Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
Б. Д. АННИН В. О. БЫТЕВ С. И. СЕНАШОВ
)
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА
УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ
И ПЛАСТИЧНОСТИ
Ответственный редактор
д-р физ.-мат. наук В. В. Пухначее
В
НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1985	’

УДК 539.2 4- 517.858 Авннв Б. Д, Бытев В. О., Сенатов С. И. Группо- вые свойства уравнений упругости и пластичности.— Но- восибирск: Наука, .1985. Монография посвящена систематическому исследованию методами Ли — Овсянникова групповых свойств и построе- нию точных решений уравнений теории упругости и пла- стичности: уравнений Ляме, уравнений теории пластичности Мизеса в Треска. Дена групповая классификация среды, характеризуемой общей зависимостью тензора вязких на- пряжений от тензора градиента скорости. Книга предназначена для научных работников, специа- лизирующихся по механике деформируемого твердого тела и смежным отделам прикладной математики, аспирантов и студентов. Рецензенты Г. И. Быковцев, Kf. М. Волчков 1703030000—772 042(02)—85 НО—85—И © Издательство «Наука», 1985'
ПРЕДИСЛОВИЕ Во второй половине прошлого столетия норвеж- ский математик С. Ли начал систематическое ис— следование непрерывных групп преобразований, ко- торые теперь называются группами Ли.' Им*было определено и развито понятие группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений. Однако в дальнейшем эти идеи оказались р- стороне от основ- ных путей развития теории дифференциальных уравнений. . Л. В. Овсянниковым около 30 лет тому назад было начато систематическое изучение применения групп Ли к анализу структуры множества решений дифференциальных уравнений механики и физики* Благодаря исследованиям Л. В. Овсянникова, его учеников и последователей групповой анализ стал самостоятельным разделом теории дифференциаль- ных уравнений. В настоящее время методы группового анализа широко применяется ко многим конкретным диф- ференциальным уравнениям. В книге дается при- менение этих методов к уравнениям теории упру- гости и пластичности, общим уравнениям механики сплошной среды... < Главы 2, 4 написал Б. Д. Аннин; гл. 1, 3, кро- ме § 7, 8, и гл. 6 — С. И. Сенатов, гл. 7 — В. О. Бы- тев, § 7, 8 гл. 3 и гл. 5 написаны Б. Д. Анниным и С. И. Сенапювым совместно. 3
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В этой главе будут сообщены некоторые понятия и оп- ределения, необходимые для понимания дальнейшего изложения. Для более детального знакомства с методами группового анализа следует обратиться к книгам Л. В. Овсянникова (52, 531. § 1. ГРУППЫ ЛИ И АЛГЕБРЫ ЛИ 9 1°. Пусть W — W-мерное евклидово пространство векто- ров х = (xi, ...,xN), рассмотрим отображение f-.R^XB^-R^, . (1.1) где B^R' — открытый шар с центром в точке О е RT. Определим» преобразования Та пространства RN в себя равенством х" =*Тах = f(х, a), x<^RN, а*=В. (1.2) При достаточно малых а, |а| < е, такие преобразования образу- ют группу относительно операции композиции: (Та ° Тъ)х == Та(ТьХ) 5= /(/(ж, Ь), я) — ТСХ. При этом для каждого преобразования существует обратное пре- образование и существует тождественное преобразование: f(f(x, а), аг1) = х, f(x, 0) = х. Предполагается, что f^C"‘(RK, В). Такая группа называется ло- кальной г-пара&етрической группой Ли GTi Пример 1. Преобразования растяжений .Х1=еах, и сдвигов хг — Xi + b (i — i, Ny образуют двухпараметрическую группу пре- образований пространства RN. Важное место в теории локальных групп Ли занимают одно- параметрические группы G,. Можно сказать, что GT как бы «сот- кана» из своих однопараметрических нодгрупп, ее свойства пол- ностью определяются свойствами однопараметрических подгрупп. Для группы Gi шар B^R1 является некоторым интервалом. Фиксируя х и изменяя параметр а вдоль этого интервала, полу- 4
1им некоторую кривую в пространстве R”, содержащую точку х. Касательный вектор к этой кривой в точке х вычислим по фор- муле (‘-3) Для группы растяжений из примера 1 касательный вектор имеет вид 1 = (х,, хя), для группы сдвигов | = (1, 1). Формулы (1.3) определяют касательное отображение % ; RN -► которое является лишь первым .приближением соответст- вующего преобразования группы G^t х'— х + #,х')а +о(а). (1.4) Под действием преобразования Тл гладкая функция Fkx) преоб- разуется следующим образом: TaF(x) = F(Tax) = Fix) + a|(®)F'(x) + o(a), или в координатной форме • / i — 1, ..., 2V\ F(Tax) = F(x) + aa&^ + o(a) Последнее равенство приводит к понятию инфинитезимального оператора” Хв-&г)^ (1-5) Так, группе растяжений- из примера 1 соответствует оператор N Ха = х' 5—, группе x'i = Xi + ь — оператор Хь = У —. Инфи- нитезимальные операторы (в дальнейшем просто операторы) для данной группы G, образуют алгебру Ли £„ которая представляет из себя г-мерное линейное векторное пространство, замкнутое относительно операции коммутации. При этом операция комму- тации удовлетворяет тождествам [X, У] = -[У, XI, [X, аУ + pZ] = atX, У] + р[Х, Z\, • [X, [У, Z]] + [У, [Z, X1J + [Z, [X, У]] =0. Пример 2. Векторы из R3 с операцией векторного умноже- ния есть алгебра Ли Lt. Для операторов (1.5) операция коммутации определяется по формулам rV V ft*' 1 I I ___ • IAO,APJ = feagr, L г \ « я/г = (x<4-xp&)JL (1.6) ° По повторяющимся индексам производится суммирование. 5
Если Xi, Хг есть базис алгебры Ли Lr, тогда [Xj, Xj-] = СуХа (a, I, j — 1); постоянные Су называются структурными константами. Знание структурных констант позволяет, с точностью до изоморфйзма, восстанавливать .алгебру Ли L,. Для операторов Ха, Хь из примера 1 имеем [Хо, XJ = — Хъ. Операторы Ха, Хь порождают алгебру Ли L2, которая соответст- вует группе Gg. Алгебра Ли — объект гораздо более простой по сравнению с локальной группой Ли, поэтому в дальнейшем мы будем иметь дело в основном с алгебрами'Ли. Зная алгебру Ли, при необхо- димости всегда можно восстановить группу Ли, для- этого, надо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений tlZ- / f = 11 С3- )> v * * * * xi |а=о ~ xi‘ Пример 3. Для оператора X = х, сцстема уравнений Ли имеет вид =*= xit xt |о=0 == Х{. Решая ее, получаем хг = е х^ Замечено, что уравнения механики, как правило, допускают следующие преобразования. 1. Перенос по времени t' = t + а, ему соответствует оператор V а переноса л0 = . 2. Переносы по координатам x't— x-t + а„ операторы Х| = ^- (г = 1,2,3). ’ , 3. Преобразования Галилея: х{ — xs + iait и, — и, + а{, опера- торыЛ-lj^+i (I-1,2,3). • 4. Вращение вокруг оси xs: хг = х, cos,a + х2 sin a, ut = и, cos а + и» sin а, ' . » - . (1*7) xs == — хг sin а 4- х2 cos а, иа = — ut sin а -f- и2 cos а, vd 0 , д д г, , оператор А — — z, — + и2 — и} $-. Вращение вокруг - 1 2 1 2 других осей получается из (1.7) круговой перестановкой ин- дексов. 5. Растяжение t' =eat, х\ = ех^, оператор X = t-^ 4- В каждом из рассмотренных случаев указаны только коорди- наты преобразуемых величин, те величины, которые явно не ука- заны, преобразуются тождественно.. 2°. Для работы с алгебрами Ли в дальнейшем понадобятся следующие определения. 6
Определение»^ Векторное подпространство N<=L называ- ется подалгеброй Ли L, если для любых и, v&N следует, что lu, v\ &N. Пусть Gr — группа Ли и Lr — соответствующая ей алгебра Ли, тогда каждой подгруппе группы Gr соответствует некоторая под- алгебра из алгебры Ли LT .и наоборот. Такое соответствие харак- терно и для более специальных классов подалгебр и подгрупп. Определение. Подалгебра Z^L называется центром ал- гебры Ли L, если для любых элементов u&Z, v^L следует In, г) =0. Определение. Подалгебра I^L называется идеалом ал- гебры Ли L, если для любых иsL, пе/ следует [и, р]е/. $ 2. ИНВАРИАНТЫ И ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ Определение. Не тождественно постоянная функция 7(аг) называется инвариантом группы Gr, если для любого преоб- разования группы Т'а е GT следует TJ = I. Пример 4. Для группы растяжений х’ — ах, у' = ау в про- странстве инварианты -имеют вид х/у == const. Теорема. Для инвариантности функции I-.R^-^-R1 относи- тельно группы Gr с базисными операторами Ха = '^1~ (а== = 1, ..., г) необходимо и достаточно выполнение условий Ха1 = й±1^0 (а = 1, ...,г). Определение. Многообразие McR” называется инвари- антным многообразием группы GT, если для любых х^М и Та^ е Gr следует Тах &М. Пусть многообразие М задано условием M:4'°U) = 0 (о == 1, ..., а), где 4го — функции из класса С* такие, что общий ранг [531 (d4"7dxt)\M~s. Теорема. Многообразие М является инвариантным относи- тельно группы Gr тогда и только тогда, когда выполнены тож- дества' ХаЧ^а(х) I м == 0 (а = 1, ..., г;; а — 1, ..., а). Пример 5. Рассмотрим однопараметрическую группу вра- - * щений на плоскости ху: х' =>х cos t + у sin t, у'. = —х sin t + у cos t. Этой группе соответствует оператор X = у — x~Sy‘ Многооб- разие ж2 + у2 = 1 инвариантно относительно группы вращений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка 8 : Fa(x, и, р) = 0 (а = 1, ..., s),. (2.1) 7
где x=(.xt, хп), u=^{Ui, ..., ит), р = (pt Система (2.1) есть система дифференциальных уравнений с т искомыми ди* функциями от п независимых переменных, р} — Систему уравнении (2.1) будем рассматривать как многообразие в прост- ранстве R 1 (х, и, р). В этом пространстве х, и, р — независимые переменные, М = п + т + пт. Такое пространство называется продолженным пространством пространства R 0 (ж, и), N0~m + n. Бели многообразие М <= /?”+т инвариантно относительно груп- пы Gr, то продолженное многообразие М a: R 1 инвариантно от- носительно продолженной группы GT, которую нетрудно восста- новить по группе GT. . . Пусть группа Gr порождается операторами Ха, тогда Gr по- рождается операторами Ха' • я .. я (i = 1, ’• ч п \ + , , Ь (2.2) oxi \к = 1, ...,т/ ' ' Х»-Хв + ЙЛм,- (2.3) где ga, T]a — функции ТОЛЬКО X, и, &=£i(»£)-PBMU), Di = я— *Н~ Pi —5> dxi дик Пример 6. Продолжим оператор X — у — х-~ в прост- ранстве R3{x, у, и), где и — и(х, у). Имеем X = X + Px^.~ Ру ____ ди ___ ди Рх~~д^' Pv ='до- определение. Будем говорить, что система уравнений (2.1) инвариантна относительно группы GT, если система уравне- ний (2.1) инвариантна относительно продолженной группы Gr- Это определение дает способ построения группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений (2.1), т. е. XFa(x, и, р)1в = 0. (2.4) Из системы (2.4) получаем уравнения для определения функций а следовательно, и способ построения алгебры Ли. Пример 7. Найдем группу непрерывных преобразований* допускаемую уравнением [ ди \ 2 [ дц \ 2 ' | -Т— + I Т— = 1. \ 1 / V i • (2.5) Уравнение (2.5) служит для определения функции напряжения в задаче пластического кручения. 8
Итератор (2.2) для уравнения (2.5). следует искать в виде X = I1 (жп ж2, и) + |2 (®lt х2, + n(*i, «2, не- согласно формуле (2.3) продолженный оператор имеет вид х'-х+с.^ + с,4-. , вл , йт) / atf , \ ди где L = -X2- + Pi -а2- — Рв ЙГ~ + Pi ~?Г~ Ь Pi = й~ • ъг QX гг ди ГР| дх гг qu р п qx Действуем продолженным оператором X на уравнение (2.5), пог лучаем PiSi "I* РгЬ * 0* - (2.6) Для перехода на многообразие, задаваемое системой (2.5), в урав- нении. (2.6) положимР2 = У" 1 — Pi- Теперь после несложных преобразований получаем ^Ч дх ди дх I ди дх ди I ^11 ди дх„ ди I .п3 «£ Iя = (1 - „2) Г Л _ „ 4- (Л-„2)<Т + ди J ' Р1/ Pl ^йа:2 дх^ ди J ' ди J " (2.7> Приравниваем нулю коэффициенты при одинаковых степенях pt в уравнении (2.7). В результате получим определяющие урав- нения Jl = 0,’ ^ = 0, ^ = 0, Д = 0, ди 1 ди дх1 1 дх^ 1 ^»_^ = о 15-^ = 0 = 0 (2'8> ди дх2 ’ ди dxt ’ дх^ дх% Интегрируя уравнения (2.8), получим ») = aii + cs, =» axt — bxt + с„ = ах2 + bxi + cg, где а, Ъ, с»; cg, с, — произвольные, постоянные. Следовательно, уравнение (2.5) допускает группу Gs, при этом базис алгебры Ли L5 имеет вид у । । д -у д д 1 ~иШ + Ж1^ + Х2д^ Х2 — V y & V 4==^’ Если требуется вычислить группу Gr, допускаемую системой дифференциальных уравнений второго порядка, а именно такие уравнения в основном и встречаются в механике сплошных сред, то необходимо воспользоваться условием инвариантности опреде- 9
ляемого системой многюйбрааияотаосительно дважды ^продолжен- ной группы Gr, которой соответствует оператор X — X + оц ту» ‘ Л к 0 где оЬ - Ъ, (t?) - rf„D, (S’), D, - Д + rf + г^. а2 k & Uh “ дх дх-1 *ПРИ этом критерий инвариантности имеет вид i 3 XF(x, и, р, г) Ге = О, S; F(x, и, р, г) == О, J" = (X,, . . ., Хп), U =(ЦХ, ..., Um), р=(р{, Рп), Г =(/н, . . ., Г™п). § 3. ИНВАРИАНТНЫЕ И ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ’ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть Gr— группа непрерывных преобразований, допус- каемая системой дифференциальных уравнений S:F(x, и, р, г) = 0. (3.1) Оказывается, под действием преобразований группы Gr решения системы уравнений (3.1) снова переходят в решения этой же си- стемы. При этом некоторые решения системы (3.1) переходят сами в себя, т. е. являются неподвижными точками относительно действия группы Gr. Такие решения находить, как правило, про- ще, поскольку они зависят от меньшего числа переменных, чем произвольное решение исходной системы. Пусть Н — подгруппа группы Gr, допускаемой системой диф- ференциальных уравнений (3.1). Определение. Решение и — <р(я) • называется Н-инеариант- ным решением, если многообразие и = <р(я) инвариантно относи- тельно группы Н. Алгоритм построения инвариантных решений (Я-решений) состоит в следующем. Пусть L<^Lr и L — подалгебра, соответ- ствующая подгруппе Я, I,, ..., I, — полный набор инвариантов, который определяется из решения уравнений Х₽7а = 0, fc=l, s; р = 1, ..., Z, (3.2) тде X,, ..., Xi порождают L, а Д, ..., 1„ — полный набор функ- ционально независимых решений уравнений (3.2). Инвариантные решения можно искать не для каждой подгруппы Я с: Gr, а толь- ко для подгрупп, удовлетворяющих необходимому условию: Теорема. Для существования Н-решения необходимо, чтобы rang l\dltfduh\\ = m. . .(3.3) Инвариантные решения строятся следующим образом: m ин- вариантов 7,, ..., 7т, зависящих от искомых функций ut, ..., um, 16
назначаются функциями от оставшихся s — m — l инвариантов, - в которые входят только независимые переменные. Поскольку s = т + п — I, то число независимых переменных меньше п я равно п — 1. После подстановки инвариантного решения в систе- му S она записывается только в терминах It, ..., I, и называется системой S/H, которая, как правило, проще исходной системы S. Плоские, одномерные, осесимметричные, автомодельные реше- ния— вот далеко не полный перечень инвариантных решений, широко используемых в механике сплошных сред и ее прило- жениях. „ „ / ди\% , / ди\2 . п Пример 8. Уравнение 1^-) + Igj-I =1 из примера 7 до- - V & . & , ® ТТ пускает оператор л1 = + х2 Построим инвари- антное решение на этой подгруппе. Инварианты имеют вид Л “ = xjxz, h = uJxi. Необходимое условие (3.2) выполнено, поэто- му инвариантное решение следует искать ,в виде w = «1n(z), г = Л. После подстановки этого соотношения в уравнение полу- чаем обыкновенное дифференциальное уравнение, (и + «и')2 + + г2и' = 1, которое в данном случае является системой S/H. Если не выполнено необходимое условие (3.2), то можно ис- кать частично инвариантные решения, введенные Л. В. Овсян- никовым [52]. Пусть rang lld/(/0uAll == т — б, (3.4) где Л, ..., 7™-* — инварианты группы Н, которые удовлетворяют - условию (3.4). Переходим к переменным — и), Уг = 1т-ь+г(х, и) « (3.5) (i = 1, ..., т — б, i = 1, ..., р), р =! п — г* + б, г* = rang 1|. Теперь из соотношений р4==р’(р) (i = l, т — б) определяем функции иъ ..нт_в через х, у, v и uf — um~t+a (о = 1, б). Подстановка этих выражений в систему дифференци- альных уравнений (3.1) приводит к системе дифференциальных уравнений относительно т — б функций v' от р независимых пе- ременных у1, ..., и системе уравнений относительно 6 функ- ций w6 от п переменных. Полученные уравнения описывают частично инвариантные решения ранга р и дефекта б. К частич- но инвариантным решениям относятся, например, простые и двойные волны, которые широко применяются в. механике. § 4. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОДАЛГЕБР Определение. Две подгруппы Н и Н' группы Gr на- зовем подобными (сопряженными), если существует внутренний автоморфизм А группы, Gr такой, что А(Н)—Н'. 11
Пусть Н л Н' подобны, тогда для любого Я-решения в — ф(хг существует преобразование Т Gr такое, что Т<р(х) — ф(ж), где и = ф(ж) есть инвариантное Я'-решение. Поэтому для построения всех существенно различных инвариантных решений необходима построить систему неподобных подалгебр (оптимальную систему подалгебр). Пример 9. Рассмотрим группу движений в пространстве Яг v д -жг д -гг д д it л, Л, = -х~, Ла=-г-, ----х-%-. (4.1 • 1 Ох * Оу3 а Ох ду ' *• Пусть А — автоморфизм, соответствующий оператору К, тогда автоморфизм А действует на оператор L по формуле 145] * /.2 A (L) = L + а [К, L\ + |Я, [Я, Я]] + ... ... + £]...]] + .... Автоморфизм, соответствующий оператору Xi, действует на опе- раторы (4.1) по формулам А1(Х1)=Х1, Л(Х2)=Х2, А1(Х3) = Х3-аХ2. Автоморфизм, соответствующий оператору Xi, действует на опе- раторы (4.1) по формулам Л2(Х1)=Х1, А2(Х2)==Х2, А2(Х3)=Х3 + ЬХ. Автоморфизм, соответствующий оператору А3, действует на опе- раторы (4.1) по формулам * A2(Xj) = Xi cos а + Х2 sin a, Л3(Х2) = —X, sin а + Х2 cos а,. А3(Х3)=Х3. Рассмотрим оператор Х = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3. (4.2) Если с2 0, то А,А2Х== с,Х, 4“ с2Х2 Ч- с3Х3 с3аХ2 с3ЬХ,. Полагая а = с,/с3, Ь = — cdga, получим, что прй с3=#=0 оператор (4.2) подобен оператору Х3. Если с3 = 0, то нетрудно показать, что оператор (4.2) подобен оператору X,. Окончательно получаем, что оптимальная система одномерных подалгебр 0j имеет вид X., Х3. Другие способы построения оптимальных систем можно найти в работах [52, 53, 75, 951. Замечание. Вообще говоря, необходимо строить оптималь- ные системы двумерных нодалгебр 02, трехмерных подалгебр 0S 12
а -г. д. Но в дальнейшем изложении в основном будем искать инвариантные решения построения только на одномерных под- алгебрах. При необходимости мы будем действовать следующим образом: для системы дифференциальных уравнений S строим оптимальную систему 0,, пользуясь 0t, выписываем системы S/H, для которых ищем допускаемые группы G, а для найден- лых групп снова строим оптимальные системы, и т. д. § 5. ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ Часто многие уравнения механики содержат произволь- ные, заранее не < фиксированные параметры или функции, кото- рые следует, как правило, определять опытрым путем, в группог вом анализе они называются произвольным элементом. Напри- мер, это может быть показатель адиабаты в уравнениях газовой динамики или закон текучести в теории пластичности и т. п. Оказывается, методы группового анализа позволяют целенаправ- ленно выбирать аналитический вид таких функций, при этом тре- буется найти вид произвольного элемента с тем, чтобы заданные уравнения допускали максимально широкую группу. Такая за- дача называется задачей групповой классификации. Для уравне- ний теории пластичности она решалась в работах [39—41, 70, 71, 99]. Необходимо отметить, что задача групповой классификации всегда решается с точностью до преобразований эквивалентности, которые действуют на произвольный элемент, сохраняя структу- ру самого дифференциального уравнения. Алгоритм решения задачи групповой классификации состоит из двух частей: сначала ищется основная группа Go, при этом на. произвольный элемент не накладывается никаких ограниче- ний. Затем перечисляются все специализации, при которых груп- па G, допускаемая системой дифференциальных уравнений, ста- новится шире основной группы Go. Глава 2 ~111 1 - ------ ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Пусть t — время, Xi, х2, х3 — декартова система коорди- нат; ut, и2, иг — компоненты вектора смещения; vt, v2, vs— ком- поненты вектора скорости, o«, ew (i, j = 1, 2, 3) — компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно; X, ц — по- стоянные Ляме, р — плотность. • 1 ii 13
Динамические уравнения линейной теории упругости имеют вид (p = const) йах1 да12 йа13 dt dx^ dx% dxs ’ й»х. йих J /йих йи2\. (0.1> V1 = ~at' 611 = дх^' ®12 ~2 ^йж^ Т Оц === Х(вц 4у 622 "Ь" 633) 2рвц, 1 . °12= 2ре12, о*-'о О<—£ 1 Символ £ > означает круговую перестановку индексов. 3<—2 Уравнения (0.1) дополняются начальными и граничными ус-, ловиями |t=0 ” (*1, -^2’ ^-э), Vi |t=O = ^2» ®з)» (^1> ^-2» ^з) 4" СцП} = Т* (t, хх, х2, х3) на ST, (0.2} ' Ui = и* (t, хх, х2, х3) на Su, Su + ST = S. Здесь S — поверхность тела V, величины с ноликом- и звездочкой считаются заданными. Исключая скорости и напряжения, полу- чим из (0.1) уравнения Ляме р = (к + р) grad div и 4- рДи, - (0.3) dt • 02,02 -2 A ss-----1-----1---. йа:2 дх% йж| В цилиндрической системе координат г = (х? + х2)1/2, <р = arctg (жг/хз), z = х», и — (ит, иф, uz) уравнения Ляме имеют вид (X 4- 2р) 8J dr 2р г a<nz Йф А, 4-2р. 9J г й<р 2ji даг Й2 ййг‘ йг -2 8 “ф = р^Г’ ot Ййг] й2иг ^ф]=р"й?“’ (0.4> = р_^’ ди. 1 я t ди,. J^—0: 4. А (п. А 1 А—5 ' dz г dr V 1 ( 1 8иг 8и<р\ ®г- гДУй^ -йГ/’ ®г=4-[44г(^ф)- Г Йф ’ ' . = 2 \ йг йг 1 вкг] Г Йф 14
1ри этом компоненты тензора деформаций и напряжений равны диг . 1 0И<₽ . ит диг ~ Л7’ Е” “ ~~д^ + &г ” 1 ц<р ,, 1 8гч> 2 \ дг г г йф /’ л /ди, ди,\ А ! а ди, йи„\ = + + (°-5> Or = AJ + 2цег, оф = X/ 4- 2цё„ oz = XJ 4- 2p.ez, Огф Z= Grx =3 2p8rz, Gfpz S=S 2|18фХ* Пусть функций <p = <p(i, Xi, хг, x3), ifc = i|>i(t, xu x2, x3) (i = = 1, 2, 3) суть решения следующих волновых уравнений: а®£2- = Дф, 6®—£-=Дф4 (г = 1,2,3), /п„. йг dtz ' (0.6} о® = р/(Х 4- 2р), 6® = р/р. Тогда решением уравнений Ляме (0.3), как нетрудно убедиться, будет п — grad<p4- rotfy ф2, ifs). (0.7) Отыскивая точные решения волновых уравнений (0.6), получим по формуле (6.7) точное решение уравнений Ляме (0.3). § 1. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ЛЯМЕ Для исследования групповых свойств уравнений Ляме запишем систему (0.3) в виде U — характерный размер) —j-= graddrvu 4-0Ди; (1.1). йт х* = xjl, т = t (Х4- p)V2p-1/2₽=р/(Х 4-- Ц)> «{= (г, х*, х*, х*). В дальнейшем звездочки у координат опущены. Оператор, до- пускаемый системой (1.1), ищем ввиде v т* । t' д . д * ~^>~дх + + ГДе т]< & = 1» 2, 3) — искомые функции от т, xt, ut (1=* = 1, 2, 3). Продолжим оператор X на вторые производные. Затем из критерия инвариантности многообразия, задаваемого уравне- ниями (1.1) в продолженном пространстве, получим систему оп- ределяющих уравнений. Решая эту систему, находим [94] сле- 15
Таблица 1 Тип подал- гебры Подалгебра Базис подалгебры Тип подал- гебры Подалгебра Базис подалгебры *1 д ©1,1 ©1,2 ©1,3 «1,4 ©1,5 ©1,6 аЯ + Zs Xo+Za aX04-X#4-Za R X. аХ0 + Xg Г ** N co in ® r- co 0a S -f* «• «• 0 0 4 0 фффффф ф ффф.'ф Xg, Xg, R, Za Xo, Xlt Ха, Я Xg, Xg, Xg, aR 4* Za Xg, Xlf Xg, Xs 4-Za Xo, Xlt Xj, Xg Xg, Xg, yXg.+ Xg, aR 4- Za ^lc Xg, <XXO 4" Xg, Xg+Zg Xg, Xg, R, Za aX„4- Xi, Xg, Xg, R ,Zi> Zj, Za» R Zj» Z^, Za» Xg ©2 ффффффффф м . ьа м м bs ьа to ьз ьз Ь оо м о> Ъ Хо, аЯ 4" Za Xg, Xa+Za Х>. X, Хо, Я Я, Za a X0+Xa, R а Xg 4- Х3, yR 4" Za Ха, aX0 4" Xg oX0+X3, Xo + Za ©6 ф ф ф ф ф йл сл «л ел сл (₽* оа м Xg, Xg, Xg, Xa, R Xg, Xlt Xg, R, Za Xg, Xg, Xg, Xg, aR + Zg 'Xg, Xg, aXg+X8, R, Za Zi, Za, Za» Xg, R ©8 ффффф’фффффф woac*5oaww с*з со оа со с*з L * в оо ч ® ел k « N н о Xg, Xg, aR + Za Xo, R, Za Xg, Xg, R Xg,Xg, Xg aX0 4" Ха, Я, Za aX0 4- Xb Xg, R aX0 4- Xlt Xg, Xg -Xb Xg, aR 4- Za Xlt Xg, aX04- X,4-Za Х1г Xg, X04-Za Zj, Za, Za ©e ©6,1 ©6,2 Xg, Xg, Xg, Xg, R, Za Zj, Zj, Za, Xg, Xg, X3 ©7 ©7,1 ©7,2 Zi, Z2, Za, Xg, Xlf Xg, Xt Zg, Zg, Za, R, ^1, Xg, Xg дующие операторы, допускаемые уравнениями Ляме (1.1): п д , д д п 8 . д v __ д v ___ д v д А1 ~ а^’ 2 - а^’ 3 = а^’ г, ь д д. - д д Z1~~XzdZ a8fcr + «2gr-—“8^-f о л о л 4-w.jr-, (1-2) °ди’ ' ' о (1.3) 16
, — 8 _ 8 , д 0 '2 Ъ Qx Qx ' Wg q U± g , 1 О 1 0 „ д д . д d "Я -- Xi A Xg a + a “” Uo л у ®ж2 2 &Х1 1 ®И2 2 0и1 D 0 . 0 , 0 > 0 Л — Т-д- + X, ^—. + X, S----Ь хч -X—, . дх 1 10л?1 гйяа 30ха Y______0 А« — дх • Здесь wt, w2, w3 — произвольное решение уравнений (1.1). Группа Ли оказалась бесконечномерной с нормальным дели- телем, порожденным операторами Ро, Ри, что является следствием линейности и однородности системы (1.1). Фактор-группа по это- му нормальному делителю порождается восемью операторами (1.3). Будем ее в дальнейшем обозначать Gs, а соответствующую подалгебру Lg. Операторы (1.3) соответствуют следующим ко- нечным преобразованиям, при которых система (1.1) -сохраняет свой вид (выписываются только фактически преобразуемые ве- личины): а) оператор переноса по времени Хо: т' = т + а (а — произ- вольная постоянная); б) оператор переноса по координате Xtz = хх + b (Ь — про- извольная постоянная); с) оператор растяжения R: х' = 1х, хх = 1хи х2 = 1ха, х8 = 1ха (Z > 0 — произвольная постоянная); д) оператор Zs вращения вокруг оси ^3: ф' = ф + с (с — про- извольная постоянная); действительно, как нетрудно видеть, за- мена ф на ф + с не меняет вид системы уравнений Ляме (0.4), записанной в цилиндрической системе координат г =(х® 4- Ха)1/2, Ф = arctg (xg/x,), z=-x3. В этой, системе оператор Z3 имеет вид ’ (1-4) Оптимальные системы подалгебр LT порядка г -1, 2, ..., 7 для Lg указаны в табл. 1, где a, f — произвольные постоянные. § 2. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ 1°. Вид инвариантных решений рангов р_= 1, 2, 3 дан в табл. 2. При этом введены следующие обозначения: х = х„ у = х2, z = x3, u = u„ v = u2, iv —Us, r=‘(xl + у2)172, ср = arctg (y/x), и = /(g) cos T) + g(g) sin Ц, v — /(|)jin 4 —_g(£) cos Ц, w = ^(g), БИБЛИО i £HA КАЗАНСКОГО (2.1) ’’ООЮЗ ' Б. Д. Аннин, в. О. Бытев, С. И. Сенатов 17
Таблица к Подал геб- ра Ранг Искомые функции Независимые переменные ®М 3 те-®’, те~а9, «Г09 ®1,2 3 “г. “ф- «1 -<Р —'т, Г, Z <*1,3 • 3 ^ф> ^Z «4 1 •в 1 н «1,4 3 ut vt w х/т, у/т, z/t в1,5 3 U, V, w Х9 У, z ®1,в 3 u9 V, W т — ал, х, у ®2,1 2 ur> “ф. «ж ге-®ф, хе-®*51' ®2,2 2 «Г. «ф. »z г, <р — » ®2,3 2 и, щ w *. У ®2,4 2 U, V, w x/z, j//z ®2,5 . 2 %p> Wz r/t, z/т ®2,в . 2' U, 1/, w, х- у т — az ’ т — az ®2,7 2 «4» иф> «« te“”, (т >— yz)e“” ®2-8 2 U, Г, w т — ах, у ®2,9 2 Mr» V «Ж r9 т — az — ф t ®3.1 1 «Г. «ф. И, re"®’ ®3,2 1 «г. «ф. «Z r/z ®3,3 1 u, w ylx «3,4 7 1 U,V, w " У ®з.з 1 «г» «ф» И» (т — az)/r «3,8 1 U, V, W (т — ах)/у «3,7 1 U9 V, w х —ах «3,8 1 Ut Г, w <Trt Н 1» II rI- 3 (a¥=0) «3,9 ‘ 1 Щ V, w 5 = т — az, г) = z. X* «3,10 1 Щ V, w tTrt II -Й II <4 18
i u<f, и* — компоненты., вектора смещены в цилиндрической си- стеме координат, а, 1-— произвольные постоянные. 2°. Рассмотрим решения ранга 1, т. е. решения;- зависящие от одной переменной [95]. -' . . Решение, инвариантное относительно подалгебры 03, i (см. табл. 2), следует искать в виде иг = /(£),. к,. — g(£), ut — h(&, £ = г exp (—сыр), (2.2) где а — произвольная постоянная. Подставляя выражение (2.2) в уравнение Ляме в цилиндрической системе координат (0.4), по- лучим следующую систему обыкновенных уравнений относитель- но функций /(|), g(£), й(|): |[1 + ₽(1 4- а2)1 (V* + П + (1 + ₽)/ - al2g” + 2a₽gg'= 0, (2.3) |[а2 4- 0(1 4- a2)] fa” 4- g') - 0g - agf" ~ 2а(1 + ₽)£/' - 0, Здесь штрих означает производйую по Решая эту систему, находим \ иг = (с,|“ + c2g-“) cos (a® In |) 4- (cs£“ 4- c4g-“) sin (a® In g), (2.4) a, = (ceg“ 4- ce^~“) cos (a® In g) + (c7g“ + c.g-*) sin (a® In |), Ur = ce In I, ® = (14- ct2)-1.' Здесь постоянная ce равна нулю или 1; восемь постоянных с,, с2, ..., се связаны четырьмя линейными соотношениями, кото- рые следуют из (2.3) и (2.4) (если принять во внимание линей- ную независимость функций £=*=• cos (a® In |), • sin (a® In £)). Это решение обладает тем свойством, что на цилиндрической по- верхности г = £ exp (а<р) (| — постоянная, z — любое) значения Ur, Ur постоянны. Оно может быть использовано для опреде- ления напряженно-деформированного состояния в цилиндре, се- чение которого представляет четырехугольник, ограниченный ло- гарифмическими спиралями. При а = 0 с» — с* линейно неза- висимы. ’ Для подалгебры 6s.s ищем решение в виде (2.2), нет £ = r/z. Это решение таково: йг = -|-г, и<₽ = (г8 4- z8)1/2 4- а2г~\ - (2.5) «z = — 2 (1 4- 0)"ф, F = ф 4- zip, <Р = С1 [(Г2 + z8)1/8 _ z Ь *4-.(<+/)1/!^ + 2₽+1. ь ф — с3 In г 4- 2 (4 эд In г. Здесь с„ с2, с», at, a* — произвольные постоянные. При «, = Ог = 0 Решение (2.5) — это решение Буссинеска [64]. 19 •
Для подалгебры 03,3 решение имеет вид u = fly/x), v = g(y/»), w = h(y/x). Это стационарное автомодельное решение. Для подалгебры 03,4 решение таково: u = /(y), v = g(y), w — h(y). Оно зависит от одной пространственной координаты. Для подалгебры 0»,4 решение таково: Wr = /(g), Ur=g(^), Нх = Л(р, g== (т - az)Jr. Подставляя.(2.8) в (0.4), найдем /(g) = c,(ga + аа - (1 + р)’1)172 + c»g + c3am(g), g(g) = + d2n(gT, h(l) = aCi In [g + (g* + a2 — (1 + p)"1 )*/2J + + c3 In:[g+ (g2 + a2 - Р“‘)‘/а1, a2_p-l < l/2g, если Pa® = 1, a2 — p-1)172, если Pa2 =/= 1, g-1, если pa2'= 1. т (g) = п(Ю = (2..' (2.” (2Л (2.L Здесь а,, а2, с,, с2, с3— произвольные йостоянные. Построенно решение имеет особенность при г = О, которую можно лрактовцт как наличие на оси z некоторого возмущения. Для подалгебры 03, в решение имеет вид w = C1F.(g) + c2G(g), v-4aF(g) + C1G(g), n^cF(g), (2.1С £ = (т — ах)/у, с = 0, 1; a, ct, с2 — произвольные постоянные; G = — — In_________^а~ИР?г~1----_ .2 ln(l + ₽)g2 + (1+₽)a2_l’ g""1, ’ если ₽аа = 1, arctg[g/(a2— Р-1)172], если ра2>1, А , g-ftT1-»*2)172 r а^-л o’ In 2—Г—:-5ГГ77, если Ваа < 1. 2 &+(Р-1-а2)1/2 Для подалгебры 03.7 решение имеет вид и = /(т —ах), р = £(т —ах), w = h(x — ах). (2.1-1 Это плоская волна. Для подалгебры 03,8 решение таково: и = ct cos (a-1 In р) + с2 cos (а~‘ In q) + с3 sin (а-1In р) + .+ с* sin (а-1 Ing), Л0 = 20
