Автор: Уилкинсон У.Л.  

Теги: физика   химия   механика  

Год: 1964

Похожие

Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах. Том 2

Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Том 1

Основы теории теплообмена

Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах. Том 1

Текст
                    7. Л, "/*?/« КИН СОН
НЕНЫОТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

NON-NI WTONIAN FLUIDS
! ,hl Mu htinics. Mixing and Heat Transfer
by
U . I.. Wilkinson, M. A., Ph. D.. A. M. I. Chem. E.
Lecturer in Chemical Engineering
at University College, Swansea
PERGAMON PRESS
London — Oxford — New York —Paris
1960

У. Л. Уилкинсон
НЕНЬЮТОНОВСКИЕ жидкости
ГИДРОМЕХАНИКА, ПЕРЕМЕШИВАНИЕ
И ТЕПЛООБМЕН
Перевод с английского
канд. техн, наук 3. П. Шульмана
Под редакцией
акад. АН БССР проф. А. В. Лыкова
Издательство
«МИР»
Москва 1964

В книге описаны свойства так называемых ненью-
тоновеких жидкостей (нефть, пластмассы, полимеры
и другие синтетические материалы), проявляющих при
течении аномальное поведение, а также принципы, по-
ложенные в основу изучения таких жидкостей.
Рассмотрены такие вопросы, как ламинарное и тур-
булентное течения в круглых трубах, включая пе-
реход от ламинарного к турбулентному режиму; прес-
сование и прокатка неньютоновских пластических мате-
риалов; теплообмен при ламинарном и турбулентном
течениях в трубах; перемешивание жидкостей; техника
измерения вязкости.
Книга предназначена для инженеров-технологов,
физико-химиков, физиков и математиков, интересую-
щихся вопросами механики неныотоновских систем, а
также для студентов технических и химических втузов.
Редакция литературы по вопросам техники

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Бурное развитие химической промы'шленности и ши-
рокое внедрение пластмасс в разные области техники
выдвинули задачу создания инженерных методов рас-
чета конструкций и аппаратов, нзготовтяемых из таких
материалов. Не менее актуален расчет технологических
процессов, в которых обрабатываемым материалом яв-
чяется упруговязкое пластичное тело. Закономерности
движения и теплообмена таких неньютоновских жидко-
стей мало изучены и представляют не только теорети-
ческий интерес, по и имеют большое практическое зна-
чение.
В основе гидродинамики упруговязкопластичных тел
лежат законы упрутопластических деформаций и реоло-
гические свойства исследуемых жидко- и твердообраз-
ных тел, т. е. закономерности одного из важнейших раз-
делов физико-химической механики, которая является
новой областью современной науки, созданной в Совет-
ском Союзе акад. П. А. Ребиндером и его многочислен-
ной школой (М. П. Воларович, В. И. Лихтман и др.).
В области изучения структурно механических и рео-
логических характеристик жидко- и твердообразных тел
\ нас имеются большие успехи и достижения; в области
же теплообмена исследования еще не вышли из стадии
первоначального развития. Между тем для интенсифи-
кации технологических процессов ряда важных химиче-
ских производств необходимо знать надежные соотноше-

б
Предисловие к русскому изданию
ния и расчетные формулы по теплообмену неньютонов-
ских жидкостей.
Книга Уилкинсона в основном посвящена гидродина-
мике и теплообмену непыотоновскпх жидкостей. Важно
отметить то обстоятельство, что изложение эксперимен-
тального и теоретического материала сопровождается
примерами и расчетами, взятыми из инженерной прак-
тики.
Книга написана методически очень удачно; в ней в
краткой доходчивой форме описывается физика явлений,
а затем дается аналитическое отображение процесса
простыми математическими соотношениями.
Рассматриваются основные свойства жидко- и твер-
дообразных тет (гл. 1), методы экспериментального оп-
ределения реологических характеристик (гл. 2) и де-
тально описывается течение в трубах и каналах (гл. 3).
В гл. 4 дано систематизированное изложение проблемы
теплообмена при течении этих тел. Отдельно рассмот-
рены процесс перемешивания (гл. 5) и аппаратура для
измерения вязкости и вискозиметрические измерения
(гл. 6).
Книга Уилкинсона является введением в теорию теп-
лообмена неньютоновских жидкостей, и многие вопросы
тепло- и массообмена, актуальные для практических
расчетов, в ней не отражены. Однако ценность моно-
графии состоит в том, что она вводит в область актуаль-
ных вопросов современной проблемы гидромеханики и
теплообмена и будет способствовать развитию научных
исследований в этом направлении.
В качестве общего недостатка книги следует отме-
тить то обстоятельство, что работы советских ученых не
нашли в ней отражения, между тем как в области фи-
зико-химической механики наши ученые занимают веду-
щее место в мире. Поэтому было решено поместить

Предисловие к русскому изданию	7
дополнительный список литературы, в котором приве-
дены основные монографии и журнальные статьи отече-
ственных авторов.
При переводе мы стремились в основном сохранить
стиль и методику изложения, а также основные обозна-
чения физических величин. Только часть обозначений
была изменена. Например, обозначения коэффициентов
теплопроводности и теплообмена заменены общеприня-
тыми. Отсутствие установившейся терминологии в дан-
ной области затрудняло перевод ряда терминов и назва-
ний. Большую помощь в этом оказал проф. М. П. Во-
ларовнч.
Благодаря простоте и доступности изложения книга
является не только хорошим учебным пособием для сту-
тентов высших учебных заведений химико-технологиче-
ского профиля, но и представляет интерес для широкого
круга специалистов; она может помочь инженерам вы-
брать оптимальный режим технологического процесса,
что очень важно для решения актуальных вопросов со-
временной техники.
А. В. Лыков



ПРЕДИСЛОВИЕ
В гидромеханике простую ньютоновскую жидкость
принято рассматривать как нормальную, а жидкости с
отклоняющимися от обычных характеристиками тече-
ния— как аномальные. Однако эти так называемые
аномальные, или неньютоновские, жидкости весьма рас-
пространены в химической и перерабатывающей про-
мышленности, благодаря чему ознакомление инженера
со специа шпыни вопросами данной проблемы приобре-
тает все большее значение. При более широком почхоте
к гидромеханике можно убедиться в том, что ньютонов-
ская жидкость соответствует сравнительно узкому спе-
циальному случаю
Существует несколько совершенно разных подходов
к изучению иепьютоновских систем. Специалист по
физической химии, например, объясняет поведение
жидкости, исходя из ее химических и физических
свойств. Теоретик реолог создает более или менее слож-
ную математическую модель жидкости и на основе вы-
бранной модели объясняет поведение изучаемой жидко-
сти. Большинство ранних работ в рассматриваемой
области относится к этим двум видам, и поэтому их ре-
ультаты имеют ограниченное значение для инженерной
практики. В данной книге основное внимание сконцентри-
ровано на инженерном аспекте, т. е., другими словами, на
разработке количественных методов расчета, основы-
вающихся на измеренных характеристиках реальных

10
Предисловие
жидкостей. Подобный подход к реологии сравнительно
нов, и пока только наиболее простые типы неньютонов-
ских жидкостей поддаются такому рассмотрению.
В первых двух главах на характерных примерах
рассмотрены неньютоповские жидкости различного типа.
Изложены и обсуждены также принципы эксперимен-
тальной техники, обычно применяемой для изучения
этих материалов; проведено их сравнение. Эксперимен-
тальные методы и соответствующая аппаратура под-
робно описаны в последней главе.
Остальная часть книги посвящена теоретическим ос-
новам конструирования и эксплуатации оборудования,
предназначенного для обработки неньютоновских мате-
риалов. Автор отмечает обширную основополагающую
научную деятельность проф. А. Б. Метцнера и его кол-
лег по Делавсрскому университету в этой важной и до
сих пор мало изученной области.
Течение неньютоновских материалов по трубам и
каналам как в ламинарном, так и турбулентном режи-
мах, а также процессы их прессования и прокаткп опи-
саны вгл.З. В гл. 4 рассмотрены характеристики теплооб-
мена неньютоновских материалов. Сначала в упрощен-
ной постановке дается полуэмпирическое рассмотрение
задачи о теплообмене в ламинарном потоке жидкости.
Затем приводятся и обсуждаются эмпирические фор-
мулы, пригодные для приближенного вычисления коэф-
фициентов теплообмена в турбулентных неньютоновских
системах. Перемешивание неньютоновских жидкостей
рассмотрено в гл. 5, где подчеркнута исключительная
скудость количественного материала по данному во-
просу.
Излагаемые в книге методы расчета ограничиваются
сравнительно простыми неныотоновскими жидкостями,
для которых можно пренебречь эффектами нестационар-

Предисловие	II
ности и вязкоупругости. Тем не менее подобные расчеты
применимы также к более сложным жидкостям — тиксо-
тропным и реопектическим, предварительно претерпев-
шим сдвиг в течение некоторого времени и достигших
равновесного состояния, и к вязкоупругим жидкостям
при установившемся ламинарном течении в трубе по-
стоянного сечения. Однако при наличии таких условий,
как резкое изменение поперечного сечения или турбу-
лентное течение, вязкоупругие свойства подобных мате-
риалов будут иметь первостепенное значение. До настоя-
щего времени в этой области фактически никаких работ
не публиковалось, хотя многие жидкости типа полиме-
ров и их растворов, приобретшие большое промышлен-
ное значение, попадают в эту категорию.
Автор выражает признательность г-ну Гаррису за
помощь, оказанную при- подготовке рукописи и чтении
корректуры.
У. Л. Уилкинсон
Суонси, нюнь 19о9 г.



ОБОЗНАЧЕНИЯ
А— площадь; постоянная.
В— постоянная; коэффициент тиксотропного разруше-
ния структуры.
С— постоянная.
D — коэффициент диффузии; дифференциальный опе-
ратор djdt\ диаметр.
F — сила; функция.
О—модуль сдвига; крутящий момент на единицу
длины.
G*— динамический модуль сдвига.
G'— действительная часть динамического модуля
сдвига.
G"—мнимая часть динамического модуля сдвига.
Jn—функция Бесселя n-го порядка.
J— податливость сдвигу, обратная величина модуля
упругости.
J* — динамическая податливость сдвигу.
J' — действительная часть динамической податливости
сдвигу.
J" — мнимая часть динамической податливости сдвигу.
X—постоянная; коэффициент теплопроводности.
L — длина.
Le—длина входного участка канала.
М — коэффициент тиксотропного разрушения струк-
туры; крутящий момент.
(V—скорость вращения.
Р—давление; показатель степени в уравнении (3.7.8);
мощность; энергия.
Q — объемный расход.
R— радиус.

14
Обозначения
S—наклон логарифмического графика зависимости
крутящего момента от скорости вращения; вели-
чина, обратная п; отрезок, определенный на фиг. 54.
Т — безразмерное напряжение сдвига в уравнении
(3.6.4); температура.
U — скорость на оси трубы; скорость на наружной по-
верхности валков.
V — периферическая скорость выталкивающего винта
червячного пресса.
Z — функция.
а — коэффициент температуропроводности; постоянная.
b — постоянная; ширина червячного канала.
с — отношение предела текучести к напряжению сдви-
га; постоянная.
— коэффициент трения.
Ср—удельная теплоемкость при постоянном давлении.
е — основание натуральных логарифмов.
/— функция.
g — определяется уравнением (3.8.7); ускорение силы
тяжести.
h — половина высоты зуба червяка.
k — константа в степенном законе [уравнение (1.2.3)!
k' — определяется уравнением (2.4.5).
т = л'8п'-1.
п — показатель в степенном законе [уравнение (1.2.3)].
п' — показатель степени в уравнении (2.4.2).
р — нормальное давление; параметр пластичности.
q — тепловой поток.
г—радиальная координата.
гр—радиус квазитвердого ядра пластического бинга-
мовского течения в трубе.
гу — радиус квазитвердого течения бингамовского пла-
стика в ротационном соосно-цилиндрическом вис-
козиметре.
$—скорость скольжения.
t — время.
и — скорость; безразмерный комплекс QlbhV.
um — средняя скорость.
и+—отношение скорости к динамической скорости, г. е.
«//VP-

Обозначения
15
up —скорость квазитвердого ядра при течении бинга-
мовского пластика в трубе.
w— массовая скорость потока.
х — расстояние; показатель степени.
у—расстояние; показатель степени.
у+=у Vw>/h-
z — расстояние; безразмерный комтекс в уравнении
(3. 7. 7).
р' — градиент скорости на стенке трубы.
Р — корни 70(ра) =0; переменная интегрирования.
7 — деформация; функция, определенная в разд. 3.6, в.
7 = d^dt — скорость сдвига.
£ элементарный отрезок; толщина пограничного слоя;
отношение градиентов скорости на стенке трубы
для неньютоновской и ньютоновской жидкостей
при одинаковых скоростях течения; безразмерное
отношение в уравнении (3.8.3).
е— размер выступа (впадины) шероховатости; граница
аномального течения вблизи стенки.
С—коэффициент скольжения.
а— коэффициент теплообмена.
—безразмерный комплекс в уравнении (3.83).
6—безразмерная температура.
*— отношение радиусов наружной и внутренней стенок
кольцевой щели.
X.— время релаксации или запаздывания; отношение r/R.
\— корни /о(Х) = 0.
р—ньютоновская вязкость.
Рр— бингамовская вязкость пластичного течения.
ро — кажущаяся вязкость; отношение напряжения сдви-
га к скорости сдвига.
р0—вязкость при нулевой скорости сдвига.
Рзо—вязкость при бесконечно большой скорости сдвига.
Pi— турбулентная вязкость.
*—кинематическая вязкость.
Е—градиент давления; безразмерный комплекс в
уравнении (3.8.3).
р — плотность; безразмерная радиальная координата
r/R; коэффициент, введенный в разд. 3.8
о—поверхностное натяжение.

16
Обозначения
т— напряжение сдвига.
Ту — предел текучести.
tw — напряжение сдвига (трения) на стенке.
<р — функция ползучести, определенная уравнением
(2.7.1); безразмерная скорость (3.6.4).
ф—угол раствора конуса; функция релаксации напря-
жений, определяемая уравнением (2.7.2).
ч) — частота; безразмерный комплекс в уравнении
(3.7.7).
Д—приращение (бесконечно малая величина).
2—угловая скорость.
Св—функция, определенная уравнением (3.6.11).
—функция, определенная уравнением (3.6.18).
Безразмерные комплексы1)
Fr = u2lgL — критерий Фруда.
Gr — wCp/KL—критерий Гретца.
Не = ту£)2р/р2 — критерий Хедстрёма.
Nu = аО/Х—критерий Нуссельта.
Рг = цСр/Х— критерий Прандтля.
Re = ри£)/р— критерий Рейнольдса.
Re =Dn и.,пП p/k 8" -1— обобщенный критерий Рей-
нольдса.
Re — Dnum "рДй/8 ) ] — критерий Рейнольдса
для реологического степенного закона.
Sc = p/pD— критерий Шмидта.
St = a/puCp — критерий Стантона.
We = pM2£/o —критерий Вебера.
') Для безразмерных комплексов в тексте используются равно-
значные по смыслу термины «критерий» и «число». — Прим. ред.

Глава 1
КЛАССИФИКАЦИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
1.1.	Общие положения и определения
а.	Вязкость ньютоновских жидкостей
Рассмотрим тонкий слой жидкости между двумя па-
раллельными пластинами, отстоящими друг от друга на
расстоянии dy (фиг. 1). Одна пластина неподвижна, а
к другой приложено сдвигающее усилие F. В стационар-
ных условиях усилие F должно уравновешиваться со
стороны жидкости си той, обусловленной вязкостью. Д тя
ламинарного течения ньютоновской жидкости напряже-
ние сдвига пропорционально градиенту скорости, т. е.
Г __ ___ a du
А Т dy
Это уравнение можно записать в виде ’)
;> du		/til,
т= dy =1Х7-	О-11)
где коэффициент пропорциональности ц называется нью-
тоновской вязкостью. В этой формуле ц — касательное
') Уравнение вязкого течения ньютоновской жидкости туг =
— — \i(dii/dy) записывается в форме, аналогичной закону упру-
гости Гука, на основании следующих элементарных преобразо-
ваний:
где 1Х — длина пути в направлении скорости движения и Однако
это представление закона вязкого течения является приближенным.
Напряжение вязкого трения описывается тензором и, в частности,
в плоскости, перпендикулярной оси у, напряжение трепня t„v равно
(ди dv \
где и— поперечная скорость. Только для случая, когда величина
дь[дх <^_ди,1ду, мы получаем исходное уравнение (1.1 1). — Прим,
ред. 2
2 Зак. 182

18
Г лава 1
усилие на единицу площади, приложенное к слоям жид-
кости, отстоящим друг от друга на расстоянии, равном
единице длины, при единичной разности скоростей
между ними.
Фиг. 1. Течение между плоско-параллельпымп
пластинами.
Ньютоновская вязкость ц зависит только от темпера-
туры и давления и не зависит от скорости сдвига. Гра-
фик зависимости между напряжением и скоростью сдви-
га для ньютоновской жидкости — так называемая «кри-
вая течения» — на фиг. 2 представляет прямую линию
Фиг. 2. Кривая течения
ньютоновской жидкости.
с тангенсом угла наклона р, и эта
единственная постоянная полно-
стью характеризует жидкость.
Ньютоновское поведение при-
суще жидкостям, в которых вяз-
кая диссипация энергии обусло-
влена столкновением небольших
молекул. Все газы, жидкости и
растворы с небольшой молеку-
лярной массой попадают в эту
категорию. Особое исключение
составляют коллоидные суспен-
зии и растворы полимеров с значительными молекуляр-
ными массами. Эти жидкости заметно отклоняются от
ньютоновских.
б.	Неныотоновскис жидкости
К этой категории относятся жидкости, «кривая тече-
ния» которых не является линейной, т. е. вязкость не-

Классификация неньютоновских жидкостей
/9
ньютоновской жидкости не остается постоянной при за-
данных температуре и давлении, а зависит от других
факторов, таких, как скорость деформации сдвига, кон-
структивные особенности аппаратуры, в которой нахо-
дится жидкость, и от предыстории жидкости.
Реальные жидкости с нелинейной кривой течения
можно разбить на три обширные группы;
1.	Системы, для которых скорость сдвига в каждой
точке представляет некоторую функцию только напряже-
ния сдвига в той же точке.
2.	Более сложные системы, в которых связь между
напряжением и скоростью сдвига зависит от времени
действия напряжения или от предыстории жидкости.
3.	Системы, обладающие свойствами как твердого
тела, так и жидкости и частично проявляющие упругое
восстановление формы после снятия напряжения (так
называемые вязкоупругие жидкости).
Эти три типа жидкостей рассмотрены ниже.
1.2.	Неныотоновские жидкости с реологическими
характеристиками, не зависящими от времени
Системы первого типа, свойства которых не зависят
от времени, могут быть описаны реологическим уравне-
нием
i=m	(1.2.1)
из которого следует, что скорость сдвига в каждой точке
жидкости является простой функцией напряжения сдви-
га в той же точке. Такие вещества могут быть названы
неньютоновскими вязкими жидкостями. Их удобно под-
разделять на три группы в зависимости от вида функ-
ции в уравнении (1.2.1):
а)	бингамовские пластичные жидкости (бингамов-
ские пластики);
б)	псевдопластичные жидкости (псевдопластики);
в)	дилатантные жидкости.
Кривые течения, характерные для этих трех групп жид-
костей, приведены на фиг. 3; для сравнения дан также
график линейной зависимости для ньютоновских жидко-
стей.
2*

20
Глава 1
it Бингамовские пластики [/]
Кривая течения для этих материалов представляет
прямую линию, пересекающую ось напряжения сдвига
на расстоянии ту от ее начала. Напряжение текучести
есть предел, превышение которого приводит к воз-
никновению вязкого течения. Реологическое уравнение
Ф н г. 3. Кривые течения для
различных типов реологически
стационарных неньютоновскнх
жидкостей.
J — бингамовский пластик; 2— псевдо-
плас гичиая; 3 — ньютоновская; 4 — ди-
латантная.
зубную пасту и сточные
бингамовских пластиков
о наличии у покоящейся
для бингамовских пластиков
можно записать в виде ’)
т—тУ=м;
(1.2.2)
где рр — пластическая вяз-
кость или коэффициент жест-
кости при сдвиге, численно
равный тангенсу угла на-
клона кривой течения.
Понятие идеализирован-
ного бингамовского пластич-
ного тела весьма удобно для
практики, так как многие
реальные жидкости очень
близки к этому типу. В ка-
честве примера можно на-
звать шламы, буровые рас-
творы, масляные краски,
грязи. Объяснение поведения
исходит из предположения
жидкости пространственной
структуры, достаточно жесткой, чтобы сопротивляться
любому напряжению, не превосходящему по величинету
Если напряжение превышает т;/, то структура полностью
разрушается и система ведет себя как обычная ньюто-
новская жидкость при напряжениях сдвига т—т,,. Когда
же напряжение сдвига становится меньше т,„ структура
снова восстанавливается.
) Аналогичная laBiicii.MOCTL была предложена в 1889 г.
Ф. Н. Шведовым задолго до появления работы Бингама (1916 г.) <
Прим. ред.

Классификация неныотоновских жидкостей
21
б.	Псевдопластики
Псевдопластичные жидкости не обнаруживают пре-
дела текучести, и кривая течения у них показывает,
что отношение напряжения сдвига к скорости сдвига,
т. е. кажущаяся вязкость ц,„ постепенно понижается с
ростом скорости сдвига. Кривая течения становится ли-
нейной только при очень больших по величине скоро-
стях деформации сдвига. Предельный наклон графика,
получивший название вязкости при бесконечно большом
сдвиге, обозначается через Цоо.
График зависимости между напряжением сдвига и
его скоростью в логарифмических координатах у псевдо-
пластичных материалов зачастую оказывается линейным
с тангенсом угла наклона в пределах между нулем и
единицей. Тогда для описания жидкостей рассматривае-
мого типа можно установить эмпирическую функцио-
нальную зависимость в виде степенного закона. Такая
зависимость, впервые предложенная Оствальдом [2] и
затем усовершенствованная Рейнером [3], может быть
записана в виде
т =	(1.2.3)
где k п п являются постоянными (/г < 1) для дайной
жидкости: k — мера консистенции жидкости — чем выше
вязкость жидкости, тем больше k\ п — характеризует
степень иеньютоновского поведения материала, и чем
больше п отличается от единицы, тем отчетливее про-
являются его неньютоновские свойства. Здесь важно
иметь в виду, что хотя во многих случаях значение п
приблизительно постоянно в довольно широких преде-
лах изменения скорости сдвига, в реальной жидкости
это не имеет места, если рассматривать весь возможный
диапазон напряжений сдвига. Отмеченное обстоятель-
ство не создает серьезных помех в инженерных прило-
жениях, поскольку используемое на практике реологиче-
ское уравнение описывает жидкость в ограниченном диа-
пазоне скоростей сдвига, встречающемся в частных
задачах. В этих пределах можно зачастую принимать
значение п постоянным.
Следует отметить, что размерность величины k зави-
сит от показателя степени, и это обстоятельство вызывает

22
Глава 1
немало возражений при использовании степенного закона
(например, Рейнер [3]). Для многих инженерных прило-
жений эти возражения не имеют существенного значения.
Кажущуюся вязкость для степенного закона мож-
но выразить через п, так как = т/р, т. е.
рв = ^п-1,	(1.2.4)
и поскольку для псевдопластпчных материалов п<1,
то кажущаяся вязкость убывает с возрастанием ско-
рости сдвига. Такое поведение характерно для суспен-
зий, содержащих асимметричные частицы, и раство-
ров высокополимеров, подобных производным целлюлозы.
Можно предположить, что физическое толкование
псевдопластичности, вероятно, заключается в том, что
с возрастанием скорости сдвига асимметричные частицы
или молекулы постепенно ориентируются. Молекулы
вместо случайных (хаотических) движений, которые они
совершают в покоящейся жидкости, своими большими
осями ориентируются вдоль направления потока. Кажу-
щаяся вязкость будет убывать с ростом скорости сдвига
до тех пор, пока сохраняется возможность дальнейшего
ориентирования частиц вдоль линий тока, а затем кри-
вая течения становится линейной.
Псевдопластики были определены ранее как жид-
кости с не зависящими от времени структурно-механи-
ческими характеристиками. Из этого следует, что ориен-
тирование молекул (как было предположено выше) про-
исходит мгновенно, как только возрастет скорость
сдвига или, во всяком случае, так быстро, что временной
эффект не может быть обнаружен приемами техники
вискозиметрии.
Ниже приведены эмпирические уравнения, получен-
ные разными авторами для описания псевдопластичных
материалов:
Праидтль:	т = A arcsin (-g-j,
Эйрииг:	x = -l + Csin(-j),
Пауэлл — Эйрииг: т = Др -|- В Arsh (Ср),
Уильямсон:	т = Ар/(В д-р)-|-р.^р.

Классификация неньютоновских жидкостей
23
Здесь А, В и С являются постоянными, определен-
ными для конкретных жидкостей. Уравнения (1.2.5)
значительно сложнее, и их гораздо труднее использо-
вать, чем степенной закон. К тому же их применение
обычно не дает никаких преимуществ, компенсирующих
эти трудности.
в.	Дилатантные жидкости
Дилатантные жидкости сходны с псевдопластиками
тем, что в них также отсутствует предел текучести, од-
нако их кажущаяся вязкость повышается с возраста-
нием скорости сдвига. Степенной закон и в данном слу-
чае зачастую оказывается пригодным, но показатель
степени п уже будет превышать единицу.
Такой тип течения был впервые обнаружен Рейнольд-
сом в суспензиях при большом содержании твердой
фазы. Он сделал предположение о том, что эти суспен-
зии в состоянии покоя имеют минимальный объем про-
слоек между твердыми частицами и жидкости хватает
как раз только для заполнения этих прослоек. Когда
такие материалы подвергаются сдвигу с небольшой ско-
ростью деформации, жидкость служит смазкой, умень-
шающей трение частиц друг о друга, и напряжения, сле-
довательно, невелики. При больших сдвигах плотная
упаковка частиц нарушается, материал разбухает, т. е.
несколько увеличивается в объеме, и размеры жидких
прослоек возрастают. Теперь уже при новой структуре
жидкости недостаточно для смазки трущихся друг
о друга частиц, и действующие напряжения должны
быть значительно большими. Процесс структурообразо-
вания и является причиной быстрого нарастания кажу-
щейся вязкости при увеличении скорости сдвига.
Термин «дилатантная» можно применять для тех
жидкостей, кажущаяся вязкость которых с увеличением
скорости сдвига повышается. Многие из них, такие, как
крахмальные клейстеры, не могут быть отнесены к сус-
пензиям в обычном смысле этого слова п не расши-
ряются при сдвиге. Следовательно, приведенное выше
объяснение к ним не подходит, но тем не менее их обыч-
но называют дилатантными жидкостями.

24
Глава 1
В промышленной технологии дилатантные жидкости
встречаются реже, чем псевдопластики, но в случае при-
менимости степенного закона расчеты для материалов
обоих типов становятся почти одинаковыми.
1.3.	Неньютоновские жидкости, реологические
характеристики которых зависят от времени
Многие реальные жидкости не могут быть описаны
простой реологической зависимостью такой, как уравне-
ние (1.2.1), которое применимо к материалам, для ко-
торых связь между напряжением и скоростью сдвига
не зависит от времени. Кажущаяся вязкость более
сложных жидкостей определяется не только скоростью
сдвига, но и про'дотжительностью сдвига. Эти жидкости
в соответствии с тем, убывают или возрастают со вре-
менем напряжения сдвига, если жидкость деформи-
руется с постоянной скоростью сдвига, можно подразде-
лить на два класса; а) тиксотропные и б) реопектиче-
ские.
а. Тиксотропные жидкости Разрушение структуры при
сдвиге
Тиксотропными называются материалы, консистен-
ция которых зависит от продолжительности сдвига и ве-
личины скорости сдвига.
Если тиксотропный материал, находившийся в со-
стоянии покоя, деформировать с постоянной скоростью
сдвига, то его структура будет постепенно разрушаться,
а кажущаяся вязкость снижаться со временем. Скорость
разрушения структуры при определенной скорости сдви-
га зависит от числа связей до начала разрушения
структуры и должна поэтому уменьшаться с течением
времени. (Это можно сравнить со скоростью химической
реакции первого порядка). Одновременно будет также
возрастать скорость восстановления структуры, так как
число возможных новых связей увеличивается. В конце
концов, когда скорости структурообразования н разру-
шения структуры станут равны друг другу, наступит
динамическое равновесие. Состояние равновесия завн-

Классификация неньютоновских жидкостей
25
сит от скорости сдвига 7 и смещается в сторону более
интенсивной деструкции при возрастании 7.
В качестве примера можно рассмотреть материал,
заключенный в кольцевой полости ротационного соосно-
цилиндрического вискозиметра (см. гл. 6). После дли-
тельного стояния материала (с целью его успокоения)
один из цилиндров приводят во вращение с постоянным
числом оборотов. Крутящий момент, переданный через
материал другому цилиндру, будет тогда убывать во
Скорость сдвига у
Ф и г. 4. Поведение тиксотроп-
ного вещества в соосно-цилиндри-
ческом вискозиметре.
2 —начало движения после длительного
стояния; 2 —обороты возрастают.
Ф и г. 5. Кривые гсчения
тиксотропных материалов.
1 - - восстановление структуры при
длительном стоянии; 2 — непосред-
ственно после длительною сдвига
(совпадает со случаем ньютонов-
ской жидкости).
времени, как показано на фиг. 4. Скорость убывания и
конечное значение крутящего момента будут зависеть
от скорости вращения, т. е. от скорости сдвига.
Тиксотропия является обратимым процессом, и после
исчезновения возмущений жидкости ее структура посте-
пенно восстанавливается. Кривые течения тиксотропного
материала, определенные непосредственно после прило-
жения напряжения сдвига и в состоянии покоя для раз-
личных промежутков времени, отсчитываемого от на-
чала сдвига, представлены на фиг. 5.
Такая особенность поведения приводит к своего рода
гистерезисной петле кривой течения, если сначала на-
нести значения напряжений для равномерно возрастаю-
щей скорости сдвига, а затем для равномерно убываю-
щих значений 7. Это иллюстрируется фиг. 6, где кривы

26
Глава 1
А \\ В построены для тиксотропных жидкостей ньюто-
новского и псевдопластнчного типов. Восходящая ветвь
кривой течения может быть получена при воздействии
постепенно нарастающего
во времени напряжения
сдвига. Гистерезис исклю-
чается при дальнейшем при-
ложении сдвигового усилия
до достижения равновесного
состояния.
Термин «псевдотело» ча-
сто встречается при рассмо-
трении тиксотропии. Он был
введен Прайс-Джонсом [4],
чтобы различить тиксотро-
пию бингамовских пластич-
Фпг. 6. Гистерезисные петли ных жидкостей. Истинно
тиксотропных жидкостей. тиксотропные материалы
полностью разрушают свою
структуру под воздействием больших напряжений сдвига
и ведут себя подобно чистым жидкостям после снятия
напряжений, пока не восстановится структура Мате-
риалы типа псевдотела, с другой стороны, не теряют
Фиг. 7. Гистерезисные петли тиксотропной
жидкости и псевдотела.
полностью свойств твердого тела и могут еще проявлять
текучесть, даже когда ее эффекты невелики. Первона-
чальная величина предела текучести восстанавливается
только после длительного стояния жидкости.
Гистерезисная петля кривой течения будет иметь
форму, показанную на фиг. 7 для обоих типов жидкости.

Классификация неньютоновских жидкостей
27
Эти режимы течения можно пояснить следующим опы-
том. Рассмотрим жидкость в цилиндрическом сосуде,
внутри которого соосно помещен другой цилиндр на за-
крученном подвесе. Цилиндр вначале получает угловое
смещение, возмущающее жидкость, и в этом положении
задерживается. Затем после некоторого периода успо-
коения жидкости цилиндр освобождают. Закрутка под-
веса будет тогда изменяться со временем, как показано
на фиг 8 для двух типов ма-
териала.
В веществах типа псевдо-
тела наблюдается остаточ-
ная закрутка подвеса, сви-
детельствующая о том, что
жидкость может оказывать
постоянное сопротивление
сдвигу непосредственно пос-
ле ее возмущения, т. е. в
жидкости сохраняется ко-
нечная величина напряже-
ния сдвига Подлинно тиксо-
тропные материалы будут
показывать остаточную
некоторого промежутка
Ф и г. 8. Изменение закрутки
со временем для тиксотроп-
ных материалов (Л) и леев ю-
тела (Б).
только по истечении
после предварптель-
закрутк^
времени
пого успокоения до пуска цилиндра, в течение которого
происходит восстановление структуры. Подобно этому
материалы типа псевдотела также могут сохранять упру-
гость (см. разд. 1.4). Это будет проявляться в возврате
цилиндра в проведенных выше опытах.
б Реопектические жидкости Структурообразование
при сдвиге
Данным материалам свойственно постепенное струи-
те рообразование при сдвиге, тогда как до сих пор свой-
ства структурированных систем объяснялись исходя из
того, что сдвиг способствует разрушению структуры.
Френдлих и Юлиусбергер [5] использовали 42%-ный
водный раствор гипса (1 — 10 мкм) и нашли, что после
встряхивания этот материал затвердевает по истечении
40 мин последующего стояния. Однако время затверде-

28
Глава 1
вания сокращается до 20 сек, если сосуд осторожно
перекатывать между ладонями. По-видимому, неболь-
шие перемещения сдвигового характера способствуют
образованию структуры, в то время как значительные
сдвиги (встряхивание) разрушают ее. Несомненно, суще-
ствует критическая величина сдвига, после превышения
которой восстановление структуры не имеет места, а,
наоборот, происходит ее разрушение. Это было обна-
ружено в разбавленных водных растворах пятиокиси
ванадия и бентонита.
Имеются также и другие материалы, в которых
структура образуется только под воздействием сдвига и
постепенно разрушается в состоянии покоя Их обычно
называют реопектическими материалами, но смысл
этого термина весьма отличен от определения Френд-
лиха, основанного на поведении гипсового раствора.
Тем не менее свойство реопексии обнаруживается тотько
при небольших скоростях сдвига; если же скорость
сдвига велика, то образования структуры не происходит.
Именно таким образом ведет себя 0,005 н. суспензия
олеата аммония. Рассмотрим течение этой жидкости
через капиллярную трубку. Вначале при небольших
перепадах давления жидкость твижется быстро, а затем,
когда начинается структурообразование, скорость ее
падает. Для больших разностей давления скорость тече-
ния остается большой и не снижается, потому что при
значительных по величине скоростях сдвига не происхо-
дит структурообразования.
в Сравнение жидкостей, реологические характеристики
которых зависят от времени, со стационарно реологи-
ческими жидкостями
Тиксотропия более всего напоминает псевдопластич-
ность, когда временем, необходимым для связывания
частиц, нетьзя пренебрегать. Этот временной эффект
для псевдопластнков не поддается обнаружению обыч-
ными приборами, применяемыми при исследовании жид-
костей. Разтичне, следовательно, имеет только каче-
ственный характер, т. е зависит от степени точности из-
мерений.

Классификация неньютоновских жидкостей
29
Точно так же реопектические жидкости (например,
олеат аммония) внешне сходны со своими не завися-
щими от времени аналогами (дилатантные жидкости),
в которых время струит^рообразования незначительно.
Здесь, однако, аналогия не является полной потому, что
реопектические свойства проявляются только тогда,
когда структура разрушается при небольших значениях
скорости сдвига. Эти значения являются верхним пре-
делом, за которым аналогия становится несправедливой.
1.4.	Вязкоупругие жидкости
Вязкоупругим называется материал, проявляющий
как упругое восстановление формы, так и вязкое тече-
ние. Это понятие нетрудно пояснить примерами высоко-
вязких жидкостей, таких, как смолы. Рассмотрим вна-
чале простой случай, предполагая, что вязкая состав-
ляющая характеризуется законом Ньютона, а упругая
подчиняется закону Гука. При установившемся течении
под воздействием напряжения сдвига величина скорости
сдвига будет равна т/цц, где ро — коэффициент ньюто-
новской вязкости. Предположим теперь, что напряжение
сдвига возрастет очень быстро до т + 8т. Тогда мате-
риал получит дополнительную деформацию сдвига Зт/G,
где G—модуль сдвига. Следовательно, теперь добавоч-
ная скорость сдвига будет пропорциональна скорости
изменения напряжения для любого момента времени и
полная скорость сдвига запишется как
^=^+4-	о-4-1)
или
" + ХГ
где
^i=G-	0-‘Г2)
Уравнение (1.4.1) впервые было предложено Максвел-
лом [6]; жидкости, которые описываются им, обычно на-
зываются максвелловскими.
Параметр имеет размерность времени, и из
(1.4.2) видно, что он является постоянной времени

30
Глава !
экспоненциального ослабления напряжения при неизмен-
ной деформации, т. е. напряжение после прекращения
движения будет уменьшаться как ехр(—t/ki). Поэтому
параметр Xi получил название времени релаксации. Шо-
филд и Скотт-Блэр [7] успешно применили уравнение
Максвелла к мучному тесту.
Олдройд [8] исследовал упругие и вязкие свойства
эмульсий и суспензий одной ньютоновской жидкости в
другой и теоретическим путем установил дифферен-
циальное уравнение, связывающее напряжение сдвига т
и скорость сдвига 7, в виде
+М — НоСг + МЬ	(1.4.3)
где постоянные М и Х2 могут быть определены в за-
висимости от физических свойств смеси. В такой системе
энергия упругой деформации накапливается в процессе
течения благодаря межфазовому натяжению, вызываю-
щему восстанавливающую силу, которая противодей-
ствует изменению формы капель. Аналогичные уравне-
ния были выведены Фрелихом и Заком [9] для разбав-
ленных суспензий твердых частиц в вязкой жидкости.
Энергия упругой деформации в таких системах накап-
ливается по той причине, что упругие твердые частицы
сами деформируются при течении окружающей их жид-
кости.
В уравнении (1.4.3) постоянная цо совпадает с вяз-
костью при малых скоростях сдвига в стационарном со-
стоянии, т. е. когда т = 7 = 0. Постоянная М — время
релаксации. Ее физический смысл заключается в том,
что если внезапно прекратить движение, то напряжение
трения будет ослабляться как ехр(—£/М); Х2 назы-
вается временем запаздывания и означает, что при сня-
тии напряжений скорость деформации будет умень-
шаться как ехр(—t/K2).
Томс и Строубридж [10] нашли, что поведение раз-
бавленных растворов полиметилметакрилэта в пиридине
может быть описано уравнением типа (1.4.3). Оно ха-
рактеризует также поведение некоторых битумов.
Тогда очевидно, что вязкоупругая жидкость не мо-
жет быть охарактеризована простым реологическим

Классификация неньютоновских жидкостей
31
уравнением типа 7 = f(i). Основное и существенное от-
личие заключается в том, что реологическое уравнение
в общем случае содержит производные по времени как
от т, так и от 7. Следовательно, можно записать
(1-4.4)
ИЛИ
N	Л1 *
где D — дифференциальный оператор dldt.
1.5.	Механические модели вязкоупругих жидкостей
Реологическое уравнение вязкоупругой жидкости
• является общим, и при корректных граничных условиях
его решение тает реакцию материала на любое напря-
жение или теформацию. Однако решение подобных
уравнений для реальных жидкостей представляет боль-
шие трудности даже в предположении, что значения не-
которых параметров могут быть определены из опыта.
Тем не менее можно получить много качественных све-
дений, изучая идеализированные механические модели,
или аналоги, которые предназначены для более или ме-
нее близкого воспроизведения записанной выше времен-
ной реологической зависимости реальной жидкости. По-
ведение такой модели гораздо легче представить себе,
нежели поведение самой жидкости, особенно инженеру.
Изучение моделей позволяет также разработать количе-
ственный метод описания жидкости с помощью одного
параметра. Это рассматривается ниже в данном разделе.
Эти модели представляют собой комбинацию пружин
и поршней. Натяжение пружины пропорционально ее
деформации, а сила, действующая на поршень, пропор-
циональна скорости деформации. Следовательно, пру-
жины и поршни в модели представляют соответственно
упругие и вязкие свойства жидкости. Соединение основ-
ных элементов механической модели — пружины и порш-
ня— в параллельную цепь называется элементом Фойг-
та, а их последовательная цепь известна под названием

32
Глава 1
максвелловского элемента (так как его уравнение совпа-
дает с реологической зависимостью для рассмотренного
выше максвелловского тела). Такие элементы описы-
вают поведение идеализированных материалов. В дей-
ствительности поведение жидкостей описывается более
или менее сложной комбинацией этих основных элемен-
тов. Модели более сложных материалов будут получены
после первоначального рассмотрения обоих основных
элементов и обобщения результатов этого рассмотрения.
а.	Модель Фойгта
Механическим аналогом упругости Гука является
пружина, а ньютоновской вязкости — поршень. Парал-
Р	дельным соединением обоих элемен-
,	тов получают комбинацию, представ-
ляющую модель Фойгта (фиг. 9).
Уравнение движения этого тела имеет
(I -------- ВИД
1	F= кхх-\-/г2х,
I-LI где k} — постоянная упругости пружи-
Ц—ны, a k2 — демпферная постоянная
поршня.
Рассматривая силу как аналог на-
-------- пряжения и растяжение как аналог
деформации, можно утверждать, что
х эта модель механически эквивалентна
жидкости, поведение которой при сдви-
ге описывается уравнением
Фойгта.	т —	+	(1.5.1)
где ц — вязкость и G — модуль сдвига.
Интегрируя это уравнение, найдем общее решение
Т=ехр(— у *)[1Го + 7 f техР(7 0-5.2)
где — деформация в начальный момент времени
(/ = 0).
Если напряжение т0 постоянно и начальная дефор-
мация равна нулю, получим упрощенный случай
7(;) = Х[|-ехр	(1.5.3)

Классификация неньютоноеских жидкостей
33
где X = p/G — время запаздывания. При внезапном сня-
тии напряжения деформация будет убывать до нуля по
экспоненциальному закону с постоянной времени Z. (Это
означает, что за время X деформация уменьшается в
е раз по отношению к первоначальной величине.)
Следует заметить, что модель Фойгта фактически
представляет собой вязкоупругое «твердое» тело, так
как можно показать, что она не обнаруживает беспре-
дельного невосстанавливаемого вязкого течения. Эле-
мент Фойгта будет приходить в состояние равновесия
только после того, как пружина окончательно освобо-
дится от нагрузки.
б.	Модель Максвелла
Максвелловское тело представляет собой соединен-
ные последовательно пружину и поршень (фиг. 10). Его
реологическое уравнение совпадает с аналогичной зави-
симостью для максвелловского тела, приве-
денной выше,
После интегрирования получаем	<G
т = ехр(—(1.5.4) I
где -to — напряжение в начальный момент |±| Iй
времени (t = 0).
Если максвелловское тело подвергается при
t = 0 постоянной деформации -[о, то напряже-
ние сдвига в нем будет ослабляться как
(t \	Фиг. 10.
— —-I.	(1.5.5) Тело Мак-
' '	свелла.
где -у = ц/G — время релаксации.
Отсюда видно, что максвелловское тело представ-
ляет собой вязкоупругую «жидкость» 4), поскольку будет
проявлять, аналогично ньютоновской жидкости, непре-
') По нашему мнению, более точными являются термины «твер-
дообразный» либо «жидкообразный» материал, предложенные акад.
П А. Ребиндером. — Прим, редь
3 Зак. 182

34
Глава I
рывное установившееся течение при данном напряже-
нии т, определяемом из выражения 7 = т/р.
в.	Дальнейшие усовершенствования и обобщение
моделей Фойгта и Максвелла
Простые модели Фойгта и Максвелла не всегда ока-
зываются достаточными для исчерпывающего описания
реальных вязкоупругих материалов. Чтобы распростра-
нить данные модели на более сложные системы, близ-
кие к реальным жидкостям, оказывается удобным рас-
сматривать ряд простых фойгтовских элементов, соеди-
ненных последовательно, либо параллельную цепь
максвелловских элементов. [Этот метод используется
потому, что параллельно соединенные фойгтовские эле-
менты проявляют те же свойства, что и простой (оди-
ночный) элемент Фойгта, и последовательное соединение
максвелловских элементов ведет себя подобно простому
максвелловскому элементу].
г.	Обобщенное фойгтовское тело
Рассмотрим последовательную цепь из N фойгтовских
элементов (фиг. И), n-ый элемент характеризуется мо-
дулем сдвига G„ и вязкостью рп. Тогда время запазды-
вания этого элемента равно pn/Gn.
Пусть напряжение to, внезапно приложенное в на-
чальный момент (t = 0), остается затем неизменным.
Для n-го элемента из формулы (1.5.3) следует
Ь(0 = -§Г[1-ехр(—У].	(1.5.6)
Полное смещение системы 7 будет суммой деформаций
отдельных элементов
N
[1 — ехр (—-£-)]	(1-5.7)
л= 1
Обычно принято обозначать 1/Gn = Jn, где Jn назы-
вается податливостью сдвигу. Тогда
л
7(o=ToS-/'’[1 ~ехр(_ о-5-8)
n=l

Классификация неньютоновских жидкостей
35
В пределе, когда М->оо, приходим к бесконечной
цепи элементов, для которой диапазон времени запазды-
вания изменяется непрерывно от нуля до бесконечности.
Конечное число постоянных для эле-
ментов (Jn, Кп) теперь заменяется
функцией распределения /(X), которая
представляет собой упругую податли-
вость, связанную с временем запазды-
вания X (теперь рассматриваемым как
непрерывный параметр). Обычно эту
функцию называют распределением
времени запаздывания.
При переходе к пределу N-^<x урав-
нение (1.5.8) записывается в виде
СО
I (!) = *0 / 7 00 [1 — exp (— y)] Л.
о
(1.5.9)
Использование понятий функций
распределения времени запаздывания
и распределения податливости J (X)
весьма упрощает математическое ис-
следование проблемы и описание рео-
логического поведения материала.
Такой метод нашел успешное примене-
ние при изучении аморфных линейных
высокополимеров типа полистирола.
Можно убедиться, что как и в слу-
чае простого фойгтовского элемента,
обобщенная модель аналогична вязко-
G.

