/
Автор: Деза Е.И. Котова Л.В
Теги: математика математический анализ издательство урсс теории чисел
ISBN: 978-5-397-02608-6
Год: 2012
Текст
Ε. И. Деза, Л. В. Котова
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
112 задач
с подробными решениями
Рекомендовано УМО по образованию
в области подготовки педагогических кадров
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
050201.65 «Математика»,
направлению 050100 «Педагогическое образование»
(профиль «Математика»)
URSS
МОСКВА
ББК22.1я73 22.131 22.132
Деза Елена Ивановна, Котова Лидия Владимировна
Сборник задач по теории чисел (112 задач с подробными решениями):
Учебное пособие. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. — 224 с.
Данное пособие содержит обширную коллекцию упражнений и задач по всем
классическим разделам арифметики и теории чисел (теория делимости, простые и
составные числа, арифметические функции, отношение сравнимости, малая теорема Ферма
и теорема Эйлера, сравнения и системы сравнений с неизвестной величиной,
квадратичные вычеты и символ Лежандра, показатели, первообразные корни и индексы, цепные
дроби и др.). Каждый параграф содержит примеры решения задач, упражнения,
аналогичные рассмотренным примерам, и задачи для самостоятельного решения. Кроме того,
в пособии представлены циклы заданий для проведения контрольных и
лабораторных работ, а также типовые задания для проверки усвоения обязательного минимума
содержания дисциплины.
Пособие написано на основе лекций, которые в течение многих лет читаются
студентам математического факультета Московского государственного педагогического
университета, и может быть использовано для проведения семинарских занятий и
организации самостоятельной работы студентов высших учебных заведений (прежде всего
педагогических вузов) по дисциплине «Теория чисел», а также для проведения
элективных курсов арифметической тематики и активизации учебно-исследовательской
деятельности старшеклассников, выбравших естественно-математический профиль
обучения; оно будет полезно для всех читателей, интересующихся арифметикой и
элементарной теорией чисел.
Рецензенты:
доц. кафедры дифференциальных уравнений МАИ,
канд. физ.-мат. наук//. В. Александрова;
проф. кафедры теории чисел МПГУ, канд. пед. наук А. В. Жмулева;
доц. факультета культурологии Государственного академического университета
гуманитарных наук, канд. физ.-мат. наук А. А. Привалов
Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"».
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 14. Зак. № ЖТ-12.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр. 11.
ISBN 978-5-397-02608-6
© Ε. И. Деза, Л. В. Котова, 2011
© Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7 (499) 724-25-45
10448 ID 123883
785397"026086
Содержание
Обозначения 7
Введение 10
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел 12
§ 1. Теорема о делении с остатком 12
Примеры решения задач 13
Упражнения 15
Задачи 16
§ 2. Отношение делимости 17
Примеры решения задач 18
Упражнения 20
Задачи 20
§ 3. Простые и составные числа 21
Примеры решения задач 24
Упражнения 27
Задачи 28
§4. НОД и НОК 29
Примеры решения задач . 30
Упражнения 31
Задачи 32
§ 5. Алгоритм Евклида 33
Примеры решения задач 34
Упражнения 36
Задачи 36
§ 6. Взаимно простые числа 37
Примеры решения задач 38
Упражнения 40
Задачи 40
4 Содержание
§ 7. Функции [х\ и {х} 41
Примеры решения задач 43
Упражнения 46
Задачи 47
§ 8. Мультипликативные функции 50
Примеры решения задач 51
Упражнения 53
Задачи 53
§ 9. Число и сумма делителей 54
Примеры решения задач 55
Упражнения 56
Задачи 57
§ 10. Функция Эйлера 58
Примеры решения задач 59
Упражнения 60
Задачи 61
§11. Функция Мебиуса 63
Примеры решения задач 65
Упражнения 66
Задачи 67
§ 12. Отношение сравнимости 68
Примеры решения задач 69
Упражнения 69
Задачи 71
§ 13. Классы вычетов 72
Примеры решения задач 72
Упражнения 75
Задачи 76
§ 14. Полная и приведенная системы вычетов 77
Примеры решения задач 78
Упражнения 79
Задачи 80
§ 15. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера 81
Примеры решения задач 82
Упражнения 82
Задачи 83
§ 16. Линейные сравнения и системы сравнений 86
Примеры решения задач 87
Содержание
5
Упражнения 89
Задачи 90
§ 17. Сравнения и системы сравнений по простому модулю .... 92
Примеры решения задач 93
Упражнения 95
Задачи ν 96
§ 18. Сравнения по степени простого и по составному модулю . . 97
Примеры решения задач 98
Упражнения 106
Задачи 106
§ 19. Квадратичные вычеты и символ Лежандра 107
Примеры решения задач 111
Упражнения 114
Задачи 115
§20. Показатели и первообразные корни 116
Примеры решения задач 118
Упражнения 121
Задачи 122
§21. Индексы 123
Примеры решения задач 124
Упражнения 129
Задачи 131
§ 22. Цепные дроби 134
Примеры решения задач 137
Упражнения 143
Задачи 144
§ 23. Применения цепных дробей 146
Примеры решения задач 148
Упражнения 153
Задачи 154
§24. Разные теоретико-числовые задачи 157
Глава 2. Задачи для организации промежуточного
и итогового контроля 162
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 162
§ 2. Задачи лабораторной работы по теме
«Сравнения по составному модулю» 180
6
Содержание
§ 3. Задачи лабораторной работы по теме
«Цепные дроби» 183
§ 4. Типовые задания обязательного минимума
по арифметике и теории чисел . 193
Ответы и решения 200
Таблица простых чисел, не превосходящих 10000 208
Таблицы индексов 213
Литература 219
Обозначения
• N = {1,2,3,...}— множество натуральных чисел.
• Ζ = {..., -3, -2, -1,0, 1, 2, 3,...} — множество целых чисел.
• rest(a, b) — остаток от деления целого числа а на натуральное число Ь:
a = bq + rest(o, b), где q, rest(a, b) 6 Ζ, и 0 < rest(a, b) < b.
• Rest(a, b) — наименьшее по абсолютной величине число,
получающееся при делении целого числа а на натуральное число Ь:
Rest(a, b) = rest(o, b) при rest(o, b) < 6/2,
и Rest(o, b) = rest(o, b) - b при rest(o, b) > b/2.
• b\a — целое число b, отличное от нуля, делит целое число а, то есть
а = be, где с 6 Z.
• (а,\,... ,а„) — наибольший общий делитель (НОД) целых чисел а{,..., а„,
хотя бы одно из которых не равно нулю, то есть наибольшее целое
число, делящее каждое из чисел о ι,..., α„.
• [fl],..., ο„] — наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел oj,..., о„,
каждое из которых не равно нулю, то есть наименьшее натуральное
число, делящееся на каждое из чисел О],..., о„.
• Ρ = {2, 3, 5, 7,11, 13, 17,19,...} — множество простых чисел, то есть
натуральных чисел, имеющих ровно два натуральных делителя; р, q,
Pi,···,Pi,9i,···,ft — простые числа; п = ρ"' · ρ"2 · ... · pf, где
Pi, Pi, · ■ ■, Ρ« — различные простые числа, и a\,a2,...,as 6 N —
каноническое представление натурального числа η > 1, то есть
представление η в виде произведения натуральных степеней различных
простых чисел; η = р\ · р2 ·... · ps — бесквадратное число.
• S = {4,6, 8,9,10,12,14, 15,16, 18,...} — множество составных чисел,
то есть натуральных чисел, имеющих не менее трех натуральных
делителей; N = PU5U{1}.
• L^J ~ целая часть действительного числа х, то есть наибольшее целое
число, не превосходящее х.
• {х} — дробная часть действительного числа х: {х} = χ — [х\.
8
Обозначения
• \х] — наименьшее целое число, большее или равное х.
• ||ж|| = min{{x}, 1 - {χ}} — расстояние от ж до ближайшего целого
числа.
• ψ{η) — функция Эйлера, дающая число натуральных чисел, не
превосходящих га и взаимно простых с ним: ψ{η) = \{х 6 Ν: χ < га, (х, га) = 1}|.
• μ(η) — функция Мебиуса: μ(1) = 1, μ(η) = (- l)s для бесквадратного
числа га = pi ■... ■ ps, и μ(η) = 0 в остальных случаях.
• ν(η) — число различных простых делителей натурального числа га.
• Ω(ή) — число простых делителей га, считаемых с повторениями.
• 7г(ж) = Σ 1 — число простых чисел, не превосходящих положительное
рЦх
действительное число х.
• Σ /(d) ~■ сумма значений комплекснозначной функции /(ж), опре-
деленной для всех χ б Ν, по всем натуральным делителям d
натурального числа га.
• г(га) = Σ 1 — число натуральных делителей натурального числа га.
d\n
• σ{η) = Σ d — сумма натуральных делителей натурального числа га.
d\n
• as(n) = Y^ds — s-функция делителей, дающая сумму 5-ых степеней
d\n
натуральных делителей натурального числа га, где 5 — любое
комплексное число; в частности, σο(η) = τ (η), и σι (га) = σ(η).
• Л(га) — функция Мангольдта: Л(га) = 1η ρ для га = р*, где ρ 6 Ρ,
а к € Ν, и Л(га) = 0 в остальных случаях.
• А(га) — функция Кармайкла: Α(ρα) = φ(ρα) Для простого р^Зи
натурального α; λ(2α) = 2а~2 для натурального а ^ 3, в то время как
А(2) = 1, и λ(4) = 2; наконец, А(р?' ·... -р?') = [А(р?'),..., А(р?')],
где рь ...,ps — различные простые числа, а αϊ,..., as 6 Ν.
• а = 6(mod га) — целые числа о и 6 сравнимы по модулю га, га 6 N, то
есть а и b имеют одинаковые остатки при делении на га, или, что
то же, га|(о - Ь).
• а Ф 6(mod га) — целые числа а и Ь несравнимы по модулю га, га 6 N,
то есть а и Ь имеют различные остатки при делении на га, или, что
то же, га{ (а - Ь).
• а„ = {х 6 Ζ : χ = o(mod га)} = {..., а - 2га, а - га, а, а + га, а + 2га,
о+Зга,...} — класс вычетов (числа а) по модулю га, то есть множество
всех целых чисел, сравнимых с числом а по модулю га.
Обозначения
9
• f(x) = anxn + an-ixn 1 + ... + а{х + а0, ап,а„_ь ... ,а0 6 А, а„^0 —
многочлен степени га над кольцом (А, +, ·); deg/(x) — степень
многочлена /(ж).
• (°/р) ~~ символ Лежандра: (а/р) = 1, если целое число а, взаимно
простое с нечетным простым числом р, является квадратичным
вычетом по модулю ρ (то есть сравнение х2 = o(modp)
разрешимо), и (а/р) = -1, если целое число а, взаимно простое с
нечетным простым числом р, является квадратичным невычетом по
модулю ρ (то есть сравнение х2 = o(modp) неразрешимо); если а\р, то
(а/р) = 0.
• (а/п) = Π<=ι(°/Ρ«')α' Для нечетного га = ρ"' ·... ·ρ"' — символ Якоби.
• Рп (а) — показатель целого числа а (взаимно простого с га) по модулю га,
то есть наименьшее натуральное число η, такое что о7 ξ 1 (modга);
если Рп(д) = φ(η), то д — первообразный корень по модулю га.
• \пад а — индекс числа а по модулю га с основанием g, то есть такое
целое число β 6 [0, у>(га)-1],чтоа = р^(mod га). Здесь га 6 {2,4,ра,2ра}
для нечетного простого ρ и натурального a, g — первообразный
корень по модулю га, и а — целое число, взаимно простое с га.
• [flo, О],..., о„, · · ·] = floH ϊ цепная дробь. Здесь Оо —
а\ + j
"' fln + ...
некоторое целое число, а все о„, га 6 N — натуральные числа, причем
последнее, если оно существует, отлично от 1.
• h = [ao,a\,...,ak\=Pk/Qk, k = 0,Ι,.,.,π,..., — подходящие дроби для
цепной дроби [о0, αϊ,..., о„,...]; ak, к = 0,1,..., га,... — неполные
частные цепной дроби [α0,αι,...,α„,...\; ак = [ak,ak+i, ·■·, о,„,...],
к = 0,1,... ,п,... — полные частные цепной дроби [θο,θι,...,οη,·.·].
• га! = 1 · 2 ·... · га — факториал натурального числа га; 0! = 1.
• (™) = —г, г: ,га, m6N,ra^m— число сочетаний из га элементов
т/ т!(га - т)!
по т элементов; числа (^) являются коэффициентами разложения
бинома Ньютона: (а + Ь)п = (")о" + (")ап-|Ь + (")а"-2Ь2 + ... +
+ („->2&"-2 + (?)«&-' + С)*"-
• Fn = 22" + 1, га = 0,1, 2,... — числа Ферма.
• М„ = 2" - 1 га = 1,2,3,... — числа Мерсенна.
Введение
Данное пособие содержит обширную коллекцию упражнений и задач
по всем классическим разделам арифметики и теории чисел.
Пособие написано на основе лекций, читаемых в течение многих лет
студентам математического факультета Московского государственного
педагогического университета, и охватывает все вопросы, рассматриваемые
в курсе теории чисел, предназначенном для будущих учителей
математики, предлагая студентам системы упражнений и задач по следующим
темам: теорема о делении с остатком, отношение делимости, простые
и составные числа, НОД и НОК, алгоритм Евклида, взаимно простые
числа, функции [х\ и {х}, мультипликативные функции, число и сумма
делителей, функция Эйлера, функция Мебиуса, отношение сравнимости,
классы вычетов, полная и приведенная системы вычетов, малая
теорема Ферма и теорема Эйлера, линейные сравнения и системы сравнений,
сравнения и системы сравнений по простому модулю, сравнения по
степени простого и по составному модулю, квадратичные вычеты и символ
Лежандра, показатели и первообразные корни, индексы, цепные дроби,
применения цепных дробей, разные теоретико-числовые задачи.
Изложение каждой из вышеперечисленных тем проведено по единой
схеме: основные определения и примеры; свойства рассматриваемых
объектов, часть которых доказана, а остальные приведены без доказательства,
но со ссылками на соответствующую литературу; примеры решения
задач; упражнения, аналогичные рассмотренным выше примерам, решаемые
по заданному алгоритму и предназначенные как для работы в аудитории,
так и для выполнения домашней работы; задачи для
самостоятельного решения, требующие от студентов активного поиска неизвестного им
заранее алгоритма решения и зачастую представляющие собой частные
случаи хорошо известных в теории чисел теорем.
Раздел «Задачи для организации промежуточного и итогового контроля»
содержит цикл заданий для проведения контрольных работ (30 блоков
заданий по 25 однотипных заданий в каждом блоке), задачи лабораторной
Введение
11
работы по теме «Сравнения по составному модулю» (90 заданий различного
уровня сложности, от простейших, для решения которых достаточно лишь
умения работать по заданному алгоритму, до творческих, решение которых
требует от студента активного применения на практике всех
основополагающих положений соответствующей теории), задачи лабораторной работы
по теме «Цепные дроби» (25 вариантов по 8 заданий в каждом варианте),
наконец, типовые задания для проверки усвоения обязательного
минимума содержания дисциплины (30 блоков заданий по 18 однотипных заданий
в каждом блоке).
Пособие предназначено для проведения семинарских занятий и
организации самостоятельной работы студентов математических факультетов
педвузов, для проведения элективных курсов арифметической тематики
и активизации учебно-исследовательской деятельности
старшеклассников, выбравших естественно-математический профиль обучения, для всех
читателей, интересующихся арифметикой и элементарной теорией чисел.
Авторы благодарят за многолетнее плодотворное сотрудничество и
совместную работу своих учителей и коллег, без помощи и поддержки которых
было бы невозможно создание этой книги: Бухштаба Α. Α., Нечаева В. И.,
Митькина Д. Α., Воронина С. М., Киселеву Л. В., Топунова В. Л.,
Степанову Л. Л., Чирского В. Г., Жмулеву А. В., Баулину Ю. Н., Иконникову Т. К.,
Юрченко А. Л., Александрову Н. В., Гладкову Е. Б.
Глава I
Задачи по курсу теории чисел
Элементарная теория чисел имеет дело с натуральными числами 1,2,3,...
(множество натуральных чисел обозначается символом N) и целыми
числами ..., —3, —2, —1,0, 1, 2, 3,... (множество целых чисел обозначается
символом Z).
§ 1. Теорема о делении с остатком
Теорема о делении с остатком (см., например, [28]) утверждает, что для
любого α Ε Ζ и любого Ь 6 N существует единственная пара целых чисел q
и г, таких что а = bq+r и 0 < г < Ь. Действительно, для заданного целого
числа а и заданного натурального числа Ь рассмотрим рациональное число
а/Ь. Пусть q — наибольшее целое число, не превосходящее а/Ь, то есть
q < а/Ь < q+1, q 6 Ζ. Тогда bq < а < bq+b, или, что то же, 0 < a- bq < b.
Вводя обозначение г = а - bq, мы можем утверждать, что для выбранных
целых чисел q и г имеет место соотношение а = bq+r, причем 0 < г < Ь.
Для доказательства единственности указанного представления достаточно
рассмотреть равенства а = bq + r, где 0 < г < Ь, и о = bq\ + r\, где
0 < Г] < Ь. Тогда b(q - q\) = r\ — г, причем -Ь < г\ - г <Ь. Поскольку
q, q\ 6 Ζ, то q - q\ = 0, или q - q{ ^ 1, или q- q\ < -1. В первом случае
мы получаем, что г ι — г = 0, то есть q = q\ и г = г ι, откуда следует, что
представления а = bq + г и а = bq\ + r\ совпадают. Во втором случае мы
получаем, что b(q - q\) ^ Ь, что дает противоречие с условием г\ -г <Ь.
В третьем случае мы получаем, что b(q - q{) < -b, что дает противоречие
с условием Г] — г > —Ь.
Число q называется целым частным, а число г называется остатком
от деления а на Ь. При решении задач обычно используют обозначение
г = rest(o, b).
Например, -10 = 3· (-4) + 2, то есть rest(-10, 3) = 2; 48 = 14- 3 + 6,
то есть rest(48,14) = 6; 100 = 20 · 5 + 0, то есть rest(100,20) = 0.
§ 1. Теорема о делении с остатком
13
примеры решения задач
1. Найдите целое частное и остаток от деления 19 на 3; -18 на 5; га3+2га— 1
на га, где га 6 N; 12га5 + Юга4 + 2 на 2га, где га 6 N.
Решение. Легко убедиться в том, что: 19 = 3-64-1, причем 6, 1 6 Z,
и 0 < 1 < 3; -18 = 5 · (-4) + 2, причем -4, 2 6 Z, и 0 < 2 < 5;
га3+2га-1 = га-(га2+1)+(га-1), причем га2+1, га-1 6 Z, и0<га-1 < га.
Аналогично, 12га5 + Юга2 + 2 = 2га · (6га4 + 5га) + 2, где 6га4 + 5га,
2 € Z, однако ограничение 0 < 2 < 2га имеет место лишь для η ^ 2.
Для га = 1 искомое равенство принимает вид 12га5 + Юга4 + 2 =
= 2га ■ (6га4 + 5га3 + 2) + 0, то есть вид 24 = 2 · 12 + 0. >
2. Целые числа а, 6 и с дают при делении на 5 остатки 1, 2 и 4
соответственно. Какие остатки при делении на 5 дают числа 2а; -36; 5с;
0 + 6 + с; 2а - 36 + 5с; аЪс; а2; б3; с4; 17aW?
Решение. Из условия задачи следует, что а = 5q + I, b = 5к + 2,
с = 5т + 4, где q,k,m£ Ζ. Тогда 2о = 5 · (2q) + 2, причем 2q, 2 6 Ζ,
и 0 < 2 < 5. Следовательно, остаток числа 2о при делении на 5 равен 2:
rest(2o, 5) = 2. Далее, -36 = 5 ■ (-3*) -6; поскольку -6 = 5·(-2) +4,
то -36 = 5 · (-3Λ - 2) + 4, причем -ЗА; - 2,4 6 Z, и 0 < 4 < 5.
Следовательно, rest(-36,5) = 4. Поскольку 5с = 5 · с + 0, причем
с, 0 6 Z, и 0 < 0 < 5, то rest(5c, 5) = 0. Аналогично, а + 6 + с =
= 5(д + & + т)+(1+2 + 4),и 1 +2 + 4 = 5-1 + 2, то есть о + 6 + с =
= 5(q + к + т + 1) + 2, причем q + k+m + l,2£Z, и 0 < 2 < 5.
Таким образом, rest(o + 6+с, 5) = 2. Пользуясь полученными ранее
соотношениями, можно утверждать, что 2о - 36+5с=5 · (2q - Зк - 2+с) +
+ (2 + 4 + 0), откуда, с учетом равенства 2 + 4 + 0 = 5-1 + 1, следует
равенство 2а-36+5с=5-(2д-ЗА;+с- 1) + 1, причем 2q-3k+c-l,
1 6 Ζ, и 0 < 1 < 5. Следовательно, rest(2o - 36 + 5с, 5) = 1.
Исследование произведения чисел о, 6 и с производится по той же схеме:
поскольку 1 · 2 · 4 = 5 · 1 + 3, то обе = (5q + l)(5fc + 2)(5m + 4) =
= 5(25qkm + 20qk + lOqm + Ц + 5km + 4k + 2m + 1) + 3, то есть
rest(o6c, 5) = 3. Далее, о2 = (5q + Ι)2 = 25ς2 + 10g + 1, то есть
02 = 5(5ς2 + 2q) + 1, откуда следует, что rest(a2, 5) = 1. Аналогично,
б3 = (5к + 2)3 = 125Λ3 + 150Λ2 + 60к + 8, то есть, с учетом равенства
8 = 5 · 1 + 3, б3 = 5 · (25Λ3 + ЗОЛ2 + 12к + 1) + 3, откуда следует,
что гев^б3, 5) = 3. Пользуясь формулой бинома Ньютона (а + б)4 =
= о4 +4о36+6о262 +4о63 +64 и замечая, что 44 = 5 -51 +1, мы можем
записать равенство с4 = 5 · t + 1 для некоторого целого числа t (найдите
его самостоятельно!), откуда следует, что rest(c4, 5) = 1. Наконец,
пользуясь предыдущими результатами и замечая, что 17 = 5-3 + 2,
и
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
мы можем утверждать, что 17а21?с4 = (5·3+2)(5·η+1)(5·«+3)(5·ί+1),
n,s,te Ζ. Поскольку 2-1-3-1 =5·1 + 1,το 17о263с4 = 51+1, I £ Ζ,
то есть rest(17o263c4,5) = 1. ■ >
Замечание. Анализ решения приведенной выше задачи позволяет утверждать,
что для нахождения остатка суммы или произведения нескольких целых
чисел О], 02, ..., а„ (а также натуральной степени ак целого числа о) при
делении на данное натуральное число 6 достаточно оперировать известными
остатками rest(o,-,6) чисел о,-, » = 1,2,..., η при делении на 6. Именно,
остаток суммы равен остатку суммы остатков, остаток произведения равен
остатку произведения остатков, остаток степени равен остатку степени
остатка: rest (а! + ... + а„, 6) = rest(rest(ob b) + ... + rest(a„, 6); rest(0]
■ a„, b) = rest(rest(ai, 6) ·... ■ rest(a„, 6), 6); rest(afc, 6) = rest((rest(o, 6))*, 6).
3. Докажите, что любое целое число представимо в виде 5к, или 5к± 1,
или 5к ± 2, к £ Z, причем данное представление единственно.
Решение. Рассмотрим произвольное целое число ζ и разделим его
с остатком на 5. По теореме о делении с остатком, имеет место
соотношение ζ = 5q + r, где ς, γ£Ζ,ηΟ<γ<5. Другими словами,
г 6 {О, 1, 2, 3,4}. Если г = 0, то ζ = 5q + О, то есть, взяв к = q, мы
можем представить ζ в виде 5к, к £ Ζ. Если г = 1, то ζ = 5q + 1, то
есть, взяв к = q, мы можем представить ζ в виде 5к + 1, к £ Ζ. Если
г = 2, то ζ = 5q + 2, то есть, взяв к = q, мы можем представить ζ
в виде 5к + 2, к & Ζ. Если г = 3, то ζ = 5q + 3, или, что то же,
ζ = 5(q + 1) — 2, то есть, взяв к = q + 1, мы можем представить ζ
в виде 5к - 2, к 6 Ζ. Если г = 4, то ζ = 5q + 4, или, что то же,
2 = 5(<7+1)-1,το есть, взяв к = q + 1, мы можем представить ζ
в виде 5к — l,k 6 Ζ. Единственность полученного представления
числа ζ следует из единственности представления числа ζ в виде
ζ = 5q + r, где ς, г 6 Ζ, и 0 < г < 5. >
Замечание. В ходе рассуждений мы показали, что любое целое число
представимо в виде 5к, или 5А + 1, или 5А + 2, или 5А + 3, или 5А + 4, A G Z,
причем указанное представление единственно. Этот факт немедленно следует
из теоремы о делении с остатком.
4. Докажите, что квадрат целого числа не может иметь вид 4Л+2, к 6 Ζ.
Решение. Рассмотрим произвольное целое число ζ и поделим его
с остатком на 4: ζ = 4q + r, 0 < г < 4. Тогда z2 = (4q + г)2 =
= 4(4д2 +2qr) +r2. Если г = 0 или г = 2, то ζ2 имеет вид Ак, к 6 Ζ;
если г = 1 или г = 3, то г2 меет вид 4Л + 1, к 6 Ζ. Таким образом,
квадрат целого числа на может имет остаток два при делении на 4,
то есть не может быть представлен в виде Ак + 2, к 6 Ζ. Обычно
приведенные вычисления принято оформлять в виде табл. la).
§ 1. Теорема о делении с остатком
15
Таблица 1
а) б)
Rest(2,4)
(Rest(^,4))2
rest((Rest(.z,4))2,4)
0
0
0
±1
1
1
2
4
0
rest(.z, 4)
(rest(.z,4))2
rest((rest(.z, 4))2, 4)
0
0
0
1
1
1
2
4
0
3
9
1
Таблица станет еще компактнее (табл. 16)), если воспользоваться
идеей предыдущей задачи и представить произвольное целое число ζ
в виде 4к, или 4к ± 1, или 4А; + 2, к 6 Ζ, заменяя rest(.z,4) 6
{0,1, 2, 3} на Rest(z, 4) 6 {0, ±1, 2} по закону Rest(.z,4) = rest(.z,4) при
Kst(z,4) < 2, и Rest(.z, 4) = rest(z, 4) - 4 при rest(z, 4) > 2. >
5. Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных целых
чисел не может равняться четной степени целого числа.
Решение. Прежде всего заметим, что четная степень любого
целого числа на может иметь вид ЗА; + 2, к 6 Z. Для доказательства
этого факта достаточно представить произвольное целое число ζ
в виде ЗА; или ЗА; ± 1, А; б Ζ, и убедиться, что rest(02m, 3) = 0,
a rest((±l)2m, 3) = 1, то есть число z2m имеет вид 3q или 3q + 1,
q 6 Ζ. Далее, рассмотрим три последовательных целых числа z, z + l
и ζ + 2. Легко убедиться в том, что они имеют различные остатки
при делении на 3, то есть одно из указанных чисел имеет вид ЗА;,
второе — вид ЗА; + 1, а третье — вид ЗА; - 1, А; 6 Ζ: действительно,
если ζ = 3ί, t 6 Ζ, το ζ + 1 = 3ί + 1, а ζ + 2 = 3(ί + 1) - 1; если
ζ = 3ί + 1, t 6 Ζ, το ζ + 1 = 3(ί + 1) - 1, a ζ + 2 = 3(ί + 1); если
ζ = 3ί - 1, t 6 Ζ, το ζ + 1 = 3ί, a ζ + 2 = 3ί -Ι-' 1. Следовательно,
при возведении трех указанных чисел в четные степени мы получим
три целых числа, одно из которых имеет вид 3/, второе — вид 3q + 1,
а третье — вид 35 + 1, q,l,s 6 Ζ. Сумма полученных целых чисел
имеет вид 3(/ + q + s) + 2, то есть дает остаток два при делении на 3,
и, следовательно, не может быть четной степенью целого числа. >
Упражнения
1. Найдите целое частное и остаток от деления:
а) 119 на 5; г) -666 на 13; ж) 60 на 12;
б) -128 на 7; д) 12 345 на 6; з) -225 на 3;
в) 1000 на 11; е) -144 на 7; и) 0 на 77.
16 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
2. Поделите с остатком при га б Ν:
а) 2га2 + 4га + 1 на 2; г) 25га5 + Юга4 - 2 на 5;
б) 15га4 + 9га2 + 2 на 3; д) 12га2 - 24га + 29 на 6;
в) 8га2 + 12га - 3 на 4; е) 21га8 - 35га2 - 44 на 7.
3. Поделите с остатком при га 6 Ν:
а) 4га2 + 7га - 1 на га; в) 6га6 - 18га5 + 3 на 2га;
б) 6га7 + Зга - 2 на га; г) 4га9 + 14га5 + 4 на 2га.
4. Целые числа а, Ь и с дают при делении на га остатки га - 1, га - 2
и га — 3, соответственно. Какие остатки при делении на га дают числа:
а) 5а; г) о2; ж) 4abc; к) abc-2a2tf<?l
б) -76; д) б3; з) об-28с;
в) 9с; е) с4; и) За-56 +8с;
Решите задачу для каждого га 6 {3,4, 5, 6, 7, 8, 9}.
5. Докажите, что любое целое число единственным образом представимо
в виде:
а) 6к, или 6к ± 1, или 6к ± 2, или 6к + 3, к 6 Ζ;
б) 7к, или 7к ± 1, или 7к ± 2, или 7к ± 3, к 6 Ζ;
в) ЮЛ, или 10Л±1,или 10&±2,или 10&±3,или 10fc±4, или 10Λ+5,
к б Ζ;
г) 12к, или 12fc±l, или 12fc±2, или 12fc±3, или 12fe±4, или 12fe±5,
или 12Λ + 6, к 6 Z.
6. Докажите, что квадрат целого числа не может иметь вид:
a)3fc-l; в)5Л + 2; д)6Л + 2;
6)4fc-l; r)5fe-2; e)6fe-l.
7. Докажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть
квадратом целого числа.
8. Докажите, что сумма четных степеней двух нечетных чисел не может
быть кубом целого числа.
t^!m ю ^ ^ asaamm.m,,;:;;,;;;;;,. , „ _«___, Зядячы
1. Для заданного четного натурального числа га, большего двух,
докажите, что любое целое число представимо в виде пк, или пк ± 1, ...,
или пк + га/2, к 6 Z, причем данное представление единственно.
2. Для заданного нечетного натурального числа га, большего
единицы, докажите, что любое целое число представимо в виде пк, или
пк ± 1, ..., или пк ± (га - 1)/2, к 6 Z, причем данное представление
единственно.
§ 2. Отношение делимости
17
3. Докажите, что четная степень целого числа не может иметь вид:
а) 5к ± 2; в) 7к - 2; д) 8jfc ± 2; ж) 8А; + 5;
6)7fc + 3; г) 7fc - 1; e)8fc±3; з) 8Л - 1.
4. Найдите остаток от деления суммы кубов первых га натуральных чисел
на га + 2.
5. Докажите, что среди га последовательных целых чисел одно и только
одно дает данный остаток г, 0 < г < га, при делении на га, га 6 N.
6. На какие цифры не может оканчиваться квадрат целого числа; куб
целого числа?
7. Докажите, что пятая степень любого целого числа оканчивается на ту же
цифру, что и само число.
8. На какую цифру оканчивается сумма квадратов пяти
последовательных целых чисел?
9. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не
представимых в виде суммы квадратов трех натуральных чисел.
§ 2. Отношение делимости
Говорят, что целое число а делится на целое число Ь, Ь Φ О, и пишут
Ь\а, если существует целое число с, такое что а = Ь ■ с. В этом случае Ь
называется делителем а.
1 и —1 делят любое целое число, любое целое число (кроме нуля)
делит само себя, и любое целое число (кроме нуля) делит 0.
Числа, делящиеся на 2, называются четными, числа, не делящиеся
на 2, называются нечетными.
Тривиальными делителями целого числа га называются числа 1, -1,
га и —га. Делитель числа га, отличный от 1, —I, га или —га, называется
нетривиальным делителем п. Положительный делитель числа га, отличный
от га, называется собственным делителем га.
Например, тривиальными делителями числа 6 являются числа ±1
и ±6, нетривиальными делителями числа 6 являются числа ±2 и ±3,
а собственными делителями числа 6 являются числа 1,2 и 3"'.
' Легко видеть, что число 6 равно сумме своих собственных делителей: 6 = 1 + 2 + 3.
Натуральные числа, обладающие указанным свойством, называются совершенными. Таким
образом, 6 — наименьшее совершенное число. Вторым совершенным числом является число
28, третьим — число 496 и четвертым — число 8128.
18
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Свойства отношения делимости
1. Если а\Ь и а\с, то а\(Ь±с), более того, a\(mb + nc) для любых целых
m и га.
2. Если а\Ь и Ь\с, то а\с.
3. Если а\Ь и Ь\а, то а = Ь или а = -Ъ.
4. Если а\Ь, где о, Ь 6 N, то 6 ^ о.
Так, если о|6 и а\с, то δ = ofe, и с = al, k,l £ Ζ. Тогда тб = o(mfe),
гас = a(nl), и mb+nc=a(mk+nl), где mk+nlEZ, to есть o|(m6+rac).
Доказательства остальных свойств аналогичны. Их можно найти,
например, в [28].
Примеры решения задач
1. Докажите, что произведение трех последовательных целых чисел
делится на 3.
Решение. Рассмотрим произвольное целое число ζ и разделим его
с остатком на 3: ζ = 3q + г, где q, г б Z, и 0 < г < 3. Таким образом,
г 6 {0,1,2}. Если г = 0, то ζ = 3q, то есть ζ делится на 3. Если
г = 1, то ζ = 3q + 1, то есть ζ + 2 = 3(q + 1) делится на 3. Если
г = 2, то ζ = 3q + 2, то есть ζ + 1 = 3(q + 1) делится на 3. В каждом
из рассмотренных случаев произведение z(z + \){z + 2) имеет вид
3t, t 6 Ζ, то есть делится на 3. >
2. Докажите, что число о5 + 9а делится на пять при любом целом а.
Решение. Легко убедиться в том, что остаток при делении на 5 пятой
степени целого числа совпадает с остатком при делении на 5
самого числа: rest(05, 5) = 0, rest(l5, 5) = 1, rest(25, 5) = 2, rest(35, 5) =
= rest((-2)5,5) = 3, rest(45,5) = rest((-l)5, 5) = 4. Поскольку остаток
числа 9 при делении на 5 равен 4, то соответствующие остатки числа
9о равны, соответственно, 0,4,3,2 и 1: rest(4-0,5) = 0, rest(4-1,5) = 4,
rest(4 · 3, 5) = 2, rest(4 · 4, 5) = 1. Теперь становится очевидным, что
остаток числа о5+9о при делении на 5 всегда равен 0: rest(0+0,5) = 0,
rest(l +4,5) = 0, rest(2 + 3, 5) = 0, rest(3 + 2,5) = 0, rest(4+ 1,5) = 0.
Впрочем, убедиться в этом еще проще, заметив, что число 9 имеет
вид 5<jf — 1, то есть может быть заменено при проведении операций
с остатками на число « — 1», и, следовательно, вычисления с
остатками сводятся к разности двух одинаковых чисел, что, очевидным
образом, дает ноль. Обычно результаты вычислений принято
оформлять в виде таблицы. В табл. 2 а) мы имеем дело с «классическими»
остатками 0, 1, 2, 3, 4 при делении на 5, в табл. 2 б) — используем
§2. Отношение делимости
19
Таблица 2
а) б)
rest(o, 5)
rest(o5, 5)
rest(9o, 5) = rest(o, 5)
rest(o5 + 9а, 5) = rest(o5, 5)
0
0
0
0
1
1
-1
0
2
2
-2
0
-2
-2
2
0
-1
-1
1
0
rest(o, 5)
rest(o5, 5)
rest(9o, 5)
rest(o5 + 9a, 5)
0
0
0
0
1
1
4
0
2
2
3
0
3
3
2
0
4
4
1
0
более удобные при промежуточных вычислениях величины 0,1,2, —2,
— 1, соответственно.
Таким образом, мы доказали, что при любом целом а величина о5 +9о
дает остаток ноль при делении на 5, то есть делится на 5. >
3. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.
Решение. Замечая, что нечетные числа имеют вид 8к ± 1 или 8Л ± 3,
к 6 Z, мы легко убеждаемся в том, что квадраты нечетных чисел
всегда имеют вид 8ί + 1, t 6 Ζ, то есть дают остаток 1 при делении
на 8: rest((±l)2, 8) = 1, и rest((±3)2, 8) = 1. Очевидно, что разность
двух чисел указанного вида имеет остаток 0 при делении на 8, то есть
делится на 8. >
4. Докажите, что ab делится на 49, если о2 + Ь2 делится на 7.
Решение. Прежде всего выясним, какие остатки при делении на 7
могут давать квадраты натуральных чисел.
Из табл. 3 следует, что возможные остатки принадлежат множеству
{0,1, 2,4}. Теперь выясним, какие остатки при делении на 7 может
давать сумма квадратов двух целых чисел.
Из табл. 4 следует, что сумма квадратов двух целых чисел может давать
при делении на 7 любой остаток, кроме остатка 3, однако остаток О,
то есть делимость на 7, имеет место только в случае, когда каждое
из слагаемых имеет остаток ноль при делении на 7, то есть только
тогда, когда и о2, и б2 делятся на 7. В свою очередь, квадрат целого
числа делится на 7 только в том случае, когда само число делится на 7
(см. табл. 2 а), 26)). Таким образом, если величина о2 + б2 делится
Таблица 3
Rest(o, 7)
rest(o2,7)
0
0
1
1
2
4
3
2
-3
2
-2
4
-1
1
20
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Таблица 4
rest(o2, 7)\rest(62, 7)
0
1
2
4
0
0
1
2
4
1
1
2
3
5
2
2
4
4
6
4
4
1
6
1
на 7, то а = 7га и Ь = 7Л, га, Л 6 Z, и, следовательно, об = 49rafe,
rafe 6 Ζ, то есть об делится на 49. >
Упражнения
1. Докажите, что:
а) произведение двух последовательных целых чисел делится на 2;
б) произведение четырех последовательных целых чисел делится на 4;
в) произведение пяти последовательных целых чисел делится на 5;
г) произведение га последовательных целых чисел делится на га, га 6 N.
2. Докажите, что для любого целого о:
а) о10 - 9о + 8 делится на 2; г) о7 - о - 56 делится на 7;
б) о5 + Зо3 - 12 делится на 4; д) о5 - 17а3 + 24 делится на 8;
в) о3 - Та + 18 делится на 6; е) о9 + 17а3 - 18 делится на 9.
3. Докажите, что:
а) разность четных степеней двух нечетных чисел делится на 4;
б) сумма кубов двух последовательных нечетных чисел делится на 4;
в) разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8;
г) сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 3.
4. Докажите, что:
а) 5аЬ делится на 45, если а6 + Ьв делится на 3;
б) АаЬ делится на 100, если а8 + bs делится на 5;
в) 2аЬ делится на 98, если а4 + б4 делится на 7;
г) ЪаЬ делится на 363, если а2 + Ь2 делится на 11.
™™». ——«w— —_—, Заданы
1. Докажите, что га · (га2 + I) · (га2 +4) делится на 5 при любом целом га.
2. Докажите, что целое число а не может быть квадратом целого числа,
если число а - 5 делится на 9.
§ 3. Простые и составные чиспа
21
3. Докажите, что (га - 5)/15 и (га - 6)/24 не могут быть одновременно
целыми числами.
4. Докажите, что abc делится на 3, если о3 + Ь3 + с3 делится на 9.
5. Докажите, что 7"+2 + 82п+| делится на 3 при любом целом
неотрицательном га.
6. Докажите, что 52п+| · 2"+2 + Зп+2 · 22п+| делится на 19 при любом
целом неотрицательном га.
7. Докажите, что при любом натуральном га:
а) 2п+2 + 2п+| +2" делится на 14; в) 52η+ι +3η+2·2η-' делится на 19;
б) 72п -42п делится на 33; г) 122п+| +11п+| делится на 133.
8. Докажите, что (х - у)5 + (у - ζ)5 + (ζ - χ)5 делится на 5, на χ - у,
на у — ζ и на ζ — χ, если x,y,z — попарно различные целые числа.
9. Докажите, что при любом целом о:
а) а3 — а делится на 3; б) о5 — а делится на 5; в) о7 — а делится на 7.
Нельзя ли обобщить эти результаты?
§ 3. Простые и составные числа
Натуральное число ρ называется простым, если оно имеет ровно два
натуральных делителя (а именно, 1 и р).
Множество простых чисел принято обозначать символом Ε Первые
30 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ЮЗ, 107, 109 и 113.
Натуральное число га называется составным, если оно имеет более двух
натуральных делителей. Множество составных чисел принято обозначать
символом S. Первые 30 составных чисел: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,
20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45.
Из определения следует, что любое составное число га можно представить
в виде га = об, где 1 < а < Ь < га: взяв наименьший натуральный делитель а
числа га, отличный от самого га и от 1, мы получим, что га = об, где,
в силу выбора о, второй множитель Ь — натуральное число, меньшее п,
но большее или равное о. (Для уточнения деталей см., например, [3].)
Таким образом, любое натуральное число либо простое, либо
составное, либо равно 1. Другими словами, N = PUSU{1}.
Хорошо известно, что любое натуральное число га, большее 1, имеет
простой делитель. Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть
наименьший натуральный делитель га, отличный от 1. (см. [3], [28]).
22
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Около двух тысяч лет назад Евклид доказал, что множество
простых чисел бесконечно: предположив, что множество простых чисел
конечно, и что Ρ = {рьр2,... ,Pk} — все простые числа, он построил число
Ε = pi · pi ■... · Pk + 1 и рассмотрел простое число р, делящее Е. Легко
видеть, что число ρ не может совпадать ни с одним из чисел Р\,рг,... ,Рь,
так как иначе ρ должно делить разность Е~р\ ·ρ2·. -'Pk = U что
невозможно. Таким образом, ρ — простое число, не попавшее в вышеприведенный
список, то есть множество простых чисел не может исчерпываться
числами р,,р2, ··· ,Р*·
Простейший метод нахождения всех простых чисел на данном
интервале был предложен греческим математиком Эратосфеном. Он называется
решетом Эратосфена и состоит в следующем. Рассмотрим
последовательность 2, 3,4, 5,... натуральных чисел, больших единицы. Так как 2 является
первым простым числом, р\, вычеркнем из нашей последовательности все
числа, большие р\ и делящиеся на р\, то есть, начиная с 2, каждое
второе число таблицы — они заведомо составные. Первое из оставшихся
чисел 3 — второе простое число, р2. Вычеркнем все числа, большие р2
и делящиеся на р2, то есть, начиная с 3, каждое третье число таблицы.
Первое из оставшихся чисел 5 — третье простое число, рз, и т. д. Следуя
указанной схеме, мы получаем р, = 2, р2 = 3, рз = 5, р4 = 7, Рь = И,
• · ·, Ριοοο = 7917, ..., Рбоооооо = 104 395 301, ... Здесь символ р„
обозначает га-е простое число.
Существует много других возможностей определить, является ли
данное натуральное число простым. Классический тест такого рода
основывается на следующем утверждении: если га является составным числом, то
оно имеет простой делитель ρ < χ/η. Действительно, составное η обладает
нетривиальным натуральным делителем а £ {1,га}, то есть представимо
в виде η = ab, 1<о<6<га. При этом а < у/п, так как в противном
случае мы получаем противоречие: поскольку а > \/п и Ь > а, то Ь > у/п,
откуда следует, что η = а · Ь > \/п ■ у/п = га, то есть га > га.
Поскольку а — натуральное число, большее единицы, то оно обладает простым
делителем р. При этом, с одной стороны, делитель ρ числа а является
делителем га, и, с другой стороны, ρ < а < у/п. Таким образом, мы
нашли для составного числа га его простой делитель р, удовлетворяющий
условию ρ < \/га.
Представление га = р"' · ... · р?' натурального числа га, большего
единицы, в виде произведения натуральных степеней различных простых
чисел р\, ■.., ps называется каноническим.
Фундаментальная теорема арифметики утверждает, что любое
натуральное число, большее 1, можно, причем единственным образом (с точностью до
порядка сомножителей), представить в виде произведения простых чисел.
§ 3. Простые и составные чиспа 23
Доказательство существования такого разложения тривиально: любое
натуральное число га, большее 1, обладает простым делителем ρ
(рассмотрите наименьший натуральный делитель числа га, отличный от единицы).
Таким образом, га = рк, где к 6 Ν, и к < га. Если к = 1, то искомое
разложение получено: га = р. Если Л > 2, то оно обладает простым
делителем q: к = gm, где m 6 Ν, и m < к. Если m = 1, то искомое разложение
получено: η = pq. Если нет, то мы продолжаем рассуждения.
Поскольку убывающая последовательность натуральных чисел га > к > т > ...
конечна, то мы получим разложение числа га на простые множители
после конечного числа шагов. Доказательство единственности указанного
разложения несколько более сложно. Предположим, что существуют
натуральные числа, обладающие несколькими разложениями на простые
множители. Предположим, что гао — наименьшее натуральное число,
обладающее несколькими разложениями на простые множители, и рассмотрим
два таких разложения числа га0: щ = Р\ · Рг · ■ ■ ■ · р$ = <7ι · qi · · ■ ■ · 9*. где
Р«> Qj 6 P> 1 < г < s, 1 < j < к. Не ограничивая общности рассуждений,
будем считать, что р\ — наименьшее из всех рассматриваемых простых
чисел: р\ < р,· и р\ < qj для всех 1 < t < в, 1 < j < к. Нетрудно
убедиться и в том, что ρι φ qj для всех 1 < j < к. Действительно, если,
например, р\ = q\, то мы получим два различных разложения на
простые множители числа ra0/Pi: ra0/pi = pi · ■. .· ps = qi · ■ ■ ■ · 9t· Поскольку
щ/Ρι < Щ, то мы получаем противоречие: число гао — минимальное
натуральное число, обладающее несколькими разложениями на простые
множители. Таким образом, р\ <q\, и, поделив простое число q\ с
остатком на простое число р\, мы получим равенство q\ = р\ · q + г, где
q, г 6 Z, и 0 < г < pi. Заметим, что, в силу простоты чисел р{ ид,,
остаток г не может быть равен нулю. Следовательно, мы получаем
равенство Pi · pi ·... · ps = (р\ · q + г) · qi ■ ■ ■ ■ ■ qk или, что то же, равенство
P\(pr---ps-qqr-.qk) = r-q2··.· qk- Пусть R = r-qr- ·■ qk- Поскольку
О < г < <7ι, то R — натуральное число, меньшее щ, и, следовательно,
обладает единственным разложением на простые множители.
Поскольку pi делит Л, то pi должно входить в данное разложение на простые
множители. Однако р( φ qi, ■ ■., Ρ\ φ qk, откуда следует, что р{ входит
в разложение на простые множители числа г, то есть делит г. Поскольку р\
и г — натуральные числа, то мы получаем соотношение р\ < г, что
приводит нас к противоречию с полученным ранее неравенством г <Р\. Таким
образом, сделанное нами предположение о существовании натуральных
чисел, обладающих несколькими разложениями на простые множители,
привело нас к противоречию. Утверждение теоремы полностью доказано.
Эти и многие другие факты теории простых чисел можно найти,
например, в [3], [12], [21], [25], [28], [37] и др.
24
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
Примеры решения задач
1. Разложите на простые множители число 495; число ΙΟΙ.
Решение. Для разложения числа 495 на простые множители
проверим делимость данного числа на простые числа, не превосходящие
\/495: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Легко видеть, что число 495 не делится
на 2, но делится на 3: 495 = 3 · 165. Далее, число 165 делится на 3:
165 = 3 · 55. В свою очередь, число 55 делится на 5: 55 = 5 · 11. Таким
образом, мы получили разложение числа 495 на простые множители:
495 = З2 - 5 -11. Для разложения числа 101 на простые множители
проверим делимость данного числа на простые числа, не превосходящие
\/101: 2, 3, 5 и 7. Легко видеть, что число 101 не делится ни на одно
из указанных простых чисел, то есть само является простым. >
2. Докажите, что всякое простое число р, большее трех, представимо
в виде 6<7 ± 1, q 6 N.
Решение. Пусть ρ — простое число. По теореме о делении с
остатком, ρ = 6к + г, где к, г 6 Ζ, причем 0 < г < 6. Таким образом,
г 6 {0, 1, 2, 3,4, 5}. Если г = 0, то ρ = вк, и, следовательно, ρ
делится на 2 и на 3, что дает противоречие с определением простого числа.
Если г = 1, то ρ = вк +1, причем к — число натуральное в силу того,
что ρ > 1. Если г = 2, то ρ = 6к + 2, и, следовательно, ρ делится на 2,
что возможно для простого ρ только в случае его совпадения с числом
2. Если г = 3, то ρ = 6к + 3, и, следовательно, ρ делится на 3, что
возможно для простого ρ только в случае его совпадения с числом 3.
Если г = 4, то ρ = 6к+4, и, следовательно, ρ делится на 2 и не равно
2 (почему?), что дает противоречие с определением простого числа.
Если г = 5, то ρ = 6к + 5 или, что то же, ρ = 6(к + 1) — 1, причем
к + 1 — число натуральное в силу того, что ρ > 1. Таким образом,
мы доказали, что любое простое число р, большее трех, представимо
в виде 6<7 ± 1, q 6 N. >
Замечание. В процессе рассуждений мы доказали, что любое простое число
либо равно 2, либо равно 3, либо имеет вид 6 А + 1, к 6 N, либо имеет вид 6q — 1,
q G N. Этот факт часто используется при решении задач.
3. Найдите все ρ 6 Ρ, для которых р + 10, р+14бЕ
Решение. Как было показано в ходе решения предыдущей задачи,
любое простое число либо равно 2, либо равно 3, либо имеет вид
6к+1, к € Ν, либо имеет вид 6q-l, q 6 N. Если ρ = 2, то р+10 = 12,
то есть ρ + 10 £ Р. Если ρ = 3, то ρ + 10 = 13, и ρ + 14 = 17, то есть
ρ+10,ρ + 14 6 Ρ Еслир = 6Л+1,Л 6 Ζ, то р+14 = 6к+ 15, или, что
то же, ρ +14 = 6(к + 2) + 3, то есть р+14 делится на 3 и не равно 3, а,
§3. Простые и составные чиспа
25
следовательно, является составным числом: р+14 £ Ε Наконец, если
ρ = 6д-1,<7 6 Ζ, то р+10 = 6<7+9,или, что тоже, р+10 = 6(fc+l)+3,
то есть р+10 делится на 3 и не равно 3, а, следовательно, является
составным числом: р+10 £ Ε Таким образом, числа р, р+10 и р+14
являются простыми одновременно только при ρ = 3. >
4. Докажите, что сумма квадратов трех,простых чисел, больших трех,
есть число составное.
Решение. Как было показано ранее, любое простое число р, большее
трех, имеет вид 6q ± 1, q 6 N. В каждом из этих случаев квадрат
простого числа ρ имеет вид 6< + 1, t 6 Ν: (6А; ± Ι)2 = 36А:2 ± 12k + 1 =
= 6(6fc2±2fc) +1. Таким образом, сумма квадратов трех простых чисел,
больших трех, имеет вид 6т + 3, т 6 N, и, следовательно, делится
на три и не равно трем, то есть является составным числом. >
5. Найдите все натуральные га, для которых 8" - 1 — простое число.
Решение. Поскольку для любых целых чисел а и Ь и для любого
натурального числа га имеет место тождество а" - Ьп = (а - δ)(α"_ι +
+οη-26+...+ο6η-2+6η-|),το8η-1=(8-1)·(8η-|+8η-2 + ... + 8+1),
или, что то же, 8" - 1 = 7К, где К 6 N. Следовательно, число 8" - 1
делится на 7 для любого натурального га. При этом если га = 1, то
8" - 1 = 7, то есть является простым числом. Если же га > 1, то 8" - 1
делится на 7 и не равно семи, то есть является числом составным.
Таким образом, 8" - 1 6 Ε только при га = 1. >
6. Докажите, что для любого натурального га число 32" + 1 является
составным.
Решение. Поскольку для любых целых чисел а и Ь и для
любого нечетного натурального числа га имеет место тождество о" + 6" =
= (о+6)(fln-'-fln-26+...-oft"-2+&"-'), то 32" + 1 = (2П)5 + 1 =
= (2" +1) ■ (24п - 23п + 22п - 2" +1), или, что то же, 32" +1 = (2n + \)L,
где L 6 N. Следовательно, число 32" +1 делится на 2" +1 для любого
натурального га. При этом натуральное число 2" + 1 является
нетривиальным делителем большего единицы натурального числа 32" + 1,
поскольку 2" + 1 φ 1 и 2" + 1 Φ 32" + 1. Таким образом, для любого
натурального га число 32" + 1 является составным. >
7. Может ли сумма пяти последовательных целых чисел быть простым
числом?
Решение. Сумма пяти последовательных целых чисел ζ, ζ + 1,...,
ζ + 4 имеет вид 5ζ + (0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 5(ζ + 2), или, что то же,
вид 5q, где q 6 Ζ. Следовательно, данная сумма делится на 5 и может
быть простым числом только в случае совпадения с 5. Это возможно
26
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
только при <7 = 1, или, что то же, при ζ = —1, то есть искомыми
последовательными целыми числами являются числа — 1, 0, 1, 2, 3. >
8. При каких натуральных га число га4 + 4 является простым числом?
Решение. Легко убедиться в том, что га4 + 4 = (га4 + 4га2 + 4) — 4га2 =
= (га2 + 2)2 - (2га)2 = (га2 + 2 - 2га) · (га2 + 2 + 2га). Если га = 1, то
данное разложение на множители тривиально: 5 = 1 · 5. Если га > 1,
то 1 < га2 + 2га + 2 < га4 + 4, откуда следует, что га4 + 4 обладает
нетривиальным натуральным делителем га2 + 2га + 2 и, следовательно,
является составным числом. Таким образом, число га4 + 4 является
простым при га = 1 и представляет собой составное число при всех
натуральных га, больших единицы. Это утверждение называют теоремой
Софи Жермен. >
9. Докажите, что любое натуральное число вида 6к - 1, к 6 Ζ, имеет
простой делитель того же вида. Верно ли аналогичное утверждение
для натуральных чисел вида 6к + 1, к 6 Ζ?
Решение. Пусть ζ — натуральное число вида 6к - 1, к 6 Ζ. Пусть
ζ = Р\ · Р2 · ■ ■ ■ · ps — разложение числа ζ на простые множители.
Поскольку ζ нечетно, то среди его простых делителей Р\,рг,..· ,р$
нет числа 2. Поскольку ζ не делится на 3, то среди его простых
делителей Ρ\,Ρι, ■■■ ,Ps нет числа 3. Таким образом, каждое из простых
чисел P\,Pi,··· ,ps имеет вид 6q ± 1, q 6 N. Если каждое из
чисел Ρι,Ρ2,... ,ps имеет вид 6q ± 1, q 6 Ν, то есть р, = 6д( + 1,
..., ps = 6qs + 1, то их произведение также имеет вид 6д + 1:
(6<?1 + 1) · ... · (6qs + 1) = 6q + 1. Это приводит нас к
противоречию — число ζ не может быть одновременно представимо как в виде
6к - 1, к 6 Ζ, так и в виде 6q + 1, q 6 N. Таким образом, хотя бы
одно из чисел р\,..., ps должно иметь вид 6к - 1, к 6 N, и,
следовательно, натуральное число ζ вида 6к~ 1, к 6 Ζ, обязательно обладает
простым делителем того же вида. Аналогичное утверждение не имеет
места для натуральных чисел вида 6к + 1, к 6 Ζ. Например, число 55
имеет вид 6к + 1, к 6 Ζ, однако оба его простых делителя, 5 и 11,
имеют вид 6<7 - 1, q 6 N. >
10. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида
6*-1, *6N.
Решение. Предположим, что множество простых чисел вида 6к — 1
конечно, и что Рб*-1 = {РьР2> ··· >Р*} — все простые числа
указанного вида. Построим натуральное число Ε = вр\ ■ pi ■ ■.. ■ ρ* - 1.
Поскольку оно имеет вид 6к — 1, к 6 Ζ, то, в силу утверждения
предыдущей задачи, оно обладает простым делителем ρ того же
§3. Простые и составные числа
27
вида. Легко видеть, что число ρ не может совпадать ни с одним
из чисел Р\,р2,■■■ ,Pk, так как иначе ρ должно делить разность
Ε - 6ρι · Р2 · ·.. · Рк = 1, что невозможно. Таким образом, ρ —
простое число вида 6к — 1, не попавшее в вышеприведенный список, то
есть множество простых чисел вида 6к — 1 не может исчерпываться
числами РьР2,... ,р*. >
Упражнения
1. Разложите на простые множители числа:
а) 5472; в) 8250; д) 14125; ж) 25 750;
6)6624; г) 8775; е) 19 392; з) 34800.
2. Докажите, что всякое простое число р, большее двух, представимо
в виде 4q± 1, q 6 Ν.
3. Докажите, что всякое простое число р, большее трех, представимо
в виде 12^ ± 1 или I2q ± 5, q 6 N.
4. Найдите все ρ 6 Ρ, для которых ρ + 5, ρ + 11 6 Ε
5. Найдите все ρ 6 Ρ, для которых ρ4 + 15 6 P.
6. Докажите, что сумма квадратов двух нечетных простых чисел есть
число составное.
7. Докажите, что сумма квадратов четырех нечетных простых чисел есть
число составное.
8. Найдите все натуральные га, для которых:
а) 3" - 1 6 Р; в) 12" - 1 6 Р;
б) 6" - 1 6 Р; г) 18" - 1 6 Р.
9. Докажите, что для любого натурального га:
а) 8" + 1 6S; в) 125" +8 6 S;
б) 64" + 1 б S; г) 32" + 243 6 S.
10. Может ли быть простым числом сумма трех последовательных целых
чисел; сумма четырех последовательных целых чисел; сумма шести
последовательных целых чисел; сумма семи последовательных целых чисел?
11. При каких натуральных га число га4 + га2 + I является простым?
12. При каких натуральных га число га4 + 64 является составным?
13. Докажите, что любое натуральное число вида 4к - I, к 6 Z, имеет
простой делитель того же вида. Верно ли аналогичное утверждение
для целых чисел вида Ак + I, к б Z?
14. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида
4*-1, *6N.
28 Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
™ _»_, ν «..«—„ — ——~М^вчи
1. Составьте таблицу простых чисел р, 100 ^ ρ < 200.
2. Составьте таблицу простых чисел р, 400 < ρ < 500.
3. Найдите все тройки ρ, ρ + 2, ρ + 4 последовательных нечетных
простых чисел.
4. Существуют ли четверки ρ, ρ + 2, ρ + 4, ρ + 6 последовательных
нечетных простых чисел?
5. Может ли сумма к последовательных нечетных чисел быть простым
числом?
6. На какую цифру не может оканчиваться простое число в десятичной
системе счисления?
7. Докажите, что всякое простое число р, не равное 2 и 5, представимо
в виде Юк ± I или Юк ± 3, к 6 N.
8. Найдите все натуральные о и га, для которых га4 + 4о4 — составное
число.
9. Найдите все натуральные га, для которых 22п — I — простое число.
10. Найдите все простые р, для которых 7р2 + 8 — простое число.
11. Для каких простых ρ число ρ + 4 является квадратом целого числа?
12. Найдите все простые числа р, для которых 2р + I является кубом
целого числа.
13. Докажите, что если ρ и 2р - I — простые числа, большие трех, то
ρ — I делится на 6.
14. Найдите все числа р, для которых каждое из шести чисел ρ, ρ + 2,
ρ + 6, ρ + 8, ρ + 12, ρ + 14 является простым.
15. Докажите, что для любого натурального га число (га + I)! + 2 является
составным.
16. Докажите, что в натуральном ряду существуют сколь угодно длинные
промежутки, не содержащие простых чисел.
17. Докажите, что 61! + 1 имеет простой делитель ρ > 66.
18. Докажите, что если простое число ρ является делителем числа 100! +101,
то ρ > ЮЗ.
19. Докажите, что разложение натурального числа га в произведение
простых чисел содержит не более log2 га множителей.
20. Пусть га — нечетное натуральное число. Докажите, что в
разложении га на простые множители не более log3 га множителей.
21. Докажите, что р„ < 22" , где р„ — га-е простое число.
22. Если числа ρ и ρ + 2 являются одновременно простыми, то пара
(ρ, ρ + 2) называется парой простых-близнецов. Укажите все пары
(ρ, ρ + 2) простых-близнецов, для которых:
§4. НОДи НОК
29
а) р < 100; в) 100 < ρ < 150;
б) 100 < ρ < 150; г) 200 < ρ < 250.
23. Какой остаток от деления на 12 дает сумма двух простых-близнецов,
если меньшее из них больше 3?
24. Пусть (р, q) — пара простых-близнецов. Докажите, что либо 6\(q- 1),
либо (p,q) = (3,5).
25. Найдите все пары простых-близнецов, в которых одно из чисел
есть число Мерсенна М„ = 2" - 1, η 6 Ν, а второе — число Ферма
Fn = 2r + 1, n6NU{0}.
§4. НОДи НОК
Наибольший общий делитель (αϊ,..., α„) целых чисел О],..., о„,
хотя бы одно из которых не равно нулю, есть наибольшее целое число,
делящее каждое из чисел а,\,... ,ап.
Наименьшее общее кратное [а{,... ,а„] целых чисел а\,... ,ап, каждое
из которых не равно нулю, есть наименьшее натуральное число, делящееся
на каждое из чисел а,\,... ,ап.
Например, (4,-6) = 2, так как множество общих делителей чисел
4 и —6 имеет вид {—2,-1, 1,2}, и его наибольший элемент равен 2.
