Н. М. ГЮНТЕР и Р. О. КУЗЬМИН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ТОМ I
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
С. //. АМОСОВА и Г. Ю. ДЖАНЕЛИДЗЕ
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего образования
в качестве учебного пособия
для высших технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958

11-5-2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Отдел I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие
приложения 7
2. Прямая и окружность 9
3. Геометрические места 15
4 Кривые второго порядка в простейшем виде 17
5. Кривые второго порядка, заданные уравнением в общем виде . . 23
6. Центр, диаметры. Упрощение уравнений кривых второго порядка 24
7. Сопряженные диаметры. Оси симметрии. Асимптоты 28
8. Фокусы и директрисы .__. 29
9. Касательные к кривым второго порядка. Полюсы и поляры ... 30
\ 10. Разные задачи «. 31
Отдел II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторы и координаты в пространстве 34
§ 2. Плоскость 37
§ 3. Прямая в пространстве 39
§ 4. Образование поверхностей • 44
§ 5. Поверхности второго порядка. Центр и диаметральные
плоскости 47
§ 6. Касательные плоскости и прямые к поверхностям второго
порядка ' 51
§ 7. Упрощение уравнений поверхностей второго порядка 55
§ 8. Круговые сечения, прямолинейные образующие и другие задачи . 60
Отдел III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Теория пределов 63
§ 2. Разные задачи 69
§ 3. Понятие о функции. Непрерывность. Графическое представление
функций 74
§ 4. Нахождение производных 79
§ 5. Геометрическое значение производной 83
§ 6. Производные высших порядков 86
§ 7. Функции нескольких переменных. Их производные и
дифференциалы 92
§ 8. Дифференцирование неявных функций 99
§ 9. Замена переменных 102
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ
§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Возрастание и убывание
функций. Неравенства 107
§ 2. Нахождение наибольших и наименьших значений функций одного
переменного 110
§ 3. Построение графиков функций 112
§ 4. Разные задачи на наибольшие и наименьшие значения 114
5. Ряды, их сходимость 118
6. Разложение в ряды 125
7. Ряды и действия с ними 132
8. Раскрытие неопределенностей 139
9. Экстремальные значения функций нескольких переменных . . . 141
Отдел V
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Уравнения кривых и их виды 147
§ 2. Касательная и нормаль 150
§ 3. Выпуклость, кривизна и радиус кривизны 156
§ 4 Эволюты кривых 159
§ 5. Огибающие кривые 160
§ 6. Построение кривых 162
§ 7. Кривые двоякой кривизны: касательная прямая и нормальная
плоскость 169
§ 8. Кривые двоякой кривизны: соприкасающаяся плоскость, нормаль
и бинормаль < 172
§ 9. Поверхности. Их уравнения 174
§ 10. Касательные плоскости и нормали. Огибающие 176
§11. Линии на поверхностях и кривизна поверхностей 179
Отдел VI
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Комплексные числа 182
§ 2. Разложение полинома на множители, связь между
коэффициентами и корнями 185
§ 3. Полином с вещественными коэффициентами. Теорема Ролля . . . 188
§ 4. Рациональные дроби. Разложение на простейшие 191
§ 5. Определители. Системы линейных уравнений 192
§ 6. Матрицы. Характеристическое уравнение. Квадратичные формы . 197
§ 7. Симметрические функции 200
§ 8. Преобразование и решение уравнений 202
§ 9. Отделение и вычисление корней 205
ответы 207
Чертежи к ответам 243

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРИНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
В основе предлагаемого задачника лежит сборник задач по
высшей математике, составленный в 1912 г. сотрудниками кафедры
математики Института инженеров путей сообщения, во главе которой
стоял Н. М. Гюнтер. В некоторых дальнейших изданиях того же
задачника принимали участие работники физико-математического
факультета Ленинградского университета. В последующих изданиях,
выходивших под редакцией Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина,
принимали участие и некоторые сотрудники кафедры высшей математики
Ленинградского политехнического института имени М. И. Калинина.
При подготовке настоящего издания были тщательно проверены
решения задач и введен ряд новых примеров. Эта работа
произведена С. И. Амосовым и Н. А. Никольской.
С. И. Амосов и Г. Ю. Джанелидзе
24 июня 1956 г.
Ленинград
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДВЕНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке к печати этого издания была проведена большая
работа по выявлению опечаток и недосмотров, имевшихся в
предыдущем издании. С этой целью все задачи были решены сотрудниками
кафедры математики Ленинградского политехнического института
имени М. И. Калинина. В этой большой работе приняли участие
следующие лица:
С. И. Амосов, Е. А. Анфертьева, М. И. Болгов, Г. Н. Бровко-
вич, Д. Л. Гавра, Д. С. Горшков, А. Б. Гур-Мильнер, А. И. До-
брадина, М. М. Добулевич, В. Л. Кан, А. Б. Кордашенко, Т. И. Лап-
по, Н. А. Никольская, С. Н. Нумеров, А. П. Соболев, П. Ф. Черенков.
Всем им выражаю глубокую благодарность.
Р. О. Кузьмин
Январь 1949 г.
Ленинград

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости.
Простейшие приложения
1. Даны точки Л (2, 5) и В(—3, 2). Найти проекции вектора
АВ на оси координат.
2. Даны точки Л(1, 2) и В(Ь,—1). Найти углы вектора АВ
с осями Ох и Оу, а также длину этого вектора.
3. Даны точки Л(2, —1), Я(5, 3), С(3, 5), D(—5, 11). Найти
угол между векторами АВ и CD.
4. Даны точки Л(2, —1), В(— 1, 3), С (4, 7), D(—1, —5). Найти
проекцию вектора АВ на направление вектора CD.
5. Даны точки Л (3,5), В(6,—2). Найти проекцию вектора АВ
на ось, направленную из начала координат по биссектрисе первого
координатного угла.
6. Из начала координат проведены векторы в точки Л(1, 2),
В(—2,3), С (6,—10). Найти их геометрическую сумму по
величине и направлению.
7. Противоположные вершины прямоугольника суть Л(3, 7),
В(\1,—1). Найти центр прямоугольника.
8. Из точки Л(2, 3) проведен отрезок до точки В(7, —2) и
продолжен еще на столько же. Найти координаты конца
продолжения.
9. Отрезок АВ разделен на три равные части точками М1(\, 2)
и Ж2(3, 4). Найти точки А и В.
10. Точки М1(1, 1), Ж2(2, 2), М3(3, — 1) — три
последовательные вершины параллелограмма. Найти четвертую вершину.
11. Середины сторон треугольника — в точках Мг (—2, 1),
Ж2(2, 3), М2(4,—1). Найти координаты вершин.
12. Две последовательные вершины квадрата — в то^йсах Л (2, 3)
и Б(6, 6). Где остальные вершины?
13. Две последовательные вершины правильного
шестиугольника— в точках Мг(0, 0) и Л42С4, 0). Где следующая вершина?
14. В точках (3, 5) и (9, —7) помещены массы 2 и 1. Где центр
тяжести этих масс?

8 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [ 15
15. В точках M1(xvyl), М2(х2, у2), М2 (лг3, у3) помещены
массы mv m2 и т3 соответственно. Доказать, что координаты
центра тяжести этих масс выражаются формулами
16. Массы равной величины помещены в вершинах
многоугольника. Доказать, что координаты их центра тяжести равны
арифметическим средним координат вершин.
17. Центр правильного многоугольника—в начале координат.
Доказать, что сумма координат вершин равна нулю.
18. К сторонам многоугольника восставлены перпендикуляры,
пропорциональные сторонам и направленные в наружную сторону.
Доказать, что их геометрическая сумма равна нулю.
19. Даны координаты середин сторон многоугольника с нечетным
числом сторон: Мг(хг, уг), М2(х2, у2), . . . , М2п_г (x2n_v у2п_1У
Найти координаты вершин.
20. На оси Ох найти точку, расстояние которой до точки (5, 12)
равно 13.
21. М1(2, 1), М2(— 3, 2), М3(—1,1) — вершины треугольника.
Найти центр и радиус описанного круга.
22. Вершины треугольника — в точках О (0, 0), Мх (3, 5), М2 (—2, 3).
Найти его площадь.
23. Вершины треугольника — в точках Л(1, 2), В(3,—1),
С(—2, —5). Найти его площадь.
24. Две вершины треугольника — в точках (5, 1), (—2, 2),
третья вершина — на оси Ох. Найти ее, зная, что площадь равна 10.
25. Найти площадь четырехугольника по координатам его
вершин: Мх(5, 6), АГ2(5, — 6), М3(-2,—1), АГ4(— 2, 1).
2<>. Найти площадь четырехугольника по координатам его
вершин: Мх(5, 6), АГ2(5, — 6), М3(— 2, 1), М4(—2, — 1).
27. Найти площадь пятиугольника по его вершинам: М1(0, 0),
Ж2(3,—2), АГ3(5, — 1), Л44(8, 4), Мб(4, 5).
28. После перзноса начала координат без поворота осей точка
(2, 4)'получила координаты (—3,0). Найти прежние координаты
нового начала.
29. Новые оси делят на равные части углы между прежними.
Ось Охг составляет положительный острый угол с Оу. Составить
формулы преобразования координат.
30. Новое начало — в точке (2,3). Точка (6,0)—на
положительном направлении новой оси ординат. Каковы новые координаты
точки (7, 8)?
31. Вершины квадрата—в точках (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).
Составить формулы преобразования координат, если за новые оси
приняты диагонали квадрата, а точка (2, 0) находится на
положительном направлении оси О1х1.

48] § 2. прямая и окружность О
32. Новое начало — в точке (1,—2). Новая ось ординат состав-
_3
4
о
ляет с прежней осью абсцисс острый угол, тангенс которого -j.
Найти точку, у которой прежние координаты равны новым.
33. При каком повороте осей величина х2—у2 переходит
в 2*^?
34. Доказать, что при общем преобразовании координат (с
переносом и поворотом осей) прежние оси могут быть совмещены с
новыми путем поворота всей плоскости вокруг некоторой точки.
35. Даны полярные координаты точки: г =10, ср = 30°. Найти
ее прямоугольные координаты, если полюс — в точке (2, 3), а
полярная ось параллельна оси Ох.
36. Найти расстояние между точками, зная их полярные
координаты: г1 = 3, ?1 = 10°; г2 = 5, ср2 = 130°.
37. Полюс — в точке (3,5). Полярная ось параллельна
положительному направлению оси Оу. Найти полярные координаты точек
^(9,-1) и М2 (5, 5 + 2/3).
38. Рассматривая проекции некоторой ломаной линии, доказать
формулы:
§ 2. Прямая и окружность
39. Найти уравнение прямой, параллельной оси Ох и удаленной
от нее на h.
40. Найти уравнение прямой, параллельной оси Оу и удаленной
от нее на /г.
41. Вершины квадрата — в точках (0,0), (1,0), (1, 1), (0, 1).
Найти уравнения его диагоналей.
42. На прямой у = 2х— 3 найти точку, ордината которой
равна 7.
43. Считая, что ось Ох расположена горизонтально, определить,
какие из точек Мх{—1,2), М2(—3, —10), М3(2, 1), М4(5, 4)
расположены выше, ниже и на прямой у = 2х — 3.
44. Найти уравнение прямой, проходящей через точку <2, 1)
и составляющей с Ох угол 45°.
45. Провести прямую через точки Мг(—1, 2) и М2(2, 1).
46. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (3, 7)
и (3, —2).
47. Найти уравнения сторон треугольника, вершины которого—-
в точках Мх(1, —1), М2(3, 5), М3(—7, 11).
48. Через точку (2, —1) провести прямую, параллельную
прямой 2х-\-Зу = 0.

10 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [49
4:9. Через точку (2, —3) провести прямую, перпендикулярную
к прямой у = 2х-\- 1.
50. Через точку (3, 5) провести прямые под углом 45° к
прямой Злг— 2у-\- 7 = 0.
51. Найти углы треугольника с вершинами в точках Mi(0i 2),
М2(Ь,2), АГ3(3 + /3, З-f/З).
бй. Через точку (4, —3) провести прямую так, чтобы площадь,
ограниченная екЬ и осями координат, равнялась 3 кв. единицам.
5S. Найти вершины треугольника по уравнениям его сторон:
х — у = 0, 2х-+-Ъу-\-5 = 0, х-\-2у-\-6 = 0.
54. Найти площадь треугольника по уравнениям его сторон:
y = Sx — 9, у = — 2лг+1, у = —х + Ъ.
55. Через точку (1, 2) провести прямую, образующую угол 30°
с прямой х — 2^ = 0, и найти точку пересечения данной прямой
и искомой.
56. Дана вершина квадрата (2, —2) и его диагональ х-\-2у — 0.
Найти уравнения сторон квадрата.
57. Дана прямая Zx—2у-\-2 = 0 и точка М(—4, 8). Найти
проекцию М! точки М на заданную прямую и определить
отношение \0М'\:\6М\.
58. Через точку (1, 2) провести прямую, расстояния которой
до точек (2, 3) и (4, —5) были бы одинаковы.
59. Уравнения двух сторон параллелограмма: х-\-2у-\-\=0
и 2х-\-у — 3 = 0. Центр его — в точке (1, 2). Найти уравнения
двух других сторон.
60. Через точку (—1, 2) провести прямую, расстояние которой
до точки (6, 1) равно 5.
61. Через точку (2, —2) провести прямые, расстояния которых
до точки (5, 2) равны 3.
62. Дана точка М(—1, 2) и прямая у = Ъх. Провести прямую,
параллельную данной, расстояние которой от точки М втрое
больше, чем расстояние данной.
63. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (—4, 3)
и удаленной от начала координат на расстояние, равное 5.
64. Дана прямая 4х-\-Зу-{-1 =0. Найти прямую,
параллельную данной и удаленную от нее на расстояние, равнее 3.
65. Найти расстояние между прямыми 2х + Ъу = 7 и Ах + 6у = 11.
66. Найти прямую, параллельную прямым х-\-2у= 1 и х-\-2у =
= 3, расположенную между ними и делящую расстояние между
ними в отношении 1 :3.
67. Найти уравнение прямой, лежащей по середине между
данными прямыми Зх-\-2у = 5 и 6х-\-4у-{-3 = 0.
68. Найти уравнение прямой, параллельной прямой 2х-\-Ъу-\-
+ 6 = 0 и отсекающей от координатного угла треугольник с
площадью 3.

88 ] § 2. прямая и окружность 11
69. Даны прямая 2х-\-у— 3 = 0 и точка Л4(1, 1) на ней. На
той же прямой найти точки, удаленные от М на "J/1T
70. Найти уравнения сторон треугольника, у которого 2х — Здг —[—
—|— 1 = 0 и х-^-у=0— высоты, а Л4(1, 2) — одна из вершин.
71. Мх(2, 1) и Ж2(4, 9) — вершины треугольника, N(3, 4) —
точка пересечения высот. Найти уравнения сторон.
72. Середины сторон треугольника — в точках (1, 2), (7, 4),
(3, —4). Найти уравнения сторон.
73. Даны две стороны параллелограмма 2у— лг=О, х — 3 = 0
и вершина (7, 5). Найти угол между диагоналями.
74в/Даны две стороны параллелограмма 2х—у = 0, х — 3^ = 0
и центр его (2, 3). Найти уравнения диагоналей.
75. Составить уравнения сторон треугольника, зная его
вершину (—4, 3) и уравнения двух медиан: Зл:— 2^+3 = 0, Зле — 5у-\-
+ 6 = 0.
76. Пересечение медиан — в точке (—1, 0), а х-\-у—1=0
и у-{-\=0 — уравнения двух сторон. Найти уравнение третьей
стороны.
77. Вершины треугольника — в точках Л(1, 3), В(—1, 0),
С (2, —2). Найти уравнения высот.
78. Через точку пересечения прямых х—у—1=0 и х-\-2у —
— 2 = 0 провести прямую, проходящую через точку (—1, 1).
79. Провести прямую через начало координат и точку
пересечения прямых 17*+29з/ = 317 и Зл:+10у = 634.
80. Через точку пересечения прямых х-\-2у— 11 = 0 и 2х-^-у —
— 2 = 0 провести прямую, расстояние которой от начала
координат равно 5.
81. Через точку (—1, 1) провести прямую так, чтобы середина
ее отрезка между прямыми х-{-2у—1=0 и х-{-2у — 3 = 0
лежала на прямой х — у—1=0.
82. Через начало, координат провести прямые так, чтобы отрезки
их между прямыми х—j;—|— 1 = 0 и х—у — 2 = 0 были равны 3.
83. Найти прямую, проходящую через точку (2, 3), зная, что
отрезок этой прямой между прямыми Ъх-\-Ау — 7 = 0 и Ъх-\-4у-\-
4-8 = 0 равен 3/2?
84г. Найти биссектрисы углов между прямыми Зх-\-4у—1=0
и 4л; — Ъу + Ь = О.
85. Найти биссектрису того угла между прямыми 4х-\-7у—3 =
= 0 и 8л;—j;-j-6 = 0, в котором лежит начало координат.
86. Точки (1, 2), (—1, —1), (2, 1) — вершины треугольника.
Найти уравнение биссектрисы внутреннего угла при точке (—1, — 1).
87. Найти радиус круга, вписанного в треугольник, если даны
уравнения сторон: Зл:— 4^ = 25, Ъх -f 12^ = 65, 8л: + 15^+85 = 0.
88. Даны стороны треугольника 2л: -\-у = 0, х — 2^ = 0 и 2л:-(-
-f-ll^y — 20 = 0. Найти центр вписанного круга.

12 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [89
89. Дана точка Р(0, 1). Провести через нее прямую так, чтобы
ее отрезок между прямыми х — Зз/+10 = 0 и 2х-\-у— 8=0
делился самой точкой Р пополам.
90. Дана одна сторона угла у = 2х и биссектриса 2у — х — 3 =
= 0. Найти другую сторону угла.
91. Даны две вершины треугольника Л(1, 6) и В (7, —2) и центр
вписанной окружности 0(4, 4). Найти третью вершину С.
92. Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника
2х—у-{-8 = 0 и х — 2у—12=0. Точка (4,0) — на основании.
Найти уравнение основания.
93. Луч света проходит через точку (2, 3), отражается в
прямой х-\-у-\-\ =0 и попадает в точку (1, 1). Найти уравнения
луча падающего и луча отраженного.
94. Прямая 2х-\-у—1=0 — биссектриса, а точки (1, 2)
и (—1, —1) — вершины треугольника. Найти третью вершину.
95. Точка (2, 5) — вершина треугольника, прямые Зд: + 4^ —
— 12 = 0 и х—у—1 =0 — биссектрисы внутренних углов. Найти
уравнения сторон.
98. Точки (1, 1) и (5, 4) — вершины треугольника, 2х—у— 1 =
= 0 — внутренняя биссектриса. Найти уравнения сторон, зная, что
площадь треугольника равна 5.
97. Уравнение основания равнобедренного треугольника: х-\-у —
— 1=0, уравнение боковой стороны: х—2у—2 = 0. Точк1 (—2, 0) —
на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны.
98. Биссектрисы внутренних углов треугольника А и В
пересекают его стороны в точках М и N. Доказать, что для любой
точки отрезка MN сумма расстояний до сторон АС и ВС равна
расстоянию до стороны АВ.
99. Через точку на биссектрисе угла проведены две прямые.
Одна из них отсекает на сторонах угла, считая от вершины,
отрезки а и Ь, другая — отрезки а1 и bv Доказать, что 1~Т =
= 1 + 1
100. Взять прямые 2х — у-\-\=0 и х-\-2у—1=0 за новые
оси Olxi и Olyv выбрав направления так, чтобы новые координаты
прежнего начала были положительны. Найти формулы перехода от
одних координат к другим.
101. Прямые х—у—1=0 и х-{-у-\-2=0 приняты за новые
оси координат так, что новые координаты прежнего начала
отрицательны. Найти новые уравнения прежних осей.
102. Прямая пересекает стороны треугольника АВ и СВ в
точках М и N, а продолжение стороны АС — в точке Р. Доказать
равенство
AM • BN • СР = АР • ВМ • CN
(теорема Менелая).

114] § 2. прямая и окружность 13
103. Точки М, N, Р — на сторонах ВС, СА и АВ треугольника.
Прямые AM, BN и СР пересекаются в одной точке. Доказать
равенство
AN-BP-CM = NC -PA- MB.
104. Доказать, что уравнения биссектрис треугольника можно
написать в виде
где через sv s2 и s3 обозначены левые части уравнений сторон
треугольника, взятых в нормальной форме.
105. Томографическое или проективное преобразование
плоскости состоит в том, что каждая точка (х, у) переходит в точку
(xv ух), где
Доказать, что при любом выборе коэффициентов ак, bk, ck(k = 0,
1, 2) проективное преобразование представляет коллинеацию, т. е.
переводит прямые в прямые.
106. Ангармоническим отношением четырех точек А, В, С, D,
лежащих на прямой, называется отношение
АС . АР
ВС ' BD '
Доказать что при проективном преобразовании величина
ангармонического отношения не меняется.
107. Найти общий вид уравнений окружностей, касающихся
оси Ох в начале координат.
108. Найти уравнение окружностей предыдущей задачи в
полярных координатах, если полярная ось совпадает с положительной
частью оси Ох.
109. Найти центр и радиус окружности
110. Составить уравнение окружности радиуса г = 2,
касающейся прямых Зх-\-4у — 8=0 и \2х — 5^—|— 17=0.
111. Найти длину отрезка прямой х -{-5у = 9, лежащего внутри
окружности х2-{-у2 — 4л: — 8^ + 7=0.
112. Найти уравнение окружности, описанной около
треугольника с вершинами в точках Мг(0, 0), Ж2(10, 0), Л43(б, 8).
113. На окружности х2-\-у'*=1 найти точку, одинаково
удаленную от точек (1, 3) и (—2, 2).
114. Найти уравнение круга, вписанного в треугольник, стороны
которого даны уравнениями:
Зд;-|-4у = 25, 5*— 12у = 65, 8аг— 15у + 85 = 0.

14 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ '[ 115
115. Через точку (1, 2) провести касательную к окружности
116. Через точку (—1, 3) провести касательные к окружности
^2-^2 = 5.
117. Найти общую хорду окружностей
я*ц-у* = 2ах и х* +У3 = 26у.
118. Найти общие касательные к окружностям
119. Точка (xv ух) — вне окружности х2 -f- у2 + Ах + By -f- С = 0.
Найти длину / касательной из точки к окружности.
120. Точка (xv уг) — внутри окружности х2-\-у2-\-Ах-\-By -f-
-f-C = O. Доказать, что хорда окружности, проходящая через (xv yt),
делится этой точкой на части, произведение которых равно
^^ + + В С
121. Окружность касается осей координат и проходит через
точку (4, 8). Найти ее уравнение.
122. Окружность касается оси Оу и проходит через начало
координат и точку (3, t>). Найти ее уравнение.
123. На оси Ох найти такую точку, касательные из которой
к окружностям х2-\-у2 = 6у— б и х2-{-у2 = 2х были бы
одинаковой длины.
124. Найти общий вид окружностей, касающихся обеих
биссектрис координатных углов.
126. Показать, что геометрическое место точек, расстояния
которых до двух данных точек находятся в данном отношении, не
равном единице, есть окружность (окружность Аполлония).
126. Показать, что геометрическое место точек, касательные из
которых к двум данным окружностям имеют одинаковую длину, есть
прямая (радикальная ось двух кругов).
127. Доказать, что при любых а и b окружности х2 -\-у2 = ах
и х2-{-у2 = Ьу пересекаются под прямым углом. Здесь под углом
между кривыми понимается, как обычно, угол между их
касательными в точке пересечения.
128. Показать, что каждая из окружностей
(х — a)2+y2 = a2 + h2
пересекается под прямым углом с каждой из окружностей
х2 + Су —
= г2.
129. Доказать, что каждая из окружностей
пересекается с каждой из окружностей
х2 -{- у2 — 2су — Ь2 =
под прямым углом.

141] § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА 15
§ 3. Геометрические места
130. Из начала координат проведены хорды окружности х2-\-
-\-у2 = 2ах. Найти геометрическое место середин этих хорд.
131. Найти уравнение геометрического места точек, расстояния
которых до прямых Ах-\-Ву-\^С = 0 и A1x-\-Bly-{-Cl = 0 имеют
отношение т: п.
132. Отрезок длиной а-\-Ъ скользит концами по осям
координат. Найти кривую, описанную точкой М, делящей его на части
а и Ъ. (Эллипсограф Леонардо да-Винчи.)
133. Проведены две окружности радиусов Ъ и а с центром
в начале координат. Переменный радиус пересекает внутреннюю
из них в точке А, внешнюю — в В. Из А проводим прямую
параллельно оси Ох, из В — параллельно оси Оу до взаимного
пересечения этих прямых в точке М. Найти геометрическое место
точки М.
134. Из начала координат проводится прямая, составляющая
угол -~- с осью Оу. Эта прямая в точке М пересекается прямой
х = аЬ. Найти уравнение геометрического места точки М. (Квадрат-
риса Динострата.)
135. Из начала координат проводятся хорды окружности х2-\-
-\-у2 = 2ах и продолжаются до пересечения с прямой х = 2а. Эти
продолжения откладываются на тех же хордах из начала
координат. Найти геометрическое место концов передвинутых
продолжений. (Циссоида Диоклеса.)
136. Из начала координат проведена произвольная прямая,
пересекающая окружность х2 -f-у2 = ау и прямую у = а в точках А и В.
Из точки А проводится прямая параллельно оси Ох, а из точки В —
параллельно оси Оу. Найти геометрическое место точки
пересечения этих прямых. (Верзьера Марии Аньези.)
137. Найти геометрическое место точек, произведение
расстояний которых до двух данных точек (а, 0) и (—а, 0) есть величина
постоянная, равная Ъ2. (Овалы Кассини.)
138. Найти геометрическое место точек, произведение
расстояний которых, до двух данных точек равно квадрату половины
расстояния между ними. (Лемниската Бернулли.)
139. Найти геометрическое место точек, между расстояниями
которых до двух данных точек существует линейная зависимость
гг — ar2 = b. (Овалы Декарта.)
140. Через точку (0, —а) проводятся прямые, пересекающие
ось Ох. На каждой из них, по обе стороны от точки пересечения
с Ох, откладываются отрезки длиною h. Найти геометрическое
место концов этих отрезков. (Конхоида Никомеда.)
141. Из точки А на окружности диаметра а проводятся секущие.
На каждой из них по обе стороны от другой точки пересечения

16 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [142
с окружностью откладываются отрезки длиною Ъ. Найти
геометрическое место их концов. (Улитка Паскаля.)
142. Нить,.намотанная на окружность х2-\-у2 = а2,
разматывается, оставаясь туго натянутой. Найти геометрическое место,
описываемое ее концом, если начальное положение конца нити было
Э точке (а, 0). (Эвольвента круга.)
143. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Найти
уравнение кривой, описанной той точкой круга, которая в
начальный момент касалась оси Ох в начале координат. (Циклоида.)
144. Найти уравнение кривой, описанной точкой круга радиуса а,
катящегося без скольжения по оси Ох, если в тот момент, когда
круг касался оси Ох в начале координат, эта точка занимала
положение (0, а — Ь). (Трохоида.)
145. Круг радиуса а катится без скольжения снаружи по кругу
х2-\-у2 = а2п2. Найти геометрическое место, описываемое той
точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась
неподвижного круга на оси Ох. (Эпициклоида.)
146. Круг радиуса а катится по кругу х2-\-у2 = а2п2 внутри
его без скольжения. Найти геометрическое место, описываемое той
точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась
неподвижного круга на оси Ох. (Гипоциклоида.)
147. Показать, что при я = 4 гипоциклоида обращается в астро-
1 1 А
иду хг -\-у* =(4а)3.
148. При п = 1 эпициклоида обращается в кривую,
называемую кардиоидой. Показать, что уравнение кардиоиды в
соответственно выбранных полярных координатах имеет вид: г = а (1 -|-cos cp).
149. Показать, что кардиоида (см. предыдущую задачу) есть
частный случай улитки Паскаля (см. задачу 141).
160. Показать, что при п = 2 гипоциклоида обращается в
прямую. (Теорема Кардана.)
151. Прямоугольный треугольник с катетами а и Ъ скользит
концами их по осям координат. Найти геометрическое место
вершины прямого угла.
152. Найти геометрическое место центров прямоугольников,
вписанных в данный треугольник так, что одна из их сторон лежит
на основании треугольника.
153. Найти геометрическое место центров параллелограммов,
вписанных в данный четырехугольник, стороны которых
параллельны диагоналям четырехугольника.
154. Концы основания треугольника — в точках (it: а, 0). Один
из углов при основании вдвое больше другого. Найти
геометрическое место вершины треугольника.
155. Концы основания треугольника — в точках (±а, 0).
Разность углов при основании равна ср. Найти геометрическое место
вершины.

169] § 4. кривые второго порядка 17
166. Найти геометрическое место центров тяжести треугольни-
X V
ков, образуемых прямыми х=0, у = 0, -г-\- o_k = *•
167. Три вершины параллелограмма, направления сторон
которого даны, скользят по трем данным прямым. Каково
геометрическое место четвертой вершины?
168. Четыре стороны изменяющегося параллелограмма все время
проходят через четыре данные точки на прямой. Показать, что
диагонали параллелограмма тоже проходят через некоторые
неподвижные точки.
159. Стороны прямого угла, положение которого меняется,
проходят все время через две данные точки. Доказать, что также
биссектриса его проходит через постоянную точку.
160. Сторона переменного квадрата проходит через начало
координат, а концы ее скользят по прямым, параллельным оси Ох.
Каково геометрическое место двух других вершин?
161. Найти геометрическое место середин хорд круга х2-\~у2 =
= а2, проходящих через точку Р(с, 0) внутри круга.
162. Прямые а, Ъ и с вращаются около точек Л, В, С,
лежащих на одной прямой. При этом точка пересечения прямых а и Ь
скользит по прямой Я, а точка пересечения прямых а и с
скользит по прямой Q. Доказать, что геометрическое место точек
пересечения прямых Ъ и с скользит по прямой R, проходящей через
точку пересечения прямых Р и Q.
163. Доказать теорему Дезарга: если вершины двух
треугольников лежат на трех прямых, исходящих из одной точки, то три
точки пересечения соответствующих пар сторон треугольников
лежат на одной прямой.
§ 4. Кривые второго порядка в простейшем виде
164. Найти уравнение параболы, проходящей через точку (6, 9),
с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси Оу.
165. Ось Ох—ось симметрии параболы с вершиной в начале.
Найти уравнение этой параболы, зная, что она проходит через
точку (2, 2).
166. Параболическое зеркало рефлектора телескопа в Симеизе
имело фокусное расстояние 5,4 ^ и 1,02 л в диаметре. Найти
глубину параболической вогнутости зеркала.
167. Зеркало автомобильного фонаря имеет в разрезе форму
параболы. Диаметр зеркала 20 см, глубина 10 см. Найти
положение фокуса зеркала.
168. Доказать, что все параболы у2 = 2рх геометрически
подобны.
169. На параболе у2 = 24х взята точка на расстоянии 14 ед.
от фокуса. Определить ее расстояние от вершины,
2 Зак. 2666, Сборник задач, J

18 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [170
170. Доказать, что произведение ординат концов любой хорды,
проходящей через фокус параболы у2 = 2рх, есть величина
постоянная.
171. На параболе у2 = 2рх найти точку, такую, что ее
расстояния от фокуса и от вершины находятся в отношении 7:8.
172. Дана парабола у2 = 4 — 4х и прямая х-\-у=1. Через
одну из точек их пересечения провести другую параболу с той же
осью и фокусом.
173. Составить уравнение параболы с осью симметрии ОХ,
проходящей через точки (а, 0), (0, Ь). При каком соотношении между
а и Ъ фокус параболы будет в начале координат?
174. Даны параболы у2 = 4х-\-8 и 4х-\-у2— 4у— 8 = 0. Найти
уравнение их общей хорды и точку ее пересечения с прямой,
соединяющей фокусы.
176. Даны три точки (—5, 2), (1, —4) и (5, 12), лежащие на
параболе с осью, параллельной оси OY. Найти вершину, фокус
и директрису этой параболы.
176. Через три точки (—2, 1), (—1, 0) и (6, 1) провести
окружность и параболу с осью, параллельной оси Оу. Определить
расстояние центра окружности от вершины параболы.
177. Доказать, что уравнение ууг = р (х -f- xx) изображает
касательную к параболе у2 = 2рх в точке (xv ух).
178. Даны параболы у2-\-4х = 0 и j/2= 16л;-|-80. Проверить,
что они софокусны и что касательные в точках пересечения взаимно
перпендикулярны.
179. Даны три точки (—3, 2), (—1, 1) и (3, 5), провести через
них параболу с осью, параллельной оси 6у, и окружность и найти
углы, под которыми они пересекаются.
180. Доказать, что касательная к параболе у2 = 2рх, имеющая
угловой коэффициент т, изображается уравнением
181. Найти касательную к параболе 4у = х2 в точке (2, 1).
182. Через точку (0, —4) провести касательную к параболе
4у = х2.
183. Через точку (—4, —1) провести касательную к параболе
у2 = 2х.
184:. Доказать, что касательные, проведенные в концах хорды
параболы, проходящей через фокус, взаимно перпендикулярны.
185. Дана парабола у2 = 2рх. Найти угол между касательными
к ней, проведенными из точки (—/?, /?).
186. Найти расстояние от фокуса параболы у2 = 2рх до
касательной к ней, угол которой с осью равен а.
187. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из фокуса параболы на касательные к ней.

208] § 4. кривые второго порядка 19
188. Дана парабола 4у-{-х2— 4х— 12 = 0 и прямая^ — 2л: = 0.
Провести касательную, параллельную данной прямой.
189. Найти общие касательные к параболе у2 = 8х и
окружности х2+у2=2.
190. Даны две параболы: у2 = 2рх и у2 = 2р (х + а). Доказать,
что отрезки касательной к первой параболе, лежащие внутри
второй, делятся точкой касания пополам.
191. Найти геометрическое место точек, из которых парабола
видна под прямым углом.
192. Ординаты окружности х2-\-у2 = 36 уменьшены в два раза.
Найти уравнение полученной кривой.
193. Найти полуоси эллипса Ъх2-\-Ьу2 — 30 = 0.
194. Найти уравнение эллипса, проходящего через точки (1, 4)
и (7, 2) и симметричного относительно осей Ох и Оу.
195. Доказать, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом е
геометрически подобны, т. е. могут быть совмещены друг с
другом при соответствующем увеличении одного из них.
196. Меридиан земного шара — эллипс, у которого сжатие, т. е.
—^—, равно hqo- • Найти его эксцентриситет.
197. Орбита земного шара — эллипс с полуосью а= 150 • 106 км
и эксцентриситетом £ = 0,017. Зная, что Солнце в фокусе этого
эллипса, найти, на сколько кратчайшее расстояние Земли до Солнца
(4 января) короче длиннейшего (3 июля).
198. Даны две точки, лежащие на эллипсе, оси которого служат
осями координат (3; 2,4) и (4; 1,8). Найти этот эллипс и проекции
фокусов на хорду, соединяющую данные точки.
199. Даны эллипс и парабола у2— 18л: — 0,36л:2, у2= 18л:. Найти
расстояние фокуса параболы от ближайшего фокуса эллипса.
200. Найти эксцентриситет равнобочной гиперболы.
201. Директрисы гиперболы делят расстояние между фокусами
на три равные части. Найти ее эксцентриситет.
202. Фокусы эллипса делят расстояние между директрисами на
три равные части. Найти его эксцентриситет.
203. Каким станет уравнение равнобочной гиперболы х2—у2 —
= а2, если повернуть оси на угол а = —45°?
204. Расстояние между фокусами эллипса равно 2, расстояние
между директрисами 10. Найти полуоси.
205. Эксцентриситет гиперболы равен 2. Найти угол между
асимптотами.
206. Малая ось эллипса видна из фокуса под прямым углом.
Найти эксцентриситет.
207. Дана гипербола х2—у2 = 8. Найти софокусный эллипс,
проходящий через точку (4, 6).
208. Дан эллипс Ъ2х2 + а2у2 = a2b2. Написать уравнение софо-
кусной равнобочной гиперболы.
2*

20 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [209
209. Найти общее уравнение эллипсов и гипербол с фокусами
в точках (±с, 0).
210. Дан эллипс -^- + ^-= 1. Найти уравнение гиперболы,
имеющей фокусы в вершинах данного эллипса, а вершины — в фокусах.
211. Дан эллипс зз+1Г=1« ^айти софокусную с ним
гиперболу, имеющую эксцентриситет, равный 1,25.
212. Найти эллипс и гиперболу, проходящие через точку (6, 4)
и соАокусные с гиперболой х2— j/2-f-8 = 0.
213. Оси координат служат осями гиперболы, проходящей через
точку (6, 5) и имеющей эксцентриситет, равный 1,5. Составить
уравнение.
214. Найти точки, в которых гипербола gj—Зб==1 пеРесе"
кается прямыми, параллельными асимптотам и проходящими через
правый фокус.
215. Найти расстояние фокуса гиперболы Ъ2х2— a2y2 = a2b2 от
асимптоты.
216. Полярное уравнение линии второго порядка /есть г(5-(-
-f 3coscp)= 16. Найти ее уравнение относительно осей симметрии.
217. То же для кривой r(4-f-5 cos ср) = 9.
218. Доказать равенство
1+1+ +! = £
Pi P2 Рл Р*
где рр р2, ..., рп—радиусы-векторы, проведенные из фокуса под
2*
углами — друг к другу.
219. Доказать равенство:
где гх и г2—взаимно перпендикулярные радиусы-векторы,
проведенные из центра эллипса.
220. Доказать равенство:
14 1 А I 1 п f1 11
где гр г2, ..., гп — радиусы-векторы из центра эллипса,
составляющие между собой углы —.
221. Найти уравнения диаметров эллипса х2 -|- 6у2 = 2, длина
которых равна 2.

239) § 4. кривые второго порядка 21
222. Доказать, что при проектировании взаимно
перпендикулярные диаметры круга переходят в сопряженные диаметры эллипса.
223. Пользуясь теоремой о том, что площадь проекции равна
площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между
плоскостью фигуры и плоскостью проекции, доказать теорему
Аполлония:
a^sin со = ab,
где ах и Ъх — длины сопряженных полудиаметров эллипса, а о> —
угол между ними.
224. Исходя из результата задачи 222, доказать другую теорему
Аполлония, в силу которой
226. Найти угол между равными сопряженными диаметрами
эллипса х2 -+- Зу2 = 6.
226. Найти длины сопряженных диаметров гиперболы х2—у2 = 1,
угол между которыми равен 45°.
227. Найти длины сопряженных диаметров эллипса х2-\- \Ъу2 = 5,
угол между которыми равен 150°.
228. Угол между сопряженными диаметрами эллипса равен 120°.
Один из них вдвое больше другого. Найти эксцентриситет.
229. Найти длины сопряженных диаметров эллипса -г + 3.у2= 1>
составляющих угол 150°.
230. Длины сопряженных диаметров эллипса 8л:2 + \1у2 = 136
относятся как 4: 3. Найти уравнения этих диаметров.
231. Сумма длин сопряженных диаметров 6, угол между ними
о
150°, а эксцентриситет £==_-. Найти оси эллипса.
о
232. Найти длины сопряженных.диаметров эллипса Зл;2-f-5^2 = 15,
составляющих наибольший угол.
233. Найти угол между сопряженными диаметрами гиперболы,
зная отношение их длин т и эксцентриситет е.
234. Найти угол между асимптотами гиперболы, зная, что
сопряженные диаметры ее образуют угол 45° и относятся, как 2 к 3.
235. Найти длины сопряженных диаметров гиперболы 9л:2 — \§у2 =
= 144, сумма которых относится к сумме осей, как 5 к 2.
236. Доказать, что уравнение Аххг -\- Вууг + С = 0 изображает
касательную к кривой Лл:2 -\- By2 -(- С = 0 в точке (xv уг).
237. Дан эллипс 4х2-\-у2 = 8 и прямая у-\-2х = 0. Провести
к эллипсу касательные, параллельные этой прямой, и найти
расстояние между касательными.
238. Через точку (2, —1) провести касательную к эллипсу
+ 92 9
239. Через точку (3, —6) провести касательную к гиперболе
292 зб

22 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [240
240. Через точку (1, —2) провести касательную к гиперболе
х*—у2=\.
241. Провести параллельно прямой 2х — 3j; = 0 касательные
к эллипсу л;2 + 4у2 = 4.
242. Параллельно прямой \0х-\-Зу = 0 провести касательные
к гиперболе 4л:2 — у2 = 4.
243. Найти касательные к гиперболе-^—*6"=1 B точках ее
пересечения с прямою Ъх = Ъу и расстояние между этими
касательными.
244. Даны: эллипс 7F-f-gg = 1 и гипербола -= ^-=1.
Проверить, что касательные к ним в точках пересечения взаимно
перпендикулярны.
JC2 У2 JC2 V2
245. Даны два эллипса: jg-+-^- = 1 и ш+з===1# Найти каса-
тельные к первому эллипсу, проходящие через фокусы второго.
Jt2 V2
246. Найти касательные к гиперболе у=— ^-=1, проходящие
через фокус сопряженной гиперболы.
JC2 V2
247. Найти угол между касательными к гиперболе -^ — ^-=1,
проведенными из точки (1, 2).
248. Доказать, что касательная к эллипсу ^ + р- = 1»
имеющая угловой коэффициент т, изображается уравнением
у = т х ± Va2m?-\-b2.
249. Доказать, что касательная к гиперболе ^ — ^=о, имею-
щая угловой коэффициент т9 изображается уравнением
у = тх dt V ° (ci2m2 — Ь2).
250. Доказать, что хорды, соединяющие точки пересечения
окружности х2-{-у2 = а2-\-Ь2 с осями координат, касаются эллипса
251. Показать, что эллипсы —+ -Т7=1 касаются прямых
zHzx±:y = ct если а2-\-Ь2 = с2.
252. Доказать, что геометрическое место точек, из которых
эллипс -2 + Т2 = 1 виден под прямым углом, есть окружность
253. Показать, что у гиперболы ^ — й'===^ произведение
расстояний фокусов от касательной равно Ъ2.

264] § 5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ В ОБЩЕМ ВИДЕ 23
§ 5. Кривые второго порядка, заданные уравнением
в общем виде
254. Определить вид линий, заданных уравнениями 2-го порядка:
a) xy = 0; d) (х — у? — Ъ(х—у) + 2 = 0;
b) х2 — у2 = 0; е) л;2 + у* = 0;
c)(x—y)2 = 0; f) ^ + у>+1=0.
265. Определить вид линий, заданных уравнениями 2-го порядка:
a) З*2 — 2ху-\-Ъу* — 2х-\- 2^+1=0;
b) х2-\-6ху-\-у*-{-6х+2у— 1=0;
c) х*+2ху-\-у*-\-2х — 2у— 1=0.
256. Определить k так, чтобы уравнение
= О
изображало пару пересекающихся прямых.
257. Определить k так, чтобы уравнение
Зл;2 — 2ху-\- Зу9 — 2л: + 2.у+ & = О
изображало точку.
258. Подобрать X так, чтобы уравнение
изображало пару прямых, и найти их.
259. В уравнении
подобрать коэффициенты X и jx так, чтобы уравнение изображало
пару параллельных прямых.
260. Найти уравнения асимптот кривой
2х2 — ху-\-Ъх—у—\ =0.
261. Показать, что уравнение
{ах-\- by-\- c)(axA:+ ftj/ + сг)-\- X = О,
где X Ф 0 и abt — atb Ф 0, изображает гиперболу с асимптотами
ax-\-by-\-c = 0, aix-{-b1y-\-c1 = 0.
262. Найти уравнение гиперболы, имеющей асимптотами прямые
х— 1=0 ну—1=0 и проходящей через точку (2, 2).
263. Доказать, (что при любом значении коэффициентов X и ^
кривая Х/1-|-(г/2 = 0 проходит через точки пересечения кривых
/1 = 0 и /2 = 0. Здесь fx и /2 — полиномы относительно х и у.
264. Пусть skl = 0 — уравнение прямой Ашх -\- Вму-\- Сы = О,
проходящей через точки k и I. Доказать, что при любых X и р,

24 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [265
уравнение
изображает линию 2-го порядка, проходящую через четыре данные
точки.
265. Найти уравнение линии 2-го порядка, проходящей через
точки (1, 1), (2, —1), (1, —2), (—1, 1), (3, 0).
266. Найти линию 2-го порядка по пяти ее точкам: (3, 1), (2, 1),
(—7, 1), (—2, 0), (О, 1).
267. Найти параболу, проходящую через четыре точки: (0, —1),
(О, 3), (—1, 0), (3, 0).
268. Найти линию 2-го порядка, проходящую через точку (1, 1)
и точки пересечения кривой х2— 2ху-\-2х— 2у—17 = 0 с
прямыми у = 0 и A;-f-2j/-|-3 = 0.
269. Через начало координат проведены хорды А В и CD
окружности х2-\-(у— h)2 = a2. Рассматривая пучок кривых 2-го порядка,
проходящих через концы хорд, доказать, что прямые AD и СВ,
а также BD и АС пересекают ось Ох на одинаковых расстояниях
от начала.
270. На кривой 2-го порядка взяты шесть точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Уравнения сторон полученного шестиугольника соответственно
обозначены следующим образом:
512 = 0, S23 = 0, Su = 0, S46 = 0, 5б6 = 0, S61=0.
При этих условиях и при любом выборе коэффициентов X и ja
кривая 3-го порядка
проходит через 6 данных точек и через 3 точки пересечения пар
противоположных сторон.
Исходя отсюда, доказать теорему Паскаля: в шестиугольнике,
вписанном в кривую 2-го порядка, три точки пересечения пар
противоположных сторон лежат на одной прямой.
§ 6. Центр, диаметры. Упрощение уравнений
кривых второго порядка
Полином Ах2 + Вху + Су2 -\- Dx -f- Ey + Л дополненный до однородного
введением степеней буквы г, обращается в тройничную квадратичную форму
f=f(x, у, г) = Ах2 + Вху + Су2 + Dxz + Eyz + Pz\
Частные производные его по х] у и z выражаются равенствами:
Значения их при z=\ обозначим через Ig^j , ygz) и (gj) . Определитель
из коэффициентов при х, у и z в формулах, выражающих частные производ-

274] § 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 25
ные, называется дискриминантом Д квадратичной формы трех переменных:
2А В D
В 2С Е
D E 2F
Его минор о:
2А В
В 2С
■ ААС— В2 есть дискриминант квадратичной формы
двух переменных Ах* + Вху + Су2. В теории квадратичных форм важно
тождество, которое можно назвать формулой Тэйлора:
Из этой формулы при ? = *, и)=у,С = г получается тождество Эйлера:
Другое следствие той же формулы выражается равенством:
В дальнейшем для краткости будем писать:
f(x,y, l) = Ax*+ Bxy + Cyt + Dx + Ey + F,
f (х, у, 0) = А*2 + Вху + Су\
271. Пусть (*, у) — середина хорды кривой /(*, у, 1) — 0,
a (x-\-\t, y-\-Tit) и (х—it, у — f\t) — концы хорды. Доказать, что
272. Доказать, что середины хорд кривой f(x, у, 1) = 0*
параллельных прямой у = -^-, лежат на прямой (-pj ^ + (j^) ^ = 0 или,
в полном виде:
(диаметр, сопряженный с данным направлением).
273. Показать, что при переносе начала координат в точку (5, т\)
уравнение f(x, у, 1) = 0 переходит в уравнение
274. При ААС — В2 ф 0 все диаметры проходят через точку (£, т|),
где пересекаются прямые (-~\ = 0, \^-\ = 0. Показать, что при
переносе начала в точку, выбранную таким образом, уравнение

26 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [275
f(x, yt 1) = 0 переходит в такое:
Здесь D? + Etq4-2F есть значение U-M при х = Ь, у = т\.
275. Перенести начало координат в центр кривой х2-\-ху-{-
-\-2x-\-y — 2 = 0 и составить новое уравнение кривой.
276. Упростить уравнение кривой
— 2у2 — 7х —
перенеся начало координат в центр.
277. Упростить уравнение линии
х2 — 2ху +у2 — Ах +.4у — 3 = 0,
перенеся начало координат в тот ее центр, абсцисса которого равна
единице.
278. Показать, что прямая 7х-\-у-\-6 = 0 проходит через
центры кривых
3*2 — 7ху — 6у2 + За: — 9у + 5 = 0
279. Найти оси симметрии эллипса
х2 + ху+у2 — х-\-у—1 =0.
280. Найти фокусы (относительно старых осей координат)
гиперболы
х2 — Qxy+y2 — 2x — 2j/ + 5==0-
281. Определить эксцентриситет линии
х2 — 4ху — 2у2-\-\0х + 4у = 0.
282. Упростить уравнение кривой х2 — ху-\~у2 — 5х -\-у — 2 = 0,
перенеся начало в центр, а затем повернув оси на
соответствующий угол.
283. То же для кривой х2-\- 6ду/+^2 + 8д; + 24у + 39 = 0.
284. Упростить уравнение параболы
х2— 2ху + у2 — 2х — 2у-\- 1 =0,
повернув оси так, чтобы новое уравнение не содержало xtyv и
перенеся затем начало так, чтобы в окончательном уравнении осталось
лишь два члена.
285. Доказать, что при 4АС—В2 = 0, Л>0 (так что можно
положить А = а2) имеет место тождество:
где oc = D — 2ah, $ = E — 2bh, у = F — h2.

2921 § б. центр, диаметры, упрощение уравнений 2-го порядка 27
286. Доказать, что в тождестве предыдущей задачи число h
можно выбрать так, чтобы прямые ax-{-by-\-h = 0 и ал; + (ty-f-
—j— т = 0 были взаимно перпендикулярны, если только числа D и Е
не пропорциональны числам а и Ь.
287. Упростить уравнение кривой
х*-{-2ху+у2 — 8*4-4 = 0
с помощью тождества:
подобрав h так, чтобы прямые алг + ^ + т = 0 и x-\-y-\-h — Q
были взаимно перпендикулярны. При этом формулы преобразования
координат имеют вид:
288. Тем же способом упростить уравнение параболы
16л:2 + 2Аху-\- 9у2 — 170лг + 31О.у— 465 = 0.
289. Упростить уравнение параболы
290. При данных А, В и С и соответственно подобранном
значении X справедливо тождество:
где а и р — вещественные или мнимые коэффициенты. Доказать,
что такими значениями X являются корни уравнения
4X2 —4(Л + QX+4AC—Б2 = 0.
291. Уравнение Ах2-{-Вху + Су2 + Dx + Ey-\-F = 0
изображает пару прямых, вещественных или мнимых, тогда и только тогда,
если дискриминант А равен нулю. Пользуясь этим, доказать, что
при любых преобразованиях координат величина Д не изменяется.
292. Пользуясь инвариантностью величин Л-f-C, 4АС — В2 и
дискриминанта Д, доказать, что при 4АС—В2Ф0 уравнение
после упрощения приводится к виду:
Здесь \ и Xg — корни уравнения X2 — 2(Л + С)Х-|-4ЛС—£2 =

28 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [293
293. Доказать, что уравнение Ах2 -+- Вху + Су2 -f- Dx -\- Ey -{-
-f F = 0 при 4ЛС — £2 = 0 и Д=£ О можно привести к виду
х\ = zfc i/" ~A
Привести к простейшему виду уравнения следующих линий:
294. 5л;2 + 4ху + 8у2 — 32л: — 56^-f 80 = 0.
295. 5х2 + 8ху + 5у2— 18л:— 18^4-9 = 0.
296. 5л:2 + 6ху + 5.у2— 16л:— 16^;— 16 = 0.
297. 8л:2 —4л:.у + 5.у2 + 4л:—10у = 319.
298. 6*у+8у2— 12л: — 26у + 11=0.
299. 7х2+\Ьху — 2Ъу2— 14л:— \Ьу — 218 = 0.
ЗСО. 7л:2+24л:.у+38л:Н-24у-|-175 =0.
301. *2_ 8*у+ 7у*+ 6* — 6у + 9 = о.
302. 9л:2 + 24л:;; + 163;2 — 40л: + 30;; = 0.
303. 2л:2— 72л:.у + 23.у2+68л:+26J/+28 = 0.
§ 7. Сопряженные диаметры. Оси симметрии.
Асимптоты
304. Найти уравнение гиперболы, проходящей через точки* (1, 1),
(2, 1), (—1,—2) и имеющей асимптоту х-\~у—1=0.
305. Найти равнобочную гиперболу, зная ее асимптоту х—у-\-
—j— 1 = 0 и точки гиперболы (1, 1), (2, 1).
306. Составить общее уравнение равнобочных гипербол с центром
в точке (af b)~
307. Парабола проходит через точки (0, 0) и (0, 1), а прямая
х-\-у-\-\ =0—ее ось. Найти параболу.
308. Точки (0, 1), (0,— 1), (1, 1) — на параболе. Ее ось параллельна
прямой у = х. Найти параболу.
309. Парабола касается оси Оу в начале координат. Прямая
л:—|—_уЧ~ 1 = 0 — касательная к вершине. Найти параболу.
310. Прямая х-\-у-\-1 —0 — ось кривой 2-го порядка, а точки
(0, 0), (1, —1), (2, 1) лежат на кривой. Найти уравнение кривой.
311. Доказать, что у кривой
р {у\ = 0иах-{-$у-\-*( = 0 — сопряженные диаметры,
если а§ Ф ab.
312. Доказать, что у параболы
прямая ах-{-$у-\-f = 0 — касательная, а ах-{-Ьу-\-с = 0 —
диаметр, сопряженный с ее направлением. При этом подразумевается,
что а$ Ф ab.