Фиг. 11. Обобщен-
ное тело Фойгта.
упругому «твердому» телу и система не обнаружи-
вает неограниченного и необратимого вязкого тече-
ния, если Gi ... Gv и pi ... |iw положительны. Если же
в одном из фойгтовских элементов модуль сдвига ока-
зывается равным нулю, то остается простой поршень,
допускающий неограниченное перемещение (течение).
Система может тогда рассматриваться как вязкоупругая
«жидкость». Подобно этому, если один из поршней обла-
дает нулевой вязкостью, модель будет иметь одновре-
менно упругую податливость.
3*

36
Глава I
Функция ползучести q(t) вязкоупругого материала
определяется как выраженная в зависимости от времени
деформация, отнесенная к единице напряжения, в усло-
виях, когда к материалу после релаксации внезапно при-
ложено постоянное по величине напряжение. Если де-
формация ч(/) получается после приложения напряже-
ния т0 в начальный момент времени (/ = 0), то функция
ползучести будет равна
?(/) = Ж	(1.5.10)
Для обобщенной модели Фойгта имеет место соотноше-
ние
со
<р(0 = p(X)[l-exp(-4)]dX,	(1.5.11)
о
и распределение времени запаздывания I(X) можно
определить на основе найденной экспериментальным пу-
тем функции ползучести <р(0- Такой способ рассмотрен
ниже. Здесь необходимо заметить, что в принципе J(X)
можно получить из <р(0 применением обратного преоб-
разования Лапласа.
д.	Обобщенная максвелловская модель
Простой максвелловский элемент в ряде случаев не
дает достоверного описания реальных вязкоупругих
жидкостей, но его можно обобщить таким же способом,
как элемент Фойгта.
Рассмотрим систему из N параллельно соединенных
элементов Максвелла (фиг. 12). Для п го элемента связь
между напряжением и деформацией выражается в виде
^(/)==^Г'+4г'-	(1-5Л2)
Полное напряжение t(J) будет суммой отдельных
составляющих
40= 2 МО-	(1-5.13)
п=1
Следовательно, если мы рассмотрим систему из N эле-
ментов, подвергнутую в начальный момент времени
(/ = 0) деформации у0, остающейся затем неизменной,

Классификация неньютоновских жидкостей	37
то убывание напряжения во времени будет определяться
в сооие1ствии с (1.5.5) зависимостью
N
^(О = То2Слехр(-£). (1.5.14)
д=1
В пределе, когда /V->oo, константы (Gn, Хп) заме-
няются функцией распределения G(X), которая пред-
ставляет собой модуль упругости, связанный с временем
релаксации X.
Ф и г. 12. Обобщенное тело Максвелла.
Следовательно, при N<х получается зависимость
СО
= G(X)exp[—	(1.5.15)
о
представляющая реологическое уравнение обобщенной
максвелловской жидкости.
Функция релаксации ф(0 вязкоупругого материала
определяется как отнесенное к единице начальной де-
формации напряжение, выраженное в виде функции
времени t, если материал подвергнут мгновенной дефор-
мации ?о в момент времени t = 0, т. е.
(1-5.16)
тогда для обобщенного максвелловского тела получаем
СО
Ф(0 = J О(Х)ехр(— y\d\.
Q
(1.5.17)

38
Глава 1
Величину G(X) можно определить из релаксацион-
ных измерений таким же способом, каким находят J(X)
из опытов ползучести. В принципе G(X) можно полу-
чить из ф(/) обратным преобразованием Лапласа, точно
так же как /(X) находится из $(/). Однако на практике
указанное преобразование не применяется, так как ре-
лаксация и ползучесть относительно' просто опреде-
ляются экспериментально.
е.	Связь между аналогиями и функциями релаксации и
ползучести
Поскольку для описания вязкоупругого материала
могут быть использованы либо /(X), G(X), <₽(/). либо
Интегральное
преобразование
Интегральное
уравнение Волътерра
Ф и г. 13. Взаимосвязь аналогий, функций ползучести
и релаксации.
ф(0, то, очевидно, между ними должна существовать
тесная взаимосвязь. Такие зависимости достаточно пол-
но описаны Алфреем [11] Схематически они поясняются
на фиг. 13,

Классификация неньютоновских жидкостей	39
ж Примеры применения моделей для описания реальной
жидкости
Выше было отмечено, что Олдройд [8] теоретическим
путем получил уравнение
^ + М = Но(т + М).
пригодное для описания реологических свойств эмуль-
сий и суспензий. Строубридж и Томс [10] показали, что
это уравнение описывает поведение некоторых полимер-
ных растворов.
Рассмотрим следующую модель.
Пусть деформация фойгтовского элементе будет
71(0, а поршня 12(0-
Для фойгтовского элемента
подстановка соответствующих значений G и g дает
if\ —___iSH_____. • £)==-—
но ! нЛО ’ Л'
— Xj Xj — Xj
Ъ(0= >•
Общая деформация будет i(t) = 7Д/) + qf2(0» т- е«
7(0=40
1
хтЁгг/Ч-М)) ^°D

40
Глава 1
После некоторых преобразований получим
т (/) = т (t) Ио0
или
т + Х1т = р.0(у+А2Т),
что совпадает с уравнением Олдройда.
Рассмотрение следующей модели также подтвер
ждает справедливость уравнения Олдройда.

Глава 2
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
Выше было показано, что для определения реологи-
ческих свойств любой неньютоновской жидкости необ-
ходимо провести по меньшей мере два самостоятельных
опыта, тогда как для ньютоновской жидкости достаточно
только одного измерения вязкости. Методики экспери-
ментального определения реологических характеристик
трех основных классов материалов — жидкостей, реоло-
гические характеристики которых зависят от времени,
стационарно реологических и вязкоупругих — будут рас-
смотрены раздельно. В данной главе дается только прин-
ципиальная сторона этого вопроса. Детали вискозиме-
трии и подробное описание аппаратуры приводятся
в гл. 6.
2.1. Существующие методы изучения жидкостей
с реологическими характеристиками, не зависящими
от времени
Известно два основных метода получения реологиче-
ских характеристик указанных выше типов жидкостей,
а именно:
1. Непосредственное установление связи напряжения
сдвига со скоростью сдвига путем приложения к об-
разцу однородного сдвига в специально сконструирован-
ном приборе и измерения соответствующего напряжения
сдвига. Вискозиметры, использующие этот принцип,
представляют собой обычно ротационные устройства в
виде соосных цилиндров или конуса и пластины.
2. Установление зависимости между напряжением и
скоростью сдвига косвенным способом — по измерениям
перепада давлений и расходу жидкости в прямолиней-

42
Глава 2
ном канале или в вискозиметрах с капиллярной труб-
кой. В таких приборах скорость сдвига непостоянна по-
перек канала, а изменяется от нуля на оси трубы до
максимума на стенке. Следовательно, результаты изме-
рений и их истолкование не столь очевидны и досто-
верны.
В последующем изложении будем считать, что тече-
ние вблизи стенки не аномально, т. е. «скольжение»
отсутствует. Это допущение не всегда соблюдается для
неныотоновских жидкостей. Часто скорость сдвига мо-
жет не быть однозначной функцией напряжения сдвига
даже для стационарно-реологических жидкостей. При-
чина заключается в том, что стенка'способствует повы-
шенному ориентированию тех молекул или частиц, кото-
рые находятся вблизи нее. Это приводит к возникнове-
нию эффекта проскальзывания на стенке, более детально
рассмотренному в Приложении 1.
2.2. Исследование стационарно реологических жидкостей
с помощью ротационных вискозиметров
а. Соосно-цилиндрические вискозиметры
Принцип действия таких приборов иллюстрируется
фиг. 14. Материал помещают в зазор между двумя
длинными вертикально расположенными соосными ци-
линдрами. Один из них приводится во вращение с варьи-
руемой угловой скоростью, в то время как другой ци-
линдр испытывает закручивающее усилие, величина
которого измеряется в процессе опыта. Изменение кру-
тящего момента в зависимости от числа оборотов вра-
щающегося цилиндра можно интерпретировать как связь
между напряжением сдвига и скоростью сдвига. Изме-
нение скорости сдвига в каждой точке испытываемого
образца зависит от ширины кольцевого зазора между
обоими цилиндрами. Если щель достаточно мала, то
изменение скорости сдвига поперек зазора будет незна-
чительно, т. е. радиальное изменение указанной вели-
чины будет пренебрежимо мало. Прибор обычно поме-
щают в термостатирующую ванну.
Данному типу приборов свойствен концевой эффект
вблизи торца, не являющегося свободной поверхностью.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей 43
В хорошо сконструированном приборе влияние концевого
эффекта можно существенно уменьшить, но полностью
устранить его нельзя. Тем не менее этот эффект можно
исключить из результатов путем проведения двух опы-
тов при одинаковых скоростях вращения, но различных
уровнях жидкости в кольцевом зазо-
ре. Если измеренную разность кру-
тящих моментов разделить на раз-
ность уровней жидкости, получен-
ную в обоих экспериментах, то
величина этого отношения будет со-
ответствовать условиям совершенно
однородного течения. Приведенный
метод, хотя и обладает требуемой
точностью, все же довольно трудо-
емок, так как требует проведения
двух последовательных измерений
для каждого числа оборотов. Дру-
гой возможный приближенный ме-
тод исключения концевых эффек-
тов заключается в нахождении
некоторой эквивалентной высоты,
соответствующей определенному
уровню в приборе при тарировании
его жидкостью с известной вяз-
Ф и г. 14. Принци-
пиальная схема со-
костью.
В Приложении 2 показано, что
для жидкостей со стационарной рео-
логией при отсутствии скольжения
на стенке общая функциональная
oci ю-ци л hi щр ичес кого
вискозиметра.
1	— крутящий	момент;
2	—неподвижный цилиндр;
3	— вращающийся ц тлиндр.
связь между измеренным крутящим моментом, отне-
сенным к единице высоты столба жидкости G, и угло-
вой скоростью Q внешнего цилиндра выражается урав-
нением

(2-2.1)
где функция f устанавливает взаимозависимость напря-
жения сдвига т и скорости сдвига у
7 =/W-

44
Глава 2
Обработка опытных данных, описанная ниже, различна
для каждого класса жидкостей.
Ньютоновская жидкость. В Приложении 2 показано,
что для ньютоновской жидкости общая функциональная
зависимость, даваемая (2.2 1), сводится после упрощаю-
щих выкладок к соотношению

4л С
(2.2.2)
Фиг. 15. Построение
кривой течения псевдо-
пластичных и дилатант-
ных жидкостей.
откуда видно, что график связи G и Q представляет
прямую линию, проходящую через начало отсчета, на-
клон которой дает вязкость. По-
этому вязкость ньютоновской
жидкости можно в принципе
определить из однократного опы-
та. Последующие опыты при раз-
личных угловых скоростях слу-
жат только для улучшения
точности основного опыта.
П севдопластичные и дилатант-
ные жидкости. Уравнение (2.2.2)
можно также использовать для
определения кажущейся вязко-
сти неньютоновских жидкостей
при заданной скорости сдвига и
при условии, что кольцевая щель
вискозиметра достаточно узка. Тогда скорость сдвига
фактически будет одинаковой во всем объеме испы-
тываемого материала. Для случая, когда радиусы
внутреннего и наружного цилиндров отличаются не более
чем на 5%, изменения напряжения и скорости сдвига
будут составлять приблизительно 10% (у ньютоновской
жидкости). Тогда можно утверждать, что расчет по фор-
муле (2.2.2) определяет кажущуюся вязкость неньюто-
новской жидкости ца при напряжениях сдвига, соответ-
ствующих средним значениям на поверхностях обоих
цилиндров. Кривую течения в данном случае строят так,
как показано упрощенно на фиг. 15.
Средние значения скорости сдвига и напряжения
сдвига общепринято подсчитывать при г = т. е.

45
Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
для среднегеометрической величины радиуса. Тогда по.
лучаем	2r,r8Q	(2.2.3)
и	G 2лг1га ’	(2.2.4)
откуда	I- j Ио 4^г^	(2.2.5)
Этот метод следует применять с предосторожностями.
Дело в том, что, несмотря на простоту подсчетов изме-
нения скорости сдвига поперек щели при данном отно-
шении r2/ri для ньютоновской жидкости, соответствую-
щие действительные изменения для неньютоновской
жидкости в том же приборе могут оказаться намного
большими. Этот эффект заметил Враттен [12].
В Приложении 2 показано, что в случае применения
степенного реологического закона кажущаяся вязкость
на любом радиусе г определяется формулой
МН
(r|-r*)G
(2.2.6)

Выражение в квадратных скобках стремится к еди-
нице, когда (r2/ri)	1. Уравнение (2.2.6) является точ-
ным и может быть применено при наличии каких-либо
сомнений в надежности предыдущих методов.
Аномальное поведение жидкости вблизи стенок
можно обнаружить путем повторения опытов при не-
большом изменении ширины кольцевого зазора (сохра-
няя его величину малой). Если стенка оказывает влия-
ние, то кривые для разных зазоров щели не будут совпа-
дать.
Однако, когда гх и г2 не близки по величине, выше-
приведенная методика становится неточной. Действи-
тельную кривую течения определяют тогда путем рас-
чета напряжения сдвига и скорости сдвига для соответ-
ствующих точек жидкости. Наиболее подходящей для
этой цели является точка на поверхности внутреннего

46
Глава 2
цилиндра. Напряжение сдвига в указанной точке нахо-
дится по формуле
G
2W;
(2.2.7)
Кригер и Марон [13] показали, что скорость сдвига
на поверхности внутреннего цилиндра может быть пред-
ставлена бесконечным рядом, быстро сходящимся для
значений r2/rit меньших 1,2. При г2/Г] < 1,2 выражение
для скорости сдвига на внутренней поверхности цилин-
дра записывается в виде
^г[1+4.(4—<2-2-8)
где a, k\ и k2 являются постоянными прибора и подсчи-
тываются из соотношений
, а2— 1 Л . 2 .	\
== In а.
2 QcF
(2.2.9)
(2.2.10)
Для каждого опыта S представляет наклон графика ло-
гарифмической зависимости крутящего момента от ско-
рости вращения Q при определенной величине Й.
Напряжение сдвига и скорость сдвига могут быть
найдены из формул (2.2.7) и (2.2.8) соответственно, и
кривая течения тогда получается непосредственно путем
повторения опыта во всем диапазоне изменения скоро-
сти вращения прибора.
Бингамовские пластики'). Количественная картина
течения бингамовского пластичного материала в рота-
ционном вискозиметре может быть получена при скоро-
сти вращения системы, постепенно нарастающей с нуле-
вого значения. Если крутящий момент, отнесенный к еди-
нице столба жидкости на внутреннем (неподвижном)
’) Интегрирование уравнения Шведова — Бингама примени-
тельно к ротационным вискозиметрам было впервые проведено
Б. П Вайнбергом и опубликовано в Журн. Русск. Физ.-хим. Общ-ва,
часть физическая, 44, 201 (1912). — Прим. ред.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
41
цилиндре, имеет величину G, то напряжения сдвига на
обеих стенках кольцевого канала будут равны
G
Т1 — 2^ ’
G
2яг| ‘
(2.2.11)
(2.2.12)
Из обоих соотношений следует, что напряжение сдвига
на стенке внутреннего цилиндра ti всегда больше, чем
для внешнего т2-
Когда крутящий момент, действующий на поверх-
ность внешнего цилиндра, невелик, напряжения сдвига
будут ниже предела текучести бингамовского пластика
Поскольку сохраняется условие -и > тг, то ъ окажется
также меньше, чем ту, и течение в материале не возник-
нет. Следовательно, внешний цилиндр не будет двигаться
при условии, что напряжение сдвига на поверхности вну-
треннего цилиндра по абсолютной величине меньше, чем
предел текучести, т. е.
О .
2w? < V
(2.2.13)
Если же крутящий момент G будет возрастать так, что
тг < Т;/ < tj, то течение возникнет сначала только вблизи
внутреннего цилиндра. Предел текучести tv будет теперь
достигаться на радиусе гу, величина которого лежит
в пределах п < гу < г2; связь между ними устанавли-
вается соотношением
О
2кГ2 —
(2.2.14)
Теперь материал, заключенный между п и гу, будет течь,
а в области между гу и г2 (где напряжения еще остаются
ниже предела текучести) перемещаться как твердое тело,
связанное с внешним цилиндром.
Если при дальнейшем нарастании крутящего момен-
та Т2 станет больше ty, т. е.
G
2лг| у’
(2.2.15)

48
Глава 2
то скорость вращения увеличится и течение распростра-
нится на весь материал.
В Приложении 2 показано, что для этих условий мо-
мент G, отнесенный к единице высоты столба жидкости,
и угловая скорость вращения £2 связаны соотношением
_	0/1	1 \	г2
2 = -----(-у ——) —— In —•	(2.2.16)
4^р \ rl r2 J tJ'p Г1
Следовательно, если эту зависимость представить
графически, то для значений G, превосходящих по вели-
чине 2itTyr|, она будет представлять прямую линию
(фиг. 16) с наклоном (1/г? — 1/г|)/4яр.р. Другой вариант
Фиг. 17. Кривая течения бинга-
мовского пластика.
Ф и г. 16. Экспериментальная
зависимость бингамовских пла-
стиков, полученная с помощью
соосно-цилиндрического виско-
зиметра.
/ — вырождение стержневого течения;
2 — прямая линия с наклоном
графиков представлен на
фиг. 17.
Эти графики показыва-
ют, как характеристики бин-
гамовских пластиков Ту и
могут быть получены по измерениям скорости вращения
и приложенному крутящему моменту в ротационном
вискозиметре.
б. Цилиндр, вращающийся в неограниченной жидкости
Прибор, представленный схематически на фиг. 18,
является модификацией соосного ротационного вискози-
метра, для которого Г2 = оо.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей 49
Напряжение сдвига на поверхности цилиндра будет
G/2-д/?2, и можно показать [13], что величина скорости
сдвига на стенке дается выражением
4r.Q
S
(2.2.17)
где S — наклон графика логарифмической зависимости
крутящего момента от скорости вращения.
Фиг. 18. Цилиндр, вращающийся в без-
граничной жидкости.
Напряжение и скорость сдвига определяются в од-
ной и той же точке жидкости. Построение кривой тече-
ния производится непосредственно измерением прило-
женного момента при различных угловых скоростях
вращения цилиндра.
в. Вискозиметр типа конус — пластина
Прибор показан схематически на фиг. 19. Он со-
стоит из плоской пластины и весьма тупоугольного вра-
щающегося конуса. Вершина конуса слегка касается
поверхности пластины. Жидкость заполняет узкую щель
между ними. Контроль температуры обычно осуще-
ствляется на нижней пластине.
Если угол ф очень мал, например меньше 0,5°, и сред-
няя ширина щели невелика, скажем, меньше 0,5 мм, то
испытываемый материал во всем объеме будет подвер-
гаться однородному сдвигу, а концевые эффекты будут
незначительны. Тогда анализ опытных данных для
неньютоновских жидкостей упрощается, поскольку
4 Зак. 182

50
Глава 2
кажущаяся вязкость, как будет показано ниже, полу-
чается при этом как функция скорости сдвига.
Линейная скорость в точке на радиусе г будет Йг,
а высота щели — rtg ф Скорость сдвига определяют как
—= —•
+
Ф и г. 19. Принципиальная схе-
ма вискозиметра типа конус —
пластина.
Отсюда следует, что скорость сдвига постоянна в каж-
материала и не зависит от г.
Далее
1(г) = -ф-. если ф мало.
(2.2.18)
Поскольку, кроме того,
T = з 7 — постоянная,
то получается, что -с тоже
величина постоянная.
Поэтому
R
2~т J r2dr = Q.
о
Следовательно,
Уравнение (2.2.20) опре-
деляет кажущуюся вязкость
в зависимости от скорости сдвига, заданной как Й/ф.
С другой стороны, кривая течения может быть получена
непосредственно построением графика зависимости ско-
рости сдвига (Й/ф) от соответствующего напряжения
трения (Зб/2т/?3).
Вискозиметр такого типа сконструирован Пайпером
и Скоттом [14]. В гл. 6 приведено описание промышлен-
ного образца прибора, основанного на этом принципе.
Муни и Эварт [15] использовали этот же принцип при
конструировании нижней части (днища) соосно-цилинд-

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
51
рического вискозиметра, что позволило непосредственно
учесть концевые эффекты. Вельтман [16] также дал опи-
сание подобного прибора.
2.3.	Стационарно реологические жидкости
в вискозиметрах с капиллярной трубкой
Определение характеристик неньютоновских жидко-
стей в капиллярных вискозиметрах требует одновремен-
ного измерения объемной скорости Q в сечениях трубки
и соответствующего продольного перепада давлений ДР
на заданной длине. Эти измерения многократно повто-
ряются во всем диапазоне значений Q и ДР. Прибор со-
стоит из устройства для приложения разности давлений
к трубке диаметром 0,125 см и длиной 46 см и приспо-
собления для измерения скорости течения. Подробно эти
приборы и детали экспериментальной техники описаны
в гл. 6.
Некоторые авторы указывают, что если: 1) поток
ламинарен, так что каждая частица движется прямоли-
нейно и параллельно оси трубы с постоянной скоростью;
2) отсутствует скольжение на стенке; 3) скорость сдвига
в точке зависит только от напряжения сдвига в той же
точке, т. е. Т=/(т), то функциональная связь между
Q/v.R3 и Тц, (напряжение сдвига >на стенке трубы) не бу-
дет зависеть от диаметра трубы безотносительно к ха-
рактеру и степени сложности зависимости напряжения
сдвига от скорости сдвига. Это соотношение, вывод ко-
торого дается в разд. 3.1, может быть записано в виде
Jr =4А,	(2.3.1)
r-f< zw £
где f — функция, устанавливающая соотношение между
напряжением и скоростью сдвига.
Интеграл в уравнении (2.3.1) является функцией
только своих пределов, следовательно, Q/v.R3 будет опре-
деляться лишь независимо от вида |(т). Напряжение
трения на стенке трубы находится из выражения
где ДР — перепад давления на длине L,
4*

52
Глава 2
Следовательно,
_ /?ДР
•w— 2£
(2.3.2)
Если по замеренным значениям градиента давления
в трубе подсчитать R&P/2L и нанести эту величину для
различных диаметров трубы на график в зависимости
Фиг. 20. Течение реологически
стационарных жидкостей в трубе.
/ — асимптота с наклоном 1/4 2— бин-
гамовский пластик; 3—псевдопластик;
4 — ньютоновская; 5 — дилатантная.
от скорости течения Q/nR3
(объемный расход), то
все данные будут уклады-
ваться на одну общую
кривую при перечислен-
ных выше допущениях.
Исключив возможность
потери ламинарного ха-
рактера течения и пред-
положив, что реологиче-
ские характеристики жид-
кости не зависят от време-
ни, расслоение кривых
для различных диаметров
труб можно рассматри-
вать как доказательство
аномального поведения
течения или как результат
влияния скольжения вбли-
зи стенки трубы. Анализ
последнего случая можно провести на основе теорети-
ческого соотношения Олдройда [17], помещенного в При-
ложении 1.
График зависимости Q/nR3 от R&P/2L, подобный
изображенному на фиг. 20, используется для вывода
соотношения между напряжением и скоростью сдвига
следующим образом.
Исходим из приведенной ранее формулы
W
4г=л^)=4- f
(2.3.3)
откуда следует
1
dz
(2.3.4)
rfKF(^)]
W

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей S3
Функция F, заданная графически, дает возможность
вычислить скорость сдвига f (iw) для каждого iw. Гра-
фик зависимости tw от	как известно, является
кривой течения. Методика в принципе правильна, но на
практике кривая F (tw) часто оказывается недостаточно
крутой, чтобы дифференцирование в уравнении (2.3.4)
можно было осуществлять с требуемой точностью.
2.4.	Обобщение данных, получаемых по методу
капиллярного вискозиметра
Рабинович [53] и Муни [18] получили выражение для
скорости сдвига на стенке трубы, не зависящее от
свойств жидкости, при условии, что реологические ха-
рактеристики постоянны во времени.. Это выражение
имеет вид
(du\ _ о( Q \iR*p d<QI*R3> /9 4П
\dr)w~	2L d(RbP/2L)‘
Вводя среднюю скорость ит, равную Q/n/?3, и полагая
D = 2R, уравнение (2.4.1) можно записать как
( du\ _ 3 / 8п„\	_£ / 8ит \ rfln(8«,„/£>)	(	.
UrL- 4\D )' 4\ D ) d\п (D &P/2L) ‘
Обозначив логарифмическую производную в правой
части (2.4.2) через 1/п', получим другую более удобную
форму записи
/ du \ _Зп' -J- 1 8ит
4п'	’
предложенную Метцнером и Ридом [19].
Из определения п', т. е.
d\n(D&P/4L)
п ~~ d In (8«m/D) ’
замечаем, что
т °	_ а/ (8«т V'
4L I D ) *
(2.4.3)
(2.4.4)
(2.4.5)
Это — уравнение касательной графика логарифмиче-
ской зависимости от 8um/D для фиксированных зна-
чений т,0 и k', соответствующих выбранным Поль-
зуясь логарифмическим графиком зависимости D&P/4L

54
Глава 2
от 8um/D, можно определить п' и 8um/D для выбранных
значений напряжения трения на стенке D\P]bL. Соот-
ветствующая величина скорости сдвига на стенке нахо-
дится тогда из формулы (2.4.3). Аналогичными выклад-
ками можно определить напряжение трения и скорость
сдвига в любой точке жидкости. Построение кривой те-
чения сводится к многократному повторению указанных
операций для различных значений D^P^L. При по-
стоянном наклоне логарифмического графика во всем
диапазоне напряжений сдвига формула (2.4.5) превра-
щается в уравнение прямой линии. Если же график от-
личается от линейного, то п' и k' должны подсчитывать-
ся из соответствующего значения напряжения сдвига.
Основное соотношение, используемое в данном ме-
тоде, внешне схоже со степенным законом, который для
течения в трубе записывается в виде
’=*(#)”	(2.4.6)
где k и п близки по смыслу k' и п'. Величина k' харак-
теризует степень разжиженности материала и назы-
вается показателем консистенции. Чем выше k', тем
более вязкой является жидкость. Параметр/г'характери-
зует отклонение физических свойств материала от пове-
дения ньютоновской жидкости. Чем сильнее отличие п'
от 1 (больше единицы для дилатантных жидкостей и
меньше единицы для псевдопластиков), тем с большим
основанием можно рассматривать данную жидкость как
неньютоновскую. Величина п' известна под названием
показателя поведения жидкости. Хотя уравнения (2.4.5)
и (2.4.6) подобны, однако первое из них предпочтитель-
нее для инженерных приложений и обладает некото-
рыми важными преимуществами. Оно фактически пред-
ставляет непосредственную связь между перепадом
давления ДР и расходом (или средней скоростью жидко-
сти ит) в зависимости от размеров трубы и характери-
стических параметров жидкости k' и п'. Поэтому фор-
мулу (2.4.5) можно использовать в точных расчетах
трубопроводов при условии, что k' и п' известны для
рассматриваемых значений 8um/D. Когда же в расчетах
трубопроводов используется степенной реологический

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
55
закон, то уравнение (2.4.6) необходимо интегрировать,
как показано в следующей главе. Отсюда вытекает, что
показатель степени п для течения в трубе принимается
постоянным во всем диапазоне напряжения сдвига от
DkPj^L на стенке до нуля на оси. Обычно это условие
на практике не соблюдается.
Другое важное соображение заключается в том, что
формула (2.4.5) применима ко всем жидкостям (вклю-
чая бингамовские пластики), а не только лишь к мате-
риалам, подчиняющимся степенному реологическому за-
кону.
Связь между п и п' для любого частного значения
напряжения сдвига может быть установлена путем ло-
гарифмирования (2.4.3) с последующим дифференциро-
ванием и делением левой и правой частей на of(lm:w)
Л Зя'
d[lli(—rftt/dQrc,] _ d (1п8ист/С>)	\ П 4я'	/	.
d(lnTw)	rf(lnxw) -т" rf(lnxw) •
Из формулы (2.4.6) получаем также
1пт = 1п/г-|-/г'п(—duldr).	(2.4.8)
Отсюда после дифференцирования
k = const) приходим к соотношению
d (In т)
cf [In (— du/dr)]
(учитывая, что
(2.4.9)
Следует заметить, что различие между п п п' осо-
бенно отчетливо проявляется при сопоставлении фор-
мул (2.4.9) и (2.4.4). Параметр п характеризует наклон
логарифмического графика зависимости напряжения
сдвига от скорости сдвига, в то время как п' предста-
вляет наклон логарифмического графика напряжения
сдвига на стенке трубы в функции величины %uinID.
Последняя не эквивалентна значению скорости сдвига на
стенке, за исключением особого случая ньютоновской
жидкости.
Подстановка формул (2.4.4) и (2.4.9) в (2.4.7) при-
водит к
.. (Зя' + Ц
±	1 dlnHn' )
я	п' ' d (In tw)

56
Глава 2
или после перегруппировки
- -/7^-’	(2-4л°)
Зл' 1 \ d In т )
где п' относится к напряжению трения т.
Из формулы (2.4.10) вытекает, что для п', не зави-
сящего от t, т. е. когда логарифмический график зави-
симости D\P^L от 8um/D представляет собой прямую
линию, производная знаменателя обращается в нуль и
п = п'. В общем случае при п' = f(t) можно всегда
найти п по п', но не наоборот.
Можно установить также взаимосвязь между k и k'.
Интегрированием выражения (2.4.6) получаем (см.
разд. 3.1)
<*•«')
Сравнивая (2.4.11) и (2.4.5), находим
и далее, k' = k при п = 1, т. е. когда жидкость является
ньютоновской. В общем случае k' и k различны.
2.5.	Методы экспериментального изучения жидкостей
с реологическими характеристиками, зависящими
от времени
о. Вискозиметр с капиллярной трубкой
Выше было установлено, что кривая зависимости
Q/и/?3 (или 8nm/D) от DbP/^L является единственной и
не зависящей от размеров трубы только в случае, если
свойства жидкости не меняются с течением времени.
Тиксотропные жидкости обнаруживают разжижение
консистенции с увеличением продолжительности сдвига
при заданной величине самого напряжения сдвига. Ре-
зультаты измерений в капиллярном вискозиметре для
этих жидкостей графически представлены на фиг. 21.
Склонность к тиксотропному разрушению структуры
(деструкции) возрастает по мере увеличения длины

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
57
трубы и уменьшения ее диаметра, т. е. при возрастании
продолжительности сдвига и увеличении скорости сдви-
га Этот эффект был продемонстрирован в опытах
Амброза и Лумиса [20]. Для материалов, обладающих
способностью структурообразования при сдвиге (так на-
зываемые реопектические жидкости) картина обратная,
т. е. при заданной величине D\Pj^L значения 8um/D
Фиг. 21. Течение тиксотропной жидкости
в трубе.
будут возрастать с увеличением диаметра трубы и ее
укорочением. Для получения количественных характери-
стик реологически нестационарных жидкостей метод
капиллярной трубки не является удовлетворительным.
По-видимому, ротационные приборы, в которых возмож-
но осуществлять измерения при более точном воспроиз-
ведении и однородности распределения скоростей сдви-
га, обладают определенными преимуществами.
б. Ротационные вискозиметры
В ротационных приборах типа соосно-цилиндриче-
ского вискозиметра Куэтта тиксотропное разрушение
структуры проявляется при постепенном нарастании
приложенного крутящего момента и постоянной скоро-
сти вращения до наступлёния равновесной деструкции
.(определяется угловой скоростью).