Аналогично, [4,-6] = 12, так как множество общих кратных чисел 4
и -6 имеет вид {...,-36,-24,-12,12,24,36,...}, и его наименьший
натуральный элемент равен 12.
Свойства НОД и НОК
ι- (ρΓ·Ρ22··-··ρ?'.Ρι'·^·.·.·ρ?')=ρ!'·ρΓ-····ρΙ'.Κ'·ρ^·····
Ρ?'.Ρ?'·Ρ22·····Ρ?Ί =ΡΪ'·Ρ22•■■••Pi', где α,,/3,- ^ 0, ъ = min{a,·, β,},
и <?,· = max{at·,/3,·}, г = 1,2,... ,s.
2. Каждый общий делитель чисел а и Ь делит (о, Ь).
3. Каждое общее кратное чисел а и Ь делится на [а, Ь].
4. Если (о, b) = d, то существуют целые числа ж и у, такие что ax+by = d.
а
5. Если а\Ьс, и (a, b) = d, то -|с.
6. (та, тЪ) = т(а, Ь) для любого т 6 N.
7. Если т\а и т\Ь, где т 6 N, то (о/т, Ь/тп) = (а, Ь)/тп.
8. Если а 6 Z, 6 6 N, и 6|о, то (о, 6) = Ь.
9. Если целые числа а, Ь, с, к связаны соотношением а = Ьк + с, то
(а,Ь) = (Ь,с).
30
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
10. (а + mb, Ь) = (а, Ь) для любого т 6 Z.
11. (а, Ь) · [а, Ь] = ab для любых а, Ь 6 N.
Доказательство первого утверждения основано на том, что любой
общий делитель чисел а = Π<=ι рТ и 6 = Π<=ι Pi'> где °Ч> βί ^ 0, имеет вид
± Пг=1 рТ > где 0 < »/,· ^ min{at·, /3,·}, в то время как любое общее кратное
этих чисел имеет вид ±Π<=ιΡ<'> гДе #< ^ тах{а,-,/3,·}. Для
доказательства свойства 9 рассмотрим множество М0>(, общих делителей чисел о и 6
и множество М^с общих делителей чисел бис. Докажем, что эти
множества совпадают. Действительно, если χ б Maj, то х\а и ж|6, а значит, ж|с
в силу равенства о = Ьк + с, то есть ж б М^с. Аналогичные рассуждения
позволяют утверждать: если у 6 M(,jC, то у 6 Μα$. Итак, множества M0j(,
и Мьс совпадают, а, следовательно, совпадают и их наибольшие
элементы, то есть (о, Ь) = (Ь, с). Доказательства остальных свойств можно найти,
например, в [3], [28].
примеры решения задач
1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
чисел: 15, -12, 3.
Решение. Рассматривая множества {±1, ±3, ±5, ±15}, {±1,±2, ±3,
±4, ±6, ±12} и {±1, ±3} делителей чисел 15, —12 и 3,
соответственно, мы убеждаемся в том, что наибольший общий делитель указанных
чисел равен 3. Рассматривая множества {±15, ±30, ±45, ±60,. .},
{±12,±24, ±36, ±48, ±60,...} и {±3, ±6, ±9,..., ±60,...} кратных
чисел 15, —12 и 3, соответственно, мы убеждаемся в том, что
наименьшее общее кратное указанных чисел равно 60. >
2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
чисел 1500, -1224, -1440.
Решение. Для решения задачи разложим каждое из чисел 1500, 1224
и 1440 на простые множители. Легко убедиться в том, что 1500 =
= 22 · 3 · 53, 1224 = 23 · З2 · 17, и 1440 = 25 · З2 · 5. Другими словами,
(1500,-1224, -1440) = (1500,1224,1440) = (22·3'·53·17°, 23·32·5°·17',
25·32·5" · 17°). Выбирая минимальные значения показателей входящих
в разложения простых чисел, мы получим, что (1500, -1224, -1440) =
= 22 · З1 · 5° · 17° = 22 · 3 = 12. Аналогично, [1500, -1224, -1440] =
= [22·3'·53· 17°, 23·32·5°· 17", 25·32·5'· 17°], и, выбирая минимальные
значения показателей входящих в разложения простых чисел, мы
получим, что [1500,-1224, -1440] = 25 ■ З2 ■ 53 · 171 = 612 000. >
§4. НОДи НОК
31
3. Сократите дробь 1224/1440.
Решение. Для решения задачи найдем (1224, 1440). Как было
показано ранее, 1224 = 23 · З2 ■ 17, и 1440 = 25 · З2 · 5. Другими словами,
(1224, 1440) = (23 · З2 · 5° ■ 17\25 · З2 ■ 51 · 17°) = 23 · З2 = 72. Тогда
1224/1440 = 17/22 · 5 = 17/20. >
4. Приведите дроби 1/1224, 7/1500 и —13/1440 к наименьшему общему
знаменателю и найдите их сумму.
Решение. Для решения задачи вспомним, что
[1224,1500, 1440] = 25 · З2 · 53 · 171 = 612 000.
Тогда
1 22·53 _ 600 7 _ 23 · 3- 7 · 17 2856
Ϊ224 =25·32·53·17 = 612000' Ϊ500 ~~ 25 · З2 · 53 · 17 = 612000'
11 3 · 52 · 13 · 17 14025
~Ш0~ 25 · З2 - 53 · 17 ~~ 612000'
Следовательно,
1 7 13 600 + 2856-14025 10569
+ ■
1224 1500 1440 612000 612000
3·13-271 13-271 3523
25·32·53·17 25 · 3·53·17 204000'
5. Докажите, что (а, Ь) · [а, Ь] = аЬ для любых а, Ь 6 N.
Решение. Пусть а = р"1 ·... · р"', и Ь = р,' ·... · jps', где р{,..., ps —
различные простые числа, а αϊ, β\,..., as, β$ — целые
неотрицательные числа. Тогда, с одной стороны, а ■ Ь = р"' ' ·... ·ρ? '. С другой
стороны, (а,Ь) = pfnia""'> · ... .psmin{a'A}, [а,Ь] = ρ™{β,ΑΪ ■ ... ■
тях{а„р,} и / j\ r ^i _ max{ai,A}+min{a,,^i} η\Λχ{α.β.}+η\ίη{α.,β.}
Поскольку имеет место очевидное соотношение max{a,/3}+min{a,/3} =
=α+β, το (о, b) · [a, b] = об. >
Упражнения
1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
чисел:
а) 10, 5 и -20; в) 1200 и -396; д) 288, 336 и -1220;
б) 14, -21 и -7; г) 8888 и -666; е) 48, 999 и 1580.
32
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
2. Сократите дроби:
а) 540/546; в) 1725/2295; д) 2002/1980;
б) -1224/1440; г) -2431/3025; е) -819/1690.
3. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю и найдите их
сумму:
а) 1/210, 3/100, 13/294; в) 5/297, 13/396;
б) 1/1224, 7/1500, -13/1440; г) 7/1625, -11/2925.
4. Докажите, что (то, тЬ) = т(а, Ь) для любого т € N.
5. Докажите, что если т\а и т\Ь, где т 6 N, то (а/т, Ь/т) = (а, Ь)/т.
Задачи
1. Сократите дроби:
а) 1200/3690; в) -3267/65219; д) 12348/1456;
б) -9999/100002; г) -3042/1716; е) -6048/9072.
2. Приведите дроби 1200/3690, 9/100002, 1/1224 и 7/1500 к общему
знаменателю.
3. Найдите натуральное число с, если с = (735, Ь), где Ь = (1050, 80).
4. Найдите натуральные числа тип, сумма которых равна 20, а (т, га) = 5.
5. Найдите НОД чисел 11 111 111 и J11 ...... 111.
сто единиц
6. Докажите, что для любых целых чисел Οι, аг,..., а„, хотя бы одно
из которых отлично от нуля, существует наибольший общий делитель.
7. Докажите, что что для любых целых чисел О], θ2,..., о„, хотя бы одно из
которых отлично от нуля, (αϊ, аг,... ,α*, 0,0,... ,0) = (flj, a2,... ,а*).
8. При любом натуральном η найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) га3 + 11га и 6; в) га5 + 4га и 10;
б) (га2 - 1) · га2 · (га2 + 1) и 60; г) га5 - 5га4 + 4га и 10.
9. Докажите, что [1, 2,..., га, га + 1,..., 2га] = [га + 1,..., 2га].
10. Чему может быть равно наименьшее общее кратное трех
последовательных натуральных чисел?
11. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 и 10.
12. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее
остаток I при делении на каждое из чисел 2, 3,4, 5,6.
13. Докажите, что abc = [а, Ь, с](об, ас, be), если а, Ь, с 6 N.
§ 5. Алгоритм Евклида
33
14. Какое наименьшее число студентов могло сдавать экзамен при
условии, что четырнадцатая часть из них получила оценку
«неудовлетворительно», 75% — «удовлетворительно», 15% — «хорошо» и не менее
пяти человек — «отлично» ?
15. В депо было сформировано 2 поезда из одинаковых вагонов:
первый — на 456 пассажиров, второй -^ на 494 пассажира. Сколько
вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов
не превышает 30?
§5. Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида — алгоритм для определения наибольшего общего
делителя двух чисел путем последовательного применения теоремы о
делении с остатком.
Именно, для любого целого а и любого натурального Ь, не делящего а,
наибольший общий делитель чисел aub равен последнему ненулевому остатку
rs следующего алгоритма:
a = bqi+ri, 0<r\<b, b = r\q2 + r2, 0<Г2<гь
rs-2 = rs-iqs+rs, 0<rs<rs_i, rs_i =rsqs +0,
где qi, г, 6 Ζ, г = Ι,2,..., s. Другими словами, наибольший общий делитель
чисел aub (о 6 Ζ, 5 £ Ν, J t о) равен последнему ненулевому остатку
алгоритма Евклида, записанного для этих чисел.
Действительно, пользуясь свойством 9 предыдущего параграфа, мы
можем утверждать, что (а, Ь) = (Ь, г\) = (гь г2) = (rs_2, rs_i) = (rs-b rs),
в то время как (rs_i,rs) = rs по свойству 8 предыдущего параграфа.
При этом наличие хотя бы одного ненулевого остатка обеспечивается
условием b \ а, в то время как существование последнего ненулевого
остатка (то есть конечное число шагов алгоритма) следует из того факта,
что числа η, Γ2, ..., rs образуют строго убывающую последовательность
Ь > г\ > Г2 > · · · > rs > 0 натуральных чисел, которая заведомо конечна.
(См., например, [3], [28].)
Например, алгоритм Евклида для чисел 1071 и 1029 имеет вид 1071 =
= 1029 · I + 42, 1029 = 42-24 + 21, 42 = 21 · 2 + 0, и мы получаем, что
(1071, 1029) =21.
Алгоритм Евклида является одним из старейших известных
алгоритмов. Он встречается в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры.
Евклид формулировал проблему геометрически, как задачу нахождения
общей «меры» для двух отрезков, и его алгоритм состоял в
последовательном вычитании меньшего отрезка из большего. Однако вероятно, что
34
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
алгоритм не был открыт Евклидом, а появился почти на 200 лет раньше.
Он был, скорее всего, известен Евдоксу (около 375 года до нашей эры);
Аристотель (около 330 года до нашей эры) упоминал о нем в своих трудах.
Этот алгоритм может быть использован на любом множестве, где
возможно деление с остатком. Такие множества включают в себя кольца
многочленов над полем, кольцо целых чисел Гаусса, наконец, Евклидовы
области.
Примеры решения задач
1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите (663,126).
Решение. Следуя описанному выше алгоритму, получаем: 663 =126·
• 5 + 33, 126 = 33 · 3 + 27, 33 = 27 · 1 + 6, 27 = 6 · 4 + 3, 6 = 3 · 2 + 0,
причем 0 < 3 < 22 < 27 < 49. Таким образом, последний ненулевой
остаток алгоритма Евклида равен 3, откуда следует, что (213,49) = 3.
Заметим, что в данном случае наибольший общий делитель можно
найти и с помощью разложения каждого из чисел на простые
множители: (663, 126) = (3 · 13 · 17, 2 · З2 · 7) = 3. >
2. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите наибольший общий
делитель d чисел 232 и 44; укажите два целых числа ж<ьУ<ь таких что
d = 232ж0 +44у0·
Решение. Поскольку 232 = 44-5 + 12, 44=12-3 + 8, 12 = 8 · 1 +4,
и8 = 4-2+0,то последний ненулевой остаток алгоритма Евклида
равен 4, откуда следует, что и (232,44) = 4. Теперь нетрудно представить
число 4 как линейную комбинацию исходных чисел 232 и 44,
«поднимаясь по ступенькам» построенного алгоритма снизу вверх, начиная
от предпоследней: 4= 12-8-1,4= 12 —(44—12-3)· 1 = 44-(-1) + 12-4,
4 = 44 · (-1) + (232 - 44 · 5) · 4 = 44 · (-21) + 232 ■ 4. Таким образом,
4 = 232-4 + 44-(-21), то есть х0 = 4, и у0 = -21. >
Замечание. Схема решения данной задачи позволяет доказать свойство 4
предыдущего параграфа: если (о, 6) = d, то существуют целые числа χ и у,
такие что d = ах + Ьу.
3. При любом натуральном га найдите наибольший общий делитель
чисел: 6га4 + га2 + Зга и 2га3 + 1; 6габ + Юга5 + 4га3 + га и Зга3 + 5га2 + 2.
Решение. В первом случае, следуя алгоритму Евклида, получаем:
6га4 + га2 + Зга = (2га3 + 1) · (Зга) + га2, 2га3 + 1 = га2 ■ (2га) + 1,
и га2 = 1 ■ га2 + 0. таким образом, последний ненулевой остаток
алгоритма Евклида равен 1, и (6га4 + га2 + 3, 2га3 + 1) = 1 при
любом натуральном га. Во втором случае, следуя алгоритму
Евклида, получаем: 6габ + Юга5 + 4га3 + га = (Зга3 + 5га2 + 2) · (2га3) + га,
§ 5. Алгоритм Евклида
35
Зга3 + 5га2 + 2 = га ■ (Зга2 + 5га) + 2. Далее, га = 2 ■ к + г, где г 6 {0, 1}.
При г = 0, то есть в случае га = 2*, последний ненулевой остаток
алгоритма Евклида равен 2, то есть (6габ+10га5+4га3+га, Зга3+5га2+2) = 2
при четных га. При г = 1, то есть в случае га = 2к +1, следующий шаг
алгоритма имеет вид 2 = 1 -2+0, и последний ненулевой остаток
алгоритма Евклида равен 1, то есть (6габ + Юга5 + 4га3 + га, Зга3 + 5га2 + 2) = 1
в случае нечетного га. >
6га+4 16га+ 60
Сократитедробь:2^ТТ1;ГьТ4Т·
Решение. В первом случае, следуя алгоритму Евклида, получаем:
22га + 15 = (6га + 4) · 3 + (4га + 3), 6га + 4 = (4га + 3) · 1 + (2га + 1),
4га + 3 = (2га + 1) ■ 2 + 1, и 2га + 1 = 1 · (2га + 1) + 0. Таким
образом, последний ненулевой остаток алгоритма Евклида равен 1,
и (6га + 4, 22га + 15) = 1 при любом натуральном га, то есть дробь
6га + 4
несократима. Во втором случае, следуя алгоритму Евклида,
22га + 15
получаем: 16га+60= (11п+41)(5та+19), 11га+41 = (5га+19)-2+(га+3),
5га + 19 = (га + 3) · 5 + 4. Далее, га + 3 = 4 · к + г, где г 6 {0,1, 2, 3}.
При г = 0, то есть в случае га + 3 = 4*, последний ненулевой
остаток алгоритма Евклида равен 4, то есть (16га + 60, 11га + 41) = 4 при
га = 4* — 3 или, что то же, при га = At + 1, и дробь сократима на 4:
16га+ 60 16(4< + 1) + 60 _ 6At + 76 _ Ш + 19
11га + 41 ~ 11(4ί+1) + 41 ~~ 44ί+ 52 ~~ Hi+ 12'
При г = 1, то есть в случае га+3 = 4 · к +1, следующий шаг алгоритма
имеет вид 4 = 1 · 4 + 0, и последний ненулевой остаток алгоритма
Евклида равен 1, то есть (16га + 60,11га + 41) = 1 при га = Ак - 2
или, что то же, при га = At + 2, и дробь несократима. При г = 2, то
есть в случае га + 3 = 4-* + 2, следующий шаг алгоритма имеет вид
4 = 2 · 2 + 0, и последний ненулевой остаток алгоритма Евклида равен
2, то есть (16га + 60, 11га + 41) =2 при га = Ак — 1 или, что то же, при
га = At + 3, и дробь сократима на 2:
16га + 60 _ 16(4*- 1) + 60 _ 64fc +44 __ 32fc + 22
llra + 41 ~ 11(4*-1)+41 ~ 44* + 30 "" 22t + 15 '
Наконец, при г = 3, то есть в случае га + 3 = 4* + 3, следующие два
шага алгоритма имеют вид 4 = 31 + 1, 3= 1-3 + 0,и последний
ненулевой остаток алгоритма Евклида равен 1, то есть (16га+б0, 11га+
+ 41) = 1 при га = 4*, и дробь несократима. ΐ>
Для целых чисел а и Ь найдите наибольший общий делитель чисел
5а + 36 и За + 26, если (о, 6) = 5.
36
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Решение. Записав цепочку равенств 5о + 36 = (За + 26) · 1 + (2а + 6),
За+26 = (2а+6) · 1+(а+6), 2а+6 = (а+6)· 1 +а, а+6 = а·1 +6 и
пользуясь тем, что (а, 6) = (6, с) в случае равенства а = 6· к + с, мы можем
записать, что (5а + 36, За + 26) = (За + 26,2а + 6) = (2а + 6, а + 6) =
= (а + 6, а) = (а, 6), откуда следует, что (5а + 36, За + 26) = 5. >
Замечание. Алгоритм, использованный при решении данной задачи, не
является алгоритмом Евклида, поскольку при целых о и 6 вторые слагаемые
правых частей полученных равенств далеко не всегда являются
«настоящими» остатками: например, при α = —10, 6=5 величина 2а+ 6 = —15, в то
время как остаток должен быть, по крайней мере, неотрицательным числом.
Упражнения
1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите:
а) (6238,445); в) (-1836, -5292);
б) (-872,236); г) (-555,444).
2. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите наибольший общий
делитель d чисел о и 6 и укажите два целых числа жо.Уо. таких что
d = а · х0 + Ь · уо:
а) а = 12, 6 = 28; г) а = -80, 6 = -1024;
б) а = -34, 6 = 90; д) а = 99, 6 = 102;
в) а = 91, 6 = -150; е) а = 780, 6 = -45.
3. При любом натуральном η найдите наибольший общий делитель чисел:
а) п2 + Зга + 1 и η + 3; б) Зга4 + 6га2 + 1 и га3 + 2га.
4. Сократите дробь:
Зга+ 2 6га+ 5 5га+ 2 9га+ 8
&' 4га+ 3' ' 8га + 7' *' Зга+ 2' Т' 7га + 4'
5. Для целых чисел о и 6 найдите:
а) (5а+76,За+46), если (а,6) = 3; в) (7а+56,3а+26), если (а,6)=2;
б) (13а+26,20а+36),если(а,6) = 1; г) (7а+26,11а+36), если (а,6)=4.
Задачи
Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите:
а) (1234,5678); д) (1219, 1357);
б) (-765, -432); е) (-667, 580);
в) (111,3333); ж) (-1256,-8844);
г) (2747,3149); з) (7711, 1122).
§ 6. Взаимно простые числа
37
2. При любом натуральном га найдите наибольший общий делитель
чисел:
а) га2 + 1 и га3 + 2га2 + 2га + 1;
б) га3 + Зга2 + 6га + 2 и га2 + Зга + 5;
в) га4 + 2га3 + 2га2 + Зга + 1 и га3 + 2га2 + 2га + 2.
3. При любом натуральном га найдите наибольший общий делитель
чисел:
а) 4 и 2га+1; в) 25 и 5га+ 4;
б) 3 и Зга+ 2; г) 10 и га6 - га2 + 1.
4. Найдите наименьшее натуральное число га, при котором все дроби
7/(га + 9), 8/(га + 10), 9/(га +11), ..., 31/(га + 33) несократимы.
5. Сократите дробь:
ч 6га+ 4 ч 16га+ 60 . 6га+ 5 . 21га + 4
а) ; б) ; в) ; г) .
у22га+15 ' llra + 41 73ra + 2 714ra + 3
6. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите наибольший общий
делитель d чисел а и 6 и укажите два целых числа Жо.Уо, таких что
d = а-хо + Ь-у0:
а) о = 137, 6=-31; г) а = 213, 6 = -321;
б)о=103,6=189; д) а = -56, Ь = 44;
в) а = 41, 6 = 47; е) а = 162, 6 = 99.
7. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите хотя бы одно целое решение
уравнения:
а) 26ж + 91у = 11; в) 73ж + 85у = 7; д) 311ж - 28у = 2;
б) 33ж + 51у = 21; г) 44ж + 187у = 22; е) 253ж - 449у = 3.
8. Докажите, что для любого натурального га уравнение 7х — 10у = га
разрешимо в натуральных числах.
9. Докажите, что наибольший общий делитель чисел о и 6 делится
на любой их общий делитель.
§ 6. Взаимно простые числа
Два целых числа о и 6 называются взаимно простыми, если их
наибольший общий делитель равен 1. Другими словами, числа о и 6 взаимно
просты, если они не имеют общих делителей, отличных от 1 и —1.
Например, 6 и 35 взаимно просты, так как (6, 35) = 1, но 6 и 27
не являются взаимно простыми, так как (6, 27) = 3.
38
Глава 1. Задочи по курсу теории чисел
Число 1 взаимно просто с любым целым числом; число 0 взаимно
просто только с 1 и -1.
Свойства взаимно простых чисел
1. Целые числа а и Ь являются взаимно простыми тогда и только тогда,
когда существуют целые числа ж и у, такие что αχ+by = 1 (критерий
взаимной простоты).
2. Если Ь\ас и (Ь, с) = 1, то Ь\а.
3. Если Ь\а, с\а и (Ь, с) = 1, то Ьс\а.
4. (а, Ь) = 1 тогда и только тогда, когда (о", Ьт) = 1 для любых
неотрицательных целых чисел тип.
Например, доказательство критерия взаимной простоты опирается на
следующие соображения: с одной стороны, если (а, Ь) = 1, то, как было
доказано ранее, существуют целые числа ж и у, такие что αχ+by = 1; с другой
стороны, если αχ + by = 1 и (a, b) = d, то d\(ax + by), откуда следует, что
d\ 1, то есть d = 1. Для доказательства остальных свойств можно
использовать общие соображения теории делимости (см., например, [28]). Однако
рассуждения станут значительно проще, если воспользоваться следующим
очевидным соображением: натуральные числа а и b являются взаимно
простыми тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.
примеры решения задач
1. Докажите, что га5 — η делится на 30 при любом натуральном га.
Решение.
Конечно, можно решить данную задачу стандартным способом:
рассмотрев все тридцать остатков 0, I, ..., 29 при делении на 30,
убедиться, что га5 и га имеют одинаковые остатки при делении на 30, и,
следовательно, число п5 - η дает остаток ноль при делении на 30, то
есть делится на 30. Однако значительно проще решить данную задачу,
пользуясь свойствами взаимно простых чисел. Именно, 30 = 2 · 3 · 5,
причем числа 2, 3 и 5 попарно взаимно просты. Если мы покажем, что
число га5 - га делится одновременно на 2, на 3 и на 5, то тогда, в силу
Таблица 5
rest(n, 2)
rest(n5,2)
rest(n5 - η, 2)
0
0
0
1
1
0
Rest(n, 3)
Rest(n5, 3)
rest(n5 - η, 3)
0
0
0
1
1
0
-1
-1
0
Rest(n, 5)
Rest(n5, 5)
rest(n5 — n, 5)
0
0
0
1
1
0
2
2
0
-2
-2
0
-1
-1
0
§6. Взаимно простые числа
39
свойств взаимно простых чисел, га5 - га будет делится и на
произведение чисел 2, 3 и 5, то есть будет делиться на 30. Проверка делимости
числа га5 — га на 2, 3 и 5 стандартна и отражена в табл. 5. ΐ>
2. Докажите, что га4 - 1 делится на 10, если га — целое число, взаимно
простое с 10.
Решение. Записывая число га в виде га = I0k+R, R 6 {0, ±1, ±2, ±3,
±4, 5}, и пользуясь свойствами наибольшего общего делителя, легко
убедиться в том, что (га, 10) = (10, Л), и, следовательно, для
числа га= Юк + R, взаимно простого с 10, имеет место соотношение
(10, Л) = 1, откуда следует, что R 6 {±1, ±3}. Поскольку (±1)4 = 1
и (±3)4 = 81, то мы убедились в том, что для га, взаимно простого
с 10, остаток числа га4 при делении на 10 равен 1, то есть число га4 - 1
делится на 10. [>
3. Докажите, что натуральные числа га, га + 1 и 2га + 1 попарно взаимно
просты.
Решение. Проверку этого факта можно проводить различными
способами. Например, предположив, что (га, га + 1) = d, мы получаем,
что d\n и d|(ra + 1), откуда следует, что d\((n + 1) - га), то есть d\l,
и, следовательно, d = 1, то есть числа га и га + 1 взаимно просты.
Применив к числам га и 2га + 1 алгоритм Евклида, мы получим, что
2га + 1 = га · 2 + 1 и η = 1 · η + 0, откуда следует, что (2га + 1, га) = 1,
то есть числа га и 2га + 1 взаимно просты. Аналогично, алгоритм
Евклида для чисел га + 1 и 2га + 1 принимает вид 2га + 1 = (га + 1) · 1 + га,
η + 1 = η · 1 + 1 ига= 1 · га + 0, откуда следует, что (2га + 1, га + 1) = 1,
то есть числа га + 1 и 2га + 1 взаимно просты. [>
4. Докажите, что два натуральных числа а и Ь, больших единицы,
взаимно просты тогда и только тогда, когда их разложения на простые
множители состоят из различных простых чисел.
Решение. Пусть α = р"1 ·... · р£* и Ь = q\' ·... · qs' —
канонические разложения натуральных чисел а и Ь, больших единицы. Пусть
(а, Ь) = 1. Предположим, что р, = qj для некоторых г 6 {1,..., к}
и j 6 {Ι,.,.,β}. Тогда pi\a, р,|6, и, следовательно, ρ<|(α, b), то
есть pj|l, что дает противоречие. Обратно, пусть pi Φ qj для всех
г 6 {1 к} и j 6 {1,..., s}. Кроме того, пусть (о, b) = d > 1.
Тогда существует простое число р, делящее d, и, следовательно,
делящее а и Ь, то есть входящее в каноническое разложение каждого
из указанных чисел, что опять ведет к противоречию. [>
40
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Упражнения
1. Докажите, что при любом натуральном га:
а) га6 - га2 делится на 60; в) 10" + 5 делится на 15;
б) га7 - га3 делится на 120; г) 7бп - 1 делится на 18.
2. Докажите, что га6 + 17 делится на 9, если га — целое число, взаимно
простое с 9.
3. Докажите, что га2 - 1 делится на 24, если га — целое число, взаимно
простое с 6.
4. Докажите, что натуральные числа 4га + 3,2га + 2 и 2га + 1 попарно
взаимно просты.
5. Докажите, что натуральные числа 4га - 1, га и 2га - 1 попарно взаимно
просты.
6. Докажите, что два различных простых числа ρ и q взаимно просты:
(p,q)= 1, если р, q 6 Р, p£q.
7. Докажите, что взаимно просты целые неотрицательные степени двух
различных простых чисел ρ и q: (pn, qm) = 1, если р, q 6 Ρ, ρ φ q,
ra,m6Nu{0}.
Задачи
1. Докажите, что если (а, Ь) = I, то (ос, Ь) = (Ь, с), где а, Ь, с 6 Z.
2. Докажите, что (а, Ь) = (а + Ь, [а, Ь\), где а, Ь 6 Z.
3. Найдите натуральные числа о и 6, такие, что:
а) а + Ь = 75 и [а, Ь] = 90; в) о2 - б2 = 64 и [о, 6] = 30;
б) а - Ь = 18 и [а, Ь] = 165; г) о2 + Ь2 = 13 и [о, Ь] = 6.
4. Найдите (а + Ь, а2 + Ь2), если а, Ь 6 Z, (о, 6) = 1.
5. Пусть m — натуральное число, взаимно простое с 10. Докажите, что
существует делящееся на т натуральное число, десятичная запись
которого состоит из одних единиц.
6. Докажите, что при любом натуральном га произведение га(га+1)·
•(га+2)(га + 3) делится на 24.
7. Докажите, что при любом натуральном га:
а) га2(га2 - 1) делится на 12;
б) 30" + 54п - 42п - 1 делится на 58;
в) га5 - 5га3 + 4га делится на 120;
г) га(га4 - 125га2 + 4) делится на 60.
§7. Функции [х\ и {х}
4]
8. Докажите, что при любых целых а и Ь число аЬ(ал - Ь4) делится на 30.
9. Докажите, что число 7о3/3 + Зо2/2 + а/6 является целым при любом
натуральном а.
10. Докажите, что (га7 - га3 + I, 30) = I при любом натуральном га.
11. Докажите, что из равенства несократимых дробей следует равенство
их числителей и знаменателей.
12. Пусть т, га, а 6 Ν, причем (т, га) = I. Докажите, что если d\(am - I)
и d\an - I, то d\{al - I) при любом натуральном t.
§7. Функции \_х\ и {ж}
В теории чисел рассматриваются разнообразные функции, значения
которых для натурального аргумента га связаны с арифметической
природой числа га. Множество таких функций обычно ограничивают только
одним требованием: каждая функция должна быть определена для всех
натуральных значений аргумента. Таким образом, комплекснозначная
функция /(га) называется арифметической функцией (или числовой функцией),
если значение /(га) определено для любого натурального числа га. Обычно
в теории чисел рассматриваются либо функции, которые вообще
определены только при натуральных значениях аргумента, либо функции, для
которых натуральные (целые) значения аргумента являются
характеристическими точками, определяющими величину функции и в других точках.
Известными арифметическими функциями являются функции целая
часть числа и дробная часть числа.
Функция целая часть х, обозначаемая [х\, есть наибольшее целое
число, не превосходящее х. Например, [2.9J = 2, [-2J = -2, и L—2.3J = -3.
Функция дробная часть х, обозначаемая {х}, определяется как {х} =
= х-[х\. Например, {2.9} = 0.9, {-2} = 0, и {-2.3} = 0.7.
Часто используется и функция ||ж|| = min{{x}, I - {χ}}, дающая
расстояние от χ до ближайшего целого числа. Например, ||2.9|| = 0.1,
||-2|| = 0, и ||-2.3|| = 0.3.
Менее известна функция \х~\, определяемая как наименьшее целое
число, большее или равное х. Например, [2,91 = 3, [-2] = -2, и Г_2,3] = -2.
Свойства функций [х\ и {х}
1. [х\ < χ < [х\ + 1 для любого действительного числа χ с равенством
слева, если и только если χ — целое число.
2. [к + х\ = к + [х\ для любого целого к и любого действительного х.
3. Если χ — действительное число и га — целое число, то га < х, если
и только если га < L^J ·
42
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Л*)-
2
1
-2 -1 0
—- -2
1
—
—**
1 2
-1
X
Рис. 1. f(x)= [χ]
Л*)"
//λ///
-2 -1 О
1 2
Рис.2. /(ζ) = {ζ}
4. |{га 6 N : га < χ, d\n}\ = [x/d\ для любого положительного
действительного числа χ и любого натурального числа d.
5· LWJ = W Для любого действительного числа ж.
6. \x/d\ = [[x\/d\ для любого положительного действительного числа χ
и любого натурального числа d.
7. [жJ - 2[ж/2] = 0 или 1 для любого действительного числа х.
8. га! = р"' ·... · р£*, где р< пробегает все простые числа, не
превосходящие га, и а, = L"/P<J + In/Pi J + L"/P< J + · · · ·
9. 0 < {χ} < 1 для любого действительного числа χ с равенством слева,
если и только если χ — целое число.
10. {к + х} = {х} для любого целого числа к и любого действительного
числа х.
Например, для доказательства формулы |{га 6 N : га < х, d\n}\ = \_x/d\
достаточно рассмотреть числа d, 2d, ..., kd < χ < (к+ l)d. Тогда |{га 6 N :
§7. Функции [х\ и {х}
43
га < χ, d\n}\ = к. С другой стороны, к < x/d < к + 1, то есть, к = [x/d\.
Доказательства остальных свойств можно найти, например, в [3].
Поскольку функция /(ж) = [х\ обладает свойством [ж + fej = [х\ +к
для любого целого числа к, и для χ 6 [0, 1) имеет место равенство [х\ = О,
то для χ б [1,2) имеет место равенство [жJ = 1, для χ 6 [2, 3) имеет место
равенство [х\ = 2, ..., для χ 6 [-1,0) имеет место равенство [х\ = -1,
для χ 6 [-2, -1) имеет место равенство \х\ = -2, и график функции
f(x) = [х\ изображен на рис. 1.
Поскольку функция /(ж) = {х} является периодической с периодом
1, и для χ 6 [0, 1) имеет место равенство {х} = х, то график функции
/(ж) = {х} изображен на рис. 2.
Примеры решения задач
1. Сколько натуральных га, не превосходящих 1000, не делится ни на 5,
ни на 7?
Решение. Легко видеть, что |{ra6N:ra< I000,5|ra} = I.1000/5J =200;
|{га 6 N : га < 1000,7|га} = L1000/7J = 142; |{га 6 N : га < 1000, 35|га} =
= L1000/35J = 28. Тогда |{га 6 N : га < 1000,5 f га, 7 f га} =
= 1000— L1000/5J — L1000/7JЧ-L1000/35J = 1000-200-142+28 = 686. >
2. Запишите каноническое разложение числа 20!.
Решение. Для нахождения данного разложения мы выписываем все
простые числа р, не превосхдяшие 20, то есть числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
и 19. Для каждого такого ρ степень а, в которой ρ входит в разложение
факториала, вычисляем по формуле а= [20/р\ + |_20/p2J + |_20/p3J +...
При этом поскольку |_20/p*J = L20/p*~'/Pj = LL20/P*-IJ/PJ> то
вычисления упрощаются: на каждом следующем шаге мы делим на ρ
предыдущее слагаемое и выписываем целую часть полученного
числа. Именно, для числа 2 вычисления принимают вид αϊ = L20/2J +
+ L20/22J +L20/23J +L20/24J + |.20/25J +... = 10+1.10/2 J + LL10/2J/2J +
... = 10 + 5 + 2+1+0= 18. Для числа З вычисления принимают
вид а2 = L20/3J + |_20/32J + |.20/33J + ... = 6 + 2 + 0 = 8. Для числа 5
имеем а3 = I.20/5J + |_20/52J + ... = 4 + 0 = 4. Для числа 7 имеем
а4 = L20/7J + L20/72J +... = 2 + 0 = 2. Поскольку для числа 11
результат принимает вид as = 1.20/11J + 1.20/112J +... = 1 + 0 = 1, то
дальнейшие вычисления не требуются — оставшиеся простые числа
13, 17 и 19 также будут входить в разложение числа 20! в первой
степени. Таким образом, 20! = 218 · З8 · 54 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19. >
3. Сколькими нулями оканчивается число 2000! в пятнадцатиричной
системе счисления?
44
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Решение. Для нахождения числа нулей, на которые оканчивается
2000! в 15-й системе счисления, достаточно выяснить, сколько раз
в каноническое разложение числа 2000! входит число 5: нуль на
конце 15-й записи числа обеспечивается наличием в каноническом
разложении данного числа множителя 15 = 3-5, а число [2000/5J +
[2000/52J +... пятерок в каноническом разложении числа 2000!
меньше, чем число [2000/3] + [20000/32J + ... троек. Искомая величина
равна I.2000/5J + |_2000/52J + L2000/53J... =400+80 + 16 + 3+0=499.
Таким образом, число 2000! оканчивается в 15-й системе счисления
499 нулями. >
4. Решите уравнение [х\ = 1 +2{х}.
Решение. Достаточно заметить, что число 1 + 2{ж} обязано быть
целым и, следовательно, {х} = 0 или {х} = 0,5. В первом случае
[х\ = 1, то есть χ = [х\ + {х} = 1 + 0 = 1. Во втором случае [х\ = 2,
то есть х = [х\+{х} = 2 + 0,5 = 2,5.
Таким образом, решениями уравнения [х\ = 1 +2{х} являются числа
1и2,5. >
5. Постройте графики функций /(ж) = \2х - 1J; f(x) = {2х - 1}.
Решение. Для построения графиков функций у= [f(x)\ и у = {/(ж)}
необходимо:
• построить график функции у = f(x);
• построить систему горизонтальных прямых линий у = а, а б Z,
проходящих через целые точки оси ординат;
• найти точки пересечения построенных горизонтальных прямых
линий у = а, а 6 Z, с графиком функции у = f(x); полученные
этим путем точки (ж<, /(ж«))> г = ··· > ~3, -2, -1,0, 1,2,3,...,
графика функции у = f(x) соответствуют целым значениям
функции f{x): f(xi) = fi 6 Ζ, i = ...,-3,-2,-1,0, 1,2,3,...;
• построить систему вертикальных прямых линий χ = ж,·, г =
= ..., -3, -2, -1,0, 1, 2, 3,..., проходящих через построенные
на предыдущем этапе точки (ж,·, /(ж,·)), г = ..., -3, -2, -1,0,1,
2, 3,..., графика функции у = /(ж);
• рассмотреть сетку, полученную при наложении построенных
горизонтальных и вертикальных прямых линий и состоящую из
прямоугольников различного размера;
• для построения графика функции у = [f(x)\ спроецировать часть
графика функции у = /(ж), находящуюся в том или ином
прямоугольнике построенной сетки, на нижнюю сторону прямоугольника:
внутри прямоугольника с вершинами (ж<,/(ж,·)), (ж,·, /(ж,+|)),
§7. Функции L^J и {χ}
45
ι
I
Λ*)|
4
,
0
/:ΐ: .2
ι
I
I
1
Рис.3. f(x) = 2x-\
'
Л«)|
• · · 1
1 · ■ · · I
: -2· -ι·
1
•; ·; ·ΐΐ
ι
■г:;*·
о ·■; ι: :2
♦J · ·!
;
1
1
i
Рис.4. f(x) = [2x-\\
№
Ш1Ш
2: -:i: о
•; ·;-и
1 : 2
Рис5. f(x) = {2x-\}
46
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
(xi+l, f(xi+i)), (xi+i,f(xi)) значения функции f(x)
располагаются между величинами /,· и /<+ь то есть |_/(ж)] = ηιΐη{/<, /<+ι};
• для построения графика функции у = {/(ж)} поднять (или
опустить) часть графика функции у = f(x), находящуюся в том
или ином прямоугольнике построенной сетки, на ось абсцисс:
внутри прямоугольника с вершинами (ж,·,/(ж,·)), (ж,·, /(ж,+])),
(ж<+ь f(xi+\)), (xi+\,f(xi)) значения функции f(x)
располагаются между величинами /< и /,-+ι, то есть {/(ж)} = /(ж) -
min{/,·,/,·+,}.
На рис. 3 показана сетка, построенная для графика функции /(ж) =
= 2ж - 1, а также графики функций /(ж) = |_2ж - 1J и /(ж) = {2ж - 1}
(рис.4, 5). >
Упражнения
1. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 200, не делится ни на 2,
ни на 5?
2. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 6600, не делится
ни на 3, ни на II?
3. Сколько двузначных натуральных чисел не делится ни на 3, ни на 11?
4. Сколько натуральных чисел, не превосходящих ЮО, не делится ни на 2,
ни на 3, ни на 5?
5. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 4235, не делится
ни на 5, ни на 7, ни на 11?
6. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 300 и
взаимно простых с 225?
7. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих ЮО и
взаимно простых с 36?
8. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 300 и
взаимно простых с 300?
9. Сколько существует трехзначных натуральных чисел, взаимно
простых с 1000?
10. Запишите каноническое разложение чисел:
а) 14!
б) 16!
в) 18!
г) 20!;
д) 26!;
20!
е) 10! 10!'
16!
Ж) 8!8!'
16!
3) 10!6!'
ч 20!
И) 16!4!·
§7. Функции [х\ и {х}
47
11. Сколькими нулями в з-ичной системе счисления оканчивается число:
а) 1994!, д= 10;
б) 200!, д = 10;
в) 2010!, з = 6;
г) 3000!, д = 60;
д) 2004!, 3=12;
е) 500!, 3 = 12;
^ 100! *
Ж) 80120!' 9 = 6;
12. Делится ли:
а) 500! на 2250;
з)
200!
100! 100!'
ч 666!
И)66Ш6!'5=13;
; юо!
к) , о = 60;
' 50!50! У
. 30!
Л) ШЛО!' 5 = 8;
200!
Ю;
м)
в)
г)
50.Ί50!'
200!
20.
на ЮО10;
б) 100! на 3030;
13. Решите уравнение:
а) LsJ = -3;
б) [2х\ = 2;
в) Lx2-4x + 7j = 3;
г) [Зж2 - х\ = χ + I;
Д) Μ = 0,2;
е) {Зх} = 0,9;
ж){ж2+5} = 0;
14. Постройте графики функций:
a)/(i) = Lx-0,5J;/(i) = {i-0,5};
б) f(x) = [sinxj; f(x) = {sinж};
в) /(я) = L2 cos χ - 3J; f(x) = {2 cos χ - 3};
r)/(x) = Lx3-lJ;/(x) = {x3-l};
A)f(x) = ly&+i\;№ = {y/£+i};
e)/(x) = Lx2-4j;/(x) = {x2-4}.
I00!l00!
-^ „a 20»?
80!20!
3){x} = Lx + l5J;
и) И+5 = 2{х};
к) {х} = [х\;
л) [х\+5 = {х};
x-l
м)
{χ}.
Задачи
1. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 120, делится на 7,
но не делится на 6?
2. Найдите наибольшую степень числа 12, в которой оно делит число
120!.
48
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
3. Найдите максимальное а, такое что
4,
5,
101 - 102-
•200
8°
Найдите максимальное а, такое что 3°|100!.
Найдите наибольшую степень числа 2га, в которой оно делит число
100", если n = N- 5[N/5\ + 5, Ν 6 {1, 2, 3,..., 25}.
Решите уравнение:
а)
б)
х-3
5
х + 5
2{х};
= 3{х};
3{ж} = 2ж+1;
= 2х- 1:
в) L*J
г) [х\ + 2{х}
Д) {х} = 0,4;
е) {х + 5} = 0,3;
ж) [х - 3J = -3;
Решите неравенство:
а) L1 - х2\ > -4;
б) {1-ж2}>0,5;
в) [sin 2ж - 4J < -3,5;
Постройте графики функций:
а) f(x) = L5sinx + lJ; f(x) = {5sinx + 1};
б) f(x) = L3 cos χ - 2J; f(x) = {3 cos χ - 2};
в) /(x)=L31nx + lJ; /(ж) = {31пж+1};
r) f(x) = L4sin2z|; f(x) = {4sin2z};
д) f(x) = L|0,5x| - 3J; f{x) = {|0,5s| - 3};
e)/(s) = Lln|i|J;/(i) = {ln|i|}.
Вычислите:
з) \х + Ъ\ = 5;
и) Ll - χ2\ = 0;
к) [х2-2\ = -1;
л) [sin x\ = -1;
м) [cos x\ = 0;
н) |bis + lj = -l;
о) L2 - log3 x\ = 4.
г) {sin2z-4} <0,5;
д) Llog5 x\ > 0;
е) {log5 χ} > 0,2.
а)
lib
{ψ}
б)
2 + у/7 1+УЗ
3-ν/7 + 2-ν/3
в)
3^ + 2^
10. Для га = N - 5|W/5J + 5, N 6 {1,2,.
I Зга - 6 I
[п + 2\
а)
Г га Н- 12 3Ί
\ra-l 14 J
,25}, вычислите:
- Зга
6)
,4-3
L »
f 5га + 1 1 Ί
\3»-2 + Ϊ7 J ,
§7. Функции [х\ и {ж}
49
11. Вычислите:
а) |zj -3Lz/3J, где ж 6 К;
б) [х\ - к[х/к\, где χ 6 К, к е Ν;
в) М + |.-ж|,где ж6Е;
г) Lv^Tj + Lv^J + ··· + LVra^TTj, где га 6 Ν.
12. Постройте графики функций /(ж) = ||ж|| и. /(ж) = [ж].
13. Докажите:
а) [х\ + [х + 0,5J = [2х\, где ж 6 Е;
б) ||ж|| = [ж + 0,5],гдежбЕ;
в) [ж] = -[-х\, где ж 6 К;
г) ж < [ж] < ж + 1, где ж б Е;
д) [к/2\ + \к/2] = к, где к 6 Z;
е) W + Ы < L* + yj < |sj + [y\ + l, где ж, у 6 Μ;
ж) [х\ + [х + Ι/fcJ +... + La; + (к - l)/k\ = [кх\, где ж б Е, к 6 N;
з) [т/п\ + [2т/п\ + ... + [(п- \)т/п\ = (т - 1)(га - 1)/2, где
т, га 6 N, (т, га) = 1;
Ϊ/2 Р/2 р_1
и) j:[np/q\+J:imq/p\=~-(q-l)/2,r№m,neN,p,qeP\{2},
n=l m=l ^
14. Докажите, что
2<$п е:
15. Докажите, что для действительного нецелого ж имеет место следующее
разложение в ряд Фурье:
ll J^ sin (2жкх)
«,/2га\
16. Докажите, что максимальное а, такое что ρ \\ I, равно
Ш-1Д)
17. Докажите, что для непрерывной функции /(ж), неотрицательной
на отрезке [о, Ь], число точек (ж, у) с натуральными
координатами ж, у в криволинейной трапеции, ограниченной линиями ж = о,
50
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
х = Ь, у = О, у = f(x), равно X) [/(x)J, где суммирование ведется
по всем целым χ из отрезка [а, Ь].
18. Докажите, что число точек (х, у) с натуральными координатами ж, у
под гиперболой ху = η равно 2 X) In/^J ~ IV"J2> гДе суммиро-
0<х^у/п
вание ведется по всем натуральным х, не превосходящим га, га € N.
§ 8. Мультипликативные функции
Арифметическая функция / называется мультипликативной, если
/(1) = 1 и /(тга) = /(т)/(га) для любых взаимно простых
натуральных чисел m и га.
Мультипликативная функция / называется вполне мультипликативной,
если /(mra) = f(m)f(n) для любых натуральных чисел m и га.
Например, функция /(га) = га° является вполне мультипликативной
для любого действительного а: /(тга) = (тга)° = тага° = /(т)/(га) для
любых натуральных m и га.
Свойства мультипликативных функций
1. Произведение мультипликативных функций есть мультипликативная
функция.
2. Если / — мультипликативная функция, то для данного
п = рТР22 ··..·??·,
где Р\,Р2, ■ ■ ■ ,ps — различные простые числа, а а\,аг,... ,as € Ν,
имеет место равенство
Σ/^ = Π О+/Ы+/Ы)+ ··· + /(??*))·
ά\η «=1
3. Если / — мультипликативная функция, то ft(ra) = Σ f(d) — муль-
d\n
типликативная функция.
4. Мультипликативная функция / полностью определяется ее
значениями на степенях простых чисел:
/(ρ?'·Ρ2β1·····ρ?*) = /(ρ,')·/(Ρ201) ·····/(??·)·
5. Если функция / мультипликативна, a m и га — произвольные
натуральные числа, то /(т)/(га) = /((т, га))/([т, га]).
§ 8. Мультипликативные функции
51
Так, поскольку любой натуральный делитель d числа га = ρ"' · ρ"2 · · · · · Ρ?'
имеет вид d=pf' -pf2·. ..-pf', где (K/3i<ab (K/32<a2, ..., 0 </3S < aS)
TO
Σ/ω= Σ /(Где) =
d|n 0^/Jj^a,',t=l,2,...,s 1=1
- Σ Π/^) = Π Σ /(ρ?),
то есть
Σ w = Π 0+/(p*)+/to2)+··.+/(??■')).
d\n 1=1
Аналогично, поскольку любой натуральный делитель d произведения mra
взаимно простых чисел m и га имеет вид d = d\di, где d\\m, d2\n,
и (dud2) = 1, то
ft(m») = £/(d) = Χ) /(d,d2) = Σ /№)/(*) =
d|mn d||m,d2|n d]|m,d2|n
= (Σ /(<*·)) (Σ /(*)) = *("»)*(»).
di|m d2|n
то есть функция ft(ra) = Σ /(d) мультипликативна. Доказательства других
ri|n
свойств можно найти, например, в [3].
Примеры решения задач
1. Проверьте, что функция /(га) = 1/га2 является мультипликативной;
вполне мультипликативной.
Решение. Функция /(га) = 1/га2 является вполне
мультипликативной, и, следовательно, мультипликативной, поскольку для любых
натуральных чисел т и га имеет место равенство:
Ктп)= 7^Л2 = ^ϊ · Ζλ = /(m) · /(")·
(mra)·2 m·2 га-2
>
2. Проверьте формулу
Σ /w = По+/ы+/(й2)+···/(??'))
dip?1 ··-*? '='
для функции /(га) = га2 и всех натуральных га < 20.
52 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Решение. Рассмотрим, например, га = 20. Каноническое разложение
числа 20 имеет вид 22 · 5. Тогда выписанная выше формула принимает
вид Y^d2 = (\ +22 + (22)2)(1 + 52). Натуральными делителями числа
ri|20
20 являются числа 1, 2, 4, 5, 10 и 20, поэтому мы получаем формулу
I2 + 22 + 42 + 52 + 102 + 202 = (1+ 22 + 42)(1 + 52). Легко убедиться
в том, что указанное равенство верно: 546 = 21-26. >
3. Определим функцию <Т2(п) как сумму квадратов всех натуральных
делителей натурального числа га: σ2(η) = Σά2. Докажите формулу
d\n
„ /„α, _α2 ηα,\ Ρ] ' Ρΐ ι_ Ρ» '
σ2(Ρ, · Ρ2 · · · · · PsΊ = — ; : · · ·' — ;— ·
ρ, - 1 ρ, - 1 ps - 1
Решение. По определению, <Τ2(ή) = Σ d2. Как мы только что убеди-
d\n
лись, Σ d2 = Πί=ι (1 + Ы2 + (Pi)2 + ■■■ + (Ρ?)2)■ Поскольку
Φ?·····ρ?·
ι+(ρ.·)2+(ρ2)2+···+(ρΠ2 = ι+ρ2+(ρ2)2+···+(Ρ2)α; = ^}T~l
Pi l
как сумма oti +1 членов геометрической прогрессии с начальным
элементом 1 и знаменателем р2, то мы доказали, что σ2(ρ"' ·... · ρ"') =
4. Найдите σ2(5), σ2(10), σ2(20).
Решение. Рассмотрим, например, га = 20. С одной стороны, действуя
по определению, мы получим, что σ2(20) = 12+22+42+52 + 102+202,
то есть σ2(20) = 546. С другой стороны, мы можем воспользоваться
22(2+ΐ) - ι
только что доказанной формулой: σ2(20) = σ2(22 · 5) = —^ ·
5*0+» - 1 26 - 1 54 - 1 63 624
•^2^Τ = 22-ΓΤ·5τττ = Τ·ΐ4- = 21·26 = 546·
5. Докажите, что функция σ2(η) является мультипликативной.
Является ли она вполне мультипликативной?
Решение. Покажем, что для любых взаимно простых натуральных
чисел тип имеет место равенство σ2(τηη) = σ2(τη)σ2(η). Не
ограничивая общности можно считать, что каждое из чисел m и га больше
единицы (для остальных случаев проведите рассуждения
самостоятельно!). В этом случае каждое из чисел m и га обладает каноническим
представлением: m = ρ"1 ·... · р£*, и га = qx' ·... · qs', причем, в силу
того, что (тп, га) = 1, р,\ф qj для всех г € {1,..., к} и j € {1,...,«}.
§8. Мультипликативные функции
53
Тогда тп = р"1 ·... · р£* · </f' ·.. ■ · 9» — каноническое представление
числа тп, и мы имеем следующую цепочку равенств:
σ2(τηη) = σ2(ρΐ·...-ρ?-$ ■..,&) =
р2(а'+1)-1 р?а'+|>-1 g^+l)-l g^'+l)-l_
pf-i '■"' p\-\ ' gl-i '"·' ??-i
/ * 2(θ(+1) , \ / s 2(ft+» _ ι ч
=(nV)-(nV)=*'*
Функция σ2(η) не является вполне мультипликативной,
поскольку, например, σ2(4) = I2 + 22 + 42 = 21, σ2(2) = I2 + 21 = 5, и
σ2(2·2)^σ2(2)·σ2(2). >
Упражнения
1. Проверьте, что функция /(га) = па, а € {0, ±1, ±2, ±3, ±4}, является
мультипликативной; вполне мультипликативной.
2. Проверьте формулу Σ /(<*) = П'=10 + /(р·) + /(р?) + ---
ΦΓ'·····Ρ?*
+ /(Ρ?)) Для Функции /(га) = па при α € {0, ±1, ±2, ±3, ±4} и всех
натуральных га < 20.
3(α,+1) _ j 3(αι+1) _ j
3. Докажите формулу σ3(ρ?' ·ρ22 ·... -ρ?') = — ; ; ...
ρ, - 1 ρ, - 1
ρ3(α.+1) _ {
для функции σ3(η) = Σά3. Получите соответствующие
Ps ~ 1 φ
формулы для функций σα = Σ<Ια при всех а € {0, ±1, ±2, ±3, ±4}.
Φ
4. Найдите σ3(5), σ3(10), σ3(20), σ_,(5), σ_,(10), σ_,(20), σ4(5), σ4(10),
σ4(20).
5. Докажите, что функция σα(η), а € {0, ±1,±2, ±3, ±4}, является
мультипликативной. Является ли она вполне мультипликативной?
Задачи
1. Является ли мультипликативной функция:
а) /(га) = (га, 5);
б)/(га) = [п,5];
в) fk{n) = (га, к), где к € N;
г) /*(га) = [га, Л],где к € N;
д) /(га) = sinnn;
е) /(га) = cosirn;
ж) /(га) = sin 2πη;
з) /(га) = cos(nn/2)?
54 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
2. Докажите, что функция σα(η) = Σάα, где сумма берется по всем
натуральным делителям d числа га, а а — любое комплексное
число, является мультипликативной. При каких а она является вполне
мультипликативной?
3. Является ли мультипликативной характеристическая функция 1с(п)
множества С, С С N: 1с(п) = 1 для га € С, и 1с(п) = 0 для га £ С.
Является ли она вполне мультипликативной?
4. Является ли мультипликативной мультипликативная единица е(га) для
конволюции Дирихле. е(га) = 1, если га = 1, и е(га) = 0, если га > 1.
Является ли она вполне мультипликативной?
5. Является ли мультипликативной функция Кармайкла А(га): λ(ρα) = <р(ра)
для простого р^Зи натурального α; λ(2α) = 2а~2 для натурального
а ^ 3, в то время как λ(2) = 1, и λ(4) = 2; наконец, λ(ρ"' ... ·ρ"') =
= [λ(ρ"'),..., λ(ρ?*)], где Pi,...,ps — различные простые числа, а
α,,...,α, € N.
6. Докажите, что мультипликативной является функция Лиувилля /(га),
определяемая как /(га) =,(-1)Ω^, где П(га) — число простых
делителей га, считаемых с повторениями. Является ли она вполне
мультипликативной?
7. Докажите, что мультипликативной является функция j(n),
определяемая как 7(я) = (-1)"^, где ν(ή) — число различных простых
делителей га. Является ли она вполне мультипликативной?
8. Постройте график функции π(χ) = Σ 1 ^ля 0 < ж < 20. Докажите,
ρ!ζΧ
что функция π(χ) не является мультипликативной.
9. Является ли мультипликативной функция Мангольдта Л(га): Л(га) = In p
для га = ρ*, где ρ — простое, а к — натуральное, и Л(га) = 0
в остальных случаях.
10. Является ли мультипликативной функция гг(га), дающая число
представлений га в виде суммы двух квадратов целых чисел? Является ли
мультипликативной функция гг(га)/4?
§ 9. Число и сумма делителей
Рассмотрим функцию г(га) = Σ ' дающую число натуральных де-
<Цп
лителей натурального числа га, и функцию σ(ή) = Σ d, дающую сумму
d\n
натуральных делителей натурального числа га.
§ 9. Число и сумма депитепей
55
Например, г (6) = 4, так как натуральное число 6 имеет ровно 4
натуральных делителя 1, 2, 3 и 6, в то время как г(13) = 2, так как
натуральное число 13 имеет ровно два натуральных делителя 1 и 13. При
этом σ(6) = 1+2 + 3 + 6= 12, и σ(13) = 1 + 13 = 14.
Свойства функций г(га) и σ(η)
1. r(pj" -р? ■... -ра,·) = (а, + 1) · (а2 + 1) ·.,. · (а, + 1).
2. σ(ρ·..1?.....1^) = £ιΓ^.^_τ1.....^ί».
ρ, - 1 pi - 1 ps - 1
3. Функция r(ra) мультипликативна.
4. Функция σ(η) мультипликативна.
При доказательстве первого свойства можно воспользоваться, напри-
мер, формулой Σ /(<*) = Πί=ιΟ + /(Ρί) + /(Ρ?)+ ··· + /(??'))
Φ? •••Ρ?*
для мультипликативной функции /(га) = 1. Именно, г(р"' ... -pi') =
= Σ 1=Ш=,(1+/Ы+Ж)+--+/(рГ))=ГС=,(«<+1)· вто-
ф;'---р?*
рое свойство можно доказать аналогично при использовании
мультипликативной функции /(га) = га. Мультипликативность функций
г(га) и σ(η) становится при этом очевидна.
Примеры решения задач
1. Вычислите τ(σ(12)).
24 - 1
Решение. Так как 120 = 23 · 3 · 5, то σ(120) = σ(23 · 3 · 5) = -—- χ
XjZj-jZT = 15·4·6 = 23·32·5.ΤθΓΛ3τ(σ(120)) = τ(23·32·5) =
= (3 + 1)·(2+1)·(1 + 1) =23·3 = 24. >
2. Решите уравнение т(х) = 33, 24|ж.
Решение. Поскольку число 33 может быть представлено в виде
произведения отличных от единицы натуральных чисел ровно двумя
способами, именно, как 33 (один множитель) или 3-11 (два
множителя), то натуральное число χ имеет либо один, либо два простых
делителя. В первом случае χ = ра, и т(х) = а + 1. Таким образом,
а + 1 = 33, то есть а = 32 и χ = ρ22. Во втором случае χ = paq&',
и т(х) = (а + \)(β + 1). Таким образом, (а + \)(β + 1) = 3 · 11, то есть
а = 2, β = 10, и χ = p2q10. Таким образом, решениями уравнения
т(х) = 33 являются числа ρ32, ρ € Ρ и pV°, ρ, ς € Ρ, рфц.
Поскольку 24|ж, то в каноническое разложение χ входят числа 23
и 3. Таким образом, χ = З2 · 210, то есть χ = 9216. >
56
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
3. Решите уравнение т(2х) = т(Ъх).
Решение. Запишем натуральное число χ в виде χ = 2а3@у, где а
и β — целые неотрицательные числа, а натуральное число у не
делится ни на 2, ни на 3, то есть (2, у) = (3, у) = 1. В этом случае
т(2х) = т(2а+1)т(3^)т(у), т{Ъх) = т(2а)т(3^+1)т(у), и после
сокращения на отличное от нуля число т(у) уравнение т(2х) = т(3х)
принимает вид r(2a+l)r(3^) = r(2a)r(3^+l). Отсюда следует
равенство (а + 2)(β + 1) = (α + 1)(β + 2), или, что то же, равенство а = β.
Таким образом, решениями уравнения т(2х) = т(3х) являются все
натуральные числа вида 2аЗау, где а — целое неотрицательное число,
а натуральное число у не делится ни на 2, ни на 3. >
4. Решите уравнение σ(χ) = χ + 3.
Решение. Легко видеть, что χ φ \. Тогда среди натуральных
делителей числа χ присутствуют по крайней мере два числа: 1 и ж.
Поскольку сумма делителей числа χ равна χ + 3, то помимо
делителей 1 и χ число χ обладает ровно одним натуральным делителем 2.
Это возможно лишь в случае χ = 4.
Таким образом, единственным решением уравнения σ(χ) = χ + 3
является число 4. >
Упражнения
Вычислите
а) т(100)
б) т(123)
в) г(169)
г) σ(50);
Д) σ(101);
е) σ(200);
ж) τ(σ(12)!)
Делится ли:
а) τ(σ(37))! на (σ(11))7;
б) τ(σ(41))! на (σ(7))6;
Является ли целым число:
з) гИЗ!));
н) σ(τ(5!));
о) σ(τ(3!));
π) σ(τ(10)!);
Ρ) σ(τ(16)!).
в) σ(τ(12)!) на (г(7))10;
г) σ(τ(24)!) на (r(4))12?
а)
_σ(15)!_.
τ(σ(15))!'
б)
σ(19)!
r(19!);
в)
8!
τ(σ(15))!'
г)
20!
r(20!)
§ 9. Число и сумма делителей
57
и) σ(χ) = χ;
к) σ(χ) = χ + 1;
л) σ(χ) = χ + 2;
μ) σ(χ) = χ + 4.
4. Решите уравнение:
а) τ(χ) = 14, 12|χ; д) т(5х) = τ(7χ);
б) τ(χ) = 22, 18 |ζ; е) т(2х) = т(Пх);
в) т(ж) = 21, 24|ж; ж) г(13ж) = т(Пх);
г) т(ж) = 505, 75|ж; з) т(3ж) = г(37ж);
5. Найдите натуральное число га, если га = ρας^, г (га) = 6, и σ(η) = 28.
