Маршевые двигатели космических аппаратов. Выбор типа и параметров - Сафранович В.Ф., Эмдин Л.М.

Автор: Сафранович В.Ф. Эмдин Л.М.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника междупланетные соединения (междупланетные полеты) космонавтика (аэронавтика) машиностроение космические аппараты космос полет в космос
Год: 1980
Похожие
Первое десятилетие XXI века 2001-2011. Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королева в первом десятилетии XXI века
Проектирование межорбитальных космических аппаратов
Малая тяга
Луна-шаг к технологиям освоения Солнечной системы
Текст
                    ДВИГАТЕЛИ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В. Ф. Сафранович,
Л. М. Эмдин
МАРШЕВЫЕ
ДВИГАТЕЛИ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
ВЫБОР ТИПА И ПАРАМЕТРОВ
Москва «Машиностроение» 1980
ББК 39.62
С22
УДК 629.78 : 621.45
Рецензент д-р техн, наук С. Д. Гришин
В. Ф. Сафранович, Л. М. Эмдин
С22 Маршевые двигатели космических аппаратов. Выбор
типа и параметров. — М.: Машиностроение, 1980,—
240 с. ил.
В пер. 1 р.
Книга посвящена вопросам выбора типа и параметров маршевых двигате-
лей для межорбитальных - полетов космических аппаратов при решении тран-
спортных задач. Рассмотрены двигательные установки с жидкостными, ядер-
ными и электрореактивными двигателями, методы определения областей их
применения и параметрических рядов.
Книга предназначена для инженерно-технических работников, занимаю-
щихся разработкой и созданием двигателей и космических аппаратов.
31903-340
С -------------340-80	3607000000
038(01)-80
ББК 39.62
6Т6
ИБ № 131
Сафранович Владимир Фомич, Эмдин Лев Моисеевич
МАРШЕВЫЕ ДВИГАТЕЛИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.
ВЫБОР ТИПА И ПАРАМЕТРОВ
Редактор Л. И. Коваленко
Технический редактор Е. М. Коновалова
Корректор Н. Г. Богомолова
Переплет художника Л. С. Вендроеа
Сдано в набор 18.09.79
Формат 60X90’/j«
Печать высокая
Тираж 800 экз.
Подписано в печать 18.01.80.	Т—00719
Бумага* типографская № 2	Гарнитура литературная
Усл. печ. л. 15,0	Уч.-изд. л. 16.9
Заказ 2804	Цена 1 р.
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, ГСП-6 1-й Басманный пер., д. 3.
Московская типография № 8 Союз пол и граф пром а при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Хохловский пер., 7.
(О Издательство «Машиностроение», 1980 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие космонавтики, расширение круга задач, решаемых
космическими аппаратами, освоение все более высоких околозем-
ных орбит, полеты к Луне и планетам Солнечной системы пред-
определяют необходимость выполнения космическими аппаратами
все более энергоемких межорбитальных полетов, связанных с боль-
шими затратами характеристических скоростей.
Маневры космических аппаратов (КА), осуществляемые с по-
мощью двигательных установок, можно условно разделить на сле-
дующие группы:
изменение орбит и переход с орбиты на орбиту;
поддержание (стабилизация) / параметров орбит в требуемых
диапазонах;
сближение и стыковка КА.
В книге рассматриваются маршевые нерегулируемые двига-
тельные установки, предназначенные для осуществления маневров
первой группы — межорбитальных полетов, основной целью кото-
рых является доставка полезных грузов на требуемые орбиты на-
значения (транспортные задачи).
В настоящее время для осуществления межорбитальных поле-
тов КА используются, как правило, жидкостные ракетные двига-
тели (ЖРД), для которых практически уже достигнуты предельные
значения параметров, характеризующих конструктивное совершен-
ство и энергетические возможности.
Новые задачи, стоящие перед космонавтикой, стимулировали
разработку других типов маршевых реактивных двигателей, обла-
дающих большими значениями удельных импульсов тяги. При сов-
ременном уровне развития науки и техники в качестве конкуриру-
ющих следует рассмотреть три типа маршевых двигательных уста-
новок (ДУ), пригодных для использования на борту КА и отлича-
ющихся принципом преобразования первичной энергии в кинетиче-
скую энергию истекающей из сопла струи:
двигатели на химическом топливе (в первую очередь, жидкост-
ные) ;
ядерные ракетные двигатели (ЯРД);
электроракетные двигатели (ЭРД).
Принципы работы, состав и основные характеристики таких ДУ
приведены в литературе, например (1, 2, 16, 17].
В книге принято, что время выполнения транспортных задач
при использовании двигателей «большой» тяги (на химическом и
ядерном топливах) обусловлено выбором переходных орбит, обес-
печивающих минимальные затраты энергии (рассматриваются не
оперативные маневры). В случае применения на КА маршевых дви-
гателей «малых» тяг (ЭРД) предполагается, что двигатели работа-
ют в течение всего времени полета. Условия выполнения транспорт-
ной задачи с ЭРД характеризуются также этим временем полета
КА.
Возможность применения для космических полетов различных
маршевых ДУ ставит проблему выбора их типа и параметров. Этот
выбор осуществляется исходя не только из эффективности решения
транспортной задачи по принятому критерию, но звисит также от
большого числа дополнительных условий и ограничений, таких как
величина отпущенных средств, заданные сроки на разработку и по-
казатели надежности, наличие у разработчика необходимой экс-
периментальной базы, возможность управлять маневрами КА из
определенных пунктов и др.
Как известно, правильно выбрать параметры ДУ можно лишь
при их комплексной оптимизации в составе КА, т. е. необходимо
провести совместную оптимизацию параметров двигателя, аппара-
та и управления на активном участке полета. Такая постановка
приводит к очень сложной вариационной краевой задаче, точное ре-
шение которой затруднительно реализовать на ЭВМ даже при рас-
смотрении одного конкретного полета КА.
Выбор параметров двигателя не является прерогативой разра-
ботчика КА или двигателя. Эта задача находится «на стыке» их
интересов. Действительно, разработчику КА (например, разработ-
чику КА с ЖРД) необходимо назначить исходя из энергетических
потребностей маневра, конструкции КА и его эксплуатации топли-
во, тягу, массу, основные габаритные размеры и удельный импульс
двигателя. Разработчик двигателя, обеспечивая заданные значения
указанных параметров, должен выбрать схему, давление в камере,
степень расширения сопла и другие характеристики. Поскольку па-
раметры взаимосвязаны, то без многократной увязки принимаемых
решений различными организациями не может быть произведена
их оптимизация по эффективности выполнения задачи.
В связи с изложенным целесообразно иметь инженерную мето-
дику, позволяющую оценить влияние каждого из основных пара-
метров двигателя на эффективность выполнения задачи с тем,
чтобы разработчик КА, разработчик двигателя и другие заинтере-
сованные организации могли оценить еще на стадии предэскизного
проектирования «цену» изменения каждого параметра, определить
их оптимальное сочетание или пойти на сознательные «потери» эф-
фективности выполнения задачи, используя, например, уже готовый
двигатель. Это тем более важно, что, как указывалось, развитие
космонавтики диктует необходимость использования все большего
4
числа различных КА при осуществлении ими большого класса ма-
невров. При этом совершенно нереально из экономических сообра-
жений ,и по срокам разрабатывать для каждой задачи свой двига-
тель с оптимальными параметрами, особенно ДУ с ЯРД или ЭРД,
создание которых очень дорого и продолжается длительное время.
Поэтому безусловно необходимо провести исследования по опере-
жающей стандартизации и, рассмотрев перспективные транспорт-
ные задачи, определить для их выполнения параметрические ряды
унифицированных двигателей разных типов. Это возможно сделать,
лишь проведя массовые расчеты по определению областей раци-
онального применения двигателей при оптимальных параметрах.
В книге рассмотрены методы, позволяющие, по мнению авторов,
достаточно просто определить области рационального применения
двигательных установок разных типов (с ЖРД, ЯРД или ЭРД), их
оптимальные характеристики, а также наметить параметрические
ряды унифицированных двигателей для решения комплекса косми-
ческих транспортных задач.
Общая вариационная краевая задача комплексной оптимизации
сведена к параметрической заменой искомых функций управ-
ления полетохм КА параметрами управления и использованием при
решении параметрической задачи на ЭВМ метода «штрафных»
функций и системы автономных процедур. Инженерные расчеты в
широком диапазоне масс КА и маневров удается провести благода-
ря применению при решении задач для двигателей «больших» тяг
метода «двойного разделения» вариационной задачи с использова-
нием аналитической зависимости минимальных гравитационных по-
терь (при оптимальном управлении полетом) от характеристик
маневра, космического аппарата и двигателя. При этом вариацион-
ная задача оптимизации сводится к отысканию экстремума выбран-
ного критерия эффективности при решении параметрической части
задачи.
Методические положения применительно ко всем типам двига-
телей (ЖРД, ЯРД, ЭРД) авторы стремились проиллюстрировать
примерами.
» Авторы понимают, что рассмотренные в книге методы решения
задач требуют дальнейшего совершенствования, и будут благодар-
ны читателям, которые выскажут критические замечания и поже-
лания, направив их по адресу: Москва, ГСП-6, 1-й Басманный пер.,
3, Издательство «Машиностроение».
Глава 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ ВЫБОРА ТИПА
И ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК
ДЛЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПОЛЕТОВ
1.1,	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ
Решить задачу межорбитального полета — это значит выбрать
траекторию полета, законы управления полетом на активных уча-
стках траекторий, тип двигательной установки (с жидкостным,
ядерным или электроракетным двигателем), компоненты топлива
или рабочее тело, схему, компоновку и основные параметры косми-
ческого аппарата и его систем таким образом, чтобы с учетом име-
ющихся ограничений, обеспечить наилучшее значение критерия, ха-
рактеризующего эффективность выполнения задачи.
При выборе типа реактивного двигателя и комплексной оптими-
зации его параметров в составе космического аппарата необходи-
мо выполнить следующие основные этапы работ.
1.	Сформулировать стоящие перед полетом (полетами) задачи,
которые должны быть обеспечены маневрами КА. Например, пере-
нос груза с опорной орбиты на орбиту назначения.
2.	Определить необходимые начальные и конечные условия, ха-
рактеризующие КА и маневры. Например, массу, координаты и ско-
рости КА, время маневра, параметры орбит.
3.	Выбрать параметры, которыми при проведении сравнения
различных типов ДУ и ДУ с различными проектными параметрами
наиболее целесообразно количественно охарактеризовать маневры,
обеспечивающие выполнение задачи. Выбранные параметры долж-
ны давать возможность удобно и наглядно проводить оценку обла-
стей рационального применения разных типов двигателей для рас-
сматриваемых задач.
4.	Выбрать критерий эффективности выполнения задачи, т. е.
величину, количественно характеризующую оптимальность выпол-
нения задачи. Например, масса расходуемого топлива, масса полез-
ного груза, стоимость, надежность.
5.	Выбрать типы и конструктивно-компоновочные схемы ДУ и
КА, подлежащие сравнительному рассмотрению. Расчленить кон-
струкцию КА и ДУ на минимальное число таких систем и подсис-
тем, чтобы они однозначно характеризовали выбранные тип и кон-
струкцию и чтобы выбранный критерий эффективности выполне-
ния задачи можно было определить через аналогичные ему крите-
рии этих систем, а они (критерии систем) в свою очередь могли
быть представлены в функции оптимизируемых параметров. Нап-
ример, если в качестве критерия эффективности выбрана началь-
6
ная масса КА, то критериями систем являются их массы, которые и
должны быть выражены через проектные, в том числе оптимизиру-
емые параметры.
6.	Составить общую математическую модель задачи, решение
которой должно позволить провести комплексную оптимизацию па-
раметров ДУ в составе КА. Как правило, это вариационная задача,
функционалом которой является выбранный критерий эффективно-
сти, включающая уравнения движения КА, зависимости, связыва-
ющие его характеристики, и ограничения. Насколько подробно
строить модель зависит от точности исходных данных. На этапе
проектирования целесообразно составить модель попроще; можне
вернуться к ней после получения предварительных результатов.
7.	Определить зависимости энергетических, массовых, стоимост-
ных или других характеристик (в зависимости от выбранного кри-
терия эффективности и математической модели) от проектных па-
раметров и границы применения этих зависимостей, обусловленные
особенностями проектирования рассматриваемых типов ДУ и рабо-
тоспособностью их элементов.
8.	Из числа проектных параметров, использованных в п. 7, выб-
рать параметры ДУ и КА, подлежащие оптимизации. Особенностью
оптимизации параметров ДУ является то, что она должна быть про-
ведена комплексно. При этом должны оптимизироваться не только
параметры двигательной установки как основного источника энер-
гии для совершения маневра. Необходима совместная оптимиза-
ция ряда параметров собственно летательного аппарата и траекто-
рии.
9.	Определить метод решения полученной математической моде-
ли, разработать эффективный алгоритм реализации метода реше-
ния на ЭВМ.
10.	Провести исследования по влиянию типа ДУ и его парамет-
ров на критерий эффективности для рассматриваемых задач поле-
та и определить предпочтительные типы ДУ при их оптимальных
параметрах. Области рационального применения различных типов
ДУ будут характеризоваться параметрами и критериями, выбран-
ными в указанных выше пп. 3 и 4. В общем случае космический ап-
парат совместно с двигательной установкой можно охарактеризо-
вать рядом проектных и конструктивных параметров (или харак-
теристик), фазовыми координатами и управляющими функциями и
параметрами.
Проектные и конструктивные параметры и характеристики дви-
гательной установки и КА в известной математической модели од-
нозначно определяют тяговые, массовые, геометрические и другие
статические характеристики ДУ и аппарата в целом или, другими
словами, определяют структурное состояние объекта. При этом про-
ектными оптимизируемыми параметрами будем в дальнейшем на-
зывать физико-технические параметры, выбираемые и оптимизиру-
емые в процессе проектирования. Они могут принимать любые зна-
чения между назначенными ограничениями и их можно изменять в
процессе оптимизации непрерывно. К таким параметрам можно от-
7
нести, например, величины давления в камере сгорания двигателя,
геометрической степени расширения сопла либо степени расшире-
ния газа в сопле, тяги двигателя либо площади критического сече-
ния и т. д.
Конструктивными параметрами будем называть параметры (ха-
рактеристики), являющиеся исходными данными при оптимизации
проектных параметров и характеризующие данные вариант КА.
К ним можно отнести, например, характеристики компонентов топ-
лива, характеристики конструктивно-компоновочной схемы аппара-
та и двигателя, параметры, характеризующие тип и схему двигате-
ля, конструктивные материалы, число двигателей в установке и
г. д. Конструктивные параметры в процессе оптимизации могут из-
меняться дискретно.
Фазовые координаты определяют скорость космического аппара-
та в характерных точках траектории, его текущую массу, координа-
ты центра масс, пространственную ориентацию вектора скорости
аппарата, параметры конечной орбиты и т. д.
К управляющим функциям и параметрам относятся функции и
параметры, по которым осуществляется управление движением кос-
мического аппарата на активных участках траектории, JK ним мож-
но отнести секундный расход топлива через двигатель, величину и
направление вектора тяги двигателя и,т. д.
Из известной совокупности проектных, параметров и парамет-
ров, характеризующих функцию управления, выбирают оптимизи-
руемые параметры, варьируя которые можно воздействовать на
структурное состояние и характер движения летательного аппара-
та при выбранных конструктивных параметрах. При этом оптими-
зируемые параметры назначают исходя из целей исследования и
принятой при решении задачи математической модели.
Задача оптимизации проектных параметров и функций управле-
ния КА представляет собой вариационно-параметрическую задачу
и предполагает, как указывалось, наличие математической модели,
т. е. системы уравнений, ограничений, алгоритма, программы рас-
чета и т. п., с помощью которых возможно количественно оценить
степень совершенства рассматриваемого варианта аппарата. Основ-
ная цель оптимизации параметров определяется каким-либо одним
критерием эффективности Ф, который выбирается исходя из общей
постановки задачи перед космическим аппаратом. К наиболее об-
щим критериям эффективности при оптимизации параметров слож-
ных систем следует отнести технико-экономические показатели, свя-
занные со стоимостью выполнения задачи. Однако, в зависимости
от уровня информации об основных факторах и характеристиках,
определяющих эти критерии и, следовательно, возможности состав-
ления технико-экономической модели, а также в зависимости от це-
лей оптимизации возможно применение и более частных критериев
эффективности. Для летательных аппаратов наибольшее распрост-
ранение получил такой частный критерий, как масса полезного
груза.
8
Как будет показано в разд. 1.4, в ряде случаев невозможно осу-
ществлять поиск оптимальных параметров непосредственно по кри-
терию эффективности Ф. Для определения направления движения
вектора Ф в пространстве оптимизируемых параметров требуется
формирование специального критерия, который в последующем бу-
дет называться критерием оптимизации Ф0Пт- В математической
модели должны быть отражены связи между принятым критерием
эффективности и критерием оптимизации ФОпт=7(Ф)-
На выбор оптимальных проектных параметров и функций уп-
равления существенное влияние могут оказывать ограничения, нак-
ладываемые на структурное состояние аппарата, фазовые-координа-
ты и оптимизируемые параметры. Эти ограничения можно разде-
лить на три группы.
К первой группе относятся ограничения, накладываемые на оп-
тимизируемые параметры и обусловленные их физическим смыс-
лом. Эти ограничения определяют границы допустимых пределов
изменения параметров и могут иметь вид </mIn xz хЛпах’ J =
(1, 2,».., п\. где и — число оптимизируемых параметров, xmin,
xmax— минимальные и максимальные значения оптимизируемых
параметров. К этим ограничениям можно отнести, например, ниж-
ний предел давления в камере сгорания, обусловленный устойчиво-
стью рабочего процесса, верхний предел давления, обусловленный
техническими возможностями его реализации и т. п.
Вторая группа ограничений вытекает из особенностей проекти-
рования ДУ и КА и определяется условиями компоновки, приняты-
ми конструктивными решениями, требованиями к конструкции КА
и ДУ, вытекающими из условий решения задачи, технологическими
ограничениями и т. д. К таким ограничениям можно отнести: огра-
ничение на геометрические размеры или их соотношения между ха-
рактерными составными частями КА, между диаметрами ступеней
КА, между размерами расширяющейся части сопла и диаметром
ступени; ограничения на некоторые физико-технические и геометри-
ческие характеристики конструктивных элементов ДУ и КА, нап-
ример, минимально допустимая из технологических соображений
толщина стенки конструкции, максимально допустимая температу-
ра в характерной части конструкции; ограничения, вытекающие из
необходимых соотношений между массами КА и тяговыми харак-
теристиками ДУ: при старте КА с поверхности Земли тяга двигате-
ля должна превышать вес КА; ограничения, вытекающие из экс*
плуатационных и других условий решения задачи и предъявляемые
к КА в целом, например, ограничения по длине, максимальному по-
перечному размеру КА; ограничения, обусловленные требованиями
к динамическим характеристикам ДУ и КА, ограничения по осевой
и поперечной перегрузкам, ограничения по угловым скоростям раз-
ворота КА.
Эти ограничения в большинстве случаев выражаются в виде не-
явных функций от оптимизируемых параметров и определяются ча-
ще всего соотношениями между проектными и конструктивными па-
раметрами или между геометрическими, массовыми, энергетически-
<	9
ми и другими физико-техническими параметрами, которые в свою
очередь зависят от проектных и конструктивных параметров. Услов-
но эти соотношения между параметрами ДУ и КА можно предста-
вить в виде следующих неявных функций	> 0;
/ = |1, 2,..., k\, где /— порядковый номер ограничений, k — общее
число ограничений данной группы. В неравенстве условно пред-
ставлены все п оптимизируемых параметров, хотя их количество в
каждом конкретном случае может 'быть и (меньше п (такую услов-
ность будем допускать также и в последующем изложении).
В третью группу входят ограничения, обусловленные общими
требованиями к решаемой задаче и предъявляемые к функциям, за-
висящим в основном от фазовых координат, например, требования-
ми к параметрам конечной орбиты, к величине скорости КА в гра-
ничных или характерных точках траектории и т. д. В вариационных
задачах оптимизации некоторые из требований последней группы
представляют собой по существу граничные условия.
Ограничения последней группы имеют принципиальный харак-
тер, и выражаются они, как правило, в виде равенств, которые ус-
ловно можно записать fj(x^ х2,..хп) =0; /= {1, 2,..., т}. Нали-
чие ограничений последней группы существенно осложняет пробле-
му оптимизации параметров КА и ДУ и предъявляет специальные
требования к применяемым методам оптимизации.
В совокупности все ограничения выделяют в л-мерном прост-
ранстве отпимизируемых параметров некоторую область допусти-
мых значений параметров, которая соответствует множеству реаль-
но выполнимых аппаратов.
Таким образом, задачу оптимизации проектных параметров и
параметров, определяющих управление КА, можно сформулировать
в общем виде следующим обазом: для ряда вариантов КА (вы-
бранных типов и конструктивно-компоновочных- схем ДУ и КА)
необходимо определить п оптимизирируемых параметров, удовлет-
воряющих с заданной точностью всем ограничениям и обеспечива-
ющих экстремальное значение принятого критерия эффективности.
В дальнейшем для краткости изложения будем называть задачу
оптимизации проектных параметров ДУ и КА, а также парамет-
ров, определяющих управление КА, задачей оптимизации пара-
метров.
Представим критерий эффективности КА (целевую функцию
проектирования КА) в виде некоторой функции оптимизируемых
параметров Ф = Ф(хь х2, ..хп). Тогда задачу оптимизации
параметров КА можно представить в векторной форме:
max Ф(х) или шшФ(х) при ограничениях	/1(х)^
^0; /2(х)=0, где х—л-мерный вектор, /1, 2 — вектор-функция.
Следует заметить, что задача отыскания тахФ(х) при указанных
ограничениях эквивалентна задаче нахождения» min[—Ф(х)] при
тех же ограничениях. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать
в основном задачу максимизации целевой функции (критерия эф-
фективности).
Геометрическая интерпретация задачи оптимизации может быть
ГО
сформулирована таким образом. В (н-!-1)-мерном пространстве,
соответствующем множеству координат (хь х2, ..хп, Ф) найти на
n-мерной поверхности точку, принадлежащую области допустимых
значений и соответствующую максимальной величине критерия эф-
фективности Ф. Допустимые значения параметров будут находить-
ся в некоторой области, образованной пересечением многомерных
поверхностей, задаваемых функциями-ограничениями указанных
трех групп.
12. ПАРАМЕТРЫ ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ МАНЕВРЫ
ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЗАДАЧИ ПОЛЕТА
Как указывалось в разд. 1.1 (пп. 3 и 4) при оценке эффективно-
сти применения разных типов двигателей и выбора их основных ха-
рактеристик необходимо определить параметры, характеризующие
маневры, и критерии, по которым осуществляется оценка эффек-
тивности выполнения рассматриваемых задач.
В качестве параметров, характеризующих маневр, должны быть
заданы параметры исходной и конечной орбит. В общем случае
сами орбиты и их взаимное расположение нельзя охарактеризо-
вать каким-то одним параметром (например, расстоянием до пери-
гея, эксцентриситетом, углом некомпланарности и т. п.). Однако,
при рассмотрении какой-либо одной задачи это не затрудняет про-
ведения сравнительной оценки различных вариантов двигателей,
поскольку для конкретно рассматриваемой задачи данные об орби-
тах одинаковы.
При проведении сравнительной оценки различных типов ДУ,
топлив, схем, параметров не для одной, а для совокупности задач
возникает необходимость выбрать обобщенный параметр, который
бы наиболее полно и удобно количественно характеризовал манев-
ры, связанные с рассматриваемыми межорбитальными перелетами.
В качестве такого параметра может быть использована величина,
определяющая или потребные приращения скорости, или затраты
энергии при маневрах. Правильность принимаемых решений при
выборе типа двигателя и его характеристик для различных началь-
ных масс космического аппарата Мо и различных маневров опре-
деляется по выигрышу в эффективности выполнения задачи, кото-
рая характеризуется выбранным критерием.
На рис.. 1.1 показано как можно представить границы равной
эффективности или областей рационального применения ЯРД и
ЖРД для различных начальных масс КА, когда рассматриваемые
маневры характеризуются характеристической скоростью Vx, а
оценка эффективности выполнения задачи — стоимостью выпол-
нения задачи — стоимостью выполнения -программы доставки по-
лезных грузов на орбиты назначения.
Можно предложить ряд параметров, которые количественно ха-
рактеризуют маневры, необходимые для выполнения задачи поле-
та: импульсная скорость, равная сумме модулей скоростей, кото-
рые следует мгновенно (без учета изменения координат на актив-
ном участке полета) сообщить КА при изменении-его орбит; харак-
11
теристическая скорость, равная интегралу по времени модуля ус-
корения от тяги в процессе всех маневров; сумма всех изменений
полной (кинетической и потенциальной) энергии КА.
Целесообразно, чтобы выбранный параметр, характеризующий
маневр, был общим для разнообразных маневров, совершаемых
космическими аппаратами при использовании разных типов двига-
телей, и вместе с тем широко использовался в практике космиче-
ских исследований.
Рассматривая в качестве характерного параметра импульсную
скорость, следует сказать, что этот параметр очень широко исполь-
зуется: в настоящее время решено большое число баллистических
задач космического полета, в которых определены координаты при-
ложения, направления и величины импульсных скоростей, необхо-
димые для осуществления изменения орбит и перехода с орбиты на
орбиту при минимальных затратах топлива, заданном времени ра-
боты и др. показателях [43, 68, 70]. Решение задач, в импульсной
постановке дает результаты близкие к истинным по затратам топ-
лива при использовании на КА двигателей на химическом и ядер-
ном топливах — двигателей «больших» тяг (ЖРД — жидкостных,
РДТТ — твердотопливных, ГРД — гибридных, ЯРД — ядерных) ,
поскольку при этих условиях продолжительность активного участ-
ка полета КА мала по сравнению с продолжительностью свободно-
го полета по переходной орбите и, значит, расходом топлива, свя-
занным с преодолением гравитационного поля, можно пренебречь
(конечно в случаях, когда тяга двигателя выбрана правильно — см.
гл. 4, разд. 4.5). Значение импульсной скорости для совершения ма-
невра КА одинаково при использовании двигателей «больших» тяг
всех типов и характеризует потребное приращение кинетической
энергии, которая практически равна полным энергозатратам при
маневре.
Однако, когда тяга двигателя приложена к КА на значительной
части траектории, как это имеет место при использовании ЭРД,
то рассмотрение импульсной скорости в качестве характеристики
маневра или энергозатрат невозможно.
12
Маневр может быть охарактеризован характеристической ско-
ростью, используя которую для любого типа двигателя (и «боль-
шой» и «малой» тяги) по уравнению Циолковского определяется
при известных стартовой массе Л4СТ КА и эффективном (см. гл. 4»
разд. 4.2) удельном импульсе Zy* масса рабочего топлива (рабо-
чего тела) Л1т.р, идущая на ускорение КА
Мт.р ,	/ Кх \	мл
Для определения потребных характеристических скоростей при
совершении различных маневров КА с двигателями «больших» тяг
можно использовать результаты решения задач в импульсной пос-
тановке, поскольку при применении такого типа двигателей числен-
ные значения характеристической и импульсной скоростей близки
для одних и тех же маневров (как указывалось, гравитационные
потери скорости незначительны). В литературе также приведены
результаты решения задач по определению характеристических ско-
ростей при использовании на КА ЭРД [35].
Недостатком использования характеристической скорости в ка-
честве параметра, характеризующего маневр, является то/ что ее
значения при решении одних и тех же баллистических задач с по-
мощью двигателей «малых» и «больших» тяг не одинаковы; они
могут отличаться в несколько раз
^эрд=(1---2,5)УжРд.
При перелете между близкими круговыми орбитами потребные ха-
рактеристические скорости примерно одинаковы, а для преодоления
спутником, вращающимся по окружности высотой 200 км, гравита-
ционного поля Земли в случае использования ЭРД потребная ха-
рактеристическая скорость больше в 2,44 раза [30].
Третьим параметром, которым можно характеризовать
энергозатраты при маневре, является полный импульс тяги
Jv= 2 f Pjdt, где P, и d — соответственно,-тяга, время рабо-
1 о
ты и число включений двигателя при изменении орбит КА. Задание
этой величины — полного импульса тяги — в качестве характери-
стики маневра было бы очень удобным для специалистов, работаю-
щих в области ракетных двигателей, при решении вопросов о вы-
боре типа двигателя и его характеристик, поскольку обеспечение
заданного значения полного импульса зависит только от величин,
связанных с работой самого двигателя (тяга и время работы), и не
зависит от параметров, определяющих маневр КА. Рассмотрим этот
вопрос несколько более подробно.
Выше уже отмечалось, что при осуществлении одного и того же
маневра двигателями «больших» тяг разных типов потребные зна-
чения характеристической скорости практически равны. Покажем,
что при сохранении Vx = const (одинаковый маневр) полный им-
13
пульс тяги не остается постоянным. Для этого выразим величину
полного импульса через характеристическую скорость, эффективный
ЛТ-р.р
удельный импульс и стартовую массу КА Jz=PtK=P — =
=/уфЛ1т р=/уф7Ист , где Л4С — секундный расход массы топлива
Л4СТ
(рабочего тела). Используя уравнение Циолковского (1.1), получим

г Эф
У
1	/ Ух \
1-ехр “лп
\ У /
(1.2)
Из этого выражения видно, что для совершения КА заданного ма-
невра при использовании двигателей «большой» тяги (постоянное
Vx) необходим одинаковый полный импульс только при условии
равенства эффективных удельных импульсов сравниваемых вари-
антов двигателей. Изменение эффективного удельного импульса за
счет перехода к новому типу двигателя (например, переход от
ЖРД к ЯРД), применения другого топлива или изменения основ-
ных характеристик двигателя одного и того же типа потребует раз-
личных величин полного импульса для совершения одинакового
маневра.
Из (1.2) получаем отношение полных импульсов для случая,
когда КА одинаковой стартовой массы (Л4СТ = const) совершает
одинаковый маневр (Vx = const), но двигатели, установленные на
КА, имеют разные эффективные удельные импульсы
На рис. 1.2 приведены зависимости величины k от
ных	полученные из ('1.3). Эти зависимости в
Ух
Л при Раз-
7У1
интервалах,
характеризующихся неравенствами 0 < Vx/Jy* < 1,5; 0<Jyf//y*<
^1,4, аппроксимируются бо-
лее простым уравнением
I	V,
+ 3 
Из графиков рис. 1.2
видно, что для обеспечения
одинаковых маневров (Vx=
= const) при изменении
удельного импульса двигате-
ля следует изменять полный
импульс и тем больше, чем
больше потребная для ма-
невра характеристическая
скорость и существенней из-
14
менился удельный импульс. Например, при сравнении КА с ЖРДг
работающем на кислородно-водородном топливе (/у.ж.~
4300 Н • с/кг [20]) и КА с ЯРД с твердофазным реактором (/уф
« 8700 Н- с/кг [10]) при полете с опорной круговой орбиты высотой
200 км на стационарную орбиту (Vx = 4,9 км/с; V X!J^ = 1Д®) ве-
личина £ = Ля/Аж =1,3, т. е. потребные полные импульсы отлича-
ются на 30% Для одного и того же маневра. Возрастание потребно-
го полного импульса для разгона КА до той же скорости в связи с
ростом удельного импульса ясно и из физических соображений, по-
скольку при той же стартовой массе КА конечная его масса возрас-
тает из-за уменьшения потребного количества топлива.
Проводить сравнительный анализ при разных полных импуль-
сах необходимо не только в случае использования на КА различ-
ных типов ДУ, но и при оценке эффективности использования на
одном и том же типе двигателя разных топлив, схем, систем пода.-
чи топлива или других характеристик, если удельный импульс дви-
гателя изменяется существенно. Однако изменение значения полно-
го импульса можно определить лишь зная кроме удельного импуль-
са и величину характеристической скорости [см. уравнение (1.2)].
Поэтому такой параметр как характеристическая скорость, который
при одном и том же маневре имеет одинаковое значение для раз-
личных двигателей «больших» тяг более удобен, чем полный им-
пульс.
Как будет показано в разд. 4.2, при значениях VX!J3/ < 0,2
можно принять с точностью 10%, что 1 — ехр( — I/^/Jy*)^ Ид./Уу*.
Это равенство означает, что уравнение Циолковского заменено
обычным уравнением механики в предположении, что до скорости
Vx разгоняется тело постоянной массы, равной стартовой массе
КА. Тогда из уравнения (1.3 )при любых /уф и Vx имеем: k=t
или = Таким образом, при сравнении двигателей полный
импульс удобно использовать вместо характеристической скорости
в качестве параметра, характеризующего маневр лишь в двух слу-
чаях: когда удельный импульс сравниваемых вариантов двигате-
лей примерно одинаков — и когда можно принять, что
1 - exp (- Vx/Jf) Vx/J3\ т. е. при 1/л//;ф<0,2.
Рассмотрим последний из перечисленных нами выше парамет-
ров, которыми можно характеризовать маневр и энергозатраты при
совершении маневров, — сумму всех изменений полной энергии,
сообщенной единице массы КАД2:=^ Д
i"
скорость КА после активного участка полета; ц3 = 3,986-105 км3/с2—
произведение гравитационной постоянной на массу Земли; г — рас-
стояние от КА до центра планеты; d — число включений дви-
гателя.
При этом за начало отсчета потенциальной энергии принято ее
значение на бесконечности, где она равна нулю, так что поверх-
V2
. 2
^з
где V —
15
ность планеты является поверхностью минимального уровня потен-
циальной энергии.
Изменение полной энергии характеризует энергозатраты при
маневре КА, использующего любой тип двигателя, однако этот па-
раметр не нашел такого широкого распространения в практике рас-
четов космических полетов как характеристическая скорость. Кро-
ме того, такой энергетический подход неприемлем для характерис-
тики энергозатрат при маневрах, связанных с ориентацией и ста-
билизацией КА, когда его центр масс находится в состоянии свобод-
його полета и полная энергия не изменяется. Величину же харак-
теристической скорости и в этом случае можно столь же успешно
использовать для подсчета потребного для осуществления маневра
количества топлива.
. .Если проанализировать отмеченное выше, то целесообразно в
качестве параметра, характеризующего маневры при выполнении
задачи, использовать характеристическую скорость. Выбранный па-
раметр — характеристическая скорость — остается постоянным для
одного и того же маневра, обеспечивающего выполнение задачи,
при проведении сравнительного анализа в случаях использования
различных топлив, схем и параметров двигателя, а также при оп-
ределении целесообразности использования на КА различных ти-
пов двигателей «больших» тяг (ЖРД, ГРД, РДТТ, ЯРД).
При выполнении одинаковых задач в случае использования на
КА ЭРД величины потребных характеристических скоростей будут
существенно другими. Поэтому при сравнении двигателей «боль-
ших» тяг с двигателями «малых» тяг в качестве параметра, харак-
теризующего маневр, использовать характеристическую скорость
неудобно, а следует выбрать величины, имеющие одинаковые зна-
чения для обоих типов двигателей. Например, при перелете между
окружностями в качестве такого параметра можно выбрать отно-
шение их радиусов.
1.3, КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ЗАДАЧИ ПОЛЕТА
Следует указать, что каждый из приведенных в разд. 1.2 пара-
метров, характеризующий энергозатраты, может быть рассмотрен в
качестве критерия эффективности, по которому проводится сравни-
тельный анализ альтернативных вариантов и выбор оптимальных
характеристик. Например, применительно к ЖРД выбор системы
подачи (вытеснительная или турбонасосная) и оптимальной вели-
чины давления в камере сгорания производят из условия 'получения
максимального суммарного импульса, приходящегося на единицу
начальной массы [ 1] (или на единицу массы составляющих ступени,
зависящих от оптимизируемого параметра [44]), а сравнение топ-
лив, выбор соотношения компонентов топлив и величины давления
в выходном сечении сопла из условия получения максимальной ве-
личины характеристической скорости летательного аппарата.
16
По этому поводу следует сделать следующие замечания. В ра-
ботах [1, 44] правильно указывается, что такие критерии как Ух и
Js/AfCT можно выразить через одни и те же параметры, и парамет-
ры эти влияют на них одинаково. Это видно из уравнений
Vx=/у* 1П|*К;	(1 - — Y
х У	'	У к [Хк/
где рк — отношение начальной массы КА к конечной. Однако не-
смотря на это указанные критерии не могут применяться на равных
основаниях при проведении сравнительного анализа двигателей и
оптимизации, так как при использовании каждого из критериев
значения оптимизируемых параметров получатся не одинаковыми,
поскольку различны виды функций, определяющие связь Vx и
через и рк. Только в случае, когда рк близко к 1 (мас-
са КА при расходовании топлива изменяется незначительно) и
можно принять, что In 1---------или когда рассматриваемый
Рк
параметр влияет лишь на (на цк не влияет), значения оптими-
зируемого параметра, полученные по обоим критериям (Vx и
Js/Мст), будут совпадать. Следует также указать, что возможность
оптимизации каждого параметра двигателя отдельно друг от дру-
га, как это часто делается, даже по одному и тому же критерию
требует специального обоснования, так как между оптимизируемы-
ми параметрами, как правило, имеется взаимосвязь (см. разд. 4.5).
Большим недостатком рассмотренных критериев является то,
что они не могут быть использованы для оптимизации основного
параметра двигательной установки — тяги двигателя. Очень важ-
но и то, что по указанным критериям не представляется возмож-
ным оценить, как изменится эффективность выполнения задачи при
отклонении параметра ДУ от оптимального значения (например,
насколько существенно отклонение величины характеристической
скорости от максимального значения из-за неоптимальности пара-
метра), а именно такие вопросы должны быть решены при опреде-
лении параметрического ряда унифицированных двигателей, при
оценке возможности использования на КА уже существующей ДУ
с параметрами, отличающимися от оптимальных, и решении других
подобных задач.
Рассмотрим другие частные критерии, которые применяют на
практике. При оценке для заданных маневра и стартовой массы КА
эффективности использования различных топлив на одном и том
же типе двигателя, а также при оптимизации его параметров ис-
пользуют в качестве критериев такие величины, как массу рабоче-
го топлива, массу залитого ДУ (сумма масс двигателя, топлива и
баков) или удельную массу залитого ДУ.
По потребному количеству топлива для совершения маневра
(или по удельному импульсу тяги, поскольку Vx и А4СТ задан) срав-
нительную оценку разных топлив для одного и того же типа дви-
гателя можно произвести, если принять, что массы конструкции
КА и ДУ рассматриваемого типа не зависят от рода топлива. Од-
17
нако расчеты показывают, что такое предположение является очень
грубым; различие между изменениями массы топлива ДЛ1Т.Р и мас-
сы полезного груза ДЛ4П существенно, причем оно увеличивается с
ростом относительной массы топлива МТ.Р/Л1СТ в КА и увеличением
разности между удельными массами рассматриваемых конструкций
топливных отсеков, так что при больших маневрах оценка по вели-
чине ДЛ4т.р и ДЛ4П может привести даже к противоположным выво-
дам об эффективности использования сравниваемых топлив. Дви-
гатели различных типов сравнивать по изменению массы топлива
нельзя и при малых маневрах, поскольку массы их конструкций
очень существенно отличаются.
Масса двигателя с топливом и баками (масса залитой ДУ) мо-
жет быть использована в качестве критерия, если на КА отсутству-
ют энергетическая установка и система «увода» (см. разд. 4.1); в
этом случае изменение массы залитой ДУ практически соответст-
вует изменению величины массы полезного груза.
Под удельной массой уд>у залитой двигательной установки, как
критерием оценки, понимают массу двигателя с топливом и баками,
приходящуюся на единицу суммарного импульса тяги, необходимо-
го для совершения маневра. Поскольку, как уже было показано
выше, потребный для совершения одинакового маневра полный им-
пульс из-за изменения удельного импульса тяги в процессе оптими-
зации параметров или при переходе к новому топливу не остается
постоянным, то выбирать в качестве критерия удельную массу за-
литой двигательной установки нецелесообразно. Действительно, ес-
ли рассмотреть, например, два КА, которые одинаково эффективно'
выполняют задачу (оба имеют одинаковые стартовые массы КА и
при том же маневре обеспечивают доставку к цели равные массы
полезного груза), то значения их удельных масс не будут равны
(Уд.У1 ф Уд.уЛ а будут различаться обратно пропорционально ве-
личинам полных импульсов, потребных для обеспечения того же
маневра. Чем больше величина	характеризующая ма-
невр, и больше различаются удельные импульсы рассматриваемых
вариантов ДУ, тем больше отличаются для сравниваемых КА сум-
марные импульсы, потребные для совершения маневра — см. выра-
жение (1.3).
Рассмотрим еще один вопрос, встречающийся в практике опти-
мизации параметров: возможно ли использовать частный крите-
рий — массу двигателя — для определения оптимального значения
давления в камере сгорания двигателя «большой» тяги? Масса по-
лезного груза отличается от стартовой массы на сумму масс двига-
теля, топлива и конструкции, необходимой для их размещения и
функционирования. Отсюда ясно, что масса двигателя Л4Д или его
удельная масса уд (масса на единицу тяги) не могут в общем слу-
чае являться критериями при выборе оптимальных параметров: Л4Д
и уд даже не характеризуют количества топлива, необходимого для
маневра. Рассмотрим этот вопрос несколько подробней примени-
тельно к выбору давления в камере сгорания рк.
18
В простейшем случае массу полезного груза можно записать
как (см. разд. 4.1)
Мц = Л4СТ - Мл - Мт,р - Мт.о - Л4„р,	(1.4)
где Л4д, Мт.о, Л4пр — соответственно массы двигателя (с системой
подачи топлива и радиационной защитой), топливного отсека и
прочих систем. Разделив все члены уравнения (1.4) на Л4СТ, полу-
чим относительную массу полезного груза
Л, = 1 - Ул«о - (1 + Yt.o) [ 1 - exp (— V\/Jy*)] - Af„p/AfCT,
где уд=Л4д/Р — удельная масса двигателя;
л0=Р//4ст —коэффициент начальной тяговооруженности (началь-
ное ускорение КА); ут.о —Л4Т.О/Л4ТР— удельная масса топливного
отсека; 1 — ехр (.— Vпо (1.1). Для определения
оптимального значения рк приравняем нулю частную производную
д^п/дрк- Поскольку n0> Yt.o, Vx и АГпр/Л4ст от рк не зависят, полу-
чим n0 g + (l + YT.o) р^рехР(-7й)	ЕсЛИ бы В КЭЧе'
(стве критерия была выбрана удельная масса двигателя, то опти-
мальное значение рк определялось бы из равенства д\л/дрц = 0.
Отсюда видно, что одинаковое оптимальное значение рк по кри-
териям масса полезного груза и удельная масса двигателя может
получиться лишь при условии, когда dJ^fdpK = 0. Если при опти-
мизации рк оставлять неизменным степень расширения сопла, то,
как показывают расчеты, полученное условие dJ3^ ldpK=Q для
многих случаев соблюдается с достаточной для практики точностью,
и удельная масса двигателей «большой» тяги уд может быть ис-
пользована в качестве частного критерия для оптимизации величи-
ны давления в камере сгорания.	ч
Иногда оптимальную величину степени расширения сопла дви-
гателя выбирают исходя из условия минимизации суммы масс за-
критической части сопла и топлива (масса топлива изменяется за
счет изменения удельного импульса тяги). Так оптимизировать
степень расширения сопла недопустимо и такой критерий не равно-
значен величине массы полезного груза, поскольку нельзя принять
неизменными массу*топливного отсека при изменении массы топли-
ва и массу переходного между ступенями (хвостового) отсека КА
при изменении степени расширения сопла. Выбирать степень рас-
ширения сопла исходя из максимального удельного импульса тяги
также неправильно и даже невозможно: расчеты показывают, что
удельный импульс в пустоте, несмотря на учет потерь в сопле,
растет до очень больших, практически не реализуемых степеней
расширения газа (отношение давлений в камере сгорания и сопле
рк/ра равно сотням тысяч).
Основным требованием, предъявляемым к критерию эффектив-
ности, является требование о его представительности. Это требова-
19
ние означает, что критерий должен отражать решение основной
задачи, поставленной перед КА. Он должен включать в себя ре-
зультаты всех основных существенных процессов рассматриваемой
задачи и иметь достаточно общую форму. В работах [9, 19, 21, 26,
29, 37, 51 использованы наиболее общие критерии для задач
рассматриваемого класса, технико-экономические критерии, свя-
занные со стоимостью выполнения задачи и технической реализу-
емостью получаемых решений. Оптимальным решением в этом слу-
чае считается такое, которое технически выполнимо и обеспечива-
ет решение поставленной задачи при минимуме стоимости прог-
раммы пусков.
При использовании на КА двигателей на химическом топливе
стоимость топлива и двигателя, как правило, невелика по сравне-
нию со стоимостью ступени и полезного груза [57]. Так, выводимая
ракетой-носителем «Сатурн-5» на траекторию полета к Луне наг-
рузка обходится в 5 раз дороже того же по весу количества золота
[46]. Поэтому условия, которые обеспечат доставку к цели макси-
мальной массы полезного груза, будут близкими к оптимальным и
по экономическому критерию.
Использование на КА ЯРД и ЭРД может изменить это положе-
ние. Поскольку стоимость единицы массы ЯРД превышает стои-
мость единицы массы конструкции КА и рабочего тела, то при оп-
тимизации по стоимостному критерию размерность двигателя (тя-
га) получится несколько меньшей, чем в случае оптимизации по
максимуму полезной массы (или минимуму начальной массы).
К сожалению, в литературе отсутствуют необходимые исходные
данные по стоимостям, что не позволило авторам провести расчеты
по технико-экономическому критерию.
Подытоживая рассмотрение вопроса о выборе критерия для
оценки эффективности выполнения межорбитальных полетов и оп-
тимизации параметров ДУ, приходим к выводу, что наиболее целе-
сообразно эти задачи решать, используя (при отсутствии необхо-
димых данных по стоимостям) весовой критерий. В качестве весо-
вого критерия может быть выбрана масса КА, масса полезного гру-
за или их отношение. Авторами в большинстве случаев использу-
ется масса полезного груза, поскольку решение указанных вопросов
при этом получается существенно проще.
Таким образом, в качестве основного параметра, количественно
характеризующего маневры при выполнении задач полета, выбра-
на характеристическая скорость (см. разд. 1.2), а в качестве кри-
терия оценки эффективности выполнения задач — масса полезного
груза.
1.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОМПЛЕКСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ В СОСТАВЕ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Решение задачи оптимизации параметров ДУ в общей постанов-
ке на основе математической модели объекта оптимизации, отвеча-
ющей современному состоянию теории и практики проектирования
20
ДУ и КА, при большом числе оптимизируемых параметров пред-
ставляет собой чрезвычайно сложную проблему и связано, как пра-
вило, с использованием численных методов решения и применением
современных ЭВМ.
Развитие и совершенствование теории и практики оптимально-
го проектирования КА определяется прежде всего успехами в обла-
сти моделирования объектов оптимизации (двигательных установок
и летательных аппаратов), состоянием разработки алгоритмов по-
иска оптимальных решений, а также возможностями применяемых
ЭВМ.
В настоящее время применяются и идет широкий дальнейший
поиск эффективных численных методов решения задач оптимиза-
ции с использованием ЭВМ. Находят применение математические
методы классического дифференциального и вариационного ис-
числения, методы математической теории оптимальных процессов,,
методы динамического, линейного, нелинейного программирования,
регулярного или случайного поиска и др. Вряд ли можно выделить
какой-либо один математический метод, обладающий бесспорными
преимуществами перед другими, который можно было бы рекомен-
довать для применения во всех случаях решения оптимизационных
задач в области летательных аппаратов.
Излагаемый в книге метод сравнительного анализа разных ти-
пов двигателей и оптимизации их параметров предполагает сведе-
ние исходной вариационно-параметрической задачи к параметриче-
ской, при котором необходимо все составляющие компоненты мате-
матической модели выразить через параметры.
Все оптимизируемые для каждой Z-й ступени КА параметры
можно разбить на 3 группы: параметры двигательной установки,
включая энергоустановку (хь х2,..., хр), общее число параметров
для ступени р; параметры ступени космического аппарата (уь z/2, • -
..., уг), общее число параметров г; параметры и функции управле-
ния: положение КА на орбите при включении двигателя, число
включений, продолжительность работы, закон изменения вектора
тяги (zb z2, ..., 2ь), общее число параметров k. В общем случае
двигатель может работать в полете не только на номинальном, но и
на других режимах (например, ЯРД работает на пониженном ре-
жиме расхолаживания реактора), причем новый режим работы оп-
ределяется некоторыми параметрами (например, давлением в ка-
мере на режиме понижения тяги), которые являются в данном слу-
чае параметрами управления. Если на каждой ьй ступени число ре-
гулируемых режимов работы двигателя dper и Л — число оптимизи-
руемых параметров, управляющих переходом на каждый регули-
руемый режим, так что б/реД равно числу параметров, управляю-
щих переходом на новые режимы, то общее число оптимизируемых
параметров будет составлять
(L5>
1
21
Исходную вариационно-параметрическую задачу оптимизации
параметров КА можно свести к параметрической, если заменить
функции управления приемлемым числом параметров. На рис. 1.3
показано, как зависимость ф(/), определяющая, например, закон из-
менения во времени t угла <р между вектором тяги и характерным
направлением, может быть описана несколькими параметрами. Эти
параметры получаются путем замены зависимости ф(/) линейными
зависимостями вида <р(0 =<р(^о) -\-kxt на участке /0—Л, ф(0 =
= ф 0'1) +^2 —tx) на участке tx—Z2, ф(О =ф(М +^з(^—М на участ-
ке t2—^д, fei, k2l k3 — коэффициенты (параметры), определяющие
наклон прямых к оси /, t0—начальное время отсчета функции ф(О-
При таком представлении функции управления ее оптимизация эк-
вивалентна оптимизация параметров (см. разд. 3.2). На практике,
как правило, функция управления заменяется не более, чем двумя
параметрами — см. разд. 3.3. Следует отметить, что выбранные
функции не обязательно должны относиться к классу линейных.
Они должны задаваться в классе кусочно-непрерывных функций с
конечным числом разрывов первого рода.
Представление искомой функции управления некоторым числом
параметров дает возможность избежать решения вариационной за-
дачи, сделать единым алгоритм выбора оптимальных параметров
ДУ, КА и управления полетом (см. гл. 2). При этом открываются
широкие возможности для разработки методов оптимизации пара-
метров на основе современных достижений теории математического
моделирования объектов оптимизации (ДУ и КА) с применением
эффективных алгоритмов поиска оптимальных решений на базе
современных ЭВМ. Заметим, что применение численных методов
тесно связано с возможностями вычислительных машин.
Для совместного определения оптимальных параметров ДУ, КА
и параметров управления целесообразно применять приближенные
методы поиска, которые подразделяются на две группы. В первую
группу методов объединяются регулярные методы поиска экстре-
мума, при которых поиск осуществляется как направленный про-
цесс получения и обработки информации об объекте исследования
ср	[48, 52, 53, 66]. Вторую группу по-
1 \	иска экстремума представляют ме-
k	тоды случайного поиска, характери-
V	зующиеся тем, что в алгоритмы
V	поиска вводятся элементы случайно-
сти и используются различные
статистические методы сбора ин-
формации о направлении движения
х вектора параметров в процессе оп-
тимизации [3, 7, 48, 53, 66]. При-
ближенность методов определяется
тем, что оптимизируемые параметры
0 t	t t ' t находятся с некоторой точностью,
01 г а определяемой принятым алгорит-
Рис. 1.3	мом поиска.
22
Среди регулярных методов поиска применяются: метод скани-
рования, метод покоординатного спуска (метод Гаусса — Зайделя),
градиентный метод, метод наискорейшего спуска и др.
Метод сканирования заключается в последовательном переборе
всех возможных сочетаний параметров и запоминании наибольше-
го значения критерия эффективности. Решение задачи фактически
сводится к обычному перебору большого числа вариантов путем
прямых расчетов при различных сочетаниях оптимизируемых пара-
метров. Этот метод, хотя и позволяет в ряде случаев выявить влия-
ние оптимизируемого параметра на критерий эффективности, име-
ет существенные недостатки. Он требует значительных затрат вре-
мени для анализа результатов расчетов и подготовки соответству-
ющих вариантов расчетов по различным сочетаниям параметров.
Эти процессы осложняются тем, что влияние какого-нибудь опти-
мизируемого параметра на критерий эффективности определяется
расчетным путем при постоянных значениях остальных парамет-
ров, которые в общем случае не являются оптимальными, что сни-
жает ценность получаемой информации. При большом числе опти-
мизируемых параметров решение задачи комплексной оптимиза-
ции параметров ДУ в составе КА методом простого их перебора
практически невозможно.
Метод покоординатного спуска заключается в последовательной
поочередной оптимизации по каждому параметру, при этом все ос-
тальные параметры фиксированы. Как правило, за один цикл по-
иска, т. е. после последовательного перебора всех оптимизируемых
параметров, найти решение задачи не удается. После определения
всех оптимальных значений параметров в первом приближении
осуществляется повторная оптимизация параметров и т. д. Приме-
нение этого метода может оказаться эффективным при небольшом
количестве ограничений.
Градиентный метод заключается в последовательном расчете
частных производных критерия оптимизации по всем параметрам
дФ)дхп путем задания «пробных шагов» по каждой координате
, определении направления градиента и соверше-
\охп &хп /
нии «рабочего шага» в этом направлении. При этом величины pa-
max Ф):
Хп+Ьхп) —
бочих шагов определяются уравнениями (при поиске
Ьхп=аЛФ ~ &х„, где ДФ =Ф(хг, х2,...,
и X
-Ф(Х!, Хя),
а — коэффициент (а>0). Таким образом, в каждой точке
< .	. дФ
...,хп определяется вектор-градиент grad Ф = 1Х---,	.
дх\ дх2
, указывающий направлениенаискореишеговозраста-
ния
ния функции Ф.
Метод наискорейшего спуска отличается от градиентного мето-
да тем, что величина и направление градиента не определяются
х2,.. •
I - дф ,
23
после каждого рабочего шага, как в градиентном методе. Из на-
чальной точки, в которой был определен вектор-градиент Ф, дела-
ется не один шаг, как при использовании метода градиента, а не-
сколько шагов подряд по направлению grad Ф до тех пор, пока
приращение величины ХФ не станет меньше нуля. Эту точку прини-
мают за начальную, определяют в ней вектор-градиент Ф и проце-
дуру повторяют до нахождения оптимального решения. Преимуще-
ство последнего ьметода заключается в уменьшении времени поиска,
особенно при нахождении начальных значений параметров вдали
от оптимальных значений.
Метод случайного поиска заключается в определении оптималь-
ных значений параметров в процессе серии статистических испыта-
ний на ЭВМ. В каждом испытании с помощью датчика случайных
чисел и определенным образом заданных масштабных коэффициен-
тов формируют п случайных значений параметров хь х2,..., хп.
При этом различают две основные разновидности метода случайно-
го поиска: «слепой» поиск и последовательный.
При «следом» поиске каждый раз переменные х2,-.хп при-
нимают случайные значения в области их допустимых значений и
после набора достаточно большого числа испытаний из всего мно-
жества численных значений критерия выбирают наибольшее, кото-
рое и принимается за искомый максимум. Метод «слепого» поиска
требует больших затрат машинного времени и его применение целе-
сообразно только при формировании начальных значений пара-
метров Хь х2,. .хп-
В последовательном поиске применяются приемы последова-
тельного улучшения решения. При этом определяющим является то
обстоятельство, что все случайные шаги совершаются из последне-
го удачного состояния. В свою очередь последовательный способ
поиска может быть простым или адаптивным (обучающимся, при-
способленным)’. При простом поиске не учитывается предыстория
поиска и используется только информация об удачности либо не-
удачности каждого шага. При этом, например, в случае неудачно-
сти шага его направление изменяется на противоположное. Воз-
можно формирование величины рабочего шага не только с учетом
удачности шага, но. и с учетом величины производной функции Ф.
Адаптивный поиск отличается тем, что формирование случайного
шага осуществляется с учетом информации о поведении функции Ф
па протяжении всех предшествующих шагов. При этом в зависимо-
сти от этой информации изменяются вероятностные характеристи-
ки, определяющие как величину шага, так и его направление.
Следует также отметить, что указанные методы регулярного и
случайного поиска могут быть реализованы множеством алгорит-
мов на ЭВМ, эффективность применения которых будет зависеть
от поставленных задач исследования.
Особенностью рассматриваемых задач оптимизации является то,
что критерий эффективности -выполнения задачи полета Ф из-за
имеющихся ограничений (см. разд. 1.1) не всегда может быть при-
нят в качестве критерия оптимизации Фопт, определяющего на-
24
правление движения вектора оптимизируемых параметров
А(%1, х2, ..хп) в процессе поиска оптимального решения. Нали-
чие ограничений вызывает значительные трудности при решении
задачи оптимизации параметров и требует разработки специаль-
ных приемов для преодоления этих трудностей. При этом следует
учитывать, какую роль играет ограничение в решении задачи и яв-
ляется ли оно принципиальным, т. е. определяющим решение за-
дачи, как, например, ограничения третьей группы (см. разд. 1.1).
Удовлетворение ограничениям, накладываемым непосредственно
на оптимизируемые параметры, т. е. ограничениям первой группы,
осуществляется, как правило, путем исключения соответствующих
параметров из группы оптимизируемых (величины этих парамет-
ров принимаются равными их предельно допустимым значениям на
границе). Этот прием может быть использован как при регулярных
методах, так и при методах случайного поиска. Для удовлетворе-
ния ограничениям этой группы не требуется формировать особый
критерий оптимизации, и в качестве его может применяться крите-
рий эффективности. Выполнение указанных ограничений проверя-
ется непосредственно при формировании вектора Х(х^ х2,..хп)
в процессе осуществления рабочих шагов в оптимальном направле-
нии поиска.
Для удовлетворения ограничениям второй группы, если не тре-
буется строго удовлетворять равенства fj(x^ х2, • •хп) =0 (см.
разд. 1.1), также нет необходимости формировать критерий оптими-
зации^При нарушении этих ограничений в процессе движения рек-
тора Х(%1, х2, ...,хп) в каких-либо промежуточных его положени-
ях проводится логический анализ условий и параметров, оказыва-
ющих определяющее влияние на выполнение ограничения, и затем
изменяются определенным образом те параметры, которые оказы-
вают основное влияние на данное ограничение. В этом случае функ-
ция ограничения, которая задает связь между оптимизируемыми па-
раметрами в аналитической форме, рассматривается как дополни-
тельное уравнение связи в математической модели объекта оптими-
зации. Это уравнение используется для определения одного пара-
метра х, который исключается из числа оптимизируемых, так что
число степеней свободы оптимизируемого объекта уменьшается на
единицу. Например, если ограничением является условие Дбг—
Дб(г-1)^0, т. е. диаметр бака последующей ступени Дб г не должен
быть больше диаметра бака предшествующей ступени Дб(г-1), и ес-
ли величины Дб являются оптимизируемыми параметрами, то при
нарушении ограничения оно заменяется равенством Дбг = Дб(г-1) и
один из этих параметров, например Дб г- исключается из числа оп-
тимизируемых до тех пор, пока не возникнет необходимость его из-
менения от границы внутрь допустимой области.
Критерий оптимизации может быть тождественно равным кри-
терию эффективности при наличии принципиальных ограничений
[они выражаются в виде равенств fj(xiy х2, • •хп) =0], (см. разд.
1.1), если применяются случайные методы поиска. В этом случае
при нарушении какого-либо ограничения, в том числе и третьей
25
группы, случайным образом изменяются компоненты вектора опти-
мизируемых параметров до тех пор, пока не будет достигнуто удов-
летворение абсолютно всем ограничениям с одновременным увели-
чением критерия эффективности. Однако на практике этот метод
решения задачи не всегда приводит к положительным результатам,
в особенности при большом числе ограничений.
В настоящее время разрабатываются специальные методы по-
иска оптимальных решений при наличии принципиальных ограни-
чений, среди которых можно указать метод «штрафных» функций,
метод замены данной задачи новой задачей, называемой двойст-
венной, и другие, исследования которых ведутся достаточно интен-
сивно для решения разнообразных задач прикладного характера
13, 48, 52, 53, 63]. В последующем будем применять для удовлетво-
рения принципиальным ограничениям метод «штрафных» функ-
ций (см. гл. 2).
Сущность метода «штрафных» функций заключается в следую-
щем. Предполагается, что ограничения в процессе поиска опти-
мального решения выполняются не абсолютно, а с некоторой точ-
ностью. Для этих целей формируется обобщенный критерий опти-
мизации, определяющий направление движения вектора Х(хь х2, ...
..., хп) в процессе оптимизации, в виде
Ф0>1т(*1> хп, Хь Х2,..., Хт)=Ф(х2, х2,..., х„) +
j^m
•*„)],	(1.6)
. 1
где Ф(%1, *2, •.%п) — критерий эффективности (целевая функция
оптимизации); fj(xb х2, •. .,*п) — принципиальные ограничения, оп-
ределяющие решение задачи; А, — коэффициенты, которые могут
рассматриваться как весовые коэффициенты соответствующих ог-
раничений; q)(fj)—«штрафная» функция, определяющая меру
«штрафа», налагаемого на критерий эффективности при нарушении
/-го ограничения; /= {1, 2,..., т}; т — число определяющих реше-
ние принципиальных ограничений.
«Штрафные» функции, входящие в состав критерия оптимиза-
ции, формируются таким образом, что при нарушении ограничений
объект «штрафуется» путем соответствующего уменьшения (при
максимизации) или увеличения (при минимизации) критерия опти-
мизации в зоне ограничений, причем чем больше нарушаются ог-
раничения, тем больше должен быть штраф. В качестве штрафных
функций могут применяться линейные, квадратические и другие,
выбор которых зависит от решаемой задачи.
Примером «штрафных» функций может служить функция <р =
= (h—h^)2, где h — некоторое значение текущей фазовой коорди-
наты (например, высоты апогея или перигея орбиты) ; ^тр пот-
ребная величина фазовой координату при решении задачи. При не-
удовлетворении ограничения й = Лтр, т. е. при отклонении, напри-
мер, параметров орбиты от заданных значений в большую или
меньшую сторону, объект будет «штрафоваться» и к критерию оп-
26
тимизации будет добавляться вели-
чина «штрафа» kj(h—Лтр)2. При
приближении величины h к йтр ве-
личина «штрафа» уменьшается и в
пределе становится равной нулю
при h = hrp. Так как практически
величины h и йтр не совпадают абсо-
лютно в процессе оптимизации, то
ограничения удовлетворяются с не-
которой точностью.
Метод «штрафных» функций по-
зволяет перейти от замкнутой к
открытой области изменения опти-
мизируемых параметров, т. е. осу-
ществить движение вектора опти-
мизируемых параметров Х(хъ
х2,...,хп) в некоторой зоне, прилегающей к поверхности границы,
определяющей область допустимых значений искомых параметров.
Сущность метода «штрафных» функций можно проиллюстрировать
графически. На рис. 1.4 условно показаны характер изменения кри-
терия эффективности Ф линиями уровней_и граница, определяющая
область допустимых значений вектора X (ограничения fj). Иско-
мое оптимальное решение находится в точке С на границе допусти-
мой области. Если не использовать метод «штрафных» функций, то
при достижении, например, точки А дальнейшее движение с помо-
щью регулярных методов поиска невозможно, так как необходимое
направление движения показывает в область £, недопустимую сог-
ласно ограничению для оптимизируемых .параметров. Таким обра-
зом, если направление движения вектора Х(хь х2, • •хп) будет оп-
ределяться только градиентом целевой функции, то при выходе век-
тора оптимизируемых параметров на границу области мы не можем
получить искомое решение (приблизиться к точке С). При переходе
от замкнутой области к открытой имеется возможность продолжить
движение к искомой точке. Так, например, в точке В направление
движения будет определяться суммой двух векторов — градиента
целевой функции (критерия эффективности) и градиента «штраф-
ной» функции. Градиент «штрафной» функции показывает необхо-
димость движения к границе допустимых значений, а градиент кри-
терия эффективности показывает направление движения, необхо-
димое для увеличения критерия. В итоге получаем направление
движения, которое будет вести к искомому решению.
При представлении критерия оптимизация в виде (1.6) возмож-
но применение не только регулярных, но и статистических методов
поиска оптимальных параметров.
Конкретный вид зависимостей для определения критериев опти-
мизации будет приведен при последующем изложении. Отметим
только, что эти зависимости не являются универсальными и видоиз-
меняются с учетом особенностей рассматриваемых задач оптими-
зации.
27
15. РАЗДЕЛЕНИЕ ЗАДАЧИ КОМПЛЕКСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
НА НЕЗАВИСИМЫЕ ЧАСТИ
Метод комплексной оптимизации параметров ДУ, КА и траекто-
рии полета приводит, как указывалось, к необходимости решать
очень сложную задачу (см., например, гл. 2) и требует больших за-
трат машинного времени на ЭВМ. Разделение задачи на динамиче-
скую и параметрическую (весовую) части упрощает ее решение
{17]. Динамическая часть задачи — это вариационная задача, при
решении которой определяются оптимальные функции и параметры
управления полетом независимо от соотношений масс в КА. Весо-
вая часть задачи — это задача на экстремум, состоящая в определе-
нии оптимальных проектных параметров ДУ и КА из соотношений,
связывающих начальную и полезную массы.
В настоящей книге метод решения задачи путем ее разделения
на независимые части доведен до методики расчета, достаточно точ-
ной для инженерной практики, что позволяет провести массовые
расчеты и определить области рационального применения различ-
ных типов ДУ и их оптимальные параметры для широкого класса
задач.
Запишем задачу, характеризующую межорбитальный перелет
следующей системой соотношений I, состоящей из 8 пунктов, при-
чем в качестве критерия эффективности выполнения задачи (функ-
ционал задачи) примем выбранную «массу полезного груза».
- Система I	__
1.	Уравнение расхода Мс= — |р| / (/)/</уф, где /(/) —функция
принимающая значения 1 или 0, определяя моменты включения и
выключения двигателя.
n ,,	TZ А dr	dV |p|eZ(O .
2.	Уравнения движения центра масс КА — = V и —------—f-
dt	dt Af
+g, где M — текущая масса КА; e(i) — единичный вектор тяги;
g — вектор ускорения от гравитационных сил.
3.	Начальные условия — заданы стартовая масса КА и парамет-
ры, характеризующие исходную орбиту.
4.	Конечные условия — заданы время перелета tn и параметры,
определяющие конечную орбиту. Для рассматриваемых транспорт-
ных задач время перелета обусловлено при использовании двигате-
лей «больших» тяг выбором переходных орбит, обеспечивающих
минимальные энергозатраты, а при использовании ЭРД время пере-
лета принимается равным времени работы двигателя.
5.	Функционал задачи (критерий эффективности ее выполне-
ния) — max Ф = тахА4п массу полезного груза можно выразить как
Afn=AfCT—AfT.p—AfKOH, где AfK0H— масса конструкции КА и ДУ, не-
обходимая для осуществления маневров, или Afn=AfK—AfK0H, где
Мк — конечная масса КА.
6.	Оптимизируемые параметры и функции управления полетом
(см. уравнения в пп. 1 и 2 системы): |Р|, /уф, /(/), е(/), которые
28
определяют потребное количество топлива Л4Т.Р или конечную мас-
су КА Mh, а также влияют на массу конструкции MKQH.
7.	Остальныеоптимизируемые параметры, не .вошедшие в п. 6, но
также влияющие на величину массы конструкции AfKOu, а значит
и на выбранный критерий Мп (см. уравнения п. 5).
8.	Ограничения на оптимизируемые параметры и функции.
Как будет показано в гл. 4, слагаемые, составляющие Л4КОН, как
правило, не могут быть выражены лишь через параметры, указан-
ные в п. 6 системы I, а в соответствии с п. 7 они зависят от многих
других оптимизируемых параметров. Поэтому содержащихся в сис-
теме I уравнений недостаточно для решения задачи оптимизации по
величине полезной массы и необходимы дополнительные зависимо-
сти, которые сложны и не одинаковы для разных типов двигателей
и разных конструктивных'схем КА и ДУ.
Для того, чтобы выделить динамическую часть задачи, следует
в системе I зафиксировать все параметры, влияющие на массу кон-
струкции, включая величины тяги и удельного импульса, входящих
в пп. 1,2 системы I. В качестве искомых оптимизируемых парамет-
ров останутся в динамической задаче законы управления полетом
на активных участках траектории: e(t) и /(/), функционалом (кри-
терием эффективности) будет являться вместо массы полезного гру-
за конечная масса КА или масса рабочего топлива.
Система II, выражающая динамическую часть задачи, будет
иметь пункты, идентичные пп. 14-8 системы I, кроме пп. 3, 6 и 7,
которые запишутся следующим образом.
Начальные условия (см. ,п. 3 системы I) — заданы стартовая
масса КА, параметры, характеризующие исходную орбиту, и, кроме
того, величины |Р| и /уф.
Функционал задачи (критерий эффективности ее выполнения
(см. п. 5 системы I) — Фтах = тах Л1к или 0min = niin Л4Т.Р.
Оптимизируемые параметры и функции управления полетом
(см. п. 6 системы I) е(/) и l(t).
Остальные оптимизируемые параметры в задаче не рассматри-
ваются, так как они приняты постоянными и не влияют на функци-
онал (см. п. 7 системы I).
В уравнения пп. 1, 2 динамической задачи в системе II (так же,
как в системе I) входит тяга и удельный импульс тяги. Поэтому по
результатам решения динамической задачи можно получить сетку
значений величин минимальной массы потребного для маневра топ-
лива при различных (но фиксированных для каждого расчета) тя-
гах и удельных импульсах, т. е. определить minAfT.p = f (|Р|, /уф)
или при заданных стартовых массах КА: minAfTP = / (я0, /уф),
где nQ — коэффициент начальной тяговооруженности или началь-
ное ускорение КА (л0 = Р/Л1ст). Полученные зависимости использу-
ются при решении параметрической части задачи (или стоимост-
ной, если стоимость выбрана в качестве критерия эффективности).
Следует особо указать, что при решении динамической части за-
дачи и использовании в качестве функционала AfT.p вместо Мп по-
29
лучаются такие же, как при решении системы I, оптимальные функ-
ции управления лишь при условии, что масса остальных (кроме
Л4Т р) составляющих либо не зависит от функций управления, либо
минимизируется вместе с Л4Т.Р (например, масса топливного отсе-
ка). Если бы какие-либо составляющие массы конструкции, завися-
щие от оптимизируемых функций и параметров динамической части
задачи, не минимизировались в ходе ее решения, то разделение об-
щей задачи на динамическую и весовую изложенным способом про-
водить было бы нельзя.
Нерегулируемые двигатели, которые рассматриваются в книге,
имеют в течение каждого активного участка траектории постоян-
ный удельный импульс тяги. Поэтому в качестве функционала ди-
намической части задачи может быть принята характеристическая
скорость: она однозначно характеризует относительную массу топ-
лива, необходимую для совершения маневра (см. уравнение 1.1).
Таким образом, для любого типа двигателя (ЖРД, ЯРД, ЭРД)
результаты решения динамической части задачи характеризуют ми-
нимальные энергозатраты на активном участке полета и могут быть
представлены в виде
min M.^ = f (/г0, /уф) или min Vx = f(n^ /уф).	(1.7)
Следует отметить, что для ЭРД величина V.Y слабо зависит от па-
раметров /?о и Поэтому эти параметры оказывают на крите-
рий оптимизации А1П существенно меньшее влияние через массу ра-
бочего тела, чем через другие массы © структурном уравнении, нап-
ример, массу энергоустановки.
Однако параметры и0 и */уф оказывают существенное влияние
на время совершения маневра, и результирующее их влияние полу-
чается таким, что по мере увеличения времени работы ЭРД увели-
чивается критерий эффективности Мп. Но практически время поле-
та ограничивается, например, ресурсом работы элементов КА или
необходимым временем выполнения задачи.
' Поэтому целесообразно принимать время работы двигателя в ка-
честве независимого параметра при решении параметрической час-
ти задачи оптимизации. Это эквивалентно исключению из числа оп-
тимизируемых величин одного из параметров, в качестве которого,
как правило, принимают и0.
Следует также отметить, что сравнивать величину для ЭРД с
величиной импульсного приращения скорости неправомерно: зада-
ча решается в разное время.
При применении двигателей «большой» тяги основное время КА
совершает свободный полет в поле центральной силы по переход-
ной орбите, которая выбирается одинаковой (исходя из минималь-
ных энергозатрат) как при наличии активного участка полета, так и
при импульсном приращении скорости. Время полета КА будет в
этих случаях практически одинаковым, его можно не рассматривать
как величину, характеризующую условия выполнения задачи.
30
Поэтому при применении на КА двигателей «большой» тяги
можно потребную характеристическую скорость сравнивать с им-
пульсной и для упрощения решения задачи оптимизации пойти по
пути ее дальнейшего разделения, используя равенство характерис-
тической скорости сумме импульсной скорости Уи и гравитацион-
ных потерь скорости УГр : Vx = Ии + Угр.
Импульсная скорость равна необходимому приращению скоро-
сти КА, при котором обеспечивается мгновенный переход на новую
заданную или переходную орбиту без активного участка траекто-
рии (изменяются скачком скорость и масса КА без изменения его
положения в пространстве); ее значение не зависит от оптимизиру-
емых параметров. Величина гравитационных потерь скорости зави-
сит от оптимизируемых параметров и она может быть принята в
качестве функционала динамической части задачи.
Тогда решение динамической части задачи для двигателей
«больших» тяг будет представлять собой аналогично уравнению
(1.7) зависимость минимальных гравитационных потерь скорости
(полученных при оптимальном законе управления ускорением КА)
от коэффициента начальной тяговооруженности и удельного им-
пульса тяги, т. е.
min |/гр=/(я0, -/у*)-
Если обобщить решения динамических задач для разных на-
чальных положений КА (они характеризуются радиус-вектором г
между центрами тяжести планеты и КА) и разных маневров (они
характеризуются импульсным приращением скорости), то получим
minify (г, 1/и, Р, /;ф).	(1.8)
Как будет показано в разд. 3.2, решить динамическую часть за-
дачи с Угр в качестве функционала также довольно сложно. Пер-
вая причина, по которой авторы сочли целесообразным произвести
дальнейшее разделение задачи и принять Угр в качестве функцио-
нала динамической части задачи для двигателей «больших» тяг,
состоит в том, что для импульсных маневров могут быть определе-
ны значительно проще координаты точек приложения импульса,
величины и направления импульсных скоростей, т. е. и оптимальные
переходные орбиты, обеспечивающие минимальные энергозатраты.
Более того, в литературе для очень большого числа маневров уже
приведены результаты решения задач в импульсной постановке
(например, переход между компланарными круговыми орбитами по
эллипсу Хомана). Решение задачи в импульсной постановке будет
называться в дальнейшем баллистической частью задачи [43, 68, 70,
71].
Вторая и наиболее важная причина, из-за которой целесообраз-
но провести дальнейшее разделение задачи, состоит в том, что при
этом возникает возможность приближенно решить динамическую
часть задачи, имеющую в качестве функционала гравитационные
потери скорости, и найти аналитическую зависимость гравитацион-
ных потерь скорости от характеристик маневра и параметров дви-
31
гателя, как это представлено в общем видев (1.8). Получение такой
аналитической зависимости в сочетании с известными из баллис-
тики решениями об импульсных перелетах позволит исключить из
задачи комплексной оптимизации проектных параметров ДУ в сос-
таве КА все функции и параметры, связанные с динамикой полета
(определение оптимальных координат КА при включении двигателя,
оптимальных функций и параметров управления на активных участ-
ках полета и оптимальных переходных орбит), и свести общую ва-
риационную задачу к аналитическому отысканию экстремума выб-
ранного критерия эффективности в весовой части задачи. Именно
это позволяет провести массовые расчеты при различных маневрах,
массах КА и типах двигателей, чтобы решить вопросы о рациональ-
ных областях их применения и возможности использовать парамет-
рический ряд унифицированных ДУ для различных задач.
Подводя итог рассмотрения вопросов оптимизации параметров
ДУ в комплексе КА можно отметить следующее. Для решения за-
дачи оптимизации параметров ДУ и КА возможно применение трех
методов, обладающих различной мерой сложности и дающих при
одинаковых предпосылках аналогичные результаты.
Первый метод дает возможность решения задачи в ее наиболее
естественной постановке. При решении задачи этим методом сов-
местно оптимизируются параметры двигателя, параметры КА,
функции и параметры управления на активных участках полета, к
которым относятся величины истинных аномалий, продолжительно-
сти работы двигателя и функции управления вектором реактивно-
го ускорения или параметры, характеризующие эти функции. Ме-
тод не обладает никакими принципиальными недостатками, кроме
одного — он очень сложен и требует больших затрат машинного
времени для решения задачи. Для сокращения записи этот метод
мы будем называть «обобщенный метод».
Упростить решение задачи (особенно при рассмотрении различ-
ных типов двигателей и компоновок КА и ДУ) можно путем разде-
ления ее на две независимые задачи — динамическую и параметри-
ческую. Указанный метод решения задачи будем в последующем
называть «методом разделения». В динамической задаче определя-
ются функции и параметры управления КА на активных участках
полета и (для двигателей «больших» тяг) переходные орбиты,
обеспечивающие минимум энергетических затрат при совершении
маневров. Эта задача может решаться независимо от параметриче-
ской: ее результаты имеют общее значение и могут применяться
при использовании на КА различных топлив, двигателей и вариан-
тов КА. При решении второй параметрической (весовой) части за-
дачи выбираются оптимальные параметры двигателя в составе
космического аппарата.
Применительно к двигателям на химическом и ядерном топли-
вах целесообразно реализовать третий метод решения задачи опти-
мизации, названный «методом двойного разделения», при котором
сама динамическая задача дополнительно разделяется на две не-
зависимые: в первой — баллистической задаче — определяются оп-
32
тимальные переходные орбиты, т. е. точки приложения величины и
направления импульсов скорости, а во второй — название которой
сохранится прежним — динамическая задача — определяются опти-
мальные функции и параметры управления на активных участках
полета. Метод двойного разделения, т. е. решение независимо трех
частей (баллистической, динамической и весовой) общей задачи
оптимизации параметров ДУ в составе КА, является наиболее про-
стым и оперативным и требует минимальных затрат машинного
времени. Экономия машинного времени при применении методов
•разделения связана с тем, что функции управления на активных
участках полета и параметры переходных орбит оптимизируются
только один раз при решении аналогичных задач (задачи с одина-
ковыми опорной и конечной орбитами), так как они получаются
одинаковыми для различных КА.
Глава 2
КОМПЛЕКСНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
ДВИГАТЕЛЕЙ В СОСТАВЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА «ШТРАФНЫХ»
ФУНКЦИЙ И СИСТЕМЫ АВТОНОМНЫХ ПРОЦЕДУР
НА ВХОДНОМ ЯЗЫКЕ ЭВМ
2.1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ОБЪЕКТА ОПТИМИЗАЦИИ
Комплексная оптимизация предполагает совместное определение
проектных параметров двигателей и КА, а также параметров управ-
ления, соответствующих решению баллистической части задачей.
В результате решения задачи получаются оптимальные технические
характеристики КА и оптимальная схема его полета.
Особенностью излагаемого ниже метода является прямое интег-
рирование уравнений движения КА на активных участках полета.
Учитывая при этом, что для получения оптимального решения тре-
буется их многократное интегрирование, область применения мето-
да следует ограничить по соображениям затрат машинного времени
задачами перелетов КА с двигателями «больших» тяг, имеющих
непродолжительные активные участки по сравнению со всем вре-
менем полета. Принципиально возможен аналогичный подход и к
решению задач в случае применения на КА двигателей* «малых»
тяг, т. е. ЭРД, однако реализация его вряд ли целесообразна.
Как указывалось, в книге рассматриваются орбитальные пере-
ходы космического аппарата, не имеющие ограничений по времени
совершения маневра.- К таким задачам следует отнести транспорт-
ные задачи при переходе КА с одной орбиты на другую или изме-
нении параметров орбиты.
2	2804	'	3.4
Конкретизируем постановку
задачи следующим образом.
Известна орбита с произвольно
заданными ее элементами
(опорная орбита). Известны
(они могут варьироваться в ка-
честве исходных данных)’ ха-
рактеристики конструктивно-
компоновочной схемы КА: чис-
ло ступеней космического аппа-
рата, тип двигателей на каж-
дой ступени, компоненты топ-
лива, количество включений
двигателей и другие необходи-
мые исходные данные. Заданы
параметры конечной орбиты, на
которую следует доставить полезную нагрузку. Требуется опреде-
лить оптимальные- параметры ДУ в составе КА, обеспечивающие
экстремальное значение выбранного критерия эффективности.
В общем случае исходная орбита и конечная могут не находить-
ся в одной плоскости, и для достижения заданной орбиты КА дол-
жен совершать некомпланарный маневр. В качестве системы коор-
динат примем абсолютную пространственную декартовую систему
координат с началом в центре притяжения (рис. 2.1). Ось OZ сис-
темы направлена по оси вращения Земли, ось ОХ направлена в
точку весеннего равноденствия, а ось OY дополняет систему до пра-
вой. Систему координат XYZ называют также геоцентрической эк-
ваториальной (абсолютной, звездной) прямоугольной системой ка-
юрдинат [5, 70].
Для характеристики орбит КА будем применять оскулирующую
систему координат. Элементами этой системы являются (рис. 2.1)
наклонение орбиты Z, долгота восходящего узла Q, аргумент пери-
центра со, большая полуось орбиты а, эксцентриситет орбиты е, вре-
мя прохождения КА через перицентр t. Для задач по доставке КА
на орбиты назначения без ограничения по времени параметр t
можно не рассматривать.
Составной частью общей математической модели должна быть
модель проектирования двигателей и КА, позволяющая по приня-
тым проектным параметрам определить массовые габаритные
энергетические и другие технико-экономические характеристики
космического аппарата, в том числе величины, принятые в качест-
ве критериев эффективности. Особенности формирования этой мо-
дели для КА с различными двигателями будут рассмотрены в гл. 4,
5 и 6. В данном случае они не имеют принципиального значения.
Отметим только, что вход в модель проектирования осуществляет-
ся с. вектором проектных параметров и параметров управления, а
на выходе из нее получаются параметры, определяющие, движение
КА (величины тяги, секундного расхода, непроизводительных по^
терь топлива и т. д.), и величина критерия эффективности.
.34
Хотя из математической модели проектирования и получаем ве-
личину критерия эффективности в зависимости от проектных пара-
метров, однако проводить оптимизацию этих параметров с исполь-
зованием только такой модели невозможно. Это объясняется тем,
что полученное решение должно удовлетворять поставленным огра-
ничениям и прежде всего ограничениям третьей группы, вытекаю-
щим из целей полета аппарата (как отмечено в разд. 1.4 ограни-
чения первой и второй групп в большинстве случаев легко выпол-
нить).
Требования по доставке массы полезного груза на конечную ор-
биту с заданными параметрами /к.з, йк.з, <ок.з, Дк.з, ек.3 можно сфор-
мулировать математически в виде следующих ограничений третьей
группы (граничные условия):
^к = ^*к.з’ ^к = ^к.з’
(2. 1)
Ц)к-#к--------&К.З’	---^К.3’
где индекс «к» и «к.з» соответствует параметрам конечной орбиты,
получающейся после последнего включения двигателя, и заданной.
Для проверки возможности удовлетворения этим ограничениям не-
обходима разработка математической модели полета КА и модели
для определения критерия оптимизации.
Дифференциальные уравнения, описывающие динамику полета
КА, в абсолютной системе координат имеют вид
dVx	х I рх	. dx	dVу	у Ру
dt	гз м di	dt	гЗ	1 М
(2.2)
*1L—V  Ш
dt7' dt
= — Из
гЗ 1 М
где х, у, z — текущие координаты центра масс КА; Vx, Vy, Vz, Рх*
Ру, Рг — проекции скорости КА и силы тяги на координатные оси.
Начальные значения величин х, у, z, Vx, Vy, Vz могут быть опре-
делены по заданным параметрам начальной орбиты /н, QH, <он, аНг
ен, к которым необходимо добавить один недостающий параметр..
В качестве этого параметра целесообразно принять величину ис-
тинной аномалии Ф (рис. 2.1) точки на орбите, соответствующей
началу работы двигателя. Так как местоположение этой точки на
начальной орбите заранее не известно и она должна быть выбрана
в процессе оптимизации, то параметр Ф представляет собой оптими-
зируемый параметр управления.
Переход от оскулирующей системы координат /н, йн, сон, ан, ен,
Он к геоцентрической экваториальной прямоугольной системе XYZ
осуществляется с помощью известных соотношений, которые будут
представлены ниже.
Введем вспомогательную барицентрическую скоростную прямо-
угольную систему координат Т, W, N ((рис. 2.2). Ось Т совпадает с
вектором скорости V КА, ось W нормальна плоскости орбиты КА и
35
2*
.коллинеарна вектору кинети-
ческого момента движения
КА, а ось N дополняет систему
до правой. Направления Т, W,
N представляют собой соот-
ветственно тангенциальное (ка-
сательное к орбите), ортого-
нальное плоскости орбиты и
нормальное, положительное
направление которого противо-
положно направлению на мгно.-
венный центр кривизны орби-
ты. На рис. 2.2 показаны также трансверсальное направление S и
радиальное R, совпадающие с направлением радиуса вектора до
точки орбиты. Направление SWR образует барицентрическую ор-
битальную прямоугольную систему координат.
Для определения проекций вектора тяги на выбранные системы
координат достаточно задания двух углов 0 и а, характеризующих
соответственно отклонения вектора тяги в плоскости орбиты от тан-
генциального направления и отклонения вектора тяги от плоскости
орбиты. Проекции силы тяги Р на координатные оси TWN будут
равны соответственно: РТ = Р cos a cos 0; P^ = Psin р cos а; Pw =
= Ps;na. Углы а и 0 представляют собой, по-существу, искомые
функции управления а(/) и р(/). Замена этих функций параметра-
ми осуществляется так; как это показано в разд. 1.4 (рис. 1.3). При
разбиении времени работы двигателя /д на т] интервалов по пара-
метру р и на ц интервалов по параметру а всего получается па,
оптимизируемых параметров управления
+ П + (п + 1) + (рь+ 1) = 2 (т] + н)+ 1,	(2.3)
где (т)-1-р—1)—число оптимизируемых интервалов времени,
включая и величину /д; т]-!-1—число параметров управления, эк-
вивалентных замене функции управления 0(f); (ц-!-1) —число па-
раметров управления, эквивалентных замене функции управления
«(О-
Переход от барицентрической скоростной прямоугольной систе-
мы координат TWN к геоцентрической экваториальной прямоуголь-
ной системе XYZ осуществляется с помощью матрицы для преобра-
зования координат
'Рт
Pw
-Pn
где [А] — матрица перехода, вид которой указан в разд. 2.2.
Масса космического аппарата в текущий момент времени, кото-
рая входит в уравнения (-2.2), описывающие динамику полета, мо-
жет быть рассчитана по формуле: Л4=Л4СТ—Мс (/—/,), где tj —
время /-го включения двигателя. Все особенности полета КА, свя-
36
занные со сбросом каких-либо кон-
структивных его частей, непроизво-
дительных расходов топлива, сбро-
сом части полезной нагрузки перед
включением двигателя или целиком
отработавшей ступени должны от-
ражаться при формировании вели-
чины стартовой массы КА перед
включением* двигателя (см. разд.
4.1). При перелете с опорной орби-
ты на конечную производится d
включений двигателя, с помощью
которых КА выводится на d—1 пе-
реходных орбит, а после последнего
Рис. 2.3
включения — на орбиту назна
чения.
Следует заметить, что выходные параметры ДУ (тяга, удель-
ный импульс) могут различаться при каждом включении. Метод
решения задачи выбора оптимальных параметров предполагает за-
дание в качестве исходной информации количества включений дви-
гателей. Выбор оптимального числа включений может быть осуще-
ствлен после оптимизации параметров для каждого из вариантов d
импульсных переходов и сравнительной оценки результатов реше-
ния для каждого варианта.
Таким образом, имеются все необходимые данные, чтобы прове-
сти интегрирование системы дифференциальных уравнений (2.2).
Это интегрирование можно осуществить в течение всего времени
совершения маневров, включая и участки траектории, когда двига-
тели КА выключены. В этом случае в уравнениях (2.2) на интерва-
лах между очередными включениями двигателя составляющие Рх
Ру, Pz должны полагаться равными нулю. Для однозначного реше-
ния системы уравнений при этом необходимо задавать моменты
времени каждого включения двигателей, которые будут входить’в
число оптимизируемых параметров управления. Однако такое реше-
ние задачи нецелесообразно в связи с очень большими затратами
машинного времени на интегрирование системы уравнений. После
выключения двигателя КА продолжает полет по орбите, параметры
которой могут быть определены и без дальнейшего интегрирования
системы уравнений.
Для момента времени, соответствующего времени окончания ра-
боты двигателя, из системы уравнений (2.2) определяем парамет-
ры лгь г/ь zr, VXl, Vyi, VZl, соответствующие моменту начала пас-
сивного полета КА (точка /и^на рис. 2.3). По указанным пара-
метрам с помощью соответствующих формул перехода определяем
параметры переходной орбиты (орбитд I), по которой будет про-
дрлжать полет КА на пассивном участке (элементы орбиты
о)1, Дь ei). Задав величину истинной аномалии $2 в точке на орби-
те, соответствующей моменту очередного включения двигательной
установки (точка 2), по величинамх’1, Qi, соь аь еь получим на-
чальные значения х2, у2, z2, V у^ V Zi для последующего интег-
37
рирования системы уравнений. Такая процедура должна повто-
ряться столько раз, сколько включений должны произвести двига-
тельные установки КА. В конце работы двигателя при последнем
его включения определяем искомые параметры конечной орбиты
<Ок, ек.
Оценим суммарное количество оптимизируемых параметров ДУ,
КА и управления, которые должны быть выбраны для /-ступенча-
того космического аппарата (КА считаем состоящим из полезного
груза и нескольких разгонных блоков). К числу оптимизируемых
параметров управления kj будут относиться: величины истинных
аномалий орбит, соответствующих точкам каждого включения дви-
гателя ft (общее число параметров равно числу включений двигате-
лей d); продолжительность работы двигателей при их каждом
включении /д (общее количество параметров равно также числу
включений двигателей d); параметры, эквивалентные функциям уп-
равления р(0 и а(0 (их число в соответствии с выражением (2.3)
j --d
= 2 2 (л + нД По сравнению с выражением (2.3) в правой
1
части уравнения отсутствует 1, поскольку продолжительность рабо-
ты двигателя уже учтена отдельно. Суммарное число оптимизиру-
емых параметров составит
n=.2(P+r+w₽er)>+24/+22	(2-4)
1 . 1
Например, при одноимпульсном маневре (d=l) одноступенчатого
разгонного блока (/=1) с нерегулируемыми двигателями (dper = 0)
при числе оптимизируемых параметров двигателя Р=1 (например,
оптимизируется тяга двигателя), параметров КА г = 0 и при пред-
ставлении каждого интервала работы двигателя по параметрам а
и,р только в виде*одного участка линейной аппроксимации (т] = ц =
= 1) получаем минимально возможное число оптимизируемых па-
раметров для разгонного блока равным 7.
Таким образом, в рассматриваемой постановке задачи оптими-
зации параметров ДУ и КА остаются невыясненными вопросы фор-
мирования критерия оптимизации и удовлетворения ограничениям
(2.1). Критерий оптимизации, задающий направлёние движения
вектора оптимизируемых параметров в процессе решения, форми-
руется в виде зависимости (1.6) по методу «штрафных» функций.
Штрафные функции ф представляются в общем случае в. виде сте-
пенных,зависимостей,-которые для ограничений (2.1) приняты рав-
ными
.	?<=к'к-»к.з1в'; ?о=|2к-2к.э1в“; ?ш=К-°)к.з1Вш;
(2.5)
<Ра==|^к" ^к.з| а> — |^к	^к.з1
где Bh Bq, Ва, Ве — положительные безразмерные коэффи-
циенты, величины которых могут изменяться в зависимости от ис-
38
ходных данных задачи. Эти коэффициенты определяют точность ре-
шения задачи и, кроме того, влияют на потребные затраты мащин-
ногсг времени для ее решения. Конкретные рекомендации по выбо-
ру этих коэффициентов могут быть получены лишь в ходе экспе-
риментальных расчетов на ЭВМ.
Как уже отмечалось в разд. L3, могут применяться различные
критерии эффективности: экономические. (стоимостные), весовые
(масса полезной нагрузки, начальная масса КА на опорной орбите)
и др. Поэтому весовые коэффициенты для указанных выше ограни-
чений, которые переводят численные значения соответствующих
«штрафных» функций (2.5) в величины добавок к названным кри-
териям эффективности, будут отличаться для каждого критерия.
В предлагаемом методе решения задачи для определения этих
коэффициентов был применен особый прием, сущность которого
заключается в следующем. Величины штрафных функций, получа-
ющиеся согласно уравнениям (2.5), преобразуются вначале не в
величины, имеющие размерность соответствующего критерия эф-
фективности, а в параметр, который является общим для всех тран-
спортных задач, независимо от рассматриваемого критерия. Таким
параметром является величина скорости. Функции ограничения
(2.5) путем умножения на соответствующие коэффициенты перево-
дятся в величины, имеющие размерность скорости. «Штрафные»
функции приобретают вид
?а=^2|2к-2к.з1Вй;
(2.6)
<Рш = ^Сш|(ок ^к.з! т> ?а = ^а |^к	^к.з1 а»	^к.з| *»
гдеЛ\-, Kq, Каь Ке — коэффициенты, имеющие соответствующие
размерности для перевода «штрафных» функций (2.5) в величины
скорости. Физический смысл зависимостей (2.6) можно трактовать
следующим образом. Каждая функцияпоказывает,
какую скорость необходимо сообщить космическому аппарату до-
полнительно, чтобы свести к нулю рассогласование между соответ-
ствующим заданным параметром орбиты и получившимся после
последнего включения двигателя.
Последующей процедурой является перевод величины
имеющих размерность скоростей, в размерность критерия
эффективности. Перевод «штрафных» функций (2.5) ^к виду (2.6)
осуществляется следующим образом. Считается, что потребные зат-
раты скорости для ликвидации рассогласования между параметра-
ми конечной и заданной орбит реализуются в точке, соответствую-
щей началу работы двигателя при его последнем включении, т. е.
при перелете с последней переходной орбиты на конечную. Вектор
потребного импульса скорости для согласования параметров конеч-
ной и заданной орбиты может иметь не только произвольную вели-*
чину, но и произвольную ориентацию в пространстве. Вместе с тем
для решения задачи необходимо однозначное определение как его
величины, так и направления, чтобы осуществить коррекцию конеч-
39
ной орбиты в требуемом направлении и приблизить ее параметры
к заданным.
Будем полагать, что в общем случае в точке переходной орбиты
прикладываются три «штрафных» скорости по трем взаимно пер-
пендикулярным направлениям, два из которых лежат в плоскости
орбиты, а третий — ортогонален плоскости орбиты. В качестве
этих направлений примем оси барицентрической скоростной прямо-
угольной системы координат TWN. Для определения величин
«штрафных» импульсов по указанным направлениям используется
информация о влиянии каждого из указанных импульсов скорости
на параметры орбиты.
Известно, что тангенциальный импульс может приводить к изме-
нению большой полуоси орбиты, эксцентриситета и аргумента пери-
гея. Соответствующие производные, характеризующие влияние
тангенциального импульса на указанные параметры орбиты, име-
ют вид [70]
da 2д2 de о , . а \ 1
— =—; —=2fe + cos&)—;
dV}	dVt	V
(2.7)
d<*  2 sin (fl — fl0) 1
Jv?- e V ’
где O’o — истинная аномалия перицентра, отсчитываемая от фикси-
рованного в инерциальном пространстве направления (если нап-
равление фиксируется на перицентр, то 0’о = 0); Vt — импульс ско-
рости в тангенциальном направлении.
Нормальный импульс скорости может приводить к изменению
эксцентриситета орбиты и аргумента перицентра. Производные,
аналогичные уравнениям (2.7), равны [70]
de   г sin fl . du  2ae4-rcos^(fl— fl0)
~dv7j a V~ 9 dVN ~ mV
(2. §)
Ортогональный импульс может приводить к изменению наклоне-
ния орбиты и долготы восходящего узла ,
di  cos (fl—flg) e d&  sin (fl — fl0)	n\
dV w	dV w	У $ sin i
где fl’s — истинная аномалия восходящего узла до точки прило-
жения импульса; Vs — трансверсальная составляющая скорости в
точке приложения импульса.
Заменяя дифференциалы в уравнениях (2.7) — (2.9) конечными
разностями и учитывая воздействие составляющих скоростей по
тангенциальному, нормальному и ортогональному направлениям,
40
сформируем искомую величину «штрафного» импульса в следую-
щем виде:
Д^Гштр-рДИ;уштр +AV^Vurip,	(2. 10)
где
Д^Гштр—
Ьав* + В4
V
2 (е + cos ft)
)В’ Двв, + 57Х
eV
2 sin (ft — ft0)
jBe A^Be;
диЛГшпр=в1о fl-^ f'Д^'* +В13 fl
\|г sin ft /
* aeV
2ae + r cos (ft — ftg}
A<oB”;
ДИ^штр— ^16 (I ' </ a J) Д{В” +^19 f
\ J COS (ft — ftg) I/	\
Vs sin i
sin (ft — ft0)
)В2°Д2в*';
ДЛ — |йк ®к.з|’ Д^—|ек ^к.э1>
Д«МШК 0)К.з|’ Д^ = кк ^'к.з1>
' Д2 = |2К —2КЗ|;
где А^гштр» ^штр, Д^Лгштр —суммарные величины тангенциаль-
ного, нормального и ортогонального импульсов, потребные для лик-
видации рассогласования параметров конечной и заданной орбит;
Вь В2,..., B2i— коэффициенты, подбираемые опытным путем и слу-
жащие для оперативного воздействия на «штрафную» функцию при
оптимизации, параметров. Практика расчетов показала, что степен-
ные коэффициенты В должны выбираться в пределах от 0 да 2, а
коэффициенты-множители в зависимости от исходных данных за-
дачи от 0 до 100. Если задан плоский маневр, то в рассмотрение
могут приниматься только тангенциальный и нормальный импуль-
сы, а ортогональный должен быть исключен. Тогда в штрафной
функции коэффициенты Bi6 и Bi9 должны быть положены равны-
ми нулю.
Таким образом, критерий оптимизации, определяющий направ-
ление движения вектора оптимизируемых параметров, будет опре-
деляться по следующей зависимости для различных критериев эф-
фективности:
Фопт=Ф ± ЯфДИштр.	(2.11)
где Ф — выбранный при рассмотрении задач критерий эффективно-
сти; Вф — размерный коэффициент, переводящий величину
«штрафного» импульса скорости в размерность критерия эффек-
тивности. Знак плюс в уравнении (2.11) принимается в случае, если
целевая функция проектирования минимизируется, т. е. для стои-
мостных критериев эффективности и для критерия «начальная мас-
са КА на опорной орбите». Знак минус принимается для критерия
«масса полезного груза».
Определение оптимальных параметров ДУ и КА может произ-
водиться поисковыми методами. Проверка глобальности экстрему-
ма критерия оптимизации при решении задачи рассмотренным мё-
41
тодом может осуществляться как путем многократного решения
задачи при варьировании начальных данных, так и по величине
«штрафной» функции. Близкое совпадение лараметров конечной и
конечной заданной орбит, т. е. приближение величины «штрафов» к
нулю, также свидетельствует о приближении к глобальному экст-
ремуму.
2.2.	СИСТЕМА АВТОНОМНЫХ ПРОЦЕДУР НА ВХОДНОМ ЯЗЫКЕ ЭВМ
ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ
ж
Анализ общей математической модели объекта оптимизации по-
казывает, что целесообразно провести ее разделение на ряд подмо-
делей, разрабатываемых и реализуемых на ЭВМ независимо. Кро-
ме того, учитывая то, что в процессе оптимизации некоторые подмо-
дели могут использоваться многократно и в различных сочетаниях
и последовательностях оказалось целесообразным эти подмодели
представлять в виде процедур, аналогичных используемым во вход-
ных языках ЭВМ. В дальнейшем для сокращения записи частные
модели для определения характеристик ДУ в составе КА будем
именовать процедурами. Кроме того, этим процедурам будут даны
соответствующие условные наименования (идентификаторы), с по-
мощью которых к ним осуществляется обращение в ходе оптими-
зации параметров в реальных программах и с помощью которых
можно представить более наглядно общие алгоритмы и программы
решения задачи. При записи процедур и обращении к ним будем
использовать условности, принятые применительно к процедурам во
входном языке АЛГОЛ.
Прежде всего представляется целесообразным выделить незави-
симый поисковый блок, осуществляющий управление поиском оп-
тимальных параметров. Как отмечалось выше, в поисковых блоках
могут быть реализованы различные алгоритмы для обеспечения
направленного движения в пространстве оптимизируемых парамет-
ров. Несмотря на .принципиальные отличия в реализации указанных
методов отыскания оптимальных решений, поисковые блоки целе-
сообразно выполнять универсальными, т. е. пригодными для при-
менения при решении многих оптимизационных* задач. Поисковый
блок должен позволять проводить анализ информации о величине
критерия оптимизации, осуществлять передачу управления на рас-
чет критерия оптимизации, в соответствии с реализуемым методом
осуществлять изменение оптимизируемых параметров, обеспечивать
удовлетворение ограничениям «снизу» и «сверху» на оптимизиру-
емые параметры и осуществлять прекращение счета после нахож-
дения оптимального решения (достижения поставленной точности
по величинам критерия оптимизации или оптимизируемых парамет-
ров):	.
Применительно к рассматриваемым задачам представляется це-
лесообразным иметь также следующие 10 процедур: для определе-
ния характеристик двигателя; для определения характеристик
42
разгонной ступени; для определения выходных характеристик КА
в целом; для формирования стартовой массы КА перед очередным
включением двигателя; для перехода от барицентрической орби-
тальной прямоугольной системы координат к геоцентрической эква-
ториальной прямоугольной системе координат; для перехода от ба-
рицентрической скоростной прямоугольной системы координат к
геоцентрической экваториальной (прямоугольной системе координат;
для определения координат и составляющих вектора скорости про-
извольной точки орбиты по элементам орбиты; для опредетения
элементов орбиты по заданным начальным условиям движения;
для определения координат и скорости в момент выключения дви-
гателя и параметров переходной орбиты после интегрирования
уравнений движения КА; для определения величины «штрафного»
импульса скорости.
Первые четыре процедуры расчета представляют собой'матема-
тическую модель проектированйя КА. Не рассматривая конкретное
содержание зависимостей, включаемых в указанные процедуры
>(они излагаются в гл. 4, 5, 6), отметим общие особенности этих
процедур. Входными параметрами их являются соответствующие
векторы оптимизируемых параметров (двигателя — X, КА — У, уп-
равления— Z), а также векторы конструктивных параметров (дви-
гателя— /Сд, ступени — Кст, КА — Лка), определяющие особенно-
сти проектирования перечисленных элементов. Входными парамет-
рами процедуры для расчета элемента более высокой ступени
иерархии могут быть также выходные характеристики процедуры
для расчета элемента более низкой ступени иерархии (соответст-
венно векторы Вд, Вст, ВКа). Назовем условно четыре перечислен-
ные процедуры «Двигатель», «Ступень», «КА» (Космический
аппарат), «Сброс». Формальная запись для обращения к
ним будет иметь условно следующий вид: ДВИГАТЕЛЬ
(X, Z, Кя, Вл); СТУПЕНЬ (F, Z, Вя, К„, В„)\ КА (Р, Z, Вя,
/Ска. Яка): СБРОС (Р, Z, Вя, В„, Ккк, ВКА).
Другие из перечисленных выше процедур формируются следу-
ющим образом.
Переход от барицентрической орбитальной прямоугольной сис-
темы координат SWR к геоцентрической экваториальной прямо-
угольной системе XYZ (см. рис. 2.1) осуществляется с помощьф
формул перехода [43]
^x = cp ^2Z ~~	“тг А— AR,
С t\	/\
* С	G	/\
А^-р “7" А/?,
43
где As, Aw, Ar—компоненты вектора А (вектора скорости V или
вектора тяги Р) в системе SWR; Ах, Av, Аг — соответствующие
компоненты вектора А в системе XVZ;
c=]/c? + ci+cl, Cx=yVz — zVy, C2 = zVx-xVz,
C3=xVy-yVx,
С—векторная константа; х, у, z, Vx, Vy, Vz — координаты и со-
ставляющие вектора скорости; R=~V •*2+*/24~2;2-
Процедура в дальнейшем именуется «ОТ SWR K XYZ-». Вход-
ными параметрами процедуры являются величины х, у, z, Vx, Vy,
Vz, As, Aw, Ar, выходными — Ax, Av, Az.
Другим вариантом указанной выше процедуры является • про-
цедура определения направляющих косинусов между координатны-
ми осями SWR ц XYZ. Считается, что параметры движения КА, с
которыми связана система SWR, известны в оскулирующей систе-
ме координат. Тогда величины соответствующих косинусов углов
будут определяться по формулам [68, 70]
	—cos 2 cos и—sin 2 sin и cos/;
RQy — sin 2cos «-j-cos 2 sin a cos/; Rz = sin и sin /;
— — (cos 2 sin « -)- sin 2 c :>s « cos *);
S° — — (sin 2 sin « — cos 2cos a cos/); S° = cos« sin /;
U7° = sin Z sin 2;	= — sin i cos 2; VZz = cos i,
где /?“, R°y, Rz, S°, S°y, S°, W°v, W°z- величины косинусов
углов между направлениями R и X, R и Y, R и Z, S и X, S и
Y, S и Z, VY и X, W и Y, 1Г и Z соответственно; «=<о-|-& — уг-
ловое расстояние точки орбиты от восходящего узла; & —истинная
аномалия точки орбиты.
Для указанных соотношений должны- выполняться равенства
R^+^го2 =1; S°2+$f+sf=l; r“2+r“2+uz°2=l.
Процедура именуется в последующем «УГОЛ». Ее входными
параметрами являются долгота восходящего узла Q, угловое рас-
стояние точки орбиты от восходящего узла и и наклонение орбиты
i. Выходными параметрами являются Ry\ RZQ.
Для перехода от барицентрической скоростной прямоугольной
системы координат TWN к геоцентрической экваториальной пря-
44
моугольной системе XYZ используются следующие соотношения
[43]:
c, , V,c3-v,c.
7^ ЛЫ'
vx
V
VC
VzCi-Vj.Ci
VC ™N'
vxc2-vycx
an,
А __V* Лг4-^3
г V С ' VC
Cx=yVz — zVy, C2—zVx — xV,
где Ат, Aw, An — компоненты вектора А (вектора скорости или
вектора тяги) в системе TWN; Ах, Ау, Аг — соответствующие ком-
поненты вектора А в системе XYZ,
Процедура именуется «ОТ TWN К XYZ». Входными параметра-
ми процедуры являются координаты х, у, z, компоненты скорости
Vx, Vy, Vz и компоненты вектора А(АТ, AN, Aw); выходными —
компоненты вектора А (Ах, Ау, Az).
Процедура для определения текущих координат произвольной
точки орбиты х, у, z и составляющих Vx, Vy, V2 вектора скорости, а
также других параметров движения по известным элементам орби-
ты z, Q, о, а, е(Лп, Ла), О включает следующие зависимости [68]:
r„=R3+h„; ra=R3+ha;
a = R34--h" +ha-; e = r-^
3 г  2	2а
; р=а(\ — г)2; r =-------;
1 + е cos &
V R=e sin &