v == Cj sin (a-1 In p) + c2 sin (a-1 In g) — cg cos (a-1 In p) — — Ct cos (a-1 In g), w = c5ln (<z + (1 + 0)‘^2)/(z — (1 + p)1/2)), Где р==‘г + тУр, g = z —тУр, ct — c5— произвольные постоянные. Это решение — суперпозиция плоской продольной волны, рас- пространяющейся вдоль оси z и плоских поперечных волн. Решения, построенные на подалгебрах. 03>в и 03,«,— это пло- ские, волны. * • - | § 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ 1°. Используем представление (0.6), (0.7) для получения новых классов решений уравнений теории упругости. Потенциалы ср, (к = 1, 2, 3) удовлетворяют волновому уравнению C2d2a/dt2 = д2т/дх2 + д2а/ду2 + dW5z2. (3.1) 1 Если ввести новые переменные ^ — it/C, £2 = я, Ъ=^у, £t = z' (i2 = —1), то уравнение (3.1) примет вид 52<о/5Й + 52<о/5^ + д 2<о/0^ + 52<о/5Й = 0. (3.2) Уравнение (3.2) допускает группу Л15, порожденную оператора- ми [53] zk = [%& - (й + ^ + Ц + И) М (kj-i, 2,3,4), • 8 11, Л=/, Кроме того, уравнение (3.1) допускает операторы 7’ = (в^-, 5 = <о*^-. й<0 ’ д(й Здесь <0* — произвольное решение уравнения (3.2). Используя эти операторы, можно строить классы точных ре- шений волнового уравнения. 2°. Рассмотрим функционально-инвариантное решение волно- вого уравнения [81, 531. Запишем уравнение (3.1) хв виде системы C2da/dt = да/дх + дЫду + dc/dz, да/дх = да/dt, да/ду = дЫdt, da/dz = dc/dtf (3.3). да/ду = db/dx, da/dz = дс/дх, db/dz = дс/ду. 21
Здесь искомые функции а, Ь, с, о зависят от t, х, у, ъ. Эта сист ма допускает группу, порожденную операторами Хо, Xit Хг, . (см.1°). Ищем частично инвариантное решенье, системы (3. в виде ] ' •' .. . а = Дю), 6 = §(ю), с = Л(ю). . . (3.- Здесь искомыми функциями являются Дю), #(ю), Л(ю) х, у, z). В дальнейшем производные от функций Дю), g(a Л(ю) по ю будем обозначать большими буквами: '<?Дю)/</ю =.F(to), dg(o)/d& = G(j£>)^ dh(.tt>)/d& — Н(м). Подставляя (3.4) в (3.3), найдем ~ ='F (ю) = G (ю)*4^, - Н (ю) -2£, дх ' 9 dt * ду 4 9 dt ’ Oz 4 9 dt (3 (>•+ G2 + Я2 — С2) ди/dt = 0. Считая, что O(b/dt¥=O, получим общее решение системы (3..: в виде t + F(u)x +G(a)y + Я(ю)г = Р(ю), (3.f где /’а + Сг + Я2-Сг.= 0. (3.' Функция ю = <o(t, х, у, z), определяемая неявно из (3.6), и ц- зывается функционально инвариантным решением волновог уравнения. При этом /'’(со), С(ю), Я(ю) — произвольные дважд дифференцируемые функции, удовлетворяющие соотношени. (3.7). Прямым вычислением можно убедиться, что решением ypai нения (3.1) будет.также функция где (?(ю) — произвольна дважды дифференцируемая функция своего аргумента, а ю от ределяется из (3,6), 3°. Приведем другой вывод функционально-инвариантног решения (3.6). Вместо ю введем новую неизвестную функцш t = t(a, x, у, z), зависящую от независимых переменных ю, х, у. (аналогично можно принять за искомую фушщию х, зависящую от t, ю, у, z). Вычислим первые и вторые производное функции по ю, х, у, z (индекс обозначает производную):' Ю| — to ч Юдс = txttii , 3)^ == •— tytta , у—J __g (Oz = tzico ? (Oft » (Охае “ — (ixitoto 4" tatxx t® , (3,t_ Ю|^у == — + tf^yy to'ч * Ю^г “ (izi®® “1“ totzz ^tztzofo^ to * Уравнение (3.1) эквивалентно уравнению tffiOxX + tyy + izz) + too(tx + ty + tz —* C2) - -«®3(Й + ^+«’-^2)/Зю=0. z (3.f 22
•астным решением уравнения (3.9) будет функция / = /(©,' л, </, Д удовлетворяющая системе txx + tyy + tzt ~ 0, tx + ty + й - С2 = 0. Такой будет только функция £ = —.F(&)x— Gt&)y — Я(<о)г Ч-Р(со), (3.10) где F(a>), G(g>), Н(&), Р(м) — произвольные функции, связанные соотношением - F* + G* + Н* *= С*. Совершая обратное преобразование, т. е. выражая из (3.10) со через t, х, у, z, получаем рещзние уравнения (3.1). 4°. Найдем функционально-инвариантное решение уравнении теории упругости. Уравнения Ляме (0.3) эквивалентны системе pdujdt — yidajdxi + dbJQxt + dcjdxt} 4= • + (X + рКдщ/да^ + da,z/dxz + 5a3/5x3), • pdUi/dt = рХдаз/дх, + dbjdxz + dcjdx,) + + (X + \k){dbjdxi + dbt/dxt + db3/dxs), (3.11) рдщ/dt = n^dat/dxt + dbzfdxt + dcjdxs) + + (X + p.)(dct/dxt + dcjdxz + dcjdx^t dajdx2 = dbJdXi, ddl/dxi = dcl/dxl, dbildxz=*dcjdxti dajdxz = dbjdxt, dajdx3 = dcjdxi, dbjdxt = dcjdxt, (3.12) dajdxt = ЗЬз/ftCj, da2/d#s = dcjdx2, dbt/dxs =? дс^/дхг, dujjbxi = da^dt, dui/dx2 => dbjdt, ffbi/dx» — dci/dt, daJdXi = dajdt, dujdxz = dbjdt, dujdxz = dcjdt, (3.13) dujdxi =» ctaj/df, du Jdx% =* db2/dl, ди21дх9 = dcjdt. ' Здесь Ut, af, bi, ct (i = l, 2, 3) —искомые функции, зависящие от /, Xi, xz, xt. Система (3..11)—(3.12) допускает операторы Хо == А -х _ ’ х -Л, X, - Л- 4 (ЗЛ4) v dt1 1 дх' л дх' 3 дхп # ' ± А 3 Полный набор инвариантов группы, соответствующей (3.14), таков: - 1 uj, а{, bt, ct (i = 1, 2, 3>. Ищем частично инвариантное решение системы (3.11)—(3.13) в виде - ' «i ==/i(wi), bi = gi(Ui), Ci = hi(.Ui), ; dj^Afwi),- bz = gziui), Cz^hziuz), (3.15). вз = М»Л bg^gziUz), Cz = ht(Uz). Здесь девять функции Д, git hi d**11, 2, 3), а также wt, и», и3 под- . лежат определению. В дальнейшем производные функций /<, g<, hi 23
по соответствующим аргументам будем обозначать большими буквами, например, ' edgj.u2)/du2 = G2{u2), dhiluj/dui — Н2{и2). Йз (3.15), (3.12), (3.13), находим выражения производных функ- ции /<, g<, ht (i = l, 2, 3) по Xi, х2, х3 через dujdt (г = 1, 2, 3). Например, « dajdx± =г F^dujdx^^ *= Fflajdt = F^OuJdt, dajdx2 = FiduJ^Xi = l\dbjdt = FiGidaJdt, daJdXi = Fidujdxs = Fidcjdt = FJIiduJdt. Подставляя эти производные в систему (3.12), получйм сист^ру линейных однородных уравнений относительно dujdt ii — 1, 2, 3): Andujdt + Aibdujdt + Alsdus/dt = О, A2ldu.i/dt + A22du,2ldt + A^dujdt — 0, Audujdt + Азздиз/dt + AZi()uJdt = О, 4 = -p + p(F||+ G\ + Я|) + (X + p) F?, A12=(X + p)F2G2,. А13=Р3Я3, (3.16) /121 = (X + ц)СЛ, А2з e G2H3, = — P + р'(Рг + G* 4- Я|) + (X + p) G%, A2l = (X + р)НЖ, A22 = H2G2, Л33 = — p 4- p(Fg + Gg + H3) +(X + p) Hg. X * Условие существования» ненулевого решения системы (3.16) detlL4yll = 0 (3.17) представляет соотношение, связывающее функции Ft, Gt, Ht (i = 1,2,3). Переходим к определению функций u,: = Ui(f, ж4, ж2, ж2). Из (3.13), (3.15) следует система для определения щ = uSt, xt,x2,x3)-. FiiuJdUi/dt == дщ/dXi, Gitu^dUi/dt = dujdx2, • Hi(ui)dut/dt — dui/dx2. Общим решением этой системы является функция ut, определяе- мая неявно из уравнения t4-F1(u1)x1 + G1(u1)a:2 + H1(ij1)x2 = P1(w1), (3.18) где Pi(u.) — произвольная дважды дифференцируемая функция. Аналогично находим функции и2, и2: t + F2(u2)i:t + б?2(«2)ж2 + Я2(и2)ж2 = f^(fo2), • t + Р2(ц2)ж1 + Gt{u2)x2 + Я2(и2)ж2>= Р2(н3). ' t Здесь P2(u2), P3(w3) — произвольные дважды дифференцируемые - функции. 24
‘ аким оОразом, функции = xit х2, ха) определяются не- явно из (3.18) и (3.19). Производные по времени от этих функций находятся из продифференцированных по t равенств (3.18) и (3.19), они должны удовлетворять уравнениям (3.16), что накла- дывает дополнительные ограничения на функции /,, gt, ht, Pt. Рассмотрим случай, когда Ft, Н(, Gt (i = 1, 2, 3) суть постоян- ные, которые будем обозначать теми же буквами, снабженными звездочкой сверху. Из (3.18) и (3.19) следует Щ = Pi{t + F*xv + G*x2 + H* x3), z где pi—произвольные дважды дифференцируемые функции, обратные к Pt(ut). Вычисляя производные по времени dpjdt и подставляя их в (3.16); получим Atjdp)/dt = ^ (i, j=l, 2, 3). Эта система линейных однородных уравнений относительно' dpjdt имеет, в частности, ненулевое решение, если Fl ==Gl = Hl = ± (р/(Х + 2|х))1/а, Fl ^Fl =Gl = С^Я^Я^ О' или если G* = ± (р/(Х+2р))1/2, Fl = F*2 = F* = Hl = H* = Я8* =.0, G* = G3 - ± (p/p)1/2. Заметим, что решение (3.18), (3.19) можно получить аналогично1 п. 3°, приняв за новые независимые переменные u,, Uz, иа, а за искомые функции ж,, х& х2. 5°. Найдем функциональногинвариантные решения уравнений анизотропной теорий упругости. Закон Гука для анизотропного тела имеет вид (Ew — упругие постоянные) , Оу — Efjuidu^/dXi + dui/QxhH2, ,r (.3.2UJ1 Ецм = ЕЫц — Ejtu — Eijn. .(i, j, к, I = 1, 2, 3). Подставляя (3.20) в уравнение движения (0.1), будем иметь Eiju.kd^fdXtdXj + SP’uJdxifiXj)/^ = ргРвУЛ*. (3.21) Система (3.21) относительно u,= u<(^, ж,, ж2, ха) эквивалентна системе Eaukdqta/dXj + dqiJdxj)/2 = pdujdt, (3.22) dqa/dt = dujdxj, (3.23) dqjdx^dqjdxi, (3 24> i, j, к, 1= 1, 2, 3. Здесь искомыми функциями, зависящими от t, ж„ х2, х2, являются девять функций q{j (i, j = 1, 2, 3) и и2, и2. Система (3.22) до- пускает операторы Хо = .A, Xi = Xs = (3.25> ° dt 1 1 дх^ 2 дх,У 3 дх3 < v ' 25
Полный набор инвариантов группы, соответствующей (3.25) таков: ’ ui j ~ 1» 2, 3). Ищем частично инвариантное решение системы (3.22) в виде = /«(“<) (К j == 1» 2, 3) (по i не суммировать). (3.26. Здесь искомыми являются функции /« == /«(«,), Щ= »i(f, Х2, Х>) В дальнейшем будем обозначать большими буквами производные •функций /о по в»: dftj(ui)/dUi = Fij tno i не'суммировать). (3.27) Из (3.23), (3126), (3.27) находим • dqJdx^FuduJdx^F^d'q^/dt^- х . = FtaF^duiJdt (по к. не суммировать). (3.28J Подставляя (3.28) в (3.22), получим систему трех линейных •однородных уравнений относительно duK/dt\ A<Kduh/dt=^pdiii/dt, (3.29. A{k^ЕцмРнРы (по Л не суммировать). (3.30) Условие существования ненулевого1 решения системы . (3.29) представляет соотношение, связывающее функции Ftj: detllAj — рбйП = 0. - (3.31) Функции u*(f, Xi, xt, Хг) определяются из системы. duJdXj^Fijdu^fdt (по А: не суммировать); (3.32) Решая систему (3.32), находим, что ult u2, us определяются иг . -соотношений t + FuM*i + Fn(nt)Xi + Fn(.Ui)Xi == P1(u1), t + Fn(.Ui)xi + ?Мхг + Fa(Ui)Xi = PM, .. (3.33 £ + FMfa + PM% + Рц{иъ)х3 = Pa(u3). Здесь Pi, Рг, Ря — произвольные дважды дифференцируемые -функции своих аргументов. Производные по времени от функциг щ, u2< Ut, определяемые из продифференцированных по t ра- венств (3.33), должны удовлетворять уравнениям (3.29), что на- кладывает дополнительные ограничения на выбор функций ftj, Pt В частности,, когда Atj == рбу, i, j *= 1, 2, 3; — символ Кронекера необходимость удовлетворять соотношениям (3.29) отпадает. В заключение отметим, что в [89] найдена группа, • допускав мая уравнениями Ляме в нелиёвском смысле. Другие уравнения описывающие упругие процессы, также изучались с групповой . точки зрения. Так, в [721 найдена группа, допускаемая уравне пнями нелинейной теории упругости. В статье [761 изучались . групповые свойства плоской неоднородной теории упругости i решена ^задача групповой классификаций этих уравнений по ко 26
дффициентам Ляме. В работе [96] методами группового анализа исследованы уравнения движения упругой пластины типа Тимо- шенко, там же показано применение группового -анализа Для кон- струирования приближенных уравнений. В [99] решена задана групповой классификации- для одномерного уравнения нелинейной теории упругости. В [91J изучались групповые свойства уравне- ний специальной нелинейной теории упругости. Глава 3 ; . ., , . ...' ,1 — ' уг ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА _ ' . КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МИЗЕСА Эта глава Посвящена построению решений^ описывающих квазистационарные,- течеЯйя пластического несжимаемого мате- риала, который удовлетворяет условию пластичности Мизеса. В § 1—6 и частично в § 9 строятся точные решения простран- ственной задачи, в §7 — Осесимметричной, в § .8—плоской задачи. Пространственные задачи — наиболее важный и наиболее трудныВ~кла<Ж^ЗЗДач' в Любомразделемеханики сплошйых сред, и в этом смысле теория пластичности не является исключением. В настоящее время пространственные-задачи теории пластично-., сти — наименее исследованная область как По методам построе- ния тойных^ решений, так и по численным расчетам. . Самое первое' пространственное решение было построено Р. Хиллом 1103]’ в 1948 г. Оно описывает напряженно-деформи- рованное состояние прямоугольного стержня, подвергнутого дей-* ствию растягивающих сил и крутящих моментов. В. Прагер в 1954 г. успешно решил задачу построения поля скоростей для пластического материала, находящегося в однородном напряжен- ном состоянии [631. В 60-е гг. построил интересные классы про- странственных решений Д. Д. Ивлев [29, 301; им, в частности, найдено решение, обобщающее плоское решение Л/Прандтля. Несколько позднее появились работы М. А. Задояйа, в которых построены новые классы решений, окидывающих пространствен- ное напряженно деформируемое состояние пластических тел [20—22]. Отметим, что все описанные решения были в основном найдены методом подбора и, конечно ж'е, не могли охватить всего многообразия 'решений уравнений. Систематический подход, основанный на методах группового анализа дифференциальных уравнений, позволяет взглянуть на точные решения с единой точки зрения, последовательно и с достаточной полнотой охватить все множества инвариантных решений. Такой подход, развивав-, мый в работах Л. В. Овсянникова [52, 531, для пространствен- 27
вых уравнений пластичности был реализован в работах Б. Д. ль вина, С. И. Сенашова [1, 2, 4, 69, 73, 741. Осесимметричные задачи также являются традиционно труд- ными для построения точных решений. Это в первую очередь объясняется тем, что такие задачи, как правило, не являются статически определимыми. Точных решений здесь немного, они построены в работах (2, 5, 29, 42, 47, 69, 90, 97]. Плоские задачи — наиболее полно и хорошо разработанный раздел теории, пластичности. Такие задачи, как правило, принад- ' лежат гиперболическому типу, а поля скоростей и напряжений можно рассматривать отдельно. Несмотря на это, точных, анали- тических решений здесь тоже немного. Большой вклад в решение плоских задач внесли Л. Прандтль, С. А. Христианович, В. В. Соколовский, А. Надаи, С. Г. Михлин и многие другие. Тем не менее даже здесь групповой анализ позволяет .строить новые классы точных решений [1, 77, 78, 100]. Пусть xtx2xa — декартова прямоугольная система координат, Оу, Stj U, j — lr. 2, 3) — компоненты тензора напряжений и девиа- тора тензора напряжений. При этом компоненты o(j удовлетворя- ют системе уравнений равновесия Оу., = 0 (i, у-1,2,3), (()1j Оу = — Pftii, —3P = Оубу, где P— гидростатическое давление, часто компоненты St} при i Ф j обозначаются Оу, бу — символ Кронекера. В силу условия Мизеса компоненты тензора напряжений или' компоненты - девиатора тензора напряжений связаны условием текучести Мизеса (Он — о22)2 + (о22 — о33)2 + (о33 — оп)2 + 6о?2 + 6о?3 + 6а23 '= 6*1, (0.2). *$11 + *$22 + *$83 + 2 (ч$1а + *$13 + *$2з) = 2*1, (0.3) где к, — предел текучести при чистом сдвиге. Пусть ву — компоненты тензора скоростей деформации, тогда 2еу — utfJ+ Uj>t, где u=(u,, ц2, п3) —вектор скорости.-Среда пред- полагается несжимаемой, поэтому ' div и — и,. 4 = 0. (0.4) Для замыкания системы уравнений (0.1)—(0.4) предполагается выполненным закон теяения, который связывает компоненты Si} и ву: ' . " . Stj — Kctjt X > 0. (0.5) В результате получаем замкнутую систему уравнений, которая и будет рассматриваться в этой главе: Оу, j== 0, Stj== Хеу, Оу Stj Рбу, а (0.6) — ЗР = Оуб{у, SjjSij = 2kl, uiA = 0. 28
Тсключая из уравнении (0.6) ai}, Stj, X, получим четыре уравне- ния, связывающие только величины Р, ut,. u£, us: V2fc, V2k, “ ,i 2A ^3 yj Ujj — 0, A2 = emrfimn- Необходимо отметить, что система уравнений (0.7) в общем случае не имеет действительных характеристик [83]. § 1. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МИЗЕСА 1°. Запишем систему уравнений (0.6) в развернутом виде: ^11 , Й*12 , 55 SS22 : дх^ дх^ dS13 SS23 дхг дх3 1 „ ' ди, dSis дР дхя~ дх±' , dS33 ' 8Р - ,л ,ч 5*3 • 5®/ dS33 __ SP дх3 дх3' ди ди, + <Sa2 + ^'зз “ ~я^~ + ~дГ + ~д^ = °’ (1-2) i 2 3 5ii + 5га + 5^ + 2 («Sia + + <Sas) = 2Л1, ди, / ди, ди„ \ 5U = X-z-1, 2512 = М -й-1 + -л-1 , 11 дх, ' 12 . 1 дх„ дх, 1' х д д 1 J -ди / ди ди \ (1-3) 522 — ^513 — 5зз — \ 25,2з== х —L + -л. , V в2Сз dxi / (ди ди \ X 1 -Л 4" "д'" I . \ дхз дхз / (1.4) Известно [2, 74], что система уравнений (1.1)—(1.4) допускает группу непрерывных преобразований, порождаемую операторами д .у ______ д у ______ д дх^ 2 дх% 3-— дх3'- Yi = Y2 = /-, Ys = (1.5) ' 1 ди^ и ди^ 3 диа’ ' ’ кт 9 , 6 , 9 - N = --Р Х9 3-Р ХЧ 1 дх1 2 дха 3 дх3 , М = и. ~ + и2 ~ + и, 1 ди, 2 ffu„ 3 ди' 12 3 ~ 5 ~ 9 Т ~ 9 9 1 3 du 3 ди' 2 3 ди, 1 ди' ' од 13' 29
жт • . u v « 8 8 ' 8 0 Z'~X*^~Xzfc + U*W~ Us 8u’ о л м 2 4 ~ 8 S , 8 ' 8 . Z„ = x~ т--x, = F w« s-и,—, 8 . -3 8x, 1 dxa 3 8u, 1 du' * 13 13 „ 8 d 8 :8- “’aiTf -Оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид • X., N, У2, Tlt Xt±Zt, M + aN., N+Ylt Y^T» (1.6> Zi + aN ± У., Zt + aM.+ 02V, X, + aZt + M,Xt±Tt + аТг, X, ± Yt + aTt, Xt±Zt± Tit M + N +T., Z, ± У. + aTit Х, + аХя±Тя + ^Т„ X^Z^Yi + aT^ Z^aiM + N)^^ Здесь a, p — произвольные постоянные, различным, значениям а, р соответствуют неподобные подалгебры, оператор S порожда- ет центр алгебры .Ли (1.5), это учтено при' построений систе- мы (1.6). ’ 2°. В силу критерия инвариантности [52] инвариантные ре- шения могут быть построены только на следующих однопарамет- рических подгруппахив (1^6): X,, Xt±Z1K ЛГ+aM, Zx + cdViy,, Z» + aM+0, Xt + aZt + llf, X,±Tt + aT2, Х^^ + аТ!, XiiZ.iT,, Лf + ^+7,l, ZidzY. + aTi, Х| + аХ2±Л+₽Г», • ’ X»±Z1±yi4-a7’1, 'Z.'+aCJlf +'N)^^. $ 2. ИНВАРВА0ТЯЫЕ РЕШЕНИЯ Укажем вид инвариантных решений, которые могут быть. ' построены на подгруппах, указанных в п. 2. Бели решение тако-: го вида построено, то приводится номер параграфа, где оно рас- сматривается.. 1. X. (§ 9). nt — nAXi, Жх), ' Ui^lhtXi, Хг), U»=iUi{Xt, Хг), Р = P(«i, Х2). 2. N+aM ’(§ 3). - , (a = 0) », = »,(£, q), »2'=»2(g, q), q), J°«=P(£, qK (a y=0) ut = (g, q), ua = xi/s/2 (g, q), / из e жУ*/з (^» Ч)» P = P (S, Ч)» 5 = Яд/Яа» 4 '= xJxs' 30
.. '(§ 4). ' Решение в цилиндрической системе координатямеет вид в(г, В\ в(г, В), u>(r, ВХ Р(г, ВХ В = 24=^0. - 4. И, + аУ±У1. Решение в цилиндрической системе координат имеет вид: (а=/=0) в 4=0 = /(4» ВХ i>==<p(i], ВХ ВХ Р(В, q)T B = r/z, г] = ге-“\ (а = 0) в 4=0 =/(г, z), в==в(г, я), w*=w(r, z), P = P(r, z). 5. Z^+aM+fyN (§ 7 при а = 0 = 0). Решение в цилиндрической системе координат .имеет вцд: (0^0) ’ u = u(B, q)e“®, v = и(В, q)e“®, w = w(g, г])е“в, Р = Р(В, чХ В = rfz, т] = re"” (0 = 0) в = в(г, z№*, v = y(r, z)ee®, w = w(r, z)ee®, P = P(r, z): 6. Xt '+aiZt + M (если ot = 0, то решение построено в § 9).. Решение в цилиндрической системе координат имеет вид: (ач^О) в = в(г, z —а0)еж, в = в(г, z — а0)е', w = w(r, z — affie1, P = P(r, z —а8), (cc “ 0) =5= a?g) e , (^*i? ^2) “8 = «3 (^1, Xt) P = P (®1, X4). 7. X^Ti + aTi (§ 6). Ut«= 0X4X3 + Xt), 02 = TXiXt +/з(х2, xs), «3 = — -у ®i®a + Л («а. ®з). P = P («а» ®з)- 8. XiF. + aT, (§ 5). «1 ч= Xi = /1’(хз, x4), u> “ aXjXs + /2(x2, x/f,. Ba** —OCXiXa+'/gtXa, Хз), Р = Р(х2, Xg). ‘ 9. X^ZiiTi. , . Решение в цилиндрической системе координат имеет вид ' в = в(г, 0 ± z), v =* у(г, .0 ± z) ± г0, w = w{r, 0-± z), P = P(r, 0±z). 10. Л/+ЛГ+7Ь Bl —XiB<B. 4). Ва — -Хз1нХз + Хз/и, тр, и,**Ха1пХз+ха£(В, q), Р«=Р(В, чЬ В*=®/«а» x\ = xjxt. 11. ZiTi + T,. 31
Решение в цилиндрической системе координат имеет вь ц = ±6 + и(г, z), р = ссг6+'р(г, z), ip = ip(t, z), P = P(r, z). 12. X1 + aX2±T’2 + pT8. Uj ~ хгха + Pa:^ + (xa, x2 — ахг), ия = P/»*i + + /а (®з> И'а = zfc + / (®s« ®s ®®i)>, P=°P(xs, Xi — aXi). 13. Xld:Zi±Yl + aTl. Решение в цилиндрической системе координат имеет вид u = u(r, z-F0), и = ±аг6 + /1(г; гТ0), w:Fz = fi(rt z?F0)f P'—P(r, zT0). 14. Z>+ а(2И+Лт)±7\. Решение в цилиндрической системе координат имеет вид (а = 0) в = п(г, z), н±т0 = н(г, z), w = w(r, z), P — P(r, z), (ач^О) a = rf(£, ц), p = ±(r/a)lnr+n(g, 4), w — rw(& »]), P = P(|, 4), £ = r/z, i] = r^e. * ' § 3. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ ТЕЛ В этом параграфе будут строиться решения, инвариант- ные относительно подгруппы (N+aM'>, решения такого типа следует искать в виде , вг = т"в(0, ф), Ве = 7"н(0, ф), В, = 7"ю(0, ф), Р = Р(0, ф). - ' (3.1) Решение вида (3.1) используется, как . правило, для описания либо пластических течений конических тел *[25], лцбо напряжен- но-деформированного состояния пластического, материала, сжа- того Тиежду коническими поверхностями [19]. Система уравнений (1.1)—(1.4) в сферической системе коор- динат запишется в виде I 1 Г । 1 । 9 с с с । с о! . ~дГ + ~ [-5ё~ + SSe- ~д^г + - Se — + Яо ct« е] - “аГ> (3*2) ~дГ’+ ‘rt'dT + + <Se “ cfg® + 35rfl] = 4"^’ ~д^ + + +35гч’ + ?50фс1« °]- = 5е = | (^ +«), ^ = ^(> + «^0 + ^080), 32
•C 11* v _i_ 1 дц\ 1 f 1 du div w\ = Л r + —-$Q j, ZO„J> «= A^j0 dtp + fr —T}' 25^4=7^5(sme-ao--u,cose +“^)’ 5j + 5§ + Sj + 2 (fi?e + 5§ф + <8гф) = 2fcJ, sr+s.+s.=o, где u, v, w — компоненты скорости Перемещения вдоль осей г, в, <р. С учетом (3.1) система (3.2) запишется так: _+ 25г — Se — 5Ф + + Srectge = О, >+эт> + ^-^)с^е + 3^ = -^’ <3-3) >•+^^+3^ + 25^0186 = ^-^, где Sr == ka»(0, q>), 25ёф = ^fT^sin 6-fr “ шсоз° + ^г)’ S* “ . /dv \ = x(ae +“)» 25rq> = b(^0-+ (« — 1) Sq, ('fj +“sine+vCOS0)’ 25r0 = x((a-l)v + -f|-). Система уравнении (3.3) допускает следующие операторы: 1 5<р ’ • а du dv w ' 3 &Р < Ищем решение, инвариантное относительно подгруппы Xt + + рХ? + цЭто решение имеет вид и = и*(6)е₽ф, п=р*(0)е9ф, w = w*(G)eP*t Р = рр + Р*(0), (^.4) где у, р — постоянные, и*, v*, w* — функции только 0. Подстав- ляя соотношения (3.4) в (3.3), получдем' 'аё'~ ® = О» ^+(5e-5v).ctg0 + 35;0 = .^-, (3.5) дО? + 35гф + 25eg,ctg0 = 7» При этом - Sr + Sq + 5ф = 0, Sr = cxXu*, Sq ==-^,f~50— Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов за
3JF (₽"* +• и* ain 6 + v* cos 25,6 ~1 (<«-*)?* + -Ж7> 25^1(s4^u*+(a-l>*), 2Sw-'^g(pP*+^e^-4P*<SMe).-‘ Система (3.5) есть система обыкновенных дифференциальных . уравнений. - 1 ’ 1°. Рассмотрим случай а — 1. Тогда в предположении »♦ = ==у=«0имеем . Sr = Sre s Srt “ 0 . ' ' и система (3.5) сведется к уравнениям ; ^+(^-^)ctg0 = -^>^- + 2^ctge==o. (3.6> Первое уравнение системы (3.6) служит для определения функ- ’ ции Р*(0), а из второгоуравнения получаем ' ; 5в» = Cj/sin10, Ci = const. - , (3-7) j С учетом (3.7), условий несжимаемости и текучести имеем ' j/sjsin4©— с| i - • sin80 , Отсюда получаем условия на промежуток изменения угла 0, если < ; 0<е<& 't arcsin 1/. sC0 < Ji — arcsin "1/ j * । Компонента тензора напряжений o« определяется из уравнения : i + (Se*— S4>)ctgO = О I и имеет вид । и® + 06 e '— ‘ ~:1 ~ 1“ 0 + (^» sin4 0 — |, (3.8> где с, —произвольная постоянная. Это решение можно использовать йдя анализа несущей спо- собности конической трубы, границы которой совпадают с коор- . динатными поверхностями 0t ~ const, .0»?= const, где задано дав- ление'Pt-соответственно» * ~ Если Ci¥=O, то для определения Компонент v*, w* получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравне- ний: '. . _ *е-5<р . 2-Жатв 25п_ “ дш* ! _ си>* —w*cos04-sin0— ein0 + COS0V* + сип* = 0.. VV 34
Исли с*.-— 0, тог^а S9y= О и из (3.8) получаем решение най- денное в [271: ; ' . Ое = 2&,ln Jsin0t+ Ct, O, = Oe + 2fc,. В этом случае для определения поля скоростей деформации имеем уравнения ~ * sin0v*'4-v*cos0+pw* = 0, sin 6w*'id* cos 6 + Pt>* = 0, ’ . <3.9) где штрих означает производную по 6. Заметим, что если р = О, то v* = 7i/sin0, u?* = ‘flsinG. При 71 = 0 найденное поле скоростей совпадает с колем скоро- стей, построенным в 127, с. 106] . Если 0¥=О, то сделаем замену в системе (3.9) по формулам . y*(G) = Z(cosO), u?* = A(cosG), тогда система (3.9) примет вид Z?(l = B2) + Z| + ₽ft = 0, (3.10). где штрих означает производную по £ = cos 0. ' Из второго уравнения системы (3.10) выразим Z и подставим в первое, уравнение этой же системы. В результате получим h" -1)1 + 2£(£* - 1)Л' - Л(1 + р1) - 0. Решение итого уравнения [ЗЗРймеет вид '-₽х[1т|Г+₽’1ШГ- где р,,‘ Pi — произвольные постоянные. - Окончательно получаем, что поле скоростей деформации при ci == 0, Р ¥» 0 можно задавать следующими формулами: и == 0; „Рр= wcosO—^-sin2G. ОН 2°. Еще одно решение для случая сферического деформиро- ванного состояния, названного так по аналогии с плоским дефор- мированным состоянием, построено в работе [19], оно соответ- ствует а = 1. Это решение имеет вид и =0, v .= ?В, w = — rBy sin G Ч- г sin 0 dG + Sre = <8>тф = Q, 0В «=- _ J F (0) ctg 0J0 — А<р + <?„ о» =J'F (0) ctg OJ0 — F (0) Aq> + cit Se, = (ci — A cos 0)/sin2 0, 35
где - ... ----я^- /В cos О—2с. cos 0\ S_B F (0) - 2» /*• - S*. М&- — К == sign (ов — о»), Л-, В, ct, ci, ct, ct — произвольные постоянные. Полученное решение описывает сжатие пластического слоя шероховатыми коническими поверхностями <р = const, течение которого ограничено гладкими > сферическими поверхностями г = const. 3°. Рассмотрим случай, когда а = 0. Тогда система (3.5) за- пишется в виде _ . . д0Г6, + Фе °tg 0 = 0, -яг- + (Se — ctg 0 4- 35rt«-~-, > SSn® “30—Ь З^гф + 2Se* ctg 0 = у, = 0, So = Л('Ж + u*)’ = sEF + “* sin 0 + p* cos 0)« ’ 2^ = 8йПГ<₽и* — u>*sin0), 2Srf — Ц-7^-— *>*)» ’ ‘ 25ev = ^(₽v* + sin0-^.-w*cos0y j - • < Из-первого уравнения системы (3.11) получаем. • , ( Sre = Ci/sin0, Ct —const. .(3.12) i Пусть v* — 0, тогда из условия несжимаемости So + 5, = 0 следует | » 2n* sin 0 + ₽и>* = 0. (3.13) Если Р^О, то из (3.13) имеем Sr0 + 5e<p = O-. ? Отсюда получаем . 5е. = -2С1/₽. (3.14) 1 Из последнего уравнения системы 43.11) имеем 5r»“4T+w’ctge* (3*15) Из формул (3.12)—(3.15) следует S 4 4с ' «*(₽ + -^-). -J = ^-Tsine + -^-cos0-------,au*P—• <ЗЛ6) 00 36
Сравнение (3.16) сводится к квадратуре In и*3 f (3.17) J у Р sm 0i^Cos 0 ' ' Для простоты ограничимся случаем 7 =0, тогда из (3.17) по- лучаем ' ' lB(cu*)«^-|’(Pa-|-l)ln|tg^ + ^|-sine], (3.18) где с — произвольная постоянная. Считая 3(рг-Ц1)/4с»’“С = 1,.из (3,18) имеем ' _ *'х7й,0\ г, sin 0 \ “* “ *g (v + -у)ехр (“гГГ7Г Л . / \ Р + Ч Отсюда й из (3.13) следует * 2srn0, /л . 0\ • { sin0 \ Окончательно с учетом (3.4) получаем (я . О \ / sin 6 , а \ Т +т)ехр( — ₽2"^i+ to/» р « 0,. 2sin0. / л 0 V I sin® , о Л w + —jexp^-^—Р<р). Компоненты тензора'напряжений равны (7 = 0) 1 • с • 2с 5г0 = та’ •5й>“ —ТП’ ‘ 4с ' ^’,Ф=-Зр~ ®» 5’ — пе == 2 J <Sectg0d0+3 JiSrtdO+e,. Это решение можно' исполь- зовать для анализа пластиче- ского течения конической тру- бы, которая находится под сов- местным воздействием постоян- ных нормальных и продольных касательных сил (рис. 1). При этом для определения постоян- Рис. 1. 37
ных Ct, Ct, P инеем следующие граничные условия; ое |еА — Pit Oele, = — Pi, ^rele, = t. Некоторые другие решения,* инвариантные относительно рассмот- ренной подгруппы, содержатся в работе [25]. 5 4. ТЕЧЕНИЯ СО СПИРАЛЬНО-ВИНТОВОЙ СИММЕТРИЕЙ Решения, инвариантные относительно подгруппы Z3 — kXs, следует искать в виде а = и(т, £), • v = v(r,; g), w^wXr, g), • р=р(г,-в), . Такие решения можно использовать для описания пластических течений, обладающих спирально-винтовой симметрией. . Запишем, систему уравнений (1.1)—(1.3) в цилиндрической •; системе координат 98т , 1 98тв , 98п , sr — 8е _дР 8г ' г ве "* 8г ' ' j* dr * e5re ,1 е5е , 9S oz , _ 1 8Р 9. 8г + г 86 8z + г ~ г 98 п , 1 98 to , 98z , 8rz _ 8P_ dr . r &e ; dz ' r 8z. ’ * 8.^ * 25re = b(*7> + + 4?)’ Sr + Se.+ £=O, S*+ Si 4- SI + 2S*„ + 2S%> + 2Slt = 2kl, где и, v, w — компоненты вектора скорости в цилиндрической системе координат r, 0,-z. С учетом (4.1) система (4.2) запишется i следующим образом: к 98тв 98п , вр dr ' V 8^ -aj т г ' дг * . 0SrO fc 9SC , 9S& , fore __ к 8P . a 98 rz i fc 9sf* , . srz _ Jdr . г r ’ Sr + Se + £=O, 5Г = Х-^-, ^г8 = Л^г 0g T dr r)' 38
ст b I & i \ ОС bl i \ Ле — -gg- + —j, 25„ — Ц-gg- 4--gp), C « 9w «, c . / * dw dv 1 *» — л-gg-, 2Ste «= л^— -gg’ 4- -gg-j, S* 4- 5§ + 51 + 25fe 4- 25?z + 25g, - 2#. Система* описывает пластическое течение вещества при условии спиральной симметрии. 1°. Ищем решение системы (4.3) в виде . u ==u(r) sing-, i>.= u(r) cos g, u> = u>(r) cos g, P = P(r, g). Пусть S,e == Sn = 0, тогда оставшиеся компоненты девиатора тен- зора напряжений зависят только от одной переменной г. Если Р = Р(г), то втцрое и третье уравнения системы (4.3) удовлетво- ряются тождественно, первое служит для определения Р(г). В этом случае для определения функций из системы- п, u, w получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений ки 4- rv' — v = 0, w' + u = 0, ,, ... (4.4) ги 4-u — kv — rw — 0. Система (4.4) сводится к уравнению Бесселя r’u" 4-гп'4-(г24-Л2 — Du = 0. Решая это уравнение, получим и = с,Д 4- с2У¥, v = У1 — к*. При I Л| 1 функция и принимает вещественные значения, если же 1 А] > 1, то можно воспользоваться интегральным представле- нием функции Бесселя [981: - . я/« ' J cos^cos^sm^dt, . ° учитывая только действительную часть. Окончательно решение имеет вид (при сг = 0) - г и ciA» w~ — f “4г, kv = rw — rur—и.- (4.5) о Для определения компонент девиатора напряжений введем обо- значения f — Si/Se, <p — Sei/Se; Тогда аналогично Г90] имеем S» — -тг-^ -/ ..... , S6z = q>Se, -Vl + f+f + tp* ’ г (4.6) Sz = fSe, Sr = -(/ 4-1)Se, P - Sr- iti^Sedr. I J r 39
Решение можно интерпретировать, в частности, при с, > О, а>0 как пластическое.течение круглой трубы длины L (O^z^L, а г Ь), которая • находится под действием внутреннего давле- ния Р: - • Orlr_0 = —Р, Ог.1г=Ь—О, осевой силы . ь ' N = 2л J azrdr . ° и крутящего момента - ' Ь М = 2л J S^r^dr* а _ Да рис.- 2 построен график функции М(Ь), для а — я/20, а < b л, к = 1. На рис. 3 Для а = л/20 построен график распределе- ния напряжения о, на конце трубы (о<гСл). Заметим, что при Л = 0 решение (4.5)—(4.6) переходит в осесимметричное ре- шение Р. Хилла, см. § 7, п, 5.. 2°. Система уравнений (4.3) допускает алгебру Ли операторов с базисом л д 'л & л & л 3 , & ~д Л д А, — -нг» А» = А, = А, = и-г- + —Ь w-s-, ^в=г-3“* 1 2 dw' 3 дР' • . ди dv dw’ 6 dv Оптимальная система подалгебр для Ьъ имеет вид: ©ь ,Л.а±.Л.5; Ait Ая, А8, ва: <Лг±Л5, Д*>, <Аг; Ai>, (Ai, As>, <Д>, Д5>. Здесь мы учли, что операторы Ai и Аа порождают - центр в алгебре Ли Ls. Построим решение, инвариантное относительно подгруппы <Д, —Д*>. Решение ищем в виде Р = Р0(г),- u = Mr) ехр v — н,(г) exp g, w = w<>(r) exp g. Здесь величины Po, »o, nJ, «>о суть функции только от г. Из (4.3) следует Sr^Ci/r1, Sn^Ct/r, Ci, са —const. 40