6. Найдите натуральное число га, если га = 32pq, и σ(η) = Зга.
7. Докажите, что для га = т2, т € Ζ, величина г(га) нечетна. Верно ли
обратное?
8. Докажите, что для бесквадратного числа га величина г(га) является
степенью двойки. Верно ли обратное?
Задачи
1. Вычислите при га = Ν - 5[Ν/5\ + 5, JV € {1, 2, 3,..., 25}:
а) r(100ra);
б) σ(10η);
2. Решите уравнение:
а) т(х) = 2;
б) г(ж) = 11;
в) т(х) = 13;
г) т(х) = 17;
д) г(х) = 101;
е) т{х)=р;
ж) т(х) = 6;
з) т(х) = 10;
в) г(2га+100);
г) σ(2η + 1);
д) г(2га3);
е) σ(3η2).
с) т(Ъх) = т(5х);
т) г(рж) = r(qx);
у) σ(χ) = 3;
φ) σ(χ) = 4;
χ) σ(χ) = 6;
ц) σ(χ) = χ+ 6]
ч) σ(χ) = χ + 5;
ш) σ(χ) = ж + 7.
и) τ (χ) = pq;
κ) τ(χ) = 20;
л) г (ж) = 50;
μ) τ(χ) =pq2;
н) т(Ъх) = г(13ж);
о) т(5х) = т(Пх);
п) г(11ж)=г(13ж);
р) г(3ж)=г(7ж);
3. Решите уравнение г(ж) = 2га, если η = Ν-5[Ν/5\ +5, iV € {1,2,3,
...,30}.
4. Найдите наименьшее натуральное число га, такое что:
а)г(га) = 11; б)г(га) = 22; в) г(га) = 13; г) г(га) = 39.
5. Найдите наименьшее натуральное число, имеющее 10 натуральных
делителей; все двузначные натуральные числа, имеющие 10
натуральных делителей.
6. Найдите все натуральные га, для которых г (га) = 9, а σ(η) = 91.
7. Найдите натуральное число га, если га = 32pq, а σ(η) = 27га/10.
8. Найдите г (га3), если известно, что г (га2) = 15.
58 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
9. Найдите сумму делителей числа 240, не делящихся на 3.
10. Найдите все натуральные числа га < 100, такие что σ(η) = 2га.
11. Докажите теорему Евклида—Эйлера: для любого четного натурального
числа га равенство σ(η) = 2га имеет место тогда и только тогда, когда
η = 2*_|(2*- 1),где2*- 1 € Р.
12. Докажите:
а) г(1) + г(2) +... + r(ra) = |ra/lj + |ra/2j + ... + |ra/raj;
б) σ(1) + σ(2) + ... + σ{η) = 1 · [η/1 J + 2 ■ [η/2\ + ...+П- [ra/raj.
13. Докажите:
а) 2|r(ra) => η φ а1; д) (α, &) > 1 => т(а)т(Ь) > т(аЬ);
б) (т(тпп), га) = 1; е) (а, &) > 1 => σ(α)σ{ο) > σ{αο);
в) га > 2 => г (га) < га; ж) Пф d = "0,5τ(η)·
г) га € S => σ(η) > га + -v/й;
§ 10. Функция Эйлера
Для данного натурального числа га функция Эйлера ψ(η) определяется
как число натуральных чисел, не превосходящих га и взаимно простых с га:
ψ(η) = \{х € Ν : χ < га, (ж, га) = 1}|.
Например, у>(8) = 4, так как ровно четыре натуральных числа, не
превосходящих 8 (именно, числа 1, 3, 5 и 7), являются взаимно простыми с 8.
Свойства функции Эйлера
1. <р(р) = ρ - 1 для любого простого р.
2. <р(ра) =ра — ра~1 для любого простого ρ и любого натурального а.
3. Функция Эйлера мультипликативна.
4. <p(pV-p?:..-pf)=P?-l-p?-l:..-pf-l(pi-l)-(P2-l):.-(Ps-l).
5. Χ) ψ(ά) = η (тождество Гаусса).
d\n
Так, первое свойство очевидно, поскольку среди ρ натуральных чисел,
не превосходящих простого числа р, только число ρ не является взаимно
простым с р. Аналогично, среди ра натуральных чисел 1,2,... ,ра
имеется ровно ра~х чисел (именно, р,р2,р3,... ,ра), не являющихся взаимно
простыми с ра, что доказывает второе свойство. Доказательства остальных
свойств можно найти, например, в [3]. Заметим, что свойство 4 может быть
записано
в следующем виде: ψ(η) = га(1 )·(1 ]·...·[ 1 I
V Pi/ V Pi) \ PsJ
для η=ρ°>ρψ-...·ρ°·.
§10. Функция Эйлера
59
Примеры решения задач
1. Вычислите: φ(12); у>(63000).
Решение. Поскольку среди чисел 1,2,3,..., 12 ровно 4 числа (именно,
числа 1, 5, 7, 11) взаимно просты с 12, то, по определению, у>(12) = 4.
Впрочем, мы можем и воспользоваться формулой: у>(12) = у>(22 - 3) =
= 21 · 3°(2 - 1)(3 - 1) = 22 = 4. Поскольку 63 000 = 23 · З2 · 53 · 7, то
^(63000) = φ(23 ■ З2 · 53 · 7) = 22 · З1 · 52 · 7°(2 - 1)(3 - 1)(5 - 1)(7 - 1) =
= 26 · З3 · 5 = 8640. >
2. Сколько существует правильных несократимых дробей со
знаменателем 150?
Решение. Дробь а/150 является правильной несократимой дробью
тогда и только тогда, когда а € Ν, а < 150 и (о, 150) = 1. Легко
видеть, что число таких дробей равно у>(150). Поскольку у(150) =
= φ(2 · 3 · 52) = 5 · (2 - 1)(3 - 1)(5 - 1) = 40, то и число правильных
несократимых дробей со знаменателем 150 равно 40. >
3. Найдите количество натуральных чисел га, не превосходящих 615,
таких что (га, 615) = 15.
Решение. В этом случае натуральное число га/15 < 41, и (га/15,41) = 1.
Количество таких чисел равно у(41) = 40. Таким образом, и
количество натуральных чисел га, не превосходящих 615, таких что
(га, 615) = 15, равно 40. >
4. Решите уравнение ψ(χ) = ж/3.
Решение. Очевидно, что χ Φ 1. В этом случае χ обладает
каноническим разложением χ = р"' ·... -р^*, и ψ(χ) = х(1 - 1/р,)... (1 - 1/р*).
После сокращения на χ наше уравнение принимает вид (1 - 1/ρι)...
... (1 - l/Pk) = 1/3. Выписывая возможные множители левой части
1/2, 2/3, 4/5, 6/7,... , мы видим, что дробь 1/3 может быть
получена только при перемножении дробей 1/2 и 2/3. Таким образом,
ж = 2°-30, гдеа,/3€ N. >
5. Решите уравнение φ(2χ) = φ(3χ).
Решение. Запишем натуральное число χ в виде χ = 2а3^у, где а
и β — целые неотрицательные числа, а натуральное число у не
делится ни на 2, ни на 3, то есть (2, у) = (3, у) = 1. В этом случае
ψ(2χ) = <р(2а+1)<р(ЗР)<р(у), <р(3х) = <р(2а)<р(ЪР+х)1р(у), и после
сокращения на отличное от нуля число у)(у) уравнение ψ(2χ) = φ(3χ)
принимает вид φ(2α+χ)φ(?>Ρ) = φ(2α)φ(3^+ι).
60
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
Поскольку ψ(2α+χ) = 2а и φ(3^+ι) = 2-3^, то мы получаем уравнение
2αψ{^) = 2·Ρψ{2α).
Если а = 0, β = 0, то уравнение принимает вид 1 = 2, что дает
противоречие.
Если а = 0, β Φ 0, то уравнение принимает вид 2 · 3^_| =2-3^, что
также дает противоречие.
Если а ф 0, β = 0, то уравнение превращается в тождество 2° =
= 2 · 2α_ι, верное при всех таких а и β.
Если а Ф 0, β Φ 0, то уравнение принимает вид 2α·2·3^_ι = 2·3^·2α_ι,
что вновь ведет к противоречию.
Таким образом, множеству решений уравнения ψ{2χ) = φ(3χ)
принадлежат все натуральные числа вида 2ау, где а 6 Ν, а натуральное
число у не делится ни на 2, ни на 3. >
6. Решите уравнение ψ(χ) = 2.
Решение. Очевидно, что χ Φ 1. В этом случае χ обладает каноническим
разложением ж = р^-.-.-р^ ,н<р(х) = ρ"1-1·.. .·ρ^*_Ι(ρι — 1) ··· (ρ*—1).
Пусть ψ{χ) = 2т1, где Ζ нечетно. Поскольку для нечетного простого
числа ρ величина ρ - 1 четна, то в каноническом разложении χ
имеется не более га нечетных простых множителей. Другими словами,
к < га + 1, причем если к = га + 1, то р\ =2.
В нашем случае га = 1, то есть к < 2, причем если к = 2, то р\ = 2.
Пусть к = 1, то есть χ = ра.
Если ρ = 2, то ψ{χ) = ψ{2α) = 2α_ι, и наше уравнение принимает
вид 2а_| = 2, откуда следует, что а = 2их = 22 = 4.
Если ρ Φ 2, το ψ(χ) = φ(ρα) = ра~х(р - 1), и наше уравнение
принимает вид ра_|(р - 1) = 2, откуда следует, что ρ - 1 = 2 и ра_| = 1.
Таким образом, р = 3,а=1,иж = 3.
Пусть к = 2, то есть ж = 2ар".
Тогда φ(χ) = ψ(2αρΒ) = 2а~1рв~1 (ρ - 1), и наше уравнение принимает
вид 2а~хрР~х(р - 1) = 2, откуда следует, что ρ - 1 = 2, 2α_ι = 1,
и ρ"-1 = 1. Таким образом, ρ = 3, α = β=1,πχ = 2·3 = 6.
Итак, решения уравнения φ(χ)=2 — это натуральные числа 3, 4 и 6. Е>
Упражнения
1. Вычислите:
а) ^(13); г) ^(1000000); ж) ^(12)!); к) ^σ(101));
6)^(125); д)^(125)); з) ^(20)!); л) ^г(ЮО));
в) у>(1000); е) ¥#(1000)); и) φ(σ(14)); м) ¥>(г(101)).
§10. Функция Эйпера
61
2. Сколькими нулями в «7-ичной системе счисления оканчивается число:
а) р(528)!, д = 15; в) ¥#(13))!, д = 14; д) ¥#(144))!, д = 8;
б) у(30)!, д = 12; г) φ(σ(Π))\, д = 20; е) ¥#(196)!, д = 27.
3. Сколько существует правильных несократимых дробей со знаменателем:
а) 180; б) 200; в) т(1000); г) г(10000)?
4. Найдите количество натуральных чисел га, не превосходящих 200,
таких что (га, 200) = 4.
5. Найдите количество натуральных чисел га, не превосходящих 500,
таких что (га, 500) = 10.
6. Найдите количество натуральных чисел га, не превосходящих 50,
таких что (га, 10) = 2.
7. Найдите количество натуральных чисел га, не превосходящих 1000,
таких что (га, 200) = 8.
8. Решите уравнение:
а) ψ(χ) = 2ж/3; ж)7¥#) = 2ж; н) ψ(χ) = 6;
б) φ(χ) = 4ι/11; з) 15у>(ж) = Αχ; ο) ψ{χ) = 10;
в) ψ{χ) = ж/6; и) ψ(2χ) = φ(5χ); п) ψ{χ) = 3;
г) ψ{χ) = ж/12; к) φ(3χ) = φ(5χ); ρ) φ(χ) = 4.
д) 7φ(χ) = Ах; л) у>(13ж) = ψ{Πχ);
е) Ίψ{χ) = Зж; м) φ(2χ) = у>(31ж);
Задачи
1. Вычислите:
а) ¥#(27)!); . ¥#Q2)). , Ч>(Щ
б) τ(σ(φ(20)))\; > τ(σ(12))' 4(120)'
2. Запишите каноническое разложение числа:
а) (¥#(21))!); б) (¥#(27))!); в) ¥>(275)'(275>; г) ¥#05)'(405>.
3. Являются ли целыми числа:
я\ &.. „ч ^(22!) ¥>(г(100)!). ¥>(г(200)!)о
' т(19!)' ' т(22!)' ' ¥>(Ю) ' Г' т(22) '
4. Делится ли:
а) ¥#06)! на г(506)!; в) ¥>(Ю0)! на (г(100))т<|00>;
б) ¥#00)! на г(200)!; г) ¥#0)! на (г(50))т<50>?
62
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
5. Найдите число правильных несократимых дробей со знаменателем:
а) 90; 6)114; в) 12!; г) 15!; д)р,гдербР.
6. Сколько существует правильных несократимых дробей со
знаменателем, делящим 2002?
7. Сколькими нулями оканчивается число:
а) у>(528)! в 12-й системе счисления;
б) у>(506)! в 48-й системе счисления;
в) у>(400)! в 48-й системе счисления;
г) у>(396)! в 48-й системе счисления?
8. Найдите число натуральных чисел, не превосходящих 1000 и взаимно
простых с 77.
9. Найдите число натуральных чисел, не превосходящих 875 и взаимно
простых с 175.
10. Найдите число натуральных чисел, не превосходящих 230 - 1 и
взаимно простых с 210 - 1.
11. Найдите число натуральных чисел, не превосходящих 8! и взаимно
простых с 6!.
12. Найдите число натуральных чисел га, не превосходящих 1665 и
удовлетворяющих условию (1665, га) = 15.
13. Решите уравнение:
а) φ(χ) = 8; в) φ(χ) = 14; д) ψ{χ) = 20; ж) φ(χ) = 40;
б) φ(χ) = 12; г) φ(χ) = 16; е) ψ{χ) = 24; з) ψ{χ) = 50.
14. Найдите все четные натуральные га < 50, для которых уравнение
ψ{χ) = га не имеет решений.
15. Решите уравнение:
а)у>(х) = г(1519); в) φ(χ) = σ(5);
б) у>(0,5х) = г(70); г) у>(0,5х) = σ(3).
16. Решите уравнение:
а) ψ{2χ) = φ(7χ); в) φ(5χ) = φ(7χ); д) φ(3χ) = φ(5χ);
б) φ(\1χ) = φ(2χ); ή φ(11χ) = φ(7χ); е) у>(31ж) = y>(101x).
17. Решите уравнение φ(ρχ)=4>{qx), если ρ и q — различные простые числа.
18. Решите уравнение:
а) φ(χ) = ж/4; г) ψ{χ) = 8ж/13; ж) ψ(χ) = 64ж/129;
б) φ(χ) = 8ж/11; д) φ(χ) = 9ж/19; з) φ(χ) = 7ж/5.
в) ψ{χ) = 4ж/5; е) φ(χ) = 16ж/33;
§11. Функция Мебиуса 63
19. Решите уравнение φ(χ) = (ρ - 1)х/р, если ρ — простое число.
20. Найдите натуральное число га, если га = 3° ■ 5^, и ψ{η) = 600.
21. Найдите натуральное число га, если φ(7η) = 705 894.
22. Найдите натуральное число га, если φ(3η) = 162.
23. При каких натуральных χ имеет место равенство:
а) <р(6х - 3) = <р(2х - 1);
б) ^(Зж + 1) = φ(6χ + 2);
в) φ(3χ- 1) = у>(9ж-3).
24. При каких натуральных га имеет место соотношение 2\φ(ή)Ί
25. Вычислите Σ ^пг1» где « 6 К, s > 1.
*=о Ρ s
26. Докажите:
а) φ(4ή) = 2ψ{2η);
б) у»(4га + 2) = у»(2га+1);
в) га> 1 => 4|у>(га2+ 1);
г) о|6 => y>(«z)|y>(&);
^>(αδ) d
д) (о, 6) = d ^ - ,
¥>(<»МЬ) ¥>(<*)
е) (о, Ь) > 1 =* <р(а)<р(Ь) < <р(аЬ);
з) у>(га) + г (га) = σ(η) Ф> га 6 Р;
и) у>(га) + σ(η) = гаг (га) Ф> га 6 Р;
к) р,2р+1 6 Ρ =»· у>(4р + 2) = у>(4р)+2.
27. Докажите, что |{ж 6 N : ж ^ fcra, (ж, m) = 1}| = Ь[]р|т(1 - 1/р),
где fe, га 6 N.
28. Что больше: <р(т2) или φ2(τή)?
29. Докажите:
а) Σ y(fe)Lra/feJ = ra(ra + 1)/2; в) Σ[l/(n, *)J = р(га);
*=ι *=ι
б) Σ τ{ά)ψ{η/ά) = σ{η); γ) Σ (», *) = Σ d<p(n/d).
Φ *=ι Φ
§ 11. Функция Мебиуса
Рассмотрим функцию Мебиуса μ(η), определенную для всех
натуральных га и принимающую значения из множества {-1,0, 1} в зависимости
от разложения га на простые множители: μ(η) = 1, если га — бесквад-
64
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
ратное число с четным числом простых делителей; μ (га) = — 1, если га —
бесквадратное число с нечетным числом простых делителей; μ(η) = О,
если га не является бесквадратным. Другими словами,
1, если га = 1,
Мга) = { ("О'. если га = ρ, ·... · ps, где pi е Ρ, κρχφ Pj при i φ j,
0, если Зр е Ρ :ρ2\η.
Например, μ(6) = 1, поскольку 6 = 2-3 — бесквадратное число, имеющее
два простых делителя; /ί(70) = -1, поскольку 70 = 2-5-7 — бесквадратное
число, имеющее три простых делителя; /ί(50) = 0, поскольку 50 = 2 ·
52 делится на квадрат простого числа 5, и, следовательно, не является
бес квадратным.
Свойства функции Мебиуса
1. Функция Мебиуса мультипликативна.
2. Χ) μ(ά) = 1 для га = 1, и £) μ(ά) = 0 для га > 1.
d\n d\n
3. F(n) = Σ /00 > если и только если /(га) = Σ μ(ά)Ρ(η/ά) (формула
d\n d\n
обращения Мебиуса).
4. E/i(d)r(ra/d)=l.
d\n
5. Σμ(ά)η/ά = φ{η).
d\n
6. Σ μ(ά)σ(η/ά) = га.
d\n
Так, первое свойство можно доказать непосредственной проверкой.
Для доказательства второго свойства прежде всего убедимся в том, что
Σ μ{ά) = μ(1) = 1. Если же га ф 1, то га = р"' · ... ■ pf, и £) μ(ά) =
d\\ d\n
= nUO + μ(ρύ + μ(ρϊ) + ■■■ + μ(ρ?)) = Π<=ι(ΐ - ι+ ο +...+ ο) = ο.
Доказательство формулы обращения Мебиуса основано, с одной стороны,
на цепочке равенств
5>(d)F(ra/d) = £>(d) £ /(с) = 5>(<*)/(с) = £ДС) £>(<*) = /(")■
d|n d|n c|n/d cd|n c|n d\n/c
С другой стороны,
Σ № = Σ Σ 1*№Ш = Σ *"(*) Σ n/fe' Mc) = *»■
. d|n d|n c\d k\n с
Более детальные рассуждения можно найти, например, в [3].
§11. Функция Мебиуса
65
примеры решения задач
1. Вычислите: μ(30); μ(101); /ί(210); μ(300).
Решение. Поскольку 30 = 2-3-5, то μ(30) = μ(2·3-5) = (-1)3 = -1.
Поскольку 101 6 Ρ,τομ(ΙΟΙ) = (-1)1 = -1. Поскольку 210 = 2-3-5-7,
то /ί(210) = μ(2 ■ 3 · 5 · 7) = (-1)4 = 1. Поскольку 300 = 22 ■ 3 · 52, то
/ί(300) = μ(22 · 3 · 52) = 0. >
2. Решите уравнение μ(2χ) = μ(3χ), χ 6 [1, 20].
Решение. Запишем натуральное число χ в виде χ = 2а2Ру, где α
и β — целые неотрицательные числа, а натуральное число у не
делится ни на 2, ни на 3, то есть (2, у) = (3, у) = 1. В этом случае
μ(2χ) = М2а+|)МЗ")МУ), МЗя) = μ(2α)μ(^+^)μ(ν). Если μ(ν) = 0,
то есть в случае делимости числа у на квадрат некоторого
простого числа, равенство выполнено. Если /i(y) φ 0, то есть в том
случае, когда у — бесквадратное число, после сокращения на
отличное от нуля число /i(y) уравнение μ(2χ) = μ(3χ) принимает вид
/ί(2α+,)MЗ<')=M2<W+,)·
Если а > 1 или β > 1, то уравнение превращается в тождество 0 = 0.
Если а = 0 к β = 0, то уравнение принимает вид μ(2) = μ(3), то
есть превращается в тождество -1 = -1.
Если а = 0, β = 1, то уравнение принимает вид 1=0, что дает
противоречие.
Если а = 1, β = 0, то уравнение принимает вид 0=1, что дает
противоречие.
Если а = 1 и β = 1, то уравнение превращается в тождество 0 = 0.
Таким образом, множеству решений уравнения μ(2χ) = μ(3χ)
принадлежат все натуральные числа, кроме бесквадратных чисел вида 2у
или Ъу, где (у, 2) = (у, 3) = 1. Среди натуральных чисел от 1 до 20
такими числами будут 2, 3, 10, 14 и 15. Таким образом, решениями
нашего уравнения на отрезке [1,20] будут числа 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 16, 17, 18, 19 и 20. >
3. Проверьте тождество Σ μ(ά)τ(η/(ϊ) = 1 для га 6 {1, 5, 10,20}; дока-
Ф
жите его для любого натурального га.
Решение. При га = 1 утверждение тривиально: Σ μ(ά)τ(1/ά) =
= /i(l)r(l/l) = 1-1 = 1. При га = 20 мы получаем следующую цепочку
равенств: Σ μ{ά)τ{\/ά) = /i(l)r(20/l) + μ(2)τ(20/2) + /i(4)r(20/4) +
ri|20
+ /i(5)r(20/5) + /i(10)r(20/10) + /i(20)r(20/20) = 1 · 6 + (-1) ■ 4 +
66
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
+ 0·2 + (-1)·3 + (-1)2·2 + 0- 1=6-4-3 + 2 = 1. Доказать
тождество можно, пользуясь формулой обращения Мебиуса: поскольку
т(п) = X) 1, то, взяв i\ra) = г(га) и /(га) = 1, мы получим, что
Σ μ(ά)Ρ(η/(ϊ) = /(га), или, что то же, Σ μ{ά)τ(η/ά) = 1. Впрочем,
d\n d\n
доказательство можно получить и непосредственно: Σ μ{ά)τ(η/ά) =
= ΣΜ<*)Σ ι = ΣΜ^) = Σΐ ΣΜΌ = ΐ· " >
d\n c\n/d cd\n c\n d\n/c
4. Запишите сумму Σ Kty/d в виде произведения.
d\n
Решение. Поскольку функции /ι (га) = μ(ή) и /г(га) = 1/га
мультипликативны, то мультипликативна и функция /(га) = μ(η)/η,
являющаяся произведением функций /ι (га) и /г(га). Тогда Σ /00 =
d\n
= Πΐ=,(1 + f(Pi) + /(Ρ?) + ■■■ + /(Pf)) Для ra = ρ?' ·... ·ρ?«. Другими
словами,
t * ЧУ p. W +-+ οΓ ,=
_Π(,_1+0 + ...+0).
Таким образом, для га = ρ"1 ·... · ρ?' имеет место формула
£?-('-*)■(-*)■·-(-£)■ >
α|η
Замечание. Поскольку (1 - 1/рг) · ... ■ (1 - 1/р») = ψ{η)/η для η =
= ρ"1 · ...· ρ?', то мы доказали формулу Σ /*(Ό/^ = у(")/я> или, что то же,
свойство 4 функции Мебиуса: Σ f*(d)n/d = φ(ή).
d\n
Упражнения
1. Вычислите:
a)/i(65); в)М91); Д)М68); ж) /ί(242);
б) /ί(66); г) μ(330); е) /ί(135); з) μ(250).
§11. Функция Мебиуса
67
2. Вычислите:
α) μ(σ(14)); б) μ(τ(10)\). в) μ(φ(15)); г) МЮ!/(5!5!)).
3. Решите уравнение:
а) μ(5χ) = μ(3χ), χ 6 [5, 25]; в) μ(3χ) = μ(7χ), χ 6 [40,70];
б) μ(2χ) = μ(7χ), ж 6 [10, 30]; г) μ(5χ) = μ(7χ), χ 6 [40,60].
4. Проверьте тождество Χ) μ(ά)σ{η/ά) = η для га 6 {1, 5,10,20}; дока-
d|n
жите его для любого натурального га.
5. Запишите сумму в виде произведения:
d|n d|n }%W 4^ηψ\άγ
*)Έμ(άΜ<ΐ); 6)ΣΜ^*; R^v^· T\ νμ1{ά)
din din в/ -^ ,„/j\ > *V L·, , ■>/ .ч ■
Задачи
1. Пусть i>(ra) — число различных простых делителей натурального числа га,
и П(га) — число всех возможных простых делителей натурального числа га,
считаемых с повторениями. Докажите, что μ(η) = (-1)"^ = (-1)Ω("),
если i>(ra) = П(га), и μ(η) = 0 в остальных случаях.
η
2. Найдите значения функции Мертенса М(га) = Χ) μ(ϊ) для всех га 6 {1,2,
1=1
...,20}.
3. Найдите сумму:
а)ЕМ<*)/<*; e)EMn/<*)(-3)"(d);
d|n d|n
6)Έμ(ά)/τ(ά); κ)Σ,μ\ά)/φ{ά);
d|n d|n
в) Σ μ{ά)τ\ά); з) Σ μ{η/ά)ά/ψ{ά);
d|n d|n
r)EM"A*)(-7)"(d); M)E/i(d)2"(d);
d|n d|n
д)ЕМ<*)3"(<,); к) £>("/<*)(-i)"(d)-
d|n d|n
4. Докажите, что X) μ(d) = 0, где га 6 Ν
p(d)=n
5. Докажите, что X) |/i(d)| = 2"<").
d|n
6. Докажите, что μ{η) = X) e2»«*/n_
1^*^η,(*,η)=1
68
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
7. Докажите, что У) *-^ = ТТ(1 - ρ s), где β 6 Ε, 5 > 1.
i=i ras -*·■*■
11 pep
оо »(га)жп
8. Докажите, что У\ - = χ, где χ 6 Ε, \х\ < 1.
η=ι 1-*"
§ 12. Отношение сравнимости
Два целых числа о и Ь называются сравнимыми по модулю га, га 6 Ν,
если о и 6 имеют одинаковые остатки при делении на га, или, что то же,
если п\(а- Ь). В этом случае пишут а = 6(mod га).
Например, -27 = 15(mod7), так как -27 = 7 · (-4) + 1, и 15 =
= 7-2+1; другими словами, 15 - (-27) = 42, и 7|42. С другой стороны,
5 Φ -4(mod7), так как 5 = 7-0 + 5, но-4 = 7-(-1) + 3; другими словами,
5-(-4) = 9, и7|9.
Свойства отношения сравнимости
1. Отношение сравнимости = является отношением эквивалентности,
то есть:
• а = o(mod га) для любого целого а;
• если а = 6(mod га), то 6 ξ o(mod га);
• если а = 6(mod га) и 6 ξ c(mod га), то о ξ c(mod га).
2. Если а = ft(modra), то /(о) = /(6)(modra) для любого многочлена
/(ж) с целыми коэффициентами.
3. а = 6(mod га) Ф> ka = kb(mod kri), где к ΕΝ.
4. о ξ 6(mod га) Ф> ка = kb(mod га), где к 6 Z, (к, га) = 1.
(
5. <
а = Ь (modrai)
а = Ь (mod ra2)
а = b (mod га*)
Ф> а = 6(mod Μ), где Μ = [гаь гаг,..., га*]
Так, доказательство первого свойства следует из определения: а —
o(modra), поскольку а - а = 0, и га|0; если а = ft(modra), то га|(о - Ь), и,
следовательно, га|(6 - о), то есть Ь — o(modra); если а = 6(modra) и Ь —
c(modra), то га|(о-6), п\(Ь-с) и, следовательно, га|(о-6) + (6-с), то есть
га| (а -с), и а = c(mod га). Таким образом, отношение сравнимости обладает
свойствами рефлекстивности, симметричности и транзитивности, то есть
§12. Отношение сравнимости
69
является отношением эквивалентности. Доказательства остальных свойств
аналогичны; их можно найти, например, в [3].
примеры решения задач
1. Найдите остаток от деления /(86) на 11, если /(ж) = 15ж3 - ЗЗж2 + 7.
Решение. Для решения задачи заменим все чиада на «первом» этаже
сравнения остатками от деления на 11 или, что еще удобнее,
наименьшими по абсолютной величине числами, сравнимыми с ними по модулю 11:
86 ξ -2(modll); 15 = 4(modll); 33 = 0(mod 11), и 7 = -4(modll).
Тогда /(86) = /(-2)(mod 11), и мы получаем цепочку сравнений
/(-2) = 4(-2)3 - 0 ■ (-2)2 - 4 = -32 - 4 = -36 = -3 = 8(mod 11).
Таким образом, остаток от деления /(86) на 11 равен 8. >
2. Верно ли, что 10! = 7!(mod 1000)?
Решение. Разложив числа 11!, 7! и 1000 на простые множители, мы
получим сравнение 28·34·52·7·11 = 24-32-5-7(mod23-53). Сокращая все три
части сравнения на число 23 · 5, мы получим сравнение 25 · З4 · 5 · 7 · 11 =
= 2 ■ З2 · 7(mod 25). Сокращая две части сравнения на число 2 · З2 ■ 7,
взаимно простое с модулем 25, мы получим сравнение 24 · З2 · 5 · 11 ξ
= l(mod 25). Поскольку 23 · 3 = - l(mod 25), и 2 ■ 11 = -3(mod 25), то
24 · З2 · 5 · 11 = (-1) ■ (-3) · 3 · 5 = 9 · 5 = 20(mod 25). Таким образом,
первоначальное сравнение неверно. >
3. Найдите наименьшее натуральное четырехзначное число, сравнимое
с 23 по модулю 101.
Решение. Задача сводится к нахождению наименьшего целого
неотрицательного числа t, такого что 1000 +1 = 23 (mod 101). В этом
случае t = 23 - 1000 = 23 + 10 = 33(mod 101), то есть t = 33. Таким
образом, наименьшее натуральное четырехзначное число, сравнимое
с 23 по модулю 101, равно 1033. >
4. Докажите, что 92п+| + 8n+2 = 0(mod 73) для любого целого
неотрицательного числа га.
Решение. Легко видеть, что 92п+1+8п+2 = 9-81п+64-8" = 9·8η-9·8η =
= 0(mod73). >
Упражнения
1. Заполните табл. 6 для га = 5, если χ — наименьшее неотрицательное
число, сравнимое с о по модулю га, у — наибольшее отрицательное
число, сравнимое с о по модулю га, и ζ — наименьшее по абсолютной
величине число, сравнимое с о по модулю га.
70
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
Таблица 6
a
х = a(mod n)
у = a (mod n)
ζ ξ a(mod η)
3
17
35
-21
21
Таблица 7
η
χ ξ a(mod η)
у ξ a(mod η)
г ξ a(mod η)
3
7
12
100
121
2. Заполните табл. 7 для a = 200, если х — наименьшее неотрицательное
число, сравнимое с о по модулю га, у — наибольшее отрицательное
число, сравнимое с о по модулю га, и ζ — наименьшее по абсолютной
величине число, сравнимое с о по модулю га.
3. Найдите остаток от деления числа а на 17, если а = 1 - 4 · 1212 +
+ 1214-4-1216 + 1218-4- 12110+ 12112 - 4· 121м.
4. Найдите остаток от деления числа а на 21, если а = 2563·374-321·582+
+ 1292 · 532.
5. Найдите остаток от деления /(75) на 11, если /(ж) = ж10 +4ж7 -
- 22ж4 + 101.
6. Найдите остаток от деления /(55) на 17, если /(ж) = 35ж5 - 50ж4 +
+ 87ж + 177.
7. Верно ли, что:
а) 282 = 552(mod60); в) r(175) = 175(mod27);
б) ll! = 8!(modl6560); r) σ(115)Ξ 115(modll5)?
8. Докажите, что 24п+| +24п- Зп+| = 0(mod 13) для любого натурального
числа га.
9. Докажите, что 33n+2 + 2n+4 = 0(mod 25) для любого натурального
числа га.
10. Найдите наименьшее натуральное пятизначное число, сравнимое с 60
по модулю 109.
П. Найдите наибольшее натуральное четырехзначное число, сравнимое
с 14 по модулю 180.
§12. Отношение сравнимости
71
Заданы
1. Найдите остаток от деления /(24) на 13, если f{x) = 12ж6 - 15ж4 -
- 34ж3 + 39ж - 54.
2. Найдите остаток от деления /(24) на 19, если /(ж) = 5ж4 - 22ж3 -
-38ж2+25ж- 18.
3. Верно ли, что:
а) 3362 = 1142(mod 90); в) (|4) = ('5°)(mod 5710);
б) 11! = 8!(mod23 · 8!); г) ("74) = ('50)(mod636)?
4. Верно ли, что (32995 + б)18 = l(mod 112)?
5. При каких га имеет место сравнение:
а) З5 = 53(mod га); б) 5! ξ 4!(mod га)?
6. Докажите, что для любого целого а имеет место соотношение:
а) о5 = o(mod 10); в) о2 Φ 2(mod 3);
б) о7 ξ o(mod 7); г) о3 φ 4(mod 8).
7. При каких натуральных m имеет место сравнение:
а) т2 + 7т + 8 = 0(mod3);
б) (т + I)2 + т + 1024 = 0(mod 5);
в) т3 + 300т + 500 = 0(mod 5);
г) 2т4 + Зт2 + 4т + 50 = 0(mod 7);
д) 25 = 52(modm);
е) 10! = 5!(modm);
ж) v>(13!) = ^(15!)(modm);
з) ^(18!) = 0(mod2m)?
8. При каких натуральных га имеет место сравнение:
а) 51-52·...-300 = 0(modir); в) 31 -32-... -400 = 0(mod7n);
б) 51-52-...-300 = 0(modl5n); г) 31-32·...-400 = 0(mod33n)?
9. Докажите:
а) о ξ 6(mod га) ·» а = Ь + mt, где t 6 Ζ;
б) о ξ 6(mod га) ·» (2га - 1)о = (2га - l)6(mod d), где d 6 Ν, d\n;
в) o^6(modra) ·» (4га- 1)о* = (4ra- l)6*(modd), где к, d 6 Ν, d\n;
г) а = 6(modra) Ф> /(о) ξ /(6)(modd), где /(ж) = ж4п + ж2п + 1,
d 6 Ν, d\n.
10. Докажите, что (mra)! ξ 0(mod(m!)n · га!), где m, га 6 Ν.
11. Верно ли, что для любого нечетного числа а имеет место сравнение
a2" = l(mod2n+2)?
72
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
§ 13. Классы вычетов
Множество an={a;6Z:2;=a(modra)} = {...,a-2ra,a-ra,a,a+ra,a+2ra,
а+Зга,...} всех целых чисел, сравнимых с данным числом а по
модулю га, называется классом вычетов (числа а) по модулю га. При работе
с конкретным модулем га вместо символа а„ обычно используется символ а.
Например, 25 = {х 6 Ζ: χ = 2(mod5)} = {..., 2 - 3 · 5,2 - 2 ■ 5,2 - 5,2,
2 + 5,2 + 2-5,2 + 3-5,...}= ={...,-13,-8,-3,2,7,12,17,...}.
Сложение и умножение на множестве Z/raZ = {0П, 1„, 2„,..., (п - 1)„}
всех классов вычетов определяются следующим образом: а„+Ь„ = (а + Ь)„,
и an-bn = (ab)n. В этом случае Z/raZ превращается в коммутативное кольцо,
содержащее га элементов. Для простого числа ρ множество Ζ/ρΖ образует
поле (см., например, [3], [18]).
Свойства классов вычетов
1. an = {a + mt: t 6 Ζ}.
2. an = bn тогда и только тогда, когда а = 6(mod га).
3. Число классов вычетов по модулю га равно га.
4. Все числа одного класса вычетов по модулю га имеют с модулем га один
и тот же наибольший общий делитель: если χ 6 а„, то (х, га) = (о, га).
5. Число классов вычетов по модулю га, взаимно простых с га, равно
ψ{η), где ψ(η) — функция Эйлера.
6. Число классов вычетов по модулю га, являющихся делителями нуля,
равно га - φ(ή) - 1.
7. Один класс вычетов а„ по модулю га разбивается на к классов вычетов
«кп, (а + п)кп, (а + 2n)ta, ..., (а + (к - ^п)^, по модулю кп, Л 6 N.
Так, если χ 6 а„, то χ — o(modra), и, следовательно, χ = а + nt,
t 6 Ζ, что доказывает первое свойство. Теперь для доказательства свойства 7
достаточно заметить, что, по теореме о делении с остатком, t = kq + г,
q,r 6 Ζ, г 6 {0, 1,..., к - 1}, и, следовательно, x = a + nt = a +
+ n(kq + г) = (а + гаг) + (kn)q. Другими словами, χ = а + гаг (mod кп), где
г 6 {0, 1,..., к-1}, то есть χ принадлежит одному из классов вычетов а^,,
(а + п)к„, (а + 211)10,, ..., (а + (к - 1)п)|о| по модулю кп. Доказательства
остальных свойств можно найти, например, в [3].
Примеры решения задач
1. Составьте таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов
по модулю 3. Проверьте, что система (Ζ/3Ζ, +, ·) образует поле.
Решите в Ζ/3Ζ уравнения 2 + χ = 1;2·χ = 1;2·χ2-1 = 0.
§13. Классы вычетов
73
Таблица 8
а) 6)
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
0
ί
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
Решение. Рассмотрим множество Ζ/3Ζ = {0,1, 2}. Легко убедиться
в том, что таблицы сложения и умножения имеют представленный
табл. 8 вид.
Пользуясь табл. 8а), можно утверждать, что нулевым элементом
системы (Ζ/3Ζ, +, ·) является класс 0, и всякий элемент множества
Ζ/3Ζ имеет противоположный: -0 = 0 (так как 0 + 0 = 0), -1 = 2
(так как 1 + 2 = 0), и -2 = 1 (так как 2 + 1 = 0).
Пользуясь табл. 86), можно утверждать, что единичным элементом
системы (Ζ/3Ζ, +, ·) является класс 1, и всякий ненулевой элемент
множества Ζ/3Ζ имеет обратный: 1_| = 1 (так как Ы = 1),и2~'=2
(так как 2-2 = 1). Учитывая, что операции сложения и умножения
классов вычетов по модулю η обладают свойствами ассоциативности,
коммутативности и дистрибутивности, мы можем утверждать, что
система (Ζ/3Ζ, +, ·) образует поле.
Для решения первого уравнения 2+х = 1 заметим, что х = 1-2 = -1=2.
Впрочем, тот же результат можно получить, переходя к сравнениям
по модулю 3: 2 + х = 1ф>2 + ж = l(mod 3)ф>ж=1-2=-1 =
— 2(mod 3). Таким образом, единственным решением уравнения 2 +
χ = 1 является класс 2.
Для решения второго уравнения 2-х = 1 домножим обе части
уравнения на класс 2_| = 2: 2·2·χ = 2-1, или 4-х = 2, или χ = 2. Впрочем,
тот же результат можно получить, переходя к сравнениям по модулю
3:2·χ = 1ο 2х= l(mod3) Ф> Ах = 2(mod3) Ф> z = 2(mod3).
Таким образом, единственным решением уравнения 2-х = 1 является
класс 2.
Проделывая аналогичные преобразования для третьего уравнения,
записанного в виде 2 · х2 = 1, мы получим, что 2 · 2 · х2 = 2 · 1,
или 4-х2 = 2, или х2 = 2. Однако таблица умножения свидетельствует
о том, что таких классов нет. Таким образом, уравнение 2 ■ х2 — 1 =0
не имеет решений. [>
74
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Таблица 9
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
2. Составьте таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов
по модулю 4. Проверьте, что система (Z/4Z, +, ·) образует кольцо,
но не является полем. Укажите все делители нуля кольца (Z/4Z, +, ·).
Решите в Z/4Z уравнения 3 + χ = 2;3·χ = 2;3·χ2 + 1=0.
Решение. Рассмотрим множество Ζ/4Ζ = {0,1, 2,3}. Легко
убедиться в том, что таблицы сложения и умножения имеют представленный
табл. 9 вид.
Пользуясь табл. 9а), можно утверждать, что нулевым элементом
системы (Ζ/4Ζ, +, ■) является класс 0, и всякий элемент множества Ζ/4Ζ
имеет противоположный: -0 = 0, -1 = 3, -2 = 2 и -3 = 1.
Учитывая, что операции сложения и умножения классов вычетов по
модулю η обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и
дистрибутивности, мы можем утверждать, что система (Ζ/4Ζ, +, ·)
образует коммутативное кольцо с единицей.
Пользуясь табл. 96), можно утверждать, что единичным элементом
системы (Ζ/4Ζ, +, ·) является класс 1, однако не всякий ненулевой
элемент множества Ζ/4Ζ имеет обратный: 1_| = 1 (так как 1-1 = 1),
3_| = 3 (так как 3 ■ 3 = 1), но класс 2 не имеет обратного, поскольку
2 ■ а ф 1 для а 6 {1,2,3}. Таким образом, поля система (Ζ/4Ζ, +, ·)
не образует.
Напомним, что делителем нуля кольца (А, +, ■) называется такой
ненулевой элемент а £ А, для которого существует ненулевой элемент
Ь 6 А, такой что а ■ Ь = 0.
Таблица умножения позволяет утверждать, что единственным
делителем нуля кольца (Ζ/4Ζ, +, ·) является класс 2: 2-2 = 0. Заметим
что класс 2 — единственный ненулевой класс, не взаимно простой
с модулем 4.
Для решения первого уравнения 3 + χ = 2 заметим, что χ = 2 -
3 = —1 = 3. Впрочем, тот же результат можно получить, переходя
§13. Классы вычетов
75
к сравнениям по модулю 4: 3 + χ = 2 « 3 + χ = 2(mod 4) Ф>
ιξ2-3ξ-1ξ 3(mod4). Таким образом, единственным решением
уравнения 3 + χ = 2 является класс 3.
Для решения второго уравнения 3-х = 2 домножим обе части
уравнения на класс 3_| = 3: 3·3·χ = 3-2, или 9·χ = 2, или χ = 2. Впрочем,
тот же результат можно получить, переходя к сравнениям по модулю
4:3·χ = 2# Зх = 2(mod 4) Ф> 9х = 6(mod 4) Ф> х = 2(mod 4).
Таким образом, единственным решением уравнения 3-х = 2 является
класс 2.
Проделывая аналогичные преобразования для третьего уравнения
Зх2 + 1=0, мы получим, что 3·3·χ2 + 3-1 = 3·0, или 9·χ2 + 3 = 0,
или х2 = -3, или х2 = 1. Таблица умножения свидетельствует о том,
что существует ровно два класса вычетов по модулю 4, квадрат
которых равен 1: 1 и 3. Таким образом, уравнение 3 х2 + 1 = 0 имеет два
решения: классы 1 и 3. \>
3. Выпишите натуральные числа, не превосходящие 20 и
принадлежащие классу вычетов 2s.
Решение. По определению, 25 = {...,-13,-8,-3,2,7,12,17,22,...}.
Следовательно, искомыми числами являются числа 2, 7, 12 и 17. \>
4. Каким классам вычетов по модулю 15 принадлежат элементы класса
вычетов 25?
Решение. Класс 25 = {...,-13,-8,-3,2,7,12,17,22,...} разбивается
на три класса по модулю 15: 2J5, (2+5)is = 7is, и (2 + 2 · 5)ι5 = 1215.
При этом 2,s ={...,-43,-28,-13,2,17,32,47,52,...}, 7,5 = {...,
-23,-8,7,22,37,62,...}, и 12,5 = {...,-33,-18,-3, 12,27,42,57,
72,...}. [>
Упражнения
1. Составьте таблицы сложения и умножения в кольце классов
вычетов по модулю га, га 6 {5,6,7,8,9, 10, 11, 12}. Образует ли
система (Z/raZ, +, ·) кольцо; поле? Укажите все делители нуля кольца
(Z/raZ, +, ·). Решите в Z/raZ уравнения 4п + х„ = 2„; (п - 1)η ·χη = 3„;
(π-1)η·χη2+1=0.
2. Выпишите натуральные числа, не превосходящие 40, принадлежащие
классу вычетов З7.
3. Выпишите отрицательные числа, большие -25, принадлежащие
классу вычетов ЗЗ9.
4. Выпишите нечетные двузначные натуральные числа, принадлежащие
классу ll2s-
76
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
5. Выпишите четные двузначные натуральные числа, принадлежащие
классу 70ΐ5·
6. Запишите класс З7 в виде двух классов вычетов по модулю 14.
7. Запишите класс 4$ в виде трех классов вычетов по модулю 18.
8. Каким классам вычетов по модулю 24 принадлежат элементы класса
вычетов 34в?
9. Каким классам вычетов по модулю 20 принадлежат элементы класса
вычетов 123s?
Задачи
1. Найдите наименьший неотрицательный вычет класса ЮОд;
наименьший положительный вычет класса ЮОд; наибольший отрицательный
вычет класса ЮОд.
2. Найдите наименьший неотрицательный вычет класса (у>(20)!)„;
наименьший положительный вычет класса (у>(20)!)„; наибольший
отрицательный вычет класса (у>(20)!),,.
3. Найдите наименьшее трехзначное число, принадлежащее классу
вычетов 1д.
4. Найдите наибольшее двузначное число, принадлежащее классу
вычетов 240.
5. Докажите, что:
а) 735 = -925; б) 996 = -876; в) 3!8 = -2!8; г) 12!9 = 15!9.
6. Докажите, что:
a)26U46 = 23; в) 5,6U-3,6U2132 = 58;
б) 5,2 U -1,2 = 56; г) 11,8 U 20,8 U 7436 = 29.
7. Выполните действия:
а) 2,2 · 9,2 + 25,2; в) 344,7 Ч- 2,7 + 5 · (4,7)2;
б) 34,4 · 4М - 79,4; г) 2 · (52з)3 - 1823 - 69 · 523 4- h3 ■
8. В кольце классов вычетов по модулю 21 укажите все делители нуля
и решите уравнение Тг\ · X2i = О2,.
9. В кольце классов вычетов по модулю 22 укажите все делители нуля
и решите уравнение 422 · \гг = 1022·
10. В кольце классов вычетов по модулю 24 укажите все делители нуля
и решите уравнение Ъи^и = 6и-
11. В кольце классов вычетов по модулю 25 укажите все делители нуля
и решите уравнение 5г5 · X2S = О25·
§14. Полная и приведенная системы вычетов 77
12. В кольце классов вычетов по модулю 6га укажите все делители нуля
и решите уравнение п6п · х6п = Οβη, если га=N - 4 [Ν/4] + 5, N б {1,2,
3 25}.
13. Найдите все делители нуля в кольце Z/raZ, где габ {8,9,10,14,15,26,28}.
§ 14. Полная и приведенная системы вычетов
Полной системой вычетов по модулю η называется система чисел,
взятых по одному из каждого класса вычетов по модулю га.
Приведенной системой вычетов по модулю га называется система чисел,
взятых по одному из каждого класса вычетов, взаимно простого с
модулем га.
Введем для полной и приведенной системы вычетов по модулю га
обозначения ПСВ„ и ПрСВ„ соответственно.
Например, полными системами вычетов по модулю 5 являются
множества {0,1,2,3,4} (система наименьших неотрицательных вычетов), { -2, -1,0,
1, 2} (система абсолютно наименьших вычетов) и {-50,41, -3, 3, -441},
в то время как множества {1,2,3,4}, {-2, -1, 1, 2} и {41, -3, 3, -441}
образуют приведенные системы вычетов по модулю 5. Полной системой
вычетов по модулю 10 является, например, множество {0, 1, 2,3,4, 5,6, 7, 8,9}
(система наименьших неотрицательных вычетов), а соответствующая
приведенная система вычетов по модулю 10 имеет вид {1, 3, 7,9}.
Свойства полной и приведенной систем вычетов
1. |ПСВ„|=га.
2. |ПрСВ„| = φ(η), где φ(η) — функция Эйлера.
3. Если χ пробегает полную систему вычетов по модулю га, то и ах + Ь
пробегает полную систему вычетов по модулю га для любого целого Ь
и любого целого а, взаимно простого с га.
4. Если χ пробегает приведенную систему вычетов по модулю га, то
и ах пробегает полную систему вычетов по модулю га для любого
целого о, взаимно простого с га.
Так, для любого целого о, взаимно простого с га, сравнение ж, =
= ж,(mod га) имеет место тогда и только тогда, когда имеет место
сравнение axi ~ aXj(modn), и, для любого целого Ь, сравнение аж< =
= axj(modn) выполнено тогда и только тогда, когда выполнено
сравнение ах{ + b = axj + 6(mod га), что доказывает третье свойство. Для
доказательства четвертого свойства необходимо только добавить, что до-
множение числа х, взаимно простого с га, на число о, взаимно простое с га,
78
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
дает число ах, взаимно простое с га. Доказательства остальных свойств
очевидны; их можно найти, например, в [3].
Примеры решения задач
1. По модулю 15 выпишите:
а) полную систему вычетов;
б) приведенную систему вычетов;
в) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 4;
г) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 3;
д) полную систему вычетов, состоящую из чисел, сравнимых с 2
по модулю 14;
е) полную систему вычетов, состоящую из значений линейной
формы Ъх + 5у.
Решение. Простейшая полная система вычетов по модулю 15 имеет
вид {0,1, 2, 3,..., 13, 14}. Полными системами вычетов по модулю
15 являются множества {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7}
и {30, -13, 3,4,20, -9, 37,68, 9, -5,41,12, -2,14}.
Простейшая приведенная система вычетов по модулю 15 имеет вид
{1, 2,4,7, 8, 11, 13, 14}. Приведенными системами вычетов по модулю
15 являются множества {±1, ±2, ±4, ±7} и {-13,4,37,68,41, -2,14}.
Полная система вычетов по модулю 15, состоящая из чисел, делящихся
на 4, имеет, например, вид {Ах : χ = 0,1,2, 3,4,5, 6,7, 8,9,10,11,12,
13,14} = {0,4, 8, 12, 16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56}.
Полной системы вычетов по модулю 15, состоящей из чисел,
делящихся на 3, не существует, поскольку (3,15) φ 1.
Полная система вычетов по модулю 15, состоящая из чисел, сравнимых
с 2 по модулю 14, имеет вид {14ж+2: ж = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12,13,14} = {2,16,30,44,58,72,86,100,114,128,142,156,170,184,198}.
Полная система вычетов по модулю 15, состоящая из значений
линейной формы ЪхЛ-Ъу, имеет вид {Зх+5у : χ = 0, 1, 2; у = 0,1, 2, 3,4} =
= {0,3,6, 5, 8,11,10,13,16, 15,18,21,20,23,26}. \>
2. При каких га имеют место соотношения: |ПрСВ„| = 2;
|ПСВ„| = 3|ПрСВ„|?
Решение. Поскольку |ПрСВ„| = ψ{η), а |ПСВ„| = га, то первое
соотношение эквивалентно уравнению ψ{χ) = 2, решениями
которого являются числа 3, 4 и 6. Второе соотношение эквивалентно
уравнению ψ{χ) = ж/3, решениями которого являются числа вида
2α3", α,βζΝ. ϋ-
§14. Полная и приведенная системы вычетов 79
1. По модулю 10 выпишите:
а) полную систему вычетов;
б) приведенную систему вычетов;
в) полную систему вычетов, состоящую из'чисел, делящихся на 3;
г) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 4;
д) полную систему вычетов, состоящую из чисел, сравнимых с 6
по модулю 21;
е) полную систему вычетов, состоящую из значений линейной
формы 2х + 5у.
2. По модулю 18 выпишите:
а) полную систему вычетов;
б) приведенную систему вычетов;
в) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 2;
г) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 3;
д) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 5;
е) полную систему вычетов, состоящую из чисел, делящихся на 7;
ж) полную систему вычетов, состоящую из чисел, сравнимых с 3
по модулю 13;
з) полную систему вычетов, состоящую из значений линейной
формы 2х + 9у.
3. Выпишите полную систему вычетов по модулю 13 с помощью чисел,
сравнимых с тремя по модулю 22.
4. Выпишите полную систему вычетов по модулю 13 с помощью чисел,
сравнимых с 6 по модулю 22, и расположите ее в порядке возрастания
наименьших по абсолютной величине вычетов.
5. Выпишите полную систему вычетов по модулю 18 с помощью чисел,
сравнимых с 4 по модулю 11.
6. Для каких модулей полная система вычетов в семь раз длиннее, чем
приведенная?
7. Для каких модулей полная система вычетов в шесть раз длиннее, чем
приведенная?
8. Для каких модулей число чисел в приведенной системе вычетов
составляет 2/3 от числа чисел полной системы вычетов?
9. Для каких модулей число чисел в приведенной системе вычетов
составляет 4/5 от числа чисел полной системы вычетов?
80
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Задачи
1. Является ли система чисел {I, -10,2,30,8} полной системой вычетов
по какому-либо модулю?
2. Является ли система чисел {1,3,7,-1,-2} приведенной системой
вычетов по какому-либо модулю?
3. Выпишите полную (приведенную) систему наименьших
неотрицательных вычетов по модулю га, га 6 {2,3,..., 25}.
4. Выпишите полную (приведенную) систему наименьших по
абсолютной величине вычетов по модулю га, га 6 {2,3,..., 25}.
5. Выпишите полную (приведенную) систему наименьших двузначных
вычетов по модулю га, га 6 {2, 3,..., 25}.
6. Для каких модулей число чисел в приведенной системе вычетов равно
30?
7. Выпишите полную систему вычетов по модулю га, га 6 {2, 3,..., 25},
с помощью чисел, сравнимых с 3 по модулю 2га + 1.
8. Выпишите полную систему вычетов по модулю га, га 6 {2, 3,..., 25},
с помощью чисел, сравнимых с 6 по модулю 2га — 1, и расположите ее
в порядке возрастания наименьших по абсолютной величине вычетов.
9. Выпишите приведенную систему вычетов по модулю га, га 6 {2,3,..., 25},
с помощью чисел, делящихся на га - 1.
10. Выпишите приведенную систему вычетов по модулю га, га 6 {2,3,..., 25},
с помощью чисел, делящихся на га + I, и расположите ее в порядке
возрастания наименьших неотрицательных вычетов.
11. Выпишите полную систему вычетов по модулю 28, состоящую из
чисел, являющихся значениями линейной формы 7х + 4у.
12. Выпишите полную систему вычетов по модулю 30, состоящую из
чисел, являющихся значениями линейной формы \0х + Зу.
13. Выпишите полную систему вычетов по модулю pq, состоящую из
чисел, являющихся значениями линейной формы рх + qy, если
р, q 6 {2, 3,5,7,11,13, 17,19}, ρ ^q.
14. Для каких модулей приведенная система вычетов в три раза короче
полной?
15. Для каких модулей приведенная система вычетов в пять раз короче
полной?
16. Для каких модулей число чисел в приведенной системе вычетов
составляет 2/5 от числа чисел полной системы вычетов?
§15. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера 81
17. При каких натуральных га имеет место соотношение:
а) |ПрСВ2п| = |ПрСВ3п|; е) Ю|ПСВ„| = П|ПрСВ„|;
б) |ПрСВ2п| = |ПрСВ7п|; ж) И|ПрСВ„| = 5|ПСВ„|;
в) 1/4|ПСВ„| = |ПрСВ„|; з) 13|ПрСВ„| = 6|ПСВ„|;
г) 17|ПрСВ„| = 8|ПСВ„|; и) 8|ИСВ„| = 13|ПрСВ„|?
д) 17|ПрСВ„| = 16|ПСВ„|;
18. При каких натуральных га имеет место соотношение:
а) |ПрСВ„| = 3; в) |ПрСВ„| = 5; д) |ПрСВ„| = 10;
б) |ПрСВ„| = 4; г) |ПрСВ„| = 6; е) |ПрСВ„| = 12?
§ 15. Малая теорема Ферма
и теорема Эйлера
Малая теорема Ферма утверждает, что для любого простого ρ и любого
целого а имеет место сравнение ар = a(modp).
Часто используется и такая формулировка: если ρ — простое число,
и а — целое число, взаимно простое с р, то ар~1 = l(modp).
Теорема Эйлера утверждает, что для любого натурального числа га и
любого целого а, взаимно простого с га, имеет место сравнение αφ^ = l(mod га),
где φ(η) — функция Эйлера.
Теорема Эйлера является обобщением малой теоремы Ферма и, в свою
очередь, обобщается теоремой Кармайкла.
Теорема Кармайкла утверждает, что для взаимно простых чисел о и га
имеет место сравнение αχ^ = 1 (modга), где А(га) — функция Кармайкла:
\(ра) = <р(ра) для простого р^З и натурального α; λ(2α) = 2а~2 для
натурального α ^ 3, в то время как λ(2) = 1, и λ(4) = 2; наконец,
А(р"' · -. · · ρ"') = [λ(ρ"'),..., \(pf)\, где ρ, ,...,ps — различные простые
числа, а αϊ,... ,α, € N.
Для доказательства теоремы Эйлера достаточно рассмотреть приведенную
систему вычетов {х\, х2,..·, Χφ(η)} по модулю га. Поскольку (а, га) = 1, то
система {ах\, ож2, · · ·, αχφ(„)} также образует приведенную систему
вычетов по модулю га и, следовательно, для любого г 6 {1,2,..., <р(п)}
найдется j 6 {1,2,..., ψ{η)}, такое что ж< = aXj(mod га). Перемножая
почленно все эти сравнения, мы получим соотношение х\ · х^ · ... · χψ(η) =
= afW ·Χ\·χ2· ...· ^(„((mod га) и, сокращая две части полученного
сравнения на число Χ\·χι·...·χψ(η), взаимно простое с модулем га, мы получим
соотношение av^ = l(mod га).
82
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, поскольку
φ(ρ) = ρ - 1 для простого числа р. Доказательство теоремы Кармайкла
можно найти, например, в [3].
Примеры решения задач
1. Найдите остаток от деления !326 на 10.
Решение. Прежде всего заменим число 13 наименьшим по
абсолютной величине вычетом по модулю 10: 13 = 3(mod 10).
Поскольку (3,10) = 1, то З^10' = l(modlO). Поскольку у>(10) = 4, то
З26 = (З4)6 · З2 = З2 = 9(mod 10). Таким образом, остаток от
деления 1326 на 10 равен 9. >
20О2
2. Найдите остаток от деления 27 на 352.
720О2
Решение. Прежде всего заметим, что остатком от деления 27 на 352
является такое целое число х, что 27 = x(mod 352), и 0 ^ χ < 352.
Поскольку 352 = 25 · 11, то (27 ,352) = 25, откуда следует, что
χ = 25 · Х\. Разделив все три части выписанного выше сравнения
на 25, мы получим сравнение 27 ~5 = ж ι (mod 11).
Поскольку (2, 11) = 1, и ψ(\\) = 10, то 210 = l(mod 11). Найдем
остаток от деления числа 72002 — 5 на 10, то есть такое целое число у,
что 72002 - 5 = y(mod 10), и 0 < у < 10. В этом случае 27™2 =
= 2»(mod 11), то есть 2» = x,(mod 11).
Поскольку (7, 10) = 1 и у>(10) = 4, то 74 = l(mod 10). Поскольку
2002 = 4-500+2, то 72002-5 = (74)500·72-5 = 72-5 = 9-5 = 4(mod 10).
Таким образом, у = 4, и мы получаем сравнение 24 = ж ι (mod 11).
Поскольку 24 = 5(mod 11), то ж, = 5, и χ = 25 · ж, = 32 · 5 = 160. >
Упражнения
1. Найдите остаток от деления:
а)514на7; в) 5|0° на И; д) З100 на 16; ж) З20 на 28;
б) 2416 на 7; г) 15175 на 11; е) 37100 на 16; з) 31200 на 28.
2. Найдите наибольший отрицательный вычет, с которым сравнимо число:
а) 100345 по модулю 14; в) 99345 по модулю 54;
б) 301000 по модулю 22; г) 1000" по модулю 45.
§15. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера 83
3. Верноли,чтодля/(ж) = 292ж|8|-121ж|33+252ж122-171ж|2|-133ж62+3
имеет место сравнение:
а) /(24) = -2(mod 13); в) /(-55) = -4(mod 13);
б) /(-24) = 2(mod 11); г) /(55) = 4(mod 11)?
4. Найдите остаток от деления:
а) τ(265)σ<265> на у>(625); г) (5!)σ<25> на φ(7\);
б) у>(2011)^20") на 1 000000; д) σ(10)^100) на г(1000);
в) (б!)*5*25) на 9!; е) ^ΙΟΟΟ)^1000' на 17000000.
5. На какую цифру оканчивается число:
а) 32101 + 35301 в пятнадцатиричой системе счисления;
б) (8778 + 7887)(432234 - 501501) в восемнадцатиричой системе
счисления?
6. Найдите две последние цифры десятичной записи числа:
а)2999; в)52011; д) 1232010; ж) 200100;
б) З999; г) 72011; е) 5572012; з) 55550.
7. Найдите остаток от деления:
\ »<Ю00 л__ _х .гЭООО _л_ х _->1000 __, \ _ -> 1000 л~„
а) 55 на 325; б) 45 на 208; в) 53 на 275; г) З3 на 297.
8. На какую цифру оканчивается число:
а) 2723 в 37-ой системе счисления;
б) 3787 в 34-ой системе счисления?
9. Какому классу вычетов по модулю 351 принадлежит число З5 ?
10. Найдите наибольший отрицательный вычет, с которым сравнимо
число Ю|0° по модулю 71.