х = y = rRy‘, z=rRz;
Vx=vR$°x + ИХ; Vy = VRRay + VsS*; Vz=VrRgz +VsS°;
У =	+	+ 9=arcslnJ'l'' + sV'’ + rV' •
rV
Е
f=arclg(]/Mt8^
I £-gsin£
д3/2 ’	X
В приведенных зависимостях Уд, Vs — составляющие вектора
скорости на радиальные и трансверсальные направления; Е — экс-
45
центрическая аномалия точки на орбите; t — время прихода КА от
перицентра в .заданную точку с истинной аномалией Ф; Л — средняя
угловая скорость движения КА по эллиптической орбите; /?з — ра-
диус Земли; Лп, ha соответственно высоты перигея и апогея орбиты
над поверхностью Земли; 0 — угол между вектором скорости и
трансверсалью в точке орбиты;* р — фокальный параметр орбиты;
г — расстояние от центра Земли до. точки орбиты; ?0 — время про-
хождения КА через перицентр.
Процедура расчета имеет идентификатор «СКОРОСТЬ». Вход-
»~\0	r\Q
ными параметрами процедуры являются величины	Ry, Rz,
Sx,	h,i, ha, /0, выходными —a0, e, r, p, VR' Vs, x, y,
z, Vx, Vy, V, О, E, X, t, r„, ra.
Параметры переходной орбиты, получающейся после сообщения
КА импульса скорости, определяются по известным координатам
точки на орбите, соответствующей моменту окончания работы дви-
гателя, и составляющим вектора скорости. Последовательность рас-
чета параметров орбиты будет следующей [43, 68]:
Cv=yVz-zVy\ C2=zVx-xVz, C3=xVy—yVx,
С=j/” С? + C2 + Сз‘,
|2|= arctg^i-;
, C2
-2-—arcsin—;	tf+rf+V2,;
Zt	О
r = yx2+Y2 + Z2;
.	x + yVy + zVz	rV^	r
0 = arcsin---------------; k = —; a=---------
rV	p. 2 — к
e=\/A — A(2—k) cos20; |&|= arcsin ^sin0cOs6
e
n k cos2 0—1	. Q k sin 6 cos 0
cos ft =------------; sin ft =--------------;
e	e
|д|= arcsin -
r sin i
sin u = ——
r sin i
E
2
гп=а(1-г); ra=a(l+<?); Лп=гп-/?3; Aa = ra-/?3.
46
При расчете по приведенным формулам необходимо учитывать сле-
дующее: наклонение орбиты должно быть	величина угла
0 должна находиться в пределах----< 0	’ Величина Угла
долготы восходящего узла выбирается по знаку величин Ci и
C2 в соответствии с данными * табл. 2.1.				Таблица 2.1				
Величины углов и и вы- бираются по знакам синусов и косинусов этих углов в со- ответствии с данными табл. 2.2.	С1			4-	—	—
	с2	4-		—	—	4*
Кроме того, углы — и — должны находиться в одной четверти. Процедура расчета пара- метров орбиты именуется в последующем «ОРБИТА».	2	х-|2|		|2|	2я—12|	л+|2|
				-	Таб	лица 2.2
	sin# sinO	4-	4-		—	—
Ее входными параметрами являются координаты х, yt z и составляющие вектора ско-	cosu cos#	4-	—		—	4-
рости Vx, Vv, VZj а выходны- ми i, Q, 0, а, е, Ъ, и, <о; Лп, Ла, t. Одной из основных про- цедур является процедура	и	l“l	7	С-|И|	л + |и|	2л—|и|
	ft		7	с-|»|	«+|»|	2к—|и|
интегрирования дифферен-						
циальных уравнений движения КА на участке времени, совпадаю-
щем с временем работы двигателя на одном включении. Кроме этих
уравнений, необходимых для расчета начальных параметров пере-
ходной орбиты, получающейся после выключения двигателя, в со-
став входят также процедуры «ОРБИТА» и «ОТ TWN KXYZ». Про-
цедура интегрирования уравнений движения КА при работающем
двигателе именуется «УПРАВЛЕНИЕ». Последовательность рас-
чета уравнений в процедуре «УПРАВЛЕНИЕ» применительно к
одному интервалу времени полета следующая [43, 68, 70]:
Р = Ар + B$t\ а = Аа-\-В<£*, M = MCT — Mct; РТ = Р cos a cos р;
PN = P sin pcos а, PVF = Psina;
Процедура „ОРБИТА";
^з —аз(1~аз sin2 sin2*); h = r — /?3; r=]/x2 + y24-z2; V2 =
=V2+V2,+V2;
Процедура „ОТ TWN К XYZ,.
Уравнения (2.2);
Vx =—'ln^ .
Mc MK
47
В приведенных уравнениях обозначены: Др, Аа, Вл — пара-
метры управления, получающиеся при аппроксимации функций уп-
равления, как это показано в разд: 1.4;	—радиус Земли; аз —
большая полуось общего земного эллипсоида; аз — его сжатие;
Рт, PN, Pw, Рх, Ру, Pz — составляющие тяги по соответствующим
осям координат.
Входными параметрами процедуры «УПРАВЛЕНИЕ» являются
величины Ар, 5р, Аа, 5а, координаты и компоненты скорости КА
при включении двигателя хн, ун, zH, Vx н, Vy н, К н, тяга двигателя
и секундный расход топлива, начальная масса КА, величины £2Н,
zzH, in, время работы двигателя и шаг интегрирования АЛ Выходны-
ми параметрами приняты координаты и компоненты скорости в мо-
мент выключения двигателя хк, Ук, zKl VXK, VyK, V2K, параметры пе-
реходной орбиты fK, Qk, Лп.к, Аа.к, конечная масса КА, масса
израсходованного топлива и затраты характеристической скорости
при включении двигателя.
Процедура для расчета «штрафной» функции составляется по
уравнениям (2.10). Входными параметрами процедуры являются
коэффициенты В2, • • •, #21, которые могут варьироваться, пара-
метры конечной и заданной орбит ак, Дк.з, £к, £к.з, <ок, сок.з, 4, 4«.з,
йк.з и некоторые параметры переходной орбиты V, Vs, г. На вы-
ходе процедуры получаются величины АКгштр, А1ЛуШТр, АУугштр,
AV'smrp- Процедура именуется «ШТРАФ».
Представление процедуры «ШТРАФ» в виде зависимостей (2.10)
открывает широкие возможности для оперативного воздействия на
процесс оптимизации параметров. При этом нет необходимости вно-
сить какие-либо изменения в алгоритм программы, достаточно из-
менить соответствующие входные параметры при обращении к
процедуре.
В заключение приведем общую последовательность расчета
критерия оптимизации и определения оптимальных параметров ДУ
в составе КА по математической модели, составленной с помощью
рассмотренных (процедур. Заданы величины: начальная масса. КА,
параметры опорной орбиты КА, параметры конечной орбиты. При-
нимаются: число ракетных ступеней КА, число включений двигате-
ля каждой ступени и включений двигателя каждой ступени на регу-
лируемом режиме работы, числю интервалов разбиения для функ-
ций управления, начальные значения оптимизируемых параметров
двигателя, ступени и управления для,каждой ступени (в некоторых,
поисковых блоках эти параметры могут выбираться случайно, одна-
ко более целесообразно определять их исходя из имеющегося
опыта).
По ,начальцым значениям оптимизируемых параметров опреде-
ляются выходные характеристики двигателей (энергетические, весо-
вые, тяговые, секундные расходы компонентов топлива при каждом
включении и др.). Путем суммирования произведений секундных
расходов топлива через двигатели на соответствующее время их ра-
боты находится потребный суммарный рабочий запас компонентов
топлива. По проектным параметрам ступени и величине рабочего
48
запаса топлива определяются характеристики каждой ступени и
всего КА в целом. Затем определяется выбранный критерий эффек-
тивности. Указанная выше последовательность расчетов осуществ-
ляется с помощью соответствующих процедур («ДВИГАТЕЛЬ»,
«СТУПЕНЬ» и «КА») проектирования двигателей, ступеней и КА.
В целом этот этап расчета можно назвать этапом проектирования.
Затем необходимо проверить, достигает ли КА заданной конеч-
ной орбиты (удовлетворяются ли заданные ограничения) — это
этап формирования критерия оптимизации. Он включает в себя
цикл однотипных расчетов с использованием указанных выше про-
цедур «УПРАВЛЕНИЕ», «УГОЛ», «СКОРОСТЬ». Эти расчеты про-
водятся в следующей последовательности: определяются началь-
ные значения параметров перед включением двигателя, необходи-
мые для процедуры «УПРАВЛЕНИЕ», с использованием процедур
«УГОЛ», «СКОРОСТЬ» и данных расчетов по процедурам «ДВИ-
ГАТЕЛЬ», «СТУПЕНЬ», «КА», «СБРОС». Затем по процедуре
«УПРАВЛЕНИЕ» рассчитываются параметры переходной орбиты,
соответствующей конечному моменту работы двигателя. По полу-
ченным данным с помощью' процедур «УГОЛ», «СКОРОСТЬ»,
«СБРОС» определяются вновь начальные данные, необходимые
для расчета’движения КА при очередном включении двигателя и
т. д. вплоть до последнего включения двигателя. После последнего
выключения двигателя фиксируются параметры конечной орбиты,
и они используются для определения величины «штрафного» им-
пульса по процедуре «ШТРАФ». Далее по формуле (2.11) опреде-
ляется критерий оптимизации, информация о котором поступает в
специальный поисковый блок для анализа и соответствующего из-
менения оптимизируемых параметров. С измененными параметрами
необходимо вновь войти в математическую модель проектирования
КА. Расчет по указанным процедурам повторяется до тех пор, по-
ка не получатся оптимальные значения проектных параметров и
параметров управления.
Рассмотренный метод комплексной оптимизации параметров ДУ
в составе космического аппарата позволяет проводить решение за-
дачи в наиболее естественной постановке, достаточно близко отра-
жающей физическую картину реального перелета КА. На матема-
тическую модель ДУ, КА и его полета не накладывается никаких
ограничений и требований по ее упрощению. Она может содержать
исходные данные в произвольном виде, в том числе и в табличном,
иметь неявные зависимости, содержать любое число условий, огра-
ничивающих области применимости каких-либо математических за-
висимостей, т. е. быть любой степени сложности.* Единственным тре-
бованием к ней будет требование, чтобы решение могло быть реа-
лизовано на современных ЭВМ по объему информации и необходи-
мым затратам машинного времени. 1Дри этом более существенным
является фактор затрат машинного времени. Стремление учесть в
модели большое число физических явлений и связей, реально име-
ющих место, например, на таком уровне, как это имеет место при
эскизном проектировании КА, может привести к чрезмерно боль-
49
шим затратам машинного времени на поиск оптимального решения.
Поэтому применение изложенного общего метода может быть це-
лесообразным лишь в процессе проектирования конкретного типа
КА. На этапах поисковых исследований и особенно при проведе-
нии массовых расчетов для решения таких, вопросов, как определе-
ние типа ДУ или возможности использования унифицированных ДУ
для широкого класса задач, необходимо применять более простые
методы выбора параметров, осуществляя разделение общей зада-
чи на составные части, как это показано в разд. 1.5.
Глава 3
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
ПАРАМЕТРОВ
В данной главе рассмотрены вопросы определения зависимостей
потребных затрат характеристической скорости от основных пара-
метров ДУ и‘КА. Для двигателей больших тяг (на химическом и
ядерном топливах) динамическая часть задачи представлена в ви-
де двух подзадач: по определению потребных импульсных состав-
ляющих скорости (баллистическая часть задачи) и по определению
гравитационных потерь скорости (собственно динамическая часть
задачи). Для КА с двигателями малых тяг (ЭРД) в динамической
части задачи определяются потребные затраты характеристической
скорости на совершение маневра. Рассмотрение : задачи в импуль-
сной постановке при использовании ЭРД теряет смысл, поскольку
двигатель работает двигательное время и траектория полета КА не
может быть получена сообщением ему импульса скорости.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СКОРОСТИ
ДЛЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ —
БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ЗАДАЧИ
Основными типами транспортных задач в поле центральной си-
лы являются переход с орбиты на орбиту и изменение орбиты. Из-
менение орбиты может быть произведено путем одноразового им-
пульсного изменения вектора скорости, которое определяется как
разность между векторами скорости, получаемыми последи до изме-
нения орбиты. В зависимости от направления вектора импульса ско7
рости изменение орбиты может быть как плоским (компланарным),
так и пространственным. Если вектор импульса скорости располо-
жен в плоскости орбиты, то происходит компланарное изменение
орбиты. В противном случае происходит изменение наклонения ор-
биты или пространственное изменение орбиты. Для перехода с ор-
биты на орбиту необходимо космический аппарат перевести на так
называемую переходную орбиту, которая пересекается (или касает-
50
ся) с обеими орбитами. Таким об-
разом, в общем случае для пере-
хода с одной орбиты на другую
необходимо не менее, чем дву-
кратное изменение орбиты, т. е.
необходимо космическому аппа-
рату сообщать не менее двух им-
пульсов скорости.	Рис зд
Рассмотрим плоский случай
изменения орбиты, при котором
направление скорости изменяется на угол (рис. 3.1) р = 01^-02, где
01 и 02 — соответственно углы, образованные векторами скоростей
1Л и Уг с трансверсалью в точке изменения орбиты до и после ма-
невра соответственно. *Требуемая величина импульса скорости оп-
ределяется по формуле [70]
t ДИ=>1ЛИ + И-21/1У2. COS р.
(3. 1)
Зависимость (3.1) пригодна также и для определения потреб-
ной величины импульса скорости в случае изменения орбиты, свя-
занного с пространственным изменением вектора скорости на
угол а. В этом случае в зависимость (3.1) вместо величины 0 нуж-
но подставить величину а.
Для случая поворота,плоскости круговой орбиты У1 = У2 = Укр =
= р/ — , где УКр — скорость на круговой орбите. Тогда
Д1/ = 2Гкр sin ±(3.2)
Из зависимости (3.2) видно, что для поворота плоскости круго-
вой орбиты на 60° необходимы затраты скорости, равные величине
круговой скорости.
В случае одновременного изменения вектора скорости в плоско-
сти орбиты на угол 0 и поворота плоскости орбиты на угол а (рис.
3.2) потребная величина импульса скорости определяется по фор-
муле [70]
Д V =	+	cos р co>s а.	(3.3)
Как следует из выражения (3.3), для определения импульса ско-
рости с целью изменения орбиты необходимо знать величины ско-
ростей до и после изменения орбиты и величины углов р й а. Эти
величины рассчитываются по основным элементам кеплеровской
орбиты, определяющим ее размер, форму и положение КА на ор-
бите: большой полуоси орбиты а (фокальному параметру р), экс-
центриситету орбиты е и истинной аномалии *4.
Рассмотрим случай изменения одной кеплеровой орбиты
(рис. 3.3, кривая /), имеющей основные элементы и в другую
(рис. 3.3, кривая 2), имеющую основные элементы а2 и е2, компла-
нарную первой и пересекающую ее. При этом большая ось кепле-
51
ровой орбиты в общем случае после ее изменения должна быть
повернута в плоскости орбиты на угол у. Так как при одноимпульс-
hqm компланарном маневре новая орбита всегда пересекает исход-
ную в точке приложения импульса скорости, то имеем *
rt = r2-	(3.4)
Для любой кеплеровой орбиты расстояние от центра Земли до
точки орбиты определяется по формуле
г=------£----.	(3.5)
1 4-е cos $
При необходимости поворота большой оси орбиты на угол у ве-
личины и $2 будут связаны соотношением (см. рис. 3.3) <Ь=
= th-hy. Используя равенства (3.4) и (3.5), получаем уравнение
1 + COS 1 “И ^2 C°S $2
Решение уравнений (3.4) ... (3.6) позволяет получить истинную
аномалию точки приложения импульса скорости на исходной орби-
те для получения параметров заданной орбиты.
Зависимости между основными элементами круговых, эллипти-
Таблица 3.1
Эле- мент орбиты	Тип орбиты			
	круго- вая	эллипти- ческая	парабо- личе- ская	гиперболи- ческая
« а	Г	Гп+Га 2	4^ оо	_ Р ' 1
р	Г	а (1- е2)	2г н	гп (1 +в)
е	О	га—Гп 2а	е=1	е> 1
ческих, параболических и ги-
перболических орбит, которые
могут быть использованы при
решении баллистических задач,
представлены в табл. 3.1.
Из соотношения (3.6) вид-
но, что при e! = e2 = 0 (круговые
орбиты) уравнение не имеет
решения, т. е. начальная и ко-
нечная орбиты не пересекаются
в пространстве. Это'полностью
согласуется с тем фактом, что
переход с одной круговой орби-
ты на другую круговую орбиту
невозможен при помощи лишь
одного импульса скорости.
52
При известных величинах ей# текущая скорость для любой
кеплеровой орбиты может быть определена по формуле
l — e?
1 + е cos $
где Укр — величина круговой скорости, со’ответствующая данной
точке орбиты.
Величина угла 9 будет определяться из соотношений
0 = arccos
1 —е2
1 + е cos #
л	VKpKl+ecos^
0 = arccos------------
v
0 = arctg
е sin $
1 + е cos $
Таким образом, величина импульса скорости для изменения за-
данной орбиты в требуемую будет определяться в следующей пос-
ледовательности. Из уравнений (3.5), (3.6) определяем величины
-91 и 'в'г. По вышеуказанным формулам находим соответственно Vb
У2, 91, 62, р и по уравнению (3.1) определяем величину импульса
скорости для требуемого изменения параметров орбиты.
Для определения разности углов между касательными к орби-
там в точке изменения орбиты можно использовать следующее
выражение [70]
е\ cos #1	1 Ч- 62 cos ^2
COS Р = COS (I0J — 02|) = 1 + Л + Л2----------------
Д .yr(l + *1 Ctfsfri) (1 + £2 COS #2) .
V!V2
= —; V2=—-
. Укр	VKp
В зависимости от параметров а и е начальных и конечных орбит
может оказаться, что орбиты (кривые /, 2) пересекаются, не в од-
ной точке, т. е. уравнения (3.4) ... (3.6) дают несколько решений
(точки 2') (рис. 3.4). В этом случае определяем для каждой
точки потребную величину импульса скорости и выбираем среди
них точку с ^минимальными затратами скорости. Вместе с тем от-
сутствие решений уравнения (3.6) свидетельствует о невозможно-
сти получения с помощью одного импульса скорости орбиты с тре-
буемыми параметрами из заданной исходной орбиты. В этом случае
имеет место переход с орбиты на орбиту (а не изменение орбиты)
и необходимо применение переходной орбиты и не менее чем дву-
кратное изменение вектора скорости. Также как и в случае измене-
ния орбиты, различают компланарные и некомпланарные орбиталь-
ные переходы. Между компланарными некруговыми кеплеровы-
ми орбитами различают соосные и несоосные орбитальные перехо-
ды в зависимости от взаимного расположения больших осей рас-
сматриваемых орбит.
Простейшим случаем орбитального перехода является переход
между компланарными круговыми орбитами. В этом случае пере-
53
Рис. 3.4
Рис. 3.5
ходная орбита, соответствующая минимальной требуемой энергии
(при гн/гк^15,6), представляет собой эллипс, точки апсид которо-
го касаются исходной и конечной орбит (так называемый хоманов-
ский эллипс).
Потребные импульсы скорости для совершения перехода между
компланарными круговыми орбитами будут равны
'(3.7)
(3.8)
где гн, — начальный и конечный радиусы орбит соответственно.
Эти зависимости получены для расчета AVi, 2 при переходе с
внутренней орбиты на внешнюю (гн<гк). При определении им-
пульсов- скорости в случае перехода на внутреннюю орбиту расчет
может .вестись также по зависимостям (3.7) и (3.8), однако необ-
ходимо условно принимать за начальную орбиту более низкую .ор-
биту, а конечной считать более высокую орбиту. При этом затраты
на первый импульс на более высокой орбите будут равны AV2 сог-
ласно формуле (3.8), а затраты на второй' импульс на нижней ор-
бите— AVi, согласно формуле (3.7).
На рис. 3.5 приведены обобщенные результаты расчетов по оп-
ределению параметров, характеризующих часто встречающиеся на
практике задачи перелета по эллипсу Хомана между компланарны-
ми круговыми орбитами с опорной орбиты высотой 200 км: суммар-
ные затраты скорости Д1/иЕ-= Д1Л + Д^Л?, подсчитанные по форму-
лам (3.7), (3.8); /гк— высота конечной круговой орбиты; ТИтрЕ —
масса рабочего топлива, израсходованного при маневрах.
При переходе между некомпланарными круговыми орбитами по
переходной орбите, касающейся заданных орбит, имеется несколько
возможностей совершения маневра. Импульс для поворота плоско-
сти орбиты можно совместить либо с перигейным импульсом, либо
54
с апогейным. Но возможно также поворот плоскости орбиты на
угол а осуществить двумя поворотами в точках касания переходной
орбиты с заданными.орбитами. Минимальные затраты скорости по-
лучаются при двухимпульсном повороте плоскости орбиты: в пери-
гее и апогее [70].
Импульсы скорости для совершения таких орбитальных перехо-
дов в перигее (AVn) и апогее (AVa) переходного эллипса можно
выразить, как это видно из рис. 3.6 и рис. 3.7, через импульсы, не-
обходимые на компланарное изменение скорости (AVTn) и поворот
ПЛОСКОСТИ КруГОВО'Й Ор'биТЫ (АУугп)-
Из рис. 3.6 видно, что' Д1/ц-—А1/гп + А^^п — 2Д1/ГпД1/^пх
X cos (90+-2-).
Определяя AVrn по уравнению (3.7) и AVwn по уравнению
(3.2), получаем
AV"=1/-l/(l/-T^-1Y+4|/-~-sin2v -<з-9)
У Гпу \F Гп Т Га J	I /*П”1“Га	2
Из рассмотрения треугольника на рис. 3.7
=AVra+дVwa - 2ДУ,-аДVWa cos (90-	Y
Подставляя AVt а из уравнения (3.8) и AVwa из уравнения
(3.2), получим:
АИа= j/--t-l/{ 1-»/—^-?+4 1/ -^-sin2^-, (3.10)
I у \ I гн + Га /	|/ Гп + га 2
где ап, аа — углы поворота плоскости орбиты в перигейной и апр-
гейной точках переходного эллипса.
Расчет AVn и AVa для случая гн>гк может вестись также по за-
висимостям (3.9) и (3.10) (с учетом замечаний, указанных выше
для случая компланарного перехода).
Величина оптимального угла поворота плоскости орбиты в пе-
ригее переходной орбиты зависит от отношения радиусов конечной
орбиты и исходной орбиты и суммарного угла поворота плоскости
орбиты. Независимо от величины суммарного угла поворота плос-
55
кости орбиты наибольшие величины угла поворота плоскости ор-
биты в перигее получаются при 1,5	<i2,5 и составляют по-
рядка 4,54-6,5° [70].
Таким образом, в каждом некомпланарном орбитальном перехо-
де между круговыми орбитами необходимо, выбирать оптимальные
значения углов поворота плоскости орбиты при первом импульсе
(ап), а при втором импульсе осуществлять поворот плоскости ор-
биты на оставшуюся часть угла аа = а—ап. Оптимизация величины
осуществляется по критерию Ф = тт (AVn-rAVa).
В табл. 3.2 приведены результаты оптимизации потребных им-
пульсов скорости и углов поворота в апсидных точках для переле-
тов с опорной круговой орбиты высотой 200 км на более высокие
круговые орбиты в зависимости от угла некомпланарности и высо-
ты конечной орбиты Лк.
Таблица 3.2
Высота Л, км а, град.	200			6000			12000		
		ДУ , — v п* с	ап, град	дУа,- а с	с	град	sl и "со	с	ан. трэд
0	0	0	0	1113	948	0	1664	1277	0
10	1358	0	10	1118	1147 •	2,85	1693	1390	2,06
20	2705	0	20	1294	1685	4,54	1747	1709	3,56
30	4032	0 .	30	1343	2421	5,17	1788	2175	4,36
40	5328	0	40	1353	3233	5,29	1807	2724	4,7
50	6583	0	50	1343	4062	5,17	1811	3308	4,76
60	7788	0	60	1324	4882	4,93	1805	3900	4,67
Продолжение .
Высота Л, км а, град.	, 18000			2400Э			36000		
	AVa.” С	sl и	ап> град	дуаЛ а с	дгпЛ С	ап, град	ДУ , - а с	С	ап,град
0	1987	1409	0	2199	1462	0	2440	1478	0
10	2001	1488	1,58	2207	1523	1,26	2464	1519	0,9
20	2032	1713	2,81	2227	1697	2,3	2474	1637	1,66
'30	2060	2052	3,59	2247	1961	3,0	2484	1818	2,22
40	2077	2461	3,98	2260	2286	3,4	2493	2047	2,59
50	2084	2908	4,12	2266	2645	3,58	2498	2305	2,79
60	2083	3369	4,11	2268	3021	3,6	2500	2578	2,85
Формулы (3.2), (3.9) и (3.10) можно обобщить для различных
маневров, включая полет КА между круговыми орбитами с возвра-
56
Таблица 3.3
Параметры, характеризую- щие маневр	Переход на компланарную эллиптическую орбиту с «по- теем га > Гкр	Переход на компланарную эллиптическую орбиту с апо- геем г > гкр и возвраще-	нием на исходную	|	Переход на компланарную круговую орбиту '’Kpj>rKpi	уговую орбиту углом неком-			Переход на компланарную	круговую орбиту гкр >гкр	с возвращением на исходную	Переход на круговую орбиту >гкп с углом некомпла-	парности а и возвращением: на исходную	Поворот плоскости орбиты (Х-0)
					Переход на кр	и CU йй К. Л &	планарности а						
а	0	0		0	(	CtnJ			0		а	-nJ	а
					аа=	=а	ап				«а=	а (хп	
Ki	1	1		1		1			1			1 \	1
Кз	0	0		1		1			1			1	0
Кз	0.	0		0		0			1			1	0
Kt	0	1		0		0			1			1	0
щением на исходную орбиту, путем введения коэффициентов, кото-
рые в зависимости от вида маневра принимают значения, равные О
или 1, как это показано в табл. 3.3 и на рис. 3.8.
ди=1/	1/х/1/ —----------1Г+4 г/ 2Г2  - sin2—.
Г rl V \Г '•п+Га / У Гп + Га 2
(3.11)
При маневре в перигее: ri = rn; Г2=^а’, а = ап; Х= 1.
При маневре в апогее: ri=ra; г2 = Гп; а = ап; Л= —1.
При повороте окружности: г\=-г2 = гп=га = гкр; Х=0 *
Суммарное приращение скорости при маневрах равно:
Д^Е = Лг1Д1/п-|-Лг2Д^:а“|-ЛгзД^а4"АГ4Д1/п.	(3. 12)
Значения коэффициентов К в формуле
(3.12) при рассмотрении различных маневров
с круговой орбиты радиусом гк₽1 приведены в
табл. 3.3.
Обобщенные формулы (З.Ц), (3.12) по-
зволяют разработать единую программу
расчета на ЭВМ , для широкого класса
маневров.
Определение потребных скоростей для пе-
рехода между эллиптическими некомпланар-
ными орбитами при сообщении КА двух им-
пульсов скорости в апсидных точках осу-
ществляется также в результате оптимиза-
ции угла ап по .критерию суммарных за-
к2 ;К3; 4V,
Рис. 3.8