58
Глава 2
Чтобы определить природу тиксотропной деструкции
и ее границы, необходимо построить по крайней мере
две кривые — одну для процесса разрушения структуры
и другую — для обратного процесса структурообразова-
ния. Первая получается для постепенно нарастающей до
некоторой произвольно выбранной предельной величи-
ны скорости сдвига, вторая — при последующем сниже-
нии f до нуля. Фиг. 22 служит иллюстрацией подобных
опытов. Верхняя кривая АВ
определена при скоростях
сдвига, нарастающих от не-
которой постоянной величи-
Ф и г. 22. Поведение тиксотроп-
ного материала на различных
стадиях сдвига.
ны до 7макс- Если непосред-
ственно после завершения
первой ветви (т. е. сразу же
после достижения 7Макс) на-
чать построение кривой для
убывающих 7, то в общем
случае получается линия,
сходная сВСА. Если же ско-
рость сдвига поддерживать
в течение некоторого време-
ни неизменной и равной по
величине 7Макс, то произой-
дет обусловленное тиксо-
тропной деструкцией уменьшение напряжения сдвига до
некоторого значения, представленного на графике точ-
кой D. Начав теперь построение обратной ветви по-
лучим DA. При неограниченно долгом поддержании
неизменной величины 7макс напряжение упадет до не-
которого значения, показанного на графике точкой Е.
«Равновесная обратная кривая» ЕА будет в результате
соответствовать максимальной тиксотропной деструк-
ции.
Грин [21] и Грин и Вельтман [22] предложили методы
получения количественных характеристик тиксотропных
материалов, исходя из формы и площади гистерезисных
петель, подобных ABD. Аналогичные рассуждения, по-
видимому, применимы к реопектическим материалам,
поскольку для них автору неизвестны опубликованные

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
59
экспериментальные данные, подобные приведенным
выше для тиксотропных материалов.
Грин и Вельтман описали тиксотропные материалы
типа бингамовских пластиков в зависимости от двух ве-
личин (параметров) В и М. Коэффициент времени тик-
сотропной деструкции В характеризует скорость разру-
шения структуры при постоянной скорости сдвига;
параметр М называется коэффициентом тиксотропной де-
струкции, обусловленной возрастанием скорости сдвига.
Число оборотов
Фиг. 22а. Схематическое пояснение методов
Грина [21] и Грина и Вельтмана [22].
Оба коэффициента можно получить из опытов с приме-
нением ротационных вискозиметров. Чтобы определить
коэффициент В, ротору прибора задают заранее выбран-
ную предельную скорость вращения, при достижении
которой (точка А на фиг. 22а) материал продолжает
подвергаться сдвигу с постоянной скоростью в течение
времени К, пока крутящий момент пе снизится до неко-
торого значения Тогда начинают построение обрат
ной ветви. После успокоения (длительного стояния
жидкости) опыт повторяется, но теперь материал под-
вергается сдвигу при максимальной скорости более дли-
тельно — в течение промежутка времени Крутящий
момент при этом снизится дополнительно (точка В2),

60
Глава 2
прежде чем начнется построение обратной ветви. Пусть
и величины пластических вязкостей, соответ-
ствующие обеим обратным кривым, т. е. наклоны кри-
вых В\О и В2О соответственно. Вельтман показал, что
пластическая вязкость убывает как логарифм времени и
коэффициент В определяется формулой
„ t dp„
В =-------.т- — const,
at
так что, используя данные двух опытов, получим
о_____________________ ^Pi ^Pi
1п(^/Л) •
Чтобы найти М, необходимо построить две последо-
вательные гистерезисные петли для различных предель-
ных чисел оборотов А/] и N2, как показано на фиг. 226.
Фиг. 226. Метод гистерезисных петель
Вельтмана.
Вельтман показал также, что величина деструкции
пропорциональна предельному значению скорости сдви-
га и что
ехр(-

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
61
Следовательно, если пластические вязкости, соответ-
ствующие обеим нисходящим кривым А [О и А2О, будут
р. иц, то
‘ Pi 'Pi
Физически М имеет смысл уменьшения напряжения
сдвига на единицу приращения скорости сдвига.
Такой подход использовался для описания тиксо-
тропного поведения суспензий типа пигмент — раствори-
тель. Вопрос о том, имеют ли подобные методы какое-
нибудь реальное теоретическое значение, является, од-
нако, спорным.
В заключение отметим, что количественное описание
реологически нестационарных жидкостей затруднитель-
но, и в этой области до сих пор еще не разработаны на-
дежные экспериментальные методы. Для технических
приложений это обстоятельство в настоящее время не
представляет серьезного затруднения, так как указанные
реологически нестационарные жидкости встречаются
гораздо реже, чем реологически стационарные, в частно-
сти псевдопластики.
2.6.	Экспериментальное изучение вязкоупругих
материалов
а. Существующие методы
В принципе имеются два основных метода нахожде-
ния характеристик вязкоупругих материалов:
1)	путем определения коэффициентов дифференци-
ального уравнения, связывающего напряжение и дефор-
мацию, т. е. постоянных а0 ... ап и (30 ... рп в уравнении
деформированного состояния
N	М
(2.6.1)
Л=0	т = 0
2)	получением кривой динамических возмущений ма-
териала при некотором определенном напряжении или
деформации сдвига. Для этого может быть использо-
вана в принципе любая временная функция напряжения

62
Глава 2
и деформации, но, как и в задачах теории автоматиче-
ского регулирования, возмущения ступенчатой или сину-
соидальной формы легче всего поддаются математиче-
скому анализу.
Оба эти метода, конечно, идентичны, и для линейных
вязкоупругих материалов можно математически перейти
от одного к другому. Линейными называются мате-
риалы, для которых справедлив принцип суперпозиции
(наложения). Рассмотрим, например, ползучесть. Пусть
7i (0 —деформация в момент времени t, когда на мате-
риал действует напряжение ц, а 72(/)—деформация
в тот же момент времени под воздействием другого на-
пряжения т2. Если материал является линейным, то де-
формация в момент времени t при напряжении ti + т2
будет 7i(/) +72(0 • Ниже рассматриваются только ли-
нейные материалы.
Реологические характеристики, получаемые экспери-
ментально по второму методу, можно подразделить на
два вида в соответствии с принятым типом экспери-
мента.
2.7.	Нестационарные эксперименты. Ступенчатое
импульсное возмущение
а.	Запаздывающая деформация или ползучесть
Функция ползучести (1.5.10), вероятно, наиболее
удобна для описания поведения вязкоупругого мате-
риала, в котором преобладают свойства твердого тела,
т. е. материала, который способен удерживать свой соб-
ственный вес без заметных искажений формы по сравне-
нию с жидкообразными материалами, обладающими
текучестью и требующими ограничения стенками.
Функция ползучести определяется соотношением
=	(2.7.1)
где 7(/)—измеряется в опытах непосредственно после
приложения начального напряжения т0 при t = 0.
На фиг. 23 представлен типичный график ползучести.
В общем кривая состоит из трех частей: 1 — вязкое

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
63
течение; 2— мгновенная упругая деформация; 3— за-
паздывающая упругая деформация.
Кривая ползучести (участок АВ) представляет
сумму этих трех частей. Такое утверждение справедливо
для линейных материалов, подчиняющихся принципу
суперпозиции. Если продолжительность эксперимента
достаточно велика, кривая запаздывающей упругой де-
формации будет снижаться до тех пор, пока ее наклон
Фиг. 23. Г рафик ползучести.
не станет равным нулю. Кривая ползучести будет тогда
иметь такой же наклон, как и составляющая вязкого те-
чения.
Предположим, что в некоторый момент времени на-
грузка внезапно снимается. Упругая деформация мате-
риала, исчезающая мгновенно, выражается отрезком
вертикальной прямой ВС, который совпадает по вели-
чине с О А. Запаздывающая упругая деформация со вре-
менем также полностью исчезает, но вязкая деформация
остается.
Кривая восстановления CD будет представлять собой
зеркальное отображение суммы составляющих 2 и 3.
Запаздывающая упругая составляющая, показанная от-
дельно (кривая 4), является зеркальным отображением
кривой 3.
Эквивалентной моделью, дающей кривую ползучести,
подобную рассмотренной выше, может служить об-
общенное фойгтовское тело, представленное двумя

64
Глава 2
элементами: поршнем с нулевой вязкостью и пружиной
с нулевой жесткостью. Эта механическая модель пред-
ставлена схематически на фиг. 24, а соответствующее
реологическое уравнение записывается в виде
£
Фиг. 24. Модель
вязкоупругого ма-
териала.
хо
/V
ехр(—/Д„)].
п = 0
Это уравнение справедливо также
для последовательного соединения
простых элементов Фойгта и Макс-
велла.
Детали экспериментальной техни-
ки, используемой для нахождения кри-
вых ползучести, весьма полно изложе-
ны в работе Лидермана [23]. «Твердо-
образные» образцы обычно испыты-
ваются на растяжение; «жидкообраз-
ные» — на сдвиг в пространстве
между вращающимися соосными ци-
циндрами или в зазоре между вра-
щающимся конусом и неподвижной
пластиной.
В принципе кривую ползучести
О АВ следует определять во всем диа-
пазоне изменения времени от 0 до оо.
В опытах, однако, весьма затрудни-
тельно точно измерить кратковремен-
ные возмущения. Это означает, что
поведение материала за короткое вре-
мя не успеет полностью проявиться. Исходя из модель-
ных представлений, можно утверждать, что фойгтовский
элемент со временем запаздывания, уступающим по ве-
личине наименьшему отрезку времени, измеряемому при
эксперименте (например, меньше 1 сек), будет вести себя
как обычная пружина, В общем запаздывающий харак-
тер упругости элемента можно выявить только в том
случае, если шкала времени опыта приблизительно
равна времени запаздывания.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей 65
Следовательно, нестационарная функция ползучести
будет применима только тогда, когда шкала времени
опыта достаточно велика.
б.	Функция релаксации напряжения
Экспериментальное определение кривой времени ре-
лаксации производится путем внезапного деформирова-
ния материала в начальный
момент времени (/ = 0) и
последующего измерения на-
пряжений как функций вре-
мени при сохранении дефор-
Ф и г. 25. Г рафик функции релак-
сации напряжения.
Фиг. 26. Влияние начальных
условий нагружения материала.
/ — мгновенное смещение при
2 —деформация, приложенная с конеч-
ной скоростью.
мации неизменной в Течение всего опыта. Функция ре-
лаксации тогда дается выражением
=	(2-7.2)
Эта методика больше всего применима к Вязкоупру-
гим «жидким» телам, обладающим текучестью и тре-
бующим поэтому ограничения стенками.
Общий характер релаксационной зависимости пока-
зан на фиг. 25.
Несмотря на то что данный метод больше всего под-
ходит к «жидкообразным» телам, его можно применять
и к «твердообразным» материалам при их растяжений.
5 Зак, 182

1"лава 2
«Жидкообразные» вещества, как уже отмечалось
Выше, обычно исследуются на сдвиг в пространстве ме-
жду соосными цилиндрами или в зазоре между конусом
й пластиной.
Как и в случае ползучести, релаксационные Методы
Лучше Всего подходят для опытов с большой шкалой
времени. В этом заключается Другая трудность экспери-
мента, поскольку в идеальном случае первоначальное
Деформирование Материала должно быть произведено
Мгновенно. Влияние конечной скорости наложения де-
формации показано на фиг. 26. Этот эффект может
иногда приводить к ошибочным заключениям.
2.8.	Динамические эксперименты. Частотные возмущения
В предыдущем разделе были рассмотрены опыты при
импульсной (ступенчатой) форме возмущения. Было по-
казано, что их основное ограничение заключается в том,
что кратковременное поведение системы не проявляется
Деформация
Деформация
Напряжение
Ф и г. 27. Динамические Кривые^напряжения и деформации.
отчетливо. Такого же рода ограничение встречается при
использовании возмущения ступенчатой формы для изу-
чения динамических характеристик промышленных уста-
новок в задачах автоматического регулирования. В дан-
ном случае динамические характеристики установки
можно определить более точно методом синусоидального
возмущающего сигнала. Такой прием, известный под
названием метода частотных характеристик, пригоден
также для изучения кратковременного поведения вязко-
упругих материалов.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
67
Если к линейному вязкоупругому материалу прило-
жить синусоидальное напряжение, то изменение дефор-
мации во времени будет также синусоидальным, отли-
чаясь от приложенного напряжения по фазе (фиг. 27).
Поведение материала для любой заданной частоты
характеризуется двумя величинами, получаемыми из
опытов. Их выбирают различными способами. В качестве
таких характеристик можно взять, например, отношение
амплитуд напряжения и результирующей деформации
ToAlo и сдвиг фаз между ни-
ми. Указанные выражения
в таком случае аналогичны
известным частотным харак-
теристикам: затуханию и
сдвигу фаз механических ко-
лебаний в промышленных
установках. Обе величины,
конечно, зависят от частоты.
Однако при анализе ди-
намических характеристик
вязкоупругих тел обычно
принято разлагать напряже-
ние на две составляющие,
одна из которых совпадает
по фазе с деформацией, а
другая направлена к ней под
углом 90°. То же самое мож-
но сказать и о деформации,
Ф и г. 28. Разложение векторов
деформации и напряжения иа
составляющие.
которая допускает разложение на две составляющие,
одна из которых совпадает по фазе с напряжением, а
другая направлена к ней под углом 90°. Схематическое
пояснение дано на фиг. 28.
Компонента, совпадающая по фазе с напряжением,
находится как
Составляющая напряжения в фазе с деформацией
С'(ш)=
Деформация
аналогично
Составляющая напряжения, перпендикулярная деформации
Деформация
5*

68
Глава 2
Для второй схемы фиг. 28 получают аналогично
j/ _ Составляющая деформации в фазе с напряжением
' '	Напряжение
и
J" Гы) _Составляющая деформации, перпендикулярная напряжению
' ’	Напряжение
Равнодействующие в обоих случаях определяются
уравнениями
У*(ш) =/'(«))+ iV" (о).	(2’8Л)
Также
Обе схемы, конечно, эквивалентны. Функции J* (со)
и G*(w), определяющие реологические свойства мате-
риала, связаны друг с другом обратной пропорциональ-
ностью, т. е. |/*| = 1/|G*|. Однако /*(ы) более удобна
для описания вязкоупругих «твердообразных» тел, a G*
предпочтительнее для «жидкообразных» тел.
2.9.	Динамические характеристики фойгтовского
и максвелловского тел
Рассмотрим уравнение максвелловского тела
или в другой записи
(1 4-X£>)t(Z) = p.£>7(Z),
где
Предположим, что деформация изменяется по сину-
соидальному закону
l(O = Tosin<u^
Тогда
Dy (f) = 70wcoso)Z,

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей 69
н мы получаем
... Мо“ cos u>t
l-i-XD
Из решения этого уравнения
/TT2b2wrsin(<DZ +arctg~r) (2,91)
(1 -|-а>2Л2)/2	\	<оЛ /
видно, что результирующее напряжение будет также си-
нусоидальным по форме с той же частотой, что и дефор-
мация, но иметь другую фазу.
Далее получаем
G*(U)) = G'(«)) + ZG"(a>)=y ,
т. е.
sin
p+afCtg_Lj
sin u>t
(2.9.2)
Правая часть (2.9.2) может быть разложена	на дей-
ствительную и мнимую составляющие ,	Ош2/.2	(2.9.3)
U W	Ш2Х2	
И G	1 + <О2Х2	(2.9.4)
Эти выражения определяют компоненты G* простого
максвелловского элемента. Легко видеть, что для обоб-
щенного максвелловского тела, поведение которого опи-
сывается уравнением (1.5.15), получаются аналогичные
соотношения
<2-9-5>
О
и
G"(“) =	(2.9.6)

70
Глава 2
Подобные выкладки проводятся для
элемента, уравнение которого имеет вид
фойгтовского
	-J = i+h = •/''•
Получаем
и	=	(2.9.7) (2.9.8)
где	
Аналогично	для обобщенного фойгтовского тела
и	= f<2-9-9) 0 '" («•>) = f	(2-9-10) 0	L
Следует определена J'(u) или,	отметить, что функция J (X) может быть из экспериментально1 замеренного значения с другой стороны, из /"(w) по формулам
(2.9.9) и (2.9.10). Подобно этому G(X) можно найти по
G'(a) или G"(«). Необходимые преобразования рассма-
триваются ниже в разд. 2.11.
2.10.	Экспериментальная техника метода частотных
возмущений
Аппаратура и методики эксперимента, применяю-
щиеся для измерения характеристик вязкоупругих ма-
териалов, т. е. для нахождения G*(co) у вязкоупругих
«жидкообразных» тел и /*(«) у вязкоупругих «твердо-
образных» тел, весьма сложны и разнообразны. Подроб-
ное описание этих методов выходит за рамки настоящей
книги, и читатель может обратиться к обзору Ферри [24],

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей 71
I te приведены подробности различной аппаратуры и
дано их критическое сравнение. Здесь мы ограничимся
изложением в общих чертах принципов, положенных
в основу наиболее важных методов.
Все методы можно разделить на две группы в зави-
симости от того, велик или мал характерный размер
образца (например, кольцевой зазор соосного вискози-
метра) по сравнению с длиной волны упругих колеба-
ний, распространяющихся при частоте, принятой в опы-
тах. Если этот размер намного меньше длины волны
упругих колебаний, то инерцией образца можно пре-
небречь. В противном случае будет иметь место распро-
странение вязкоупругих волн и инерция образца будет
существенной.
Сначала излагаются методы определения свойств
вязкоупругих «жидкообразных» тел, так как они счи-
таются более важными для инженерной практики.
а. Инерция образца незначительна
К этой группе относятся два простых метода:
1	. Непосредственные измерения напряжения и дефор-
мации. В данном методе образец испытывает синусо-
идальные возмущения и обе величины (деформация и
напряжение) регистрируются непосредственно. Компо-
ненты, совпадающие по фазе и отличающиеся друг от
друга на 90°, находятся после этого довольно просто.
Марковиц и др. [25] дали описание небольшого при-
бора типа ротационного соосно-цилиндрического виско-
зиметра, основанного на данном принципе и предназна-
ченного для изучения вязкоупругих «жидкообразных»
тел. Один из Цилиндров совершает синусоидальные ко-
лебания, а напряжение и деформация измеряются элек-
трическими способами.
Диапазон частот данного метода измерений состав-
ляет (10-6—102) nep/ceK при плавном изменении час-
тоты в указанных пределах.
2	Резонансные приборы с присоединенной массой
(добавочная инерция). Если приложенная синусоидаль-
ная сила связана с массой, инерция которой велика по
сравнению с инерцией образца (например, вискозиметр

72
Глава 2
с массивными цилиндрами), то динамические свойства
образца могут быть определены только при резонансной
частоте. Такой метод измерения обычно проще, чем пре-
дыдущий, основанный на непосредственном определе-
нии напряжения и деформации, но частота измерений
ограничена. Ее можно варьировать только за счет из-
менения инерции и, следовательно, путем изменения ре-
зонансной частоты прибора. Частотный диапазон подоб-
ных приборов составляет (10~2—105) nepfceK. Вискози-
метр этого типа описан Ван Вазером и Гольдбергом [26].
б Инерция образца значительна
В этой группе следует выделить два метода:
1. Метод, основанный на распространении вязкоупру-
гих волн. Если размер образца велик по сравнению
с длиной волны вязкоупругих колебаний, то эти волны
будут распространяться в толще материала. Измерение
их длины и затухания образует основу излагаемого
метода определения вязкоупругих свойств образца.
Прибор такого типа описан Ферри [24].
Рассмотрим в качестве примера волну сдвига, гене-
рируемую в образце большого размера при колебании
тонкой пластины'в своей плоскости, как показано на
фиг. 29.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
73
Компоненты комплексного модуля G*
(слить [24] в виде
_	[4^* — (Х/лСр)*]
u [4к2 + (*Мо)2]2
I
Л— 4WX2p (Х/х0)
U [4^ + (X/x0)2]2 ’
можно опре-
(2.10.1)
(2.10.2)
|де р — плотность среды; X — длина волны вязкоупру-
гого колебания, а х0—расстояние от пластины до той
(очки кривой затухания амплитуды, где она снизилась в
с раз по сравнению с начальной величиной.
Частотный диапазон прибора (102— 105) пер/сек.
2. Методы, основанные на измерении импеданса.
Рассмотрим случай, когда упругая волна распростра-
няется в испытываемой жидкости, настолько протяжен-
ной, что амплитуда колебания падает до нуля, прежде
чем волна достигнет стенок сосуда, ограничивающих
материал (отражение волн отсутствует). Тогда величины
G' и G" можно вычислить из комплексного отношения
силы к скорости в точке поверхности, генерирующей
волну.
Мэсон [27] дал описание такого прибора. В нем по-
лый цилиндрический пьезоэлектрический кристалл, по-
груженный в жидкость, совершает крутильные колеба-
ния. Комплексное отношение силы к скорости на твер-
дой поверхности выводится из активной и реактивной
составляющих электрического сопротивления кристалла.
Частотный диапазон (103— 107) nepfceK.
2.11.	Анализ экспериментальных данных для
вязкоупругих систем
В предыдущем разделе были рассмотрены различные
методы определения свойств вязкоупругих материалов.
Оказалось удобным установить связь между результа-
тами как нестационарных, так и динамических экспери-
ментов в зависимости от распределения времен релак-
сации (для «жидкообразных» систем) или времен за-
паздывания (для «твердообразных» тел). Поэтому при
анализе результатов опытов мы постараемся охаракте-

14
Глава 2
ризовать материал одним параметром: либо J(X) для
«твердообразных» тел, либо' G(X) для «жидкообраз-
ных» тел.
Хотя предсказание результатов опыта по известной
величине J(X) или G(X) не представляет затруднений,
обратная процедура, т. е. получение /(X) или G(X) из
опытных данных, оказывается несравненно более слож-
ной задачей. В принципе обе функции могут быть най-
дены путем точной математической инверсии, как пока-
зано в разд. 1.5, е. На практике, однако, этот метод в
большинстве случаев не используется из-за того, что
экспериментальные данные обычно не являются доста-
точно полными. Имеются также приближенные методы
расчета.
Как правило, распределение времен релаксации
G(X), хорошо характеризующее вязкоупругие «жид-
кости», находится из релаксационных опытов либо1 вы-
числяется по действительной или мнимой части G*(a);
J (X) для «твердых» тел удобнее получать либо из изме-
рений ползучести, либо расчетом по действительной или
мнимой части /*(ю). Приближенные выражения G(X)
и /(X), найденные таким способом, должны затем сум-
мироваться.
а.	Определение G(X)
1.	По функции релаксации напряжения ф(/)
Эндрюс [28] показал, что распределение времен ре-
лаксации G(X) можно вычислить по найденной опытным
путем функции релаксации ф(/), используя соотношение
=	при \ = f. (2.11.1)
Из этой формулы следует, что G(X) для любого зна-
чения X представляет собой просто отрицательный
наклон касательной к кривой релаксации для той же ве-
личины t = X. Это выражение дает лишь первое при-
ближение, довольно точное, если диапазон распределе-
ния G(X) достаточно широк.

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей ?5
2.	Из динамических опытов
В первом приближении G(X) удобно получать по
тангенциальной составляющей G*(X) из выражения
|С<Ч.Л=—7W'	<2"-2)
Это означает, что если построить график G'(m) в
функции 1/(о (со —круговая частота), то значение G для
любого момента времени 1/<о представляет просто на-
клон кривой в той же точке (1/<о).
б.	Определение J (X)
1.	По измерениям ползучести
Точно так же, как при вычислении G(X) из кривых
релаксации напряжения, нетрудно показать, что /(X)
можно в первом приближении найти из кривой ползу-
чести, используя формулу
где <р(/)—функция ползучести, а ц, —вязкость устано-
вившегося течения (если она ограничена).
2.	Из динамических опытов
J (X) в первом приближении удобнее получать из
коллинеарной с напряжением составляющей 7*(м),
согласно соотношению
<2"-л
<0
т. е. путем нахождения наклона графика зависимости
/'(м) от 1/со.
в.	Приближения для G(X) и 7(Х) более высокого
порядка
Формулы (2.11.1) — (2.11.4) являются лишь пер-
выми приближениями. Они обычно пригодны для рас-
тянутых (пологих) по форме кривых распределений.
Если же кривые распределений имеют резкие переходы

76
Г лава 2
и изгибы, то необходимо использовать приближения
более высокого порядка. Этот вопрос достаточно полно
освещен в работах [28] и [29].
2.12.	Описание вязкоупругих материалов по измерениям
нормальных напряжений
Рассмотрим элемент объема жидкости, подвергаю-
щийся чистому сдвигу, как показано на фиг. 30. Пусть
Рп. р22 и Рзз — нормальные напряжения на трех гранях,
tai — тангенциальное напряжение в плоскости сдвига, а
Ti2 — дополнительное напряжение сдвига.
Если жидкость вязкоупруга, то в ней возникает нор-
мальное напряжение (ргг на фиг. 30). Это напряжение
перпендикулярно линиям тока в плоскости сдвига и са-
мой плоскости сдвига.
Робертс [30] разработал базирующийся на этом
принципе экспериментальный метод изучения вязкоупру-
гих жидкостей, а также способ различения их от не-
упругих жидкостей. Материал подвергается деформа-
ции сдвига в зазоре между вращающимся конусом и
геподвижной пластиной. При этом обеспечивается рав-

Измерение характеристик неньютоновских жидкостей
71
иомерность скорости сдвига во всех точках образца.
Нормальные напряжения Р22. характеризующие вязко-
упругие «жидкости», замеряются путем уравнивания
нормальных давлений, вызывающих подъем жидкости
в капиллярных трубках в теле неподвижной пластины.
Одновременно измеряются также напряжения рзз. При-
бор схематически изображен на фиг. 31 и более деталь-
но1 описан в гл. 6.
Робертс нашел, что во всех та-
ких системах
р^=р^	(2.12.1)
Исходя из условия равновесия
сил, действующих на элементарный
объем, можно показать, что
'’.=7raw-+2fe-fe'(2J2-2)
где г — текущий радиус, a R — ра-
диус внешней свободной границы
жидкости (радиус основания ко-
нуса).
Отсюда получается
Рп Pz2~Pn Рзз=
<212'3»
Фиг. 31. Нормальное
напряжение в вязко-
упругой жидкости.
Эти экспериментальные выводы согласуются с тео-
рией Вейссенберга [31], которая дает
Рп	Рчц — Рп Рзз ~ dln(r/P) =Т21Те» (2.12.4)
где -р, — составляющая обратимой деформации сдвига.
Эффект возникновения нормального давления или
«эффект Вейссенберга» связан с натяжением вдоль ли-
нии тока, вызванным сдвиговым течением вязкоупругого
материала. Если течение симметрично относительно оси,
то это натяжение вызывает появление напряжений сжа-
тия, заставляющих жидкость смещаться ближе к оси
симметрии. Эффект проявляется отчетливо в том, что
вязкоупругая жидкость будет подниматься выше поверх-
ности пластины (вдоль стержня, вращающегося в жид-
кости).

Г ла в а 3
ТЕЧЕНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ
И КАНАЛАХ
В данной главе течение реологически стационарных
неньютоновских жидкостей по круглым трубам будет
рассмотрено более детально. В первую очередь описы-
вается случай ламинарного движения, так как анализ
этого случая относительно прост. Затем выводятся фор-
мулы, позволяющие вычислить коэффициенты сопротив-
ления и профили скоростей турбулентного течения в
гладких трубах. Кратко описывается также случай тур-
булентного течения в шероховатых трубах. Рассматри-
вается ламинарное течение реологически стационарных
жидкостей в некруглых каналах, таких, как кольцевые
щели, межвитковый зазор винта червячного пресса и
проход между прокатными валками.
Хотя жидкости с нестационарной реологией, в част-
ности тиксотропного типа, приобрели теперь важное
техническое значение, работы инженерного характера по
этому вопросу фактически не появляются в литературе.
Это и не удивительно, если учесть, что при расчетах
технологического оборудования предполагается, что оно
работает при предельных физических характеристиках
жидкости. Например, чтобы привести в движение тиксо-
тропную жидкость, длительно покоившуюся до этого в
трубе, насос должен развивать большую мощность.
Когда же течение начнется, то под действием сдвига
произойдет разрушение структуры и нагрузка насоса
существенно уменьшится. В результате продолжитель-
ного воздействия сдвиговых усилий материал приобре-
тает свойства, не зависящие от времени. Следователь-
но, предельные условия характеризуют только начало
течения. При стационарном течении тиксотропные и
обычные реологически стационарные жидкости мало от-
личаются друг от друга. Те же замечания, по видимому,

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 79
применимы к реопектическим материалам, но для них
в приведенном выше примере критическая нагрузка на-
соса будет развиваться постепенно, а не в момент за-
пуска. Сомнительно, однако, чтобы в промышленности
приходилось часто сталкиваться с чисто реопектиче-
скими жидкостями.
Так же маловероятно, чтобы установившееся лами-
нарное течение вязкоупругих жидкостей представляло
особую проблему. Однако для нестационарных условий,
например при течении через вентили (клапаны, задвиж-
ки) и трубопроводную арматуру, а также для полностью
установившегося турбулентного потока упругие свойства
жидкости будут иметь важное значение* 1).
3.1. Зависимости между пропускной способностью
и перепадом давления при ламинарном течении
жидкости в круглых трубах
Если свойства жидкости не зависят от времени, то
реологическое уравнение, связывающее касательное
') Основные соотношения для течения жидкостей в трубах по-
лучены на основе классических представлений о движении ньюто-
новских жидкостей, которые описываются обычным дифференциаль-
ным уравнением Навье — Стокса
1
3
Обычно предполагается, что коэффициент объемной вязкости равен
нулю (т]„ — 0), жидкость несжимаема (div w = 0) и течение ста-
ционарное (dw/dt = 0).
На этом исходном дифференциальном уравнении основаны все
расчеты по гидродинамике ньютоновских жидкостей, в том числе
и формула Пуазейля для ламинарного течения в трубе. Однако
если при течении вязкой жидкости имеет место вихреобразное дви-
жение, то дифференциальное уравнение движения жидкости имеет
более сложный вид
р	= Ур + v)2w -)- (у -|- ) V div w -|- Tjr rot (2w — rot w),
где w — вектор угловой скорости; i]r — коэффициент вязкости ка-
тания
Для некоторых неньютоновских жидкостей характерна не
только вязкость сдвига »], но и вязкость катания т)г. Поэтому де-
тальное описание гидродинамики течения неньютоновской жидкости
связано с нелинейными деформациями более сложного харацте
ра. — Прим. ред.
Н- 'Ц®] grad div w. -д .