Задачи
1. Верно ли сравнение:
а) 22'45 + З2145 = 0(mod 11); в) 50151 + 616666 = -93(mod 99);
б) 152011 + 282011 = 0(mod 13); г) 29464 + 220330 = - 14(mod 45)?
2. Найдите остаток от деления:
а) 1771000 на 10; е) 315487 на 85; л) З1985 на 135;
б) З49 на 15; ж) 21000 на 100; м) 210000 на 176;
в) 26000 на 24; з) 151000 на 108; н) 151000 на 189;
г) 7143043 на 52; и) 145541 на 108; о) 22000 на 208;
д) 7143034 на 58; к) 211000° на 108; п) 21100° на 297;
84
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
р) З6000 на 297; т) 21|073 на 693;
с) З13000 на 351; у) З5000 на 891.
3. Найдите остаток от деления:
а) (1237156 + 34)28 на 11; в) 3830 · 2023 · 1731 на 215;
б) (3773 + 7337) · 10526 на 13; г) 3830 ■ 222 · 1831 на 215.
4. Найдите остатки от деления числа (8778 + 7887)(432234 - 501501) на Зга
ина2(га+1),если га = N - 4|Д/4| + 5, N £ {1, 2, 3,..., 25}.
5. Найдите остаток от деления:
а) /(100) на 30, если /(ж) = 2хт + Зж50 +4ж + 5;
б) /(200) на 90, если /(ж) = 2ж100 + Зж50 + 4ж + 5.
6. Верно ли сравнение:
a)/(47) = -14(mod7),
если /(ж) = 88ж122 + 121ж121 - 99ж110 + 131ж66 - ЮОж55 - 3;
б) /(24) ξ -8(mod 13),
если f(x) = 292xm - 121ж133+ 252ж|22171ж121 - 133ж62-3;
7. Делится ли:
а) /(75) на 11, если /(ж) = 88ж10 + 4ж7 - 22ж4 + 101;
б) /(33) на 7, если /(ж) = 55ж" + 111ж66 - 141ж45 - ЮОж33 - 99;
в) /(41) на 11, если/(ж) = 171ж|0|+555ж62+202ж5|-121ж22-90ж-3?
8. Найдите наименьшее по абсолютной величине число, с которым
201131 · 302251 · 17 сравнимо по модулю 233.
9. Найдите две последние цифры десятичной записи числа:
а) 22011; б) З2011; в) 42011; г) 72011; д) 92011.
10. Найдите две последние цифры числа:
а) 88|986 в пятеричной системе счисления;
б) 50'"° в троичной системе счисления;
в) 552000 в четверичной системе счисления.
г) 7720" в шестеричной системе счисления.
11. Найдите четыре последние цифры троичной записи числа 28|00°.
12. Найдите пять последних цифр двоичной записи числа 282000.
13. Найдите остаток от деления:
а) 9"™ на 14; д) 71430" на 52; и) 25'ш на 208;
б) 3157' на 17; е) 32'°° на 73; к) 53'ш на 275;
в) З3340 на 29; ж) 23'ш на 176; л) З3'000 на 297;
г) ΙΟ100™ на 49; з) 19852°°° на 200; м) 2з4°° на 324;
§15. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера 85
н) 55 на 325; п) б6 на 396;
о) З5 на 351; р) З3 на 420.
14. Найдите:
а) rest(27"-2, 70); в) rest(53" + 29, 77); д) restO^1™", 80);
б) rest(356°2-3, 50); г) rest(l Ι2"6-'4, 78); е) rest(7320', 63).
15. В какой класс вычетов по модулю 79 попадает число 819 ?
.,1002
16. Найдите наибольший отрицательный вычет числа 280 по модулю
275.
17. Найдите наименьшее по абсолютной величине число, с которым
8747 сравнимо по модулю 43.
18. Найдите абсолютно наименьший вычет числа 3003 по модулю 297.
19. Найдите последнюю цифру числа:
а) 2048 в двенадцатеричной системе счисления;
б) 2048 в двенадцатеричной системе счисления;
в) 137 в десятичной системе счисления;
г) 137 в десятичной системе счисления.
20. Найдите две последние цифры десятичной записи числа:
а) 1717'00; б) 1313'°°; в) 19|9'°°; г) 27"6'.
21. Найдите наибольший отрицательный вычет, с которым сравнимо
число 201,3,5"302М·17 по модулю 233.
22. Для любого натурального числа η найдите остаток от деления 521
на 37.
23. Найдите остаток от деления:
а) 77'' на 37; б) 22'2 на 324.
77' 77
24. На какую цифру оканчивается число 77 — 77 в десятичной системе
счисления?
25. Найдите две последние цифры десятичной записи числа 77 , если
в конструкции участвует 1001 семерка.
г
26. Найдите остаток от деления числа 21 на 7, если в конструкции
участвуют η двоек.
5
27. Найдите остаток от деления числа 55 на 35, если в конструкции
участвуют η пятерок.
^ 5
28. Найдите остаток от деления числа 55 на 100, если в конструкции
участвуют η пятерок.
86 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
29. При каких т имеет место сравнение:
a)m5 + 7m + 8E 0(mod 3);
б) (т + l)m + mm+l ξ 0(mod 3);
в) 2m100 + 3m50 + 4m + 5 = 0(mod 20)?
30. Докажите:
а) ρ 6 Ρ, ρ > 3 =i> αρ = o(mod 6p);
б) ο ξ b(modp), ρ 6Ρ=> αΡ-1+αρ-2δ+αρ~362+.. .+№-' = 0(modp).
§ 16. Линейные сравнения
и системы сравнений
Пусть /(ж) = атхт +... + а,\Х + а0 — многочлен с целыми
коэффициентами, и атФ 0(mod га). Если f(b) = 0(mod га) для некоторого Ь 6 Z,
то /(ж) = 0(mod га) для любого ж = 6(mod га). В этом случае говорят, что
класс вычетов Ь„ = {х б Ζ : χ = 6(mod га)} является решением сравнения
/(ж) = 0(mod га), которое называется сравнением степени т по модулю га.
Так, решением сравнения третьей степени 2ж3 + 1 = 0(mod 5) по
модулю 5 является класс 3s = {х 6 1· '■ х = 3(mod 5)}, поскольку 2 · З3 + 1 =
ξ 55 ξ 0(mod 5). Кроме того, данное решение будет единственным,
поскольку 2 · О3 + 1 φ 0(mod 5), 2 · l3 + 1 ф 0(mod 5), 2 · 23 + 1 φ 0(mod 5),
и2-43 + 1 ^0(mod5).
Теорема о линейных сравнениях (см. [3]) утверждает, что линейное
сравнение ах = 6(mod га) имеет ровно одно решение, если (о, га) = 1, ровно d
решений, если (а, га) = d, d\n, и не имеет решений в остальных случаях.
При этом единственное решение χ = a(mod га) для случая (а, га) = 1
может быть найдено различными способами.
Простейший способ — перебор представителей всех классов вычетов
по модулю га до первого «подходящего» класса. Этот способ применим
лишь для малых га.
Второй способ связан с рассмотрением сравнений ах = 6(mod га),
еж = 6 + ra(modra), ож = Ь + 2ra(modга), ..., ож = Ь + rafe(modra),...
с целью получения в правой части числа Ь + пк, делящегося на а.
Поскольку (о, га) = 1, то числа к и пк + Ь пробегают полную систему
вычетов по модулю |о| одновременно, то есть найдется единственное число
к 6 {0, 1,..., \а\ - 1}, такое что пк + b = 0(mod \a\). Следовательно, иско-
Ь + пк
мое решение принимает вид ж = (mod га), где к б {0, 1,..., |о| - 1}.
Третий способ основан на теореме Эйлера: поскольку αφ^ = 1 (mod га),
то искомое решение принимает вид ж = bav^~l(mod га).
§16. Линейные сравнения и системы сравнений 87
Четвертый способ основан на свойствах цепных дробей: искомое
решение имеет вид χ ξ (-l)sPs_i(modra), где
Ρ, Р,_, Pi_n
4?i Qs-i Qs a
— система подходящих дробей для разложения обыкновенной дроби п/а
в цепную дробь. Мы подробнее остановимся на этом способе в разделе,
посвященном цепным дробям.
Если же (а, га) = d, где d > 1 и d\b, то, разделив все три части
сравнения ах = 6(mod га) на число d, мы получим новое сравнение первой
степени a/dx = b/d(modn/d). Поскольку (a/d,n/d) = 1, то указанное
сравнение имеет единственное решение χ = a(mod n/d) по модулю n/d.
Найдя это решение одним из указанных выше способов, мы запишем d
решений первоначального сравнения по модулю га в виде χ = a + τη/d ■
k(mod га), где к = 0,1,..., d - 1.
Китайская теорема об остатках (см. [5]) утверждает, что система
линейных сравнений
χ = Ci(modrai)
χ = с* (mod nk)
с попарно взаимно простыми модулями щ, ..., щ имеет ровно одно
решение, представляющее собой класс вычетов по модулю N = [щ,..., га*] =
= п\ ·... · щ., которое имеет вид
Ν Ν
χ = — с,у, +... + — ckyk(mod N),
щ nk
где у, — решение линейного сравнения iV/(ra<) -у = 1 (modга,), г =
= 1,...,*.
В общем случае решением системы линейных сравнений
χ = Ci(modrai)
χ = cA(mod nk)
является класс вычетов по модулю N = [щ,..., пк\. χ = a(mod N).
Примеры решения задач
1. Решите сравнение ΙΙιξ 5(mod 7) всеми возможными способами.
Решение. Прежде всего перепишем сравнение в виде Ах = -2(mod 7).
Поскольку (4, 7) = I, то сравнение имеет единственное решение —
класс вычетов по модулю 7.
88
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Последовательно перебирая числа 0, 1, 2, ..., 6, являющиеся
представителями всех классов вычетов по модулю 7, мы получим, что
4 · 3 = -2(mod 7), то есть решением сравнения 4ж ξ -2(mod 7)
является класс вычетов χ ξ 3(mod 7).
Последовательно добавляя к правой части модуль 7, мы получим
сравнения 4х = -2(mod 7), 4ж = 5(mod 7), 4ж = 12(mod 7). Деля две
части последнего сравнения на 4, мы получим, что χ = 3(mod 7).
Наконец, домножая обе части сравнения 4х = - 2(mod 7) на Αψ^~' = 45,
мы получаем, что χ = -2 · 45(mod7). Поскольку 45 = (-3)5 = 9 ·
■ (-27) = 2 · 1 = 2(mod 7), то χ = -2 ■ 2 = -4 = 3(mod 7). >
2. Решите систему сравнений первой степени
χ = 4 (mod 5)
- χ = 1 (mod 12)
χ = 0 (mod 7).
Решение. Легко видеть, что [5,12, 7] = [5,22 · 3, 7] = 22 · 3 · 5 · 7 = 420.
Поскольку χ = l(mod 12), то χ — \2t + 1, где t 6 Ζ. Подставляя
в сравнение χ = 0(mod7) полученное выше выражение для ж, мы
получим сравнение 12< + 1 = 0(mod7). Решая его относительно t,
мы получим, что -2t = -l(mod7), или -2t = 6(mod7), или t =
= -3(mod 7). Таким образом, t = 7ti-3,tl G Z, тоесть ж = 12(7<ι — 3) +
+ 1 = 84<ι - 35, <ι 6 Ζ. Подставляя в сравнение х = 4(mod5)
полученное выше выражение для х, мы получим сравнение 84<ι —35 ξ
= 4(mod5). Решая его относительно t\, мы получим, что 4t\ ξ
ξ 4(mod5), или t\ ξ l(mod 5). Таким образом, t\ = 5<2 + 1, h 6 Ζ,
то есть х = 84(5ί2 + 1) - 35 = 420<2 + 49, t2 6 Ζ. Следовательно,
единственное решение первоначальной системы — класс вычетов
x^49(mod420). >
3. Решите систему сравнений первой степени
2х = 14 (mod 10)
15ж = 6 (mod 12).
Решение. Легко видеть, что [10, 12] = [2 · 5,22 · 3] = 22 · 3 · 5 = 60.
Поскольку 15ж = 6(mod 12), то Зж = 6(mod 12), и χ = 2(mod4).
Поскольку 2х ξ 14(modl0), то 2х = 4(modl0), и ж ξ 2(mod5).
Таким образом, наша система эквивалентна системе
χ = 2 (mod 5)
χ = 2 (mod 4).
§16. Линейные сравнения и системы сравнений 89
Поскольку χ = 2(mod5), то χ = 5t + 2, где ί 6 Ζ. Подставляя
в сравнение χ = 2(mod4) полученое выше выражение для х, мы
получим сравнение 5t + 2 = 2(mod 4). Решая его относительно t, мы
получим, что t = 0(mod4). Таким образом, t = 4t\, tt 6 Ζ, то есть
χ = 5(4ίι) + 2 = 20ίι + 2. Следовательно, χ = 2(mod 20). Поскольку
один класс χ = 2(mod 20) по модулю 20 разбивается на три класса
χ = 2(mod60), χ = 2 + 20(mod20), x = 2 + 2- 20(mod20), то мы
получаем три решения χ = 2(mod 60), χ = 22(mod 60), ж ξ 42(mod 60)
первоначальной системы сравнений. >
Упражнения
1. Решите сравнение 8ж = 6(mod 5) всеми возможными способами.
2. Решите сравнение 5х = 6(mod 7) всеми возможными способами.
3. Решите сравнение:
а) Зх= l(mod7);
б) I00x^2l(mod23);
в) 42a; = 33(mod90);
г) 20χξ l2(mod48);
д) 20x-50 = 0(mod35);
Решите систему сравнений первой степени:
е) 78х= I02(mod273);
ж) 3l5x = -l0(mod275);
з) 76x^232(mod220);
и) 45жΞ75(modl00).
*)<
б)^
в)
V
{
гМ
Д)
V
{
χ = l(mod5)
χ = 2(mod 6) ;
χ ξ 3(mod 7)
3χ ξ 7(mod 10)
2x = 5(modl5) ;
7x ξ 5(mod 12)
5x + 7 = 0(mod 12)
3x = 7(mod 8)
4x = 3(mod 7)
5x = 4(modll) ;
llx = 8(mod 13)
18x = 226(modl0)
30ж = 232(mod 24)
e)^
ж) <
з)
3x = l(mod 10)
4x = 3(mod 5)
2x = 7(mod 9)
5ιξ 1 (mod 12)
5x = 2(mod 8)
7жΞЗ(modll)
3x = 5 (mod 2)
χ = -3(mod 5)
4x = 7(mod 9)
и)
ί 20χξ-
\ 2x = -
-10(modl5)
12(mod 10)
90
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
5. Для любых целых чисел а, Ь и с решите систему сравнений первой
степени:
= fl(mod 13) .
6(mod 5)
а)
б) {
в)
{х = а(
x = b(
χ = o(mod 3)
χ = b(mod 5) ;
χ = c(mod 7)
{x = a
х = Ц
= o(mod 7)
b(mod81)
Задачи
1. Сколько решений имеет сравнение:
а) 14z = 28(mod77);
б) 15z = 25(mod35);
в) 12z = 18(mod42);
г) 18z = 27(mod45);
д) lla; = 33(mod55);
Решите сравнение:
а) Юх = 15(mod 65);
б) 15z = 9(mod39);
в) 12z = 8(mod52);
г) 48χξ 171(mod 111);
д) 114x = 6(modl86);
е) 92z = 8(modl64);
е) 24ж = 40(mod 80)
ж) 13z = 26(mod65)
з) 21z = 56(mod70)
и) 25ж = 50(mod 100)?
ж) 47ar = 2(modl27);
з) 212z = -44(mod20);
и) 155ж=-55(modl5);
к) 295z=15(mod415);
л) 1000ar = 200(mod300);
м) 3650ж = 1450(mod5350).
3. При каких целых а сравнение ах = 3(mod 30) разрешимо?
4. Для любого натурального о решите сравнение:
а) (a2+l)x = a2(moda3+ 2а); б) (а2+2а)х = l(moda2+3a+l).
5. Решите систему сравнений первой степени:
а)
б)
Г 5х =
\3х =
ί4χ = ί
\ 15χξ
= 9(mod 12)
15(mod30)
·■(
= 8(mod 14)
12(mod27)
г)
6x = 12(mod 30)
12z = 36(mod42)
4x = 4(mod 15)
3z = 8(modl0) '
§16. Линейные сравнения и системы сравнений 91
. f 4х =
д)\зж =
*>{б^
= 2(mod 10)
3(mod 6)
з)
ί 12χξ
\ Юх =
ξ 6(mod 27)
8(mod 12)
= 10(mod25)
15(mod35)
и) ί
600χξ 150(mod375)
810x = 420(mod210)
k) i'l000a; = 20(mod300)
K' |625x^400(modl75)
6. Решите систему сравнений первой степени:
= 2(mod 16)
18(mod21)
*М
бМ
в)<
'M
*M
*M
ж = 3(mod 8)
x = ll(mod20) ;
χ = l(mod5)
5x = 8(mod 14)
3z = 72(modl5)
2x = -2(mod 10)
6x ξ 2(mod 20)
χ = -2(mod 5) ;
4z = ll(mod29)
10a: = 20(mod30)
Ax = 2(mod 10)
8ιξ 16(mod4)
9x^9(mod21)
27z = 9(mod45) ;
Зж = 1 (mod 4)
8ж = 2(mod 14)
10ж = 10(mod22)
8z = 4(modl2)
ж) <
эМ
и) <
*)<
л) <
м) <
5χ= 11 (mod 18)
Зж = 9(mod 16) ;
8ж ξ 4(mod 25)
6χ = 2(mod 7)
15z = 3(mod36) ;
2x = 2(mod 20)
2x ξ 2(mod 16)
x= 15(mod37) ;
16z = 0(mod4)
6z = -8(modl5)
8ж ξ -4(mod 12) ;
Ax = 5(mod 7)
10ж ξ 5(mod 15)
6a: = 6(mod21) ;
Ax = -6(mod 10)
1000a: = 20(mod300)
625ж = 400(mod 175)
8ιξ 16(mod4)
7. Решите систему сравнений первой степени:
*М
х= l(mod3)
χ = 4(mod 5)
χ = 2(mod 7)
i = 9(modll)
ж = 3(mod 13)
ж ξ 0(mod 2)
ж ξ -2(mod 3)
6){ιξ -3(mod5)
χ = 4(mod 6)
.χ = 7(mod 15)
вН
ж ξ l(mod 3)
ж ξ 2(mod 4)
ж ξ 3(mod 5)
ж = 4(mod 6)
ж ξ 5 (mod 7)
92
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
8. Для натурального числа га = iV — 4[iV/4J +5, где iV € {1,2,3 25},
nx = l(mod 11)
решите систему сравнений первой степени < χ = -2(mod га) .
31ζξ8(πιο(Π3)
9. Для нечетного простого числа ρ решите систему сравнений первой
степени:
*м
x^l(modp-l) . ί χ = р- 2(modp + 1)
x^2(modp) ; \x = p + 2(modp-I)'
χ = 3(modp+ 1)
10. При каких целых а совместна система сравнений первой степени:
. \ χ = o(mod 42) . J χ = a
&' |z = ll(mod70) ' ' \χ = α
= o(mod 28)
2 (mod 77) '
11. Определите все целые значения параметра а, при которых разрешима
система сравнений:
{8ж = 20(mod 36) ί 9χ = l5(mod 30)
в) <
75ж + 30о = 0(mod 36) ^ 8ж + 12o = 0(mod 30)
{9х = l2(mod 24) ί 18ж = 90(mod 60)
; г) <
50ж + 70о = 0(mod 24) ^ 46ж -5а = 0(mod 60)
Решите систему при найденных значениях параметра а.
12. Трехзначное число при делении на 12 дает в остатке 5. Удвоение этого
числа дает число, которое при делении на 35 дает в остатке 4. Найдите
первоначальное число.
13. Найдите все натуральные числа между 200 и 500, которые при делении
на 4, 5 и 7 дают в остатке 3, 4 и 5, соответственно.
14. Найдите все натуральные числа, которые при делении на 2, 3, 4, 5, 6,
7 дают остатки 0, 1,2, 3, 4, 5, соответственно.
§ 17. Сравнения и системы сравнений
по простому модулю
Для данного простого числа ρ сравнение f(x) = 0(modp) степени т
по модулю ρ эквивалентно сравнению xs+bs-ixs~l+. ..+6iX+60=0(modp)
степени β < ρ - 1 по модулю ρ и имеет не более 5 решений. Их можно
§17. Сравнения и системы сравнений по простому модулю 93
найти перебором представителей 0,..., ρ - 1 всех классов вычетов по
модулю р.
Для бесквадратного числа η = Pi · ■ ■. ■ р*, являющегося
произведением различных простых чисел, все решения сравнения /(ж) = O(modra)
степени τη по модулю га могут быть найдены, используя приведенные
выше аргументы и следующее свойство: /(ж) = 0(mod га) тогда и только
тогда, когда
/(ж) = O(modpi)
<
/(ж) = 0(modpA).
V
В этом случае число R решений сравнения f(x) = 0(mod га) по модулю
η = р\ · ... · Рк равно произведению R\ · Ri ■ ... ■ Rk, где Ri — число
решений сравнения f(x) = 0(modp<), г = 1,2,..., к.
Подробные доказательства этих и других фактов можно найти,
например, в [3].
Примеры решения задач
1. Решите сравнение 133ж40 - 148ж39 + 85ж38 - 98ж2 + χ + 6 = 0(mod 7).
Решение. Прежде всего заменим коэффициенты многочлена 133ж40 —
- 148ж39 + 85ж38 - 98ж2 + χ + 6, то есть числа, стоящие на «первом
этаже» нашего сравнения, их остатками от деления на 7 (или их
наименьшими по абсолютной величине вычетами по модулю 7).
Поскольку 133 = 0(mod7), -148 = -l(mod7), 85 = l(mod7), -98 =
ξ 0(mod 7) и 6 ξ - l(mod 7), то наше сравнение эквивалентно
сравнению -ж39 + ж38 + χ - 1 = 0(mod 7).
Проверим, является ли решением сравнения нулевой класс по
модулю 7. Поскольку -1 Φ 0(mod 7), то нулевой класс х = 0(mod 7)
решением нашего сравнения не является.
Если χ ψ 0(mod 7), то (х, 7) = 1, и χ6 = l(mod 7). Для таких х мы
можем заменить показатели степеней в записи многочлена -ж39 + ж38 +
+ж -1, то есть числа, стоящие на «втором этаже» нашего сравнения, их
остатками от деления на 6. Поскольку 39 = 3(mod 6) и 38 ξ 2(mod 6),
то для ж Φ 0(mod 7) сравнение -ж39 + ж38 + ж - 1 = 0(mod 7)
эквивалентно сравнению -ж3+ж2+ж - 1 = 0(mod 7). Перебирая
представители 1, 2, 3, -3, -2, -1 ненулевых классов вычетов по модулю 7, мы
получаем, что-Ι3+12+1-1 = 0(mod7); -23+22+2-l =4^0(mod7);
_33+зЧЗ-1 = 5 φ 0(mod 7); -(-3)3+(-3)2-3-1 ξ -3 ф 0(mod 7);
-(-2)3+(-2)2-2-l = 2^0(mod7);-(-l)3+(-l)2-l-l = 0(mod7).
Таким образом, решениями сравнения ПЗж40- 148ж39+85ж38-98ж2 +
94
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
+ ж + 6 = 0(mod 7) являются следующие классы вычетов по модулю
7: х = l(mod 7) и ж ξ -l(mod 7).
Впрочем, в данной задаче этот результат мог быть получен и более
простым способом: поскольку -ж3+ж2+ж-1 = -х2(х-1)+(х-1) =
= -{х - 1)(ж2 - 1) = -{х - 1)2(ж + 1), то сравнение -ж3 + х2 +
+ χ - 1 = 0(mod 7) выполняется либо при х = 1 (mod 7), либо при
z = -l(mod7). >
Решите сравнение 76ж244 - 353ж123 + 43ж121 + 359 = 0(mod 35).
Решение. Поскольку 35 = 5-7, то сравнение 76ж244-353ж|23+43ж|21-|-
359 = 0(mod 35) эквивалентно системе сравнений
76ж244 - 353ж123 + 43ж121 + 359 = 0(mod 5)
76ж244 - 353ж123 + 43ж121 + 359 = 0(mod 7).
Решим каждое из сравнений выписанной выше системы.
Для решения сравнения 76ж244-353ж|23+43ж|2|-|-359 = 0(mod 5)
заменим коэффициенты многочлена 76ж244 —343ж|23+43ж|2|-|-359 их
наименьшими по абсолютной величине вычетами по модулю 5. Поскольку
76 = l(mod 5), -343 = 2(mod 5), 43 = -2(mod 5), и 359 = -l(mod 5),
то наше сравнение эквивалентно сравнению ж244 + 2ж123 — 2ж121 — 1 ξ
= 0(mod5).
Поскольку -1 ψ 0(mod 5), то нулевой класс х = 0(mod 5) не является
решением нашего сравнения.
Если χ Φ 0(mod 5), то (χ, 5) = 1, и ж4 = l(mod 5). Для таких х
заменим показатели степеней в записи многочлена ж244+2ж|23-2ж121 -1 их
остатками отделения на 4. Поскольку 244 = 0(mod 4), 123 = 3(mod 4)
и 121 = l(mod4), то для χ Φ 0(mod5) сравнение ж244 + 2ж123 -
— 2ж121 - 1 = 0(mod5) эквивалентно сравнению ж0 + 2ж3 —
- 2ж - 1 = 0(mod 5) или, что то же, сравнению 2ж3 - 2ж = 0(mod 5).
Перебирая представители 1, 2, —2, —1 ненулевых классов вычетов
по модулю 7, мы получаем следующие классы вычетов по модулю 5:
ж = l(mod5), и ж ξ -l(mod5).
Тот же результат можно получить и более простым способом:
поскольку 2ж3 - 2ж = 2ж(ж2 - 1) = 2ж(ж - 1)(ж + 1), то, сокращая
сравнение 2ж(ж - 1)(ж + 1)2ж(ж - 1)(ж + l)0(mod 5) на число 2ж, взаимно
простое с модулем (напомним, что все преобразования выполняются
при условии ж Φ 0(mod5)), мы получим сравнение (ж - 1)(ж + 1) =
= 0(mod 5), которое выполняется либо при ж = 1 (mod 5), либо при
ж = -l(mod5).
Для решения сравнения 76ж244 - 353ж123 + 43ж121 + 359 = 0(mod 7)
заменим коэффициенты многочлена 76ж244-353ж|23+43ж121 +359 их
§17. Сравнения и системы сравнений по простому модулю 95
наименьшими по абсолютной величине вычетами по модулю 7.
Поскольку 76 = -l(mod7), -353 ξ -3(mod7), 43 = l(mod7), и 359 =
= 2(mod7), то наше сравнение эквивалентно сравнению —ж244 —
-3xl23 + xl2l+2 = 0(mod7).
Поскольку 2 Φ 0(mod 7), то нулевой класс ж = 0(mod 7) не является
решением нашего сравнения.
Если ж Φ 0(mod7), то (χ, 7) = 1, и χ6 = l(mod7). Для таких χ
заменим показатели степеней в записи многочлена —ж244 — Зж123 +
+ хт + 2 их остатками от деления на 6. Поскольку 244 = 4(mod 6),
123 = 3(mod6) и 121 = l(mod6), то для χ Φ 0(mod7) сравнение
ж244 - Зж123 + ж121 + 2 = 0(mod 7) эквивалентно сравнению ж4 - Зж3 +
+ χ + 2 = 0(mod7). Перебирая представители 1, 2, 3, -3, -2, -1
ненулевых классов вычетов по модулю 7, мы получаем единственный
класс вычетов по модулю 7: ж ξ -3(mod 7).
Решим тегчзрь систему сравнений < — ,; . .' , где а 6 {1, -1},
Ι ιξ 6(mod 7)
и6 = -3.
Если ж = o(mod 5), то ж = 5ί + а, где t 6 Ζ. Подставляя полученное
выражение для ж во второе сравнение системы, мы получим
сравнение 5< + α ξ 6(mod7), или, что то же, сравнение 5t = b- o(mod7).
Домножая обе части сравнения на число 3, взаимно простое с
модулем, мы получим сравнение 15< = 3(6 - о) (mod 7), или, что то же,
сравнение ί ξ 3(6 - о)(mod 7). Таким образом, t = 7t\ + 3(6 - о), где
ί, 6 Ζ, и ж = 5ί + а = 5(7ί, + 3(6 - а)) + а = 35ί, + 156 - 14α, где
ί, 6 Ζ.
Следовательно, решениями сравнения 7бж244-353ж|23+43ж121 +359 =
= 0(mod35) являются следующие классы вычетов по модулю 35:
ж = 156 - 14o(mod 35), где о 6 {1, -1}, и 6 = -3. Подстановка дает
окончательный результат: ж = 1 l(mod 35), и ж ξ 14(mod 35). >
Упражнения
1. Решите сравнение по простому модулю:
а) ж3 + ж2 - 2ж + I = 0(mod 5);
б) 133ж5 - 148ж4 + 85ж3 - 98ж2 + ж + 6 = 0(mod 7);
в) 12ж18 + Зж16 + 7ж14 + 8ж13 + 7ж12 + Пж11 + 13ж10 + 6ж7 + 31ж5 +
+ 5ж4 + 11ж3 + 7ж2 = 0(mod 7);
г) 232ж484 + 852ж252 - 124ж202 - ж200 + 78 = 0(mod 11);
д) 292ж181 - 121ж133 + 252ж122 - 171ж121 - 133ж62 + 5 = 0(mod 13);
е) 357ж427 - 811ж403 - 127ж311 + 45 = 0(mod 7);
96
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
ж) 883ж693 - 106ж484 + 59ж241 + 87ж233 + 84 = 0(mod 5);
з) 4015ж10892 + б05ж9999 + 365ж1002 + 888ж1001 - 24 = 0(mod 11).
2. Решите сравнение:
а) ж4 + 2хъ + 8ж + 9 = 0(mod 35);
б) 103ж103 + 88ж73 + 210ж13 + 100 = 0(mod 105);
в) 725ж603 - 507ж407 - ЗПж126 + 85 = 0(mod 77);
г) 1051ж77 + 841ж52 + 631Ж39 + 421ж26 + 211ж13 + 1 = 0(mod 42).
Задачи
1. Решите сравнение по простому модулю:
а) 803ж396 - 601ж484 + 55ж211 - 83ж105 + 34 = 0(mod 7);
б) 62ж359 + 77ж209 - 47ж71 + ЗЗж33 - 145 = 0(mod 3);
в) 883ж963 - 101ж404 + 52ж211 + 88ж323 + 119 = 0(mod 11);
г) 198xS5° + 47ж382 - 346ж799 + 164ж841 - 15 = 0(mod 7);
д) 521ж893 - 29ж104 + 79ж185 + 68ж93 + 5ж9 - 2 = 0(mod 7);
е) x22+x12 + 7xu-2x2 + 6 = 0(modll);
ж) 6ж20 - 19ж19 - 7ж2 + 6 = 0(mod 11).
2. Решите систему сравнений
4ж21 + 9ж13 + Зх" + 2ж3 - 2 = 0(mod 11)
ж13 + х1 + х5 - хъ + 7 = 0(mod 5)
3. Решите сравнение:
а) 6х3 + 21 х2 + Пх + 20 = 0(mod 30);
б) 46ж35 + 357ж82 + 13ж + 620 = 0(mod 30).
4. Решите сравнение хр~' + хр~2 +... + х2 + χ + 1 = 0(mod ρ), где ρ 6 Р.
5. Решите сравнение хр~2 + жр_3 +... + χ2 + χ + 1 = 0(mod ρ), где ρ 6 Р.
6. Решите сравнение (р-\)хр~2-(р-2)хР~ъ+. ..-Ъх2+2х-\ = O(modp),
где ре Р-
7. Решите сравнение (р-2)жР-3+(р-3)ж1>_4+.. .+Зж2+2ж+1 = O(modp),
где ре Р
8. Придумайте сравнение 5 степени по модулю 13, не имеющее решений.
9. Придумайте сравнение 5 степени по модулю 11, имеющее два
решения.
§ 18. Сравнения по степени простого и по составному модулю 97
§ 18. Сравнения по степени простого
и по составному модулю
Для данного простого числа ρ и данного натурального а > 1
рассмотрим сравнение /(ж) ξ 0(modpa) степени тп по модулю ра. Для
нахождения всех решений данного сравнения можно использовать
нижеследующий алгоритм.
• Рассмотрим сравнение /(ж) = O(modp) и найдем все его решения;
пусть ж = X|(modp) — одно из этих решений, то есть f(x\) =
^O(modp), и χ = Ж] + pt\, t\ 6 Ζ.
• Рассмотрим линейное сравнение f(x\)/p + f (x\)t\ = O(modp) и
найдем все его решения; пусть t \ = t (mod p) — одно из этих решений, то
есть t\=t +pt2, и χ =Х\ +pt\ = x\ +p(t +pt2) = (x\ +pt)+p2t2 =
= x2+p2t2,t2ez.
• Рассмотрим линейное сравнение f(xi)/p2+f {xi)h = 0(mod p) и
найдем все его решения; пусть t2 = t (mod p) — одно из этих решений,
то есть t2 = t +pti, и χ = жз +Р3^з> ^з £ 2.
• Рассмотрим линейное сравнение f{xa-\)/pa~{ + f'(Xa-\)ta-\ = O(modp)
и найдем все его решения; пусть ta-\=t- (mod p) — одно из этих
решений, то есть ta-\ = t'■·■ +pta, и χ = ха +pata, ta 6 Ζ.
Следовательно, х = a;a(modpa) — одно из решений первоначального
сравнения, и все его решения могут быть найдены этим способом.
Наконец, для данного составного числа η = ρ"' ■... · р£* все решения
сравнения f(x) = 0(mod га) степени т по модулю га могут быть найдены
с использованием приведенных выше аргументов и следующего свойства:
f(x) = 0(mod га) тогда и только тогда, когда
/(x)^0(modpai)
< ...
f(x) = 0(modpa^).
В этом случае число R решений сравнения /(ж) = 0(mod га) по модулю
га = р"' ·... ■ р£* равно произведению Rt · R2 ·... ■ Rk, где Л< — число
решений сравнения f(x) = 0(modp"')> i = l,2,...,k.
В свою очередь, подсчет числа решений сравнения /(ж) = 0(mod pa),
где ρ 6 Ρ, а а > 1, основан на следующей теореме, позволяющей
определить, сколько решений по модулю pk+l можно получить, используя данное
решение по модулю р*: если f(xk) = 0(mod pk), причем p\ f (ж»;), то
сравнение /(ж) = 0(modpfc+l) имеет ровно одно решение, принадлежащее классу
98
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
χ = Xk(modpk); если f(xk) = 0(modp*), причем p\f'(Xk) и pk+l\f(xk), то
сравнение f(x) = 0(modp*+l) имеет ровно р решений, принадлежащих
классу χ = xfc(modp*); если f(xk) = 0(modp*), причем p\f'(xk) и pk+l \ f(xk),
то сравнение f(x) = 0(modp*+l) не имеет решений, принадлежащих классу
χ = Xk(modpk).
Таким образом, двигаясь «по ступенькам» приведенного выше
алгоритма, на к + 1 -ой ступеньке мы получаем из каждого решения,
полученного на fe-ой ступеньке, либо одно, либо р, либо ни одного решения.
Подробные обоснования приведенного выше алгоритма и детальное
изложение всех аспектов соответствующей теории можно найти,
например, в [3].
Примеры решения задач
1. Решите сравнение 9х2 + 29ж + 62 = 0(mod 32).
Решение. Пусть f(x) = 9х2 + 29ж + 62. Поскольку 32 = 25, то мы
получаем сравнение f(x) = 0(mod25), для решения которого
рассмотрим сначала сравнение f(x) = 0(mod2). Заменив
коэффициенты многочлена 9х2 + 29ж + 62 их остатками от деления на 2, мы
получим сравнение х2 + χ = 0(mod 2). Легко видеть, что оно
выполняется для любого целого х, то есть его решениями являются классы
χ = 0(mod 2) и ж ξ l(mod 2).
А. Мы доказали, что χ = 0(mod 2) — решение сравнения /(ж) ^0(mod2).
Следовательно, /(0) = 0(mod 2) и х = 2t\ + 0, где t\ 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod 22), где х = 2t\ + 0, t\ 6 Z. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(0)/2 + /(О) · t\ ξ
= 0(mod2).
Легко видеть, что /(0) = 62. Поскольку / (х) = 18ж + 29, то / (0) = 29.
Таким образом, мы получаем сравнение 62/2 + 29 ■ <ι = 0(mod2),
или, что то же, сравнение 31+ 29 - ί ι = 0(mod2). Поскольку 31 =
= 1 (mod 2) и 29 ξ 1 (mod 2), то мы получаем сравнение 1 +1 \ = 0(mod 2),
выполняющееся для ίι = l(mod2). Таким образом, t\ = 2ti + 1, где
t2 6 Ζ, и χ = 2ί, + 0 = 2(2ί2 + О + 0 = 22t2 + 2, t2 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod 23), где χ = 22t2 + 2, t2 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(2)/22 + / (2) · t2 =
= 0(mod2).
Легко видеть, что /(2) = 156 и / (2) = 65. Таким образом, мы
получаем сравнение 156/(22) + 65 · <2 = 0(mod 2), или, что то же, сравнение
39 + 65 · t2 = 0(mod2). Поскольку 39 = l(mod2) и 65 ξ l(mod2),
то мы получаем сравнение 1 +12 = 0(mod 2), выполняющееся для
§18. Сравнения по степени простого и по составному модупю 99
ti = l(mod2). Таким образом, ί2 = 2<з + 1, где <3 6 Z, и ι = 22ί2+2 =
= 22(2<3 + 1) + 2 = 23<3 + 6, ί3 G Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod 24), где χ = 23<з + 6, <з 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(6)/23 + / (6) · <з =
= 0(mod2).
Легко видеть, что /(6) = 560 и / (6) = 137. Таким образом, мы
получаем сравнение 560/(23) + 137 ■ <з = 0(mod2), или, что то же,
сравнение 70 + 137 · ί, = 0(mod 2). Поскольку 70 = 0(mod 2) и 137 ξ
= l(mod 2), то мы получаем сравнение i3 = 0(mod 2). Таким образом,
h = 2ί4, где ί4 6 Z, и ж = 2% + 6 = 23(2ί4) + 6 = 24ί4 + 6, ί4 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod 25), где χ = 24ί4 +6, Ц 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(6)/24 + / (6) · U =
= 0(mod2).
Поскольку /(6) = 560 и / (6) = 137, то мы получаем сравнение
560/(24) + 137 ·U = 0(mod 2), или, что то же, сравнение 35 + 137 ·U =
= 0(mod 2). Поскольку 35 ξ l(mod 2) и 137 ξ l(mod 2), то мы
получаем сравнение 1 +i4 = 0(mod2), выполняющееся для ί4 = l(mod 2).
Таким образом, U = 2ί5+1, где t5£Z,nx = 24ί4+6 = 24(2ί5+1)+6 =
= 2% + 22,t5eZ.
Следовательно, решением сравнения f(x) = 0(mod 32) является класс
x = 22(mod32).
В. Мы доказали, что χ = l(mod 2) — решение сравнения f(x) = 0(mod2).
Следовательно, f(l) = 0(mod2) и χ = 2t\ + 1, где tt 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod 22), где χ = 2t\ + 1, t\ 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению f(l)/2 + f(l)-t\ =
= 0(mod2).
Легко видеть, что /(1) = 100 и / (1) = 47. Таким образом, мы
получаем сравнение 100/2 + 47 ■ t\ = 0(mod 2), или, что то же, сравнение
50 + 47 ■ ii = 0(mod 2). Поскольку 50 = 0(mod 2) и 47 = l(mod 2), то
мы получаем сравнение t\ = 0(mod2). Таким образом, t\ = 2ti, где
h 6 Ζ, и χ = 2ί, + 1 = 2(2ί2) + 1 = 2Ч2 + 1, h 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) — 0(mod 23), где χ = 22ί2 + 1, Ιι 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(1)/22 + / (1) · h =
= 0(mod2).
Поскольку /(1) = 100 и /(1) = 47, то мы получаем сравнение
100/(22) + 47 ■ <2 = 0(mod 2), или, что то же, сравнение 25 + 65 ■ ί2 =
= 0(mod 2). Поскольку 25 = l(mod 2) и 47 ξ l(mod 2), то мы
получаем сравнение 1 + <2 — 0(mod 2), выполняющееся для ί2 ξ 1 (mod 2).
Таким образом, t2 = 2t3+l, где t3 6 Ζ, и χ = 22ί2+1 = 22(2ί3+1)+1 =
= 23ί3 + 5, h 6 Ζ.
ТОО Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Рассмотрим сравнение /(ж) = 0(mod 24), где ж = 23<з + 5,(36Z. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(5)/23 + / (5) · ί3 =
= 0(mod2).
Легко видеть, что /(5) = 432 и /(5) = 119. Таким образом, мы
получаем сравнение 432/(23) + 119 · tj = 0(mod2), или, что то же,
сравнение 54 + 119 · <з = 0(mod 2). Поскольку 54 = 0(mod 2) и 119 ξ
= 1 (mod 2), то мы получаем сравнение <з = 0(mod 2). Таким образом,
ί3 = 2ί4, где г4б2,и1 = 23ί3 + 5 = 23(2ί4) + 5 = 2% + 5, Ц 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение /(ж) = 0(mod 25), где ж = 24<4 + 5, <4 £ Z. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(5)/24 + /'(5) ■ Ц =
= 0(mod2).
Поскольку /(5) = 432 и / (5) = 119, то мы получаем сравнение
432/(24) + 119 ■ U = 0(mod 2), или, что то же, сравнение 27 + 119 ■ U =
= 0(mod 2). Поскольку 27 = l(mod 2) и 119 ξ l(mod 2), то мы
получаем сравнение 1 +i4 = 0(mod 2), выполняющееся для ί4 = l(mod 2).
Таким образом, U = 2ί5+1, где <56Ζ,ηι = 24ί4+5 = 24(2ί5+1)+5 =
= 22ί5+21, U 6 Ζ.
Следовательно, решением сравнения /(ж) = 0(mod 32) является класс
χ = 21 (mod 32). Таким образом, мы доказали, что решениями
сравнения 9ж2 + 29ж + 62 = 0(mod 32) являются классы х = 21 (mod 32)
и x^22(mod32). >
Замечание. Значения функции /(ж) удобно вычислять, пользуясь схемой Гор-
нера (см. [18]).
0
2
6
1
5
9
9
9
9
9
9
29
29
18 + 29 = 47
54 + 29 = 83
9 + 29 = 38
45 + 29 = 74
62
62
94 + 62= 156
498 + 62 = 560
38 + 62 = 100
370 + 62 = 432
2. Решите сравнение х5 - хл + 6х2 + 15ж + 45 = 0(mod 675).
Решение. Пусть /(ж) = х5 - х4 + 6х2 + 15ж + 45. Поскольку 675 =
= З3 ■ 52, то мы получаем сравнение /(ж) = 0(mod 33 ■ 52),
эквивалентное системе сравнений
ί /(ж) = 0(mod З3)
| /(ж) = 0(mod 52).
§18. Сравнения по степени простого и по составному модулю 101
I. Решим сравнение /(ж) = 0(mod33).
Для этого рассмотрим сначала сравнение /(ж) = 0(mod 3). Заменив
коэффициенты многочлена ж5 - ж4 +6ж2 + 15ж + 45 их наименьшими
по абсолютной величине вычетами по модулю 3, мы получим
сравнение х5 - х4 = 0(mod 3).
Легко видеть, что нулевой класс χ ξ 0(mod3) является решением
нашего сравнения.
Если χ Φ 0(mod 3), то (х, 3) = 1, и χ2 ξ l(mod 3). Для таких χ
заменим показатели степеней в записи многочлена ж5 - ж4 их остатками
от деления на 2, и перейдем к сравнению ж - 1 = 0(mod 3). Отсюда
следует, что ж = 1 (mod 3).
Таким образом, решениями сравнения /(ж) = 0(mod3) являются
классы ж = 0(mod 3) и ж ξ l(mod 3).
Впрочем, тот же результат можно получить, записав многочлен ж5 -ж4
в виде ж4(ж - 1) и перейдя к сравнению ж4(ж - 1) = 0(mod 3),
решениями которого очевидным образом являются классы ж = 0(mod 3)
и ж ξ l(mod3).
А. Мы доказали, что ζξ0(ιτιο(13) — решение сравнения /(ж) = 0(mod 3).
Следовательно, /(0) = 0(mod 3) и ж = 3<ι + 0, где tt 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение /(ж) = 0(mod 32), где ж = 3<ι + 0, tt 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(0)/3 + / (0) ■ <ι ξ
= 0(mod3).
Легко видеть, что /(0) = 45. Поскольку / (ж) = 5ж4 - 4ж3 + 12ж + 15,
то /(О) = 15. Таким образом, мы получаем сравнение 45/3+ 15·<ι =
= 0(mod 3), или, что то же, сравнение 15+ 15·<ι ξ 0(mod 3).
Поскольку 15 ξ 0(mod 3), то мы получаем сравнение 0 + 0 ■ tt ξ 0(mod 3),
выполняющееся для любого целого t\. Таким образом, мы получаем
три решения выписанного выше линейного сравнения: t\ = 0(mod 3),
t\ = l(mod3) и ίι ξ -l(mod3).
В первом случае t\ = 3ί2, где ti 6 Ζ, и ж = 3<ι + 0 = 3(3^) + 0 =
= З2 ■ <2 + 0. Во втором случае t\ = 3<2 + 1, где ti 6 Ζ, и ж = 3<ι + 0 =
= 3(3ί2 + 1) + 0 = 32·ί2 + 3.Β третьем случае f, = 3ί2 - 1, где t2 6 Ζ,
и ж = 3ί, + 0 = 3(3*2 - 1) + 0 = З2 · t2 - 3.
1. Рассмотрим сравнение /(ж) = 0(mod З3), где ж = 32<2 +0, <2 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(0)/32 + / (0) · <2 =
= 0(mod3).
Поскольку /(0) = 45 и /'(О) = 15, то мы получаем сравнение 45/9 +
+ 15 ■ <2 = 0(mod 3), или, что то же, сравнение 5 + 15 ■ ti = 0(mod 3).
Поскольку 5 = - l(mod 3) и 15 ξ 0(mod 3), то мы получаем сравнение
-1 + 0 · <2 = 0(mod 3), не выполняющееся ни для какого целого f2 ■
Таким образом, в данном случае решения по модулю З3 не существует.
102
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
2. Рассмотрим сравнение /(ж) ξ 0(mod 33), где χ = 32ί2 + 3, ti 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(3)/32 + / (3) ■ ti =
= 0(mod3).
Поскольку /(3) = 306 и /'(3) = 348, то мы получаем сравнение
306/9 + 348 ■ ti ~ 0(mod 3), или, что то же, сравнение 34 + 348 ■ ti =
= 0(mod 3). Поскольку 34 ξ l(mod 3) и 348 = 0(mod 3), то мы
получаем сравнение 1 +0·<2 = 0(mod 3), не выполняющееся ни для какого
целого <2- Таким образом, и в данном случае решения по модулю З3
не существует.
3. Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod 33), где χ = 32ί2 - 3, ti 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(-3)/32+/ (-3)-<2 =
^0(mod3).
Поскольку /(-3) = 270 и / (-3) = 492, то мы получаем сравнение
270/9 + 492 ■ t2 = 0(mod 3), или, что то же, сравнение 30+492·ί2Ξ
= 0(mod 3). Поскольку 30 = 0(mod 3) и 492 = 0(mod З), то мы
получаем сравнение 0 + 0 ■ ti = 0(mod 3), выполняющееся для любого
целого ti. Таким образом, мы получаем три решения выписанного выше
линейного сравнения: ti = 0(mod 3), t2 = l(mod 3) и ti = -l(mod 3).
В первом случае t2 = 3<з, где ti 6 Ζ, и χ = 2>4ι - 3 = 32(3<з) _ 3 =
= З3 ■ ti - 3. Во втором случае ti = 3<з +1, где <з 6 2, и χ = 32<2 _ 3 =
= 32(3<з + 1) - 3 = З3 ■ ί3 +6. В третьем случае ti = 3<з - 1, где <з 6 Z,
и χ = ЗЧ2 - 3 = 32(3<3 - 0 - 3 = З2 ■ h - 12.
Итак, решениями сравнения /(ж) = 0(mod33) являются классы
χ = -3(mod 33),ιξ -6(mod З3) и χ = -12(mod З3).
Замечание. В этой ситуации можно избежать кропотливого перебора всех
возможных случаев.
Именно, убедившись, что сравнение /(ж) = O(mod32), где χ = 3<ι + 0,
выполняется для любого целого ί|, не будем переходить к трем возможным
представлениям х по модулю З2, оставив имеющееся представление χ =
3ί,+0.
Рассмотрим сравнение /(ж) Ξ 0(mod33), где χ = 3ί| +0, ί| € Ζ. Для его
решения разложим f(x) в ряд Тейлора по степеням х:
/<*) = /<o) + /<o)-«+^ + i^V + ...=
= /(0) + /'(0) ■ 3ί, + f-^-9t\ + ^ρ27ίΐ + ... .
Замечая, что все слагаемые, начиная с третьего, делятся на 27, то есть
сравнимы с 0 по модулю З3, мы перейдем от сравнения /(ж) = 0(mod33) к
сравнению /(0) + /(О) ■ 3ί, + /"(0)/2!9ί2 ξ 0(mod З3). Замечая, что /(0) делится
на 9 и / (0) делится на 3, мы разделим все три части последнего сравнения
§18. Сравнения по степени простого и по составному модупю 103
на 9, получив сравнение
ДОК /(О) . . />),2_n,m .,х
-у- + —j- · <1 + —^—*i = 0(mod 3).
Поскольку
/"(ж) = 20ж3- Пх2+ 12,
то
/(О) = 12.
Подставляя значения /(0) = 45, / (0) = 15 и / (0) = 12 в сравнение
/(0) , /(0) />) .2_0, .,х
—— + —— ■ t, + —— · t, = 0(mod 3),
мы получаем сравнение
j + j-ti+1-t2iBO(mod3),
или, что то же, сравнение 5 + 5 ■ tx + 6 ■ i[ = 0(mod3). Поскольку 5 Ξ
Ξ -l(mod3), и 6 ξ 0(mod3), то мы получаем сравнение -l-t| s0(mod3),
выполняющееся для tt = —l(mod3). Таким образом, ί| = 3<2 — 1, где ti G Ζ,
и χ = 3ί, + 0 = 3(3ί2 - 1) + 0 = 32ί2 - 3.
Разбивая один класс χ ξ -3(mod32) по модулю 9 на три класса по модулю
27, мы получим решения χ ξ -3(mod33), χ = -6(mod33), x = -l2(mod33).
В. Мы доказали, что χ ξ l(mod 3) — решение сравнения f(x) = 0(mod 3).
г Следовательно, /(1) = 0(mod 3) и х = 3tt + I, где tt 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение f(x) = 0(mod З2), где х = 3ij + 1, t\ 6 Z. Для
его решения перейдем к линейному сравнению /(1)/3 + / (1) ■ t\ =
0(mod3).
Легко видеть, что /(1) = 66 и / (1) = 28. Таким образом, мы получаем
сравнение 66/3 + 28 ■ t{ = 0(mod 3), или, что то же, сравнение 22 +
Н- 28 ■ <! ξ 0(mod3). Поскольку 22 = l(mod3) и 28 ξ l(mod3),
то мы получаем сравнение 1 +1\ = 0(mod3), выполняющееся для
целого ί] = -l(mod3). Таким образом, t\ = 3<2 - 1, где ί2 £ 2,
и χ = 3ί, + 1 = 3(3*2 - 0 + 1 = З2 ■ t2 - 2.
Рассмотрим сравнение /(ж) ξ 0(mod З3), где х = 32<2 — 2, i2 G Z. Для
его решения перейдем к линейному сравнению
Zt?)+/'(-2)-i2 = 0(mod3).
Поскольку /(-2) = -9 и / (-2) = 103, то мы получаем сравнение
-9/9 + 103 ■ t2 = 0(mod3), или, что то же, сравнение -1 + 103·ί2 =
= 0(mod3). Поскольку 103 = l(mod3), то мы получаем сравнение
-1 +<2 = 0(mod 3), выполняющееся для f2 ξ 1 (mod 3). Таким образом,
h = 3ί3 + 1, где ί3 6 Z, и χ = ЗЧ2 - 2 = 32(3ί3 + 1) - 2 = З3 ■ ί3 + 7.
104
Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
Следовательно, решением сравнения /(ж) = 0(mod 33) является класс
x^7(mod33).
Таким образом, мы нашли все решения сравнения /(ж) = 0(mod 33):
х = -3(mod33), z = -6(mod33), х = -12(mod33) и ж ξ-7(mod33).
II. Решим сравнение /(ж) = 0(mod 52).
Для этого рассмотрим сначала сравнение /(ж) = 0(mod5). Заменив
коэффициенты многочлена х5 - ж4 +6х2 + 15ж + 45 их наименьшими
по абсолютной величине вычетами по модулю 5, мы получим
сравнение х5 - ж4 + х2 = 0(mod 5).
Легко видеть, что нулевой класс ж ξ 0(mod 5) является решением
нашего сравнения.
Если ж φ 0(mod5), то (ж, 5) = 1, и ж4 = l(mod5). Для таких ж
заменим показатели степеней в записи многочлена ж5 - ж4 + ж2 их
остатками от деления на 4, и перейдем к сравнению ж - ж0 + ж2 =
= 0(mod 5), или, что то же, к сравнению ж2 + ж - 1 = 0(mod 5).
Перебирая представители 1, -1, 2, -2 всех классов вычетов по модулю 5,
взаимно простых с модулем, мы убедимся, что сравнению
удовлетворяет ровно один класс: ж = 2(mod 5).
Таким образом, решениями сравнения /(ж) = 0(mod 5) являются
классы ж = 0(mod 5) и ж ξ 2(mod 5).
A. Мы доказали, что z=0(mod5) — решение сравнения /(ж) = 0(mod5).
Следовательно, /(0) = 0(mod 5) и ж = 5<ι + 0, где t\ 6 Ζ.
Рассмотрим сравнение /(ж) = 0(mod 52), где ж = 5<ι + 0, t\ 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению
^ + /(0)-ίι = 0(mod5).
Поскольку /(0) = 45 и /(О) = 15, то мы получаем сравнение 45/5 +
+ 15 ■ ί] = 0(mod 5), или, что то же, сравнение 9 + 15 · t\ = 0(mod 5).
Поскольку 9 = -1 (mod 5) и 15 ξ 0(mod 5), то мы получаем сравнение
-1 + 0 ■ t\ = 0(mod 5), не выполняющееся ни для какого целого t\.
Таким образом, в данном случае решения по модулю 52 не существует.
B. Мы доказали, что ж^2(ггк^5) — решение сравнения /(ж) = 0(mod 5).
Следовательно, /(2) = 0(mod 5) и ж = 5<] + 2, где t\ 6 Ζ,
Рассмотрим сравнение /(ж) = 0(mod 52), где ж = 5<ι + 2, t\ 6 Ζ. Для
его решения перейдем к линейному сравнению
ίγ- + f (2) ■ ίι = 0(mod 5).
Легко видеть, что /(2) = 115 и / (2) = 87. Таким образом, мы
получаем сравнение 115/5 + 87 · t\ ξ 0(mod 5), или, что то же, сравнение
§18. Сравнения по степени простого и по составному модупю 1 05
23 + 87 ■ i, = 0(mod 5). Поскольку 23 = -2(mod 5) и 87 ξ 2(mod 3),
то мы получаем сравнение -2 + 2t\ = 0(mod5), выполняющееся
для целого t\ = l(mod 5). Таким образом, t\ = 5<2 + 1, где ί2 £ ^>
и χ = 5ί, + 2 = 5(5*2 + 1) + 2 = 52 ■ t2 + 7.
Таким образом, мы доказали, что единственным решением сравнения
f(x) = 0(mod 52) является класс χ = 7(mod 52).
III. Решим теперь систему сравнений < ~ ) , , где а = 7,
[ i = 6(mod 3 )
и 6 6 {-3,6,15,7}.
Если χ = o(mod 25), то χ = 25t+a, где t 6 Ζ. Подставляя полученное
выражение для χ во второе сравнение системы, мы получим
сравнение 25ί+α = 6(mod 27), или, что то же, сравнение -It = 6-o(mod 27).
Домножая обе части сравнения на число 13, взаимно простое с
модулем, мы получим сравнение — 26ί = 13(6 - o)(mod 27), или, что то же,
сравнение t = 13(6 - o)(mod 27). Таким образом, t = 21t\ + 13(6 - о),
где ί, 6 Ζ, и χ = 25t+a = 25(27ί, + 13(6-α))+α = 675ί, +3256-324ο,
где ί, 6 Ζ.
Следовательно, решениями сравнения χ5 - ж4 + 6ж2 = 15ж + 45 =
ξ 0(mod675) являются следующие классы вычетов по модулю 675:
х = 3256-324o(mod675), где а = 7, а 6 6 {-3,6, 15,7}. Подстановка
дает окончательный результат: χ = 7(mod675), x = 132(mod675),
χ = 357(mod675), их = 582(mod675).
Замечание. Значения функции f(x) удобно вычислять, пользуясь схемой Гор-
нера. При этом, найдя значения функции /(ж) в точках 0,1, —1, 2, -2,
соответствующих наименьшим по абсолютной величине представителям всех
классов вычетов по модулям 3 (числа 0, 1, -1) и 5 (числа 0, 1, -1,2, -2),
мы немедленно получим решения соответствующих сравнений по модулям 3
и 5: на три делятся значения /(0) = 45 и /(1) = 66; на 5 делятся значения
/(0) = 45 и/(2) =115.
0
1
-1
2
-2
1 -1 0
1 -1 0
1 0 0
1 -2 2
1 1 2
1 -3 6
6
6
6
4
10
-6
15
15
21
11
35
27
45
45
66
34
115
-9
106 Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
Оставив в построенной таблице несколько пустых строк, мы используем
их в процессе решения, в нашем случае — для вычисления значений /(3)
и /(-3).
3
-3
1
1
1
-1
2
-4
0
6
12
6
24
-30
15
87
-75
45
306
270
Тот же прием можно использовать и для вычисления значений функции
/ (х) — 5ж4 - 4ж3 + 12а; + 15 в нужных точках.
0
1
2
-2
3
-3
5
5
5
5
5
5
5
-4
-4
1
6
-14
11
-19
0
0
1
12
28
33
57
12
12
13
36
-44
111
-159
15
15
28
87
103
348
492
1. Решите сравнение:
а) ж4 + 7ж + 4 = 0(mod 27);
б) ж5 +:
, _ , Зж4 - 7ж3 + Ах1 + 4х - 10 = 0(mod 25);
в) ж4 + 4ж3 + 2ж2 + χ + 12 = 0(mod 625).
Решите сравнение:
а) Зж4 + 4ж3 + 2ж2 + ж + 3 = 0(mod 3375);
б) ж4 - 2ж2 - 2ж + 16 = 0(mod 416).
Упражнения
WSWWIWWWWSrKiSSK*
Задачи
Решите сравнение:
а) 9ж2 + 29ж + 62 = 0(mod 64);
б) ж3+2ж + 2 = 0(тс<П25);
в) 4ж3 +6ж2 + 7х = 0(mod 125).
Решите систему сравнений
/(s) = 0(mod7),
/(s) = 0(mod44),
если /(ж) = 2ж100 + Зж50 + 4ж + 5.
§19. Квадратичные вычеты и симвоп Лежандра 107
3. Для любых целых а и Ь решите систему сравнений:
(ж = o(mod 52) [ ж = o(mod 53) Ι χ = o(mod З3)
; б) < ; в) <
χ = b(mod З2) ( χ = b(mod З3) [ χ = b(mod 22)
4. Решите сравнение:
а) 31ж4 + 57ж3 + 96ж + 191 = 0(mod675);
б) Зж4 - 8ж3 + 8ж2 - Зж + 3 = 0(mod 225);
в) х3 + 6х + 7 = 0(mod 675);
г) х3 + 2х2 + 2х + 4 = 0(mod 675);
д) χ3 - χ2 + χ + 3 = 0(mod 108);
е) х3 + 5х2 + 9х + 9 = 0(mod 108).
5. Найдите число решений сравнения:
а) х4 - Ах3 + \2х2 - 16ж + 2 = 0(mod 175);
б) х5 + ж4 - х3 + 5х2 + ЗОж - 45 ξ 0(mod 225);
в) χ5 - 4ж4 + 5ж3 + 4ж2 + 18ж - 69 = 0(mod 225);
г) 2ж3 - 6ж2 + 5х - 2 = 0(mod 675).
6. Сколько решений может иметь сравнение третьей степени по модулю 8?
7. Может ли сравнение второй степени по модулю р2, где ρ 6 Р\{2},
иметь: ρ решений; ρ + 1 решение; ρ + 2 решения; 2р - 1 решение?
8. Придумайте и решите сравнение /(ж) = 0(modр^'р"2), имеющее t
решений, если
а) р, = 2, р2 = 3, а, = 3, а2 = 2, t = 6;
б) Pi = 3, р2 = 5, а, = 2, а2 = 2, t = 10;
в) р, = 2, р2 = 5, а, = 3, а2 = 2, t = 3.
9. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух
случаев теоремы: /(ж) ξ 0(modρ"'ρ22), αϊ ^ 2,α2 ^ 2,р2 > р{ ^2.
10. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев
теоремы: /(ж) = 0(modр"'р22), αϊ ^ 2, α2 ^ 1,р2 > pi > 2.
§ 19. Квадратичные вычеты
и символ Лежандра
Для данного нечетного простого числа р, целое число а, взаимно
простое с р, называется квадратичным вычетом по модулю р, если ж„ ξ
= o(modp) для некоторого целого ж0. В противном случае а называется
квадратичным невычетом по модулю р.