57
трат скорости. Расчет ведется с использованием следующих
соотношений:
• ди1=/к2,.н+ 1/?,.„-2Ипcos ап;
д г2 = К V'a.n + ViK - 2|Ла.,Уа.к cos аа;
®п> ^"п.н Н“Лп.н> ^*а.н	^?3 "4“^а.н> ^а.к ^3 “Н^а.к» ^"н.к	^3 "4“ ^п.к»
Л=^-; £=Л; Ипн = 1/	^,.„ = 1/ А—
Гц.к	г а. к-	\f ^"а.н4"^п.н	\f Г0,к+Гп.н
В
г п.н
га.к“1“ Гп.н
где 7?з, цз —средний радиус и произведение гравитационной пос-
тоянной на массу Земли; га.н, гп.н, га.к, гп.к — соответственно величи-
ны радиусов-векторов в точках апогея (индекс «а») и перигея (ин-
декс «п») начальной орбиты, а также апогея и перигея конечной
орбиты; Ла.н, Лп.н, Ла.к, йп.к — соответствующие высоты орбит; а —
суммарный угол неко>«планарности орбит; Уп.н, Уа.н, Уп.п, Уа.к—
соответственно величины скорости в перигейных и апогейных точ-
ках начальной, переходной и конечной (индексы «н», «п», «к») ор-
бит. Из представленных соотношений для эллиптических орбит по-
лучаются как частный случай соотношения для круговых орбит, ес-
ли ПОЛОЖИТЬ Аа.н = Лп.н И Йа.к = Лп.к-
3.2. РЕШЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ ЧАСТЕЙ ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК
НА ХИМИЧЕСКОМ И ЯДЕРНОМ ТОПЛИВАХ.МЕТОДОМ
«ШТРАФНЫХ» ФУНКЦИЙ И ПО ВЕЛИЧИНЕ
ОРБИТАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
В предыдущем разделе были представлены результаты решения
некоторых задач межорбитального перехода (т. е. баллистической
части общей вариационной задачи) в аналитическом виде. Общее
решение для любых орбитальных переходов (с учетом некомпла-
нарности орбит, типов орбит, ориентации их осей в пространстве и
др.) в настоящее время неизвестно.
,В общем случае определение величины суммарного импульса
скорости для заданного орбитального перехода представляет со-
бой задачу оптимизации. В качестве критерия эффективности при-
нимается величина
1
где Уи j — импульс скорости при совершении маневра; d — число
импульсов скорости, равное числу включений двигателя.
Следует отметить, что в теории орбитальных переходов могут
получаться решения, когда оптимальными по энергетическим зат-
58
ратам являются переходы с числом импульсов скорости, большим
2. Однако в большинстве случаев при этом^выигрыш в требуемой
энергии невелик (не более, примерно, 10%)*, а время перехода ста-
новится чрезмерно большим. Поэтому практическое использование
таких переходов вряд ли будет оправданным, в особенности если
учесть вопросы точности выведения объектов: при значительных
удалениях КА от дентра притяжения параметры движения стано-
вятся чувствительными к начальным ошибкам. Более распростра-
ненными являются двухимпульсные переходы. Однако для общно-
сти в дальнейшем будем рассматривать многоимпульсные переходы
(d-импульсные в общем случае).
Сформулируем задачу следующим образом. Известна кеплерова
орбита с заданными элементами. Требуется определить минималь-
ные затраты скорости для перехода космического аппарата с помо-
щью импульсов скорости с этой орбиты на другую с заданными
элементами. Для решения этой задачи в трехмерном пространстве
примем в качестве системы координат абсолютную пространствен-
ную декартову систему координат с началом в центре притяжения.
Импульс скорости, сообщаемый космическому аппарату в какой-
либо точке кеплеровой орбиты может быть разложен на три
взаимно перпендикулярных оси, две из которых расположены в
плоскости орбиты, а третья — ортогональна плоскости орбиты. Бу-
дем считать, что в общем случае в точке орбиты прикладываются
три импульса скорости: тангенциальный &VT, положительное нап-
равление которого Т совпадает с направлением движения космиче-
ского аппарата, нормальный &VN, положительное направление ко-
торого N противоположно направлению на мгновенный центр кри-
визны орбиты, и ортогональный AW, положительное направление
которого W образует правую тройку с составляющими Т и N. Ука-
занные импульсы скорости приведут к изменению параметров дви-
жения КА и вызовут соответствующие изменения проекций скоро-
сти КА по осям X, У, Z (AVX, AVy, ДУ2).
Величины^лроекций скорости КА на переходной орбите после
сообщения импульсов будут равны
Vxn = VXH + ^Vx; Vyn=Vya+wy- 1/ги = 1/гн + д1/2, (3.13)
где Ухн, Уун, К и — проекции скорости КА на оси X, У, Z до сооб-
щения импульсов.
Импульс скорости, сообщаемый для изменения орбиты, будет
равен	'
=	Д1/т4“ AV^vp.	(3. 14)
При каждом последующем изменении переходной орбиты необ-
ходимо также дополнительно выбрать 4 величины ^н, AW, AW,
AIAv. Таким образом, для совершения d-импульсного орбиталь-
ного перехода необходимо определить 4d параметров. Величины
этих параметров должны быть выбраны такими, чтобы обеспечива-
лись минимальные суммарные затраты импульсов скорости и что-
бы параметры конечной орбиты соответствовали заданным.
59
Для этих целей могут быть использованы численные методы оп-
тимизации. При этом в качестве критерия, оптимизации принимает-
ся величина
<Л)11Т = ^	1р’
1
• (3. 15)
i=d
где	— суммарная величина импуЛьсов скорости для пере-
1
хода КА на конечную орбиту; ДVn j — определяется для каждого
импульса по уравнению (3.14); ДУштр — суммарная величина
«штрафного» импульса, определяемая по уравнению (2.10).
На рис. 3.9 условно показана схема перелета КА на конечную
орбиту при двухимпульсном маневре.
Оптимизация параметров -О, А/т, AVn, A Vw осуществляется в
следующей последовательности. Для заданной исходной орбиты 1
с параметрами ан, ен, iH, Йн, сон выбирают величины истинной ано-
малии -Он и импульсов скоростей AVt н, AVjth, AVwh- По процеду-
рам «УГОЛ» и «СКОРОСТЬ» определяют координаты Хн, К, ZH и
компоненты скорости 7ХН, Vyv, V2H (в точке н на рис. 3.9) до при-
ложения импульсов скорости. Затем с помощью процедуры «ОТ
TNW KXYZ» и уравнений (3.13) определяют на переходной орби-
те 2 компоненты скорости 7ХП, Vyn, Vzn в той же точке после при-
ложения импульсов.
По процедуре «ОРБИТА» и ‘величинам 'Хн, Ки,
ZH, Vxn,-VyTh Vzn определяют параметры переходной орбиты ап, еп,
/п, Йп, соп. Выбирая для переходной орбиты 2 величины -0п, АУтп,
АУтуп, АУугп по процедурам, указанным цыше, получаем параметр
ры конечной орбиты ак, ек, Йк, <ок и определяем по зависимо-
сти (3.15) критерий оптимизации (если рассматривается перелет
более чем с двумя импульсами, то следует задаваться величинами
'й'п, АУтп, AVjvh, АУугп на каждой переходной орбите).-
Управляя параметрами -0н, АКтн, AVnh, AVwh, Фп, А'Ктп»
ДУдгп, AKivn по закону, обусловленному принятым методом опти-
мизации, получаем оптимальное решение поставленной задачи.
В качестве численных методов
оптимизации могут быть использо-
ваны градиентные методы и мето-
ды случайного поиска.
Как видно из предшествующе-
го изложения, метод расчета па-
раметров конечной орбиты КА
при осуществлении импульсных
приложений скорости достаточно
прост и удобен для построения
циклов расчетов на ЭВМ. Потреб-
ные затраты машинного времени
для расчета указанных процедур
на ЭВМ типа БЭСМ-6 составляют
60
Таблица 3.4
единицы секунд, что не мо-
жет идти ни в какое сравне-
ние с затратами машинного
времени на интегрирование
уравнений движения КА при
решении динамической ча-
сти задачи.
Предложенный метод ре-’
шения баллистической части
задачи при орбитальных пе-
реходах может быть приме-
нен и для более частных
случаев, рассмотренных в
предыдущем разделе. Коли-
чество оптимизируемых па-
раметров зависит от рас-
сматриваемой задачи. Так,
напрймер, если необходимо
совершить компланарный
переход, то ортогональные
импульсы скорости должны
быть положены равными ну-
лю AVwh^^AVwn= 0. Для
случая изменения парамет-
ров орбиты величины им-
пульсов на переходной орби-
те	A Vrn=A Vjvn = AVvrn = 0.
Параметры орбит И ОПТИ-* мизируемые величины	Варианты расчетов		
/н, рад	0,888000	0,8880000	0,88800
*к.эг, рад	0,888000	0,8880000	0,70000
/к, рад	0,888002	0,8880003	0,70008
ан, м	6886179	6571210	6571210
#к.3> м	7371210	42371210	42364449
ак, м	7J71337	42370892	42371210
	0,0457	0,0000 .	0,0000
^к.з	0,0000	0,0000	0,0002
е*	0,0001	0,0002	0,0000
®Н, рад	0,0000	0,0000	0,0000
ДУГн, м/с	220,16	2459,87	2459,92
ДУ.Ун, м/с	0,00	0,00	0,00
ДУ^н, м/с	0,00	0,00	-384,01
К рад	3,1416	3,1416	3,1416
ДУ7п, м/с	214,32	1478,03	1476,72.
ДУ/Vn, м/с	0,00	0,00	0,00
ДУ1Гп, м/с	0,00	0,00	329,33
Для некоторых орбитальных
переходов можно указать величины истинных аномалий и -0п-
Например, при переходе между круговыми орбитами ^н=0, и9‘п=л;-
В качестве иллюстрации возможностей применения метода
«штрафных» функций приведем результаты решения некоторых
модельных задач межорбитальных перелетов. Рассматривались как
плоские, так и пространственные двухимпульсные маневры. Для
каждого межорбитального перехода оптимизировались величины
истинных аномалий точек на начальной и переходной орбитах (-Он,
-Оп на рис. 3.9), а также касательных, нормальных и ортогональных
импульсов скорости, сообщаемых КА на опорной и переходной ор:
битахДАУтн, AVnh, АКтгн, AVTn, А^лгп, AVwn). Таким образом,
всего оптимизировались 8 параметров.
Результаты оптимизации для некоторых межорбитальных пере-
ходов представлены в табл. 3.4.
Полученные результаты расчетов хорошо согласуются с данны-
ми общей теории орбитальных переходов. Ошибки определения пот-
ребных импульсных составляющих скорости составляют порядка
0,03 ... 0,3 м/с для плоских переходов, и приближенно 1 м/с — для
пространственных. Следует при этом отметить, что имеется принци-'
пиальная возможность для повышения точности результатов расче-
тов за счет повышения точности определения критерия оптимиза-
61
ции поисковыми методами. Однако это связано, как правило, с до-
полнительными затратами машинного времени.
Оптимизация параметров для плоских переходов осуществляется
достаточно быстро, общее время на решение одного варианта при
использовании градиентного метода поиска оптимизируемых пара-
метров на ЭВМ БЭСМ-6 не превышает 1 мин.
Поиск оптимальных параметров для пространственных перехо-
дов имеет некоторые особенности, связанные с тем, что для повы-
шения точности расчетов оказалось целесообразным суммарные
импульсы скорости «разбивать» на ряд «небольших» импульсов.
Это приводит к дополнительным затратам машинного времени, ко-
торые в этом случае увеличиваются в несколько раз в связи с уве-
личением числа обращений к процедурам расчета для каждого им-
пульса скорости. Обращение к процедурам расчета в данном слу-
чае осуществляется с «небольшими» импульсами скорости. Приме-
нением такого приема достигается некоторое приближение к реаль-
ному случаю приложения силы тяги к КА, при котором импульс
скорости сообщается КА не мгновенно, а в течение некоторого вре-
мени.
Рассмотрим особенности применения метода штрафных функций
для решения динамической части задачи. В результате решения
этой части задачи оптимизации должны быть определены оптималь-
ные функции управления или при замене их эквивалентными пара-
метрами, как это принято в данной, работе, оптимальные величины
этих параметров. Целесообразность решения этой части задачи не-
зависимо от других ее частей (весовой и баллистической) обуслов.-
лена не только тем, что она наиболее трудоемкая по затратам ма-
шинного времени, но как указывалось, ее результаты имеют доста-
точно общий характер и применимы для решения задач оптимиза-
зации параметров двигателей и КА различных типов и ехем. Сум-
марная экономия машинного времени при этом прямо пропорцио-
нальна количеству вариантов рассматриваемых аппаратов.
Наиболее простой постановкой динамической части задачи явля-
ется следующая. Перелет космического аппарата с начальной
(опорной) орбиты на конечную с помощью d включений двигате-
лей разбивается на соответствующее число независимых маневров,
для каждого из которых решается динамическая часть задачи.
Предварительно перед рассмотрением динамической части следу-
ет решить баллистическую часть задачи, в результате решения ко-
торой получаются для каждого включения двигателя величины Ф. и
ДУи, т. е. точка приложения имлульса скорости _на орбите, а так-
же его величина и направление. Величины Ф и АЙИ в свою очередь
однозначно определяют параметры переходной орбиты, на которую
должен выйти КА после реализации импульса скорости.
Таким образом, для каждого маневра нам известны: параметры
начальной орбиты ан, iH, ен, QH, <он; истинная аномалия точки при-
ложения импульса скорости на орбите -Он; параметры переходной
(конечной) орбиты ап.з, *п.з, ^п.з, Йп.з, <оп.3; оптимальная величина
импульса скорости ДУИ, потребная для перехода с начальной орби-
62
ты на переходную при приложении этого импульса в точке, соответ-
ствующей Он- В качестве критерия эффективности при рассмотре-
нии динамической части задачи, как показано в разд. 1.5, прини-
маем гравитационные потери скорости Ф = Игр(г, 1/и, Р, /уф).
Задача оптимизации параметров управления будет заключаться в
том, чтобы обеспечить минимальное значение величины УГр при пе-
релете с опорной орбиты КА на переходную, параметры которой
нам известны. Требование по обеспечению заданных параметров
ап.з, *п.з, £п.з, Йп.зъ<оп.з эквивалентно, как уже было показано ранее,
заданию ограничений третьей группы (см. разд. 1.1).
Кратко задачу можно сформулировать следующим образом:
найти min 0 = min Кгр при ограничениях
^-7п.з=0; 2п-2п.з=0; ^-^.3=0; «п-«п.з=0; *n-*n.3=°- (3-16)
Наличие ограничений типа (3.16) требует введения для поиска
оптимального решения специального критерия оптимизации и
«штрафных» функций. Рассмотрим последовательность их опреде-
ния: Будем считать, что в общем случае на интервале времени ра-
боты двигателя функции управления 0 (отклонение вектора тяги в
плоскости орбиты от тангенциального направления) и а (отклоне-
ние вектора тяги от плоскости орбиты) представлены (см. разд.
2.1) в виде зависимостей
р=Ар + 50/; ct = Aa4-5a./. .	(3.17)
При этом, как и в разд. 2.1,*по параметру р имеется т) интерва-
лов аппроксимации, а по параметру а—ц интервалов, которые
можно представить в виде интервалов времени:
— для функции р
0... бр; бр... /г?; 6р..• 6р;.• •;	(3.18)
— для функции a
0. . . Zja, /1а. • «ба, 6а« • «ба,. • • J /(р.—1)а • • • /р.а«	(3. 19)
Индексы при величинах означают соответственно порядковый
номер интервала аппроксимации (1, 2,...) и принадлежность к
функции управления а или р. Следует отметить, что величины /^р
и /р.аЭ соответствующие моменту выключения двигателя, равны
друг другу /7)Р = /р.а.
Решение динамической части задачи связано с интегрировани-
ем системы дифференциальных уравнений движения КА или в со-
ответствии с принятыми принципами составления математической
модели с применением процедуры «УПРАВЛЕНИЕ». Особенность
процедуры «УПРАВЛЕНИЕ» заключается в том, что она составле-
на применительно только к одному интервалу времени полета КА,
на котором коэффициенты. Ар, Вр, Ая, Вл остаются неизменными.
При этом отсчет времени работы двигателя всегда начинается с
нуля. Эти особенности процедуры требуют выполнения некоторых
предварительных операций с функциями а и 0 с целью подготовки
данных для многократного использования процедуры «УПРАВ-
ЛЕНИЕ».
63
Интервалы времени (3.18) и (3.19) заменяем другой системой
интервалов времени, которые получаются следующим образом.
Размещаем величины 0; 6р, /гр;...;	6а, 6а,..., 6-3 в поряд-
ке их возрастания. Предположим, получаем последовательность
чисел
0; 6oj 6р; 6а*, 6р; 6а*, 6р;...; 6а; 6р;	(3.20)
Из этой последовательности чисел формируем (т]-!-|л—1) интер-
валов времени. При этом продолжительность каждого интервала,
т. е. предельная величина t в уравнениях (З.Г7) будет равна разно-
сти между двумя соседними числами в последовательности (3.20).
Эти величины интервалов применительно к последовательности
(3.20) представлены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Номер интервала времени	1	2	3	- 4	
Величина		бр* • *6а	6а* • *6р	6а* ’ *6р	
Для обращения к процедуре «УПРАВЛЕНИЕ» необходимо за-
дание величин Аа, Ар, Ва, в'уравнениях (3.17). Эти величины
для каждого из (t]-'-|l1—1) интервалов времени, указанных в табл.
3.5, выбираются следующим образом. Величины, Вл и В$ выбира-
ются в соответствии с данными следующей ниже таблицы в зависи-
мости от границ интервалов времени.
Таким образом, если произвольный интервал времени, образо-
ванный двумя соседними числами из последовательности (3.20),
входит в какой-либо интервал из приведенных в табл. 3.6, то для
указанного произвольного интервала берется соответствующая ве-
личина В. Величины Аа и Ар рассчитываются по формулам (3.17),
при этом величина t в них принимается равной меньшему числу из
Таблица 3.6
Для угла а
Время	о...^а	6а* * -6а	ба- * - ба	би-1)а- *
«а	*1.	*2«			
Для угла р
Время	0..	6р- • -6р	6р ’ • • 6р		
Вл	в1?	^2р	*зр		
64
Таблица 3.7
Номер интервала времени	1	2	3	4		СП+-Р—1)
А'	Ао		^«(Ор)	^а(^2р)		Л«('к«)
А?	^ро					ЛР('ка)
двух величин, образующих произвольный интервал времени. Нап-
ример, применительно к последовательности чисел (3.20) величины
Аа и Др будут определяться в соответствии с данными табл. 3.7.
Заметим, что оптимизируемыми параметрами в нашем случае яв-
ляются величины ДаО, ДрО, Bia, B2a, . Bp.a, В10, В23, • . . , B-rft,ha, ha,...,
/pta=/7]pj, /1р, /2р,.../(т)—1)р. Их общее количество определяется по
формуле (2.3).
Таким образом, располагаем достаточной информацией для
расчета критерия эффективности и оптимизации.
По заданным величинам ап, Zn, ен, QH, о)н, с помощью про-
цедур «УГОЛ» и «СКОРОСТЬ» определяем координаты и компо-
ненты скорости в точке на начальной орбите, соответствующей
времени начала работы двигателя хн, уп, zH, VXh, Уун, VzH. Задаем-
ся произвольными значениями величин тяги двигателя, секундного
расхода компонентов топлива (или эффективного удельного им-
пульса) и начальной массы КА на опорной орбите. С величинами
*н, Ун, zH, Vxh, Vyu, VZH, Р, MCi Л40, QH, цп, 1п и параметрами Дао,
Дро, 5ia, Bip, /Р1, принимаемыми в соответствии с указанными вы-
ше рекомендациями для 1-го интервала времени, обращаемся к
процедуре «УПРАВЛЕНИЕ». На выходе процедуры получаем ве-
личины %1,У1,	I/X1,	I/Z1, 7ИК,	соответствующие вре-
мени работы двигателя /Р1. Обращаемся с указанными величинами
к процедуре «ОРБИТА» и находим недостающий для последующе-
го обращения к процедуре «УПРАВЛЕНИЕ» параметр С помо-
щью процедуры «УПРАВЛЕНИЕ» по параметрам хь VX1,
Vух, VZl ulf Р, Мс, AfK, Qi, ih а также по величинам Да, Ва, Др,
Вр, /р получаем соответствующие параметры в конце второго ин-
тервала времени полета.
Повторяя указанные процедуры (т]-!-ц—1) раз, получаем в ито-
ге параметры переходной орбиты /п, йп, соп, ап, еп, а также массу
КА в момент выключения двигателя, а значит массу рабочего топ-
лива для совершения маневра и по формуле Циолковского (1.1) —
характеристическую скорость. Величина гравитационных потерь
скорости (критерий эффективности) будет равна Vrp = Vx—Уи.
По полученным параметрам Zn, Qn, соп, пп, еп и заданным из бал-
листической части задачи /п.3, йп.з, соп.з, Яп.з, ^п.з согласно процедуре
«ШТРАФ» по уравнению (2.10) определяется величина ДУштр, и
затем по (2.11) рассчитывается критерий оптимизации. При этом
3	2804
65
для критерия эффективности Угр весовой коэффициент Вф в урав-
нении (2.11) принимается равным единице. Оптимизация парамет-
ров А и В осуществляется поисковыми методами.
Проводя серию расчетов динамической части задачи при раз-
личных параметрах Р, /у* получаем искомую зависимость
минимальной величины гравитационных потерь скорости при опти-
мальных параметрах управления на активном участке траектории
полета: 1/гр=/(/70» -/у*)- Если варьировать дополнительно началь-
ное положение КА и величину скорости при решении динамической
части задачи, то в число параметров, определяющих величину Угр
войдут величины г и Уи, т е.. в соответствии с (1.8) Угр=/(^о,
J?, ки, |?|).
Общее решение динамической части задачи при рассмотрении
ее в указанной постановке (когда баллистическая часть задачи ре-
шена) применительно к d-импульсному маневру будет заключать-
ся в последовательном решении задачи для каждого из d импуль-
сов в отдельности.
Возможно и более общее решение задачи (методом разделения
вместо двойного разделения), когда поиск оптимальных парамет-
ров управления осуществляется не для каждого включения двига-
теля отдельно, а для всех включений одновременно. В этом слу-
чае не требуется предварительного решения баллистической зада-
чи. После определения параметров /п, Йп, соп, Яп, не определяют-
ся оптимальные управления для одного маневра/а осуществляют-
ся аналогичные выше изложенным процедуры поиска параметров
Z, Q, со, а, е после интегрирования уравнений движения КА для вто-
рого, третьего и т. д. включений двигателя, вплоть до последнего
d-ro, после которого получаются параметры ZK, QK, Як, ек. По па-
раметрам КА в конце работы двигателя при последнем его включе-
нии определяются критерий эффективности Мт или Ух, а по пара-
метрам конечной и конечной заданной орбит определяется величи-
на штрафной функции. В этой постановке баллистическая часть
задачи включена в динамическую, т. е. параметры Ф и 7И также яв-
ляются оптимизируемыми параметрами. Как указывалось в разд.
1.5, более приемлемым следует считать метод решения общей зада-
чи оптимизации путем ее двойного разделения.
В качестве примера представим результаты решения динамиче-
ской части задачи для межорбитального перелета с опорной орбиты
высотой 200 км на геостационарную орбиту высотой 36 000 км при
следующих параметрах ДУ: 7уф= 3500 м/с, Ир = 4 Н/кг.
Оптимальные значения коэффициентов Ар и до первого
включения двигателя получены равными: Ар=— 0,32; Вр= 0,0008
(линейное управление — см. ниже). Гравитационные потери скоро-
сти составили 13 м/с. Для второго импульса скорости принималось
управление ДУ близким к касательному направлению вектора тяги,
при этом гравитационные потери скорости практически равны ну-
лю. Как следует из этих данных, основные потери скорости на
преодоление сил гравитации получаются на низких орбитах. По-
66
этому решение динамической части задачи необходимо в первую
очередь проводить для маневров, совершаемых на орбитах вблизи
планеты.
Баллистическую часть задачи по определению оптимальных за-
конов управления, обеспечивающих минимальные потери характе-
ристической скорости при маневре, можно достаточно точно ре-
шить при использовании двигателей большой тяги с помощью вели-
чины орбитальной энергии. Решение задачи при этом упрощается
за счет того, что не совсем точно выполняются ограничения треть-
его рода (параметры заданной конечной орбиты).
Суть этого метода оптимизации заключается в следующем. Из-
вестно, что орбитальная энергия КА, свободно движущегося в цент-
ральном поле, есть величина постоянная для данной орбиты (71].
Полная энергия единицы массы КА, которую нужно достичь на
переходной эллиптической орбите при выполнении маневра
Е
^эл
йк*2-1)
,п га,п
(3.21)
где Va, п, га, п — абсолютные-скорости КА и расстояния до центра
Земли в апогейной и перигейной точках.
Данной величине полной энергии может соответствовать мно-
жество различных орбит, но если выбрана энергия орбиты и ее пе-
ригей, который соответствует при импульсном маневре радиусу на-
чальной круговой орбиты, то переходная орбита будет только одна.
Действительно, величины V, г и е связаны между собой
у2га	у2Ги
е=1------—=------------1 [71], так что в (3.21) имеется лишь три
^з	‘“з
независимые переменные. Поэтому если орбиты имеют одинаковые
энергии и расстояния до перигея, то переходная орбита будет одной
и той же. Энергия единицы массы КА на орбите может быть одноз-
начно выражена через ее большую полуось Е9Л=-----[71], от-
куда ясно, что равенство энергии при одинаковых перигейных точ-
ках орбиты приводит к одинаковым апогейным точкам.
Параметры переходной орбиты определяются из решения бал-
листической части задачи (при импульсных приращениях скоро-
стей). Поскольку активный участок полета при использовании
ЖРД и ЯРД невелик, то можно считать, что положение КА на нем
остается неизменным (r = r0 = const), так что энергия единицы мас-
сы КА на переходной эллиптической орбите может быть прибли-
женно -выражена как
V2	у.
£8л=^--------•	(3. 22)
2	г0
Задача решается численным методом: задаются значениями ко-
эффициента начальной тяговооруженности и удельного импульса,
производят интегрирование по времени уравнений движения КА
3*
67
при разных законах (функциях) управления и подсчитывают пол-
ные энергии ЕЭл до момента времени, когда текущая орбитальная
энергия на активном участке полета станет равной энергии пере-
ходной орбиты, вычисленной по (3.21) или (3.22). При этом функ-
ции управления (отклонение вектора тяги в плоскости орбиты и от
этой плоскости) представляются в виде (3.17) и варьируются до
тех пор, пока не будет обеспечен переход на орбиту с заданным
энергетическим уровнем при минимальном времени работы двига-
теля, что обусловит получение минимальных значений характерис-
тической скорости и гравитационных потерь скорости.
Практически оказывается достаточным для небольших манев-
ров выбрать в качестве оптимальной функции управления постоян-
ную величину углов (так называемая однопараметрическая опти-
мизация или постоянный закон управления), т. е. в уравнении
(3.17) ?oiit=^3oiit и аопг=ДаО11Т, а при маневрах, характеризующих-
ся Уи более 1 км/с, выбрать один интервал линейной аппроксима-
ции оптимальной функции управления, для которой определить на-
чальные углы Аз и‘ Аа в момент включения двигателя и угловые
скорости изменения этих углов В$ и т. е. РОпт=^опт+ВрОпт/ и
®OTiT ==: Ааопт “Н Baoirr t (двухпараметрическая оптимизация или линей-
ный закон управления).
Параметры переходной орбиты, полученные с использованием
величины орбитальной энергии, не будут точно совпадать (кроме
величины энергии КА) с заданными параметрами орбиты из бал-
листической части задачи, однако поскольку при использовании
двигателей больших тяг траектории активных участков малы по
сравнению с траекторией свободного полета КА, то найденная пе-
реходная орбита будет очень близка к заданной и по ней КА дос-
тигнет цели.
Результаты решения задач по орбитальной энергии, полученные
при разных значениях коэффициентов начальной тяговооруженно-
сти и удельных импульсах применительно к рассматриваемому ма-
невру и положению КА в пространстве, позволяет получить иско-
мую зависимость, характеризующую решение динамической части
задачи Игр = / ^уФ)-
Однако, несмотря на значительное упрощение, решение задачи
при использовании орбитальной энергии остается достаточно слож-
ным.
Для рассмотрения большого числа задач при изменении в ши-
роких диапазонах маневров и начальных масс КА особенно важно
наиболее сложную часть общей задачи — динамическую часть ре-
шить аналитически. Этому вопросу посвящен следующий раздел
главы.
3.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ЗАДАЧИ
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДВИГАТЕЛЕЙ
НА ХИМИЧЕСКОМ И ЯДЕРНОМ ТОПЛИВАХ
В настоящем разделе дано приближенное решение динамиче-
ской части задачи оптимизации проектных параметров ДУ в соста-
68
ве КА в виде аналитической зави-
симости гравитационных потерь
от координат КА в момент вклю-
чения двигателя (начальной вы-
соты полета), импульсной скоро-
сти при маневре, коэффициента
начальной тяговооруженности и
эффективного удельного импуль-
са.
Решение основано на импульс-
ной аппроксимации активных
участков полета: последние за-
меняются мгновенными скачкооб-
разными изменениями скорости,
как это изложено в [54]. При этом
обеспечивается условие, чтобы
траектории на участках свободно-
го полета между импульсами (пе-
реходные орбиты) были близки к
фактическим траекториям, полу-
чающимся при воздействии на КА
Рис. 3.10
тяги.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда КА движется по
инерции в бессиловом поле (значит с постоянной скоростью), а за-
тем под действием тяги в промежуток времени от до /2 ускоряет-
ся в постоянном направлении по оси X. Если выбрать систему ко-
ординат, движущуюся с начальной скоростью КА^ что не изменит
общности задачи, то до активного участка КА будет находиться в
состоянии покоя и задача становится одномерной: КА движется
вдоль оси X. Ускорение вдоль оси X равно полному ускорению, за-
кон его изменения зависит от массы КА и величины тяги.
На рис. 3.10 сплошными линиями приведен для рассматривае-
мой задачи пример изменения ускорения, скорости и положения КА
в зависимости от времени при наличии активного участка полета
/1—12. Пунктирными линиями показано изменение этих же величин
при импульсном маневре. Чтобы обеспечить одинаковые траекто-
рии полета, импульс скорости должен прикладываться в момент
времени /с, соответствующий центру тяжести профиля ускорения
силы тяги. Поэтому время tc может быть определено из условия ра-
венства нулю первого момента профиля ускорения относительно
своего центра тяжести, т. е. М^= j* (/i — t^a (t)dt=O.
ti
В рассматриваемом простейшем случае для совпадения конеч-
ных орбит потребовался импульс, равный фактически затрачивае-
мой характеристической скорости, т. е. имеет место равенство зат-
рат топлива. Таким образом, в этом случае импульсная аппрокси-
мация является точной. Так же будет, если отказаться от предпо-
ложения об отсутствии силы тяжести и считать силов-ое поле посто-
69
янным, т. е. градиент силы тяже-
сти равным нулю, а ускорение си-
лы тяжести на активном участке
полета не зависящим от положе-
ния КА. Действительно, в этом
случае силовое поле можно ис-
ключить, перейдя к свободно па-
дающей системе координат.
Из предыдущего следует вы-
вод, что неточность импульсной
аппроксимации активных участ-
ков полета в общем случае по
сравнению с рассмотренными
обусловлена двумя причинами:
наличием градиента силы тяже-
сти и непостоянством направле-
Рис зи	ния вектора тяги.
Далее рассмотрим компланар-
ные маневры КА. В качестве системы координат примем прямо-
угольную инерциальную систему, начало которой поместим в точ-
ку приложения импульса скорости. Ось X направим параллельно
вектору тяги в момент времени, соответствующий центру тяжести
профиля ускорения, т. е. она совпадает с некоторым средним на-
правлением вектора тяги. Ось Y перпендикулярна оси X и распо-
ложена в плоскости орбиты.
Сначала рассмотрим эффекты, связанные с непостоянством нап-
равления тяги без' учета изменения градиента силы тяжести. Пред-
положим, что вектор тяги во время работы ДУ изменяет свое нап-
равление с некоторой постоянной угловой скоростью р относитель-
но выбранной инерциальной системы координат. Тогда составляю-
щие ускорения силы тяги будут определяться уравнениями
ax(t)=a (/) cos [(/ — ay(f} =a(t) sin [(/ —
или .ввиду малости углов ограничивания разложение тригонометри-
ческих функций первым членом
[1 -	Ыа(/),
(3. 23)
(/) ^ (/ — /,.) ад (/),
(3. 24)
где t — текущее время работы ДУ; tc — время работы, соответству-
ющее центру тяжести профиля ускорения КА.
Зависимости от времени проекции ускорения, скорости и поло-
жения на оси X не будут качественно отличаться от показанных на
рис. 3.10, а по оси Y они изображены сплошными линиями (рис.
3.11).
70
Интегрируя уравнение (3.24) по времени работы двигателя в
пределах от t{ до t2i получим изменение скорости вдоль оси У:
AV^ = (о J а (/) (/ - /2) dt.	(3. 25)
Как уже указывалось выше, выражение, стоящее под знаком
интеграла, представляет собой первый момент профиля ускорения
относительно своего центра тяжести (AJJ, и поэтому оно равно ну-
лю, т. е. результирующее изменение скорости в направлении оси У
при выбранной системе координат равно нулю А 7^ = 0. Однако, как
это видно из рис. 3.11, в направлении оси У КА изменяет свое по-
ложение на величину Уо. Следовательно необходимо учесть затра-
ты скорости, эквивалентные изменению положения КА по оси У.
Изменение положения вдоль оси У можно определить как
Г0=-и)/И2,	(3.26)
где М2 при выбранной системе координат — второй момент профи-
ля ускорения силы тяги относительно центра тяжести профиля
t 2
М2= J a ttfdt.	(3.27)
Справедливость уравнения (3.26) легко проверить для случая,
когда можно принять ускорение, примерно, постоянным и равным
среднему ускорению (аСр), а интервалы времени tc—t^i2—tc=kt.
Действительно, если для определения Уо дважды проинтегрировать
(3.24) в интервале от —А/ до + А/, то получим такое же выраже-
ние для Уо, как и по уравнениям (3.26), (3.27)
Го= —— аср<иД/3.	(3.28)
3
Далее, если изменение положения КА (Уо) невелико, то можно
принять линейную зависимость между потерями скорости (AVi),
затрачиваемыми на осуществление этого смещения, и величиной
смещения (Уо), т. е.
Д1/\=ХГ0,	(3.29)
где X — постоянный коэффициент.
Другой эффект, связанный с непостоянством направления тяги,
проявляется в потере скорости по оси X за время работы ДУ, по-
скольку по среднему направлению тяги действует не все ускоре-
ние. Чтобы оценить эти потери скорости, найдем фактическое при-
ращение скорости по оси X, проинтегрировав выражение (3.23) в
интервале от до t2. В результате получим
LVX=VX—i-<oW2.	(3.30)
71
Здесь величина Vx= j a(t)dt определяет полные затраты ско-
t\
роста, т. е. характеристическую скорость маневра при наличии ак-
тивного участка полета, а второй член правой части (3.30) пред-
ставляет собой потери характеристической скорости (ДУ2) в нап-
равлении оси X вследствии отличия мгновенного направления тяги
от ее среднего направления за время работы ДУ, т. е.
Д1/2=^-<ЛИ2.	(3.31)
Таким образом, суммарные потери характеристической скоро-
сти, по сравнению с импульсной, из-за непостоянства вектора тяги
составят ДУ1 + ДУ2- Поэтому Ух = Уи-!-ДУ1 + ДУ2 или, учитывая ра-
венства (3.29) и (3.31) V х= VrH + ^^o + ~“0)2^2-
Подставив значение Уо из (3.26), получим
1/х=ии — XonW2 + ^-(oW2-	(3.32)
Приравняв в уравнении (3.32) - Vx =0, определим оптимальное
du>
значение <о0пт = ^- Заменяя в (3.32) величину X на <о0пт и сгруппи-
ровав члены, предварительно прибавив и вычтя в правой части
уравнения величину <о2птЛ12, получим
vx=Y 0>о.„Л12+4" (“>- %11Т)2Л12.	(3.33)
Последний член этого уравнения представляет собой потери
вследствие использования неоптимальной скорости вращения век-
тора тяги. Если управление вектором тяги оптимально, то получим
=	(3.34)
Уравнения (3.33) и (3.34) определяют отличие характеристической
скорости от импульсной. Но нами не был учтен, как указывалось
выше, эффект от наличия градиента сил тяжести. В работе [54] ука-
зано, что равенство (3.31) с учетом градиента силы тяжести прини-
мает вид
(3.35)
где gxx — частная производная по х от проекции силы тяжести на
ось X.
72
С учетом изменения градиента силы тяжести уравнение (3.33),
запишется как
=	+	—®опт)2 М2,	(3.36)
где	р = - gxx - (<оопт)2.	(3.37)
Определим величину gxx. Ускорение силы тяжести по оси X
а	~^Х
гЗ (Х2 + у2 4- г2)3/2 ’
где х, у, z — проекции радиус-вектора г на прямоугольные оси ко-
ординат.
г	3 Л
_	Г гЗ— X — г2Х
гг	dgx	I	2	Р-з Л о X2 \
Тогда — =gxx= — [л3 ----------------- =------Ml — 3— .
dt Б XX Г3|_	гб	J	Г3 \	Г2 )
Из рис. 3.12 видно, что X/r=s\n а, где а — угол между осью X
(направление тяги, соответствующее центру тяжести профиля ус-
корения) и местным горизонтом. Поэтому
ёхх =—^-(1-3 sin а).
Подставив выражение для gxx в (3.37), получим
P=-^-(l-3sina)-o)L.	(3.38)
Первый множитель в (3.38) равен квадрату угловой скорости вра-
щения КА по круговой орбите
^2=^-.	(3.39)
Поэтому
р=ц)2(1 — 3 sin а) —и)оПТ.
(3.40)
Из физического смысла формулы (3.36) при оптимальной угло-
вой скорости вращения вектора тяги (со=<о0пт) коэффициент р мо-
жет быть только положительным
(Р>0), поскольку действительная
характеристическая скорость (Ух)
всегда больше импульсной (Уи)-
При р>0 из (3.40) имеем: юопт^Юз
и O^P^(DS.
Первое неравенство показывает,
что оптимальная угловая скорость
изменения направления вектора тя-
ги не может быть больше, чем угло-
вая скорость вращения КА по круго-
вой орбите в точке приложения им-
пульса. Второе неравенство позволя-
Рис. 3.12
73
ет получить из выражений (3.36) и (3.40) очень простое выражение
для верхней границы величины характеристической скорости из-за
наличия гравитационных потерь да активном участке траектории в
случае, когда осуществляется оптимальное управление направлени-
ем вектора тяги (<о0пт)

(3.41)
Второй член неравенства (3.41) характеризует увеличение им-
пульсной скорости, обусловленное всеми рассмотренными выше по-
терями, т. е. он равен гравитационным потерям скорости
vrrp<4’“^2
(3.42)
Для практического использования формулы (3.42) целесообраз-
но второй момент профиля ускорений выразить через время рабо-
ты двигателя /д и импульсную скорость Уи. Из (3.26) и (3.28)
имеем
м -2
•*'*2   го I I  
3 cp( 2 /	12
Поскольку аср?л = Ух, то М2=
(3.43)
В работе [54] приводится точная формула для величины М2
[1 - -...............................].
Подставляя выражение (3.43) в (3.42), получим
(3.44)
Это выражение определяет Vrp в неявном виде, поскольку грави-
тационные потери скорости содержатся и в
^(^=^и+^гр), т. е. ^гр<Л-о>24(1/и + 1/гр). Отсюда
1Л _
Г₽“ 24-
(3.45)
Ниже будет оговорено, что аналитически определять гравитаци-
онные потери следует лишь при условии (Мд^1, когда формула
дает достаточно высокую точность. Поэтому в знаменателе (3.45)
74
величиной можно пренебречь. Окончательно формула для
оценки гравитационных потерь имеет вид
^г₽	"24” (0^и
Игр<—--------—1/и/д,
гр 24 (/?3 + Л)3 и
или
(3.46)
(3.47)

где /?з — средний радиус Земли; h — высота КА над поверхностью
Земли при сообщении импульса скорости.
Используя формулу Циолковского, выразим время /д через па-
раметры маневра и ДУ
=4г-=—[1 - ехр - 1/х/-/;ф)1-
lMc /?о
Здесь, как и в (3.44), целесообразно Vx заменить на Уи, по-
скольку ошибка в определении ^д будет из-за малости гравитаци-
онных потерь несущественной, а величина 1/и известна из решения
баллистической части задачи. Поэтому принимаем
у3*	.
/д-=	[ 1 - exp (- VJJ?)].	(3. 48)
п0
С учетом (3.48) получим из (3.47) расчетную формулу, выра-
жающую искомую зависимость гравитационных потерь скорости
от высоты полета КА, импульсной скорости при маневре, коэффи-
циента начальной тяговооруженности и удельного импульса, кото-
рую и будем в последующем использовать
1 (3-4Э>
Формула получена для компланарного маневра, однако по фи-
зическому смыслу она будет справедлива и для любого пространст-
венного маневра, поскольку силовое поле изменяется одинаково во
йсех направлениях от центра притяжения.
Как следует из вышеизложенного, аналитическая зависимость
для определения гравитационных потерь получена при большом
числе не строгих, а иногда только качественных предположений.
Поэтому справедливость ее использования была проверена в широ-
ких (практически используемых) диапазонах изменения величин
Уи, Ио, h и /уф путем сравнения величин гравитационных потерь
скорости, полученных при решении баллистической части задачи
по орбитальной энергии (см. разд. 3.2) и по (3.49). Расчеты пока-
зали [69],. что когда используется постоянный закон управления по-
летом КА (однопараметрическая оптимизация параметров управ-
ления), то аналитическая зависимость позволяет определить с точ-
ностью не менее 5% Величину гравитационных потерь скорости при
75
условии, если время работы двигателя не превышает значений,
равных обратной величине круговой угловой скорости, т. е. при
4^
1
или /д
/(*3 + Л)3
^3
(3. 50)
Таким образом, исходя из неравенств (3.46), (3.47) и (3.49)
гравитационные потери скорости при постоянном (однопараметри-
ческом) законе управления (Vrpi) в условиях ограничения (3.50)
могут быть с погрешностью не более 5% определены из следую-
щих равенств
VrpI=-^-<»X&	(3.51)
^ГР!
I/	1	^3	, г У2
г₽ 1 _	(/?3 + Л)3	/д’
1	г	/ у№ ч-|2
-----------------2 1 — ехр /---------— I .
24 «2(>?3 + Л)з[ \	)
(3.52)
(3.53)
что
При -^-<0,1 «0,2) можно с точностью 5% (10%) принять,
1—ехр (-------
I уэф
\1 Уи
/]
Vrpl = ~24
. Тогда (3.53) примет вид
_^У^з_
Ло(Я3 + Л)3
(3.54)
Из уравнения (3.53) видно, что наибольшее влияние на грави-
тационные потери скорости оказывает расстояние КА от центра
Земли (кубическая зависимость), величина импульса (14), харак-
теризующая энергетические затраты при маневре (зависимость,
близкая к кубической), и коэффициент начальной тяговооруженно-
сти (квадратичная зависимость). Гравитационные потери скорости
имеют наибольшее значение при больших маневрах с малыми ко-
эффициентами тяговооруженности и на низких орбитах. Повыше-
ние удельного импульса приводит к увеличению гравитационных
потерь, однако увеличивать удельный импульс выгодно, поскольку
несмотря на рост гравитационных потерь, а значит и рост характе-
ристической скорости, в целом необходимое для маневра количест-
во топлива уменьшается.
На рис. 3.13, 3.14, 3.15 показано влияние на величину гравита-
ционных потерь скорости параметров А, п0, /уф.
На рис. 3.16 приведены минимальные значения коэффициентов
начальных тяговооруженностей nOimin, при которых точность фор-
мул (3.51), (3.53) составляет не менее 5% Для различных манев-
ров Уи и значений удельных импульсов Ууф, когда КА находится
на высоте Л = 200, 1000 и 3600 км. На рис. 3.17 приведен график за-
висимости максимального значения времени работы двигателя
76
Угр1,м1с
max, соответствующего точности аналитических формул не менее
5%, от высоты над поверхностью Земли, на которой совершен ма-
невр; график построен по выражению (3.50).
При совершении маневров со значительными энергетическими
затратами (например, полет к Луне, вывод КА на стационарную
орбиту) на практике используется не постоянный закон управления
(когда, как указывалось, выбираются оптимальные, но постоянные
на всем активном участке углы тангажа и рыскания), а функция
управления заменяется двумя параметрами, т. е. определяются оп-
тимальные начальные углы тангажа и рысканья, а также скорость
изменения этих углов по времени; такое двухпараметрическое уп-
равление называется управлением по линейному закону (см. о ре-
шении динамической части задачи по орбитальной энергии в разд.
3.2). Расчеты показывают, что дальнейшее усложнение закона уп-
равления не дает заметного выигрыша, т. е. не приводит к практи-
чески значимому уменьшению гравитационных потерь.
Пример сравнения между собой значений гравитационных по-
терь скорости -при постоянном Vrpi и линейном Vrpii законах уп-
равления приведен в табл. 3.8 для случая разгона КА на геостаци-
онарную орбиту (Л = 280 км, 4500 м/с, 7и = 2430 м/с) [22].
Как следует из таблицы, использование линейного закона уп-
равления приводит к уменьшению гравитационных потерь пример-
77
Дополнительный расход то-
плива Л4гр, который связан с
наличием гравитационных по-
терь скорости, равен разности
масс фактически израсходован-
ного рабочего топлива Л4Т.Р
(характеризуется Vx) и рабоче-
го топлива Мг.р.и, необходимо-
го при импульсном
(характеризуется Ки).
Используя равенство Afrp = AfT<p —А4Т,Р,И и выразив
Л!ст
т р
из уравнения Циолковского, т. е. —- по (1. 1), а
Мст
1 — ехр (--,
Afcr	F \	/
получим для любого /‘-го маневра
Мгр/ЖтУ=[ 1 - ехр (- VX)Uэуф)] - [ 1 - exp (-
Поскольку Vxj = Vifj-}-Vrpj, т0
Л1грУЖт7=ехр(-[1 -ехр(-Vrp//$)J.
Рис. 3.17
т.р 2МТ.р.И
М,Р.И
маневре
и
•Мт.р.И
Л4ст
(3.56)
(3.57)
Таблица 3.8
Коэффициент начальной тяго- вооруженности л0, Н/кг	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0
Линейный закон управления Угр II	100	56,4	26,0	15,2	9,5	6,7	4,6
Постоянный закон управления Угр I	220	124	57	31	20	14	10
Угр l/Угр II	2,2	2,2	2,2	2,1	2,1	2,1	2,2
Таким образом, гравитационные потери топлива нельзя опреде-
лять, подставляя значение гравитационных потерь скорости 1% в
уравнение Циолковского, т. е. Afrpy/Afc.r/ ф 1 — ехр(—Игру//у*).
Эт® неравенство можно практически заменить равенством лишь
при малых	когда в (3.57) величина ехр( — V^/Jy*^!.
Выразим стартовую массу КА при /-м маневре через стартовую
массу AfCT1 при первом маневре. В случае, когда между маневрами
не сбрасываются пассивные массы, стартовай масса после (/—
— 1)-го маневра (или рассматриваемого /-го маневра)
Л =	/ Л=/-1	\
=	^^т.рл-^сг.ехр - 2	. (3.58)
1 \ 1 /
78
Здесь потребное количество топлива определено не по характе-
ристическим, а по импульсным скоростям, что не может привести к
сколь-нибудь существенным погрешностям определения искомой
величины Мстз, поскольку при правильно выбранной величине тяги
(близкой к оптимальному ее значению) расход топлива при им-
пульсном маневре практически не отличается от рабочего расхода.
Тогда коэффициент начальной тяговооруженности «о; выразит-
ся через его значение при первом маневре «о. как
«о}=^WCT j = Р/М ci, exp
(3. 59)
или
(3. 60)
п0} = «о./exp
-*2Vh*/^) •
Если КА совершает один маневр (/= 1), то (1/иЛ/ЛП)=о и
1
из (3.59) получаем гаоу=«о,= Р/М^.
Подставим Мст j из (3.58) в (3.57)
7Игру=Л/СГ1 ехр
[1 —ехр( —Угру/Jy*)].
1
(3.61)
Выразим величину	через тягу и известные для рас-
сматриваемого маневра параметры, поскольку такая зависимость
в последующем нами будет использована. В соответствии с (3.53)
при постоянном (однопараметрическом — индекс I) законе управ-
ления полетохМ
v^=-k V"'^	(3'62)
Подставив noj из (3.59) в (3.62)., имеем
v Л*ст,'?>зГи>ехр[-2*21(^Д^)][1-ехр(-ГиУ//^)]2
к rpl У __________________1___________________________ 1
~	24(/?3 + Лур	ХР^‘
(3. 63)
Обозначим члены, не зависящие от тяги (считая, что удельный
импульс двигателя от тяги не зависит), через С,-, тогда из
(3.63)
1
^Т1^3КиУехр[-2 (Ки*/7$)] [1- ехр( —
ГДе Су==	24(^з + Лу)3	•
(3. 65)
79
Величина Cj может быть определена для любого рассматривае-
мого маневра и массы КА, поскольку по результатам решения бал-
листической части задачи известны расстояние КА от поверхности
Земли при начале маневра hj и величина импульсной скорости j-
k=j-\
Для одноимпульсного маневра, когда, как указывалось, у^=0
^ГР1  С
где
[1 - ехр ( - V„fУ^))2
24(/?3 + Л)3
(3. 67)
Гравитационные потери топлива при однопараметрическом за-
коне управления (индекс I) найдем, подставив (3.64) в (3.61):
МГР!; = Мег. ехр [ - 2 (VJJ&)] [ 1 — ехр (— С,/Р})].	(3. 68)
1
Для одноимпульсного маневра при однопараметрическом зако-
не управления
Afrpl = М„ ехр (- VJJ *) [1 - ехр(- С/Р2)].	(3.69)
Определим суммарные гравитационные потери при / маневрах
АГгрjj и сохранении прежнего условия — отсутствие пассивных сбро-
сов между маневрами.
При /-кратном включении двигателя
* = /	k=J	k-j
V^ = ^VXk\	^г₽5!=21/г₽»=Ижа-Ииа; AfrpIa =
1 1	1
= 2WT.pIS *WT.PI H a.
Проводя при /-м маневре преобразования, аналогичные пред-
шествующим (3.57), имеем

n=i
Mrpla=MCI1exp -2(^Myt) jl—exp	•
(3.70)
Используя (3.64), получим
(3.71)
Здесь Ck определяется по (3.65), если вместо индексов / под-
ставить k.
80
При линейном (двухпараметрическом — индекс II) законе уп-
равления полетом, когда в соответствии с (3.55) 1^грП — -у- 1/гр1
— для одноимпульсного маневра вместо (3.69)
Л4грП=Жстехр(-1/иМ’ф)[1-ехр(^- Д)] ;	(3.72)
— для /-го маневра вместо (3.68)
г
Afrpn = AfCT1exp
— для всех (манев'ров вместо (3.71)
г *=/

Afrpn s=AfcT1 ехр
Величины Cj и Ch определяются по (3.65), а С — по (3.67).
Уравнения, связывающие гравитационные потери топлива с тя-
гой, могут быть использованы при аналитическом определении тя-
ги двигателей на химическом и ядерном топливах (см. разд. 4.4).
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАТРАТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ КА
С ЭРД МЕТОДОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Применимость такого метода решения динамической части за^
дачи обуславливается возможностью нахождения для некоторых
классов маневров КА оптимальных управлений ЭРД в аналитиче-
ском виде. Использование этих управлений позволяет при однократ-
ном интегрировании уравнений движения найти величину характе-
ристической скорости КА (при заданных величинах коэффициента
начальной тяговооруженности КА и удельного импульса тяги дви-
гателя).
В ряде случаев для совершения маневров КА возможно приме-
нение достаточно простых управлений (например, направления
вектора тяги трансверсально, касательно или ортогонально плоско-
сти орбиты), обеспечивающих близкие по затратам скорости ма-
невры по сравнению с оптимальными управлениями и существенно
облегчающих управление вектором тяги ЭРД в полете. Дополни-
тельно следует отметить, что наличие математической модели дви-
жения КА предполагается при использовании любого метода реше-
ния вариационной задачи оптимизации управлений для совершения
требуемого маневра. Поэтому рассмотрим этот вопрос более под-
робно.
Дифференциальные уравнения движения КА с ЭРД можно запи-
сать аналогично уравнениями движения КА с двигателями большой
81
тяги в абсолютной прямоугольной системе координат (с началом в
центре тяжести основного притягивающего тела)
—=V • —и  —=V •
dt х' dt у’ dt z'
dVx _
dt
. • dVy
r3 X2’	dt	r3
dVz
dt
?3Z I
—+Лга-
(3.75)

В этих уравнениях составляющие	azz представляют со-
бой суммарные составляющие ускорений от действия всех возму-
щающих сил, в том числе силы тяги ЭРД. Под возмущающими си-
лами в данном случае понимаются все силы, кроме силы притяже-
ния основного (центрального) тела, малые по сравнению с силой
притяжения центрального тела.
Ускорения КА от действия силы тяги ЭРД могут быть соизме-
римыми с ускорениями от действия других возмущающих сил, а по
абсолютным значениям они могут на несколько порядков быть
меньше величины ускорений, возникающих под действием силы
притяжения основного гравитационного тела или от силы тяги ра-
кетного двигателя большой тяги. Эти особенности полета с ЭРД
обуславливают необходимость учета в уравнениях движения КА
всех возмущающих сил, соизмеримых по величине с силами тяги
ЭРД.
Кроме того, становится очевидным и тот факт, что для сообще-
ния КА определенного приращения скорости требуется значитель-
но большее время работы ЭРД, чем время работы ДУ в случае по-
лета КА с двигателями большой тяги. Время работы ЭРД при со-
вершении маневров КА в околоземном космическом пространстве
или для полетов к планетам солнечной системы может составлять
порядка нескольких месяцев и даже нескольких лет, а соответству-
ющее время работы двигателей большой тяги измеряется десятка-
ми минут.
Интегрирование приведенной выше системы уравнений в тече-
ние длительного времени неизбежно связано с накоплением ошибок.
Поэтому при исследованиях динамики полета КА с ЭРД целесооб-
разно применять систему уравнений в оскулирующих элементах
(например, р, е, cd, Q, Z, /п)-
Рассмотрим дифференциальные уравнения, определяющие изме-
нение основных элементов орбиты КА. Такие уравнения для КА,
рассматриваемого как материальная точка, движущаяся в гравита-
ционном поле одного тела, без учета других возмущений, кроме си-
лы тяги ЭРД, представлены в работе [35]. Будем в общем случае
считать, что на КА действуют и другие возмущающие силы, кроме
силы тяги ЭРД. Эти силы в дальнейшем будем характеризовать
соответствующими составляющими ускорения в барицентрической
орбитальной прямоугольной системе координат SWR (трансвер-
сальное, ортогональное и радиальное направления). Суммарные
82
составляющие ускорений от действия сил тяги ЭРД и возмущаю
щих сил представим в виде
cf'STi = aSp~VaSb\ aR^==aRp~VaRb’> aW^=aWp~[~aWb^
где aSp, aRpt aWP — проекции по оси S, R, W ускорения от действия
силы тяги ЭРД; а5ъ, ань, awb — результирующие составляющие ус-
корений от действия возмущающих сил
J = 7Z	j=-tl	j = Tl
asb=^asbp aRb==^aRbp ^wb=^awbp
i	i	i •
где суммирование производится по всем п рассматриваемым воз-
мущающим силам.
Конкретные выражения для проекций ускорений для различных
возмущающих сил будут приведены ниже.
Дифференциальные уравнения для определения 6 основных ос-
кулирующих элементов орбиты КА с ЭРД будут иметь вид (35]
—•=2/71/"—----;
dt	у [к 1 4- е cos &
(3. 76)
de , / р /	• о ।	2 cos fl 4-е cos2fl 4-е \
---= 1/ — Р/?Е sin&4-Лсб---------------------——);	(3.77)
dt У и \	1 4-е cos fl J v J
d<&
dt
e
cos
(2 4- e cos fl) sin fl
1 4- e cos fl
e ctg i sin и 1
Ятггу\ ---------“ J
1 4- e cos fl J
cos и
---------E’
1 4-e-cos fl
di
dt
« / P sin u, cosec i
dt у p. 1 4- e-cos fl
(3.78)
(3.79)
(3. 80)
— =---------—--------Г (eN sin ft — cos ft) aR^ -|-—------(3.81)
dt ер(14-e-cosft)21/	1 + e-cosft 5SJ л ’
&
„	। .r 2- f cosft'rfft'
где и = <o -4- ft; TV =-------— l -----------------
1 4- e cos fl J (1 4-e-cos fl')3
о
и ft связано c i уравнением
t—
, _	-./PC rfft'
t — ^n = P I/ — I ----------------•
V .) (1 4-ecosft')2
83
Уравнения (3.76) — (3.80) иногда записывают в другом виде (35],
р
используя уравнение r= t + g cos :
dt
(3.82)
de
dt
dm
~dt
sin b-aRS
I Яря
P L
cos Я
sin ft
e
di	r
dQ ___ r	sin и
dt	Vv-P	sin i
aSi
aW2— ctgf sin ii ;
p
(3.84)
(3.85)
(3. 86)
Вместо параметров е
ние до перицентра г„
и p можно использовать величины:
= ^~9 расстояние до апоцентра га
большую полуось а= .
Дифференциальные уравнения для этих параметров имеют
р Г 2 (1 —- cos &) 4-е sin2&	1 .
(Л L 14-е cos ft 5	* J
р [2(1 +cosft) — esin2ft .	. ftl
—--------ГТТ77ГЧ-----asn-TaRn sin *
[i [	1 4- e cos v	J
dr n
dt
P
(l+e)2
P___
dt (1—e)2
da _
~dt~ (1
расстоя-
_ P
l—e
вид
[(l+e-cos^Osj+eaflj sin&]. (3.89)