80
Глава 3
напряжение и скорость сдвига, записывается в виде
7 =Ж-
Для течения в трубе имеем
du fi \
(3.1.1)
где т теперь напряжение сдвига на радиусе г.
Фиг. 32. Схема течения в трубе.
Баланс сил, действующих на цилиндрический эле-
мент жидкости радиуса г и длины L (фиг. 32), дается
уравнением
2"гЛт = кг2 ДР
или
г ЬР
2L '
Для напряжения трения на стенке получаем
_ РЬР
2L '
Следовательно, т = twr/R
ся в виде
du
~~~dr'
и формула (3.1.1) записывает-
Интегрирование дает
R
u{r) = f dr,
г
(3.1.2)

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 81
поскольку и(/?) = 0 при допущении справедливости ус-
ловия прилипания жидкости на стенке (отсутствие
скольжения). Далее находим
R
Q — J 2кги (г) dr
о
или
R
Q = к J и (г) d (г2).
о
Интегрирование по частям дает
Q — к
R
г2и(г)\* — f г2 du (г)
о
так что
R
r2f^w-T^dr<
о
так как и (/?) = 0.
Подставив г = Rt/tw, получим
Q
о
(3.1.3)
Соотношение между скоростью и перепадом давле-
ния может быть выведено из формулы (3.1.3) путем
численного интегрирования с использованием получен-
ных из опытов зависимостей f(t). Когда f(x) является
простым выражением, интегрирование проводят анали-
тическим способом, описанным ниже.
а.	Ньютоновская жидкость
Из кривой течения ламинарного потока
следует
б Зак, 182

82
Глава 3
Подстановка в (3.1.3) дает
Q
г./е3
'W

и после интегрирования
4р.~'
Подстановка = 7?AP/2L приводит к известному
уравнению Пуазейля для ламинарного потока ньютонов-
ской жидкости
<зл-4)
б.	Бингамовский пластик
Исходным соотношением является
i =;-Цт~=/(^ *>V
где f('t)—прерывная функция такая, что
/(т) = 0;	0<т<ту
и
/(~) = п Ь
Гр
При течении в трубе напряжения трения падают до
нуля на оси, а в приосевой области, где напряжения
сдвига ниже предела текучести ty, материал не подвер-
гается сдвигу, перемещаясь вдоль как твердый стержень.
Это иллюстрируется фиг. 33.
Подстановка /(т) в формулу (3.1.3) дает
Выполняя интегрирование, находим
Q _ 1
тЛ' tyw
т4
4
3
т
V

Течение неньютоновских Жидкостей в трубах и каналах S3
и после подстановки пределов
Q
п/?3
Г 1	1 / Ту \	1 f Ту \4]
Р-р 1.4	3 \ т^у /	12 \ т^у / j
(3.1.5)
Подставив выражение для 'tw, получим формулу
л/?4 ДР г 4 /2£tv\ . 1 /2£tv\41
~	3\RjPI ]' С3-1-6)
известную под названием уравнения Букингема. Это
уравнение нельзя разрешить относительно перепада да-
вления. Когда предел текучести равен нулю, оно совпа-
дает с формулой Пуазейля. Колдуэлл и Бэббит [32]
Ф и г. 33. Профиль скоростей течения
бингамовского пластичного тела.
успешно применили уравнение Букингема к задаче о те-
чении грязей и шламов.
Мак-Миллен 133] для течения бингамовских пластич-
ных материалов упростил расчеты, приведя уравнение
(3.1.6) к безразмерному виду, содержащему члены, чис-
ленная величина которых зависит только от относитель-
ных диаметров областей сдвигового и прпосевого (квази-
твердого) движения. (В последней области напряжение
сдвига ниже предела текучести.) Зная предел текучести
и пластическую вязкость (она в принципе получается
путем двух последовательных замеров потери давления
для двух различных скоростей течения в трубе любого
диаметра), можно найти соотношение между потерей
давления и расходом ламинарного потока в трубе неза-
висимо от ее размеров.
6*

84
Глава 3
Хедстрём [34] разработал весьма удобную номограм-
му для определения перепада давления, эквивалентную
уравнению Букингема. Метод основан на анализе раз-
мерностей. Предполагая для бингамовских пластиков,
что
ДР = с[>(р, р.р, ту, D, ит, L),
из анализа размерностей получим функциональную
связь в виде
D \Pf4L
' ?umD
¥ -----
Ир 1*р .
(3.17)
Эта формула определяет коэффициент сопротивления
как функцию числа Рейнольдса pumD/[ip и комплекса
Фиг. 34. График зависимости коэффициента сопротивления
трения от числа Рейнольдса для бингамовских пластиков.
Тур£)2/ру обычно называемого критерием Хедстрёма Не.
Номограмма, приведенная на фиг. 34, представляет со-
бой семейство кривых зависимостей Q от ритО/цр для
ламинарного режима с числом Хедстрёма в качестве
параметра. С другой стороны, в качестве параметра

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 85
можно взять показатель пластичности tyD/ppum.
Оояма и Ито (35] также предложили инженерный
способ расчета бингамовских пластичных жидкостей,
основанный на методе последовательных приближений.
Однако он менее удобен, чем способ Хедстрёма [34].
в.	Степенной реологический закон жидкости
Из выражения
i=k\n
находим
Исходя из последнего соотношения и формулы
(3.1.3), получаем
Q
1 с
r.R* ~ J
Интегрирование и подстановка дает
Для ньютоновской жидкости п = 1; k = р, и уравне-
ние (3.1.8) превращается в формулу Пуазейля.
Интересный результат для псевдопластичных жидко-
стей (л<1) получается, если выражение (3.1.8) запи-
сать в виде
Для ньютоновских жидкостей (п = 1) видно, что при
заданной скорости потока величина ДР пропорциональ
на 1/Р4, т. е. небольшое увеличение диаметра трубы
весьма существенно понижает перепад давления. С дру-
гой стороны, у псевдопластичных жидкостей, весьма
отклоняющихся от ньютоновских, п близко к нулю
и ДР тогда оказывается пропорциональным 1/Д, а
не 1/Р4.
Следовательно, чтобы получить заметное снижение
перепада давлений, необходимо использовать трубы

86
Глава S
чрезмерно больших диаметров. Однако, пропускную спо-
собность существующих труб обычно можно повысить
только лишь увеличением числа оборотов нагнетателя,
так как перепад давлений весьма нечувствителен к рас-
ходу жидкости в случаях, когда п близко к нулю и ДР
пропорционально Q”. Это означает, что расходомерные
устройства, основанные на измерении перепада давления
по длине трубы, оказываются неудовлетворительными
для весьма псевдопластичных жидкостей из-за нечув-
ствительности к расходу.
г.	Другие эмпирические кривые течения
Основной прием методов (а) — (д) заключается в
замене истинной реологической зависимости некоторой
эмпирической формулой [(т), близкой к эксперимен-
тальной кривой течения и достаточно простой для мате-
матической обработки. Степенной закон является наи-
более широко применяемой реологической зависимостью
ньютоновской жидкости, однако получены и другие
формулы.
Уильямсон [36] предложил эмпирическую формулу,
связывающую касательное напряжение и скорость сдви-
га соотношением
(3-1.9)
Здесь А — отрезок на оси напряжений, эквивалент-
ный бингамовскому пределу текучести и полученный
экстраполированием линейной части кривой на большие
скорости сдвига; В—постоянная, характеризующая кри-
визну графика зависимости 1 = Г(т), т. е. кривой тече-
ния. Кемпбелл [37] применил формулу (3.1.9) к течению
расплавленного шоколада.
Пауэлл и Эйринг [38] предложили эмпирическую
формулу
T = ^ + BArsh(Cj),	(3.1.10)
где постоянные А, В и С являются характеристиками
жидкости. Применение анализа размерностей к задаче
о течении в трубе с переменными параметрами Q, AP/L,R

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 87
и физическими характеристиками А, В u С приводит к
функциональной связи вида
QC _
R3
' В ЬР А 1
2LB ’ ВС]'
(3.1.11)

Христиансен и др. [39] вывели это соотношение чис-
ленным путем и, основываясь на нем, построили график
зависимости QC/R3 от RAP/2LB для различных значе-
ний А/ВС. Этот график позволяет определить одну из
трех переменных R, APIL и Q, если известны две из них.
Постоянные А, В и С в реологическом уравнении
(3.1.10) могут быть найдены при испытании жидкости
с помощью ротационных или капиллярных вискозимет-
ров. Этот метод был успешно применен к суспензиям из-
вести и водным растворам ацетилцеллюлозы.
Ряд других авторов пытались установить эмпириче-
ское уравнение кривой течения [40]. Возражение против
всех этих и других подобных им методов состоит в том,
что эмпирические уравнения, будучи простыми по фор-
ме, редко отображают данные в полном диапазоне ско-
ростей сдвига с необходимой точностью. Такие уравне-
ния нельзя использовать слишком далеко от экспери-
ментально полученных значений. Широкая экстраполя-
ция может привести к ошибочным заключениям, по-
скольку реологические свойства зачастую зависят от ус-
ловий эксперимента, из которого получены данные.
Жидкость, ведущая себя как бингамовское пластичное
тело в одном диапазоне сдвигов, в другой области ста-
новится псевдопластиком, а при больших скоростях
сдвига начинает проявлять ньютоновские свойства. По
этой причине методы, связанные с подразделением
жидкости па типы, оказываются обычно неудовлетвори-
тельными.
д.	Общие методы, применимые ко всем жидкостям
Из приведенного выше рассмотрения очевидно, что
процесс инженерного расчета значительно облегчается,
если разработан универсальный метод, пригодный для
всех жидкостей в ламинарном режиме течения незави-
симо от того, являются они ньютоновскими или не-
ныотоновскими.

88
Глава 3
Первые попытки в этом направлении предприняли
Олвис, Бочер и Пигфорд [41]. Их метод основан на
том факте (см. разд. 2.3), что у жидкостей, реологи-
ческие свойства которых не зависят от времени, соотно-
шение между Q/r.R3 (или &umID) и R&P/2L будет одним
и тем же для различных диаметров труб. После того как
эта зависимость получена, например с помощью капил-
лярного вискозиметра, в рассматриваемом диапазоне
Q/r.R3, переход к промышленным размерам труб для по-
стоянных величин Q/r.R3 может быть осуществлен непо-
средственно. Если это окажется возможным, то измере-
ния необходимо проделать по меньшей мере для двух
капиллярных труб разного диаметра с тем, чтобы гаран-
тировать отсутствие нестационарных условий и аномаль-
ного поведения жидкости вблизи степки. В случаях про-
явления хотя бы одного из этих осложняющих факто-
ров график Q/r.R3 в функции R&P/2L окажется завися-
щим от диаметра трубы.
Метцнер [42] применительно к реологически стацио-
нарным неньютоновским жидкостям предложил анало-
гичный метод корреляции результатов и вычисления по-
терь напора в трубах, эффективность которого ограни-
чена его эмпирическим характером. Этот метод имеет
следующие основные приложения:
1.	Как основа для моделирования, которое позволяет
находить потери напора в прототипе. Модель должна
работать при том же отношении скорости жидкости к
диаметру трубы и с той же жидкостью, что и прототип.
2.	Лабораторные данные, полученные с помощью
обычных неидеальных вискозиметров, можно непосред-
ственно использовать для определения влияний измене-
ния свойств жидкости или перепада давления в трубе.
3.	Так как зависимость получается для безразмер-
ных комплексов, то она позволяет обобщать ограничен-
ные технические данные.
Более общий метод был впоследствии предложен
Метцнером и Ридом [19]. Этот метод основан на соотно-
шении Муни для напряжения трения на стенке (2.4.1),
которое можно преобразовать к виду
( du Д _ 3n 1 8ыт	,0 . q,
Ur^- 4л' D ’	( ‘

Течение неньютоновских жидкостей, в трубах и каналах 89
где
, _ d (In D LP/AL)
П ~' rf(ln8um/D)
Далее записываем
(2.4.4)
(2.4.5)
Важно отметить, что выражение (2.4.5) не является
результатом интегрирования (2.4.4), а служит лишь оп-
ределением показателя консистенции k'. Только когда
п' постоянно, можно получить (2.4.5) непосредственным
интегрированием (2.4.4).
Коэффициент сопротивления трения cf находится
обычным способом
_ D bP/bL
с'~ Ар '
чтобы иметь возможность пользоваться обычным графи-
ком сопротивления как для ньютоновских, так и для не-
ньютоновских жидкостей при ламинарном режиме тече-
ния, удобно принимать, что с/ = 16Re', как и в случае
ламинарного течения ньютоновской жидкости. Обобщен-
ное число Рейнольдса находится тогда из выражений
(3.1.12) и (2.4.5)
(3.1.12)
Рп'^п\
Re'=
Эта величина является безразмерной.
Для степенного реологического закона число Рей-
нольдса можно выразить в функции п и k, а не через
п' и k', поскольку
и
После замены получим соотношение
Re'
°п4“п₽
k /6п4-2\"
8 I п )

Реологические характеристики жидкостей,
использованных в опытах (фиг. 35)
Обоз- наче- ния	Номинальный диаметр трубы, дюйм		Состав жидкости	Реологические характеристики	
				л'	m — k'tf1' *
+	1		23,3%-ный водный рас- твор желтой илли- нойсской глины	0,229	0,863
ф	7/8 и	3/2	0,67%-ный водный рас- твор карбоксиметил целлюлозы (КМЦ)	0,716	0,121
е	7/8 и	3/2	1,5%-ный водный рас- твор КМЦ	0,554	0,920
0	7/8 и	3/2	3%-ный водный рас- твор кмц	0,566	2,80
Ф	7/8, 3/2 и 2		33 %-пая известковая вода	0,171	0,983
<	7/8 и	3/2	10% напалма в керосине в керосине	0,520	1,18
▼	8, 10	и 12	4%-ная	бумажная пульпа в воде	0,575	6,13
А	3/4 и	3/2	54,3 %-на я смесь це- мента с водой	0,153	0,331
	4		18,6 % ный	водный раствор	твердой миссисипской глины	0,022	0,105
•	3/4 и	5/4	14,3% ный водный рас- твор глины (ВРГ)	0,350	0,0344
t>	3/4 и	5/4	21,2% ный ВРГ	0,335	0,0855
X	3/4 и	5/4	25%-ный ВРГ	0,185	0,204
V	3/4 и	5/4	31,9% ный ВРГ	0,251	0,414
□	3/4 и	5/4	36,8%-ный ВРГ	0,176	1,07
	3/4 и	5/4	40,4% ный ВРГ	0,132	2,30
►	1/8, 1/4, 1/2 и 2		23%-ная известковая вода	0,178	1,04

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 91
В этом методе данные всех реологически стационар-
ных жидких тел должны строго удовлетворять соотно-
шению Cf = 16/Re' для ламинарного течения, если пара-
метры п' и k' вычислены для действительных значений
рассматриваемой величины 8uriJD (фиг. 35).
Преимущество данного метода по сравнению с рас-
четом по формуле (3.1.8) заключается в том, что послед-
няя получена путем интегрирования степенного закона в
предположении постоянства показателя течения п во
всем диапазоне скоростей сдвига, имеющем место в тру-
бе. Метод Метцнера и Рида теоретически более строг и,
будучи свободен от такого ограничения, применим ко
всем жидкостям, свойства которых не зависят от време-
ни (включая бингамовские пластики).
Вельтман [43] недавно предложил для неньютонов-
ских жидкостей аналогичный способ, основанный на ис-
пользовании обычного графика коэффициента сопроти-
вления для ньютоновских жидкостей. В этом случае
число Рейнольдса определяется как
ре  Dum?
Вязкость
Здесь «вязкость» имеет общепринятый смысл для ньюто-
новских жидкостей, а также означает пластическую вяз-
кость цр для бингамовских идеальных тел и кажущуюся
вязкость для псевдопластичных и дилатантных жидко-
стей при измерении в условиях развитого (установивше-
гося) течения в трубопроводе. Тогда зависимость коэф-
фициента сопротивления трения от числа Рейнольдса
при ламинарном режиме течения ньютоновских жидко-
стей выражается как 16/Re. Для бингамовских пластич
ных тел коэффициент сопротивления находится из соот-
ношения
16 р
Cf~ Re 8с ’
где с — отношение предела текучести к напряжению
трения на стенке трубы, а величина р = ту£>/ррит,
называемая параметром пластичности, является мерой
пластичного поведения вещества. У псевдопластичных и
дилатантных материалов, для которых t ~ (du/dr)n,

isnHdi/gnujoduov шнап'ппЛйеом
Фиг. 35. График зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса для ламинарного
'	течения неньютоновских жидкостей.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 93
коэффициент сопротивления трения выражается форму-
лой
_ 16 рп + Ц
f Re \ 4п )'
Ф и г. 36. Г рафик зависимости коэффициента сопротивления от
числа Рейнольдса для ламинарного течения бингамовских пластиков
и псевдопластиков.
1 — шероховатые трубы; 2 — гладкие трубы.
Зависимость cf от Re для данного случая при различных
значениях р и п показана на фиг. 36.

94
Глава 3
Таким образом, метод Вельтмана, базирующийся на
понятии идеальной жидкости, описываемой либо урав-
нением Бингама, либо степенным реологическим зако-
ном, не является столь общим, как метод Метцнера и
Рида. Для псевдолластиков методика Вельтмана фак-
тически является частным случаем расчета Метцнера и
Рида, когда п' постоянно. Метод Вельтмана, кроме того,
приводит к семейству кривых с .показателем пластично-
сти или показателем поведения жидкости в качестве
параметра, тогда как метод Метцнера и Рида для всех
реологически стационарных жидкостей в ламинарном
режиме течения дает одну общую зависимость коэффи-
циента сопротивления в виде прямой линии.
3.2.	Профили скоростей в ламинарном потоке
Рассмотрим баланс сил, действующих на цилиндри-
ческий элемент жидкости (фиг. 32),
кг2 ДР = 2кг£т:
или
* =	(3.2.1)
Для ньютоновской жидкости
Следовательно,
о	/?
Если и = 0 при г = R, то интегрирование приводит к
параболическому распределению скоростей
Подстановка (3.1.4) с заменой ит = Q/itP2 дает
к —2wm^l	(3.2.3)
Для степенного реологического закона (3.2.2) заме-
няется выражением


Учение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах
95
которое при учете (3.2.1) дает
г
т. е.
Подстановкой um = Q/r.R2 из (3.1.8) получаем
(3.2.4)
откуда можно вывести формулу (3.2.3), полагая п=1.
Типичные профили скоростей в соответствии с
(3.2.4) нанесены на фиг. 37 для ньютоновской жидкости
Фиг. 37. Характерные профили скоростей неньюто-
новских жидкостей при течении в трубе.
(п — 1), дилатантной жидкости (п = 3) и псевдопласти-
ка (п = 1/3). Изображенные там же профили для иде-
ально псевдопластичного и идеально дилатантного ма-
териалов относятся к п = 0 и л = оо соответственно.

9б
Глава 3
Для бингамовского идеально пластичного тела вме-
сто (3.2.2) имеем
т. е.
г ДР _ (du\
2L-xy~ ^P\dr)'
Интегрирование последнего выражения дает
„=_L[MAP^w_f)]	(3.2.5)
с учетом, что и — 0 при г = R.
Вблизи оси (т < 1У) материал будет двигаться как
твердый цилиндрический стержень с радиусом
2£?у
Гр ' ЬР ‘
Подставив отсюда значение гр в (3.2.5), получим
скорость квазитвердого движения
“р=2^<«-Т)’-	(3.2.6)
Для известных значений ДР/L, цр и профиль ско-
ростей можно вычислить из формул (3.2.5) и (3.2.6).
Соответствующий расход определяется уравнением
(3.1.6).
3.3.	Турбулентное течение реологически стационарных
жидкостей в круглых трубах
а.	Обзор предшествующих работ
В большинстве ранних исследований предпринима-
лись попытки получения зависимости между коэффици-
ентом сопротивления тренйя при турбулентном течении
и расходом для неньютоновских систем преимуществен-
но эмпирическим путем. Во многих случаях работы были
ограничены частными типами жидкостей, такими, как
бингамовские пластики, и это приводило к разнообра-

Течение ненъютоновских жидкостей в трубах и каналах 97
зию и ограниченной применимости предлагаемых рас-
четных приемов.
Обычно полагают, что кажущаяся вязкость многих
неньютоновских жидкостей в турбулентных условиях
приблизительно постоянна. Поэтому в большинстве ран-
них работ допускается, что общепринятый график свя-
зи коэффициента сопротивления с числом Рейнольдса,
установленный для ньютоновской жидкости, применим
также к неньютоновским системам, если значение вяз-
кости, входящее в число Рейнольдса, совпадает с ее
действительной величиной. В основе данного подхода
лежит хорошо известный факт, что неньютоновские
жидкости типа бингамовских пластиков и псевдопласти-
ков при достаточно больших скоростях сдвига обла-
дают предельной вязкостью и приближаются в своем
поведении к ньютоновским жидкостям. В ранних рабо-
тах делается заключение, что скорости сдвига в турбу-
лентном потоке настолько велики, что происходит пода-
вление всех неньютоновских свойств и система ведет
себя подобно ньютоновской жидкости.
Ясно, что здесь не рассматриваются жидкости, обла-
дающие при турбулентном движении ярко выраженны-
ми пеньютоновскими свойствами, а скорее описывается
турбулентное поведение жидкостей, заметно отличаю-
щихся от ньютоновских лишь при небольших скоростях
сдвига.
Принципиальное различие указанных исследований
проявляется при выборе вязкости в числе Рейнольдса.
Колдуэлл и Бэббит [32] в своей работе использовали для
сточных грязей и шламов вязкость дисперсионной среды.
Основанием для такого допущения служил тот факт, что
с возрастанием скорости сдвига кажущаяся вязкость
дисперсий падает, приближаясь к вязкости дисперсион-
ной фазы. Удовлетворительные результаты, полученные
этими исследователями, свидетельствуют о том, что
скорости сдвига в турбулентном потоке весьма велики
и достаточны для достижения предельной вязкости.
Маловероятно, чтобы эта предельная вязкость была
столь же мала, как вязкость дисперсионной среды.
Другие авторы, особенно Олвис, Бочер и Пигфорд
[41], а также Уиндинг, Бауман и Кранич [44], считают
7 Зек, 18Й

98
Глава 3
более близкой к действительности предельную вязкость
при бесконечно большой скорости сдвига у,— Эти авто-
ры нашли, что обычный график зависимости коэффи-
циента сопротивления от числа Рейнольдса для ньюто-
новских систем удовлетворительно обобщает результаты
по неньютоновским жидкостям, если число Рейнольдса
определять как рит D/[l<x,.
Вельтман [43] обобщил работы по бингамовским пла-
стичным телам, для которых коэффициент сопротивле-
ния трения при турбулентном течении получен с по-
мощью обычного ньютоновского графика при использо-
вании числа Рейнольдса в виде pumD/y.p. Этот способ по
существу ничем не отличается от предыдущего метода;
поскольку для бингамовских пластиков Щя и совпа-
дают. Одпако выводы Вельтмана противоречат заключе-
ниям Колдуэлла и Бэббита [32], которые рекомендуют
применять в числе Рейнольдса вязкость дисперсионной
среды.
При другом подходе, имеющем преимущества перед
методом, использующим вводится «турбулентная
вязкость», которая определяется из соотношения между
перепадом давления и расходом для известной жидко-
сти в условиях турбулентного режима течения. Полу-
ченный таким путем из опыта коэффициент сопротивле-
ния используется для нахождения числа Рейнольдса из
графика ньютоновских значений коэффициента сопроти-
вления. Приравнивая полученное число Рейнольдса вы-
ражению pumD/[it, получают турбулентную вязкость pz.
Предполагается, что ее величина постоянна. Ясно, что
недостаток данного метода заключается в том, что он
не позволяет рассчитывать трубопроводы непосредствен-
но на основе свойств жидкости. Это фактически метод
тарировки, посредством которого могут быть найдены
действительные размеры оборудования, как только для
данной жидкости у подобной опытной установки будет
определена турбулентная вязкость. Олвис и др. [41] за-
имствовали этот подход.
Работа Метцнера и Рида [19], не будучи связана с
допущением о постоянстве вязкости, представляет боль-
шой шаг вперед по сравнению с предыдущими работа-
ми. Они используют обычный фаннинговский коэффици-

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 99
ент сопротивления трения в сочетании с обобщенным
числом Рейнольдса Re', определенным ранее как
При таком определении числа Рейнольдса сохраняется
соотношение, общепринятое для ньютоновских жидко-
стей при ламинарном режиме течения
16
cf~ Re' ’
Этот метод, строго говоря, дает точные результаты
лишь для ламинарного течения, но Метцнер и Рид пред-
ложили основанное на этом же принципе приближенное
соотношение для турбулентного режима течения (см.
фиг. 35).
б.	Получение соотношений для коэффициентов сопротив-
ления при турбулентном течении в гладких трубах
Недостатком всех рассмотренных выше способов
расчета (исключая метод Метцнера и Рида) является
то, что в них не принимается во внимание возможность
неньютоновского поведения жидкости при сдвиге в ус-
ловиях турбулентного течения.
Рассмотрим степенной реологический закон и допу-
стим, что перепад давлений ДР будет зависеть от разме-
ров трубы L и D, средней скорости ит и свойств жидко-
сти р, k и п.
Следовательно, можно записать
дР = ср(£, D, ит, р, k, п).
Применяя обычные приемы анализа размерностей, полу-
чаем
DbP/AL Dnu2-nf
— <? --------------, п
L k
или
C/=f[Re",n],	(3.3.1)
поскольку первый член в квадратных скобках схож по
форме с числом Рейнольдса. Из уравнения (3.3.1)
видно, что Cj является функцией п.

7*

100
Глава 3
Додж и Метцнер [45] недавно определили вид этой
функциональной зависимости. Их работа — первая
серьезная попытка изучения турбулентности в неньюто-
новских системах на надежной теоретической основе.
Работа представляет распространение на неньютонов-
скую систему логарифмического закона сопротивления
Кармана, установленного для обычных жидкостей.
Уравнение Кармана, имеющее, как известно, некото-
рое теоретическое обоснование, обычно записывается в
виде
pJ=r = 4,01g(Re/c}) — 0,4-	(3.3.2)
Используя аналогичные соотношения, Дожд и Метц-
нер нашли теоретическим путем, что для жидкостей,
описываемых степенным законом, выражение (3.3.2)
можно обобщить в виде
= ?llg(Re'c}-n''2)-F£,	(3.3.3)
где коэффициент А и постоянное слагаемое В являются
теперь функциями только п', a Re' — обобщенное число
Рейнольдса, т. е.
Re' =
Рп'4~я'р
Хотя общий вид функций А и В можно установить
теоретически, их все же определяют экспериментально.
Чтобы найти А, строят график 1/Усу в зависимости от
lg(Re'<?y*n'k). Наклон этого графика, как видно из фор-
мулы (3.3.3), дает А. Проведение указанной операции
для различных размеров труб и жидкостей с неодинако-
выми показателями течения п' позволяет определить А
как функцию п'. Теоретическое рассмотрение предпола-
гает, что результаты подобных опытов можно предста-
вить графически в виде зависимости А от п' в логариф-
мических координатах. Экспериментальные данные
укладываются на прямую линию с тангенсом угла накло-
на, равным 0,75. Кроме того, в соответствии с формулой
(3.3.2) выполняется условие А = 4,0, когда п' = 1,

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 101
Следовательно,
(ЗА4)
Это уравнение тоже удовлетворяет теоретическим огра-
ничениям, наложенным на вид функции А.
Используя выражение для А, можно из формулы
(3.3.3) определить В
B = i77-^lg[Re'c>-V’]-	(ЗЛ5>
Найдено, что вычисленная таким способом функ-
ция В связана с п' соотношением
В =----(3.3.6)
(я')112
Это выражение удовлетворяет условию В = 0,4, если
жидкость ньютоновская, т. е. п’ = 1.
Окончательная зависимость
г==^|8|Ке'^*'В1~₽рт (3'37)
является обобщением формулы (3.3.2) Кармана.
Приведенные выше уравнения получены для случаев,
когда справедлив степенной реологический закон жидко-
сти. Однако ранее отмечалось, что они пригодны также
для жидкостей, не подчиняющихся этому закону, при
условии, что п' и k' вычислены по напряжению трения
на стенке. Сами же напряжения трения обычно тоже
вычисляются. Поэтому точное решение уравнения (3.3.7)
должно находиться методом последовательных прибли-
жений. Эта операция на практике не представляет осо-
бых затруднений, поскольку большинство жидкостей
приближенно описывается степенным законом и для них
последовательные приближения сходятся быстро.
Расчетный график, основанный на уравнении (3.3.7),
представлен на фиг. 38а, где показаны также границы
области достигнутого до сих пор экспериментального
подтверждения (фиг. 386).

102
Глава 3
Наиболее существенная разница между данным гра-
фиком и упомянутой выше зависимостью Метцнера и
Рида заключается в том, что при турбулентном течении
жидкости они дают различные соотношения для каждой
величины п'.
Уравнение (3.3.7) не выражает с} в явном виде, но
так как в области турбулентного течения зависимость
Фиг. 38а. График зависимости коэффициента сопротивления тре-
ния для ламинарного и турбулентного течений неньютоновских
жидкостей.
--- области опытных значений;------области экстраполированных значений.
приблизительно линейна для каждого п' (фиг. 38), то
возникает мысль об использовании приближенного реше-
ния блазиусовского типа. У ньютоновских жидкостей ре-
шение Блазиуса, действительное для чисел Рейнольдса,
меньших 105, имеет вид
с{ = 0,079 Re-0-25.	(3.3.8)
Додж и Метцнер [45] предложили аналогичную ап-
проксимацию для неньютоновских жидкостей
cz = a(Re')~ft,	(3.3.9)
где а и b являются функциями лишь п'. Ниже приведены
значения а и b для различных п'.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 103
п*	а	ь
0,2	0,0646	0,349
0,3	0,0685	0,325
0,4	0,0712	0,307
0,6	0,0740	0,281
0,8	0,0761	0,263
1,0	0,0779	0,250
1,4	0,0804	0,231
2,0	0,0826	0,213
Если в уравнении (3.3.9) использовать эти значения
а и Ь, то cf удастся выразить в явном виде с весьма не-
большой потерей точности.
Расчетные значения cf
Ф н г. 386. Экспериментальная проверка уравнения (3.3.7).
Зачерненные точки относятся к суспензиям, а светлые —к гелям полимеров.

104
Глава 3
в. Турбулентные профили скоростей в гладких трубах
На основе анализа размерностей можно убедиться,
что во внутренней области течения (турбулентном ядре
потока) вблизи границы ламинарного подслоя усреднен-
ная во времени скорость и на расстоянии у от стенки
должна быть некоторой функцией у, р и р для нью-
тоновской жидкости. С помощью обычных приемов ана-
лиза размерностей эта функциональная зависимость сво-
дится к

(3.3.10)
и
V
Комбинируя это выражение с уравнением недостатка
скорости'), получаем
и
У+р
= C1+C2,g
уУ ^/р
v
(3.3.11)
где Ci и с2— постоянные, определяемые из опыта.
Записывая отношение скорости и к динамической ско-
рости У^/р как и+, т. е.
и+ = -^=,	(3.3.12)
V "Чс/Р
и, полагая
приходим к хорошо известному универсальному про-
филю скоростей ньютоновской жидкости
tt+ = c1 + c2lgy+.	(3.3.14)
Измерения профилей скоростей в турбулентном по-
токе позволяют принять Ci = 5,5 и с2 = 5,75, т. е.
и+ = 5,5 + 5,751g у+.	(3.3.15)
') Недостатком скорости в гидродинамике принято называть
разность между скоростью в точке пограничного слоя и скоростью
во внешнем течении, т. е. UMRVC — и.
В данном случае, по-видимому, имеется в виду уравнение ло-
гарифмического профиля скоростей (б'макс—u)/v » 5,75 lg (R/У).—
Прим. ред.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 105
Это выражение, как это ни удивительно, хорошо вы-
полняется во всем турбулентном ядре течения. Кроме
того, поскольку в ламинарном подслое т постоянно и
равно т1с, должен установиться линейный профиль ско-
ростей
* Р
или
ц у К Тто/р ,
V Tw/P *
т. е.
и+ = у+.	(3.3.16)
Додж и Метцнер применили подобный аргумент для
неньютоновских жидкостей и пришли к обобщенной фор-
муле так называемого универсального профиля скоро-
стей, представленного применительно к ньютоновским
жидкостям формулой (3.3.15). Их уравнение имеет вид
a+ = c; + c'lgy+,	(3.3.17)
где с' и с' теперь уже функции показателя п в степен-
ном законе. Величины ину определяются из соотно-
шений
Уравнение (3.3.17) применимо к турбулентному ядру
течения. Ламинарный подслой к тому же предполагается
настолько тонким, что т = т,„ и тогда
дает окончательно соотношение
ц+=(у+)1/п,	(3.3.20)
частным случаем которого для ньютоновской жидкости
является формула (3.3.16).

106
Глава 3
Константы в уравнении
Доджем и Метцнером. После
для универсального профиля
.	5,66 .	.	0,40 .
Ы = ГптГ 1 g У------------Г9 +
(п')°-75 ьу	(и')1-2
 2,458 [1,960+ 1,255+ — 1,628/г' 1g(з + —YL (3.3.21)
L	\ n'/J
(3.3.17) были определены
подстановки их выражение
принимает вид
"Г (пЭ0,75
Когда п' = 1, т. е. для ньютоновских жидкостей, уравне-
ние (3.3.21) сводится к
и+ — 5,661g у + + 5,1.
Это выражение близко к общеизвестному универсаль-
ному профилю скоростей (3.3.15) ньютоновской жидко-
сти.
г. Профиль скоростей и формула сопротивления
для турбулентного потока в шероховатых трубах
Для течения ньютоновской жидкости в шероховатых
трубах, исходя из соображений размерностей, доказы-
вается, что усредненная во времени скорость и в точке
турбулентного ядра с координатой у должна быть неко-
торой функцией р, е, tw и у. Обычными приемами ана-
лиза размерностей получается функциональная зависи-
мость
и
(3.3.22)
где е — эквивалентный размер шероховатости стенок.
Комбинируя соотношение (3.3.22) с формулой недо-
статка скоростей Прандтля, приходим к универсальному
Профилю скоростей для потока в шероховатой трубе
-^ = ++5'^),	(3.3.23)
V *»/р	\ е /
аналогичному распределению скоростей (3.3.11) в глад-
кой трубе.
Хорошее совпадение с опытными данными получает-
ся, если положить А' — 8,5 и В' = 5,75, в случае ньюто-
новской жидкости, так что формула (3.3.23) преобра-

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 107
зуется к виду
и+ = 8,5 4- 5,75 lg (f).
(3.3.24)
С помощью аналогичных рассуждений и выкладок полу-
чается формула сопротивления ньютоновских жидкостей
в шероховатых трубах
1 =3,46 4-4,01g
V cf	\ t 1
(3.3.25)
сходная с зависимостью (3.3.2) для гладких труб.
Додж и Метцнер для турбулентного потока неньюто-
новской жидкости в шероховатых трубах предложили
формулы, подобные (3.3.24) и (3.3.25). Коэффициенты
в этих формулах являются теперь функциями п'. Хотя
эти коэффициенты авторами не определялись, было от-
мечено важное обстоятельство, что константа 4,0 в фор-
мулах для ньютоновских жидкостей, до сих пор рассма-
тривавшаяся как универсальная постоянная, является
всего лишь значением непрерывной функции в точке.
Фактически коэффициент 4,0, входящий в уравнение для
ньютоновских жидкостей как в шероховатых, так и глад-
ких трубах, представляет только особый случай п' = 1.
В общем случае, когда «'¥=!, в уравнениях для гладких
и шероховатых груб коэффициенты должны получаться
разными.
3.4.	Критерии, характеризующие возникновение
турбулентности в системах неньютоновских
жидкостей
Многими авторами были предложены различные кри-
терии для установления начала возникновения турбу-
лентного состояния, но и до сих пор достаточно надежные
критерии еще не появились. Уиндннг, Бауман и Кра-
нич [44] в своих ранних работах по исследованию псев-
допластичных неньютоновских систем полагали, что пе-
реход ламинарного потока в турбулентный для круглых
труб имеет место, когда число Рейнольдса, определенное
как pumD/no, где ро — вязкость при нулевом сдвиге (на-
клон касательной к кривой течения в начале координат),

108
Глава 3
достигает величины 2100. Такое предположение не яв-
ляется убедительным, так как вязкость при нулевой ско-
рости сдвига вряд ли может служить подходящим фак-
тором для условий больших скоростей сдвига, имеющих
место в потоке с развитой турбулентностью. Олвис, Бо-
чер и Пигфорд [41], а также Олдройд [46] считали, что
турбулентность появляется, когда число Рейнольдса, оп-
ределенное как ритБ>/р.оо, достигает 2100, что, по-види-
мому, более обоснованно.
Хедстрём [34] применил анализ размерностей к за-
даче турбулентного течения бингамовского пластичного
вещества через круглые трубы и представил графически
коэффициент сопротивления как функцию pumD/iip и па-
раметра Хедстрёма ту£)2р/р.2, подсчитанного для лами-
нарных условий. Результаты расчета, представленные в
виде функции только числа Рейнольдса, показывают, что
влияние числа Хедстрёма в турбулентном ядре прене-
брежимо мало. Это позволяет предполагать, что турбу-
лизация течения начнется, когда кривая коэффициента
сопротивления для ламинарного режима (функция Не)
пересечет аналогичную кривую для турбулентного тече-
ния ньютоновской жидкости (см. фиг. 34). Отсюда в со-
гласии с опытами следует, что критическое значение
числа Рейнольдса возрастает с увеличением предела те-
кучести tv.
Соотношение Вельтмана, рассмотренное в разд. 3,1 и
полученное интегрированием степенного закона для псев-
допластичных и дилатантных материалов, в ламинарном
режиме течения представляется семейством кривых с по-
казателем поведения жидкости п в качестве параметра.
Эти графики можно сравнить с зависимостью Хедстрёма
для бингамовских пластиков, которая дает семейство
кривых для ламинарного режима с tv в качестве пара-
метра. Вельтман предложил аналогичный критерий
начала турбулизации, а именно число Рейнольдса, по-
лучаемое при пересечении графика зависимости коэффи-
циента сопротивления при ламинарном режиме для част-
ного значения п, принятого в расчете, с аналогичной кри-
вой для турбулентного течения ньютоновской жидкости,
которая соответствует данной шероховатости трубы. Это
иллюстрируется фиг. 36.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 109
Метцнер и Рид [19] предложили критерий для опре-
деления начала турбулизации, основанный на коэффи-
циенте сопротивления. Они полагали, что переход лами-
нарного потока в турбулентный в круглых трубах возни-
кает тогда, когда коэффициент сопротивления упадет
ниже 0,008. Этот критерий был использован в сочетании
с обобщенным графиком сопротивления, приведенным
на фиг. 35.
Позднее Додж и Метцнер [45] нашли, что критиче-
ская величина обобщенного критерия Рейнольдса, соот-
ветствующая началу турбулизации, увеличивается с
уменьшением показателя поведения течения. В случае,
когда п' = 1 (ньютоновская жидкость), критическое
число Рейнольдса совпадает с общеизвестным значе-
нием 2100. Для п' = 0,38 оно возрастает до 3100. Од-
нако до сих пор не предложен обобщенный критерий
Рейнольдса, пригодный для расчетной практики.
3.5.	Длина входного участка и потери давления
при расширении и сужении канала
При проектировании трубопровода и расчете потерь
давления в фасонных элементах, таких, как клапаны,
мерные шайбы и сопла, резкие изменения сечения имеют
первостепенное значение и часто определяют большую
долю общей потери давления в сложной системе. Для
ньютоновских жидкостей величина потерь такого рода
хорошо изучена, и хотя теория далеко не полна, имеют-
ся методы расчета, вполне удовлетворительные для
практики. Для течения неньютоновских жидкостей в фа-
сонных элементах имеется очень мало данных, но на-
блюдения показывают, что эффекты местного сопротив-
ления будут отличаться от ньютоновского поведения.
Это в первую очередь относится к вязкоупругим мате-
риалам.
а.	Длина входного участка при ламинарном течении
Если жидкость втекает в трубу из безграничного ре-
зервуара (фиг. 39), то скорость во входном сечении бу-
дет одинаковой. По условию неразрывности она равна
средней скорости ит при полностью развившемся про-

110
Глава 3
филе на некотором расстоянии вниз по потоку. При дви-
жении жидкости по трубе вблизи ее стенок формируется
пограничный слой, распространяющийся внутрь по на-
правлению к оси. Центральная часть потока ускоряется
от начальной скорости и,п до некоторой конечной вели-
чины, зависящей от свойств жидкости. Максимальная
величина будет равна 2ит для ньютоновской жидкости и
[нт(3п + l)/(n + 1)] для жидкостей, подчиняющихся
Ф и г. 39. Развитие пограничного слоя в трубе.
степенному реологическому закону. При этом погранич-
ный слой сомкнется на оси трубы, полностью охватывая
поток. Расстояние от входа до места, где происходит
смыкание, называется длиной входного участка (вход-
ной длиной). В пределах указанной области градиент
давления будет больше, чем для конечных установив-
шихся условий Причиной этого является деформация
