САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
И. Г. Бурова, Ю. К. Демьянович
МИНИМАЛЬНЫЕ
СПЛАЙНЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Рекомендовано УМО в области инновационных
междисциплинарных образовательных программ
в качестве учебника по специальности 010503
«Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем»
ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ББК 22.19
Б92
Рецензенты:
докт. физ.-мат. наук, проф. В. А. Морозов
(НИВЦ Моск. гос. ун-та им. М. В. Ломоносова),
докт. физ.-мат. наук, проф. В. Г. Дегтярев
(Петерб. гос. ун-т Путей сообщения)
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Математико-механического факультета
С.-Петербургского государственного университета
Предлагаемая читателю книга — учебник по теории минимальных
полиномиальных и неполиномиальных сплайнов. В ней
рассматриваются различные способы построения сплайнов на локально
квазиравномерных конечных и бесконечных сетках. Исследуются их
аппроксимативные свойства и устойчивость, систематизируются пространства
сплайнов, приводятся эффективные оценки констант аппроксимации и
устойчивости, рассматривается применение сплайнов к решению задач
интерполяции, аппроксимации, к вычислению интегралов и к решению
дифференциальных уравнений.
Учебник предназначен для студентов и аспирантов, изучающих
численные методы, вопросы аппроксимации функций и приемы сжатия
и восстановления потоков структурированной информации в реальном
масштабе времени. Учебник может оказаться полезным для
специалистов и всех интересующихся современными достижениями в этих
областях.
ISBN 978-5-288-04978-1
© И. Г. Бурова,
Ю. К. Демьянович, 2010
© С.-Петербургский
государственный университет, 2010

ПРЕДИ СЛ ОВ ИЕ
В математике сплайны появились достаточно давно: ломаную
Эйлера можно рассматривать, как простейшую сплайновую
аппроксимацию. Дженкинс (W.A.Jenkins), фактически,
рассматривал сплайны, когда исследовал оскуляторную интерполяцию в
1926 году; изучал ее также и Гревилль (Th.N.E.Grevill) в 1944
году. В конце девятнадцатого века словом "сплайн" (spline)
английские инженеры называли гибкую линейку, которая
применялась для проектирования закруглений железных дорог. В 1946
году ([65]) Шонберг (I.J.Schonberg) ввел этот термин в
математику, применив его для обозначения рассмотренных им функции
с "кусочными" свойствами. Сплайн В.С.Рябенького [44] был по-
видимому первым интерполяционным минимальным сплайном. К
настоящему времени по сплайнам имеется большая серия статей
и ряд монографий, освещающих многие стороны теоретических
исследований и практического применения сплайнов ([1, 15, 17,
19, 33, 36, 38, 40, 41, 47] и библиографию в них). Отметим
глубокие связи сплайнов с конечно-элементной аппроксимацией ([2, 40,
45, 48, 49, 62, 66]), и их фундаментальную роль в бурном развитии
теории вэйвлетов ([31, 32, 53 - 56]).
Предлагаемая читателю книга в отличие от имеющихся
публикаций представляет определенные грани теории минимальных
сплайнов, которые наиболее ярко отражают новые подходы к
построению и исследованию свойств сплайнов; здесь представлены
также примеры применения сплайнов для интерполяции и
аппроксимации функций, а также графики для наглядной
иллюстрации этих применений.
Методы аппроксимации и интерполяции широко
используются при построении конечно-элементного и сеточного методов
приближенного решения задач математической физики, при сжатии
3

и восстановлении потоков числовой информации, при их
фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди
средств приближения и интерполяции занимают пространства
сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов
приводит к использованию функций с малым носителем (локальных
функций — [20]) с теми или иными минимальными свойствами.
Наиболее часто применяются пространства с базисом из
функций, носители которых имеют минимальную кратность
перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся
В-сплайны ([1, 19, 34, 47 ]), сравнительно недавно разработанные
интерполяционные минимальные сплайны ([ 7, 27, 44]), а
также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [49]).
Подобные аппроксимации называются минимальными ([20, 25]).
Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений
((21])·
Существует большое количество разнообразных пространств
сплайнов с различными полезными свойствами: гладкостью,
качественной аппроксимацией, численной устойчивостью,
неотрицательностью базисных функций, минимальной кратностью
накрытия носителями функций базиса при заданном порядке
аппроксимации. Некоторые пространства сплайнов обладают
интерполяционным локальным базисом, определенными
фильтрационными свойствами и т.п. Выбор пространства сплайнов
обычно определяется типом данных и целями, которые ставятся при
их обработке. Подчеркнем, что это в равной степени относится
как к приближенному решению задач математической физики
(неотрицательность или известный тип особенностей точного
решения, особенности в коэффициентах, угловые точки или точки
пика в области и т.д.), так и к обработке числовой информации,
поступающей от измерительной аппаратуры (со спутников и т.п.);
при этом особое значение приобретает вопрос о возможности
обработки именно с помощью данного арифметического процессора
и предлагаемого аппарата сплайнов с сохранением нужной
точности и без выхода за пределы разрядной сетки. Для его решения
необходимы эффективные оценки констант в оценках
аппроксимации (эти константы называются константами аппроксимации)
и констант эквивалентности соответствующих сеточной и
Соболевской (или равномерной) норм для рассматриваемых сплайнов
(такие константы называются константами устойчивости).
4

Как было отмечено выше, свойство минимальности
рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы
вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач
выполнение упомянутого свойства приводит к минимизации
ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной
задачи, а в итоге, уменьшается число арифметических операций при
отыскании решения.
Свойство минимальности особенно важно при аппроксимации
функций с быстро растущими производными, где приходится
использовать сильно неравномерную сетку. Характер
неравномерности сетки можно определить в соответствии с классом
приближаемых функций ([24]), при этом сохраняются свойства
оптимальности приближения (по порядку) и оценка числа
арифметических действий. Для реализации вычислений возможно
понадобится выбрать арифметический процессор (с соответствующим
программным обеспечением); к числу главных его характеристик
относится диапазон представления чисел и быстродействие.
Требуемый диапазон представления чисел определяется как
данными задачи, так и аппаратом приближения. Для определения
границ упомянутого диапазона, а также для оценки погрешности
необходимы эффективные константы в оценках аппроксимации
и устойчивости. Решению этих и близких к ним задач
посвящена данная книга. В частности, эти вопросы рассмотрены для
ряда минимальных локальных аппроксимаций на семействах
квазиравномерных и локально квазиравномерных сеток. К
рассматриваемому семейству сеток относятся конечные сетки, а также
определенные бесконечные сетки с конечными или бесконечными
точками сгущения.
Для расширения выбора среди минимальных сплайнов
вводятся в рассмотрение Л-минимальные сплайны ([12, 28, 59]),
частными случаями которых являются интерполяционные
минимальные сплайны, В-сплайны, а также многие непрерывные и
разрывные сплайны. В некоторых случаях требуется определенное
обобщение понятия непрерывности сплайна или его производных в
узлах (например, может потребоваться непрерывность значений
некоторого дифференциального оператора). Обобщением
непрерывности служит так называемая G-непрерывность, введенная
в [58-59]. Помимо обычной непрерывности сплайнов и их
производных в узлах с помощью этого обобщения изучается непрерыв-
5

ность их линейных комбинаций с негладкими (и даже
разрывными) коэффициентами. Такой подход удобен для ряда
приложений и приводит к расширению области применения
минимальных сплайнов. Если даже ограничиться нулевой высотой и
равномерной сеткой, то можно увидеть, что множество
минимальных сплайнов с заданным порядком аппроксимации га довольно
многообразно и определяется га параметрами. Одним из
способов задания этих параметров служит задание
характеристического многочлена (многочлена степени ш, старший
коэффициент которого фиксирован, а остальные коэффициенты могут
выбираться произвольно); последний полностью определяет
минимальный образующий сплайн (получающийся из
характеристического многочлена с помощью некоторого разностного оператора,
не зависящего от упомянутых параметров). Выделение сплайнов
определенной гладкости приводит к классам пространств
минимальных сплайнов, находящимся во взаимно однозначном
соответствии с определенными плоскостями m-мерной
гиперплоскости рассматриваемых параметров. Подобное систематическое
исследование минимальных сплайнов позволяет решить вопрос об
удобных оценках констант аппроксимации и устойчивости во всем
множестве пространств минимальных сплайнов, стремиться к
получению эффективных оценок с явной зависимостью от
параметров и к выделению наиболее приемлемых областей изменения
параметров. Результаты проведенных исследований можно
использовать для программной реализации алгоритма выбора нужных
пространств сплайнов (для используемого диапазона
представления чисел на ЭВМ) или для автоматизированного переключения
вычислений на подходящий процессор.
В данной книге представлено достаточно полное исследование
констант в случае минимальных сплайнов в одномерном случае
(га = 1), в том числе рассмотрены классы минимальных
аппроксимаций ненулевой высоты, а также некоторые классы разрывных
минимальных сплайнов. Проведены оценки в нормах пространств
С(1ос) и в соболевских нормах без веса, а также в аналогичных
нормах с различными степенными весами. Полученные
результаты применены к оценкам погрешности некоторых квадратурных
формул для интегралов с особенностью; они могут быть
распространены на ряд многомерных аппроксимаций (в особенности на
те из них, которые получаются тензорным произведением одно-
6

мерных аппроксимаций), на основе чего можно найти константы
для минимальных аппроксимаций при числе измерений га > 2.
Книга содержит девять глав и три приложения. Первая
глава посвящена минимальным интерполяционным сплайнам. Здесь
вводятся основные понятия: аппроксимационные соотношения,
элементарные и простейшие минимальные сплайны, понятия
однородности сплайнов, сплайнов нулевой и ненулевой высоты.
Рассматриваются свойства и последовательная интерполяция
такими сплайнами.
Вторая глава посвящена сплайнам на локально
квазиравномерной сетке, как конечной, так и бесконечной. Здесь многие
оценки содержат вычислимые константы; в некоторых случаях
эти константы не могут быть улучшены. Вводятся и исследуются
граничные сплайны, строятся квадратурные формулы,
согласованные с минимальными сплайнами, даются оценки
аппроксимации и устойчивости. Определенное внимание уделено построению
и исследованию локально квазиравномерных сеток. Даны
результаты численных экспериментов; они иллюстрируют полученные
теоретические оценки.
В третьей главе изучаются тригонометрические минимальные
сплайны. Они обладают большой устойчивостью при счете, и в
некоторых случаях - дополнитеольными удобствами при
реализации вычислений.
Четвертая и пятая главы посвящены гладким минимальным
сплайнам (лагранжевым и эрмитовым), их модификациям, а
также так называемым усредняющим и сглаживающим сплайнам.
В шестой главе дается подробное изложение построения неулуч-
шаемых констант аппроксимации и устойчивости в особенности
для минимальных сплайнов второй и третьей степени.
Громоздкость выкладок заставила использовать системы аналитических
вычислений для их получения, а громоздкость полученного
результата привела к применению специальных приемов изложения
"процедурного" типа.
Седьмая, восьмая и девятая главы посвящены изложению
общей теории минимальных сплайнов. Это позволило охватить как
недавно полученные минимальные интерполяционные сплайны,
так и классические сплайны (В-сплайны и ряд других). Среди
этих сплайнов находится большое количество таких, которые, по-
видимому, ранее не рассматривались. Получены различные пред-
7

ставления этих сплайнов, дана их классификация, исследованы
вопросы гладкости, рекуррентного вычисления и т. п. Для
простоты все построения в этих главах проводятся на равномерной
сетке.
В конце книги имеются три приложения; первое из них
посвящено определенному обобщению сплайновой аппроксимации.
Второе приложение содержит применения теории к различным
аспектам: к построению неполиномиальных лагранжевых
сплайнов, гладких сплайнов и сплайнов ненулевой высоты; здесь
рассмотрены также применения сплайнов к решению задачи Эрмита-
Бирхгофа и к численному решению задачи Коши. Третье
приложение дает иллюстрации ряда сплайнов в рисунках и в таблицах.
Нумерация определений, лемм, теорем проводится по главам,
а нумерация формул — по параграфам. Так, например, формула
(2.5) находится во втором параграфе текущей главы, а при ссылке
на формулу из другой главы применяется тройная нумерация: в
частности, ссылка (3.2.5) означает формулу (2.5) третьей главы.
Аналогичным образом, ссылка на теорему 2.11 означает теорему
11 из второй главы. В конце книги имеется список обозначений
с указанием номеров страниц, на которых можно найти сведения
об используемых символах.
Определенная часть представленных здесь исследований
выполнена благодаря поддержке грантами РФФИ N07-01-00269, N07-
01-00451 и гранта Прикладной НИР 8.1.09 в области образования.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам
В.А.Морозову и В.Г.Дегтяреву за ценные замечания при
подготовке рукописи и благодарят студентов математико-механическо-
го факультета СПбГУ М. Корепанова и А.Гурьева за
моделирование рассматривемых сплайнов на ЭВМ.

Глава I
МИНИМАЛЬНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ
СПЛАЙНЫ
Данная глава посвящена интерполяционным минимальным
сплайнам. Рассматриваются аппроксимационные соотношения как
источник минимальных сплайнов, удобных для решения
интерполяционных задач Лагранжа и Эрмита, поэтому упомянутые
сплайны носят названия лагранжевых и эрмитовых
соответственно. Среди широкого многообразия подобных сплайнов
выделяются сплайны с достаточно простым вариантом расположения
носителей, такие сплайны называются элементарными.
Отличительная черта рассматриваемой ситуации — в том, что сетка
бесконечна и может иметь конечные точки сгущения. Вводятся
понятия однородности сплайнов, последовательной интерполяции и
др. Изложение сопровождается примерами сплайнов.
§ 1. Минимальные лагранжевы сплайны
1.1. Аппроксимационные соотношения
На интервале (а, 6) вещественной оси TZ1 рассмотрим
бесконечное счетное множество X точек, имеющее лишь две точки
сгущения, а именно — концы α и 6 интервала (случаи а = — оо, b = +оо
не исключаются).
Пусть Ζ — совокупность всех целых чисел. Перенумеруем
точки множества X целыми числами j Ε Ζ в порядке возрастания,
X = {xj}jez, так что
X : ... < х_2 < #-1 < хо < ^1 < ^2 < · · ·, (1.1)
а = lim Xj, b = lim Xj.
9

Множество X называется бесконечной (в обе стороны)
сеткой на интервале (а, 6), точки Xj — узлами сетки, а интервалы
(xj,Xj+i) — сеточными интервалами (j Ε Ζ).
В дальнейшем будем рассматривать измеримые функции f(t)
вещественного переменного ί G (α, 6) и символом ' supp /
обозначать множество точек £, в которых эта функция отлична от нуля,
'supp/d={i|/W#0}.
Очевидно, что supp / = ' supp /.
Символ С(а, β) будем употреблять для обозначения линеала
функций, непрерывных в каждой точке интервала (α,/3).
Пусть семейство {^j}jez функций u>j(t), t Ε (α, 6), таково,
что для любых вещественных чисел Vj, j e Z, и любого числа
t Ε (α, b) линейная комбинация
*№ = Σ>^(*) (1.2)
jez
содержит лишь конечное число слагаемых. Это свойство
эквивалентно тому, что каждая точка t G (α, b) содержится лишь в
конечном числе множеств вида 'suppu^.
В связи с этим введем понятие кратности накрытия.
Определение 1. Рассмотрим некоторое семейство
Μ = {Mj}j£z множеств Mj на вещественной оси. 1 Число
множеств Mj, содержащих точку t G ΤΙ1, называется кратностью
накрытия точки t семейством Μ и обозначается ee^(Ai).
Число se^(Ai) может оказаться любым целым
неотрицательным числом, а также +оо. В частности, если ге^(М) = 0, то
это означает, что точка t не содержится ни в одном из множеств
семейства λί.
Определение2. Говорят, что семейство Μ имеет конечную
кратность накрытия в точке £, если число se^(Ai) конечно. Пусть
Q — некоторое множество на вещественной оси. Число
&g{M)d= SMV&{t\M)
называется кратностью накрытия множества Q семейством Μ.
1 Здесь и далее на вещественной оси рассматриваются лишь измеримые (по
Лебегу) множества; часто они являются объединением сеточных интервалов.
10

Ясно, что если кратность накрытия множества Q равна нулю,
то оно не пересекается ни с одним из множеств Mj семейства М.
Если же адд(М) < +оо, то любая точка t G Q содержится разве
лишь в конечном числе множеств Mj (но может не содержаться
ни в одном из них).
Заметим, что если семейство ЛЛ накрывает множество Q с той
или иной кратностью, то это отнюдь не означает, что семейство
М. является его покрытием {М. — покрытие для Q тогда и только
тогда, когда m{tegee^\M) > 1).
ОпределениеЗ. Кратностью семейства {ujj }j^z функций
ujj(t) в точке £, t G (а, 6), называется число «^({'supp ujj}jez)·
Семейство {uJj}j^z называется семейством ограниченной
кратности на интервале (а, 6), если верно соотношение
ae(0ib)({'supp Uj}j€Z) < +oc. (1.3)
Теперь ясно, что для того чтобы при любых Vj G И1 и любом
t G (а, Ъ) сумма (1.2) содержала конечное число слагаемых,
необходимо и достаточно, чтобы семейство {uJj}j^z имело конечную
кратность в любой точке t промежутка (а, Ь).
Введем множество J(t) = {j\t G; suppu^} и запишем сумму
(1.2) в виде
v(t) = Σ W). (1.4)
J€J(t)
В дальнейшем всегда предполагается, что семейство {u>j}jez
является семейством ограниченной кратности на интервале (а, 6),
т. е. что выполнено неравенство (1.3).
Из этого предположения следует конечность множества J(t)
при каждом фиксированном t G (α, b).
Определение 4. Будем говорить, что семейство {oJj}jez
имеет постоянную кратность на (а, 6), если величина
«^({'supp ujj}j£z) одинакова для всех t G (α, b)\X; общее
значение этой величины будем называть кратностью семейства {uJj}j^z
на множестве (а, Ъ) и обозначать через Kg({uj}j£z)-
Рассмотрим функцию ιι(£), заданную и непрерывную на
интервале (а, Ь). Полагая в сумме (1.4) Vj = u(xj), сопоставим функ-
11

ции u(t) функцию u{t) по формуле
u(t) = Σ Фз)«>Л*)· (L5)
J€J(t)
Пусть 7rm — линеал всех полиномов степени не выше то.
Определение 5. Будем называть формулу (1.5) точной на
многочленах степени то, если
u(t)=u(t) Vt€(a,b)\X, и€тгт. (1.6)
Очевидно, что тождество (1.6) эквивалентно тождествам
]Г x^j(t) = t\ i = 0,l,...,m, t€(a,b)\X. (1.7)
j€J(t)
Поставим вопрос об определении функций (Jj(t) из (1.7),
рассматривая t как параметр (пока фиксированный) из промежутка
(а, 6), не совпадающий с узлами Xj. При каждом фиксированном
te (a,6), Ьфх,, (1.8)
соотношения (1.7) дают систему из то 4-1 линейных
алгебраических уравнений относительно α^(£), число неизвестных которой
совпадает с кратностью семейства {u>j}jez в точке t. Матрица
этой системы — (прямоугольная) матрица Вандермонда с (т+1)-
мерными столбцами. Если число последних не превосходит то, то
вместе со столбцом правой части они образуют линейно
независимую систему (ввиду предположения о том, что все узлы сетки
различны и t не совпадает ни с одним из узлов), поэтому столбец
правой части не может быть линейной комбинацией столбцов
матрицы системы, так что система не имеет решения. Если же число
столбцов матрицы системы превосходит то, то столбцы
представляют собой полную систему векторов в евклидовом пространстве
7£m+1 (их линейные комбинации с произвольными
коэффициентами заполняют пространство 7£m+1) и, следовательно, система
линейных алгебраических уравнений (1.7) разрешима.
Итак, при предположениях (1.8) для разрешимости системы
(1.7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
ae(t)({'supp cjj}jez) > m + 1. (1.9)
12

Из этих рассуждений видно, что при решении системы (1.7)
можно априори выбрать то или иное расположение множеств
'supp (jjj, лишь бы они при каждом t € (a.b), t φ Xj,
удовлетворяли условиям (1.9), а затем определить сами функции ujj(t) для
упомянутых значений t. Если в узле Xk пределы слева и
справа функции Uj{t) одинаковы, то доопределяем ее в этом узле по
непрерывности:
и>;(хк) = u>j(xk - 0) = u>j(xk + 0); (1.10)
в противном случае (как видно из дальнейшего), способ
доопределения этих функций в узлах Xj,j € 2, существенной роли не
играет.
Если почти везде на (а, Ь) в (1.9) выполнено равенство, то
функции Uj(t) определятся однозначно почти для всех t из (а, Ь).
В последнем случае функции uij(t) будут определяться
некоторыми полиномами степени т.
Определение 6. Тождества(1.7) называютсяаппроксима-
ционными соотношениями, а функции (1.4), полученные
линейной комбинацией функций u)j{t)y удовлетворяющих тождествам
(1.7) и условиям (1.9), называются простейшими минимальными
лагранжевыми сплайнами.
В дальнейшем рассматривается лишь случай, когда
множества ' supp cjj представляют собой объединение конечного числа
сеточных интервалов (или их замыканий); очевидно, для
определения функций ujj(t) на интервалах (xj,xj+i) из аппроксимаци-
онных соотношений (1.7) достаточно задать расположение
носителей supp Uj. Различные способы их задания при условии (1.9)
позволяют из (1.7) получать функции ujj(t) и пространства
сплайнов (1.4) с различными свойствами (пространства гладких,
непрерывных, однородных сплайнов, пространства с
интерполяционным локальным базисом и пространства разрывных
минимальных сплайнов).
Соотношения (1.7) приводят к асмптотически оптимальному
по η-поперечнику (см. [36]) приближению аппроксимируемой
функции.
13

1.2. Элементарные минимальные сплайны
Здесь рассмотрим наиболее естественные варианты задания
носителей базисных функций; в результате получим частные
случаи простейших минимальных сплайнов. Для этого зафиксируем
целые числа Z, s так, что
l + s = m+l. (1.11)
Будем искать функции ил, из соотношений (1.7) при
следующем предположении:
supp Uj = [xj-a,Xj+i]. (1.12)
Очевидно, что выполнено неравенство (1.9), и при условии t Ε
(α, Ь), ЬфХ], функции Uj определены однозначно.
Для
te(xk,xk+i) (1.13)
имеем
J(t) = Jfc(t), Jk(t) = {к - / + 1, к - / + 2,..., к + 5}, (1.14)
так что аппроксимационные соотношения (1.7) принимают вид
Xk-i+i^k-i^t)+xi_wUk^W(t) + ^^xU3^k^s(t) = t\ (1.15)
г = 0,1,... ,т.
Из этих соотношений получим
0^*)= J] * ^ , t€(a*,a*+i), (1.16)
/€Л(0 J J
iVi
fc = .7-e,j-s + i,...,j + i- i;
^(0 = 0, iff [*,·-„:&,·+,]. (1.17)
Определение 7. Линейные комбинации
J€2
14

функцийα/j;, заданных равенствами (1.16), (1.17), называются
элементарными минимальными сплайнами (для фиксированных /, s).
Легко видеть, что элементарные минимальные сплайны —
кусочно-полиномиальные функции; функция (Jj(t) является
полиномом степени т на каждом интервале вида (χ^,χα,+ι), к = j —
8,j-8 + l,...,j + l - 1.
Если взять т = 1, / = 2, s = 0, то при t Ε (xk,xk+i) система
(1.15) состоит из двух уравнений
Uk-l(t) +U>k(t) = 1, Xk-LUk-l(t) + XkUk(t) = t.
Решая эту систему, находим
хк -t t -xk-i t ч
<4b-i(t) = , ^fc(i) = , (1.19)
откуда (полагая к = j, а, затем к = j + 1) выводим
^(t) = * ~^-г ; t € (x.,,xi+1), (1.20)
Uj(t) = х>+1_~Ь , t € (*,·+1,χ,+2), (1.21)
Xj+\ Xj
"i(*)=0, ^[xi,xi+2]. (1.22)
Полученные функции u^(£) имеют в узлах неустранимые
разрывы первого рода; эти функции обычно доопределяют так,
чтобы в результате они оказались непрерывными слева или справа.
При m = / = s = 1 и ί G (#fc,#fc+i) система (1.15) примет вид
uk(t) +ω*+ι(ί) = 1, xkuk(t) +xk+icjk+i(t) = £,
откуда получим
^"W = - J. ' * G (Xj-i,Xj),
«j(*) = Xi+1_~* , * € (xjt xi+i), (1.23)
Xj+1 Xj
",·(*) = 0, ί$![χ,·-ι,χ,+ι]. (1.24)
В этом случае функции u/j(i) тоже не определены в узлах, но
их можно доопределить по непрерывности.
15

В общем случае далее будет доказано, что для того чтобы
элементарные минимальные сплайны ujj(t) можно было
доопределить во всех узлах по непрерывности, необходимо и достаточно
выполнение неравенств
s > 1, / > 1. (1.25)
Заметим, что производные рассматриваемых сплайнов (до
порядка т включительно) в узлах имеют неустранимые разрывы
первого рода.
Отметим некоторые свойства функций ω у
Легко показать, что функции ljj линейно независимы.
Действительно, любая конечная линейная комбинация этих функций
такова, что найдется интервал, целиком содержащийся в носителе
лишь одной из упомянутых функций нашей линейной
комбинации. Из равенства нулю этой комбинации следует, что
коэффициент при указанной функции равен нулю; таким образом, эта
функция фактически не участвует в рассматриваемой линейной
комбинации. Проводя такое рассуждение конечное число раз,
убедимся, что все коэффициенты нашей линейной комбинации равны
нулю, что и доказывает линейную независимость функций Uj.
Другое важное свойство состоит в том, что для построения
функцииαλ,(£) привлекаются узлы Xj/, f = j—m, j—ra+1,..., j+
m, среди которых всегда (за исключением случая т = 1)
имеются узлы, лежащие вне носителя этой функции; интересно, что
набор привлекаемых узлов не меняется при изменении чисел Us.
Однако, если t фиксировано и не совпадает с узлом, то при
вычисления любой базисной функции, для носителя которой t —
внутренняя точка, требуется один и тот же набор узлов, а именно
{xk-i+\, Xk-i+2,..., Хк+s}, где к удовлетворяет условию
t Ε (x/c,Xfc+i)· Этот набор узлов зависит от /,s. Тот же набор
узлов требуется для вычисления всей линейной комбинации (1.4)
в упомянутой точке.
Наконец, в условиях (1.25) продолженные по непрерывности
сплайны cjj(t) являются интерполяционным базисом для задачи
Лагранжа, т. е.
ш0{хг) = 50,г, jj'eZ, (1.26)
где 5jj' — символ Кронекера. Ввиду этого свойства сплайны с
таким базисом называем также лагранжевыми минимальными
сплайнами.
16

Графики различных базисных сплайнов при разных т
приведены на рис. П.1-П.17 в Приложении.
Рассмотрим теперь равномерную сетку (1.1) с шагом h > О, а
именно положим Xj = jh, a = —оо, Ь = +оо. Нетрудно видеть,
что в этом случае элементарные минимальные сплайны iJj(t)
получаются сдвигом и подобным преобразованием аргумента одной
и той же функции, cJj(t) = cj(t/h — j)} где
"(ί)= Π ^Нг. ί€(Μ + 1), (1-27)
j'€Jfc(t),jVi J
k = j-sj -s + l,...,.7 + /- 1;
^(0=0, tg[i-*.J + J]· (L28)
1.3. О понятии однородности сплайнов
Условие (1.9) можно сохранить и при других способах выбора
носителя. Ограничимся двумя примерами.
Пусть т = 2 и
supp u;2s+i = [x2s, Я2в+г]» supp u;2s = [x2s-2, ^23+2], s G Z.
(1.29)
Рассматривая уравнения системы (1.7) при t G (x-2s , £2s+i) и
£ G (£2s+i,#25+2), замечаем, что они совпадают:
4в^2в(0 + ^L+1^2s+l(0 + Х2*+2^2в+2(*) = *\ * = 0, 1, 2. (1.30)
На своем носителе функция u;2S+i представляет собой
квадратный трехчлен со свойством u;2S+i(£*) = £2s+i,t, а функция
<^2s+2 — непрерывную кусочно-квадратичную функцию,
квадратичную на промежутках (x2s-2,£2s) и (£2s,#2s+2) и обладающую
свойством u>2s(xi) = £2s,z, где i Ε Ζ. Таким образом, построенные
только что функции Uj — квадратичные простейшие сплайны
класса С(а,Ь), представляющие собой интерполяционный базис
на сетке (1.1).
Во втором примере возьмем т = 3 и положим
supp uzs = [хзв-з, язв+з]» supp u;3s+i = [язе» язв+з]»
17

supp u;3s+2 = [яз*, ^з5+з], seZ. (1.31)
В этом случае аппроксимационные соотношения принимают
вид
^За^За + ^L+l^s+l + ^+2^33+2 + ^Зв+З^Зв+З = *\ (1-32)
г = 0,1,2,3, te (хз5,^з5+з)·
Получаемые отсюда функции ил/ — кубические простейшие
минимальные сплайны класса С (а, Ь), представляющие собой
интерполяционный базис на сетке {х^}.
Рассмотренные в последних двух примерах простейшие
минимальные сплайны известны как один из вариантов
конечно-элементной аппроксимации (см. [45)). Они обладают теми же
свойствами интерполяции и точности, что и сплайны (1.16), (1.17)
(для га = 2 и т = 3 соответственно), но их недостаток состоит в
отсутствии однотипной структуры (что видно, например, из
формул (1.29) и (1.31)). В противоположность этому, сплайны (1.16),
(1.17) однотипны, что упрощает их использование.
Определение 8. Базис {(Jj(t)} называется однородным,
если он может быть представлен с помощью одной функции
cj(t,Xjx, Xj2,...,Xjp) нескольких переменных так, что
CJj(t) = U(t, Xj+il, Xj+i2 , . . . , Xj+ip),
где ii, г2,..., ip — некоторые целые числа, не зависящие от j.
Сплайн, представленный в виде линейной комбинации
элементов однородного базиса, считается однородным.
Таким образом, элементарные минимальные сплайны (см.
разд. 1.2) являются однородными, а простейшие минимальные
сплайны, рассмотренные в данном разделе, однородными не
являются. В дальнейшем читатель неоднократно будет встречаться
с различными минимальными однородными сплайнами.
1.4. Последовательная интерполяция
минимальными сплайнами
Для многих сплайнов решение задачи интерполяции сводится
к решению системы линейных алгебраических уравнений,
порядок которой прямо пропорционален числу узлов. Если для
интерполяции использовать сплайны (1.16), (1.17), то решать какую-
либо систему линейных алгебраических уравнений не придется;
18

сплайны, построенные выше, позволяют проводить
последовательную интерполяцию рассматриваемой функции.
При сжатии графической информации, обработке
поступающих сигналов и т. п. характерна следующая ситуация. Пусть
функция и(х) определена на положительной полуоси ΊΖ\ и
непрерывна, а бесконечная сетка состоит из положительных чисел xq <
χι < Х2 < ... Пусть выполнены соотношения (1.11), (1.25).
Выберем дополнительные узлы x_j+i < £-f+2 < #-м-з < ... < x-i,
расположенные между нулем и хо· Обращаясь к интерполяции
+оо
u(t) = Σ u(xj)uj(t), (1.33)
при t G (x/fc,£fc+i) имеем
k+s
«(*)= Σ Φ*)ωΛ*)> (!-34)
j=fc-J+l
откуда видно, что на каждом интервале (£fc,£fc+i) привлекается
ш+1 значений функции u(xj). Здесь же заметим, что для
квазиравномерной сетки верна оценка (см. § 6 гл. II)
max | u(i\x) - u(i\x)\ < Chm-i+l\\u\\Cr^4ni }, (1.35)
X>XQ +
где
hd= sup |xfc+i-a?ib|, г = 0, l,...,m,
fc>-/+l
а константа С не зависит от h и и. Если значения функции и(ж)
при t < хо не известны, то в (1.34) можно взять числа u(x_/+i),...,
u(x_i) равными нулю; в этом случае оценка (1.35) выполняется
при t > χι-ι (при t G (£fc,£fc+i), к < I — 1, оценка погрешности
слабее, чем (1.35), и усиливается с ростом А:, к = 0,1,...,/ — 1).
§ 2. Минимальные эрмитовы сплайны
2.1. Аппроксимационные соотношения
Как и прежде, на интервале (а, 6) рассмотрим сетку вида (1.1).
Функцию и G Cm+1(a,6) будем приближать функциями и вида
ад=ЕЕв(в1^к.(«), (2·ΐ)
j α=0
19

где Sj — неотрицательные числа, а ω d= {a>J>Q | j G Ζ, a = 0,1,..., s}
— семейство функций с компактным носителем на (а, Ь).
Предположим, что кратность семейства ω конечна: aeLЬ\(и) < +оо.
Аппроксимации вида (2.1) удобно использовать при решении
интерполяционной задачи Эрмита, поэтому будем называть их
эрмитовыми аппроксимациями высотой sd=f (..., s_i, so* si,...).
Нетрудно видеть, что аппроксимация (2.1) точна на
пространстве многочленов 7гт тогда и только тогда, когда
j α'=0 V '"
здесь считаем, что t1'/η\ = 0 при η < О и χΊ /η\ = 1 при 7 = 0.
Определение 1. Выражение
U(t) = Σ Л 4<*ω1><*(*)> На G Д1»
j α=0
называется минимальным эрмитовым сплайном, если выполнены
соотношения (2.2) и для любого t G (α, b)\X верно равенство
ж(а,б)(^) = m + 1; соотношения (2.2) называются аппроксимаци-
онными соотношениями.
2.2. О существовании
минимальных эрмитовых сплайнов
Рассмотрим вопрос о существовании, единственности и
гладкости функций cjjiQt. Выделим на интервале (а, Ь) непустые
множества Gj,a, а G {0,1,..., Sj}, j G 2, со свойством
Gjya' С Gj>Q, a < a', (2.3)
и предположим, что функции a;JiQ удовлетворяют соотношениям
(2.2) и условиям
supp ω,-,α = Gj,a. (2.4)
Пусть
V= {j \jeZ, Gji0 П (a*,a*+i) φ 0},
s/t^· d= max{a | Gj,Q Π (χ*, x/t+i) φ 0} Vj G J*;
20

ясно, что 0 < Skj < Sj. Согласно условиям (2.3) - (2.4)
соотношения (2.2) при t Ε (xk,Xk+i) можно записать в виде
£ £(*?)(аЧа(*) = tf>, 0 < β < m; (2.5)
здесь (х?)(а) означает производную порядка а от функции t& в
точке Xj.
Рассмотрим эти соотношения при фиксированном
t Ε (xk,Xk+i) как систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных 07j,a. Линейная оболочка значений
вектора правой части системы (2.5) заполняет пространство Дт+1,
так что для существования решения необходимо, чтобы число
неизвестных было не меньше числа уравнений.
Если выполнено условие
]T(sfctJ + l) =m + l, fcGZ, (2.6)
j€Jfc
το число неизвестных в системе (2.5) совпадает с числом
уравнений и равно т + 1. При этом условии кратность накрытия
точки t Ε (#fc,Xfc+i) носителями функций o7j>a минимальна.
Линейная оболочка сплайнов {ujj,a}j£z называется пространством
минимальных сплайнов, а элементы этого пространства —
минимальными сплайнами.
В качестве иллюстрации приведем пример расположения
носителей функций αλ,-,α (или, что то же самое, множеств Gj,Q),
удовлетворяющих условиям (2.3), (2.6) для га = 5:
SUpp 07,|0 = [X2j» Z2J+6] При j < О,
supp ujyo = [xj , Xj+б] при j > 1,
SUpp 07j,i = [X2j, Я2.7+б] При j < -3, SUpp 07-2,1 = [Z-4, ^l],
supp u;-i,i = [x-2, X2], supp ω0,ι = [xo, яз],
supp 07i,1 = [х2,хь], supp 07,-д = 0 при j > 2.
При таком расположении носителей получается аппроксимация
переменной высоты: при t < х$ высота равна единице, а при
21

t > £5 высота равна нулю. Ввиду этого число элементов во
множествах Jk не постоянно; так, например,
J_2 = {-3,-2,-1}, J1 = {-1,0,1}, J4 = {0,1,2,3,4}.
приведем также значения величин Skj для промежутков [х-2, я-ι]»
[Х1,Х2] И [Х4,Хб]··
S-2,-3 = S-2,-2 = 5-2,-1 = 1, «1,-1 = «1,0 = 1, «1,1 = 1,
54,0 = 0, S4,l = 1, S4,2 = $4,3 = S4>4 = ^·
Вернемся к рассмотрению общего случая. Матрица системы
(2.5) состоит из прямоугольных блоков размеров (т+1) χ (sfcj+1)
вида (Л}, Д'у ,..., XjS')i j Ε J*; здесь и далее Л^· означает г-ю
производную вектор-функции X{t) *=f (1, £, £2,..., tm)T,
вычисленную в точке t = Xj.
Итак, матрица системы (2.5) квадратная, имеет порядок т+1
и может быть записана в виде прямой суммы упомянутых блоков
^2j€jk(Xj,Xj ,...,<¥-·). Определитель этой системы
обозначим через Δ. В дальнейшем промежуток [χ*,χ*+ι] фиксируется,
и для краткости число Skj обозначается Sj, а упорядоченное (по
возрастанию) множество узлов {xj | j Ε Л} перенумеровывается
так, чтобы можно было считать Jk равным {1,2,..., Л/}, где Л/
— соответствующее натуральное число.
Следующее утверждение показывает, что определитель Δ
отличен от нуля.
Теорема 1. Справедлива формула
J€Jk
Μ
= П(1!2!...^·!) Π (*«-*;)Л+1)№+1)· (2.7)
i=l l<j<i<M
Доказательство проводится дифференцированием
определителя Вандермонда по входящим в него переменным х^, j =
1,2,...,Μ.
Замечание. Нетрудно видеть, что формула (2.7)
представляет собой обобщение известной формулы для определителя
Вандермонда, которая получается при 51 = §2 = ... = $м = 0.
22

Определитель (2.7) будем называть обобщенным определителем
Вандермонда.
Следствие 1. Обобщенный определитель Вандермонда
отличен от нуля тогда и только тогда, когда числа χι,..., χ а/
различны.
Рассмотрим теперь систему линейных алгебраических
уравнений
(xuxl1\...,xlil\...,xM,xu\...,xfr<))v = x,
где вектор-функция V имеет вид
Здесь верхний индекс означает диапазон изменения
рассматриваемых узлов χι,... ,хд/. Далее, если это не вызовает
недоразумений, верхний индекс будем опускать, приводя его лишь в
окончательных формулах.
Предполагая, что числа χι,..., хм различны, по теореме
Крамера имеем
/Л det(... + (Xj,XJ1\...,XJi-1\x>X<i+1),...,X^)) + ...)
Vj,i(t) = j ~ Η ,
det Σ (X^XJP,...^))
\1<)'<М )
(2.8)
j = 1,2,..., Μ; г = 1,2,..., ej. Здесь определитель в числителе
получается из определителя в знаменателе заменой столбца Xj
на столбец X, в первом из определителей выписана j-я группа
столбцов, а остальные группы обозначены многоточием.
Очевидно, что Vj^(t) — многочлен степени т, точки χу
являются его корнями кратностей Sj/ + 1 при всех f = 1,2,..., А/,
f φ j. Из формулы (2.8) видно также, что
«i;)(xj)=ii',i. (2.9)
Итак,
«.*(*)= Π (*-*i'),''+1<fci,i(*)»
i<j'<m,jVj
где
Q*i.i(*) = £*.«··**·
s=0
23

Подчиняя коэффициенты qj^s условиям (2.9), получим систему
из ё3; +1 линейных уравнений
l<j'<MJ'&
s=0
Δ
(iJM)
Отсюда
qj,i,3 - д(г,^А/) » S-U,1,...,S,·,
где Δ(*'7',Αί) — вронскиан системы функций
ίθ Π (*-*i),J+1%
1<j'<A/.jVJ
s=0,l,...,«j
,(м\М)
вычисленный в точке х^, а Δ) 3 ~~ определитель, полученный
из Δ^'Μ) заменой s-ro столбца на столбец е^,» = (0,..., 0,1,0,..., 0)
с нулевыми компонентами, за исключением г-й, равной единице
(компоненты нумеруются, начиная с нуля, вектор е^г имеет
размерность Sj; + 1 ).
Таким образом, получаем
*м,(«) =
Sj a(%J,M)
Π (*-*^+1Σ«·δ&ο· (2·10)
\<j'<M,j'& s=0
5 = 0,l,...,5j·, j = 1,2,...,M.
Теперь на основании (2.10) получим формулы для вычисления
функции u>j,a(t).
Теорема 2. Пусть выполнены условия
GjyOL' С GjyQi, а < а ,
X^(sfc,j + 1)=™ + 1, fc = 0,±l,...
уел
24

Допустим, что Jk = {jk+ l,--,jk + Л4}, где jk и Μ* —
некоторые целочисленные функции. Тогда
Uj,i(*) = {
Π («-^)^+1Е**л7
8k.j £(jk + l,jk,jk+M+k)
3 ФЗ s=0
1<J -Jfc<Affc
te [a?fc,a?fc+i) cGj,i, fc = i-r,...,.7+ri - 1;
(2.11)
где i = 1,2,..., 5j·; j = 0, ±1,..., Sj = max*, Skj.
Расмотрим частный случай, когда множества Gj^ не зависят
от г, Gjti = [j' + /, j -l· / + А/), где / и Л/ — фиксированные целые
числа, Μ > 2; 1 - Μ < I < -1.
Обозначим через е* вектор-столбец, все компоненты
которого равны нулю за исключением z-й, равной единице. Пусть еще
M(S+ 1) = 771+ 1, Sk,j = S, kj = 0,±1,...
Тогда, очевидно, J* = {fc + 1 - / - A/,..., к - /}, jk = к - / - A/,
Μ* = А/, и в этом случае
u;.f<(t) = { «'-о (2.12)
J' w * ί € [s*,x*+i) С [xi+j,xi+i+A/); v
0, £ £ [xi+j,:ri+j+A/),
z = l,2,...,s, j = 0,±1,...,
Д**(*) = Π (*-*i'>
3+1.
fc+l-/-M</<fc-Z
Dj·^ — вронскиан системы функций {Rj,k(t), tRjtk(t),..., t3Rj,k(t)},
вычисленный в точке t = Xj, a Dij^a — определитель,
полученный из jD^fc заменой столбца с номером s' на столбец е*.
Замечание. Нетрудно показать, что определитель
Вронского Wn порядка п+1, составленный из системы функций /, х/,
..., хп/, вычисляется по формуле Wn = 1! 2!... η! /η+1.
Действительно, общим элементом этого определителя
является элемент Wij = (xJ/)^\ который можно представить в виде
^ ., χ*-*' «/<*-*'> . . Л ,
^.i = Χ ^"ТТГ ΤΤΪλ 7\7' Μ =0,1,...,η;
25

здесь считаем 1//3! = 0 при β < О. Обозначая через Wj j-й столбец
определителя Wn, получаем
Cj,i<Vi>, Cj}i = _ ,,
0<i'<j
где υ? — вектор-столбец с элементами '/ {,у , t,j = 0,1,..., п.
Поскольку Wn = det (uo, wi,..., wn), то с помощью подходящих
линейных комбинаций столбцов найдем Wn = det (соо^о> cn^i? · · ·,
CnnVn)- Матрица, стоящая в левой части последнего равенства,
нижнетреугольная, поэтому Wn = 1! · 2!... η! /η+1.
2.3. Частные случаи
минимальных эрмитовых сплайнов
Формулы приобретают более обозримый вид для конкретных
значений s. Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Пусть s = 0. В этом случае ш+1 = М,
Д,\*(*)= Π (*-*i')>
fc+l_/_Af</<fc-i
поэтому Z)j,fc = Rj,k(xj), Doj,k,o = 1 и для единственной здесь
функции ojj,o(ff) имеем
WJ,0(*) = S *+l-i-A/<i'<fc-i (2.13)
2) Пусть s = 1. В этом случае m+l = Af,
***(*)= Π (*-^Λ
fc+l_Z_Ai</<fc-/
поэтому
^J.fc = Щ,к(Хэ)> D0,j,k,0 = XjR'j,k(Xj) + Rj,k(Xj)i
26

Di,j,k,i = RjAxj) и Для <*>,·,<>(*) и ω^,ι(ί) имеем
( Rjtk(t)Rj£(xj) (RjAxj) + (*; - *)ДЬ(^))>
<*>i,o(*) = S * € [x*,s*+i) С [xi+/,xi+M+0; (2·14)
[θ, tglxi+j, xi+j+m],
(Rjtk(t)RJ,k(*j)(t-*j)>
^jmW = < * € [x*,Xfc+i) С (xj+ζ,χ^μ+ζ); (2.15)
[θ, t£ [Xl+j, £/+j+m].
3) Пусть s = 2. В этом случае
Дм(*)= Π (*-*i')3,
k+l-l-M<j'<k-l
и окончательные формулы имеют вид
(RjAt)RJ,Uxj)(Rlk(xj) + (*j ~ №'itk{xj)Rj,k{xj)+
+(Xj - tf{R%{xj) - 0,5Rj,k(xj)R'j,k(xM
t € [xk,Xk+i) С [xj+i,Xj+M+i);
0, t & [xi+j, Xl+j+м],
(2.16)
ί ф§у(Дм(^)(* - *i) ~ (*j ~ t)2R'j,k(xJ)h
«j.i(0 = S ί € (ar*,xfc+i) С [xj+i,xj+M+i); (2·17)
(θ, t $. [Xl+j, Xl+j+м],
Wi2(*)= < Я**1*Я (2.18)
[ 0, £ £ [si+J·, a?i+J-+A/]·
4) Пусть s = 3. В этом случае
RjAt)= Π (*-*i')4,
fc+l-i-Ai<j'<fc-i
27

и окончательные формулы имеют вид
Wj,o(i) = <
g^jgy (вл|Л(х,·) + б(а* - №>1,к(х1)Щ,к(*1)+
+Ζ(χ, - t)2Rjtk(x>)(2R'lk(xj) ~ K'j,k(*j)Rj,k(*j)-
-6(xj -t)3(R%(Xj) + Rj,k{xi)R'j,k{xj)R,'j,k{xj)+
+Щ,к(хл)Я\к{хЛ))),
t e [xk,xk+i) с [xj+/,xJ+M+/);
I 0, t£ [s£+j,Sj+j+Ai],
(2.19)
ίϊ§ΐ^(^*(^)(*-^)-
";.ι(*) - < _(Xi _ 03(*V(*i)«i.*(*i) - 2(Я')2*(х;))), (2'20)
£ G [SfcjSfc+i) С [Xj+bXj+M+z);
(0, t £[x/+j,X/+j+a/L
^j,2(0 = <
£ [s/+j>s/+j+Afli
£ G [xfc,x*+i) С [a?j-+i,a?j+Af+0;
(θ, t &[xi+j, a?/+j+Af]i
(2.21)
"wW = ( 6^ΐ^)(ί "Xi)3' *G [xfc,Xfc+l) C i^+'^i+M+i);
[θ, tg [xi+j} x/+j+m].
(2.22)
Приведем примеры
1. Возьмем ПОряДОК шшрикиимации paati
На основании предыдущих формул получим
приведем примеры.
1. Возьмем порядок аппроксимации равным 6, а высоту — 1.
ΛΛττΑοατιτιτί тттллттт-тттлгтттттлг· /4лльтл\гтгтт тгг\Т1\гтттх\т
^j,o(0 =
(*-Ъ+2)2&-Х1+г)2
' [(zj+2 - Xj)(xj+i - Xj)+
(xj-x^^ixj-Xj+i)31
+2{xj - t)(2xj - Xj+i - Xj+2)], s € fo, Xj+i);
Wj,o(0 =
(χ,- -χ^-ι)3(χ^ -xi+i)31
+2(x^· - t)(2xj - xj+i - a?j-i)], t G [xj-bXj);
__ (*-3?,·.ι)2(*-3?,·.2)2
(xj ~χ^ι)3(χ7· -xj-2)3
[(xj-i - Xj)(xj-2 - Xj)+
28

+2(xj - t)(2xj - Xj.x - Xj-2)}, t € [xj-2,Xj-i);
,, '* - (* ~ Sj+O'ft - X3+2)2(t - Xj) ,
Wi.l(t) =
_ (t - Xj-i)2{t - Xj-2)2{t - Xj)
(xj - Xj-2)2(Xj - Xj-i)2
, ί € [Xj_2,Xj-l).
Графики функций ω^οίί) и ω,,ι(ί) представлены на рис. 1.1, а,
б соответственно.
О! 01
Рис. 1.1
2. Пусть порядок аппроксимации равен 5, а высота — 1. Тогда
■**«> - frwff-w[(ί -чХ" -Ιί+,)+
+(xj - xJ+2)(xj+i + 2ί - 3xj·)], ί 6 [xj,Xj+i);
(Xj-Xj+iy{Xj-i -Xj)0
+(xj+i - Xj){xj-i + 2t- Zxj)}, t € [xj-i,Xj);
^ „m (Xj-i-t)2(xj-2-t)2 , v
29

u"®- (x^-x^x^-xj) ' ί61***^>,
U*lW~ (xj^-xjnx^-xj) ' t€^-b^)·
Графики функций uij,o(t) и и^д(£) представлены на рис. 1.2, а,
б соответственно.
Рис. 1.2
3. В случае, когда порядок аппроксимации равен 6, а высота
— 2 находим:
^·2(ί)" 2(χ,+1-χ,)3 ' ί€[^'^+ι);
^·2(ί)" 2(xi_1-x,)3 ' *€^-ь^)5
(χ·. ι — £)3(£ — χ Λ
^'·ι(ί) = (xJ+i - χάγ V&+1 -χί)~^χί "Ο], * e (χ,,χ,+ι);
^ ι(ί) = (χ, ι - t) (t - xj) ^^ -Xj)-%x.-t)], t € [xj-ι,χ,);
W-i xj)
(x. . -χ)3)
te [xj,Xj+i);
ω^1) = r^"1 ~^\l [6(o:J-^)2-3(a:J-a:jr^1)(a:jr-0-b(^jr-^-i)23>
£ € [xj_i,Xj).
30

Графики функций a/j,o(£) , ^л(£) и cJj^(t) представлены на
рис. 1.3, а, б, в соответственно.
Рис. 1.3
4. Рассмотрим случай, когда порядок аппроксимации равен 8,
а высота равна 3:
^,ο(ί) = (зУ/Г^т [2°(^· - *)3 + 10(xi - ^+0(*ί - *)2+
+4(xj - Xj+i)2(x, - t) + (x3- - Xj+i)3], t € (χ,, xi+1);
"i,o(i) = / ~f\7 [20(xi - О3 + Ю(ж,· - arj-i)(ari - i)2+
+4(xj - Xj-i)2(Xj -t) + (Xj - Xj-i)3], t e [xj-i,Xj)·,
WAl(t) = ('"(^ι(-ΐ)"6')4 [1°(XJ' " ί)2 + 4Xj ~ Xi+l)(Xj ~ t)+
+(xj - xj+i)2] , t £ [xj, xj+i);
ω}Μ = (t-xj)Hx,; i-t)4 [w(x. _ t)2 + 4(a.. _ χ._ι)(χ. _ t)+
\x3—l xj)
+(xj - x,_i)2], t € [xj-i,xj);
"wit) = (f ^-χ^4 [4*j-t)+{xj-xn-ij\, 1e (χ,·,χ,·+ι);
ww(*) = (t ~o<XJ)(Xj~l ~J)4 №>-*) + fo-**-*>]> ^ [χ,-bXi);
(t-Xj)3(Xj+i ~t)4 ± r ч
^з(') = 6(x,-x^ ' t6 !****«>;
31

Графики функций Uj,i{t) , г = 0,1,2,3 представлены на рис.
1.4, а, б, в, г соответственно.
б
0 02f
-0.02
1Θ-06
V
А
Рис. 1.4
Приведенные здесь сплайны успешно использовались при
решении соответствующих интерполяционных задач.
2.4. Еще о свойствах
минимальных эрмитовых сплайнов
В этом разделе представлены некоторые известные теоремы об
эрмитовых сплайнах (см. работы [8, 9, 40], а также библиографию
в них).
Теорема 3. Если выполнены соотношения (2.2) и
существует конечное число С. для которого
«ω,α = supae(t)({supp o;JjQ}) < С,
t
supm,Q||C(fli) < Cha, a = 0,l,...,m, h = sup(xi+i -a?,·),
j j
то для функции и Ε Cm+1(a,6) и ее аппроксимации (2.1)
справедлива оценка
ll"-U||C[lfc,Ifc+l] < C0hm+1\\u\\Cm+4a',b'],
где константа Со зависит лишь от т и С, а
[а', &'] = Uj£Jk [Xj.Xkl Jk = {j\ U™=0 SUPP ^j,a Π [x/fc, Xfc+i] ^ 0}·
32

Доказательство легко вытекает из формулы Тейлора.
Определение 2. Множество Ма функций ил,,а, где j —
любое целое число, будем называть однородным множеством
порядка A/Q, если существует целое число ία, такое, что supp ил,,а =
Доказательства следующих теорем могут быть получены из
уравнений (2.2) применением формул Крамера и (2.7).
Теорема 4. Пусть Ма — натуральные числа, a = 0,l,...,s,
причем Σα=ο ^α = га + 1. Тогда существуют совокупности
{Мо, Μι, ..., М3) однородных множеств Ма порядка Ма<
такие, что соотношения (2.2) выполнены для всех χ Ε Rl,
число таких совокупностей бесконечно, однако имеется лишь
конечное число совокупностей, множества которых состоят из
непрерывных функций a/jjQ.
Далее используем обозначение
J*,k = {j I SUpp αλ,,α Π (Xfc, Xfc+l) ^ 0}·
Теорема 5. Пусть Σ,8α-0Μα =m-M, A/Q — натуральные
числа. Тогда для любых целых чисел 1а, где а = 0,1,..., s.
существуют и единственны функции uJj^a, удовлетворяющие
соотношениям (2.2) и supp ijjya С [£j+irti£j+i,,+Af«]· Если при этом 1 —
Αίο 55 ίο 5: — Ι* иго функции u/jjQ также непрерывны и ujj^(xk) =
О при а = 0,1,..., s для всех целых к.
Теорема 6. Пусть выполнены условия предыдущей
теоремы, и кроме того, 1 — Мо < 1а < —1, ct = 0, l,...,s. Тогда
производные порядка а от функций Uj,a можно продолжить на
всю вещественную ось. и при этом cjfa(xk) = £fc,j·
Теорема 7. Если Μ = —^ и I — целое число, то
существуют и единственны функции α;^α, удовлетворяющие соотноше-
ниял1 supp Uj^a С [xj+i, Xj+i+м]· Если, кроме того. 1 — Μ < I <
— 1, то функции ujjyCX непрерывны и имеют непрерывные
производные ω]^*, β = 0,1,..., 5, в этом случае ojj^(xk) = 5a^5kj·
Следствие 2. В условиях теоремы 7 аппроксимация (2.1)
обладает интерполяционными свойствами u^(xj) = u^(xj). где
а = 0,1,..., s; j> — любое целое число.
33

Глава II
ГРАНИЧНЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Применение бесконечной сетки удобно, если число узлов
бесконечно или весьма велико, а вблизи ее концов аппроксимация
не требуется; в противном случае могут понадобиться сплайны
на конечной сетке. Для сохранения свойств приближения на
конечной сетке в структуру минимальных сплайнов вблизи
концевых точек сетки приходится вводить некоторую неоднородность.
Полученные таким образом сплайны будем называть гранично-
минимальными.
Цель данной главы — исследовать свойства
гранично-минимальных сплайнов, получить оценки констант аппроксимации и
устойчивости и применить полученные результаты к построению
квадратурных формул для вычисления интегралов.
§ 1. Постановка задачи
В предыдущей главе рассматривались минимальные сплайны
(МС) на бесконечной (в обе стороны) сетке {xj} на промежутке
(а, Ь) вещественной оси; при этом (конечные или бесконечные)
точки а и b являлись предельными точками упомянутой сетки
(см. формулы (1.1.1), (1.1.2), (1.1.16), (1.1.17)). Здесь в основном
будет рассматриваться конечная сетка на отрезке [а, Ь] и
связанные с ней минимальные сплайны (называемые граничными МС).
Зададимся натуральными числами /, s, m и TV,
удовлетворяющими условиям
2m + 2<JV, l + s = m + l, (1.1)
и рассмотрим конечную сетку X = {xj} на (конечном) отрезке
[а, Ь] вещественной оси, такую, что
а = хо < #ι < · · · < χν = Ъ. (1.2)
34

Как и в § 1 главы I, с каждым узлом Xj, j = 0,1,..., Ν,
свяжем функцию uj(t), определяемую далее из аппроксимационных
соотношений. Разобьем множество индексов J = {0,1,..., Ν} на
три части:
J = J/UJcUJr, (1.3)
где
J, = {0,l,...,m}, </г = {Л'-т,...,ЛГ-1,ЛГ}, (1.4)
Jc = J\(JlUJr). (1.5)
Будем искать функции ώ^, носители которых удовлетворяют
условиям
supp uj = [x0,Xj+i] при j e Ji, (1.6)
supp u)j = [xj-a,Xj+i\ при j e Jc, (1.7)
supp cjj· = [xj-s,xtv] при j G Jr. (1.8)
Таким образом, носители функций, соответствующих узлам
Xj, достаточно далеким от концов отрезка [а,Ь] (т. е. при j G Jc),
определяются так же, как и в случае бесконечной сетки (см.
формулы (1.1.11), (1.1.12)). Однако носители функций,
соответствующих узлам Xj, близким к концам отрезка [а, Ь] (т. е. при j G Ji или
j G Jr), простираются вплоть до соответствующего конца (до а
или Ъ соответственно).
Нетрудно видеть, что для любой точки t из множества [а, Ь]\Х
найдется ровно га + 1 функций α/j, носители которых содержат t.
Таким образом, при t G (£fc,£fc+i) в сумме Σ,=0^^(^) число
ненулевых слагаемых не более ш+1.
Пусть дана функция и G С[а, Ь]. Потребуем, чтобы сумма
N
δ(*) = Σιι(*,)ώ,.(ί) (1.9)
j=0
была точна на классе многочленов 7гт в том смысле, что
u(t) = u(f) V и € тгш, ί G [а,Ь]. (1.10)
Очевидно, условие (1.10) эквивалентно условию
u(t)=ti(t) прии€{1,М2,...,*т}, (1.П)
35

которое можно переписать в виде аппроксимационных
соотношений, аналогичных соотношениям (1.1.15):
ЛГ
Υ^χ)ώό{ί) = ί\ г = 0,1,...,т, te[a,b]. (1.12)
j=o
Число слагаемых в (1.12) при фиксированном t G [α, b]\X
равно πι + 1, так что уравнения (1.12) можно рассматривать как
систему т + 1 линейных алгебраических уравнений с m + 1
неизвестными U)j(t).
Матрица этой системы — матрица Вандермонда, и аналогично
предыдущему (см. формулы (1.1.16), (1.1.17)) для отыскания ее
решения удобно пользоваться формулами Крамера. В результате
находим функции uj{t), аналитическое представление которых
определяется тем множеством (1.4), (1.5), куда попадает индекс j.
Нетудно видеть, что если j G J/, то
",·(*) = Π l~Xj' » *€(*ο,*ζ-ι), (1.13)
0<j'<m J J
Cj(t)= J] * X}' , ie(xfc,Xfc+i), (1.14)
-/+l<j'-fc<e J J
з'Фз
fc = /-l,/,..., j = i-l,
u>j(t) = 0, £ £ [x0,Zj+/]. (1.15)
Если же j G J с, то функция ώ^(ί) совпадает с функцией Uj(t),
определенной ранее (см. (1.1.16), (1.1.17)):
и№)= Π _ J > *€(a*,a*+i), (1.16)
* = 3 ~ SJ - s + 1» · · ·»J +' - 1j
ώ,·(ί)=0, f £[*,·-„ *,·+ι]. (1.17)
Наконец, вблизи правого конца, т. е. при j G Jr, имеем
ώ,(ί) = 0, tg [*,·-„**], (1.18)
36

ώ'(')= Π Ι .^'.,» *€ (xfcfarfc+i)f (1.19)
A: = j - s,..., N - s,
£;(*)= Π ._ J. ι *€(а?лг-а+1,а?лг). (1.20)
N-m<j'<N J J
з'Фз
Из формул (1.13)—(1.20) видно, что функции u)j(t) можно
продолжить по непрерывности в узлы сетки X (напомним, что в этой
главе числа /, s натуральные). Поэтому в дальнейшем u)j(t) будем
считать непрерывными на отрезке [а,Ь].
Функции u>j(t) имеют свойства, аналогичные свойствам
рассмотренных ранее функций ω у.
1) если t Ε (xfc,£fc+i) С supp ώ^, то &j{t) — многочлен
степени га;
2) справедливо соотношение &j(xj') = Sjj*.
Кроме того, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Для любой функции и Ε Cm+l[a, b] линейная
комбинация
N
iK*) = S*(*i)*j(*) (1.21)
является интерполяцией функции и в узлах Xj, j = 0,1,..., Ν,
точной на многочленах класса 7гт, а кроме того,
|«W(i) - δ«>(ί)| < СЛт-<+1||«<т+1>||с[«,ц,
где
t Ε [а,Ы, h = max (x7'+i ~~ χτ)·>
1 J j=o,...,n-iv J JJ
г = 0,1,..., τη, причем константа С не зависит от и, h, a, b и
г.
Это утверждение является следствием более общего,
установленного ниже (см. формулу (6.21) из §6 данной главы).
37

§ 2. Описание основных результатов
Получаемые в этой главе результаты относятся не только к
конечной сетке X вида (1.2) с соответствующим множеством J =
J(X), определяемым равенством (1.3), но и к бесконечной сетке
X : а < ... < х_1 < хо < х\ < · · · < Ь, (2.1)
причем числа а и b — ее точки сгущения (случаи а = — оо и
b = -f оо не исключаются), и при этом полагаем J(X) = Ζ, где Ζ
— множество всех целых чисел.
Заметим, что рассматриваемые свойства сплайновых
аппроксимаций относятся к семействам сеток и к семействам
соответствующих сплайнов. Поэтому здесь значительную роль, как и
прежде, играют классы локально квазиравномерных сеток.
Пусть А'о — вещественное число, Ко > 1; рассмотрим класс
Χι(Κο) сеток X = {xj} (конечных или бесконечных), которые
для любых j — l>jij + 1 £ J удовлетворяют соотношению
κ-ι < xj+izll < А'0. (2.2)
з з ~~ 1
Сетки классов Χχ(Κο) называются локально квазиравномерными.
Пусть Ло — множество положительных чисел с точкой
сгущения в нуле, а θ(χ) и ψ(χ) — неотрицательные неубывающие
кусочно-непрерывные функции, доопределенные по
непрерывности слева и справа соответственно, так что θ{χ) = θ(χ — 0) и
ψ(χ) = ψ(χ -f 0). Будем говорить, что семейство {X(h)} сеток
X(h) = {xj(h)}, h G Ло, обладает (θ,i/;)"CBOHCTBOM> если для
fc, k -f 1 G J справедливо соотношение
9(xk+i)h < xfc+i - xk < ip(xk)h, (2.3)
а функции θ(χ) и ψ(χ) не убывают на промежутках (χ^,χ^+ι)·
В частности, семейство {X(h)} с (0,^-свойством удовлетворяет
неравенству
Xfc+i - Xk < ${xk)h, h G Л0. (2.4)
По сеточной функции Vj = v(xj) Vj G Я1, заданной на сетке
X = {xj}, построим сплайн й(х), определяемый ниже на каждом
сеточном промежутке [xk,Xk+\), где fc,к + 1 G J(X)-
38

В случае бесконечной сетки при t G [χ*, Xfc+i), к G Ζ, полагаем
k+s
где ώ^·(ί) определяются формулами (1.16), (1.17). Если же сетка
X конечна, то формула (2.5) сохраняется лишь для промежутков
[хь хк+1)? к = 1 — 1,..., TV — s, а для промежутков вблизи левого и
правого концов отрезка [а, Ь] используются следующие формулы:
при к = 0,..., I — 2, t G [χ*, xjt+i) полагаем
m
i=o
а при fc = JV — s + l,...,JV — 1, <€ [χ*, Xfc+i) берем й(£) в виде
ЛГ
u(t)= ς *ww. (2·7)
где функции α>^(ί) определяются соотношениями (1.1.13)—(1.1.20)
предыдущего параграфа.
Предположим, что q > ρ > Ι, ι/ > 0, μ = μ(ι) = ν + σ*, σ* =
1/g — 1/ρ + ra -f 1 — г, где г — целое число. 0 < г < га.
Рассмотрим функцию и G [a, 6], которая имеет (га+1)-ю
производную на (а, 6), удовлетворяющую условию ^u^m+1^ G Lp(a,6).
В соотношениях (2.5)-(2.7) положим Vj = u(xj)} Xj G Χ.
Основные результаты данной главы можно сформулировать в
виде следующих утверждений.
Теорема 2. Если семейство сеток {X(h)} лежит в классе
Хг(Ко), обладает {θ,ψ)-свойством и ν > 0, то справедливо
неравенство
||*"(fiW - «(i))IU,(-.b) ^ c^'i^^llM.·», (2·8)
где константа С\ зависит от г,га,р,д гх #о· #слгх семейство
сеток {X(h)} лежит в классе ΛΊ(Α'ο), обладает
(0,^-свойством и ν < 0, то справедливо неравенство
||^(й(,) - «W)IU,(„,6) < С1Л"||^«(т+1)1ир(а,ь) (2-9)
39

с указанной выше константой С\.
Оценка константы С\ дается далее формулами (5.10), (6.19),
(7.20), (7.21).
Пусть функция и такова, что φμη^ Ε Li(a,b). Рассмотрим
квадратурную формулу, определяемую соотношением
/ь
ψ"\№(χ)άχ *^с{?и{ха), (2.10)
J
где коэффициенты с- имеют вид
cf = / ψ'ώ^άχ. (2.11)
Ja
Теорема 3. Если семейство сеток {X(h)} обладает (0,^)-
свойством
Zfc+i -x/t <^(xk)h (2.12)
и, кроме того, ν <0, /i = i/ + m-bl-i>0. то погрешность R^
квадратурной формулы (2.10) оценивается неравенством
|Д«)1 < Cih™*1-* / |^u(TO+1>|dx
с указанной выше константой С\.
Очевидно, коэффициенты (2.11) можно представить в виде
cf = / ψ'ωΜάα
Jsupp £)j
Использование аппроксимационнных соотношений позволяет
свести вычисление этих коэффициентов к решению систем
линейных алгебраических уравнений невысокого порядка (см. §9).
§ 3. Об экстремальных значениях многочлена
Рассмотрим т вещественных чисел, расположенных в порядке
возрастания:
αϊ < а2 < ... < ат. (3.1)
40

Пусть а — m-мерный вектор с этими компонентами,
a = (ai,a2,...,am). (3.2)
Разности dj введенных чисел,
dj =cij+i-aj, j = 1,2,..., га- 1, (3.3)
образуют (га — 1 )-мерный вектор
d=(dbd2,...,dm-i). (3.4)
Вектору а поставим в соответствие многочлен Va(t) степени
га, полагая
Va{t) = (t - ax)(t - a2)... (t - am). (3.5)
Зафиксируем число г из множества {l,2,...,m-l},
re {l,2,...,m-l}. (3.6)
Очевидно следующее свойство:
(А) экстремальное значение многочлена Va(t) на промежутке
(ar,ar+i) не зависит от сдвига всей системы чисел на некоторое
число и, следовательно, зависит только от числа г и от вектора
d: обозначим это значение через Er{d).
Рассмотрим вторую систему чисел
αϊ < α2 < ... < ат (3.7)
и соответствующий m-мерный вектор с этими компонентами
a = (ai,a2,...,am), (3.8)
а также разности введенных чисел
dj =aj+i-aj, j = l,2,...,m- 1, (3.9)
и образованный из них (т — 1)-мерный вектор
d= (di,d2,...,dm_i). (3.10)
Под неравенством d < d будем в дальнейшем подразумевать
соответствующие покомпонентные неравенства
dj<dj, j = 1,2,..., га- 1. (3.11)
41

Сопоставляя вектору а многочлен
Va(t) = (t- ai)(t - α2)... (t - am), (3.12)
а также соответствующее r-му промежутку [αΓ,άΓ+ι] его
экстремальное значение £r(d), докажем следующее утверждение.
Теорема 4. Если
d<d, (3.13)
то
\Sr(d)\ < \£r(d)l (3.14)
где г = 1,2,...,т - 1.
Доказательство. Пусть число г фиксировано в соответ-
свии с условием (3.6). Благодаря свойству (А), не нарушая
общности, можно считать, что
(αΓ,αΓ+ι) С (άΓ,άΓ+ι). (3.15)
Рассмотрим сначала систему чисел
а = (ai,a2,...,am), (3.16)
где
а5=а5, j е {1,2,...,?7?}\{г,г+1}, ar = ar, ar+i=ar+i. (3.17)
При t Ε (ar,Gr+i) ввиду условия (3.13) и обозначений (3.17)
имеем
\t - aj\ < \t - ajl = |t - a,|, j e {1,2,...,m}\{r,r + 1},
\t - af | = \t - ai|, г = r, r + 1, (3.18)
откуда для соответствующего вектору а многочлена
Va{t) t'{t - αχ)(ί - о2)... (t - am) (3.19)
имеем
\Va(t)\ < \Pz(t)\. (3.20)
42

