');
>	for k from 1 to 3 do
>	simplify(convert(lhs(eq||к)-rhsCeq||k).exp));
>	end do:
Проверка:
0
0 0
С помощью преобразования Лапласа можно успешно решать и задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры с ядром, зависящим от разности. Интегро-дифференциальное уравнение — уравнение, содержащее неизвестную функцию как под знаком интеграла, так и под знаком производной. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 6. Решить интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры
y\x) + \e^y\y)dy=e2x< у(0) = /(0) = 0. о
Решение. Ядро уравнения зависит от разности, поэтому решаем его с помощью преобразования Лапласа в системе Maple. Определим задачу
>	restart:with(inttrans,laplace.Inviaplace):
>	eq:=d1ff(y(x),x$2)+
>	1nt(exp(2*(x-x1) )*d1ff(y(x1),x1),x1=0..x>exp(2*x):
458
7. Интегральные уравнения в математической физике
> 1cl:-у(0)-0:1с2:=0(у)(0)=0;
у(^)Л
(2 х)
id := у(0) = О ic2 := D(y)(0) = 0
Применяем преобразование Лапласа и формируем уравнение для трансформанты
> oeq:=laplace(eq.х,р):
/11	/ / А ч /nvx г>/ vrux 1 plaplace(y(x),x,p)-y(O)
peg := р (р 1ар1асе( у(х), х, р) - у( 0)) - D(y)(0) + -------------------
> subs(1cl,1c2,laplacety(x),x.p)=YД);
Решаем полученное уравнение относительно трансформанты
> solveU.Y);
1
Находим обратное преобразование
> 1nvlaplасе(% .р,х);
1 + (х- 1)е'
>	y:=unapply(fc.x);
у	х —> 1 + (х - 1) е г
Выполним проверку полученного решения
>	simplify(1hs(eq)-rhs(eq)):
>	simpl1fy(1hs(icl)-rhs(icl)):
>	simplify(lhs(ic2)-rhs(1c2)):
0
0
0
Итак, решение нашего уравнения имеет вид
г/(х) = 1 + (х-1)е*.
Пример 7. Решить интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры
у"(х) - 2у'(х) + у(х) + 2 j cos(r - ^)yn(Qd^ +
О
Задачи с примерами решения
459
+2 f sin(x -	= cos(x), г/(0) = г/'(0) = 0.
Г о
Решение. Определим задачу в Maple:
>	restart:with(Inttrans.laplасе.Inviaplace):
[ laplace, invlaplace ]
>	eq:-diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x).x)+y(x)+
2*1nt(cos(x-xi)*diff(y(xi),xi$2),xi=0..x)+
2*1 nt(sin(x-xi)*diff(y(xi).xi),x1=0..x)-cos(x):
Icl:-y(0)=0:1c2:-D(y)(0)“0:
cos(x)
cos(x -
id := y(0) = 0
ic2 := D(y)(0) = 0
Решаем:
> laplace(eq.x.p):
p (p laplace(y(x), x,p) - y(0)) - D(y)(0) - 2p laplace(y(x), x,p) + 2 y(0) + laplace(y(x), x, p)
2 (p (p laplace(y(x), x,p) - y(0)) - D(>>)(0))p	2 (p laplace(y(x), x,p) - y(0)) = p
p2+l	p2+l	p2+l
> subs del ,1c2.1aplace(y(x) ,x.p)-Y Д);
> solve(X.Y);
> invlaplace(X.p.x);
> y:=unapply(X.x);
Проверяем полученное решение:
>	slmpl 1 fy(convert(Ihs(eq)-rhs(eq).exp));
>	slmpl 1fy(1hs(Icl)-rhs(Icl));
>	slmpl1fy(lhs(1c2)-rhs(1c2));
0
0
0
460
7. Интегральные уравнения в математической физике
Итак, решение нашей задачи
у(х) = -xsin(x).
Пример 8. Решить интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры
У"(х) + у(х) + jsh(x -	+
О
+ jch(x-^)t/'(^)^ = ch(x), i/(0) = —1, г/'(0) = 1.
о
Решение. Определяем задачу:
> restart;wlth(1nttrans,1aplасе.invlaplace):
[laplace, invlaplace ]
> eq:»diff(y(x),x$2)+y(x)+
> 1nt(sinh(x-xi)*y(x1),x1“0..x)+
> 1nt(cosh(x-xi )*diff(y(xi) .xl) ,xi»0. .x>cosh(x):
> 1cl:=y(0)=-l:1c2:=D(y)(0)=l:
sinh(x-^)y(^)^ +
- cosh(x)
icl - y(0) = -1
ic2 := D(y)(0) = 1
Решаем:
> laplace(eq,x,p);
p (p laplace(y(x), x,p) - y(0)) - D(?)(0) + laplace(y(x), x,p) + 1аР1асе(У(*)’ Х>Р)
P ~ 1
(plaplace(y(x), x,p)-y(0))p _ p p2-l	p2-\
> subs(icl.1c2.1aplace(y(x),x,p)-YД);
> solveU.Y):
(p- l)(p2-1) p2(p2+ 1)
> invlaplace(X.p.x):
-2 cos(x) + 2 sin(x) - x + 1
> y:=unapply(£,x):
-2 cos(x) + 2 sin(x) - x + 1
Задачи с примерами решения
461
Проверяем решение:
>	simplify(convert(lhs(eq)-rhs(eq).exp));
>	simpl1fy(Ihs(icl)-rhs(icl)):
>	simplify(lhs(ic2)-rhs(ic2)):
0
0
0
Итак, решением является функция
у(х) = -2 cos(x) + 2sin(x)-х + 1.
Пример 9. Решить интегральное уравнение
где
Решение. Данное уравнение в бесконечных пределах с ядром, зависящим от разности. Поэтому для его решения применяем преобразование Фурье. Определим задачу в Maple:
>	restart:with(inttrans,fourier.invfourier):
[fourier, invfourier ]
>	f:=piecewise(x > O.exp(-x),O < x.O):
>	convert(f.Heaviside);
0<x
0 < x
e( Heaviside(x)
> f:=unapply(£,x):
x Heaviside(x)
>	assumed ambda</2):
eq:=y(x)=f(x)+
lambda*)nt(expt-abs(x-s))*y(s),s»-Infinity..infinity):
( )
e^:=y(x) = e Heaviside(x) +
OD
y( s) ds
Применяем преобразование Фурье и находим трансформанту Фурье
>	fe:~fourier(eq,x.omega);
, f  , , .	.	2 л~ fourier(у(х), х, со) 1
fe := founer(y(x), х, со) =--------------г—--------+ -—
1 + со	1 + 1
462
7. Интегральные уравнения в математической физике
>	subs(fouriег(у(х).х,omega)=Y.fe):
>	solved.{Y});assignee);
Г_2Х~Г 1
1 + CO2 1 + W I
{/ =---------------------------------------
-1 - co 1 - co2 - co31 + 2	+ 2 / co
Вычисляем обратное преобразование
> y:“invfourier(Y,omega,x);convert(y,piecewise):
- e
- e
1 e
0
1 e
Итак, решением нашего уравнения является функция
e~x'/T^(l + Vl-2X)0(x)+eJ,^(l-Vl-2A.)e(-x)
У\х)-------------------- ---------------------,
2V1-2A,
где 0(х) — единичная функция Хевисайда, причем 0(-г) = 1 - 0(х). Это решение может быть записано и в другой форме

2V1-2X
е-гУГ2Х(1 + ^1_2Х)
2V1-2X
О,
0.
Выполним проверку решения
> у:“Simplify(у):у:=collect(y,ехр);
1(1- Heaviside( х) - /Г-
1 (Heaviside(x) + Heaviside(x) 71 -
Задачи с примерами решения
463
> y:»unapply(y.x);
_	1(1- Heaviside(x) - 71 - 2	+ Heaviside(x)	) е^' 2Х л>
2	71-2
1 (Heaviside( х) + Heaviside( х) 71 _ 2 Z- ) е(	* *
2	71-2
> slmpl1fy(1hs(eq)-rhs(eq)):
О
Все в порядке!
С помощью преобразования Лапласа можно решить и некоторые нелинейные интегральные уравнения.
Пример 10. Решить нелинейное интегральное уравнение
j<p(£)(p(X-Q^ = y.
Решение. Все необходимые преобразования выполняем в Maple.
>	restart:wlth(1nttrans.1aplace.1nvlaplace):
[ laplace, invlaplace ]
>	eq:’1nt(ph1(y)*phi(x-y),y-0..x)-x*3/6:
eq
<Ю) Ф(х-у) dy= —
О о
> laplace(eq.x.p):
1ар1асе(ф(х)} х,р)2 =
> subs(laplace(phi(х),x.p)“Phi,Х):
> solved .Phi):
2»
Решение не единственно!
> ph11:-1nvlaplace(X[l],p.x);phi2:-1nvlaplace(XX[2],p.x); ф1 := -x ф2:=х
> phi 1:-unapply(ph1l.x);ph12:=unapply(ph12,x);
ф1:=х—>-x
ф2 := x —> x
464
7. Интегральные уравнения в математической физике
Выполним проверку решений
>	simplify(valие(subs(phi =phi 1 ,lhs(eq)-rhs(eq))));
>	simplIfy(value(subs(phi=phi2.1hs(eq)-rhs(eq))));
0
0 /
Итак, данному уравнению удовлетворяют две функции
Ф = (р1 (х) ~х, ср - Ф2(х) - -х.
I
8 Элементы вариационного исчисления
Вариационное исчисление является разделом математики, в котором изучается свойство стационарности функции от функций, то есть функционала \ Таким образом, цель вариационного исчисления состоит не в отыскании экстремума функции конечного числа переменных, а в нахождении среди множества допустимых функций такой, которая придает заданному функционалу стационарное значение.
Вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике благодаря тому, что физическая система часто ведет себя таким образом, что некоторый функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления, часто являются условиями стационарности некоторой вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками проходит по пути, который требует наименьшего времени. Отсюда непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде свет распространяется по прямой линии.
Механика также является одним из разделов математической физики, в котором широко применяются вариационные методы. В частности, вариационные принципы механики выражают столь общие свойства различных механических систем, что из них как следствия получаются уравнения движения данной системы.
Примеры вариационных задач
Вариационное исчисление, основанное в XVIII в. Л. Эйлером и Лагранжем, было значительно развито в трудах математиков XIX в.
Исторически первой задачей, известной в глубокой древности и отнесенной впоследствии к задачам вариационного исчисления, явилась так называемая задача
1 Термин «функционал» введен в 1903 г. Адамаром.
466
8. Элементы вариационного исчисления
Дидоны. Старинная легенда повествует: Дидона (Элисса) — сестра царя Тира, царица одного из государств Древней Греции. Преследуемая царем соседнего государства, Дидона бежала в Северную Африку, где попросила у местного населения участок земли, который можно охватить шкурой вола. Столь ничтожная просьба была удовлетворена. Дидона разрезала шкуру вола на узкие ремешки-полоски и, связав их друг с другом в одну нить, охватила изрядный участок земли, примыкающий к Средиземному морю. На этом участке Дидона основала в 825 г. до н. э. знаменитый город Карфаген.
Античные ученые заинтересовались математической стороной этой легенды: как надо расположить нить, чтобы охватить ею участок наибольшей площади? Эта задача имеет ряд вариантов. Рассмотрим один из них.
Задача Дидоны
Пусть концы нити (кривая заданной длины /) расположены в точках А(о,0) и B(b,Q) на оси Ох (на берегу моря (рис. 8.1)).
У - у М
Рис. 8.1. Задача Дидоны
Задача сводится к нахождению максимума интеграла ь
S = jy(x)dx —> max,
где у(х) — уравнение кривой (сухопутной границы участка), при граничных условиях
у(а) = 0, у(Ь) = О
и при заданном значении длины нити
I = j л/Г+i/'2(x) dx.
(8.1)
(8.2)
Таким образом, задача состоит в подборе функции z/(x), которая удовлетворяла бы граничным условиям (8.1) и ограничивала бы наибольшую площадь. В этой задаче на кривые, проходящие через точки А(о,0)и В(й,0), накладывается дополнительное условие (8.2), а именно: все кривые должны иметь одинаковую длину / = const.
Примеры вариационных задач
467
Уже тогда, в глубокой древности, было обнаружено, что искомой формой нити является дуга окружности. Если концы линии закреплены на береговой линии (оси Ох), то решением задачи будет сегмент круга. Если же один из концов может скользить по береговой линии, то решение задачи Дидоны — полукруг. Впоследствии вариационные задачи с заданным постоянным периметром стали называться изопериметрическими задачами. Общие методы решения изоперимет-рических задач были разработаны Л. Эйлером. К простейшим изопериметриче-ским задачам относятся нахождение треугольников и многоугольников заданного периметра, имеющих наибольшую площадь; и вообще, нахождение замкнутой кривой данной длины и ограничивающей наибольшую площадь.
Другая знаменитая задача, которая привела к зарождению вариационного исчисления, была предложена в 1696 г. И. Бернулли и решена различными способами И. Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопиталем. Это — задача о брахистохроне.
Задача о брахистохроне
Брахистохрона (от греческого рра%юто^ — кратчайший, xpovo^ — время) — кривая наибыстрейшего спуска, то есть та из возможных кривых, соединяющих две точки А и В (не лежащие на одной вертикальной прямой), вдоль которой тяжелый шарик, скатывающийся без трения под действием одной только силы тяжести, в кратчайшее время проходит путь от точки А до точки В.
Рассмотрим постановку задачи о брахистохроне. Под влиянием сил тяжести материальная точка М(х, у) скатывается по некоторой кривой линии у = у(х) без начальной скорости (а0 = 0) и без трения из точки А в точку В за некоторое время Г. Удобно поместить точку А в начало координат. Ось Ох направим горизонтально вправо, а ось Оу — вертикально вниз (рис. 8.2).
Л(0,0) \М(х,у)
В(а,Ь)
Г
Рис. 8.2. Задача о брахистохроне
Легко видеть, что линией быстрейшего ската не будет прямая, соединяющая точки Л и В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между точками Л и В, так как при движении по прямой скорость движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмем кривую, более круто спускающуюся около точки Л вниз, то хотя путь и удлинится, но значительная часть пути будет пройдена с большей скоростью. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида.
468
8. Элементы вариационного исчисления
Как выбрать путь скатывания у(х), чтобы время Тв пути от точки А (0, 0) до точки В (а, Ь) было минимальным? В силу закона сохранения энергии должно выполняться равенство
mv2
где m — масса материальной точки М (х, у)\ g — ускорение свободного падения. Откуда находим
V
(8.3)
то есть скорость v пропорциональна корню квадратному из высоты падения. Горизонтальная составляющая скорости движения точки М (х, у) определяется как
dx __ dx dt dl
dt
(8.4)
где dl — дифференциал дуги
dl = ^(dx)2 + (dy)2
(8.5)
Учитывая (8.3) и (8.5), перепишем формулу (8.4) в виде
Время скатывания материальной точки М (х, у) из положения А в положение В будет
(8.6)
В формуле (8.6) функция у(х) не задана. Задача, таким образом, сводится к выбору функции у = у(х), которая удовлетворяла бы граничным условиям
г/(0)=0, y(a) = b
и минимизировала значение интеграла (8.6), дающего полное время скатывания материальной точки по кривой АВ.
Приведем еще ряд примеров вариационных задач.
Примеры вариационных задач
469
Задача о геодезических линиях
Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Задача о геодезических линиях
Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Мы имеем типичную задачу на так называемый связанный, или условный, экстремум. Пусть уравнение поверхности задано в параметрической форме
х - x(u,v),
у =y(u,v), >
2 ~ x(u,v).
Требуется соединить точки А и В кратчайшей кривой. Элемент дуги АВ будет
dl - ^(dx)2 +(dy)2 + (dz)2 =
где
д/ Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
dx dx du dv
du dv
dz dz du dv
Будем считать, что v = v(u), тогда длина кривой АВ
причем v(u) е С(1) и v(uA ) = vA,v(uB )-vB.