е

В системах уравнений (3.76) — (3.81) и (3.82) — (3.86) вместо
уравнений для р и е можно использовать любую пару из уравне-
ний (3.87) —(3.89).
Как видно из представленных выше уравнений, они не позволя-
ют определять параметры орбит при значениях эксцентриситета и
наклонения, равных нулю, а также при значении эксцентриситета,
равном единице. Так, например, при е = 0 в правых частях уравне-
ний (3.78) и (3.84) некоторые члены обращаются в бесконечность.
При е=1 такого рода неопределенности получаются в уравнениях
(3.88) и (3.89). Аналогичный результат получается также при ис-
пользовании уравнений (3.80) и (3.86) в случае 1 = 0.
Таким образом, представленные выше уравнения не могут при-
меняться для расчета круговых орбит, для которых не определено
положение линии апсид, а также в случае совмещения плоскости
орбиты КА с плоскостью экватора. В этом случае неопределенным
становится положение линии узлов. Для ликвидации указанных ог-
84
раничений представленной системы уравнений вводятся другие сис-
темы уравнений. Так, например, в работе [32] приводится система
уравнений пространственного движения", которая позволяет рас-
сматривать движение космического аппарата как результат сложе-
ния двух движений: движения аппарата в некоторой плоскости и
движения этой плоскости вокруг центра притяжения, причем оба
движения являются независимыми.
Для того, чтобы исключить неопределенности, обусловленные
круговой орбитой, вводят вместо элементов орбиты е и <о новые
элементы — компоненты вектора Лапласа [43]
k^esino); X2=ecoso).
Дифференциальные уравнения для элементов орбиты Лапласа
имеют вид
— aRz cois #+%а( 1 + —) sin а +
+ — (s е — Mvr е ctg i • sin ti)
(3.90)
aRv sin	+ cosa +
“I---e H" e ctg i • sin
P
(3.91)
Вместо (3.81) определяют .	? где и — приращение возмущенно-
го аргумента широты относительно его невозмущенного значения
й = и—(й), (й) —значение аргумента широты для невозмущенной
орбиты. Дифференциальное уравнение для параметра й имеет вид
— =	(1----— ctgZsin uaWz--------— \f (3.92)
dt Г* \ ?P	(r)2 v p ) k 7
Система дифференциальных уравнений (3.82), (3.85), (3.86),
(3.90) ... (3.92) может быть проинтегрирована численно для любых
начальных значений оскулирующих элементов, в том числе для кру-
говых и гиперболических орбит. Для орбит, не близких к круговым,
вместо уравнений (3.90) и (3.91) можно вводить уравнения (3.83)
и (3.84).
В ряде случаев можно получить приближенные формулы для
расчета изменений оскулирующих элементов путем интегрирования
некоторых уравнений независимо или используя систему уравнений.
В этих случаях целесообразно перейти от независимой перемен-
85
ной t к переменным и или -О'. При этом уравнения движения в оску-
лирующих элементах имеют вид
du
dQ
— о у>3 д .
— —z
du (i
dl — r3aws cosir,
Ы>
y'r3 sin и
,	-------: г aw в»
du pp sin i
rfki Y>2 Г	i /11
—7J-=-— —аЛЕсоби4-а51. 1 + -
du |i L	\
+ — (Mss — M^sCtgz sin «
P
d\2	Y'^2 Г •	।	/1 t r
—-=---------pjjj Sin« + <zss 14-
du fi [	\ P
H---(^2^SE 4A ^tg i sin
p
du 1	Y'r2/(P)	f
— = 1 — 1 _   , где y
du Vp (W
(3.93)
(3. 94)
(3.95)
(3.96)
(3. 97)
(3.98)
_____________1_____________
Г3
1 _—а CtgZ Sin и
^Р
Для орбит, не близких к круговым, вместо уравнений (3.96) и
(3.97) можно применять уравнения
— = ^-^L^Esin&4-ass(l + —jsin&4-aSs—г] ;	(3.99)
du р. L	\ Р )	Р J
d<& Y'r2 Г	~ cos ft	। Л	. г \ sin ft	л г	'
———------- —dp Е-----р -i'S 2 I 1 Ч-)	ctgzsintt
|i L	е	\ р j е	р
(3. 100)
В случае использования параметра Ф вместо и имеем
1
Г2	о	Г2 / г \
14--------cosft —	------ 14-— sin ft
(16	dE fie \ р /
Для определения затрат характеристической скорости на совер-
шение маневра КА с ЭРД можно из системы уравнений движения
исключить уравнение для параметров й или тп, характеризующих
положение КА на орбите. В данном случае определяющими явля-
ются параметры, характеризующие изменение орбиты в простран-
стве, например, параметры р, z, Q, (или е и со). Таким обра-
зом, для расчета изменения основных параметров, определяющих
затраты скорости КА при переходе с начальной орбиты на конеч-
ную, должны быть проинтегрированы уравнения (3.93) ... (3.97)
или уравнения (3.93) ... (3.95), (3.99), (3.100).
86
Отметим при этом, что связь независи-
мой переменной и с временем полета КА
с ЭРД характеризуется уравнением
dt  у'г2
du V РР
Характер изменения оскулирующих
параметров орбиты определяется дейст-
вующими на КА силами, которые разде-
лим на два класса: активные, позволяю-
щие осуществлять их изменение в процес-
се полета, и пассивные, т. е. зависящие в
основном от условий полета и окружаю-
щей среды.
К активным силам относятся состав-
ляющие вектора реактивного ускорения ЭРД, изменяемые в соот-
ветствии с программой управлений КА. К пассивным относятся
возмущающие силы, основными из которых для космических аппа-
ратов являются силы, обусловленные нецентральностью поля тяго-
тения, причинами которой являются сплюснутость планеты и нерав-
номерное распределение масс внутри нее (аномалии силы тяжести);
сопротивлением атмосферы; влиянием соседних планет и Солнца;
давлением солнечного света.
Рассмотрим величины ускорений КА, обусловленные действием
указанных выше сил.
Сила тяги ЭРД. Составляющие вектора реактивного ускорения
будут определяться величиной (Р) и направлением вектора силы
тяги ЭРД. Положение вектора реактивного ускорения в простран-
стве будем характеризовать двумя углами а и у в барицентриче-
ской орбитальной прямоугольной системе координат SWR (рис.
3.18). Величина а представляет собой угол между вектором тяги
ЭРД и плоскостью орбиты, или плоскостью POS. Величина угла у
измеряется между проекцией вектора тяги на плоскость орбиты и
трансверсальным направлением. Заметим, что положение вектора
реактивного ускорения в плоскости орбиты может характеризовать-
ся также и величиной угла между проекцией силы тяги на плос-
кость орбиты и радиальным направлением (угол X) [35].
Угол у связан с углом X очевидным равенством
я .
у=----X.
2
Проекции вектора реактивного ускорения от действия силы тяги
ЭРД на оси /?, S, W будут определяться согласно уравнениям
apR=apcosa sin у; apS = a^cosa cots у; apW=ap sin а,
Р п
где ар — величина вектора реактивного ускорения; ар= — ; Р —
р М
сила тяги ЭРД; М — масса космического летательного аппарата.
87
В случае нерегулируемого ЭРД величина тяги двигателя и се-
кундного расхода рабочего тела постоянны, и масса космического
аппарата будет равна
2И = 7ИСТ-Л1С/Д.
Для КА с регулируемым в процессе полета ЭРД текущее значе-
ние массы аппарата определяется согласно следующим дифферен-
циальным уравнениям
ЛИ л, dM. y'rz
	= — Мс или 	=-т=. Мс.
dt-----------------------du у
Величины а и у являются оптимизируемыми функциями управ-
ления. Кроме них оптимизируемой функцией может быть также и
зависимость величины силы тяги ЭРД от времени. Отметим еще
раз, что при рассмотрении маневров КА с ЭРД кроме идеальных
оптимальных управлений большой интерес представляют также уп-
равления, которые, оставаясь в классе простых (для реализации)
управлений, обеспечивают вместе с тем полет КА достаточно близ-
кий по сравнению с оптимальным. Более подробно эти вопросы бу-
дут рассмотрены ниже при анализе возможных управлений ЭРД в
зависимости от целей полета.
Сила аэродинамического сопротивления. При движении КА
вблизи планеты, обладающей атмосферой, необходимо учитывать
силу аэродинамического сопротивления, определяемую формулой
qV2
(3.101)
где Сх — коэффициент аэродинамического сопротивления (безраз-
мерный); q — плотность атмосферы; УОтн— скорость полета КА
относительно атмосферы; FM — площадь миделевого сечения, оп-
ределяемая как проекция КА на плоскость, перпендикулярную нап-
равлению скорости полета (для ориентируемого КА).
Для неориентируемых КА расчет величины FM ведется по фор-
муле 77м=— /‘"полю где Люлн — полная поверхность КА.
Если атмосфера находится в состоянии покоя, то относительная
скорость Уотн совпадает со скоростью аппарата Van в инерциаль-
ной системе координат. При учете вращения атмосферы вместе с
Землей (планетой) с угловой скоростью со3 к величине Van долж-
но добавляться векторное произведение
^отн “ ^ап ~h Г X (О3.
Векторная составляющая гХсо3 находится в плоскости, перпен-
дикулярной радиальному направлению. В инерциальной системе
координат XYZ компоненты векторного произведения будут равны
Д1/ж=о)3Г; LVy= -о)3Х; WZ=Q.
88-
Переходя с помощью соответствующей процедуры перехода от
системы координат XYZ к SWR получаем
&VS= — <*)3z cosz; LVw — ^3r sin i cos u.
Компоненты абсолютной скорости KA в системе координат
SWR равны V^=esin»l/ Vs = ^-\
W р	г
Величина относительной скорости будет определяться из урав-
нения
V
v OTH
w-
othS-]- othIF»
где Vothb, Voth s, Коти w — компоненты вектора скорости КА отно-
сительно атмосферы
И0Тн₽ = ^+Д^=ГЛ; Гота5=И5 + ДУ5;
Vw +	w = &VW	(3* 102)
С учетом представленных выше соотношений уравнения для опре-
деления составляющих возмущающих ускорений от сопротивления
атмосферы будут иметь вид
aRR = "" aR	; aRS= ~ aR' °™ ~ ’ aRW— ~~aR~~^ >
V отн	V OTH	V OTH
где dR — величина возмущающего ускорения от действия сил аэро-
динамического сопротивления aR=RfM.
Если вращение атмосферы не учитывается, то в уравнениях
(3.102) необходимо составляющие \VR, A Vs, AVW положить равны-
ми нулю.
Плотность атмосферы q, входящая в уравнение (3.101), в общем
случае зависит от высоты полета (основное влияние), а также от
географической широты, освещенности атмосферы Солнцем, време-
ни года и других факторов. Зависимость плотности от перечислен-
ных факторов представлена, например, в работе [43].
Полная модель плотности атмосферы может быть заменена с
некоторым приближением упрощенной моделью, в которой остает-
ся только основная зависимость плотности от высоты полета КА.
Для упрощенной модели плотности атмосферы в качестве аппрокси-
мирующей функции принимают следующую:
0 = — ехр (а0 - х
где а0, %, h0 — постоянные коэффициенты для данной модели атмо-
сферы; h — высота над уровнем Мирового океана; h = r—R3 , где
/?з —радиус Земли; /?з =а(1—a sin2 i sin2 и); а — большая полу-
ось общего земного эллипсоида; а — его сжатие; go — стандартное
ускорение свободного падения.
89
Величины коэффициентов ао, х, йо для различных моделей ат-
мосферы приведены в табл. 3.9 [43].
Таблица 3.9
Коэффициенты	Модели атмосферы		
	М-1	ВСА-60	АВДС-59
ао	-17,748	—15,658	—16,72
*0	125700	103030	104000
X	0,01449	0,018844	0,01594
Возмущающие силы гравитационного потенциала Земли. Возму-
щающие силы гравитационного потенциала определяются как про-
изводные по соответствующим координатам от возмущающей час-
ти гравитационного потенциала Земли. Возмущающую часть грави-
тационного потенциала Земли представляют в виде суммы двух
составляющих ДцВозм=Д^нц+Д^ан, где составляющая потенциала
ДцНц учитывает нецентральность поля сил земного тяготения, обус-
ловленного эллипсоидальностью Земли, а составляющая потенци-
ала Диан — потенциал аномалий силы тяготения Земли.
Составляющую Динц обычно представляют в виде разложения
в ряд по полиномам Лежандра [43]
оо
V ( Sin <Р) ’
Гп>
п=2
где аПо — постоянные коэффициенты; /^(sincp) —(полиномы Ле-
жандра; <р — географическая широта; sin q? = sin I sin и.
В уравнениях движения при практических расчетах достаточно
одного, максимум двух-трех членов разложения. Практически мож-
но представить величину Динц как разность потенциалов уровенно-
го эллипсоида вращения, взятого с точностью до величины поряд-
ка квадрата сжатия включительно (изл) и потенциала сил притя-
жения для сферической модели Земли (иСф):
^эл ^сф’
где «9л=-^2—j-^.p20(sin?)+^-P40(sin?);
Г гЗ
«сф= — =—; P2o(sin?)=-|-sin2<p—J- ;
г г	2	2
P4o(sin <р)=-у-sin4<p—Д- sin2<p-|—1 ;	(3.103)
о	4	о
a00=/Af3=g9a^Zl— a-j--l/n — -11/па-}-...) ;
90
8	6 / 7	9	5	।
«4о==£»«эл — а2 —-та +...
OD	\ Z	Z
^о^ЭЛ
—	’ Нз “ /"АГ3 = ^00’
ёэ
P2o(sin<p), P40(sin<p)—многочлены Лежандра; f — гравитацион-
ная постоянная; Мз — масса Земли; юз — угловая скорость вра-
щения Земли; g9 — ускорение свободного падения на экваторе;
Яэл — большая полуось общего земного эллипсоида. Численные
значения констант равны
а00=3,98602-105 км3/с2; а20= - 1,756-1(Р км5/с2;
а40= 1,548-1015 км7/с2; со3=7,29211 -10~5 c-i;
а=0,003353454; £э = 9,7803 м/с2; аэл = 6378160 м.
Так как в выражении (3.103) член с коэффициентом на три
порядка меньше члена с а2о, то при практических расчетах движе-
ния КА с ЭРД им можно пренебречь, и в качестве нормального по-
тенциала Земли принять
«эл = — +	^20 (Sin ?).
Г	гЗ
Тогда Дмн =-^у-Р20(sinср)= — -^-(sin2?—М,
гз	гЗ \	3 /
(2	\
а—— •
2#э /
Производные от Дипц по координатам х, у, z дают ускорения, дей-
ствующие по этим осям. Проекции этих ускорений на оси /?, 5, W
будут иметь вид [43]
Я/?гр = —“(3 sin2 i sin2 и,— 1);
%гр= —sin2/ sin 2u\ aWrp=------sin 2Z sin u.
Оценка возмущающих ускорений за счет нецентральности поля
сил земного тяготения для низких орбит показывает, что они име-
ют порядок 0,01-—0,02 м/с2. Ускорение от действия силы тяги рав-
но (в системе СИ) коэффициенту начальной тяговооруженности.
Таким образом, возмущающие ускорения от нецентральности
поля сил земного тяготения имеют тот же порядок, что и ускоре-
ния от силы тяги.
Аномальная часть гравитационного поля представляет собой
разность между потенциалом притяжения геоида (иг) и потенциа-
лом уровенного эллипсоида вращения (иэл). Потенциал аномалий
91
земного притяжения представляется в виде разложения по сфери-
ческим функциям
00	п
Д“ан = £ср У]	S (“»<» С0® mL +	Sin (Sin ?)’
п=2	m^Q
где аПт, ₽птп — коэффициенты разложения; gCp — среднее значение
ускорения свободного падения; — средний радиус Земли; L —
долгота; Рпт(sin ф) —сферическая функция.
Значения коэффициентов разложения для потенциала притяже-
ния Земли приведены в работе [43]. Величины аномалий ускорения
силы притяжения Земли имеют порядок ~ 0,0000025 м/с2. Это на
четыре порядка меньше по сравнению с величинами ускорений за
счет несферичности Земли. Поэтому в практических расчетах дви-
жения КА с ЭРД составляющими ускорений от аномалий сил зем-
ного притяжения можно пренебречь.
Для интегрирования представленных выше дифференциальных
уравнений с учетом возмущающих сил необходимо задание управ-
лений вектором тяги ЭРД по иглам а и у.
Многие управления, представляющие практический интерес, мо-
гут быть определены при анализе дифференциальных уравнений
движения КА с ЭРД, в особенности если необходимо в результате
маневра обеспечивать достижение некоторого значения одного из
параметров орбиты.
Рассмотрим управления, обеспечивающие максимальное изме-
нение отдельных параметров орбиты. Такие управления для плос-
ких орбитальных переходов без учета возмущающих сил представ-
лены в работе [35].
Подход к определению управлений максимального изменения
параметров аналогичен изложенному в работе [35]. Берем частную
производную от правой части дифференциального уравнения, оп-
ределяющего изменение параметра по двум параметрам управле-
д / dlli \ п о / dlli \ п
ния — величинам а и у, т. е. -------=0, ----- ---- =0, где
да \ du ) ду \ du J
— означает рассматриваемый параметр орбиты. Используем при
этом следующие соотношения
aR^ = aRp'\~aRb\ aSV = aSp-\~aSb' aWb~aWp-\~aSb\
aRp=ap-to>sas\n>y\ aSp=ap cos a cos y; aWp=ap sin a.
Полагаем, что составляющие вектора возмущающих ускорений
не зависят в явном виде от параметров управления.
Условия максимального изменения наклонения орбиты. Из
уравнения (3.94) получаем
Л’ у'г3 •	। vV3	/О
— = J—=an sin a со-s zz 4- 1—a^coszz.	(3. 104)
du hp p	' HP
Дифференцируя правую часть уравнения (3.104), имеем cosa = 0.
92
Таким образом, максимальное изменение наклонения орбиты
будет отмечаться, если вектор реактивного ускорения будет пер-
пендикулярным плоскости орбиты, т. е. а= + Для увеличения
наклонения орбиты должны выполняться следующие условия:
а>0 при —	— л; а<0 при — л>мкр> — ,
где акр соответствует величине и для одного периода обращения
КА.
Уменьшение наклонения орбиты будет при следующих условиях:
а>° ПРИ -ТП>и“Р>^
Заметим, что также, как и для случаев перелетов КА в плоско-
сти [35], при пространственных маневрах возмущающие силы не
оказывают влияния на параметры управления, определяющие мак-
симальное изменение параметров орбиты. Величины углов а и у
при учете возмущающих сил совпадают с соответствующими вели-
чинами, получаемыми без учета возмущающих сил. Однако абсо-
лютная скорость изменения параметров будет различной для этих
двух вариантов расчетов. Силы возмущения могут увеличивать или
уменьшать скорость изменения параметров, однако и в этом слу-
чае максимальное изменение параметра будет соответствовать ус-
ловиям, получаемым для идеальных решений. В этом можно убе-
диться, рассматривая уравнения, полученные с учетом сил возму-
щения.
Условия максимального изменения большой полуоси орбиты.
Исходное уравнение имеет вид
da
da
** 2r2fw [(1 + е сое 8) (a cos а • cos y+aSb) +
(1 —£2)2 р.
-j-e sin 8- (ар cos a - sin а + ая*)]-
(3. 105)
Дифференцируя правую часть уравнения (3.105) по а и у, полу-
чаем условия максимума скорости изменения большой полуоси
sin а=0; tg у
е sin &
1 + е cos ft
Таким образом, при заданной величине ар максимальная скорость
изменения большой полуоси будет иметь место, если вектор тяги
находится в плоскости орбиты и направлен по касательной к тра-
ектории ct = O, y = th
Увеличение большой полуоси происходит, если вектор тяги нап-
равлен по направлению скорости движения КА, т. е. при выполне-
нии указанных условий, а уменьшение при направлении вектора тя-
ги против вектора скорости, т. е. а = 0; у = л-[-Ф.
93
Условия максимального изменения фокального параметра. Ис-
ходное уравнение имеет вид
ар cos a cos у + asb
1 + е cos ft
(3. 106)
Дифференцирование правой части уравнения (3.106) дает условия
sina = 0, siny = 0. Этим условиям соответствует полет КА с нап-
равлением вектора тяги в плоскости орбиты по трансверсали а=0,
у = 0. Увеличение фокального параметра будет происходить при
совпадении вектора тяги с положительным направлением оси S,
т. е. при соблюдении указанных условий, а уменьшение—при про-
тивоположном направлении вектора тяги, т. е. а = 0, у=л.
Условия максимального изменения долготы восходящего узла.
Исходное уравнение имеет вид
—----------— (a sin a-\-awb).	(3.107)
du \±р sin i И
Из уравнения (3.107) получаем соответствующее условие cosa = 0.
Также как и изменение наклонения плоскости орбиты, макси-
мальное изменение долготы восходящего узла будет при направле-
нии вектора тяги, ортогональном плоскости орбиты,
Условия увеличения параметра Q имеют вид
а>0 при jt>zzKP>0; а<0 при 2л>икр>л;.
Уменьшение параметра Q требует выполнения условий
а<0 л>г/кр>0; а>0 2л >икр> л.
Условия максимального изменения аргумента перицентра. Ис-
ходное уравнение имеет вид
=	[ — cos & (aOcos a sin У+ #/?*)+ f 1 + — sin ft х
du ер. [	р -	\ Р /
X (ар cos a cosy+ а$*) — (apsir\ а -р awb)	ctg * sin и . (3. 108)
Дифференцирование правой части уравнения (3.100) по пара-
метрам управления а и у приводит к следующим соотношениям
(3.109)
Р + г
tga =------------erctgfsin“------:----.	(3. НО)
р cos ft sin у — 11 + —I sin ft cos у
L	\ P / J
В итоге получаем, что знаменатель уравнения (3.110) должен
быть равным нулю, и условием максимального изменения аргумен-
та перицентра будет равенство |а| = л/2. Условия уменьшения или
94
увеличения параметра пери-
центра будут определяться в
зависимости от наклонения ор-
биты.
Если угол наклонения орби-
ты л/2>/>0, то для увеличе-
ния аргумента перицентра дол-
жны выполняться условия а<0
при л>мкр>0; а>0 при 2л>
> ^кр^’Л.
Для уменьшения аргумента
перицентра необходимо управ-
ление а>0 при л>1/Кр>0; а<
<0 при 2л>икр>л.
Если угол наклонения орби-
ты находится в пределах л>
>1>л/2, то увеличение аргу-
мента перицентра будет проис-
ходить при условиях а>0 при
Рис. 3.19
л^^кр^О» ct<CO при л/2> ^кр >Л.
Уменьшение аргумента перицентра будет при следующем уп-
равлении а<0 при л>иКр>0; а>0 при л/2>иКр>я.
Анализируя дифференциальные уравнения, определяющие свя-
зи других параметров с управлениями ЭРД, могут быть получены
аналогичным образом оптимальные управления для условий мак-
симального изменения этих параметров.
На рис. 3.19 представлены результаты интегрирования системы
дифференциальных уравнений движения (величины Vx и гп в зави-
симости от га) для компланарного перелата КА при трансверсаль-
ном направлении вектора тяги с учетом возмущений от несферич-
ности Земли и ее атмосферы; принято Ууф = 50000 м/с, по=10"2;
10~3; 10-4 Н/кг; fto = 2OO км. Из рис. 3.19 следует, что величина ха-
рактеристической скорости (а значит, и потребный запас рабочего
тела) несущественно зависит от тяги в широком диапазоне ее из-
менения, а также что при no^10-2 Н/кг траектория полета уже
значительно отличается от круговой (гп^=га).
3.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ДВИЖЕНИЯ КА С ЭРД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Представленная выше система дифференциальных уравнений
позволяет с помощью современных ЭВМ провести расчет траекто-
рии движения КА с ЭРД при любом принятом законе управления
вектором тяги двигательной установки. В результате проведения
серии таких расчетов при варьировании параметров /г0, 60,
могут быть получены зависимости затрат характеристической ско-
рости от указанных параметров
J?, *о).
95
C F
где &Q =  * - - — баллистический коэффициент КА. Однако следует
М
отметить, что и на современных ЭВМ, отличающихся большим
быстродействием, проведение массовых расчетов траекторий дви-
жения КА с ЭРД даже без решения вариационной задачи оптими-
зации функций управления связано со значительными затратами
времени. Эти затраты могут быть оправданными при проектирова-
нии конкретного космического аппарата, предназначенного для ре-
шения определенной задачи.
Для определения областей рационального применения ЭРД,
когда требуется проведение исследования широкого класса манев-
ров и различных конструктивно-компоновочных схем КА, представ-
ляют интерес приближенные зависимости, позволяющие более опе-
ративно проводить расчеты различных вариантов применения ЭРД.
Ряд таких приближенных зависимостей, полученных для случаев
движения КА в гравитационном поле сферической планеты без уче-
та сил возмущений, представлены в работе [35]. Эти зависимости
будут приведены ниже.
Основным направлением исследований, позволяющим получить
приближенные зависимости, является применение метода усредне-
ния параметров движения КА. Сущность этого метода основыва-
ется на том, что ряд параметров движения КА можно с некоторыми
допущениями принять постоянными на одном витке.
Движение космического аппарата под действием трансверсаль-
но направленной тяги в плоскости орбиты рассмотрено в работе
[35]. Рассмотрен случай, когда разгон космического аппарата про-
исходит в гравитационном поле сферической планеты и возмущени-
ями со стороны других планет, Солнца, а также вследствие несфе-
ричности планеты и сопротивлением атмосферы можно пренебречь.
Для анализа движения КА применялся метод усреднения, дающий
удовлетворительные результаты для начального этапа разгона кос-
мического аппарата .Основные соотношения, характеризующие слу-
чай трансверсальной тяги имеют вид
= 2а0Д3;	(3.111)
аср	V
(3.112)
/1 = /юЛ-3/4; /2=/20Д“'3/4; е=е„А~3/4,
где <р — полярный угол; А — отношение большой полуоси оскули-
рующего эллипса (аэл) к ее начальному значению А = ^- ; flt
дн
f2 — отношения компонент вектора Лапласа к гравитационному па-
раметру ц; еи — эксцентриситет начальной орбиты; aQ — относи-
аГн
тельное начальное ускорение; а0 =-----; Г, V — относительная ве-
р*
96
личина характеристической скорости и скорости истечения реак-
у
тивной струи Т ———=	—-•
1/ и	1/
I Гн	V Гн
Эти соотношения справедливы при условиях применимости ме-
тода усреднения, т. е. когда п0<С1, V3>1, а величины fi и f? можно
принять постоянными на одном витке обращения КА; Д = есо8<рп»
f2 = esincpn, Фп — угловое расстояние перицентра. При движении
под действием трансверсально направленной тяги эксцентриситет
начальной орбиты уменьшается, а положение линии апсид в сред-
нем не изменяется. Разделив уравнение (3.111) на (3.112), получа-
ем уравнение для определения относительной величины характери-
стической скорости
т _ I _________dA
~ 2 У AW у ’
где Ак=— — относительная величина большой полуоси конеч-
ен
ной орбиты.
Из уравнения (3.113) видно, что затраты характеристической
скорости на участках движения, где выполняются условия приме-
нимости метода усреднения и при отсутствии возмущений зависят
только от параметров начальной и конечной орбит Оц, ен и ак.
Для случая старта КА с круговой орбиты имеем е=0, т. е. ор-
бита КА остается круговой в процессе движения.
Полагая Лк = гк, ен = 0, из (3.113) имеем
Т=1------1—,	(3. 114>
VrK
где T=VX I у гк=гк/ги.
Таким образом, затраты характеристической скорости при комп-
ланарных переходах между круговыми орбитами будут определять-
ся из уравнения
(3. 115)
Отметим, что для компланарных переходов между круговыми
орбитами зависимости (3.114) и (3.115) справедливы и для случая
тангенциальной тяги. Формулы (3.114) и (3.115) не гарантируют
удовлетворительной точности на конечном этапе разгона КА, когда
орбита КА начинает отличаться от круговой.
В работе (35] показано, что при времени полета большем, чем
«80 периодов обращения на начальной орбите, зависимость
(3.114) дает очень большую погрешность (ао=1О“3 м/с2, время до-
стижения параболической скорости равно ~90 периодов).
4	2804
97
Величина тяги ЭРД, как и для любого двигателя, определяется
из соотношения
Р=п0Мсг.	(3.116)
Для случая движения КА с постоянной тягой величина По опре-
деляется в зависимости от времени работы двигателя, которое бу-
дем полагать равным времени полета КА
п0=^[1-ехр(-1/ж/ЛФ)1-
гд
Для случая движения КА с постоянным реактивным ускорением
у
nQ=—— , поскольку а0=Ло. Приближенная формула для ояреде-
G
ления времени разгона КА до параболической скорости при рас-
смотрении движения КА без учета возмущающих сил получена в
работе [35]. Для случая тангенциально направленной постоянной
тяги связь времени разгона с величиной начальной перегрузки име-
ет вид
___	2
где V=J?/V?/ra; а0=—-; 4 =---------.
F	г» у гн/(*
Для заданного времени полета КА /п(4=/д) из (3.117) опреде-
ляем потребную величину ao(«c), а величину тяги ЭРД согласно
(3.116). Затраты рабочего тела на маневр и величина характери-
стической скорости определяются согласно следующим зависимо-
стям
= ”оЛ^д , Vx = - /^ф1п / 1 -	.
\ М„ )
Для случая трансверсально направленной тяги аналогичная
(3.117) зависимость имеет вид
/ 1-У1П — 1	1 + 0,12		\ 8	2 —		\ -0,1062		У V к J	\ У / 2	/	\ /1-1/In	1	Vo. —1—^-4 / У / \	V /
38
Для случая, когда И»1, что соответствует малому изменению
массы аппарата за время разгона, в работе [35] приведены следую-
щие приближенные зависимости:
— для тангенциально направленной тяги
4 =[ 1 -0,8082у'а0- О-0-8»82^)2 /
— для трансверсально направленной тяги
/к= 1-0,7555 у-—	t<g0)2
I ^0*
Если разгон до параболической скорости осуществляется при
постоянном реактивном ускорении, то потребное время разгона бу-
дет равно [35]:
—	при тангенциально направленной тяге
, 1 — 0,8082 #о
—	при трансверсально направленной тяге
 1 —0,7555^
я0
Затраты характеристической скорости будут определяться сог-
ласно уравнению Ух=ло^д-
Рабочий запас топлива определяется по уравнению Циолковско-
го (1.1).
Представленные выше зависимости получены без учета возму-
щающих сил сопротивления атмосферы и от несферичности плане-
ты, которые, как уже отмечалось, могут быть соизмеримы с силой
тяги ЭРД. Поэтому оценим возможности применения метода ус-
реднения параметров движения КА с ЭРД при учете этих сил.
Рассмотрим некоторые варианты перелетов КА с ЭРД между
круговыми компланарными и некомпланарными орбитами.
Результаты интегрирования системы дифференциальных уравне-
ний для круговых орбит показывают, что параметр у' получается
равным, примерно, 1. Примем, что у'=1. Учитывая, что для круго-
вых орбит Xi = ^2=0 и р = г, получаем следующую систему диффе-
ренциальных уравнений, определяющих движение КА на участках,
где можно принять допущение о постоянстве параметров на одном
витке:
4*
	_ 2г3
du	
di
----—-------CLyy 2 cos и;
dll р.
dt  г3'2 .
du
dQ   r2 sin и
~	~ aws-
du p. sin i
(3. 118)
(3.119)
(3.120)
(3. 121)
9»
Проведем некоторые преобразования уравнений, определяющих
величины ускорений от действующих сил. Ранее отмечалось, что для
монотонного изменения наклонения плоскости орбиты необходимо
л	3	и
в точках орбиты с и = — и # = —л осуществлять релейное пере-
ключение тяги ЭРД, изменяя направление ее действия на обратное.
Для учета этого требования введем релейную функцию, которая
будет определяться согласно условиям
при 0 и —,
?(u)=-l; при	?(u)=l;
при
-^-л<и<2л, <p(rz)= — 1.
(3. 122)
Отметим, что такое управление соответствует случаю монотон-
ного уменьшения величины I при л>а>0. Введем величину
и = Я2 где JAj — масса КА в текущий момент времени, соответ-
ГК Мет ’
ственно Mj = MCT — Мтъ.
Используя эти соотношения, а также соотношения
ДР=-£-; Mrs=M^; Мс=-^—; Р=п0Мсх; цк=1 — погд, (3.123)
/эф
получаем уравнения для величин aPs и apW в виде
aoS — cos a cos у;	sin а?(и).	(3.124)
Рк	Рк
Положим, что вращение атмосферы отсутствует. Тогда с уче-
том соотношений из (3.123) будем иметь
aps= — -^-ехр(а0—— й0— ₽з). а/лг=°>	(3.125)
2р.кГ
где
С учетом (3.124), (3.125) представим величины a$s и в
виде
ass = — cos a cos у —/7гр — sin2 Z sin 2« —
Рк
 £^ор (- _ - /Г_А-	(з. 126)
2ркг
aWv=-^~ sin а<р («)--— sin2/ sin а, (3. 127)
Рк	г*
где признаки 77^, Патм введены для учета влияния несферичности и
атмосферы планеты на параметры движения. Эти признаки прини-
мают значения 0 или 1 в зависимости от учета указанных парамет-
ров. Определим изменение параметров движения за один виток,
производя интегрирование правых частей уравнений (3.118)...
100
... (3.121) по величине и в пределах от 0 до 2л с учетом уравнений
(3.126) и (3.127). При интегрировании уравнений будем полагать,
что под знаком интеграла величины г, /, Q, а, V, цк можно принять
величинами постоянными.
Из уравнения (3.118) будем иметь величину изменения радиуса
орбиты, приходящуюся на 1 виток полета КА
2к	2те
=-^- cos a cos у (* du — П^ — sin2/ sin 2udu —
dn3 F L Fk	J	H J
о	0
___________2k
_/7aTM60 p. —	r —Zt0 —V du], (3.128)
2fxK-r	J	J
о
где nB — число витков полета KA.
2тс	2n
Учитывая, что ( du = 2n, a J sin2«</« — 0, из (3.128) получаем
о	о
dr	n0, b0, a, у)	(3 129)
dnB	fiK
z. ,	i	x 4ллп cos a cos v •>
где	f^r, n0, b0, a, y) =—5---------*-r3 —
p-
— 2/7aTM nb0r2 exp (oo—«о V r — h0—R3).
Из уравнения (3-119) получаем величину изменения угла накло-
нения орбиты, приходящуюся на один виток полета КА:
2к	2к
а cos «•?(«) du —sin 21 cos и sin м</и1. (3.130)
в и. |хк о	г 0
(3. 131)
(3. 132)
2к	2к
Учитывая, что j cos «<р(u)du= —4, a j cos и sin udu= 0, из
(3.130) получаем
di 	sin ar2
Аналогично из уравнения (3.120) получаем
dt ___________________________ 2лг3/2
dn„
Полученные уравнения (3.129), (3.131) позволяют определить
величину характеристической скорости КА, затрачиваемую на со-
вершение маневра.
Рассмотрим систему уравнений (3.129) и (3.132). Исключая из
них величину dn3, будем иметь
dr	п0, 60, а,
dt	2Я(1кг3/2
101
Производя в выражении (3.133) замену переменных, с учетом
•'у*
равенства dt=-------— dpK, получаем уравнение
л0
dr _	/1(г, ир^р, а, у))/й/уф
2л-р.кг3/2
В последнем уравнении можно разделить переменные и произ-
вести интегрирование, в результате которого получим
dr
f2(r, п0, 60, /®ф, а, у)
где
эф	2/^cosacosY-r3/2
/2(Л «о» b0, Jf, а, у)=—-----------------
ПатмЬр!^ у р,г ехр (д0 — %0	— Ло—7?3)
Ао
(3.134)
Учитывая, что [xK=expi
I, получаем уравнение для определения
величины характеристической скорости
гк	,
VX=J? \----------------------,	(3.135)
J /2(г, п0, b0, J®*, a, Y)
н
где функция /2(г>	а> у) определяется согласно (3.134).
Как видно из выражений (3.134) и (3.135), для определения ве-
личины характеристической скорости необходимо знать, кроме ис-
ходных данных по величинам n0, &0, зависимости углов a
у от высоты полета КА. Величину угла у можно принять равной ну-
лю, что будет соответствовать случаю трансверсально направлен-
ной тяги и что является достаточно близким к оптимальному уп-
равлению для круговых орбит. Величина угла а должна выбирать-
ся исходя из требуемого маневра и принятой функции управлений.
Можно высказать следующие соображения о характере измене-
ния величины а, вытекающие из анализа простых управлений. Мак-
симальное изменение наклонения орбиты отмечается в случае, если
угол а равен л/2, а максимальное изменение высоты орбиты будет
в том случае, если вектор тяги будет находиться в плоскости орби-
ты, т. е. а=0. Таким образом, в общем случае пространственного
маневра для одновременного изменения параметров i и г угол a
должен находиться, исходя из компромиссного решения, в пределах
между 0 и л/2. При этом величина угла может зависеть от высоты
полета. Поворот плоскости орбиты энергетически всегда более вы-
годно совершать при меньшей скорости КА, т. е. на больших высо-
тах полета. Поэтому естественно допустить, что с увеличением вы-
102
соты полета величина угла а должна возрастать, так как при этом
повышается эффективность поворота плоскости орбиты. Предель-
ным случаем является следующая схема полета КА: полет в плоско-
сти до требуемой высоты Лк и затем поворот плоскости орбиты до
требуемого значения величины /к. Однако энергетически более вы-
годным является одновременное изменение параметров г и i.
Рассмотрим некоторые зависимости величины а от высоты по-
лета КА.
Управление при постоянном угле а соответствует условию
а(г) =aH = const, где ан — величина угла а на начальной орбите.
Величину ан можно определить, решая совместно систему урав-
нений (3.129) и (3.131). Исключая величину dnB из указанных
уравнений, получаем
di _____________1________
dr	fz(r, zi0, «Н, Y)
где	/3(r, n0, b0, aH, y) =
= n. г ctg aH• COS Y-ga^n^-fx-exp (a0-x0 V г - ft0 - R3) . (3 136)
2л0 sin aH
Разделяя переменные и интегрируя, получаем уравнение для
определения величины угла аы в случае одновременного изменения
высоты полета и наклонения орбиты
r f3(r, nQ, bQ, aH, Y)
rH
где AZ=/K—/н, hi, Ik — величины углов наклонения плоскостей на-
чальной и конечной орбит.
Таким образом, чтобы определить затраты характеристической
скорости для совершения пространственного маневра, необходимо
по заданным величинам rH, Go hi, 1к, ^о, Ьо, у рассчитать из (3.137)
величину угла ан. Затем по величине ан и принятой величине из
(3.135) найти требуемую величину Vx. Варьируя исходные данные
можно найти искомую зависимость V х = Vx(Kq, ^уФ, ^о)-
Если сопротивлением атмосферы можно пренебречь, т. е. поло-
жить /7атм=0, то из выражений (3.134), (3.135), (3.136), (3.137)
после несложных преобразований можно получить в конечном виде
зависимости для расчета затрат характеристической скорости.
Из выражений (3.137) и (3.136) получаем равенство для опре-
деления потребной величины угла ан:
(3. 138)
tgaH=-----
1
In —
г Н
103
а из выражений (3.135), (3.134) имеем
vx=...v«. fi-т/
cos aH \	' rK /
(3. 139)
где cos aH =1	.
/l + tg2aH
орбите.
Для компланарного
имеем
1/н—круговая скорость КА на
перехода (Д/=0) из (3.138)
начальной
и (3.139)
(3. 140)
где
Зависимость (3.140) совпадаете аналогичной формулой (3.115),
полученной в работе [35].
Управление при переменном по высоте угле а. Из физических
соображений ясно, что должна существовать зависимость a=a(r),
при которой имеют место минимальные затраты характеристиче-
ской скорости.
Задачу определения оптимальной функции управления a = a(r)
сведем к параметрической задаче оптимизации. Будем искать опти-
мальные решения в классе заданных функций управления.
Известно, что для некомпланарных переходов между круговы-
ми орбитами при определенных параметрах орбит минимальные
затраты характеристической скорости получаются, если подъем КА
осуществляется выше заданной высоты при непрерывном повороте
плоскости орбиты с последующим снижением КА до требуемой вы-
соты. С учетом этих данных, а также физических предпосылок о ха-
рактере изменения угла а, отмеченных ранее, примем следующий
закон изменения угла а от высоты полета (рис. 3.20). Полагаем, что
на i-м участке полета от началь-
ной высоты (гн) до некоторой вы-
соты Гр, величина угла возрастает
линейно по зависимости а=А +
+Вг. На Двух последующих
участках полета — подъема до
высоты гтах и снижения до высо-
ты гк величина угла изменяется
по параболической зависимости.
Ось симметрии параболы направ-
лена под углом а = л/2.
Для однозначного определе-
ния величины а на всех участках
полета необходимо задание четы-
рех параметров. В качестве этих
параметров примем величины:
ан — угол а на начальной орбите;
104
ар — угол а в момент начала интенсивного поворота плоскости ор-
Г р	—	р
биты, Т. е. достижения ВЫСОТЫ Гр/ Т|р =-- И rmax^-^ — ОТ-
Гк	гк
носительные величины, характеризующие местонахождение опреде-
ляющих высот гр и гтах, где гтах—максимальная высота подъе-
ма КА.
Расчет величины угла а на различных участках полета осущест-
вляется по следующим зависимостям. На 1-м участке полета
(г^Гр)
а = А-\-Вг,	(3. 141)
где	В =--------; А = ан — Brn; гр = гргк.
Гр— г н
На 2-м участке полета (подъем до высоты гтах) гр^г^гтах)
-=т+(“р-т)	(3-142>
~	\	& / Гтах Гр
ГДе Гтах= Гmax * гк-
На 3-м участке полета (снижение до высоты Гк, Гmax)
(3-143)
z \	z /	Гтах — Гр
При таком задании функции управления по углу а необходима
оптимизация трех параметров из 4 неизвестных ан, ар, rp, rmax-
Для определения одного из углов (например, ан) необходимо
воспользоваться уравнением (3.137). Оптимизация других парамет-
ров (ар, Гр, rmax) должна осуществляться следующим образом (в
предположении, что используются поисковые методы нахождения
оптимального решения). Задаемся начальными значениями пара-
метров ар, Гр, rmax- Варьируя величиной dH и интегрируя (3.136) на
трех участках полета с использованием зависимостей (3.141) ...
... (3.143) и (3.137), определяем величину dH, при которой выполня-
ется равенство (3.137). Затем с использованием зависимостей
(3.141) — (3.143) и полученной величины определяем согласно
(3.135) величину Vx, являющуюся критерием оптимизации. Инфор-
мация о величине критерия оптимизации передается в поисковый
блок, который производит соответствующее изменение оптимизиру-
емых величин. Цикл расчетов повторяется вновь в указанной выше
последовательности до тех пор, пока не будет найдено оптималь-
ное решение.
105
Глава 4
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ
УСТАНОВОК С ЖИДКОСТНЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ
4.1. ОБОБЩЕННАЯ СТРУКТУРНАЯ ФОРМУЛА НАЧАЛЬНОЙ МАССЫ
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЖРД, ЯРД И ЭРД
При проведении оптимизации в соответствии с 5-м этапом ра-
бот (см. разд. 1.1), когда в качестве критерия эффективности вы-
полнения задачи выбрана масса полезного груза, необходимо раз-
делить общую массу рассматриваемого типа ДУ и КА на мини-
мальное число таких систем, чтобы эти системы однозначно харак-
теризовали тип и конструктивно-компоновочную схему, а массы вы-
деленных систем могли быть выражены через проектные, в том чис-
ле и оптимизируемые параметры.
Целью решения параметрической части задачи является опре-
деление оптимальных параметров, обеспечивающих экстремальное
значение выбранного критерия.
Считаем, что космический аппарат совершает d маневров, ха-
рактеристики каждого маневра известны из решения динамической
части задачи. Перед рассматриваемым /-м маневром может произ-
водиться сброс с КА составных частей: части массы полезного гру-
за, части массы конструкции, которая не нужна для последующих
маневров (например, системы обеспечения запуска или целиком от-
работанных ступеней многоступенчатого КА), выброс топлива при
запуске (достартовый расход, расход на захолаживание, на ори-
ентацию КА).
Важно отметить, что некоторые сбрасываемые между маневра-
ми массы зависят и от оптимизируемыл параметров остающейся
после сброса части КА. Это обстоятельство должно учитываться
при составлении структурной формулы начальной массы для опти-
мизации параметров: массы должны быть отнесены к рассматрива-
емому /-му маневру. Так, например, если закритическая часть соп-
ла двигателя закрыта сбрасываемым вместе с предыдущей ступе-
нью переходным отсеком («хвостовой» отсек), то его масса А1ХВ за-
висит от степени расширения сопла двигателя оптимизируемой
ступени; масса топлива, непроизводительно выбрасываемого при
запуске двигателя, зависит от оптимизируемых параметров двига-
теля; масса топлива, расходуемого на ориентацию и стабилизацию
КА, также оказывает влияние на объем и массу топлива и топлив-
ных баков рассматриваемой ступени. Пример компановки КА с
ЖРД на высококипящем топливе показан на рис. 4.1. Поэтому при
оптимизации параметров на /-м маневре вместо стартовой массы
КА, при которой фактически начинается маневр и которой опреде-
ляется по уравнению Циолковского (см. формула (1.1)] рабочий
расход топлива, следует рассматривать начальную массу КА,
106
Последующая____________Рассматрива ем а я	Пре дыдуш, ия
ступень	ступень				ступень
"1	vs с ч	\ /	Бак *	\	Бак 1 окислителя 1 горючего Ч II г	1		1	г		л Сопло	
Рис. 4.1
включающую сбрасываемые перед маневром массы Л4СТ j, завися-
щие от оптимизируемых параметров
М^=М^ + МСТ/.	(4.1)
При разделении ступеней
Мсбу = МхвУ + М,в>.	(4.2)
При повторном запуске двигателя той же ступени
МсбУ=Мт.вУ.	(4.3)
Здесь Mt.bj — масса топлива, расходуемого на ориентацию, ста-
билизацию, «захолаживание» и выброс при запуске.
Если ограничиться рассмотрением только самых основных сис-
тем, то стартовую массу КА в (4.1) при j-м маневре и использова-
нии любого типа двигателя можно представить в виде следующей
суммы весов:
ЛТ ст /== Af д j + т.р j + М Тф0 j	ЭеД j -f- пр;- м у ву 4"
k=d
+ £« + Мдоп)к,	(4-4)
j
где AfT.o — масса топливного отсека (включает массы баков, систе-
мы подвода топлива, системы и топливо для наддува баков, арма-
туры, гарантированных остатков и остатков незабора топлива);
М».д j — масса энергоустановки, питающей электроэнергией ЭРД,
включая массы систем источника, преобразователя и отвода энер-
гии; Л1пр j — массы прочих систем (системы управления и измере-
ния с кабельными сетями, система обеспечения запуска двигателя,
переходники между отсеками КА, кроме ЛГХВ j, детали общей сбор-
ки и т. п.); Мув j — масса «системы увода». «Системой увода» наз-
вана двигательная автономная ракетная система, предназначенная
для сообщения КА или его части дополнительной характеристиче-
ской скорости с целью посадки, коррекции орбиты или обеспечения
радиационной безопасности как в аварийных ситуациях, так и пос-
ле окончания работы ядерного реактора путем увода радиационно-
опасных элементов на другую орбиту. Такая «система увода» может
рассматриваться как самостоятельный КА с известным полезным
грузом и параметры ее элементов можно оптимизировать самосто-
ятельно;	(ЛТп 4~ Мдоп)к--масса полезного груза и дополнительных
J
107
Рис. 4.2
(кроме Л1Д;, ^Wt.oJ, -^э.дь -Л^т.р;,
Л4уВ;) систем, необходимых для
осуществления оставшихся
(d—j) маневров после /-го.
Как указано в разд. 3.3, масса
рабочего топлива, израсходо-
ванного при осуществлении
маневра, может быть представ-
лена как сумма массы топлива
Мт.р.и, необходимого при им-
пульсном маневре, и дополни-
тельного расхода топлива Afrp,
связанного с наличием грави-
тационного поля
Mr.p7 ^T.p.uJ	(4*5)
Для одноступенчатого КА выражение (4.4) запишется в виде
Л1ст=Жп+Л1д + Мг.Р + ЛГт.0 + В.Л19.д+Л4пр+7Иув.	(4.6)
Для КА с двигателем «'большой» тяги (В = 0) без «системы уво-
да» из (4.6) получим уравнение (1.4), использованное в разд. 1.3.
В различных типах двигателей в соответствии с принципами их
функционирования некоторые слагаемые весового уравнения дол-
жны быть объединены или могут отсутствовать. На рис. 4.2 пред-
ставлены основные составляющие обобщенной двигательной уста-
новки. В ДУ с ЭРД присутствуют, как правило, все указанные на
рис. 4.2 составляющие. Для двигателей «больших» тяг энергоуста-
новка отсутствует. В ЖРД и РДТТ источник энергии совмещен с
топливом, а преобразователь энергии и система подачи топлива —
с двигателем; в РДТТ двигатель включает также топливный отсек
с топливом; в ЯРД совмещены источник и преобразователь энер-
гии.
В выражения (4.4) и (4.6) введен коэффициент В, показываю-
щий, входит ли энергоустановка в состав двигательной установки:
в случаях, когда используются двигатели «большой» тяги или если
энергоустановка, питающая ЭРД, входит в состав полезного груза
(т. е. она используется для получения электроэнергии в интересах
выполнения космическим аппаратом и других задач, не связанных с
созданием реактивной силы), то В — 0.
Решение параметрической (весовой) части задачи в прямой пос-
тановке состоит в том, чтобы определить оптимальные проектные
параметры ДУ и КА, обеспечив доставку заданной массы полезно-
го груза при минимальной массе Л1ох КА на начальной (опорной)
орбите.
В соответствии с (4.1) Af01 =Mc6l Л4СТ,, где по (4.2)7ИСГ1 =
=Л4ХВ1+ЛГТ.В1. Из (4.4)ЛГеГ1=Л4Д14-ЛГт.Р1+Мг.о1+51Жэ.д1+Л1Пр1+
k=d
+Л1увн-£(МП+Л4ДО11)К.
1
108
Далее определяем начальную массу КА перед вторым маневром
Л401, вычитая из стартовой массы Л41Тс массу топлива, расходуемо-
го при первом маневре, и массы систем и полезного груза, опреде-
ляемые и уводимые между первым и вторым маневрами. Зная Л40г
по (4.1) и (4.2) или (4.3), определяем стартовую массу Л4СТ, и т. д.
Расчет ведется последовательно до последнего rf-ro маневра и дос-
тавки полезного груза на конечную орбиту.
При проведении расчетов целесообразно составить матрицу,
отражающую, какие системы или целиком ступени сбрасываются
перед каждым маневром. Матрица размером /гэлХ^ (лэл— общее-
число элементов, составляющих структурную схему КА, d — число
включений двигателя) будет иметь следующий вид:
А4ду Мr oj	А1пру Л4т ву AfXBy Мпу
1 -
2	-	-	- -	+	-	+
3++-+ + + +
d	+	+	++	+	+	-
Каждый столбец матрицы соответствует определенному элемен-
ту КА, который может быть сброшен ( + ) или не сброшен (—) пе-
ред рассматриваемым маневром, а каждая строка соответствует
включению двигателя.
Решать задачу в прямой постановке приходится методом под-
бора, поскольку от минимизируемой начальной массы КА зависят
многие величины, входящие в структурное уравнение начальной
массы. Так, например, нельзя определить используя уравнение Ци-
олковского, массу топлива, потребного для выполнения заданного
маневра, а значит, и массу топливных баков; масса прочих элемен-
тов ступени Л4Пр также зависит от Л40.
Параметрическая (весовая) часть задачи решается существен-
но проще в обратной постановке, т. е. когда целевой функцией про-
ектирования является обеспечение доставки максимальной массы
полезного груза на заданную орбиту. При этом по тем же уравнени-
ям определяются параметры, обеспечивающие максимальное значе-
ние массы полезного груза при заданной начальной массе КА на
опорной орбите. Было бы очень удобно представить структурную*
формулу начальной .массы в безразмерном виде, выбрав в качестве
критерия эффективности выполнения задачи отношение массы по-
лезного груза к начальной массе КА р*п= и обобщив таким об-
Af0
разом прямую и обратную постановку задачи. Это особенно удобно
при рассмотрении многоступенчатого КА (Z ступеней). Действи-
тельно, поскольку начальная масса каждой последующей ступени
109
гЛ4о(л-1) является массой полезного груза предыдущей ступени Л40,
^07 + 1	/	Мо \
то обозначив отношение —-—=	например, н = ~ Ь получим
Л10;	\	М01 у
Л4П Мп Л40 Л40	MQ (•_ 1) д|0-
Р'л в = — = — — -г±.......—J - тр- = Н Н2Нз- • • Рч х-i )Н,
^01	^0,	^0а	Mq(j— 1)^0/
Hi
ИЛИ	Р'пВ=Пр,Г
1
На начальной (опорной) орбите масса КА равна сумме массы
полезного груза и всех масс Mj, использованных при d маневрах
Н*	j~d
^o.=^„+2^или	(4-7)
1	1
Однако не все слагаемые формулы (4.7), стоящие под знаком 2,
могут быть представлены в безразмерном виде. Например, как бу-
дет показано в разд. 4.2, масса топливного отсека, приходящаяся
на единицу массы топлива (т. е. удельная масса топливного отсе-
ка), существенно зависит, особенно при малых Л4Т.О, от абсолют-
ного количества топлива в баках, масса двигателя на единицу тяги
(т. е. удельная масса двигателя) — от абсолютной величины тяги и
т. п. Только в случае проведения очень приближенных расчетов ока-
зывается возможным пренебречь этими зависимостями и, исполь-
зуя критерий цп, решить задачу оптимизации в безразмерном виде.
Рассмотрим более подробно уравнение (4.6), выражающее сос-
тав стартовой массы одноступенчатого КА, использующего двига-
тели любого типа и имеющего «систему увода».
Масса «уводимых» элементов, которая является массой полезно-
го груза Л4п.ув автономной системы увода, в общем случае пред-
ставим в виде
А/п.ув = ^дАГд-|-^тАГт.р4-ВТв0Л4т,0-|-ВэЛ4э-|-5прЛ411р-|-ВпЛ4п, (4. 8)
где Мэ — суммарная масса энергоустановки на борту КА, питаю-
щая энергией не только ЭРД, но и других потребителей; Вд, Вт,
Вт.о, Вэ, Snp, Вп — коэффициенты, которые могут принимать зна-
чения от 0 до 1, «определяя, какую часть соответствующего элемен-
та основной системы следует «уводить».
Поскольку в систему увода могут входить свои двигатель, топли-
во, топливный отсек и прочие элементы, то ее стартовая масса
А4ст.ув равна
А^ст.ув ^Д.уВА^д.ув 4" -^Т.увА^т.р.ув 4“ ^Т.О.увт.О.ув 4“ ^Пр.увА4цр.уВ 4“ А4ПвуВ»
(4.9)
где первые 4 слагаемых правой части равны массе системы увода
Мув в . (4.6) .
Здесь и ниже индекс «ув» указывает на принадлежность эле-
ментов к «системе увода», а коэффициенты В; ув принимают значе-
ния 0 или 1 и служат для информации, имеется ли в «системе уво-
110
да» соответствующий автономный элемент [предполагается, что в
«системе увода» не может быть использован ЭРД, поскольку ма-
невр следует совершать достаточно быстро, и поэтому член
Яэ.увМэ'ув в (4.9) отсутствует].
Наиболее просто составляющие масс основной ракетной систе-
мы КА и «системы увода» можно выразить через их удельные мас-
сы
уд/^ = УдЛрА^ст» AfT>0 "Тт.оА^т.р» А/пр = упрЛ1ст, (4.10)
где уд, ут.о, ?пр — удельные массы двигателя, топливного отсека и
прочих систем.
Как уже отмечалось, в общем случае мощность для питания
ЭРД может составлять лишь долю (<р№/=1) мощности всей энерго-
установки N9, находящейся на КА, т. е. Л^д=’ф^э. При этом вели-
чина мощности (в Вт) равна
N^PJ^/2^,	(4. 11)
где т]д — коэффициент полезного действия ЭРД (Р в Н, в м/с).
Масса энергоустановки, питающей ЭРД, и ее суммарная масса
представляются в виде
АГэ.д = уэ^д; M9=y9N9 = M9J<?N.	(4. 12)
Величины уд, ут.о, упр, т]д и уз для различных типов КА могут
быть получены расчетом или по результатам обработки статисти-
ческих данных. Их обычно представляют в виде аналитических за-
висимостей
Уд=Л(^); Yt.o=/2(^t); ТпР=/з(Мст);
Пл=/4(-/эуф); Уэ=/5(Ш
Для КА с двигателями «большой» тяги nQ определяется в ре-
зультате оптимизации или задается по прототипам. Для КА с ЭРД
Ио определяется по времени полета, которое, как указывалось в
разд. 1.5, должно быть задано. В книге рассматриваются случаи,
когда ЭРД работает на постоянном режиме и в течение всего вре*
/Эф
мени полета, т. е. /д=/п. Поэтому «о = —— [1 — ехр(—
Э
Используя зависимости (4.6), (4.8) — (4.13), получаем уравне-
ние для определения относительной массы полезного груза
Рп~ —-, т. е. оценки эффективности выполнения задачи, пригодное
/Ист
при применении любого типа двигателя в одноступенчатом КА с
«системой увода»:
~ If “ ‘	1 в /1 “ Г ^п,ув ~	^п-ув 4“	Нп.ув)]
/иСт гп.ув "Г Dn U гп.ув/
— [1 — ехр(— VXU	(1 + Yt.o)+( 1 - Ип.ув) (Вт+ ут.<А.о)] -
ЛОуэ/у*	)
9-n tn	[^^Нп.ув + ( 1 Нп.ув) -®э] Упр [Нп.увЧ- -®пр (1	Нп.ув)] I »
(4. 14)
111
тде из (4.9), используя выражение (4.10), относительная масса по-
лезного груза «системы увода»
Р'п.ув” ^п.ув/^ст.ув= 1	[1 ехр ( ^хув'^ов)] X
X (-^т.ув-И ^т.о.увУт.о.ув) &д.увУд.ув^Оув ^пр.увУпр.ув*
Для того, чтобы решить параметрическую часть задачи, кото-
рая рассмотрена в настоящем разделе в прямой (минимизируется
Af0), обратной (максимизируется Л4П) или обобщенной (максимизи-
руется |1п) постановках, необходимо в соответствии с этапом 7 ра-
бот, указанном в разд. 1.1, выразить составляющие структурной
•формулы через проектные параметры.
4.2. СОСТАВЛЯЮЩИЕ НАЧАЛЬНОЙ МАССЫ
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЖРД
Масса топлива. Наибольшее распространение для ЖРД нашли
двухкомпонентные жидкие топлива (различные горючие и окисли-
тели), так что в общем случае следует рассматривать в уравнении
не массу топлива в целом, а отдельно массу каждого из компонен-
тов, и в число оптимизируемых параметров ввести массовое соот-
ношение компонентов топлива (отношение массы окислителя к мас-
се горючего, расходуемого в единицу времени Кт = —— |. Опти-
ке.г /
визировать Кт необходимо особенно для топлив, использующих во-
дород (жидкий водород+жидкий (кислород: жидкий водород+жид-
кий фтор), поскольку оптимальное соотношение компонентов таких
топлив, определенное по критерию эффективности выполнения за-
дачи, существенно больше того значения Кт, при котором имеет
место максимальное значение величины удельного импульса тяги.
Разница между значениями Кт. полученными по тахЛ4п и maxJ^
•обусловлена тем, что на величину Мп влияет не только 7уф (масса
топлива), но и плотность топлива и массы топливных баков. Эта
разница тем больше, чем больше различаются между собой плотно-
сти окислителя и горючего.
Когда «при использовании ЖРД в структурном уравнении рас-
сматривается масса топлива целиком (без разделения на горючее
и окислитель), значение соотношения коэффициентов компонентов
топлива следует принимать равным тому значению, которое ис-
пользуется на практике. В этом случае для определения массы
топливного отсека можно использовать статистические данные, а
удельный импульс, который зависит от Кт будет изменяться только
за счет вариации оптимизируемой степени расширения сопла двига-
теля.
Суммарную массу топлива, заправляемую в «баки на всех сту-
пенях КА, можно представить в виде суммы масс топлива
расходуемых на каждое включение двигателя
j=d
Мт^^Мту.	(4.15)
1
112
Эта масса топлива Л/те; состоит из суммы трех масс: рабочего топ-
лива Мт р топлива, расходуемого («выбрасываемого») перед за-
пусками Мг.в j и топлива, остающегося в баках и трубопроводах,
если, рассматривается последний маневр ступени КА, когда баки
опорожняются (топливо, идущее на создание газов наддува в ба-
ках, остатки незабора топлива, гарантированные остатки, включа-
ющие и заливку топливом трубопроводов и двигателя):
Л1ге/ =	А1Т.В; + А4т,ост;-.	(4. 16)
При использовании криогенных компонентов топлива, особенно
жидкого водорода, следует учесть также потери на испарение, кото-
рые зависят от качества тепловой изоляции бака и времени поле-
та КА.
Рабочий запас топлива используется для сообщения ускорения
КА и при /-м включении равен AiT.p j—Mc j. Тогда (4.15) при-
мет вид
j=d	j=d	j=i
Atr e = 2 A j 4“ S TB- i 4“ 2 T,9CT7
i	i	i
УИт Б = A4T.p E -|- Af T.B E -|- M T.OCTE,	(4. 17)
где TWr.pE, Л4т.ве и ТИт.осте —суммарные запасы рабочего топлива,
топлива, расходуемого перед запусками двигателя, и сумма остат-
ков топлива на всех I ступенях КА.
j=d	j=d	j=d
А4т.рЕ	Л4т.ве =	А4т.осте = ^^ Л4т>осту. (4. 18)
1 1 1
В общем случае масса топлива, расходуемого («выбрасываемо-
го») перед началом маневра КА, зависит от проектных параметров
двигателя и космического аппарата. Эти «потери» топлива имеют
место при выбросе в момент запуска, при охлаждении магистралей
и агрегатов перед пуском, а также включают топливо, расходуемое
для ориентации и стабилизации КА между маневрами. Такой до-
стартовый расход топлива при запуске Л4Т,3 (исключая расход на
ориентацию и стабилизацию Мт.Ор) определяют часто как долю се-
кундного расхода топлива при работающем двигателе, т. е. AfT,3 ;=
= Ут.з j’Afc Тогда
А4т.в/=	ут.3;А4су.	(4. 19)
Если осуществляется многократный запуск (d раз) одного и то-
i = d
го же двигателя на ступени, то 7Ит.ве=^ (А4т>ор + ут.з^с)л Значе-
1
ние коэффициента утл определяют по статистическим данным.
Расход топлива на ориентацию и стабилизацию КА практиче-
ски не зависит от оптимизируемых параметров ДУ и КА и опреде-
ляется принятой системой ориентации и стабилизации и начальной
массой КА.
113
Масса остатков топлива зависит от конструкции и объема топ-
ливных баков и ее определяют для каждой ступени КА как долю
суммарного запаса топлива в баках Л4т>осту = yT.0CrjMrvj. При не-
большом числе маневров ступени Мт>0Ст j можно представить как
долю от рабочего запаса топлива в баках AfT0CTy = YT>0CTyXAfT.pi;,
где ут.ост j — коэффициент, в значительной мере характеризующий
совершенство> системы питания двигателя. Массу остатков топлива
удобно учитывать, как это и сделано в разд. 4.2, совместно с мас-
сой топливного отсека.
Рассмотрим подробнее первую составляющую массы топлива
в уравнении (4.17): рабочий запас топлива.
Если при каждом включении двигатель работает на номиналь-
ном режиме, то рабочий запас, топлива будет определяться по
(4.18), в которой MCj = PjfJ^. Величина Р является проектным
оптимизируемым параметром двигателя, а величина определя-
ется в зависимости от других проектных параметров двигателя,
как это показано ниже, так что секундный расход топлива может
быть представлен в виде зависимости от проектных параметров
двигателя. Время работы двигателя /д j при каждом j-м включении
является параметром управления, который также должен оптими-
зироваться. В случаях, когда двигатель работает и на регулиру-
емых режимах, в число оптимизируемых параметров при оценке
рабочего запаса топлива войдут и внутридвигательные параметры,
определяющие эти режимы.
Когда задача оптимизации решается методом разделения (см.
разд. 1.5), т. е. когда известны значения характеристических ско-
ростей при маневрах, рабочий запас топ-
лива следует определять из уравнения
Циолковского [см. уравнение (1.1)] по
стартовой массе КА, характеристической
скорости и эффективному удельному им-
пульсу (рис. 4.3).
Рабочий запас топлива при решении
задачи оптимизации методом двой-
ного' разделения (см. разд. 1.5),
когда Vx= Vrp, определяется как сум-
ма потребного запаса при импульсном
маневре и запаса топлива, связанного с
наличием гравитационного поля [уравне-
ние (4.5)] При этом AfT.p.Hj и Мгр , опре-
деляются по выражениям (3.56) и (3.57).
4 Рассмотрение зависимости на рис. 4.3
показывает, что количество топлива,
необходимое для обеспечения одина-
кового маневра КА (Vx = const), изме-
няется не обратно пропорционально
изменению удельного импульса. Только
при VXU* <0,1	«0,2) с точностью
114
соответственно не меньшей, чем 5% (10%), можно полагать, что
1 — ехр(I/X/Jy*) —, т. е. MJM„=^VxfJ^. Это означает, что
Л	Р
•^ст'/л--=у'^т.р-/уФ = .;Ит.р—= Р-/Д, т. е. при этих условиях
(^/J^<0,2) с точностью не ниже 10% можно вместо уравнения
Циолковского использовать обычный закон механики для постоян-
ной массы: изменение количества движения стартовой массы Л4СТУХ
равно импульсу силы Pt^.
Следует также отметить и другое важное обстоятельство: чем
более энергоемкий маневр (больше Vx и соответственно больше
Кх7*/уФ)> тем меньше влияет увеличение удельного импульса (нап-
ример, применение более калорийного топлива на ЖРД или пере-
ход от ЖРД к ЯРД) на уменьшение потребного для маневра ко-
личества топлива (при той же стартовой массе КА). Так, напри-
мер, если при переходе от ЖРД с 7уф —3000 м/с на ЯРД с */уф =
= 9000 м/с при Ух=1,0 км/с величина Afi.p/AfCT уменьшается с 0,28
до 0,1, т. е. в 2,8 раза, то при Vx=4,5 км/с величина Л4Т.Р/Л4СТ
уменьшится с 0,78 до 0,39, т. е. лишь в 2 раза.
Таким образом, в слагаемые суммарной массы топлива, заправ-
ляемого в баки, входит масса топлива, выбрасываемого перед за-
пуском Л1Т.ВЕ. Следует иметь в виду, что при многократном включе-
нии двигателя наличие такого выброса топлива влияет в соответст-
вии с уравнением (1.1) также и на рабочий расход, поскольку из-
меняется стартовая масса КА.
Рассмотрим вопрос о влиянии непроизводительного выброса топ-
лива (или любых других пассивных сбросов) на рабочий запас топ-
лива.
Пусть двигатель включается 2 раза и перед включениями про-
изводится выброс топлива AfT.B1 и Мг.вз- Тогда A4CTl — MOl —
Потребное количество рабочего топлива при первом 'включении
двигателя по уравнению (1.1)
Л4Т.Р1/ЖСТ1 = 1 - ехр (- Vx,/J$).	(4. 20)
При втором включении двигателя
Л1т.р./Л1ст, = 1 - ехр (- Vx,/J^).	(4. 21)
/ М М \
Величина AfCT =Л1СТ — Л4Т Р1 — Мт в ==Mcr. 11-----------— I.
\ ^ст,	/
Используя (4.20), получим
ЛГСТ> = Л4СТ1 [ехр (- VXl/J^) -	J.	(4. 22)
Подставим уравнение (4.22) в (4.21) /Ит.рJM„=(7Итр,/ЛГст,)х
I VX \ ^TB	V
xexp(-^--^ = l-exp^
Т^ф- j • Отсюда
Г Эф
1/1
= [ 1 - exp (- V^/V**)] [exp (- VXJJ*) - Alt.B,/Afc J.
(4. 23)
115
Складывая выражения (4.20) и (4.23)
^Т.р, 2^т.ра
= [ 1 - ехр (- (VxJJ?t + VXJ J*))] -
Г	I Vx \1 МЧв
- 1 —ехр/----й-)—£±L-
П /!* 1 лст
(4.24)
При отсутствии выброса (Л4в.Та=0) получаем из (4.24) обычную
формулу для определения расхода топлива при двух включениях
двигателя
^Т.Р + МТ.Р, =[1 _	(_(VxJJ?i + VxJJ^].	(4. 25)
^ст,
Обозначив AfT.Pl-|--44T.p, = AfT.p(1+2) из (4.24) и (4.25) имеем
^т-Р(1+2) с учетом выброса_	_____1 — ехр ( — Ух,/^)_____ -^т.в,
^т.рц_|_2)^ез учета выброса	1_еХр[__(Их //^ + Гх>//^)] •
^CTi
(4.26)
Отсюда видно, что потребное количество рабочего топлива
меньше при учете влияния выброса топлива на стартовую массу.
Так, в случае, когда Vx,—Vx, и = при изменении Vx в
возможном диапазоне от 0 до сю множитель перед Л4Т.В,/УИСГ1 в
(4.26) изменяется от 0,5 до 1. Действительно, как указывалось
выше, при малых VXIJ^ можно принять [1 —ехр(—Ух/Ууф)] =
= Р\МуФ и, значит, во множителе числитель [ 1 — ехр (— 1/^/7уф)] в
два раза больше знаменателя [1 —ехр( —21/д.//^ф)] = 21/Л//уф.
Обобщенная формула для определения количества рабочего
топлива при включениях двигателя с учетом непроизводительных
выбросов топлива перед запусками будет иметь вид
М-г.р д
k=d	,	- j=d
b-exp
k^r	L J=k
(4.27)
Формула (4.27) может быть конечно использована для опреде-
ления рабочего расхода топлива не только при наличии достартово-
го выброса топлива, но также в случаях, когда имеют место любые
пассивные сбросы с КА между запусками двигателя, например, при
сбросе части конструкции, части полезного груза на промежуточной
орбите и целиком отработавшей ступени для многоступенчатого КА,
т. е. зависимость (4.27) может быть использована и при сравнении
потребных запасов топлива для осуществления одних и тех же ма-
116
невров космическим аппаратом с разным количеством ступеней.
При этом .вместо Л4Т.В в (4.27) следует .подставлять все сбрасывае-
мые пассивные массы.
В качестве примера запишем (4.27) для 4 «включений (rf=4)
=[ 1 - exp (- VXJJ?- VXJJ* - VXJJ* - VXJJ*)] -
- [ 1 - exp (- Vx,/J^ - VXJJ* - VXJJ*)]	-
2WCTj
- [ 1 - exp (- Vx,/J* - VXJJ3*)]
AfCT1
-(l-exp(-V^)]^-.
^CTX
Из уравнения (4.27) получаем суммарный расход рабочего топ-
лива на d маневров при отсутствии (или неучете) выбросов топ-
лива
j-d
AfT.pS/MCT1 = AfT.p/iWCT1 = 1 - exp - 2
1 _ 1
(4. 28)
В табл. 4.1 представлены результаты расчета по определению
влияния числа запусков двигателя (J) на рабочий расход топлива
для различных маневров (Vx)« Для примера приняты следующие
исходные данные: стартовая масса КА 20 т, выброс топлива перед
каждым запуском составляет 0,8 от секундного расхода топлива,
удельный импульс тяги двигателя 5000 м/с и начальная тяговоору-
женнссть 5 Н/кг. Через ДЛ4Т.Р обозначена разность между количе-
ством рабочего топлива в
случаях, когда не учитывает-	Таблица 4.1			
ся и учитывается изменение стартовой массы из-за до- стартового выброса топлива.	d	vx^=dvxp м/с	: AAfT.p, кг	А-^Т.р/^Т.р’ %
Из таблицы видно, что при определении рабочего		100	0,6	0,16
расхода топлива следует	5	1000	8	0,22
учитывать влияние выброса перед запуском двигателя		5000	32	0,25
только при осуществлении большого числа запусков		100	2	0,53
(более 50).	10	1000	20	0,56
Перейдем к рассмотрению удельного импульса тяги, знание которого необходимо		5000	80	0,63
		100	22	5,4
в соответствии с уравнения-				
ми (1.1), (4.27) и (4.28) для	100	1000	200	5,6
определения рабочего расхо-		5000	720	5,7
да топлива.				
117
Удельный импульс тяги является основной энергетической ха-
рактеристикой реактивного двигателя. Как известно, он равен от-
ношению тяги, развиваемой двигателем, к расходу топлива в еди-
ницу времени Jy = PIMc, или производной от импульса тяги по мас-
т	dJх	1 d!ъ	г г
се израсходованного топлива, т. е. Jv = —- = ——	где aJ^ —
3 dMx	Mz dt
= Pdt.
Для нерегулируемых двигателей (постоянные по времени рас-
ход топлива и тяга), которые рассматриваются в книге,
Необходимо ввести понятие «идеального, действительного и эф-
фективного удельного импульса».
Идеальное (теоретическое) значение удельного импульса /ут
определяется для ЖРД и ЯРД из термодинамического расчета в
предположении полного сгорания в камере и равновесного состава
продуктов сгорания (состав в сечениях сопла соответствует расчет-
ным температуре и давлению) при одномерном расширении газов,
а также отсутствии отвода тепла и трения (например, [1]). Отноше-
ние действительного удельного импульса камеры двигателя к иде-
альному равно коэффициенту удельного импульса <рд, который учи-
тывает имеющиеся потери в камере коэффициентом потерь фк и по-
тери в сопле — коэффициентом сопла фс.
При определении величины эффективного удельного импульса
/у*, который и должен подставляться в уравнение Циолковского
для определения потребного для маневра рабочего запаса топлива,
необходимо также учитывать коэффициентом фупр потери, связан-
ные с отклонением вектора тяги для управления положением КА
на активном участке полета, и коэффициентом фд.у — отличие
удельного импульса всей двигательной установки (включающей
маршевый и вспомогательные двигатели или сопла, служащие для
управления движением КА) от удельного импульса маршевого
двигателя. Таким образом:
(4.29)
Коэффициент потерь в камере фк ЖРД учитывает несовершен-
ство смешения компонентов топлива, неполноту процессов горения
(испарение, диффузия, собственно горение) и необходимость обес-
печить внутреннее охлаждение стенок камеры (преднамеренно не-
равномерное распределение компонентов топлива по сечению каме-
ры, как правило, с избытком горючего у стенок — пристеночный
расход горючего). На практике оценивают все процессы в камере и
дозвуковой части сопла как отношение действительного расходно-
го комплекса к идеальному, вычисленному при тех же значениях
соотношения компонентов и давления в камере сгорания. Современ-
ные ЖРД имеют фк —0,98.
Коэффициент сопла характеризует отличие реального процесса
расширения продуктов сгорания от теоретического и складывается
118
из потерь на химическую неравновесность, на трение, на рассея-
ние (из-за несоосности потока при выходе из сопла) и на многофаз-
ность. Коэффициент сопла определяется как отношение действи-
тельного коэффициента тяги в пустоте (отношение тяги камеры к
произведению давления торможения в минимальном сечении сопла
на площадь этого сечения и коэффициент расхода сопла) к идеаль-
ному, вычисленному при тех же значениях соотношения компонен-
тов топлива, давлении в камере и геометрической степени расшире-
ния сопла.
Суммарные потери в камере и сопле в зависимости от оптими-
зируемых параметров удобно представить в виде
?*=?Л=/(Л Л, Рк/Ра) (например, см. разд. 4.5),
?д=аРврск (рМ~т.	(4.30)
Как указывалось, необходимо управлять положением КА на ак-
тивном участке полета. Требуемые для этого усилия и моменты по-
лучают на практике различными способами: отклонением маршево-
го двигателя, специальных рулевых двигателей или, в случае ис-
пользования на КА ЖРД без дожигания (ЖРД с подачей топлива
при помощи турбонасосного агрегата, в котором продукты газоге-
нерации после их срабатывания в газовой турбине не поступают в
камеру, а выбрасываются через выбросные сопла), отклонением
выбросных сопел, а также вдувом в сопло маршевого двигателя
топлива или газов для получения осесимметричного истечения про-
дуктов сгорания. Таким образом, потери в удельном импульсе, свя-
занные с составом двигательной установки и управлением КА, оп-
ределяются принятой схемой ДУ и КА. Потери, связанные с управ-
лением КА и отклонением вектора тяги, невелики и составляют
0,5—1,5%, так что коэффициент потерь фупр=0,995 . . . 0,985.
Определим потери удельного импульса <рду из-за наличия в
двигательной установке кроме маршевого двигателя рулевых дви-
гателей или выбранных сопел. Тяга всей двигательной установки
Рд.у может быть представлена как произведение ее удельного им-
пульса 7уд.у на суммарный секундный расход из маршевого Мсм и
рулевого (или выбросных сопел) Мс.рул.выб ’ Рд.у=/у.д.у(Мс.м +
+А1с.рул.выб) или как сумма тяг маршевого и рулевого (или выб-
росных сопел) двигателей, выраженных через их удельные импуль-
сы и секундные расходы, т. е. Рд.у=7у.мЛ1с.м + /у.рул.выбМс.рул.выб.
Приравнивая приведенные выражения для Рд.у, получим удельный
импульс двигательной установки
J ______ ^у.м [Мс.м +(/ у.рул.выб/^у.м) ^с.рул.выб]
У У	МС.М + Мс.рул.выб
Отсюда
_ ^У.Д.У _Мс м 4~ (/у.рул.ВыбЛу.м) Мс.рул.выб	. Q
~ “7----—---------Тл---ГТл--------------•	(d 1)
•'y.M	Мс.м 4- Мс.руб.выб
Из уравнения (4.31) видно, что при отсутствии рулевого двига-
теля (или отсутствии выбросных сопел — для ЖРД с дожигани-
119
ем), т. е. когда Л4с.рул.выб = 0 или в случае если удельные импуль-
сы рулевого (выбросных сопел) и маршевого двигателей одинако-
вы (7ум = /у.рул.выб), то фд,у=1. Если при использовании на КА
ЖРД без дожигания пренебречь удельным импульсом выбросных
сопел (7у.выб = 0), то
?д.у=^с.м/(Мс.м + Л1с.выб).	(4.32)
Для двигателя без дожигания потери удельного импульса, свя-
занные с выбросом неполностью сгоревшего в газогенераторе топ-
лива через турбину и выбросные сопла, тем больше, чем выше дав-
ление в камере маршевого двигателя, поскольку при этом повыша-
ются напоры насосов и необходимо направлять в газогенератор и
на турбину большее количество топлива (повышение температуры
газа ограничено термостойкостью лопаток турбины) для получения
большей потребной мощности турбины. Коэффициент, характеризу-
ющий эти потери, часто называют коэффициентом потерь на пода-
чу топлива фп- Большими потерями на подачу топлива и объясня-
ется переход при высоких давлениях в камере к схемам ЖРД с до-
жиганием. При использовании ДУ без дожигания фду=фп. Значе-
ния коэффициентов потерь на подачу топлива можно аппроксими-
ровать в виде фп=/: (рк), например (см. разд. 4.5),
<fa=a-bpl.	(4.33)
Рассмотрим вопрос об определении теоретического удельного
импульса. Выражение для удельного импульса в пустоте имеет
вид [44]
=	(4.34)
где Wa и Fa — скорость истечения и площадь выходного сечения
сопла. При оптимизации параметров часто (например, [58]) опреде-
ляют теоретическое значение скорости истечения в (4.34) по форму-
ле, заимствованной из газовой динамики
Использование этой формулы для определения теоретического
удельного импульса возможно, если известен показатель изоэнтро-
пы истечения п. Однако состав продуктов сгорания ЖРД «по соплу
существенно изменяется, так что средний показатель изоэнтропы
оказывается различным даже в случаях, когда он определяется по
уравнениям адиабаты исходя либо из температуры и давления, ли-
бо из температуры и удельного объема в камере и выходном сече-
нии сопла, полученных по термодинамическому расчету; показатель
п зависит также при прочих равных условиях от степени расшире-
ния сопла. Вместе с тем, как показывают расчеты, изменение пока-
зателя истечения всего на 0,02 (например, с 1,14 до 1,16) приводит
в диапазоне степеней расширения газов в сопле рк/ра=500.. .4000
120
к завышению удельного импульса соответственно на 2—3%, что су-
щественно скажется на определяемой по величине массы рабо-
чего топлива, особенно при больших маневрах, а значит приведет и
к большим ошибкам в определении выбранного критерия эффектив-
ности выполнения задачи (массы полезного груза). Поэтому ис-
пользование (4.34) и (4.35) для определения /ут, как правило, не-
допустимого, если показатель п подобран по уравнению адиабаты
(исходя из параметров газа), а не специально непосредственно по
значениям удельного импульса, полученным в результате термоди-
намических расчетов. Однако, оказывается можно подобрать функ-
цию /ут = /(Рк, Рк/Ра), позволяющую значительно более точно, чем
по уравнению (4.35), аппроксимировать результаты термодинами-
ческих расчетов и использовать ее при решении на ЭВМ задач оп-
тимизации. При этом расчеты показывают, что определяющее зна-
чение для величины /у имеет степень расширения сопла, а измене-
ние давления в камере сказывается очень незначительно, так что
для определенных компонентов топлив и их соотношения в очень
широком диапазоне изменения давления в камере и степени расши-
рения сопла аппроксимацию теоретических значений удельного им-
пульса тяги можнд произвести с большой точностью (погрешность
не более ±0,3%) >по простой зависимости 'вида
J'y=a-b(pM-c,	(4.36)
где а, Ь, с — постоянные величины (см. разд. 4.5). При учете влия-
ния рк на /ут точность аппроксимации может быть повышена.
Основными топливами, используемыми для зарубежных косми-
ческих ЖРД, являются азотный тетраксид +несимметричный диме-
тилгидразин или его 50%-ная смесь с гидразином (АТ + НДМГ или
АТ±А = 50), и жидкий кислород+керосин (O2 + RP=1), и жидкий
кислород + жидкий водород [73]. Стехиометрические соотношения
компонентов топлив, обеспечивающие их полное окисление в соот-
ветствии с химическими формулами составляют для топлив О2 + Н2,
АТ + НДМГ и O2 + RP=1 соответственно 7,94; 3,06 и 3,4, а макси-
мальные значения теоретических импульсов получаются при отно-
шении фактического соотношения к стехиометрическому (коэффи-
циенты избытка окислителя — а) соответственно примерно при
а «0,7, 1,0 и 0,9. Баковое соотношение компонентов топлива, обес-
печивающее получение максимального критерия эффективности
выполнения задачи для топлив АТ + НДМГ и O2 + RP=1 практи-
чески совпадает с соотношением, при котором имеет место макси-
мум удельного импульса, а для кислородно-водородного топлива —
баковое соотношение компонентов выше в связи с низким удель-
ным весом водорода [1].
Масса топливных отсеков зависит от вида и объема заключенно-
го в нем топлива, диаметра баков, конструктивной схемы баков и
отсека и прочностных характеристик материалов. Для определения
величины Мто должна быть составлена математическая модель, в
которой в качестве входных параметров будут масса топлива сту-
121
пени и другие проектные параметры КА (уь 1/2, •. Ут),
например, диаметр бака, величина давления наддува баков, пара-
метр, характеризующий форму днищ и т. п. Таким образом, для
каждой /-й ступени КА M.r ol =	yh у2,.. .,ут)- Как указы-
валось в разд. 4.1, в массу топливного отсека, входящую в весовое
уравнение КА, кроме массы баков, горючего и окислителя, переход-
ников и арматуры отсека включены также массы системы подвода
топлива, системы и топливо, идущие для наддува (баков, массы га-
рантированных остатков и остатков незабора топлива.
На стадии проектирования при выборе оптимальных параметров
целесообразно использовать статистический материал по выполнен-
ным конструкциям. Однако статистических данных, опубликован-
ных в литературе, недостаточно для того, чтобы можно было опре-
делить указанные составляющие массы топливного отсека. Поэтому
его массу следует оценить целиком применительно к рассматривае-
мому топливу и различным используемым на практике компонов-
кам и формам баков (последовательное расположение баков горю-
чего и окислителя, баки со совмещенным днищем, несущие или раз-
груженные баки, цилиндрические, торовые или шаровые баки и
т. п.). При определении Л4Т.О, как указывалось, вводят понятие
«удельная масса» топливного отсека ?т.о, которая равна массе топ-
ливного отсека на единицу массы топлива и в значительной мере
характеризует совершенство конструкции топливного отсека. Ес-
тественно, что ут.о должна определяться относительно всего топли-
ва, заключенного в баках (с учетом топлива, расходуемого на ори-
ентацию и стабилизацию КА и топлива, выбрасываемого при запу-
ске), т. е. AfT<0/ = уто/Л4тБ/. Однако если число пусков двигателя
на ступени КА невелико, т. е. невелико количество топлива, расхо-
дуемого на ориентацию, стабилизацию КА и выброс перед запус-
ком, то суммарная масса А4тЕ/ несущественно отличается от ра-
бочего запаса топлива Л4Т.Р потребного для совершения маневров
ступени, и масса топливного отсека может быть определена через
массу рабочего топлива, что значительно упрощает проведение
расчетов, так как Л1Т.Р определяется из уравнения Циолковского.
Тогда
Ут.о/А1т,р/.
Удельная масса топливного отсека не является величиной посто-
янной и даже для определенных топлив, конструкционных материа-
лов и компоновки отсека зависит от количества топлива, причем тем
в большей степени, чем меньше запас топлива в баках на ступени.
Это и понятно, поскольку при небольшом количестве топлива отно-
сительная масса баков велика (объем баков уменьшается быстрее
их поверхности). Только для достаточно больших масс топлива
можно принять yT.o=const (масса топливного отсека прямо пропор-
циональна массе топлива), что и оправдывает введение этого коэф-
фициента в расчеты по определению оптимальных параметров.
122
Статистические и расчетные данные удается аппроксимировать
формулой вида M^Q=a-\-b*M^ а часто уравнением прямой ли-
нии (с= 1)
Л4т,0=а + *-Жт.	(4.37)
Тогда 7т,0 = 6 + а/Л1т.
Масса двигателя в общем случае зависит от типа двигателя, его
конструктивно-компоновочной схемы, качества применяемых мате-
риалов, компонентов топлива (рабочих тел) и основных его проект-
ных параметров. Для определения массы двигателя составляется
специальная математическая модель, которая для исходных типов
двигателей (ЖРД, ЯРД, ЭРД), их конструктивно-компоновочных
схем, компонентов топлива или рабочих тел позволяет установить
исходя из выбранной степени детализации связь массовых характе-
ристик составляющих двигателя и принятой системой проектных
параметров МЛ = ^М^ = f (хь х2,-.., хр\ где проектные, в том
числе оптимизируемые параметры х2,..., хр означают, напри-
мер, величины тяг, соотношения компонентов топлив, давление в
камере сгорания и на выходе из сопла, способ управления вектором
тяги и т. п. Все эти параметры могут изменяться независимо друг
от друга.
Наиболее просто для определенных типа двигателя и рода топ-
лива выразить массу двигателя через тягу (см. разд. 4.4):
Мл—аРь.	(4.38)
Если давление в камере сгорания и степень расширения сопла
изменяются не в широких пределах, то точность определения мас-
сы двигателя, полученная таким простейшим образом, оказывается
достаточной для оценки целесообразности его использования. Од-
нако ясно, что масса двигателя «большой» тяги должна при прочих
равных условиях существенно зависеть от давления в камере и
степени расширения сопла.
Весовое совершенство конструкции двигателя часто характери-
зуют удельной массой уд, т. е. отношением массы двигателя к его
тяге. Это было бы очень удобно, если бы масса изменялась прямо
пропорционально тяге, так чтобы уд = const. Однако уже из (4.38)
видно, что поскольку b=/= 1, то уд = const:
Ул=а-Рь-1.	(4.39)
Тем не менее понятием удельная масса двигателя пользуются
широко, поскольку она может быть принята постоянной при не
очень больших изменениях параметров.
Если при оптимизации параметров изменение массы двигателя
соизмеримо с изменением других составляющих весовой функции,
то она должна определяться достаточно точно, так что зависимость
типа (4.38) оказывается неприемлемой. Повысить точность опреде-
123
ления массы существенно не
удается, выразив его через тягу
и удельный импульс, т. е.
M=f^P, Jy). (4.40)
Это видно из рассмотрения сле-
дующего примера. На рис. 4.4
представлены габаритные раз-
меры двух камер сгорания,
развивающих одинаковую тягу
Р\ = Р% и имеющих одинаковую степень расширения соп-
ла (Рк/Ра)1= (Рк/Ра)2, но- отличающихся в 4 раза давления-
ми в камере рК2 = 4рК1. Поскольку камеры работают на одинако-
вом топливе И имеют одинаковую степень расширения, то их удель-
ные импульсы будут очень близки (4.36). Далее, так как тяги ка-
мер одинаковы, то при Jy^ = Jy, секундные расходы практически
равны при отличающихся в 4 раза давлениях. Поэтому площади
проходных сечений, а значит, и поверхность у камеры 2 (она по-
добна по профилю камере 1) примерно в 4 раза меньше; соответст-
венно уменьшится и масса второй камеры при тех же тяге и удель-
ном импульсе. Уменьшение массы 2-го двигателя будет не столь
значительным (менее, чем в 4 раза) за счет большой массы турбо-
насосного агрегата при больших потребных напорах насосов
(Рк, = 4рК1). Однако ясно, что использование зависимостей типа
(4.40) неприемлемо для точного определения А4Д. Массу двигателя
при прочих равных условиях (топливо, схема, система подачи)
можно характеризовать достаточно точно тягой, давлением в каме-
ре сгорания и степенью расширения сопла.
По расчетным и статистическим данным, имеющимся по массам
двигателей в литературе, можно получить аппроксимационную за-
висимость в виде (см. разд. 4.5)
Мл=аРьрсМраГ.
(4.41)
По зависимостям типа (4.41) и постоянных а, 6, с, т масса дви-
гателя определяется значительно точнее, чем по выражению (4.39),
однако при изменении рк и рк/ра в очень широких пределах точ-
ность не превышает 15%. Для повышения точности приходится вво-
дить зависимость показателей степени в (4.41) от параметров дви-
гателя.
Степень расширения газов в сопле рк/Ра влияет в основном на
закритическую часть сопла, которая в значительной мере определя-
ет массовые, габаритные и энергетические характеристики двига-
теля, а также длину переходного хвостового отсека между ступе-
нями. Поэтому целесообразно было бы представить массу двигате-
ля как массу «очкового» двигателя (от пусковых клапанов до кри-
тического сечения) Л40Ч и массу сопла Мс совместно с его элемен-
тами (коллектора, элементы крепления и др.) Л4д = Л40Ч + Л4с- Со-
124
ответственно следует ввести понятие об удельной массе «очкового»
двигателя — уоч и удельной массе сопла — ус.
уоч = Моч/Р = (Моч/РкРкр) (PkFkp/P)=-^.-L ,
Рк* кр Л р
где Кр — тяговый комплекс [44];
yc = Mc/P=bcSc/P, где bc, Sc — масса единицы поверхности и
поверхность сопла. Поскольку оказывается возможным выразить
МОч/Рк-Fw = f (Мс), то уоч и ус определяются независимо друг от
Друга.
Опубликованных к настоящему времени статистических данных
недостаточно для определения отдельно массы «очкового» двигате-
ля и сопла, поэтому при проведении расчетов использовались выра-
жения (4.38) или (4.41) (см. разд. 4.4 и 4.5).
В случае, когда структура весовой формулы составлена в без-
размерном виде (см. разд. 4.1), то необходимо знать отношение
МД/Л1СТ •
АЛ Р
(4.42)
Рассмотрим вопрос об определении коэффициента начальной тя-
говооруженности Ио.
При первом маневре =	После (/—1) маневров
(перед /-м маневром) стартовая масса КА уменьшится, по сравне-
нию с УИсп на сумму масс израсходованного рабочего топлива
*=Л-1
А4трЛ и сумму масс пассивных сбросов между маневрами
1
2 м„
1
р	_
n0j—	j-1	k=j-l
1 1
=----------~----------------------г- (< 43)
Мвк/МС1\
п0,
или	пй) =------------------*37=1-----.
1 ^T.ps/^cTi	УвЛ
1
Здесь ув*=-^, a AfT„s/AfCT1 определяется для (у —1) маневров
Л4Ст
по (4. 27), если вместе AfT-B# подставить AfB*.
125
В случае, когда пассивных выбросов нет (или ими мож-
но пренебречь),, выражение (4.43) примет вид (3.60), поскольку
1
2 МВй=0 и из (4.28) за (/—1) маневр	1 — ехр —
r 1
; практически, как указывалось в уравнении (3.58),
1 J
величины Vx можно заменить на Уи.
Масса прочих систем. В структурной формуле (см. разд. 4.1) к
прочим массам Л4пр ступени КА, как указывалось, отнесены систе-
мы управления и измерения с кабельными сетями, система обеспе-
чения запуска двигателя, переходники между отсеками (кроме пе-
реходника между ступенями), детали общей сборки.
Масса приборов системы управления определяется требуемой
точностью управления полетом, массой КА и уровнем развития при-
боростроения, так что практически масса аппаратуры управления
и измерения определяется массой КА и ее можно считать не зави-
сящей от проектных параметров КА [51]. Система обеспечения за-
пуска должна обеспечивать определенные перегрузки после нахож-
дения КА в состоянии невесомости для выделения из топлива газо-
вых включений перед пуском двигателя. Поэтому ее масса также
зависит лишь от массы КА. Массы переходников между отсеками и
деталей общей сборки Л4П.Д определяются в общем случае пара-
метрами ДУ и КА.
Л4п.д j=f (%ь х2,..., хр\ у1, у2,... ,yq)j- С достаточной степенью
приближения можно принять, что эти массы пропорциональны на-
чальной массе или стартовой массе КА.
Исходя из изложенного массу прочих систем в весовой формуле
целесообразно выразить через стартовую массу КА
Л4пр=а + *Л1СТ,	(4.44)
где значения а и b следует определить из анализа статистических
данных весовой сводки КА и расчетов (см. разд. 4.5). При этом сле-
дует иметь в виду, что системы управления и измерения в случае
рассмотрения многоступенчатого КА расположены в основном на
его верхней ступени.
4.3. ВЫБОР ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
В разд. 4.1 составлена структурная формула начальной массы,
а в разд. 4.2 приведен вид зависимостей составляющих ее масс от
проектных параметорв. В соответствии с 8 этапом работ, изложен-
ным в разд. 1.1, необходимо из проектных параметров выбрать па-
раметры, подлежащие оптимизации. Предварительно из результа-
тов работ по этапу 5 известны тип и конструктивно-компоновочная
схема ДУ и КА, которые рассматриваются при оптимизации.
Например, рассматривается КА с ЖРД, работающим на топли-
ве азотный тетраксид с диметилгидразином при избытке окислите-
126
ля а=1,0 (оптимальное соотношение компонентов топлива), оба
топливных бака (окислителя и горючего) несущие, имеют цилинд-
рическую форму и общее днище (см. рис. 4.1), на КА установлен
один маршевый двигатель, который имеет открытую схему (с вы-
бросом газов через выбросные сопла), подача топлива осуществля-
ется турбонасосным агрегатом, управление полетом — системой со-
пел, использующих газ после турбины. Все перечисленные данные
могут варьироваться в качестве исходных при оптимизации пара-
метров для различных вариантов исполнения КА с ЖРД и таким
образом будет выбран наилучший вариант и определены его опти-
мальные параметры. Рассматривая аналогично КА, использующие
ДУ различных типов, получим по выбранному критерию сравни-
тельную оценку эффективности их использования при выполнении
задачи.
Рассмотрим вопрос о том, от каких параметров зависят весовые
составляющие КА с ЖРД. Следует еще раз подчеркнуть, что для
того, чтобы было возможно довести оптимизацию до конечного ре-
шения, т. е. проиллюстрировать в книге метод примерами, авторы
при выборе оптимизируемых параметров рассматривают только ос-
новные структурные составляющие, массы которых можно выразить
через параметры простейшими зависимостями в результате обра-
ботки приведенных в литературе статистических данных и расчетов.
Из выражений (4.1) и (4.4) следует, что для КА с ЖРД необ-
ходимо рассмотреть следующие составляющие весовой формулы:
Л4СТ, Л4т.р, Л4т.о, Мд и Л4пр, поскольку энергоустановка Ма и система
^вода Л4ув при использовании ЖРД отсутствует, а слагаемые
2 (^п + ^доп)л являются для каждого маневра полезным грузом.
Сбрасываемая перед маневром масса Л4Сб, зависящая от опти-
мизируемых параметров, по уравнениям (4.2), (4.3) состоит из мас-
сы переходного (хвостового) отсека Л4ХВ между ступенями (при
компоновке по рис. 4.1) и массы топлива, расходуемого перед за-
пуском AfT,B. В случае, если переходной отсек имеется, то Л4ХВ сбра-
сывается не перед каждым маневром, а при разделении ступеней, и
она зависит от диаметра rfXB, толщины стенки бхв, удельного веса
материала vXB и длины выступающей за ступень части сопла /хв
(см. рис. 4.1), которая в свою очередь определяется компоновкой
ступени, степенью расширения сопла и его профилем: Мхв =
= лб/хв/хвбхв-ухв. Опубликованных в литературе данных недостаточ-
но, чтобы выразить длину выступающей части сопла /хв (значит, и
А1ХВ) через оптимизируемые параметры. Следует указать, что, как
правило, переходной отсек имеет большую массу (его диаметр ра-
вен диаметру КА), и неучет изменения Мхв при оптимизаций приво-
дит к завышению величины оптимальной степени расширения газов
в сопле.
Как указывалось в разд. 4.2, масса топлива, потребляемая для
ориентации, стабилизации КА, не зависит от оптимизируемых па-
раметров, а массу выбрасываемого при запуске топлива можно
127
выразить как долю секундного расхода, который в свою очередь
равен отношению тяги к удельному импульсу тяги. Поэтому
Масса рабочего топлива Л4т р зависит в соответствии с уравне-
нием Циолковского (1.1) от стартовой массы, характеристической
скорости при маневре и удельного импульса тяги. Характеристиче-
ская скорость равна сумме импульсной скорости и гравитацион-
ных потерь скорости (см. разд. 1.5). Гравитационные потери ско-
рости зависят (3.53) от импульсной скорости, коэффициента на-
чальной тяговооруженности (т. е. стартовой массы и тяги), удель-
ного импульса тяги и положения КА при включении двигателя.
Стартовая масса КА известна (весовая задача решается в обрат-
ной постановке, т. е. по максимуму полезного груза), она опреде-
ляется перед каждым пуском с использованием матрицы, отража-
ющей, какие массы сбрасываются между маневрами (см. разд. 4).
Импульсные скорости и положение КА при включении двигателя
известны из решения баллистической части задачи. Таким образом,
для конкретной задачи, выполняемой КА, и известной стартовой
массе ТИт4)=/(Р, Ууф).
Масса топливных отсеков Л4Т.О в соответствии с (4.37) может
быть выражена через массу топлива. Поэтому Л4Т>О = /(Р, /уф).
Масса прочих систем Л4пр в соответствии с (4.44) зависит лишь
от стартовой массы КА, которая, как указывалось задана и может
варьироваться лишь в качестве исходного параметра при оптими-
зации. Поэтому масса Л4пр не зависит от оптимизируемых парамет-
ров.
Масса двигателя Л4Д может быть определена приближенно по
тяге (4.38) Mx=f(P), по тяге и удельному импульсу (4.40)
Л4д = f(P, -/уф), либо более точно с учетом других параметров
двигателя (4.41) ЛТд = ЦР, рк, рк/Ра).
Из изложенного видно, что если массу двигателя выразить че-
рез Р и /уф, то все слагаемые весовой формулы, составленной в
разд. 4.1, могут быть выражены через тягу и эффективный удель-
ный импульс, которые в этом случае и должны быть приняты в ка-
честве оптимизируемых параметров. Это было бы очень удобно не
только потому, что оптимизируемых параметров было бы всегда
два, но и потому, что эти же параметры (Р и /уф) входят в основ-
ные уравнения оптимизационной задачи (см., например, систему I
в разд. 1.5), так что исходная вариационная задача с критерием
«масса полезного груза» (без разделения задачи на динамическую
и весовую части) оказалась бы практически не более сложной, чем
ее динамическая часть. В случае, когда для определения массы
ЖРД используется (4.38), т. е. масса двигателя не зависит от
удельного импульса, фактически остается лишь один оптимизиру-
емый параметр—тяга, поскольку увеличение /уф всегда приведет
к уменьшению Л4Т.В, Л4т р и Л4Т.О и значит к увеличению критерия
128
эффективности выполнения задачи — 7ИП. Удельный импульс при
этом должен выбираться максимальным для рассматриваемого
топлива из условий габаритных ограничений и практической воз-
можности создания двигателя, поскольку увеличивать /уф можно
лишь за счет интенсификации процессов горения и истечения топ-
лива.
Более точно, как уже говорилось, масса ЖРД при прочих рав-
ных условиях (топливо, схема, система подачи) определяется тягой,
давлением в камере сгорания и степенью расширения газов в сопле
(4.41). Поскольку эффективный удельный импульс в соответствии
с зависимостями, приведенными в разд. 4.2, может быть выражен
через те же параметры, то оптимизируемыми параметрами при ис-
пользовании на КА ЖРД являются:
тяга (или коэффициент начальной тяговооруженности, посколь-
ку стартовая масса известна);
давление в камере сгорания;
степень расширения газов в сопле.
Топливо, схему (открытая, замкнутая с дожиганием), число дви-
гателей, способ подачи (насосный, вытеснительный), -способуправ-
ления полетом, конструктивно-компоновочную схему топливных от-
секов и в целом КА можно, как уже говорилось, изменять при опти-
мизации в качестве исходных данных.
Следует отметить, что при оптимизации давление в камере сго-
рания для ЖРД КА можно изменять независимо от степени расши-
рения сопла. При этом в случае неизменной степени расширения
величина рк -слабо влияет на удельный импульс, а значит, на пот-
ребную массу топлива и величину массы полезного груза (или на-
чальной массы), выбранную в качестве критерия оценки эффектив-
ности выполнения задачи. Когда речь идет об оптимизации пара-
метров ЖРД, работающих в плотных слоях атмосферы [1, 44], ве-
личина давления газов в выходном сечении ра нерегулируемых со-
пел выбирается как среднее расчетное давление из соображений
минимальных потерь удельного импульса, связанных с работой на
переменном нерасчетном режиме (в процессе полета давление ок-
ружающей среды изменяется), так что значение ра мало зависит от
рк. В этом случае (при ра» const) изменение рк существенно влия-
ет на идеальный импульс и величину массы полезного груза, по-
скольку пропорционально рк изменяется рк/ра, но это означает,
что для двигателя, работающего в плотных слоях атмосферы, по
существу определяется не рк.опт, а оптимальная степень расшире-
ния сопла (рк/ра) при выбранном pa.Oirr-
Параметры ДУ, которые не очень существенно влияют на массу
двигателя и практически не влияют на массу топлива, не следует
включать в число оптимизируемых при оценке эффективности вы-
полнения задачи по величине массы полезного груза. Так, напри-
мер, частота вращения турбонасосного агрегата, давление в газоге-
нераторе и параметры целесообразно выбирать при проектирова-
нии по частному критерию минимальной массе двигателя.
5	2804
129
Особо следует сказать о таком параметре, как угол на выходе
сопла, поскольку он влияет на длину (массу) сопла и потери в соп-
ле. Угол на выходе сопла иногда включают в число оптимизируе-
мых параметров, однако этот угол для разных сопел реальных дви-
гателей отличается незначительно и в литературе отсутствуют дан-
ные, позволяющие количественно оценить влияние этого угла на
массу сопла и удельный импульс тяги (особенно для применяемых
в настоящее время сопел — с профилированным контуром).
Практически при проектировании часто целесообразно начинать
с оценки тяги -ЖРД, задаваясь удельным импульсом тяги и удель-
ной массой топливного отсека. В ходе дальнейшего проектирова-
ния варьируют компоновку и параметры ДУ и КА и уточняют вели-
чину тяги.
Следует еще раз указать, что при выборе тяги обязательно сле-
дует учитывать гравитационные потери топлива, поскольку они в
значительной мере определяют оптимальное ее значение.
4.4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ТЯГИ
Для того, чтобы показать, как можно аналитически определить
оптимальную тягу ЖРД, рассмотрим структурную формулу ступе-
ни космического аппарата, совершающей d маневров с таким дви-
гателем, и зависимости слагаемых масс от тяги.
Используя выражения (4.1), (4.2), (4.6) и учитывая, что при d
j^d
маневрах ступени 7ИТ.В = 2 (^т.ор+^т.з)/ получим начальную мас-
1
су ступени
1 j=d	j~d	j=d
1 1 1
(4.45)
Массу рабочего топлива целесообразно в рассматриваемом слу-
чае представить как сумму массы топлива при импульсном манев-
ре и гравитационных потерь топлива. Тогда (4.45) примет вид
j=d	j=d	j~d	j-d
^0=Л4ХВ + 2^Т.ОР7 +2^.з> +2^т.и> +2^грУ +
1 111
+Л7,О + /4Д + Л4ПР + МП.	(4.46)
Анализируя уравнение (4.46), приходим к выводу, что от тяги дви-
гателя не зависят следующие слагаемые: масса отсека между
ступенями AfXB, масса топлива, расходуемого на ориентацию и ста-
билизацию Af-r.op, начальная масса ступени Мо, поскольку она за-
дана.
Сумма масс, которые зависят от тяги, может быть представлена
как
i~d	j~d	j~d
Af0(^) = 2^.3/+ 2УИт.и/+2^гр/+^т.о(/’)+Л4я. (4.47)
1 1 1
130
Определим зависимости, характеризующие влияние тяги на мас-
сы, приведенные в правой части (4.47).
1.	Масса выбрасываемого перед запуском топлива. Поскольку
рассматриваются маневры ступени КА, т. е. используется один и
тот же двигатель, то величина выбрасываемого перед запусками
топлива одинакова, т. е.
MT,S = 2 yr.3Mc)=dyt.3Mc=dyt.3P/J^. (4.48)
i
Изменение тяги несколько изменяет удельный импульс за счет
потерь в двигателе <рдв {теоретическое значение JyT при одинаковых
Рк и Рк/Ра остается неизменным, как и <руПр, <Рду, а фдв изменяется
по (4.30)].
Из уравнений (4.29) и (4.30) можно записать /у<рупрсрд X
/РкХ-™ или
\P<J
(4.49)
где Kt не зависит от тяги Х’1=/у'РуПр?д.уа1Ас1 (—)
\Ра /
Подставив выражение (4.49) в (4.48), получим массу топлива,
—ь
выбрасываемую перед запусками	AfT 3 =rfyT,3---. Результаты
обработки статистических данных и расчетов показывают, что вели-
чина &<С1 составляет тысячные доли, поэтому окончательно
M^=dy™Ki'P.	(4.50)
2.	Масса рабочего топлива при импульсном переходе
Л/Т,ИБ = 2 Mct) [ 1 - ехр (-
1
При учете влияния выбрасываемого между маневрами топлива на
стартовую массу величина И4тиЕ должна быть рассчитана по (4.27),
причем вместо Vx следует подставить Уи. Влияние выбрасываемого
между маневрами топлива на массу рабочего топлива, как было
показано в разд. 4.2, очень невелико. Поэтому практически можно
пренебречь изменением массы рабочего топлива из-за изменения
массы выброса при вариации величины тяги и учесть лишь влия-
ние на А4Т.И изменения удельного импульса по (4.49). Тогда расчет
следует проводить по уравнению (4.28). Поскольку рассматривают-
ся маневры ступени КА на одном и том же двигателе, то
/у/ =	const. Тогда из (4.28)
1 — ехр( — УиБА/*),	(4. 51)
где	=
5*
131
Подставив выражение (4.49) в (4.51), получим
МТ.ИЕ=Мст, [ 1.- ехр (- 1/и./КгР"')].	(4. 52)
При одноимпульсном маневре
МТ.И1=мст [ 1 - ехр (- У^Р*1)].	(4.53)
3.	Масса гравитационных потерь топлива Л4гр. В разд. 3.3 было
приведено аналитическое решение динамической части задачи ком-
плексной оптимизации параметров ДУ в составе КА. Получены вы-
ражения, характеризующие зависимость гравитационных потерь
топлива от тяги при многоимпульсном маневре для случая, когда
между маневрами нет пассивных сбросов масс (или они, как в рас-
сматриваемом случае, невелики) и при постоянном (однопарамет-
рическом) законе управления полетом на активном участке AfrpSl
(3.71) или линейном (двухпараметрическом) законе управления
Afrp2jI (3.74); величина Cj в этих формулах, не зависящая от тяги,
определяется по (3.65) и имеет размерность тяги в квадрате. При
d маневрах ступени КА на одном и том же двигателе в (3.71) и
(3.74) следует положить j—d, k=j, рк=р=const, Jfy =/?*=const,
Тогда получим
Л4гРл1 = Л4ст1ехр( — HhS//*) 1—ехр
Л41.Рлп=Л4СТ1ехр( — I/„a/J*) 1 — ехр
(4.54)
(4. 55)
При одноимпульсном маневре
Мгр,=Л4СТ ехр (- ИЛ*) [ 1 - ехр (- С/Р2)];
Мтр „=Af„exp (- ИЛ?*) [ 1 - ехр (- С/2Р2)];
С=М1^3УП [ 1 - ехр (- VH/J*)]724 (А>3+V-
(4.56)
(4.57)
(4.58)
При использовании для величин правой части уравнения (4.58)
размерностей кг, м, с величина С имеет размерность Н2.
Расчеты показывают, что при решении задачи определения оп-
тимальной тяги целесообразно подсчет гравитационных потерь по
выражениям (4.54) — (4.58) производить, не учитывая зависимости
эффективного удельного импульса от тяги по (4.49), поскольку учет
влияния Р на /уф практически не изменяет входящие в уравнение
величины ехр ( — и ехр( — С/Р2).
132
4.	Масса топливного отсека Мто. Для решения задачи опреде-
ления оптимальной тяги определим лишь ту часть массы топливно-
го отсека, которая зависит от тяги. В соответствии с (4.37)
Л4Т.О(Р) = а2-\-Ь2Мт(Р), т. е.
Л4Т.О (Р)=02 + b2 (Л4т.эВ + 7Ит.иЕ + MrpL). (4.59)
Величины тИтзЕ, Л41иВ, Л4грЕ определяются по (4.50), (4.52), (4.54)
или (4.55).
5.	Масса двигателя Мд. Поскольку рассматривается зависи-
мость составляющих структурной формулы от тяги, то следует в
соответствии с уравнениями (4.38) или (4.41) записать
Л7л=а3Рд’.	(4.60)
Таким образом, мы определили, как зависят все слагаемые в