108 Глава 1. Задачи по курсу теории чисеп
Например, числа 1 и 4 являются квадратичными вычетами по
модулю 5, поскольку сравнения χ2 ξ l(mod5) и ж2 ξ 4(mod5) разрешимы:
достаточно взять х0 = 1 и Xq = 2, соответственно. С другой стороны,
числа 2 и 3 являются квадратичными невычетами по модулю 5, поскольку
сравнения х2 = 2(mod 5) и х2 = 3(mod 5) неразрешимы: действительно,
I2 = l(mod5), 22 = 4(mod5), 32 = 4(mod5), и 42 = l(mod5), то есть
χ2 Φ 2(mod 5) и χ2 φ 3(mod 5) для любого целого χ.
Среди чисел 1,2,..., ρ - 1 (более того, в любой приведенной
системе вычетов по модулю р) имеется ровно (р - 1)/2 квадратичных вычетов
и ровно (р-1)/2 квадратичных невычетов по модулю р; при этом все
квадратичные вычеты принадлежат классам lj, 2\, ..., ((р - 1)/2)р.
Например, для нахождения всех квадратичных вычетов и невычетов по модулю
7, принадлежащих множеству {1, 2, 3,4,5,6}, достаточно найти
наименьшие неотрицательные вычеты по модулю 7 для чисел Ι2, 23 и З2: поскольку
I2 = l(mod 7), 22 = 4(mod 7) и З2 = 2(mod 7), то квадратичными вычетами
по модулю 7 являются числа 1, 2 и 4 (более того, все числа,
принадлежащие классам 17, 2η и 47), в то время как квадратичными невычетами
по модулю 7 являются числа 3, 5 и 6 (более того, все числа,
принадлежащие классам З7, 57 и 6η).
Для любого целого а, взаимно простого с нечетным простым числом р,
символ Лежандра (а/р) определяется следующим образом: (а/р) = 1,
если а является квадратичным вычетом по модулю р, и (а/р) = -1,
если а является квадратичным невычетом по модулю р. Если р|о, то мы
считаем, что (а/р) = 0.
Таким образом, с помощью символа Лежандра легко выяснить,
сколько решений имеет сравнение х2 = o(mod ρ), где ρ 6 Р\{2}: если (а/р) = 1,
то сравнение х2 = o(modp) имеет два решения: χ = ±x0(modp); если
(а/р) = -1, то сравнение х2 = o(modp) не имеет решений; если (а/р) = 0,
то сравнение х2 = o(modp) имеет одно решение: χ = 0(modp).
Символ Лежандра является специальным случаем символа Якоби,
определяемого как (о/га) = (fl/pi)"1 · ... · (a/pk)ai для любого нечетно-
гога=р?'-...-р£'.
С помощью символа Якоби можно получить подтверждение
неразрешимости сравнения х2 ^ o(modra): если (о/га) = -1, то сравнение
х2 = o(mod га) не имеет решений.
Свойства символа Лежандра
1. (а/р) = «^"'^(modp) (критерий Эйлера).
2. Если а = 6(mod ρ), то (а/р) = (Ь/р).
3. (аЪ/р) = (а/р)(Ъ/р).
4. (о2/р) = 1; в частности, (1/р) = 1.
§19. Квадратичные вычеты и символ Лежандра 109
5. (-1/р) = (-1)(Р-|)/2,тоесть(-1/р) = l,eanip = l(mod4), и (-1/р) =
= -1, если ρ ξ -l(mod4).
6- (2/р) = (-l)^-')/8, то есть (2/р) = 1, если ρ = ±l(mod8), и (2/р) =
= -1, если ρ = ±3(mod 8).
7. Для различных нечетных простых чисел ρ и q имеет место равенство
(p/q) = (-1)(Ρ-ι)/2ϊ-ι/2(ς[/ρ) (квадратичный закон взаимности).
8. Число решений сравнения х2 = o(modp) равно (о/р) + 1.
Так, теорема Ферма позволяет утверждать, что ор_| = l(modp),
откуда следует, что (а^~хУ2 - Ща^'1^2 + 1) = l(modp); поскольку ρ € -Р\{2},
то а^-1)/2 = l(modp) или α^~ι)/2 = -l(modp) для любого целого о,
взаимно простого с р, причем имеет место ровно одно из указанных
сравнений. Если о — квадратичный вычет по модулю р, то для некоторого
целого числа Xq имеет место сравнение х\ = o(modp), и, следовательно,
выполняется сравнение χζ~ ξ а^~^/2(тоар). Легко видеть, что число х0
взаимно просто с р. Следовательно, теорема Ферма позволяет утверждать,
что χζ~ = l(modp), то есть для квадратичного вычета а по модулю ρ
имеет место сравнение а№~1)/2 = l(modp). Тогда для квадратичного
невычета о по модулю ρ имеет место сравнение с№~{)/2 = -l(modp), что
доказывает первое свойство. Опираясь на критерий Эйлера, нетрудно
доказать и свойства 2-5 символа Лежандра. Для доказательства
квадратичного закона взаимности воспользуемся классическим методом Гаусса.
• Прежде всего, докажем лемму Гаусса: (о/р) = (-1)", где η — число
чисел системы {1 ■ а, 2 ■ о,..., (р - 1)/2 ■ о}, имеющих отрицательный
абсолютно наименьший вычет по модулю р.
Именно, рассмотрев числа 1 ■ о,..., (р - 1)/2 ■ о, мы убедимся, что
все они взаимно просты с числом р. Действительно, каждое из чисел
г € {1,..., (р - 1)/2} взаимно просто с р, число а взаимно просто с р, и,
следовательно, каждое произведение ia взаимно просто с р.
Кроме того, числа 1 ■ о,..., (р - 1)/2 ■ а принадлежат разным
классам вычетов по модулю р. Действительно, если га = fca(modp), то г ξ
= fc(modp); так как i,k € {1,..., (ρ - 1)/2}, то г — к. Следовательно,
каждое из чисел 1 · а,... ,(р - 1)/2 ■ а сравнимо ровно с одним
элементом приведенной системы вычетов {±1,..., ±(р - 1)/2} по модулю р:
ta = (-1)"Τί, « € {1,..., (ρ - 1)/2}, г, € {1,..., (ρ - 1)/2}, η,-€ {0, 1}.
При этом если г ψ к, то и г, Φ г*: иначе га = ±fca(modp), и
следовательно г = к, что дает противоречие. Таким образом,
1..... &zAa(p-W = (_1)»<+-+»<^Г| ... r(p_l)/2(modp).
Сокращение на одно и то же число 1·. ..-(р-1)/2 = r\·.. .·Τ(ρ-\)ρ. позволяет
получить соотношение а^-1)/2 = (-1)", где η = щ + ... + тцр-щ равно
по
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
числу элементов га, для которых га,- = 1, то есть тех элементов, которые
имеют отрицательные абсолютно наименьшие вычеты.
(р-1)/2
• Докажем теперь, что (а/р) = (- 1)г, где t = Σ №α/Ρ\ ■
Действительно, рассмотрев числа го из доказательства предыдущего
пункта, мы получим, что го = ρς,- + г,·, 0 < г,- < р, при этом го имеет
положительный абсолютно наименьший вычет (равный г,·) тогда и только
тогда, когда 0 < г,- < (р - 1)/2. Таким образом, га,- = О, если г,- € {1,...,
(р - 1)/2}, и га,■ = 1, иначе.
Рассмотрим число 2го/р = 2д,· + 2г,/р. Если г, € {1,..., (р - 1)/2},
то 0 < 2п/р < 1, и, так как 2ς,- € Ζ, мы получим, что [2га/р\ = 2д,· +
+ [2п/р\ = 2д,·. В остальных случаях (р - 1)/2 < η < ρ, 1 < 2г,/р < 2,
и L2m/pJ = 7qi + L2r,/pJ = 29ι· + 1.
Таким образом, [2га/р\ есть число четное тогда и только тогда, когда
щ = 0, и число нечетное тогда и только тогда, когда га,- = 1, откуда следует,
(р-1)/2 (р-1)/2
что суммы t = Σ [ia/p\ и га = Σ "ί имеют одинаковую четность,
«=1 1=1
то есть, (-1)' = (-1)", что и доказывает наше утверждение.
• Докажем, что для нечетного а имеет место равенство (а/р) = (-1)8,
(р-1)/2
где s = Σ L*fl/PJ ■
i=l
Действительно, если а нечетно, то а + ρ четно. Тогда
(о+р\ /о + р-
^)-(Т1-<-"·
1=1 L v J i=l VL'J ' «=1 LV-
(p-l)/2
Беря о = 1, получим, что Σ \}a/P\ = 0, и (а/р) = 1, то есть (2/р) =
1=1
= (—1)^ ~')/8. Сокращая теперь обе части равенства на одинаковую
величину, получим искомый результат. (Заметим, что в процессе рассуждений
мы получили доказательство свойства 6 символа Лежандра.)
• Пусть р,q € ^\{2} ир^д. Пользуясь утверждением предыдущего
(р-1)/2
пункта, можно утверждать, что (p/q)(q/p) = (-1)S+A где 5 = Σ L*9/PJ>
9-1/2
/= Σ [iP/Q\-
«=ι
§19. Квадратичные вычеты и символ Лежандра 111
Рассмотрим на плоскости прямоугольник с вершинами (0,0), (0,
(р - 1)/2), ((q - 1)/2,0), ((q - 1)/2, (р - 1)/2). Очевидно, что число точек
с натуральными координатами в этом прямоугольнике равно
(р-1) (g-i)
2 2 '
Подсчитаем число данных точек другим способом. Для этого
проведем прямую у = px/q. Она не содержит ни одной точки вида (ж<ьУо)>
Хо> Уо € N: в противном случае qy0 = рхо, то есть q\x0 и р|у0, что
невозможно для натуральных х0 и уо,если 0 < Хо < (q-l)/2, 0 < уо ζ (ρ- 1)/2.
Легко видеть, что число точек с натуральными координатами, располо-
(ϊ-1)/2
женных в нашем прямоугольнике под этой прямой, равно Σ [*Р/я\·
Аналогично, число точек с натуральными координатами, лежащих в на-
(р-1)/2
шем прямоугольнике над данной прямой, равно Σ Мч/Р\ («перевер-
«=1
ните» оси координат и рассмотрите нашу прямую как прямую χ = q/py).
Таким образом, (р - 1)/2 ■ (q - 1)/2 = 5 + /, и (p/q)(q/p) = (- l)(p-')/2(?-i)/2
Доказательства остальных свойств можно найти, например, в [3].
Примеры решения задач
1. Вычислите: (-125/47).
Решение. (-125/47) = (-5 ■ 25/47) = (-5/47) ■ (52/47) = (-5/47) =
= (-1/47X5/47) = (-1) ■ (5/47) = (-1) ■ (47/5) = (-1) ■ (2/5) = (-1) ■
■(-1)=1. >
2. Укажите число решений сравнения х2 - 503 = 0(mod409).
Решение. Убедившись, что 409 — простое число и переписав сравнение
в виде х2 = 503(mod409), рассмотрим символ Лежандра (503/409):
(503/409) = (94/409) = (2 ■ 47/409) = (2/409) ■ (47/409) = 1 ■ (47/409) =
(409/47) = (33/47) = (3/47)(11/47) = (-(47/3)) ■ (-(47/11)) = (47/3) ■
(47/11) = (-1/3)(3/11) = (-1) ■ (-(11/3)) = (11/3) = (-1/3) = -1.
Следовательно, сравнение не имеет решений. >
3. Докажите, что сравнение ax2 + bx + c^0(modp), р£Р\{2}, (а,р) = 1,
имеет два решения, если (D/p) = 1, одно решение, если (D/p) = 0,
и не имеет решений, если (D/p) = -1, где D = Ь1 — Аас.
Решение. Так как ρ — нечетно, то можно провести ряд
равносильных преобразований: ах2 + Ьх + с = 0(mod р) Ф> 4а2х2 + 4аЬх +
Аас = 0(modp) Ф> (2ах + Ъ)2 - б2 + Аас = 0(modp) Ф> (2ах + Ь)2 =
112 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Ь2 - 4oc(modp). В итоге сравнение ах2 + Ьх + с = O(modp)
равносильно сравнению у2 = Ь2 — 4oc(mod ρ), или, что то же,
сравнению у2 = D(modp). Таким образом, если (D/p) = 1, то сравнение
у2 = .D(modp) имеет два решения, и им соответствуют два решения
сравнения ах2 + Ьх + с = 0(mod р); если (D/p) = -1, то
сравнение у2 = D(modp) не имеет решений, и равносильное ему
сравнение ах2 + Ьх + с = O(modp) также неразрешимо; наконец, если
(D/p) = 0, то сравнение у2 = .D(modp) имеет единственное
нулевое решение и ему соответствует единственное решение сравнения
ах2+ bx+ c = 0(modp). >
4. Укажите число решений сравнения х2 - 6х + 7 = 0(mod 31).
Решение. Поскольку D = 36 - 28 = 8 и (8/31) = (2/31) = 1,то
сравнение х2 - 6х + 7 = 0(mod 31) имеет два решения.
Впрочем, убедиться в этом можно и непосредственно: домножив
наше сравнение на число 4, взаимно простое с модулем 31, мы
получим сравнение 4х2 - 24ж + 28 = 0(mod31), равносильное
исходному. Выделим в левой части полный квадрат: Ах2 - 24ж + 28 =
4ж2-2-2ж-6+36-36+28 = (2ж-б)2-36+28 = (2ж-6)2-8 = 0(mod31).
Таким образом, сравнение ж2 - 6ж + 7 ξ 0(mod 31) равносильно
сравнению (2х - б)2 = 8(mod31).
Простой перебор показывает, что решениями сравнения у2 = 8(mod 31)
являются классы у = ±16(mod31). Если 2х - 6 = 16(mod31), то
2х = 22(mod31), и χ = ll(mod31); Если 2х - 6 = -16(mod31), то
2х = -10(mod31), и х = -5(mod31). Итак, сравнение ж2 - 6ж + 7 ξ
0(mod31) имеет два решения: χ = ll(mod31), и х = -5(mod31). >
5. Укажите число решений сравнения 168ж2 + 169ж + 84 = 0(mod 503).
Решение. Убедившись, что число 503 — простое, домножим обе части
сравнения на число 3, взаимно простое с модулем, и получим
эквивалентное первоначальному сравнение 504ж2+507ж+252 = 0(mod 503),
или, что то же, сравнение х2 + 4х + 252 = 0(mod503).
Домножив обе части последнего сравнения на число 2, взаимно простое
с модулем, мы получим эквивалентное первоначальному сравнение
2ж2 + 8ж -+- 504 = 0(mod 503), или, что то же, сравнение 2ж2+8ж +1 =
0(mod503). Поскольку D = 64 - 8 = 56 и (56/503) = (7 ■ 23/503) =
(7/503)(2/503) = (7/503) ■ 1 = (7/503) = -(503/7) = -(-1/7) =
-(-1) = 1, то сравнение 2ж2 + 8ж + 1 = 0(mod503) имеет два
решения и, следовательно, сравнение 168ж2 + 169ж + 84 = 0(mod503)
имеет два решения. >
§19. Квадратичные вычеты и символ Лежандра 113
6. Укажите число решений сравнения х2 = -1 (mod 221).
Решение. Заметив, что число 221 = 13-17 — составное,
перейдем от сравнения х2 = -1 (mod 221) к эквивалентной ему систе-
{х2 = -1 (mod 13)
. Поскольку (-1/13) = 1
х2 = -1 (mod 17)
и (-1/17) = 1, то каждое из сравнений системы имеет ровно два
решения, откуда следует, что сравнение х2 = - l(mod 221) имеет четыре
решения. >
7. Для каких простых ρ число 5 является квадратичным невычетом?
Решение. Очевидно, что ρ ψ 2 и ρ Φ 5. Далее, для ρ € Р\{2, 5}
имеет место соотношение (5/р) = ((р - 1)/5). Если ρ = l(mod5),
то ((ρ - 1)/5) = (1/5) = 1. Если ρ = -l(mod5), то ((ρ - 1)/5) =
(-1/5) = 1. Если ρ = 2(mod5), то ((ρ - 1)/5) = (2/5) = -1. Если
ρ = -2(mod5), то ((ρ - 1)/5) = (-2/5) = (-1/5)(2/5) = 1 ■ (-1) =
-1. Таким образом, ((р - 1)/5) = -1 и, следовательно, 5 является
квадратичным невычетом по модулю р, для нечетных простых ρ =
±2(пкх15),тоестьдляр = {3,7,13, 17,23,37,43,47,...}. >
8. Укажите все простые делители квадратичной формы х2 + 6.
Решение. Если ρ — простой делитель квадратичной формы х2 + 6,
то сравнение х2 + 6 = O(modp) разрешимо. Это верно для ρ = 2:
сравнение принимает вид х2 = 0(mod2), и его решением является
класс χ = 0(mod2). Это верно для ρ = 3: сравнение принимает вид
х2 = 0(mod3), и его решением является класс χ = 0(mod3). Если
ρ € Р\{2, 3}, то вопрос о разрешимости сравнения х2 = -6(modp)
можно решить, найдя значение символа Лежандра (-6/р). В этом
случае (-6/р) = (-1/р)(2/р)(3/р) = (-1)^-1/2(2/р)(_ι)Ρ-</2·3-ι/2((ρ _
1)/3) = (2/р)((р - 1)/3). При этом (2/р) = 1, если ρ = ±l(mod8),
и (2/р) = -1, если ρ = ±3(mod 8), ((ρ - 1)/3) = 1, если ρ = l(mod 3),
и ((ρ - 1)/3) = -1, если ρ = -l(mod3). Таким образом (-6/р) =
1, если ρ = ±l(mod8) и ρ ξ l(mod3), или если ρ = ±3(mod8)
ρ = a (mod 3)
ρ = b (mod 8)
мы получим, что р = 8ί + Ь, и 8ί + b = o(mod 3), откуда следует, что
-t = а - 6(mod 3), или t = b - o(mod 3), то есть t = 3t\ + (b - a),
и ρ = 8ί + b = 8(3<i + (b-a))+b = 24<i + (9b - 8a), или, что то же,
ρ = 96 - 8o(mod 24). Таким образом, для а = 1,6= 1 имеем ρ =
1 (mod 24), для а = 1,6= -1 имеем ρ = 7(mod 24), для а = -1, 6 = 3
имеем ρ = 1 l(mod 24), для а = -1, 6 = -3 имеем ρ = 5(mod 24).
и ρ = -l(mod3). Решая систему сравнений
114 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Итак, все простые делители квадратичной формы х2 + 6 имеют вид
{2, 3, 24ί + 1, 24ί + 5,24ί + 7, 24< + 11, t € Ζ}. >
Упражнения
1. Вычислите:
а) (102/17); г) (5000/101); ж) (204/311);
б) (-88/23); д) (-5000/103); 3) (219/383).
в) (125/47); е) (-1116/73);
2. Существует ли целое число х, для которого х2 + 5 делится на 61?
3. Существует ли целое число х, для которого х2 - 40 делится на 71?
4. Укажите число решений сравнения:
а) х2 - 200 = 0(mod 79); е) х2 = 304(mod 299);
б) х2 = 56(mod 87); ж) ж2 - 990 = 0(mod 1787);
в) х2 = 555(mod 101); з) х2 = 500(mod 1777);
г) х2 = 15(mod 209); и) х2 - 270 = (mod 2803).
д) x2 + 27 = 0(mod91);
5. Укажите число решений сравнения:
а) 2ж2 + 7х + 5 = 0(mod 37);
б) Зж2 + 5х + 7 ξ 0(mod 87).
в) 2x2-3x + 4^0(modl51);
г) 3x2-a; + 7=0(modl51);
д) 5x2 + 2x-5 = 0(mod71);
е) 4ж2 - 2х + 9 = 0(mod 137);
ж) 5ж2 + Зх + 25 = 0(mod 167);
з) 76ж2 - 77ж + 36 = 0(mod 227).
6. Укажите число решений сравнения:
а) 5ж2 + χ + 8 = 0(mod 289);
б) Ъх1 - \\х + 17 = 0(mod329).
в) ЗОж2 - χ + 14 = 0(mod494);
г) 204ж2 + 103а: + 1 = 0(mod 818).
7. Для каких простых ρ число 3 является квадратичным невычетом?
8. Для каких простых ρ число 7 является квадратичным вычетом?
9. Укажите все простые делители квадратичной формы 2у2 + 10.
10. Укажите все простые делители квадратичной формы Зж2 + 15.
§19. Квадратичные вычеты и символ Лежандра 115
Задачи
1. Является ли число 71 квадратичным вычетом по модулю 93?
2. Найдите все классы квадратичных вычетов (невычетов) по модулю р,
если ρ € {11,13, 15,17}. Какой вывод можно сделать о их количестве?
3. Найдите наименьший натуральный двузначный квадратичный вычет
по модулю 31.
4. Найдите наименьшее натуральное число, для которого сравнение
х2 = o(mod 101) неразрешимо.
5. Вычислите:
а) (1001/61); е) (514/727); л) (342/677)
б) (2741/97); ж) (438/593); м) (2741/97)
в) (342/667); з) (232/367); н) (1001/61)
г) (342/677); и) (157/379); о) (514/727)
д) (514/327); к) (438/593); п) (-88/263).
6. Разрешимо ли сравнение:
а) х2 + 67 = 0(mod 1357); г) х2 = 215(mod47);
б) х2 - 69 Ξ 0(mod 307); д) χ2 + 53 = 0(mod 253);
в) χ2 - 200 = 0(mod 61); e) χ2 - 300 = 0(mod 151)?
7. Сколько решений имеет сравнение:
а) х2 + 170ж - 142 = 0(mod 167);
б) х2 - 137ж + 125 = 0(mod 167);
в) х2 + 147ж - 1 = 0(mod 167);
г) x2 + 81x + 15^0(modl01);
д) х2 - 71ж + 29 = 0(mod 101);
е) х2 - Пх + 93 = 0(mod 101);
ж) х2 + 83ж + 56 = 0(mod 103);
з) х2 - 73ж + 67 = 0(mod 103);
и) х2 - 83ж + 15 = 0(mod 103).
8. Укажите число решений сравнения:
а) -196x2 + 261x + 35^0(mod262);
б) 526ж2 + 50ж - 44 ξ 0(mod 214).
9. Для каких простых ρ число 13 является квадратичным невычетом?
10. Укажите все простые делители квадратичной формы х2 + Юу2.
p-l /χ\ р-\ /ж2\
11. Найдите сумму: £ ( - ); £ ( — ).
1=0 \Р/ х=0\Р/
116
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
12. Докажите, что функция /(га) = (га/р) является мультипликативной
для любого фиксированного ρ € Р\{2}. Является ли она вполне
мультипликативной?
13. Убедитесь в том, что символ Якоби обладает свойствами,
аналогичными свойствам 2-8 символа Лежандра.
14. Вычислите:
а) (75/363); б) (160/693); в) (250/351); г) (343/585).
15. Верно ли, что (о/га) = fl(n-l)/2(modra) для любого нечетного га > I?
Используя полученный результат, докажите, что число 21 является
составным.
§ 20. Показатели и первообразные корни
Для данного натурального числа га и данного целого числа о,
взаимно-простого с га, показателем Рп(а) числа а по модулю га называется
наименьшее натуральное число η, такое что о7 = l(mod га). Целое число g
называют первообразным корнем по модулю га, если Pn(s) = у(га).
Например, ^(4) = 2, поскольку 42 = l(mod5), но 41 Φ l(mod5).
С другой стороны, Р$(3) = 4, поскольку З4 = l(mod5), и З1 Φ l(mod5),
З2 Φ l(mod5), З3 Φ l(mod5). Так как φ(5) = 4, то число 3 является
первообразным корнем по модулю 5, а число 4 первообразным корнем
по модулю 5 не является.
Аналогично, Р9(2) = 6, поскольку 2б = l(mod9), но 21 Φ l(mod9),
22 Φ l(mod 9), ... >25 Φ l(mod 9). С другой стороны, Р9(7) = 3, поскольку
73 = l(mod9), и 71 ф l(mod5), 72 ф l(mod9). Так как φ(9) = 6, то число
2 является первообразным корнем по модулю 9, а число 7 первообразным
корнем по модулю 9 не является.
Известно (см. [3], [5]), что первообразные корни существуют только
по модулю 2,4,р° и 2р°, где ρ € Р\{2}, а а € N.
Свойства показателей
1. Если а = ft(modra), τα. Р„(а) = Р„(Ь).
2. а6 = 1 (mod га) тогда и только тогда, когда Ρ„(α)\δ.
3. P„(a)\tp(ri); в частности, 1 < -Рп(о) < ψ{η)-
4. а3 = a^mod га) тогда и только тогда, когда δ = ?7(mod Pn(a))-
5. Числа о0, о1, о2,..., ор»(°)_| принадлежат различным классам вычетов
по модулю га.
6. Для первообразного корня g по модулю га числа д°, д1, д2,..., gf(n)~x
образуют приведенную систему вычетов по модулю га.
§20. Показатели и первообразные корни 117
7. Количество натуральных чисел, не превосходящих га, показатель
которых равен к, равно 0 или φ (к); в частности, количество классов
вычетов по простому модулю р, показатель которых равен к, к\р — 1,
равно у(Л).
8. Рр?.....„«.(а) = [PpV(a),...,PpV(a)].
9. Рт(а») Рт{а)
(га, Рт(а))'
10. Если Рт(а) = 71 ■ 72. то Рт{а^) = 72-
11. Если Рр>(а) =7, το Ρρ»+ι(ο) € {7>7'Р}; если ρ^(α) = 7> -Ρρ'+'ί0) =
= 7-рир*>2,то Рр«.+2(о) = 7 ■ Р2.
12. Длина периода g-ной записи правильной несократимой дроби а/(Ь\ ■
Ь2), где (6],з) = 1, и ί>2 состоит только из простых чисел, входящих
в каноническое разложение д, равна РьХд); в частности, правильная
несократимая дробь а/Ь, где (Ь, 10) = 1, разложима в чистопериоди-
ческую десятичную дробь, длина периода которой равна Pj(10).
Первое свойство очевидным образом следует из определения
показателя. Доказательство первой части свойства 2 тривиально: если Ρη(α)\δ, то
δ = P„(a)q, и αδ = (ар»(°))? = 1 (modга). Для доказательства второй части
свойства 2 достаточно поделить δ на Р„(а) с остатком: δ = P„(a)q + r, где
0 < г < Рп(а). Поскольку αδ = l(mod га), то (ор»(°))»-ог = l(mod га). С
учетом того, что ор»(°) = 1 (mod га), мы получаем сравнение ог = 1 (mod га). Так
как 0 < г < Ра(а), то последнее сравнение возможно только при г = 0.
Следовательно, Ρη(α)\δ. Третье свойство немедленно следует из свойства
2 и теоремы Эйлера: а*^") = 1 (mod га).
Для доказательства свойства 12 при д = 10 и (Ь, 10) = 1 введем
обозначение Рь(Щ = s и рассмотрим следующую цепочку равенств:
\0a = bqi+ru Юп = bq2 +r2, ■■■, 10rs_i = bqs +rs,
где 0 < Γι < b, 0 < Γ2 < b, ..., 0 < rs < b. Деля первое равенство на 106,
второе равенство — на 1026, ..., 5-е равенство — на 10s6, мы получим,
что
„/j, 9l _i_ qi _ι_ , 9ί , Γί
a/b = To + W*+-+w+Wb-
Тогда 10so = b(q{ 10s_l + q2iOs~2 + ...+ qs)+rs,ro есть rs = 10sfl(mod 6),
и, так как 10s = l(modft), то rs = a(modft). Поскольку дробь а/Ь
несократима, то числа а и b взаимно просты, и, с учетом условия (10, Ь) = 1,
мы получаем, что (10а, 6) = 1, откуда следует, что и (ft, η) = 1.
Аналогичные рассуждения позволяют утверждать, что (b,r2) = 1, ■■■, (b,rs) = 1.
Таким образом, 0 < г\ < Ь, 0 < т2 < Ь, ..., 0 < rs < Ь. Поскольку дробь
а/Ь правильная, то 0 < а < Ь. Так как rs = a(modft), то ограничения
118 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
0<г8<6и0<о<6 позволяют утверждать, что rs = а. Отсюда следует,
что <jfc = qs+t; для любого натурального к. Кроме того, мы можем легко
убедиться в том, что 0 < q\ < 10, 0 < g2 < 10, ..., 0 < qs < 10. Наконец,
Гп/Ю"6 -t 0 при η -* оо, и мы получаем периодическое разложение
.. 9ι . 92 , 9» . 9ι . , 9s ,
a/b=To + W + --w + W^ + -- + ^ + --'
или, в сокращенной записи, а/Ь = 0, (<7ις2 ■ ■ ■ Qs), где 5 = Р&(10).
Доказательства остальных свойств можно найти, например, в [3], [5].
Примеры решения задач
1. Найдите: Pi ι (27); Pl3(l5); Ρι2(-53); Рю(-225).
Решение. Поскольку 27 = 5(mod 11), το Pi ι (27) = Рц(5). Поскольку
φ(\Ι) = 10, то Рц(5)|10, то есть Р„(5) € {1,2,5,10}. При этом
51 = 5 ф l(modll), 52 = 4 ф l(modll), 55 = 52 ■ 52 ■ 5 = 3 ■ 3 ■ 5 =
= (-2) ■ 5 ξ l(mod 11). Таким образом, Рц(27) = 5.
Поскольку 15 = 2(modl3), то Ρι3(15) = Ρι3(2). Поскольку у>(13) = 12,
то Ρι3(2)|12, то есть Р,3(2) € {1,2,3,4,6,12}. При этом 21 = 2 ф
ф l(mod 13), 22 = 4ф l(mod 13), 23 = 8 ф l(mod 13), 24 = 16 = 3 ф
ф l(modl3), 26ξ24·22ξ3·4ξ -1 ф 1(mod 13), а по теореме Эйлера
212 = l(mod 13). Таким образом, Ρι3(2) = 12, то есть число 2 является
первообразным корнем по модулю 13.
Поскольку -53=7(modl2), то Ρι2(-53)=Ρι2(7). Поскольку <р(\2)=4,
то Ρι2(7)|4, то есть Р,2(7) € {1,2,4}. При этом 71 = 7 ф l(mod 12),
и 72 ξ 49 ξ l(mod 12). Таким образом, Р,2(7) = Р]2(-53) = 2.
Поскольку (10, -225) = 5 Φ 1, то Рю(-225) не существует. >
2. Вычислите Ptooo(81).
Решение. Прежде всего заметим, что
Р40оо(81) = Ptooo(3 ) = 77-5—7Τΰ·
(4, Ptooo(3))
Перейдем к нахождению, Ptooo(3). Легко видеть, что
Р40оо(3) = Р25.5з(3) = [Р25(3), Р5з(3)].
Найдем P2s(3). Начнем вычисления с нахождения Р2(3) = 1. Тогда
Рг2(3) € {1, 1 ■ 2}. Поскольку З1 ф l(mod22), то Ρ2ι(3) = 2. Тогда
Р2з(3) € {2, 2 ■ 2}. Поскольку З2 = l(mod23), то Р2з(3) = 2. Тогда
Р2<(3) € {2,2-2}. Поскольку З2 ф l(mod24), то Р^З) = 22. Тогда
Р25(3) = 23.
§ 20. Показатели и первообразные корни 119
Найдем Р5з (3). Начнем вычисления с нахождения Р5 (3). Легко
убедиться, что Р5(3) = 4. Тогда Ρ5ι(3) € {4,4■ 5}. Поскольку З4 φ l(mod52),
то Р52(3) =4-5. Тогда Р5з(3) = 4 ■ 52.
Теперь мы получим, что
Дюоо(З) = [Ρί(3), -Р5з(3)] = [23,4 ■ 52] = 23 ■ 52 = 200.
Тогда
Ρ r°n Р«™^ 200 200 go
Ρ400θ(81) - (4,Аооо(3)) - КЩ ~ Ύ ~ 50- >
3. Найдите все классы вычетов хц, для которых Ри(х) = 3; Рц(ж) = 5.
Решение. Поскольку φ(\1) = 10, и 3 { 10, то классов вычетов Хц,
для которых Рц(х) = 3, не существует.
Для нахождения всех классов вычетов хц, для которых Рп(х)=5,
найдем подбором один такой класс, например Зц: именно, 3'^l(modll),
З2 ф l(mod 11), но З5 = 27 ■ 9 = 5 ■ (-2) = -10 = l(mod 11).
Если Ρ\ι(χ) = 5, то х5 = 1 (mod 11). С одной стороны, сравнение
х5 = l(mod 11) по простому модулю 11 имеет не более пяти решений.
С другой стороны, поскольку З5 = l(mod 11), то для любого целого
неотрицательного числа к имеет место сравнение (З*)5 = l(mod 11).
Поскольку числа 3°, З1,32, З3, З4 принадлежат различным классам
вычетов по модулю 11, то классы 3J,, 3},, 3j,, З3,, З4, дают все решения
сравнения х5 = l(mod 11). Поскольку
Р, (Ък) = Рп{3) = -L-
,U ^ (*,Р,,(3)) (*,5)'
то Рц(3*) = 5 в том и только в том случае, когда (к, 5) = 1, то есть
для к € {1, 2, 3,4}. Таким образом, хц € {3},, 3j,, 33,, З4,}, или, что
тоже, хц € {Зц, 9П, 5ц, 4ц}. >
4. Зная, что 7 — первообразный корень по модулю 11, запишите
приведенную систему вычетов по модулю 11; найдите все первообразные
корни по модулю 11.
Решение. Поскольку Рц(7) = 10, то числа 7°, 71,72,..., 78,79
принадлежат различным классам по модулю 11 и, следовательно,
образуют приведенную систему вычетов по модулю 11.
Для нахождения всех первообразных корней по модулю 11, то есть
всех классов вычетов Хц, для которых Рц(х) = 10, заметим, что
если Рц(х) = 10, то ж10 = l(modll). С одной стороны,
сравнение х10 = l(mod 11) по простому модулю 11 имеет не более десяти
решений. С другой стороны, для любого целого неотрицательного
числа к имеет место сравнение (7*)10 = 1 (mod 11). Так как числа
120 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
7°, 71,72,..., 78, 79 принадлежат различным классам вычетов по
модулю 11, то классы 7",, 7|,, 72,, ..., 7*,, 7*, дают все решения
сравнения х10 = l(mod 11). Поскольку
А,(Л- Р,|(7) '°
(*,Рп(7)) (к, 10)'
то Рц(7к) = 10 в том и только в том случае, когда (к, 10) = 1, то есть
для к € {1,3,7,9}. Таким образом, хц € {7}i,7',,7j,,7',}, или, что
тоже, хц € {7ц, 2П) бц, 8П}. >
Найдите длину периода g-ной записи дроби: 25/65, д = 10;
663/(294 ■ 107), д = 7.
Решение. Длина периода g-ной записи несократимой дроби α/(δι-δ2),
где (Ь\,д) = 1, и 62 состоит только из простых чисел, входящих
в каноническое разложение д, равна ^(10).
Таким образом, длина периода десятичной записи дроби 25/65 =
= 5/13 равна Рп(Щ. Поскольку φ(\3) = 12, то Ρι3(10)|12, то есть
Рп(\0) € {1,2,3,4,6,12}. При этом 101 = -3 ф 1 (mod 13), ΙΟ2 =
= 9 ф l(mod 13), ΙΟ4 = (-4)2 = 16 = 3 ф l(mod 13), ΙΟ6 = ΙΟ4 ■ ΙΟ2 =
ξ 3-9 = l(mod 13). Таким образом, Ргз(10) = 6, то есть длина периода
десятичной записи дроби 25/65 равна 6.
Для нахождения длины периода семиричной записи дроби 663/(294-107)
разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители: 663 =
= 3 ■ 13 ■ 17, и 294 ■ 107 = 28 ■ 3 ■ 57 ■ 72. Таким образом, 663/(294 ■ 107) =
= 13 ■ 17/(28 ■ 57 ■ 72), и длина периода семиричной записи дроби
663/(294- 107) равна Р2».5'(7).
При этом Ρ2»·5'(7) = [РА1)>Р?(7)]·
Найдем Р$(7). Начнем вычисления с нахождения Р2(7) = 1. Тогда
Р2'(7) € {1, 1 ■ 2}. Поскольку 71 φ l(mod22), то Ρ2ι(7) = 2. Тогда
Рг'Ь) € {2,2-2}. Поскольку 72 = l(mod23), то Р2з(7) = 2. Тогда
-М7) € {2,2-2}. Поскольку 72 = l(mod24), то Рг*{1) = 2. Тогда
-М7) € {2,2-2}. Поскольку 72 φ l(mod25), то Рр(7) = 22. Тогда
Р2б(7) = 23, Рг(7) = 2\ и P2s(7) = 25.
Найдем Р$т{7). Начнем вычисления с нахождения Р$(7). Легко
убедиться, что Р5(7) = 4. Тогда P?{7) € {4,4-5}. Поскольку 74ξ72·72ξ
= (-1)2 = l(mod52), то Ρ5ι(7) = 4. Тогда Р5>(7) € {4,4- 5}.
Поскольку 74 ξ 73 ■ (-33) · 7 ξ -231 φ ll(mod53), то Р5з(7) = 4-5. Тогда
Ps4(7) = 4 ■ 52, Р55(7) = 4 ■ 53, Р5б(7) = 4 ■ 54, и Р*(7) = 4 ■ 55.
Теперь мы получим, что [Р2в(7),Р5'(7)1 = [25,4- 55] = 25 ■ 55 = 105.
Таким образом, длина периода семиричной записи дроби 663/(294-107)
равна 100000. >
§ 20. Показатели и первообразные корни 121
Замечание. Известно, что длина предпериода </-ной записи правильной
несократимой дроби о/(Ь| ■ Ьг)» где (Ь|, </) = 1, и Ь2 состоит только из простых
чисел, входящих в каноническое разложение д, равна п, где η — наименьшее
натуральное число, такое что gn\b2 (см. [28]). В нашем случае д = 7 и Ь2 = 72,
то есть </2|Ь2, откуда следует, что длина предпериода семиричной записи дроби
663/(294· 107) равна двум.
Найдите число всех правильных несократимых дробей, обращающихся
в чистопериодическую десятичную дробь с длиной периода, равной 3.
Решение. Нас интересует число дробей вида а/Ь, где 0 < а < Ь,
(а,Ь) = 1, (Ь, 10) = 1, и РЬ(Ю) = 3. В этом случае 10 φ l(modb),
ΙΟ2 Φ l(modft), и ΙΟ3 = l(modft). Следовательно, 999 = O(modft), то
есть 6|999.
При этом имеется ровно г(999) = г(33 · 37) = 8 натуральных
делителей числа 999: 1, 3, З2, З3, 37, 3 · 37, З2 · 37, З3 · 37. Непосредственная
проверка показывает, что Ь € {З3, 37, 3 · 37, З2 · 37, З3 · 37}. При этом
число правильных несократимых дробей со знаменателем З3 равно
<р(32) = 18, число правильных несократимых дробей со
знаменателем 37 равно V(37) = 36, число правильных несократимых дробей
со знаменателем 3 · 37 равно φ(3 ·37) = 2-36, число правильных
несократимых дробей со знаменателем З2 · 37 равно φ(32 · 37)) = 6-36,
число правильных несократимых дробей со знаменателем З3 · 37 равно
у>(33-37)) = 18-36. Следовательно, число всех правильных
несократимых дробей, обращающихся в чистопериодическую десятичную дробь
с длиной периода, равной 3, равно 18Ч-36+2-36+6-36Ч-18-36 = 990. >
Упражнения
Л. Найдите:
а) Р„(13); г) Р,2(-55); ж) Р,0(-115);
б) Р7(80); д) Р,з(-128); з) Р12(245).
в) Р15(9); е) Р21(430).
2. Вычислите:
а) Р5ооо(3); д) Рюоо(27); и) Р753'(2);
б)Р8,ооо(П); е)Р6075(8); к) Р7(52010);
в) Р5оо48(7); ж) Р70оо(625); л) Р|87(380п+4),·
г) Р39з75(2); з) Р„оо(169); м) РР.$(230»+5).
3. Найдите все классы вычетов х7, для которых: Ρη(χ) = 3; Ρη(χ) = 5;
Ρ7(ζ) = 6.
122 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
4. Найдите все классы вычетов χι5, для которых: P\s(x) = 2; P\s(x) = 8;
P\s(x) = 4·
5. Зная, что 2 — первообразный корень по модулю 13, запишите
приведенную систему вычетов по модулю 13; найдите все первообразные
корни по модулю 13.
6. Зная, что 3 — первообразный корень по модулю 17, запишите
приведенную систему вычетов по модулю 17; найдите все первообразные
корни по модулю 17.
7. Найдите все первообразные корни по модулю га, га € {2, 3, 4, 5, 6, 7,
8,9, 10, 12, 14, 15}.
8. Найдите длину периода д-ной записи дроби:
а) 20/132, з=11; г) 2/779, д= 12;
чб) 12/41, з=10; д) 5/337, д = 10;
в) 15/2870, з = Ю; е) 7/658, д = 11.
9. Найдите число всех правильных несократимых дробей,
обращающихся в чистопериодическую десятичную дробь с длиной периода,
равной 5, где 5 6 {2,4,5}.
Задачи
1. Вычислите:
а) JW17); е) JW125); л) iV(550);
б) Рзз43б8(-17); ж) Р28768(81); м) Р22т(3);
в) JW8); з) Р2озо5б(125); н) Р2ооо(343);
г) JW625); и) Р2оооо(81); о) Р6зо72(49);
Д) ^6575(64); к) JW16); π) Р25з(355п+2).
2. Какие значения могут принимать показатели целого числа а по
модулю га, если га = Ν- 5[Ν/5\ + 5, N 6 {1,2, 3,..., 25}?
3. Сколько классов вычетов по модулю 17 имеют показатель:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 8; д) 16?
4. Скольким классам вычетов по модулю 17 принадлежат натуральные
степени числа 7?
5. Сколько классов первообразных корней существует по модулю:
а) 81; б) 98; в) 242; г) 338; д) 1250?
6. Найдите все классы вычетов Х43, для которых: Ры{х) = 14; Рп(х) = 7.
§21. Индексы
123
7. Определите число цифр периода десятичной дроби, в которую
обращается данное рациональное число, не обращая его в десятичную
дробь:
а) 1000/1001; д) 23/143; и) 50/297;
б) 26/1001; е)7/99; к) 14/539.
в) 19/77; ж) 1/51;
г) 15/91; з) 17/57;
8. Найдите длину периода g-ичной записи дроби
221 _ 28
а) 30 000000' 9 ~ 7' В) 99· 1012' 9 ~ 3'
225 405
б' 70000' 5~4' Г^ 242-3010' 9~ *
9. Найдите число всех правильных несократимых дробей с длиной
периода, равной 5, где 5 6 {6,7, 8}.
10. Докажите, что если Рр(а) = 2а, то аа = -l(modp), где ρ € Р.
11. Докажите, что если д — первообразный корень по простому модулю ρ
и др° '^-|' φ l(modpa), то д — первообразный корень по модулю р°
для а ^ 2.
12. Докажите, что если д — первообразный корень по нечетному
простому модулю р, то либо д, либо д2 — первообразный корень по
модулю р2.
13. Докажите, что если д — первообразный корень по модулю ρ2, ρ6
€Р\{2}, то д — первообразный корень по модулю р° для любого α^2.
14. Докажите, что если д — нечетный первообразный корень по
модулю ρα, ρ 6 Р\{2}, то д — первообразный корень по модулю 2р°:
если же д — четный первообразный корень по модулю ρα, ρ 6 ^\{2},
то д + ра- нечетный первообразный корень по модулю 2рЯ.
15. Докажите, что число 2 является первообразным корнем по модулю 3"
для любого натурального га.
16. Найдите все первообразные корни по модулю:
а) 12; в) 50; д) 98; ж) 250; и) 625;
б) 14; г) 81; е) 242; з) 338; к) 1250.
§21. Индексы
Если д является первообразным корнем по модулю га, то для
любого целого числа а, взаимно простого с га, имеет место сравнение
а = «/''(modга), где β 6 {0, 1,..., ψ{η) - 1}. Число β называется индексом
124
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
числа а по модулю га с основанием д. В этом случае мы пишем β = inds a,
или, короче, β = ind a.
Например, число 3 является первообразным корнем по модулю 5, и индекс
числа 4 по модулю 5 с основанием 3 равен 2, поскольку 4 = 32(mod 5). Более
того, так как 3° = l(mod 5), З1 = 3(mod 5), З2 = 4(mod 5) и З3 = 2(mod 5),
то мы можем утверждать, что ind 1=0, ind 2 = 3, ind 3 = 1 и ind 4 = 2.
Поскольку первообразные корни существуют только по модулю га 6
6 {2,4, ρα,2ρα}, где ρ 6 Р\{2}, и α 6 Ν, то и индексы существуют
только по модулю га из указанного списка. В частности, мы всегда можем
говорить об индексах по простому модулю р.
Свойства индексов
1. Если а = 6(modга), то ind a = ind 6(mod φ(η)).
2. ind об = ind a + ind 6(mod φ(η)).
3. ind о* = к ind o(mod ψ{η)) для любого целого неотрицательного
числа к.
4. Рп(а) = -—. 7-^7·
(ind α, ψ{η))
Так, первое свойство немедленно следует из определения. Для
доказательства второго свойства достаточно заметить, что из сравнений а = «/''(mod га)
и b = g1 (modга) следует сравнение об = </''+7(modra). Доказательства
остальных свойств аналогичны; их можно найти, например, в [3], [5].
Целое число а, взаимно простое с простым числом р, называется
вычетом степени га по модулю р, если сравнение ж" = o(mod p) разрешимо.
В противном случае а называется невычетом степени га по модулю р.
Нетрудно убедиться в том, что при (о, р) = 1 и (га, р— 1) = δ сравнение
ж" = o(modp) имеет δ решений, если <J|ind а, и не имеет решений, если
δ find а (см. [3]).
Примеры решения задач
1. Составьте таблицу индексов по модулю 11, используя наименьший
натуральной первообразной корень по модулю 11.
Решение. В процессе решения задач предыдущего параграфа мы
доказали, что 2 является первообразным корнем по модулю 11: 210 =
= l(modll),Ho25^ l(modll), 22^(modll), и 21 ^l(modll). Тогда
числа 2°, 21,22,..., 29 образуют приведенную систему вычетов по
модулю 11. Именно, 2° = l(mod 11), 21 = 2(mod 11), 23 = 8(mod 11),
24 = 5(modll), 25 = lO(modll), 26 = 9(mod 11), 27 = 7(modll),
28 = 3(mod 11), 29 = 6(mod 11). Таким образом, ind 1=0, ind 2 = 1,
§21. Индексы
125
Таблица 10
a
ind a
1
0
2
1
3
8
4
2
5
4
6
9
7
7
8
3
9
6
10
5
ind 3 = 8, ind 4 = 2, ind 5 = 4, ind 6 = 9, ind 7 = 7, ind 8 = 3,
ind 9 = 6, ind 10 = 5, имеем искомую табл. 10 >
2. Пользуясь табл. 10, найдите:
• первообразный корень, по которому составлена таблица;
• все первообразные корни по модулю 11;
• все квадратичные вычеты по модулю 11;
• все квадратичные невычеты по модулю 11;
ι
• все классы Хц, такие что Р\\(х) = 5.
Решение. Поскольку β = β1 (mod p), то первообразный корень, по
которому составлена таблица, всегда имеет индекс, равный 1.
Следовательно, в нашем случае /3 = 2.
Поскольку
PP(o) = (p-l)/(indo,p-l),
то число а является первообразным корнем по модулю р, то есть
обладает свойством Рр(а) = р— 1, тогда и только тогда, когда (ind а, р —
1) = 1. Таким образом, индексами первообразных корней по модулю
11 будут числа, взаимно простые с 10, то есть числа 1, 3, 5 и 7.
Следовательно, первообразными корнями по модулю 11 являются числа
2, 6, 7 и 8, точнее, все числа, принадлежащие классам вычетов 2ц,
бц, 7ц и 8ц.
Поскольку сравнение х2 = o(mod p) эквивалентно сравнению
2ind χ = ind o(modp - 1),
а последнее сравнение разрешимо в том и только в том случае, когда
(2,р— l)|ind а, то есть тогда и только тогда, когда ind a — четное
число, то квадратичными вычетами по модулю 11 являются числа,
обладающие четными индексами, именно, числа 1, 4, 5, 9 и 3, точнее,
все числа, принадлежащие классам вычетов 1ц, 4ц, 5ц 9ц и Зц.
Квадратичными невычетами по модулю 11 являются числа,
обладающие нечетными индексами, именно, числа 2, 6, 7, 8 и 10, точнее, все
числа, принадлежащие классам вычетов 2ц, бц, 7ц 8ц и 10ц.
Поскольку
_ , . Ю
Ри{а) = (ind а, 10)'
126 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
то Р\\(а) = 5 тогда и только тогда, когда (ind a, 10) = 2. Такими
индексами являются 2, 4, 6 и 8. Им соответствуют числа 4, 5, 9
и 3, точнее, все числа, принадлежащие классам вычетов 4ц, 5ц, 9ц
и Зц. >
Решите сравнение 7 χ = 9(mod 11).
Решение. Пользуясь свойствами индексов, мы получим, что
7 χ = 9(mod 11) Ф> ind 7 χ = ind 9(mod 10) Φ>
Φ> ind 7 + ind a; = ind 9(mod 10) Φ>
& 7 + ind χ = 6(mod 10) Φ> ind χ = 9(mod 10) Φ> χ = 6(mod 11).
Таким образом, сравнение 7 ж = 9(mod 11) имеет единственное
решение: класс χ = 6(mod 11). >
Решите сравнение 24ж = 20(mod 44).
Решение. Замечая, что 24ж = 20(mod44) Ф> 6х = 5(mod 11) и
пользуясь свойствами индексов, мы получим, что
24ж = 20(mod 44) Ф> 6х = 5(mod 11) Ф> ind 6х = ind 5(mod 10) Ф>
Ф> ind 6 + ind χ = ind 5(mod 10) Φ> 9 + ind ж = 4(mod 10) Ф>
Ф> ind χ = 5(mod 10) Ф> ж = 10(mod 11).
Разбивая один класс по модулю 11 на четыре класса по модулю 44, мы
получим x=10(mod44), x=21(mod44), x=32(mod44) и χ = 43(mod44).
Таким образом, сравнение 24ж = 20(mod 44) имеет четыре решения:
классы χ = 10(mod44), χ = 21 (mod 44), χ = 32(mod44) и х =
= 43(mod44). >
Укажите число решений и решите сравнение: х6 = 49(mod 11);
z6 = 52(modll).
Решение. Замечая, что 49 = 5(mod 11) и пользуясь свойствами
индексов, мы получим, что
х6 = 49(mod 11) <* χ6 = 5(mod 11) <* ind x6 = ind 5(mod 10) <*
6ind χ = ind 5 (mod 10) Φ> 6ind χ = 4(mod 10).
Поскольку (6,10) = 2 и 2|4, то сравнение первой степени
относительно неизвестной ind x имеет два решения. Следовательно, и сравнение
х6 = 49(mod 11) имеет два решения.
Продолжая рассуждения, мы получим, что
6ind χ = 4(mod 10) Ф> 3ind χ = 2(mod 5) О
«=> ind χ = 4(mod 5) «=> ind χ = 4(mod 10)
§21. Индексы
127
или
ind χ = 9(mod 10) Φ> χ = 5(mod 11)
или
χ = 6(mod 11).
Таким образом, сравнение χ6 = 49(mod 11) имеет два решения:
классы χ = 5(mod 11) и ж Ξ 6(mod 11).
Замечая, что 52 = 8(mod 11) и пользуясь свойствами индексов, мы
получим, что
х6 = 52(mod 11) <* χ6 = 8(mod 11) Ф> ind χ6 = ind 8(mod 10) <*
Φ> 6ind a; = ind 8(mod 10) Φ> 6ind χ = 3(mod 10).
Поскольку (6,10) = 2 и 2 \ 3, то сравнение первой степени
относительно неизвестной ind x не имеет решений. Следовательно, и
сравнение х6 = 52(mod 11) не имеет решений. >
6. Найдите остаток от деления 300304 на 11.
Решение. Для нахождения остатка от деления 300304 на 11 мы
должны найти целое число х, такое что 300304 = x(mod 11), и 0 < ж < 11.
Заменив число 300 его остатком 3 от деления на 11 и
воспользовавшись свойствами индексов, мы получим, что
300304 = z(mod 11) <s> З304 = z(mod 11) & ind З304 = ind z(mod J0) О
Ф> 304ind 3 = ind z(mod 10) Ф> 304 · 8 = ind «(mod 10) 4*
·» ind χ = 2(mod 10) Φ> χ = 4(mod 11).
Таким образом, остаток от деления 300304 на 11 равен 4. >
7. Найдите остаток от деления 3732 на 11.
Решение. Для нахождения остатка от деления 3732 на Ц мы должны
найти целое число х, такое что 37329° = x(mod 11), и 0 < χ < 11.
Заменив число 37 его остатком 4 от деления на 11 и воспользовавшись
свойствами индексов, мы получим, что
' 732* = z(mod 11) <& 432% = z(mod 11) & ind 432* = ind z(mod 10) <s>
<* 3290ind 4 = ind z(mod 10) <* 3290 · 2 = ind z(mod 10) «·
qn ind χ ,
<s>3290 = ——(mod 5).
Поскольку 32 = 2(mod 5) и 24 = l(mod 5), то
3290 = 290 = (24)22-22 = 4(mod5),
128
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
и
ind χ
— =4(mod5),
откуда следует, что ind χ = 8(mod 10), и χ = 3(mod 11). Таким
образом, остаток от деления 3732 на 11 равен 3. >
Замечание. Заключительный этап рассуждений можно провести
значительно проше, воспользовавшись таблицей индексов по модулю 5. Прежде всего
построим эту таблицу, заметив, что 2 является первообразным корнем по
модулю 5: 24 = l(mod5), но 2' Φ l(mod5), и 2Vl(mod5). Тогда числа 2°,
2', 22, 23 образуют приведенную систему вычетов по модулю 5. Именно,
2° = l(mod5), 2' = 2(mod5), 22 = 4(mod5), 23 = 3(mod5). Таким образом,
indl = 0, ind2 = 1, ind3 = 3, ind4 = 2, и соответствующая таблица
принимает нижеследующий вид.
α
ind α
1
0
2
1
3
3
4
2
Пусть ind ж/2 = у. Тогда
3290 s i^(mod 5) «. 3290 = „(mod 5) <*
<* 290 = y(mod 5) <* ind 290 = ind y(mod4) <=!>
<* 90ind 2 = ind y(mod4) <* 90 · 1 = ind y(mod4) <* 90 = ind y(mod4) <*
<* ind у = 2(mod4) «i/ = 4(mod5) <* ind χ = 8(mod 10) <* χ = 3(mod 11).
Таким образом, остаток отделения 3732 на 11 равен 3.
8. Найдите все индексы числа 4 по модулю 11.
Решение. Пользуясь построенной выше таблицей индексов по
модулю 11, мы можем выписать все принадлежащие ей первообразные
корни по модулю 11: числа 2, 6, 7 и 8, индексы которых взаимно
просты с 10. Поскольку таблица построена по основанию д = 2, то
первый индекс β числа 4 мы найдем из таблицы: он равен 2.
Если д = 6, то ind 4 = βι, где 4 = б75'(mod 11). Пользуясь свойствами
индексов, мы получим сравнение βι ■ ind 6 = ind 4(mod 10), или,
что то же, сравнение 9β\ = 2(mod 10). Отсюда следует, что βχ =
= 8(mod 10), то есть βι = 8.
Если д = 7, то ind 4 = βι, где 4 = 7^2(mod 11). Пользуясь свойствами
индексов, мы получим сравнение βι · ind 7 = ind 4(mod 10), или,
что то же, сравнение 7/?2 = 2(mod 10). Отсюда следует, что 7β2 =
= 42(mod 10), или βι = 6(mod 10), то есть β2 = 6.
§21. Индексы 129
Если д = 8, то ind 4 = /Зз, где 4 = 8^3(mod 11). Пользуясь свойствами
индексов, мы получим сравнение /Зз · ind 8 = ind 4(mod 10), или,
что то же, сравнение З/Зз = 2(mod 10). Отсюда следует, что З/Зз ξ
= 12(mod 10), или /33 ξ 4(mod 10), то есть /33 = 4.
Таким образом, индексами числа 4 по модулю 11 могут быть числа 2,
4, 6 и 8. >
9. Найдите Рц(9).
Решение. Поскольку 9Р"(9' = l(mod 11), то
P,,(9)ind 9 = ind l(mod 10),
или
6-Pn(9) = 0(modlO).
Отсюда следует, что 3 · Р\\(9) = 0(mod5), то есть Рц(9) = 0(mod5).
Выбирая из полученного множества целых чисел
{...,-10,-5,0,5,10,...}
наименьшее натуральное число, мы получим, что Рц(9) = 5. >
10. Через какие точки (х,у) с целыми координатами χ и у проходит
кривая 1 \у = 7ж4 + 24?
Решение. Если кривая 1 \у = 7х4 + 20 проходит через точку (xq, Jfo)
с целыми координатами х0 и у0, то 7xJ + 24 = (mod 11), откуда
следует, что сравнение 7ж4 = 9(mod 11) разрешимо. Однако
7ж4 = 9(mod 11) Ф> ind 7 + 4ind χ = ind 9(mod 10) Φ>
Φ> 7 + 4ind χ = 6(mod 10) Φ> 4ind χ ~ 9(mod 10).
Поскольку (4,10) = 2 и 2 { 9, то последнее сравнение не имеет
решений. Таким образом, кривая 1 \у = 7х4 + 24 не проходит ни через
одну точку (х0,уо) с целыми координатами х0 и у0. >
Упражнения
1. Составьте таблицу индексов по модулю р, где ρ 6 {3, 5, 7, 13, 17, 19},
используя наименьший натуральной первообразный корень по
соответствующему модулю.
2. Глядя в таблицу индексов по модулю р, где ρ 6 {3, 5, 7, 13, 17, 19},
найдите:
• первообразный корень, по которому составлена таблица;
• все первообразные корни по модулю р;
130
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
• все квадратичные вычеты по модулю р;
• все квадратичные невычеты по модулю р;
• все классы хр, такие что Рр(х) = (р - 1)/2;
• все классы Хр, такие что Рр(х) = 2.
Найдите все классы вычетов:
а) Хц, для которых Р\з(х) = 4
б) хр, для которых Рп(х) = 8
в) Xi9, для которых Pi9(x) = 3
г) Х4з, для которых Рщ{х) = 6
4. Решите сравнение первой степени:
а) 7х= 10(modl3); e) 40ж ξ
б) 2х= 12(modl7); ж) 18ж =
в) 7х= 12(mod47); з) Юх-.
г) 8ж = 50(mod 61); и) ЗОж =
д) 24ж = 20(44);
5. Укажите число решений сравнения:
а) х6 = 23(mod 13); г) х6 =
б) 2ж10 = 25(mod 17); д) ж10 =
в) 5х20 = 34(mod 19); е) ж20 =
60(mod44);
45(mod65);
15(mod55);
42(modl02).
53(mod97);
:25(mod53);
; 15(mod61).
6. Решите сравнение:
а) 31x6 = 20(mod73);
б) 36ж12 = 16(mod 79)
в) 16ж18 = 24(mod 97)
г) 12ж18 = 54(mod 13)
д) 16ж82 = 32(mod 17)
е) 77ж77 = 33(mod 19)
ж) 32a;28 = 50(mod61);
з) 50z50 = 50(mod47);
и) 3:c = 7(modll);
к) 6х = -3(mod 13);
л) 152l = -3(mod61);
м) 8г = -3(mod47).
Найдите остаток от деления:
а) 100300 на 13;
б) 100300 на 47;
в) 100300на41;
г) 200400 на 17;
д) 300500 на 19
е) 400300 на 47
ж) 100200 на 61
з) 2149 на 97.
§21. Индексы
131
„20
б) 4910'" на 67
в) 3732" на 83
г) 4422" на 61
8. Найдите остаток от деления:
а)2930'°на71; д) 5566" на 73;
е) 3456'8 на 79;
ж) ЗЗ3333333 на 59;
з) 22222"2 на 53.
9. Найдите все индексы:
а) числа 7 по модулю 13; в) числа 20 по модулю 17;
б) числа 4 по модулю 7; г) числа 50 по модулю 19.
10. Найдите:
а) Р7(12); в) Р17(4); д) Р61(12);
б)Р13(22); г)Р19(11); е) Р47(2).
11. Через какие точки (х,у) с целыми координатами χ и у проходит
кривая:
а) 19у = Зж4 + 22; б) 13у = Зж2 + 20.
т i ^.^^^„^ —^ш„.^,=™^. Задачи
1. Составьте таблицу индексов по модулю 19, используя наибольший
отрицательный первообразный корень по модулю 19; укажите число
всех возможных таблиц индексов по модулю 19.
2. Используя таблицу индексов по модулю р, где ρ б {37,47,61,67, 89},
укажите:
• первообразный корень, по которому построена таблица;
• все первообразные корни по модулю р;
• все классы хр, такие что Рр(х) = (р - 1)/2;
• все квадратичные вычеты по модулю р;
• все квадратичные невычеты по модулю р;
• все вычеты 12-й степени по модулю р;
• все невычеты 4-й степени по модулю р.
3. Пусть р„ — га-е простое число, где η = N - 5|Д/5] -(- 5, N 6
6 {1,2, 3,... ,25}. Пользуясь таблицей индексов по модулю р„,
укажите:
• все первообразные корни по модулю р„, принадлежащие
промежутку [100,120];
• все квадратичные вычеты по модулю р„, принадлежащие
промежутку [-10,10];
132
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
• все квадратичные невычеты по модулю р„, принадлежащие
промежутку [-10,0];
d / \ Р« - 1
• все классы χΡι, такие что РРп (ж) = —-—;
• все числа а, такие что Рр„(а) = 2, а 6 [-15, -2].
4. Укажите все классы Х43, такие что Рщ(х) = 7.
5. Укажите все классы Х47, такие что Р^(х) = 23.