С другой стороны, из включения (3.15) следует, что
\t - ail = \t - ά{\ < \t - ail i = r, r + 1; (3.21)
ввиду равенств (3.16)
\t - Щ\ = \t - ajl j e {1,2,...,m}\{r,r + 1}, (3.22)
получим
I^KOI < PaWI- (3.23)
Теперь из (3.19) и (3.22) найдем
\Va(t)\ < \Pa(t)\, t e (ar,ar+1) С (ar,ar+1). (3.24)
Из последнего соотношения легко следует неравенство (3.14).
§,4. Оценка базисных функций
на приведенной сетке
Рассмотрим сетку {xj} класса ΛΊ(Ά'ο)
... < χ_ι < Хо < х\ < .. ·, (4.1)
где хо = 0, χι = 1. Сетка {xj} называется приведенной [2]. На
этой сетке рассмотрим функции
Π Эт> E€(xfc,x*+ib
. з'Фз 3
Qj(x) = ^ -i+i</-fc<5 (4.2)
k = j-s,...J + l-l;
[θ, x^fij-^Xj+i},
и их линейные комбинации
Щх) =Συ(χ№(χ), (4.3)
3
где U(x) — некоторая непрерывная функция. Функции (4.2)
представляют собой базис элементарных минимальных сплайнов (4.3).
Оценим сверху |Ω^-(х)| на промежутке [0,1], j = — I + 1,..., s; это
эквивалентно оценке модуля дроби
з'Фз 3 3
-l+l<j'<s
43

При / = 1 многочлен Ωο(χ) положителен на промежутке (0,1),
Ωο(0) = 1, Ω0(1) = 0, все его корни лежат справа от промежутка
(0,1) и Ωο(χ) монотонно убывает на рассматриваемом
промежутке. Поэтому при I = 1, xG(0,1) справедлива оценка |Ωο(χ)| < 1.
Аналогичным образом при s = 1, Ϊ6 (0,1) устанавливается
оценка |Ωι(χ)| < 1.
Рассмотрим теперь остальные случаи, а именно предположим,
что (/ — l)(s — 1) φ 0, /, s — натуральные числа. Ввиду наших
обозначений (см. § 3) числителем дроби (4.4) служит многочлен
ν-χ(χ), χ е [0,1], где X = (ζ-ί+ι,... ,χ,·-ι, χ,+ι,... >х3).
Очевидно, один из отрезков между корнями этого многочлена содержит
промежуток [0,1]. Экстремальное значение Ργ(χ) на упомянутом
отрезке обозначим через £(j)(d), так что
\-PY(x)\<Su)(d), χ €[0,1], (4.5)
где d = (di,... ,dm_i) — (m — 1)-мерный вектор с компонентами
d\ = Χ-ί+2 - Я-/+Ъ · · · > dl+j-2 = #j-l - ^j-2,
di+j = Xj+2 - £j+l, · · · j dz+5-2 = Xs - ^s-l· (4.6)
Заметим, что ввиду принадлежности сетки {xj} классу X\(Kq)
справедливо неравенство
κ^<ψψ<κψ,
Х\ - Хо
а так как сетка приведенная, последнее неравенство эквивалентно
следующему:
К?л<Ъ+г-ъ<кМ. (4.7)
Введем (т - 1)-мерный вектор JCj(Ko) = (d[,... ,d™-i)' где
,/ _ ^Η+ι| Αι _ κ\-ι+2\ ,, __ K\j-2\
α1 — Л0 J α2 — п0 » * * * » a/+j-2 — Л0 »
«ί+j-x = J^'11, 4'+; = 4J+M, ■ ■ -A+s-2 = KtM- (4-8)
Из (4.7) и (4.8) получим d < K,j{Kq), так что благодаря
неравенствам (3.3) и (4.5) найдем
\Τ>χ{*)\ < |£(,·)(Μ*ο))|· (4.9)
44

Знаменатель дроби (4.4) оценим снизу.
Прежде всего заметим, что при j > г разность Xj — Χι можно
представить в виде
Xj - Xi = (Xj - Xj-i) + (Xj-i - Xj-2) + · · · + (Яг+1 " Xi), (4.10)
так что из (4.7) получаем
Σ*ο""Ί<^-*<<Σ*οΊ.
(4.11)
При г' < f введем обозначения
^(^ο)=ΣΑ'ο
-±И
'=»'
и перепишем формулу (4.11) в виде
S^_i(#o) < Xj -Xi< S+j^iKo), j > i.
(4.12)
(4.13)
Так как Xj — X{ = — (xi — x^·) при j < г, то мы приходим к
предыдущему случаю заменой г на j, a j на г:
S-i.^Ko) <xt- χ, < S+^iKo),
откуда
-5ti_1(X0) < xj - xi < -S-^iKo).
Теперь ясно, что
5Γέ_χ(Ко) < \xj -xi\< S+^iKo), j < i.
Знаменатель дроби (4.4) представим в виде
Yl {Xj-Xi·) Π (Xj-Xi»)
-M-l<i'<j-l j+l<i"<a
и применим неравенства (4.13) и (4.15). Тогда
Π (xi ~ Χί)
-ί+1<»<8
>
(4.14)
(4.15)
(4.16)
45

> Π 5^-ι(*ο) Π Sii»-i(K<>)· (4·17)
-/+l<i'<j-l j+l<i"<a
Здесь и далее при отсутствии сомножителей в произведении с
символом Y[ считаем это произведение равным единице.
Теорема 5. В случае приведенной сетки класса Χ\(Κ$) при
χ Ε [0,1] справедлива оценка: при j = — / + 1,..., s
№(х)\<с1%(Ко), (4.18)
где
а в остальных случаях
г(0) (КЛ |£(.,)(Е,(#0))|
С^(Ко)- Π ^№) Π s^^KoY (4·19)
-/+l<i'<j-l j+l<i"<s
Оценка (4.18) точна в следующем смысле: существует
приведенная сетка {xj} класса X\{Kq) и точка χ Ε [О,1], для которых
в (4.18) неравенство обращается в равенство.
Доказательство. Оценка (4.18) вытекает из формул (4.4),
(4.9) и (4.17), а ее точность следует из точности неравенств (4.9)
и (4.17). Теорема доказана.
Замечание1. Можно дать более простые, но неточные
оценки числителя дроби (4.4). В частности, при χ е [χοι#ι] легко
получить цепочку соотношений
\(Х - X-/+l) . . . (Х - X_/+j_i)(x - X_j+j+i) . . . (Χ - Х0)Х
Χ (Χ - Χ\)(Χ - Χ2) . . . (Χ - Xj-l)(x - Z)+l) ... (Χ - Xs)\ <
< \(χι - χ-/+ι)... (χι - χ0)\ \(xo - £ι)|(ζο - Χ2)... (xo - xs)\ =
= Π Κ*1" **')! Π Κ*°" г*")1 -
-Й-1<г'<0 l<i"<s
< [J S+fi(K0) J] S+»-i(KO). (4.20)
-i+l<»'<0 Ki"<s
46

Теперь из (4.17) и (4.20) при χ е [0,1] получается оценка
|Ω,·(Ϊ)| < Ci,ej(K0), (4.21)
где
Π S+fi(K0) Π S3>_i(*o)
Я / L·- \ _ -J+lgi'gtM'yU l<i"<s,i"&
*Αθ) ~ Π Sfj-iW Π 3>-ι(*οΓ
-i+l<t'<j-l j+l<i"<s
(4.22)
В случае равномерной сетки Xj = j ввиду очевидного равенства
S^jl(K0)=j'-i' + l (4.23)
найдем
\ПШ< «£!__/i/(i-i), i<o, ,424)
'"j(X)l -(j + l- 1)! (5 - j)! 11/i, J > 0. (4'24)
При j = 0 и j = 1 имеем
|Ω0(χ)| < Ζ, |Ωι(χ)|<5. (4.25)
В некоторых частных случаях оценки базисных функций Qj
даны в работах [3,4].
Теорема 6. В случае приведенной сетки класса ΛΊ(Α'ο) при
χ £ [0,1], 0 < г < т, справедлива оценка
\ilf(x)\<CJ%(K0), (4.26)
где константа CtJЛКо) дается формулой (4.19). а при 1 < г <
CllljiKo) = Cl%(Ko)C{m,ih (4.27)
т
г'=0
Доказательство. При χ Ε [0,1] функция Qj(x)
представляет собой многочлен степени т, поэтому справедливо
неравенство Маркова
Н%)| < 2' ЦК - i'2)_max |Ω,·(*)|.
47

Применение теоремы 5 приводит теперь к оценке (4.26) с
константой (4.27). Теорема доказана.
§ 5. Некоторые вспомогательные утверждения
Обратимся к приведенной сетке (4.1) и для удобства положим
а = Х-/+ь Ъ = xs. Пусть U(x) — непрерывная на отрезке [а, Ь]
функция. Рассмотрим ее аппроксимацию
s
U(x)= £ [/(χ,)Ω,(χ), Ε €[0,1]. (5.1)
Лемма 1. При г = 0,1,..., ш, хб [0,1] справедливо
неравенство
рЩх)\<С%(Ко)\\и\\с{5Д, (5.2)
где
С1:1(К0)= Σ cffj(*o), (5.3)
а константы C^jAKo) определяются формулами (4.27), (4.19).
Доказательство. Из формулы (5.1) имеем
\U^(x)\< max \U(xj)\ £ \П?(*)\, *€[0,1].
Теперь из (4.18) получим оценку
\u{i4n<cS(K0)\\u\\cl--b],
где C\11{Kq) вычисляются по формуле (5.3). Лемма доказана.
Лемма 2. Для функции U G Wp{a,b), ρ > 1, при χ Ε [а,Ь]
справедливо неравенство
\U(x)\<[2(b-a))^'\\U\\w^-b], (5.4)
где р' — сопряженный показатель для р,
; + i = 1- (5-5)
Ρ Ρ
48

а норма в пространстве Wp(a}b) определяется равенством
\\UWw}(a,b) = {f\wmP + \U'(x)ndx)1/P. (5.6)
Доказательство. Из равенства Ньютона
Щх) = 17(0 + f U'(v)dV, χ, ξ € [а,Ц,
с помощью неравенств Минковского и Гельдера найдем
\Щх)\р < 2*'* (\υ(ξψ + \jX υ'(η)άη\Ρ) <
< 2*М(|ί/(ξ)|ρ + \x - tf/p'\f \υ'{η)\ράη\). (5.7)
Из (5.5) видно, что pjp1 = р(1 — \/р) = р — 1 > 0, откуда tp/p —
монотонно возрастающая функция при t > 0. Усиливая неравенство
(5.7), получаем
№)|р < 2"-1 (\υ(ξψ + (Ь - δ)'"1 \f_ \υ'(η)\4η\).
Интегрируя это неравенство по ξ в пределах от а до Ь, находим
(6 - a)\U(x)\r < 2""1 ( jT |ί/(£)|ρ# + Φ - α)" j[ |t/'(0lP#) <
<2'-\Ь-аПи\\Ъ^Ъ).
Итак.
hs)I"<2'-i(5-s),'-1i^cij(5)F)
или
lumzwb-atf/r'm^-iy
Лемма доказана.
49

Следствие 1. Для функции U e W£(a, 6), ρ > 1, справедливо
неравенство
1№)11ср,б] < [2(Ь-г)11/р'|^11^(а,б)· (5-8)
Доказательство неравенства (5.8) получается переходом
к максимуму по χ € [α, Ъ] в левой части неравенства (5.4).
Теорема 7. Пусть г = 0,1,..., ш, ρ > 1, g > 1. Тогда
||£(<) - C(<)lk(o,i) ^ C,l,m||^||IVir+.(5i5), (5.9)
где
си = ρβΐ,+^^χί/ίοΜ^ίσβίίΤο) +1), (5.Ю)
Г^+! ν 1/р
α г=0
Доказательство.Поусловию, [0,1] С [а,Ь], I/M е Wp(a,f>),
так что из леммы 2 при χ € [0,1] получим
\U^(x)\ < [2(b-a)}^'\\U^\\wi{a,br (5Л2>
Применяя оценки (5.2) и (5.12) в правой части неравенства
|t/(i)(x) - U^(x)\ < \U^(x)\ + \U^{x)\,
выведем
\U^(x)-U{i)(x)\<
< Cg(AO)||tf||cM] + [2(b-a)}1/p'\\UU\\K(--by
Теперь благодаря неравенству (5.8) найдем
|£«(x)-t/(i)(x)| <
< ^-a^^'iCgiifoJUC/lk-Kb) + \\υ(ί)\\Κ(α,1))>
откуда ввиду представления (5.11) имеем
|^>(х) - U«\x)\ < [2(1 - W(Cg{K0) + 1)11^11^+1(5,5).
50

Из очевидного соотношения
Ь - а = х3 - Х../+1 = 5ίζ+ΐ5_1(^0) (5.13)
легко получаем оценку (5.9). Теорема доказана.
Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда
справедливо неравенство
W(i) - иЩ\Ьч(ол) < Ci,m pmfm \\U + PWn-^fiy (5.14)
где константа С^т определяется равенством (5.10), а 7гт —
пространство многочленов степени не выше т.
Доказательство. Ввиду точности аппроксимации (5.1) на
многочленах Ρ Ε 7гт, замена U на ί/ + Ρ в неравенстве (5.9) не
изменит его левую часть, отсюда
W{i) - tf(<)lk(o,u < CI,m||^ + P||wr+.(s.F).
Переходя к точной нижней грани в правой части этого
неравенства по всем Ρ G 7rm, получим соотношение (5.14). Теорема
доказана.
Замечание 2 (об эквивалентности норм). Рассмотрим в
фактор-пространстве W = W™+l(a,b)/nm стандартную норму,
порожденную факторизуемым пространством,
||W|| = pmfm ||u> + P\\wr4^-b), (5.15)
где W — класс элементов из И^+1(а,Ь), отличающихся друг от
друга на некоторый многочлен степени не выше m, a w — любой
представитель упомянутого класса, w EW. Поскольку
пространство И^+1(а, Ь) банахово, то и фактор-пространство W с нормой
(5.15) тоже банахово.
Наряду с упомянутой нормой рассмотрим в W также норму,
вводимую формулой
1|щ0 = 1Н14'"+1>аа)' w€^ (5·16)
где
J a,
51

Легко видеть, что
= 1к(т+1)1кР = \\wfo,
откуда
|| W|| = рш^ ||W + P\\w^1{--b) > \\W\\0. (5.17)
Из общей теории В-пространств [5, с. 426] теперь следует, что
нормы (5.15) и (5.16) эквивалентны; в данном случае можно
утверждать, что существует константа Со, такая, что
\\W\\ < Co||W||o. (5.18)
Итак, справедлива лемма.
Лемма 3. Нормы (5.15) и (5.16) эквивалентны:
\\W\\0 < \\W\\ < Co\\W\\0, WeW. (5.19)
Теорема 9. При выполнении условий теоремы 7 справедлива
оценка
||С/(0 _ ί7ω||^(0)1) < Сг,тСо||г7||^+1(3^, i = 0,l,...,m, (5.20)
где константа С ι,т определяется равенством (5.10). а Со —
соотношением (5.18).
Доказательство. Ввиду (5.15) соотношение (5.18) можно
переписать в виде
pfL И™ + ρΙΙ^+ι(ά,6) ^ ΙΝΙ^^ (5·21)
Применение (5.21) (при w = U) в правой части неравенства
(5.15) приводит к оценке (5.20).
Теорема доказана.
52

§ 6. Оценка аппроксимации
на общей локально квазиравномерной сетке
Вернемся к сетке (2.1) класса Χ\{Κ$) на промежутке (а,Ъ) и
зафиксируем целое число к. Рассмотрим линейное отображение
а*:х-»х, dk(x) = . (6.1)
£fc+i - Хк
Введем сетку
Xj = ak(xj+k). (6.2)
Очевидно, _
x^ Xj—ι Xj+k ^j+fc— ι
Предположение о принадлежности сетки (2.1) классу X\(Kq)
эквивалентно неравенству (2.2). Из (6.3) теперь видно, что новая
сетка {xj} тоже лежит в классе X\{Kq). Очевидно, при χ Ε [0,1]
функции (1.16) и (4.4) связаны соотношением
Qj(x)=u;j+k(a;1(x))- (6-4)
Рассмотрим функцию
s
ϋ(χ)= Σ ^)Ω;(*);
здесь
U(x) = u(a^(x)), ΰ(χ) = ΰ(α^(χ)). (6.5)
Далее положим α = Χ-ι+ι = α*(χ_/+ι+*), b = xs = afc(xs+fc).
Из (6.5) имеем £/(i)(x) = u^\a^l(x))(xk+i - Xk)\ так что замена
а к1 {х) на х дает
Ja
fXk + s
= (xfc+1 - xfc)-1+(m+1)p / |u<m+1>0r)Rx.
Jxk-i + i
Аналогично
/ \иМ(х)-и(1)(х)\д<1х.=
Jo
53

= (xfc+1 - xfc)-,+i" / |S«(x) - ««(x)|«cfe.
Поэтому неравенство (5.20) принимает вид
0/*Xfc+] \ 1/<7
' |«Ю(х)-и(<)(х)|«Аг) <
Хк
< a,mCo(xk+i - х*)т+1"1/р+1/*"'х
Of Xfc+s \ i/p
f \u{m+l\x)\pdx)
Xk-ι+ι '
ИЛИ
11#°-"%<.,,,к+1><
< а,тсь(»*+1 - ад)1,"<и«(т+1)1и,(^.1+1Л+.), (6.6)
где
T7 = m + l-l/p+l/g. (6.7)
Будем считать η, г фиксированными и рассмотрим μ = μ(ζ'),
ζ/, такие, что μ = ι/ + η — г. Из (б.б), (6.7) найдем
(хк+1-хкП|^-^)|и,(Хк,Хк+1)<
< a>mc0(xfc+1 - x*)iu(m+1)(*)iiM,,_l+1,,,+.). (6.8)
Последнее неравенство эквивалентно соотношению
(хк+г-хкГ\\й^-и^\\1(Хк1Хк+1)<
< с< (cf>, - ^)wll"(m+1)(x)llp,p(X4_1+1,Ifc+i))9/P · (6.9)
Предположим, что
q>p>l. (6.10)
Воспользуемся неравенством Иенсена
м:<»
к к
полагая в нем
ьк = с!>т(хк+1 - ^)wll«(m+1)(x)ll^(Xfc_,f иХк+,г (6.12).
Σ*ί/Ρ*(Σ **)*"· ^>ο, (6.ii)
54

Тогда суммирование неравенств (6.9) по к дает
E(^+1-^rn^-^iii,(Ifc,xt+l)<
< <%(Σ,0?Μ(χΜ - ^)"pll«(m+1)(x)llpti;(lfc.1+bIfc+e)),/P. (6.13)
Оценим сумму в правой части неравенства (6.13) более удобной
суммой ^2к ||(х*+1 - Zfc)^(m+1)ll£p(Xfc>Xfc+l)> учитывая локальную
квазиравномерность рассматриваемой сетки.
Прежде всего заметим, что из локальной квазиравномерности
(2.2) следует двойное неравенство
K~lk~il < Ξ*±ΙΖ£* < κ\*-*\. (6.14)
Отсюда для bk получим оценку
fc+s-l
< "Σ' ^m(<k-%i+i-^)n\u(m+14pLp(Xi,x.+l)<
г=А.—i+1
< CP Κμρτη&χ^8'^^1~1^ χ
χ Σ \\(xi+i-*i)n{m+l)\\PLp{xi,Xi+1y
i=k-l+l
где
Cm = max Ci m. (6.15)
l<i<m
В последней сумме имеется га слагаемых. Суммируя только что
полученные неравенства по fc, найдем
X^6fc<^pmaxi|e"1|,K"1|}x
к
к+s-l
*Σ^ Σ IK^+i-^))μ"("ι+1)ΙΐΜχ.,χ<+ι)· (6·16>
к i=fc-/+l
55

Каждое слагаемое в правой части неравенства (6.16), очевидно,
повторяется т раз, и потому это неравенство можно переписать
в виде
Y^bk < mCP/Cmaxi|S"lU'"1|}x
к
χ £ ||(xfc+1 - χ*))"^-")!!^^. (6.17)
к
Из (6.13) и (6.17) вытекает следующее утверждение.
Теорема 10. В предположении (6.10) справедливо неравен-
ство
^ll(xfc+i-xfcr(2(i)-^))||'Mxt)Xfc+i)<
к
< С\ fe ||(xfc+1 - **Г"(т+1)11£,(х^+1)) , (6.18)
где
μ-ν = η-ΐ, Сх = т1^СтСоКтах{1з~т'~Ц\ (6-19)
а константы Со, 77 w Cm даются соотношениями (5.18), (6.7) и
(6.15) соответственно.
Пусть 0(х), ψ(χ) — неотрицательные неубывающие кусочно-
непрерывные функции на промежутке (а, 6).
Будем считать, что в точках разрыва функция 9{х)
доопределена по непрерывности слева, а функция ψ(χ) доопределена по
непрерывности справа, так что θ(χ) = θ(χ — 0), ф{х) = ψ(χ + 0).
Рассмотрим семейство сеток {Х(Л)}, обладающих (Θ,
^-свойством, т. е. таких, что узлы Xj = Xj(h), h Ε Ло, удовлетворяют
соотношению
0(xk+i)h < xjb+i - Xk < Ф(хк)К (6.20)
а функции θ(χ), ψ(χ) не убывают на промежутках (xk,Xk+i)·
Теорема 11. Пусть выполнено условие (6.10), и семейство
рассматриваемых сеток обладает (Θ, ^-свойством (6.20).
Предположим, что */>0,0<г<т. Тогда справедлива весовая
оценка
||0"(й« - u^)\\LqM < W-'dWVu^+VU^aj,), (6.21)
56

где константы ν, μ иС\ удовлетворяют соотношениям (6.19).
Доказательство. Условия теоремы 10 выполнены, и
потому верно неравенство (6.18). Пользуясь неравенством (6.20) в
(6.18) при условии положительности чисел ζ/, μ, найдем
^Ell^^)("(i)-"(i))lll(xfc.x.+l)^
< с?л«· (Σ И(Г(*)Уго+1)(*)HpL.(x,,xt+l)) ·
Последнее неравенство может быть очевидным образом записано
в виде (6.21). Теорема доказана.
Следствие 2. Ввиду формулы (6.7) при q = ρ > 1 оценка
(6.21) принимает вид
\\Р(й® - «(<))||Μ«.6) < Сг1Г+1-*\\Ги<т+1)\\1.р1а,ъ)- (6-22)
Если 1 < q < ρ, то
и из (6.22) найдем при 1 < q < ρ
<Сгкт+1-Ч\Г^т+1)ир(а,ь), 1<Q<P- (6-23)
До сих пор рассматривался случай положительного v. В
случае отрицательного ν справедливо следующее утверждение.
Теорема 12. Пусть семейство сеток обладает
(0,t/>)-свойств ом
Xk+\ -Xk <^{xk)h (6.24)
и, кроме того,
ι/<0, μ = ζ/ + ?7-ζ>0, 77 = m+l- 1/g+l/p. (6.25)
Тогда при q >p> 1 справедлива оценка
||^(«1<)-««)|U,(„.6)<
57

< Ci/im+1-<-1/«+1/p||^'tt(m+1)||LI.(e,b), (6.26)
а при 1 < q < ρ верна оценка
||^(u(i) - «(,))IUf(«,*) < Сфт+1-*\\ф^т+1Ц1р(а,Ь)), (6.27)
где константа С ι определяется равенством (6.19).
Доказательство. Поскольку ν < О, то в силу неравенства
(6.24) имеем
(а*+1 - xkY > [htl>(xk)]" > [hrl>{x)\» (6.28)
для всех χ Ε (xk, Хк+ι)· Пользуясь этим соотношением при q > ρ,
для левой части неравенства (6.18) найдем
hnmu{i)-u^)\\i4ix^+i)<
<^ii(xfc+1-xfcr("(i)-«w)in4(Xfc,x,+l).
к
Оценка правой части (6.18) сверху проводится аналогично
теореме 11, так что при q > ρ > 1 оценка (6.26) доказана.
Доказательство оценки (6.27) такое же, как и оценки (6.23). Теорема
доказана.
§ 7. Оценка констант эквивалентности
В замечании 2 (об эквивалентности норм) было доказано лишь
существование конечной константы Со, удовлетворяющей
равенству (5.19). Здесь будут предложены некоторые приемы ее оценки
сверху, один из них проведем до конца и получим достаточно
эффективную оценку константы эквивалентности Со-
7.1. О связи констант эквивалентности
и аппроксимации
Пусть ||ш||о и ||w||* — полунормы в линейном пространстве В,
а Бо — линейное подпространство в β со свойством
\\w\\* = 0 <=* w G Во. (7.1)
58

Пусть
IMI = (INIS + HIS)1/P, p>i. (7-2)
— норма, в которой В — банахово пространство.
Рассмотрим фактор-пространство В = В/Во и определим в В
норму ||W||* равенством
liw'll. = Н|., (7.3)
где w — любой представитель класса W, W Ε В.
Определим также в фактор-пространстве стандартную норму
WI
\\W\\= inf ||w-t/;o||, weW. (7.4)
Нетрудно проверить, что нормы (7.3) и (7.4) определены
корректно, ибо они не зависят от выбора представителя w в классе W.
Ввиду свойства (7.1) при wo Ε -Во имеем
Ни; - «ου = (Ik - uta||g + Μι)1'? > Η|., (7.5)
т. е. для любого w Ε В и любого u'o Ε -Во справедливо неравенство
\\w — u'o|| > IIHI*· Отсюда
\\w\\= mf ik-tt-oii^iHl^ilwii.. (7.6)
u'0€Bo
По предположению пространство В полное, поэтому В полное
по норме || · ||.
Пополним линеал β и по второй норме || · ||*. Полученное
пополнение обозначим В*. Ввиду (7.6) из сходимости в В вытекает
сходимость в В*. По теореме Банаха [5, с. 425] или В — множество
первой категории в В*, или В = В*.
Условием (А) будем называть следующее утверждение.
Для каждого w Ε В найдется такой it/о Ε Во, что
llte-«/oiio<aiNi*· (7·7)
Предполагая, что выполнено условие (А), имеем
inf ||ω-«*||<α|ΝΙ·> (7·8)
wo€Bo
откуда
\\W\\ = (( inf \\w-Wo\\)p+\\w\\p)1/P<
59

< (С? + 1)1/р|М|, = (С? + 1)1/р||И1.. (7.9)
Условием (В) назовем следующее соотношение:
||ИП1 < CbH^IU, We В. (7.Ю)
Замечание 3. Ввиду неравенства (7.6) в соотношении (7.10)
всегда Со > 1.
Таким образом, установлено утверждение:
Теорема 13. Если выполнено условие (А) с константой С*,
то выполнено условие (В) с константой Со = (С? + l)1^.
Доказательство вытекает из формул (7.7)-(7.9).
Пусть теперь выполнено условие (В), т. е. справедливо
неравенство (7.10). Из определения норм в пространстве В имеем
inf ||ti; - 11*11 <Со|Н|., weW. (7.11)
wo£B0
Поскольку W — любой элемент в β, a w — любой его
представитель, то неравенство (7.11) выполнено для любых w Ε В.
Пусть число ε > 0 фиксировано. Из (7.11) следует, что
найдется такой Wq Ε Во) что
||to-t£/0||<(Cb+e)|HU· (7-12)
Таким образом, верна следующая теорема.
Теорема 14. Если выполнено условие (В) с константой Со,
то выполнено условие (А) с С* = [(Со + е)р — 1]^р, где ε — про-
извольное положительное число.
Доказательство. Ввиду определения нормы из (7.12)
найдем
ΙΝ-^οΙΙδ + |ΝΙ?<(σο + εΠΗΙ?,
откуда следует
l|u--4llo<[(Co + e)p-l]1/p|HU·
Теорема доказана.
60

7.2. Один вариант оценки константы
аппроксимации
Воспользуемся результатами предыдущего раздела и положим
B = W™+1(a,b), В0 = жт, (7.13)
для U € Wp+1(Htb)
\\U\\o = \\и\\„Гг(--ь), \\U\U = \\U\\Lr4--b). (7.14)
Оценка (7.7) в этом случае примет вид
\\U - UoWnjn+ipft < С4Щ\1ГЧжГь), (7.15)
где {/о — некоторый многочлен степени т, определяемый по
функции U.
В данном разделе в качестве Щ возьмем многочлен Тейлора
разложения функции U в точке а. Представляя остаточный член
формулы Тейлора в интегральной форме, имеем
(&0-иР)(х) =
= К , ] ,Ч| / (1-0ш-^(т+1)(а + ^(х-а))^. (7.16)
(т - г)! Уо
Поэтому
и^-^Хрл*
__)(m+l-i)p-ldx Г аЦ/(т+1)(5 + <)|РЛ<
Л)
61

< 1 [\x-afm^-^-ldx\\U^m+^\\pt _,, =
- [(т-г)!]рУз· мМ".ь)
(fr-g)(^-OP
(т + 1-г)р[(т-г)!]РП "МЗД V ;
Отсюда
(6 - а)т+1~*
У°~а' Ili7(m+1)|| _- (7
[(т+1-г)р]1/р(т-г)!И «М».*)' ^''
18)
Итак, установлена следующая теорема.
Теорема 15. В оценке (7.15) константа С* может быть
определена равенством
(6-a)m+1"i
°* = [(m + l-i)p]1/p(m-i)!' (7Л9)
Следствие 3. В случае приведенной локально
квазиравномерной сетки класса X(K$) при a = Xk-ι+ι, b = Xk+si ^5 > 1
можно положить
с ^,№)Г (720)
* [(т+1-0р]1/р(т-*)!'
Доказательство вытекает из оценки (5.13) и формулы
(7.19).
Следствие 4. Константа Со в неравенстве эквивалентности
вычисляется по формуле
С0 = (С? + 1)1/р, (7.21)
где С* определяется равенством (7.20).
Замечание4. Ввиду определения S^l+l 3_г(Ко) по формуле
(4.12) при /, s > 1 имеем
s'=-Z+l
= ς ^ς^ς^+ςχ-
s'=-i+l «'=0 s"=l «'=0
62

Поэтому
$ΐι+ι,,-ι(*ο) = < Ϊ5ΡΙΪ ' *0> ' (7.22)
[τη, Κ0 = 1.
7.3. О некоторых других вариантах оценки
константы аппроксимации
На промежутке [а, Ь] введем конечную сетку {yj},
а < 2/о < 2/1 < . · · < ут < 5, (7.23)
и для функции / G Ст+1[а,6] построим интерполяционный
многочлен Р(х) степени ш:
P{Vi) = f(Vi)> i = 0,l,...,m. (7.24)
Используя стандартные обозначения разностных отношений,
запишем Р(х) в форме Ньютона:
Р(х) = f(Vo) + /[2/о,ш](* - ί/ο) + /[2/о,2/ь2/2](х - уо){х - 2/ι)+
+... + /[2/о? 2/ь · · ·, Ут](х ~ Уо)(х - 2/ι) · · · (^ - 2/m-i). (7.25)
Обратимся к следующему известному утверждению о
представлении остатка интерполяции [6, с. 46].
Утверждение А· Для всех f(x) справедливо представление
f(x) = /(2/о) + f\yo,yi](x - 2/о) + /[2/0,2/ь2/2](х - Уо){х ~ 2/ι)+
+ · · ·+/[2/ο, 2/ь · · ·, 2/m](^~2/o)(^-2/i) · · · (x-ym-i)+Rm(x), (7.26)
где остаток Rm(x) имеет вид
Rm(x) = (x- yo){x — I/i) — (я: — I/m-i)(s - 2/m)x
χ / Л! Г db2... /Τη/(τη+1)(2/ο + ίι(2/ι-2/ο) + ·.· +
Уо Уо jo
+im+i(s - i/m))dim+i. (7.27)
Доказательство этого утверждения приведено в
Дополнении (§13 данной главы).
63

Условие (7.23) можно ослабить, допустив знаки равенства:
а < уо < 2/1 < · ·. < Ут < Ь. (7.28)
При совпадении узлов соответствующие разностные
отношения в (7.25) и (7.26) превращаются в производные, а
интерполяционная задача Лагранжа (7.24) заменяется соответствующей
задачей Эрмита. В частности, если а = уо = у ι = ... = t/m,
формула (7.26) переходит в рассмотренную выше формулу Тейлора
(см. (7.16) при г = 0). Таким образом, представление (7.26), (7.27)
обобщает формулу (7.16).
Одним из вариантов оценки константы С* в неравенстве (7.15)
может быть оценка Lq-нормы остатка (7.27) в зависимости от
положения узлов (7.23) и минимизация этой оценки за счет
выбора упомянутых узлов. Этот путь представляется достаточно
перспективным, он будет рассмотрен далее.
§ 8. Оценка погрешности некоторых
квадратурных формул
В этом пункте рассмотрим некоторые применения
полученных результатов к вычислению констант при оценке погрешности
квадратурных формул.
Теорема 16. Пусть выполнены условия (6.24) и (6.25)
теоремы 12, а ρ = q = 1; тогда
I \фи(й^ - uM)\dx < СЛ}гт+1-{ f ИЫт+^\<1х, (8.1)
где константа С\ определяется равенствами
С, =C2C0m^max{|s-1|'l<-1|}, l + 8 = m + l, (8.2)
C2 = maxCt(J(Kb) + l, С0 = С. + 1, (8.3)
с- = (^г=к^(5-+--'(вдг+'"' (8'4)
а числа Сг . S±l+l ,(Ko) вычисляются по формулам (5.3) и
(7.22).
64

Доказательство. Применим теорему 12 при ρ = 1, q = 1.
Тогда получим неравенство (8.1) с константой С\, определяемой
соотношениями (8.2)-(8.4), (4.19), (4.27) и (7.22). Теорема
доказана.
Пусть теперь функция и такова, что фи^ G L\(ay b).
Рассмотрим квадратурную формулу, определяемую соотношением
/ ^uWdx^Y^cVuixj), (8.5)
Ja .
где коэффициенты сг имеют вид
с(0 = Г'+' ψ"ωΜάχ, г G {0,1,..., m}. (8.6)
Теорема 17. Если выполнены условия теоремы 14, а функция
и такова, что
ψ» G L[oc(a,b), ф'и®, Wm+1) G Lx(a,6), (8.7)
mo погрешность R^ формулы (8.5) оценивается неравенством
|i?(i)l<Ci/i(m+1-<} / |^u(m+1)|dx. (8.8)
Доказательство. При сделанных предположениях
справедливы условия теоремы 16, так что верно неравенство (8.1).
Поскольку
|| / φ^ί]άχ\ - | / ^г/^х|| < Ι / ^(й® -u{i))dx\ <
Ja Ja Ja
< / \xl>v(u^-u^)\dx, (8.9)
Ja
то при предположениях (8.7) интеграл fa фии^ах существует и
конечен. Ввиду существования интегралов (8.6) (поскольку
Ψ" G Li°c(a, 6), а ω^ — кусочно-гладкие функции) приходим к
выводу, что
гъ
J2cMxj)= rpuu(i)dx. (8.10)
Ja
65

Для доказательства оценки (8.8) осталось воспользоваться
оценками (8.1), (8.9) и соотношением (8.10). Теорема доказана.
Далее приведем несколько примеров квадратурных формул с
выделением веса и вычислением константы С ι из теоремы 17.
Пример 1. Пусть ш = 1, / = 1, s = 1. Рассмотрим вес ψ"(χ) =
ха. В этом случае
(0)
3 X
_1 l*j+l Х3 _*i+l Х3 \
'j-Xj+i \ а + 2 а + 1 ^ )
χ3-χ3-ι\ а+ 2 а + 1 J J v
Если а = 0, то выражение значительно упрощается:
cf = хк+1 - a*-i. (8.12)
Если сетка равномерная, Xj = jf/i, то формула принимает вид
cf] =2h. (8.13)
Определим теперь значение константы Ci из теорем 16 и 17
при г = 0, т = I = s = 1.
Из формулы (6.19) получаем
d = m1/"CmCo^max{|S"1|'"_1|} = CmC0. (8.14)
Используя соотношение (7.21). имеем Со = (С? + l)1^.
Обращаясь к формуле (7.20), найдем
^ _ («Wi^o))"*1-' _ №(^о))2 _ 1
((m + 1 - г)р)1/р(ш - г)! Wp)1/p 2(2P)Vp'
так что окончательно
1/Р
Со=(2(2^ + 1) Р· (8Л5)
Для отыскания константы Сш используем формулу (5.10):
Ст = (25++lii_1(AO))1/p'(C/0s)(Ko) + 1) =
66

= (S+0(K0))1/P\C{01(K0) + 1). (8.16)
Учитывая равенство (5.3) при I = s = 1, имеем
О*о)= Σ CiZ(Ko) = C[%(K0) + C[^^ (8.17)
Ввиду теоремы 5 С{д0(А'0) = С[°1Л(Ко) = 1, так что из (8.17)
получаем
С[°1(Ко) = 2. (8.18)
Из формул (8.14)—(8.16) и (8.18) окончательно находим
/1 \ 1/р
С1 = 21/Р'3(ад^ + 1) · (8·19)
В частности, для рассмотренной выше квадратурной
формулы с коэффициентами (8.11) ρ = 1, и потому
d = 15/4. (8.20)
Формула (8.19) показывает, что при т = / = s = 1 константа
С\ от Ко и от q не зависит.
Пример 2. Пусть т = 2. Из (6.19) подобно выкладкам (8.14)
найдем
Ci = 2lt*KlCmCo. (8.21)
С учетом равенства St\ o(^o) = АТо + 1 из (7.20) определим число
С,:
_(#о + 1)3
°* " 2(3p)i/P '
а затем из (7.21) найдем Со:
С0 = (С? + 1)»/р _ (^^ + 01/Р · (8'22)
Рассмотрим вначале случай I = 2, s = 1. Используя формулу
(5.10), получим
С = [2(*о + 1)]1/р' (СИ (ϋίο) + 1)· (8-23)
67

Из (5.3) при т = / = 2, s = 1 находим
Cgl(K0) = cSl^Ko) + C£10(K0) + 43>χ(ίΓο).
По теореме 5 имеем
МО) ,τ/ ч_ Ι^(-1)(^-ΐ(^θ))Ι
где /С_1 = (1) — одномерный вектор, £(_i)(/C_i(Ko)) —
экстремальное значение многочлена t(t — 1) на промежутке (0,1).
Элементарным подсчетом устанавливаем, что
Снова используя теорему 5, найдем
σ£ο№) = σ£1(κ·0) = ι,
так что окончательно
Аналогично рассмотрим случай I = 1, s = 2:
с{2(Ко) = сЦ>0(*0) + С$д(*о) + С[%2(К0).
По теореме 5 имеем
~(0) (к. ν _ |£(8)(Χ*(*θ))Ι
Cl'2-2(Ao) " 50:ι(Αο) 5u(Jfo)'
где /Сг = (1) — одномерный вектор, а 5(2)(^2(^о)) —
экстремальное значение многочлена t(t — 1) на промежутке (0,1).
Устанавливаем, что
Снова используя теорему 5, найдем
Ci(02,o(^o) = C1(02):1(^o) = l,
68

и, следовательно, получаем
Таким образом,
Сг(Ко) = 2^К1 [2(К0 + 1)]1/р' (з + 4(^1}) *
Отсюда при ρ = q = 1 находим
Формула (8.26) показывает существенную зависимость
величины Ci(Kq) от параметра Ко, характеризующего
рассматриваемый класс локально квазиравномерных сеток. Для равномерной
сетки получаем С\{\) = 14-^; для сеток класса Х\{2) С\{2) =
278§; для сеток класса ΛΊ(10) Ci(10) = 1438287§§.
§ 9. О вычислении коэффициентов
квадратурных формул
Здесь ограничимся конечной сеткой вида (1.2). Сначала
проиллюстрируем применение минимальных сплайнов при
построении квадратурных формул для вычисления интегралов без
выделения веса. Положим в формулах (8.5), (8.6) ν = 0. Имеем
Ja
u(x)dx = ^2Aku(xk) + Ru (9.1)
/fc=0
где R\ — погрешность квадратурной формулы.
Прежде всего, следуя формулам (2.5)-(2.7) представим
промежуток интегрирования [а, Ь] в виде суммы трех промежутков:
Ь Xl-i Xn-3+l Ь
/ u{x)dx = / u(x)dx + / u(x)dx + / u(x)dx.
α α Χι-ι Ζη-«+ι
69

Теперь
б
/=<
x)dx = J\ + J2 + J3·
Вычислим вначале интеграл
J2= Σ (ufc_i+io;fc-/+i(x) + ... + uk+sUk+s(x))dx.
Пусть α*,*_ζ+ι = /Д*"*"1 o;fc_/+i(x)dx. Тогда
n—s fc+s
^2 = 5Z Σ u»a*,<·
fc=Z-li=fc-i+l
Последнее равенство эквивалентно следующему:
«+Z-2 fc n-s-i+1 s+Z-1
fc=0 г=0 fc=s+J-l i=0
+ Σ "*Σα»-·-*·
A:
A:·
k=n-s-l+2 г=0
Для вычисления коэффициентов aJifc напомним, что базисные
сплайны Uj(x) на промежутке [χ^,χ^+ι) определяются
тождествами
fc+s
£ χβωά(χ) = χβ, /? = 0,l,...,m.
Интегрируя, получаем систему линейных уравнений
относительно а*,,·
α*,*-ι+ι**-ι+ι + · · · + <*к,к+вхчк+з = * , « = 0,1,..., m.
9 + 1
Матрица этой системы представляет собой матрицу Вандермон-
да. Решая ее, например, с помощью формул Крамера, получаем
(-1)
<=о
_П!+<-1
«м = Pk,.QktlΣ^ {'+1 (*&-4й)*»-,,
70

где
pk,s = Π (Xfc+^ ~χ^)~1' Qu = Π (xk-Xk-j')~l,
l<j'<s l<j'<l-l
а через σ4 обозначена сумма всевозможных произведений чисел
£fc_i+i+j/, f = 0, l,...,m, / Φ fc, взятых по д. Здесь и далее
считаем, что при ρ < ρ'
Π(χρ-Χρ') = 1·
р'<р
На промежутке [xfc+e,£fc+e+i)i е = —s,...,/ — 1, имеем
следующую систему тождеств:
fc+s+e
Σ χ?ωά(χ)=χβ, /? = 0,l,...,m.
Интегрируя по промежутку [x/t+e^fc+e+i), получаем систему
линейных уравнений относительно afc+cj, е = —s,...,/ — 1,
aA:+e,fc-/+l+e^_i+i+e + · · · + a*+e,A:+s+eZfc+5+c =
= —— —τ, g = 0, l,...,m.
<? + l g + 1
Решая ее, находим
™ (_l)M-t-l+e
afc+e,fc = Pk,s,eQk,l,e 2^ Τ"j O^l+e " ^fc+e^e.m-»,
где
l<j'<s+e
l<j/<i_l_e
через ae,g, e = — s,...,/ — 1, обозначена сумма всевозможных
произведений q чисел χ^_;+ι+>;/+β) «?' = 0,1,..., m, f Φ Ι — 1 — е.
Рассмотрим интеграл
J\ = ^tij / ujj(x)dx.
j=0 ^
71

Обозначим /?o,j = f*1 χ LJj(x)dx. Аналогично предыдущим
рассуждениям, решая относительно /?o,j систему уравнений
x9+1 rr9+1
/W*o + "- + /W = ^--^· 9 = 0,1,...,/,
g +1 q + 1
получаем при j = 0,1,..., 2
t=0
где
*>.7'>j+i i-i>i;>o
здесь через σ4 обозначена сумма всевозможных произведений
чисел Xji, f = 0,..., 2, / т^ 3, взятых по q.
Рассмотрим наконец интеграл
Js = ^ % / Ljj(x)dx.
Обозначим 7n-s+i,j = /^'*__ ujj(x)dx. Решая систему уравнений
/n-s+l.n-s^n-s "Г · · · Τ γη-β+Ι,η+η " , ι /τ 4- 1 '
9 = 0,1,..., 5,
относительно 7n-e+i,j» J = n — s,..., n, получаем
i=0
где
7n-e+l,j = *n,jQnJ f ^ . ,. (#n ~~ ^n-s+l)σ«-ή J = 0, 1, . . . , S,
s>i'>i+i
Qn,j = J| (^n-s+j - Xj'+n-s+l)"1,
j-i>i'>o
72

здесь через σ4 обозначена сумма всевозможных произведений
чисел Ху, f = η — s,..., η, f ψ j, взятых по q.
Суммируя J = J ι + J2 + J3, находим
S+/-2 к n-s-i+1 s+Z-1
J= Σ Ufc^afc+j_i_iffc + Σ Ufc Σ afc+/-l-J,fc +
f η η η-Α:
+ Σ^°'* + Σ Uk7n-s+l,k+ Σ Wfc^an_e-iffc.
fc=0 fc=n-s fc=n-e-Z+2 i=0
Отсюда, возвращаясь к (9.1), имеем
/ u(x)dx = Y^uk Ι Α),* + Σα*+ί-ι-<,Λ Ι +
^α fc=0 V г=0 /
s+Z-2 A; n-s-f+1 s+i-1
+ Σ Ufc /JQfc+<-l-itfc + Σ Uk Σ a*+l-l-j,fc +
fc=i+l i=0 fc=s+/-l j=0
n—s—1 n—fc
+ Σ uk^2an-s^k+
k=n-s-l+2 t=0
η / η—к \
+ Σ Wfc 17η-5+ΐΛ + Σ an-*-ijk)+дь (9·2)
A:=n-s V i=0 /
Для приближенного вычисления интеграла
гь
/ u(i)(x)dx (9.3)
Ja
в случае функций и Ε Cm+1[a, 6] заменим в интеграле (9.3)
функции и аппроксимацией (2.5)-(2.7); это приведет к квадратурной
формуле
/ u«\x)dx = ΣcVfuj + Д(0, (9.4)
Ja j=0
Vf = f q{x)u>f (x)dx, j = 0,1,..., n, (9.5)
Ja
3=0
где
73

а Д(^) — остаток квадратурной формулы.
Квадратурную формулу (9.4)-(9.5) назовем квадратурной
формулой, согласованной с аппроксимацией (2.5)-(2.7).
Фактически доказана следующая теорема.
Теорема 18. Если и Ε С[а, Ь], то квадратурная формула (9.4)
при г = О принимает вид
/ u(x)dx = Л(о) + Ση>[ Σ α*>; + Σ^) +
(2J+S-2 Z-2 \ n-s-J /-1+i
Σ аад+з-i + ^Γ/?*,,+/-1 J + Σ UJ Σ α*Λ+
fc=/-l fc=0 / j=l+s k=j-3
( \T ^ "\
+l*n-/-e+l I 2^ ^fc.n-s-i+l + 2^ 7fc,n-e-£+l I +
\fc=n-2s-Z+l fc=n-s+l /
η / η—θ η —1 \
+ Σ «j Σ α^+ Σ ^ - (9·6)
j=n-s-Z+2 yfc=j-s fc=n-s+l J
где
aj+e,j =
= Pj+e,sQj+e,l 2^ ^~T"J (Xj+l+e ~~ Xj+e)aj+e,m-b
i=0
s+e>j'>l *-l-e>y>l
через σ^·+β,<7> e = —s»...,/ — 1, обозначена сумма всевозможных
произведений чисел Xf, j' = j — I + 1 + e,... ,j + s + e, j' 7^ j,
взятых по q,
JUL f-iv+i
z=0
fl),j = (Xm - Я,')"1 · · · (Sj + 1 - Я,')~\
C?0,j = (a?j - Zj-i)"1... (xj - so)"1»
через σ^ обозначена сумма всевозможных произведений чисел
ХУ » J' = 0,1,..., т, / т^ j, взятых по q,
ΙΑ

i=0
j = n,..., η - m,
yn>j = (Xj — Xj—i) . . . (Xj — £n_mJ ,
через Gjyq обозначена сумма всевозможных произведений чисел
ху г f = η — m,..., η, f φ j, взятых по q.
Развернем эти формулы в некоторых частных случаях.
1. Рассмотрим случай / = 1, s = 1. Тогда
/ u(x)dx = - u0(xi - хо) + 5Z Μζ*+ι ~ s*-i)+
+Ήη(Χη -^n-l) J.
На равномерной сетке с шагом h = χ*+ι — χ к — это известная
формула трапеций
п-1
/ u(x)dx = - I и0 + 2 У^ ΐ/fc + цп
2. Теперь остановимся на случае i = 2, s = 1. После
подстановки в общую формулу найдем
/ u(x)dx = и0(а0 + ίο) + ^ι(<*ι + /?j + δχ) + ^2^2+
η-2
+ ]Γ ufc(afc + /J* + Ik) + un_i(/3n_i + 7n-i) + ^n7n,
fc=2
где
6(Xfc - Xfc+1 )(Xfc - Xfc+2) '
75

7fc=(xfc-^-i)(§+i^S)'
3 6(Xi-X2)/ 6(X2 -^θ)(^2 -^l)
На равномерной сетке с шагом h = Xk+\ — Хк получаем
tb~ h (
J u{x)dx = — I 4uo -f 1Ьи\ + П1/2+
n-2 \
+12 ^2 uk + 13w„_i + 5un I.
λ·=3 /
3. Симметричен предыдущему случай / = 1, s = 2. В этой
ситуации найдем
/Ь п-2
u(x)dx = u0a0 + (αϊ + βχ)ιΐι + ^ u*(afc + /ϊ* + 7fc)+
fc=2
+1Χη_25π-2 + Un_i(in_l + /3η-ι + 7n-l) + ^η(7η + ίη),
где
Λ*; = (ζ*+ι - Хк)\ Γ +
3 6(Xfc+2 ~Хк)1'
/Jfc = (Xfc -Xfc-i) - +
7fc =
3 6(xfc - Xfc+i)y '
(Xfc_2 -Xfc-l)3
6(Xfc - ^fc-2)(^fc - Zfc-l) '
76

Sn-2 =
6(xn ~ Xn-2){Xn-2 - Xn-lY
X t™ ~ \ Ι ι Xfl xn—2
On-1 = \Xn - Xn-1 )\ - +
3 6(xn_i -Xn_2) J
dn = (a?n ~ Sn-i) I т: + тг г ·
\Ъ 6(xn-Xn-2)J
Нетрудно установить также справедливость следующих формул:
/ Lj0(t)dt = (x-i - х_2)< "^2 +
1
+Ϊ2
3(х0 - 2χ_ι + х_г)
1
Хо — Х-1
(х0 - 2х_г + х-2)2
Xq — X-2) (ХО — X-l)(Xo — Х-2)
Х\ — 2хо Η" Χ—1
6(χι - хо)
5 Х2 — 2х\ + хо \
/ ω0(ί)* = (хо — x-i)l -
fXl ( 5
/ u>o(t)dt = (χι - хо) ( ^2 +
12(χ2-Χο) ;'
/ Ul0(t)dt = (Xj_i - Xj-2)X
*/X,_2
x{-^ + ^ 3(x^ ~2^-1+^-2)(^7=^
+
(xj -2xj-i +XJ-2)2
Xj - Xj_2 J ' (Xj - ^i-l)(^ - Xj-2)
xJ+i - 2xj + Xj-i
+ (Xj-Xj-l)l ~
6(x,+1-x,) l+(^-Xi)ln+
+
Xj+2 - 2jj-n + Xj
l2(xj+2 - Xj)
77

Эти равенства показывают роль разностей сетки Xj,
рассматриваемой как функция целочисленного аргумента. Ясен также
характер асимптотики коэффициентов квадратурной формулы
при стремлении узлов к тем или иным пределам (в частности,
к равноотстоящим узлам).
На равномерной сетке с шагом h = £fc+i — χ к имеем
fb hi
/ u(x)dx = — I 5щ + 13ui+
+12 Σ uk + llun_2 + 15un-i + 4un J.
fc=2 /
§ 10. Согласованная квадратурная формула на
равномерной сетке
На равномерной сетке
Xj = a + jh, h = (b — a)/n, j = 0,1,... , η, (Ю.1)
формула (9.4) могла бы быть отнесена к классу составных
формул Ньютона-Котеса. Интересно отметить, что все ее
коэффициенты одинаковы, за исключением коэффициентов, относящихся
к узлам
£о,£ь ···,£{, хп_5,...,£п. (10.2)
В этом случае имеем uij(t) = u(t/h - j), где supp ω = [—s, /] и при
te (fc,fc + l)
fc+s
Σ Mt-J) = t\ i = 0,l,...,m. (10.3)
Лемма 4. из условий supp ω = [—s, /],
Σ w(i-i) = l,i€(fc,fc+l), * = -*,...,/-1
i=*-l+l
следует f uj(t)dt = 1.
78

Доказательство. Полагая г = 0 в (10.3) и интегрируя по
промежутку (fc, к + 1), получим
Σ / «(t-j)A = l.
Сделаем в интеграле замену ξ = t — j:
k + 9 fk+l-j
Σ / ^(o* = i
и заменим индекс суммирования с j на f = к — j. Имеем
и, следовательно,
ft
1.
J_s"(№ =
-S
Лемма доказана.
Следствие 5. Если u)j(t) = u(t/h — j) и supp ω Ε (α, Ь), то
справедливо равенство
/ ujj(t)dt = ,
Действительно,
/ u(t/h — j)d£ = / huj{x)dx = /ι.
J(j-s)h J-s
Легко доказывается следующее утверждение.
Теорема 19. На равномерной сетке (10.1) квадратурная
формула, согласованная с минимальными сплайнами (2.5)-(2.7),
имеет вид
ί u(x)dx = hlj2bfs)u{xj)+
79

j=l+l
(10.4)
j=n-s
где числа bj не зависят от h и от и и обладают свойством
Замечание 5. При переходе от формулы вида (10.4) к
формуле более высокой точности (с большим значением s-Ь/) не
требуется заново вычислять сумму большого числа слагаемых
n—s—l
Σ u(xj) (надо лишь выполнить около ш + 4 действий). 2
3=1+1
Коэффициенты b- 's* при различных значениях га и /, s даны
в табл. II.1, где они следуют в порядке возрастания номера узла
j = 0,1,..., га, а многоточием обозначены коэффициенты, равные
единице.
Таблица И.1
т
2
2
3
3
3
/
1
2
1
2
3
Коэффициенты квадратурных формул
5 13 ι л 11 5 1
12' 12' Х' ' Х' 12' 4' 3
1 5 11 Ί ι 13 5
3' 4' 12' х' ' х» 12' 12
3 7 23 1 ι 23 7 3
1 31 5 25 ι л 25 5 31 1
3' 24' 6' 24' х' ' х' 24' 6' 24' 3
3 7 23 25 ι л 23 7 3
8' 6' 24' 24' Х> - х' 24' 6' 8
2Полученные формулы были проверены расчетами на ЭВМ и
использованы при создании пакета программ численного интегрирования для PC IBM
AT. В написании и отладке упомянутых программ активное участие принял
студент второго курса математико-механического факультета А. В. Гурьев.
80

Продолжение табл. И.1
т
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
/
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
Коэффициенты квадратурных формул
251 299 211 739 Ί л 77 847 157 67 14
720' 240' 240' 720' х' ' х' 80' 720' 290' 48' 45
29 973 173 163 701 ι л 89 257 13 929 27
90 ' 720' 240' 144 ' 720 ' Х' * * * * ' х' 90' 240' 16' 720' 80
27 929 13 257 89 л л 701 163 173 973 29
80' 720' 16' 240' 90' Х' * * * * ' Х' 720' 144' 240' 720» 90
14 67 157 847 77 Ί ι 739 211 299 251
45' 48' 290' 720' 80' Х' ' Х' 720' 240' 240' 720
95 317 23 793 157 Ί Ί 157 793 23 317 95
288 ' 240 ' 30 ' 720 ' 160 ' Х' * * * ' Х' 160 ' 720 ' 30 ' 240 ' 288
14 679 139 58 71 163 ι ι ι
45» 480' 240» 45' 80' 160' Х' Х' Х' * * *
Ί Ί Ί 163 71 58 139 679 14
• - - ? J-, Χ, Χ, 160, 80, 45' 240' 480' 45
51 991 59 97 1333 91 ι -ι -ι
160' 720' 90' 80' 1440' 90' χ' χ' χ' * * *
Ί Ί Ί 91 1333 97 59 991 51
,. *~~ ,ΛΛ .ο '—' \Λ? ' ' 90' 1440' 80' 90' 720' 160
14 679 139 58 71 163 ι ι ι
45' 480' 240' 45' 80' 160' Χ' Χ' Χ' * * *
Ί Ί Ί 163 71 58 139 679 14
... , 1, 1, 1, 160, 80, 45' 240' 480' 45
95 317 23 793 157 Ί Ί Ί
288' 240' 30' 720' 160' Χ' Χ' Χ' * * *
Ί Ί Ί 157 793 23 317 95
• · · 5 Α> Α> Α5 160' 720' 30' 240' 288
19087 84199 18869 37621 55031 61343 -ι -ι -ι
60480' 60480' 30240' 30240' 60480' 60480' χ' χ' χ' * * *
•ι -ι -ι 11821 69593 17203 51371 17113 13207 41
... , ι, ι, ι, 12096' 60480' 30240' 30240» 60480' 8640 ' 140
59617 9503 21043 1713 24793 89377 1139 ι -ι -ι
60480' 8640' 30240' 1120' 60480' 60480' 3780' Χ' Χ' Χ' —
Ί Ί Ί 3715 87271 2147 1583 47351 12883 937
... , 1, 1, 1, 12096' 60480' 4320' 1120' 60480' 12096' 945
81

Продолжение табл. П.1
га
6
/
3
Коэффициенты квадратурных формул
137 87751 14429 43541 6593 12979 3743 л л л
448' 60480' 30240' 30240' 8640' 12096' 3780' Х' Х' Х' * * *
л л л 2211 66041 21643 6493 25993 88897 286 J
..., ι,ι,ΐ, 2240, 60480' 30240' 4320' 60480' 60480' 945
Ниже в табл. П.2 и И.З приведены результаты применения
некоторых квадратурных формул.
1. Пусть параметры квадратурной формулы выбраны
следующим образом: / = 2, s = 1. Результаты вычисления интеграла
ι
I = f f(x)dx для разных значений η приведены в табл. П.2.
о
Таблица П.2
/(*)
1
(2+х)
arctg χ
п = 7
0,78564
0,91604
0,74711
η = 10
0,78549
0,91599
0,74693
η =14
0,78543
0,91598
0,74686
2. Вычислялись также значения интеграла
/
dx
-ι 2 + х
= 1п 3
при разном количестве узлов η и при различной точности
квадратурной формулы. Результаты приведены в табл. П.З.
га, s
тп = 1, s = 1
m = 2, s = 2
m = 3, s = 3
ЛГ = 9
1,099291
1,098621
Таб
TV = 11
1,099002
1,098609
1,098618
лица П.З
ЛГ = 22
1,098666
1,098610
1,098612
82

§ 11. О построении
локально квазиравномерных сеток
11.1. Степенные сетки
Рассмотрим неотрицательную монотонно возрастающую
функцию ψβ(ξ), которая задана на промежутке (—оо,+оо)
формулой
где β > 0. Очевидно,
lim φβ(ξ) = 0, lim φ0(ξ) = +οο. (Ц.2)
ξ—►—οο ξ—»+οο
На промежутке (0, +οο) рассмотрим сетку
X(h): xk=Xk(h) = <p0(kh), fc = 0,±l,..., (11.3)
где h — положительный параметр.
Теорема 20. При достаточно малом ε > 0 и
0 < h < #ο(ε), сетка (11.3) лежит в классе Х\{Къ),
А'0 = тах{1,1//3} + г. (11.5)
Доказательство. Рассмотрим сначала функцию
def
τ/ \ aei
7(a) =
(1 - a)-0 - 1
l-il + a)-/3'
Очевидно, что lim 7(a) = 1. Таким образом, по произвольному
а—>0
ε > 0 найдется Ао = Ао(е), так что верно неравенство
|7(α)-1|< ε, \а\ < А0(е). (11.6)
83

Найдем оценку Αο(ε) при малых ε. Разлагая / = 1(a) по
параметру α в окрестности точки α = О, получаем
βα + β(β+ 1)α2/2 + β(-β - 1)(-β - 2)α3/6 + ο(α3) _
βα - β(β + 1)α2/2 + β(-β - 1)(-β - 2)α3/6 + ο(α3)
= 1 + (β + 1)α + (β + 1)2α2/2 + ο(α2).
Если (β + 1)α < ε/2, где ε достаточно мало, то можно считать
\(β + 1)α + (β + 1)2α2/2| < |, |ο(α3)| < |. (11.7)
Итак, при малых ε неравенство (11.6) выполнено для
При j < 0 из (11.1) и (11.3) имеем
xi+1 - χ,- = [ι - и + ΐ)Λ] "^ - (ι - jh)-e _
χ, - Xj-ι (! _ jfy-β _ [! _ (j _ Щ -^
l-[l + h/(l-jh)]-> '"'
где aj = /ι/(1 - jh).
Заметим, что справедлива (равномерная относительно j < 0)
оценка
К1<Л, J = -1,-2,... (11.10)
Если взять h < Αο(ε), то из (11.6)—(11.10) найдем
l-e<^(/t);X^<l + £, j—1,-2,... (11.11)
Xj(/l) -Xj_i(/l)
С другой стороны, при ,7 = 1,2,... имеем
^Г'ш"1' (1Ы2)
Xj(ft)-Xj_i(ft)
а при j = 0
χι (Л) - χ0(/ι) <Яэ(Л) - 1
χο(Λ)-χ_ι(Λ) 1-φβ(-Η) l-(l + h)-0'
(11.13)
84

так что
Um Xi(h)-xo(h) = _1
h->ox0(h) -χ_χ(/ι) β'
Разлагая выражение h/[l - (1 + h)~P] по степеням малого
параметра Л, будем иметь
1 - (1 + h)~P βΗ + β(β + 1)Л2/2 + o{h?)
= [1-(β+1)Η/2 + 0(}ι2)}/β.
Из (11.13) найдем
1 x^-xoW ft 2
ρ χο(Λ)-^-ι(Λ) 2
Отсюда видно, что
^-ε< glff"M?fc\<Ug (Π.14)
1
β ~ ^ χ0(Λ)-χ-ι(Λ) " β
при
/ι<Λο(ε), /i0(e)=f4e/(^4-l) (11.15)
и достаточно малом ε > 0.
Учитывая соотношения (11.8), (11.11), (11.12), (11.14) и (11.15),
видим, что при условии (11.4) сетка X(h) удовлетворяет
соотношениям
Ко1 < Xj^~Xj < Ко,
з з ~~ 1
где Ко определяется равенством (11.5). Теорема доказана.
11.2. Экспоненциальные сетки
Рассмотрим показательную функцию
Ψ(-τ)(ξ)=Ίζ, 7>1· (11.16)
Очевидно, lim <рм(0 = 0, lim φ<Ί\(ξ) = +oo.
ξ—>-оо ς—>·+οο
На промежутке (0, +оо) введем сетку
X(h)d={xj\xj = jjh, j = 0,±l,...}, Λ>0. (11.17)
85

Теорема 21. При О < h < ho сетка X(h) лежит в классе
Xl(Ko),Ko = 4h°.
Доказательство. Очевидно,
gj+i - xj = 7(j+1)/l ~ ljh = 7^-1 Л ^ t
Xj - Xj-i 7j/l - 7(j"1)/l 1 ~ 7~Л '
и потому
X(fc)€-V!(7fc). (11.18)
При h Ε (0,/ίο) справедливы соотношения 1 < ηΗ < jh°,
Χ\(ΊΗ) C Χ\{ηΗ°). Из (11.18) теперь следует импликация
X(fc)e*i(tfo), A'o=7/l°.
Теорема доказана.
§ 12. Сетки с (Θ, ^-свойством
12.1. Достаточные условия для (0, т/^-свойства
Пусть φ(ξ) — монотонно возрастающая, непрерывная,
неотрицательная на Л1 функция, причем
ton φ(ξ)=0, ton φ(ξ) = +οο. (12.1)
ξ—-οο ξ—+οο
Предположим еще, что </:(£) кусочно-непрерывно
дифференцируема, причем на интервалах непрерывности производная не
убывает. Через φ'{ζ) обозначим производную функции φ(ξ),
доопределенную по непрерывности слева в точках разрыва, так что
φ'(ξ) = φ'(ξ-ο). (12.2)
Предположим, что существует неубывающая непрерывная
справа функция ф{х) со свойством
φ'(φ~ι(χ) + h) < ψ(χ), χ > 0, h G Л0. (12.3)
Рассмотрим семейство сеток X(h) вида
X(h)d={xj\xj=xj(h) = VUh)i j = 0,±l,...}, /ιΕΛο, (12.4)
86

предполагая, что на интервалах (fc/i, (A: + 1)Л), h Ε Ло, функция
φ'(ξ) не убывает.
Теорема 22. При условиях (12.2), (12.3) семейство сеток
(12.4) обладает (0, ψ)-свойством.
Доказательство. Для некоторого £ 6 [khy (fc+l)/i] по
формуле Лагранжа получим φ{{Η+\)Κ)—φ{ΗΚ) = φ'{ξ)}ι, откуда ввиду
неубывания производной найдем
я*+1 - Xk < 4>'{kh + h)h. (12.5)
Поскольку ip'{kh + h) = v?/(^"1(xfc) + /ι), то с учетом
предположения (12.3) из (12.5) имеем χ^+ι - Xk < Ф(хк), что и требовалось
доказать.
Теперь предположим, что существует неотрицательная,
неубывающая непрерывная слева функция θ(χ) со свойством
0(х)<<р'((р~1(х)-Н), х>0, Λ€Λ0. (12.6)
Теорема 23. При условиях (12.2), (12.3) и (12.6) семейство
сеток (12.4) обладает (θ, ψ)-свойством.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 22.
Теорема 24. Пусть функция φ(ξ) непрерывно
дифференцируема на R1 и ее производная положительна и не убывает, а Ло =
(О,Ло], ho > 0. Тогда семейство сеток (12.4) обладает {θ,ψ)-
свойством, где θ{χ) = φ'(φ~ι(χ) - /ι0), ψ(χ) = φ'{φ~ι{χ) + /ίο),
χ >0.
Доказательство. Соотношения (12.3), (12.6) очевидны.
Остается проверить положительность и неубывание функций θ(χ)
и V'(x). Последнее вытекает из положительности и неубывания
функции ф'{х) и из неубывания функции ψ~ι(χ). Теорема
доказана.
12.2. Степенные сетки
На промежутке (0, +оо) рассмотрим сетку (12.3). В качестве
функции φ(ξ) возьмем функцию ψβ(ξ), определенную равенством
(12.1),
*B-W(0-{il+-f · «J (ВД
87

Очевидно,
^«-{f-β"**· Itl: <12·8»
„,V5) = |W+D(i-0—, ί<ο, (129)
так что свойства (12.1), (12.2) выполнены.
Далее
В соответствии с формулой (12.10)
φ 0{φ0 (χ) + Λ) - j ^(χ _ ! + Λ)> χζ (1> +οο)
Используя соотношение (12.8) при ξ = χ + Λ-1, xG (Ι,+οο),
получаем
Заметим, что промежуток (0,1] можно разбить на части (0, (1 +
Л)~^] и ((1 + /г)~^,1], в первой из которых выражение £=1 —
x-i/^ + ft неположительно, а во второй — положительно. Снова
обращаясь к соотношению (12.8), найдем
^(^(χ) + h) = ( W - χ~υβ + V> хе <°· ί1 + V1
ΨβΚΨβ Κ )τ ) ^ χ€((1+Λ)-",+οο),
или окончательно
•,вдч.)+*)-{*-■"-*>-"■ «g:«i o«.)
Следующие неравенства эквивалентны:
χ-ι/^_Λ>1-ι/^ (12.ΐ2)
0 < х < (2/г)-1^, (12.13)
и потому при выполнении условия (12.13) верно соотношение
{х~1'0 - h)-0'x < {\/2)-0~1х^+1У0. (12.14)
88

Пусть
О < h< 1/2. (12.15)
В этом случае верхняя граница в (12.13) заведомо больше
единицы и в верхней части формулы (12.11) можно применить оценку
(12.14).
Итак, справедливо неравенство
V>'0(v>il(*)+h)<fl>W(x), (12.16)
где
*>(1+Л)-".
Поскольку при условии (12.15) очевидно соотношение
^(Л»((1 + Л)-/,)=[2/(1 + Л)]1+/,>1>
%>(*) = {^
то с учетом монотонного возрастания функции х1+1/^ оценка
(12.16) будет усилена, если на промежутке ((1 + h)~^y 1] единицу
заменить функцией 2^+1х1+1/^,
Ф{н)(х)<Ф(0)(х); (12-17)
здесь
*»M-{fv+,/'· :>?"· <ΐ2·ΐ8>
Из (12.16) и (12.17) теперь получим
ν>'β(<ΡΪ1(χ) + **)<Ψ(ο)(χ)· (12.19)
Теорема 25. Степенная сетка (11.3) при h Ε (0,1/2)
обладает (0, φ β)-свойством, где
Доказательство. Свойства (12.2) для функции ψβ(ξ)
следуют из соотношений (12.8) и (12.9).
Свойство (12.3) с функцией ф(х) = φβ(χ) при h G (0,1/2)
вытекает из неравенства (12.19) и из очевидной оценки
Ф(0)(х) <Фв(х)·
89

Таким образом, все условия теоремы 22 выполнены, и потому
можно заключить, что сетка (11.3) обладает (0,г/>/з)-свойством.
Теорема доказана.
12.3. Экспоненциальные сетки
На промежутке (0,+оо) рассмотрим сетку (11.17). В качестве
функции <Ρ(Ί)(ξ) возьмем φ^)(ξ) = 7ξ, 7 > 1·
Очевидно,
φ\Ί)(ξ)=Ί*ΙηΊ, φ"(Ί)(ξ) = ΊΗ\η<γ)2. (12.21)
Ясно, что производная φ\Ί)(ζ) возрастает.
Далее, φ7\ (χ) = log7 χ, χ > О, так что
¥>'(7) (<)(*) + h) = 7<><*>+Λ ln7 = *7Л ln7. (12.22)
Условия
0<Л, т*1п7<2 (12.23)
эквивалентны соотношению
0</i<log7(2/ln7). (12.24)
Теорема 26. Экспоненциальная сетка (11.17) при условии
(12.24) обладает (0, ψ(0))-свойством, где
ψ{0)(χ) = 2χ. (12.25)
Доказательство. Из (12.22) и (12.23) вытекает оценка
ψ'(ψ~1{χ) + h) < 2х, откуда видно, что свойство (12.3)
выполнено при ψ(χ) = ψ(ο)(χ) = 2х. Свойства (12.2) проверены ранее.
Из теоремы 22 следует, что сетка (11.17) обладает (0,t/>(o)
^свойством. Теорема доказана.
Теорема 27. При условии
0</i<log7(21n7) (12.26)
экспоненциальная сетка (11.17) удовлетворяет неравенству
0o(xk+i)h < Xk+i ~ Xk, (12.27)
90