юлагая с1 = с1 = О, получаем систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений Aw0 + rv'o — v0 — 0, и0 + u>o == 0, (4.7> {гиеУ + kve + rw0 — 0. После преобразований система (4.7) сводится к уравнению Бес- селя г2«о 4- гио — (Л2 + 1 + г2) и0 — 0. (4.8> Решение уравнения (4.8) имеет вид В() = 4Д(г), т = УТ+А*. ' (4.9> Считая, что .«о ограничена при г = 0 (иначе в (4.9) добавляем функцию Макдональда),/имеем u0 = AJv(r), % = — A j Jv(r)dr, . . ______ (4.10> kvv = — rwt> — (ruo)', т = У1 + А2, где Jv — функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая условию /v(01= 0 для всех v > О, А — произвольная постоянная. Обозначая /(г) = S.jSe, <p(r) = находим компоненты деви- атора тензора напряжений аналогично [90]: к Se — - z •* “==> — <pSe, V 1+/ + /2 + ф2 & = У£в, 5r = -(/+l)5e, (4.10 P0 = 5r_J±±£5edr. Решение (4.10)—(4.11) при Л>0 описывает пластическое те- чение круглой трубы, которая находится под действием внутрен- него давления Р, осевой силы N и крутящего момента М. Если положить к = 0, то М = 0 и из (4.10) поЛучаем осесим- метричное решение, найденное Б. Д. Анниным [51, которое опи- сывает пластическое течение, кругового цилиндра со свободной от напряжений боковой поверхностью. ' 3*. Инвариантное решение на подгруппе <А, + аАа + [L46> ищем в виде и = /(г), w — а£ = ф(г), v — Ygr = ф(г), Р == Р(г), «у = 0/а. Подставим эти выражения в систему уравнений (4.3). Из урав- нения несжимаемости df/dr + f/r + а+ ук = О • ' имеем / = С1Г + саг-1, С1 = Va (а + ?*), «1» — постоянные. 4f
Пусть <р = ip -=0, тогда $г3 = = 0 и остальные компоненте тензора напряжении имеют вид Sr = k(Ci-c^), Se^Mkf + ci + c^), (4.12) S, = oA, 25в1 = hlak/r + 7г], 2Х-аг4й5 === [for2 — с2)2 4- [(ку + fo) г3 + с2]2+1/2 (акт+уг3)2 4- а2г4], Р = 5Г 4- J X [— ку — 2czlr*\ dr. ' ' А Это решение описывает предельное состояние трубы под действи- ,ем внутреннего давления Ро, осевой сил^х Л'о и крутящего^мо- мента ,Мв. Граничные условия на поверхности трубы запишутся - в виде - А Ро °rdr, Ог |г=г2 ” О, а А А N = 2л j rcfzdr, М = 2л J r2S$tdr. -А А Это решение обобщает решение Панареллй и Ходжа [59] и переходит в него при к = 0. Из решения (4.12), в частности, вид- но, что увеличение к ведет к увеличению величины крутящего момента. $ 5.-РЕШЕНИЕ ХИЛЛА 1°. Решение Хилла еёть инвариантное решение, постро- енное на подгруппе <2с054-Х14-аУ14-р7’1>. После-преобразова- ний группы (1.5) его можно привести к виду, в котором оно и было получено* Хиллом: и = 6ж2х3 —ух%/2 4- у(х2 — &l}/2 — ^хгх2/2 — ал^/2, v = — дхгх3 — 0я|/2 4- у — ж2)/2 — ухгхй/2 — аж2/2, w = $х2ха 4- yxtxa 4- аха 4- ^(arj, ж2), Р = 2a>*j + P(®i, х2). Здесь а, £, Ъ — произвольные постоянные, функция tf(^j, х2У определяется из нелинейного уравнения второго порядка. Это первое пррстранственное решение уравнений идеальной пластичности, оно построено Хиллом в 1948 г. [103]. Решение описывает - пластическое течение призматического стержня из жестко-пластического материала с произвольной формой попереч- ного сечения,’ деформируемого силой, приложенной на краях. 42
Внешние нагрузки, приложенные на краях стцржйя статисти- чески эквивалентны продольной^ силе ~ Fg — i /Зй» J У 1 0J3 OjgdXjtZXg, крутящему моменту Gs « У У -(^1^23 a'2*^is) изгибающему моменту с компонентами , . Gi = ± /ЗА, У У |Л 1 — gJ, — Gsjd^dxj, =F Кзл. J У хх КГ— °12 — G2 2°. Еще одно решение, инвариантное относительно этой же подгруппы <cfS + X, + 2aYt + рУД при 0 = 0 построено Д. Д. Ив- левым [301. Оно имеет вид * U2 —— ttXi^ U2 &Хз, м3'== — (а + Ь) х3 — 2х (а2 + Ь2 + ab) (1 — х?), х = ± 1,. Он == — С4, Gia кх^, O12 “ Р23== 0, (5.1) O2J = — кха — q 4- **(а'7^’)- = К1 — Уа2 + Ь* + аЬ <*зз = — kx3 — ct+ g*(2? + bL- К1 — х£. у a2 + b2 + ab Решение (5.1) обобщает плоское решение Прандтля (см. §. 8, п. 2) на пространственный, случай. Это решение описывает пла- стическое течение бруса в форме параллелепипеда, сжатого че- тырьмя плитами, сближающимися с заданными скоростями. 3°. Пусть 0 = 7 = б=О, —а = 2а, тогда решение Хилла пере- ходит в следующее решение: Bi = вх4, — ах2, В3 = — 2ах» + 4>(xi, х2), Р = 2с0Хз + P(xf, х2). При этом компоненты" тензора скоростей деформации имеют вид вц == в, е2з==: я, взз = —2в, *. ем = 0, 2eis = (ty/dxi, 2e2S ~ dty/dx2, компоненты тензора напряжений равны Оцss= 2x2Cq + Ci, о2з==х 2хзС0 + Ci, On — О, O33 = —ЗаХ + 2xtct + с*, 2oi3 = Mty/dxi, 2о2з = M^/dxt, 2 I dx, I "* 2 I dx* (5.2) . (5.3)' I = /2k [ба2 + 4 ,-1/2 43
Если положить i£ = V12aq>, то для определения функции ф(ж», х2/ получим уравнение _____\ j__£_ /____^2_____\___п со 2с /5 А\ ('/»+ф>,+)+ (/1+J ’*•' Из уравнения (5.4) следует, что поверхность к — q>(xlt х2) имеет постоянную среднюю кривизну,' равную с. Если с = 0, то уравне- ние (5.4) называется уравнением минимальных поверхностей. Минимальная поверхность — это такая поверхность, которая из всех поверхностей, натянутых на 'заданный контур, имеет наи- меньшую площадь. Физически минимальная поверхность реали- зуется мольной пленкой, натянутой на заданный контур. 4е. Изучим групповые свойства уравнения (5.4) и построим . его точные решения. Уравнение (5.4) при с = О допускает группу • непрерывных преобразований, которая порождается операторами Xt—d7dxt, Х2 = д/дх2, Xs — d/dqi, Хя = x2djdxi — Xid/dx2> Х5 = xid/dxi + х2Ыдх2 + <рд/5<р.- Если с ¥= 0, то уравнение (5.4) допускает операторы Xi, Х2, Х2, Х4. Оптимальная система однопараметрических подалгебр для алгеб- ры £в имеет вид Х. + аХз, aXs + X4, Х4 + аХ6, X,, где а — произвольная постоянная, различным значениям а соот- ветствует неподобные подалгебры. Пользуясь оптимальной системой, выпишем инвариантные ре-, шения. ' • 5е. Инвариантное решение на подгруппе X(-FaX3 следует ис- кать в виде * ф = CLXt + /(ж2), тогда для определения функции /(х2) получим уравнение / Г ) 2- f - V /rw+W ’ ‘ Его решение имеет вид f=- V1 - (2сха + са)* + с3, (5.5) где с2, с3 — произвольные постоянные. 6°. На подгруппе аХ3 + Х4 решение ищем в виде Ф = аб + /(г), (6-6) где г0 — полярная система координат. В этой системе координат . 44
уравнение (5.4) запишется следующим образом: _L I _ = 2с Зг \ /га + r2<p'2+<p'g ) дв /г2 + г2ч>'2+<р'§ ) ’ (5.7) * дф / дф <Рг = ’ё7’ 4)0=Iff- Подставляя (5.6) .в уравнение (5.7), после несложных преобразо- ваний получим Дифференциальное уравнение где К — произвольная постоянная. Рассмотрим несколько случаев. Если с = а = 0, то получаем известное решение / == Arcch г/К, ‘ (5.9) которому соответствует минимальная поверхность — катеноид. Это единственная минимальная поверхность вращения, она полу- чается вращением цепной линии вокруг оси Ох,. Если с = 0, а^О, то получаем новую минимальную поверх- ность / - «In( ± arcsill (5.10) Если с =/= 0, то решение уравнения- (5.8) получаем квадратурой C(cr2 + g)/r2 + «2 J г/г2_(СГ2 + Х)2 (5.11) 7°. Решение, инвариантное относительно подгруппы X» + аХв, следует искать в виде ф = г/(1п г + а0) = r/(£), В = In г + аб. В этом случае с = 0 и приходим, к достаточно сложному обыкно- венному дифференциальному уравнению второго порядка d / J + (l + «2)f • \ , f + Г = 0 \ /1 + (/ + П2 + а2/'2 / /1 + (/ + Г)2 + а?/'2 8°. Инвариантное решение на подгруппе Хв следует искать в виде (с = 0) Ф = г/(6). (5.12) После подстановки (5.12) в уравнение (5.7) получим А : / + Г=0. (5.13) Отсюда / = A cos 6 + В sin 0. 45
9°. Еще одно решение уравнения (5.4; удается построить, если искать его в виде {при с — 0) Ф = fix,) + g(®a). В результате приходим к уравнению /',(l + g,i) + g"(l + D = 0. Разделяя в нем переменные, получим известное решение ф = = In (cos Xj/cos хл), которому соответствует минимальная поверх- ность — «поверхность Шерка».. Замечание. Описанными классами решений, конечно, не исчерпывается множество минимальных поверхностей, а тем бо- лее поверхностей с постоянной средней кривизной. Известно, что каждой аналитической функции соответствует некоторая мини- мальная поверхность, которую можно восстановить по определен- ному правилу [50]. К сожалению, большинство минимальных поверхностей не задано в виде u = f(x, у), а задается либо опи- сательно, например: «поверхность Эннепера», либо параметриче- ски [50, 58]. Все это затрудняет, но не исключает возможность использования этих поверхностей *в теории идеальной пла- стичности. 10°. Теперь, пользуясь результатами решения уравнения (5.4), применим полученные решения к теории пластичности. Если ф выражается формулой '(5.5), то это решение есть частный случай решения Ивлева. Пусть решение уравнения (5.4) выражается формулой (5.9). Тогда искомое решение уравнения пластичности запишется так: и — ar, v == 0, w — — 2az + Arcch-— V 12a, (5.14> где r0z — цилиндрическая система координат. При этом компо- ненты тензора напряжений равны о, = с15 о® = с2, о» = —ЗаЛ + ci, а,е = ов1 = 0, (5.15> 2ст„ = /г2-Л2’ = к г* — к2 "[/За г 2г2—к2 Из формул (5.14), (5.15) сле- дует, что построенное решение- определено в области r>ft (ft> > 0). При ЭТОМ Gz(k) — Ci, о„(А:) = — к, если г-*<», то Orz стремится монотонно к нулю, а 1 — к k/Vfia. Если в формулах (5.15) положить Ci = 0, то^решение можно исполь- зовать для описания пластическое 46
го течения толстой трубы, которая подвергнута действию’ каса- тельных. напряжений т„ на внутренней и внешней поверхности, а по торцам задано напряжение, распределенное по закону ог= —ЗаХ (рис. 4). 11°. Пусть решение уравнения (5.4) выражается формулой (5.10), тогда поле скоростей имеет вид и —ar, v = 0, w = — 2az + V12a(a6+<p(r)), где <p(r) = ft In (г2 + a2 — /г2 — ft2) + arcsin V.JL?* *- м r {a -pk ) Компоненты тензора напряжений запишутся так: Ог = с^ <h = c„ ох = —3aX + clt о,в = 0, 2a6t = V12aar"‘, Лк Д/12а -у Г г2 + а2 2я”'—— Уит^-- • _______•_______кг /г2 — к2 -__________ “ Уба /(г2 + а2/2) (г2 - Л2) + (Л2/2) (г2 + а2) * Найденное решение (г > ft) можно интерпретировать точно так же, как и в предыдущем пункте. Здесь а„(к) = к,ап стремится к нулю, когда г-> «*>, X(ft) = 0, X стремится к ft/V6a, когда г стре- мится к бесконечности. 12°. Рассмотрим решение (5.11) для уравнения (5.4). В этом случае поле скоростей определится формулами и = ar, v— 0, w = — 2az + У 12a (2a+ f -fe.r-dl-^. ----- a_ k J г /г2-(сг2 + Л)2 J Компоненты тензора напряжений при этом равны о, = 2c„z + cit 09 = 2692 + 04, ox==Or —ЗХ, ,— (5Л6) 0,9 = 0, 2ов» = XV 12aar~1, 2о„== ]ЛУ2аХ ^г2 + &) г /r2_(r,2 + fc)2’ . _ кг / ^_(СГ2 + Л)2 \1/а А У&((2^ + а2)(гя-(Сг« + *)’) + (вг2 + *)2(га + а2) ) ' Из соотношений (5.16) следует, что решение существует, для Q<.г У1 — 2cfc— Vl — 4cfc r— 2cfc+Vl — iek Это неравенство выполняется при некоторых значениях парамет- ров с, ft. Нетрудно видеть, что т#х и X-равны нулю.при г =» г*, г*, а компонента %„ при этих значениях г достигает максимального значения, равного ft. Полученное решение можно использовать 47
для описания напряженного состояния трубы, внутренний радиус которой г*, а внешний равен г*. 13°. Пусть <р = In (cos Xj/cos я2), тогда поле скоростей дефор- мации запишется в виде “1 = — -у хг, us = V + ~ х3 + ф («!, х2), (5.17) фл = 12с [in cos — In cos-^-1, а —---- I 2л 2л J Л где с, h, V — постоянные. При этом компоненты тензора напря- жений имеют вид JW, пх «13 = fetg ~2^ ® (®1, я2), о23 к, tg -у5- (О х2), ч Зс г- ®33 ~ ---1” С1’ ®11 ~ ^22 = с1> ~ 0’ (5.18) (яг, \—1/2 1+tg2-2/r +' Из (5.18) следует, что при Xi—dzh касательное напряжение ом достигает предела текучести kt, аналогично о2а достигает предела текучести при x3 = ±h. Такое явление может, наблюдаться при развитых пластических деформациях. Аналогичный эффект воз- никает в решении Прандтля о сжатии пластического слоя. Решение (5.17)—(5.18) можно использовать для описания пла- стического течения материала, сжимаемого двумя парами парал- лельных жестких- и шероховатых плит. При этом каждая плита надвигается на слой со скоростью с. Из постоянства напряжений «и и о22 следует, что постоянен вектор касательных напряжений т„, который направлен вдоль оси Oxs и пропорционален нормаль- ному (цр Кулону) давлению о„р = —тв. Предполагая край х, — О свободным от напряжений и учитывая несжимаемость материала, можно установить связь постоянных с4 и .У. § 6. РЕШЕНИЕ ПРАГЕРА 1°. В. Прагером [63] в 1954 г. построено точное простран- ственное решение, которое описывает пластическое течение, соот- ветствующее однородному напряженному^ пластическому со- стоянию. Пусть однородное напряженное состояние задано соотно- шениями iSnк9 St& = 2, £>з9s=s S12= р, 5*13= г, Sza == ц. (6.1) Тогда с точностью до поля скоростей, соответствующего дви- жению твердого тела, наиболее общее поле скоростей, совмести- 48
гое с уравнениями 1.6.1), определяется формулами их = с (кххх3 + рхах3 + rxl), и2 = с(рххха + lxax3 + qxl), (6-.2) и3 = — 1/ас (кх% + 1х% + 2рхгха — пга£), к-+ 1 + т = 0. Здесь к, I, т, р, к, г, с — некоторые постоянные. .Из (6.1), (6.2) следует, что поле скоростей (6.2) содержит только одну произ- вольную постоянную с, в противоположность плоскому течению, когда возможно даже появление произвольных функций [63]. Как заметил В. Прагер, поля напряжений и скоростей типа (6.1)—(6.2) могут быть использованы в задачах о пластических пластинках, подвергнутых действию постоянных изгибающих и крутящих моментов. . 2°. Можно показать, что решение (6.2) инвариантно, с точ- ностью до преобразовании подобия группы (1.5), относительно подгруппы. Xi + аТг + aS. Инвариантное решение, построен- ное на этой подгруппе, имеет вцд Ui = aXjZs + и(х2, xs), и2~ ^'х,Хз + v{x2, ха), ’ (6.3) Ug = i ххха + w (х2, x3)f Р2 = cujj + Р (х3, х3). Подставляя соотношения (6.3) в систему уравнений (1.1)—(1.4), получаем " dsn , _ дР дх Ох ’ Ох дх„ дха ’ • Z о л 3 а ‘ + «^+^ + /^ = 0, - (6.4) дХ3 3 дх2 дх3 - ' ^11 = S22 *= ^33 = 251а = ar3), 2Sr13 = 1—, 2S23 = Эта система допускает операторы Y 0 Т г д ~ д у_______________0 у_______0 у 0 С дх2'л~х*дш Хз dv' Х Х Х з~ Решение, инвариантное относительно . подгруппы X + pf + yS, следует искать в вцде и = / {х3), v = — р^агз + <р (х8), w =»4 Х* + Ф (Жз). Р = ?®2 + Р (х3). <6’5) После подстановки выражений (6.5) в систему (6.4) она перехо- дит в следующую систему: ^3 д ^23 v ^зз 0Р дх3 ’ дх3 ь ‘ Ц. Ампим, В. О. Вытев, Ск И. Сенатов 49
Sji = ocXx3, Saa — — plx3, S33 — 'k -g*, . . 3 2512 = T Xx3, 2iS18 = 2S23 == % 3 3 , » Если а — 7 = 0, то получаем решение типа решения Прагера, в противном случае имеем аналогично On = ^>4- сь Ом = + с2, о33 = axt + 7±а +'<%, Оц = о33 + (2еи 4- е2г) о, ом— е12®, о22 = 03з + («и + 2ег2)©, и == 2^ dx3 4* о.х^х3, v — § ф8 dx3 Ш =4(xl ± 2W + M +^), ®« = e2 2 /8+Л—- *11 4- *ц*33 4- e22 • *12 Замечание. Решение, найденное M. А. Задояном [211; по- строено, на подгруппе, которая подобна подгруппе Х? ±7\ 4- аТ2 + 4- aS. Поэтому оно может быть получено из (6.7) преобразования- ми группы" (1.5). Решение (6.7) можно использовать для описа- ния пластического течения между шероховатыми плитами, при анализе напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты, подвергнутой действию изгибающих, крутящих и растяги- вающих .усилий [21]. - § 7. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ * Iе; Осесимметричные задачи идеальной пластичности пред- ставляют значительный интерес для приложений. В этом случае напряженное, состояние может быть описано компонентами тен- зора напряжений а„ ов, аг, с„. Деформированное состояние опре± - деляется компонентами тензора скоростей деформации ег, ее, е„, где гбх — цилиндрическая система координат. При этом пред- . полагается, чтох вектор скорости деформации имеет две отличные от- нуля компоненты ur, ut, которые полагаются функциями г и z и обозначаются и, ш. - . Уравнения равновесия в данном случае имеют вид &ег да*. а_ — ов . _да„ да, а_ . л —Г+—S-4--r—-=0,-^ + -т44- —= 0. - (7.1> дг dt г dr дг г ' ' Третье уравнение, связывающее компоненты тензора напря- ' жений, является условием текучести (Or-oe)24-(oi0-o2)24- (ог-ог)24-6о?г = 6/с1 (7.2} Нетрудно видеть, что система (7.1)—(7.2) содержит четыре ис- комые величины и поэтому, в отличие от плоской задачи, рас- смотренной ниже, не является* локально статически определенной, и раздельный анализ напряжений и скоростей в данном случае SO
включается. Таким образом, осесимметричные задачи образуют :ак бы промежуточное звено между пространственными и плоски- ми задачами—они содержат лишь две компоненты вектора ско- рости й, w и обладают принципиальными сложностями простран- ственных задач: 1) задача не является статически определимой; 2) система (7.1)—(7.2) не является гиперболической. Поэтому анализ общей осесимметричной задачи наталкивается на большие математические трудности и все точные решения получены об- ратными методами. . Присоединим к уравнениям (7.1)—(7.2) условии несйшмаемо- сти и уравнения., связывающие компоненты тензора скоростей деформации с компонентами тензора напряжений: ди , и dw А ' ~д7 + 7 + ~дГ = °’ -g- = * (2<ir - qe - аО. 7- = А (2ое - <тг - <т2), (7.3) = А (2*, - Ог - ае),~ ~ЗР = О, + Оо + щ, где 1 — положительная функция, определяемая из условия (7.2). Группа, допускаемая системой (7.1)—(7.3), порождается* сле- дующими операторами [5J: •у •V’ . 1 -у ' & 1 dz - 2 ~ dr Z dz 8 dw ’ _ я (7.4) Хд , 0 v 3 . ' ' .=u ——Ь Ae = - ай-. • du dw 0 dP Построим оптимальную систему однопарамётрических подгрупп. Она, имеет вид , • . ^+аХа'+₽Х5, Х1 + аХ4 + ₽Хв, ХВ + ₽ХВ, (?g Х2 + аХ, + ₽Х6, Х2 + + ₽Х5, Х4 + Хв. В силу критерия из [53] инвариантные решения можно построить только, на подгруппах Х. + аХз + рХ., Х1 + аХ4 + ₽Хв, Ха + аХв + ₽Хв, Х»+'аХ4+₽Хв. 2°. Рассмотрим решение на подгруппе Xi + Xt + aX8. Решение- ищем в виде [2, 5] or = az + о* (г), <т0 = az + о* (г), о2 ==' az + а* (г), о„ = o*z (г), и — и* (r)expz, w = w* (r) expz.- (7.6) Здесь а — произвольная постоянная, величины со звездочкой за- висят только от г. Из (7.1) следует. о„ = — Vjjar + сг"1, (7.7) где с — произвольная постоянная. Подставляя (7.6)—(7.7) в С7.1)— (7.3), получим для и*; w* систему обыкновенных дифференциалы- Л 51
пых уравнений. Если предположить, что\г = с = 0, тогда из урав- нений несжимаемости и условия (7.7) получим (предполагая, что w ограничено при г = 0) и = Aj'o (г) exp z, w — — AJo (г) exp z. (7.8) ~ Если w неограничено при г="0, то в (7.8) следует'добавить функцию Макдональда. В выражении (7.8) А — произвольная по- стоянная, /о — функция Бесселя нулевого порядка от мцимого аргумента, удовлетворяющая уравнению tJq + Jо — tJ0 = 0 ". и условиям /о(О) = 1, Jo (0) я» 0. Обозначим —rJ0/J0=/. Здесь /(г) принимает значения от - —2 до —оо. Находим в. т1 == - f [/ (0 + 2] r*F (г) dr, F (г) == (1 + f + f)"1/2T * ' (7-9) g— -£ + [/ (r) + 2] F (r), =- + [2/ + 1] F (r), где R — произвольна^ постоянная. Это решение при R > 0, А > 0 ’ описывает пластическое течение кругового цилиндра длины L (—Z=Cz=C0, 0 С г =C.R), который нагружен по плоским Торцам напряжением, распредёленным по закону (7.9), и свободен от на- пряжений на? боковой поверхности. 3°. Рассмотрим решение на подгруппе Xi + аХа + 0XS. Оно совпадает с решением, найденным в [29], и ищется в виде dr = — рг + фЛг), Ое ==•— ₽z + i]>2(r), щ = — 0z + i£3(r), Grz = ^r/2 + mJr, u = qM, w^—az + fM. Подставляя эти выражения в (7.1)—(7.3), получим решение - в виде Зп г2 и °2 ~ — Сто) + Т (°г ~ (m/2 + m2)2 . - 2pn Ge = or------2 f Г г2 — (th ,r2 + т )® Jr о^==пг1г + 7ге2/г, к = п1г+п2/г, . w== г(2не-ах-аг) ’ где nt, пг, mi, т2 — постоянные, а = 2л„ 0 = 2mt. Полученное ре- шение соответствует сдавливанию пластического цилиндрического 52
слоя шероховатыми квартальными цилиндрическими поверхно- стями. Если т2 = п*= 0, то получим - решение, исследованное в монографии [90], которое описывает осевое течение трубы под действием осевого растяжения и внутреннего давления [82]. 4°. Рассмотрим осесимметричное решение, инвариантное отно- сительно подгруппы Х2. Решение будем искать в виде u — ukty, w = Р = Р(Ъ), —z/r. В этом случае система (7.1)—(7.3) сведется к следующей си- стеме обыкновенных дифференциальных уравнений: - lSlt + S'„ + Sr - Se + IP' = 0, (7.10) - + Sz + Sn - P' = 0, (7.11) Sr + Se + S, = O, (7.12) S? + S2 + Si + 2S?Z = 2*| (7.13) Sr*=—Agu , S&^=fai, St ~ faff , (714) 2STZ = fau' — fyi/), где Se, ST, St, STt — компоненты девиатора тензора напряжений, штрих означает производную no_g. * Умножим уравнение (7.11) на g и сложим с уравнением (7.10), имеем - gsr + (1 - g2) S'„ + gS^ + (Sr - Se) + gS„ - 0. (7.15) Воспользуемся уравнением (7.12) и, исключая из (7.15) и (7.13) S2, получим ' - 2gS?.+ S'r'z (1 g2) - gSe + Sr - Se + gS„ = 0, (7.16) Sj + S| + S*, + U-iJ. ' (7.17) Из соотношений (7-14) следует, что 2S„ = fau' - lw') = (l/g)[(g2 - l)Sr + g2Se'l. (7.18) Подставим (7.18) в (7.16) и (7.17), получим - g*(l + g2)2S? - g2 (1 + g2) Se + (1 + & Sr « 0; (1 + g2)2S? + 2SeS£* (1 + g2) + S%* = 4g2 (ftl - S§). ( ’ Последнее уравнение перепишем в виде (1 + g2) Sr + S& - 2£ (7-2°) Выражая из уравнения (7.20) ST и подставляя его в .(7.19), после приведения подобных получим 2£2 /*1-Sg + 2g (1 + g2) (jAl-S§)' = 0. 53
Отсюда следует / • . - Ж V*’-^§== i+s2' Решая последнее уравнение, Подучим ' 5в— где с — произвольная постоянная. Из уравнения (7.20) находим sr= 21с1£ ^_JLSe. ' r О + Е2)8'2 -Г+6> е Пусть с = к‘„ тогда Ъ = ь i с _ ь Е<2 —Еа) 8 *• yj+p* 5г“л* (1+№' Отсюда и из уравнений (7.14) получаем £т_ _Ы_ 2-Г . „ л (1 + ^'3 «е“ « 1 + £2’ Е2 где А — произвольная постоянная. Из уравнения неразрывности получаем и = ЗА - В (Г+ g2)17? - In [ В + /ГТРI) + в. Компоненты тензора напряжений имеют вид g __ъ S (2 %2) о ________ь Е г “ ‘ (1 +W ’ ® ~ (1 + № ’ С __’;_Qr. 6 — С __ Ь 2£2 —1 йг- fft*(1 + £«)3/2’ C>rZ_ft,(H-Ea)’72 ' Это решение описывает пластическое течение при продавливании материала через коническую матрицу h^z^H, n^|oz. 5°. В заключение параграфа .приведем решение, которое не является инвариантным решением системы (7>1)—(7.2), но явля- ется инвариантным решением более общей системы (1Л)—(1.4). Это решение, найденное Р. Хиллом [901, ищется в виде Ог = оДг), о« = о„(г), ов=о.в(г), Ог^о/г), . u = u*(r) cos z, w = w*(r) sin z, предполагая, что ori —0. Тогда из условия несжимаемости м ра- венства о,, = 0 имеем + 6;^-+ «♦-©. дг г . 1 от 54
1з этих уравнений получаем и =-=—Л/о(г)созх, №=•= — J0(r)sinz, (7.21) тде А чг- положительная постоянная, Л — функция Бесселя нуле- лого порядка, определяемая так: ' - + Л + Го (0):== 1, (0) = 0. Заметим, 4TQ iz> = 0, когда z«0, и что и = 0, когда г=0, а рас- пределение и по поверхности представляет собой развитие выпу- чины. Условие = 0 согласуется с требованием, чтобы цилинд- рическая поверхность была свободной от напряжений: Обозначая rJ0 (r)/j'o (г) = /(г), • где /(г) меняется от —2 до бес- конечности, в то время, когда г изменяется от нуля до второго нуля функции Jo, из уравнений равновесия и условия текуче- сти имеем ММ-2) М2/ + 1) °6 — Ог — “7=========, 0Z &г > t= Vl+f+f3 Уи-7 + f к, 2 dr При. этом К должно быть положительно: А 2== (7.22)7 3fc.r Если 2Z — длина цилиндра, то условие (7.22) требует, чтобы I < <л/2, а <3,83 (приблизительно). Распределение напряжения по концам цилиндра, необходимое для получения этого пластического состояния,' таково: , 2/4-1 f /+2 dr Vi+t+f г /Г+7+7 г При этом напряжение oz является сжимающим в центре, оно уменьшается численно по направлению к краям, становясь растя- гивающим тамл § 8. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ - 1°. Плоская задача считается наиболее изученной задачей теории идеальной пластичности. -Изученность этой задачи озна- чает, что большое количество плоских задач может быть решено построением линий скольжения.' С другой стороны, точных ана- литических решейий уравнений даже в плоском случае не так ' много. 55
В этом параграфе дадим описание известных точных решёник разбросанных в ,настоящее время по различным статьям и моно- графиям, причем описание будет дано с единых позиции — с точ- ки зрения группового анализа. Система уравнений плоской задачи идеальной пластичности с условием текучести Мйзеса имеет вид - ,^.+ £._O,£+.Jt-O, (8.1) ох ду дх ду . ' ' (о, - Си)2 4- 4т2 = 4А1, (8.2) (ди dvA [ ди , dv \ , ди , dv Л /о № ~ аг)т = ( *• + Ъ) (*« “ = °. (8.3) где оя, о», т— компоненты тензора напряжений, и, v — координа- - ты вектора скорости деформации, к, — предел текучести при чи- стом сдвиге. Из уравнений (8.1)—(8.3) видно,-что для плоской задачи теории идеальной пластичности можно строить сначала поля на- пряжений, а потом по ним восстанавливать поля скоростей, при- чем последние восстанавливаются, как правило, неоднозначно. Нетрудно показать, что система уравнений. (8.1)—(8.3) явля- * е-тся гиперболической, характеристики и соотношения па них об- щеизвестны, поэтому сейчас мы касаться этих вопросов не будем, а далее будет дюказано, что соотношения на характеристиках являются следствием нередуцируемости частично инвариантных, решений к инвариантным. ' '' Группа, допускаемая системой (8.1)—(8.3), порождается сле- дующими операторами: v д । - 8 ‘ v д Y д 1 Х дх ду ’ 3 ~ дх ’ 4 = ду' (8-4) v д д д д о д' , . д п д — ---—h р-н——u-д- + 2т д—h (ov — ах) -х- — 2тт—, 2 э дх ду ди dv дох . ' v 1 дх дс^ V д , 8 Y д д 6 да„ да' ъ ди dv' X у у' т д ___ д у _ д у _ . .. 7 dv dv' 8 дц'. • dv ’ Поскольку удобно исследовать сначала систему в напряже- ниях, ‘то необходимо знать и группу, допускаемую системой (8.1)—(8.2). Она порождается следующими, операторами [1001: v д . д „ д v д Х дх Ну' s ~~ дх' 4 ду' /Я д д , п д , , . д д (8‘5* 2=^-5------х~я~ + + \aV — axi-^ ~ 2 а дх ду дах ' * ' дх дОу - д<!х+ дОу 56
Ниже мы будем действовать следующим образом: сначала, пользуясь методами группового анализа, строим инвариантное- решение системы (8.1)—(8.2), далее с известными о», Ov, т вы- писываем систему (8.3) и ищем группу, допускаемую этой систе- мой. Группа, допускаемая конкретной системой (8.3), является, как правило, подгруппой группы, порождаемой следующими опе- раторами: V д , ’ & -W & V д Y* ~~ Х На-У ду ' “° да' = ~ду' lr д д , д д ю У» — х-----y-z- + u-x----v-z-, (8.о> 8 ду a да dv ди' ~ ' Ys ~ и ди + V dv' “ Х ~dv ~~ У~дй' ~ Л?’ -^а ~ ~dv' Для построения всех существенно различных инвариантных решений системы (8.1)—(8.2) необходимо построить оптимальную систему подалгебр для алгебры -Ls (8.5). Поскольку система урав- нений (8.1)—(8.2) зависит от двух переменных, то можно огра- ничиться перечислением неподобных однопараметрических под- групп. Оптимальная система имеет вид-(1001 Х. + аХ5, aXt + X2-+7X5, Xs + -fXs. (8.7) Для алгебры Ли La (8.6) оптимальную систему удобнее строить в каждом конкретном случае. Теперь, имея всю необходимую информацию, будем строить точные решения. 2°. Поля скоростей для решения Прандтля. 1. Ищем инвариантное решение системы (8,1)—(8.2) относи- тельно подгруппы <Xi +-уХ') из . (8.7). Решение ищем в виде оя = ,уа:+/,(рГ, о, =-уж + (г(р), т = Жр), (8.8) где F, G, Н — некоторые функции переменной у. Подставляя (8.8> в систему (8.1)—(8.2), получим известное решение Прандтля: ох = — Р — Мтг — 21/ 1—Та b av= — р~к*1> т== (8.9} где h, Р — произвольные постоянные. Оно описывает сжатие пла- стического слоя между параллельными жесткими и шероховаты- ми плитами. При этом толщина слоя 2h считается значительно- меньше протяженности слоя 21. Необходимо отметить, что данное решение часто используется для решения инженерных задач. Например, в работе [92J решение Прандтля применяется для рас- чета напряженного состояния в пластическом слое угля вблизи, забоя. Для определения компонент вектора скорости имеем два уравнения: . _____ + ’ (8.10) Uv+Vx У 57
Найдем группу, допускаемую системой (8.10). Эта группа по- рождается следующими операторами: - Х.-^Х,-и£ + »±. (8.41) Оптимальная система однопараметрических подалгебр имеет вид Хм Xi + aXSi Xt + aXt, Х,+аХ4. Х, + аХ2 + ₽Х8. (8.12) В силу критерия инвариантности инвариантные решения могут быть построены только на подалгебрах Xt + aXs, Xt + aX2 + pXs. X Рассмотрим подгруппу Xt+eXi + pX,. Решение, инвариант- ное относительно этой подгруппы, ищем в виде и — —агр+p® + g(p), v == (кх/2)®а-+ /(р), (8.13) где /, g — функции,' подлежащие определению из системы (8.10). Подставляя (8.13) в(8.10) и решая полученную систему обыкно- венных дифференциальных уравнений, получим и = — аху + ₽х — -^-arcsin-p + ^-Vh2 — у2 — р Vh2 — р2.+сх, . г? = (а/2)(гг + у2)^у+ с2, ' (8.14) где е*, с» — произвольные постоянные. Заметим, что при а = 0 (8.14) переходит в известное решение Падай [821,.. при а^О получаем новое поле, скоростей. 3. Построим возможною-инвариантные решения на подгруппе Xi + aX*. Решение, инвариантное относительно этой подгруппы, ищем в виде ' _ Uf=/(y)e®I, u = g(y)e'“. (8.15) Подставляя (8.15) в (8.'10), получим систему обыкновенных диф- ференциальных, уравнений. Отсюда получаем: Эта система сводится ^уравнений Риккати. 3° .. Инвариантные решения, описывающие течения в сходя- . щихся каналах. , . • - ’ 1. Инвариантные решения на подгруппе Xi + тХ* удобно ис- кать в полярной системе координат гв. Система (8.1)—(8.2) при. - этом перепишется следующим образом: дт °е_д dr + г 9Q + г ’ 0т , 1 flge , 2т — дг г дв ' г ; (о,-о0)2 + 4т2= 44Г (8.17) 58 - - (8.16) О,
Эператор X, +tXs в полярной системе имеет вид Инвариантное решение относительно этой подгруппы ищем в виде 0г==71пг + «(0), ов —у Ы г 4r’Мб), т = с(0), (8.18) где a, Ь, с —искомые функции. Подставляя (8.18) й формулы (8.16)—(8.17), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений у + с' + а — Ъ = .0, Ь' + 2с = 0, (а —6)2 + 4с2 = (8.19) Из этой системы следует дифференциальное уравнение для опре- деления с(0): с'-Ьу = 2)/Л?-с2. ,г ' (8.20) Пусть тогда из (8.19)—(8.20) находим решение Падай [481 с(0) = й,8нг(26 + Л,), Ы6) = &,со5,(20+.Л1)+Л2, (ggj) а(0) = — к. соз('20.+ Л4) + Аг, где Л 1э Л» — произвольные постоянные. Пусть у ¥= 0. Обозначим с=к, sin 25, тогда уравнение (8.20)- запишетсяследующим образом: 2/cs cos 25—+ у = 2/c8cos 2В. Отсюда получаем 2kt cos2B dB — у-|-2Л4 Cos 2В Теперь, считая, что у® > 4&?, имеем B + (8'22>' - где 0в — постоянная. Считая, что 1 — большой параметр^люлучим из (8.19) и (8.22). согласно [821 (8.23) где а — произвольная постоянная, у — kja. Решение (8.23) при- ближенно описывает напряженное состояние, возникающее при плоском течении пластической массы й сходящемся канале в фор- ме плоского клина, если клин имеет'раствор 2а и а мало. 59.