профиля скоростей, обусловленная кинетической энер-
гией потока и возрастанием внутреннего трения жидко-
сти. Шиллер [47] показал, что для ньютоновских жидко-
стей входная длина Le приближенно дается формулой
— = 0,029 Re,	(3.5.1)
где число Рейнольдса равно puniD/y.. Формула (3.5.1) хо-
рошо подтверждается опытами.
Богу [48] в последнее время распространил этот под-
ход на неньютоновские жидкости, подчиняющиеся сте-
пенному реологическому закону. Полагая толщину по-
граничного слоя на расстоянии z равной 8, получаем
следующее уравнение:
«//?
>=/*(£• "Ш-	<35-2)
и

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах ПТ
где ф является функцией Ъ/R и показателя поведения те-
чения п. Предполагается, что число Рейнольдса для сте-
пенного закона выражено в обобщенной форме
Re' =
k / би-1-2	'
8 I п )
Входная длина Le определяется из формулы (3.5.2)
при условии смыкания пограничного слоя на оси (т. е.
5 = R)
^=ЫтопМт<\ <35-3>
о
Богу вычислил этот интеграл как функцию показа-
теля поведения течения п и построил график зависимо-
сти (LP//?)/Re' от п, показывающий, что входная длина
Lc возрастает с числом Рейнольдса (как и в случае нью-
тоновской жидкости) и убывает с увеличением л. Ре-
зультаты приводятся к обычному выражению типа
(3.5.1), представляющему особый случай ньютоновской
жидкости, когда п = 1 и k = р.
Из качественных соображений можно показать, что’
поскольку распределения скоростей для псевдопластпч-
пых материалов (п < 1) более однородны, чем для нью-
тоновской жидкости (см. фиг. 37), то профили должны
полностью сформироваться гораздо быстрее и началь-
ные участки для этих жидкостей при прочих равных ус-
ловиях будут короче. Для дилатантных жидкостей,
имеющих более вытянутые, чем у ньютоновских жидко-
стей, скоростные профили, будет справедливо обратное.
Эти соображения согласуются с теоретическим анали-
зом Богу.
В турбулентном потоке длины начальных участков
значительно короче, чем при ламинарном режиме, и по-
чти не зависят от числа Рейнольдса.
б.	Потери давления при расширении в ламинарном
потоке
Приближенно потери давления при резком расшире-
нии трубы можно вычислить непосредственно. Предпо-
ложим, что в сечении 1 (фиг. 40) имеется полностью

112
Глава 3
развившееся ламинарное течение жидкости и что после
расширения поток будет снова однородным в сечении 3.
На расположенном сразу за расширением сечении 2 ли-
нии тока будут предполагаться параллельными, а давле-
ние р2 равномерно распределенным поперек трубы.
Ф и г. 40. Схема течения при внезапном расширении канала.
Пренебрегая сопротивлением трения на участке ме-
жду сечениями 1 и 2 и применяя уравнение Бернулли
для любой линии тока, получим
Pi — Pi-	(3.5.4)
Полностью сформированный профиль скоростей для
жидкости, подчиняющейся степенному закону, описы-
вается уравнением
м = (7[1	(г//?)(п|1)/п] =
= мт[(3п+!)/(«+1)1 [1-(г//?)(п41)/л],	(3.5.5)
где U — максимальная скорость на оси, а ит — средняя
скорость.
Момент количества движения на входе сечения 2 бу-
дет равен
я,
М2 — J 2wiz|p dr,
о
или с учетом формулы (3.5.5)
=	l)7(3n+ l)(2n+ 1)],	(3.5.6)
и аналогично момент количества движения на выходе
из сечения 3
/Из = wRlul [(« 4-1 )2/(3« + 1) (2n + 1)].	(3.5.7)

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 113
Применяя (еорему импульсов для участка между се-
чениями 2 и 3 в пренебрежении поверхностным трением
на стенке трубы, получим, что результирующая сила
(Р2— Рз)п^2 будет равна полной величине изменения
количества движения в выходном сечении, т. е.
fa - Рз)	(1)W+1)	)’ <3'5'8)
и так как U = Q(3n + l)/ir/?2(n + I) и pi — р2, получаем
где А, и Л2 — площади сечений 1 и 2 соответственно.
Кинетическая энергия на единицу времени для пол-
ностью установившегося ламинарного потока находится
из выражения
R
К. Э. = J у2тсгри3</г.
о
После подстановки и и интегрирования получаем
R ч _	3n?UW (п+ I)3
’	2 (Зп —1) (2п —}—1) (5/г —|-3) ’
Замена U на расход Q дает
К Э - 3r^2(3”+D2 ( Q V /о 5
2(2М-1)(5п-|-3)	•	(З.б.Ю)
Делением на pQ определяем кинетическую энергию
на единицу массы
К. Э.	3 (3n -I- I)2	/ Q \2
Единица массы ~ 2 (2п -j- 1) (5п Д- 3) \7Д / '
Потеря механической энергии на единицу массы, об-
условленная расширением, следовательно, будет равна
Pi ।_____3(3n4-l)2	(Q\2 Рз 3(Зп+1)2	/Q\2
р	2(2rt+l)(5n + 3)UJ	Р 2(2n+l)(5n4-3) Ua/ 
Делением на g и подстановкой (pi — р3)/р из (3.5.9) при-
ходим к выражению для потерь давления вследствие
8 Зак, 182

114
Глава 3
внезапного расширения
1/(2\2рп+Ц[ и + 3 (At\2
g UJ \ 2n-|-1 / L 2 (5n-f-3)	’
__(A \ . з (3n-(-1) 1
U2M 2(5n + 3)J'
(3.5.11)
Для n = 0 получается
ui
Потеря напора = 2^г
Это выражение совпадает с приближенным решением
для турбулентного потока ньютоновской жидкости, когда
профили скоростей однородны.
в.	Потери давления при сужении потока
Приведенный выше анализ не может быть применен
к обратной задаче вычисления потерь при сужении в ла-
минарном потоке, так как диаметр выходного отверстия
обычно неизвестен.
Большинство исследований, касающихся потерь при
сужении, являются исключительно эмпирическими, и по-
лученные различными авторами данные обычно отли-
чаются друг от друга. Томс [49], использовавший непью-
тоновские растворы высокополимеров, сделал вывод о
том, что полная потеря давления при сужении, включая
изменение избыточной кинетической энергии и трение
жидкости, равна ри^ как для ламинарного, так и для
турбулентного потоков (при бесконечно большом суже-
нии). Для ламинарного потока ньютоновской жидкости
с n = 1, а не крутильным с и = 2.
н
r.R2um / у 2тсГРи3д?г>
о
которое после подстановки и приводится к . Послед-
няя величина в свою очередь равна перепаду давлений,
обусловленному ускорением потока. В выводах Томса
повышение трения жидкости в ламинарном потоке пред-
полагалось незначительным. Его вывод для турбулент-
ного потока требует обоснования.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 115
С другой стороны, Вельтман и Келлер [50] нашли, что
между потерями для ньютоновских и неньютоновских
жидкостей в ламинарном и турбулентном режимах те-
чения нет заметного различия. Это согласуется с выво-
дами Томса для ламинарного, но не для турбулентного
течения.
Значительно большие потери приведены Мак-Милле-
ном в работе [33], где исследовалось ламинарное тече-
ние пластичного геля ^ти-
па бингамовского пласти-
ка). Измерялась потеря да-
вления за резкими суже-
ниями от 5,1 до 1,05 см и от
1,85 до 0,32 см при различ-
ных скоростях потока. По-
тери сужения изменялись ।
между 2pw^ и 5ри„2 (где ит—
средняя скорость в узком
сечении), возрастая пропор-
ционально скорости в сте-
пени 1,5.
Зависимость потерь су- ,
жения (найденная экстра-
поляцией кривой давления
в сторону убывающего до нуля
и показанная на фиг. 41) от
жается соотношением
Расстояние за сужением
’ и г. 41. Экстраполяция по-
терь сужения.
расстояния за сужением
скорости течения выра-
^Р\н/м2\ = 4,8 - 103и^5 \м/сек\.
Недавние предварительные исследования Доджа [45] все
же не подтверждают этих выводов. В настоящее время,
однако, ощущается недостаток надежной информации в
данной области.
3.6.	Осевое ламинарное течение неньютоновской
жидкости в кольцевом канале
Течение неньютоновских жидкостей в кольцевом ка-
нале представляет проблему большого промышленного
значения. Примером является бурение нефтяных сква-
жин, где циркуляция тяжелого бурового раствора в коль-
S*

116
Глава 3
цевом пространстве, окружающем бурильную трубу,
позволяет производить бурение с поверхности. Буровые
растворы являются обычно характерными неныотонов-
скими жидкостями типа бингамовских пластиков либо
псевдопластиков.
На производстве, где прессуют пластмассовые трубы
из расплавленных полимеров обычно неньютоновского
типа, материал продавливается червяком пресса через
кольцевое отверстие. В этом случае важно установить
зависимость между давлением и расходом материала.
Другим примером является теплообменный аппарат ти-
па «труба в трубе» при использовании в нем неньютопов-
ских жидкостей. В данном случае задача усложняется
тем обстоятельством, что течение уже нельзя рассма-
тривать как изотермическое.
а.	Исходные соотношения
Рассмотрение баланса сил, действующих на кольце-
вой элемент с осевой длиной 6L между радиусами г и
г + 8г, дает
2т.гЪгЪР = 12т.Ъ1. [хг)Ъг,	(3.6.1)
где т— напряжение сдвига па радиусе г и 8Р— перепад
Ф и г. 42. Схема кольцевого канала.
давления на длине 8/-, т. е. dP/dL — продольный гра-
диент давлений в кольцевом канале.
Проинтегрировав выражение (3.6.1), получим
тг = | r2dPldL-\- const.	(3.6.2)

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 117
Если т = О, когда г = 7.R, т. е. на радиусе, где ско-
рость максимальна, то константа в (3.6.2) будет равна
-|W dP/dL.
Следовательно,
Т = 1 (dP/dL) [г - да/г]. (3.6.3)
Данное уравнение, которое является основным, необхо-
димо решить при граничных условиях «прилипания»,
т. е. равенства нулю скорости на стенке, и используя
реологическое уравнение жидкости т = f(y).
б.	Решение для бингамовской пластичной жидкости
Фредриксон и Бирд [51] решили эту задачу. Здесь
это решение излагается лишь в общих чертах.
Ф и г. 43. Течение неньютоновских жидкостей
в кольцевом канале.
Обозначения даны на фиг. 43. 7.+ R и представ-
ляют внешний и внутренний радиусы области квазитвер-
дого (стержневого) движения, т. е. радиусы, для кото-
рых локальная величина напряжения сдвига равна
пределу текучести вещества; nR — радиус внутреннего
цилиндра.

118
Глава 3
Решение значительно упрощается введением следую-
щих безразмерных переменных:
ч. 2т
1 — п/вм, —напряжение сдвига,
1\ а г/ Cl L.
2'у
Го== /? rfP/rfZ. ~ пРедел текучести,
<3'6-4’
Т= »<№ скорость,
Р = -т?—радиальная координата.
Можно показать, что безразмерная скорость в области
между ядром течения и внутренним цилиндром
(х <: р М равна
= Го (х — Р) — 1 (Р2 — х2) -I- X2 In (р/х).	(3.6.5)
Аналогично, для области между твердым ядром и
внешней стенкой, т. е. для Х+ ?Ср 1, получаем
Т+ = то (р -1) -ь 4 (1 - Р2) + X2 In Р.	(3.6.6)
В самом ядре, т. е. в области р < Х+, имеем
То = Т_ (х_) = (х+)-	(3.6.7)
Эта формула определяет Х+ и фо как функции х и То.
Фредриксон и Бирд вычислили эти функции и предста-
вили результаты графически (фиг. 44) в виде зави-
симости Х+ и <ро от х для различных значений То.
Х+ — внешний радиус области стержневого течения.
Внутренний радиус равен
Х_ = (Х+-7’0).	(3.6.8)
Кроме того,
Х2==Х+Х_.	(3.6.9)
Полный объемный расход вещества определяется выра-
жением
1
Q = 2тгА>2 J* up dp.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 115
и окончательно
Q = ^dP/dL [(1 _ у4) _ 2Х+ (Х+ _ Го) (1 _ у2) _
- 4 (1 + *3) То +1 (2Х+ - Г0)з Го]. (3.6.10)
Выражение в квадратных скобках является функ-
цией х, Х+ и То или, вернее, функцией х и То, поскольку
Фиг. 44. Зависимость Х+ от х, То.
Х+ сама зависит от х и То- Следовательно,
= То). (3.6.11)
Фредриксон и Бирд представили функцию £2В графи-
чески (фиг. 45).
Этот график дает возможность найти расход Q, если
известны градиент давления, размеры кольцевого канала
и свойства жидкости и цр.
Для определения градиента давления при заданном
расходе жидкости более удобен график функции Qb/T^,
приведенный на фиг. 46,

120
Г лава 3
Пример *)• Буровая жидкость типа бингамовского
пластичного вещества с пределом текучести 7,182 н  м~2
и пластической вязкостью 0,02 н-сек-м"1 движется с
объемной скоростью 0,1275 Л13сек_| в кольцевом канале
с внутренним диаметром 203 мм, внешним диаметром
305 мм и длиной 304,8 м. Требуется найти перепад дав-
лений и профиль скоростей.
1. Перепад давлений. Чтобы найти перепад давлений
при заданном расходе, необходимо использовать график
фиг. 46. Из формул (3.6.11) и (3.6.4) для То имеем
SppQ RdP/dL ip.pQ
= nR* dP/dL fry =	’
После подстановки численных значений получаем
Q
-- = 0,128.
" о
•) Физические свойства жидкости взяты из работы Лэрда В. М.,
Ind. Eng. Chem., 49, 138 (1957),

Течение неньютоновских жидкостей в трудах и каналах 121
Отношение радиусов равно 0,667.
Из фиг. 46 видно, что То = 0,140, когда Ия/70 = 0,128
и х = 0,667.
Однако
т _ 2ту
0 ~ R dP/dL '
т. е.
dP ..	2-7,182	,
dL 0,153  0,140 ~ 670 Н!М '
Следовательно, общий перепад давлений будет равен
206 кн-м~2.
Замечание. Для ньютоновской жидкости той же вяз-
кости получается 89 кн-м~2.
Фиг. 46. Зависимость Тп от йв/Гп,-/..
и и о
2 Профиль скоростей. Из фиг. 44 для х = 0,667 и
То = 0,140 находим
<Ро = 0,01,
Х+ = 0,90.
Из определения <р в уравнении (3.6.4) скорость стерж-
невого движения ир получается равной (^dP/dL)^,
т. е. ир — 3,96 м/сек.

122
Глава 3
Поскольку Х+ = 0,90 и То = 0,140, из формулы (3.6.8)
следует
= (0,9 — 0,140) = 0,760.
Тогда из (3.6.9)
Х =/0^ = 0,830.
Отсюда внешний радиус ядра k>R равен 13,7 см и
внутренний радиус ядра 7.-R составляет 11,6 см.
Ф и г. 47. Профиль скоростей при течении
бингамовского пластичного вещества.
Зная величины То, х и X, из формул (3.6.5) и (3.6.6)
можно определить профили скоростей в кольцевом про-
странстве вне ядра. Результат, показанный на фиг. 47,
согласуется с аналогичными данными Лэрда, использо-
вавшего другой метод расчета.
в. Решение для случая степенного реологического закона
Из совместного рассмотрения выражения
(з-6-12)
и уравнения (3.6.3) после интегрирования получаем со-
отношение для профиля скоростей [51]
«=*(0)7(7-^ «<₽<* (3-6.13)

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 123
И
1<'<> <3-6'14)
р
при условии, что и = 0 при р = х и р = 1; величина
Ф и г. 48. Зависимость Л от S для течения
жидкости, подчиняющейся степенному рео-
логическому закону.
S = \/п. При р — X формулы (3.6.13) и (3.6.14) должны
дать одинаковые величины и, т. е.
X	1
J (>2/Р — pf dp = J (Р — )2/p)s dp.
x	Л
(3.6.15)
Это уравнение определяет X как функцию х и S. Ре-
зультат представлен графически на фиг. 48.
Объемный расход жидкости определяется как
1
Q = 2т/?2 J up dp.
(3.6.16)

124
Глава 3
Подстановкой и из формул (3.6.13) и (3.6.14) в
(3.6.16) получаем окончательно
1
Q =	H2-P2|Silp-^P (3-6.17)
или
с=^3(4г£)Ч($.	<3-6-18)
поскольку интеграл в уравнении (3.6.17) является функ-
цией S и х.
Ф и г. 49. Зависимость f от -л для течения жидкости,
подчиняющейся степенному реологическому закону.
Фредриксон и Бирд представили QP(S, х) графиче-
ски (фиг. 49) как функцию -j(S, х), определенную в виде
(S + 2)Qp(S,-z)
х)=—(I-«у* 

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 125
Это позволяет вычислить расход жидкости для лю-
бого перепада давлений, если известны размеры кольце-
вого канала R и х и свойства жидкости k и S.
Пример. Жидкость, для которой S = 1,398 и
k = 0,304 н • сек0-716 • ж-2, течет через кольцевой канал,
внешний радиус которого 26,25 мм и внутренний 10,67 мм
с объемной скоростью 0,2775- 10’3 м3-сек~‘. Требуется
подсчитать потери давления на единицу длины.
х = 0,406,
R = 2,63 см.
Из фиг. 49 для х = 0,406 и S = 1,398 находим
7(5, х) = 0,72.
Однако
о _ (1 — 7.)'s * 2 7(S, -Л) __ (1 — 0,406)3,398 0,72
“р—	(S4-2)	—	3,398
или = 0,0359.
Итак,
Q = r.R3 (dP/dL)s (R/2k)s Q„.
Подстановка Q, R., k и QP дает dPldL = b кн-м~2 на
каждый метр длины.
3.7. Прессование расплавленных полимеров
В течение последних лет появилось много статей, где
предпринимаются попытки теоретическим путем полу-
чить соотношения, описывающие режим работы червяч-
ного пресса. Многие из ранних работ ограничивались
изотермическим или адиабатическим прессованием по-
лимеров в предположении, что они в процессе прессо-
вания ведут себя как вязкие ньютоновские жидкости.
Эти исследования были представлены на симпозиуме по
прессованию в 1953 г. [52].
Маловероятно, чтобы допущение ньютоновского по-
ведения полимерных расплавов в процессе обработки
давало хорошие результаты. В последнее время внима-
ние сосредоточено на выводе уравнений, использующих
реологические зависимости, близкие к действительным
характеристикам материалов.

126
Глава 3
Ниже будут выведены основные соотношения для
ньютоновских жидкостей и распространены затем на
случай неньютоновских систем.
а. Ньютоновские жидкости
Рассмотрим схему винта червячного пресса, показан-
ную на фиг. 50. Хотя в действительности винт вра-
щается, картину течения легче представить, если, на-
Ф и г. 50. Схема червячного пресса,
а —угол винтовой линии червяка.
оборот, рассматривать вращающимся вокруг неподвиж-
ного винта его наружный цилиндр (обечайку).
Если кривизна кольцевого канала невелика, то си-
стема эквивалентна течению между параллельными пла-
стинами, одна из которых по-
коится, а другая движется со
скоростью, равной величине
продольной составляющей ли-
нейной скорости вращения на q
периферии цилиндра. Ско-
-----------------------
Ф и г. 52.
. 7//ZZ1
dz
FZZZZZZZZZZZZZZZZZ
Ф и г. 51. Схема течения в червяч-
ном прессе.
рость будет иметь направление, противоположное про-
дольному градиенту давления dPfdz. Это показано на
упрощенной схеме фиг. 51.

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 127
Пренебрегая концевыми эффектами (так как b~^>2h)
и предполагая отсутствие скольжения на стенках, полу*
чаем распределение скоростей в виде
=	+	(3.7.1)
где ц— ньютоновская вязкость и dPfdz— продольный
(осевой) градиент давления.
Расход находится из выражения
2Л
Q — J bv dx,
о
которое приводится к виду
Q ,	2Л2 dP
bhV — 1	dz ’
(3.7.2)
Графически эта зависимость представлена на фиг. 52.
Профиль скоростей зависит от величины dP/dz.
Возможны три случая:
V	1	аг
б)	<	1,	уу	положителен;
ч	Q	.	.	dP
ъ)	~bhV	>	’	~d7	отрицателен.
Второй случай обычно реализуется в процессе про-
давливания материала через мундштук.

128
Глава 3
б. Жидкости, описываемые уравнением Рабиновича
Полиэтилен и полистирол в размягченном состоянии
могут быть приближенно описаны реологическим урав-
нением, предложенным Рабиновичем [53] в форме
(3.7.3)
Но
где с и ро — постоянные, характеризующие данный ма-
териал.
Йошида и др. [54] вывели уравнение, описывающее
процесс прессования материалов, используя приведен-
Ф и г. 54. Распределение скоростей и напряжений
при течении жидкостей, подчиняющихся уравне-
нию Рабиновича.
ное выше реологическое уравнение (3.7.3). Профиль
скоростей тогда запишется в виде
v = V/2 +	|У2 - Л2 (1+ X2)] +
+ (« [у4 - Л' (1 + 6X2 + Х4)]> (3.7.4)
где для удобства выкладок градиент давления dP/dz
обозначен через £; X = S/Л, а у и S определены на
фиг. 54.
Уравнение для нахождения Л имеет вид
V = (2ft2X/|x0)[E + ch2E3(l +X2)]-|-rc£)s7Vcos<x;	(3.7.5)
объемный расход равен
Q = bh [ V - (2Д25/3Ис) - (2 ch4 Р/5|х0) (1 + 5Х2)].	(3,7.6)

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 129
Авторы данной работы значительно упростили поль-
зование уравнениями путем введения следующих без-
размерных комплексов:
U =	- =	г = ^У7.	(3.7.7)
Результаты были представлены графически в виде зависи-
мости г от X для постоянных и и <о. При заданном попе-
речном сечении винтового цилиндра величины b, h, с и
цо известны. Следовательно, и и со можно вычислить
для неизменных массового расхода Qm (равного pQ) и
V (или N). Значения z и 2. затем считываются с графика
и по известному z определяется градиент давления
Таким образом можно графически представить градиент
давления в канале для любой постоянной скорости вра-
щения как функцию длины канала при различных зна-
чениях массового расхода Площадь, ограниченная
этой кривой для любой длины канала, будет
J"(dPldz)dz, т. е. оказывается равной давлению в дан-
ной точке канала. Это дает распределение давления в
рабочем пространстве червячного пресса. Результаты
опытов с полиэтиленом в температурном диапазоне
130—200°С показали хорошее совпадение с теоретиче-
скими расчетами.
Здесь следует отметить, что, помимо учета неньюто-
новского поведения полимеров, этот метод позволяет
учитывать любое желаемое распределение температуры
вдоль червячного цилиндра.
Для ньютоновской жидкости с = 0 в формуле
(3.7.3). Подстановка с = 0 в (3.7.6) дает
Q __1—2й2с
bhV — Зц0И
и, поскольку £ = dPfdz, это выражение совпадает с
(3. 7.2).
в Материалы, описываемые степенным законом
Мори и Матсумото [55] недавно предложили уравне-
ния для процесса червячного прессования материалов,
9 Зак. 182

130
Г лава 3
описываемых степенным законом
(3.7.8)
Уравнения, аналогичные (3.7.5) и (3.7.6), имеют вид
Q _ п ,iч _ (^+1) Г(Х+1)Р+2-(Х-1)Р+г] и
bhV '	’	(Р + 2) [(X4-1)P+1 — (X — l)Prl J 1 ‘ '
И
[(X + 1 )P+I - (X - 1 )₽+11. (3.7.10)
где X = S/Л, как и прежде, а р находится из формулы
(3.7.8). Градиент давления в любой точке канала мо-
жет быть подсчитан из этих уравнений и из известного
распределения температуры. Распределение давлений
получается затем путем интегрирования. Полученное та-
ким способом соотношение хорошо согласуется с экспе-
риментом.
г. Бингамовские пластичные материалы
Мори и Ототейк [56] решили уравнения в предложе-
нии, что реологические свойства жидкостей описываются
уравнением Бингама. Результаты представлены графи-
чески в виде взаимозависимости четырех безразмерных
параметров
Q	S	n„V	tv
тпт-	тг.	-4»	(3.7.11)
bhV	h	туЛ	Л«	'	'
где р,р — бингамовская пластичная вязкость; ти— пре-
дел текучести, а другие члены имеют тот же смысл, что
и в предыдущем изложении.
Этот метод имеет более ограниченное применение,
чем два предыдущих, так как маловероятно, чтобы мно-
гие пластичные материалы хорошо описывались урав-
нением Бингама.
д. Другие свойства жидкости
Недавно Никольс и Колуэлл [57] опубликовали
статью, в которой описан метод расчета характеристик
червячного пресса, когда червяк и поверхность цилинд-

Течение неныточовских жидкостей в трубах и каналах 131
рической обечайки имеют различные температуры, а
жидкость произвольным образом отличается от ньюто-
новской.
Используя этот метод на вычислительных машинах,
были получены типовые решения. Рассмотрены также
графические способы решения уравнений.
3.8. Прокатка пластичных материалов
Во многих отраслях промышленности листовые
материалы из пластичных и подобных им веществ об-
разуются при прокатке сляба между цилиндрическими
валками. Материал обычно имеет неньютоновские ха-
рактеристики. Гаскелл [58] предложил следующее мате-
матическое описание процесса, схематически показанного
на фиг. 55. Заготовка после обжимки проталкивается
между валками с минимальным зазором (клиренсом)
2^о- Материал отстает от валиков и превращается в лист
Фиг. 55. Схема прокатки пластичных материалов.
на некотором расстоянии от плоскости минимального
зазора, а не в самой плоскости клиренса, как зачастую
предполагается для неупругих материалов. Гаскелл объ-
ясняет превышение толщины листа над величиной кли-
ренса валков, основываясь на характеристиках мате-
риала и не рассматривая это явление как следствие
упругости вещества.
9*

132
Г лава 3
Предположим, что скорость сдвига материала пред-
ставляет собой функцию только напряжения сдвига,
т. е.
77=/«-	(3-8.1)
Рассматривая равновесие малого элемента между у
и у + бу и х и х + бх, цаходим, что градиент давления
будет
Чтобы упростить уравнения, вводятся следующие
безразмерные переменные
. К 2/«о Г1— У	(3.83'1	
		
Подстановка их в формулы (3.8.1)		и (3. 8. 2) дает
и		(3.8.4) (3.8.5)
где F(t) = (2^/67B)/(t) и К=С’Р- & di		(3.8.6) (3.8.7)
Интегрируя (3.8.5) и замечая, что т оси х, получаем т = £т]. Поэтому из формулы (3.8.4)		равно нулю на
		(3.8.8)
Интегрирование дает		
^-=l-(l/g)J ЛМ,		(3.8.9)

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах 133
где (3 лишь переменная интегрирования, a z— величина
gri на поверхности валка. Эту величину можно найти из
геометрических соображений, так как на поверхности
имеет место соотношение
у=±К+/?-//?2-Х2],
которое после разложения подкоренного выражения в
ряд записывается приближенно в виде
у = ± (/0 + х2/2/?), так как
Подстановка у и х из (3. 8. 3) дает			(3.8.10)
Интегрированием выражения (3.8.9) определяем			расход
0	Г	Z f F(^)dp		(3.8.11)
Если 2^i — толщина на выходе из валков, как показано
на фиг. 55, то
Q — 267, = 2С70(1+^).	(3.8.12)
Подстановка Q в соотношение (3.8. И) дает
^($2_$2) ; ;
— 2	F(₽)d₽- f f f(₽)d₽<. (3.8.13)
0	0 0
z
Двойной интеграл можно записать как—J" F(₽)(z— ?)dp,
о
и формула (3.8. 13) тогда сводится к
2 ($2 _ е2\	2
4rW=^2J ^(Р)	(3.8.14)
Уравнение (3. 8. 14) дает зависимость между z и £
и, следовательно, между g и £. Зная из соотношения
(3.8. 12) и используя известные величины скорости вра-
щения валков и расхода материала, можно рассчитать
10 Зам, 182.

134
Глава 3
градиент дабления g(g) в функции £ и, следовательно,
в зависимости от расстояния от плоскости осей валков.
Ф и г. 56. Деформационная картина при
прокатке пластичных материалов.
Для распределения давлений ньютоновской жидкости
Гаскелл получил следующую формулу:
( Г$2 — 1— 5Е2 — ЗЕ2Е? 1	,	|
Р 4^6 ( "	(1 4- $2)2	“J" 0 arctg E1 -|- C,
где постоянная С находится из выражения
С = (1 - ЗЕ2) arctg - ^S|C1 	(3-8.15)
Для бингамовских пластиков
/(т) = 0; 0 < т < ту
и
™ =	Ь-<-
Применительно к этим материалам можно показать,
что формула (3.8.14) приводится к виду
I	е2_е2
^pUz2 (2г3 ~ 3V2 + Зту ± 2\)= (14-$2)2 ’ (3-8.1 6)
где минус относится кг>^, а плюс — к г<т„.
Так как т = 0 на оси х, то вблизи оси напряжение
будет меньше предела текучести, а материал будет

Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах Ido
перемещаться как твердый стержень, толщина которого
зависит от Ту. Пусть Цо— толщина, при которой т = iv.
Полагая т = £т]о = в формуле (3.8. 16), получим
2^^-3±2(р=-1/р)]
--------ёи----------= (Р ~ W + ?)2’ <3-8’17)
где р = 2т]О/5 (1 + £2).
Уравнение (3.8.17) выражает толщину цо области
квазитвердого стержневого течения как функцию рас-
стояния £ от плоскости валков. Образующаяся твердая
полоса показана на фиг. 56.
10’

Глава 4
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛООБМЕНА В НЕНЬЮТОНОВСКИХ
ЖИДКОСТЯХ
До настоящего времени опубликовано очень мало
работ по теплообмену в неньютоновских системах. Един-
ственной задачей, получившей развитие, является не-
изотермическое течение внутри круглой трубы.
Теплообмен неньютоповских жидкостей при лами-
нарном течении в трубах рассматривался теоретически
рядом исследователей. Однако в специальной литера-
туре почти отсутствуют экспериментальные данные,
которые позволяли бы подвергнуть теоретические зави-
симости достаточно полной проверке.
Проблема теплообмена жидкостей, весьма отклоняю-
щихся от ньютоновских, в условиях турбулентного тече-
ния также привлекала мало внимания. До сих пор
оказалось возможным определить только порядок вели-
чин. Однако этот режим для большинства неньютонов-
ских систем не имеет такого значения, как ламинарное
течение. Консистенция таких жидкостей обычно густая,
и турбулентные условия течения, хотя и желательные из
соображений интенсификации теплообмена, на практике
весьма трудно достигаются.
В последующих разделах излагается современное со-
стояние данной проблемы.
4.1. Теплообмен при ламинарном течении в трубе
Рассмотрим установившийся ламинарный поток в
круглой трубе с теплообменом. Температуру жидкости
ца входе трубы будем считать постоянной и равной То.
Примем температуру стенки трубы на всем протяжении
обогреваемого (или охлаждаемого) участка также не-
изменной и равной Л. Температуру в любой другой

Характеристики теплообмена в нёньЮтОнОвских жидкостях 137
точке обозначим через Т. Предположим, что физические
свойства жидкости не зависят от температуры.
Тепловой баланс элементарного объема жидкости
длины Ъг, заключенного между г и г + 8г (фиг. 57) в
Фиг. 57. К выводу уравнения теплового балаиса (4.1.3).
пренебрежении продольной составляющей потока тепло-
проводности, дает
2кг 8 г р Сри ЪТ — — 2ъд/дг (rq) %r%z,	(4.1.1)
где q — радиальная составляющая потока теплопровод-
ности, т. е.
т дт
а — к —
4 дг
(4.1.2)
Подставив это соотношение в формулу
лучим соотношение
„ дТ I д ( у дТ\
pCfU dz “* г dr дг ) ’
которое можно записать в виде ’)
гдгГ . 1 аг 1
L dr2 ' г dr J'
(4. 1. 1), по-
(4.1.3)
дТ
и~д1 = а
где а = Х/рСр — коэффициент температуропроводности.
Решение упрощается, если ввести безразмерный
перепад температур
9 = у^.	(4.1.4)
/ 1 - I о
*) Уравнение (4.1.3.) является частным случаем уравнения
Фурье — Кирхгофа, когда пренебрегается переносом тепла конвек-
цией в радиальном направлении. — Прим. ред.
11 Зак. 182

138
Глава 4
(4.1.5)
решить
(4.1.6)
Тогда формула (4.1.3) принимает вид
00	г02О . 1 001
dz	[_drs 1 г dr J
Это основное уравнение, которое необходимо
при следующих граничных условиях:
0 = 0 при r = R для всех z>0
и
6 = 1 при z = 0 для всех r^.R.
Решение зависит от вида и, т. е. от профиля скоро-
стей.
Возможны три случая:
1.	Квазитвердое (стержневое) движение, когда и
постоянно и равно ит. Это условие применимо вблизи
входа в трубу и представляет предельное состояние при
«бесконечно большой (идеальной) псевдопластичности»,
т. е. когда показатель поведения жидкости п равен
нулю.
2.	Полностью установившийся параболический про-
филь скоростей в потоке ньютоновской жидкости. Для
данного случая скорость и в уравнении (4.1.5) будет
равна
u = 2um(\—r2/R2).	(4.1.7)
Рассматриваемый случай представляет собой также
предельное течение при бесконечно малой псевдопла-
стичности, т. е. когда п равно единице.
3.	Полностью установившийся профиль скоростей в
жидкости, подчиняющейся степенному реологическому
закону, т. е. когда п заключено между нулем и едини-
цей. Профиль скоростей тогда (см. разд. 3.2) выра-
жается формулой
и = ит
(Зл + 1)
(«+1)
(4.1.8)
а.	Решение для квазитвердого (стержневого) течения
Уравнение
00 г 0=0 , 1 dOi
Um dz ~ а + г 0r ]
(4.1.9)

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 139
можно решить методом разделения переменных, полагая
f) = R*(r)Z(z),
где R* зависит только от г, a Z — функция только z1).
Тогда уравнение (4.1.9) преобразуется к виду
1	(4.1.10)
a Z dz R L dr3 ' r dz J '	'
причем левая сторона является функцией только z, а
правая зависит лишь от г. В таком случае обе стороны
должны быть равны постоянной величине, которую обо-
значим через —(В2.
Отсюда получаем уравнение
1 dZ    a
Z dz	um ‘ '
решением которого будет
Z = exp(----— p2z), где Z = 1 при z = 0.
\ um /
Радиальная составляющая решения
d2#' | J_ dR I n*Q2----------------n
dr2 r dz x '
представляет собой уравнение Бесселя нулевого по-
рядка, решением которого будет
П* _о V1 dp (PfT)
Л=1
где /о и Ji — функции Бесселя 1-го рода нулевого и 1-го
порядков соответственно. Собственное значение Pi нахо-
дится как i-й корень уравнения
Л(р/?)=о.
Полное решение выражается произведением
0 = /?*(r)Z(z).
!) Уравнение (4.1.9) является уравнением теплопроводности,
его решения для разных граничных условий хорошо известны,
в том числе и для простейшего граничного условия первого рода
(4 1 6). — Прим. ред.
11*

140
Глава 4
Следовательно,
со
г, — Го = 6 = 2 2	(₽?/?) ехр ^2) ' <4ЛЛ1)
i= 1
Это выражение определяет температуру в любой точке
трубы как функцию радиальной координаты г и рас-
стояния вдоль трубы z.
Формулу (4.1.11) можно представить в более удоб-
ной и общепринятой форме [59]. Определим усреднен-
ный коэффициент теплообмена аСр как
Q = ^umfCp(T2-7\) = acp2nRLb7\ (4.1.12)
где Q — полный расход тепла на длине L; Т2 — средняя
температура на выходе, т. е. для z = L; ДТ — средне-
арифметический температурный напор, т. е.
Д7'=Го-|(Г1+7'2).
Исходя из этого,
аср — Рит^р	дт" •	(4.1.13)
Далее, введя среднее число Нуссельта
ar„D
Nu=^—	(4.1.14)
и используя формулы (4.1.11) и (4.1.13), можно пока-
зать, что
Nu = -!^— (I-45)
2La U + 4S)
или
КТ 2lwCp\ll-4S\
№ = ДтгДтт®Ь (4.1.15)
где S определяется выражением
с XI 1	/	«А/ \
5=2^ТГехР(--------FTTt)’ (4.1.16)
JTi Af \ wCpl~KL)
а А, — корни характеристического уравнения 70(А) = 0.
Это означает, что число Нуссельта, определяемое
формулой (4.1.15), является функцией только критерия

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 141
Гретца wCp/KL. Формула (4.1.15) неудобна для боль-
ших значений числа Гретца, но в данном случае [63] ее
можно заменить приближенной зависимостью *)
осрО 8	4 /wCpVh
X и ' ~ \ XX. /
б.	Решение для полностью установившегося профиля
скоростей ньютоновских жидкостей
После подстановки параболического распределения
скоростей из формулы (4.1.7) в основное уравнение
(4. 1.5) получаем
„	/. г2 \ йв г й2в , 1 йб i .. ,
~	—r д7]-	(4.1.17)
Это уравнение может быть решено методом разделе-
ния переменных, дающим результат в виде ряда. Задача
в данном случае оказывается гораздо сложнее, чем для
стержневого течения.
Левек [60] предложил метод приближенного решения
для случая больших массовых скоростей течения через
относительно короткие трубы при допущении, что гра-
диент скорости вблизи стенки является линейной функ-
цией радиуса, т. е.
« = ₽(/?-г),	(4.1.18)
где р — градиент скорости на стенке.
Окончательный результат может быть записан в виде
Nu
aCpZ)
Г"
1,62
/ ₽СрР£)з V/,
\ 8ХХ, / ‘
(4.1.19)
Для ньютоновской жидкости градиент скорости на
стенке (3 равен 8um/D; в этом случае формулу (4. 1. 19)
можно записать как
aC0D
-Ц— =1,62 -уЛ
X	\ itXZ. /
') Для малых значений критерия Гретца методом преобразо-
вания Лапласа можно получить точное решение уравнения (4.1.9)
в форме Лапласа, из которого линейная зависимость между кри-
терием Нуссельта и р^шСр/ХД получается как первое приближе-
ние. — Прим. рвд.

142
Глава 4
ИЛИ
К	\ KL. /
(4.1.20)
где w — массовая скорость, a wCp/XL— число Гретца.
Это уравнение справедливо для чисел Гретца, боль-
ших 100.
Полученный результат будет использован позднее
(в разд, (г)) при рассмотрении ламинарного течения
непьютоновских жидкостей.
в.	Решение для полностью установившегося профиля
скоростей в жидкостях, подчиняющихся степенному
реологическому закону
Распределение скоростей в полностью развившемся
ламинарном потоке жидкости, описываемой реологиче-
ским степенным законом, дается выражением (4.1.8),
подстановка которого в формулу (4. 1.5) дает
/Зп4-1\Г.	/ г	ГЙ26 , 1 <30 1 .. , О1.
Разделение переменных путем замены
e=/?*(r)Z(z)
(как и в случае стержневого течения) приводит к вспо-
могательным уравнениям
I dZ а	Зм —|— 1	/. ,
-z^ = ~7^^ где С =	<4Л-22)
и
^+7т+₽![1-(^)“	(4.1.23)
При п = 0 эти уравнения совпадают с зависимо-
стями для стержневого течения, приведенными в разд,
(а); при п= 1 приходим к уравнениям ньютоновской
жидкости, данным в разд. (б).
Соотношение (4.1.23) относится к уравнению типа
Штурма — Лиувилля. Лайч и Бирд [61] нашли полные
решения для случаев п = 1; */2 и '/з и малых значений
числа Гретца. Они вычислили также собственные значе-

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 14‘i
ния уравнения (4. 1.23), т. е. величины 0,/?, и затабули-
ровали их совместно с соответствующими коэффициен-
тами ряда, представляющего решения R* для i= 1; 2; 3.
Соответствующие величины собственных функций Ri
затабулированы для значений r/R от 0 до 1 с интерва-
лом 0,1.
Чтобы показать зависимость характеристик теплооб-
мена от показателя поведения течения п, Лайч и Бирд
Фиг. 58. Профили температурных пере-
падов при течении иеньютоновских жидко-
стей по трубам.
представили графически безразмерный перепад темпера-
тур 6 в функции r/R для числа Гретца, равного 5,24, и
значений п = 1; */г; */з и 0; п = 1 соответствует случаю
ньютоновской жидкости, а п = 0 — стержневому тече-
нию, которое рассмотрено в разд. (а). Вышеизложенное
иллюстрируется фиг. 58.
г. Распространение аппроксимации Левека
на неньютоновские системы
Аппроксимация Левека для среднего числа Нуссель-
та при ламинарном течении в трубе дается выражением
acPD '₽<>£)* V'*
X ~ 1 ,DZ \ 8XZ. I
(4.1.19)
где p — градиент скорости на стенке.

144
Глава 4
Пигфорд [62] преобразовал это выражение к виду
асо£>	,, lwC„\'l*
-^=1,758'-(V) 	<4.1.24)
где 8 — отношение градиента скорости на стенке для
неньютоновской жидкости р к соответствующей величине
ньютоновской жидкости, равной	т. е. 8 опреде-
ляется как
В формуле (4,1.24) № можно рассматривать как
коэффициент, корректирующий ньютоновское уравнение
(4.1.20). Этот коэффициент учитывает изменение ин-
тенсивности теплового переноса, обусловленное разли-
чием градиента скорости на стенке для неньютоновских
жидкостей по сравнению с ньютоновскими.
Пигфорд показал также, что 8 для бингамовских
пластичных материалов *) дается соотношением
1 -Xv/XW
8 =-----4-------Н----------.	(4.1.26)
1	3 (Ху/Хщ>) Ч- 2 (Ty/Tw)4
В общем случае для всех реологически стационарных
жидкостей
Ъ =	(4-1-27)
При использовании величины 8 из формулы (4.1.23)
уравнение (4.1.24) оказывается применимым для
больших скоростей течения (с числом Гретца, превы-
шающим 100) и для величин п' свыше 0,1. Подобные
условия обычно встречаются на практике, так что это
ограничение не является серьезным. Для сравнительно
редкого случая идеально псевдопластичной жидкости
при малых числах Гретца Метцнер и др. [63] предло-
жили вместо 8,/з эмпирическую поправку в форме интер-
) Теоретическое решение, полученное подстановкой соответ-
ствующего профиля скоростей бингамовских пластиков в основное
уравнение (4.1.5), опубликовано недавно Хираи Е., А. /. Ch. Journ.,
5, 130 (1959).

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 145
полиции между двумя предельными теоретическими ре-
шениями п' = 0 и п' = 1.
Здесь следует отметить, что поправка для дилатант-
ных жидкостей никогда не бывает очень велика. В пре-
дельном случае бесконечно большой дилатансии п' =
= сю формула (4. 1.27) дает 8 = 3Л- Отсюда из (4. 1.24)
Фиг. 59. Теплообмен неньютоновских жидкостей при течении
в трубах круглого сечения (ламинарный режим).
1 — ньютоновские жидкости, уравнение (4.1.20); 2— идеальная псевдопластнчность,
уравнение (4.1.15); 3 —псевдопластичные жидкости; 4 — дилатантные жидкости;
5 — идеальная дилатансия, уравнение (4.1.28).
при бесконечно большой дилатансии получается фор-
мула
^.= 1>59(^у\	(4.1.28)
Л	\ Лъ /
только слегка отличающаяся от соотношения (4.1.20)
для ньютоновских жидкостей. Поправка для псевдопла-
стичных материалов может оказаться большей, чем для
дилатантных (фиг. 59). На фиг. 59 показаны кривые
теплообмена для ньютоновской жидкости [уравнение
(4. 1.20)], а также для случаев бесконечно большой ди-
латансии [уравнение (4.1.28)] и бесконечно большой

146
Глава 4
псевдопластичности (п' — 0). Последний случай иденти-
чен квазитвердому стержневому течению, рассмотрен-
ному в разд. (а).
Метцнер и др. [63] предложили эмпирический попра-
вочный коэффициент, учитывающий отклонения от тео-