весовой формуле КА от тяги. Подставляя в (4.47) слагаемые урав-
нений (4.50), (4.52), (4.54), (4.59) и (4.60), получим при много-
кратном маневре ступени
Мй (Р)=(1 + b2)	+а2 + (1 + b2) МС11 [ 1 - ехр (-1/иЯ/
/KiP**)]+(l +Ь2)МС11 ехр (-УнЕМэуф) X
При однократном маневре (d=l)
тИ0(Z>)=(1 + b2) Ут.з/СГ1^ + «2+(1 + Ь2) Мст, [ 1 - ехр (- V^P”')] +
+ (1 + Ь2) Мст ехр (- Уи/^) [ 1 - ехр (- С/Р2)]+а3Р6’.	(4. 62)
Весовые составляющие в (4.47) при увеличении тяги будут- из-
меняться следующим образом: масса топлива, выбрасываемого пе-
ред запусками, увеличивается в соответствии с уравнением (4.50),
масса топлива при импульсном маневре уменьшается в соответст-
вии с уравнением (4.52) из-за увеличения удельного импульса тяги
по (4.49), масса гравитационных потерь топлива уменьшается в со-
ответствии с (4.54), масса топливного отсека может увеличиваться
либо уменьшаться в зависимости от того, как изменяется сумма
(7ИтзЕ4-А1т.иЕ4“А^гре)» масса двигателя увеличивается в соответст-
вии с уравнением (4.60).
При заданной начальной массе КА задача будет выполнена с
максимальной эффективностью, т. е. к цели будет доставлена мак-
симальная масса полезного груза при такой величине тяги двигате-
ля, которая обеспечит в (4.45) минимальное значение масс Af0(P),
зависящих от тяги.
Из рассмотренных весовых составляющих только масса топли-
ва -перед запуском зависит от числа маневров КА, причем И4тза
увеличивается как при увеличении числа маневров, так и при рос-
те тяги двигателя. Отсюда ясно, что чем 'больше -маневров делает
133
КА, тем (при прочих равных условиях) будет меньше оптимальное
значение тяги.
Поскольку задача определения оптимальной тяги решается при
постоянной начальной массе КА (обратная постановка задачи), то
обеспечение минимальной массы слагаемых в (4.47), зависящих от
тяги, обеспечит дставку к цели максимальной массы полезного гру-
дМ$(Р) дМп т-т	ля
за, т. е. ———= — ~дР * приравняв нулю производную от MQ(P)
по тяге и учитывая (4.49), получим из (4.47) уравнение для опре-
деления оптимальной тяги двигателя
дМ$(Р)__	/1	dAf-г.зВ I I £ \ дЛ1т.иЕ ।
дР ~ дР ~1 “Г 2}' дР "Г1 ' 2} дР
+ (1+,2)^ + ^=0	(4.63)
или из (4.61)
^ = -(1 + ^) dy^KT1 + (1 + b2) M^bxV^P~^ X
хехр (VJKxPb') + 2(1 -\-b2)	exp (-
1
/ j-d	\
X P-3 exp - 2 Cj/P2 - a3b3Pb,~1 =0.	(4. 64)
\	1	/
При однократном маневре
=- (1+b2) Y^/cr1+(1 + b2) Mc Tbx и/r'r,b'+1) X
x exp (- VJKxPb') + 2 (1+*2) CM„ exp (- VJJ?) x
X P~3 exp (- C/P2) - азМ5*3-1 =0.	(4. 65)
Знаки при слагаемых в уравнениях (4.64) и (4.65) показывают,
увеличивается или уменьшается величина массы полезного груза
из-за изменения соответствующих составляющих в (4.47) при росте
тяги.
Рассмотрим в качестве примера аналитическое определение тя-
ги двигателя при разгоне космического аппарата с опорной орби-
ты; эта задача имеет и самостоятельное существенное практическое
значение.
Поскольку совершается один маневр, то количество топлива,
выбрасываемое перед запуском, относительно очень невелико и
влиянием на него тяги можно пренебречь. Будем кроме этого счи-
тать, что удельный импульс задан и, значит, он (а поэтому и масса
рабочего топлива при заданном импульсном маневре) не зависит
от величины тяги двигателя (fti равно нулю). Тогда в (4.47) мож-
134
но отбросить два первых слагаемых, так что выражения (4.63) и
(4.65) примут следующий вид:
-^== —(14-й2)	—д=0;	(4.66)
дР	г дР дР	к
~ =2 (1 + Ь2) СМ„ехр(- VJJ?) Р-*ехр (-C/P^aJ>3Pb>~1 =0,
оР
(4. 67)
Здесь С определяется по (4.58). Различные знаки производных
указывают на то, что с изменением тяги масса двигателя и грави-
тационные потери топлива изменяются по разному.
В уравнении (4.67) все величины, необходимые для определе-
рр
дР
ния производной
(первое слагаемое), заданы как исходные
(Л4СТ, J3*, М или известны из результатов решения баллистиче-
ской части задачи (1/и) и из зависимости массы топливного отсека
от массы топлива [Ь2 — см, в (4.59)].
ТТ	о	и	лт .
Для определения второй производной (второе слагаемое
уравнения) необходимо знать зависимость массы двигателя от тя-
ги. С этой целью были использованы статистические данные (точки
на рис. 4.5), опубликованные в литературе [1, 20, 50, 69, 73] по дви-
гателям, работающим на топливах азотный тетраксид или азотная
кислота с горючими А-50 (50% по массе гидразина и диметилгид-
разина) или несимметричным диметилгидразином, а также жидкий
кислород с керосином RP-1; двигатели имеют давление в камере
сгорания не более 500 Н/см2 и степень расширения газов в сопле не
более 500. Как видно из рис. 4.5, зависимость массы «сухого» дви-
гателя от тяги в пустоте можно представить формулой (кривая 1)
Жд=0,8Р0'5,	(4.68)
где масса выражена в кг, а тяга в Н.
Из (4.68) производная Л4Д по тяге Р
дМд q 4р-о,5
дР
Подставив выражение (4.69)
в (4.67), получим для определе-
ния оптимального значения
тяги
Р опт = 5 (1	ОЛ4стехр х
X (-	- С/Р*пт).(4.70)
Обозначив в (4.70) выра-
жение, не зависящее от РОпт,
через /С, получим
(4. 69)
Рис. 4.5
135
Рот=К°'* ехр (-0,4С/Р2,1Т),	(4.71)
где	/С=5С(1+^)ЛГстехр(-ИХФ)- (4.72)
Подставив в (4.72) значение С из (4.58), имеем
К=5 (1 + й2) Л4с3т(13ехр (- VJJ?) х
х [1 -ехр(-Уи/79уф)]2/24(7?з+й0)з.	(4.73)
В уравнениях (4.71) — (4.73) тяга выражена в Н, стартовая мас-
са в кг, К имеет размерность (Н2>5], С—[Н2] и коэффициент 5—
[Н°.5 кг-‘].
Выражение (4.71) неудобно для определения оптимальной тя-
ги. С целью его упрощения исследуем влияние множителя
СО 4С\
— —] на точность определения тяги. Оценить это влияние
'опт /
можно, определив существенно ли рассматриваемый множитель
отличается от 1. Для решения этого вопроса величина Р0Пт опреде-
лялась в предположении, что в (4.71) ехр(—0,4С/Р2чт) = 1> т. е.
из уравнения Ропт=№-4, а затем по полученному значению Р0Пт
вычислялось ехр (—0,4 С/Ропт). Из анализа (4.58), (4.71) и
(4.73) следует, что подсчитанная таким образом, величина
ехр ( — 0,4 С/Р2пт) тем больше отличается от 1, чем меньше
стартовая масса Мст, удельный импульс /у*, расстояние от поверх-
ности Земли Ло и чем больше импульс Ки при маневре. Расчеты
показывают, что и при самых неблагоприятных условиях (практи-
чески яри маневрах КА величины могут иметь значения ЛТСтт1п2>
25=5000 кг, Jy*miir>3000 м/с, Aomin^200 Км и Китах^5 км/с) вели-
чина ехр ( — 0,4 С/Ропт) -< 1,01, т. е. может изменить величину
Ропт в (4.71) не более, чем на 1%. Это обстоятельство позволяет
существенно упростить выражение (4.71), записав
РО„=К°’4.	(4.74)
Подставив К из уравнения (4.73), получим
Ропт1=0,534 {(1 +А2)Жс3,|л37^Киехр(- VJJ?) х
x[l-exp(-K„/J^)P/(P3 + A0)3)()’4	(4.75)
или, учитывая, что угловая скорость вращения КА
— V Нз/(^зН“^о)3
Ропт1=0,534 {(1+й2) <,<4У?Чехр.(-Vtt/J’*)x
х[1-ехр(-ИиД/;ф)]2)0’4	(4.76)
В уравнениях (4.75) и (4.76) все величины следует подставлять
в системе СИ (кг, м, с) и тяга определяется в Н. Величине PonT
присвоен индекс I, поскольку оптимальное значение тяги получено
при условии, что на активном участке полета реализован постоян-
136
ный закон управления: при выводе Роат использовали уравнение
(4.56) для определения гравитационных потерь.
Из (4.76) получим оптимальное значение коэффициента началь-
ной ТЯГОВООруЖеННОСТИ П0опт 1 = Л>пт i/A4CT.
^Оопт! О» 534 {(1 +&2) Л4°;Ч/уФИиехр(-1/и//уэф)х
х[1-ехр(-Уи//уэф)|0'4.	(4.77)
На рис. 4.6 по уравнению (4.77) построены в широком диапазо-
не изменения стартовых масс и маневров (величин импульсных
скоростей) кривые, выражающие зависимость Поопт i = f (AfCT, VH)
при разгоне КА с опорной орбиты высотой 200 км и при удельном
импульсе тяги, равном 3200 м/с. Величина Ь2, характеризующая
по (4.59) массу топливного отсека, принята равной 0,035 (см. 4.83).
Величина л0 на рис. 4.6 указана в системе СИ [н/кг], что в 9,81 раз
больше, чем в технической системе (кг/кг), в которой по обычно вы-
ражают.
Из (4.77) и рис. 4.6 видно, что во всем диапазоне начальных
масс и маневров оптимальная тяга меньше веса КА (л0 в техниче-
ской системе единиц меньше 1), а также, что увеличение стартовой
массы КА и величины маневра приводит к росту оптимального
(обеспечивающего максимальную величину полезной массы) значе-
ния коэффициента начальной тяговооруженности, причем рост Л4СТ
сказывается на Поопт i не очень существенно. Следует здесь же на-
помнить, что в рассмотренной задаче величины Иоопт i определены в
предположении постоянства удельного импульса. При проведении
оптимизации по всем основным параметрам (Р, рк, рк/ра см. разд.
4.5) приведенные зависимости могут измениться.
Нами рассмотрена задача разгона КА с опорной орбиты. Сле-
дует иметь в виду, что результаты ее решения могут быть распро-
странены и на более широкий класс задач, если- последующие ма-
невры осуществляются на большей высоте (невелики гравитацион-
ные силы) или при значительно больших коэффициентах началь-
ной тяговооруженности, которые получаются в связи с тем, что
при той же тяге масса КА существенно уменьшается после выра-
ботки топлива на предыдущем маневре.
Рассмотрим, например, перелет КА с опорной круговой орбиты
(/го = 2ОО км) на стационарную (Ло = 36000 км) по эллипсу Хомана.
Для осуществления перелета не-
обходимо приложить к КА два г.0!.:т1,Н/хг
импульса: в перигее и апогее пе-
реходного эллипса, причем вели- 6
чины импульсов близки [Vn=
= 2,5 км/с, Va=2,3 км/с (см. табл.
3.2)]. В соответствии с уравнени- 2
ем (3.53) при одинаковых удель- Q
ных импульсах и примерно рав-
ных импульсах скорости гравита-
137
ционные потери скорости при втором маневре будут пренебрежимо
Vrp а П0п (^П + Яз)п .
малы по сравнению с потерями при первом ——= 2 ---------——
Vгр и	Л0а (Ла+ Кз)а
<0,0001. Поэтому оптимальную тягу двигателя при переходе на
стационарную орбиту можно выбирать исходя из первого манев-
ра— разгона с опорной орбиты на переходной эллипс Хомана и ис-
пользовать выражения (4.74) — (4.77).
При рассмотрении более сложной задачи — переход на высокую
орбиту с возвращением обратно на.опорную, этот вывод о возмож-
ности выбора тяги по первому импульсу может не измениться, по-
скольку, несмотря на то, что последний маневр происходит близко
от Земли, гравитационные потери малы из-за сильного увеличения
коэффициента начальной тяговооруженности.
Формулы (4.74) — (4.77) для определения оптимальной тяги или
оптимального коэффициента тяговооруженности получены, как ука-
зывалось, для постоянного закона управления полетом, так как при
определении гравитационных потерь топлива использовалось урав-
нение (4.56). Осуществление управления полетом по линейному за-
кону вместо постоянного приводит к уменьшению гравитационных
потерь примерно в 2 раза [см. (3.55) в разд. 3.3] и к выражению
(4.57) вместо (4.56). Поэтому при двухпараметрической оптимиза-
ции (индекс II) значение производной ----в уравнениях (4.66) и
дР
(4.67) уменьшится в 2 раза, что приведет к уменьшению в 2 раза
коэффициента К в уравнении (4.74) и, следовательно, к уменьше-
нию оптимальной тяги или коэффициента начальной тяговооружен-
ности, подсчитанных по (4.74) — (4.77) в 2°»4= 1,32 раз, т. е.
^>опгп=^>^6/эопт1;	(4.78)
«ооптп^О^б/гооптр	(4.79)
Как показано в разд. 4.5, использование на КА двигателя с тя-
гой ниже оптимального значения недопустимо, так как приводит к
быстрому уменьшению величины массы полезного груза из-за рос-
та гравитационных потерь топлива.
4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
После того, как выполнены работы, предусмотренные этапами
1—8, рассмотренными в разд. 1.1, нам известна задача полета (на-
чальные и конечные координаты КА) и из баллистической части за-
дачи—маневры КА, которые обеспечивают ее выполнение при ми-
нимальном расходе топлива (например, места приложения и вели-
чины импульсных скоростей), выбран критерий эффективности вы-
полнения задачи, определены типы и конструктивно-компоновочные
схемы ДУ, подлежащие сравнительной оценке, установлены зависи-
мости энергетических и весовых характеристик от проектных пара-
метров и назначены оптимизируемые параметры. Необходимо в со-
ответствии с этапами 9 и 10 разработать алгоритм решения на
138
ЭВМ, используя перечисленные выше данные в качестве исходных
(они могут формироваться по-разному), и определить оптималь-
ные параметры ДУ в составе КА.
Задачу оптимизации рассматриваем в обратной постановке (на-
чальная масса КА Мо задана, требуется донести до цели макси-
мальную массу полезного груза), поскольку, как показано в разд.
4.1, в этом случае она решается существенно проще.
Приводя численные примеры по оптимизации параметров авто-
ры не претендуют на высокую точность полученных результатов, а
преследуют цель проиллюстрировать расчетами изложенные в кни-
ге методические положения. Однако исходные данные достаточно
точны для получения качественно правильных результатов.
Кроме исходных данных, перечисленных выше для всех типов
двигателей, дополнительно в случае использования ЖРД необхо-
димо задаться топливом, коэффициентом соотношения окислителя
и горючего, схемой (открытая, замкнутая), системой подачи (тур-
бонасосная, вытеснительная), методом управления вектором тяги
(система сопел, использующих газ после турбины, качание основ-
ного двигателя и т. п.). В соответствии с разд. 4.3 в качестве опти-
мизируемых параметров рассматриваются: тяга Р, давление в ка-
мере сгорания рк и степень расширения газов в сопле рк1р^.
Порядок проведения вычислительной процедуры при оптимиза-
ции параметров рассмотрим применительно к ступени КА, которая
совершает d маневров, используя один и тот же ЖРД, обладаю-
щий на каждом маневре одинаковыми характеристиками. Между
маневрами могут иметь место сбросы пассивных масс.
Определение оптимального сочетания параметров ЖРД прово-
дится методом покоординатного спуска следующим образом: зада-
ют начальные значения оптимизируемых параметров А рк и Рк1р&>
затем на выбранный шаг изменяют Р до тех пор, пока наблюдается
рост массы полезного груза и определяют величину Ашт’, анало-
гично при начальном рк и полученном Хит, изменяя на выбран-
ный шаг /?К/Ра определяют (рк/ра)опт и далее при полученных Рои
и (рк/Ра)опт —величину Х.ош. Исходными данными для последующих
аналогичных расчетов являются Ропт, Хопт и (рк//?а)опт. Сближе-
ния проводятся до тех пор, пока при очередном /j-м расчете полу-
чим Ропт, Рк.опт И (рк/ра)опт из условия МпДЛ4П, где
ДМп — наперед заданное изменение величины массы полезного гру-
за, назначенное исходя из потребной точности расчетов или из точ-
ности исходных данных.
Расчет приводится при использовании соотношений, полученных
в разд. 4.1 и 4.2 в следующей последовательности, в соответствии с
которой составляется и блок-схема расчета для реализации на
ЭВМ.
I. Формируются исходные данные для расчета: начальная масса
КА ТИо,; решается баллистическая часть задачи (см. разд. 3.1) —
определяются число маневров космического аппарата d и для каж-
дого маневра высота положения КА над Землей hj и импульсы ско-
139
рости (величина и направление) Уи j; сбросы пассивных весов меж-
ду маневрами (по матрице из разд. 4.1); значения оптимизируемых
параметров для первого расчета (Ри PkJp&X
II. Определяются последовательно.
1.	Теоретическое значение удельного импульса тяги /ут по
(4.36).
2.	Коэффициенты, учитывающие потери удельного импульса тя-
ги: на управление <рупр (фУпр=0,985 ... 0,995), на подачу (для дви-
гателей открытой схемы фд.у=<Рп) по уравнению (4.33); в камере и
сопле фд по (4.30).
3.	Эффективный удельный импульс тяги 7УФ по (4.29).
4.	Массы, сбрасываемые между рассматриваемым /-м маневром
и (/—1 )-м; Л4сб; по (4.2) при первом пуске или по (4.3) при всех
последующих с использованием (4.19), сброс пассивных масс по
матрице из разд. 4.1.
5.	Стартовая масса Л1ст , по (4.1).
6.	Гравитационные потери скорости Vrp j по уравнению (3.53).
7.	Характеристическая скорость Vx j= 1/и VrP j (см. пп. 1 и 6).
8.	Расход рабочего топлива на маневр Л4т.р j по уравнению (1.1)
из пп. 3, 5 и 7.
9.	Начальная масса перед последующим (/-!- 1)-м маневром
Л40о+1)=Л1ст j—Л1т.р j (см. пп. 5 и 8).
10.	Повторяются расчеты, начиная с п. 4, для (/-!- 1)-го и после-
дующих маневров до тех пор, пока не определится весь расход топ-
лива AfTS и сбрасываемые массы за все а маневров;
И. Масса топливного отсека по 2ИтВ [п. 10 и уравнение (4.77)].
12.	Масса двигателя Мд по уравнениям (4.41) или (4.38), если
оптимизируем только тягу.
13.	Прочие массы ступени по Л4СГ1 и (4.44).
14.	Масса полезного груза Мл по уравнениям (1.4) или (4.6) при
Л1э = Л1ув = 0 исходя из стартовой массы MCT(rf-D перед последним
пуском.
15.	Оптимальная тяга РОит: изменяем тягу на выбранный шаг и
повторно по пп. 2—14 определяем новые значения величины массы
полезного груза до тех пор, пока МП(Р) будет увеличиваться.
16.	Оптимальная степень расширения газов в сопле (рк/Ра)опт-
изменяем степень расширения на выбранный шаг и повторно по пп.
1 —14 при РОпт определяем новые значения массы полезного груза
до тех пор, пока Мп(рк/ра) будет увеличиваться.
17.	Оптимальное давление газов в камере сгорания рк.опт* изме-
няем давление на выбранный шаг и повторно по пп. 2—14 при
Ропт и (Рк/Ра)опт определяем новые значения полезного груза до тех
пор, пока Мп(рк) будет увеличиваться.
18.	Оптимальные значения тяги РОпт, степени расширения газов
в сопле (рк/ра)опт и давления в камере сгорания Рк.оит’ полученные
в пп. 15, 16, 17 значения вводим в качестве исходных данных в п. I
и по пп. 1 —17 ведем расчеты до тех пор, пока при очередном k-м
140
расчете масса полезного груза изменится не более, чем на заданную
величину ДЛ4П, т. е. Мп k—
III. Выдаются результаты расчетов на печать.
IV. Формируются исходные данные для решения новой задачи:
тождественно п. I.
Рассмотрим ЖРД, работающий на топливе азотный тетраксид
с диметилгидразином при коэффициенте избытка окислителя а=1,0
(баковое соотношение компонентов этого топлива выбирается прак-
тически таким же, как при максимальном удельном импульсе), вы-
полненный по открытой схеме, с турбонасосной системой подачиг
топлива и управлением вектора тяги соплами, через которые пос-
тупает газ после турбины.
Обработка статистических данных, опубликованных в литерату-
ре, и результатов расчетов значений некоторых величин, проведен-
ных по (1, 20, 59, 60, 73, 75] позволили получить в соответствии с
разд. 4.2 приближенные аналитические зависимости, необходимые
для оптимизации параметров. В приведенных формулах приняты
следующие размерности: тяги в Н, давления в камере сгорания в
Н/см2, масс в кг, удельного импульса в м/с. Диапазоны изменения'
Р= (0,5 ... 100) • 104 (Н]; Рк=500... 1500 [Н/см2]; рк/ра = 1000 ...
.. 10000; Мт= (2 ... 100) • 1 Оз [кг]; Мст= (5 ... 100) • 10* (кг].
1.	Теоретическое значение удельного импульса тяги по (4.36)
J? = 4000 - 2600 (*ц_0’25.	(4.80)
\Ра /
2.	По разд. 4.2 коэффициент, учитывающий потери удельного
импульса на управление, принят <рУпр = 0,99.
3.	Коэффициент, учитывающий потери на подачу топлива по
(4.33):
<р„од=0,985 —0,0004р°’6.	(4,81)
4.	Коэффициент потерь в двигателе (в камере сгорания и сопле)
по (4.30)
Тд=О,97Р°-М1Ук-005	Г0’01.	(4. 82)
\Ра /
5.	Масса топливного отсека для рассматриваемого топлива по
(4.37)
Мт.о = 800 + 0,035 М.г.	(4.83)
6.	Масса двигателя по уравнению (4.41)
Л4д = О,ОО5Ро’9рГ°’3 f—У’3.	(4.84)
'Ра /
7.	Массы прочих систем по уравнению (4.44) при наличии сис-
темы управления
7И„Р = 300+0,005 7ИС1.	(4. 85)
Пример 1. Рассмотрим задачи разгона КА с опорной круговой орбиты высо-
той 200 км (квадрат угловой скорости <о2 = 1,4-10—6—Будем считать, что,
г	с2 /
141
Рис. 4.7
Рис. 4.8
можно пренебречь зависимостью массы хвостового отсека от степени расширения
газов в сопле (это, как указывалось, приведет к завышению оптимального зна-
чения Рк/Ра) и массой выбрасываемого перед маневром топлива (рассматривает-
ся один маневр). Тогда стартовая масса КА равна его начальной массе.
Расчеты проведены на ЭВМ БЭСМ-6 в широком диапазоне изменения стар-
товых масс КА (Мст от 10 до 100 т) и маневров (Уи от 250 до 5000 м/с). При
оптимизации величины изменялись следующим образом: п0 — от 0,1 Н/кг до
0,05 Н/кг, рк — от 500 Н/см2 до 26 Н/см2, рк!р& от 1000 до 500. Результаты
расчетов, проведенные для постоянного закона управления полетом (оптимальные,
но постоянные углы тангажа и рыскания), когда гравитационные потери скоро-
сти определялись по зависимости 3.53, приведены на рис. 4.7—4.13.
На рис. 4.7 показана зависимость относительной1 полезной массы Afn/MCT от
маневра (величины Уи) и стартовой массы. Результаты получены, как указыва-
лось, применительно к разгону КА с опорной орбиты высотой 200 км, однако они
справедливы с большой точностью и для других маневров ступени, в том числе
многократных, совершаемых при помощи одного и того же выбранного двигате-
ля, поскольку величина гравитационных потерь топлива, которая зависит и от
местонахождения КА, несущественно сказывается на массе полезного груза.
В случае использования графиков рис. 4.7 для многократных маневров ступени
следует полагать, что на абсциссе отложены суммарные потребные затраты ско-
рости на все маневры.
Из рис. 4.7 видно, что получить решение задачи в безразмерном виде не
удается, поскольку величина Л4п/Л1ст зависит от абсолютного значения стартовой
массы КА (чем больше Л4Ст, тем при том же маневре больше Мп/МСт) из-за то-
то, что удельные массы топливных отсеков и двигателя не постоянны. Особенно
сильно Л4п/Мст зависит от Л4СТ при больших маневрах (больших относительных
расходах топлива); так, при Уи = 5 мм с значения относительных масс полезных
грузов для 2Ист= Ю и 100 т отличаются в 2 раза.
Проведенные исследования показали, что для каждого маневра КА опреде-
ленной стартовой массы существует свое оптимальное сочетание проектных па*
раметров двигателя (в рассматриваемом случае тяга, давление в камере сгорания
и степень расширения газов в сопле), обеспечивающее получение максимальной
массы полезного груза.
Оптимальные значения начальных тяговооруженностей изменяются в широ-
ких пределах (для рассматриваемых задач от 0,5 до 5 Н/кг), причем стартовая
масса КА влияет на п0 незначительно (рис. 4.8). При сравнении рис. 4.6 и 4.8
полученные оптимальные значения начальных тяговооруженностей при одновре-
менной оптимизации параметров двигателя существенно отличаются от тех, ко-
торые были определены при условии постоянства эффективного удельного им-
пульса 7^ = 3200 Н/с. Это объясняется главным образом тем, что при оптими-
зации всех основных параметров в структурном уравнении изменялись не только
гравитационные потери и масса двигателя (как это принято в разд. 4.4), но в
связи с изменением эффективного удельного импульса изменялись также масса
топлива и топливных отсеков.
На рис. 4.9 и 4.10 представлены оптимальные значения давления в камере
сгорания и степени расширения газов в сопле. Оптимальные значения рк изменя-
142
Рис. 4.9
Рис. 4.10
ются от 700 до .1(050 Н/см2, оптимальные значения рк/ра — от 4500 до 9000. Та-
кие высокие значения Рк1р& практически не реализуются при создании ЖРД из-
за имеющихся габаритных ограничений, необходимости обеспечить жесткость-
конструкции и надежное охлаждение сопла. В связи с этим было введено ограни-
чение на величину рк/ра и дальнейшие расчеты проведены при рк/ра = 4Ю00. Ре-
зультаты расчетов приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Л!ст, кг	vH, м/с	250	500	1000	2000	3500	5000
10 000	А4п1опт» кг ло1опт» КГ Р 1опг, Н Рк1опт> Н/м2	8 046 0,55 5 500 700	7 310 1,05 10 500 700	6 017 1,9 19 000 700	4 006 Q 9 32 000 775	2 023 4,2 42 000 900	835 4,5 45 000 1 100
20 000	МщоП'Г, КГ Ло1опт, КГ Р1опт, Н Рк1опп Н/м2	17 195 0,55 11 000 675	15 728 1,1 22000 675	13146 2,0 40 000 700	9 130 q ч 66 000 750	5 167 4,3 86 000 875	2 792 4,6 92 000 1050
50 000	•Мпlour, КГ ^о1омт> кг Лои г, Н Рк1опг, Н/м2	44 652 0,55 27 500 625	40 995 1,1 55 000 650	34 558 2,0 100 000 650	24 540 3,4 170 000 700	14 642 4,4 220 000 825	8 698 4,7 235 000 975
100 000	Мп1опт, КГ Colour, КГ ^lorrr, Н Рк10П'Г, Н/м2	90 424 0,6 60 000 625	83 127 1,15 115 000 625	70 278 2,1 210 000 650	50 272 3,4 340 000 675	30 488 4,5 450 000 800	18 598 4,8 480 000 950
На рис. 4.9 пунктирными линиями показаны оптимальные значения давления-
в камере сгорания при наличии такого ограничения: видно, что имеет место взаи-
мосвязь оптимизируемых параметров рк и рк/ра. Однако, как это следует из при-
веденной табл. 4.3, введенное ограничение на величину p^lp^ лишь незначительно
уменьшает массу полезного груза, а также приводит к некоторому увеличению
величины оптимальной начальной тяговооруженности.
143
Таблица 4.3
А4Ст, КГ		10 000					109 000				
Й	^и, м/с 1		250	500	1000	2000	5000	250	500	1000	2000	5000
Мп, кг	"Рк.опт и (Рк/ Ра)опт	8047	7312	6020	4009	835	90440	83 157	70325	50 326	18 605
	Рк.ОПТ И /’к/Ра=4000	8046	7310	6017	4006	834	90 424	83 127	70 278	50 272	18 598
i ЛО1ОПТ	Рк.опт и (Рк/Ра)опт	0,5	1,0	1,8	3,0	4,4	0,55	1,05	1,9	3,2	4,7
	. Рк.опт И Рк/Ра=4000	0,55	1,05	1,9	3,2	4,5	0,60	1,15	2,1	3,4	4,8
На рис. 4.11 приведены применительно к Мст=10 000 кг (пунктирные ли-
нии) и 100 000 кг (сплошные линии) зависимости относительной массы полезно-
го груза (по отношению к максимальному значению Мп тах) от начальной тяго-
вооруженности при оптимальных значениях рк для каждого По. Рассмотрение
кривых рис. 4.11 показывает следующее:
потери массы полезного груза из-за неоптимальности тяги тем больше, чем
меньше стартовая масса КА и больше маневр (<AfCT и >ГИ);
занижение тяги по отношению к оптимальной приводит к большим потерям
массы полезного груза (из-за резкого роста гравитационных потерь), завышение
тяги, как правило, изменяет массу полезного груза незначительно (практически
на изменение массы двигателя). Поэтому значение тяги может выбираться в ши-
роких пределах (в сторону их увеличения), что свидетельствует о возможности
небольшим числом двигателей обеспечить выполнение большого числа задач, т. е.
создать параметрический ряд унифицированных двигателей (см. разд. 7.2).
Расчеты показывают, что выбор неоптимального значения давления в камере
при условии сохранения неизменной степени расширения газов в сопле (рк1р& =
= 4000) и подбора к выбранному рк величины оптимального п0 не очень сущест-
венно сказывается на величине массы полезного груза, причем влияние неопти-
мальности рк тем больше (больше относительные потери массы полезного груза),
•чем больше маневр и меньше стартовая масса КА. Так, например, если при
Л4Ст = 10 т и Уи = 5000 м/с вместо оптимального давления в камере, равного
Рис. 4.11
Рис. 4.12
144
Рис. 4.14
1100 Н/см2, выбрать 750 Н/см2, то масса полезного груза уменьшится всего на
0,3%.
На рис. 4.12 и 4.13 в качестве примера приведены графики, показывающие,
как оптимальные (при максимальных величинах масс полезного груза) значения
давления в камере сгорания зависят от начальной тяговооруженности и опти-
мальные значения тяговооруженности — от давления в камере сгорания. Сплош-
ные линии соответствуют стартовой массе КА 100 т, пунктирные— 10 т. Из гра-
фиков следует, что имеет место взаимосвязь оптимизируемых параметров п0 и рк.
Анализ влияния всех рассмотренных оптимизируемых параметров (по, Рк,
Рк/Ра) на величину массы полезного груза показывает, что наибольшие потери
имеют место при выборе тяги ниже оптимальной.
В табл. 4.4 приведены результаты оптимизации: Л4П п опт, «он опт и
pk ii опт (при рк/ра = 4000) для случая когда управление полетом КА осуществ-
лялось не по постоянному, а по линейному закону (определялись начальные углы
тангажа и рыскания и скорости изменения этих углов) и гравитационные потери
скорости определялись по зависимостям (3.55) и (3.53), т. е. были в 2 раза мень-
ше, чем при постоянном законе управления полетом КА.
Сравнение полученных результатов оптимизации при постоянном и линейном
законах управления полетом КА показывает следующее:
выигрыш в массе полезного груза при использовании линейного, закона уп-
равления растет с ростом потрёбных затрат скорости и уменьшением массы КА.
Для рассмотренных маневров (Уи = 250 ... 5000 м/с) и масс КА (Л4Ст=Ю...
... 100 т) этот выигрыш не превышает 3,6% (см. табл. 4.4 и рис. 4.14). При не-
больших маневрах целесообразно применять постоянный закон управления КА;
уменьшение гравитационных потерь скорости даже в 2 раза (из-за примене-
ния линейного закона управления) приводит к уменьшению оптимальных значе-
ний тяг всего, примерно, на 25% во всем диапазоне рассмотренных маневров и
масс КА (см. также зависимости 4.78 и 4.79). Из этого следует важный вывод,
что рекомендуемая авторами приближенная аналитическая зависимость (3.53) для
определения гравитационных потерь скорости может быть надежно использована
при оптимизации параметров маршевых двигателей КА и проведении массовых
расчетов с целью определения рациональных областей использования разного ти-
па двигателей;
оптимальные давления в камере сгорания получаются примерно на 10—20%
меньше, чем при постоянном законе управления полетом КА.
Пример II. Рассмотрим задачу перелета КА, имеющих стартовые массы от 10
до 100 т, с опорной круговой орбиты высотой 200 км (радиус- орбиты гн —
= 6571 км, квадрат угловой скорости КА cds2= 1,4- 10-в 1/с2) на более высокие
круговые орбиты (до радиуса конечной орбиты гк=150 000 км). Будем использо-
вать постоянный закон управления полетом и, значит, определять гравитацион-
ные потери скорости по (3.53). Как и в примере I, пренебрегаем зависимостью
массы хвостового отсека от степени расширения газов в сопле и массой топлива,
расходуемой перед маневрами КА (Л4СТ = МО).
Потребные импульсные составляющие скоростей ДУ4 и ДУ2 при переходе
между окружностями по Хомановскому эллипсу определяются по уравнениям
145
Таблица 4.4
Мст, кг	ии, М/с	250	500	1000	2000	3500	5000
10 000	Л^пПопт, КГ 7^-, % 44п1опт «0Поит. Н/кг РкПопт» Н/СМ^	8 051 0,06 0,45 600	7319 0,12 0,85 600	6 032 0,25 1,50 600	4 030 0,6 2,50 650	2 052 1,44 3,30 750	865 3,6 3,55 900
20 000	АТпПопт» кг Я(И1опт, Н/кг РкПопт» Н/см2	17 205 0,45 600	15 746 0,85 600	13 176 1,55 600	9 177 2,60 650	5 224 3,4р 750	2 849 3,60 850
50 000	44ццопт> кг ЛоПопт» Н/кг РкПоПт» Н/см2	44 675 0,45 550	41 037 0,90 550	34 629 1,60 550	24 649 2,65 600	14 776 3,45 700	8 835 3,70 800
100 000	А4пЦопт> кг % AlnionT л0Попт> Н/кг PkIIoiit, Н/СМ2	90467 0,048 0,45 550	83 206 0,095 0,90 550	70413 0,192 1,65 550	50 481 0,416 2,70 600	30747 0,850 3,55 650	18862 1,42 3,80 800
(3.7), (3.8) или обобщенным уравнениям (3.11), (3.12) баллистической части за-
дачи оптимизации (см. разд. 3.1). Блок-схема расчета для реализации на ЭВМ
составляется для двух маневров в соответствии с тем, как это показано выше в
настоящем параграфе для d маневра.
Расчеты по оптимизации параметров п0, и рк/ра показали, что оптималь-
ные значения р*1рл изменяются в пределах от 6000 до 14000 (выше, чем при од-
ноимпульсному маневре в примере I). Поэтому, 'как и в примере I, на величину
рк/ра было наложено, ограничение и принято Рк/Ра = 4000. Это ограничение очень
незначительно изменяет п0опт и уменьшает рк примерно на 100 Н/см2. Результа-
ты расчетов при условии рн/ра = 4000 приведены в табл. 4.5.
Из таблицы и сравнения результатов оптимизации, полученных в примерах I
и II видно следующее:
величина массы полезного груза практически не зависит при оптимально выб-
ранных параметрах от типа задачи (разгон КА или переход с орбиты на орби-
ту), а лишь от суммарных потребных затрат скорости ДУеи начальной массы
КА, так что график, изображенный на рис. 4.7 может быть использован, как ука-
Л4П
зывалось выше, для задач перелета КА между окружностями в видет—= /(ДУЕ);
-44 ст
оптимальные значения давления в камере сгорания для задач перехода меж-
ду окружностями получаются примерно на 200 Н/см2 меньше, чем при разгоне
КА при рассмотрении маневров, характеризующихся одинаковыми затратами ско-
рости;
оптимальные значения начальной тяговооруженности для задач перехода
между окружностями значительно меньше, чем для задач разгона КА при одина-
ковых затратах характеристических скоростей. Однако n0ionT этих задач близ-
ки, если их сравнивать по первому импульсу ДУ1, так что графики, приведенные
на рис. 4.8, примерно правильно отражают зависимость /г01 от =f (ДУ1), как это
и указывалось в разд. 4.4.
146
Таблица 4.5
/Ист, кг	гк, км Д1Л, м/с Д1^е=(ДГ1+1л2,) м/с	7-103 117 238	10-103 779 1462	20-103 1793 3 113	150-103 2 985 4143
10 000	Л4п1опт> кг ^01опт, Н/кг PkIoht, Н/СМ2	8 092 0,3 500	5 0<4 1,45 590	2 492 2,5 600	1 468 3,45 800
20 000	MnioiiT» КГ ^01опт» Н/КГ Рк1опт> Н/КГ	17 287 0,3 500	11 202 1,5 500	6 103 2,6 600	4 057 3,35 800
50 000	AfnloiiT» КГ л01опт> Н/кг Рк1опт» Н/СМ2	44 879 0,3 450	29 698 1,55 450	16 965 2,65 550	11857 3,6 750
100 000	Мп1опт> КГ л01опт> Н/КГ Рк1опт> Н/СМ2	90 873 0,35 450	60558 1,6 450	35 117 2,7 550	24 910 3,7 700
Глава 5
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК С ЯДЕРНЫМИ
ДВИГАТЕЛЯМИ
5.1. СТРУКТУРНАЯ ФОРМУЛА НАЧАЛЬНОЙ МАССЫ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЯРД
Источником энергии в ЯРД служит ядерный реактор, тепловая
энергия которого после передачи ее рабочему телу превращается в
сопле в кинетическую энергию реактивной струи. Количество энер-
гии, подводимой к единице массы газа, обратно пропорционально
его атомной массе и прямо пропорционально температуре газа. По-
этому в качестве рабочих тел ЯРД рассматриваются вещества с
низкой молекулярной массой (водород, аммиак, вода, спирты, уг-
леводороды и т. п.).
В зависимости от способа передачи тепловой энергии рабочему
телу и уровня температур нагрева газа различают несколько типов
ядерных ракетных двигателей. Основным классификационным при-
знаком для ЯРД является тип реактора. В зависимости от состоя-
ния активной зоны реактора ЯРД подразделяются на двигатели с
твердофазным, жидкофазным и газофазным реакторами.
В ЯРД с твердофазным реактором используется наиболее про-
стой метод непосредственного нагрева рабочего тела при прохожде-
10*
147
нии его в каналах активной зоны. Максимальная температура наг-
рева рабочего тела в этих двигателях лимитируется характеристи-
ками материалов активной зоны. Критической является температу-
ра плавления материалов. Максимальное значение удельного им-
пульса тяги ЯРД с твердофазным реактором оценивается величи-
нами ж 10000 . .. 12000 м/с (1000 . . . 1200 с в технической системе
единиц) при применении в качестве рабочего тела водорода, а в
качестве материалов тепловыделяющих элементов (ТВЭЛ) —кар-
бидов металлов (ниобия, циркония, тантала) [2].
В жидкофазных ЯРД нагрев рабочего тела осуществляется при
прохождении его через жидкую активную зону реактора. Лимитиру-
ющей температурой является температура кипения материалов ак-
тивной зоны реактора. По оценкам, предельно достижимая макси-
мальная температура в ЯРД с жидкофазными реакторами пример-
но на 1000РС выше, чем предельная температура в реакторах с
твердой активной зоной, и может составлять «4500 К. При при-
менении водорода в качестве рабочего тела возможно при такой
температуре получение удельного импульса тяги до «16000 м/с
(с учетом диссоциации молекул водорода) [2].
В ЯРД с газовой активной зоной рабочее тело нагревается за
счет излучения плазмы активной зоны реактора. Ограничивающим
фактором для повышения температуры рабочего тела в этих двига-
телях является допустимая температура конструктивных элемен-
тов двигателя. Для надежного охлаждения двигателя требуется оп-
ределенный расход рабочего тела, который не может быть больше
допустимого по условиям охлаждения реактора. Максимальные
значения удельного импульса тяги для ЯРД с газофазными реакто-
рами оцениваются величинами «20000 . .. 30000 м/с.
В настоящее время наибольшее развитие получили двигатели
с твердофазными реакторами [10].
Параметрическая часть задачи для ДУ с ЯРД решается анало-
гично задаче для ДУ с двигателями на химическом топливе. Как
отмечалось выше, при решении этой части задачи оптимизации про-
ектных параметров необходимо составление соответствующих про-
цедур расчета критериев эффективности (массы полезного груза,
начальной массы КА или стоимости выполнения маневра) по за-
данным (принятым) величинам проектных параметров и разработ-
ка эффективного алгоритма поиска оптимальных параметров ДУ и
КА, обеспечивающего управление движением вектора оптимизиру-
емых параметров. Поисковые методы реализуют идеи математиче-
ских теорий, имеющих самостоятельное значение и применимых к
решению различных прикладных задач. Поэтому алгоритм пли
блок поиска оптимальных параметров целесообразно разрабаты-
вать универсальным, т. е. не зависящим от типа рассматриваемого
двигателя и выполняемого маневра КА.
Процедуры расчета критериев эффективности КА определяются
типом двигательной установки и принятыми проектными парамет-
рами ДУ и КА. Они могут отличаться даже для одного, типа двига-
телей в зависимости от принятой степени детализации выполня-
148
емых проектных расчетов. Однако общим для всех процедур при
этих расчетах является то, что входными параметрами в них явля-
ются проектные и конструктивные параметры, а выходными — кри-
терии эффективности.
В структурном виде формула для ДУ с ЯРД записывается в со-
ответствии с рекомендациями, изложенными в разд. 4.1. Отличия
общей последовательности решения параметрической части задачи
для ДУ с ЯРД и ЖРД имеют не принципиальное значение и опре-
деляются особенностями математических зависимостей, определя-
ющих связи критериев эффективности с проектными параметрами
для этих двигателей.
Процедура определения выходных характеристик КА с ЯРД в за-
висимости от конструктивных и оптимизируемых параметров вклю-
чает в свой состав ряд типовых расчетов (термодинамических, теп-
ловых, нейтронно-физических, гидравлических) прочностных, сос-
тавляющих масс и др. [1, 2, 12, 14, 27, 36, 38, 45, 65].
В настоящей книге основное внимание уделено показу общей
последовательности расчетов, взаимосвязи параметров и выбору
среди них основных, подлежащих оптимизации, отражению основ-
ных особенностей расчетов с тем, чтобы дать наглядное представ-
ление об общем алгоритме решения задачи оптимизации проектных
параметров.
В качестве основного из возможных типов двигателей рассмот-
рен ЯРД с твердофазным реактором. Определение энергетических,
нейтронно-физических, теплотехнических и гидравлических харак-
теристик ЯРД осуществляется в результате соответствующих рас-
четов, в итоге которых определяются необходимые данные для ус-
тановления математической связи принятых проектных параметров
двигателей с критериями эффективности КА.
Энергетические характеристики ЯРД определяются термодина-
мическими процессами, протекающими при нагреве рабочего тела в
ядерном реакторе и истечении рабочего тела из сопла двигателя.
Величина удельного импульса тяги, как и для ЖРД определяет-
ся в результате термодинамических расчетов по заданным парамет-
рам: давлению в камере двигателя на входе в сопло (камере сме-
шения газов на выходе из реактора), температуре (энтальпии) га-
зов и степени расширения газов в сопле. Термодинамические расче-
ты для различных рабочих тел могут быть проведены по независи-
мой процедуре, а результаты этих расчетов представлены в табли-
цах или аппроксимированы в виде аналитических зависимостей
(как это сделано для удельного импульса в разд. 4.2). [Г].
При расчете по осредненным параметрам действительный удель-
ный импульс тяги ЯРД, работающего в вакууме, может опреде-
ляться согласно зависимости [2]
2k
k — 1
^c + vlf+j-— )°'5,
M	J Pc \ Рк I \ M T]c /
где k — средняя величина показателя адиабаты (отношения удель-
ных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме,
149
взятых для сечений на входе и выходе из сопла); Rk— универсаль-
ная газовая постоянная; М — осредненная по температуре молеку-
лярная масса истекающих газов; т]с — КПД идеального цикла Кар-
k—1
но для процесса расширения	| —I k J Уь — скорость газо-
\ Рк '
вого потока на входе в сопло; цс — коэффициент расхода сопла,
представляющей собой отношение действительного расхода 'через
единицу геометрической площади к теоретическому. Для сопел ре-
активных двигателей величина Цс -составляет 0,98 ... 1,0 [1].
В качестве основных оптимизируемых параметров, определяю-
щих энергетические характеристики ЯРД, целесообразно, как и
для ЖРД, принять тягу, давление на входе в сопло и степень рас-
ширения сопла. По их величинам определяется теоретическое зна-
чение удельного импульса тяги, а затем с учетом потерь величина
действительного удельного импульса и секундный массовый расход
рабочего тела в пустоте.
По величине расхода рабочего тела и параметрам газа в камере
двигателя может быть определена потребная тепловая мощность
реактора, которая должна обеспечить парообразование и нагрев
рабочего тела до требуемой температуры.
ATT=Afc(ZKH-r),
где iK — энтальпия газов в камере двигателя; г — теплота парооб-
разования рабочего тела.
Нейтронно-физические характеристики ЯРД определяются в ре-
зультате специальных расчетов, выполняемых по многогрупповым и
многозонным программам. Основа этих расчетов излагается в рабо-
тах [2, 12, 14, 27, 36, 38]. Взаимосвязь этих расчетов с последующи-
ми тепловыми расчетами заключается в нахождении распределения
потоков нейтронов по активной зоне реактора и объемного тепло-
выделения по зонам ядерного реактора. Кроме того, при проведе-
нии нейтронно-физических расчетов определяется материальный
состав активной зоны реактора, в том числе загрузка делящегося
вещества, что позволяет достаточно просто по геометрическим со-
отношениям находить массу реактора. Более детально необходи-
мую при оптимизации исходную информацию, получаемую в резуль-
тате нейтронно-физических расчетов, можно оценить при рассмот-
рении тепловых расчетов ЯРД.
Теплотехнические характеристики ЯРД. Из всех технических
проблем при проектировании ЯРД проблема организации передачи
тепла от стенок реактора рабочему телу является одной из основ-
ных. В результате тепловых расчетов определяются геометрические
характеристики реактора двигателя, а следовательно, и его масса.
Тепловые расчеты должны проводиться в тесной увязке с гидравли-
ческими, прочностными и нейтронно-физическими расчетами двига-
теля. Подробное описание этих методов расчетов, которые в боль-
шинстве случаев должны проводиться с использованием ЭВМ, изло-
жено в работах [2, 45]. В рамках данной работы ограничимся изло-
150
жением материала в той мере, в которой это необходимо для пони-
мания взаимосвязей физических явлений при выборе оптимальных
параметров ядерных двигателей, ориентируясь в основном на упро-
щенные схемы расчетов.
Для проведения теплового расчета должны быть приняты диа-
метр jDa,3 и длина La.3 активной зоны реактора, диаметр тепловыде-
ляющих элементов б/тв.Эл, гидравлический диаметр одного канала
г 4F к /г
аг= —(гк — площадь сечения для прохода теплоносителя в ка-
Пк
нале; Пк — периметр этого сечения), толщины торцевых бОтр l и
боковых 6отР r отражателей, пористость реактора по теплоносителю
е.г = —!- = =£=	— площадь поперечного сечения реактора, ис-
/%.з У'а.з
пользуемая для прохода теплоносителя; Fa,3— площадь поперечно-
го сечения активной зоны; VT и Va,3— объемы теплоносителя и ак-
тивной зоны реактора), а также другие параметры и характеристи-
ки материалов активной зоны. Тепловую мощность реактора обыч-
но связывают со средним потоком нейтронов Ф (в активной зоне —
для гомогенного реактора и в ядерном топливе — для гетерогенно-
го) _N = ^Фа’3^аз—для гомогенного реактора; дг =
7 т 3,2-1016	т 3,2-1016
— для гетерогенного реактора, где NT — в МВт, 3,2-1016—количест-
во делений в секунду, соответствующих мощности 1 МВт, Va.3, Vr —
объем активной зоны и объем ядерного топлива соответственно;
2/ — макроскопическое поперечное сечение деления.
Для тепловых расчетов необходимо знать распределение объем-
ного тепловыделения по длине и радиусу реактора, которое опреде-
ляется распределением нейтронного потока. Для непрофилирован-
ного цилиндрического реактора с боковым и торцевыми отражате-
лями распределение объемного тепловыделения в ядерном топливе
имеет вид
г /	2,405	\	Jtz	/г
= ?vo/o Т—--Т- Г COS -—— ----------,	(5. I)
\а2.з + Ааотр )	£?.з + 2Д£отр
где qVo— максимальная плотность тепловыделения в центре реак-
тора; г — расстояние до рассматриваемой точки активной зоны по
радиусу; z— расстояние подлине от центра реактора; Д/?0Тр,
ДАотр — эффективные добавки, учитывающие влияние отражателей
на распределения нейтронов; /?а,3 — радиус активной зоны; /0 —
функция Бесселя нулевого порядка 1-го рода. При толщинах отра-
жателей, соответствующих их максимальной отражательной способ-
ности, эффективные добавки принимаются равными ^0,5 толщины
отражателя. При толщине отражателя, меньшей 1/3 предельной, эф-
фективная добавка считается равной толщине отражателя.
Выражение (5.1) можно представить в виде qv = qvQKv (г, г), где
Kv(r, z)—коэффициент, учитывающий неравномерность тепловы-
деления по объему; Л\,(г, z) =/(R(r)/(L(z), KRy KL — коэффициенты
неравномерности тепловыделения по радиусу и длине реактора, оп-
ределяемые из уравнения (5.1).
151
Максимальное тепловыделение (в Вт/см2) может быть определено
по формуле ^0=3,1 • 1О“11Фо2/»
где Фо — максимальный поток нейтронов, Фо—Ф, Kv=KrKl
Ку
средние по объему величины.
Для цилиндрических реакторов средние коэффициенты неравно-
мерности могут приближенно рассчитываться по формулам
17 _________J. 77  ________________J_____
/	2ДЯотр\	,	2Д£отр\ ’
2,31 1- “Ъ----	1>57 1 — —г—
\	Ка.з /	\ ^а.з /
Величины средних коэффициентов неравномерности для цилин-
дрических реакторов составляют Ад—0,41 ... 0,45, Къ — 0,65 .. .0,67,
0,3 ... 0,35. Связь тепловой мощности реактора с величиной
максимального тепловыделения может быть установлена из урав-
Nx
нения qVQ=—----------для гомогенных реакторов; qVo = —------
KyVa,3	KyVv
для гетерогенных реакторов.
В случае ядерного профилирования реактора за счет изменения
плотности загрузки ядерного топлива распределение нейтронных
потоков и коэффициентов неравномерностей определяются при
нейтронно-физическом расчете реактора по многогрупповым и мно-
гозонным программам.
Для более полного учета особенностей нагрева рабочего тела в
каналах реактора целесообразно тепловые расчеты проводить для
нескольких зон, отличающихся уровнями тепловыделения. Напри-
мер, активную зону реактора можно представить в виде нескольких
кольцевых зон, характеризующихся нижним и верхним радиусами.
Кроме того, для каждой зоны по длине реактора можно выделить
ряд участков, для которых Проводится тепловой расчет.
Расчет на каждом участке для рассматриваемой зоны реактора
будет состоять в следующем. Определяется количество тепла, вы-
деляющегося в тепловыделяющих элементах на данном участке зо-
ны QB= f qvFrdL, где Fr — суммарная площадь поперечных сече-
Л
ний ТВЭЛов; Fr =—т°эл птвэл, Ц и — координаты начала и
конца рассматриваемого участка; ^твэл, птвЭЛ —диаметр и число
ТВЭЛов.
Величина Гг связана с величинами ет,3 и е3ам.з для данной зоны
Fr= (1—ет,3—8зам.з) *Г3, где F3 — площадь сечения рассматриваемой
зоны. Определяется подогрев теплоносителя на данном участке
&Тт ———— ,	где Ср т — теплоемкость рабочего тела, Af3 — рас-
СрхМ3
ход рабочего тела, М3 = (р^)Л.з, (е^) — расходонапряженность
рабочего тела в зоне; q и w — плотность и скорость рабочего тела;
152
Fk.3 = ^.3F3 — площадь для прохода теплоносителя в рассматрива-
емой зоне. Температура теплоносителя на выходе из участка будет
равна Т2т = Т1Т + ДТт, где Ти — температура теплоносителя на вхо-
де. Расчет коэффициентов теплоотдачи от стенок к рабочему телу
может быть проведен по следующим эмпирическим зависимостям
(45):
при ламинарном течении рабочего тела (Re<2300)
Nu=0,33Re°’5Pr°,43	У’У-^У’25;	(5. 2)
\ d j \ Ргст )
при турбулентном течении рабочего тела
Nu=0,021 Re°’8Pr°'43	)°’Ч	(5.3)
\Ргст /
/ L \о,1	L
где т — теплоноситель; — —поправка, учитываемая при —, ме-
\ d /	d
(L I L 0,1	\ —
при —>50 —j ^1,5 ; ez —поправка зависит
\ d /	/
от Re и числа калибров согласно данным табл. 5.1; Nu=——
X
критерий Нуссельта; Re = ®wd3 — критерий Рейнольдса; Рг=——
критерий Прандтля; </э —эквивалентный диаметр канала.
Таблица 5.1
Re	Hd					
	1	2	5	10	30	50
104	1,65	1,5	1,34	1,23	1,07	1
2-104	1,51	1,4	1,27	1,18	1,05	1
105	1,28	1,22	1,15	1,1	1,03	1
106	1,14	1,11	1,08	1,05	1,02	1
При расчете параметров Re, Рг, Nu необходимо использовать
средние величины температур стенки и теплоносителя на рассмат-
риваемом участке, определенные по формуле Г = ———— , где Т\
и Т2 — соответствующие температуры на входе и выходе из уча-
стка.
Связь между максимальной температурой цилиндрического
ТВЭЛ и температурой его наружной поверхности устанавливается
согласно зависимостям
max— ст— ш
^>ТВЭЛ _
4Х 4лХ ’
(5; 4)
153
где qv, qFi qL — удельные тепловыделения на единицу объема, по-
верхности или длины ТВЭЛ; X — коэффициент теплопроводности
материала ТВЭЛ.
При наличии защитной оболочки ТВЭЛ толщиной боб перепад
температур на ней рассчитывается по формуле Д/Об=—--------, где
^об
ХОб — коэффициент теплопроводности материала оболочки. Удель-
ный тепловой поток с поверхности ТВЭЛ равен
^ = а(Гст-7'т).	(5.5)
Связь между величинами qv, qFH qL определяется соотношениями
а _ *твэл а . а _ ^твэл
vf л q-v't qL	4v
4
Теплообмен в ядерном реакторе должен осуществляться таким об^
разом, чтобы максимальная температура ТВЭЛ и термические нап-
ряжения не превышали предельно допустимых значений. Величина
термического напряжения в ТВЭЛ выражается соотношением типа
О~^£(гтах-Тст),	(5.6)
1 — р.
где а, £*, ц — соответственно коэффициент линейного расширения,
модуль упругости и коэффициент Пуассона, являющиеся функцией
температуры. Возможно также введение ограничения на предель-
ную величину qF ТВЭЛ, которая может определяться по результа-
там экспериментальных исследований.
В качестве оптимизируемого параметра можно принять величи-
ну расходонапряженности ({>№), тогда из уравнений (5.2), (5.3) и
(5.5) по величинам qF и Тт определяется температура стенки, а по
уравнениям (5.4) и (5.6) проверяются Ттах и в.
Температура газа на входе в реактор зависит от схемы двигате-
ля. Рабочее тело должно охлаждать все элементы двигателя. Теп-
ловыделение в элементах двигателя связано с поглощением у-лучей
и замедлением быстрых нейтронов. Ориентировочно можно считать,
что это тепловыделение составляет в замедлителе — не более 5%, а
в отражателе ^2% и в защите около 3%. При условии, что все ра-
бочее тело до поступления в рабочие каналы реактора проходит че-
рез охлаждаемые элементы, температура рабочего тела на входе в
реактор может быть определена из уравнения
т __ 0,1NT + СЛ4сГн — гЛ4с
где Тн — начальная температура рабочего тела в баках. Для двига-
теля замкнутой схемы, при которой все рабочее тело поступает в
реактор после турбины, температура газа на входе в реактор может
154
быть принята равной температуре газов за турбиной. Параметры
газа в полости за турбиной могут быть определены из уравнения
/<— 1 Л\
К AfT ’
RT 2т — RT от
где /?Г2т — работоспособность газов в полости за турбиной; R — га-
зовая постоянная; Г2т — температура газов на выходе из турбины;
К — показатель адиабаты; ЛГТ — мощность турбины; AfT — расход
газа через турбину. Если на входе в реактор смешиваются два по-
тока — после турбины и охлаждающий элементы двигателя, то тем-
пература смеси будет зависеть от энтальпии потоков Твх=
__AfTZT 4~ М0Хл * охл
Ср вх-М с
где Мт, Л40Хл — расходы рабочего тела через турбину и для охлаж-
дения элементов конструкции двигателя. При неравномерном наг-
реве рабочего тела в различных зонах реактора температура газов
в камере смешения будет определяться также энтальпией газа из
каждой зоны
2 (^Ч),
т	,
где и3 — число зон, рассматриваемых при тепловом расчете; Af3 —
расход газов через каждую зону, Мс= M3j.
В качестве оптимизируемых параметров, определяющих тепло-
технические характеристики ЯРД, можно принять расходонапря-
женность в центральной зоне реактора (расходонапряженности в
других зонах будут определяться по перепаду давления на входе
и выходе из реактора), а также величины пористости по теплоноси-
телю для каждой зоны. Последние величины будут определять так-
же нейтронно-физические характеристики реактора. От величины
расходонапряженности в реакторе зависят гидравлические потери,
а следовательно, давление за насосом, его мощность и масса.
Гидравлические характеристики ЯРД. Гидравлические расчеты
проводятся с целью определения потерь давления рабочего тела
между выходом из насоса турбонасосного агрегата и камерой сме-
шения двигателя. Этот перепад давления необходим для прокачки
требуемого расхода рабочего тела через двигатель. Потребное дав-
ление рабочего тела на выходе из насоса будет равно рн = Рк +
Ч-Дрк-п, где Д/?к_н=2 ^pj — суммарные гидравлические потери
1
на прокачку рабочего тела; Др? — потери давления на /-м
участке гидравлической магистрали; п — общее количество рас-
сматриваемых участков гидравлического тракта.
155
Гидравлические потери на прокачку жидкости на участке гид-
равлической магистрали с учетом местных сопротивлений опреде-
ляются по зависимости
/-Л1 о
л ; е®2 i I v » Wj
^P — t .2-----р N 5. i-
2	2 1 ЛЛ ’ 2
1
где g — средний на длине I коэффициент гидравлического сопротив-
ления ( =	(л)dx\ q и w — плотность и среднерасходная ско-
о
рость движения жидкости; I — длина участка магистрали; d — эк-
вивалентный диаметр магистрали равный для круглых каналов ди-
аметру трубы. Для некруглых каналов эквивалентный диаметр
d= — ; F — площадь поперечного сечения канала; П — периметр
канала; gj — коэффициент гидравлического сопротивления (мест-
ных потерь) на /-м участке магистрали. Перепад давления, потреб-
ный на перекачку через канал газа, определяется по уравнению
—	ч J=1Tn 2
Др=^ я (IX- 2_+Zk _£l + V ,	(5.7)
1
где pi и р2 — давления на входе в канал и выходе из него соответ-
ственно; 7\ и Т2 — температура газов на входе в канал и выходе из
него; р и Т — средние величины давления и температуры на участ-
ках канала длиной /;
л = Рх + Р2 • т = ^1+^2 .
Р 2	2
R — газовая постоянная; М — расход газа через канал [45].
р
Плотность газа определяется из уравнения состояния Q = -^- . Пе-
репад давления на прокачку газа на участках без местных сопро-
тивлений определяется методом последовательных приближений в
соответствии с первым слагаемым уравнения (5.7).
В работе [2] приведено следующее приближенное уравнение для
определения перепада давления в каналах ТВЭЛ ЯРД
Qi +2?-Ц,
2р \ Q2 d )
где R— газовая постоянная G = qw — массовый расход газа, отне-
сенный к единице площади поперечного сечения канала; Тт — сред-
няя температура, Тт=-у- ^T(x)dx; Q! и q2 — плотности газа во
6
входном и выходном сечениях соответственно.
156
Коэффициент гидравлического сопротивления зависит от режи-
ма течения рабочего тела. Для ламинарного течения (Re<2200)
5=— , для турбулентного течения (Re>3000)
(1,81 1g Re —1,5)2 *
Следует отметить, что коэффициент g недостаточно исследован
при больших дозвуковых скоростях. При расчете течения газа в
каналах ТВЭЛ ЯРД необходимо обеспечить бескризисное течение
в канале (М<1). Это условие является дополнительным ограниче-
нием, которое необходимо выполнить в процессе проектирования
ЯРД. Число М на выходе из каналов ТВЭЛ может быть принято в
качестве оптимизируемого параметра ЯРД. От величины числа М
зависят гидравлические потери в каналах ТВЭЛ реактора, и, сле-
довательно, потребное давление за насосом рабочего тела, мощ-
ность насоса и его масса. Увеличение скорости движения газа ве-
дет к увеличению потерь и массы ТНА, но при этом уменьшаются
потребные габариты реактора и его масса. Взаимодействие двух
противоположных факторов обеспечивает возможность выбора оп-
тимального режима по минимуму суммарной массы двигателя.
Местная скорость потока W, число М и температура связаны соот-
ношением W = M УkRT.
Потребная мощность насоса для прокачки рабочего тела составля-
ет NH=—, где Мс — расход рабочего тела через двигатель,
кг/с; т) — КПД насоса; q — плотность рабочего тела; Др,н — пере-
пад давления в насосе; Дрн = Рн вых—Рн вх, Рн вых — давление на вы-
ходе из насоса; ри Вых = РкН-АРкн, Рн вх — давление на входе в насос,
определяется из условий бескавитационной работы насоса.
Потребная мощность турбины определяется из уравнения ба-
ланса мощностей 7VT = AfH- Взаимосвязь параметров расход газа
через турбину (AfT), температура газов на входе в турбину (Тот),
перепад давления (лт) на турбине определяется уравнением эффек-
тивной мощности турбины
NT= М.^то\ 1 - (А р-1 Пг>
где лт=-^- ; рот, p2t — давление газов на входе в турбину и на
Р2с
выходе из нее; k — газовая постоянная и показатель адиабаты
соответственно; т]т — коэффициент полезного действия турбины,
учитывающий основные виды потерь (в направляющих и на рабо-
чих лопатках, с выходной скоростью, на утечку и др. [65]).
Как следует из представленных выше зависимостей, тепловой и
гидравлический расчеты должны проводиться методом последова-
тельных приближений с целью согласования параметров (давле-
157
ний и температур) во всех трактах двигателя (перед турбиной, за
турбиной, на входе в реактор, выходе из него и на выходе из на-
соса).
5.2. СОСТАВЛЯЮЩИЕ НАЧАЛЬНОЙ МАССЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Масса рабочего тела. Полный запас рабочего тела может опре-
деляться по зависимостям, аналогичным приведенным ранее для
двигательных установок с ЖРД (см. разд. 4.2) с учетом некоторых
отличий, обусловленных особенностями работы ЯРД. В ЯРД при-
меняют в основном однокомпонентные рабочие тела, в которые мо-
гут добавляться некоторые вещества для улучшения их физико-хи-
мических свойств. Поэтому нет необходимости учитывать коэффи-
циент соотношения компонентов топлива, как в ЖРД.
Суммарную массу рабочего тела, заправляемого в бак КА,
можно представить в виде суммы масс рабочего тела А4р.тЕ, расхо-
дуемого на каждое включение двигателя {см. формулу (4.15)]. Кро-
ме указанных в разд. 4.2 составляющих масс рабочего тела — рабо-
чих запасов Afp.T.p и выбрасываемых перед каждым запуском
Л4р.т.в для ЯРД необходимо учесть дополнительные расходы рабо-
чего тела на расхолаживание реактора после выключения двигате-
ля Afp.Tpacx, а также на испарение Л4Р.ТИСп (для криогенных рабо-
чих тел), обусловленное теплопритоком в бак за счет солнечной
энергии и энергии излучений реактора двигателя. Таким образом,
суммарную массу рабочего тела можно представить в виде следу-
ющих слагаемых
А4р,тЕ Afp#T#pE “|“ AfPTBE -j- AfPtTePacxS Л4рл. исп -|- Alp.T0CT.
Определение рабочих запасов рабочего тела, а также выбрасыва-
емых масс и остатков рабочего тела в баке после последнего вклю-
чения двигателя можно определить в соответствии с рекомендаци-
ями, приведенными в разд. 4.2 для ЖРД.
Для определения расходов рабочего тела на расхолаживание
реактора при многократном включении ЯРД необходимо оценить
энерговыделение в реакторе двигателя за счет распада продуктов
деления после выключения реактора. В работе [2] приведена полу-
ченная на основе экспериментальных данных зависимость для оп-
ределения мощности распада продуктов деления, приходящейся на
одно деление в реакторе
(5.8)
где AfiPacn — в МэВ/c; t — в сут; С = 2,7-10-6. Это соотношение
справедливо в интервале времени примерно от нескольких секунд
до величины порядка месяца после деления. Энергия распада про-
дуктов деления примерно поровну делится между 0- и у-излучения-
ми, так что мощность каждого из этих типов излучений составляет
половину величины, получаемой по (5.8). По проникающей способ-
ности |3-частицы значительно уступают у-квантам при примерно
158
равных энергиях. Поэтому большая часть р-частиц будет погло-
щаться на первых сантиметрах своего пути в материалах реактора,
а значительная доля у-квантов будет уходить за пределы реактора.
Примем, что в реакторе выделяется на одно деление k-я доля энер-
гии, определяемой по формуле (5.8). Тогда
Мрасп = ^-*>2.	(5.9)
Величина коэффициента k будет находиться в пределах 0,5<&<1.
Для определения полной мощности выделения энергии в реак-
торе за счет всех делений, прошедших в течение времени работы
двигателя /д, необходимо проинтегрировать зависимость (5.9) по
времени t'
(5. 10)
о
где Пдел — число делений в реакторе в единицу времени; tn — вре-
мя, отсчитываемое от момента начала работы реактора; t' — теку-
щее время, прошедшее после совершения произвольного деления в
реакторе. .
Число делений в реакторе в единицу времени можно определить
из выражения
где А/т и Ет — тепловая мощность реактора и средняя энергия на
одно деление. Величину Ег можно принять ^=181(1+0,08^) в
МэВ на одну реакцию деления, где величина fd учитывает реальные
условия работы реактора и равна отношению энергии распада, вы-
деляющейся на самом деле в реакторе, к ее максимально возмож-
ному значению без учета потери продуктов деления за счет хими-
ческой коррозии или диффундирования в процессе работы за пре-
делы делящегося вещества, а также других факторов [2]. Из урав-
нения (5.10) после интегрирования получается зависимость мощ-
ности энерговыделения в реакторе на режиме расхолаживания от
времени
где t — время, отсчитываемое от момента выключения реактора;
/д — время работы реактора; С2 принимает значения в зависимости
от единиц измерения времени [2]: С2 = 0,063 при измерении / вс,
С2 = 0,028 — при t в мин, С2 = 0,012 — при t в ч и С2 = 0,0065 — при t
в сут.
Потребный секундный расход рабочего тела на расхолаживание
можно определить из уравнения баланса мощностей
TVp ^срасх (^*к + ^)»
159
где lK и г — теплосодержание газов в камере смешения двигателя
и теплота парообразования рабочего тела. Откуда
Л/срас1 = N'C2 [/°’2-(/ +/д)-°-2]---—-----.
(iK+r) L ~ А J 1+0,08/4
Суммарный расход рабочего тела Определяется в результате ин-
тегрирования последнего уравнения	’
= —l,25Nt-C2 fd— ( м _(	)0>8o,8j
Р (1к + г)(1 +0,08/d) 1 V f«cx I д/ I «1»
где /расх — время расхолаживания реактора (время между очеред-
ными выключением и включением ЯРД).
Суммируя величины Л4раСх по всем этапам расхолаживания двига-
теля, получаем суммарные затраты рабочего тела на расхолажи-
вание
м —V Л4
^Г1р.т.расх£ 7FIpacx/•
/-1
Для определения потерь рабочего тела за счет испарения в
процессе полета КА необходимо определить суммарный теплопри-
ток в бак Qe, обусловленный солнечным излучением, а также пог-
лощением рабочим телом и конструкцией бака энергии у-излуче-
ний и быстрых нейтронов. Масса испарившегося рабочего тела бу-
дет определяться из уравнения вида
Qs — А4р.тс • ДГ
р.Т.иСП -	»
г исп
где с, АТ — соответственно теплоемкость рабочего тела и глубина
переохлаждения рабочего тела, равная разнице температур АТ =
= ТКИп—Тн; Ткип — температура кипения рабочего тела; Тн — на-
чальная температура рабочего тела в баке; гИсп — теплота парооб-
разования рабочего тела.
Следует отметить, что масса испарившегося рабочего тела мо-
жет быть принята в качестве оптимизируемой величины. Эта мас-
са зависит от теплопритока в бак рабочего тела, который в свою
очередь зависит от толщины теплоизоляции бака. Увеличение мас-
сы теплоизоляции приводит к уменьшению потерь рабочего тела на
испарение. Два противоборствующих фактора обуславливают не-
обходимость определения их оптимального соотношения, при кото-
ром общая масса испарившегося рабочего тела и теплоизоляции бу-
дет минимальной.
Масса отсека рабочего тела. Для определения массы отсека ра-
бочего тела возможны два подхода, аналогичные указанным в
разд. 4.2.
Первый подход заключается в составлении детальной матема-
тической модели для расчета геометрических, прочностных и массо-
вых характеристик отсека рабочего тела. Входными параметрами
такой -процедуры расчета являются масса рабочего тела, характе-
160
ристики конструктивно-компоновочной схемы отсека, проектные оп-
тимизируемые параметры отсека (диаметр отсека, относительное
удлинение, параметры, характеризующие кривизну днищ и др.), а
также характеристики рабочего тела и материалов. Рассматрива-
ются варианты прочностного и теплового нагружения отсека рабо-
чего тела в течение BQero времени эксплуатации отсека и проводят-
ся прочностные и тепловые расчеты для наиболее опасных в отно-
шении нагрузок моментов работы отсека. Определяются потребные
толщины обечаек, днищ, соединительных элементов, толщины теп-
лоизоляционных материалов и в результате — суммарная масса от-
сека рабочего тела в зависимости от проектных параметров. Вклю-
чение такой процедуры расчета характеристик отсека рабочего те-
ла в общую схему расчета критериев эффективности позволяет про-
водить совместную оптимизацию параметров ДУ и КА.
Второй подход к определению массовых характеристик отсека
рабочего тела заключается в использовании статистических данных
по конструктивным проработкам отсеков. В качестве определяюще-
го параметра целесообразно принимать массу рабочего тела, зап-
равляемого в отсек.
Целесообразность выбора массы рабочего тела в качестве ос-
новного параметра для оценки массы отсека рабочего тела можно
обосновать с позиций разделения задачи оптимизации параметров
ДУ и КА. В динамической части задачи определяются управления,
обеспечивающие минимальные расходы рабочих тел. При проекти-
ровании отсека рабочего тела для КА при заданной массе рабочего
тела конструкторы стремятся обеспечить минимум массы отсека.
Можно принять, что найденная в процессе проектирования геомет-
рическая форма отсека рабочего тела, обеспечивающая минимум
его массы при заданной массе рабочего тела, будет соответствовать
также максимуму полезной нагрузки. Это объясняется тем, что в
условиях космического полета отсек рабочего тела не подвергается
воздействию аэродинамических сил, оказывающих существенное
влияние на геометрические размеры отсека.
Расчетная зависимость для определения массы отсека рабочего
тела при использовании статистических данных представляется в
виде
^ОТС = YoTcAf р,т?	(5. 11)
где величина уОтс представляется в свою очередь в виде некоторой
зависимости от массы рабочего тела.
Масса двигателя. При оптимизации внутридвигательных пара-
метров ЯРД (давление в камере смешения, скорость теплоносите-
ля на выходе из реактора, пористость по теплоносителю, удлинение
реактора, степень расширения сопла и др.) массу двигателя необ-
ходимо представлять в виде нескольких основных составляющих
Л4я=ЖР + Ж3 + Л4с + Л4ТНА+Жарм)
где Мр, Ма, Мс, Л4тна, Л4арм — соответственно массы реактора,
радиационной защиты, сопла, турбонасосного агрегата и арматуры
6	2804
161
двигателя, включающей раму, элементы пневмогидроавтоматики и
другие вспомогательные элементы.
Масса реактора определяется в результате расчетов, указанных
в разд. 5.1, как результат суммирования материальных масс ком-
понентов реактора: тепловыделяющих элементов, замедлителя, от-
ражателя, теплоизоляционных покрытий, корпуса и других конст-
руктивных элементов. Их расчет ведется по зависимостям типа
где Fj — суммарная площадь поперечного сечения рассматриваемо-
го компонента, /р— длина элемента (реактора или активной зо-
ны) и Yj удельная масса материала. Массу реактора можно харак-
теризовать также удельной массой ур (массой на единицу тепловой
мощности)
Мр Yp-^т»
где величина ур может представляться в виде некоторой зависимо-
сти от мощности yp = f(7VT).
Использование этих зависимостей целесообразно при исследо-
вании обобщенных характеристик ЯРД, например, при оптимиза-
ции величины тяги двигателя.
По данным работы [2], зависимость для расчета массы турбона-
сосного агрегата имеет вид
Д/f ____С
тна —	“
Лр.т
где Мс — секундный расход рабочего тела; Дрн — перепад давле-
ний центробежного насоса; ур.т — плотность рабочего тела; Ср —
эмпирический коэффициент. Вид приведенной зависимости показы-
вает, что масса ТНА может быть также связана с его мощностью
через величину удельной массы.
При расчете массы радиационной защиты на начальном этапе
проектирования ядерного двигателя целесообразно использовать
простые полуэмпирические методы, так как окончательное опреде-
ление характеристик защиты, как правило, связано с эксперимен-
тальными исследованиями. Исходными данными для расчета защи-
ты принимаются: тепловая мощность реактора NTf время работы
двигателя на номинальной мощности /д, время расхолаживания
^расх, геометрические размеры реактора (диаметр, длина активной
зоны, толщины отражателей, корпуса), характеристики материалов
реактора и защиты (плотность, поперечное сечение выведения), рас-
стояние до полезного груза от реактора Лп, характеристики рабоче-
го тела (рр.т — плотность, —сечение выведения), высота столба
жидкости в баке рабочего тела /гр.т, допустимая полная доза облуче-
ния полезного груза Д2 за время полета и др. В результате расчетов
требуется определить потребные толщины материалов для требуе-
мого ослабления доз излучений. Масса защиты определяется в ито-
ге по величинам толщины материалов с учетом геометрии защиты
(размеров реактора).
162
В состав защиты КА должны входить материалы тяжелых эле-
ментов, например, вольфрам, свинеи, висмут для ослабления и
поглощения у-квантов, а также материалы с низкой атомной мас-
сой (рабочие тела ЯРД, гидрид лития и др.), обеспечивающие хо-
рошую защиту от быстрых нейтронов. Расчет их толщин проводит-
ся с учетом взаимного влияния на ослабление и поглощение у-кван-
тов и нейтронов.
Приведем некоторые приближенные зависимости, с помощью
которых можно провести оценку потребных толщин тяжелой и лег-
кой компонент защиты.
Ослабление интенсивности потоков y-излучения и быстрых
нейтронов при прохождении через материал толщиной б определя-
ется зависимостями [2]
Л = /07[^(^) + ^]; /П=/Оп£\ (8 20’	(5- 12)
где lot, /Оп — потоки у-излучения и нейтронов перед защитой соот-
ветственно; /т/п —потоки излучений после защиты; —ин-
со
г е~у
тегро-экспоненциальная функция, равная Ег{х) = \----dy, причем
J у
для х^> 12 Et (х)^-—, для х0,1	(х)In ——0,577;
X	X
= I?q=—; у/ — коэффициент взаимодействия; Q — плотность мате-
т
риала; т — длина релаксации; — поперечное сечение выведе-
ния быстрых нейтронов.
По экспериментальным данным эффективное поперечное сечение
выведения Sr, позволяющее удовлетворительно оценить степень
ослабления пуска быстрых нейтронов, приближенно равно [2]
/_ 2
г~ з 2^
при Е = 8 МэВ,
где — полное поперечное макроскопическое сечение взаимодей-
ствия нейтронов в материале. Эффективные поперечные сечения вы-
ведения быстрых нейтронов с энергией 8 МэВ в различных матери-
алах защиты представлена в табл. 5.2 [2]. Достаточно хорошие ре-
зультаты при оценке ослабления у-излучений получаются при рас-
четах в предположении, что источник у-излучения — моноэнергети-
ческий (в интервале от 2 до 3 МэВ) (2]. В той же таблице приве-
дены приближенные значения длин релаксации у-квантов в раз-
личных материалах.
По зависимостям (5.12) можно определить степень ослабления
излучений при прохождении через отражатель, корпус реактора и
материалы защиты. Мощность источника у-излучений на поверх-
6*
163
Таблица 5.2
Материал	Плотность On г/см3	. см 1	Длина ре- лакса цин 1/щ см
Воздух на уровне моря	1,2-10-3	4,7-10-5	2,8-104
С	1,65	0,068	17,3
Be	1,84	0,132	17,6
Обыкновен- ный бетон	2,3	0,0942	14
А1	2,73	0,082	10,5
Fe	7,8	0,166	3,6
Bi	9,8	0,098	2,5
Pb	11,3	0,115	2,1
W	19,3	0,221	1,3
IJ238	18,5	0,170	1,23
H2	0,071	0,04	205
NH3	0,71	0,144	—
н2о	1,0	0,100	30
сн2	0,81	0,124	31
LiH	0,82	0,152	35
ности, ограничивающей
область энерговыделения
(на поверхности активной
зоны реактора), можно
определить по формуле
где Kot — объемная мощ-
ность у-излучений;
„	10(1 + O,8/d)7VT .
°Т	181 (1 + 0,08/4)1^3 ’
Иа.з— объем активной зо-
ны реактора; цо— массо-
вый коэффициент погло-
щения активной зоны,
цо=1До. Мононаправлен-
ный поток быстрых нейт-
ронов, вылетающих из
сферической или равно-
сторонней цилиндричес-
кой активной зоны реак-
тора с радиусом га.з будет
равен [2]
~Bmxth )
’ 4пг*ллЕг '
где Вт — материальный параметр реактора* т<л — возраст тепло-
вых нейтронов; Еи — средняя энергия образующихся быстрых ней-
тронов, £„=— МэВ; т| — число быстрых нейтронов, образующих-
"1
ся на одно поглощение в делящемся веществе, для U235 tj = 2,08;
£r=181 (1+0,08fd) МэВ — полное энерговыделение на реакцию
деления; Мп=т|—1—число быстрых нейтронов на одно деление,
остающихся после поглощения одного нейтрона для продолжения
цепи делений. Связь биологической мощности дозы с энергетиче-
ским потоком уизлучений и нейтронов определяется зависимостя-
ми [2]
где/т и /п измеряются в МэВ/(с-см2).
164
Величины максимально возможных неослабленных мощностей
доз по у-квантам и быстрым нейтронам могут быть приближенно
определены из следующих соотношений [2]:
Д, = 4,9-1010 (1 +0’8/d)ArT. ;
(1+0,08/4) г2
Дп = 5,3 • 1010 С1 —,
п	(1 +0,08 fd) г*
где г — расстояние от центра реактора, который представляется к
виде точечного источника, до рассматриваемой точки, в см; N? —
тепловая мощность реактора, в МВт.
Неослабленная мощность дозы у-излучения продуктов деления
выключенного реактора определяется следующей зависимостью
Д =2 5 10™ ^Mbacx—^pacx+<«) °’2]
’	г2 (1+0,08/4)
где время t выражено в мин.
Эффект ослабления дозы у-излучений и быстрых нейтронов за
счет рабочего тела может быть определен с учетом следующих за-
висимостей для точечного источника [2].
Д в==4э9.1010	,.L+9.’8Z4--h—[2-(2 + |*рЛт) е_и₽-сЛ₽-т],
1	Г’ 1+0,08/4 Нр.гЛр.г 1 V тгр.т р.т,	1»
Дпз; = 5,3-1010 -1 ~1/11——•—(1—г~А₽-т2г)
1+0,08/4 г2 Лр.т^/
где суммарные дозы Д-р и ДпЕ соответствуют: расстоянию г от ре-
актора до точки за баком с рабочим телом, в см; цр.т — в 1/см;
/д — в ч; ЛДг — в МВт; Лр.т — в см.
Как следует из представленных выше зависимостей, масса за-
щиты определяется потребными толщинами слоев «тяжелой» и
«легкой» защит, которые в свою очередь зависят от «вклада» в об-
щую дозу у-излучений и быстрых нейтронов. В данном случае по-
является возможность варьирования толщиной одного из слоев за-
щиты, т. е. появляется необходимость нахождения как минимум од-
ного оптимизируемого параметра, определяющего массу защиты.
В качестве такого параметра можно принять, например, относитель-
ную или абсолютную величину дозы одного из потоков излучений
(Д7е, ДпЕ или Дп!Д^ Д^Дъ)-
Общая схема расчета массы защиты при фиксированном опти-
мизируемом параметре будет следующей. По величине суммарной
допустимой дозы Де и величине оптимизируемого параметра оп-
ределяем суммарные дозы от у-излучений и быстрых нейтронов.
По известному времени работы реактора на всех режимах опреде-
ляем допустимые мощности доз у-излучений и быстрых нейтронов.
Определяем мощности доз неослабленных излучений и потребные
кратности ослабления потоков у-излучения и быстрых нейтронов.
Затем находим методом последовательных приближений толщины
165
«тяжелой» и «легкой» защит, обеспечивающих требуемые кратно-
сти ослабления излучений. По толщинам слоев защиты и другим ее
геометрическим параметрам (диаметр защиты за реактором, угол
конусности для теневой защиты и т. п.) определяется масса защиты.
Масса сопла ЯРД может рассчитываться аналогично массе соп-
ла ЖРД по величине удельной массы, приходящейся на единицу
площади поверхности со-пла Mc = bc-Sc. Поверхность сопла зависит
от степени расширения газов в сопле рк/Ра, -принимаемой, как и для
ЖРД, в качестве оптимизируемого параметра.
Массу вспомогательных элементов ЯРД целесообразно опреде-
лять -ПО' статистическим данным по уравнению Марм=УармЛ где
Тарм=/(Р) — аппроксимационная зависимость.
При оценочных расчетах массу ЯРД можно определить, учиты-
вая только укрупненные составляющие, как и в случае ЖРД —
массу «очкового» двигателя М0Ч = у0ЧР, где уоч — удельная масса
«очкового» двигателя (до критического сечения сопла) и массу соп-
ла. Оптимизируемыми параметрами являются величины тяги дви-
гателя и степени расширения сопла. При выборе только одного оп-
тимизируемого параметра зависимость для расчета массы двигате-
ля необходимо представить в виде Мд = удР или Л1д = удА\, где
NT = f(P), уд — удельная масса двигателя, представляется в виде
зависимостей уд = /(Р) или уд = /(2VT);
Массу прочих систем КА с ЯРД следует определять по зависи-
мостям типа (4.44).
В качестве примера рассмотрим задачу определения оптималь-
ных размерностей ЯРД для межорбитальных перелетов между кру-
говыми компланарными и некомпланарными орбитами. Высоту на-
чальной (опорной) орбиты примем равной 200 км, высоты конечных
орбит 1 • 104, 2-104 и 3-104 км, а углы некомпланарности — 0, 25 и
50°. В качестве параметра, характеризующего размерность двига-
теля, примем величину тяги. Величину удельного импульса тяги
при исползовании в качестве рабочего тела водорода примем 825 с
по данным конструкторских проработок для ЯРД типа «Нерва»
162] (реактор с графитовым замедлителем) и 870 с для ЯРД с реак-
тором с гидрид-циркониевым замедлителем [10]. В качестве крите-
рия оптимизации примем величину массы полезного груза, а на-
чальные массы КА проварьируем от 20 до 200 т.
Решение будем проводить методом «двойного разделения» за-
дачи в следующей последовательности.
1.	По параметрам начальной и конечной орбит согласно зави-
симостям (3.9) и (3.10) определяются оптимальные значения им-
пульсов скорости АКП, AVa и угла поворота плоскости орбиты в пе-
ригейной точке переходного эллипса ап-
2.	Осуществляется обращение в поисковый блок, в котором фор-
мируется начальное значение величины тяги двигателя Рд, анали-
зируется информация о величине критерия оптимизации А4П, осу-
ществляется изменение оптимизируемого параметра и передается
управление на расчет критерия эффективности.
166
3.	Осуществляется расчет критерия оптимизации в следующей
последовательности. По величинам Рд, Л40, /у, АКп, Лн согласно за-
висимости (3.53) определяется величина гравитационных потерьско-
рости при первом включении двигателя А14р.п, затем рассчитыва-
ются величина характеристической скорости 1/Х1=Д1/п+Д1/гр.п, ра-
бочий запас рабочего тела (зависимость 1.1) и полный запас рабо-
чего тела на первый импульс с учетом потерь на расхолаживание
УИр.Т1=7Ир.т.раб1 (1 + аРасх), где араСх — коэффициент потерь рабочего
тела на расхолаживание и испарение из бака. При расчете принято
(Храсх = 0,05.
Находим начальную массу КА перед вторым включением дви-
гателя Моа = Мц — 7Ир.Т1 и определим характеристики КА, соот-
ветствующие второму включению двигателя: ДИа, 1/Х2 и Afp.Ta.
Полный запас рабочего тела на борту КА определим как Л4р>т =
= А1Р.Т1 -|- М Р,Т2.
Последующие расчеты связаны с определением составляющих
масс КА. Массу отсека рабочего тела будем определять по зависи-
мости (5.11), причем величина
] 2-юз
Yotc-y°:? + м₽.т ’
(5. 13)
где ур.т — в кг/м3, Л1р.т — в кг, уотс — в кг/кг. Зависимость (5.13)
получена из аналогичной зависимости для ЖРД на кислородно-
водородном топливе при допущении, что масса топливного отсека
зависит от удельной массы компонентов топлива в степени 0,5 (в
работе [2] этот коэффициент считается равным 0,6).
Для расчета масс двигателей с графитовым и гидрид-циркони-
евыми замедлителями приняты линейные зависимости ЛТД = А + В£>Д,
имеющие одинаковый угол наклона, определяемый коэффициентом
В = 0,0096. Коэффициенты А получены равными 8000 и 2000 для
указанных двигателей соответственно. Зависимости получены на
основе данных работ [10, 62] при допущении, что двигатель с гид-
рид-циркониевым замедлителем при величине тяги Рд = 0 будет
иметь массу 2000 кг.
Масса неучтенных элементов определялась по формуле Л4к = укМ&,
где ук принимался равным 0,05.
Величина критерия оптимизации рассчитывалась по формуле
МП = Л1О—Л4р.т—Л<отс—Мк—ТИд. Результаты оптимизации величин
Рд, ДКп, ДКа, ап представлены в табл. 5.3, где приведена также ве-
личина массы полезного груза Мп.
Данные расчета показывают, что оптимальная величина тяги
ЯРД с графитовым и гидрид-циркониевым реакторами практически
одинакова (отличаются не более чем на 2 кН).
Из табл. 5.3 видно, что оптимальные величины тяги не сущест-
венно изменяются от величины потребных затрат скорости и зави-
сят в основном от начальной массы КА. Это является благоприят-
ным фактором для выбора унифицированных двигателей, особенно
если учесть возможность использования связок двигателей для КА
различных масс.
167
Таблица 5.3
		Af0, кг			2-10* |	5-Ю* |	1 105 1	1 1,5.Ю5	|	2‘105
Ак, км	а2» град	м/с	4lZa- м/с	град			рл кН Мп	т		
10 003	0 25 50	1516 1647 1686	1200 1952 3499	0 4,34 4,97	3,2 7,6 34 5,7 35 2,9	80 24,9 85 20,3 87 13,3	161 53,9 170 44,8 . 174 30,6	24,1 82,9 255 69,2 261 47,9	322 111,9 340 93,5 347 65,3
20 000	0 25 50	2066 2118 2152	1432 1854 2810	0 3,05 3,9	41 5,8 420 4,9 41 3,2	103 20,6 104 18,3 101 14	207 45,2 207 40,7 203 32,1	310 69,8 311 63 304 50,1	413 94,5 415 85,4 405 68,2
30 000	0 25 50	2348 2374 2398	1479 1769 2454	0 2,28 .3,14	46 5,1 46 4,5 45 зТз	114 18,8 114 17,4 112 14,3	229 41,7 228 38,8 224 32,7	343 64,6 342 60,2 336 51,1	458 87,5 457 81,6 448 69,4
Глава 6
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК
С ЭЛЕКТРОРЕАКТИВНЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ
6.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭРД
И СТРУКТУРНАЯ ФОРМУЛА НАЧАЛЬНОЙ МАССЫ
Электроракетные двигательные установки отличаются от дру-
гих типов реактивных ДУ тем, что они используют источник энер-
гии, независимый от рабочего тела двигателя и реализуют принцип
ускорения рабочего вещества электромагнитным полем. Это позво-
ляет на один-два порядка повысить удельный импульс тяги двига-
теля по сравнению с двигателями на химическом топливе и в не-
168
сколько раз — по сравнению с ядерными ракетными двигателями.
Типы ЭРД, их принципы работы и основные характеристики при-
ведены в работах [16, 17, 30, 33, 42, 64, 67].
Источником электрической энергии, расходуемой на ускорение
рабочего тела, служит энергоустановка, которая может рассматри-
ваться как элемент двигательной установки или независимо от ДУ
как элемент КА в случае, если после совершения маневра она ис-
пользуется для снабжения электроэнергией аппаратуры космиче-
ского аппарата.
Цена тяги ЭРД или отношение потребляемой мощности к ве-
и	д
личине тяги двигателя Р, = может составлять от несколь-
ких десятков до нескольких сотен ватт на грамм тяги, а удельная
масса энергоустановки Уз = ~гг (где Мэ и Na— масса и электриче-
N э
ская мощность энергоустановки) в зависимости от ее типа и вели-
чины мощности составляет от нескольких килограммов до несколь-
ких сотен килограммов на каждый киловатт мощности. Из-за ог-
раничений по массе энергоустановки ЭРД не могут обеспечивать
величин тяги, соизмеримых с уровнями тяги ЖРД и ЯРД, называ-
емых двигателями большой тяги, поэтому же они могут обеспечить
выполнение требуемого маневра КА только после выведения послед-
него на орбиту спутника планеты.
Полет КА с ЭРД осуществляется при величинах перегрузок на
несколько порядков меньших, чем в случае применения на КА
ЖРД или ЯРД. Это обуславливает необходимость длительной ра-
боты электрореактивных двигателей для сообщения КА требуемо-
го приращения скорости. Отмеченные особенности ЭРД как двига-
телей малых тяг необходимо учитывать при разработке алгоритмов
и программ оптимизации их проектных параметров.
В настоящее время известно большое количество типов ЭРД, ре-
ализующих различные принципы ускорения рабочего тела и отлича-
ющихся конструктивным исполнением. Современные ЭРД класси-
фицируются в основном по принципу ускорения рабочего тела (теп-
ловые или электротермические, электростатические и электромаг-
нитные ЭРД) и по состоянию рабочего тела в канале двигателя
(газодинамические или электронагревные, ионные и плазменные
ЭРД). Дополнительно учитываются также и такие признаки, как
геометрия электродов, характер работы (стационарный или им-
пульсный) и др.
Приняв за основу главный классификационный признак — прин-
цип преобразования подводимой электрической энергии в кинети-
ческую энергию истекающего из двигателя рабочего тела, можно
выделить 3 основных типа ЭРД — электротермические (ЭТД),
электростатические (ЭСД) и электромагнитные (ЭМД).
В электротермических ЭРД электроэнергия служит только для
подогрева рабочего тела в камере двигателя, а его ускорение осу-
ществляется за счет действия газодинамических сил также, как в
ЖРД и ЯРД.
169
В свою очередь различают два типа электротермических ЭРД:
электронагревные ЭНД и электродуговые ЭДД, отличающиеся спо-
собом подведения тепла к рабочему телу. В ЭНД рабочее тело вос-
принимает тепло от нагревателя теплообменного типа (например,
спирального), нагреваемого, в свою очередь, за счет прохождения
через него электрического тока. В ЭДД источником тепла служит
дуговой разряд, горящий в парах рабочего тела.
В электростатических двигателях осуществляется ускорение про-
дольным электрическим полем одноименно заряженных ионов (час-
тиц). Электростатические двигатели в зависимости от способа иони-
зации рабочего тела делятся на две группы: ионные двигатели с по-
верхностной ионизацией НДПИ и ионные двигатели с объемной
ионизацией ИДОИ. В ИДПИ рабочее тело ионизируется при кон-
такте его атомов с твердым телом, если работа выхода электрона
(т. е. энергия отрыва электрона от поверхности эмиттера) больше
энергии ионизации атома рабочего тела. В ИДОИ ионы 'получаются
при столкновении атомов рабочего тела с достаточно энергичными
электронами. Ионизация осуществляется за счет специального раз-
ряда в газоразрядной (ионизационной) камере, из которой ионы
плазмы вытягиваются электрическим полем в ускоряющий проме-
жуток двигателя. К электростатическим относятся также двигате-
ли, в которых вместо ионов ускоряются мелкие заряженные колло-
идные частицы. Такие двигатели называются коллоидными (КД).
Наиболее широкий класс представляют собой электромагнитные
реактивные двигатели, ускорение рабочего тела в которых осуще-
ствляется за счет электромагнитной силы Ампера, возникающей
при взаимодействии магнитного поля с электрическим током, теку-
щим поперек поля. В зависимости от способа электропитания элек-
тромагнитные двигатели делятся на стационарные (непрерывного
действия) и импульсные плазменные двигатели. В стационарных
двигателях напряжение и ток постоянны по времени, а для им-
пульсных плазменных двигателей характерно чередование рабочих
импульсов разрядного тока с паузами между ними.
В зависимости от особенностей организации рабочего процесса
в двигателе, различают следующие основные типы электромагнит-
ных ЭРД непрерывного действия: сильноточный плазменный двига-
тель СТД, холловский двигатель с анодным слоем ДАС, холлов-
ский двигатель с протяженной или линейной зоной ускорения
ЛХД, который называют также стационарным плазменным двига-
телем СПД, и торцевой холловский двигатель ТХД.
В сильноточных плазменных двигателях электродинамическая
амперова сила возникает в результате взаимодействия электриче-
ского тока с собственным азимутальным магнитным полем, инду-
цируемым осевыми составляющими тока. Рабочее тело в этих дви-
гателях подается через внутренний электрод—катод, нагревается и
ионизируется за счет дугового разряда, образующегося между като-
дом и анодом, который выполняется в виде сопла, охватывающего
анод. При больших разрядных токах в СТД отмечается диссипатив-
ное ускорение ионов электронным трением. Диссипативный режим
170
ускорения характеризуется тем, что энергия разогнанных ионов мо-
жет превышать приложенную к двигателю разность потенциалов.
Для эффективного ускорения рабочего тела в СТД должен пропус-
каться большой ток, достигающий нескольких десятков килоампер.
Поэтому СТД представляет собой мощные системы с уровнем пот-
ребляемой мощности до нескольких сотен киловатт. При малых
разрядных токах и уровне потребляемой мощности до нескольких
десятков киловатт работа СТД становится неэффективной из-за
слабого собственного магнитного поля. Для повышения эффектив-
ности ускорения рабочего тела в плазменных двигателях в этих ус-
ловиях применяют внешнее радиально-осевое магнитное доле, об-
разующееся с помощью соленоидов, крепящихся снаружи двигате-
лей. Эти двигатели называют торцевыми холловскими ТХД. Ус-
коряющая сила в ТХД обусловлена взаимодействием радиальной
компоненты внешнего магнитного поля с азимутальным холловским
электрическим током, возникающим за счет действия продольной
составляющей магнитного поля.
Характерным для всех холловских ЭРД является то, что в них
образуется квазизамкнутый азимутальный холловский ток, взаи-
модействующий с поперечной компонентой магнитного поля. Объ-
емный заряд электронов ускоряет ионы. В холловских ЭРД ради-
альное магнитное и продольное электрическое поля воздействуют
на электроны и ионы плазмы таким образом, что электроны дрей-
фуют вокруг оси системы, а ионы ускоряются в электрическом по-
ле, почти не отклоняясь под действием магнитного поля. Иониза-
ция рабочего тела, поступающего в двигатель со стороны анода,
осуществляется вращающимся электронным облаком вблизи
анода.
В зависимости от соотношения между длиной ускоряющего про-
межутка и электронным ларморовским радиусом различают две мо-
дификации двигателей с азимутальным дрейфом: с протяженной
или линейной зоной ускорения ЛХД и двигатель с узкой зоной
ускорения, который называют двигателем с анодным слоем ДАС.
В ЛХД (СПД) ускорительный канал имеет диэлектрические стен-
ки, а его длина в несколько десятков раз превышает электронный
ларморовский радиус.
В ДАС вращающееся электронное облако имеет толщину по-
рядка всего нескольких электронных ларморовских радиусов, а
стенки канала выполнены из металла.
В импульсных плазменных двигателях (ИПД) режим ускорения
плазмы зависит от геометрии электродов и разрядной камеры.
Различают две разновидности эрозионных ИПД, являющихся ос-
новными представителями импульсных ЭРД: импульсные плазмен-
ные двигатели с электромагнитным разгоном плазмы (ЭМИПД)
и импульсные плазменные двигатели с электротермическим разго-
ном плазмы (ЭТИПД). Для ЭМИПД характерна коаксиально-
торцевая или рельсовая геометрия электродов. В ЭТИПД применя-
ются аксиальные электроды, разделенные цилиндрическим диэ-
лектриком.
171
Следует отметить, что перечисленные выше типы ЭРД не ис-
черпывают всего многообразия электроракетных двигателей, по-
иски новых схем которых продолжаются и в настоящее время. Они
являются наиболее типичными представителями ЭРД, большинст-
во из которых получили в течение последних 10—15 лет значитель-
ное развитие от лабораторных, теоретических и экспериментальных
исследований до штатных образцов, испытаний в космических усло-
виях и применения на космических аппаратах.
Электро-ракетные двигатели перечисленных выше типов тре-
буют для работы различных по величине токов и напряжений, ко-
торые в общем случае могут не совпадать с выходными токами и
напряжениями энергетической установки. Поэтому для некоторых
типов ЭРД в системе энергопитания должны быть дополнительно
установлены преобразователи электрической энергии, накопители
(для импульсных плазменных двигателей), а также системы управ-
ления работой ЭРД.
В весовой части задачи оптимизации параметров КА с ЭРД
должна быть установлена однозначная связь проектных парамет-
ров с величиной критерия эффективности с учетом всех особенно-
стей ЭРД.
Отличия структурной формулы для КА с ЭРД, по сравнению с
соответствующими формулами для КА с ЖРД и ЯРД, обусловле-
ны появлением дополнительных систем в составе ДУ (энергоуста-
новки, преобразователя, накопителя), а также особенностями ра-
боты двигателей.
Когда время работы двигателей при межорбитальных перехо-
дах совпадает со временем совершения маневра, то учитывать сброс
элементов КА с ЭРД в процессе работы двигателей необходимо
лишь в случае, если принята конструктивно-компоновочная схема
аппарата с подвесными отсеками для хранения рабочего тела. Воз-
можно также групповое выведение полезных масс на различные
орбиты функционирования. Учет этих особенностей функциониро-
вания КА не представляет особых сложностей, если известны зави-
симости для определения масс элементов КА при рассмотрении од-
ного маневра, характеризующегося только расходом рабочего тела
для получения реактивного ускорения.
Расходом рабочего тела при запуске ЭРД можно пренебречь,
тогда начальная масса КА будет равна (см. разд. 4.1) Мо=
= тИстН” А1ХВ.
Запишем структурную формулу стартовой массы космического
аппарата с ЭРД с учетом уравнения (4.4) следующим образом:
Л4СТ = А4П + А4р,т А4Т#О М л £прА1ир + ВНА1Н + В3МЭ + Мк + А4ув,
(6.1)
где Мп — масса полезного груза; Л1Р.Т, А1Т.О— масса рабочего тела
ЭРД и масса систем хранения и подачи рабочего тела соответ-
ственно; Мд— масса движителей (ЭРД); Afnp, Afn—масса преоб-
разователя и накопителя соответственно; Мэ — масса энергоуста-
172
новки; Л4К — масса прочих (неучтенных) конструктивных элемен-
тов КА; Л4ув — масса системы увода.
В уравнение (6.1) введены ряд признаков (ВПр, 5Н, Вэ), которые
могут принимать значения 0 или 1 в зависимости от того, входит
ли соответствующий элемент (преобразователь, накопитель, энер-
гоустановка) в состав структурной формулы стартовой массы КА.
Так, например, масса энергоустановки может быть отнесена к мас-
се полезного груза КА, тогда параметр Вэ принимает значение 0.
Для некоторых типов ЭРД не требуется преобразователь электро-
энергии или накопитель, тогда соответствующие признаки полага-
ются равными нулю.
Из уравнения (6.1) может быть получена величина 7ИП, которая
используется в качестве критерия эффективности при оптимизации
параметров.
Если в составе ДУ отсутствуют накопитель и преобразователь
электроэнергии или их масса считается входящей в состав энерго-
установки, то формула для определения стартовой массы КА с ЭРД
имеет вид (4.6), а уравнение для определения относительной мас-
сы полезного груза — (4.14).
Ниже будут рассмотрены более подробно составляющие струк-
турной формулы стартовой массы КА с ЭРД.
Представленные в (6.1) составляющие масс конструктивных
элементов КА с ЭРД могут определяться при различной сте-
пени детализации расчетов, которые могут включать в свой состав
тепловые, электрические, прочностные, компоновочные и другие
расчеты. Методы расчетов различных элементов КА (в том числе
и ЭРД) излагаются в ряде специальных работ. Эти детальные рас-
четы целесообразно проводить на этапе проектирования конкретных
КА. Вместе с тем большой интерес представляют расчеты, выпол-
няемые по основным обобщенным характеристикам составляющих
элементов КА. Эти расчеты являются менее трудоемкими и позво-
ляют более оперативно получать информацию о проектных свойст-
вах принятого варианта конструктивно-компоновочной схе-
мы КА.
Общим для всех процедур расчета характеристик комплектую-
щих элементов КА, независимо от степени детализации расчетов,
как отмечалось выше, является следующее. Входными параметрами
процедур должны быть оптимизируемые проектные * параметры и
величины, характеризующие конструктивно-компоновочную схему
варианта КА (рабочее тело, материалы, тип энергоустановки, тип
ЭРД и т. п.). Выходными параметрами процедуры расчета каждо-
го элемента КА должны являться характеристики, необходимые
для расчета основного критерия эффективности или выходных па-
раметров процедуры расчета комплектующих элементов. К этим
параметрам относятся, например, массы элементов или их стоимо-
сти, величины, определяющие энергетические возможности КА
(расходы рабочих тел, величины потребляемой мощности, коэффи-
циенты полезного действия и др.).
173
Для иллюстрации принципов составления процедур расчета
комплектующих элементов КА с ЭРД ниже будут представлены
расчетные зависимости процедур по возможности в обобщенном
виде.
6.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭРД
Энергетические характеристики ЭРД имеют важное значение
при составлении математической модели ДУ, так как они опреде-
ляют потребную электрическую мощность для работы двигателя
и являются исходными параметрами для расчета основных харак-
теристик энергоустановки.
Потребная величина электрической мощности энергоустановки
может быть определена по следующей зависимости:
N =	
9 WN ’
(6.2)
где ДОд — мощность, подводимая к двигателю.
КЛ = ИЛИ =
где Р — тяга двигателя, Н; J9^— удельный импульс тяги, м/с; £—
Мс ( /*Ф)2
цена тяги, кВт/H; т]д — тяговый КПД двигателя; ---------------ре-
активная мощность струи рабочего тела двигателя; т|пр— КПД
преобразования электрической энергии (при отсутствии преобразо-
вателя величины т]Пр = 1) •
Кроме того, в зависимость (6.2) для определения N3 введен ко-
эффициент фУ, показывающий, какая доля от суммарной мощности
энергоустановки идет на создание тяги ЭРД. С помощью коэффи-
циента фУ можно учитывать затраты мощности на питание других
систем КА (0<ф№^1).
Цена тяги и КПД двигателя связаны соотношением
узф
Таким образом, чтобы определить мощность, потребную для
работы ЭРД, необходимо иметь зависимости т]д, т]пр или £ от при-
нятых проектных и конструктивных параметров ЭРД. Зависимости
могут быть получены либо на основе экспериментальных данных,
либо для некоторых типов ЭРД расчетным путем. При обработке
статистических данных эти параметры для некоторых типов ЭРД
удобно представлять в виде следующих зависимостей:
пд=/(Лэф); £=/Uy*); т1Пр=/(М,р),
где АПр — мощность преобразователя.
Определение энергетических характеристик ЭРД, представляю-
щих собой зависимости выходных параметров двигателей (величи-
на тяги и удельного импульса тяги) от величины потребляемой
мощности ДУ или энергии накопителя, является одним из основных
174
этапов расчетов при определении масс составляющих элементов ДУ
с ЭРД (массы энергоустановки, накопителя, преобразователя, дви-
жителей).
Рассмотрим энергетические характеристики основных типов
ЭРД.
Электронагревные двигатели. В ЭНД в качестве оптимизируе-
мых проектных параметров целесообразно выбрать давление в ка-
мере двигателя рки степень расширения сопла Рк1р&-
Для определения удельной тяги ЭНД необходимо также зада-
ние величины температуры рабочего тела в камере двигателя Тк.
Обычно эта температура определяется по допустимой температуре
нагревательных элементов, а потребные характеристики последних
(длина и диаметры каналов, сечение нагревателя, густота намотки
спирали и т. п.) определяются с применением обычных соотношений
теории теплопередачи при течении газа по каналам выбранной
формы.
Энергетические характеристики ЭНД в основном определяются
термодинамическими процессами, протекающими в камере и сопле
двигателя. При оценке удельного импульса ЭНД большое значение
имеет определение степени равновесности газа в процессе расшире-
ния в сопле. Надежное определение степени равновесности расчет-
ным путем пока произвести не удается. Экспериментально установ-
лено, что степень равновесности зависит от давления в камере дви-
гателя и длины сопла. Так, например, при давлениях рк^Ю кгс/см2
и длинах сопла /С^Ю см истечение практически равновесное (49].
При рк^0,05 кгс/см2 и 1 .. .2 см отмечается истечение практи-
чески с замороженным составом. Для величины давлений в диапа-
зоне рк = 0,05 ... 10 кгс/см2 и длин сопел Zc = 2 ... 10 см пользуются
условными предположениями о равновесности газа при расширении
до критического сечения и замороженности его состава в расширя-
ющейся части сопла.
Величина удельного импульса тяги ЭНД определяется анало-
гично как и для ЯРД и ЖРД согласно зависимостям (4.35). Для
определения величины удельного импульса тяги ЭНД необходим^
проведение термодинамического расчета при принятом рабочем
теле, условиях о характере истечения рабочего тела, давлении в
камере и степени расширения сопла. Методы термодинамического
расчета при различных допущениях о характере течения газов в
сопле представлены ;в работе [1]. Для определения параметров га-
за по длине сопла можно воспользоваться также J—S-диаграм.ма-
м.и, построенными по результатам термодинамических расчетов для
различных рабочих тел (J—S-диаграмма для водорода приведена
в работе [1]).
Приближенные значения идеальной скорости истечения можно
получить с помощью среднего показателя изотропы п по формуле
(4?35), где
п = —в Дж/(кг’к)> ^=~ 
|п	а	Ра
RkTк
175
Данные термодинамических расчетов позволяют получить зави-
симость показателя изотропы п от температуры (см. [64]). Для ис-
течения с замороженным составом показатель изотропы можно оп-
ределить по среднеарифметической температуре газа согласно сле-
дующим зависимостям:
ЛР=-к-±^-и^;	, n=f(rKf).
£	\ лс /
При условий, что потерями тока в электрической цепи, а также
потерями тепла через корпус двигателя можно пренебречь, полный
КПД электронагревного двигателя выражается произведением двух
КПД — термического и определяющего потери в сопле

