Б. М. БРОУДЕ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
СОСТОЯНИЯ
СТАЛЬНЫХ
БАЛОК
«
МОСКВА
195 3

Б. М. БРОУДЕ,
Д-Р ТЕХН. НАУК
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
состояния
СТАЛЬНЫХ
БАЛОК
Государственное издательство
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ И АРХИТЕКТУРЕ
Москва —1953—Ленинград

Редактор—канд. техн. наук Е. Ф. Котляр
В книге (рассмотрены предельные состояния
по прочности и устойчивости стальных <балсж со
оплошной стенкой. Величины предельных нагру-
зок для балок уточнены путем приближения рас-
четных схем к действительным условиям работы
конструкций.
Приводятся практические методы расчета
стальных балок, отвечающие принципам расчета
по (предельным состояниям.
Книга предназначена для инженеров-проек-
тировщиков, научных работников и аспирантов.

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.
Предисловие 5
Основные обозначения 7
Введение 10
Раздел I. Влияние касательных напряжений на несущую
способность балки
§ 1. Предварительные замечания 20
Глава I. Прямоугольное сечение 23
§ 2. Основные гипотезы —
§ 3. Разыскание предельного условия 25
§ 4. Упрощенный метод решения задачи, рассмотренной в § 3 . 30
Глава II. Двутавровое сечение 36
§ 5. Особенности двутаврового сечения —
§ 6. Предельное условие для балки двутаврового сечения ... 37
§ 7. Предельные условия для неразрезных балок 45
§ 8. Экспериментальные данные 48
4 9. Случаи многократного загружения 49
§ 10. Быстрота распространения пластичности по сечению .... 51
§ 11. Ограничения, налагаемые величиной перемещений 52
Раздел II. Устойчивость балок при простом изгибе
§ 1. Предварительные замечания 58
Глава III. Устойчивость плоской деформации балок 60
§ 2. Основные уравнения —
§ 3. Балки симметричного двутаврового сечения 70
§ 4. Двутавровые балки с одной плоскостью симметрии 79
§ 5. Учет прогибов балки в плоскости изгиба 82
Глава IV. Некоторые специальные задачи 86
§ 6. Устойчивость плоской деформации балок за пределом
упругости —
§ 7. Балки» укрепленные продольными или поперечными связями 92
§ 8. Влияние начального искривления на устойчивость балок . . 99
Раздел III. Устойчивость стенок и поясных листов в балках
§ 1. Предварительные замечания 107
Глава V. Пластинки с жестко опертым контуром 109
§ 2. Граничные поверхности для свободно опертых пластинок . • —
§ 3. Пластинка, стороны которой у = 0 и у =* Ь заделаны, а сто-
роны х — 0 и х — а свободно оперты 114
§ 4. Принципы расчета на устойчивость 126
3

§ 5. Балочная стенка, укрепленная только поперечными ребрами 130
§ 6. Балочная стенка, укрепленная одним продольным ребром и
поперечными ребрами жесткости 139
§ 7. Балочная стенка, укрепленная несколькими продольными
ребрами ИЗ
§ 8. Устойчивость поясных листов 145
Глава VI. Пластинки, усиленные упругими ребрами 146
§ 9. Общие замечания —
§ 10. Чистый изгиб пластинки, укрепленной одним продольным
ребром \ 147
§ 11. Чистый сдвиг пластинки, укрепленной двумя продольными
ребрами 154
§ 12. Приближенный метод решения задачи § 11 159
§ 13. Граничные кривые для комбинации чистого изгиба с чис-
тым сдвигом 163
Глава VII. Влияние начального искривления на устойчивость
стенок (линейная задача) 169
§ 14. Общие замечания —
$ 15. Критерии предельного состояния искривленной пластинки 171
§ 16. Разложение в ряд решения неоднородного уравнения . . 172
§ 17. Приложения задачи, рассмотренной в § 16 179
§ 18. Влияние начального искривления при различных напряжен-
ных состояниях 185
Глава VIII. Влияние начального искривления на устойчивость
стенок (нелинейная задача) 190
§ 19. Основные уравнения нелинейной задачи —
§ 20. Свободно опертая пластинка 199
§ 21. Пластинка с двумя заделанными краями 205
§ 22. Пластинка с начальным искривлением и поперечной на-
грузкой 208
§ 23. Выводы применительно к практическому расчету 209
Использованная литература 215

ПРЕДИСЛОВИЕ
Грандиозный размах строительства в нашей стране ставит
перед советскими! учеными, и инженерами новые задачи, в том
числе задачу создания новых научных методов расчета, обеспе-
чивающих надежность и высокую экономичность сооружений.
Важным этапом на пути ее разрешения является построение ме-
тодики расчета по предельным состояниям, призванной заменить
метод расчета по допускаемым напряжениям.
В настоящее время можно считать завершенной разработку
принципиальных основ новой методики1. Предельное состояние
конструкций трактуется советскими: учеными как состояние, вы-
зывающее прекращение нормальной эксплуатации. Такое общее
определение, естественно, нуждается в конкретизации. В извест-
ной мере это сделано в проекте Урочного Положения, однако
многое еще предстоит сделать для углубления и уточнения
понятия предельного состояния конструкций.
Основная задача состоит в сближении предпосылок расчета
с действительными условиями работы конструкций. Необходимо
учесть важнейшие факторы, изменяющие характер работы кон-
струкций и их элементов, по сравнению с обычно рассматри-
ваемыми схемами, и дать аналитическую интерпретацию усло-
вий возникновения предельных состояний.
Некоторые шаги в этом направлении сделаны в данной
книге. В ней изучаются отдельные виды так называемого пер-
вого предельного состояния стальных конструкций, а именно:
исчерпание работоспособности по прочности и по устойчивости
балок и их элементов. Предельное состояние, связанное с явле-
нием усталости металлов, здесь не рассматривается.
Задача сближения предпосылок расчета с действительными
условиями работы конструкций привела к рассмотрению ряда
вопросов, как то: учет касательных напряжений при оценке не-
сущей способности балок, уточнение граничных условий при
исследовании устойчивости балок и их элементов' (заделка,
упругое з ащемление), учет совокупности силовых ф акторов,
действующих на конструкции. Особое внимание уделено оценке
влияния начального искривления и случайных эксцентриситетов
на устойчивость.
а

Ограниченность объема книги заставила свести; к минимуму
изложение уже известных решений. Основное назначение книги
состоит в рассмотрении ряда практически важных задач, либо
совершенно не затронутых, либо недостаточно освещенных в
литературе. Таким образом, данная работа не претендует на
роль универсального пособия для расчета балок по предельным
состояниям.
В книге использованы методы теории малых упруго-плаещ-
чеоких деформаций и. линейной теории упругости. Для изучения
устойчивости слегка искривленных пластинок привлекается нели-
нейная теория оболочек малой кривизны.
При рассмотрении вопросов устойчивости конструкций при-
меняются прямые методы вариационного исчисления и разложе-
ния в ряды по собственным функциям. В обоих случаях важно
знать условия, при котор ых указанные процессы сходятся.
Известны примеры, когда игнорирование вопроса о сходимости
приводило к неверным выводам.
Автор счел необходимым указать некоторые критерии схо-
димости и в отдельных случаях дать краткое их обоснование
(гл. V, § 3, п. 1; гл. VII, § 16). Чтение этих мест требует зна-
комства с основами теории линейных интегральных уравнений
и некоторыми разделами- теории аппроксимации. Читатель, инте-
ресующийся только приложениям и полученных результа тов,
может такие места пропустить.
Практическая напраовленность книги требовала доведения
результатов до вида, удобного для применения. Во многих слу-
чаях, особенно при пользовании прямыми методами, оконча-
тельные решения представлены в табличной форме. Наряду
с этим промежуточные результаты приведены © обшем виде,
чем облегчается возможность изменения значений отдельных па-
раметров.
Следует отметить, что все промежуточные выводы справед-
ливы не только для стальных, но для любых металлических
балок.
Автор выражает благодарность проф. С. А. Бернштейну и
канд. техн. наук Е. Ф, Котляру за советы и замечания, способ-
ствовавшие улучшению содержания (Книги.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
РАЗДЕЛ I
D — пластический модуль;
у — коэффициент поперечной деформации;
ег — относительное удлинение, параллельное продольной оси балки
(оси х);
ej — относительное удлинение в крайнем волокне прямоугольного
сечения или стенки двутавра;
1ху — относительный сдвиг;
h — высота прямоугольного сечения или стенки двутавра;
2у
°дг» ^ az —нормальные напряжения, параллельные соответственно оси
х> У* % (растягивающие напряжения положительны);
хху—касательное напряжение;
v/3
от—предел текучести при растяжении;
ггЕ
е= , где Ei соответствует сечению пластического шарнира;
ат __
£/3 .
S Tjrjf 2 (1 + v)aT '
g= to \ » гДе То — относительный сдвиг на нейтральной
2(1 -f- v) стт оси в сечении пластического шарнира;
Mq—предельный момент при чистом изгибе;
Q0 — предельная поперечная сила при отсутствии момента;
Mip» Qnp — соответственно предельный момент и поперечная сила при на-
личии как нормальных, так и касательных напряжений;
*~ Qo '
с *^ст
Р = о *
о шах
где Set — статический момент половины стенки, лежащей по одну сторону
нейтральной оси;
Smar — статический момент половины сечения;
Л0 — расстояние между центрами тяжести поясов двутавра;
Wynp — момент сопротивления сечения в упругой стадии работы;
wim — пластический момент сопротивления сечения.

РАЗДЕЛ II
и — перемещение точки оси, параллельное оси х;
v — перемещение точки оси, параллельное оси у;
8 — угол закручивания;
ау — координата центра изгиба (по оси у);
EJ х—наибольшая жесткость при изгибе;
EJу — наименьшая жесткость при изгибе;
£УШ —секториальная жесткость;
€JK — жесткость при кручении;
/ — пролет балки;
h — расстояние между центрами изгиба поясов балки;
&&EJy ^т v%2
$(x*+y*)ydF
$у = — — ау (df/7 —дифференциал площади сечения);
Цу — интенсивность нагрузки, параллельной оси у\
е'у—координата точки приложения силы (по оси у);
Су — координата закрепленной оси вращения сечения (по оси у);
?щ — нормативный коэффициент условий работы;
а) — коэффициент, учитывающий влияние начального искривления балки
и внецентренности приложения нагрузки;
Ь — коэффициент понижения критического напряжения при переходе за
предел пропорциональности;
[а —отношение критического момента при данной эпюре моментов к кри-
тическому моменту при чистом изгибе;
ат — предел текучести;
лпр— предел пропорциональности.
РАЗДЕЛ III
а или 2а (в гл. VIII) — сторона прямоугольной пластинки, параллельная
оси х\
Ь или 2Ь (в гл. VIII) — сторона прямоугольной пластинки, параллельная
оси у;
h — полная высота стенки;
w~f(x*y) или да=/(£, -ц) —уравнение упругой поверхности пластинки;
У
а
t—толщина пластинки;
Е1Ъ
С =i2'[l—v2) — цилиндрическая жесткость пластинки;
Е — модуль продольной упругости;
V —коэффициент поперечной деформации;
ат — предел текучести;
ах, а у, %Ху — компоненты плоского напряженного состояния;
а — наибольшее значение напряжения сх [сжатие положи-
тельно (за исключением гл. VIII)];
8

т — среднее значение касательного напряжения %ху на каком-либо участке
стенки;
р—наибольшее значение напряжения ау (сжатие положительно);
а—оа
а=в—_— (а—ац — разность краевых напряжений в рассматриваемом се-
чении);
стк» тк. Рк — соответственно критическое значение напряжений <т, т, р
при одновременном действии всех факторов;
ст0' то» Ро — соответственно критическое значение одного из напря-
жений а, т, р при равенстве нулю двух других;
окда а0да / 4ада
А^^с или *—*5с ( в гл- vin *—Sc
pKta* pQtaZ
*=~тёС или Z="SC •
xKtd? <z0tdz
где й? — меньшая из величин л и 6;
Y=-r^—. ср, где GJK~ жесткость на кручение пояса балки, <р — поправоч-
ный коэффициент, учитывающий влияние нормальных напряжений в поясе;
?Р~йГ' где —момент инерции сечения ребра жесткости;
F — площадь сечения ребра жесткости;
^ — расстояние от сжатого края пластинки до оси продольного ребра же-
сткости;
+"('-'т)м!
0 — коэффициент понижения критического напряжения, при переходе за
предел пропорциональности;
Х~ отношение критического напряжения, вычисленного с учетом защемле-
ния контура пластинки или жесткого соединения с утолщенными уча-
стками стенки, к критическому напряжению свободно опертой пластинки
с теми же размерами; при рассмотрении напряжений ах под х пони-
мается отношение соответствующих наименьших критических напря-
жений;
то—нормативный коэффициент условий работы;
ш — коэффициент уменьшения критического напряжения за счет началь-
ного искривления пластинки или внецентренного приложения нагрузки;
/0 —стрелка начального искривления.
Нумерация формул ведется отдельно по каждому параграфу.
Формулы нумеруются двумя числами, из которых первое число обозначает
порядковый номер формулы, а второе — номер параграфа.
Все ссылки на формулы и параграфы, не имеющие специальных огово-
рок, относятся к рассматриваемому разделу.

ВВЕДЕНИЕ
Метод расчета (конструкций по допускаемым напряжениям
долгое время безраздельно господствовал в проектировании
стальных конструкций. Недостатки его хорошо известны. Расчет
конструкций по наибольшим напряжениям ib точке или линии
вследствие игнорирования пластических свойств стали, а также
принятие постоянного коэффициента запаса1 прочности и устой-
чивости приводят к тому, что указанный метод не гарантирует
верной оценки надежности: конструкций. Следует оговориться,
что первый из указанных недостатков относится только к рас-
чету на прочность. Поверка устойчивости конструкций лишь
формально связана с допускаемыми напряжениями и представ-
ляет по существу сравнение расчетного усилия, воспринимаемого
элементом конструкции, с критическим усилием.
Разработка основ расчета по предельным состояниям является
крупным успехом советских ученых, далеко опередивших зару-
бежных ученых и установивших приоритет советской науки
в этой важной области.
Создание новой, прогрессивной методики расчета явилось
результатом исследований ряда научных и проектных коллекти-
вов (Комиссия по унификации методов расчета, ЦНИПС, ГПИ
Проектстальконструкция, КТИС и др.). В этой методике отра-
зились характерные черты передовой советской науки: сочетание
высокого уровня теоретических и экспериментальных исследова-
ний с практической целеустремленностью. В результате внедре-
ния новых методов расчета должна уточниться оценка надеж-
ности и повыситься экономичность сооружения.
Метод расчета по предельным состояниям основан на сле-
дующих принципах [1], [2]:
1. Под предельным—понимается такое состояние конструк-
ций, при котором дальнейшая ее эксплуатация должна быть
прекращена.
2. Единый коэффициент запаса, применяемый bi методе рас-
чета по допускаемым напряжениям, заменяется тремя дифферен-
1 Имеется в ©ищу достоинство при действии одной кагегории нагрузок,
«апример, основных иагрузок.
10

цированными коэффициентами, относящимися соответствен-
но к нагрузкам, -материалу и условиям работы конструк-
ции.
3. Целью расчета является получение надлежащей гарантии
того, что за время эксплуатации сооружения не наступит ни
одно *из недопустимых предельных состояний для конструкций
б целом и отдельных ее элементов.
Для стальных конструкций различаются два предельные
состояния:
а) первое предельное состояние — по несущей способности
(прочности, устойчивости и выносливости (материала), при до-
стижении которого конструкция теряет способность сопро-
тивляться внешним воздействиям или получает такие остаточ-
ные изменения, которые не допускают возможности дальнейшей
эксплуатации;
б) (второе предельное состояние — по развитию чрезмерных
деформаций в конструкции от статических или1 динамических
нагрузок, при достижении которого в конструкции, сохраняющей
прочность и устойчивость, появляются деформации или1 коле-
бания, исключающие возможность дальнейшей эксплуатации.
Метод tp аочета конструнций по предельньш состояниям
весьма прогрессивен. Принятое определение предельного состоя-
ния, сохраняя значительную общность, исходит из основною тре-
бования, предъявляемого к конструкции!, — обеспечения непре-
рывности эксплуатации1.
Расчленение общего (коэффициента запаса на три частных
коэффициента (коэффициент перегрузки, коэффициент однород-
ности материала и коэффициент условий работы) позволяет глу-
боко изучить природу этих величин путем опыта и статистической
обработки наблюдений. Наряду с этим возможна широкая диф-
ференциация этих коэффициентов, что способствует наибольшей
экономии материалов.
Переход к новому методу р асчета тр ебует углубленного
изучения предельных состояний конструкций.
В соответствии с установкой данной книга в ней рассматри-
ваются лишь отдельные виды первого предельного состояния
применительно к стальным балка!М: несущая способность при
простом изгибе, устойчивость балок и их элементов.
Первый вопрос (несущая способность балок) уже достаточно
полно исследован в простейшем случае изгиба ib одной из глав-
ных плоскостей, преимущественно для прямоугольной формы
сечения. Однако в большинстве исследований из всех компонен-
тов напряженного состояния удерживаются только основные
нормальные напряжения, что приводит к преувеличению пре-
дельной нагрузки, подчас довольно значительному.
Переход к методу расчета конструкций по предельным со-
стояниям требует всемерного уточнения величины предельной
нагрузки. Это ясно отражено в тексте проекта Норм проектиро-
П

вания конструкций ([1], § 2, п. 1), где сказано: «Расчетная
схема сооружений и основные предпосылки расчета должны
в наибольшей степени соответствовать действительной работе
сооружения и выбираться с таким расчетам, чтобы результаты
расчета не завышали расчетной несущей способности сооруже-
ния против его действительной несущей способности».
В действующих Технических условиях проектирования сталь^
ных конструкций учет пластических свойств и атер и ал а при
разыскании предельной кашрузки допускается лишь для огра-
ниченного класса балок. Осторожность трактовки этого вопроса
га известной мере объясняется неполнотой наших знаний. По
мере изучения предельного состояния балок при сложном напря-
женном состоянии ограничения будут сниматься.
Первым этапом такого изучения должен быть учет каса-
тельных напряжений в балках при изгибе. Советские ученые
(Н. И. Безухов, Н. Д. Жудин, П. Ф. Папкович, А. Р. Ржаницын
и др.) занимались этой важной проблемой, установив приоритет
■советской науки в данном вопросе. Темой их исследований были
почти исключительно1 балки прямоугольного сечения, для кото-
рых разыскивалось условие появления пластического шарнира
при учете двух компонентов напряженного состояния.
Результаты, полученные для балок прямоугольного сечения,
не могут найти непосредственного применения в расчете сталь-
ных конструкций; их можно использовать лишь как вспомога-
тельный материал при рассмотрении балок двутаврового сече-
ния.
Следует, однако, предостеречь от механического перенесения
критерия предельного состояния для балок прямоугольного сече-
ния на двутавровые балки. Для балок прямоугольного сечения
предельное состояние совпадает с образованием последнего пла-
стического шарнира, который обращает балку в изменяемую
систему (без учета упрочнения); для двутавровых балок сохра-
нение того же критерия было бы ошибкой.
Чтобы уяснить себе причину различия, обратимся к опреде-
лению первого предельного состояния, данному на стр. 11.
«Предельное состояние достигается, когда... конструкция по-
лучает такие остаточные изменения, которые не допускают воз-
можности дальнейшей эксплуатации».
В случае изгиба с поперечной силой критерием первого пре-
дельного состояния двутавровой балки является образование
пластической зоны по всей [высоте стенки независимо от того,
каковы при этом напряжения в поясах. Действительно, дальней-
шее увеличение поперечной силы возможно только за счет сопро-
тивления поясов- срезу, что связано' с развитием остаточных
деформаций недопустимой величины. Подобное явление доста-
точно подтверждено' экспериментами. Заметим, что здесь имеется
полная аналогия с предельным' состоянием сквозной фермы, в ко-
торой началась текучесть всех элементов решетки1 одной панели.
12

Принятый критерий предельного состояния для балок двутав-
рового сечения совпадает с -критерием для прямоугольного сече-
ния при малой (величине поперечной силы. В случае преоблада-
ния касательных напряжений различие между обоими -критери-
ями выступает с особой силой, хотя оба они вытекают из сфор-
мулированного выше определения первого предельного состояния.
Раздел I дайной книги посвящен изучению предельного со-
стояния балок прямоугольного и двутаврового сечения из
идеальной упруго-пластической стали при учете касательных на-
пряжений. Основной целью здесь является получение предель-
ного условия, охватывающего различные формы двутаврового
сечения, и разработка практических (методов расчета статически
определимых и неразрезных балок при однократном и много-
кратном залружениях.
Прежде чем обратиться к рассмотрению вопросов устойчиво-
сти балок, сделаем несколько замечаний общего характера по
поводу явления потери устойчивости упруго-пластических систем.
Различаются два рода потери устойчивости.
Потеря устойчивости первого рода представляет собой мате-
матическую идеализацию явления, так как она возможна лишь
при- абсолютно точном выполнении некоторых геометрических,
физических и статических условий. Сущность явления можно
проследить, предполагая, что нагрузка возрастает пропорцио-
нально параметру X. Тогда в интервале значений X от нуля
до критического значения (Хк) имеют место только деформации
определенного вида, которые назовем первичными. В этом
интервале равновесие устойчиво (в смысле -восстановления
положения при устранении .малых возмущений). При дальней-
шем росте X первичная форма равновесия становится неустой-
чивой, а новая устойчивая форма равновесия характеризуется
появлением деформаций, качественно отличных от первичных
деформаций, которые назовем вторичными. Если вторичные
деформации исчезают вместе с разностью X — Хм то говорят, что
в точке X = Хк имеет место разветвление форм равновесия. Воз-
можен и другой случай, когда переход из одной формы равно-
весия в' другую совершается скачком и при Х = ХК вторичные
деформации сразу получают конечные значения. Примерами
разветвления форм равновесия мо)гут служить продольный изгиб
идеально прямолинейного стержня, выпучивание идеально пло-
ской 'пластинки, (н arip уженной строго © ср единной плоскости
и т. п. Примером конечных вторичных деформаций служит
явление «хлопка» (мгновенного перехода в новое равновесное
состояние с конечными деформациями) тонкой сферической обо-
лочки, подверженной внешнему равномерному радиальному дав-
лению.
Для отыскания значения Хк, отвечающего разветвле-
нию форм равновесия («устойчивость в малом»), доста^
точны методы линейной теории упругости. Изучение иритиче-
13

ского состояния, характеризуемого мгновенными конечными
деформациями («устойчивость в большом») и исследование
послекритической стадии во всех случаях требуют привлечения
аппарата нелинейной теории упругости'.
Следует подчеркнуть, что первичные И' вторичные деформа-
ции могут иметь одноименные компоненты; например, в обоих
случаях могут существовать деформации изгиба в одной и: той
же плоскости. Качественное различие их состоит ib том, что
функции, представляющие одноименные компоненты обоих видов
деформации, должны быть ортогональны © том обобщенном
смысле, в каком условие ортогональности выполняется для соб-
ственных функций системы дифференциальных уравнений, опи-
сывающих равновесное состояние при наличии одних вторичных
деформаций. Для примера рассмотрим стержень с шарнир но
закрепленными концами (один из которых подвижен), которому
придана точная форма очень пологой синусоиды с двумя полу-
волнами. Стержень сжат силами, приложенными к концам т на-
правленными по прямой их соединяющей. Первичные деформа-
ции, помимо укорочения оси стержня, выразятся в увеличении
амплитуд обеих полуволн. В силу малости первичного искривле-
ния можно считать, что критическая сила совпадет с эйлеровой,
а вторичные деформации представятся синусоидой с одной
полуволной. Таким образом, функции, представляющие первич-
ные и вторичные деформации, ортогональны в интервале, рав-
ном расстоянию между шарнирами.
Послекритическая стадия протекает различно в одномерных
системах (стержнях) и двумерных системах (пластинках, обо-
лочках). Нарастание деформаций в одномерных системах проис-
ходит настолько быстро, что критическую нагрузку следует рас-
сматривать как предельную. В двумерных системах при нали-
чии некоторых условий возможно такое перераспределение
нагрузки, что ее результирующая значительно превзойдет равно-
действующую критической нагрузки. Предельная нагрузка таких
систем определяется наступлением второго критического
состояния—потери устойчивости второго рода.
Потеря устойчивости второго рода наблюдается во всех слу-
чаях, когда имеются начальные отклонения от точной'геометри-
ческой формы или эксцентриситеты в приложении сил. Эти при-
чины вызывают с самого начала нагружения появление вто-
ричных деформаций одновременно' с первичными и непрерывный
рост тех и других вплоть до наступления критического состоя-
ния. Бели рассматривать параметр нагрузки ^ как функцию от
величины деформации в какой-либо характерной точке, то кри-
тическое состояние отвечает достижению максимума ^, т. е.
дальнейшее увеличение деформаций должно сопровождаться па-
дением нагрузки. Критическое состояние невозможно без появ-
ления неупругих деформаций в некоторых зонах системы (речь
идет о пластичных материалах).
14

Из самого определения критического состояния второго рода
как достижения максимума нагрузки вытекает, что послекрэти-
ческая стадия (в смысле дальнейшего роста нагрузки) отсут-
ствует, т. е. критическая нагрузка является пре-
де льлой. Следует, однако, подчеркнуть, что здесь имеет
место именно потеря устойчивости, а не исчерпание прочности.
В этом легко убедиться на примере сжато-изогнутого стержня
прямоугольного сечения, который теряет устойчивость при раз-
витии пластических деформаций только в части опасного сече-
ния, а не во всем сечении, как того требовал бы критерий исчер-
пания прочности.
В конструкциях всегда имеются начальные искривления,
а в приложении сил—эксцентриситеты, (поэтому потеря устой-
чивости второго рода есть единственная реальная форма крити-
ческого состояния. Казалось бы, можно ограничиться изучением
только этого рода потери устойчивости, совершенно не рассма-
тривая такие (идеализированные явления, как разветвление форм
равновесия. Однако такой вывод был бы излишне поспешным.
Разыскание величины критической нагрузки с учетом началь-
ных отклонений от точной геометрической формы и внецентрен-
ного действия сил представляет собой труднейшую задачу.
Необходимость рассмотрения упруго-пластических деформаций
приводит к такому усложнению задачи, что до сего времени
решение получено лишь для нескольких частных случаев сжатия
с изгибом прямолинейного стержня. К тому же и эти решения
не свободны от допущений (идеальная упруго-пластическая
сталь © решении Ежека) или справедливы только для стержней
прямоугольного сечения и для частного вида диаграммы растя-
жения. Ни для балок, ни для пластинок вообще не известны
исследования устойчивости с учетом начального искривления или
случайных эксцентриситетов.
Таким обр азом, трудности точного и притом достаточно
общего решения очень велики. Естественно, (возникает вопрос,
нельзя ли уменьшить эти трудности, прибегая к приближенным
методам решения и имея в виду практическую направленность за-
дачи. Можно, например, взять за основу решение задачи для
соответствующей идеализированной схемы (потеря устойчивости
первого рода) и, рассматривая начальное искривление и случай-
ные эксцентриситеты как малые возмущения, разыскивать при-
ближенным способом поправки- к найденному решению. В пользу
такого метода говорит то, что параметры этих возмущений
заранее не известны и в практических расчетах заменяются веро-
ятными величинами.
В разделах II и III данной книги применен именно этот ме-
тод. Решение существенно упрощается тем, что при разыскании
деформаций материал считается неограниченно упругим, а его
пластические свойства учитываются соответствующим видоизме-
нением предельного условия.
15

Важным этапом решения является разыскание спектра соб-
ственных значений и собственных функций соответствующей
однородной задачи (для неограниченно упругого материала).
Эти данные нужны: во-первых, как основные величины крити-
ческих нагрузок, к которым находятся поправки; во-вторых, для
разыскания деформаций с учетом малых возмущений подобно
тому, как общий интеграл однородного линейного дифферен-
циального уравнения используется при решении неоднородного
уравнения.
В описанном выше приближенном методе используются соб-
ственные значения, найденные в предположении неограниченной
упругости материала. Не следует, однако, делать вывод, что изу-
чения явления потери устойчивости! за пределом пропорциональ-
ности вообще не требуется. Знание собственных значений упруго-
пл астической однородной з а дачи н еобхо димо. Действительно,
в случае очень малых возмущений приближенный метод может
дать преувеличенную критическую нагрузку по сравнению с той,
которая получается из собственных значений, найденных с уче-
том перехода за предел пропорциональности.
В разд. II рассматривается устойчивость балки при простом
изгибе (изгибе в одной из главных плоскостей силами1, нор-
мальными к 'оси балки). В соответствии со сказанным выше
исследование начинается с рассмотрения однородной задачи —
устойчивости плоской формы изгиба балок. Последний вопрос
явился темой исследования многих отечественных ученых:
В. 3. Власова, А. Н. Динника, А. П. Коробова и др.
Особенно следует отметить работы выдающегося советского
ученого В. 3. В л асов а. В своей з амеч а тел ьной моног р афии
«Тонкостенные упругие стержни» он дает оригинальное и глу-
бокое .исследование прочности и устойчивости тонкостенных
стержней, частным случаем которого является задача об устой-
чивости плоской деформации балок. Работы В. 3. Власова
далеко опередили то, что вделано в этой области за рубежом,
и проложили широкий путь для дальнейших исследований.
Содержание разд. II опирается на исследования В. 3. Вла-
сова, результаты которых 'развиты в смысле рассмотрения
отдельнык частных задач и в направлении сближения исследо-
ваний с требованиями практики. Значительное .место отведено
изучению влияния прогибов в плоскости изгиба на устойчи-
вость балки, рассмотрению потери устойчивости за пределом
упругости. Важной частью раздела является разработка прибли-
женного (метода учета влияния начального искривления на
устойчивость байки К
Разд. III посвящен рассмотрению устойчивости стенок и пояс-
ных листов балок.
1 При учете начального искривления 'численные результаты даны только
для стали маряси Ст. 3. В балках та 'Стали повышенного качества влияние
начального ^искривления менее значительно.
16

Как уже указывалось, (начало выпучивания идеально пло-
ской пластинки еще не означает исчерпания ее несущей способ-
ности. В зависимости! от условий деформирования контура в его
плоскости и связанного с этим перераспределения контурной
нагрузки пластинка может воспринять более или (менее значи*
тельный прирост нагрузки после потери устойчивости (разветвле-
ния форм равновесия). Предельное состояние пластинки дости-
гается лишь при последующей потере устойчивости (второго
рода).
Если стенка балки имеет начальное искривление или подвер-
жена внецентренному действию сил, то ее единственная форма
потери устойчивости (второго рода) 'является предельным со-
стоянием, которое будет таковым и для всей балки, подобно
тому как выход иэ строя решетки, хотя бы в одной панели^
означает исчерпание несущей способности сквозной фермы.
В действительности предельная нагрузка достаточно тонкой
стенки, имеющей начальное искривление, должна быть
несколько ниже, так как раньше, чем достигается .критическое
состояние, в стенке балки развиваются столь значительные
деформации, которые не могут быть допущены по условиям
эксплуатации. Степень допустимого приближения к критиче-
скому состоянию стенки зависит от характера воздействия на
нее нагрузки (непосредственное приложение подвижной на-
грузки к поясу или узловая передача) и отношения высоты
стенки к толщине (гл. VIII, § 23). Таким образом, исчерпание
работоспособности стенки является верхней границей предель-
ного состояния, толкуемого как условие прекращения эксплуа-
тации1 конструкции.
В самолетостроении нередко используются стенки, работаю-
щие в условиях, 'более близких к исчерпанию работоспособности,
чем стенки стальных ба'лок. Различная степень приближения
к верхней -границе предельного состояния в. авиационных и про-
мышленных конструкциях вполне закономерна. Наоборот, без-
оговорочный перенос в расчет стальных конструкций мостов
и промышленных зданий метода, специфичного для самолето-
строения, был бы неверным. В пользу дифференциации методов,
расчета говорят следующие соображения.
Срок службы мостов и промышленных конструкций во много
раз превосходит срок службы самолетов. В то же время устой-
чивость стали против коррозии ниже, чем у легких сплавов. По
этим причинам, стенки стальных балок имеют толщину, в не-
сколько раз большую, чем стенки, применяемые в самолето-
строении. В то же время модуль упругости стали значительно
выше, чем у авиационных (материалов. Отсюда неизбежно появ-
ление в стальных стенках пластических зон при волнообразова-
нии, что может .привести к усталостным разрушениям в случае
многократных перемен натрузки. Следует также учесть, что при
значительных деформациях стенок перегружаются и, следова-
^ Б. М. Броуде
1?

тельно, утяжеляются пояса и ребра жесткости, так что экономи-
ческая целесообразность употребления таких балок нуждается
в тщательной проверке. Во ©сяком случае область применения
резко деформирующихся стенок в стальных конструкциях должна
4ыть определенно ограничена. В данной книге такого рода
стенки не рассматриваются.
В поясных листах со свободными свесами влиянием началь-
ного искривления на устойчивость обычно можно пренебречь.
Потеря устойчивости поясного листа балки должна рассматрмн
ваться, как предельное состояние, так как т послекритической
стадии увеличение усилия, воспринимаемого достаточно тол-
стыми листами, ничтожно,
В разд. Ill применен тот же приближенный метод разыска-
ния критической нагрузки с учетом начального искривления, что
и iB разд. II. Разыскивается поправка к .критической' нагрузке
для идеально плоской пластинки. При нахождении деформаций
материал считается «неограниченно упругим, что компенсируется
©ведением некоторого условного -критерия предельного состоя-
ния пластинки. Соответственно построено и содержание раз-
дела. В гл. V и VI рассматривается устойчивость идеально пло-
ских пластинок. В гл. VII и VIII оценивается влияние началь-
ного искривления стенок и разыскиваются поправки к критиче-
ским напряжениям идеально плоских пластинок.
Как уже указывалось, ib книге рассматривается лишь первое
предельное состояние по прочности и устойчивости (конструкций,
характеризуемое в основном соотношениями между силовыми
факторами. Однако в некоторых случаях условия первого пре-
дельного состояния могут быть продиктованы величиной пере-
мещений, появляющихся в конструкции. В определении первого
«предельного состояния указывается на «остаточные изменения,
которые не допускают возможности' дальнейшей эекплуатации»
[1,]. По существу в критерии предельного состояния двутавровых
балок, принятом \в разд. I книги, учитывается необходимость
ограничения перемещений. Действительно, принимая запредель-
ное состояние балки образование пластической зоны, захваты-
вающей ©сю высоту стенки, но не обязательно распространяю-
щейся на пояса, мы не используем полностью ее несущей спо-
собности по прочности. Аналогичные ограничения введены
в разд. III при расчете на устойчивость искривленных стенок
*балок.
В проекте Норм проектирования конструкций [Ц расчет
•стальных балок по второму предельному состоянию предла-
гается производить, исходя из нормативных наирузок (т. е. без
учета коэффициентов перегрузки). Как правило, такого рода
поверка осуществима в* пределах упругой работы материала
и не представляет затруднений. Иначе обстоит дело, когда
разыскиваются перемещения при нагрузках, определяемых рас-
четом по первому предельному состоянию. Принятое в книге
18

толкование первого предельного1 состояния приводит к тому, что
предельные натр узки вызывают (пластические деформации- в не-
которых зонах балки. Разыскание перемещений с учетом упруго-
пластических деформаций, равно как и оценка их допустимости,
представляют собой задачи, выходящие за рамки настоящей
работы 1и заслуживающие специальной монографии. Однако
полностью обойти молч аниам этот вопрос не представляется
возможным, поэтому некоторые соображения высказаны в § И
разд. I.
В заключение отметим одно существенное различие в мето-
дах оценки несущей способности по прочности и по устойчиво-
сти. В первом случае (оценка прочности), учитывая изменчи-
вость материала, оперируют не с нормативным пределом теку-
чести (нормативным сопротивлением), а с так называемым рас-
четным сопротивлением, которое получается да первого умноже-
нием на коэффициент однородности материала, меньший
единицы. Во втором случае учет начального искривления и слу-
чайных эксцентриситетов сам по себе основан на использовании
вероятных наибольших значений параметров, характеризующих
эти отклонения. Поскольку вероятность совпадения наименее
благоприятных значений двух независимых факторов незначи-
тельна, при оценке устойчивости следует исходить %з норматив-
ного сопротивления. Это обстоятельство не отражено в проекте
норм.
2*

Раздел 1
ВЛИЯНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
НА НЕСУЩУЮ СПОСОБНОСТЬ БАЛКИ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Пункт 1. Учет пластических свойств материалов постепенно
внедряется в область расчета стальных конструкций. Так, со-
гласно действующим Техническим условиям (НиТУ-1-46) для
некоторых (категорий неразрезных балок учитывается выравни-
вание пролетных и) опорных моментов. Для огр анкченного
класса статически определимых балок вводится <в расчет пла-
стический .момент сопротивления.
Возможность развития пластических деформаций допускается
в нормативных документах с иэвестнои осторожностью, что в
значительной /мере объясняется неполнотой наших знаний о по-
ведении стальных конструкций при переходе за предел упру-
гости. Поэтому представляет интерес всякое расширение позна-
ний в указанной области. Одним из существенных, но мало раз-
работанных вопросов является оценка влияния касательных
напряжений на несущую способность балок.
Пункт 2. Во многих литературных источниках предельный
момент, воспринимаемый сечением балки из .идеального упруго-
пластического материала, выражается формулой:
без упоминания о том, что она справедлива только при чистом
изгибе. В действительности., наличие касательных напряжений
уменьшает величину предельного момента .и, следовательно1, не
должно игнорироваться. Помимо касательных напряжений,
в зонах развития пластических деформаций появляются нор-
мальные напряжения з перпендикулярные к оси балки;
поэтому при определении несущей способности балки следовало
бы учитывать все три компонента напряженного -состояния.
Решение подобной задачи потребовало бы привлечения аппа-
рата математической теории пластичности. Стремясь к получе-
нию практически применимых результатов, многие авторы при-
бегают к значительным упрощениям и ограничиваются разыска-
нием условий появления пластического шарнир а пр и учете
только основных нормальных и касательных напряжений. Можно
указать на работы Н. И. Безухова. |[1Д, Н. Д. Жудина [2]
А. Н. Митинского [3(1, П. Ф. Папковича [4J, А. Р. Ржаниц^на
20

[5], С. А. Пальчевского [в] и др., в которых рассматриваются
балки только етрдагоугального сечения.
В работах р] — [3] сделано допущение, что .касательные На-
пряжения- существуют только в пределах упругой зоны сечения.
3hno ведет к преуменьшению несущей способности!, так как усло-
вие текучести выполняется только на нейтральной ос» и в точ-
ках, где ^ = aT.
Пункт 3. П. Ф. Папкович предложил оригинальный метод
решения задачи1. Он разыскивал относительный максимум (мо-
мента при постоянстве поперечной силы (можно поступать и
наоборот) w одновременном выполнении условия текучести во
«всех точках сечения. Поскольку варьируемый функционал не
осщер;жит производных неизвестной функции \?х ~f(y)\, реше-
нием является единственная экстремаль, которая в общем случае
не удовлетворяет граничным условиям. П. Ф. Папкович обошел
это затруднение тем, что ограничил класс допустимых функций,
заранее подчинив их краевым условиям. Эти условия сводятся
к исчезновению касательных напряжений в* крайних фибрах
прямоугольного сечения. Им использовано известное соотноше-
ние (между зх и xxv:
т„
=!%*-.
w=JU^. (1.1)
У
в котором граничные условия выполняются автоматически. За
неизвестную функцию от у принималась (величина -~ , причем
ох выражалась через эту функцию при помощи условия теку-
чести и уравнения (1.1). Поскольку была! использована гипо*
теза наибольших касательных напряжений, варьируемый функ-
ционал имел (вид:
2 Ш / 2
ъ
у
= Ь^у у oT*-4^dyJdy, (2.1)
а максимум разыскивался' стри условии
Л
2
Q=b§yj£dy=con$t. (3.1)
"Г
П. Ф. Пшкшгач указал лишь оуть решения, не доведя его да
конца. А. Р. Ржанвдьвн, решая ту же задачу, отказался от вы-
полнения пряничных условий и получил результаты в замкнутой
форме.
21

X
Рис. 1
Qo = ^
YT
где F — площадь ©сего сечения.
Это предположение опровергается данными эксперимента,
которые показывают, что работоспособность балки исчерпы-
вается, если вся стенка двутавра находится в пластическом
состояния независимо от величины напряжений в поясах (§5).
Сделанное А. И. Стрельбицкой предположение ведет к преуве-
личению предельной нагрузки при М -* 0, т. е. :в том случае, ко-
гда напряжения от поперечной силы существенно преобладают
над напряжениями от изгиба. Заметим, что предельная нагрузка
получается преувеличенной, несмотря на то, что использованная
здесь идея С. А. Пальчевского приводит в случае прямоугольного
сечения к недооценке его сопротивления. Знак погрешности из-
меняется благодаря предположению, что сечение поясов полно-
стью работает на поперечную силу.
Пункт 5. Все перечисленные работы имеют одну общую
черту: в них совершенно не рассматриваются деформации, появ-
ляющиеся в сечений пластического шарнира; Это обстоятель-
ство чрезвычайно существенно. KaiK оды увидим ниже, при рас-
смотрении двутаврового сечения знание деформаций необходимо.
Это вытекает иэ самого определения предельного состояния
22

двутавровой балки, принятого в данной работе. В силу этопр
в дальнейшем применен метод, принципиально отличный отсно-
собов* перечисленных выше.
Глава I
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
§ 2. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
Пункт 1. В основу исследования положены следующие
гипотезы.
1. Материал следует идеализированной диаграмме (линей-
ная зависимость между деформациями и напряжениями до пре-
дела текучести, отсутствие зоны упрочнения) \
2. Напряжении и деформации связаны следующими соотно-
шениями:
е- = (4" +"Zr) а- - (if + ш) ^ + ^ <А>
W-^ + ^Vr (В)
Остальные зависимости получаются из предыдущих круговой
заменой индексов.
В этих уравнениях D обозначает пластический! модуль, явля-
ющийся функцией от интенсивности деформаций et\
при EIL> 1 D = — при О <E1L< 1 -Jr = О,
°т eIL-i ' °? D
где ат
Таким обр-азом, полная деформация представляется суммой
упругой и чистое пластической (остаточной) деформации.
3. Нормальные относительные удлинения © сечении, перпен-
дикулярном к оси балки, изменяются по линейному закону:
4. Рассм атр иваетоя действие сосредоточенных сил, прило-
Ж^нных в плоскости симметрии балки нормально: к ее оси. Мест-
1 Игнорирование упрочнения ведет к преуменьшению «есуШ'бй даоойбяю-
сти статически «определимых балок. С другой стороны» в нераэрезнык бал-
ках наличие упрочнения (приводит к неполному выравниванию моментов^
хотя это и мало отражается на величине предельной (нагрузки, если только
диаграмма материала обладает ясно выраженной площадкой текучести [12]*
82>

ные напряжения, возникающие от сосредоточенного действия
начрузкн;, -игнорируются.
5. Рассматривается случай простого иагружения (пропорцио-
нального изменения всех сил) при (малых упруго-пластических
деформациях. Принимается энергетический критерий пластич-
ности.
6. Нормальные напряжения оу} перпендикулярные к оси бал-
ки, не учитываются.
Следует, отметить, что здесь (идет речь не о местных напря-
жениям, а о тех напряжениях оу, которые появляются даже
<в достаточном удалении от места- приложения нагрузки, если
только сечения балки хотя бы частично захвачены пластич-
ностью.
Действительно, если допустить, что ^=0, то из уравнения;
foxy , да у
следует, что ъху не зависит от х
В пластической области выполняется условие:
2 , о 2 2
ох -f- бхху = ат.
Дифференцируя это уравнение по х и привлекая уравнение
д^х . dxxv
— J — = 0
ду * ду и>
получим:
-д^=0 или x^ss const,
что приводит к противоречию, так как в упругой области каса-
тельные напряжения не могут быть постоянными.
Пункт 2. При высказанных предположениях основные
уравнения напишутся так:
*0*[^ + Т?) = вх=вЫ (1.2)
**у{^ + <П)) = Ъу'> (2-2)
£+£-* <«>
Эти уравнения справедливы как в пластической, так и в
упругой области, но в последней надо положить -g- =0.
В пластической области выполняется условие
9l+Hy*=& (4.2)
24

Основной задачей является р&Зьюкание нагрузок, вызываю-
щих образование пластического шарнира. Ниже будет показано
(п. 3), что при игнорировании напряжений zy такая задача
однозначно разрешима лишь © случае симметричного затрудне-
ния и совпадения сечения пластическою шарнира с осью сим-
метрии. В общ(ем случае допущение oi (возникновении пластиче-
ского шарнира в сечении, нормальном к оси балки, имеет ту же
степень достоверности, что и гипотеза плоских сечений1. Испы-
тания балок, описанные в § 8 и в работах [11,] — [12], подтвер-
ждают теоретические величины предельных нагрузок, найден-
ные на основе гипотезы образования пластического шарнира
в нормальном сечении.
Сделанные допущения не позволяют получить полную кар-
тину напряженного состояния балки. В дальнейшем изучаются
лишь напряжения, возникающие в сечении пластического шар-
нира, что связано с введением нового допущения — принятия
некоторого закона изменения относительных сдвигов © сечении
шарнира.
Приведенные (выше исходные положения и гипотезы доста-
точны для установления зависимости между предельными зна-
чениями момента и поперечной сишы © сечении пластического
шарнира, но не для разыскания самих предельных значений.
Последняя задача требует ©ведения дополнительного условия.
В статически определимых балках таким условием служит по-
стоянство отношения момента к поперечной силе в любом сече-
ние при пропорциональном возрастании ©сех внешних сил.
Пункт 3. Следует отметить, что принятые гипотезы не при-
водят к противоречию лишь © том случае, когда пластический
шарнир возникает по оси симметрии нагрузки. В противном
случае поперечные силы слева и енраеа от опасного сечения раз-
личны по абсолютной величине и соответственно получаются
два значения предельной нагрузки. Это является следствием
игнорирования напряжений оу. В дальнейшем за предельную
нагрузку будем принимать меньшее из двух значений, отвечаю-
щих данному сечению.
§ 3. РАЗЫСКАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО УСЛОВИЯ
Пункт 1. Рассмотрим разрезную балку постоянного сече-
ния при действии сосредоточенного груза' по середине пролета
(рис. 2). Очевидно, (что © этом случае оласшчеокий шарнир
образуется под грузом.
Введем обозначения:
*T *T *T
1 Следует вдхдоаркнуть разницу менаду сечением (пластическою шариира
н направлением линий скольжения. Л оследине ©оегда совпадают с траек-
ториями главных касательных (напряжений.
25