рии, вызванные искажением профиля скоростей. Причи-
ной такого искажения является изменение вязкости,
обусловленное наличием радиальных температурных
градиентов. Этот коэффициент представляет обобщение
известной поправки (р/цц,)0-14 Зидера — Тейта, широко
используемой в формулах теплообмена для ньютонов-
ской жидкости. Знаменатель в выражении обобщенного
критерия Рейнольдса (разд. 3.1, е), равный k 8" , за-
меняет вязкость в общепринятом выражении этого кри-
терия. Поэтому вместо поправки Зидера — Тейта Метц-
нер и др. предложили комплекс (rnlmw) ' . где
/тг=Л8"-1 вычисляется при температуре основной
массы жидкости, a mw — при температуре стенки. Окон-
чательная формула для среднего коэффициента тепло-
обмена принимает вид
«COD	/wC„\'l>[ т \°.14
-Л-= 1,7584 Н/-----------•	(4.1.29)
Эта формула хорошо подтверждается [63] эксперимен-
тальными данными в следующих диапазонах перемен-
ных:
д': 0,18 — 0,70,
wC^L : 100 — 2050,
Re': 0,65 — 2100.
Включение поправочного коэффициента (т1т^’х в
формулу (4.1.29) значительно улучшает совпадение
с экспериментальными результатами.
д. Температурные и скоростные профили
в неизотермическом потоке
При выводе теоретических зависимостей в предыду-
щих разделах приходилось делать предположение о не-
зависимости свойств жидкости от температуры. Прини-

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 147
малось также, что теплом, генерированным за счет ра-
боты сил трения, можно пренебрегать. Эти допущения,
хорошо согласующиеся с общепринятой теорией движе-
ния жидкости, становятся весьма сомнительными при
рассмотрении течений высоковязких неньютоновских
материалов. Вязкость этих материалов зачастую заметно
изменяется с температурой, и вследствие больших по
величине касательных напряжений, возникающих в сис-
темах, тепловыделения за счет трения будут значитель-
ными. Охлаждение, обусловленное расширением, также
может быть существенным, особенно при высоких давле-
ниях, которые часто наблюдаются в процессах. Для це-
лого ряда подобных жидкостей существенными яв-
ляются, кроме того, изменения температуропроводности
с температурой.
Ги и Лион [64] учли все эти факторы и вывели урав-
нения для течения неньютоновской жидкости в трубе,
нагреваемой или охлаждаемой при теплообмене ее сте-
нок с потоком. Реологическое уравнение жидкости было
принято в виде
T=_L(1+C№).
го
При п = 2 это соотношение идентично уравнению Раби-
новича. Зависимость вязкости от температуры была
учтена обычным путем, т. е.
р0 = AeEIRT.
Нелинейные дифференциальные уравнения в частных
производных, полученные в результате этого рассмотре-
ния, не поддаются аналитическому решению. Ги и Лион
использовали численные решения, полученные с по-
мощью вычислительной машины, задавая установив-
шиеся распределения температуры и скоростей в функ-
ции радиальной координаты и длины трубы.
Расчеты выполнены для акриловой смолы, продав-
ливаемой через трубы диаметром 3,2 мм и 6,35 мм и
длиной 101,6 мм и 406 мм соответственно. Диапазон
давления был (5,5—2) бар, а температура стенки состав-
ляла 150—250°С. Температура начала плавления была
250° С, Здесь необходимо отметить, что при этой темпе

148
Глава 4
ратуре акриловая смола обладает ньютоновской вяз-
костью 104 кн-лг2; при температуре 240° С ее величина
увеличивается на два порядка.
Вычисления были проверены сравнением расчетных и
экспериментально полученных расходов течения, т. е.
проинтегрированных скоростей. Полученное совпадение
трактовалось как доказательство точности расчетных
профилей скоростей и температур (так как локальные
скорости очень чувствительны к распределению темпе-
ратур).
4.2.	Теплообмен при турбулентном течении в трубе
В настоящее время еще нет разработанной теории
турбулентности, позволяющей производить непосред-
ственные расчеты, как это имеет место в случае лами-
нарного течения. Здесь успешно применяется метод
анализа размерностей.
а.	Обзор расчетных формул для ньютоновских
жидкостей
Для ньютоновских систем можно принимать, что ло-
кальный поток тепла q зависит от характерного размера
аппарата L, средней разности температур ДГ, средней
скорости ит и физических свойств жидкости X, р, р и
Ср. Следовательно, можно записать
у = ч(ЬТ, X, Ср, р, у, um, L).
Применяя аппарат теории размерностей, получим
-тп) <4-2Л)
или
Nu = cp(Re, Рг).
Вид этой функции будет зависеть от геометрии сис-
темы. Для полностью установившегося турбулентного
течения найдено, что эта зависимость имеет форму
Nu = CReA Рг<

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 149
Здесь коэффициент а в числе Нуссельта является
средней величиной, равной усредненному тепловому
потоку, отнесенному к среднелогарифмическому темпе-
ратурному напору. Физические свойства жидкости вы-
числяются по средней температуре основной массы жид-
кости.
С представляет собой формфактор, зависящий от гео-
метрии системы, так же как и показатели степени хну;
х лежит между 0,5 и 0,8, а у — между 0,3 и 0,4. Например,
для турбулентного течения в круглом канале
Nu — 0,023 Re0,8 Рг°’4 при нагреве
и
Nu = 0,023 Re0-8 Рг°-3 при охлаждении.
(4.2.2)
Здесь характерным размером является диаметр трубы.
Рабочие формулы для других геометрических усло-
вий, таких, как течение через пучки труб или в кожухо-
трубных теплообменниках, даны в справочной литера-
туре.
б.	Теплообмен неньютоновских жидкостей
С точки зрения турбулентного теплообмена удобно
подразделять неньютоновские жидкости на два следую-
щих класса:
1.	Жидкости, слегка отличающиеся от ньютоновских
(слабо неньютоновские), такие, как разбавленные сус-
пензии.
2.	Жидкости, проявляющие в большой степени свой-
ства неньютоновского течения (весьма неньютоновские).
1.	Турбулентный теплоперенос в слабо неньютонов-
ских жидкостях. Отдельные авторы, особенно Уиндинг
и др. [65], Орр и Далла Валле [66], рассмотрели тепло-
перенос в суспензиях, обладающих слабой псевдоплас-
тичностью [т. е. п в уравнении (1.2.3) мало отличается
от единицы), при турбулентном режиме течения.
Исследования показали, что общепринятые формы
уравнения Диттуса — Болтера при вынужденной конвек-
ции в трубах круглого сечения, т. е.
aD	/ ftimD \°.s / иС„ \°.4 или °.3
0,023	,	(4.2.3)

150
Глава 4
или другая возможная форма, включающая поправку
Зидера —Тейта, т. е.
aD	/ pumD \о,8 / |лС 40,33 / и 4 0,14
-Г =0,023 (If-) (V) Ш .	(4.2.4)
оказываются пригодными и в данном случае. Это утвер-
ждение верно при условии, что приняты надлежащие
меры предосторожности при определении соответствую-
щих характеристик жидкости. Определение коэффициен-
тов теплопроводности и вязкости весьма затруднительно
для суспензий, которые стремятся к быстрому образова-
нию осадка. Орр и Далла Валле описали методы, с по-
мощью которых в указанных измерениях достигается
необходимая точность. Вязкости следует измерять в диа-
пазоне напряжений сдвига, имеющих место в рассмат-
риваемых теплообменных аппаратах. Однако поскольку
эти соотношения предназначены только для слабо не-
пьютоновских жидкостей, то последнее ограничение не
является серьезным.
2.	Турбулентный теплообмен в весьма неныотонов-
ских системах. Применение анализа размерностей к за-
даче турбулентного теплообмена в неньютоновских жид-
костях предполагает, что используемые при этом без-
размерные комплексы являются критериями Рейнольдса
piimD/p, Прандтля цСр/Х и Нуссельта aD/k В работе [63]
считается, что эти комплексы могут быть обобщены на
неньютоновские системы, если вязкость в критериях Рей-
нольдса и Прандтля выбрана подходящим образом.
Установлено, что обобщенное число Рейнольдса,
определяемое как Re =Dn и*,пП phn, где m = k'^n -1,
является весьма удобным для нахождения перепада
давлений в трубе.
Метцнер и др. предположили, что значение кажу-
щейся вязкости для использования в обобщенном числе
Прандтля можно найти путем приравнивания чисел
Рейнольдса ньютоновской жидкости и обобщенного:
pu_D £)n’u^r"'p
г m   m г
(J«	m
Отсюда
Pa =/л («„/£>)"’Л

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 151
Подстановка в число Прандтля дает
РаСр	С р™
Кроме того, вместо поправки Зидера — Тейта, они
предложили обобщенный множитель (m/mu,)014.
Окончательная формула записывается в виде
Dn'u2m n'f \0-8
п'-1
aD
-х-= 0,023
Л
0,4
m
I0’14.	(4.2.5)
Это соотношение переходит в общеизвестную фор-
мулу (4.2.4), если жидкость ньютоновская, т. е. когда
п' - 1 и m = ц.
Хотя этот переход открывает интересные возмож-
ности и оказывается полезным при определении порядка
величины коэффициента турбулентного теплообмена, его
следует применять с предосторожностями, поскольку
экспериментальную проверку еще нельзя считать закон-
ченной.
4.3.	Теплообмен и поверхностное трение
Другой подход к вычислению коэффициентов турбу-
лентного теплообмена заключается в установлении ана-
логии между теплообменом и поверхностным трением.
Для ньютоновских систем хорошо известны аналогии
Рейнольдса и Тейлора — Прандтля, которые будут здесь
кратко описаны. Более детально можно с ними позна-
комиться в учебных руководствах, например в книге
Кэя [59]1).
а.	Аналогия Рейнольдса
Рассмотрим турбулентное течение у стенки трубы,
когда усредненная во времени (средняя) скорость
*) Детально познакомиться с этими вопросами взаимосвязи
трения и теплообмена в несжимаемых жидкостях можно в работе
Эккерта Э Р. и Дрейка Р , Теория тепло и массообмена, Госэнер
гоиздат, 1961. — Прим, ред,	’

152
Глава 4
может быть выражена как функция только расстояния у
от стенки, т. е.
Ч=/(У).
Беспорядочные турбулентные пульсации скорости на-
кладываются на основное течение, и картину этого тур-
булентного движения, вызванного перемещением отдель-
ных участков жидкости в произвольных направлениях,
Ф и г. 60. Пояснение аналогии Рейнольдса
между теплообменом и поверхностным
трением.
удобно иллюстрировать схематически, как показано на
фиг. 60.
Из-за наличия поперечного градиента скорости при
хаотическом движении должен осуществляться одновре-
менно также перенос количества движения, и, следо-
вательно, в жидкости должны появиться турбулентные
касательные напряжения сдвига. При наличии попереч-
ного градиента температуры теплообмен будет совер-
шаться посредством того же механизма хаотического
перемешивания.
Допустим, что объем жидкости с массой т переме-
щается из плоскости с координатой у% в плоскость yi
и при этом сохраняет количество движения и темпера-
туру, соответствующие у?. Чтобы удовлетворялось урав-
нение неразрывности, необходимо, чтобы и другой объ-
ем жидкости с массой гп перемещался из плоскости j/i

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 153
в плоскость у2. Следовательно:
полный перенос импульса в направлении
плоскости — пг (и2 — иг)
и
полный унос тепла с плоскости — тСр(Т2—Тх).
Турбулентное перемешивание действует точно так
же, как и напряжение сдвига. Фактическое турбулент-
ное напряжение сдвига равно приращению импульса в
единицу времени. Кроме того, если объемы жидкости в
среднем перемещаются из области, в которой средняя
скорость равна um и среднеобъемная температура Тт,
к поверхности, где скорость равна нулю, а температура
То, то получаем
Удельный тепловой поток q Ср(Тт—Го) СрЬТ
Скорость переноса импульса	'	um	um ’
где \Т = То — Тт.
Поэтому
7	==	_ 1
Рытбр ДТ пц2 2 f
или
St =1 Ct,	(4.3.1)
где St — число Стантона, определенное как qlpumCp\T.
Соотношение (4.3.1) является приближенным, так
как картина турбулентного переноса, на которой оно
базируется, весьма упрощена. В частности, является не-
точным допущение о том, что жидкость турбулентна
вплоть до самой стенки. В непосредственной близости
к стенке будет располагаться ламинарный подслой.
б.	Аналогия Тейлора — Прандтля
Аналогия Тейлора — Прандтля представляет обобще-
ние аналогии Рейнольдса, учитывающее существование
ламинарного подслоя.
Путем рассуждений,	аналогичных приведенным
выше, можно показать, что
St = L1 +	’	(4,3‘2)
12 Зак. 182

154
Глава 4
где uL — теперь скорость на границе ламинарного под-
слоя. Соотношение (4.3.2) совпадает с аналогией Рей-
нольдса, если число Прандтля равно единице
Были предложены различные полуэмпирические вы-
ражения для отношения uL/um. Если используется выра-
жение Гофмана, т. е.
^ = 1,5 Re-'ftPr-1/»,
ит
то получаем
St =
____________7гС/____________
[14-1,5 Re-/« Рг-’/б (Рг — 1)]
(4.3.3)
Эта формула подтверждается результатами опытов по
теплообмену, если число Прандтля не сильно отличается
от единицы.
в.	Аналогии при больших числах Прандтля
и распространение их на неньютоновские системы
Недавно Метцнер и Френд [67] предложили полуэм-
пнрическую аналогию между переносом тепла, массы
вещества и импульса в ньютоновских системах при боль-
ших числах Прандтля. Она отвечает современным ука-
заниям на то, что подслой вблизи стенки не является
чисто ламинарным.
Результат записывается
в виде
72с/
St =________________________
[l,20 4-6(Pr- l)Kcz/2]
(4.3.4)
Коэффициент Ь необходимо определять из опыта.
Хорошее совпадение результатов получается, если вы-
ражение
й = 11,8Рг-'/.	(4.3.5)
подставить в формулу (4.3.4), которая тогда будет удо-
влетворяться для чисел Прандтля от 0,46 до 590.
Для массопереноса получается соотношение, сходное
с (4 3 4) и содержащее число Шервуда kLfum вместо
числа Стантона и число Шмидта ц/рД вместо числа
Прандтля,

Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкостях 155

(4.3.6)
Указанная аналогия в настоящее время расширена
за счет дополнительного включения неньютоновских
свойств течения [68]. Уравнение, сходное с формулой
(4.3.4), а именно
St —7
[1,15 + сКС//2]
где с является функцией одного только числа Прандтля,
дает зависимость коэффициентов турбулентного теплооб-
мена гладких труб в следующих диапазонах изменения
параметров.
Тип течения	Показатель пове- дения течения п'	Число Прандтля	Число Рейнольдса
Растворы полимеров	0,48—0,87	7,0—90	(5—37) • 103
Шламы 		0,39—0,92	11—34	(7,4—72) • Ю3
Ньютоновские жид-			
КОСТИ 		1,00	1,9—260	(5.8—121) -103
Найдено, что для более псевдопластичных жидкостей
пределы применимости (4.3.6) шире.
12*

Глава 5
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
Попытки применения основных законов гидромеха-
ники к задаче перемешивания и проектированию соот-
ветствующего оборудования (мешалок) предприни-
маются только с недавнего времени. До сих пор не
имеется общепринятого метода количественного описа-
ния работы мешалок даже для сравнительно простых
жидкостей типа ньютоновских. Хороший обзор основных
вопросов приведен в работе Раштона [69].
Заметным шагом вперед в решении проблемы пере-
мешивания является последняя работа Хиксона, Дрю и
Нокса [70], где развивается идея о «высоте единицы пере-
носа», предложенная ранее для стационарных диффу-
зионных процессов, таких, как абсорбция и дистилляция,
а также для задач смешения при наличии межфазового
переноса вещества. Ими введено также понятие «вре-
мени единицы переноса», которое может оказаться по-
лезным при исследовании данной проблемы. Однако
предстоит проделать значительную работу, прежде чем
на основе этого понятия удастся получить общий метод
расчета.
Метод анализа размерностей, успешно примененный
к другим задачам гидромеханики, слишком сложным
для строгого математического исследования, можно так-
же использовать по отношению к процессам перемеши-
вания для нахождения рабочих характеристик. Ниже
приводится краткий обзор результатов по ньютоновским
жидкостям, а затем рассматривается обобщение и рас-
пространение их на неныотоновские системы.
Большое значение проблемы перемешивания ненью-
тоновских жидкостей в промышленности очевидно, од-
нако имеется всего одна опубликованная работа Метц-
нера и Отто [71], в которой делается попытка количе-

Перемешивание неньютоновских жидкостей
157
ственного рассмотрения данной проблемы. Опублико-
ваны работы узкоспециального, прикладного характера,
например работы Ли и др. [72] по растворам полисти-
рола и Форести [73], касающаяся суспензий и растворов
полимеров. Хотя эти данные имеют большое значение
в рассмотренных случаях, они не освещают проблемы в
целом. Что касается качества перемешивания, то опуб-
ликовано очень мало сведений даже по ньютоновским
системам В настоящее время почти не предпринимаются
попытки количественного решения этой задачи. Обычно
используется «метод равных мощностей». Еще меньше
данных опубликовано по неньютоновским системам, за
исключением грубо качественных наблюдений [71], пока-
зывающих, что для интенсивного перемешивания высо-
копсевдопластичных материалов требуются большие
затраты энергии, чем для ньютоновских жидкостей по-
добной консистенции.
5.1. Обзор работ по перемешиванию ньютоновских
жидкостей
а Мощность, необходимая для перемешивания
ньютоновских жидкостей
Можно предположить, что мощность, необходимая
для перемешивания, будет функцией физических свойств
жидкости р, и р, скорости вращения мешалки N и ее диа-
метра D, а также ускорения силы тяжести g.
Следовательно, предполагается, что
/э = <р(р, р, N, D, g).
Применяя анализ размерностей, получим
=	) = T(Re, Fr). (5.1.1)
Из этой формулы видно, что для однофазной жид-
кости безразмерный коэффициент мощности P/pN3D5 за-
висит одновременно от чисел Рейнольдса и Фруда. При
перемешивании двух несмешивающихся жидкостей учи-
тывается еще межфазовое натяжение, и тогда
Р	n>d n2d^\
₽№Ds ~'Ц р ’ . g ’ a J’ (0.1.2)

15$
Глава 5
где N2Dsp/a—число Вебера; а — поверхностное натя-
жение.
В мешалках с отражательными перегородками или
в мешалках с разветвленным для устранения завихрений
ротором (якорных мешалках) влияние гравитационных
эффектов будет весьма мало. Тогда в приведенных выше
функциональных зависимостях можно пренебречь чис-
лом Фруда.
Для однофазной жидкости функциональная зависи-
мость сводится к уравнению вида
=	Г- (5.1.3)
p№D5 X Р ) X g }	'	7
где С, х и у зависят от геометрии системы и от режима
течения. Например, х изменяется от —1 при ламинар-
ном течении до нуля при полностью развившейся турбу-
лентности в мешалках с отражательными перегород-
ками. Для мешалок этого типа у также равен нулю.
Фиг. 61. График зависимости коэффи-
циента мощности от числа Рейнольдса
для перемешивания ньютоновских жид-
костей.
Характерный график зависимости коэффициента
мощности от числа Рейнольдса представлен на фиг. 61.
Отсюда видно, что для ламинарного течения (Re < 10)
коэффициент мощности обратно пропорционален числу
Рейнольдса. Для развитого турбулентного течения (ме-
шалки с отражательными перегородками), когда число
Рейнольдса превышает 102, коэффициент мощности ока-

Перемешивание неньютоновских жидкостей
159
зывается не зависящим от этого числа. Между этими
двумя областями имеется довольно широкий переходный
участок.
б. Экстраполяция рабочей характеристики
для ньютоновских жидкостей
Общим методом определения рабочих характеристик
мешалок промышленного масштаба является модели-
рование. В мешалках без отражательных перегородок
коэффициент мощности зависит от чисел Рейнольдса
и Фруда. При полном подобии модели и прототипа оба
указанных комплекса должны быть соответственно
равны друг другу. Этого нельзя достичь, если -и в мо-
дели, и в ее промышленном прототипе используется одна
и та же жидкость. При экспериментах на модели необ-
ходимо выбрать жидкость с меньшей, чем для прото-
типа, кинематической вязкостью.
Из условия равенства чисел Рейнольдса
вытекает
Условие равенства чисел Фруда
(№D)L = (№D)M
дает
дг, / Dm\'/2
L ___ I М I
N ~ I ’
М XL/
Подставив NJNm в первое условие, получим
'V	м \ 8/а
М   I М I
ч “ \D J ’
т. е. ум должно быть меньше vL-
Отношение скоростей вращения будет находиться из
выражения	NM .	( \ \'1г N,	\^м/ ' 1г	'

160
Глава 5
Поскольку числа Рейнольдса и Фруда равны, тэ
коэффициенты мощности будут также равны. Теперь
можно определить рабочие характеристики прототипа
из равенства
или
fxV’.
РМ \ ₽Л1 / \^м/
Для лопастной мешалки с отражательными перего-
родками влияние числа Фруда незначительно, и для со-
блюдения подобия достаточно равенства только чисел
Рейнольдса. Тогда для модели и прототипа можно ис-
пользовать одну и ту же жидкость. Условие, связываю-
щее отношения скоростей вращения и диаметров, будет
(ND2/y)L = (ND2/y)M, т. е. равенство чисел Re. Поэтому
/VM//VL = (Dl/Dm)z, если используется одна и та же
жидкость. Следовательно, при одной и той же рабочей
жидкости скорость вращения модели должна быть чрез-
вычайно велика для заданного отношения линейных раз-
меров. У модели, уменьшенной по сравнению с прототи-
пом в 4 раза, скорость должна быть в 16 раз больше.
Такое превышение скорости оказывается чрезмерным, и
возникающие при этом эффекты уменьшают достовер-
ность результатов опытов.
Однако, если в мешалке используется весьма вязкая
жидкость, этого затруднения можно избежать, заполнив
модель при опытах маловязкой жидкостью. Тогда полу-
чим
и если Ум С vjr., то скорость вращения модели не ока-
жется чрезмерной даже при значительном уменьшении
линейных размеров.
В общем, метод моделирования требует затрат вре-
мени и средств, и по возможности его следует избегать.
Этого можно достичь за счет применения экстраполя-
ционных формул, что фактически сводится к использо-
ванию уравнения типа (5.1.3), где С, х и у опреде-

Перемешивание неньютоновских жидкостей
161
ляются для исследуемых частных геометрических форм
ротора. Различные виды этого уравнения для некоторых
отдельных типов мешалок, приведенных в литературе,
дают возможность определить рабочие характеристики
как функции скорости вращения, диаметра ротора и фи-
зических свойств жидкости.
По имеющимся данным, чтобы достичь одинаковой
степени дисперсности, например одной жидкости в дру-
гой или твердой фазы в жидкости, в геометрически по-
добных системах, использующих одинаковые материалы
в одних и тех же пропорциях, мощность, подведенная
к единице объема, должна быть одной и той же и для
модели и для прототипа. Если в модели достигнута удо-
влетворительная степень дисперсности при затратах
мощности Рм, то затраты мощности в прототипе, необ-
ходимые для получения той же степени дисперсности,
будут находиться из соотношения
\ 1
5.2. Мощность, необходимая для перемешивания
неньютоновских жидкостей
Среди различных типов неньютоновских жидкостей
бингамовские пластики являются наиболее простыми,
так как могут быть охарактеризованы двумя парамет-
рами; пределом текучести tw и пластической вяз-
костью jip.
Следуя методике, примененной ранее для неньюто-
новских жидкостей, можно утверждать, что для бин-
гамовских пластичных материалов коэффициент мощ-
ности будет определяться как
^ = Т(Р. Ер. S’ N’ D' в)-
Применяя анализ размерности, получим
Р ( Р-р S N2D\
p№D5 ~pWD2 ’ ₽№О2’ g Г
Новый комплекс iv/pN2Dz, как видно, имеет физиче-
ский смысл отношения предела текучести к силе инер-
ции. Обычно приводится также еще один комплекс —

162
Глава 5
число Хедстрёма He = ^fO!)i|, равное произведению
tvlpN2D2 и квадрата числа Рейнольдса. Следовательно,
можно записать
T7^r = ?(Re, Не, Fr).	(5.2.1)
В работе [74] исследовались жидкости, которые по
существу соответствуют бингамовским пластикам.
Шульц-Грунов [75] применил метод анализа размер-
ностей к другим неньютоновским жидкостям типа
псевдопластиков. Были найдены рабочие характеристики
перемешивания жидкостей, мало отличающихся от нью-
тоновских в ламинарном режиме течения. Полученная
им зависимость пригодна для жидкостей прандтлев-
ского типа, имеющих реологическое уравнение
HarcsJa]
Т—’	С
где А и С — постоянные. Зависимость дана в виде лога-
рифмического графика зависимости MfD^A от со/С, где
М — крутящий момент, приложенный к ротору мешалки,
а со — угловая скорость. Величина со/С изменялась в пре-
делах от 0,004 до 2,0, а диапазон изменения MID'Л со-
ставлял 0,02—2,0.
К сожалению, эта зависимость имеет ограниченную
применимость, так как роторы, исследованные Шульц-
Груновым, малоинтересны для практики (простые крес-
товины размером 135—325 мм). С другой стороны, по-
скольку принималось, что течение имеет чисто ламинар-
ный характер, перемешивание неньютоновских жидко-
стей, по-видимому, не было интенсивным.
Единственной работой, в которой предлагается рас-
четная методика применительно к жидкостям с сильно
выраженными неньютоновскими свойствами псевдопла-
стичного типа, является исследование Метцнера и Отто
[71]. Эти авторы подчеркивали, что кажущаяся вязкость
может изменяться почти в 1000 раз в зависимости от
скорости сдвига. Поэтому маловероятно, чтобы любое
значение кажущейся вязкости давало хорошее совпаде-
ние результатов, если диапазон скоростей сдвига в ме-
шалке заметно отличается от того, при котором была
измерена вязкость.

Перемешивание неньютоновских жидкостей
163
Основу метода Метцнера и Отто составляет устано-
вление диапазона скоростей сдвига в мешалке и их
связи с переменными системы Для этого кажущуюся
вязкость определяют как вязкость ньютоновской жид-
кости, которая требует тех же затрат мощности при оди-
наковых размерах и скорости вращения (в ламинарном
режиме течения) мешалки. Следующий этап связан
с вычислением других параметров системы. Предпола-
гается, что движение жидкости вблизи ротора можно
охарактеризовать усредненной скоростью сдвига, про-
порциональной скорости ротора, т. е.
Это допущение разумно, и можно показать теорети-
чески, что оно справедливо для цилиндра, вращающе-
гося в безграничной жидкости. Величина К находится
непосредственно, и процесс вычисления, принятый Метц-
нером и Отто, сводится к следующему:
1.	Находят ца для заданного N по измеренному
коэффициенту мощности и из соответствующей зависи-
мости между коэффициентом мощности и числом Рей-
нольдса для ньютоновской жидкости. Таким образом,
измеряется P/pNsD5 для неньютоновских систем, и
p/V£>2/|ia находят из соотношения для этого значения
коэффициента мощности. Зная pND2, получаем ца, т. е.
вязкость ньютоновской жидкости с тем же коэффициен-
том мощности в такой же мешалке при той же скорости
вращения.
2.	Из кривой течения неньютоновской жидкости на-
ходят скорость сдвига -у, которая соответствует найден-
ному значению ца.
3.	Определяют К подстановкой величины и скорости
вращения N в уравнение
(i)cp = KN.
4.	Повторяя эти операции для различных жидкостей,
скоростей вращения и размеров мешалки, определяют
наиболее подходящее значение К. Все опыты должны
быть ограничены, конечно, областью ламинарного тече-
ния, потому что за ее пределами молекулярная вязкость'
уже не является столь важным фактором, Полученная

164
Глава 5
таким путем Метцлером и Отто величина К оказалась
равной 13, если измерять N в об! мин и (ч)Ср в мин~'.
Метцнер и Отто результаты своих опытов (распро-
страненные также на область турбулентного режима
течения) представили графически в виде зависимости
коэффициента мощности от числа Рейнольдса. Значение
Фиг. 62. График зависимости коэффициента мощности от числа
Рейнольдса при перемешивании неньютоновских жидкостей.
О 1,5% карбопол; Л 2,0% АЦ; □ 1,0% АЦ; \7 1,2% карбопол; О аттазол.
ра при вычислении числа Рейнольдса находилось из кри-
вой течения материала для скорости сдвига, заданной
как 13М Эта зависимость приведена на фиг. 62 и со-
поставлена с общепринятой формулой для ньютоновских
жидкостей. Обе зависимости идентичны, конечно, в об-
ласти ламинарного течения в силу принятого определе-
ния |Та.
Основное различие между двумя кривыми заклю-
чается в том, что ламинарная область неньютоновских
псевдопластичных жидкостей шире, чем у ньютоновских
Жидкостей. Это обусловлено возрастанием ца с увели-

Перемешивание неньютоновских жидкостей
165
чением расстояния от ротора (т. е. по мере продвиже-
ния в области пониженной скорости сдвига). При этом
происходит ослабление вихреобразования, и начало тур-
булизации течения задерживается.
Кальдербанк и Му-Янг [76] воспроизвели и допол-
нили эту работу при более широкой вариации размеров
и типов мешалок. Они нашли, что для бингамовских и
псевдопластичных жидкостей коэффициент К равен 10,
а не 13, как считали Метцнер и Отто. Для дилатантных
жидкостей отношение диаметров ротора мешалки и ее
барабана оказывает влияние на скорость сдвига и, сле-
довательно, на эффективную величину К- В работе [76]
нашли, что для таких жидкостей К можно представить
как 12,8 (Di/Dt)'1*, где и DT — диаметры мешалки и ее
барабана соответственно.
Резюмируя, укажем, что в этом методе предпола-
гается неизменность типа, размеров и скорости враще-
ния ротора лопастной мешалки [например, для того
чтобы определить скорость вращения по сдвигу, полу-
ченному из опытов, необходимо задаться эффективно-
стью (к. п д ) перемешивания]. Методика определения
рабочих характеристик тогда будет следующей:
1.	По известной величине N находят (iJcp = 13М.
2.	Из выражения (?)Ср определяют ра, пользуясь
кривой течения.
3.	Вычисляют параметр pND2l[ia, и по его величине
находят коэффициент мощности на графике фиг. 62.
Здесь необходимо сделать два замечания. Во-первых,
график Метцнера и Отто применим только к мешалкам
с плоскими лопатками. Поскольку кривые для ньюто-
новской и неньютоновской жидкостей весьма близки, то
представляется возможным в качестве первого прибли-
жения расчета использовать зависимость для ньютонов-
ской жидкости, установленную для других типов меша-
лок. Такой шаг приведет к завышению расчета только
после того, как ньютоновская кривая окажется выше кри-
вой для псевдопластичной жидкости, и обе кривые ра-
зойдутся. Во-вторых, указанные жидкости еще мало
изучены, и поэтому слишком далекая экстраполяция
может быть ошибочной.

Глава 6
ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И АППАРАТУРА
Точные измерения физических характеристик жидко-
сти являются, безусловно, главной предпосылкой в раз-
витии методов инженерного расчета. Принципы, поло-
женные в основу экспериментального изучения различ-
ных типов неньютоновских жидкостей, были рассмотрены
в гл. 2. В настоящей главе приводятся дальнейшие де-
тали вискозиметрической техники и аппаратуры.
Будут рассмотрены только два основных типа прибо-
ров: капиллярный и ротационный вискозиметры. Различ-
ными авторами предложено много других эмпирических
методов измерения, однако данные, полученные с их по-
мощью, зачастую не поддаются анализу. Капиллярный
и ротационный вискозиметры способны обеспечить на-
дежные количественные реологические данные, и их
можно рассматривать как взаимно дополняющие друг
друга. Как было показано в гл. 2, результаты, получен-
ные с помощью этих приборов, легко поддаются сопо-
ставлению. Каждый из этих приборов, однако, имеет
характерные, присущие ему преимущества. Вискозиметры
с капиллярной трубкой, очевидно, предпочтительнее, если
данные используются в задачах течения жидкости по
трубам. Ротационные приборы, в которых исследуемый
материал подвергается сдвигу при известной скорости
сдвига, имеют определенные преимущества при изучении
сложных систем, таких, как тиксотропные жидкости.
6.1.	Вискозиметры с капиллярной трубкой
Немногие промышленные приборы обладают, подобно
капиллярным вискозиметрам, требуемыми характеристи-
ками. Поскольку конструкция капиллярных вискозиме-

Ёискозиметрические измерения и аппаратура
167
тров относительно проста, их можно обычно изготовить
в лабораторных мастерских. Наиболее важным достоин-
ством приборов этого типа яв-
ляется прежде всего простота
вспомогательного оборудования
для контроля и измерения раз-
ности давлений и скорости (рас-
хода жидкости) в капиллярной
трубке известных размеров.
На основе накопленного об-
ширного опыта сотрудники де-
лаверского университета разра-
ботали прибор, описание кото-
рого дал недавно Додж [45].
Схема прибора представлена на
фиг. 63. Он состоит из массивной
латунной камеры примерно еди-
ничной емкости. Дно и крышка
ее снабжены герметизирован-
ными пробками из нержавеющей
стали. В пробку днища ввернута
на резьбе калиброванная капил-
лярная трубка из нержавеющей
стали, диаметр которой опреде-
лялся способом тарировки по
ньютоновской жидкости извест-
ной вязкости. Через отверстие
верхней пробки в камеру посту-
пает азот при строго постоянном
и тщательно контролируемом
давлении. Измерение скорости те-
чения через капилляр осуще-
ствляется путем накопления и
взвешивания испытуемой жид-
кости за определенный промежу-
ток времени.
Основная трудность капилляр-
ной вискозиметрии заключается
Ф и г. 63. Схема капил-
лярного вискозиметра.
7 —подвод азота при постоян-
ном давлении; 2 — сменная
капиллярная трубка.
в необходимости введения поправки на общий измерен-
ный перепад давления. Требуется находить поправки
на: 1) гидростатический напор столба жидкости, нахо-

168
Глава 6
дящейся над капиллярной трубкой; 2) влияние кинети-
ческой энергии; 3) входные (концевые) потери.
Первая поправка ясна, а относительно двух других
имеются некоторые сомнения. Эти поправки можно оце-
нить экспериментально путем повторения опытов в тру-
бах различной длины с последующей экстраполяцией
полного перепада давления на нулевую длину. Другой
способ заключается в тарировании с применением нью-
тоновской жидкости известной вязкости Для этой цели
предпочтительнее пользоваться жидкостью, сходной по
консистенции и плотности с исследуемой неньютонов-
ской жидкостью. Указанные поправки можно найти
также расчетным путем, однако, как отмечалось в разд.
3.5,в, имеется некоторая неясность в вопросе о потерях
давления при сужении в ламинарном потоке неньюто-
новской жидкости. Додж [45] считает, что поправка на
влияние входных потерь и кинетической энергии при-
близительно равна 1,5 pu2m/g. Он приводит некоторое
теоретическое обоснование этой численной поправки.
Лучшим способом выхода.из этих затруднений являются
такая конструкторская разработка и способ применения
вискозиметра, при которых указанные поправки сво-
дятся к минимуму. Для этого требуются капиллярные
трубки с большим отношением длины к диаметру.
6.2.	Ротационные приборы
В данном разделе будут рассмотрены три типа суще-
ствующих промышленных вискозиметров. Основными
принципиальными особенностями конструкции этих при-
боров являются:
а)	цилиндр, вращающийся в неограниченной жидко-
сти;
б)	вращающийся конус и пластина;
в)	вращающийся конус с пластиной, снабженной
устройством для измерения нормальных напряжений при
работе с вязкоупругими жидкостями.
а Синхроэлектрический вискозиметр
Приборы наиболее простого типа, позволяющие полу-
чать достаточно точные и надежные реологические дан-

Вискозиметрические измерения и аппаратура
169
ные, состоят из цилиндрического подвеса, вращающе-
гося в неограниченной жидкости. В гл. 2 было показано,
что напряжение и скорость сдвига могут быть опреде-
лены для одной и той же точки жидкости на поверхности
вращающегося цилиндра. Измеряя момент торможения
при различных скоростях вращения, можно непосред-
ственно определить кривую течения материала.
Ф и г. 64. Синхроэлектрический вискозиметр.
Синхроэлектрический вискозиметр (изготовляемый
Брукфилдовской технической лабораторией, Стаутон,
Массачусетс, США) построен на этом принципе. Фото-
графия прибора приведена на фиг. 64, а схематический
чертеж — на фиг. 65.
В приближенных качественных опытах и измерениях
с простыми ньютоновскими жидкостями вращающийся
элемент обычно имеет форму диска, как показано на
фиг. 64. Для более сложных систем, однако, используют-
ся цилиндрические стержни. Обычно предусматриваются
восемь ступеней регулирования скорости вращения, пе-
рекрывающих диапазон 200 : 1 с максимальными угло-
выми скоростями 600; 100 или 60 об/мин в зависимости

J70
Глава 6
от типа прибора. Шкала крутящих моментов линейна
и имеет 100 делений. Максимальный крутящий момент
может изменяться приблизительно между 7 • 10~5 и
Фиг. 65. Схема сиихроэлектрического
вискозиметра.
/ — уплотнительный колпачок валика; 2 —немаг-
нитный указатель (стрелка); 3—опора; 4 — синхрон-
ный двигатель; 5— кожух двигателя; 6 —транс-
миссий коробки передач; 7—основной кожух при-
бора; 8— шкала; 9—калиброванная пружина;
10— шпиндель валика; 11— упор валика.
6-1(Уэ н-м для различных типов прибора. Вискозиметр
предназначен для автоматического контроля переменной
вязкости как параметра процесса.
б. Вискозиметр Ферранти — Ширлея
Преимущество вискозиметров, основанных на методе
конуса и пластины, заключается в том, что материал
испытывается при однородном сдвиге. Таких условий
нельзя достичь в капиллярном вискозиметре и трудно
добиться в соосно-цилиндрическом приборе, поскольку
для этого требуется очень малый зазор кольцевой щели.
Это требование в свою очередь ведет к усложнениям
конструкции и затруднениям при заливке, опорожнении
прибора и его очистке.

Вискозиметрические измерения и аппаратура
171
Вискозиметр Ферранти — Ширлея разработан фир-
мой «Ферранти» (Манчестер, Англия) на основе прибора,
Фиг. 66. Вискозиметр Феррапти — Ширлея (схематический разрез).
/ —валик конуса; 2—конус; 3—ведущий валик; 4— закручивающая пружина;
5 — кожух моста; 6—потенциометр крутильного динамометра; 7 —движок потен-
циометра; в—контактные кольца; 9 — контактное кольцо; 10—пластина; 7Z —микро-
метр; 12—винт для подъема пластины; 13—гайка; 14— приводной двигатель;
15 — коробка передач; 16— термопара; 17 — водяная рубашка.
применяемого Британской ассоциацией хлопчатобумаж-
ной промышленности. Схематический разрез приборе
приведен на фиг. 66, а общий вид—на фиг 67.

112	“	Глава 6
Испытываемая жидкость (объем ее не превышает
0,5 ел3) подвергается деформации сдвига в зазоре ме-
ждз неподвижной плоской пластиной и слабоконусным
вращающимся диском. Скорость вращения диска изме-
няется в пределах 1 —1000 об/мин. Приводом служит
Фиг. 67. Вискозиметр Ферранти— Ширлея.
серводвигатель постоянного тока с электронным регуля-
тором, что позволяет получать практически неограничен-
ное число ступеней регулирования скорости вращения.
Так как скорость вращения прямо пропорциональна ско-
рости сдвига, величину скорости сдвига можно варьиро-
вать в широких пределах. Вязкое сцепление конуса
обусловливает возникновение крутящего момента, вос-
принимаемого прецизионным электромеханическим дина-
мометром и преобразуемого в отклонения многопредель-
ного электрического прибора. Для ньютоновских
жидкостей шкала прибора может быть проградуирована
непосредственно в пуазах; для неньютоновских жидко-

Вискозиметрические измерения и аппаратура 173