где
θ0(χ) = χ/2. (12.28)
Доказательство аналогично доказательству теоремы 26.
Следствие 6. Если
0<Л<тш{1о87(2/1п7), log7(21n7)}, (12.29)
το экспоненциальная сетка (11.17) обладает (#о5 ^(о))-свойством,
где функции #о и ^(о) даются формулами (12.27) и (12.24)
соответственно.
Доказательство непосредственно вытекает из теорем 26 и
27.
§ 13. Дополнение
Приведем доказательство утверждения А из разд. 7.3 (см.
также [6, с. 46]).
Рассмотрим вначале промежуток (а, Ь) с бесконечной в обе
стороны сеткой {xj}* Xj £ (а, 6), j = ±1, ±2, где ... < χ_ι <
хо < χι < ...
Для функции / G (а, Ь) будем использовать стандартные
обозначения разностных отношений. Как обычно, для разностных
отношений первого порядка полагаем
f[Xk,Xk+i\ = — ,
Xk+ί - Хк
а разностные отношения порядка s введем рекуррентно по
формуле
/[Xfc,Zfc+l,...,Xfc+e] =
/[Xfe+1, . . . , Xk+s] ~ f[Xk, · · · , Xk+s-l]
Хк+s ~ Xfc
где к — любое целое число, a s = 2,3,...
Положим также f[xk] = f(xk)-
Утверждение В. Если f е Cn[a,b], то
(13.1)
f[xo,xi,...,xn]= [ dh Г dt2... /" l/(n)(*o+
./о Vo Jo
91

+ti(*i - xo) + · · · + tn{xn - xn-i))dtn. (13.2)
Доказательство. Используем индукцию по п. Для η = 1
имеем
Xl — Хо Xl — ХО JO
После подстановки t = t\{x\ — хо) найдем
f[xo,xi]= f'{xo + ti(xi-xo))dti,
Jo
что соответствует формуле (11.2) при η = 1.
Обозначим через I интеграл в формуле (13.2) и выполним в
нем интегрирование по tn. Тогда
1= [ Лг [ldt2... ι" 2 &n-i(*n - Xn-i)-l[f{n~l)(xo+
Jo Jo Jo
+*l(Si - So) + . . . + *n-l(Zn-l - ^n-2) + tn{Xn - Жп-ОЦ^'о""1 =
/*1 r*i rt-n-2
= / dtx / <ft2.../ din_1[/(n-1)(a:o+
Уо «/о Уо
+ti(xi - хо) + · · · + tn-i(a?n - *n-2)) - /(n"1}(xo-l·
+*l(Xl - So) + . . · + tn-l(Xn-l - Xn-2))](Xn - Xn-l)~l =
_ f[xp, -. ·, a?n-2> Дп] ~ /[д?01 - - -»^η-2, a?n-i]
Χ η ~~ Χη — 1
Как известно, разностное отношение — симметричная функция
своих аргументов, поэтому
__ f[XQj --ι Хп-2, Хп] - ί[Χθ)ι - - - » Хп-2, Xn-l] _
Хп Хп—1
__ f[Xn, XQ, XU · - · ι Хп-2] - f[XQy ---ι Xn-2, Xn-l]
Хп Χη—1
= /[a?n,a?o»^i»..-»^n-i].
92

Используя упомянутую симметрию, найдем
I = /[яо»Яь-.чЯп]·
Утверждение С· Справедлива формула
/fan) = f(xo) + f[xo,Xi](xn - Яо)+
+/[X(h ^Ь Х2[(Хп - Χθ)(Χη - Xl) + · · · + /[Я(Ь Я?ь . . ., Χη] Χ
*(Хп - Хо)(хп - х\) · · · fan - Χη-ι). (13.3)
Доказательство проводится с использованием
математической индукции по п.
Из утверждений В и С вытекает представление (7.25), (7.26).
Действительно, воспользуемся соотношением (13.2) в последнем
слагаемом правой части формулы (13.3) и заменим хп на х, а п
на т + 1. Тогда получим представление (7.25), (7.26). Тем самым
доказано утверждение А из разд. 7.3.
93

Глава III
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Как известно, аппроксимация тригонометрическими
функциями иногда предпочтительнее аппроксимации алгебраическими
полиномами, особенно, в тех случаях, когда речь идет об искомой
функции, отражающей колебательный процесс. Аналогична
ситуация и в случае полиномиальных и тригонометрических
сплайнов. Ранее тригонометрические сплайны рассматривались в ряде
работ (см., например, [1, 5, 6, 28]).
В данной главе тригонометрические сплайны получаются из
обобщенных аппроксимационных соотношений. Отдельно
рассматриваются четные и нечетные тригонометрические сплайны,
построение квадратур с помощью таких сплайнов, а также
исследуются некоторые частные случаи гранично-минимальных
тригонометрических базисных сплайнов и сплайнов ненулевой высоты.
§ 1. О построении минимальных тригонометрических
сплайнов нулевой высоты
Пусть {tj} — сетка узлов на (—π, π), бесконечная на этом
промежутке или периодическая, удовлетворяющая условию Kq1 <
(tj+i — tj)(tj — tj-i)~l < Ко, где число А'о > 1.
Функцию u(t) при t e [tj,tj+i) аппроксимируем следующим
выражением
«(«) = Σ>Μ ωΗ*)' (ΐ·ΐ)
У
где ujj>(t) — искомый базис тригонометрических сплайнов, а
выражение u(t), определенное формулой (1.1), будем называть
тригонометрическим сплайном.
94

Предположим, что supp ωά = fe-Afa>*j+Afi+i]', где Μλ > О,
Λ/2 > 1, Λ/ι + Л/2 = 2m, m — целое число.
Пусть t e [tj,tj+i). Из условий u(t) = u(t) при u(£) = sin(fcf),
к = 1,... ,m и ι/(£) = cos(Atf), A: = 0,1,... ,m, получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно ojj{t):
j+A/2
У^ ^i'(0cos(fc^v) = cos(fc£), fc = 0,1,... ,m,
y] o;^(i)sin(fcij/) = sin(Atf), A; = 1,2,... ,m.
j'=j-M\
Определитель этой системы
1
(1.2)
W cs\*j—Λ/ι > · · ·» tj+M2 ) —
sin^«Mi
COS^-Λ/ι
sin(m£j_A/i)
I cos(mij_A/1)
есть обобщение определителя Вандермонда,
для его вычисления [18]:
1
Sinfj+Afa
COStj>Af3
sin(mij+Aia)
cos(m^+A/2) I
Известна формула
W^csC^-A/!, · · · , tj+M2 ) = 2
2ггИ
π
sin
Zq Zp
j - Mi <p<q<j+M2
Очевидно, что при различных узлах tj матрица системы не
вырождена и решение единственно. Искомые функции Uj (t) могут быть
представлены следующим образом:
Uj(t) = {
sin-
t-t:,
Π ^ΙΤΞΖ' *€[tfcftfc+ib
iVi sln-^ (13)
-Mi<j'-k<M2 K }
I 0, £ £ [*j-Af2>*i+Ail+l]·
Теперь аппроксимация (1.1) при t Ε [£j, £j+i) принимает вид
j+A/2
«(«)= Σ <tfH'(t)· (1-4)
95

Построенные функции iJj(t) будем называть элементарными
минимальными тригонометрическими базисными сплайнами.
Если Μι + М2 = 2га — 1, то функции ω^{ί) можно представить
так:
sin—l—о т-г sin-V-
Uj{t) = {
з'Фэ
-Mi<j'-k<M2
sin ~* yv * *_^. sin
*e[**,**+i], fc = j-M2,...,j + Afi;
.0, tg [tj-M2itj+Mi+l]i
где σ& = tk-Μχ +... + £fc+A/2; 5fc — фиксированное число,
удовлетворяющее условию Ok φ — 25k + 2ρπ, ρ — целое число.
Перечислим свойства элементарных минимальных
тригонометрических базисных сплайнов [6]:
1) Тригонометрическая точность аппроксимации (1.4) равна
т, т. е. и — и = 0, если и = 1,sin £, cos £,..., sin(ra£), cos(m£).
2) Базисный сплайн αλ,- представляет собой
тригонометрический полином порядка га.
3) При Μι > 0, М2 > 1 функция, задающая базисный сплайн,
непрерывна.
4) Носитель базисного сплайна содержит 2ш + 1 сеточный
интервал, кратность накрытия точки t е [а, Ь] С (—π, π) носителями
базисных сплайнов равна 2т + 1 (за исключением узлов сетки
Μ).
5) Пусть L — простая спрямляемая кривая, заданная
уравнением ζ = ψ(ί), ^(0 ~~ комплекснозначная функция класса Cm+1,
t — натуральный параметр. Функция u(z) аналитична в
окрестности L(e) кривой L. Введем обозначения v(t) = υ,(ψ(ί)), v(t) =
Для погрешности аппроксимации тригонометрическими
сплайнами при l<g<p<+oo,l/p+l/g = l справедлива
оценка
b-£|lv-M>(L) <Cmax|tfc+i - Мт+1~« + *1Ииут+1)(Ь)>
где С — константа, зависящая от базисных сплайнов.
Рассмотрим промежуток [а, Ь] С (—π, π] и построим конечную
сетку а < to < t\ < ... < tx < b. Для аппроксимации вблизи
концов промежутка [а, Ь] необходимо расширить основную сетку
узлов, введя дополнительные узлы ί-ΜΛ, · · · > £-ъ ^лч-ι > · · · > ^λγ+λ/2-ι·
96

На промежутках [£o»£mJ и [£λγ-μ2+ι^λγ] оценка погрешности
аппроксимации ухудшается. Будем строить локальный
интерполяционный тригонометрический базис так, что упомянутая оценка
погрешности сохраняется на всей кривой, включая концы.
В зависимости от расположения носителя базисного сплайна
относительно узла tj будем различать левые, правые и
серединные базисные сплайны. Так, при А/г = 1, М\ = 2т — 1 имеем
левый, а при Л/г = 2т, Λ/ι = 0 — правый базисный сплайн.
Пусть Л/г = 1, Λ/ι = 2т — 1. В этом случае аппроксимация
(1.4) дает погранслой на левом конце промежутка [а, Ь]. Длина
погранслоя составляет М\ сеточных интервалов. На каждом из
этих интервалов построим аппроксимацию u(t) из условия
точности на тригонометрических полиномах порядка т, подбирая
параметры М^ М[ так, чтобы использовались только узлы tj Ε
[α, b]. Например, для [to,t{\ возьмем М'2 = 2га, Л/{ = 0, для [ίι,^]
возьмем Λ/j = 2га — 1, Л/{ = 1, и т.д., для [^λλ-i^mJ возьмем
М'2 = 2, М[ = Λ/ι -1 = 2га-2. Выражения, позволяющие
аппроксимировать с порядком т на всем промежутке [а, 6], можно
представить следующим образом. При t Ε [£j, £j+i), j = 0,..., Μ\ — 1
аппроксимация (1.1) принимает вид
г(0 = ]С"^'(*)»
(1.5)
где
t-t,/
. ·* cm J J
(1.6)
jVi sin- 2
0<j'<2m
При j = Λ/χ,..., ΛΓ - 1 аппроксимация имеет прежний вид
j+A/2
j'=j—A/i
где
^j(0 = S
sin-
t-t,
Π . ,Д,, t€[ifc,tfc+i],
.,,. SHI 9 j
-A/i<j'-fc<A/2
I 0, £ £ [*i-A/2i*;+Afi + l]·
97

Пусть Л/2 = 2m, Mi = 0. В этом случае аппроксимация (1.4)
дает погранслой на правом конце промежутка [а, Ь]. Длина погран-
слоя составляет Л/2 — 1 сеточный интервал. Аналогично
предыдущему случаю, выражения, позволяющие аппроксимировать с
порядком т на всем промежутке [а, Ь], можно представить
следующим образом. При j = N - Л/2 + 1,..., N - 1 функцию u(t)
аппроксимируем выражением
лг
где
ω,.(ί) = J]
sin-
t-t.
з'Фз
N-2m<j'<N
sin-
ί € [£лГ-М2 + Ь*Лг]·
(1.7)
(1.8)
При j = 0,..., N — Л/2 аппроксимация имеет прежний вид
■'U/v(£),
где
<^(ί) = {
π
sin-
ί-ί;
tj-tt
t G [ifc,ifc+i],
., ,. Sin " 0 ''
-Λ/ι</-*<Λ/2
fc=j-M2,...,i + A/i;
I 0, £ & [ij-M2>ij+A/i + l]·
Пусть Л/2 > 2, Λ/ι > 1. В этом случае аппроксимация (1.4)
дает погранслой на левом и на правом конце промежутка [а, Ь].
Аналогично предыдущим случаям, выражения, позволяющие
аппроксимировать с порядком га на всем промежутке [а, Ь], можно
представить так:
При £ Ε [£j,£j+i), j = 0, , Λ/ι — 1 аппроксимацию берем в
форме
A/i + l
S(t) = Σ W(*)> (L9)
где
98

t-t,
ωΛ') = Π . А·.' *е[«о,«м]. (l.io)
0<j'<2m
При j = Μι,.,.,Ν — Л/г аппроксимируем выражением
j'=j-A/i
где
sin
Π . *Д,. t€[ifc,ifc+i],
^JW - ^ -Mi<j'-fc<M2
При j = iV — A/2 + 1,..., iV — 1 функцию u(£) приближаем
следующим выражением
ν
2(ί)= Σ WW' (LU)
j=JV-A/2
где
. t-t4,
sm
-Af2 + l»*iv]· (I·12)
N-2m<j'<iV
§ 2. Четные тригонометрические
сплайны
Четную функцию u{t) при t Ε [£j,£j+i) С (0,π),
аппроксимируем линейной комбинацией
ад = Х>(^>;<(0, (2.1)
У
где uJj(t) — искомые минимальные сплайны.
99

Предположим, что supp ω5 = [ij-Af2i*j+Mi+i]> где М\ > 1,
Л/2 > 1, Λ/ι + Л/2 = т,т — целое число.
Пусть £ Ε [£j,£j+i). Из условий u(£) = u{t) при u(£) = cos(fci),
к = 0,1,..., га, получаем систему линейных алгебраических
уравнений относительно Uj(t):
.7+Л/2
У^ Uj'(t) cos(fcij/) = cos(fci), fc = 0, l,...,m, (2.2)
Нетрудно выписать определитель системы (2.2):
Wcitj-Mi j · · · , *j+A/2 ) =
1 ... 1
COS ij-Λ/ι · · · COS tj+Л/з
I cos(mtj-Mi) · · · cos(mij+A/2)
Известна формула для его вычисления [18]:
Wcsitj-м,,..., tj+A/a) = 2m(m-1)/2 Π (cos tq - cosip).
J —Mi <p<<7< j+A/2
Нетрудно видеть, что при различных узлах tj матрица системы
не вырождена и решение единственно. Искомые функции u)j(t)
могут быть представлены выражением
ωά{ί) = {
π
cost — cost*
-f-, i€[ifc,ifc+i],
COS ίj — COS ty
-Mi</-fc<Ai2 (2·3)
fc = i-A/2,...,i + A/i;
[ 0, t& [ij-Afa> ^i+Mi + l]·
Таким образом, при £ € [ij, £j+i) аппроксимация (2.1) имеет вид
(2.4)
j+A/2
U(t) = ^ ^/Ολ,ν(ί).
j'=j-A/i
Четные тригонометрические сплайны, позволяющие
аппроксимировать функцию с заданным порядком на всем промежутке
интерполяции [а, Ь] С (Ο,π), будем называть четными гранично-
минимальными сплайнами.
100

Пусть Л/г > 2, Μι > 1, Μι + М2 = m. В этом случае
аппроксимация (2.4) дает погранслой на левом и на правом конце
промежутка [а, 6] С (0, π). Представим выражения, позволяющие
аппроксимировать с порядком т на всем промежутке [а, 6] С (0, π).
При t Ε [£j,£j+i), j = 0,1,...,Μι — 1, аппроксимация (1.1)
принимает вид
Λ/ι+1
u(t) = ς <w)> (2·5)
j=0
где
/ ч ТТ COSi — COS^' г. . ι /Λ Λν
W'<t)= Ρ eos^-cos^ telMMa (2-6)
0<j'<m
При j = Μι,..., Ν — А/г аппроксимация имеет вид
u(t)= J2 игиу(Ь),
j'=j-M\
где
Uj{t) = <
n
cos t — cos £
^, te[tk,tk+1],
COS £ j — COS tii
з'Фз 3 J
-Mi<j'-k<M2
fc = j-A/2,...,j-hA/i;
\ 0, £ £ [*j-A/2> *j+A/i + l]·
При j = ΛΓ - A/2 -l· 1,..., N - 1 функцию u(t) аппроксимируем
следующим выражением:
Ν
U{t)= Σ Uj'Uj'it),
j'=N-M2
(2.7)
где
/ ч ТТ cos ^ ~~ cos tj' (j. ± ι
ί'Φί
N-m<j'<N
101

§ 3. Нечетные тригонометрические сплайны
Нечетную функцию и(£), при t € [tj, £j+i) С (0, π),
аппроксимируем линейной комбинацией
u(t) = J2u(tr)u;r(t), (3.1)
Г
где ujj(t) — искомые минимальные сплайны.
Предположим, что supp ujj = [£j-A/2>*j+Mi+ib где Μι > О,
М2 > 1. Λ/ι -f M2 = т - 1, m — целое число. Пусть £ € [fyjfy+i).
Из условий и(£) = u{t) при u(£) = sin(Atf), к = 1,..., m, получаем
систему линейных алгебраических уравнений относительно Uj(t):
i+A/2
У^ о^/(£) sin(fc<j/) = sin(fcf), к = 1,2,..., m,
(3.2)
Выпишем определитель системы (3.2):
Isinfj-A/,
sin(mfj+M2)
We(*j-АЛ 5 · · · 5 *j+A/2 ) =
|sin(mfj_A/i)
Известна формула для его вычисления [18]:
Ws{tj-Ml,..., f i+A/2) = 2m(w"1)/2 sin tj-м, ... sin ii+Af2 χ
X TT (COS tq — COS tρ ).
j—Mi <p<g<j+A/2
Таким образом, при различных узлах ^ матрица системы не
вырождена и решение единственно. Искомые функции ujj(t) могут
быть представлены следующим выражением:
Uj{t) = {
sint
sint
п
cos£-cos£7/ f . .
— f-, te fe,ifc+i,
■i -- cos£7 — cosf7/
-A/i</-fc<A/2 (3-3)
fc=jf-M2,...,j + Mi;
{ 0, £ £ [*j-m2»*j+Mi+i]·
102

При t Ε [tj,tj+i) аппроксимация (3.1) имеет вид
j+л/з
2(*)= Σ 4'ωΑ*)· (3-4)
j'-j-Μχ
Нечетные тригонометрические сплайны, позволяющие
аппроксимировать функцию с заданным порядком на всем промежутке
интерполяции [а, Ь] С (0, π), будем называть нечетными гранично-
минимальными сплайнами.
Пусть Л/г > 2, Λ/ι > 1. В этом случае аппроксимация (3.4)
дает погранслой на левом и на правом конце промежутка [а, Ь] С
(О, π). Выпишем выражение, задающее аппроксимацию с
порядком т — 1 на всем промежутке [а, Ь].
При t € [tj, £j+i). j = 0,1,..., Μι — 1, функцию u(t)
аппроксимируем по формуле
Aft+l
u(t) = Σ *W)> (3.5)
j=o
где
"i(«) =
Π ~„*. ~J..' *€[ίο,*ΑΛ]. (3.6)
sin£, x± cosf, — cosf7/
0<j'<m
При j = Mi,..., N — Мг аппроксимацию берем в виде
j+A/2
где
( sin£
4/W = <
sint
n
cos£ - cos ty
, t G [£fc,£fc+i],
M\<j'-k<M2
COS £j — COS tj'
fc = j-A/2,...,J+A/i;
^0, £ g [*j-A/2»*j+A/i+l].
При j = N — A/2 + 1,..., ΛΓ — 1 функцию u(£) аппроксимируем
следующим выражением:
Ν
u(t)= Σ ^'Μ0, (3-7)
103

где
sin t тт cos t — costj
sine j-r cosr - cos τ у r ,
J Slllfj *Х. COSfj-COSfj'
ά'Φά
N-m<j'<N
§ 4. Построение квадратурных формул
Пусть Λ/ι + М2 = 2m, m — целое число, Α/ι > 0, Μ<ι > 1.
Построим квадратурную формулу вида
j u{t)dt = Y^Aku{tk) + Ru (4.1)
где R\ — погрешность квадратурной формулы.
Прежде всего, следуя формулам (2.5) — (2.7), представим
промежуток интегрирования [а, Ь] в виде суммы трех промежутков:
j u(t)dt = Ι u(t)dt + / u(t)dt + / 2(f) Α =
= Jl + </2 + Л·
Вычислим вначале интеграл
N-M2 *tk+1
J2 = 2J / (Ufc-A/^fc-A/i (*) + ··· + Wfc+Afao;fc+Afa (*))*·
Пусть afcfj = /£+1 c^(*)eft. Тогда
fc=Mi i=fc—Λίι
Последнее равенство эквивалентно следующему:
Л/г+Л/2-l Λ/i+fc N-Ml-M2-l fc+A/i
h = Σ и* 5^ aiffc + 5Z Uk Σ ai.*+
fc=0 j=A/i fc=A/i+A/2 + l i=fc-A/2
104

ΛΓ Ν-Μ-2
+ Σ Uk Σ α**·
k=N-Afi -M2+I j=k-M2
Для вычисления коэффициентов α^ напомним, что базисные
сплайны u)j(t) на промежутке [£&,£*+1) определяются
тождествами (1.2). Интегрируя на промежутке [£fc,£fc+i], получаем
систему линейных уравнений относительно akj. Перепишем систему
уравнений в комплексном виде:
is
s = -ra,...,-l,l,,...,m,
<*k,k-Mi + · · · + ак.к+М2 = *fc+l ~ *Ь
Обозначим 5fcj = e~tmtjak,j, Zj = ettj. Нетрудно видеть, что
матрица системы уравнений представляет собой матрицу Вандермо-
нда. Решая эту систему, например, с помощью формул Крамера,
получаем
5*,* = PkQk((-l)Mi+mam(tk+l - tk)+
™ / i\m-s+A/i ч
+ Σ —^ (β<#ί|ί + 1 " eiStk)°rns),
где
Pk = (zk-Mx - zk) ,..(zk-i~zk) ,
Qk = (zk - zk+i)~ ...(zk- zk+M2)~ ,
а через ak,q обозначена сумма всевозможных произведений чисел
2j, j = -к - Μι,..., к + Λ/2, j τ^ ^ взятых по g.
Аналогично получаем
ак+е,к = Pfe+eQ^e((-l)Ml+m+e(^+l+c - *НеКт +
m / л \Mi+m-s+e v
+ 2-f 7^ (2fc+l+e ~ 2fc+e)aA:+e,m-sJ?
где
Лк+е = (2fc-A/, +e - 2fc)~ ... (2fc_i ~ Zk)~ ,
105

Qk+e = (Zk ~ 2fc+l) . . . (Zk ~ Zk+M2+e) \
а через ak+e,qi £ — —Л/г> · · · > Afi, обозначена сумма всевозможных
произведений чисел ty, f = к - М\ + е,..., к + Л/2 + e, j' ^ А:,
взятых по ρ.
Рассмотрим теперь интеграл
m ЛЛ-1 rtk+i
<ί = Σ^ Σ / ^-w*
Обозначим
Λ+ι
A,, = / u>j(t)dt.
Jtk
Аналогично предыдущему, решая соответствующую систему
уравнений относительно pkj = e~imtj ,3k,j, получаем при j = 0,1,..., 2га
hj = Ро,^о.,((-1)т+^,-,т(^+1 - **)+
где
<2o,j = (20 - Zj)~ . . . (Zj-i - 3j)~ »
poj = (*j - 2j+i)~ ... (zj - zm)~ ;
через aJ?t/ обозначена сумма всевозможных произведений чисел
V' / = 0,1,..., 2т, / т^ j, взятых по q.
Рассмотрим наконец интеграл
N N-i ffc+1
J3= Σ ui Σ / ^(*)Λ·
Обозначим 7fc,j = Jt fc+1 u>j{t)dt. Решая соответствующую систему
уравнений относительно 7fc,j = e~lmtj7fc,j> j = Ν — 2m, ..., JV,
получаем
7fc.i = дл^Рл^((-1)^-т-^,>т(^+1 - tk)+
m / ι\ΛΓ—m—s— j ν
5 = 1
106

j = Ν - 2m,..., JV,
где
QNJ = (zN-2m - Zj)" . . . (Zj-1 ~ Zj)" ,
PNJ = (Zj ~ Zj+i)~l . . . (Zj - Zjv)"1,
через Oj^q обозначена сумма всевозможных произведений чисел
zy, j' = Ν — m,..., JV, j' ^ j, взятых по g.
Суммируя J = Ji + J2 + </з< находим
АЬ + Л/i-l /M\+j Mi-l \
J = Σ иЛ Σα^+ Σ &* +
j=0 \k=Mx fc=0 /
(2Λ/1+Λ/2 л/1-1 \
/] OLk,Mi+M2 + X, /?fc,A/i+A/2 ) +
fc=A/i A:=0 /
+ Σ UJ Σ a*'J +WiV_A/1-Af2X
j=Afi+M2 + l k=j-M2
(N-M2 ΛΓ-1 \
/] ttfc,AT-A/i-Ai2 + X, 7fc,AT-A/i-A/2 I +
k=N-2M2-Mi k=N-M2 + l J
Ν ι N-M2 N-l \
+ Σ иЛ Σ Q^ + Σ τ*·* · (4·2)
>=ΛΓ-Λ/2-Λ/ι+1 \*=j-M2 k=N-M2 + l J
Замечание 1. Базисные сплайны (1.3) на равномерной
сетке можно представить в виде ujj = Οφ(ί - tj), где функция φ
зависит только от (t — tj), а постоянная С от j не зависит.
Базисные сплайны, обладающие таким свойством, будем называть
однородными.
Отметим, что базисные сплайны (2.3) свойством однородности
не обладают.
Замечание 2. Можно показать, что на равномерной сетке
узлов с шагом h для базисных сплайнов (1.3) справедливо
соотношение
u>k{t)dt = h.
tk-M2
I
107

Действительно, при t G [ί*, tk+i) имеем u)k-Mx (*)+·. ·+ω*+Λ*2 W = 1·
Покажем, что
tk-Mo+s + l tfc + 1
/ ujk{t)dt= I ujk+M2-3{t)dt, s = 0,l,...,Mi+A/2.
Функции u;fc+M2-s при £ G [£*, Ufe+i) определяются из соотношений
(1.2) при f = к — Μι - Л/2 + s, ..., к + s, поэтому
tfr+l *fc+l
г-t,
/ "*+*-.(')* = / Π . ZX-*;df-
ί i iV*+Af2-. sin ^ 1-
-Afi<i'-(ife+A/2-e)<A/2
а ввиду однородности базисных сплайнов (1.3)
*fc-Ai2 + l + * tfc-A/2 + l+* . $__$.,
/ <***- / Π sintA",^=
«/ J .,,. SHI—s"-2-
*fc-A/2 + s **-Μ2 + * J Ψκ *
-b,U-M2+S<j'-k<S
tk+i β t_tr
-Ι π
sin —«-
2 dt.
sin **+";» — -*;
-Λ/ι<^'-(*:+Μ2-5)<Λ/2
Таким образом, свойство установлено.
Замечание 3. На равномерной сетке формула (4.2)
упрощается, так как в этом случае коэффициенты при Uj, j = М\ + Л/г +
1,..., N - Λ/ι - Л/2 - 1, равны h.
Далее в табл. Ш.1-Ш.З приведем таблицы результатов
вычисления интегралов от некоторых функций, полученные с помощью
тригонометрических минимальных сплайнов.
В табл. III. 1 представлены приближенные значения
интегралов
π/2 1
h= yl-0,5sin2xdx, /2 = / е~х*dx,
108

1
h= (sin(3x) + cos(3x)) dx,
о
полученные с помощью гранично-минимальных
тригонометрических сплайнов нулевой высоты, обеспечивающих точность на
тригонометрических многочленах первого и второго порядков
(значения параметров: га = 1, М\ = Л/2 = 1 и га = 2, Α/χ = Л/2 = 2
соответственно) при числе узлов N\ = 5 и 10 на равномерной
сетке (Ni = N+ 1).
Таблица Ш.1
Ϊ
h
h
h
τη = 1
Wi=5
1,352510
0,747735
0,720744
τη = 1
Λ/Ί = ίο
1,350839
0,746935
0,711338
m = 2
Μ = 5
1,350523
0,746835
0,710186
m = 2
Μ = 10
1,350639
0,746825
0,710372
Замечание. Для Νχ = 20 т = 2 имеем /χ = 1,350644,
72 = 0,746824, 13 = 0,710371.
Отметим, что с помощью удачного выбора узлов можно
уменьшить погрешность. Например, пусть га = 2, Λ/χ = А/2 = 2.
Возьмем следующий набор узлов для Ν\ = 5: 0; 0,27; 0,6; 0,789; 1. В
этом случае имеем 1$ = 0,710373.
В табл. III.2 даны приближенные значения интегралов,
полученные с помощью аппроксимаций гранично-минимальными
сплайнами первой высоты, обладающих свойством точности на
тригонометрических многочленах второго порядка.
Таблица Ш.2
/
h
h
h
т = 2
Ni=4
1,350687
0,746828
0,710512
τη = 2
JVi = 5
1,350652
0,746826
0,710408
m = 2
Νι = 10
1,350644
0,746824
0,710371
Далее в табл. Ш.З приведены приближенные значения
интегралов, полученные с помощью аппроксимаций гранично-мини-
109

мольными тригонометрическими сплайнами, обладающих
свойством точности на четных тригонометрических многочленов
первого и второго порядков. Здесь
Ц = / ό> h = I λ/l — 0,5cos2x dx.
Jo 1+*2 Jo
Таблица III.3
/
h
h
h
m = \
0,747466
0,786101
1,349374
m = 2
ЛГг = 10
0,746793
0,785311
1,350719
m = 2
Ni = 20
0,746821
0,785389
1,350652 |
§ 5. Некоторые частные случаи гранично-минимальных
тригонометрических базисных сплайнов
1. Возьмем га = 1, М\ = 1, Л/2 = 1. Левые
гранично-минимальные базисные сплайны ujj(t) в данном случае на промежутке
[to,t\] определяются формулами
sin Μ1 sin Ц^
"*(*)= ,-ϊΛ _,_,Λι' ^0 =
sin Ц^· sin M2
sin iflf^ sin Цр-
"2(0
sin
sin *—& sin ^^
sin **=k sin ^=£i
i^sin^'
На промежутках [£/ь £fc+i]? A: = 1,2,..., N - 1, базисные
сплайны u;j(£), j = 1,2,..., N< задаются тригонометрическими
многочленами второго порядка:
LJj(t) = {
sin<^
■sin ■
sini^
■sin ■
2
. t-*;_i · t-t
Sin ;f-L Sin
2
sin^=^l
sin
tj + i
sin
sin
f,-f
i±i
2
2
sm-
Ъ-Н
sm
t;-t
2 °"x 2
Ю, *£ fo_ 1,^+2].
ill
£ e [*j+i,*j+2];
110

Аппроксимация (1.1) с такими базисными сплайнами обладает
свойством точности на функциях 1, sin£, cost. Графики этих
базисных сплайнов при j = 1, 2, 3 представлены на рис. III. 1.
б
Рис. III. 1
2. Пусть теперь га = 1, М\ = 0, Л/г = 2. Правые гранично-
минимальные базисные сплайны u>j(£), j = 0,1,...,TV, на
промежутках [£fc,£fc+i], A: = 0,1,.,.,ΛΓ — 2, задаются многочленами
второй степени
LOj{t) = {
sin-
sin^
sin -
sin^-
. t
sin-
. tj
sin-2-
k t
2
-*J-2
2
2
2
2
2
$\Ь-
sin —
sin^
sin —
sin -z
sin —
• ti
sin^-
2
2
±±1
2
z£tti
2
±±2
2
zitti
2
-2»*j+l]»
* G [ij_2,^j-i];
t e [tj-x,tj];
t € [tj,tj+i\;
а на промежутке [^лг-г^лг] сплайны o;j(i), j = AT - 2,JV — 1, JV
определяются формулами
sin ί-^· sin
2
ωΛ'"2(ί)" —ϋίρΕ—ϋΞΕϋΖ'
^ν-ι(0 = —
sin Цр- sin
t-tN-2
smtN-'-tN smtN-l-tN-2
sin
£-t.V-
•sin
t—tN-2
""W sin'"-'"-' sin'"-'"-* '
111

Аппроксимация (1.1) с этими базисными сплайнами точна на
функциях 1, sin£, cos£. Графики этих базисных сплайнов при j = О, 1,
2 представлены на рис. III.2, а-в соответственно.
Рис. Ш.2
Результаты аппроксимации этими базисными сплайнами
функции у1 — 0,5 sin2 χ представлены на рис. III.3, а функции
sin(2x) + cos x — на рис. Ш.4 (здесь и далее непрерывной линией
изображен график функции, а пунктиром — график
приближения. Точки интерполяции обозначены кружками).
Рис. Ш.З
Рис. Ш.4
3. Выберем т = 2 и М\ = Л/г =
базисные сплайны uij(t) имеют вид
2. На промежутке [to,ti]
ь>о(Р) =
sin
t-tl
sin
t-u
sin-
■sin
t-Ьл
sin *i=k sin &ψ* sin iftfia sin ^f^
112

1V ' en h=L·.
sin *-> sin ^ψ· sin ^ sin *ψ·
2
Sin "*0*" Sin ^"^ ei'n iLzii sin *1T*4
sin Ц^ sin ^4^ sin ^y3- sin ^
*2^ = яш^ят^^
«*(*) =
sin :^fi sin ^^ sin **=■& sin ^^=^
sin ^ψ- sin ^^ sin ^y* sin ^y±
sin **=** Sin ia=ii sin ^* sin ia=k
sin ^y*1 sin ^y1 sin ^y* sin ^^y3-
^4 W sin k=k sin Ц^ sin **=** sin **=** '
На промежутке [t\, £2] сплайны o;j(£), j = 0,1,2,3,4, такие же. как
на промежутке [£ο»*ι]·
Серединные гранично-минимальные базисные сплайны ujj(t)
при j = 0,1,..., JV, на промежутках [£fc, *fc+iL fc = 2,3,..., JV - 2,
задаются тригонометрическими многочленами второго порядка:
Uj(t) = {
sin —f-^ sin
t i — ί . — 4 · t
sin ■* ,/ sin
sin
t-tj-3
sin
Sill
*./-*,/-з
sin
sin * V"2 sin
sin ■
■sin
sin —*H- sin
sin J * sin
sin
t-t
i±L
sin
sin *' *'+' sin f
"^
sin
t-t.
-sin-
t-t
i=i
li^a
sinkz^
sin-
2 OXXi 2 01" 2
* € [ij-2»*i-i];
-sin-
t-t
•J=±
sin-
i-t
2±i
-t
i=2
sin·
С 7" £ i
2 01" 2
sin-
Ci-H
-t,-
■sin-
t-t
J±L
sin
*~*J + 2
-sin
2 ollx 2
irziLtl sin iiZ^2±i
LLtl
sin
t-t
i±l
sin-
-^ч-з
i±i oin !iZ*2±i Q;n lizlLtl'
sin
sin-
2 °1XX 2 ~" 2
* ^ l*j+ii*j+2j;
-*j+2
sin
*-*i+3
sin
t-t
±tl
zh±i sin ίζζ^±3 я5п Ч-Ч+* '
-sin
2 ^x" 2 °1Xi 2
* ^ [*j+2>*j+3];
[0, t^[tj-2,*i+3],
на промежутке [£лг-ъ£лг] базисные сплайны o;j(i) определяются
формулами
113

UJN-4{t) =
sin *-=ψ=*· sin !=ψ=* sin ^^ sin t=bL
sin '"-«-'"-» sin «"-«-«"-» sin '"-4"'"-1 sin i^|=^
^лг-з(0 =
sin
t-tN-
:8ΪηίΖ^=18[ηίζψ±3[ηίψ
Sin *лг-а-*лг-4 sin «n-3-^-2 sin *,v-3-t„-i sin **-3-t» >
UN-2{t) =
sin iz^L=i sin «z^i=3 sin ^^ sin *=**
Sin ^-а^лг-4 sin *"-2~*"-3 gin *"-»-«"-ι sin t„-a-tiv >
o^r-iM
sin £z^i=A sin ί=ψ=ι sin b^=2 sin 1=^
sin
tfii-l—tN-
. sin ^-'-^-3 gin tN-,-tS-2 gin ^-12"^
^лг(*) =
sin
t—t/V-4
sin
t-t/v-з
sin
t—tjV-2
sin
£ —*iV-l
Sin ^-*N-4 sin ^V-^-3 gin tN-t^-2 gin f^ >
Аппроксимация (1.1) с данными базисными сплайнами точна на
совокупности функций l,sin£,cos£,sin(2£),cos(2£). Графики
правых базисных сплайнов при j = 1, 2, 3, 4, 5 представлены на рис.
Ш.5, а-д соответственно.
Рис. Ш.5
114

Графики некоторых других базисных функций и результаты
аппроксимации приведены в Приложении на рис. П.18-П.23.
Графики базисных четных сплайнов нулевой высоты при М\ =
1, Л/2 = 2? j = 1, 2, 3, 4, 5 приведены на рис. Ш.6, а-д
соответственно. Результаты приближения функций cos(2x) -f cos x и
e-cosz c ПОМОщЬЮ этих базисных сплайнов — на рис. III.7 и Ш.8
соответственно.
а б в г д
HJLJIJL
Рис. Ш.6
\/\J\/\J
Рис. Ш.7
7VA
Рис. Ш.8
115

Графики базисных четных сплайнов нулевой высоты при М\ =
2, М2 = 2, j =1, 2,3, 4, 5 приведены на рис. IIL9, а-д
соответственно. Результаты приближения функций cos(3x) + cosx и e-cos(2a;)
с помощью этих базисных сплайнов — на рис. III. 10 и III. 11
соответственно.
д
Рис. Ш.9
Рис. III. 11
116

§ 6. Построение базиса тригонометрических сплайнов
ненулевой высоты
Рассмотрим построение эрмитовых тригонометрических
базисных сплайнов. Пусть сетка {tj} удовлетворяет условиям § 1.
Функцию u(t) при t e [tj,tj+i) С (-π,π) аппроксимируем
линейной комбинацией
2(*) = ΣΣΒ(α)βπ«(*)· (6Л)
j α=0
где ω у )Q(£) — искомый базис тригонометрических сплайнов.
Предположим, что supp ω$$ = [£j-a/2>£j+a/i+iL где Λ/ι > О,
А/2 > 1, Μι + Л/г = 2т, т — целое число, supp Uji0i> С supp Uj%a,
α' > α. Выберем целые числа пищ так, что τι ι = 2п + 1,
j'=j-A/i
Построим базис ω^α так, что <*JjtQ(£fc) = Sa,p5j4k, где 5p,g = 1
при ρ = q и 5p,g = 0 при ρ φ q. Обозначим через X вектор-столбец
Χ = (l, sin £, cos £,..., sin(ni), cos(ni)) .
Пусть Xj — производная от вектора X порядка α, вычисленная
в точке t — tj. Пусть также
Ω = (α^-Αίι,Οί^-Μι,Ιί · · · iUJj-Ml,8Ail , · · . j^j-Αίι,Οί
^j-Μΐ,Ιΐ"- l^j-Ml^M^ ·
Из условия u(t) = u(t), u(t) = 1, sin £, cos t,..., sin(n£), cos(n£),
получаем систему линейных алгебраических уравнений
относительно u>j,a(t):
ΑΩ = X, (6.2)
где
Δ — (Υ yW v(eJ-A/i) γ лж y(l) γ(^ + Λ/2)\
111

Нам потребуется следующее утверждение.
Лемма 1. Справедлива формула
det(Xu Х?\..., X[S1\..., Хм, Хм\ ■■-, 4/м)) =
-**ΥίΨΉ π -(V) ■ (6·3)
где Ν = ZjLiisj + 1)·
Доказательство. Рассмотрим определитель
W = άβΐ(-ΧΊο,ΑΊι,...,Χιβ1,... ,-ΧΆ/Οί-ΧΆ/ι»··· ί-ΧΆίβΑ/)»
где
Xj = (l,sin £,cos £,...,sin(n£),cos(n£))f=t..
Последовательно дифференцируя И7 один раз по £*ь Два раза по
U2 и т. д., Si раз по U3i и приравнивая fi0 = U\ = ... = USi = *i>
получаем требуемое.
Таким образом, число уравнений в системе (6.2) совпадает с
числом неизвестных, и благодаря (6.3) система уравнений имеет
единственное решение.
Обозначим через Sj = maxj/ Sj^. Построенные на промежутке
[xj,Xj+i) функции u>j,a(t) будем называть минимальными
тригонометрическими базисными сплайнами высотой Sj.
Отметим следующие свойства сплайнов:
1) u(tj) = u(tj), u^\tj) = иМ(^), α = 1,2,..., 8j;
2) |^·,α| < C7ia, h = maxj(iJ+i — tj), где С — константа, не
зависящая от h.
6.1. Оценка погрешности аппроксимации
Рассмотрим вопрос о погрешности аппроксимации
тригонометрическими сплайнами ненулевой высоты. Пусть функции α;;/>α
определяются из соотношений
118

Σ Σ "i',«(sin(fcf;0)(β) = sin(fct), к = 1,2,..., η,
j' α
ΣΣ^"^008^')^ =cos(fc0. fc = l,2,...,n,
i' «
Отсюда вытекает следующая система уравнений:
Σ^,'0 = 1'
Г
i' «
где 2 = егЬ.
Предположим, что окрестность L(e), ε > 0. простой
спрямляемой кривой L содержится в множестве Ui'Ua^i'.a» гДе ^i'<a
— открытые выпуклые множества, причем кратность накрытия
множествами Gj>,a равна η + 1 (почти везде). Рассмотрим
минимальные непустые пересечения этих множеств Yji0t = Hj/eJ ^i'.a»
где Jj = {j| Ua^i'.«n^j\i+i ^ 0}> bj,j/ — дуга, соединяющая
точки Zj и ζ,·'. Обозначим через Lj дугу, соединяющую точки ζ и
Пусть u(z) — аналитическая функция в L(e), г Ε Ljj+χ.
Положим
^) = ΣΣ^(α)^Ή'^)·
j7 a=0
Нетрудно видеть, что
Д(г) = u(z) - 2(г) = А Г и(п+1)(т)(* - т)п <*т-
"ΣΕ T^U Г(*Г-тГ-аи^Чт) dr. (6.4)
Предположим, что кривая L задана уравнением ζ = ψ(ί), 0 <
t < Τ, где £ — натуральный параметр (длина дуги, отмеряемая
от фиксированной точки кривой), а ψ(ί) — комплекснозначная
функция класса Cn+1. Пусть также ^ = ip(tj).
119

Введем обозначения: v(t) = i/(-0(f)), v(t) = u(ip(t)).
Последовательно дифференцируя, имеем
v"{t) = ч"№№'{*))2 + *Ш)№Ш
v«)(t)=uW)^(t))(^/(t))i + ...,
где многоточием в последней формуле обозначены выражения,
содержащие производные функции и порядка меньше j. Ввиду
предположения \ψ'{ί)\ = 1? поэтому производные u^(tp(t))
последовательно выражаются через производные функции υ порядков
j, j' — 1, ..., 1. Коэффициентами этих представлений служат
произведения функций ip(k)(t), к = j,j — 1,...,1, а в знаменателе
может оказаться лишь ^'{t) в положительной степени j, которая
отлична от нуля для всех t Ε [О, Τ]:
«ω(^(*)) = Σ^(ψ(*))«(1)(ί).
ι=ι
Здесь
А^{ф{1))еСп+1->, j = l,2,...,n+l.
Поэтому
где
^,n+iWi))€C|-1, j = l,2,...,n+l.
Подставляя найденные выражения в (6.4), получим
v(t) -щ = I /" (^,(ί) -ψ^ι^α,,,+^μι/ΉψΉ^-
"' "''i ί=1
-ΣΣ!βίΓ<^»-*<·'»"'<
j' α=0 V r Jtj
120

n+1
χΥ^Α^η+ι{φ{σι))ν^{σ')φ'{σ')άσι.
Учитывая, что хорда короче стягиваемой ею дуги,
№)-W)\<\t-*\,
и, предполагая, что отрезок дуги Lj = {ip(t) \ t3 < t < tj+\)
содержится в У}, имеем для t Ε (tj,tj+i)
\v(t) - v(t)\ < С„,„ (fit- σ\η ]Γ \ν®{σ)\ώτ+
+ Σ Σ ι^·.-ι Гltj' ~ σΤ~α Σ ΐυ('V)id</) ·
у α=ο •'О ι=ι J
Здесь C-ψ,η — константа, зависящая лишь от η и ψ. Пусть
кривая L покрыта отрезками вида [£j,£j+i], j £ J. Возводя последнее
неравенство в степень р, используя неравенства Гельдера и Иен-
сена и проводя рассуждения аналогично случаю аппроксимации
вещественными полиномиальными сплайнами, рассмотренными
в [11], получаем оценку
\\v - v\\lp(l) < C/*"+1-W ||W||w(n+o(L), (6.5)
где С — константа, зависящая от параметров сплайна и от ψ, а
ft = max,-|*i+i -tj\ .
Таким образом, неравенство (6.5) доказано для всех функций
v(t). представимых в виде v(t) = η(ψ(ί)), где и — произвольная
аналитическая функция в L^y Предположим, что L — простая
замкнутая кривая класса Cn+1, которая с некоторой своей
окрестностью может быть аналитически взаимно однозначно
отображена на кольцо ΚΡι^ρ2 = {ζ\ρ\ < \ζ\ < рг} отображением В:
ΚΡιφ2 —► L(e), причем сама L переходит при этом в окружность
Τ1 = {ζ||2| = 1}, 0<ρι<1</92.Β рассматриваемом случае
υ^(+0) = v^(L-O), j = 0,1,..., η+l. Отобразим теперь полосу
ξ плоскости Η = {ξ Ι — δ < Re ξ < δ} на кольцо КЧлЧх, где q = e_<5,
Pi < Q < Q~l < P2, с помощью отображения Л : ζ = ег^. Итак,
F(£) = и(В~1Л^) = и(В~1ег^) — периодическая с вещественным
периодом 2π аналитическая функция. Известно, что множество
121

тригонометрических функций cos(lt)< sin(lt)< I = 0,±1,...,
образует полную систему в W*+1(—π,π), последние являются
аналитическими в Я. Тем самым следы аналитических в L(e) функций
плотны в W™+l(Ti) и, следовательно, следы аналитических в L(f)
функций плотны в W™*1^). Поскольку константы его не
зависят от элементов упомянутого множества, то отсюда вытекает
справедливость неравенства (6.6) для всех функций пространства
W»+1(I) .
Итак, доказана теорема.
Теорема 1. Для погрешности аппроксимации функции и
тригонометрическими сплайнами ненулевой высоты при 1 <
q <р < -{-со, ρ + ^ = 1 справедлива оценка
ll«-S||Lp(L)<C/in+1-i+i||«||1|r«.+„(i.)>
где С — константа, зависящая от параметров сплайна,
a h = maxj \tj+\ —tj\ .
6.2. Частные случаи тригонометрических сплайнов
ненулевой высоты
Пусть Sjjr = 1. j' = j — Λ/ι,... ,j + Л/2. Аппроксимация (6.1)
при t e [tj*tj+i) принимает вид
з+м2
u(t) = ς *(*/Η',ο(ο+^;(^)^м(*)· (6·7)
Если Λ/ι + Л/2 = 2m, τη = 1, supp αλ^ο = [ij-2)ij+i]? supp aJj\i =
[ij»i,ij+i], то получаем правый тригонометрический сплайн
первой высоты
sin ^ sin2 ^ cos ^ sin ψ
ωΜί) - "2 ^ΈψΓ-^ΈψΙ +
sin *-ίψί- sin2 *-*ψϊ sin(^f±* - tj)
+ sin2^sin2^ ' «el'J-'i+iJ;
, ч „cos b=h=i. sin h±izi sin2 »zb=i sin «£*
^o(i) = 2 2 . «тД . atjrtr: ~+
sin ,+2 ; sin ' J
122

sin ίίψ* Sjn2 *=ψλ sin(Щ±1 - tj)
+ sin2 «шА;п2 «j-'j-. ' i€i*j-b*jJ;
sin -"——*■ sin
sin и ±. sin ■* —
tv+2—t · 2 t? + l— t · t — t,-
sin -Щ— sin -Щ— sin —L
"j.i(*) = 2 · *,+,-«, · 2 «w-«, . * € fe,*i+i];
Sin 'T~ ' Sin 2~
sin-*——sm-^snr—£-L
sin ;+2 ' sin ' 2'
Графики ил,,о и u/j-д на равномерной сетке узлов представлены
на рис. III. 12, а-б соотвественно.
а б
Рис. 111.12
Если Λ/ι+Мг = 2т, т = 1, supp o;j,o = fo-ь ^4-2]» SUPP &jti =
[ij-i,ij+i], το получаем левый тригонометрический сплайн
первой высоты
u/ifo(*) = -2
sin -^— sin -2-±— cos -*—|—L sin ^2—
t —1,_2 · 3 tj-l —*i
sin —jj-2· sin -^—■*■
2 0111 2
, МП -Ч— Sln ^— S1I1(^ li) te.U ,1.
sin
2<i^ziisin2i2riziz
cos i^tti sin it^=i sin2 b^±i sin Lz£
^■,oW = 2 . t A ■ at-Λ. +
3 sin ii^-ii gin3 '■' *'+1
123

sin*z^sin2 1^±lsin(i^±i-t.)
sin2 «-*; + ' Sjn2 t-«J+2
sin-2-!—siir -^—sin-2-2- .
шзЛч = 2—. tj-2-tj . 2 ii-i-t,-—' *e l^-ьад
Sin J 2 Sln ; 2
sin-^—sin-y^-sur—ft±
Sin ' J2 J Sin^ ; 2;t
Нетрудно построить гранично-минимальные сплайны первой
высоты. В данном случае следует на промежутках [x^x/k+i), к =
0,1,..., N — 2, применить правые базисные сплайны, а на
промежутке [χν-ι,χν] — левые базисные сплайны, при этом мы
получим правые гранично-минимальные базисные сплайны. Если же
нужно построить левые гранично-минимальные сплайны, то
следует на промежутках [я*;, £fc+i), к = 1,2,..., N — 1, взять левые
базисные сплайны, а на промежутке [χο»^ι) применить правые
базисные сплайны.
6.3. О построении четных тригонометрических
сплайнов ненулевой высоты
На промежутке (0, π) можно построить базис четных
тригонометрических сплайнов высоты s. Рассмотрим промежуток [а, Ь] С
(О, π) и построим конечную сетку а < to < t\ < ... < £дг < b.
Четную функцию u(t) при t e [tj,tj+\) аппроксимируем
линейной комбинацией
j' α=0
где ujj',a(t) — искомый базис четных тригонометрических
сплайнов.
124

Предположим, что supp ω^0 = fo-A/2,*j+Mi+i], где Μι > О,
Л/г > 1, Mi + Л/2 = τη, τη — целое число,
j'=j-A/i
supp Ujiat С supp u;7jQ, a' > а. Построим базис ujj%a, так, что
^j,a(*fc) = *α,/Φ,*» ГДе <V<? = ! ПРИ Ρ = tf и <W = О ПРИ Ρ ^
ρ. Обозначим через X вектор-столбец X = (l,cos£,... ,cos(n£))T.
Пусть Xj} — производная от вектора X порядка а, вычисленная
в точке t = tj. Пусть также
^ = 0*>i-Mi,O»<*>j-Mi,b··· i^j-A/ι,βΑ/!»·· -ί^'-Λίι,Οί
Аналогично предыдущему приходим к системе уравнений
относительно Ujta(t):
ΑΩ = Χ,
л _ (γ γ(1) γ(*3-Μι) γ γ(1) y(ei+A/2)\
л — V^i-A/i^j-A/^-'-i^j-A/, »· ••'Ai+A/2i^J>A/2'---'^i+Ai2 J
Нам потребуется следующее утверждение.
Лемма 2. Справедлива формула
det(X1,xi1\...,x[3i\...,XM,xi)\...,xia[M)) =
Μ
= 2n(n"1)/2 IJ(-l)9''(0! · 1!... в,-!)(яп*,·)0' x
χ J] (costff-costp)(e"+1)^+1),
ι<ρ<ς<Λ/
где Qj = ii±|2i£z.? η = £?!i(sj + 1)· **a доказательстве
останавливаться не будем.
Итак, число уравнений совпадает с числом неизвестных и
система уравнений имеет единственное решение, так как ввиду
леммы 2 определитель отличен от нуля.
125

Построенные функции u>j,a(t) будем называть минимальными
четными тригонометрическими базисными сплайнами высоты Sj
на промежутке [£j,£j+i).
6.4. Частный случай
Пусть Sjj' = 1, f = j - Μι,..., j + M2. Тогда аппроксимация
принимает вид
j+M2
u{t) = Σ u{tj>)ujrfi{t) + ι*'(^Ήμ(*)·
j'=j-A/i
Если Λ/ι + Л^2 = 2, supp o;j,o = supp о^д = [tj-i,tj+i], то
получаем четный тригонометрический сплайн первой высоты
(cos *i+i - cos *)2(cos £ - cos fy) . .
·* (cos fy+i -cos t,)2sin ij
, ч (cos ί,·_ι -cos £)2(cos £-cos i,·) , . .
7 (cos ij_i - cos ^)2sin tj J J
/i4 (cos tj+ι —cos £)2 Д cos tj —cos £ \ . .
(COS ij'+χ -COS £j)2 \ COS tj+ι -COS tj J J J
, ч (cos tj-ι —cos £)2 Л cos tj —cos £ \ . .
(COS ij_i -COS tj)2 \ COS fj_i -COS tj J uiJi
Графики cjj# и ολ,,ι на равномерной сетке узлов представлены
на рис. III. 13, а-б соотвественно.
а б
Рис. III. 13
126

Глава IV
ГЛАДКИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Как было видно из предыдущих глав, аппроксимационные
соотношения могут приводить, вообще говоря, к весьма негладким
аппроксимирующим функциям (в том числе — к разрывным), и
это не отражается на порядке аппроксимации (хотя может
повлиять на константы в соответствующих неравенствах). В некоторых
случаях на первый план выдвигаются свойства гладкости
аппарата аппроксимации; в частности, могут понадобиться гладкие
сплайны. Оказывается, что при незначительном расширении
носителя базисных функций возможно добиться априори заданной
гладкости. Эта глава посвящена построению гладких эрмитовых
и лагранжевых полиномиальных сплайнов, а также сглаживанию
тригонометрических сплайнов.
§ 1.06 эрмитовых и лагранжевых
сплайновых аппроксимациях
Пусть функция и Ε Cm^l{R1)^ {xj} — сетка упорядоченных
узлов
. . . < Xj-i < Xj < Xj+l · · ·
Аппроксимацию й(х) на промежутке [xk,Xk+i) будем строить в
виде
j
где <jJj{x) — интерполяционный базис полиномиальных сплайнов,
определяемый из условия точности аппроксимации (1.1) на
полиномах степени т.
При построении сплайнов Uj(x) предполагаем, что
supp uij(x) = [а^_г_а,а^+Г1_а],
127

где г и Γι — некоторые натуральные числа, задающие носитель
сплайна αλ,(χ), а α = —г + 1,..., η — 1. Будем предполагать, что
т = г + Г\ — 1. Считая, что кратность накрытия произвольной
точки χ носителями базисных сплайнов u)j(x) равна почти везде
т+1, нетрудно заметить, что в сумме (1.1) при \хк,хк+\)
небольшое количество слагаемых:
fc+r
j—k—ri + 1
При г -I- Γχ =m + l сплайны а^(х) определяются однозначно.
Построенные таким образом сплайны u>j{x) имеют следующие
свойства:
1) u>j{Xj) = 1, Uj(xk) = 0 при j φ к\
2) и - и = 0 для и = 1,х, . ..,хт;
3) supp Uj = [xj-r-a,Xj+ri-a];
A)ujeC(Rl).
Наря^ с аппроксимацией (1.1) на промежутке [хь, Xfc+i)
будем рассматривать аппроксимации первой высоты
fc+r fc+s
й(х) = Σ и(^)^.оИ+ ]ζ μ'(χ,)^,ιΟζ)· (1.2)
j'=A:-ri + l /=fc-s,+l
Здесь г + η + s + si = Ρ + 1, r, η, s, Si, Ρ — натуральные числа,
5 < г, si < π; через luj4q(x) и uj,i{x) обозначены минимальные
сплайны первой высоты, обладающие локальным
интерполяционным базисом, определяемые из условия точности аппроксимации
на полиномах степени 0,1,..., Ρ и имеющие следующие носители:
supp ω,-,ο = [sj-r,Sj+nb supp ω,-д = [xj-9,Xj+ax]-
Свойства сплайнов ω$$(χ) и а^д(х):
1) ω^ο(^·) = 1, ^,0(xfe) = 0 при j φ к: u>'j%0(xk) = 0;
2) Цд(^) = !» ЦлО**) = 0 при j φ к: ujti(xk) = 0;
3) и — и = 0 для и = 1,х,.. . ,хр;
^о^деСЧЯ1).
§ 2. О построении гладких минимальных сплайнов
2.1. Первый вариант расположения носителя
Предположим, что а — фиксированное целое число,
принимающее одно из значений
а = -г + 1,...,п-1, (2.1)
128

m = r +П -1И SUpp U>j = [Xj-r-aiXj+n-a]·
Система уравнений
k+r-a
Σ Щ{х)х) = xu, ι/= 0,1,...,га,
j—k—ri + l—α
при х G [xfc,Xfc+i] однозначно определяет минимальные
интерполяционные сплайны u)j{x):
Uj(x)
( π (Χ - Xj') , ч
11 Τ 1 \' Χ G lXfc-Q,Xfc+l-a)?
-ri+i<j'-*<r (2.2)
fc = i-r,...,j + ri - 1;
k. U, X §: [Xj_r_a, Xj+ri_QJ.
Нетрудно видеть, что сплайны (2.2) являются лишь
непрерывными функциями аргумента х. Рассмотрим базисный сплайн ω7(χ),
носитель которого шире на один сеточный интервал носителя
сплайнаu>j(x), и предположим, что supp ujj = [xj_r_Q, χ^+Γι+ι_α].
Теперь условия точности аппроксимации (1.1) на полиномах
степени т принимают вид
к+г-а
j=zk—ri—a
(2.3)
При X G [χ*, Xfc+l)·
Непрерывно дифференцируемые l раз функции £ij(x), следуя,
представим в виде
uij(x) = <
Рк-а(х) Π
з'Фз
Xk—τι Xj'
Χ ι* ~~~ Χ1"'
-ri + l<j'-*<r
+
Π
-ri + l<j'-fc<r
^-, X G [Xfc-a, Xfc+i-a),
(2.4)
k = j -r,...,j + ri - 1;
~~Pj+ri— a(#)j #G [Xj+ri_a, Xj+ri-f 1—a);
^ U, X y: [Xj_r_a, Xj+ri+i_aJ,
где Pj(x) — многочлены, определяемые в дальнейшем.
129

Обозначим
Χ — Xjt
Hk(x) = Π
Ui J 3
-n+l<j'-k<r
При λ = 1,2,..., l на промежутке [χ*, Xk+i] имеем
Я<А)(х*) = Я<А)(х)|х=х,, н[Х)(хк+1) = Я<А)(х)|х=Хк.+1.
Условия непрерывной дифференцируемости I раз базисного
сплайна uij (x) приводят к следующим соотношениям:
1) В ТОЧКе Xj-r-a
ρΡΓ_α(χΐ-Γ-α№-Γ(χ^-Γι) + H^r-Jxj-r-*) = 0; (2.5)
2) в точках Xk-a+i при к = j - г,..., j + η - 1,
р!А_)а(^+1-а)ЯЛ(хЛ_Г1) + Я<А)(1к+1-а) =
= Ρ&_α(**+ι-α)#*+ι(α*+ι-Γι) + Hix^(xk+1-a); (2.6)
3) в точке χ,+γ, -а
Pj+ri-l-a(Xj+ri-a)Hj+r, (Xj+n) + Я;+Г1_1(Х_;+Г1_0,) =
= p$ri_a(xj+ri-a). (2.7)
Кроме того, для сохранения интерполяционных свойств следует
положить
Рк(хк*) = 0, fc' = fc, fc + 1. (2.8)
Если возьмем в выражениях (2.5)-(2.7) рк \xk+i) равным
некоторым числам /3fcfA, то получим выражения для рк (хк)- В силу
условий (2.8) Pj(x) на промежутке [xj,Xj+i) можно представить
в виде
1 1~λ ΌΚλ)(χ ) ί 1 \(l)
+Ш^^ (f4*0!L <*-*->"'<*-*>>
130

Нетрудно показать, что для выполнения условий точности
аппроксимации (1.1) на полиномах степени т следует положить
р[Х)(хк+1-*) = 0, λ = 1,2,..., I, к = J - г J - г + 1,..., j + п.
(2.9)
Будем говорить, что семейство функций {pj(x)} обладает
свойством однородности относительно сдвига по узлам сетки, если
Pj(x)\[xj,xj+1) = Pj+k(x)\[xj+k,xj+k+1).
Функцию Pj(x) возьмем в виде полинома Эрмита. В этом случае
нетрудно видеть, что выполнение условия (2.9) влечет
однородность семейства {pj(x)}.
На промежутке [xj,Xj+i) имеем
5j-n+a(s) = -Pj(s)»
ш^а(х) = Pi(x) Π Xj~r*'~ri Xj'
-ri-
+ π
-т*1 + 1</-^<г
Я/ -- Xj1
-ri + l<j'-j<r
где s = r, r — 1,..., —ri + 1.
Теперь условия (2.3) можно преобразовать к виду
к+г-а. / k+r-α. \
j=k—r\ — a \j=fc—ri—a /
ι/ = 0, l,...,m.
Эти условия, очевидно, в силу свойств базисных сплайнов αλ,(χ),
являются тождествами.
Далее из условия непрерывной дифференцируемое™ u>j(x) в
узлах Xj находим
(λ)
Π (х-ху)
(X) \-ri + l</-/c<r-l / Х—Хк_
Рк (Хк-а) = Π (Zk-rt-xr)"
-ri+l<j'-fc<r-l
131

Многочлен Рк(х) степени 2/ + 1 можно взять в виде
Рк{х) = Σ YlPkX)(Xk-«)(x -**+ι_α),+1Χ
λ=1
ί-λ
D-d
5=0
,(l + a)\ (х-хк-а)х+°
l\ s\ (χ*_β - xfc+1_a)'+'+i'
(2.10)
2.2. Второй вариант расположения носителя
Пусть теперь supp ujj = [£j_r_i_Q, xJ+ri_Q].
Непрерывно дифференцируемые / раз функции uij(x) в
данном случае можно представить выражениями
ωά(χ) = 1
/ ч ТТ #fc+r+i - Xj' ,
5'Фз э э
-ri + l<j'-k<r
+ JJ 3^"' % €[Хк-а, Xk+l-α),
.,ф. Xj ху
-ri + l<j'-*r<r
fc= i-γ,...,.7 + γι - 1;
~Qj—г—1—α\.#/> 3? £ [Xj—r— 1—Q) ^j— r—ajj
^ U, £ §E [Xj_r_i_a, Xjjrri—0t\.
Здесь многочлен gfc(x) степени 21 + 1 можно взять в виде
(2.11)
Як(
λ=ι
λ!
1-Х
s=0
где
Π (* ~ Xj')
(λ) V-r1+2<i'-fc<r
9fc (*fc+l-a) =
(λ)
Z=Zfc + l-n
Π (Xfc+r+1-^j')
ri+2<j'-fc<r
132

2.3. Свойства гладких минимальных сплайнов
Минимальные непрерывно дифференцируемые I раз базисные
сплайны u)j(x) обладают следующими свойствами:
1) u>j(xj) = 1, ωό(χι<) = 0 при j φ к;
2) и — и = 0 для и = 1, х,..., хт;
3) носитель αλ,(χ) состоит изг + ri + l = т + 2 сеточных
интервалов, причем supp u>j = [χ^_Γ_α, Xj+ri+i_Q] или supp u5j =
[^·_Γ_ι_α,^·+Γι_α] (здесь α= -r + l,...,n - 1);
4)£jeC/(ii1);
5) степень ujj(x) равна max{2i +1, τη}.
Отметим, что непрерывно дифференцируемые сплайны с
носителем, занимающим промежуток [xj_m_i,Xj+i], можно
получить только из формулы (2.11), а непрерывно
дифференцируемый сплайн с носителем [xj_i,Xj+m+i] — только из формулы
(2.4).
Сплайны с другим выбором носителя можно получать как из
формулы (2.4), так и из формулы (2.11).
Рассмотрим частный случай: m = 1, г = 1, г ι = 1, ί = 1.
По формуле (2.4) имеем непрерывно дифференцируемый сплайна^ (х)
с носителем suppcDj = [xj_i,Xj+2]
( X-Xj_i (Χ - Xj)2(x - Xj-l)
3 ^~ Xj—J, ν J
X ~ xj+l (Xj-i - Xj+l)(x ~ Xj+i)2(x - Xj)
Uj(x) = {
\3 ' X ^ [xj-lixjh
Xj-l)
Xj+l (Xj - Xj+i)*(Xj - Xj_i)
xe [xj,Xj+i);
(x-xJ+2) (x-Xj+i)
(xJ+i -a?j)(a?j+i -Xj+2)2'
tO, χ £ [a?j_i,a?j+2]·
x€ [xj+i,Xj+2);
Формула (2.11) дает следующее выражение для непрерывно
дифференцируемого сплайна ω3 [χ) с носителем suppuij = [xj-2,xj+\\-
133

( Χ — Xj+l (x — Xj) (x — Xj+l)
uij(x) = <
, χ Ε \Xj4 Xj+ij;
X - Xj-1 (Xj+i - Xj-l)(x - Xj-i)2(x - Xj)
Xj Xj — ι \**'J **'j — 1/ V**'J *^j"4"l/
x G [Xj—i, Xjj;
(χ-χ^-2)2(χ-^-ι)
(Xj_l - Xj_2)2(Sj-l - Xj)
[θ, χ £ [xj-2iXj+i]·
, χ G [xj_2,xj-i);
2.4. О сплайновых аппроксимациях
без свойства точности на многочленах класса πΏ
Предположим, что выполнены условия (2.9). В дальнейшем
нам потребуется следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть u>j(x) — непрерывно дифференцируемый I
раз минимальный базисный сплайн, т — точность
аппроксимации (1.1). При 2/Н-1 > m сплайн £5j(x), вычисляемый по формуле
(2.4) или (2.11), единственен. При 21 + 1 < т существует η — I
различных I раз непрерывно дифференцируемых минимальных
базисных сплайнов; здесь η = max{Z, τη —Ι}.
Нетрудно видеть, что полагая
p^Wi)=#u^0? fc = j-r,...,j + ri, A=l,2 /, (2.12)
мы теряем свойство точности аппроксимации (1.1) на полиномах,
но имеем оценку погрешности вида
1« - u\lXk,Xk+l] < chm+l + σι(/?*,Α)Λ,
(2.13)
где h = maxfc{xfc+i — xfc}, а С и Ci(0k,\) — некоторые постоянные.
Поясним сказанное на примере. Для сплайна ujj вида (2.4) при
г = 1, η = 1, а = 0 из условий (2.5)-(2.7), накладываемых на
многочлен р(х), при / = 1 получаем:
1) на промежутке [xj+i, Xj+2]
/ / \ л / / \ a(xj-i — Х7+1) +1
xj xj+i
134

2) на промежутке [xj, Xj+i]
v'(x^) = a ώ' (χ ) - 1 I b(Xj~2 ~ χ*-№* ~ ^+ι) ■
P](xJ+l) α, ρ,{ζ,) χ._χ._1+^(χ._χ._ι)(χ._1_χ.+ι)-
3) на промежутке [xj-i, Xj]
1
P'j-i(*j) = b, p/i_1(xi_i) =
Xj_2 - Xj-i
Построив на каждом промежутке [χ^,χ^+ι] полином Рк{х) по
формуле Эрмита, которая с учетом условий (2.8) принимает вид
( . (х -£fc+i)2
Pfc(x) = 71 Ζ \2 (χ ~ *fc)Pfc(*fc)+
(Ж-Xfc)2 f v , ν
r(#-Zfc+i)Pfc(£fc+i)>
(xfc+i - Xfc)2
из соотношения 5j_i+2j+c5j+i = 1 получаем следующие условия
на параметры а и 6:
Xj—2 ^7 —1 1 ^7 — 1 ~~ Xj
а = Ь— -—, a = b—- —,
Xj-2 ~Xj Xj-l - Sj + l
что, очевидно, возможно лишь на равномерной сетке при а = 6/2.
Условие Xj-iuij-ι -f Xj^j + Xj+i<2j+i = х выполнено лишь при
а = 6 = 0.
Таким образом, при выполнении условия (2.12) при га = 1
погрешность порядка CO(ti2) реализуется лишь на равномерной
сетке при а = 6/2. При этом получаем точность аппроксимации
на полиномах нулевой степени.
Теорема 2. При p[X)(xk+i) = /Jfc,A Φ 0, к = j - г J -
г -f 1,..., j -f π, Α = 1,2,...,/, справедлива оценка погрешности
(2.13).
2.5. О совпадении базисных сплайнов
Оказывается, что в ряде случаев гладкие базисные
сплайны, задаваемые формулами (2.4) и (2.11), совпадают.
Вначале приведем простой пример. Предположим, что
выполнены условия единственности гладкого базисного сплайна. Пусть
135