2. Отметим также случай, когда с = б Тогда « = +Р, Ь = Р + + 2к„ Р = const и компоненты тензора напряжений равны о, = — Р + 2к, In (а/r), ов = Or + 2ks, т = 0. (8.24) Это решение описывает напряженное состояние в пластической зоне около круглого отверстия радиуса а. Решение (8.24) можно использовать для расчета напряжений, возникающих под действи- ем сил внутреннего давления в толстостенной трубе. 3. Для поля напряжений (8.24) поле скоростей деформации определяется из системы линейных дифференциальных уравнений Система (8.25) приводится к линейному' уравнению второго по- рядка в частных производных ' . d2v 2 d2v dv дв2 dr2 дг которое можно решить методом разделения переменных. 4. Рассмотрим случай, когда с #= 0, а функция а(0), Ь(0), с(0) суть решения системы (8.19). При этом компоненты вектора ско- рости определятся из системы „ ди - - 2г* ..* дг а — Ь ди , и , 1 dv п пС\ —----------= __— — + — Ч---------— = 0. (8.26) ди dv 2с дг г г дв ' ' ~db+r~fr-v Система уравнений (8.26) допускает группу непрерывных преоб- разований, порождаемую операторами Z2 = u-^- + p4-,^3 = r#-. (8.27) 1 dv ’ 2 ди dv' • - dr ' ' Инвариантное решение системы (8.26) можно построить только на подгруппе Z3 + 0Z2. Это решение ищем в виде * « = ^/(0), p = rpg{0), (8.28) где /(0), g(0) — некоторые искомые функции, [J— произвольная постоянная. ’ - Подставляя (8.28) в (8.26), имеем «"+ /»+«>-<>: (8.29) Из формул (8.29) видно, что для определения / и g получается уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. В общем случае трудно ожидать, что его удастся свести к квад- ратурам. Но система (8.29) сводится к квадратурам при £ = ±1. Пусть р = —1, тогда g = A, (f-2A)F(V = -2f, (8.30) где А — постоянная. Если положить, что А = 0, а величину а ко
«читать малым параметром, то из уравнения (8.30) и (8.23) по- лучим приближенное значение 'компоненты скорости ц = А(1.+ 2 /а2 —62), где иа — произвольная постоянная. Пусть Р = 1, тогда из (8.29) имеем /72/ = 2с/(«-Ь), g' = -2f, (8.31) отсюда получаем , / = А ехр( g' = -2/, (8.32) где А — произвольная постоянная. Считая а. малым парайетром, из (8.23) и (8.32) имеем - . f = A exp (—4а V1 — 07а*), g' = —2/. (8.33) Поля скоростей (8.32) и (8.33) тоже могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния в сходя- щихся плоских каналах. 4°. Инвариантные решения, описывающие течения в канале, стенки которого образованы логарифмическими спиралями. В последнее время широкое применение получило горячее прессование кольцевых и спиральных заготовок в криволинейных каналах. Такой процесс для жаропрочных сталей и сплавов ти- тана весьма эффективен, так как позволяет исключить операцию гибки, уменьшить припуски и получить значительную экономию/ металла. В ряде случаев профиль матрицы можно описать в виде логарифмических спиралей [91. В книге [45] упоминается о том, что Гартман показал воз- можность существования .пластических'течений, границами кото- рых слуцсат Две логарифмические спирали. В работах Б. Д. Ан- нина [1, 100] для таких течений были указаны поля напряжений. Некоторые частные случаи подобных течений позднее рассмотре- ны в статье (91. ,1. Спиральные течения суть инвариантные решения, построен- ные на подгруппе аХл + Хг,+ Их следует искать в виде Or = +/(X), о, = + g(X), ог(р = й(Х), Х = гехраф. (8.34) Подставляя соотношение (8.34) в систему (8.16)—(8.17), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений от пере- менной X, которая имеет вид 11001 X/' + ah*К + / — g = 0, - ХЛ' + f + aXg' + 2h — 0, (f-g)a + 4fe2 = 4tf, где штрих означает производную по X. 2. Пусть а — 0, тогда из (8.35), получаем rf' + f — g = 0, th' + 2h + у = 0, (/-g)2 + 4fea = 4A3. (8.35) (8.36) 61
Из второго уравнения (8.36)имеем ^с/^-7/2, , (8.37) где с — произвольная постоянная. Из условия текучести получаем • /-Г-±2/«-Ла. (8.38) Теперь функция f находится квадратурой из первого уравнения системы (8,36). ' ~ Если y = 0, .то найденное решение переходит в решение Мих- лина'[34]. ' . 3. Для нахождения поля скоростей в случае а = 0 имеем сле- дующую систему уравнений: _ ди и 4 ди г--------------- дт т г д& У. ди и 1 Qv п oQ\ д (vx~~-l~dir = —h—’ аг + 7 + = °(8,d9> т дг (г ) + г dQ Система (8.39) допускает операторы *1“ "аё’ *2 =иаё + V~dv’ Х« =* г аё’ Оптимальная система имеет вид x, + 0x2, Х, + 0Х3. Инвариантное решение на подгруппе Xt4-0X2 ищем в виде и *= и*(г) ехр 06, v = р*(г) ехр 06. (8.40)* Подставляя (8.40) в уравнение (8.39), имеем 2гц*'_______V(к1 — Т2^2) г* + 2Усг2 ~ с” = г2 (v*/r)‘ + 0u* с — (у/2) г2 = 21 (г), ги*' + и* + 0р* == 0. (8.41) Выразим из второго уравнения и* и подставим в первое. В ре- зультате получим уравнение второго порядка 20га*' =А(г)[—г2и*" — ги*' 4- и*(1 +.а*)]. Если 0 = 0, .то получаем известное решение: u==^l, у = r I? [ з^ГГ + Са1’ т I J г Л(г) где Ci, с2 — произвольные постоянные. 4. Рассмотрим подгруппу X, 4- 0XS. Решение на этой подгруп- пе ищем в виде , ы = фДг), -V = 0лр 4- tp»(r). 62 '
Система для определения функций ф2 имеет вид ' , ~л^ ^м‘,+₽г-°; где Л(г) определена в (8.41), В результате имеем В ci Л С с — ₽га “--4'--- 1'“^+ч-7^г'гг’ - где с, — произвольная постоянная. 5. В случае а =¥= 0 - из системы (8.35) • получаем уравне- ние [100]: ' aX(/,-g,).+X(aa-l)V + a(f-g)-<2fe+Y) = 0. (8.42) Выражая из последнего уравнения системы (8.35) f — g и под- ставляя в (8.42), получим уравнение для определения hz Ш' + 2Х (a2 — 1) К —Л2 + 2a (Л? — Л2) — — (2fe + у) —Л2= 0- ’ (8-43) Особенно просто выглядит последнее уравнение при а = ±1. Пусть а = Д, тогда (8.43) переходит в уравнение 2М' + 2 ]Л*2-й2 (^Л? —— (h + у/2)) = б. Разделяя переменные, имеем • f /-=.-?7Л=--------------т =-In(<*•). (8-44) * У к» -Л»(]Л2 “ Л*“ <Л + V/2)) где с — произвольная постоянная.,. Сделаем в уравнении (8.44) замену h = к, sin z. В результате получим J Access — Zc8sinz — у/2 1п(сХ). Последний интеграл преобразуется следующим образом: [ —----Г -----------=— 1п(сХ). J — у/2 -}- sin (2 ~’ я/4) При йтом (я \ 8-т) • —-у + V2 fc, sin (* — т) 63
Для простоты ограничимся случаем у = 0, тогда Отсюда получим . z = 2 arctg [(cl) + л/4, или / 2/ял. /ал, Д h = 1/2 / X +2СХ —С2 \ Л, 2 I 2/ift Г ’ \ Л “7" v / График функции И/к, показан на рис., 5 (с = 1), где £ = % Напряжения о„ о, определяются из уравнения системы (8.35) квадратурой: f /л® —Л2 _ ----- ог = / = — h — j —-------dh, o<p = Or — 2 у Aj— (8.45) Вдоль линии re<f = l + V2 (0^<рС2л) касательное напряжение минимально. Когда с стремится к бесконечности, то Тфг->-Л,/У2, при атом Or, ov стремится к бесконечности в силу расходи- мости интеграла в (8.45). Это решение можно интер- претировать как течение в ка- нале, образованном двумя стен- ками в форме логарифмиче- Рис. 5. 64
ких спиралей. При этом можно подобрать такую фо^му кана- ла, что касательные напряжения на стенках будут равны. Тогда поле скоростей можно восстановить из уравнении -w “ 1 ' = ,/-, W + u + W = Q. ‘ Ли — v + лг А ’ 5°. Частично инвариантные решения уравнений плоской тео- рии пластичноети. Большой интерес в механике представляет частично инвари- антные решения, впервые введенные Л. В. Овсянниковым. К этим ' решениям, в частности, относятся кратные волны, давно и ус- пешно используемые в различных разделах механики сплош- ных сред. В этом пункте будет показано, что известные соотношения Генки и уравнения Гейрингер суть следствия нередуцируемости частично инвариантных решений к инвариантным. Систему (8.1)—(8.2) известной подстановкой Леви . оя — о — к, sin 26, о, .= о + к, йт 20< т = к, cos 20. приводи}! к виду - 7 -g — 2ks (cos 20 + sin 20 = О, дх дх ду ] 3» / . оо 36 оо 30 \ п (8.46) s----2As|sin20-x----cos 20-х-1=0. а» Y' дх j Уравнение наименьшего инвариантного многообразия [521, необ- ходимого для поиска частично инвариантных решений, ранга р = 1 й. дефекта б — 1, может быть взято в виде ' о = о(0, х, у). (8.47) Подставляя (8.47) в (8.46), получаем' . (o;_2A,cos20)-g + ^sin20-|| = --g, —• 2fc,sin20-g +(o;-2)cscos20)^ = .-^ Для нередудируемых решений [52] должно выполняться условие^ (ое)8 — 4# (cos2 20 + sin2 20) = О. ч Интегрируя это уравнение, получйм о = ±2А«0 + с (с = const). (8.48) При условии (8.48) уравнение (8.46) сводится к одному урав- нёнию 2кг (± 1 - cos 20) g + 2к, sib 20 g - 0. Первые интегралы этого уравнения равны -g==tg0, -g = -ctg0. . (8.49) ’ Б. Д. Аннин,'В. О. Бытев, С. И. Сенатов . 65
Соотношение (8.48) есть известный интеграл Генки, а (8.49; сут- уравнения линий скольжения.. Следовательно, любое нередуци- руемое инвариантное решение системы (8.46) ранга р = 1 и де- фекта 6 = 1 определяется из известных соотношений. Обратимся теперь к уравнениям, определяющим поле скоростей. С учетом соотношений Леви уравнения .(8.3)—(8.4) примут вид :dv/dy «л ди , г» /о 'duTdy + dvidx = ^20’ 17+а7 = ()- <8-50) Для отыскания возможных частично инвариантных решений ран- га р = 1 и дефекта 6 = 1 возьмем уравнение наименьшего инва- риантного многообразия в виде и = и(х, у, и). (8.51) Подставим (8.51) в уравнение (8.50). Получим ди ди dv dv _______ „„ / ди ди dv dv \ дх dv дх ду . ду dv ду дх j' ди ди dv dv ___z. дх dv дх ’’’ ду Для нередуцируемых частично инвариантных решений' должно выполняться условие (-g)2tg2e + 2-g-tg2e = 0. (8.52) После решения квадратного уравнения (8.52) с учетом (8.51) получаем х du.+ tg 6 dv = 0, du — ctg 6 dp = 0. (8.53) При этом система (8.50) сводится к уравнениям tg6-^=|- ^- = 0, ctg 6-^ +-^- = 0. (8.54) 6 дх ду ’ 6 дх ду ' ’ Первые интегралы уравнений (8.54) совпадают с (8.49), а урав- нения (8.53) суть известные соотношения Гейрингер. Следовательно,- показано, что уравнения (8.52) служат для определения частично инвариантных решений panta р = 1 и де- фекта 6 = 1. Такие решения называются еще простыми волнами. ' § 9. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ В этом параграфе, будем строить решения, инвариантные относительно подгруппы Х8. Такие решения следует искать. в виде “ ZzQT|, 32g), - р(я?|, ^2), Мд — Хд), J? — jP(*Tl, «Гд)" (9.1) Цодставляя соотношения (9.1) в систему уравнений (1.1)—(1.4), имеем 66
SU , aS12 ap 9S12 dSM gp dx± - dx% dx^ dxt dx% dx^ q^~ + dl~ = 0, + S22 + S83 = 0, 1 2 Ь (9.2) 5Ц = Х^, S22 = X^, S33-0, 11 dx* 22 dx* 33 • ’ 9 0 _ 1 ( du 1 Sv \ ОС \ dw ОС 4 dw ^i2-A^— + 3a.J. <^>13— л-g-,. 2d23-X— «—8 97,2 {( du\2 / dv\2 , 1 / du , dv \2 1 / dw\2 , 1 ( dw \2] Л — za:, 1 1 + 11 + 2 1 1 + 2 1-^—1 + 2 I 1 u L\ 1/ \ 2/ \ 2 1/ \ 1/ \ 8/ J Система (9.2) допускает группу непрерывных преобразований, порождаемую операторами v д v d . v d d , d _ d 1 . dx^‘ 2 dx% 8 ' a'2 dx^ X1 dxa & du dvf‘ v ___~ a i T ' Y__________ a X — a X __________ a X________— A*~X2 du"~Xi dv' &~~дР’ Л6— du' A1~S^ A»~ tto* ® X± + x2 Xlo = и + V ' » 1 dx* 2 dxj 10 du 1 dv ‘ dw Оптимальная система одномерных подалгебр для алгебры Ли (9.3) имеет вид <* X, + aXt ± X, + ₽£„ X, + аХ4 + ₽(ХВ + Х10), X, + dX4 ± X., X, т X, + ₽Х„ Х3 + аХв + ₽Х10, - Хв + аХв + рХв, Х1±Х10, Х8±ХВ, Хв + аХ10, Х4 + а(Хв + Xi0), Х4±Х8, X», Х8, Х10. Здесь учтено, то, что X» йорождает центр алгебры Ли (9.3), а, , р — произвольные постоянные, различным значениям а и £ соответствуют неподобные подалгебры. Инвариантные рещения можно искать только на подгруппах Xi, Х4 + а(Хв + Xl8), Xj + аХ10, Х8 ± Хв, Xt ± Xi0, X. + аХ8 + рХв, Хз + аХв + 0Х1О, Х3 ± X, + рХ8, Х3 + аХ4 ± Х8, X, + аХ4 ± X. + £Х8, Хз + аХ4 + ₽(ХВ + Х10). Эти решения имеют вид Xt + аХ5: и = /(хг), v = §(х2), w = h(xj, Р =» ow:i + Р(жа), Х* + а(Х8 + Х10) + рХ5 (а^О): u = rf(0), i? = arlnr + rg(6), w = = rh(&), P = g(6) + (₽/a) In r, X, + aX10 + pX5: u = r“/(6), i?=“<"g(6), ^==г“Л(О), P=JJlnr + + P(6), ' 67
ХГ± Хы + аХъ 'u — f (я2) в**1, V — g (жа) е±х\ w = , = Л(гг2)е±Х1, Р — ажх + Р(ж2),' Х8 + аХ8 + pXs + уХ5: u~= (1/0) In я,+ /(£), i’ = g(^), w = h(D + + (а/р) In xt, P = (y/p) In ач + P(g), g - Х. + аХ, + ₽Хи + <гХ,: u=3i*z“/(g), v = T*'ag(&, w = i*'ah(l), P = == 76 + P(g\ g = re~“e, X, ± X, + 0XS + yXs: u = /(g), v = g(g), w = Mg) ± 0, * P = y0 + + P(g), g = re"se, X8 + aXt±X8 + pXs: u = /(r), u> = g(r)±6, v = arO + h(r), P = , =pe+P(r), Xt + aX4 ± XB + 0X8 + yX6: и = ± x± + axtx2 + / (x2), v = = — (a/ty.xl + 4 (ж2), w = fix1 + g (x2), P = yx±+P (xs), X3 + aX* ± 0(X. + X10) + yXs: u^rftg); v = rln r + rg(g), w = = rMg), P = 70 + P(g), g = re~“e. 1°. Инвариантное решение на подгруппе Х2 + Xi0 из (9.3) сле- дует искать в виде - и = и(хЛе\ v = v(Xj) ‘ ’ (9.4) w — w(ajx)е 2, Р = Р(гх). дР dgia — Q agi3 _ л с 1 с л дх^ dxt ’ дх^ ’ 11 2а ’ “ !a -= ^v, SM = 0, 2Si2 = k(u + v'), 2Su^kw', (9.5) u'2 + г2 +4 (u + i/)2q- 4 + 4-H- Подставляя соотношения (9.4) в систему уравнений (9.3), полу- чаем dSu дх^-. । * «S^ll ==: Хи , 5; 2523 = Xw, Х“3 = 2Л8 Из (9.5) имеем 4 <512 — С,, S13 — Са, где cr, ca — некоторые постоянные. Если а 4й 0, с2^0, то система (9.5) сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям и' + v == 0, Х(н + v) = cu Kw' = ci, которая после Исключения X сводится к обыкновенному.нелиней- ному дифференциальному уравнению третьего порядка. Пусть а =“ 0, -тогда для определения в, v получим систему уравнений и + v = 0, г' + в = 0, из которой следует u = aeac+<pe“*, v = — ас* + ре-*, (9.6) где р — произвольные постоянные.
Для определения этих постоянных поставим следующую за- дачу. Пусть имеются две жесткие' параллельные плиты, которые сближаются с постоянной скоростью с вдоль оси Oxt. При этом плиты изготовлены так, что материал выдавливается вдоль оси Ох2 без трения, а вдоль оси Ох,' с трением. Этого, в частности, можно добиться изготовлением канавок, параллельных оси Ох2. Расстояние между плитами 2Л. Тогда для определения a; v име- ем. следующую краевую задачу: . и(Л) = —с, и(—Л) = с. Ее решение имеет вид с sh х, с ch ж • и ==----г-г1» —г-г-5-- sh А * - sh А Заметим, что аналогично можно рассмотреть задачу о' сближении. плит, когда их скорости различны. Для определения w получаем уравнение 2kw' с2 }/Л2 sh2*! + н>2, Л2 = — са, Л = c/sh h, (9.7) которое Сложно свести к уравнению Абеля [33]. Замечание. Если в соотношениях (9.6) положить ₽ = 0, то уравнение (9.7) примет вид 2kw' — с2 (а2^1 + ы>2)1/2, к2 = Jc£ — с2, которое заменой w = ае / (*х) приводится к уравнению 2k(f+f) = cjl + f, " •' 1 а последнее решается квадратурой. При этом + с = vSr + —-аг2 Ь (еа + 2к - (еа - 2к) F), где F *= / + V1 + Д с — постоянная.. Это решение можно интерпретировать точно так же, как и предыдущее, только скорости сближения плит, здесь различны. 2°. Запишем систему (9.2) в цилиндрической системе коор- динат: SSr , 4 Sr - дР sr + T~d0- +~^7—= Т’ •aSr0 1 SSe . 2<Уг9. д дт ’’’ г дб " г г dS„ ' 1 aSfa S„ • ar + r ae Sr + Se *. 0, Sr - Se = + 5I = 0, + 2Sn==^t 2Sor = + A®—)- 2(<Sfe 4* + <$ez) ~ 21& dP ao? (9-8)
Ищем инвариантное решение. системы (9.8) на подгруппе — ,+ Х10. Решение имеет вид и = и(.г) ехрО, г = г(г) ехрб, и>= в?(г).ехрб, Р = Р(г). (9.9) Подставляя соотношения (9.9) в систему (9.8), имеем asr Sr-Se дР. _а дг + г . dr' dr + г U’ , . ^+->=°-> + т + т = 0’ . я . й , х, (9.10) - Se = + Sr 2Sro - + r± (-£-)). 2Ste=X^-? 25„ = X-g-2 v + <Se + 2(iSr6 +xSyz + Sez) = 2Л». -Из уравнении (9.10) следует Sr6 = с,/г2, S„ = cjr, (9.11) где Ci, c2 — произвольные постоянные. Полагая Ci — 0, для определения в, v получаем уравнения + Z =0, u + r2^(-] = 0. (9.12) dr г { . ’ dr I г j ' ' Исключая из системы (9.12) функцию в, получаем уравнение Эйлера r®r" + rv' — 2г = 0. (9.13) Решение уравнения (9.13) имеет вид v == а^2 + а2г~^2, (9.14) где Bi, а2— произвольные постоянные. Из второго уравнения си- стемы (9.13) следует в = а1(4—*/2)г^-Ь^(/2 + 1)г"1"5. (9.15) . _ ' . I Теперь w определяется из уравнения rw' = с2 [в- + (у + --) + w'2 + 1 ’ (9-16) , где в, v заданы формулами (9.13), (9.15). Пусть а2 = с2 = 0. Тогда решение имеет вид и = (1 — /2) г^ейа,, v •= a^r^e^, w = Вев, В = const. Полагая ai == 1/8(2 — У2), найдем компоненты тензора напряже- ний 70
ln(r’^ + г” + B2) + D, D = const. Найденное решение, в частности, можно использовать для опи- сания пластического течения цилиндра с вырезанным сектором раствора а. При этом на торцах цилиндра действует суммарная R сила Р, Р = 2л Jozrdr, на боковую поверхность r — R действует внешнее давление q, а на грани сектора, первоначально задавае- мые условием 6 = 0, 6 = а, действует нормальное давление <? = Ое. ' ' - . 3°. Ищем решение на подгруппе X, + aXUt оно имеет вид и = 7"/(0), v - 7-g(6), w = т-Л(О), Р = Р(0). При этом компоненты девиатора тензора* напряжений равны S, = Ла/, «е = Л($' + /), Sx = О, 2Sr« = Л(/+(а—l)g), 25„-=ЛаЛ, 2Sez = Xft', (9.17) Л 2k, [2 (а/)2 + -i- (/ + (а -1) g)2 + -J* «2^2 + | Л'*]"1'2- С учетом (9.17) система уравнений (9.8) запишется следующим образом: .• ^+Sr-Se-0, Sr + Se = O,‘ / uXj § + 2Sr6'= < + S„ = 0, (9.18) S2 + S2 + 2S2e + 2S2Z + 2S|Z = 2Af. * . Решим эти уравнения при a = 1, В этом случае имеем S, = = —Se=2Sre, поэтому из первого уравнения системы (9.18) сле- дует . ^ + 4S^ + 0, Sr0 = C1e-40. Теперь для определения оставшихся компонент тензора напря- ' жения имеем два уравнения + s„ = 0, S?2 + - 4eje“8®. Если в системе уравнений (9.17), (9.18) положить u = v = 0, тогда So, = CjCos 0 +c2sin0, Srt = sin 0 — c2 cos 0, 1де c2 + c2 = fcj, при этом 1 ip = c(circos0 + c2rsinO)®, c — const. 71
N«. Это решение можно интерпретировать как пластическое течение отрезка трубы, ограниченного поверхностями 6 = 0Ъ 6= 02, г — — fit, r = R2 (рис. 6). 4°. Ищем решение на подгруппе Х8±Хв + аХ5, оно имеет вид iz =7(0), и==Л(0), u> = ±lnr + g(0), P = alnr +jP(O), при этом компоненты девиатора тензора напряжении равны 5r = 0, St—Mh /)', St — 0, • (919)1 2SrtKf, 2Srt =’ 25#z = Xg'. С учетом уравнений (9.19) система (9.8) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: = а, 25r0 = ^-, ^ + j5„ = 0, 5е = 0. dt/ dv dv * Sre + + Sn — Из этой системы следует ’ 5,# —а0 + со, fe/ + / = 0, < + 52„.= А*-(а0 + со)2, ^Г + 5„ = О. Если положить здесь а == 0,' то имеем : 5#».= Ci cos 0 + ct sin 0, ' " ' Srz = Asm© — c2cos0, с2 + c* = kl — c^~K. Поскольку 25г» = ±1 = Cj sin 0 — c2 cos 0, to X = x(cj sin 0 — cos 0)/2, x = sign (c4 sin 0 — ct cos 0), отсюда ' (4^ + ?)-+c’ 72. .
де sm р = cjK, cos p — cJK, c — произвольная постоянная. Функ- ция g определяется из уравнения kg' = StI, g = — In (c, sin fll — c2 cos 6). Окончательно при a = 0 получаем и = ^'^n + + c' v — — f A. • у л 5«/ -j w = ±ln r — In (c, sin 0 — сл cosO). Это решение можно интерпретировать как пластическое тече- ние сегмента трубы, ограниченного поверхностями 0=fri, 0 —02, r = Ri, r=R2 (рис. 7). На внутреннюю и внешнюю поверхности трубы действует равномерно распределенное касательное напря- жение Sri = с0. На -плоскости 0 == 0,, 0 == 02 действуют равномер- но распределенные касательные напряжения S3t — A, S6t = B. Глава 4 .. .;....- ' . J.. . .... — ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА КВАЗИСТДТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕСКА / - В случае полной, пластичности (ребро призмы "Треска) компоненты тензора напряжений равны [29] ч de = 2Is,(P6e + VfVj), гДе щ, vt, v9 — направляющие косинусы первого главного направ- ления. Подставляя их в уравнение равновесия (0.1), гл. 3, имеем \ следующую. систему квазистатических уравнений Треска: + (i,/, s = 1, 2, 3), . , - vl+1£ + p’ = l, ' (0.1) ’ P — P(xu Xi, X3), Vi = VilXi, Xi, Xs). Заметим [1011, что если <\.^=0, . (0.2) то система (ОД), (0.2) есть система уравнений, описывающие стационарное течение несжимаемой жидкости с постоянным мо- дулем скорости (винтовое течение). 5 1. ДОПУСКАЕМАЯ ГРУППА Допускаемый системой (0.1) оператор ищем в виде ' + . (1.1> ' 73?