470
8. Элементы вариационного исчисления
Задача о распространении света в неоднородной среде
Рассмотрим еще одну задачу, сходную с задачей о брахистохроне. Пусть свет распространяется в оптически неоднородной среде со скоростью v. Для простоты допустим, что траектория лежит в плоскости (х,г/) и что скорость не зависит от z\ v -v{x,y). Тогда уравнение траектории можно написать в виде у -у(х), причем у(х) удовлетворяет краевым условиям у(а) = уа, y(b) = yh. Требуется найти форму лучей света, идущих из точки А в точку В (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Задача о распространении света
По известному принципу Ферма, траектория светового луча обладает тем свойством, что, распространяясь по этой траектории, свет придет из точки А в точку В в кратчайшее время.
т, dl
Имеем V-— — скорость; время движения света в соответствии с принципом dt
Ферма должно быть минимально, то есть
dx —> min,
причем г/(х) е С(1) и у(а) = уа,y(b) =yh.
Если скорость световой волны одинакова во всех точках среды, то время распространения пропорционально расстоянию вдоль луча и, следовательно, стационарно, если луч ~ прямая линия. Если же скорость пропорциональна, например, у[у, то время распространения пропорционально интегралу
Шх)] =
и чтобы сделать его стационарным, требуется в точности тот же анализ, что и в задаче о брахистохроне. Таким образом, луч есть циклоида. Этот пример выглядит искусственным, однако в действительности он соответствует распространению упругих волн в почве при взрывах1.
1 Джеффрис Г., СвирлсБ. Методы математической физики. Вып. 2. — М.: Мир, 1970.352 с.
Понятие функционала
471
Задача об изгибе стержня
Пусть для определенности концы стержня жестко защемлены и стержень в неде-формированном состоянии занимает отрезок [0, /] оси Ох. Как известно, потенциальная энергия упругого стержня выражается следующим интегралом:
WO] =
-q(x)y(x) dx, у(х)еСт,
где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения стержня, q(x) — заданная поперечная нагрузка.
В положении равновесия стержень принимает такую форму, что его потенциальная энергия минимальна.
Таким образом, мы приходим к следующей вариационной задаче: найти функцию у = у(х) такую, что
£/[z/(x)l min*
г/(0) = 0, z/(/) = 0, z/'(0) = 0,//'(/) = 0.
Понятие функционала
Для задач, рассмотренных в разделе «Примеры вариационных задач», характерны два обстоятельства. Во-первых, это задачи на экстремум, то есть задачи, в которых речь идет о максимуме или минимуме некоторой числовой величины. Например, в задаче Дидоны такой величиной является площадь, а в задаче о брахистохроне — время. Во-вторых, искомыми в этих задачах являются одна или несколько функций (кривых или поверхностей).
Переменные величины, экстремумом которых мы интересовались в приведенных ранее примерах, называются функционалами. Мы говорим, что нам задан функционал, если каждой функции (кривой или поверхности) из некоторого класса функций поставлено в соответствие определенное число.
Таким образом, если каждой функции у-у(х), принадлежащей некоторому функциональному классу А, ставится в соответствие числовое значение то говорят, что J есть функционал, определенный на классе А, и пишут
J - Лу(х)\. у(х)еА.
Те функции у =у(х), от выбора которых зависит функционал J[y], называются функциональными аргументами. Как правило, в качестве класса А функций мы будем использовать классы функций С, С<1), С<2),..., C{k}.
Приведем примеры функционалов.
1.	Рассмотрим на плоскости всевозможные спрямляемые кривые. Каждой такой кривой соответствует определенное число — ее длина. Таким образом, длина кривой представляет собой функционал, определенный на множестве спрямляемых кривых.
472
8. Элементы вариационного исчисления
2.	Рассмотрим на плоскости всевозможные пути, соединяющие две данные точки А и В. Пусть некоторое тело может двигаться по любому из этих путей, имея в каждой точке (х,у) определенную скорость v(x,y). Мы получим функционал, поставив в соответствие каждому пути то время, за которое рассматриваемое тело проходит этот путь.
3.	Пусть у = у(х) — произвольная, непрерывно дифференцируемая функция, определенная на отрезке [а, 6]. Определим на множестве всех таких функций функционал J\y\ равенством

4.	Рассмотрим более общий пример. Пусть F(x,y,z) — некоторая непрерывная функция трех переменных. Выражение
ь
Лу(Х)] = J F(x,y(x),y'(x))dx, а
где у(х) пробегает совокупность всевозможных непрерывно дифференцируемых функций, определенных на отрезке [а, /?], представляет собой функционал. Выбирая ту или иную функцию Е мы будем получать различные функционалы, например, если F(x,y,z) = ^1 + z2, то J[y] — длина кривой у =у(х) (пример 1), а при F(x,y,z) = z2 получаем предыдущий пример 3.
5.	Функционал может выражаться и кратным интегралом. Так, например, функционалом является потенциальная энергия изгибаемой мембраны, занимающей некоторую область D на плоскости Оху в недеформированном состоянии (Г — натяжение мембраны, q(x,у) — заданная поперечная нагрузка),
U[u(x,y)]
- q(x,y)u(x,y)> dx dy.
Основной задачей вариационного исчисления является разыскание наибольших и наименьших значений функционалов от линий и поверхностей, выражаемых некоторыми определенными интегралами.
Эта задача аналогична задаче дифференциального исчисления об отыскании наибольших и наименьших значений некоторой функции, которая непосредственно связана с задачей разыскания экстремумов функции, а именно: разыскиваются такие значения независимых переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению со всеми достаточно близкими значениями.
Аналогичным образом мы будем рассматривать задачу и для функционалов. Если функционал для некоторой линии или поверхности имеет значение не меньшее (или не большее), чем для всех близких к ней линий или поверхностей, то говорят, что для этой линии или поверхности функционал имеет экстремум. Далее мы уточним постановку задачи и определим понятие близости для линий и поверхностей, которые играют роль независимых переменных обычного дифференциального исчисления.
Основные леммы вариационного исчисления
473
Мы знаем, что для нахождения тех значений х, при которых функция /(х) достигает экстремума, нам необходимо решить уравнение /'(х)=0. В вариационном исчислении доказывается, что линия у - у(х) или поверхность z = z(x,у), дающая экстремум некоторому функционалу, должна удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению. Удовлетворение этому уравнению представляет собой необходимое условие экстремума функционала, совершенно так же, как равенство /'(х) = 0 является необходимым условием того, чтобы заданная функция /(х) имела экстремум при некотором значении х.
Основные леммы вариационного исчисления
Для вывода упомянутых в предыдущем пункте дифференциальных уравнений, представляющих собой необходимые условия экстремума функционала, нам понадобятся леммы, которые мы здесь и рассмотрим [22].
ЛЕММА 1. Если интеграл
-п
л0
где/(х) — фиксированная непрерывная в промежутке [х0, xj функция, обращается в нуль для всякой функции г|(х), непрерывной вместе со своей производной и равной нулю на концах, т|(х0) = т|(х1) = 0, то f(x) тождественно равна нулю в промежутке [х0, хД.
Доказываем от обратного. Пусть в некоторой точке х = внутри промежутка функция /(х) отлична от нуля. Например, /(х)>0. Вследствие непрерывности /(х) будет положительной и в некотором промежутке [^ ,^2 L содержащем точку £ внутри и лежащем внутри [х0, xj. Определим функцию т](х) следующим образом:
Т1(х) = Цх-^ )2(х-^2)2,
Функция т](х) удовлетворяет всем условиям леммы. Действительно, т|(х0) = г|(х,) = 0. Произведение (х - )2(х - )2 и его производная по х обращаются в нуль при х = и х - . Вне промежутка ,^2 ]п(х) = 0. Отсюда вытекает непрерывность функции и ее производной во всем промежутке[x0,xt ].
Теперь наш интеграл можно переписать в виде
j/(x)(x-^ )2 (х - )2 dx,
Е.1
откуда следует, что он имеет положительное значение, так как подынтегральная функция непрерывна и положительна внутри промежутка интегрирования. Но по условию леммы интеграл должен быть равен нулю. Это противоречие и доказывает лемму.
474
8. Элементы вариационного исчисления
Приведем аналогичную лемму для двойного интеграла.
ЛЕММА 2. Если интеграл
\\f{x,y)y\{x,y)dxdy,
В
где f{x,y) — фиксированная непрерывная в области В функция, обращается в нуль для всякой функции ц(х,у), непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка в В и равной нулю на контуре / области В, то f{x,y} тождественно равна нулю в области В.
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 1: функция ц(х,1/) строится для некоторого круга радиуса р, в котором функция /(х,у) будет положительной. Тогда двойной интеграл сведется к интегралу по упомянутому кругу от положительной непрерывной функции и будет положительным, что противоречит условию леммы.
Обе леммы останутся справедливыми, если мы наложим на функцию ц более жесткие ограничения, например, потребуем, чтобы она имела непрерывные производные до некоторого порядка п и чтобы на концах промежутка [х0, xi ], а в случае двойного интеграла — на контуре /, она обращалась в нуль вместе с производными до порядка (п -1). Доказательство останется прежним, и достаточно будет лишь, например, в лемме 1 в формуле длят] показатель степени 2 заменить на(и + 1).
ЛЕММА 3. Если функция g(x) непрерывна в промежутке [XqjxJ и
fg(x)Ti'(x)d!r=O	(8.7)
X о
для всякой функции ц(х), непрерывной вместе со своей производной в [XqjXJ и равной нулю на концах, ц(х0) =	) = 0, то g(x) — постоянная функция.
Действительно, обозначив
с =
мы получим
*1
[g(x)-c](ir =0.
го
(8-8)
Определим функцию ц(х) следующим образом:
X П(*) =
-V0
Очевидно, эта функция удовлетворяет всем условиям леммы. Тогда наш интеграл (8.7) можно переписать так:
X ]	X ]
Jg(x)r|'(x)dr = g(x)[g(x) -c\dx =0. v о	х о
Умножая обе части равенства (8.8) нас и вычитая из последнего равенства, получим
Простейшая вариационная задача. Метод Эйлера
475
откуда g(x) = с.
•о

ЛЕММА 4. Если функции а(х) и Ь(х) непрерывны в промежутке [х0, xj и
j [а(х)г|(х) + 6(х)т|'(х)]б/х =0
(8.9)

для всякой функции ц(х), удовлетворяющей тем же условиям, что и в лемме 3, то Ь(х) имеет непрерывную производную Ь'(х) s а(х) в [х0, xj.
Действительно, обозначив
А(х) = j a(t) dt,
*0
получим, интегрируя по частям,
jа(х)ц(х)dx = - A(x)rf(x)<ir v О	-V о
1
и равенство (8.9) переписывается в виде
•п
j [-А(х) + Z>(x)]r|'(x)d!x' = 0,
-1' о
и в силу леммы 3
b(x) = j a(t)dt + const,
Л'О
то есть Ь'(х) = а(х).
Простейшая Метод Эйлера
Рассмотрим простейший функционал
ариационная задача.
J[y(x)] = j F(x,y(x),y'(x))dx,
*0
(8.10)
где F — заданная функция трех аргументов. Мы будем считать ее непрерывной вместе с производными второго порядка в некоторой области В плоскости (х,у) и при любых значениях аргумента у'. Функционал J получит определенное численное значение, если мы фиксируем функцию у - у(х) или, что то же, кривую у ~у(х), которую всегда считаем лежащей внутри области В.
Примем, что значения функции у(х) на концах промежутка интегрирования заданы:
УЫ=Уо< y(xl) = yi.
(8.11)
476
8. Элементы вариационного исчисления
Будем считать, что искомая функция z/(x) имеет непрерывную производную в [х0, xj, то есть у(х) е С<1)([х0,х1 ]). Назовем с-окрестностыо кривой у = у(х) всевозможные кривые у{ (х), которые во всем промежутке [х0, xj удовлетворяют неравенству
z/i(x)-z/(x) <£.
В этом случае иногда говорят о близости (с-близости) функций (кривых) нулевого порядка. Это — близость в смысле нормы ||у|| пространства С непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [х0, xj, то есть
max z/(x)
Таким образом, в пространстве С мы считаем функцию ух(х) отстоящей от функции у(х) не больше чем на е, если ее график целиком лежит в внутри полосы шириной 2е (по вертикали), окружающей график функции г/(х) (рис. 8.5).
; у = у{х)
О а	Ь
Рис. 8.5. Близость по норме пространства С
Во многих случаях более естественно считать близкими только те кривые, которые близки по ординатам и по направлениям касательных в соответствующих точках. Это равносильно требованию, чтобы для близких кривых не только модуль разности z/(x) - у{ (х) был бы мал, но, кроме того, был бы мал и модуль разности z/'(x) -у\(х). В таком случае близость кривых понимается в смысле нормы |г/|| пространства C(1J состоящего из всех функций, определенных на некотором отрезке [х0, xj и непрерывных на этом отрезке вместе со своей первой производной, то есть
max z/(x) + max z/'(x)
x о <.r 1
Таким образом, близость функций в пространстве С<п означает, что близки как сами функции, так и их первые производные.
Иногда же оказывается необходимым считать близкими только такие функции, для которых малы модули каждой из разностей у(х)-у{ (х), у'(х)-у\(х), ..., y(k)(x)~y[k)(x). Это — близость в смысле нормы у пространства C(k) функ-к
ций, определенных на некотором отрезке [х0, xj и имеющих непрерывные производные до k-ro порядка включительно, где k — некоторое целое фиксированное число
Простейшая вариационная задача. Метод Эйлера
477
Близость функций в пространстве C(k) означает, следовательно, близость значений как самих функций, так и их производных до &-го порядка включительно. В связи с этим можно говорить о близости кривых в смысле близости нулевого порядка, первого порядка или k-ro порядка.
Определение. Говорят, что функционал / достигает относительного экстремума для кривой у(х), лежащей внутри упомянутой области В, принадлежащей классу С(1) и удовлетворяющей условию (8.11), если величина этого функционала для г/(х)не меньше (не больше) его величины для любых других кривых класса С(1), находящихся в некоторой е-близости к г/(х)и удовлетворяющих условию (8.11). Это понятие относительного экстремума совершенно аналогично понятию максимума и минимума функции. Наряду с понятием относительного экстремума можно ввести и понятие абсолютного экстремума. Пусть имеется некоторый класс А функций у(х), для которых интеграл (8.10) существует. Говорят, что функционал J достигает в классе А абсолютного экстремума для кривой у(х), если величина этого функционала для у(х) не меньше (или не больше) его величины для всех других кривых класса А.
Мы будем заниматься только относительным экстремумом и для краткости относительный экстремум будем называть просто экстремумом.
ПРИМЕЧАНИЕ
Мы будем рассматривать функционалы, определенные на некотором множестве диффе
ренцируемых функций. Сами эти функции мы можем считать элементами пространства С или пространства С0). В соответствии с этими двумя возможностями говорят, что функ
ционал J[y] достигает при у = yQ слабого экстремума, если существует такое е > 0, что Лу]-ЛУо] сохраняет постоянный знак для всех тех у для которых функционал Лу} определен и ||z/ ~Уо|11 < £ (близость в смысле нормы пространства C(t)). Будем называть значение Луо] сильным экстремумом, если оно является экстремальным по отношению ко всем тем у(х), которые принадлежат области определения функционала
Лу ]и удовлетворяют условию у - г/0
< е(то есть близки к yQ в смысле нормы простран-
Выведем необходимые условия, которым должна подчиняться функция у(х) для того, чтобы функционал J имел экстремум. Задачу будем решать методом Эйлера. Возьмем любую функцию т|(х), равную нулю на концах промежутка интегрирования, и наряду с функцией у(х), которая должна давать экстремум функционалу J, образуем новую функцию сравнения у(х) = у(х)+ ет|(х), где £ " малый численный параметр. Эта новая функция удовлетворяет тем же граничным (предельным) условиям, что иг/(х).