непрерывно дифференцируемый I раз базисный сплайн Uj(x),
построенный по формуле (2.4), имеет носитель [^_r,xJ+ri+i].
Возьмем непрерывный сплайн, занимающий носитель [χ^_Γ+χ, Xj+ry +ib
и построим гладкий сплайн способом, описанным в разд. 2.2.
Носитель нового сплайна будет занимать промежуток [xj-r, χ^+Γι+ι]
и определяться формулой
w*(x) = <
Як(х)
Π
ίΦύ
-ri + l</-fc<r
Π
з'Фз
Sfc+r+1
- +
-xr
—, X G [Xfc+Ь #fc+2)i
-ri + l<j'-fc<r
fc= j-r,...J + ri -1;
-^_r_l(x), Ж G [Xj-r, ^j-r+l);
^ U, £ $: [Xj_r, Xj+n J·
Отметим, что в данном случае выполняются условия
,(*>
Як Ы+2)
(λ)
-fc<r
(Χ — Xj')
=£fc + r
Π (a;fc+r+i-a?j/)
-ri+2<j'-fc<r
g[A)(xfc+1) = 0, λ = 1,2,...,/.
Последовательно вычисляя значения производных от сплайнов
ujj{x) и w*(x) в узлах Xj_r, .... #7+η, находим, что они
совпадают до порядка Z, а следовательно, совпадают и сами базисные
сплайны u)j(x) и i?j(x). так как по предположению мы находимся
в условии единственности сплайнов 2/ + 1 > т.
Теорема 3. Если 21 + 1 > т, где т — точность
аппроксимации сплайнами oJj(x). ujj G Cl(Rl), то формулы (2.4) и (2.11)
задают один и тот же сплайн, если параметры а\ иа.2 β этих
формулах выбраны так. что базисные сплайны, вычисляемые по
этим формулам, занимают один и тот же промежуток, с
одинаковым расположением вершины Xj относительно носителя
базисного сплайна.
136

2.6. Левые и правые гладкие минимальные сплайны
В соответствии с выбором вершины j базисного сплайна u)j{x)
относительно носителя базисные сплайны (2.4) и (2.11) будем
называть левыми, если г + α < f12^], и, соответственно, правыми,
если г\ —а < f12^]· Здесь и далее [г] — наибольшее целое число,
не превосходящее г.
Нетрудно видеть, что левые базисные сплайны дают
большую погрешность аппроксимации (больше теоретической оценки)
вблизи левого конца конечного промежутка [а, 6], а правые
базисные сплайны — вблизи правого конца. Для того чтобы на всем
промежутке [а, Ь] был одинаковый порядок погрешности
аппроксимации, будем использовать вблизи левого конца правые
базисные сплайны, а вблизи правого конца левые базисные сплайны.
Пусть а = хо < х\ < · · · < xn = b, a m — точность
аппроксимации. Обозначим га ι = [у]. Выбор базисных функций
можно осуществить, например, следующим образом. На промежутке
[#ο>#ι] берем аппроксимацию с базисными сплайнами (2.11) при
Γι = 1, а = О, на промежутке [хьХг] ~ (2-П) при π = 1, а = —1, и
т. д., на промежутке [xmn^mi+i] — (2-11) при г\ = 1, а = —mi, на
промежутке [χ*;, χ*:+ι] при к = mi + l,...,N— mi — 1 берем
аппроксимацию с базисными сплайнами (2.11) при π — 1, а = —т\. На
промежутке [χμ-ι,χν] применяем аппроксимацию с базисными
сплайнами (2.4) при г = 1, а = 0. На промежутке [χν-2,χν-ι] —
(2.4) при г = 1, а = 1, и т. д., на промежутке [xisi-mi,XN-mi+i] —
аппроксимацию с базисными сплайнами (2.4) при г χ = 1, а = mi.
§ 3. О модификации эрмитовых и лагранжевых
сплайновых аппроксимаций
3.1. Применение разностных отношений
при построении минимальных сплайнов
Здесь показано, что если в формуле (1.2) заменить
производную функции и на разностное отношение с погрешностью 0(/ι^),
то получится аппроксимация точности β с непрерывно
дифференцируемыми базисными сплайнами. Здесь также приводятся
примеры, иллюстрирующие связь между аппроксимациями
первой высоты и аппроксимациями лагранжевыми сплайнами.
137

Предположим, что supp ολ,,ο = supp ил,д = [xj+/,Xj+/+Af], где
1-М < I < -1. Пусть в (1.2) г = s = -ί, η = si = / + М. Заменяя
в аппроксимации (1.2) производную на разностное отношение
>(тЛ~и*1-иГ
u'(Xj)
xj+l xj
(3.1)
получаем
й(х) = £ (uWi0 + ^—?^α) · (3.2)
Преобразовывая, имеем
и(х) = 1^_Ζ-Λί+1 С^-/-А/+1,0 - 1 +
V Xj-l-M+2 ~ Xj-l-M+l J
( o;j-z-a/+i.i
\Xj_/_M+2 - Xj-l-M+l
! )+... + Uj-i J- l + UJj-ta
Xj_j_A/+3 - Xj-l-M+2 J \Xj-l ~ Xj-l-l
ω3-ΙΛ \ , ω3~ΙΛ
— + Щ-1+1 — .
Xj-l+\ - Xj-t ) Xj-l+l ~ Xj-l
Таким образом, мы вернулись к аппроксимации вида (1.1)
Й(Х')= Σ u(Xj>)Vf{x),
где Vj(x) — сплайны, определяемые выражениями
(
-■ - - ч
Vj{x) = <
Xj+l — X
"j·0 + ^,_^., „», _ > * € [*Jb,Xfc+i),
fc= j + Z + M-2,...,j + l;
(3.3)
ЦМ
·, x G [xj+/_i,xJ+i);
Xj+l
{ 0, X 0 [xj+/_i,Xj+/+a/].
Ранее было показано, что сплайны первой высоты ύλ,,ο и ил,д
могут быть вычислены по следующим формулам:
138

I ^t^7)[RjAxj) + {x"Xj)Rf*>k{Xj)]'
i<0 ■ s € [xk,Xk+i) С [xj+j,Xj+j+Af];
,0, X g [Xj+^Xj+j+Af].
(3.4)
J pJ'Vn JX " Xi)' X G [Xfc,Xfc+l) С [Xj+Z,Xj+/+Af]; ,0 c4
ω3Λ — \ HjMxj) (o.o)
,0, X £ [Xj+/,Xy+i+A/],
д**(*) = Π (*-*i02·
A:-hl-Z-Af<fe-Z
Отсюда следует, что сплайн Vj (x) можно представить в виде
Vj(x) = <
Rjj+i+m-i{x)
[RjJ+l+M-l{Xj) +
+(т - τ Μ? (τ Λ] - (χ ~ xj)RJJ+i+M-i(x)
+ \χ Xj)Kjj+i+M_l{Xj)\ γ- —— -—τ,
Χ e [Xj+i+M-i,Xj+[+m)\
Ъ*&[Ъ<в{хл) + (χ- х^в(хл)]+
nj,s\xj)
Rj-i,s{x)(x - Xj-i)
Rj,s{x){x - xj)
Rj-i,s{xj-i){xj - Xj-ι) RjAxj)(xj+i ~ xjY
χ e [χβ,χβ+ι), s= j + l + A{ -2,...J + l;
Rj-lj+l-l{x){x ~ xj-l)
Rj-ij+t-i{xj-i){xj -Xj-\Y
I 0, X 0 [£j+/_i,Xj+/+m]·
-, χ G [xj+t-i,Xj+i);
(3.6)
Рассмотрим свойства полученных сплайнов.
1) Точность аппроксимации.
Известно, что для сплайнов первой высоты при χ £ [xj, Xj+i)
выполняются соотношения
Υ^ωά$(χ) = 1, Y^XjUj${x) +ш,л{х) = χ,
j з
У^дф^,о(х) + 2xj(jj,i(x) = x2,
139

У^х^о(х) + Зх^-д (χ) = χ3.
j
Рассмотрим выражение (3.2). Пусть и(х) = 1. Используя
первое соотношение, заключаем, что аппроксимация (3.2) точна для
и(х) = 1. Аналогично, используя второе соотношение, видим, что
(3.2) точна для и{х) = х.
Нетрудно проверить, что:
2) базисные сплайны (3.6) являются непрерывно
дифференцируемыми функциями;
3) базисные сплайны Vj представляют собой
кусочно-полиномиальные функции степени 2Л/ — 1 и занимают Μ + 1 сеточный
интервал; таким образом, при замене производной на
разностное отношение (3.1) минимальные сплайны получаются лишь при
А/ = 1 и Μ = 2.
Для иллюстрации рассмотрим частный случай. Пусть / = — 1,
Μ = 2. Сплайны первой высоты, аппроксимация с помощью
которых точна для полиномов третьей степени, имеют вид
^j.o(s)
ί Qgj+i ~ g)2 2Qgj+i ~ g)2foj ~ x)
(Xj+l~Xj)2 (Xj-Xj+i)3
χ e [x;,Xj+i);
(Sj-l - x)2 (Xj-i - x)2{Xj - x)
(Xj-i-Xj)2 {Xj-Xj-i)3
χ t [xj _ ι, Xj);
[ 0, X 0 [Xj_i,Xj+i],
(3.7)
Г (xi4-i -x)2(x-Xj)
f>7\l(s) = <
(xj+i -Xj)2
(Xj_! -x)2(x - Xj)
\Xj—1 ^jj
[Ο, χ^[χ;_ι,^'+ι].
, χ G [Xj,Xj-j-i);
, Χ Ε [Xj — 1) ^^"^ J 9
(3.8)
Формула (3.3) дает непрерывно дифференцируемый сплайн
следующего вида:
140

Vj{x)
( {xj+l-x)2 (ж,+1-ж)2(ж,-ж) f .
I (xj+l-xj)*+ (xj-Xj+гГ ' xeW'xW
(xj-i - χ)2 ^ 2(xJ-1 - x)2(xj - x)
(Xj_l -Xj)2 (Xj-Xj-i)3
, (x-Xj-l)(Xj -X)2 (Xj-1 -x)2(x-Xj)
(Xj-Xj-x)3
(χ^·_2-^)2(Χ-^-ΐ)
(Xj_2 - Xj_i)2(Xj_i - Xj)
lO, χ g [xj_2, Zj+i]·
(Xj_l -Xj)2(Xj+i ~Xj)'
χ g [xj-ь #j);
, χ Ε [xj_2,Xj-i);
Аппроксимация этими сплайнами точна для полиномов первой
степени. Последнее выражение можно преобразовать:
( (x-Xj+ι) _ (x-Xj)2{x-xj+i)
(Xj ~Xj+i) {Xj -Xj+l)3
, χ G [xj, Xj+i);
(x-Xj-l) (Xj+i - Xj-l)(x - Xj-i)2(x - Xj)
д.(х) = ) (xj ~ xj-i) (xj ~ xJ-i)3(xJ - xj+i)
л xg[xj-i,Xj);
(x-Xj-2)2(*-*j-i) f ν
(xj_i -Xj_2)2(zj-i -Xj)
[θ, x£[Xj_2,Xj+l].
3.2. Другой вариант применения
разностных отношений
Заменим теперь производную и' в аппроксимации (3.2)
разностным отношением
, Uj - Uj-i
Теперь
j-l-l
^--ч Uj' — Uj'-l
u(x) = L·, ηό'ωί'Λ + "j'.i
JL <j JL -ι — 1
(3.9)
(3.10)
141

Преобразовывая, получаем
~/ \ ( bJj-l-M+ι,ι λ
и(х) = Uj-l-M +
\ Xj_f_A/+i - Xj-l-M /
+Uj_j_A/+l
Щу-г-м+ι,ι
Zj-i-M+l - Xj-l-M
+ u>j-t-M+l,Q-
UJj-i-M+2,l \ +>ββ +
Xj-l-M+2 ~ Xj-l-M+l J
( ω^-ι-\Λ \
+Uj-i-i +Wj-/-i,o .
Отсюда выводим явные формулы для сплайнов Vj(x):
-, χ е [xj+i+м, Xj+l+M+i);
Ц/ + 1Д
Xj+1 - Xj
^j.i ^j+1.1 ^ r \
Wj,o + , x € [Xfc, Xfc+i),
Ч?(х) = л
£j Xj — i %j+\ %j
k = j + / + l,...,j+Z + M- 1;
ЦуД
-f u^0, x G [xj+ь Xj+i+i);
(3.11)
Xj Xj_i
( 0, X 0 [xj+t-iiXj+i+M].
В полученной аппроксимации
u{x)= Σ u{xy)vr{x).
j'=j-l-M+l
Нетрудно заметить, что:
1) базисные сплайны (3.11) являются непрерывно
дифференцируемыми функциями, аппроксимация которыми точна на
полиномах первой степени;
2) базисные сплайны представляют собой
кусочно-полиномиальные функции степени max{2/-f 1,2Л/— 1} и занимают Л/ +1
сеточный интервал. Таким образом, при замене производной на
разностное отношение (3.9) минимальные сплайны получаются
лишь при Л/ = 2.
142

Базисный сплайн (3.11) при использовании эрмитовых
сплайнов (3.7), (3.8) после несложных преобразований можно
привести к виду
£/,·(*)
{ (x-xj-i) (x-xtfjx-xj^)
(Xj-xj-i) (xj-Xj-i)* ' xeP>-l'x>>'
(x-Xj+l) (Xj-ΐ - Xj+j)(x - Xj+j)2(x - Xj)
(Xj - Xj+i) (Xj - Xj + l)'^{Xj - Xj^)
χ e [xj, Xj+i);
{x-Xj+2)2{x-Xj+i)
{Xj+l -Xj)(Xj+i -Xj+2)2'
[0, X0[Xj_i,XJ+2].
χ e [xj+i,Xj+2);
3.3. Еще об использовании разностей
При замене производной и' разностным отношением
u'{xj)
uj+i ~ uj-i
Xj+\ Xj—i
находим
Vj{x)
Uj + 1,1
Xj+l - Xj-i
, χ e [xj+/+a/,zj+/+a/+i);
C*J? + 1 ι r ч
ω3,0 Ζ ' X G lxJ+i+M-b^j+/+A/);
Xj+ι Xj—i
uj,q +
^j-i,i
4/4-1,1
Xj - Xj-2 Xj+2 ~ X,
·, χ e [xk, Хк+ι),
(3.12)
fc = j + i + l,...,j + i + M-l; (ЗЛЗ)
ω.0 _j —. ? x £ [x^^x^^ij;
3 3—2
: , χ e [Xj+i_i,Xj+iJ;
Xj+1 - Xj_i
[ 0, X 0 [Xj+/_bXj+/+A/ + l]·
Этот сплайн лежит в классе Cl(Rl), и соответствующая
аппроксимация точна на многочленах первой степени. Но длина
носителя минимального базисного сплайна должна быть Л/ + 1,
следовательно, этот сплайн не является минимальным.
143

Рассмотрим частный случай. Заменяя в аппроксимации (1.2)
с участием эрмитовых сплайнов производную разностным
отношением (3.12), получаем
{xj+2-x)2{x~Xj+i)
{Xj+2 ~ Xj+l)2{Xj+2 - Xj)
{Xj+l - Χ)2 t 0(gj + 1 - x)2{Xj - X)
(sj+i - xj)2
(Xj-x)2(x-Xj + 1)
{Xj - Xj + i)2(xj+2 -Xj)
, χ G [xj+i,Xj+2);
(Xj-Xj+l)3
, χ e [xj,Xj+i);
2,-(ar) = \ (xj-j-x)2 + 2(xj-i-x)2(^-x)|
{Xj-l-Xj)2 (Xj-Xj-l)3
, (xj-x)2(x-Xj-i) . v
(Xj-2 ~x)2{x-Xj-l)
(Xj-2 -Xj-l)2{Xj ~Xj-2)
[θ, x£ [ffj-2,Sj+2].
, X £ [Xj-2-Xj-l)''!
Это непрерывно дифференцируемый базисный сплайн,
который не является минимальным.
3.4. Аппроксимация четвертого порядка
Наиболее часто на практике используются кубические
сплайны. Они обладают хорошими аппроксимативными свойствами и
достаточно просто вычисляются.
При замене производной разностным отношением
u'{xj)
з (ttj+i ~u3){xj-\ -Xj)
(Xj+ι ~Xj){xj-i ~Xj+i)
{Uj-i ~Uj){xj+i ~Xj)
г и * (ЗЛ4)
[Xj-l ~Xj){Xj-\ -Xj+l)
после преобразований имеем следующее выражение для базисных
сплайнов:
144

( gjj-i,i(xj-2-gj-i) r „, ν
iJ-——^-—-r Xe[xj+l-uxj+i);
t*friQj-i -Xj)
ujj{x) = <J
Γ +
(Xj+l ~ Xj)(Xj-i - Xi+i)
(Xj_l - Xj){Xj-i - Xj+i) {Xj - Xj_i)(xi_2 - Xj-l) '
χ e [xj+i, Xj+i+i);
Uj0 _ _ _ _.+
+
(Xj+1 - Xj)(Xj-i ~ Xj+1)
UJj,i(Xj+i ~Xj)
<^j-l.l{Xj-2 ~ Xj-l)
(Xj_l - Xj)(Xj-i - Xj+i) {Xj - Xj_i)(xJ_2 - Xj)
(Xj -Xj+i)(Xj -Xy+2)
fc = j + i + l,...,j + i + M-2;
^(x^-i -Xj)
">j,0 - 7 w Z +
+ :
(Xj_l - Xj)(Xj_i - Xj+1)
LJj.i(Xj-l ~Xj) U>j+jti(Xj+2 ~Xj + l)
(xj+l - Xj)(Xj_i - Xj+ι) (Xj - Xj+i)(Xj - Xj+2) '
χ € [xj+/+a/-i, Xj+1+м)',
^-Цл(^Ч-2 -Jgj-Ц) „, c г „, ч
.ί__5ϋ_—-j, xe[x,+i+M,x,+/+w+1),
.0, X £ [Xj+i-l, Xj+ί+ΛΜ-ΐ]·
(3.15)
Частный случай. При аппроксимации четвертого порядка
получаем следующие базисные гладкие сплайны:
Jj{x)= {
(χ^2-χ)2(χ-χ^ι)
/ w ч/ ч» ζ (Ξ [xj+i, Zj+2);
(Xj+1 - Xj)(Xj+2 ~ Xj)(Xj+2 - Zj+l)
(x-Xi + l)2(x-Xj-l) _ (Xj+j - x){Xj - x){Xj+2 - x)
{Xj - Xj+l)2(Xj - Xj-l) (Xj - Xj + l)2(Xj+2 * Xj)
x G [Xj, Xj+ij;
(Xj-l - x)2(Xj+l - X) (X- Xj-l){Xj - X)(X - Xj-2)
(Xj-i - Xj)2{xj+i - Xj) {Xj ~ Xj-i)2{xj - Xj-2)
x ^ [Xj ~ 1' Xj) ί
(χ^-χ^χ-χ,-Ο x6[xj_2,x._l);
(Xj - Xj_i)(Xj - Xj_2)(Xj-l
L 0, X 0 [Xj-2, Xj+2]-
Xj-2)'
145

Это минимальный базисный сплайн третьей степени третьего
порядка аппроксимациии с носителем, занимающим четыре
сеточных интервала.
3.5. Аппроксимации более высокого порядка
Нетрудно получить приближения и' более высокого порядка:
1.
>х'(ха)^щ Σ
ΪΦ1
j~2<j'<j+l
J з'
- +
β^η XJ+S ~~ Xj „'^„· л л „ XJ' ~~ xi+s
(3.16)
^0 ·"" J j'&j+s
-2<s<l j-2</<j+l
При замене производной этим разностным отношением в случае
сплайнов четвертого порядка аппроксимации получаем
Qr - Xj-2)2{x ~ Xj-i){xj-i ~ Xj-з)
(Xj_2 - Xj-i){Xj - Xj_3)(xj - Xj_2)(Xj - Xj-l) '
χ € [xj-2, ^j-i);
(ж - gj-2)(g - gj-i) , ix ~ Xj)(x ~ Xj-ιΫ ,
h 7 w 77 +
(Xj - Xj-2){xj - Xj-ι) {Xj ~ Xj+i){xj ~ Xj-i)2
{x - Xj)2{x - gJ.1)(gj-1 - gj-.a) r v.
(χ, - Χ,_ι)2(χ,-3 - Xj)(Xj ~ Xj-2)
(χ-Χ,-ΐ)(χ-Χ, + ΐ) , (X - Xj){x - Xj+ι)2 t
-Г Γ7 77 +
(xj - Xj-i)(xj - xj+i) (xj - Xj-2){xj - Xj+i)2
{X - Xj)2(x - Xj+i)(xj+i - Xj-i)
{Xj - Xj+l)2{xj+2 - Xj){Xj ~ Xj-l)
{x-xj+2)2{x-xj+l)
(xj+2 - Xj+i){xj ~ Xj-i)(xj ~ Xj+2)
(X -Xj+l)2(x-Xj+2)
+
■+
{Xj+3 - Xj){Xj ~ Xj+l)(xj+2 - Xj+l)
t (x - Xj+i)(x - xj+2) xe\x. x. )·
(Xj+3 - Xj+l){Xj - Xj+2)'
{x ~ Xj+s)2{x ~ Xj+2){xj+2 - Xj+i)
(Xj+3 - Xj+2)(Zj - Xj+l)(Xj - Xj+2){Xj ~ Xj+3) '
x G [а^+г^+з);
[0, χ £ [xj-2, Xj+з]-
146

Это непрерывно дифференцируемый базисный сплайн четвертого
порядка аппроксимации. Выписывать формулу в общем случае не
будем, но отметим, что она задает минимальный сплайн точности
3 и гладкости 1.
3.6. Некоторые частные случаи
1. В качестве исходных будем рассматривать аппроксимации
разрывными сплайнами первой высоты и точности 1:
_ Г 1, х€ [xj9 Xj+i);
Χ £ [Xj, Xj+l),
_ Ι Χ — Xj, Χ Ε [Xj, Xj+i)]
-7'1 - \θ? x£ [хя xi+1).
При замене производной и' разностным отношением
u'(xj) «
ЧЖ
^j+l Xj
получаем хорошо известью непрерывные базисные сплайны
второго порядка аппроксимации
( х
LJj = <
J+ , ж G [xj, Xj+i);
-xj+i
Χ — Xj-1
χ € [xj-i, Xj).
V Xj Xj — \
2. При замене производной и' разностным отношением
u\xj)
Kj-l
χ,_ι
получаем аппроксимацию базисными сплайнами вида
(Х- Xj-l
X
- Xj-i
X t [Xj, Xj+l )'f
χ e [x^+bXj+2).
V Xj Xj+i
Нетрудно видеть, что этот сплайн разрывен.
3. При замене производной разностным отношением
Uj+j ~ Uj-i
u'(xj)
Xj+l
Cj-l
147

получаем аппроксимацию такими базисными сплайнами
г 1, χ е [xj, Xj+i);
\ Χ — Xj — l , .
(jjj = < Xj — Xj-2
—, x € [xj+i, Zj+2),
V #7 — Xj+2
которые не является минимальными, но обладают
аппроксимативными свойствами второго порядка. Разрывность его очевидна.
4. Теперь в качестве исходных рассмотрим базисные сплайны
третьего порядка аппроксимации первой высоты
1-
(Х — Xj)2
ω*° - \ (x-Xj-i)2
ί (Xj—ι "~ Xj)
, χ G [Xj, Xj+ij;
. 2, χ G [Xj-i, xj)i
*·,4(%7)(*ΓΓΧ)' *efo,*i+1);
wjM - Λ (Zj-Xj+i)
[θ, x0[xj,Xj+i).
Заметим, что производная c^j.i разрывна в точке Xj. При замене
производной разностным отношением (3.1) получаем
кусочно-линейный сплайн
X — Xj+i , ,
, X G [Xj? ^j+1/ί
Xj Xj+i
Χ — Xj_i
Xj_l
, χ G [Xj_i, Xj;·
Заменив производную разностным отношением (3.9), имеем
Г {x-Xj-ιΫ _г ν
(Xj -x)(Xj-H -Χ)
U>j = <
! _ (x ~ Sj)2 +
(Xj - Xj+l)2 (Xj - Xj+i)(Xj - Xj-i) '
χ G [xj, Xj+i);
_ (xJ+1-x)(xJ+2-x) t xe[x.+uXj+2).
(xj+i - xj+2)(^j+i -XjY
148

3.7. О длине носителя и степени сплайна
Пусть u>j,a — / раз непрерывно дифференцируемые базисные
сплайны высоты /, степени Р, обеспечивающие аппроксимацию
порядка Ρ -f 1. Предположим, что supp о^а/ С supp ω^α при
а' > а и supp ω$$ состоит из S сеточных интервалов, а степень
базисного сплайна равна Р.
При замене в выражении £V; Σα=ο и^а\хз)иэ*<*(х)
производных vSa\xj) на разностные отношения с порядком β получаем
аппроксимацию / раз непрерывно дифференцируемыми
сплайнами нулевой высоты, точную на многочленах степени β (это
следует из свойств сплайнов u>j,a). Если применять разностные
отношения, содержащие значения функции в β -f 1 соседних точках,
отстоящих от Xj не более чем на β сеточных интервалов, то имеем
аппроксимацию базисными сплайнами степени Ρ с длиной
носителя β + S сеточных интервалов. Степень минимального
гладкого базисного сплайна должна быть равна R = тах{/3,21 -f 1},
а длина носителя /3 + 2. Таким образом, если Ρ = й, a S = 2,
то при замене производных разностными отношениями получаем
аппроксимацию минимальными базисными сплайнами.
§ 4. О построении непрерывных минимальных
тригонометрических сплайнов
4.1. Построение базиса тригонометрических сплайнов
нулевой высоты
В главе III был построен базис тригонометрических
интерполяционных сплайнов. Представим полученные формулы в более
общем виде.
Пусть {tj} — сетка узлов на (—π, π).
При t € {tj, t,+i) непрервную функцию u(t) аппроксимируем
линейной комбинацией
u(t) = Y/u(tr)u;r(t)1 (4.1)
Г
где uij'(t) — искомый базис тригонометрических сплайнов.
Предположим, что носитель supp Uj = [tj
где A/i > 0, Л/г > 1, Λ/ι + Л/2 = 2m, m — целое число, а а =
149

-A/2 + 1,..., Λ/ι. Система линейных алгебраических уравнений
У^ cjj/(f)cos(fcfj/) = cos(fcf), fc = 0,1,... ,m,
j'—j — M\ —a
j+M2-a
Σ u>j'(t)sm(ktj')=±sm(kt), fc=l,2,...,m (4.2)
j'=j-M] -a
однозначно определяет ω^{ί) на [£j,£j+i].
Выписывая аналогичные системы на соседних промежутках
получаем, что искомые функции u>j(t) могут быть представлены
следующим выражением:
"i(*)= {
π
sin ■
t-t;
sin ■
17-7? ί £ fc-Q, £fc+l-a],
(4.3)
fc = j-A/2,...,j-f Λ/ι;
-Mi<j'-fc<A/2
I 0, £ 0 [ij-A/s-ajij+A/i + l-a]·
Теперь аппроксимация (4.1) при t £ [tj^tj+i) принимает вид
j+Mo —a
«(*)= Σ «(«i'Vi'W- (4-4)
Построенные функции u)j{t) называем элементарными
минимальными тригонометрическими базисными сплайнами.
Если Λ/ι + Л/2 = 2т - 1, то
sin
*-*д./+<г»+2^·
U>j(t) = {
sin^f^
π
sm ■
t-t-,
tjZhL.
sin
-A/i<j'-fc<A/2
t e [ffe-a, ifc+l-a], fc = j - Λ/2, . . . , j + Λ/ι;
[ 0, £ £ [fj-Ma-a^i+Afi+l-ali
где Gk = ^fc-A/i + ... + tk+M2; Sk — фиксированное число,
удовлетворяющее условию Ok φ -25к + 2ρπ; ρ — целое число.
150

4.2. Основные свойства непрерывных
тригонометрических сплайнов
Перечислим свойства непрерывных элементарных
минимальных тригонометрических базисных сплайнов.
1) Тригонометрическая точность аппроксимации (1.4) равна
т, т. е. и - и = 0, если и = 1, sin£, cos£,..., sin(m£), cos(mt).
2) Базисный сплайн Uj представляет собой
тригонометрический полином порядка т.
3) При Μι > О, М2 > 1 функция, задающая базисный сплайн,
непрерывна.
4) Носитель базисного сплайна содержит 2т + 1 сеточный
интервал, кратность накрытия точки t £ [α, 6] носителями базисных
сплайнов равна 2т + 1 (за исключением узлов сетки {tj}).
5) Пусть L — простая спрямляемая кривая, заданная
уравнением ζ = ip{t), tp(t) — комплекснозначная функция класса Cm+1.
Функция u(z) аналитична в окрестности L(e) кривой L. Введем
обозначения v(t) = u{ii){t)), v(t) = u(ip(t)).
Для погрешности аппроксимации тригонометрическими
сплайнами при 1 < q < ρ < -f oo, « + g = 1 справедлива
оценка
ΙΚ'-^ΙΙν"*!)^) < Cmax|*fc+i - Mm+1~* + * Nw,/-+o(L),
где С — константа, зависящая от базисных сплайнов.
На промежутке [а, Ь] С (—π, π] возьмем конечную сетку а <
to < t\ < ... < tpj < b. Построение гранично-минимальных
непрерывных базисных сплайнов было подробно рассмотрено в главе
III. Здесь отметим, что если М2 -f α < га, то базисные сплайны
называем левыми, а при Mi -f 1 — α < га — правыми.
§ 5. О построении гладких минимальных
тригонометрических сплайнов
5.1. Вводные замечания
Рассмотрим базисные сплайны с более широкими
носителями. Предположим, что supp uj = [tj-M2-a, £j+a/i+2-q]j где α =
-Μ2 -f 1,..., Λ/ι. Пусть также Μι + M2 = 2га.
151

При t £ [tj, tj+ι) получаем систему линейных алгебраических
уравнений относительно <2j(t)
У^ u>j'(t)cos(ktj>) = cos(fei), A; = 0,1,...,m,
j'=j-A/i-l-a
У^ u5j'(i)sin(fcij/) = sin(fcf), fc = 1,2, ...,ra. (5.1)
j'—j — Mi—l—a.
Выписывая аналогичные системы на соседних промежутках
получаем, что искомые функции u)j(t) могут быть представлены
следующим выражением:
2i(t) = {
Pk-a(t) J]
sm
tfc.Ml-i-*,'
2
3' Фз
-M\<j'-k<M2
t-t,
sin '
+
nS111 ~2 Г
-—t._tt , £ £ lifc-a^fc+l-a),
./ /. sm о
iVi
-A/i<j'-fc<A/2
(5.2)
fc = j-A/2,...,j + Mr,
—Pj+Mi+l-a(£)> ^ [^'+Л/1+1-а?^+М,+2-а);
L 0, t 0 [£j-M2-ai£i+A/i+2-a]·
Аппроксимация сплайнами (5.2) при £ £ fo, £7+1) имеет вид
(5.3)
Будем рассматривать также аппроксимацию при t £ [£j, £7+1)
(5.4)
i+Л/г—a
j'=j — A/t — 1—a
j+A/2 + l-a
j'—j—Mi—a.
152

следующими базисными сплайнами:
Як-ait) [J
sin
2
з'Фз
-Mi<j'-k<M2
sin-
ti-t„
+
sin —-2-
—ТРЕТ' * G l*fc-a,ifc+l-a),
ω№>=\ з'Фз sin-^
-Aii<j'-fe<Af2
t = j-A/2,...,j4Mi;
~9j-A/2-l-tt(0» * ^ [ij-A/2-l-Qi*j-A/2-a)i
I 0> ^0 fo-M2-l-a> ^4-A/i+l-a]·
(5.5)
Если M\ -f M2 = 2m — 1, то возможны следующие
представления u>j(t):
Pk-a{t):
sin
tif-Ml-i-~tjt+ak+2Sie
sin
*fc+fffr
π
з'Фз
•M\<j'-k<M2
sin
^fc-AJ!-!- tjt
sin ■
ti-t,-.
-+
"iW = < + :
sin ■ '
sin
*к+2&к
π
sin-
t-ti
(5.6)
-A/i</-fc<A/2
* = j-M2,...,j + A/i;
"Pi+A/i + l—a
[θ, £ 0 [ij-A/2-ai*i+Afi+2-a]i
153

Qk-a{t)
sin
tk+M2 + i~tj'+ak+2uk
sin2t±Mt
Π
sin
*fc + Af2 + l~"*j'
Uj{t) = {
+-
-A/!<j'-A:<A/2
. t-t,/+afc+2$fc
Sill ■*—о
sin
tj-tj>
-+
sin
gfc+2<5fc
π
sin
t-t,
sin J '
-A/i<j'-fc<A/2
t e [ifc-a, ifc+1-α), fc = j - M2, . . . ,j + Λίι;
~^'-Λ/2-1-α(0ί * € Кг-Л/2-1-а>£г-Л/2-а);
[θ, £ 0 [£j_A/2_i--Q,£j+A/i + l-a]»
(5.7)
где σ& = ffc-A/i + ... + £fc+A/2; ^ ~" фиксированное число,
удовлетворяющее условию σ\ζ φ —25k + 2ρπ; ρ — целое число.
5.2. Вычисление полиномов pk{t)
Рассмотрим вопрос о вычислении полиномов Pk(t).
Обозначим
t-tt,
s„m -
Π
sin-
УФз
-Mi<j'-k<M2
Ь-*з>
sm
тогда на промежутке [££.,**'+1] имеем
Slx)(t'k) = six\t)\t=t,k, SiX)(tk^) = six\t)\t=tk,+„ A = l,2 1.
Условия точности аппроксимации на тригонометрических
многочленах приводит к требованию:
a) Pj-+Ml+1„a(ij + Ai1+2-a) = О,
а также к условиям
ρ£λ)(ί*+ι)=0, pfc(*fc) = 0, Pfc(ifc+i) = 0,
где
fc = j - А/г - a,..., j + Λ/ι + 1 - α, λ = 1,2,..., Ι
154

Условия непрерывности производных базисного сплайна Uj в
узлах сетки реализуются следующими соотношениями:
б) В ТОЧКе ij+Mi+1-α
+57+Μι(^+Λ/1+1-α) = -Pj+A/i + l-a^i+Mi+l-a);
в) при к = j - М2 + 1,..., j + Μι
= piX2a(tk-a)Sk(tk-Ml-i) + S{kX)(tk-a);
Г) В ТОЧКе tj-M-,-α
Pj_M2_a{tj-M2-a)Sj-M2{tj-Af2-Mi-l) + Sj-M2{tj-M2-a) = 0.
Здесь и далее λ = 1,2,..., Ι.
Аналогичные условия получаем для полиномов q(t):
ςί/+Μ.2_1_α(^-Λ/2-1-α) = 0
и, соответственно,
g£A)(ifc+i) = 0, g*(*fc) = 0, ς*(**+ι)=0,
где
fc = j - Л/2 - 1 - a,..., j + Λ/ι - a.
В точке ^_л/2-а имеем
При fc = j - Л/2 + 1,..., j + Mi
q{kll-a{tk-a)Sk-\{tk+M.2) + Sfc-i(*fc-a) =
155

В ТОЧКе tj+M, -α+1
„(λ)
(λ)
9j+A/i-a+l(ii+*/i-a)5j'+Ai1(ij+Mi+A/2 + l) + <Sj+Afi (*7+Afi -a+l) — 0.
Замечание. Полиномы p(t) и g(£) по приведенным условиям
можно строить как в классе тригонометрических, так и в классе
полиномиальных многочленов.
5.3. О точности аппроксимации
Выпишем непрерывно дифференцируемые базисные сплайны,
аппроксимация которыми точна для тригонометрических
многочленов первого порядка. Возьмем т = 1. М\ = 1, А/г = 1·
На промежутках [£*,£*-н], к = 1,...,JV — 2, серединные
базисные сплайны u5j(£), j = 1,...,ЛГ, зададим тригонометрическими
многочленами второго порядка:
a5j(i)= {
Pj-2{t)
sini^3^
sin
^-з-^
- +
sin-
sin
sin-
■sin
sin ■
■sin ■
Pi-i(*)
sin
•sin -
t G [tj-2,tj-i);
■2—t.j + l
-+
sin ■
+
sin —^— sin
sin * ' sin '
■sin·
Ldbl
£ G [ij-i,ij);
Pj(t)
sin e^17t^1 sin ■
-l-tj + 2
sin^^.sin^t2
+
sm
t-f
i±L
sin-
t-t
J±l
sm '■' ;zJTl sm *' *'+2
*/-*; η
* G [ij,ij+i);
-Pi+iW> t G fo+1,^+2);
5.4. Условия гладкости
Требование точности аппроксимации (5.3) на
тригонометрических многочленах приводит к условиям
p'k{tk+i) = 0, pk{tk) = 0, pfc(ifc+i) = 0,
156

k = j-2, j-l, j, j + l,
а условия непрерывной дифференцируемости принимают вид
sin^^
/ ч_ 8ΐη'' + ,~'^'
. , . l/sin^-1"^-' sin ^-'Г^1 \
Pi-i(*i-i) = 5 ■ еД., ■ еД+1 x
* \ sin ^ 2·' sin -1 2'f у
sin^=^
Xsin */-»-«>-^ gin «/-»-«■>+' '
, _ sin «/-»-'?-'
Pi-2(*;-2) - 2s.n e^e^ gin t^t^ ■
Для непрерывности второй производной следует положить
p"k(tk+i) = О, к = j - 2, j - 1, .?', j + 1,
и добавить условия непрерывной дифференцируемости
cos^l^-
Ρ j\tj) — Л . t._,-e,+i . tj-t,-! '
2 sm ; 2 ? sin J 2J
cos^'-^
Pi+i(«i+i)- 2^*^^*^'
1 /cosj^^- _ coS^-'^+'\
Ρ J-iC*i-i) " 2 ^ sini^ Sin^±i J X
sin ; 9;+
χ ±
Sill ; 2 Sm 2
tn — 2~t» — 1
// COS 2
157

Для непрерывности третьей производной положим
p'"fe(*fc+i) = 0, к = J - 2, 5 - 1, J, J + 1,
p'"fc(*fc) = -Л(^), fc = j - 2, j - 1, j, j + 1.
На промежутке [Ιν-ιΛν] удобно использовать левые
базисные сплайны u>j(t). которые задаются соотношениями
Uj{t) = {
Pj-i(t):
sm
LlzH
■sin ■
sin ■
Liz
■sin ■
^2
-+
t — tj — i · ( — 11 — 2
sin —^—L sin —^
2
P,(0:
sin
cj-2 — Cj-i
2
sin
cj + l
sin
Sill
2
sin
sin
t-tj + i
l.) + l
sin
sm
Pj+i(0
sin·
-i-*j+i
sin
tj-i—^ + 2
-*j + i
'*./ + 2
-+
sin ^kti sin i^±a
sm ; 27+1 sm ■' 2;+
-Pj+2(0» * € fo+2,*j+3);
Здесь предполагаем, что
[θ t^[t^utj+3].
t j — t η — 1
, sin ^ ^
a
2sin i^t=2. sin '*-»-'?-' '
-1 ~^j-2
ί ι— 1 —t j 2
/ _ SU1 2
pj-dtj-ι) - -^—τ-ψΐΓ—^ΞψΞΙ^
, sin 7 2'+'
P'+l(ij'+l) - 2sin^^sin^T7X
Sin ' 2 '
sin^^
Li±i
sin ■* 2·' sin ■* 2?+
158

где
pfc(<fc+i) = 0. Pfc(ifc) = 0. Pfc(<fc+i) = 0,
Для непрерывности второй производной положим
cos^^i-
P"j(<j)"2sin^^sin^^i
P"j-i{ti-i) = г
2sin «*-»-'*-' sin«;-'-«;-»
sin ; 2;+
P"j+i(tj+i) - 2s.n ii=1_!l±1 s2.n ii=i_lt±2 x
/cos t-,+'~t'-' cos 'я-'Т'я-3 \
\ sin^*-^ sini^|^ у '
л" Г/ COs(^j^)
Pj+2{tj+2)~ ^(t^^^t^y
p"k(tk+1) = 0, fc = j - 1, j, j + l,j + 2.
Для того, чтобы была непрерывна третья производная,
положим
p'"k(tk) = -P'fe(ife), * = 3 - 1, j, J + 1, j + 2,
p"'fc(ifc+i) =0, k = j-l, j, j +1, j + 2.
На промежутке [ίο, ίι] удобно брать правые базисные сплайны
С,(«и = 1,...,ЛГ:
159

Uj(t) =
- +
sin } ^ sin } 2i+2
sin —f^ sin —^
sin ; 2;+ sin ' 2^+
• t i—O — ί-._1 · ί-' — Ο — £ , -L 1
+
/ч»ш ■ a ■ sin^-'r'^1
ч8Ш^-3а''-'
sin -—γ*·— sin -—γ^-
sin ; 27 sin } 2J±
sin —^—L sin —f^
■- t t . е,-е,+! ' *€l*j-ii*j);
sin ; 2J sin ; 2'+
, sin '/-»;';-' sin '/-»-'/-»
Pj-i(i) *
£ , — £ ί — 1 · £ » — £ ι — 2
sin ; 2; sin J *
■+
+
2
sin ^f^ sin ЬЬ=2
sin^^
-^-L sin —f^-
Pj-2(i), *G [£j-3^j-2);
ΙΟ, *£ [ij-.3,ij+i].
Здесь берем
, sin i+\ ' sin ■> 2^+1
Pj{ti) = 2sin i*4±a sm"i^=i sin ί^ί^ι''
sin 'я·1^
Pj+i(*J+i)- 281п1^ш.81п^л^±я'
£ : — £ T — 2
' - S1D 2
sm -—^—
причем
Pfc(ffe+l) = °. Pk{*k) =
0, pfe(ifc+i)=0, fc = j-3,j-2,j-l,j.
160

Для непрерывности второй производной полагаем
s;n tj+z-h-t cos Lzh±X.
p" П.\ _ S1U 2 LOS 2
jW; 2sin^|^sin ^-'-^-' sin 'i-'-t'V '
" - sin''"^'2
Ρ i-i(tj-i) - 2s.n i2=a_L=i sin i^-e^ x
/cos''-1"*'*-*· cos *'-'"''-'\
n" if \ cos^j^i
p"fc(ifc+i) = 0, fc = j - 3,j - 2,3 - 1, j.
непрерывности третьей производной берем
ρ"'*(«*+ι) = 0, Л = j - 3,j - 2,j - 1, j.
причем
В случае
P'"k(tk) = -P'dtk), fc = j - 3, j - 2, j - 1, j.
Замечание. На каждом промежутке [ij, £j+i] в качестве
полинома p(t) можно брать как полином Эрмита (2.10), так и
тригонометрический полином Эрмита, который в случае условий
p(fo) = 0, p(ii) = 0, p'(t0)=Po, Ρ;(ίι) = 0
имеет вид
где
= Л>[-2
6
p(t) =1 a0 + b\ s'm(t) -f αϊ cos(i) -f &2 sin(2£),
α0 = p0[-2cos(2£i) + 2cos(2i0) cos(£o - *i) + sin(2£0) sin(£0 - ii)]/d,
h = 2po[sm(t0) cos(2ti) - sin(£i)cos(2£0)]/4
αϊ = 2po(cos t\ — cos £o)(2cos focos £i — l)/d,
&2 = -posin(^o -U)/d,
d = 2cos(i0 + <i)[l ~ cos(£0 - *i)]2·
161

Глава V
УСРЕДНЯЮЩИЕ И СГЛАЖИВАЮЩИЕ
СПЛАЙНЫ
Здесь рассматриваются сплайны, удобные для усреднения или
сглаживания графической информации, кратко будем называть
их соответственно усредняющими или сглаживающими. Эти
сплайны будут получены на основе минимальных сплайнов,
рассмотренных ранее.
Цель данной главы — получить сглаживание или усреднение
функции и. заданной в узлах сетки {xj}< в виде
3
где u>j(x) — сглаживающие или усредняющие сплайны.
§ 1. Усредняющие сплайны
1.1. Кусочно-линейные усредняющие сплайны
Пусть -ujj (χ) — кусочно-линейные минимальные сплайны
UJj{x) = I
1=^, xefo-bxj); (Li)
Ιθ, χ £ [xj-i, Xj+i}·
Будем рассматривать аппроксимацию функции и следующей
линейной комбинацией:
и(х) = uju)j(x) + uj+iLJ3+i{x), x € [xj,arJ+i), (1.2)
162

где Uj — усредненные значения функции и, вычисляемые по
формуле
χ 3+Ν*
йз = τ; Гт 7 У^ иг\ (1.3)
ι=;-ΛΓι
JVi и iV2 — целые числа, такие, что 7V2 > 0, JVi > 0. гх^ = г/(Хг).
С помощью выражения (1.3) преобразуем аппроксимацию (1.2) к
виду
и(х) = ^гцй;г(х), (1.4)
г
где ώ{ — некоторые новые локальные сплайны. Нетрудно видеть,
что
1 / j+N'2
й(х') = Ν +Ν +Λη*-Νιω№ + Σ M^j(x) +"j+i(*)) +
^ г—j — ΛΓι -hi
-Н^+ЛГ2 + 1^ + 1(хП.
Вспоминая, что сплайны Uj задаются формулой (1.1), получаем
следующие выражения для усредняющих сплайнов Qj:
(1 Х~~ Xj-*-1-4- Vi Γ \
n3+n>+i> ж G [a:fe, arjfe+i), A: = j - ЛГ2)...,j +iVi - 1;
jv2+a',+i i^.v.,1-^-2^-!' x e [xi-w2-i,Xj-JV2).
(1.5)
Графики этих сплайнов при N\ = 0, N2 = 1 и Νχ = А^2 = 1
изображены на рис. V.1, а и б соответственно:
а б
Рис. V.1
163

1.2. Квадратичные усредняющие сплайны
Пусть теперь loj (χ) — квадратичные минимальные сплайны
(£:^:;iir*C!)' *^*^); (ΐ.β)
(x-xJ + i)(x-x;+2) r ν
(*,-*, + ι)(*,-*,+2)' Χ 6 Fj + l^J+2;·
Функцию w аппроксимируем линейной комбинацией
и(х) = uj_i^_i(x) + %ύ^·(χ) + ΰ,+ια^χ), χ G [ζ,,χ,+ι), (1.7)
где Uk — усредненные значения функции и, вычисляемые по
формуле (1.3). Преобразуем аппроксимацию (1.7) к виду (1.4):
2^ = Ν +Ν + 1(MJ-i-^i^J-i(g)+MJ-^i(^J-i(g)+^i(g)) +
j+JV2-l
+ (^_ι(χ) +^-(х) + ω,+ι(*)) ]Γ w*+
+Чг+Л'-2 (wj(x) + wj+i(x)) + uj+N.2+icjj+i(x)j.
Таким образом, полученные сплайны tDj задаются выражениями
(x-Xj-Ц-ЬЛ^ )(x-Xj)>N1-b2)
(N2+Ni + l)(x,+Nl-Xj+Nl + ])(x/+Nl-Xj+Nl+2)>
χ е [xj+Nl+llxj+Nl+2);
Uj(x) = <
(x — XJ+Ni-l)(x-~Xj + .Wl+l)
+
(N2+Ny + l)(xj + Nl-x3.VNl-i){xj+Nl-Xj + Nl+y)
, (x-Xj + .V, )(x-gj + jy1+i)
i"(Af2+^i+l)(xj + /v1-i-xJ4A'iHxJ + ^1-i-Xj + .v1 + i)'
X G [Xj+Ni^j+A'i + l);
iV2 + Ni + l' X ^ Ffci#Ar+l)i
+
fc = j - JV2 + 1,..., J + JVi — 1;
(X — Xj-iV2-l)(x~ X./-.V2 + l)
(7V2+^Vi + l)(xj-iV2-a;j-iV2-i)(xj-iV2-Xi-iV2 + i)
, (x~ xj-/v2)(j~xj-n2-i)
*" {N2+Ni+l){xJ+i-N2 -Xj-V2)(Xj+i-N2 -X ,_ ΛΓ2 - I ) '
X G [Xj_iV2,^-N2 + l);
(X —X/-N2-l)(x —Xj-N2-2)
(Л/"2 + ЛГ1 + 1)(х,_л^2-^-^2-1)(^-Л"2-Х^-Л^2-2) '
X G [Xj-N2-uXj-N2).
(1.8)
164

Графики сплайна (1.8) при iVi = О, N2 = 1 и N\ = N2 = 1
приведены на рис. V.2.
а б
Рис. V.2.
Отметим, что аппроксимации сплайнами (1.1) и (1.6) были
интерполяционными и точными для многочленов первой и
второй степени соответственно. Нетрудно видеть, что полученные
усреднения сплайнами (1.5) и (1.8) этими свойствами не
обладают. Можно рассматривать усреднения, полученные на основе
минимальных сплайнов более высокой степени. Такие
усреднения не будут обладать свойствами интерполяции и
аппроксимации, характерными для аппроксимаций минимальными
сплайнами. Оценка погрешности аппроксимации усредняющими
сплайнами имеет вид \и — й| < с/г, h = max\x-j+i — Xj\.
з
Итак, пусть сплайны ujj задаются выражением
π (Χ — Xj') Г .
Π (τ.-τ:Υ *е[хьад),
< \ ) j'*J [ J 3 } (л Q^
k = j - s,...,j + I - 1;
0, χ <£ [xjs, Xj+i)-
где / > 1, s > 1.
На промежутке [xj,Xj+i) функцию и(х) усредняем линейной
комбинацией вида
j+s
й(х) = ^2 ΰίωτ(χ), (1-Ю)
i=j-l+l
где
i+N2
Щ =
165

Обозначим u;j, =^jf(x)\[Xjlxj+l)· Отсюда
4<*> - Π г^Ц
J AX f_r ., _ _Τ .„ 1
„,., (Xf-Xj»)
J Ψ3
-l+l<j"-j<s
Теперь можно привести (1.10) к виду
u(x)=[uj-Nl-i+iaSj_l+1(x)+uj-Ni-i+2 (u^_i+1(x)+a>j_i+2(x))+...
• · ·+ 4-Νι+3(ωϊ_ι+ι(χ) +...+ u,j+s (x)) uj+rfa+*j+. (χ)] +1.
Таким образом, усредняющий сплайн можно задать
соотношениями
*'(ж) = iv2+!v1 + i (<№■*<*> + · · ·+*ЯЖ+1"(*>) ·
^'(χ) = Νο + Ν + 1' Х е [xj-Kz+i-iiXj+Ni-s+i);
**<*> = аг2Д + 1 Н-""Г'-2(-) + · · ·+<!^+i(*)).
X е [x3-N2+i-2,Xj-N2+l-l)',
Усреднение, построенное с помощью базисных сплайнов (1.8),
показано на рис. V.3.
166

Рис. V.3
§ 2. Сглаживающие сплайны
2.1. Построение сглаживающих сплайнов
Пусть (Jj(x) — минимальные сплайны* аппроксимация
которыми точна для полиномов степени га:
Luj(x) — <
j'^j \х3 х3 )
-l+l<j'-k<8
k = j-s,...J + l- 1;
(2.1)
lO, Xg [Xjs, Xj+i).
Здесь / -f s = m -f 1, / > 1, s > 1.
На промежутке [xj,Xj+\) сглаживающую аппроксимацию
будем задавать следующей линейной комбинацией:
и(х) = uj-l+i{x)u;j-l+i{x) Л- ...Л- Uj+S(x)uj+S(x), (2.2)
где uj(x) — З'средненные значения функции и по узлам х2·, г —
j - 5,..., j -f I — 1, с весами р~(х):
j+ι-ι
Uj(X) = Σ P^(X)Ui' (2·3)
i-j—s
Коэффициенты Pi(x) будем выбирать из условий
3+1-1
Σ Рг(х)х-=х^ i/ = 0,l,...,m. (2.4)
i=j-s
167

Нетрудно видеть, что матрица системы (2.4) представляет собой
матрицу Вандермонда, которая не вырождена, так как Xj φ ху
при j φ j'\ число уравнений в системе (2.4) совпадает с числом
неизвестных. Таким образом, система имеет единственное
решение, которое может быть записано, например, с помощью теоремы
Крамера в виде
Жх) = Π Τ~γΪ-' i = 3-s,...,j + l-l. (2.5)
s<j'-j<l-l
Преобразуем аппроксимацию (2.2) с помощью соотношения
(2.3) к виду
j+1+s-l
Имеем
u{x) = Uj-t-s+^Z^l+y^+i + ^-,_5+2(^:£^2^-т+
+pj:K+2^-i+2) + · · · + ΜρΓζ+4-*+ι +· · ·+r>A +· · ·+
где
^="i(s)l[*,,*J+i). ΡΪ=ΡΪ{χ)·
Отсюда с учетом формул (2.1) и (2.5) нетрудно получить
выражения для сглаживающих сплайнов Oj(x):
( ρΐ+3(χ)ω£ι8+8-ι{χ), xe[xj+i+s-uxj+i+9y,
Χ € [Xj+l+s-2,Xj+l+s-l);
+ρ>-ι+ι{χ)ω]_ι+ι{χ), χ e [xj,*j+i);
{ jj'l+l{x)(JJJZll+t+l(x), xeiXj-i-s+uXj-l-s+2),
168

или в развернутом виде
iuj(x) = <
π ^ ,п
з'Фз з'Фз+s
0<j'-j<s+l-l s<j'-j<l+2s-l
Xj+„—x3r '
χ 6 [xj+j+s-i. Xj+i+3);
π
з'Фз
-s-l + l<j'-j<0
π
-j—l
-l + l<j'-3<s
x—x,
4-^3' ,,,:v, Xj-i+i-Xjt
3 ?*jf-f+l
+ ...+
+ π ^ ,n
o<i'-j<e+i-i -'+i<j'-j<s
χ 6 [ж/, Xj+i);
Π *"V FT x~x>'
3 Фз 3 7^-ί+1
-s-i+l<.7''-j<0 -2i+2-e<j'-j<-i+l
х e [χ;-ί-β+ι, а^_/_в+2).
(2.7)
2.2. Примеры сглаживающих сплайнов
Пример 1. При / = 1. 5 = 1 сглаживающий сплайн имеет вид
UJj(x) — <
( (x-xj-i)2
(xj -Xj-i)2'
(x-Xj-i)(yJ+i -x) (xHl -x)(xj -χ)
(Xj - Xj-i)(xj + i - Xj) (Xj + i - Xj)(Sj - «j + i) '
(gj + l - X)(g
(xj+i - Xj)О^-
(Xj + 1 - Χ^)(χ7+2 - ^j + 1
lO, χ £ [xj_i, xj+2].
-, χ β [xj+i,Xj+z);
График его изображен на рис. V.4, а (см. с. 172).
(2.8)
169

Пример 2. При / = 1, s = 2 получаем следующий
сглаживающий сплайн:
I (xj-x'i-o^ixj-Xj-i)21 X €[Xj-2,Xj-l)'>
(x-Xj-l)(x-Xj+l) Г (X-Xj-2)(X-Xj-1) .
(*>-Zj-l)(Sj-*J+l) [(xJ-Xj-2)(iCj-^-l)"r
(χ-Χ^Χ-Χ,-Ο 1 Г у
^(xj + i-Tj)(xj+l-xj-i)\> * ^ l^J !' AJ/'
x-Jj + i Γ (x-a:j-2)(x-Xj-i)(x-Xi4-2)
Xj—x3 + \ [(x3-x3-2)(xj-x.i-i){xj-Xj + 2
u>j{x) = <
Ь2)
(x-Xj-l)(x-X;)(x-Xj + 2) ■
(Χ-,-Χ;_ΐ)(χ^ + 1-Χ;)(Χ; + 1 _XJ + 2)
(s-Sj + 2)(g-*j+0(g-gj)
(x7-XJ+2)(x., + 2-Ij>t)(Xj+2-Xj)
, iG [xj, Xj+i);
(Xj -Xj-l )(Xj + 1 -Xjf3)
, χ g [xj+i,Xj+2);
(x-x) + i)(x-xj+2)
(x7-Xj + l)(Xj.fl -Xj + 2)
(x-Xj-h)(x-Xj4-3)
(х^ -Xj + 2)(:rj+2-Xj+3)
(x-Xj+l){x-Xj + 2Kx-Xj+3Kx-'Xj+4) TrL. o „. \.
(х,-Х, + 1)(х,-Х^2)(х,+2-Х,+3)(^ + 2-^+4)' Х fc ^ + 2' X3+bh
{ 0, X £ [Xj-2, Xj+3].
2.3. Оценки погрешности аппроксимации
Оценим погрешность аппроксимации сглаживающими
минимальными сплайнами. Пусть и G Crn+l(Rl). Раскладывая
функцию и в ряд Тейлора в окрестности точки Xj, имеем
U(x) = u(Xj) + lt'(Xj)(x - Xj) + ... + Um(Xj)
+ Л Г и(т+1\т)(т - т)гп dr.
™}· Jx3
Оценим разность \и — и\. При χ G [xj* Xj+i)
\и — й\<
га!
■ +
...-u;j+,(*) J] ft(x)j+... + _J^^(a;-Xi)»
170

■>J-i+l(*) Σ Рг{х)(Хг - Xj)T>
i=j—l—s+l
j+l+s-l
+ Λι(χ),
где
ml
Ги1т+1Нт)(х-т)т(1т-ш,-1+1(х) £ Pi(x))
)(r)(xi-ryndr-...
j+l+s-l
...-u,i+5(*) J] Λ(χ)/ u-+1(T)(^-rrdr
t=j Jx-i
Ввиду условий (2.4) и известных соотношений
j+s
У^ x^i(x) = χ", ι/ = 0,1,...,Ζ + s-1,
выражения в квадратных скобках обращаются в ноль, поэтому
|-и — й\ < R\. Оценивая интегралы, получаем \и — и\< chm+l, где
h = maxj \xj+i — Xj\, а постоянная с от шага сетки не зависит.
2.4. Некоторые замечания
Вместо условий (2.4) на коэффициенты Pi(x) можно брать
более слабые соотношения
j+l-l j+h-l
й(х) = ^2 Pi(x)uii Σ Ρί(χ)χί=χ1/^ ι/ = 0, l,...,mi,
где mi < m, si < s, /i < Z. Нетрудно видеть, что в этом случае
оценка погрешности аппроксимации примет вид \и — и\ < chmi.
171

Пример 3. При т = 2 и га ι = 1 получаем следующий
сглаживающий сплайн:
(x-Xj-iKx-Xj + iXx-xj+a) .
α^·(χ) = <
(χ,^-χΗχ-χ,Ηχ-χ^) χα\Τ· τ-^il·
+ (χ>+1-χ,)(χ; + 1-χ,)(χ,+ ι-χ,·+2)' X fc R?' ^J + U'
(x-xj-O^x-Xj + i) (xj-ц -x)(x-x;)(x-x,- ι)
{xj-Xj-.l)2(Xj-Xj + l) ^ {Xj+i-Xj)2{xj + i-Xj^i) '
χ G [xj-i, Xj);
(x-x>-i)^(x-Xj-2) rcfr. л т. ,\
Порядок аппроксимации такими сглаживающими сплайнами
равен двум. График приведен па рис. V.4. б.
а б в
Рис. V.4
Если коэффициенты до (х) выбирать из более сильных условий
j+h-l j+h-l
й(х)= Σ Pi(x)u^ Σ ΡίΟΦί = Χ*,
*=j—«2 i=j2-S2
V = 0,1,.. .,7712, ГП2 > Ш, /2 > ί, $2 > ^
то порядок аппроксимации не увеличится (это видно из оценок,
приведенных в разд. 2.3).
172

Пример 4. Сглаживающий сплайн второго порядка
аппроксимации, полученный при Ш2 — 2, имеет вид
{xj+l-xj)\xj+2-x*)lxj+2-xj+l)' X e lXJ+UXJ+2h
(x-xi-.i){xj + l-xf (xj+i-x){xj+2-x){xj-x)
(Xj -Xj _i)(xj + i-Xj)2 (xj + 1-Xj)2(Xj-XJ+2) '
χ e [xj, Xj+i);
Uj(x) = < (x-Xj-2)(x-Xj-i){xj-x) , (x-Xj-Q^x-Xj-h)
{Xj-Xj-.2){Xj-Xj-\)2 {Xj-Xj-i)2{Xj-Xj + i)1
Χ Ε [Xj_i, Xj)',
[0, X<£ [Xj-2, Zj+2).
График его приведен на рис. V.4, в. Результаты сглаживания
представлены на рис. V.5: по двум точкам (га = 1) —
штриховая линия; по трем точкам (т = 2) — сплошная.
Рис. V.5
173

Глава VI
ОЦЕНКИ КОНСТАНТ АППРОКСИМАЦИИ
МИНИМАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ
Во всех случаях изучения аппроксимации и устойчивости
достаточно важно иметь эффективные оценки констант,
возникающих в соответствующих неравенствах. Такие оценки позволяют
предсказать поведение приближения даже в тех случаях, когда
имеется неполная информация об искомой функции. Поэтому
получение констант для сплайнов является своего рода традицией.
В этой главе представлены эффективные оценки констант
аппроксимации и устойчивости для ряда минимальных сплайнов на
локально квазиравномерных сетках, допускающих конечную
точку сгущения. На основе полученных результатов рассмотрен
вопрос о восстановлении гладких функций, заданных на двоичной
и десятичной разрядных сетках с мантиссой предопределенной
длины и с бесконечным порядком.
§1. Константы аппроксимации минимальными
линейными и квадратичными сплайнами
1.1. Первоначальные оценки
Цель этого параграфа — в условиях § 1 главы I получить в
определенном смысле неулучшаемые константы аппроксимации
минимальными квадратичными сплайнами.
Для того, чтобы всякий раз не ссылаться на главу I,
кратко сформулируем здесь используемые в дальнейшем
предположения.
Пусть в промежутке (а, Ь) дана бесконечная в обе стороны
сетка {Xj},
... < χ_ι < xq < χι < ..., (1.1)
174

причем
а = lim Xj, b = lim χ,·.
Рассмотрим сеточную функцию v(t) со значениями Vj = v(xj).
Пусть m, / и 5 — натуральные числа такие, что / + s = m -f 1.
Введем сплайн й/6.(£) равенством
fc+s
й'*(0 = ζ *w(£), t e (xfc,ifc+i), (1.2)
где функции αλ,·(£) имеют носитель [xj-s,Xj+i] и определяются
соотношениями
fc + S
Σ x^j(t)=t\ i = 0,l,...,m. (1.3)
j=fc-/+l
Нетрудно видеть, что на промежутке (xk,Xk+i) функция uis{t)
совпадает с интерполяционным полиномом i\/,s(£) степени т,
решающим интерполяционную задачу Лагранжа
РиАхг) ~vii г = fc- Z + l,...,fc + s. (1.4)
Пусть u(£) — функция из класса Crn+l(a, b). Если в (1.2) взять
Vk — w(xfc), то погрешность интерполяции можно записать в виде
и(т+1)(е\
РклЛ*) ~ и(*) = (* - **-*+ι) ··■(*- %-)тТ§' (L5)
[т+ 1)!
где точка ξ = ξ(ί,χ^-z+ь · · · ,ζ-k+s) принадлежит минимальному
промежутку, содержащему точки t, χα,·—/ч-ι» ···» я&+«» а так как
ί G (xfc,a?fc+i) и Ζ > 1, 5 > 1, то ξ Ε (xk-i+i,Tk+8)- Ввиду того, что
uu(t) = Pfcj.eW» * G (xfc,Xfc+i), запишем формулу (1.5) в виде
um+1(f)
5Ζβ(ί) - u(f) = τ --rr7^fc.z.e(i), t e (xfc,Xfc+i),
(m -f 1)!
где
fc+.s
^цвй= П {t-Xj)-
175

При га = 1 имеем / = s = 1, поэтому
un{t) - u(t) = ^-^ωΜ,ι(*), ί G (Xfc,a?fc+i), (1.6)
где ξ G (xfc,Xfc+i),
"Мл(0 = (*-**)(*-**+1). (1.7)
Рассмотрим квадратичный многочлен Ог(£) = (£ — u)(£ — υ).
Экстремальной точкой его при t G (u, υ) является точка £* =
(и + ν)/2, так что Ω2(^*) = -(и - г>)2/4.
Полагая и = χ*,·, υ = £fc+i, найдем точную оценку
_>*+1~**) <^fc>ltlft)<0> i€(Xfc,Xfc+l)·
Теорема 1. Яри £ G (xfc,£fc+i) справедлива пеулучшаемая
оценка
|2п«) - «(01 < (Xfc~Xfc+l)2 c max |«"(ξ)Ι·
При т = 2 для натуральных / и s возможны два варианта:
(l,s) = (1,2), (2,1).
Рассмотрим первый случай: / = 1, s = 2. Имеем
И12(0-и(0 = ^зр^М,2(0» *e(a*,a*+i), (1.8)
где£ G [а*,х*+2],
^,1,2(0 = (* - я*)(* - arfc+i)(i - Xfc+2). (1.9)
Во втором случае, при ί = 2, s = 1, имеем
U2i(t)~u(t) = Η-ίί)ωΜϊ1(ί), t G (a?fc,Xik+i), (1.10)
где ξ G [xfc-i,rrfc+i],
^.uW = (t - xk-i)(t - Xk)(t - Xfc+i). (1.11)
176

Рассмотрим многочлен
Ω3(ί) = Qj(t;u,v,w) = (t- u){t - v)(t - w). (1.12)
Прежде всего заметим, что
u>k,i.2(t) = Ω3(ί;χ*,αΓ*+ι,χ*+2), ω*,2,ι(*) = n3(i;xfc_i,Xfc,Xfc+i).
Замечание. Экстремальные значения многочлена
инвариантны относительно сдвига вдоль вещественной оси, поэтому
достаточно рассмотреть экстремумы многочлена
Ω3(*) = ί(*-α)(ί-α-/?),
(1.13)
где α. β — положительные числа, а = ν — и, β = w — υ.
Преобразовывая, получим Ω3(£) = t3 — (2a -f β)ί2 -f a (a -f- /?)£.
Экстремальные точки t* многочлена (1.13) удовлетворяют
уравнению 3£2 — 2(2a -f β)ί+ Η- α(α Η- β) = 0, откуда находим
М=Л(2а + /?-д/Л), ^2 = ^(2a + /? + ^D),
где D = α2 Η- a/J -г /?2. Отсюда
Ω3((ί·)ι,2) = Ι [(2α + /J) f-|d + α(α + β)) ± dJd] .
Таким образом, установлено утверждение:
Лемма 1. Для кубического многочлена
Ω3(ί) = *(*-<*)(*-а-/?)
справедливы следующие неулучшаемые неравенства:
0 < Ω3(ί) < Ω3(ί*ι) при ί € (Ο,α),
Ω3(ί*2) < Ω3(ί) < 0 при t € (a,/?),
где **ι = (2a+J3-VD)/3, £*2 = (2a+/?+\/£)/3, £> = a2+a/?+/?2.
Значения Ω3(£+]) и Ω3(£+2) могут быть вычислены по
формулам
бз(<.1) = I
|(2а + /3)(-|л + а(а + 0))+|/Л/я], (1.14)
177

Ω3(ί.2) = g
[(2α + β) (~D + α(α + β)) - ^DsfD
(1.15)
Следствие 1. Если а = β = Ι, то D — 3 и
Ω3(ί„) = |>/3, Ω3(ί*2) = -|л/3.
Введем обозначение
£(α,/3) = Ω3(ί.4), г = 1,2.
(1.16)
Ввиду замечания и леммы 1 получаем следующее
утверждение:
Лемма 2. Для кубического многочлена Ω3(£)> определяемого
формулой (1.12), справедливы неулучшаемые оценки
0<Ω3(ί) <£i(a,/?), *e(tx,v),
^2(α,/?)<Ω3(ί)<0, *e(v,ti;),
где а = υ — и, β = w — v.
1.2. О монотонности экстремальных значений
Поскольку коэффициенты Ω3(£) зависят от а и /?. то (1.16)
можно записать в виде
£(а,/?) = i*i(at/3)(^<(a,/?) - а)(Ма,/?) - а - /3).
Дифференцируя это тождество по а, найдем
^£(α,/3) = Ω'(«**)^ + ^[М*« " α)(ί" " a ~ ^
Первое слагаемое равно нулю, поскольку по определению
критической точки Ω'(ί*ί) = 0, поэтому
д_
да
£j(a,/3) = -2i.i(i.<-i (2a + /?)).
Поскольку ί.χ > 0, ί*χ - (2α + β)/2 < a - (2α + β)/2 < 0, το
^(α,/?) >0.
(1.17)
178

Далее имеем U2 ~ (2α + β)/2 = γ/ΐ)/3 - (2α -f /3)/6. Нетрудно
видеть, что 2\fD >2а + β. Таким образом.
■^ε2(α,β)<0. (1.18)
Аналогично получаем
^(а,/?)>0, (1.19)
^£2(α,β)<0. (1.20)
Итак, доказаны следующие леммы.
Лемма 3. Выражения |£j(a,/3)| монотонно возрастают при
возрастании переменных а и β.
Лемма 4. Справедливы неравенства
ει{α,β) > i(| + /з)«2, £(а,,3) < -i(a + ^)/32.
Доказательство. Поскольку £ι(α,/?) — наибольшее
значение многочлена Ω3(ί) на промежутке (0, а), то при t £ (0,а)
имеем (ls{t) < £ι(α, β). Полагая t = a/2, получаем первую
формулу. Так как Е2(α, β) < ih(t), t Ε (α, β), то полагая £ = a -f- β/2.
получаем вторую формулу.
Следствие 2. При а —> -foe или /3 —> — оо функции |£i(a, /?)|,
г = 1,2, неограниченно растут.
Лемма 5. Функции £г(а. /3), / = 1,2, обладают свойством
однородности третьей степени
εί{τα,τβ)=τ3εί{α,β), г = 1,2.
Доказательство вытекает из очевидного свойства
Ό{τα,τβ) =r2D(a,/?)
и определения £j(a,/3), г = L2.
Лемма 6. Справедливо тождество £ι(α,/3) = —^(/3,a).
179