6. Найдите наименьший натуральный первообразный корень по
модулю ρ, ρ 6 {71,79, 83,97}.
7. Найдите показатель, которому принадлежит число а по модулю р,
если а б {5, 10, 15,20}, арб {23,29, 31, 37,41,43}.
8. Найдите все вычеты степени 4 по модулю р,рб{11,13,17}.
9. Найдите все невычеты степени 3 по модулю р,рб{11,13,17}.
10. Является ли число 2 вычетом степени га по модулю 11, если га 6
{2,3,4,5,6,7,8,9,10}?
11. Докажите, что число вычетов степени га в приведенной системе
вычетов по модулю ρ равно δ, где δ = (га, ρ - I).
12. Найдите все индексы числа а по модулю р, если а 6 {6,7,8,9},
арб {17, 19,23,29}.
13. Зная, что ind 2 по модулю 29 равен единице, найдите все
первообразные корни по модулю 29.
14. Не пользуясь таблицами индексов, найдите: ind 12 по модулю 13;
ind 60 по модулю 61.
15. Сколько решений имеет сравнение:
а) хп = l(mod77); ж) ж15 = l(mod 143);
б) хп = l(mod 91); з) ж60 = 79(mod 97);
в) χ п = 1 (mod 143); и) χ18 = 1 (mod 77);
г) Зхп = 31(mod41); к) ж18 = l(mod91);
д) ж15 = l(mod451); л) ж18 = l(mod 143);
е) ж15 = l(mod287);' м) ж55 = 17(mod97)?
16. Решите сравнение:
а) 3|5ж ξ 520(mod7); ж) 14ж15 = 39(mod61);
б) 220ж ξ 4(mod 101); 3) 32ж333 = 23(mod205);
в) 320ж = -4(mod 29); и) 132ж42 = 51 (mod 61);
г) 2ж13 = 5(mod 19); к) 156ж108 = -63(mod 101);
д) 71ж12 = 10(mod97); л) 19ж25 = 39(mod61);
е) 27ж13 ξ l6(mod 79); м) 73ж18 ξ 17(mod 67);
§21. Индексы
133
н) 27ж49 ξ 23(mod71); π) 16ж35 = 27(mod43).
о) 16ζ30ξ 18(mod73);
17. Решите сравнение:
а) 7(z + 5)28EF30(mod6l),·
б) -10(2ζ-4)Ι6ξ l7(mod3l);
в) 34(x + 45)55^7(mod59);
г) 65(ж- l)l4 = 39(mod59);
д) Зж2 + 4х + 7 = 0(mod 31);
е) 10* = l(mod41-31);
ж) 9ж2 + 45ж - 36 ξ 0(mod 3-23);
з) 25z35 = -8l6(mod41-17);
и) 21ζΙ5ξ-2(πκ^11·19);
к) 3l5x,9 = 7,7(mod29-73).
18. Дляга-гопростогочислар„,гдега = Ν-5[Ν/5\ + Ι0,Ν 6 {1,2,3,...,
25}, решите сравнение: 1000 · ρ„_ι · р„_2 · хтР»-> = 2p„_4(mod p„).
19. Разрешимо ли сравнение 7х = 38(mod97)?
20. Найдите остаток от деления:
а)18п"на23; г) 212|2° на 47;
б)34ззз333на61; д) 27483° на 59;
в) 152022" на 31; е) 1212'2 на 17.
21. Найдите остаток от деления 2130 · 2023 · 173' на 83.
22. Найдите наибольший отрицательный и наименьший
неотрицательный вычеты числа 43|8 · 3922 · 3719 - 15 · 5995 по модулю 291.
23. Для га-го простого числа р„, где га = Ν-5[Ν/5\+5, Ν 6 {1,2, 3,...,
25}, найдите остаток от деления ЮОО^»-1 на р„.
24. В какой класс вычетов по модулю 79 попадает число 29 ?
25. Найдите наименьшее по абсолютной величине число, с которым
35747 сравнимо по модулю 43.
26. Вычислите:
а) iV.ii'.47(7); д) ^2Мзз.5з(7);
б) ^2Чзз.29(П); е) Р2'.зз.89(125).
в) iVwi (3); ж) Р2?.зз.8з(-7);
г) Р2'.цз.4и(3); з) Р2з-зЧ!з(49).
134 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
27. Найдите длину периода десятичной записи дроби:
а) 1/90241; д) 1/1035; и) 5/506;
б) 15/2870; е) 3/595; к) 1/41;
в) 7/1044; ж) 3/1085; л) 1/37;
г) 9/603; з) 7/638; м) 1/41 · 37.
28. Найдите длину периода g-ичной записи дроби:
30 _ 15
26113414' 9~ 2211п4141' 9~~7'
6)WT39 = 24; г)бГТ99 = 56-
165
29. Дайте характеристику двенадцатиричной записи дроби —-— —.
73 · 89 · 7560
30. Для га-го простого числа р„, где n=N-5[N/5\ + 5, Ne{ 1,2,3, ...,25},
найдите длину периода g-ичной записи дроби
1000
;Г^—« ^—' 9 = Рп-
Ρι·Ρ2· Рп-з · Рп-2
§ 22. Цепные дроби
Цепная дробь [о0, а\,... ,а„,...] определяется как формальная сумма
1
а0 +
Qi + ... '
αη-Ь-
где Оо — некоторое целое число, а все о„, га 6 N — натуральные числа,
причем последнее, если оно существует, отлично от 1.
Рациональные числа <?* = [αο,αι,···>α*] = -Ρ*Λ?*, к = 0, 1,... ,га,...,
называются подходящими дробями к цепной дроби [о0, οι,..., α„,...]. Чис-
ла a,k, к = 0,1,..., га,..., называются неполными частными цепной дроби
[оо, fli,..., о„,...], в то время как величины а* = [о*, а*+ь ..., о„,...],
к = 0,1,..., га,..., называются полными частными цепной дроби [о0, οι,...,
о„,...].
Например,
[-3,2, 1,4] = -3 + Ц—.
2 +
1
1 + 4
Несложный подсчет показывает, что
47
[-3,2,1,4] = --.
§ 22. Цепные дроби
135
При этом подходящие дроби имеют вид
*, = [-3] = -3, «, = [-3, 2] = -3 + | 1,
δ2 = [-3,2, 1] = -3+—Ц- = -|,
2+т
1 47
*4 = [-3,2,1,4] = -3+ Г~ = ~12
2 + j-
1 + ?
(обратите внимание на то, что величина [-3,2, 1] цепной дробью не
является!); неполные частные имеют вид а0 = -3, а\ = 2, а2 = 1, аз = 4;
полные частные имеют вид
1 47
а0 = [-3,2,1,4] = -3 +
2+-V I*'
1 + ?
1 14
а, =[2,1,4] =2+ г = -,
1 + 4
а2 = [1,4] = 1 + 7 = 7. а4 = [4] = 4.
4 4
Свойства цепных дробей
1. Если 5к = Pk/Qk, то Р0 = а0, Р, = сца0 + 1, и Рп = ο„Ρ„_ι + Р„_2
для всех η ^ 2.
2. Если <?* = Р*/<?*, то Q0 = 1, Qt = сц, и Qn = onQn_i + <?„_2 для всех
η ^ 2.
3. PnQn_,-.?„_,<?„ = (-1)»-'.
4. -P„g„-2--P„-2i?n = (-l)nfl„.
5. (Pn,gn) = l.
6. 1 =Qo<Qi <Qi<... .
7. Если Po > 1, то Pi > Р2 > Р3 > ■ ■ ■ ■
8. δη-δη-\ = —-—.
WnVn-l
9. Каждая конечная цепная дробь является рациональным числом, и
каждое рациональное число представимо, причем единственным
образом, в виде конечной цепной дроби.
136 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
10. Каждая бесконечная цепная дробь является иррациональным числом,
и каждое иррациональное число представимо, причем единственным
образом, в виде бесконечной цепной дроби.
11. Бесконечная цепная дробь является периодической тогда и только
тогда, когда она представляет некоторую квадратическую
иррациональность, то есть иррациональное число, являющееся корнем
квадратного трехчлена с целыми коэффициентами.
12. Квадратическая иррациональность
P + VD
где Ρ, Q, D 6 Ζ, D > 1, разлагается в чистопериодическую цепную
дробь тогда и только тогда, когда а > 1 и сопряженная иррациональность
. P-VD
а = ~—
Q
лежит в интервале (-1,0).
., г , апРп-\ + Рп-2
13. Ια0,αι,···,αη,···] = —— ——·
OWn-l +Qn-2
14. Если а = [ао, αϊ,..., о„,...], то
δ0 < δ2 < ... < S2k < ... 4 а 4 · · · < S2k+i < ... < δ3 < J,.
15. Если а = [оо, α,,... ,αη, ···], то \α - δη\ < ———.
VnVn+l
Свойства 1 и 2 проверяются непосредственно. Именно, δ0 = а0 = а0/1,
то есть δ0 = Po/Qo, где Р0 = flo, Qo = 1. Аналогично,
1 o0fli + 1
д\ =а0-\ = ,
то есть δ0 = Po/Qo, где Р\ = ο0θι + 1, Q\ = о ι. Далее, δ2 может быть
получено из δι заменой величины οι на величину oj + l/a2, то есть
«о ( «ι Η ) + 1
_ ч -ι, q2(qqQi + 1) + Qq _ а2Р\ + Рр
а 1 o2fli + 1 a2Q\ + Qo'
a2
или, что то же, δ2 = P2/Q2, где Р2 = a2P\ + P0, Q2 = a2Qi + Q0.
Предполагая, что <J„_i = -P„_i/<3„_i, где Р„_, = an-\Pn-2 + Pn-3, <?„_, =
§22. Цепные дроби
137
= an_iQn_2 + Qn-з, и замечая, что δη может быть получено из <J„_i
заменой величины о„_1 на величину ο„_ι + 1/α„, мы получим, что
(*-.+iK
δ = _Ч ап/ _
L„_,+ —jQ„_, + g„_2
= Qn(Qn-iPn-2 + P„_3) + РП-2 _ аПРП-1 + Рп-2
On(fln-l<?n-2 + Qn-3) + Qn-2 ~ On<?n-l + Qn-2
или, что то же, δη = PjQn, где Рп = οηΡ„_ι + Рп-2, Qn = α„<?„-ι + Qn-2-
Доказательства остальных свойств можно найти, например, в [3], [31].
Примеры решения задач
<«№№>W««W!«*.w««-№tt»M*№^
Разложите в цепную дробь: 173/281; (1 - 3\/5)/2.
Решение. Запишем для чисел 173 и 281 алгоритм Евклида:
173 = 281-0+173;
281 = 173-1 + 108;
173= 108- 1 + 65;
108 = 65-1+43;
65 = 43 · 1 + 22;
43 = 22-1+21;
22 = 21-1 + 1;
21 = 1-21+0.
Теперь нетрудно убедиться в том, что
173 1 282 _ _1_
28Т_0+28Г' Ϊ73-1 + Τ73' ■'■·
173 108
65 _ J_ 43 _1_ 22 1_
22_1+43' 21 ~ +22' 21 ~ + 21"
Следовательно,
21 21
173 п
^гт=0 +
281 1 + _1
1
-+2Ϊ
или, что то же, 173/281 = [0,1, 1, 1,1, 1, 1,21].
Таким образом, для того, чтобы получить разложение обыкновенной
дроби P/Q g Z в конечную цепную дробь, достаточно выписать
138 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
алгоритм Евклида для чисел Ρ и Q, и взять столбец полученных при
этом целых частных в качестве неполных частных искомой цепной
дроби.
(1 - Зл/5)
Для разложения числа проведем рассуждения,
обобщающие алгоритм Евклида.
/77 η 1 - Зл/5 \-yfe
Поскольку 6 < ν 45 < 7, то для числа , равного ,
1-Зл/5
имеет место оценка -3 < < -2,5, то есть
flo
1 —Зл/5
= -3.
1 -Зл/5 ,1
Тогда а0 = — = -3 Η , где
2 αϊ
Следовательно,
о.\
1 1 - Зл/5 . ,. 7-3ν/5
аГ~ (-3) = -!—
2(7 + Зл/5) 2(7 + Зл/5)
7 - 3ν/5 (7 - Зл/5)(7 + Зл/5) 49 - 45
_ 2(7 + Зл/5) _ (7 + Зл/5)
4 ~ 2
^с (7+3ν/5) „
Поскольку 6,5 < < 7, то
о, =
(7 + Зл/5)
7 + 3ν/5 1
= 6, и а, = =6+—,
2 Q2
1 7 + 3\/5 , -5 + 3ν/5
где — = 6 = .
(Χι 2 2
Следовательно,
2
а2 =
2(-5 - Зл/5)
2(-5 - Зл/5)
-5 + 3ν/5 (-5 + Зл/5)(-5 - Зл/5) 25 - 45
2(5 + Зл/5) (5 + Зл/5)
20 10
§22. Цепные дроби
139
(5 + Зл/5)
Поскольку 1,1 < < 1,2, то
о2
(5 + Зл/5) I , 5 + 3ν/5 , 1
* =1, и а2 =—__ = ! + _,
10 J 10 аз
1 5 + 3v/5 -5 +Зл/5
где — = 1 = .
а3 10 10
Следовательно,
10 _ 10(-5-Зу/5) 10(-5-Зу/5)
°3 ~ -5 + 3γ/5 ~ (-5 + Зл/5)(-5 - Зл/5) ~ 25-45
_ 10(5 + Зу/5) (5 + Зл/5)
20 2
сс (5 +Зл/5) ,
Поскольку 5,5 < < 6, то
а3 =
(5 + Зл/5) I с 5 + Зл/5" 1
=5, и а3 = = 5+—,
2 J 2 а4
1 5 + 3ν/5 , -5 + 3ν/5
где — = 5 = .
а4 2 2
Таким образом,
1 _ 1
а4 а2'
то есть оц = а2. Отсюда следует, что строка, соответствующая щ,
будет дублировать строку, соответствующую а2:
5 + 3ν/5 , 1
а4 = —-— = 1 + —,
10 а5
-5 + 3ν/5
где 1/а5 = — . В частности, о4 = о2, и \/а$ = 1/аз, то есть
as = аз. Продолжая рассуждения, получим, что 05=03 и 1/α6 = 1/α4,
то есть ав = а4; Об = о4 и Ι/αη = 1/а$, то есть αη = а$, и т.д.
Следовательно,
1 ^ /^
= [о0, оьо2,Оз,о4,...] = [-3,6, 1,5,1,5,1,5,...] =
= [-3,6,(1,5)].
Формализуя проведенные рассуждения, мы получим алгоритм раз-
1 - Зл/5 1 - Зл/5
ложения числа в цепную дробь: начиная с а0 = ,
140 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
выписываем цепочку равенств, связывающих числа aj, (ц = [сц\
1
и = а,· - а,·:
Oti+l
1 — Зл/5 , 1 1 7-3v/5
а0 = — = -3+—, где — = ;
2 αϊ αϊ 2
7 + 3v/5 r 1 1 -5 + 3v/5
а, = =6+—, где — = ;
2 (Χι Οίι L
5 + 3ν/5 t 1 1 -5 + 3ν/5
«2 = —^— = 1 + —, где — = — ;
10 аз а3 10
5 + 3ν/5 1 1 -5 + 3ν/5
α3= =5 + —, где — = .
2 α4 с*4 2
Отслеживая правые части получаемых равенств, мы
останавливаемся после первого совпадения величин Ι/α* и 1/α*+ί, и выписываем
значение [o0,fli,fl2,...] соответствующей цепной дроби, раскрывая
скобку периода после первого совпадения, и закрывая ее после
второго: [оо, fli, а2,..., ак, (ак+и ..., ak+s)]. Именно,
1^|^ = [-3,6,(1,5)]. >
2. Найдите значение цепной дроби [1,2, 3,1, 1, 5].
Решение. Для нахождения значения цепной дроби [1,2,3,1,1,5]
вспомним, что [о0, fli,..., fln] = PJQn, где
Ро = а>о, <?о = 1, Р\ = fliflo + 1, <?i=oi,
Рп = Ofi^n-l + Pn-2< Qn = OfiQn-1 + Qn-2
для всех п ^ 2. Для упрощения вычислений удобно добавить в
рассмотрение значения
Р_2 = 0, Р_, = 1, д_2 = 1, Q-i=0.
Тогда рекуррентные формулы Р„ = anPn-i+P„-2, Q„ = αη<?η-ι+<?η-2
будут иметь место для любого η ^ 0. Результаты вычислений удобно
оформить в виде табл. 11.
После вычислений таблица примет вид табл. 12.
Таким образом, [1, 2, 3,1, 1, 5] = 128/89. >
§22. Цепные дроби
141
Таблица 11
η
ап
Рп
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
1
4
1
5
5
Таблица 12
η
ап
Рп
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
1
1
2
3
2
2
3
10
7
3
1
13
9
4
1
23
16
5
5
128
89
3. Найдите значение цепной дроби [(1)].
Решение. Для нахождения значения а цепной дроби
1
[(1)1 = 1 +
1 +
1
1 +
заметим, что в этом случае а = 1 + 1/а. После очевидных
преобразований мы получим уравнение а2 — а — 1 = 0, корнями которого
l±v/5 „ , , , l + v/5
являются числа —-—. Поскольку [а] = а0 = 1, то а = —-—. >
4. Найдите значение цепной дроби [(1,1,1,4)].
Решение. Для нахождения значения цепной дроби [(1,1,1,4)]
заметим, что в этом случае нулевое полное частное ао = [оо, Оь Ог> °з> θ4,
As,...] = [1, 1, 1,4,1, 1,...] совпадает с четвертым полным частным
α4 = [ο4,θ5,θ6,θ7.θ8,θ9,···] = [1,1,1,4,1,1,...]. Следовательно,
для нахождения значения а = а0 цепной дроби [(1,1, 1,4)] можно
воспользоваться формулой
«п-Рп-1 + -Рп-2
а ■■
при η = 4:
OtnQn-l + Qn-2
аР3 + Р2
а =
aQ3 + Qi'
142 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Таблица 13
а) 6)
η
ап
Рп
Q.
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3
2
3
4
14
9
η
ап
Рп
Q„
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
1
1
2
3
2
2
1
4
3
При этом значения Pi, Pi, Qj и Qi можно найти, используя табл. 13 а).
Таким образом,
14а+ 3
а = .
9а+ 2
После очевидных преобразований мы получим уравнение
9а2 - 12а - 3 = О
или, что то же, уравнение 3α2—4α—1=0, корнями которого являются
2±ν/7 η ,ι , 2+у/7
числа —-—. Поскольку \а\ = о0 = 1, то а = —-—. >
5. Найдите значение цепной дроби [1,2, 1,(1, 1, 1,4)].
Решение. Для нахождения значения цепной дроби [1,2, (1,1, 1,4)]
сначала найдем значение соответствующей чисто-периодической
цепной дроби [(1,1, 1,4)].
Это было сделано в предыдущей задаче: мы получили, что
[(1,1,1,4)] = ^·
Заметим, что для цепной дроби [1,2,1,(1,1,1,4)] величина [(1, 1, 1,4)]
является третьим полным частным: [(1,1, 1,4)] = аз.
Следовательно, для нахождения значения α цепной дроби [1,2, 1,(1,
1, 1,4)] можно воспользоваться формулой
апРп-\ + Рп-2
а =
anQn-\ + Qn-2
при η = 3:
_ α3Ρ2 + Ρι
atiQ2 + Q\'
При этом значения Pi,P\,QikQ\ можно найти, используя табл. \Ъб).
§ 22. Цепные дроби
143
Таким образом,
2 + v/7
4+3
а
2+v/7
3 + 2
После очевидных преобразований мы получим окончательный ре-
40-ν/7
зультат: а = . >
27
1.
2.
3.
4.
№»ί»*Χ««<«*№№№№№««ΐ«Ψ^^
Упражнения
Разложите в цепную дробь числа:
а) 312/175;
б) -19/15;
в) 72/103; д) -1000/3333;
г) 3885/2306; е) 27899/36823.
Разложите в цепную дробь числа:
а)\ЯТ;
б) -л/5;
в) 3ν/3;
г) 1 - 2\/6;
ч 2 + -/Ϊ3
д) 5 ;
, 2-лЛЗ
С) 5 ;
Найдите значение
а) [1,2,3,1,5];
б) [4,2,2,1,1,2]
Найдите значение
а) [(2)];
б) [2,(1)];
в) [1,(1,2)];
г) [0,2,(8)];
д) [5,(5,10)1;
е) [(2,3,1)];
ж) [(1,4, 1)1;
з) [(2,1,1,4)];
и) [1,(2,1,4)];
цепной дроби:
,
цепной дроби:
. 1 +л/5
ж) 2 ;
. 7 + 2v/3
3) 4 ·
. 2 + 2л/П
и) 2 ;
ч л/37-118
К) 4 ·
в) [1,1,2,1,2,1,7];
г) [1,2,3,4,5].
к) [1,1,(1,4)]; у) [-1,(2,2,1)];
л) [-1,1,
м) [1,5,2
н)[-2,(1
о) [6,(2,:
п) [1,3,4
р) [-з, ι,
с) [Μ, (
т) [-4, 9,
5,(8)]; ф) [-4,(1,3,1)];
(3)Ь х) [-1,(3,1,1)];
;2'2)]; ц) [3,1,2,3,(4)];
"(1)]Л' ч) [-5,1,4,(10,5)];
3(4)]. ш) [-1,2, (2,1,1, 1)];
,3)];' ш) [-1,1,2,(8, 1,3)];
(1,8)],· э) [7,(1,1,4,1,1,14)].
144 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Задачи
1. Разложите в цепную дробь числа:
а) 1368/779; в) -1116/899;
б) -779/1368; г) -424/189;
2. Разложите в цепную дробь числа:
Д)
е)
а)л/2;
б) V6;
в) уДО
г)\ЯЗ
д) VlS
3. Разложите в цепную дробь числа:
а) V21; в) ν/23;
б) -V21; г) -V23;
4. Разложите в цепную дробь числа:
е) VV7
ж) л/19
з) V22
и) -у/26
; к) л/зо
; л) VTi
а)
б)
в)
г)
Д)
е)
\-Vi
ι + Уг
з ;
З + у/5
2 ;
З-у/5
2 '
2 + /Ϊ7
13 ;
2-у/У?
13 ;
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
2--/Ϊ5
11
2 + /Ϊ5
11
1 + л/26
5
1 - л/26
5
2 + /П
2
1-л/Т-
5. Разложите в цепную дррбь числа:
а)
б)
в)
1 + Зл/2
2 ;
\-ъУг
2 '
1+3ν/5
г)
Д)
е)
1 — Зл/5
2
1+2V6
5
1 + 3ν/3
м)
н)
о)
п)
Р)
с)
Д)
е)
н)
о)
п)
Р)
с)
т)
ж)
з)
и)
Л/53:
л/57
у/59..
V65
2л/2
2v/3
\/3Ϊ;
-\/зТ;
V65-1
4 ;
л/37- 15
4 ;
6+>/26
268/187;
37/328.
τ) 2γ/6
у) 5л/2
φ)2ν/7
χ) 6л/2
ж) ν^Γ;
з) -ν^Γ.
5
л/53-2
7
9 + \/2Т
10
З + л/2
2 '"
2-2V6
5
2 + 2V6
5
6 + 2л/2
У)
Ф)
х)
Ц)
Ό
ш)
к)
л)
м)
ι + Уй
5 '
5 + л/2
2 ;
2 - л/ГТ
2 ;
1 + у/7
5 ''
ι — л/ГУ
5 ;
З+у/37
4
6-5л/2
7 ;
-15-6л/2
8 ;
6л/2- 15
8 '
§ 22. Цепные дроби
145
6. Разложите в цепную дробь числа:
а)
б)
169 +V63005
в)
П70 + 2л/93637
13 158
7. Найдите значение конечной цепной дроби:
а) [1,2,3,4,6]; д) [-2,1,3,7];
б) [-2, 111,2, 1,3]; е) [-3,1,3,9,5];
в) [-2,3,3, 10]; ж) [1,2,3,4,6];
г) [-1,2,3,10]; з) [0,8, 1,6,2,2].
8. Найдите значение бесконечной цепной дроби:
а) = [1,(2)]; л) =[3,(1,6)];
б) =[2, (4)]; м) =[3,(2,6)];
в) = [3,(6)]; н) =[3,(3, 6)];
г) =[4, (8)]; о) =[4,(1,8)];
д) =[5,(10)]; п) =[4,(2,8)];
е) =[6,(12)]; р) [3,(10,5)];
ж) =[7,(14)]; с) [3,(1,5)];
з) =[8,(16)]; т) [3,(4,1)];
и) =[2,(1,4)]; у) [5,(2,10)];
к) =[2,(2,4)]; ф) [-3,6,(1,5)].
9. Найдите значение бесконечной цепной дроби:
232
а) [0,1,(1,6)];
б) [-3,(1,3,2)];
в) [1,0,6, 1)1;
г) [1,(1,3,3)];
Д) [2,(4,1,1)1;
е) [-3,8,1,(16,2)]
ж) [-3, 1, 9, (5, 10)]
з) [-5,1,4,(10,5)]
и) [-1,1,4,(1,6)];
к) [-1,5,(1,1,4)];
л) [4,(1,3,1,8)];
м) [5,(3,2,3,1)];
н) [4,(1,3,1,8)];
о) [5,(3,2,3,10)];
п) [1,(2,1,1,1)1;
р) [-1,1,2,(8,1,3)];
с) [-5,4,(1,8,1,3)];
т) [7,(3,1,1,3,14)];
у) [-7,1,1,1,1,(2,12,1)];
ф) [4,(1,1,2,1,1,8)].
10. Найдите значение бесконечной цепной дроби:
а) [-1,1,5,1,(1,1,6)]; д) [2,(1,1,1,1,1,3)];
б) [0,(1,3,1,4,3,1)]; е) [4,(1,2,4,2,1,8)];
в) [4,(2,1,3,1,2,8)]; ж) [-5,2,(2,1,1,8,1,1)];
г) [7,(1,2,7,2, 1,14)]; з) [2, (1, 1, 1, 1, 1, 1,6)];
146
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
и) [-2,2, (1, 1, 1, 3, 1, 1)]; о) [2, (1,1,1,12,1,1, 1,2)];
к) [7,(11111,2,7,2, 1,1,4)];
л) [2, (1, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 1)]; П) 1 °'А ^ 'Э' J' '''' 1U* '' 'Л'
м) [-1,1,2,(26,4,2,1,2,4)]; р) [-3,15,(1,1,5,2,1,1,2,3,
н) [5,(1,1,3,5,3,1,1,10)]; 2,1,2,5,1,1,14)].
11. Запишите уравнение, один из корней которого разложим в цепную
дробь [(2,3,1)].
12. Определите вид цепной дроби, в которую раскладывается число:
а) 12; 1 + V26 ж) 17.(3);
л 171 5 mi
б> Ш' Д) π; 3) 1п 3;
ч 1 — Зл/5 ч 1-2ν^ . 18+ν/40Τ
в) ; е) ; и) .
13. Найдите величину цепной дроби [0,1, (га, 1,2) ] для га = N - 4 [Ν/4\ + 5,
где N 6 {1,2,3,...,25}.
14. Найдите величину цепной дроби [-1, (га, 2га)] для га = iV-4|.iV/4j +5,
где N 6 {1,2,3,..., 25}.
§ 23. Применения цепных дробей
Цепные дроби имеют многочисленные применения в теории чисел.
I. Прежде всего, они успешно используются для приближения
действительных чисел рациональными, давая при этом наилучшие приближения.
Напомним (см. [3]), что рациональное число а/Ь называется
наилучшим приближением к действительному числу а, если не существует
рационального числа χ/у со знаменателем χ < Ь, которое было бы ближе
к а, чем а/Ь. Другими словами, если а/Ь — наилучшее приближение к а,
то условие \а — х/у\ < \а — а/Ь\ выполняется только для рационального
числа х/у со знаменателем у > Ь.
Оказывается, любая подходящая дробь <?* = [оо, αϊ,..., о*], к = 1,2,...,
является наилучшим приближением κ действительному числу а = [а0, at,...,
α„,...].
В основе практических применений этого утверждения лежит формула
\а - δη\ < \δη+{ - δη\ = -——.
Vn+lVn
Для нахождения рационального приближения числа а с указанной
точностью Δ мы рассматриваем знаменатели Q0, Q\ Qn, Qn+i,—
подходящих дробей δ0,δι, ...δη,δ„+\,... разложения [αο.οι, ··· ,οη,«η+ι, ···]
§23. Применения цепных дробей
147
числа а в цепную дробь. Как только будет выполнено соотношение
QnQn+i ^ Δ-1, мы останавливаемся, выбирая в качестве искомого
приближения га-ую подходящую дробь δη: а и δη, причем \а - δ„\ < Δ.
При этом подходящие дроби δο,δ2,... с четными индексами
дают приближения числа а с недостатком, тогда как подходящие дроби
δ\,δι,... с нечетными индексами дают приближения числа а с избытком.
II. Поскольку числители и знаменатели подходящих дробей взаимно
просты, то цепные дроби можно использовать для сокращения
обыкновенных дробей: разложив дробь а/Ь в конечную цепную дробь [а0, аи ..., а„\
и найдя затем значение полученной дроби, мы получим равенство
Ь <?„'
где(Рп,<?„)= 1.
III. Цепные дроби можно использовать и при решении неопределенных
уравнений ах + by = с первой степени с двумя неизвестными.
Нетрудно проверить, что уравнение αχ + by = с с целыми
коэффициентами а,Ъ и с разрешимо в целых числах, если и только если (а, Ь)\с; в этом
случае мы имеем бесконечно много решений вида
(о, Ь) (а, Ь)
где t — произвольное целое число, а пара (жо.Уо) — некоторое частное
решение уравнения ах + by = с. Подробное доказательство этого факта
можно найти, например, в [28]. Таким образом, нахождение всех решений
уравнения ах + by = с (если они существуют) сводится к поиску его
частного решения (х0, у0).
Считая, что (а, Ь) = 1 (в случае разрешимости уравнения ах + by = с
мы можем поделить все три его коэффициента на число (а,Ь)), мы
разложим дробь а/Ь в конечную цепную дробь [ο0,οι,... ,о„]. Так как
PsQs-i - QsPs-i = (~0S-I> то ПРИ s = η мы получим соотношение
PnQn-i - QnPn-i = (-1)""1. Поскольку a/b = Pn/Qn и (а,Ь) = 1, то
а = Р„ и b = Q„, то есть α(?„_ι - ЬРп-\ = (-1)"-1. Домножая каждое
слагаемое последнего равенства на число (-1)п-|с, мы получим
соотношение
о((- 1)п-'с · <?„_,) + Щ- 1)"с · Ря_,) = с,
то есть найдем частное решение (хо,Уо) = ((_On~'c'Qn-i). (_0"c'^n-i)
уравнения ax + by = с. Таким образом, все решения уравнения αχ + by = с
могут быть получены теперь по формуле χ = Xq±U, у = yoTo,t, где t 6 Ζ.
148 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
IV. С помощью цепных дробей можно решать и другие неопределенные
уравнения, в частности, уравнение Пелля х2 - Dy2 = ±1, где D —
натуральное число, не являющееся полным квадратом.
Для решения уравнения х2 - Dy2 = ± 1 разложим число y/D в цепную
дробь. Известно (см. [3]), что данное разложение имеет вид
Vd = [ο0,(οι,Οι,···,ο*-ι.2οο)],
то есть полученная цепная дробь является периодической. Пусть к —
длина периода указанной цепной дроби.
Нетрудно доказать (см. [3]), что все натуральные решения уравнения
х2 - Dy2 = 1 могут быть найдены по формулам χ = РкП-\, у = Qkn-i > где
га 6 Ν, причем кп — четно. Другими словами, уравнение х2 - Dy2 = 1
имеет бесконечно много решений.
Аналогично, все натуральные решения уравнения х2 - Dy2 = -1
могут быть найдены по формулам χ = Ркп-\, У = Qkn-i, где га 6 Ν,
причем кп — нечетно. В этом случае х2 - Dy2 = -1 уравнение не имеет
решений при четном к.
V. Наконец, цепные дроби можно использовать и при решении
сравнений ах = 6(mod га) первой степени с неизвестной величиной.
Считая, что (о, га) = 1, мы разложим дробь га/о в конечную цепную
дробь [οο,οι,... ,ак]. Так как PsQs-\ - QsPs-\ = (-1)'"', то при s = к
мы получим соотношение PkQk-\ - ЯкРк-\ = (_0*-1· Поскольку га/о =
= Рк/Qk и (о, га) = 1, то га = Рк и а = Qk, то есть nQk-\ ~аРк-\ = (-1)*_1 ·
Домножая каждое слагаемое последнего равенства на число (-1)*-|6, мы
получим соотношение га((-1)*_|6 · Qk-\) + а((-1)*Ь · Рк-\) = Ь. Отсюда
следует, что a((-l)kb-Pk-\) = b(mod га), то есть χ = (-l)*-6-.Pfc_i(modra) —
искомое решение сравнения ах = ft(modra).
Примеры решения задач
1. Найдите рациональное приближение числа -у/\5 с точностью Δ= ΙΟ-3.
Укажите, с избытком или с недостатком полученное приближение.
Решение. Разложим число -\/Ϊ5 в цепную дробь:
а0 = -у/15 = -4 + —, где — = 4 - λ/Ϊ5;
α, α,
α, = 4 + \/Ϊ5 = 7 + —, где — = -3 + \/Ϊ5;
α2 α2
3 + λ/Ϊ5 1 1 -3 + λ/Ϊ5
α2 = —2 = 1 + —, где — = ;
о аз аз о
α3 = 3 + \/Ϊ5 = 6 + —, где — = -3 + \/Ϊ5.
£*4 £*4
§23. Применения цепных дробей
149
Таблица 14
η
а„
Р«
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
-4
1
1
7
7
2
1
8
3
6
55
4
1
63
Таблица 15
η
а„
Р«
Q«
-2
0
1
-1
1
0
0
-4
-4
1
1
7
-27
7
2
1
-31
8
3
6
-213
55
4
1
-234
63
Таким образом, --/Ϊ5 = [-4, 7, (1,6)].
Найдем наименьший индекс га, для которого выполняется
соотношение Qn+\ ■ Qn ^ 1/Δ = 103. Для этого используем табл. 14, заполняя
в ней сначала только строку, соответствующую знаменателям
подходящих дробей.
Поскольку 1 · 7 < 103, 7 · 8 < Ю3 и 8 · 55 < 103, в то время как
55 · 63 > 103, то мы остановимся на Qn = 63. Таким образом, га = 3,
и искомым приближением числа -\/Ϊ5 будет третья подходящая
дробь <?з = Ръ/Qi. Это приближение является приближением с
избытком, поскольку число 3 нечетно. Работа по вычислению Рз приводит
к табл. 15.
Таким образом, а и -213/55 с точностью Ю-3, причем это
приближение является приближением с избытком. >
2. Найдите наилучшее приближение числа 1315/406 с избытком дробью
а/Ь со знаменателем, не превосходящим 100.
Решение. Разложим число 1315/406 в цепную дробь:
1315 = 406-3 + 97;
406 = 97-4+18;
97= 18-5 + 7;
18 = 7-2 + 4;
7 = 4-1+3;
4 = 3-1 + 1;
3 = 1-3 + 0.
150 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Таблица 16
η
а„
Р«
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
3
1
1
4
4
2
5
21
3
2
46
4
1
67
5
1
ИЗ
Таблица 17
η
ап
Р«
Q«
-2
0
1
-1
1
0
0
3
3
1
1
4
13
4
2
5
68
21
3
2
149
46
4
1
67
5
2
ИЗ
Таким образом, 1315/406 = [3,4, 5, 2,1,1, 3].
Найдем подходящую дробь с нечетным индексом, обладающую
наибольшим знаменателем, не превосходящим 100. Для этого
используем стандартную таблицу, заполняя в ней сначала только строку,
соответствующую знаменателям подходящих дробей. Остановившись
на первом элементе строки, большем ста, мы получим табл. 16.
Таким образом, наилучшим приближением числа 1315/406 дробью
а/Ь со знаменателем, не превосходящим 100, будет подходящая дробь
At · Однако данное приближение является приближением с
недостатком в силу четности индекса 4. Поэтому наилучшим приближением
числа 1315/406 с избытком дробью а/Ь со знаменателем, не
превосходящим 100, будет предыдущая подходящая дробь <?3 = Ръ/Яъ- Работа
по вычислению Рт, приводит к табл. 17.
Таким образом, искомое приближение числа -V\S имеет вид — \/Ϊ5 и
и-149/46. >
3. Сократите дробь -667/580.
Решение. Разложим число 667/580 в цепную дробь:
667 = 580-1 + 87;
580 = 87-6 + 58;
87 = 58-1+29;
58 = 29-2+0.
Таким образом, 667/580 = [1, 6, 1,2].
Найдем значение цепной дроби [1,6, 1,2], используя стандартную
таблицу (табл. 18).
§23. Применения цепных дробей
151
Таблица 18
η
ап
Рп
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
1
1
6
7
6
2
1
8
7
3
2
23
20
Таблица 19
η
ап
Рп
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
3
3
1
1
1
4
1
2
1
7
2
3
20
144
41
Таким образом, 667/580 = 23/20, и -667/580 = -23/20, причем дробь
-23/20 несократима. >
4. Решите сравнение 123ж = 57(mod 342).
Решение. Перейдя к сравнению 41 ж = 19(mod 114), получим
разложение дроби 38/41 в цепную дробь:
114 = 41-3 + 21;
41 =21-1+20;
21 =20-1 + 1;
20 = 1 · 20 + 0.
Таким образом, 114/41 = [3, 1,1,20].
Найдем числители и знаменатели подходящих к цепной дроби [3,1,1,20]
дробей, используя стандартную таблицу (табл. 19).
Так как PsQs-\ ~ QsP$-\ = (~l)s+l> то пРи s = 3 мы получаем,
что 144 · 2 - 41 · 7 = 1, откуда следует, что 41 · (-7) = l(mod 114),
или 41 · (-7) · 19 = 19(mod 114).
Таким образом, χ = (-7) · 19 = -133 = -19(mod 114). Разбивая один
класс по модулю 114 на три класса по модулю 342, мы получим
окончательный результат: решениями сравнения 123ж = 57(mod 342)
являются классы x = -19(mod342), x = 95(mod342) и χ = 223(mod342). >
5. Решите неопределенное уравнение ЗЗж + 51у = 21.
Решение. Приведя уравнение к виду Пх+Пу = 7, разложим число
17/11 в цепную дробь:
152 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
Таблица 20
η
а„
Р«
Qn
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3
2
3
5
17
11
17= 11-1+6;
11 =6-1+5;
6 = 5-1 + 1;
5= 1-5 + 0.
Таким образом, 17/11 = [1, 1, 1, 5].
Найдем числители и знаменатели подходящих к цепной дроби [1,1.1,5]
дробей, используя стандартную таблицу (табл.20).
Так как PSQS~\ - QsPs-\ = (_l)s-l> то при 5 = 3 мы получаем, что
17-2 — 11-3 = 1, или, что то же, 11· (-3) + 17 · 2 = 1, откуда следует,
что 11 · (-21) + 17 · 14 = 7. Таким образом, частное решение (х0, уо)
уравнения Их + 17у = 7 имеет вид (-21, 14). В этом случае все
решения уравнения Пх + Пу = 7 могут быть получены по формулам
x = -2l + l7t,y = 14- Ш.где* 6 Z. >
Укажите первые четыре натуральных решения уравнения х2 - Ъу2 = 1;
уравнения х2 — Ъу2 = -1.
Решение. Разложим число у/Ъ в цепную дробь:
а0 = \/3 = И , где — = -1 + \/3;
а, а,
l+v/З , 1 1 -l + v/3
а, = —-— = 1 + —, где — = ;
2 а2 а2 2
а2 = 1 + ν/3 = 2 + —, где — = -1 + \/3.
а3. а3
Таким образом, л/3 = [1, (1,2)], то есть длина к периода разложения
числа у/Ъ в цепную дробь равна 2.
Следовательно, все натуральные решения уравнения х2 - Ъу2 = 1
могут быть найдены по формулам χ = Ρΐη-ι, У = Qin-i> где η 6
N. Первые четыре натуральных решения (P\,Q\), (P3.Q3), (Ps,Qs),
(Pj, Q1) получаются при п = 1,2, 3,4.
Найдем числители и знаменатели соответствующих подходящих
дробей, используя стандартную таблицу (табл.21).
§23. Применения целных дробей
153
η
а„
Р«
Q*
-2
0
1
-1
1
0
0
1
1
1
Таблица 21
1
1
2
1
2
2
5
3
3
1
7
4
4
2
19
И
5
1
26
15
6
2
71
41
7
1
97
56
Таким образом, первые четыре натуральных решения уравнения х2 —
- Ъу2 = 1 имеют вид (P,,Q,) = (2,1); (P3,Q3) = (7,4), (Ps,Qs) =
= (26,15), (P7,Q7) = (97,56).
Все натуральные решения уравнения х2 - Dy2 = -1 могут быть
найдены по формулам χ = .Ргп-ь У = Qin-\, где га 6 Ν, причем
кп — нечетно. Очевидно, что в нашем случае (к = 2) уравнение
решений не имеет. >
Упражнения
1. Найдите рациональное приближение числа y/ΪΟ с точностью Δ=5 · 10 3.
Укажите, с избытком или с недостатком полученное приближение.
2. Найдите рациональное приближение числа \/2Т с недостатком с
точностью Δ = Ю-4.
3. Найдите величину бесконечной цепной дроби [-2, (1,1,2)] и ее
рациональное приближение с недостатком (с избытком) с точностью
Δ= ΙΟ"2.
4. Найдите наилучшее приближение числа 2500/1441 дробью а/Ь со
знаменателем, не превосходящим 100. Укажите, с избытком или с
недостатком полученное приближение.
5. Найдите наилучшее приближение числа 1292/479 с избытком (с
недостатком) дробью а/Ь со знаменателем, не превосходящим 100.
Укажите точность приближения.
6. Сократите дробь:
а) 204/697; б) 1235/1391;
7. Решите сравнение:
а) 28z = 66(mod99),·
б) 115a; = 42(modl30);
в) 21z = 76(mod81);
г) 55z = 57(mod221);
д) 67z = 64(modl83);
в) -2626/1690; г) -1085/980.
е) 285z = 177(mod924);
ж) 89z = 86(mod241);
з) 2\Ъх= 137(mod516);
и) -53z = 84(mod219).
1 54 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
8. Решите неопределенное уравнение:
а) 311ж + 28у = 2; в) 253ж - 449у = 3;
б) 26ж + 91у = 11; г) 73ж+ 85у = 7.
9. Укажите первые четыре натуральных решения уравнения:
а)ж2-5у2 = 1; в) х2 - 19у2 = 1;
б) ж2-5у2 = -1; г) ж2-19у2 = -1.
10. Укажите наименьшее натуральное решение уравнения:
а) ж2-41у2 = 1; в) х2 - 13у2 = -1;
б) ж2-41у2 = -1. г) ж2-13у2 = -1.
Задачи
1. Найдите значение цепной дроби [-3, (2,1,1)] и рациональное
приближение к нему с точностью 0,5 · Ю-3. Укажите, с избытком или
с недостатком полученное приближение.
2. Найдите значение цепной дроби [3,(1,2,2)] и рациональное
приближение к нему с точностью 0,5 · Ю-3. Укажите, с избытком или
с недостатком полученное приближение.
\/Т7-9
3. Является ли δ = -39/16 подходящей дробью к а = ? Если
да, оцените точность приближения а числом δ. Какое из неравенств
верно: а > δ или α < δ?
4. Является ли подходящая дробь δ = -13/7 приближением к а =
= —-— с точностью 10-2? Какое неравенство верно: а > δ или α<δ?
5. Найдите рациональное приближение квадратичной
иррациональности с точностью Ю-3, разложив данную квадратичную
иррациональность в цепную дробь:
а) γ/7; в) ν/ΓΓ; д) VU; ж) γ/Ϊ8; и) ч/20;
б) ν/ΪΟ; г) >/13; е) >/15; з) >/Ϊ9; к) V22.
6. Найдите наилучшее· приближение числа а со знаменателем, не
превосходящим Ь, и оцените точность полученного приближения:
а) а = ^^,6=100; B)a=22±£l,b=W,
6)a=il^>6 = 200; r)a=l-±^,b = 50.
7. Найдите подходящую дробь наименьшего порядка, приближающую
число 98/57 с точностью 1/150. Является ли она:
§23. Применения целных дробей
155
• наилучшим приближением этого числа со знаменателем, не
превосходящим 7;
• наилучшим приближением этого числа со знаменателем, не
превосходящим 8?
8. Найдите подходящую дробь наименьшего порядка, приближающую
число 61/44 с точностью 1/50. Является ли она:
• наилучшим приближением этого числа со знаменателем, не
превосходящим 5;
• наилучшим приближением этого числа со знаменателем, не
превосходящим 6?
9. Найдите подходящую дробь наименьшего порядка, приближающую
число 37/64 с точностью Ю-2. Является ли она:
• наилучшим приближением этого числа со знаменателем, не
превосходящим 7;
• наилучшим приближением этого числа со знаменателем, не
превосходящим 8?
10. Для га = N-4[N/4\+5,rjxe N 6 {1,2, 3,..., 25}, разложите в цепную
дробь число
362га
"~905-2"'
Найдите наилучшее приближение указанного числа обыкновенной
дробью с знаменателем, не превосходящим 20га. С избытком или
с недостатком полученное приближение?
11. Для га = N-4[N/4\+5,rjxe N 6 {1,2,3,..., 25}, разложите в цепную
дробь число
у/УТп - 2га
2 '
и найдите его рациональное приближение с точностью Ю-4.
12. Найдите рациональное приближение числа а с точностью Δ, если
а 6 {^;VU,VW,?-^,1-^,^-}, а Δ 6 {Ю-4, ΙΟ"5,
ю-6, ю-7}.
13. Найдите рациональное приближение числа а с точностью Δ, если:
а) α = \/2, Δ = ΙΟ-2;
б)а = Ц^, Δ = 10-3;
18 + ν/40Τ А 1л ,
в)а = , Δ = 10-4;
156 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
11 +2V39
г) а = , Δ = 10 5;
д) а =
е) а =
ж) а =
з) а =
9 + \/ШТ
5
2 + у/7
4 '
9 + У2Г
6
2--/Ϊ3
, Δ = 10-
Δ = 10~3;
, Δ = ΙΟ"4;
ΙΟΙ 4. Найдите рациональное приближение числа \/2 с точностью δ = 0,01.
Укажите, с избытком или с недостатком полученное приближение.
15. Найдите рациональное приближение числа νΊθ с точностью δ = 0,01.
Укажите, с избытком или с недостатком полученное приближение.
16. Найдите рациональное приближение числа е с точностью δ = 0,036.
Укажите, с избытком или с недостатком полученное приближение.
17. Сократите дробь:
а)
396
б)
871
696' ~' 3953
18. Решите сравнение:
а) П1ж ξ 81 (mod 447);
б) 186z = 374(mod422):
в) 129z = 321(mod471);
г) -73z = 60(mod311);
д) 78ж = 102(mod273);
е) Ибяг = 10(mod201);
в)
6821
2147'
г)
32671
10027'
Д)
4355
19765'
е)
47747
15029
ж) 103z = -6(modl89);
з) 142z=14(mod214);
и) 165z = 21(mod261);
к) 256z=179(mod337);
л) 1215z = 560(mod2755);
м) 1296z = 1105(mod2413).
19. Для η = Ν -4[Ν/4\ +5, где N 6 {I, 2, 3,..., 25}, решите сравнение
517z = n-338(mod599).
20. Решите неопределенное уравнение первой степени:
а) -73ж + 85у = I; * и) 23ж + 15у = 19;
б) Их+ 16» = 156; к) \2х - 37у = -3;
в)-53х + 17у = 25; л) 18х - ЗЗу = 26;
г) 482ж - 824у = 24; ' „/ ,,
( -,-, лп ™„ м)25ж + 36у= 3;
д) -33ж + 48у = 207; ' у
е)339х-240у = 21; н) 64х - 47у = 13;
ж) 339ж + 240j/ = -21; о) 494ж - 703у = 209;
з) 17ж - 16у = 31; п) 391ж - 663у = 221.
§24. Разные теоретико-числовые задачи 157
21. Для η = N - 4[iV/4j + 5, где N 6 {I, 2, 3,..., 25}, решите уравнение
221ж - 39гау = 182.
22. Укажите, если это возможно, первые два натуральных решения
уравнения:
а) ж2 -Пу2 = 1; е) х2 - 39J/2 = -1;
б) ж2-11у2 = -1; ж)ж2-17у2 = 1;
в)ж2-7у2 = 1; з) х2 - 17у2 = -1.
г) ж2-7у2 = -1; и)ж2-30у2 = 1;
д) х2 - 39у2 = 1; к) х2 - ЗОу2 = 1.
§ 24. Разные теоретико-числовые задачи
1. Найдите все пары натуральных чисел, таких что при делении на 41
их сумма дает остаток 6, а сумма их квадратов дает остаток 20.
2. Два двузначных числа отличаются друг от друга только порядком
цифр. Их разность при делении на 11 дает в остатке 1. Найдите эти
числа.
3. Найдите наименьшее натуральное трехзначное число, кратное 23,
у которого каждая следующая цифра больше предыдущей на единицу.
4. Найдите все натуральные трехзначные числа, которые при делении
на 41 дают остаток, равный сумме своих цифр.
5. Найдите два наименьших положительных соседних нечетных числа,
произведение которых делится на 187.
6. Разделите многочлен f(x) на многочлен д(х) с остатком, считая, что
коэффициенты многочленов принадлежат Ζ (Ζ/2Ζ, Ζ/3Ζ, Ζ/5Ζ):
а) f(x) = 2х5 + ж4 + Ах + 3, д(х) = Ъх2 + 1 ;
б) /(ж) = ж6 - ж + 1, д(х) = ж - 1;
в) /(ж) = ж4- 1,з(ж) =ж-1;
г) /(ж) = ж - 1, д(х) = ж2 + ж + 5.
7. Найдите многочлен г(ж), если /(ж) = г(ж) (modg(x)), degr(x) <
< degg(x), и коэффициенты многочленов принадлежат Ζ
а) /(ж) = ж3 + ж2 + 2ж + 2, д(х) = ж2 + 1;
б) /(ж) = 8ж8 + 6ж6 + 4ж4 + 2ж2, д(х) = 6ж + 3;
в) /(ж) = ж20 +ж10 + 1, д(х) = ж5 + 1.
158 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
8. Докажите, что для каждого простого числа ρ последовательность
оь а2,..., ап,... является периодической с периодом 2, если а„
равно остатку от деления числа рп+2 на 24 для любого га 6 N.
9. Пусть х\ и χι — корни трехчлена х2 + Зх + 1. Пусть натуральное
число т вычисляется как т = n + f(xi), г = 1, 2, где га б N, a f(x) =
= χ6 + Зх5 + ж4 + ж3 + 4х2 + 4х + 3. Найдите значения га, которым
соответствует т = 5, 7, 103.
10. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел а и Ь,
для которых (о, Ь) = 6 и [а, Ь] = 6930? Сформулируйте ответ в общем
случае, используя канонические разложения (о, Ь) и [о, Ь].
11. Докажите, что десятичная запись квадрата натурального числа не
может состоять из одинаковых цифр.
12. Докажите, что для любого натурального числа га существует кратное
ему натуральное число т, которое в десятичной системе счисления
записывается только цифрами 0 и I.
13. Разложите на простые множители число 222 + 39 · 2|0 + 81.
14. Найдите наименьшее значение выражений |53*-37'|, |36*-52|, к, I 6 N.
15. Докажите, что ряд У\ сходится, а ряд У) — расхо-
pepPlnp рбР,р>з Pin In ρ
дится.
16. Найдите все х, для которых \х\ = 5, а {х} = 0.3.
17. Делится ли 10! на г(3)15?
18. Найдите остаток отделения числа г(275)^275^ на г(12!).
19. Приведите пример кольца классов вычетов, в котором верно
соотношение:
а) (а„ - Ь„) · (а„ + Ь„) = а„2 - Ь„2;
6)(an+bn)2 = an2+bn2;
в) (a„+an)2^an2+bn2.
20. Для каких модулей можно составить приведенную систему вычетов,
состоящую из степеней числа 3?
21. Докажите, что произведение всех натуральных чисел, меньших р2
и не делящихся на р, сравнимо с -I по модулю ρ, ρ 6 Р.
22. Докажите, что (р-2)\= l (mod ρ), где ρ — простое число вида 4га +1,
ra6N.
23. Докажите, что для любого целого а имеет место сравнение о561 =
= а{тоа5в\).
24. Приведите пример составного га, удовлетворяющего сравнению о" =
= o(mod га) для любого целого а.
§ 24. Разные теоретико-числовые задачи 159
25. Найдите наименьшее трехзначное число х, такое что
1918 · 4224 · 4512 + 10 · 2845 ξ z(mod 235).
-.« η « ί z3 = -l(modl3)
26. Решите систему сравнений < .
Ί 7z = 3(modl0)
27. Решите систему сравнений
28. Решите систему сравнений:
(
2х = 6(mod 5)
4z = -8(mod40)
5х = 8(mod 3)
. Г Ъх + Ау - 29 = 0(mod 143) >
\ 2х - 9у + 84 ξ 0(mod 143) '
Гх + 4у-1=С
7 [5х-8у-2 =
- 1 = 0(mod 9)
0(mod 9) '
Ί
9х + 20у = 0(mod 29)
16ж- 13y = 0(mod29) '
. .,_+4y-29 = 0(modl43)
Г^ "- 5у + 84 = 0(mod 143) '
|3ж +
\2ж-
|* + 4у-1=(
; \ 5х - 8у - 1 =
{
- 1 = 0(mod 9)
0(mod 9) '
. . 9х + 20у - 10 = 0(mod 29)
е) ' 16ж - 13у - 21 ξ 0(mod 29) *
29. Делится ли на 10932 число 21093 - 2?
30. Решите сравнение Зж2 = 10(mod 172).
+ 5х - 5 = 0(mod 17)
Г Зх2 +
\ 2х =
31. Решите систему сравнений ,
1 10(mod40)
32. Найдите четыре наименьших положительных последовательных
нечетных числа, которые делятся на 7, 11, 13 и 17, соответственно.
33. Припишите к числу 12 345 еще пять цифр так, чтобы получилось
число, делящееся на 41.
34. Припишите к числу 1234567890 еще пятьдесят цифр так, чтобы
получилось число, делящееся на 31.
160
Глава 1. Задачи по курсу теории чисел
{
„„ „ _ . 17z + 25y = 3(mod47)
35. Решите систему сравнении < , ' .
' I0x + 3ly = 14(mod47)
36. Найдите число решений сравнения
45ж526 + 43ж264 - 89ж263 + 226ж262 = 20(mod 263).
37. Сколько решений может иметь сравнение х2 = o(mod 105) при
различных целых о?
38. Придумайте сравнение, имеющее ровно 20 решений.
39. Решите сравнение х2 = p(mod ρ2), где ρ 6 P.
■> Зр + 1 , 2ч
40. Решите сравнение χ ξ —-—(mod ρ ), где р б P.
41. Решите сравнение χ2 ξ l(modpn), где ρ 6 Ρ\{2}, а га 6 Ν.
42. Сколько решений имеет сравнение х2 = g(modp), если д —
первообразный корень по простому модулю р?
43. Докажите, что единственным целым решением уравнения
5ж3 + I \хг + 13ж3 = 0 является тройка (0,0,0).
44. Докажите, что уравнение у2 = ж3 + 7 не имеет целых решений.
45. Докажите, что при нечетном а сравнение о2" = l(mod 2"+2)
справедливо для любого натурального числа га.
46. Для каких простых ρ справедливо сравнение 32"2-' ξ l(modp)?
47. Сколько решений имеет сравнение x^'_,'/2^l(modp), если ρ б Р\{2}.
48. Докажите, что ((р- 1)/2!)2 = -l(modp), если ρ б Р, р= l(mod4).
49. Докажите, что ((р - 1)/2)! = (-l)n(modp), если ρ б Р, р = 3(mod4),
и га — число квадратичных невычетов по модулю ρ на отрезке [1,
(р-0/2].
50. Найдите все простые числа р, для которых 7 является квадратичным
вычетом по модулю р.
Pd /ax + b\
51. Вычислите сумму символов Лежандра 2^ ( ), где о, 6 6 Z,
1=0 V Ρ /
(о,р) = 1.
52. Докажите, что сравнение х2+у2+а = 0(modp) разрешимо для любого
простого числа ρ и любого целого а.
53. Докажите, что сравнение (ж2 - 17)(ж2 - 13)(ж2 - 221) = O(modra)
разрешимо для любого натурального га.
54. Докажите, что 3 является первообразным корнем для любого простого
числа ρ вида 2" + 1, га > 1.
55. Может ли 2 быть первообразным корнем по простому модулю р, если
p = 8i±l, t 6 Ν?
§ 24. Разные теоретико-числовые задачи 161
56. Докажите, что 1" + 2" + ... + (р - 1)" = -l(modp), если (р - 1)|га,
и 1" + 2" + ... + (р- 1)" ^O(modp), если (р - 1) \п, где ρ 6 Р\{2},
и га ^ 2.
57. Сколько решений имеет сравнение х(х - 1)(х + 1) = 0(mod 82)?
58. Индекс числа 3 по модулю 13 с основанием 2 равен 4. Не пользуясь
таблицами индексов, найдите индекс числа 3 по модулю 13 с
основанием 6.
59. Пусть ρ — нечетное простое число. Пусть δ\(ρ - 1). Докажите, что
<5|indtfl a & <J|indi2 а, где ind^, а и indi2 a — индексы числа а по
модулю ρ с основаниями д\ и gi, соответственно.
60. Найдите все комбинации (ж, у, ζ) натуральных чисел от 10 до 20,
такие что Зх2 - у2 - 7ζ = 99.
61. Замените каждое число I +2 + ... + η, η 6 F^ последней
цифрой з„ в его десятичной записи. Докажите, что последовательность
si,S2,sj,... ,sn,... является периодической, и найдите ее
наименьший период.
62. Найдите наименьшее натуральное число га, которое составляет от 10.5 %
до 11 % от некоторого натурального числа т.
63. Найдите все натуральные га, для которых уравнение Зх + 5у = га
имеет ровно 57 решений в натуральных числах.
64. Пусть р, q 6 Ν, ρ, q > Ι, (p,q) = Ι. Докажите, что число
— трансцендентное.
Глава 2
Задачи
для организации промежуточного
и итогового контроля
§ 1. Задачи для проведения
контрольных работ
1. Постройте график функции:
а)/(х) = {2х-3}; /(x) = L2x-3J;
б) f(x) = {2/х}, f(x) = [2/x\;
B)f(x) = {x2/2}; f(x) = [x2/2\;
г) f(x) = {-χ2/2}; /(x) = L-x2/2J;
д)/(х) = {2-х2}; /(x) = L2-x2j;
е) f(x) = {х3/2}; f{x) = Yx"/2\;
ж) f{x) = {1/Зх}; /(x)=Ll/3xJ;
з)/(х) = {1-х2}; /(x) = Ll-x2J;
и)/(х) = {*3}; ί(χ) = [χ3\;
к)/(х) = {Зх2-5}; /(x) = L3x2-5j;
л) fix) = {ι/(2χ - })}; /(*) = Li/(2x - i)J;
м) f{x) = {3x2 - 5}; /(x) = L3x2-5j;
н)/(х) = {2х2-2}; /(x) = L2x2-2j;
o) fix) = {-l/(2x2)}; fix) = L-l/(2x2)J;
n)/(x) = {-x2/2}; /(x) = L-x2/2J;
p) fix) = {ctgx}; fix) = [ctgx\;
c) fix) = {\x\/2}; /(s) = LN/2J;
τ) fix) = {l/(3x - 3)}; fix) = Ll/(3x - 3)j;
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 1 63
y)/(s) = {|i-s|}; /(s) = Lli-*IJ;
Φ) № = {tgx}; f(x) = [tgx\;
χ) f(x) = {3cos0,5x}; f(x) = [3cosO,5xJ;
ц) f{x) = {l/2|x|}; t(x) = \\p\x\\\
ч)/(х) = {|Зх-5|}; /(х) = L|3*-5|J;
ш) f(x) = {2 sin ж - 1}; f(x) = [2 sin χ - 1J;
щ) f{x) = {|2x3 - 4|}; f(x) = L|2x3 - 4|J.
2. Решите уравнение:
а) 3[sJ-5 = 2{s}; o) 3[sJ - 5 = 2{x};
б) [x + 3J - 6 = 2{x}; La; + 1J - 5 =
b)5LxJ-4 = 3{x}; ' 4 l ''
r)4Lxj-2 = 3{x}; p) 5"4И=_{а,}.
fl)3LxJ-8 = 2{x}; 3
е) Lx + 3j-6 = 2{x}; c) i~pL = -{x};
ж) [x + 2\-7 = 2{x}; IЗж| - 4
з) La:+2J-3=4{x}; τ) = {x};
Lx + 2J-7 = y) L3a;j _ 4 = 2{ж};
4ς| ,4 ' φ)ί4χ]-5 = 3{χ};
к) 5 ж -4 = 3{x}; \ , , , ir τ
l in _s X) L*J-5 = 3{x};
л) VX+y ={x}; ц)4х-2 = 7{х};
lx + 21-3 ч)3ж-8 = 5{ж};
м) = {x}; ш) Ъх - 5 = 5{ж};
lx + ll-6 . , Щ) 5ж-4 = 8{ж}.