329 1 § 8. фокусы и директрисы 29
313. Найти линию 2-го порядка, у которой прямые х—2у—1 = О
и 2х— у-\- 1 =0—сопряженные диаметры и на которой лежат точки
(1,0) и (0, 1).
314. Парабола проходит через точку (0, 0), прямая х-\-у—
-— 1=0 — диаметр параболы, а х-\-2у — 1=0 — касательная,
сопряженная с ним. Найти параболу.
315. Прямая х-\-у-\- 1 =0 — касательная, а х—j/-|-l=0—
сопряженный с ней диаметр параболы с параметром ]Л2. Найти
параболу.
316. Прямые х-\-у— 1 =0 и х—у-\- 1 =0 — сопряженные
диаметры эллипса с полуосями 2 и 1. Найти эллипс.
317. Прямые х-\-2у — 4 = 0 и х—3^ + 2=0— сопряженные
диаметры эллипса с полуосями У 2 и -~—. Найти уравнение эллипса.
318. Доказать, что отрезки любой прямой, заключенные между
гиперболой и ее асимптотами, равны между собой.
§ 8. Фокусы и директрисы
319. Найти фокус и директрису параболы
х2— 2ху-\-у2— 6л;— 2j/+9 = 0.
320. Найти фокусы и директрисы кривой
Зх2— 4ху— 2л; + 4у — 5 = 0.
321. Найти фокусы и директрисы кривой
Sx2-lr4xy-lr5y2-i-8x— 16j/— 16 = 0.
322. Кривая 2-го порядка проходит через начало координат,
ее фокус — в точке (—1, 1), а соответствующая директриса имеет
уравнение х-\-у — 2 = 0. Найти кривую.
323. Найти эллипс, проходящий через точку (4, 2) и имеющий
фокусы в точках (4, 3) и (0, — 1).
324:. Найти эллипс с фокусами в точках (1, 2), (2, 1), проходящий
через точку (5, 5).
325. Найти равнобочную гиперболу по директрисе х-\-у— 1=0
и фокусу (1, 1).
326. Найти параболу по ее точкам (1, 1), (1, 2) и директрисе
х+у— 1=0.
327. Кривая 2-го порядка проходит через точку (0, — 1),
имеет центром (1, 1), а директрисой прямую х-\-2y-\- 1 =0. Найти
кривую.
328. Найти кривую 2-го порядка по ее точкам (0, 1), (1, 0), (0, 2)
и фокусу (1, 1).
329. Найти кривую 2-го порядка по директрисе лг-f-^y-j- 1 =0,
оси у = х и точкам (0, 0) и (1, в)

30 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [330
330. Найти кривую 2-го порядка по точкам (4, 5), (—3, 4),
фокусу (1, 1) и оси симметрии х-\-у—2=0ч.
331. Найти параболу по ее вершине (0, 0) и фокусу (1, 1).
332. Найти гиперболу по асимптотам х-\-у—1=0, х — у-\-
+ 1=0 и фокусу (0, 2).
333. Найти геометрическое место фокусов парабол, проходящих
через точку (1, — 1) и имеющих директрисой прямую х-\-у-{- 1=0.
334:. Найти геометрическое место вершин парабол, проходящих
через данную точку и имеющих данную директрису.
335. Найти геометрическое место центров равнобочных
гипербол, проходящих через точку (0, 0) и имеющих директрисой
прямую х-\-у-\- 1 =0.
336. Каково геометрическое место фокусов кривых 2-го порядка,
вписанных в данный параллелограмм?
§ 9. Касательные к кривым второго порядка.
Полюсы и поляры
Если точка (хьу^ лежит на кривой 2-го порядка
Ах* + Вху + Су* -j- Dx + Е у + F = О,
то уравнение касательной к кривой в этой точке можно написать в любой
из двух форм:
Если же точка (xlt yt) не лежит на кривой, то те же уравнения
изображают некоторую прямую, называемую полярой точки (хь ух). Сама точка
(хь yi) называется полюсом этой поляры.
337. Найти уравнение касательной в начале координат к кривой
5х2 + 7ху 4- У2 — х + 2у = 0.
338. Найти касательную к кривой х2—ху — у2—2х + 2у +
-|— 1 == 0, параллельную прямой 2х-\-2у— 1 = 0.
339. Найти уравнения касательных к эллипсу х2-{~ху-\-у2 = 3,
параллельных осям координат.
340. Найти уравнение касательной к кривой Ъх2 -f- 4xy -j- 5y2 —
— 7х — 8у 3 = 0, проходящей через точку (2, 1).
341. Через точку (4, —2) провести касательную к кривой х2 —
— ху — у2 — 2x-f2y+ 1=0.
342. Доказать теорему: если полюс движется по прямой, то
поляра вращается вокруг некоторой точки.
343. Доказать теорему: если поляра точки М проходит через
точку N, то поляра точки N проходит через точку М.
344. Доказать теорему Брианшона: диагонали, соединяющие
противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой
2-го порядка, пересекаются в одной точке.

360] § W. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 31
345. Доказать, что кривая 2-го порядка определяется своими
пятью касательными.
346. Доказать, что полюсы касательных к некоторой кривой
2-го порядка, взятые относительно данной кривой 2-го порядка,
лежат на кривой 2-го порядка.
347. Найти геометрическое место полюсов касательных к
окружности радиуса R относительно концентрической окружности
радиуса г.
348. Если одна из сторон обращается в нуль или две стороны
служат продолжением одна другой, то шестиугольник обращается
в пятиугольник. Во что переходят при этом теоремы Паскаля
(задача 270) и Брианшона (задача 344)?
349. Такой же вопрос — для дальнейших случаев вырождения,
когда шестиугольник переходит в четырехугольник или треугольник.
§ 10. Разные задачи
350. Доказать, что площадь, заключенная между касательной
к гиперболе и ее асимптотами, имеет постоянную величину.
351. Доказать, что произведение отрезков секущей между
асимптотами и точкой на гиперболе равно квадрату полудиаметра,
параллельного секущей.
352. Доказать, что у гиперболы точка касания делит пополам
отрезок касательной между асимптотами.
353. Найти уравнение кривой 2-го порядка по ее фокусу (0, 0)
и трем касательным: х—у—1=0, 2х—у—1=0, х-\-у—
— 1=0.
354. Найти параболу по точке на ней (5, 0), фокусу (3, 2)
и касательной х — Ъу — 7 = 0.
355. Найти гиперболу по ее центру (1, 1), фокусу (3, 3) и
касательной х-\-2у — 7=0.
356. Найти геометрическое место точек касания касательных,
проведенных из начала координат к параболе [(х — а)2-\-у2 —
— Ь2](1-\-т2)— (у — тх)2 = 0, где т — переменный параметр.
357. Найти геометрическое место проекций фокуса на
касательные к кривой -g-Hz-J = l.
358. Найти точку пересечения поляр точек, расположенных на
директрисе.
359. Если а и Ъ — длины двух взаимно перпендикулярных
касательных к параболе у2 = 4х, то a4b4 = (a2 -\- b2f. Доказать.
360. Найти геометрическое место точек касания для касательных
х2 v2
Данного направления к софокусным кривым —2 , ,-\- b2xh = 1>
h — переменный параметр.

32 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [361
361. Равнобочная гипербола проходит через начало координат
и имеет асимптоту х-\-у-{-1 =0. Найти геометрическое место
точек пересечения второй асимптоты с касательной в начале
координат.
362. Равнобочные гиперболы проходят через точку (1,0) и
касаются оси Оу в точке (0, 1). Найти геометрическое место
центров.
363. Каково геометрическое место вершин равнобочных
гипербол, проходящих через данную точку и имеющих данную
асимптоту?
364:. Каково геометрическое место точек, из которых можно
провести к данной параболе две нормали, составляющие между
собой прямой угол?
365. Даны параболы у2 — 2рх и у2=-2р(х— а). Доказать, что
хорды первой, касающиеся второй, делятся пополам точкой касания.
366. Две параболы имеют общую ось симметрии. Две прямые
параллельны оси симметрии, Через точки их пересечения с
параболами проводятся хорды. Доказать, что точки пересечения этих
хорд лежат на одной прямой, какие бы пары параллельных прямых
ни были взяты.
367. Каково геометрическое место вершин парабол с данными
фокусом и касательной?
368. Доказать, что круг, описанный около треугольника,
составленного из трех касательных к параболе, проходит через фокус.
369. Доказать, что равнобочная гипербола, описанная около
треугольника, проходит через точку пересечения его высот.
370. Каково геометрическое место фокусов парабол с данными
вершиной и касательной?
371. Из точки вне параболы можно провести три нормали к ней.
Доказать, что вершина параболы и три основания нормалей лежат
на одной окружности.
372. Даны кривая Ах2 + By2-{-С = 0 и точка М(а, Ь). Около
точки М, как центра, описываются окружности. Найти
геометрическое место середин хорд, общих этим окружностям и данной
кривой.
373. Дан четырехугольник ABCD. Каково геометрическое место
таких точек М, что сумма площадей треугольников АМВ и CMD
равна сумме площадей треугольников ВМС и DMA?
374г. С помощью результата предыдущей задачи доказать
теорему Ньютона: в описанном около круга четырехугольнике
середины диагоналей и центр этого круга лежат на одной прямой.
375. Прямой угол, вершина которого М находится на кривой
2-го порядка, вращается около вершины, а Л и В — точки
пересечения его сторон с кривой, отличные от М.
Доказать, что прямая АВ вращается около точки,
расположенной на нормали к кривой в точке М.

3331 § 10. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 33
376. Около точки А внутри данного круга вращается прямой
угол. В точках пересечения его сторон с окружностью проводятся
касательные к кругу. Найти геометрическое место точек
пересечения этих касательных.
377. Переменный круг касается эллипса в данной точке. Каково
геометрическое место точек пересечения общих касательных?
378. Фокусы эллипса соединяются радиусами-векторами с
переменной точкой эллипса. Каково геометрическое место центров
кругов, вписанных в треугольники, составленные из фокальной прямой
и радиусов-векторов?
379. Инверсия, или преобразование обратными
радиусами-векторами, состоит в том, что переменную точку М заменяют другой
точкой Mv лежащей на прямой ОМ так, что ОМ • ОМг = а2.
Здесь О — данная точка, а — данная величина. Доказать, что при
инверсии линия А(х2-\-y2)-\-Bx~\-Cy-\-D = 0 переходит в линию
Al(x2-\-y2)-]-Blx-\-Cly-\-Dl = 01 т. е. круги или прямые
переходят в круги или прямые (не обязательно соответственно).
380. Доказать, что инверсией относительно начала координат
гипербола х2—у2 = а2 переводится в лемнискату Бернулли:
381. Доказать, что инверсия эллипса -^jf + ijr == * относительно
начала координат с радиусом инверсии, равным Yab, дает кривую
(*2 + У2)2 = Ь2х2 + а2у2.
382. Гипербола, конгруэнтная гиперболе -^ -^- = 1, где а > ft,
вписана в угол между осями координат и скользит по ним.
Доказать, что ее центр движется по окружности х2-\-у2 = а2 — Ь2.
383. Эллипс с полуосями а и Ъ касается осей координат и
скользит по ним. Доказать, что его центр движется по окружности
2
3 Зак. 2666, Сборник задач, I

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторы и координаты в пространстве
Орты прямоугольных осей OX, OY, OZ большей частью обозначают
соответственно i, j, k
384. Проекции вектора на оси Ox, Oy, Oz равны (1, —4, 8).
Найти длину вектора и косинусы его углов с осями.
385. Найти сумму векторов a + b + с, если а = 5i + 7 j+~8k,
b = 3i — 4j-|-6k; c= — 6i — 9j—5k, и длину этого вектора.
386. Вычислить скалярное произведение а • Ь, если а = 21 +
+ 3j + 4k, b = 3i + j — 3k.
387. Вычислить векторное произведение а X b векторов
предыдущей задачи.
388. Проверить тождества:
(а -Ь) X(а + Ь) = 2аХЬ; (а X Ь)2Н~(а • Ь)2 = а2. Ь2.
389. Из последнего тождества предыдущей задачи получить
тождество Лагранжа
(я2 + Ъ\ + el) (а| + Ъ\ + с\) — (ata2 + Ъфг + c,c2f = (atb2 — a2b,f +
+ (btc2 — Vi)2 + (cxa2 — c^f.
390. Показать, что если a + b + c = 0, то аХЬ = ЬХс =
-сХа.
391. Найти угол между векторами i + 2j-|-2k и —i+j + 4k.
392. Найти угол между биссектрисами углов хОу и xOz.
393. В треугольнике ABC найги величину стороны АВ и
угол ВАС, если известны координаты вершин: Л (2, —3, 1),
В (4, 11, 6), С (4, —4, 3).
394. Воспользовавшись формулой для вычисления векторного
произведения, найти площадь треугольника ABC, зная координаты
вершин А(— 2, 1, 3), В{2, — 1, 7), С(11, 2, —5).
395. Найти проекцию вектора АВ на направление CD, если
известны точки Л(1, — 2, 3), В(4, —4, — 3), С(2, 4, 3), D(8, 6, 6).
396. Проверить, что векторы 7i+6j — 6k и 6i + 2j + 9k могут
быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро куба.
397. Вычислить смешанное (векторно-скалярное) произведение
(аХЬ)-с, если a=-i + 3j — k, b = 3i + 2j, с = 2i— j + 3k.

412] § 1. векторы и координаты в пространстве 35
398. Вычислить следующие двойные векторные произведения
трех векторов предыдущей задачи: а X (Ь X с) и (а X Ь) X с
399. Вычислить объем тетраэдра ABCD, зная координаты его
вершин Л (2, 1, 5), В (4, 0, 8), С (6, — 2, 6), D(5, 0, 3).
400. Вычислить высоту тетраэдра ABCD предыдущей задачи,
опущенную из точки D.
401. Определить плечо вектора АВ относительно точки С, т. е.
длину перпендикуляра из точки С на прямую АВ, Известны
положения точек Л(2, 0, 3), £(4, 6, 0) С(1, —3, 8).
402. Проверить тождество а Х(Ь X с) + Ь Х(с X а) +
+ сХ(аХЬ) = 0.
403. Доказать формулу: (а ХЬ) • (с X d) = | J'^j *' J .
404. При каком значении т векторы a = i+j + //tk; b=j;
с = 3i —|—к компланарны и, значит, (аХЬ)-с = 0.
405. Решить предыдущую задачу, исходя из соображения, что
при компланарности а, Ь, с имеется равенство а = ХЬ + [хс, где
\ и [л—скалярные множители.
406. Три вектора а*? Ь*, с* называются взаимными с тремя
некомпланарными векторами а, Ь, с, если А а* = b X с, А Ь* = с X а>
д с* = а X Ь, где А = (а X Ь) • с
Доказать, что вектор х, определяемый из системы уравнений
х-а = /я, х-Ь = /г, х-с—р, где а, Ь, с и т, п, р заданы и
А Ф 0 имеет вид х = /яа* + /гЬ* + /?с*.
407. Представить в векторном виде решение обыкновенной
системы 2xt— хг-\- хг = т, х1— Зх2— 2лт3 = /г, 3xi---x2 — хг=р.
408. Проверить, что все векторы х, удовлетворяющие
уравнению х- а = /тг, могут быть даны в таком виде: х = т^2а + аХс,
где с — совершенно произвольный вектор.
409. Проверить, что по векторному уравнению хХа = Ь
возможно найти х только, если а и b взаимно перпендикулярны, и
а. X b
в этом случае х = |2 -\-па, где п — произвольный скалярный
множитель.
410. Если заданы векторы а и Ь, причем а перпендикулярен Ь,
то из двух векторных уравнений х-а = /я и хХа = Ь вектор х
определяется однозначно. Проверить это и найти х.
411. Определить вектор х из системы х • i = 3, х X i=—2k.
412. Если трехгранный угол пересечь сферой единичного
радиуса с центром в вершине трехгранного угла, то на поверхности
сферы в пересечении получится сферический треугольник. Его стороны
а, р, т измеряют плоские углы трехгранного угла, а его углы Л,
В, С измеряют двугранные углы трехгранного угла.
Расположив орты ребер: 1) в! по оси Oz, 2) е2 в плоскости xOz
под углом % к оси Z, 3) е3 в некоторой меридиональной плодкости
3*