Составим разность
ЛИ*)] -	= J[y(x) + ег|О)] - ЛИ*)]-
Эта разность есть функция от с, и она стремится к нулю при е —> 0. Разложим эту функцию в ряд Тейлора
Лу(х) + ет](х)] - J[y(x)] =
dj[y(x)+sri(x)]
E + O(s2)-
£ = 0
(8.12)
478
8. Элементы вариационного исчисления
Для того чтобы функционал J достигал экстремума при у = у(х), необходимо, чтобы разность (8.12) имела определенный (постоянный) знак. Поэтому необходимое условие экстремума будет
</[#(*)+ £П(*)] dz
(8.13)
Действительно, если это не так, то при достаточно малых значениях в знак выражения, стоящего в правой части (8.12), определяется знаком первого (главного) члена. Следовательно, если (8.13) не выполняется, то выражение, стоящее в правой части (8.12), может быть как положительным, так и отрицательным при сколь угодно малых значениях в, то есть экстремум в этом случае невозможен. Реализуем условие (8.13)

ау [у(а:)-Ь ST1(^)1 dz
d г
— F(x, у + ВЦ, г/'+erf )dx dz t
Л о
\v___>
= 0
(8.14)
Отсюда в силу леммы 1 мы можем утверждать, что функция у ~у(х), дающая экстремум интегралу (8.10), должна удовлетворять дифференциальному уравнению
ду dx ду'
(8.15)
Можно показать [22], что если вдоль исследуемой линии у = у(х) производная d2F/dy’2 * 0, то функция у = у(х) имеет непрерывную вторую производную у" и тем самым уравнение (8.15) может быть переписано в виде
d'2F „ d2F , d2F dF
ду'2 дуду'У дхду' ду
(8.16)
Уравнение (8.15) было дано Л. Эйлером и называется обычно уравнением Эйлера данной задачи. Уравнение (8.16) представляет собой уравнение второго порядка, и его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, которые определяются из двух предельных условий (8.11).
Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Таким образом, экстремаль — это та кривая, на которой может достигаться экстремум функционала (8.10). Так как уравнение Эйлера дополняется не начальными, а граничными условиями, то теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения здесь неприменима. Иными словами, экстремаль не обязательно существует, а если существует, то не обязательно единственна. Всё зависит от вида уравнения Эйлера (8.15) и разрешимости системы уравнений для граничных условий (8.11).
Уравнение (8.15) дает необходимое, но, вообще говоря, недостаточное условие экстремума. Для того чтобы выяснить, есть экстремум или нет, нужно исследо
Методы интегрирования уравнения Эйлера
479
вать знак разности (8.12) либо выписать явно в правой части (8.12) вторые члены и получить некие общие неравенства, при которых можно определенно сказать о знаке разности (8.12).
В ряде случаев, однако, уже одно уравнение Эйлера дает исчерпывающее решение задачи. Действительно, часто само существование экстремума бывает ясно из физического или геометрического смысла задачи (например, задачи о брахистохроне, о кратчайшем расстоянии между двумя точками и т. п.). Если при этом существует лишь единственная экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям задачи, то именно она и будет непременно той кривой, которая реализует искомый экстремум.
Пусть у(х) — решение нашей задачи об экстремуме функционала (8.10) при условиях (8.11), у(х) = г/(х) + 8ц(х), (ц(х0 ) = г|(х1 ) = 0)— функция сравнения.
Приращением, или вариацией, аргумента у(х)функционала /[z/(x)l называется разность между двумя функциями, бу = у - у = ец.
Вариацией (или первой вариацией) 6J функционала 7[г/(а:)] называется выражение
oj = е-----——--------
«£
Таким образом, вариация функционала — главная часть приращения функционала.
Необходимое условие экстремума функционала (8.10) (при условиях (8.11)) можно записать в виде
8/=0.
(8.17)
Принимая во внимание (8.14), можем написать
или
(8.18)
причем внеинтегральное слагаемое в (8.18) равно нулю, если значения функции на границе фиксированы (бу =0 на границе).
Условие (8.17) иногда называют условием стационарности функционала (8.10). Таким образом, всякое решение уравнения Эйлера (8.16), экстремаль для функционала (8.10), придает этому функционалу стационарное значение, то есть 6J ~ 0.
Методы интегрирования уравнения Эйлера
Уравнение Эйлера, полученное нами в предыдущем разделе, играет фундаментальную роль во всем вариационном исчислении. Как уже отмечалось, оно пред
480
8. Элементы вариационного исчисления
ставляет собой, вообще говоря, нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Укажем некоторые частные случаи, в которых это уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрировано в квадратурах.
I. Подынтегральная функция не зависит явно от у. Предположим, что рассматриваемый функционал имеет вид
J[y(x)}= \F{x,y\x))dx.
Л
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид d dF
и имеет, очевидно, первый интеграл
dF ду'
Это — уравнение первого порядка, не содержащее у. Решив его относительно у', получаем соотношение вида
у' = f(x,Ct), откуда у находится квадратурой
У(х) = \ f(x,C\)dx + Сг.
IL Подынтегральная функция не зависит явно огг, то есть
J[y(x)]= J F(y(x),y' (x))dx.
.1'0
В этом случае имеется первый интеграл
F-y'—^C..	(8.19)
ду'
Действительно, имеем
С другой стороны,
d (	. dF\
, dF	„dF	„dF d2F	,2 d2F	,„
у — + у------у------------у-------- у у
ду ду'	ду'	дуду' ду'
Примеры решения вариационных задач
481
Таким образом,
В силу уравнения Эйлера
то есть мы действительно имеем интеграл (8.19).
Решив уравнение (8.19) относительно у', получаем соотношение вида
у' = КуХ1),
откуда находим
/<У. С, >	J № с,)
III. Если Ене зависит от г/', то уравнение Эйлера принимает вид -^-F(x,z/) = 0, ду
то есть представляет собой не дифференциальное, а конечное уравнение. Решение этого конечного уравнения не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям y(^0) = Z/o и У(Х[)=У1 • Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует.
IV. Если F зависит лишь от у\ то уравнение Эйлера принимает вид
d2F
<¥2
/'=0.
Отсюда у"-0 или S2E/3i/'2 =0.
Если у" =0, то у ~ С{х + С2 ~ двухпараметрическое семейство прямых линий.
Если же уравнение d2F/dy'2 =0 имеет один или несколько действительных корней у* = ki , то у =	+ С, и мы получаем однопараметрическое семейство
прямых, содержащееся в полученном ранее двухпараметрическом семействе у - С{х + С2 . Таким образом, в данном случае экстремалями являются всевозможные прямые.
Примеры решения вариационных задач
Теперь мы уже можем решить некоторые из сформулированных ранее задач. Рассмотрим решения двух таких задач.
Задача о брахистохроне
Задача сводится к минимизации функционала
482
8. Элементы вариационного исчисления
dx -> min, г/(0) = 0, у(а) - Ь.
Этот функционал принадлежит к простейшему виду; его подынтегральная функция не зависит явно от х. Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл в виде (8.19). Раскрывая производную после упрощений, будем иметь
^у(Д + у'2)
= С=> у(1 + у'2) = С1.
Введем параметр t, полагая у' = ctg(£/2); тогда получим
у = г;—пгтттт;= С| sin2 =~ COS^>1: [1 + ctg2(f/2)]	2
. dy С< sin(£/2)cos(£/2)A	_ . 2z . С< z .
dx = — = —-------------4 7	 = С. sin2 (t/2)</r = — [1 - cos(t)] Jt;
у'	ctg(i/2)	2
х =^-[t-sin(r)]+C2.
Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии имеет вид
х-С2 = ^-[t -sin(f)], у =-^-[l-cos(f)].
Если принять во внимание, что С2 = 0, так как при у = 0, х - 0, то мы получим семейство циклоид в обычной форме
(r-sin(O), у =~г(1-cos(t)),
где Сх /2 — радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения циклоиды через точку В (а, Ь). Итак, брахистохроной является циклоида.
Задача о распространении света в неоднородной среде
Задача сводится к минимизации функционала
ЛУ(Х)] =
dx
—> min,
причем у(х) е С°’ и у(а) = уа,у(Ь) = уь.
Будем считать, что скорость света выражается формулой v -ky. В этом случае, как и в предыдущем, подынтегральная функция не зависит явно от х. Будем считать, что k = 1, то есть
/2
Г(У.!/') =
Задача со свободной вариацией на границе
483
Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл в виде (8.19). Раскрывая производную после упрощений, будем иметь
Таким образом, искомая кривая — окружность, причем центр этой окружности лежит на оси Ох. Можно графически найти эту окружность, не вычисляя констант (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Определение центра окружности
Для этого соединяем точки А и В отрезком прямой, затем из середины отрезка АВ опускаем перпендикуляр на ось Ох. Точка пересечения 0} этого перпендикуляра с осью Ох и будет центром искомой окружности.
Задача со свободной вариацией на границе
При рассмотрении экстремума функционала (8.10) мы принимали в качестве предельных условий закрепление искомой кривой на ее концах, то есть условия (8.11). Возможен и другой вид предельных условий, который мы сейчас и рассмотрим.
Пусть мы ищем экстремум функционала
JB/CO] = F(x,y(x),y'(x))dx,
(8.20)
причем значения функции на границе (то есть в точках х =xQ и х = х}) не заданы. Будем предполагать, что концы искомой кривой находятся на прямых х = х0
484
8. Элементы вариационного исчисления
и х - хх, параллельных оси у (рис. 8.7). Мы покажем сейчас, что на таких свободных концах также должны быть выполнены некоторые предельные условия, которые непосредственно получаются из условия экстремума интеграла (8.20).
Рис. 8.7. Задача со свободными концами
Действительно, ебли некоторая кривая дает экстремум интегралу (8.20) по сравнению со всеми близкими кривыми со свободными концами, то тем более она дает экстремум интегралу (8.20) при условии закрепления этих концов. Но тогда эта кривая, как мы показали ранее, должна удовлетворять уравнению Эйлера
ду dx ду'
то есть быть экстремалью функционала (8.20). Обратимся теперь к общему выражению первой вариации функционала (8.20)
d dF
ду dx, (8z/ = ет|).
Как и ранее эта первая вариация должна обращаться в нуль. Член, содержащий интеграл, равен нулю, поскольку функция у = у(х), как мы только что показали, должна и в этом случае удовлетворять уравнению Эйлера. Таким образом, равенство нулю первой вариации приводит нас к равенству
(ду = £Т]).
(8.21)
Так как на свободном конце ц может быть произвольным, то из (8.21) следует
(8.22)
Решая уравнение Эйлера, мы получим у -у(х, CJf С2), а затем из (8.22) найдем у ~у(х). Предельные условия (8.22) называются обычно естественными предельными, или граничными, условиями.
Обобщением рассмотренной задачи является задача со свободными концами, которые могут перемещаться вдоль некоторых фиксированных кривых rt и Г2 (рис. 8.8).
Задача со свободной вариацией на границе
485
Рис. 8.8. Обобщение задачи со свободными концами
Результатом решения этой задачи будет:
1. Искомая функция у - у(х) должна удовлетворять уравнению Эйлера.
2. Функция у - у(х) должна удовлетворять некоторым дополнительным условиям — условиям трансверсальности. Геометрически эти условия означают, что кривая у - у(х) пересекает кривые Fi и Г2 под определенными углами.
ч
Для вывода условий трансверсальности дадим сначала обобщение формулы для вариации функционала (8.20). В отличие от простейшей задачи, будем считать, что концы тех кривых, на которых определен этот функционал, могут сдвигаться произвольным образом. Раньше мы считали, что близкие кривые у(х) = у(х) + £ц(х), где е — малый численный параметр, отличаются от основной кривой у(х) добавлением слагаемого ет|(х). Сейчас мы будем считать, что близкие кривые у(х) = z/(x,e)содержат параметр £ произвольным образом, причем при е = 0 получается основная кривая у(х) = г/(х,0), для которой мы и вычисляем вариацию интеграла.
Итак, рассмотрим интеграл (8.20) и введем в этот интеграл измененную близкую кривую, считая, что и пределы интегрирования зависят от е
*1 (с)
J[y(x,s)] = j F(x,y(x,e),y’(x,E))dx,
Х0(е)
(8.23)
причем при е = 0 мы имеем функцию и пределы, входящие в интеграл (8.20)
#(х,0) = г/(х), х1(0) = х1, хо(О) = хо.
В соответствии с общим определением вариации как произведения производной по £ при £ = 0 на £, можно написать
о
5z/(x,e)
е;
Е-0
, _ а Г^(х,е)‘
d \ду(х, е)
е = —6г/, е П dX
Е = 0
Е = 0
е
Е = 0
причем мы считаем, что у(х, е) имеет непрерывные производные до второго порядка. Беря от интеграла (8.23) производную по £, полагая в ней е = 0 и умножая на £, получим следующее выражение первой вариации интеграла:
486
8. Элементы вариационного исчисления
,г/i,г/1 )5xt -Г(хо,г/о,г/о)8хо +
ИЛИ
dF(x, у,у')
5J = F(x,y,y')8x ‘ '
| dF(x,y,y')
Преобразуем, как и ранее, второе слагаемое в интеграле, интегрируя по частям
dF(x,y,y')
X 0	&	х о
dF(xv,yx,y\) dF(xo,yo,y'o)
(8Л
dx, (8.24)
где (8у\ и (8г/)0 — граничные значения вариации функции у:
£(г=0,1).
(8.25)
Найдем теперь первую вариацию ординат концов кривой. Очевидно, у{ - у[х{ (с), е], и при изменении е будут меняться оба аргумента функции г/, так что первая вариация 8у t ординаты у{ будет
[г/(Х1 (е),£)]
е = г/[8х1 + (8г/X ,
£ = 0
(8.26)
с=0
где у\ — угловой коэффициент касательной на правом конце кривой. Аналогично для вариации 8г/0 ординаты левого конца кривой будем иметь
8г/0 =у'8х0+8г/л=л.о.	(8.27)
Подстановка в (8.24) вместо (8г/)t и (8г/)0 их значений из уравнений (8.26) и (8.27) даст нам следующее окончательное выражение для первой вариации интеграла (8.20):

8J= F(X',yx,y\)-y\
dF(xx,yx,y\) ду'
8Xi
ду 1
F(.x0,y0,y'0)-y'0
dF(x0,y0,y'0) ду'
ду0 +
Задача со свободной вариацией на границе
487
или
F(х, у, у') - у
, dF(x,y,y')\
Ъх +
• дР{х,у,уг)
v =
Выясним геометрически разницу между величинами ду t и (8z/)1 , входящими в формулу (8.26). Координаты правого конца кривых сравнения у = /(х,в) будут: хх (е) и у{ (е) =	(е),е]. При изменении е правый конец опишет некоторую ли-
нию. Начальным значением е является значение е = 0, так что сама величина е является приращением этого параметра от начального значения е - 0. Согласно (8.26), ду, есть дифференциал функции у{ (е) = f[xx (е), е] по отношению к переменной в, то есть дух есть главная часть приращения ординаты ух (е) правого конца. На рис. 8.9 это приращение изображается отрезком CD. Согласно (8.25), (ду)х есть дифференциал функции f[xx (0), е], причем в первом аргументе хх (е) мы полагаем £ = 0 до вычисления дифференциала. Таким образом, (8z/)t есть главная часть приращения ординаты на конце хх (0) при переходе с основной кривой у(х) на кривую сравнения у = f(x, е). На рис. 8.9 это приращение изображается отрезком АВ.
£>|
0 а	.*1(0) ь
Рис. 8.9. Геометрический смысл вариаций (8у )л и бу!
Получим теперь условия трансверсальности. Будем предполагать, что концы экстремали могут перемещаться вдоль некоторых фиксированных кривых Г| и Г2 (рис. 8.8). Рассуждая, как и раньше, мы докажем, что если некоторая кривая у(х) дает экстремум интегралу, то она должна удовлетворять уравнению Эйлера, то есть быть экстремалью. Первая вариация должна обращаться в нуль: слагаемое, содержащее знак интеграла, будет равно нулю в силу уравнения Эйлера. Таким образом, равенство нулю первой вариации приводит нас к следующему условию:
— г
Обозначим через у' =— угловой коэффициент касательной к кривым Fj и Г2
Тогда последнее условие можно переписать в виде
488
8. Элементы вариационного исчисления
Так как 8х() и friq — произвольные независимые приращения, то из последнего равенства получаем
Эти граничные условия и называются условиями трансверсальности.