Доказательство легко получается из очевидного свойства
£)(α, β) = £>(/?, а) и тождества
(2α + β) (а{а + β) - |ί>) s -(2/? + α) (β{β + а) - |d) .
Замечание. Если при некоторых α и /? известны числа
Si(ctiβ), г = 1,2, то в силу леммы 6 легко найти £j(/?, a), j — 2,1.
1.3. Оценки констант аппроксимации
Лемма 7. Для функций и^д^СО и ω^,2,ι(0? определенных
равенствами (1.9) и (1.11) при t G (χα,-,χατ+ι)» справедливы оценки
Мьл,2(*)| <й(а?/ь+1 -Xk,Xk+2 -Xfc+i), (1.21)
Мь,2д(*)1 < 1^(ха: -x*-i,a*+i -x*)|. (1.22)
Доказательство следует из леммы 2.
Теорема 2. 1) Если функция и G С^х^я/с+г]? то при t Ε
[xfcjXfc+i]· справедливо неравенство
|wi2(i)-w(OI < —^-^(Xfc+i -xfc,x/c+2-^+i), (1.23)
где
<i,2= max >'"(0Ι·
2) £сли функция и G C^[xfe_i,xjt+i], mo при t G [:rfc,£/fe+i],
справедливо неравенство
M(3)
A; 2 1 ~
|22ΐ(ί) -ti(f)| < —^r-S2{xk -χ*-ι,χ*+ι -**), (1.24)
где
m£,= max |«'"(ξ)|.
Доказательство слезет из (1.8), (1.10).
180

Следствие 3. Если сетка X лежит в классе ΛΊ(ΑΓο), то при
Ko>l,t€ [xk)Xk+i] верны оценки
м(3)
\ul2(t) - u(t)\ < -J^S^hKo^Xk+i-Xk)3, (1.25)
М(3)
|S2i(0 - u(t)\ < -ip£2(l, Ko)(xk+i - Хк)3. (1.26)
Доказательство. Используя лемму 5. имеем
£l(Xfc+l - Хк,Хк+2 - Хк+l) = {Xk+l ~ Хк)£\\ 1, — — Ι ,
V Xk+\ -xk J
(1.27)
€2{xk-Xk-i,Xk+i -Xk) = (Xfc+i -Xk)£2\— —,1 ) · (1.28)
\Xk+\ -Xk J
По предположению:
Κ-ι<χ**-χ™<Κ^ K^<Xk~Xk-1 <Ko,
Xk+l - Xk Xk+l - Xk
откуда в силу леммы 3 получим
V Xk+l -Xk J
ег(Хк~Хк-\1
Xk+l - Xk
< \ε2(κ0, ΐ)|.
Благодаря лемме б имеем £г(-Ко> 1) = ~"^2(1> ^о)· Используя (1.27),
(1.28) в неравенствах (1.23), (1.24), получаем оценки (1.25). (1.26).
Следствие 4. Для равномерной сетки с шагом h верны
неравенства
|Sy(i) - u(i)| < CiM[%h\
где t € [xk,Xk+i], Cx = v^/27« 0,0641500, (*, j\= (1,2),(2,1).
Следствие 5. Для сетки А' € ΛΊ(2) имеем £ι(1,2) = ^(—10 +
7 ν/7), и потому при t e [xk,Xk+i]
\uij(t) - u(t)\ < C2A4%(xk+i - Xk)3,
181

где С2 = (7 ν/7 - 10)/81 « 0,1051884, (г, j) = (1,2), (2,1).
Следствие 6. Для сетки X £ ΛΊ(10) имеем
Й(1,10) = 2(1113/2 - 1134)/27
откуда при t e [хк,Хк+\]
\uij(t) - u(t)\ < СзМ1%{хм - **)3,
где С3 = ((111)3/2 - 1134)/84 « 0,4377477, (ij) = (1,2), (2,1).
§ 2. Аппроксимация минимальными
кубическими сплайнами
2.1. Представление погрешности
Этот параграф посвящен неулучшаемым оценкам для
кубических сплайнов.
Аналогично предыдущему при т = 3 имеем
uls(t) - u(t) = шиЛ*)> f e 0***»ζ*+ι)ι
где I -f 5 = 4, s, Ζ > 1. Здесь нас интересуют оценки экстремумов
многочленов:
а) ШклА1) = (* ~ **)(* ~ Sfc+l)(* ~ **+2)(* ~ ^А:+з);
б) u;fc,2,2(0 = (* - Xk-i){t - Xk){t ~ Xk+i){t - Sfc+2);
В) t^fc,3,l(0 = (* - Xk-2)(t - Xk-l){t - Xk){t ~ Xfc+l)
на промежутке (χ^.χ^+ι).
Эта задача сводится к отысканию экстремумов функции
Ω(ί) = (ί - u)(* - v)(t - w)(t -ζ), и < υ < w < г,
на каждом из интервалов (и, ν), (υ, w). (u\ ζ), где (и, г», ш, ζ) = (χ*,
Хг+ъ Xi+2* я?чз), индекс г принимает значения fc, fc — 1, к — 2 для
случаев а), б), в) соответственно.
2.2. Границы многочлена Ω(£)
Обозначим
Л = — {u + v + w + z), Β = ш; -f uw + uz + vw + vz + wz,
С — —(uvw -f uvz -f uwz -f ш/;2:). D = uvwz* (2.1)
182

тогда
Ω(ί) = t4 + A*3 + В*2 + С* + D. (2.2)
Экстремальные значения многочлена Ω(£) отыскиваются из
уравнения 4t3 + ЗЛ£2 + 2££ + С = 0.
С учетом вещественности корней найдем
(,=Ясс*(|-5£)-|, (,.Ясо.(|+ £)-£, (2.3)
-*«(!-ϊ)-τ·
где
г, >/5 /—^——г . 3ν/3(4^β - 8С - Л3)
i^-V^-SB, р-агсвш (^2 _ 8Д)3/2 '■
Нетрудно проверить, что при и = 0, г = ft, it' = 2ft, 2 = 3ft,
имеем Л = -6ft, В = lift2, С = -6/г3, D = 0, ЗА2 - SB = 20ft2 ?
Я = Λ γ/5/З, 4АВ-8С-А3 = 0, <р = 0. Поэтому при
рассматриваемых сейчас значениях u,v,w находим t\ = (3 — \/5)ft/2, £2 = З/г/2,
£з = (3 + ν/5)/ι/2, так что £i G (u, и), ^2 G (ν, и;), £3 £ (Wi*)·
Ввиду свойства непрерывной зависимости корней уравнения
от переменных u,v,w,z полученное соотношение сохраняется для
любых и, v, w, г, для которых и < ν < w < ζ.
Итак, установлена следующая лемма:
Лемма 8. Если и <v < w < ζ. то многочлен (2.2) с
коэффициентами (2.1) удовлетворяет соотношениям
Ω(*ι)<Ω(*)<0, te(u,v),
0 < Ω(ί) < Ω(«2), te(v,w),
Ω(ί3) < Ω(ί) < 0, te(w,z),
где t\, t2: ts определяются равенствами (2.3).
2.3. Некоторые свойства многочлена Ω(ί)
Представим функцию Ω(£) (2.2) следующим образом:
Ω(ί) = t(t - a){t - α - β)(ί - α - /J - 7),
183

где а = и — ν, β — w — ν, *y = z — гю,ии = 0. В этом случае
формулы (2.1) принимают вид
А = -(За + 2/3 + 7), В = а(а + /3) + (2а + /3)(а + /3 + 7),
С = -а(а+ /?)(<* + /?+ 7), £> = 0.
Очевидно, что а, /3,7 > О, А < О, В > О, С < 0.
Лемма 9. Справедливы представления
ЗА2 - SB = (α + 2/3 + 7)2 + 2(<*2 + 72),
4АВ - 8С - А3 = (72 - α2)(α + 2/3 + 7)·
Доказательство. Формулы проверяются непосредственно
подстановкой перечисленных только что величин Л, В. С. ■
Следствие 7. Если для некоторого Ко > 1 справедливы
неравенства
&о - ~~ - А'сь А'^" < — < А0,
то
βΜΚό')<3Α2-8Β<β2φ{Κ0),
где р(#0) = 4(2АГ2 + 2А' + 1).
Лемма 10. Справедливо равенство
4АВ-8С-А> = (αΊ\
(3A2-8B)V* J\3'p)' ( '
где
ПХ'У)~ [2(y2 + x2) + (x. + y + 2)2]3/2· t-5)
Доказательство легко следует из предыдущих двух лемм,
так как
4АВ -8С-А* _ 1ф2-($П$ + 2 + I)
(ЗЛ2 - 8В)3/2 {(2 + 2 + α )2 + 2[(α )2 + (2)2]}3/2 '
Замечание1. Ввиду вещественности корней верно
неравенство
184

3v/3
что эквивалентно оценке
ААВ -8С-А3
<1,
(ЗА2 - 8β)3/2
Ι/(*.»)Ι< ;—=, х>0,у>0.
Замечание 2. Для функции /(х, у) справедливы следующие
предельные соотношения:
Ит/(х,г/)=[(г/+у+22у2]з/2)
^/(х,у) = -_-^£±|_.,
Jim^/fry)--^, ^χ/(Μ) = ^, ^im_^/(x,y) = 0.
Для фиксированного λ φ О имеют место предельные соотношения
,im f(, w* - (А2-1)(А+1)
^nrn^ дх,лх, - [(λ + 1)2 + 2{λ2 + 1)]3/2,
г ,,\ ϊ (1-Л2)(Л + 1)
^/(Ау.у) = [(л + 1)а + 2(ла + 1)]8/а.
lim lim /(χ, λχ) = ±—■=,
A-*±oc X-+OC V 3\/3
lim lim /(Ay, у) = τ —= .
λ—±эсу—-foe, ЗуЗ
Доказательство следует из (2.5) при переходе к пределу
по соответствующей переменной.
2.4. О представлении экстремальных значений
многочлена Ω(ί)
Лемма 11. Пусть £* — любой корень производной
многочлена Q(t). Тогда значение Ω(£+) может быть вычислено по
формуле
«*.>-(!-4) <Κ'?-¥)··+(Β-
АС\
16;
185

Доказательство. С учетом равенства 4£JJ -f SAil -f 2Bt* -f
C = О имеем ^ = — |(ЗЛ£2 -f 2£ft* -f С). Подставив это выражение
в формулу Q(U) = tj + Atl -f 2Btl + CU + D = 0 и приведя
подобные члены, получим требуемое.
Замечание 1. Если обозначить ρ = ЗА2 — 8В; q = 4АВ —
8С — А?, то справедливы соотношения
Ω(ί.) = ~ptl - ±{Zq + pA)U + {D- ±AC),
R=-\fip, ¥> = агсзт(3\/3-^2),
ρ = (α + 2β + 7)2 + 2(α2 + γ), ς={α + 2β + η){η2 - α2).
Замечание 2. Если обозначить χ = α/β, у = f/β, то
справедливы формулы
ρ = β2Ρ(χ,ν), ς = β3<2(χ,ν), Α = βΛ(χ,ν), С =/?3С(х,у),
где
Р(х, у) = (х + у + 2)2 + 2(х2 + у2), Q(x, у) = (у2 - х2)(х + у + 2),
Л(х, у) = -(За: + 2/4-2), С(х,у) = -х(х + 1)(х + у + 1).
3 а м е ч а н и е 3. Так как
R = ^\/ЗР(х,у), у> = агсбт(3л/3/(х, у)),
то нетрудно видеть, что Ω(ί,) = β4Ρι(χ, у), где г = 1,2,3,
Щх,у) = -^Р(х,у)Т?(х,у) - (1<2(х,у)+
+ З2^(х,у)Л(х,у))т{(х,у) - ±А(х,у)С(х,у),
Ti(x,y) = у/Щ^-cos (± arcsm(3v/3/(s,y)) + β,) - ^М),
βι=-|π, 02 = |, β3 = -|, ti=0Ti{x,y).
186

2.5. О зависимости экстремальных значений
Ω(£) от a, /J, 7
Ввиду того, что интересующие пас значения многочлена Ω(£)
не зависят от выбора начала координат в силу инвариантности,
то при исследовании зависимости от а, /3,7 будем считать, что
начало координат выбрано в середине отрезка, концами которого
являются второй и третий корни многочлена Ω(£). Итак,
рассматриваем многочлен вида
«*>-(·♦"!) И) Ν)(«-Η·
Положим a = a-7?b = (a-f f)(7 + f)> тогда
Ω(ί) = f4 + αί3
(|)+tb.(|)rt+(|)fc
Экстремальные точки U, г = 1,2,3, t\ < £2 < t<3* многочлена Ω(£)
удовлетворяют уравнению
2
4ί3 + Sat2 - 2
(«и*-®·-
о.
Нетрудно убедиться, что -a - /3/2 < t\ < -β/2 < t2 < /J/2,
0/2 < h < 7 + /J/2.
Рассмотрим функции £;(a,/3,7) = Ω(^), г = 1, 2, 3, и
докажем, что их абсолютные величины в области а > 0, β > 0,
7 > 0 возрастают с увеличением а, /?, 7·
Дифференцируя
£(Q,/?,7) = 4# + af?
(f)'
+6
i-if)V(§)%
по а. найдем
д
да
i(a,/3,7) = |4i?
+ 3αί · - 2
§>+>
Ч§У
<9а
+
2/ ^_^\_m2/ aa_56\
+tf У'гда да) V2/ V да да)
187

Выражение в фигурных скобках равно нулю, так что находим
21
^£(а,/?,7)
откуда следует, что
*-(!) Кг'
7-
β
^fi(a,/3,7)<0,
^2(a,/?,7)>0,
—ί3(α,/?,7)<0,
Рассмотрим теперь ^г£г(о^/^7)· Имеем
21
(2.6)
(2.7)
(2.8)
д_
5i(o,/?,7) =
*-(§) (-.-«.-f).
поэтому
1^!(a, /?,7) < 0, J^2(a, /?, 7) > 0, ^*з(а, /3,7) < 0.
Исследуем, наконец, щб^а.р,^). Вспоминая, что Ω(£) = t(t -
a)(t — а - β)(ί — a: — β - 7), вычислим производную
^gfi(o,/3,7) = дд[*<(«< - <*)(<< - a - /3)(ii - a - β - 7)]·
Получаем
—£{{а, β, 7) = -2ti(li -a)(ti-a-p-iy
Заметим, что корни t, функции Cl't(t) удовлетворяют
неравенствам
0 < ίι < a, a < ί2 < a. + β, a + β < ί3 < α + β + -у. (2.12)
Нетрудно видеть, что
д
0β
£ι(α,/3,7)<0,
(2.13)
188

—£2(α,/?,7)>0. (2.14)
Для рассмотрения случая г = 3 нам потребуется следующее
утверждение.
Лемма 12. Справедливо соотношение а + /? + § < £.з-
Доказательство.Из (2.12) получаем 2(а+/?) < 2£3 < 2(а+
/? + ?г), так что 2ί3 - α > 0. Из равенства fi't(£3) = 0 следует
(2ί3-α)(ί3-α-β)(ί3-α-β-Ί) + 2ί3{ί3-α) (ί3 - α - /? - |) = 0.
Но (2ί3-α)(ί3-α-/3)(ί3-α-)8-7) < 0- а 2*3(*з-а)(*з-а-/?-§) >
0, так как положительны первые два сомножителя. ■
Рассмотрим выражение
~ε3(α, /?,7) = -2*3(*з - а) (73 - α - /? - £) .
С учетом знаков сомножителей найдем
^3(а,/?,7)<0. (2.15)
Ввиду инвариантности экстремальных значений £i(cv,/3,7)
относительно сдвига вдоль вещественной оси из неравенств (2.9)—(2.11),
(2.13)—(2,15) легко получаем следующее утверждение:
Лемма 13. Пусть Ьь. г = 1,2,3, — экстремальные точки
многочлена Q(t) = t(t—a)(t-a—β){ί —α—β—у), αε^α,β,η) — его
значения в этих точках: £*(а,/?,7) = Щи), рассматриваемые
как функции положительных параметров σ. β, η.
Тогда |£^(а,/?,7)| монотонно возрастают с ростом а,/?. 7·
Следствие 8. Для любых с*о, Аь7о > 0 справедливы
неравенства
0<|fi(Q,i8,7)|<|ft(ao,A),7o)|
при произвольных α, β, 7 из параллелепипеда
Л = {(а,/?,7) I 0 < а < а0, 0 < Д> < /?, 0 < /? < 7о}·
<*сь£о.7о
Лемма 14. Для функций £*(а, /9,7) справедливы оценки
2
-а2(а + ^)(а + ^ + 7) < А("^,7) < ~γ (f +/?) (f +/? + ?) ,
189

у (а + f) (f + 7) < S2(a, β, 7) < β2(α + β)(β + 7),
2
Доказательство вытекает из неравенства £ι(α,/?,7) <
Ω(α/2) на промежутке (0, а) и очевидной оценки
|Ω(ί)| = \t(t - a)(t - α - β){ί - α - β - 7)| < α2(α + /?)(α + β + 7),
где £ Ε (0, α). Первое утверждение доказано. Аналогично
доказываются остальные.
Следствие 9. Абсолютные величины функций £i(a, β, у)
неограниченно растут в области а>0, /?>0, 7>0 при возрастании
одной из переменных и фиксированных двух других. Порядок их
роста определяется доказанными неравенствами.
2.6. Оценка функций Uk,i,s(t)
Нетрудно установить, что Vi(x,y) = £i(#, I, у) и функции
£(а,/?,7) однородны, £?(τα,τ/?,τ7) = r4Si(a,P,y). i = 1,2,3.
Таким образом, для г — 1,2,3 получаем
Ω(ί<)=/94^(|,1,^). (2-16)
n(ti) = a%(l,^,A, (2.17)
Ω(ί,) = 74£(^Λΐ)· (2.18)
Теорема 3. При t £ (#fc>#fc+i) справедливы неравенства
(χ*+ι - Xk) ci[ 1, , 1 < икхзкч < °>
(2.19)
0<u,fc,2f2(t) < (хм-хк)%(Хк x*-\i,x"+* Xfe+M (2.20)
XZfc+l-Efc X'fe+l-^Ar '
(хк+1 -Xk) εύ , ,1) <ω*,3,ι(*)· (2.21)
V Xk+\ ~ Xk #fc+l - ^k '
190

Все приведенные неравенства являются точными.
Доказательство. Полагая в (2.17) г = 1. а = Xk+i — #ь
β = хк+2 ~ Хк+л, 7 = Zfc+з - Хк+2, найдем
^ * \4? Л Xfc+2 ~ Sfc+1 Я*+3 ~ Sfc+2 \
(fffc+1 - Zfc) Ci I 1, , I =
\ Xfc-fl - Xfc Xk+l ~ Xk >
= min ω'Μ.3(0 < 0.
Отсюда вытекает первое неравенство. Второе неравенство
доказывается при г = 2, α = Xfc -tffc-i, Ζ? = xa:+i - хк. η = xfc+2 -#fc+i·
Для доказательства третьего неравенства положим α = хк-\ —
Хк-2; β = Хк ~ Хк-\, 7 = Хк+\ ~ Хк-
Теорема 4. Если сетка локально квазиравномерна, так что
при некотором А'о > 1 для всех целых j справедливы
соотношения
Ко1 < Xj+l~Xj < tf0, (2.22)
Xj - Xj-1
то при t E (xb#fc+i) справедливы неравенства
(xk+i~Xk)4£i(lJ<oJ<o)<^iAt)<0,
0 < ω*,2.2(0 < (sfc+i ~ n04^2(A'o, 1, ΑΓο),
(.Tjt+i - xk)4Sa{K^Ko, 1) < wfc.3.i(0 < 0.
Доказательство. Применим следствие и оценки
предыдущей теоремы. Заменяя отношения длин сеточных интервалов в Ег
на Ко, мы лишь усилим эти оценки. Нетрудно видеть, что в
классе локально квазиравномерных сеток эти оценки неулучшаемы.
Действительно, сетка, определяемая соотношениями
xj = 1 + #ο + ... + λ'<5, j >0,
χι = 1 + А^1 + ... + #j, г<0,
очевидно обладает свойством (2.22). Первое неравенство
утверждения теоремы может быть записано в форме (2.19), но
последнее неулучшаемо. Аналогично доказывается неулучшаемость
двух других неравенств.
191

Следствие 10. В классе локально квазиравномерных сеток
при t Ε (xk,Xk+i) справедливы неравенства
|«1з(«) - «(*)! = ^Μί4)|5ι(1, Ко, К$)\{хк+1 - хк)4,
|ΰ22(ί) - «(ί)| = ±Α44)\ε2(Κ0,1, Ko)\(xk+i - xk)4,
1 •r(i)\c.(i^ v. ni/.. . \4
где
|S3i(t) -u(i)l = ^M^\€3(Ki,K0,l)\(xk+l -xfc)4,
M\4) = max |«(4)(ξ)|, i = 1,2,3.
ξ^Χϊ-ί + Ι-ΧΚϊ-ι + Λ]
Замечание. Ввиду следствия 9 величины S-i довольно
быстро растут с ростом Kq\ это может свидетельствовать о
существенном уменьшении аппроксимации на неравномерной сетке.
§ 3. Точные оценки квадратичных базисных сплайнов
3.1* Предварительные замечания
Пусть т — натуральное число и пусть на отрезке [а',Ь']
построена сетка
а' = х-м < х-м+1 < ... < xn = Ь\ (3.1)
где Л/, N — некоторые натуральные числа,
M + N> m. (3.2)
К указанной сетке добавим узлы
У < XN+i < XN+2 < · · · < XN+m- (3.3)
Введем множества
J0 = {-Л/,..., m - Л/}, Jk = J° для к = -А/,..., m - Л/ - 1,
Jfc = {к - т + 1,..., к + 1} для fc = -А/ + т,..., N - 1. (3.4)
Как и во второй главе, рассмотрим базисные минимальные
сплайны (jjj, j — —Л/, = Л/ + 1,..., N - 1, N. на отрезке [а', 6'],
полагая при j £ J°
192

Uj{t) = {
ί Π χ-χ ,·> t е[х-м,х-м+т\;
з'Фз
Π τ-^h^ te{xk,xk+i],
fc = -A/ + m,..., j -f т — 1;
(3.5)
I 0 при остальных t £ (af,b').
При j £ J0 определим Uj формулой
t—x
*i(t) = <
ί Π ϊρΐτ. ie(xfc,xfc+1],
ί'€Λ
У 0 при остальных t £ (α', 6').
(3.6)
Замечание. При j — —Μ вторая формула в (3.5)
отсутствует.
Из формул (3.5), (3.6) следует, что функции ω3· можно
распространить непрерывным образом на отрезок [а\ Ь']. Будем считать,
что такое распространение сделано.
3.2. Представление квадратичных сплайнов
Квадратичные сплайны задаются формулами (3.5), (3.6) при
т = 2: здесь представим квадратичные сплайны в виде
интерполяционного многочлена.
Пусть а,Ь,с,А,В,С — заданные вещественные числа, причем
а,Ь,с различны. Рассмотрим интерполяционную задачу вида
/(а) = Л, /(b) = Б, f(c) = С. Квадратный трехчлен, решающий
эту задачу, обозначим через V-2(t, α, 6, с, Л, В, С).
Нетрудно видеть, что гранично-минимальные квадратичные
базисные сплайны можно представить выражениями
Ci/'-Л/
(О
_ (V2{t,x-M,
\ 0, te [χ-
я-л/+ья-л/+2,1,0,0), te [х-м, х-м+2];
-Л/+2, Xn]',
(3.7)
193

Γ V2{t,X-M,X-M+\,X-M+2,b, 1,0),
t G [Χ-Λ/ί X-A/+2];
ω_Λ/+ι(£) = < ^(^,χ-α/+ι,£-λ/+2,Ζ-λ/+3, 1,0,0),
t G [х-л/+2, z-м+з];
Ιθ, ί G [х_м+з, ялг];
(3.8)
f Р2(^-Л/^-Л/+1^-Л/-Ь2,0,0, 1),
t G [х-л/, ж-а/+2];
^2(ί, X-M+l, Χ-Λ/+2, Ζ-Λ/+3, 0, 1, 0),
^-Λ/+2(0 = S * € [Χ-Α/+2, Х-М+зЬ
V2(t, X-M+2, X-М+З, Х-Л/+4» 1, 0,0),
* € [х_Л/+з, Ζ-Λ/+4];
Ιθ, £ G [х_л/+4, ялг];
(3.9)
U>j(t) = {
(V2{t,Xj-2,Xj-\,χ,·,Ο,Ο,ΐ), £G (xj-i, s,·];
Ρ2(£,χ,·_ι,χ;,χ,·+ι, 0,1,0), te [xj4 xj+i\;
V2{t,Xj,Xj+l,Xj+2, 1,0,0), t G [Xj+i, Xj+2]:
lO, t G [а',6']\[х;_ь Xj+2].
(3.10)
Из формул (3.7)-(3.10) следует, что для определения границ
изменения функций о^(х) достаточно определить эти границы
для квадратных трехчленов
Р2(*,аАс,1,0,0), P2(*,aAc,0,l,0), V2(t,a,b,c,0,0, l)
на интервалах (a, 6) и (Ь,с).
3.3. Границы изменения функции V2
В дальнейшем в качестве узлов интерполяции будем
рассматривать узлы a = χ - Л, 6 = х, с = х + Л', где χ, /ι, /г' — некоторые
вещественные числа, причем /ι, Ν > 0.
Теорема 5. Справедливы следующие неравенства:
0<P2{t,x-h,x,x + h',l,0,0) < I, * G [х - /г, х], (3.11)
/г/2
-7Γ7Γ-ΓΤ7Τ^:ρ2(ί,Χ-/ι,^,^ + /ι,,1,0,0)<0, £G [χ, а? + Л'];
4/г(д -f /г')
(3.12)
194

если h! < h. t e [x — h, x], mo
0<P2{t,x-h,x,x + h',0,l,0)< ,* , te[x-h,x], (3.13)
Ann'
$<V2(t,x-h,x,x + ti,0,1,0) < 1, te [x, x + ti\. (3.14)
Далее, если h' > h, mo
0 < V2{t, χ - Λ, χ, χ + ft', 0,1,0) < 1, ie[x-ft, x], (3.15)
(/г' + /Л2
0<?M*,x-ft,x,x + ft',0,l,0)< v ,,_■/ , te[x,x + h']. (3.16)
Ann
Наконец.
h'2
«l/l lTT < V2{t,x ~ h,xyx + h\0,0,l) < 0, te [x-h, x],
An{n -f η')
(3.17)
0<:Ρ2(£,χ-/ι,χ,χ +/ι',Ο,Ο, Ι) < 1, te [χ, x-f/ι']. (3.18)
Неравенства (3.11)—(3.18) точные. Левые части неравенств
(3.12) и (3.17) достигаются при t = χ -f h!/2 ut = x — h/2
соответственно, а правые части неравенств (3.13) и (3.16)
достигаются при t = χ -f (hr — h)/2. Остальные неравенства
достигаются на концах соответствующих промежутков.
Доказательство. Рассмотрим квадратный трехчлен
V2(t,x — /ι, χ, χ -f ft', 1,0,0). Поскольку он решает
интерполяционную задачу f(x — К) = 1, f(x) = 0, f(x -f ft') = 0, то он
имеет вид V-2{t,x - /ι, χ, χ -f Л', 1,0,0) = 7ι:ο,ο(ί - x)(t - χ - /ι'), где
7ι.ο,ο = l/[h(h+hf)]. На промежутке (χ, x+hf) он имеет экстремум,
и потому на промежутке (х — /г, х) он не может иметь экстремума.
Отсюда сразу вытекает оценка (3.11). Итак, t* = x + h'/2 — точка
экстремума на промежутке t e (х,х -f h'), a
h'2
V2(t*,x - h,x,x + h',1,0,0) =
4Л(Л + h1)
— соответствующее экстремальное значение.
Перейдем к квадратному трехчлену V2{t1x — h) χ, x-f/ι', 0,1,0).
Очевидно, V2{t, х - К х, χ + /г', 0,1,0) = 7ο,ι.ο(*2 - (2х + Ы - h)t +
(χ — /ι)(£ -f /г')). Точка экстремума такова: t* = χ -Η (/г' — Л)/2, и
потому V2(i*, х - Л, х, х + /г', 0,1,0) = (Л' + /г)2/(4/г/г/)·
195

Если Л' > Л, то точка экстремума лежит в промежутке [χ, χ -f
Л'], и при этом получаем оценки (3.15), (3.16), а если h < Л', то
эта точка лежит в промежутке [χ — Л,х], и в этом случае имеем
оценки (3.13) и (3.14).
Неравенства (3.17) и (3.18) получаются аналогично
неравенствам (3.11) и (3.12).
Заметим еще, что неравенства (3.15) и (3.18) с точностью до
обозначений совпадают с неравенствами (3.11)—(3.14); для
перехода от одной группы неравенств к другой достаточно изменить
направление оси абсцисс на противоположное и заменить
обозначения: h — на Л', a h' — на Л. Теорема полностью доказана. ■
Следствие 11. Неравенство 0 < V2(t, x-h, χ, x-f Λ',0,1,0) < 1
на промежутке [χ — h, χ Η- h'] справедливо тогда и только тогда,
когда h = Л'. В этом случае значение единица достигается лишь
при t = χ.
Следствие 12. В случаях, когда h'/h —> -foe или Л/Л' —> +оо,
выражение max<€[1._/l.x+/l] 7*2(^ х - Л, х, х + Л', 0,1,0)
неограниченно растет, причем при h /h —* +оо справедливы формулы
max V2{t,x-h,x.x + Л',0,1,0) = ,, , (3.19)
*€[χ-/ι,χ+/ι] ' 4Л
min Р2(^*-Л.х,хН^ 1.0.0) = -^*^, (3.20)
ί€[χ,χ+/ι'] ' ' ' 4Λ V
где lirn/j//^^^.^ α = 0, l\mh'/h-*+<x> /9 = 0, а при Л/Л' —+ +оо верны
формулы
max V2{t, χ - Л, χ, χ -f Λ', 0.1,0) = -Ц^^, (3.21)
t€[x-h,x+h] Ail'
min P2ft, χ - Λ, χ, χ + h\ 0,0,1) = - h^XP , (3.22)
t€[x-/i.x] 4/i'
где НтЛ//1/_+0С α' = 0, НтЛ//|/_>+0& /?' = 0.
Доказательства следствий 11 и 12 очевидным образом
вытекают из теоремы 1.
196

3.4. Оценки базисных функций
Благодаря полученным выше представлениям базисных
функций tjj (см. формулы (3.7)-(3.10)), с помощью теоремы
предыдущего раздела можно получить точные оценки упомянутых
функций на элементарных сеточных интервалах. Такие оценки весьма
важны при решении практических вопросов устойчивости счета.
Для удобства использования сформулируем оценки для каждой
базисной функции отдельно.
Теорема 6. Для базисной функции ω_Α/(0 справедливы
неулучшаемые неравенства
О < ω-Μ{ί) < 1, t в (χ_λ/,*-λ/+ι); (3.23)
(Х-М+2 - X-M+l)2
< ω-Α/(ί) < 0, (3.24)
4(з;_а/+1 ~ Х-м){Х-М+2 - Х-м)
t e (x-m+i,x-m+2)\
причем о;_а/(х_л/) = 1, lj-m{x-m+i) = 0 и cj_m(0 = 0 для
t Ε [£-λ/+2ϊ#λ']· α левая часть неравенства (3.24) достигается
при t = {х-м+ι + х-л/+2)/2.
Доказательство. Из представления (3.7) применением
оценок (3.11), (3.12) при χ = £_А/+ь h = х-м+ι - х-м, h' —
Х-м+2 - х-м+ι получаем формулы (3.23), (3.24). Теорема
доказана. ■
Теорема 7. Если х_а/+2 — х-м+ι < х-м+ι —х~м, то верны
неулучшаемые неравенства
п ^ ,,х . (>-л/+2 -Д^-л/)2 ,„ 9с;ч
ί e {х-м, х-м+i);
(ί)<1, ί6(ΐ-Α/+ΐ,Ι-Α/+2). (3.26)
£ш х-м+2 ~ х-м+i > х-м+i - х-м- то верны неулучшаемые
неравенства
О < o;-A/+i(0 < h te {x-M,x-M+i); (3.27)
/.ч ^ Q-A/+2 -*-л/)2 ,„ 9оч
Ai + 1V У 4(х-Л/+1 - Х-м){Х-М + 2 - Ж-AZ+l)
£ е (Χ-Μ + ΙτΧ-Μ+2)·
197

ство
На промежутке t Ε (#-л/+2»#-л/+з) справедливо неравен-
(Д-М+3 - Х-М+2) , ν ,„ ,
"77 w Τ - ^-Ai+ilcj < ϋ. (3.29)
4(Х_л/+2 - Я-М+1Д£-Л/+3 - X-M+l)
Кроме того,
^—А/+1 (Х—А/+ 1) = 1ι ^-Λ/+ΐ(^-Λ/) =ω-Λ/+ΐθ£-Λ/+2) = О
ιχ ω_Λ/+ι(ί) = О при t e [х_л/+з> %n]* а правые части неравенств
(3.25) и (3.28) достигаются при t = (х_л/+2 + х~м)/2. Левая
часть неравенства (3.29) достигается при t = (х-л/+2+
я-л/+з)/2.
Доказательство. Используем представление (3.8). На
промежутке t е {х-м,х-м+2) применим неравенства (3.13)—(3.16),
полагая в них χ — х_л/+ь h — х-м+ι ~ х~м-> Ы = х_л/+2 ~
Х-м+\. Тогда получатся оценки (3.25)-(3.28) соответственно.
На промежутке t £ 0г-л/+2>#-Л'/+з) используем неравенство
(3.12), полагая χ = х_л/+2, h = х-м+2 - £-л/+1, h' = х-м+з -
Х-м+2- После такой подстановки получим оценку (3.29). Теорема
доказана. ■
Теорема 8. Верны следующие соотношения:
(s-a/+i -*-а/)2 и\^с\ (ι <к\\
-77 \7 Τ - ω-Μ+2(ί) < О, (J.JO)
4(£_л/+2 ~ Х-Л/ + 1 ДЯ-Л/+2 - Х-М)
t e (х_л/+ь х-м+2);
0<iJ-Af+2(0<l» ie(X-Af+i,X-A/+2). (3.31)
£c/m х_л/+з - z-a/+2 < #-л/+2 - £-л/+ь тпо
О < ω-Μ+2(*) < 1, * Ε (χ-Αί+2, ar-Ai+з), (3.32)
иначе при аг-л/+з - х-м+2 > £-л/+2 - х-м+ι
п ^ , , /,ч ^ (Х-Л/+3 -S-M+l)2 /о ооч
ϋ < cj_m+2(c) < 77 77 Т» (3-33)
4(Х_л/+2 - Х-М + 1ДХ-Л/+3 ~ #-Af+2J
£ Ε (х_л/+2, Х-Л/+з).
198

Наконец,
(х-м+4 -х-м+з)2 ^ ,А п ,„ „4х
"77 \7 Τ - ^-м+2(с) < 0, (3.34)
4(£-Л/+3 - Я-Л/+2ДХ-Л/+4 - X-M+2J
t е (Х-М+З, Х-М+4)·
Кроме того.
M-M+'l{X-M+2) = 1,
^-л/+2(^-л/) = u)-m+2{x-m+i) = ^-м+2(х-м+з) = О (3.35)
и uj-nf+2{t) = О при £ £ [:г_м+4> #лг]; левая часть неравенства
(3.30) достигается при t = (х_м+#-m+i)/2, правая часть
неравенства (3.33) достигается при t = (#-а/+з + ж-м+0/2. α
левая часть неравенства (3.34) достигается при t = (х~л/+з+
+Х_Л/+4)/2.
Доказательство. Принимая во внимание представление
(3.9), для t e (£_α/,£_λ/+2) применим неравенства (3.17), (3.18)
при X = ff-Af + li Л = Ζ-Λ/+1 ~ #-Л</, Л' = Х-Л/+2 ~ Х-М+1- В
результате установим соотношения (3.30), (3.31).
Для t е (х_л/+2> х_л/+з) используем оценки (3.14)-(3.16) при
χ = Х-м+2, h = х-м+2 ~ ar-Αί+ΐι ^' = 3-Л/+3 ~ я-м+г;
результатом окажутся неравенства (3.32) и (3.33) соответственно.
Для t £ (х-м+з,Х-м+4) обратимся к оценке (3.12) при χ =
х-м+з, h = Х-м+з ~ х-м+2, h' = :г_л/-|-4 - х-м+з; из нее
получим неравенство (6.12). Остальные утверждения теоремы в силу
предыдущего достаточно очевидны. Теорема доказана. ■
Теорема 9. Если j = -Л/ + 3, -Л/ + 2,..., Ν, то
0<u)j{t)<l, te{Xj-i,Xj). (3.36)
Пусть j + 1 < N. Если Xj+\ — Xj < Xj — Xj-\, mo
0<Uj{t)<l, iG(xj,Xj+i), (3.37)
а если Xj+i — Xj > Xj ~ Xj-ι? mo
Если j + 2 < N ut e (arj+i,Xj+2)» wo eepwa оценка
(xj+2 -Xj+i)2
4{Xj+l -Xj){xj+2 ~Xj)
<ujj{t)<0. (3.39)
199

Неравенства (3.3б)-(3.39) неулучшаемы. Кроме того.
Vjfaj) = 1» ωΑχ3-ύ = Wi(xj+i) = ^{xj+2) = О, (3.40)
правая часть неравенства (3.38) превращается в равенство при
t = (#7+i -f Xj-\)/2. а левая часть неравенства (3.39) — при
t = (xj+i +xj+2)/2.
Доказательство. Воспользуемся представлением (3.10).
При t £ (xj-\,Xj) применим неравенство (3.18) для χ = Xj-\, h =
Xj-\ — Xj-2, h' = Xj — Xj-\. В результате получим оценку (3.36).
Для t £ (xj,Xj+\) используем неравенства (3.14) и (3.16)
соответственно, полагая χ = Xj, h = Xj — Xj-\, hf = Xj+\ — Xji в
результате получаем оценки (3.37), (3.38). Наконец, для t £ (xj+\,Xj+2)
обратимся к неравенству (3.12) при χ — Xj+\, h = Xj+\ — Xj, Ы =
Xj+2~Xj+i< это приводит к оценке (3.39). Остальные утверждения
теоремы очевидны. Теорема доказана. ■
Следствие 13. На равномерной сетке {xj \ Xj — jh, j = —А/,
—Μ -f 1,. · ·, Ν} с шагом h > 0 для сплайнов ujj(t) справедливы
следующие точные неравенства (в дальнейшем принимаются во
внимание лишь интервалы из отрезка [—Mh<Nh]):
1) 0 < ωά(ί) < 1 при t £ ((j - l)hjh) и t £ (jh, {j + 1)Л);
2) -| < u>j{t) < 0 при t e ({j + 1)Л, (j + 2)/ι). причем Uj(t*) =
-| при t* =jh + 3h/2\
3) -| < ω_Μ+2(0 < 0 для ί £ (-М/г, (-Л/ + 1)Л), причем
ω^*) = -I при t* = -МЛ + /г/2.
§ 4. Оценки кубичных базисных сплайнов
4.1. О представлении кубических сплайнов
Изучение кубичных базисных сплайнов аналогично изучению
квадратичных, и потому достаточно провести рассуждения,
похожие на рассуждения предыдущего параграфа. Кубичные
граничные минимальные сплайны можно получить по формулам (3.5),
(3.6) при т = 3, однако для наших целей удобнее представить их
через определенный кубический многочлен.
Пусть а, Ь, с, d, А, В. С, D — заданные вещественные числа,
где числа а, 6, с, d попарно различны.
Рассмотрим интерполяционную задачу Лаграижа
/(а) - A, /(*) = В, /(с) = С, f(d) = D.
200

Кубический многочлен, решающий эту задачу, обозначим через
P3(t,a,b,c,d,A,B,C,D).
Нетрудно видеть, что гранично-минимальные базисные
сплайны на промежутке [х_л/?£-аг+2) можно представить
выражениями
U>-M{t) = Vs(ti X-Af, Χ-Αί+11 Я-А/+2, Χ-Μ+3η 1, 0, 0, 0),
ω_Λ/+ι(0 = Рз(*> s-λ/ι я-л/+ь *-λ/+2ι α-Λ/+3ϊ 0,1,0,0),
W-A/+2 (*) = Рз(*, ^-Λ/ , Χ-Α/+1, Ζ-Λ/+2, Я-Л/+3, 0, 0, 1, 0),
<^-л/+з(0 = Pz{t, х-м, я-м+ι, Х-А/+2, ^-м+з, 0, 0, 0,1). (4.1)
На остальных элементарных сеточных промежутках,
лежащих в отрезке [х_ль#Л'Ь имеем
Vs{UXj-3,Xj-2iXj-i,Xjг,0,0,0,1), ί € [xj-i,a?j);
Рз(^а^-2,^-1,^,х,-+ь0,0,1,0), ί € [xj.,Xj+i);
ωΛ*) = ^ Рз(*,Я;-1 ,Xj,Xj+i,Xj+2,0,1,0,0), £e [xi+i,xj+2);
7^3^,^,^+1,^+2,^+3,1,0,0,0), ί e [xj+2,a:j+3);
0, t&[xj-i, xi+3].
(4.2)
Из представлений (4.1), (4.2) следует, что для вычисления
границ базисных функций uJj(t) достаточно вычислить границы
многочлена V${t).
4.2. Границы многочлена V$(t<a,b,с,d, А,Я, С,D)
В дальнейшем в качестве узлов интерполяции будем
рассматривать узлы а = χ — /ι, b — а\ с = χ -f /ι', d = χ + Я, где а\ /ι,
/ι7. Я — некоторые вещественные числа, Я, /г, /г' > 0, Я > h!.
Обозначим h" = Я - h' .
Лемма 15. Многочлен f(t) третьей степени, решающий
интерполяционную задачг)
f(x - h) = 1, /(χ) = 0, /(χ + /О = 0, f(x + Я) = 0, (4.3)
имеет вид
/(*) = 7(< - *)(* - (* + Λ'))(ί - (« + #)), 7 = -hih + h!)ih + Hy
(4.4)
201

Кроме того, верны оценки:
0</(ί)<1, ί€(χ-Λ,χ), (4.5)
f-<f(t)<0, te(x,x + h'), (4.6)
О </(*)</+. *€(х + Л',а: + Я). (4.7)
Здесь
/±-/fa>. 1±=т+"- + "з*^, (4.8)
D = (Л' + Я)2 - 3#Л'. (4.9)
Доказательство.Представление (4.4) очевидно. Ясно, что
критические точки ί = L и ί = t+ многочлена /(£) лежат в
интервалах (χ, χ + h) и (х + Л, х + Я), и он не имеет других
критических точек. Отсюда следует неравенство (4.5), а также
неравенства (4.6) и (4.7). Заметим, что формулы для точек £_ и £+
получаются решением уравнения /'(£) = 0. т. е. уравнения
3£2 - 2(3х + Л; + Я)* + [Зх2 + 2аг(Л' + Я) + Я//] = О,
откуда следуют формулы (4.8) и (4.9) (заметим также, что
дискриминант D = (hf -f Я)2 — ЗЯЛ' всегда положителен). Лемма
доказана.
Лемма 16. Для кубического многочлена f(t), решающего
интерполяционную задачу
f(x - h) = 0, f{x) = 1, /(* + ti) = 0, /(χ + Я) = О, (4.10)
справедливо представление
f{t) = y{t-x + h){t-x-h')){t-x-H), 7=^; (4.11)
если
1/h'- 1/Λ + 1/Я > 0, (4.12)
то верны оценки
0 </(«)</-, te(x-h, x), (4.13)
0 </(ί)<1, ί€(χ,χ + Λ'), (4.14)
202

а если
l/ti - 1/ft + l/H < О, (4.15)
mo
О < /(ί) < 1, t€(x-h,x), (4.16)
О </(*)</-, < е (χ, я + ft'), (4-17)
кроме того, всегда
/+</(<)< 0, *€(ж + Л', аг + Я), (4.18)
/±./(W, 1±,I+iU±i-A±^, (4.,9)
D = /г'2 + Я2 + /ι2 - ЯЛ' + hH + /ι/ι'. (4.20)
Равенства в (4.14) гх (4.16) достигаются лишь при t = £_, α β
(4.18) — лишь при t = £+.
Доказательство. Соотношение (4.11) очевидно.
Отыскивая критические точки (4.19) у функции /(f), приходим к
уравнению /'(£) = 0 вида
1(А' + Я-Л))
*2-2(х+^(Л' + Я-/*))*+
+
а;2 + |х(Л' + H-h) + \(Hti - hti - hH)
= 0.
Поскольку они заведомо экстремальные в промежутках (х—ft, x-f
Л') и (х + h,x + Я), то вопрос сводится лишь к тому, в какой из
промежутков (х — h, χ) или (χ, χ И- h') попадет точка £_. Условия
ее попадания в эти промежутки даются соотношениями (4.12) и
(4.15) соответственно. Лемма доказана. ■
Лемма 17. Многочлен f(t) третьей степени, решающий
интерполяционную задачу
f{x - ft) = 0, /(χ) = 0, f(x + Λ') = 1, f{x + Я) = 0, (4.21)
имеет вид
fit) = 7(ί - χ + h)it - х)Ц -χ-Η), 7 = -h,{h> + b){H_h,y
(4.22)
203

Для этого многочлена справедливо неравенство
/_</(*)< О, te{x-h,x); (4.23)
если
то
а если
3h'>H-h+ \/H2 + h2 + Я/г, (4.24)
О </(*)</+, t Ε (χ, ζ + Λ')ι (4.25)
0</(ί)<1, te(x + ft',x + #), (4.26)
mo
здесь
3/г' < Я - /г + у/Η2 + h2 + Я/г, (4.27)
0</(ί)<1, ie(x,x + h;)i (4·28)
О </(*)</+» te{x + ti,x + H)\ (4.29)
Ль = /(«*)> *±=*+Η~*3±ν^, (4.30)
D = (Я - /г)2 + 3/гЯ. (4.31)
Равенства в (4.25) г/ (4.29) достигаются лишь при t = t+, а в
(4.23) — лишь при t = t-.
Доказательство. Соотношение (4.22) очевидно. Формулы
(4.30). (4.31) для критических точек t — t- и t = t+ получаются
решением уравнения 3(f — χ)2 — 2(Я — /?)(f — χ) — /гЯ = 0. Эти
точки располагаются на интервалах (х — /г, х) и (χ, χ + Η)
соответственно. Для значения £+ возникает вопрос, какому из двух
промежутков (х,х + /г') или (х -f /г',.τ -f Я) оно принадлежит.
Если выполнено условие (4.24), то £+ принадлежит первому из
промежутков, а если справедливо соотношение (4.25), то t+
лежит во втором промежутке. Этим доказывается справедливость
неравенств в лемме. Лемма доказана. ■
Лемма 18. Кубический многочлен /(£), решающий
интерполяционную задачу
f(x - /г) = 0, Дх) = 0, f(x + ti) = 0, f(x + Я) = 1, (4.32)
имеет вид
/M = 7(t-*+W-*)(*-x-n ^^ + ^_,0. (4.33)
204

и для него справедливы неравенства
О </(<)</-. t€(x-h,x), (4.34)
/+ < /(<) < О, te(x,x + Л'), (4.35)
О </(ί)<1, te (χ + Λ',χ + Я), (4.36)
здесь
f±=f(t±), t± = x+h'~h*y/O, (4.37)
D = (h- ft')2 + 3ΛΛ'. (4.38)
Равенства в (4.34) w (4.35) достигаются лишь при t = £_ wt =
£+ соответственно.
Доказательство.Соотношение (4.33) очевидно; приступая
к отысканию критических точек (4.37) функции f(t) из уравнения
3(ί - χ)2 - 2(Л' - Λ)(ί - χ) - hh' = 0,
заметим, что эти точки находятся в интервалах (x — h, χ) и (χ, x-f
/ι), откуда вытекают оценки (4.34)-(4.36). Лемма доказана. ■
4.3. Оценки базисных сплайнов ujj(t)
Доказанные в разд. 4.2 леммы и представления базисных
кубических сплайнов в разд. 4.1 позволяют теперь легко найти
оценки для упомянутых сплайнов. Практическая важность этих
оценок требует отдельных формулировок для каждого типа
подобных
сплайнов.
Теорема 10. Носитель сплайна и)-м{Ь) совпадает с
отрезком [х-м, #-л/+з],· для него справедливо представление (4.1), (4.2),
и на этом отрезке верны оценки (4.5)-(4.7) лелгмы 15, если в ней
положить
f(t) = (J_Af (t), h = Χ-Λ/ + 1 - X-M, Η = Χ-Λί+2 - Ε-Λ/ + 1,
Η = Χ-Λ/+3 - X-NI+2, Χ = X-A/+1. (4.39)
Доказательство следует из леммы 15 и представления
(4.1), (4.2). -
205

Теорема 11. Носитель сплайна α;_λ/+ι(£) совпадает с
отрезком [х-м, Х-м+4]- справедливо представление (4.1), (4.2). и
для этого сплайна а) при t G (х-л/, х_л/+з) справедливы оценки
леммы 16. если в ней взять
/(f) = ω_Λ/+ΐ(*)> Л = Ζ-Μ+1 - Я-Л/j Л' = Х-М+2 - Х-Л/+Ь
Я = х_а/+з - х-л/+ь ^ = χ-λ/+ι; (4.40)
б) при f G (х-м+з? Х-Л/+4) справедлива оценка (4.7) лелшы
15, если β пей взять
/(f) = U>_A/+l(f), ft = Х-Л/+2 - Х-А/+Ь ^ = Х-Л/+3 ~ Х-Л/+2>
Я = Х-М+А - Х-Л/+2, X = Х-Л/+2· (4-41)
Доказательство следует из лемм 15, 16 и представления
(4.1), (4.2). -
Теорема 12. Носителем сплайна u;_a/+2(£) является
отрезок [х-м, х-м+ъ], для него справедливо представление (4.1), (4.2),
и, кроме того, а) при t G (х-аь х~а/+з) справедливы неравенства
леммы 17. если β ней положить
/(f) =ω_Λ/+2(0ι Л = Х-м+ι-Х-аь Л' = Х-Л/+2 -Х-м+ь
Я = х_л/+з - Х-Л/+1, х = χ-λ/+ι; (4.42)
б) при t G (х_л/|-3; Х-м+а) справедливо неравенство (4.18)
леммы 16, если β ней взять
/(f) = и;_л/+2(0' Л = я-л/+2-Ζ-Λ/+1» Л' = Х-Л/+3 - Х-Л/+2,
Я = Х-А/+4 - Х-А/+2, X = Х-Л/+2; (4.43)
в) при t G (х-л/+4> Χ-Λί+δ) верно неравенство (4.7) леммы 15,
если взять
/(f) = ω_Λί+2(£)ί Ί = Х-Л/+3 - Х-М+2, Л' = Х-Л/+4 ~ Х-М+3,
Я = Х-Л/+5 - Х-А/+31 х = £-л/+з- (4.44)
Доказательство следует из лемм 15-17 и представления
(4.1), (4.2). -
206

Теорема 13. Отрезок [х-ль х~л/+б] является носителем сплай-
?ши;_л/-ьз(£)> этот сплайн представляется формулами (4.1), (4.2),
и для него а) при t £ [х-м, Х-м+з) справедливы оценки леммы
18, если в пей положить
f(t) = (*>_л/+з(*)» ^ = х-Л/+1 - ^-ЛЬ ti = Х-Л/+2 - Х-А/ + 1»
Я = Х-Л/+3 - ж-Αί+ι, а? = х-л/+ъ (4.45)
б) при t £ (χ-λ/+3ϊ #-л/+4) справедливы оценки (4.26). (4.29)
леммы 17, еслг* β «ей взять
f(t) = и7_л/+з(*)» ^ = Х-Л/+2 - Х-А/+Ь ft' = Z-A/+3 - Χ-Αί+2>
Я = Х-Л/+4 - Х-М+2, Я = Ζ-Λ/+2; (4.46)
в) прг/ £ £ (х_л/+4, Х-А/+5) eepwo неравенство (4.18) леммы
16, еслгг взять
f(t) = и;_л/ч-з(0' Л = Я-Л/+3 ~ X-Ai+2j ft' = Я-Л/+4 - ^-А/+3,
Я = χ_Α/+δ - Х-А/+3, а* = я-л/+з; (4-47)
г) при t £ (х_л/+5? х~л/+б) верно неравенство (4.7) лмлмы 15.
если β последней положить
f(t) = u;_Af+3(t), Л = Я-Л/+4 ~ S_A/+3* ft' = Я-Л/+5 ~ S-Ai+4»
Я = Х-Л/+6 - Х- л/+4, х = 2-Л/+4- (4.48)
Доказательство вытекает из соотношений (4.1), (4.2) и из
лемм 15-18. ■
Теорема 14. Пересечение [x^-i, х/+з] Π W-> Щ представляет
собой носитель сплайна иЛ,-(£) при j = — А/ + 4, —Μ + 5, ...,Ν, для
пего справедливы соотношения (4.1), (4.2), u a) при t £ (xj-i, £/)
верно неравенство
0<u>j{t)<l; (4.49)
б) прг/1 £ (xj,Xj-|_i) справедливы оценки (4.26), (4.29) леммы
17, если в ней взять
f(t) = (jJj(t), h = Xj_i - Xj_2,
207

hf = Xj — Xj-ь Η — Xj+i — Xj-\, x ~ Xj—i] (4.50)
а именно, если
ЗЛ' > Η - h + v/^йчЖ, (4.51)
mo
0<^(£) < 1; (4.52)
α β противном случае верна оценка (4.29);
в) при t Ε (#j+i, #7+2) верно неравенство (4.18) леммы 16.
ec/it/ взять
f(t)=u>j(t). h = Xj -Xj-i,
/?, = iCj+i — Xj, if = Xj+2 ~~ xji χ = xj\ (4.53)
г) при t e (xj+2> Xj+з) справедлива оценка (4.7) леммы 15.
если β последней положить
f(t)=u>j{t), h = Xj+i-Xj,
ti = Xj+2 - Zj+i, Я = Xj+3 - Xj+i, x = Zj+i. (4.54)
Доказательство следует из соотношений (4.1). (4.2) и из
лемм 15-18. ■
4.4. Оценки базисных кубических сплайнов
на равномерной сетке
Теоремы 10-14 разд. 4.3 позволяют дать неулучшаемые
оценки на равномерной сетке в достаточно наглядной
форме. Приводимые ниже оценки являются непосредственным
следствием этих теорем и потому в доказательстве не
нуждаются.
Далее в этом разделе будем рассматривать равномерную сетку
вида Xj, Xj = jh, j = -Λ/. -Λ/ + 1,..., ΛΓ + 3.
Из теоремы 10 получаются следующие неулучшаемые
неравенства:
0 < ω-Αί(0 < 1, t e (or-A/,x-A/+i); (4.55)
-—т= <ω-Μ(ΐ) <0, t e 0τ-Λί+ι>ζ-Μ+2); (4.56)
208

О < u-M(t) < —д, t € (я_л/+2,я-Л'/+з)· (4.57)
С помощью теоремы 11 выведем следующие точные
неравенства:
О < w_Af+i(i) < — , ί е (ar_A/,x-w+i); (4.58)
О < ω_Λ/+ι(ί) < 1, ί € (χ-λ/+ι,χ-μ+2): (4.59)
^ζ < ω-Μ+ι(ί) < 0, t G (х_л/+2,Я-а/+з); (4.60)
0<ω-Α/+ι(ί) < —=, ί е(ж-л/+з,аг-л/+4). (4.61)
Благодаря теореме 12 имеем такие точные неравенства:
— < u;-M+2{t) < 0, t e (χ-Λ/,α-ΛΜ-ι); (4·62)
О < £J-A/ + l(0 < 1, ί 6 (Х-М + 1,Я?-А/+2); (4.63)
О < ο;_λ/+ι(0 < — , t e (ж_а/+2,ж_а/+з); (4.64)
—г=— < ω_Λ/+2(*) < 0, г е (х_м-ьз,^-л/+4); (4.65)
О < и;-А/+2(0 < Г"^, * Ξ (Т-М+4,Х-М+5)· (4.66)
Применяя теорему 13, получаем следующие неулучшаемые
неравенства:
О < и;_л/+з(£) < —у=, t e (χ·_λ/,Χ-α/+ι); (4.67)
-—т= < u>-M+s(t) < О, t € (χ_μ+ι,Χ-λ/+2); (4.68)
О < ω-M+sit) <1, te (х_м+2,Я-л/+з); (4.69)
1Λ ι "7 /у
О < cj-a/+3(0 < 27 ' * е (а?-л/+з,^-А/+4); (4.70)
-^ < ω_Λί+3(ί) < 0. ί € (ж-а/+4,^-а/+5): (4.71)
209

О < ω-Μ+?,{ϊ) < —д, t E (х_м+5,я-м+б)· (4.72)
Наконец, обращаясь к теореме 14, получаем следующие
точные неравенства:
О < u>j(t) < 1, t Ε (χ,-ι,χ,); (4.73)
1 Π -Ι- 7 /7
О < ω,·(*) < 27 ' ' е ^'^+ι); (4·74>
^ < ω,{ί) < 0, ί e (xj+i,xj+2); (4.75)
0<^(0<~^=, *е(я,-+2,^+з). (4.76)
Авторы надеются, что приведенные здесь оценки найдут су-
щестенные применения при практических вычислениях.
§ 5. Устойчивость вычислений.
Некоторые оценки констант устойчивости
5.1. Предварительные замечания
В процессе вычислений бывает важно знать, как влияют
погрешности данных на решение задачи. Со сплайнами связаны два
класса задач: интерполяционные задачи и задачи аппроксимации,
в первом возникает вопрос о том, как меняется норма сплайна при
изменении сеточной функции, а во втором — как меняется
норма сеточной функции при изменении сплайна. В обоих случаях
важную роль играют неравенства, связывающие нормы
сплайнов и нормы соответствующих сеточных функций. Константы в
этих неравенствх не зависят от параметров сетки. Здесь
рассмотрен вопрос о вычислении таких констант в случае минимальных
сплайнов второй степени.
Как и прежде, на промежутке (а, Ь) построим бесконечную в
обе стороны сетку {xj },
. . . < £_! < Х'о < Х\ < . . . , (5.1)
а = lim Xj, b = lim xj
210

и рассмотрим аппроксимацию
* + 1
u(t)= ]Г VjUj(t), te[xk,tk+i), (5.2)
j'=fc-l
где Vj = ν(.τ7·)% г; — сеточная функция, а минимальные базисные
сплайны LJj(t) имеют носитель [xj-i, X3+2] и определяются
соотношениями
Σ х)ш&) = Г, г = 0,1,2. (5.3)
j=A—1
Наша цель состоит в отыскании верхней и нижней границ
квадратичной формы
Г*к+1 fe+1
/ \u(t)\2dt= Σ WVjJ'*
где Vj.j\k определяются из равенства
ГХк + 1
Уы',к= Ljj(t)<jjj>{t)dt. (5.5)
Jxk
Каждое из соотношений (5.3) умножим на Ui(t) и
проинтегрируем по промежутку (xfc>^fc+i):
* + 1 pXk+l fXk+1
Σ / Uj{t)ui{t)dt = / α;ί(ί)ώ,
k+^ fXk+ι fXk+i
У^ Xj / ujj(t)u)i(t)dt = / tuji(t)dt,
j=k-l **Xk ^Xk
Λ+1 fXk+1 fxk+l
Σ tf / tjj(i)wiW*= / t2uJi{t)dt.
j=k-l J** ^Xk
Введя обозначения 6;^* = /^fc+1 t4Ui(t)dt, придем к системе
fc+1 fc+1 fc+1
(5.6)
211

5.2. Отыскание решения уравнения (5.6)
Для удобства далее используем обозначения: χ = Xk, h = Xk —
Xk-ι, h! = xk+i - Xk.
Вычислим вначале biqk при g = О,1,2; г = fc — 1 и j = fc -
1, к. к -f 1. При £ € (ж, х + Л') имеем
(t-X)(t-g-V)
ω*-ι(ί)-—млТТо—'
поэтому, интегрируя, найдем
1 ((х + h)3+" - x3+«
bk-l,q,k =
h(h + h')\ Z + q
_(2χ + ft' i L— +
I + q
. ,,Λχ + ft')1+9 - *1+Л
+x(x + Л') * ; .
1 + 9 /
Отсюда находим
Л'3 , _ Л'3(2х + Л')
bfc-l,2,fe =
6Л(Л + Л')' ' 12й(Л + Л')'
/ι'3(10χ2 + 10/ι'χ + 3/ι'2)
60А(Л + Л')
Поскольку определитель Δ* системы (5.6) при фиксированном
г = к — 1 отличен от нуля, Дь = /г/г'(/г + h') φ 0, то система имеет
единственное решение
ft'5 ft'3(5/i + 2ft')
Ifc-U-i,* - 30ft2(ft + ft/ja' tffc-Lfc.* - 60ft2(ft + ft/) '
ft'3(5ft + 3ft') ._ _.
»-и+1.* = -б0Л(Л + Л/)2· (5-7)
Найдем решение системы (5.6) при i — k. Имеем
(t-X + /l)(<-X-/Q
ω*(ί) = ш '
212

отсюда после интегрирования находим
1 ((х + h')3+i - х*+*
"•q'k~ hh'[ 3 + q
-(2х - h + ft')- ^ +
v ' 2 + q
< tw us(* + h')1+q - x1+q\
+(x - h)(x + ti)K- i-j- 1.
поэтому при q = 0,1,2 получаем
ft'(3ft + ft') ft'[ft'(2ft + ft') + 2x(3ft + ft')]
bk,o.k- ^ , b*.i,fc- Ϊ2Λ '
h'[l0x2(ti + 3ft) + I0h'x(h' + 2ft) + ti'\Zti + 5ft)]
bfc·2·* = eoft ·
Из (5.6) определяем
ft/3(5ft + 2ti) tijlOh2 + 5ftft' + ti2)
Vk.k-i,k- 6οΛ2(Λ + Λ»)· »*.*,*- 30Λ2
_ ft'(10ft2 + lOftft' + 3ft'2)
Vk'k+l'k ~ 60ft(A + ft') ' (
Теперь найдем решение системы (5.6) при г = к + 1 и j
к - 1, A;, fc 4-1. Имеем
(<-x + ft)(t-x)
Ww(t) = ft'(ft + ft') ·
После интегрирования находим
1 ((х + h')** - х3**
Ьк+1.д,к =
(ft + Л')Л' \ 3 + ςτ
_(2x-ft) — +
, ,.(χ + /ι')ι+,-χ1+Λ
+**-*)- TTq )'
213

поэтому
, Л'(ЗА + 2Л')
0к+1,0.к =
6(А + Л') '
k2[(h + h'){Ax + ЗА') + 4(2х + h')}
12(Л + /ι')
Л'[10х2(2Л' + ЗА) + 10Α'ϊ(3Α' + 4А) + ЗЛ'2(4Л' + Щ
Ьк+1Л,к —
bk+M= 60(h + h>)
Решая систему (5.6). определяем
h'3(5h + ЗА') _ h'{l0h2 + l0hh' + 3h'2)
Ук+ΐΛ-υ,- 60h(h + h,)2> Vk+i,k,k- 60h(h + h')
h'(10h2 + 15AA' + 6A'2) ,E Л.
lfc+i,*+U = зо(Л + А')2 · (5·9)
Таким образом, установлено следующее утверждение.
Теорема 15. Матраца Yk = (yjj',k)jj'=k-i,k.k+i
квадратичной формы (5.4) вычисляется по формулам (5.7)-(5.9). где χ =
Xk, h = xk - Xk-i- h' = Xk+\ - Xk·
5.3. Вычисление коэффициентов
характеристического уравнения
Пусть для краткости α = ft'/ft. Введем обозначения
а = 2а4, 6 = α2(5 + 2а)(1 + а), d = 2(1 + а)2(10 + 5а + а2),
с = а2(5 + 3а), е = (1+ а)(10 + 10а + За2), / = 2(10 + 15а + 6а2).
Нетрудно видеть, что матрица
Yk = 60(1+α)* Ζ°'
где
α —6 -cv
Zo = ( -Ь d e
-се/
214

Выпишем характеристические уравнения:
\Yk - АЕ\ = О, (5.10)
\Ζ-μΕ\ = 0, (5.11)
или в развернутом виде
Л3+ р2Л2 + ριΛ+ρο = 0,
μ3 -f α2μ2 -f αιμ -f αο = 0.
Очевидно
Теперь ясно, что dj = Pjb3~j, b = 60(1 -f a)2 jh!. Так как
характеристическое уравнение имеет вид
μ3 - (α + d + /)μ2 + (ad + af + df -c2 -b2 - β2)μ+
+(c2d + fb2 + ac2 - ad/ - 2bce) = 0,
то понятно, что
a2 = -(4a4 + 14a3 + 54a2 + 80a + 40),
fll = 45a6 + 210a5 + 705a4 + 1560a3 + 1960a2 + 1200a + 300,
a0 = -(100a8 + 400a7 + 600a6 + 400a5 + 100a4).
Итак, справедлива следующая лемма.
Лемма 19. Характеристическое уравнение имеет вид
μ3 - 2(2α4 + 7α3 + 27α2 + 40α + 20)μ2+
+5(9α6 + 42α5 + 141α4 + 312α3 + 384α2 + 240α + 60)μ-
-100α4(1 + α)4 = 0. (5.12)
5.4. Оценки корней характеристического уравнения
Для оценки корней воспользуемся способом Маклорена. Этот
способ для уравнения с вещественными коэффициентами
хп + hx71-1 + ... + Ъп = 0
215

приводит к оценке вещественных корней Xj, χj < 1 -f \iB, где I —
индекс первого отрицательного коэффициента, а В — максимум
абсолютных значений отрицательных коэффициентов.
Для уравнения (5.12) / = 1, и потому
μά <1 + Β(α), (5.13)
где
Β[μ) = max{S(a), Д(а)}, (5.14)
S{a) = 2(2α4 + 7q3 -f 27α2 + 40α + 20), Д(а) = 100α4(1 + а)4.
Рассмотрим многочлен
f(a) = R(a)-S(a), (5.15)
и покажем, что он имеет один корень на положительной полуоси
Rt.
Действительно, из сравнения R(a) и 5(a) следует, что при
a4(l+a)4 < 0,4 многочлен (5.15) корней не имеет. Эквивалентное
неравенство а(1 + а) < v^O, 4, а > 0, выполняется для
-1 + ^/1 + 4^4
а < а0, а0 = ;
поэтому на (0, Qo) у многочлена (5.15) корней нет.
Рассмотрим представление /'(а) с помощью формулы
Тейлора при a = 0,44 и a > a:
f (а) « /'(3F) + :ф> (а - а) + ... + ^М(а - а)6.
Вычисляя, находим
/'(а) «52,3, /"(а) « 1743,1,
/'"(а) « 15391,9, /(4)(а) w 100160,2.
Заметим, что /^5^(a), /^6^(a). /^(а) положительны при а > 0,
так как у них лишь положительные коэффициенты.
Следовательно, /'(а) > 0 при а >а.
Итак, на промежутке [а, -foe) функция /(а) монотонно
возрастает и стремится к Н-оо при a —► -foo. С учетом того, что
216

ao « 0,522, /(α) « -70,9, находим, что /(α) < 0 при а < а0.
Таким образом, доказано утверждение.
Лемма 20. Многочлен /(а) имеет лишь один
положительный корень.
Следствие 14. Пусть ао — положительный корень
многочлена
/(а). Тогда
В(а) = № °<°<*ь (5Лб)
[ Д(а), а > α0. v '
Замечание. Приближенное значение ао с точностью до трех
знаков равно 0,522.
Соотношения (5.13), (5.14) дают оценку корнер! многочлена
(5.12) сверху. Для оценки снизу положим ν — Ι/μ. Далее из (5.12)
получаем уравнение
-1 + 2(2а4 + 7а3 + 27а2 + 40а + 20)*/-
-5(9а6 + 42с*5 + 141а4 + 312а3 + 384а2 + 240а + 60)ζ/2+
+100а4(1 + a)V = 0. (5.17)
Для его корней v3 методом Маклорена найдем оценку сверху
С(а)
Uj ~ 100a4(l+a)4 + '
где
С(а) = 5(9αβ + 42α5 + 141α4 + 312α3 + 384α2 + 240α + 60).
Теперь получим: μ{ > 100α4(1 + a)4[C'(a) + 100α4 (1 -fa)4]"1.
Таким образом, доказана теорема:
Теорема 16. Для корней Л* характеристического уравнения
(5.10) справедливы оценки
5a4(l+a)2 1 + В {а) и,
3[С(а) + 100а4(1 + а)4]П S Аг^ 60(1 + а)* ' [ >
где С {а) = 5(9аб + 42а5 + 141а4 + 312а3 + 384а2 + 240а + 60),
а = h'/hy В {а) = тах{5(а), Д(а)},
217