36
П. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[413
и сосчитав двояко
тригонометрии
е2• е3, получить теорему косинусов сферической
cos y = cos a cos р -f- sin а sin р cos С.
413. При таком же расположении ортов вычислить (et X е2) • е3.
Циклически переставляя орты, получить теорему синусов сфериче-
sin a sin В sin y
ской тригонометрии __ =-j-g. =-^.
414:. Если три орта составляют между собой углы а, р, y, to
объем параллелепипеда, построенного на них (синус Штаудта), равен
Y1 — cos2 а — cos2 р — cos2 y -f- 2 cos a cos p cos y. Проверить.
415. Найти объем параллелепипеда, ребра которого имеют
длины 2, 3, 4, а плоские углы трехгранного угла 120°, 150°, 60°.
416. Проверить, что если а и b — любые два непараллельных
вектора, то векторы
а
"пи
аХЬ
(аХЬ) Ха
|аХЬ|
взаимно перпендикулярными ортами,
сительно данных векторов.
417. Даны орты et и е2. Найти
являются тремя
' |(аХЬ)Ха|
Найти их расположение отно-
орт, лежащий в плоскости ех
и е2 и образующий угол 0 с вектором et
418. Найти орт, лежащий в плоскости векторов rt = + j +
+ 3k и r2 = 6i — 2j -Ц- 3k между ними и составляющий угол 45° с rt.
419. Вектор ОМ = г повернуть на угол ш вокруг оси,
имеющей направление орта е и проходящей через точку О.
420. Повернуть вектор ОМ = 2i+j + 2k около биссектрисы
угла хОу на 60°.
421. Доказать равенство:
а— 1
^о,
«2 Р2 Т2— 1
где буквами а, р, y обозначены косинусы углов между старыми
и новыми осями.
422. Косинусы углов между новыми и прежними осями даны
таблицей:
X
У
2
3
11
15
2
15
У\
1
~~~3
2
15
14
15
*i
2
3
10
15
1

4421 § 2. плоскость 37
Доказать, что у точек, для которых x:y:z = 4: — 2: 1, новые
координаты равны старым.
§ 2. Плоскость
423. Найти плоскость, образующую на осях координат отрезки
2, —3,4.
424. Найти отрезки на осях, образуемые плоскостью х -\-2у—
З + 6 0
425. Найти плоскость, проходящую через точку (2, 1,—1) и
образующую на осях Ох и Oz отрезки, равные соответственно 2 и 1.
426. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (0,0,0),
(2, 1, 1) и (3, —2, 3).
427. Найти уравнения граней тетраэдра с вершинами в точках
(1, 1, 1), (—1, 1, 1), (1,-1, 1), (1, 1,-1).
428. Найти углы, образованные перпендикуляром к плоскости
х—2y-\-z—1=0 с осями координат.
429. Найти косинусы углов, образованных плоскостью 2х —
— 2y-\-z — 5 = 0 с координатными плоскостями.
430. Найти синусы углов, образованных плоскостью 6л: — 2у —
— 3z — 6 = 0 с осями координат.
431. Найти двугранный угол между плоскостями 2х-\-у — 2z —
— 4 = 0 и Зх4-6у —2г—12 = 0.
432. Найти линейный угол того двугранного угла между
плоскостями х—y-\-z—1=0 и 2х — з/ + 2+2 = 0, в котором лежит
начало координат.
433. Через точку (1, —1, 1) провести плоскость,
перпендикулярную к плоскостям х—y-{-z—1=0 и 2x-\-y-\-z-\-\=Q.
434. Через точку (0, 1, 2) провести плоскость перпендикулярно
к плоскости х-\-2у — z = 0 и к плоскости хОу.
435. Через точки (1, 1, 1) и (2, 2, 2) провести плоскость,
перпендикулярную к плоскости х-*гу — z = 0.
436. Лежат ли точки (2, 1, 1) и (2, 1, 3) по одну сторону от
плоскости х-{-2у— z — 2=0?
437. Найти объем тетраэдра по уравнениям его граней: х-\-у-\-
+ 2— 1=0, х—у—1=0, x — z—\=0, z — 2 = 0.
438. Найти геометрическое место точек (х, у, z) таких, что объем
тетраэдра с вершинами(х,y,z)t (1, 2, 1), (—1, 1, 1), (2, 1, 1) равен 10.
439. Найти расстояние точки (2, 1, 1) от плоскости х-\-у — 2-f-
+ 1^0.
440. Найти расстояние между параллельными плоскостями * — 2у -f-
-\-z— 1=0 и 2jc — 4y-1r2z—l=0.
441f Найти плоскость, равноудаленную от плоскостей
— 2<г--1=0 и х+у — 2г+3 = 0.
443, На оси Oz найти точку, равноудаленную от
+9 — 20*— 19 = 0 и 16#—12^+16* — 9»0,

38 П. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [443
443. Найти геометрическое место точек на плоскости xOz,
равноудаленных от плоскостей 2х-\-у — 22 = 3 и Зл; + \2у— 42 = 26.
444. На линии пересечения плоскостей x-\-y-\-z — 2 = 0 и
jt+ 2j — 2—1=0 найти точку, равноудаленную от плоскостей
x^r2y + z+l=0 и х+2у + г — 3 = 0.
445. Найти плоскость, делящую пополам тот двугранный угол
между плоскостями х-\-2у — z—1=0 и x-\-2y-^z-\- 1 =0, в
котором лежит точка (1, — 1, 1).
446. Найти плоскость, в два раза более удаленную от плоскости
х-\-у — 2+1=0, чем от плоскости х-\-у — z—1=0, и не
расположенную между ними.
447. Найти плоскость, расположенную между плоскостями х—2у +
_}_£ — 2 = 0 и х — 2y-\-z — 6 = 0 и делящую расстояние между
ними в отношении 1 :3.
448. Найти точку пересечения плоскостей: x-\-y-\-z — 6 = 0,
2x—y-\-z — S = 0, х-\-2у — z — 2 = 0.
449. Доказать, что плоскости x~\-y-\-2z — 4 = 0, х-\-2у—z —
— 2 = 0, 2х—у — 2 = 0, x-\-y-\-z — 3 = 0 пересекаются водной
точке.
460. Через точку пересечения плоскостей 2х-\-у — 2—2 = 0,
х — 3.у+2+1=0, at + ^v + 2 — 3 = 0 провести плоскость,
параллельную плоскости * + j/+22 = 0, не находя точки
пересечения,
451. Проверив, что плоскости х — 2^+22 — 7 = 0, 2х—у —
— 22+ 1 = 0, 2x-{-2y-\-z—2 = 0 взаимно перпендикулярны,
принять их за новые плоскости координат, приписав новым осям такие
направления, чтобы новые координаты прежнего начала были
положительны. Составить формулы перехода.
452. Найти общий вид уравнений плоскостей, пересекающих
призму, образованную плоскостями лг = О, j/ = 0, x-\-y—1=0,
по равностороннему треугольнику.
453. В уравнении x-\-y-\-\z = 0 определить X так, чтобы через
Ох можно было провести только одну плоскость, составляющую
угол 330° с плоскостью x-\-y-\-\z = Q.
454. Определить X так, чтобы плоскости х—y-\-z — 0, Ъх —
—у — 2+2 = 0, Ах—у—22 + Х=0 пересекались по прямой.
455. Доказать, что плоскости, проходящие через середины ребер
тетраэдра перпендикулярно этим ребрам, пересекаются в одной
точке.
456. Доказать, что плоскости, делящие пополам двугранные углы
тетраэдра, пересекаются в одной точке.
457. Через точку (1, 4, 1) провести плоскость, касающуюся
парабол j/ = 0, z* = 8x и 2=0, у2 = 32х.
458. В уравнении плоскости Ах: + By + C2 + D = 0 все
коэффициенты отличны от нуля. Доказать, что плоскость проходит
через семь координатных углов.

476] § 3. прямая в пространстве 39
§ 3. Прямая в пространстве
459. Найти плоскости, проектирующие прямую х—у-\- 2z-\- 3 = 0,
2х—у— z -j-l = 0 на плоскости координат.
460. Найти углы прямой За:— y-\-2z = 0, 6х — 3y-\-2z = 2
с осями координат.
461. Найти угол между прямыми
—1=0, tx—
\х— 2y-\-z+l=0 И [х—
462. Найти угол между прямыми
(x+y = Q, (y + z = 0,
\х—у = 2 И [у — z + 2 = 0.
463. Плоскость x-\-y-\-z = q пересекается плоскостями х = у
и Зх = у. Определить угол между этими линиями пересечения.
464. Прямая х-{-у — z = 0, y = xtga проектируется: 1) на
плоскость xOz и 2) на плоскость yOz. Определить угол между этими
проекциями.
465. Найти угол между прямой x-\-y-\-3z = 0, х — у — z = 0
и плоскостью х—у — z-\- 1=0.
466. Провести прямую через точки (1, 2, 1) и (2, 1, 3).
467. Провести прямую через точки (1, 2, 1) и (1, 2, 3).
4(58. Через точки Л(2, —1, 3) и Б(0, 2, —1) проведена
прямая. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью За:—y-^-z = 0.
469. Точки Л(2, 1, 1) и В(\, 2, 2) проектируются из начала
координат на плоскость x-\-y-\-z= 10. Найти координаты
проекций А' и В' и расстояние (Л7/?7! между этими точками.
470. Через точку (2, 1, 3) провести прямую, параллельную
плоскости x-\-y-\-z = a и пересекающую прямую х=у, y = 2z.
471. Через точку (1, 2, 1) прозести прямую, перпендикулярную
плоскости х-\-2у — z = 0.
472. Через точку (2, 1, 1) провести прямую, параллельную
плоскостям 2лг—j/-f-l=O, у—1=0.
473. Через точку (—1, 2, 1) провести прямую, параллельную
прямой х-{-у—2z—1=0, х-{-2у — z-{- 1=0.
474. Через точку (2, 1, 1) провести прямую, параллельную
плоскостям х—y-\-z-\-2 = 0t x-{-y-\-2z—1=0.
475. Через точку (2, 2, 1) провести плоскость,
перпендикулярную прямой х-\-2у — z-(-1=0, 2х-\-у — z = 0.
476. Через точку (1, 1, 2) провести плоскость, параллельную
прямым
дг-f 1 _ у— 1 _ г+1
2 1 2 И

40 П. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [477
477. Через точку (1, 2, 1) провести плоскость, параллельную
прямым
\x-\-2y — 2+1 =0, [2х—j/ + 2 = 0,
Г2дг-
\лг —
478. Через прямую 2х—y-\-z—1=0, х-\-у— 2 = 0 и точку
(2, 1, 1) провести плоскость.
479. Через прямую х—1=0, х-\-2у—z—1=0 провести
плоскость перпендикулярно к плоскости x-\-y-\-z = 0.
480. Найти проекцию прямой х—у—2 = 0, х — 5^y + 2=10
на плоскость x-\-2y-\-3z = 2 и определить угол, составляемый
этой проекцией с плоскостью хОу.
481. Через ось Oz провести плоскость, составляющую угол 60°
с плоскостью 2х-\-у — Ydz =7.
482. Через прямую х =y = z провести плоскость, составляющую
угол 45° с плоскостью х=у.
483. Прямая—т—=^—^— = — проектируется из точки (5, 5, 5)
на плоскость хОу. Найти уравнения проекции.
484. Через точку (1, 2, —1) провести прямую, пересекающую
jc— 1 y-fl г + 3 х — 2 у 2+3
обе прямые —~— = ■«— = —о— и —о— = т~ = —i •
Z. О о о 1 —I
485. Через прямую x-\-y-\-z = 0t 2x—^+32 = 0 провести
плоскость, параллельную прямой х = 2у = 32.
486. Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости
2 = 0 и проходящей через перпендикуляр, опущенный из точки
(1, — 1, 1) на прямую л: = 0, у — 2+ 1 =0.
487. Найти уравнение и длину высоты треугольника, высекаемого
на плоскости Зл:—y-\-4z — 12 = 0 координатными плоскостями;
высота опущена из вершины, лежащей на Oz.
488. Найти точку пересечения прямой X~Z = у~|" ■ = z\1 ■
с плоскостью х-{-у — 2+1=0.
489. Найти проекцию точки (2, 1,1)на плоскость a+j/+32+5=0.
490. Найти проекцию точки (2, 3, 1) на прямую x = t — 7,
y = 2t— 2, 2 = 3* —2.
491. Найти уравнения проекции прямой 2х—y-\-z—1=0,
х-{-у — 2+1=0 на плоскость х-\-2у — 2 = 0.
492. Найти отражение точки (—1, 2, 0) в плоскости х-\-2у —
0
493. Определить X так, чтобы прямые
х + \ у1 z
и —j—=="i—==Г пеРесекались-
494. Найти прямые, перпендикулярные прямой у — 2+1=0,
x~\-2z = 0 и лежащие в плоскости х+^ + 2+ 1=0.

506] § 3. прямая в пространстве 41
495. Через точку пересечения плоскости x-\-y-{-z = 2 и прямой
2у = х, z =—1 провести прямую, лежащую в данной плоскости
и перпендикулярную к данной прямой.
496. Найти уравнения и длину перпендикуляра, опущенного из
точки (0, —1, 1) на прямую у-\- 1 = 0, x-\-2z — 7 = 0.
497. Дана прямая x = 2y = 3z и точка (0, 0, 1). Из этой точки
опущен перпендикуляр на данную прямую, и сама данная прямая
и перпендикуляр, опущенный на нее, спроектированы на плоскость
xOz. Найти угол между проекциями.
498. Найти точку, симметричную точке (л:0, у0, z0) относительно
». х у г
прямой 7 = У-=~.
499. Найти плоскость, проходящую через начало координат и
через перпендикуляр, опущенный из точки (1, —1, 0) на прямую
x = z-\-3, у = —2z — 3.
500. Найти уравнения общего перпендикуляра к прямым
+ 4г+1=0, (
A:_4y-f9 = 0 И
501. Прямые x=y = z и —-.— = ——г— = „ и общий
перпендикуляр к ним спроектированы на плоскость хОу. Определить углы
между проекциями.
502. Найти плоскость, в которой лежат прямые
х— 1 _ у+1 _ 2-Х х—\ _ у + 1 _ z—\
1 —1 2 И —1 2 1 *
503. Найти плоскость, в которой лежат прямые
(2x-\-Sy — z—\ =0, Глг+5у+4г — 3 = 0,
{ 32: = 0 И \x-\-2y-\-2z—1=0.
504. Найти плоскость, в которой лежат прямые x = 2t—1,
505. Доказать, что расстояние точки М(х, у, z) до прямой, про-
|г X Р|
ходящей через точку A (a, bt с), можно выразить формулой d = ' f2 -.
где r = AMt a P — любой вектор, направленный по прямой.
506. Пользуясь предыдущим результатом, доказать, что
расстояние d точки М(х<, у«, zt) до прямой х~а = У~~ =z~~~c можно
выразить формулой

42
II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[507
507. Найти расстояние от точки (3, —1, 2) до прямой
2* — y + z — 4=0, x-{-y — z+\=0.
608. Доказать, что расстояние между двумя непараллельными
прямыми можно выразить формулой
л _ (**! X г2). г3
I rt X г21 '
где тг и г2 — какие-нибудь векторы, расположенные на данных
прямых, а г3 — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на
другой прямой.
609. Доказать, что длину d общего перпендикуляра к прямым
х — а у— b z — с
I тп п
х — at у— bt г — сх
1\ Шх Hi
можно представить формулой
— a bx — b ct — с
I m n
1Л mx nx
610. Найти расстояние между прямыми
Г х-\-у—z— 1=0, j х+2у-
\2х + у —z — 2 = 0 И U + 2yH
511. Найти расстояние между прямыми
x=y = z и л:—1=0, у — 2 = 0.
612. Доказать, что расстояние h между параллельными прямыми
z — 2 = 0,
г + 4 = 0.
можно выразить формулой
IrXPI
где г — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на
другой прямой, а Р — вектор, параллельный данным прямым.
513. Доказать, что расстояние между прямыми
— а у — Ь г —с
I m n
х — at у — Ьх г —
I m n
можно выразить формулой:
[m(ai-a)-/(b1-b)P+[n(b1-b)-m(ct-c)]^+[l(c1-c)-n(al-a)p
/* + m» + /ia

522] § 3. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 43
614. Найти расстояние между параллельными прямыми
, y = 2t—\t z = t и x = t-\-2, y = 2t—\, z =
515. Если векторы rt и г2 имеют равную длину и лежат на
данных пересекающихся прямых, то векторы r1ztr2 параллельны
биссектрисам углов между прямыми. Исходя из этого замечания, доказать,
что биссектрисы углов между прямыми
х — а у — b z — с х — а у — b z — с
I m n l\ nil ni
можно представить уравнениями
где
516. Найти биссектрисы углов между прямыми
х — 3 _у + 2 _ z—\ х — 3 _у + 2 _г—\
2""3""6 И 14 —5 2 *
517. Найти биссектрисы углов между прямыми
х— 1 у —2 г —3 х—1 у —2 г —3
3 8 1 И 4~~7 ~~~~~3~*
518. Провести биссектрисы углов между прямыми
£_— У. — *L и х —у — z
10"" 11 ~2 1 ""2 ""—2
и найти углы, на которые проекции биссектрис на плоскость xOz
делят проекции углов на ту же плоскость.
519. Найти прямые, пересекающие прямые
— z— 1=0, |2х—.y + s—1=0,
и параллельные плоскости ^
520. Найти прямые, пересекающие три прямые:
; = О, (х = 1, (у—1=0,
=0, U=0, U+l=0.
521. Доказать, что плоскости, проходящие через ребра
трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются
по прямой.
522. Три взаимно перпендикулярные прямые неподвижно связаны
с твердым телом. Сначала они были направлены по осям Ox, Oy, Oz,

44
II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[523
а затем расположились по осям Oxv Oyv Ozv Косинусы углов между
осями даются таблицей:
X
У
Z
ах
а2
<h
Ух
Ьх
*2
ь*
Z\
С\
С2
Доказать, что такое перемещение тела могло быть достигнуто
вращением около прямой, и найти эту прямую.
523. Координаты х, yt z переходят в координаты xv yv zx no
формулам:
9xt = 4x-\~7y — 4z,
9zx = Sx — 4y-\-z.
Затем по таким же формулам координаты х1$ yv zx переходят
в координаты лг2, у2> z2 и т. д. Доказать, что х4: = х, у±=у,
z4=z.
524. Координаты х, yt z переходят в координаты xv ylt zx по
формулам:
9^ = (5 cos cp -f 4) х + (— 4 cos cp + 3 sin
9_Ух =( — 4coscp— 3sin cp —|— 4) л:—|-(5cos cp
+ (— 2 cos cp + 6 sin cp + 2)z,
9zt = ( — 2cos cp-|-6 sin cp -\-2)x +(—2coscp — 6sincp-|-2)j/-J-
+ (8coscp+l)2r.
Затем по таким же формулам координаты х{1 yv zt переходят
в координаты л;2, у'2, z2 и т. д.
Доказать, что координаты хп, уп, zn выражаются через х, у, z
такими же формулами, как и xv yv zv только угол cp заменяется
на по.
§ 4. Образование поверхностей
625. Найти геометрическое место точек, удаленных от прямой
x=y = z на расстояние, равное—^.
526. Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных
от осей Ох и Оу.

541 ] § 4. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 45
527. Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных
от оси Ох и от прямой у = 2, z = 2.
528. Найти уравнение геометрического места прямых, образующих
с плоскостью хОу угол 45° и проходящих через точку (1,0, 0).
529. Прямая скользит по прямым л; = 0, у = 0 и jc=1, 2 = 0,
оставаясь параллельной плоскости x-\-y-\~z = 0. Найти
поверхность, образованную движением этой прямой.
530. Найти уравнение поверхности, образованной прямой,
которая скользит по прямым л; = 3— 2, у = 2 — 2z и х= —2, j/ =
= 32— 3, оставаясь параллельной плоскости 2х — 3j/-f-2-|- 12 = 0.
531. Прямая скользит по трем прямым:
= l, \у=1.
Найти уравнение образующейся поверхности.
532. Найти поверхность, получающуюся при скольжении прямой
по трем данным прямым:
х=—2z — 2, у=—z\ х=—2+1, у = 2\ x=y = z.
533. Найти геометрическое место прямых, проходящих через ось
Ох и параллельных прямой x=lt y = z.
534:. Составить уравнение цилиндрической поверхности,
образующие которой параллельны прямой 2х =—2y = z, а
направляющая задана уравнениями х-\-у — 2 = 0, 4у2 — 222-|-л;— 8у—
— 82 — 2 = 0.
535. Найти геометрическое место перпендикуляров, опущенных
из точки (0, 0, 1) на образующие конической поверхности
536. Найти уравнение цилиндрической поверхности, образующие
которой параллельны прямой x=y = z, а направляющая —
окружность Х2-\-у2= 1, 2 = 0.
537. Прямая, параллельная плоскости хОу, скользит по оси Oz
и по кривой х = г cos az, y = rs\naz. Найти уравнение получающейся
поверхности.
538. Прямая, параллельная плоскости .x; + j/-f-2 = 0, скользит
по оси Oz и по окружности x = b, y2-\-z2 = a2. Найти
получающуюся поверхность.
539. Найти поверхность, образуемую движением прямой,
пересекающей окружность 2 = 0, х2-\-у2=1 и прямые х—l=j/ = 2;
у = 0, х-\-1 =0.
540. Составить уравнение конической поверхности, вершина
которой в начале координат, а направляющая задана уравнениями 2=1,
\у
641. Доказать, что уравнение конической поверхности вращения,
у которой оси Oxt Oy, Oz — образующие, имеет вид:
ху -\- xz -\- yz = 0.

4G И. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [542
542. Найти коническую поверхность, вершина которой в точке
(1, 1, 1), а направляющая задана уравнениямиу2-\-х2 = 1,
643. Круглый диск параллелен плоскости yOz. Его центр —
в точке (1, 0, 2), а радиус равен единице. На оси Oz расположена
светящаяся точка так, что тень от диска на плоскости хОу имеет вид
параболы. Найти уравнение этой параболы.
544. Лампочка висит под центром круглого абажура, на 10 см
ниже его и в 50 см от стены. Радиус абажура 15 см. Найти
очертание тени на стене.
545. Диск с центром в (1, 0, 2) и радиусом единица освещен
источником света, расположенным на оси Oz так, что тень от диска
на плоскости хОу имеет вид равнобочной гиперболы. Найти точку,
в которой расположен источник света, если диск параллелен yOz.
546. Тот же вопрос, если тень имеет вид гиперболы с углом
4
между асимптотами, тангенс которого равен -«-.
о
547. Тот же вопрос для случая тени, имеющей вид эллипса, ось
о
которого, расположенная на оси Ох, равна -^.
о
548. Куб с центром в начале координат вращается около
диагонали длиной 2а, расположенной по оси Oz. Найти уравнение
поверхностей, получаемых при вращении ребер куба.
549. Ось вращения круглого цилиндра проходит через точку
(а, Ь, с) и параллельна вектору Р(/, т, п). Доказать, что
уравнение цилиндра имеет вид:
550. Доказать, что три линии: парабола х2+ 4у2 + 4ху— 6л; —
— 2j/+3 = 0, 2 = 0, гипербола х = 0, 4y2-\-4z2—Юуг — 2у +
+ 22+3 = 0 и эллипс у = 0, x2-\-4z*— 6л;+22+3 = 0
получаются при пересечении координатными плоскостями одной и той же
конической поверхности с вершиной в точке (1, 1, 1).
551. Два шара радиуса а касаются друг друга и плоскости хОу.
Найти геометрическое место центров шаров, касающихся данных
шаров и плоскости хОу, если центры данных шаров — в точках
(±а, 0, а).
552. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся
двух прямых: x = a-\-lt, y = b-\-mt, z = c-\-nt и x = al-\-llti
y = bl-\-mlt, z = cl-\-nlt.
553. Найти уравнение цилиндрической поверхности вращения,
имеющей образующими прямые x=y = z; y = x-\-l, z = x-\-2\
у = х — 2, z = x-\-l.
554. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся
прямых у = 0, z = a и х = 0, z= —а.

569] § 5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 47
§ 5. Поверхности второго порядка.
Центр и диаметральные плоскости
ббб. Найти общее уравнение поверхностей 2-го порядка,
пересекаемых плоскостью хОу по кривой 2рУ*^
+ +С О
у+
ббб. Найти поверхность 2-го порядка, на которой лежат
окружности
—1=0; z=\, х2-\-у* — 3 = 0;
— 5 = 0.
667. Через начало координат провести прямые асимптотического
нгправления для поверхности л;2 — 2у2— 4ху— lOxz — 4yz —10=0,
параллельные плоскости Ъх-\-у — 4z— 3 = 0.
558. Показать, что уравнению x*-\-y%-\-z2-\-2xz-\-2y-\- 1 =0
удовлетворяют только точки прямой x-\-z = Q, y-\-l=0.
669, Показать, что уравнению За:2-{-3y2-\-3z2-\-2xy-\-2xz —
— 2yz-\-2x — 2у — 22г-)-3 = 0 удовлетворяют координаты лишь
одной точки (—1, 1, 1).
560. Написать уравнение 2-го порядка, которому удовлетворяют
координаты точки (2, 1, 1).
661. Составить уравнение 2-го порядка, которому
удовлетворяют только координаты точек прямой 2x-\-2 = 3y = 2z.
662. Найти уравнение совокупности плоскостей х-\-2у — z-\-
-f 1=0 и х—j/ + 2+l=0.
663. Найти прямые, по которым поверхность конуса z2 — 2ху —
— 4х — 2y-\-2z—3 = 0 пересекается с плоскостью x-\-y-\-2z-{-
+ 5=0.
664:. Найти образующие поверхности х2-\-у2 — 22=1,
проходящие через точку (1, 1, 1).
666. Найти образующую поверхности х2—y2 = 2zt параллельную
плоскости x-\-y-\-z = 0.
666. Найти прямые, параллельные образующим двух
поверхностей:
567. Через точки (0, —2, 2) и (— 1,0, 0) провести плоскости,
пересекающие конус x2-\-y2 = z2 по параболам.
568. Через те же точки провести плоскости, пересекающие тот же
конус по эллипсам.
569. Преобразовать уравнение
— 2yz + 6xz + 2х — 6у — 2z = О,
перенеся начало координат в центр.

48 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [570
570. То же для поверхности
2а:2 -f 6у2 + 2z2 + Sxz — 4х — 83; + 3 = 0.
571. То же для поверхности 4xy-\~4xz— 4у— 4z—1=0.
572. Найти геометрическое место центров поверхностей jc2-f-
-\-у2 — z2-\-lxz-\-pyz — 2х — 2у — 2z = 0.
573. Из центра поверхности х2 -\- 4у2 — 40z2-\-4х — 83; — 16z —
— 12 = 0 провести прямые асимптотического направления.
574. Найти уравнение гиперболоида, проходящего через точку
(2, 1, 1), зная асимптотический конус этого гиперболоида
у
575. Доказать, что геометрическое место центров поверхностей
2-го порядка, проходящих через данный эллипс и через две точки,
симметричные относительно плоскости этого эллипса, есть
поверхность 2-го порядка.
576. Обозначая через s\^ левую часть уравнения плоскости,
проходящей через точки X, р. и v, доказать, что уравнение
при любом выборе коэффициентов А, В и С изображает поверхность
2-го порядка, проходящую через шесть данных точек, обозначенных
номерами 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Общее уравнение поверхностей 2-го порядка имеет вид:
Ах2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Pyz + Gx + Ну + Iz + AT= 0.
Для более удобного обзора и запоминания ряда пунктов теории
поверхностей 2-го порядка следует применять обозначения и сведения из теории
квадратичных форм. Полином в лезой части уравнения введением перемзн-
ного t можно превратить в квадратичную форму четырех переменных
Ф (х, у, z, t) или попросту Ф, где
Ф = Ах2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Pyz + Gxt + Hyt + Izi + Kf*.