Вариационная задача для функционалов, содержащих производные высших порядков
Рассмотрим теперь случай, когда интеграл содержит производные искомой функции выше первого порядка
Дг/(*)] = \F{x,y,y'....yw)dx.
Л0
(8.28)
Как мы это уже делали раньше, построим близкую кривую у(х) = у(х) + ег|(х), подставим в интеграл (8.28), продифференцируем по е и примем е - 0. Таким образом, мы получим
8/= £
dj\y(x) + ЕГ|(х)]
£ = 0
Г|(х) +
dF
dF ду{п)
т](п)(х) dx.
Преобразуем все слагаемые правой части, кроме первого, интегрируя несколько раз по частям
v\(k)(x)dx =
Мы считаем, что ц(х) и ее производные до порядка (п -1) обращаются в нуль на концах. Вследствие этого внеинтегральные члены пропадут; приравнивая нулю первую вариацию, получим условие
Вариационная задача для функционалов, содержащих производные высших порядков 489
г|(х)б£г - О,
которое приводит нас к следующему уравнению Эйлера:
д£ + +(-1у d” dF ду dx ду'	dxn ду(п}
Это есть дифференциальное уравнение порядка 2и. Его общий интеграл содержит 2п произвольных постоянных, и мы должны иметь еще 2п предельных условий. В простейшем случае эти условия сводятся к заданию функции и ее производных до порядка (п -1) на концах промежутка. Из этих предельных условий и вытекает, что аналогичные величины для г|(х) должны обращаться в нуль. Отметим еще, что мы считали непрерывными все те функции, которые входят в предыдущие формулы, так что, например, мы считаем, что искомая функция у(х) имеет непрерывные производные порядка 2и, то есть принадлежит классу С(2п).
Пример. Решение задачи об изгибе балки
Рассмотрим решение задачи об изгибе прямолинейного стержня. Будем считать, что концы стержня жестко защемлены и стержень в недеформированном состоянии занимает отрезок [0,/] оси Ох. В положении равновесия стержень принимает такую форму, что его потенциальная энергия минимальна. Таким образом, мы приходим к следующей вариационной задаче: найти функцию у = у(х) (прогиб стержня) такую, что
U[y(x)] =
~Я(х)у(х) dx< у(х)^С(2),
ЩИ*)] -> min, i/(0) = 0, г/(0 = 0, И(0) = 0, у'(1) = 0,
где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения стержня, q(x) — заданная поперечная нагрузка.
В рассматриваемом случае подынтегральная функция
Ej( d2y\
^ = — -тг -Н*М*>
2 ах
и, следовательно, уравнение Эйлера имеет вид
Вычисляя производные, входящие в уравнение Эйлера, получим
. . rTdy -q(x)+EJ—^ dx
= 0^EJ^- = q(x). dx
490
8. Элементы вариационного исчисления
—,——— I —     * —  “ —-—— —' ' —1 1	1
Последнее уравнение — известное уравнение изгиба балки. Это — линейное уравнение, оно легко интегрируется. Общее решение этого уравнения может быть записано в виде
EJy(x) = А + Вх + С —
(8.29)
Такая форма представления решения была дана еще Л.Эйлером в 1778 г. Формула (8.29) легко может быть получена методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Представление общего интеграла основного уравнения изгиба балок в виде (8.29) вносит значительное упрощение в расчеты, придает единообразную форму этим расчетам, применимую во всех случаях, причем нет необходимости прибегать ни к теореме трех моментов, ни к началу наименьшей работы, когда имеет место многократная статическая неопределимость.
Постоянные Л, В, С и D легко находятся из граничных условий, причем две из них почти всегда равны нулю. Дело в том, что эти постоянные имеют вполне определенный физический смысл:
A = EJy(O), B = EJy'(O), C = EJy"(O), D = EJytft(O).
Поэтому, например, в случае защемленных концов балки мы имеем А = О, В = О, и остается определить только две константы С и D из граничных условий у(Г) = 0, у’ (/) = 0 на другом конце балки.
Вариационная задача для функционалов, зависящих от нескольких функциональных аргументов
Рассмотрим функционал вида
J[y\(x\y2{x'),...,y„{x)] = \ F(x,yt,y2,...,yn,y'i,y'2,...,y'n')dx,	(8.30)
•г
•г0
причем
УХх0) = у1Л, у,(х^ = у,л, i =	(8.31)
Будем считать, что функция F непрерывна по всем аргументам и имеет производные первого и второго порядков; г/.(х) е С(2).
Предположим, что система функций
yi(x),y2(x),...,y„(x)
доставляет экстремум функционалу (8.30). Образуем функции сравнения
причем
г/,(х) = У\х)+ е,г|,.(х), i = 1, 2,..., п,
г);(аг)еС<2), г),(хо) = 0, г|,(х|)=0, г = 1,2,..., и.
Образуем разность
Вариационная задача для функционалов, зависящих от нескольких аргументов
,	Г	,	-	—	-	—			_	-.L.	-	.
491
ЛУкУг...Уп]-ЛУкУ2...Уп] =
е,-
Ej =^2 =-• « =	^0
(8.32)
При достаточно малых е; знак (8.32) определяется первым слагаемым. Таким образом, необходимым условием экстремума будет
или
или
В силу произвольности r|f получаем систему уравнений Эйлера
(8.33)
Это — система п уравнений второго порядка. Кроме уравнений (8.33) мы имеем еще предельные условия (8.31).
Первая вариация функционала (8.30) имеет вид
ЗДУпУг....У„]
де.
е, =
Е| =г.2ж--Е„=0
dF
tyidx, (by, = £1ц((х)).
Пример. Вывод уравнений Лагранжа
Рассмотрим материальную систему, состояние которой характеризуется обобщенными координатами qi и обобщенными скоростями q{
<7/ Qi z = l,2,...,n.
Пусть
Т — T(t,qx jq^i -• чЯп'Я\ > ’• • *>Qn )
—	кинетическая энергия,
Z7 — U(t, qx, > • • • > qл)
—	потенциальная энергия нашей системы.
492
8. Элементы вариационного исчисления
Образуем интеграл действия
J[q„q2,...,qn] = \{T-U)dt.	(8.34)
В соответствии с принципом Остроградского—Гамильтона, движение системы за промежуток времени (tQf описывается теми функциями, которые доставляют минимум интегралу (8.34).
Необходимые условия экстремума интеграла (8.34) имеют вид(Е = Т-U)
dF
dqt
Или, окончательно, d( дТ} дТ dU . < о — ---------------------------------=------, г = 1, 2,..., и.
dt I, 5$, J dqt oq,
(8.35)
Уравнения (8.35) известны в аналитической механике как уравнения Лагранжа (второго рода).
Если силы, действующие на точки системы, консервативны, то обобщенная сила соответствующая обобщенной координате равна взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по обобщенной координате [3]
Q, =
и уравнения Лагранжа принимают вид
d Г дТУ dt dqi j
дТ dqt
п.
= Q„ i = l,2,.
Изопериметрическая задача
Поставим следующую задачу: среди всех кривых у = у(х), для которых интеграл
Х[г/(х)] = j G(x,z/,z/')(ir = а,	(8.36)
г0
имеет заданное значение а, определить ту, которая дает экстремум интегралу
J\y(.x)]= \F(x,y,y’)dx,	(8.37)
причем
У<ха) = Уо> y(xt) = yl.	(8.38)
Сформулированная задача относится к изопериметрическим задачам. Это назва-ние происходит от основной из задач указанного типа, а именно, от задачи нахождения замкнутой кривой, которая при заданной длине а ограничивает наибольшую площадь (окружность).
Изопериметрическая задача
493
Будем, как обычно, предполагать, что у(х) е С(2) и функции Fh G имеют непрерывные производные первого и второго порядков. Рассуждаем стандартным образом. Пусть у = у(х) — искомое решение задачи. Образуем функции сравнения
у(х) = Х*) + £1П1(^)+ 62П2О),
где £t,e2 — произвольные малые параметры, ,т|2 — произвольные функции, причем
П,(х)еС<2), T|i(^o) = °- П,(-х1) = °- г = 1,2.
Ясно, что функция у(х) е С(2) и удовлетворяет условиям (8.38).
Образуем разность J[y]~J[y]- Эта разность является функцией двух переменных 81 и е2 . Разлагаем ее в ряд Тейлора
гг-1 гг 1 дДу]
С| =£2=0
1	^е2
£2 +O(£i + Е2).
£| =£2=0
Отсюда получаем необходимое условие экстремума функционала (8.37)
dj[y]
, %[у]
(8.39)
Здесь и е2 зависимы между собой, поэтому нельзя утверждать равенства нулю каждого слагаемого.
С другой стороны, в силу условия (8.36) должно выполняться равенство
К[у]-К[у]=0.
Разложив эту разность в ряд Тейлора, получим
(8.40)
Равенство (8.40) устанавливает связь между и е2 .
Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим (8.40) на X и сложим с (8.39)
{j[y]+XK[y]} ч
+ Л{Ду] + ВД]}	£2=0.
(8.41)
Выберем А. так, чтобы одна из производных в (8.41) обратилась в нуль. Получим
Ш] + ОД]} -0.
(8.42)
Тогда, в силу произвольности е2,

(8.43)
494
8. Элементы вариационного исчисления
Равенства (8.42) и (8.43) можно трактовать как условия экстремума для функционала
L[y ] = Л У ] + ^К[у ] = j {F(x, у, у') + XG(x, у, у' )}.
(8.44)
Таким образом, для того чтобы решить изопериметрическую задачу, необходимо составить функционал L[y} и для него решать задачу на экстремум по обычным правилам. Для функционала L[y] имеем уравнение Эйлера
(F + XG)-
-(F + XG) =0.
Интеграл этого уравнения у = z/(x, , С2, X) содержит неопределенные постоянные Cj,C2A, которые определяются из условий (8.36) и (8.38).
Таким образом, задача на условный экстремум для функционала (8.37) (при дополнительном условии (8.36)) свелась к задаче на безусловный экстремум для функционала (8.44).
ПРИМЕЧАНИЕ
Если окажется, что
то способ неопределенных множителей Лагранжа не подходит, так как невозможно будет определить параметр X.
Справедлива теорема Эйлера [22]: если кривая у = у(х) дает экстремум функционалу (8.37) при условии (8.36) и при обычных предельных условиях (8.38), и если у = у(х) не является экстремалью функционала (8.36), то существует такая постоянная X, что кривая у - у(х) есть экстремаль функционала (8.44).
Пример. Задача о провисании каната
Заданы две точки А(х0, у$) и В(хх, yi), Требуется определить форму каната заданной длины /, закрепленного в точках Л и В и свободно провисающего под действием силы тяжести (рис. 8.10).
Рис. 8.10. Задача о провисании каната
Изопериметрическая задача
495
Пусть р — линейная плотность материала каната. Тогда масса элемента дуги каната со средней точкойМ(х,г/)будет
dm = pdl= р^1 +
Потенциальная энергия элемента дуги
dU = pgyjl + (y')2dx.
Потенциальная энергия всей системы
1о
В силу принципа минимума потенциальной энергии мы приходим, таким образом, к задаче отыскания минимума функционала
Лг/(*)1 = Jy^ + (y')2dx -> min.
Л'О
С другой стороны, длина каната / = const, поэтому имеем дополнительное условие
K[y(x)]=]^ + (y')2dx=l,
г'о
и кроме того, предельные условия	*
у(х0) = У0, у(х,) = у,.
В соответствии с общей теорией составим функционал L[y]
= f + y)Jl + (y")2dx -> min.
<0
Здесь подынтегральная функция F = F(y,y')y поэтому первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид
Отсюда находим
1
496
8. Элементы вариационного исчисления
Обозначим
= ch (г),
V/ 1
тогда
Следовательно,
Последнее уравнение определяет кривую, которая называется цепной линией. Таким образом, искомая кривая — дуга цепной линии.
Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом
Приведем теперь вывод необходимого условия экстремума для кратного интеграла. Впервые эти условия были указаны М. В. Остроградским. Ход рассуждений для одномерного интеграла J и для кратных интегралов j, J j одинаков. Станем рассматривать двойной интеграл
J[u{x,y)} = ДF(x,y,u,ux,uy )dxdy,
В
(8.45)
где = ди/дх, иу = ди/ду — частные производные функции и(х,у), а В — некоторая конечная область плоскости Оху. Будем считать, что функция F(x,y,u,p,q) имеет непрерывные производные до второго порядка, если точка (х,у,и) находится внутри некоторой трехмерной области D, а р и q — любые (р -их, q = иу). Будем искать поверхностью = и(х,у), лежащую внутри D, с границей X, однозначно проецирующуюся на плоскость Оху в виде области В с границей Г, дающую экстремум функционалу (8.45). Иными словами, ищется функция и(х,у)в области В, дающая экстремум функционалу (8.45) и принимающая заданные значения на Г
«I=f(p).
Пусть и = и(х, у) — решение задачи. Будем предполагать, что функция и(х, у) имеет непрерывные производные до второго порядка в области В, то есть и еС{2), Образуем функцию сравнения
и = и(х,у)=и(х,у) + ет\(х,у),
причемг|(х,г/) е С{2\т||г =0. Тогдаm(x,z/) е С<2),и\г =0.
Образуем разность J[u]. Эта разность является функцией е. Разлагаем ее в ряд Тейлора
Решение вариационной задачи
497
гг т ЗДа] J\u ] - J[u ] =
Е = 0
Отсюда получаем необходимое условие экстремума функционала (8.45)
= 0.
E=0
Или, вычислив производную, получим
в
dF dF
7— П.г +— П» dux du
(8.46)
Исключим частные производные r| r = дг\/дх, ц v = дх\/ду. Для этого введем функцию ц под знак производной
дБ duy
dxdy =0.
(8.47)
Преобразуем второй интеграл в (8.47), пользуясь известной формулой Остроградского—Грина
dxdy - J P(x,y)dx + Q^x.y'jdy.
Получим
Таким образом, мы будем иметь следующее выражение для первой вариации функционала (8.45) (Зм - ец(х,у))
причем из (8.46) следует, что для экстремума необходимо, чтобы эта первая вариация обращалась в нуль. Или, принимая во внимание, что ц|г =0, мы можем утверждать, что двойной интеграл, стоящий в правой части (8.48), должен быть равен нулю. Отсюда мы получаем для искомой функции и(х,у \ дающей экстремум функционалу (8.45), следующее уравнение Остроградского—Эйлера
дБ ди
дх дих
(8.49)
498
8. Элементы вариационного исчисления
Уравнение (8.49) — дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которое должно быть удовлетворено внутри области В, Граничным условием является задание функции и на контуре Г.
В случае кратного интеграла, зависящего от нескольких функций, мы будем иметь систему таких уравнений. В случае тройного интеграла и функции u(x,y,z), зависящей от трех независимых переменных, получается уравнение следующего вида:
dF д f dF} д ( dF ди 3x1 дих } ду ди „ \ Л ✓	\ У
Если под знак интеграла входят производные функции и (х, у) до порядка и, то уравнение Остроградского—Эйлера будет иметь вид
д dF
3z ди.
Пример. Связь задачи Дирихле с вариационной задачей
Рассмотрим следующую вариационную задачу: найти функцию zz(x,i/), доставляющую минимум функционалу

(8.50)
и принимающую заданные значения на границе Г и\ г = /(Р).
Составим соответствующее уравнение Остроградского—Эйлера. Имеем
dF ди dF _ ди дих дх" диу ду
Следовательно, уравнение Остроградского—Эйлера имеет вид
д2и + д2и q дх2 ду2
Таким образом, необходимым условием экстремума функционала (8.50) является условие, чтобы функция и(х,у)была решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа
д2и д2и
дх2 + ду2
= 0, u\v=f(P).