где ^ соответствует сечению под грузом;
-_ eV~J~
Для пластического шарнира уравнения (1.2), (2.2),
перепишутся так:
s(1+-5-)=evi;
»[i+4
2(1 + v)
= £;
(4,2
(1.3)
(2.3)
(3.3)
Исключая
D
Рис. 2
и и из уравнений (1.3) — (3.3), получим:
(4.3)
vi-**- h+2?T
!(l + v)
£1
= £•
По самому определению пластического шарнира в нем
должна существовать по крайней мере одна точка, принадлежа-
щая границе между (пластической и упругой областями.
Пусть цг —ордината этой точки. Для нее справедливы уравне-
ния:
s=er\u
s* + zi2 = l,
коюрые (приводятся к условию:
Функция f(r\) должна иметь минимум- при Ч1 = Ъ* Действи-
тельно., допуская противное, 'М(ы получили бы, что существует
точка ij0, для которой
e3V + ?<l-
Для этой точки имело <бы место неравенство:
26

которое вместе с условием:
S2-f-«2=l
приводило бы ik неравенству -=г < 0, что невозможно ©веду
положительности D.
Таким образом-, мы получаем два дополнительных условия:
/(ъ) = 0 и /' (yjJ = 0 и; общее число уравнений1 /равно прем:
2(l + v)
Пун(кт 2. Задаемся функцией g:
(5.3)
(6.3)
где
^ —То 2(1+n)ot *
Если F(ri)=0, то получается параболический закон измене-
ния сдвигов, справедливый для. упругой стадии (при <*у=0).
Функция F(*q) должна удовлетворять следующим условиям:
она должна быть четной и обращаться в нуль прит]=1 и tj=0
(последнее вытекает из того, что То есть относительный сдвиг
на нейтральной оси). Далее заметим, что вблизи пластиче-
ского шарнира при т]=1
о = а
и, следовательно, ~^~=0; после этого из уравнения (3.2) найдем:
= 0.
5 И
Обращаясь'К уравнениям (1.3)—(3.3), исключим из них
D :
ф+(т^-1)^)]=^[1-^+/?(^
Дифференцируя по tj и полагая при ч\ = 1
ПОЛУЧИМ:
27

Указанным условиям удовлетворяет функция
/Чч)-1Ч0-ч%
где
/-2
ЕА=о и S^+i-o.
/-2 i-2
(7.3)
Ограиич:ива»ясь двумя параметрами А2 и Л3, найдем «их зна-
чения Лй = — Л3=1, которые подставим в (7.3).
g = g (1-^(1-^). (8.3)
Пункт 3, Предельный момент в каком-либо сечении равен:
о
-где Ь — ширина сечения.
Предельный .момент, воспринимаемый сечением при чистом
изгибе:
т0 — 4
Уменьшение предельного момента из-за наличия поперечной
силы характеризуется коэффициентом
i
(9.3)
^Ж=2157^'
Предельная (поперечная сила, (воспринимаемая сечением при
отсутствии «талиба:
Qnp= -~|r-bh j ud-Ц = Qo j«<*4-
Коэффициент уменьшения предельной поперечной силы из-за
наличия момента;
.-%-{«*,.
(10.3)
Уравнения (5.3) могут быть переписаны в таком виде:
*V+ir2(i-V)2(i -V)2=L (12.3)
4l [^+2^(l-112)(l-^i4)(3V-2V-l)] =0. (13.3)
28

&ти три уравнения содержат четыре неизвестные ееличиныс
в, е, g я ч\и Задаваясь огаошением
— = а,
g
можно выразить вое неизвестные в функции от параметра о^
й> (пользуясь формулами (9-3)» (3-3) и (10.3), установить завн-"
шмость между у и у. в параметрической форме.
Последовательность операций такова: задаваясь значе-
нием а, находим е и g из уравнений (12.3), (13.3), «после чего
из уравнения (11.3) получаем 5 в функции от т(; затем вычис-
ляем |i и х одним иэ способов численного шгтегрирования.
Ъластичесная
0 асть о<(Х < )/g Пластическая
область / ^^ \ff
Рис 4
Анализируя уравнения (12.3) и (13.3), вблизи значений
*]t = 0 и vj1 = 1 , можно «получ-ить следующие частные решения:
при
при
а>у 2 7]1 = 0, g=l;
а = 0 ^1 = 1, £г = 0°-
(14 3)
При всяком .конечном значении g будет ^,<1, следова-
тельно, крайние фибры сечения переходят в пластическое состоя-
ние до момента образования пластического шарнира. Принци-
пиальная граница- пластической области указана на рис. 3 и 4.
Процесс образования пластического шарнира таков. При
Р<а< |/-2 пластичность появляется у нейтральной оси и у
крайних фибр. В этом случае существуют три пластические
области, которые распространяются навстречу друг другу и со-
прикасаются, образуя пластический шарнир* (рис. 3). Точки со-
прикасания не совпадают ни с нейтральной осью, ни с крайними
фибрами.
При а>|/ 2 пластичность появляется у крайних фибр и, рас-
пространяясь к нейтральной оси, достигает ее в момент образо-
вания пластического шарнира (рис. 4) *.
* Необходимо подчеркнуть условный характер ©ида пластических зон
и (рис.3 и 4, объясняемый игнорированием напряжений <*у Учет этих напря-
жений может существенно .изменить очертание страниц между упругой я
пластической .зонами. В частности, можно ожидать, что средняя пластиче-
ская зона на рис. 3 локализуется вблизи пластического шарнира, как это
наказано {пунктиром.
29

При томощи уравнений (11.3) — (13.3) найден ряд значе-
ний р и х, приведенных © таблице 1. Интепралы вычислены по
формуле Котеса с разбивкой интервала [0,1] на пять частей.
В той же таблице указаны отношения &==— .
Таблица 1
*
%
01
0,993
0,125
0,125
0,979
0,212
0,216
0,940
0,401
0,426
0,870
0,537
0,618
0,677
0,740
1,09
0,438
0,876
2,00
0,310
0,916
2,96
Рис. 5
На графиках (рис. 5) показано распределение нормальных
■и касателышх напряжений в пластическом шарнире для трех
значений1 k.
§ 4. УПРОЩЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ,
РАССМОТРЕННОЙ В § 3
Пуикт 1. Будем исходить из урашеинй, написанных для
сечения под грузом:
s(1 + -d-)=^; о-4)
s2 + ii2 = l.
(2.4)
(3.4)
Е 1
Замечая, что -^ величина неотрицательная и v < -^
найдем:
1 i Е ^ 1 _1_ 3 Е 3 Л , Е \
1+^Г< 1+ 2(1 + v) * D ^ 2(1 + v) y^~D}'
30

Следовательно, существует такое число 6, зависящее- от tj и за-
ключенное между 1 и 2П3 , > которое удовлетворяет условию
!+2(ТТ?4 = 9(1+^)'
Деля (1.4) на (2.4), получим:
— = 6-^. (4.4)
Допустим, что при т] = 0 имеем 8 = 1 и
где
£— 2(l + v)gT •
Вводя обозначение a:=="vH привлекая уравнение (3.4), найдем:
(5.4)
/«V-Hl-^i2)2
и= , ^ (6.4)
1
р = 2а Р_=^==- ; (7.4)
О
*= L(1^3)^ . (8.4)
J V <&? + (!-г?)*
0
Таким образом, для |i и ,х получены выражения © виде
эллиптических интегралов, (которые могут быть приведены к нор-
мальному виду. Выполним приведение для интегралов более
общего вода:
^2af— ^ , (9.4)'
1
-J-
«v+li —h3)2
0
(1-ftfl*)
(10.4)
которые понадобятся нам для двутавровых сечений. Параметр р
изменяется от 0 до 1; физический смысл его выясняется в § 5.
31

Преобразуем интетрал (10.4) ik нормальному виду. Рассма-
тривая случай а2 > 4р, обозначим:
t д2 — 2(* — а у а3 — 4ft 2_ да — 2ft 4» д ]Лх» — 4ft
j7 ^ ; г-— ^ра 5
Ч — 1 г2 *
Очевидно, что 0 < р2 < г2.
Пользуясь подстановкой — = tg ?, получим:
4 1
arctg —-
J V^1 — Я2 sin??
после дальнейших преобразований:
x=^F(arctg-i-) +r£(arctg-L)-|/i±^~, (11.4)
где
О 0
Аналогичным образом «найдем:
^ — 2-. Г » ■
J /"(. + Ж'+^)
После подстановки — = tg <р получим:
При а2 = 4(3 эллиптические интегралы -вырождаются в ин-
тегралы от рациональных функций:
1
™l_-^a,c,gyT-l; 03.4)
,-a.J-,|fc—^.(1—^«tgVT). (.4.4)
32

В частном случае гор» р=1 (прямоугольное сечение) прихо-
дим к следующим формулам:
* = — ^(arctg r) -f r [£"(arctgr)— 1],
jx = 2ar [1 — £(arctg г)];
(15.4)
(16.4)
где
-/"-^
а У а2 _ 4
Ifi'
0J9
0,8
0,7
0,5
°>\
о,з\
Ц2\
О/
0
т^
Онружность^ N
ч^
V
1
1
\\
1 3
i
1
1
1
1
I
1
f
Ш 0,2 0,3 0f* 0J5 ОМ 0.7 0г8 0,9 ffi
Рис. 6
-X
Коэффициенты у- и х вы-
ражены через эллиптиче-
ские интегралы первого и
второго рода и могут быть
вычислены при помощи
таблиц i[8]. Если а2 < 4р, то
после преобразований по-
являются также интегралы
третьего рода, которые мо-
гут быть выражены через
тэта — функцию. В этих
случаях проще всего при1
бегать к численному интег-
рированию. В табл. 2 при-
ведены результаты вычисле-
ний для прямоугольного се-
чения. При пользовании
формулой Симпсона интер-
вал [0,1] разбивался на
10 частей.
Пункт 2. Сопоставим значения " и л в табл. 1 и 2.
На рис. 6 оплошной линией показана кривая
построенная по (Координатам, приведенным <в табл. 2. Отдель-
ными точками нанесены данные из табл. 1. Как видим, обе крис
вые весьма близки, что указывает на допустимость применения
упрощенной методики.
На рис. 6. пунктиром указана также окружность с радиусом,
равным 1:
^ + ха=1, (17.4)
представляющая предельное условие с точностью до 3%. Луч-
шее приближение дает уравнение:
ft2 + х2 — 0,074 г*2
при этом ошибка не превышает 2,1%.
3 Б. М. Броуде
1:
(18.4)
за

Уравнение (17.4) три-1- < 1 дает преуменьшенные значения
коэффициентов \i и х. Полагая * = &^, получим:
__ 1
Значения (х и х по формулам (7.4) и (8.4)
(19.4)
Таблица 2
ОС
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2.8
3,0
Н-
0
0,369
0,526
0,621
0,686
0,734
0,771
0,800
0,823
0,842
0,858
0,872
0,883
0,893
0,902
0,909
X
1
0,917
0,851
0,797
0,751
0,711
0,676
0,646
0,618
0,593
0,571
0,550
0,531
0,514
0,498
0,483
X
оо
2,485
1,618
1,283
1,094
0,968
0,877
0,807
0,751
0,704
0,666
0,631
0,602
0,575
0,552
0,531
ос
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
5,0
8,0
12;о
15,0
[А
0,916
0,922
0,927
0,932
0,936
0,952
0.975
0,986
0,991
X
0,469
0,456
0,444
0,433
0,422
0,377
0.288
0,223
0,193
X
0,512
0,495
0,479
0,464
0,451
0,395
0,296
0,226
0,193
Заметим, что в выводах настоящего параграфа не сделано
никаких предположений относительно вида нагрузки (сохранено
только допущение об игнорировании напряжений оу)\ поэтому
табл. 2 и ^формулу (18.4) .можно применять прл всяких сосредо
точенных наирузках.
Полагая, что при пропорциональном возрастании всех нагру-
зок между поперечной силой и моментом в любом сечении
балки сохраняется постоянное отношение, найдем:
Уз"
Qh
М
где Q и М—расчетные значения поперечной силы и момента
в рассматриваемом сечении.
34

Рассмотрим балку пролетом /, симметрично нагруженную
двущя силами, приложенными на расстояний а от ближайшей
опоры. Полагая -у- = -j-, найдем: 1
_а \_ J_ J__
/ ~ 2 4 8
(1 = 0,98 0,92 0,75
Отсюда следует, что влияние поперечной силы существенно
а
лишь при малых значениях -у.
Пункт 3. Быстроту распространения пластичности по сече-
нию шарнира (можно характеризовать отношением предельной
нагрузки к той нагрузке, которая отвечает появлению фибровой
текучести.
Напишем ^выражение для интенсивности1 напряжений:
Ь = V°l + Hy' = *т УЪ ]/^- + 0-т)2 > (20.4)
где
т 2bh *
Нетрудно убедиться, что проникновение пластичности будет
наиболее быстрым ю том случае, когда фибровая текучесть
появляется одновременно в крайних волокнах и на нейтральной
оси; это -имеет место при k = 1.
ПрИ 7j — О И Yj = 1
: хот ц/з = ат
,№
Q
С другой стороны, при k = 1 из табл. 2 находим по интерпо-
ляции х =0,72, откуда:
Qnp = 0,72M -^-.
Быстрота распространения пластичности характеризуется от-
ношением
= 1,08
С/пр
Q
При чистом1 «изгибе это отношение pateno 1,5. Эти числа
являются верхней и нижней границей (коэффициента, характе-
ризующего (быстроту распространения пластичности по сечению.
1 Известно, <что ib случае чистого изгиба (в сорогам смысле) {прогибы,
отвечающие (предельному .состоянию, неограниченно 'возрастают (при отсут-
ствии упрочнения). В да ином случае чистый изгиб имеется только ib сред-
нем участке балки, тогда как предельная штрузка находится из рассмотре-
ния крайних участков. Момент род грузом равен цМо, где ^<1, поэтому
в предельном «состоянии прогибы конечны. Подробнее об этом см. § 11.
3* 35

Глава II
ДВУТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ
§ 5. ОСОБЕННОСТИ ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
Пункт I. Основной (вопрос, возникающий ори исследовании
балок двутаврового сечения: что понимать под предельным
состоянием балки?
В случае прямоугольного сечения ответ1 был прост: предель-
ное состояние совпадает с появлением пластического шарнира.
Однако было бы ошибкой (пе-
ренести это определение на
балки двутаврового сечения.
Экспериментальные иссле-
дования показали, что несущая
способность двутавровых ба-
лок может быть исчерпана при
напряжениях в поясах, значи-
тельно меньших предела те-
кучести. На рис. 7 показана
диаграмма нагрузка — прогиб
для одной из испытанных ба-
лок под предельной нагрузкой.
Проги& в мм " Балка загружалась сосредото-
р j ченной силой по середине про-
лета. Из этой диаграммы вид-
но; что за предельную- нагруз-
ку следует принимать 77 г, так как в этот момент рост прогиба
весьма значителен; соответствующее напряжение в поясах равно
0,46 v В то же время в стенке все сечение находится в пласти-
ческой стадии. Напрашивается вывод, что в двутавровых балках
предельное состояние равносильно образованию пластического
шарнира в стенке. Это определение можно обосновать еще
тем, что вслед за образованием пластического шарнира в стенке
очень быстро нарушается связь между поясами и прогибы сильно
возрастают. Здесь существует полная аналогия с фермой, имею-
щей простую треугольную решетку, в которой напряжения
& одном из раскосов достигли предела текучести1.
Пункт 2. При исследовании балок двутаврового сечения
сохраним предположения, сделанные в § 2, добавив к ним одно
допущение: учитывая незначительность касательных напряжений
в поясах, будем (принимать, что текучесть в поясах начи-
нается при
Рассмотрим сечение стенки в месте образования пластиче-
ского шарнира (рис. 8).
ни
72
36
18
п
36

Для нормальных относительных удлинений сохраняется ли-
нейный закон
Для относительных сдвигов принимается тот же закон изме-
нения по высоте сечения, что и в упругой области:
где р — отношение статического момента половины стенки,
лежащей по одну сторону нейтральной оси, к статическому
моменту половинам сечения.
Рис. 8
Если сколь угодно близко к рассматриваемому сечению
напряжение в поясе меньше предела текучести (е < П. то сде-
ланное предположение должно' привести к меньшей погреш-
ности, чем получается от аналогичного допущения для прямо-
угольного сечения; мы видели © § 4, что такая погрешности
незначительна *.
Если е > 1, то на некотором участке напряжение >в поясе
равно пределу текучести. Ввиду постоянства з_г касательные
напряжения (следовательно, и относительные сдвиги) у края
стенки исчезают. Сохранение выражения (2.5) и в этом случае
является допущением, которое оправдывается1 тем, что наруше-
ние ©ида эпюры Xrv имеет (место лишь в непосредственной бли-
зости к краям стенки и может быть игнорировано.
§ 6. ПРЕДЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ БАЛКИ ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
Пункт 1. Воспользуемся упрощенным методом, аналогич-
ным примененному © § 4. Исходя из уравнений (1.4) —(4.4),
нетрудно найти:
= 6-
еч\
(1.6)
1 Подробнее об этом см. [9], стр. 413 и 419.
37

В соответствии с формулой (2.5) полагаем 6=1 и
g = g(\~№)> (2.6)
откуда
S 0(7]
а 1 — {J7j2
е
где а = — .
(3.6)
Рассматривая предельные изгибающим момент и поперечную
силу, (воспринимаемые стенкой двутаврового сечения, -введем
соответствующие 'коэффициенты рс и хс (индекс «с» употреб-
лен, чтобы.отличить их от коэффициентов !*■ и * для всего
двутаврового сечения).
Величины рс и хс определяются по формулам (9.4), (10.4):
1
^с = 2а Г / **» ; (4.6)
О
•у- Г / "-!»*>*) (5.6)
Для определения коэффициентов р. и */ необходимо распола-
гать значениями е и g. Эти величины находятся из рассмотрения
условий в точке f\ = % 'Пластического шарнира (ib стенке), кото-
рая принадлежит границе между упругой и пластической обла-
стями. В этой точке выполняются условии1:
и = £(1-М; (6.6)
s2 + u2 = l, J
откуда
/(4i) = ^V]+^2(i-PV)a-i=o.
Можно показать, что функция /(v должна иметь минимум
при ^ == ^i. Доказательство идентично приведенному -в § 3.
Заметая, что
ГМ--£-i(-S--i+W).
приходим к следующим соотношениям (табл. 3).
38

Таблица 3
*2> 2(3
2р>а2>2^(1
-Р)
•*), = 0
0<-г]1<1
/40) - о
/"(0) > 0
/"'/-л \ ...,,П xit/.. \ ^ л
/ (li)—0
/ ™^v
«■-1
е
e*=g&
2р
6 -/4$-а»
2Р(1 —Р)> а2
11-1
/'(1)<0
ГО)>о
/а*+(1-р)2
Пункт 2. Пусть F0— площадь сечения пояса, hb— расстоя-
ние между осями поясов, t — толщина стенки,
Y КЧ '
Предельный момент, воспринимаемый сечением:
ЛГ
пр
= °т(ъ-r^+^^-)--V-(^c + ^^L). (7.6)
Ло
При #-—-> 1 в предыдущее выражение подставляется
Ло
е ■/|- = 1, так как напряжение в поясе неможет превышать пре-
дела текучести. Предельный момент при чистом изгибе получим,.
"о
полагая ус= 1 и е —~ = 1
л.-^Р-0 + Ф),
после чего
где
'~ М0 ~
н-с + фе —
(8.в)
* /г < U
Замечая, что 4* = —гр- и полагая ™~- ^ 1, получим:
V = hc + 0-$)e\e<L (9.6)
Для нахождения предельной поперечной силы, воспринимае-
мой сечением, заметим, что касательное напряжение в< поясе
при т] = 1 не может быть больше величин
*1 1/3
кг
-39

Допустим, что оно равно меньшей из- этих величин; тогда,
принимая линейное изменение -ху по толщине пояса, найдем, что
часть (поперечной силы, воспринятая обоими поясами, (равна
меньшей из величин
где tx — толщина поясного листа.
Присоединяя поперечную силу в стенке, равную *с ht т ,
у з
получим;
Qnp= -^ ht [ *c + g(l -р) -J-], (10.6)
где
Поперечная сила дри отсутствии момента получается подста-
новкой *с = 1 и g (1 — fi) = 1:
Q0--^tt(l+4), 01.6)
(12.6)
после чего
X
От, "+'С-»4
>+*
где
ff(l-P)<L
Пренебрегая величиной -L, что допустимо в большинстве
случаев, получаем:
* = V (13.6)
Пункт 3. Для вычисления хс и ус можно пользоваться
формулами (11.4) и (12.4), справедливыми при а2 > 4р. При
меньших значениях а следует обращаться к приближенным
способам вычисления интегралов (9.4) и (10.4).
Некоторым преобразованием подинтегральной функции
можно привести ее к виду, интегрируемому в элементарных
функциях. Для этого вместо J/Vyj2 -l (1 — firfy подставляем
1/1 — (2р — срР2 — а'2) Т , иначе говоря, заменяем р2^4 величи-
ной <рр2?]2, где <р < 1. Чем меньше р, тем меньше погрешность
от такой замены.
40

Вводя обозначение с1 = 2$ — ср£2 — а2, получим:
*с = Г {XZHM =±(1--1^\ arcsin с +
J /l - С'-у С [ i& ) '
+ -5Б5- 1^1 — ^
(14.6)
При а = 0 имеем *с=1. Из этого условия определяется <р
в функции от р (табл. 4).
Таблица 4
р
¥
0,05
0,540
Значения коэ
0,10
0,580
0,20
0,615
ффициента ср
0,30
0,647
0,40
0,672
0,60
0,753
0,70
0,826
Коэффициент [-ьс определяется по формуле:
РС = 2а Г jg^o =^(arcsinc-^VT^^r). (15.6)
0
Если с2<Т), то, вводя обозначение
получаем:
1
*„
(16.6)
2cx2
1
fic = 2a
= ^3-[Cli/"l+c1"3-]n(^ + /l+c1^)]. (17.6)
Погр ешность, происходя щая от з ш ены интепр алов (9.4),
(10.4) выражениями (14.6) — (17.6), была оценена прчт практи-
41

чески наибольшем встречающемся значении £ = 0,7. Резуль-
таты (приведены в табл. 5.
Таблица 5
Оценка погрешности в значениях %с и рс
ее
Расхождение в о/0
от точного значения
хс
(ХС
0,2
-.,8
3,8
0,6
-2,6
-1J
1,0
-2,5
-
Величины jj. и х при различных значениях а и £ приве-
дены в табл. 6 и на трафике (рис. 9).
Т а б л ица 6
Значения $х и -х, для двутаврового сечения
Р=0,1
(*■
0,106
0,209
0,392
0,578
0,768
0,9551
0,9611
0,966
0,974
0,979
0,983
0,986
0,993
0,998
X
0,998
0,993
0,972
0,943
0,908
0,872
0,835
0,801
0,738
0,683
0,636
0,595
0,454
0,295
Р=0,2
V-
0,114
0,224
0,413
0.565
0,740
0,914
0,926
0,936
0,951
0,961
0,968
0,973
0,987
0,995
X
0,998
0,992
0,968
0,937
0,898
0,860
0,824
0,788
0,724
0,670
1 0,624
0,588
0,446
0,291
Р=0,4
V-
0,134
0,260
0,464
0,604
0,708
0,845
0,868 1
0,884
0,912
0,929
0,942
0,951
i 0,975
0,991
X
0,997
0,988
0,957
0,916
0,874
0,832
0,793
0,758
0,695
0,642
0,597
0,559
0,429
0,281
Р=0,6
р-
0,166
0,310
0,511
0,645
0,719
0,794
0,821
0,845
0,880
0.903
0,920
, 0,933
0,965
0,988
X
0,994
0,977
0,931
0,881
0,835
0,792
0,755
0,720
0,660
0,611
0,569
0,533
0,4П
0,272
Р=0,8
и-
0,207
0,343
0,510
0,607
0,685
0,754
0,772
0,802
0,845
0,875
0,896
; 0,913
0,955
| 0,984
X
0,950
0,901
0,854
0,810
0,776
0,737
0,701
0,670
0,628
0,575
0,537
1 0,505
0,394
0,262
Все кривые выпуклы, как того и следовало' ожидать на осно-
вании общей теоремы, установленной А. А. Гвоздевым [10].
Табл.. 6 и кривые рис. 9 устанавливают связь между ЖПр
и Qnp. Для нахождения этих величин необходимо дополнитель-
ное условие, которым в статически определимых балках служит
М
постоянство отношения -д- в рассматриваемом сечении при про-
порциональном возрастании всех нагрузок.
Это условие равносильно заданию величины
IF
4
Qh
где Q и М — расчетные значения.
42

Проводя на графике луч, (наклоненный к оси ц под углом
& = arctg&, найдем искомые значения ji и у. как координаты
точки пересечения луча с рассматриваемой кривой.
В тех с луч аях, когда положение п л аетического ш ар,нир а
наперед (неизвестно, каждое из возможных сечений подлежит
проверке. При этом нельзя у
ограничиваться разььЗка- ifl
нием коэффициентов ц. и *,
а следует находить величину
предельной нагрузки. Несу- с>8
щая способность балки опре-
деляется наименьшей на- 05
грузкой из найденных при '
этих проверках.
Пункт 4. Как видно из ofi
рис. 9, выпуклость кривых
увеличивается с уменьше-
нием 8. Обычно в балках W
величина р заключается ме-
жду 0,1 и 0,6; в этих пре- _
делах указанные выше за- # °>? W Ofi ОД 10 к
висимости могут быть пред- р 9
ставлены эмпирическим ура-
внением:
,i*-i-x2 —aii2*3=l, (18.6)
где а — положительная убывающая функция от р, опреде-
ление которой дано ниже.
Преобразуем это уравнение, подставляя
р = —'*» *= — V6>
Vnp
С — отношение плеча внутренней шары (при1 упругом изгибе)
к высоте сечения.
Таким образом, найдем предельное условие:
С2 о»+ *», - За С2 (-£-)' т*, = о». (19.6)
Замечая, что С и р связаны соотношением
w— 1 3 ,
1
где з =
Мтр
упр
43

перепишем условие (19.6) в виде
(i -1)2 <2+к -За (1 - 4-У (i)2 Ip=<* • (ад
Значения а выбираются так, чтобы при у = х получалось сов-
падение результатов вычисления по уравнению (18.6) с найден-
ным в табл. 6 решением или со значениями, вычисляемыми три
помощи интерполяции по данным этой таблицы. Таким способом
составлена следующая таблица:
Р — 0,1
а = 0,92
0,2
0,90
од
0,81
0,6
0,65
Пользуясь найденными значениями а, можно .построить при-
ближенную формулу:
За
(l-^-j2~2,9-2,7p (0,1<P<0,6), (21.6)
погрешность (которой не превышает 2,4%.
Внося (21.6) в (20.6), получаем:
(1-1)2з2+^ср-(2'9-2'7Р)(^)%ср = а?- (22-6)
Пусть р — 0,4 и о = ат; тогда 'из уравнения (22.6) следует
хср = 0,46 зт. При этом значении хср предельный момент
отвечает фибровой текучести:, что равносильно величине
ц = 1 1- == 0,867.
Если принять тср = 0,52а(( то >ив уравнения (22.6) легко
найти з ^0,85ат, т. е. предельный момент оказывается
меньшим, чем ат Wynv. Этот, на -первый взгляд, парадоксаль-
ный результат объясняется тем, что величина предельного мо-
мента при упругом изгибе ат Wynp определена 'без учета каса-
тельных напряжений. Если в упругой стадии работы (материала
принять за критерий несущей способности величину главных
напряжений, то парадоксальность исчезнет.
Предыдущие подсчеты основаны на приближенном уравне-
нии (22.6). Если пользоваться табличными данными или графи-
ком (рис. 9), то можно получить более точные результаты.
Пусть р - 0,2 и -£*_ = о,4; тогда
*=-^- $-0,866.
Пользуясь табл. 6, найдем р = 0,93.
44

Полагая -^- = 0,53 мы нашли бы ^ = 1,08 и |х^0,82. Следует
отметить, что значение -^-=0,5 отвечает случаю балки с отно-
шением -J- = -г > нагруженной по середине пролета /. Обычно
отношение — бывает меньше; поэтому в большинстве слу-
чаев уменьшение величины предельного изгибающего момента
(по сравнению со случаем чистого изгиба) не превосходит
10-15%.
Пункт 5. Приведем уравнение (19.6) -к виду, отвечаю-
щему принципам расчета по предельным состояниям. Для
этого подставим {расчетное сопротивление R вместо предела теку-
чести и разделим расчетные напряжения на коэффициент усло-
вий работы т. Усиливая предельное условие знаком неравен-
ства, получим:
v>
С^ + ^-ЗаС» [±f^- < mR. (23.6)
Аналогичным путем из (22.6) получается
/[\ - _Ё_)2а2 + з^р- (2,9-2J$)(^jA< mR. (24.S)
Напоминаем, что о есть краевое нормальное напряжение
в стенке, вычисленное в предположении упругой работы мате-
риала, тср—среднее значение касательных напряжений в стенке,
т. е.
М Q
lFynp ' ср ht
где М и Q — расчетные значения момента -и поперечной силы,
вычисленные с учетом соответствующих коэффициентов пере-
грузки.
Величину $ можно также вычислять из выражения:
§ 7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
Пункт 1. До сих пор речь шла о статически определимых
балках. Применение изложенного метода к неразрезным балкам
требует ©ведения новых допущений. Действительно, поскольку
по обе стороны любой промежуточной опоры поперечные силы
различны, для опорного сечения можно написать два предельных
условия вида (18.6), 'которые в общем случае не совместны.
45

Если учитывать только нормальные напряжения, то предель-
ная нагрузка данного пролета не зависит от нагрузки других
пролетов. При учете касательных 'напряжений такого рода неза-
висимость предельной нагрузки одного пролета может быть
принята лишь как допущение. В дальнейшем мы так -и будем
поступать, рассматривая изолированно каждый пролет и по-
нимая под поперечной силой на опоре 'внутреннее для данного
пролета значение (рис. 10).
Рис. 10
Для .выделенного пролета -можно написать три предельных
условия:
tV + V-«l\-42=l (i= 1,2,3). (1.7)
Эти условия составляются для двух опорных сечений и одного
(опасного) сечения -в пролете. Индексы 1, 2 относятся соответ-
ственно к левой и правой опоре, индекс 3 — к сечению в про-
лете *.
Предположим для простоты, что нагрузка сводится к силе,
приложенной на расстоянии х от левой опоры. Кроме условий
(1.7), можно написать три уравнения:
(2.7)
1 При написании условия 3 'берется (большее из значений 'поперечной
силы в рассматриваемом сечении (слева или справа от груза).
46

где Af3*, Qi*, Q2*— величины, относящиеся к основной си-
стеме {разрезной балке); эти величины связаны соотношениями:
Af3* .. М^
Q* =Х'-1^=1-Х- С3"7)
Таким образом, имеются восемь соотношений (1.7)—■ (3.7) для
разыскания восьми величин:
Mlf Ж25 M,f ЛТД Ql3 Q2, Q,* Q2*.
Усилия в основной системе легко выражаются через один пара-
метр Р — величину силы. Из остающихся пяти величин
^з, Qi 'И' Q2 представляются через Ми М2 -и Р при помощи
уравнений (2.7). Та!ким образом, задача сводится к решению
трех уравнений (1.7) с неизвестными Ми М2 -и Р.
Пункт 2. Особенно просто1 решение, если сила Р приложена
по оси симметрии балки. В этом случае
Из уравнений
и
Мг = ЛГ2.
P32 + *i2—<Ч*з'*12 = 1
нетрудно заключить, что [V = и-г; следовательно,
Таким образом, сохраняется только одно из уравнений (1.7).
Отличие 'от разрезной балки будет лишь в том, что отноше-
ние — увеличивается -вдвое. Обозначая к = — и полагая
а=-g-, получим из (1.7):
Дадим А (для разрезной балки) значения 0,25; 0,5; 1,0. Вычис-
лив р, сопоставим найденные значения с соответствующими
величинами для неразрезной балки:
Р (разрезная балка) =0,984 0,936 0,765
(1 (неразрезная балка) = 0,936 0,765 0,468
Уменьшение у составляет от 4,9 до 39%, что указывает на зна-
чительное усиление (влияния касательных напряжений в нераз-
резных балках.

§ 8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Как показано © § 6, влияние поперечной аилы на величину
предельного изгибающего момента будет заметным лишь при
достаточно больших значениях касательных напряжений б опас-
ном сечении (при -^ > 0,4) * Это может иметь место © отно-
оительно коротких балках или в случае применения тонких
стенок.
В имеющихся экспериментальных исследованиях упруго-
пластического изгиба балок, например, <в исследовании В. С. Тер-
кина [II], .вопрос о (влиянии касательных напряжений не ста-
вился. Для ^испытанных В. С. Туркинъвм сравнительно длинных
балок прямоугольного сечения] получилось хорошее совпаде-
ние экспер имен т а л ьн ы х ib елич ин пределыного изгиб а ющего
момента с теоретическими значениями, вычисленными без учета
касательных напряжений. Хорошо подтвердилась также пред-
сказываемая теорией форма линии прогиба, характеризуемая
резким увеличением кривизны вблизи пластического шарнира.
То обстоятельство, что опытами В. С. Туркина не обнару-
жено снижения предельного момента из-за наличия касательных
напряжений, вполне закономерно1, так как в испытанных балках
h \
— <~т~ и, следовательно, и > 0,992.
Хотя специальных экспериментов для оценки влияния каса-
тельных напряжений на несущую способность балок поставлено
не было, некоторые данные можно псе же почерпнуть из испы-
таний, проведенных для других целей, например, для изучения
устойчивости стенок невысоких двутавровых балок при больших
касательных напряжениях. Был испытан ряд сварных балок
пролетом от 2,0 до 3,5 м с высотой стенки от 320 до 450 мм,
толщиной стенки от 6 до 7 мм и поясами из полос 250X38.
Балки испытывались сосредоточенными грузами, расположен-
ными! либо по середине (при: I < 2,5 м), либо © третях пролета
(при /> 2,5 м).
Отношение —,- ни в одной балке не превышало 70. Если
учесть, что мощные пояса создавали почти полное защемление
продольных краев стенки; то нетрудно убедиться, что критиче-
ское среднее касательное напряжение в стенке было равно пре-
делу текучести на срез. При столь высоких критических напря-
жениях, естественно1, не наблюдалось выпучивания стенок ранее
исчерпания работоспособности балок н целом.
Для ряда сечений испытанных балок были построены диа-
граммы нагрузка—прогиб. За предел работоспособности балки
принималась та натрузка^ при которой угол наклона кривой
близко к нулю. Наблюдавшийся в конце загружения быстрый
1 Речь идет -о (разрезных балках, испытанных '.в качестве эталона.
48

рост прогибов под грузам наряду с более /медленным увеличе-
нием прогибов (Вблизи опор показывает, что механизм .исчерпа-
ния работоспособности заключался в нарушении связи между
поясами вследствие образования пластической области в стенке
вблизи места приложения нагрузки. Это подтверждается и фор-
мой искривления, напоминающей ломаную с небольшими сопря-
гающими дугами <в местах приложения грузов.
Важно подчеркнуть, что ни -в одной из балок п р еде л ь н ые
за а че н и я н орм а л ын ы х н а п р я ж е н и й в поясах не
превысили 0,5 5,, а в некоторых балках — 0,4 ат.
Таким о-бразом, для исчерпания работоспособности балки со-
вершенно не обязательно образование пластического шарнира
в о 'В с е м сечении, а достаточно появления области текуче-
сти, захватывающей ©сю 'высоту стенки. Этот вывод из экспери-
ментов является основным.
Значения параметра Ь в испытанных балках весьма малы
(fi = 0,044 -г 0,063; ; поэтому кривые, представляющие предель-
ное условие, должны состоять из двух ветвей, соответственно
близких к прямым ц. — 1 и х = 1.
Теоретические значения предельной поперечной силы опреде-
ляются из выражения:
Qnp = * -^= t(h-\--t,), (1.8)
где / , как показывают вычисления, изменяется от 0,967 до
0,976.
Экспериментальные -величины Qnp дали среднее отклонение
от теоретических в 1,5%. Отклонение в большую сторону объяс-
няется тем, что при. выводе формулы (1.8) за предельное состоя-
ние принималось появление пластического шарнира в стенке,
в то ©ремя как для нарушения связи между поясами нужно,
чтобы текучестью была захвачена целая область. Заметим,
однако, что слияние отдельных пластических зон в одну пла-
стическую область после образования шарнира в стенке должно
произойти очень быстро.
§ 9. СЛУЧАЙ МНОГОКРАТНОГО ЗАГРУЖЕНИЯ
В предыдущем изложении предполагалось, что нагружен не
является однократным. Здесь мы рассмотрим вопрос о разгрузке
и повторном загруженная
Известно, что многократное нагружение может вызвать при
некоторых условиях нарастание остаточных деформаций. Такого
нарастания деформаций не б у д е т, если разгрузка может
полностью происходить по закону упругости. При этом усло-
вии повторное загружена^ не вызовет ни ,в одной точке увеличе-
ния деформаций по сравнению с первоначальным загруженном*
4 Б. М. Броудо
49

Установим достаточное условие того, чтобы разгрузка проис-
ходила полностью по закону упругости'. Для этого составам
выражение1 интенсивности напряжений в сечении пластического
шарнира при разгрузке:
*/ = v;£-1-3x2,, (i.9)
где
— мгф — Qnp Sm3X
напряжения, вычисляемые в предположении неограниченной
упругости материала.
Интенсивность напряжений при первоначальном загружении,
очевидно, поетоянн а в к а ж дой т оч ке сечения п лас ти'чес к ого
шарнира и равна пределу текучести.
Если разность af — ст ни в одной точке не превзойдет
предела текучести, то в балке из идеального ynpyiro-пластиче-
ското материала разгрузка будет происходить по закону упру-
госта Замечая, что
Жпр = ^0ти-Л, QIip = x _^(А + ^)^,С=1-4.
можно записать высказанное условие в виде неравенства:
или
Неравенство (3,9) будет всегда выполнено, 'если мы докажем
его справедливость при ^ = х = 1.
Нетрудно убедиться, что выражение
достигает наибольшей величины при т] = 1. Далее заметим, что
выражение
1_ 3
принимает наибольшее значение, ра-вное 1,5, при- Р = 1 -
Таким образом,
-f >Vr + *4i~№< 1,5 (4-9)
•я неравенство (2.9) заведомо выполнено. Попутно доказано,
что наибольшее значение а имеет .место -в крайнем волокне
50

прямоугольного сечения (3 = 1) при отсутствии касательных
■напряжений (н- — 1). Отсюда следует, что во всех случаях, для
которых доказана; допустимость 1многоиратного загружения ба-
лок прямоугольного сечения, выводы целиком распространяются
на -балки симметричного двутаврового сечения (с учетом каса-
тельных напряжений).
Следует отметить, что предыдущие рассуждения применимы
не только к случаю повторного загружения той же нагрузкой,
ко сохраняют силу при переменной нагрузке, если она не вызы-
вает изменения знака напряжений.
Все сказанное выше справедливо для балок из идеального
упруго-пластического (материала, (который обладает диаграммой
«напряжение — деформация», полярно-симметричной относи-
тельно начала координат. В обычной стали вытяжка при напря-
жении, большем или равном пределу текучести, вызывает умень-
шение предела пропорциональности противоположного знака.
Если учесть это обстоятельство, то в правую часть неравенства
(2.9) надо подставить (величину, меньшую, чем ат. Как видно
из (4.9), даже при подстановке 0,5 ат вместо ат неравенство
будет выполнено, т. е. полученные результаты, повидимому, при-
менимы к реальным материалам.
Достаточное условие того, что н неразрезной балке-из идеаль-
ного упруго-пластического материала не произойдет неограни-
ченного роста; деформаций при переменной нагрузке установ-
лено в литературе. Вопрос этот хорошо освещен в работе
А. Р. Ржаницына 1[5]. Значительно труднее решение аналогичной
задачи при учете описанного выше понижения предела пропор-
циональности в случае перемены знака напряжений. Исчерпы-
вающего решения ее пока не имеется.
§ 10. БЫСТРОТА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ПО СЕЧЕНИЮ
Способ' опенки быстроты распространения пластичности по
сечению аналогичен примененному для прямоугольного1 сечения
в§ 4.
Интенсивность напряжений в стенке равна
ai = У°1 + ЧУ = -»Уа К»ч-'+(1-КЖ (1.Ю)
где v=^-p, Ь=-
°i
б! — напряжение у края стенки.
Нетрудно проверить, что фибровая текучесть появляется одно-
временно ер.и rj = u и тг) = 1, если
■»2 = 20 - р2.
4* 51

Минимум 3t достигается при ?] = —==- , причем интенсивность
напряжений в этой точке равна
Например, при р = 0,25 ^ = 0,992с,; при р = 0,5 о/=0,968ог
Очевидно, что коэффициент, характеризующий быстроту рас-
пространения пластичности, в этих случаях не превышает
Наибольшая .величина коэффициента равна тах п. изме-
и/упр
няется (примерно в пределах от 1,10 до 1,20. Очевидно, что
в двутавровых сечениях пластичность распространяется значи-
тельно быстрее, чем ib прямоугольных сечениях. В некоторых
случаях сечение почти мгновенно пронизывается пластичностью.
§ 11. ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНОЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Пункт 1. В предшествующих параграфах разыскивались
соотношения между силовыми факторами, отвечающие предель-
ному состоянию балок. Поставленную задачу оказалось возмож-
ным решить приближенно, рассматривая лишь деформации, воз-
никающие в. опасном сечении (пластическом шарнире в балке
прямоугольного сечения или стенке двутавровой балки). Вопрос
о перемещениях (прогибах) балки в момент достижения пре-
дельного состояния не рассматривался.
В введении было уже указано, что подробное изучение
упруго-пластических деформаций и разыскание перемещений
с учетом -всех (компонентой напряженного состояния представ-
ляет собой задачу, далеко выходящую за рамки настоящей
работы; поэтому здесь мы ограничимся лишь краткими замеча-
ниями принципиального характера.
В первую очередь следует разрешить (вопрос,: достижимо
ли предельное состояние без неограниченного роста переме-
щений (прогибов балки) ? Очевидно, что подобный вопрос
уместен лишь в отношении балок из идеального упру то-пласти-
ческого материала, диаграмма которого не имеет зоны упро-
чения.
Если из всех компонентов напряженного состояния учиты-
вать только основные нормальные напряжения эх, то в предель-
ном состоянии, по крайней мере в одной точке оси балки, кри-
52

визна должна быть бесконечно большой. Действительно, из
соотношения (рис. 11, а):
(1.П)
Уо
р
где о —радиус кривизны, следует, что при _у0^0 должно
бЫТЬ — -* со .
р
Из того что кривизна равна бесконечности в изолированной
точке оси, вытекает лишь наличие перелома линии прогибов
в этой точке; однако перемещения могут оставаться конечными.
Критерий конечности прогибов найден А. Р. Ржанищъшым [5]
как неравенство нулю поперечной силы в месте наибольшего
момента. Это условие выполняется только при образовании пла-
стического шарнира в месте приложения сосредоточенного груза.
Рис. 11
Если пластический шарнир возникает под распределенной
нагрузкой, то прогибы становятся бесконечными.
Нетрудно убедиться в том, что бесконечные величины кри-
визны и прогибов (могли получиться только ори игнорировании
напряжений ~ху и ау , Если учесть все компоненты напряжен-
ного состояния (случай чистого изгиба пока не рассматри-
вается), то условие текучести принимает вид:
>Ч2 + з,2-*,*у + Зт1у =
(2.11)
На нейтральной оси отлично от нуля по крайней мере
одно из напряжений хху или <зу\ следовательно, уравнение
(2.11) удовлетворяется при ох = 0* и отличных от нуля
значениях txy или ау. Наоборот, в крайних волокнах av ф О,
* Таким образом, в уравнении (1.11) надо положить при у^-*- 0 сгл- = О
вместо ar=aTJ следовательно, "~ может быть конечной величиной.
53

Уравнения:
где
_JV_n ч
(3.11)
N =
i+^)c-.*>:
-l
0<N<
1—V2
v2 — переменный коэффициент поперечной деформации
(v<v1< — j, могут быть удовлетворены при конечных: зна-
чениях деформаций в каждой точке балки 1 [сравни формулы
(А)— (В) в § 2]. Отсюда следует конечность перемещений.
Этот результат <важе,н © там смысле, что он обусловливает
независимость расчетов, по прочности и по перемещениям. Дей-
ствительно, поскольку © предельном состоянии перемещения
конечны, возможно подобрать жесткость балки так, чтобы на-
ряду с удовлетворением ,требований, предъявляемых к величине
прогиба, несущая способность по прочности была полностью
попользована.
Пункт 2. ЕдинствениыТм случаем, когда в предельном
состоянии балки из 'идеального упруго-пластического материала
прогибы неограниченно возрастают, является случай чистого
изгиба. Следует подчеркнуть, что в балке постоянного сечения
перемещения будут неограниченными лишь н случае чистоте
изгиба, -вызываемого -парами сил; в противном случае предель-
ный -момент не достигает величины 2.
Ми
№t
и перемещения будут конечными. Так, в примере, рассмотрен-
ном .в § 4 (п. 2), где нагрузка состоит из двух сил, симметрично
расположенных относительно середины пролета, предельный
момент составляет от OJ5M0 до 0,98М0. Следовательно, только
в случае чистого изгиба >в строгом смысле слова несущая спо-
собность ограничивается величиной перемещений.
Найдем наибольший прогиб балки пролетом /, предполагая,
что изгибающий момент постоянен по всему /пролету и равен
М = ЬМ0 (6 < 1). Обращаясь к рис. 11, я, можно написать:
М = Ма
v02 fcT
(4.11)
*В упругой области N = . ^
2 Принимается Ло — /г.
54

Привлекая соотношение (1.11), получаем:
Eh V з
Р
УТ^~о
Поскольку изгиб происходит по дуге окружности, наиболь-
ший прогиб найдется из выражения:
J S?~ 4 £A V 3 y-TZTir- (5Л1)
Ниже приведены значения — при — =6, 0 = 0,98, Е =
= 2 100 т/см2 и замене с?т величиной # = 2,1 т/см2.
р= 0,2 0,3 0,4 0,5
Z -= _i_ 1 1 1
/ ~365 298 258 231
Пункт 3. В общем случае разыскание 'перемещений, отве-
чающих наступлению предельного состояния, представляет
собой сложную задачу, так как требует учета всех компонентов
напряженного состояния. Однако при достаточно большом зна-
лении — основными являются нормальные напряжения (аг);
прочими компонентами можно пренебречь-.
Рассмотрим двутавровую балку постоянного сечения, натру-
женную сосредоточенной силой по середине продета ,(рис. 11,6).
Учитываются только нормальные напряжения; поэтому предель-
ный момент (под трузом) равен М0 -и кривизна в этой точке
равна бесконечности.
Введем допущение, что напряжения постоянны по толщине
пояса и 'будем игнорировать разницу между величинами h и Л0.
Обозначим прогиб в- точке .v через v(x).
Пусть в точке х = х0 величина (момента такова, что лишь
в поясах напряжение равно- пределу текучести; в стенке напря-
жения изменяются по линейному закону:
Ь
Точка х0 делит половину пролета на две части. В интервале
[Qfy] шгиб происходит в пределах упругости!; в интервале
[*о> тг] 'имеет место упруго-пластический изгиб.
Рассмотрим сначала второй, интервал. Полагая
55

и привлекая уравнения (1.11) и (4.11), получим:
tf" = --^-i/4--— (б-11)
Eh V 3 i^—2Г
Интегрируя это уравнение, воспользуемся условием
^(у) = 0, (7.11)
справедливость которого можно обосновать следующим спосо-
бом. Если положить Мтах — GAf0(6 < 1), то значение ^ ( —
будет конечно и условие (7.11) справедливо. Найдя v(x)y сле-
дует перейти к пределу ири 0-^1. Нетрудно убедиться, что это
равносильно использованию уравнения (6.11) ори сохранении
условия (7.11). Итак,
3
2ат/'
3/:Л
В интервале 0<х<ха имеем:
Eh xq
Замечая, что у(0) = 0, получим:
«' = --£■—+ СХ,
^ = г'— * г Cj л: .
Величина х0 представляется выражением:
W-fc-K1-!)- <9-">
после чего постоянные С0 и С{ найдутся из условий сопряжения
обоих участков, линии прогиба в точке х = х0:
v'(x0-0) = v'(x<> + Q),
*(*о--0) = *(*0 + 0).
Отсюда получается
^-Е-О + Т'-ТР')- (10л"
56

Полагая х = — в выражении (8.11), легко убедиться в том, что
прогиб по середине пролета равен
/=Cri. (11.11)
Найдем наибольший прогиб /0 в предположении, что мо-
мент под грузом равен M=Wyn?<sT. Очевидно, что
^° ~~ 12EJ ~ 1>Eh 9
откуда
Т = 1 + тр-тР2- (12Л1)
Ниже приведены значения — при различных р.
/о
Р = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
/- = 1,13 1,26 1,39 1,52 1,64
/о
В действительности, (Предельный момент всегда меньше, чем М$
вследствие наличия поперечной силы. Если положить Жпр=^Л10,
то можно получить следующее приближенное выражение1:
!(i_|1)T +
-'й-±Ьт*-±г-^
+i('-i)^"
1. (13.11)
Полагая [3 = 0,5, jj. = 0,98, получим — = 1,40.
/о
Таким образом, для практически важных значений Р <0,5
распространение пластических деформаций по всему сечению
стенки приводит к увеличению прогиба, >не более чем на 40—60%
по сравнению оо случаем, когда допускается только текучесть
в поясах. Очевидно, что, выбирая соответствующее отноше-
ние — , можно получить любое наперед заданное значение —
h £
и, следов ател ьно, удовлетворить требован иям, предъявляем ьим
к жесткости конструкции. Этим опровергается высказываемое
иногда мнение, что отождествление предельного состояния
с появлением фибровой текучести необходимо для предотвраще-
ния чрезмерного роста перемещений.
1 Неточность этого выражения состоит >в том, что оно получено, исходя
из полигональной эпюры 'нормальных напряжений ((рис. 11, а).