При t=\ эта форма обращается в левую часть уравнения поверхности,
которое можно записать в таком виде: Ф(х, у, z, 1) = 0. При £ = 0 форма Ф
обращается в функцию трех переменных — тройничную квадратичную форму,
которую обозначим через f(x, у, z,) или, еще короче, через /. Таким
образом,
f(x, у, z) = Ах* + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Pyz.
Обозначая для симметрии х, у, z и t через хь х2, хъ, х± и вводя другие
обозначения для коэффициентов форм, можем написать еще:
4
2 aijXiXj = пПХ\
Ф = 2 ajXX = пХ\

576]
§ 5. поверхности второго порядка
49
Таким же образом имеем:
з
/= 2 aijxixj =s
il
При этом положено:
А = а1Ь В = «22, • • •. D = 2«12 = 2а7Ъ Е = 2а^ = 2а^
Частные производные функции Ф выражаются формулами:
"2 5F
При л14 = ^24
Д44 = 0 правые части обращаются в величины
1 d/ I df I ^/
2 А*! ' 2^2'
Определитель
Ai-
ап а12
«44
называется дискриминантом формы Ф.
Имеет значение тождество, которое можно назвать формулой Тэйлора:
Здесь
При этом, например,
дФ __ дФ (х, у, z, f) дФ _ дФ (6, Y), С, т)
дФ дФ . д'Ф . дФ
"Х+У +
дФ
Из формулы Тэйлора следует тождество Эйлера:
4 Зак. 2666. Сборник задач. I

50 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [577
677. Пользуясь формулой Тэйлора, доказать, что при переносе
начала координат в точку (£, т\, С) уравнение поверхности
<$>(xtytz, l) = 0 переходит в такое:
578. Если определитель А3 =
а12
#33
отличен от нуля,
дФ
то можно найти такие величины для £, ч\ и С, при которых -^- = 0,
дФ дФ
_- = 0, -^р==0. Доказать, что при переносе начала координат
в точку (?, Y], С) уравнение поверхности Ф(дг, у, z, 1) = 0 переходит
в такое:
Здесь у^г) — частная производная, взятая при t = 1. Указанный
перенос есть преобразование к центру.
579. Если(лг,yt z) — середина хорды поверхности Ф(х,у, zt 1)== 0,
a (x-\-lo, y-\^ma, z-\-na) и (х — /а, у—то, z — по)—ее концы,
то справедливо равенство:
, дФ , дФ . дФ л
1ж+т-д7+п-ш=0-
Доказать.
580. Доказать, что середины хорд поверхности Ф(х,у, zt 1) = 0,
параллельных вектору P(l,mtri)t лежат на плоскости
, дФ . дФ . дФ ~
/ + 'ге + Л 0
(Диаметральная плоскость, сопряженная с направлением вектора Р.)
581. Доказать, что для поверхности f(x, у, z)z£zk = Q
уравнение диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора
Р(/, т, п), можно написать в каждом из двух видов:
df(ltmtn) „ , df(l,m,n) <t , df(l,m,n) „ _n
582. Доказать, что для поверхности Ф(л:, у, z, 1) = 0 уравнение
диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора
Р(/, т, п), можно написать в таком виде:

593] § 6. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ 51
Здесь -—-, -^- и -р- — частные производные от /(/, т, п),
— значение величины дфУ>™>п>У При / = 0.
683. Найти диаметральную плоскость поверхности х2-\-2у2 —
— z2 — 2ху — 2yz + 2xz — 4х — 1 =0, сопряженную с
направлением вектора Р(1,— 1,0).
584. Найти диаметральную плоскость поверхности х2-\-2у2—
— z2 — 2ху — 2yz -f- 2xz — 4х — 1=0, параллельную плоскости
+ 0
y +
585. У той же поверхности найти диаметральную плоскость,
проходящую через точки (0, 0, 0) и (1, 1, 0).
586. Найти диаметральную плоскость поверхности x2-\-z2 —
— 2х—1=0, проходящую через точку (2, 1,0), а также
направление, с ней сопряженное.
587. Найти диаметральную плоскость поверхности 4х2-\-у2-\-
-f- z2 -\- Аху — 4xz — 2yz-+- x —у — 1=0, проходящую через
начало координат.
588. Найти уравнения диаметра поверхности 4х2 -\- 6у2 -f- Az2 -f-
+ 4xz -\-8y — 4z + 3 = 0, перпендикулярного к плоскости xOz.
589. Плоскость х = 0 есть диаметральная плоскость поверхности
xy = z. Найти хорды, с которыми она сопряжена.
590. Найти диаметральную плоскость, общую поверхностям
x2-\-y + z=0 и х2-{-у2 — 2x — 2y — 2z = 0.
591. Найти уравнение диаметра поверхности х2-\-2у2 — z2 —
— 2ху — 2yz -f- 2xz — 4х — 1 =0, соответствующего плоскости
x-{-y-\-z — 6 = 0.
592. Найти геометрическое место центров сечений поверхности
х2 + %У2 + 2z2 — 2ху — 2yz -\-2х — 2z — 1=0 плоскостями,
параллельными плоскости х—y-\-z = 0.
593. Зная диаметр y = z, x—1=0 поверхности х2-\-у2-{-
-\-z2 — 2yz — 2х—у-{-1=0, найти уравнения плоскостей, ему
соответствующих.
§ 6. Касательные плоскости и прямые к поверхностям
второго порядка
Уравнение касательной плоскости к поверхности 2-го порядка
Ф(-*, .У, г, 1) = 0 в точке (xv yv zt) может быть написано в каждой из двух
форм:
дФ дФ ^Ф ^
дФ . дФ . дФ , дФ
^ + У + ^ +
В первом из них производные взяты от Ф (х, у,г, t) и в них положено t=\,
во втором — от Ф (хъ yv zlf t) и в них положено t= h

52 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [594
Если в тех же уравнениях хь уь zx — координаты некоторой точки, не
обязательно лежащей на поверхности, то они изображают некоторую
плоскость, называемую полярной плоскостью для точки (хьуьгх).
Касательная прямая получается при пересечении касательной плоскости
с любой плоскостью, проходящей через точку касания.
Если М (х, у, г) — точка поверхности, то вектор N, проекции которого
дФ дФ дФ л
на оси координат равны величинам -х—, -^—, -^— при t= 1, направлен по
нормали к поверхности в точке М.
594. Доказать, что плоскость, касательная к эллипсоиду
х2 у2 г2
—2" Н—аз—I—г"=1 в точке (xi>yi>zi)> может быть представлена
уравнением
а2
*х\ , УУ\ « «Ч .,
а2 Г £2 "Г С2
JC2
595. Доказать, что плоскость, касающаяся гиперболоида —
. У2 &
' А2—^ =0 в точке (-^i»^!» zi)> имеет уравнение
УУ\ ггА
а2 "1" Ь2 С2
596. Доказать, что плоскость, касающаяся в точке (xv yv
jc2 v2
параболоида —±-^-=22, имеет уравнение
а2 — b2 '
597. Найти уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду
-у + т§-4--§-==: 1 и отсекающей на осях отрезки, отношение
которых а:Ь:с.
598. Такой же вопрос для гиперболоида -^- + "р "^===1#
599. На эллипсоиде -^г + -т5- + Дг= 1 найти точку так, чтобы
аА № с*
касательная плоскость в ней отсекала на осях координат отрезки
равной длины.
600. На касательной плоскости к эллипсоиду предыдущей задачи
плоскостями координат образован треугольник с центром тяжести
в точке касания. Найти координаты точки касания.
X2 V2
601. Доказать, что при а2-\-Ь2-\-с2 = /2 эллипсоид —^--f--p- +
г2
Н—2~=* вписан в октаэдр \х I + I^I + I^I =^«
602. Доказать, что все нормали к поверхности xy-\-xz-\-yz = Q
образуют одинаковый угол с прямой x=y = z.

615 I § 6. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ 53
603. Доказать то же для поверхности x2-\-y2-\-z2 = xy-\-xz -|-
604. На поверхности xy-\-xz-\-yz = 3 найти точку,
ближайшую к плоскости х-\г y-\-z = 0.
605. На поверхности х2-\-y2-\-z2-\-xy-\-xz-\-yz = 6 найти
наиболее высокую и наиболее низкую точки.
606. На гиперболическом параболоиде xy — z найти точки,
нормаль в которых составляет с Oz угол 45°.
607. На параболоиде х2—y2 = az проводится линия, во всех
точках которой нормаль к поверхности составляет с Oz постоянный
угол. Доказать, что проекция этой линии на хОу есть окружность
с центром в начале координат.
608. Доказать, что плоскость, касающаяся поверхности х2-\-у2-{-
-\-z2 =xy-\-xz-\-yz в'точке M(xlt y19 zt), содержит прямую,
проведенную из начала координат в точку М.
609. Плоскость, касательная к гиперболоиду х2-\-у2 — z2 = 1
в точке (1,0,0), пересекается с ним по двум прямым. Определить
угол между ними.
610. Тот же вопрос для параболоида х2 —у2 = z и точки (0, 0, 0).
611. Через прямую z = c]f3j j£_ = JL провести плоскость, каса-
а b
х2 v2 z2
тельную к эллипсоиду —--|--i--|-— = 1.
612. Конусы касаются эллипсоида предыдущей задачи по плоским
линиям, плоскости которых параллельны плоскости x-{-y-\-z = 0.
Доказать, что геометрическое место вершин конусов есть прямая
х = а% y = b2t, г = сЧ.
613. Доказать, что условием касания плоскости z = ах-\-фу-\-f
и поверхности Ах2 + By2 — 2Cz = 0 является равенство -г- -+-
614. Доказать, что плоскость, параллельная плоскости z = <хх -+- $У
Х% V2 Z2
и касающаяся эллипсоида —2~+-^-Ч—2~=£=^» имеет уравнение
z = ах + фу±Уа2<х2 + Ь2ф2 + с2 .
615. Доказать, что условие касания прямой х = а -\- It, у = b -\-mt>
z = c-\-nt и поверхности Ах2-\-By2 + Cz2 + D = 0 выражается
равенством
(Aal + Bbm + Cm)2 = (Л/2 + Вт2 + С/г2) (Аа2 + ВЬ2 + Сс2 + D).
Если при этом выполняются равенства
Aal + Bbm + Ccn = 0, Л/2 + Вт? + С/г2 = 0,
Ла2 + #£2 + Сс2 + D = 0,.
то прямая лежит на поверхности.

54 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 616
616. Прямая, параллельная вектору Р(/, т, n)f касается в точке
(xlt yv zj поверхности Ах2-\-By2-+-Cz2-\-D = Q. Доказать, что
Aix^ -f Втух 4- Cnz^ = 0.
617. Плоскость, перпендикулярная к вектору Р(/, mf /г), касается
поверхности Ах2 -\- By2 + Cz2-f- D = 0. Показать, что ее
уравнение имеет вид:
618. Плоскость, перпендикулярная к вектору Р(/, /я, /г), касается
поверхности Ax:2-f-£y2 + '2:===0- Показать, что ее уравнение имеет
вид:
1 ^ ' ААп '
ААп
619. Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных
трехгранных углов, касающихся гранями поверхности Ах2-\-Ву2-\-
-\-Cz2-\-D = 0, есть поверхность шара
предполагая, что правая часть положительна^
620. Доказать, что геометрическое место вершин
прямоугольных трехгранных углов, касающихся гранями поверхности
Ax2-{-By2-\-z = Qy есть плоскость ^ = —-{- —.
621. Эллипсоид с полуосями a, b и с скользит, касаясь трех
координатных плоскостей. Доказать, что расстояние его центра
от начала координат равно У а2 -\- Ь2 + с2 .
622. Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных
трехгранных углов, касающихся ребрами поверхности Ах2-\-Ву2-\-
-{-Cz2-\-D — 0, есть поверхность
А2х2 + В2у2 + C2z2 = (A -f- В -f С) (Ах2 + By2 + Cz2
623. Прямоугольный трехгранный угол скользит, касаясь
ребрами поверхности Ax2-\-By2-\-2z = 0. Доказать, что его вершина
движется по поверхности
624. Найти минимальные размеры ящика со стенками,
параллельными плоскостям координат, в который может быть вложен
эллипсоид
625. Шар x2-\-y2-{-z2 = 2z освещен пучком лучей, параллель
ных прямой х =y = z. Найти форму тени на плоскости хОу.

635] § 7. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 55
626. Найти тень от эллипсоида (х-{-у-\-z)2-\- x2-\-y2-\-z2 = а2
на плоскости x-{-y-{-z = 0, если лучи перпендикулярны к этой
плоскости.
627. Параболоид xy = z проектируется на плоскость хОу лучами,
параллельными прямой х =у ==z. Найти форму тени.
628. Точки касания плоскостей с поверхностью 2-го порядка
расположены на линии пересечения ее с плоскостью, проходящей
через центр. Доказать, что касательные плоскости параллельны
одной и той же прямой.
629. Около эллипсоида -^§" + -|г + "V = * > гДе я> ^ >• £> а> с>
можно описать цилиндр с круговым поперечным сечением. Найти
уравнение цилиндра.
630. Доказать, что при движении точек по некоторой плоскости
полярная плоскость точки относительно данной поверхности 2-го
порядка вращается около соответствующей точки.
631. Доказать, что при движении точки по прямой ее полярная
плоскость вращается вокруг соответствующей прямой.
632. Найти геометрическое место точек касания касательных
прямых, проведенных из данной точки к данной поверхности 2-го
порядка.
633. Найти геометрическое место точек касания касательных к
данной поверхности 2-го порядка, параллельных вектору Р(/, т, п).
634. Круг радиуса а скользит, касаясь трех координатных
плоскостей. Найти поверхность, по которой движется его центр.
635. Прямоугольный трехгранный угол касается гранями данной
окружности радиуса а. Доказать, что его вершина описывает
поверхность шара радиуса а]^2.
§ 7. Упрощение уравнений поверхностей второго порядка
Уравнение поверхности 2-го порядка можно написать в таком виде:
Ах* + By* + Cz* + 2Dxy + 2Exz + 2Pyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + К = О,
или, сокращенно,
F(x, у, z) = 0.
Здесь члены второй степени относительно координат образуют тройничную
квадратичную форму f(x, у, z) или попросту /. Таким образом
f (х, у, z) = Ах* + By* + Cz* + 2Dxy + 2Exz + 2Pyz.
Упрощение уравнений 2-го порядка можно выполнять, исходя из свойств
диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора Р (/, т, /г),
т. е. делящей пополам хорды, параллельные этому вектору. Ее уравнение
имеет вид:
1 ГдГ, , dF , dF 1 Л
2 idx ' ду l dz J
или, в полной форме:
(Ах + D у + Ez-\- G)l + (Dx+By + Fz + H)m + (Ex + Fy + Cz-\-I)n = 0.

56 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 635
То же уравнение можно записать еще и так:
или, в полном виде:
(Al + Dm + En)x-{- (Dl + В
Направления вектора и сопряженной диаметральной плоскости можно
назвать главными, если плоскость перпендикулярна к вектору. Главная
диаметральная плоскость есть плоскость симметрии поверхности. Для вектора
главного направления выполняются условия:
Al-\-Dm-\-En = X/, Dl + Bm + Fn = Х/и, El + Fm + Cn = Хл. (*)
Поэтому X удовлетворяет характеристическому уравнению квадратичной
формы /, имеющему вид:
— X D Е
D В — \ F
Е F С — \
= 0. (**)
Найдя какой-нибудь корень этого уравнения, из равенств (*) можно
найти направление вектора Р (/, т, /г). Уравнение (**) всегда имеет
вещественные корни, если коэффициенты А В, С, D, E, F вещественны. Если
X, и Х? — два различных его корня, то соответствующие им главные
направления векторов Рх (Л, mv пх) и Р2(^ тъ п2) взаимно перпендикулярны.
Если корни характеристического уравнения (**) различны, то получаются
три взаимно перпендикулярных вектора главного направления: Рх (/ь mv nt)t
Р2 (^2» тъ п2) и Рз (£*♦ тъ ns)- Если оси координат направить по этим
направлениям, то уравнение поверхности приобретает вид:
Кг = 0. (*«)
При этом, если уравнение было раньше преобразовано переносом начала
координат в центр, то уравнение получает еще более простой вид:
хУх
Если центра у кривой нет, то в уравнении (***) один или два из
коэффициентов Аь Вх и С\ обращаются в нуль, а соответствующий из
коэффициентов <?t, Hlt Ki не равен нулю.
I. С\ = 0, At Ф 0, Вх Ф 0, 1Х ф 0. В этом случае можно перенести начало
координат в такую точку, что уравнение принимает вид
II. Вх = 0, Ci = 0, Нх Ф 0,1хФ 0. Здесь можно, сохраняя прежнее
направление оси Оххь заменить ух и zx так, чтобы уравнение получило вид:
Ахх\ + Я у2= 0.
Характеристическое уравнение может иметь равные корни. При этом,
если все три корня равны, то менять направления осей излишне —
независимо от их выбора, уравнение, после переноса начала в центр, получает вид:

639] § 7. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 57
Если равны два корня: Х2 == Х3, a \t Ф Ц т0 знамение Xt дает
возможность найти одно главное направление и вектор Pj (/, тъ п{) этого
направления. Два других в этом случае не вполне определены. Их можно выбрать
следующим способом:
P2=PiXr, P3=P2XPi
Здесь г — любой вектор, не параллельный Рь
Заметим, что характеристическое уравнение в раскрытом виде можно
написать так:
где коэффициенты /?, q и г выражаются равенствами:
р = А + В + С,
BE* + CD* — ABC — 2DEF.
Выражения/?, q, г являются инвариантами уравнения поверхности2-го порядка,
т. е. их величина не изменяется при замене координат, включая и поворот
осей и перенос начала.
636. Найти плоскость симметрии поверхности
X2^_y2^_z2_ 2xy-\- 2xz — 2yz — лг-f Ay — z-\- 2 = 0.
637. Найти плоскости симметрии поверхности
638. Найти плоскости симметрии поверхности
ху -\- xz -\-yz = 1.
639. В уравнении поверхности 2-го порядка
Ах2 + By2 + Cz2 -f 2Dxy + 2Exz + 2Fyz +
A D E G
D В F H
E F С 1
G H I К
величины определителей
D ^ F
Е F С
и /У, =
которые можно назвать дискриминантами квадратичных форм
/ = Ах2 -f Ду2 + Cz2 H- 2Da^ + 2Exz
Ф =
xz -f-
Kt2,
являются инвариантами, как и величины
С, q = AB-{-AC-)-BC — D2 — E2 — F2.

58 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 640
Пользуясь этим, доказать, что уравнения поверхности с центром,
при Д3 =£ 0» можно привести к виду:
640. Доказать, что при Х3 = О, q Ф 0 уравнение поверхности
можно привести к виду
64-1. Доказать, что при А4 = 0 поверхность либо цлииндриче-
ская, либо уравнение изображает точку, прямую или одну, либо
пару плоскостей.
Упростить уравнения следующих поверхностей и дать формулы
преобразования координат, которыми это упрощение достигается:
642. x2-\-y2-\-z2 — блг-f 8y+10z+l =0.
643. 5x2~|-6y2-f- 7z2 — 4xy-\-4vz—\0x-\-8y + 14*—6 = 0.
644. 2x2 + 5y2-i-llz2 — 2Oxy-f4xz-\-
_|_16уг — 24л:— 6у — 62—18 = 0.
645. x2-\-2y2 — 3z2-\-\2xy — Sxz — 4yz +
+ 14A:+16y—12z+33=0.
646. За:2 — 2y2 — z2-\-4xy-\-Sxz — 12ys+18x — I2y — 6z = 0.
647. 4x2-\-2y2-{-3z2-{-4xz — 4yz—l0x-i-4y-i-6 = 0.
648. y2 — z2-\-4xv — 4xz — 2x-\- 63; + 2z + 8 = 0.
649. 4x2-\-2y2-i-"^2-i-4xz — 4yz-i-8x — 4y^-8z = 0.
650. 3;2 — z2-\-4xy — 4xz — 3 = 0.
651. 4a:2+3/2 + 4^2 — 4xy+%xz — 4yz— \2x— y
. 652. 7.y2 — 7z2 —8jcy + 8x^ = 0.
653. 5x2 + 53/2 + 8^2 — Sxy — 4xz — 4^ = 0.
654. 36a:2 + 9y2 + 4,г2 + Збху + 24л:,г + 12yz = 49.
655. 36a:2 + 9у2+4*2+36л:.у+24а:2+ 12^ = 0.
656. a:2 + 3;2+2^2+4a: —6^; — 8^+21=0.
657. Составить уравнение геометрического места вершин поверх-,
ностей 4у* — 2z2-{-x-{-ay-{-bz = Q.
658. Определить X и (* так, чтобы уравнение а:2—y2-\-3z2-{-
+ (Хл:+[1ву)2 = 1 изображало цилиндр вращения.
659. Найти условие для a, b и с, при котором уравнение
a{x2-\-2yz)-\-b(y2-\-2xz)-\-c{z2-\-2xy)= 1 представляет
поверхность вращения.
660. Найти ось вращения поверхности
y2-\-(z2 — 2z){\— \2)+2\xz — 2a: = 0.
661. Найти с, при котором конус а:2 — 2xy-\-cz2 = Q есть
конус вращения, и дать уравнения оси.
662. Доказать, что конус с вершиной в точке (1, у, 0) и с
направляющей А^+^у2 — 2х—у = 0, z=\ есть конус вращения.

673] § 7. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 59
663. Исследовать характер поверхности
х2 + (2т2 + 1) (у2 + z2) — 2ху — 2xz — 2yz = 2т2 — Ът + 1
при изменении т от —оо до -f-oo.
664. При каком соотношении между аир уравнение
— 2x — 4y-f 2г = 0
представляет коническую поверхность?
665. Найти уравнение геометрического места точек вне куба со
стороной а, произведение расстояний которых до трех сходящихся
граней куба равно произведению расстояний до трех других
граней куба.
666. Определить вид поверхности, получающейся при движении
прямой, параллельной плоскости Ах-{-By-\-Cz-\-D — 0 и
скользящей по прямым лг = О, z = a; y = Q, z = —а.
667. Векторы Р(а, b, с), Pi(av bv ct) и Р2(#2> ^2» сг) взаимно
перпендикулярны. Доказать, что поверхность
имеет главными направлениями векторы Р, Р1Э Р2.
668. Поверхность 2-го порядка проходит через точки (О, О, О),
(1,1, —1), (0, 0, 1) и имеет плоскости симметрии
x-\-y-{-z = 0, 2x—y — z = 0, y — z-{-l=O.
Найти ее уравнение.
669. Цилиндр 2-го порядка проходит через точки (1, 0, —1),
(2, 0, 2). Его ось дана уравнениями х — —y = z, а плоскости
симметрии— уравнениями x-{-2y-{-z = 0n x = z. Найти его
уравнение.
670. л: = 0 и ^ = 0 — плоскости симметрии поверхности 2-го
порядка. Точки (0, 1, 1), (2, О, 1), (1, 1, 2) и (2, О, 3) — на
поверхности. Найти ее уравнение.
671. Поверхность вращения 2-го порядка проходит через точки
(1, 0, 0), (1, 1, 1), (О, 1, 2). Ось вращения — ось Oz. Найти
уравнение поверхности.
672. Образующие параболического цилиндра параллельны
прямой 2х = 2у=—z, уравнение плоскости симметрии х-\- у -\-z = О,
а точки (1,1, 1), (1, —1, 1) — на поверхности. Найти уравнение
цилиндра.
673. sx = 0, s2 = 0, s3 = 0 — уравнения трех диаметральных
плоскостей поверхности. При этом каждая из них сопряжена с
линией пересечения двух других плоскостей. Доказать, что уравне*
ние поверхности можно написать в таком виде:

60 II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 674
674. Три хорды эллипсоида, проходящие через центр, такие,
что каждая из них сопряжена с плоскостью, проходящей через две
другие, можно назвать тремя взаимно сопряженными осями
эллипсоида. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на трех
взаимно сопряженных осях эллипсоида, есть величина постоянная.
675. Доказать, что уравнение
изображает параболоид, у которого px-\-qy-\-rz-\-s = Q—
касательная плоскость, а совместные уравнения
дают диаметр, проходящий через точку касания.
676. Найти уравнение параболоида, касающегося плоскости
х-\-у-\-z = Q в начале координат, имеющего диаметральную
плоскость х = у и проходящего через точки (1,1, 2), (0, 2, 2), (3, 1, 1),
§ 8. Круговые сечения, прямолинейные образующие
и другие задачи
677. Через прямую 2x = 2y = z провести плоскость,
пересекающую поверхность 4х2—y2-{-z = 0 по равнобочной гиперболе.
678. Найти вершину параболы, получающейся при сечении
цилиндра у2 = 2х плоскостью x-\-y-\-z=\.
679. Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии
эллипсов, получаемых при сечении эллипсоида х2 -|- 2у2 -|- Zz2 = 1
плоскостями, параллельными плоскости 2x-{-y-{-z = Q.
680. Найти уравнения оси параболы, получаемой в сечении
поверхности х2-\-у2 — 2z2=l плоскостью х-\-у — 2z=l.
681. Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии
пересечения поверхности х2-\-2у2 — 2z = 0 плоскостями,
параллельными плоскости x-\-y-{-z = Q.
682. Найти плоскость, в которой лежат оси симметрии парабол,
получаемых при пересечении поверхности y2-\-2z2 = 2x
плоскостями, перпендикулярными к вектору Р(0, 1, —1).
683. Найти плоскость, проходящую через начало координат
и через ось вращения поверхности
+ 5г2 + 4ху~ 2xz-\- 4yz-\- 3*+ 2y-\-z = 0.
684. Найти уравнения плоскостей, пересекающих эллипсоид
•^" + ^"+"^"= 1 по кРУгам. При этом а>Ь>с.
685. Найти геометрическое место вершин конусов, касающихся
по кругам эллипсоида предыдущей задачи.

699] § 8. КРУГОВЫЕ СЕЧЕНИЯ, ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ 61
686. Найти круговые сечения однополостного гиперболоида
687. Найти круговые сечения поверхности
2*2+у2 + z2 + ху — xz — 2х = 0.
688. Найти геометрическое место центров круговых сечений
эллипсоида
*2^_2y2-f 2z2-\-2xy — 2х — 4y+4z+2 = 0.
689. Найти общий вид плоскостей, пересекающих по кругам
поверхность
х2-\-у2— Ixz— pyz — \az — я2 = 0.
690. Найти круговые сечения поверхности
x2-\-y2-\-az2-\-bxz-{- Cyz-\-dx + ey+fz + g = 0.
691. При каких X и |х круговые сечения поверхности х2-\-у2—
— \xz — pyz— \az — а2 = 0 перпендикулярны к вектору Р(1, 1, 1)?
692. Найти уравнение цилиндра, проходящего через круг
x2-\-y2=lt z = 0 и точку (0, 1, 1) и имеющего взаимно
перпендикулярные плоскости круговых сечений.
693. Каково .геометрическое место центров сфер радиуса /?,
пересекающих эллипсоид х2-{- 2у2-f- 3z2 = 1 по кругам?
694. Найти геометрическое место вершин конусов вращения,
проходящих через параболу z = Q, y2 = 2px.
695. Доказать, что геометрическое место вершин круговых
х2 v2
конусов, проходящих через эллипс —-{--^= 1; z = Q, есть гипер-
41; 0
Указание. Сфера, касающаяся кругового конуса и некоторой
плоскости, имеет точку касания плоскости в фокусе получившегося сечения.
696. Поверхности 2-го порядка с центром в точке (а, Ь, с)
проходят через круг x2-{-y2 = R2t z = Q. Найти геометрическое место
центров круговых сечений, плоскости которых проходят через начало
координат.
697. Найти уравнения прямых, по которым поверхность конуса