Вторая вариация
499

Покажем достаточность этого условия. Для этого рассмотрим разность
J[(uv + £Т])2 + (иу + еп, )2 -и2 -и2\dxdy =
В
82
= ejjf«,n.r + uyi\y]dxdy + — JJh? + т\2у ]dxdy = В	в
dxdy - e
V • в
[wn. + uyy ]x\dxdy +
I-	-v_____1
-0
Jbl.r + Л» }dxdy =
В
+ T|2 ]dxdy =
+ r\y ]dxdy > 0,
то есть мы действительно имеем минимум.
Видим, что краевые задачи для дифференциальных уравнений можно сводить к вариационным задачам, если существуют независимые методы решения последних.
Обобщением рассмотренной вариационной задачи на случай многих независимых переменных является следующая задача. Пусть
Z	X 2
=	dx, и
Q £=1 UX J
= g(x), X - (Xj ,х
)•
2 ’
Дифференциальное уравнение Остроградского—Эйлера для этого функционала, как нетрудно проверить, имеет вид
или, короче, Aw = 0. Это уравнение надо интегрировать при граничных условиях «1г =
Пусть теперь
J[zz(x)] = j£
-2/(x)w(x) dx, и
0, X (11 ,1 2 . • • • > ЗГ t)/
Как нетрудно проверить, в этом случае уравнение Остроградского—Эйлера приводится к виду Aw = -/(х); его нужно интегрировать при граничном условии w| г - 0.
Вторая вариация
До сих пор мы занимались исследованием только первой вариации для функционалов различных типов. Равенство нулю первой вариации давало нам необходи-
500
8. Элементы вариационного исчисления
мое условие того, что данная линия или поверхность сообщает экстремум соответствующему функционалу. Это необходимое условие аналогично известному факту из дифференциального исчисления, что для того, чтобы некоторая функция нескольких переменных достигала в некоторой точке экстремума, необходимо, чтобы в этой точке ее полный дифференциал первого порядка обращался в нуль. В дифференциальном исчислении мы имеем в некоторых случаях и достаточные условия, для формулировки которых нам необходимы уже частные производные второго порядка от исследуемой функции. В вариационном исчислении установление достаточных условий представляется гораздо более трудной задачей. Здесь мы рассмотрим только простейший функционал
J = j F(x,y,y')dx
*0
(8.51)
в случае закрепленных концов.
Рассмотрим, как и ранее, близкие кривые у(х) = z/(x)+ ец(х) и определим вторую вариацию функционала (8.51), как тот член в разложении J[y] по степеням е, который содержит е2, то есть примем
Это приводит нас непосредственно к следующей формуле:
Так как
d2F , d2F <Z(tT)
2------rm =------------?
dy dy' dydy' dx
то, предполагая наличие соответствующих производных у функции F, интегрируя по частям и принимая во внимание, чтот|(х0) = ц(х5 ) = 0, получим
(8.52)
Мы считаем, что необходимое условие экстремума выполнено, то есть что кривая у(х) является экстремалью. Будем для определенности говорить о минимуме интеграла (8.51). Функция J[y] как функция от е должна иметь минимум при с = 0. Следовательно, необходимым условием минимума является условие, чтобы б2 J >0 при любом выборе т|(х). Покажем, что отсюда непосредственно вытекает, что вдоль нашей кривой должно выполняться неравенство
d2F
>0.
(8.53)
Действительно, допустим, что при некотором значении х - с мы имеем на нашей кривой обратное неравенство d2F/dy'2 <0. В силу предполагаемой непрерывно-
Прямые методы решения вариационных задач
501
сти функции S2F/dz/'2 это неравенство будет справедливо и в некотором достаточно малом промежутке [с - е, с + е].
Определим теперь функцию ц(х) так, чтобы она обращалась в нуль вне упомянутого промежутка и на его концах, имела все необходимые производные, была достаточно малой по модулю на этом промежутке, но совершала бы там достаточно быстрые колебания. При таком выборе функции т](х) интеграл (8.52) сведется к интегралу по промежутку [с - е, с + е], в котором функция d2F/ду'2 имеет, по предположению, отрицательные значения. Под знаком интеграла главным будет слагаемое, содержащее r|f2(x^ и величина интеграла окажется отрицательной, что противоречит указанному ранее необходимому условию минимума интеграла (8.51).
Итак, для того чтобы экстремаль у(х) давала минимум интегралу (8.51), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали выполнялось условие (8.53).
Аналогичным образом, для того чтобы экстремаль у(х) давала максимум интегралу (8.51), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали выполнялось условие
Полученное условие называется обычно условием Лежандра. р
Прямые методы решения вариационных задач
В настоящее время широкое развитие получили иные методы подхода к решению задач на экстремум — методы, которые обходят применение дифференциальных уравнений. В основе этих методов лежит идея построить искомую функцию, дающую экстремум функционала, при помощи некоторого предельного процесса, исходя непосредственно из вида того интеграла, экстремум которого ищется.
Данная задача представляется гораздо более трудной, чем соответствующая задача на экстремум функции из дифференциального исчисления. В последнем случае, согласно теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях, мы знаем, что всякая функция, непрерывная в замкнутой области, принимает в некоторой точке этой области свое наибольшее или наименьшее значение. В случае задач вариационного исчисления мы уже не имеем такой теоремы, и, таким образом, ставится под вопрос само существование решения задачи.
Пусть }[у(х)]есть некоторый функционал от искомой функции у(х), и мы ищем эту функцию так, чтобы функционал J имел наименьшее значение в некотором классе D функций у(х). При любом выборе функции у(х) из класса D функционал J получает определенное значение. Используя все функции класса D, мы получим, таким образом, бесчисленное множество чисел — значений функционала J. Пусть d — точная нижняя граница этого множества чисел. Мы не знаем заранее, существует ли в классе D функция у(х), которая дает нашему функционалу это наименьшее значение d. Но в силу определения точной нижней границы числового множества мы можем, во всяком случае, найти такую последовательность уп(х) функций из класса D, что числа J[yn(х)] имеют своим пределом d
502
8. Элементы вариационного исчисления
при неограниченном возрастании п. Последовательность функций у„(х) называется обычно минимизирующей последовательностью [18].
Одной из возможностей осуществления прямых методов вариационного исчисления является следующий прием: дается способ построения минимизирующих последовательностей с таким расчетом, чтобы из построенной минимизирующей последовательности путем некоторого предельного перехода получалась бы искомая функция, дающая наименьшее значение нашему функционалу. Если удается довести таким путем задачу до конца, то этот прием приводит к решению краевой задачи для дифференциального уравнения, которое выражает необходимое условие экстремума исследуемого функционала. Такой метод применим не только для доказательства существования решения, но и для построения практически удобного способа его приближенного вычисления. На этом принципе основан метод Ритца решения вариационных задач. Обобщение метода Ритца на случай дифференциальных уравнений, не связанных с вариационным исчислением, было дано Б. Г. Галеркиным. Исследование сходимости методов Ритца и Галеркина и вопрос об оценке погрешности содержатся в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [И], а также в упомянутой ранее книге С. Г. Михлина [18]. Теоретическое обоснование прямых методов в связи с теоремами существования соответствующих экстремальных функций и исследованием их свойств изложено в монографии С. Л. Соболева [24].
Метод Ритца
Основная идея метода Ритца заключается в следующем. Пусть поставлена вариационная задача для функционала
ь
/[*/(*)] = F(x,y,y')dx -> min, J а
(8.54)
y(a) = ytt, y(b) = yh.
Будем предполагать функцию F непрерывной по всем аргументам и у(х) е С(1) (более жесткие условия не требуются).
Для решения поставленной задачи зададимся последовательностью функций
ФоО)>Ф1 (х),ф2(х)....Ф„(*)...
(8.55)
которые выберем так, чтобы
<рДх) е С(1), (k =0,1, 2,...), Ф*(«) = Фk(b) = °-	=
Фо(а) = г/«. Ч>о(Ь) = уь.
Будем предполагать, что решение у(х') может быть представлено в виде ряда г/(х) = ^Сиф„(х),	(8.56)
л=0
причем Со = 1 (по крайней мере, можно аппроксимировать функцию у(х) отрезком этого ряда с наперед заданной точностью).
Сначала будем искать экстремум для функций
Прямые методы решения вариационных задач
503
Уы = ''LCn4n(X)< п=0
(8.57)
где N — фиксированное число. Ясно, чтоyN (х) е С(1),yN (a) = ya,yN (Z>) = yh.
Выберем коэффициенты Сп так, чтобы функция yN(x) доставляла минимум функционалуJ, то есть
а
п-0
—> min
В нашем интеграле все функции заданы. Выполнив интегрирование, мы получим вполне определенную функцию O(Ct ,C2,...,CN). Мы хотим выбрать числа С{, С2, CN так, чтобы функция Ф принимала минимальное значение. Таким образом, задача свелась к отысканию экстремума функции У переменных. Необходимым условием экстремума нашей функции Ф будет
ЭФ
дСп
= 0, п = 1,2,...,?7.
(8.58)
Формула (8.58) — система уравнений, вообще говоря, трансцендентных (не дифференциальных) относительно неизвестных^ , С2, CN.
Решив уравнения (8.58), найдем коэффициенты Сп =С^ (п ~ 1, 2,..., N), которые определяют решение экстремальной задачи уN (%). Беря разные N, построим минимизирующую последовательность у{ (х), г/2(х), ..., yN (х). Может случиться так, что эта последовательность сходится к некоторой предельной функции, которая и является решением исходной задачи: у(х) = ^lim yN (х).
То обстоятельство, что функция z/(x) зависит только от одной переменной х, не играет, очевидно, никакой роли: вычислительный процесс развивается точно так же и в том случае, когда функция у зависит от любого числа переменных; соответствующий интеграл J будет кратным.
Решение задачи существенно упрощается, когда F — квадратичная функция переменных у и у', Легко видеть, что в этом случае приходится решать систему линейных алгебраических уравнений.
Если мы приняли за конечный результат z/N(x) при некотором значении N, то правильность полученного результата можно оценить, сравнивая значения yN для различных значений V Можно также сравнивать результаты при различном выборе функций фя.
Скажем несколько слов о выборе системы функций (8.55). Эти функции обычно называют координатными или базисными функциями. Мы предполагаем, что имеет место разложение (8.56) или, по крайней мере, можно аппроксимировать функцию у(х) отрезком этого ряда с наперед заданной точностью. Иными словами, любая допустимая функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована вместе со своей производной посредством функций семейства (8.55). Это — так называемое условие полноты системы функций (8.55). Условие полноты является достаточным условием для того, чтобы последовательность функций (8.57) была минимизирующей. Второе требование, которому должны удовлетворять функции системы (8.55), — это их линейная независимость. Тре
504
8. Элементы вариационного исчисления
бование линейной независимости функций является условием однозначной разрешимости системы уравнений (8.58). Конечно, кроме всего прочего, функции должны быть допустимыми, то есть, в частности, удовлетворять всем граничным условиям задачи. Чаще всего, если не учитывается конкретный вид функционала (8.54), берутся системы функций
ср*(х) = хк 1 (х - а)(х -b), k - 1, 2, 3,...
или
(pA(x)=sin
kit(x - а)
, £ = 1,2,3,
можно проверить, что каждая из этих систем линейно независимая и полная в пространстве С(1). Подробно эти вопросы обсуждаются в книгах [11] и [18].
Приложения вариационного исчисления в математической физике
Как мы уже говорили, вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике.
Вариационное исчисление применяется: для вывода уравнений математической физики, исходя из минимальных принципов; для решения задач математической физики, точного или приближенного, путем сведения этих задач к вариационным и применения соответствующих вариационных методов.
Вариационное исчисление имеет приложение к теории задачи Штурма—Лиувилля — доказательство свойств собственных значений и собственных функций и приближенное их вычисление; приложение к получению точных оценок различных физических величин; приложение к теории оптимального управления.
Рассмотрим некоторые из приложений вариационного исчисления в математической физике.
Задача о стационарном распределении температуры в брусе прямоугольного сечения
Будем предполагать, что по проводнику с прямоугольным сечением протекает электрический ток, выделяя при этом тепло Q. Поверхность проводника поддерживается при нулевой температуре. Требуется определить стационарное распределение температуры в проводнике.
Сформулируем задачу: требуется найти функцию Т(х,у), удовлетворяющую в открытом прямоугольнике -а <х < a,-b <у < b стационарному уравнению теплопроводности
(8.59)
и граничным условиям
Т г=±й=0, т^±1, = 0.
Приложения вариационного исчисления в математической физике
505
Задача решается точно методом Гринберга. Решим эту задачу вариационным методом. Сформулируем соответствующую вариационную задачу. Рассмотрим функционал
J[T(x,y)] = jjF(x,y,T,Tx,Т* )dxdy,
D
где область D — рассматриваемый прямоугольник; Тх = dT/dxfTy = дТ/ду. Уравнение Остроградского—Эйлера для этого функционала имеет вид
dF
дТ
(8.60)
Для сравнения запишем уравнение (8.59) в виде
Q k
(8.61)
Сравнивая уравнения (8.60) и (8.61), видим, что в качестве функции F можно взять следующую функцию:
Таким образом, мы приходим к следующей вариационной задаче (эквивалентность не доказываем): найти функцию Т(х,у), доставляющую экстремум функционалу
dxdy extremum,
причем
т\х.±а =0,	=
Построим решение вариационной задачи в форме
(8.62)
(8.63)
Выражение (8.63) удовлетворяет граничным условиям (8.62) и является функцией, симметричной относительно х и у. Это выражение хорошо передает характер зависимости температуры от координат х и у.
Далее будем считать, что
Отсюда находим
506
8. Элементы вариационного исчисления
Тогда
Обозначим для удобства £ = х/а, г| - у/Ь', в силу симметрии области D будем иметь
J[T] = iab\\ ^Ц2(1-П2)2
0 0 а
^П2(1-^)2
- 4^J f
о о
)(1-п2)^п = Ф(Со),
К
где Ф(С0) — квадратичная функция отС0. Вычисления дают
|Ч2(1~П2)2^П = j fr|2(l-^2)2^</n =-^,
о о	о о	45
J j(l-£ )(1-п2)^П =|
0 0
В итоге получим
Для определения Со будем иметь
Таким образом, приближенное решение задачи имеет вид
Для сравнения полученного решения с точным решением вычислим температуру на оси проводника при а -Ь
„	~ 5Qa2b2 _5Qa2 „419Qa2
,=y=0 8£(«2+A2)a=6	166 k
Точное решение задачи при а - b имеет вид
(2п + I)3 ch

Приложения вариационного исчисления в математической физике
507
Вывод уравнения колебаний струны
Получим вариационным методом уравнение плоских малых поперечных колебаний струны, натянутой силой т между точками х = 0 и х = I оси х. Напомним, что струной считается одномерная среда, работающая только на растяжение, но не на изгиб, то есть не сопротивляющаяся изгибу.
Будем считать, что сила натяжения т в процессе колебаний не меняется. Это оправданно, если колебания малы по амплитуде. Будем также считать, что каждая точка х струны в процессе колебаний смещается перпендикулярно оси х; обозначим ординату этой точки в момент времени t через м(х, t). Функция и(х, t) и определяет закон колебаний, ее график в фиксированный момент времени представляет форму струны в этот момент.
Потенциальная энергия струны выражается интегралом
{струна есть одномерная механическая система, потенциальная энергия каждого участка которой пропорциональна его удлинению по сравнению с положением равновесия). Разлагая радикал в ряд и отбрасывая в предположении малости и члены с {их )4, получим
Кинетическая энергия струны как сумма кинетических энергий ее частиц выражается интегралом
где р — линейная плотность струны (будем считать р постоянным, то есть струну однородной).