Таблица . в 1 2 3 4 5 6 а) Xlt Ь) Х4, с) Хт + Xs, d) аХ4 + Х6 a) Хь аХ4 -J- Х5, b) Xj, Х4, с) Х4, Х5, d) Х2, Х2 а) Хь Х2, Х4, Б) Хь Х4, Xs, с) Х2, Х3> аХ4 + + Х8, d) Xs, X., Х7 - а) Х2, Х3,Х4, ХБ, Ь) Xlt Xt, Xs, аХ4+ХБ„ с) Х4, Хе, Хв, X, а) Хт, Х2„Хз, Х4, ХБ а) Xlt Х2, Х8, Х6, Хв, Х7 Здесь Л,-, Bi, С (i = l, 2, 3) — функции xt, vt, Р. Продолжив* один раз этот оператор, подействуем им на уравнение (0.1). За- тем, используя первые три уравнения (0.1) и уравнения, полу- ченные дифференцированием четвертого уравнения (0.1) один раз по xi (i= l, 2, 3), найдем определяющие уравнения. Интег- рируя последние, получим, что Af, Bf, С — линейные функции от Xt, Vt, Р. Базисные операторы при этом таковы 111: = = (*==1,2,3), у _ д ‘а а 1 a d-2) Хъ~Х^дх9~ Хадхл + V*dv* ~ V»dv2 ’ я операторы Хв, Х7 получаются из Хъ круговой перестановкой индексов 1, 2, 3. Замечание. Способ отыскания операторов, допускаемых «истемой (0.1), описанной выше, не является вполне строгим в . «вязи с тем, что система (0.1) содержит конечное соотношение между неизвестными функциями. Но поскольку операторы обра- зуют алгебру Ли Ья, то эта алгебра является подалгеброй алгеб- ры Ли операторв, допускаемых системой (0.1). Параметризуя конечное соотношение в (0.1), можно показать, что полная ал- гебра операторов, допускаемых системой (0.1), совпадает с В*. Оптимальные система! подалгебр 0, порядка г=1, 2, ..., о алгебры Ls указаны в табл. 3. При этом а — любое действитель- ное число; ко всем операторам необходимо добавить рператор Хо, умноженный на произвольное число, поскольку Ха образует центр алгебры Ls. § 2, ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ Построим инвариантные решения системы (0.1) на под- группах первого .порядка. В случаях 1а, 26 (см. табл. 3) реше- ние имеет вид ф — произвольное число) ' - ni = V<(i, р), Р = Р(Х, p) + g(a;i) (i — 1, 2, 3), (2.1) 74
причем для la будет Х = х2, р = у3, g = p®4, а для 16 соответст- венно Х = xjxi., |Л = ач/яз, g = pin|a?±|. Уравнения для функций V*(X, ц), Р(Х, ц) получаются из . (0.1) после подстановки в них (2.1). ' i В случаях 1с, Id решение имеет вид. (р •— произвольное число) Щ = ViOi, |Д Р =*Р(Х, ц) + g(xj, (2 2) vt = V2(X, g) cos tv, vt = V3(X, p.) sin w, причем для ic к —(x% + xf)1/2, p, = x± — arctg xB/xa, (2.3) ip = a;1 + Q(l, p), а для Id ' - &=хГ\х1 + x2)1/2,. p = In 13^ |V« — arctg . 2 . g (xt) = P In.l»! I, w = In I Xi |v« 4, Q (X,p). (2.4) Для получения уравнений относительно функций Vit V, Р, й, зависящих только от X, р, следует поставить (2.2), (2.3) или (2.2), (2.4) в (0.1). .Это удобно делать в цилиндрической системе координат. Таким образом, в случаях Id -* d пространственная задача сводится к двумерной. Строим инвариантные решения на" подгруппах второго поряд- ка. В случае 2d функции Tj/P зависят только от х3, в случае 26 функции vt, Р зависят от полярного угла 0 = arctg xjx3. При этом можно также к Р добавить функцию g(a:,, х2, ж3), равную ра^ + + в случае 2d и “flnla^l в случае 26, где р,f — произволь- ные постоянные. В случаях 2а и 2с решение имеет вид Vi = 1/1(Х), Р=Р(л), v2==V(K)cosw, v3 = V(X) sin w. (2.5) При этом в случае 2а X = In (х2 + 4)1/2 - « arctg J, хз (2.6) w = arctg i(xs/«2) + g(X), а в случае 2с X = + а^)1/2, w = arctg (х3/ха) + g (X). (2.7) Отыскание функций V4, V, Р, g, зависящих только от X, сводит- ся к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой из (0.1), (2.7)—(2.9), и в ряде" случаев может быть доведено до квадратур. На подалгебрах 0Г, г >2, содержательных инвариантных решений нет. 75
S 3. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЕ . Переходим к построению некоторых частично инвариант- ных решений. В случае За (см. табл. 3) ищем решение в виде щ = У1(Р), Р = «г, х,) (i=l, 2, 3). (З.Г) Из (0.1) получим (Р6ц+ y1y,)/Pi = 0. . (3.2> Здесь и ниже штрих обозначает производную по Р. Прирав- нивая нулю определитель этрй системы относительно Р,.. (i = = 1, -2,'3) и учитывая (0.1), найдем (v;)5+.(v;)a+(v4)2=i. дз.з> Если теперь взять функции V.CP), удовлетворяющие (3.3), и оп- ределить P — P(.xt, хг, х,) из (3.2), получим решение системы (0.1). Это решение будет зависеть, вообще говоря, от двух про- извольных функций одной переменной. Например, для v,=sinРcosy, Vi — sinP sin 7, ra = cosP, (3.4> где 7 — произвольная постоянная, из (3.2) находим Xi cos 7 + хг sin 7 + x, tg (P + л/4) = G(P)„ ч (3.5> Здесь G(P) — произвольная функция от P. Придав- ей определен- ное значение, найдем P = P(Xi, хг, х»), а затем по (3.4) и Vt. В этом решении Р = Рв = const, vt — const на плоскости, опреде- ляемой йз (3.5) с Р. = Ро, В случае 86,-Зс ищем решение в видя щ=со8 0(Р), v2 я= sin 0CP) cos w, vs = sin 0(Р) sin w. (3.6) Принтом в случае 36 ’ . w = arctg«s/x2+,g(P), (3.7> а в случае Зе-’ i» = lnl«|,M + g(P). (3.8> Подставляя (3.6), (3.7) или (3.8) в (0Л) и исследуя совместность полученной системы уравнений относительно . Р = Р(«1* х2, х3), найдем вид функций 0 = 8(Р), g — g(P), а затем и .функцию Р = P{xi, х2, «»). Для случая 3<? будем иметь = Р= Р(Л), Х = (^ + ^ + а£)1/2. (3.9> Для случая 4с XiVi = g (Р) (xl + £ + а$}1/2. Последние два Олучая удобно исследовать в сферической системе- координат. • . ч ;В других случаях таблицы 3 частично инвариантные решения можно искать в виде (3;6)- с w = w(xt, хг, xs). Подставляя теперь (3.6) в (0.1), исследуем совместность полученной системы отно- 76 .
ительно функций Р(«ь х2, х3),. w(xt, х2, ж3). Это позволит найти ФУНКЦИЮ 0(Р) И фуНКЦИИ Р(хи'Хг, «,), wkxi, х^, xs). Замечание. Если в полученных выше частных решениях сделать замену зависимых и независимых переменных посред- ством формул преобразования, соответствующих общему опера- , тору Lt, то получим другие выражения для частных решений. Глава 5 ....... — .' zzr . ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПЛАСТИЧНОСТИ Если в уравнениях теории пластичности учитывать силы инерции, то уравнения движения имеют вид dv. . > = 0,7=^ 1,2,3), (0.1) dv. dvt где -тг = — + VjVitj называется субстационалъной или полной ' . • dv, dv, производной; в ряде случаев принимают . Присоединяя к уравнениям (0.1) условие пластичности Мизеса, условие не- сжимаемости, закон пластического течения, получим полную си- стему уравнений теории течения Мизеса dv, df==<^ (0.2) ."^•ЗР = <т«, Si} =, Pfijj + Оц, 8ц8ц — 2]<£, 1 Sij= Аец, Of,<= 0, 2вц = V{t j 4* Vjt <.. Если предположить, что конвективные члены в выражений для полного ускорения малы, то получим упрощенный вариант теории пластического течения среды Мизеса: • ч at — ЗР = а«, — Рбу = o{j, SijSjj = 2A:?, (0.3) S« = vt, t = 0, 2еъ- = vt, s + v}. Исключая из уравнений (0.2) или (0.3) величины А, Оц, Sfj, по- лучаем систему четырех уравнений, которая служит для опреде- ления четырех* функций Р, v^ v2, vt‘ dvt _ • У2Л, 1/2kt ' ^.« = o, ‘ (0.4). где A* «= 77
§ 1. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПЛАСТИЧНОСТИ 1°. Если в уравнениях (0.4) то группа, допускаемая этими уравнениями, порождается следующими опе- раторами [2, 691: V d ir * а , d а д Хо~ dt' М — S— q>(t)dp, г —«i/i (no i ие суммировать), (1.1) „ d д , d d 1 z dx, a dxo 2 dv, a dv,' o - a . • z Еще два оператора Z2, Zs получаются из Z, круговой переста- новкой индексов, /{, ф — произвольные функции из класса С". dv. . dvf Если в уравнениях (0.4) положить-^-»то группа, до- пускаемая этими уравнениями, порождается операторами (2, 691 Хо — dt' “ dx,' М ~ * dt + Xi dx.' я я ' я (1-2) m d dm д dm d д T1~x^dv. ^dv' T^~Xf>dv. X1dT'T3~X1dv, x*dv* О A A 0 a A Li = gi (0 — Xigi (0 -^p (no i не суммировать), где ф, gt — произвольные функции из класса С°°. Из (1.1), (1.2) следует, что уравнение (0.4) допускает бесконечнопараметриче- скую. группу непрерывных преобразований. Это, с одной стороны, расширяет класс инвариантно-групповых решений, а с другой — осложняет построение таких решений, поскольку бесконечные группы еще плохо изучены. Поэтому в дальнейшем ограничимся изучением некоторых конечномерных подалгебр для алгебр Ли (1.1) и (1.2). 2°. Положим в (1.1) ф(0 = 1, А = 1, fi — t (i = 1, 2, 3), тогда соответствующая конечномерная алгебра Ли Lti имеет базис V а V д ЛТ ♦ 3 ч - 0 — dtr Зх/ М 1 dt + Xi дх^ z Z1,Za,Z„S- = ^,' (1.3) . 78
)птимальная система одномерных подалгебр имеет вид X.±y1 + ₽Z1,’X.±Z1,Xe, X* ± У2 + аУ2, Xi ± У2, Xi, Xi ± У2 + ₽Z4, (1.4) X, ±Z,, У,+ аМ + $Zi, M+aZi, Zt, где а, р — произвольные постоянные, различным значениям а, соответствуют неподобные подалгебры. Подалгебра S порождает центр в алгебре (1.3), это учтено при построении систему (1.4). Пусть ф(1) = 1, gi = l в (1.2), тогда соответствующая конеч- номерная подалгебра порождается операторами Y ___ & V _____ д уг & Ao-0t’ ' «р d '3 гр ( d d гр d d 21==3Xadv. Ха dv’' 12 — dv, X1 dv’ 2a~X1dv„ Xzdv’ 3 2 * a о 2 A „ d d:dd Z-i^= Xa----Хя------h V2-----17.-T—, 2 &X3 dX2 Sv3 S0P2 ' <7 d d , d. d ' "2 "^3 a ' ”” "а "У Ko ’a" * Hl "a 1 2 3 dx, dx, 3 dv, dv’ А О A О „ d d , d d ,p d — *^1 л *^2 л * " a -”r ^2 д ? ~ л л' 3 A дх^ л дхг x dv2 , 2 dv^ dP Оптимальная система одномерных подалгебр» для (1.5) имеет вид Xe + ciXi + $Yi + 4Ti + 6Zi, M+N+aTi + f>Zi, (1.6) Xt + aYi + p7\' + '{Zi, Xe + a(M —JV) + $Z,, M+aN+^Z,, Yi + aM+ f>Zi, Yi + аТ, + &Z,, Xt + ,aN + pZ2, Xi 4- aX2 + p7\, N + aZt, Тл + aZi, Zi, где a, P, Y, 6 — произвольные постоянные, различным значениям этих постоянных соответствуют неподобные подалгебры. S по- рождает центр в алгебре Ли (1.6), это учтено при построении системы (1.6). 3°. Приведем вид инвариантных решении,' построенных на подгруппах (1.4) и (1.6). 1. Инвариантные решения системы уравнений (0.2), постро- енные на подгруппах (1.4), имеют вид: Zi + S: u(r, z, t,), v(r, z, t), w(r, z, t), P = aB + P(.r, z, t), .. M + aZi + f>S: u(|, 4, z), i?(g, t], z), w(g, »], z), p = 01nr + + p(£, 4, z), I — r/t, t] = r“e®, Yi + aM + $Zi + tS": £u = — 0 + u(|, »], z), v = n(g, 4, z), w = 0P = —76 + P(g, t], z), ^ = r/t, T] = ^expa0, 79
Xt ±Zt 4- aS: u — uCz^FQ, r, t), v — v(z T 6, r, t), w = w(z T6, r, t, P = az 4- P(r, t, z T 0), Xf+aS: Ut^uSy, z, t), иг = иг(у, z, t), w» = w^(y, z, t), P — = ax + P(y, z,t), . Xt ± Ki 4- $Zt + 7$: u = u(pz4-0, r, t)., v = v(r, t, |), w — ±z+ + w(r, P = yz + P(r, t, %), i^fyz+6, Xl±Yl + aYt + ^S: и^и&у, t, z)±x, b2 = <xx 4-b2U, 'y, z), b5 = = »s(?, t, z), P = px 4- P(y, t, z), - JG± y2 + £5: Ui = uSy, z, t), U2 = Uz(.y, t, z)4-x, us = us(t, y, z), P. = px + P(y, t, z), XB + aS: Ui — uAX'.y, z), U2^=u2(x, y, z), u3 = u3(x, y, z), P = = at + P(x, y, z), Xa + aYt + fyZt + yS: Ui—at + ui^, r, z), r = r(£, r, z), w=* = r, z), Р = ^4-Р(£, r, *), £ = pz4-0, где в, v, w — компоненты вектора скорости. в цилиндрической системе координат. . 2. Инвариантные решения, построенные для системы уравне- ний (0.3) на подалгебрах оптимальной системы (1.6): 7\ + aZt 4- pS: и =₽ u(r, z, t), v =_ v(r, z, t) -kart), w = w(r, z, t), aP = P(.r, z, t), JV + aZj+.piS: u = tu(r, z, g), v = tv(r, z, £), w = tw(r, z, |), aP = =— p0 + P(r, z, |), | = at + 0, X + aX2+ рЛ + 'У'У: «!=»!(!, x3, t), w2 = —pxjxs + Oitl, x2, t), u3 = (P/2a) 4- u3 (g, x3, t), P = -Y«1 + P(g, x3, t), | = = axj — x2, X, + aN+ pZi + ^S: u = tu<£, ц, r), v — tv(r, g, тр, w — tw(r, %, 7]), P = — 7Z + P(r, ц), g — pz + 6, T] = In t — qz, Yt 4- aT, 4- pZj 4- (p=#0): u = u(r, z, t), pr = art) 4- r(r, z, t), w = w(r, z, t), PP = —Tf0 4- P(r, z, t), Y3 4-aM4- pZj 4- kS (lai 4- Ipl =#0): u=.u(g, t), £), г = г(|, ц, £), pw = —0 4-и>(£, т], £) . (aw = In 14- w(|, ц, £)), pP = = -Y04-P(g, 4, £) (aP = lni4-P(g, t], £)), (a 0)>| = r/t, i) = z/t, £ = p In 14- a0, (a = 0): £ = r, r] = z, £ = f, „ i 80
J+aN + fiZt + 7‘S’: u = z"u(tj, T], £), p=s=r“r(g, rj, £), w = = r“u>(£, T), £), P = 71nr + P(g, t], £), l = r/t, r\ = z/t, £ = £lnr + 0, X0 + a(Af — 2V)4-0Zt + TS (a^O): ruj=«(£, П, £), r₽ = i< 4, £), rW = w(l, ц, U P = tf + P(l, n, U £ = 00 + 1, n=*r/z, at + In r — Z, (a = O): u = u(r, z, g), v — v(r, z, £), w=w{r, z, g), p=^(t + + p(r, z, D, Xi+.aYl + ^>Tt + iZt + 8S: u — u(.r, t, g), n=0rz + i>(r, i, |), w = = az +w(r, t, £), P =? 6z + p(r, t, £), £ = 7Z + 0,' M + N + aT^ + fyZ^ + fS: и — ги(.%, 4, £), t> = arjnr+r(£, ц, £), w = rw(%, г), g), P = 71nr±P(g, T], £), % = i] = ^/t, £ = 01nr+0, - ' Xo + aXt + 0У, + 'fTt + 8Zt + e5: u = u(r, £, tj), v — —yrt+p(g, r, tj), u? = pz+ iz>(|, r, tj), P = gt4-P(£, r, Tj), g = ai—z, 4 = = 6«-e, где и, v, u? — компоненты вектора скорости в цилиндрической системе координат. § 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА 1°. Уравнения .плоской задачи динамической теории плас- тичности имеют вид , ' ч --1 + ^1^1,1 + V2Vlti + Р,1 = J$U,1 + dv • (2Л) +-H1V2.1 + V2Va, 2 + ^,2 = £12,1 + £22,2» £11 = ^1,1, £22 ^..^2,2> . 2^12 ~ У (^1,2 + 1?2,1)> __ F1.1 + 1^2,2 = О, £11 +,£22 Ч? 2$12 = 2кв. Группа, допускаемая системой (2.1), порождается, операторами v д лт t 9 , _ д , д Х» dt' М {dt + Х1 дх.+ Жг дх' я а Я Я я (2-2) 17 । - & О /л\ S-^TP' Li = fi (О Д + fi (*) ~ — Xifi (t) (no i не суммировать), где <p(i), ft(t) произвольные функции из класса С*. ' Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов 81
Если ограничиться конечной подалгеброй с. оазисом X0,M,Z,5 = ^, Yi^t± + ±., (2.3) то оптимальная система' одномерных подалгебр для алгебры Ли (2.3) имеет вид Х0 + аУ1, Xi+aYz, XB + aZ, M+aYi, M + aZ, Z, (2.4) где a— произвольная постоянная, различным значениям а соот- ветствуют неподобные подалгебры, S — центр алгебры Лц £«. 2°. Инвйриантцые решения, построенные на одномерных под- алгебрах системы (2.4), имеют вид Z+aS: i?2(r, t), P = a6+P(r, t), Х0 + аУ1 + р5: Vi = — at+vt{x2, at — xj, v2 — v2(xa, at — xP, P = pt + P(x2, at — xt), Xo + aZ + pS: Vi = рДг, at — 6), v2 = v2(r, at — 6), P = pt + P(r,at-e), Xi + aY2 + PS: t>i — i>i(t, ip, v2 = v2(t, ip + ax15 P = px4 + P(t, ip, ц = atx,. — x2‘, M+аУ1 + PS: Vi = vjfc, ip, v2 — v2(g, ip, P = p In t + P(g, ip, £ = Xi/t — a In t, i] = xjt, Jf + aZ+pS: n1 = v1(^, ip, v2 = v2^, тр, P = pinr+P(g, ip, .5 - r/t, Ц = r“e®. 3°. Рассмотрим инвариантное решение на подгруппе М. Это решение следует искать в виде Vi = u^, ip, i?2 = v(g, ip, P = P(g, fp, ^ = Xi/t, f\ = x2/t. (2.5) После подстановки (2.5) в систему уравнений (2.1) получаем u, {(w — £) + и, n(v — ip + Р s« Sa, s + Si2, ч, v,{(в —g) + v 4(V —i]) + P,4 = iS12,{ + iS22,,4, (2.6) Ut {4“ Vt = 0, Sii 5, iS22 = fa?' q, 2Si2 = Л(в, q *(“ Vt j). Ищем решение системы (2.6) в виде и = — g + 2/(ip, v = i), P = P(gjip, (2.7) тогда из (2.6),. (2.7) получаем К ‘ P = ^== + ^2 + c(t),: (2.8) . 2/(ч)=£(Йж} (М> где c(t) — произвольная функция от t. 82
Из соотношений (2.1), (2.7) получаем следующие выражения, для компонент девиатора тензора напряжений:. ?ц =ту=-8= S22 = —'Sin = 1/7^78 ‘ (2-10) /1 + /% . + Интегрируя уравнение (2.9), имеем - f , Vi-Ha+c)2 "L mf + c * 1 т = Г/ (2.11) ' где с — произвольная постоянная. ' С учетом (2.11) соотношения (2.10) перепишутся следующим образом: . • । = k(mf + с), S22 = -5И, 'Sl2 = k11~(mf + ci (2.12) Решая уравнение (2.11), получаем т| (/) - п (0) = ± (2 [2? g, Й-Е(ф, Л)1 - [/g, Л) - F («р,Л)|| (2-13) "l/jnf 1 - где <р = arccos—т==, к VI — с ские интегралы первого и второго рода. Для того чтобы было удобнее интерпретировать решение (2.5), преобразуем переменные с помощью преобразований подобия хх — — «х1, = — ахг, t' — Н — at. ——; 2?(<р, Л), Г(ф, к} — эллиптиче- , Тогда решение (2.5) запишется следующим образом: аХ1 I ЛХ9 0ХВ U = ~H—ta + — )’ V = — Я —at * (2.14) Решение (2.14) можно использовать для описания пластического течения слоя, расположенного вдоль оси Oxt, с первоначальной толщиной 2Н, который сжимается в направлении х2 жесткими шероховатыми плитами, сближающимися с постоянной скоростью а. Тогда 2h — H — at — толщина слоя в момент времени t. .Замечание. Решение вида (2.14) найдено в [111 при усло- вии, что VlA/i — малый параметр. ' ' 4°. Рассмотрим в плоском случае систему уравнений Она имеет вид + Р,1 = + <$12,2, — <5»,2 + <^12,1> + *5'22 + 251Я = 2Ki, 1>1д + 1>а,2 — 0» S11 == = ^2,8з 2512 -?= Z (fl,2 + у2,1)- (0.3k (2-15) S3
Группа, допускаемая системой (2.15), порождается операторам^ 0 dt ’ 0^’ 1 ~ dv2 dv^ М~‘-5Г + Х^ К-‘-5Г + ^ <216> г г •7 & <? , д da . . д z-x^-x^ + v^~v^ s = л 1 2 1 Li = fi (t)+ fi (t) £'— Xif (t) ~ (no i не суммировать), где ft, q> — произвольные функции из- класса С“, S порождает центр алгебры Ли (2.16). Построим инвариантное решение на подгруппе N, его будем искать в виде [781 u1 = ta(xl + 2f(.x2)'), v2 = —tax2, Р = Р(.х1,х2), (2.17) где а — произвольная постоянная, / — искомая функция от х2. Подставляя (2.17) в уравнения (2.15), получаем axl + 2af^Ptl = kJ—h=\ , ' (2.18) — az2 4- Р,2 = ks / 1 \ . (2.19) Из уравнений (2.18), (2.19) следует Р.= ^-а(х|-х?) + —A_ + c(f), (2.20) где c(t) — произвольная функция от t. Для определения функции / получаем уравнение ' Zaf-h( . U ) (2.21) интегрируя которое, имеем = ± т = mj + с Ks где с — произвольная постоянная. С учетом (2.22) получаем сле- дующие выражения для компонент тензора напряжений: ^22 = -у а (*2 — ач) + с (О. , (2.23) 0ц = 2kt (mf 4- с) + -у а(х^ — а:?) + с (t)t >, Si2 = k,1t — (mf + c)2. «4
Тзвестно 1331, что уравнение (2.21) имеет единственное решение для краевой задачи /(-Л) = /(Л) = О, /Сг2)>0, |ж21<Л, . (2.24) если т удовлетворяет неравенству v — Г « 0 2995 ?— 8 Г (5/4) и,2УУ0, где Tit) — гамма-функция. Это решение расположено симметрично относительно оси /, максимальное значение /, равное /+, удовлетворяет неравенству Л • 2Лиг(л — у)/+ < л2. /Решение задачи (2.21), (2.24) выписывается с помощью эллинти- * ческйх интегралов . ®20)-®2(0) = ±^{2^(^,Л:)--Е(ф,Л)]- -[^(у.М-^ф,*)]}, (2.25) где х2(0) = h, <р = arccos , к — у- с-; Е(ф, к), Г(ф, к) — эллиптические интегралы первого и второго рода. В табл. 4 при-. ведена зависимость между ж2 и f при с = 0, тп = 1, h = 0,6060. Построенное решение можно интерпретировать следующим об- разом. Пластическая полоса сжимается жесткими и шероховаты- ми плитами с силой трения на плитах к„ толщина полосы 2h. При этом считается, что плиты длиннее полосы и перекрывают ее концы. Из (2.17), (2.23) следует, что вдоль оси Ох2 величины «2 = 0, 512_=0. Вдоль контактных прямых x2 = ±h выполняются условия S12 — ks, Ui — ±aht. Следовательно, построенное решение описывйет сжатие пластического слоя жесткими и шероховатыми плитами, которые сближаются с постоянным ускорением и0, при a — ujh. Пластический слой выдавливается в стороны и течет от середины к краям; на поверхности контакта при этом возникают большие касательные напряжения. Как и в случае решения Прандтля, они достигают предела текучести. Таблица 4 Хг / / f 0,6060 0 0,5835 0,4 0,4089 0,8 0,6044 0;6031 0,1 0,2 0,5496 0,5310 0,5 0,6 0,2975 0,9 0,5955 0,3 0,4885 0,7 0 1,0 85
Условиям на свободном конце удовлетворим, как и в случа: • решения Прандтля, в смысле Сен-Венана: - h f = °- -л Предельное напряжение сжатия вычисляем по формуле 2Р = J'-0'22 О где 21 — длина пластического слоя. Если в формуле (2.22)' положить с = — 1, то решение уравне- ния (2.21) выписывается в элементарных функциях: ^ + ^=1 Lt-ln V2+ /2-т/2 _ V^ L V2 vmf - Здесь ci — произвольная постоянная. Зависимость между х2 и f изображена на рис. 8 (ж2 «—0, 2664). Как следует из рис. 9, на котором изображена зависимость <У12 = т от х2, решение (2.26) можно использовать для описания следующих пластических течений. А. Решение, соответствующее ветви II на рис. 9, описывает, .в частности, пластическое течение материала, сжимаемого двумя г Рис. 9. X* ’ - жесткими плитами. Одна из плит движется с постоянным ускорением и является шеро- ховатой, а вторая (гладкая) не- подвижно расположена вдоль оси Oxi. Б. Решение, соответствующее ветви I на рис. 9, можно исполь- зовать для описания сжатия пластического полупространства yZ>y* жесткой и шероховатой плитой, которая движется с по- . стоянным ускорением. При этом. значение Sl2 стремится к нулю при х2, стремящемся к бесконечности. § 3. ОБОБЩЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРАНДТЛЯ В этом параграфе рассмотрим инвариантное решение, по- строенное на подгруппе <Lt, L2>, М= /i(f)aZ + fi U) eJT. — Xifi (f) dP ’ I г где ft — некоторые фиксированные функции. Тогда инвариантно! 86 . •
(3.1) решение следует искать в виде [21 Рд = у ф xi + Аг (х3, t) = а1х1 + А1, ^2 Я ' j ^2 + ^2 (*^3’ 0 s ^2*^2 “f" ^2> z23 = flg3?s "4^ .Аз(хд, i), x2 . P = ~~ (— щ — «!) — b^i 4- m + Ла3, £л A = Л, [ a2 + (Лд)а + (Л2)2]-1/2, Ъ = с + са3, a2 ss (3/2)[Cai — а2)2 + (щ — ва)2+ («2 — а3)2], «Зя —«1 — «г- Здесь аи а2, bi, b2, с, т, А2 — функции только от t; Ai, А2 — функ- • ции от х3 и t, которые удовлетворяют системе t Л{ + аД + (а3а^ + с) Яд(Л-Л)'— Ь{ = 0 (i = l,2). (3.2) (производная по времени обозначена, точкой,. а по х2 — штрихом). Это решение может быть использовано для анализа течения па- раллелепипеда, сжимаемого жесткими плитами. Аналог решения (3.1) для плоского деформированного состоя- ния, определяемого соотношениями Xi, х2), v2 — v2(t, xt, х2), v3 = 0, . '(3.3) имеет вид v, = ах, + Л., и, = — axz 4- b, А s=s —====-, - , ]/V + (4)s . X2 • • Р“= -s- (— а — а2) ж®-(я2 — a) — (b — db)x3 + m — Aa — схг. Здесь а, Ь, с, т — функций только от t, At — функция только от t, х2, которая удовлетворяет уравнению Лд 4- Лдв + (— ах3 + Ъ) Лд + с —(АА1)' = О, при этом дифференцирование по времени обозначено точкой, а дифференцирование по х2 —штрихом. Компоненты тензора на- пряжений равны Одд = — Р + аА, о22 = —Р — аА, <г1а == 1/2ЛЛ^. В этом решении при фиксированном значении Xs величины о12, и2 зависят только от времени. Решение может быть использовано для анализа напряженно-деформированного состояния, возникающего при сжатий пластического слоя: Iх2| h, ,-тоо < х, < оо. П]ри этом следует считать 6 = 0, a = v(t)/h, где i?(f) — скорость сближения плит, и Л(—хг) = Л(ж3). Случай, когда а, Ъ, с, т, А, не зависят от времени, рассмотрен в работе [491. 87
Глава 6 .. . , ...... . .' г ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ НЕОДНОРОДНОЙ И АНИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ В современных конструкциях наряду с материалами, обыч- но при расчетах, принимаемыми за однородные и изотропные, используются для изготовления деталей анизотропные и неодно- родные материалы, у. которых наблюдается резкое различие в пластических свойствах для разных направлений и различие ме- ханических свойств в разных точках среды. Пластическая анизотропия материалов может быть вызвана целым рядом причин. Нанример, резко выраженной анизотропией обладают многие синтетические материалы, кристаллы и горные породы. В практике часто приходится встречаться й с конструк- тивной или искусственной анизотропией: гофрированные пласти- ны, часто поставленные ребра и т. п.- Анизотропия может появить- ся в металлических изделиях в результате соответствующих тех- нологических процессов (прокатка труб, протяжка проволоки и др.). Пластическая неоднородность материалов может возникнуть под влиянием потоков элементарных частиц, воздействием темпе- ратурных градиентов и поверхностной обработки, может быть вызвана неоднородностью состава и другими причинами [571. На- пример, воздействие излучения на материалы вызывает изменение ряда механических свойств материалов и, в частности, пластиче- ских свойств. Для ряда углеродистых и низколегированных сталей характерно повышение предела текучести. Для того чтобы иметь возможность рассчитывать на прочность анизотропные и неоднородные детали, испытывающие пластиче- ские деформации, необходимо уметь определять напряжения и деформации в анизотропных и неоднородных материалах теоре- тическим путем, т. е. решать аналитическими методами задачи теории пластичности для анизотропных и неоднородных тел. Необходимо отметить, что теория пластичности неоднородных и анизотропных сред является еще недостаточно разработанным разделом теории пластичности. Так, пластическая неоднородность сильно влияет и на механику пластического равновесия тела, и на математическую сторону вопроса. Усложняются уравнения, теря- ют силу некоторые обычные теоремы и представления [571, В теории пластичности неоднородных и анизотропных тел трудно рассчитывать на прямые методы решения краевых задач, поэтому здесь существенна возрастает роль обратных и полуоб- ратных методов решения. Эти методы позволяют получать реше- ния в замкнутом виде-и качественно проанализировать влияние неоднородности и анизотропии,, оценить точность приближенных методов. 88
J этой главе, пользуясь методами группового анализа, построе-т иы точные пространственные решения для некоторых видов не- однородных и, анизотропных сред. Здесь же решена задача груп- повой классификации для анизотропных сред с законом текучести о„ = аох + /Ст) и неоднородных сред с законом текучести (ох-оу)2 + 4х*^4КЧу), ч при этом выделены классы функций /, К, которые являются наи- более перспективными для построения, точных решений. § 1. АНИЗОТРОПНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 1°. Пространственные решения уравнений пластического' течения анизотропных сред.. Рассмотрим систему уравнений дпху daxz ~ даху дпу dayz _ ----1-------1--а-----------V, --------а- “I-я- I-Н- V, дх ду dz-------------------------------------дх ду, дг двхг йс2 л ' * ’ г —22. +4 - = 0 дх ду dz - с условием текучести вида [901 ап (°« — °*)2 + «22 (0Z — Ох)2 + «33 (рх — Оу)2 + Ч- 2ct12o^p + 2ct13Oxz 4" 2ct23o^z = !• (1.2)1 Параметры а,, характеризуют текущее состояние анизотропии. Компоненты тензора скоростей деформации связаны с компо- нентами тензора напряжений соотношениями Хек = Z (ох »oz) 4" Язз (о’к о^), = X -д^- = Яц (Оу Oz) + Язз (Оу — ох), №г = Ь^ = ац (°« — °v) + «22 (°г — Ox), (1.3> --- A f g^ "t- g^, I - ^.ai2Oxy, =. "I" ~ ^OJ3Oxz, ^VZ = X ^~g^ + ~g^ == 2a23O!/Z- Группа непрерывных преобразований, допускаемая системой уравнений (1.1)—(1.3), порождается следующими операторами1 89»
£73]: - у 0 у у у - _ a у _____ & Л1~й7’ л2=й7’ Лз = -^-. Л*~&Г’ Лб~ё7. у . О у д д у д д ' -Х|> - -> j --- У а И .. , -Л о — % а •£ а ' ® дш ’ 7 ° dw. • dv ’ » ди dw v d д v d ' . d d Хл — х—~—У s~, А.„ = д; ——l-W-s—l-z-s-, 8 r dv - ° ди ’ 18 dx ^dy oz ’ у а . . а V а , д . а Л,-. = и -з— .+ V -х—f- w ——, Л12 = —— + з~—|- 3— 11 ди dv - dw Li ocl. до,.. da. л у л. Алгебра Ли (1.4) есть цодалебра Ли, допускаемой уравнениями пластического течения в изотропном случае. Отсюда следует, что часть пространственных решений, при построении которых не ис- пользованы операторы вращения, могут быть найдены и в ани- зотропном случае. В частности, М. А. Задоян в работе [21] пере- нес некоторые решения, найденные в работах [20, 29], на анизо- тропный случай. Из гл. З.видпо, что то же самое можно сделать « решениями Хилла, Ивлева и некоторыми другими решениями. 1. Будем искать инвариантное решение на подгруппе <Х34-Х6> в виде 173] и = Ах, v — By, w = —(A + B)z + f(x,y). Здесь А, В — постоянные, /— гладкая функция. Компоненты тензора скоростей деформации равны = А, ₽1а = 0, 2е13 =-/®. е22 = езз ~ 2eZ3 = fy (1-5) Компоненты тензора напряжений определятся из выражений а22(ая — а2) + а33(аж — оу) = ХА, ' / ац(Оу — о2) + а33(о„ — о») = ХВ, (1.6) Ох^ = 0, 2flj3Oxz — X/х, 2<2j3OyZ — ^fy . Система (1.6) не может быть решена относительно компонент тензора напряжений, поскольку определитель системы равен ну- лю. Но если предположить, что ' Ох = -Х(А + В)+Р(х,р), (1.7) где Р(х, у) — некоторая искомая функция, то из (1.6) получим Ох = —о.1Р(х, у) + ХРц Оу = —а2Р(х, у) + Хр», (1.8) O'xz — Т1Л/к» Gyt ~ Vz^A/» где а _________ а11 ~_______ a _ _____________g22_________ 1 а11а22+(О11 + °22) вЗЗ ’ 2. °иа22+(а11+а22) в33* ац(2А + Д) + За88(А + Д) °11а22 + (“11 “22) °33