Раздел II
УСТОЙЧИВОСТЬ БАЛОК ПРИ ПРОСТОМ ИЗГИБЕ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Пункт 1. Двутавровая балка, нагруженная {постепенно'воз-
растающими силами, действующими строго в (плоскости симмет-
рии, вначале претерпевает только плоскую деформацию. Дости-
жение нагрузкой критической величины знаменуется разветвле-
нием форм равновесия; плоская форма изгиба перестает быть
устойчивой и дальнейшее увеличение нагрузки сопровождается
изгибом В' плоскости наименьшей жесткости >и кручением.
Поскольку небольшое превышение критической нагрузки вы-
зывает значительные изгибжжрутильные деформации, достиже-
ние нагрузкой критической величины должно рассматриваться
как предельное состояние.
Пункт 2. Введенное1 выше понятие плоской деформации
нуждается в более строгом определении, Будем различать два
вида деформаций: первичные деформации, вычисляемые на
основе геометрических данных ненагруженной балки; вторичные
деформации, возникающие вследствие искажения первоначальной
геометрической схемы (в результате первичной деформации)
и соответствующего изменения напряженного состояния К
Приведем пример. Пусть силы нормальны к оси балки
постоянного сечения и силовая плоскость содержит ось центров
изгиба, но не параллельна ни одной из главных плоскостей. Пер-
вичная деформация, очевидно, будет плоской, но не пара л-
л е л ь и О' и силовой плоскости. Геометрическое место центров
изгиба после первичной деформации будет лежать вне силовой
плоскости!; следов;а,тельво, должно возникнуть кручение. Таким
образом, суммарная деформация не будет плоской'. Надо ска-
зать, что приведенные выше рассуждения не вполне строги,
так как принцип наложения здесь не применим; однако качест-
венная сторона картины деформаций остается верной.
Если нагрузка значительно меньше критической и разыски-
ваются вызываемые ею напряжения, то вторичными: деформа-
циями (и напряжениями) можно пренебречь, поскольку они
малы по сравнению с первичными. Иначе обстоит дело при ис-
1 Термины «первичные» -и «вторичные» деформации имеют здесь другой
(■более узкий) смысл, чем >во ©ведении.
S8

следовании устойчивости балки; здесь вторичные деформации
существенно влияют на самый механизм потери устойчивости.
Вместо разветвления форм равновесия получается нарастание
деформаций вплоть до достижения нагрузкой экстремального
значения (так называемая «потеря устойчивости второго рода»).
Предположим теперь, что силовая плоскость содержит ось
центров изгиба и параллельна одной из главных плоскостей1.
Тогда первичная деформация параллельна силовой плоскости
и суммарная деформация остается плоской. Только в этом слу-
чае можно говорить об устойчивости плоской деформации в стро-
гом- смысле. Если снять ограничение о перпендикулярности сил
к оси балки, то плоская деформация будет возможна только
в случае совпадения силовой и главной плоскостей при
условии, что ось центров изгиба содержится в этой плоскости.
Пункт 3. Основной задачей данного раздела 'является рас-
смотрение устойчивости в строгом смысле, т. е. разыскание кри-
тической нагрузки, при которой разветвляются формы равнове-
сия; поэтому в следующей <гл. III мы ограничимся случаем, когда
силовая плоскость содержит ось центров изгиба и параллельна
плоскости наибольшей жесткости', а силы нормальны к оси
балки.
Разумеется, разыскание критической нагрузки (идеально пло-
еной балки еще не дает решения той же задачи для реальных
балок, которые всегда имеют начальное искривление или бывают
нагружены внэцентренно. К таким искривленным балкам не при-
лож'имо понятие1 плоской деформации. С самого начала загруже-
ния В' них наблюдаются изгиб в плоскости наименьшей жестко-
сти и кручение, а механизм потери устойчивости качественно
отличен от того, который имеет место в идеально плоских бал-
ках (пункт 2). Тем не менее огромная сложность точного иссле-
дования устойчивости искривленных балок заставляет прибегать
к приближенному решению, в построении которого разыскание
критической нагрузки идеально плоской балки представляет
важный этап.
В § 8 данного раздела указан метод, позволяющий находить
поправку к критическим нагрузкам идеально плоской балки,
учитывающую влияние начального искривления или внецентрен--
нести приложения сил. Этот метод существенно опирается на
знание спектра собственных значений однородной задачи. Как
уже указывалось в введении, процедура нахождения критиче-
ских сил разбивается на дв-а этапа: разыскание собственных зна-
чений и вычисление поправки; к ним; это отвечает характеру
задачи, в которой параметры начального искривления задаются
как вероятные величины; соответственно и поправки могут вычи-
сляться на основе некоторых упрощающих гипотез.
1 Напоминаем, что силы считаются иормалыными к оси балки.
59

Глава III
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
§ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пункт 1. Рассматривается балка с прямолинейной осью,
натруженная силами, нормальными* к оси балки, пересекаю-
щими ось центров изгиба и лежащими в плоскости, параллель-
ной плоскости наибольшей жесткости. Пусть ось z совпадает
с осью балки, а оси х, у направлены по главным' осям (рис. 12).
Предполагается, что Jx > Jyy следовательно, плоскость уг
является плоскостью наибольшей жесткости. Характер опорных
закреплений будет установлен при рассмотрении отдельных
частных ^случае©. Пока предполагается лишь, что закрепления
Рис. 12
в главных плоскостях обеспечивают неизменяемость системы и по
крайней маре одно сечение закреплено от поворота относительно
оси z.
В § 1 было установлено, что при постепенном возрастании
нагрузки, балка сохраняет строго плоскую форму изгиба ©плоть
до достижения нагрузкой критической (величины. Начиная с этого
момента, становится возможной изгабно-крутильная форма рав-
новесия, характеризуемая изгибом н плоскости наименьшей
жесткости (хг) и кручением.
Пусть х = и (г) и y = v (г)—уравнения проекций искрив-
ленной оси балки соответственно на плоскости хг и yz\
О —_- 0 (г) — угол закручивания. Будем считать угол G поло-
жительным, если наблюдатель со стороны положительной оси г
видит вращение по часовой стрелке. Введем подвижный триедр
хи У\ z\, связанный с деформированной осью балки так, что ось
гх направлена по касательной в сторону возрастания г, а оси х{
и г/i направлены по главным осям повернутого сечения. Оси х,
У, г и хи уи z\ связаны приведенной ниже (стр. 61) таблицей
косинусов, при написании которой пренебрегается квадратами
и высшими степенями величин и, и, О, а также их производных,
60

X
У
*i j
1
—U
Уг
ь
1
*1
du
~dz~
dv
dz
Моменты считаются положительными, если векторы их совла-
дают с (положительными направлениями соответствующих осей.
Пункт 2. В основу теории прочности т устойчивости тонко-
стенных стержней, созданной В. 3. Власовым [1 ], положена
гипотеза неискажаемости поперечного сечения стержня, которую
можно сформулировать так:
пусть Л и 5 — две произволь-
ные точки поперечного сечения
до деформации, Ль Вх— про-
екции этих точек после дефор-
мации на нормальную плос-
кость к деформированной оси
стержня, проведенную через
переместившийся центр тяже-
сти сечения; тогда АВ ==.AiBi.
Касательные напряжения
считаются равномерно {^опре-
деленными по толщине стенки.
Из первой гипотезы следует, что направление касательных на-
пряжений в каждой точке сечения совпадает с касательной
к контуру.
Помнимо указанных выше гипотез, вводится важное допуще-
ние, состоящее в игнорировании прогиба в плоскости yz (v = 0).
Ниже (§ 5) будет показано, что это допущение всегда ведет
к преуменьшению критической нагрузки; это преуменьшение тем
значительнее, чем оолыне отношение —;— .
jx
При указанных шжютезах и допущениях для случая, описан-
ного в п. 1, В. 3. Власовым получены следующие уравнения,
справедливые в пределах упругости *:
da
TIT
dv
~~dz
{EJyuff)"-(Mxt)" = 0,
(EJjff - myMx + GJK) 8']' + qy(ev - av)b - Mxti" = 0.
Здесь:
EJV — наименьшая жесткость балки;
I
(1.2)
EJ^ — секториальная жесткость;
GJK — жесткость при кручении;
$(jfl+yt)ydF
$у= — о/ av (интегРиРование распространяется
на всю площадь сечения);
ау — координата центра изгиба (по оси у);
ду — интенсивность нагрузки, параллельной оси у\
1 Разница в знаках по оравне-нию <с уравнениями! В. 3. Власова объяс-
няется -изменением 'Положительного направления осп г, а следовательно,
и угла 8.
61

ец — координата точки приложения .нагрузки (по оси- у):
Мх — изгибающий момент относительно оси х.
Заметим, что уравнения (1.2) записаны так, что они остаются
верными! Bi случае 'балки переменного сечения, если только сохра-
няется прямолинейность и параллельность осей центров тяжести
и) центров изгиба, равно как; н постоянство! направления главных
осей. Если1 положить в (1.2) все жесткости постоянными, то
получается форма записи, приведенная у В. 3. Власова; [11
Рассмотрим следующие граничные условия.
1. Свободно опертые концы, закрепленные от поворота отно-
сительно оси г; свободная деплананшя опорных сечений.
Fit,и г = 0 и z = /: |
и = а" = 0; 0 = 6" = О. j (2"2)
2. Заделанные концы, закрепленные от поворота относитель-
но оси г\ депланатдая опорных сеченной 'исключается.
При 2 = 0 и г = /: ;
и = п'=0; 0 = 0' = О. ! ^3*2)
3. На одном конце (г = 0) отсутствуют смещение и поворот
сечения относительно1 оси г; депланация свободна. На другом
конце (г — I) отсутствуют: поворот оси в плоскости хг, деплана-
ЦИ1Я и- касательные напряжения, параллельные оси х.
При 2-0:
й = й" = 0, G = 0V = 0.
При 2 = /:
и' = и'" = 0: 6' - 6'" = 0.
(4.2)
4. Консоль, нагруженная сосредоточенной силой Р на свобод-
ном конце (г = 0).
При 2~0: )
При z=U ^У ! №
и = и' = 0; 6 — G^ = 0. ]
Пункт 3. Уравнения (1.2) интегрируются в элементарных
функциях только в случае балки постоянного сечения, подвер-
женной чистому изгибу ( Мх = М = const). В этом случае
^v=0 и уравнения (1.2) записываются так:
£7,6^- G/K6" - 2(^М6" - Ми" = 0. j (6>2)
Рассмотрим граничные условия (2.2). Замечая, что в этом
случае первое из уравнений (1.2) может быть приведено к ©иду:
EJyur—Mb = 0,
62

можно исключить функцию и ,и свести задачу к решению одного
уравнения:
EJJ™ - GJjr - 2?VM0" - -^-8 = 0, (7.2)
при граничных условиях:
Ь -_=6ff = 0 при z = 0 и z = /.
Частным решением уравнения (7.2) будет
6-A sin-^f-, (3.2)
где п —■ целое число. Вводя обозначения:
D =EJ -^-+Gj'
v /2 '
нетрудно найти _________
M=P„(pv±]/"p/ + -^- ). (9.2)
Можно "показать, что формула (9.2) при п=1, 2,.. дает весь
спектр собственных значения М, который распадается на поло-
жительную и отрицательную части.
Особый интерес 'представляют наименьшие по абсолютной
величине значения М обеих частей спектра, которые достигаются
при п=1. Если р > 0, то наименьшое положительное значе-
ние М равно
Мк = Рг [ ?у + /V + -%- ) . (10.2)
Если при этом cty<^0 *, то критический момент вызывает сжатие
с той стороны оси л\ с которой находится центр изгаба.
Наименьшее ,по абсолютной величине значение отрицатель-
нош момента находится (при (3V>0) по формуле:
^к = Рг ( Р, - |/>/+-^- ) • (П.2)
Отрицательный критический момент вызывает сжатие в той
части сечения, где у^>0. Если аИ < 0, то наибольшее сжимаю-
щее напряжение оказывается ,в «волокне, наиболее удаленном
от центра изгиба, что практически встречается редко.
Случай, когда а^>0 при 3V <0, 'не требует особого рас-
смотрения, так как он приводится к предыдущему изменением
направления оси у.
*Для большинства практически применяемых сечений при <?у<0 бы-
вает Ру>0, хотя .в €бщем случае этого утверждать нельзя.
63

Допустим, что ось х является осью семзде <ии или центр
тяжести служит полюсом симметрии сечения; тогда
И
МК = -МК = У7\Щ. (12.2)
Пункт 4. Рассмотрим граничные условия (3.2). Исключая и
из уравнений (1.2), придем к следующему дифференциальному
уравнению:
EJJVI - G7K6IV - 2pv7W6lv Pj- О" = 0. (13.2)
Нетрудно убедиться, что частным решением этого уравнения
будет
где п — делое число. Часть спектра собственных значений М
уравнения (13.2) получается да формулы:
Наименьшее положительное значение М при ^>0 получается,
если принять <в (14.2) п= 1.
Мк = Я ( $у + /V + -?J- ) , (15.2)
причем сохраняются сделанные в. п. 3 замечания о положении
наиболее сжатого -волокна относительно центра изгиба.
Для определения наименьшего по абсолютной 'величине отри-
цательного значения М (при $у <^ 0) служит выражение:
мк = {$у- У$;- + -^;-). (16.2)
Формула (14.2) дает только те значения Му которые отвечают
форме искривления, симметричной относительно середины про-
лета. Для нахождения (критических напряжений этого доста-
точно, так как наименьшее значение М получается при симмет-
ричном искривлении и п = 1 (принцип отсутствия нулей у первой
собственной функции). Однако для других задач, связанных
с разложением по собственным функциям, необходимо знать весь
спектр собственных значений. Разыскание его сопряжено
с довольно громоздкими вычислениями. Ограничимся указанием
пути решения.
(А

Интеграл уравнения (13.2) имеет вид:
4
v Л/ехр_м_ + Л5^_ + Л(;> (17.2)
*«1
где kL — корни характеристического уравнения:
Подставляя /правую часть (17.2) в первое- из уравнений (6.2)
и интегрируя четырежды, получим:
А
MP
и =
BJy
V _4_ exn il 4- _L л JL-4- — A —
^ *.2 еХР — Г б Л', /;; "h 2 Л« /2
/-1
+
+ /(Д7-£-+Д8
Используя граничные условия (3.2), получим восемь линейных
однородных уравнений относительно- неизвестных А}. Приравни-
вай нулю определитель этой системы, следует разыскать корни
получаемого уравнения и выделить из них те корни, которым
соответствует антисимметричная форма- потери устойчивости'.
По аналогии с формулой (12.2) можно написать для балки
с сечением, обладающим осью симметрии (осью х) или полюсом
-симметрии:
Жк = -Жк = у^5Г (18.2)
Пункт 5. Рассмотрим граничные условия (4.2). Нетрудно
убедиться, что этот случай можно свести к рассмотрению поло-
вины пролета^ балки длиной 2/, подчиняющейся на концах усло-
виям типа (2.2) при симметричной форме потери устойчивости.
Это замечание позволяет сразу написать результаты. Заменяя
в (9.2) п на 2л — 1 и / на 2/, получим:
О^А sin-^^i^- (я=1, 2,...).
Далее
М = Р ,
\Ь±у Ь2+ ГI -)• (19-2)
Эта формула дает весь спектр значений М. Наименьшее поло-
жительное значение М при £v> 0 равно
(20.2)
О Б. М. Броуде
65

Наименьшее по абсолютной величине отрицательное значение
определяется! по формуле:
мк = р, \К- I/ Ь*+-р7-\- (21-2>
Аналогичным образам вместо фор/мулы (12.2) можно написать
при $у = 0 ___
MK = ^MK=i/PlD±. (22.2)
* 2 2
Возможна и другая интерпретация рассматриваемой задачи.
Если (конец z = / неподвижно заделан, а конец z = 0 свободен
и iK нему приложена пара с моментом Мх, вектор .которого
следит за поворотом оси х сечения, то мы /получим случай
идентичный' только что рассмотренному.
Пункт 6. В тех случаях, шгда система уравнений (1.2) не
интегрируется в элементарных или специальных (табулирован-
ных) функциях, приближенное решение задачи может быть
получено методом1 Б. Г. Галеркина.
Предположим, что на концах балки .выполняется одна из
следующих комбинаций граничных условий:
и - и" = 6 = 6" = О
или
и = и' = о = 6' == 0.
Представим и и 9 в виде рядов*
// - ИД^; (23.2)
0= ЕВД, (24.2)
7-1
где [и-] и {8у} —системы линейно-независимых функций, каж-
дая из которых порознь удовлетворяет граничным условиям.
Для обеспечения сходимости процесса Галеркина системы
\щ) и [bj] должны удовлетворять также некоторым дополни-
тельным условиям в 'Отношении» их полноты, которые будем
предполагать выполненными 1.
Каждое из уравнений (1.2) является уравнением Эйлера при
варьировании функционала, представляющего потенциальную
энергию, накопляемую при выпучивании балки. Первое уравне-
ние получается в результате варьирования функции «, второе —
! Об этих условиях (Ом. гл. V, § 3, п. 1 и [2].
6fi

в результате варьирования 9. Хамим образом, при составлении
уравнений метода Галеркина первое ив уравнений (L2) умно-
жается на щ (I = 1, 2,...), а второе — на 6. (/ = 1, 2,...), после
чего каждое интегрируется в пределах от Oi до /. Проделав эту
операцию и пользуясь интегрированием но частям, получим:
j (£7va" - МХЬ) u[fdz - 0 (/=-1,2,...); (25.2)
о
/
j lEJJ-b?' + туМх 4- ОЛ)в'в/ + qv{ev - ауЩ -
О
- Mxu!^j\ dz = Q (j = 1, 2,... ). (26.2)
В случае сосредоточенной нагрузки интеграл
\gv(ev-av)bb.dz (27.2)
6
следует понимать в- смысле Стильтьеса. Пусть, например,
на балку действуют силы Л, Ръ..>> Pnv приложенные соответ-
ственно в точке iq абсциссами zu 22,..., гт. Тогда, вместо инте-
грала (27.2) появляется сумма:
т
^Рк{е(:}-ау)Ь(гк)ЬМк). (28.2)
Верхний индекс у еу указывает на то, что силы могут быть при-
ложены на различных расстояниях от ос® центров изгиба. Разу-
меется, при одновременном действии! распределенной и сосредо-
точенной нагрузок выражения (27.2) и (28.2) суммируются.
Удерживая bi выражениях для и и 0 конечное число членов-,
получим из (25.2) и (26.2) систему линейных однородных урав-
нений относительно Ai и BJt Допустим, что внешние силы
заданы с точностью до постоянного множителя К Приравнивая
нулю определитель полученной системы линейных уравнений,
мы придем к алгебр акчеоному ур ашению 'относительно ^.
Наименьшие по абсолютной величине значения I определят
приближенную величину критической нагрузки (знак X укажет
направление нагрузки). С увеличением числа удерживаемых чле-
нов © радах (23.2) и (24.2) мы будем приближаться к точному
решению.
В случае шарнирного закрепления концов! [граничные условия
(2.2) ] можно' значительно упростить решение. Интегрируя
дважды первое из уравнений (1.2) и замечая, что постоянные
интегрирования исчезают © силу граничных условий, получим:
EJyii" - MJ) = 0.
5*
67

Это уравнение позволяет исключить функцию и из системы
(1.2), !что равносильно исключению ее из уравнения (26.2).
j' [£/ше*в/ + (2рЛ,ЖЛ. Н- 0/к) 0'6'.. + q/ev - av)60, -
ЯЛ 9 П
^г = 0 (7=1,2,...). (2R2)
Таким образом, задача сведена к случаю одной неизвестной
функции (В).
Следует отметить, что исключение одной из функций воз-
можно и в более общем случае. Если сечение балки постоянно,
то, деля -второе из уравнений (1.2) на Мх и дифференцируя
дважды, можно исключить 'из него и14; однако при этом услож-
няются оодинтеяпральные функции в уравнениях Галеркина, что
может свести1 на1 нет преимущество уменьшения числа неизвест-
ных функций.
В дальнейшем мы будем пользоваться при шарнирном
закреплении и свободной депланацни концевых сечений выраже-
нием
Й=У; я sin -if-, (30.2)
обеспечивающим сходимость 'Процесса Галеркина при р -> оо,
В случае заделки обоих .концов и отсутствия депланащии, опор-
ных сечений [граничные условия (3.2)1 мы будем пользоваться
выражениями:
/ — П L
inz (' ~\-2)-z
cos —, cos
,-o ■ '
(}
cos -~ cos w
-EB,[™ , ™ ,
(31.2)
удовлетворяющими граничным условиям и другим требованиям,
достаточным .для обеспечения сходимости процесса* Галеркина.
Пункт 7. Поверка устойчивости б алией -в- общем случае
производится по формуле:
М < гп0шМк> (32.2)
где М — расчетное значение наибольшего момента, вычислен-
ное с учетом' соответствующих {коэффициентов пере-
грузки;
Мк —'(критическое значение наибольшего момента для
идеально! плоской балки;
68

со — коэффициент, учитывающий влияние (начального иск-
ривления в. плоскости 'наименьшей жесткости, началь-
ного закручивания и внецентренности приложения
нагрузки;
/п0 —нормативный коэффициент условий работы.
Разумеется, можно сравнивать не наибольшие значения рас-
четного и критического моментов, а величины их в-произвольном
сечении.
Вместо сравнения моментов можно сравнив1ать соответствую-
щие напряжения. Деля на момент сопротивления (W) обе части
неравенства (32.2), полупим:
о <С /tfo^V (ЯЗ.2)
В расчетной практике обычно пользуются коэффициентом
?в = -г-.
игнорируя влияние начального искривления щ приводя поверку
устойчивости к неравенству:
M<m^6Woy. (34.2)
Такая форма неравенства искусственна и обладает тем недо-
статком, что коэффициенты срб изменяются вместе с маркой
стали. В дальнейшем мы будем пользоваться неравенством
(32.2 )оши (33.2).
Иногда [можегг возникнуть надобность в поверке устойчивости
балки, подверженной воздействию ряда нагрузок, для каждой
из которых критическая величина известна. Вместо тога, чтобы
решать точно' подобную задачу, рассматривая всю совокупность
нагрузок, можно получить простое приближенное решение, даю-
щее запас устойчивости.
Известно, что поверхность, геометрически отображающая
зависимость между критическими значениями нескольких факто-
ров, обладает свойством выпуклости '. Рассматривая участок
этой поверхности <в области положительных значений всех коор-
динат (факторов), мы поступим в пользу устойчивости, заменяя
его плоскостью, пересекающей положительные полуоси в тех же
точках, что и поверхность.
Пусть Pi, Р2,..., Р„ —расчетныенагрузки, а Рои Рог,..-, PQn —
их (критические значения, т. е. Рт есть критическое значение
нагрузки Ph если все прочие нагрузки отсутствуют. Тогда, по-
лагая, что расчетные натрузюи заданы с точностью до множи-
теля X, найдем:
1 Имеемся в виду поверхность в (Многомерном пространстве (-см. гл. V,
§ 2, п. 1).
S9

Замечая, что должно быть выполнено неравенство:
получим окончательно:
-£- + -%-+••-+-£*'< "V>. (35.2)
Эта поверка «всегда дает запас устойчивости.
Учет начального искривления балки в плоскости наименьшей
жесткости или внеценгренности приложения нагрузки представ-
ляет собой весьма сложную' задачу. Приближенный способ ее
решения указан © § 8. Там же приведены значения ш для слу-
чая чистого изгиба, вычисленные в. предположении, что стрелка
начального искривления равна 0,001 / или 0,0015 /. Ими можно
пользоваться в первом приближении и для других видов
нагрузки при условии, что силы приложены к оси балки.
§ 3. БАЛКИ СИММЕТРИЧНОГО ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
Пункт 1. Устойчивость одндаролетной балки симметрич-
ного двутаврового сечения при чистом изгибе, сосредоточен-
ной силе по 'Середине пролета и равномерно распределенной
нагрузке подробно исследована в- литературе1; поэтому ме
ограничимся кратким изложением результатов.
Случай чистого изгиба был уже разобран в § 2, пи. 3—5.
При шарнирном закреплении концов ['граничные условия (2.2)]
было получено:
MK = ypiDl = ~VEJyGJK • i/~ 1
BJy . ?№ ,J3j
GJK 4/a
где h — расстояние между осями поясных листов или, в» общем
случае, расстояние между центрами изгиба поясов балки.
Введем обозначения:
40 (JJK
№ EJy
J
у №
/2 *
(2.3)
(3.3)
тогда критическое напряжение на уровне центра изгиба пояса
выразится так:
- = ^f = X^-/~774 (4.3)
или
;гк - -J*a(a).
'■См., например, [1], [3].
70

Установлено [3], что три иных видах на<грузжи критическое зна-
чение наибольшего момента может быть представлено в виде:
т(а)
-.j.
±
т
ЗС
где т(а)—функция от а, зависящая от ©ида нагрузки и места
ее приложения по высоте сечения. Отсюда легко заключить, что
критическое 'напряжение чел общем случае представляется форму-
лой:
°к = 'М«). (5-3)
где о(а) — определенная функция для данного вида на-
грузки.
Для любой нагрузки, отличной от случая чистого изгиба, а(«)
определятся либо приближенным интегрированием системы (1.2),
либо при помощи какого-либо из пря-
мых методов (Галеркина, Ритца
и т. п.), т. е. находится с той или иной
степенью точности.
Уровень приложения нагрузки от-
носительно оси центра изгиба (в дан-
ном случае относительно оси балки)
существенно сказывается на вели-
чине зк. Примем за эталон величину
зк в случае приложения сил к оси
центров изгиба. При ином уровне при-
ложения справедлив следующий прин-
цип: если при повороте сечений балки
относительно оси центров изгиба на-
грузка совершает положительную работу, то зк уменьшается;
если работа отрицательна, ок увеличивается. Таким образом,
нагрузка на .верхнем поясе балки дает меньшие значения кри-
тических напряжений, а нагрузка на нижнем поясе — большие
значения, чем нагрузка, приложенная к оси балки,
Входящая 'в выражение (2.3) жесткость при кручении вычис-
ляется по формуле:
t
it!
'ь*
Рис 13
0JK
-1-У bt9
3 Zj °ili i
(6.3)
где bi% tt—соответственно ширина и толщина элементарных
пршоугальников, образующих сечение двутавра (рис. 13).
В сварном сечении, образованном из трех листов, 7 = 1,3
и для а получается выражение (при v = 0,3):
где Ъ —ширина пояса,
t\ — толщина пояса, t— толщина стенки, v — коэффициент
поперечной деформации.
71

Для клепаных двутавров следует пользоватьсся непосред-
ственно*'выражениями (2.3) и (6.3), полагая т=1Д Иногда
р екоменду ют принимать более низкие значения т (порядка
0,3—0,6), основываясь на результатах испытаний клепаных ба-
лок на .кручение [4]. При1 этом упускают из ©иду, что столь -низ-
кие значения получались-при больших углах закручивания, тогда
как в ^момент потери устойчивости деформации малы (теорети-
чески бесконечно малы); поэтому допустимо1 учитывать трение
-между склепываемыми элементами н принимать величину 7
такой же, как в сварных балках.
Параметр а изменяется от 0 до со. Установим физический
с м ыел этик пр еде лов. В ыр а жение (2.3) можно- перешис ать
в виде:
BJ,t
Отсюда следует, что при /и~> 0 имеем а->оо:это соответствует
вырождению двутавра в узкую полосу. С другой стороны, как
видно из формулы (7,3), при Ь -> со получается а -> 0 или, что
то же самое, I2—~—>0;это соответствует двутавру, v которого
отношение ширины пояса к толщине неограниченно возрастает.
В табл. 7 приведены значения з(а) для некоторых типов
нагрузки.
Таблица 7
Значения а (а) при шарнирном закреплении концов (£^2 100 т/см-)
а
ол
0,4
1,0
2,0
4,0
8
16
24
32
48
64
80
96
128
160
240
320
400
чистый
изгиб
5,21
5,28
5,44
5.68
6,15
6,98
8,40
9,60
10,66
12,56
14,18
15,60
16,98
19,36
21,47
26,07
29,94
33 ДО
ю-3
а (а) mjCM2
Сосредоточенный груз по середине
поверху
4,15
4,27
4,44
4,71
5,31
6,30
8,12
9,67
11,07
13,45
15,70
17,60
19,33
22,55
25,40
31,50
36,80
41,40
пролета
по оси
7,06
7,14
7,37
7,70
8,40
9,53
11,50
13,10
14,58
17,10
19,20
21,22
22,95
26,20
29,06
35,40
40,40
45,20
понизу
12,00
12,12
12,26
12,48
13,17
14,22
15,98
17,59
18,90
21,35
23,50
25,40
27,10
30,40
33,20
39,30
44,60
49,20
J Равномерно распределенная
.
поверху
3,77
3,87
4,00
4,26
4,78
5,67
7,24
8,57
9,70
11,80
13,63
15,18
16,60
19,40
21,70
26,92
31,30
35,10
нагрузка
по оси
5,85
5,97
6,11
6,39
7,00
7,94
9.55
10,88
12,16
14,33
16,03
17,70
19,08
21,90
24,15
29,30
33,60
37,70
понизу
9,15
9,24
9,36
9,60
10,18
НЛО
12,65
14,06
15,11
17,22
19Д0
20,65
22,10
24,80
27,Ш
32,35
36,70
40,50
72

Подвергнем анализу даюные табл. 7. Для этого обозначим через
а0(а), 5t(aj, a2(a) — функции, соответствующее чистому изгабу,
действию сосредоточенной силы по середине пролета и действию
равномерно распределенной нагрузки (.в двух (последних слу-
чаях нагрузка (Предполагается приложенной коси балки).
Составим отношения
*о(«)
«2(а0 '
значения которых приведены в табл. 8. Как видно, колебания
величины этих отношений ад превышают 1,4% в одном и 1,1%
в другом; случае. Ниже будет показано* (см. п. 3), что и при
асимметричных эпюрах -моментов отношения критических наиря-
Таблица 8
Сопоставление значений а (а) при различных нагрузках
a
32(a)
0,4
1,352
1,196
4,0
1,366
1,200
16,0
1,370
1.205
24,0
1,364
1,202
48,0
1,361
1,192
80,0
1,360
1
1,200
400,0
1,352
1,200
жений для двух каких-либо случаев нагружеиия слабо колеб-
лются при шменении а от 0 до оо. Это дает возможность (пере-
носить результаты, полученные для балок узкого прямоуголь-
ного сечения, на двутавровые балки. В частности, можно непо-
средственно воспользоваться результатами А. П. Коробова' [5],
построившего линию влишш для критической силы, приложен-
ной к оси балки узкого .прямоугольного оечения. Принимая за
единицу величину критического напр яженвя при нахожден ии
груза по середине (пролета, получим следующие его значения
при перемещении груза (табл. 9).
Таблица 9
Отношения критических напряжений при перемещении
сосредоточенной силы, приложенной к оси балки
Z
Т
ff(z-Q,5f)
0,1
1,192
0,15
1,142
0,20
1,100
0,25
1,067
0,30
1,041
0,35
1,024
0,40
1,010
0,45
1,003
0,50
1,000
73

Из табл. 9 -видно, что при расположении груза в пределах
средней трети пролета 'колебание величины (критического напря-
жения не превышает 3%. Отсюда следует вывод, что при
поверке устойчивости нагрузку, действующую -в пределах сред-
ней трети пролета, можно сконцент-
рировать по середине пролета.
Пункт 2. Рассмотрим консоль-
ную балку, натруженную силой,
приложенной в центре тяжести сво-
бодного конца (рис. 14). Задача
сводится к интегрированию системы
1ИС* уравнений (1.2) при граничных
условиях (5.2). Известное в литера-
туре решение было получено путем .интегрирования в бесконеч-
ных рядах. Результаты приведены >в табл. 10.
Таблица 10
Сосредоточенный груз, приложенный к оси балки на свободном
конце консоли (£—2100 mjcM2)
а
1(Г3а(а) mjcM*
а
1(Г3с(а)/я/с*2
од
7,35
10
12,60
1
8,25
12
13,10
2
9,03
14
13,65
3
9,74
16
14,15
4
10,23
24
15,90
б
11,14
32
17,44
8
11,90
40
18,70
При а> 40 для определения с (а) служит выражение:
а (а) = 2 100^—^" т/см-.
Критическое' напряжение определяется по формуле:
ок = <]>о (а),
где ^ вычисляется из выражения (3.3).
В случае приложения нагрузки не к центру тяжести сечения,
а к одному из поясов., приведенные ъ табл. 10 значения следует
умножать еа [коэффициенты, приближенные значения которых
вычисляются по формуле:
где знак .минус берется при нагрузке поверху, а знак плюс —
при нагрузке понизу.
74

Рассмотрим чистый изгиб консоли, предполагая, что вектор
изгибающего (момента поворачивается вместе с осью х. Как уже
указывалось (§ 2, in. 5), крити-
ческое значение момента в этом
случае определяется выражением
■ (22.2). Нетрудно убедиться, что
для разыскания критических на-
пряжений можно воспользовать-
ся вторым столбцом! табл. 7,
заменяя при (вычислении а и ф,
пролет / удвоенной его величи-
ной. <
Пункт 3. Рассмотрим
шарнирно закрепленную
балку, нагруженную на
концах парами сил с мо-
ментами Mq и Мх (рис. 15).
Эпюра моментов представляется выражением:
Рис. 15
Мх = М0(1-с^,
1 -
(9.3)
Не ограничивая общности задачи, можно положить MQ > О
и М0 > Ми
Граничные условия записываются в виде (2.2). Как уже ука-
зывалось, -в этом* случае можно исключить го системы (1.2) одну
из неизвестных функций. Пользуясь методом Галеркина, сводим
задачу к решению системы линейных уравнений (29.2), при-
нимая 0 в 'виде:
e = S5,sini^-. (Ю.З)
/=-1 /
Вместо нахождения критического значения момента- М0 будем
разыскивать его отношение к критическому /моменту при чистом
изгибе Мк, которое обозначим через \*.. Таким образом,
(М))кр
(П.З)
Для оценки 'быстроты сходимости процесса Галеркина был
рассмотрен случай антисимметричной эпюры моменте© (с = 2)
при а = 0 и удержании в (10.3) от двух до четырех членов
(табл. 11) *.
Разница между вторым и четвертым приближением состав-
ляет ^1%, поэтому в дальнейших вычислениях было принято
Р = 2.
1 Приведенные в табл. 11 и 32 значения у- вычислены Г, М. Чувикиным
75

В табл. 12 приведены результаты вычислений при 0,5 < с<2
и двух предельных значениях а (а = 0 и а= оо). Как видно
из табл. 12, .величины р. сравнительно (мало зависят от а;
поэтому для практических целей можно .пользоваться полусум-
мой значений, указанных во второй и третьей строках таблицы
Т а б л и ц а 11
Значения \± при с=2, а=О
Числи членов
ряда р
'А
•1 3
2,778
2,755
4
2,747
Значения
Т а б л и да 12
Следует отметить значительное -возрастание критического
момента по сравнению со случаем чистого изгиба.
Пункт 4. В п. 1 была рассмотрена шарнир но закрепленная
балка, подверженная действию сосредоточенной силы по сере-
Рис. 16
Рис. 17
дине пролета или равномерно распределенной нагрузки. Здесь
будет рассмотрен тот случай, когда к указанным в ыше
и а (пр уз к а м, приложенным к оси б ал к и, добав-.
л я ют с я и а р ы сил на концах, в ы з ы © а ю щ и е ч и с т ый
изгиб (рис. 16, 17). В частности, таким путем можно учесть
76
*"~*-^.
\^^ С
0
ОС'
0,5
1,321
1,312
1,0
1
1,855
1,812
1,5
2,639
2,538
2,0
2,747
1
2,600

Ближние защемления концов бал;ки в плоскости изгиба yz, игно-
рируя в то же время защемление «в плоскости хг.
Введем обозначения:
С'~ М
кр
мк
где /WKp — критическое значение момента М; Мк — критический
момент три чистом изгибе1; прочие обозначения ясны из рис. 16,
17. Уравнение эпюры моментов при действии сосредоточенной
силы:
MV = M
2z
о-^.)-;-+с
, о <^<4 •
(12.3)
4(1-^)-^ 1--J- +с, L 0<"г</. (13,3)
Уравнение эпюры моментов в случае равномерно распреде-
ленной нагрузки:
МХ = М
При» пользовании (методам Б. Г. Галер<юи<на © выражении (10.3)
удерживалась два (первые члена с нечетными индексами.
В табл. 13 и 14 приведены значения |i, вычисленные
Г. М. ЧуВ'ИКиным.
Таблица 13
Значения у. при изменении момента по
уравнению (12.3) (полигональная эпюра)
-1,0
0
ОС
1,165
1,163
1,366
1,349
1,733
1,715
Таблица 14
Значения ;/. при изменении момента по уравнению (13.3)
(параболическая эпюра)
>\
0
ОС
0,5
1,06в
1,065
0
1,132
1,126
I
1
1,250
1,231
-2,0
1,312
1,295
Как и в случаях, рассмотренных в п. 3, влияние изменения а на
величину \i незначительно.
77

Сравнивая в табл. 13аначення ^ пряс1=0ис1=—1, находим
в последнем- случае увеличение критического момента на 27%
Аналогичным образом, пользуясь табл. 14, находим при сх = — 1
увеличение на оо 10%, а при1 с\ = —2 на-со 15%. Это показы-
вает, что' влиянием отрицательных опорных моментов, не сле-
дует пренебрегать, особенно в случае сосредоточенной силы
(полигональная эпюра).
Пункт 5. Рассмотрим балку с полной заделкой концов
в плоскости xz9 подчиняющуюся граничным условиям (3.2):
при z = 0 я z = l и^= и'— 9 = б' = 0.
Для балки, подверженной чистому изгибу, была уже полу-
чена формула (18.2):
Отсюда следует, что для определения критических напряжений
можно пользоваться второй строкой табл. 7, заменяя при вычис-
лении а и fb пролет / величиной 0,5 /.
В случае произвольной линейной эпюры моментов- [уравне-
ние (9.3)] удобно пользоваться методом Б. Г. Галеркина, при-
нимая для и и 6 выражения (31.2). Г. М. Чувикин вычислил
значения is аналогичные тем, которые определяются по фор-
муле (11.3), удерживая по два первых члена в выражениях
(31.2). Результаты приведены в табл. 15. В двух последних
строках таблицы указаны отношения / критических моментов
для заделанной <и шарнирно закрепленной балки.
Таблица 15
Линейное изменение момента [уравнение (9.3)]
*
при
1
при
а=0
а=оо
а=0
а — оо
0,5
1,321
1,312
3,997
2,000
1,0
1,852
1,812
3,982
2,000
1,5
2,611
2,532
3,960
1,989
2,0
2,710
2,625
3,953
1,950
Значения |* в табл. 15 шало отличаются от соответствую-
щих «величин для шарнирно закрепленной балки (табл. 12).
Следует отметить, что полная заделка концов редко встре-
чается © реальных конструкциях. Значительно чаще приходится
иметь дело с частичным защемлением, как, например, © нераз-
резных балках. Этот случай рассмотрен © работе Н. Г. Добу-
догло [6].
78

§4. ДВУТАВРОВЫЕ БАЛКИ С ОДНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ
Пункт 1. В (предыдущем параграфе речь шла о балках,
сечения 'которых обладают двумя осями симметрии. Здесь мы
рассмотрим сечения, имеющие лишь одну ось симметрии — ось у
(рис. 18).
— 4^тЧ , 4/^'Л/
Рис. 18
Предположим, что полка, обладающая большим моментом
инерции сечения, относительно' оси у, имеет также большую пло-
щадь. Кроме того, пусть
где 7vl, /*\—момент инерции и площадь сечения большей полки;
Jyij F<r~ ™ же Для Другой 'полки-.
При этих предположениях как центр тяжести, так ш центр
изгиба смещаются в одну сторону от середины высоты сечения.
Если положительное направление оси у принято в* сторону мень-
шей 1ПОЛ1КИ^ ТО
ау < 0.
(1-4)
Представим Pv © виде:
Для сечения, показанного на рис. 18, а, имеем:
[f dF = -~F, V -L f2 h^ + W-*»*>' > Й2 > /l( (2>4)
Поскольку ооьх является главной осью сечения, можно написать:
- t\hx + F, h.. + №-нЯ* = о. (3.4)
7<>