Составим интеграл действия
t	?, a	\ot
fi	*t 0 L
Согласно принципу Остроградского—Гамильтона, этот интеграл должен принимать экстремальное значение, то есть должно выполняться соответствующее уравнение Остроградского—Эйлера. Обозначим
Уравнение Остроградского—Эйлера имеет вид
dF
ди
3x1 ди
508
8. Элементы вариационного исчисления
Вычисляя производные, окончательно получаем известное уравнение свободных колебаний струны
д2и д2и Л
Р—г-т~т =0*
dt2 дх2
Задача об установившихся колебаниях мембраны
Как мы знаем, уравнение свободных колебаний мембраны имеет вид д2и д2и 1 д2и дх2 ду2 v2 dt2
где v — скорость распространения колебаний.
Будем интересоваться установившимися колебаниями. Полагаем и - we™1; тогда для амплитуды колебаний получим
d2w +	+ 0)2
дх2 ду2 V2
(8.64)
w = О,
при этом, очевидно, w г = 0, w * 0.
Сведем нашу задачу к эквивалентной вариационной задаче. Рассмотрим функционал
J[w(x,y)\ = JJF(x,y,w,wx,wy) dxdy,
D
(8.65)
где D — плоская область с границей Г, занимаемая мембраной в исходном состоянии.
Уравнение Остроградского—Эйлера для функционала (8.65) имеет вид
(8.66)
Сравнивая уравнения (8.66) и (8.64), видим, что в качестве функции F можно взять следующую функцию:
Таким образом, мы приходим к следующей вариационной задаче (эквивалентность не доказываем): найти функцию w(x, у), доставляющую экстремум функционалу
D
со2
ГТ
w2 dxdy extremum,
(8.67)
причем w г = 0, w 0.
В качестве примера предположим, что контур Г — эллипс с полуосями а и Ь. Будем искать решение вариационной задачи в форме

Вопросы к главе 8
509
у2	х^	у2
1А-ТТ Со+СЛ + °1ТТ+- 	<8-68)
а b Д а	Ь	J
Ограничимся каким-нибудь конечным числом слагаемых в формуле (8.68). Если подставить (8.68) в (8.67) и выполнить интегрирование, то получим
Л^(х,г/)] = Ф(С0,С1,Д1,...).
Приравняв соответствующие производные нулю, мы приходим к однородной линейной алгебраической системе для определения коэффициентов C0,Ct fDj,... Приравнивая к нулю определитель этой системы, мы получим частотное уравнение (определитель системы, очевидно, зависит от со) для определения частот со.
Сравнение с точным решением показывает, что при удержании только одного коэффициента Со первая частота получается точно, вторая частота — хуже, но с увеличением числа коэффициентов в формуле (8.68) ее значения улучшаются. Читателю мы рекомендуем самостоятельно проделать все необходимые выкладки и убедиться в этом.
Вопросы к главе 8
1.	Какие задачи решает вариационное исчисление? Приведите примеры вариационных задач.
2.	Что называется функционалом? Приведите примеры функционалов.
3.	В чем состоит основная задача вариационного исчисления? Сформулируйте аналогичную задачу дифференциального исчисления.
4.	Сформулируйте основные леммы вариационного исчисления.
5.	Сформулируйте простейшую вариационную задачу. Как она решается?
6.	Что называется Е-окрестностью кривой у =у(х) в смысле близости нулевого порядка?
7.	Что называется Е-окрестностью кривой у = у(х) в смысле близости первого порядка?
8.	Что называется в-окрестностыо кривой у = у(х) в смысле близости &-го порядка?
9.	Какие пространства функций используются в вариационном исчислении? Какие функции принадлежат классу С? Как определяется норма в классе функций С?
10.	Какие функции принадлежат классу С<1)? Как определяется норма в классе функций С(1)?
И. Какие функции принадлежат классу C(i)? Как определяется норма в классе функций C(k)?
12.	Дайте определение экстремума функционала.
13.	Что такое сильный экстремум функционала?
14.	Дайте определение слабого экстремума функционала.
510
8. Элементы вариационного исчисления
15.	Напишите уравнение Эйлера в случае простейшей вариационной задачи. Какой порядок имеет это уравнение?
16.	Что такое экстремаль? Что можно сказать о существовании и единственности экстремали?
17.	Сформулируйте необходимое условие экстремума в случае простейшей вариационной задачи.
18.	Что называется вариацией 5г/ аргумента у(х) функционала J[y(x)]?
19.	Что называется вариацией 5/ функционала J[y(x)]l Сформулируйте необходимое условие экстремума функционала с использованием вариации.
20.	Какое условие называют условием стационарности функционала?
21.	Напишите формулу для вариации функционала в случае простейшей вариационной задачи.
22.	Укажите частные случаи, в которых уравнение Эйлера может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрировано в квадратурах.
23.	Сформулируйте задачу о брахистохроне и дайте ее решение.
24.	Сформулируйте задачу о прохождении света в неоднородной среде и дайте ее решение.
25.	Сформулируйте вариационную задачу со свободной вариацией на границе.
26.	Приведите необходимые условия экстремума функционала в задаче со свободными концами. Какие условия называются естественными граничными условиями?
27.	Дайте обобщение вариационной задачи со свободной вариацией на границе. Что такое условия трансверсальности?
28.	Дайте обобщение формулы для вариации функционала на случай задачи со ''Свободными концами.
29.	Сформулируйте вариационную задачу для функционалов, содержащих производные высших порядков.
30.	Напишите уравнение Эйлера для функционалов, содержащих производные высших порядков.
31.	Дайте решение задачи об изгибе балки вариационным методом.
32.	Сформулируйте вариационную задачу для функционалов, зависящих от нескольких функциональных аргументов.
33.	Напишите уравнение Эйлера для функционалов, зависящих от нескольких функциональных аргументов.
34.	Напишите формулу для вариации функционала, зависящего от нескольких функциональных аргументов.
35.	Дайте вывод уравнений Лагранжа вариационным методом.
36.	Сформулируйте изопериметрическую задачу. Как решается такая задача?
37.	Дайте решение задачи о провисании каната. Что такое цепная линия?
Задачи с примерами решения
511
38.	Сформулируйте вариационную задачу, функционал которой представляется кратным интегралом.
39.	Напишите выражение для вариации функционала, представляемого двойным интегралом.
40.	Напишите уравнение Остроградского—Эйлера для функционала, представляемого двойным интегралом.
41.	Укажите связь задачи Дирихле для уравнения Лапласа с вариационной задачей.
42.	Что такое вторая вариация функционала? Напишите формулу для вычисления второй вариации функционала в простейшем случае.
/
43.	Сформулируйте достаточные условия Лежандра экстремума функционала.
44.	Какие методы называются прямыми методами вариационного исчисления?
45.	Что такое минимизирующая последовательность?
46.	Изложите основную идею метода Ритца.
47.	Что такое координатные (или базисные) функции? Каким условиям они должны удовлетворять?
48.	Что такое условие полноты системы функций?
49.	Какие функции называются линейно независимыми?
50.	Приведите наиболее часто используемые системы координатных функций.
51.	Дайте точное решение методом Гринберга задачи о стационарном распределении температуры в брусе прямоугольного сечения.
52.	Дайте приближенное решение вариационным методом задачи о стационарном распределении температуры в брусе прямоугольного сечения и сравните его с точным решением.
53.	Дайте вывод уравнения малых колебаний струны вариационным методом.
54.	Дайте вывод уравнения продольных колебаний стержня вариационным методом.
55.	Дайте вывод уравнения малых поперечных колебаний мембраны вариационным методом.
Задачи с примерами решения1
1. Для следующих функционалов найти экстремали, построить их графики и исследовать на выполнение достаточных условий экстремума:
1)	JD/]=fG/'2 +4г/2 -8xy+2x2)dx; у(-1) = 3', г/(1) = 1;
-1
2)	J[y]= fG'2 -4г/2 + 2xy-x2)dx-, у(-1) = 2', у(1) = Ь -1
1 Большинство примеров взято из электронной М-книги (www.exponenta.ru): И глин С.И. Вариационное исчисление с применением Matlab: Учебное пособие и варианты индиви-
дуальных заданий для студентов всех форм обучения. — Харьков: НТУ XIIИ, 2000.
512
8. Элементы вариационного исчисления
3)	Jly] = J(z/'2+42/2 + Ьхгу + xcosx}dx; г/(-1) = 2; z/(l) = 0,5; -1
4)	Лу} = \(у'2 -4z/'sin2x-x2 )б/х; #(0) = l; 2/(2) = -l; 0
5)	J[y] = ](У'2 -y'\nx + 2x)dx; 2/(3) = -l; 2/(1) = 2; 1
6)	J[y] = \(y' +yf2 sin2x-cos2x) dx; z/(0,5) = l; г/(1,5) = 2; 0.5
7)	J[y] = \(y'+xy,2-x2y’)dx; z/(l) = 2; z/(2) =-1; i
8)	Ay] = f(y' + y'2 + x2y'2)dx; г/(0) = 1; y(2) = -2;
0
dx; 2/(2) = -l; 2/(4) = 2;
1
10) J[y]~ \(y’2 +2y'ex sinx-ex cosx)dx; y(~l) = 2; z/(l) = 3.
-i
2. Для следующих функционалов найти экстремали и построить их графики:
^2
О ЛУ^} = \[у'2 + z'2 + 2yz]dx;
о
г/(0) = 0; у - =1;
z(0) = 0; z — =-1;
2.) J[y,z} = ^2y'z'+у2-z2+2zex}dx;	\ i
b	[z(0) =-2; z(2) = 1;
3) J[y,z] = \(2y'z'-у2 +z2 +2z/sinx)fifr; о
'г/(0) = 1; г/(2) = -1;
\z(0) = -2; z(2) = l;
4).Дг/Л= [((г/ + z)2 - у'1-z'2+2xz) dx;
г/(-1) = 2; 2/(1) = 0;
z(-l) = 0; z(l) = 2;
5) J[y,z] = f((y ~z)2 +y'2 -z’2 + 2zcosx)dx;
0
'г/(0) = 0; 2/(1) = 1;
\(0) = 1; z(l) = 0;
6) J[y,z\ = \{y2 +4yz + z2 -y'2 -z'2 +zeil )cte;
0
XO) = 1; z(0) = -2;
V(2) = -1; z(2) = 1;
4-	*
Задачи с примерами решения
513
«wr I L 2 9,yx9-.w	[г/(-2) = 0; г/(2) = 3
о) J\y,z = (у + z -2у z*+2ze )ах; (
J,	|z(-2) = 2; z(2) = l;
’и
9) J[y,z]~ \(2y'z' + у2 — z2 + 2zsinx)dx;
1/(2) = 0;
z(2) = 2;
10) Jto.z] - }«S + г)1 - j/'1-/1 +2i/e2- )<fc;	. ^~l
3. Для следующих функционалов найти экстремаль и построить ее график:
1) Лу1 = [(у"2 -2у'2 +У2 -2уех )dx;
О
г/(0) = 2; г/'(0) = 1;
г/(1) = 0; г/'(1) = -1;
2) Лу\ = JG"2
+ Ьу'у" + у'2 + 2уе~х )dx;
г/(-1) = 1;	=
.2/(1) = 2;	г/'(1) = 1;
9
3) J[y] = \(y''2 -2у'г +у2 + 2уех )dx; 
о
г/(0) = 1; г/'(0)=0;
.2/(2) = 4; г/'(2) = -1;
4) ЛУ] = ](У"2 -У’2 + 2ye~x)dx;
О
Ш = 1; г/'(0) = 0;
1 г/(2) = 4; г/'(2) = -1;
5) ЛУ ] = (У"2 - У'2 + 2уе1 ) dx;
4 О
' 2/(0) = 2; г/'(0)=1;
[г/(1) = 0; #'(!) = -!;
6)	J[y] = J(z/"2 -У2 + 2ycosx)dx;
-1	[г/(1) = 2;
1/'(1) = 1;
7) Лу\ = J(г/"2 -4.г/'у" + у'2 + 42/е- )dx- 1; о	*/(2) = 4;
г/'(0) = 0;
1/'(2) = -1;
8) J[y] = \(У"2 ~2у'2 +у2 + 2г/sinх)dx;
-1
'г/(-1) = 1; г/'(-1) = -1;
[г/(1) = 2;	г/'(1) = 1;
пч и, т /	'^л ' + о	=3; у' О) = С
9) J[y]= (у -У +tyy +2уе )dx; 1
Ь	г/(1) = 1; у (1) = 1
Ю) J[y] = f(Z2 -У'1 ~tye-x )dx;
Ь	Ц/(1) = О
г/'(0) = 1;
//'(!) = -I-
4. Для функционала
J[y\ = \F(x,y,y',y")dx r0
получить естественное граничное условие, если заданы все граничные условия на левом конце интервала — y(xQ) ~У^ У’(хо )-Уо^ а на правом конце х - Х( задано только значение функции z/(xf ) = ух.
514
8. Элементы вариационного исчисления
5.	Решить задачу 4, если на правом конце х = rq задано только значение производной у\х{) -у{.
6.	Решить задачу 4, если на правом конце х не заданы граничные условия.
7.	Для примеров 1 найти экстремали, если граничные условия на правом конце не заданы. Сравнить полученные решения с решениями примеров 1.
8.	Решить примеры 1 методом Ритца. Полученные приближенные решения сравнить с точными решениями этих примеров.
9.	Для следующих функционалов получить дифференциальное уравнение Остроградского—Эйлера; построить приближенное решение задачи методом Ритца; исследовать сходимость полученного приближенного решения:
1)	J\.z\ = ff(z2 + z2v + 2xyz)dxdy, D: D
2)	J[z] = ff(z2 + 3z2 + 2yz)dxdy, D: D
3)	Л21 = ^(гх +5zy + tyzsinx)dxdy, D
4)	Jlz] = ff (3z2 + z2 + 2xz cos у ) dx dy, D
5) Jlz\ = ff (5*x +zy + 2xyz)dxdy, D:
0<x<2; _ _x + y2
-1 < у < 1; 2 c~ 200
6)	J[z] = ff (2z2 -z2 + 2xyz)dxdy, D:
D
7)	J[z] = jj(z2 +2z2 +z2 +2xzcosу)dxdy; D: ]	’
n	I 1 — У —
У2 У
100 60
; + 2yz cos x)dxdy] D:
j-1 <,x <1;	. _ x2 у
0<у<1; 2c~T00 + 50’
9)	Л2] = ff (2z.r -3z2 + 2x2yz)dxdy; D:
D
10)	Jlz] = ff (2x + 4zy + 22 + 2xyz)dxdy\ D:
D
(0<x<2;	_ x }y2
\0<y<2; 2c-50 + 80'
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти экстремаль функционала
J[y]^\(x2 +у2 +у'2 )dx~,	J)"1
-1	1^(1) = 2.
Задачи с примерами решения
515
Исследовать найденную экстремаль на достаточные условия и построить ее график.
Решение. В этом примере подынтегральная функция имеет вид
F(x,y,y") = x2 + у2 +у'2.
Составим уравнение Эйлера в виде (8.16) и решим его при заданных граничных условиях. Затем построим график найденной экстремали. Попутно исследуем выполнение достаточных условий экстремума — для этого проверим Знак второй производной F ,
Реализацию намеченного алгоритма решения поставленной задачи выполним в системе аналитических вычислений Maple. Определим подынтегральную функцию как функцию трех переменных:
> restart:
>	F: =(х,у .у1)->х*2+уА2+уК2;
F := (х, у, yl) -> х2 + у2 + у12
Составим уравнение Эйлера. Для этого вычислим все необходимые производные функции F. Fy , Fyy,, F^., Fy>y,:
>	dFdy:=diff(F(x.y,yl),y);dFdyl:=d1ff(F(x,y,yl),yl):
>	d_dFdyl_dx:=d1ff(dFdyl.x):d_dFdyl_dy:=diff(dFdyl.y):
>	d_Fdyl_dyl:=diff(dFdyl.yl);
dFdy := 2 у
dFdyl := 2 yl
d_dFdyl_dx := 0
d_dFdyl_dy := 0
d-Fdyl_dyl 2
Составим теперь дифференциальное уравнение Эйлера:
>	eq:=dFdy-d_dFdyl_dx-d_dFdyl_dy*yl-d_Fdyl_dyl*y2=0:
eq ~2y-2y2 = Q
>	eq:=simpl1fy(lhs(eq)/2)=0:
>	eq:=subs(y=y(x),y2=diff(y(x).x$2).Ihs(eq))=0:

eq у - y2 = О
Решим уравнение Эйлера с заданными граничными условиями:
>	res:=dsolve({eq.y(-l)=l,y(l)=2},y(x)): > asslgn(res):y:=evalf(y(x));
e(e2-2)e("T) res := y(x) =---------------
-1 + e
e (2 e2 - 1) ex
-1 + e4
516
8. Элементы вариационного исчисления
у := 0.2733111731 e ‘ + 0.6987702374ex
Построим график полученного решения:
> ру:“plot(у.х=-1..1.titПример ИвГ .legend»'Точное решение' ,color=black): > plotsLdisplay]({py});
X
Точное решение
Так как Fy, , - 2 > 0 и это условие выполняется для любых у(х) и у' (х), то в соответствии с достаточным условием Лежандра найденная экстремаль доставляет сильный минимум нашему функционалу.