ag8 (4 + 2В) + За33 (4 4-В) а11в22 + (“1J "Ь “22) °33 Yi = 1/2а13, у2 = 1/2а23. Подставляя (1.7), (1.8) в (1.2), имеем = 1а11 (Рз — Рз)2 + а22 (Р1 — Рз)2 + ®33 (Рз — Р1)2 + Vi (/*) + + т2(4>2]-1/2 = 1т + Ж)2 + W)TV2. Пусть А и В связаны соотношением (A В)/3(А "Р В) =!^йз2/(1ц — ^33/^22, которое в изотропном случае переходит в равенство А = В, тогда из (1.1)—(1.3) получим ' Р = (ai/Pi)X + const, а функция / определяется из уравнения : Это уравнение сводится к уравнению минимальных поверх- ностей заменой __ - / = У»п'ф(х/у1, р/^г)- Решение имеет такую же интерпретацию, как в гл. 3. 2. Будем искать решение, инвариантное относительно под- группы Ш-Хн + аХ12, Xs-X„ + aXi2>. Решение ищем в виде. [73] , и = и(х) ехр £, v = v(x) ехр |, ' (1.9) ш = ш(х)ехр|, Р = Р(х) + а^, % = y + z. Подставим (1.9) в (1.6), предполагая, что ох = с == const. Имеем Zv — (Пц 4“ CLyy^Oy —— ^з3С, (1.10) — (&22 Ч" Пц)Ох — ' ^22^> ‘ Х(р + ш) =2a2Sol,z, Х(м+ v’} = 2aI20xV, X(u + w’} = 2а)3охг. Из (1.1) имеем ^ху CLX I Cf, -Ojcz —— CLX I C2. Если Ci '=e2 и a12 = ais, тогда тХ1, — тхг. Отсюда следует, что v' = w'. Пусть v — w, тогда из (1.10) получим <jy = atKw + ог = а2Аш+у, где at = (2аи + а22)Д, а2 = (2ац + а33)Д, у = сД(а11а22+а33(аи + * Л4
+ а22)), Д“‘ = а22ааа+а11(а22 + о«з). Следовательно, ов = «23^10^2 4- f= р4оВ2 + у, (1.11) Oz = a2aa2ovz 4- Tf = p2oBz 4- Tf- Подставляя (1.11) в условие пластичности (1.2), получим квадрат- ное уравнение для определения овг: ~ Аа^ + 2Bavz + Сх = 0, (1.12) где А = а1г (0* 02) 4* 02а22 4" 01язз 4" 2агз, В = (у с) (02п22 4* 4- Раз)» = 4a12olj, 4- (Т — г)2 («22 4- азз) — 1- Из (1.12) имеем Acvz = -В ±УВ2 -АС,. - - Это решение можно интерпретировать как трехмерное течение пластического анизотропного материала между плитами, парал- лельными плоскости Oyz, которые сближаются вдоль оси Ох. 2°. Групповая классификация уравнений теории идеальной пластичности с -общим законом текучести. Систему уравнений, записанную в декартовой системе коорди- нат ху: ' - п , '•дх Л . .. .о. л—Ь 'д— = 0, 4- д— = О, о„ = / (оя, т), (1-13) дх ду ’ ду дх ’ ® назовем системой уравнений теории идеальной пластичности с условием текучести общего вида. Решить для системы (1.13) задачу групповой классификации — значит найти вид функции /, которая предполагается «произволь- ным элементом», чтобы группа, допускаемая системой (1.13), была более широкой по сравнению с Go. Здесь Gt — группа, допускае- мая системой (1.13) при произвольном виде функции f. Задача в такой постановке решена в [711. Здесь мы ограничимся сис- темой ^ + 4^=0, ^ + -|1=0, оу = аох 4- / (т), (1.14) дх ду ду дх ’ - » • v >' ' г где а — постоянная, / — функция только от т, при этом из даль- нейшего рассмотрения исключаем случай, когда •/ = ат +& (в, & — постоянные), поскольку тогда систему можно свести к линейному уравнению второго порядка, для которого группа известна [521., — Допустимый оператор ищем в виде V » в , д , . б д , - „ д ’ Х ~ £1 дх± + дх2 + 111 дсх + 112 дт + 713 дву Продолжая" оператор, получим + + -<М5) 92
-де- dax „2 dx r>3 d°V = 3—, Pi = 3—, Pi = x, = X, x„ = y. dxi ’ ’ • dx ’ 1 dx. ’ 1 ’ - 2 ° Действуя продолженным оператором (1.15) на систему (1.14) и переходя на многообразие, задаваемое системой, получим £1 _ р2 £1 _ рз fll . рЗ £1! Р2 £ _ pl ± . дх ' 2 да 2 дх 1 да ’’ 2дх 2 дх- ' дох 1 -Х у 1 1 ^2 pl р2 рЗ ^2 рЗ д^- р2 di, ________ „ (4 4ft\ + Р*д^'+Р^ + + (1ЛЬ) л 'У 2 5Г ^2 _ П2 £12 _ ПЗ д_\ . рЗ . рЗ _ Р2 , дх^ 2 дах 2 дх ' "1 2дхг едх2 дх2 . ₽1 5,13 , р2 5t>s 8 5tls р8 з д^ _ n + Ра дТх + Р2 77 + Р2 d^v ” Р1д^2 ~ Р* д^ ~ °’ 1}з = at]i +/'г]2- Замечание: Здесь для краткости мы воспользовались ре- ГП41 ЙЕ’ д^ „ зультатами 1711, где показано, что ~ = 0. В результате расщепления системы,(.1.16) получаем дах дх^ дх "г дх^ ’ - . _ о £1 4. - о дах и’ дхг ^' дх2 и* дх дхг 1 дау дх^ ’ О, ^_о, S + ^-o, \ Да_ ’ дх, дхо ’ . л 12 Р\ (117) О, ат12 д? % до, дх, ~~~ дх- • et>2 dl' За„ дх- ' Си = аах + /(т), т)3 = аги + f т]2. Из формул (1.17) получаем = Ла;, + Ьх2 + ct, Ц— —аба:, + Ax2’-t- с?, г], — 2Ьх + оха + Мхь х2), ц2 == — abox + ба, + ах+g(xt, xt\ т]з = — 2абт + асу + «рСзс,» хг), гДе dj- + ^~ = 0, ~ = 0. В результате из системы (1.16) получим классификационное уравнение a(f—fx) —b(Aax + ff) + <p — ah + f'g — 0. (1.19) (1.18)
Полагая в уравнении (1.19) функцию / произвольной, получим основную группу Go: V V V 9 , 9 Y 9 i „ 9 /л oov Л, = -т—, Ха - —~, Ха = “ Ц- <Х « , X, - ~ X F У —• (1-20) 1 дх' 2 ду' 8 д(Зх дау' 4 дх а ду ' ' Найдем группу преобразований эквивалентности для системы (1.14). Вычисляя ее согласно 152], получим, что она порождается операторами xl,x2,xs,xi,xb = Y 9 , 9 , 9 , i 9 V 9 . 9 С1-21)1 Ав~ахд^х + о’'д^ + гдТ + ''дГ W + d^v' Отсюда следует общая форма преобразования эквивалентности произвольного элемента, которая может быть записана в виде / — af (ат + Ь) + с, (1.22> где а, 6, с — независимые параметры. С учетом преобразовании эквивалентности из уравнения (1.19) получим я(/ —/т) — Ь(4ат +//') =0. (1.23) \ Для уравнения (1.23) возможны два случая: 1) я = 0, 2) а¥=0> Рассмотрим первый случай: а = 0. Тогда из (1,23) имеем. 4ат + //'—,0. Решая это уравнение, получаем / = Ус —4атг, где с — произвольная постоянная. Полагая с = Л,, где к, — предел те- кучести при чистом сдвиге, получаем следующий закон текучести:: (ах — аау)2 + 4ат2 = /4- При этом допускается оператор ХБ = Ха -Я---ах, ~ + 2т 4- — апх) -т---2ат 5 2 дх^ 1 дх2 до„ ' v ’ дт дау . Рассмотрим второй случай: а */= 0. Положим а = 1, b = (J, тогда уравнение (1.23) переходит в уравнение /‘-Гт-р(4ат + ///) = 0. (1.24> Введем обозначение z = f/x, тогда уравнение (1.24) перейдеГ в уравнение tz' + р(4а + tzz' +"22) = О. (1.25) Если Р = 0, то /=^с,т+с2. Этот случай из рассмотрения исключа- ем, поэтому (J^O. Разделяя переменные в уравнении (1.25) и интегрируя его, имеем iln|^ + *ф| + = -Ь|СТ|, где с — произвольная постоянная. Окончательно получаем j агс« S4
1оскольку f — ox — аот имеем In {[(о» — aav)2 + 4ат2] 0с} + —= arctg °х -™v = О, р уа 2т уа где с — произвольная постоянная. При этом допускается оператор ж у Тем самым задача групповой классификации полностью решена. 3°. Некоторые, точные решения для уравнений, описывающих плоские течения анизотропной пластической среды. В результате групповой классификации нами выделены два закона текучести: (ру — <хож)2 + 4ат2 = 4&1, (1.26> (ау — астж)2 + 4ат2 = ехр {— arctg (1 -27> при которых группа Go расширяется на один оператор. Построим для уравнений (1.13) возможные инвариантные решения. 1. Система уравнений дах дх = п , дх р дх ду ’ . ду дх ’ _ (1.28} (ои — аоя)2 + 4ат2 = 4й2 описывает плоское течение ортотропной среды. Как показано вы- ше, уравнения (1.28) допускают группу непрерывных преобразо- ваний, порождаемую операторами г~дх' Х2^=ду' Х» ~ дё~ + “do? ~ Х~дх + У Ту, . а а а а (1-29> *> - УТх -х д~у + 2т^ + Тх~ 2ат^- Инвариантные решения можно построить только на подалгебрах Х4 + ₽Ха, 0Х4 + Х5Ч-дХ3, Х, + УХ3. 1а. Решение на подалгебре <0Х4 + Х54-^Х3> в системе коорди- нат г0: Iя = (оса:)2 + р2, tg 0 = р/(оке), где о, = ас» cos20 + ov sin2 0 + 2ат sin 0 cos 0, о® = аоя sin2 0 + ов cos2 0 — 2ат sin 0 cos 0, Tre = ar(cos2 0 — sin2 0) + (Оу — аоя) sin 0 cos 0, следует искать в виде о, — — ау0 + /(|), ое = —ау0 + <р(|), (1.30У т = ф(|), | = гехр00. 95-
После подстановки (1.30) в систему уравнений (1.28), записанную - s системе координат г0, приходим ц. уравнениям, которые иссле- дованы в гл. 3, § 8, и. 4. Решение вида (1.30) может быть исполь- зовано для описания пластического течения ортотропного мате-i риала в матрице с профилем в виде логарифмических спиралей^ 16. Решение на подгруппе <Х4 4* (JX3> следует искать в виде Or = оф1пг + а(0), ов =а₽1пг+Ь(0), (1.31^ Тге = с(0), г2 = (ал)2 + уг, у — ах tg 0. j Решение виДа (1.31) можно использовать для описания пласти- ческого течения в сходящемся плоском канале с шероховатыми . стенками, на которых задана равномерно распределенная каса- тельная компонента тгв. На входе канала задано давление. Это решение строится аналогично, решению Надаи, гл. 3, § 8, п. 3. 1в. Решение на подгруппе Х4 + уХ3 следует искать в виде O3; = Tfx + F(y), т = Я(у), Оу = уж + G(y). (1.32) Подставляя (1.32) в уравнения (1.28), нетрудно получить ас* = -Р + к(ух - 2V1 - fg»), . (1.33) Оу = —Р — уж, ат e fcyg, Это решение ёсть обобщение решения Прандтля на ортотропный случай, подобное решение получено в работе. [84]. Его можно использовать* для описания - пластического течения материала, сжимаемого жесткими шероховатыми плитами. 2. Рассмотрим систему уравнений • + дх ' ду ’ ду ' дх • ’ ' , * 1 (1-34), (о,-И# + tax’ -рехр I Группа непрерывных преобразований для системы (1.34) порож-. дается операторами Xt,X„X„X„X,-c.^- +о,^- + 1^+ рх„. ОС у Инвариантные решения системы (1.34) можно искать только на подгруппах Х4 + уХ3, уХ4 + Хе + сХе, , X, + уХ3/ 2а. Решение на подгруппе Х4 + уХ3 следует искать в виде аОх=ух + 7’(г/), т = Жу), oB=®=ya:+G(g). Решение такого вида найдено в работе [19J Для более общего закона текучести. Это решение обобщает решение Прандтля на анизотропный случай и может быть использовано для описания-, пластического течения материала, сжимаемого жесткими шерохо- ватыми плитами. . j 96
;б. Решение на подгруппе Х4 + уХ3 следует искать в виде aor = Tflnr + a(0), _Oe = Ylnr+&(0), т = с(0).- (1.35) Решение вида (1.35) можно использовать для описания пласти- ческого течения анизотропного материала в сходящемся плоском канале. 2в. Решение системы (1.34), записанной в системе координат г0: г2 = (ax)2 + р2, p = aa:tg0, на подгруппе <уХ4 + Ха + 6Ха> сле- дует искать в виде . о, = —aS + /(£) exp (—0/£), ое = —aS + q>(£) exp (—0/(J), т == ip(g) exp (—0/(J), £ = гехр(у0). Это решение можно использовать для описания пластического течения анизотропного материала между двумя логарифмическими спиралями. § 2. НЕОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 1°. Этот пункт мы посвятим построению пространствен-, ных решений теории пластичности неоднородных тел, когда функ- ция неоднородности имеет вид К = К(г}. Запишем систему уравнений в виде , 1 d°r9 , gprz , рг~° dr ' г 50 dz г dpr8 , 1 дае , gtrez 2рг0__п ' дг + г 56 + dz + г ~v' a°re , 1 5p6z . даг ' атг п 5Г+'7“5Г + ^Г + Т =и’ (ar — ae)2 + (az — ae)2 + (ar — аг)а + 6 (a|z + + а?г) = 6^2 (г), ^5r ~ — °z’ = 2аг — ar — 06, о, (2.1) = 2ог0, • 'rzt 1 ди t dv у X 50 ** дг г (1 dw ду\ \r &Q dz J Будем искать группу непрерывных преобразований, допускае- мую системой (3.1), полагая К(г) произвольной функцией. Эта группа порождается следующими операторами [73]: у _ д y д у у ___ д ~ dz' А2 “ 56’ ~ dw' Ai~r dv’ Y д , д , О v д д д Х& - и + w Х« + X7 = zcos0^-— zsin0k-^- —rcos © ‘ ди . dv . . dw'‘ Xg = rsin0-/--zsin©/-— zcosO-^-. ° dw du dv - - Б. Д. Ашшн, В. О. Бытев. С. И. Сенатов
Построим некоторые инвариантные решения системы уравне ний (2.1). . | 1. Будем искать решение, инвариантное относительно, пода группы — Х2>, в виде | u = u(g, г), у = у(|, г), tr = ip(g, г), % — z+kQ. | В переменных г, g бистема (5.1) запишется следующим образом! *4, . Л <Чо durz аг - ае ffore. , Л а°е . 5°ег' 2oer п ^2'2^ “ё7-+7'< + ‘ёГ + V = U’ ' ggrz , к a°ez a°z orz _ a . ~d7 + 7 ж + eg + ~ ~ v*~ (Or — oe)2 + (or — Oz)a + (oz — Oe)a + 6 (OrO + GrZ + Ofc) = 6№ (r), xg=2or-ne-oz,. X^g + ^)=2oe-or-oz, X-ff 2oz - o0 - or, x(-J + = 2tT-’ du к dv v\ n . / к dw , dv\ di r- + dr ~7J~~ Zffre’ a(7 "aT + "sg / — ZCT“’ 2г Решение будем искать в виде « = u(r) sin g, v = лЯг)-cos ,w = w(r) cos I, —3P = Or + Oe + 0z = — 3P(r). Пусть Or» = orz = 0, тогда оставшиеся компоненты цензора на-i пряжений суть функции переменной г. Второе и третье урав-? нения системы (2.2) удовлетворены тождественно) а первое елу-г .жйт для определения Р(г). * Длй определения и, v, w получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений ku 4- v'r — v = 0, w' + й~= 0, ru + и — kv — w = 0. (2.3) Эта система совпадает с системой (4.4) гл. 3. Таким образом, поле скоростей в нашем случае совпадает с полем скоростей в однородном случае. Поле напряжений опре- делится аналогично формулам *(4.6) гл. 3: 5fc = <p5e, 5z = /5e. /1 + / + /2 + <Р2' г - (2.4) 5r = _(/ + l)5e,P^.Sr-J^^. о где Se, ST, St — компоненты девиатора тензора напряжений. Поле напряжений (3.4) совпадает с полем напряжений гл. 3 при Л'(г) =ь const. •
Наше решение при Л —0 обобщает решение Р. Хилла 190] на неоднородный случай.- Это решение описывает пластическое течение кругового цилиндра, изготовленного из неоднородного пластического материала, сжатого усилиями, распределенными на торцах и подвернутого действию крутящего момента М = в 2л J r^dr. о . 3. Пусть Ore — ОЛ = 0. При этом предположении будем искать решение системы (2.2) в виде u = u*(r)sh|, y = y*(r)ch|, w = w*(r) ch P = P(r)1 £ —z + /i:6, (2.5) где и*, v*, w*— функции только г, к,— произвольная постоян- . ная. Тогда из условия несжимаемости и уравнений (2.5) полу- чаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций «*, к*, w*: и* -+ dw* л d ( v*\ , к * л —г— = 0, г — ( — 4 и* = 0, dr dr у г J г (ги*) + kv* + rw* = 0, (2.6) при этом давление Р восстанавливается из уравнения dtTr , °r ~ °е n __—---------------------------------= у. dr г Система уравнений (2.6) сводится к уравнению Бесселя fti* ” + ги*' — (г3 + Л2 + Du* == 0, решение которого имеет вид u* = CiJ,(D + c2X,(r), v = VF+T, (2.7) где Д— функция Бесселя мнимого аргумента, Kv — функция Макдональда, с,, с2 — произвольный постоянные. Если положить с2 = О, то поле скоростей имеет вид и = q Jv (г) sh g, v = — I rcj/f 4 Д (г) -ДI ch В, I J r J (2.8) . «z — — q chi J Л (г) dr. При этом компоненты тензора напряжений равны о? = с + J F ~ dr, ote = фЛ Ов = о, + (<р — DF, о2 = о, — (2 +tp)F, (2.9) F = (4 + + (I + Ф)М- (к2)ф2)-1/г, оа
u* -|- kv* . ku>* + rv* Решение (2.8)—(2.9) можно использовать для описания пласту ческого течения цилиндра (0<гR, нагруженного по торцам напряжением, распределенным по закону <h = - (2 + <р) F + dr,, О и крутящим моментом r М = 2 л J GQZr2dr. о Предполагая боковую поверхность свободной от напряжений определим постоянную с из условия ог(Я) = 0. Если в формуле (2.7) положит^ с2#=0, то построенйое реше- ние можно использовать для описания пластического теченш трубы, даходящейся под действием растягивающих усилий, кру тящего момента и внутреннего давления. 4. Из групповых свойств уравнений (24) следует, что аналг- ги решений (4.5), (4.10), (4.12) из гл. 3 могут быть построень. для системы,уравнений (2.1). Например, аналог решения Р. Хил- ла [90] построен в работе [24], зто решение можно использовать для описания пластического течения неоднородного материала выдавливаемого из сжимающейся цилиндрической втулки. Неко- торые другие решения, в частности, описывающие пластическое течение толстостенной трубы под действием внутреннего давле- ния, а также? обширная библиография приведены в обзоре [57]. ' Там . же можно найти сведения о точных решениях, построенных для других видов пластической неоднородности. 2°. Группрвая классификация уравнений неоднородной тео-г v рии пластичности. В предыдущих параграфах были рассмотрены уравнения тео- рии идеальной пластичности, когда предел текучести не меня- ется при переходе от одной точки материала к другой. В прак- тике "часто встречается пластическая неоднородность, которая может быть вызвана следующими причинами: воздействием тем- пературных градиентов, потоками элементарных частиц, неодно-. родностью состава, механической обработкой и т. п. Указанные - неоднородности по-разному влияют на пластическое течение,; материала и вид закона текучести. Ниже будут рассмотрены, - следуя [57], только неоднородности, которые определяют предел' текучести как функцию координат. При этих предположениях, основные уравнения можно записать в виде [57] + (2.10) (a.-o.F+W -«(», »>. 100
’равнения (.2.10) представляют собой сложную систему уравне- ний. Построение решений аналитическими методами весьма про- блематично [57]. Для решения системы (2.10) используются в основном обратные и полуобратные методы, поэтому вполне естественно воспользоваться здесь аппаратом группового. анализа. Если считать функцию К произвольным элементом, то задача групповой классификации для системы (2.10) в работе [70] ре- шена. В, результате выделены классы функций К(х, у), наиболее перспективных для построения точных решений уравнений [52]. Ниже для простоты будем предполагать, что К = К(у). Этот 4 случай важен для приложений, поскольку именно, такая неодно- родность возникает при воздействии облучения на материал. Итак, имеем уравнение вида а-r да,. -2Е + = 0, = 0, (2.11) дх • ду дх ду ' (.ох — оу)2 + 4т?=;4КЧу'). Введем функцию напряжения по формулам _ д*и « _ д*и _ д2Ц °Х — ду2у~ дх2' Т— дхдУ (2.12) и обозначим иг = и2 = В результате уравнения (2.11) перейдут в следующие: Idu, ди.\2 (ди\2 дио ди, _ +4 М = 47Г(г/) —2 = —1- 2.13) \ дх ду / \ дх ] я'7 дх ду ' ' Система (2.13) сохраняет свой вид при преобразованиях и\ = аги, + bi (i = 1, 2), (2.14) х' = а2х + Ъз, у' = а2у + Ь4. Две системы будем называть эквивалентными, если одна из них переходит в другую при некотором преобразовании (2.14). Отне- сенное к функции КХу), это преобразование действует по фор- муле • К^у) — (A/aJKta^ + Ь4) + с. (2.15) Допустимый оператор ищем в виде где В‘, Ц* — функции от Xi, х2, Ut, и2, Xi = x, х2 = у. Продолжен- ным оператором X = X + — 4- £21 + £12 + ^2 —, др{ . др^ др^ где Pi = ди. ,1 дх.' =*^ дх- duk I дх- + duh )' J J п \ J К t 3 ''“h 101
действуем на систему (2.13) и переходим на многообразие, зада- ваемое этой системой. Расщепляя полученные выражения нс. вторым степеням pj, имеем + п1 —2 + п8 —2-- п2 < - п1 = - дх1 Р* du± ди2 Р1 dx^ Р2 дх^ = л. D»fix n2di£^_ni дх P* du + P2 ди P1 dx P* dx ' “ X Z 4 A 9 F = ° (x,7 = l,2), -ig + ₽^-riS- 2 £2? , _2 . 2 , Ли Pl d,x P* dx I А А A J (2.16) mk2-(₽»t,[^+p: P2 dxt dxt P2 dul P2 du2 Др2 (dl}2 , 1 9Т12 , 2 Й1,2 8 d? 2 _ Zt2jZlf' + 4Pi(0Z + Pid7 + Pi-^-Pi^-^P^\-4%KK. - \ 1 ‘ 1 2 1 1/ Расщепляя соотношения (2.16) по степеням р]*' приводя подоб- ныеп решая полученные уравнения'на т]*, имеем £* == qxi + Ьхг + Wi, t)i = aut + Ьиг 4- cxz +.dt, (2.17) £z =« —bxt + qx2 + w2, t)2 = — but + au2 + cx2 + где a, b, c, q, d{, wi—некоторые постоянные. С учетом (2.17) классификационное уравнение примет вид . K(a-q)~.(-bx2 + qy + w2)^-. (2.18) Из (2.18) в предположении, что К — не тождественная постоян- ная, следует Ъ =» 0. При этом имеем „ / v , ак\ ак п aK-q\K + y =0. а. Если д¥=0, то, полагая 5 = 1, в = тп+1, уравнение (2.18) приведем к виду Решая это уравнение, имеем К — сут, где с — произвольная по- стоянная. б. Если ?=.0, а=^0, iff2^0. Положим я = 1, тогда уравнение (2.18) приведется к виду К - =F 0. ду Его решение имеет вид К = cev, где с — произвольная постоянная. Окончательно получаем: 102
j. Если К — произвольная функция- переменной у, то система (2.11) допускает операторы . ^=^+4’' (219) 2. Если К=.су™, то система (2.11) допускает операторы Х2, Х3 = х-^ + у-^ + т(ах^- +т-^ + ои±\ (2.20) 3. Если К = се“, то система (2.11) допускает операторы + -(2.21) Построим все инвариантные решения для найденных видов функ- ции К(у). 3°. В случае произвольной функции К(у) - оптимальная систе- ма для алгебры Ли (2.19) имеет вид аХ. + Х2, Xt. (2.22) Инвариантное решение можно построить только на подгруппе ccXi + Xa. Решение ищем в виде Стх = ах + ф(у), о„ = си:+ф(у), т = /(у). (2.23) Подставляя (2.23) в систему (2.11), получаем х — ау + Ь, Ок = оке — с, . (2.24) ои— ах - с + 2[Л?(у) - (ах + Ь)]1/2. Постоянные а, Ъ, с определяются из граничных условий у — Л, т = mK(h), ОС 1, • _ у = —h, т = nK(h), 0 п 1. Решение (2.24) описывает пластическое течение неоднородного материала мещду жесткими шероховатыми плитами. Это решение найдено А. И. Кузнецовым 137]. 4°. Если неоднородность имеет вид К = сут, оптимальная си- стема для алгебры Ли (2.20), получается из (2.22) добавлением подалгебр X, <Х, Х»>, <Х2, Хз>. Инвариантное решение можно построить только на подалгебре Х3. Оно имеет вид '., Cx = ymf(x/y), су = ymtf(x/y), х — у^(х1у). (2.25) Подставляя (2.25) в систему (2.11), получаем систему обыкно- венных дифференциальных уравнений /' + ф — gif' = 0, ф — |ф' + if' = 0, (/ — ф)1 + 4ф2 — 1lc\ где штрих означает производную по | == х/у. 103
5°. Неоднородность имеет вид К — cev. Неоднородность К = се~т (ц> 0) часто используется длй металлов, облученных радиационным потоком. В этом случае алгебра Ли порождается операторами Y & Y 1 V 0 д д . д \ Х1 “ Й?’ Х* ~ + + Р+ су—}. Оптимальная система имеет вид Xt + aX2, Х, + аХ4, Х2, Xit <Х„ Х2>, <Х„ Х4>, <Х2, Х>>. Новое инвариантное решение может быть построено только на подгруппе Х4. Решение на этой подгруппе ищем в виде Ох== ф(а:)е~™, os = if(x)e~w, т== f(.x)e~fiV. (2.26) Подставляя соотношение (2.26) в (2.21), имеем . ф' — p.f = 0, — р.ф = 0, (ф — ф)2 + 4/2 = 4с2. (2.27) Заменой ф = д_2ф", система (2.27) сводится к нели- нейному уравнению (ф - (1/д2)ф" )2 + 4(ф7р)2 = 4с2. (2.28) Одно из решений уравнения (2.28) имеет вид ф = сйш(цх), тогда сх —с sin (juOe-14', Оу — —сх, т = с cos (цх)е~,1у. Эте решение можно интерпретировать как напряженное состоя- ние полупространства у > 0 под действием периодической систе- мы штампов. Глава 7 ...... — —'. ' - v - -..........- ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКОГО КОНТИНУУМА § 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ . Будем использовать феноменологический подход. Счи- таем, что выполняются законы сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии. Введем обозначения: р — плотность рассматриваемой среды; и = (щ, н2, »з) — вектор скорости, Т — тензор напряжений; U — внутренняя энергия; q — вектор потока тепла, тогда + div (ри) = °, 104
р + (u-V) w j — div Z = 0,> (1.1) — (pU) + div [put/ + (u- 71)] + div q = 0. 1 Эти уравнения можно использовать для описания сплошных сред самой разной природы. Однако наличие одних только законов сохранения не позволяет адекватно описать возможные движе- ния конкретной сплошной среды. Чтобы .это стало возможным, необходимо вв££ТИ_так. ^называемые определяющие соотношения. Есть нечто общее, характерное для всех сплошных сред — это законы сохранения. Разнообразие же тел, обусловленное раз- личием материалов, из которых они состоят, регулируется опре- деляющими соотношениями. К выводу последних мы вскоре при- ступим. В механике сплойшых сред определяющее уравнения — это не что иное, как некоторые ограничения^ накладываемые на силы и (или) движения. Ясно, что единственные силы, пред- ставляющие интерес — это контактные силы, которые определя- ются заданием поля тензора напряжений Т. Тем самым возни- кает задача классификации -полей Т. Каковы же подходы к ре- шению этой задачи? Йдеи, заимствованные из геометрии, позво- ляют надеяться на нахождение решения, исходя из соображений симметрии и инвариантности. Заметим, что именно из этих со- ображений были получены классификационные результаты в теории кристаллических тел (Шубников; Лохин и Седов, см. [431). В 1958 г. Ноллом были сформулированы аксиомы, которые затем составили основу дисциплины, названной Трусделлом рациональной механикой. Наибольшие ограничения возникают при применении третьей аксиомы Нолла — «Принципа материаль- ной независимости». Как правило, аксиома Нолла используется следующим образом. Пусть задана ортогональная группа или ее собственная подгруппа, тогда из требования инвариантности рассматриваемых процессов относительно них находятся опреде- ляющие соотношения. В отличие от общего подхода, при котором рассматривается определяющие соотношения на внутреннюю энергию, энтропию, напряжения и поток тепла [31,63,85,871, будем изучать поведе- ние материалов, термодинамическое уравнение которых связывает давление, плотность и температуру, а реологическое уравнение состояния (определяющее соотношение) связывает внутренние напряжения с кинематическими переменными, типа градиента скорости; поток тепла с распределением температуры и гра- диентом . ее; внутреннюю энергию с другими термодинамически- ми переменными. Систему уравнений, которую приходится решать в общем слу- чае, можно описать так: — термодинамическое уравнение, связывающее S, р, р; — баланс массы; — баланс импульса; 105
— реологическое (определяющее уравнение); — баланс энергии; — термическое уравнение, связывающее поток тепла с. темпе- ратурой и градиентом ее; — энергетическое уравнение. Сделаем дальнейшее ' упрощающее предположение. Будем рассматривать адиабатические движения чисто механического континуума, для которого характерна зависимость - n = n(Va), -v ’ • где П — тензор вязких напряжений. В эту модель входйт, в част- ности, теория жидкости, в которой П = П(1», где D — тензор скоростейдеформаций — симметричная часть тензора Vu. § 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКОГО'КОНТИНУУМА Предположим, что тензор напряжении, фигурирующий в уравнениях (1.1), выражает чисто механические свойства опи- сываемого континуума.. Тогда его можно в общем случае пред- ставить как сумму двух тензоров. Первая часть зависит от со- стояния чисто механического континуума, вторая — от скорости изменения этого состояния. Это означает, что тензор напряжений чисто механического континуума состоит из равновесной части Т* и неравновесной части Т”, обозначаемой в дальнейшем П,** т. е. 7’ = 7’е.+ 7”’=<Т* + П. Поскольку П зависит.'от скорости изменения состояния и, сле- довательно, от ее градиента, и так как вязкие силы обусловлены именно градиентами, то П называется тензором вязких напряже- ний. Поэтому П = 0 для любого континуума, находящегося в состоянии равновесия, например, тензор вязких напряжений ра- вен нулю для покоящихся газов иди жидкостей. Далее, в таких случаях в силу изотропии равновесная часть Т* тензора напря- жений превращается в скаляр, т. е. Т = ^-р1, где р — давление (гидростатическое); I — единичный тензор. Это разложение пока- зывает, что в случае неподвижных жидкостей и газов .отсутст*- вуют напряжения сдвигов, которые определяются внедиагональ- ными элементами матрицы тензора напряжений Т. Что касается неравновесной части тензора напряжений, то в общем случае тензор вязких., напряжений П является функцией тензора ==gradu. Следующее предположение исключает из -рассмотре- ния полярные среды: тензор вязких напряжений является сиМ- 406.