V 4- Л22
Умножая левую часть уравнения (3.4) на ?, и вычитая ее
из правой части (2.4), полуадм:
ly4F = ~{hf — Лг) (F{h{ + F, А2) > О (4,4)
Обращаясь к формуле (1.4) и замечая, что
ау(\-^-)<0,
заключаем, что
К > о.
Аналогичным образом можно показать, что pv]>0 для сечения
показанного на рис. 18, б.
В § 2 (и. 3) были получены выражения для критического
момента шарнирно закрепленной балки при чистом изгибе
В случае сжатия большей полки
Мк = Р^у + у$*+Ь_у, (5.4)
в случае растяжения большей полки
^ = ^(py-/Pva + i^) • (6-4)
Если положить £v = 0 в формуле (5.4), то получается заведомо
преуменьшенное значение:
Мк = 1'7Щ> -f VEJJGJ-: ]/"l + ^i- • (7.4)
Замечая, что
Jy '
где h — расстояние между центрами изгиба полок (поясов»), не*
рвпишем (7.4) )В виде:
Мк = Y-VEA. GJK-yr\+-^-, (8.4)
где
а, = и
■--и£г- (94)
' VI J V-'
Критическое напряжение на расстоянии hl от нейтральной оси
равно
с,.
T^i/'rV 1 + -^-=Ф1°Ы, (Ю.4)
80

где
ф1==±^е.^_. (1М)
Значения sCaJ берутся из второго столбца табл. 7, если числа
первото столбца понимать как значения а,.
Погрешность, даваемая формулой (8.4), быстро' возрастает
с усилением асимметрии сечения, поэтому во избежание пере-
расхода материала ею можно пользоваться лишь при неболь-
шой разнице -в моментах инерции поясов.
Следует отметить, что описанный выше способ использова-
ния табл. 7 со-храняет силу и для других видов нагрузки.
Пункт 2. Для уменьшения ошибки, даваемой формулой
(8.4), заметим, что из неравенства
/ 2
1
следует
<*i > а,
поэтому значения Мк получаются по формуле (8.4) (меньшими;
чем дня балки симметричного сечения с теми же величинами
Jyi JK и — . Пусть MQ обозначает критический момент такой
симметричной балки.
Оказывается, что при а>2 *, как правило, Мс меньше истин-
ного значения, получаемого ив выражения (5.4). То же соотно-
шение оправедливо и при других видах эпюры моментов. Это
дает возможность использовать табл. 7 для приближенного
определения критических моментов (но не напряжений).
Порядок вычислений следующий. Определяется а ив выражения:
EJy [h ) >
где GJK вычисляется по формуле (6,3). Входя с этим значением
а в табл. 7, иаходяи соответствующее значение о (а)и определяют
критический момент балки симметричного сечения
Мс = фо(а) 2^,
принимая его за искомый критический момент (Мк)ш Если надо
знать критические напряжения, то» их можно вычислить обыч-
ным способом (т. е. с учетом асимметрии сечения), исходя из
найденной величины Мс.
Аналогичным образом возможно1 использовать результаты,
полученные1 в § 3, п. 4, но лишь для тех эпюр, -где нет перемены
знака момента.
* Значение a = 2 «е следует рассматривать, как точную границу.
6 Б. М. Броуде
81

Пункт 3. Если момент вызывает сжатие в меньшей талке
двутавра, то критическое значение его при; чистом изгибе опре-
деляется по формуле (6.4). Полагая в этом выражении Pv = 0>
мы тшлучим преуменьшенное по абсолютной величине значе-
ние Мк. В этом легко убедиться го соотношений
И
мк > VKd, .
Таким образом, приближенные способы, описанные в пп. 1 и 2,
не применимы в данном случае, и для вычисления Мк следует
обращаться к формуле (6.4). Если рассматривается напряжен-
ное состояние, отличное от чистого изгиба, уместно применение
метода Б. Г. Галеркина (см. § 2, п. 6).
Пункт 4. Выше шла речь о шарнирно закрепленных бал-
ках со свободной депланацией концевых сечений. При иных
граничных условиях (заделанные концы, консоль) все получен-
ные в пп. 1—3 результаты в принципиальной части сохраняются.
§ 5. УЧЕТ ПРОГИБОВ БАЛКИ В ПЛОСКОСТИ ИЗГИБА
Пункт 1. В предыдущем изложении игнорировались про-
гибы оси в плоскости изгиба yz, т. е. принималось v == 0. Здесь
мы отказываемся от этого допущения и рассматриваем vy как
отличную от нуля конечную функцию. Момент потери устой-
чивости трактуется как разветвление форм равновесия; по
этому компоненты деформации и, 0, а также усилия MyjMz
и т. д., характеризующие пространственную форму равновесия,
лшрежнему считаются сколь угодно малыми, так что произве-
дениями и квадратами их можно пренебречь. Отсюда следует,
что дифференциальные уравнения равновесия будут линейными
относительно этих .величин.
Рассмотрим случай чистого изгиба балки, сечение которой
.обладает двумя осями симметрии, а секториальная жесткость
равна пулю. Будем исходить из шести уравнений равновесия
Кирхгофа — Клебша [7\]. Ввиду отсутствия продольной и попе-
речных сил и отбрасывания малых величин выше первого по-
рядка из шести уравнений остаются только два. При располо-
жении осей, указанном на рис. 12, и принятых в § 2, п. 1 пра-
вилах знаков для моментов эти уравнения запишутся так:
а-£--му*1-мх* = о,
(1.5)
82

Уравнения (1.5) написаны В' подвижной системе координат, свя-
занной с деформированной осью балки (§ 2, п. 1); поэтому,
вместо х, у, z правильнее было писать хи уи ги Для упроще-
ния индексы опущены. В этих уравнениях приняты следующие
обозначения:
s —длина дуги искривленной оси балки;
* — кришзна проекции оси на плоскость xz\
*г—кривизна проекции оси на плоскость yz\
i= ——\-%— степень кручения;
X — (кручееие оси, т. е. предел отношения угла между
•бинормалями к длине дуги при стремлении по-
следней к нулю.
Поскольку рассматривается чистый изгиб, можно положить:
Мх = М = const;
*i = -#v=const- } (2'D)
Выражение для * лепко получить при помощи таблицы косину-
сов, приведенной .в § 2, п. 1:
* = #"-*! 6, (3.5)
где штрихи означают производные по s.
Для х можно пользоваться приближенным выражением:
т = в' + %х и'. (4.5)
Моменты Му и Мг связаны с .компонентами! деформации сле-
дующими соотношениями:
MV = EJV*. (5.5)
Mz=GJKx. (6.5)
Пользуясь выражениями (5.5), (6.5), перепишем уравнения (1.5)
в виде:
GJK*'-(EJy*1 + M)x = 0; |
EJV х' + (М+ GJK x,) x — 0. J (/ *5)
Дифференцируя по s «второе из уравнений (7.5) и исключая т',
получим:
EJy GJK*ff + {M + EJyyLx) (M + GJKxx)% - 0
или
£7va/Kx'4 №- (\ _ jjL) (l - §£•) x = 0. (8.5)
6* 83

Если бы мы -игнорировали1 прогиб в плоскости изгиба, иначе
говоря, положили бы Xj = 0, то уравнение (8.5) превратилось
бы в
Следовательно1, учет прогиба «в плоскости1 изгиба приводит
к увеличению критического момента в
С = ,.„ ! (9.5)
раз. Необходимо подчеркнуть, что сделанный .вывод остается
верным при любых граничных условиях. В частности, для шар-
нир но закрепленной балки [граничные условия (2.2)i]
М.= ""^<"' . ' . (10.5)
унт-т
В этой формуле / означает длину дуги, которая равна пролету
вследствие нерастяжимости оси.
То обстоятельство1, что критический момент увеличивается
при учете прогиба в плоскости изгиба, является следствием об-
щего принципа, согласно .которому учет первичных дефор-
маций всегда повышает .критическую нагрузку. Так, например
учет сжимаемости сжатого стержня увеличивает критическую
силу при продольном изгибе.
Анализ, формулы (10.5) показывает, что (Критический момент
Jv GJK
возрастает с увеличением -~— пли ]Tj~ • В предельном случае
(Jy — Jx) потеря устойчивости, становится невозможной. Дей-
ствительно1, в этом случае исчезает само понятие «плоскости
наименьшей жесткости», в которой могло бы совершиться выпу-
чивание. Следует однако оговориться, что это справедливо лишь
при рассмотрении (бесконечно малых отклонений от плоской
формы (так называемая «устойчивость в малом»). Если вели-
чины и и 0 считать конечными, то при наличии некоторых
условии возможен мгновенный переход в пространственную
форму равновесия, характеризуемую конечными отклонениями
от начальной плоской формы.
Из выражения (9.5) нетрудно заключить, что С существенно
превосходит единицу лишь при достаточно больших отношениях
Jv GJK
-/; или ej* •
Пункт 2. Предположим теперь, что секториалъная жест-
кость не равна нулю. Вместо (6.5) появляется уравнение:
А^ = а/кт_£/шт". (11.5)

Уравнения (7.5) переходят в
OJK т' - Шт '"' - (£/„ *{ + Ж) х = О, |
(12.5)
^x' + ^+G^X,)!—Я/вХ,х"=0. |
Дифференцируя первое из этих уравнений по- s <» исключая х',
получим:
£7V (G7K т" -ЯУ. Tiv) + (М + EJy xt) X
X [(ATf G/^Ox —Я/ш^т''] =0. (13.5)
Рассмотрим случай шариирного закрепления концов. Из со-
отношения
т = в' + х, и'
при
6 = Л sin -^— , u = Bl sin —
следует
t = ^-cos±L, (14.5)
где Ах — произвольная постоянная.
Выражение (14,5) удовлетворяет уравнению (13.5), в чем
лег-ко убедиться подстановкой, приводящей к условию:
P,D1-JIP(1-*-)(!- -^-)_0,
n*T?IiJv _ л. , ___ п2^2
где
Таким образом, учет прогибов в плоскости изгиба приводит
к увеличению критического момента в
d= \ =- (15.5)
Раз. У{1-ТГ)[1-Ж)
При иных условиях закрепления изменяются только значе-
ния индексов у Рп и Dn\ 'например, при заделке обоих концов
надо положить п = 2, а при граничных условиях (4.2) —n^-j.
Следует отметить, что множители С и С, -в 'первом приближе-
нии, .могут (применяться и при других тадах нагрузки.
Н5

Глава IV
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
П у н iK т 1. Все результаты предыдущей главы относятся
к потере устойчивости в упругой области. В этом параграфе
рассматриваются 'некоторые случаи потери устойчивости за пре-
делом упругости.
Строгого решения задачи об устойчивости плоской формы
изгиба балок за пределам упругости пока не имеется1. Это
объясняется не только значительными (математическими труд-
ностями, возникающими © процессе решения, но, главным обра-
зом, отсутствием четкой картины поведения металлов' в упруго-
пластической области при сложном натружении,
Как известно, в теории пластичности различаются два вида
нагружения: простое и сложное. При простом нагружении все
силы возрастают от нуля, сохраняя постоянное отношение. При
сложном нагружении, по крайней мере, для одной из сил нару-
шается условие пропорционального возрастания. Все случаи
потери устойчивости -в виде разветвления форм равновесия от-
носятся к категории сложного нагружения. Действительно, когда
нагрузка достигает определенного (критического) значения, по-
являются качественно новые усилия, обусловленные вторичными
деформациями. Например, при чистом1 изгибе балки вначале
имеются только изгибающие моменты в плоскости наибольшей
жесткости; после потери устойчивости появляются изгибающие
моменты в плоскости наименьшей жесткости и крутящие мо-
менты.
Большинство экспериментальных исследований относится
к случаям простого нагружения и малых упруго-пластических
деформаций. При этих условиях хорошо подтверждаются основ-
ные гипотезы теории! пластичности, в том числе свойство «ква-
зиизотропности» материала в пластической области.
Значительно хуже исследовано поведение материалов при
сложном нагружении. Имеются указания на то, что материал
в этих условиях становится анизотропным. Так, например, если
стержень подвергнуть растяжению выше предела пропорцио-
нальности, а затем, оставляя силу постоянной, приложить пару
сил, вызывающую кручение, то при малых деформациях сдвига
величина их такова же, как в упругом теле; иначе говоря, мо-
дуль сдвига G остается неизменным 2. При увеличении крутя-
щего момента наблюдается некоторое уменьшение величины G,
Таковы результаты, полученные рядом исследователей. Другие
1 Речь идет о двутавровых балках. Дл1Я узкой прямоугольной полосы
■некоторые результаты получены Л. М. Качаловым [8, 9].
2 См., например, работу [10].
86

экспериментаторы исследовали случай, когда растягивающая
оила продолжала возрастать после приложения крутящей лары;
при этом наблюдалось быстрое понижение модуля сдвига, вна-
чале имевшего ту же -величину, что и в упругой области.
Количество' экспериментов- в. условиях сложного нагруженияг
далеко не достаточно для получения ясного представления'
о поведении материалов в упруго-пластической области. К тому
же имеющиеся данные относятся почти исключительно к алю-
минию или легким сплавам. Неясно, распространяются ли они
на стали различных марок. Тем не менее некоторые частные
выводы могут быть сделаны с известной уверенностью.
В первую очередь нас интересует 'величина модуля сдвига
при близких к нулю значениях крутящего момента и постоян-
стве нормальных напряжений. Все имеющиеся пока экспери-
менты приводят iK заключению, что по крайней мере в началь-
ный момент (т. е. когда крутящий момент начинает 'возрастать
от нуля) мо дул ь сдвига имеет ту же (величину, ч то
ив упругой о б л а с т и. Эта гипотеза .кладется в основу
дальнейших поводов.
Другой важный -вопрос касается изменения модуля продоль-
ной упругости при переходе за предел пропорциональности. Рас-
смотрим балку двояко симметричного двутаврового сечения,,
составленную из трех листов. Как известно, модуль продольной
упругости входит в выражение наименьшей и ©екториальной
жесткостей, которые зависят только от сечений поясов (полок)1
двутавра. В момент разветвления форм равновесия нормальные
напряжения в поясах постоянны ;в данном поперечном сечении:
(«ер авном ерностью р асп ре дел ен ия н апр яжений по тол щи-не ■
полки пренебрегаем). При выпучивании балки1 каждый из поясов
изгибается в плоскости его наибольшей жесткости и на равно-
мерно распределенные напряжения конечной -величины накла-
дываются весьма малые напряжения от изгиба. Здесь имеется1
аналогия с продольным изгибом за пределом пропорздональг
ности, используя которую можно оценить уменьшение модуля Е
коэффициентом
да Е? = (е — относительное удлинение).
Эта гипотеза представляется достаточно правдоподобной
в случае чистого изгиба. Ее применимость к другим напряжен-
ным состояниям должна быть проверена экспериментально.
Пункт 2. После того как установлена зависимость между
величиной модуля продольной упругости и напряжением в поясе,
а .модуль сдвига принят постоянным, составление уравнений
равновесия не представляет затруднений; достаточно положить
в уравнениях (1.2) kE ©место £. Поскольку k зависит от а, а сле-
довательно, я от гщ получаем систему уравнений с переменными
87

коэффициентами. Применяя .метод Б. Г. Галер^ииа'И имея в виду
<5алки с двумя плоскостями1, симметрии, перепишем уравнения
<25.2), (26.2) в виде:
\(kEJyu" - МхЪ)и{' dz = 0 (/=1, 2,...);
j (Ш. в" в/ + GJK 6'6/ + ^ ev 60. - ' (2'6)
-М^"6у)^^0 (7=1,2,...),
где и и 0 представляются выражениями (23.2) и (24.2). При
шарнирном закреплении 'концов бал-ки функцию и (г) можно
исключить, что приводит к системе уравнений:
f \k EJa Ь" 6/ + GJK Ъ> 6/ + qyeybbj ^f 6 6 /I rfz = О
(7=1,2,...). (3.6)
Пункт 3. В случае чистого изгиба величины k и Мх не за-
висят от г и задача допускает решение в замкнутой форме:
где
а =
4GJK
(4.6)
— ф =
/у /г2
£/v ^ ' •/* '2
Разрешая уравнение (4.6) относительно а, получим:
rc2'J,*£ \ /:
(5.6;
Зная а, можно' вычислить .критическое напряжение для балки из
неограниченно упругого материала:
. = E.J^tfrrW=E±/£.(*-)*+«,**(!-к) (6.6)
и найти отношение
Из соотношения
» =
0 =
■V-
+ 7.2
а + тс2
можно заключить, что
k < ft < К & ,
причем ft = & при а = 0 и ft = Y k при а =
88

В табл. 16 приводятся значения k для стали марки Ст.З, вы-
численные при следующих предположениях:
апр = 2,07 т/см2, ат = 2,4 т/см2, Е = 2 100 те, ел*- ;
начало площадки' текучести при s = 0,002. Участок диаграммы
a-s между предел-очи пропорциональности и пределом текучести
очерчен по эллипсу с центром на прямой г == 0,002. Отрезок
эллипса подобран так, чтобы касательная изменялась непре-
рывно.
Таблица 16
Значения k для стали марки Ст. 3
h B
ttljCM-
k
2,08
0,941
2,12
0,747
2,16
0,619
2,20
2,24
2,28
2,32
2,36
2,38
2,39
2,398
I ' 1 1 1 1 1
0,520 0,440 0,367 0,296 0,213 0,157 0,117 0,086
2,40
0
Величину 0 можно также представить в виде:
» = - — (7.6)
где
Значения /(-зк) приведены в табл. 17.
Таблица 17
Значения / (ак) для стали марки Ст. 3
Ч в
mjCM2
1<Г3/Ы
2,08
; 382
2,12
1129
2,16
1357
2,20
1385
2,24 2,28
1318
1200
2,32
1039
2,36
805
2,38
627
2,39 2,398
486 367
2,40
0
Зная 0, .можно найти. О в функции от зк, а затем построить за-
висимость между Ь иоке. Это сделано на графике (рис. 19), для
некоторых значении Ф.
Из принятого' выше способа определения k вытекает, что
При \ - от
Й = k — 0 ;
следовательно, акр= оо или / = 0. Иначе говоря, критическое на-
пряжение при чистом 'изгибе не может достигнуть предела теку-
чести -в балке конечной (отличной от нуля) длины.
Пункт 4. В случае произвольной эпюры моментов следует
исходить из системы уравнений метода Б. Г. Галеркина [(2.6)
или (3.6)]. Поскольку k является функцией от z, получается за-
дача об устойчивости балки с переменной жесткостью EJy.
Способ решения в принципе таков же, как и в случае чи-
стого изгиба (п.З). Задаются наибольшим критическим напря-
89

жением (зк), а следовательно, и -всей эпюрой критических на-
пряжений, подобной эпюре моментов. Этим определяется замов
изменения коэффициента k. Неизвестной величиной, подлежа-
щей определению, является свободная длина б ал ни /. Зная I,
можно найти наибольшее критическое напряжение балки из не-
ограниченно упругого материала и 'вычислить отношение
Проделав эту операцию при различных
значениях ак устанавливают таблич-
ную зависимость между aKf, и i> для
данного вида эпюры.
В отличие от случая чистого изгиба
здесь возможно достижение критиче-
ским напряжением- предела текучести
в одном сечении или одновременно в
ряде изолированных сечений. Суще-
ствование непрерывного участка, на
,_, ,__т_т____ котором критическое
напряжение в поясах
было бы равно пре-
делу текучести, оче-
видно, невозможно,
ее л и пол ьзов аться
для k выражением
(1.6). Действительно,
п ре дпо л аг а я концы
такого участка зак-
Рч - ' " репленньши от сме-
ж' щения в плоскости
хг и поворота, мы можем только повысить критическую на-
грузку. В то же время рассматриваемый участок находится а
условиях чистого изгиба; в этом случае невозможность достиже-
ния предела текучести доказана (см. п. 3).
Следует подчеркнуть, что предыдущие рассуждения суще-
ственно основаны на принятом законе изменения модуля упру-
гости за пределом пропорциональности (1.6), согласно которому
ПР'И jk = (3t получается k = 0. Этот закон выведен из идеализиро-
ванной диаграммы напряжение —деформация, характеризуемой
непрерывным изменением касательной и горизонтальной пло-
щадкой текучести; поэтому для оценки справедливости получен-
ных выводов необходимо обширное экспериментирование. Имею-
щийся экспериментальный материал совершенно недостаточен,
хотя отдельные опыты уже сейчас указывают на то, что «веда
чина критической нагрузки при напряжениях, близких к пре-
делу текучести, обычно недооценивается. В частности, А. В. Гем-
90

мерлингом [11] были испытаны стальные сварные балки двутав-
рового сечения пролетом >в 2,1 м, нагруженные по середине про-
лета. Критический момент оказался близким к величине зт- WnJl,
что указывает на то, что в средней части пролета существо-вал
участок, на котором напряжение в поясах равнялось пределу
текучести. Подобные эксперименты очень трудны как по выпол-
нению, так и по анализу результатов, Надо учитывать возмож-
ность повышения предела текучести при развитии пластических
деформаций на -малых участках и при неоднородном напряжен-
ном состоянии. Истинная диаграмма «напряжение—-деформа-
ция» 'может значительно отклоняться от идеальной схемы, <в част-
ности, может отсутствовать горизонтальная площадка текучести.
Наконец, неизбежные начальные отклонения от плоской формы
испытываемых балок и вызываемые ими дополнительные напря-
жения могут привнести к ускорению частичного перехода мате-
риала -в зону упрочения. Все это указывает на необходимость
углубленного экспериментального изучения устойчивости пло-
ской деформации балок при напряжениях, близких к пределу
текучести.
Пункт 5. Указанный в п. 4 метод определения критических
напряжений достаточно сложен в случае произвольной эпюры
моментов. Представляет (интерес указание практического метода
расчета, который давал бы простой и притом прямой способ
разыскания критических напряжений. Такой 'метод, основанный
на применении формулы Ясинского и не претендующий на стро-
гое обоснование, излагается1 ниже.
Формула Ясинского для определения критического напряже-
ния при продольном изгибе за пределом упругости имеет -вид:
ок = а —ЬХ, (8.6)
где ^ — гибкость стержня;
а и b — постоянные, зависящие от -материала.
Подставляя в (8.6)
-•/£•
где ^—критическое напряжение для неограниченно упругого
материала, и делая обе части на зке, получим:
а—ъЪ у ——
Ь = -«- = т_2м_. (д.б)
при этом значения числителя удерживаются в пределах
апр<а-^]/|-<3т.
91

Для стали .марки Ст. 3 при зт = 2,4 т/см2 и апр = 2,07 т/см2
принимается а =2,89 т/см2, тсб = 0,02565 т/см2.
Из формулы (9.7) видно, что зк=ат три некотором конечном
значении оке (для стали1 марки Ст.З при сК(,=5,6 т/см2).
Формула (9.6) непосредственно распространяется на задачу
об устойчивости плоской деформации балок, т. е. после нахожде-
ния .величины зкр для балки вычисляются значение Ь и ■величина
критического нampяжения:
°к = К,. (ю-6)
При -переходе ik стали другой марки: следует подставлять в фор-
2 4
мулу (9.6) вместо о величину оке—'■—,
где ат —предел текучести данной стали в т/см1.
Структура формулы (10.6) отвечает гипотезе «квязиизо
тропности» -материала, иначе говоря, 'пропорциональному изме-
нению Е и G при переходе в упруго-пластическую область. В то
же время эта формула не учитывает изменения момента по
длине балки. Оба допущения ведут к преуменьшению критиче-
ского1 напряжения.
С другой стороны, формула (9.6) приводит к тому результату,
что' критическое напряжение, равное пределу текучести; дости-
жимо при некоторой конечной длине балки. Такое явление воз*
можно, когда предел1 текучести достигается лишь в отдельных
сечениях, но не захватывает .целых участков пояса. Для таких
эпюр можно пользоваться формулами (9.6) и (10.6) В случае
чистого изгиба следует обращаться к указаниям п. 3.
§ 7. БАЛКИ, УКРЕПЛЕННЫЕ ПРОДОЛЬНЫМИ
ИЛИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
Пункт 1. В этом параграфе изучается влияние устройства
связей на устойчивость плоской деформации балок.
Различаются два типа связей: продольные и поперечные
связи. Первые располагаются в плоскости, параллельной пло-
скости пояса балки; вторые — в плоскостях, перпендикулярных
к оси балки.
Продольные связно обычно соединяют две соседние балки и
обладают такой жесткостью в своей плоскости, что узлы их
можно считать 'неподвижными. Изучение влияния продольных
связей удобно начать со- случая балки с неподвижно закреплен-
ной осью вращения, параллельной нейтральной оси и затем пе-
рейти к случаю закрепления отдельных точек (узлов) на прямой.
92

При рассмотрении поперечных связей основным является
вопрос о наименьшей их жесткости, обеспечивающей отсутствие
поворота сечения (0 = 0) в месте \ях расположения.
Пункт 2. Задача об устойчивости стержня с закрепленной
произвольной осью вращения исследована В. 3. Власовым [,1]
в весьма общих предположениях. Им использованы общие урав-
нения равновесия тонкостенного стержня, причем к силовым
факторам добавлены реакции-, возникающие вдоль закреплен-
ной оси, а величины и, v и Ь связаны соотношениями, обеспечи-
вающими неподвижность этой оси.
Для «качественного исследования рассмат-
риваемой задачи удобно применить энергети-
ческий критерий устойчивости.
В случае балки двутаврового сечения с
двумя осями симметрии (рис. 20) полная по-
тенциальная энергия, накопляемая при выпу-
чивании, должна быть равна нулю, что запи-
сывается так:
- ( J EJV u'rl dz -f- \ EJm 0"2 dz -f f GJK 6'2 dz) +
+
l(-r \qveyWdz— \Мхи"Ыг\=0. (1.7) Рис
20
Первое выражение, заключенное в круглые скобки, представ-
ляет собой удвоенный упругий потенциал; второе выражение
представляет собой работу внешних сил; л — параметр на-
грузки1.
Обозначим через cv—координату закрепленной оси 1 (предпо-
лагается, что закреплена ось .в плоскости уг). Используя соот-
ношение .между и и О
можно переписать уравнение (1.7) в виде:
+
J (EJ* + с/ EJy) б"2 dz + |' GJK б'2 dz
откуда
Х =
i i
J (EJco + с/ EJy) 6"2 dz + \GJK 0 '2 dz
_о о
i i
[ qy еу 62 dz + 2су j Mx 66" dz
(2.7)
1В дальнейшем в>сюду .подразумевается, что закрепленная ось враще-
ния параллельна нейтральной оси.
93

Преобразуем знаменатель -выражения (2.7) при помощи инте-
грирования по частям, имея в виду, что Ь = 0 на концах про-
лета. Замечая, что qy = — Мх", получим:
еу $qyWdz + 2cylMxWdz =
cy$MJ'*dz+(cy-ey)$Mx'Wdt
Таким образом,
Х =
J [(EJ*> + су* EJy) 6"a + GJK V*\dz
о
(37)
\су \MvWdz + (cy—ey)\Mx;'№'dz\
L и о
Числитель выражения (3.7) существенно положителен при
6^0. Это позволяет сделать следующие заключения.
1. При чистом изгибе Мх' = 0, следовательно, знак ^ совпа-
дает оо знаком Су. Если сд<^0, то критический момент может
быть 'только отрицательным. Это равносильно утверждению, что
в случае закрепления любой оси в пределах сжатой зоны потеря
устойчивости' невозможна. Следует только подчеркнуть, что все
это справедливо лишь в предположении неискажаемости попе-
речного сечения.
2. Предположим, что нагрузка направлена; в сторону поло-
жительной 'Оси у (qy > 0) и симметрична относительно середины
пролета, а Мх сохраняет положительный знак. Из этих условий
вытекает, что трафик функции 6 также симметричен1 относи-
тельно прямой z = — и имеет постоянный знак. В силу квадра-
тичное™ рассматриваемого функционала, можно считать 0 не-
отрицательной функцией.
При сделанных предположениях все подинтегральные функ-
ции выражения (3.7) неотрицательны; следовательно, если
су < 0 и су - еу < 0 , (4.7)
то^<0 и потеря устойчивости невозможна. Другими словами,
при закреплении какой-либо оси в сжатой зоне балки потеря
устойчивости невозможна, если линия приложения нагрузки
(в сжатой зоне) не более удалена от нейтральной оси, чем за-
крепленная ось.
Поскольку практически нагрузка не бывает приложена выше
верхнего пояса, закрепление последнего обеспечивает балку от
потери устойчивости (напоминаем, что речь идет о сжатом
верхнем поясе).
До сих пор рассматривалось закрепление какой-либо оси
в сжатой зоне (^<0). В случае закрепления какого-либо рас-
тянутого волокна (с,/>0) качественное исследование услож-
94

няется, так как для определения знака ^ необходимо- знать
функцию 0. Очевидно, что как приближенное выражение для 6,
так и приближенное значение \ можно найти, разыскивая экс-
тремум, выражения (3.7) по методу Ритца. Если ограничиться
первым приближением, принимая в- случае шарнирно закреплен-
ных концов балки
6- A sin — , (5.7)
то; при. сохранении1 сделанных выше предположений о симмет-
рии нагрузки и знаке МХу -можно получить приближенное соотно-
шение между су 'и е1/у выполнение которого обеспечивает устой-
чивость балки.
Подставляя (5.7) -в знаменатель выражения (3.7) и прирав-
нивая его нулю, получим):
*,= -7-(l+4H'73c,. (6-7)
Если
еу>1,73су,
то потеря устойчивости невозможна (при ^>0).
Пункт 3. Оценим влияние закрепления растянутого (ниж-
него) пояса на устойчивость балки в случае чистого изгиба при
шарнирном закреплении концов. Пусть X* обозначает наимень-
шее положительное значение параметра X для (балки с не закреп-
ленным по длине поясом, получаемое варьированием уравнения
(1.7) по и и 0.
где М — единичный момент.
Найдя л по формуле (3.7) лри су = — и составляя отноше-
2
л
ние — > получаем:
х _ l l/ 0J*
А* тМ V EJV
2я*
+ 1
/•т
У
1 - wf'tt • <">
При а = 0 из этой формулы получается
иначе говоря, в этом случае закрепление нижнего пояса не
влияет на устойчивость балки.
95

Влияние закрепления возрастает с увеличением а, так что
при а -> оо
X
—■ ~> оо .
X*
Случай а= оо отвечает вырождению двутавра в узкую -полосу
Полученный результат следует понимать так: пол еа узкого пря-
моугольного сечения с закрепленной растянутой кромкой не мо-
жет потерять устойчивость и р и у с л о в^и и н е <и с к а ж а е-
м(оети поперечных сечений. Последняя оговорка су-
щественна, так как в случае деформируемости поперечных сече-
ний устойчивость может быть потеряна.
Для практически важных случаев (а<^40) составлена сле-
дующая таблица:
а= 10 20 30 40
А_=1,062 1,156 1,251 1,345
Пункт 4. Рассмотрим случай закрепления нижнего ножа
при действии сосредоточенной силы по середине пролета. Значе-
ние а, очевидно, будет преувеличено, если подставить в (3.7)
а * **
v = sin .
/
Выполняя квадратуры, получаем:
2п|/ 1
2711/ 1+—- +
(8.7)
^(■-<4)
Допустим, что сила, приложена к нейтральной оси {ey = Q)\\
найдем величину X при отсутствии закрепления нижнего пояса,
обозначая ее через л*. Пользуясь данными табл. 8, можно
написать:
Х*^ 1,Зб7г|/~1 + ^-. (9.7)
Теперь можно составить отношение
А 2
** лж(х+±\ V ~*~ 4-Ч^ + «)
Ц1^)
лГ\ J t . (10.7)
Таким образом, величина — отличается от аналогичной вели-
чины при чистом изгибе только множителем
2
1
96
,36 (l + —
1,05

Следовательно, эффектиеность закрепления нижнего пояса лишь
незначительно выше, чем при чистом изгибе.
Еще менее эффективно такое закрепление при приложении
нагрузки к верхнему поясу. В этом случае зависимость /** от а
известна только в табличной форме (табл. 7); поэтому отноше-
Л
иия —, приведенные ниже, вычислены лишь для некоторых зна-
>.*
чен<и»й а.
а= 8 16 24 32 48
— = 1,04 1,05 1,07 1,11 1,19
л*
Большее повышение критической нагрузки получается «в слу-
чае приложения нагрузки ,к нижнему поясу, как видно из при-
водимых ниже данных
а = 1 8 16 24 32 48
— =1,49 1,72 1,98 2,20 2,40 2,79
Не следует забывать, что значения >. вычислены лишь в первом
щиюлижении, так что истинные величины — должны быть не-
V A*
сколько меньше.
Из сказанного в пи. 3 и 4 .можно заключить, что закрепление
нижнего (растянутого) пояса не предотвращает потери устойчи-
вости. В случаях чистого изгиба и приложения нагрузки к 'верх-
нему поясу или нейтральной оси такое закрепление совершенно
не эффективно. В случае приложения 'нагрузки к нижнему поясу
эффект более значителен, хотя при малых значениях а (а< 1)
увеличение критической нагрузки не превышает 50%.
Пункт 5. До сих пор речь шла о закреплении непрерывной
прямой оси, параллельной нейтральной -оси балки. В реальных
конструкциях закрепляются лишь отдельные точки на прямой —
узлы связей. Мы ограничимся рассмотрением случаев располо-
жения связей в плоскостях поясов.
Если связи расположены <в плоскости сжатого пояса, то по-
теря устойчивости -возможна только на участках между узлами
связей, которые могут рассматриваться, как абсолютно жесткие
опоры, препятствующие перемещению в направлении оси х и
повороту сечения относительно оси г.
Связи, расположенные в плоскости растянутого пояса; оче-
видно, еще менее эффективны, чем непрерывное закрепление
пояса; поэтому влиянием их на устойчивость балки .можно пре-
небречь (за (исключением случая нагрузки, приложенной к ниж-
нему поясу при (больших значениях а).
Пункт .6. Переходим к рассмотрению случаев укрепления
балки поперечными связями. Предположим эти связи упругими
1 П. М. Броуде 97

и непрерывно распределенными по длине балдой. Общее решение
задачи получено В. 3. Власовьпм [I1]. В случае 'балки симметрич-
ного сечения, рассмотрением которого дш ограничиваемся
в дальнейшем, решение легко получить, (пользуясь энергетиче-
ским -критерием устойчивости. К потенциальной энергии вышучи-
вания балки следует добавить работу упругих связей:
i
О
гле k — коэффициент упругости непрерывно!! среды, заменяю-
щей связи (размерность— сила).
Условие потери устойчивости имеет вад [рри граничных усло-
виях (2.2)]:
* г, l t '
12 \I~ET~ dz =§EJ<» °"2 dz + \GJKr*dz +J*62rfz. (11.
/)
Рассмотрим случай чистого изгиба балки постоянного сече-
ния при постоянном значении k. Обозначая Мк = Ш, и -полагая
О = Л sin
ira
Мк достигается
получим:
Mf-PiDt + EJyk.
Отсюда следует, что наименьшее значение
при / = 1.
Найдем то значение k, ери котором Мк имеет то же значе-
ние, что и для балки 'без связей со свободной длиной —-. Для
этого надо составить уравнение:
PxD,-\-EJyk = PnDn>
решая которое найдем:
(п"—\)п!
Р
EJ„jr(n?+\)-[-GJK
(12.7)
-/-
и
I
Рис. 21
Предположим, что поперечные связи,
делящие пролет на п частей, осуществле-
ны в виде жестких распорок, соединяю-
щих две балки (рис. 21). Пусть Е1Ь —
жесткость распорки*, b — длина распорки.
Тогда, полагая реакцию связей равно-
/
мерно распределенной на длину —,
п
можно написать:
_2£7А«
R'^ ib •
№

Подставляя это выражение в (12.7), получим:
Л
тГ(п- +1) ^1 / , 1
4 * /а Л'"1" 2(1 -t- **)
(13.7)
где v— коэффициент поперечной деформации.
§ 8. ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОГО ИСКРИВЛЕНИЯ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ БАЛОК
Пункт 1. В реальных конструкциях неизбежны начальные
отклонения от точной 'геометрической формы. Еще до загруже-
нная балка >не является .плоской; следовательно, нельзя -говорить
об устойчивости плоской деформации. Вместо потери устойчи-
вости в виде разветвления форм равновесия здесь наблюдается
постепенный рост иашбно-крутильных деформаций ©плоть до
появления критического состояния, характеризуемого тем, что
нагрузка достигает максимума, т. е. дальнейшее увеличение де-
формации сопровождается падением нагрузки. Важно отметить,
что критическое состоящие возможно лишь при раз-витии неупру-
гих деформаций хотя бы на некоторых участках балки. Это
обстоятельство чрезвычайно затрудняет строгое исследование
вопроса и служит причиной того, что точного решения еще не
получено даже в простейших случаях.
В дальнейшем мы обойдем эти затруднения, применяя при-
ближенный метод решения, основанный на рассмотрении только
упругих деформаций. Для уяснения этого метода обратимся
к задаче о шецентренном сжатии стержня прямоугольного сече-
ния из идеального упруго-пластического материала.
Пусть о—напряжение от осевого сжаггия, л s •—краевое сжи-
мающее напряжение от изгиба, вычисленное в предположении
неограниченной упругости материала. Известно приближенное
выражение условия потери устойчивости:
|°+-р£т|=°т> <!-8)
представляющее обобщение предельного условия, предложен-
ного для изогнутого стержня, на случай внецентренного сжатия.
Уравнение (1.9) применимо и к сжато-изогнутым стержням, если
допустимо пренебречь влиянием касательных напряжений.
В этом случае условие потери устойчивости, принимает вид1:
max|a + ^r|=jT' <--8)
так как з и Аз .могут зависеть от г. Сравнение результатов вы-
числений по уравнению (1.8) с результатами точного решения
подтверждает достаточную их близость.
1 Здесь и далее символ max обозначает точную верхнюю границу
функций.
7*
99

Переходим, -к .рассмотрению задачи об устойчивости балки,
Если бы балка была .идеально плоской, то нагрузка меньше -кри-
тической, вызывала бы в поясах только нормальные напряжения,
равномерно распределенные по их ширине К Начальное 'искрив-
ление обусловливает появление дополнительных нормальных на-
пряжений от изгиба 'И кручения, изменяющихся линейно по ши-
рине .поясов. В результате один из -поясов работает на осевое
сжатие и изгиб, а другой — на осевое растяжение и изгиб. Огра-
ничиваясь случаем симметричного сечения, можно допустить, что
достижение сжато-изогнутым поясом критического состояния
равносильно исчерпанию работоспособности балки. Условием
потери устойчивости пояса служит уравнение (2.8), в котором
|Ла| = яА(У|+_£_Г[
где Ь — ширина пояса; и и 0 — перемещение и угол закручива-
ния,'возникающие при нагружении. С этими обозначениями усло-
вие (2.8) записывается так:
max
2
6"i =a.
(3.8'
Таким' образом, задача сводится к нахождению функций и {г)
и b(z).
П у ih :к т 2. Напишем 'основные уравнения для балки сим-
метричного сечения с шарниры о закрепленными .концами в слу-
чае приложения нагрузки к нейтральной оси.
£/Х-ш,(е + е0) = 0;
-.IV
Я/, б1 — GJJi" - Шх (и" + и,/') = 0.
(4.8
Здесь «о, fjo—компоненты начального искривления; и, 6 —при-
ращения компонентов1 деформации при натружении; >•—пара-
метр нагрузки. Исключая и из уравнений (4.8), получим:
EJab
IV
GJJJ"-
EJy
--):•
Мх2
EJV
К^+т^^'И- (5'8)
Дифференциальное уравнение (5.8) можно заменить неоднород-
ном и агр уженным интелральным уравнением с симметричным
ядром:
b(z)^)MK(z, s)
NEJV
Н (s) ds +
1 M2(s)
NEJV
_EJy_
\Mx{s)
■<(s)
ds,
(6.8)
тле N — единичная сила.
1 Как правило, можно также пренебречь изменением напряжений по
толщине пояса.
100

Пусть >м2, >Л, /Л.,... — собственные значения однородного <ии-
тегральното уравнения [получаемого-- опусканием второго -инте-
грала в правой части (6.8)], расположенные в порядке возраста-
ния: ух{г)уу2(г),у*{г)у... — соответствующие собственные функции,
образующие ортонормальную систему. Из теории интегральных
уравнений известно, что при выполнении некоторых условий от-
нооительно функций 0(t (z) и д^^ решение уравнения (6.8) раз-
лагается в абсолютно и (равномерно сходящийся ряд1:
в(г) = Ут^"* (7-8)
где
Подставляя (7.8) в первое из уравнений (4.8), найдем
<?i(z)dz. (8.8)
(9.8)
-'-'ТТ-1
Выражение (9.8) непосредственно подставляется © условие (3.8).
Функция G"(z) получается почленным дифференцированием ряда
(7.8). Таким образом, левая часть уравнения (3.8) становится
определенной функцией от z, и задача сводится к разысканию
ее верхней границы.
Пункт 3. Рассмотрим подробнее случай чистого изгиба
балки постоянного сечения. В этом случае чштеграл однородного
уравнения, получаемого из (5.8) опусканием правой части, вы-
ражается элемент арным и функциями1, а частное решение неодно-
родного уравнения может быть найдено квадратурами. Однако
при' некоторых видах функций Ь( (г) и uq(z) удобнее пользо-
ваться методом, изложенным в п. 2, например, в том случае,
когда гл. и и0 лредсшвимы при помощи малого числа собственных
функций <?,-. В дальнейшем применяется именно этот метод.
В случае чистого изгиба Мх есть произвольная постоянная
величина, которой -можно распорядиться так, чтобы было-
NEJV
Кроме того, можно положить
\MV=M
1 См. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. IV, гл. II, 1941.
Аналогичные условия сформулированы в гл. VII, § 16 применительно к рас-
сматриваемой там задаче.
101

понимая под М величину критического момента «при» учете на-
чального искривления. Заметим, что собственные функции одно-
родного уравнения даются выражением:
ЪЮ-У-Т^Т- (''=Ь2,...)
и предположим возможность представления ®0(г) и uo(z) равно-
мерно сходящимися рядами:
60(г) = £ Л/j/A sin ^ = V 0,W^ ,
сю во
Ио(г) = 25' V ~Г sin Т =2"/sinfT '
Z-1
Тогда из уравнения (7.8) .можно получить:
L / \ V ^ . 171Z
6 (г) = 2j ~~г™ sm
- v _ 1
I '
где
Р; =
PiPEJv
Г"
Для а"(г) получается выражение:
(10.8)
"W--S-.2
sin-
l
(П.8)
Внося выражения для и,"{г) и 6" (г) в уравнение (3.8), получим:
Pi „.
.-ту- + гпах —=
EJV
М
1=1
'-£ *-1
sm —р
+
ic sin
(12.8)
*/2
Входящие в уравнение (12.8) величины -^т можно заменить от-
ношениями:
^^07,(1+-
(13.8)
102

Наибольший практический «интерес представляет случай,
когда и0(г) и Мг) подобны первой собственной функции одно-
родного уравнения, иначе говоря, когда все и; и о,., кроме Ui и
б|, равны нулю. Таким образом, «i и G, обозначают соответ-
ственно стрелку начального прогиба и начальный угол закручи-
вания по середине пролета1. Левая часть уравнения (12.8) до-
стигнет максимума, если положить:
"-,>0, 6,<0, z=4~-
При этих предположениях и с обозначениями
Mh
2J*
X
где зк>(,— критическое напряжение, вычисленное .в предположе-
нии неограниченной упругости материала, уравнение (12.8) при-
нимает вид:
1
/"2"
bh_
/2
о*
к,е
"2Г
щ
— 1
+
+
тЛЕ
1 +
2з~
/г
-1
= ат»
(14.8)
где
Уравнение (14.8) позволяет по заданным величинам Oj и
-—находить а, а следовательно, и коэффициент, учитывающий
влияние начального искривления:
■а-з,
К, £
(16.8)
где 1J вычисляется по указаниям § 6, п. 3, если ?к.е>зпр.
Для нахождения значений to удобно задаться зависимостью
вида
] Величины щ и 0j здесь считаются независимыми. В случае (начального
искривления, совпадающего с формой потери устойчивости идеально плос-
кой балки, ii\ и Ьх связаны определенным соотношением (см. п. 5).
103

чтобы .привести задачу к случаю одного независимого аргумента
(ж\ и нескольких параметров. Ниже приведены графики (рис. 22,
23), построенные при
^=0,01, аг = 2,4 т;см>, ^ = 2,1 т/см\ £=2100 т/см\
<|> = 0,0001-?-0,0004, с = 0-М.
При вычислении ш принято !>= 1.
Рис. 22
Графики показывают, что при 6 > 0,0004 изменение с от О
до I сравнительно мало отражается на величине «>. Таким обра-
зом i начальное искривление оси балки опаснее, чем начальное
закручивание.
Пункт 4. Оценим влияние начального иокривления оси
балки, полагая
Уравнение (14.8) принимает вид;
тЪ-(Е
2/2
1 - *2£ !
(17.8)
-1
Для балки!, сваренной «з трех листов,
, _ 1 / Ь У' 1
/
б 6Л
где t, U —соответственно толщина стенки и пояса. Полагая
ht
bti
104

'получим
♦ —И-f)'- 08.8)
Задаваясь величинами ?, от, Е, -у , а и пользуясь уравнениями
Рис. 23
(15.8), (17.8), (18.8), можно найти со. В табл. 18 приведены
результаты подобных вычислений для стали маоки Ст. 3 (зт --
= 2,4 tjcm?, £ = 2 100 т/см2).
Таблица 18
Значения о. при --0,0015, ат=2,4 т\см\ £^2100 г1см2
Заметим, что влияние танецентренности1 .приложения .нагрузки
можно приближенно учесть соответствующим увеличением пара-
метров начального искривления (ср. с § 22 разд. III).
Пункт 5. До сих пор величины щ и ", считались 'незави-
симыми. Предположим теперь, что функции щ(г) и *к(г) отли-
чаются лишь постоянным множителем от функций и (?) и 0 (z),
105
ч 1
^v Ь
а ^-s.
1
16
32
15
0,89
0,94
0,97
20
0,82
0,92
0,95
25
0,71
0,89
0,93
30
0,79
0,8(У
0,87

описьшающих форму потери устойчивости идеально плоской
балки. В этом случае щ и ut связаны соотношением;
= — и
1мк
щ
h
УУ-* -h a
(19.8)
которое получается © результате интегрирования первого из
уравнений (4.8) при подстановке в него &0 = U и а Мх = Мк =
= const.
Удерживая в (12.8) по одному члену -каждого-ряда и внося
в это уравнение выражение (19.8), получим после некоторых
преобразований:
т*ЕЬ
2 J/ 2 /
1 +
V*2 +
В отличие от уравнения (17.8) отношение —— здесь ©ходит
в п е р.-в о й степени.
Полагая и\ = 0,001 / и пользуясь соотношением (18.8),
можно найти- из (20.8) значения о и вычислить величины щ
приведенные -в табл. 19.
Таблица 19
Значения ш при и^= 0,001 / [уравнение (20.8)1
"\ 1
\ ь
\,
\
« -\
1
16
32
15
0,85
0,91
0.93
20
0,78
0,89
0,91
2l.)
0,68
0,85
0,89
30
0,73
0,76
0,85
Табл. 19 следует пользоваться н тех случаях, когда наряду
с начальным прогибом существует начальное закручивание.
Следует отметить, что найденные значения to -меньше истин-
ных, так как (критическое состояние балки отождествлено с по
терей устойчивости сжатого пояса. В действительности, после ис-
черпания работоспособности сжатого пояса двутавровая балка
превращается в балку таврового сечения, которая способна еще
воспринять некоторое, хотя и незначительное, увеличение на-
грузки.