стей отсчеты шкалы также прямо пропорциональны
кажущейся вязкости, и в этом случае применяется пере-
счетный множитель. В обоих случаях построение кривой
течения не вызывает затруднений.
Напряжение сдвига,кн/м1
Фиг. 68. Кривые течения, снятые с помощью
вискозиметра Ферранти — Ширлея.
/—коллоидный раствор графита; 2 — жидкий кремний;
5 —суспензия пигмента; 4 —минеральное масло.
Термопары, вмонтированные в пластину заподлицо
с наружной поверхностью, покрытой жидкостью, позво-
ляют проводить измерения температуры. Для поддержа-
ния изотермических условий пластина снабжена также
специальной рубашкой, в которой циркулирует вода при
постоянной температуре. Вискозиметр имеет набор стан-
дартных конусов, характеристики которых приведены в
таблице.
13 Зак. 182

1?4
Глава б
	Максимальный предел (1 об/мин, шкала 500 делений)			Минимальный предел (1000 об/мин, шкала 100 делений)		
	большой конус	средний конус	малый конус	большой конус	средний конус	малый конус
Вязкость,' кн  сек/м1	0-707	0—3870	0—31555	0—0,14	0—0,75	0—6,3
Напряжение сдвига, н/м2 . .	0-1272	0-6966	0—56,8  103	0—254	0-1353	0—113600
Скорость сдвига, сек-1 . .	18	18	18	18-Ю3	18  103	18 • 103
Типичные кривые течения, полученные с помощью
такого прибора, показаны на фиг. 68. На фиг. 69 приве-
Ф и г. 69. Кривые течения, снятые с помощью вискозиметра Фер-
ранти— Шнрлея.
Минеральное масло (вязкость 15,6 к • сек/м1};
Л наблюдаемые отсчеты;	1 Вискозимето Куэтта
X с учетом температурной поправки; J оискозиметр пуэтха
О вискозиметр типа конус — пластина.

Вискозиметрическиё измерения и аппаратура 173
дена также для сравнения кривая, построенная по дан-
ным измерений с применением обычного соосно-цилин-
дрического вискозиметра с. кольцевым зазором 0,6 мм
и водяным охлаждением внешнего цилиндра. Соосный
вискозиметр при скоростях сдвига, превышающих
70 сек"1, требует введения существенной по величине
температурной поправки для компенсации тепловыделе-
ний из-за внутреннего трения в жидкости. С другой сто-
роны, весьма малая толщина слоя жидкости и хороший
теплообмен в приборе типа конус—пластина дают воз-
можность проводить измерения при больших скоростях
сдвига без введения температурных поправок. Метод ко-
нуса и пластины поэтому позволяет различать влияние
сдвига и температуры жидкости на понижение ее кажу-
щейся вязкости, что нельзя зачастую сделать в случае
ротационных соосно-цилиндрических вискозиметров.
в. Реогониометр Робертса — Вейссенберга
Обычные ротационные вискозиметры типа конус —
пластина и вискозиметр Куэтта не могут быть использо-
ваны для изучения вязкоупругих жидкостей. Они при-
годны лишь для измерения касательной составляющей
напряжения вдоль линии тока при ламинарном сдвиго-
вом течении жидкости. В вязкоупругих жидкостях (см.
гл. 2) возникают нормальные напряжения, характери-
зующие эти жидкости.
В работе Вейссенберга [77] сформулированы прин-
ципы построения приборов, позволяющих измерять со-
ставляющие напряжения и деформации в полном телес-
ном угле для каждой точки материала при его течении.
Рассел [78] сообщил о предварительной разработке при-
бора подобного типа. Робертс [79] привел описание усо-
вершенствованного прибора, рассмотренного ниже1).
Прибор показан на фиг. 70. Испытываемый материал
(образец) помещается в зазор между двумя дисками
диаметром 7,35 см, один из которых обычно конический,
а другой плоский, форму которых, однако, можно изме-
*) Прибор выпускается исследовательской фирмой «Ферола» в
Богиор Регис, Англия.
13*

176
Глава 6
пять в зависимости от требований опыта. Образец под-
вергается воздействию одного из четырех перечисленных
ниже типов ламинарного сдвига:
Г) одномерный установившийся сдвиг;
2)	сдвиг в условиях колебательного движения с пе-
ременными частотой и амплитудой;
Фиг. 70. Реогониометр Робертса — Вейссенберга.
3)	наложение предыдущих движений, так что мате-
риал может быть исследован в различных стационарных
условиях сдвига при независимом колебательном про-
цессе;
4)	ускоренный переход от определенной скорости
сдвига к состоянию установившегося одномерного сдвига
или замедленное движение из этого состояния.
Условия первого типа осуществляются посредством
двигателя постоянного тока через коробку скоростей
с передаточными отношениями 1:1, 1 : 10 и 1 : 100. При
одновременном использовании регулятора напряжения
угловые скорости можно изменять в диапазоне
0,05—150 об/мин. Колебательное движение создается
другими двигателем и коробкой скоростей, которые
управляются кулачковым распределительным механиз-

Вискозиметрические измерения и аппаратура
177
мом М, позволяющим изменять частоту в пределах
1—300 nep/мин. С помощью установочного микрометри-
ческого упорного винта В' амплитуду можно изменять
от 0,001 до 0,050 рад. Комбинация обоих движений дает
условия типа 3. Вращательное движение осуществляется
поворотом червяка W через шестерни S, в то время как
вибрации получаются за счет осевого перемещения чер-
вяка.
Обычные тангенциальные напряжения в плоскости
вращения измеряются путем регистрации смещения кон-
денсаторного датчика С по отношению к торзионному
стержню D. Чтобы измерить нормальные напряжения,
используется насадок, показанный на фиг. 31. Он со-
стоит из набора трубок, вмонтированных в стеклянную
пластину. Гидростатический напор в каждой трубке слу-
жит мерой осевой составляющей напряжения в данной
точке жидкости. Для некоторых материалов требуется
очень много времени, чтобы достичь равновесия в этих
трубках. В данном приборе применен насадок нового
типа, в котором нормальные напряжения в точках на
его поверхности измеряются с помощью чувствительных
к давлению конденсаторных датчиков.
Полное нормальное усилие измеряется путем пере-
дачи его от центрального штока через диафрагму Н
к пружинам Е, F конденсаторного устройства (датчика).
Искомое усилие затем записывается специальным при-
бором или в статическом случае может быть измерено
по нуль-методу с помощью микрометрического винта

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Скольжение жидкости вблизи поверхности твердого тела
В гл. 2 отмечалось, что некоторые неньютоновские
жидкости вблизи твердой границы проявляют аномаль-
ное поведение, вызванное преимущественно ориентиро-
ванием частиц или молекул у стенки. Это наглядно мо-
жет быть показано на суспензии бумажной массы, при
течении которой в прозрачной трубе отчетливо наблю-
даются водяные кольца вблизи стенки.
Жидкость в этой области имеет меньшую вязкость, и
это обстоятельство вызывает повышение эффективной
скорости скольжения на стенке.
Следовательно, в области, близкой к стенке (напри-
мер, в пределах отрезка нормали е), скорость сдвига не
будет функцией только напряжения сдвига. Если каса-
тельное напряжение вблизи стенки {у = 0) обозначить
через т, то скорость сдвига будет отличаться от значе-
ния которое она приобретает вдали от твердой гра-
ницы, на величину, зависящую от расстояния у по нор-
мали к стенке, т. е.
-^=/(x)+g(x. у).
где g(t,y) = 0 и у>е.
Скорость и непосредственно за пределами области
аномального течения тогда будет равна
а
«=/(х)у + f g(x> y)dy.
о
Другими словами,
и — 5(т)=/(т)у,
где
а
$(х) = f gb> y)dy-	(П. 1.1)
о

Скольжение жидкости вблизи поверхности твердого тела 179
s(-t) представляет собой величину и при у = 0 и яв-
ляется- эффективной скоростью скольжения на стенке,
зависящей от локального значения напряжения сдвига т.
Рассматриваемый метод предложен Олдройдом [17].
Если граничное условие и = s(tw) при г = R подста-
вить в условие равенства нулю скорости на стенке в ре-
шении обобщенного уравнения задачи о течении в трубе
(разд. 3.1), то получим
	Q	J х2/(т)йт	(П. 1.2)
или	в другой записи (П.1.3)
где	
н	Tw 0
Олдройд [80] назвал коэффициентом эффектив-
ного скольжения. По своему физическому смыслу это
эффективная скорость скольжения, отнесенная к единице
напряжения трения на стенке.
£(тй) можно найти из экспериментов при течении
в трубе. Для ряда труб с различными радиусами R из
графика зависимости Q/tzR3^ от tw видно, что при нали-
чии скольжения на стенке кривые будут различными для
каждой величины R. Из этих кривых для выбранной ве-
личины tw находят Q/ttR3tw как функцию 1/R. При нане-
сении на график этих точек должна получиться прямая
с угловым коэффициентом ^(т,г) и начальным отрезком
<p(tw), как видно из формулы (П.1.3). Путем многократ-
ных повторений этих операций для разных значений tn,
можно определить £ как функцию iw.
Томс [81] применил эту методику к растворам поли-
меров..

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Основные уравнения для соосно-цилиндрического
вискозиметра
Рассмотрим поперечное сечение вискозиметра
(фиг. 71) единичной высоты при режиме однородного
течения материада в зазоре. Замеренный крутящий мо-
мент на единицу длины обозначим через G.
Ограничимся рассмотрением жидкостей, реологиче-
ские свойства которых не зависят от времени и харак-
Фиг. 71. Схема соосно-ци-
линдрического вискози-
метра.
теризуются простым уравне-
нием типа
7 =/(’)•
Изменение напряжения тре-
ния т(г) в радиальном напра-
влении определяется как
/ \ G
Т ~ 2w» ’
и скорость сдвига будет
dQ d I и\
Следовательно,
4(т)=Ш <П-2Л>
Решение этого дифференциального уравнения зави-
сит от граничных условий на стенках обоих цилиндров.
Если скольжение вблизи твердой поверхности отсут-
ствует, то краевые условия можно записать в виде
и «= 0 при Г =Я Tj
и
при г«гй.

Основные уравнен. бля соосно-цилиндрического вискозиметра 181
Следовательно, интегрируя выражение (П.2; 1), найдем
распределение скоростей
=	(П. 2.2)
и далее, когда г = г2,
(П-2.3)
«т
Уравнение (П.2.3) дает зависимость между й и G,
выраженную через функцию f. Подстановка т(г) =
= С/2тгг2 и dr/r = —dt/2-с приводит к формуле
2= /	(П. 2.4)
Решение этих уравнений зависит от вида функции f.
Ниже приведены решения для случая ньютоновской
жидкости, бингамовского пластика и жидкости, описы-
ваемой степенным реологическим законом
а. Ньютоновская жидкость
В случае ньютоновской жидкости с вязкостью р
г, ч т	О
= где т = ^.
Следовательно, из формулы (П.2.2)
и (г)__ Г G dr
Г J 2тсг2(х г 1
т. е.
/ . Gr Г 1 1 |r G Г г 11 /глот
и(г) =— »— —г — -9----------------• (П. 2.5)
2я|х L 2r2 J |Г1 4л[л [г2 г J
Из формулы (П.2.4)
2=
J 2р.	2р.

i82 -
Приложение i
И, ПОСКОЛЬКУ 11 = G/2ltr, И Тг = 6/2тГГ2> получим

4nrjr^i
(П. 2.6)
Это уравнение показывает, что вязкость ньютонов-
ской жидкости может быть найдена путем одновремен-
ного измерения G и й в однократном эксперименте
(опыте).
Подстановка G из формулы (П.2.6) в (П.2.5) дает
распределение скоростей в зависимости от Q как
И (г — гЦг)
и(г)== (1-Г?/^ ‘	(П’2‘7)
б. Бингамовский, пластик
Качественная картина течения бингамовского пла-
стика в соосно-цилиндрическом вискозиметре рассмо-
трена в разд. 3.1,6. Найдем общее соотношение между
й и G. Будем исходить из реологического уравнения
т —=
т. е.
у.
/(Т)=2—2*
J ' р-р
Поскольку в общем
и(г) = г J/(т) Ji/2t,
МО
то для бингамовских пластиков и(г) — г J
г (О
Таким образом,
и(г)=2^1т~ту1пт1 йо
и после подстановки т = G/2w2 окончательно получаем
G
«(г)= ----
4’Члр
(г)+,у|Лщ>.]
г 1 '
'•v' Г	л
— п —.	(П. 2.8)
ri

Основные уравнен, для соосно-цилиндрического вискозиметра 183
Это уравнение справедливо до тех пор, пока локальная
величина напряжения сдвига т будет превосходить пре-
дел текучести ty, т. е. в области и г < гу, где гу нахо-
дится из формулы
2^ ‘
(П. 2.9)
При г > гу имеем
ГУ
т. е. частицы жидкости приобретут одну и ту же угло-
вую скорость, если их радиус больше гу. Материал тогда
вращается совместно с внешним цилиндром как одно
твердое тело.
Соотношение между Q и G зависит от того, будет ли
величина г2 больше или меньше гу. Если г2 > гу, так что
некоторая часть материала вблизи внешнего цилиндра
не подвергается сдвигу, то получается Q = и(гу)1гу.
Следовательно, из формулы (П.2.8)
2
G	Г 1	1
4r-p-p L ri	гу
2-Ш-^

р
Подстановка гу из (П. 2.9.) приводит к
G
1 + 1п
4^pri 2(1р
(П. 2.10)
и к
что
и в
^1п—	(П. 2.11)
условию, что 2кг^ту Q 2кг|ту. Если г2 < гу, так
весь материал подвергается сдвигу, то
□ ц(Га) _ ° 7 1___________L
г2 4г.{лр rj
этом случае 2яг|т ^0.
Если 2кфу > О, то £2 = 0 и цилиндр не будет дви-
гаться.
Материал будет подвергаться сдвигу во всем объеме,
когда г2 = Гу в (П.2.10), т. е. когда скорость вращения

184
Приложение 2
достигает значения
При течении бингамовского пластичного материала
в трубе твердое ядро никогда не исчезает при конечном
расходе жидкости.
в. Жидкость, описываемая степенным реологическим
законом
Будем исходить из соотношения
т = Л(-г)"
или
Из формулы (П.2.4) получаем
1/п dz
1	2?'
2
т. е.

или
<2— п
2klln
(П. 2.12)
Это дает соотношение между й и G, которое зависит
от п и k, однако непосредственно определить п и k не-
возможно.
Можно найти изменение скорости сдвига с радиусом
для указанного степенного закона, поскольку
Подстановка в это выражение G из (П.2.12) дает
Т (И = ——~—т----------------•	(п-2-13)
п
2/Л

Основные уравнен. для сооснб-цилиндрического вискозиметра 185
Это уравнение показывает, что изменение скорости
сдвига поперек кольцевой щели зависит от п, и даже
если для ньютоновской жидкости эти изменения незна-
чительны, они могут быть существенными для сильно
псевдопластичной жидкости в том же самом приборе.
Кажущаяся вязкость как функция радиуса опреде-
ляется из выражения
7(C)
где т(г) == G/2itr2. С помощью этих формул и выраже-
ния (П.2.13) можно показать, что
G (1/г2 — 1/г|)и [1 — (С1/г2)2/я] (r/rtfn-2
Ра (И =
(П. 2.14)
4*й[1— (G/r2)2J
ЛИТЕРАТУРА
1.	Bingham Е. С., Fluidity and Plasticity, McGraw-Hill, N. Y.,
1922.
2	OstwaldW, Kolloidzschr., 38, 261 (1926).
3.	Reiner M, Deformation and Flow, Lewis, Lnd, 1949.
4	Pryce-Jones J, Coll. Zeils., 96, 129 (1952).
5.	Freundlich H., Julisberger F., Trans. Faraday Soc, 31,
920, 24 (1935).
6.	Maxwel 1 J. C„ Phil. Trans., 49, 157 (1867).
7,	Schofield R. K., Scott-Blair G. W., Proc. Roy. Soc.,
138A, 707 (1932).
8.	Oldroyd J G, Proc. Roy. Soc., 218A, 122 (1953).
9	Frohlich H„ SackR., Proc. Roy Soc., 185A, 415 (1946).
10.	Toms B. A., Strawbridge D. J, Trans. Faraday Soc, 49,
1225 (1953).
11.	Alfrey T., Mechanical Properties of High Polymers, Inter-
science, N. Y., 1948.
12.	Wratten R., Proc. 2nd Intern. Congr. Rheol. 1953, Butterworth,
Lnd., 1954, p. 181.
13.	Krieger I. M., Maron S. H., J. Appl. Phys., 25, 72 (1954).
14	P i p e r G. H., S с о 11 J. R., J. Sci. Instrum , 22, 206 (1945)
15.	Mooney M., Ewart R. H., Physics, 5, 350 (1934).
16	WeltmannR N„ NACA TN 35i0, 1955
17.	Oldroyd J. G, J. Colloid Sci., 4, 333 (1949).
14 Зак. 182

186
Литература
18.	Mooney М., J. Rheology, 2, 210 (1931).
19.	Metz пег A. В., Reed J C., A. 1. Ch. E. Journ., 1, 434 (1955).
20.	A m b г о s e H. A., Loomis A. G., Physics, 4, 265 (1933).
21.	Green H., Industrial Rheology and Rheological Structures,
Chapman and Hall, Lnd., 1949.
22.	G r e e n H., Wei t m a nn R. N„ Industr. Engng. Chem. (Anal.),
15, 201 (1943); 18, 167 (1946).
23.	L e a d e r m a n n H., Elastic and Creep Properties of Filamentous
Materials and Other High Polymers, Textile Foundation, Wa-
shington, 1943.
24.	Ferry J. D., Rheology, Vol. II, Chap. 11, Academic Press, N. Y.,
1958.
25.	Marko vitz H. ct al., Rev. Set. Instrum., 23, 430 (1952).
26.	V a n W a z e r J. R., Goldberg H., J. Appl. Phys., 18, 207
(1947).
27.	Mason W. P., Trans. ASME, 69, 359 (1947).
28.	Andrews R. D., Industr. Engng. Chem. (Anal), 44, 707 (1952).
29.	S w a r t z 1 F., S t a v e r m a n A. J., Physica's Grav., 18, 791
(1952).
30.	Roberts J. E., Proc. 2nd Intern. Congr. Rheol., Oxford, 1953.
31.	W eissenberg K., Nature, Lnd., 159, 310 (1947).
32.	Caldwell D. H., Babbitt H. E., Trans. Am. Inst. Chem.
Engrs, 37, 237 (1941).
33.	McMillen E. L,, Chem. Engns. Progr., 44, 537 (1948).
34.	Hedstrom В. O. A., Industr. Engng. Chem., 44, 651 (1952).
35.	О о у a m a Y., Ito S., Chem. Eng. (Japan), 14, 96 (1950).
36.	W i 11 i a m s on R. V., Indstr. Engng. Chem., 21, 1, 108 (1929).
37.	C a m p b e 11 L. E., J. Soc. Chem. Industr., Lnd., 59, 71 (1940).
38.	P о w e 11 R. E., Eyring H., Nature, Lnd., 154, 427 (1944).
39.	C h r i s t i a n s e n E. B., Ryan N. W., Stevens W. E.,
A. /. Ch. E. Journ., 1, 544 (1955).
40.	S с о 11 - В 1 a i r G. W., A Survey of General and Applied Rheo-
logy, Pitman, Lnd., 1949.
41.	Alves G. E., Boucher D. F., P i g f о r d R. L., Chem. Engng.
Progr., 48, 385 (1952).
42.	Metzner A. B., Chem. Engng. Progr., 50, 27 (1954).
43.	We Itmann R. N., Industr. Engng. Chem., 48, 386 (1956)
44.	W1 n d i n g С. С , В a u m a n n G. P., К г a n i c h W. L., Chem.
Engng. Progr., 43, 527, 613 (1947).
45.	Dodge D. W., Me t z n e г А. В., A. I. Ch. Journ., будет опубли-
ковано; Rheologica Acta, 1, 205 (August 1958).

Литература
187
46.	Oldroyd J. G., Proc. 1st Inst. Congress on Rheology, Scheven-
ingen, 1948, p. 130.
47.	S c h i 11 e r L., Z. Angew. Math. Meeh., 2, 96 (1922).
48.	Bogue D. C., Industr. Engng. Chem. Symp., Pittsburgh, Decem-
ber 1948.
49.	Toms B. A., Proc. 1st Intern. Congr. Rheol., Scheveningen, 1948.
50.	Weltmann R. N„ Keller T. A., NACA TN 3889, 1957.
51.	F r e d r i с к s о n A. G., Bird R. B., Industr. Engng. Chem., 50,
347 (1958).
52.	Industr. Engng. Chem., 45, 969 (1953).
53.	R a b i n о w i t s c h B., Z. Phys. Chem., 145A, 1 (1929).
54.	Yоs h i d a T., H a у a sh i d a K., Kobayashi K-, Ta-
naka H., Chem. Eng. (Japan), 21, 26 (1957).
55.	M о r i Y., M a t s u m о t о T. K., Proc. 3rd Intern. Congress Rheol.,
1958, p. 240.
56.	Mori Y., О to take N., Chem. Eng. (Japan)', 17, 224 (1953);
18,221 (1954).
57.	N i с к о 11 s К. R., Colwell R. E., Industr. Engng. Chem.
Symp., Pittsburgh, December 1958.
58.	G askel 1 R. E„ J. Appt. Meeh., 17, 334 (1950).
59.	Kay J. M., Introduction to Fluid Mechanics and Heat Transfer,
Camb. Univ. Press, 1957.
60.	Le v e q u e M. A., Ann. Min., 13, 201 (1928).
61.	Lyche В. C., Bird R. B., Chem. Eng. Sei., 6, 35 (1956).
62	Pigford R. L., Chem. Engng. Progr. Symp. Service № 17, 51,
79 (1955).
63.	M e t z n e r A. B., Vaughn R. D., Houghton G. L., A. 1. Ch.
E. Journ., 3, 92 (1957).
64.	Gee R. E., Lyon J. B., Industr. Engng. Chem., 49, 956 (1957).
65.	W i n d i n g С. C., D i 11 m a n n F. W., К г a n i c h W. L., Cornell
Univ. Rep., Ithaca, 1944.
66.	О г г C., Dalia V а 11 е J. М., Chem. Engng. Progr. Symp. Ser-
vice № 9, 50, 29 (1954).
67.	M e t z n e r A. B., Friend W. L., A. I. Ch. E. Journ., 4, 393
(1958).
68.	Metzner A. B., Friend P. S., Industr. Engng. Chem. Symp.,
Pittsburgh, December 1958.
69.	Rushton J. H„ Chem. Engng. Progr., 50, 587 (1954).
70.	Hixon A. W., D r e w T. В., К n о x K. L., Chem. Engng. Progr..
50, 592 (1954).
71.	Metzner A. B., Otto R. E., A. I. Ch. E. Journ.. 3, 3 (1957).
14*

188
Дополнительная литература
72.	L е е R. Е., F i n с h С. R., W о о 1 е d ge J. D., Industr. Engng.
Chem., 49, 1849 (1957).
73.	F о г e s t i R. J., Industr. Engng. Chem. Symp., Pittsburgh, Decem-
ber 1958.
74.	В r own G. A., P e t s i a v a s D. N., Paper presented at the
New York A. I. Ch. E. Meeting, December 1954.
75.	S c h u 11 z - G r u n о w F., Chem. Ing. Techn., 26, 18 (1954).
76.	С a 1 d e r b a n к P. H., M о о - Y о u n g M. B., Trans. Inst. Chem.
Engrs., Lnd., 37, 26 (1959).
77.	Weissenberg K., Proc. 1st Intern. Congr. Rheol., Schevenin-
gen, 1948.
78.	Russel R. J., Ph. D. Thesis, Lnd. University, 1946.
79.	R о b e r t s J. E., J о b I i n g А., будет опубликовано.
80.	ОI d г о у d J. G., /. Colloid Set., 4, 333 (1949).
81.	T о m s В. A., J. Colloid Sei., 4, 511 (1949).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Аббасов А. А., Мурачковская H. K-, О распределении
скоростей при последовательном движении двух вязкопла-
стичных жидкостей в вертикальной круглой трубе при струк-
турном режиме движения. Научные записки Укр. НИИПро-
ект угольной пром., вып. 4 (1961).
2.	Аббасов А. А., О теории Рейиера и Ривлина для ротацион-
ного вискозиметра, ДАН Азербайдж. ССР, 18, № 8 (1962).
3.	А б д и н о в М. А. и др., Влияние реологических свойств пере-
качиваемой жидкости и эксцентричности живого сечения на
гидравлические потери в кольцевом пространстве, Азербай-
джанское нефтяное хоз-во, № 11 (1961).
4.	Александрович X. М. и др., К изучению реологических
свойств тяжелых суспензий, ДАН БССР, 6, № 3 (1962).
5.	Алексеенко В. А., Мишустин И. У., Исследование сов-
местимости высокополнмеров. Вязкость растворов нитроцел-
люлозы поливинилхлорида н их смесей с полярными каучука-
ми, Высокомолекулярные соединения, 1, № 11 (1959).
6.	Альтшуль А. Д., К теории визкозиметра для определения
условной вязкости. Измерительная техника, № 6 (1958).
7.	АндресУ. Ц., Экспериментальное исследование реологических
свойств тонкодисперсных минеральных суспензий, Доллоудн,
оюурн., 22, 2 (1960).

Дополнительная литература
189
8.	Андрес У. Ц., Механические свойства тяжелых суспензий и
метод их оценки, Горный журн., № 1 (1959).
9.	Астрахаи И. М., Григорян С. С., О полной системе ура-
внений сжимаемой вязкопластичной жидкости, Прикл. матем.
и механ., 23, № 6 (1959)
10	Астрахан И. М., Круговое вращательное движение вязко-
пластичной жидкости в пограничном слое на круглом цилинд-
ре, Изв. высш, учебн. заведений, Нефть н газ, N° 7 (1960).
11.	Астрахан И. М., Об уравнениях движения вязкопластичной
жидкости в пограничном слое на произвольной поверхности.
Изв. АН СССР, отд. техн, наук. Механика и машиностроение,
№ 2 (1960).
12.	Астрахан И. М., Нестационарное круговое движение вязко-
пластичной жидкости, заключенной между двумя цилиндрами,
Изв. высш, учебн заведений, Нефть и газ, № 4 (1961).
13.	Астрахан И. М., Автомодельное решение задачи о продоль-
ном движении цилиндра в вязкопластичной жидкости, Изв.
АН СССР, отд. техн, наук, Механика и машиностроение, Ns 1
(1961).
14.	Астрахан И. М., Устойчивость вращательного движения вяз-
копластичной жидкости между двумя коаксиальными цилинд-
рами, Журн. прикл. механ. и техн, физики, Ns 2 (1961).
15.	Багров А. А., Исследование режимов течения торфяных су-
спензий методом полных реологических кривых, Труды Ка-
лининского торфяного ин-та, вып. 11 (1960)
16.	Бадеев Ю. С., Влияние реологических свойств суспензий на
характер движения в них шарообразных тел, Обогащение руд.
Ns 4 (1961).
17.	Базилевич А. И., Зависимость между структурной вязкостью
и статическим напряжением сдвига двухфазных жидкостей,
Научн. записки Львовского политехи, ин-та, вып. 60 (1960).
18.	Бартенев Г. М., О необратимом течении каучукоподобных
полимеров, ДАН СССР, 133, Ns 1 (1960).
19.	Б а р ш К- Н„ Некоторые реологические свойства резиновых
смесей, Научн. труды Моск, технол. ин та легкой пром, сб. 11,
(1958).
20	Богданович Ф. А, Изв. высш, учебн. заведений. Энергети-
ка, Ns 7 (1961J.
21.	Були и а И. Г., О вискозиметрах для оценки вязкости высоко-
консистентиых меловых суспензий, Научн. доклады высш,
школы.'Строительство, Ns 1 (1959),

190
Дополнительная литература
22.	В а с и л ь е в а В. В., Исследование вязкопластических свойств
строительных растворов, Коллоидн. журн., 21, Ns 2 (1959).
23.	Веденеев Б. В., Михайлов Н. В., О реологии битумов в
течении их по трубам при повышенных температурах, Кол-
лоидн. журн., 21, Ns 4 (1959).
24.	Вет юков М. М., Школьников С. Н., Чувиляев Р. Г,,
Новиков А. Н., Крутильно-маятниковый вискозиметр с ав-
томатическим отсчетом, Журн. физ. химии, 34, Ns 2 (1934).
25.	Винницкий А. М., И в а н о в В А., Волнообразное разру-
шение высоковязких и аномально-вязких струй, Изв. высш,
учебн. заведений, Машиностроение, Ns 1 (1961).
26.	Виноградов Г. В., М а м а к о в А. А., Павлов В П., Экс-
периментальное исследование аномально вязких тел при слож-
ном напряженном состоянии, Изв АН СССР, отд. техи. наук.
Механика и машиностроение, № 6 (1959).
27.	Виноградов Г. В., Мама ков А А., Павлов В. П., Те-
чение аномально-вязких систем при действии двух чистых
сдвигов во взаимно перпендикулярных направлениях, ДАН
СССР, 127, Ns 2 (1959).
28	Виноградов Г. В., Павлов В. П., Упругие и прочностные
свойства мягких тел, Изв. АН СССР, отд. техн наук, Меха-
ника и машиностроение, Ns 2 (1959).
29	Виноградов Г. В. и др.. Течение аномально вязких тел в
условиях сложного напряженного состояния, Изв. АН СССР,
отд. техн, наук. Механика и машиностроение, Ns 2 (1960).
30.	В о л а р о в и ч М. П., Методы исследования вязкости н пла-
стичности в прикладной минералогии, Труды Ин та прикл. ми-
нер., № 66 (1934).
31.	Воларович М. П., О пластичности дисперсных масс, Кол-
лоидн. журн., 2, 557 (1936).
32.	В о л а р о в и ч М. П., Исследование вязкости расплавленных
горных пород, Записки минер, общ-ва, 69, 310 (1940).
33	Воларович М. П, Бранопольская Р. А, Исследова-
ние физико-механических свойств теста, Пищепромиздат, 1940
34.	В о л а р о в и ч М. П„ Л о ш а к о в а Е. П., Исследование реоло-
гических свойств консистентных смазок, Коллоидн. журн., 8,
127 (1946).
35.	В о л а р о в и ч М. П., Г у т к и н А М., Расчет движения пла-
стичиовязкой массы между двумя плоскими параллельными
стенками и в кольцеобразном пространстве между двумя
коаксиальными трубами, ЖТФ, 16, 321 (1946).

Дополнительная литература
191
36.	Воларович М. П., Экспериментальные исследования в об-
ласти реологической кинематики дисперсных систем, Кол-
лоидн. журн., 9, 325 (1947).
37.	Воларович М. П., Б р а н о п о л ь с к а я Р. А., Исследование
явлений релаксации у дисперсных систем, Коллоидн. журн.,
10, 406 (1948).
38.	В о л а р о в п ч М. П„ О применении методов геологии в пище-
вой промышленности, Коллоиды в пищев. пром., № 2, 40
(1949).
39.	В о л а р о в и ч М. П., Исследование реологических свойств
дисперсных систем, Коллоидн. журн., 16, 227 (1954).
40.	Воларович М. П., Г уткин А. М., Некоторые задачи тео-
рии течения вязкопластичной среды, Изв. АН СССР, отд.
техн, наук, № 9, 37 (1955).
41.	Воларович М. И., Агранат Н. Н., Расчеты предельного
напряжения сдвига дисперсных систем при измерениях его
коническим пластометром, Коллоидн. журн., 19, 3 (1957).
42.	Воларович М. П., Исследовательские работы кафедры фи-
зики Моск. торф, ин-та в области физики торфа, Труды Моск,
торф, ин-та (Юбилейный выпуск к 40 летию Великой Октябрь-
ской социалистической революции), № 8, 115 (1958).
43.	Воларович М. П., Малинин Н. И., Исследование реоло-
гических свойств торфов пониженной влажности, Коллоидн.
журн., 20, 3 (1958).
44	В о л а р о в и ч М. П., К и м А. X., Плоская задача о движении
вязкопластичной дисперсной системы между двумя плоско-
стями, составляющими острый угол, Коллоидн. журн., 22, 2
(1960).
45	Воларович М. П., Г у т к и н А. М., Сжатие вязкопластич-
ной дисперсной системы, имеющей форму полосы прямоуголь-
ного сечения, Коллоидн. журн.. 22, № 5 (1960).
46.	Воларович М. П., Г у т к и н А. М., О расчете предельного
напряжения сдвига суспензии с частицами, обладающими
жестким дипольным моментом, ДАН СССР, 143, № 4
(1962).
47.	В о л ь к е н ш т е й н М. В., Конфигурационная статистика поли-
мерных цепей, Изд-во АН СССР, 1959.
48.	Г а л и у л л и н 3. Т., Т о н к о ш к у р о в Б. А., Исследование
реологических свойств парафиновых нефтей на ротационном
вискозиметре. Труды Башк. научноиссл. ин-та по переработке
нефти, вып. 2 (1959).

192
Дополнительная литература
49.	Гельперин Н. И., Крохин Н. Г., Определение коэффи-
циентов сопротивления при движении вискозных и ацетил-
целлюлозиых растворов, Хим. волокна, № 4 (1961).
50	Г з о в с к и й С. Я-, Исследование кинематики потока при пе-
ремешивании жидкости радиально-лопастными мешалками,
Хим. машиностроение, № 6 (1959).
51.	Гликман С. А., Введение в физическую химию высокополи-
меров, Изд-во Саратовского Университета, 1959.
52.	Г о л ь б е р г И. И., О максимуме напряжения при деформации
с постоянной скоростью, Коллоидн. журн, 22, № 2 (1960)
53.	Г р я д у н о в а Г П., Об оценке реологических свойств мазей,
Аптечное дело, 8, № 4 (1959).
54.	Г у р е в и ч Г. И., Особенности поведения аномальных жидко-
стей, Труды геофизич. ин-та АН СССР, № 31 (1955).
55	Г у т к и н А М, Течение вязкопластичной дисперсной системы
на вращающемся диске, Коллоидн. журн, 22, № 5 (1960)
56.	Г у т к и н А. М., Продавливание вязкопластичной дисперсной
массы между скользящими плоско-параллельиыми стенками,
Коллоидн. журн., 23, № 1 (1961).
57	Г уткин А. М., Течение вязкопластичной среды между вра-
щающимися дисками, ДАН СССР, 134, № 5 (1960).
58.	Г у т к и и А. М., Медленное течение вязкопластичной дисперс-
ной среды в коническом и плоском диффузорах при малом
угле раствора, Коллоидн. журн., 23, № 3 (1961).
59.	Г у т к и н А. М., Течение вязкопластичной дисперсной систе-
мы на вращающемся конусе, Коллоидн. журн., 24, № 3 (1962).
60	Давыдова И В., Д е л я г и н Г. Н., Некоторые свойства во-
доугольных суспензий, Труды Института горючих ископаемых,
19 (1962).
61.	Дейнего 1О. Ф., Д у м а н с к и й А. В., Виноградов Г. В.,
Павлов В. П., Исследование диэлектрических и реологиче-
ских свойств пластичных дисперсных систем, Коллоидн журн.,
22, № 1 (1960).
62.	Д е р я г и п Б. В., Котова Л. И., Теория качения цилиндра
по поверхности, покрытой слоем пластичной смазки.
63.	Е д и г а р о в С. Г., Ас а тур ян А. Ш., Петрова Л. Н.,
Ламинарное движение высоковязких нефтепродуктов в откры-
тых обогреваемых каналах, Труды Башк. научно-иссл. ин-та
по переработке нефти, вып. 2 (1959).
64.	Е д и г а р о в С. Г., А с а т у р я н А. Ш., Экспериментальные
исследования движения высоковязкой жидкости в открытых

Дополнительная литература
193
каналах, Труды Башк. научно-иссл. ин-та по переработке неф-
ти, вып. 2 (1959).
65.	Ерофеев А. А., Тябин Н. В., Перемешивание вязкопластич-
ных дисперсных систем с помощью мешалок, Химическая
пром., № 5 (1959).
66.	Ерофеев А. А., Труфанов А. А., Метод реодинамического
моделирования вязкопластичных сред, Труды Казанского хи-
мико-технолог. ин-та 1957, вып. 22 (1959).
67.	Ж и г а ч К. Ф. и др.. Реологические свойства нефтяных кол-
лоидных растворов, ДАН СССР, № 3 (1960).
68.	Ж и г а ч К. Ф., Касьянов Н. М., О методике определения
т)пл и То буровых растворов на ротационном вискозиметре,
Изв. высш, учебн. заведений, Нефть и газ, № 12 (1959).
69	Захаренко Н. В. и др., О течении каучукоподобных поли-
меров и их сажевых смесей, Коллоидн. журн., 22, Ns 2 (1960).
70.	Ивлев Д. Д., К теории идеально затвердевающих сред, ДАН
СССР, 130, Ns 4 (1960).
71.	Каллистов О. В., О влиянии градиента скорости иа харак-
теристическую вязкость растворов высокомолекулярных фрак-
ций полимеров, ЖТФ, 29, Ns 1 (1959).
72	К а р г и н В А., С л о н и м с к и й Г. Л., Краткие очерки по фи
знко-химии полимеров, Изд-во Московского университета.
1960.
73.	К и м А. X., Осевое движение торфа в цилиндрических насад-
ках, Сб. научн. работ Белор. политехи, ин-та, вып. 65 (1959).
74	Ким А. X., В о л а р о в и ч М. П., Плоская задача о движении
вязкопластичной дисперсной системы между двумя плоскостя-
ми, составляющими острый угол, Коллоидн. журн., 22, Ns 2
(1960).
75.	Коган И. Н. и др. Непрерывное измерение вязкости с помо-
щью ультразвукового вискозиметра, Сб. «Применение уль-
траакуст. к исслед. вещества», вып. 10 (1960).
76.	Козел В. И., Движение пластической (торфяной) массы в ци-
линдре, Изв. высш, учебн. заведений. Горный журн.. Ns 9
(1959).
77.	Король И. П., Изучение вязкого течения каучуков, ЖТФ, 29,
№ 4, 5 (1959).
78	Корецкая А. И. и др., Прибор для определения вязкости
расплава полиамидных смол, Хим. волокна, Ns 2 (1960).
79.	Кришевский М„ П а л ч и н с к и й Б., Изучение вискозимет-
рии растворов полимеров. 1. Капиллярный вискозиметр с

194
Дополнительная литература
электродной регистрацией времени истечения жидкости. Вы-
сокомолекулярные соединения, 3, № 6 (1961).
80.	Кулеш Н П., Измерение вязкости глинистых суспензий, Сб.
«Новые методы измерений и приборы для гидравлических ис-
следований», АН СССР, 1961.
81	Кулиев С. М., Есьман Б. И., Абдинов М. А., Экспери-
ментальная проверка принципа наложения потерь при течении
глинистых растворов, ДАН Азербайдж ССР, 16, № 3 (1960).
82.	К у р г а е в Е. ф., О вязкости суспензий, ДАН СССР, 132, Ns 2
(1960).
83.	Л е о н о в А И., О нестационарном движении несжимаемой
максвелловской жидкости в зазоре между неограниченными
параллельными плоскостями, Изв. АН СССР, отд. техи. наук,
Механика и машиностроение, № 3 (1961).
84.	Л и х т м а и В. И., О с т р о в с к и й В С., Закономерности пла-
стического течения свинца и олова в условиях сдвига, Физи-
ка металлов и металловедение, 8, № 2 (1959).
85	Л у к ь я и о в Н. Г., Э й г е н б р о д В. М., Автоматический
вискозиметр дискретного действия, Приборостроение, Ns 2
(1959).
86.	Мали нии Н И., К вопросу об эффекте Вейссенберга, Кол-
лоидн. журн., № 2 (1960).
87.	Малкин А Я, Некоторые задачи течения пеиыотоновской
жидкости. Труды Моск, ин-та хим. машиностроения, 20 (1960).
88.	Ма маков А А, Тябий Н. В, Виноградов Г. В При-
менение теории подобия к расчету процессов течения пла-
стичных смазок в трубах, Коллоидн. журн., 21, № 2 (1959).
£9.	Мамаков А А., Тябин Н. В, Виноградов Г В, Ме-
тод построения плана распределения скоростей при течении
пластичных нефтепродуктов, Изв. высш учебн. заведений,
Нефть и газ., №7 (1959).
90.	М а р т е н с Б. К-, Электровнскозиметр, Заводская лабор., 25,
№ 5 (1959).
91.	Ма чих ин Ю. А., Экспериментальное исследование релакса-
ции напряжений в макаронном тесте, Изв. высш, учебн. заве-
дений, Пищев. технол., № 8 (1958).
92.	М а ч и х и н Ю. А., Влияние температуры на релаксацию на-
пряжений в макаронном тесте, Хлебопек, и кондит. пром..
№ 1 (1960).
(	>93,. М и р з а д ж а и з а д е А. X., О средней температуре вязко-
ил^ст/тчиой жидкости в сечеиии трубы, Труды нефт. экспеди-

Дополнительная литература	195
ции АН Азербайдж. ССР, 2 (1955), а также ДАН Азербайдж.
ССР, 11, № I (1955).
94.	Мирзаджанзаде А. X., Вопросы гидродинамики вязкопла-
стичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче,
Азиефтеиздат, Ваку, 1959.
95	Мительмаи В. И., Розенберг Г. Д., О структурном ре-
жиме течения вязкопластической жидкости по цилиндрической
трубе кругового сечения, Изв. АН СССР, отд. техн, наук, Ме-
ханика н машиностроение, № 4 (1961).
96.	Москалев Н. М., Особенности течения илистой пульпы по
трубам и метод расчета гидравлических потерь, Труды Все-
союзн. научно-исслед. ин-та гидротехники и мелиорации, 36
(1961).
97.	Мясников В. П., О постановке задачи обтекания тел вязко-
пластической жидкостью, Журн. прикл. механ. и техн, физики,
№ 4 (1962)
98.	Мясников В. П., Некоторые точные решения для прямоли-
нейных движений вязкопластической среды, Журн. прикл. ме-
хан. и техн, физики, № 2 (1961).
99.	Н и к и т и и А. Д , Сопротивление бетонных смесей при тран-
спортировании их по горизонтальным цилиндрическим трубам,
Сб. научн. трудов Ленинград инж строит ин-та, вып. 32 (1960).
100.	Нуссииов М. Д. Поз ин А. А., Гальченко Г. И., Опре-
деление некоторых механических характеристик резиновых
смесей на ротационном эластовискозиметре, Каучук и резина,
№ 11 (1959).
'Г01. г а р к о в Б. И, Закон вязкости твердых тел, деформирую-
щихся во времени, Записки Воронежского сельскохоз. ин-та
28, № 2 (1959).
1102.	Павлов В П., Виноградов Г В, Тепловые эффекты при
ггеченни и остановке потока аномально-вязких тел, ДАН
(СССР, 1-25, № 5 (1959).
Я(03. !ТП|Н’Менов М. А., Сопротивление при движении гидромассы по
открытым каналам, Инж—физ. журн., 2, № 3 (1959).
104. Р-асфиков С. Р., Вискозиметр для определения вязкости рас-
творов высокомолекулярных соединений, Высокомолекуляр-
ные соединения, 1, № 10 (4959).
105. Ребиндер П. А., Фпзико-хиадииеская механика — новая об-
ласть науки, сер. IV, вып. № 39, 40, Изд-во «Знание», 1958.
-.106. Р е б и н д е р П. А., Успехи химии и технологии полимеров,
сб. 2, Госхимиздаг, 1957.

196
Дополнительная литература
107.	Решетникова А. Д., Определение вязкости жидкостей с
растворенным в них воздухом, Труды Моск, авиац. ин-та.
вып. 117 (1959).
108.	Решетникова А. Д., Зависимость вязкости некоторых жид
костей от давления, Труды Моск, авиац. ин-та, вып. 111
(1959).
109.	Розенберг Г. Д., Уравнения нестационарного движения не-
ньютоновской жидкости в трубах, Изв. высш, учебн. заве-
дений, Нефть и газ, № 8 (1959).
110.	Розенберг Г. Д., Экспериментальное исследование неуста-
новившегося течения вязкопластических жидкостей, ДАН
СССР, 129, № 1 (1959).
111.	Розенберг Г. Д., Экспериментальное исследование неуста-
повившсгося течения неньютоновских жидкостей в трубах,
Изв. высш, учебн. заведений, Нефть и газ., № 1 (1960).
112.	Ру цк ов Л. П., Краткий курс коллоидной химии, гл. VIII,
§ 6, Госхимиздат, 1958.
113.	С а ф р о н ч и к А. И., Неустаповившееся течение вязкопласти-
ческого материала в круглой трубе, Прикл. матем. и механ.,
24, № 1 (1960).
114.	С а ф р о н ч и к А. И., Неустаповившееся течение вязкопластиче-
ского материала между параллельными стенками, Прикл. ма-
тем. и механ., 23, № 5 (1959).
115.	С а ф р о н ч и к А. И., Вращение цилиндра с переменной угло-
вой скоростью в вязкопластичной среде, Прикл. матем. и ме-
хан., 23, № 6 (1959).
116.	Сен а ко в А. В., Садов Ф. И., Исследование структурио-
мсханнческих и реологических свойств водных растворов, ие
измененных загустителем, Коллоидн. журн., 21, Ns 4 (1959).
117.	. С к л я р е и к о С. И. и др., Мнкровискозиметр, Журн. физ. хи-
мии, 34, Ns 4 (1960).
118.	Сурков В Д., Федоров Н. Е., Казаков С. П., Горба-
тов А. В., Исследование движения сырковой массы в трубо-
проводах, Изв. высш, учебн. заведений, Пищев. технол.. Ns 6
(1958).
119.	Тор не р Р. В., Майзе ль М. М., Потери входа при изотер-
мическом течении невулканизированных резин, Изв. высш,
учебн. заведений, Технол. легкой пром.. Ns 4 (1959).
120.	Торнер Р. В., Майзель М. М., Течение сырых резиновых
смесей по длинному каналу круглого сечения, Научн. труды
Моск, технол ин-та легкой пром., сб. II (1958).

Дополнительная литература
197
121.	Торн ер Р В., Майзе ль М. М., Некоторые особенности те-
чения каучука и сырых резиновых смесей (Современное со-
стояние вопроса), Изв. высш, учебн. заведений, Технол. лег-
кой пром., Ns 4 (1958).
122.	Т р а п е з н и к о в А. А., Ассоно в а Т. В, Деформационно-
прочностные, высокоэластические и вязкостные свойства рас-
творов каучука, Коллоидн. журн., 21, Ns 4 (1959).
123.	Т р а п е з н и к о в А. А., Новые реологические приборы и ме-