летричным, т. е. П" = 1Р' (Vi, j). Далее, как известно, закон сохранения энергии выражает тот факт, что изменение полной энергии газа или жидкости (в 1 с) должно*равняться полному потоку энергии через границу этого объема. В тон# случае, когда рассматриваются модели сплошных сред, учитывающие наличие вязких сил, в плотность энергии будет входить еще одно слагаемое, обусловленное про- цессами внутреннего трения. Если дополнительно не предполагать изотермичности проис- ходящих процессов, то возможен перенос тепла посредством так называемой теплопроводности. Ясно, что, вообще говоря, этот процесс не связан с макроскопической скоростью движения и может происходить в неподвижной жидкости или газе. Как правило, предполагается выполненным закон Фурье, согласно которому . q — — «V0, где V. — коэффициент теплопроводности. Поэтому полная плот- ность потока энергии в жидкости при наличии вязких сил и теплопроводности имеет вид (см., например, [38]): pu((l/2)|u|? + i) — Си Ш — xV0. Следовательно, общий закон сохранения энергии будет выражать- ся уравнением — _ — (р*У~ + * ~~ div Грм (W” + -* <«’П) — xV©]* £ + (l/2)lu|2 = H. Преобразуем полученное уравнение к* виду, более удобному для исследования. Вычислим производную; стоящую в левой частщ- исходя из уравнений движения: О. ( I и I2 , II **р др , .1^ ди , п дЕ „ др . dt 2 "* 2 lU* dt ’ "* P dt J P dt % dt “* = — -y |ufdiv(pu) + p(u-V)-yU|a — (“-VpJ + u’^-b + p4t* —(p«)- Используя термодинамическое тождество dE == &dS — pdV = QdS + p~2pdp, получим $ - e % + • 107
Вводя энтальпию ' i — E + pV, ~ имеем (р у I + Р£) = — (2 + u I2) div (Ры) ~ — p(u-V)-2-|u| — (u-V)p+ р0-^- + “ Теперь, исходя из термодинамического сос/тношевия di = 8dS +' V.dp, имеем ’ Vp = pVi-p©VS. Учитывая равенство • f дП± = д - п _ пУ( диУ d.v ~ П) _ П№ &А дхк дхк ' дхк ' дхк и вычитая div (xv0), получим ^р-у | и j2 + р-Е^ =.— div jpu 1 и |2 + ij — (u-П) — xV©j + + p©[~:+ (и- V)si-nih^- div (XV©). |_ P1 J 0xR Сравнивая с исходным уравнением, получим уравнение для про- изводства энтропии р© [-^- + (U- V) si = (П: Vu) + div (xV0). I иИ I Первый член, стоящий в правой части написанного уравнения, представляет собой энергию, диссипирующуюся в виде тепла (из-за наличия вязкости), а второй — тепло, подводимое в рас- сматриваемый объем за счет теплопроводности. Предположим, что чисто механический континуум, который мы изучаем, является нетеплопроводным (х = 0) и двухпарамет- рическим (в термодинамическом смысле). Последнее означает, что имеются две независимые термодинамические переменные, например, р и р. Тогда можно считать, что S = S(p, р), и уравнение для производства энтропии может быть преобразо- вано в уравнение вида здесь А и В —функции только р и р, а С — диссипативная функ- ция Фа(П: ^в), отнесенная к плотности. Уравнение состояния в таком виде впервые было введено Р. Мизесом- [46]. Нетрудно 108
заметить, что функции А и В могут быть выражены через энтропию и абсолютную температуру. Действительно, as ds др os dp dt ~ dp at + dp at’ отсюда следует равенство I ' Pespf+ P05pf = (n:vu). Используя уравнение неразрывности, йолучаем pBSp&L _ P205p div u - Ф - 0, ' или эквивалентное ему \ - (pesP)-M> = о. Введем обозначения: ' ’ ’ • г,/ ч dSldS тт. , Г G(p,.p)s-p—, Я(р,-р)^.-|р6^ ; тогда _ dpJdt + и Vp + G div u+НФ — 0. Постановка задачи. Дана система уравнений + (w- V) U — р-1 div П (Vu) + p^1 VP = о,. (2.1) • ^ + div(pu) = 0, (2.2) + (u-v)p + G(p, p)djv w +/7 (р, р)Ф = 0. (2;3) (7ь ► * Уравнения движения конкретной сплошной среды получаются из (2.1)—(2.3) путем специализации тензора вязких напряжений Пи задания'уравнения состояния. Сформулируем основные предполо- жения, при которых будут построены определяющие уравнения на компоненты тензора вязких напряжений П и перечислены возможные уравнения состояния. 1. Тензор П является симметричным. 2. Описываемая среда — простая неполярная и нётеплопро- водная среда с чисто механическими свойствами. Это означает, что тензор рязких напряжений П зависит только от тензора Vu. 3. Сплошная среда является двухпараметрической (в терйо- динамическом смысле). - 4. Объемные силы или отсутствуют, или потенциальны. Замечание. Сделанные предположения не носят принци-. пиального характера, а преследуют лишь одну цель — упростить вычисления. 40В
Для получения определяющих уравнений на компоненты- тен- зора вязких напряжений П 'и на функции & и Я, а как след- ствие— возможные структуры тензора П и возможные уравне- ния состояния, поставим задачу групповой классификации си- стемы (2.1)—(2.3) с произвольными элементами II(Vh) G(b, р)» Я(р,р). . ‘ • Введем обозначения: и? = р, и1 = и1, и4 = и*, и3 — и3, «* = р, а ди? а д^и? . : ОХ т, п, 9 = 0, 1, 2, 3; i, j, к, I, s, t, & — 1, 2, 3; ®, ₽, 7 = 0, 1, 2, 3, 4; Я= 1, 2, 3. _ Тогда система уравнений (2.1)—(2.3) перепишется в виде р'о + + Gp\ + НФ0, Ро + — («4) 1 ~Т- rlt + (и4) = 0, .Ро + и*Р* + u4Pi = 0:" Подействуем на систему уравнении (2.1) дважды продолженным- инфинитезймальным оператором д а д га д , д х--1 .5*’ Коэффициенты ^, задаются формулами : Й = Р/~рЖ^ . . OS = DsDtxT + 4 - (ГтА + rSnHt) Г - р™ (Я.А + 4 OUT \ ОУг] Поэтому результат действия X на систему уравнений 12.1)—(2.3) может быть представлен в следующем виде:' 0<Й4 + pS.fe * Ро - Pi + n*Pi + X OU .‘OU OU . + Po fe - pS ^7 - Р/ - «4^|Й + \dir 3u’ - du* * , / _L n4f^____Я tO-i. п*2ё^.и‘П.Х0__________ - +Ро1й? ** Pii)u4 - Р*Ы + + и^гП* + »l4/>i»f - w WiV - o* (2.4) 110
pw Р1ви° u*Dk4 + nfc^, j П I + Po ti — Po-fi — Pi —5 + du J -I du. du du1 1 »пм Lft_n*<__ ' *"\du* f°3w4 ,J + ^^Г’АВ° + ^^Г^‘Т/Л‘^г J- t - р$ (ад’л ц W) - p№ + W - pfyg) +VpL+ \w / aP8 Xй J. . u - -e-—- (rUb, + rUot) г - plj (DJ)t + rfi ЛА t * \ dwj _L° _ ~ о co _ рчХ V + »4 ( < ; W - Po du° Рз^?1 TPo\^ * du^ = 0, (2.5) ‘W двП° + Х/ — — Pj-^1 + — Po^“ Pt—, — GD&0 — h—.d&0}— :. Зди*1 "°\диг - ди* ’du1 • dpi 3 ) - pW + G(Di4‘ - P}D£) + H - pW) + . a₽j • + (^0Ч’ + С„4Ч4) + Ф(Яи0П° + Яи4П4) + ^ (2.6) • Переходя в уравнении, (2.4) на многообразие р2 = -(иМ^ад + ^Ф)< к _ 1 О , .,i_h , 1 ^ПМ I Ро 4 Ph. " Pi "I* “Т ' I rtf, и* , и dp. (2.7) Ро = — (и>< + U4Pi)t получим после расщепления по Рь Pj . . in^ln(xt, х1, г2,'^), х (2.8) J + + (2;9) . ди (210) /^+^\/^_Ы4^=0; (2.П) \,'Зр; М/\№ • / - ; 4Ф1
4 ^оП4 — (GPi + ЯФ)^ + + и*дщ — -«‘Xfe -д0^-и^\+.и*рХ-и*р^1} + т]4р| = 0. (2.12) \Qu / ... du1 Поскольку диссипативная функция Ф нелинейна, то Дальнейшее расщепление (2.12) приводит к следующим резуль- татам: ' - ?^д£-и}д£> (2.13) и* А (4) = 2и?£° + д&° - д£'+ (г == 1, 2, 3), (2.14) ди \и J ди1 dotf + u4)ii\* + uldiif=6. (2.15) - Из уравнений (2.8)—(2.10) следует, что —+ U4—г ди3 ди* тогда из (2.14) вытекает (/ = 1, 2, 3) л 9 Г 4 9 ( п4 -41 = u4 -1 « —7 Нг ди3 ) - ди* ди* \ и* .-т-'2иЧ-1°-ад°, (2.17) а из (2.9) а ?7 + и*Т~* (п) - ~ д^°+ и^° ~ “^° <' = 2’ 3>* диг ди \ди' / ' • (2.18) поэтому Проделав операцию перехода на многообразие (2.7) в уравнениях (2.5), (2.6) и расщепив их по rlsti r*t, r°,t, р*, р°, получим, в част- 0. /ап**, ] *>nto\gi] _ у ди* ’ др^ ' др[ у ди° ности, 9р1» ^-о,. (2.21) I 112
G^ + Я^^-О, (2.22) - du* . dp j dir 4‘*-ttV + M‘ + »4V + 4.n< <2-23) U du' - S:+ 6' (**-•£«•£) -«* + •*’ 5? - °- (2'2i) Из уравнения (2.24),следует, что ( ^* + ^=0 JC = O, (2.25) ди а из (2.10). z ' ~ --у» • Й^о; . (2.26) dir . , ' ’ _2а^ + 2^«-4+?5 = 0- (2^27) и • du Продифференцировав (2.22) по и’ (?=^/), имеем =0,' (2.28) ..Л»4.1 Л»4\и Л1 • поэтому из (2.17), (2.18) следует равенство «(jlY-O. .’ (2.29) du* \ U4 / . ' Производя дальнейшее -расщепление по и1, .и*, с учетом получен-*' ных равенств имеем ’ 2г-0’ й = °/^»*“0’ W=o, . В результате проделанных расщеплении получим систему диф- ференциальных уравнений для определения коэффициентов ин- . финитезимальных операторов и систему, определяющих уравне- нии на компоненты тензора -вязких напряжений. и функций G,; Н, 'которая будет" играть роль ограничений, накладываемых на «широту» группы, допускаемой в смысле Ли исходной -системой <2.1)-Д2.3). " . ' Вначале выпишем систему уравнений на коэффициенты i)a; 4ft “ — ufcde£’+ д<>&* Agfc+0*i‘=o (iVw7 « M* = 9ai3 == e(x’, ж1,«?), «49
5Г'=0, '• д = (1/2) 6*W°, л4 = «4Ф (*°),: (2.30) A(4> + 4-W’)-°. ?о = 2(£-бв5«) + ф(^, ^=30.^-«=0 — = 0. Эи* дх* ’ . дил Решение данной системы уравнений может быть записано в видь равенств: * • В* •= нв(ж0)2 + а^х9 + d, £*“= aox’i*-+ амж‘|+ а2ж4 + а^х* + смх’ + Ък. j “ ам = I 0, » = к, Ч*=—\(аоЖв—а8)и* + вы»‘+ «о®*+®*о, 'Ч‘ “= (е—2а5—Miex”)»*, т]" = le - UV + 2)ав3?] и9 + ф(х°), а0. аг, as, d, akl, aM, bk, e — групповые постоянные, N'= 1, 2, 3. : Выпишем соответствующие инфинитезимальные операторы X, Y~t/xl + &ulf 21~л31+^едх^ Z^xli+U1^~^¥ z»=+z* “f2 £> - . , op op У-2: Я = t-^— I .т* 7 = xi ! и* — Z* f dt + Х to<’ Z2 = X + U X12 = x2 ~ ‘ x1 -^s + u2 . 12 • dx1 dx2 du‘ S „ . ' д , д Z‘-Plf + P^f д , д — « —5. йи2 Г-«.— 4tp-£r — 2ip Эи* r др «4
л-> ^-г-7<-^+^.<г-‘-2-3)-,; «-♦«>£. Л-р£+₽£. Y J 8 -rR A JL.„lJL_-„*JL (Ъ<11 \ Аы а«* ^l + дйк ди.1 '\М = 1ДЗ? Zo - t2|t + »*“,“(*«* ~ *’)£. “.Й^т'Зф £. ' Обратимся к оставшимся уравнениям: ЛГ 4“ 2 гтМ i . /Л ОЛ\ со~^5—Л аеЙ~7Т> . (2.31) pi N .. . ... « амП» + а„П« + еПм 4- azrt~ + ^Р**Ь = 0; (2.33) / вр; % дР» эоЧ? - (нф + ~ д°1°)+ G ^fl° ~ &(2аоЖв + °2^ + +<пй+(&ч’+54р1+Ф(5п°+ (2-^ Вначале рассмотрим группу членов типа / ^Pt J = — Н Ф[е — (N + Qaox* — aj — — Д i^idpi дР> . ' дФ'j , дФ I , п о 10ф| . -^«^4’5й»*+2^,л^|- Заметим что <дПм t _ 1дФ Pi"TT Ръ ~ Р1Тл ®» ~ &Pj °р} поэтому из (2.31) следует равенств^ во(Я + 4)Ф=ЧР1й «Pi
Далее, = я01гП. N .. N 2апм t va® . г, 4=ГЭД| ыЭД; поэтому из (2.32) получаем ' ' - <=1 эд Умножим (2.33) па pl и просуммируем по Л, t от 1 до N: йм1&О-и+ЯнРкП**+ер*П“.4- а2Р» Рй-’-Рк^-рР&ц+Р* ~ТТ Р^г=® * эд; эд; ЭД; ' Отметим следующие очевидные равенства: t дпм дФ „ ... Pk—г=—; —4гП, \ЭД| ЭД| „t.TTfet Л. ж,г дПь< t _z вф ж Рк“ =Ф, Р«"гтРк ==Р«77 — ЭД; *ЭД; t anw t дФ г . t-nih Рк-~тР,аи = ~-р:аи +анрьП г , эд* ЭД» •• 191$* i дФ г tTTi* Pfe .-7T- Piai. = 7-l P/4*-akiPfcn- ЭД» ЭД» Поэтому из (2.33) после небольших преобразовании получим еФ+ e,pi^—ааФ—^р^ац + ^р^^О. (2.35) . ЭД» . ЭД, ЭД, - Учитывая полученное равенство, указанную группу членов мож- но привести к ввду: Г#(ж тт . |дФ дФ I .. дФ I Я |еФ — fle tr П + аар;—j ——7 pjaw +—т p/ij,— , ' I ЭД ЭД* эд, L ЭДЛ ЭД Поэтому уравнение (2.34) перепишется в виде - (Я + 2) а^° + $ (ж") - рИ G № - + 2а6^ + - I \ ои / -г*4*]+Ла*+*»“п*♦(£*+5*)-°-' (2.36)
Далее, поскольку имеет место (2.32), то g(trll) 8р\ = 0, поэтому дифференцируя (2.36)- по р< и суммируя По i от 1 до N, имеем , | \ди е у \&и ди /1 + (^Пв + ^П4ЬгП=0. . (2.37) \ди ди / Отсюда следует, что либо trJI — O, либо . . ’ ’ ^ + ^П‘ = 0, . (2,38) • - mi однако если 1гП = б, то из (2.36) ввиду нелинейности Ф получим* (-2.38). Следовательно, (238) имеет место всегда, независимо от того; равняется нулю след тензора вязких напряжений П или нет. Тогда из (237) вытекает <?(-{-*>+ + =0, (2.39) \ди т« • - / \ои . ди ] а уравнение (2.36) приводится к виду . a0NG — a<i(N ' +2)u° + ip'lx0) + asff tr П •=; О, которое распадается на два: * aA2VG-aoW + 2)B0 + t'(a:#) = 0, - (2.40) а»Н Ы1=0, (2.41) поэтому ф(хв) >= кхв + г, a6[NG— (2V + 2)ri°J и так как из (2.40) следует, что G “° + ® (essconst), ТО Х«=—воВ*. - Рассмотрим (2.39). Это уравнение после небольших преобра- зований может быть записано в форме , ' ? ’ noe2»[^i^-(^ + 4)]^O1 (2.42) поэтому е^® 0 и л) = г & const. Следовательно, уравнения, играющие роль1 ограничений, на- кладываемых на «широту» .допускаемой системой (2.1)—(2.3) группы,'имеют вцд* . + с2-43) - L \ J 117
a0[(AT + 2)u°-M?]>=0, (2.44) o^_G\ ^_2 4а? = 0> (2.45) { дц* du° } ди° 6 . ди* а0 f (N + 2) u«'J? + Nu* = 0, (2.46) L ди ди\ соЯ1гП = О, (2.47) f лдН . дН\ дН п л tn »о» е I и° —= + и* —; I + г —„ — 2ам*—; = и,. (2.4о) V 0“ ди*} ди° ди* N- -j- 2 rrht ' г дПМ in /q\ «о —5— nftt = ад} тр <2-49) dPJ а«2^Г=0’ (2-50) ЙМП“ + а«Пм + еПы + fl2pi pjay* + = 0. v ’ Р' Р& Р° (2.51) Исходя из системы' уравнений (2.43)—(2.51), нетрудно сделать следующие выводы: при произвольных П, G, Н исходные уравне- ния допускают операторы . Xt,-X<, Yt (i=l, 2, N) (в дальнейшем группу, порождаемую этими, операторами, будем обозначать через Го). Максимальная группа непрерывных преоб- разований, допускаемая в смысле Ли-уравнениями (2.1)—(2.3), соответствует П = 0. $ 3. СТРУКТУРА ТЕНЗОРА ВЯЗКИХ НАПРЯЖЕНИЙ И .УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ЧЙСТО МЕХАНИЧЕСКОГО КОНТИНУУМА Рассмотрим систему определяющих уравнений (2.43)— (2.51). Как уже неоднократно отмечалось, эту систему следует трактовать как ограничение на «широту» группы непрерыв- ных преобразований, допускаемую исходными уравнениями (2.1)—(2.3). Наша' задача состоит в том, чтобы определить возможные типы связей между групповыми постоянными, входящими в. эту систему, и как следствие — получить системы дифференциальных уравнений на компоненты тензора вязких напряжений П и на функции G, Н. На этом пути мы получим не только общие пред- ставления тензора напряжений чисто механического континуума как в изотропном, так и в анизотропном случае, и соответствую- щие уравнения состояния, но и наиболее широкие группы не- прерывных преобразований, допускаемые уравнениями движения 118
каждом конкретном случае специализации тензора П и функ- ций G, Н. Иными словами, каждой тройке элементов Gt{pt р), Я,(р, р), Ili(Vu) ставится в соответствие группа Г,-, содержащая в качестве собственной подгруппы группу Гв. Важность решения подобной задачи Очевидна.' Дело в том, что в качестве конечного «продукта» мы получаем классифика- цию моделей чисто механического континуума, что позволит не только отобрать наиболее перспективные в смысле- возможности решения конкретных задач значения и формы экспериментально определяемых физических величин и зависимостей, но и «подска- зать», какие именно* макроскопические параметры сплошной сре* ды следует измерять для того, чтобы воспользоваться, той или иной из предлагаемых моделей [52]. Замечание. В рамках этого подхода (групповая классифи- кация) и сделанных предположений других моделей чисто меха- нического континуума, кроме тех, которые будут полечены, не существует. В этом смысле мы получим исчерпывающий ответ на вопрос, какие именно математические модели чисто механи- ческого континуума возможны и какие эксперименты следует провести для возможности использования той или иной из пред- лагаемых моделей. ' • N — 1. В этом, случае классификация проводится особенно .просто. Поэтому приведем полностью те характерные рассужде- ния, которые будут использованы и при классификации в случае 2V=2 и N«=3.. Прежде всего заметим, что П=с(рОц; ао = 0, ц-^0, (3.1) поэтому определяющие уравнения примут вид е(рСгр + pGp — G) + rGp — 2aspGp — 0, (3.2) e(pffp + рНР) + rHp - 2а5рЯР = 0, . (3.3) е + ^-о, G, (3.4) Рассмотрим уравнения (3.2). Введем вектор А = {Я,, Л2, Л»}, где Л, = pGp + pGp — G, Аг — Gp. Ла — — 2pGp. Пусть все векторы Л компланарны, но существуют два не кол- линеарных, тогда найдётся вектор {а', Ъ', с'}, ортогональный плос- кости векторов Л: (а'р + b')Gp + (а' — 2c')pGp—a’G = 0. - Если а & 0, те за счет преобразования эквивалентности р->-ар, П-»-аП, р-^ар + Ъ, G-*-aG, Ф->аФ вектор с компонентами {o', Ь', сЗ перейдет в вектор с компонен- тами {1, 0, т},уравнение (3.2) примет вид pGp + (1 — 2m)pGp — G = 0, 119
общее решение последнего находится без затруднений: G^pGW~imp~1}. Еслц а' —О, b'-.&'O, то вектор с компонентами {а','Ь', с'} пе- рейдет либо в Ю, 1, 0), либо в {0, 1, 1), соответственно этому 'имеем уравнения GP = 0 с общим решением G=G(p) и GP=2pGp с- общим решением G = G(peXp). Если a'<=Q, 6'i=0, то имеем вектор {0, 0, 1} и уравнение GP'=f=O с общим решением G = G(p). Пусть все Лекторы типа А компланарны и параллельны век- * ' тору с компонентами {а', Ъ'г —2с'}. тогда если А не постоянный, то -найдется такая функция В(р, р), что pGp + pGt>—(3.5) GP = b'B, (3.6) pGp = c'fi. - (3.7) Из (3.5)—’(3.7) следует, что G*=Wp + c' — а'}В, тогда из (3.6), (3.7) Wp + c'— а'}Вр'—0, р(Ъ'р + с'— a'}Bfi — c'B, поэтому Ь'==0 и с'^а', иначе Я = 0, но в этом случае, как легко видеть, Вр = 0, а' — т — Т, с' = гп, следовательно, В = Вор™, G =' ==Gopm. Если А не зависит от р и р, то В — 1. А так как G — ^(Ь'р + с' — а'УВ, то или-6'|= 0, G — 1, или Ъ‘ ¥0, G — ^p. Ио следование в случае нулевого вектора А проводится тривиально. Теперь заметим, что в случае компланарных векторов типа А вы- полнены равенства - . е^а'с, г—Ъ'с, .a^-c'c, поэтому возможные .типы векторов {е, г, as) имеют следую- щий вид: , - ' (1, 0, т}; {0,1, 1); {0,1, 0)- {0, 0, 1); {2m, г, т-1); {е, 0, а5); {0, г, а5); {2, г, 1); {е, г, а5). Этим векторам соответствуют уравнения на Н, которые легко ре- . шаются. Для удобства .дальнейшего исследования приведем пары ' функций {G, Я) “которые следует рассматривать: ' {рС(р'-2тр~1), Н(р2~Хтр~2)};{С(.ре^р),ff(peXp)}; {G(p), H(p)>; {Gopm, HJ; {Glp}, Н(р)}; ’ . {-гр, Яй); {1, Яо); {0, Я(р)}; {0, Яо), 1 Go, Яо — постоянные; Если во ¥= 0, то следует рассматривать только пары я.], ШДр, ,н(Р™'™Р-0). Переходим, к формулировке результатов‘по классификации*.. одномерных моделей чисто механического континуума. Доцолни- 120
-ельные операторы будем обозначать через Xt *: G=.pG(p‘-2mp-*), Я = Я(р‘-2тр-‘), Ха = Zi — pZ3 — mnZ3j G'—G(pe2p), Я«=Я(ре2₽), Xi — Zj -- flZg, Xg — Zg-^-Sf . z G«=G(p), Я = Я(р), X; = Zi-pZ3, Xj = 5; G'= Gop”, Я*=Я0, X* = 2m (Z^— )iZa) — p.(m — 1) Za, X* = S; G = 4P, H*=H9, Xi = Zi — pZ3, Xj =Za, G =l, Я = Я^ Xi = Zi—pZs, Xa==S, Xs=Za; G==G(p), H = H(p), «. • Xi — Zt — pZ3, xa =.za, 6 = 0,Я = Я(р), Xi e 2Zi — 2pZ3 — pZ3, Xa = S; . G = 0, Я = Я0, ' Xi — Zi — [iZ3, X2 = Z2- X3 = 5; N<c=2. Необходимо рассмотреть два случая: со'=О и а^О. I. a0Jf=Q- В этом случае определяющие уравнения примут вид / 4 q dG t dG o л dG л /л oV e “ n+'u ro~G +T’-2a‘“ r* = 0‘- <3-8) \ du du ] du - du [ л i о \ i о i n - /от е м4— + u0—g ) + r—j — 2asu4—= 0f (3.9J \ du4 au° J Suv s йи4 еП^ + а^^ + а^С^ПИ + гП^^О,; (ЗЛО) &Pt . • еП“ + + a12 (£4IP« + П22 - П11) = 0/. (ЗЛ1) aps ' . •здесь - сПЧ+<ЗД1-^ + а„(Ь,Пи-21Р’)-0, (3.12) Ьх - (pl - rf) + Ы + Pl) - £)• \opi &PII . \dp£ dpj 121
Определим возможные связи между е, г, а-,, аг, аа. Для оолегче- яия процедуры заметим, что в качестве следствий: из системы (3.10)—(3.12) имеем eV + a2r1i-^ + 2a12-^ = 0, а<₽ . 2eZ + °alli^ + 2<ll2'^ = 0’ • где V^trll, *-(П“-П“)* + 4(П“)* (очевидно, Нто V и % одновременно в нуль не обращаются). Новые независимые переменные тр, ф определяются формулами Ч1 = 1Л/4 ~ + PiA * ' I)2 “ + Ръ if* = Рг — Pi> Ф = arctg-*’2 Смысл введенных координат очевиден: — интенсивность тен- зора вязких напряжений в линейном случае; ц1— дивергенция вектора скорости; ц3 — единственная отличная от нуля .компонен- та вектора rot и, <р — угол между первым главным направлением тензора П (в линейном случае) и осью Ох1. Пусть с = 0. Тогда *" n = AZ + FQ, тде . I Р 0^ ( cosjp, sin<p — \0 1/’ $ \ S> п Q ~~ \— sintp, cos<p '&=G(pe^), Н^Н(рег^ it) f, g, h — однородные функции переменных ц1, нулевой сте- пени однородности; X* ~Z2 + S, X* = Zn Х3* = Х12; A gt произвольные функции переменных ц1; • X? + S, X* = Х1а; b) ft gt h — функций переменных ц’ ехр (—<р/2а); = Z2. -|- S, Х2 = Zj + аХ12; i4) если а'—О, то Пм — однородные функции по ц*, степени однородности нуль, зависимость от <р произвольная; А\‘ = Zj + S, X* = Zx; Z? = G(p), Я«=Я(р), ix) x: = 5,x:==zlt х; = х12; iJXt^Xt-Xn- 122
«) X* - S, X* = Zx + aXM; G=G(p), H = H(p), i1)X: = Z2,X2* = Z1,X3* = X12; QX^Zg, X2* = X12; *3) X'l = ^2’ -^2 = + a-^12» ijx:-z„ x,*-zi; ч G =₽i, H = HC, 1 J , Q X? = S, X* - Z2, X* - Zv Xt _ X„; . i2) X? = 5, X2 =. Z2, X* = X12; *3) a= ^> -^2 = Zgj.Xg = Zx + aX12; i4) x; = s, x2 =za, x;=zv Пусть e^O. Тогда ' G^pG(pl-2mp~l), Н^Н(р*-2тр-1). : n = e^lhI+FQi, ii) A g> Л — функций переменных т]4 ехр (—aq>/2p)j _ Xj = Z3 + aZj + ₽X12 4- ?nZ2; is) если p — 0, то Пы — однородные функции по переменным i]1 степени однородности —1/а, зависимость от <р произвольная; X* = Zs + aZt + mZs; h) f, g,'h — однородные функции по переменным степени однородности - нуль; Хх = Zj, Х2 = Zs + рХ12 4- mZ2. D>=hI+FQ, - X А) /, g, Л —однородные функции по переменным т]* степени однородности —1/а (а=?^0); Xj = Х12, Х2 = Zs + aZx + znZ2. fi gi — однородные функции по переменным ц1 степени однородности а; _ ' Хх = Zx — ccZg — maZ2> ^2 — 2Z3 — 2jnZz} если Пм — однородные функции по т>* степени'однородности 1, 123
а зависимость от <р произвольная, то Xi = — Za —г mZa^ ix) = ^2> Ха = Za + + рХ12; i2) Ха “ ^2» .^2 “ %з + °^1» i3) Х? = Z2, . Х2 = Zlt х; = Za + рХ12; U х; =-Z2, Х2 = Х12, х; = Za + azi; t6) Xi = Z2, XJ . ZA - aZ3. Xj = 2Z3 - X12; 1 ^в) .^1 “ ^2» ,^2 '^1 — Za, G=Gtpm, H^H0, • - .fj-x; = S, X* = 2m (Za + aZx + ₽XI2) 4- (m -1) Z2; i2) = S, X2 = 2m (Z, + aZx) + (m;— 1) Z2;, i3) X* = 8, X* = 2m (Za + ₽X42) + (m - 1) Z2, Xa - Zx; . 14) Xx = S, X2 = 2m (Z3 + ccZ]) 4- (m.— 1) Za, X3 = XX2; is) . X£ = 5, X2 = 2m (Zi — aZs)' —г a (m — 1) Z2, X3= 4 =z m (X]2 — 2Z3) -— (m 1) Z, ta) X* = S, Xl~2m(Zi^Za)—(m—l)Za, G = 0,H^HB, . о x:=5, x:^%,' i2) X*^s, x:^za, ia) x; = 5, X* = z2. i4) 'x; = S, x; = z2, Xj = Sf Xa = Z2, »e) x; = s, x2*=z2, G = 0, H W X-l = S, ’X2 = Za + ctZi 4- pXJ2 4- -g- Z2; J ^2) Xa — Za -}-'(zZi 4—^"^2» ia) X? = 5, X* = Z3 4- pX12 4-’ ±za, Xj = Zi, ^*) Xi = S, X2 = Za 4- aZx + ~a~Xa, X3 = X12; £t X3 = Za 4- «^1 + PX12; X3 = Za 4r <xZx, X3 ₽ ^3.4*v P^12’ X& — Zi^:-- X3 = Za 4- oc’Zj, X4 = Xjgj X3 = Zi — ctZa, X4 = X12 2Za', X^Zx-Z,; 124
iB) Xx «= S, X2 = Zx — aZ3 —^-аЯ2, X3 — Xx2 — 2Z3.— Z2; ie) X* = Я X* = Zx - Z3 - 4- Z2; II. Пусть ae^O, тогда ^=6^1^+^],, trn = Oi (3.13) G=^p, Я = Я0, • A St Л— функции переменных t]s (p= l/k\ а правая часть (3.13) — однородные функции по переменным р} степени однородности два; ' x; = Zx - 2Z3, x: = xX2 + ftz3, x: = z2, x: = z0;, П-Л7+ЯС»,' trn = O, ’ (3.14) i2) A g'i Л —функции переменных i)i, qs, а правая часть (3.14) — однородные функции по переменным р) степени одно- родности два; - X? = Хха, X* = Z. - 2Z3, Х| = Z2, X* = Zo; G «=« Я = Я (р^’р"1),' . A) & =ZX-2Z3-(1/2)Z2, Xt=XI2+7iZs+(l/4)A-Z2, X?-Zj ii)X^ Xlgf X2* = Zx -2Z3-(1/2)Z2, X*=Ze. ' Я^З.- Запишем определяющие уравнения в виде, удобном для дальнейшего исследования: + p^’~G/ +r —2 бР^Р “°’ . (315) e(P-»r + '’»fZ+rs7-«F-0’. <зл6) ' „;[(W+2)(Pg-c)+.ffp^]-O, (3.17) ' a„[(A?+2)p-AY?]=0, ' (3.18) аоЯ1гП = О, (3.19) - ^[(Я+^рЯр + ЯрЯр! =0, (3.20) . (3.21) «.2^-0, (3.22). i=l М «П“ + axLJI“ + oaUtH11 + 2П«) 4- а^ЬгП11 + 2П“) + виГ»П“ - 0, (3.23)
еП*2 + а2ЬДГ2 + а12(£1П‘2 + Пи - П*‘) + а,«(£2П,г + П2а) + + а21(£3Й,2 + П13)'=0, (3.24) еП‘3 + а2ДП13 + а^ЛП*3 + П23) + a13(L.H,s + П33 -П“) + + а21(£3П,3-П,3)=О, -(3.25) еП22 + а2Ь4П23 + а12(£1П22 - 2П*2) + aiSZ2IP2 + а„(£3П22;+ 2П23)'=0, (3.26> еП23 + а2£4П23 + ^(AIP* - П‘3) + а12(£2Пгз - П12) +• + й2,(£3П23 + П33-П22) = 0,^ (3.27л еП” + а2Ь4П33 + a12LJI” + а„Ь2(Пм - 2П13) + а23ЩП3’ - 2П33) = 0, (3.28) здесь L„ Li, L3, Lt— линейные дифференциальные операторы следующего вида: - ' = Ы~"Р®)(^ + (^ + +Рз^~ 2 & 3 0 3 & dpi ’ др& Р^ др&* । = Ы — р!) + rf) ~ 1^1)+ 1 д з д **. g д а ‘ ’ дрЗ dpi Pi дрз dpi1 = (р® — Рз) (—~i + ^4 13 . 2 3 # 0 N N 1=1 «=1 Ops Поставленная задача была бы все еще трудна для полного ис- следования, если бы не два обстоятельства, играющие решающую роль в классификации трехмерных нестационарных моделей, опи-^ сывающих движения чисто механического континуума. Во-первых, й качестве следствий из (3.23)—(3.28) получаем уравнения eV + a2LtV + а12ДУ + auL2V+g23L3F = 0 (3.29К и 2ех + а»£4х + ап£1х + al3L2-^ +a23L^= 0, (3.30) где . • У»ЬгП, » 126
X- (1/6) [ СП22 - П")2 + (П“ - П”)2 + (Пи - П22)2] + + (П‘2)2+(П‘2)2+(П2,)г. Ясно,что функции У и х одновременно в нуль обратиться не мо- гут (в противном случае тензор вязких напряжений будет нуле- вым). Поэтому для получения возможных типов связей между групповыми постоянными достаточно рассмотреть уравнения (3.15)—(3.22) и (3.29), (3.30У, а затем с учетом полученных свя- зей решать систему (3.15)—(3.28). Результатом описанной про- цедуры и будет искомая классификация. Во-вторых, Lt, Lt, Lt, Lt образуют алгебру Ли. Для доказа- тельства этого утверждения достаточно убедиться в том, что операция коммутации не выводит из множества указанных опе- раторов и выполняется тождество Якоби. Вычислим, например, коммутатор [£,, L21: ' l^i, /’al ~ (Pi — Ра. .Л)_« + й)^ + А)_ dp] д dpi) +•($> + Ра) 8- ~3 \dpl dp‘ + Ргт-; °р} L3. \ "/'г "Г dpi dp\ ’ Я"3 + Ра Т-j + Р17Д + (Рз + Pi) • др3 (/' а зЛ { д d ' = —(Р2 —Рз) т1 + —з .1 \8Рз дРы 1 д г 2 5 s д 1 -Ps-i + Pi-5-pl—,-г dpi dpi . dpf Остальные вычисления проделываются аналогично. Поскольку рассуждеция, приводящие к классификационному результату, вполне аналогичны проделанным в случае 1 или 2V= 2, те сразу же переходим к перечислению структур П и типов функций G и 'Н. Как и прежде, дополнительные операторы будут обозначаться X*. ’ Изотропные модели (а0'= 0). Введем новые независимые переменные = pj (i = 1, 2,3), xt = р3, х6 — р3, хв = Pi, х? — р3, *8 = Р1, *9 = Р1- Тензор П может быть представлен в виде H-=fI + 2gD + 4hD\ (3.31) здесь 1 — единичный тензор,- a D — тензор скоростей деформации с компонентами А) = |-(Р1 + рО (М-1,2,3). 127
Обозначим через т]“ (м = 0, .1,2,3) соответственно Irotul и инва- рианты тензора скоростей деформации. G^G(pe^), Я = Я('ре2р), г,) /, g, Л— произвольные дифференцируемые, функции пере- менных т]", х; = Z2 + S, X* = Хх2' X* = Х18, X* = Х28;. iz) если правая часть (3.31)— однородные функции по пере- менным xt (т*= 1, 2, ..9) степени однородности нуль, то • . . X* = Z2 + S, ха* « zi,_ Х3* = Х12, Х*4 = Х„, х; = Ха8; С^Жр), Я = Я(р), ix) X? = S, Ха = Х12, Х8 = Ххз, х; = Х23; ; Л) Хх = 5, X* = Zx, Х3 = Х12, Х: = Х1з, Х: =₽ Х28; ix) X* == Z2, Х; = Хх2, Х3* = Х18, X: = Хаз; - fa) xf = Z2, X = Хха, Х8 = Ххз, X* = Х23, Xj = Zx; 7 н^ц9, . , . . ix) х; = S, х:=Zz;xi = хХ2, х: = Хш X* = Х28; f \)X^ = S. x: = z2, х3*^хХ2,-х: = хх8, Пусть е¥=0, тогда 23, '1> Tl^fI + 2gD + ihD^, (3.32^ правая часть-, (3.32) однородные функции переменных. хг сте*? пени одиородности к, ' t * ‘ X? = Zx - hZs - mkZz, Х2* = Хх2, Х8* = Х13, X? = Х28? G = H—Jffe, 7ix) X^z,, X2* = Zx-*Z3, X3* = X12, X4* = XX3, х: = хад;<г <? = Gop’", H = Hb, .. ' - ' О Xj = S, X* = гт^ ^kZ3y-k(m- 1)Z2, X* = X12t. j Xt= XX3, X6 = Xa3jj €? = 0, Я = Яо, J у x; = S, Xj = Z2, X3 = Zx - kZ3, X* = xX2, x:» хи, j x; = x2s;\ 42R
х = о, Я = Я(р), iJX^-S, X* = Zx — kZs— ~ZV Х3*=Х12, X? - х13, xj=x28. Пусть ав ¥* 0. Тогда С = ^-2/Л Я = Яо,1гП = О, Ъ) f, g, h — функции переменных £s — (1/2)£(,|а — (1/9) Si, Sa, S4, .причем правая часть (3.32) — однородные функции, степени однородности 5/2 по переменным хх (т'= 1, 2, ..9), # = Х2=Х13, Х3 = Х23, X‘ = Z0, х: = 22х- — 5Z3/X* = Z2. Переменные Si, Sa, Ss, задаются формулами S, = tr D — Xi + Ж2 + xt, £а = ж4 + 4 + | K^i — ж2)а + (х, — х3)? + (х3 — а)2], Sa = *5 + xl + xl + | [(«1 + х2) х\ + (хг + xs) 4 + + (жа + жз) хв + £4'=|rotii|; G = ^±-2 р, Н = Н (pWN+2)p~l), tr П = 0, Я = 3, ii); Хх = Х121! Х2 = Х13, Х3 = Х23, X4=Z0, X3=Z2+5Z3—2ZX. Указанными вариантами исчерпываются изотропные модели чис- то механического континуума.’ Анизотропные модели. Введем переменные Si, Sa, ..Se По формулам - |1 “= xi + «2, Sa '= Zf. — x»i Is — ) (^1 — Xi)2 + (ж4 + Xi)\ = ]/~xn 4" Se = 4* я-#» Se ~ хз^ I l X, 4- X. X- xn \ I? = 2 I arctg —-5 — arctg -2- — arctg-A |, z \. xi ~~ xz ’ жб xb J - 1 / x. 4- x. x„ * x \ • l8 = ? I arctg / + arctg -2- + arctg 1, z . xi ~ 2 Xb ®8 / z Se = arctg — arctg Б 8 I. Oo «= 0. Пусть ,e «= О/ тогда (—g, h, 0\ / cos So, sm|8, 0\ //, 0, A\ h, g, 0 )| —sin£M c6S|3, o| + | 0, /, Я I, 0. 02Я/\ 0, 04 1/ \AB,0Z ' Б. Д. Ланин, В, О. Еытев, С. И. Сенатов 429