Раздел III
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНОК И ПОЯСНЫХ ЛИСТОВ
В БАЛКАХ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Основной целью данного раздела является приведение «мето-
дики поверки устойчивости стенок iii поясных листов! балок в со-
ответствие с принципами расчета по предельным состояниям.
Эта установка требует обоснования или уточнения'некоторых
важных моментов', связанных с разысканием критических нагру-
зок, которые либо недостаточно, либо совершенно не освещены
в литературе.
К 'числу таких .вопросов относится влияние на устойчивость
стенки упругого защемления ее продольных сторон вследствие
сопротивления поясов -кручению или изгибу. Как известно, дол-
гое время было принято рассчитывать стенки балок и колонн,
как свободно опертые пластинки. В действительности, контуры
отсеков стенки упруго защемлены. Игнорирование этого обстоя-
тельства приводит к значительному преуменьшению критиче-
ской нагрузки.
Устойчивость упруго защемленных пластинок изучена с до-
статочной для практических приложений полнотой лишь в про-
стейших случаях (внецентренное сжатие, чистый изгиб, чистый
сдвиг) [Li. Вместе с тем устойчивость при -комбинации несколь-
ких контурных нагрузок исследована совершенно недостаточно.
Эта задача рассматривается в гл. V.
Другим вопросом, относящимся к расчету упруго защемлен-
ных стенок, является оценка влияния нормальных напряжении
в поясах на степень защемления (§ 5). В существующих иссле-
дованиях этот вопрос не рассматривается.
Обычно размеры ребер жесткости подбираются так, чтобы
критическое напряжение пластинки, усиленной ребрами, было
не меньше, чем в пластинке, разрезанной вдоль ребер- л жестко
подпертой по линии разреза1. Возможны, однако, случаи,
когда неполное использование критического напряжения пла-
стинки, усиленной ребрами, позволяет значительно уменьшить
размеры ребер. Примером1 «может служить стенка, в которой по
1 Как правило, критическое напряжение ушлодной пластинки прини-
мается <ва 8—10% больше этой 'величины, чтобы 'компенсировать эффект
непрерывности стенки над ребром.
107

конструкт.И'В.нЫ'М соображениям сохраняется (постоянная тол
щина .в ряде панелей. Если эта толщина является расчетной
только © одной шанеле, то в остальных панелях размеры ребер
могут быть уменьшены. Такие ребра, которые три выпучивании
стенки выгибаются вместе с ней, в дальнейшем будем называть
упр у г и м и. Устойчивость пластинок, укрепленных упругими
ребрами, исследована тольш в простейшем случае равномерного
сжатия [2]. В гл. VI рассматриваются пластинки, укрепленные
упругими п р о д о льны iM и ребрами, подверженные чистому
изгибу, чистому сдвигу или комбинации этих напряженных со-
стояний. Ограничение исследования только -продольными реб-
рами объясняется тем, что только в этом случае экономический
эффект значителен.
Переход к методике расчета по предельным состояниям тре-
бует .максимального уточнения величины критической нагрузки.
Во воякам случае должны быть учтены все факторы, понижаю-
щие устойчивость. К числу их относятся начальное искривление
стенок и внецентренность действия сил.
Устойчивость пластинок, имеющих начальное искривление,
совершенно не подвергалась изучению. Приводимые в гл. VII
и VIII результаты являются лишь .первыми шагами в этой об-
ласти.
Перечисленные выше исследования нашли отражение в гл. V,
посвященной в основном практическим методам поверки устой-
чивости стенок и поясных листов балок.
Порядок изложения в- данном разделе следующий.
Вначале изучаются граничные поверхности (-комбинаций
контурных нагрузок) ори различных условиях закрепления краев
пластинки, и на этой основе дается методика поверки устойчи-
вости' отсеков стенки1 или их частей как пластинок с жестко
опертым контуром (гл. V).
Далее рассматриваются стенки, усиленные упругими реб-
ра-ми, отсеки которых не могут быть расчленены на отдельные
жестко спертые пластинки (гл. VI).
Главы VII и VIII отведены оценке влияния начального
искривления на устойчивость пластинок.
В соответствии с общей установкой данной книги в- ней
отсутствует подробное изложение вопросов, достаточно осве-
щенных ъ литературе. Поэтому от читателя этого раздела тре-
буется знакомство с Методами расчета пластинок на устойчи-
вость, хотя >бы в объеме гл. XI работы автора [1]. В особенности
это необходимо для чтения § 5—7, содержание (которых в значи-
тельной мере основано на> результатах, полученных в упомяну-
той (кни!ге (без приведения выводов, имеющихся в первоисточ-
нике).
108

Глава V
ПЛАСТИНКИ С ЖЕСТКО ОПЕРТЫМ КОНТУРОМ «
§ 2. ГРАНИЧНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ СВОБОДНО
ОПЕРТЫХ ПЛАСТИНОК
Пункт 1. В этО'М параграфе устанавливаются зависимости
между (Критическими значениями трех факторов1, каждый из ко-
торых в отдельности способен вызвать потерю устойчивости
прямоугольной пластинки. Как известно [1], геометрическими
образами таких зависимостей служат выпуклые поверхности,
а)
н
Рис 24
называемые «граничными поверхностями». Каждая граничная
поверхность делит пространство' на две части: область устойчи-
вости (между началом .координат и* поверхностью) и область
неустойчивости (вне поверхности).
Рассматриваются комбинации следующих факторов: 1) на-
грузки, вызывающей напряженное состояние с осью, параллель-
ной оси х\ 2) нагрузки, вызывающей состояние чистого сдвига;
3) нагрузки, вызывающей напряженное оостояниес осью, парал-
лельной оси у (рис. 24).
1 Под жестко опертым контуром понимается такой контур, «а котором
ссюду прогиб равен нулю (w = 0).
109

Критические значения этих факторов 1 характеризуются
тремя параметрами:
, _ зк № щ _ pKta?- а 256 тк tab
Для аппроксимирования формы выпучивания пластинки со-
ставляется ряд:
W-
2 Mi, (1-2)
*-1
где ^/ — функции непрерывные вместе с производными лер'Вого
порядка, имеющие кусочно-непрерывные производные второго
порядка .и удовлетворяющие (геометрическим граничным усло-
виям.
Приближения к (граничной поверхности получаются, если
в ряде (1.2) удерживать различное (возрастающее) чиао
членов.
В любом приближении потенциальная энерг я, накопляемая
при выпучивании пластинки, -выражается квадратичной формой
от переменных Л,-:
U = S At Лj (ay — kbu —rjCjJ — zdu),
элементы которой зависят от k, p, z линейно.
Приравнивая нулю дискриминант этой формы, получаем в
общем случае уравнение семейства выпуклых поверхностей
в координатах k, p, zt называемых характеристическими? поверх-
ностям.и. Совокупность ближайших к началу координат участков
этих поверхностей образует граничную' поверхность (в данном
приближении).
В случае свободно опертой пластинки для w принимается
тригонометрический ряд с двойным входом:
«~2 S^sini^ sin ^fL. (2.2)
Для составления аппроксимирующих функции члены ряда
(2.2) располагаются так, чтобы сумма р -f- q последовательно
равнялась 2, 3, 4 и т. -д. При p-\-q=*oonsi члены ряда также
нумеруются в каком-либо порядке. Таким образом, получается
ординарный рад (1.2), удерживая в .котором различное число
членов, можно вычислять приближения к граничной поверх-
ности.
1 В дальнейшем, говоря о факторах, мы будем иметь в виду как на-
грузки (или напряжения), так и соответствующие безразмерные параметры,
ПО

Обозначим через 'q, ^fj, pQ соответственно значения одного
фактора при отсутствии двух других. Вместо з0, т0, р0 можно
также рассматривать величины &<ъ р0? ^о» где
/?„ = /? при р = г = 0 и т. д.
Каждому та значений &о>р0> zo соответствует определяющая
его труппа членов ряда (2.2) и, следовательно, группа перемен-
шх Ai квадратичной формы. Введем обозначения:
Принимая s, и, v за координаты трехмерного пространства,
мы ограничимся рассмотрением того участка граничной поверх-
ности, который находится ,в положительном октанте системы
координат.
Пункт 2, Рассмотрим прямоугольную пластинку со сво-
бодно опертым контуром (см. рис. 24, а). К сторонам л;~0
ях=а приложена нагрузка, вызывающая напряжения
а, = а (1-а т|), (4.2)
где
у а — аи
а -_ а^ — разность краевых напряжений.
К стороне у = 0 приложена нагрузка pt, уравновешенная
нагрузкой, распределенной по срединной плоскости по такому
закону, что
^=-f"(l+COS1CTT]).
Кроме того, пластинка подвержена чистому сдвигу, т. е.:
В дальнейшем мы рассмотрим также другой случай загру-
жения, который отличается от первого тем, что в нем <зу=р,
т. е. равномерная нагрузка приложена к сторонам у = 0 и у = Ь
(рис. 24,6).
Обращаясь к первому из указанных случаев загружения,
напишем выражение для потенциальной энергии, накопленной
при выпучивании пластинки:
q a b ab
U= yiJ(v2 w)~dx dy — -%- J J (1 — a -q) wx2 dx dy —
0 0 ^00
- ^p? \ (1 + cos * vj) dxdy + *Kt] \ wx wy dx dy. (5.2)
0 0 00
111

Подставляя w из (2.2), получим с точностью до постоянного
множителя:
где r + s, m-\- p, n-\- q — нечетные числа.
Для отыскания граничной .поверхности приравнивается нулю
дискриминант этой формы, при написании которого мы ограни-
чиваемся переменными Лц, Л12, Л21, Л22, Л13, Л2з, Л3ь ^зг,
Лн, Л4Ь Л33, Л42, Л15 [см (7.2) на стр. 113].
Для того чтобы перейти к случаю равномерного сжатия
параллельно оси у
Ь = Р>
надо .во всех побочных элементах дискриминан а {7.2) положить
2 = 0 и в элементах главной диагонали принять для N}J выра-
жение:
Jf±№L_.,
и
{]~t)-J2z- (82)
Удерживая в 'Матрице (7.2) соответствующее число строк и
столбцов, можно найти выражения для граничной поверхности
в различных случаях, т. е. зависимости вида:
Подстановкой k = sk0, р — ир0У z =vz$ получим:
cj>(s, uy v) = 0. (<J.2)
Если разрешить уравнение (9.2) относительно s, то, вводя
обозначения
В — JL з - —
ri ~ s > >2 ~~ s '
можно- написать
*=/(&, ?.)• (Ю.2)
Ординаты граничных поверхностей при различных комбина-
циях контурных нагрузок приведены в работе .[1]. Здесь приво-
дятся лишь ординаты тех граничных поверхностей, которые не-
обходимы для сравнения с аналогичными поверхностями в слу-
чае заделки продольных краев пластинки (см. § 3, пп. 3, 4).
112

113

Укажем также некоторые приближенные аналитические 'вы-
ражения для граничных 'поверхностей, облегчающие их практи-
ческое применение.
В случае комбинации1 нагрузок, показанной на рис. 24а,
можно пользоваться уравнением, справедливым ори у < 0,95 и
положительных значениях всех переменных:
(5 + v)2 + U2 ~\- -тр 52 И2 + -v uv 5" S2 И'У = 1. (11.2)
При \х "> 0,95 граничная поверхность будет более выпуклой
чем то» следует из уравнения (11.2). Полагая в этом у авиении1
равной нулю одну из переменных, получим зависимость, связы-
вающую две другие переменные (граничную кривую).
Для практического расчета можно рекомендовать 'более про-
стое уравнение:
(5 f vf + и* + -g- su = 1. (12,2)
Это уравнение дает достаточную для практических целей точ-
ность (порядка 3%), если только s не мало по сравнению
с прочими переменными. При 5 = 0 погрешность может достиг-
нуть 10%, поэтому следует пользоваться уравнением
., , » , 1 ,
v -t-н-- +—uv= 1,
являющимся частным случаем уравнения (11.2).
В случае комбинации- нагрузок, показанной на рис. 246',
можно пользоваться уравнением
»*+s+0=l, (13.2)
дающим при у = 1 практически точные значения ординат гра
ничной поверхности в пределах положительного октанта системы
координат. Для пластинок, отличных от квадратной, граничные
поверхности обладают большей выпуклостью.
В отношении .граничных поверхностей (кривых) при иных
значениях у и других комбинациях контурных наитрузок отсы-
лаем читателя к работе [1].
§ 3. ПЛАСТИНКА, СТОРОНЫ КОТОРОЙ у^О и у = Ь ЗАДЕЛАНЫ,
А СТОРОНЫ х - 0 и х = а СВОБОДНО ОПЕРТ
Пункт 1. В предыдущем параграфе рассматривалось по-
строение граничных поверхностей для пластинок со свободно'
опертым контуром. Поскольку стенки, стальных балок упруго
защемлены в поясах, необходимо выяснить, как изменятся при
этом соотношения, полученные для свободно' опертых пласти-
нок. Для приближенного решения подобной задачи необходимо
114

предварительно рассмотреть .предельный случай упругого за-
щемления —полную заделку сторон у = 0 и у = Ь.
Устойчивость пластинок с двумя заделанными сторонами
зри сложном напряженном, состоянии почти не подвергалась
изучению. Некоторые частные результаты приведены © работе
Л]. Здесь эта задача' рассматривается значительно «подробнее.
Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 25), стороны ко-
торой х == 0 и х = а свободно оперты, а стороны! у = 0 <и у = Ь
Рис. 25
жестко заделаны. Пластинка подвержена напряженному состоя-
нию, которое описывается уравнениями:
-£-(1 4- cos- т|),
(1.3)
jry
Упругая поверхность выпучившейся пластинки разыскивается
виде
где
^=2 Л ffl/ sin /л ^ 5 • Уу (tj) ,
/77, у = 1
>^/-1 =1 ™ COS 2^^; 1
К2; = COS TTY) — COS (21 л- 1) я 7]. I
(2.3)
(3.3)
Нетрудно убедиться, что любая функция Уу удовлетворяет
условиям:
Yj = Г/ - 0 при г, = О и т) = 1. (4.3)
115

Вое графики функций с йечетншга -индексами симметричны,
а функций с четными индексами—антисимметричны относительно
прямой Ti = -j. Функция Y-x -i(*'f) обращается в нуль i—1 раз,
а функция Yri (q)— 2/—1 раз внутри интервала [0,1].
Можно показать, что функции Yj (j — 1, 2,...) образуют в ин-
тервале [0,1] полную систему в смысле среднего кв-адратического
уклонения К Для этого рассмотрим систему
1 — cos 2тгг|, cos 2~г — cos 4-yj, cos 4tcy, — cos 6ttyj, ... )
(5.3)
COS TCY| — COS 3 rryj, COS Зщ — COS 57TY], COS 5?cy; — COs7tty] ,. . . j
полноту которой доказал М. М. Ф.илонешко-Бородач [3]. Каждая
из функций системъг (5.3) представляется линейной комбина-
цией конечного числа членов системы (3.3), чем и доказывается
л олн от а последней.
Как известно, система |sin т ~;} полна в интервале [0,1],
Таким образом, членами ряда (2.3) являются троиаведеш
функций двух полных систем. Важно установить, образует ли
множество всех членов этого ряда полную1 систему в» области
0<с, т]<1. Ввиду частого употребления подобных систем в ре-
шениях технических задач приведем доказательство в общем
виде для двух систем линейно-независимых функций.
Без ограничения общности можно считать каждую систему
ортонормальнюй (иначе мы подвергли бы их 'Процессу ортогона-
лизации и нормирования [4]).
Достаточно' (Провести доказательство для любой непрерывной
функции /(£, ti) в области 0<?,*у]<1. Рассматривая ?,, как пара-
метр, и пользуясь полнотой системы {Х/с)}, можно написать:
}/*(«, 1)^ = 2^(4), (б.з)
О * = 1
1
где Ai (vj) = ]*/('» Yj)^/(')^— непрерывная функция от \
о
Левая часть уравнения (6.3) также представляет собой не-
прерывную функцию от У{. В силу теоремы Дини [4] ряд положи-
тельных непрерывных функций, сходящийся к непрерывной
1 Систе-йъа [Yj{yi)\ называется полной в интервале [0,1], если для любой
функции /(^,) с 'Интегрируемым -квадратам
1 р
Ит [ [/ (ъ) - 2 A(f УМ)]* dr> = ° »РИ Р ~» °°«
о у-1
где коэффициенты A[f сообщают «минимум рассматриваемом интелралу.
Как говорят, в этом случае Дт]) -можно представить в среднем горш помощи
системы [Yj] .
116

функций, сходятся равномерно, поэтому правую часть (6.3)
можно (интегрировать почленно:
0 0 /-10
Пользуясь полнотой системы {У/^)}, можно написать:
\Ar^)dfi = ±Al, (8.3)
и j-л
где
Внося правую часть (8.3) в уравнение (7.3), получим:
б 0 i=1/-l
Это равенство доказывает полноту рассматриваемой системы.
Для разыскания собственных значений мы будем пользо-
ваться методом Ритца. Сходимость процесса будет обеспечена,
если функция w и все ее производные, входящие в выражение
для (потенциальной энергии, будут представимы в> среднем 1 при
помощи системы {Xi($) Yj{r()\ и систем соответствующих про-
изводных. Поскольку в функциях рассматриваемой системы пе-
ременные разделены, это условие удовлетворяется, если полны
системы {-*,"(&)} и {Уу<т,)|.
Следует отметить, что при граничных условиях (2.3) требо-
вание в отношении второй системы садятчается: она должна быть
полной при добавлении функций У0"=1 и }"' = 7). Для функций
ряда (2.3) полнота системы {Х[; ($)) очевидна. Что касается
системы | Yj'(r\)}, которую можно записать в виде:
cos 2 л?], cos 4 тст], cos 61С7],.. .
cos ttyj — 32 cos 3tz% cos щ — 52 cos 5щ, ...
то она становится полной при добавлении функций У0" = I и
Г=-/)*. Таким образом, задание w в виде ряда (2.3) обеспечи-
вает сходимость процесса Ритца.
1 Огороде ленве представимости ib среднем дано в подстрочиом примеча-
нии <на стр. 116. Следует чюдчернуть, что три ограничении класса допу-
стимых функций требованиями, вытекаю-щим'И (из граничных условий, пред-
ставимость в среднем ,не обязательно предполагает полноту ашцроюовдщрую-
щей системы. Подробнее об этом ом. [5] я [1].
♦Доказательство аналогично данному М. М. Филоненко-Бородичем
для предложенной им системы [3].
II/

Пункт 2. Подставляя (2.3) в выражение для потенциаль-
ной энергии (5.2), получим с точностью до постоянного множи-
теля следующую квадратичную форму:
Здесь:
Ниже приведена матрица коэффициентов этой формы при
удержании: десяти переменных: Ли, А^, А2и Л22, Л13, Л3),
Л14, Л23, Л32, Л33 [см. матрицу (10.3)].
118
Я, Я\> Яч— нечетные числа;
я, пи п2 — четные числа;
т-\- р — нечетное число;

119

120

Если рассматривать напряженное состояние (рис. 246), ха-
рактеризуемое уравнениями
з.г = С5; °у=Р', ^л-у = т> (П.З)
то в матрице (10,3) надо всюду положить и = 0;< в элементах
главной диагонали следует заменить ~--на z, а в» побочных эле-
ментах положить z = 0, за исключением элементов, 'принадле-
жащих произведениям вида АтП1АтПа, в которых также делается
замена — на г. Приходим к матрице коэффициентов квадратич-
ной формы (12.3) (стр. 120).
Пункт 3. Рассмотрим (несколько частных случаев напря-
женного состояния, описываемого уравнениями (1.3). В первую
очередь рассмотрим комбинацию чистого изгиба с чистым сдви-
гом для пластинок с отношением сторон у. = 0,5 и ц — у .
Критические .напряжения вычислены при помощи определи-
телей девятого и десятого порядка, получаемых из матрицы
(10.3). Результаты приведены в табл. 20; там же указаны со-
ответствующие зн ачения для свободно опертой п л а стайки.
Результаты для пластинки с отношением ц = -у (заделанные
продольные края) сопоставляются с данными для свободно
опертой пластинки при ^ = 0,95, так как в обоих случаях гра-
ничные поверхности обладают наименьшей возможной выпук-
лостью.
Таблица 20
*х = <* О — 2vj), sxy « т, Oj, = 0
Iх
ные к{
аделан
со
Свободн
тый к
Порядок
опреде-
лителя
9
10
о опер-
онтур
1/2
Значения s r
Pi - 0,5
0,888
0,897
0,880
1,0
0,687
0,700
0,680
FpH
2,0
0,431
0,440
0,425
2/3
Значения 5 при
Pi = 0,5
0,863
0,870
0,843*
1,0
0,674
0,684
0,669*
2,0
1
0,431
0,439
0,435*
* При j* = 0,95.
12]

При удержании в квадратичной форме только трех перемен-
ных Ахи Л12, Л22 (или А2\) граничной кривой будет окружность
sM-и2 -1, (13.3)
что совпадает с аналогичным решением для свободно опертой
пластинки \
Табл. 20 ^показывает, что полное защемление краев- приво-
дит к небольшому увеличению выпуклости граничной .кривой.
Рассмотрим случай отсутствия касательных 'Напряжений
Компоненты напряженного состояния:
о, = з(1 -2т]), 3j,= 4j-(l + COS iCTi).
В матрице (10.3) удерживаются только элементы, отвечающие
переменным Ац, Л12, Л13, Ац. Рассматриваются пластинки с от-
2
ношением сторон »ь = 0,5 и !г = "о- • Результаты приведения
в табл. 21.
Таблица 21
р
5д. = а (1 — 2tj), jv = -^ - (1 + cos TCTi)> \ху = °
6'
I1
?i !
Заделанные
продольные
края
Свободно
опертый
контур
1/2
1
0,513
0,520
0,5
0,671
j
2/3
1
0,503
0,503*
-:: При \х « 0,95.
В обоих случаях -граничные кривые близки к прямой
s -f v = 1.
В случае, к<ща <*.v = 0, °> = "f" (1 + cos tctj) , xvy = т, были вы-
числены значения v при— =1 для двух пластинок |t= -
t- \ 3
и jA = 0,9)], окаваешиеся равными 0,654 и 0,635, что отличается
1 Можно показать, что уравнение (13.3) справедливо и в случае упру-
гого зящ'вмлтия 'Продольных >к;равв пластинки.
1?2

менее чем на 1 % от соответствующих величин для свободно
опертой пластинки.
Напряженное состояние, описываемое уравнениями (1.3),
изучено на пластинках, с отношениями сторону=0,5 и у =-г-.
Результаты сравнены с данными для свободно опертых пласти-
нок. Пластинке с двумя заделанными сторонами при и =_-от-
о
вечает граничная поверхность наименьшей выпуклости; по этим
соображениям она сравнивается со свободно опертой пластин-
кой при \х == 0,95. Результаты, вычисленные из определителя
десятого порядка, приведены в табл. 22, 23.
Таблица 22
р
ах = а (1 — 2т,), Gy = -у- О + cos Щ)> zxy =*T
0,5
1,0
2,0
S
Рз
Заделан-
ные про-
дольные
края
Свобод-
но опер-
тый кон-
тур
0,5
0,643
0,639
1,0
0,493
0,5
0,557
—
1,0
0,460
0,447
2,0
0,323
„
1.0
0,347
2,0
0,279
0,274
Расхождение в величине s для обоих случаев закрепления
краев пластааки не превышает 3%.
Пункт 4. Рассмотрим -пластинку при jt = 0,9, напряженное
состояние которой в общем случае выражается уравнениями:
Злг=^0» ау=Р'» Vv = '
[14.3)
Начнем с частного случая, когда з> = 0. Значения s вычис-
лены из определителя десятого порядка [ом. матрицу (12.3)].
Результаты даны в: табл. 24, где они сравниваются с соответ-
ствующими значениями! для свободно опертой пластинки.
Сопоставление результатов для двух случаев закрепления
краев показывает, что расхождение всюду менее 0,5%.
<№

Т а 6 л и ц а 23
Р
~Х = '(1 2tQ), Jy — -^— ( I -|- COS 717]), tVJ/ ~ T
JX ; 2/3
■—-
Л'
Pi
?a
Заделан-
ные про-
дольные
края
Свобод-
но опер-
тый KOH-
Typl
0,5
0,633
0,628
0,5
1,0
0,487
0,5
0,550
0,545
1,0
,0 |
0,444
0,440
2,0
0,319
0,31 1
2,0
1,0
0,343
0,338
2,0
0,271
0,266
i При р.- 0,95,
Т а 6 л и ц а 24
<3Х = St Zxy — Т, Qy = 0 ([X = 0,9)
Pi
Л'
Заде-
ланные
про-
дольные
края
Свобод-
но опер-
тый кон-
тур
0,2
0,964
0,963
0,3 \ 0,4
1
1
0,927 1 0,880
0,5
0,831
0,6
0,783
—
0,7 0,8
1
0,738
0,735
0,696
_.
0,9
0,656
1,0
0,619
0,618
2,0
0,391
0,389
Рассмотрим случай сжатия в двух направлениях (тгу=0).
Удерживая в матрице (12.3) элементы, отвечающие переменным
^п, А\ъ Л]з, Аи, найдем при р = 0,9:
ра= 0,5 1,0 2,0
s - 0,673 0,505 0,337
Эти значения близии к получаемым ш выражения:
чему соответствует прямая
5 + Ф= 1 . (16,3)

В случае свободно опертого контура уравнение (16.3) является
точным.
Переходам к рассмотрению общего случая, описываемого
уравнениями (14.3). При использовании определителя десятого
порядка были 'вычислены следующие значения s (табл. 25).
Таблица 25
qx = а, оу = р, хху = х (;л = 0,9)
Pi = £з
5
0,5
0,615
1,0
0,416
2,0
0,251
В свободно опертой пластинке при^ —£2~1 было получено
5=1=0,415, что почти совпадает с найденным выше значением.
Пункт 5. В пп. 3, 4 ординаты граничных поверхностей
(кривых) дл<я пластинок с заделаннымисторонами! у = 0 м у = b
сравниваются с аналогичными величинами для свободно опер-
тых пластинок. Расхождения сравниваемых значений не превы-
шают 3—4%, причем1 заделка, как правило, увеличивает вы-
пуклость опрамичных поверхностей.
Замечая, что граничные поверхности для различных значе-
ний [J* сравнительно1 мало разнятся между собой, можно соста-
вить общее Ир иближенное ур авнение гр аничеой поверхности
при данной комбинации нагрузок. Так, для напряженного со-
стояния, описываемого уравнениями (1.3), можно написать:
(s + v)2 + u* + — uv -2s£uv = \ . (17.3)
Для напряженного состояния (14.3) сохраняется уравнение
(13.2).
Зная ординаты пряничных поверхностей для двух указанных
выше случаев, можно было бы найти соответствующие значения
ординат для случая упругого-защемления сторон у^0 и «/ = &*.
Однако надобность в этом отпадает, т&к как можно доказать,
что ордин ата гр аничной поверхности, р асом атрив аем ая, как
функция коэффициента упругости защемления, изменяется
монотонно; следовательно, искомая граничная поверхность за-
ключается между поверхностями для свободно опертой пла-
стинки и пластинки с двумя заделанными и двумя свободно
опертыми сторонами. Учитывая незначительное расхождение
между этими предельными поверхностями, можно прийти к прак-
тически важному выводу, что во всех случаях допустимо поль-
зоваться граничными.поверхностями для свободно опертых пла-
стинок. Получаемая таким 'Образом небольшая погрешность в
большинстве случаев будет в пользу устойчивости.
* Это можно сделать, например, методом, указанным в (работе [1] гл. VII.
125

§4. ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Пункт 1. Начало выпучивания идеально плоской стенки не
означает (исчерпания ее работоспособности. После потери устой-
чивости стенка способна еще воспринять увеличение нагрузки
там большее, чем больше отношение высоты стенки ik толщине.
Это объясняется тем, что контур отсека стенки (или хотя бы
часть его) не может свободно деформироваться в своей пло-
скости, что приводит к перераспределению и росту контурной
нагрузки.
В 'Соответствии с принципами расчета по предельному со-
стоянию необходимо стремиться к максимальному уточнению
величины (критической нагрузки, в частности, учитывать влия-
ние начального искривления и внецентренности приложения
сил. Последний фактор* может быть учтен соответствующим
увеличением стрелки начального прогиба; поэтому в дальней-
шем .будем говорить только о начальном искривлении, предпо-
лагая контур пластинки плоским.
Критическое состояние идеально плоской пластинки есть раз-
ветвление форм равновесия. Критическое состояние искривлен-
ной пластинки — это достижение максимума нагрузки. Вели-
чину этого максимума условимся называть предельной нагрузкой,
Устойчивость искривленной стенки существенно зависит от
условий деформации контура пластинки в его плоскости. Если
стороны пластинки остаются прямолинейными, то, как показано
в гл. VIII, при) достаточно большом отношении1 высоты к тол-
щине (— ] предельная нагрузка искривленной пластинки пре-
восходит критическую нагрузку плоской пластинки. С уменьше-
нием предельная нагрузка убывает, оставаясь все же близ-
кой -к критической нагрузке.
Другая картина получается для пластинки со свободно де-
формирующимися кромками. В этом случае предельная на-
грузка искривленной пластинки всегда .меньше критической на-
грузки плоской пластинки.
Условимся представлять предельную нагрузку в .виде произ-
ведения величины критической нагрузки плоской пластинки на
коэффициент «>.
В гл. VII, VIII дан метод вычисления величины»). В § 23
приведены значения ш, рекомендуемые для практических расче-
тов. В основу этих рекомендаций положено разделение балок
на две категории: а) балки, верхний пояс которых на всем про-
тяжении подвергается воздействию подвижной сосредоточенной
нагрузки (подкрановые балки, фермы крановых мостов, про-
дольные балки проезжей части мостов и т. п.), б) балки, несу-
щие узловую ! или статическую нагрузку.
1 Здесь иапр!уака называется узловой, если она передается на балку
толькЪ в -местах 'расположения ребер жесткости.
126

Для балок первой -категории предельная нагрузка разыски-
вается в предположении свободной деформации кромок, т. е.
при значениях ю <^ 1. Это допущение несколько преуменьшает
предельную нагрузку, так как в действительности деформация
части контура исключена. Однако возможность деформации на-
груженной кромки и связанная с этим опасность значительного
изгиба верхнего (пояса говорят в пользу сделанного допущения.
Для балок (второй категории возможны более высокие зна-
чения <о. Практически рекомендуется принимать ш=1, т. е.
приравнивать предельную нагрузку критической нагрузке пло-
ской стенки (случай, когда допустимо принимать о>5> 1, здесь
не рассматриваются).
В отличие от «потери устойчивости стенки выпучивание пояс-
ною листа со свободными свесами быстро влечет за собой
исчерпание работоспособности всей балки1; поэтому превышение
критического напряжения в поясах не может быть допущено.
Как правило, критическое напряжение должно равняться пре-
делу текучести. Исключение возможно лишь в случае значи-
тельного недоиспользования несущей способности балки по
прочности.
Что (касается учета начального искривления, то обычно в ре-
зультате коробления поясных листов при сварке они1 принимают
форму 'цилиндрической поверхности (за исключением неболь-
ших участков ©близи ребер жесткости, если- последние прива-
рены к поясу). Такое искривление мало отражается на вели^
чине критического напряжения, поэтому можно принимать
©=1.
Пункт 2. Для целей практического расчета уравнения гра-
ничных поверхностей должны быть преобразованы. Сущность
этого преобразования проще всего выяснить на примере пла-
стинки, подверженной равномерному сжатию в направлении
оси х.
Пус ь т0 — нормативный коэффициент условий работы,
<о — коэффициент, характеризующий влияние начального искрив-
ления. Расчетное напряжение а, вычисленное с учетом соответ-
ствующих коэффициентов перегрузки, должно удовлетворять
неравенству:
о <т0о>о0, (1.4)
где с0— -критическое напряжение плоской пластинки.
В общем случае уравнение граничной поверхности для пло-
ской пластинки имеет вид:
/(-"*-, -&£-, -^-)=1. (2.4)
Полагая, что расчетные напряжения достигли критических зна-
чений, подставим в уравнение (2.4) а, />, -: вместо <зк, рКУ тк. Учи-
тывая начальное искривление, умножим на со величины а0 ,/?0 ,т0.
127

Вообще говоря, ш зависит от соотношения между напряжениями
з, р, т, но' этим обстоятельством будем пренебрегать и считать со
постоянной величиной. Наконец, введем коэффициент условий
работы т, оставляя его> величину неопределенной.
Уравнение (2.4) перепишется так:
/М—. ~^> —) = !• (3-4)
\ тша,) mwjf?0 ma)Tn /
Из этого уравнения можно определить т и сравнить его с нор-
мативным значением; при этом должно выполняться неравенствос
т < т0. (4.4)
Если / есть однородная функция степени цл то из уравнения
(3,4) можно найтв:
*.= f/(-L, JL, JLf,
L \ ^o Pa *o /J
после чего неравенство (4.4) примет вид:
[/(-, ■*-, -)V <>n*«. (5.4)
L \ *о Pa t0 /J
Все сказанное выше справедливо, если интенсивность напря-
жений -ни в одной точке пластинки не превосходит предела
пропорциональности. В противном случае необходимо- вводить
поправку в найденную величину т. Метод вычисления этой по-
правки будет указан ниже при рассмотрении конкретных слу-
чаев натружения пластинки.
Пункт 3. При построении граничных поверхностей комби-
нируют схематизированные напряженные состояния: чистый из-
гиб, чистый сдвиг, напряженное состояние, в котором
^-|-(l+cosir4). (6.4)
В реальных конструкциях приходится иметь дело с более
сложными напряженными состояниями; поэтому переход от
теоретических исследований к практической поверке устойчи-
вости должен сопровождаться какой-то схематизацией действи-
тельного напряженного состояния.
Прежде чем указать какой-либо способ схематизации, сле-
дует дать определение отсека, стенки. Предполагается, что все
ребра жесткости либо являются негнущимися, либо размеры их
таковы, что действительные (Критические напряжения (вычис-
ленные с учетом изгиба ребер) будут больше, чем в стенке, раз-
резанной по оси .каждого ребра ад жестко подпертой по линии
р азреза. Отступления от этого пр авил а рассм атриваются
в гл. VI.
128

Назовем отсеком участок стенки, ограниченный поясами и
двумя смежными поперечными ребрами (рис. 26). Длина одной
из сторон отсека определяется расстоянием между осями ребер
жесткости; длина другой стороны в сварных балках равна пол-
ной высоте стенки, в клепаных балках — расстоянию между
расчетными1 границами утолщенных участков1.
При наличии продольных ребер жесткости будем считать, что
отсек разделен этими ребрами на отдельные пластинки.
Принимаем следующую схему напряженного состояния.
1. Изгибающий момент принимается постоянным по длине
отсека и равным:
Рис. 26
а) при отсутствии продольных ребер — среднему моменту
в пределах отсека, если1 длина последнего меньше высоты, и
среднему моменту на длине, равной высоте стен.ки (в наиболее
напряженной части отсека), если длина отсека превышает его
высоту;
б) при наличии одного или нескольких продольных ребер —
среднему моменту на длине, равной высоте пластинки, заклю-
ченной между сжатым поясом и ребром (в наиболее напряжен-
ной части отсека) 2.
2. Касательные напряжения принимаются одинаковыми во
всех точках одной пластинки и равными среднему (интеграль-
ному) значению1 этих напряжений в пределах этой пластинки.
Таким образом, при отсутствии продольных ребер в сварных
балках расчетное касательное напряжение принимается равным
где Q — среднее значение поперечной силы в пределах отсека;
h—полная высота стенки.
1 Расчетная граница утолщения проходит по удаленному от обушка
краю ааклелочной головки (крайней риски поясного уголка яли ламели.
2 Если момент может изменять знак в пределах отсека, то следует »ы"
числять расчетные моменты обоих знаков. Для каждой из пластинок, обра-
зующих отсек, 'Принимается невьггодаейшее значение -момента.
9 Б. М. Броуде
129

Если в клепаных балках без продольных ребер —> 0,85, то
/>
для определения т можно пользоваться формулой (7.4).
3. В клепаных конструкциях вое напряжения 'относятся к се-
чению брутто (без вычета заклепочных отверстий).
§ 5. БАЛОЧНАЯ СТЕНКА, УКРЕПЛЕННАЯ ТОЛЬКО
ПОПЕРЕЧНЫМИ РЕБРАМИ»
Пункт 1. Выделим отсек стенки, заключенный -между
поясами и соседними поперечными ребрами жесткости, и будем
рассматривать е-го, как самостоятельную пластинку (рис. 27).
Рис. 27
Расчетные размеры пластинки принимаются по указаниям § 4.
Рассмотрим случай чистого изгиба.
Пусть з и а0 — соответственно расчетное и критическое на-
пряжение у края пластинки (т. е. на расстоянии — от оси
балки). Общее выражение для о0 имеет вид (для стали при
£ = 2 100 т/см\ v = 0,3):
с0 = 0,19ХА
100/
Ут/см2
(1.5)
где k соответствует свободно опертой пластинке.
Если не рассматривать малые значения р-(у <С 0,5), то
можно без большой погрешности заменить су, его наименьшим
значением, что дает некоторый затас устойчивости.
Пункт 2. Коэффициент х учитывает влияние защемления
продольных сторон стенки. Для сварных одаостенчатых балок
обычного типа, составленных из трех листов* х &сть 'функция от
коэффициента у> характеризующего сопротивление поясного
листа кручению.
1 Содержание этого параграфа, за исключением п. 2, базируется аа
боте автора [1].
130

Пусть GJK—жесткость пояса при кручении, N— усилие
в поясе в момент начала выпучивания стенки, N0— критическая
величина усилия н поясе лричисто крутильной форме
потери устойчивости. Тогда эффективная жесткость при круче-
нии пояса, подверженного осевому усилию N, будет
Щ=ОЦ1--^-), (2.5)
а коэффициент "\ выразится так:
т-т?~ёЧ'-£)- <35>
В справедливости формулы (3.5) лелко убедиться, если заме-
тить, что углы .поворота сечений возрастают при наличии сжи-
мающей осевой силы в отношении
то равносильно умножению жесткости С/к на ср.
Важно отметить, что модуль сдвига G сохраняет постоянное
значение независимо от величины нормального напряжения
в поясе. Это следует из того, что пояс балки находится в усло-
виях сложного натружен и я, приводящего к анизотро-
пии материала за пределом упругости (см. гл. IV, § 6, п. 1).
Таким образом, несмотря на то, что нормальные напряжения
в поясе могут превосходить «предел пропорциональности, G со-
храняет ту же величину, что и в упругой области.
Вместо —у- можно (ввести отношение напряжений -^- , где
оп—напряжение в поясе и ort==4G / — ] ; здесь 60, U — соответ-
ственно ширина и толщина поясного листа.
Для оценки величины <р заметим, что ап, очевидно, не пре-
восходит расчетного сопротивления (материала /?; поэтому ниж-
ней границей для ? будет
Y Е 2 \ to )
Полагая в этой формуле — =0,001 (для стали марки Ст.З),
Е
v = 0,3, получим:
? =1» 0,00065 (-Y. (4.5)
Ниже приведены значения ср, вычисленные по формуле
(4.5):
-£а-= 10 15 20 25 30
?= 0,94 0,85 0,74 0,59 0,42
9*
Lit

Для стали марки НЛ2 получаются более низкие значения ср.
Пользуясь .формулой
9 = 1 -0,0009 ( •*-)\
\ * о /
найдем значения ср.
-^- = 10 15 20 25
'о
ср = 0,91 0,80 0,64 0,44
Полученные результаты показывают, что <f быстро умень-
шается при —- > 20; поэтому следует избегать применения
тонких поясных листов /—— >25), если нет особых условий, спо-
собствующих повышению сопротивления -пояса кручению. К числу
таких условий относится, например, наличие подкранового
рельса, скрепленного со сжатым поясом. Каков бы ни был спо-
соб скрепления — приварка или болтовое соединение, можно
считать, что участие рельса в работе на> кручение покрывает
уменьшение жесткости пояса и, следовательно, позволяет при-
нимать ср=1. Разумеется, в случае приварки рельса швами,
обеспечивающими его совместную работу с балкой, можно итти
дальше и суммировать моменты инерции! рельса и пояса. Дру-
гим благоприятным случаем является наличие плиты, лежащей
на сжатом поясе балки. При этом в зависимости от способа (ти-
рания плиты можно принимать ? от 1 до со.
Если пояс растянут, то, очевидно, /V < 0 irf > 1. Учет этого
обстоятельства уместен только при определении критических
касательных напряжений и отчасти в случае напряженного со-
стояния (6.4). При чистом изгибе защемление растянутого края
стенки мало влияет на величину критических напряжений и мо-
жет быть игнорировано.
Пункт 3. Преобразуем выражение (3.5). Замечая, что
/ — — Ь t *
получим:
T = 2(l-v)-&-.(-&-)%, (5.5)
где
Как 6ьию указано выше, если сжатый пояс скреплен с подкра-
новым рельсом или несет монолитную плиту, можно полагать
В табл. 26 приведены значения х> отвечающие наименьшему
критическому напряжению.
132

Таблица 26
Значения х ПРИ чистом изгибе
Y
1
0,25
1,21
0.5
1,33
1,0
1,46
2,0
1,55
4,0
1,60
10,0
1,63
00
1,65
Умножая на х значение ктт для свободно опертой пластин-
ки, равное 23,88, получим наименьшее значение k для
упруго защемленной пластинки. Для того чтобы получить зна-
чения k iB функции от |а (а не только наименьшее значение),
следует обратиться к табл. 27, !взятой из (1].
Таблица 27
Значения k при а = 2
^^^--^ ^
0
0,25
0,5
1,0
2,0
4,0
10,0
оо
0,4
29,11
34,05
36,04
37,79
39,03
39,80
40,32
40,70
0,5
25,56
30,45
32,83
35,17
37,01
38,24
39,10
39,74
0,6
24,13
29,11
31,90
34,92
37,52
39,35
40,72
41,77
0,7
23,91
29,00
32,17
35,91
39,41
42,06
42,68
42,99
Как видом, при чистом изгибе эффект защемления продоль-
ных сторон станки сварной балки довольно значителен и приво-
дит к уменьшению толщины стенки на 12—20%.
В жлепаных балках следует учитывать наличие утолщенных
участков вдоль краев стенки вследствие склепывания ее с пояс-
ными уголками или ламелями. Установлено [1], что влияние
утолщений эквивалентно уменьшению расчетной высоты стенки
и наличию некоторого защемления вдоль расчетной границы
утолщений. Таким образом, для определения о0 остается в силе
формула (1.5). Ограничиваясь определением наименьшего зна-
чения з0, мы будем подставлять в (1.5) k = 23,88.
Величина х зависит от —— (рис. 27) и отношения расчетной
ширины утолщенного участка к полной высоте стенки; послед-
нее отношение обозначается через >/. Величина х колеблется
в довольно широких пределах; однако если исключить из рас-
смотрения широкие ламели и пренебречь их частями, высту-
пающими из под полок уголков, то отношение —J- будет не
меньше 3-^3,5 (при отсутствии лам ел ей) и—1-= 4,5: 5 (при на-
133