вращения ху~\- xz~\~yz = 0 пересекается с плоскостью,
проходящей через ось и точку (1, 2, 3).
698. На гиперболическом параболоиде y2 — z2 = 2x найти место
точек, через которые проходят две взаимно перпендикулярные
образующие.
§99, Тот же вопрос для поверхности -2- — ~- *=?#.

62 П. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [700
700. Найти прямолинейные образующие поверхности
xy-\-xz-{-x-\-y-\- 1 =0.
701. Тот же вопрос для поверхности
z2 — 2ху — 2xz — 2yz — 6 = 0.
702. Найти уравнения прямолинейных образующих поверхности
4у2 — z2-\-x — 8у — Sz — 2 = 0, пересекающих ось Ох.
703. Найти величину наибольшего угла между образующими
конуса x2-\-y2 = (<x-\-y-\-z)2, а также направление его оси.
704. Найти уравнение гиперболоида, у которого прямые
2х—1=0, y = z, 2x = z, у —|- 1=0, 2х =—z, j/=l являются
образующими одной системы.
705. Найти уравнение параболоида, у которого прямые
| х—у — 2 = 0, J х + у-\-г = 0, J 2x-{-y-{-z = 0,
[у — z— 1=0, [у — г+1=0, | 2у —22+1=0
— образующие одной системы.
706. Найти общее уравнение параболоидов, проходящих через
круг х2-\-у2 = а2, 2 = 0 и имеющих ось, параллельную вектору
Р(/, т, п).
707. Найти уравнение конуса, на поверхности которого лежат
круги х = 0, y2-+-z2 — 2az = 0; 2 = 0, х2-\-у2 = 2Ьх.
708. Найти координаты вершины конуса, на поверхности
которого лежат круг х = 0, y2-\-z2 = 2az и парабола 2 = 0, у2 = 2рх.
709. Найти параболоид, на котором лежат точки (0, 1, —1),
(1, —1, 0) и прямые х = 0, z = 2; y = 0, z = —2.
710. Найти параболический цилиндр, на котором лежат
параболы 2 = 0, у2 = 2х; x = z, 2y2 = x-\-z.
711. Найти параболоид вращения, проходящий через точку
(1, 1, 2) и круг x = z, x2-\-y2-\-z2 = 2x-{-2z.
712. Каково геометрическое место центров сфер данного радиусас
пересекающих эллиптический параболоид по кругам?
713. Найти длины осей эллипса, получаемого сечением
эллипсоида x2-\-y2-\-4z2= 1 плоскостью x-{-y-{-z = Q.
714. Найти длины осей эллипса, получаемого сечением
параболоида 2y2-f-22 — 2х = 0 плоскостью х=у.
715. Найти параметр параболы, лежащей на поверхности л;2 +
-\-2y2-{-z2-{-4xy — 2xz — 4yz-{-2x—б2 = 0и в плоскости x = z.
716. Конус имеет вершину в фокусе вытянутого эллипсоида
вращения и. опирается на плоское сечение того же эллипсоида.
Доказать, что этот конус есть конус вращения.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Теория пределов
Если числитель и знаменатель рациональной дроби при х = а
обращаются в нуль, то дробь можно сократить на х— а. Поэтому, например,
.. х2 — 5лг + 6 , (х — 2)(х — 3) „ х — 3 2 — 3 1
*2 7*+Ю (х — 2){х — 5) ж^2^ —5 2 — 5 3
Пользуясь этим приемом сокращения дробей, найти пределы в
следующих примерах:
2 —3
719. lim 3^-4"B+1. 720. lim
721. lim x ; n — целое. 722. lim n_ 1 ; m и п — целые.
723. lir
и»
Следующие задачи сводятся к предыдущему типу введением новой
переменной: величину, стоящую под радикалом, обозначают через ип, где
показатель п выбирают так, чтобы корень извлекался:
Р_ з
726. lim-^-—L 727. lim lA±±Izl,
JC*--1
728. lim l~rl x. 729. Urn V l + x~l,
Если числитель и знаменатель содержат степени переменной, которая
стремится к бесконечности, то во многих случаях предел выражения удобно
находить, разделив числитель и знаменатель на соответствующую степень

64 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
переменной. Так, например, имеем:
з +
[730
Нш
= lim
= 3.
mil 5 ,|_1 ши
W -» со п — Л+1 w -» со
Следующие задачи решаются этим приемом либо прямо, либо после
предварительного преобразования.
wOA ,. л2 + л + 1
730. lim ,J 7L .
731. lim
ni + П2 + 1
732. lim 9 .
7о4г. lim ^ i t •
Ж-» ±oo ^"Г A
736. lim
П-» OO
737. lim
733. lim V*+i+Ynu
woe •• У JC2 + 3JC
735. lim з^. ^ .
a?-» ± oo]/jc3 — 2jc2
Замечание. В последней задаче, а также и в следующих удобно
пользоваться формулой для суммы квадратов натуральных чисел:
, ,- 1Ч,_л(л-1)(2л-1)
легко доказываемой по методу полной индукции.
Л
742. lim
2 + 2-3+...+л(л +
Одним из приемов нахождения пределов иррациональных выражений
является перевод иррациональности из знаменателя в числитель или из
числителя в знаменатель. Так, например, имеем:
lim r ,
а?-»2 У 4дг + 1 — У5дг—1
= lim

762 ] § 1 • ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Подобными приемами решаются следующие задачи:
Нт-
65
746. Пт
748. Нт -4
750. Нт {)/ х2-\- 1 — jc). 751. Нт
а?-> ± оо а?-> оо
752. Нт (j/a:2 + a:+1 — Ух2 — дг+1).
а?->оо
753. Нт (1^1 —а:3 + а:). 754. Нт a:(Va:2 + 1 — а:).
755. JimJ(jc+l)8—(jc—1)8Ь 756. Hm [a:3 — (x2— I)3].
о
758. Hm a:8 (Vx2 -\- У~x* + 1 — лУ 2).
759. Hm [ у {x + at) (a: + a2)... (a: + an) — x\.
a?->oo
757. Hm д:2
^
760. Urn х"8(^"дг2 + 1 — f^jc2 — l).
761. Определить X и |х из условия Hm (j/^1—a:3 — Xa: — |x) = 0.
a?-» 00
762. Определить Х и |х из условия
n
Hm [
Иногда оказывается возможным путем удачного преобразования
выражения свести вычисление его предела к нахождению пределов более простых
выражений. Так, например, имеем:
]Л+Злг*—1 V\— 2-е— 1
urn
о-(-1)
3 2
_6
5 Зак 2666. Сборник задач, I

66 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ( 763
Подобными приемами легко решаются следующие примеры:
п п
763. lim а-гх—У а — х ^ — целое, положительное).
0 х
765. „„/* +
а?->о
Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не
достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Так, например, при изучении
выражений, содержащих ап, при п -> -f- °°» наД° иметь в виду, что при
0<я<1 величина a*»->0 при л->+оо, а при д>1 величина ап
безгранично растет. Пользуясь этим, легко решить следующие примеры, в
которых а>0:
767. lim -*!!_. 768. lim
г.2п'
769. lim а ~ _ . 770. lim \— -.
п-><х>ап -\- п п п -> оо (1 -|- д)(1 -f- л ) • • • (1 4" а )
При изучении пределов тригонометрических выражений очень часто
удобно пользоваться фундаментальной теоремой, по которой lim = 1.
^ ,. sin Зх ,
Так, например, при нахождении величины lim -—=— полагаем х = п -\- и,
X -> те Щ ЭХ
где и -> 0. После этого без труда находим:
„ sin3x „ sin(3^-(-3tt) .. — sin За .. Зи 3 3
lim л , = hm -г—7?—. Р ,- = lim ——-r— = — lim -—= =• == —=-.
Подобными приемами, а иногда и применением способов, разобранных
раньше, решаются следующие примеры:
771. lim^. 772. lim
х
773. lim^Jl^. 774.
775. lim si"m*, тип — целые числа.
776. lim xctgx. 777. lim
w->oo

798]
§ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
67
778.
780.
lim
1 — COS X
779. lim
ж->0
cos тх — cos nх
lim (1 — x)tg~.
781. lim
._tgx-sinx
a?-»0
jfi
784.
785.
786.
cos (д — -у) — 2 cos a
У sin (a -\- x) -f- sin (а — х) — 2 sin a
х->о х
lim
х->0
lim (
Ж->ОО
1 — COS X
cos x — 1
x->0
X
sin [х— —
787. lim
X . X
cos — — sin у
. COS X *
788. lim
1—2 cos л: *
lim
790.
792.
COS ax — V COS I
x->0
sin л:
lim
COS
:-t
COS
791. lim
o?-»o
793. ш\=™*1™Е-
Следующий ряд задач содержит пределы выражений, у которых
показатель степени бесконечно возрастает, т. е. выражений вида uvt где u->U
a v -> оо. Все они могут решаться введением новой переменной п по такой
схеме:
;T v
W1(M"i)v'
Отсюда следует:
Г f / l\wllj
lim uv — I hm 11 H 1
I_W ~^ oo\ '* / I
Здесь предел выражения в показателе находится предыдущими приемами.
795.
797.
796. lim
ж -» оо
798. lim (l + tgxfex.
5*

68 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [799
799. Hm(l + 3tg2*)ctgaa?. 800.
ж-»0
(Г\т / v \m
cos-) . 802. lim (cos-4=) .
... r~ m' w->oo\ Ym)
\ )
805- jilL-W^J • 806-
П — 1 1С
807. lim [sin ^-±т ^.Уп + 12. 808.
Следующие примеры, похожие на предыдущие по виду, отличаются по
существу, так как в них основание не стремится к единице. Они решаются
прямым рассмотрением вопроса.
т. ^(ЙЙйГ- 81°-
п + * ; п — целое положительное.
Дальнейшие несколько задач содержат логарифмы и показательные
функции. При их решении важны два основных предела:
lim —^—-—- = 1, где логарифм — натуральный;
а?-»о х
ах 1
lim = In а, где логарифм — натуральный; а > 0.
х->о х
812. liml££ni. 813. H
10
П -> оо Л
814. lim ^%^. 815. lim n2 In cos-.
О1л 1# In COS ax
818. HmJ!!^* 819. lim
a?->- Cl£x a?->+oo
820. lim

837] § 2. разные задачи 69
\a ) {
П-»оо
821. lim \an — \)n. 822. lim n2{Va— У*а); a > 0.
(1 1 \
a»+a-n_2). 824.
W-»oo
825. lim «•"-*».. 826. lim- ''"-**
827. lim ga;-aC; e>o. 828. lim (1+«»)«; a > 0.
> •* c n-»oo
, « r \ n
829.
830. lim [' a^r *Z" ' m)>°i>0>a2>0 a»
831. \\m
832. lim
§ 2. Разные задачи
833. Доказать неравенство Бернулли:
где числа а, р,..., X одного знака и больше, чем —1.
834. Пользуясь неравенством Бернулли, доказать, что при п
целом
(1 jj) > * » если ^ > 1.
835. Доказать, что (l +^-)W> (! + -^Г\У~\ если ^>L
836. Доказать, что (l + i)W+1 < (l +7Г=Гт)Л •
837. Величина ( 1 +-) возрастает, а величина И + -J
убывает при возрастании целого числа п. Отсюда и из очевидного нера-
венствй (1 —{—J <(l+~)W+1 вывести, что обе эти величины при
л->оо стремятся к общему пределу. Этот предел обозначается
через е:

70 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 838
838. Доказать равенство:
lim —— — = lim un,
П-»оо Я W->oo
предполагая, что предел в правой части существует.
839. Доказать равенство:
п->со »п
предполагая, что Нт —существует и чтоvl-\-v2+-vs-+. • • -\-vn-+oo
при я->оо, а числа г/п>0.
840. Доказать равенство:
lim S&= Нт
предполагая, что предел в правой части существует и г/п->оо при
п-+оо, а г/п>г/п_1.
841. При т целом положительном доказать равенство:
11m
m+l
842. При том же условии доказать равенство:
lim |l + 2 + 3+-..+ft n
|
n->oo L я"1 m + l
843. Доказать равенство:
lim пт -^1=0; т-целое^0.
844. Доказать равенство:
lim — ~ ' ^v ^- = ; m — целое ^ 0.
nm+l m+l
845. Найти lim 2л\Л/ 1-4-— 1) » заметив сначала, что
Иш /!+«-! 1
х->0 х Z

8551 §2« РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 71
(l\n / l\Wbl
1 + -) < е < ( 1 +—I следует, что
Исходя отсюда, доказать равенство:
Здесь С — постоянная, называемая постоянной Эйлера, а е(я)->0
при л->оо.
848. Пользуясь предыдущим результатом, доказать равенство:
849. Исходя из равенства lim !п(1+*) = 1, найти
Х
850. Пользуясь формулой lim 5i!L£ —if доказать, что
х
, LS1 v+ sin^+ • • •
851. Доказать, что при я->оо
а 2а па
cos —т=г • cos —j=... cos
л у л /г у л пул
852. Доказать, что
1Г JL-l. i2L_i_ -J- (2л + 1)гс1 2
n-^oo^L 4/г 4л '"'*•" 4л J я*
853. Доказать равенство
изучив возможности сокращения дроби, стоящей в одной скобке,
с соседними с ней дробями.
Доказать следующие равенства:
854.
2
. Hm (l —i)(l—1\ /l 1
7i-»oo\ зд в; i n(n
\ 2
1 Зз + Г' #л8 + i 3 '

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [856
857. lim cos^ cos £... cos £
= |- (Виета).
859. Последовательность значений яя дается формулами: иг =
, я3 = К2 -f- /2 + УТ и вообще «я =
Заменив последнюю двойку под радикалом на 4, убедиться, что ип
ограничено. Доказав, что lim ап при п -> оо существует, найти его
из равенства й* = 2-|-йя_1.
Замечание. . Еще легче находится этот предел из равенства
860. Последовательность vn задана равенствами:
Заменив под последним корнем число а величиной а-\-х, где лг —
положительный корень уравнения х2 = а-\- х, убедиться, что vn
ограничено, и доказать, что vn—ух при я->оо.
861. Последовательность чисел задается равенствами
\— » Л1 —
2— 2 ' •••» лп— 2
Найти выражение хп через а и 6 и найти lim xn>
862. Даны числа а и ft, где а > b > 0. Затем составляются новые
пары чисел по формулам: ап+1 = пп~^ п, bn+l = д ^_ ^ . При этом
^0 = а и b0i=b. Доказать, что anbn = ab, что
ап —
a+YabJ
и, наконец, чт<? Hm an = lim Ъп —
863. По двум данным положительным числам а и b можно
построить ряд новых чисел с помощью равенств: aQ = a, bQ = b,

§ 2. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 73
а, = -&£^, Ь^УчА и. вообще, ап+1=^±^, Ьп+1 =У^ЛГ
Доказать, что при /г->оо числа ап и Ъп стремятся к общему
пределу. (Арифметико-геометрическое среднее Гаусса.)
864. Две последовательности чисел составляются по формулам:
ап
При этом а0 = а, Ь0 = Ь — данные положительные числа. Найти lim an,
П->СО
равный lim bn, полагая а = b cos ср при а<£иа = #сЬср при а > Ъ.
865. Последовательность чисел составляется по формулам: хп —
= -тг\Хп_1-\——), где а>0 — данное число, а х0 — произволь-
^ \ xn-i/
ное положительное число. Доказать, что хп-+уа при/г->оо.
Замечание. На этом основан довольно удобный, особенно при
пользовании арифмометром, способ извлечения корней.
5. Числа последовательности составляются по такому закону:
х0 — произвольное положительное число, а дальнейшие находятся
по формуле
где а — данное положительное число.
Доказать, что xn->Y~n ПРИ
Замечание. Закон составления чисел хп здесь сложней, чем преды*
дущий, но зато числа хп быстрее приближаются к У^г, чем раньше,
особенно если х0 взять близким к |Ля.
867. Доказать, что последовательности, составляемые подобно
прежним по формуле xn+l = -j /2хя + -^-| или по формуле хп+1 =
хп(х*п+2а) в
= —^-у -, стремятся к у а.
868. Последовательность уп определяется следующим способом:
2 о
Л = £, где 0<х<\;у2 = ?г+^ , и вообще Уп = \ + ^
Доказать, что^ — ограниченная монотонная величина и найти \\туп.
2 2
869. Л=у, гдеО<х<1;Л = | —J;...;^n=|-^i.
Показать, что lim yn существует и равен "j/l-f-л: — 1.

74 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [870
§ 3. Понятие о функции. Непрерывность. Графическое
представление функций
870. Из кусков, длина которых равна 1 дм, 2 дм, 1 дм и вес
которых равен 2 кг, 3 кг и 1 кг, составлен один сплошной брус
АС. Найти вес отрезка АВ этого бруса в функции от длины его х,
где х считается от точки А — начала куска весом в 2 кг.
871. В каких промежутках можно рассматривать функции у, z,
и и v, определяемые равенствами:
а = \п(х2 — 1), T> = ln(*+l) + ln(;t— 1),
у = Yl—x2, z = \n (х2 — 3*+ 2)?
872. В каких промежутках можно рассматривать функции
у = arccos—, г = arcsin
873. В каких промежутках можно рассматривать функции,
определенные равенствами:
у = х\пх при х Ф 0 и у = 0 при д; = 0,
z
^2 при х Ф 0 и z = 0 при лг = О?
874:. Функция задана равенствами:
f(x) = 2x при 0<д:< 1 и /(*) = 3 — х при 1<л:<2.
Будет ли f(x) непрерывна во всем сегменте 0^д;<^2?
875. При каком а функция у, заданная равенствами
у = х\п(х2) при х Ф 0 и у = а при д: = 0,
непрерывна в промежутке (— оо, оо)?
876. Обозначая через [а] целую часть а, определить, при каких
значениях х имеет разрыв непрерывности функция у, определенная
равенством
877. При каком значении х функция ех имеет разрыв
непрерывности и каков этот разрыв?
878. Какой разрыв непрерывности и при каком х имеет функция
у Ц-»

9031 § 3. понятие о функций, непрерывность 75
879. При каких значениях х имеют разрыв непрерывности
функции
X
При каких значениях х имеют разрыв следующие функции;
пх
882. In In (1 + х2). 83*. C0S2
884. Имеет ли разрыв непрерывности функция, определенная
равенствами у = е ** при х Ф 0 и ^ = 0 при д: = 0?
Построить по точкам графики целых функций 2-й степени
(параболы):
885. у = £. 886. у=—%.
887. у = ?^. i^
889. у = ах2 при а = 4, 2, 1, i, 1.
890. у = ах2 + х—1 приа=1, ^-, -^, и прямую х=^/+ 1.
891. Воспользовавшись тождеством
построить график функции у = ах2-\-Ьх-\-с.
Построить графики целых рациональных функций степени выше
второй (параболы высших порядков):
892.^ = ^. 893.^ = ^^.
896. ^ =
899^
Построить гиперболы, являющиеся графиками следующих
дробных функций:
1. 901. У =
902. У = ^1. 903. у = 2х-

76 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [904
Построить графики дробных функций, имеющие асимптоты,
параллельные оси Ох.
904. у = л , 2 (локон Марии Аньези).
1 -J- X
X
905. у = гтг~2 (серпентин Ньютона).
906. У = ^
Построить графики дроблых функций, имеющие асимптоты,
параллельные осям:
907. у = ±. 908. y = Y^-
909. ^ = з^. 910. у = 1
Построить графики дробных функций, имеющие вертикальные
и наклонные асимптоты:
913. у = х+±. 914. y = x+^j.
Построить графики следующих иррациональных функций:
915. у = ±Ух — 2 (парабола).
916. y = + -jV25 — x2 (эллипс).
917. у = ± -j Yx2 — 1 (гипербола).
918. j/r^z+il^ (парабола Нейля).
919. y = z*zxy * (циссоида Диоклеса).
921. у = х3. 922. у = ± х 4.
Построить графики следующих трансцендентных функций:
923. у = ах при а > 1 и при а < 1.
924. j» = е~х\
1 J_
"ж2
925. у = ех. 926. j/ = <
927# з/ = 1пл:. 928* ву = Л5тд: при Л = -^-, 1 и 2.

950] § 3. понятие о функции, непрерывность 77
929. у = sin- при fl = |, 1 и 2.
930. у = cos x. 931. у = sin (x + а).
932. у = $£*. 933. у = е*"sinftjc.
934. j; = sin л:2. 935. j; = tg x.
В высшей математике обратные тригонометрические функции имеют
значительно ббльшую важность, чем в элементарной. По определению имеем:
1) если sin у = х, то у = arcsin *;
2)
) у , у ;
2) если cosy = *, то у = arc cos х;
3) если tg у = х, то у = arctg x\
4) если ctg у = *, то у = arcctg jc.
Определенные таким образом функции от х многозначны. Чтобы
сделать их однозначными, в определение этих функций вводят
дополнительные условия. Они состоят в том, что значения arcsin x и arctg x берутся
Г я *П
в сегменте —=-, yl, а значения arccos* и arcctg x берутся в
сегменте [0, те].
Построить графики функций:
938. у = arcsin х. 939. у = arccos x.
940. у = arctg х. 941. у = arcctg x.
942. .у = arctg—. 943. у = arcctg ~.
X X
944. у = arcsin (sin л;). 945. у = arccos (cos x).
946. j/ = arctg (tgx).
Доказать равенства:
947. arctgx + arctg— = ~ при л;>0 и —~ при л;<0.
948. arctg x-\-2Ltctgy = arctg T -f-S7r» где,
е = 0, если ду/ < 1;
е=—1, если ху > 1 и д: < 0;
е=1, если ду/ > 1 и х > 0.
949. arcsin д: + arcsin j/ = т\ arcsin (atI^I—.у2 -\- yV"l—х2 ) +
+ s^, где
т|=1, е = 0, если ху < 0 или x2+>t2^l;
т) = — 1, е=—1, если д:2 + У> 1 и х < 0, у < 0;
т)= — 1, 6=1, если лг2+.у2> 1 и х>0, j; > 0.
950. arctg х + arctg |7 * — т» если —1 < л: < оо;
= — ^т-, если —оо<д:<—1.

78 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 951
951. arccos #-j-arccos(-£-|- -^Y^ — За:2 )=-?-
при у^а:^ 1.
лко . sin jc-{-cos jc 37c тс . . 5tc
952. arcsin ^= = -^ xt если-^- < x < -^
я 1 1
953. -j- = 4 arctg -=- — arctg ^.
2jc
954. 2 arctg a: + arcsin r--j—^ = 7r при а:>1.
955. —й- arctgftg *Г~ tc) = [a:], т. е. целой части от х,
если х — не целое.
956. Доказать, что сумма
arcsin х-\- 3 arccos лг-f arcsin (2Ar]A —лг2)
при х2 < -о- не зависит от л;.
Если график функции y=f(x) построен, то уравнение f(x) = 0 легко
решить графически, измерив абсциссы точек, в которых график функции
пересекает ось Ох.
Таким же образом, измеряя абсциссы точек пересечения линий у = <р (х)
и y = ^(jc), получаем корни уравнения ср(х) = ф(х). Степень точности
такого решения может быть произвольно высока, если вычертить графики
в окрестности точек пересечения в соответственно увеличенном масштабе.
957. Решить уравнение а:3—7а:+5=0 построением графика
функции j/= g—-—.
958. Решить уравнение а:3+За:+2 = 0, построив график функ-
х*-\-Ъх4-2
ции У= 10 '
959. Решить уравнение х4 — 7х — 5 = 0, построив графики двух
функций: y = jQ иу = —j^—.
960. Решить графически уравнение а:4 — 4а:3 -\- 7х2 — За: -|- 2 = 0,
. , х* — 4х + 7 Злг —2
построив графики двух функций: у = =—!— и у = —^i—•
9G1. Решить уравнение 2^ = 4а:, построив графики функций
962. Решить графически систему двух уравнений:

978 1 § 4. нахождение производных 79
963. Решить уравнение x = tgx графическим путем.
964. То же для уравнения ex:=s\nx.
965. Найти первые два положительных корня уравнения atcos x=lt
построив графики функций y = cosx и у = —.
Изучение последовательностей, заданных законом составления
можно облегчить, изучая графики двух функций: и = <р (х) (I) и t/ = jt (II).
Для этого проводим вертикаль х = х0 до пересечения в точке Ао с
графиком функции и. Затем через точку Aq проводим горизонталь до
пересечения в точке Z?o c графиком функции v. Отсюда проводим вертикаль до
пересечения в точке At с графиком и. Затем снова ведем горизонталь до
точки Bi графика v, и т. д.
Ординаты точек А& Аь А%... будут равны числам хь Х& хг,... Во
многих случаях из чертежа видно, стремятся ли точки хп к пределу при
возрастании п.
966. Последовательность чисел составляется по такому закону:
хе-хо х е-х' x e-x>
где х0— произвольное вещественное число. Доказать, что при п -> об,
хп-+Ь где ^ — единственный корень уравнения 2!- = е-*.
967. Числа последовательности составляются по слелующему
закону:
_
где а, р, y» 3 — данные вещественные числа, такие, что а8 — ^=\,
ЧфО; (a-f-8)2^4. Число х0 выбирается так, что fX0-\-h =?= 0.
Найти Итл:п при п-+оо.
§ 4. Нахождение производных
Найти производные от функций, указанных в следующих
примерах:
968. у = 2х* — 5х2-\-7х— 12. 969. у = а:4 — За:24- 17.
970. у=х — Ij^ + Ijc8 — ^xK
971. у = х* (х2 — I)2. 972. у = ^\.
X-f- 1
.у ^1^ {. 976. y =
977. y=fJ. 978. у =

80
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
: ех (х2 — 2х + 2). 980. у = х sin x.
• л;2 sin a:+2a:cosa:—2sin#.
983. v=z^-\nx — -i-
{979
= cos аде • sin bx.
= e030 cos bx.
1016. у
1017.
1018. у
1019. ^
1020. ^
1021. у
= ex (sin jc — cos x).
987.
989.
991. ^
993. _y = cos6jc.
995. у = sin Ьх.
997. .y = e-*.
999. у = In sin л;.
1001. .y = lntg*.
1003. ^ = e-a'3.
1005. y = ln(x* + x*).
1007. ^ = In (x + /л;2-|-а2).
1009. y =
[—JC
1011. j/ = ln
1013. j; = ln
4-1. Ю15. v =
— sin x
-j- sin x
(x + 2a) /x2 —a2 + a2 In (лг
sin (2 In *) — cos (2 In *)
-1= In (/2" • tg*-flA+2tg2*).
— a2).

1052]
1022. у =
1024. j/ =
1026. у =
1027.
1028. у = j tg2 х + In cos x
sin jc
4. НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
81
1029. у
1030. .y = tg*-lncosA: + tg.
1ЛО1 , У а 4- bex — VH
1031. j/ = ln-*—-1- -—
1032. у =
ЮЗЗ. j/ =
1034. j; = lntg-| — ctgA:.ln(l+sinA:) —
. ^ + д cos /zjc + Y&2 — л2 sin /zjc
^ Д + 6 COS HJC
л;.
1043. у = arcsin sin л\ 1044. у = arccos—.
о „
1045. _y = l/Ar2 — a2 + a arcsin — . 1046. у = arccos—=•.
1047. у = arcsin/l—a:2- 1048. у = arctg^iJ-; x ф
2 ..... 2x 4-1 1050> ^ = afccos (3л. _ 4j(S)
1052. ^ = arcsin •:
1049.^ = ^arctg^±l.
1051. y = arcsin- ^
Зак. 2666, Сборник задач,

82
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1053
1053. y-^
1054.
. j,= X= arctg (/|tg*).
1055. у = | arctg x +1 arctg p^.
1056. у = ' in
arctg
^_
arcsin * + In /T^
1059. ^
1060. v = Vax — x2 — a arctg л[ ^
1062. j; = Vx— Vl~ x • arcsin Vic.
arctg
=Л +1- arctg VJ=
2 arctg-f-—£ r- In ^ r s
s 1 — tg jr 1—
Ю63. ^
1064. j;
1065. у = V(a — x)(x—b)—(a — b)arctg
1066. _y = arcsin (sin x — cos x)-\- In (sin jc+ cos x-\- l/sin 2jf).
1067. v
1068. j; = In(tg*
1069. ^
1070. j;
l07l.
1073. у
Ю73. ^
2^j + arctg
xarctg(l -f Vx) + In (ж + 2/лГ + 2) — V~x.
д: arcsin ]/ ^4y + arctg V~x— V*~-
1 — 1^1 — лг
(**-(- 1)(arctg jc)2 — 2x • arctg jc+ In (1 -f
— x
1074. ,у =
= A?ta*. 1076. jr =
|. 1077. у = х* sin i.

1084] § 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 83
1078. Из равенства
11
найти формулу для суммы 1 + 2х-\- Злг2—|— ... + nx*1-1.
1079. Из равенства
j sinf/2+YJj
.ч.. -\-cosnx =
r\ • X
2sin~2
найти формулу для sin jc+2sin 2x-\- ... -\-ns\nnx.
1080. Из равенства
cos* + cos3x-+- ... + cos(2/i— 1) х = ^"