где Л == (?cosi-g8 — Psmjfcg, В = Pcos^8 + (jsin^-gg» G-=G(pe2₽), Я=(рех’), А) А g, Л, P, _Q, R— однородные функции по переменным gi, ..., ge степени однородности нуль, зависимость от g7, про- ' издольная, . х* - z2 + 5, х;=х12, х; = zx; i2) A g, h Pi Q) R — произвольные дифференцируемые функ- ции переменных ^ехр(-^8/2а), Ь. Ь (i= 1, 2, ..., 6У; x:-^ + s,.i:-zl.+.^ i3) если а = 0, то Пм произвольные однородные функции ну- левой степени однородности по переменны^ £«, зависимость 01 £7, £s, £s произвольная, X* = Za + S, X2* = Zx; i4) A g, К A Qt R — произвольные функции переменных g* &,.&• (i«=l, 2, 6), X* = Z2 + X, X* = X12; g=g(p), А=жР), . : ix) x; = S, X2* - Zx, X3 = X12; i2) X* = 5, Xj'= Zx + aXx2; - •: i3) Xx=5, x: = Zx; ‘ ’ J i4) Xx* = 5, X2 = Xxa; . J С«=С(р),Я = ЯХр), /. i ix) Xj = Z2, X; = ZU X3*^ XX2; i2) Xx == Z2, X2 = Zx + aXX2; . i3) Xj = Z2, X2*^Zx; A i4) x;=z2, x;=xX2; ' - i G = l, Я«=Я0, • -J jx) x; = 5, x; = z2, X3* = Zx, Х^Хи; I ia) Xx = 5, X2 = Z2, X3 == ZX + cxXX2; ^3) At = = ^з = А» ' i4) x; =, s, x* = z2, xj = xX2. 130
lycib e &= 0, тогда _Esr/— g h Ox / cosg8, sin gg. 0\ // 0 Л\-| П = e 2₽ I h g 0 41 — sing8, cosg^f 0 I + I 0 f В j L 0 0 В/\ 0, 0, 1/ \AB0j\ G^pG(pl-imp-ll Н(р1-гтр~1\ ’ it) A g, h, P, Q, В — функции переменных gi exp (—ccg8/2p), g7, g, (i-i, 2, ..., 6)/ " " . Xx = Za + aZ1 + pX12 + mZa;. i2) если P == Q,-to П" произвольные однородные функции сте- пени однородности —1/а по переменным g{ (/*== 1, 2, 6), за- висимость от g7, g8, go произвольная, Х2 = Z3 •+• ctZl 4 mZ2i • • - i3) f, g, h, P, Q, R—одноредные по переменным gt степени однородности нуль, зависимость от g7, ge произвольная, Xj = Zj, х; — Za -$ pXia + mZ2. (—g h 0\7 cosg8, sing8, 0\ // 0 Л\ П = | h g OH—singe, cosgg, 01 +1 0 / BL Д 0 0 RJ\ 0, 0, , 1/ \Л В id A gi К P, Qi В — однородные функции по переменным g< . степени однородности —1/а, зависимость от g7, *g0 произвольная,. Xj = Xls, Х2 = Zs.+ aZf + mZ2. .. cos gg, singe, singe, cosg8, 0, 0, 0\ // о- Л\‘ 0 I + I 0 f Bl V \b в oj. fc)' A gi h, P, Q, R — однородные функции то переменным g< степени однородности а, зависимость oi g7, g? произвольная, x Ха = Zj — aZg — TnaZ2, X2 = X^2 2Zg’— 2iiAZ2$ ia) если Пм — однородные функции степени однородности 1 по переменным g«, а зависимость от g7, g8, g8 произвольная, то Xtj =,Za — Zs;— mZ2] ij) Xx .= Z2, X2 = Z3 +’ aZx + pX12; j; *2) Л1=^2> -^2 — %з + a^it , / is).?i* = Z2, X2* = Z8 + pX12, X8* = Zi; i4) Xj^Z,, Х: = г8 + а^, Xj = X12; ,
fB) Xj — Z2, X2 = Zx — aZ8, X3 — X12 — 2Z3, i6)X* = Z2, X2* = Zx-Z3; G — Gtpm, H — Яо, - й) = ^2 “ 2m (Z3 + aZx + PX12) + (m — 1) ^2» i2) ~ &> X3 = 2m (X3 + a^i) + (m — 1) Z2j] i3) X? = 5, X£ = 2m (Z3 + ₽X12) + (m -1) Z2, Xj = Zx; i4) Xx = S, X2 =: 2m (Z3 + aZx) + (m— 1) Z2, X3 = Xx2; iB) X* = S, X2 = 2m (Zi — aZ3) — (m — 1) aZ2, X* = m (X12 - 2Z3) - (m— 1) Z2; ie)X; = 5, X2 = 2m (Zx — Z3) + (1 — m) Z2; G = O, H*=Ha, *1) Xt ~ &• -^2 = ^2, — Z3 + aZi + PX12; . *2) ~ = Zz,, X3 =Z3+ aZx; ~ ц) X* = S, X2* - Z2, x; = Z3 + PX12, XI = Zx; i4) X? = S, X2* = Z2, X; = Z3 + aZi, X: = X12; IJX^S, X* = Z2, Xl = Zi-aZ3, X4* = X12-2Z3; l3)X*i=S, X2* = Z2, Xe* = Z1-.Z3; в=О, Н = Я(р), ’ ii) x: = S, x: = Z3 + aZi + pxi2 + (1/2) Z2; ^2) Xi ~ -^-2 ^3 + ®Xx + (1/2) Z2; 1з) Xj* = s, X2* = Z3 4- pxi2 + (1/2) Z2, Xt = Zi-, ii)Xi=S, X2* = Z3 + aZ1 + (l/2)Z2, X3* = X12; k) Xt = S, X* = Zi — aZ8 - (1/2) aZ2, X3* = X12 - 2Z3 - Z^i k) Xi^S, x: = Zj-Z3-(1/2)Z2. J II. Пусть «о =И= 0. Введем переменные t],-=(1/2)1, +go, (т = 2, 3, 4, 5), Ч.-= (l/2)g,-go, qo-go (i = 7, 8, 9), ft, g, 0, sin t]8, COStjg, 0, 0\7 cost]8, 0 II — sinrjg, Я/\ 0, 1 1 ♦ ’ 1 1 A = Q cos ~2" t]8 — P sin -y t]8, В = P cos 1]8 + Q sin 1|8, Я = Я0, trII==O, 2V = 3,
-i) /. Л, P, Q, R— однородные функции, степени однород- ности 5/2 по переменным тр (т= 1, 2, 6), зависимость от тр, г]в произвольная, х^гг.-зг,, x* = x12 + kz:i, x* = z0, x* = z^ G = p,' . H - H (p^+V1)! tr П = Q, ii) X± — Z2 + 523 —* 2Zi, X2 — X12 + kZ3 + -jr- kZs,' X3 = Ze- § 4. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ Вначале рассмотрим частный случай (двумерные дви- жения) и построим пример, когда компоненты тензора вязких на- пряжений П линейным образом зависят от компонента тензо- ра Vu. Пусть п11 = fr'pj, п12 = п21 = 4р|, -П22 = <йр|, _ bi, ci, di — постоянные, тогда очевидно, что аа = 0, и мы полу- чим систему определяющих уравнений вида / dG dG dG л dG л еДРтг- + Pt--G +z л-----2абРзг = 0» V &Р др / др or dp ( dH , dH\ ~ dH „ dH ' Цр w+ р^) + г^-2а^ = °’ (c + «з) bipj + e12 [(pi — Рз)(Ьз + bi) + (pi + Р1)(Ьз — b|) 4-- + 2cip:] = 0, (4.1) (e + a2) cip* + aj2 [(p| — pl) (cj + c?) + (pi + pl) (c^ — c}) + + (di-bi)pl] = o, . (4:2) (e -j- dtPi + «i2 [(pi — pl) (d2 4- i^) +. (pj + pl) (dl — d}) — — 2cipl] = O. (4.3) Предположим, - что e + «2 = 0, тогда общее решение (4.1)—(4.3) имеет вид П11 = Ь}р} + pi^l + bjpl + bipl, п"—4-« + Ч) /4 + 4- и - «) W+й) + -г«+Ч) А И22 = ь2р} + Ь}р2 - bfpl bid. t Вводя новые постоянные по формулам a = 4(fc}-fc2), b~bl c = 4(b1a + bl), d = 4(6i-^ Al Al .Al . 138
и. идентифицируя а, Ь, с, d с первой, второй, третьей и четверто*» вязкостью соответственно, имеем (м=(н, v)) П“ = 2цих + v div и + ©(Uy + vx) + e(uv — va), П12 = — a>(ux — Vj,) + |л(п„ + vx), - 2 П22 = 2pvu + v div и — ©(u,, + vx) + в(iiv — vx), du . du _____ du “* ___(du dv \ WxSSaJ’ Uy==~d^' ut — Вычислим диссипативную функцию Ф, входящую в уравнение! для производства энтропии. Она должна быть неотрицательной:! Ф — (П: V w) == Ппиж + П12 (iiy 4- vx) + П22^ = 2цих + j "’1 .+ VUX div U + ©Мж (Uy + Vx) + 8UX (иу — Vx) — © (ux — Vy) (lly + Vx) -Ь3 + P- (uv + b’*)2 + 2pv2 + vvy div и — a (uv + vx) i>y + в (uy — vx) vy = , = 2P(u2 + Vy) + p, (Uy + Vx)2 + V (Ux + Vy)2 + &(Uy — Vx) (Ux + Vy). Выражение, стоящее в правой части, может-быть записано в виде (|1 + v)(Ux + Vv)2 + p[(lZa — Vy)2 + (uv + Vj2l + e(uv — Vx)(Ux + vv>. Приводя эту квадратичную форму к каноническому виду, заме- чаем, что она неотрицательна тогда и только тогда, когда е=0, р>0, p + v>0. В силу последнего замечания имеем n,1 = 2p,MI + vdivn + a(nlz-l- va), ’ . ' П*2 = — ©(ия — vy) + pCuy + va), • П22 = 2p,Vj, + v div и — ©(ггу + vx). Третья вязкость а, как мы видим, Имеет несколько неожидан- ный характер: она не приводит к диссипации энергии. Заметим, что вывод о тождественном равенстве нулю четвертой вязкости справедлив только для сжимаемо^ сплошной среды; совершаю- щей непотенциальные движения. Наличие третьей вязкости у сплошной среды проще всего ин- терпретировать как результат действия магнитного поля, направ-' ленного перпендикулярно плоскости потока. В ряде частных, но практически важцых* случаев введение сторонних сил, обуслов- ленных наличием магнитного поля, приводит лишь к переопреде- лению понятия давления, поэтому группа непрерывных' преоб- разований, допускаемая соответствующими системами вместе с уравнениями состояния, может быть найдена методами, разви- тыми в § 3, что, безусловно,, важно для приложений. Одной из таких моделей являются уравнения плазмодинамики в одно- 134
1 жидкостном приближении и с произвольным Qt (Q —ларморов- ская частота, т — характерное время столкновений). Рассмотрим еще одну модель такого же типа. Пусть p’=v=e = 0, сплошная среда — несжимаемая и однородная.. Модель I. Запишем уравнения движения: щ'+ иих + vuy — ©Ар + ро 1рх = 0, (4.4) vt + uvx + Wy + ©Au + р^Ру = 0, (4.5) Hx+nv = 0, . (4.6) здесь р0 — плотность рассматриваемой среды, а = ©р^1 — вязкость. Ясно, что диссипация механической энергии при наличии вязких сил такого типа тождественно равно нулю, причем знак а без- различен. Предположим, что движение является установившимся, тогда, вводя функцию тока П=»фи, Р = -фх, можно свести систему уравнений (4.3)—(4.6) к одному уравне- нию на ф: 0(Ф, Дф) п й(х, У) ' _ Это равенство означает,, что ф удовлетворяет уравнению Аф = /(ф), - где Р(ф) — произвольная дифференцируемая функция. Разреши- мость краевых задач для уравнений такого вида исследовалась в работах С. И. Похожаева [58—601. Модель II. Уравнения'Навье — Стокса* Полагая <а!=е = 0, —> - \ <Jivn=0, р«=*ро — const, получим щ + (u-V) и — рр^Ам + Po^Vp == 0, divu = 0. Замечание. Мы не можем утверждать, что группы, кото- рые были получены, являются наиболее широкими (это неверно). Это происходит потому, что многообразие, которое, задается си- стемой уравнений Навье.— Стокса, отлично от исходного (2.7). Модель III. Если ©'=е'=0, то получим уравнения дви- жения вязкого газа:. р[м( + (м-V)m] — |1Ам — vv(divn) 4-^=0, pt + div,(pu) =0, Pt + (и • V)р + G(p, р) div и + Шр, р)Ф = 0. Для получения замкнутой системы следует присоединить уравне- ние состояния: одно из тех, которые были получены. 135
Модель IV. Уравнения Эйлера. Полагаем p.==v = 8 = ©l=l имеем ut + (и • V)u + vp = 0, V-u ==0. Модель V. Уравнения движения невязкого газа (сжимае- мого): plut + (и • V )ц] + Vp = О, pt + div (рп) = О, pt + (и • V)p + G(p, p) div и = 0. Замечание. Групповая классификация' системы уравнений адиабатического движения идеального газа в пространстве раз- мерности N (физический смысл имеют TV = 1, 2,- 3) с. произволь- * ным элементом — фуцкцией G(p, р), задающей уравнение состоя- ния в виде pc2 = G(p, р), где с — скорость звука, была выполнена в работе Л. В. Овсянни- кова [52]. Основной результат ртой работы состоит в следующем. Относительно группы Г преобразований эквивалентности р ар, р ар + b, G -> aG * . 1 с произвольными постоянными а, Ь были найдены представители классов эквивалентных систем, соответствующие специализациям функции G(p, р): p/Cp’V1); /(р₽_2р); /(р); тр, ^трр, 1; где / — произвольная функция, a GB, m и f — произвольные по- стоянные., В заключение приведем простейшую нелинейную модель, опи- сывающую одномерные нестационарные движения неньютонов- ской сплошной среды. Модель VI. > (ди . ди \ д {Ьи \к , др п r \ dt дх ) ~ дх \дх) дх ар , е(рц) _ л dt дх V’ + и g Ч- G (Р, р)^ + Н (р, р) и (>)h+1= о. Оь ил . \ил / 136
ЛИТЕРАТУРА 1. Аннин Б. Д. Двумерные упруго-пластические задачи. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1967. 119 с. 2. Аннин Б. Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1975. 96 с. 3. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с. * 4. Аннин Б. Д. Групповые свойства и точные решения уравнений пластич- ности Мизеса и Треска.— В ни.: Теоретична и прилежна механика. Тр. IV конгресса. Кн. 1. София, БАН, 1981, с. 644—649. 5. Аннин Б. Д. Одно точеное решение осесимметричной задачи идеальной пластичности.— Журн. прикл. математики и техн, физики, 1973, № 2Г с. 171—172. 6. Аннин Б. Д. Об одной задаче с неизвестной границей для уравнения Пуассона в пространстве.— В кн.: Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей. Киев: Наукова думка, 1983, с. 12—15. Т. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1, 2. М.: Мир, 1978. Т. 1 — 405 с. Т. 2 — 399 с. 8. Бердичевский В. Л. Построение моделей сплошных сред при помощи вариационного принципа.— Прикл. математика и механика, 1966, т. 30, вып. 3, с. 510—530. ' 9. Бровман М. Я. О движении пластической массы в криволинейном ка- нале.— Прикл. механика, 1983, т. 19, № 8, с. 121—124. 10. Быковцев Г. И. О Плоской деформации анизотропных идеально-пласти- ческих тёл.— Изв. АН СССР. Отд-нце техн, наук, механика и машино- строение, 1963, № 2, с. 66—75. 11. Быковцев Г. И. О сжатий пластического слоя жесткими шероховатыми плитами с учетом сил. инерции.—.Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наукг . механика и машиностроение, I960, 6, с. 140—142. ч-1 2. Бытев В. О. Группы Ли и модели механики. Красноярск: изд. Красно- ярск. ун-та, 1980. 56 с. 13. Бытев В. О. О структуре тензора напряжений чисто механического кон- тинуума.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1978, вып. 37, с. 40—49. \14. Бытев В. О. О.некоторых возможных уравнениях состояния чиюуо ме- ханического континуума.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидроди- намики СО АН СССР, Новосибирск, 1979, вып. 40. 15. Гред X. О кинетической теории разреженных тазов.— Механика. Сб. со- кращенных переводов иностр, лит., 1952, № 4, с. 71—97: № 5, с. 61—106,. 16. Григорьев О. Д. Некоторые задачи теории пластичности неоднородных тел. Новосибирск, 1969. 207 с. ’(Новосиб. ин-т инж. водного транспорта.. Труды. Вып. 48). 17. Друяиов Б. А. Предельное равновесие пластически неоднородного кли- на.— Докл. АН СССР, 1959, т. 127, № 5, с. 990—992. 137
48. Друянов Б. А. Вдавливание шероховатого штампа в тонкую пластиче- ски неоднородную полосу —Изв. АН СССР. Отд-ние техн, наук, меха- ника и машиностроение, 1960,75» 4, с.129—133. 19. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д., Романов А. В. Об " обобщении решения Л. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами.— В кн.: Современные проблемы авиации и механики. М., 1982, с. 137—144. 20. Задоян М. А. Частное решение уравнений теории идеальной пластич.- ности в цилиндрических координатах.— Докл. АН СССР, 1964; т. 157, № 1, с. 73—75. 21. Задоян М. А. О некоторых решениях уравнений пластического тече- ния анизотропной среды.— Изв. АН СССР. Сер. «Механика твердого тела», 1966, 75» 2, с. 91—96. 22. Задоян М. А. Частное решение уравнений идеальной пластичности.— Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 1, с. 38—39. 23; Задоян М. А. О сжатии пластически неоднородной по длине полосы двумя жесткими плитами.— Изв. АН СССР. Отд-ние техн, наук, 1962, выц. 4, с. 142—145. 24. Задоян М. А. О течении пластически неоднородного материала через сходящийся канал.— Изв. АН АрмССР. Сер.-физ.-мат. наук, 1962, № 2,- с.-51—57. 25. Задоян М. А. Пластическое течение конусообразных тел;— Прикл. мате- матика и механика, 1983, т. 47, выть 2, с. 209—218. 26. Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластического течения,— Изв. АН СССР. Отд-ние техн, наук, 1958, вып. 2, с. 64—86. 27. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 4978. 287 с. ~ 28. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с. 29. Ивлев Д. -Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 231 с. -30. Ивлев Д.- Д. -Об одном классе решений общих уравнений теории иде-~ альной пластичности.— Изв. АН СССР. Отд-ние техн, наук, 1958, № 11, с. 107—109. 31. Идин М. А. Анизотропные сплошные среды, энергия и напряжение'в „ которых зависят от градиентов деформации и других тензорных вели- чин.— Прикл. математика и механика, 1966, т. 30, вып. 3, с. -531—540. 32. Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача теории пластичности и' проба Бринеля.— Прикл. математика и механика, 1944, т. 8, вып. 3, с. 201—224. ' 33. Камке 3. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне-. - ниям. М.: Наука, 1971. 576 с. 34. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с. 35. Композиционные материалы: В- 8 т. Пер. с англ./Под ред. Л. Браутман, Р. Крок. М.: Мир, 1978. Т. 2. Механика композиционных материалов. 564 с. 36. Кузнецов А. И. Плоская деформация неоднородных пластических тел.— Вести. ЛГУ, 1958, № 12, с. 112—131. 37. Кузнецов А. И. Задача о неоднородном пластическом слое.— Прикл. ’ механика, 1960, т. 12, № 2, с. 163—172. 38. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиз- дат, 1954. 788 с. ' - J 39. Леонова Э. А. Групповые свойства уравнений деформационной теории термопластичности.— В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1973, с. 79—88. -^?40. Леонова Э. А. Групповая классификация и инвариантные решения уравнений течения и теплообмена вязко-пластической среды.— Журн. прикл. механики и техн, физики, 1964, № 4, с. 3—18. 4 -41. Ленский Э. В. О групповых свойствах уравнений движения нелиней- ной вязко-пластической среды.— Вести. МГУ. Сер. математика, меха- ника, 1966, 75» 5, с. 116—125. 42. Липман Г. Теория главных траекторий при осесимметричной пласти- ческой деформаций.— Механика. Сб. переводов и обзоров иностр, лит., 1963, № 3, с. 155-167. 43. Лохин В. В.,. Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от несколь- 438
лих тензорных аргументов.—Прикл. „математика- и механика, 1963, . т. 27, вып, 3, с. 393—417. 44. Матченко Н. М., Толоконников Л. А. Плоская задача теории идеаль- ной пластичности, анизотропных материалов.— Изв. АН СССР. Сер. «Механика твердого тела», 1975, № 1, с. 169—170. 45. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. 340 с. 46. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр, лит., 1961. 588 с. 47. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. М.: Изд-во иностр, лит., 1954. 647 с. - 48. Надаи А. Пластичность. М.— Л.: ОНТИ, 1936. 280 с. 49. Наяр Е. Некоторые плоские инерционные течения пластических ма- териалов.— В кн.: Механика сплошных сред. Конференция по' меха- нике сплошных сред, 1966. София, 1968, с. 269—277. 50. Ниче И. С. С. О новых результатах в теории минимальных поверхно- стей.— Математика. Сб. переводов, 1967, т. 11, № 3, с. 37—100. 51. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с. 52. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М..: Наука, 1978. 399 С. . ' 53: Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. . Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 239 с. 54. Овсяйников Л. В. Программа курса «Введение в механику сплошных сред». Новосибирск: изд. Повесиб, ун-та, 1976. 76 с. 55. Овсянников Л. В., Ибрагимов Н. X. Групповой анализ дифференциаль- ных уравнений механики.— В кн.: Итоги науки и техники. Общая ме- ханика, 1975. М.: Наука, 1975, с. 5—52. 56. Ольшак В., Мруз 3., Пежина П. .Современное состояние теории пла- стичности. М.: 1964. '243 с. 57. Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановскнй В. Теория пластичности не- однородных тел. М.: Мир, 1964. 156 с. 58. Оесерман Р. Минимальные поверхности.— Успехи мат. наук, 1967, т. 22, вып. 4, с. 55—135. 59. Панарелли Ж., Ходж П. Жестко-пластический анализ' папряженного состояния круглой трубы, находящейся под действием давления, осе- вой силы и крутящегося момента.— Прикл. механика. Тр. Амер, о-ва инж.-мех., 1963, сер. Е, т. 30, № 3, с. 8. s* 60. Похожаев С. И. О задаче Дирихле для уравнения Ди = и2.— Докл. АН СССР, 1960, т. 134, № 4, с. 769—772. 61. Похожаев С. И. О краевой задаче для уравнения Ди = и2.— Докл. АН СССР, 1961, т. 138, № 2, с. 305—308. ✓ 62. Похожаев С. И. О собственных функциях уравнения Ди -|- Z/(u) = 0.— Докл. АН СССР, 1965, т. 165, № 1, с. 36—39, 63. Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном напря- женном состоянии.— Механика. Сб. переводов и обзоров иностр, лит., 1958, № 3, с. 23—27. \/ 64. Работнов Ю. Н. Лекции по теории упругости. М.: изд-во МГУ, 1967. , 155 с. '• -X/ 65 Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с. 66. Румер ТО. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977. 552 с. 67. Седов Л. И. Механика сплошных сред. Т. 1, 2. М.: Наука, 1973. Т.1 — 536 с. Т. 2 — 584 с. 68. Седов Л. И, Математические методы построения новых моделей сплош- ных сред.— Успехи мат. наук, 1965, т. 20, Вып. 5, С. 121—181. 69. Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений Идеальной пластичности с условием текучести Мизеса,— Динамика сплошной среды/Ин-т гидро- динамики СО АН СССР, Новосибирск, 1977, вып. 28, с. 109—117. 70. Сенатов С. И. Групповая классификация уравнений идеальной пла- стичности неоднородных тел.—Динамика сплошной среды/Ин-т гидро- динамики СО АН СССР, Новосибирск, 1978, вып. 33, с. 93—101. 139
71. Сенатов С. И. Групповая классификация уравнений идеальной пла- стичности с условием текучести общего вида.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1978, вып. 37, с. 101—112. '• , 72. Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений нелинейной теории упругости.— В кн.: Всесоюзная конференция по теории упругости. Тезисы докладов, Ереван, 1979, с. 313—314. 73. Сенатов С. И. Точные пространственные решения уравнений, описы- вающие пластическое течение анизотропных и неоднородных сред.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новоси- бирск, 1979, вып. 43, с. 98—107. 74. Сенатов С. И. Инвариантные пространственные решения уравнений идеальнрй пластичности.— Журн. -прикл. механики и техн, физики,. 1980, № 3, с. 159-163. 75. Сенатов С. И. О построении оптимальной системы подалгебр алгебры- Ли, допускаемой системой дифференциальных уравнений.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1981, вып. 50, с. 150—162. 76. Сенатов С. И. Групповая классификация уравнений плоской неодно- родной теории упругости.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидроди- намики СО АН СССР, Новосибирск, 1982, вып. 55, с. 164—170. 77. Сенатов С. И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластиче- ского слоя.— Журн. прикл. механики и техн, физики, 1984, № 1, с. 155— 156. 78. Сенатов С. И. Сжатие пластического слоя между жесткими плитами,, сближающимися с постоянным ускорением.— Динамика сплошной сре- ды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1984, вып. 68, . с. 112—119. 79. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с. 80. Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 376 с. 81. Смирнов В. И.,-Соболев С. Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний.— Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР, 1932, № 20, с. 1—37; 1933, 29, с. 1—49. 82. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с. 83. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964 308 с. 84. Толоконников Л. А., Матченко Н. М. Теория плоского пластического течения ортотропных материалов.— Прикл. механика, 1973. вып. 9, № 6, с. 113—115. ' 85. Трусдел- К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975,. 592 с. 86. Ферцигер Дж., Кепер Г. Математическая теория процессов переноса в- газах. М.: Мир, 1976. 544 с. 87. Фомин В.. Л. Механика континуума для инженеров. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. 1Q7 с. 88. Фрейнденталь А., Гейрингер X. Математическая теория неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с. - 89. Фушич В. И., Наконечный В. В. Теоретико-алгебраический анализ; уравнений Ламе,—Укр. мат. журн., 1980, т. 32, вып. 8, с. 267—272. 90. .Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1954. - 407 с. 91. Харламов П. В., Хохлов А. И. Операторы, допускаемые динамическими уравнениями теории упругости.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Паукова думка, 1972, вып. 4, с. 161—176. 92. Христиаиович С. А. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1981. 483 с. 93. Черчиньяии К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. 495 с. 94. Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1973, ‘ вып. 14, с. 138—140. 95. Чиркунов Ю. А. Групповой анализ уравнений Ламе.— Динамика 140
плошнои среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1975, вып. 23, с. 219—225, 96. Шамройский А. Д. Применение методов теории групп к решению за- дач теорйи пластин типа Тимошенко.— Гидроаэромеханика и теория упругости/Днепропетровский ун-т, Днепропетровск, 1972, вып. 14, • с; 157—164. 97. Шилд Р. Т. Пластическое течение в сходящемся коническом канале.— Механика. Сб. переводов и обзоров иностр, лцт., 1956, № 3, с. 140—150. 98. Ямке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 342 с. 99. Ames W. F., Adams Е., Lohner R. J. Group properties of solids utl = =<(J(u)ux)x.— Int. J. Non-linear Meeh., 1981, v. 16, N 5/6, p. 439—447. 100. Annin B. D. A new exact solution of equations of the plane problem of ideal plasticity with von Mises conditions.— In: Euromesh III symp.- const, model'in inilastisity. Czechoslovakia, 1978, p. 6—8. 101. Annin B. D. New .partial solution of a spaticaj problem of ideal plastici- ty.— In: 17 Polish conference of mechanics of solid PAN, Abstracts, War- saw, 1975, p. 22—23. 102. Annin B. D., Baev L. V. Criteria of composite material strength.— In: Fracture of composite materials., Sijthoff and Noordhoff, 1979, p. 241—246. 103. Hill R. A varitional prinsiple of maximal plastic wortrin classical plasti- sity.— Quart. J. Meeh., 1948, N .1, p. 18—48. 104. Mises R.. On some topics in fundamentals of fluid theory.— Proc. Fist. Nat. Congr. Appl. Mesh. Chicago, 1950, p. 567—617. x 105. Olsak W., Rychlewski J.- Geometric properties of stress filds in plastically' nonhomogeneous bodies under conditions of plane strain. IUTAM, Sympo- sium, Haifa, 1962.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. . 3 Глава 1. Введение . ............*••». <« 4 § 1. Группы Ли и алгебры Ли.............................— § 2. Инварианты и теория продолжения ...... 7 § 3. Инвариантные и частично инвариантные решения диф- ференциальных уравнений ’. . . .—.................... 10 § 4. Оптимальные системы подалгебр . . . J . . . 11 § 5. Групповая классификация.........................~ 13^ Глава 2. Групповые свойства уравнений теории упругости . . '. — § 1. Групповые свойства пространственных уравнений Ляме 15 § 2. Инвариантные решения . . . ..................'17 § 3. Некоторые другие решения . . . . ............... 21 Глава 3. Групповые свойства квазистационарных уравнений Мизеса 27 - § 1. Групповые свойства пространственных уравнений Ми- зеса . ..........................................'29 §’2. Инвариантные решения..................• . . . • 30 § 3. Пластическое течение конических тел ...... 32 § 4. Течения со спирально-винтовой симметрией . . . 38 § 5. Решение Хилла........................ 42 § 6. -Решение Прагера.....................•. . . . 48 § 7. Осесимметричные решения......................50 § 8. Плоская деформация................................ 55 Л 9. Некоторые другие решения ..........................66 Глава 4. Групповые свойства . квазистатических уравнений Треска 73 § 1. Допускаемая группа..................................— . § 2. Инвариантные решения............74 § 3. Частично инвариантные решения .. . . -. . . 76 Глава 5. Групповые свойства динамических задач пластичности 77 § 1. Групповые свойства уравнений динамических задач пластичности . 78 § 2. Плоскаи задача.....................................81 § 3. Обобщение решения Прандтля.......................86 Глава 6. Групповые свойства уравнений неоднородной и анизотроп- - ной теории пластичности . '...........................88 § 1. Анизотропная теория пластичности...................89 § 2. Неоднородная теория пластичности...................97 Глава 7: Групповые свойства чисто механического' континуума 104 § 2. Определяющие уравнения чисто механического конти- нуума ..................................................106 § 3. Структура • тензора вязких напряжений и уравнений состояния чисто механического континуума .... 118 . § 4. Некоторые модели............................... 133 Литература 137
Борис Дмитриевич Аннин Владислав Олегович Бытов Сергей Иванович Сенатов ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ Утверждено к печати Институтом гидродинамики СО АН СССР - ' У • $ Редакторы издательства В. Н. Дятлов, IL П. Зайцева ' Художественный редактор Т. Ф. Каманина ’ ’ Художник Н. А. Пискун - <5^'5г Технический редактор Г. Я. Керасимчук \Sf'aissJ Корректоры Г. Д. Смоляк, А. А. НаОтачлёВ , ИБ К 23668 - ‘ _ . Сдано в набор 20.07.84. Подписано к печати 20.03.85. МН-02514. Фермат бОХОО’/и. Бумага типографская № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 9. Усл. кр.-отт. 9,2. Уч.-изд. л. 13. Тираж 1650 эка. Заказ J4 307. Цела 2 руб. . . Ордена Трудового Красного Знамени Издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99, Советская; 18. 4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.