/l 1
лишни ламелей). Тогда при -J— = 3,5 и >/< — можно принять
t 7
(с преуменьшением) х = Ь4.
Все сказанное до сих лор касалось случая чистого изгиба.
Пр>и наличии касательных напряжений их критическое значение
можно определять по формуле:
т0 = 0,19хг ——) тли-,
где г—собственное значение для свободно опертой пластинки,
зависящее от ц..
d —меньшая ив величин а и Ь.
Значения г приведены в табл. 28.
Таблица 28
Значения критических касательных напряжений
и-
1,0
9,34
1,2
7,96
1,4
7,28
1,6 1,8
6,90
6,63
2,0
6,47
2,5
6,20
3,0
6,04
Для практических целей удобнее всего пользоваться эмпи-
рической формулой, дающей величину критического напряже-
ния в свободно опертой лластинке:
— п ш / 100/ \2 1л пп i 0J6 \ / 100* \2 ., , к
т° ' (~7~) ~ ( '02 + ~~^~~)(—7") Т1СМ~* ^
где f*. = —>1, rf—меньшая из сторон пластинки. Если ^ <Ч,
то в формулу (7.5) [подставляется — , вместо н- .
и.
Коэффициент х, учитывающий влияние упругого защемле-
ния продольных сторон, для сварных балок можно брать из
табл. 29.
Таблица 29
Значения у при чистом сдвиге
^"^"\^ V-
0,25
0,5
1,0
2,0
5,0
10,0
со
0,5
1,014
1,016
1,017
1,018
1,018
1,018
1,018
3
1,063
1,075
1,081
1,085
1,088
1,088
1,089
1,0
1,166
1,214
1,252
1,275
1,292
1,298
1/30:5
2,0
1,170
1,260
1,358
1,481
1,496
1,524
1,552
со
1,192
1,300
1,416
1,516
1,602
1,636
1,680
131

Влияние защемления падает с уменьшением величины («■;
при \х < — им можно пренебречь; при р = 1 для значений"[> на-
о
холящихся в интервале 0,4 -<у <3, величина / изменяется от
1,20 до 1,28. Вообще эффективность защемления при чистом
сдвиге ниже, чем при действии нор!мальных напряжений. В кле-
паных балках «мы будем полагать х=1 ввиду недостаточной
изученности влияния защемления по краю утолщенной части
стенки.
Мы рассмотрели два фактора: нормальные напряжения аг
1г касательные напряжения. Третьим фактором является на-
грузка, приложенная к верхнему поясу балки. Будем различать
два следующих случая.
А. Н а г р у з к а р а в н о м е р н а я и л и б л и з к а я к рав-
номерной. Такое загружение, с достаточно большой интен-
сивностью нагрузки, встречается, например, в лидротехнических
конструкциях (ригели плотинных затворов! или шлюзных ворот).
В мостах можно считать равномерной нагрузку от давления
колес, распределенную через рельс и поперечины или через
полотно проезда и железобетонную плиту. Во всех этих случаях
равномерную нагрузку следует считать приложенной на всей
длине 'Отсека.
Определение критических напряжений рассмотрено -в [1]. Оно
сводится к вычислению р0 но формуле
д> =0,19x2* (-^-)2 т/см\ (8.5)
где z* —■ собственное значение для свободно опертой пластинки
[см. табл. 33], х — коэффициент, учитывающий упругое защем-
ление продольных сторон пластинки. Обе величины являются
функциями от ^.
Для 'клепаных балок можно воспользоваться выводами, сде-
ланными в случае равномерного сжатия параллельно оси у [1].
Распространяя их на рассматриваемый здесь случай загруже-
ЯШ, можно при — > 4 считать стенку заделанной по расчетному
краю утолщения, т. е. брать / из табл. 30.
Таблица 30
Значения у ПРИ -т~ > *
У-
X
2
2,9fi
1,5
2,51
1,0
1,88
0,9
1,76
0,8
1,65
0,7
1,56
0,6
1,19
0,5
1,42
0,4
1,34
0,3
1,25
При — = 3 следует уменьшать эти значениях, умножая их на
величину —- из табл. 31.
z*>
135

Таблица 31
р-
^00
Z
Z ^
2,0
13,90
0,922
1,5
8,90
0,952
1,0
5,50
0,988
0,8
4,47
0,992
0,5
4,44
0,998
Б. Подвижная сосредоточенная нагрузка.
Как правило, это давление катков крана. В этом случае необ-
ходимо принимать во внимание распределение сосредоточенного
давления Р через рельс и пояс балки. Расчетное напряжение
смятия кромки определяется по формуле:
Р
p = Tt
где
VI
3,26—для сварных и прокатных балок;
3,75—для клепаных балок;
3,5—для клепаных балок с пристро-
ганной кромкой стенки.
В случае приварки рельса швами, обеспечивающими сов-
местную работу его с балкой, под / понимается общий момент
инерщии рельса и пояса. При других способах крепления рельса
J— сумма моментов инер'ции рельса и пояса.
Далее определяется расстояние между нулевыми точками
эпюры давления на кромку
К
2fik
(9.5)
Р-<и-;
По полученным f> и р. находится
z=^z'\ где г* берется из табл. 33.
(10.5)
из табл. 32 и вычисляется
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1.2
1,4
1,5
2,0
0,10
1,70
1.98
0,11
1,67
1,93
2,23; 2,17
2,43
2,61
2.74
2,79
2,84
2,86
2.86
2,35
2,51
2,64
2,68
2.73
2,75
2,75
0,12
1,65
1,89
2,11
2,28
2.43
2,55
2,59
2,63
2,65,
2,65
0,13
1,63
1,85
2,06
2,22
2,36
2,47
2,51
2,54
2,56
2,55
Значения
0,14
1,61
1.82
2,02
2,17
2,30
2,40
2,43
2,46
2,48
2,47
0,15
1,60
1,80
1,98
2,12
2,24
2,34
2,37
2.39
2,41
2,40
£
0,16
1,60
1,79
1,96
2,10
2,21
2,31
2,33
2.35
2,37
2,36
0,18
1,60
1,78
1,93
2,05
2,16
2,24
2,26
2,28
2,30
2,28
0,20
1,60
1,76
1,89
2,01
2,П
2,17
2,19
2,21
2,22
2,20
Та
0,25
1,60
1,72
1,82
1,91
1,98
2,04
2,05
2,05
2,07
2,05
блица 32
0,30
1,60
1.71
1,79
1,86
1,92
1,97
1,98
1,98
1,99
1,96
0,35
L60
1,69
1,76
1,82
1,87
1,91
1.91
1,91
1,91
1,88
136

Таблица 33
Значения г*
У-
Z*
^
2*
ОД
4,88
1,2
6,87
0,5
5,12
1.4
7,69
0,6
5,37
1,6
8,69
0,7
5,59
1Я
9,86
0,8
5,80
2,0
11,21
1,0
6,26
2,5
15,28
Величина г подставляется в (8.5) вместо z *. Коэффициент х
принимается таким же, как в случае равномерной нагрузки.
Напомним, что при определении ро наибольшее значение у- при-
нимается равным 2, так что при r>2 в> расчет вводится услов-
ная пластинка со сторонами b и а = 26.
Пун кт 4. До сих пор речь шла об определении критических
значений отдельных факторов для плоской пластинки. Поверна
устойчивости при одновременном действии нескольких факторен,
с учетом начального 'искривления стенки, производится на
основе (принципов, изложенных в § 4. Полученное там неравен-
ство (5.4) применительно к рассматриваемому здесь случаю за-
пишется так:
l/(--b^-T+(-)'+Т- -•Т<'"о-. (П.5)
Если ц>0,95 и р > 0, то пользование неравенством (11.">)
приводит к преуменьшению критической нагрузки, тем боль-
шему, чем больше r*. Для устранения этого недостатка можно
прибегнуть к следующему приему1. При ^ > 0,95 неравенство
(11.5) должно быть удовлетворено1 дважды. В первом случае
щ определении сг0 величина k берется в зависимости от^:
Р= 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Л =27,1 31,2 36,5 42,8 50,1 58,4,
а значение '/ — из табл. 26. Величины р0 и ^0 определяются
обычным путем.
* Строго говоря, значение ;j. = 0,95 относится только -к свободно опер-
тым пластинкам; твр.и .наличии упругого защемления or-ю уменьшается и гари
2
полной заделке продольных ^сторон достигает ~~з~*
1 Указанный в тексте прием является весьма приближенным. Более точ-
ный 'способ указан © работе [1] (гл. XI).
137

Во втором случае при определении о0 берется -наименьшее
значение k = 23,88 и х принимается по табл 26; ро определяется,
как для пластинки со сторонами ах = — и b\ = b\ rQ сохраняет
то же значение, что и в первом случае.
Пункт 5. Все оказанное выше сохраняет силу, если в мо-
мент потери устойчивости деформации не выходят из упругой
области. Критерием перехода в упруго-пластическую область
служит величина интенсивности напряжений:
где т — коэффициент, определяемый из уравнения
„„=!/ ,^+f)S + Ha + |-f--f, (13.5)
в предположении- неограниченной упругости материала.
Если в какой-либо точке а. превосходит предел пропорцио-
нальности, то в ее окрестности деформации не упруги. В этом
случае следует вычислить значение поправочного коэффициенте
О и найти исправленную величину -коэффициента условий ра-
боты
т'= -f . (14.5)
Тогда поверка устойчивости принимает вид:
т! < т0. (15.5)
Если величина а. постоянна во всех точках пластинки, то 6
можно находить по формуле:
2,89 -0,02565 т/" —
6^ —1 ^_< М- (а, В т/СМ*). (16.5)
Эта формула написана для стали марки Ст.З. Ею можно поль-
зоваться для стали другой марки, подставляя вместо а. вели-
чину
oi -j— (ат берется в т/см?).
В случае неоднородного 'напряженного состояния определе-
ние Ь представляет собой сложную задачу. Если а. не зависит
от х, то в качестве первого' приближения можно вычислять сред-
нее интегральное значение 9 по высоте стении, пользуясь выра-
жением (16.5). При величине оу, -малой по сравнению с ах, до-
138

пустимо опускать члены, содержащие -у
среднее значение ■-,- равным:
а., в (12.5), и принимать
ЬЗ^, (17.5)
как то установлено в работе [1].
Следует отметить, что при большой величине еу (например,
когда р>з) 'игнорирование этих напряжений может привести
к большой погрешности. В этом случае следует определять ^
в различных точках сечения по формуле (12.5) и, найдя соответ-
ствующие 6 по формуле (16.5), вычислять среднее их значение.
§ 6. БАЛОЧНАЯ СТЕНКА, УКРЕПЛЕННАЯ ОДНИМ ПРОДОЛЬНЫМ
РЕБРОМ И ПОПЕРЕЧНЫМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ i
Пункт 1. Рассмотрим стенку, подверженную чистому из-
гибу и укрепленную наряду с поперечными ребрами- одним про-
дольным ребром- жесткости, расположенным в сжатой зоне на
расстоянии Ь\ от края стенки; в- случае стенки, имеющей угол-
Рис. 28
щения, за ее край принимается расчетная граница утолщения
(рис. 28). Предполагается, что жесткость ребра достаточно ве-
лика,, чтобы критическое напряжение в стенке было близко
к значению, отвечающему той форме выпучивания, когда вдоль
линии ребра прогиб равен нулю. Известно, что такая форма вы-
пучивания в общем случае не достижима при конечной жест-
кости ребра; если же вообразить стенку разрезанной вдоль
ребра и считать ребра абсолютно жесткими, то -мы получим пре-
уменьшенное значение критического напряжения2. Рассматри-
вая части стенки по обе стороны ребра, как самостоятельные
1 Содержание этого параграфа существенно опирается на работу
.автора [1].
2 Более точный метод указан в главе VI.

пластинки, условимся приписывать всем величинам, относя-
щимся к 1-й пластинке, индекс 1, а величинам, принадлежащим
2-й пластинке, — индекс 2. Так, например, критическое касатель-
ное напряжение ори чистом сдвиге для 1-й пластинки будет т01,
критическое нормальное напряжение (при av = \vy = 0) для 2-й
пластинки — зи2.
Как уже указывалось, различаются два вида нагрузки на
верхнем поясе балки: 1) нагрузка, равномерно распределенная
по всей длине пояса, 2) подвижная сосредоточенная нагрузка.
Приводимые ниже формулы относятся к случаю равномерной
нагрузки. Мы распространим их на случай сосредоточенной на-
грузки, поступая в пользу устойчивости.
Для проверки устойчивости первой пластинки служит урав-
нение:
_L fi + iL)+ I (JlV^i (1.6)
пш у а01 » Pqi J { (т ш)2 \ т01 j ;
и неравенство:
т < w0. (2.6)
Уравнение (1.6) получено из уравнения (13.2), выведенного для
случая равномерного сжатия в двух направлениях вместе с чи-
стым сдвигом. Применение его в данном случае ведет ж некото-
рому преуменьшению критической нагрузки.
Замечая, что / —) обычно мало по сравнению с — + — ,можно
с незначительной погрешностью свести поверку к выполнению
одного неравенства:
Поверку устойчивости второй пластинки можно производить
по формуле:
Здесь с2 и р2 означают напряжения в месте расположения про-
дольного ребра. В случае равно-мерной нагрузки
л = ^-(i+cos-£);
в случае сосредоточенной нагрузки
л--зй[™*£-э(4;(1-4*)«к*4
где р—параметр, вычисляемый по формуле (10.5).
НО

Пункт 2. Входящие в уравнения (1.6) — (4.6) критические
напряжения <з01, р01 и т. д. определяются следующими выраже-
ниями:
0,76 х / 100*
J01
1 —■
Ьх
т/см*.
(5.6)
Значения '/ в этой формуле берутся из табл. 34.
Таблица 34
т
X
0,25
1,10
Значения у;
0,5
1,16
ьо
1,22
в формуле (5.6)
2,0
1,27
4,0
1,31
6,0
1,32
10,0
1,335
*
1,35
Для вычисления Л[ служат формулы (5.5) и (6.5).
В клепаных конструкциях влияние защемления по границе
утолщения может быть оценено на основе результатов, получен-
ных б работе [1]. Исходя ив отношения толщин -j- "3,5—4,0 и
учитывая сопротивление -кручению пакета горизонтальных
листов пояса, можно рекомендовать для практических расчетов
значение / = 1,3.
Для определения з02 служит формула:
с02 =
1.14
КШ \2
0,5-
т/см2
(6.6)
При разыскании /?oi различаются два случая.
В случае равномерной нагрузки
A>i-=0,19x
(1 + fVi2)2
Р \ь*
100 ^ V
и
где
(7.6)
* = 1 при Pl = i>—J—,
i = 2 при —=- > iii > —^=- .
В случае сосредоточенной нагрузки величину р0ь вычисленную
по формуле (7.6), следует умножить на коэффициент 1,55.
Если я>'2&1+^о [Х0 определяется по формуле (9.5)], то при
определен и и jb0i рассматривается условная пластинка со
сторонами a = 2&i+X0 и Ь\.
Ill

Значения х Для сварных балок указаны в табл. 35.
Таблица 35
Значения х в формуле (7.5)
^\\ Hi
1
2
4
3,0
1,15
1,25
1,39
2,5
1,18
1,29
1,43
2,0
1.22
1,32
1,44
1,5
1,23
1,34
1,38
1,0
1,15
1,17
1,19
0,9
1,12
1,13
1,14
0,6
1,07
1,07
1,07
0,5
1,06
1,06
1,06
В клепаных конструкциях при — >3 можно принимать сле-
дующие значения /: t
^ = 2,0 1,5 1,0 0,8 0,5
Х = 1,62 1,52 1,31 1,18 1,07
Для определения р02 в случае равномерной нагрузки служит
формула:
^02 = 0,19 2:(-^J2 т/см\ (8.6)
где z берется из табл. 33 в функции от !*-.> = ^-^, подставляемого
вместо JJ-. В случае сосредоточенной нагрузки значения ро, вы-
численные по формуле (8.5), умножаются на коэффициент I,
взятый из табл. 32 при р =0,35 и подстановке \*-.> вместо ц.
Величины т01 и т0: вычисляются по формуле:
^W=X ( 1,02+^)(^)2 т/С, (9.6)
где В — отношение большей стороны рассматриваемой пластинки
.к меньшей;
d — .меньшая из сторон пластинки,
Коэффициент у. учитывает защемление одной из продольных
сторон пластинки (вдоль ребра пластинка считается свободно
опертой). Для сварных балок значения / можно найти, исходя
из данных табл. 29. Поскольку эта таблица относится к случаю
защемления двух сторон, для перехода к рассматриваемому
случаю с достаточной точностью можно положить:
Х=Ц^, (Ю.6)
где // — табличное значение.
Пользуясь формулой (10.6), найдем при 7 = 2:
1*=1,0 2,0 оо
Х = 1,13 1,22 1,25
142

При |г< 1 влиянием защемления можно 'Пренебречь. Мы
будем также игнорировать защемление по расчетной границе
поясных уголков' (или ламелей) в клепаных балках.
В случае потери устойчивости за пределом упругости сред-
няя интенсивность напряжений вычисляется по формуле:
°<-=^]Л2(1-4)2+2>43^ (1L6)
где т вычисляется в предположении неограниченной упругости
материала. После нахождения Ь по формуле (16.5) вычисляется
, т
Более точные результаты получаются при пользовании выра-
жением:
с/ = -^гКа24-а2 —а о -|-Зх2 >
1 tn у х I у х у ' ху
в (Котором вое компоненты вычисляются для "средней по высоте
точки 1-й пластинки К = 1 —г~). К этому уточнению безуслов-
но следует (прибегать, если р > з .
Для 2-й шгаетинки остается в силе формула (17.5), но вме-
сто о подставляется ',,
§ 7. БАЛОЧНАЯ СТЕНКА, УКРЕПЛЕННАЯ НЕСКОЛЬКИМИ
ПРОДОЛЬНЫМИ РЕБРАМИ
Метод поверки устойчивости стенки остается таким же, как
в § 6. Все ребра считаются абсолютно жесткими, а стенка —
разрезанной вдоль каждого ребра. Поверка производится от-
дельно для каждой пластинки (рис. 39). Для 1-й пластинки
сохраняются те же формулы, что и в случае одного продоль:
яого ребра, т. е, используется уравнение (9.6), а величины
Чи xoi> Ро\* вычисляются соответственно по формулам (5.6),
(9.6), (7.6). 2-я пластинка считается свободно опертой. Вели-
чина а0« определяется из выражения:
с02 = 0,19А(-^)2г/сд|Я, (1.7)
где k зависит от параметра а2 = Q _ и находится по
табл. 36. Поверку 2-й пластинки можно- в запас устойчивости
производить по тому же уравнению (3.6).
*Мы приписываем всем величинам, соответствующим данной пластинке,
индекс, «равный ее порядковому номеру.
143

Таблица об
Значения k в формуле (1.7)
ч
k
7'J
k
0,6
5,71
1,5
13,50
0,7
6,13
1,6
15,36
0,8
6,60
1,7
17,34
0,9
7,16
1,8
19,44
1,0
7,80
1,9
21,66
i
1.1
8,58
2,0
24,0
1 '>
9,49
1,3
10,57
1,4
11,76
Рис. 29
Расстояния Ь\ и Ь2 следует назначать так, чтобы 1-я и 2-я
пдастшюи были равноустойчивък Это подробно изложено в ра-
боте [1].
141

§ 8. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЯСНЫХ ЛИСТОВ
Поясные листы балок обычно имеют свободные свесы. Рас-
сматривая полошшу листа, расположенную по одну сторону
стенки, можно трактовать ее, .как пластинку, опертую по трем
сторонам (стенке и тортам двух ребер жесткости). Как уже
указывалось (§ 4, л. 1), между лотерей устойчивости стенки
и поясного листа имеется 'глубокое принципиальное различие.
Выпучивание стенки, как правило, -происходит ранее потери
устойчивости лоясного листа, поэтому при поверке устойчивости
пояса соединение его со стенкой следует считать шарнирным.
Расстояние между ребрами обычно 'велико ло сравнению с ши-
риной свеса, поэтому можно ограничиться рассмотрением длин-
ной пластинки, свободно опертой ло трем сторонам.
Критическое напряжение поясного листа, как правило,,
должно равняться лределу текучести. Для установления зависи-
мости между отношением — (Ь — половина ширины пояса,,
t0 — толщина поясного листа) и критическим напряжением за
пределом упругости воспользуемся методом А. А. Ильюшина
[6]. Задача приводится к разысканию минимума функционала
Ь*Е Я Т" О — Ф + 3 ft) w\x + w w + ш2 + ау2 \dxdy
,2 а | 4 хх УУ УУ ХУ J
(1.8)
И %wxidxdy
где
фи ft — определенные функция критического напряжения з0
(при заданной диаграмме; растяжения .материала). Для очень
длинной пластинки, совмещая ось х с длинной стороной, -можно
принять в первом приближении
w = A -J-sin -~f (±8)
где а — длина пластинки.
Подставляя (2.8) в (1.8) и выполняя квадратуры, получаем:
•2_ JL
з + ^' (i-t + 3»)-£],
откуда при а-> оо находим:
F = 3-£-
ч
или
№ Б. М, Броуде 145

Переходя к полной ширине поясного листа (Ь0 = 26) и пола-
гая з0 = ат найдем:
марка стали Ст. 3 НЛ 1 НЛ 2 )
h (4.8)
-^ =31 23 26
Так1ш образом, обычно применяемое ограничение для пол-
ностью напряженных балок из стали марки Ст. 3.
-^<зо
надо признать обоснованным.
Если балка значительно недонапряжена, то можно пойти на
некоторое смягчение этого ограничения. Полагая, что потеря
устойчивости происходит в упруго-пластической области, можно
находить критическое напряжение из выражения:
о0= 0,231 (™^~)2 т/см* (5.8)
и производить поверку по формуле:
а < mtJ а0. (6.8)
Следует, однако, помнить, что с увеличением -~- быстро падает
степень защемления стенки в поясах [см. формулу (4,5) ];
поэтому отступление в большую сторону от рекомендованных в
(4.8) значении дслжно быть тщательно мотивировано. Правиль-
но
нее стремиться к уменьшению отношения -,— путем утолщения
поясных листов за счет уменьшения толщины стенки;
Глава VI
ПЛАСТИНКИ, УСИЛЕННЫЕ УПРУГИМИ РЕБРАМИ
§ 9, ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Существуют два класса ребер жесткости. К первому классу
относятся ребра, 'которые npni выпучивании стенки выгибаются
вместе с ней, .какова1 бы -ни была их жесткость. Ко второму
классу относятся ребра, которые при выпучивании1 стенки
остаются прямыми, если жесткость их -превосходит определен-
ную границу. Если пренебречь сопротивлением ребер кручению,
то критическое напряжение стенки будет постоянным, начиная
с некоторой определенной жесткости ребер второго класса.
В случае ребер первого (класса размеры их обычно выбирают
так, чтобы критическое 'напряженке было не меньше, чем в пла-
146

сшнке, разрезанной вдоль ребер и жестко подпертой по линии
разреза. При этом пластинки, на которые отсек подразделяется
ребрами, очевидно, могут рассматриваться, как имеющие жест-
кий контур (т. с. на контуре ш^О).
В некоторых случаях размеры ребер первого .класса полу-
чаются ©есьма большими, если .придерживаться указанного выше
требования, которое не всегда вызывается необходимостью.
Возможны случаи, когда достаточно задаться меньшей величи-
ной критического напряжения. Например, в стенке постоянной
толщины часть отсеков бывает (недонапряжена; следовательно,
критическое напряжение в них .может быть понижено, а размеры
ребер уменьшены.
В дайной главе изучаются имавно стенки, укр епленные
упругими ребрами*, критические напряжения которых
имеют промежуточную .величину между напряжениями неукреп-
ленной стенки и стенки, усиленной абсолютно жесткими ребрами.
Рассматривается усиление продольными ребрами вытянутых
отсеков | >0 так как лишь в этом случае размеры ребер
находятся расчетом (размеры поперечных ребер обычно назна-
чаются по конструктивным соображениям).
Характерной 'Особенностью рассматриваемых стенок является
невозможность их расчленения на отдельные пластинки с жестко
опертым контурам.
Подробному изучению .подвергаются случай чистого изгиба,.
при укреплении стенки одним продольным ребром и случай
чистого сдвига при укреплении стенки двумя продольными реб-
рами. Кроме того, исследуется пластинка, усиленная несколь-
кими продольными ребрами и подверженная одновременно
чистому изгибу и чистому сдвигу. Целью последнего исследова-
ния является сравнение формы траничных кривых при наличии
и при отсутствии ребер.
В основу исследования кладутся следующие допущения.
1. Осевое напряжение н продольном ребре принимается рав-
ным нормальному напряжению в стенке в месте примыкания
ребра. Касательные напряжения в плоскости контакта ребра
и стенки не учитываются.
2. Сопротивление ребра кручению игнорируется.
§ 10. ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ, УКРЕПЛЕННОЙ ОДНИМ
ПРОДОЛЬНЫМ РЕБРОМ
П yiHiK т 1". Рассмотрим свободно опертую прямоугольную
пластинку, укрепленную продольным ребром жесткости на рас-
стоянии Ъх от сжатого края. Пластинка подвержена чистому
1 Здесь -и в дальнейшем я*ерщш упругие ребра понимается в смысле.
указанном в § 1,
10* 147

Рис. 30
Для решения задачи используется метод Ритца. Упругая
поверхность пластинки' принимается в 'виде:
w = sin п те I V At sin / rv т],
(1.10)
Где E = — , n — целое положительное число.
Линия прогиба ребра получается из (1.10) подстановкой
т] = -j-. Пользуясь обозначением:
нолучим:
(2.10)
Составим выражение для потенциальной энергии, накопляе-
мой при 'выпучивании пластинки ©месте с ребром. Отличие от
случая неукрепленной пластинки заключается в том, что к мер-
ши изгиба ллаетинки добавляется энергия изгиба ребра:
V
я* п* EJ
4&
ЖА'Ч>
(3.10)
148
изгибу (рис. 30), следовательно, напряжения в любом сечении,
параллельном оси у, представляются выражением:
^=3(l-27jj.
Осевое напряжение в ребре (а) может 'быть вычислено по
формуле:
о = 3(1-2^ .

а анергия деформации срединной плоскости дополняется членом:
Л = =/^(1-2^(|/Л-)2 (4.Ю)
(F — площадь сечения ребра).
Присоединяя (3.10), (4.10) к выражению для потенциаль-
ной энергии неукрепленной .пластинки, получим с точностью до
постоянного множителя:
*ы nt ч ,г2 -^ А. Л,, (пг п'.
/Tl"' ^ я» f~q*pA9(p2-.qi)*
л3
+ 2|1(Тр-А^)(|л^,)2, (5.10)
где
р -{- q — нечетное число,
здесь з —критическое напряжение усиленной ребром пла-
стинки. Введем обозначение:
и составим общее выражение для дискриминанта квадратичной
формы (5.10).
Диагональный элемент:
где
j>.2
| 1+ /« ■
Я3
побочный элемент:
__ lafe ij I q о г
aU ~ ^ (Г- — у V ^ ' < 1 J ''
где i + / — нечетное число; при i-\-j— четном первое слагаемое
принимается равным нулю.
Этот дискриминант обладает следующим свойством: если
умножить элементы i-я строки на р, и вычесть ив них элементы
первой строки, умноженные на р,-, то в /-й строке исчезнут все
элементы, содержащие С. Проделав указанную выше операцию*
14?

150

придем к следующему определителю, в котором выписаны пер-
вые восемь строк (столбцов). В этом определителе принятообо-
значение и =—— .
■к*
Левая часть уравнения (7.10) распадается на сумму двух
определителей, поэтому
D, h
(8.10)
где Do — определитель, получаемый ив левой части (7.10) под-
становкой С = 0;
Di—определитель, отличающийся от Do только- элементами
первой строки, которые в D\ имеют вид:
«1/ = Р/-
Задаваясь значением k и подставляя его в (8.10), можно
найти С и вычислить ?р по формуле
Тр= (JL.+ M,
П2
(9.10)
Здесь п — число полуволн упругой -поверхности в направлении
оси х, выбираемое так, чтобы 7Р достигало максимума.
Пункт 2. В дальнейшем рассматриваются следующие слу-
чаи:
h 1
0,21
ь ~~ 3
£ = 50
0,25
50 60 70 80
80 100 115
В табл. 37 приведены значения I, вычисленные при помощи
определителей от третьего до восьмого порядка (более высокое
приближение требуется для меньших значений — ).
Значения С
Таблица 37
V»
0,25
0,21
к
50
50
60
70
80
80
100
115
1,0
5,499
5,575
8,102
10,704
13,330
15,649
22,225
27,185 |
1,25
3,939
4,091
4,722
8,981
13,677
19,911
1,50
2,021
2,337
4,636
7,001
9,412
11,285
17,222
21,844
| 1,75
0,359
0,155
2,571
4,820
7,127
8,626
14,290
18.740
п
2,00
—
— 1.738
0,350
2,501
4,669
5,734
11,225
15,461
,25
—
0,011
2,125
2,606
7,922
12,055
2,50
—
-0,606
4,563
8,369
2,75
—
—
0,672
4,483
151

Зная С, можно вычислить т0 по формуле (9.10). При за-
данных значениях —L , k, ф величина тР является функцией от
—. Эта функция имеет максимум при определенном значе-
п
нии —; следовательно, переходя к аргументу is получаем ряд
п
интервалов, в которых п принимается равным соответственно
1, 2, 3,.., Очевидно, что наибольшие значения тр во всех интер-
валах одинаковы. На рис, 31 показана часть графика тр при
А. = о,25 и k = 50.
b
В некоторых случаях бывает достаточно знать приближенно
наибольшую возможную величину ?р при заданных — и k. Ее
можно представить в виде:
тах7р = Тр0 + *-7Г
W
(10.10)
Значения у ° и с для ряда случаев приведены в табл. 38.
^=«25. К-50
1,25 1,50 175
Рис. 31
2ft JJ
Таблица 38
Значения коэффициентов
в формуле (10.10)
b
k
V
с
Vs
50
3,0
26
50
2,6
56
0,25
60
3,У
92
70
7,3
107
Задаваясь величиной
Ы
можно найти max тР прооными
подстановками. Для указанных в таблице значений —* и k вели-
чина обычно не превосходит 0,06.
ы
При—1-=0,21 -нельзя ограничиваться разысканием наиболь-
ь
шего значения тР> а надо знать 'величины ?р при различных м-.
Для упрощения разыскания тР можно рекомендовать следую-
щие приближенные формулы:
152

При к = 80
Тр = (13,5 - 5,3ti +46 -^y* (К К 2,25) ; (11.10)
при k = 100
ТР = (17,5 _ 6|* + 58 -£-) i*3 (1<!А<2,5). (12.10)
Пункт 3. Сравнение размеров упругих ребер,
с размерами ребер, вычисленными при боль-
ших значениях k.
Из выражения
k =
где а0 — критическое напряжение пластинки, укрепленной рео-
рам, легко получить:
4=43,6|/~А (а0 в
т/см2)
(13.10)
Пользуясь этой формулой и полагая s„ =2,1 т/см2, находим:
k= 50 60 70 80 90 100 115
— =212 232 253 270 285 300 322
t
h U
При — = 0,25 было принято k < 80; следовательно, — < 270,
b t
h h
При —- = 0,21 было принято k < 115, откуда — < 322.
Ь t
В практике проектирования встречаются и большие значе-
ния — ; (например, при -— = 0,21 возможно — = 335, чему
t ь t
соответствует £=124 (та-кое значение k возможно, если учесть
непрерывность стенки над ребром). В табл. 39 приведены соот-
ветствующие величины 7Р j вычисленные при1 помощи- опреде-
лителя «восьмого порядка.
Таблица 39
Значения *[р при -—^ = 0,21 и &—124
\ — 1
\ п
F \
ы \\
0
0,10
0,15
i,a
15,14
1 22,3
25,9
1,5 |
i 27,63
I 43,8
! 51,9
2,0
36,12
64,9
79,3
2,25
36,95
73,4
91,6
2,5
33,71
78,7
101,1
2,75
25,99
80,4
107,6
3,0
12,38
77,1
109,6
3,26
— 8,32
67,6
105,6
153

При 1<ц< 2 можно определять -fp по формуле:
ТР = (21 —6^ + 72 _^_j ^2. (14.10)
Сравнение размеров полосового ребра, найденных при
k = 124 .и р =2,75 с размерами при А = 100 и k = 80 пока-
зало1, что площадь сечения в двух последних случаях уменьши-
лась соответственно на 30 и 40%.
Аналогичным образом при — = 0,25 и k = 94 найдены зна-
чения 7р> приведенные в табл. 40.
Таблиц а 40
Значения ур ПРИ ~у~ — 0,25 и k = 94
\. ^
77 \
г>г \^
0
оло
0,15
1,0
8,54
13,2
15,6
! 1,5
14,44
25,0
30,3
2,0
15,76
34,6
44,0
2,25
13,01
36,8
4Ь,7
2,5
7,23
36,6
51,3
2,75
-2,58
33,0
50,7
При 1 < р. < 2 можно пользоваться приближенньпм выраже-
нием:
Тр = (13-4,5ц + 47-^. (15.10)
Сравнение размеров, вычисленных при k = 94 и у = 2,25
с размерами при & — 7G и k == 50, показало уменьшение пло-
щади сечения в двух последних случаях соответственно на 31
и 42%.
§ 11. ЧИСТЫЙ СДВИГ ПЛАСТИНКИ, УКРЕПЛЕННОЙ ДВУМЯ
ПРОДОЛЬНЫМИ РЕБРАМИ
Пункт 1. Рассматривается прямоугольная свободно опер-
тая пластинка, подверженная чистому сдвигу и укрепленная
двумя одинаковыми ребрами, делящими высоту ее на три рав-
ные части (рис. 32). Начало 'координат помещается в верхнем
левом углу пластинки, а ось х совпадает со стороной а.
Принимая для упругой поверхности выражение:
w = 2 Аи sin Ы% sin jnri, (1.11)
где
t __ х_ _ у_
a b
154

получим для потенциальной энергии изгиба пластинки без
ребер следующую формулу:
ил
-32г
**С 1^Л2 (т* + я" у?)*
8ab
ZA
7* ^L
л,„„ л
mnpq
тп, рд
*""ря ф-„ъ(п>-чг)\>
(2.11)
где т -(- р, п -[- # — нечетные 0
,№
Упругая линия первого реб- '
ра получается из (1.11) под- т
становкой ъ= —: *
1 3 \
<ох = £ Aus\n
У*
■ sin /irE.
Аналогичным образом для
второго ребра:
Рис. 32
г>2 = 2 Ay sin -^- sin г'тге.
Энергия изгиба обоих ребер
n*EJ
^=-^-j[(<)2 + (<)2]^=
-f S Al * + 2 2AVl Aih i> (sin ^ sin Jf
■+■ sin —^— sin -*f—
(3.11)
где £7— жесткость одного ребра.
В выражении (3.11) берутся значения j, /ь h-, не кратные
прем.
Суммируя выражения (2.11) я (3.11), получим полную потен-
циальную энергию изгиба1 пластинки вместе с ребрами:
011 Зяб I mrt *=
+ 32-^ ^AmnAf
mnpq
+
mn,pq
' T~[ ^ f; ^ 3 ^Лу' Vj \ 3 3
sin -^- sin—-;—
3 3
(4.11)
155

где
EJ
ЬС
m -j-p, n-j-g — нечетные числа;
значения j, j\% j\> — не кратны трем.
В квадратичной форме (4.11) суммы индексов т-\-п и р-\-<\
должны быть одновременно либо четными, либо нечетными,
Нетрудно показать, что то же справедливо © отношении величии
*'+/'ь * + /V Для этого воспользуемся тождеством:
sin -у- sin—-о™
2уЧ тс 2у2тс
sin —3— sm —g— —
^COS Ц"*>* С08-^"Л)*
2
6
■cos <*+*>* C0Sjyijbyj)jL
2 6
(5.11)
При У1+/2 нечетном выражение (5.11) исчезает, поэтому
коэффициент при Aij, A^ отличен от нуля только при
/1+/2 четном. Последнее условие равносильно требованию- одно-
временной четности или нечетности сумм i-\-j\ и /-f-yV
Из сказанного следует, что дискриминант квадратичной
формы (4.11) распадается на два дискриминанта, принадлежа-
щие соответственно переменным с четной или1 нечетной суммой
индексов; ниже приведены элементы этих дискриминантов
(стр. 157, 158).
Пункт 2. Как показали вычисления, в рассматриваемых
ниже случаях наибольшие значения тР получаются из уравне-
ния (6.11). Так, например, при \ь=2 и г — 45 уравнение (6.11)
дает 7р =60,2, а уравнение (7.11) — ^р=22; при р. = 1 и
г =50 из уравнения (6.11) получается тР ==14,8, а из уравне-
ния (7.11)— ур <5. Мы ограничились сравнением при наиболь-
ших значениях л так как с уменьшением величины л мы прибли-
жаемся к случаю неукрепленной пластинки, когда форма искрив-
ления заведомо определяется членами с четной суммой индек-
сов.
Ниже приведены результаты вычислений по уравнению (6.11)
(табл. 41).
Таблица 41
Значения yp
1
1.5
2
2,5
20
1,3
—
13,8
25,2
30
12,9
29,0
52,2
40
7,5
22,5
47,7
85,2
45
30,2
60,2
105,2
50
14,8
„
—
—
156

157

158

Сравним значение to = 14,8, найденное при и- = 1 и г = 50,
с известным в литературе результатом, (полученным в: предполо-
жении, что в 'местах расположения ребер образуются узловые
линии. Установлено [1], что это предположение не верно, так
как при чистом сдвиге ребра конечной жесткости вообще не
могут ^оставаться прямыми. Таким образом, значение ур = 40,
вычисленное при указанном выше предположении, отвечает
величине г, несколько меньшей чем 54,36 (последняя величина
соответствует случаю бесконечно жестких ребер). Нетрудно убе-
диться, что незначительное уменьшение значения г ( - 8%)
позволяет снизить площадь сечения ребер на 29%. С увеличе-
нием [х экономия значительно возрастает.
§ 12. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ § 11
Допустим, что нам известны собственные функции (упругие
ловерхн сти) для следующих двух случаев:
1) при устранении ребер жесткости (обозначается через W\);
2) при бесконечно жестких ребрах (обозначается через w2).
Соответствующие собственные значения (величины, пропор-
циональные критическим напряжениям) обозначим через ум и х2.
Пусть V [w] означает упругий потенциал; отвечающий функ-
ции, w =/(Е, т() т. е.
2№2 об i 1
Далее пусть
Т \w] = — -- J j w^ w d\ dr{
b~ oo
с точностью до множителя представляет энергию деформации
срединной плоскости1 пластинки, подверженной чистому сдвигу,
пр>и форме выпучивания, характеризуемой функцией
W=f#, 7]).
Введем билинейные выражения:
o- bo ^ J
Задаваясь упругой поверхностью пластинки, усиленной упру-
гим» ребрами, В' виде
w =wx -f-C-o^1 (1.12)
150

можно написать условие равенства нулю потенциальной энер-
гии в момент потери устойчивости:
V [wx] + V V [w2] + 2С V К , w2] -f Vx [wx\ -
-MrW+P^W+Xr^, w2]}=0, (2.12)
где I7! [r^J — энергия изгиба ребер;
x — собственное значение для пластинки с упругими
ребрами.
В дальнейшем мы будем пользоваться соотношениями
(СМ. [1]):
V\wu w%\=-r.xT[wl9 w<t\ , (3.12)
T[w1] = T[w2] . (4.12)
Принимая во внимание уравнения (3.12), (4.12) и вводя обо-
значение
р = Л[^ (5Л2)
получим из (2.12)
S = X ( 1 + С2) - ХХ - Х2 С2 + Я ? (X - X,) ,
где
Наибольшее значение j3 достигается при
х2 — у.
и paiBHo
p=(x-xi)(1 + ,p*-^Et")- (6-12>
Поскольку
х2 > х > хг ,
заключаем, что с увеличением ср значение р возрастает. Прео-
бразуем выражение (5.12), полагая
wx = ZAy sin Ы% siny'Tcrj.
Имеем:
V, = ^£r {£ ^ /* + -i- 5X. Aih i* (sin J*- sin -'f- +
-f- sin -^— sin ——
3 3
где j, ju h— целые числа, не кратные трем.
ПиМ- —4-^£- У> А А тпрд
Здесь m -f- p, я +* ^ — нечетные числа.
Ш)

Подставляя эти выражения в (5.12), нетрудно получить:
TP = P3fW, (7-12)
где
N=-
32 -"Ci mnpq
2 4/4+т^^л^л/4(8!:
sin sm -——+sin г-«ш Т"
3 3 3 3
.(8.12)
В отношении индексов остаются в аиле сделанные выше за-
мечания.
Значения переменных Аи в формуле (8.12) указаны
в табл. 42. Пользуясь этой таблицей, можно (вычислить N для
трех значений \i. Для разыскания промежуточных значений Н
применима квадратичная интерполяция.
Таблица 42
Значения Ан
1*
1,0
1,5
2,0
А„
1,0
1,0
1,0
Лм
0,29350
0,30989
0,35250
A is
— 0,07200
— 0,04210
— 0,03287
■^31
— 0,07066
-0,16272
— 0,35019
Лэз
0,03925
0,04333
0,05260
д«
0,00301
— 0,01384
— 0,05682
Входящие !В выражение (6.12) собственные значения ъг
берутся из табл. 28; значения *2 вычисляются по> формуле:
х8 =9(5,35 + -JL) = 48,15+-±. (9.12)
Таким способом получены величины, приведенные в табл. 43.
Таблица 43
Значения коэффициентов и параметров в формуле (10.12)
Ч
ъ
N
1.0
9,34
54,36
0,114
U
8,66
51,46
0,113
1,2
7,96
51,12
0,110
1,3
7,72
50,52
0,107
1,4
7,28
50,14
0,102
1,5
7,14
49,92
0,096
1,6
6,90
49,71
0,089
1,7
6,73
49,53
0,081
1,8
6,63
49,39
0,071
Перепишем формулу (7.12) в развернутом виде:
Tp = p.W(r_Xl)/l+T3_r=2i_)f
2,0
6,47
49,15
0,049
(10.12)
вводя обозначе е г вместо *.
Неизвестной остается пока величина <р« Для ее определе-
ния воспользуемся значениями ip, приведенными в табл. 41.
Б. М. Броуде
161

Приравнивая правую часть уравнения (10.12) соответствующим
значениям тр из табл. 41, получим при у ^ 2:
г= 20 40 45
ср= 1,87 0,85 0,57
Примем линейную зависимость:
9 = 2,91 — 0,052г, 20 ^ г < 45, (11.12)
Рис. 33
дающую точные значения при г = 20 и г = 45. При г = 40 по-
грешность в величине тР составляет ~ 0,4 %. Аналогичным
образов получено:
при м- = 1,5
<р= 1,56 — 0,025г , 20 < г < 45 ; (12.12)
йри и= 1
ср = 1,73 — 0,025г, 30 < г < 50. (13.12)
Для промежуточных значений ^ в интервалах [1; 1 >Ц
и [1,5; 2j) также строятся линейные зависимости между ср иг,
коэффициенты которых определяются линейной интерполяцией
162

между значениями, найденными ери у. =1; 1,5; 2. Имея выра-
жение для ? и зная величины х,, х2, TV (табл. 43), можно
вычислить значения ур. В результате таких вычислении по-
строен график (рис. 33).
§ 13. ГРАНИЧНЫЕ КРИВЫЕ ДЛЯ КОМБИНАЦИИ ЧИСТОГО ИЗГИБА
С ЧИСТЫМ СДВИГОМ
Пункт 1. Рассмотрим пластинку, укрепленную несколькими
продольными ребрами жесткости. Пусть ^b, ri2b.. . . ,ъь обо-
значают расстояния ребер от сжатой кромки пластинки (осих).
Пластинка подвержена комбинации чистого изгиба с чистым
сдвигом (рис. 34).
Рис. 34
Упругая поверхность выпучившейся пластинки разыскивается
в виде: . . . п -„ч
w = ЪАиsin mi smjTzri. (i-lo)
Упругая линия h-ro ребра представляется выражением:
vh = £Л/7 sinyw7]A sin /тсЕ. (2.13)
Потенциальная энергия, накопляемая при выпучивании пла-
стинки вместе с ребрами, с точностью до постоянного множи-
теля, запишется так:
л У Л2 \Р+Р№ шУУа А 12рд 4-
U=hA% -L^AlpAlUp2_q2)2 +
. q9 rr V A A mnUV +
4. A 2 T (A) £ i" (Atj, sin;^ + A»Asiny>% + ...
,..+A7csin/, «%)2 - 2ft 2 Ф (Л)2 i2 (Аи sinА-щ, + Лу, siny, «^ +
+ ...+ Лус8ШУ>71й)2. (3.13)

Здесь символы ^(h) и ty(h) указывают на то, что размеры
отдельных ребер могут быть различны и, следовательно, пара-
метры тР и ф в общем случае зависят от индекса h.
Правая часть выражения (3.13) представляет собой квадра-
тичную форму от переменных Л,7. Составляя дискриминант
этой формы я приравнивая его нулю, получаем условие потери
устойчивости.
Пункт 2. В случае одного продольного ребра жесткости,
расположенного на расстоянии 0,25 Ь от сжатой кромки, в выра-
жении (3.13) удерживаются следующие параметры:
^11> ^12) ^13> ^2]j -™22> ^23> ^31? -^32 i -<M5j ^33-
Используя принятые в тл. V обозначения:
k г Q и
где &о и Го — значения, отвечающие соответственно чистому
изгибу (г = 0) и чистому сдвигу (&~0), (можно представить
результаты таблицей 44.
Таблица 44
Ординаты граничной поверхности
Одно продольное ребро
V-
1.0
1,5
Тр
7
4
11
5
Ф
0,0255
0,025
0,0202
0,0211
Порядок
определи-
теля
8
10
8
10
Значения * при
ft-0,25
0,968
—
8 1 -
8
—
0,5
0,936
0,923
0,920
—
1,0
0,787
0,808
0,755
0,761
2,0
0,523
0,486
0,779 0,516
0,744
—
5,0
0,221
0,225
0,209
0,217
0,209
fto
70
70
50
50
70
50
r0
16,3
15,2
15,4
14,0
12,7
10,8
Вид некоторых граничных кривых показан на рис. 35. Для
них типично пересечение с прямой и — 1 в двух точках. В пре-
делах положительного квадранта граничные кривые при ^р>5
и р< 1,5 практически лежат вне единичного круга; поэтому
пользование уравнением
S2 + tt*=1> (4.13)
164