где
Пс = ?с.
а.И;
277

Для приближенного определения величины q?c можно' восполь-
зоваться ее зависимостью от степени расширения сопла и числа
Re =	[64].
В результате аппрок-
симации эта зависимость
представлена в виде сле-
дующего соотношения:
<Pc = A + #Rec,
где коэффициенты А, В, С
определяются в зависимо-
сти от отношения величи-
ны Fh/jPkp согласно дан-
ным табл. 6.1.
Таблица 6.1
Vxp	А	в	с
10	0,53378	0,10861	0,09965
20	-32,9128	33,4465	1,00999-Ю-з
50	0,38596	0,20187	0,1
100	0,56973	0,02603	0,3
200	0,53193	0,03014	0,3
Диапазон изменения величины Re примерно от 20 до 2500, пог-
решность аппроксимации коэффициента <pc — не более 1 %.
Величину г)/ определяют в результате термодинамического рас-
чета. В работе [64] показано, что термический КПД можно опреде-
лить по приближенной формуле
\ J ушах/
где /ушах максимально возможный удельный импульс ЭНД, соот-
ветствующий условиям предельно_^озможного расширения газа в
СОПЛе (Дс — ОО, */а = 0, Jy max-=j/'2./K).
Зависимости 7У.ИД и /утах от температуры и степени расширения
водорода для равновесного и замороженного истечений представ-
лены в работе [64].
Величину удельного импульса тяги можно определить также по
величине т]д [64]
176
Для случая замороженного истечения газов из сопла двигателя
в работе [33] получено следующее выражение для определения
КПД электротермических двигателей:
2 2
Wp
2 Д/Яи
1 +,?с ^/2 +
где <рс=----— ; Tjf — коэффициент,
^а.ид
вительной скорости от эффективной
ТТ77	Г Эф	^Эф
нению UZ9(J)=J/,	= —ци;, Тр= I----------------------7—,'а.ил
w a	J к
— энтальпия в выходном сечении сопла при равновесном истече-
нии без гидравлических потерь; /к — полная энтальпия в камере
двигателя; Д/ди = Д/д + Д/и— величина энергии, поглощенной в ка-
мере нагрева в процессах диссоциации рабочего тела Д7д, имеюще-
го молекулярную структуру и термической ионизации Д/и, если
температура достаточно высока;
+ а ~
/VI р	1VL р
2	^2
 'Р₽?с Г 2/2
учитывающий отличия дейст-
Ц/Эф, определяемой по урав-
1,01. ..1,02;	1	• г
/Vox л— тепловая мощность, отводимая охлаждением (излучением);
Л^эф — мощность, поглощаемая эрозией электродов; /0 — полная эн-
тальпия рабочего тела, поступающего в двигатель; а — доля допол-
нительной энергии (по отношению к регенеративному теплу), кото-
рая необходима для плавления АПл и парообразования £Пар твердо-
го рабочего тела.
Коэффициенты и q?p взаимосвязаны уравнением
1
2/<Ср

. Кср-1 )
1--------
Тр /
где Дер — средний показатель адиабаты процесса расширения газа
в сопле. Величина Az по экспериментальным данным составляет
Az — (0,1 ... 0,25) А.эл, где Аял— энергия, подводимая к единице
массы рабочего тела, Аэл =—Мс в кг. Величины энергии, пог-
Л4С
лощаемой в процессах диссоциации и ионизации, являются функ-
цией температуры и давления. Для водорода (Д/д) max —
— 2- 108 Дж/КГ И (Л/ц)тах= 1,3- Ю9 Дж/кг; ДЛЯ ЛИТИЯ — (Д/д)тах —
— 0, а (Д/и)тах^ Ю8 Дж/кг.
В табл. 6.2 приведены энергетические характеристики ЭНД, по-
лученные в различных образцах двигателей, а также указан лите-
ратурный источник, из которого получены характеристики.
Электродуговые двигатели. В ЭДД, как и в ЭНД, тяга создает-
ся термодинамическими силами, а не силами электрического или
магнитного полей. Поэтому для них в принципе остаются справед-
ливыми соотношения, представленные выше для ЭНД. Однако име-
7	2804
177
Таблица 6.2
Рабочее тело	Л^, кВт	/у, м/с	’ll	5, кВт/кг	тк, к	Литера- турный источник
Водород	38	9000	0,383	113	2280	[64]
>	2...3	7100...8000	0,7...0,73	—	—	[64]
Аммиак	0,1	—	—	111	—	[64]
Водород	3	8100	0,86	46	2200	[47]
Аммиак	0,005	1350	0,27	24	—	[16]
>	0,14	2000	до 0,52	15,4	1000	[42]
Водород	3	8000	0,847	45,5	2500	[42]
Аммиак	1	3000...6000	—	200...22,2	—	[64]
Водород	3...15	9000	0,6	72,2	—	[64]
ется ряд факторов, которые не позволяют прямо использовать при-
веденные выше зависимости для определения энергетических ха-
рактеристик ЭДД. Нагрев газа дугой ведет к значительным нерав-
новесностям по сечению струи (температура в ядре дуги достигает
до 40000 К и выше, а среднемассовая температура рабочего тела
не превышает 5000--6000 К). Поэтому оперирование осредненными
параметрами газа не всегда приводит к удовлетворительным ре-
зультатам.
В ЭДД отмечаются потери энергии, обусловленные неравновес-
ностью процессов в дуге. Средняя температура атомов, ионов и
электронов, определяющая величину удельного импульса тяги, в
ЭДД, как правило, оказывается ниже той, которая должна была
бы быть при данной электрической мощности. Надежное определе-
ние коэффициента т)иер, характеризующего эти потери энергии, мо-
жет быть осуществлено только экспериментальным путем.
Большое значение в ЭДД имеют потери энергии, обусловлен-
ные теплоотдачей в корпус камеры, электроды и сопло двигателя.
В связи с тем, что достаточно точная и простая теория для расче-
та вольт-амперных характеристик электрической дуги отсутствует,
а также имеются большие трудности проведения корректного рас-
чета лучистого потока от столба дуги к стенкам из-за отсутствия
данных по составу, черноте излучающей среды и степени неравно-
весности газа, наиболее надежным способом является эксперимен-
тальное определение теплообменного коэффициента полезного дей-
ствия т|т.о, характеризующего эти виды потерь энергии [64].
п	Qt.0
Т,т-0- N* '
где QT.o — тепло, уходящее в стенки.
Величина т]т.о в конкретных образцах двигателей составляет
~ 0,15... 0,55. Потери, связанные с теплообменом, составляют в
среднем 30% [64].
178
При возможности осреднения параметров (например, в двига-
телях с выравнивающими полостями), величины т]с и характе-
ризующие потери в сопле и термический КПД двигателя, могут
быть получены расчетным путем с использованием приведенных вы-
ше зависимостей. Полный КПД электродугового двигателя будет
определяться по формуле
Пд^ПсП/ПперПт.о-
В настоящее время известно значительное количество реализо-
ванных электродуговых двигателей, что позволяет получить некото-
рые обобщенные статистические зависимости, пригодные для прак-
тического использования. Так, например, в результате обработки
экспериментальных данных, приведенных в работе [64], получены
следующие аналитические зависимости для расчета величин т]д
для электродуговых двигателей, работающих:
на водороде т)д=0,35	1200 ехр (— 9,91 • 10"3Jy*/g0),
где	=8000... 22000 м/с;
на гелии т]д=0,86 — 2,96-IO”4 Jy\/g0,
где 7^=4000... 12000 м/с, go=9,8O7 м/с2.
Энергетические характеристики некоторых реальных, ЭДД пред-
ставлены в табл. 6.3. 1
Таблица 6.3
Рабочее тело	ЛГД, КВТ	Jy, м/с	’’д	5, кВт/кг	Литературный источник
Аргон	45,6	1980	0,19	50,25	[61]
Гелий	80	6470	0,293	106	[64]
Водород	20,1	8360	0,39	103,5	[64]
>	30	10500	0,43	125	[16,64]
»	30	15000	0,35	208	[64]
	200	20000	0,35...0,4	275...240	[64]
Аммиак	200	10000	0,35...0,4	138...120	[64]
Водород	30	10000...11000	0,42...0,44	—	[64]
Аммиак	30	7500...15000	0,35...0,4	—	[16,64]
Водород	100	20000...25000	0,4...0,7	—	[64]
Литий	145	20000	0,63	152	[67]
Торцевые холловские двигатели. Для ТХД определяющими в
оценке энергетических характеристик являются эксперименталь-
ные данные. Точные количественные расчеты ТХД затруднены
из-за сложности механизмов ускорения плазмы, которые сущест-
венным образом зависят от режимов работы двигателей.
В зависимости от параметров разряда роль механизмов ускоре-
ния плазмы за счет внешнего и собственного магнитных полей, а
7*
179
также за счет действия газодинамических сил существенно изменя-
ется. Во многих случаях в ТХД реализуется комбинация различных
механизмов ускорения. На механизмы ускорения большое влияние
оказывают геометрия электродов, величина магнитного поля и со-
отношения между параметрами плазмы. Имеются удовлетвори-
тельные методы расчета лишь для некоторых частных случаев
[16, 49].
Ориентировочный диапазон целесообразного применения ТХД
по величине мощности составляет [16]
1 кВт <_	<. 100 кВт.
При величинах мощности меньших ~1 кВт, преобладают газо-
динамические механизмы ускорения, а при Ад^100 кВт преобла-
дающими становятся механизмы ускорения за счет собственного
магнитного поля.
Полная электромагнитная сила в ТХД может быть оценена с
помощью следующих зависимостей [16]:
в случае создания магнитного поля с помощью соленоида, име-
ющего независимое питание:
в случае последовательного включения катушек и собственно
двигателя
Лн=10-7/2ЗаДГ,
где I — сила тока; Вт — средняя величина магнитного поля; 0 —
средний параметр Холла; а — геометрический фактор; N' — погон-
ное число витков соленоида._По экспериментальным данным поря-
док произведения величины 0а составляет (1 ... 5) • 10-6 Н/(А • Гс).
Для ТХД на щелочных металлах (Li, Na, К) получена эмпири-
ческая зависимость для тяги
р=М [-2^Г__________________
с с[ М J 0,25
где Uz — продольная разность потенциалов; М — масса иона; Мс —
расход рабочего вещества; / — ток; е — заряд электрона.
В отличие от ТХД на щелочных металлах особенностью двига-
телей, работающих на газах (аммиак, аргон, ксенон), является то,
что в них особенно легко возникает вращательная неустойчивость,
обусловленная распространением в плазме особого типа азимуталь-
ных волн.
Для ТХД, работающих в режиме с вращательной неустойчиво-
стью, в работе [16] приведены соотношения, определяющие опти-
мальную величину расхода, соответствующую максимуму тяги
М ——
с.опт „2 ’
* г
180
Таблица 6.4
где #=/([/—t/эл); /, U — ток и
напряжение; иэл. — приэлектрод-
ный потенциал; Vc — критичес-
кая скорость Альвена, вблизи ко-
торой стабилизируется скорость
вращения плазмы. Сила тяги
определится из уравнения
P=^‘2M<N-McVl
Значения Vc и иэл для различ-
ных рабочих тел приведены в
табл. 6.4.
Рабочее тело	Критическая скорость Ис, с м/с	Приэлектрод- ный потенциал
Н2	5,5-104	45
NH3	2,6-104	36
N2	1,6-104	30
Ar	0,87-104	15
Тяговый КПД ТХД в режиме максимальной тяги
Мс.опт^с
2N
^0,5.
Пд
Энергетические характеристики некоторых образцов ТХД пред-
ставлены в табл. 6.5.
По результатам обработки статистических данных, приведен-
ных в работах [16, 64], получены следующие приближенные анали-
тические зависимости для расчета КПД ТХД, работающих:
на щелочных металлах (литий)
/эф
т]д=0,129 + 4,8-10-6^-, где 104.. .6-104 м/с;
So
/эф
на аммиаке т]д= —0,0263 Ц-9,6-10“5-^-,
So
где /**=5500...50000 м/с;
//^\9,96.10~4
на газах (аргон, ксенон, гелий) т]д=— 122,6-|-121,9l — I ,
\£о /
где = 5400.. .47900 м/с; g0 = 9,807 м/с2.
Импульсные плазменные двигатели. Первые испытания ИПД
были проведены в 1929—1931 гг. В. П. Глушко в газодинамической
лаборатории. К настоящему времени накоплен значительный теоре-
тический и экспериментальный материал по изучению рабочих про-
цессов в этих двигателях. В наиболее обобщенном виде этот мате-
риал представлен в работе [16], в которой приведены также обшир-
ные справочные библиографические данные.
В настоящее время для космических целей считаются наиболее
перспективными ИПД, работающие на твердом диэлектрике, или
так называемые эрозионные двигатели. Установлено, что развитие
процессов ускорения плазмы в эрозионных ИПД носит характер
последовательных стадий, а плазменное течение состоит из ряда
зон. Поэтому теоретические модели ИПД для детальных анализов
разрабатываются применительно к отдельным стадиям или даже
зонам плазменного течения. При необходимости они могут исполь-
зоваться и при оптимизации характеристик ИПД [8, 55].
181
Таблица 6.5
Рабочее тело	кВт	Jy. м/с	’’д	5, кВт/кг	Литератур- ный источ- ник
Щелочные	10...100	15000...50000	0,4...0,6	—	[16]
металлы					
(Li, Na, К)					
Литий	26,5	20000	0,23	418	[16]
>	21,6	31000	0,29	507	[16]
»	25,9	46000	0,32	692	[16]
>	20,7	59000	0,25	1135	[16]
>	24,5	60000	0,45	641	[16]
Калий	5—15	10000...16000	0,2...0,27	—	[16]
Аммиак	40	10000	0,55	874	[16]
Аргон Ксенон	0,193	5400	0,06	460	[16]
Аргон	0,395	12700	0,17	г 360	[16]
Ксенон					
Аргон	0,625	18800	0,21	440	[16]
Ксенон					
Аргон	85	16400	0,19	414	[64]
Гелий	85	47900	0,335	687	[64]
Водород	104	52700	0,295	860	[64]
Аммиак	82	49000	0,48	491	[64]
Литий	25...40	40000...50000	0,5...0,6	—	[42]
>	единицы	20000	0,35	—	[42]
Однако для целей проведения интегральных оценок парамет-
ров ИПД целесообразно использовать более простые методы, к ко-
торым в первую очередь относится метод электродинамического
приближения. В основе этого приближения лежит допущение о
том, что плазменное образование двигателя можно представить в
виде сгустка постоянной массы т, который в виде токовой пере-
мычки ускоряется под действием силы Ампера.
Представим основные соотношения для оценки интегральных
характеристик ИПД, полученные на основе электродинамического
приближения (16].
Скорость вылета сгустка
сиЪь'г
где 2.2 — электродинамический параметр; Х2 =------> R— сум-
марнос омическое сопротивление эквивалентного электрического
182
контура; -/?=/?Пл+Яо=const; /?Пл — омическое сопротивление плаз-
мы; /?о — суммарное сопротивление электродов, токоподводов и
т. д.; L' — погонная индуктивность ускорителя; С — емкость кон-
денсаторной батареи; t/0 — начальное напряжение (напряжение за-
рядки конденсатора); т — масса сгустка.
В случае ИПД с коаксиальными электродами погонная индук-
тивность определяется по формуле
Lr =— In — = 2In— в нГн/см,
2л г\	г\
где р, — магнитная проницаемость; гх и г2 — радиусы коаксиаль-
ных цилиндров. Погонная индуктивность ускорителя с коаксиаль-
ными электродами составляет обычно L'— 1 ... 3 нГн/см.
В случае рельсотрона с плоскими электродами =	, а с
^2
цилиндрическими £/—-^1п ~	где — расстояние между
плоскими рельсами, d2— ширина рельсов; г — радиус цилиндриче-
ских рельсов; d— расстояние между осями рельсов.
КПД двигателя с учетом омических потерь
1	2
_ 2 mVa _/1-+Х2- 1
Между КПД и скоростью сгустка имеется следующая аналити-
ческая связь
В работе [16] приведена также аналитическая зависимость, свя-
зывающая КПД с безразмерными электродинамическими парамет-
рами Xi и Хг:
L'CUl
где >4 = -	—; Lq — начальная индуктивность ИПД, определя-
£ТП Lq
емая конденсаторами и токоподводами. Порядок величины Lo=
= 5...10нГн.
Если Х2~>оо, то последняя зависимость принимает простой асим-
птотический вид
Т1Я= 1---/ 1 ~ •
1д /2Хх+1
183
Энергия, запасаемая в накопителе, являющаяся исходным пара-
метром для его расчета, будет определяться по формуле UZK=
CUl
=— . Секундный расход массы рабочего тела определяется по
величине тяги и скорости сгустка Mz = — . По заданному значению
тяги определяется электрическая мощность Na = — , частота
2т)д
2ДГд	Л4С
торения импульсов v=—-3- = —- и масса сгустка т =— .
пов-
Представленные выше соотношения позволяют по принятым
величинам Р и /уф определить основные энергетические харак-
теристики двигателя. Параметры электрического эквивалентного
контура должны удовлетворять соотношениям