При решении этого примера мы составили уравнение Эйлера «вручную» согласно формуле (8.16). В системе Maple 8 в случае простейшей вариационной задачи уравнение Эйлера можно получить автоматически с помощью процедуры EulerLagrange из пакета Variational Cal cuius. Для этого подключаем пакет
> wlth(VarlationalCalculus);
[ ConjugateEquation , Convex, EulerLagrange , Jacobi, Weierstrass ]
Определяем подынтегральную функцию нашего функционала > у:e'y’:f:=x*2+y(x)x2+diff(y(x),х)х2:
2
2
dx
и получаем уравнение Эйлера с помощью указанной процедуры > EulerLagranget f. х. у(х)):
dx2
Задачи с примерами решения
517
Далее решение ничем не отличается от рассмотренного ранее решения
> resl:=dsolve({op(X)=0,y(-l)=l.y(lX} .у(х));
> assign(resl):y:=evalf(y(x)):
resi
у := 0.2733111731 е*’1'1 + 0.6987702374е'
То есть, как и должно быть, получили тот же результат!
Пример 2. Найти экстремаль функционала
Jly} = \y2y'2dx;
1
г/(1) = 4;
г/(3) = 3.
Исследовать найденную экстремаль на достаточные условия и построить ее график.
Решение, В этом примере подынтегральная функция имеет вид
Р(У.У')=У2У'\
то есть не зависит явно от х. В этом случае мы имеем первый интеграл уравнения Эйлера в виде (8.19). Однако, используя систему Maple, мы можем решать задачу по общей схеме, как в примере 1.
Определим подынтегральную функцию как функцию двух переменных:
>	restart:
>	F:=(х,у,yl)->yx2*yl*2:
F:=(x,y,yl)-+y2y/2
Составим уравнение Эйлера:
>	dFdy :=di ff(F(x,y ,yl) .у) :dFdyl :=diff(F(x,y ,yl) .yl);
>	d_dFdyl_dx:=diff(dFdyl.x):d_dFdyl_dy:=diff(dFdyl.y):
>	d_Fdyl_dyl:=diff(dFdyl,yl);
dFdy := 2yy72
dFdyl 2 y2 yl
dJFdyl_dx := 0
ddFdyldy \~4yyl
d_Fdyl_dyl :=2y2
>	eq:=dFdy-d_dFdyl_dx-d_dFdyl_dy*yl-d_Fdyl_dyl*y2=0:
eq := ~2yyl2 - 2y2y2 = 0
>	eq:=simplify(lhs(eq)/2)=0:
>	eq; =
subs(y=y(x),yl=diff(y(x),x),y2=diff(y(x).x$2).Ihs(eq))=0:
:=-yy72-y2y2 = 0
518
8. Элементы вариационного исчисления
eq :=-у(*)
Решим уравнение Эйлера с заданными граничными условиями:
> res:=dsolve({eq,y(l)=4.y(3)=3}.у(х)): > assignees) :y:=evalf(y(x));
res := у(х) =
39
у := 7-3.500000000%+ 19.50000000
Построим график полученного решения:
> py:=plot(y.x=l. .З.Ш1е='Т1ример N»2",legench"Точное решение".color=black):
> plotstdlspTау]({ру}):
Пример №2
Так как F , ,	>0, имеем сильный минимум.
Рекомендуем читателю выполнить все расчеты, используя первый интеграл уравнения Эйлера в виде (8.19).
Покажем решение примера с помощью процедуры EulerLagrange из пакета
VariationalCalculus:
> y:='y’:f:=y(x)*2*diff(y(x),x)A2:
> EulerLagranget f. x. ytx));
Задачи с примерами решения
519
Обратим внимание на то, что Maple, кроме дифференциального уравнения Эйлера в общей форме (8.16), выдает также и первый интеграл этого уравнения в форме
(8.19), то есть
у(х)
Далее решение выполняется по стандартной схеме.
Пример 3. Найти экстремаль функционала, рассмотренного в примере 1, при том же самом граничном условии на левом конце, если граничное условие на правом конце не задано. Сравнить решение с решением задачи примера 1.
Решение: Если граничное условие на правом конце не задано, мы имеем задачу со свободной вариацией. Следовательно, на этом конце должно выполняться естественное граничное условие типа (8.22). Решение задачи реализуем в Maple:
>	restart:
>	F:=(х.yn.ynl)->xA2+yn*2+ynlA2:
F := (x, yw,ynl) —> x2 + yn2 + ynl2
>	dFdy_n:=d1ff(F(x.yn.ynl),yn):
>	dFdyl ji:=d1ff(F(x.yn.ynl).ynl):
>	d_dFdyl_dx_n:=diff(dFdyl_n.x);
>	d_dFdyl_dy_n:=d1ff(dFdyl_n.yn):
>	d_Fdyl_dyl_n:=d1ff(dFdyl_n,ynl):
dFdyn := 2 уn
dFdyl _n '=2ynl
d dFdyl_dx_n 0
d_dFdyl _dy_n := 0
d_Fdyl_dyl _n := 2
>	eq:=dFdy_n-d_dFdyl_dx_n-d_dFdyl_dy_n*ynl-d_Fdyl_dyl_n*yn2=0: eq := 2 yn - 2 yn2 - 0
>	eq:=sinipl 1fy(lhs(eq)/2)=0;
>	eq:=subs(yn=yn(x),yn2=diff(yn(x).x$2).Ihs(eq))=0:
eq := yn - yn2 = 0
2
eq := yn(x) -
dx2
>	bound2:=subs(ynlsD(yn)(1).dFdyljn)=0;
bound2 := 2 D(y/i)(1) = 0
> res:=dsolve({eq.yn(-1)=1} union {bound2},yn(x)): > asslgn(res):yn:=evalf(yn(x));
res := yn(x) =
yn := 0.04889158769еЛ + 0.3612626842e( '
> pyjiat:=plot(yn.x=-l..1.title='Пример №3',legend='Естественное условие',color=black.th1ckness=2):
plots[display]({py_nat}):
520
8. Элементы вариационного исчисления
> plotsCdlsplay]({py_nat,py}):
Пример 4. Найти экстремали функционала
J\y>z\ = J (У'2 +z'2 + 2yz)dx;
-2
h(-2) = l;
'.z/(2) = 0;
z(-2) = 0;
‘.2(2) = 2.
Построить графики этих экстремалей.
Решение. Определяем подынтегральную функцию:
> restart:
> F:e(y.z.yl.zl)->yl*2+zl*2+2*y*z;
F := (у, z,yl, zl) -> yl2 + zl2 + 2 у z
Задачи с примерами решения
521
Вычисляем все необходимые частные производные для того, чтобы составить систему дифференциальных уравнений Эйлера:
>	dFy:=-diff(F(y.z,yl,zl) .у):dFz:=d1ff(F(y.z.yl.zl),z);
>	dFyl:=diff(F(y,z,yl,zl),yl);dFzl:=diff(F(ytz,yl,zl),zl):
>	d2Fyl_x:=diff(dFyl,x):d2Fzl_x:=diff(dFzl.x);
>	d2Fyl_y-diff(dFyl.y):d2Fzl_z:=diff(dFzl.z);
>	d2Fyl_yl:=d1ff(dFyl,yl):d2Fzl_zl:“diff(dFzl,zl);
dFy :=2z
dFz 2 у
dFyl := 2 yl
dFz! := 2 zl
d2Fyl_x 0
d2Fzl_x 0
d2Fyly := 0
d2Fzl_z := 0
d2Fyl_yl := 2
d2Fzl_zl := 2
Составляем систему уравнений Эйлера:
> eq_y:"dFy-d2Fyl_x-d2Fyl_y*yl-d2Fyl_yl*y2«0:
> eq_z:=dFz-d2Fzl_x-d2Fzl_z*zl-d2Fzl_zl*z2=e0:
>	eq_y:=simpl1fy(lhs(eq_y)/2)=0;
>	eq_y:=subs(y=y(x),z«z(x),y2=d1ff(y(x),x$2).Ihs(eqjf))-0:
>	eq_z:=simplify(lhs(eq_z)/2)=0:
>	eq_z:=subs(y=y(x),z«z(x).z2=diff(z(x),x$2).lhs(eq_z))»0:
eq_y z — y2 = 0
dx2
eq_z := у - z2 ~ Q / j2
dx1
Решаем полученную систему уравнений Эйлера при заданных граничных условиях:
> res:-dsolve({eq_y.eq_z,y(-2)=l.y(2)-0.z(-2)“0,z(2)=2}({y(x).z(x)});
> assignfres):у:=evalf(у(x)):z:=evalf(z(x)):
res := {v( x) = - e2(e4-2)e<~J) _ 1 e2 (-2 e4 + (e4)2 - e8 + l)eJ _ 3 sin(x) j cos(2) cos(x)
2	-1 + e8 2	-1 + e8	4sin(2)+4 sin(2)2-l
4x) = 1 е2(е4-2)е(~х> _ _1 e2 (-2 e4 + (e4/-e8 + 1) e1 3 sin(jr) _ j cos(2)cos(x)
2	-1 + e8 2	-1 + e8	+4sin(2) 4 sin(2)2— 1
у := 0.06521076520e< ' x) + 0.1341409064er - 0.8248126275sin(x) + 0.6007494902cos(x)
522
8. Элементы вариационного исчисления
z := 0.06521076520е(“‘ х) + 0.1341409064е' + 0.8248126275 sin(x) - 0.6007494902cos(x)
Строим графики найденных экстремалей:
>	py:=plot(y. х=-2..2,t1tle='Пример N»4',legend='Решение у(х)',color=black.1inestyle=4): pz:=plot(z.x=-2..2,title=4Пример N°4",legend='Решение z(x)',color=black):
plotsLdisplay]({py.pz});
Здесь также для получения системы уравнений Эйлера можно воспользоваться процедурой EulerLagrange из пакета Variational Cal cuius:
>	F :=di ff(y(x). xP2+di ff (z(x). хГ2+2*у(х)*г(х);
> EulerLagranget F. x. Ey(x).z(x)]):
> el:'Simplify(ор(1Л)/2)=0:e2:'Simplify(op(2,И)/2)=0;
Далее решение выполняется по стандартной схеме.
Задачи с примерами решения
523
Пример 5. Найти экстремаль функционала при заданных граничных условиях
J[y} = J(l/"2 -2г/'2 + tyy’+y2 -2z/sinx)dx; <
— j	1^ x x	t 1^ \ /
Построить график.
Решение. Определяем подынтегральную функцию
>	restart;
>	F :=y2^2-2*yP2+4*y*yl+yx2-2*y*s1n(x);
F := у22 - 2 у I2 + 4 у yl + у2 - 2 у sin(x)
Вычисляем частные производные:
>	dFy:»diff(F.y):
dFy :=subs(y=y(x) ,y>diff (y(x) ,x) ,y2=diff(y(x) .x$2),dFy);
dFy	4 у 1 + 2 у - 2 sin(x)
dFy := 4
+ 2 y(x) - 2 sin(x)
>	dFyl:=dlff(F,yl);
dFy1:=subs(y=y(x),yl=diff(y(x),x),y2=diff(y(x),x$2).dFyl):
>	dFyl_x:=diff(dFyl,x):
dFyl -4 yl + 4 у
dFyl := -4
4y(x)
dFyljc -4
>	dFy2:=diff(F,y2);
dFy2:=subs(y=y(x),yl=diff(y(x),x),y2=diff(y(x),x$2),dFy2);
>	dFy2_x2:=diff(dFy2.x$2):
dFy2 := 2 y2
dFy 2 : 2
dFy2_x2 := 2
Составляем уравнение Эйлера:
> eq:=dFy-dFyl_x+dFy2_x2=0i;
Решаем полученное уравнение при заданных граничных условиях:
> res;=dso)veffeq.y(-l)=l.y(l)=2,D(y)f-l)=-l.D(y)(l)=-l}.y(x;);
assign(res);у:=simplify(evalf(y(x)));
524
8. Элементы вариационного исчисления
res у(х) =
3 (-sin( 1 )3 + cos( 1) sin( 1 )2 - cos( 1)) cos( а )	3 sin( 1) (-1 + cos( 1) sin( 1)) sin( x) x
2	1 - sin( 1 )2 + sin( 1 )4	2	1 - sin( 1 )2 + sin( 1 )4
1 (sin( 1 )2 + cos( 1 ) sin( 1) - 4 sin( 1 ) - 1-2 cos( 1 )) cos(x) x
4	-1 + cos( 1) sin( 1)
Строим график:
> pic_y:=plot(y,X“-1.. 1.Ш1е='Пример N?5' ,legend='Функция y(x)‘,color=black): plots[display]({plcj/}):
Пример 6. Методом Ритца найти экстремаль функционала из примера 1
J[y]= \(х2+у2+y'2)dx; №	11
сравнить полученное приближенное решение с точным решением; построить их графики.