очевидно, дает запас устойчивости. Более точные результаты
получаются, если принять для 'граничной кривой1 уравнение
s2 + w2-cs2a2 = l, (5.13)
находя с из условия совпадения с табличным значением при
Пу|нкт 3. При пользовании граничными кривыми для пла-
стинок, усиленных ребрами, необходимо знать критические на-
пряжения для тех же пластинок при чистом изгибе (ко) и чистом
Ряс. 35
сдвиге (г0). В предшествующих параграфах решалась обратная
задача: по заданным значениям ко или г0 разыскивалась необхо-
димая жесткость ребер. Полученные результаты были представ-
лены (при —~- = 0,21) эмпирическими формулами (11.10),
(12.10), дающими незначительную погрешность.
Предполагая, что в интервале 80 < &0 < 100 вид формул
сохраняется, а их коэффициенты (могут быть 'выражены линей-
ными функциями от ко, получаем общую формулу:
Тр -[ -2,5 (1+ц) + Л0(0,2- 0,035 ^ + 0,58-£)L», (6.13)
l<|i< 2,25.
165

Разрешая (6.13) относительно fa, найдем:
_JL+25(l+fi)
к0 —
2 — 0,35 (1 + 5,8 ■
(7.13)
и
Формула (7.13) справедлива при
-^=0,21, 80<&0<100, 1<^<2,25.
ь
г.
Аналогичным образом при —*- = 0,25, 50 < k0 < 70 и
1 < {* < 1,75, получим:
Kq =
10
Тр
'- + 64^—188
0,4 jA — 1,75 + 5
(8.13)
Ы
Точность формулы (8.13) оценим, подставляя в нее значения у
вычисленные для ко = 60 при помощи табл. 37. Результаты
Р
вычислений при1 = 0,06 приведены © табл. 45.
ы
Таблица 45 Наибольшее отклонение от
точного за а ч ени я ней ревы-
i,75 шает 3,9% (при у > 1,25 от-
клонение меньше 0,9%).
Для вычисления г0 при
1 < ji ^ 2 и yp ^4 укажем сле-
дующий прием, дающий нре-
60,3 уменьшенные, против истинных,
значения.
Находится величина № для пластинки' 'без ребра:
?•
ь
h
1
5,85
62,3
1,25
7,90
60,5
1,5
9,27
59,8
1,75
9,45
60,3
затем для пластинки, разрезанной над абсолютно жестким 'реб-
ром, находится
5,35 . 4
(--*-)•
г<2).
За искомое значение принимается полусумма найденных выше
величин:
г(1) _L_ г(2>
166

Зная ko и г0 и .пользуясь граничной кривой (4.13), можно про-
верить устойчивость пластинки по формуле:
гд@ а, т — расчетные напряжения;
со — коэффициент, учитывающий влияние начального
искривления, который в данном случае принимается
равным 1 (см. § 23, п. 5);
о0 = 0,19А!о(^—J т/см\ т0 = 0,19г0(-^)' т\см\
В случаях, которые рассмотрены в табл. 44, более точные резуль-
таты получаются при пользовании уравнением (5.13).
Пункт 4. Рассмотрим квадратную пластинку, укрепленную
двумя одинаковыми продольными ребрами, делящими высоту
ее на три равные части (рис. 34), и подверженную одновре-
менно чистому изгибу и чистому сдвигу. Удерживая в квадра-
тичной форме (3.13) десять переменных:
^М1> ^12» ^Н> ^МБ> ^21» ^22* ^24» ^31> ^32> ^35)
найдем координаты граничных кривых, приведенные в табл. 46.
Таблица 46
Ординаты граничной поверхности
« I h 1 &2 2 \
Два продольных ребра 1~Г" — ~Т" ' "Т" ~ "о" I
р-
1
2
?Р
14
60
30
ф
0,05
0,15
0,10
Р. - 0,5
0,936
0,905
—
Значение $ при
1.0
0,753
0,715
0,713
2,0
0,478
0,448
—
5,0
0,199
0,191
—
Граничные кривые представлены на рис. 36. В силу симмет-
ричного расположения ребер каждая .кривая пересекает ось
и под прямым углом; следовательно, вся она заключена внутри
квадрата 0 <s, u < 1. В то же время граничные кривые прак-
тически расположены -вне единичного круга; поэтому пользова-
ние уравнением (10.13), очевидно, будет в пользу устойчиво-
сти.
167

При заданных 7Р и ф значения г0 можно находить по графику
^рис. 35), а значения k0 вычислять, игнорируя ребро, располо-
женное в растянутой зоне. Если тР>5, то, принимая кц = 50, мы
всегда будем поступать в пользу устойчивости.
Пункт 5. В данной главе рассматривались только свобод-
но опертые пластинки. В случае упругого или жесткого защем-
ления продольных сторон пластинки необходимая жесткость
ребер уменьшается1 (при заданной величине k0 или г0). Обрат-
Рис. 36
но, при заданной величине 7Р значения k0 и г0 для пластинки
<с защемленными сторонами будут выше, чем для свободно
опертой пластинки.
Точной количественной оценки влияния защемления про-
дольных сторон пластинки пока не имеется. В качестве первого
приближения для пластинки с одним продольным ребром можно
умножать величину ко, вычисленную по формуле (7.13) или
(8.13), на значение х, взятое из табл. 34.
Что касается граничных кривых для упруго защемленных
пластинок, то они с достаточной точностью могут быть заме-
нены кривыми для свободно1 опертых пластинок.
П ункт 6. Полученное в данном параграфе решение, строго
говоря, cnipаведливо только для комбинации чистого изгиба
с чистым сдвигам. В реальных конструкциях изгибающий
момент и поперечная сила обычно изменяются по длине отсека.
'См, [1], гл. X.
168

Устойчивость пластинки при таком напряженном состоянии пока
не исследована.
Имея в виду отсеки с отношением сторон — > 1, можно
Ь
р екомендов ать для пр актичеокого р асчет а следующую схему
напряженного состояния:
а) изгибающий момент принимается постоянным по длине
отсека и-равным среднему его значению в наиболее напряжен-
ной части отсека на длине, рапной высоте отсека;
б) поперечная сила принимается постоянной по длине от-
сека я равной ее среднему интегральному значению Q в преде-
лах отсека.
Расчетное касательное напряжение вычисляется по фор-
муле:
, = -«_.
ht
Глава VII
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОГО ИСКРИВЛЕНИЯ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНОК (линейная задача)
§ 14. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Во всех исследованиях, трактующих проблему устойчивости
стенок, имеются в виду идеально плоские пластинки; их крити-
ческой нагрузке отвечает разветвление форм равновесия.
В реальных конструкциях пластинки всегда имеют начальное
искривление. Наряду с этим обычно имеет место внецентренное
приложение нагрузки, вызывающее изгиб пластинки. Влияние
внбцентренноети может быть заменено эквивалентным увеличе-
нием начального искривления, поэтому в дальнейшем ограничи-
ваемся рассмотрением только последнего.
Следует различать два вида начального искривления.
1. Пластинка изогнута по цилиндрической поверхности и
подвержена сжатию вдоль образующих. В этом случае началь-
ное искривление не может уменьшить величину критической на-
грузки. Характер потери устойчивости* остается таким же, как
и, в идеально плоской пластинке, т. е. до достижения критиче-
ского напряжения выпучивания не происходит. Заметим, что в
тонких цилиндрических оболочках, подверженных осевому сжа-
тию, наблюдается явление «хлопка». Однако и в этом случае
критическое напряжение будет не меньше, чем в плоской пла-
стинке.
2. Пластинка .имеет начальное искривление, но контур ее
остается плоским. В этом случае изменяется сам характер явле-
ния потери устойчивости по сравнению с идеально плоской пла-
стинкой. С самого начала напружения происходит рост прогибов
169

вплоть до наступления (критического состояния, которое харак-
теризуется тем, что нагрузка достигает максимума и дальней-
шее увеличение деформаций сопровождается падением нагрузки.
При определении критической наарузми первостепенное зна-
чение имеют условия закрепления краев в плоскости' контура.
Если края прямоугольной пластинки могут свободно деформиро-
ваться при иагружении, то начальное искривление ©сегда умень
шает критическую нагрузку по сравнению со случаем плоской
пластинки. Если натруженные края пластинки: могут переме
щатъся лишь поступательно, остава,ясь прямолинейными, то'воз-
можно как увеличение, так и уменьшение 'критической нахрузки
в зависимости от гибкости.1 пластинки и стрелки начального
искривления.
Соответственно должны изменяться и методы исследований,
В первом случае (свободная деформация краев) можно пользо-
ваться линейной теорией изгиба пластинок. Во втором-
случае следует учитывать растяжимость срединной
поверхности, для чего необходимо привлечение нелинейной тео-
рии изгиба оболочек малой 'кривизны.
Строго говоря, даже в рамках линейной теории следов ало бы
рассматривать не пластинку, а оболочку малой кривизны, т. &
учитывать "влияние начальных и дополнительных прогибов на
напряжения в срединной поверхности1. Однако, учитывая малость
начальной стрелки прогиба, ,мы будем игнорировать это влияние
и полагать, что напряжения в срединной поверхности имеют ту
же величину, что и в плоской пластинке. С этим допущением
линейное дифференциальное уравнение равновесия первона-
чально искривленной пластинки запишется так:
CV\2W + %t [а{х) [W + W°)xx+ 0{у) (W + W*)yy— 2\ху) О + Vf>)xy +
+ X(w + w%+Y(w + w*)y]==0. (1.14)
Здесь -а;0 — начальный прогиб;
<т — дополнительный прогиб (под нагрузкой);
к — параметр нагрузки;
X, Y—компоненты объемных сил.
Уравнение (1.14) справедливо только в упругой области.
Между тем потеря устойчивости первоначально (изогнутой пла-
стинки всегда связана с развитием пластических деформаций,
хотя бы в некоторых зонах. Это обстоятельство чрезвычайно
затрудняет строгое исследование задачи и объясняет, почему
до сих пор не получено точного решения ни .в одном случае на-
гружения. Один из путей обхода трудностей состоит в разыска-
нии неограниченно упругих деформаций и использовании неко-
торых условных критериев предельного состояния (§ 15). Разу-
1 Под гибкостью нанимается отношение расчетной высоты к толщине
пластинки.
170

меется, таким способом можно получить лишь приблизительную
оценку величины критической нагрузки.
Промежуточные отсеки стенок в балках могут рассматри-
ваться, как пластинки, две поперечные стороны которых
остаются прямолинейными, а две другие, будучи связаны с поя-
сами, упруго защемлены. В крайних отсеках только одна сто-
рона сохраняет прямолинейность.
В дальнейшем рассматриваются лишь два предельных слу-
чая: свободная деформация всех кромок (гл. VII) и возможность
поступательного перемещения всех кромок при сохранении их
прямолинейности (гл. VIII).
§ 15. КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ
ИСКРИВЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ
Нашей целью является -выбор такого простейшего критерия
предельного состояния, который позволял бы приближенно
находить величину предельной нагрузки для слегка искривлен-
ной пластинки, исходя из упругого деформированного состояния.
При этом ограничиваемся рассмотрением лишь тех (нагрузок,
которые в идеально плоской пластинке вызывали бы одноосное
напряженное состояние. Такого рода критерий известен для
сжато-изогнутых стержней. Он состоит в нахождении приведен-
ного напряжения, которое сравнивается с пределом текучести.
В случае прямоугольного поперечного сечения предельное
условие записывается так1:
Здесь а —осевое сжимающее напряжение стержня;
Да —краевое сжимающее напряжение от изгиба;
ат — предел текучести;
а и Да вычисляются в предположении неограниченной
упругости материала.
Величина о, найденная из уравнения (1.15), дает прибли-
женное значение критического осевого напряжения.
Рассмотрим прямоугольную пластинку со сторонами 2 а и
2 Ъ. Начало координат поместим в центре пластинки и ось х
направим параллельно стороне 2 а. Предположим, что начальное
искривление превращает пластинку в поверхность, симметрич-
ную относительно обеих осей, с неотрицательной гауссовой кри-
визной. Пусть (нагрузка, действующая в плоскости ху, парал-
лельна оси х и симметрична 'Относительно этой оси. Обозначая
через ах — нормальное напряжение, параллельное оси х9 в сре-
динной поверхности искривленной пластинки и Аа^ —соответ-
1 Этот 'Критерий (был уже «апользован ib гл. IV, § 8.
171

ствующее краевое напряжение от изпиба, принимаем следующее
предельное условие1:
—ъ
В этом уравнении сжимающие напряжения ох и До^. считаются
полож»И1тельны1МН1. Таким образом, надо найти то сечение, нор-
мальное к направлению нагрузки, ,в котором среднее интеграль-
ное значение иршедеиного напряжения достигает (максимума,
и приравнять последнее пределу текучести. Известно, что даже
образование пластического шарнира в сечении, параллельном
одной из сторон пластинки, еще не означает исчерпаний ее ра-
ботоспособности, поэтому принятое предельное условие дает
нижнюю оценку величины предельной нагрузки.
Если эпюра нагрузки линейна и антисимметрична, то среднее
интегральное значение приведенного напряжения будем1 вычис-
лять в пределах сжатой половины ширины пластинки:
HtJV+ttH-9'- (ЗЛ5)
о
Разумеется, принятые выше критерии1 предельного состояния
пластинки дают весьма приближенную оценку величины предель-
ной нагрузки. В дальнейшем, рассматривая1 качественно некото-
рые стороны /изучаемого явления, -мы будем пользоваться еще
более грубым критерием, принимая предельное условие в виде:
maxlc^ + Дал.| = от. (4.15)
Полагая, что прогибы пластинки малы по сравеениюс длиной ее
сторон, условимся -вычислять напряжения в срединной поверхно-
сти без учета углов наклона касательных к плоскости ху.
Как видим, существенной частью предлагаемого метода
является разыскание деформаций (а' по ним и напряжений) пла-
стинки, имеющей начальное искривление, в предположении
неограниченной упругости материала. Для этой цели исполь-
зуется разложение решения неоднородного уравнения (1.14) по
собственным функциям однородной задачи;
§ 16. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД РЕШЕНИЯ
НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
Пункт 1. Рассмотрим пластинку с кусочно-гладким конту-
ром. Задача об устойчивости такой пластинки сводится к реше-
нию уравнения:
Cyfy*w = %L [w]9 (1.16)
1 Здесь и далее символ max обозначает точную верхнюю границу
функции.
172

где
L [w] = - t {%)wxx + a(y) wyy - 2т(жЛу + Xwx + Ywy) (2.16)
самосопряженный дифференциальный оператор, который может
быть представлен в виде:
L[w]=-t [(а(Л )х+ (awwy )y- (^xy)Wy )x- (x(xy)Wx )y] (3.16)
при условиях:
(4.16)
Здесь a(Jt), 0(y), т^) — компоненты плоского напряженного со-
стояния;
X, У — компоненты объемных сил.
На контуре пластинки выполняется условие
w = Q. (5.16)
В отношении других граничных условий пока никаких предпо-
ложений не делается.
Пусть wl и wk — две функции, исчезающие иа контуре пла-
стинки и имеющие кусочно-непрерывные вторые производные.
Пользуясь самосопряженностью оператора L [w] и интегрируя
по частям, можно получить:
jjL [wi] wk dx dy = JJL [wk] wg dx dy= JjXj [wiP wk] dx dy, (6.16)
где
Lx [wit wk]=t[a(x)-^ • ^ + 0(y)
dW/ (^ _^ ^ dWj ^ dWk
dy dy
-4^+f •£)]• (7Л6>
Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение, эквива-
лентное уравнению (1.16):
w(x, y)=*$$G{xfy; s, f)L [w{s, t)]dsdt (8.16)
Ядром G {x, y; s, t) уравнения (8.16) служит функция Грина
данного дифференциального уравнения, представляющая поверх-
ность влияния для прогиба пластинки в точке ху. В силу прин-
ципа взаимности перемещений ядро симметрично, т. е. оно со-
храняет тот же вид при замене х, у на 5, t. Функция G удовле-
творяет граничным условиям задачи; поэтому на основании соот-
173

ношений (6.16) можно преобразовать (8.16) в интегральное
уравнение:
w (х, у) = xjjX [G] w (s, t) ds dt; (9Л6)
£3
однако ядро его в общем случае будет несимметричным.
Уравнение (9.16), а следовательно, и уравнение (8.16) имеют
бесконечное (счетное) множество собственных значений, -в общем
случае —обоих знаков1. Заметим, что одному собственному зна-
чению могут отвечать несколько (конечное число) линейно неза-
висимых 'собственных функций. Для дальнейших рассуждений
нам удобнее будет пользоваться уравнением (8.16).
Пусть ф, и <\>k — две собственные функции, отвечающие
различным собетвенньш значениям *,- и xft. Подставим ф,- вме-
сто w в уравнение (8.16), умножим на —L \tyk(x, у)] и проин-
тегрируем в области £2. Получим:
~^№{х> у) L [^k {Xt у)] dx dy=~^SlLi [*" *k] dx dy=
= ^G (x,y; s, t) L [if, (s, t)] L \% (x,y)} ds dt dx dy. (10.16)
2 2
Аналогично можно написать:
g
™UU0(*'J'; ^^^[♦^^Ol^ft/C^J')]**^*'. 0Ы6)
В правой части (11.16) поменяем местами переменные х, у
и 5J. В силу симметрии ядра правые части (10.16) и (11.16)
совпадут. Замечая, что
и вычитая (11.16) из (10.16), найдем:
j$L1[b,b]dxdy = 0. (12.16)
Это уравнение является аналогом условия ортогональности соб-
ственных функций нагруженного интегрального уравнения.
Соотношения (6,16) показывают, что (12.16) может быть
также записано в форме:
ДО>, L [фА] dx dy = Ц% L Ш dx dy = 0. (13.16)
1 См., например, [4].
174

Пункт 2. Обоснование возможности разложения ядра по
собственным функциям мы дадим лишь для частных случаев
выражения L [w^.
Представим уравнение (8.16) в. виде:
w(x, v) = xJJZ.1[0, w(s,t))dsdt. (14.16)
Пусть отличен от нуля только компонент а^; тогда
w (х, у) = *$fa} (s, t) Gs (x,y; s, t) ws (s, t) ds dt.
я
Дифференцируя mo x обе части этого уравнения, получим:
™х [х,У) = *J fa) (s, t) Gsx (x,y; s, t) ws (s, 0 tfs rf*. (15.16)
Мы получили напруженное интегральное уравнение относительно
функции wx с симметричным непрерывным ядром К Особенность
этого уравнения в том, что весовая функция <j(.V) может изме-
нять знак в области Ъ1У однако она обращается в нуль лишь на
конечном числе линий. Вопрос о разложении ядра 0XS решается
на основе теории, разработанной М. Г. Крейном- [8]. Им рассмо-
трен случай непрерывного ядра К(х, s) в квадрате а < х, s < Ъ,
положительного © том смысле, что
))к{х, s)df(x)df(s)>0
а а
для каждой функции f(x) с ограниченным изменением. Эти
условия, которые могут быть распространены на случай любого
числа намерений, выполнены в> рассматриваемой нами задаче.
Более того, наличие лишь конечного числа линий, на которых
в(Ж) обращается © нуль, (позволяет упростить результаты.
Пусть *,, х2, х3, ... — последовательность собственных
значений, расположенных в порядке возрастания их абсолютной
величины. Каждое собственное значение пишется! столько раз,
сколько ему отвечает линейно независимых собственных функ-
ций. Далее, пусть фг (х,у). ф2(л» у)ч ...—соответствующая си-
стема собственных функций, ортонормированная в том смысле,
что
1К)^---аз?^^ = ° ПРИ 1фк>
2
1 Симметрия ядра вытекает из самого (способа его образования, так как
смешанная производная симметричной функции по одноименным переменным
должна быть симметричной. Иначе это можно доказать там, что Gxs пред-
ставляет поверхность влияния для угла поворота от движущегося единич-
ного момента.
175

Тогда на основании исследования М. Г. Крейна ядро уравнен™
(15.16) может быть, представлено в виде ряда, сходящегося
абсолютно и равномерно относительно всех переменных1.
а„(х, у, ,, *)» 2 ** f у) ■ JiiflL. » (16.16)
,_1 OX OS |х,|
а резольвента неоднородного уравнения
w~x(x, у) = <?(х, _у) +
+ *Иб«(*..У; s, t)als)(s, t)^(s, t)dsdt (17.16)
разлагается *в аналогичный (ряд
*W(*.jQ . *h (s, t)
Г (х, у\ 5, t\ х) =2 —■ — signx,. (18.16)
Пусть / (х, у) — равномерно непрерывная в области & функ-
ция, исчезающая на границе области и имеющая непрерывную
аггроизводную по х. Подставим fx вместо ф (х, у) в уравнение
(17.16). Как известно, решением этого уравнение^ служит его
правая часть после за)мены ядра резольвентой и ws (s, t) функ-
цией fs(s, t). Ряд (18.16) сходится (равномерно, следовательно,
возможно^ почленное интегрирование. Выполняя квадратуры, по-
лучаем:
f дЬ(х>У)
^ГЛх,У) = /Лх*У) + *Т>— ^ , (19.16)
,•-1 **-*
где
fi = Sign x, J J /, (S, t) i*^L ais) (5, t) ds dt =
= sign*,(Л, -^-) (20.16)
/-й коэффициент Фурье'разложения функции fx(x, у).
Интегрируя обе части (19.16) по х, найдем:
w(x, у) = /(л, у) + х f f,*'l*f +Н(у),
/-1
1В работе М. Г. Крейш этот ряд дополняется еще одним слагаемым»
которое в данном ^случае тождественно (равно щлю. То же справедливо
для приводимого «ниже шыгражеигия (резольвенты (18.16).
176

где Н(у) —произвольная функция от у. _
Из условия исчезновения на контуре функций w, /, ф,- не-
трудно найти, что Н (у)~07 после чего
^(х,у)^ПХ,у) + ^-^^-. (21Л6)
Если fx(x, у) представима истокообразно1 через ядро уравне-
ния (15.16), то, пользуясь разложением (16.16) и рассуждая, как,
в предыдущем случае, можно показать, что
f{x,y)=Y1fMx,y),
откуда
Ъ^У)^**^' (22Л61
Если система {ф,} не нормирована, то выражение (20.16) за-
меняется следующим:
/t^^ds ' dsL (23.16)
\ ds ' ds }
Пусть начальное искривление пластинки задано уравнением
щ=/(х,у);
тогда увеличение прогиба под нагрузкой представится выраже-
нием:
w = V *Ъ(Х-У) . (24.16)
В частном случае, когда f(x, у) = с фт (х, у), где с — постоян-
ная, вое fi раины нулю, 'Кроме /т = с, и
w= ci/m(x,y) _
Особенно важен случай т = 1; тогда
g^i С*. .У)
W =
-2—1
1 Гсйворят, что ? (х) представима истокообразно через ядро К (х, s)y
если (Существует такая функция h (х) с интегрируемым ивадр атом, что
<р (л:) — \f((x, s) p (s) h (s) ds [p {s) —весовая функция].
Это определение сохраняется при любом числе переменных {ом. [4J).
12 Б. М. Броуде I77

и
w = w° + w = —~~-. (25.16)
1- —
Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда от-
личен от нуля только компонент \V)- Случай, когда! имеется
только компонент т(т^, требует более сложных рассуждений, ко-
торые здесь ее приводятся. Для этого напряженного состояния
точные -выражения собственных функций неизвестны; поэтом)
приходится заменять их 'приближениями, поручаемыми каким-
либо из прямых телодав, о чем говорится в п>. 3.
Пункт 3, Пр-ямые методы решения предельных задач
(к числу которых относятся задачи об устойчивости упругих
систем) основаны на экстремальных свойствах собственных зна-
чений1. Вместо решения дифференциальных или интегральных
уравнений разыскивается минимум функционалов, порождаю-
щих указанные уравнения: Собственные функции разыскиваются
В' «виде линейных комбинаций.
w = YiAiui, (26.16)
где «ь w2, и&.-., ип — линейно независимые функции, удовлетво-
ряющие граничным условиям задачи; Аи Л2,..., Ап—неопреде-
ленные коэффициенты, Таким образом, еаршционная задача
-отыскания минимума функционала суживается ib том смысле,
что класс допустимых функций ограничивается комбинациями
вида (26.16).
Все ©ыводы настоящего пар-аграфа легко распространяются
;на приближенные решения, даваемые прямыми (методами. Для
этого достаточно заменить ядро- уравнения (8.16) его приближе-
нием; при помощи выражений вида (26.16), т. е, ввести, выро-
жденное ядро:
G (*, у; s,t)= £ alk щ (х, у) uk (s, t) ,
/, a—i
где olVz подобраны так, чтобы среднее квадратическое уклоне-
ние от G (х, y\ s, t) в области & было наименьшим.
Собственные функции уравнения с вырожденным ядром удо-
влетворяют обобщенному условию ортогональности (26.16).
Остаются справедливыми и разложения (16.16) и (18.16), в ко-
торых ряды заменяются конечными сумм ами. Тем самым
снимается ©опрос о сходимости и указанные разложения сохра-
няют силу в общем случае, т. е. при наличии трех .компонентов:
3(х), °(у)> х(ху]- Надо сделать только одну оговорку, что все это
справедливо лишь для такой функции / (х, у)у которая является
1 Gm.', например, [1].
178

линейной комбинацией функций системы {щ}. Если это не
имеет места, то вместо функции / (х, у) берется (Наилучшее при-
ближение к ней (в смысле среднего квадратичного уклонения)
линейными агрегатами вида (26.16).
§ 17. ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАДАЧИ, РАССМОТРЕННОЙ В § 16
Пункт 1. В предыдущем параграфе было установлено, что
для (нахождения дополнительных напряжен™, вызываемых на-
чальным искривлением пластинки, необходимо найти спектр соб-
ственных значений и соответствующие собственные функции.
Лишь в случае равномерного сжатия прямоугольной или круг-
лой пластинки эта задача легко выполнима. Как известно, спектр
собственных значений свободно опертой; прямоугольной пла-
стинки, сжатой в направлении оси х (рис. 37), дается формулой:
_ (/2+у2^2)2
Kt, J
/2^2
1,2,3,...),
а соответствующие! собственные функции определяются выраже-
нием:
ty*f/ = sin ЫЪ sinjizri,
а Ъ
Однако уже в случае неоднородного одноосного напряжен-
ного состояния отыскание собственных значений (или собствен-
ных функций) выполнимо
лишь приближенно и при-
том требует большого коли-
чества вычислений. Более
того, нельзя построить об-
щей формулы для нахожде-
ния спектра собственных
значений, а можно лишь
указать прием, посредством
которого каждое из собст-
венных значений может быть
приближенно вычислено. То
же справедливо и в отно-
шении собственных функ-
ций. Благоприятным обычно является то обстоятельство, что
собственные значения в данном спектре быстро возрастают;, по-
этому нередко можно ограничиваться вычислением небольшого
числа их. Для отыскания собственных значений (функций) при-
меняется один из прямых методов (Галеркина или Ритца).
Рис. 37
12*
179

Форма дополнительного искривления пластинки разыски-
вается в (виде ряда
w = X Ai щ,
где каждая из функций щ удовлетворяет пряничным условиям.
Удерживая п членов этого ряда, сводим задачу к отыскаевю
собственных значений квадратичной формы от п переменных,
В общем случае дискриминант этой формы имеет вид:
£> =
ап — %Ь1г
^12 Х^12
«i« - *Ь1п
«12 — *&12
^22 ~~ *^22
аЪп %®2п
—
—
Ящ — *Ь1п
а2п %®2п
Ъ» - *1>т
Собственные значения служат корнями уравнения
Для разыскания коэффициентов Alf определяющих ©ид соб-
ственной функции, заметим, что они могут быть найдены лишь
с точностью до произвольного множителя; поэтому можно,
например, положить Ах = \. Остальные (коэффициенты найдутся
из (выражения:
<- \)WMU
Аг
м1:
(1Л7)
где Ми — минор, получаемый из Dn вычеркиванием 1-й строки
и« 1-го столбца.
Рассмотрим отдельно случаи чистого изгиба и равномерной
нагрузки на одной из кромок станки.
Пункт 2. Рассмотрим и р я м о у г о л ь н у ю оластинк у,
подверженную чистому изгибу (рис. 38):
о, = о(1-2Ч).
Упругая поверхность пластинки разыскивается в виде:
w = sin /птг£ S At sin 1щ .
/«1
Дискриминант квадратичной формы, представляющей потен-
циальную энергию, накопляемую при выпучивании пластинки из
начальной плоскости, запишется так (при п = 8) [1]:
180

D =
Fx
16
9
^2
0
1 48
25
tB
32
225
0
96
49
F*
Ft = **-
0
80
441
0
160
81
^5
(■^
u.2
2^
48
1225
0
144
729
0
240
121
^6
r)'
X
0
112
2 025
0
224
1089
0
336
169
Ъ
64
3 969
0
! 192
3 025
0
320
1521.
0
448
""225
^8
(2.17)
В табл. 47 приведены первые два собственных значения при
различных величинах — (т — число полуволн упругой ттоверх-
т
ности в направлении оси х).
Таблица 47
т
Ч
Н
0,25
45,7
131
0,50
25,5
169
0,95
26,3
399
Рис. 38
Коэффициенты собственных функций, вычисленные по фор-
муле (1.17), указаны © табл. 48.
181

Таблица 48
Коэффициенты собственных функций
т
0,5
0,95
Индекс
собствен-
ной функ-
ции
к
1
2
1
2
л<*>
1
1
1
1
л<*>
0,67758
0,15232
0,42318
0,07596
4*
0,16520
— 0,86458
0,04749
— 0,90696
Д?>
0,02453
— 0,69375
0,00478
— 0,59052
А^
0,00427
— 0,23612
0,00075
-0,16024
Ак)
р,00Ю4
- 0,05236
0,00021
— 0,02995
о
р^
Заметим, что в ряде коэффициентов k-й собственной функции
должно быть точно k — 1 перемен знака, как это следует из
общей теории матриц [9].
Пункт 3. Рассмотрим
прямоугольную свободно опер-
тую пластинку, верхняя
кромка которой равно-
мер но загружена с ин-
тенсивностью pi (рис. 39),
Нагрузка на кромке пр едпо-
лагается уравновешенной на-
гр узкой, р астр еделенной по
срединной плоскости пластин-
ки по закону:
Яу
Рис. 39
2b
sin тс?].
Напряженное состояние пластинки описывается уравнением:
°У = ^Г0 +COSTCY]).
(3.17)
Форма выпучивания пластинки задается выражением:
г
w = sin «5 S At sin mr\,
что приводит к квадратичной форме с яшбиевой матрицей.
После некоторых преобразований, элементы этой матрицы запи-
сываются так:
2(1 + ^2)2 л
182

Я/, i-\ ■
di, /+1 = —
1-1
21
i+1
2*
a,-y = 0 при |t —у | > 1 .
Собственные значения приведены в табл. 49.
Таблица 49
и-
Порядок
определителя
*1
-н
Ч
4
6,259
—
—
1,0
6
—
13,599
25,57
7
—
13,599
25,56
6
5,123
7,92
11,79
0,5
7
—
7,92
! 11,60
8
—
—
11,58
Коэффициенты собственных функций приведены в табл. 50.
Таблица 50
Коэффициенты собственных функций
V*
1.0
0,5
Индекс 1
собствен-
ной функ-
ции {к) |
1
2
3
1
• 2
3
др>
4k)
0,27851
-0,41176
—0,68640
1,43998
0,57828
0,06022
д?>
0,03714
-0,28893
0,13385
0,74489
- 0,32554
-0.35914
л<*>
0,00290
—0,06889
0,31699
0,21042
—0,37971
0,07960
4k)
-0,00920
0,12938
0,03786
—0,15599
0,22316
лф
0,02432
0,00379
-0,03902
0,10561
4*>
0,00690
-0,0093*
0,00080
Коэффициенты разложения
Пункт 4. Рассматриваются прямоугольные свободно опер-
тые пластинки., имеющие начальное искривление, заданное выра-
жением:
wo =fQ sin тг£ sin Tzri. (4.17)
183

В. случае одноосного напряженного состояния, описываемого
уравнением:
0^ = 0(1 -ат))
собственные функции имеют вид:
оо оо
га"
ф = £ S A^sinn^sinbTj (A =1,2,...). (5.17)
Для вычисления коэффициентов! разложения функции w° по
^функциям системы {фЛ} служит формула! (23.16), которая после
замены переменных интегрирования принимает вид:
$\'*J*~"^t**1
f.=-H ^ ^ , (6.17)
1Ь
as
dErft]
где интегрирование распространяется на квадрат 0< 5, ^ < 1 .
При почленном интегрировании, числителя каждое из слагае-
мых содержит множитель вида
t
jcos ъ% cos mr; d£,
и
который отличен от нуля только при п=\\ поэтому для фА
достаточно принимать выражение:
бд = sin icg J] Л1А) sin №7],
после чего
4в('-т) + -1т-2 4в-
л-л ; 2 ,:' Г "~-Д—, (7.17)
где / — четное число;
р + q — нечетное число.
В частности, при: чистом изгибе а = 2и
ZaW—1—
Переходя к напряженному состоянию (3.17), имеем следую-
щее общее! выражение:
л= Ч„ д\, д:—• (9.17)
JH-^T*"4
Ш

Принимая для % -выражение (5.17), убеждаемся, что можно
положить лг = 1, после чего нетрудно найти:
Л=Л ^^ 00.17)
S /*(4*>)2+ S AfA\%t{i + \)
/-1 /-1
§ 18. ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОГО ИСКРИВЛЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
Пункт 1. Рассмотрим прямоугольную свободно
опертую пластинку, равномерно сжатую в н а-
правлени стороны а (рис. 37) и имеющую начальное
искривление
w^ *= /0 sin тс£ ■ sin тст] .
Прогиб, вызываемый сжимающей нагрузкой, представляется
выражением:
w=== —h— sin^-smir/].
X
Краевые напряжения от изгиба, параллельные оси х, нахо-
дятся по формуле:
Et
■* 2(1 — v2) v ** ' yy/
__ K%Ef0t I 1 \ SlnTC?.Sin70)
2(l-_v2)№
/ 1 \ SlnTCg-Sin7i
Предельное условие (2.15), видоизмененное в соответствии
с принятыми здесь обозначениями, запишется так:
max
jj(., + ^)-,)-V (1.18)
Максимум 'выражении в фигурных скобках достигается при
£ —— в Ограничиваясь рассмотрением квадратной пластинки
([t==l) и заменяя-^- отношением —— , где а0 —критическое
напряжение плоской пластинки из неограниченно упругого мате-
риала, о —искомое напряжение в срединной поверхности
искривленной пластинки, получим из (1.18):
а+ jff*' 1 -ат. (2.18)
Y 2 (1—^)^3 — —i
а
U5

Из этого уравнения находится а, после чего -может быть вычиь
характеризующее уменьшение критиче-
сленб отношение
<*п
около напряжения в пластинке с начальным искривлением.
В дальнейших вычислениях используются следующие меха-
нические характеристики стали марки Ст. 3:
предел текучести зт = 2,4 т/см?;
предел пропорциональности апр = 2,07 т/см*ч
Если величина з0, принимаемая при вычислении отношения —
[roe смешивать с (величиной о0, подставляемой в уравнение
(2.18)!], превосходит спр, то она заменяется величиной V = 6а01
где
2,89 - 0,02565 "l/ -^
°0
<—(°о в г/сж2).
В табл. 51 приведены значения
/о *
личных отношениях -^ и —
°0
Ш'
вычисленные при раз-
Значения
°о
ш
Таблица 51
для квадратной пластинки
/о
b
""""^^^ /
од
0,2
0,3
0,5
1,0
60
0,804
0,716
0,656
0,572
0,447
70
0,881
0,806
0,750
0,664
0,536
80
0,930
0,871
0,824
0,745
0,620
100
0,961
0,923
0,896
0,841
0,735
П у н iK т 2. Рассмотрим прямоугольную свободно
опертую пл астизеку, под© ер ж ей ну ю чистому
изгибу (рис. 38) и имеющую начальное искривление
w°=f0sin rc£-sinrc7].
Напряжения в срединной поверхности искривленной пла-
стинки принимаются равными их проекции на плоскость £т):
2т]). (4.18)
а,=а(1
Прогиб под нагрузкой представляется выражением (24.16).
При этом надо иметь в виду, что собственные значения могут
быть как положительными, так и отрицательными. Приписывая
186

отрицательным собственным значениям отрицательный индекс
и переходя к переменным Z, % можно переписать (24.16) в виде:
W==Z~~^~r + li Izi-l • (5Л8)
Поскольку эпюра напряжений (4.18) обратно симметрична от-
1
носительно прямой г\ = — , можно положить х„; = — х/ .
ф-i получается из ф^ заменой yj на 1 —т], поэтому
г
Ф_, (2, ^«sinicgJ^C—iy+1sinyic7j, (6.18)
где Л)г)— коэффициенты i-й собственной функции (табл. 48).
Из симметрии формы (начального искривлении можно заклю-
чить, что f-i =//, где fi находится по формуле (8.17). Поль-
зуясь этими замечаниями и удерживая лишь конечное число
членов в (5.18), получим:
W
У sin у ъг\
(7.18)
Сжимающие краевые напряжения от изгиба' найдутся из вы-
ражения:
2(1
^г(^-+'-«)• (8-'«)
Предельным условием служит уравнение (3.15), которое
в обозначениях данного параграфа, принимает вид:
max
б
{2J(a,+ -^rf4}-«r (9.18)
Очевидно, что максимум выражения в фигурных скобках дости-
гается при Е =-9-»иосле чего уравнение (9.18) преобразуется так:
187

X
° I nEt Г \? ft v
f«l %
y-i /=l * "*"
2](-l/+1 A^^+yv) (l -cos ^)]-.- (10.18)
Подставляя в это ураенеиие
7t*C
можно найти о и 'вычислить значение
<*о
, где а0 критиче-
ское напряжение плоской пластинки.
В табл. 52 приведены результаты вычислений для пластинок
с отношением сторон у = 0,5 и [1 = 0,95 при q = 2 и r = 6. Вели-
чины Лу* и у.^ взяты из § 17 (п. 2).
Таблица 52
Значения
°о
и-
T^\i
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,5
100
0,833
0,715
0,639
0,583
0,538
150
0,900
0,826
0,770
0,719
0,682
200
0,948
0,907
0,874
0,841
0,808
0,95
100
0,960
0,898
0,841
0,794
0,757
150
0,968
0,932
0,900
0,873
0,851
200
0,993
0,977
0,961
0,945
0,929
При составлении табл. 52 значения а0 для -г- = 100 вычис-
лены с учетом перехода напряжений в части сечения пластинки
за предел пропорциональности *.
Пункт 3. Пусть прямоугольная с в обо дно опер-
тая п л а с т и н к а (рис. 39), имеющая начальное искривление
w"
=/0 sin тс с sin ъть
»См. [1], стр. 183.
188

несет man стороже у = 0 равномерную нагрузку
интенсивностью ptf уравновешенную так, что напряжения
«в срединной поверхности изменяются по закону:
ay = ^-(l-i-COs«7i). (11.18)
Эта нагрузка [вызывает прогиб пластинки, который может быть
найден но формуле (5.18). Удерживая (конечное число членов
ряда б (5.18) и полагая
Ф* (£,?]) = sin тс£ 2 Afsinjn-q, *
где Ajl) берутся из табл. 50, (приходим к следующему выраже-
нию для прогиба под нагрузкой:
q г
= sin7usV %(/1 N1 Afsiny^. (12.18)
Входящие е Быражение (12.18) значения *,- берутся из
табл. 49, а величины// вычисляются по формуле (10.17).
Краевые сжимающие напряжения от изгиба! можно найти из
выражения:
Ч=- 2(1-'*») a» 0*'^ + ^ц)- (13Л8)
Предельное условие (2.15) применительно к данному случаю
запишется так:
w
"»{№>+-%■)«}■
„ \ у ' Г2 / J ^
о
Подставляя сюда Оу и Да^ из (11.18) и (13.18) и выполняя
квадратуру, получим:
max Нг(1 + cos «ч) + /-^n_v2U2 / , *, ' л Х
/2(1—v2)a2 ^j 1L_X
i-i
X^^/^ + ^iny^ } = oT. (14.18)
Дифференцируя но tj, получим условие экстремума:
я
— —Sin тгс -л ~4 — X ^ X
2 ' ! /2(l-va)fl2 /, 2L_{
г
X^4V(7V + v)cosy*4==0. (15.18)
;=i
189

Другим условием для определения р я ?] служит уравнение
(14.18) после устранения символа max в левой части. Прод этом
делается подстановка
Решая совместно оба. уравнения, найдем р, после чего можем
вычислить — ,где Ро — .критическое напряжение плоской ила-.
Ро
стинки. Результаты вычисления при у =0,6 и \*>= 1,0 приведены
в табл. 53. При подсчетах принималось q = 3 и г = 5.
Таблица 53
Значения Л—
Ро
р*
х. а
/о \Т
t х.
од
0,2
0,3
0,4
0,5
75
0,84
0,75
0,70
0,65
0,61
1,0
100
0,94
0,88
0,84
0,80
0,77
150
0,98
0,96
0,94
0,93
0.93
0,5
75
0,94
0,90
0,87
0,84
0,81
100
0,98
0,96
0,94
1 0,93
0,92
Глава VIII
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОГО ИСКРИВЛЕНИЯ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНОК (нелинейная задача)
§ 19. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
Пункт 1. Пусть начальное искривление пластинки задано
в виде:
w°=f(x, у),
причем на контуре пластинки w° = 0. Предположим, что на-.
грузка действует в плоскости ху и вызывает в; срединной поверх-
ности) пластинки напряжения а(х), з{у)9 т{ху), В отличие от пре-
дыдущих глав здесь удобнее будет считать положительными
растягавашщие напряжения. Напомним, что мы условились
пренебрегать разницей между напряжениями \в срединной
поверхности покривленной пластинки hi shx проекциями на пло-
скость ху,
190

Если разыскивать прогиб (ш) под (Нагрузкой, то в рамках
линейной теории изгиба пластинок задача приводится к ин-
тегрированию уравнения
Су V^ — х t [aix) (w° -f- w)xx + o(y) (w° + w)yy +
+ 2<z{xy)(w» + w)xy]=0 (1.19)
при соответствующих граничных условиях. Когда нагрузка при-
ближается iK критическому значению для неискривленной пла-
стинки, иначе говоря, когда параметр * приближается к .пер-
вому собственному значению однородного уравнения, прогиб w
стремится к бесконечности. Это показывает, что линейная теория
не пригодна для изучения поведения пластинок при больших
прогибая!. Действительно, уже в тех случаях, когда прогибы
сравнимы с толщиной1 пластинки, следует учитывать деформа-
ции срединной поверхности;, т. е. вводить нелинейные члены
в выражения для относительных удлинений. Применение (Нели-
нейной теории становится неизбежным, если деформации сре-
динной поверхности обусловливаются полной или частичной
неизменяемостью контура, .как это имеет место в> рассматривае-
мых, ввже случаях.
Пункт 2. Обозначим через в{х)9 е{ )9 ч(ху) относительные
удлинения и относительный сдвиг в. срединной поверхности
слепка искривленной пластинки. Эти величины представляются
следующими выражениями, полученными В. 3. Власовым ([10]:
I )
Цху) "у 1 vx ху 1 х*у*
Здесь «, v—перемещения точек срединной поверхности, парал-
лельные соответственно оси х и у. Индексы х, у, не взятые
в скобки, обозначают операцию частного дифференцирования.
Составим условие совместности деформаций:
ди(х) , д2Ъ) _ д2Мху) _
ду2 ^ дх% бхду
= wly - ™хх wyy + 2w% wxy - [w°xx wyy + w°yy wxx). (зл 9)
С другой стороны, вводя функцию напряжений F{x, у)>
характеризуемую соотношеншши;
Fxx = <5(у), Fyy = o(jr), Fxy = — x(jejf)j (4.19)
191

имеем
BM=-E~(Fyy — *F*x)9
Чу) = -g- (Fxx — vFyy),
_ 2(l + v)F
(5.19)
llpeo6ipазуя левую часть (3.19) при помощи выражешй
(5.19), получим:
у V г — с L ху хх уу I .ry -vy
— (да0 да 4-ад° ^ ]1
(6.19)
Если пренебречь влиянием относительных удлинений в сре-
динной поверхности на изменение кривизн, что вполне допу-
стимо при малом начальном искривлении, то уравнение равно-
весия изопнутой пластинки сохраняет вид (1.19), Вводя в это
уравнение функцию напряжений F(x, у) и опуская параметр х,
получим:
Су2 V2 w - t {FyJw« + w)xx + Fxx (w° + w)
УУ
2Fxy(w» + w)xy}=0
(7.19)
Уравнения (6.19), (7.19) вместе с соответствующими гранич-
ными условиями формулируют поставленную нелинейную задачу.
Пункт 3. Все сказанное
выше относится к пластин-
кам с произвольным конту-
ром. В дальнейшем речь бу-
дет итти лишь о прямо-
угольной пластинке со сто-
ронами 2а и 26, равномерно
сжатой в направлении оси*
(рис. 40). Контур пластинки
будем принимать либо сво-
бодно опертым, либо сто-
роны у = + 6 будем пола-
гать заделанными, а две
другие стороны — свободно
опертыми.
В отношении деформации «контура в • плоскости ху ставится
условие, что стороны пластинки, оставаясь прямолинейныш,
могут перемещаться поступательно.
Рис. 40
192