где /0 — характерная длина ускорения. Начальное напряжение в
реализованных двигателях составляет величины порядка 1—2 кВ.
Для повышения КПД двигателя напряжение и емкость должны
быть больше, а индуктивность меньше.
Действительный характер процессов в ИПД очень сложен, по-
этому характеристики реальных двигателей будут отличаться от
полученных в рамках электродинамического приближения. Пара-
метры некоторых образцов ИПД представлены в табл. 6.6.
По статистическим данным, представленным в работе [64], по-
лучена следующая эмпирическая зависимость для расчета т]д
эмипд
узф
Пл=0,1594-6,01 -10-5 —,
где 7^=1,2-10“... 105 м/с> go==98o7 м/с2
При расчете ИПД, в отличие от других ЭРД, появляется до-
полнительный параметр — энергия накопителя IFK, от величины ко-
торой зависят характеристики двигателя. Эту величину, наряду с
величиной удельного импульса тяги ИПД, целесообразно принять
в качестве оптимизируемой. Таким образом, минимальное количе-
ство оптимизируемых параметров для ИПД должно быть не мень-
ше 2. Связь величин /уф и WK с другими параметрами ИПД (в ос-
новном с величиной мощности Мд) можно проследить по представ-
ленным выше зависимостям.
При использовании статистических экспериментальных данных
для ИПД иногда целесообразно представлять их в виде зависимо-
стей, связывающих КПД двигателя с характеристиками одиночно-
го разрядного импульса. Такая графическая зависимость для двух-
каскадного торцевого импульсного плазменного двигателя, работа-
184
Таблица 6.6
Рабочее тело	лгд, Вт	/у, м/с	’’д	Е, кВт/кг	Литера- турный источник
Фторопласт	1,41	3100	0,018	840	[16]
»	1,41	1900	0,012	810	[16]
»	19,6	10280	0,102	490	[16]
	157	10280	0,102	490	[16]
»	257	12450	0,174	350	[16]
	.190	33300	0,302	540	[16]
Перфорированный углеводород	1,2	10000	0,036	1350	[16]
Перфорированный углеводород	1,2	10000	0,054	900	[16]
Цинковая прово- лока	4,8	5000	0,019	1280	[16]
То же	76,8	5000	0,019	1280	[16]
Фторопласт	81	3000	0,065	220	[16]
Полиуретан	81	2000	0,053	180	[16]
Кадмий + цинк	25000	20000...80000	0,35...0,5	—	[33]
Аргон, азот, гелий	54000	56000	0,45	—	[33]
Пестообразный диэлектрик	50	10000...40000	—	—	[33]
ющего на кадмии, приведена в работе (17]. Экспериментальные дан-
ные устанавливают связь КПД двигателя с параметром И7уд,
где WK и т — затраты энергии и расход рабочего тела за один им-
пульс. Эта зависимость может быть аппроксимирована следующим
аналитическим соотношением:
т]д=0,0414-0,00106И7уд,
где 1Гуд в Дж/кг (ЛГуд^бО ... 250 Дж/кг).
Общая последовательность расчета энергетических характерис-
тик ИПД в случае использования последней зависимости будет
следующей. Отметим, что в этом случае расчет должен вестись ме-
тодом последовательных приближений. Задаемся начальным зна-
чением КПД двигателя. По величинам тяги, удельного импульса
тяги (оптимизируемый параметр) и КПД находим мощность дви-
р
гателя и секундный расход NA'=——,	. Повели-
2т1д	/у*
185
чине Na и оптимизируемому параметру Wn определяем число им-
п	с	цгг
пульсов в секунду и массу сгустка v=	’ где в
Дж. По величине и т находим величину параметра 1ГУД и уточ-
няем величину КПД двигателя по представленной выше аналити-
ческой зависимости. С уточненной величиной т]д повторяем вновь
расчет, и так поступаем до тех пор, пока расхождения между ве-
личинами т|д в двух очередных приближениях не достигнут задан-
ной точности.
Величины Nn и WK являются входными параметрами для расче-
та мощности и массы энергоустановки и массы накопительной сис-
темы в весовой части задачи оптимизации параметров.
Сильноточные плазменные двигатели. Среди возможных схем
сильноточных плазменных двигателей наиболее рациональными яв-
ляются так называемые торцевые двигатели. Внутренний электрод
этих СТД (катод) смещен вглубь разрядной камеры, длина разряд-
ной камеры невелика — порядка диаметра анода, а анод иногда
выполняют в форме сопла.
Расчет плазменного течения в канале СТД представляет собой
сложную проблему, рассмотрению различных аспектов которой
посвящены, например, работы (6, 16]. Механизм ускорения ионов
в двигателе носит сложный характер, отмечается комбинированное
воздействие различных механизмов ускорения, преобладающее
значение каждой из которых различно в различных зонах плазмен-
ного течения. Разработаны методы численного интегрирования не-
линейных дифференциальных уравнений для двумерных нестацио-
нарных течений плазмы [4, 5].
Для инженерных расчетов наибольший интерес представляют
методы оценок интегральных характеристик СТД, полученные на
основе различных упрощающих предположений и с учетом экспери-
ментальных данных. Сила Ампера в СТД с достаточной точностью
может быть определена по формуле
м^_/0 75_|_1п2Х\ f
4л \	Гк /
где цо — магнитная проницаемость среды; га — радиус анода; гк —
радиус катода (токового шнура); / — сила тока.
Эта сила Р довольно хорошо совпадает с измеряемой силой
тяги.
Радиус катода СТД выбирается таким, чтобы обеспечить необ-
ходимую плотность эмиссионного тока, которая может составлять
порядка нескольких сотен ампер на см2 (100—200 А/см2 для воль-
фрамовых катодов и литиевой плазмы (16]). Отношение радиусов
га/гк составляет величину «3—5.
При заданных величинах тяги СТД и удельного импульса рас-
чет обобщенных характеристик двигателя (скорости истечения, рас-
186
хода рабочего тела, мощности и КПД) может быть проведен с ис-
пользованием следующих соотношений:
Р

NK=IU- Пд=
Р2
2МсЛГд
Недостающим уравнением в приведенных выше соотношениях
является уравнение связи тока и напряжения двигателя (вольт-ам-
перной характеристики) I=f(U). Эта характеристика зависит от
величины потерь энергии в приэлектродных слоях и центральной
части плазменного течения. Наиболее достоверные данные по ве-
личинам этих потерь определяются в результате эксперименталь-
ных исследований.
Вольт-амперная характеристика СТД для определения напряже-
ния на электродах двигателя может быть записана в виде уравне-
ния сохранения энергии [16]
/f/=^- + ^l+^(a£// + i70) + /t/M,	(6.3)
где Ут — тепловая скорость плазмы; а и Ui — степень и потенциал
ионизации плазмы; UQ — затраты на диссоциацию, возбуждение и
излучение в расчете на одну частицу; 1/эл — сумма приэлектродных
падений потенциала £/Эл = ^к+^а; UK и Г7а — катодное и анодное
падения потенциала; е, М — заряд электрона и масса иона. Сумму
приэлектродных падений потенциала для оценки можно принять
равной удвоенному потенциалу ионизации рабочего тела U9Jl — 2Ui
[16].
Порядок характерных величин в (6.3) для литиевой плазмы сос-
тавляет Ут=1,7-106 см/с; £/Эл = 11 В; а=1; С70=2,5 В [16].
Соотношение между кинетической энергией ускоренного иона
W=------- и приложенной разностью потенциалов в ЭРД оценива-
ется с помощью параметра обмена £=—— [42]. Если СТД рабо-
вС/Цд
тает в условиях, когда параметр обмена близок к единице g=l, то
уравнение (6.3) можно записать в виде условия баланса потенци-
ала [16]
Lr_MVl му2
2е 2е
j-at/z + £70+t79JI.
Расход рабочего тела в этом случае равен разрядному току в
соответствующих единицах
мс=—I,
е
где М — расход в г/с, I — ток в А.
Из этого уравнения может быть определена величина потреб-
ного тока в СТД.
187
В работе [33] получено следующее выражение для определения
КПД СТД:
1
Т,д (Л+/Л2-НВ)2 ’
где
/2Кргэ4Лд	1	₽	16л П Гк /ср
ДС7а + Д1/к— приэлектродные падения потенциала; Др — параметр,
определяющий связь величины тяги и силы тока в СТД Р = 2Др/2;
фиг — коэффициент, определяющий отличие истинной скорости Va
Уэф
от эффективной 1/эф, ?Wr =---; ?н —коэффициент, учитываю-
У а
щий потери, связанные с неравномерным распределением скорости
по сечению и непараллельностью потока; — мощность двигате-
ля; /а.з — энтальпия газа на срезе сопла двигателя.
Характерные для СТД значения величин, определяющих КПД
двигателя, составляют согласно работе [33] Др = 2-10”7 Н/А; /а.3=
= 2-108 Дж/кг (для лития); фу= 1,01 ... 1,02; фн= 1,08 ... 1,12;
At/K-!-At/a = 20 В.
Характерным для СТД, как и для других торцевых двигателей,
является наличие предельной величины тока, при превышении ко-
торой в двигателе возникают аномальные скачки Ua. На вольт-ам-
перной характеристике в этом случае отмечается резкий излом и
крутой рост разрядного напряжения («кризис по току»). Это при-
водит к существенному снижению КПД двигателя. Оценка пре-
дельной величины тока (/Пр) может быть проведена согласно сле-
дующему выражению [16]:
7	/9	II2 V
------= СМ^ ~	-J? ;
+0,751	с
.2
a
где £— параметр обмена; С и — константы,
С=—	^4	1 6-1О18ао; Сх=еС\
2	\ 32 /	01
5 лГдО0Х 2 5
L — эффективная длина ускорителя; ь=—--------—*е • Величи-
ну L можно принимать равной Lo=ra\ К — константа Больцмана;
По — проводимость; Те — электронная температура.
Обобщенные энергетические характеристики некоторых экспе-
риментальных образцов СТД представлены в табл. 6.7.
Двигатели с анодным слоем. В ДАС реализован в наиболее чис-
том виде бездиссипативный механизм ускорения ионов самосогла-
сованным электрическим полем, обусловленным взаимодействием
замкнутого азимутального холловского тока с внешним магнитным
полем. Особенности процессов ускорения ионов в ДАС в настоя-
188
Таблица 6.7
Рабочее тело	JV_, кВт д’	/у, м/с		Литературный источник
Жидкий висмут	175...800	20000	0,3	[16,42]
Водород, аммиак	127	60000	0,34	[16]
Литий	—	50000	0,5...0,6	[16]
щее время хорошо изучены как в теоретическом, так и в экспери-
ментальном отношениях (16, 25].
Наиболее характерной особенностью двигателей этих типов яв-
ляется возможность независимого регулирования основных выход-
ных характеристик ДАС — расхода и удельного импульса тяги при
практической их независимости от величины КПД двигателя. Эти
особенности двигателя проявляются при определенном выборе па-
раметров ДАС и соответствуют так называемому нормальному ус-
корительному режиму. Вольт-амперная характеристика ДАС на
этом режиме характеризуется независимостью тока ускорителя от
напряжения /y = const. В этом режиме величина Jy практически сов-
падает с расходом рабочего тела в соответствующих единицах из-
мерения
/„=—мс,
у м с
где е — заряд электрона; М — масса иона.
Скорость ионов или величина удельного импульса тяги ДАС за-
висит в основном от величины ускоряющего напряжения. Эти вы-
воды хорошо подтверждаются экспериментальными данными [16].
Величина тяги двигателя с анодным слоем может быть опреде-
лена по формуле
P=l-MVaS,
е
где ji — плотность ионного тока; S — площадь поперечного сечения
кольцевого зазора ускорителя £=2л Г2 (r2 — rj; г2 и и —
наружный и внутренний радиусы зазора; Va — скорость ионов на
выходе из двигателя.
КПД двигателей с анодным слоем зависит от ряда факторов.
В работе [16] отмечены пять таких факторов, которые приняты в
качестве независимых. Поэтому

189
где — коэффициент, учитывающий азимутальную закрутку ионов
VVlz — скорости ионов в азимутальном и продольном направле-
ниях; т]2 — коэффициент, учитывающий обратный электронный ток,
1
Л2=-----------;
1+Jez/Jlz
jez, jiz — плотности электронного и ионного токов в продольном нап-
равлении; т]3 — коэффициент, учитывающий несовершенства уско-
ряющих и фокусирующих свойств ускоряющего слоя,
Vir — радиальная компонента скорости ионов; т]4 — коэффициент,
учитывающий затраты энергии на новообразование,
1
п4=------;
1+Ч/^к
(6.4)
MV?
U^K=—------кинетическая энергия ускоренного иона; — энергети-
ческая цена его образования (бг^ЗО... 100 эВ/ион); т]5 — коэффици-
ент, учитывающий снижение эффективности ускорения из-за разли-
чия точек старта ионов вдоль слоя, обусловленного тем, что ионы
образуются в различных областях внутри ускоряющего слоя. Это
приводит к разбросу скоростей ионов на выходе двигателя.
В двигателях с анодным слоем происходит как ускорение ионов,
так и (в большинстве схем ДАС) их генерация. Установлено, что
практическое совмещение в одной разрядной ступени функций гене-
рации и ускорения ионов приводит к значительному снижению КПД
двигателя из-за разброса ускоряемой плазмы по скоростям, увеличе-
ния угловой расходимости пучка, а также из-за больших потерь
энергии на аноде. Поэтому наиболее рациональными являются двух-
ступенчатые двигатели с анодным слоем аксиальной геометрии.
Принцип работы каждой ступени ДАС одинаков, они отличаются
только величиной приложенного напряжения. Первая ступень ДАС
(низковольтная) служит для генерации ионов, вторая (высоковольт-
ная) — для ускорения. Опыт показывает, что к первой ступени ДАС
должно быть приложено разрядное напряжение t/p примерно на по*-
рядок большее потенциала ионизации рабочего тела. Эксперимен-
тально установлено, что разрядное напряжение на первой ступени
ДАС должно быть «150... 300 В при работе на висмуте, 300 ...
... 400 В — для ксенона, 200 ... 300 В — для кадмия, 50 ... 200 В —
для цезия [16].
Ускоряющее напряжение второй ступени ДАС должно быть не
меньше некоторой величины t/y*, определяющей границу перехода
работы ДАС в нормальный ускорительный режим. Границы ускори-
190
тельного режима зависят от многих факторов (геометрии системы,
конфигурации и величины магнитного поля, разрядного напряжения
в первой ступени). При величинах ускоряющих напряжений, мень-
ших t/y*, ДАС переходит в аномальный режим работы, при котором
существенно ухудшаются его характеристики. По эксперименталь-
ным данным минимальная граница перехода в аномальный режим
для висмута лежит вблизи t/y* — 1 кВ [16]. В зависимости от различ-
ных факторов величины t/y* могут изменяться в пределах 2 ... 3 кВ.
Для двухступенчатых двигателей с анодным слоем, работающих
на висмуте или ксеноне в нормальном ускорительном режиме, полу-
чена на основе обработки экспериментальных данных следующая
аналитическая зависимость для расчета скорости истечения ионов
[16]	_
I/a = 2,7.106 VUy,
где Va измеряется в см/с; Uy — ускоряющее напряжение второй сту-
пени в кВ. С использованием этой зависимости может быть опреде-
лен КПД ускорителя по формуле
MV2a
Из сопоставления этих выражений видно, что величина т]д не зави-
сит от ускоряющего напряжения Uy.
КПД двигателей с анодным слоем остается практически посто-
янным при работе ДАС в нормальном ускорительном режиме и дос-
тигает довольно высоких значений т]д —0,7 ... 0,8. Например, экспе-
риментально осуществлялось регулирование величины удельного
импульса тяги при практически неизменном КПД для двигателя,
работающего на висмуте, в диапазоне Jy— 4000 ... 10000 с, причем
верхняя цифра ограничивалась только параметрами использован-
ного источника электропитания [16].
ДАС открывает широкие возможности для управления вектором
тяги, в особенности при использовании поликанальной схемы уско-
рителя. В отличие от простой связки двигателей каналы полика-
нальных ускорителей располагаются в единой магнитной системе.
Управление вектором тяги в таких двигателях возможно путем
простого изменения расхода рабочего тела через отдельные каналы.
Линейные холловские (стационарные плазменные) двигатели.
Наличие в ЛХД диэлектрической ускорительной камеры, длина ко-
торой намного больше, чем в двигателе с анодным слоем, позволя-
ет использовать одноступенчатую схему двигателя. В ЛХД вблизи
анода возникает прианодный ионизированный слой, в котором про-
исходит ионизация рабочего тела. В остальной части разрядной ка-
меры происходит ускорение образовавшихся ионов продольным
электрическим полем. Известны также и двухступенчатые линей-
ные холловские двигатели.
Изучению эффективной организации рабочих процессов в ЛХД
посвящено значительное количество работ [16, 23, 24, 28, 31, 39, 40,
191
41]. Характерным для ЛХД является наличие интенсивных колеба-
ний различных токов, которые обуславливают сложный характер
взаимосвязей между электрическими и магнитными полями. Поэто-
му точный количественный расчет характеристик ЛХД провести
трудно без привлечения дополнительных экспериментальных дан-
ных.
В силу электростатического характера ускорения ионов их ско-
рость в основном зависит от приложенной разности потенциалов
(<Ро)	____
а у м
Расчетная тяга ЛХД (в ньютонах) может быть определена по
формуле [64]
Р=1/ 2 —Z, /Z7;,
Vе
м
где 1г — полный ионный ток 11 =—-е (при условии, что происходит
м
полная ионизация плазмы).
Для цезия
P=l,65-10-3Zz/t^.
Основное влияние на величину КПД двигателя оказывают про-
цессы, вызывающие в ЛХД обратный электронный ток и азимуталь-
ную закрутку ионов, а также затраты энергии на ионообразование.
Таким образом, в принятых ранее обозначениях
при этом решающий вклад в снижение КПД двигателя вносит об-
ратный ток электронов, особенно при величинах удельного импуль-
са больше «3000 с.
Согласно экспериментальным данным, доля обратного тока в
ЛХД достигает «0,2 ... 0,5 {16]. Столь значительная величина об-
ратного электронного тока обуславливает необходимость примене-
ния в ЛХД внешнего термокатода, эмиттирующего в разряд элект-
роны. В отличие от ДАС ЛХД обладают растущей вольт-амперной
характеристикой, на которой могут отмечаться несколько характер-
ных участков.
Для оценки КПД линейных холловских двигателей в работе [16]
приведены следующие зависимости:
F2Q2 (1 + Г2) + 1 - р'2 - 2 [q2( 1 + |2) _ P2J0.5
12	(1 + P2){[Q2(1 +р2)-?2]°’5 + ₽2}
где Q = RCi/L; р — некоторое среднее эффективное значение пара-
метра Холла, которое в условиях аномальной проводимости опре-
деляется эмпирически; /?с < — ионный циклотронный радиус; L —
протяженность зоны ускорения. Оптимальные значения величины q
192
находятся в диапазоне р~3 . . . 4, а величины 0 можно принимать
равными р«6 ... 10.
Отношение электронного и ионного токов, необходимое для рас-
чета коэффициента т]2, можно определить согласно зависимости
кг [е2(1 + ft)-H0,5-i
jlz	1 + ₽2
Например, при q = 4 и 0=10 получаем jez/jiz = 0,38- Затраты энергии
на ионообразование могут быть учтены по зависимости (6.4), либо
с помощью близкого по физическому содержанию выражения
£7Р-£7*
4	^р+^к.к
где С7*—'вольтов эквивалент энергетической цены иона; t/K.K —
введенный для общности эффективный потенциал катода-компенса-
тора; t/p—разрядное напряжение,. Порядок величин U* и [7К.К
составляет: [/*^30 В (для цезия), t/K.K—20 В, t/p до 600 В (ксенон,
аргон), f/p до 4 кВ (водород).
Перечисленные факторы снижения КПД двигателей являются
основными, но имеются и другие процессы в ЛХД, приводящие к
увеличению потерь энергии (попадание части ионов на диэлектри-
ческие стенки, разброс скоростей ионов из-за различия точек стар-
та и колебаний в системе и др.). Поэтому более достоверные дан-
ные о эффективности ускорения определяются экспериментальным
путем. Энергетические характеристики некоторых образцов ЛХД
представлены в табл. 6.8.
Таблица 6.8
Рабочее тело	АГд, кВт	/у, м/с	Чд	5, кВт/кг	Литературный источник
Цезий	1,3	15000	0,4	—	[16]
Аргон	5	35000	0,42	400	[16]
Аргон, ксенон	2,5	25000...30000	0,38...0,52	290...300	[16]
Ксенон	0,4	10000	0,24	200	[42]
По экспериментальным данным, приведенным в работе [64], по-
лучена следующая аналитическая зависимость КПД линейного
холловского двигателя, работающего на цезии, от величины удель-
ного импульса тяги
(уэф \ 0,1053	/	уэф \
In —)	-7,5 ехр (—5-10-3—-6,03,
So /	\	So /
где 6000... 1500 м/с, go=9,8O7 м/с2.
193
Ионные двигатели с поверхностной ионизацией. НДПИ к насто-
ящему времени получили большое развитие как в теоретическом,
так и в экспериментальном плане [16, 33, 64, 67]. Рабочий процесс
в ионном двигателе включает этапы ионизации рабочего тела, ус-
корения ионов под действием постоянного электрического поля и
последующей нейтрализации пучка заряженных частиц.
Основные соотношения, связывающие выходные характеристи-
ки в ионных двигателях, имеют вид
Р=Муа=^=У2М^Гр=1/ 2NpI — = Np l/"	=
Va	У	e у U e
где Afp — реактивная мощность струи; Р — тяга двигателя; /, U —
ток и напряжение в двигателе; I=Mce[M\ Уа — скорость истечения
ионов из двигателя; М, е — масса иона и заряд иона; Л4С— массо-
вый расход рабочего тела.
Рабочее тело в ионном двигателе определяет отношение- вели-
чин Л4/е, от которого в свою очередь зависят величины тока и нап-
ряжения в двигателе. Из приведенных выше соотношений видно,
что при заданных величинах тяги, массового расхода рабочего тела
и мощности ток обратно пропорционален, а напряжение — прямо
пропорционально величине Mje. При этом более выгодным являет-
ся выбор рабочего тела с большим отношением М/е.
Величина тяги ионного двигателя лимитируется возможной
плотностью ионного тока j = I/Fгде F— площадь сечения ионной
струи.
Плотность тяги ионного двигателя связана с плотностью ионно-
го тока соотношением
^=4==1’0410-8Л>1/а.
Г
Pp=j}/ 2U—=j'—Va,
V е е
где А — атомная масса рабочего тела.
Такое ограничение плотности тяги ионного двигателя обуслов-
лено воздействием пространственного заряда ионов на их совмест-
ное движение, в результате чего пространственный заряд противо-
действует ускоряющему электрическому полю. В итоге величина
плотности тока в ионных двигателях не может быть больше вели-
чины, определяемой законом Чайльда—Ленгмюра—Шоттки:
•	— 4 / 2g \1/2 е0173/2
/шзх— 9 м J L2 >
где во — электрическая постоянная, равная 8,85-10-12 К2/(Н-м2);
L — расстояние между электродами.
194
Максимальная плотность тяги при работе двигателя с макси-
мальной плотностью тока будет
Как видно, величина максимальной плотности тяги ионного дви-
гателя не зависит от рабочего тела (отношения Л4/е), а определя-
ется только напряженностью электрического поля E=U]L. В свою
очередь максимальная величина напряженности электрического по-
ля ограничена электрической прочностью по отношению к самопро-
извольному электрическому пробою, который может произойти да-
же в вакууме в ускоряющей камере. С точки зрения безопасности
работы напряженность электрического поля между электродами не
должна превышать « (1 ... 5) • 104 В/см [64]. В некоторых работах
приводятся величины £max—106... 107 В/см. Исходя из этой огра-
ничивающей величины Е целесообразно выбирать минимальное
расстояние L между электродами. Величина разности потенциалов
в ионных двигателях на основании имеющихся опытных данных не
превышает «50000... 100000 В [33, 67]. Величина плотности тяги
в ионных двигателях составляет порядок « 10 ...20 кг/м2.
При выборе величины разности потенциалов между электрода-
ми возникает, как правило, противоречивая ситуация. Исходя из за-
данной скорости истечения ионов необходимо выбрать одну вели-
чину разности потенциалов U=MVa2/2e, а требования достижения
малых размеров и массы двигателя связаны с выбором другого
значения U из условий обеспечения максимальной плотности тока.
Для удовлетворения этих (большей частью не совпадающих)
требований в ионных двигателях применяют ускрряюще-замедляю-
щую систему, состоящую из трех электродов: анода, который в
ИДПИ одновременно является ионизатором (эмиттером), ускоряю-
щего электрода—катода и замедляющего электрода. Замедляющий
электрод обычно заземляют на корпус КА и его потенциал близок
к потенциалу космического пространства (условно его можно при-
нять за нуль). Разность потенциалов между анодом и катодом вы-
бирается исходя из условий обеспечения высокой плотности тока, а
разность потенциалов между анодом и замедляющим электро-
дом — из условий обеспечения требуемой скорости истечения ионов.
Плотность тяги трехэлектродного ионного двигателя может
быть определена по формуле
F 9 Р( е) I2 а’
где VK — скорость ионов в сечении катода; Va — скорость ионов в
сечении замедляющего электрода (на выходе двигателя); — рас-
стояние между анодом и катодом, 0 — отношение принятой для
двигателя плотности тока к максимально возможному ее значению
Р=/7/тах [64]. Величина р принимается меньше единицы из условий
обеспечения устойчивого течения ионов.
195
Скорость ионов на катоде можно выразить через разность по-
тенциалов между анодом и катодом
47а-47к

Разность потенциалов между анодом и замедляющим электро-
дом определяется по заданной скорости истечения ионов на выходе
двигателя
U — V =— —
а им е 2
Величины VK и PF можно выразить через напряженность прило-
женного электрического поля на участке анод—катод
4/2 (M\W £3/2
— е»(т)

Расстояния между замедляющим электродом и анодом (L), за-
медляющим электродом и катодом (S) могут быть определены по
формулам
Е
, й3/2/ fa у/2
l [Vk ) \?L) ’
где pL, ps — величины коэффициента р для участков разгона и за-
медления ионов соответственно.
Максимальное значение (Ua—t/K), как отмечалось ранее, огра-
ничивается величинами «50000 ... 100000 В.
Величина тока и реактивной мощности трехэлектродного ионно-
го двигателя будут определяться зависимостями
TVa
Плотность тока в современных ионных двигателях ограничива-
ется величинами «50 ... 30 мА/см2 [64].
Для ионных двигателей существует еще одно.ограничение на ве-
личину тяги, реализуемой в одном пучке. Это ограничение обус-
ловлено также пространственным зарядом, который вызывает из-
менение потенциала пучка в радиальном направлении, что в свою
очередь вызывает расходимость пучка, рассеяние ионов и попада-
ние их на электроды. Имеются различные способы уменьшения ра-
диального градиента потенциала пучка, однако наиболее рацио-
нальным является уменьшение сечения или уменьшение интенсив-
196
ности пучка ионов. Мерой интенсивности ионного пучка является
его первеанс P”=(tz	•
Интенсивными считаются пучки, первеанс которых больше
10“8... 10~7 А/В8/г [16]. Первеанс ионного пучка связан с так назы-
ваемым геометрическим параметром пучка =	j/"
2г
где для двигателя круглого сечения =	?1/2» г — радиус пучка.
Геометрический параметр электронных пучков, применяемых в
электронной технике, имеет порядок К~ 0,02 ... 1.
Таким образом, задавшись величиной первеанса или геометриче-
ского параметра можно определить потребное число пучков в ион-
ном двигателе Ипучк = Л'Л,
г	.	£
где j , d = 2r = K	.
В ионных двигателях основными являются потери, связанные с
ионизацией рабочего тела. По данным экспериментальных работ,
нейтрализация ионного пучка может определяться без существен-
ных затрат энергии [17, 49, 64].
В ИДПИ основным методом получения ионов служит ионизация
атомов щелочных металлов на нагретых поверхностях. Наиболее
рациональным рабочим телом для ИДПИ является цезий, который
и применяется в большинстве разрабатываемых образцов двигате-
лей. Наилучшими эмиттерами являются пористые ионизаторы, изго-
товленные из сфероидизированного вольфрамового порошка с раз-
мерами частиц в несколько микрон (»4—5 мкм).
Основным видом потерь в ИДПИ являются потери на излучение
с нагретой поверхности ионизатора. Эти потери могут быть оцене-
ны по формуле
где е — степень черноты; а — постоянная Стефана—Больцмана;
^ион — излучающая поверхность ионизатора, величину которой при-
ближенно можно принять равной удвоенной площади ионного пуч-
ка [64].
Установлено, что эффективность ионизации эмиттера сущест-
венно зависит от его температуры. Существует так называемая по-
роговая температура поверхностной ионизации То, выше которой
наблюдается скачкообразный рост коэффициента ионизации рабо-
чего тела от малых значений до значений, близких к единице. Ко-
эффициент ионизации В± = П11п, где пг-—секундный поток ионов,
испаряющихся с поверхности; п — секудный приток частиц к ио-
низирующей поверхности.
Величина пороговой температуры повышается по мере увеличе-
ния плотности потока атомов к ионизирующей поверхности. В слу-
197
чае поверхностной ионизации цезия на вольфраме эту температуру
можно определить по формуле [16]
Т _	1400
• °” 12,78-1g Л ’
где То — в К; /1 — плотность потока атомов к ионизирующей по-
верхности в А/м2 (ji= 1,6- 10“19л, n=j!qf где (/ — заряд частицы).
Ток I связан с расходом соотношением Afc = l,04-10~8 А/, где А —
атомная масса рабочего тела.
Для получения величины плотности тока 20 мА/см2, которая ха-
рактерна для ионных двигателей, температура нагрева вольфрама
должна составлять, примерно, 1350 К. Графическая зависимость
температуры поверхности вольфрама от плотности ионного тока
приведена в работе (67]. Такие зависимости получают эксперимен-
тальным путем для реальных ионизаторов.
Энергетический КПД ионного источника можно записать в виде
ЛГр
Т1ист = "г;-:---, где — мощность пучка.
Аг р + АГ изл
Величину т]ист можно получить достаточно ВЫСОКОЙ (т]Ист =
= 0,8 ... 0,9) даже при небольших скоростях истечения ионов (/у»
^3000 с), если величину ускоряющего напряжения принимать не
меньше » 10000 ... 20000 В.
Оценку затрат энергии на излучение в ИДПИ при ионизации
цезия на вольфраме можно провести также по зависимости, полу-
ченной в работе [17]
1g (=0,2+0,221g /,
\ Fион /
N
где —— — удельные потери энергии в Вт/см2; j — плотность ион-
'ион
ного тока в мА/см2.
Для Оценки энергетической эффективности ионного источника
применяют также показатель энергетической цены ускоренного
иона	где 7VHct — мощность, потребляемая ионным ис-
точником (Л^ист—Л^изл); Л — полный ионный ток, поступающий из
источника в ускоряющую камеру. В ионных источниках величина
Ci обычно составляет от нескольких сотен до тысяч электроно-
вольт на ион.
Энергетический КПД ионного источника может быть определен
по величине Ci
и
Лист
£/ + ^-л
U
U+Ci
1
V2
-----Н—’ (6-5)
,'-+2(+с'
где U — полезная разность потенциалов (между анодом и замедля-
ющим электродом).
198
Кроме энергетического КПД для ионных источников необходи-
мо учитывать эффективность ионизации, оцениваемую величиной
так называемого массового КПД:
где Mi — массовый расход ионов из источника; Ми — массовый рас-
ход рабочего тела, поступающего в источник ионов.
Массовый КПД в ИДПИ практически совпадает с коэффициен-
том поверхностной ионизации, определяемым по формуле Саха—
Ленгмюра, которая при наличии внешнего электрического поля
имеет вид [16]
= = +-^-ехр — <р-----------------VeE_—
\	КТ \	2/л^ /I
где gdgi — отношение статистических весов атомного и ионного
состояний ионизирующихся частиц (для атомов с одним валентным
электроном это отношение равно двум); — потенциал ионизации
атома (для цезия [7г=3,87 эВ); ср — работа 'выхода электрона
(для вольфрама <р = 4,5 эВ); К — постоянная Больцмана; Т — абсо-
лютная температура; е — элементарный электрический заряд; Е —
напряженность поля у поверхности. КПД использования массы в
ИДПИ достигают достаточно высоких значений, близких к едини-
це. В лабораторных условиях получены величины т|м~0,995 при
Гизл>1200 К.
КПД ионного двигателя с учетом введенных выше обозначений
будет определяться по формуле
Лд — ЛистЛм*
Так как расход ионов и расход рабочего тела не совпадают, то пот-
ребная скорость истечения ионов должна быть выше эффективной
скорости истечения, определяемой по величине удельного импульса
тяги Vi=—, где 1/а = 7уф.
Тяга двигателя будет определяться
Р = му, = муа =	(6,6)
М	Ы ДГР
Мощность двигателя N„ =------------.
Чд 2т)д
Таким образом, с учетом представленных выше соотношений
можно определить основные характеристики ИДПИ, при заданных
величинах тяги и удельного импульса тяги.
В табл. 6.9 представлены энергетические характеристики неко-
торых образцов двигателей с поверхностной ионизацией рабочего
тела.
Ионные двигатели с объемной ионизацией. Рабочие процессы в
ускорительной камере в ИДОИ практически не отличаются от ра-
бочих процессов в ИДПИ. Отличия, как уже отмечалось, заключа-
199
Таблица 6.9
Рабочее тело	УУд, кВт	Jy, м/с		кВт/кг	Литературный источник
Цезий	0,61	90000	0,51	861	[33,64]
	2,9	60000	0,70	421	[33]
	0,5	45000	0,3	727	[33]
>	0,3...5	50000...100000	0,5...0,9	—	[64]
>	0,026	67000	0,146	—	[42]
ются в источнике ионов. Поэтому основные соотношения, представ-
ленные выше для расчета параметров пучка ионов в ИДПИ, приме-
нимы и для ионных двигателей с объемной ионизацией.
В ИДОИ ионный пучок получается за счет ионизации рабочего
тела электронной бомбардировкой в ионизаторе. В большинстве из-
вестных источников для ИДОИ ионизация рабочего тела осуществ-
ляется за счет соударений электронов с нейтральными атомами.
При этом для повышения эффективности ионизации рабочий про-
цесс организуется таким образом, чтобы электроны в камере осу-
ществляли вращательное или колебательное движение по замкну-
тым траекториям или пролетали путь во много раз больший разме-
ров камеры. Это обеспечивается магнитным полем, закручивающим
траекторию электронов. В результате соударений электронов с ато-
мами внутри камеры иониздции образуется плазма, из которой
положительные ионы вытягиваются электростатическим полем.
В ИДОИ можно использовать более широкий класс рабочих
тел, поскольку величина потенциала ионизации не является прин-
ципиальным ограничением для применения рабочего тела в двигате-
ле, как это может быть для ИДПИ. В большинстве случаев в каче-
стве рабочего тела для ИДОИ принимают ртуть (атомная масса
200) как вещество с большим отношением массы иона к заряду
или цезий (атомная масса 139). Выбор ртути в качестве рабочего
тела обусловлен тем, что вероятность ионизации ртути электрон-
ным ударом превышает при одних и тех же уровнях энергии элект-
ронов вероятность ионизации таких газов, как гелий, неон, аргон.
В ИДОИ может применяться также ксенон, п.ри замене -им ртути
характеристики двигателя по предварительным данным почти не
изменяются [42].
Наиболее распространенным для ИДОИ является ионный источ-
ник на основе разряда с осциллирующими электронами, разрабо-
танный Г. Кауфманом [42]. В этом источнике электроны, эмитти-
руемые катодом, движутся в цилиндрической разрядной камере по
спиральным траекториям в продольном магнитном поле, отражаясь
от торцевых стенок камеры, имеющих потенциал, близкий к потен-
циалу анода. Анод имеет цилиндрическую форму. Ионный пучок
извлекается вдоль магнитного поля. Разрядное напряжение в таких
200
источниках составляет 10 ... 40 В, а длина разрядной камеры —
0,3 ... 0,5 от ее диаметра [16]. Средняя плотность ионного тока в ис-
точниках этого типа составляет не более 50 ... 100 А/м2.
При работе на цезии получены следующие характеристики ион-
ного источника [16]: средняя плотность тока ускоренных ионов —
50 А/м2, энергетическая цена ускоренного иона — 450 эВ/ион, энер-
гетический КПД — 0,9, коэффициент использования массы —
0,9 ... 0,95, диаметр — 200 мм.
Известны также и другие конструктивные схемы ионных источ-
ников, например, на основе разряда в металлической катодной ка-
мере с малой площадью анода, высокочастотные ионные источни-
ки и др.
Энергетическая цена ускоренного иона в источнике на основе
разряда в металлической катодной камере с малой площадью ано-
да оценивается величиной не более 300 .. . 600 эВ/ион, а высокочас-
тотного источника порядка 350 эВ/ион [16]. Энергетическая цена
ускоренного иона ртути ИДОИ, по данным экспериментальных ис-
следований, составляет 250 .. . 500 эВ [17, 42].
Энергетический КПД источника ионов ИДОИ определяется по
зависимости (6.5) с использованием экспериментальных данных по
величине энергетической цены ионов. Коэффициент использования
рабочего тела во всех ионных источниках с электронной бомбарди-
ровкой составляет цм = 0,8 . .. 0,90.
Таким образом, расчет характеристик ИДОИ может вестись по
представленным выше зависимостям за исключением величин
Цист и цм, которые должны определяться с учетом изложенных ре-
комендаций, полученных на основе экспериментальных данных.
Энергетические характеристики некоторых образцов ИДОИ пред-
ставлены в табл. 6.10.
Таблица 6.10
Рабочее тело	W, кВт	Jy, м/с	’’д	Е, кВт/кг	Литературный источник
Цезий	3	40000...70000	—	545...440	[33]
Ртуть	1,4	50000	0,5	483	[33,64]
»	0,4	50000	0,6	—	[64]
	0,3...5	50000...100000	0,5...0,8	—	[64]
»	1	42400	0,67	—	[16]
>	2,75	30000	0,73	200	[42]
Коллоидные двигатели (КД). Как отмечалось выше, выбор ра-
бочего тела для ионного двигателя определяет величины тока и
напряжение в двигателе. Тяга на единицу площади ионного двига-
теля пропорциональна квадрату отношения массы частицы к ее за-
ряду (М/е). Поэтому использование более тяжелых частиц приво-
дит к уменьшению размеров двигателя (при фиксированной величи-
201
не тяги), уменьшению радиационных потоков тепла с поверхности
ионизатора и упрощению конструкции двигателя. Однако при этом
неизбежно должно увеличиваться ускоряющее напряжение, что по-
вышает опасность возникновения электрических пробоев в двига-
теле. Поэтому в КД существует предельно допустимая величина
массы частицы, которая определяется из условия ограничения уско-
ряющего напряжения из-за электрического пробоя. На основании
опытных данных считается, что верхний предел разности потенциа-
лов в ионном двигателе не превысит 100000 В [67].
Принципиальное отличие коллоидного двигателя от других ти-
пов двигателей (ионных) заключается в источнике заряженных час-
тиц, в остальных же элементах все ионные двигатели не имеют су-
щественных отличий. Источник заряженных частиц в КД представ-
ляет собой совокупность капиллярных трубок, по которым жидкость
подается к камере ускорения. Эти капиллярные трубки находятся
под положительным потенциалом и являются практически анодом.
Кроме того, в коллоидном двигателе имеются катод и замедляющий
электрод, назначение которых аналогично назначению соответству-
ющих элементов в ИДПИ и ИДОИ.
Истекающие из капиллярных трубок (анода) струйки жидкости
распадаются на многомолекулярные заряженные капли, которые ус-
коряются в электростатическом поле. Оптимальный диаметр капил-
лярных каналов по экспериментальным данным составляет от 0,05
до 0,1 мм [16].
В качестве рабочих тел КД в экспериментальных исследовани-
ях применялись жидкие металлы и органические жидкости. Наибо-
лее эффективным рабочим телом считается 20%-й (по весу) раствор
йодистого калия в глицерине [16].
Энергетические характеристики коллоидных двигателей оценива-
ются в основном по результатам экспериментальных исследований
[18]. Эти двигатели отличаются достаточно высокими значениями
КПД, превосходящими в ряде случаев КПД других ионных двига-
телей.
В коллоидных двигателях возникают потери энергии в основном
в связи с возможным разбросом величин Af/e, что приводит к не-
равномерности скоростей на выходе двигателя. Эти потери могут
достигать от 10 до 30% £18]. Разброс величин М/е определяется
геометрией кончика иглы и степенью неизменности сечения иглы
по ее длине.
В качестве оптимизируемого параметра в КД может быть при-
нята величина е/М. Средние значения величины е/М можно регу-
лировать за счет различных факторов — разности потенциалов
между капиллярными трубками и вытягивающим электродом, изме-
нением температуры и электропроводности рабочего тела, введени-
ем различных присадок к рабочему телу, изменением расхода рабо-
чего тела и др. В экспериментальных образцах КД получены вели-
чины е/М, примерно, от 200 до 10000 к/кг. При ускоряющем напря-
жении 6 кВ это соответствует величинам удельного импульса тяги
примерно 140—100 с.
202
6.3. СОСТАВЛЯЮЩИЕ НАЧАЛЬНОЙ МАССЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Масса рабочего тела. Потребный запас рабочего тела на борту
КА с ЭРД определяется в зависимости от величины характеристи-
ческой скорости, стартовой массы КА и удельного импульса тяги
ЭРД с использованием результатов решения динамической части
задачи для заданного маневра в виде V х — f (^о>	^о)» а также
зависимостей
"o=/(Wy*,KJ,	(6.7)
(6.8)
Величину для ЭРД целесообразно принять в качестве опти-
мизируемого параметра (либо она должна быть рассчитана зара-
нее в зависимости от других оптимизируемых параметров, ее опре-
деляющих, например, для электронагревных двигателей). Величину
времени работы двигателей можно принять в качестве исходного
параметра (см. разд. 1.5 и 3.4), так как она характеризует условие
выполнения задачи (время работы двигателя равно времени поле-
та КА) и в большинстве случаев (см. разд. 3.5) величина характе-
ристической скорости практически не зависит от /д. Тогда из сов-
местного решения уравненийД6.6) и (6.7) определяются величины
и0 и Vx, а из уравнения (6.8) величина Л4тр.
Полный запас рабочего тела может определяться, по уравнению
Циолковского (1.1) с учетом остатков незабора и гарантийных ос-
татков, которые зависят от типов рабочего тела и его рабочего за-
паса на борту КА.
Затратами рабочего тела на непроизводительный выброс для
КА с ЭРД можно пренебречь за исключением расходов рабочего те-
ла на испарение из баков в случае, если применяется криогенное
рабочее тело.
Масса отсека рабочего тела для КА с ЭРД занимает меньшую
долю в общем балансе масс по сравнению с вариантами примене-
ния двигателей других типов. Это обусловлено тем, что удельный
импульс тяги ЭРД существенно выше, а следовательно, для КА с
ЭРД требуются меньшие массы рабочего тела и баков для его хра-
нения. Кроме того в ЭРД применяется ряд рабочих тел, обладаю-
щих высокой удельной массой, что является дополнительным фак-
тором для снижения массы отсека из-за уменьшения объема рабо-
чего тела.
Для подачи рабочего тела из бака не применяются центробеж-
ные насосы, требующие обеспечения для бескавитационной рабо-
ты определенных давлений На входе и соответствующих давлений
наддува бака; подача рабочих тел в ЭРД может обеспечиваться за
счет капиллярных сил, так что давление наддува бака с рабочим
телом ЭРД может быть минимальным, определяемым из условий
обеспечения устойчивости оболочек бака, например, на участке вы-
ведения КА носителем (в плотных слоях атмосферы).
203
Как и в случае ЯРД, при определении массы отсека рабочего те-
ла ЭРД возможны два подхода — составление детальной матема-
тической модели и расчет на основании обработки статистических
данных. Учитывая относительно небольшой вклад в общую массу
КА отсека рабочего тела ЭРД второй путь определения массовых
характеристик является предпочтительным, особенно на этапе по-
исковых исследований. В этом случае масса отсека представляется
также, как и для ЯРД, в виде зависимости от массы рабочего тела
[см. выражение (5.11)].
Масса двигателя. Для расчета массы ЭРД может использовать-
ся также общая зависимость, аналогичная представленным выше
для ЖРД или ЯРД, Мд=удР, где величина удельной массы двига-
теля уд, в свою очередь, может представляться в виде некоторой
зависимости от проектных .параметров двигателя, например, вели-
чин Р и /уф, т. е. уд = / (^, Л
Статистические данные по величинам уд для различных типов ЭРД
приведены в табл. 6.11 (там же указаны литературные источники,
из которых заимствованы данные).
Таблица 6.11
Тип дви- гателя	ЭНД	ИДДИ	эдд	ИДОИ	слд	ТХД	ЭМИПД
Уд, к г/Н	2,5 [16]	76,5...178 [17] 102...306 [64]	1,02 [17]	25,5... [51 [16] 52,8 [42] 33,1 [16] 33,1 [17]	76,5 [42]	516... 155 [16]	1,02 10,2 [17] 765 [42]
В работе [17] представлена графическая зависимость удельной
массы ионного двигателя с объемной ионизацией от величины ско-
рости истечения рабочего тела, в качестве которого принята ртуть.
В аналитическом виде эта зависимость может быть представлена
следующим образом:
уд=520 при J** <6200 м/с;
(о. У)
уд=938 — 0,0675Jy* при .//*>6200 м/с;
(где уд — в кг/кг тяги, < 10 000 в м/с).
Следует отметить, что несмотря на относительно высокие
удельные массы маршевых ЭРД (уд), их влиянием на массовые ха-
рактеристики КА в ряде случаев можно пренебречь и положить
уд = 0. Это объясняется тем, что в связи с высокими «ценами» тяги
суммарные величины тяги КА с ЭРД получаются небольшими, не
превышающими порядка десятков ньютонов. Поэтому суммарная
масса ЭРД может быть пренебрежимо малой по сравнению, нап-
ример, с массой энергоустановки.
204
Масса энергоустановки. В настоящее время в качестве энергети-
ческих установок (ЭУ) могут рассматриваться для применения на
КА установки с различными преобразователями тепловой энергии
в электрическую (паротурбинные, газотурбинные, с термоэлектри-
ческими, магнитогидродинамическими, магнитогазодинамически-
ми, термоэмиссионными, электрогазодинамическими и фотоэлектри-
ческими преобразователями, радиоизотопные а- и 0-генераторы,
установки с 'поршневой машиной, химические источники тока
и др.).
Каждый тип энергоустановок имеет свои особенности в рабочих
процессах, обладает определенными свойствами, характеризуется
отличиями в технических параметрах и требует применения различ-
ных ’математических моделей для адекватного отражения их про-
ектных показателей [33, 64, 67].
Входные параметры для расчета массы энергоустановки получа-
ются при определении энергетических характеристик КА с ЭРД.
К ним относятся требуемая мощность энергоустановки и ресурс ее
работы. По этим параметрам с учетом особенностей функциониро-
вания КА в условиях космического пространства определяются оп-
тимальные проектные параметры энергоустановки, обеспечивающие
минимум ее массы для принятого варианта установки.
Определение оптимальных параметров энергоустановки (напри-
мер, температуры холодильника-излучателя или КПД преобразо-
вателя) можно осуществлять также при совместной оптимизации
параметров КА, ЭРД и ЭУ, что особенно целесообразно в случае,
если на выходные показатели эффективности КА энергоустановка
оказывает влияние не только через массу, но и через другие пара-
метры (например, геометрические размеры). Если на критерий оп-
тимизации влияние энергоустановки осуществляется в основном че-
рез ее массу, то для расчетов можно использовать обобщенные по-
казатели — мощность, ресурс и массу ЭУ. В этом случае 'массу
энергоустановки принято представлять в виде Ma = yaNa, где уэ—
удельная масса энергоустановки, выражается в виде некоторой за-
висимости от электрической мощности ЭУ ya = f(Na). Удельная мас-
са уэ получается в результате обработки статистических данных по
имеющимся образцам энергоустановок или по результатам проект-
ных расчетов.
Масса накопителей электроэнергии для ЭРД определяется в ос-
новном уровнем запасаемой энергии и может быть представлена в
виде
где yR = f(Wn)—зависимость, определяемая по статистическим
данным; — энергия накопителя.
Аналогично определяется также масса вторичных преобразова-
телей электроэнергии, обеспечивающих согласование электрических
параметров энергоустановки и ЭРД. Определяющим параметром в
205
ю 8	Таблица 6.12														
	2И0, кг					2-Ю4		5-10*		10’		1,5-10»		2-10»	
	Лк, км	«2» град.	“опт’ град.	м/с	*п“*д, су г	J?. м/с	"... Т	7 эф У ’ м/с	">.• т	,эф У ’ м/с	т	,эф У ’ м/с	"п- Т	,эф У ’ м/с	"п- т
		0	0	2854	30	34080	9,4	34540	25,7	34810	53,5	34950	81,5	35040	по
					60	41090	12,8	41980	33,9	42530	69,3	42800	105	42980	141
					90	46920	14,1	48140	36,8	48930	75,1	49320	113	49570	152
	10000				30	32960	3,3	33350	11,0	33580	24,5	33700	38,5	33780	52,8
		25	56,3	5150	60	40290	9,0	41060	24,7	41520	51,4	41760	78,4	41910	105,6
					90	46340	11,1	47440	29,8	48110	61,3	48440	93	48660	124,9
														/	
					30	30710	—5,8	31030	—14,3	31240	— 19,3	31340	-26,7	31410	—33,8
		50	71,6	9036	60	38370	32,4	39030	10,7	39430	23,9	39640	37,4	39780	51,2
					90	44660	66,0	45620	18,8	46200	39,7	46500	61,0	46700	82,4
					30	33600	6,6	34030	18,8	34270	40,0	34400	61,5	1 34480	83,2
		0	0	3901	60	40780	11,0	41610	29,6	42110	61,0	42360	92,6	42520	124,4
					90	46710	12,7	47890	33,5	48610	68,7	48970	104,0	49200	139,4
	2000С				30	32790	2,5	33160	9,0	33390	20,6	33510	32,6	33590	45,0
		25	44,6	5479	60	40140	8,5.	40910	23,5	41360	49,0	41590	74,8	41740	100,7
					90	46220	10,7	47310	28,8	47970	59,4	48300	90,2	48510	121,1
					30	30960	—4,9	31290	—9,1	31490	—14,9	31600	—20,3	31670	—25,2
		50	63,1	8628	60	38590	3,8	39260	12,1	39660	26,6	39880	41,5	40020	56,7
					90	44860	7,1	45830	19,9	46420	41,9	46720	64,2	46920	86,7
		1		1					1		1	1	1		
					30	33320	5,0	33720	15,2	33960	1 32,8	34080	50,7	34160	69,0
		0	0	4478	60	40560	10,1	41370	27,3	41850	56,5	42090	86,0	42250	115,6
					90	46550	12,0	47700	31,8	48390	65,2	48740	98,9	48960	132,6
					30	32640	1,8	33020	7,4	33240	17,5	33360	28,1	33430	38,9
	30000	25	38,7	5738	60	40030	8,1	40780	22,5	41230	47,1	41460	71,9	41610	97,0
					90	46120	10,4	47200	28,0	47850	57,9	48180	88,0	48390	118,2
					30	31070	—4,6	31390	—8,2	31600	—13,1	31710	—17,5	31780	—21,6
		50	58,0	8458	60	38680	4,1	39350	12,7	39760	27,8	39970	43,2	40110	58,9
					90	44940	7,2	45920	20,3	46510	42,8	46810	65,6	47010	88,5
					30	33120	4,1	33510	12,8	33750	28,1	33870	43,8	33950	59,8
		0	0	4857	60	40410	9,5	41200	25,9	41670	53,6	41900	81,7	42060	110,0
					90	46430	11,5	47560	30,6	48240	63,0	48580	95,6	48800	128,3
					30	32540	1.4	32910	6,2	33130	15,2	33240	24,7	33320	34,4
	40000	25	35,1	5933	60	39940	7,8	40680	21,8	41130	45,6	41350	69,8	41500	94,1
					90	46050	10,2	47120	27,5	47760	56,8	48080	86,3	48300	116,0
					30	31120	—4,4	31450	-7,7	31650	—12,2	31760	—16,1	31840	—19,7
		50	54,5	8368	60	38720	4,2	39400	13,0	39810	28,4	40020	44,1	40170	60,1
					90	44980	7,3	45970	20,6	46560	43,3	46860	66,3	47060	89,4
§ .															
данном случае является мощность преобразователя. Поэтому зави-
симость для определения массы преобразователя имеет вид
YnpAf пр
где уПр = И^пр) —зависимость, получаемая в результате обработ-
ки статистических данных.
Массы прочих элементов КА с ЭРД целесообразно определять
по аналогии с соответствующими системами КА с ЖРД или ЯРД.
В качестве примера рассмотрим задачу определения оптимальных парамет-
ров при использовании на КА ионного ЭРД с объемной ионизацией для межор-
битальных перелетов между круговыми компланарными и некомпланарными ор-
битами.
Высоту начальной орбиты примем равной 200 км, высоты конечных орбит —
ЫО4, 2-104, 3-Ю4 и 4' 104 км, а углы некомпланарности орбит as—0, 25, 50°.
В качестве критерия оптимизации примем величину массы полезного груза (об-
ратная постановка задачи), а в качестве оптимизируемых параметров — удель-
ный импульс тяги (/;ф) и угол наклона вектора тяги к плоскости орбиты (а);
как показано в разд. 1.5 и 3.4, величину п0 не следует оптимизировать, а
целесообразно задаваться временем работы двигателя (временем полета). На-
чальную массу КА будем варьировать в диапазоне от 20 до 200 т.
Решение задачи осуществляется в следующей последовательности.
1.	По параметрам начальной и конечной орбит и принятым в качестве ис-
ходных величинам п0, b0, у определяем оптимальную величину аОпт, исполь-
зуя зависимости (3.135) и (3.137). Величина баллистического коэффициента до
принята равной 0,002 м2/кг, угол между вектором тяги и трансверсальным нап-
равлением учитывались силы аэродинамического сопротивления с использо-
ванием модели атмосферы ВСА-60 (см. табл. 3.8), а также возмущающие силы
гравитационного потенциала Земли (см. уравнение (3.127)]. На выходе этого эта-
па расчета получаются оптимальная величина угла аОпТ и величина потребных
затрат характеристической скорости Vx.
2.	Определяем оптимальное значение /уф. Для определения критерия опти-
мизации используется уравнение
АТц== А40 AfT Afg Л4Д Af^ Afnp А1з А4^,
где индексы при величинах М означают: т — рабочее топливо; б — баки; д —
двигатель; э — энергоустановка; пр — вторичный преобразователь; з — радиаци-
онная защита; к — неучтенные элементы конструкции.
Однократный расчет критерия оптимизации Afn осуществляется в следующей
последовательности. По величинам VXt	и принятым в качестве исходных
времени полета /п (^п = ^д) и начальной массе КА определяем необходимое ко-
личество рабочего тела, начальную тяговооруженность (она не совпадает со зна-
чением по п. 1) и потребную тягу двигателя по формулам
Г	/	Vx \1	7 у* Г	/	Vx \1
А4тр = Мо 1 — ехр [----5ф	; п0 = — 1 — ехр I —	; Рл = поМ0.
L К •'у /J	L \ Jy J1
Затем по величинам Рл и другим конструктивным (или оптимизируемым)
параметрам определяются величины потребляемой мощности и по (6.9) мас-
са двигателя Мд, а также другие его характеристики.
Масса энергоустановки рассчитывалась по зависимостям Мэ=уэАд и уэ=71
= ехр{—1,034+15,59[1п (1,31 4-^д)]-1’01}, где уэ получена по результатам обра-
ботки статистических данных работы [4]. Масса защиты определялась по зави-
симости Мз =ехр(4,96 + 0,17 In Ад), полученной по результатам обработки дан-
ных работы [34].
208
Для расчета величин Мб, Мпр, Мк по зависимостям ЛГб=убМт; Мпр =
= Упр^д; Мк = укМ0 величины удельных масс принимались равными ус =
= 0,06 кг/кг; упр = 5 кг/кВт; ук = 0,05 кг/кг.
3.	После расчета оптимальной величины /у* и соответствующей ей массы
Мп проводится оценка точности полученных результатов. Так как при оптимиза-
ции угла аОпт значения величин п0 и /у* приняты произвольно, то по п. 1 еще
раз уточняются величины а0Пт и Vx. Если расхождение в величине Ух, получен-
ное последовательно в .двух расчетах, превышает значение, определяющее задан-
ную точность расчетов, то осуществляется повторное решение задачи (обращение
к пп. 2, 3).
Результаты оптимизации величин аопт и ^у*1 а также значения величин
Vx и Мп для рассмотренного примера представлены в табл. 6.12.
Из табл. 6.12 видно, в частности, что оптимальные значения величины
для одного и того же маневра и одинаковых исходных данных в большей степе-
ни зависят от времени полета КА, чем от его массы.
Сравнение величин ма-сс полезного груза, представленных в
табл. 6.12, 5.3 и 4.2, дает возможность сопоставить эффективность
применения на КА ЭРД, ЯРД и ЖРД для -различных начальных
масс КА и маневров.
Глава 7
ВЫБОР ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК ПРИ РЕШЕНИИ
ОДНОЙ И СОВОКУПНОСТИ КОСМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В предыдущих главах книги были решены вопросы выбора типа
двигательной установки и комплексной оптимизации ее парамет-
ров в составе космического аппарата применительно к выполняемой
аппаратом задаче. При этом было показано, что сложную вариаци-
онную задачу можно привести к параметрической задаче и это поз-
воляет провести массовые расчеты. Проведение таких расчетов и
решение по их результатам вопроса о выборе типов двигателей для
большого числа задач должно позволить определить области их ра-
ционального использования.
По-новому встает вопрос в часто встречающейся ситуации, ког-
да необходимо обеспечить выполнение не одной, а целой совокуп-
ности космических задач. При этом целесообразно определить для
области, в которой данный тип двигателя должен использоваться,,
параметрический ряд унифицированных двигателей (вернее двига-
тельных установок), каждый из которых обеспечивает выполнение
нескольких задач, т. е. встает вопрос об оптимизации применитель-
но к комплексу космических задач.
В настоящей главе рассмотрен вопрос об определении рацио-
нальных областей применения двигателей разных типов в соответ-
ствии с выбранным параметром, характеризующим маневр при вы-
полнении задачи (см. разд. 1.2), и критерием оценки эффективности
ее выполнения (см. разд. 1.3), а также показаны пути определения
оптимальных параметрических рядов двигательных установок для
совокупности космических задач и целесообразность определения
таких рядов.
8	2804	209i
7.1. ОБЛАСТИ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИМЕНЕНИЯ РАЗНЫХ ТИПОВ
ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК
В работах (2, 17, 30] приводятся области использования разных
типов двигателей, которые характеризуются значением их пара-
метров. Например, на рис. 7.1, заимствованном из работы [17], пока-
заны такие области, причем по осям координат отложены значения
удельного импульса и начальные ускорения.
Конечно, фактически рациональные области применения двига-
телей различных типов могут 'быть определены лишь по оценке
эффективности выполнения широкого класса рассматриваемых за-
дач. При сравнении характеристик двигателей одного типа (ЖРД
с ЖРД, ЯРД с ЯРД, ЭРД с ЭРД) или сравнении различных ти-
пов двигателей «больших» тяг (ЖРД с ЯРД) удобно и наглядно
области рационального применения представить в координатах
стартовая масса КА — характеристическая скорость, а границу
областей — в виде кривой, соответствующей обеспечению задан-
ного выигрыша в массе полезного груза, поскольку величина А11Т
выбрана в качестве критерия эффективности выполнения задачи
(см. разд. 1.3), a AfCT, Vx— характеризуют маневр (см. разд. 1.2).
Условие Мп = 0 соответствует равной эффективности сравниваемых
двигателей по величине массы полезного груза при одинаковой
стартовой массе КА и одинаковом маневре. Примеры того, как при
этом определяются области рационального применения, приведены
на рис. 7.2 (сравнение ЖРД с ЯРД) и -рис. 7.3 (сравнение между
собой двух ЖРД, имеющих вытеснительную систему подачи (ВСП)
и турбонасосную (ТНА).
Величины характеристических ско-
ростей различны при использовании
электрореактивных двигателей и дви-
гателей «больших» тяг для совершения
одинакового' маневра. Поэтому нецеле-
сообразно выбирать характеристичес-
кую скорость в качестве параметра,
характеризующего границу областей
рационального применения при сравне-
Рис. 7.2
но
^п~ А-
Рис. 7.3
''Д
Мст=const (задано)
Область ОРД
06л асть
ЯРД
Гк/Гц
Рис. 7.4
нии между собой такого типа двигателей. Кроме того, при маневрах
КА с ЭРД критерий эффективности (см. разд. 1. 5) зависит от вре-
мени полета, которое является в этом случае наряду с Vx основ-
ной характеристикой маневра при выполнений задачи. Поэтому для
каждого времени полета КА с ЭРД будет своя зависимость, харак-
теризующая заданный выигрыш в массе полезного груза.
Таким образом, области рационального использования различ-
ных двигательных установок «большой» тяги (на химическом и
ядерном топливах) можно определить, используя три исходных па-
раметра: Мст, Vx и АЛ1П, а при определении предпочтительной об-
ласти ЭРД необходимо в качестве входного параметра, характери-
зующего условия выполнения задачи, учитывать и время полета
КА (или время работы двигателя, поскольку в книге рассматрива-
ются случаи, когда ЭРД работает непрерывно /п=^д)« На рис. 7.4
проиллюстрировано, как можно представить области рационально-
го использования ЭРД и ЯРД для КА заданной стартовой массы
при осуществлении перелета между круговыми орбитами, имеющи-
ми радиусы гк и гп.
В разд. 4.1 приведен вывод уравнения (4.14) для определения
эффективности выполнения задачи при применении любого типа
двигателя в одноступенчатом КА с системой «увода»
Ни П	~ I D /1	Г I ^п«ув	[Ип-ув 4“ -®Д (1 Р'п.ув)]
А1Сг	Нп.ув + В„(1 — ^п.ув) I
— [ 1 — ехр (-VJJ?)] [Ип,ув (1 + YT.o)+(1 - Нп.ув) (ST+YT.oBT,o)]-
и	(Л )ВЭ] — Ynp[Нп.ув + Дф(1- Нп.ув)]!> (7. 1)
где Нп.Ув=^= 1-[1-ехр(-1/жув//^в)](Вт.ув+В,о.увУт.оу1,) -
ТУ* ст. у в
’	д.увУд.ув^Оув ^np.yeYnp.yB*	(7* 2)
8*
211
Если величины уд, ут.о, упр, т)д, уэ, входящие в (7.1) и (7.2), не
могут быть приняты постоянными и определяются для КА и его
системы «увода» по (4.13), т. е.
Уд=/1(^); Ут.о = /2(^т); Тпр=/з(Л4ст);
Y, = /S(^3b),	(7.3)
то расчет величины цп должен осуществляться методом последова-
тельных приближений, при этом целесообразно использовать ЭВМ.
Рассмотрим этот вопрос более подробно. Из динамических час-
тей задач для основного маневра и маневра «увода» известны ве-
личины Vx и Ухув, заданными являются Л4Ст (при обратной поста-
новке задачи—см. разд. 4.1), тип основного двигателя и двигате-
ля системы «увода» и компоненты топлива. Пусть заданы также
параметры Ууф, л0» поУв» «уводимые» массы КА (значения ко-
эффициентов Вт, Вт.о, 5Д, ВПр, Вп) и автономные элементы в систе-
ме увода (коэффициенты Вт.ув, Вт.о.Ув, 5д.ув, Впр.ув равны 1 или 0).
Этих данных достаточно для определения по (4.11) и (7.3) всех ве-
личин, необходимых для вычисления цп.ув и цп по (7.2) и (7.1), кро-
ме коэффициентов упр.ув и уд.ув. Для определения этих коэффициен-
тов в соответствии с (7.3) необходимо знать стартовую массу сис-
темы увода Л4ст.ув (по AfCT.yB и известному nOyB определяется и
Рд.ув = ЛоуВЛ1ст.ув). Однако величина Л4ст.ув в соответствии с (4.9) са-
ма зависит от Мд.уВ (значит от Мпр.ув и от упр.ув). Отсюда ясно, что
(7.1) может быть разрешено относительно цп лишь методом после-
довательных приближений.
Рассмотрим процедуру определения величины для двигателей
«большой» тяги [энергетической установки на КА нет и в уравне-
нии (7.1) В = ВЭ=О], которую (процедуру) в соответствии со звуча-
нием |1п назовем МЮП. Порядок расчета по процедуре МЮП сле-
дующий. По уравнению Циолковского (1.1) определяем массу ос-
новного топлива, а по (7.3) коэффициенты основной ракетной сис-
-темы уд, ут.о, уПр- Зададимся начальным приближением величины
|1п.ув и по (7.1) B = BQ=0 находим |ЦД. Тогда начальную массу
системы увода Жт.ув можно определить по следующему уравне-
нию, которое получается если для Мп ув/Л4ст использовать (4.8) при
А = 0
Д, _____ Л4п.ув   Л1ст Р-П.ув  
СТ‘УВ	Р’П.ув	^п.ув Л4СТ
=15дулп0 + [1 ~ ехр f-	1 (5Т+^t.oYt.o) + ^npYnp + Яп|*п)-
Р-П.ув К	L	\ J у / I	)
(7. 4)
Далее определяем массу топлива «увода»1 по уравнению Циолков-
ского (1.1) и по (7.3) величины уд.ув, ут.о.ув, Упр.ув- Тогда по (7.2)
вычисляем величину цп.ув в очередном приближении. Расчеты про-
водятся по (7.1) — (7.4) до тех пор, пока в k-м приближении
]р-п.ув — Р^в| <3i, где 61 заданная малая величина, обуславливаю-
щая точность расчета.
212
Если в исходных данных задана не стартовая масса КА, а мас-
са полезного груза Мп (прямая постановка задачи — см. разд. 4.1),
то расчеты, аналогичные приведенным, следует продолжать, зада-
ваясь различными Л4СТ, пока при т-м расчете 1^7—	где
дг — заданная малая величина.
Для КА с электрореактивными двигателями процедура поиска
величин рп.э будет отличаться. Этот расчет может осуществляться
применительно к двум вариантам использования ЭРД. В первом
случае характеристики двигателя известны и проводится оценочный
расчет эффективности его применения. Во втором случае подбира-
ется такой ЭРД, который обеспечивает максимально возможную ве-
личину массы полезного груза, т. е. проводится оптимизация ха-
рактеристик ЭРД.
При оценке эффективности ЭРД с известными характеристика-
ми расчет величины цп.э осуществляется методом последовательных
приближений по процедуре, близкой к МЮП, изложенной выше
для случая применения двигателей «больших» тяг. Известны Vx и
Ксув, величина Мст (или Afn), тип ЭРД и двигателя системы увода,
рабочие тела и компоненты топлив, а также параметры /уф, Ууфв,
Поув, время работы ЭРД /д.э, коэффициент и все коэффициенты В
и Вув; коэффициент начальной тяговооруженности КА с ЭРД оп-
ределяем по уравнению
уЗф
[1 -ехр(-(7.5)
гд.э
а по л0.э величину тяги ЭРД —Рэ и по (4.11), (7.3) все остальные
величины, необходимые для определения Цп.ув и р.п по (7.2) и (7.1),
причем начальная масса системы «увода» определяется по форму-
ле, полученной аналогично (7.4) из (4.8), но при Вэ#=0 с использо-
ванием (4.11), (4.12).
Л1сТ.Ув=-^=Вдул«о + [1-ехр(-Ух/7;ф)](В.г + Вт.0ут^ +
гп.ув
+^^ + £npYnp + Sn!V	(7.6)
Дальнейший расчет аналогичен случаю определения цп для дви-
гателей «больших» тяг, при этом величина цп определяется по (7.1)
с учетом наличия энергоустановки (В и Вэ не равны нулю).
В случае, когда параметры ЭРД не заданы и производится опти-
мизация величины цп в качестве оптимизируемого параметра выби-
рается эффективный удельный импульс тяги /уф (см. гл. 6). Расчет
по представленной выше процедуре осуществляется многократно
при варьировании в исходных данных величиной 7уф до тех пор,
пока величина цп достигнет максимального значения, либо 7уф
выйдет из допустимых пределов для принятого к рассмотрению ти-
213
па ЭРД. Изложенную процедуру определения цп при использова-
нии ЭРД назовем МЮПЭ.
С помощью процедур МЮП и МЮПЭ можно составить простой
алгоритм для определения границы областей рационального при-
менения различных типов двигателей, при этом, как указывалось
в начале параграфа, за границу областей применения принято ус-
ловие получения заданного постоянного прироста массы полезного
груза
АМл = МИя - МП1 = const,	(7.7)
где индексы «1» и «2» соответствуют двум сравниваемым типам
двигателей или двум сравниваемым двигателям одного и того же
типа, а AM — заданная величина выигрыша в массе полезного гру-
за при совершении маневров с помощью второго двигателя по срав-
нению с первым. При этом для каждого /-го рассматриваемого ма-
невра выигрыш ДМП должен быть получен при одинаковых старто-
вых массах КА.
MCTjt = AfcT/a*	(^. 8)
Процедура нахождения границ областей рационального приме-
нения состоит в следующем. Исходя из рассматриваемого маневра
определяем величину VX1 (для ЭРД назначаем величину /д. э и оп-
ределяем VX1) и задаемся требуемым выигрышем в величине массы
полезного груза ДМП при переходе от первого двигателя к двигате-
лю второму, а также МСТ1 — первым приближением величины
стартовой массы первого КА. По процедуре МЮП (или МЮПЭ
если первый двигатель ЭРД) по принятым Л4СТ1 и определяем
величину массы полезного груза, доставляемого первым двигате-
лем Mi, и массу полезного груза второго двигателя по (7.7)
ЛТПа = Л1П1 + Д7ИП. Затем по процедуре МЮП или МЮПЭ (в зави-
симости от того РД или ЭРД рассматривается) определяем стар-
товую массу второго КА и сра(вниваем стартовые массы первого
КА и второго КА. Изменяем значения МСТ1 и проводим указанные
расчеты до тех пор, пока в соответствии с (7. 8) для данного ма-
невра при k-м приближении |Л4Ст2 — А1СТ1| где б3 — заданная
малая величина.
Если можно пренебречь зависимостями (7.3) и параметры уд,
Ут.о, Упр, Лд и Уэ могут быть приняты постоянными величинами, про-
цедура определения границ областей рационального применения
двигателей существенно упрощается, так как в этом случае удоб-
но использовать для взаимосвязи параметров, определяющих гра-
ницы областей (Л4СТ, Vx, /д, ДМП), аналитические зависимости, ко-
торые могут быть получены из уравнения
При сравнении двигателей «больших» тяг это уравнение целесооб-
разно выразить в форме (7.9), когда в его левой части стоит
ДМП/МСТ, а при участии в сравнении ЭРД, когда выполнение зада-
214
чи характеризуется временем работы двигателя, его удобно разре-
шить относительно /д.э, обеспечивающего заданный прирост ДМП
для любого Мст.
Приведем аналитические зависимости, определяющие границы
областей рационального применения двигателей, для ряда частных
случаев.
1.	Сравнение двигателей «большой» тяги (ЖРД с ЖРД, ЯРД
с ЯРД, ЖРД с ЯРД).
Уравнение, определяющее границы областей рационального при-
менения, имеет вид
1
ДМп
[^II.yBj	(1 ^II.yBj)] [^ll.yi
X
X | < [р-(1.уВ1 “Р Дц ( 1	Р'п.ув,)] \ Р'п.ува 1 ехр
4“ ( 1 Р'п.ува) (-Дг2 “F Yt.o2 Дг.о8)]	Уд2^02 [Р-п.ув2
Ynp2 [Р'п.ува 4“ Впр. ( 1 Р'п.увО] > [Р'п.ува 4" ^п2 ( 1 Р'п.ува)] {Р'п.увх
Ya Ло1 [P'n.yBj 4“	(1 P'H.yBi)]
/
[Р'п.ув! (1 4“ Yt.Ox)4”
+ (1 Hn.yBj) (^Tj 4" YT.Oi^T.Oi)] Y»P1 [Р'п.ув! 4” ^npi ( 1 P'Jf-yBi)] }J j»	(7.10)
где |in.yB1 и |1п.уВ1 для первого и второго двигателей определяются
по (7.2).
В случае, если отсутствует система «увода» на КА с первым дви-
гателем (например, сравниваются ЖРД с ЯРД), то в (7.10) следу-
ет положить: |хп.уВ1 = 1, ВТ1 = Втл^=ВЛ1 = ВпР1 = ВП1=0и уравнение,
определяющее границы областей, запишется как
7Г? =------.0/1---------Г ИР'п.ува— [1 — ехр( — КгаМу?)] Х
Мст 1Ап.уВа + * ВПа(1-^п.уВа)
X [Р'п.ува ( 1 4“ Yt.Oj) 4- ( 1 — Р'п.ува) (#га 4” YT.Oa^T.o.)] “
Ya8^02 [Р'п.ува 4“	1 Р'п.ува)] Ynp2 [Р*п.ува 4" О — fri.yej]
[Р'п.ува 4“-®Пя О Р'п.ува)] {1 — [1 еХР ( — xJJ у^)] (1 4“ Yt.oJ
— Yui^oi ~ Ynpi)} }•	(7.11)
При сравнении двигателей «большой» тяги, когда системы «уво-
да» отсутствуют на двух КА и величины |лп.уВ1 = |лп.уВа, = 1, а все
коэффициенты Bj = O, уравнение для определения границ областей
преимущественного использования имеет вид
^П=Г1“ехр(“^-)l(1+Yt.o1)-|l-expf—^-4(1+Yt.o,) +
тст L \	'у. / I	L \	•'y.
4“Yni#oi — YA.^o24~Ynp1 — Ynpe*	(7.12^
215
2.	Сравнение двух типов ЭРД при различных временах полета
КА.
Заданными предполагаются время полета первого КА, т. е. и
время работы его ЭРД /д.э, основные параметры двух ЭРД, величи-
ны также величина стартовой массы КА. Требуется опреде-
лить время работы второго ЭРД, чтобы получить заданный выиг-
рыш в массе полезного груза ДЛ4П при той же стартовой массе КА
AfcT1 = AfCTa. Предварительно для сокращения записй введем сле-
дующие, обозначения:
С=-------------------;
Р*п.ув +	(1 — Нп.ув)
Д-ехр(- рд[^+^(1 -Мп.ув)] +
Vs/9*	)
+ 9-у-[?А.ув-; (1-ку»)В9] ;	(7.13)
Е = 1 - ехр	) j [|1п.ув (1 + yt.o) - (1 - цп.ув) (Вт+YT.oBT,o)];
F == Р'п.ув "4“ ^пр (1 Нп.ув)*
Используя уравнения (7.1), (7.5) и (7.13) получаем
___ •_________________________С^Д^М. ст
Д-Эя ”Л1СТ [С2 GvyBa - Е2 - Л>) - С г (^уВ1 - Д !//ц.Э1 — Ех — Л)] - ДМП
(7. 14)
Если время полета КА со вторым ЭРД будет больше времени
/ц.эа по (7.14), то выигрыш в величине массы полезного груза при
использовании второго КА будет больше заданного ДЛ4П.
При отсутствии на двух КА систем «увода» из (7.14) получаем
(P’n.yBj = Р*п.увя = 1 и 2?у = 0)
Л1СТ/J* [1 - ехр (-^а//9*) (2VY„ +
/ Vr. \
2^^СТ	/	\ 1	1	1 1	еХР	ГЭф \	У1 /	(1+Yt.o)- [l-exp(-VX2/J^*)] (1+Y,O,+
__________^cT/ff [1 - ехр	(2чд,у„ + уЭа/^*В2)_____
, ^1‘-»р(-^,лЙ)](Ч,у,.+у.У^.> 1 л„/
Ynpa «пр, “	t	[ п
2Чд/д.Э1	)
(7.15)
3.	Сравнение двух типов ЭРД при одинаковом времени полета
КА
Аналогично (7.14) получаем при /д.э1:=Л.э1=^.9
______________________(С2Д2— С\Д\)М„______________________
л-9 “ Л4СТ [С2 (И1ьув, - Е2 - F2) - Сг (Fll.yBi - Ех - F0] - ДМП
(7.16)
'216
Если на КА нет систем «увода» и время работы ЭРД одинаково,
то из (7.16)
4.	Сравнение ЭРД с двигателями «большой» тяги (ЭРД с ЖРД,
ЭРД с ЯРД). КА с ЭРД имеют индекс 2.
Используя уравнения (7.1), (7.2), (7.5), (7.13) из (7.9), обозна-
чив /7=Уд/го[|1п.ув + 5д(1— Цп.ув)], получим
___________________________С2Д2Мст__________________________ /у
Д’9 ~ Мст [С2 (FVyBa - Е2 - Р2) - Ci (fVyBi - Е. - Н. - Л) - Д/Ип ] •
При времени полета КА с ЭРД, равном полученному по (7.18),
будет обеспечен заданный выигрыш в массе полезного груза ДМП
при одинаковых стартовых массах космических аппаратов, исполь-
зующих ЭРД или двигатели «большой» тяги.
При отсутствии системы увода на КА с двигателем «большой»
тяги (например, сравнивается ЭРД с ЖРД) из (7.18) получаем
______________СзДз^ст____________
Л4ст [с2 (цп,уВа — в2 — F2) — 1 +
______________________С2д2./Ист___________________ (У 19)
+ [1 — ехр (—VJJ*)] (1 + YT.O1) + Уд «01 + У„Р1] — AAfu
Если систем «увода» нет на обоих КА, уравнения кривой, огра-
ничивающей области рационального использования ЭРД и двига-
телей «большой» тяги, будет иметь вид
t	[ 1 — ехр (~VXJJ*)] (2^ + УЭ/*В2)
21д> {(Л4СТ {[1 - ехр	(1 + Yt.O1) -
[1 ~ е*Р (-^.Му!)] (2W*. + Уэ,-^)	.	(7_ 20)
- [1 - ехр	(1 + yt.oJ + Упр. - VnPi + Уд,«01) - ДЛМ}
Рассмотрим несколько подробнее вопрос о сравнении ЖРД с
ЯРД, что имеет большое практическое значение. Как указывалось,
граница областей рационального применения описывается уравне-
нием (7.11), так как система «увода» на КА с ЖРД отсутствует,
поскольку нет радиационноопасных элементов, которые необходи-
мо перебазировать на безопасную орбиту «высвечивания». Исполь-
217
зуя это обстоятельство, а также то, что масса ЯРД существенно
(более чем на порядок) больше массы ЖРД, можно получить про-
стые и достаточно точные для инженерных расчетов формулы опре-
деления границы, обуславливающей рациональное применение
ЭРД или ЯРД.
Рассмотрим случай, когда «уводится» только ЯРД, т. е. в (7.11)
ВДа=1, а остальные Bj = O. Тогда относительный выигрыш в мас-
се полезного груза (индексы 2 и 1 в (7.11) заменены соответствен-
но на «я» и «ж»).
Л1П'Ял7МП'Ж = ^Г-П= t1 ~еХР	(1 Н-Ут.о.ж) + ¥л.ж»0ж +
Л1СТ -МСт
+ Упр.ж -- [1 - ехр (-Vx./J?a)] (1 + ут.о.я) - ^-я - Упр.я- (7. 21)
Мчьув.я
Обозначив относительный выигрыш в массе полезного груза
из-за уменьшения потребного для_маневра количества топлива при
переходе от ЖРД к ЯРД через АЛ7Т, т. е.
ДМГ = [1 - ехр (-VXJJ?X)] (1 + Yl.o.J-
- [1 -ехр (-(1 + Yt.0.J,	(7. 22)
и учитывая, что упр.ж^ упр.я из (7.21) и (7.22) получим
ДД,=ДДмст - ('	- Д. j .	(7. 23)
\ Р-п.ув.я
Из (7.23) видно, что выигрыш в массе полезного груза при при-
менении КА с ЯРД будет иметь место в том случае, если его умень-
шение из-за большей массы ЯРД с системой «увода» компенсиру-
ется увеличением за счет меньшей массы топлива вместе с баками.
Чтобы определить изменение массы полезного груза при исполь-
зовании ЯРД вместо ЖРД необходимо, как это видно из (7.23),
знать разность масс двигателей. Для каждого маневра и массы КА
можно определить оптимальное значение тяги (значит и массы —
см. разд. 4.5) двигателя, обеспечивающей доставку максимальной
массы полезного груза. Однако, если такая постановка задачи
практически возможна применительно к КА с ЖРД, то один и тот
же ЯРД безусловно необходимо использовать на различных КА,
предназначенных для решения большого класса задач, поскольку
его создание требует затрат очень больших средств и времени.
В настоящее время практически можно говорить об использовании
на КА ЯРД с твердофазным реактором и водородом в качестве ра-
бочего тела. В печати опубликованы характеристики таких ЯРД
двух размерностей: тягой 7,2 и 34 Н. Удельная масса этих ЯРД с
радиационной защитой составляет (400±50) -10-4 кг/Н, в то время,
как удельная масса ЖРД не превышает 25-10"4 кг/Н во всем диа-
пазоне тяг (5 . .. 100) • 104 Н [10, 20, 50, 56, 62, 73]. Поэтому в (7.23)
величиной Мд.ж можно пренебречь по сравнению с Л4Д.Я, т. е.
ДЛ1,, = Д2ЙТ2ИСТ - Л1д.я>п.ув.я.	(7. 24)
218
Величина ДЛ4Т при примерно известных удельных импульсах ЖРД
и ЯРД для любого рассматриваемого маневра (Ухж = Ухя) зави-
сит от стартовой массы КА лишь постольку, поскольку изменяют-
ся удельные массы топливных отсеков уг.о.ж.я. Однако, как будет
показано ниже в примере I, с достаточной для инженерных расче-
тов точностью можно проводить определение ДМТ, приняв ут.о.ж.я
величинами постоянными для разных Мст- Тогда величина ДМТ бу-
дет зависеть лишь от маневра, т. е. будет являться функцией лишь
характеристической скорости AMT = f(Vx). Ниже показано, что при
Ух^5 км/с эта зависимость может быть аппроксимирована урав-
нением АМт = а + Ь 1g Ух, а в наиболее важных^для практики слу-
чаях при Ух=2,5 .. .5 км/с можно принять ДЛ/Т = const = С, так
что (7.24) примет вид
дЛ4п = (а + й1ё1/х)Л4ст-^^,	(7.25)
Н'П.ув.Я
а для практического использования
Д/Ип=СМ„ - Мд.я/|1п.ув.я.	(7. 26)
Коэффициенты а, Ь и С должны быть определены по расчетным
или статистическим данным в соответствии с используемым рабо-
чим телом для ЯРД и топливом для ЖРД.
Уравнения (7.25) и особенно (7.26) позволяют очень быстро
оценить выигрыш в массе полезного груза при переходе от ЖРД к
ЯРД для разных маневров и стартовых масс КА.
Рассмотрим примеры определения областей рационального при-
менения разных типов двигателей.
Пример I. Области рационального применения ЖРД на кислородно-водород-
ном топливе и ЯРД с твердофазным реактором и водородом в качестве рабочего
тела.
Для определения границы областей рационального применения используем
(7.24) и (7.22), т. е. будем считать в (7.11), что «уводится» только ЯРД
(Вд Я=1; Bj = O).
Рассмотрим уравнение (7.22) более подробно применительно к расчетному
случаю. Диапазон начальных масс, при которых в настоящее время целесообраз-
но сравнивать КА с ЖРД и с ЯРД, составляет приблизительно от 15 до 200 т,
что соответствует количеству топлива приблизительно от 10 до 150 т. Аппрокси-
мация данных, опубликованных в работах [11, 56, 72, 74], позволяет получить для
указанного диапазона изменения количества топлива простую аналитическую за-
висимость массы кислородно-водородных отсеков от количества топлива в виде
(4.37).
44т. о. ж = 2000 + 0,09Л4т
2-103
или	Yt-о.ж = 9-10-2 + —— .	(7. 27)
В (7.27) величины ут.о и Мт имеют соответственно размерность кг/кг и кг.
На рис. 7.5 приведены результаты расчетов величины АЛ4Т, полученные по
(7.22) и (7.27) для широкого класса маневров (Vx = 0,5 ... 5 км/с) и стартовых
масс КА (Л4Ст = Ю ... 200 т). При расчетах принято, что величина =
= 4300 м/с [11],	=8700 м/с [10], ут.о.я по (5.13). Рассмотрение результатов
расчетов показывает, что величина начальной массы КА влияет на величину
ДЛ4Т более существенно при больших Ух, однако во всем рассмотренном диапа-
219
зоне изменения Vx и AfCT это влияние не превышает ±10%. Поэтому с погреш-
ностью не более 10% относительное изменение массы полезного груза из-за топ-
лива можно определять по (7.22), принимая постоянными удельные массы топ-
ливных отсеков для разных начальных масс КА. Осредненная зависимость для
разных масс КА (кривая 1 рис. 7.5) в диапазоне VX=O,5...5 км/с может быть
аппроксимирована уравнением
ДМТ = 0,107 + 0,182 1g VXl	(7. 28)
где Vx выражено в км/с.
Тогда уравнение (7.24) можно записать в виде
ДЛ4П = (0,107 + 0,182 In Vx) Мст — Мд.я/цп.ув.я-	(7. 29)
Применительно к конкретному ЯРД тягой 7,2 Н (Л4Д я.7>2 = 2550 кг) [10] и
полагая, что относительная полезная масса системы увода составляет величину
(Л4 п а	\
Нл.ув.я =т:---- = 0»91, из (7.29) получим
А1Ст.ув	/
АЛ*п.7,2 = (°>107 + °,182	- 2,8.	(7. 30)
Построим кривые в координатах Л4Ст—Vx полученные по (7.30). Каждая
кривая на рис. 7.6 характеризует постоянный выигрыш в массе полезного груза
и область рационального применения ЖРД (ниже кривых любого заданного ДЛ4П)
и ЯРД тягой 7,2 Н (выше кривых). Из рисунка видно, что ЯРД выгодно исполь-
зовать при больших маневрах и массах КА (больших V* и Мст): в этом случае
можно получить очень существенный выигрыш в массе полезного груза (либо в
запасе характеристической скорости, если масса полезного груза задана). Наи-
больший эффект ЯРД дают при маневрах в диапазоне Vx = 2,5... 5 км/с. При
таких значениях Vx для приближенных расчетов величина ДМТ может быть при-
нята постоянной, не зависящей от Vx и равной 0,21 (см. рис. 7.5). Тогда урав-
нение (7.29) для определения прироста массы полезного груза при переходе от
ЖРД к ЯРД примет совсем простой вид, очень удобный для инженерных расчетов
ДЛ4п = 0;2Шст А1д,я/р,п,ув,я.	(7.31)
Отсюда применительно к ЯРД тягой 7,2 и 34 Н при цп.ув.я = 0,9 и Vx =
= 2,5... 5 км/с
ДЛ1п.7,2 = °.2ШСТ — 2,8	(7 32)
или	Л*ст = 13,5 + йМи.72/0,2\.	(7.33)
Для ЯРД тягой 34 тс (Л1д.я-34 = 15,65 т [62])
ДМП,34 = 0,2Ш„ - 17,4.	(7.34)
В (7.32) — (7.34) массы выражены в тоннах.
220
Сравнение результатов расчетов по (7.30) и (7.32) при Ух = 2,5...5 км/с по-
казывает их хорошую сходимость: так при ДМп. 7,2=0 величина AfCT«13,5 т
[см. уравнение (7.33) и рис. 7.6]. Это означает также, что при начальных массах
•КА более 13,5 т и маневрах в диапазоне, J/x = 2,5.. .5 км/с ЯРД будет всегда
выгоднее ЖРД по энерговесовой эффективности.
Диапазон начальных масс КА, при которых могут использоваться конкретные
зависимости типа (7.32) — (7.34), ограничен сверху минимальным значением коэф-
фициента начальной тяговооруженности, при котором становятся существенными
величины гравитационных потерь. Ограничивая минимальное значение коэф-
фициента начальной тяговооруженности P/MCt = ’1 Н/кг, получим, что (7.36),
(7.32) и (7.33) могут быть использованы при стартовой массе КА примерно до
70—80 т. При больших массах КА необходимо на нем устанавливать ЯРД
большей тяги, используя связки ЯРД тягой 7,2 Н, либо перейти к ЯРД тягой.
34 Н.
Выше отмечалось, что наиболее эффективно использовать ЯРД по энергове-
совым показателям при больших маневрах. Однако следует иметь в виду, что
при увеличении Ух свыше примерно 5—6 км/с абсолютное значение величины
приращения массы полезного груза будет уменьшаться. Это объясняется тем, что*
по мере увеличения Vx выигрыш в массе топлива за счет большего удельного
импульса ЯРД уменьшается, как это уже указывалось в разд. 4.2 при рассмот-
рении закона изменения Л4Т/Л4СТ = f	(см. рис. 4.3). Для иллюстрации:
занного на рис. 7.7 представлено изменение выигрыша в величине массы полез-
ного груза при переходе от ЖРД к ЯРД на одноступенчатом КА при разных ха-
рактеристических скоростях и стартовых массах. Расчеты проведены для ЯРД.
тягой 7,2 Н и ЖРД на кислородно-водородном топливе по (7.24) и (7.22) при
М'п.ув.я=|0,9. Следует, конечно, иметь в виду, что расчеты при Vx>6...7 км/с
проведены условно, поскольку при таких скоростях использовать одноступенча-
тый КА практически невозможно: до таких больших скоростей нельзя разогнать
даже массу конструкции (без полезного груза), потребную для функционирова-
ния двигательной установки (топливные баки, система управления полетом и про-
чие массы).
Пример П. Области рационального применения ЭРД, ЖРД и ЯРД при ком-
планарных переходах между круговыми орбитами.
В качестве конкурирующих рассмотрены космические аппараты со стартовы-
ми массами 100 т, на которых установлены ЖРД на кислородно-водородном топ-
ливе, ЯРД с твердофазным реактором и водородом в качестве рабочего тела и
ионные ЭРД, используемые в качестве маршевых двигателей при переходах с на-
чальной круговой орбиты высотой 200 км. Принимаем, что системы увода на КА
отсутствуют и упр.ж =Урп.я = Упр.э. Будем искать области, границами которых:
являются кривые равной эффективности рассматриваемых двигателей по величи-
не доставляемой к цели полезной массы, т. е. когда ДЛ4п = 0. Таким образом,
расчеты при исходных предпосылках следует вести по уравнению (7.20).
В рассматриваемом случае компланарных переходов с низкой орбиты на бо-
лее высокие круговые орбиты потребные затраты характеристической скорости
AVi+AV2 определяются для ЖРД и ЯРД по уравнениям (3.7), (3.8)
и для ЭРД по уравнению (3.115)
где VKP.H = уЛр>зЛ*н — скорость КА_на круговой начальной орбите; гн, гк — ра-
диусы начальной и конечной орбит; rK = rKfrn.
При расчетах приняты следующие исходные данные [10, 11, 20, 56, 67]:
Л-ж = 4300 м/с; лСя = 2 Н/кг; уг.о.я = 0,2 кг/кг; /у.я = 8700 м/с; т)д = 0,7;.
Ут.о.э = 0,1 кг/кг; /у.э = 82000 м/с; = 1,0; уд.ж = 0,002 кг/Н; пОж = 4 Н/кг;
Ут.о.ж = 0,13 кг/кг; уд.я = 0,04 кг/Н; уд.э = 1,0 кг/Н.
221
Рис. 7.7
гл.3’сШ
Результаты расчетов по (7.20) представлены на рис. 7.8 для двух удельных
масс энергетической установки на КА с ЭРД (уэ=3 и 10 кг/кВт). Области ра-
ционального использования двигателей на рисунке разделены кривыми и обозна-
чены наименованием двигателей ЭРД, ЯРД, ЖРД. Если значение времени /д.э
расположено выше кривых, указанных на рис. 7.8, то такой ЭРД будет более
эффективен, чем ЯРД или ЖРД (доставит к цели большую массу полезного гру-
за). При гк = 1,5... 16 для уэ=10 кг/кВт это время составляет примерно 1—2,5
месяца, а для уэ = 3 кг/кВт — примерно 10—20 суток.
Важно отметить, что энергоустановка входит в состав ДУ, поскольку она
предназначена для питания энергией других потребителей на борту КА, т. е. энер-
гоустановка входит в состав полезного груза [в уравнении (4.4) В = 0], то время
полета КА с ЭРД, при котором такой тип двигателя будет более эффективным,
существенно снижается и составляет порядка нескольких дней и даже часов.
7.2. ВЫБОР ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА УНИФИЦИРОВАННЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
Как следует из предыдущего изложения, при выполнении раз-
личных задач целесообразно для обеспечения максимального эф-
фекта применять на каждой разгонной степени каждой задачи оп-
тимальные двигатели, характеристики которых будут в общем слу-
чае различаться, так что при i ступенях и задачах общее количест-
во двигателей будет равно ^ = 2	если положить> что Для Ре"
1
шения каждой задачи число потребных двигателей равно числу
ступеней КА.
Одним из основных критериев при оценке эффективности реше-
ния задач КА является экономический или стоимостной критерий,
оценивающий затраты, на разработку элементов КА, их производ-
ство и выведение на опорную орбиту. Несмотря на то, что критерий
эффективности применительно к каждой задаче имеет экстремаль-
ное значение при оптимальных параметрах двигателей и других
элементов КА, в общем случае нельзя утверждать, что суммарные
222
затраты на решение всей совокупности задач будут при этом мини-
мальными.
Для каждого типа КА выбор его оптимальных параметров мо-
жет обеспечить получение наилучших значений некоторых крите-
риев эффективности, например, максимальной величины массы по-
лезной нагрузки, минимальной массы КА на опорной орбите, мини-
мальной удольной стоимости доставки полезной нагрузки к цели иг
др. Однако эти преимущества оптимальных КА реализуются за
счет повышенных в целом для всех задач экономических затрат.
Прежде всего требуется разработка -большего количества по номен-
клатуре двигателей, что связано с существенными затратами мате-
риальных средств. Кроме того, так как двигатели имеют узкое це-
левое назначение, то объем производства каждого из них относи-
тельно невысок. При этом затраты на производство всех типов дви-
гателей будут выше по сравнению со случаем, например, выпуска
однотипных двигателей в объеме, соответствующем общему коли-
честву потребных двигателей.
В связи с этими обстоятельствами возникает вопрос о возмож-
ности решения всех поставленных задач перед космическими аппа-
ратами при применении на них ограниченного количества двигате-
лей. Разумеется, предлагаемые двигатели для использования на КА
в этом случае не могут быть оптимальными для каждого типа ап-
паратов. Чем меньше номенклатура разрабатываемых двигателей
для всех КА, тем больше будет экономия средств за счет их унифи-
кации. В то же время будут возрастать затраты, обусловленные
тем фактом, что характеристики двигательных установок на них
будут все больше отличаться от оптимальных значений.
Возникает типичная задача оптимизации параметрического ря-
да изделий [13, 01]. Обычно при этом критерием оптимизации явля-
ется минимум суммарных затрат, приведенных к одному моменту
времени (приведенные затраты) на разработку, производство и
эксплуатацию при удовлетворении спроса. Под интервалом пара-
метрического ряда понимают любую ограниченную последователь-
ность членов ряда, в том числе между соседними членами, и под
диапазоном — максимальный интервал ряда. Одним из ограничений
на диапазон параметрического ряда может являться неэффектив-
ность применения рассматриваемого типа изделия, в нашем слу-
чае — типа двигательных установок, которые составляют ряд (нап-
ример, ряд ЖРД или ряд ЯРД).
Для оптимизации параметрического ряда необходимо:
1.	Определить функцию спроса, характеризующую потребности
в изделиях с различными значениями параметров. В данном слу-
чае это типы космических аппаратов и их число при решении каж-
дой задачи.
2.	Определить «функции затрат», характеризующие связь меж-
ду параметрами изделий и затратами на разработку, изготовление-
и эксплуатацию (применение).
3.	Подобрать математический метод, т. е. выбрать нужный алго-
ритм.
223
4.	Привести исходные данные (функции спроса и затрат) к ви-
ду, соответствующему алгоритму оптимизации.
5.	По выбранному алгоритму найти оптимальный параметриче-
ский ряд, т. е. последовательный ряд типоразмеров унифицирован-
ных двигательных установок, отличающихся друг от друга число-
выми значениями одного илЦ нескольких параметров, при которых
заданные потребности удовлетворяются с наименьшими суммарны-
ми приведенными затратами.
Найденный в результате расчетов оптимальный параметриче-
ский ряд следует рассматривать как основу для принятия решения.
При практическом выборе параметрического ряда могут допус-
каться обоснованные отклонения от найденных оптимальных зна-
чений, вызванные практической целесообразностью, скруглением
до значений предпочтительных чисел или дугими соображениями.
В зависимости от учитываемого количества переменных (пара-
метров), от которых зависят «функции спроса» и «функции затрат»,
различают задачи оптимизации одномерного параметрического ря-
да, когда удается выделить один параметр (например, тяга двига-
теля), скалярные значения которого, в основном, определяют су-
щественные характеристики каждого изделия, и задачи оптимиза-
ции многомерного параметрического ряда. Последние значительно
сложнее и пока не имеют эффективных общих методов решения (61].
В одномерной постановке задача выбора оптимального парамет-
рического ряда ставится как определение значений параметров
щ, u2,...,uh при минимуме суммарных затрат на удовлетворение
требуемого спроса, т. е.
0=CraIn=min2 £°(«л)+£(«») J* 4(x)dx ,
1 L	“я-1
где ип — величина параметра изделия й-го типа; <р(х) —функция
спроса в изделии с параметром х; g(un) —функция стоимости,
включающая затраты на производство Сп(ип) .и эксплуатацию
Сэ(ип) единичного n-го образца за предполагаемый срок службы.
В общем случае стоимость обслуживания единичного спроса об-
разца не равна стоимости производства и эксплуатации этого образ-
ца, а зависит от способа его применения (например, при многократ-
ном использовании); g°(un) —функция стоимости разработки; ип-
ип
теграл <f(x)dx есть число стандартных образцов л-го типа, не-
обходимых для обслуживания в интервале ип_\^.х^л1п.
Функция g(un) зависит от объема производства изделий с пара-
метром л, поскольку с увеличением размера партии образцов пара-
метрического ряда стоимость производства в пересчете на единич-
224
ный образец уменьшается, т. е. необходимо учесть и фактор серий-
ности. Тогда