тоды для изучения коллоидных систем и растворов полиме-
ров, Вестник АН СССР, № 6 (1960).
124.	Тябин Н. В., Течение упруго-вязкопластической среды в по-
граничном слое, Труды Казанского сельскохоз. ин-та, вып. 39
(1958).
125.	Тябин Н. В., Реодииамическая теория вязкопластической
смазки, Труды Казанского сельскохоз. ин-та, вып. 39
(1958).
126.	Тябин Н. В, Виноградов Г. В., Реологическая теория де-
формации структурированных дисперсных систем, Труды Ка-
занского хим.-технол. ин-та 1957, вып. 22 (1959).
127.	Т я б и и Н. В., Реодииамическая теория вязкопластической
смазки. Труды 3-й Всесоюзн. конфер. по трению и износу в
машинах, т. 3, АН СССР, 1960.
128.	Тябин Н. В., Течение вязкопластической среды в шнеке, Тру-
ды Казанского хим.-технол. ин-та, вып. 29 (1960).
129.	Фастов Н. С., Релаксация напряжений и ползучесть как про-
цесс вязкого течения, ДАН СССР, 130, Ns 1 (1960).
131. Филатов Б. С., Определение реологических свойств суспен-
зий глины в условиях установившегося движения, Коллоидн.
журн., 16, Ns 2 (1954).
130.	Федоров Н. Е. и др., Критериальные уравнения движения
пластичновязких мясопродуктов по трубопроводам, Изв. высш,
учебн. заведений, Пищев. технол., Ns 1 (1960).
132.	Филиппов Л. П., Использование теории подобия для
описания свойств жидкостей, Журн. физ. химии, Ns 11
(1957).
133.	Халилов X. М., О зависимости вязкости жидкостей от их
структуры, Изв. высш, учебн. заведений. Нефть и газ. Ns 7
(1960).
134.	Ш е р м е р г о р Т. Д., Вычисление функций распределения вре-
мен релаксаций для упругого последействия. Физика метал-
лов и металловедение, 9, Ns 2 (1960).

IS8
Дополнительная литература
135.	Шермергор Т. Д., О соотношениях между некоторыми ви-
дами деформирования, Журн. прикл. механ. и техн, физики,
№ 2 (1960).
136	Шермергор Т. Д, О дисперсионных соотношениях для уп-
ругости н податливости, Журн. прикл. механ. и техн, физики,
№ 1 (1960).
137.	Шермергор Т. Д, Расчет функции распределения констант
релаксаций по дисперсии действительной части комплексной
упругости для упруговязких тел, Изв. высш, учебн. заведений,
Физика, № 1 (1961).
138	Щеголев Г. Г, Толмачев А М., Трапезников А. А.,
Прибор для исследования деформационно прочностных свойств
пастообразных коллоидных систем. Заводская лабор., 25, К» 5
(1959).
139.	Щ п п а н о в П. К., Гуткин А. М., Течение вязкой среды ме-
жду параллельными пластинками с учетом выделения тепла
в объеме, Труды Калининского торф, ин-та, вып. 10 (1959).
140	Ш к л я р Л. А., Т я б и н Н. В., Истечение смазочных материа-
лов через лабиринтные уплотнения, Труды 3-й Всесоюзной
конференции по трению и износу в машинах, т. 3, АН СССР,
1960
141	Юфин А. П., Движение глинистых гидросмесей по трубам,
Сб. «Гидравлика сооружений и динамика речных русел», АН
СССР, 1959.
142	Юфин А П. и др, Новые опытные данные по гидравлике гли-
нистых растворов, Нефт. хоз-во, № 6 (1959).
1	Ke г i m А , А 1 i 1, The Theory of an Oscillating Cylinder Vis-
cosimeter, Proc. Math, and Phys. Soc. UAR, № 23, 1959 (1960).
2.	Acrivos A. et al., Momentum and Heat Transfer in Laminar
Boundary-Layer Flows of Non Newtonian Fluids Past External
Surfaces, A. 1. Ch E. Journ., 6, № 2 (1960).
3.	Aiba S, Flow Patterns of Liquids in Agitated Vessels, A. 1. Ch.
E. Journ., 4, № 4 (1958).
4	A 1 f г e у T I., Molecular Structure and Mechanical Behaviour of
High Polymers, John Wiley, N. Y., 1957.
5.	AzpeitiaA., Newell G, Theory of Oscillation Type Viscosi-
meters, ZAMP, 9a, № 2 (1958); 10, Ne 1 (1959).

Дополнительная литература
199
6.	В a g 1 е у Е. В., West D. С., Chain Entanglement and Non-
Newtonian Flow., 1. Appt. Phys, 29, № 10 (1958).
7.	В a r n a I., Flow Phenomena on Aqueous Bentonite Dispersions,
Silicates ind., 24, № 11 (1959).
8.	Bastien P., Armbruster I. C., A z о u P., Flowability and
Viscosity, Mod. Cast., 41, № 6 (1962).
9.	Bauer W. et al., Modification of a Cone-Plate Niscosimeter for
Direct Recording of Flow Cuves, Rev. Sci. Instr., 30, № 3
(1959).
10.	Baur dan A., Comportement rheologique des suspensions et
pates ceramiques, lnd. Ceram, № 499 (1959).
11.	Behn Vaughn C., Experimental Determination of Sludge-
Flow Parameters, J. Sanit. Engng. Div. Proc. Am. Soc. Civil.
Engrns., 86, № 6 (1960); 88, № 3 (1962).
12.	В h a t n a g a r P. L., On Two Dimensional Boundary Layer in
Non Newtonian Fluids with Constant Coefficients of Viscosity
and Cross-Viscosity, Proc. Indian Acad. Sci., 53A, № 2 (1961).
13.	Billington E. W., Some Measurements of the Elastic and
Viscous Properties of Thixotropic Fluids, Proc. Phys. Soc., 76,
№ 11 (1960).
14	Billington E W, Some Measurements of the Time Dependen-
ce of the Viscosity of Thixotropic Fluids, Proc. Phys. Soc.. 75,
№ I (1960).
15.	Bird R. B., New Variational Principle for Incompressible Non-
Newtonian Flow, Phys. Fluids, 3, № 4 (1960).
16.	Bird R. B., Stewart W E, Lightfoot E. N, Notes on
the Transport Phenomena, Wiley Press, N. Y., 1958.
17.	В i r d R. B.. Solution of Some Non-Newtonian Flow Problems,
Teknol. ukebl., 106, № 9 (1959).
18.	Bird R. B., Unsteady Pseudoplastic Flow Near a Moving Wall,
A. 1. Ch. E. Journ., 5, № 4 (1959).
19.	Bird R. B., Zur Theorie des Warmeiibertragungs an nicht-New-
tomsche Fliissigkeiten bei haminarer Rohrstrommung, Chem.-
Ingr.-Techn., 31, № 9 (1959).
20	Bland D. R., The Theory of Lineal Viscoelasticity, Pergamon
Press, Oxford, 1960.
21.	Boardman G., Whitmore R. L., The Static Measurement
of Yield Stress, Lab. Pract., 10, № 11 (1961).
22.	В о q u e D. C., Entrance Effects and Prediction of Turbulen-
ce in Non Newtonian Flow, lnd. Engng. Chen]., 51,	7
(1959).

200
Дополнительная литература
23.	В о w е п R. L. В., Designing Turbulent-Flow Systems, Chem.
Engng., 68, № 15 (1961).
24.	В о w e n R L. B., Designing Labinar Flow Systems, Chem.
Engng. 68, № 12 (1961).
25.	В о w e n R L B., Determining End of Laminar Region, Chem.
Engng., 68, № 13 (1961).
26.	В rod key R. S., Lee Ion., Chase R. C., A Generalized Velo-
city Distribution for Non-Newtonian Fluids, A. I. Ch. E. Journ.,
7, № 3 (1961).
27.	Bruner M., Ecoulement des liquides visqucux dans des cannaux
resserres ses lois, ses applications, Pubis sclent, et techn. Min-
nistrire air, № B. S. T., 121 (1958).
28.	В runstrum L. C., Sisk о A. W., Calculating Grease Flow in
Pipes, NLGJ Spokesman, 25, № 7 (1961)
29.	В u g 1 i a r e 11 о G., Daily 1. W., Rheological Models and La-
minar Shear Flow Fiber Suspensions, Tappi, 44, № 12 (1961).
30.	В u s к e n s F., Thermo-elasticite et thermo-rheologie, Rev. ques-
tions sci., 21 (1960).
31.	Buvet R., Classification theorique des propertetes rheologiques
des corps reels, Rheol. Acta, № 4—6 (1961).
32.	Chang C h i e h C., R a m a n a i a h P., Unified Rheological Re-
lation of Nou-Newtonian Fluids, Phys. Fluids, 4, № 9 (1961).
33.	C h u Lu Chin, Brown F., В u г г i d g e K- G., Heat Transfer
Coefficients of Pscudoplastic Fluids, lnd. and Engng. Chem.,
45, № 8 (1953).
34.	С 1 a p p R M., Turbulent Heat Transfer in Pseudoplastic Non-
Newtonian Fluids, Internal. Developm. Heat Transfer, Part 3,
Sec. A., ASME, N. V., 1961.
35.	С 1 о u g h S. В , Read H. E., M e t z n e г А В., В e h п V. C.,
Diffusion in Slurries and in Non-Newtonian Fluids, A. J. Ch. E.
Journ., 8, № 3 (1962).
36.	Coleman B. D., Noll W., Foundations of Linear Viscoelasti-
city, Rev. Mod. Phys., 33, № 2 (1961).
37.	С о 1 e m a n B. D., On Certain Steady Flows of General Fluids,
Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 3, № 4 (1959).
38.	Crim in ale W. et al., Steady Shear Flow of Non-Newtonian
Fluids, Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 1, № 5 (1958).
39.	D a у 1 у J., Bugliarello G., A Particular Non-Newtonian
Flow, Industr. and Engng. Chem., 51, № 7 (1959).
40.	D a 11 a S. K-, Flow of Visco-Elastic Maxwell Fluid through Tu-
be? under Exponential Pressure Gradient, ZAMM, 41, №5 ^1961).

Дополнительная литература
201
41.	Denny D. A., Brodkey R. S., Kinetic Interpretation of Non-
Newtonian Flow, J. Appl. Phys., 33, № 7 (1962)
42.	Dente Mario, Scambio termico per fluidi Non Newtonian! in
moto laminare in condotti circolari, Atti accad. nazl. Lincei,
Rend.. Classe. sci fis. mat. e nat., 1960, № 3—4, 5 (1961).
43.	Drake Birger, Reologins elementa, Medd. Svenska naiional-
komm. mek. Reologisek, Ns 3 (1961).
44.	Dukes W. A., Rheological Measurements of Lutings. Rheol.
Disperse Syst., Pergamon Press, Lnd. — N. Y. — Paris, 1959.
45.	Earnshaw A. W., S p г о s о n J. C., Rheological Properties of
Barytes Suspensions, Nature, 186, № 4722 (1960).
46.	Eisenberg H., Rotation Viscosimeter Directly Measuring the
Ratio of the Shearing Stress to the Rate of Shear, Rev. Sci.
Instr., 28, № 11 (1957).
47.	E p p r e c h t A G., The Viscosity of Plastic Substances, Process
Control and Automat., 8, № 5 (1961).
48.	Ep pr edit A. G., Das wirklichc Fliessverhalten plastischer Sub-
stanzen, Schweiz. Arch, angew. Wissensch. und Techn., 25, № 3
(1959).
49.	Ericksen 1. L., The Behaviour of Certain Viscoelastic Mate-
rials in Laminar Shearing Motions, Viscoelasticity. Phenome-
noL Aspects. Lancaster, Pa, N. Y., 1958.
50.	Ericksen I. L., Characteristic Direction for Equations of Mo-
tion of Non-Newtonian Fluids, Pacif. 1. Math., 7, Ns 4 (1957).
51.	Ericksen I L, Poiseuille Flow of Certain Anisotropic Fluids,
Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 8, Ns 1 (1961).
52	E v e s о n G. F., The Viscosity of Stable Suspensions of Spheres
at Low Rates of Shear, Rheol. Disperse System, Pergamon
Press, 1959.
53.	Foresti R., Liu Tung, Agitation of Non-Newtonian Luquids
in the Laminar Region.
54.	F о r s t e г E. O., A Rheological Equation for Lubricating Greases,
NLGl Spokesman, 24, Ns 12 (1961).
55.	F u к a s a w a Y., J. Chem. Soc. Japan lnd. Chem. Sec., 63, Ns 3
(1960).
56.	G a m b i 11 W. R, Now P and T Change Liquid Viscosity, Chem.
Engng., 66, Ns 3 (1959).
57.	Gaskins F, Philippov W., Instrumentation for Rheological
Investigation of Viscoelastic Materials, lnd- and Engng. Chem,,
51, Ns 7 (1959).
Зак. 18?

202
Дополнительная литература
58.	Gillespie Т., The Effect of Concentration on the Viscosity of
Suspensions and Emulsions, Rheol. Abstracts, 5, № 3 (1962).
59.	Giesekus H., Die rheologische Zustandsgleichung elastovisco-
ser Fliissigkeiten-insbesondere von Weissenberg-Fliissigkeiten
fur allgemeine und stationare Fliessvorgange, ZAMM, 42,
№ 1—2 (1962).
60.	G о i n s W. C„ Jr., The Significance of Mud Viscosity, Petrol.
Product. Technolog., Conf. Jan. 9th—10th, 1956, College Station,
Texas.
61.	Graebel W., Stability of a Stokesian Fluid in Couette Flow,
Phys. Fluids, 4, № 3 (1961).
62.	G rod de К. H., Rheologie kolloidcr Suspensionen, insbesondere
der Bohrspiilungen, Erdbl und Kohle, 13, № 1 (1960).
63.	G rod de К. H., Rheologie kolloider Suspensionen, insbesondere
der Bohrspiilungen, Erdol und Kohle, 13, № 2 (1960).
64.	G г о s s m a n P. V. A., Weissenberg’s Rheological Equation of
State, Koll.-Zeitschr., 174, № 2 (1961).
65.	Hanks R. W., Christiansen E., The Laminar Non-Isother-
mal Flow of Non Newtonian Fluids, A. /. Ch. E. Journ., 7, № 3
(1961).
66.	H a r r i s I., Flow of Viscoelastic Liguids from Tubes, Nature,
190, № 4780 (1961).
67.	Hat tori T., A Treatise on the Screw Extrusion of Thermoplas-
tics Part 1. Theory of the Screw Ektrusion of Non-Ncwtonian
Liquid, Bull. JSME, 2, № 7 (1959).
68.	D e Haven, Extruder Design for a Pseudoplastic Fluid, lnd.
and Engng. Cnem., 51, Xs 7 (1959).
69.	H a у a s h i d a, К e n s e i. Analyse der pseudoplastischen Stro-
mung durch den Kanal mit ringformigen Quesrschnitt im Werk-
zeug fur Drahtummantelung. Proc. 4th Japan Congr.
Test. Mater. (1960, Kyoto), Kyoto, Japan Soc. Test, Mater.,
1961.
70.	Hermann M., Schurz L, Ober die Messung und Interpreta-
tion von Fliesskurven, Chem.-lngr.-Techn., 33, № 5 (1961).
71.	Holzmiiller W., Lorenz I, Viskositatsmessungen Thermo-
plastischer Stoffe, Plaste and Kautschuk, 6, Xs 5 (1959).
72.	Ibrahim Ali A. K., Navier-Stokes’ Equations for Non-Newto-
nian Liguids, J. Chem. Phys., 22, Xe 7 (1954).
73.	I oil a nnsen F., В r u n iо n H., Untersuchungen zur Viscosi-
tai von Rennschlacken, Zeitschr. Erzbergbau un$ Metallhytf^
Wtsen, 12, X» 5 (1959).

Дополнительная литература
203
74.	I о п е s I. R., A Boundary-Layer in a Non-Newtonian Fluid,
ZAMPh., 12, № 4 (1961).
75	lones 1. R., Flow of Non-Newtonian Liquid in a Curved Pipe,
Quart. J. Meeh, and Appt. Math., 13, № 4 (1960).
76.	Ito K„ J. Japan Soc. Test. Mater., 8, № 71 (1959).
77.	11 о К a t s u h i к о, Thermorheological Simplicity in Extrusion
Flow Curves of High Polymers, J. Appl. Phys., 32, № 9 (1961).
78	Jogwich A., Das Fliessverhalten von Suspensionen im tur-
bulenten Bereich, Forsch. Geb. Ingenieurwesens, 23, № 7 (1957).
79.	К a p u r I. N, Some Problems in Hydrodynamics of Non New-
tonian Viskous Liqueids with Variable Coefficient of Gross-
Viscosity, Proc. Nat. Inst. Sci. India, 25A, № 5 (1959).
80.	К e p e s M., Un classement des proprietes rheologiques des corps,
Rheol. acta, 1, Ns 1, 4—6 (1961).
81.	Ko taka Tadao et al., Normal Stress Effect in Polymer Solu-
tions, J. Appl Phys., 30, Ns 11 (1959).
82.	Kozesnik L, Dimensional Analysis of Non-Linear Rheological
Problems, Acta techn. CSAV, 7, Ns 1 (1962).
83.	Krieger 1. M., Dougherty T. I., A Mechanism for Non-
Newtonian Flow in Suspensions of Rigid Spheres, Trans. Soc.
Rheol., 3 (1959).
84.	Lanuniman K. A., Roberts I. E., Notes on the Measure-
ment of Viscoelasticity in Materials of High Viscosity, Lab.
Pract., 10, № 11 (1961).
85	L ay cock G. H., A Constant Liguid Flow Device, Brit. J. Appl.
Phys., 9, № 8 (1958).
86.	Leaderman H., Schwarzl F., Proposed Nomenclature for
Linear Viscoelastic Behaviour, Rheol. Acta, 1, Ns 4—6 (1961).
87.	L о d g e A. S., On the Methods of Measuring Normal Stress Dif-
ferences in Shear Flow, Rheolog. Abstracts, 3, Ns 3 (1960).
88	L о d g e A. S., Rheological Properties of Concentrated Polymer
Solutions. 1. Growth of Pressure Fluctuations During Prolon-
ged Shear Flow, Polymer, 2, Ns 2 (1961).
89	L о h m a n d e г V., Icke-Newtonsk stromning hos macromolekula-
ra losningar studerad med kapillarviscosimetri, Medd. Svenska
nationallkomm. mek. Reologisek, Ns 4 (1961).
90.	Lohmander U., Treatment of Data from Capillary Measure-
ments on Non-Newtonian Liquids, Arkiv. kemi., 13, Ns 4 (1959).
91	Lohrenz I et al, An Experimentally Verified Theoretical Stu-
dy of the Falling Cylinder Viscosimeter, A. I. Ch. E. Journ., 6,
Ns 4 (1960).
15*

204
Дополнительная литература
92.	L у о n s W. 1., Theoretical Values of the Dynamic Stretch Module
of Fiber — Forming Polymers, J. Appl. Phys., 29, № 10 (1958).
93.	Man del 1., Sur le fluage du corps de Maxwell, C. r. Akad. sci.,
241, № 22 (1955).
94.	Mason P., W о о к e у N , The Rheology of Elastometers, Perga-
mon Press, Lnd , 1958
95-	M a u d e A D., Theoretical Evaluation of Capillary Viscosimeters
for the Measurements of the Viscosity of Suspensions of Sphe-
res, Brit. J Appl. Phys, 10, № 8 (1959).
96.	Maxim Daniel, Plastics and Polymer Rheology, Manhattan
Coll. Engrn., 19, № 4 (1962).
97.	McKennell R., Watkin K-, Cone-Plate Viscosimeter for
Operation up to 200° C, Rheol. Acta, 1, № 4—6 (1961).
98.	Mechanical Degradation of Polymers, NBS Techn. News Bull.,
43, № 6 (1959).
99.	Mathieu M., Comportment rheologique et structure (rheologie
non linere). Cahier Groupl franc, etudes rheol., 4, № 4 (1959).
100.	Metzner A. B., Rheological Properties of Suspensions and
Polymeric Solutions, Tappi, 43, № 4 (1960).
101.	Metzner A B, Whitlock M., Flow Behaviour of Concen-
trated (Dilatant) Suspensions, Trans. Soc. Rheol, 2 (1958);
Interscience (1959).
102.	Metzner A В Taylor I. S., I'iow Patterns in Agitated Ves-
sels, A. I. Ch. E Journ . 6, № 1 (1960).
103.	Miles D. O., Sinusoidal Shear Generator for Study Viscoelas-
ticity, J. Appl. Phys., 33, № 4 (1962).
104.	M i 11 С. C., Rheology of Disperse Systems, Proc. Conf. Brit. Soc.
Rheol. Ed., Pergamon Press, Lnd., 1959.
105.	Mohr W. D. et al., Mixing in Laminary-Flow Systems, lnd. and
Engng. Chem., 49, № 11 (1957).
106.	Molyneux F., The Flow and Mixing of Slurries. Some Con-
siderations Leading to the Design of a New Propeller for Li-
thopone Slurry Mixing, Fluid Handle, № 140 (1961)
107.	Moor F., The Rheology of Ceramic Slips and Bodies, Trans.
Brit. Ceram Soc., 58, № 7—8 (1959).
108.	Morgan P G, Note on the Mechanical Analogy of a Viscoela-
stic Fluid, Brit. J Appl. Phys., 12, № 7 (1961).
109.	M ii 11 e r F H., Rheologie und Physik, Rheol. Acta, 1, Ko 4—6
(1961).
110.	Muller H. G., Visco-Elasticity and the Weissenberg Rheogonio-
meter, Nature, 195. № 4838 (1962).

Дополнительная литература
205
111.	Nagarajan R., Venkateswarlu D., Measurement of Vis-
cosity of Non-Newtonian Fluids, Altech., № 10 (1960—1961).
112.	Nijboer L. W., La rheologie des prouits bitumineux. Cahier
Group franc, etude rheol., 3, № 3 (1958).
113.	Oldroyd 1. G., The Hydrodynamics of Materials Whose Rheo-
logical Properties are Complicated, Rheol Acta, 1, № 4—6
(i96l).
114	Orihuela A g u i a, Technologia hidrodinamica de las pastas
de celulosa, Ion., 19, № 214 (1959).
115.	Osinski Z., A Nonlinear Rheologic Model, Proc. Vibrat. Probl.
Polish. Acad. Sci., 2, № 2 (1961).
116.	Overberg R., Leaderman H., Viscoelastometer for Mea-
surement of Flow and Elastic Recovery, /. Res. NBS, 65C, № 1
(1961).
117.	Re ar son 1. R. A., Non-Newtonian Flow and the Design. Part I.
General Principles and Spesification of Flow Properties, Plast.
Inst. Trans, and I., 30, № 88 (i960).
118.	Pechhold V. W., Eine Methode zur Messung des kompleksen
Schubnioduls in Frequenzbereich 1 bis 100 kHz., Acustica, 9,
№ 1 (1959)
119.	Persen L., On the Theory of the Oscillating Disc. Viscosimeter.
Actes IX Congr., Intern. Meeh. Appl, v 7, Bruxelles, 1957.
120.	Perso z B, Modeles analogiques non lineaires, Cahier Groupe
franc, etudes rheol., 4, № 3 (1959).
121.	Peter S., Zur Methodik der Viscositatsmessung, Chem.-Ingnr.
Techn., 32, № 7 (1960).
122.	Peter S., Noetzel W., Ober Einige Experimente zur Frage
des Existenz des Weissenberg-Effektes, Z. Phys. Chem. (RRD),
21, № 5—6 (1959).
123.	Philippov W., Gaskins F., The Experimental Check of
Theories of the Viscosities of Solutions, J. Phys. Chem., 63, № 6
(1959).
124.	Prager W., Linearization in Visco-Plasticity, Oestern. Ing.-
Arch., 15 (1961).
125	R a t h a S Z., Miss Couette and Poiseuille Flor in Non-New-
tonian Fluids, Proc. Nat. Inst. Sci. India, 26A, № 4 (1960).
126	Rath a S L, Miss Superposability of Steady Axi-Symmetrical
Flows in a Non-Newtonian Fluid. Proc Indian Acad. Sci., 51A,
№ 3 (1960).
127.	Ratha S. L. et al., Superposability in Non-Newtonian Fluids
with Variable Viscosity and Cross-Viscosity-Coefficients, Proc.
Nat. Inst. Sci. India, 27, № 4 (1961).

ж
Дополнительная литература
328. Rautenbach R., Das Fliessverhalten dispers-plasffsdteft Mas-'
sen im Walzspalt, untersucht am Beispiel von Kreide-Wasser-
Systemen, Rheol. Acta, 1, № 4—6 (1961).
129.	Reiner M., Deformation Strain and Flow, An Elementary In-
troduction to Rheology, Lnd., 1960.
130.	Rehbinder P. A., Michajlow N. W., Strukturbildung in
dispersen und hochmolekularen Systemen. Strukturtypen und
ihre rheologischen Eigenschaften, Rheol. Acta, 1, № 4—6
(1961).
131	R e n a r d I., Influence des caracteristiques rheologiques des su-
spensions argileuses sur le coulage en barbotine. 31e Congr.
internal, chiinie. industr., Liege, 1958, v.t2, Bruxelles, 1959.
132.	R i v 1 i n R S., The Relation between the Flow of Non-Newto-
nian Fluids and Turbulent Newtonian Fluids, Quart. Appl.
Math., 17, № 4 (1960),
133	Riv lin R S., Solution of Some Problems in the Exact Theory
of Visco-Elastisity, /. Rational Meeh, and Analysis, 5, № 1
(1956).
134.	R i v 1 i n R S., Some Flow Properties ofj Visco-Elastic Fluids,
Actes IX Congr. Internal. Meeh. Appl., (v. 3, Bruxelles, Univ.
Bruxelles, 1957.
135.	R i v 1 i n R. S., Some Flow Properties, of Viscoelastic Fluids,
Aktes IX Congr. Internal. Mecan. 'Appl., v. 3, Bruxelles,
1957.
136.	Roberts I. E., Pressure Distribution jn Liquids in Laminar
Shearing Motion and Compansion with! Predictions from Va-
rious Theories, Proc. Second Int. Congri Rheol., 1954.
137.	Rotem Zeev, Shinnar Reuel, Non-lNewtonian Flow bet-
ween Parallel Boundaries in Linear Movement, Chem. Engng.
Sci., 15, № 1—2 (1961); 17 (1962).
138.	Ryan N. W., Jonson M. M., Transition from Laminar to
Turbulent Flow in Pipes, A. I Ch. E Journ, 5, № 4 (1959).
139.	Sackmann L. A., Wagner A., Determination de la viscosite
par dissipation d’energie. Actes IX Congr. Internal. Mecan.
Appl., v 4, Bruxelles, 1957.
140.	Sackmann L. A., Feidt R., Viscosimetrie par analyse de la
loi d’ecoulement. Actes IX Congr. Intern Meehan. Appl., v. 4,
Bruxellex, 1957.
141.	Scho waiter W. R., The Application of Boundary-Layer Theo-
ry to Power Law Pseudoplastic Fluids, Similar Solutions, A. I.
Ch. W. Journ., 6, № 1 (1960).

Дополнительная литература
207
142.	Schechter R. S., On the Steady Flow of a Non-Newtonian
Fluid in Cylinder Ducts, A. I. Ch. E. Journ., 7, № 3
(1961),
143.	Schreiber H. P., A Study of Time Dependence of Polyethy-
lene Flow in Capillary Viscometry, J. Appl. Polymer Sci, 4,
№ 10 (1960).
144.	S e g a w a W., Rheological Equiation of Voigtian Material,
J. Phys. Soc. Japan, 14, № 8 (1959).
145.	Sellers E. S., W у 11 i e D., The Measurement of Flow Proper-
ties by Co-Axial Cylinder Viscosimeter, /. Inst. Petrol., 46,
№ 438 (1960).
146.	S e r r i n J., Poiseuille and Couette Flow of Non-Newtonian Flu-
ids, ZAMM, 39, № 7—8 (1959).
147.	Stahlberg K., Ei-newtonimaisista nesteista. Tekn. Kem. aika-
kauslehtl, 17, Ns 14 (1960).
148	SharmaS K., Visco-Elastic Steady Flow, ZAMM, 39, Ns 7—8
(1959).
149.	S I a t e г г у J. C., Analysis of the Cone-Plate Viscometer, J. Col-
loid. Sci.. 16, Ns 4 (1961).
150.	S lib ar A., Pa si ay P., Retarded Flow of Bingham Materials,
Trans. ASME, 26 E., № 1 (1959).
151.	Solomon M., Terminologie reologica, Standardizarea, 12, Ns 7
(I960).
152	Solomon M., Viscozimetrie si elemente de teorie a viscozitatii,
Bucuresti, Ed. tehn., 1958.
153.	Srivastava A., Rotatory Oscillation of an Infinite Plate in
Non-Newtonian Fluids, Appl. Sci. Res., 9A, Ns 5 (1960).
154.	Stuke B., Das Grenzflachenfliessverhalten, Chem.-Ing.-Techn.,
33, Ns 3. (1961).
155.	Tomita Yukio, Trans. Jap. SME, 26, 165 (1960).
156.	Tomita Yukio, Trans. J. SME, 25, Ns 157 (1959).
157	Tomita Y., Trans Jap. SME, 24, Ns 141 (1958).
158.	Tomita Yukio, Trans. Jap. SME, 25, Ns 149 (1959).
159.	Tomita Y., J. Jap. SME, 63, Ns 503 (1960).
160.	Tomita Yukio, Analitical Treatments of Non Newtonian Fluid
Flow by Introducing the Conception of Boundary Layer, Bull.
Jap. SME, 4, Ns 13 (1961).
161	Tomita Yukio, Frictional Resistance of a Rotating Disk in
Non-Newtonian Fluid, Bull. ASME, 4, N° 16 (1961).
162	Tomita Yukio, On the Fundamental Formula of Non-New,
. Ionian Flow, Bull. Jap. SME, 2, Ns 7 (1959).

208
Дополнительная литература
163.	Т omit a Yukio, A Study on Non-Newtonian Flow in Pipe Li-
nes, Bull. Jap. SME, 2, № 5 (1959).
164.	Thomas D. G., Transport Characteristics of Suspensions, A. I.
Ch. E. Journ., 7, № 3 (1961).
165.	Trapeznikoff A. A., Deformationsbestandige, elastische und
Relaxations-Eigenschaften der fliissigplastischen kolloiden Sys-
tems, Rheol. Acta, 1, № 4—6 (1961).
166.	Varley E., Flows of Dilatant Fluids, Quart. Appl Math 19,
№ 4 (1962).
167.	Walt W. J. et al, Determination of the Viscosity of Unstably
Industrial Suspensions with the Aid of a Stormer Viscosime-
ter, J. S. Afric. Inst. Mining and Metallurgy, 57, № 12 (1957).
168.	Walters K-, The Motion of an Elastico-Viscous Liquid Con
tained between Coaxial Cylinders, Quart. J. Meeh, and Appl.
Math., 13, № 4 (1960).
169.	Walters K., A Note on the Rectilinear Flow of Elastico-Vis-
cous Liquids through Straight Pipes of Circular Cross-Section,
Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 9, № 5 (1962).
170.	Watanabe S., J. Text. Mach. Soc. (Japan), 12, № 3 (1959).
171.	Weeks D. J., Some Aids to the Design of Dies for Plastics Ex-
trusion, Brit. Plast., 31, № 4, 5 (1958).
172.	Weissenberg K, Some Demonstrations of the Application of
Rheology to the Mechanics of Biological Material, Flow Pro-
perties Blood and Other Biological Systems, Pargamon Press,
Oxford, 1960.
173.	Whitmore R. L., The Viscous Flow of Disperse Suspensions
in Tubes, Rheol. Disperse SysL, Pergamon Press, Lnd., 1959.
174.	Wilcox W. R., Non-Newtonian Fluids, Ind. and Engng. Chem.,
50, № 10 (1958).
175.	Yannas 1. B., Gonzalez R. N., A Clear Instance of Rheo-
pectic Flow, Nature. 191, № 4796 (1961).
176.	Yusa M., J. Tohoku Mining Soc., 6, № 1 (1959).
177.	Yusa Mitsuo, Non Newtonian Fluid Mechanics in a Circular
Pipe, J. Tohoku Mining Soc., 4, № 3 (1958).
178.	Zemplen I., Szabo P, Bcstimmung der Viscositat der Bitu-.
mina, Kolloid Zeitschrift, 153, № 1 (1957).
179.	Ziegler H., Mechanik im Grenzgebiet Fest-Flussig. Schriften.
Forschungsgemeinsch. schweiz. Lackfabr., № 4 (1960).
180.	Zimm B., Theory of the Non-Newtonian Viscosity of High Poly-
mcr Splptions, Ann. N- Y- Acad. Sci,, 89, № 4 (1961).

ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Анализ размерностей, приложе-
ние к задаче перемешивания
157, 161
—-------— теплообмену 149
— ---------течению в трубе 83
Бингамовский пластик в соос-
но цилиндрическом вискози-
метре 46, 182
— — определение 20
----перемешивание 161
— — прессование 129
---- прокатра 134
----теплообмен 146
— — течение в кольцевом ка-
нале 116
---- — в трубе 82
Букингема уравнение 83
Вебера число, определение 158
Вейссенберга эффект 77
Вискозиметр капиллярный 51,
166
—	соосно цилиндрический 42
---- бингамовские пластики
46, 182
— — жидкости, подчиняющие-
ся степенному реологическо-
му закону 42
----ньютоновская жидкость
44, 181
—	типа конус — пластина 49,
170
Вискозиметрия, аппаратура и
техника 166
— принципы, положенные в ос-
нову метода 41
Вязкость, кажущаяся 22
—	ньютоновская 17
—	определение 21
—	пластичная 20
— турбулентная 98
Вязкоупругие жидкости 29,
61
Гистерезисные петли тиксотроп-
ных жидкостей 26
Градиент скорости 9
----иа стенке трубы 53, 141
Гретца критерий 141
Дилатантная жидкость
— — в коаксиально-цилиндри-
ческом вискозиметре 44,
183
----перемешивание 161
— — прессование 129
— — теплообмен 142, 143, 150
----течение в кольцевой ще-
ли 122
-------в трубе 85, 88
Запаздывания время 30
---- функция распределения
37

210
Предметный указатель
Классификация жидкостей 17
Консистенции показатель 54
Коэффициент сопротивления
трения, определение 89
Кривая течения, определение 17
----нсньютоновских жидко-
стей 20
-----НЬЮТОНОВСКОЙ жидкости
18
Максвелловская жидкость 29,
33, 68
•----механическая аналогия
31
-----обобщенное тело 36
Механические аналогии вязко-
упругих жидкостей 31
Мощности коэффициент 157
-----график зависимости от
числа Рейнольдса 164
Неньютоновская жидкость, оп-
ределение 17
•---типы жидкостей 17
Нормальные напряжения в вяз-
коупругих жидкостях 76, 175
Нуссельта критерий, определе-
ние 140
Обобщенный критерий Рейноль-
дса 89
Перемешивание бингамовских
пластиков 161
— ньютоновских жидкостей 157
Пластичности параметр, опреде-
ление 91
Показатель поведения течении
54
Ползучести функция 15, 38, 62
Потери давления при расшире-
нии 111
--------сужении 114
Прандтля критерий, определе-
ние 148
Предел текучести бингамовско-
го пластичного тела 20
Прессование бингамовских пла-
стиков 130
— жидкостей, подчиняющихся
степенному закону 130
— жидкостей, подчиняющихся
уравнению Рабиновича 128
— ньютоновских жидкостей 87
Прокатка 131
Профили скоростей, ламинар-
ное течение 94, 95
----- турбулентное течение
104
Псевдопластичная жидкость,
определение 21
-----в соосно-цилиндрическом
приборе 183
-----перемешивание 161
----- прессование 129
-----теплообмен 142, 143. 150
-----течение в кольцевой ще-
ли 122
-------в трубе 85, 86
Пуазейля уравнение 82
Рейнольдса аналогия 151
Рейнольдса критерий
-----для жидкостей, подчиняю-
щихся степенному закону 91
-----обобщенный 89
Релаксации время 30
----- функция распределения
37
— функция 37, 65
Реопектическая жидкость 27
----- течение в трубе 57
Скольжения коэффициент 179
Скорость скольжения при ано-
мальном течении 178
Стантона число 153
Степенной реологический закон,
определение 21, 54
Течение в трубе
-----— ламинарное с тепло-
обменом 136
------- ламинарное
— — — — бингамовского пла-
стика 82

Предметный указатель
2Н
Течение в трубе ламинарное
жидкостей, подчиняющихся
степенному закону 85
----------жидкостей реологи-
чески стационарных 56
----------ньютоновской жид-
кости 81
------- начало турбулизации
107
------- турбулентное 96
Фруда критерий 157
Хедстрема критерий 84
Частотные характеристики уп-
ругих материалов 66
-------- — экспериментальная
техника 70
Шервуда критерий 154
Шмидта критерий 154

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию...	.................. 5
Предисловие ..............................................  9
Обозначения ....................................... • • • 	13
Глава 1
Классификация иеньютоновских жидкостей
1.1.	Общие положения и определения	....	17
а.	Вязкость ньютоновских жидкостей.......................17
б.	Неньютоновские жидкости ..............................18
1.2.	Неиьютоновские жидкости с реологическими характеристи-
ками, не зависящими от времени.............................19
а.	Бингамовские пластики.................................20
б.	Псевдопластнки	  21
в.	Дилатантные жидкости..................................23
1.3.	Неиьютоновские жидкости, реологические характеристики
которых зависят от времени.................................24
а.	Тиксотропные жидкости. Разрушение структуры при сдвиге 24
б.	Реопектическис жидкости. Структурообразовапие при
. сдвиге ............................................... 27
в.	Сравнение жидкостей, реологические характеристики кото-
рых зависят от времени, со стационарно реологическими
жидкостями	..........................................28
1.4.	Вязкоупругие	жидкости................................ 29
1.6.	Механические	модели	вязкоупругих жидкостей...........31
а.	Модель Фойгта ...	............................32
б.	Модель Максвелла......................................33
в.	Дальнейшие усовершенствования и обобщение моделей
Фойгта и Максвелла.......................................34
г.	Обобщенное фойгтовское	тело ........................ 34
Д. Обобщенная максвелловская	модель .....................36

Оглавление
2/3
е. Связь между аналогиями и функциями релаксации и ползу-
чести ................................................  .38
ж. Примеры применения моделей для описания реальной жид-
кости ................................................   39
Глава 2
Экспериментальное определение характеристик иеньютоновских
жидкостей
2.1.	Существующие методы изучения жидкостей с реологиче-
скими характеристиками, не зависящими от времени ... 41
2.2.	Исследование стационарно реологических жидкостей с
помощью ротационных вискозиметров.........................42
а.	Соосно-цилиндрические вискозиметры . ..................42
б.	Цилиндр, вращающийся в неограниченной жидкости ... 48
в.	Вискозиметр типа конус — пластина......................49
2.3.	Стационарно-реологические жидкости в вискозиметрах с
капиллярной трубкой .................................... .51
2.4.	Обобщение данных, получаемых по методу капиллярного
вискозиметра ........................................... .53
2.5.	Методы экспериментального изучения жидкостей с реологи-
ческими характеристиками, зависящими от времени .... 56
а Вискозиметр с капиллярной трубкой........................56
б.	Ротационные вискозиметры	............57
2.6.	Экспериментальное изучение	вязкоупругих материалов ... 61
а. Существующие методы...................................  61
2.7.	Нестационарные эксперименты. Ступенчатое импульсное
возмущение .............................. .	62
а.	Запаздывающая деформация или ползучесть................62
б.	Функция релаксации напряжения .........................65
2.8.	Динамические эксперименты. Частотные возмущения .... 66
2.9.	Динамические характеристики фойгтовского и максвеллов-
ского тел ................................................68
2.10.	Экспериментальная техника метода частотных возмущений 70
а.	Инерция образца незначительна ...............,	71
б.	Инерция образца значительна........................  72
2.11.	Анализ экспериментальных данных для вязкоупругих
систем.....................................................73
а.	Определение G(X).....................................74
б.	Определение 7(Х) .	.	. .	.75
В. Приближения для О(Л) и 7(Х) более высокого порядка . . 75

214
Оглавление
2,12.	Описание вязкоупругих материалов по измерениям нор-
мальных напряжений........................................76
Глава 3
Течение неньютоновских жидкостей в трубах и каналах
3.1. Зависимость между пропускной способностью и перепадом
давления при ламинарном течении жидкости в круглых
трубах . ............................................  79
а. Ньютоновская жидкость .................................81
б Бингамовский пластик....................................82
в. Степенной реологический закон жидкости.................85
г. Другие эмпирические кривые течения.....................86
д Общие методы, применимые ко всем жидкостям .............87
3 2 Профили скоростей в ламинарном потоке.................94
3.3	Турбулентное течение реологически стационарных жидко-
стей в круглых трубах................................... 96
а.	Обзор предшествующих работ............................96
б.	Получение соотношений для коэффициентов сопротивления
при турбулентном течении в гладких трубах ............. 99
в.	Турбулентные профили скоростей в гладких трубах .... 104
г.	Профиль скоростей и формула сопротивления для турбу-
лентного потока в шероховатых трубах...................106
3.4.	Критерии, характеризующие возникновение турбулентности
в системах неньютоновских жидкостей ....................107
3.5.	Длина входного участка и потери давления при расширении
и сужении канала........................................109
а.	Длина входного участка при ламинарном течении........109
б.	Потери давления при расширении в ламинарном потоке . .111
в.	Потери давления при сужении потока....................114
8.6.	Осевое ламинарное течение неньютоновской жидкости в
кольцевом канале .......................................115
а.	Исходные соотношения..................................116
б.	Решение для бингамовской пластичной жидкости........117
в.	Решение для случая степенного реологического закона 122
3.7.	Прессование расплавленных полимеров...............  125
а.	Ньютоновские жидкости...............................  126
б.	Жидкости, описываемые уравнением Рабиновича.........128
в.	Материалы, описываемые степенным законом . . .	129
г.	Бингамовские пластичные материалы..........	.	130
д.	Другие свойства жидкости .	............... 130
3.8.	Прокатка пластичных материалов...................  .131

Оглавление	2/5
Глава 4
Характеристики теплообмена в неньютоновских жидкое!их
4.1.	Теплообмен при ламинарном течении в трубе...............136
а.	Решение для квазитвердого (стержневого) течения .... 138
б.	Решение для полностью установившегося профиля скоро-
стей ньютоновских жидкостей.............................141
в.	Решение для полностью установившегося профиля скоро-
стей в жидкостях, подчиняющихся степенному реологиче-
скому закону .......................................... 142
г.	Распространение аппроксимации Левека на неньютоновские
системы ..................................................143
д.	Температурные и скоростные профили в неизотермическом
потоке ..............................................   146
4 2. Теплообмен при турбулентном течении в трубе	.	.	....	148
а.	Обзор расчетных формул для ньютоновских	жидкостей	.	.	1<8
б.	Теплообмен неньютоновских жидкостей..................141
4.3.	Теплообмен и поверхностное трение....................151
а.	Аналогия Рейнольдса...................................  151
б.	Аналогия Тейлора — Прандтля..........................153
в.	Аналогии при больших числах Прандтля и распространение
их на неньютоновские системы........................ 154
Глава 5
Перемешивание неньютоновских жидкостей
5.1. Обзор работ по перемешиванию ньютоновских жидкостей 157
‘ а. Мощность, необходимая для перемешивания ньютоновских
жидкостей ............................................157
б. Экстраполяция рабочей характеристики для ньютоновских
жидкостей ..............................................159
5.2. Мощность, необходимая для перемешивания неньютонов-
скнх жидкостей ...................................... 161
Глава 6
Вискозиметрические измерения и аппаратура
6.1.	Вискозиметры	с капиллярной трубкой......................166
6.2.	Ротационные	приборы .................................. 168
а.	Синхроэлектрический вискозиметр ....................... 168
б.	Вискозиметр	Ферранти — Ширлея .........................170
в.	Реогониометр	Робертса — Вейссенберга....................175

216
Оглавление
Приложение 1. Скольжение жидкости вблизи поверхности
твердого тела ................................ ....	... 178
Приложение 2. Основные уравнения для соосно-цилиндри-
ческого вискозиметра .	.	............180
а.	Ньютоновская жидкость..............................  181
б.	Бингамовский пластик ..............................  182
в.	Жидкость, описываемая степенным реологическим законом 184
Литература......................... ....	.	. .	. . 185
Дополнительная литература ......	................ 188
Предметный указатель......................................209
У. Л. УИЛКИНСОН
Z
Неньютоновские жидкости
Редактор Л. П. Якименко Художник В. П. Заикин
Художественный редактор Н. В. Зотова Технический редактор В. П. Сизова
Сдано в производство 27/11-1964 г.	Подписано к печати 22/IV-1964 г.
Бумага 84х108,/«=3.4 бум. л. Печ. л. 11,1 Уч.-изд. л. 9,7 Изд. № 20/1788.
Цена 83 коп Зак. 182. (Темплан 1964 г., пор № 188)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.
2h