Решение. Выбираем базисные функции и определяем аппроксимирующую функцию. При этом рассмотрим два варианта базисных функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям, — систему полиномов и систему синусов:
>	ph10:=x->yl+(y2-yl)*(x-xl)/(x2-xl):
>	phi :4xtn)->sin(n*Pi*(x-xl)/(x2-xl)):
>	Us:-proc(x,N)option operator.arrow: local n:
>	ph10(x)+sum(a[n]*ph1(x.n).1n'=l..N):
>	end proc:
Задачи с примерами решения
525
>	Up:=proc(x.N)optwn operator.arrow; local п:
> phi0(x)+(x-xl)*(x-x2)*sum(а[п]*хАп, ’n'«0..N):
>	end proc;
фО := x у I +
(y2-yl) (x-xl)
x2 - xl
sin
Us := (x, У) —> local и; фО(х) +
/ N	\
У an ф(х, и)
=1	)
Up := (x, N) —> local n\фО(х) + (x - xl) (x - x2)
Разработаем процедуру для составления и решения системы уравнений метода Ритца:
>	R1tz:=proc(F.и,10.N.а)
>	local Fu. eqns.var. eq. 1 .res .-global xl.x2:
>	Fu:=simpl1fy(1nt(subs(y(x)ni.F),x=xl. .x2)):
eqns:=*{) :var:-{):
>	for 1 from 10 to N do
>	var:=var union {a[1]}:
>	eq[i]:-diff(Fu,a[1])-0:
>	eqns:=eqns union {eq[i]}:
>	od:
>	res:=solve(eqns,var);
>	assign(res);
>	end proc:
Процедура очень проста и не требует дополнительных комментариев. Приступим теперь к решению нашей задачи. Определяем подынтегральную функцию
>	F:=xA2+y(x)A2+diff(y(x).х)А2:
Вводим граничные точки:
> х1;»-1;х2:=1;у1:=1:у2:=2:
xl := -1 х2 := 1
У1 := 1 у2 :=2
Зададимся числом базисных функций в представлении аппроксимирующей функции и решим задачу с использованием системы синусов в качестве базисных функций:
> N:=3:cl:='cross':с2:='circle':c3:='box > for j from 1 to N do
526
8. Элементы вариационного исчисления
>	а:ааггау(1.. j) :u:=Us(x,J):
>	Ritz(F.u,1.j.а):
>	PUsJ |j: =
plot(Us(x.j),x=-l..1.color=black,style=point.symbol=c||j, legend=cat('Метод Ритца N = ' .converts .string))): > end do:
>	plots[display]({pUs_l.pUs_2,pUs_3.py}):
******	Метод	Ритца	N - 1
---------	Точное	решение
о	о	о	о	о	о	Метод	Ритца	N = 2
°	°	°	°	°	а	Метод	Ритца	N = 3
>	Us (х.1):Us(х.2):Us(х,3):
Решим эту же задачу с помощью полиномиальной аппроксимации
>	N:=2:cl:='cross' :с2:з='с1 rcle' :c0:='d1 amend':
for j from 0 to N do
a:=array(0..j):u:=Up(x,j):
R1tz(F,u,0.j.a):
pUpJ |j:=plot(Up(x,j), x=~l..1,color=black,style=po1nt.symbol=c||j.
legend=cat('Метод Ритца N = ',convert(j.string))):
Задачи с примерами решения
527
end do:
> plots[d1splay]({pUp_0.pUp_l,pUp_2.py});
> Up(x.О):Up(x.1);Up(x,2);
3 x 777 (x + 1) (x - 1 )
2 + 2 +	1472
3 x „	,4,	, /777	7x\
- + -- + (x + 1) (x - 1) —— + ~-~
2 2 v	'	7 1472 92 )
3 x	( 777	7	63
2 + y+(x+ O(^- 1) |^j472 + 92 x + 1472 X ;
Пример 7. Методом Ритца найти экстремаль функционала
где область интегрирования и граничная функция имеют вид
х у2
10 + 50'
Решение. Выбираем базисные функции и определяем аппроксимирующую функцию:
>	restart;
> ph10:=(x,y)->x/10+y*2/50;
>	phi :=(х.у.i,j)->sin(1*P1*(x-xl)/(x2-xl))*sin(j*P1*(y-yl)/(y2-yl));
528
8. Элементы вариационного исчисления
>	u:=proc(x,y,M,N)option operator.arrow; local n.m;
ph10(x,y)+sum(sum(a[m,n]*ph1(x,y.т.п), 'm‘el..M),’n'=l..N);
>	end proc;
фо := (x,y) -»
и	(x, у, M, N) —> local л, m; фО(х, у) +

Разработаем процедуру для автоматического составления и решения уравнений метода Ритца для нашего функционала:
>	R1tz:=proc(F,M.N,a)local Fu,eqns.var,eq.1.j.res;
>	Fu:=simplify(1nt(1nt(F.x=0. , 1) ,y=0. .2)):
>	eqns:={}:var:={}:
>	for 1 from 1 to M do
>	for j from 1 to N do
>	var:=var union {a[i.J]}:
>	eq[1.j]:=d1ff(Fu.a[1.j])=0:
>	eqns;=eqns union {eq[1,j]}:
>	od;od:
>	res:-solve(eqns,var):
>	assign(res);
>	end proc:
Вводим граничные точки:
>	xl;=0:x2:=l:yl:=0;у2:=2:
xl := О
x2 := 1
yl := 0
y2 := 2
Задаем подынтегральную функцию
> F:=diff(u(x.y),x)A2-2*diff(u(x,y),y)A2+2*y*u(x,y)*(sin(P1*x)+x/5):
+ 2y u(x,y)
Задаем количество базисных функций для аппроксимации решения и решаем задачу:
>	M:-2:N:=2;a:=array(l..М.1..N):
>	F2:=subs(u(x,y)=ll(x,y ,M.N).F) :Rltz(F2,M.N.a);
M~ 2
Задачи с примерами решения
529
дх 10	50
2,2
2,2
W:=2
sin(2 л х) sin
sin( л х) sin
1.2
2 sin( 2 л х) sin
10 50
2
2
2
2
2
2
sin(2 л х) sin
2,2
> z:=U(x.y,M,N):z:=evalf(z);
х 8
10 + 50 "25
2 (5 л + 2) sin(K х) sin(K^) 1 sin(2 л х) зт(л;у)
5	it4	~ $	-г4
*>	л	-2 л
Z := 0.1000000000Х + 0.02000000000/- 0.3171443332sin(3.141592654л) sin( 1.570796327 у)
4- 0.002346510229 sin( 6.283185308л) sin( 1.570796327у)
-	0.07271585464sin(3.141592654л) sin(3.141592654у)
-	0.002053196450sin( 6.283185308л) sin( 3.141592654у)
Построим график найденной экстремали в виде пространственной поверхности и в сечении при х = 0,5:
> p1ot3d(U(x.y.M.N),х-0.,1.у=0..2.title=cat('Аппроксимация М = N =
'.convert(М.string))):
Аппроксимация М = N = 2
2 1
530
8. Элементы вариационного исчисления
> р||М: =
plot(U(0.5.у.М,N),у=0..2.color=black.l1nestyle=4.legend=cat('M=Ne'.convert(M.strlng))): pl ots[display]({p2}):
--------
Рекомендуем читателю выполнить все расчеты, удерживая большее количество базисных функций в аппроксимации решения, и исследовать сходимость получаемых решений.
Приложение
532
Приложение
sh (at)	a 2	2 p - a
ch (af)	P p2 - a2
1 — (sin (<20 - at cos (at)) 2a	a2 /2	2\2 (p + a )
t . z 4 sin (at) la	p {p2 a2)2
cos {at) ch {at)	1 eu +
e-ucos(cot)	p + Л {p + X)2 + co2
e~kt sin (cot)	co {p + X)2 + co2
1 J1L P 4/ 7яг	e 4p
cos (at) sh (at)	a{p2 -2a2) p4 + 4a4
ch (at)	P 2	2 p - a
,	a 1 -Ф 	 l2VtJ	e v/ p
ch (2 Vt) Vnt	1 Vp
sh (2Vt) Vk	1 ep pjp
Jo(aVt)	(p e ip p
1 + 2 at VkZ	p + a p4p
e~at y[nt	1 ^p + a
Литература
1.	Арсении В. Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. — М.: Физматгиз, 1966. 368 с.
2.	Будак Б. М.: Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. - М.: ГИТТЛ, 1956. 684 с.
3.	Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. - М.: Наука, 1971, 264 с.
4.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981, 512 с.
5.	Сборник задач по уравнениям математической физики, / 2-е изд. Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарии А. А. и др. — М.: Наука, 1982. 256 с.
6.	Гельфанд И. М. Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961. 228 с.
7.	Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Учебный курс. — СПб.: Питер, 2001. 624 с.
8.	Гюнтер Н. Мл Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. Т. 3. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. 268 с.
9.	Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. — М.: Наука, 1971. 288 с.
10.	Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — М.: Высш, шк., 1966. 408 с.
11.	Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 696 с.
12.	Карслоу X., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. — М.: ИЛ, 1948. 292 с.
13.	Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высш, шк., 1970. 712 с.
14.	Кручкович Г И., Мордасова Г. М. и др. Сборник задач и упражнений по ('пениальным главам высшей математики. — М.: Высш, шк., 1970. 512 с.
15.	Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — М.-Л.: Физматгиз, 1963. 360 с.
534
Литература
16.	Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения. — М.: ГИТТЛ, 1957. 268 с.
17.	Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. — СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.
18.	Михлин С, Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: ГИТТЛ, 1957. 476 с.
19.	Очан Ю. С. Методы математической физики. — М.: Высшая школа, 1965, 384 с.
20.	Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.-Л.: ГИТТД, 1951. 128 с.
21.	Петровский И. Г, Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. 400 с.
22.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 1. — М.: Наука, 1974. 336 с.
23.	Снеддон И. Преобразования Фурье. — М.: ИЛ, 1955. 668 с.
24.	Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988. 334 с. л
25.	Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. 444 с.
26.	Тихонов А. И., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1977. 736 с.
27.	Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. — М.: ГИТТЛ, 1956. 204 с.
28.	Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: ИЛ, 1960. 300 с.
29.	Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения, — М.: ИЛ, 1962. 352 с.
30.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1965. 424 с. ь 1
Алфавитный указатель
А
абсцисса сходимости, 322, 325
альтернатива Фредгольма, 425
Б
бета-функция, 171
в
вариация
функционала, 479
вариация (приращение) аргумента, 479
волновое уравнение
двумерное, 33
одномерное, 28
трехмерное, 38
высшие трансцендентные функции, 170
г
гамма-функция, 174
гармонические краевые задачи, 59
гиперболическое уравнение
каноническая форма, 54
граница области, 15
граничное условие
второго рода, 58
первого рода, 58
третьего рода, 58
граничные условия, 30, 56
второго рода, 108
первого рода, 108
третьего рода, 108
четвертого рода, 108
Е
евклидово пространство
длина (норма), 15
расстояние, 15
скалярное произведение, 15
емкость, 36
естественные граничные условия, 484
3
задача
Дирихле, 58
Коши
для гиперболического
уравнения,57
для параболического уравнения, 57
Неймана, 58
Штурма—Л иувилля, 107
регулярная, 107
сингулярная, 107
задача Коши, 57
закон
Гука, 30
Нернста, 40
Фурье, 38
и
изображение (трансформанта
Лапласа), 322
интеграл
вероятности, 176
Дирихле, 322, 335
Лапласа, 322
Пуассона, 104
Римана—Мел л и на, 322, 334
Фурье, 263
в комплексной форме, 263
Фурье—Бесселя, 264
и нтеграл ы юе 11 родста вл е н и е
Пуассона, 191
интегральное преобразование, 275
интегральное уравнение
линейное, 389
нелинейное, 389
с вырожденным ядром, 403
536
Алфавитный указатель
интегральные уравнения
первого рода, 390
второго рода, 390
Вольтерры, 390
Фредгольма, 390
интегро-дифференциальное уравнение, 457
к
квадратичная форма
канонический вид, 48
уравнения, 46
квазилинейное дифференциальное
уравнение, 46
класс корректности, 60
классические решения, 60
координатные (базисные)
функции,503
корректно поставленная задача
(по Адамару), 60
косинус-интеграл Фурье, 262
косинус-преобразование Фурье, 276
коэффициенты Лямэ, 23
краевая задача, 57
первого, второго и третьего рода, 58
для эллиптического уравнения, 57
криволинейная система координат, 21
криволинейные координаты, 22
л
линейное дифференциальное
уравнение, 26, 51, 93
неоднородное, 93
однородное, 93
логарифмический потенциал
простого слоя, 434
м
мероморфная функция, 322, 341
метод
разделения переменных, 92
Стеклова—Лиувилля—Фубини, 114
функций Грина, 92
Фурье, 92
минимизирующая
последовательность, 502
множество
замкнутое, 15
замыкание, 15
компакт, 15
ограниченное, 15
открытое, 15
связное, 15
*	J
модифицированные цилиндрические функции,196
н
начальные условия, 30, 56 неоднородные задачи математической физики, 243
норма системы функций, 119
О
область, 15
обобщенное преобразование
Фурье, 276
обобщенный интеграл Фурье, 262 однородные задачи математической физики, 243
окрестность множества, 15 оператор
Гамильтона (символический вектор набла), 18
Лапласа (лапласиан), 17 оператор-градиент, 16 оператор-дивергенция, 17 оператор-ротор (вихрь), 17 определитель
квадратичной формы, 47 определяющее уравнение
соотношение упругости, 30 оригинал (начальная функция), 322 ортогональная система
координат, 22
функций,119 ортонормированная система
функций,119 открытый шар, 15
п
параболическое уравнение каноническая форма, 55
параметр разделения, 95 парные интегральные уравнения, 393
полиномы Лежандра, 211 постоянная Эйлера—Маскерони, 176 преобразование
Фурье, 276
Фурье—Бесселя, 277 принцип аналитического
продолжения, 322, 325
суперпозиции (наложения), 93 продольная деформация стержня, 29
Алфавитный указатель
537
Р
разложение Хевисайда, 322, 341 ранг, собственное значение, 419 регулярное интегральное
уравнение, 391
резольвента интегрального уравнения, 395, 400
резольвента уравнения Фредгольма, 418
ряд
Дини, 205
Фурье—Бесселя, 205
с
самоиндукция, 36
сингулярное интегральное
уравнение, 391
синус-интеграл Фурье, 262
синус-преобразование Фурье, 276 система функций, нормированная
в точке, 112
смешанная задача, 57
для гиперболического
уравнения, 59
для параболического уравнения, 59 собственная функция
задачи Штурма—Лиувилля, 109
интегральное уравнение, 419 собственное значение
интегральное уравнение, 419 собственные значения
задачи Штурма—Лиувилля, 109
краевой задачи, 98
собственные функции краевой
задачи, 98 спектр
задачи Штурма—Лиувилля, 109 дискретный, 119 непрерывный, 119 смешанный, 119
интегральное уравнение, 419 сферические
координаты, 24
функции,211
Лежандра, 211
телеграфное уравнение, 35 точка множества
внутренняя, 15
предельная, 15
трансформанта, 249
У
уравнение
Бесселя, 179
Гельмгольца, 41
гиперболическое, 47
диффузии, 38, 40
квазилинейное дифференциальное, 46
колебаний, 26
Лапласа, 41
линейное дифференциальное, 51
малых поперечных колебаний
мембраны, 32
струны, 28
стержня, 28
параболическое, 47
поперечных колебаний балки, 45
Пуассона, 41
равновесия мембраны, 35
свободных колебаний мембраны, 34
Софи Жермен—Лагранжа, 46, 284
теплопроводности, 39
Фурье, 39
характеристическое, 53
Эйлера, 478
эллиптическое, 47
уравнения
с разделяющимися переменными, 95
Вольтерры типа свертки, 394
Лагранжа, 492
условие
Лежандра, 501
периодичности, 108
разрешимости задачи Неймана, 58
согласования, 32
стационарности функционала, 479
трансверсальности, 485
утечка, 36
формула
Грина, 20
Даламбера, 71
Остроградского, 19
Римана—Меллина, 322, 334
Родри га, 212
фундаментальная система решений
Штурма—Лиувилля, 112
функционал, 471
функция
Бесселя
второго рода, 184
первого рода, 181
538
Алфавитный указатель
фу 11 к 1 [ия {продолжение)
Вебера, 184
Грина, 432
Лежандра второго рода, 213
Макдональда, 196
Неймана, 184
X
характеристики дифференциального
уравнения, 53
характеристический многочлен, 322, 347
характеристическое уравнение, 53
ц
целая функция, 111
цепная линия, 496
цилиндрическая функция
второго рода, 184
цилиндрические (или бесселевы) функции, 179
цилиндрические координаты, 23
цилиндрические функции третьего рода
функции Ханкеля, 185
э
экстремаль, 478
эллиптическое уравнение
каноническая форма, 55
я
ядро
и нтсграл ьного
преобразования, 275
интегрального уравнения, 391
обратного преобразования, 275
типа функции Грина, 422
Д. П. Голоскоков
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
•; /ЧТ-

*7 г ..
Л
A
Решение задач в системе Maple
учебник/Для вузов
Учебник содержит классическое изложение основных разделов математической физики, иллюстрируемое большим количеством подробно разобранных примеров и задач.
Особенностью предлагаемого курса является широкое использование системы аналитических вычислений Maple при решении учебных задач математической физики.
В книге приводится также значительное количество задач для самостоятельного решения и примеры решения задач в системе Maple с текстами программ, что позволяет использовать ее для практических и лабораторных занятий.
Учебник может быть рекомендован студентам и аспирантам технических университетов и высших технических учебных заведений физико-математических и инженерно-физических специальностей.
Голоскоков Дмитрий Петрович — кандидат физико-математических наук, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.
Темы, рассмотренные в книге:
• классические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка;
метод интегральных преобразований
в конечных и бесконечных пределах;
ISBN 5-94723-670-2
С^ППТЕР
WWW.PITER.COM
• элементы вариационного исчисления и теории интегральных уравнений.
Посетите наш web-магазин: http^www.piter.com