S(a) = 2(2α4 4- 7α3 4- 27α2 4- 40α + 20), R(a) = 100α4(1 4- α)4.
Следствие 15. Если h' — h, то оценка (1.18) принимает вид
h A 1601
<Л£<
1131 - - 940
При h = 1 имеем Λι « 0,0074, Л2 и 0,14. Л3 « 0,638.
Следствие 16. При а —* 0 правая часть формулы (1.18) имеет
асимптотику
100α4(ΐ4-α)2 α4
100а4(1+а)4 + С(а) 3
а асимптотика характеристических значений матрицы Υ при
а —* 0 такова:
Λι(α) = Ί80+-' ^-e+fc3+···'
Лз(а) = —+ Λ'α + ...
5.5. Асимптотика корней при α —» 4-со
Пусть α = /З-1. ,/3 —* 4-0. В этом случае получаем
/?V - 2/34(20/34 4- 40/?3 + 27/32 + 7/3 4· 2)μ24-
4-5/32(60/36 + 240/35 4- 384/?4 + 312/33 + 141/32 4- 42/3 + 9)μ-
-100(14-/?)4 = 0. (5.19)
Полагая μ = х/?~8/3, находим
х3 - 2/Г4/3х2(20/?4 + 40/33 4- 27/?2 4-7/3 4- 2)4-
4-5/3~2/3х(60/36 4- 240/35 4- 384/34 4- 312/33 4-141/?2 4- 42/3 4- 9)-
-100(1 4- /?)4 = 0. (5.20)
Нетрудно убедится, что главные члены в асимптотиках корней
х,(/3), г — 1,2,3, этого уравнения таковы:
Χι(β) =с/32/34-/32/3о1(1), х2(/3) =δ/32/34-^3ο2(1),
218

χ3(β)=Έβ-4/3 + β-4/3ο3(ΐ),
где Ог(1) — бесконечно малые величины при β —> 0.
По теореме Виета для Χί(β) имеем
с/?2/3 + g/32/3 +g/Г 4'3 + ... = 4/Г4/3 + · · ·,
с Έβ4^ + с £/Г 2/3 + Ъ !/3"2/3 + ... = 4/Г 2'3 + ...,
сЪЪ+... = 100 + ...
Отсюда найдем: с = |(9 + \/Ϊ7), g = §(9 - >/Ϊ7), Ъ = 4.
Возвращаясь к исходным переменным α π /i. приходим к
следующей теореме.
Теорема 17. При а —> 4-оо асимптотика корней μι (α)
уравнения (5.19) имеет вид
μι (α) = g(9 + v^7)a2+a20!(l), μ2(α) = ^(9- VU)a2 + а2о2(1),
μ3(α) = 4а4 -f a4oi(l),
где 0ϊ(1) — бесконечно малые величины при а —> -foo, г = 1,2,3.
Замечание. При a —* -foe имеем асимптотики
Al(a) = 6(9+^7)^^50^+^(1),
§ 6. Константы в оценках сплайновой
аппроксимации на двоичной сетке
6.1. Предварительные замечания
Исходные алгоритмы вычисления, описываемые на языках
программирования высокого уровня, обычно не связаны по
форме с разрядной сеткой ЭВМ и в принципе могут реализовываться
на ЭВМ с различной разрядной сеткой. После трансляции все
219

функции, первоначально заданные на интервалах вещественной
оси, оказываются заданными лишь на числах, представляемых
разрядной сеткой ЭВМ. Результатом их работы является
сеточная функция, значения которой в силу конечности разрядной
сетки, обычно отличаются от значений, указанных алгоритмом.
Возникает вопрос, в какой мере эта сеточная функция адекватна
исходной функции, указанной алгоритмом.
Один из путей восстановления функции на интервалах
вещественной оси — интерполяция минимальными сплайнами. При
этом возникает погрешность восстановления, связанная с
густотой сетки, неточным заданием исходной функции в узлах и
гладкостью этой функции.
Цель данного параграфа — определение диапазона
возможных уклонений функции от ее интерполяции минимальными
сплайнами на двоичной сетке.
Простейшей двоичной сеткой будем называть сетку
X = {xj \xj = 2j, j = 0,±l,...}.
Очевидно, эта сетка принадлежит классу локально
квазиравномерных сеток на R+ = (О, -Ьсо) при Ко = 2.
Пусть l,s.m — натуральные числа, связанные соотношенем
/ -f s = т + 1.
Каждому узлу Xj сетки X поставим в соответствие
элементарный минимальный базисный сплайн ujj(t) степени га с носителем
suppu^*) =--[^_5,^+/].
Для непрерывной на интервале (0, Н-со) функции u(t) по ее
значениям в узлах Xj построим аппроксимации
fc+s fc+s
uu{t)= ]ζ tij-o;j(f), vu{t)= Σ VjUj{t),
где Vj — приближенные значения для Uj = u(xj).
Наша задача состоит в оценке разностей uis(t) - u(£), vis(t) -
uis(t) при любом t 6 R\.
220

6.2. Константы аппроксимации
на простейшей двоичной сетке
Для функции и е С(1)(0,+оо) при т = 3 и t € (.τ*,2*+ι)
согласно § 1 этой главы справедлива неулучшаемая оценка
м(4)
|«1,(0-"(01<-^-Мь.и01,
где
fc+»
ω*,/..(ί)= Π (*-^·)' Mi4) = , max >(4)(<)|.
Возьмем многочлен Ω(ί) = t(t — a)(t — a — 3)(t — α - /3 — 7).
Обозначим через £,(α,/3,7), г = 1,2.3, его экстремальное значение
на промежутках (0, α), (α,α+β), (α+β,α + β+Ί) соответственно,
где α, β, 7 > 0. При К0 = 2, t € (xfc,Xfc+i) получим
л/(4>
|«1з(«) - «(*)i < ^^(l^.^Kx/fe+x - o:fe)4,
Λ/(4)
|«22(ί) - «(ί)| < -^-1^(2,1,2)|(.τ,+1 - χ,)4.
Λ/(4)
|ΰ31(ί) -«(i)| < -^-|£3(4,2,l)|(st+1 -xk)4.
В рассматриваемом случае β — 2а, -у = 4а, поэтому
М(4)
|Ϊ22(ί) - «(t)l < -=^-|f2(l,2,4)|(xfc+1 -xfc)4,
/DO
M(4)
|"3i(0 - ti(i)l < ^^(1,2,4)1^+1 - ^)4·
Из результатов § 1 данной главы следуют оценки
65 25
-21 < ^(1,2,4) < --, — < £а(2,1,2) < 9,
65
-21 < £,(4,2,1) <--.
221

Используя свойство однородности
£(та,т/3,т7)=т4£(а,/3,7), * = 1,2,3,
найдем
А(1,2,4)>51(4,4,4) = 256 51(1,1,1),
£2(2,1,2) < 16 £з(1,1,1), й»(4,2,1) > 256 53(1,1,1)·
Теперь нетрудно получить:
5х(1,1,1) = £3(1,1,1) = -1, &(!, 1,1) = ^·
Таким образом:
-256<£i(l,2,4)<0, 0<£2(2,1,2)<9, -256 < £3(4,2,1) < 0.
Приближенные вычисления дают:
£ι(1,2,4) = f3(4,2,1) « -19,705, £2(2,1,2) « l,563.
На рассматриваемой простейшей двоичной сетке выполняется
соотношение Xk+ι ~ #& = 2*\ поэтому справедливо утверждение:
Теорема 18. Если и е С(4)(Д+). то прг/ ί G [2fc,2fc+1]
справедливы соотношения
|и!з(0 - u(*)l < 0,83 Α/ί4) · 24*, |522(ί) - м(*)| < 0,066Λ/^4) ■ 24*,
|«3ΐ(ί)-Μ(*)Ι<0,83Α^4)·24*,
где
М<4)= max |«<4>(ί)|.
Ffc-«+i«affc_I+4j
Пусть </?(&) — неотрицательная функция целочисленного
аргумента А; = 0, ±1,...
Введем норму на множестве функций w, непрерывных на
промежутке (0, +оо):
IHIc(xfV)=sup( max \w{t)\(p{k)).
к t€[xk,Xk+i]
Теорема 19. Если и е C^{R\)} то при t е [2fc,2fe+1]
справедливо соотношение
\\uls{t) - u(t)\\C(x^) < С/5||г1(4)||С(Д^,
222

где (Ls) = (1,3), (2,2), (3,1); φ{Κ) = 2"4fc; C1|3 = C3 ι = 0,83;
C2,2 = 0,066.
Замечание. Если среди непрерывных на промежутке
(0, + оо) функций w ввести норму
IHIc(x,i/,,*,.s) =sup( max Н*)№(*0),
k te[xk-.i+1,xk+s]
где ψ (к) — неотрицательная функция целочисленного
аргумента к = 0,±1,.., то \\ula(t) - η(ί)\\0{Χ.φ) < Cla\\uW\\C{XM, где
ψ{Κ) = 2~rfe; t/>(£) = 2^4"r)fc; r — некоторое фиксированное число;
значения Cis и (l,s) указаны в теореме.
6.3. О влиянии неточного задания
аппроксимируемой функции в узлах
Оценим разность vis(t) - uis(t). Из представлений
ща{г)= ς 4ωΛ*)> vut) = Σ υ*ω№
при ί Ε (xjfc,tffc+i) найдем
|«ίβ(ί) - vie(i)l < ._ max |2(xj) - u(a?j)|x
fc+s
x Σ „гшах ,μοι· (6.1)
,=*-/ + ! t€[*fc'*fc+l1
Ограничимся случаем / = 3, 5 = 1, тогда supp Uj = [xj^uxj+3].
Поскольку t £ (xk,Xk+i)> то в правой части (6.1) фигурируют
четыре слагаемых |ωΛ_2(*)|, |ω*-ι(*)Ι> |ω*(ί)|, |ω*+ι(01· Нетрудно
видеть, что
CcJfc_2lt) ==
(ЯЛ-2 - Xfc_i)(Xfc-2 - XA:)(^fc-2 ~ Sfc+l)
U _ (Л = (t - Xk-2)(t - Xk){t ~ Xk+l)
(xfc-i -Xfc-2)(a:fc-i - Xk)(xk-i ~a:fc+i)?
/^ = (* - Xk-2){t - Sfc-i)(* - Sfc+i)
(χ*: - x/c_2)(xfc - Xk-\)(xk ~ Efc+i)'
223

, ,,χ {t - Xk-2)(t - Xk-l){t - Xk) ,β9χ
Wfc+i(r) = 7 r; r; r. (6.2)
Используем обозначения χ = Хк-\, h = χ — хи-2, ft' — Xk ~x, Я =
Xk+\ —х- Многочлен P(t), определяемый правой частью равенства
(6.2), решает интерполяционную задачу Р(х - ft) = 1, Ρ (χ) = 0,
Ρ {χ + ft') = 0, P(x -f Я) = 0, поэтому для t е (χ + h\x + Я)
согласно лемме 15 из § 4 данной главы имеем
О < ω*_2(ί) < /(1),
где
/ю^-аЛ 41)=x+fe, + J?3+v/ur, (6.3)
Di = (h' + Η)2 - ZHW. (6.4)
Аналогично по лемме 16 того же параграфа получаем
/(2)<"fc-i(*)<0,
где
/"> = u,k-X{t«\ if = χ + ^ + ^^+^ (6.5)
£>2 = ft'2 + Я2 + ft2 - Hti + ЛЯ + ftft'. (6.6)
Далее из леммы 17 §4 этой главы выводим:
1) если
3ft' > Я - ft + χ/Я2 + ft2 + ЛЯ, (6.7)
то верно неравенство 0 < cj)k(i) < 1:
2) если (6.7) не выполнено, то
О <**(*)</(3\ (6.8)
где
/W=u,fc(ti8)), tf=X+H-h^\ (6.9)
D3 = {H -h)2 + 3Hh. (6.10)
Наконец, из леммы 18 § 4 следует: 0 < Шк+ι (t) < 1; и окончательно
получаем
|и*_2(*)| + Ν-ι(ί)Ι + kfc(«)l + |wfc+i(<)l < С
224

где
С = ^_2(41}) + μ*-ι(42))| + max{l,a;fc(43))} + 1, (6.11)
причем числа t\_\ t+\ t+ даются формулами (6.3), (6.5) и (6.9).
Теперь видно, что справедлива следующая теорема.
Теорема 20. При t Ε (£а:,ж&+1) верно неравенство
|w.3i(i) — ν3ι(ί)| < С . max \v{xj)-u(xj)1
j = k—2 fc+1
где константа С определяется по формуле (6.11).
На простейшей двоичной сетке имеем
h = 2k~2, h'= 2k~\ x = 2k'1, x = 3-2k~\
где k определяется из условия 2k < t < 2fc+1, так что k — [lnij.
Здесь и далее \х\ означает ближайшее к числу χ целое число,
меньшее х.
По формуле (6.4) вычисляем D\ = 7 · 22^fc_1\ по формуле
(6.3) найдем ^υ = 2fc~1(7 + \/7)/3, и потому ик-2{№) = 16(10 +
7>/7)/567
« 0,8048045.
Далее имеем D2 = 37·22Α:"4, ^2) = 2/с~2(13 + л/37)/3, и поэтому
ωΑ._1(ί(+2)) = -(55 -h 37ν/37)/162 « -1,728779. Условие (6.7) не
выполнено, откуда выводим Д3 = 43 · 22(Аг_2). £+ = 2*~~2(11 +
\/43)/3, uk{t^]) = (260 + 43\/43)/162» 3,345492.
Теперь из (6.11) получаем
= 101 -5»+ 2' ·7ν/7γ(37ν3-7 + 43ν/43) ^
2·З4 · 7
Таким образом, доказано утверждение:
Теорема 21. Яра £ Ε (χ^,χατ+ι) wa простейшей двоичной
сетке справедливо неравенство
|23i(0-V3i(0l<C\ max \v{xj) - и{ха)\,
j=k—2 fc-f 1
где константа С определяется формулой (6.12).
225

6.4. Двоичная сетка общего вида
Под двоичной сеткой общего вида будем подразумевать
бесконечную сетку на положительной полуоси, которая образована
совокупностью чисел, имеющих двоичную мантиссу
фиксированной длины и произвольный порядок.
Пусть к — натуральное число. Для каждого целого числа
введем множество двоичных чисел
Хп = {0,l£2...flk * 2Л | Si е {О,1}}. (6.13)
Здесь и далее горизонтальная черта означает двоичное
представление чисел.
Определение!.. Множество изолированных точек
вещественной оси, упорядоченных по возрастанию, называется одномерной
сеткой, а элементы этого множества — узлами сетки.
Промежутки между соседними узлами называются элементарными
интервалами сетки.
Определение 2. Одномерная сетка называется
равномерной, если расстояния между соседними ее узлами одинаковы.
Расстояние между двумя соседними узлами равномерной сетки
называется шагом сетки.
Лемма 21. Множество Хп представляет собой конечную
сетку на вещественной оси. Сетка Хп обладает следующими
свойствами:
1) числа из Хп имеют фиксированный двоичный порядок и
мантиссу фиксированной длины к;
2) мантисса чисел из Xn начинается с цифры 1;
3) количество элелгентов в Хп от η не зависит и равно 2к~{;
4) сетка Хп равномерна и имеет шаг
Λη = 2η~*; (6.14)
5) наименьший элемент τηχη и наибольший элемент Μχη
сетки Хп таковы:
mXri =2п~\ (6.15)
МХп =2П(1-2"А:). (6.16)
Доказательство. Тот факт, что Хп — сетка, вытекает из
определения и из формулы (6.13). Из этой же формулы следует
226

справедливость пи. 1 и 2. Число параметров Ег в представлении
(6.13) равно к — 1, и каждый из них принимает лишь два
значения. Отсюда — справедливость п. 3. Утверждение п. 5 следует из
формулы (6.13), поскольку очевидны двоичные представления
тХп =0,100...0·2η, МХп =0,11... 1 · 2П,
к к
которые эквивалентны формулам (6.15)·и (6.16). Четвертый пункт
следует из того факта, что последовательным добавлением к τηχη
числа hn = 0,000.. .01 ·2η получаем последовательно все элемен-
к
ты множества Хп. Таким образом, Хп — равномерная сетка с
шагом hn.
Замечание 1. Шаг hn можно определить делением длины
интервала {τηχη, Λ/χη) на число элементарных интервалов сетки:
, Μχη ~ тХл
hn= 2fc~1 - 1 ' ( }
Формулы (6.14) и (6.17) дают одинаковый результат.
Действительно, достаточно установить справедливость равенства
2п(1-2-*)-2"-1 _ ,
2*-1 - 1 "
последнее эквивалентно очевидному равенству
суп суп— 1 с\п—к c\n—kf(\k—\. -|\
Замечание 2. При А: = 3 двоичные представления сеток
имеют вид
Хо = {0,100, 0,101, 0, ПО, 0,111},
Χι = {0,100, 0,101. 0, ПО, 0,111} · 2,
Χ_ι = {0,100, 0,101, 0, ПО, 0,111} · 2"1
Здесь и далее произведением числового множества Μ на число а
называется множество чисел, полученных умножением чисел из
Μ на данное число а.
Записывая представления сеток Хо, Х\, Χ-ι обыкновенными
дробями
*0=\2'8'4'8}' ^^рЗ'гй}' Χ-1 = \4·^'8'Ϊ6Γ
227

видим, что они не имеют общих элементов.
Лемма 22. Справедливы следующие утверждения:
1) сетка Хп может быть представлена в виде Хп = Хо · 2П;
2) при различных пит сетки Хп и Хт не имеют общих
элементов.
Доказательство. Первое утверждение следует из (6.13).
Доказательство второго утверждения проведем от противного и
предположим, что при некоторых различных η и т ХпГ\Хт Φ 0.
Пусть χ Ε Хп Π Хт, тогда χ Ε Хп * н потому для некоторых
величин Si, принимающих значения 0 или 1, имеем
х = (2-1 + ε2 · 2-2 +... + sk · 2-*) · т.
С другой стороны, .т Ε Хт. т. е. для некоторых £;, принимающих
значения 0 или 1, имеем
х = (2"1 + S2 · 2~2 + ... + Sk · 2~к). 2т.
Поэтому
2"1 + S2 · 2"2 4-... + Sk · 2~* = 2m"n(2-1 + ё2 · 2"2 + ... + Sk · 2~к).
Не нарушая общности, можно считать, что т > п. Тогда правая
часть равенства больше единицы, а левая часть заведомо меньше
единицы. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Согласно лемме все узлы сетки Хп будут перенумерованы в
порядке возрастания, если положить
хП:8 = 2п~] + shn, e = 0,l,...,2fc-1-l. (6.18)
Рассмотрим бесконечное множество Х{к) = U^^L^Xn,
которое состоит из изолированных точек, поэтому это множество
является сеткой.
Лемма 23. Любое положительное число с к-разрядной
мантиссой содержится в множестве Х(к).
Доказательство. Пусть χ — некоторое положительное
двоичное число с fc-разрядной мантиссой, тогда оно имеет вид
χ = 0,£ι...£*·2"\
где Si Ε {0,1}, г = 1,2,..., к, а т — некоторое целое число. Если
S\ = 1, то χ Ε Хт, и потому χ Ε Х(к). Рассмотрим случай,
228

когда Е\ — 0. По условию, .г ψ 0, так что найдется целое число
Р-, 2 < ρ < к. такое, что £р = 1. а £* = 0 для г = 1,2,... ,р — 1.
Тогда число χ можно записать в виде χ = 0,1£о · · · £k * 2W~~P+1, где
£i = £*+р_ ι при г = 2,..., fc - ρ + 1: £ = 0 при i = fc - ρ + 2,..., fc.
Отсюда видно, что χ £ Xw_p+i, и потому ж G X(fc).
Лемма 24. Для любого целого числа η верно соотношение
Х(к)П[2п-\2п) = Хп.
Доказательство. Из формулы (6.18) следует, что все
узлы xn%s сетки Хп удовлетворяют неравенству 2n_1 < хПт3 < 2П, и
пи один узел сетки Хт при т φ η этому неравенству не
удовлетворяет. Поэтому только узлы сетки Хп попадают в промежуток
[9П—1 9ТЧ
Каждому положительному числу t поставим в соответствие
узел сетки Х(к) по такому правилу: сначала найдем промежуток
[2гг~1,2П), в котором содержится £, а затем найдем узел хп>5 сетки
Хп, который является ближайшим, но меньше £, т. е. ближайшим
к t снизу. Полученное отображение обозначим через Ξ.
Таким образом, по t £ R\_ найдем η так, чтобы 2n~~1 < t < 2п\
иначе говоря, положим
п= |k>g2i|+l. ί6·1^)
Далее найдем s так. чтобы
2n~l + shn < t < 2n~l + (s + l)hn, s = 0,1,..., 2h~l - 1.
Отсюда
t _ 9n_1
«=L-2^r-J· (6-20)
Следовательно, отображение Ξ : R\ —» X(fc) задается формулой
xn.s = Ξ(ί), £ £ Д+, где xn,s определяется соотношением (6.18),
а числа η и s — соотношениями (6.19), (6.20).
Лемма 25. Отображение Ξ : R]_ —► X(fc) представляет
собой монотонно неубывающую функцию.
Справедливость этого утверждения следует из способа
нумерации узлов Хп, леммы 23 и монотонного возрастания функций
(6.19), (6.20).
229

6.5. Шаг двоичной сетки и его свойства
Пусть χ и х! — последовательные узлы двоичной сетки X =
Х(к). Рассмотрим функцию η(χ) = χ' — χ. которую будем
называть шагом сетки X.
Лемма 26. Шаг двоичной сетки Х(к) — монотонно
неубывающая функция.
Доказательство.В силу леммы 22 на каждом промежутке
[2П-1,2П) функция η(χ) постоянна,
!/(*) = Л„, хеХ(к)П[2п-1,2п), (6.21)
а ввиду соотношений
К = Т~к, hn<hn+l (6.22)
при возрастании χ от 2η_1 до 2П значение функции η(χ)
возрастает в два раза.
Определение. Если χ", χ — два последовательных узла
сетки Х(к), х" < х, и значение сеточной функции в узле х" меньше
значения сеточной функции в узле х, то χ называется точкой
роста сеточной функции. Если же в узлах χ", χ значения сеточной
функции одинаковы, то χ называется точкой постоянства.
Лемма 27. Точками роста шага η(χ) двоичной сетки Х(к)
являются лишь точки вида 2п, где η — любое целое число.
Остальные точки сетки Х(к) являются точками постоянства
функции η(χ)·
Действительно, благодаря формуле (6.21) точки из множества
Х(к) Π [2П_1,2Л) являются точками постоянства, а из (6.22)
следует, что точки вида 2Л, где η — любое целое число, являются
точками роста.
Следствие 17. Каждый узел простейшей двоичной сетки Х(1)
является точкой роста ее шага. В случае двоичной сетки Х(к),
к > 1, между любыми последовательными точками роста шага
находятся ровно к — 1 точек постоянства шага.
В дальнейшем сетку Х(к) будем считать перенумерованной
целыми числами так, чтобы соседние узлы имели
последовательные номера; узлы ее будем обозначать х^. Считаем хо — 1, что
однозначно определяет нумерацию.
230

Тем самым мы однозначно определили биекцию ае. В
соответствии с формулой (6.28) ае: (n,s) —> к, где η и к — любые
целые числа, as = 0,1,... ,2к~} — 1. В частности, ае: (0,5) = s,
5 = 0,l,...,2fc"1-l.
6.G. Оценки погрешности
При I = 3, s = 1 для функции и е С(4)(0,+оо) при т = 3 и
t e (xk,Xk+i) имеем
U3i(t)-u(t) = —^ρ^,ιίΟ,
где ξ € [^-2ϊ^+ι]? ^fc3i(0 = (t-Xk-2)(t-Xk-\)(t-Xk){t-Хк+ι)-
Вопрос об экстремальных значениях многочлена с^зг(0
сводится к вопросу об экстремальных значениях многочлена
Ω(ί) = t(t - a){t -α- β)(ί - α - /3 - 7),
если положить
а = Xk-ι ~ Xk-2, P = Xk -Xfc-ь -y = Xk+\-Xk. (6.23)
Поскольку t £ (#;., £*._}_!) — третий промежуток между
корнями, то экстремальным значением многочлена u^\{t) является
величина £з(а,/?,7)· Ввиду принятых обозначений имеем точную
оценку
£з(а,/?,7)<"ш(*)<0, te(xk,xk+i). (6.24)
У простейшей двоичной сетки Х(1) все узлы являются точками
роста шага сетки, так как для любых к = 0, ±1,... в (6.23)
выполнены соотношения
а=Л, /3=1. (6.25)
Благодаря этому оценка (6.24) принимает вид
α4£3(1,2,4)<ο;*3ΐ(ί) < 0, ί G (s/t,a*+i).
На сетках X(fc) при fc < 2 не может быть трех последовательных
узлов, являющихся точками роста шага сетки, и потому случай
(6.25) исключается, но могут встретиться такие ситуации:
231

а) Xk и Хк-\ — точки постоянства шага, так что α — β = η и
α4£3(1,1,1) < w*3i(f) < 0, t G (xfc,xfc+i);
б) Xfc — точка постоянства шага, a x^-i — точка роста шага,
так что 2а = β = η и
α4£3(1,2,2) < u;fc3i(i) < 0, ί G (xfc>xfc+i);
в) Xfc — точка роста шага, а Хк-\ — точка постоянства шага,
так что α = /?, 2а = 7 и а4£3(1,1,2) < α;*3ΐ(ί) < 0. t G (χ*,χ*+ι)·
Используя результаты §2, получаем £з(а*/3,7) = /?4^з (#>£/)>
где χ = а//3, 7//?· В интересующих нас случаях имеем £з(1> 1» 1) =
Рз(1,1), ^з(1,2,2) = 16Рз(^,1), fs(l,2,2) = 7>з(1,2). Поскольку
7^з(1 Л) = —1, то £з(#><*, а) = — q4. Нетрудно видеть, что
Гз U'V = Vi8C°S ("3 "159 V59) - 6 J + β"
Приближенные вычисления дают
Т3(1/2,1) » 2,12687, Р3(1,2) » -0,809340.
Итак, £3(α,2α,2α) = -12,9494α4.
Аналогично находим
Рз(1,2) = - jj(r,(l,2))' - ТГ3(1,2) - - = -48,4934,
Г,(1.2) - ί \/|с« (iarcsi„(|/f) - ϊ) + 1 - 3,32034,
откуда £3(α, α, 2α) = -48,4934а4.
Таким образом, доказана теорема:
Теорема 22. Пусть Х(к) — бесконечная двоичная сетка с
к-разрядной мантиссой, к > 2. Тогда для и G С^4)(0,+оо) при
t G (xkiXk+i) справедливо:
232

а) если Xk,Xk+i — точки постоянства шага, то
Л/(4)
|53ι(ί)-«(0Ι<-^(**-**-ι)4;
б) если Xk-i — тонка роста, a Xk — точка постоянства шага,
то
Л/.(4) /1 \
|S3i(t) - u(t)\ < -±-(хк - xu-tfVs (-, lj ;
в) если Xk-ι — точка постоянства шага, а Хк — точка роста,
то
А/.(4)
\u3i(t) - ι/(ί)| < -^-(** " x*-i)4P3(l,2),
где Л44) = maxf€[xA:_2.Xfc+1] |^^4>(ί)|.
Замечание. Для £ <Е (£*.·,#*■+1) имеем
2-fc = Xn.si Xk+\ == «^n..s + l>
где η и 5 задаются формулами (6.19) и (6.20).
Из соотношений (6.14). (6.18) видно, что Xk+i - Хк = 2п~к.
Если Хк — точка роста (т. е. 5 = 0), то χ к — Хк-\ = 2п~~к~~1, а если
Хк — точка постоянства (т. е. 5 φ 0). то χ к - Хк-ι = 2п~к.
Теперь можно сформулировать теорему так:
Теорема 23. Пусть Х(к) — бесконечная двоичная сетка с
к-разрядной мантиссой, к > 2. Тогда для и Ε С^(0,+оо) при
t £ (хк,Хк+\) справедливо:
а) если s > 2, то
ЛА(4)
|ί*3ΐ(0-«(ί)|<-^-2ίΛ-«4;
б) если 5 = 1, то
|S3i(i)-«(i)l<^2i-*^s(5,i);
в) если s = 0, то
Л/(4)
|«3ΐ(ί) - «(«)! < -%-2<п-к-1»Рз(1,2),
где Λ/f = max(e[x,_2,Il+l, |u<4>(t)|.
233

6.7. О неточном задании сеточной функции
Рассмотрим три случая:
1) узлы Xk-i и Хк — точки постоянства шага сетки, так что
возьмем
h' = h, H = 2h; (6.26)
2) узел Xk-i — точка роста, а хк — точка постоянства шага
сетки, поэтому положим
h' = 2h, H = 4h; (6.27)
3) узел Xk-i — точка постоянства шага сетки, aij- точка
роста, и, следовательно.
h' = h, Η = 3Λ. (6.28)
Рассмотрим эти случаи последовательно.
1) Из формул (6.3)-(6.6). (6.8)-(6.10) получаем Dx = 3/г2, t^ =
χ + (3 + >/3)А/3, D2 = 7/г2, t^ = χ + (2 + >/7)А/3, Дз = 7/г2,
f J> = χ + (1 + ч/7)/г/3,
ω*-2(*+)) = 3/27 » 0,041500, (6.29)
ω*-ι(42>) = (Ю - 7\/7)/27 w -0,315565, (6.30)
wfc(43)) = (10+ 7>/7)/27w 1,05630. (6.31)
2) Аналогично предыдущему имеем D\ — 12/г2, t+ = χ +
(6 + 2>/3>/3, Д2 = 19Л2, 42) = а? + (5 + >/Ϊ9)1ιβ, Д3 = 21/ι2,
t(+] = χ + (3 + ν/2Ϊ)Λ/3.
o.,fc-2(i+)) = 16л/3/45 w 0,615840, (6.32)
wfc-iii^) = (28 - 19νΊ9)/108 w -0,507584, (6.33)
wfc(43)) = (17 4- 7\/2Ϊ)/54 и 0,908852. (6.34)
3) В этом случае имеем £>χ = bh2, t+ = χ + (4 4- \/5)/ι/3, Д2 =
12/г2, 42) = ar + (3 + 2\/3>/3, Дз - 13Л2, ί*3' = χ + (2 + 4/Ϊ3)Λ/3,
α;Α-_2(ί+)) = (5 + 4ν/5)/54 и 0,258227, (6.35)
234

^*-ι(ί+2)) = -(16л/3)/27» -1,02640, (6.36)
tJkit^) = (35+ 13νΊ3)/54« 1,51615. (6.37)
В силу формул (6.19)-(6.37) справедливы следующие
утверждения.
Лемма 28. Если Xk-i и Xk — точки постоянства шага
сетки Х(к). к > 2, то
С = (47 + \/3)/27 % 1,80489. (6.38)
Лемма 29. Если узел Xk-i — точка роста, a Xk — точка
постоянства шага сетки, то
С = (62 + 7\/2Ϊ - 19\/Ϊ9)/108 « 1,72008. (6.39)
Лемма 30. Если узел Xk-i — точка постоянства шага
сетки, α χ^ — точка роста, то
С = (94 + 4\/5 + 13у^3 + 32v/3)/54 « 3,80077. (6.40)
Теорема 24. Пусть Х(к) — двоичная сетка с к-разрядной
мантиссой, к > 2, тогда для t £ (xfc,#A,-+i) справедлива оценка
Ы-й31\<С^та1кк+1\ц-и^
где константа С вычисляется по формуле (6.38). если Хк-\ и
Xk — точки постоянства шага сетки Х(к), по формуле (6.39).
если узел Xk-i — точка роста, a Xk — точка постоянства шага
сетки, и по формуле (6.40), если узелхк-ι — точка постоянства
шага сетки, a Xk — точка роста.
235

Глава VII
КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ
МИНИМАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ
Ранее были исследованы вопросы непрерывности и гладкости
минимальных сплайнов в классическом смысле (принадлежность
соболсвским пространствам и пространству С, см. гл. I, II). В
этой главе рассматриваются естественные обобщения
минимальных сплайнов, называемые Α-сплайнами. Вводится понятие G-
непрерывности, позволяющее говорить о непрерывности
значений линейной комбинации производных в отдельных точках
вещественной оси, и устанавливаются необходимые и достаточные
условия такой непрерывности для Λ-сплайнов. Полученные
результаты применяются к полиномиальным сплайнам степени т
на равномерной сетке. В частности, устанавливаются
необходимые и достаточные условия устранимости разрывов г-х
производных в узлах. Эти условия не исключают разрывов первого рода
для j-x производных (j φ г). Дана классификация пространств
минимальных сплайнов с помощью биекции множества
упомянутых пространств на множество точек m-мерной гиперплоскости.
Выяснены условия совпадения пространств минимальных
сплайнов и выделены случаи, когда они различны.
§ 1. Элементарные минимальные сплайны
на равномерной сетке
В этом параграфе рассмотрим некоторое обобщение
элементарных минимальных сплайнов в случае равномерной сетки X =
Ζ, т. е. в случае, когда X — {xj \ Xj = j, j е Ζ].
236

Обобщенные элементарные минимальные сплайны на
равномерной сетке характеризуются условиями
£ jV,(i) = £ <£'¥*, (i.i)
j€Z n=0
где *у = 0,1.. ..,m. t e Я1,
^(0=^-Д (1.2)
uj(t) — кусочно непрерывная функция,
supp ω = [-5, ί], s + Ζ = ш -f 1. (1.3)
Зафиксируем нецелое число f. t $. Ζ. π пусть целое число к
таково, что t Ε (/с, к+1). Тогда соотношениям (1.1) можно придать
вид
λ' + .S -У
Σ ·?"4№ = Σ<ζ№ (1.4)
j=fc-/ + l α=0
теперь их можно рассматривать как систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел u)j(i)< j =
k-l + l,...,fc + s.
Если положить t — к Л- τ, τ £ (0,1), и ввести обозначение
η -— А: — j. то благодаря формулам (1.2) упомянутые неизвестные
числа можно записать в формах
ωά{ί) =ω(ί- j) =ω{η + т\ (1.5)
так что соотношения (1.4) примут вид
/-ι ι
Σ (к - п)Мп + τ) = Σ 9™(* + г^ ί1·6)
n= —,s α=0
где к — любое целое число. Итак, неизвестные (1.5) должны
удовлетворять бесконечному множеству систем (1.6), и важно
исследовать совместность упомянутых систем.
В дальнейшем нам потребуется формула Пуассона, которую
для удобства читателя приводим в нижеследующей лемме.
237

Лемма 1. Для измеримой функции Φ(ί) с компактным
носителем справедлива формула Пуассона
Σφ(ί-ί) = Σβ2^Φ(2π^ (1.7)
jez jez
где Φ — преобразование Фурье функции Ф,
Г+ос
Φ(η) = [
J-r
Ф(С)е-гг»>(к;. (1.8)
Доказательство. Рассмотрим функцию
jez
Очевидно, эта функция периодическая с периодом 1; разлагая ее
в ряд Фурье по системе функций е2кгк^, к £ Я, найдем
ф(0
= Υ е2*** [ Ф^е"2™*"*;, (1.10)
Jo
kez -Ό
так что после элементарных преобразований ввиду формулы (1.9)
получим
/ Φ(ί7)ε-2πίΑ:"ώ/ = Υ] [ Φ(η - j)e-2,cik4^ (1.11)
Jo j£ZJo
откуда подстановкой η — j = η' в интеграле имеем
Л r-j+i
/ ^{η)β-2νί^άη = V / ^{rf)e~2,Kik{r,'+i)drf. (1.12)
Ввиду очевидного равенства e~2vik3 — 1 окончательно находим
-1 />- J + 1
Ι 9(η)β-2***άη=Σ ί ' Ф(П')с
Jo j<LZJ-i
Φ{η')ο-2τί^'άη1. (1.13)
-ОС
238

Подставляя этот результат в формулу (1.10), придем к равенству
(1.8)..
Следствие 1. Справедлива формула
£ Ф(Л = ]Г Ф(2^)· (1.14)
fez fez
Доказательство. В соотношении (1.7) положим t = 0
и сделаем замену j = — j' в первой сумме; в результате получится
формула (1.12).
Теорема 1. Если функция uj(t) с компактным носителем
удовлетворяет соотношениям (1.1), то справедлива формула
9М = (-1Г-«^)/*7-а. (1.15)
где
μβ= Ι ~ξβω(ξ)άξ. (1.16)
J -ос
Доказательство.В формуле (1.14) положим Ф(х) — χΊω(ί-
х), где 7 — натуральное число. Очевидно, что
*U)=JWt-i), (ΐ·ΐ7)
ε-τιξΦ(χ)άχ= ε-ίχξχ^ω{ί-χ)άχ. (1.18)
• ос J — ос
Делая замену переменной интегрирования χ на х' по формуле
х' = t — χ, получаем
φ(ξ) = е-* / eix^(i - χ'γω(χ')άχ' =
J — OG
= 6-ιίξ Σ ta(A [ ** eix'S(-x')~<-Qu;{x')dx'. (1.19)
Полагая ξ — 2nj и подставляя (1.17) и (1.19) в формулу (1.14),
найдем
Σ iM*-J) = Σ е~^ Σ «" fI) f" eix'2,rj(-x')7-ua;(x')^'.
(1.20)
239

Сравнивая правую часть выражения (1.1) с правой частью
последнего соотношения, видим, что отличными от нуля могут
быть лишь слагаемые при j = 0, а остальные слагаемые равны
нулю. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £,
имеем
</!7) = i-1)7"*^) f~х*-аФ)<Ь. (1.21)
Используя обозначения (1.16), из формулы (1.21) получаем
соотношение (1.15). Теорема доказана. ■
Всегда будем предполагать, что J_ ω(χ)άχ φ 0; иначе
говоря, считаем, что μο φ 0. От умножения функции ω(ί) на
постоянный множитель линейная оболочка функций {^j(t)} не меняется,
и потому в дальнейшем предполагаем, что
μο = 1. (1.22)
Из формул (1.21) находим
qW = 1, /3 = 0,l....,m. (1.23)
Полагая
V>(t)d=(Mt)i<Pi(t)> · · ·<*,.(0)Т, Mtf=t\ (1-24)
а также вводя нижнетреугольную квадратную матрицу (га -f 1)-
го порядка С}ца= (qa ), определяемую соотношениями (1.15) при
7 > α и равенствами q£' = 0 при η < α. перепишем условия (1.1)
в виде
fc+s
Σ φ(3)^) = Ωμφ{ί). (1.25)
Заметим, что ввиду равенств (1.23) матрица £}μ неособенная.
§ 2. А-мииимальные сплайны
Рассмотрим множество А = {cij}jez ненулевых
вектор-столбцов uj из пространства Rm+l с компонентами α^, г = 0,1,..., ш:
множество А будем называть цепочкой векторов из Rm+l (или
просто цепочкой). Пусть г — неотрицательное целое число.
Определение 1. Цепочка А = {(ij}y€Z* cij € Дт+1,
называется г-гюлной. если любые г + 1 последовательных векторов
цепочки линейно независимы.
240

Очевидны следующие утверждения:
— при г > т в i?m+1 не существует г-полных цепочек;
— любая цепочка 0-полна;
— если цепочка r-полна, то она r'-полна при любом
г' е {0,1,...,г};
— при любом г из множества {0,1,...,га} множество г-пол-
ных цепочек не пусто: это свойство вытекает из предыдущего,
если заметить, что цепочка {a3}jez векторов a,j = (а^г)г=ол,....т с
компонентами ciji = χ1- является га-полной.
В дальнейшем га-полную цепочку называем просто полной.
Рассмотрим теперь некоторое банахово пространство В
измеримых функций, заданных на промежутке (а,Ь); пусть
<p0(t), <pi(*),..., pm(f)
— линейно независимая система функций из В.
Поставим вопрос о существовании функций ujj{t),
удовлетворяющих соотношениям
]Г <W(0 = V(t)i SUPP "J = fc,-^ *,+/], (2-1)
где A = {cij}j£Z ~ цепочка из iZm+1; <p(f) — вектор-функция
вида <p(t) = fao{t),ipi(t),...,<pm(t))T. Соотношения (2.1) будем
называть аппроксимационными.
Справедливо следующее утверждение (см. [59]).
Теорема 2. Для существования функций ujj(t).
удовлетворяющих аппроксимационным соотношениям (2.1) при t £ X.
необходимо и достаточно, чтобы цепочка А была полной.
Определение 2. Линейные комбинации функций Uj,
удовлетворяющих условиям (2.1), будем называть Л-мишшальными
элементарными сплайнами (или просто Л-сплайнами), а множест-
во {vrfjez — главным базисом этих сплайнов.
Заметим, что упомянутые в предыдущем пункте сплайны
являются частным случаем Л-сплайнов при а^ = arj, <Pi(t) = Ьг-
§ 3. Обобщенная непрерывность Л-сплайнов
Пусть Υ — некоторое множество чисел из промежутка
(а, Ь). Рассмотрим семейство
G = Ы„€к (3.1)
241

пар ду = {9у,9^) функционалов д~, д+ из сопряженного к В
пространства В*: д~, д+ £ В* V у Ε У.
Определение 3. Говорят, что функция и е В является
G-непрерывной в точке у £ Υ, если
(д;,и) = (д+,и). (3.2)
Функцию и будем называть G-непрерывной на У, если
соотношение (3.2) выполнено для всех точек у из множества Υ.
Далее установим необходимые и достаточные условия G-hc-
прерывности Uj в узлах сетки X.
Пусть задано семейство (3.1) и Xk £ Υ- Для краткости
положим
9{к)Ч> = ((»£,. W>). · · · > (flifc.¥>m))T. (3.3)
Может быть доказано следующее утверждение (см. [57]).
Теорема 3. Пусть А = {a>j}3£Z — полная цепочка, Хк Ε Υ,
и функции φ\ G-непрерывны в точке Xk- Для того чтобы А-
сплайны были G-непрерывными в точке Xk, необходимо и
достаточно, чтобы векторы
<7(*)^1 «fe-i+ii · · ·, a>k+s-\ (3.4)
были линейно зависимы.
Рассмотрим кусочно непрерывные на (а, Ь) функции, следы
которых могут быть продолжены с интервала (xfc,£fc+i) на
отрезок [χατ,χατ+ι] так, что они оказываются в Cn[xkiXk+i] (здесь
η — неотрицательное целое число). Из множества этих функций
выделим линеал тех, которые имеют конечную норму
|| и || = sup || и ||c»[xfc.xfc+1] · (3.5)
Обозначим через Вп банахово пространство, полученное
пополнением упомянутого линеала по норме (3.5).
Пусть семейство (3.1) порождено функционалами
д+и = и(х + 0), д~и = и(х-0), x £ X. (3.6)
В этом случае G-непрерывность совпадает с обычной
непрерывностью.
В этих обозначениях функции φι(ί)=ί\ г = 0,1,..., га.
являются G-непрерывными на X, так что можно применить теорему
242

3. Если положить еще а^ = х)* то придем к сплайнам,
рассмотренным в § 1 гл. 1. Из теоремы 3 видно, что для их непрерывности
необходимо и достаточно, чтобы при всех целых к наборы
векторов ip(xk),cik-i+i,... ,(ifc+s-i были линейно зависимы. Ясно, что
полученное условие эквивалентно условию (1.1.25).
§ 4. Условие гладкости минимальных сплайнов
Здесь получим условия гладкости минимальных сплайнов.
Применяя обозначения
<b = Q;V(j), (4.1)
из (1.25) найдем
Σα^(ί) = φ(ί). (4.2)
з
Заметим, что цепочка А = {aj}jez полная.
Рассмотрим банахово пространство В™, определяемое
нормой (3.5). Оно содержит пространство ππι многочленов
степени не выше га. Положим
т т
д+и = ^d^(a;fe + 0), д^и = Υ^άβ^β\χ}ς - 0), (4.3)
/3=0 β=0
где άβ^ — фиксированные вещественные числа, a Xk = к.
Заметим, что если в представлениях (4.3) при некотором к £ Ζ
взять άβΛ\ζ — δβ.ϊ, то из G-непрерывности будет следовать
непрерывность г-й производной в точке Xk — к (т. е. возможность
продолжить г-ю производную в точку Хк = к по непрерывности; при
этом для производных меньшего или большего порядка такого
продолжения может не быть, так что существование соболевской
производной не гарантируется). Далее нам понадобятся
некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 2. Справедливо представление
т
QMt) = Y,Ww(a4t)loA· (4-4)
α=0
243

Доказательство. Из (1.15), (1.16) находим
(QMt)h= Σ №t0 =
0<β<Ί
= Σ (l)(-l)7-V-^ 7 = 0,1,...,τη,
0<β<Ί
где {(^μφ{ί))Ί — компонента вектора (3μφ(ί) с номером η. Замена
7 — β на α теперь дает
(<э^(оь= Σ СЛ*)(~1)вМа'7~в =
ϋ<α<7 W } 0<α<7
Используя обозначение (1.24), получаем (4.4). ■
Лемма 3. Определитель
Δ£, d= det(^(i - I + 1),.... ψ{ί + s - 1), <^(ί)) (4.5)
не зависит от t € Я1.
Доказательство. По формуле Тейлора (для многочленов
степени не выше га) имеем
т τβ
^+r) = E^)(i)' rGjRl'
так что для вектора φ(ί+τ) справедливо представление φ{ί+τ) —
^πι{ί)φ{τ)^ где матрица Dm(t) задается равенством
П (t\ - (иАЛ φ'{ί) φ"{ί) φ{"'){ί)\
Благодаря этому определитель Afe можно представить в форме
Δζ«β = det(Dm(i)v>(-I + 1),.. ·, Α*(*Μ* " l)i A»(0*>(a)(0)),
откуда
A^=detDm(i)det(^(-/ + l),...,^(s-l),v(Q)(0))·
244

Осталось заметить, что Dm(t) — нижнетрсугольная матрица с
единичной главной диагональю и, значит, detDm(£) = 1. ■
Теорема 4. Для того чтобы функции ω3, j £ Ζ, были G-
неирерывны в точке Xk = к, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия
£ <W(-l)Q^f det^+^OM-i + 1),...,φ(3- 1)) = 0.
a+{J<m
a>0Ji>0
(4.6)
Доказательство. Ввиду соотношений (1.15), (1.16) и (1.24)
функции Pi(t). очевидно, G-непрерывиы в точке Xk — к и,
следовательно, применима теорема 3. Поэтому для функций ω3- в точке
Xk = к G-непрерывность эквивалентна равенству
dct(#(/c)<£, cik-i+i,..., aA+s-i) = 0. (4.7)
Благодаря представлениям (4.1) это эквивалентно соотношению
det(QM</(fc)p, <p[k - I + 1),... Mk + s - 1)) = 0. (4.8)
Поскольку
m
/3=0
то (4.7) можно переписать в виде
m
Y^d0,kdet(Q^(k)^(k-l+l),...^(k + s-l)) = Q,
/3=0
что с учетом леммы 2 дает
У d0Jt(-l)a^ det(p(a+/J)(A·), tp(k-l+l),... .^(fe+e-1)) = 0.
a+/3<m
α>0,/3>0
(4.9)
В силу леммы 3 определители последней суммы не меняются при
изменении к. Полагая в (4.9) к = 0, приходим к (4.6). Ввиду
обратимости всех переходов равенства (4.6) и (4.7) эквивалентны.
Теорема доказана. ■
245

Для краткости будем далее предполагать, что числа άβ^ от к
не зависят; пусть
dp = άβΜ. (4.10)
Следствие 2. Если функции u>j, j £ Ζ, (7-непрерывны в
некотором узле к £ Ζ, то они G-непрерывны во всех узлах сетки
Ζ.
Доказательство очевидно благодаря независимости
условия (4.6) от fc.
Следствие 3. Если при фиксированном j функция ω$ G-
непрерывна на сетке J, то все функции ω у, f € Ζ, G-непрерывны
на Ζ.
Доказательство вытекает из представления о,у(£) =
u>j(t + j-jf).
Следствие 4. Для того чтобы функции u>j. j £ Ζ,
имели непрерывные i-e производные в узлах сетки Z. необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
т —г
£(-1Г^ άβί(ψ^+ί\0),φ(-1 + 1),..., φ{8 - 1)) = 0. (4.11)
Доказательство легко получается из теоремы 4 и
следствия 2.
Следствие 5. Ввиду леммы 2 аппроксимационные
тождества (1.1) могут быть записаны в виде
fc+s
j=k-l+l
rn
= Y(-l)a^<P{a)(t), te{k,k + l), ktZ. (4.12)
§ 5. Минимальные интерполяционные сплайны
Здесь остановимся более подробно на случае, когда
μα = Γα, reR1. (5.1)
Установим несколько вспомогательных утверждений.
246

Лемма 4. В случае (5.1) аппроксимационным
соотношениям (4.12) можно придать вид
k+s
Σ <PUMt - j) = <p(t - г), fG(fc,* + l), keZ. (5.2)
Доказательство. По формуле Тейлора
*>(i-r) = £(-ir-yo)(i)
α=0
правую часть в (4.12) при μα = rQ можно заменить на ip(t — г).
Лемма 5. В случае (5.1) условие (4.6) может быть
записано в виде
т
]Г dp det(^«(-г), *>(-ί + 1),..., φ(8 - 1)) = 0. (5.3)
/3=0
Доказательство. В условии (4.6), записанном в виде
771 7П — 3
в-0 а=0
(5.4)
воспользуемся формулой Тейлора (для многочленов степени не
выше га — β)
^(_г)="£(.1Гв)г«. (,5)
^—' а!
а=0
Подставляя (5.5) в (5.4), найдем (5.3). Лемма доказана.
Обозначим через ω^\ί) функцию ω(ί). удовлетворяющую
соотношениям (1.3), (5.2). Пусть Ω — множество этих функций,
Л = {и/<г>|г€Д1}.
Теорема 5. Все функции ω^(ί) множества Ω разрывны в
узлах к € Ζ, за исключением т непрерывных функций, которые
определяются следующими значениями параметра г:
г = s 4- 1, -5 + 2,...,/- 1. (5.6)
247

Доказательство. В (5.3) положим άβ — <$о,/?. Тогда
необходимое и достаточное условие G-нспрсрывности будет означать
непрерывность функции u/r\
detM-r), φ(-1 + 1),..., <p(s - 1)) = 0. (5.7)
Слева в (5.7) стоит определитель Вандермонда, поэтому
равенство нулю возможно тогда и только тогда, когда выполнены
условия (5.6). ■
Теорема 6. При условии (5.6) функция ω^ удовлетворяет
соотношениям
w(p>U) = irj, j€Z. (5.8)
Доказательство. Из (5.6) благодаря теореме 5 получаем
непрерывность функций ω^(ί). Ввиду леммы 4 с учетом
упомянутой непрерывности анпроксимационные соотношения (4.12)
можно записать на замкнутом промежутке
fc+s
£ ^><r)(i-j) = ^-0, te[k,k + i],kez.
j=k-l+l
Полагая здесь t = k. найдем
ω{Γ)(1 - l)p(fc - I + 1) + ... + u{r)(-s + l)p(fc + 5-l)+
+u>{r)(-s)<p{k + s) = <p{k-r).
Все столбцы левой части этого равенства линейно независимы,
и ввиду (5.6) среди них имеется столбец ip(k — г). Приравнивая
коэффициенты при одинаковых столбцах левой и правой частей
рассматриваемого равенства, приходим к соотношениям (5.8).
Теорема доказана. ■
3 а м е ч а н и с. Запишем аппроксимационные соотношения
(5.2) в виде
£v>(j>(r>(*-J) = *>(*-'·), t€R\ (5.9)
suppu;(r> = [-s,i]. (5.10)
248

Введем переменную t' = t — г и положим
α;Μ(ί/)=ω<Γ>(ί, + Γ). (5.11)
Тогда формулы (5.9), (5.10) примут вид
Σ V>0>[?V - 3) = <РР)> ^^ (5.12)
supp ωΜ = [-г - 5, -г + /]. (5.13)
В силу (5.13) в условиях (5.6) из (5.12) имеем
fc+r+s
Σ vUWr]V-j) = <p{t')* i'e^fc + i), fc €2. (5.14)
j=fc+l+r-/
Благодаря условиям (5.6) (см. теорему 5) из формулы (5.11)
следует, что u^(t) - непрерывная функция. Из (5.8) и (5.11)
получаем
ωΜϋ) = ίο0·. (5.15)
Обозначим
S = r + s, L = -r + l (5.16)
Ввиду условий (5.6) имеем
S + L = m+1, l<S<m, 1 < L < m. (5.17)
В связи с обозначениями (5.15) удобно рассмотреть функцию ω(ί)
вида
u;{t)=a>W(t). (5.18)
Тогда (5.14) и (5.13) принимают привычную форму
fc+S
Σ *U>(*-J) = *>(*)> *€(fc,fc + l), fce2. (5.19)
j=fc-L+l
supp ω = [-S,L], (5.20)
которая свидетельствует о точности сплайна
4t)^^2vMt-j) (5.21)
249

на пространстве 7rm,
Σ nUMt - j) = u(t), и G тгт. (5.22)
3
Из (5.6), (5.11), (5.15) и (5.18) вытекает непрерывность функции
ω(ί) и свойство
"(j) = *(>,,·■ (5.23)
Следовательно, при условии (5.6) функции ujj(t) = ω(ί - j)
непрерывны и являются интерполяционным базисом пространства сила
нов (5.21),
supp ω, = \j-S,j + L], WjU/) = <Jj.j'· (5·24)
Замечание. При 5 = 1 базис {ω7·} называем левым, а при
L — 1 — правым.
§6. Некоторые свойства
пространств минимальных сплайнов
В апироксимационных соотношениях (4.12) будем считать
μι,... , μΤΓ, произвольными вещественными числами, а в
отношении μο сохраним прежнее предположение (1.22): μο = 1· Введем
гиперплоскость
А/о = {μ \μ = (Ι,μι,.,.,μ™), μί G Я1, г = l,...,m}. (6.1)
Обозначим через ω^μ)(ί) функцию, удовлетворяющую
соотношениям (4.12) и условию
supp ω(μ) = [-s, /], s + / = m + 1. (6.2)
Рассмотрим линейное пространство
Χι%8%μ = [и | u(t) = £^ω(μ)(ί - j), с,- G Д1}. (6.3)
Используя вектор φ(τ) = (1, r, г2,..., rm)T, г G Д1, заметим, что
пространство Χιι3%φ^Γ) порождается сплайнами ω^(ί — j)
предыдущего параграфа. В соответствии с теоремой 5 при г G {—s -f
250

1,..., / — 1} получаются пространства непрерывных сплайнов, для
которых {u)(r)(t - j)}jtz — интерполяционный базис.
Теорема 7. Если μ', μ" Ε Mq и μ' φ μ", то пространства
Χΐ^,μ' и Χΐ.8ιμ" раЗЛиЧНЫ.
Доказательство. Проведем доказательство от
противного: предположим, что при некоторых μ', μ" £ Λ/ο. μ' φ μ",
справедливо равенство
Χΐ,β,μ' ~ Λ'/,β,μ". (6.4)
Тогда базисную функцию первого из этих пространств можно
выразить через линейную комбинацию базисных функций u>w)(t —
j) второго пространства. Если в упомянутой линейной
комбинации фигурирует одна функция, то единственным кандидатом на
эту роль (с учетом расположения носителя) является функция
ω(μ")(£) и при этом ω(μ/)(£) = cu^»)(t), с = const; вычисление
нулевого момента от обеих частей последнего тождества дает с — 1.
Итак, α;(μ/)(ί) = ^(μ")(£), откуда в силу аппроксимационных
соотношений (4.12) немедленно получим μ1 = μ". Последнее
противоречит условию теоремы. Если же в рассматриваемой линейной
комбинации более одного слагаемого с ненулевыми
коэффициентами, то ее носитель, очевидно, не может разместиться на отрезке
[—5,/], являющемся носителем функции ^(;1/)(£). Поэтому эта
линейная комбинация не может служить представлением функции
α;(μ/)(ί). Итак, в любом случае функция ω(μ')(ί) не может быть
представлена в виде линейной комбинации функций ω^^(ί — j),
так что равенство (6.4) невозможно. Теорема доказана. ■
В дальнейшем рассматриваются пространства Χι%3ψμ с
различными индексами (Ι,β,μ). Оказывается, что среди них
имеются одинаковые пространства. Для прояснения этой ситуации
введем нижнетреугольную матрицу -4χ (in -f 1)-го порядка:
Аг = (аа1), (6·5)
где
[О, ^ < а < т,
и установим несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 6. Степень Ak = А\ матрицы А\ с целым
показателем к φ 0 представляет собой нижнетреугольную матрицу
вида
Ак = {а^), (6.6)
251

где
а(*) = Ш*7-в. 0<а<7,
7а \ 0, 7 < OL < т.
Доказательство проводится по индукции.
Лемма 7. Для функции ω^ (t) = ω^μ) (t — k) верно тождество
Σ>0>*(*-.7) = Σ ^T/^V(Q)(0, (6-7)
j 0<α<τη
где числа μα — компоненты вектора μ^ = (μ^ ,... ,μ,η ),
даваемого формулой
/*(*> = Α\μ. (6.8)
Доказательство. Из определения функций ^(ί) и
соотношения (4.12) получим
£>(>><,.)(* "J-*) = Σ ^V^Ht-k).
J 0<α<τπ
По формуле Тейлора (для многочлена степени т) найдем
j 0<u<m * 0=0 μ'
откуда после замены индекса суммирования β на индекс η = α+β
и перестановки порядка суммирования получим
j 0<a<m 7=<*
0<7<m0<a<7
o(7)
i^ ^ a! (7-a)!
Поскольку
- Σ (->r^ Σ CW
0<7<m '' 0<a<7 X 7
0<a<7
252

(см. формулы (6.5), (6.6) и лемму 6), то соотношения (6.7), (6.8)
установлены.
Лемма 8. Необходимое и достаточное условие
непрерывности г-й производной (4.11) может быть записано в виде
m — i
J2(-ir^det^a+i\0),<p(k~l + l),...,<p(k + .s-l)) = 0, (6.9)
~ а!
где к — фиксированное целое число.
Доказательство сводится к последовательному
применению
леммы 3, представления (6.6) и некоторых достаточно
элементарных преобразований.
Теорема 8. Если при некотором целом к выполнены
соотношения
s' = s-k, i' = Z + fc, μ' = ΑΪμ, (6.10)
то
Доказательство. По определению пространства Χι,8,μ его
базисом являются функции ωύ(ί) — u)^(t - j), где ω^μ)(ί) —
решение системы (4.12) при условии (1.3). Точно так же базисом
пространства Χν^',μ' являются функции uij(t) = ύ>(μ')(£ — j)< где
ω(μ')(ί) — решение системы
т (к)
j α=0
при условии
supp w = [-*'/]; (6.13)
здесь μα — компоненты вектора μ', α = 0,1,...,т. По лемме
7 решением системы (6.12), (6.13) является функция u>k(t) =
ω(μ)(ϊ ~~ Ό, и потому ввиду единственности решения ^(μ>)(1) =
ω(μ)(ί ~~ ^)· Теперь видно, что базис пространства Χν^'.μ'
получается из базиса пространства Χ/.β.μ целочисленным сдвигом
аргумента. Из-за инвариантности множества элементов базиса при
таком преобразовании приходим к равенству (6.11).
253

Теорема 9. Если целые числа /,s,/', s' удовлетворяют
условию
/ + s = i' + e' = m + l, (6.14)
то из равенства (6.11) вытекает существование такого числа
к, при котором выполнены соотношения (6.10).
Доказательство. Проведем доказательство от
противного: предположим, что хотя бы при некоторых /,5,μ, V,s',μ',
удовлетворяющих условию (6.14), верно равенство (6.11), и тем не
менее, каково бы ни было число к, хотя бы одно из равенств (6.10)
не выполняется.
Благодаря условию (6.14) найдем к' так, что s' = s — к\ V =
l + kf. Ввиду нашего предположения вектор μ = Α\ μ отличен от
вектора μ'.
μ φ μ'. (6.15)
В соответствии с теоремой 8 имеем Χ/,5,μ = Xi',s',ji< а ввиду
справедливости равенства (6.11) (по условию)
-XV.e'./Z = -^Ι',β'.μ'· (6.16)
Учитывая (6.15). видим, что (6.16) противоречит теореме 7.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Следствие 6. Каковы бы ни были фиксированные целые
/ -f 5 = m -f 1, множество {Аг/)5тМ}/хел/0 содержит все возможные
пространства минимальных сплайнов степени т, и при
различных μ эти пространства различны.
Таким образом, пространства минимальных сплайнов
находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством А/о-
Условие непрерывности г-й производной выделяет в этом
множестве подмножество ML (г = 1,... ,га). Нетрудно показать, что
эти множества не обладают свойством вложенности, т. е. нельзя
утверждать, что М^ содержится в Му при χ' φ г" (г' φ 0, г" φ 0).
Пересечение П2=о ^* содержит один элемент; этому элементу
соответствует пространство β-сплайнов. Пересечение ПИо ^ пУ~
сто.
254

Глава VIII
ОБРАЗУЮЩИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
При заданном порядке аппроксимации естественно выбирать
сплайны с минимальным носителем. К числу таких сплайнов
относятся давно известные сплайны Шонберга [65], ΰ-сплайиы [1,
47]. а также минимальные интерполяционные сплайны разных
типов [7. 26]. Сплайны с минимальным носителем ранее обычно
рассматривались разобщенно, вне связи с классом сплайнов,
аппроксимирующих гладкие функции с априори заданным
порядком (например, не изучалась цепочка, связывающая
минимальные интерполяционные сплайны с В-сплайнами).
В данной главе проводится изучение подобных связей в
классе пространств элементарных минимальных сплайнов с заданным
порядком аппроксимации на равномерной сетке. При
исследовании этих связей удобно использовать понятие образующих
функций [20], аффинные преобразования аргумента которых
приводят к базисным функциям рассматриваемого пространства
(более точные формулировки и определения см. ниже). Вводится
характеристический многочлен образующего сплайна, в терминах
которого сформулированы свойства гладкости сплайнов и
получены формулы рекуррентного вычисления образующего сплайна
в общем случае (ранее были известны подобные формулы для
В-сплайнов [17]). Образующий сплайн на элементарном
сеточном интервале представляет собой линейную комбинацию
сдвигов характеристического многочлена с коэффициентами, не
зависящими от типа рассматриваемого сплайна (эти коэффициенты
одинаковы, в частности, для В-сплайнов и минимальных
интерполяционных сплайнов, а тип сплайна полностью определяется
255

характеристическим многочленом). Процесс рекуррентного
вычисления образующего сплайна удобно представить с помощью
треугольной теплицевой матрицы, элементами которой являются
упомянутые коэффициенты.
§1. О гладкости образующих сплайнов
Из результатов предыдущей главы вытекает, что при
исследовании пространств минимальных сплайнов достаточно
ограничиться случаем
5 = 0, / = га+1, supp ω = [0, т + 1]. (1.1)
Определение 1. Сплайн ω^μ)(ΐ) со свойствами (VII. 1.3),
(VII.4.12) и (1.1) будем называть приведенным образующим
сплайном.
Рассматривая дачее лишь приведенные образующие сплайны,
введем обозначения
Δ^ = Δ^ι,ο. Aa = (-l)Wa! (1.2)
и перепишем условие (VII.4.11) в виде
(А,£)=о, (1.3)
где
μ = (μ0>μι;· ·· ,£m)>
г
а круглые скобки в (1.3) означают скалярное произведение в
евклидовом пространстве Rm+l.
В гиперплоскости Λ/ο, определенной соотношением (VII.6.1),
рассмотрим множества Л/;, которые состоят из векторов μ =
(μο, μι, ..., μπι), удовлетворяющих условиям (1.2) и (1.3), i =
1,... ,m - 1.
Положим
Ζ^ = (Δ£+^...,Δ^\(ν_0), D;er,i = 0,l m-l.
(1.4)
256

Лемма 1.Векторы, (1.4) образуют базис пространства Rm.
доказательство. Матрица (D^^^,...,^)
столбцов, полученных транспонированием векторных строк (1.3).
является верхнетреугольной, диагональ которой заполнена
одинаковыми элементами Дщ . Из (VII.4.11) и (1.2) легко найдем Δ™ φ
0. Итак, рассматриваемая матрица неособенная. Лемма доказана.
■
Пусть / подмножество множества {0,1,..., ιη}\ запишем его в
виде
I — {го, ή, · · · ΛΊ},ΰ < 7 < га, 0 < го < г ι < ... < г7 < га.
Пусть функция и задана на множестве Rl \Ζ. Обозначим через
Uk се след на интервале (fc, к + 1).
Определение 2. Говорят, что функция и лежит в классе
C!(Rl | Ζ), если существуют такие продолжения Uk функций иь
что ик е СЩк, к+ 1] и й(к^\{к) = й£о)(к), α = 0,1,..., ъ к в Ζ.
Нетрудно видеть, что при / = {0,1,... ,5} класс CT(Rl \ Z)
совпадает с классом Cs(Rl).
Теорема 1. Верпы следующие утверждения:
1) Не существует образующих сплайнов из класса Cm(Rl).
2) Если га £ I, то множество образующих сплайнов класса
Cr(Rl | Ζ) не пусто.
3) При I = {0,1,... ,?тг - 1} существует один образующий
сплайн класса С1 (при этом С1 = С171"1).
Доказательство. Заметим прежде всего, что μ —
ненулевой вектор, ибо благодаря (1.2) и (1.4) верно равенство До = 1.
Поэтому выполнение соотношения (1.3) при г = га невозможно,
что и доказывает утверждение 1).
Пусть теперь / = {0,1,... ,т — 1}. Согласно лемме 1 векторы
Ό'ν г = 0,1,...,7П— 1, линейно независимы, и потому система
(1.3), переписанная в виде (Ώ^,μ!) = — Δ*η. г = 0,1,...,га — 1, с
неизвестным вектором /У = (μι,... ,/tm) однозначно разрешима.
Утверждение 3) доказано.
Утверждение 2) вытекает из утверждения 3).
Следствие 1. В-сплайн ω со свойством supp ω = [0,га + 1]
является единственным образующим сплайном из класса Сгп~1.
Следствие 2. Пересечение П^о А/; состоит из одной
точки, соответствующей В-сплайну и;, упомянутому в предыдущем
следствии.
257

Доказательства этих следствий вытекают из утверждения 3)
теоремы 1 с учетом минимальности сплайна ω и импликации ω £
С™"1.
§ 2. Характеристические многочлены
Из формул (VIL4.il), (1.1), (1.2) с учетом леммы VII.2 имеем
Д№ = detH-m),..., ν(-1), φ(0)) φ 0. (2.1)
Введем многочлен
ρ m-YV nQ/iadetM-m),...,^-l),^)ft))
Коэффициенты ρι этого многочлена, записанного в виде
τη
г=0
могут быть представлены в форме
Pi = ΤΤδΠ Σ (-1)"77 **{<р{-т),..., у>(-1), v(Q+j)(0)), (2.3)
или более кратко (см. формулы (1.2))
Ъ = {~^^ j = 0,l,...,m. (2.4)
В частности, из-за предположения (VII. 1.22) старший
коэффициент рт имеет вид
д(™)
Рт = ~^w (2*5)
и потому заведомо отличен от нуля:
Рт Φ 0. (2.6)
В дальнейшем мы увидим, что рт = 1/т!.
Определение 3. Многочлен (2.2) будем называть
характеристическим многочленом образующего сплайна ω(μ)(ί).
258

Лемма 2. Характеристический многочлен (2.2)
представляет собой аналитическое продолжение образующего сплайна
ύ^(μ)(£) с интервала (О, 1) на R1.
Доказательство. Достаточно доказать, что сужение
Ρ(μ)(ί) на промежуток (0. 1) даст ω(μ)(ί). Запишем аппроксима-
ционное тождество (1.8) для t £ (0,1):
Σ ¥Ό>(μ)(ί-ί) = Σ(-1)α^(β)(<)·
Э--т
α=0
(2.7)
Используя (2.7) в (2.2), найдем
р(д)(0= Σ detM-m),...,^(-l),^0>(M)(i-j))/AW. (2.8)
j — — rn
Из-за равенства нулю определителей с двумя одинаковыми
столбцами все слагаемые суммы (2.8). кроме последнего, равны
нулю. Благодаря соотношению (2.1) теперь имеем Ρ(μ)(ή = ω^μ)(ί),
что и требовалось.
Лемма 3. Любой многочлен т-й степени со старшим ко-
эдэфициентом (2.5) является характеристическим многочленом
некоторого образующего сплайна степени т.
Доказательство. Многочлен p(t) = det(</?(—га), .... у?(—1),
φ(ί)) /Δίη имеет степень то. а его старший коэффициент равен
числу рт (см. формулу (2.5)). Благодаря свойству (2.6)
многочлены p(a\t), а = 0,1,..., 7?г, образуют базис в пространстве ттт.
Отсюда следует, что каков бы ни был многочлен P(t) со
старшим коэффициентом рт, его можно представить в виде
линейной комбинации Σ™=0cap^(t), где cQ £ Λ1, cq = 1. Полагая
μα = α!(—l)acQ, получаем вектор μ — (μο,...,μη) с единичной
первой компонентой μο = 1; соответствующий ему образующий
сплайн ύ;(μ)(£), очевидно, является искомым. Лемма доказана. ■
Вводя обозначения вектор-столбцов и матрицы
ίμι\
( Р0 \
Pi
\Pm-l/
( Дй> \
Δ =
\Δ
,(D
(rn-l)
(2.9)
259

D =
( Λ(1) Δ(2)
д(2) д(3)
д(т-1) д(т)\
Δ^> О
\А{пТ} О
О
о /
перепишем систему (3.4) в виде
£>Ζμ = Δ<°>Ρρ-Δ,
(2.10)
где Ζ и F — диагональные матрицы с элементами Zj = (—lY/j\
11 fj = U ~~ 1)! соответственно, j = l,2,...,m. С учетом
свойства (2.1) и неособенности матриц D, Z, F легко видеть, что
соотношение (2.10) устанавливает биективное соответствие между
пространством Rm векторов ρ и гиперплоскостью А/о-
Замечание 1. Легко получается формула для Аш :
AW=detM-m),...)¥»(-1)^(0))= Π U'-J),
-m<j<j'<0
откуда
Δ£)= Π Π ϋ'-Λ.
j'=-m j = -m
а с учетом соотношений 1 < i = j' — j < jf + τη найдем
j'=0 j-j'+m /=0 m
Δ-= Π Π ί= Π (/ + ">)! = Π*!
j'=z — m i=l j' =—rn г=0
3 а м еч а н и е 2. Поскольку определитель
Δ(ί) = det(<p(-m + ί), · · ·, ¥>(-! + 0» ¥>(*))
от £ не зависит, то полагая t = m -f Ι,ί = 0, получим
τη
Δ^ = Δ(τη + 1) = Δ(0) = Δ^=Πϋ.
г=0
*<*>■
3 а м е ч а н и е 3. Для определителя Aym' получается более
сложная формула:
AW = detH-m),...^(-l),^(0)) =
260