получить формулу для суммы
sinjc + 3sin3A:+ ... +(2л—l)sin(2n—
10S1. Из формулы
2"»-1 sinх • sin(x + £) • sin^ + ^)- • -sin (jc+ (/W^1)TC) = sin mx
вывести формулу
= m ctg
Получить отсюда, что
1 +A++
/
Sin2 ( JC
\
H I Sin2! X A 71 I
1082. Вывести непосредственно из определения производные
функций: arcsinjc; arctg* (см. задачи 948 и 949).
1083. Проверить, что если ху=1, то
1084. Если
Доказать.
§ 5. Геометрическое значение производной
Если y = f(x) — уравнение кривой, а функция/(jc) имеет производную
У = /'(.*), то кривая имеет касательную в точке с абсциссой х. Если а —
угол наклона касательной, т. е. угол от положительного направления оси
Ох до касательной, то tg а = / (х). В силу этого уравнение касательной
6*

84 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1085
к кривой имеет вид
Г-у = /(*-*),
а уравнение нормали таково:
Y-y=-L{X-x).
Здесь (х, у) — точка касания, а (X, Y) — точка на касательной или нормали.
При этом yr = f (х). Если М(х,у) — точка касания, Р — ее проекция на ось
Ох, а касательная и нормаль к кривой в точке М пересекают Ох
соответственно в точках Т и N, то получающиеся отрезки имеют названия: ТР —
подкасательная, PN — поднормаль, ТМ — касательная, MN — нормаль. Они
выражаются через у и у\ взятые в точке касания, по формулам:
1085. У параболы у = х ~~х проведены касательные в точках
(0, 0), (2, 1), (4, 0). Найти их углы наклона к оси Ох.
1086. Найти угол наклона касательной к гиперболе ху = а2
в точке (а, а).
1087. Под каким углом кривая у = \пх пересекает ось Од;?
1088. Тот же вопрос для синусоиды y = slnx.
1089. При каком значении Л синусоида у = Л sin — пересекает
Оу под углом 45°?
1090. При каком а кривая у = ах пересекает ось Оу под углом 45°?
1091. Под каким углом пересекаются с осью Оу кривые
1092. При каком значении а кривая у = ах~х пересекает
ось Ох под углом 45°?
1093. Доказать, что у параболы у = ах2 подкасательная равна
половине абсциссы.
1094. Доказать, что у параболы у2 = 2рх поднормаль постоянна,
независимо от выбора точки касания.
1096. Доказать, что у кривой у = ах подкасательная имеет
постоянную длину.
1096. Доказать, что у параболы у2 = 2рх подкасательная равна
удвоенной абсциссе точки касания.
1097. Доказать, что у цепной линии y = ach~ ордината есть
среднее геометрическое между нормалью и величиной а.
1098. Доказать, что у кривых у = ахп отношение подкасатель-
ной к абсциссе точки касания есть величина постоянная.
1099. Найти уравнение касательной к параболе у = Ъх — х2
в точке (1, 2).

1113] § 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 85
2 Q у - I *\
1100. Найти касательную к параболе у = —~3 ,
параллельную прямой у = х.
1101. Доказать, что касательная к гиперболе ху = а2 образует
с осями координат треугольник постоянной площади.
JL — —
1102. Доказать, что у астроиды х3 -{- у* = а* длина отрезка
касательной между осями есть величина постоянная.
1103. При каком соотношении между коэффициентами парабола
у = ах2-{-Ьх-\-с касается оси Ох?
1104. Тот же вопрос для параболы 3-го порядка j/ = a:3-{-
p q
1105. При каком значении а кривая у = ах касается прямой
у = х? Найти точку касания.
1106. Последовательность чисел составляется по такому закону:
хг = а, х2 = аау xs = aaa,... и вообще хп = аХп-1. Доказать,
рассматривая линии у = ах и у = х, что при £-е<а<£'/* величина хп
стремится к определенному пределу, когда п—*оо.
Если кривая задана в параметрическом виде уравнениями х = <р (t\
y = *b(t), где t — параметр, то производную от у по х удобнее всего
находить с помощью дифференциалов: dx = <p' (t) dt, dy = ty (t) dt, отсюда
-r- = ,,V илиyr = '
dx cp'(/) * <|>
1107. Эллипс задан уравнениями ;t = acos£, y = bs\nt. Найти
угол касательной к нему с осью Ох.
1108. Астроида задана уравнениями A: = acos8£, y = as\rfit.
Найти угол касательной к ней с осью Ох в точке, где £=135°.
1109. Циклоида задана уравнениями
x = a(t — sint), y = a(l—cos£).
Найти угол наклона касательной к ней.
1110. Циклоида образована качением круга по прямой. Доказать,
что нормаль к циклоиде проходит через точку касания круга
и прямой.
1111. Найти касательную к кривой x = t2 — 3^ + 4, y = t2 —
— 4t-\-4 в точке (2, 1).
1112. На кривой x = 2t* — 9t2+\2t— I, y = P-\-t+l найти
точки, касательные в которых параллельны оси Оу.
1113. Найти наклон касательной к кривой
— 2, y = t*+2P — t2 — At — 2,
если (0, 0) — точка касания.

86 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [lll4
§ 6. Производные высших порядков
Производная от первой производной, т. е. (у'У или [f (х)]', называется
второй производной и обозначается через у" или f'(x).
Производная от второй производной называется третьей производной
и т. д. Во избежание смешения с показателем степени показатели
производной обозначают числом, поставленным в скобки. Иногда применяют также
римские цифры. Если в данной точке кривой y=f(x) величина У/>0, то
кривая обращена выпуклостью вниз, т. е. в сторону отрицательного
направления оси Оу. Если же у" < 0, то кривая в окрестности данной точки
обращена выпуклостью вверх. Если при переходе через данное значение х
величина у" меняет знак, то точка на кривой при этом х есть точка перегиба.
1114. Показать, что кривая у = \п х выпукла вверх.
1115. Показать, что кривая у = ах выпукла вниз.
1116. Показать, что синусоида y = sinx выпукла вверх, если
у > 0, и вниз, если у < 0.
1117. Показать, что тангенсоида y = tgx выпукла вниз там,
где у>0, и вверх там, где у <0.
1118. Исследовать направление выпуклости кривой у = ах%-\-Ьх
при а > 0.
1119. Найти точки перегиба кривой у = е~х2.
1120. Тот же вопрос для кривой у = 2~.
Производные высших порядков обыкновенно находятся
последовательным дифференцированием. Иногда при этом обнаруживается закономерность,
позволяющая написать производную высшего порядка, не находя
предыдущих. К числу таких случаев относится формула Лейбница для производной
порядка п от произведения двух функций:
uv(n) + C^u'v^-V _|_ du"v (w-2) + ... + u(n)v.
Здесь Cjj, С2,...—биномиальные коэффициенты.
В следующих примерах найти производные указанного порядка:
1121. у = х*. Найти у™. 1122. у = х*. Найти
1123. y = (Zx+5)2(2x2 + S)(x-{-7)2. Найти
1124. у = у-&% найти /". 1125. у = хЧпх. Найти /".
1126. у = а**. Найти /". 1127. у = -^. Найти /v.
1128. у= -^у. Найти /". 1129. у = х2е2*. Найти /v.
ИЗО. ^ = ^2cos3jc. Найти yv. Ш1. у==х2е2*. Найти у««.
1132. 3> = *2sin.x;. Найти у«». 1133. у = е*&пх. Найти у1 v.
llU. у = arctg(;c + Vl + х2). Найти ут.
1136. у = xYx2+l -f-ln(x+ 1/*л;2+1). Найти у1У.

П58]
§ 6. производные высших порядков
87
1136. Полагая у = ех sin х, z = ex cos х, доказать равенства
/' = 2z, z" = — 2j/.
1137. Доказать, что функция у = Се~х~\-Схе-2х удовлетворяет
уравнению у" + ЗУ + 2у = 0.
1138. Полагая у равным одной из функций: sin (m arcsin л:),
cos (m arcsin л:), sin (m arccos л:), cos (m arccos х), доказать, что
(1 — х2)у" — ху1 + т2у = 0.
1139. Доказать, что функция y = e~xcosx удовлетворяет
уравнению yv+4j; = 0.
В следующих задачах найти общее выражение для величины
при любом п:
1144. y = Vx.
1146. j> = x*emx.
1148. j> = jc3 In л;.
1150. у = In {-i
1152. .y— 1+
1145.
1147. .
1149. .
1151.
у = sin2 x.
у = х2 sin ax.
y = \n(ax-\-b).
v = sin3 ax.
Доказать равенства:
1153. [eaxsm(bx-{-
sin ф = — cos cp =
sin(bx-{-ny-\-c), где
l)n+i J; n
1155. (si
+ cos4 x)W = 4»-i cos (4дг+ ^.
1156. Полагая y = cos (win л:), доказать, что
x2y(n+*).jr (2Л-f. 1) *y<»+1> + (л2 + /
1157. Полагая j/ = arctg;e, доказать, что
j/(w) :=(л— \)\cosny • 81пл^з/
1158. Полагая у = хт In x, доказать, что
= 0.
-n + iy

88 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1159
при п^т. Если п-=т-\-\* то
—
1159. Доказать, что производная yw> сложной функции y=f(u),
где а = л;2, выражается формулой:
уп) = 2nxnf(n) _J_ 2^-2 n(n — l) xn-2f(n
П-4 Л(Л—1)(Л—2)(Л-3) ^-4/(11-
1160, Производная порядка п от г-*8 имеет вид е-х*Нп(х),
где Нп(х) — полином, называемый полиномом Чебышева — Эрмита.
Доказать справедливость равенств:
2) Нп(х) — IiLl
3) Нп(х) — 2хН'п(
1161. Доказать для полиномов Чебышева — Эрмита формулу
Нп(х) = (- 1)" [(2*)» — я(я1-1)(2*)»-»+
1162. Полиномы Лагерра Ln(x) определяются формулой
[*»«-*]<»> = e-*Ln{x).
Доказать равенства:
^ (х)+(1 — jc) /,'„ (х) + «in (*) = О,
Ln+i (*)—(2» + 1 — *) L» (х)+»2i»-i (*) = О,
1163. Полиномы Лежандра определяются равенством:
^(*) = 24К*2-1)»1(Я).
Доказать равенства:
; (х) — п(п+1)Р„ (х) = О,

11681 § б. производные высших порядков 89
1164, Полиномы Чебышева Тп(х) определяются равенством
тп (*) = 2^Т cos (n arccos *) =
(полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля). Доказать равенство:
1165, Производная порядка п от arcsinA; имеет вид
1-2п
рп(х)(\-х*) » ,
где рп(х) — полином. Доказать равенство:
(1 — х*)р1(х)-\-(2п — 3)хРп(х) — (п— 1)2Рп (х) = 0.
1166. Для полиномов предыдущей задачи доказать равенства:
V=l
Здесь A = [\ • 3.5...(2w— I)]2.
1167, Справедливо равенство:
где pn{x)—полином. Доказать равенства
1) **Л—[(2я—2)*;
2)р1+(«
1168. Доказать равенство ^"lg = ^^X **•
Указание. Обозначая левую часть через ип, доказать равенство
=(л — 1)^-! — «п-2 и применить полную индукцию.

90
ill. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1169. В равенстве
(1
числитель рп{х) —
полином степени п. Доказать равенства:
1) Pn+i + (2» + 2)хрп+п{п + 1)(1 + х^р^ = 0.
2) ^-+»(«+1)Р„_1 = 0(
3) (\+х*)р"п—2пхр'п+п{п+1)рп = 0.
1170, Для предыдущих полиномов доказать формулы:
При параметрическом задании связи между переменными x
y — fit) производные ух, у"х, у'х,... следует находить, основываясь на
инвариантности первого дифференциала: ух = ^ , у"х = -~^, /^ = -^-.
В следующих примерах найти производные указанного порядка.
fx = eat cos В£,
. _ Найти
( у = a sin t.
1173. I X~~aC°* ' Найти yl
[ у = a sin31. '
. 1174.
, л Найти54.
a sin t dx*
1175.
1176.
1177.
{jc = acos6/,
j/ = fl sin5 /.
Найти
Найти
Найти
Найти
dx*
dx*

И91 ] § 6. производные высших порядков
х = а(* + sin ОН— ^sin -~ ,
y = a(2-\-cost)-\-b cos у.
x = (2n+l)cost — cos(2n-\-l)t,
91
1179.
1180.
{A: = acos£,
y-b*nt.
x = a sin t (2 — sin21),
y = b sin2 / • cos t.
= a(t — sin t),
a cost.
Найти
dx*
1182.
1183
•{;:;
Г * = acos*-f-(fltf-4-&)sin*,
1184-. { . .
\ y = asmt —
1185.
1186
у ==asin£ — (at-{-b)cost.
x = a(cost-\-tsint),
— 1],
1].
l# I x al^sm +
1187.
1188.
1189.
1190.
JL191.
Vcos* — sin* '
> = at — a In Y^cos t — sin t.
x =
X = (
У =
4 sin*
с
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
Найти
dx*
dx*'
L
dx*'
dx*
cPy

92 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1192
1192.
а
Х =
1 + *2 '
'-«-«if*
Найти
1193. Доказать, что при х2у2-\-х2-\-у2—1=0 имеет место
dx , dy n
равенство —. . н - = U.
1194. Доказать, что при а + ^(д:+#у) + с-ЧУ = /^(л:—.У) имеет
место равенство
dx dy
1195. Проверить, что если у=у [_±_Х2> то
rl —jc4
1196. Проверить, что если А(а — сху) = Ь-{-с(х~\-у), то
dx . dy Л
———^——^——- 1 * ■ ■ ^j a
1197. Проверить, что, если хну связаны уравнением
хУа-\-Ьу-{-су2-\-у]/ а-\- Ьх + сх2 = А(х—у),
то
dx dy
xYa + bx + ex* у У а + by + су2
1198. Если Р(х) и Q(jc) — полиномы, такие, что
1Л— Р2(х)= Q(x)VlZI~x*>
то W — = пI—- причем п — целое число. Доказать.
Указание. Р (х) и Q (^) — взаимно простые полиномы с одинаковыми
коэффициентами при старших членах.
§ 7. Функции нескольких переменных. Их производные
и дифференциалы
Следующие примеры показывают, что понятия предела и
непрерывности для функций нескольких переменных несколько сложней, чем для одного
переменного.
^2 у2
1199. Показать, что Нт Нт 2 , 2 =—1, lim Нт
а?-»0 х "ГУ

1213 1 § 7. функции нескольких переменных 93
1200. Показать, что
Х2 _Ly2 х2 4- У2
lim lim « , , —r^- = lim lim . , ,—гг»
X2-\- V2
а величина lim « . , —g- все же смысла не имеет.
1201. Показать, что если х -> оо и j/ —► оо так, что отношение
■^- имеет любое данное постоянное значение, то ..( 2__ . ->0.
В то же время эта величина может не стремиться ни к какому
пределу, если отношение — не постоянное.
1202. Показать, что f(x), определенная равенством
f(x) = \\m lim cosm n\2nx,
равна единице, если х — рациональное число, и нулю, если х —
иррациональное число; т и п—натуральные числа.
1203. Показать, что в любой окрестности точки (0, 0) функция
f(x, у), определенная равенствами
/(0, 0) = 0, /(*, У) = £=^ при
принимает всякое значение в интервале (—1, 1). При этом под
окрестностью точки (0, 0) подразумевается любая область (круг,
прямоугольник и т. п.). содержащая точку (0, 0) внутри.
1204. Функция определена равенствами:
Д >0, /(0, 0) = 0.
Показать, что эта функция непрерывна относительно каждой из
переменных х и у в отдельности, не будучи в окрестности точки
(0, 0) непрерывной функцией обеих переменных при их совместном
изменении.
1205. Показать, что функция, определенная при х2-\-у2
равенством f(x, y) = exJ + yJ, принимает любое положительное значение
в любой области, внутри которой содержится точка (0, 0).
В следующих примерах найти частные производные от
указанных функций:
1206. и = х*-\-у*— Ъху. 1207. и = 2х* —
1208. u = xy-\-xz-\-yz. 1209. и
1210. и =
1211. и = епг. 1212. и = arctg —.
1213. ee*j,_l + iL.

94 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1214
+ y + +y+ + y
1215. и = (хуу- 1216. u = z™J.
Найти полные дифференциалы от функций:
1217. u = s\n(x2-{-y2). 1218. u = SLtctg~.
1219. e = lntgy. 1220. u = V
1221. u = \n(x-i-y-{-z). 1222. « = **.
Если при увеличении всех переменных в t раз функция умножается на ^,
то она называется однородной функцией измерения /г. Так, например, если
f(tx, ty, ts) = tnf(x, у, г),
то f*{x, у, г) — однородная функция измерения /г. По теореме Эйлера, если
f(xb лт2,... , хп) — однородная функция степени /г, то имеет место равенство
Проверить на следующих примерах теорему Эйлера
непосредственным вычислением производных:
1 х_
1223. a = №+y2 + z*)*ln—. 1224. я = у*г .
1225. и = *in * + У + г_ т 122б. и =
1227. u = Vx2+y2 + *2- 1228. « =
1229. Найти производную функции/= 4л:3—2ху2 -f- 3_y3 в точке
(1, 2) по направлению 60° к оси Ох.
1230. Найти производную функции f=5x-\- Юх2у-\-уь в точке
(1, 2) по направлению, идущему к точке (5, —1).
1231. Найти производную функции f=x2-{-y2 в точке (1, 2)
по направлению прямой Зх-\-4у = 11: 1) в сторону возрастающих
лт-ов, 2) в сторону убывающих лт-ов.
1232. Написать выражение производной функции f(x, у): 1) по
направлению касательной к кривой ср(л:, у) = С, 2) по направлению
нормали к кривой ср (х, у) = С.
1233. Найти производную функции / = х* + 2ху2 + 3yz2 в точке
(3, 3, 1) по направлению вектора j
v2 \i2 y2
1234. Найти производную функции F =—% +*р"Ч""72" по
направлению внешней нормали к поверхности F = const.
Найти частные производные в следующих примерах:

12611 § 7. функции нескольких переменных 95
1238. -g^, если и = хУ.
1239. -^г, если и = \п(х+у).
Найти дифференциалы в следующих примерах:
1243. d2u, если л = а:2 —
1244. ^2й, если и = х2у2.
1246. й?2й, если и = е*У.
1246. </2я, если й = ~
1247. d2u, если « (+3 + )
1248. d4u9 если л = х4 + 4х?у + 2xy2z — y +
1249. flf4a, если « = х* — Зх2у2 + у* -\-bxyz — а;8—
ЧУ+У + ^
1250. rf*ir, если u = x* +
1251. tf3tf, если й = xyz.
1252. tf^, если u = \n(2x+3y — z).
Найти частные производные, вычислив сначала полные
дифференциалы нужного порядка.
1251. e—
Найти полные дифференциалы первых двух порядков для слож«
цых функций в следующих примерах:
1257. я =
1258. я =
1259. я = р(О
1260. й = ср($, if]); l =
1261. «==ср($, тг|, С);

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1262
Найти производные первых двух порядков от функций:
1262. я = ср(£, 1)); t =
1263. я = ср(£, <*)); 5
1264. Найти производные порядка п от # = ср(/), где / =
1265. Найти -Ук если и
1266. Показать, что, если лг2 = т]&, y2 = Q, z2 = b\, то
ди . ди у ди . ди . г ди
ди
1267. Полагая x = pcoscp, ^ = psincp, найти
1268. Полагая х = р sin cp cos ф, у = р sin cp sin ф, ^г = р cos cp,
вычислить величину функционального определителя (якобиана)
дх
др
ду
др
дх
д<?
ду
D (*, У* *) _
дх дх дх
ду ду ду
др ду
дг дг_ дг
др дц д^
D (р, ф Ф)
1269. Положив г2 = а2 + р2 — 2ар cos cp, найти
1270. Полагая лг = ^С, j; = &q — tyt, 2r = ij — &rj, найти якобиан
1271. Доказать, что при * = coscp, j/ = sin cpcosO, z =
= sin cp sin 6 cos ф якобиан равен — sin3 cp sin2 6 sin ф.
jc2
1272. Доказать, что при д1=—===•, и2 =
-х2Л-х\, справедливо равенство:
i где г2==
1273. Доказать, что
ду ду
dv
п( ду ду ду \
Л • • • • Уп)
Здесь v = v(xv х2, ... , лгп;
ными вторыми производными.
D (хь хъ ... , хп)
., уп) — функция с непрерыв-

1284] § 7. функции нескольких переменных 97
1274. Доказать, что для однородных функций у(х, yt z)
измерения п справедливо равенство:
1275. Проверить, что "^Г = #2 "хт > если g == ' г— е ыч
1276. Проверить, что *-*L+j,-|L + z-!|L = O( еСли «
Вычислить выражения:
1878. *!*+2ху£Ъ+?%. если »-
town &и &и ( &а \2
Ш9- -а^-5)г~1лГ5зг)'если и==
1280. Функция, называемая потенциалом шара х2-\-у2-\-z2 = a2,
определяется равенствами:
при x2+y2-\-z2<a2,
и= Г 4lza при
З/^ + ^ + гЗ v
Проверить, что и и ее первые производные непрерывны при
любых х, у и z и что лапласиан
А д2и . д2и , д2и
= 0 или ~4
смотря по тому, лежит ли точка М(х, у, z) вне шара х2-\-у2-{-
-\-z2 = a2 или внутри его.
128J. Проверить равенство
Проверить следующие равенства:
7 Зак. 2656. v Сборник задач, Г

98 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1285
1285.
1286. 5^—^ — 2а^ = а2и; и = в--«р (х — у).
1887. g-^=-2cp"; «
1288. (дг2_^)^ + ^
1289. xg+y% = u-**-?; а = х<?g)_* -у*.
1290. g = a^; в = т(
. где
-O. если а = *?0)
+g+^-rt,. где
Ш7. х^+2ху^+у^ = п(п-1)и, где
ди д2и ди дъи
^^^' если и=
если и =
/ди\1 ., Г d% (ди\]
-y j = ^|a^_(^)J, где
и =
Замечание. В задачах от 1233 до 1300 содержатся неопределенные
функции ?( —), b(x-\-at) и т. д Эти функции могут выбираться
произвольно из чис m функций, имеющих нужные в данной задаче производные.
Сами же эти задачи содержат решения уравнений в частных производных,
встречающихся в вопросах математической физики.

13121 § 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 9&
§ 8. Дифференцирование неявных функций
Уравнение / (х, у) = О, имеющее решением пару чисел (х0, у0),
определяет в окрестности числа xQ величину у как функцию от х, если частная
производная У- отлична от нуля в точке (^0. Уо) и непрерывна в ее
окрестности. Последовательные производные от у по х могут быть получены из
равенств:
Ш
Подобным путем можно вычислять и производные от неявных функций,
заданных одним уравнением с несколькими переменными.
Если несколько неявных функций заданы несколькими уравнениями, то
при вычислении производных иногда удобно пользоваться дифференциалами.
При этом следует иметь в виду, что дифференциалы высших порядков от
тех переменных, которые приняты за независимые, равны нулю.
1301. jp + y*—'Ааху = 0. Найти / при х=у.
1302. хь-\-у6 — Заху = 0. Найти х, при котором У = 0.
1303. хУ=у*. Найти у при хфу.
1304. xsxny — cosj> + cos2j/ = 0. Найти у.
1305. х=у — ос sin j/. Найти У и у".
1306. *2+2;ty+j/2 — 4л;-{-2у — 2 = 0. Найти уш при х=1,
у=1.
1307. х+у = е*-У. Найти у".
1308. \nV*2-\-y2 = arctg^. Найти f.
1309. (х — о)2-\-(у — b)2 = R2. Считая здесь х независимой
переменной, а у — функцией, взять четвертую производную от обеих
частей уравнения.
1310. Для уравнения х(х2-\-у2)—а(х2—у2)=0 при * = 0, j> = 0
формула -J- -\- -j- У = 0 не дает возможности найти у'\ однако у'
можно найти и здесь из формулы
Найти у.
1311. {х2 + у2 — Ьх)2 = а2(х2+у2). Найти у' при * = 0
1312. Тот же вопрос для уравнения х'6-\- у* — Зху = 0.
7*

100 Ш. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1313
1313. Даны уравнения х2—y2-\-z2=l, у2 — 2x-\~z = 0. Найти
у1 и г" при x=l, y=l, z=l.
1314. Г +У ^Z — ' Найти У и У.
\2 + 2 + 2 b*
1315. Из уравнений х2-\-у2— z2 = 0, *2 + 2у2 + Зг2 = 1 найти
d2y и tf22, если а: — независимое переменное.
1316. Из уравнений х2 + у2 = 2z2, x2 + 2y2-\-z2 = 4 найти ^
и -^ в точке (1, —1,1), если z — независимое переменное.
1317. х-\-у~{-г = а, xb-\-y^-\-z^ = ?>xyz. Найти производные
от у и z.
1318. В точке (1,1, —2) найти первые и вторые производные
от у и z, если ^4-^ + ^ = 0, х*-\-у* — 28=10.
1319. x2+y2 + z2 = 2z. Найти |J.
1320. JC3 + y +^3—3^ = 0. Найти
1321. х2 — 2y2-\-z2 — 4x +2^ — 5 = 0. Найти ^ и
1322. xcosy +ycosz-\-zcosx = a. Найти ^ и -^-.
1323. jcv + jc2: + 3;'2:=1- Найти tfz и d2z.
1324. Найти rf2^, если ^-{-^-|_^= 1.
Д^ О* с"
1325. Найти ^22:, если cos2* -+- cos2^ + cos2^ = 1.
1326. Найти d2z в точке х = а, у = а, 2 = 0, если
y
3^7. Найти вторые частные производные г, если эта функция
от х и у определяется уравнением у = xy(z)-4-ty(z).
1J2S. Показать, что л;-л |-j; j— -гт -^— = 0, если uv = 3x—
— 2у + z, v2=j2 22
1329. xu-\-yv = O, uv— xy = 5; при x= 1, y=—1 принимаем
: = v=2. Наитий и ""
dx* Ox Oy '
1330. x = y(t), y — <l(t), z = kt2. Найти производные от х i\ у
no z.
1331. x = a cos я sin v, y = bcosucosv, z = csinu. Найти
1332.->Показать, что, если Z7(д:,^,^) = 0, то ^•^•gj =—Ь

1339] § 8. дифференцирование неявных функций 101
1333. Переменная и = x*y2z, причем сами х, у и z связаны
уравнением х2+у2 + z2 = Ъхуг. Определить^ в точке (1, 1, 1),
когда: а) независимые переменные х и у, б) независимые
переменные X И Z.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее
производные от неизвестной функции. Нахождение этой функции представляет
вообще трудную задачу; мы будем ее рассматривать во второй части. В
следующих шести задачах дело идет о более легком вопросе. В нем
предлагается проверить, что указанные функции удовлетворяют данным уравнениям.
1334. Показать, что z, определенная как функция от х и у
уравнением х — az = ср {у — bz), где ср — любая функция, имеющая
производную, удовлетворяет уравнению в частных производных
дг . .дг ,
называемому уравнением цилиндрических поверхностей.
1335. Показать, что z, заданный как функция от х и у
уравнением z = xy(-\t удовлетворяет уравнению конических поверхностей
dz , дг
1336. Показать, что при соблюдении уравнений 2 = ccx;-f-j/(p(a)-f-
), 0 = #Н-ву«р/(а) + ф/ (а)> z удовлетворяет уравнению
&Z &Z ( &Z \2 _
дх^ду* [дхду] ~и#
1337. Показать, что при у = л;<р (z) + ф (z) удовлетворяется у
равнение
d*z_ /dzy 9dz dz &z , д2г(дг\*_()
дхъ\ду) дхдудхду~т~ду*[дх) ""
1338. Функция z от х и у задана уравнениями:
[г — Ч (ос)]2 = х2(у2 — а2), [г — ? (а)] ?' ^а) = ах2.
Показать, что
dzdz
хУ
1339. Даны уравнения:
Показать, что

102 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1340
§ 9. Замена переменных
Иногда приходится менять роль переменных, принимая за неизвестные
переменные те, которые раньше считались функциями. От этого выражения,
содержащие производные, обыкновенно меняют вид.
Если независимое переменное х заменяется новым независимым
переменным t с помощью равенства x = y(t), то удобнее всего пользоваться
формулами