п=-Ь
Ф=Ст1п=т1п
Lun-l
ип-1
где 0<а<1, а — показатель степени, характеризующий зависи-
мость стоимости производства от серийности.
Решение задачи оптимизации параметрического ряда двигате-
лей для выполнения совокупности космических задач представляет
собой чрезвычайно трудную проблему. Сложность ее заключается
прежде всего в том, что количество оптимизируемых параметров
двигателей КА и параметров управления возрастает в ней пропор-
ционально количеству транспортных задач. Для s типов космиче-
ских аппаратов, каждый из которых предназначен для решения оп-
ределенной задачи, общее количество параметров этих групп будет
V пД , где для каждой /-й ступени iij определя-
равно
1 \ 1	/ т
ется по зависимости (2.4). Кроме параметров, указанных в (2.4)
появляются дополнительные, которые подлежат обязательной оп-
тимизации. К ним относятся количество унифицированных двигате-
лей разных размерностей ряда, которые в сумме будут обеспечивать
необходимые параметры всей двигательной установки каждой сту-
пени КА.
Таким образом, ставится задача об оптимизации многомерного
параметрического ряда (для ЯРД это как минимум — выбор коли-
чества двигателей и величины тяги каждого из них в ряде двига-
тельных установок). Решение указанного вопроса, как будет пока-
зано ниже, требует разработки специальных приемов. Прежде все-
го следует признать наиболее трудоемким вариантом решения рас-
сматриваемой задачи разработку алгоритма оптимизации, в кото-
ром использовался бы метод интегрирования уравнений движения
типа (2.2) для определения оптимальных параметров каждого КА.
Хотя разработка такого алгоритма вполне возможна, однако его
практическая реализация связана с очень значительными затратами
машинного времени. Поэтому в дальнейшем мы рассматриваем
наиболее экономичный по затратам машинного времени метод двой-
ного разделения задачи оптимизации параметров ДУ и КА (см.
разд. 1.5).
В целом задача выбора оптимального ряда двигателей для КА
решается в несколько этапов. Первоначально рассматриваются не-
зависимо друг от друга каждая из заданных задач. Из решения
баллистической части каждой задачи получаются потребные им-
пульсы скорости для каждого включения двигателя. Для /-й ступе-
ни s-ro КА они будут составлять последовательность чисел V^z,
Ииз/,..., l/^z.
Из решений динамических частей задач определяются гравита-
ционные потери скорости КГр по уравнениям (3.53) или (3.55).
225
В результате получается набор зависимостей для расчета Кгр, кото-
рый применительно к i-й ступени s-ro КА будет иметь вид
ИГР1/, lz?PaZ, 1/?Рз/,...,
Каждая из s задач характеризуется при прямой постановке за-
дачи оптимизации (см. разд. 4.1) массой полезной нагрузки, дос-
тавляемой КА к цели, т. е.
X, Afn2, м,,.....Ж.
Кроме того, будем считать заданными общее количество пус-
ков КА для решения каждой задачи N\, N2,	.., Ns.
Таким образом, величины s и N выражают «функцию спроса».
Общий порядок определения оптимального ряда двигателей и
составления из них двигательных установок (число двигателей в
ДУ и их параметры) следующий:
1)	задаемся параметрическим рядом двигателей (число и па-
раметры), которые будут использованы при осуществлении всех
маневров;
2)	подбираем для каждой задачи и каждой ступени КА (извест-
ны Ки, Угр, Л4П) лучшую двигательную установку, составленную из
некоторого числа назначенных в п. 1 двигателей, по минимальной
стоимости выполнения задачи;
3)	определяем при условии п. 2 суммарную стоимость выполне-
ния всех задач при заданном количестве пусков;
4)	изменяем в п. 1 параметры двигателей в принятом ряду и по
пп. 2, 3 выбираем параметры двигателей, входящих в ДУ на всех
ступенях космических аппаратов по минимальной стоимости всех
пусков при выполнении всех задач;
5)	изменяем число двигателей в параметрическом ряду, назна-
чаем их параметры и по пп. 2—4 определяем новую минимальную
стоимость всех пусков. Оптимальным рядом является тот, который
имеет по п. 5 самую малую стоимость.
Основную трудность в решении задачи выбора ряда по приве-
денной последовательности составляет то обстоятельство, что, как
указывалось, двигатели из рассматриваемого ряда могут приме-
няться на КА в связках, состоящих как из однородных двигателей
(двигателей одной размерности), так и из разнородных (см. п. 2).
Будем полагать, что искомый оптимальный ряд будет включать
k различных двигателей. Следует отметить, что число возможных
вариантов связок из k двигателей, число их сочетаний может быть
чрезвычайно большим даже применительно к двигательной установ-
ке одной разгонной ступени. Оно может приближаться к бесконеч-
ности при отсутствии ограничений по числу допустимых двигателей
в связке. И если учесть при этом, что необходимо рассмотреть все
ступени одного КА, а затем и все КА для того, чтобы выбрать для
каждого КА оптимальное сочетание двигателей, то становятся со-
вершенно очевидными трудности решения этого вопроса.
226
Примем несколько допущений относительно вариантов приме-
нения двигателей в связках. Будем полагать, что общее количество
двигателей одной размерности в связке может быть не больше I,
Тогда можно записать следующую матрицу размером Ixk, элемен-
ты которой будут показывать возможные варианты применения
двигателей одной размерности
2Р.,.....IP.
1Р2, 2Р2,.....,	1Р2
(7.35)
2Pft,......,lPk
В матрице (7.35) условно показаны тяги двигателей Р для всего
ряда двигателей от 1 до k (Рь Р2, •.Р&), а множители впереди
параметров Р, означают количество двигателей одной и той же тя-
ги в связке.
Однако указанные в матрице (7.35) сочетания двигателей в
связках не отражают возможных вариантов связок из этих
двигателей. Так, например, можно рассматривать связки двигате-
лей, включающие в свой состав двигатели первой строки (1РЬ 2Pi,..
..., /Pi) и двигатели последующих строк, т. е. связки вида
1Р2,..., ipxzp2,.., iPii^Y......1/W
........................................... (7.36)
IP. 1Р2,...,/Л/Р2,....... /Р11РЛ,..lPilPk
где запись, например, 1Р\1Рк означает, что в связке применяются I
двигателей с тягой Р. и I двигателей с тягой Рй.
Аналогичные комбинации двигателей можно рассматривать для
двигателей, указанных во второй строке матрицы, и т. д.
1Р22Рл,..... 1Р2/РЛ,..,/Р21Р*>....ZP2ZP*.
Кроме того, из полученных комбинаций двигателей (7.36) и
(7.37) можно образовать новые, если добавить к ним двигатели
последующих строк, например,
1PJP21P3,...... 1Р.1Р21Р^.... 1Р11Р21Р*,.... 1P11P2ZP*. (7.38)
Общее количество возможных сочетаний двигательных устано-
вок из k различных по размерности двигателей, каждый из кото-
рых может применяться в связке от 1 до I раз, будет определяться
по формуле
=Pk + Z2 (k - 1) + Z3 (k - 2) + ... +Z^ [k - (/n - 1)], (7.39)
где последний m-й член в правой части равенства должен удов-
летворять условию k—(т—1) = 1, откуда получается m=k.
Величина йд.у определяет количество вариантов расчетов, кото-
рые необходимо провести для каждой разгонной ступени каждого
227
космического аппарата. Чтобы оценить количество таких расчетов,
укажем, что при количестве двигателей в связке / = 4 и числе дви-
гателей в ряду 6 = 2 по (7.39) &д.у = 24; при / = 4 и fe=3 &ду=108,
при 1=4 и к = 4 &д,у = 548. Минимальное количество вариантов мо-
жет быть при 1 = 2 k = 2 &д.у = 8 (если не считать в качестве ряда
двигателей ряд при Л=1 и не говорить о связках двигателей при
1=1). Хотя количество вариантов расчетов велико, они могут быть
осуществлены на современных ЭВМ за приемлемое время. Общий
принцип составления вариантов связок указан нами выше при сос-
тавлении сочетаний в (7.35),— (7.38).
С тем, чтобы не повторять многократно расчеты характеристик
двигателей в связках применительно к каждому КА целесообразно
представить последовательность расчета этих характеристик в ви-
де особой процедуры. Назовем эту процедуру «СВЯЗКИ ДУ».
Входными параметрами этой процедуры должны быть: количество
двигателей в рассматриваемом ряду k, предельно допустимое коли-
чество двигателей одной размерности в связке /; проектные пара-
метры каждого двигателя из рассматриваемого ряда, т. е. матрица
вида (всего проектных параметров — р)
V1
Л1, Х%у....... X р
2 2	2
*1, *2,....., *р
£ Jt	k
Л1, Л2».....у Xр
Выходными параметрами процедуры являются соответственно
выходные параметры для каждого возможного варианта примене-
ния двигателей в связках. К этим параметрам будут относится, на-
пример, суммарная тяга двигательных связок, суммарный расход
топлива через двигатели или эффективный удельный импульс дви-
гательных установок, масса двигательных установок, стоимости и
другие величины, которые необходимы при расчете параметров раз-
гонных ступеней КА. Для получения каждого выходного парамет-
ра необходимо обратиться с входными параметрами к процедуре,
определяющей последовательность расчета в математической моде-
ли двигателя. Общее количество выходных параметров одного вида
(например, величин суммарной тяги) будет равно величине &д.у по
(7.39). Эта информация, получающаяся при многократном обраще-
нии к процедуре «СВЯЗКИ ДУ», может размещаться в соответству-
ющих массивах памяти в ЭВМ и использоваться для всех рассмат-
риваемых КА без дополнительных расчетов.
Определение наиболее целесообразной комбинации двигателей
в связке для каждого КА осуществляется следующим образом. Для
каждого космического аппарата, состоящего из Z разгонных ступе-
ней, производится оптимизация параметров на этапах, соответству-
ющих числу ступеней. Оптимизация осуществляется, начиная с пос-
ледней («верхней») ступени. Для этой ступени известными явля-
ются характеристики полезной нагрузки (массы, геометрические,
228
стоимостные показатели и др.). Кроме того, известны также коли-
чество включений двигателей (количество импульсов), потребные
импульсы скорости для каждого включения двигателя Уи j (из бал-
листической части задачи), зависимости для определения величины
Vrpj (из динамической части задачи) и матрица учета сбрасывае-
мых элементов, необходимая при составлении весовых уравнений
ступени (см. матрицу в разд. 4.1). Структурное уравнение для i-й
разгонной ступени имеет вид (4.6) или (1.4). Следует напомнить,
что определение начальной массы разгонной ступени при рассмат-
риваемой прямой постановке задачи должно осуществляться мето-
дом последовательных приближений. Это обусловлено тем, что для
определения некоторых составляющих в (4.6) необходимо в каче-
стве исходной информации задавать начальную массу КА.
Для рассматриваемой ступени КА производится оптимизация его
параметров £д.у раз в соответствии с количеством вариантов соче-
таний из k двигателей по (7.39). При этом каждый раз выходные
характеристики двигательной установки не оптимизируются, а
принимаются постоянными и равными соответствующим характе-
ристикам, получившимся по процедуре «СВЯЗКИ ДУ».
После определения начальной массы i-й разгонной ступени, на
которой считается установленной одна из связок двигателей из се-
мейства £д.у, осуществляется расчет критерия эффективности. При
этом во внимание принимаются только те составляющие, которые
характеризуют в целом /-ю разгонную ступень КА и изменяются
при варьировании связок двигателей на ступени.
Оптимизация параметров КА l-й ступени осуществляется по ми-
нимуму стоимости, полученной указанным образом, при использо-
вании на ней рассматриваемой связки двигателей. Затем в рассмот-
рение принимается следующая связка двигателей из семейства
%д.у и для нее производится аналогичная оптимизация параметров
ступени. В результате серии расчетов получается последователь-
ность критериев эффективности, полученных при оптимизации па-
раметров l-й ступени £д.у раз
С), С2{, С31,..
Из этой последовательности величин выбирается минимальная
величина стоимости, которая и будет показывать самый оптималь-
ный вариант разгонной ступени из общего количества оптимальных
вариантов, равного величине &д.у. Этому варианту ступени будет
соответствовать также оптимальная связка двигателей. Характери-
стики этой ступени принимаются для дальнейших расчетов.
Затем рассматривается следующая (/—1)-я ступень КА. По
процедуре, аналогичной процедуре оптимизации параметров
i-й ступени, осуществляется оптимизация параметров (/—1)-й
ступени. При этом в качестве массы полезной нагрузки для ступе-
ни принимается масса i-й разгонной ступени. В результате оптими-
зации параметров (i—1)-й ступени &д.у раз применительно к каж-
229
дой рассматриваемой связке двигателей получается последователь-
ность критериев эффективности.
с;_ь ch, с?_ь....... cfy.
По результатам этих расчетов определяется самый оптималь-
ный вариант выполнения (I—1)-й ступени среди указанных /гд.у
вариантов. Повторяя указанные процедуры количество раз, соответ-
ствующее числу ступеней, в конечном итоге определяем оптималь-
ные характеристики КА в целом. При этом для каждой ступени
определено однозначно и оптимальное сочетание двигателей в связ-
ке из всех возможных их сочетаний, равных kay.
Расчеты, аналогичные указанным выше, последовательно осуще-
ствляются для всех КА, планируемых для решения s задач. В ре-
зультате получаются оптимальные характеристики каждого КА,
оптимальные сочетания двигателей для каждой ступени рассмат-
рываемых КА и соответствующую этим характеристикам величину
затрат на выполнение каждой задачи. После этого можно опреде-
лить уже суммарные затраты на решение всех рассматриваемых за-
дач СЕ, т. е. сформировать глобальный критерий эффективности.
Этот критерий эффективности зависит только от оптимизируемых
параметров двигателей из семейства k (см. матрицу выше)
ф=С1=Ф(х1, Х2,......х'р,..х?, х*2...х*).	(7. 40)
Определение оптимальных значений параметров двигателей,
указанных в (7.40), осуществляется поисковыми методами. Ин-
формация о величине глобального критерия эффективности переда-
ется в поисковый блок, который формирует направления движения
вектора оптимизируемых параметров.
Предлагаемый метод определения оптимального ряда двигате-
лей для решения s космических задач предполагает задание в ка-
честве исходных данных величин k и Z, т. е. числа двигателей в ря-
ду и максимально допустимое количество двигателей одной раз-
мерности в связке. Выбор величины I не имеет принципиального
значения. Эта величина определяет в основном количество вариан-
тов связок £д.у и выбор ее значения достаточно большим может ог-
раничиваться только затратами машинного времени на однократное
обращение к процедуре «СВЯЗКИ ДУ». В принципе всегда можно
выбрать величину I такой, чтобы она охватывала все возможные
сочетания двигателей в связках, которые представляют практиче-
ский интерес. Максимально возможное количество двигателей всех
размерностей в одной связке будет определяться произведением ве-
личин IXk (/ штук двигателей каждого типа).
Для выбора оптимального числа двигателей в ряду необходимо
провести серию расчетов оптимальных параметров двигателей при
варьировании величины й-числа двигателей в параметрическом ря-
ду. В результате расчетов получается последовательность величин
Cls, cl, cl,.,cl	(7.41)
230
где индексы у величин Се соответствуют числу двигателей в ряду
для принятого варианта расчета. Индекс у полученной при расче-
тах минимальной величины Се из указанной последовательности
(7.41) и будет показывать оптимальное количество двигателей в
оптимальном ряду. Заметим, что общее количество величин в пос-
ледовательности (7.41) не может быть больше величины
1
т. е. когда на каждую ступень каждого космического аппарата ус-
тановлен свой оптимальный двигатель.
, Оптимальные параметры, полученные в результате предшеству-
ющих расчетов для двигателей в найденном оптимальном парамет-
рическом ряду, и будут оптимальными для искомого ряда двигате-
лей. Для найденного варианта ряда принимаются также и соответ-
ствующие рекомендации по связкам двигателей для каждого КА.
В настоящей работе авторами в качестве основного критерия
выбран критерий — масса полезного груза, который достаточно пол-
но характеризует эффективность выполнения задачи полета КА.
Используя выбранный критерий — массу полезного груза — нель-
зя определить оптимальный ряд унифицированных двигателей для
выполнения совокупности космических задач: наилучшим рядом по
этому критерию будет ряд, включающий все те двигатели, которые
определены при оптимизации каждой задачи.
Однако возможно и практически важно рассмотреть следующие
две постановки задачи по выбору параметрических рядов двигате-
лей применительно к принятому критерию эффективности.
I. Выбрать минимальное количество унифицированных двигате-
лей и их параметры (параметрический ряд двигателей), чтобы про-
игрыш в суммарной массе полезного груза при выполнении рас-
сматриваемой совокупности космических задач не превышал задан-
ной величины AAln. Если изменение начальных масс КА и манев-
ров, для которых подбирается ряд двигателей, характеризуются
диапазонами AfG1...Af02 и	то указанное требование
можно в общем виде записать как
ЛГ о j V X 2
Ф = \ f N(VX, Мо) [7ИП.ОПТ (V х, М0)-Л4п.р (Ух, Л10)] dModVx^Mn,
AfOi VXi	•
где N(VX, Мо) количества пусков КА для рассматриваемой задачи;
Л1д.опт(^х, Af0); Л1п.р(1Лс, Af0) —масса полезного груза соответст-
венно при двигателях оптимальном и унифицированном из парамет-
рического ряда.
При конечном количестве s задач, характеризующихся величи-
нами Мо и Их, критерий запишется в следующем виде:
Ф=УЛМ^...011т(Кг. Л1о)-АГп.р(1/х, М0)Ь<АЛ*п. (7.42)
1
231
Если число пусков КА одинаково при решении каждой задачи
(для каждого 7И0 и Ух), т. е. использование КА во всем рассматри-
ваемом диапазоне маневров и масс равновероятно, то критерий
имеет вид
Ф = 2 [^».onr(Vx, Л10)-Л1п.р(1/х, Л40)]?.<ДМ„.	(7. 43)
1
При постановке задачи, которая сформулирована в п. I, получим
параметрический ряд двигателей,, обеспечивающий доставку к це-
лям при выполнении всех задач массу суммарного груза не менее
заданной и незначительно (на AAfn) отличающейся от максималь-
но возможной. Однако при решении каждой задачи масса полезно-
го груза может при этом существенно отличаться от той, которая
была бы получена при оптимальных параметрах ДУ. Действитель-
но, если параметрический ряд составить из двигателей, которые,
близки к оптимальным для части задач, характеризующихся боль-
шими массами полезных грузов, то неудовлетворительное выпол-
нение остальных задач практически не скажется на выборе ряда,
так как суммарная масса полезного груза изменится несуществен-
но. Однако нам важно, чтобы каждая задача была решена эффек-
тивно, т. е. чтобы к каждой цели была доставлена необходимая
масса полезного груза. Отсюда возникает вторая постановка зада-
чи по выбору параметрического ряда двигателей.
II. Выбрать минимальное количество унифицированных двига-
телей и их параметры, чтобы проигрыш в массе полезного груза
при выполнении любой из рассматриваемых задач не превышал за-
данной величины ДМП. Указанное в п. II требование может быть за-
писано в виде
Ф = [Л4„.опт (Vx, Мо) - ЛТ„.р (Vx, Л40)Ь <ДМ„.	(7. 44)
Рассмотрим примеры определения параметрических рядов.
Пример I. Определить одномерный параметрический ряд ЖРД по тяге для
широкого интервала начальных масс КА от 1*0 до 100 Н и маневров с характери-
стическими скоростями от 0,1 до 5 км/с при разгоне с опорной круговой орбиты
200 км, чтобы потери в массе полезного груза при выполнении любой задачи сос-
тавляли не более 1 % начальной массы КА по сравнению с использованием двига-
телей оптимальных тяг. Удельный импульс тяги принять постоянным и равным
3200 м/с. Условия задачи соответствуют примеру по аналитическому определению
оптимальных тяг в разд. 4.4.	•
Поскольку удельный импульс тяги двигателя по условию задачи остается
постоянным, то величина массы полезного груза при изменении тяги изменяется
только за счет гравитационных потерь и массы двигателя
дмп(Р) Г(1+*2)Л1гр(Р)	л1л(Р)1
—7?-----= — А ---------------+ —------ .	(7.45)
Гравитационные потери топлива могут быть определены при постоянном за-
коне управления по (4.56), а масса двигателя по уравнению (4.84) и в соответ-
ствии с уравнением (4.83) Ь2 = 0,035.
На рис. 7.9 построены для данного примера по (4.56) и (4.84) кривые, отра-
Л4Гр + Л4л	*
жающие зависимости -----—----= /(по) при различных Уи и Л4Ст. По этим
Мет
232
графикам можно определить оптималь-
ные значения тяг и потери, при использо-
вании не оптимальных тяг. Разность зна-
Мгр + Л4д
чений ------------ для любых По опре-
Л4Ст
деляют в соответствии с (7.45) измене-
ние относительной массы полезного гру-
за. Варьируя различные значения п0 и
определяя по графикам относительные
потери в величине массы полезного гру-
за, легко установить, что требуемому ус-
ловию (потери массы полезного груза дол-
жны быть не более 1% стартовой массы
КА при выполнении любой задачи) бу-
дет удовлетворять параметрический
ряд, состоящий всего из двух двигате-
лей тягой 2-104 Н и 30-104 Н [69]. Ве-
личину потерь по отношению к массе по-
лезного груза (а не к стартовой массе)
при использовании выбранных двигате-
лей вместо оптимальных можно опреде-
лить, воспользовавшись дополнительно
графиками А1П max/AfCT=f (Уи, Мст) на
рис. 4.7.
Пример II. Определить параметри-
ческий ряд ЖРД для космических аппа-
ратов со стартовыми массами 10, 20, 50
и 100 т при осуществлении каждым из н
200 км до характеристических скоростей
Рис. 7.9
х маневров с опорной орбиты высотой
1,5, 1, 2, 3,5 и 5 км/с, чтобы проигрыш
в суммарной массе полезного груза при выполнении всех задач и проигрыш в
массе полезного груза при выполнении любой из задач не превышали 2% по
сравнению с использованием ЖРД, имеющих оптимальные параметры. Спрос на
выполнение каждой из 20 задач (число задач равно произведению числа масс КА
на число маневров с различными VXt т. е. 4x5=20) предполагается равнове-
роятным.
Для решения задачи необходимо использовать выражения (7.43) и (7.44), а
также результаты оптимизации, полученные в примере I разд. 4.5, поскольку
предполагаем, как и в 4.5, на КА устанавливать ЖРД, работающие на топливе
азотный тетраксид с диметилгидразином при коэффициенте избытка окислителя
а= 1,0.
В примерах по оптимизации параметров ЖРД (см. разд. 4.5) было показано,
что для всего диапазона рассматриваемых маневров и масс КА величина степени
расширения газов в сопле должна находиться на ограничении, принятом рп1р& =
= 4000. Что касается оптимальных значений давления в камере сгорания, то они
колеблются в пределах от 600 до 1100 Н/см2. Однако влияние рк на величину
массы полезного груза невелико, так что можно для всех задач принять рк—
«800 H/tM2. Таким образом, задача может быть сведена к определению однопа-
раметрического ряда по тяге.
Рассмотрим последовательность тяг, представляющую собой арифметическую
прогрессию в диапазоне от 20000 до 480000 Н с интервалом между соседними
членами в 20000 Н.
Результаты расчетов, которые проводились для различных тяг по уравнениям
примера I в разд. 4.5 (с тем отличием, что величины рк и Рк1р& не оптимизиро-
вались, а. являлись заданными), приведены в табл. 7.1 и 7.2.
В табл. 7.1 приведены отношения массы полезного груза, получаемой при
выбранной тяге (указана в левой колонке таблицы), к массе, доставляемой ЖРД
с оптимальными параметрами.
В табл. 7.2 представлено отношение массы полезного груза при выбранной
тяге к суммарной массе полезного груза, получаемой при выполнении всех 20
233
Таблица 7.1
№ задачи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Л4ст, кг	10 000					20 000				
Ии> м/с	500	1000	2000	3500	5000	500	1000	2000	3500	5000
Мп!опт, КГ	7310	6017	4006	2023	835	15728	13146	9130	5167	2792
Р, кН	Масса полезного груза при заданной тяге (в %) от Мп i опт									
480	86,1	83,8	77,0	56,0			93,8	93,2	91,3	। 83,9	74,1
460	86,6	84,5	78,0	58,0	—	94,1	93,5	91,7	86,6	75,4
440	87,2	85,2	79,0	60,0	3,5	94,3	93,8	92,2	87,5	76,9
420	87,8	85,8	80,0	62,0	8,3	94,6	94,1	92,6	88,1	78,3
400	88,4	86,5	81,0	64,0	13,2	. 94,8	94,5	93,1	89,0	79,7
380	88,8	87,2	82,0	66,0	18,0	95,0	94,8	93,5	89,7	81,2
360	89,4	88,0	83,0	68,0	22,9	95,3	95,1	93,9	90,5	82,5
340	90,1	88,6	84,0	70,0	28,0	95,6	95,4	94,3	91,3	84,0
320	90,6	89,3	85,0	72,1	22,8	95,8	95,7	94,8	92,0	85,5
300	91,2	90,0	86,1	74,1	37,8	96,2	96,0	95,3	92,8	86,9
280	91,7	90,6	87,2	76,2	42,8	96,4	96,3	95,8	93,6	88,4
260	92,3	91,4	88,2	78,3	47,8	96,6	96,7	96,2	96,4	89,8
|240|	92,9	92,0	89,3	80,4	|52,9|	96,9	97,0	96,7	95,2	91,2
220	93,5	92,8	90,4	82,5	58,0	97,2	97,3	97,1	95,9	92,7
200	94,2	93,5	91,5	84,6	63,1	97,5	97,7	97,5	96,7	94,1
180	94,6	94,2	92,5	86,7	68,2	97,7	98,0	98,0	97,5	95,5
160	95,3	95,0	93,6	88,9	73,4	98,1	98,3	98,5	98,2	96,7
|140|	95,9	95,7	94,7	91,1	|78,б|	98,3	98,6	98,7	98,8	98,1
120	96,5	96,5	95,8	93,2	83,7	98,6	98,9	99,3	99,4	99,1
100	97,1	97,2	96,9	95,3	89,0	98,8	99,3	99,6	99,9	99,8
80	97,8	98,0	98,0	97,3	93,7	99,1	99,6	99,9	100,0	99,8
1_60|	98,4	98,7	99,1	99,1	|98,0|	99,4	99,9	100,0	99,4	98,2
40	99,1	99,5	99,9	100,0	99,5	99,8	100,0	99,3	95,7	94,0
20	99,7	100	99,2	94,9	84,2	100,0	99,3	93,5	75,8	52,8
Продолжение табл. 7.1
№ задачи	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
AfCT, кг	50 000					100 000				
Ук, м/с	500	1000	2000	3500	5000	500	1000	2000	3500	5000
MnloriT, КГ	40995	34558	24540	14642	8698	83127	70278	50272	30488	18598
Р, кН	Масса полезного груза при заданной тяге (в %) от Ма i опт									
480	98,0	98,0	97,9	97,7	96,3	99,3	99,4	99,75	100,0	100,0
460	98,2	98,1	98,2	97,9	96,7	99,3	99,45	99,8	100,0	100,0
440	98,3	98,2	98,3	98,1	97,1	99,35	99,5	99,85	100,0	99,95
420	98,3	98,3	98,4	98,3	97,5	99,40	99,55	99,9	100,0	99,9
400	98,4	98,4	98,6	98,5	97,9	99,45	99,6	99,95	99,95	99,8
380	98,5	98,5	98,8	98,7	98,2	99,50	99,65	99,95	99,9	99,7
360	98,5	98,6	98,9	98,9	98,5	99,55	99,7	100,0	99,8	99,5
340	98,6	98,7	99,0	99,1	98,8	99,6	99,75	100,0	99,7	99,2
|320|	98,7	98,85	99,1	99,3	99,1	99,65	99,8	100,0	99,5	|98,8|
300	98,8	99,0	99,2	99,5	99,4	99,7	99,85	99,95	99,2	98,3
280	98,9	99,1	99,3	99,7	99,6	99,75	99,9	99,9	98,9	97,6
260	99,0	99,2	99,4	99,8	99,8	99,80	99,95	99,8	98,4	96,7
1240) 220	99,1	99,3	99,6	99,9	99,9	99,85	99,95	99,7	98,0	95,6
	99,2	99,4	99,8	100,0	99,9	99,9	100,0	99,5	97,2	94,2
200	99,3	99,5	99,9	99,9	99,8	99,9	100,0	99,2	96,2	92,3
180	99,4	99,6	100,0	99,7	99,4	99,95	99,95	98,8	94,6	89,6
160	99,5	99,7	100,0	99,4	98,8	99,95	99,9	98,3	92,5	86,1
140	99,7	99,8	99,8	98,7	97,5	99,95	99,8	97,3	89,8	81,1
120	99,8	99,9	99,6	97,8	95,5	100,0	99,6	96,1	85,5	74,0
100	99,9	100,0	99,2	96,0	91,6	99,95	99,2	93,8	78,9	63,7
80	99,95	99,9	98,2	92,5	85,3	99,9	98,5	89,8	68,0	48,7
160|	100,0	99,6	96,0	85,1	72,5	99,7	97,0	81,5	49,5	29,0
40	99,9	98,6	89,6	66,8	45,6	99,1	92,5	62,1	21,8	12,3
20	99,0	92,4	61,2	18,9	6,8	95,5	71,6	15,9	6,1	1,0
Таблица 7.2
Р, кН	480	460	440	420	400	380	360	340	320	300	280	260
Кв> %	97,2	97,3	97,5	97,6	97,7	97,8	97,9	98,0	98,2	98,3	98,4	98,5
Продолжение табл. 7.2
Р, кН	240	220	200	180	160	140	120	100	80	60	40	20
Кв. %	98,55	98,5	98,4	98,3	98,1	97,7	96,9	95,6	93,5	89,5	82,2	66,7
задач двигателями, имеющими оптимальные характеристики (МпЕопт =442352 кг
по разд. 4.5).
Из таблиц видно следующее:
1. Если ограничиться для выполнения всех 20 задач только одним ЖРД> то
исходя из минимума потерь суммарной массы полезного груза (см. табл. 7.2) сле-
дует выбрать тягу ЖРД Р = 240000 Н. При этом потери Л1пЕ составят 1,45%,
т. е. первое условие задачи (потери ^2%) будет удовлетворено. Однако при
выполнении отдельных задач с двигателем такой тяги потери в массе полезного
груза будут очень велики. Так, для задачи № 5 потери составят 47,1%, что по ус-
ловию задачи совершенно неприемлемо (потери для любой задачи не должны пре-
вышать 2%). По минимуму потерь массы полезного груза при выполнении любой
задачи следовало бы выбирать двигатель с тягой 14*0000 Н. При этом максималь-
ная величина потерь (задача № 5) составит 21,4% (потери суммарной массы рав-
ны 2,3% —см. табл. 7.2), что также не удовлетворяет условиям задачи.
2. Рассмотрим, как выполняются задачи параметрическим рядом из двух дви-
гателей. Анализ результатов расчетов (см. таблицы) показывает, что для получе-
ния минимальных потерь суммарной массы полезного груза и массы полезного
груза для отдельных задач следует выбрать двигатели с тягой 60000 и 320000 Н,
причем первый из двигателей должен обеспечивать выполнение задач № 1—12, а
второй — № 13—20. Тогда максимальные суммарные потери массы полезного гру-
за не превысят 0,3%, а для каждой из задач № 1 —12 потери будут не более 2%
(задача № 5), а для задач № 13—20 — не более 1,2% (задача № 20). Таким об-
разом, параметрический ряд из двух двигателей с тягой 60000 и 320000 Н удов-
летворяет условию, поставленному в примере II, и дальнейшее увеличение числ^
ЖРД свыше двух для выполнения всех 20 задач нецелесообразно.
Приведенные примеры ясно показывают, какое большое прак-
тическое значение имеет разработка параметрических рядов мар-
шевых двигателей космических аппаратов, поскольку каждый дви-
гатель может выполнить целый комплекс задач без существенных
потерь в массах полезного груза.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Алемасов В. Е., Дрегалин А. Ф., Тишин А. П. Теория ракетных двигате-
лей.— М.: Машиностроение, 1969. — 547 с.
2.	Бассард Б., Делауер Р. Ядерные двигатели для самолетов и ракет /Пер.
с англ. — М.: Воениздат, 1967. — 398 с.
3.	Батащев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования. — М.:
Советское радио, 1975. — 216 с.
4.	Брушлинский К. В., Морозов А. И. Расчет двухмерных течений плазмы
в каналах.— В кн.: Вопросы теории плазмы. — М., Атомиздат, 1974, с. 88—165.
5.	Брушлинский К. В., Морозов А. И., Палечик В. В. Расчет двухмерных
нестационарных течений плазмы в каналах. В кн.: Плазменные ускорители. —
М.: Машиностроение, 1973, с. 251—254.
6.	Ватажин А. Б., Любимов Г. А., Регирер С. А. Магнитогидродинамические
течения в каналах. — М.: Наука, 1970. — 672 с.
7.	Вентцель Е. С. Исследование операций. — М.: Советское радио, 19721—
552 с.
8.	Вихрев В. В. Моделирование процесса разряда на ЭВМ. — В кн.: Воп-
росы физики низкотемпературной плазмы. Минск, Наука и техника, 1970,
с. 276—282.
9.	Волков Л. И., Шишкевич А. М. Надежность летательных аппаратов. —М.:
Высшая школа, 1975. — 296 с.
10.	Вопросы ракетной техники, 1973, № 8, с. 37—52.
11.	Вопросы ракетной техники, 1964, № 9, с. 77.
12.	Галанин А. Д. Теория гетерогенного реактора. — М.: Атомиздат,
1971. —245 с.
13.	Гимади Э. X., Дементьев В. Т. Некоторые задачи выбора оптимальных
параметрических рядов и методы их решения. Проблемы кибернетики вып.
27. —М.: Наука, 1973, с. 19—32.
14.	Глесстон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. — М.: ИЛ,
1954. —458 с.
15.	I орбатенко С. А., и др. Механика полета. — М.: Машиностроение, 1969,
с. 39 — 43, 364—411.
16.	Гришин С. Д., Лесков Л. В., Козлов Н. П. Электрические ракетные дви-
гатели.— М.: Машиностроение, 1975. — 270 с.
17.	Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космическо-
го полета. — М.: Наука, 1975. — 704 с.
18.	Губерман Н. И. и др. Состояние разработки коллоидных микродвигате-
лей.— Вопросы ракетной техники, 1969, № 8, с. 32—44.	v.
19.	Гуд Г. X., Макол Р. Э. Системотехника. Введение в проектирование
больших систем. /Пер. с англ. — М.: Советское радио, 1962. — 383 с.
20.	Двигательные установки ракет-носителей. — Астронавтика и ракетоди-
намика, 1974, № 19, ВИНИТИ, с. 5—14.
21.	Дракин И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппа-
ратов с учетом экономической эффективности — М.: Машиностроение, 1973.—
22.	Дьюген Дыоэн В. Обслуживание космических объектов на геостацио-
нарной орбите. — Астронавтика и ракетодинамика. 1971, № 36, ВИНИТИ, с. 13.
237
23.	Есипчук Ю. В. Исследование плазменных систем с замкнутым дрейфом
электронов и распределенным электрическим полем. — В кн.: Плазменные уско-
рители. М., Машиностроение, 1973, с. 75—85.
24.	Есипчук Ю. В. и др. Исследование пролетных колебаний в ускорителе
с замкнутым дрейфом. — В кн.: Материалы 2-й Всесоюзной конференции по
плазменным ускорителям, Изд. Института физики АН БССР, Минск, 1973,
с. 10—11.
25.	Жаринов А. В., Попов Ю. С. Основы теории ускорителя с замкнутым
холловским током и анодным слоем. — В кн.: Материалы 2-й Всесоюзной кон-
ференции по плазменным ускорителям, Изд. Института физики АН БССР,
Минск, 1973, с. 146—148.
26.	Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономиче-
ская теория. /Пер. с англ. — М.: Прогресс, 1975. — 608 с.
27.	Кахан Т., Гози М. Физика и расчет ядерных реакторов. /Пер. с франц.
—М.: Атомиздат, 1960. — 392 с.
28.	Кен и др. Новые исследования холловских движителей низкой плотно-
сти.— Ракетная техника и космонавтика, 1970, № 5, с. 25—32.
29.	Константинов М. С. Методы математического программирования в про-
ектировании летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1975.— 164 с.
30.	Корлисс У. Ракетные двигатели для космических полетов. — М.: ИЛ,
1962, с. 92, 457—463.
31.	Корсун А. Г. Низкотемпературный режим в ускорителе с замкнутым
холловским током.— В кн.: Материалы 2-й Всесоюзной конференции по плаз-
менным ускорителям, Изд. Института физики АН БССР, Минск, 1973, с. 159—
160.
32.	Кузмак Г. Е., Копнин Ю. М. Новая форма уравнений движения спут-
ника и приложение ее к исследованию движений, близких к кеплеровым. — Вы-
числительная математика и математическая физика, 1963, № 4, с. 730—741. '
33.	Куландин А. А., Тимашев С. В., Иванов В. П. Энергетические системы
космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1972. — 428 с.
34.	Коэн, Бирс. Сравнение систем с электрореактивными, ядерными и хи-
мическими двигателями. — Вопросы ракетной техники, 1963, № 8, с. 3—20.
35.	Лебедев В. Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой.
Изд. вычислительного центра АН СССР, 1968, вып. 5, 108 с.
36.	Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов, — М.:
Атомиздат, 1958.	384 с.
37.	Мсрилл Г. Исследование операций. — М.: ИЛ, 1959.— 595 с.
38.	Меррей Р. Физика ядерных реакторов. /Пер. с англ. — М.: Атомиздат,
1959. — 292 с.
39.	Морозов А. И. Плазменные ускорители. — В кн.: Плазменные ускорите-
ли. М., Машиностроение, 1973, с. 5—15.
40.	Морозов А. И. О равновесии и устойчивости потоков в ускорителях
УЗДП. — В кн.: Плазменые ускорители, М., Машиностроение, 1973, с. 85—92.
41.	Морозов А. И. Эффект пристеночной проводимости. — ПМТФ, 1968,
вып. с 19.
42.	Морозов А. И., Шубин А. П. Космические электрореактивные двигате-
ли.— М.: Знание, 1975. — 64 с.
43.	Основы теории полета космических аппаратов. /Под ред. Г. С. Нарима-
нова, М’ К- Тихонравова. — М.: Машиностроение, 1972. — 607 с.
44.	Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. /Под ред.
В. М. Кудрявцева — М.: Высшая школа, 1975. — 656 с.
45.	Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике.
/Под ред. В. К. Кошкина. — М.: Машиностроение, 1975. — 624 с.
46.	Оптимизация характеристик ракеты-носителя «Сатурн-5>. — Вопросы
ракетной техники, 1970, № 2, с. 13.
47.	Пейдж П., Шорт Р. Электронагревные двигатели с высокими характе-
ристиками.— Вопросы ракетной техники, 1972, № 4, с. 46—54.
48.	Первознанский А. А. Поиск. — М.: Наука, 1970. — 264 с.
49.	Петросов В. А., Сафонов И. Б. Квазиодномерная модель ускорения
плазмы в осесимметричных разрядах с внешним магнитным полем. — В кн.:
Плазменные ускорители. М., Машиностроение, 1973, с. 129—132.
238
50.	Проект западноевропейской ракеты — носителя Ариан (L-39).— Астро-
навтика и ракетодинамика, 1974, № 48, ВИНИТИ, с. 1—6.
51.	Проектирование и испытание баллистических ракет. /Под ред.
В. И. Варфоломеева, М. И. Копытова — М.: Воениздат, 1970. — 392 с.
52.	Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных
задачах. — М.: Наука, 1975. — 320 с.
53.	Растригин А. А. Статистические методы поиска. — М.: Наука, 1968.—
376 с.
54.	Роббинс Н. М. Аналитическое исследование импульсной аппроксима-
ции.-- Ракетная техника и космонавтика, 1966, № 8, с. 134—138.
55.	Самарский А. А. и др. Магнитогидродинамическая модель нестационар-
ное ускорения плазмы. — ДАН, 1972, № 2, с. 307.
56.	Сафранович В. Ф., Чинарев А. А., Эмдин Л. М. Энерговесовая эффек-
тивность межорбитальных перелетов КА различных типов. — Космические ис-
следования, 1977, т. XV, вып. 4, с. 540—545.
57.	Статистико-аналитические модели стоимости разработок и производства
космических аппаратов. — Астронавтика и ракетодинамика, 1972, № 29,
ВИНИТИ, с. 1—37.
58.	Тарасов Е. В. Алгоритм оптимального проектирования летательного
аппарата. — М.: Машиностроение, 1970. — 123 с.
59.	Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания.
/Под ред. В. П. Глушко. Т. 1. Изд. АН СССР, 1971, 266 с.
60.	Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания.
/Под ред. В. П. Глушко, Т. IV. Изд. АН СССР, 1973. — 528 с.
61.	Типовая методика оптимизации одномерного параметрического (типо-
размерного) ряда. — М.: Изд-во стандартов, 1975. — 63 с.
62.	Требования, предъявляемые к летному образцу ЯРД НЕРВА и его ра-
бочие параметры. — Астронавтика и ракетодинамика, 1971, № 46, ВИНИТИ,
с. 40—59.
63.	Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. — М.: Наука, 1967. — 267 с.
64.	Фаворский О. Н., Фишгойт В. В., Янтовский Е. И. Основы теории кос-
мических электрореактивных двигательных установок. — М.: Высшая школа,
1970. —488 с.
65.	Холщевников К. В. Теория и расчет авиационных лопаточных машин.—
М.: Машиностроение, 1970.— 612 с.
66.	Чуев Ю. В., Спехов Г. П. Технические задачи исследования опера-
ций.— М.: Советское радио, 1971. — 244 с.
67.	Штулингер Э. Ионные двигатели для космических полетов. /Пер. с
англ. — М.: Воениздат, 1966, 344 с.
68.	Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственного спутника
Земли. — М.: Наука, 1965.— 510 с.
69.	Эмдин Л. М. Аналитическое определение оптимальной тяги маршевых
двигателей при межорбитальных перелетах.— Космические исследования, 1976,
т. XIV, вып. 6, с. 951—954.
70.	Эрике К. Космический полет. Т. 2. М., Наука, 1969, 571 с.
71.	Эрике К. Космический полет. Т. 1. М., Физматгиз, 1963, с. 388—389. ч
72.	Aviation Week, 1962, vol. 76, N 1, p. 17.
73.	Aviation Week, 1971, vol. 94, N 10, p. 90—95.
74.	Missiles and Rockets, 1962, vol. 10, N 7, p. 13—14.
75.	Raumfahrtforschung, 1970, Bd. 14, N 3, S. 131.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ...........................................................  X
Глава 1. Общая характеристика задачи выбора типа и параметров
двигательных установок для межорбитальных полетов ....	6
1.1.	Общая характеристика задачи .	.	.................... 6
1.2.	Параметры, характеризующие маневры при выполнении задачи
полета .	.	.	-...............................11
1.3.	Критерии оценки эффективности выполнения задачи полета .	.	16
1.4.	Методы решения задачи комплексной оптимизации параметров дви-
гательной установки в составе космического аппарата ...	20
1.5.	Разделение задачи комплексной оптимизации параметров двига-
тельной установки на независимые части .	. i .	.	28
Глава 2. Комплексная оптимизация параметров двигателей в составе
космического аппарата на основе применения метода «штрафных» функ-
ций и системы автономных процедур на входном языке ЭВМ	.	.	33
2.1. Особенности математической модели объекта оптимизации	.	.	33
2.2. Система автономных процедур на входном языке ЭВМ для форми-
рования математических моделей задачи оптимизации параметров 42
Глава 3. Динамическая часть задачи оптимизации параметров	50
3.1.	Определение импульсных составляющих скорости для межорби-
тальных перелетов — баллистическая часть задачи ....	50
3.2.	Решение баллистической и динамической частей задачи оптимиза-
ции параметров двигательных установок на химическом и ядерном
топливах методом «штрафных» функций и по величине орбиталь-
ной энергии.........................................................58
3.3.	Аналитическое решение динамической части задачи при использо-
вании двигателей на химическом и ядерном топливах ...	68
3.4.	Определение затрат характеристической скорости КА с ЭРД мето-
дом интегрирования дифференциальных уравнений движения .	.	81
3.5.	Применение метода усреднения параметров движения КА с ЭРД
для решения динамической части задачи оптимизации .	95
Глава 4. Оптимизация параметров двигательных установок с жидко-
стными двигателями....................................................106
4.1.	Обобщенная структурная формула начальной массы при исполь-
зовании ЖРД, ЯРД и ЭРД.............................................106
4.2.	Составляющие начальной массы при использовании ЖРД .	.	112
4.3.	Выбор оптимизируемых параметров................................126
4.4.	Аналитическое определение оптимальной	тяги....................130
4.5.	Определение оптимальных параметров.............................138
Глава 5. Оптимизация параметров двигательных установок с ядерны-
ми двигателями .	.	.	.	.........................147
5.1. Структурная формула начальной массы и характеристики ЯРД .	147
5.2. Составляющие начальной массы. Определение оптимальных пара-
метров .	.	.	.	................................158
Глава 6. Оптимизация параметров двигательных установок с электро-
реактивными двигателями...............................................168
6.1.	Общая характеристика ЭРД и структурная формула начальной
массы..............................................................168
6.2.	Энергетические	характеристики ЭРД .	 174
6.3.	Составляющие начальной массы. Определение оптимальных пара-
метров ............................................................203
Глава 7. Выбор двигательных установок при решении одной и сово-
купности космических задач............................................209
7.1. Области рационального применения разных типов двигательных
установок.......................................................210
7.2. Выбор параметрического ряда унифицированных двигателей .	222
Список литературы ....	....................... .	.	237
240