н) = {ж};
3. Решите уравнение:
а) т(х) = 55, 96|ж; к) т(х) = 22, 18|ж; у) т(х) = 14, 50|ж;
б) т(х) = 65, 1б0|ж; л) т(х) = 14, 50|ж; ф) т(х) = 34, 98|ж;
в) т(х) = 91, 320|ж; м) т(х) = 15, 12|ж; х) т(х) = 39, 54|ж;
г) т(х) = 57, 40|ж; н) т(х) = 35, 50|ж; ц) т(х) = 77, 384|ж;
д) т(х) = 38, 24|ж; о) т(х) = 18, 45|ж; ч) т(х) = ю, 12|ж;
е) т(х) = 20, 30|ж; п) т(х) = 18, 30|ж; ш) т(х) = 28, 70|ж;
ж) т(х) = 20, 105|ж; ρ) τ(χ) = 21, 40|ж; ш) ф) = 45, 66|ж.
з) т(х) = 26, 12|ж; с) т(х) = 33, 135|ж;
и) т(х) = 34, 12|ж; т) т(х) = 15, 15|ж;
1 64 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
4. Решите уравнение:
а) т(5х) = т{2х), ж 6 [5,15]; о) г(5ж) = т(Пх), χ 6 [80,100];
б) г(3ж) = г(11ж), ж 6 [25,135]; п) г(16ж) = 2т(х), χ 6 [10,25];
в) т{Ъх) = г(13ж), ж 6 [30,40]; р) г(32ж) = 2г(ж), ж 6 [15,30];
г) г(7ж) = г(11ж), χ 6 [70, 80]; с) τ{125χ) = 5г(а;)> χ 6 [15j 25].
д) г(3ж) = г(5ж), х 6 [10, 20]; т) г(343а;) = 7г(а;)> х 6 [10> 20].
е) г(19ж) = т(2х), χ 6 [35,45]; ^ ' ^
ж) г(7ж) = г(3ж), х 6 [15, 25]; У Т *V П7' * 6 lf' 3°Ь,
з) г(2ж) = r(lli), х 6 [20,30]; Ф> т<81*> = 3^' * 6 Г10'2·*
и) т(2х) = г(13ж), χ 6 [15,25]; х> г(625а;) = 5г(ж)> х е [15'25Ь
к) г(2ж) = т(Пх), х 6 [55,70]; «) г(27а;) = Μ1)· ж е [Ю.20];
л) г(3ж) = т(Пх), х 6 [10,40]; ч) т(*1х) = 3l"(s)> * 6 [Ю, 20];
м) г(19ж) = г(3ж), ж 6 [10, 35]; ш) г(625ж) = 5г(ж), χ 6 [15, 25];
н) г(7ж) = г(13ж), ж 6 [70,100]; ш) г(27ж) = Зг(ж), ж 6 [10, 20].
5. а) Запишите каноническое разложение числа (2τ(σ(15)) — 1)
б) Запишите каноническое разложение числа (2τ(σ(22)) - 2)
в) Запишите каноническое разложение числа (3τ(σ(21)) - 2)
г) Запишите каноническое разложение числа (2τ(σ(30)) - 9)
д) Запишите каноническое разложение числа (3τ(σ(26)) - 7)
е) Запишите каноническое разложение числа (2τ(σ(24)) — 6)
ж) Запишите каноническое разложение числа (2т(<р(15)) + 1)
з) Запишите каноническое разложение числа (2τ(φ(22)) + 2)
и) Запишите каноническое разложение числа (3τ(φ(21)) +2)
к) Запишите каноническое разложение числа (2τ(φ(30)) - 9)
л) Запишите каноническое разложение числа (3τ(φ(26)) - 7)
м) Делится ли r(1368)! на (σ(11))7?
н) Делится ли τ(2800)! на (σ(15))8?
о) Делится ли r(960)! на (σ(20))3?
π) Делится ли г(288)! на (σ(14))5?
ρ) Делится ли г(200)! на (σ(8))2?
с) Делится ли г(у>(2888))! на (σ(11))7?
τ) Делится ли г(у>(1644))! на (σ(7))6?
у) Делится ли г(у>(2800))! на (σ(15))8?
φ) Делится ли т(<р(960))} на (σ(20))3?
χ) Делится ли г(288)! на (σ(14))5?
ц) Делится ли г(200)! на (σ(8))2?
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 1 65
41·...-90 „
ч) Является ли целым число . . .„, ..., ?
; (σ(τ(960)))3
91·...· 140
ш) Является ли целым число
(σ(τ(2800)))" '
121·...· 170
щ) Является ли целым число /ooo\\\6 ?
6. а) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(432))! в 24-й системе
счисления?
б) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(200))! в 12-й системе
счисления?
в) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(288)).' в 18-й системе
счисления?
г) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(864))! в 50-й системе
счисления?
д) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(2592))! в 40-й системе
счисления?
е) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(1024))! в 45-й системе
счисления?
ж) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(3072))! в 45-й системе
счисления?
з) Сколькими нулями оканчивается σ(τ(2520))! в 14-й системе
счисления?
и) Сколькими нулями оканчивается τ(φ( 12800)) в 10-й системе
счисления?
к) Сколькими нулями оканчивается г(у>(12800) в 24-й системе
счисления?
л) Сколькими нулями оканчивается σ(^(1280)! в 10-й системе
счисления?
м) Сколькими нулями оканчивается σ(^>(1024))! в 24-й системе
счисления?
н) Сколькими нулями оканчивается σ(^>(200))! в 12-й системе
счисления?
о) Сколькими нулями оканчивается σ(^(288))! в 18-й системе
счисления?
п) Сколькими нулями оканчивается σ(^>(864))! в 50-й системе
счисления?
р) Сколькими нулями оканчивается σ(^(2592))! в 40-й системе
счисления?
1 66 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
с) Сколькими нулями оканчивается <р(т( 1024)).' в 45-й системе
счисления?
т) Сколькими нулями оканчивается <р(т(3072))! в 45-й системе
счисления?
у) Сколькими нулями оканчивается <р(т(2520))1 в 14-й системе
счисления?
л.
ф) Найдите число правильных несократимых дробей вида
х) Найдите число правильных несократимых дробей вида
ц) Найдите число правильных несократимых дробей вида
ч) Найдите число правильных несократимых дробей вида
ш) Найдите число правильных несократимых дробей вида
ш) Найдите число правильных несократимых дробей вида
г(6144)!*
а
г(576)!'
а
r(6250)!*
а
г(5120)!'
а
г(2560)!'
а
г(5676)!'
В кольце классов вычетов Z/raZ укажите все делители нуля и решите
уравнение:
к) 4ΐ8·χι8 = 16ι8;
л) 3ΐ8·χιβ = 6Ю;
м) 3ΐ5·χι5 = 21,5;
н) 3ΐ5·χι5 =6ι5;
о) 4ΐ6·χΐ6 = 12ι6;
П) 4г8 · Χ28 = 1<>28;
ρ) 5ю Χίο = ΙΟιο;
с) З9 · Χ9 = 6д',
τ) 1326·Χ26 = 3926;
а) 36 Хб = 96;
б) 4ΐ2 ·Χΐ2 = 8ΐ2ί
Β) 222·Χ22 =422!
γ) 3ι5·χΐ5 =9j5;
д) 4β·Χ8 = 88;
е) 2ΐ2·χΐ2 = 10ι2;
ж) 7ΐ8·χΐ8 = 14ι8;
з) 68·Χ8 = 28;
и) 4ΐ2·χΐ2 = 20ι2;
8. При каких п имеет место равенство:
а) |ПрСВ2п| = |ПрСВ7л|;
б) |ПрСВ2п| = |ПрСВ3п|;
в) |ПрСВ5п| = |ПрСВ7п|;
г) |ПрСВ3п| = |ПрСВ7п|;
д) |ПрСВ|1п| = |ПрСВ3п|;
е) |ПрСВ13п| = |ПрСВ7п|;
ж) |ПрСВ3п| = |ПрСВ|7п|
з) |ПрСВ„| = 14;
У) 46 · Хб = 186;
Φ) 3ΐ8·χΐ8 = 15ιβ;
х) 226·Χ26 = 1026;
ц) 32ι ·Χ2ΐ = 122ь
ч) 420·Χ20 = 122о;
ш) 2ι4·χμ = 18ι4;
Ш) 222 · Χ22 = 622·
и) |ПрСВ„
к) |ПрСВ„
л) |ПрСВ„
м) |ПрСВ„
н) |ПрСВ„
о) |ПрСВ„
п) |ПрСВ„
р) |ПрСВ„
= 10;
= 5;
= 6;
= 10;
= 3;
= 7;
= 22;
= 46;
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 1 67
с) 17|ПрСВ„| = 16|ПСВ„|; ц) П|ПрСВ„| = 5|ПСВ„|;
т) 17|ПрСВ„| = 8|ПСВ„|; ч) |ПрСВ„| = 3|ПСВ„|;
у) 13|ПрСВ„| = 6|ПСВ„|; ш) 8|ПСВ„| = 13|ПрСВ„|;
ф) 9|ПСВ„| = 19|ПрСВ„|; щ) 8|ПСВ„| = П|ПрСВ„|?
х) 10|ПСВ„| = П|ПрСВ„|;
9. Докажите:
а) о ξ 6(mod η) =^- ка = kb(mod d), к б Ζ, d\n, d > 1;
б) ο ξ 6(modη), c~ q{moaη) =>· ac = bq(modd), d\n, d > 1;
в) ο ξ ft(modra), c = q(modri) => a + c = b + q(modd), d\n,d > 1;
г) о = 6(mod n), с ~ q(mod n) =>· a- c = b- q(mod d), d\n, d > 1;
д) о = b(mod n) => ka = kb(mod d), к 6 Ζ, d\k, d > 1;
е) о = 6(mod n), d\a, d\n => d\b, d 6 Z;
ж) о = 6(mod n) =>· (o, d) = (b, d), d\n, d > 1;
3) ka = kb(mod n), (к, η) = 1 => a = b(mod d), d\n, d > 1;
и) о = b(mod n) => ka = kb(mod kd), к £ Ν, d\n, d > 1;
к) о = b(modn) => o* = b*(modd), к 6 Ν, d\n, d > 1;
л) о = 6(mod kn), с = q(modkn) =s> a + c=b + q(modd), d\n, d > 1;
м) о = 6(mod kn), с = q(mod kn) => a-c=b- q(mod d), d\n, d > 1;
н) о = b(mod n), d\(a, n) => d\b, d 6 Z;
о) о = b(mod kn), d\a, d\n => d\b, d 6 N;
n) ka = kb(mod n), (k, n) = 1 =J> (a, d) = (b, d), d\n, d > 1;
p) ka = kb(mod kn) => a = b(mod d), d\n, d > 1;
с) о = 6(modn) =>· ka = kb(mod dn), к 6 Ν, d\k, d > 1;
τ) ο Ξ 6(mod Ы) =s> feo ξ fc6(mod fed), A; 6 N, d|ra, d > 1;
у) о = b(modkn), d\(a,n) => d|6, d 6 Z;
φ) feo ξ fcft(mod fcra), d|6, d|ra =S> d|a, d 6 N;
x) feo = kb(mod kn) => (a, d) = (6, d), d|ra, d 6 Z;
ц) о = 6(modra), d\b, d\n => d\a, d 6 N;
4) ο ξ 6(mod fen) => (o, d) = (6, d), d|ra, d > 1;
ш) о = b(mod kn) => a = 6(mod fed), d|ra, d > 1;
ш) a = b(mod kn) => ak = b*(mod d), к 6 Ν, d|n, d > 1.
168 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
10. Найдите остаток от деления:
а) 35472Ш на 352
б) 21052000 на 208
в) 2287'ш на 225
г) 43072Ш на 425
д) 1783'000 на 176
е) 3003'000 на 297
'""" на 275
на 351
на 352
ж) 2807
з) 35452'
и) 3507ϊ
к) 2065™° на 208
л) 2227'000 на 225
м) 42072Ш на 425
н) 1743'000 на 176
о) 2943'000 на 297
п) 2707'Ш на 275;
р)-35272°'°на352;
с) -21052°'°на208;
т) -2307""°на225;
11. Решите систему сравнений первой степени:
Ах = 2(mod 10)
а) { 3z = 3(mod6) ; ж) <
28ж = 4(mod 60)
ем
в)<
г)<
дМ
*М
32ж = -4(mod 60)
9z = -3(mod6)
6х = 8(mod 10)
17z = 2(mod7)
Αχ = 16(mod 12) ;
4ж =-2(mod 10)
2х = 2(mod 5)
8z = 4(modl2) ;
6x = 4(mod 14)
32z = 56(mod 60)
-3z = 9(mod6) ;
6x = -2(mod 10)
-Ax = 9(mod 7)
16z = -8(mod 12)
Ax = 18(mod 10)
3) {
и) <
K) {
*){
m) <
Ax =
15ζξ
5x =
15χξ
3ΙΞ
За; ξ
Ъх =
5x =
5x =
ΙΑχξ
-9x
5x =
5x =
12ζξ
21ζξ
16χξ
12ζξ
9χ =
у)-43072°'°на425;
ф)-1783'°'°на176;
х)-3003'°'°на297;
ц)-2807'°'°на275;
ч)-35452°'°на351;
ш) -35072°'°на352;
ш) -206520'0 на 208.
8(mod 14)
ξ 12(mod27) ;
4(mod 6)
ξ-21 (mod 36)
7(mod 8) ;
-6(mod 15)
l(mod7)
l(modl2) ;
5(mod 20)
E-10(mod24)
= 18(mod45) ;
9(mod 8)
9(mod 8)
ξ -9(mod 15) ;
E-15(mod36)
E-2(mod30)
E-4(mod20) ;
-3(mod6)
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 169
н)<
о) <
п)<
Р)<
с)<
т) <
4x = -18(modl0)
6х = 6(mod 12) ;
28x^4(mod60)
6х = -8(mod 10)
8ж = -4(mod 12) ;
Αχ = 5(mod 7)
Αχ = -4(mod 12)
Зх = 8(mod 5) ;
Sx = 10(mod 14)
Ax = 13(mod7)
\5x = -5(mod20) ;
7a; = -l(modl2)
llx = -2(mod6)
10ж = 6(mod 14) ;
\2x= 15(mod27)
28z=-20(mod48)
3x = 7(mod 8)
9z = -18(mod45)
Ф) < 9x =
32ж = -4(mod 60)
9x = 3(mod 6)
Αχ ξ -8(mod 10)
x) <
ц) <
ч)<
ш) <
ш) <
16x^28(mod30)
12ζξ 16(mod20) ;
18z ξ 6(mod 12).
28z = 20(mod48)
6x = -2(mod 16) ;
9x^27(mod45)
30z = -42(mod 72)
9x = -3(mod8)
3x = 9(mod 15)
92z = 56(mod60)
9x = 3(mod 6) ;
4x ξ -4(mod 10)
16z = -32(mod 30)
24z = -8(mod40)
9x = 3(mod6).
15ζξ 15(mod36)
y) { 3x = -l(mod8) ;
3x = 9(mod 15)
12. Решите сравнение:
а) 888x963- 101x404 + 52x2ll+88x323 + 119 = 0(mod7);
б) 372x541 + 107ж297 - 32ж239 + 63ж65 + 129 = 0(mod 5);
в) 445x526 +43ж264 - 89ж263 + 226ж262 + 102 = 0(mod7);
г) ЮОЗж573 + 174ж345 - 251ж282 - 102ж103 + 101ж48 - 92 = 0(mod 5);
д) 773ж330 - 461ж478 + 125ж101 - 69ж" - 1 = 0(mod7);
е) ЗЗЗж333 - 281ж281 + 134ж134 + 103ж103 - 84ж84 + 53 = 0(mod5);
ж) 748ж903 - 318ж524 + 129ж337 + 81 ж203 + 84 = 0(mod 7);
з) 283ж283 - 601 ж601 + 55ж55 - ЗЗж33 + 28 = 0(mod 5);
и) 803ж396 - 601 ж484 + 55ж221 - 83ж105 + 34 = 0(mod 7);
170 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
к) 152ж343 - 704ж201 + 105ж75 - 102ж29 + 2317 = 0(mod5);
л) 305ж406 + 113ж204 - 159ж143 + 296ж142 + 32 = 0(mod 7);
м) 353ж401 - 202ж253 - 103ж209 - 68ж25 + 111 = 0(mod5);
н) 881ж969- 108x4l0 + 59x2ll+88x323 + 119^0(mod7);
о) 883ж963 - 106ж484 + 59ж241 + 87ж233 + 84 = 0(mod 5);
π) 438ж532 + 50ж270 - 82ж269 + 226ж262 + 102 ξ 0(mod 7);
ρ) 377ж545 - 102ж293 - 37ж243 + 63ж65 + 129 = 0(mod 5);
с) 452ж520 + 50ж270 - 82ж269 + 226ж262 + 102 = 0(mod 7);
τ) 998ж577 - 171ж349 - 25бж286 - 102ж103 + 101ж48 - 92 = 0(mod 5);
у) 780ж336 - 468ж472 + 125ж107 - 69ж" - 1 = 0(mod7);
φ) 338ж329 + 284ж285 - 131ж130 + ЮЗж103 - 84ж84 + 53 = 0(mod 5);
χ) 741ж909 - 311ж530 + 122ж331 + 81ж203 + 84 ξ 0(mod 7);
ц) 288ж279 + 604ж605 + 550ж55 - ЗЗж33 + 28 = 0(mod 5);
ч) 817ж390 - 615ж460 + 90ж226 - 83ж105 + 34 = 0(mod 7);
ш) 192ж347 + 801ж205 + 1005ж95 - 102ж29 + 2317 = 0(mod 5);
щ) 340ж412 + 120ж210 - 152ж149 + 296ж142 + 32 = 0(mod 7).
у) (-288/773)
ф) (-363/463)
х) (-288/619)
ц) (-363/787)
ч) (-288/467)
ш) (-363/631)
ш) (-288/797).
у) х2 = 14(mod41)
φ) z2 = 21(mod41)
χ) χ2 = 10(mod 43)
ц) x2 = 35(mod43)
ч) z2 = 34(mod47)
ш) χ2 = 39(mod 47)
ш) х2 = 10(mod53)?
a)
б)
в)
г)(
д)
е)
ж)
з)
и)
(-288/509);
(-363/701);
(-288/401);
-363/563);
(-288/709);
(-363/577);
(-288/733);
(-363/433);
(-288/593);
юла
к)
л)
м)
н)(
о)(
п)
Р)(
с)(
т)
Лежандра:
(-363/743);
-288/449);
-363/607);
-288/761);
-363/457);
(-288/613);
-363/769);
-288/461);
(-363/617);
14. Сколько решений имеет сравнение:
а) х2 = 56(mod 13)
б) х2 = 10(mod 13)
■) χ2 = 10(mod 17)
г) χ2 = 14(mod 17)
д) χ2 = 40(mod 79)
е) χ2 ^21(mod79)
ж) χ2 = 33(mod 97)
з) χ2 = 26(mod 97)
и) χ2 = 66(mod 19)
к) χ2 = 130(mod 19)
л) χ2 = 99(mod 23)
м) χ2 = 77(mod 23)
η) χ2 = 40(mod 29)
ο) χ2 = 10(mod 29)
π) χ2 ^21(mod31)
ρ) χ2 = 15(mod31)
с) χ2 = 22(mod 37)
τ) χ2 = 26(mod 37)
§1. Задачи для проведения контрольных работ 171
15. Сколько решений имеет сравнение:
а) х2 + 5х - 4 = 0(mod 19);
б) х2 + 2х + 4 = 0(mod 19);
в) z2+a; + 8 = 0(mod23);
г) z2-a;-8 = 0(mod23);
д) х2 +5х- 1 =0(modl3);
е) х2 - 5х + 1 Ξθ(ηκ^13);
ж) х2 + 2х + 3 = 0(mod 17);
з) z2-2a;-7 = 0(modl7);
и) х2 + Зх + 2 = 0(mod 29);
к) х2 - Зх + 4 = 0(mod 29);
л) z2+5a;-2 = 0(mod31);
м) х2 -5z + 3 = 0(mod31);
н) х2 + χ + 4 = 0(mod 37);
16. Сколько решений имеет сравнение:
о) х2 - χ + 5 ξ 0(mod 37);
π) χ2 + 6χ + 1 = 0(mod 41);
ρ) χ2 -6χ + 1 =0(mod41);
с) χ2 + 5χ + 3 = 0(mod 43);
τ) χ2 + 3χ + 5 = 0(mod 43);
у) χ2 - χ + 7 ξ 0(mod47);
φ) χ2 - χ - 7 ξξ 0(mod 47);
χ) χ2 + 5χ + 5 ξ 0(mod 53);
ц) χ2 + 4χ + 1 = 0(mod 53);
ч) χ2 - χ + 1 ξ 0(mod 57);
ш) χ2 + χ - 11 ξ 0(mod 57);
ш) ж2-ж- И =0(mod59)?
а) 70ж2 - 2х + 13 = 0(mod 695)
б) 70ж2 + 2х + 23 = 0(mod 695)
в) 36ж2 + χ + 40 = 0(mod 321)
г) 36x2-x + 17^0(mod321)
д) 55ж2 - χ + 17 = 0(mod 545)
е) 55ж2 + χ + 18 = 0(mod 545)
ж) 86ж2 - χ + 17 ξ 0(mod 346)
з) 86ж2 + χ + 43 ξ 0(mod 346)
и) 57ж2 + χ + 16 ξ 0(mod 339)
к) 57ж2 - 2ж + 19 = 0(mod 339)
л) 66ж2 - χ + 35 = 0(mod 262)
м) 66ж2 + χ + 33 = 0(mod 262)
н) 75ж2 - χ + 24 ξ 0(mod 745)
17. Найдите:
а) Р1з(8);
б) Рп(9);
в)Р»(16);
г) Р23(4);
Д) Р29(25);
е) Р31(27);
ж) Р37(8);
з) Ρ4ι(32);
и) Р43(16);
к) Р47(4);
л) Р53(9);
м) Р57(32);
н) Р59(27);
о) Р61(49);
п) Р67(25)
Р) Р71(32)
с) Р73(49)
т) Р79(27)
У) Р8з(64)
Ф) Р87(25)
х) Р89(16)
о) 75ж2 + χ - 26 = 0(mod 745);
π) 90ж2 - χ + 44 = 0(mod 905);
ρ) 90ж2 + χ - 29 = 0(mod 905);
с) 51 χ2 + χ + 23 = 0(mod453);
τ) 51ж2 - χ + 38 ξ 0(mod 453);
у) 105ж2 - 2χ + 35 ξ 0(mod 633);
φ) 105ж2 - χ + 53 ξ 0(mod 633);
χ) 35ж2 - χ - 17 = 0(mod 515);
ц) 35ж2+ж + 11 =0(mod515);
ч) 94ж2 + χ + 47 = 0(mod 849);
ш) 94ж2 - χ + 71 = 0(mod 849);
ш) 74ж2 - χ + 35 = 0(mod446)?
ц) Р97(81);
ч) Ρβι(32);
ш) Р67(16);
ш) Р71(49).
171 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
18. Найдите:
a) iW(12)
б) iW(12)
в) Р41.65'(12)
г) iWOO)
д) iWOO)
е) Р,з.зз'(Ю)
ж) iW(12)
3) ^5391'(12)
и) ^,,.9,6(12)
к) iWOO)
л) РплАЩ
Μ) Ρΐ7.776(10)
н) Р61.65Ч12)
19. Найдите длину периода десятичной
а) 6/14;
б) 10/65;
в) 12/21;
г) 10/26;
д) 8/14;
е) 15/65;
ж) 9/21;
з) 8/26;
и) 10/14;
к) 20/65;
л) 3/21;
м) 18/26;
н) 4/14;
о) 30/65;
о) Pi3.6s»(12);
π) iW(i2);
ρ) Рб7.зз<(ю);
с) Ps3.33«(10);
τ) iWOO);
у) Р7Ь9и(12);
φ) iW(i2);
χ) Р31.91б(12);
ц) Р83.77«(10);
Ч) Pg9.775(10);
ш) Р29.77б(Ю);
Ш) Р97.65<(12)·
записи дроби:
п) 6/21;
Р) 24/26;
с) 2/14;
т) 25/65;
У) 15/21;
Ф) 6/26;
х) 12/14;
20. Найдите длину периода </-ичной записи дроби:
а) 33/(37 · 2106),
б) 39/(59 -1304),
в) 35/(23· 1506),
г) 35/(37-427),
д) 14/(61 · 1056),
е) 55/(23 · 1954),
ж) 77/(53-426),
з) 85/(23 · 1954),
и) 21/(31-3305),
к) 91/(71-1304),
л) 91/(73 · 1056),
м) 175/(37-4
28),
5 = Ю;
5 = 14;
5 = 12;
5 = 15;
5 = Ю;
5 = 12;
5 = 15;
5 = 12;
5 = 10;
5 = 14;
5=10;
5 = 15;
о) 35/(23 -305),
п) 15/(23-3904),
р) 21/(13-7715),
с) 85/(23-306),
т) 15/(19 ·665),
у)65/(17-2106)
ф) 21/(31 ·665),
χ) 21/(19· 1405),
ц) 49/(17 ·705),
ч) 18/(47· 2106),
ш) 15/(17· ПО4),
ш) 65/(17- 1056)
ц) 45/65;
ч) 18/21;
ш) 24/26;
ш) 2/26.
5 = 14;
5 = Ю;
5 = 22;
5 = 14;
5 = п;
5 = 12;
5 = Ю;
5 = 22;
5 = 15;
5 = 14;
5 = 11;
5=10.
н) 20/(43· 1954), з= 12
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 1 73
21. Решите сравнение:
а) 19z25 = 39(mod61)
б) 10ж|8 = 17(mod67)
в) 44x49^48(mod71)
г) 66ж40 = 33(mod 89)
д) 81xl8 = 73(mod97)
е) 42x25 = 22(mod61)
ж) 124xl8^50(mod67)
з) 27z49 = 23(mod71)
и) 23ж40 = 56(mod 89)
к) 16zl8 = 24(mod97)
л) 29ж42 = 10(mod61)
м) 57xl8^50(mod67)
н) 112x40 = 56(mod89);
о) 178z18 ξ
π) 92ж42 =
ρ) 77ж18 =
с) 155ж40 ξ
τ) 32ж18 =
у) 32ж42 =
ф) 77ж18 =
х) 166ж18 ξ
ц) 90ж42 =
ч) 113ж|8е
ш) 90ж42 =
ш) Ю5ж116
E73(mod97);
51 (mod 61);
84(mod67);
E33(mod89);
48(mod97);
51(mod61);
17(mod67);
E49(mod97);
10(mod61);
E24(mod97);
10(mod61);
= 273(mod97).
22. Используя таблицы индексов, найдите:
а) все χ 6
б) все χ 6
в) все χ 6
г) все χ 6
д) все χ 6
е) все χ 6
ж) все χ 6
з) все χ 6
и) все χ 6
к) все χ 6
л) все χ 6
м) все χ 6
н) все χ 6
о) все χ 6
п) все χ 6
р) все χ 6
с) все χ 6
т) все χ 6
у) все χ 6
ф) все χ 6
х) все χ 6
20, 30], такие что Рг\{х) = 15;
1, 10], такие что Р-п{х) = 12;
20, 30], такие что Р^{х) = 14;
5, 15], такие что Р&(х) = 23;
20, 50], такие что Р(,\{х) = 15;
5,20], такие что Рг\{х) = 10;
5, 15], такие что Рп{х) = 3;
10, 30], такие что Р^{х) = 7;
5, 20], такие что Р^{х) = 2;
15, 25], такие что Рь\(х) = 30;
20, 30], такие что Рц(х) = 6;
20, 35], такие что PJ7(x) = 18;
20, 30], такие что Рп{х) = 21;
5, 25], такие что Рм{х) = 23;
20,40], такие что Рь\{х) = 10;
1, 15], такие что Рп(х) = 5;
10, 35], такие что Рп(х) = 4
20, 30], такие что Р^(х) = 6
20,45], такие что Ры(х) = 5
25,45], такие что Рц(х) = 2
20, 35], такие что Рп(х) = 6
174 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
ц) все ж 6 [1,20], такие что Р^{х) = 2;
ч) все χ 6 [10,40], такие что Рв\(х) = 12;
ш) все ж 6 [10,30], такие что Рщ(х) = 14;
ш) все χ 6 [15,40], такие что Ры(х) = 6.
23. Используя таблицы индексов, найдите все первообразные корни:
а) по модулю 47 на отрезке [5, 20];
б) по модулю 29 на отрезке [5, 20];
в) по модулю 37 на отрезке [25, 35];
г) по модулю 41 на отрезке [10,22];
д) по модулю 43 на отрезке [10,20];
е) по модулю 47 на отрезке [15,22];
ж) по модулю 61 на отрезке [1, 11];
3) по модулю 29 на отрезке [1,25];
и) по модулю 37 на отрезке [20, 34];
к) по модулю 41 на отрезке [20,38];
л) по модулю 43 на отрезке [10,20];
м) по модулю 47 на отрезке [15,23];
н) по модулю 61 на отрезке [1, 12];
о) по модулю 29 на отрезке [5, 14];
п) по модулю 37 на отрезке [2, 18];
р) по модулю 41 на отрезке [3, 19];
с) по модулю 47 на отрезке [4, 14];
т) по модулю 37 на отрезке [25,36];
у) по модулю 41 на отрезке [20,42];
ф) по модулю 47 на отрезке [6, 21];
х) по модулю 37 на отрезке [18, 36];
ц) по модулю 47 на отрезке [15, 23];
4) по модулю 37 на отрезке [4,24];
ш) по модулю 47 на отрезке [15,26];
ш) по модулю 47 на отрезке [6, 15].
24. Используя таблицы индексов, найдите:
а) все квадратичные вычеты по модулю 19 на отрезке [3, 15];
б) все квадратичные вычеты по модулю 31 на отрезке [1, 12];
в) все квадратичные невычеты по модулю 37 на отрезке [10, 15];
г) все квадратичные невычеты по модулю 41 на отрезке [1,9];
§1. Задачи для проведения контрольных работ 175
д) все квадратичные невычеты по модулю 43 на отрезке [15,25];
е) все квадратичные невычеты по модулю 47 на отрезке [10,15];
ж) все квадратичные вычеты по модулю 61 на отрезке [20,25];
3) все квадратичные невычеты по модулю 19 на отрезке [3,15].
и) все квадратичные невычеты по модулю 31 на отрезке [10, 20];
к) все квадратичные вычеты по модулю 37 на отрезке [1,10];
л) все квадратичные вычеты по модулю 41 на отрезке [10, 18];
м) все квадратичные вычеты по модулю 43 на отрезке [10, 20];
н) все квадратичные вычеты по модулю 47 на отрезке [3,15].
о) все квадратичные вычеты по модулю 61 на отрезке [15, 25];
п) все квадратичные вычеты по модулю 31 на отрезке [1, 12];
р) все квадратичные невычеты по модулю 37 на отрезке [10, 20].
с) все квадратичные невычеты по модулю 41 на отрезке [1,9];
т) все квадратичные вычеты по модулю 43 на отрезке [1,8];
у) все квадратичные вычеты по модулю 47 на отрезке [1,7].
ф) все квадратичные невычеты по модулю 61 на отрезке [1,10].
х) все квадратичные невычеты по модулю 31 на отрезке [10, 20];
ц) все квадратичные невычеты по модулю 37 на отрезке [10, 15];
4) все квадратичные вычеты по модулю 41 на отрезке [10, 18];
ш) все квадратичные невычеты по модулю 43 на отрезке [15, 25];
ш) все квадратичные невычеты по модулю 47 на отрезке [3, 15].
25. Найдите остаток от деления:
к) 50|8<6 на 83
л) 213|47 на 59
м) 383'47 на 59
н) 403220 на 83
о) 433220 на 83
п) 12494" на 23
р) И4940 на 23
с) 3448'5 на 59
т) 2548" на 59
26. Найдите:
а) все индексы числа 39 по модулю 11
б) все индексы числа 27 по модулю 11
в) все индексы числа 17 по модулю 11
а) 3732" на 83
б) 4632" на 83
в) ΙΟ49" на 23
г) 1349'7 на 23
д) 27483° на 59
е) 32483° на 59
ж) 163'2' на 53
з) 373'2' на 53
и) ЗЗ1846 на 83
у) 303|И на 53
ф) 233|И на 53
х) 55|8+4 на 83
ц) 28,8+4 на 83
ч) 203|5° на 59
ш) 393'50 на 59
ш) 1448'6 на 59.
176 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
г) все индексы числа 28 по модулю 11;
д) все индексы числа -16 по модулю 11
е) все индексы числа —50 по модулю 11
ж) все индексы числа -27 по модулю 11
3) все индексы числа —39 по модулю 11
и) все индексы числа 28 по модулю 13
к) все индексы числа 21 по модулю 13
л) все индексы числа 31 по модулю 13
м) все индексы числа 34 по модулю 13
н) все индексы числа -11 по модулю 13
о) все индексы числа -18 по модулю 13
п) все индексы числа -21 по модулю 13
р) все индексы числа -31 по модулю 13
с) все индексы числа 23 по модулю 19;
т) все индексы числа 42 по модулю 19.
у) все индексы числа 14 по модулю 19;
ф) все индексы числа 33 по модулю 19;
х) все индексы числа —10 по модулю 19
ц) все индексы числа -30 по модулю 19
4) все индексы числа —12 по модулю 19
ш) все индексы числа —15 по модулю 19
ш) все индексы числа -34 по модулю 19.
27. а) Найдите рациональное приближение числа
стью Δ = Ю-2 с избытком.
б) Найдите рациональное приближение числа
стью Δ = Ю-2 с недостатком.
в) Найдите рациональное приближение числа
стью Δ = Ю-2 с избытком.
г) Найдите рациональное приближение числа
стью Δ = Ю-2 с недостатком.
д) Найдите рациональное приближение числа
стью Δ = Ю-2 с избытком.
-7 + VTf
4
-15 + V85
10
-5 + νΊο
3
-10 + уДО
3
-17 + V85
с точно-
с точно-
с точно-
с точно-
с точно-
§ 1. Задачи для проведения контрольных работ 177
-4 +ч/ТО
Найдите рациональное приближение числа с точно-
Найдите рациональное приближение числа с
точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите рациональное при
стью ^ = Ю-2 с недостатком.
-П + у/У?
Найдите рациональное приближение числа с точно-
4
стью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [-1, (2, 2, 1)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с недостатком.
Найдите число а = [—3, (1, 2, 1)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [— 1, (2,1,1)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [—2, (1,2, 2)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [-1, (3, 1, 1)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [-1, (1, 1, 3)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [-4, (1, 3, 1)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с избытком.
Найдите число а = [—1, (1, 1, 2)] и его рациональное
приближение с точностью Δ = Ю-2 с недостатком.
Найдите число а = [-1, (2, 1, 1)] и его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 20. Укажите, с избытком или с
недостатком полученные приближение.
Найдите число а = [-2, (1,2, 2)] и его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 30. Укажите, с избытком или с
недостатком полученное приближение.
Найдите число а = [-4, (1, 3, 1)] и его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 40. Укажите, с избытком или с
недостатком полученные приближение.
Найдите число α = [-3, (1, 2, 1)]и его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 20. Укажите, с избытком или с
недостатком полученные приближение.
178 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
х) Найдите число а = [— 1, (2, 1, 1)] и его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь ^ 20. Укажите, с избытком или с
недостатком полученные приближение.
-4 + \/Ш
ц) Найдите для числа а = его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 40. Укажите, с избытком или с
недостатком полученное приближение.
-15 + л/85
ч) Найдите для числа а = — его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 20. Укажите, с избытком или с
недостатком полученное приближение.
-7 + -/Ϊ7
ш) Найдите для числа а = его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 10. Укажите, с избытком или с
недостатком полученное приближение.
-5 + -/Ϊ7
щ) Найдите для числа а = его наилучшее приближение
а/Ь со знаменателем Ь < 20. Укажите, с избытком или с
недостатком полученное приближение.
28. Сократите дробь:
к) 779/1368;
л) 1584/902;
м) 902/1584;
н) 2232/1798;
о) 1798/2239;
п) 1872/1508;
р) 1508/1872;
с) 3094/1972;
т) 1972/3094;
а) 1558/2736
б) 2736/1558
в) 4961/8712
г) 8712/4961
д) 2054/936
е) 936/2054
ж) 1027/480
з) 480/1027
и) 1368/779
29. Решите уравнение:
а) 848у + 378ж = -6
б) 342у + 286ж = -4
в) 20бж - 762у = -4
г) 855у-715ж = 10;
д) 309у- 1143ж = 6;
е) 1050у-618ж = 30
ж) 424ж - 189у = 3;
з) 171у+143ж = 2;
у) 1276/2002
ф) 2002/1296
х) 1116/899
ц) 899/1116
ч) 1547/986
ш) 1027/468
ш) 468/1027
и) 103ж-381у = 2;
к) 175ж- 103у = 5;
л) 525у-309ж = 15;
м) 848у - 378ж = 12;
н) 286ж-342у = 8;
о) 762ж - 206у =12;
п) 855ж + 715у = -15;
р) 309ж-1143у = 9;
§1. Задачи для проведения контрольных работ 179
618у + 1050ж = 6;
189ж + 424у = -5;
143у- 171ж = 7;
103ж + 381у = -8;
175у+103ж = 10;
ц) 309у + 525ж = -6;
ч) 848ж + 378у = 26;
ш) 342у-286ж = -22;
ш) 20бу - 762ж = 14.
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений x2-Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-200, 200], если y/D = [3, (3,6)].
Найдите все целые решения (х,у) уравнений ж2 - Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию |ж| < 100, если y/D = [2, (2,4)].
Найдите все целые решения (х,у) уравнений х2 - Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию \у\ < 300, если y/D = [5, (5,10)].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений x2-Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию х,у б [-220, 220], если y/D = [3, (1,6)].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений x2—Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию ж, у б [-90, 90], если y/D = [2, (1, 4)].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию \у\ < 200, если y/D = [6, (4, 12)].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - Dy2 = ±1,
удовлетворяющие условию |ж| < 350, если y/D = [8, (2, 16)].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений x2-Dy2 = ±J,
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-11, 100], если y/D = [4, (Г, 8)].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 6у2
удовлетворяющие условию ж, у 6 [—150, 100].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - Ну2
удовлетворяющие условию |у| < 100.
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 72у2
удовлетворяющие условию ж, у 6 [—320,320].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 8у2
удовлетворяющие условию |ж| < 95.
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 — 99у2
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-90, 90].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 — 32у2
удовлетворяющие условию |ж| < 350.
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 24у2
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-100,100].
Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 39у2
удовлетворяющие условию \у\ < 200.
= ±1,
±1,
±1,
= ±1,
= ±1,
±1,
±1,
±1,
1 80 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
с) Найдите все целые решения (х,у) уравнений ж2 - 44у2 = ±1,
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-200,200].
т) Найдите все целые решения (х,у) уравнений х2 - 54у2 = ±1,
удовлетворяющие условию |ж| < 100.
у) Найдите все целые решения (ж, у) уравнений х2 - 60у2 = ± 1,
удовлетворяющие условию х,у 6 [-220,220].
ф) Найдите все целые решения (х,у) уравнений х2 - 15у2 = ±1,
удовлетворяющие условию |ж| < 220.
х) Найдите все целые решения (х,у) уравнений х2 - 21 у2 = ±1,
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-250,100].
ц) Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 96у2 = ± 1,
удовлетворяющие условию |ж| < 100.
ч) Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 15у2 = ±1,
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-220,120].
ш) Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - Зу2 = ±1,
удовлетворяющие условию |ж| < 220.
щ) Найдите все целые решения (ж, у) уравнений ж2 - 108у2 = ±1,
удовлетворяющие условию ж, у 6 [-100,210].
§ 2. Задачи лабораторной работы по теме
«Сравнения по составному модулю»
Решите сравнение:
1. ж5 - 2ж4 + 4ж3 - 6ж2 + 5ж = 0(mod 18);
2. 5ж2 + 7ж + 2 = 0(тос136);
3. ж3 + 17ж2 + 16ж + 12 = 0(mod 40)
4. ж5 - 2ж4 + 4ж3 - 6ж2 + 5х = 0(mod 54);
5. ж3 - 10ж2 + 6ж - 24 = 0(mod 72);
6. 5ж2 - ж - 4 = 0(mod 72)?
7. ж4 - Зж3 + 4ж2 + 2ж + 12 = 0(mod 72);
8. 6ж5- 17ж4 + 5ж3 + 15ж2- 11ж + 20 ξ 0(mod72);
9. ж100 + ж50 + 9ж + 11 = 0(mod 88);
10. ж4 + ж3 - Зж2 - 4ж + 1 = 0(mod 100);
11. ж4-ж3 + 2ж2+12ж+18 = 0(тсх1 108);
12. ж5 - 2ж4 + 4ж3 - 6ж2 + 17ж + 3 = 0(mod 135);
13. ж5 + Зж4 - 7ж3 + 4ж2 + 4ж - 10 = 0(mod 175);
§2. Лабораторная работа «Сравнения по составному модулю» 181
14. 5ж4 + 2ж + 12 = 0(mod216);
15. 31ж4 + 57ж3 + 96ж + 191 = 0(mod 225);
16. 126ж4 + ЮОж3 + ЮОж2 + 200ж + 149 = 0(mod 225);
17. 4x5 + 3x + 9^0(mod288);
18. 18ж3 + 3ж+18 = 0(mod288);
19. x3 + 5x^0(mod400);
20. 2ж6 - 6ж4 - 7ж2 - 4 ξ 0(mod 441);
21. ж3-ж2 + 2ж + 4 = 0(т<^480);
22. 9ж5 + Зж + 96 = 0(mod 480);
23. ж3 - 2ж2 + 15ж + 4 ξ 0(mod 504);
24. ж6 - ж5 + Зж4 - 5 = 0(mod 675);
25. 8x4-x = 0(mod675);
26. 6ж4 + 5ж3 - Зж2 + 12ж + 135 = 0(mod 675);
27. x3 + 6x + 7^0(mod675);
28. Зж3 + 4ж2 + 6х + 9 = 0(mod 792);
29. x3 + 4x + 4^0(mod800);
30. ж3 + χ2 + Ах + 4 = 0(mod 800);
31. ж5 - ж4 + 6ж2 + 15x + 36^0(mod864);
32. 2х5 - ж4 + χ + 50 = 0(mod(1000);
33. ж3 + 6ж + 20 ξ 0(mod 1000);
34. ж4 - 2ж2 - 2ж + 16 = 0(mod 1120);
35. 2ж6 - Зж4 + 5ж2 + 50 = 0(mod 1125);
36. ж4 + ж3 - 6ж2 + 15ж + 45 = 0(mod 1323);
37. ж5 - 6ж4 + 2ж3 - 7ж2 + 21ж + 392 = 0(mod 1372);
38. ж3 + ж2 + 27ж - 42 ξ 0(mod 2025);
39. ж3 - 16ж2 - 5ж + 20 = 0(mod 56);
40. 2ж3 - 2ж2 - 4ж = 0(mod 72);
41. ж3 - 20ж2 - 26ж + 45 = 0(mod 135);
42. ж3 - 12ж2 + 12ж - 55 ξ 0(mod 135);
43. 18ж4 + 3ж + 6 = 0(т<^144);
44. ж3 - 17ж2 + 66ж + 178 ξ 0(mod 250);
45. ж4 + 4ж3 + 5ж - 58 ξ 0(mod 375);
46. ж3 + 2ж2 + Зж + 2 = 0(mod 440);
47. 4ж3 + 7ж2 - 7ж - 10 = 0(mod 450);
48. ж5 + ж4 + ж3 + ж2 + ж + 1 = 0(mod 567);
49. ж5 - ж4 + 6ж2 + 75ж + 225 = 0(mod 675);
1 82 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
50. Зж2 + 6ж + 45 = 0(пк^675);
51. ж5 + 2ж4 + Зж3 + 2ж2 - 2х - 2 = 0(mod 686)
52. χ3 - 21ж2 + 128ж + 506 = 0(mod 686);
53. xs + ж4 + χ3 + χ2 + χ - 5 = 0(mod 1080);
54. ж5 + ж4-ж3 + 5ж2 + 30ж-45 = 0(пк^1125);
55. 2ж5 + χ2 + Зх + 81 = 0(mod 2025);
56. χ3 + 4ж2 - 3 = 0(mod 3375);
57. χ3 - 5х2 + χ + 10 ξ 0(mod 8575);
58. ж4 + 4х3 + 2х2 + χ + 12 = 0(mod 8575);
59. 5x2 + 7x + 2 = 0(modl8);
60. 31ж3 + 57ж2 + 77ж + 191 = 0(mod 100);
61. 15ж5 + 7ж4 + Зх2 + 1 \х - 2 = 0(mod 180);
62. Зж4 + 2ж3 + х2 + 44 = 0(mod 200);
63. 4ж4 + 4ж3 + 8ж2 + 2х + 36 = 0(mod 216);
64. ж3 + χ2 + χ + 1 = 0(mod 216);
65. ж3 + ж2-9ж + 30 = 0(пта1221);
66. ж4 + 5ж3 - 6х2 - 5х + 8 = 0(mod 288);
67. xs - 2х3 + χ + 15 = 0(mod 392);
68. ж4 - 4ж3 + Зх2 - χ + 1 = 0(mod 432);
69. ж4 + ж3 + ж2 + Зж + 6 ξ 0(mod 675);
70. ж4 - 2ж3 - 4х + 5 = 0(mod 800);
71. ж3 + ж + 2 = 0(тсхЛ440);
72. χ5 - 4ж4 + Зж3 + 4х + 28 = 0(mod 1960);
73. χ5 + 2х3 + 4ж2 - Зх + 5 = 0(mod 2260);
74. χ4 - 5х3 - Зх2 + 21 = 0(mod 2268);
75. ж3 + 4ж2 + 3 ξ 0(mod 3375);
76. ж4 + ж3 + х2 + 9х + 45 = 0(mod 4725);
77. 2ж3 + 4ж2 - ж + 15 = 0(mocf6075);
78. ж4 + ж3 - ж2 - 161ж + 5 ξ 0(mod 10125);
79. ж3 + ж2 - 9ж + 55 ξ 0(mod 11507);
80. ж4 - 2ж2 - 2ж + 16 ξ 0(mod 75000).
81. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух
случаев теоремы: /(ж) = 0(mod ρ^ρψρψ), oti ^ 2, аг ^ 2, а3 ^ 2.
82. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух
случаев теоремы: /(х) = 0(тоар"1Р21Рз), £»ι ^2,α2^2, Рз> Ρι> Ρι> 2.
§ 3. Лабораторная работа «Цепные дроби» 1 83
83. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух
случаев теоремы: /(ж) = 0(mod р^'р"2). "г ^ 4, а2 ^ 3.
84. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух
случаев теоремы: /(ж) = 0(mod ρ^'ρ"2), αϊ > 5, α2 ^ 2.
85. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух
случаев теоремы: /(ж) = Oimodp^'p"2), at ^ 2, α2 ^ 2,ρ2 > pi > 2.
.86. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев
теоремы: /(ж) = 0(mod р^'р"2), а1 ^ 3, α2 ^ 2,р2 > pi > 2.
87. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев
теоремы: /(ж) = 0(modp"'p22), at ^ 4, α2 ^ 2.
88. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев
теоремы: /(ж) = 0(mod p"'p2), ot\ ^ 5.
89. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев
теоремы: f(x) = 0(modp"'p22p3), at ^ 5, α2 ^ 1.
90. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев
теоремы: /(ж) = 0(modρ"'ρ22ρ3), α, ^ 2, а2 ^ 2,р3 > р2 > Pi > 2.
§ 3. Задачи лабораторной работы
по теме «Цепные дроби»
а) Запишите в виде цепной дроби: 1381/966; 562/393; 858/257.
б) Найдите величину цепной дроби: [1, 1, 19, 2, 2, 2]; [1, 1, 1, 1, 13, 2];
[1,3,2,1,2,2,15].
в) Решите в целых числах уравнение:
551ж - 247у = 4522; 180ж + 264у = 2304.
ч _ -10+ν/2 24-4ν/3
г) Запишите в виде цепной дроби: ; .
д) Найдите величину цепной дроби: [1,4, (2,1,3)]; [-1,1, 3, (1, 5, 5)].
е) Найдите приближение 1252/545 подходящей дробью с точностью
2-Ю-5.
-4+ν/ΓΪ55
ж) Найдите приближение —-— подходящей дробью с точ-
67
ностью 9,1 · Ю-4.
з) Найдите приближение -3π/5 подходящей дробью с точностью
1,1 ■ Ю-3.
а) Запишите в виде цепной дроби: 3251/985; 1381/401; 743/544.
б) Найдите величину цепной дроби: [2,1,2,2,1,17]; [3,1,1,2,3,20,2];
[2,2,15,1,2,2].
1 84 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
в) Решите в целых числах уравнение:
140ж + 290у = 2380; 324ж + ЗЗбу = 3444.
чо ч _ -7-ν^99 14+ν/ΪΟΪ
г) Запишите в виде цепной дроби: ; .
' 10 19
д) Найдите величину цепной дроби: [—1,4, (3,1, 1)]; [—1,3, (2,2,4)].
е) Найдите приближение 7952/3257 подходящей дробью с
точностью Ю-5.
ч u « * ~59 + ^629
ж) Найдите приближение — подходящей дробью с точ-
46
ностью 1,3· Ю-4.
з) Найдите приближение — е/2 подходящей дробью с точностью
0,067.
3. а) Запишите в виде цепной дроби: 3853/1862; 3197/931; 191/150.
б) Найдите величину цепной дроби: [3,2,2,1,2,13,2]; [2,1,3,20,3,3];
[1,14,2,3,2,2].
в) Решите в целых числах уравнение:
361ж - 475у = 5358; 143ж + 299у = 2574.
16- л/82 -5 + ν/Ϊ95
г) Запишите в виде цепной дроби: ; .
29 34
д) Найдите величину цепной дроби:
[0,1,3,(1,4)]; [-2,5,(1,1,3)].
е) Найдите приближение 9049/2524 подходящей дробью с
точностью 8· Ю-5.
-6-ν/2
ж) Найдите приближение подходящей дробью с точностью
7,2· Ю-4.
з) Найдите приближение -5е/4 подходящей дробью с точностью
0,067.
4. а) Запишите в виде цепной дроби: 1199/359; 539/223; 1633/435.
б) Найдите величину цепной дроби: [3,3,3,2,16,3]; [1,19,1,3,2,1,3];
[3,2,3,17,2,2].
в) Решите в целых числах уравнение:
234ж - 450у = 3258; 425ж - 238у = 4012.
32 + \/37 -6-ν/323
г) Запишите в виде цепной дроби:
д) Найдите величину цепной дроби: [0,2,(3,1,3,3)]; [-1,5,(2,5,4)].
е) Найдите приближение 1791/1693 подходящей дробью с
точностью 7· Ю-5.
§ 3. Лабораторная работа «Цепные дроби» 1 85
51 — Зл/5
ж) Найдите приближение ——— подходящей дробью с
точностью 1,2 · Ю-3.
з) Найдите приближение 2е подходящей дробью с точностью 0,036.
а) Запишите в виде цепной дроби: 1783/717; 789/235; 2947/1213.
Найдите величину цепной дроби: [2,3,3,15,2,3,2]; [1,1,18,1,2,2,2];
[1,1,3,3,17,3,3].
Решите в целых числах уравнение:
140ж - 190у = 2460; 225ж + 285у = 2385.
β -9-\/2Τ 13 + ч/37
Запишите в виде цепной дроби: — ; .
Найдите величину цепной дроби: [1,3,(5,1,1)]; [-2, 1, 3, (4, 1, 5)].
Найдите приближение 2683/1379 подходящей дробью с
точностью 7· Ю-5.
-12-л/15
Найдите приближение подходящей дробью с точно-
43
стью 5,1 ■ Ю-4.
е
Найдите приближение - - подходящей дробью с точностью 7 ·
ю-3.
Запишите в виде цепной дроби: 857/308; 601/152; 1386/601.
Найдите величину цепной дроби:
[1,2,2,1, 3, 12,3]; [1, 2,1, 13,1, 2]; [2, 3,1, 2,2,20].
Решите в целых числах уравнение:
216ж + 204у = 3000; 275ж - 121у = 2959.
25-\/Ϊ093 -ν/530
Запишите в виде цепной дроби: ,
18 10
Найдите величину цепной дроби:
[0,2,(2,4,1,3)]; [0,1,(2,5,5)].
Найдите приближение 7619/2126 подходящей дробью с
точностью 4· Ю-5.
-20 + 3VTT
Найдите приближение подходящей дробью с точ-
43
ностью 1,4· Ю-5.
Найдите приближение —π подходящей дробью с точностью 0,018.
Запишите в виде цепной дроби: 953/423; 1287/896; 2563/1128.
Найдите величину цепной дроби:
[3, 13, 3,2, 2, 2]; [2, 1, 2, 14,1, 3]; [1, 3,21, 3, 2, 1, 3].
ж
1 86 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
в) Решите в целых числах уравнение:
375ж + 285у = 2985; 27бж - 264у = 1908.
-1 + ν/ϊθΤ 29 +ν/365
Запишите в виде цепной дроби:
25 34
Найдите величину цепной дроби:
[3,1,4,(1.3)]; [-1,2,(2, 1,5)].
Найдите приближение 6873/4619 подходящей дробью с
точностью 5· Ю-5.
Найдите приближение — подходящей дробью с
точностью 2,7 · 10-3.
Найдите приближение 5π/3 подходящей дробью с точностью
1,6- 1(Г4.
Запишите в виде цепной дроби: 4013/1221; 727/270; 1560/1091.
Найдите величину цепной дроби:
[2,1,2,1, 1, 16]; [2,1,1,12, 1, 3,2]; [3,1, 3,3,12, 2,3].
Решите в целых числах уравнение:
405ж - 390у = 2355; 190ж - 209у = 2071.
20 + VTO -1 - л/65
Запишите в виде цепной дроби: ; .
30 4
Найдите величину цепной дроби:
[-1,3,(4,3,1,1)]; [-1,1,3,(2,1,2)].
Найдите приближение 2502/1733 подходящей дробью с
точностью 9· Ю-5.
-26-уДО
Найдите приближение подходящей дробью с точно-
18
стью 9,7· Ю-3.
Найдите приближение -е подходящей дробью с точностью 0,036.
Запишите в виде цепной дроби: 985/929; 592/549; 1131/545.
Найдите величину цепной дроби:
[1,3, 13,1,2, 3,3]; [3, 3,.2,2,2,17,3]; [1,12,2, 3,2,1,3].
Решите в целых числах уравнение:
225ж + 240у =1695; 40бж - 322у = 2940.
26-VT45 31 +ν/323
Запишите в виде цепной дроби: ; — .
Найдите величину цепной дроби:
[-3,3, (2,4,1,2)]; [-1,2, (1,4,3)].
Найдите приближение 7742/2633 подходящей дробью с
точностью Ю-5.
§3. Лабораторная работа «Цепные дроби» 187
Найдите приближение — подходящей дробью с
точностью 3,8 · Ю-4.
Найдите приближение 3π/5 подходящей дробью с точностью
6,6-ΙΟ"3.
Запишите в виде цепной дроби: 579/296; 958/749; 391/149.
Найдите величину цепной дроби:
[2, 1, 1, 3,15, 1,3]; [1, 17,2, 1,2,2]; [3, 3, 1, 1, 14, 3,2].
Решите в целых числах уравнение:
ПОж - 187у = 1628; 460ж + 340у = 5240.
в 5-\/30 -25 + ν/Ϊ70
Запишите в виде цепной дроби: ; .
2 65
Найдите величину цепной дроби:
[-1,5,(2,2,4)]; [0,2,3,(2,5)].
Найдите приближение 5211/1696 подходящей дробью с
точностью 5· Ю-5.
Найдите приближение подходящей дробью с
точностью 2,8 · Ю-3.
Найдите приближение 2π подходящей дробью с точностью 0,013.
Запишите в виде цепной дроби: 445/266; 6527/1962; 4847/1469.
Найдите величину цепной дроби:
[2,1, 3, 1, 3, 1, 15]; [1, 3, 3, 19, 1, 2]; [3, 1, 2,2, 3, 2, 14].
Решите в целых числах уравнение:
442ж - 493у = 4131; 195ж - 345у = 1935.
_ 12- УЗ -10+\/Ϊ023
Запишите в виде цепной дроби: ———; .
Найдите величину цепной дроби:
[0,3,(2,1,3,2)]; [-1,1,1,(4,5,2)].
Найдите приближение 8803/2318 подходящей дробью с
точностью 4· Ю-5.
2-\/37
Найдите приближение ——— подходящей дробью с точностью
0,067.
Найдите приближение — е/3 подходящей дробью с точностью
4,4 ·10-3.
Запишите в виде цепной дроби: 381/269; 391/172; 1652/559.
Найдите величину цепной дроби:
[3, 1, 1,2, 3, 18,2]; [3, 2, 3, 2, 3, 15]; [1, 2, 1, 1, 3, 15].
1 88 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
в) Решите в целых числах уравнение:
570ж - 209у = 3097; 304ж - 192у = 3824.
ж
ж
Запишите в виде цепной дроби:
37 + \/3965 -20-νΤΟΤ
118 13
Найдите величину цепной дроби:
[0,1,4,(1,3,5)]; [-1,5,(2, 1,3,4)]·
Найдите приближение 7837/2347 подходящей дробью с
точностью 9· Ю-5.
Найдите приближение — подходящей дробью с точностью
4,5· ΙΟ"4.
Найдите приближение — 5е/4 подходящей дробью с точностью
0,067.
Запишите в виде цепной дроби: 3967/1929; 701/538; 1752/649.
Найдите величину цепной дроби:
[2, 3, 3, 3, 2, 13]; [2,1, 2, 3, 3, 3, 15]; [1, 2, 2, 3,2, 2,17].
Решите в целых числах уравнение:
156ж - ЗЗбу = 2868; 252ж - 270у = 4752.
ч _ -23-ν/Ϊ45 -νΊ5
Запишите в виде цепной дроби: ; —-—.
Найдите величину цепной дроби:
[0,3,(3,3, 1,1)]; [-1,1,3,(2,5)].
Найдите приближение 6379/2160 подходящей дробью с
точностью 5· Ю-5.
-37-ν/229
Найдите приближение — подходящей дробью с точ-
38
ностью 0,012.
Найдите приближение -4е/5 подходящей дробью с точностью
0,034.
Запишите в виде цепной дроби: 2593/688; 998/597; 2959/2797.
Найдите величину цепной дроби:
[1,2, 18, 1,2,3]; [1,1,2,1,19]; [3,1,1,14,1,3].
Решите в целых числах уравнение:
297ж - 319у = 2112; 289ж - 255у = 4522.
ч к 27-ν/365 12-ν/30
Запишите в виде цепной дроби: ; .
Найдите величину цепной дроби:
[1,1,4, (2,3)]; [0,4,4, (3,1,3)].
§ 3. Лабораторная работа «Цепные дроби» 1 89
Найдите приближение 2573/2424 подходящей дробью с
точностью 8· Ю-5.
9- -/Ϊ5
Найдите приближение подходящей дробью с точностью
1,4· Ю-3.
Найдите приближение -5е подходящей дробью с точностью 0,029.
Запишите в виде цепной дроби: 2144/1041; 903/439; 327/130.
Найдите величину цепной дроби:
[3, 3, 2, 16, 2, 3]; [2, 1, 2, 2, 1, 3, 17]; [1,3,1, 3, 3, 15].
Решите в целых числах уравнение:
143ж - 234у = 3029; 15бж - 216у = 2448.
_ 3-\/285 9+\/722Т
Запишите в виде цепной дроби: ; .
6 170
Найдите величину цепной дроби:
[0,1,(1, 1,3, 2)]; [-1,2, (3,5,1)].
Найдите приближение 6839/2832 подходящей дробью с
точностью 5· Ю-5.
26+\/82
Найдите приближение подходящей дробью с
точностью 5,9· Ю-3.
Найдите приближение π/4 подходящей дробью с точностью 0,023.
Запишите в виде цепной дроби: 1163/562; 587/442; 4159/2908.
Найдите величину цепной дроби:
[3,2,16, 3, 3, 1, 3]; [1,2,2,2,19, 3]; [3,16,3, 2,2,2].
Решите в целых числах уравнение:
460ж - бООу = 5060; 253ж - 187у = 3179.
-l + v/221 12- 3VTT
Запишите в виде цепной дроби: — ; .
Найдите величину цепной дроби:
[1,1,3,(2, 1,4)]; [1,2,(3,2,1)].
Найдите приближение 1678/547 подходящей дробью с точностью
6-Ю-5.
21 +vT95
Найдите приближение подходящей дробью с точно-
41
стью 9,9· Ю-4.
Найдите приближение -π подходящей дробью с точностью 0,018.
Запишите в виде цепной дроби: 1617/1546; 1324/405; 2819/1156.
Найдите величину цепной дроби:
[1, 3, 3, 21, 2, 3]; [1, 3, 3, 1, 1, 3,13]; [2, 2, 3, 14, 2,3].
1 90 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
в) Решите в целых числах уравнение:
198ж+187у = 27б1; 351ж-364у = 1469.
-51-ν/629 18 - л/35
ж
ж
Запишите в виде цепной дроби:
58 17
Найдите величину цепной дроби:
[-1,3, (1,3,2)]; [-3,1, 3,(3,4,4)].
Найдите приближение 3301/3156 подходящей дробью с
точностью 8· 10~5.
22-2V5
Найдите приближение — подходящей дробью с
точностью 2,1 · Ю-4.
Найдите приближение — 5π/3 подходящей дробью с точностью
0,051.
Запишите в виде цепной дроби: 1012/577; 2367/974; 1293/377.
Найдите величину цепной дроби:
[2, 1, 3,1,1,1, 19]; [3,16, 1, 3, 3, 3]; [1,17, 1, 3, 3, 2].
Решите в целых числах уравнение:
198ж-486у= 1872; 165ж - 435у = 2115.
_ 67 + \/Ϊ085 19-\/22Τ
Запишите в виде цепной дроби: ; .
74 14
Найдите величину цепной дроби:
[0,1, 3,(2,1,4)]; [0,2, (1,1,3)].
Найдите приближение 4512/1813 подходящей дробью с
точностью 2- Ю-5.
Найдите приближение 2\/34/17 подходящей дробью с точностью
5,7 -Ю-4.