= detM-rn),..., *>(-l), β^βΐ) =-- (-ΐΓ+ββ\Α{η°Ιι^η-β,
где
SO = Ο, Sm-p = V ii...im-β,
-m<ii<i2<...<im-Li<-l
а
A<°L,=det(#-m),...,v>(-l)),
£(ί) = (ψ0(ί),φΐ (t), · · · , V>m-l (ί))Τ, ^ί(ί) = t\
так что Δ(^ι = 1! · 2!... (m. - 1)!.
Окончательно имеем
Δ<„3) - 1! · 2!... (m - l)\(-l)n+^lsm.0. (2.11)
Отметим, что отсюда следуют полученные ранее формулы для
определителей Дщ и Δ/η. ^ ·
Воспользуемся формулой (2.11) при вычислении
коэффициентов характеристического многочлена pj (см. формулу (2.3)):
1 m~j
Pj" л(0),. 2J- ^ n!^m
д(0)·, ^
^m J· or=0
Q!
_ 1!-2!...(т-1)!^ μα na+j+m, ^ ,
~~ M°H ZJ"1) ^Π-1) (a+jj^m-a-j,
что эквивалентно представлению
(_l)i+m ^ /a + j\
$m — a—j'
a=0
Отсюда подстановкой β = a -f j окончательно находим
Pi = ηΐ, 2^ /*/J-j [βJ «m-^ j = 0,1,..., m.
Из этой формулы последовательно получаем:
(-1Г ^
еСЛИ j = 0, ТО ро = j— / ^а^т-а,
а=0
261

если .7 = 1, то j)\ =
если j = 2, то р2 =
(-1)
.1Г-1^ fa+l\
α=0 ч 7
^τη—α — 1 j
(-1>
m-2
m!
m - 1 -f a\
m — 1 '
если j = ra-1, то pm_i = Y^ μα
ml *—'
1 Έ~^ fm + αλ 1
m! *--; V то / то
если j = m,
то
a=0
Последний результат уточняет полученный ранее (см. форму-
лу (2.6)).
3 а м е ч а н и е 4. Из предыдущих формул вытекают
следующие утверждения:
— для сплайна первой степени (т. е. при т = 1)
ρ0 = 1-μι, Pi = 1;
— для сплайна второй степени (т. е. при га = 2)
Ρϋ = (2-3μι+μ2)/2, pi = (3 - 2μΟ/2, ρ2 = 1/2.
Полученную связь между величинами μα и pj можно записать
в матричном виде:
(1)вт-1 ·
• Го"1)*!
• (>о
0
0
0
(оЬ\
0
0
0
0 )
( μο \
μι
βηι-1
\ μτη '
= m!
/ Po(-l)m \
PiC-i)'"-1
P2(-l)m~2
"Pm-l J
V Pm '
(2.12)
где
s0 = 1, Sj = ]P iii2...ij.
-m<ii<i2<..<ij<-l
262

Интересно также представление параметров μ^ через
коэффициенты характеристического многочлена. Такое
представление можно получить обращением треугольной матрицы в (2.12);
однако этот способ представляется весьма громоздким, и потому
мы получим в § 4 упомянутое представление несколько иначе.
§ 3. Еще о гладкости образующего сплайна
Лемма 4. Импликация и^д)(£) £ С1 эквивалентна
равенствам
р(2(о) = о Vie/. (3.1)
Доказательство. Условие (VII.4.11) непрерывности i-й
производной для случая s = 0. / = т. + 1 имеет вид
т—г
Σ{-1)α*γά*{φΙα+*(0)Μ-™),...Μ-1)) = 0.
^~i. Oil
Левая часть последнего равенства, очевидно, представляет собой
г-ю производную характеристического многочлена (2.2),
вычисленную в точке t = 0. Таким образом, условия (3.1) эквивалентны
условиям непрерывности i-x производных в узлах г £ L Лемма
доказана. ■
Ввиду лемм 2 и 4 легко получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Для импликации ω(μ)(ί) £ С1 необходимо и до-
статочно. чтобы
wg(0) = 0 Vie/. (3.2)
Пусть β € {0,1,2,..., т - 1} и М<« d= flL, **·
Очевидно, что Λ/ο = λΊ^ D Λ/^ D ... D A/(w *), кроме того,
соотношение μ £ Μ^ эквивалентно импликации
ω(μ) е CM(Rl). (3.3)
Утверждение (3.3) равносильно системе равенств
Ро = Pi = · · · = Рз = 0 (3.4)
в соотношениях (2.4).
263

Равенства (3.4) выделяют (τη — β— 1)-мерное подпространство
р№ в пространстве Rm вектор-столбцов ρ (см. формулы (2.9)).
Отсюда тотчас же получается следующее утверждение.
Теорема 3. Соотношения (2.10) дают биективное отобра-
жжение
Μ(β) HaPW.
Теорема 4. Для того чтобы образующий сплайн U(fl){t)
степени т лежал в классе C^(RX), 0 < β < т — 1, необходимо и
достаточно, чтобы при t G (0,1) он имел вид
ω{μ)(ί) = ίβ+1Ρτη.β.ι(ί),
где Pm_0_i(£) — многочлен степени т — β — 1 со старшим
коэффициентом (2.5).
Доказательство вытекает из формул (2.5) и (3.4). ■
Нетрудно убедиться в том. что справедлива также приводимая
ниже теорема.
Теорема 5. Для образующего сплайна α>(μ)(£) следующие
утверждения эквивалентны:
1) u,w{t)eCW(Rl):
2) ЕГ=о(~1№с1е1М-т),...^(-1), ^«+*>(0)) = 0 V» 6
{0,1,...,/?};
3) ω((;,)(+0)=0 Vie {0,1,...,/?}.
§4. Рекуррентное вычисление образующего сплайна
Для сплайна α;(;/)(ί) при t G (fc, fc-f-1) аппроксимационные
тождества (VII.4.12), очевидно, принимают вид
А: га
Σ νϋΝμ)(ί-;) = Σ(-ΐΓ^ν(ο)(ί). (4.1)
j=—τη.+fc α=0
Из (2.2) и (4.1) легко получим
к
Σ det(^(-m) ν(4),^)4)(ί-ί) = Δ2)^)(ί)·
Делая здесь подстановку t — t + k, £ G (0,1). и используя
обозначения
cj = det&(-m),...,<p(-l),<p(j))/A£\ (4.2)
264

после отбрасывания нулевых слагаемых найдем
к
Σ
j=0
CjUifA)(t + k-j) = P(fA)(t + k),
откуда заменой индекса j на f — к — j выведем
к
Σ
ck-rw(ll)(t + j') = Ρ(μ)(ί + к), t € (0,1).
(4.3)
Теперь при к = 0 из (4.3) получаем ω^μ)(ί) — P^(t), а при к = 1
найдем ω(μ)(ί + 1) = Ρ(μ)(ί Η- 1) — C\P^(t). Аналогичным
образом выражаем ω(μ)(ί + 2),..., ω^{ίΛ-τη) через сдвиги многочлена
Ρ(μ)(ί)· Отсюда вытекает следующее утверждение.
Теорема 6. Если образующий сплайн ω(μ)(ί) задан на
промежутке (0, 1), то формула (4.3) позволяет определить его ре-
куррентно на промежутках (1, 2), (2, 3), .... (τη,πιΛ- 1), где он
является линейной комбинацией целочисленных сдвигов его
характеристического многочлена Ρ{μ)(ί + к), к = 0,1,...,т.
Пусть многочлен Pm(t) степени т решает интерполяционную
задачу Рт(к) = О, к = -т. -т + 1,..., -1, Рт(0) = 1. Ввиду
формул (4.2) справедливы равенства с3 — Pm{j), j = 0,1,... ,-m.
Нетрудно видеть, что
Pm(t)
1 т
о.
г=1
и потому
Итак,
с; = ^П(' + *> =
{m + j)\
ml
i=l
m\j\
m
П
(4.4)
Рассмотрим иижнетреугольную матриц}' С порядка т 4-1:
/
С =
1
0
0
о
о
о
Ст-1
Ст-2
Crn—l
Cm-3
Ст-2
1
0
1/
265

элементы которой вычисляются по формулам (4.4), а также
матрицу С, обратную к С. Очевидно, что С — также
нижнетреугольная матрица; обозначим через Cj элементы ее j-й поддиагонали,
так что
/ Со
С\
Ст-1
\ сГГ1
0
О)
Ст-2
Ст-1
0
0
Ст-3 ·
Ст-2 ■
.. 0
.. 0
·· Со
. . Ci
°\
о !
0 !
со/
с =
где с0 = 1.
Тогда решение системы (4.3) можно записать в виде
(4.5)
"ω® = Σ^"ρω(*~~^' * е (fc,fe +1).
;=о
(4.6)
Ясно, что коэффициенты Cj от μ £ Λ/ο не зависят.
Это дает повод назвать матрицу (4.5) универсальной матрицей
для образующих сплайнов степени га, а оператор (4.6) —
универсальным оператором.
Очевидно, матрицу (4.5) можно записать в виде
/
с =
1
ег)
СГ)
0
1
П1)
0
0
1
о
о
о
о
о
/2т-1\ /2т-2\ /2т-3\ ι л
\m-lt \m-2l U-3/ "· Х U
ver/) (2r22) (2r_t) ... rti) ι/
(4.7)
Теорема 7. Обратной матрицей к матрице (4.7) является
матрица

οι
"(Τ)
(m2+1)
-Гз+1)
(-ΐ)Μ-4Π)
V (-1)т(т+1)
О
1
m + l\
-т
Γΐ1)
(-ι)'
(-ι)'
г-2/т+1\
Vm-2/
i-Wm+l\
\in-l)
о
о
о
о
1/
(4.8)
266

Доказательство. Пусть с^ — г-я строка матрицы С,
г =■ 0,1... , га,
ДО =
/7т + г\ /т + г- 1\ , Л \
a C(j) — j-й столбец матрицы С = С *,
/ о \
о
-СГ)
с,,-| Г2+1)
Рассмотрим скалярное произведение векторов с^ и С(^).
Соотношения с^с^) = 1 и c^C(j) = 0 при г < j очевидны.
Пусть г > j. Тогда
(г)- _ (™ + i -Л fm + l\ _ (m + i-3 ~ Л (т + 1\
С^-\ т )\ 0 ) \ т Д 1 )
Ч m Д 2 )-{ т Д 3 Д
+
+··-(-»-'о (?:;
так что
г-J
^» = Е<-')'С"+'^-")(тГ)·
267

Для удобства положим
-е<-<"+Г)("ГУ
/;=0
Покажем, что
ςβ = 0. £=1,2,... (4.9)
Для этого воспользуемся методом производящих функций.
Рассмотрим произведение A(t)B(t) сходящихся в некоторой
окрестности нуля рядов
Α(ί) = Σα>*> *(0 = Σ>Α (4.10)
j=o j=o
Очевидно, что коэффициент cQ при te в этом произведении
равен
Q
с ρ = }ag-kbk.
Положим
J' = 0,1
°>=("·:*)■
Ь* = (-1)'(т+1У i = 0,l,...,m+l,
Ьг=0, i = m + 2,m + 3,..., (4.11)
тогда
12)
fc=0 *=0 Ч / \ /
Из формул (4.10) и (4.11) следует, что ряд A(t) является рядом
Тейлора для функции (1 - t)~(rn+l\
^)=2(m^J>s=(i-f)"(M+l)·
j=o ν /
268

а ряд B(t) является рядом Тейлора для функции (1 - t)m+1,
Теперь ясно, что при \t\ < 1 справедливо тождество A(t)B(t) = 1,
откуда следует равенство нулю коэффициентов cQ разложения
этого произведения в ряд Тейлора при всех ρ = 1.2.... Наконец,
учитывая равенства (4.12), устанавливаем соотношения (4.9).
Следствие 3. Для чисел Cj. фигурирующих в матрице С —
С-1, справедливы формулы
δ'=ΜΚΤ)· (4лз)
Доказательство непосредственно вытекает из только что
установленной теоремы.
Теорема 8. Параметры μ8 выражаются через образующий
сплайн по формулам
т
μ8 = Σΐ*3ω(μ)(Ι* + 0). (4.14)
Доказательство. Воспользуемся формулой (VII.4.12)
при t в (0, 1):
Σ νο>(μ)(ί-ί) = Σ(-1)β^(α)(ί)·
j = — 7U Q=0
Переходя здесь к пределу при t —> +0. получаем
Σ ¥>C?>(m)(-J+0) = 5^, (4.15)
j=-m
где Srn — матрица с элементами
$г* = 0, г^ fc, skk = (-1)*, ζ, к = 0, l,...,m.
Пользуясь инволютивностью матрицы 5т, а именно S~tl — <Sm,
из (5.15) находим
i=o
М= Σ 5TOy?(j)u;(/i)(-j + 0).
j = —пг
269

Заменяя — j на j' и замечая, что 87ηφ{-^) = vU')< окончательно
получаем (снова делая замену, но теперь уже f на j):
т
Последняя формула тождественна формуле (4.14).
Теорема 9. Параметры μ8 выражаются через
коэффициенты характеристического многочлена с помощью следующих
формул:
т т / ι ι \ m
*=ς*Σ(-ιπ"τ)ς*'(*-·;')<· (4·16)
i=() j=0 \ J / k=j
Доказательство. При t —> fc + Ci из формулы (4.6) имеем
k
i=o
Подставим (4.13) в формулу (4.17), а результат такой подстановки
учтем в формуле (4.14). Благодаря этому получим равенство
т т к / ι ι \
/«.-Σ^Σ^Β-^ΓΓ Р-ЗУ, (4-18)
г=0 А;=0 j=0 \ 3 /
откуда с помощью перестановки знаков суммирования выводим
соотношение (4.16).
Следствие 4. Переставляя первое суммирование в (4.18)
на последнее место, получаем представление μ8 через
характеристический многочлен
771 к / _|_ 1 \
/^Σ^Σί-^ί"7 )pM{k~j)· (4·19)
fc=o j=o \ 3 /
τη
Следствие 5. Ввиду формулы (4.19) имеем μα = ^ CfcfcQ.
fc=0
или в векторной записи
μ = Σ<*¥>(Λ); (4.20)
270

здесь Ck — коэффициенты, не зависящие от а — О,1,...,га, а
именно
^=E(-iy(mV)p^ik-j)- (4·21)
Подставив формулы (4.20) в аппроксимационные соотношения
(VI1.4.12), найдем
к τη т (а)и\
Σ ^.('-λ-ΣΣη^·
j=k—m ot=0 к—О
Теперь нетрудно видеть, что
к τη m (ot)(f.\
j—k—m k=0 a—0
Используя формулу Тейлора для многочленов степени не выше
га, имеем
к т
Σ fU)^)(t~J) = Y/c^(t-k). (4.22)
j=k—m k=0
Обозначив через u<\k)(t) решение уравнения
к
j=к — σι
ввиду однозначной разрешимости уравнения (4.22) для функции
ύ,'(μ) ПОЛУЧИМ
ΊΠ
ω{μ)(Ρ) =Y,CkU(k)(t).
fc=0
Следовательно, uj^)(t) — линейная комбинация
интерполяционного базиса cj(j.)(£) с коэффициентами (4.21).
Следствие 6. Приведенному В-сплайну соответствует
вектор μ = //β) с компонентами
ι т ^ / _ι_ 1\
№ = h Σк* В-1)* Г t){к ~j)m- (4·23)
* к=о j=o \ J /
271

Доказательство. Подставим рт = -^ и рг = 0 для
г = О,1,2,..., т — 1 в формулу (4.19).
§ 5. О минимальных сплайнах первой и второй степени
Используя формулу (4.23), нетрудно найти векторы μ^Β\
соответствующие В-силайнам первой и второй степени; они имеют
вид μ<β> = (1,1) и μ(β) = (1,3/2,5/2) соответственно.
Достаточно элементарно устанавливаются следующие
утверждения.
Теорема 10. Для минимальных сплайнов первой степени
характеристический многочлен Ρ(μ){ί) имеет вид Ρ(μ)(ί) = t —
μι -f 1. μ c= (Ι,μι). универсальной матрицей является матрица
а образующий сплайн ω(μ)(«) задается формулой
, /τν _ /«-ΑΊ + 1, «€(0,1),
">Μν)-{-ΐ+μ1+1, i€(l,2).
Существует единственный неотрицательный образующий спла\
ω{μ+) первой степени, μ* = (1,1). Этот сплайн является
В-сплайном.
Л_ГГ, «€(0,1),
"V)(*)-|_i+2> fe(i,2).
Теорема 11. Для минимальных сплайнов второй степени
характеристический многочлен имеет вид
Ρμ(t) = t2/2 + (3 - 2μι)ί/2 + (2 - 3μι + μ2)/2, μ = (1, μι,μ2),
универсальной матрицей является матрица
272

а образующий сплайн таков:
( t2/2 + (3 - 2μι)ί/2 + (2 - 3μι + μ2)/2, ί G (0,1),
^(μ)(0 = S -ί2 + 2μιί + 1-μ2, *€ (1,2),
[ f2/2 - (2μι + 3)ί/2 + (3μι + μ2 - 2)/2, / G (2,3),
причем fu(ti)(t)dt — 1, ftu>^)(t)dt = μι, ί^2ω^μ){ί)άί = μ2.
Теорема 12. Единственным образующим сплайном
второй степени класса С1 является квадратичный В-сплайн; он
получается при μ = μ+, где μ* = (1,3/2,5/2). β классе всех
минимальных образующих сплайнов существует континуум
неотрицательных образующих сплайнов, однако в классе непрерывных
минимальных образующих сплайнов существует единственный
неотрицательный сплайн — упомянутый квадратичный В-сплайн.
Заметим, что неотрицательность образующих сплайнов га-й
степени при m > 3 уже не является однозначной характеристикой
В-сплайнов; даже в классе непрерывных образующих сплайнов
при m > 3 существует бесчисленное множество неотрицательных
сплайнов.
273

Глава IX
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ
СПЛАЙНОВ
Из предыдущих глав ясно, что при построении минимальных
сплайнов фундаментальную роль играют аипроксимационные
соотношения. Читателю известно, что модифицируя эти
соотношения, можно получить различные приближающие функции, в
том числе известные и новые сплайны (см.. например, гл. VI). В
этой главе вводятся понятия стандартного сплайна,
определяющего оператора и определяющих функционалов и
устанавливаются соотношения между ними; благодаря этому удается дать общее
представление элементарных минимальных сплайнов через
стандартные сплайны. Изучается укрупнение сетки и
соответствующих базисов, а также выводятся необходимые и достаточные
условия вложенности пространств вышеупомянутых сплайнов.
§1. Элементарные минимальные сплайны
как Л-сплайны
Для удобства читателя напомним, что элементарные
минимальные сплайны cj(^)(f) степени га на вещественной оси для
целочисленной сетки Ζ при каждом t £ (fc, к + 1), к € 2,
определяются соотношениями
к
j—к—τη
supp ω(μ) € [0, m + 1], (1.2)
274

где φ(ί) — вектор-функция,
φ(ί)= (^(O.^iWi---.^m(i)), 4>i{t) = t\ i = 0,l,...,m, (1.3)
a φμ — нижнетреугольная неособенная матрица,
/
Ωμ =
μο
-Οι
О
/ω
-(ι) μι
0
ο
(1.4)
(-Ι)'Ομ. (-П-ЧЛ)/'.-! ··· 0
V (-1Г D/w'' (-1)'"^ (ϋ)Μ,.-ι'' '.'·'·'' μο/
определяемая вектором μ с вещественными компонентами /zj,
μ = (μο,μι,..-,μτη), Μο τ^ 0.
Применив прежнее обозначение
из (1.1) найдем
<ч = Q; V(j),
Σαίω(μ)(ί)=^(ί).
(1.5)
(1.6)
Определение 1. Аппроксимационные соотношения
называются эквивалентными, если они получаются друг из друга
умножением на некоторую неособенную квадратную матрицу.
Таким образом, соотношения (1.1) и (1.6) эквивалентны.
Очевидно, цепочка А = {dj}jez полная (см. § 2 гл. VII). К явному
представлению векторов aj цепочки А = {clj} приводит
вычисление матрицы φμ1, данное в следующей теореме.
Теорема 1. Для матрицы ζ)μ = (<?,9σ), представленной
формулой (1.4), с элементами qS(T, s, σ = 0,1,..., m, вида
=<-'>*-'s-„г-
при s > σ,
qsa = 0 при s < σ,
(1.7)
обратной матрицей является матрица Ρμ с элельентами
р«, = {-ιγ~σ
>
при s > σ,
Psa — 0 при s < σ,
(1.8)
275

где чисш ν8-σ получаются рекуррентно по формулам
ΐ'ο = —, "п = -У] ( . )μ<^η-ή n=l,2,...,m. (1.9)
Иначе говоря.
-p» = q;1 =
( Щ
О
щ
о\
о
о
о
(1.10)
Доказательство. Из формул (1.8) и (1.10) следует, что 5-я
строка матрицы Ρμ имеет вид
а=((-1г(:)м-1г%:^.,-ь...,~(0Ц;;),. о),
(1.11)
а из формул (1.4) и (1.7) — что j-й столбец матрицы Q может
быть записан в форме строки
ь= Го о,(о)/ю,-(Jt*)Ml (_1)J"(Τ)/lwi"J)· (L12)
clef.
Очевидно, что элемент rSj матрицы 1Z = Ρμ(2μ представляет
собой скалярное произведение векторов а и Ь. Следовательно,
rss = 1, при s < j rsj = ab = 0.
При s > j имеем
rsj =ab= (-1)5"
(1.13)
+(-ι:
s-3-
-i)"-iCu1)/io+
276

,.-1-г1 · V (3 + 1
^г-(..;.,)^(-е;»+...+
+(-(:Η(-»"4-ΐ->-+
+(o)"°(-ir'C-i)'"-)· (u4)
Краткая запись формулы (1.14) имеет вид
Σ<
fc=0
в-»-'-*Luwtv-»'.
так что
*-<-^Σ(._;_4)(':ν*
A:=0
Итак, при 5 > j имеем
s-j
Г si = Η
β! ^ (s-j)!
Однако ввиду определения чисел ι/η (см. формулу (1.9))
правая часть формулы (1.15) равна нулю,
rsj = 0 при 5 > j. (1.16)
Формулы (1.13) и (1.16) показывают, что произведение матриц
^μ£?μ представляет собой единичную матриц}'.
Лемма 1. Справедливо представление
т
Vlt*(t) = Σ(-1)αναφ<°Ηί)/αΙ (1.17)
α=ϋ
Доказательство. Из формул (1.4) и (1.10) видно, что
матрица νμ получается из матрицы ζ)μ заменой /*о»-.-?/*т на z/q,
277

..., ит соответственно. Поэтому утверждение леммы вытекает из
формулы (VII.4.4) леммы 2 главы VII. где вектор μ заменен на
вектор v.
Теорема 2. Аппроксимационные соотношения
j=k—m α=0
*€(*, fc + 1), fc = 0,l,...ra, (1.18)
эквивалентны соотношениям
к ТП / ,XQ
Σ Σ4ι^β)ο>Μ«)=^).
j—k—m α=0
fe(fc,fc + l), fc = 0,l,...m, (1.19)
где числа va и μα связаны соотношениями (1.9).
Доказательство. По лемме 1 при t—j найдем
ТП
VV>U) = Σ(-1)β^ν(ο,ω/α!. (1-20)
Аппроксимационные соотношения (1.18) запишем в
эквивалентной форме (1.5), (1.6) и заменим Q~l<p(j) = V<p{j) на правую
часть равенства (1.20). В результате получится соотношение (1.19).
Лемма доказана. ■
Введем обозначение
Тогда формулу (1.18) можно переписать в виде
А:
Σ <PUMri(t) = М<рШ (1.21)
j=k—m
а формулу (1.19) — в виде
к
Σ (v,G<p(j))*M(t) = <p(t), i€(fe,fc+l). (1.22)
j=k—m
278

Пользуясь понятием эквивалентности, разобьем все аппрокси-
мационные соотношения на классы эквивалентных и в каждом из
них выделим по два представителя.
Определен и с 2. Аппроксимационные соотношения (1.18)
назовем /ί-представлением, а аппроксимационные соотношения
(1.19) — ^-представлением упомянутого выше класса.
3 а м с ч а н и е 1. Аппроксимационные соотношения в
/^-представлении дают явное выражение цепочки векторов А = {(ij)jez,
характеризующей рассматриваемые Л-сплайны. а именно
^ = Σ[-^-ναφ^ϋ). (1.23)
§ 2. Стандартный сплайн и представление
образующих сплайнов
В этом параграфе обратимся к представлению образующих
сплайнов с помощью некоторых линейных дифференциальных
операторов, вычисленных на определенном образующем сплайне,
названном нами стандартным сплайном. В результате этого
всякое из упомянутых ранее пространств минимальных сплайнов
можно рассматривать как образ некоторого подпространства
сплайнов (именуемого стандартным подпространством сплайнов)
при применении определенного линейного дифференциального
оператора (названного здесь определяющим μ-оператором).
Определение 3. Стандартным сплайном называется
образующий сплайн ώ(£), удовлетворяющий условиям
к
Σ φ(3№-η = φ(ή, (2.1)
j—k—m
te (fc,fc + l), fc = 0, l,...ra,
supp ώ = [Ο, m+1]. (2.2)
Нетрудно видеть, что стандартный сплайн Cb(t) единствен и
разрывен в узлах.
279

Теорема 3. Образующий сплайн ^\μ)(ί) может быть
представлен в виде линейной комбинации производных стандартного
сплайна,
ТП
^)(<) = E(-1)a^(Q)(f)· (2-3)
Доказательство. Беря производную порядка а от обеих
частей тождества (2.1), умножая результат на число (—1)αμα/α!
и суммируя ποα,α = 0,1,...,ττι, получим
к тп m
j=k—m а—0
k =
о
= 0,1,...,
Перепишем //-представление (1.18)
к
j—k—m
-j)
ТП t
a=0
-ΐ)α
~άΓμαψ
1=0
, m.
в виде
(a\t),
к = 0,1,... ,га.
(2.5)
В силу единственности решения аппроксимационных
соотношений из сравнения тождеств (2.4) и (2.5) получим равенство
(2.3).
Замечание 2. Возможны другие способы введения
стандартного сплайна (в частности, допустимо использовать один из
непрерывных минимальных сплайнов, фигурирующих в теореме
4), однако получаемые на этом пути результаты не имеют
существенных отличий. Предыдущее следствие показывает, что
упомянутые непрерывные сплайны можно также получить путем
использования введенного здесь стандартного сплайна.
Оиределение4. Дифференциальный оператор
называется определяющим μ-оператором (или //-определяющим
оператором).
3 а м е ч а н и е 3. Соотношения
к
Σ φ{3)ω{μ){ϊ)=Μμφ(ί), fc = 0,l,...,m, (2.7)
j=fc—τη
280

эквивалентны равенствам
к
Σ M„<p(j)u>M(t) = <p(t), A; = 0,1,...,™, (2.8)
j—k—m
где числа va и μα связаны формулами (1.9).
Это утверждение тождественно теореме 2.
Далее введем обозначения
Χμ = {ϋ(ί)|δ(*) = Σ^α;(μ)(ί-7), с.бД1}, (2.9)
μ = (1,0....,0), Χ = ΧΛ.
Очевидно, что X — пространство линейных комбинаций
целочисленных сдвигов стандартного сплайна.
X=h(t)\u(t) = J2cfu(t-j), cjellA. (2.10)
О π ρ е д е л е н и е 5. Пространство X. определяемое формулой
(2.10), называется стандартным пространством сплайнов.
Теорема 4. Любое пространство минимальных сплайнов
является образом стандартного пространства сплайнов при
отображении с помощью соответствующего определяющего
оператора
Χμ = ΜμΧ. (2.11)
Доказательство. Сформулированное утверждение
является непосредственным следствием равенства (2.3),
установленного в теореме 3.
§3. Определяющие функционалы и аппроксимация
Пусть вектор μ фиксирован (μο ф 0). Рассмотрим семейство
пространств Χμ{Κ), зависящих от вещественного параметра h >
0. полагая
Χμ(Κ) = I й(х) | й(х) = Σν3ω{μ)(χ/Η-3), vj eRl\. (3.1)
281

Введем диагональную матрицу Тн (тп + 1)-го порядка с
элементами hk на главной диагонали, А: = 0,1....,т. Подействуем
этой матрицей слева па равенство (1.18). С учетом соотношения
Ih<pM(t) = ha<pM(ht) (3.2)
получим
]Г φυνω{μ)(ί.-1) = Σ{-Ξΐΐ)1μαφ^){ϋι)ι (з.з)
j=k — m с*=0
t (Ξ (A\fc + 1), fc = 0,l,...m.
Аналогичным образом, действуя той же матрицей 2^ слева на
соотношение (1.19). найдем
Σ Σ{~Η)ανα^-^-±ω{μ){ί-3)^ψ(ϋι), (3.4)
j=k—ma=0
te (АгД'-hl), /c = 0, L...m.
Введя обозначения χ = th* χ3 = jh и используя их в
тождествах (3.3) и (3.4), будем иметь
Σ ^·HoWл-i) = Σi-sr/iβV'(o)(ic), (3·5)
j=k—m α=0
к m (α), ν
Σ Σ,{-^α^^-^-ω{μ){φ-ό)^φ(χ), (3.6)
j—k — rn α—Ο
χ € (xfc,a?ik+i), fc = 0, l,...m.
Заметим, что числа z/Q и μα по-прежнему связаны соотношениями
(1.9).
Пусть η — целое неотрицательное число.
Рассмотрим линейное пространство функций и, заданных и
непрерывных на интервалах (xk,Xk+i)* следы Uk которых на этих
интервалах продолжимы на отрезки [xb^fc+i] так. что
результаты продолжения йк лежат в пространствах Cn[xk,Xk+\\\ здесь к
282

- любое целое число, к £ Z. Обратимся к подпространству тех
из них, для которых конечна норма
|| и ||β»= sup || и |ic«[*fc,*fc+i] · (3·7)
kez
Пополнение последнего но норме (3.7) обозначим через Bn(R1).
Заметим, что в этом обозначении для краткости не отмечается
зависимость данного пространства от параметра h.
Очевидно, что Χμ(Ιι) С Bn{Rl).
Для приближения функции и(х) класса Cm{Rl) с помощью
элементов подпространства Χμ{Κ) возьмем аппроксимацию вида
jez
где {/· }jez — система линейных функционалов из
пространства (Ст)*, сопряженного к пространству Crn(Ri).
Определение 6. Система линейных функционалов
{fj ijez из пространства (От)*, фигурирующих в
аппроксимации (3.8), называется определяющей системой (для
аппроксимации (3.8)).
В рассматриваемом случае положим
if]h\u) = f^^-uau^{xj). (3-9)
α=0
Далее используем обозначение φΐ{ϊ) — t%, г — ОД,...,τη (см.
(1.3)).
Покомпонентная запись тождества (3.6) дает
Σ Σ ^^iQW"<M)(*/b-i) = ?.(*). (3-ю)
j=k — m α=0
x € {xk,Xk+i), fc = 0,l,...,m,
откуда с помощью обозначений (3.9) получим
Σ (/jh).v<)<W^-j) = «*(*), (з-ii)
j=k—rn
283

χ e (xk,Xk+i), к = 0,1,...,т, i = 0,1,...,т.
Формулы (3.11) означают, что аппроксимация (3.8) точна на
пространстве πτη многочленов степени не выше т.
Методом подобия легко устанавливается следующее
утверждение.
Теорема 5. Если и(х) — функция класса Cm(Rl), то для
аппроксимации а(х) вида (3.8) справедлива оценка
||м-й||е'. <С0Лт-пНс«, ие{0,1,...,т}, (3.12)
где Cq — некоторая положительная константа, которая не за-
висит от и £ Cm(R1) и от h.
§ 4. Укрупнение сетки и минимальные сплайны
На интервале (а, Ь) вещественной оси рассмотрим (на этот раз,
вообще говоря, неравномерную) сетку А':
... < Х-1 <хо < χι < .... (4.1)
где llmj-^-^Xj = α, lim?_+00x7 = b (числа α и 6 могут быть
конечными или бесконечными: а = — оо. Ь = +эс ).
Наряду с исходной сеткой X будем рассматривать сетку Ξ,
полученную из исходной выбрасыванием некоторых узлов.
Определение 7. Будем говорить, что сетка Ξ получена
укрупнением исходной сетки X.
Для нас пока наиболее интересными являются следующие два
варианта укрупнения: 1) из исходной сетки выбрасываются узлы
с четными номерами (четное прореживание сетки); 2) из исходной
сетки выбрасываются узлы с нечетными номерами (нечетное
прореживание сетки). Оба варианта укрупнения в наших условиях
эквивалентны, и лишь для удобства в дальнейшем фиксируется
один из них.
Определение 8. Каждое из указанных укрупнений
называется двукратным укрупнением сетки. В первом случае —
двукратным укрупнением с сохранением нечетных узлов
(двукратное нечетное укрупнение), а во втором случае —
двукратным укрупнением с сохранением четных узлов (двукратное
четное укрупнение).
284

Для определенности далее считаем, что сетка Ξ является
четным укрупнением сетки X, так что
Ξ : ... < Х-2 < хо < χ·2 < · · · (4.2)
Иначе говоря,
s = {^|^=x2j, jez}. (4.3)
где Ζ — множество всех целых чисел.
Рассмотрим два семейства функций
-' = {ωχ(ί) \х eX.t€ (α, 6)}, Ω = {Ωξ(ί) |ξ e Ξ, t Ε (α, b)}
с: конечными и равномерно ограниченными на (а, Ь) кратностями
накрытия. Пусть для некоторых наборов (?н + 1)-мерных векторов
afcj/, A{j e Дт_и, k,i,j,jf e Z, выполнены соотношения
]Г akj'u;Tj,(t) = <p(t), t e {xk,Xk+i), (4.4)
5] i4ifine.(i) - ip{t), t e (аг2»,Х2»+2). (4.5)
Будем считать, что функции ΩξJ(t) могут быть представлены
как конечные линейные комбинации функций лх ,(£),
j'€/(j)
где /(j) — конечные подмножества множества целых чисел.
Определение 9. При условиях (4.6) система функций
Ωξ (t) называется укрупнением системы и;х (£), а сами
соотношения (4.6) — соотношениями укрупнения.
Подставляя (4.6) в (4.5), имеем
Y^Ai,j Σ 0jJ'UxAt) = <P(t)* te(x2i,X2i+2). (4.7)
jzz j'ei{j)
После перестановки порядка суммирования получим
Σ Σ Aijfy.S'UxA1) = ^' 1 Ε (Х2Ь^2г+2). (4.8)
j'ez jez,j'eiu)
285

Сужая (4.8) На Промежутки t e {X2i,X2i+l), t G (Я2г+1,Я2г+2) И
рассматривая соотношение (4.4) на тех же промежутках (т. е. при
к = 2г, 2г + 1), приходим к выводу, что в (4.4) можно положить
Q>2i + l.j' = fl2t,j' = 2-/ Aijpjj'- (4·9)
j€Z,j'e-/(j)
Теперь видно, что фактически доказано следующее
утверждение.
Теорема 6. Если выполнены соотношения (4.5) и (4.6), то
выполнены соотношения (4.4). где а/-,/ даются формулами (4.9).
Легко доказать также сформулированные ниже предложения.
Теорема 7. Если выполнены соотношения (4.4), (4.6) и (4.9),
то выполнены соотношения (4.5).
Теорема 8. ifc/ш выполнены соотношения (4.4) и (4.9). а
уравнения (4.5) однозначно разрешимы относительно Ωξj (£), £ £
Ε (x2iiX2i)r шо верны соотношения (4.6).
Доказательство проводится подстановкой (4.9) в (4.4),
изменением порядка суммирования и использованием
однозначной разрешимости уравнений (4.5).
§ 5. Соотношения укрупнения
для Л-минимальных сплайнов
Как и в предыдущем параграфе, на интервале (а, о)
вещественной оси рассмотрим сетку (4.1), но. в отличие от
предыдущего параграфа, рассмотрим лишь две цепочки векторов
δ = Mjez, А = {Ai}iez, aj,Ai e Ят+1. (5.1)
Пусть функции ujj(t) и Ω,·(ί) удовлетворяют аппроксимацион-
ным соотношениям
5>,-cjXj(f) =¥>(«), (5.2)
Σ^.(*) = ^ (5.3)
а также следующим условиям расположения носителя:
supp ujTj = [xj-e,xi+z], (5.4)
286

supp Ωξι = [ξ,·-β,ξί+ί]; (5.5)
здесь целые числа 5. / таковы, что
s 4-Z = 7714-1. (5.6)
Будем рассматривать (почти везде) также соотношения
укрупнения
Ωξ.(ί) = ΣΑ.,·"*,(0< ieZ- <5·7)
Ввиду формул (5.4), (5.5) суммы (5.2). (5.3), (5.7) содержат
лишь конечное число ненулевых слагаемых. Из этих же формул
ясно, что ненулевыми слагаемыми в (5.7) могут быть разве лишь
слагаемые с индексами j из множества N(i). определяемого
равенством
N(i) = {j | supp Uj e supp Ω,}. (5.8)
Из условий (5.4), (5.5) легко найдем
N(i) = {2г - зч 2г - s 4-1,..., 2г 4- /}. (5.9)
Лемма 2. При предположениях (5.3), (5.7) верно
соотношение
Σ J2 Ατα^ωΧι(ί) = φ{ί). (5.10)
i£Zj€N(i)
Доказательство очевидным образом вытекает из
формул (5.3), (5.7).
Лемма 3. Пусть а = {a>j}j€Z ~ полная цепочка векторов и
выполнены соотношения (5.2), (5.4). Если для некоторой цепочки
векторов b — {bjjj^z почти везде выполнены тождества
Σ^*>χ.(ί)=φ(ί), (5.11)
jez
то цепочки a ub совпадают.
Доказательство. Возьмем в промежутке (х^,Xk+i)
различные точки tk.o < tk,i < · ·. < ^,m- Из (5.2), (5.4) имеем
fc+s
Σ Q>j"j(tka) = <p{tk,i), г = 0Л,...,т. (5.12)
287

Введем квадратные матрицы
Лк = (α*-ζ+ι,...,α*+β), Фк = (^(ifc.o),...,^(ifc.m)J, (5.13)
(Vxk-ι + τ (**,θ) · · · <4г*-т (ffc.m) \
WJfc_,+2(iA!.o) ··· WXjt_t + 2(ffc,m) I (5 14)
МХк + я№к%о) ··■ ^т^ + Д^т) /
В этих обозначениях соотношения (5.12) можно записать в
виде
Лквк = Ф/с.
Матрица Лк неособенная, ибо по предположению цепочка а
полная; заметим еще. что матрица Ф^ неособенная, ибо она является
матрицей Вандермонда. Поэтому Эк = Л^1Фк — также
неособенная матрица и
·4* = Φ*Θ^. (5.15)
Вводя матрицу- Вк = ( &а:-/-ьь · · ·, &&+* ь перепишем соотношения
(5.11) в виде Вк&к = Φ'*, откуда
Вк = ФкЭь1. (5.16)
Сравнение формул (5.15) и (5.16) приводит к равенству Лк — Вк-
Теорема 9. Предположим, что цепочки векторов а и b
полные и выполнены соотношения (5.4)-(5.6). Тогда
соотношения укрупнения (5.7) эквивалентны равенствам
Σ Arfij^aj, jeZ. (5.17)
Доказательство. Если выполнены равенства (5.17), то
подставляя их в (5.2) и меняя порядок суммирования, приходим
к равенствам
£> £ frjuitf) = <p(t). (5.18)
i£Z jGM{i)
Поскольку решение {Ω*} в условиях доказываемой теоремы
единственно (с точностью до множества меры ноль), то из (5.18)
получаем соотношения укрупнения (5.7) (почти везде).
288

Обратно, если выполнены соотношения (5.7), то после
подстановки их в (5.3) имеем (5.10), откуда в силу леммы 14 получим
равенства (5.17). Теорема доказана. ■
Замечание 4. Соотношения (5.17) можно рассматривать
как уравнения для определения чисел βι^. Условия
суммирования по г могут быть записаны в одной из следующих
эквивалентных форм: j e N(i). 2г - s < j < 2i -f /, j - Ζ < 2г < j -f s. Таким
образом, число неизвестных β^ в (5.17) значительно меньше
числа уравнений (число последних т И- 1, а неизвестных примерно
б два раза меньше), и, следовательно, условия (5.17) довольно
жесткие.
Переформулируем теорему 9 эквивалентным и для некоторых
ситуаций более удобным образом:
Теорема 10. Пусть цепочки a ub полные и выполнены
условия (5.4)-(5.6). Тогда соотношения укрупнения (5.7)
эквивалентны следующим:
aj e £(м<Ь-/<2<<я-в), j e 2\ (5.19)
где С означает операцию взятия линейной оболочки множества
рассматриваемых векторов.
289

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альберг Дж.< Нильсен Э., Уолт Дж. Теория сплайнов и ее
приложения. М., 1972. 316 с.
2. Астраханцев Г.П., Руховец Л,А. Метод релаксации на
последовательности сеток для эллиптических уравнений с
естественными краевыми условиями // Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1981. Т. 21. №4. С. 926-944.
3. Ахо Α.. Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ
вычислительных алгоритмов. М., 1979. 536 с.
4. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного
метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор
II Журн. вычисл. математики, и мат. физики. 1966. Т. б. №5. С.
861-883.
5. Бурова И.Г. Об аппроксимации комплексными сплайнами
II Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. №2. С. 3-9.
6. Бурова И. Г. О тригонометрических сплайнах на конечной
сетке. Л., 1996. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 22.11.96. №3392.
7. Бурова И.Г.. Демьянович Ю.К. О построении сглаженных
сплайнов с минимальным носителем // Вестн. Ленингр. ун-та.
Сер. 1. 1983. №13. С. 10-15.
8. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О локальной
аппроксимации переменной высоты // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986.
№13. С. 38-43.
9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Об устойчивости
минимальных сплайнов ненулевой высоты на локально квазиравномерной
сетке /'/' Тез. докл. Всесоюз. сем. Вопросы оптимизации
вычислений: Киев, 1987. С.39.
10. Бурова И.Г.. Демьянович Ю.К. Точные константы в
оценках аппроксимации минимальными сплайнами /7 Вестн. С.-Петерб.
ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 4. С. 27-30.
290

11. Бурова И.Г.. Демьянович Ю.К. Граничные минимальные
сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб.
гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.
12. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных
сплайнов. СПб., 2000. 316 с.
13. Бурова И.Г., Дюкина A.M. О сглаживающих
аппроксимациях // Методы вычислений. Вып. 17. СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 1995. С. 15-27.
14. Бурова И.Г.. Патрушева Е.В, Чермных Т.В. О построении
аппроксимаций на конечной сетке // Там же. С 28-42.
15. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы,
программы. Новосибирск, 1983. 215 с.
16. Воеводин В.В. Математические модели и методы в
параллельных процессах. М., 1986. 296 с.
17. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение
некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208
с.
18. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения
функций М., 1954. 327 с.
19. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.,
1984. 303 с.
20. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации локальными
функциями в пространстве с дробными производными // Диф.
уравнения и их применение: Тр. семинара. Вып. 11. Вильнюс, 1975.
С. 35-48.
21. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации пространствами
локальных функций /'/' Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. №1. С.
35-41.
22. Демьянович, Ю.К. Об устойчивости и длительности
вычислений в вариационно-разностном методе // Зап. науч. семмнаров
ЛОМИ АН СССР. 1978. Т. 10. С. 5-29.
23. Демьянович Ю.К. О последовательной аппроксимации
пространствами локальных функций /7 Зап. науч. семинаров ЛОМИ
АН СССР. 1981. Т. 111. С. 31-51.
24. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации и интерполяции
локальными функциями на неравномерной сетке /7 Вестн. Ленингр.
ун-та. Сер. 1. 1982. №13. С. 15-19.
291

25. Делььянович Ю.К. О построении пространств локальных
функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН
СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.
26. Демьянович Ю.К. О пространствах локальных функций и
о минимальных сплайнах // Вариационно-разностные методы в
мат. физике. М., 1984. С. 98-109.
27. Демьянович Ю.К. Аппроксимация локальными
функциями и вариационно-разностные методы. Л., 1987. 85 с.
28. Делььянович Ю.К. Локальная аппроксимация на
многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.
29. Демьянович Ю.К. О классификации пространств
минимальных сплайнов. Л.? 1997. 25 с. Деп. в ВИНИТИ. 24.07.97.
№2486-В97.
30. Демьянович Ю.К.Ч Баюми С.Э. Константы в оценках сплай-
новой аппроксимации на двоичной сетке. Л., 1993. 27 с. Деп. в
ВИНИТИ 01.07.93. №1818-В93.
31. Демьянович Ю.К. Всплески &; минимальные сплайны.
СПб., 2003. 200 с.
32. Демьянович Ю.К. Всплесковые разложения на
неравномерной сетке // Труды Санкт-Петербургского математического
общества. 2007. Т. 13. С.27-51.
33. Демьянович Ю.К., Михлин С. Г. О сеточной
аппроксимации функций соболевских пространств // Зап. науч. семинаров
ЛОМИ АН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11.
34. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы
сплайн-функций. М., 1980. 352 с.
35. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах. М.: Наука, 1959. 684 с.
36. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М., 1984.
352 с.
37. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.:
Наука, 1959. 327 с.
38. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны.
Л., 1986. 120 с.
39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1977.
454 с.
40. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация //' Зап.
науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.
292

41. Морозов В. А. Теория сплайнов и задача устойчивого
вычисления значений неограниченных операторов // Жури, вычисл.
математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.
42. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно
поставленных задач. М., 1987. 239 с.
43. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные
формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.
44. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных
уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.
45. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для
некоторых задач механики сплошных сред. М., 1987. 320 с.
46. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977.
552 с.
47. Стечкин СБ.. Субботин Ю.Н. Сплайны в
вычислительной математике. М.. 1976. 248 с.
48. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.
М., 1977. 349 с.
49. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических
задач. М., 1980. 512 с.
50. Юферев B.C. Локальная аппроксимация кубическими
сплайнами // Журн. вычисл. математики, и мат. физики. 1981. Т. 21.
№1. С. 5-10.
51. Babenko K.L Estimating the quality of computational algorithms.
Pt 2 // Comput. Meth. Appl. Math. Eng. 1976. Vol. 7. N 2. P. 135-
152.
52. Burova I.G., Demjanovich Yu.K. On constants in minimal
spline approximation // Optimization Finite Element Approximations:
Intern. Conf. (Abstr.) St .-Petersburg, Russia. June 25-29, 1995. P.
45-46.
53. Coen Α., Da.ubechies /., Feauveau J.-C Biortogonal bases of
compactly supportet wavelets //' Com. Pure Appl. Math. 1992. N 45.
P. 485-560.
54. Dahmen W., ProssdorfS.. Schneider R. Wavelet approximation
methods for pseudodifferential equations I: stability and convergence.
Preprint №7. Berlin, 1992.
55. Daubechies L Orthonormal bases of compactly supported wavelets
/7 Com. Pure and Appl. Math. 1988. Vol. 41. P. 909-996.
56. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. CBMS-NSF Lecture
Notes nr. 61, SIAM, 1992. 351 p.
293

57. Demjanovich Yu.K. New properties of minimal splines //
Proceedings of St.-Petersburg Jyvaskyla Seminars of Applied Mathemat
and Numerical Analysis. 1992. P. 27-44.
58. Demjanovich Yu.K. New classes of minimal splines // Russ.
J. Numer. Modelling. 1994. N 4. P. 14-26.
59. Demjanovich Yu.K. Some properties of the minimal splines //
Math. Nachr. 1995. Vol. 177. P. 57-79.
60. Demjanovich Yu.K. On properties of the abstract F-repre-
sentations // Optimization Finite Element Approximations: Internat.
Conf. St.-Pctersburg, Russia. June 25-29, 1995. (Abstr.) P. 50-51.
61. Goel J.J. Construction of basis functions for numerical utilization
of Ritz's method /7 Numer. Math. 1968. Vol. 12. P. 435-447.
62. Hackbusch W. Multi-grid convergence theory // Multi-grid
methods. Proc. of the Conf. Held at Koln-Porz. Lecture Notes in
Math. 1982. Vol. 960. 170-219 p.
63. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonorma
bases of L2 // Trans. Amer. Soc. 1989. Vol. 315. P. 69-68.
64. Mikhlin S.G. Constants in Some Inequalities of Analysis. L.,
1986. 108 p.
65. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation
of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math. 1946.
Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.
66. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method
in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N 3. P.
265-273.
294

Приложение 1.
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ОБЩИМИ СПЛАЙНАМИ
Покажем, как получить оценку аппроксимации сплайнами в
равномерной метрике и заодно найти оценку соответствующих
констант в достаточно общем случае.
Как и прежде, на интервале (а, Ь) рассмотрим бесконечную в
обе стороны сетку X:
... < χ_ι < хо < χι < ..., (1)
где а = limj-^-ocX-j,^ = linij_++0O х^ (а и b могут быть
конечными или бесконечными). В дальнейшем через Ст(а,Ь)
обозначается линейное пространство всех непрерывных функций с
непрерывными производными до порядка т включительно, а через πηι
— линейное пространство всех многочленов степени не выше т.
За символом Ст[а,Ь] сохраняется обычный смысл — это
банахово пространство всех непрерывных функций с непрерывными на
[а, Ь] производными до порядка га включительно. Через Ζ
обозначим множество всех целых чисел.
Для функции и е Ст(а, Ь) рассмотрим аппроксимацию u(t),
задаваемую на каждом интервале (аг/ь, Xk+i), к £ Z, формулой:
k+s
й(*) = Σ (/*.«)";(*)■ te{xk,xk+i), (2)
где
т
(#и) = Х>*Уд)(**), kjez, (3)
ofj а — некоторые числовые коэффициенты, s, Z — целые числа,
s + I > т+ 1.
295

Предположим, что аппроксимация (2) точна на многочленах
из 7гт, т. е.
k+s
Σ (fj,P)<»j(t)=p{t), репт. (4)
Соотношения (4) будем называть аппроксимационными.
Теорема 1. Пусть и £ Ст+1(а, 6), и пусть выполнены ап-
проксимационные соотношения (4). Тогда на каждом интервале
(xfc.Xfc+i) справедлива оценка:
\u(t)-m < (^7?)Г1||и(та+1)||с^^»'
t е (χ*;, xjt+i), fee Z. (5)
Доказательство. В интервале (х^, α^+ι) представим
гг(£) по формуле Тейлора
tt(i) = Pm,fc(i) + flWffc(i). (6)
где
PrnAt) = E^^(t-xk)\ (7)
(га + 1)!
Xk <£<t <Xk+i.
Очевидно, что
РтА*)£*т, (9)
1Ят,»(01<^
* е (xfc,^fc+i),fcG ζ. (ίο)
Из (7) следует, что Р^]к{хк) = w(<?)(xfc), ρ = 0,1,... ,га, fc e Ζ, a
значит согласно (3)
(//,«) = (/,*, Pm,fc). (11)
296

Благодаря аппроксимационным соотношениям (4) при ρ = Рт.к
с помощью (11) найдем:
k+s k+s
Σ (tf,u)wS(t)= Σ (#,Р„,.*Ь(0 = Рт,*(«), (12)
j=fc-i + l k-l+1
так что из (6), (12) и (2) имеем u(t) = й(£) -f Rm,k{t)· Используя
оценку (10), легко получаем неравенство (5).
Следствие 1. В условиях теоремы 1 на множестве (а,Ь) \ X
верно неравенство
|uW~u(i)l - J^Tiy.lfz{iXk+1 -х*)",+г»м(т+1)11^^+.]}·
(13)
Следствие 2. Если и € Cm+l[a,b],u)j € C[a,b]. то в условиях
теоремы 1 справедлива оценка:
Н«(<) -й(*)11с(о,ы <7-^™Р{{х*+1-Хк)т+Ч*{т+1)\\с[*,ц}.
[τη -f-1)1 kez
(14)
В частности, если сетка равномерная с шагом h > 0, то оценка
(14) принимает вид
i,m+l
IK*) - u(t)\\c{R4 < ——— sup ||u(m+1'||C(Rl). (15)
\jn -r i)1. kez
Замечание 1. Рассматриваемая конструкция имеет
различные обобщения. Например, вместо представления (6) можно
рассмотреть представление и = Vm^it -f Hm,kU, где Vm,k · и —*
Пт, Пт — некоторое (тп + 1)-мерное пространство функций, а
Pm.k — операция проектирования на Пт функций, заданных на
(χ^,χα,.+ι), причем выполнены аппроксимационные соотношения
jezk
Тогда для u(t) = Y^jzZbifj'U^j приходим к оценке \\и — й\к —
\\Rm,kU\\k-
3 а м е ч а н и е 2. Общие сплайны включают все
рассмотренные в книге полиномиальные сплайны; кроме того, они
включают сплайны, представляющие собой кусочно-полиномиальные
297

функции без согласования в узлах. Полученные только что
оценки, очевидно, нсулучшаемы (они реализуются на многочленах
(га 4- 1)-й степени). Отсюда следует, что соответствующие
константы для любого рассмотренного в книге класса минимальных
полиномиальных сплайнов не могут быть меньше тех, которые
указаны в теореме 1.
298

Приложение 2.
НЕПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
МАКСИМАЛЬНОГО ДЕФЕКТА
В этом разделе покажем, как можно построить приближения
неполиномиальными сплайнами максмального дефекта и
получить оценки погрешности приближения.
1. ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ
ЛАГРАНЖЕВЫМИ СПЛАЙНАМИ
1.1. Построение непрерывных базисных функций
Пусть /, s — целые неотрицательные числа, связанные
соотношением / + s = n, {xj} — упорядоченная по возрастанию сетка
узлов на промежутке [а, 6]. Функция и(х) задана в узлах сетки.
Будем считать, что и £ Сп[а,Ь]. Приближение й(х) для
функции и(х) на промежутке [xj,Xj+\] строим по формуле и(х) =
J2k и(хк)мк{х)» Функции uJk(x), называемые базисными, будем
находить из условий
и(х) - и(х) = О, и — <Pi(x), г = 1,2,..., п,
где {φι} — чебышевская система функций на промежутке
[tfj-z+i,2j+e] С [а,Ь] и φι е Сп[х^_/+1,х^+5]. Таким образом,
приходим к системе уравнений
Y^4>i{xk)uk(x) =<Pi{x), i = 1,2,...,п.
к
При условии suppcjj = [xjsiXj+i] количество уравнений в
системе совпадает с количеством неизвестных. Система принимает
299

вид
j+s
]Р Vi{xk)uk{x) = Vi{x), г = 1,2,...,η.
fc=i-J+l
Обозначим Φ(χ) = (<£i(:r), · · · ·> ψη{χ))Τ - Определитель
Δ,- = det^Xj-i+i),..., Φ(Χ;+,)) Φ 0,
так как {φ^} — чебышевская система. Таким образом, базисные
функции Uk{x) определяются однозначно. С помощью формул
Крамера при к = -5,-5-f 1,.. .,/-1 имеемо^-А^х) = det№(xj-i+\),
... ,Ф(ху-к-1)чФ(х),Ф(ху-к+1 ),·.., Q(xj+a))/&j. Заметим, что в
соответствии с результатами [1], при / > 1, s > 1 базисные
сплайны Uj непрерывны на промежутке [а, Ь].
1.2. Построение решения ассоциированного
дифференциального уравнения
Построим однородное линейное уравнение, имеющее
фундаментальную систему решений φ\(χ),..., φη{χ)- В соответствии с
разделом 6.2.10 книги [12J (в этом приложении список
цитируемой литературы свой и находится в конце), при χ Ε [xj_/+i,xj+s]
составим соотношение
Ψ2{χ),
φ'2(χ),
Ψη{χ),
и(х)
и'(χ)
φ[η\*), φ£\*), ■■■ Ч&Чх), ^(χ)
= 0.
Предположим, что определитель Вронского
W(x) =
φι(χ),
φ[(χ),
φ2(χ),
Ψη{χ)
ψ'η(χ)
φ[η-1\χ), Ψ(Γ1\Χ\ ■■■ 9{Г'\х)
отличен от нуля при χ Ε [xj-i+i,Xj+s]. Разлагая определитель
по элементам последнего столбца и деля все члены полученного
уравнения на W(x), получим искомое уравнение
Lu = и{п\х) + pi{x)u{n-1]{x) + .. .+рп{х)и{х) = 0.
300

Построим теперь общее решение неоднородного уравнения
IjU — f(x) методом вариации произвольных постоянных.
Положим
η
U{X) =]РСг(х)</?г(>).
г=1
Для определения Сг(х) в соответствии с [9] имеем систему η
дифференциальных уравнений первого порядка
η
г=1
η
X;Cf(xVifc)(«) = 0, fc = l,2,...,n-2,
г=1
Υ^σί{χ)φ{Γ1){χ) = ί{χ).
г=1
Получаем
_ Wni{x)f(x)
Ci(X} ~ W(x) '
где Wni(x) — алгебраические дополнения элементов ri-й строки
определителя W(x). Находим
rM fxwni(t)f(t)
Ci{x) = l w(t) dt + Cu
где Ci — произвольные постоянные, а η — точка из промежутка
[xj,Xj+i]. Итак,
1.3. Оценка погрешности
Оценим \и(х) - и(х)\. Имеем при χ е [xj,Xj+i]
j+s
и{х) - и(х) = ]Г u(xfc)cjfc(x) - и(х) =
fc=j-/+l
301

Заметим, что ввиду аппроксимационных соотношений из п.1
верна цепочка равенств
j+s η η j+s η
k=j-l+\ г=1 i=l k=j-l+l г=1
Теперь ίί(χ) - и(х) =
η / i+s
Σ Σ
i=i \fc=j—гч-ι
Пусть η = χ. Представляя (fi(xk) с помощью формулы Тейлора:
п-1 (*-1)/,ч (п-1)/ ч
«(«) - Σ ψ$(* -')'- + <» - о- Viyr'
где Tfc = Tk(t,Xh) находится между χ к и £, получаем й(х) — гг(х) =
- l+S "' ,n-^rl\rk)Wni{t)f{t)dt
f I ri , *f , ,Wni(t)f(t) ^ f Wni(t)f(t) Jt\
= S Σ «*<*> / ^)-^-л - у -wot* ■
-Σ Σ «**>/<*-')""ViF
W(i)
Далее, применяя теорему о среднем и интегрируя, имеем
г2(х) — и(х) —
п j+s
= S J~+, -a—w—Щи—ль»·
(n-
(n
■1)Ъ)
-1)!
~ui
w»<(&)/(&)
w(&)
,Л("-1)лг
Ml/ ΎΑ
-0П"
^
-Xrff -
302

где £k и г^ находится между хк и х. Теперь R(x) =
и'(&)
= й(х) - «(*) = £ i£L^LWfc(x)/(b) J;
fc=j-i+l * г=1
Таким образом, получаем оценку
j+s
/(&)
Щ&)
WaOUefo. *ί+ι] < Σ "^4й Κ(*)| max
71
x £_ max |^n_1)(rfc)| max | Wni(&)l
1.4. Оценки погрешности приближения
тригонометрическими сплайнами
Пусть даны функции ψ\{χ) = 1, <£2(я) = sin(x), φ^{χ) = cos(x).
При достаточно густой сетке узлов рассмотрим приближение
i+i
fc=j-i
где из условия гГ(х) = и(х), и(х) = φϊ(χ). г = 1,2,3. получаем
• X — Χι — 1 · Χ — Xi-Ц
_ Sill j4-*- SHI ^
J\ / . Xj— Χι—1 · Xi-Ij + i '
si η -^—-Λ—- sin -^—_j +
sin ■' 2 sm —-2-
^i-i(s) = "Τ
X —X; · X — X i-i-i
sin —^ sm —t^-
X-i—l—Xi · X,_i— Xi-i-i '
sm -jL-^—^ sin ^ о i?+l
sm —2-^ sin —^—L
"i+U*) Q:n gj+i-iy R;n »jrti-^-i '
sm -^—<- sin ■ 2
Уравнение, имеющее данную фундаментальную систему решений
φ%{χ), г = 1,2,3, таково: i/"(:r) + и'{х) = 0. Общее решение
уравнения и"'{х) + и'{х) = f(x) записываем в виде
/х x — t
{u"'{t) + u'(t))sm2 —— dt.
2
303

Пусть сетка узлов {xj } равномерная с шагом h. Имеем \uj (χ) \ < 1,
\ωί+ι{χ)\<1,\ω^χ{χ)\<0,14.
Положим η — χ. После вычисления интегралов оценка
погрешности приближения имеет вид
\й{х)-и[х)\ < A'i||tt/// + ti/||[^-lf^+l]>
где
К\ = \u)j-\(x)\{x -Xj-ι -sin(ar -Xj_i))-f
+\u>j(x)\(x - Xj - sin(x -Xj)) + \u>j+i (x)|(xj+i -x -sin(xj+i -x))
или
\й(х) - и(х)\хф., XJ+1] < Кф*\\и'" + u'\\[xj_uXj+l], K2 « 0,354.
1.5. Оценки погрешности приближения
экспоненциальными сплайнами
Пусть даны функции ψχ(χ) = 1, ψ2{χ) — ^х\ ^з(^) = е^2х\
φι(χ) = c(Sx\ Вронскиан данной системы функций W = 12е^6х\
При достаточно густой сетке узлов рассмотрим приближение
й(х) = ^2'Фк)^к{х), χ е [xj,xj+i],
k=j
где из условия й(х) = и(х), и(х) — ψί{χ), г = 1,2,3,4. s = 1, / = 3,
suppwj = [xj_j , Xj+з], получаем ω* (χ), k = j - 2 J - 1, j,j + 1:
(e* - e^-2)(ex - c^"-1)^ - ex'+l)
[exi - exJ-2)(exJ - exJ-l)(ex> - б*'-1)'
(e* - e^-2)(e* - e^-1)(ex - e^)
(e*,+i _ exJ-2)(ea;j+l — ea;i-1)(e:rJ>1 — ex'>)'
(ex - e^-2)^* - exJ+l ){ex - с*·*)
uj{x)
U>j+l{x):
Uj-i{x)-
304

_ (ex - ех*~1){ех - ex*+l){ex - ex*)
j~2 ~~ (ех^-2 - exi~x )(ex->-2 — e*j+l )(е^-2 - e^)'
Уравнение, имеющее фундаментальную систему решений φί{χ),
i = 1,2,3,4, таково: u""{x) - 6u'"{x) + 11ι/"(χ) - 6tx'(:r) = 0.
Общее решение уравнения и""(х) - 6и'"(х) + 11г/'(х) - 6г/;(х) = f(x)
записываем в виде
и{х) = Ci + С2е^ + С3е^> + С4е<3а:) +
+ 7 /%""(*) - 6u'"(t) + llu"(*) - 6ti'(0)e(*-e)dt.
При равномерной сетке узлов {xj} с достаточно мелким
шагом h имеем |и^(а:)| < 1,057, |u^+i(:r)| < 1, |u^_i(x)| < 0,316,
1^-2(^)1 < 0,065. Отсюда получаем оценку погрешности
\й(х)-и(х)\ < AO/i4||ix,,,,-6ti,,,+lli/,,-6ix,||[x._ljX.+2], K0 « 0,4453.
Ниже приведены результаты численного эксперимента. Будем
использовать следующие обозначения:
Reh — тах\й(хы) — u(xki)\ — экспериментальная погрешность
на промежутке [0,1] при равномерной сетке с шагом hi, Xki =
ОД/Л*.
R\ = max \й(х) — и(х)\ — теоретическая погрешность на про-
* же [од]
межутке [0,1] с шагом hi.
Результаты численного эксперимента на промежутке [0,1]
при равномерной сетке с шагами h\ = 0,1 и hi = 0.01
и(х)
е*х
sin(4x)
ч,
0,4 Ю-3
0,2· Ю-3
"fci
0,6 ΙΟ"3
0,2 Ю-2
/?е
0,5· ΙΟ"6
0,2 ΙΟ"6
«L
0,6 Ю-5
0,2 Ю-5
305

2. О ПОСТРОЕНИИ ГЛАДКИХ
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ СПЛАЙНОВ
2.1. О построении непрерывных сплайнов
Пусть m — целое неотрицательное число, {xj} — сетка
упорядоченных узлов... < Xj_i < Xj < Xj+i ..., функция и е Ст+1(а, 6),
возможно а = —оо, b = -foo, функция φ е Ст+1(а,6) строго
монотонна и отлична от нуля на (а, Ь). Предположим, что
определитель Вронского, построенный по системе функций <£г(х), г =
О,..., ш, отличен от нуля.
Аппроксимацию и(х) на промежутке [xfc,#fc+i) будем строить
в виде
й(х) =Х^(:гуН(х), (1)
где u)j(x) — интерполяционный базис полиномиальных сплайнов,
определяемый из условия точности аппроксимации (1) на
функциях φν(χ), ν = 0,1,..., т:
Υ^φυ(χ^ωί{χ) = ч>и(х), ζ/= 0,1,..., т.
j
При построении сплайнов u)j(x) предполагаем, что supp Uj =
[xj-s,Xj+i], где s и I — некоторые натуральные числа, задающие
носитель сплайна cjj(x). Будем предполагать, что га = s -f / — 1.
Считая, что кратность накрытия произвольной точки χ
носителями базисных сплайнов uij(x) равна почти везде т +1, нетрудно
заметить, что в сумме (1) при [xk,Xk+\) небольшое количество
слагаемых:
k+s
306

При х G [a?fc,#fc+i] сплайны ω^{χ) определяются однозначно из
системы уравнений
k+s
Σ φ"(χ3)ω3(χ)=φι'(χ), ν = 0,1,...,
j=fc-/+l
m.
(2)
Построенные таким образом сплайны Uj (x) имеют следующие
свойства:
1) iOj{Xj) = 1. ujj(xk) = 0 при j ф к;
2) и(х) - и(х) = 0 для и(х) = </^(х), ^ = 0,1,..., т;
3) supp uij = [xj-8,Xj+i];
i)uj еС(а,Ь).
Теорема 1. На промежутке [хк,Хк+\) аппроксимация й(х),
вида
k+s
где
ολ,·(χ) = <
Π
φ(χ) - <p(xr)
, χ G [a?fc,Xfc+i)i
jVi ^(:гi)-^(χj/),
-/+i</-fc<s
A: = j - s,...,j-H- 1;
l0, х£[х7_5, xi+i]
обладает следующими свойствами:
1) u(x) = u(x), при и(х) = у?*(х), г = 0,1,..., т;
2,Ц gC[xj_s, Xj+j].
307

2.2. О построении гладких минимальных сплайнов
2.2.1. Первый вариант расположения носителя
Система уравнений (2) при χ £ [хь^а-н] однозначно
определяет минимальные интерполяционные сплайны u)j(x):
φ(χ) -<p{x.j>) r .
ωΛχ) — \ -l+l<j'-k<s
к = j -s,...J + /- 1;
^ U, Χ ψ [Xj — S, Xj + Ц.
(3)
Нетрудно видеть, что сплайны (3) являются лишь
непрерывными функциями аргумента х. Рассмотрим базисный сплайн илДх),
носитель которого шире на один сеточный интервал носителя
сплайна ujj(x)1 и предположим, что supp uij = [xj-s, Xj+ι+ι].
Теперь условия точности аппроксимации (1) на функциях φν(χ),
ν — О,1,..., т, принимают вид
k+s
Σ ΰΛ*)<Ρ"(*ί) = *"(*)> * = 0,l,...,m, (4)
j=k-l
ПрИХЕ [Хк, Xfc+l).
Пусть L — целое неотрицательное число, 1 < L < т.
Непрерывно дифференцируемые L раз функции oJj(x), следуя [1],
представим в виде
Uj{x) = I
Рк{х) Д Ф),-Фг) +
-l+l<j'-k<s
π φ(χ) - φ{χ,') r v
+ Π 7 ч > χ е χ^ χ*+ι >
-i+l<j'-fc<e
fc= j-s, ...,j-f/- 1;
-Pj+iW* * ^ [^j+i^j+z+i);
10, χ £ [Xj-sj #j+/+ib
(5)
где pj (x) — многочлены, определяемые в дальнейшем.
308

Обозначим
*w- Π «^
-l+l<j'-k<s
тогда при λ = 1,2,..., L на промежутке [д^., χ&+ι] имеем
Hlx\xk) = Hlx\x)\x=Xk, Hlx\xk+l) = Я<А)(*)|1=Х1.+1.
Условия непрерывной дифференцируемости L раз базисного
сплайна uij(x) приводят к следующим соотношениям:
1) в точке Xj-s
p^xj-^Hjsixj-.-,) + Hp.ixj-.) = 0; (6)
2) в точках Xk+i при к — j — s,..., j'■ +1 — 1,
p[x)(xk+i)Hk(xk-i) + H{kx)(xk+i) =
= PkX+i(xk+\ )Hk+i{xk+i-i) + tf£}\(xfc+i); (7)
3) в точке Xj+ι
Pj+i-i{Xi+i)Hj+i(xj+i) + H^t_i(xJ+i) =
= p$l{xj+i). (8)
Кроме того, для сохранения интерполяционных свойств следует
положить
р*(:г*') = 0, *' = *» fc + L (9)
Если возьмем в выражениях (6)-(8) р[. \xk+i) равным некоторым
числам (3k,\, то получим выражения для р\. (.та,·)· С помощью
интерполяционного многочлена Эрмита представим р3 (х) на
промежутке [xj,Xj+\) в виде
1 1~ΧΌ{Χ)(Χ) / 1 \(i)
309