Это условие записывается так:
а
J uxdx = const,
— а
b
j\vvdy = const.
(8.19)
Пользуясь уравнениями (2.19), (5.19) :и замечая, что при за-
данной [равномерной нагрузке ot на сторонах х = + &, условия
равновесия дают:
±-$Fxxdx = 0,
— а
1 *
~2Ь ) УУ^~
—ь
з == const,
(9.19)
можно переписать (8.19) в виде:
а I F 1 \
J (-^г j- w\ + w°xx w)dx = const,
ь //
1 -
—ft V
Ywl + wyy w) dy = const
(10.19)
П. Ф. Папкович [2<1, рассматривая пластинку без начального
искривления (w° ^= 0), показал, что условия (10.19) могут быть
значительно упрощены, если только F(x,y) и ш(х,г/) —четные
функции обеих переменных*; при этом ограничении усло-
вия (10.19) заменяются следующими:
Fxxx = 0 при х = ± а ;
^да = 0 ПРИ >/=±&.
(11.19)
Нетрудно убедиться, что условия (11.9) сохраняют силу,
если w° — четная функция, исчезающая на .контуре пластинки.
Для доказательства продифференцируем дважды по у первое из
уравнений (10.19):
УУУУ
"- -» .v xyy I xx у у '
xy
+ 2'Кху Wv + Wxxyy W )dX = 0.
12.19}
1 w будет четной, если — <уЛ2> так как в ЭТ0Л* случае форма выпучи-
вания при потере устойчивости есть четная функция.
13 Б. М. Броуде 193

Заменяя Fmu при помощи уравнения (6.19), получим после
несложных преобразов аний:
« г 1
Л L "^(F— + 2F*yy)* ~ (w* wyy"> * +
+ 2 «у ^,).v + wxxyy w - и^ w°yy J rfx = 0.
Интегрируя по ,v я замечая, что при л; = + а
найдем:
F =0*
0.
Если F(x,y) четная функция, то Fxxx должна быть нечетной
функцией от х, откуда
FXXX = Q при х= ±а. (13.19)
Обратно, если выполнено условие (13.19), то справедливо и
уравнение (12.19). Интегрируя последнее дважды по у, получим:
1 (т? - 4- < + <<w) dx = Л0 + Л1У)
где Л0 и Л1—постоянные. По определению, подынтегральное
.выражение есть четная функция от у; следовательно, А{=0.
Аналогичное доказательство можно провести для второго из
уравнений (10.19) и получить необходимое и достаточное усло-
вие прямолинейности сторон у=+Ь в виде:
F = 0
Сведем условия на контуре пластинки:
1) оу = 0; ^
2) -z«yrt/l = 0** (для свободно опертых сторон);
wn = 0 (для заделанных сторон);
3) FXV = Q;
4) Fnnr = 0 (при условии четности функций
w, w\ F);
5) fFxxdx = 0;
-а
1 *
6) IF! Fyydy=-v.
\ (14.19)
* Так как на контуре т( j = 9.
** Индекс п обозначает операцию дифференцирования по нормали к
контуру.
194

Условия 5,6 равносильны заданию средней интенсивности «на-
грузки -на кромках.
Пункт 4. Решение уравнений (6.19) и (7.19) при граничных
условиях (14.19) будем разыскивать, следуя приему, указан-
ному П. А. Соколовым [11] и П. Ф. Папковичам [2] для плоских
пластинок.
Рассмотрим свободно опертую пластинку, начальное искрив-
ление которой задано выражением:
оо счэ
™°=22^С08(2/-1)^-Х
Xcos(2/-l) Ц-. (15.19)
Разыскиваем w в виде:
ос оо
^ = 22 Bucos (2i - О ~Ш X
Xcos(2y-l)-^f. (16.19)
Тригонометрические ряды (15.19) и (16.19) сходятся равно-
мерно, так как они представляют разложение непрерывных
функций с непрерывными производными по крайней мере до
второго порядка. Все члены обоих рядов удовлетворяют гранич-
ным условиям 1,2 из (14.19).
Подставляя выражения для w и w° в правую часть уравне-
ния (6.19), преобразуам- ее к виду:
w2 — w w 4- 2w° w — (w° w 4- w° w ) =
xy xxwyy i ^ xy xy \ xx yy^ yy xx /
^IlS^cosi^coslf, (17.19)
где Dpq—однородные полиномы второй степени от Atj и 5/у-.
Ряд (17.19) также сходится равномерно в области &(-— а< х -<а,
— b<y< b).
Покажем, что D0o=0. Для этого проинтегрируем обе части
(17.19) в области 2
J | «у ~ ^хл- %у) dxdy + l J [2<, ^ -
- (Кх^уу + ^yy^xx)W dy = 5-Ак, (18.19)
Второй интеграл левой части (18.19) является вариацией пер-
вого, если рассматривать w +а ш°, как вариацию функцию w
(а—параметр). Действительно, подставляя в первый интеграл
w + aw° вместо ш, дифференцируя по а и полагая а = 0, по-
13* 1S5

лучим второй интеграл. Если пластинка имеет полигональный
контур, на котором w = О, то1
jJ(^~ w.xxWyy) dX d/= Ь$$№1у- WxxWyy) dX аУ = °'
Отсюда следует
Заменим правую часть уравнения (6.19) ори помощи (17.19).
Нетрудно убедиться, что частным решением этого уравнения
будет
оо оо
F1 = £^22^>2 + ^'Vr2cos^cos-^. (19.19)
Это решение удовлетворяет условиям 3, 4, 5 из (14.19). Для
того чтобы удовлетворить также остальным граничным условиям,
(необходимо присоединить к частному решению (19.19) соответ-
ствующие члены общего (Интеграла однородного уравнения
В данном случае остается не удовлетворенным лишь условие 6
из (14.19); поэтому достаточно удержать один член бигармони-
ческого полинома:
Л—5-Л
после чего функция
F=Fi)+F] (20.19)
будет удовлетворять ноем условиям (14.19).
Зная Fy можно найти перемещения сторон пластинки. Ввиду
-прямолинейности кромок достаточно найти перемещение одной
точки стороны. Полагая в первом из уравнений (10.19) у = b
и замечая, что при этом wx = w = 0, получим:
«= ^dfc = _2ef+ l*2(-l)«+'.-£f?. (21.19)
Аналогичным образом из второго уравнения (10.19) найдем при
х — а:
v = \lfdy=2±yi_ly^o£1 (2219)
Если средние напряжения на кромках пластинки заданы, то
уравнения (21.19), (22.19) дают перемещения кромок. Наоборот,
задаваясь перемещениями, можно найти средние значения кон-
турных напряжений.
5Gm. [1] стр. 20.
•196

Предыдущие рассуждения показывают, что уравнение (6.19)
удовлетворяется точно при функции w, заданной в виде ряда
(16.19).
Решение уравнения (7.19) находится способом, аналогичным
методу Б. Г. Галеркина, в котором непосредственное интегриро-
вание заменяется разысканием1 решения вариационного уравне-
ния:
JJ{CVT2 ^ - t [Fyy (w° + w)xx + Fxx (w° + w)yy -
- 2Fxy {w° + w)xy]} bw dx dy = 0, (23.19)
где
8W=228fivCos(2i-l)-^cos(2y-l)-5L.
В силу произвольности вариаций ЬВи уравнение (23.19) равно-
сильно требованию артоганальности левой части (7.19) ко всем
членам ряда (16.19). Удерживая конечное число членов этого
ряда, приводят задачу к решению системы алгебраических-
уравнений третьей степени относительно BfJ.
Как известно, метод Б. Г. Галеркина -предложен для реше-
ния линейных уравнений. Строгое обоснование сходимости про-
цесса Галеркина имеется лишь для обширного класса обыкно-
венных линейных дифференциальных уравнений и для некото-
рых Видова линейных уравнений с частными производными.
В рассматриваемой 'здесь задаче уравнение (7.19) по существу
не линейно, так как функция F зависит от коэффициентов' В1р
определяющих w. В описанном выше способе решения метод
Б. Г. Галеркина распространяется на случай самосопря-
женного уравнения с .коэффициентами, зависящими от вида
функции w. Математического обоснования сходимости предло-
женного процесса пока не имеется.
Пункт 5. Если стороны пластинки у = + Ь заделаны, а сто-
роны х = ± а свободно оперты, то для w° и w принимаются
выражения:-
со о:
«,0 = 22Хсо8(2*-1)-^- • [l + cos(2у-1)-^-1 (24.19)
w-
2SA7cos(2i-~l)^fl+cos(2y-l)^l. (25.19)
Каждый ив членов обоих рядов удовлетворяет граничным усло-
виям1 1 и 2 из (14.19). Функции w° п w — четные. Ход решения
к</

остается таким же, как в и. 4. Действительно, правая часть
уравнения (6.19) преобразуется к виду:
гЛ'е DPq — однородные полиномы второй степени от Аи и BiJt
a D()0 = 0. Дальнейшие рассуждения остаются без изменений.
Пункт 6. После того как найдена функция w9 т. е. полу-
чены ^значения BlJf становится определенной и функция напря-
жений F(x, у). Далее можно найти напряжения в срединной
поверхности1:
°(x) = Fyy9 Qiy) = FJCX9 -z{xy) = — Fxy
и краевые напряжения от изгиба:
Et
2(1 ^2) -^
£"/
— 2 И v2) -^
При рассмотрении предельного состояния сжатой пластинки,
обычно пренебрегают напряжениями от 'изгиба. Так, некоторые
авторы определяют наибольшую еелитану главного касатель-
ного напряжения в срединной поверхности выпучившейся пла-
стинки и приравнивают ее пределу текучести на срез. Разу-
меется, игнорировать напряжения от изгиба можно только
в очень тонких пластинках, близких к мембранам, в которых
преобладают напряжения в срединной поверхности. В общем
случае трудно сказать, компенсируется ли пренебрежение изги-
бом там, что за предельное состояние принимается появление
текучести лишь в одной точке.
П. А. Соколов [Hi] и П. Ф. Лалкович [2] также рассматри-
вают только напряжения © срединной поверхности. Предполагая,
что стороны пластинки, параллельные направлению сжатия,
жестко связаны с поддерживающими их ребрами, оба автора
фиксируют предельную величину укорочения ребер (или сбли-
жения нагруженных сторон), исходя из осевого напряжения
ребра, равного эйлерову. По заданному перемещению находится
среднее напряжение нагруженной кромки. Остается однако не
выясненным, не будет ли работоспособность пластинки исчер-
пана раньше вследствие наличия напряжений от изгиба.
298

'fcft'^H-
В дальнейшем мы будем учитывать напряжения от изгиба
и пользоваться предельным условием (2.15), которое в данном
случае запишется так:
ь
mini
\21
~ь
или
ъ
~а + min ~фш jA°w dy=~ °т- (26-'9)
-a
В некоторых случаях наряду с условием (26.19) мы будем поль-
зоваться условием:
max | <*(*) + Aow | = ст, (27.19)
дающим заведомо преуменьшенную величину предельной на-
грузки.
§ 20. СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПЛАСТИНКА
А. Пер в. о е приближение
Пункт 1. Рассмотрим свободно опертую прямоугольную
пластинку (рис. 40), равномерно сжатую параллельно оси х.
Начальное искривление задается выражением:
^°=/0cos —cos -S-. (1.20)
JQ 2а 2b v J
Разыскивая w в первом приближении, удерживаем в ряде (16.19)
один член. Полагая Вп =/, получим:
^=/cos— cos -^-. (2.20)
J 2a 2b V }
Пользуясь уравнениями (17.19), (19.19), (20.19), найдем:
p^_ ЕМ + *т (C0SI± + J_c08jyL)_i.y, (3.20)
32 \ a fx* b ) 2
Обращаясь к вариационному уравнению (23.19), получим:
_^_± +Л.(1 _v*)_L±£L . Л±Ж« =0, (4.20)
/ + /о *о 4 • О + Р5)2 '2
где
k = ^L, ko=WL = i±±J^ (при,</2);
здесь cj0 —критическое напряжение плоской пластинки.
Краевые (сжимающие) напряжения от нагиба определяются
по формуле:
Дс(г) = i (1 4- V|x2) COS —- COS -— .
199

Используя предельное условие (26.19) и замечая, что минимум
среднего значения Aa(v) имеет место при х —О, найдем:
где
Т l2C '
Внося (5.20) в уравнение (4.20), получим:
/ kT 12(1 +У) / j_
/+/о *о "/2^Ао /
+ —(1 — v3) 1+!t4 ./2 + 2//o=0. (6.20)
4 (1 -j- |j2)2 £2
Задаваясь значениями jx,-^ и —, можно найти из этою урав-
нения —, а заггем по формуле (5.20) определить k.
Пункт 2. Аналогичным образом, исходя из условия (27.19)
и замечая, что max | з1Л-)+До(Л.)| достигается на прямой х = 0,
получим:
+ ^L.i±^C0S.J^ = ^ (7.20)
Для нахождения экстремума левой части (7.20), дифференци-
руем ее по у:
sin-^-[(l-v2) / + 2/o cos^-1-v^] =0. (8.20)
2b LV ; t 2b r J V }
Одним из -корней уравнения (8.20) является у = 0. Для выясне-
ния того, достигается ли в этой точке искомый максимум, иссле-
дуем знак второй производной. Условием максимума служит
неравенство:
(l_v2)^±^<l-fv{i2. (9.20)
Поскольку величина / заранее неизвестна, задача решается
попытками. Полагая у = 0 в уравнении (7.20), получим:
k = kt + 3ll-*> ■ £±Ш.--*Г . 1±V . (Ю.20)
2р.2 f? t ;j-2
Рассматривая (10.20), совместно с уравнением (4.20), полу-
чим решение задачи, т. е. найдем А и—, после чего можно про-
200

верить выполнение неравенства (9.20). Если это неравенство не
выполнено, то из уравнения (8.20) найдем:
cos
ТСу 1 + VJJ.2
~2Ь ~~
l-v2 /+2/o
Исключая при помощи этого выражения cos-^- и cos ^—— из
f
3(1-V2)
уравнения (7.20), получим:
k = k -— M±^l
Т I** 1-v3 /+2Л 2ц2
Решая (11.20). совместно с уравнением
(4.20), найдем — и k.
На рис. 41 приведен примерный гра-
фик краевых напряжений в сечении #=0
при (i= 1,~ = 70 и у-=0,5.
Максимум |в(*) -|- д^(л-) ( оказался при ~^-=
= 1_
— ~з
Пункт 3. Приведем некоторые ре-
зультаты, полученные для квадратной
пластинки, исходя из предельного усло-
вия (26.19).
В табл. 54 указаны значения ~ при
/о „ 2*
2Ь
Р + 2//о
(11.20)
различных -^ и
а также отношения
— предельного напряжения для пла-
стинки с начальным искривлением к кри-
тическому напряжению плоской пла-
стинки.
0 1/з ф 1
Rue. 41
Т а б'л и ц а 5 4
Квадратная пластинка [Предельное условие (26.19)1
2а
t
60
и ] /
t ! t
од
0,2
0,3
0,5
1,0
3,0
0,345
0,395
0,441
0,472
0,474
0,341
°0
0,847
0,801
0,760
0J35
0.733
0.850
70
/
t
0,599
0,639
0,659
0,673
0,649
0,459
1,023
0,988
0,970
0,958
0,980
1,145
80
/
t
0,899
0,909
0,911
0,904
0,849
1 0,594
1,235
1,225
1,223
1,230
1,276
1,502
100
t
1,524
1,500
1,473
1,420
| 1,302
1 0,905
а
1,826
1,843
1,870
, 1.916
2,070
2,365
201

Сравнение с данными табл. 51, вычисленаьши в предполо-
жении нерастяжимости срединной поверхности и р и и з >г и б е
и свободной деформации кромок в плоскости пластинки, пока-
зывает увеличение значений — , особенно заметное -при нозра-
/о 2а
стании -^ и .
t t
В табл. 54 характерно то, что с возрастанием -^- значения —
/ з0
(при данном ——) вначале уменьшаются, >а затем1 начинают уве-
личиваться. Это объясняется тем, что с увеличением стрелки
начального искривления возрастает роль мембранных напряже-
ний, особенно наглядно проявляющаяся <в 'относительно тонких
пластинках I — > 80). При этом предельная напрузка пластинки
с начальным искривлением оказывается выше критической
нагрузки для плоской пластинки. Последнее- обстоятельство под-
тверждается и © случае применения предельного условия (27.19),
заведомо дающего преуменьшенные, против истинных, значения
предельных напряжений (табл. 55).
Таблица 55
Квадратная пластинка [предельное условие (27.19)]
2а
t
/о
t
0,2
0,3
0,5
1,0
3,0
/
t
0,441
0,479
0,530
—
0,321
70
о
<*Q
0,815
0,792
0,790
—
0,788
80
/
t
0,646
0,680
0,722
—
0,414
о
<*0
0,995
0,995
1,015
—
1,030
100
/
t
_
—
1,164
1,046
0,632
<т
<?0
_
—
1,555
1,599
1,602
Пункт 4. Оценим в первом приближении, как изменяются
значения — при изменении отношения длины сторон пластинки.
На основе условия (26.19) вычислены соответствующие вели-
Oh
чины для двух значений ^ при — — 70, приведенные в табл. 56.
Как (видно из этой таблицы, значения -— возрастают с увеличе-
со
нтем у-. В стальных конструкциях (балки, колонны) обычно
Р> 1; поэтому результаты, полученные для квадратной пла-
стинки, можно применять н пользу устойчивости но всех прак-
тически важных случаях.
202

Таблица 56
Прямоугольная пластинка при ;л=0,7 и у.=1,4 [предельное
условие (26.19)1
а
/о
0,3
0,5
1,0
0,7
t
0,434
0,456
0,453
а
"«о
0,762
0,731
0,735
1,4
t
0,695
0,706
0,662
1,046
1,040
1,062
Б. Второе п р и 6 л и ж е н и е
Пункт 5. Второе приближение рассматривается только для
квадратной пластинки. Прогиб w разыскивается в виде:
j. тел: л у
^ =/i COS COS —^
У J 2a 2£
х тел: Зтеу
-/2COS--—COS —^~
у 2а 2а
(12.20)
Формула (19.19) в данном случае перепишется так:
Е
^ = ~~[(fi2 + 2f1f2 + 2f0f1 + 2f0f2)cos^f +
+ (Л2 + 9/2* + 2/o/1)cos-^- + -J-/12cos-52 +
7tX
7Г_у
+ /2(/i+/o) 2cos —cos-^ +
a a
, 1 2теу
J COS —^-
2 a
Jfccyy
Далее имеем:
2 ^ *■*
— C6S COS
25 a a /J
03^
1 2
(13.20)
(14.20)
Производные этой функции подставляются в вариационное
уравнение (23.19). Поскольку выражение для w содержит два
параметра, вариации которых произвольны, приходим к следую-
щим двум уравнениям:
2/,3 + 3/г'Л + 6/оЛ2 + 4/о2Л + б/о/, /3 + 2/oV, + )
' 426-/22(/i+/o) +
25
4/2
' 3(1 —v»)
/13 + 3/0/12 + 2/oVi + 82/24
[(4-Л)/1-Л/0] = 0;
201
25
-/о2Л
+ -f-/i/»(/i + 2/0)+ 3(ТЛ) (10°-^ = °-
(15.20)
20Э

Краевое сжимающее напряжение от изгиба представится так:
ДоГи = — ■
3{Х)
8(1—Ч2)Д2
[/iO+v)
COS
2а
+ /2(l + 9v)cos
_3тсу
2а
COS
"2«~
Замечая, что наименьшее значение Acv достигается на оси у
и используя предельное условие (26.19), получим:
т я/2 L ' / 3 J
(16.20)
Уравнение (16.20) совместно с уравнениями (15.20) дает ре-
шение задачи.
При пользовании предельным условием (27.19). проще всего
решать задачу методом попыток. Для этого предварительно
полагают, что max '%Г) + Д°и I достигается в начале координат и,
решив задачу, строят эпюру суммарных напряжений в сечении
х = 0. Точка, в которой эпюра имеет абсолютно наибольшую
ординату, принимается за положение истинного максимума,
после чего вое (вычисления повторяются и, т. д. Обычно двукрат-
ного повторения бывает достаточно.
В табл. 57 результаты вычислений для квадратной пластинки
во втором приближении сопоставлены с соответствующими зна-
чениями, найденными в первом приближении.
Таблица 57
Квадратная пластинка. Сравнение значений, вычисленных в двух
приближениях
Предель-
ное
условие
(26.19)
(27.19)
2а
t
50
100
1 100
1
и
t
0,5
3,0
1,0
3,0
3,0
1-е прибли
/
t
0,309
0,238
1,30
0,906
0,632
жение
k
2,08
2,33
8,08
9,46
6,41
2-п
t
0,304
0,241
1,299
0,927
0,634
риближение
Л
t
-0,012
-0.020
—0,045
-0,080
—0,054
k
2,06
2,25
7,93
9,12
6,16
Разница
значений
к
в %
1,0
3,4
1,9
3,6
3,9
Сравнение показывает, что расхождение между первым
и вторым приближениями увеличивается с возрастанием —и
1204

— ; однако даже при -—=3,0 и —— — 100 оно не превышает
4%. Если ограничиться значениями — <1,то первое приближе-
ние можно считать достаточно точным.
§ 21. ПЛАСТИНКА С ДВУМЯ ЗАДЕЛАННЫМИ КРАЯМИ
Пункт 1. Рассматривается пластинка, равномерно сжатая
параллельно оси х (рис. 42), стороны которой у =+ b заделаны,
а стороны х= + а свободно оперты. Края пластинки, оста-
ваясь прямолинейными, могут .перемещаться поступательно.
Пластинка имеет начальное искривление
w
°——/0 cos-^f 1 -I- cos ~^-
2 J0 2а V Ь
6t
(1.21)
Рис. 42
Задача решается в первом приближении, т. е. прогиб под
нагрузкой разыскивается в виде:
w = — /cos — 1 + cos
2 J 2a {
Составляя выражение
b
(2.21)
w:xv ~ wxx wy + 2w°xy wxy — {w°xx wyy + ^ wxv)
*xy '
и внося его & уравнение (6.19), получим частный интеграл по-
следнего в виде:
/V
32
(/2 + 2//о
, тел; ,
1л.2 COS [-
а
ку
—;
COS
а
1 2к\>
COS —-
7ty
cos——
ь
*
1
(3.21)
205

Общий интеграл уравнения (6.19), удовлетворяющий гранич-
ным условиям, запишется так:
F = F1 + F0 = F1-^-. (4.21)
Составляя выражения для частных производных функции F
и внося их в вариационное уравнение (23.19), получим после
несложных преобразований:
0,623706 (/ + /0) (р + 2//0) + /*2 /2,509532- 12° аЬ*
№Е
120
№ Е
■ й2/о* = 0. (5.21)
Пункт 2. Пользуясь предельным условием (26.19),
нетрудно получить:
а=от == -^— • (6.21)
т 16/2 (1-^2) (*а &2
Решая совместно уравнения (5.21) и (6,21) при заданных —
2b f с
и —, можно найти —, с и ■— , где а0 — критическое напря-
* t с0
жение плоской пластинки, ^вычисляемое из уравнения:
2,509532 - — • — а0 - 0, (7.21)
которое получается из (5.21^при /o==f = 0. Если найденная ве-
личина а0 превышает предел пропорциональности, то вводится
поправка по формуле (3.18).
Пункт 3. В случае применения предельного условия
(27.19), вместо уравнения (6.21) появляются два уравнения,
на<п<исшные для сечения х = 0:
32 а* \ 4 b ' L (1 + № J 6 J
b \ t [ b ^ Г (1 + yffl J
Как и в случае свободно опертого контура (§ 20, п. 2), мак-
симум bu)+Aa(Jtr| достигается либо в начале координат, либо при
значении у> обращающем в нуль выражение в фигурных скоб-
ках "в (9.21). Уравнения (8.21), (9.21) вместе с уравдением
(5.21) достаточны для решения задачи.
206

В табл. 58 приведены результаты вычислений при р. = 0,9,
для двух значений — . Сравнение с данными для свободно
опертой пластинки (табл. 54) показывает, что при отношении
=100 заделка уменьшает значения —. Этот результат законо-
мерен, так как -вообще с уменьшением (гибкости убывают и зна-
ет 2Ь
чения —, а из двух пластинок с одинаковым отношением
а0 t
меньшую гибкость имеет та, чей контур частью заделан.
Следует подчеркнуть, что соотношение между значениями —
в двух случаях закрепления контура существенно зависит от
того, будут ли 'величины з0 больше или меньше предела про-
порциональности. Известно, что с уменьшением и перехо-
дом а0 -эа предел пропорциональности влияние заделки1 краев
на величину з0 резко уменьшается, так как верхней границей
для с0 всегда остается предел текучести. Таким образом, при
малых значениях
— величины а0 © свободно опертой и ча-
стично заделанной пластинках сближаются. Что же касается
напряжений а, /то, поскольку они находятся из рассмотрения
упругих деформаций, /величина их в свободно опертой пластинке
всегда меньше, чем в заделанной. Отсюда следует, что для
„ 2b a
достаточно малых значении соотношение 'величии — может
t а0
Таблица 58
Прямоугольная пластинка (у =0,9); стороны у= ±Ь заделаны
Предель-
условие
(27.19)
(26.19)
2Ь
t
А
t
0,1
0,2
0,3
0,5
3,0
0,1
0.2
0,3
0,5
3,0
/
t
0,081
0,130
0,161
0/205
0,199
0,105
0,178 !
0,229
0,291
0,254
60
! а
Т/см3
1,959
1,734
1,623
1,528
1,600
2,255 I
2,154
2,084
1,998
2,024
а
"°о
0,842
0,744
0,697
0,656
0,688
0,968
0,925
0,895
0,858
0,869
/
t
0,534
1 0,609
0,665
0,750
0,533
1,011
1,036
1,046
1,043
0,674
1G0
и
Т!см*
1,467
1,413
1,401
1,442
1,587
1,897
1,885
1,880
1,881 |
2,065
а
»о
0,941
0,906
0,899
0,925
1,018
1,217
1,209
1,206,
1,206
1,324
207

стать противоположным тому, которое имело место при а0}
меньшем предела пропорциональности. Это можно наблюдать
п,р,и —L = 60 , сопоставляя данные табл. 54 и 58.
§ 22. ПЛАСТИНКА С НАЧАЛЬНЫМ ИСКРИВЛЕНИЕМ
И ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКОЙ
Рассмотрим слегка искривленную пластинку, нагруженную
силами, действующими ъ плоскости контура (ху) и несущую
поперечную нагрузку q(x, у). Основные уравнения для этого
случая отличаются от полученных в § 19 тем, что в оравой
части уравнения (7.19) появляется член q(x, у):
\w
Wv
Cv*V*w-[Fyy[w+<rf>)xx+F;
— 2Fxy iw + w%] = 4 (X, У) ,
УУ
~{wxxWyy-\-WyyWxx)] .
(1.22)
Здесь употреблено обозначение w вместо w, чтобы подчерк-
нуть, что © пропиб включается часть, происходящая от попереч-
ной нагрузки.
Допустим, что нагрузка ~q(x, у) при отсутствии сжатия вы-
звала бы прогиб плоской пластинки:
чюл
-Л (*, V) -
Представляя w в виде:
w = w -J- wx,
внесем это выражение в уравнения (1.22). Замечая, что
Су v2^fi = qix,y),
получим:
Cv'-'v2 w - [Fyy (w + w°+ wx)xx+ Fxx (w + <ц,*+тг)уу—
-2Fxy(w + vfi + wl)xy]=Q;
^^F = E{ [(w + w{)xyY- (w + wx)xx.{w + w±)yy+
+ Vvj, (^ + Wl)xy ~ K- (W + Wl)yy +
(2.22)
Зги же уравнения сохраняются, если контурная нагрузка при-
ложена внецентренно, т. е. действует не в плоскости ху, а парал-
лельно ей. Это равносильно приложению к контуру дополни-
208

тельной моментной нагрузки. Под W\ тогда надо понимать
сумму прогибов от поперечной и (моментной нагрузок.
Если рассматривать задачу в линейном аспекте, то второе из
уравнений (2.22) отпадает. В первом уравнении w° -f- ил можно
трактовать, как некоторое начальное искривление; следова-
тельно, решение ничем не будет отличаться от излаженного
в ,гл. VII. В нелинейной задаче подобное приведение к началь-
ному искривлению (можно применять лишь как допущение.
Строгое решение нелинейной задачи в- случае прямоугольной
пластинки, сжатой параллельно одной из сторон, проводится
путем представления ш° и aij тригонометрическими рядами,
после чего применяется метод, изложенный в § 19, п. 4. Разу-
меется, тот же способ1 применим и к системе (1.22). Надо только
учитывать © [Граничных условиях наличие контурной моментной
нагрузки © случае внецен-пренного действия аил.
§ 23. ВЫВОДЫ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРАКТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ
Пункт 1. В гл. VII рассмотрены пластинки с небольшим
начальным искривлением в предположении нерастяжймости сре-
динной поверхности при изгибе и свободной деформации кромок
в их плоскости; оценка критических напряжений произведена
на основе линейной теории изгиба пластинок (а не оболо-
чек), т. е. принято, что напряжения в срединной поверхности
не зависят от начального искривления и прогибов пластинки.
В данной главе исследованы слетка искривленные пластинки,
края которых могут перемещаться © своей плоскости поступа-
тельно, оставаясь прямолинейными. Оценка критических напря-
жений произведена на основе нелинейной теории изгиба оболо-
чек малой кривизны.
Сопоставление результатов, полученных в обеих главах, при-
водит ж заключению, что привлечение нелинейной теории осо-
бенно уместно для относительно тонких пластинок или при боль-
ших стрелках начального искривления. В случае равномерного
сжатия параллельно одной из сторон квадратной пластинки при
отношении .длины стороны к толщине пластинки—^-=60 и -°^0,3
расхождение в величине —, найденной двумя способами, состав-
ляет от 5 до 15%. Заметим, что при этом значении —- критиче-
ское напряжение плоской пластинки приблизительно равно пре-
делу пропорциональности (для стали марки Ст. 3); поэтому
можно сказать, что к пластинкам, из стали- марки
Ст. 3, теряющим устойчивость ( в смысле разветвления
форм равновесия) в неуот ругой о б лас ти, при любых усло-
виях деформаций краев применима линейная теория для
учета влияния малых искривлений (-^-<0,3) со
14 Б М Броуле
2QV

средней погрешностью порядка 10%. Еели^0<дф или -^- > 0,3
и кромки пластинки не имогут (искривляться в овоей плоскости,
то следует пользоваться аппаратом нелинейной теории оболочек
малой -кривизны. Этот .критерий применим и -при других «напря-
женных состояниях ('чистый ивгаб, нагрузка на (верхней -кромке
станки).
Следует отметить, что при любом отношении — нелинейная
теория позволяет «вскрыть такие особенности поведения пласти-
нок с не де фор)М|Ир у ю Щ1и,мися краями, которые иначе
остались бы незамеченными. В частности, установлено, что зна-
чения — при данном -^ вначале уменьшаются, а затем н-ачи-
о0 t
нают увеличиваться. Это объясняется возрастающей ролью мем-
бранных напряжений с увеличением начальной кривизны и
уменьшением толщины пластинки, В тонких пластинках отноше-
ние — .может превысить единицу.
Рост значений — особенно заметен для относительно тон-
ких пластинок ( — >80|,где он наблюдается уже при малых вели-
чинах -^-(табл. 54). Не следует, однако, забывать, что это по-
лучено 'в случае «начального искривления по синусоидальной
поверхности положительной гауссовой кривизны. При других
форм а х искривлен ия хар актер возр астания — может шме-
ниться. Возможны такие поверхности начального искривления,
для которых значения — будут промежуточными между
4
найденными -в § 20 :и теми, :которые получаются, если прене-
бречь 'влиянием начального искривления в уравнении (6.19)
и принять его ib юиде:
V2 v2 F= E (w% - wxx wyv). (1.23)
В последнем случае значения — убывают с возрастанием — ,
а0 t
KaiK это видно из табл. 59, где они сопоставлены с величинами,
взятым и из' табл. 54. 3 амети м, 'что, пользуясь уравнением
(1.23), мы получаем нижнюю границу значений — при изм;е-
нении формы искривления с неотрицательной гауссовой (Кривиз-
ной.
210

Таблица 59
Квадратная пластинка [предельное условие (26.19)]
7а
т
/и
~t
0,1
0,2
0,3
0,5
1,0
3,0
60
\ *0/
0,835
0,761
0,720
0,650
—
0,436
а
0,847
0,801
0,760
0,735
0,733
0,850
70
Ш*
0,941
0,898
0,840
—
0,632
7J
0,988
0,970
0,958
0,980
1,145
l
Ш'
1,156
1,132
1,080
__
0,894
J0
а
1,225
1,223
1,230
1,276
1,502
100
щ*
—
—
1,712
1,655
1,550
*0
—
—
1,916
2,020
2,365
Примечание. Значения
fe)'
вычислены на основе уравнений (7.19)
(1.23); значения — взяты из табл. 54.
Пункт 2. Для оценки влияния начального искривления пред-
положим, что пластинка изотута по синусоидальной поверх-
ности '(1.20), и стрелка начального прогиба удовлетворяет нера-
венствам:
J»- <; 0,3; -А.< —, (2.23)
t ' ' d 300 ' v 7
где d — мемьшая да сторон пластинки.
Рассмотрим пластику, подверженную чистому изгибу, ори
— =100-|- 200 (Ь —(Быоота пластинки). Пользуясь линейной
теорией (табл. 52), «можно найти значения
в табл. 60.
Значения
а
~°0~
-, приведенные
' а б л и ц a 60
ь
' t
100
150
200
а
0,95
0,50
0,95
0,50
0,95
/о
t
0,3
0,25
0,3
0,3
0,3
■7
°0
0,841
0/798
0,900
0,874
0,961
Среднее значение
-L- - 0,874
ао
Аналогичным образом для одноосного напряженного состоя-
ния, в котором
°> = Y(1 +С08ЯТ,),
14*
(3.23)
211

пользуясь данными табл. 53, получим величины —, указан-
но
ные в табл. 61.
Таблица 61
Значения J—
ь
t
100
150
200
V-
1,0
0,5
1,0
0,5
/г,
1 t
0,3
0,25
0,3
0,3
р_
Ро
0,84
0,89
0,94
0,94
Среднее значение
„Z_^0f9
Ра
Влияние (начального (искривления при комбинированном на-
пряженном состоянии еще не подвергалось (изучению. Для прак-
тических целей можно дать следующие рекомендации. В случае
комбинации чистого изгиба с напряженным- состоянием (3.23),
учитывая близость средних значений — и —, а также сход-
но Ра
ство форм потери устойчивости (плоских пластинок), можно
оценив ать понижение критической напр узки, бер я (полусумму
найденных в табл. 60 и 61 значений. Таким образом, для сред-
них значений получается:
0,874 + 0,90 nQQ
о) = ^ 0,89 .
2
При наличии также касательных напряжений можно пользо-
ваться тем же значением <», что дает запас устойчивости. Дей-
ствительно, влияние начального искривления тем больше, чем оно
ближе к форме выпучивания плоской пластинки. Принятая нами
синусоидальная поверхность начального искривления больше
отличается от формы выпучивания при чистом сдвиге, чем от
упругих поверхностей в двух упомянутых выше случаях.
Пункт 3. Представляет интерес поведение стенок при значе-
ниях -^-, превосходящих границы неравенства (2.23).
С увеличением — влияние начального искривления умень-
шается, следовательно, тем же значениям — отвечают большие
величины —. Этот вывод можно сделать на основе линейной
теории изгиба (табл. 51, 52), однако истинная картина может
212

быть получена только при помощи нелинейной теории с учетом
недеформируемоеш краев отсеков стенки1. Поскольку изучению
в нелинейном аспекте подвергался лишь случай равномерного
сжатия в направлении одной из сторон пластинки, остановимся
в первую очередь на этом случае.
Из оказанного в настоящей главе можно сделать основной
вывод, что при—>80 (2а — длина стороны квадратной 'пла-
стинки) получается — > 1, т. е. предельное напряжение искрив-
ленной пластинки не меньше, чем критическое напряжение
идеально плоской пластинки. Этот вывод сохраняется и в случае
пользования предельным условием (27.19), дающим заведомо
преуменьшенные значения о. В табл. 59 приведена нижняя
при измене-
обозначенная через (—
нии формы (начального искривления. Эта таблица подтверждает
граница величины
справедливость сделанного вывода ив отношении величины
Надо только ограничить величину /ъ, например, принять:
-А<1 при — = 80,
-А<3 при -?2-=100.
t v t
Очевидно, что такое ограничение не умаляет лцр актической
общности вывода, так 'как большие стрелки начального прогиба
не допустимы в конструкциях.
П у нкт 4. До сих пор речь шла о критическом (предельном)
состоянии пластинки с начальным (искривлением. С точки зрения
обеспечения нормальной эксплуатации балки не менее важен
вопрос о деформациях стенки, развивающихся при нагружении,
что особенно существенно для балок, подвергающихся непосред-
ственному воздействию подвижной сосредоточенной нагрузки
(подкрановые балки, фермы .крановых мостов* и т. п.).
Из табл. 54 видно', что при -^-=0,1 и изменении — от 60
до 100 стрелка прогиба от нагрузки1 возрастает от 0,345 t до
1,524 L Аналогичная картина наблюдается при иных значе-
ниях — . Таким образом, прогибы быстро возрастают с увели-
чением «гибкости» стенки (отношения высоты к толщине);
поэтому предельная величина нагрузки не всегда может быть
использована.
При поверке устойчивости будем исходить из критической
нагрузки для идеально плоской стенки, получая из нее наиболь-
шую допустимую наорузку умножением на ш.
213

Для .подкрановых балок и .аналогичных конструкций можно
рекомендовать сохранение при любой (гибкости среднего значе-
ния <» = 0,9, вычисленного на основе линейной теории изгиба
пластинок (т. е. с учетом, деформируемости кромок). Примене-
ние линейной теории для балок этого типа оправдывается еще
тем, что кромку стенки, к которой приложена нагрузка, нельзя
считать иедефор-мирующейся.
Для балок, несущик узловую * или статическую нагрузку,
могут быть допущены большие деформации стенок, чем © под-
крановых балках. Исходя из результатов, полученных на основе
нелинейной теории, можно соответственно повысить для них
значения <о.
В п.. 1 было указано, что при равномерном сжатии стенок
средней гибкости /—=60) учет недеформируемости контура
приводит к увеличению критической нагрузки в среднем на 10%.
Для более гибких станок коэффициент увеличения значительно
возрастает.
Допуская, что аналогичное соотношение имеет место- для
изгибаемых стенок, (можно принимать для рассматриваемой ка-
тегории балок
«> = 1,1 - 0,89 - 1 .
Вернемся к случаю равномерного сжатия. Табл. 54 показы-
вает, что при —>80 величина --—— сравнительно слабо воз-
v t t r
растает вместе с — ; поэтому для таких стенок не представляет
опасности увеличение стрелки начального искривления по срав-
нению с рекомендованной для стенок средней гибкости величи-
ной 0,3t. Это заключение можно распространить на случай изги-
баемых стенок. Так, например, при—> 200 стрелку начального
искривления порядка толщины стенки можно считать допусти-
мой.
Пункт б. Резюмируя сказанное, можно привести следую-
щие рекомендации для практического расчета.
1. Влияние начального искривления на устойчивость стенки
учитывается коэффициентом «>, доводимым в\ уравнение (3.4).
2. Для подкрановых балок и аналогичных .конструкций, верх-
ний пояс которых {подвергается непосредственному воздействию
подвижной нагрузки, можно принимать среднее значение со—ОД
3. Для балок, несущих узловую или статическую нагрузку,
можно принять & ~-- 1.
1 Термин «узловая нагрузка» означает, что нагрузка приложена лишь
в местах (расположения пшереч'Ных ребер жесткости.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Введение
1. Нормы проектирования конструкций (проект). Материалы для Урочного
Положения, Машстройиздат, 1949.
2. В. А. Балдйя, И. И. Голыденблат и др., Расчет строительных
конструкций по предельным состояниям, Государственное издательство
литературы по строительству и архитектуре, 1951.
Раздел I
1. Н. И. Безухой, Т)руды Московского автодорожного института,
об. 3 и 4, 1936, Его же, К теории пластического расчета на изгиб,
«Вестник .инженеров и техников» № 10, 1936.
2. Н. Д. Жудш, Пласт1гчн1 де форм ami i в стальних конструкциях, вып. II,
К'шв, 1936.
3. А. Н. Ми тин 1С к и й, Касательные напряжения при уоруго-иласгшче-
ском .изшбе, «Труды Всесоюзного научного .инженерно-технического
общества судостроения (ВНИТОСС)», т. III, вып. 3, Обороигиз, 1939.
4. П. Ф. Папковйч, Основы теории уцругонплаетического изгиба 'ста-
тически определимых балок, «Труды ВНИТОСС», т. III, вып. 3, Оборон-
газ, 1939,
5. А. Р. Ржалицын, Расчет сооружений с учетом пластических свойств
jM атериала, Стрюйвоенмюриздат, 1949.
6. С. А. П а л ьч евски й, Определение несущей способности стальных
стержней in т. д., «Сборник трудов Киевского итаженерно-строительного
института» № 8, 1948.
7. А. И. Стр ел ь<б ищк ая, Влияние поперечной силы на величину пре-
дельной натрузки при изгибе стальных 1балок, «Сборник прудов Инсти-
тута строительной механики АН УССР» № 12, 1950.
8. Ю. С. С и к о-реки й, Элементы теории эллиптические функций, ОНТИ.
1036.
9. Б. М. Броуде, Расчет балок по предельному состоянию при учете
касательных напряжений, «Исследования по теории сооружений», сбор-
ник № 5, Государственное издательство литературы по строительству
и ар хнтектур е, 1961.
10. А. А. Гвоздев, Определение величины разрушающей нашрузки и т. д.,
«Труды конференции по пластическим деформациям», АН СССР, 1938.
11. В. С. Тур к и и, Исследование упруго-пластической работы 'сталынык
неразрезных балок, сборник «Расчет металлических конструкций с учетом
пластические деформаций», Госстройиадат, 1938.
12. Н. Д. Жу дин. Несущая способность балок три повторной иалруаке,
«Сборник трудов Института строительной механики АН УССР» № 14.
1950.
Раздел II
1. В. 3. Власов, Тонкостенные упругие стержни, Стройшдат, 1940.
2. С. Г. Ми х лин, Прямые методы в математической физике, Гостеорет-
издат, 1950.

3. А. Н; Дин и и к, Устойчивость упругих систем, ОНТИ, 1965.
4. Д, В. Бычков и А. -К. Мр о щи не кий, Кручение м-еталлшеюких'ба-
лок, Стройивдат. 1944.
5. А. П. Коробов, Устойчивость плоской формы изгиба* «Известия
Киевского политехнического института», 1911.
6. Н. Г. Д о б у д о г л о, Теоретическое и эскпериментальное исследование
устойчивости плоско^ формы изгиба шеразрезных балок л т. д., «Труды
лаборатории строительной мшаники ЦНИПС», Стройивдат, 1941.
7. Л я в, Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.
8—9. Л. М. Качано©, Устойчивость плоской формы изгиба за пределом
упругости, «Прикладная математика и механика», № 2, 5, 1951.
10- Его же, Устойчивость илоской формы изгиба за проделом упругости
(III. Влияние сложности нагружения), «Прикладная математика и меха-
ника», вып. 6, АН СССР, 1951.
11. А. В. Гемм ер л-ик г, Несущая способность балок двутаврового сече-
ния. Экспериментальные исследования стальных конструкций (сборник
под ред. В. А. Балдина), Стройвддат, 1950.
Раздел III
1. Б. М. Броуде, Устойчивость пластинок в элементах стальных кон-
струкций, Машстройивдат, 1949.
2. П. Ф. Попкович, Строительная механика корабля, ч. II, Государ-
ственное союзное издательство судостроительной промышленности, 1941.
3. М. М. Филой е нко-Бородич, Об одной система функций и ее
приложениях в теории упругости, «Прикладная математика -и механика»
№ 1, 1946.
4. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV, Гоетеоретиздат, 1941.
5. М. В. Келдыш, О методе акад. Галеркина для решения краевык за-
дач, «Известия АН СССР», серия математическая, т. 6, 1942.
6—7. А. А. Ильюшин, Пластичность, Гоетеоретиздат, 1948.
8. М. Г. Крейн, О (нагруженных интегральных уравнениях, функции
распределения которых не монотонны, сборник памяти акад. Д. А.Траве,
Гоетеоретиздат, 1940.
9. Ф. Р. Г ан тм а х ер и М. Г. Кр е йн, Осцилляционные матрицы и
ядра .и малые колебания механических систем, Гоетеоретиздат, 1950.
10. В. 3. Власов, Некоторые задачи сопротивления материалов, строи-
тельной механики 'и теории упругости, «Известия АН СССР» (отделение
технических наук), № 9, 1950.
11. П. А. Соколов, О. напряжениях в сжатых пластинках после потери
устойчивости, «Труды НИСС», вып. 7, 1932.
Редактор издательства М О. ЕгороЁа
Технический редактор Е. А, Чебышева
Подписано к печати 4/XI 1952 г. Т-08661. Бумага 60X92Vi6 Д- «• =
= 6,75 бум. л. —13,5 печ. л. (15,12 уч.-изд. л.) Изд. № VIII-8716.
Тираж 5000 экз. Заказ Л& 820.
Цена 7 р. 55 к. (Номинал по прейскуранту 1952 г.)
Типография Ms 2 Государственного издательства литературы
по строительству и архитектуре, Ленинград Бульвар профсоюзов, 4.