Найдите приближение π подходящей дробью с точностью 8,4 · Ю-5.
Запишите в виде цепной дроби: 2049/695; 3238/1413; 748/699.
Найдите величину цепной дроби:
[3,1, 2, 3,13,1,2]; [3,3,2,17,1, 3]; [3,3,1, 1, 2,13].
Решите в целых числах уравнение:
250ж + 170у = 1540; 390ж - 285у = 4485.
-П + VTf -1-2\/2
Запишите в виде цепной дроби: ; .
Найдите величину цепной дроби:
[-1,2,(1,2,2,3)]; [-1,2,2,(1,1,4)].
Найдите приближение 4593/4382 подходящей дробью с
точностью Ю-5.
§3. Лабораторная работа «Цепные дроби» 191
-15 + VWf
ж) Найдите приближение — подходящей дробью с
точностью 2,7 -Ю-4.
Найдите приближение 2π/5 подходящей дробью с точностью 0,036.
Запишите в виде цепной дроби: 1234/313; 455/193; 2029/882.
Найдите величину цепной дроби:
[1, 1, 1, 15,2, 2]; [2, 3, 1, 2, 3, 18]; [2, 1, 2, 13, 1, 3, 2].
Решите в целых числах уравнение:
270ж + 285у = 2115; 475ж - 247у = 48 067.
4-\/26 -1 -νΤΟΪ
Запишите в виде цепной дроби:
Найдите величину цепной дроби:
[0,5,(1,1,3)]; [0,1,3,(5,1,2)].
Найдите приближение 6395/2662 подходящей дробью с
точностью Ю-5.
33 + 3\/87
Найдите приближение подходящей дробью с точно-
34
стью 1,1 ■ Ю-3.
Найдите приближение е подходящей дробью с точностью 0,084.
Запишите в виде цепной дроби: 2603/763; 1138/373; 1827/1745.
Найдите величину цепной дроби:
[2, 2,17,3, 1, 1,2]; [3, 3, 3, 16, 1, 2, 2]; [2,3, 3,16, 1, 1, 3].
Решите в целых числах уравнение:
150ж - 190у = 1210; 187ж - 154у = 1551.
β 41 - 13λ/5 -6--/Ϊ5
Запишите в виде цепной дроби: ; .
38 7
Найдите величину цепной дроби:
[-1,5,(1,3,1,3)]; [-3,1,1,(3,2)].
Найдите приближение 1721/887 подходящей дробью с точностью
3-ю-5.
Найдите приближение 2\/зТ/5 подходящей дробью с точностью
Ю-4.
Найдите приближение π подходящей дробью с точностью 8,4 ■ Ю-5.
Запишите в виде цепной дроби: 417/314; 3085/822; 1094/685.
Найдите величину цепной дроби:
[1,2, 3, 1, 14, 3]; [3,2,2, 2, 18, 2, 3]; [2, 1,16, 2, 3, 3].
в) Решите в целых числах уравнение:
290ж - 140у = 1640; 323ж - 285у = 3496.
192
Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
1+\/Й663 4 + 2ν/Ϊ38
Запишите в виде цепной дроби: — ; .
238 67
Найдите величину цепной дроби:
[-1,1,2, (5, 2,3)]; [-3,3, (1,1, 2)].
Найдите приближение 2515/1539 подходящей дробью с
точностью Ю-4.
— 15 Ч- л/30
Найдите приближение — подходящей дробью с
точностью 6,1 ■ Ю-3.
Найдите приближение —Зе/2 подходящей дробью с точностью
6,5-ΙΟ"3.
Запишите в виде цепной дроби: 641/172; 293/151; 797/595.
Найдите величину цепной дроби:
[2, 1, 13, 3, 1, 2]; [1, 1,1,20, 1,1, 3]; [3, 1, 3, 3, 2, 21].
Решите в целых числах уравнение:
143ж-312у = 211; 285ж - 323у = 5282.
8-</82 -6-8VT5
Запишите в виде цепной дроби: ; — .
Найдите величину цепной дроби:
[0,2,(4,1,4)]; [-1,3,(2,1,4)].
Найдите приближение 5133/1459 подходящей дробью с
точностью 6- Ю-5.
Найдите приближение подходящей дробью с
точностью 2,6 ■ Ю-3.
Найдите приближение 2е подходящей дробью с точностью 0,016.
Запишите в виде цепной дроби: 4558/1307; 1108/399; 2369/972.
Найдите величину цепной дроби:
[1, 2, 19, 3,2, 2]; [3, 1,14, 3, 1,2]; [1,1, 14, 1, 3, 2,3].
Решите в целых числах уравнение:
414ж - 198у = 4824; 510ж - 323у = 4709.
-19-\/2605 25+v/l45
Запишите в виде цепной дроби: —— ; — .
Найдите величину цепной дроби:
[1,1,(3,4,2)]; [-1,1,1,(4,2,2)].
Найдите приближение 8106/2159 подходящей дробью с
точностью 7-Ю-5.
29 - 4ν/3
Найдите приближение — подходящей дробью с
точностью 7,7 ■ Ю-3.
§4. Типовые задания обязательного минимума 1 93
з) Найдите приближение — 3π/4 подходящей дробью с точностью
0,17.
25. а) Запишите в виде цепной дроби: 3016/2331; 391/264; 2641/859.
б) Найдите величину цепной дроби:
[2,1, 1, 3,12, 2]; [1, 17,1, 1, 3, 3, 2]; [3, 3,1, 3,1, 21].
в) Решите в целых числах уравнение:
275ж - 17бу = 2981; 110ж + 260у = 1010.
,„ „ . -2-ч/26 13-7Ϊ5
г) Запишите в виде цепной дроби: — ; .
д) Найдите величину цепной дроби:
[0,1,(2,1,3,3)]; [0,2,1,(1,1,5)].
е) Найдите приближение 8752/3763 подходящей дробью с
точностью Ю-5.
\ы - « -67 + УШ5 „
ж) Найдите приближение подходящей дробью с
точностью 7 ■ Ю-3.
з) Найдите приближение -Зе/5 подходящей дробью с точностью
0,067.
§ 4. Типовые задания
обязательного минимума
по арифметике и теории чисел
1. Найдите остаток от деления:
а) 20 на 14;
б) 44 на 7;
в) 38 на 8;
г) 22 на 5;
д) 100 на 11;
е) 88 на 9;
2. Делится ли:
а) -20 на -14;
б) -44 на-11;
в) 38 на -8;
г) 22 на-11;
д) -ПО на И;
е) 88 на -8;
ж) 39 на 4;
з) 28 на 3;
и) 55 на 6;
к) 79 на 10;
л) 67 на 12;
м) 28 на 13;
ж) 39 на -4;
з) 28 на 14;
и) 55 на 6;
к) 76 на -38;
л) 67 на 12;
м) - 28 на 14;
н)
о)
п)
Р)
с)
т)
н)
о)
п)
Р)
с)
т)
-20 на 14;
-44 на 7;
-38 на 8;
-22 на 5;
-100 на 11;
-88 на 9.
-20 на 7;
-44 на 22;
-38 на 8;
-24 на 12;
-100 на 11;
-88 на -22?
1 94 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
3. Приведите пример двузначного числа, которое делится
а) га = 2,
б) га = 3,
в) га = 4,
г) га = 5,
д) η = 6,
4. Укажите вс
а) (3,12)
б) [5, 14]
в) (7,19]
г) [11,21
Д) (3, 14)
5. Разложите
а) 124;
б) 128;
в) 135;
г) 140;
е) га = 7;
ж) га = 8;
з) га = 9;
и) га = —2;
к) га = -3;
л) га = -4
м) га = -5
н) га = -6
о) га = -7
п) га = -8
-л простые числа на промежутке:
; е) [4,17];
; ж) (5, 19];
; з) [13,23);
); и) (11,23);
; к) [12,23];
л) (13,24]
м) [19,29)
н) (23, 33)
о) [23,32]
п) (29,49]
на простые множители числа:
д) 148; и) 162
е) 150; к) 164
ж) 156; л) 172
з) 160; м) 180
6. Является ли простым число:
а) 101;
б) 103;
в) 107;
г) 109;
д) ИЗ;
е) 127;
ж) 131;
з) 193;
и) 197;
к) 199;
7. Простым или составным является ι
а) 1124;
б) 3788;
в) 4596;
г) 5272;
д) 2125;
е) 3365
ж) 4975
з) 6395
и) 6327
к) 711-3
8. Найдите наибольший общий делит
чисел:
а) -20 и
б) -44 и ■
в) 38 и -
г) 22 и 1
д) -10 и
-14; е) 22 и -8;
■11; ж) 39 и-6;
3; з) 28 и 14;
1; и) 15 и 6;
-15; к) -16 ι
4-38;
н) 188
о) 192
; п) 195
; р) 196
л) 211
м)223
н)227
о) 229
п)233
шсло:
л) 8421;
м) 9543;
н) 1111;
о) 1133;
п) 2167;
ель и наимен]
л) 18 и 12;
м) -28 и 14;
н) -20 и 25;
о) -44 и 22;
п) -3S
и8
;
Р)
с)
т)
на га, если:
га = -9;
га = 10;
га= 11.
Р) [27,47);
с) (12,30);
т)[2,23].
Р)
с)
т)
Р)
с)
т)
эшее о
Р)
с)
т)
с) 198;
т) 201.
239;
241;
251?
1233;
2127;
2827?
бщее кратное
-24 и 12;
-26 и 12;
-82 и -12.
§4. Типовые задания обязательного минимума 195
9. Найдите наибольший общий делитель чисел о и 6, пользуясь
алгоритмом Евклида:
ж) а = 22, 6 = 6;
з) о = -33,6 = 9;
и) а = 44, Ь= 12;
к) а = 18, 6 = 14;
л) о =-27,6 = 21;
м) а = 36,6 = 28;
а) о = 20, 6 = 14;
б) о = -30,6 = 21;
в) 0 = 40,6 = 28;
г) а = 34,6 = 10;
д) о =-51, 6= 15;
е) а = 68, 6 = 20;
10. Являются ли числа о и 6 взаимно простыми
а) о =10,6 = 7; ж) о =11, 6 = 3;
н) а = 32,6 = 14;
о) о = -48,6= 21;
п) о = 64,6 = 28;
р) а= 18,6= 10;
с) о = -27, 6= 15;
т) о = 26,6= 18.
б) о = -10, 6 = 7;
в) 0 = 30,6 = 21;
г) о= 17,6 = 5;
д) о = -17,6 = 5;
е) а=51,6= 15;
з) о = -11, 6 = 3;
и) о = 33, 6 = 9;
к) о = 9, 6 = 7;
л) о = -9,6 = 7;
м) о= 18, 6 = 14;
11. Приведите пример двузначного числа, взаимно простого с га, и
пример двузначного числа, не являющегося взаимно простым с га, если:
н) о = 16, 6 = 7;
о) о = -16, 6 = 7;
п) о = 32,6= 14;
р)о = 9,6 = 5;
с) о= -9,6 = 5;
т) о = 36,6= 15?
а) га
= 2;
б) га = 3;
в) га = 4;
г) га = 5;
д) га = 6;
е) га = 7;
12. Найдите:
а) L5.6J;
б) {5,6};
в) L-2.3J;
г) {-2,3};
Д) U5.78J;
13. Разложите на
а) 5!
б) 6!
в) 7!
г) 8!
д)9!
е) 10
!;
ж) га =
= 8;
з) га = 9;
и) га = —2,
к) га = —3,
л) га = -4,
м) га = -5,
е) {15,78};
ж) L-18.22J;
з) {-18,22};
и) L3.45J;
к) {3,45};
простые множители:
ж) 11!
з) 12!
и) 13!
к) 14!
л) 15!
м) 16!
н) га =
= -6
о) га = -7
п) га = -8
р) га = -9
с) га = 10;
т) га = 11.
л) L-2.29J; р) {-49,6};
м) {-2,29}; с) L45J;
н) L39.1J; χ) {45}.
о) {39,1};
п) L-49.6J;
н) 17!
о) 18!
п) 19!
Р)20!
с) 21!
т) 22!
1 96 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
14.
15.
16.
17.
18.
Вычислите:
а) г(10),
б) г(12),
в) т(14)
г) г(1б),
д) г(18)
е) Т(20)
Вычислите:
а) φ(\0)
б) р(12)
в) φ(ΙΛ)
г) р(16)
д) v»(18)
е) у>(20)
Вычислите:
а) //(10)
б) μ(\4)
в) /ί(15)
г) /х(22)
д) М30)
е) /ί(33)
ж) г(28),
з) г(30)
и) г(32)
к) σ(10)
л) σ(12)
м) σ(14)
ж) у>(28)
з) <р(Щ
и) у>(10)
к) у>(12)
л) у>(14)
м) у>(16)
ж) /ί(35)
з) М42)
и) М66)
к) /ί(70)
л) МЮ5);
Μ)/ί(110);
Приведите пример числа, сравнимого <
а) а = 2, га =
б) а = -1, га =
в) о = 12, га =
г) о = -14, га
д) о= 12, га =
е) α = 4, га =
4;
= 5;
= 6;
= 7;
= 8;
9;
ж) о = -3, га =
з) о = 14, га =
и) а = 31, га =
к) о = -47, га
л) а = 31, га =
м) а.= -10, га
н) σ(16)
о) σ(18)
π) σ(20)
Ρ) σ(28)
с) σ(30)
τ) σ(12).
н) у>(18)
о) у>(20)
η) ρ(28)
Ρ) <Р(Щ
с) у>(32)
τ) у>(33).
η) /ί(12);
ο) /ί(16);
η) /ί(18);
Ρ) /ί(20);
с) /ί(45);
τ) /ί(56).
: а по модулю га, если:
= 10;
4;
5;
= 9;
7;
= 8;
Приведите пример числа, не сравнимого с а
а) а = 20, га =
б) о = -11, га
в) о = 13, га =
г) а = -15, га
д) а = 10, га =
е) о = 4
3, га =
= 4;
= 5;
= 6;
= 7;
= 8;
= 9;
ж) а = -32, га
з) а = 18, га =
и) о = 33, га =
к) о = -41, га
л) α = 32, га =
м) α = -
14, га
= 10;
4;
5;
= 9;
7;
= 8;
н) о = -33, ra = 9;
о) о = 23, га = 10;
η) ο= -12, га = 4;
ρ) ο = 63, га = 5;
с) о = -44, га = 6;
τ) ο = -77, га = 7.
no модулю га, если:
н) о = -36, га = 9;
о) а = 28, га = 10;
п) а = -64, га = 4;
р) а = 64, га = 5;
с) а = -40, га = 6;
т) а = -
66, га = 6.
§ 4. Типовые задания обязательного минимума 1 97
19. Являются ли числа а и 6 сравнимыми по модулю га, если:
а) а = -10, 6 = 11, га = 3;
б) а = 3, 6 = 47, га = 4;
в) о = -12, 6 = 3, га = 5
г) о = 4, 6= -21, га = 6
д) а = -44, 6= 5, га = 7
е) а = 3, 6 = 27, га = 8;
ж) а = -2, 6 = 52, га = 9
з) а = 35, 6 = -1, га = 3
и) о = -34, 6 = 2, га = 4
к) о = 6, 6 = -14, га = 5
л) о = -29, 6 = 1, га = 6
м) о = 32, 6= -3, га = 7
н) а = 67, 6 = 3, га = 8;
о) о = 17, 6= -11, га = 21
п) о = 22, 6=-14, га= 13
р) а= 19, 6= -11, га= 10
с) а = 2, 6 = -14, га = 3;
т) о = -34, 6= 11, га = 4?
20. Какому классу вычетов по модулю га принадлежит число а, если:
21.
22.
ж) а = -12, га= 10;
з) а = 15, га = 4;
и) о = 32, га = 5;
к) а = -47, га = 6;
л) а = 38, га = 7;
м) о = -15, га = 8;
Выпишите полную систему вычетов по модулю га, содержащую
число а, если:
ж) а = -13, га = 10;
з) а = 14, га = 4;
и) о = 31, га = 5;
к) а = -47, га = 6;
л) а = 31, га = 7;
м) о = -10, га = 8;
Выпишите приведенную систему вычетов по модулю га, содержащую
число а, если:
ж) а = -13, га = 10;
з) а = 17, га = 4;
и) о = 31, га = 5;
к) о = —47, га = 6;
л) о = 31, га = 7;
м) а = -11, га = 8;
а) о = 23, га = 4;
б) а = -12, га = 5;
в) а = 14, га = 6;
г) а = -21, га = 7;
д) о = 14, га = 8;
е) о = 30, га = 9;
а) о = 22, га = 4;
б) а = -11, га = 5;
в) а = 12, га = 6;
г) а = -14, га = 7;
д) а = 12, га = 8;
е) о = 34, га = 9;
а) о = 21, га = 4;
б) о = -11, га = 5;
в) о = 13, га = 6;
г) а = -12, га = 7;
д) о = 15, га = 8;
е) о = 34, га = 9;
н) а = -34, га = 9;
о) а = 22, га = 10;
п) о = -16, га = 4;
р) а = 68, га = 5;
с) о = -50, га = 6;
т) а = 77, га = 7?
н) о = -33, га = 9;
о) о = 23, га = 10;
п) а = -12, га = 4;
р) а = 63, га = 5;
с) о = -44, га = 6;
т) о = -77, га = 7.
н) а = -37, га = 9;
о) а = 23, га = 10;
п) о = -19, га = 4;
р) о = 63, га = 5;
с) а = -43, га = 6;
т) а = -78, га = 7.
1 98 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля
23. Найдите остаток от деления о на га, если:
а) о = 3147, га = 5;
б) а = 2188, га = 7;
в) о = 4|2\ га= 11;
г) а = 2148, га = 13;
д)о= 1230,га = 5;
е) а = 2326, га = 7;
24. Решите сравнение:
а) 2х = 3(mod5);
б) 3z = 2(mod4);
в) -2х = l(mod3);
г) -3z = 2(mod5);
д) -5ж = 3(mod6);
е) 2z = 4(mod7);
ж) -Ах = 5(mod3);
з) Ъх = -1 (mod 4);
и) 2х = -l(mod5);
25. Решите сравнение:
ж) о =
з) а =
и) о =
к) а =
л) а -
м) а =
а) х5 -2х2+ 1 = 0(mod3);
б) z7 + 4a;-3 = 0(mod5);
в) Xs - 6х2 + 2 = 0(mod 7);
г) х6 + 6х - 2 = 0(mod 3);
д) х6- llz2 + 3 = 0(mod5);
е) x7 + 4x + 5^0(mod7);
ж) х5-х- 12 = 0(mod3);
з) х5 -2х2 + 1 =0(mod5);
и) x7 + 2x-3^0(mod7);
= 3534,га=11; н) о = 7666, га = 10;
= 4126,га = 13; о) а = 5234, га = 12;
= 1130,га = 6; п) а= И22, га = 8;
= 2320, га = 8; р) а = гг44, га = 9;
= 3222,га = 8; с) а = 33", га = 10;
= 2123, га = 9; т) о = 5566, га = 12.
к) -2a;=.3(mod7);
л) Ъх = -l(mod4);
м) 14x^28(mod5);
н) 27a; = 2(mod4);
о) 31ж = l(mod3);
η) 55ж= -2(mod6);
ρ) 48ж= l(mod7);
с) 45жΞЗ(mod8);
τ) 43ж = 14(mod4).
к) χ5 - Ъх2 + 2 = 0(mod 3);
л) χ7 - χ - 1 = 0(mod 5);
μ) xs - 10ж2 + 3 = 0(mod 7);
η) χ5 + lla; + 5=.0(mod3);
ο) χ5 - 4χ - 12 = 0(mod 5);
η) x8 + x4-5^0(mod7);
ρ) z3-2;2 + 7 = 0(mod3);
с) χ1 Λ-χ- 11 = 0(mod5);
τ) a;7 + 2;-20 = 0(mod7).
26. Сколько решений имеет сравнение:
а) х2= 12(mod5);
б) х2= 13(mod7);
в) х2= 14(modll);
г) х2 = -17(mod5);
д) x2^-12(mod7);
е) x2^-13(modll);
ж) х2
з) х2
и) х2
к) х2
л) х2
м) х2
= 24(mod 5); н) χ2 = -8(mod 5);
= 38(mod7); ο) χ2 = -30(mod 7);
= 14(mod 11); η) χ2 = 24(mod 11);
= -13(mod 5); ρ) χ2 = 37(mod 5);
= 18(mod7); c) χ2 = 33(mod7);
= -10(modll); τ) χ2 = 48(mod 11)?
§4. Типовые задания обязательного минимума 199
27.
28.
29.
30.
Вычислите:
а) Р5(3); е) Р„(3);
б) Р6(5); ж) Р5(12);
в) Р7(2); з) Р6(17);
г) Р8(3); и) Р7(37);
д) Р9(4); к) Р8(27);
л) Р9(20);
м) Рю(17);
н) Р,3(5);
о) Р,о(12);
п) Р3(5);
Найдите длину периода десятичной записи дроби:
а) 2/3
б) 1/3
в) 1/7
г) 5/9
д)4/9
Найдите
а) [1,:
б)[з,:
в)[3,
г) [2,
д) [2,:
Разложи
а) 3/5
б) 11/
в) 9/7
г) 10/
Д) 13/
е) 7/9;
ж) 2/11
з) 3/11
и) 5/11
к) 9/11
значение цепной дроб
i,3]; e) [3,2,3];
1,2]; ж) [-1,2,2]
1,2]; з) [-3,2,2]
1,3]; и) [-3,1,2]
1,3]; к) [-2,1,3]
те в цепную дробь:
е) 16/7;
13; ж) 9/5;
з) 17/5;
7; и) 5/17;
?; к) 7/10
»
л) 10/15;
м) 15/27;
н) 8/18;
о) 6/33;
п) 21/77;
и:
л) [-2,2,2];
м) [-1,2,3];
н) [3,1,3];
о) [2,3,3];
п) [1,3,3];
л) 5/3;
м) 13/11;
н) 7/9;
о) 9/13;
п) 7/16;
Р) Р4(15);
с) Р„(21);
т) Р,2(5).
Р) Ю/22;
с) 18/33;
т) 20/55.
Р) [3,3,2];
с) [3,1,4];
т) [2,1,4].
Р) 7/5;
с) 17/7;
т) 12/7.
Ответы и решения
В этом разделе мы даем ответы и рассматриваем решения некоторых
избранных задач курса. Нумерация ответов соответствует разделам
задачника и последовательности задач в соответствующих параграфах первой
главы. Ответы разбиты на группы по принадлежности к параграфам
задачника. Чтобы, например, найти ответ ко 2-й задаче (не упражнению!)
из § 10 (под названием «Функция Эйлера»), нужно найти группу ответов
«Ответы и решения задач из § 10», а в ней — ответ к задаче 2.
Ответы и решения задач из § 4.
4. 5; 15.
5. 1111.
14. 175.
15. 12; 13.
Ответы и решения задач из § 5.
1г) 67;
1д) 23;
1е) 29.
26) (га+1,3);
2в) (га+1,2).
Ответы и решения задач из § 8.
10. Поскольку 1 = I2 + О2 = (-1)2 + О2 = О2 + I2 = О2 + (-1)2, то
гг(1) = 4 ψ 1. Это показывает, что данная функция не является
мультипликативной. Однако функция гг(га)/4 мультипликативной
является.
Ответы и решения задач из § 9.
2ж) χ = pq2; χ = ρ5.
2н) ζ = 3α13α, α^Ο.
Ответы и решения
201
6. 36.
8. 28; 22.
Ответы и решения задач из § 10.
36) Нет.
6. 2001.
12. 72.
13 а) 30; 15; 16; 24; 20;
136) 13; 26; 28; 36; 42; 21;
13 в) нет решений;
13 г) 17; 34; 40; 60; 48; 32;
13 д) 25; 44; 50; 66; 33;
13 е) 39; 45; 52; 56; 35; 72; 70; 78; 84; 90;
13ж) 575; 41; 55; 150; 82; 110; 132; 100; 88.
14. 14; 26; 28; 34; 38; 46.
20. 1125.
24. га > 2.
Ответы и решения задач из § 12.
За) да;
36) да;
Зв) нет;
Зг) нет.
5 а) 2; 59; 118.
7з) 1; 2; ...; 25; 26.
8г) га<62.
Ответы и решения задач из § 15.
14а) 32;
146) 9;
14 в) 0;
14 г) 43;
14 д) 64;
14 е) 28.
26. 2, если га ^ 3 или га = 1; 4, если га = 2.
27. 10, если га ^ 2; 5, если га = 1.
202
Ответы и решения
Ответы и решения задач из § 16.
2е) ar = 9;50;91;132(modl64).
5ж) ж ξ 31; 87; 143; 199; 255; 311(mod336);
5з) х=-4+ 18*(modl08),* = 0, ...,5;
5 и) χ = 14 + 35i(mod 5250), t = 0,..., 149.
7 а) z = 8479(modl5015);
76) ar = 22(mod30);
7 в) χ = -2(mod 420).
96) χ = 3ρ( mod ^-— J .
Ответы и решения задач из § 18.
1 а) 22; 53;
16) 113;
1в) 125; 1; 53.
За) z=1006-99a(mod225);
зб) χ ξ 10006 - 999o(mod 3375);
зв) ar = 28ο - 276 mod 108).
4а) Указание: проверьте, что χ = —1;4;9; 14; 19(mod25), и χ = 7(mod27).
46) ж ξ 22; 76; 122; 176(mod 225).
Указание: проверьте, что χ = 1; — 3(mod25), и χ ~ 4; 5(mod9);
4 г) Указание: проверьте, что χ ~ -2(mod25), и χ = -2; 4; 7; 13; 16; 22(mod27);
4д) Указание:проверьте,что χ = 1; 3(mod4),HX = -12;-l;5;8;14; 17;23(mod27);
4е) Указание: проверьте, что χ = 1; 3(mod 4), и ж ξ 3; 4; 6; 12; 15; 21; 24(mod27).
5а) 4;
56) 20;
5 в) 20;
5 г) 6.
Ответы и решения задач из § 19.
66) да;
6 в) нет;
6 т) да;
6 ц) нет.
11. 0;р-1.
Ответы и решения
203
Ответы и решения задач из § 20.
1а) 1210 (35424 = 25 · З3 ■ 41);
16) 378 (334368 = 25 ■ З5 · 43);
1д) 990 (46575 = З4 · 52 · 23);
1е) 56 (48608 = 2s-72 -31);
1ж) 210 (28768 = 25 -29-31);
1з) 84 (203056 = 24 · 73 · 37).
1и) 20(343 = 73);
1о) 36: (63072 = 25 · З3 · 73).
Ответы и решения задач из § 21.
4. 44з; П43; I643; 214з; 354з; 414з-
5. 247; З47; 447; 647; 747; 847; 947; 1247; 1447; I647; 1747! I847; 2147; 2447;
2547; 2747! 2847; 3247! 3447; З647; 3747; 4247-
16a) z = 3(mod7);
16 в) х = 1 (mod 29);
16г) х = 12(modl9).
176) z = -8;12(mod31);
17 в) z^39(mod59);
17г) ж ξ-30; 31 (mod 59);
17д) z = -5;14(mod31);
17е) z^0(modl5), χ ^ 0;
21. 47.
26а) 23 · 24 - 5 - И4;
266) 24· З3· 132-7;
26в) 3·24·5·72;
26ж) 22 · З3 -41;
26з) 33-41.
27 а) 105.
Ответы и решения задач из § 22.
1в) [-2,1,3,7];
1г) [-3,1,3,9,5];
1д) [1,2,3,4,6];
1е) [0,8,1,6,2,2].
2а) ν/2 = [1,(2)];
26) ν/6 = [2, (2,4)];
204
Ответы и решения
2 в) /Ш=[3,(3,6)];
2г) /Ϊ3 = [3,(1,1,1, 1,6)];
2д) /15 = [3,(1,6)];
2е) /Ϊ7 = [4,(8)];
2ж) /19 = [4, (2,1,3,1,2, 8)];
2з) /22 = [4, (1,2,4,2, 1,8)];
2ф) 2/7 = [5, (3,2, 3,10)];
2х) 6/2 = [8, (2, 1,6)].
Зд) /31= [5, (1,1,3,5,3,1,1,10)];
Зе) -/ЗУ = [-6,2, (3, 5, 3,1, 1, 10, 1, 1)];
Зж) /π =[6, (2,2, 12)];
Зз) -V4l = [-7,1,1,1,1,(2,12,1)].
3 + 1/5=[2,(.)1;
4 в)
4 г)
4д)
4 с)
2
3-/5
= [0,(01;
2 + /Ϊ7
13
= 10,2,(8)];
2-/Ϊ7
13 =[-1,1,5,(8)];
>} /л с
4ж) —^— = [-1,1,4,(1,6)];
4з) —^ = [0,1,(1,6)];
1 + /26 г/
4и) -^ [(1,4,1)];
4 к)
5 а)
5
1-/26
5
1 + 3/2
= [-1,5,(1,1,4)].
2 [2,(1,1,1,1,1,3)];
1 ^ /^
56) -— = [-2,2(1,1,1,3,1,1)];
5в) ^^ = [3,(1,5)];
5 г)
2
1-3/5
[-3,6,(1.5)].
Ответы и решения
205
6а) у/Шп 13= [2,(1, 1,1, 1,1, 1,6)];
7 а) [1,2, 3,4, 6] = 268/187;
7в) [-2,3,3, 10] = -175/103.
7з) [0,8, 1,6,2,2] = 37/328.
8а) [1, (2)] = л/2-
.0.) ^;
10в) у/19;
10 г) ν/59;
10 ж) -\/ϊ\;
у/22Ш-13
13
11. ж2-6ж-7 = 0.
Ответы и решения задач из § 23.
6а) а = [2, (1,7)], δ6 = 231/80, Δ < 10~4;
6г) α = [2, 1, (3, 1)], δ6 = 67/24, Δ < 10~3.
14. Запишем несколько шагов разложения числа \/2 в цепную дробь:
a0 = V2=l-\ , где — = >/2 — 1;
а, = -з^—- = —; = 3 + —, где — = V4 + V2 - 2;
оц а,
1 v^+v^+1 , 1 1
3- = —: = 3+—, где—
s/2 - 1 2-1 а2 а2
1 1
°2~ #4+^-2~(^-1)(^ + 2) ~
(уУ4+^2+1)(уУ4-2уУ2 + 4) _ Зу^+4у^ + 2 _1_
(2 - 1)(2 + 8) 10 + а3'
1 3^ + 4\^2-8
где — = ;
а3 10
10 с 1
аз = -зт= з7= = 5+—, и т.д.
3νϊ+4\72-8 а"
Теперь несложно убедиться в том, что у/2 и 1.25.
20ό
Ответы и решения
15. Указание: убедитесь том, что УТО = [2,6,2,...], и, следовательно, г), = 2,
δ2 = 13/6, δ} = 28/13.
16. е = 2,718281828... = [2,1,2, 1, 1,...] и 11/4.
1 1
Именно, а0 = е = 2 Η , где — = 0,718 + е;
αϊ α,
1000 J_ 1 1000-718-е,
α,~ 718 + e· 103 ~ а2'Ще^~ 718 + е, ''
718 + е, 1 1 718 + е,-2-282 +2е,
οι, = = 2 Η , где — = ;
282-е, а3 а3 282-е,
282-е, , 1 1 282-е, - 154- Зе,
сь = = 1 Η , где — = .
154 + 36, а4 а4 154+ 3е,
154+ 3е, , 1 1 154 + Зе,-128 = 4е,
а4 = = Η , где — = ;
128-4ei а5 а5 128-4е,
128 -4е, „ 1 1 128 - 4е, - 104 - 28е,
а5 = —; = 4 Η , где — = — .
26 + 7е, а6 а6 26 + 7е,
При этом знаменвтели подходящих дробей образуют последователь-
нооть 1, 1, 3, 4, 7, ..., в которой 4· 7 = 28, и 1/28 = 0,03587 < 0,036.
18 а) ж ξ 41; 190; 339(mod447);
186) x = 61;272(mod422);
18в) ж ξ 39; 196; 353(mod471);
18 г) x^29(mod311);
18 д) сравнение не имеет решений.
Ответы и решения задач из § 24.
8. Указание: убедитесь, что а„ делится на 24.
9. 3;5; 101;
10. 16 пар; в общем случае — 2к пар, где к — колчество простых
[М]
делителей числа -.—-г.
(о, б)
28а) (100; 111).
286) (6;1);(3;4);(0;7);
28в) (х;х);
28 г) (29; 57);
28 д) нет решений;
28е) (га, га+15).
29. Да.
35. (100; 111).
60. (12; 16; 11); (13; 17; 17); (13; 18; 12). Указание: перейдите к остаткам
при делении на семь.
Ответы и решения
207
п(п + 1)
61. 20. Заметим, что число I + 2 + 3 + ... + п = —— называется
треугольным (см. [11]).
62. 19.
63. 848; 853; 854; 856; 862; 864; 865; 867; 870.
Таблица простых чисел,
не превосходящих 10000
2
31
73
127
179
233
283
353
419
467
547
607
661
739
811
877
947
1019
1087
1153
1229
3
37
79
131
181
239
293
359
421
479
557
613
673
743
821
881
953
1021
1091
1163
1231
5
41
83
137
191
241
307
367
431
487
563
617
677
751
823
883
967
1031
1093
1171
1237
7
43
89
139
193
251
311
373
433
491
569
619
683
757
827
887
971
1033
1097
1181
1249
11
47
97
149
197
257
313
379
439
499
571
631
691
761
. 829
907
977
1039
1103
1187
1259
13
53
101
151
199
263
317
383
443
503
577
641
701
769
839
911
983
1049
1109
1193
1277
17
59
103
157
211
269
331
389
449
509
587
643
709
773
853
919
991
1051
1117
1201
1279
19
61
107
163
223
271
337
397
457
521
593
647
719
787
857
929
997
1061
1123
1213
1283
23
67
109
167
227
277
347
401
461
523
599
653
727
797
859
937
1009
1063
1129
1217
1289
29
71
113
173
229
281
349
409
463
541
601
659
733
809
863
941
1013
1069
1151
1223
1291
Таблица простых чисел, не превосходящих 10000 209
1297
1381
1453
1523
1597
1663
1741
1823
1901
1993
2063
2131
2221
2293
2371
2437
2539
2621
2689
2749
2833
2909
3001
3083
3187
3259
3343
3433
3517
3581
3659
1301
1399
1459
1531
1601
1667
1747
1831
1907
1997
2069
2137
2237
2297
2377
2441
2543
2633
2693
2753
2837
2917
ЗОН
3089
3191
3271
3347
3449
3527
3583
3671
1303
1409
1471
1543
1607
1669
1753
1847
1913
1999
2081
2141
2239
2309
2381
2447
2549
2647
2699
2767
2843
2927
3019
3109
3203
3299
3359
3457
3529
3593
3673
1307
1423
1481
1549
1609
1693
1759
1861
1931
2003
2083
2143
2243
2311
2383
2459
2551
2657
2707
2777
2851
2939
3023
3119
3209
3301
3361
3461
3533
3607
3677
1319
1427
1483
1553
1613
1697
1777
1867
1933
2011
2087
2153
2251
2333
2389
2467
2557
2659
2711
2789
2857
2953
3037
3121
3217
3307
3371
3463
3539
3613
3691
1321
1429
1487
1559
1619
1699
1783
1871
1949
2017
2089
2161
2267
2339
2393
2473
2579
2663
2713
2791
2861
2957
3041
3137
3221
3313
3373
3467
3541
3617
3697
1327
1433
1489
1567
1621
1709
1787
1873
1951
2027
2099
2179
2269
2341
2399
2477
2591
2671
2719
2797
2879
2963
3049
3163
3229
3319
3389
3469
3547
3623
3701
1361
1439
1493
1571
1627
1721
1789
1877
1973
2029
2111
2203
2273
2347
2411
2503
2593
2677
2729
2801
2887
2969
3061
3167
3251
3323
3391
3491
3557
3631
3709
1367
1447
1499
1579
1637
1723
1801
1879
1979
2039
2113
2207
2281
2351
2417
2521
2609
2683
2731
2803
2897
2971
3067
3169
3253
3329
3407
3499
3559
3637
3719
1373
1451
1511
1583
1657
1733
1811
1889
1987
2053
2129
2213
2287
2357
2423
2531
2617
2687
2741
2819
2903
2999
3079
3181
3257
3331
3413
3511
3571
3643
3727
210 Таблица простых чисел, не превосходящих 10000
3733
3823
3911
4001
4073
4153
4241
4327
4421
4507
4591
4663
4759
4861
4943
5009
5099
5189
5281
5393
5449
5527
5641
5701
5801
5861
5953
6067
6143
6229
6311
3739
3833
3917
4003
4079
4157
4243
4337
4423
4513
4597
4673
4783
4871
4951
5011
5101
5197
5297
5399
5471
5531
5647
5711
5807
5867
5981
6073
6151
6247
6317
3761
3847
3919
4007
4091
4159
4253
4339
4441
4517
4603
4679
4787
4877
4957
5021
5107
5209
5303
5407
5477
5557
5651
5717
5813
5869
5987
6079
6163
6257
6323
3767
3851
3923
4013
4093
4177
4259
4349
4447
4519
4621
4691
4789
4889
4967
5023
5113
5227
5309
5413
5479
5563
5653
5737
5821
5879
6007
6089
6173
6263
6329
3769
3853
3929
4019
4099
4201
4261
4357
4451
4523
4637
4703
4793
4903
4969
5039
5119
5231
5323
5417
5483
5569
5657
5741
5827
5881
6011
6091
6197
6269
6337
3779
3863
3931
4021
4111
4211
4271
4363
4457
4547
4639
4721
4799
4909
4973
5051
5147
5233
5333
5419
5501
5573
5659
5743
5839
5897
6029
6101
6199
6271
6343
3793
3877
3943
4027
4127
4217
4273
4373
4463
4549-
4643
4723
4801
4919
4987
5059
5153
5237
5347
5431
5503
5581
5669
5749
5843
5903
6037
6113
6203
6277
6353
3797
3881
3947
4049
4129
4219
4283
4391
4481
4561
4649
4729
4813
4931
4993
5077
5167
5261
5351
5437
5507
5591
5683
5779
5849
5923
6043
6121
6211
6287
6359
3803
3889
3967
4051
4133
4229
4289
4397
4483
4567
4651
4733
4817
4933
4999
5081
5171
5273
5381
5441
5519
5623
5689
5783
5851
5927
6047
6131
6217
6299
6361
3821
3907
3989
4057
4139
4231
4297
4409
4493
4583
4657
4751
4831
4937
5003
5087
5179
5279
5387
5443
5521
5639
5693
5791
5857
5939
6053
6133
6221
6301
6367
Таблица простых чисел, не превосходящих 10000 211
6373
6481
6577
6679
6763
6841
6947
7001
7109
7211
7307
7417
7507
7573
7649
7727
7841
7927
8039
8117
8221
8293
8389
8513
8599
8681
8747
8837
8933
9013
9127
6379
6491
6581
6689
6779
6857
6949
7013
7121
7213
7309
7433
7517
7577
7669
7741
7853
7933
8053
8123
8231
8297
8419
8521
8609
8689
8753
8839
8941
9029
9133
6389
6521
6599
6691
6781
6863
6959
7019
7127
7219
7321
7451
7523
7583
7673
7753
7867
7937
8059
8147
8233
8311
8423
8527
8623
8693
8761
8849
8951
9041
9137
6397
6529
6607
6701
6791
6869
6961
7027
7129
7229
7331
7457
7529
7589
7681
7757
7873
7949
8069
8161
8237
8317
8429
8537
8627
8699
8779
8861
8963
9043
9151
6421
6547
6619
6703
6793
6871
6967
7039
7151
7237
7333
7459
7537
7591
7687
7759
7877
7951
8081
8167
8243
8329
8431
8539
8629
8707
8783
8863
8969
9049
9157
6427
6551
6637
6709
6803
6883
6971
7043
7159
7243
7349
7477
7541
7603
7691
7789
7879
7963
8087
8171
8263
8353
8443
8543
8641
8713
8803
8867
8971
9059
9161
6449
6553
6653
6719
6823
6899
6977
7057
7177
7247
7351
7481
7547
7607
7699
7793
7883
7993
8089
8179
8269
8363
8447
8563
8647
8719
8807
8887
8999
9067
9173
6451
6563
6659
6733
6827
6907
6983
7069
7187
7253
7369
7487
7549
7621
7703
7817
7901
8009
8093
8191
8273
8369
8461
8573
8663
8731
8819
8893
9001
9091
9181
6469
6569
6661
6737
6829
6911
6991
7079
7193
7283
7393
7489
7559
7639
7717
7823
7907
8011
8101
8209
8287
8377
8467
8581
8669
8737
8821
8923
9007
9103
9187
6473
6571
6673
6761
6833
6917
6997
7103
7207
7297
7411
7499
7561
7643
7723
7829
7919
8017
8111
8219
8291
8387
8501
8597
8677
8741
8831
8929
9011
9109
9199
212 Таблица простых чисел, не превосходящих 10000
9203 9209 9221 9227 9239
9293 9311 9319 9323 9337
9391 9397 9403 9413 9419
9461 9463 9467 9473 9479
9539 9547 9551 9587 9601
9643 9649 9661 9677 9679
9739 9743 9749 9767 9769
9817 9829 9833 9839 9851
9901 9907 9923 9929 9931
9241 9257 9277 9281 9283
9341 9343 9349 9371 9377
9421 9431 9433 9437 9439
9491 9497 9511 9521 9533
9613 9619 9623 9629 9631
9689 9697 9719 9721 9733
9781 9787 9791 9803 9811
9857 9859 9871 9883 9887
9941 9949 9967 9973
Таблицы индексов
р = 3,р-1=2,$ = 2.
Ν
0
0
1
0
2
1
3
4
5
6
7
8
9
Ind
0
0
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
p = 5,p-l=22,$ = 2.
JV
0
0
1
0
2
1
3
3
4
2
5
6
7
8
9
Ind
0
0
1
1
2
2
4
3
3
4
5
6
7
8
9
p = 7,p-l=2-3,$ = 3.
N
0
0
1
0
2
2
3
1
4
4
5
5
6
3
7
8
9
Ind
0
0
1
1
3
2
2
3
6
4
4
5
5
6
7
8
9
p = 11, p— 1 = 2-5,5 = 2.
JV
0
1
0
5
1
0
2
1
3
8
4
2
5
4
6
9
7
7
8
3
9
6
Ind
0
1
0
1
1
2
2
4
3
8
4
5
5
10
6
9
7
7
8
3
9
6
p=13,p-l = 22-3,fl = 2.
N
0
1
0
10
1
0
7
2
1
6
3
4
4
2
5
9
6
5
7
11
8
3
9
8
Ind
0
1
0
1
10
1
2
7
2
4
3
8
4
3
5
6
6
12
7
11
8
9
9
5
ρ =17, p-l = 24,fl = 3.
JV
0
1
0
3
1
0
7
2
14
13
3
1
4
4
12
9
5
5
6
6
15
8
7
11
8
10
9
2
Ind
0
1
0
1
8
1
3
7
2
9
4
3
10
12
4
13
2
5
5
6
6
15
7
11
8
16
9
11
214
Таблицы индексов
р= 19, р-1 = 2-32,р = 2.
N
0
1
0
17
1
0
12
2
1
15
3
13
5
4
2
7
5
16
11
6
14
4
7
6
10
8
3
9
9
8
Ind
0
1
0
1
17
1
2
15
2
4
11
3
8
3
4
16
6
5
13
12
6
7
5
7
14
10
8
9
9
18
ρ = 23,ρ-1 = 2·11,$ = 5.
Ν
0
1
2
0
3
5
1
0
9
13
2
2
20
11
3
16
14
4
4
21
5
1
17
6
18
8
7
19
7
8
6
12
9
10
15
Ind
0
1 .
2
0
1
9
12
1
5
22
14
2
2
18
3
10
21
4
4
13
5
20
19
6
8
3
7
17
15
8
16
6
9
11
7
ρ = 29, p-l=22-7,fl = 2.
Ν
0
1
2
0
23
24
1
0
25
17
2
1
7
26
3
5
18
20
4
2
13
8
5
22
27
16
6
6
4
19
7
12
21
15
8
3
11
14
9
10
9
Ind
0
1
2
0
1
9
23
1
2
18
17
2
4
7
5
3
8
14
10
4
16
28
20
5
3
27
11
6
6
25
22
7
12
21
15
8
24
13
9
19
26
ρ = 31, ρ- 1 = 2-3-5, 5=3.
Ν
0
1
2
3
0
14
8
15
1
0
23
29
2
24
19
17
3
1
11
27
4
18
22
13
5
20
21
10
6
25
6
5
7
28
7
3
8
12
26
16
9
2
4
9
Ind
0
1
2
0
1
25
5
1
3
13
15
2
9
8
14
3
27
24
11
4
19
10
2
5
26
30
6
6
16
28
18
7
17
22
23
8
20
4
7
9
29
12
21
ρ = 37, ρ-1 = 22·32, 5 = 2.
Ν
0
1
2
3
0
24
25
14
1
0
30
22
9
2
1
28
31
5
3
26
11
15
20
4
2
33
29
8
5
23
13
10
19
6
27
4
12
18
7
32
7
6
8
3
17
34
9
16
35
21
Ind
0
1
2
3
0
1
25
33
11
1
2
13
29
22
2
4
26
21
7
3
8
15
5
14
4
16
30
10
28
5
32
23
20
19
6
27
9
3
7
17
18
6
8
34
36
12
9
31
35
24
Таблицы индексов 215
р = 41,р- 1 = 23-5,fl = 6.
N
0
1
2
3
4
0
8
34
23
20
1
0
3
14
28
2
26
27
29
10
3
15
31
36
18
4
12
25
13
19
5
22
37
4
21
6
1
24
17
2
7
39
33
5
32
8
38
16
11
35
9
30
9
7
6
Ind
0
1
2
3
0
1
32
40
9
1
6
28
35
13
2
36
4
5
37
3
11
24
30
17
4
25
21
16
20
5
27
3
14
38
6
39
18
2
23
7
29
26
12
15
8
10
33
31
8
9
19
34
22
7
р = 43,р- 1 = 2-3-7,5 = 3.
N
0
1
2
3
4
0
10
37
11
22
1
0
30
36
34
6
2
27
13
15
9
21
3
1
32
16
31
4
12
20
40
23
5
25
26
8
18
6
28
24
17
14
7
35
38
3
7
8
39
29
5
4
9
2
19
41
33
Ind
0
1
2
3
4
0
1
10
14
11
24
1
3
30
42
33
29
2
9
4
40
13
3
27
12
34
39
4
38
36
16
31
5
28
22
5
7
6
41
23
15
21
7
37
26
2
20
8
25
35
6
17
9
32
19
18
8
ρ = 47, ρ- 1 = 2-23,5 = 5.
Ν
0
1
2
3
4
0
19
37
39
9
1
0
7
6
3
15
2
18
10
25
44
24
3
20
11
5
27
13
4
36
4
28
34
43
5
1
21
2
33
41
6
38
26
29
30
23
7
32
16
14
42
8
8
12
22
17
9
40
45
35
31
Ind
0
1
2
3
4
0
1
12
3
36
9
1
5
13
15
39
45
2
25
18
28
7
37
3
31
43
46
35
44
4
14
27
42
34
32
5
23
41
22
29
19
6
21
17
16
4
7
11
38
33
20
8
8
2
24
6
9
40
10
26
30
ρ = 53, ρ- 1 = 22 ■ 13, 5 = 2.
Ν
0
1
2
3
4
5
0
48
49
13
50
43
1
0
6
31
33
45
27
2
1
19
7
5
32
26
3
17
24
39
23
22
4
2
15
20
11
8
5
47
12
42
9
29
6
18
4
25
36
40
7
14
10
51
30
44
8
3
35
16
38
21
9
34
37
46
41
28
Ind
0
1
2
3
4
5
0
1
17
24
37
46
40
1
2
34
48
21
39
27
2
4
15
43
42
25
3
8
30
33
31
50
4
16
7
13
9
47
5
32
14
26
18
41
6
11
28
52
36
29
7
22
3
51
19
5
8
44
6
49
38
10
9
35
12
45
23
20
216 Таблицы индексов
ρ = 59, ρ- 1 = 2-29,5=2.
Ν
0
1
2
3
4
5
0
7
8
57
9
13
1
0
25
10
49
14
32
2
1
52
26
5
И
47
3
50
45
15
17
33
22
4
2
19
53
41
27
35
5
6
56
12
24
48
31
6
51
4
46
44
16
21
7
18
40
34
55
23
30
8
3
43
20
39
54
29
9
42
38
28
37
36
Ind
0
1
2
3
4
5
0
1
21
28
57
17
3
1
2
42
56
55
34
6
2
4
25
53
51
9
12
3
8
50
47
43
18
24
4
16
41
35
27
36
48
5
32
23
11
54
13
37
6
5
46
22
49
26
15
7
10
33
44
39
52
30
8
20
7
29
19
45
9
40
14
58
38
31
ρ = 61, ρ- 1 =22-3-5,5 = 2.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
0
23
24
29
25
45
30
1
0
15
55
59
54
53
2
1
8
16
5
56
42
3
6
40
57
21
43
33
4
2
50
9
48
17
19
5
22
28
44
11
34
37
6
7
4
41
14
58
52
7
49
47
18
39
20
32
8
3
13
51
27
10
36
9
12
26
35
46
38
31
Ind
0
1
2
3
4
5
0
1
48
47
60
13
14
1
2
35
33
59
26
28
2
4
9
5
57
52
56
3
8
18
10
53
43
51
4
16
36
20
45
25
41
5
32
11
40
29
50
21
6
3
22
19
58
39
42
7
6
44
38
55
17
23
8
12
27
15
49
34
46
9
24
54
30
37
7
31
ρ = 67,ρ-1 = 2·3·11,5 = 2.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
0
16
17
55
18
31
56
1
0
59
62
47
53
37
7
2
1
41
60
5
63
21
48
3
39
19
28
32
9
57
35
4
2
24
42
65
61
52
6
5
15
54
30
38
27
8
34
6
40
4
20
14
29
26
33
7
23
64
51
22
50
49
8
3
• 13
25
11
43
45
9
12
10
44
58
46
36
Ind
0
1
2
3
4
5
6
0
1
19
26
25
6
47
22
1
2
38
52
50
12
27
44
2
4
9
37
33
24
54
21
3
8
18
7
66
48
41
42
4
16
36
14
65
29
15
17
5
32
5
28
63
58
30
34
6
64
10
56
59
49
60
7
61
20
45
51
31
53
8
55
40
23
35
62
39
9
43
13
46
3
57
11
Таблицы индексов 217
ρ = 71, ρ- 1 = 2-5-7,5 = 7.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
7
0
34
40
60
46
62
66
35
1
0
31
27
11
25
5
69
2
6
38
37
30
33
51
17
3
26
39
15
57
48
23
53
4
12
7
44
55
43
14
36
5
28
54
56
29
10
59
67
6
32
24
45
64
21
19
63
7
1
49
8
20
9
42
47
8
18
58
13
22
50
4
61
9
52
16
68
65
2
3
41
Ind
0
1
2
3
4
5
6
0
1
45
37
32
20
48
30
1
7
31
46
11
69
52
68
2
49
4
38
6
57
9
50
3
59
28
53
42
44
63
66
4
58
54
16
10
24
15
36
5
51
23
41
70
26
34
39
6
2
19
3
64
40
25
60
7
14
62
21
22
67
33
65
8
27
8
5
12
43
18
29
9
47
56
35
13
17
55
61
ρ = 73, ρ- 1 =23-32,5 = 5.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
7
0
9
17
15
25
10
23
42
1
0
55
39
11
4
27
58
44
2
8
22
63
40
47
3
19
36
3
6
59
46
61
51
53
45
4
16
41
30
29
71
26
48
5
1
7
2
34
13
56
60
6
14
32
67
28
54
57
69
7
33
21
18
64
31
68
50
8
24
20
49
70
38
43
37
9
12
62
35
65
66
5
52
Ind
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
50
18
24
32
67
65
38
1
5
31
17
47
14
43
33
44
2
25
9
12
16
70
69
19
3
52
45
60
7
58
53
22
4
41
6
8
35
71
46
37
5
59
30
40
29
63
11
39
6
3
4
54
72
23
55
49
7
15
20
51
68
42
56
26
8
2
27
36
48
64
61
57
9
10
62
34
21
28
13
66
ρ = 79, ρ- 1 =2-3-13,5 = 3.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
7
0
66
70
67
74
50
71
41
1
0
68
54
56
75
22
45
51
2
4
9
72
20
58
42
60
14
3
1
34
26
69
49
77
55
44
4
8
57
13
25
76
7
24
23
5
62
63
46
37
64
52
18
47
6
5
16
38
10
30
65
73
40
7
53
21
3
19
59
33
48
43
8
12
6
61
36
17
15
29
39
9
2
32
11
35
28
31
27
Ind
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
36
32
46
76
50
62
20
1
3
29
17
59
70
71
28
60
2
9
8
51
19
52
55
5
22
3
27
24
74
57
77
7
15
66
4
2
72
64
13
73
21
45
40
5
6
58
34
39
61
63
56
41
6
18
16
23
38
25
13
10
44
7
54
48
69
35
75
14
30
53
8
4
65
49
26
67
42
11
9
12
37
68
78
43
47
33
218 Таблицы индексов
ρ = 83, ρ - 1 = 2 ■ 41, 5 = 2.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
28
29
18
30
55
19
36
31
1
0
24
80
38
40
46
66
33
42
2
1
74
25
5
81
79
39
65
41
3
72
77
60
14
71
59
70
69
4
2
9
75
57
26
53
6
21
5
27
17
54
35
7
51
22
44
6
73
4
78
64
61
11
15
49
7
8
56
52
20
23
37
45
32
8
3
63
10
48
76
13
58
68
9
62
47
12
67
16
34
50
43
Ind
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
28
37
40
41
69
23
63
21
1
2
56
74
80
82
55
46
43
42
2
4
29
65
77
81
27
9
3
3
8
58
47
71
79
54
18
6
4
16
33
11
59
75
25
36
12
5
32
66
22
35
67
50
72
24
6
64
49
44
70
51
17
61
48
7
45
15
5
57
19
34
39
13
8
7
30
10
31
38
68
78
26
9
14
60
20
62
76
53
73
52
ρ = 89, ρ— 1 = 23-11, 5 = 3.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
86
14
87
30
68
15
79
46
1
0
84
82
31
21
7
69
62
4
2
16
33
12
80
10
55
47
50
37
3
1
23
57
85
29
78
83
20
61
4
32
9
49
22
28
19
8
27
26
5
70
71
52
63
72
66
5
53
76
6
17
64
39
34
73
41
13
67
45
7
81
6
3
11
54
36
56
77
60
8
48
18
25
51
65
75
38
40
44
9
2
35
59
24
74
43
58
42
lnd
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
42
73
40
78
72
87
5
32
1
3
37
41
31
56
38
83
15
7
2
9
22
34
4
79
25
71
45
21
3
27
66
13
12
59
75
35
46
63
4
81
20
39
36
88
47
16
49
11
5
65
60
28
19
86
52
48
58
33
6
17
2
84
57
80
67
55
85
10
7
51
6
74
82
62
23
76
77
30
8
64
18
44
68
8
69
50
53
9
14
54
43
26
24
29
61
70
ρ = 97, ρ— 1 = 25 -3, s = 5.
Ν
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
35
69
9
7
36
43
66
41
79
1
0
86
5
46
85
63
64
11
88
56
2
34
42
24
74
39
93
80
50
23
49
3
70
25
77
60
4
10
75
28
17
20
4
68
65
76
27
58
52
12
29
73
22
5
1
71
2
32
45
87
26
72
90
82
6
8
40
59
16
15
37
94
53
38
48
7
31
89
18
91
84
55
57
21
83
8
6
78
3
19
14
47
61
33
92
9
44
81
13
95
62
67
51
30
54
Ind
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
53
93
79
16
72
33
3
62
85
1
5
71
77
7
80
69
68
15
19
37
2
25
64
94
35
12
54
49
75
95
88
3
28
29
82
78
60
76
51
84
87
52
4
43
48
22
2
9
89
61
32
47
66
5
21
46
13
10
45
57
14
63
41
39
6
8
36
65
50
31
91
70
24
11
7
40
83
34
56
58
67
59
23
55
8
6
27
73
86
96
44
4
18
81
9
30
38
74
42
92
26
20
90
17
Литература
1. Александров В. Α., Горшенин С. М. Задачник-практикум по теории чисел. М.:
Просвещение, 1972.
2. Баврин И. И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. М.: Просвещение, 1994.
3. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
4. Василенко О. Н., Галочкин А. И. Сборник задач по теории чисел. М.: Изд-во
МГУ, 1995.
5. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.
6. Галкин В. Я., Сычугов Д. Ю., Хорошилова Е. В. Конкурсные задачи, основанные
на теории чисел. М.: Изд-во МГУ, 2002.
7. Галочкин А. И., Нестеренко Ю. Д., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел.
М.: Изд-во МГУ, 1995.
8. Грибанов В. У., Титов П. И. Сборник упражнений по теории чисел. М.:
Просвещение, 1964.
9. Девенпорт Г. Высшая арифметика. 2-е изд. М.: Книжный дом «Либро-
kom»/URSS, 2010.
10. Девенпорт Г Мультипликативная теория чисел. М.: Наука, 1971.
11. Деза Е. И. Специальные числа натурального ряда. М.: Книжный дом «Либ-
Pokom»/URSS,2011.
12. Депман И. Я. История арифметики. 6-е изд. М.: Книжный дом «Либро-
kom»/URSS, 2011.
13. Жмулева А. В. Сборник задач по теории чисел. М.: Изд-во МГУ, 2009.
14. Зубов А. Ю., Зязин А. В., Овчинников В. И., Рамоданов С. М. Олимпиады по
криптографии и математике. М.: МЦНМО, 2006.
15. Ингам А. Е. Распределение простых чисел. 4-е изд. М.: Книжный дом «Либ-
Pokom»/URSS, 2009.
16. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: URSS, 2004.
17. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.·. Научн. изд-во ТВП, 2001.
18. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. М.: Просвещение, 1993.
19. Неопубликованные материалы Эйлера по теории чисел / Под ред. Н. И.
Невской СПб.: Наука, 1997.
220
Литература
20. Нечаев В. И. Элементы криптографии (Основы теории защиты информации).
М.: Высшая школа, 1999.
21. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. 3-е изд. М.: URSS, 2011.
22. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире
чисел. М.: Изд-во Русанова, 1994.
23. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.
24. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления.
4-е изд. М.: Издательство ЛКИ/URSS, 2007.
25. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. Л.: Гос. изд-во
физ.-мат. литературы, 1963.
26. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М: Просвещение, 1968.
27. Степанова Л. Л. Избранные главы элементарной теории чисел. М.: Прометей,
2001.
28. Степанова Л.Л., Жмулева А. В., Деза Е. И. Практикум по элементарной
математике: Арифметика. М.: МЦНМО, 2008.
29. Титчмарш Е. К.Теорт дзета-функции РиманаМ.: Иностранная литература, 1953.
30. Топунов В. Л. Комбинаторика. М.: МПГУ, 2001.
31. Хитин А.Я. Цепные дроби. 2-е изд. М: URSS, 2003.
32. Чандрасекхаран К. Арифметические функции. М.: Наука, 1975.
33. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
34. Ященко В. В. Введение в криптографию. М.: МЦНМО, 1998.
35. Conway J. Η., Guy R. К. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 1996.
36. Courant R. and Robbins H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to
Ideas and Methods. 2-nd ed. Oxford University Press, 1996.
37. Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. New York: Dover, 2005.
38. Gauss С F. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, 1801.
39. Guy R. K. Unsolved Problems in Number Theory. 2-nd ed. New York: Springer-
Verlag, 1994.
40. Hardy G. H.y Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. 5-th ed.
Oxford: Clarendon Press, 1979.
41. Ore O. Number Theory и Its History. Dover Publications, 1948.
42. [Электронный ресурс] PlanetMath.org: http://planetmath.org/encyclopedia/
43. Ribenboim P. New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.
44. Rlesel H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. 2-nd ed. Basel:
Birkhouser, 1994.
45. Shanks D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. 4-th ed. New York:
Chelsea, 1993.
46. Sloane N. J. The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. [Электронный
ресурс] http://www.research.att.com/ njas/sequences/
47. Weisstein E. W. Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 1999.
48. [Электронный ресурс] Wikipedia, the Free Encyclopedia: http://en.wikipedia.org.
СБОРНИК
^Δ ΤΤΔΧΙ ЕИ-Деза
ΟγΥ/Λ^ιΛ^Ύ Л В.Котова
I
7
за а ,
спнрооным
решениям я
&
Елена Ивановна J E3A
рни
ι ι φ в, в
■а а ьио
ι.
Ы ЦП
П
идия Втадичировна KOTOBA
Наше издательство предлагает следующие книги:
ЧИСЛЕННЫ
I МЕТОДЫ
СПЕЦИАЛЬ Ь
ЧИСЛА
ТУРЛЛЬНОГО
РЯД
с
ТЕ
о
1ТИКИ
РОСТЫЕ
ИСЛА
К ИТОГ? ФИЧЕСК Ε
И ЫЧИСЛИЦЛЬН Ε
1[\ПЯ1НЛЯ
\рифчмик \
iixhok гня
ЬЫ( FPOIO
о
д
η
ч
идимктн·*
ШТЕНМТИИ
-J.4Q0-».
УЧАСТНИКАМ
ОЛИМПИАД
И ВСТУПИТЕЛЬНЬ X
ПЬ ТАН И klC
9^6
Π Η I
10448 ID 123883 Отзывыо интернет- яин
в также обнаруженные опечате **^ ^>> ^Ч Вь. 1 гШ I
гоадрвсуик LJ^UINJ 4mJ
Ваши замечания и предложения
и отражены на нвЫлрани
> в нашем интернемиэ эине h
785397И026086
ни
Ш
URSS
НАШИ НОВЫЕ ™е»°к_
799&014» ^
КООРДИНАТЫ 117335, Москва, Нахимовский ηρ·τ, 56