Нетрудно показать, что для выполнения условий точности
аппроксимации (1) на функциях φν(χ)ί ν = 0,1,... , га, следует
положить
p£A)(xfc+i)=0, A=1,2,...,L, fc = j-5,j-5 + l,...,j + /. (10)
Будем говорить, что семейство функций {pj(x)} обладает
свойством однородности относительно сдвига, но узлам сетки, если
Pj{x)\[xj,xJ+i) =Pj+k(x)\ixj+k,xj+k+ly
Функцию Pj{x) возьмем в виде полинома Эрмита. В этом случае
нетрудно видеть, что выполнение условия (10) влечет
однородность семейства {pj(x)}·
На промежутке [xj,Xj+\) имеем
Z>j-i{x) = -Pj{x),
<P(xj-s+r-i) -y(sj')
«i+r(x)=P,(*) U ф„г)-ф,) +
φ(χ)-φ(χ?)
э'Фэ+r
-l+l<j'-j<s
Ar\ V>(*j+r) - <p(x?V
-l+l<j'-j<8
где r = 5,5 - 1,..., —i + 1.
Теперь, с учетом соотношений (3), условия (4) можно
преобразовать к виду
/С + .9 / fc + .S \
j=fc-i \j=k-l /
= φν{χ), ν = 0,1,... ,m.
Эти условия, в силу свойств базисных сплайнов cjj(x), являются
тождествами.
Далее из условия непрерывной дифференцируемости u>j(x) в
узлах Xj находим
/ \(Л)
Π Ых) - <P(*j'))
р[Л)Ы) =
„(ль ν 4-i+i</-fc<a-i / ^
-i+l<j'-fc<s-l
310

Многочлен Pfc(x) степени 2L -f 1 можно взять в виде
L 1
Pk(x) = Y^vAx)M^-^+i)L^x
λ=1
-Ч1 ; L!r! (x*-xfc+,:
r=0
λ+Γ
(x*-xfc+i)L+r+1"
(И)
Теорема 2. //α промежутке [xk,Xk+\) аппроксимация й(х).
вида
k+s
™(Χ) = Σ W(Xj)^j(X)>
где
u5j(x) = <
Ы*) Π
4>{xk-i)-4>{Xj')
+
+
-'+i<j'-fc<s
<f(ar)-¥>(gj/) r
-l+l<j'-k<s
pj+/(x); χ G [zj+z,Xj+J+i);
I 0, χ 0 [arj-e, Xj+i+i],
α многочлен pk.(%) степени 2L -f1 молено взять в виде
^(x) = ETi^A)(Xfc)(x"Xfc+i)L+lx
λ=ι '
^-λ /г , „м /__ _ \Л+г
(L + r)! (x-xfc);
^ > L\r\ {xk-xk+l)L+^
(λ)
р[х)Ы
Π Их)-^(х^))
-l+l<j'-k<s-l J ХШХк
Π (v(iCfc-i)-v(a?,·'))
-l+l<j'-k<s-l
обладает свойствами ΰ(χ) = и(х), при и(х) = φι(χ), г = 0,1,..., т.
uuj е С [xjs, Xj+i)
311

2.2.2. Второй вариант расположения носителя
Пусть теперь supp uj = [xj_s_i, Xj+ι].
Непрерывно дифференцируемые L раз функции u)j (χ) в
данном случае можно представить выражениями
Як{Х) II :—: : ν— +
3 Ψ3
-l+l<j' -k<s
тт φ{χ)-φ{χά>) г .
+ Π φ{Χά)-φ{Χ),γ *e[*fc.a*+i),
J Ψ3
-l+l<j'-k<s
ω,{χ)= {
(12)
к = j -s,...,j + /- 1;
I 0, X £ [Xj_s_i, Xj+i].
Здесь многочлен qk (x) степени 2L -f 1 можно взять в виде
L 1
Як(
λ=ι
L-λ
χΣπ
λ+r
г=0
.(£ + r)! (ar-ar*+i)
L!r! (xfc+1-xfc)L+r+1
где
giA)(z/c+i) = --
-Z+2</'-fc<e j
(λ)
Z=Zfc+l
Π (^(^fc+e+i) — sp(^jO)
-l+2<j'-k<s
2.2.3. Свойства гладких минимальных сплайнов
Минимальные непрерывно дифференцируемые L раз
базисные сплайны uJj(x) обладают следующими свойствами:
1) !2j(xj) = 1, Uj(xk) = 0 при j Φ к\
2) и(х) - и(х) = 0 для и = 1,</>(х),... , <£т(х);
312

3) supp u>j = [xjs, Xj+i+i] или supp ujj = [xj-s-i, Xj+ι] (здесь
носитель a5j состоит H3s-f/-fl = m-f2 сеточных интервалов);
4)^GCL(a,6);
Рассмотрим частный случай: m = l,s=l,Z=l,L=l. По
формуле (5) имеем
uj(*)= S
(χ - Xj)2(x - gj-Qy^gj-i)
(xj· - Xj-i)2(<p(Xj) - ip(xj-i))
, p(ar)-y(gj-i) _r *
Η—ρ—г τ г, x G Xj_i,Xj);
(y(jj-i) - y(gj+i))(a? ~ *j+i)2(* ~ Sjte'Qgj)
(Xj -Xj+i)2(^(Xj) -φ{χΐ+χ)){φ{χά) - φ(χ^ι))
φ(χ)-φ(χά+ι)
+
+
Χ Ε [Xj+i,Xj+2)\
Η—;—ч τ2 Τ' χ G [xi'xi+i)5
<p(Xj) - <p(Xj+i)
(Χ - Xj+2)2{x - Xj-n)^(Xj-n)
(pfo+l) - <y?(Xj))(Xj+l - Xj+2)2 '
^0, x{i [xj-.bXj'+a].
Формула (12) дает
(x-XjYJX-Xj+lWjXj+l)
(xj+i - χύ)2{φ{χ^ι) - φ{χά))
(y(xj+i) - y(gj-i))(x - Xj-i)2(x - gj)y(gj)
2j(*) = 4 (xj-xj_i)2((^(xj)--^(xj-i))(^(xj)-^(xj+i))
y?(x) - <ρ(χ7·_ι) r ч
Φΐ)-Φΐ-ι)
(X - Xj_2)2(x - Xj-i)tp(Xj-i) , ,
(χ,_ι -Xj-2)2{<p(xj-i)-<p(xj)Y X Xj~2' Xj~l '
[θ, Χ £ [Xj-2, Xj + l].
2.3. О построении гладких минимальных
сплайнов с особенностью
Пусть /, 5, m, п, г, N — целые числа, г > L / > 1, s > 1, l + s =
τη -f η 4-1 = A/", {xj } — сетка упорядоченных узлов на [0. b].
Возьмем некоторую строго монотонную функцию φ £ CN(0,b), пред-
+
313

полагая что вронскиан системы функций φτ(χ), г = -п,...,га,
отличен от нуля.
Рассмотрим приближение й(х) £ Сг(0,6) для и £ CN(0,b) при
χ е [xj,Xj+i]
u(x) = Y^ u(xk)uik{x).
k=j-l
При условии и(х) = и{х) при и(х) = φι{χ), г = —n, ...,m,
получаем систему уравнений аналогичную (2)
fc+s
Σ φ"{χ^(χ) = φ"(χ), ζ/ = -η,...,-1,0, l,...,m.
j=fc-Z+l
Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше,
нетрудно видеть, что искомые фунции uij(x) окажутся следующего вида
\Pk{ \<p{xk-i)) У ч>(ха)-ч>(хг)
ωά(χ)
+
з'Фз
-l+l<j'-k<s
+
'^OV тт <P(x)~<P(Xj')
Φ) J 1} <P(xj)-<p(Xj')
J Ψ3
-l+l<j'-k<s
fc = j-5,...,j + /- 1;
-pJ+/(x): xe[xi+i,2'j+i+i);
, X G [Xfc, Xfc+l),
где
Pk
, (X) - V -^(x. )(x-x, *Y+l УУ lV(r + <?)! (x"^)A+q
A=l
9=0
причем
(λ), > = \ -<+i<j'-fc<«-i Jx=Xk
Pk (Xk) Π M*k-i)-<p(xj·))
-l+l<j'-k<s-l
314

3. ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕНУЛЕВОЙ ВЫСОТЫ
На интервале (а,Ь) рассмотрим сетку {xj} : ... < a^-i < Xj <
#7+1 < ... Пусть функция φ — достаточно гладкая, строго
монотонная и производная от нее не обращается в нуль на (а, 6).
Функцию и е Ст+1(а,6) будем приближать выражениями
вида u(t):
S
где 5 — неотрицательное число.
Нетрудно видеть, что аппроксимация (1) точна на функциях
<t>a(t) — <Pa(t)i α = 0,1,..., m тогда и только тогда, когда
Z±£?&L„v).£m, „_M,...,m
j α'=0 ν '
(здесь считаем, что д1 /η\ = 0 при η < О и χΊ'/η\ = 1 при 7 = 0)·
Предполагаем, что вронскиан системы функций φα{ί) = φα(ί).
а = 0,1,..., т отличен от нуля на промежутке [а, Ь].
Предположим, что неотрицательные числа г и г\ таковы, что
г + г\ = A/, (s -f 1)Λ/ = т -f 1, suppa;j)Q = [xj-riXj+ri]. a —
0,1,...,s (случай suppu^ С suppcjj.a' при а' < а рассмотрим
далее на частном примере).
Тогда, при t e [xk,Xk+i) получаем
k+r s
Σ Σ(^(*,))(α4«(ί) = /(ί), 0<(3<т;
j=fc-rA + la=0
здесь (^{xj))^ означает производную порядка α от функции
φβ(ί) в точке xj.
Матрица системы уравнений (3) состоит из прямоугольных
блоков (Xj,Xj\...,Xj ), j = 1,...,A/, здесь и далее через
X будем обозначать вектор-столбец (1, φ(ί),..., <^m(£)), а Xj —
вектор-столбец, составленный из г-χ производных компонент
вектора X, причем символ j означает, что вектор-функции от t
вычислены в точке t — Xj.
315

Итак, матрица системы (3) может быть записана в виде суммы
k-ri + l<j<k+r
Лемма. Пусть Ps = 2Ps_i — Ps_2 -f 1. s = 0,1,..., причем
P0 = 0)P1 = 1. Тогда справедлива формула
= (l!2!...s!)w J] (φΜ-φίχ^^ΊΥΙψ'ίχΑ ·
\<j<i<M \г=1 /
Доказательство проводится
дифференцированием определителя Вандермонда det(<%i, Λ2,..., Λ^+ι... Xm(s+i))
по входящим в него переменным Xj,j = 1,2,...,Λ/, следующим
образом: один раз по Х2? два раза по хз,..., 5 раз по xs+i и полагая
Х\ = £2 = · · · = #s+l И Т.Д.
Рассмотрим теперь систему линейных алгебраических
уравнений
(Λ'ι, Хх ,..., Хх ,..., Х\[, Хм ,..., Λ*Λ/ ) V = X,
где вектор-функция F имеет вид
V = (vi,oi-.-iVi,e,...,i;A/,o,. ••,г;л/,6·)·
По теореме Крамера имеем
det(... + (Xj,xl1\..^xli-1\x,XJi+1\..^X^)) + .^
Vj,(t) =
detf Σ (Λ>,Λ^ ,...,Л^))
\l<j'<A/ J J J
j = l,2,...,M;z = l,2,...,s.
Здесь определитель в числителе получается из определителя
в знаменателе заменой столбца Л'· на столбец X, в первом из
определителей выписана j-я группа столбцов, а остальные
группы обозначены многоточием.
316

3.1. Приближение сплайнами первой высоты
третьего порядка
Предположим, что функция и £ С3(а,Ь). Обозначим Uj =
u(xj).
Пусть φ(χ), ψ(χ) — некоторые непрерывные на (а, Ь) функции.
Приближение й(х) к функциям и(х) на промежутке [xj,Xj+i)
строим в виде
4х) = Y^u(xk)uk,o{x) + Y^u'(xk)b>k%i{x).
к к
Функции u>fc,o(#) и <jJk,\(x) находим из условия
й(х) = и(х). и(х) = 1,φ{χ),ψ{χ).
Соответствующая система уравнений для определения и!кл на
промежутке [xj,xJ+i) принимает вид
к
Σ р{хк)икАх) + v'(xk)vk.i{x) = φ(χ),
к
ΣΨ{χ^ωι<,ο{χ) + *1>'{хк)ъ>кл(х) = Ψ{χ)·
к
Предположим, что supp α^-,ο = [xj—ι,Xj+ι], supp о^д = [£j,Xj+i].
В этом случае приближение третьего порядка
й(х) = u(xj)u;jfl{x) + n(xJ+i)u;j+i.o(x) + u^r,)^.! 0*0, (1)
а соответствующая система для определения базисных функций
такова:
u>jl0(x) +u)j+i4q(x) = 1,
ψ{Χά)ωίΛχ) + ^4-i)^+i,o(x) + p'foVj.i (х) = <ρ(χ), (2)
^(^)^,ο(χ) + ^(xj+i)wi+i,o(x) + 1>'(xj)vj,i {x) = </Ή·
Обозначим α(χ) = (1, </>(x), VK^))' — вектор-столбец, ак = a(x/t)·
Тогда определитель этой системы равен
Δ, = det{aj, α'ό, ai+i) = ψ'ά(^>ι - ^j) + ^ (tf>i " ¥>i+i )·
Здесь и далее ipj = ip(xj), φ^ = <p{xj)·
317

Предположим, что Aj ^ 0. Тогда
ω3Λ{χ) = det{aj,a{x),aj+i)/Aj, (3)
Luj+h0{x) = аег{а3,а^,а{х))/А3.
Теорема 3. Пусть функция и G С3(α, b). Приближение и(х)
задается формулами (1), (3). Тогда й(х) = и(х). и{х) = 1, φ{χ), Ψ{χ).
Доказательство следует из соотношений (2).
Рассмотрим теперь более подробно случай ф(х) = φ2{χ).
Теперь Δ = φ'ΛΨΐ+{ ~ Ψο)2- Имеем
/ ч (<Р(х) - ¥?j+i)(2?i ~ Vj+i ~ ΨΚχ))
ω3,ο\Χ) = -——
*зАх)
(yi+i -φ{χ)){φ(χ) - φ3)
*"<*)-й!гЬй· (4>
Введем обозначения b(x) = φ(χ) — φ3, c(x) = φ3+\ — φ{χ).
dj = φ3+\ — φ3: Α(χ) = c(x)/dj, Β(χ) = 1 — Α(χ).
Теперь
и(х) = А(я) ί ttj· + u'.n^LlVi j + B(X) (А(я)и,· + B(x)ui+i).
(П
Теорема 4. Пусть функция и G С3 (α, 6). Приближение й(х)
задается формулами (1), (4). Тогда ϊ(χ) = и(х), и(х) = 1,φ(χ), φ2{χ)-
Доказательство следует из соотношений (2).
Следствие. Приближение и(х) может быть записано в виде
318

3.2. Построение приближений четвертого порядка
Пусть й(х) = и(х), и = 1,φ(χ),ψ(χ),ξ(χ), причем
к
Пусть supp ujjfl — supp ω^\ = [xj-\,Xj+i]. В этом случае прибли-
жение й(х) для функции и(х)
й(х) = и^о{х) + i/i+1u>i+i?0(x) + Ц^л(х) + wj+1a;i+i,i (ж),
а система уравнений для определения о^Дх) примет следующий
вид:
ω^,ο(χ) +u;j+i,o(z) = 1,
Ψ3ωά${χ) + ¥>j+i«>j+i.o(s) + <^·,ι(ζ) + ^·+1ω>+ι,ι(χ) = <ρ(χ), (5)
ti>ju>jl0(x) + ^J+io;j+i.o(x) + ^^.ι(χ) + ^+1^+1,1 (χ) = ψ(χ),
Ο^,ο(^) + 0+i^i+i,o(x) + CjUh\ (*) + ^+iWj+i,iW = ξ(χ)·
Обозначим α(χ) = (1,φ(χ),ψ(χ),ξ(χ)Υ — вектор-столбец, α^ =
α(χ^). Тогда определитель этой системы равен
Δ, =det(ai,Q^Qi+i,a^+1) = (^ - y^+i)(£-+i^· -£>j+i)+
+(^i+1 - ^)(^·+ι - ίν;+ι) - (u+i - ыш'ш - ^ν;>ι).
Здесь и далее ^ = ip{xj), φ^ = </?(хД £(х>) = £>· Предположим,
что Δ^ ^ 0. Теперь
u)ji0{x) = det(a(x),Qj,aj+i,aj.+ 1)/Aj,
Wj,i(x) = det(Qj,a(x),ai+i,Qj-+1)/Aj·,
a;i+i)0(x) = det(aj,Qj.,a(x),aJ-+1)/Aj,
u;j+i,i = det(aj,aj.,Qj+i,a(a:))/Aj·.
В случае
</>(*) - φ2{ζ), ξ(χ) = ^3(*),
319

{ {<Pj+i - Φ))2 2{φ{χ) - ijXij+i - Φ))2
(<Pj+i-<Pj)2 Oj+i-<ft)3
ω3,θ(χ) = {
χ € [xj,Xj+i),
^))2
^,iW= <
xe [xj-i:xj),
χ € [Xj,Xj+i),
( (φ(χ) - φ^{φ{χ) - φΗί)2
{φι+ι-ΨοΫφ'ΐ
(φ(χ) - <Pj)(<p{x) ~φ3-ι)2
, χ e [xj-\,Xj).
(φj -φ,-ι)2φ'ά
Приближение й(х) для функции и(х) строим в виде
й(х) = UjUljSiix) + Uj+i(jJj + \${x) + ll'jUjjAix) + Ц+1^+1,1(х), (6)
где χ е [xj, Xj+i), и имеем
,, ,„ч _ Ofj+i ~ У(ж))2 , 0(У(др ~ PjXlj+i ~ POO)2
{φΗι -φ^2 ' " (<^+i ~4>j)3
u/j + i.oW = τ ττ- + 2 τ r^ .
,, / χ (^)-ft)(^)-ft+i)2
^j.iW — ; τ"/ >
(Vj+i -φ3)2φ'ό
Uj+iti{x) =
(<p(x) - <Pj+i)(<p{x) - φ,)2
{<Pj+i -Vi)Vj+i
Введем обозначения 6(х) = ^(x) — <^j, c(x) = ipj+\ — φ(χ),
dj = ¥>j+i - ¥>j, ^(x) = c(x)/dj, B{x) = 1 - A(x).
Теперь получаем
й(х) = Λ2(*)(ιι,(1 + 2ВД) + tiJb(x)/^.)+
+B2(x)(uj+1(l + 2^(x))-u;+1c(o:)/^+1)· (7)
Теорема 5. Пусть функция и £ С4 (α, 6). Приближение и{х)
задается формулой (6). Тогда г?(х) = г/(х), и(х) = 1,φ(χ),φ2(χ).
Доказательство следует из соотношений (5).
Следствие. Приближение и(х) может быть записано в виде
(7)·
320

3.3. Приближение сплайнами второй высоты
шестого порядка
Пусть функция и е С6 (а, 6). При χ е [xj,Xj+i) рассмотрим
приближение
й(х) = Y^u(xk)ukto{x)+u\xk)ukj(x)+u"(xk)u)k%2(x)'
к
Предположим, что supp ω^ = [#j_i,Xj+i]. г = 0,1,2. Теперь при
χ е [xj,xj+i)
ύ{χ) = ]ζ u(xk)uk,o(x)W(xk)ukfi(x) + и"(хк)шк,2{х). (8)
fc=i,j+i
Из условия
й(х) = и(х), и = 1, <£fc(x), fc = 1,2,..., 5, (9)
получаем формулы базисных сплайнов при χ е [xj,Xj+ι):
(ifj+i - φ{χ))3
UjAx) =
{pj+i -ΨοΥ
5(φ(χ) - φ^(φΗι - 3<^·)+
+5(<pi+i ~ ¥>j)(¥>j+i + ¥>i) + 2(<p(ar) - ^j+i)(3y?(x) + 2<pi+i)
"j+i,o(s) =
M*) ~ Уз?
5(¥>i+i - </?(χ))(3<^+ι - <^·)+
+2(<p(x) - φό)(?>φ{χ) + 2^·) + 5(<^· - (pj+OOPi+i + ^)
l(^-^(x))2(^j+i ~φ{χ)Ϋ
ωά%2(χ) =
^•+i,2(x) =
Uja(x) =
2 (^)2(^+i-^)3 '
2 (^+i)2(^+i-w)3 '
(<Pj - φ{χ))(φ,+ι ~φ(χ))3
321

L2 \ Vj+i -Ψ3/Ι
/-Ч _ (Vj ~ ^(^))3(yj+i - ¥>(x)) w
^+1Л(1)- (^+i-^WJ+1)' X
k'+1(^+i - *(*)) + И+ι)2 (l + 3^+1~У
Используя обозначения Ь(х) = ψ(χ) - φ^ с(х) — ψ^+\ - φ(χ),
dj = <fj+\ - ψ], Α(χ) = c(x)/dj, B(x) = 1 - A(x), D(x) =
Л3(х)Ь(х)/^·, Е(х) = 2?3(x)c(x)/VJ+1, находим
ω,.ο(ζ) =
dj
[5Β(χ)(φί+1 - &pj)+
+5{φΗι + φ/) - 2Α(χ)(ϊψ(χ) + 2ψί+ι)\,
B3(x)
ωί+ι,ο{χ)
dj
[5A(x)(3(pj+i - ψ3)-
-5(^,41 + Ψί) + 2Β(χ){3φ(χ) + 2φά)\,
1η, Μχ) 1.
Wjl2(x) = ^(x)^, wJ+i,2(x) = ^ВД^
(10)
ω,·.ι(χ) = Ζ?(χ)
Wj+i,i(x) = £(x)
1 <b(»)
"2 K)
^ + l + 3B(x)
"2 K+i)
2 (1 + ЗЛ(х))
Теорема 6. Пусть функция и Ε С6(а, 6). Приближение и(х)
задается формулами (8). (10). Тогда й(х) = ^(а:),. и(х) = <рк(х),
fc = 0,1,...,5.
Доказательство следует из условий (9).
322

4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭРМИТА—БИРКГОФА
Рассмотрим подробно решение одной из задач Эрмита—Биркгофа
с помощью минимальных неполшюмиальных сплайнов.
4.1. Постановка задачи
Пусть в узлах сетки {xj}, ... < Xj_i < Xj < xj+x < ...
заданы поочередно значения функции и(х) и ее производной и'{х)\
... ,Uj-_i,Uj,uJ-+1,... Считаем, что и € C3(Rl).
На промежутке [xj,Xj+i) функцию и(х) приближаем
выражением
й(х) = u'{Xj-\)u)j-i,i{x) + u(Xj)u)j${x) +u'(Xj+i)u)j + i%i(x).
Пусть φ\(χ) и ψ2{χ) достаточно гладкие линейно независимые
функции. Из условий й(х) = и(х) при и — \,φ\ (χ),ψ2{χ) получаем
(jjj%0(x) = 1,
^'1(^-1)4,-1,1 (х) + 4>i{xj)ujfl{x) + 4>\{хз+\)ь>з+1,\{х) = φι{χ),
Пусть ψ2{χ) — φ\{χ), тогда определитель системы равен
Aj = 2<Pj-i<p'j+i(<Pj-i - φΗι).
В предположении Aj ф О нетрудно получить формулы базисных
сплайнов:
ωά,ο{χ) = *>
Vj-i,i{x) = д^ >
, ч ¥>j-i(V(*) - ¥>j)(2¥>j-i - ¥>(я?) - ¥>j)
Uj+UW = — τ ·
Аналогичные формулы имеем на промежутке [xj_i,Xj).
323

а) Если φι(χ) — χ, ψ2{χ) = х2, то формулы принимают вид
{xj -x)(2xj+i -Xj -x)
4,-1,l(x) = ,
(x — xj)(2xj_i — Xj — x)
ωό+ιΑχ)
Δ,'
б) Если φ\{χ) = ех, <£2(х) = е, то получаем формулы
, ч (ех·' - ех)(2е2х*+1 - ех>+1+х* - ex-i+1ex)
4,-1,l(x) = д; ,
(ех - еа;0(2е2^·-1 - ех*-1+х - е*'-1+х)
4/+ι,ι(χ) = ■—— .
4.2. Оценка погрешности
Получим оценки погрешностей приближений й(х) на
промежутке [xpXj+i] при φο(χ) = φ\{χ) Для φι{χ) = ех и <£ι(χ) = χ.
Пусть (£ι(χ) = ех, <^2(х) = е2х- Следуя методу предложенному
в [3], построим однородное линейное дифференциальное
уравнение, имеющее фундаментальную систему решений 1, φ\(χ), ψ2(χ):
Lu = и'" - 3u" + 2u' = 0.
Общее решение неоднородного уравнения Lu — /(χ) имеет вид
и(х) = ci + с2ех + с3е2х + i / (1 - ex"e)2di,
где 77 Ε [xj,Xj+i], сь С2, сз — произвольные постоянные.
Пусть г\ — х, тогда
й(х) - и(х) = i Г' (1 - е**-г)2№Л-
~\ωά+ίΛ(χ) Γ+1 (1-ех^-*)2ех^-Ч-1-
324

Полагая Uk,\(hs + jh) = u>fc,i(s), s G [0,1], fc = j - 1, j + 1, при
достаточно малом /г (например, h< 1/4) получаем
u>j-i,i(s) =
S(2~S)u , ^^ -.. _,^_*(2 + *),. , Л/,2ч
-Λ + 0(Λ2), a>i+u(e) =
-/ι + 0(/ι2).
4 "" ' _ν~ /7 -^^-' 4
Поэтому имеем \uj-\i\(s)\ < /ι/4, |u)j+i,i(s)| < 3/ι/4.
Таким образом, искомая оценка погрешности приближения на
промежутке [xj,Xj+\] принимает вид
\й(х) - и(х)\ < Kh3\\u'" - 3u" + 2u%Xj_^Xj+lh
где К « 0,58.
Аналогично при φ\{χ) = χ, ψ2{χ) = х2 получаем оценку
погрешности приближения на промежутке [xj,Xj+\]:
|u(x)-U(x)|<^|K"||[x..bX.+l].
4.3. Численные эксперименты
Приведем результаты численных экспериментов по
приближению некоторых функций на промежутке [0,1]. Пусть в узлах
равномерной сетки с шагом /г = 0,1 заданы значения функции и
или ее производной.
В табл. 1 даны погрешности тах\й(х) — и(х)\ при ψ2{χ) =
φ\(χ), полученные при численном решении задачи Эрмита-Бирк-
гофа в среде Maple.
Таблица 1
Погрешности приближения, полученные экспериментально
ψι(χ)
X
ех
и(х) = sin(x)
з · ю-4
9·10~*
и(х) = ех
7-Ю"4
0
и(х) — cos(x)
2 · Ю-4
9-КГ4
и = х5
1·ΙΟ"2
4·ΙΟ"3
Для сравнения, в табл. 2 приведем значения теоретической
оценки значения погрешности max|u(ar) - и(х)\.
325

Таблица 2
Теоретические оценки погрешности приближения
φι (χ)
χ
ех
и(х) — sin(x)
5 · 10~4
2-Ю-3
it (.τ) = ех
1 · ΙΟ"3
0
и(х) = cos(x)
•5 ΙΟ"4
2·ΙΟ"3
ω = χ5
3·ΙΟ"2
7·ΙΟ"3
5. ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ НЕНУЛЕВОЙ ВЫСОТЫ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
Функцию и Ε Ст+1[а,Ь] при χ Ε [xk,Xk+\) будем приближать
выражениями й(х) вида
s
j Q=0
Базисные функции ω^α{χ) находим из условий и(х) = й(аг), w(x) =
ψί(χ), г — 0, l,...,m. Нетрудно видеть, что аппроксимация (1)
точна на функциях φι{χ)^ г = 0,1,..., т тогда и только тогда,
когда при χ е [xfc,Sfc+i)
k+r s
Σ Σ(φ0(χι)){α)ωι,α(χ) = φβ(χ), 0 < β < го; (2)
j = fc-ri + l c*=0
здесь (ψβ{χ^))^ означает производную порядка а от функции
ψβ{ί) в точке Xj.
Предположим, что определитель матрицы системы уравнений
(2) отличен от нуля.
Пусть N — целое число, N > 2, xq < х\ < ... < х^ = X.
Будем решать задачу Коши
у\ = fi(x,yi{x),y2(x),...,yn(x)), χ£ [χο, X], Vi{xo) = y^ ί = ι,.,.,η.
Предположим, что /j(x, y\{x), yo{x), · · ·, Уп{х)) — достаточно
гладкие функции своих аргументов и решение у £ C^m+1^[a, Ь].
Рассмотрим интегральное тождество
rxj+i
yi(xj+i) =yi(xj)+ / &'0*0<&, г = 1,...,п. (3)
«/Xj
326

Обозначим щ(х) = у[{х). Подынтегральное выражение щ(х) в
выражении (3) заменим на соотношение (1). Положим \ц « y(xi).
После интегрирования и отбрасывания погреишости получаем
неявный метод нахождения yi(xj+i).
5.1. Применение сплайнов четвертого порядка
аппроксимации
Подынтегральное выражение щ(х) заменим на соотношение
Uk(x) = Uk{Xj)bJj%Q(x)+Uk{Tj + i)LJj+i.0(x) +
+u'k(xj)u>j%i(x) + ufk(xj+i)uHhi{x),
где базисные функции Uj,i{x) находим из условии
йк(х) = чк(х), ик(х) = <р,-(аг), г = 0,1,2,3.
Имеем
•Су + 1
Ui(x)dx+ / ri(x)dx,
Xj
где п(х) = щ(х) - щ(х).
Теперь
Vi{xj+i) = yi{Xj) + fi{xj,yi{xj),...,yn{xj))vjfi+
+^(^)^,ι + Ή(^+ι)^+ι.ι + / ri{x)dx,
Jxj
где
Fi(x) = to +
+ ^Wi£Ji^ (4)
i= l,...,n. i»fc,e = / cjfc|S(x)cbr, A: = j,j + 1, s = 0,1.
327

Положим yj « yi(xj). После интегрирования и отбрасывания
погрешности получаем неявный метод нахождения у3^
у{+1 =Уг+ fi(xj>y3w · · >2/пКо + /i(arj+i,2/ί+\ ·..,i/£+1)vj+i.o+
+^1+^/+Ч+1Д» г = 1,2,...,п. (5)
Построенный метод (5) обладает точностью на множестве
функций φ\{χ).
5.2. Решение задачи Коши для одного уравнения.
Применяя для решения уравнения у' = д(х, у(х)), χ £ [#ο> -Χ"],
2/(#о) = 2/о неявный метод (5) находим
5.3. Оценка погрешности при η — 1, ^(х) = хг-1
В этом случае обозначим ^(х, у) = /ι (χ, у). Решаем задачу t/ =
9(Х)У)> У(хо) = Уо· Вычисляя интегралы от базисных функций
Ujfi(x), получаем Vj$ — г^+ι.ο = ^/2, Vj,i = — Vj+ι,ι = Л2/12.
Погрешность г (χ) принимает вид
х,·
г(х) = 2(х) - и(х) = / ulv(t)(xj - tfdt uJj%o{x)+
Xj + \
Xj χ
+3 / uiv{t){x3-t)2dtujhi{x)- f u™(t)(xj-tfdt.
Xj+l Xj+l
Применяя теорему о среднем к полученному выражению, далее
интегрируя г(х) по промежутку [xj,Xj+i], снова применяя
теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя и
возвращаясь к переменной у, получаем
328

R = £J+l r{x)dx = h5 Q yv(6) + ^ 2/v(&) - iyv(6)) ,
где £ι, ξ2> £з находятся между Xj и Xj+ь
Поэтому
|Д| < — Λ5||»ν||[„^+ι1>
где
U/.5.I..V,
120
llifVH[*if*j+i] = max |</v(x)|.
i€Ixj,xj+iJ
5.4. Оценка погрешности при η = 1, ^(χ) = е (г ι^χ.
В этом случае получаем
-21eh + 6Л. + 5 - 18елЛ + 27e2/l - 5e3/l
Ч?,о =
6(-l + e")3
(2 + Зе>1 + 6ehh - 6e2h + e3/l)e"h
Viil 6(-l + e>>)2
_ 27eh - 5 + I8e2hh - 6e3hh - 27e2/l + 5e3/l
ϋ'"+1·°- -6(-l + e>03 '
_ -3e2/l + бе*1 - 1 + 6e2hh - 2e3/t
Vi+M" 6(-l + e*)2 *
Обозначим p(x) = ulv(x) + 6г/"(х) + llu"(x) + 6г/(х).
Очевидно, что однородное дифференциальное уравнение р(х) =
0 имеет фундаментальную систему решений φ%{χ) = е"^-1^,
г = 0,1,2,3. Используя прием, описанный в работе [5], получим
Xj
г(х) = и(х) - и{х) = ί ^(1-е'-х03Л^о(ж)+
Xj + 1
Xj χ
+ / ^е*-'(1-е«-')аА «*ι(*)- J ψ{1-β*-)*Λ.
Xj + l Xj + t
329

Применяя теорему о среднем к полученному выражению, далее
интегрируя г(х) по промежутку [xj,Xj+\]< снова применяя
теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя и
возвращаясь к переменной у, получаем
«(О
R = / г(.т)с/х = i»j>0 + Vj.i
где ξι, г = 1,2,3 находятся между Xj и я,-+1,
*(*) = yV(x) + 6*/v(x) + lly'"(x) + 6i/"(*),
F3 = 1 зл _ 3 2Л Л _ 1 fc2 _ϋΛ_85
9 4 2 6 36
При равномерной сетке на промежутке [а, Ь] при
О < h < 1 получаем
|Я| < Λ5ΑΊΙί/ν + 6ylv + lly'" + 6у,;||, А' « 2.68.
F3,
5.5. Оценка погрешности при φ\{χ) = 1, ^W — #>
<рз(я) = ех, </>4(я) = е~х и η = 1
В этом случае имеем Vj,o = ^j+ι,ο = Л/2,
ЧМ =
heh -2eh +2 + h
2{eh - 1)
-» Vj + i,i =
/ieh - 2eh + 2 + h
2(eh - 1)
Обозначим p(x) = ulv(x) — u"(x).
Нетрудно видеть, что однородное дифференциальное
уравнение р(х) = О имеет фундаментальную систему решений ψ\{χ) =
1, ψ2(χ) = х, <Рг(х) = еХч Ψα{χ) — е~х- Аналогично
преобразованиям, сделанным в предыдущем пункте, получаем
*-(χ) = й(х)—и(х) = / p(t)
t — Xj +
e(Xj-t) _ e{t-Xj)
dtUj^o(x)-l·
XJ + 1
330

/Γ p(Xj-t) ιΜ-Χ;)
dt u)j4i(x)-
(*-*) _ p(t-x)
- J P(t)
Xj + l
t-x+ —
dt.
Применяя теорему о среднем к полученному выражению, далее
интегрируя г(х) по промежутку [xj,xj+\], снова применяя
теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя и
возвращаясь к переменной у, получаем
*-£,",(χ*-(-*·+'-;+·>-») .((■)$+
-(4-*+?*-т-*)·*4'·
где q(x) = yv(x) - у'"{х), а Сь Сг» Сз находятся между х3 и Xj+\.
Отсюда при 0 < h < 1 справедлива оценка
|Я| < h5 К || r/v - у'" ||(x,.xi+l), К » ^(е-1 + е) « 0.0664382.
5.6. Результаты численных экспериментов
Будем решать уравнение у' = — 2(у — sin(x)) -f cos(#),
χ G [0,20], с начальным условием у(0) = 0. Очевидно, решение
этой задачи у(х) = sin(x).
Ниже приведены результаты численных экспериментов,
проведенных в среде Maple при значении параметра Digits=25.
Используем следующие обозначения:
Rh = max \y{xi)—y{xi)\ ~ погрешность, вычисленная на
равного]
мерной сетке, построенной на промежутке [0,20] при h\ = 0,1, hi =
0,01; у — приближенное решение задачи Коши при применении
ipi(x) вида
1) φι{χ) = χ\ г = 0,1,2,3;
331

2) ipi(x) = xl\ г = О,1, φ2(χ) = ех; φ3(χ) = е х\
3) <р{(х) = e~iT\ г = 0,1,2,3.
Таблица З.
Экспериментальные и теоретические погрешности
приближений на промежутке [0,20]
при равномерной сетке с шагом h\ = 0,1 и hi = 0,01
φι{χ)
! 1
2
3
Эксперимент, погр.
Л/и
0,41-ΙΟ"7
0,12 10"6
0,62·10~6
Яь2
0,62- Ю-11
0,12-ΙΟ"10
0,62-Ю-10
Теоретич. погр.
Ял,
0,4-Ю-5
0,13-Ю-5
0,27 Ю-4
Rh2
0,4-Ю-10
0,13-ΙΟ"10
0,27-ΙΟ"8
Список литературы к Приложению 2
1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория миниимальных
сплайнов. СПб., 2000. 316 с.
2. Бурова И. Г. Приближения минимальными сплайнами
максимального и минимального дефекта // Вестн. С-Петерб. ун-та.
Сер. 1. 2005. Вып. 1. С. 9-13.
3. Бурова И. Г. О построении тригонометрических сплайнов
/7 Вестн. С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 9-14.
4. Бурова И.Г., Демина А.Ф. О построении гладких
интерполяционных сплайнов // Вестн. С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып.
1. С. 88-95.
5. Бурова И.Г., Тимофеев В.А. Построение сплайнов ненулевой
высоты // Методы вычислений. Вып. 21. СПб., 2005. С. 31-39.
6. Бурова И.Г., Тимофеев В.А. Построение приближений Эрми-
та и Эрмита—Биркгофа с заданными свойствами II Деп. в
ВИНИТИ. Деп. N 222 В2005 от 15 февраля 2005 г. 14 с.
7. Бурова И.Г., Тимофюев В. А. Об эрмитовых аппроксимациях
с заданным свойством точности // Труды XXXVII
международной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления
и устойчивость". СПб., 2006. С. 119-121.
8. Бурова И.Г. Приближения неполиномиальными сплайнами
максимального дефекта. СПб: Издательство СПбГУ, 2007. 40 с.
9. И. Г. Бурова, Хассан И.Р. Применение минимальных
интерполяционных сплайнов к решению задачи Коши /7 Вестн. С-
Петерб. ун-та. Сер.1. 2007. Вып.4. с.114-117.
332

10. Квасов Б. И. Методы изогеомстрической аппроксимации
сплайнами. М.- Ижевск. 2006. 416 с.
11. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.,
1998. 472 с.
12. Матвеев Η. Μ. Методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. СПб.; М.; Краснодар, 2003. 832
с.

Приложение 3.
ГРАФИКИ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
На рис. П.1-П.17 представлены графики непрерывных
гранично-минимальных полиномиальных базисных сплайнов при
разных значениях I, s и j:
а б а б в
Рис. П.1. / = 1, s = 1, j = 0,1.
2.
Рис. П.2. I = 1, s = 2, j = 0, 1,
Рис. П.З. / = 2, s = 1, j = 1. 2, 3.
а б в г
Рис. П.4. / = L s = 3, j = 0, 1, 2? 3.
334

а б в г
Рис. П.5. / = 2, s = 2,j = 1, 2, 3, 4.
-Чп/V ~Цг Аг
Рис. П.6. I = 3, s = 1. j = 1, 2, 3, 4.
а б в г
Рис. П.7. / = 1, 5 = 4, j = 1, 2, 3, 4.
а б в г
UUJI
Рис. П.8. / = 2. s = 3, j = 1, 2, 3, 4, 5.
335

Рис. П.9. I = 3, s = 2, j = 1, 2, 3, 4, 5.
б в
Рис. П.10. / = 4, s = 1, j = 1, 2, 3, 4, 5.
336

д
Рис. П. 11. I = 1, s = 5, j =1, 2, 3, 4, 5.
б
Рис. П.12. I = 3, s = 3, j =1, 2, 3, 4, 5, 6.
337

Рис. П.13. I = 5, s = 1, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
а б в
Рис. 11.14. / = 4, з = 2, j =■ 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7
338

Рис. П.15. / = 5, s = 2, j = 1, 2, 3, 4, 5, 7.
д
ж
Рис. П.16. Ζ = 2, s = 5, j = 1, 2, 3, 4, 5, б, 7
339

Рис. П.17. I = 4, s = 4, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
340

На рис. П.18-П.21 представлены графики функций (сплошная
темная линия) и приближения, полученного с помощью
полиномиальных базисных сплайнов при разных / и s
Рис. П.18. ecos4 1 = 2, 5=1.
Рис. П.19. cosx, / = 1, s = 3.
"75 ^
Рис. П.21. sin(v/x) cos ж, / = 5, s = 2.
341

На рис. П.22-П.23 представлены графики тригонометрических
базисных сплайнов.
а б в
Рис. П.22. Μι = О, М2 = 4, j = 1, 2, 3, 4, 5
б в г
Рис. П.23. Α/ι = 1, М2 = 3, j = 1, 2, 3, 4, 5, б
342

Рис. П.24. Μι = 3, М2 = 1, j = 1, 2, 3, 4, 5
а б в
Рис. П.25. Μι = 3, М2 = 3, j = 1, 2, 4, 5, 6, 7
343

На рис. П.26-П.27 представлены графики функций (сплошная
темная линия) и приближения, полученного с помощью
тригонометрических базисных сплайнов.
Рис. П.26. esin х, Λ/ι = О, Л/2 = 4.
Рис. П.27. 0,8 sin(3x) + sin(2x) + 0,4 cos(2x) + sin x + 0,8 cos χ,
A/i = 3, M2 = 3.
344

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Обозначение Содержание Стр.
I глава
a, b Границы рассматриваемого
интервала 9
С (α, β) Множество функций,
непрерывных на открытом
интервале (α, β) 10
Dj,k Вронскиан функций 25
Gj,a Множество, содержащее
носитель функции u;JjQ 20
h Шаг равномерной сетки 17
J к Множества индексов 20
/, s Целые числа, характеризующие
расположение множества supp ojj 14
т Точность аппроксимации 12
Μ Число узлов в множестве Jk 22
Ма, Μα Однородные множества и их порядок 33
Q9j,i(t) Сомножитель в представлении
Vj.i(t) 23
<77:г,5 Коэффициент многочлена QSj,i(t) 24
TZ1 Множество вещественных чисел 9
ΊΖ\ Множество положительных чисел 19
TZm+* Арифметическое
772 4-1-мерное пространство 12
'supp/ Множество точек t, где f(t) φ 0 10
supp/ Носитель функции f(t) 10
и Образ функции u(t) 12
v(t) Линейная комбинация функций
u>j(t) 11
V Вектор-функция 23
VjJ ' Компоненты вектор-функции V 23
Vj^(t) Многочлен степени Μ 23
Wn Определитель Вронского 25
X Сетка узлов Xj 9
χ. Узлы сетки X 9
345

X, Xj Матрица системы, ее столбец 22
Ζ Множество целых чисел 9
Sjj' Символ Кронекера 14
Д(г J,A/\ Δ2· ^' Определители в формулах
Крамера 24
ае^(.М) Кратность накрытия точки t 10
аес(А1) Кратность накрытия
множества G 10
Kc({^j}jez) Кратность семейства {iVj} 11
aeW)a Кратность семейства {u;jia} 29
7ГШ Пространство многочленов
степени не выше т 12
ω Семейство функций {u>j.a} 20
(jjjQ Базисные сплайны ненулевой
высоты 20
ω(ί, Xj+ii, · · ·, Xj+iu) Базисный сплайн нулевой
высоты (с указанием узлов) 18
II глава
dk(x) Линейное отображение 53
а, а3 m-мерный вектор и его компоненты 40, 41
a, aj Мажорирующий вектор
и его компоненты 41
а, Ъ Границы отрезка [χ_;+ι,χ5] 48
Aq(s) Граница интервала
ε-уклонения 1(a) 82
bk Слагаемое в неравенстве Иенсена 54
B, В0, В Нормированные пространства 58, 59
β* Пополнение пространства В 59
bj ,5' Коэффициенты согласованной
квадратурной формулы 79
Cj Коэффициенты общей
квадратурной формулы 40
С IJ j {Ко) Оценочная константа для Ω j 46
C, ;„·(Ко) Оценочная константа для Ω<° 47
Ci%s%J(Ko) Уточненная константа для njl) 47
С[1(Ко) Константа в оценке Qf 48
346

Cim Константа в теореме вложения 50
CO Одна из констант
эквивалентности норм 52
Сш Константа в оценке погрешности 55
С\ Константа в оценке
аппроксимации 56
dj Разности компонент вектора а 41
dj Разности компонент вектора а 41
dj Компоненты вектора,
мажорантного для d 44
d Вектор, составленный
из шагов сетки 44
€r{d) Экстремальные значения
многочлена Va(t) 42
£(j) Экстремальные значения
многочлена Ρχ на [0,1] 44
1(a) Вспомогательная функция
для асимптотики 83
Ji, Jc, Jr Множества индексов 35
J\ 5 J2 Jz Части интегральной суммы 70,72
#о(б) Граница интервала
е-уклонения отношения щагов сетки от -^ 83
А'о Параметр локальной
квазиравномерности 38
Кко тп ~ 1-мерный вектор
степеней числа А'о 44
р, q Показатели суммируемости 39
Va(t) Многочлен степени тп
с корнями aj 41
V-χ Многочлен степени га
с корнями из X 44
Р(х) Интерполяционный многочлен
с узлами {j/o,...,J/m} 63
Pk,s,i,Qk,s,i,Qkj Наборы констант для вычисления
коэффициентов квадратур 70
Щ^ Погрешность квадратурной
формулы 40
г Натуральное число из
множества {1,2,..., m — 1} 42
347

Stj(Ko)
ϋ
w
w
II^IU
Xj,
X(h)
Уз
ak,J
A)j
β
7fc,j
V
θ(χ)
Α'ι(Λ'ο)
Λο
μ = μ(ί)
ν
σ.
¥>W(0
¥>(0
ЫО
Границы разности Xj — Х{
Аппроксимирующий сплайн на
приведенной сетке
Фактор-пространство
w?+l(a,b)/*m
Класс эквивалентности в W
Норма в пространстве В/Во
Узел приведенной сетки
Локально квазиравномерная
сетка в зависимости от h
Узел конечной сетки
на отрезке [а, Ь]
Интеграл от ω^
по промежутку (хк-.Хк+х)
Интеграл от ujj
по промежутку (a,Xj_i)
Показатель степенной
квазиравномерности
Промежуточные постоянные
Показатель степени в оценке
аппроксимации
Неубывающая неотрицательная
функция
Класс локально
квазиравномерных сеток
Множество положительных
чисел с точкой сгущения в нуле
Показатель степени в
оценке аппроксимации
Показатель степени
у весовой функции θ
Показатель порядка
аппроксимации
Обозначение для показательной
функции 7^
Функция для сетки с
(0, |/>)-СВОЙСТВОМ
Вариант выбора функции
φ для степенной сетки
45
43,48
51
51
59
43
83
63
70
72
83
75
54
38
38
38
39
39
39
85
86
83
348

ψ (χ) Неубывающая весовая функция 38
aj(t) Базисная функция граничных
минимальных сплайнов 35
i}j(x) Базисный сплайн на
приведенной сетке 43
III глава
/ι, /2) ^з hi h Обозначения интегралов
в иллюстративных примерах 108,110
L, L(6) Кривая и ее б-окрестность
в комплексной плоскости 96
ЛД, А/г, тп Параметры
тригонометрических сплайнов 94
Л/{, М'2 Модификация параметров
Λ/ι и А/2 97
N Число узлов на отрезке [а, Ь] 96
Pk, Qk Вспомогательные константы 105
tj Узел сетки на интервале (—π, π) 94
Wc Аналог определителя Вандермонда
для косинусов 100
Ws Аналог определителя Вандермонда
для синусов 102
Вектор-столбец и его производная
порядка α в точке tj 117
Число eitj 105
Интегралы от Uj по интервалу
(tkitk+i) при различных j 104, 106
Обозначения для произведений
ukj^kji-Vkj нае'^ 105, 106
Числа, связанные соотношениями
σ^ φ —26k 4- 2πρ, ρ - целое 96
Комплекснозначная функция 96
IV глава
Ρ Натуральное число 128
р3(х), Як(х) Многочлены для сглаживания
сплайнов 131, 132
х, х{;
Ζ3
Olkj,Pk,j'
akjPkj,
&к, Sk,
ψ(ί)
Ос)
»7/c,i
I'kJ
Ρ
349

г, Γχ Параметры сглаженных сплайнов I2g
Vj(x) Варианты сглаженных сплайнов 142
ω3·> ω3$ι ^j,i Базисные сплайны I2g
Qj Непрерывно дифференцируемые
базисные сплайны 129
V глава
N\, Лг2 Параметры усреднения 163
pi (х) Решение аппроксимационных
соотношений 168
Щ(х) Усредненное значение функции 163
й Усредняющая аппроксимация 163
uJj Усредняющие базисные сплайны 163
uJj (x) Сужение функции ω^
на промежуток [xj,Xj+i] 166
VI глава
А(х, у) Линейная функция двух переменных 186
а', Ъ' Концы отрезка [a', b'\ 192
а, 6, с, cf,
Л, £?, С, D Параметры интерполяционных
задач 193,200
uj Коэффициенты
характеристического уравнения 215
bi^k Интеграл от функции tquJi{t)
по промежутку (xfe,Xfc+i) 211
В(а), Верхняя грань корней
характеристического уравнения
С\, Сг Константы в оценках
аппроксимации
С(а) Многочлен шестой степени от а 217
с, с, с Коэффициенты главных членов
асимптотических разложений 218, 21у
Си Константы аппроксимации 222
С Константа, оценивающая
базисные функции 225
С(Х, φ) Индекс у специальной нормы 223
216
181
350

D
Du Da, D3,
£(<*,/?)
ε^α,β,η)
£з, Ps, Хз
Я*, у)
fit)
/±,
/(1), /(2), /(3)
Л. Л', Я
ΑΌ
Z, s, m
лг(3) м(3)
Μ. Ν, τη
м<4>
rax,.» Α/χη
Λ/f
Ρ,?
^U,s(z)
P{x,y),Q{x,y)
Щх,у)
Т2{а,Ь,с,А,В,С)
д, ^
Дискриминант
Константы в оценках
базисных функций
Экстремальные значения
кубического многочлена
Экстремальные значения
многочлена четвертой степени
Константы в оценках
аппроксимации
Вспомогательная функция
Многочлен третьей степени
Экстремальные значения
функции f(t)
Константы в оценках
базисных функций
Параметры узлов интерполяции
Параметр локальной
квазиравномерности
Параметры базисного сплайна
Наибольшее значение |и'"(£)|
на [хк,Хк+2] и [xk-uXk+i]
Размеры сетки и параметр точности
Наибольшее значение
четвертой производной
Наименьший и наибольший
элементы множества Хп
Наибольшее значение |ϊ/4)(£)|
на [xfc_j+i,a?fc_j+4]
Числа ЗА2 - SB и 4АВ -SC-A3
соответственно
Интерполяция по точкам {xi,Vi),
г — к - 1 + 1,·. -,fc-f s
Многочлены третьей степени
Представление экстремальных
значений
Интерполяция по точкам
(а,А),(Ь,В),(с,С)
Модуль и аргумент
комплексного числа
177
224
178
187
232
184
201, 203
202
224
201
184
175
180
199
192
226
221
186
175
186
186
193
186
351

Д(а), S(a)
Ъ(х,У)
и
и
ί»1 ί*2
и
t±,
Лз)
l+
и, ν, w, г
йи, vu
Xj
χ, h, h'
Λ", Η
Χχ{β)
X, Xj
■^■nj fin
%n,s
X(k)
Ξ
Vjj'M
Yk
Zo
a, /J, a', /3'
a0, a
β
7
Afe
ry(x)
Оценочные многочлены
Оценивающая функция
Корни производной
многочлена Ω(£)
Один из корней производной
многочлена Ω(£)
Экстремальные точки
многочлена Ω3(£)
Экстремальные точки
многочлена Cl(t)
Экстремальные точки
кубического многочлена f(t)
Экстремальные точки
многочлена P(t)
Корни многочлена il(t)
Сплайны с параметрами l,s
Узел сетки
Узел сетки с длинами
соседних сеточных интервалов
Параметры, связанные с сеткой
Корни характеристического
уравнения в зависимости от β
Сетка и ее узел
Двоичная сетка и ее шаг
Перенумерованные узлы сетки X
Объединение сеток с
fc-разрядной мантиссой
Отображение R\_ в Х(к)
Интеграл от произведения
u)jUj> по промежутку (xk,Xk+i)
Матрица системы
Приведенная матрица системы
Бесконечно малые при h'/h —> 0
Границы корней
характеристического уравнения
Параметр μ = χβ~8^3
Коэффициент многочлена f(t)
Определитель системы (5.6)
Шаг сетки
352

0i, 02, 03 Константы -^, f, -f 186
Лг Корни характеристического
уравнения 215
μ^ Корни характеристического
многочлена 216
ξ(£,Xk-i+ι,...,Хк+s) "Средняя"точка в формуле
погрешности 175
ГЦ,,Зо,7о Параллелепипед
в пространстве (а, /?,7) 189
ljj Базисный сплайн 175
Cl^(t) Многочлены второй и
третьей степени 177
Ω(£) Многочлен четвертой
степени с корнями tt, v, u\ z 182
Ω(£*) Экстрематтьное значение
многочлена Ω(ί) 185
ω^,/,β Произведение биномов 175
Ω(ί) Сдвиг многочлена Ω(ί) 187
VII глава
α^,α Элементы матрицы А^ 251
Л Цепочка векторов ay 240
Л/с Л-я степень матрицы А\ 251
β Банахово пространство функций 241
Вп Банахово пространство функций
с нормой supfc€2 Ν|ο»[**,**+ι] 242
άβ£ Коэффициенты в представлении
функционалов 243
άβ Случай независимости
от к: άβ^ — άβ 245
Dm(t) Матрица Вронского для φ{ί) 244
G Семейство пар функционалов 241
9У Пара функционалов (д~, д+) 241
д~, #+ Линейные ограниченные
функционалы в пространстве В 241
<7+, <7~ Вариант функционалов
для случая Υ — X 242
/, га, s Параметры образующего сплайна 237
353

( , О , t · О
Mo
Mi
(τ)
<2μ
г
χ
^,5,μ
У
ζ
4s
ββ
μα = ra
μ<*>
φ{ί)
<Pi(t)
*(*)> *
φ(0
ω3
ω
Wfc(i)
u;<r>
WM
Числа, связанные соотношениями
«' = s - к, V = 1 + к
7тг-мерная гиперплоскость в Дт+1
Подмножество гиперплоскости Л/о
Величины, связанные
соотношением (1.15)
Нижнетреугольная матрица
(β)
с элементами qa
Неотрицательное целое число
Целочисленная сетка, X = Ζ
Линейное пространство сплайнов
Некоторое множество точек
из интервала (а, Ь)
Множество целых чисел
Определитель системы
Алгебраический момент
порядка β функции ω
Параметры интерполяционных
сплайнов
Вектор Α^μ
Вектор (1,М2,...,£т)
Обозначение для монома tl
Измеримая функция
и ее преобразование Фурье
Сумма целочисленных
сдвигов функции Φ
Базисный сплайн
Образующий сплайн
Обозначение для функции
ω{μ)(ϊ ~ fc)
Сдвинутый интерполяционный сплайн
Восстановленный
интерполяционный сплайн
253
250
254
236, 239
240
240
236
251
241
236
244
239
246
252
240
240
237
238
236
237
253
247
248
VIII глава
A(t), B(t) Ряды метода производящих
функций 268, 269
С1 Класс функций 257
354

(7, Cj
C,Cj
cW
4i)
D
Di, A',
D'r,
F
I
I, m, s
Λ/ο, Mi
M<«
*W')
Pi
pW
Pm(t)
Ρ
Sj
<^m) ^ifc
uk
Ζ
Универсальная матрица
и ее элементы
Матрица, обратная к матрице С,
и ее элементы
г-я строка матрицы С
j-й столбец матрицы С
Матрица из вектор-столбцов
£>г'т, г = ш-1,...,0
m -f 1-мерный и т-мерный
векторы
Результат транспонирования
вектор-строки Ό\ в вектор-столбец
Диагональная матрица
с элементами (j — 1)!,
j = l,2,...,m
Подмножество множества
{0,1 m}
Параметры образующего
сплайна
т-мерная гиперплоскость
в пространстве i?m+1 и ее подмножество
Пересечение множеств Λ/j,
i = 0,l,...,/8
Характеристический многочлен
Коэффициенты
характеристического многочлена
га - β - 1-мерное
подпространство в йт
Произведение Πϋι(^ + *)/т'
Вектор с компонентами р?,
г = 0,1,.. .,га - 1
Симметрические суммы
Диагональная матрица
с элементами Sik = (—l)*ufc
Продолжение функции ид.
на отрезок [A;, A; -f 1]
Диагональная матрица
с элементами (-l)J/j!,
j = l,2,...,m
266
269
267
267
260
256
257
260
257
256
256
263
258
258
264
265
259
261
269
257
260
355

г Коэффициент разложения 268
д Вектор с компонентами Δ™ ,
j = 0,l,...,m-l 259
д^ Обозначения для определителей
Δ . ι η и их вычисление 256, 261
μα Обозначение для (-1)αμα/α! 256
β Вектор с компонентами μ*,
г = 1,...,ш 259
μ(Β) Точка гиперплоскости Л/о,
соответствующая В-сплайну 272
ω Образующий приведенный
сплайн 256
IX глава
a,kj, Akj Наборы га + 1-мерных векторов 285
Q Оператор построения
матрицы-функции по вектор-функции 278
lh Диагональная матрица
с элементами /ifc, к — 0,1,..., га 282
Μμ Определяющий μ-опсратор 280
νμ Матрица, обратная к матрице QM 276
<2μ Нижнетреугольная матрица 275
Χμ Пространство сплайнов,
отвечающих параметру μ 281
X Стандартное пространство
сплайнов 281
Xfx(h) Пространство сплайнов
на сетке шага h 281
βэ,з' Коэффициенты представления
Щ} через ωΧ/ 285
Ξ Укрупненная сетка 285
uXj, Ω^ Базисные функции на исходной
и на укрупненной сетках 285
4>{t) Вектор (l,i,...,im) 275
356

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Минимальные интерполяционные сплайны 9
§1. Минимальные лагранжевы сплайны 9
1.1. Аппроксимационные соотношения 9
1.2. Элементарные минимальные сплайны 14
1.3. О понятии однородности сплайнов 17
1.4. Последовательная интерполяция
минимальными сплайнами 18
§2. Минимальные эрмитовы сплайны 19
2.1. Аппроксимационные соотношения 19
2.2. О существовании минимальных эрмитовых
сплайнов 20
2.3. Частные случаи минимальных эрмитовых
сплайнов 26
2.4. Еще о свойствах минимальных эрмитовых
сплайнов 32
Глава II. Граничные минимальные сплайны 34
§1. Постановка задачи 34
§2. Описание основных результатов 38
§3. Об экстремальных значениях многочлена 40
§4. Оценка базисных функций на приведенной сетке . .43
§5. Некоторые вспомогательные утверждения 48
§6. Оценка аппроксимации на общей локально
квазиравномерной сетке 53
§7. Оценка констант эквивалентности 58
7.1. О связи констант эквивалентности
и аппроксимации 58
357

7.2. Один вариант оценки константы
аппроксимации 61
7.3. О некоторых других вариантах оценки
константы аппроксимации 63
§8. Оценка погрешности некоторых квадратурных
формул 64
§9. О вычислении коэффициентов квадратурных
формул 69
§10. Согласованная квадратурная формула
на равномерной сетке 78
§11.0 построении локально квазиравномерных
сеток 83
11.1. Степенные сетки 83
11.2. Экспоненциальные сетки 85
§12. Сетки с (0, ^-свойством 86
12.1. Достаточные условия для (Θ, 0)-свойства ... 86
12.2. Степенные сетки 87
12.3. Экспоненциальные сетки 90
§13. Дополнение 91
Глава III. Тригонометрические минимальные
сплайны 94
§1. О построении минимальных тригонометрических
сплайнов нулевой высоты 94
§2. Четные тригонометрические сплайны 99
§3. Нечетные тригонометрические сплайны 102
§4. Построение квадратурных формул 104
§5. Некоторые частные случаи гранично-минимальных
тригонометрических базисных сплайнов 110
§6. Построение базиса тригонометрических
сплайнов ненулевой высоты 117
6.1. Оценка погрешности аппроксимации 118
6.2. Частные случаи тригонометрических
сплайнов ненулевой высоты 122
6.3. О построении четных тригонометрических
сплайнов ненулевой высоты 124
6.4. Частный случай 126
358

Глава IV. Гладкие минимальные сплайны 127
§1. Об эрмитовых и лагранжевых сплайновых
аппроксимациях 127
§2. О построении гладких минимальных сплайнов ... 128
2.1. Первый вариант расположения носителя 128
2.2. Второй вариант расположения носителя 132
2.3. Свойства гладких минимаьных сплайнов 133
2.4. О сплайновых аппроксимациях без свойства
точности на многочленах класса пт 134
2.5. О совпадении базисных сплайнов 135
2.6. Левые и правые гладкие минимальные
сплайны 137
§3. О модификации эрмитовых и лагранжевых
сплайновых аппроксимаций 137
3.1. Применение разностных отношений
при построении минимальных сплайнов 137
3.2. Другой вариант применения разностных
отношений 141
3.3. Еще об использовании разностей 143
3.4. Аппроксимация четвертого порядка 144
3.5. Аппроксимация более высокого порядка 146
3.6. Некоторые частные случаи 147
3.7. О длине носителя и степени сплайна 149
§4. О построении непрерывных минимальных
тригонометрических сплайнов 149
4.1. Построение базиса тригонометрических
сплайнов нулевой высоты 149
4.2. Основные свойства непрерывных
тригонометрических сплайнов 151
§5. О построении гладких минимальных
тригонометрических сплайнов 151
5.1. Вводные замечания 151
5.2. Вычисление полиномов pk(t) 154
5.3. О точности аппроксимации 156
5.4. Условия гладкости 156
Глава V. Усредняющие и сглаживающие сплайны 162
§1. Усредняющие сплайны 162
1.1. Кусочно-линейные усредняющие сплайны ... 162
359

1.2. Квадратичные усредняющие сплайны 164
§2. Сглаживающие сплайны 167
2.1. Построение сглаживащих сплайнов 167
2.2. Примеры сглаживащих сплайнов 169
2.3. Оценки погрешности аппроксимации 170
2.4. Некоторые замечания 171
Глава VI. Оценки констант аппроксимации
минимальными сплайнами 174
§1. Константы аппроксимации минимальными
линейными и квадратичными сплайнами 174
1.1. Первоначальные оценки 174
1.2. О монотонности экстремальных значений ... 178
1.3. Оценки констант аппроксимации 180
§2. Аппроксимация минимальными кубическими
сплайнами 182
2.1. Представление погрешности 182
2.2. Границы многочлена Ω(ί) 182
2.3. Некоторые свойства многочлена Ω(£) 183
2.4. О представлении экстремальных значений
многочлена Q(t) 185
2.5. О зависимости экстремальных
значений Q(t) от α, /?, 7 187
2.6. Оценка функций u)k,i>s(t) 190
§3. Точные оценки квадратичных базисных
сплайнов 192
3.1. Предварительные замечания 192
3.2. Представление квадратичных сплайнов 193
3.3. Границы изменения функции Т>2 194
3.4. Оценки базисных функций 197
§4. Оценки кубичных базисных сплайнов 200
4.1. О представлении кубических сплайнов 200
4.2. Границы многочлена Vz(t, α, 6, с, с?, Л, £?, С, D) 201
4.3. Оценки базисных сплайнов (Jj(t) 205
4.4. Оценки базисных кубических сплайнов
на равномерной сетке 208
§5. Устойчивость вычислений. Некоторые оценки
констант устойчивости 210
5.1. Предварительные замечания 210
3G0

5.2. Отыскание решения уравнения (5.6) 212
5.3. Вычисление коэффициентов
характеристического уравения 214
5.4. Оценки корней характеристического
уравнения 215
5.5. Асимптотика корней при α —* -foo 218
§6. Константы в оценках сплайновой аппроксимации
на двоичной сетке 219
6.1. Предварительные замечания 219
6.2. Константы аппроксимации на простейшей
двоичной сетке 221
6.3. О влиянии неточного задания
аппроксимируемой функции в узлах 223
6.4. Двоичная сетка общего вида 226
6.5. Шаг двоичной сетки и его свойства 230
6.6. Оценки погрешности 231
6.7. О неточном задании сеточной функции 234
Глава VII. Классификация пространств минимальных
сплайнов 236
§1. Элементарные минимальные сплайны
на равномерной сетке 236
§2. Л-минимальные сплайны 240
§3. Обобщенная непрерывность Л-сплайнов 241
§4. Условие гладкости минимальных сплайнов 243
§5. Минимальные интерполяционные сплайны 246
§6. Некоторые свойства пространств минимальных
сплайнов 250
Глава VIII. Образующие минимальные сплайны и их
характеристические многочлены 255
§1.0 гладкости образующих сплайнов 256
§2. Характеристические многочлены 258
§3. Еще о гладкости образующего сплайна 263
§4. Рекуррентное вычисление образующего
сплайна 264
§5. О минимальных сплайнах первой и второй
степени 272
361

Глава IX. Представления минимальных сплайнов 274
§1. Элементарные минимальные сплайны
как Л-сплайны 274
§2. Стандартный сплайн и представление
образующих сплайнов 279
§3. Определяющие функционалы и аппроксимация .. 281
§4. Укрупнение сетки и минимальные сплайны 284
§5. Соотношения укрупнения для Л-минимальных
сплайнов 286
Указатель литературы 290
(Приложение 1. Об аппроксимации общими сплайнами 295
Приложение 2. Неполиномиальные сплайны
максимального дефекта 299
1. Приближения неполиномиальными лагранжевыми
сплайнами 299
1.1. Построение непрерывных базисных
функций 299
1.2. Построение решения ассоциированного
дифференциального уравнения 300
1.3. Оценки погрешности 301
1.4. Оценки погрешности приближения
тригонометрическими сплайнами 303
1.5. Оценка погрешности приближения
экспоненциальными сплайнами 304
2. О построении гладких интерполяционных
сплайнов 306
2.1. О построении непрерывных сплайнов 306
2.2. О построении гладких минимальных
сплайнов 308
2.2.1. Первый вариант расположения носителя .. 308
2.2.2. Второй вариант расположения носителя .. 312
2.2.3. Свойства гладких минимальных сплайнов .312
2.3. О построении гладких минимальных
сплайнов с особенностью 313
3. Приближения ненулевой высоты 315
3.1. Приближения сплайнами первой высоты
третьего порядка 317
362

3.2. Построение приближений четвертого порядка 319
3.3. Приближение сплайнами второй высоты
шестого порядка 321
4. Аппроксимация Эрмита—Биркгофа 323
4.1. Постановка задачи 323
4.2. Оценка погрешности 324
4.3. Численные эксперименты 325
5. Применение сплайнов ненулевой высоты
для решения задачи Коши 326
5.1. Применение сплайнов четвертого
порядка аппроксимации 327
5.2. Решение задачи Коши для
одного уравнения 328
5.3. Оценка погрешности при η = 1,
φ·(χ) = xl~l 328
5.4. Оценка погрешности при φι{χ) = 1,
ψ2(χ) = #? ψύχ) = ех, Ψα(χ) — е~х и η = 1 .. 329
5.5. Оценка погрешности при φ\(χ) = 1?
ψ2{χ) — х* <£з(#) = ех. Ψα(χ) = е~х и η = 1 .. 330
5.6. Результаты численных экспериментов 331
Список литературы к приложению 2 332
Приложение 3. Графики базисных функций 334
Список обозначений
345

Бурова И. Г., Демьянович Ю. К.
Б92 Минимальные сплайны и их приложения:—СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2010. — 364 с.
ISBiN 978-5-288-04978-1
Предлагаемая читателю книга — учебник по теории минимальных
полиномиальных и неполиномиальных сплайнов. В ней рассматриваются
различные способы построения сплайнов на локально
квазиравномерных конечных и бесконечных сетках. Исследуются их
аппроксимативные свойства и устойчивость, систематизируются пространства сплайнов,
приводятся эффективные оценки констант аппроксимации и
устойчивости, рассматривается применение сплайнов к решению задач
интерполяции, аппроксимации, к вычислению интегралов и к решению
дифференциальных уравнений.
Учебник предназначен для студентов и аспирантов, изучающих
численные методы, вопросы аппроксимации функций и приемы сжатия и
восстановления потоков структурированной информации в реальном
масштабе времени. Учебник может оказаться полезным для специалистов
и всех интересующихся современными достижениями в этих областях.
ББК 22.19
Учебное пособие
Ирина Герасимовна Бурова,
Юрий Казимирович Демьянович
МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Подписано в печать с оригинал-макета автора 29.12.2009.
Формат 60x84 Vie- Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 21,16. Тираж 300 экз. Заказ jY* 4%
Издательство СПбГУ.
199004, С.-Петербург, В. О., 6-я линия, 11/21
Тел. (812) 328-96-17; факс (812) 328-44-22
E-mail: editor@unipress.ru
www.unipress.ru
По вопросам реализации обращаться по адресу:
С.-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 11/21, к. 21
Телефоны: 328-77-63, 325-31-76
E-mail: izdat-spbgu@mail.ru
Типография Издательства СПбГУ.
199061, С.-Петербург, Средний пр., 41

И. Г. Бурова
Ю. К Демьянович
МИНИМАЛЬНЫЕ
СПЛАЙНЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
УЧЕБНИК