'_ 4У _ *У у" _ <*У'х
Ух dx ~~ ср' (/) dt* Ух~ dx
или
dt' y - <p'(OL<P'(O d4 ' ~~ <? WW dt
Здесь в левых частях производные взяты по л:, а в правых частях
производные берутся по t
В частности, если за новую переменную берется у, то, полагая х
можем применить прежние формулы, где теперь
Таким образом получаются равенства:
У X" У — Х'Ъ* У
1340. Принять у за новое независимое переменное и
преобразовать уравнение yf—ху'*-\-еУу'* = 0.
1341. Преобразовать уравнение у'у'"—зу/2:==0, приняв
независимое переменное х за функцию от у.
1342. Таким же образом преобразовать уравнение:
/*у v _ 1 о//'/" + 15//8 = 0.
1343. В уравнении (1 — х2) ^ — х -^- + а2у = 0 положить
# = cos t.
1344. В уравнении х2уг/-\-Зху/ -{-у = 0 положить х — ег.
1345. В уравнении хч6у'"-{- 2х2у"—лг^ +3; = 0 положить t = In x.
1346. В уравнении (*+я)3///+3(я+л;)2//+(а + ^у + 6у = 0
положить 1п(а + лг) = ^.
1347. В уравнении (1+л:2)2у/+2л:(1-)-д:2)У + 3; = 0 положить
1348. Показать, что подстановкой x=-^\ntg2t уравнение
преобразуется в такое:

1359] § 9- ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 103
1349. Подстановкой # = 1^1—t2 преобразовать уравнение
(л: — л;3)/Ч- (1 — Ъх2)у' — ху = 0.
Доказать, что новое уравнение будет того же вида, что и прежнее.
1350. Преобразовать уравнение
положив *=
В следующих задачах удобно воспользоваться независимыми от выбора
аргумента формулами, выражающими производные через дифференциалы:
f dy ff dx d?y — dy d*x
y ^dx' y" = dx* >###
1351. Преобразовать выражение * J к полярным
координатам, положив x = rcoscp, y = r sin ср.
1352. Тот же вопрос для выражения х~^уУ .
з_
1353. Тот же вопрос для выражения „"
1354. В уравнении (1—х2)2(а—у") = Ьу положить
где $ — аргумент, а- г\ — функция.
1355. В уравнении 2у"-\-(х-\-у)(\—у')* = 0 положить х—у=*
= и, x-\-y = v и принять и за аргумент, a v—за функцию.
1356. Преобразовать уравнение у" = _ ,2( __йч2 У* положив
^ 1п Х'~~С1
и=
х — р х
1357. Преобразовать уравнение
d2y dy
взяв за новый аргумент / = —.
1358. Преобразовать уравнение
'~~С1 и приняв t за аргумент, а и — за функцию.
р
взяв за аргумент у и за новую функцию z= n-.
1359. Переменное х есть функция от t. Вместо него вводится
новая функция с помощью дробно-линейной подстановки у = —^-?,

104 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1360
где а8 — $уфО. Доказать равенство:
х"г 3 /х"\* у"' 3 /у"\2
(Шварц).
Указание. Полезно свести вопрос к случаю подстановки у = —.
В этом случае равенство ху = 1 следует трижды продифференцировать по L
1360. В уравнении 9/'2.yv — 45/'/"/v + 40/''3 = 0
переменные х и у подвергаются томографическому преобразованию по
формулам:
у aX+bY+c ' aX+bY +
Доказать, что вид уравнения не изменится.
В следующих задачах требуется преобразовать выражение, содержащее
частные производные по х и по у, вводя новые независимые переменные.
Если новые переменные даны равенствами и = <р (х, у), v = ф (х, у), то по
правилу дифференцирования сложной функции имеем:
dz_ ^jtyi^f.^ dz_ dz ду . dz д&
дх да дх * dv дх ' ду да ду ' dv ду '
Эти равенства позволяют от производных по х и по у перейти к
производным по а и v. Следуя тому же пути дальше, можно выразить и
производные высших порядков.
1361. В уравнении у-^- — х-^- = 0 ввести новые независимые
переменные и и v, положив и = х, v = x2-{-y2.
1362. В уравнении х-^--\-у~г- — z = 0 положить и = х, v = —
ох оу х
и принять и и v за новые независимые переменные.
1363. Такой же вопрос для уравнения
где « = *, «=
Преобразовать к полярным координатам, положив x = rcos<p,
y = rsin<D, следующие выражения:
1864. w^
IMS. „=/g-
Приняв а и г/ за новые независимые переменные, преобразовать
следующие уравнения:

1381] § 9. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 105
1369. g—а2з| = О; и=у + ах, v = y-ax.
1370. **+*J+m*z = 0; 2* = «*-<;*, .у = <ш.
1372. При помощи подстановки вида и=х-\-ау, v = x.-\-$y
преобразовать уравнение ^—^a"^~^'SxJ—Ь^-^- = 0 к ВИДУ
Приняв и и v за новые независимые переменные, a w — за новую
функцию, преобразовать к новым переменным следующие уравнения:
1373. | + ^g = l; « = ±, „ = *, « = *г-^.
1375. g^ g
1376. Какой вид принимает уравнение gp+g"i+tt = 0»
= ?(г), где г =
1377. Тот же вопрос для уравнения
I-5^ = 0-
1378. Какой вид принимает уравнение -г—г- -\-aw = 0, если
w = <?(u), где и = (д: —^о)СУ—.Уо)?
1379. Какой вид принимает уравнение ^+^"i+^p+ и = 0,
если й = ср(г), r = V
1380. Выражения
•преобразовать к сферическим координатам, полагая
х = г sin 6 cos cp, j/ = rsinQsincp, ^:=rcos0.
1381. Если л: = ср(н, v), y = ty(u,v) и притом ^ = ^, д^:
= — -}г> т0
^е; , &w _ (&w , <Pw\ Г/дф \2 , /дф
&*2 "Г ^2 — ^2 "» а^у [\da/ "+■ \dv
Доказать.

106 III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ 1382
1382. Доказать, что, вводя новые переменные по формулам
X=^~t Y = x-£-—у у получим, что jc = ^, у = Х-ггг—Y.
1383. Преобразование Ампера состоит в том, что новые
переменные вводятся формулами:
~~Х> ~~ду* ~~~Z У'ду'
Доказать, что при этом получаются равенства:
дЛ=дЛ. ^. = — Z = z—Y—
1384:. Преобразование Лежандра состоит в том, что вместо
переменных х, у и z вводятся новые по формулам Х = р, Y = q,
Z = px-\-qy — zt где /?=— и q = ^-. Доказать, что для
производных от новых переменных получаются равенства:
dZ dZ
rt — s* '

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ
§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Возрастание
и убывание функций. Неравенства
Теорема Ролля. Если в интервале а < х < b производная f (x)
существует и lim f{a -\- h ) = lim f{b — h\ то уравнение f (x) = 0 имеет по край-
h->0 h->0
ней мере один корень в том же интервале.
Теорема Лагранжа. Если в интервале а < х < b производная f (x)
существует и / (а) = lim / (a -f- h), f (b) = lim f(b — fi), то
A-> + 0 /i-> + 0
где с — некоторое число в том же интервале.
1385. Доказать, что корни производной от полинома
х(х— 1)(х— 2)(х — 3)(аг — 4)
вещественные, и указать пределы, между которыми они заключены.
1386. Доказать, что производная от полинома, все корни
которого вещественны, не имеет мнимых корней.
1387. Доказать, что полином Лежандра
имеет все корни вещественные и лежащие в интервале (—1, 1).
1388. Доказать, что у полинома Лагерра
все корни положительные.
1389. Доказать, что у полинома. Эрмита — Чебышева ех2—, п
все корни вещественные.
1390. Существует равенство *"£** = fiff . гДе P»-i W~
полином степени п—1. Доказать, что все корни этого полинома
вещественны.
1391. При каких значениях х функция . а возрастает?
1392. При каких значениях х функция л:3(1—х) убывает?

108 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [ 1393
1393. Доказать, что функция хпе~х, где п > 0, возрастает при
0 < х < п и убывает при л:>/г.
sin х
1394. Доказать, что при 0 < х < тт функция убывающая.
X
1395. Доказать, что при увеличении числа сторон периметр
правильного вписанного многоугольника возрастает, а периметр
описанного — убывает.
1396. Доказать, с помощью теорем о возрастании функций, что
(1 \п
\-\ j возрастает при любых п > 0.
Пользуясь формулой Лагранжа, доказать неравенства:
1397. n(b — a)an-l<bn — an<n(b — a)bn-1 при Ь>а>0,
1398. -г-^— <1п(1 + а:)<а: при л;>0.
1 -J- X
1399. е* > 1 + х-
1400. ех>ех при х> 1.
1401. *5|ln Jc|<-g. при 0<*< I, 8>0.
1402. Доказать теорему: если при х = 0 функции срОс), ср'(л;), ...
... , <р1п-й (х) обращаются в нуль, а функция <р(п)(л:)
положительна при х > 0, то <р (л:) > 0 при положительных х.
1403. Доказать теорему: если
и ср(^(л:)> ф<п) (л:) при л:>0, то при положительных * справед-
ливо неравенство ()> ty()
Доказать неравенства:
140*. х g-<sinA:<A: при л:>0.
1405. х — -^-<ardgx<x при *>0.
о
1406. tgx>x-\-^- при 0 <*<!-.
1407. х — ^-<\п(\-+-х)<х; х>0.
1408. Непосредственным возведением в квадрат доказать
неравенства
(-*<1+-J- ПРИ 0<*<8.
1409. Доказать, что при 0<л;<1 величина е2х меньше, чем
1-х '

1417] § 1. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ 1UJ
1410. Доказать, что если рп — периметр правильного вписанного,
2 1
а Рп — правильного описанного многоугольника, то -т^рп-\- -тРп
больше длины окружности (Гюйгенс).
1411. Доказать, что у геометрической прогрессии с
положительными слагаемыми сумма членов, равноудаленных от концов
прогрессии, меньше суммы крайних членов.
1412. У арифметической и геометрической прогрессий число
членов и крайние члены соответственно одинаковы, а все члены
прогрессий положительны. Показать, что у арифметической
прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.
1413. Числа mv т2, ... , тп положительны, а точки
(xv ух) (х2, у2), ... , (хп, уп)
лежат на кривой у = <р (х). Доказать, что если кривая выпукла
вниз, то имеет место неравенство
/тххх + т2х2-\- ... +тпхп\ тху (хх) + т2ср (х2) + ... + "*n? (xn)
у\ тг + т2+ ... +тп /^ т1 + т2+ ... + тп
Если же кривая выпукла вверх, то знак неравенства меняется на
обратный.
Следующие задачи сводятся к предыдущей. Числа ар а2, ... , ап
в них положительны. Числа xv х2, . .. , хп предполагаются
положительными и такими, что среди них имеются неодинаковые.
1414. Доказать, что при т > 1 справедливо неравенство:
(ai* + a2*2 + ... + апхп)т < atx? + <х2х2п + ... + апх?,
где ax + a2+ ...+aw=l.
1415. Доказать, что среднее арифметическое положительных чисел
меньше среднего квадратичного тех же чисел, т. е. что
Х<+Х2+...+Хя
п
1416. Доказать, что при w>l и положительных числах xv
х2, ... , хп справедливо неравенство
1417. Если числа а и числа л: положительны и ах —|- а2 + . •. —р~
-f-an=l, то справедливо неравенство
В частности, среднее арифметическое положительных чисел больше
среднего геометрического тех же чисел. Доказать.

110 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1418
1418. При любых вещественных значениях коэффициентов av и £v,
а также переменного х имеет место очевидное неравенство
Исходя из него, получить неравенство Коши:
(я А + аф2 + ... + anbn)2 ^
^ (*? + «!+ • • • +4) (
В следующих задачах полезно применить преобразование
координат.
1419. Доказать, что на. окружности х2-\-у2=\ выполняется
неравенство
если кривая Ах2 + Вху + Су2 = 1 есть эллипс с полуосями а и /?.
1420. Поверхность Л*2 + #у2 + Сг2 + Dxy + £*2 + Fyz = 1
после соответственного поворота осей имеет уравнение ^
2 2
-j- B^i + Ci^i = 1» где Лх < Бх < Сх. Доказать неравенство
§ 2. Нахождение наибольших и наименьших значений
функций одного переменного
В дальнейшем под наибольшим значением функции подразумевается
значение, большее всех достаточно близких соседних, и под наименьшим —
меньшее всех достаточно близких соседних. Нахождение наибольших и
наименьших значений, в собственном смысле слова, сводится к нахождению таких
наибольших и наименьших значений по сравнению с соседними, а также
к изучению значений функции на концах интервала, в котором она изучается.
Основной признак, дающий возможность находить наибольшие или
наименьшие (экстремальные) значения функции, доставляет следующая теорема:
Если при переходе через некоторое значение аргумента производная
от функции меняет знак-(-на — (при изменении аргумента от меньших
значений к большим), то функция получает наибольшее значение; если же знак
производной переходит с — на -)-, то функция получает наименьшее
значение.
Часто бывает удобен и другой критерий:
Если при некотором значении аргумента величина первой производной
равна нулю, а вторая производная отрицательна, то функция имеет
максимум; если первая производная равна нулю при положительном значении
второй производной, то функция имеет минимум.
1421. Найти максимум функции у = 6х — х2.
1422. Найти минимум функции у = х2 — 8л\
1423. Найти экстремальные значения функции у = лг3—12л;.

14631 § 2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИЙ 111
. Показать, что функция у = х2(8 — х) имеет максимум при
jc = 6 и не имеет экстремума при а: = 0.
1425. Показать, что функция у = х2-\- -~- х2 sin — имеет мини-
мум при л; = 0, хотя первая производная при переходе х через
нуль не меняет знака ни с — на -f-, ни с + на —.
Найти экстремальные значения следующих функций:
Н26. у = х* — Зл;2 + 6л;+7. 1427. у = а:3 — 9а:2 + 15*— 3.
1428. у = а + (х— Ь)К 1429. у = а + (х — bf.
1430. у = х* — 8х*-{-22а:2 — 24а: + 12.
1431. ^ = а:5 — 5а:4 + 5а:8 — 1. 1432. j/ = (а: — 4)4 (л; + З)8.
U33. ^ = 5^.. Ш4. у = х + \.
1438. у =
1439. ^ = х In а:. 1440. ^ = a:2 In x.
1441. у = хх. 1442. ,у =
1443. ^ = хпе~х., п — положительное.
1444. у = я*е'*.
1445. у = е*-\-е'х. 1446. у
1447. .у = ^»1^(Аг—I)2 при —2<а:<2.
1448. j; = In jc — arctgA:. 1449. y = excosx.
1450. У = -г^гъ—Г~ ПРИ ^2 < 1 (рассмотреть два случая:
при 0<а<2-
1453. ^ = sin За: — 3 sin х. 1454. ,у = arcsin sin x.
Найти экстремальные значения функций у, заданных неявно
следующими уравнениями:
1455. у2 4- 2j/a:2 + 4х — 3 = 0. 1456. у2 + 2ух2 — 4х — 3 = 0.
1457. ху2 — А:2.у = 2а3.
1458. х2 + 2ху + у2 — 4х-\-2у — 2 = 0.
1459. а:2 — 2а:^ + 5^2 — 2а:+4^+1 =0.
1460. а:2 + 4а:^+4У + а: + 2^—1=0.
1461. а:8 + У—ЗаА:,у = 0 при а > 0.
1462. л:4 + у —4а:^ = 0. ШЗ.

112 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1464
§ 3. Построение графиков функций
Графики, предлагаемые в этом параграфе, должны строиться
с помощью теорем о возрастании функций, исследования
экстремальных значений и направления выпуклости кривой, если это
оказывается возможным.
1464. у = х*-Ъа*х. 1465. y =
1466. jr = (*+l)*(* —2). 1467. У =
Ш8. у - ^ 1т- У = Ае~*
1470. у = х*е~°, п > 0, а > 0.
1471. y = **e'k 1472. j, = Jj _ (
+ ^
1478. ,-
1479. 2y = V
1480. ^ = /л:24-^Ч- 1 — V*2 —
1481. у = ztz at2 V^+l. 1482. j, = (* -f 1P
1483. у = У(х-\-1)2-{-у(х— I)2.
1484. у = 1^(лг+1)2 — t(x— I)2.
1485. j/ = V^+T— V*2—1. I486, у = =fc^==.
1487. y = zt=i/ i=i. 1488. .y = =t- *
. 1— ЛГ2*
1489. >=±!'"
1490. aj; = z±:. .
при
1492. у* = л:»+px+? при 4/?з + 27^2 < 0.
1493. у2 = xs-\-px-\-q при 4/?8-|-2792 = 0.
1494. у = cos3 д:+ sin3 д:. 1495. .у = cos4 лг + sin* x.
1496. v = (

1520 J § 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 113
U97. у = sin х + i-sin 2x + J-sin За:.
cos 2х
У
1499. у = lf^. 1500. у = ^r' 150L У = sin x*'
1502. у = х\пх. 1503. .у = хг 1пд:. 1504. ^ = In(х2 — 1).
1505. -y = §"ln[zrr-
1506. _у = (1+д:)а; при jc>-—1.
Изучение графиков соответствующих функций во многих случаях
позволяет определить число вещественных корней уравнений, даже в случае
наличия буквенных коэффициентов. Так, например, имея уравнение аех = х%
переписываем его в таком виде: хЧ~х = а. После этого вопрос сводится к
определению числа точек пересечения прямой у = а и кривой у = х*е~х.
Ордината последней возрастает от — оо до 27e~z при возрастании х от — оо
до 3. После этого она убывает дэ нуля при х, изменяющемся от 3 до +оо.
Отсюда следуют выводы: а) при а^>27е~3 уравнение не имеет
вещественных решений; Ь) при а = 27г~3 уравнение имеет корень х = 3 — это будет
кратный корень; с) при 0< я<1,3уразнение имеет два вещественных корня:
0<Jtrt<3 и лг3>3; d) при д<0 уравнение имеет один отрицательный
корень.
Определить число вещественных корней уравнений:
1507. 12а:4— 14л;3 — За:2 — 5 — 0.
150S. а:4 — 4ал;3 — 2 = 0. 1509. 2л;8 — Зал;2 +1=0.
1510. л; In л; = а. 1511. In л; = ал;.
1512. Доказать, что уравнение л;8 + /?л; + # = 0 при
вещественных р и q имеет один вещественный корень при 4/?3-f-27#2 > 0
и три вещественных корня при 4/?3—(— 27^2 < 0.
1513. Доказать, что при а>1 уравнение ах = Ьх имеет два
вещественных корня при ft>elna, не имеет ни одного
вещественного корня при elna>&>0 и имеет один корень при &<0.
Определить, при каких значениях параметра следующие
уравнения имеют указанное число вещественных корней:
1514. Зл;4 -f- 4л;3 — 6л;2 — 12л; -f- т = 0 — два различных корня.
1515. 2л;8— 13л;2 — 20л; + т = 0 — один корень.
1516. Зл;4—14л;8 — 45л;2 -f- т = 0 — четыре различных корня.
1517.2л;3—4л;2 — 30л;+/я = 0—два совпадающих корня и
один простой.
1518. х2-\-х-\-е~х-\-т = 0 — два совпадающих корня.
1519. л;2 — х — \пх-\-т = 0 — ни одного корня.
1520. 6arctgA; — л;3-|-^ = 0 — три корня, из которых два
совпадающих.
8 Зак. 2666. Сборник задач, I

114 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1521
§ 4. Разные задачи на наибольшие и наименьшие
значения
1521. Определить наибольшую площадь прямоугольника с
периметром 4 а.
1622. Определить наибольшую площадь прямоугольника,
вписанного в круг радиуса а.
1523. Определить наибольшую площадь прямоугольника,
вписанного в сегмент круга радиуса а, если центральный угол,
замыкаемый сегментом, равен 2а.
1524. Определить наибольшую площадь прямоугольника,
вписанного в параболический сегмент, ограниченный параболой
у* = 2рх и прямой х = 2~ •
1525. Определить наибольшую площадь прямоугольника, у
которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника,
а две вершины — на боковых сторонах треугольника, если
треугольник имеет высоту h.
1526. По углам прямоугольной пластинки со сторонами а и Ь
вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся крестообразной
фигуры образована коробочка, высота которой равна стороне
квадрата. Найти длину стороны вырезаемого квадрата, при которой
получается наибольший объем коробочки.
1527. Поперечное сечение бревна есть круг радиуса а. Из
бревна вытесывается брус с прямоугольным поперечным сечением.
Прочность бруса пропорциональна основанию и квадрату высоты
поперечного сечения. Найти форму поперечного сечения, при
которой брус имеет наибольшую прочность.
1528. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного
симметрично в сектор круга радиуса а с центральным углом 2а.
1529. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в шар
радиуса а.
1530. Найти наибольший объем цилиндра, у которого периметр
осевого сечения равен 6 т.
1531. Найти наибольшую боковую поверхность цилиндра,
вписанного в шар радиуса а.
1532. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный
конус.
1533. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в сегмент
параболоида az = x2 -\-у2, а > 0, ограниченный плоскостью 2 = /г>0.
1534. Найти наибольший объем конуса, вписанного < в шар
радиуса а.
1535. Найти наименьший объем конуса, описанного около
полушара радиуса а.
1536. Найти наименьший объем конуса, описанного около шара
радиуса а.

1550] § 4. ЗАДАЧИ НА НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 115
1537. Найти наибольший объем цилиндра, ось которого
проходит по диагонали куба с ребром а, а основания которого касаются
граней куба.
1538. Найти наибольший объем цилиндра, ось которого
пересекает под прямым углом ось данного цилиндра с радиусом а, а
основания которого касаются боковой поверхности данного цилиндра.
1539. Найти наибольший объем конуса с данной образующей /.
1540. Из сектора круга данного радиуса свертывается коническая
воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?
1541. Найти наименьшую боковую поверхность конуса,
имеющего данный объем V.
1542. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какими
должны быть его стороны, чтобы объем тела, полученного от
вращения этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим.
1543. Цилиндр завершен сверху полушаром того же радиуса.
Дан объем всего тела V. При каком радиусе полная поверхность
тела будет наименьшей?
1544. Точки равномерно движутся по осям координат со
скоростями vx и т/2.В начальный момент они занимали положения (я, 0).
и (0, Ь). Найти кратчайшее расстояние между точками.
1545. Найти кратчайшее расстояние от точки (xv yt, zt) до точек
прямой x = a-\-lt, y = b-\-mt, z = c-\-nt.
1546. Точка перемещается в среде I со скоростью vlt а в среде
II со скоростью v2. Линия раздела сред прямолинейна. Доказать,
что перемещение движущейся точки из точки А в одной среде
в точку В в другой среде совершается в кратчайшее время при
условии, что путь состоит из прямолинейных отрезков АС и СВ,
где. С — на границе двух сред, причем coscpt = --, где <pt и <р2 —
углы, образованные прямыми АС и СВ с линией раздела.
1547. Точка движется по плоскости со скоростью vv а попав
на ось Ох, может двигаться со скоростью v2 > vt. Найти скорейший
путь из точки Л(0, а) в точку В(Ь, 0).
1548. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит
канал шириной Ь. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вершины
угла. Найти наибольшую длину бревна /, которое можно сплавлять
по этим каналам из одного в другой.
1549. Рычаг второго рода имеет точку опоры на одном конце
и уравновешивается силой / на другом конце. При этом на
расстоянии а от точки опоры подвешен груз /?, а вес единицы длины
рычага равен т. Определить длину рычага х так, чтобы сила f
была наименьшая.
1550. Из точек А и Аг по прямым АО и АгО по направлению
к точке О выходят одновременно два тела со скоростями v и vv
При этом AO=l, AlO = ll, а угол между АО и АгО равен а.
Когда расстояние между телами наименьшее?
8*

116 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [ 1551
1551. Чашка имеет форму полушара радиуса а. В нее опущен
стержень длины />2а. При каком положении стержня его середина
находится ниже всего (положение равновесия)?
1552. Стержень длиной 2Ь опирается концами на две прямые
в вертикальной плоскости, наклоненные к горизонту под углами а
и р. При каком положении стержня его середина находится выше
всего?
1553. Светящаяся точка находится на линии центров двух шаров.
При каком ее положении сумма освещенных частей поверхностей
шаров будет наибольшая?
1554. Яркость освещения выражается формулой / = ms™ y , где
ср—угол наклона лучей, г — расстояние от площадки до источника
света, т — постоянная (сила источника света). На какой высоте h
надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение горизонтальной
площадки на расстоянии а от столба было наибольшим?
1555. Сосуд с вертикальной стенкой высотой h стоит на
горизонтальной плоскости. Из отверстия в стенке бьет струя. Опоеде-
лить положение отверстия, при котором дальность струи
наибольшая, если скорость вытекающей жидкости, по закону Торричелли,
равна 1/2^лг, где х — глубина отверстия.
1556. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной
трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые стороны равны bf
а меньшее основание равно а.
1557. На одной стороне прямоугольника построен полукруг.
Дан периметр всей получившейся фигуры. Найти наибольшую
возможную площадь этой фигуры.
1558. На странице книги печатный текст должен занимать площадь
5; верхнее и нижнее поля должны быть шириной а, правое и левое —
шириной Ь. При каком отношении ширины к высоте текста площадь
всей страницы будет наименьшей.
1559. Найти внутренние размеры открытого цилиндрического
сосуда данной емкости V с толщиной стенок а, на который
потребуется минимум материала.
1560. Определить наибольшую возможную разность между углами,
составляемыми с плоскостью основания ребром и апофемой
правильной я-угольной пирамиды.
1561. Из какой точки оси Ох отрезок на оси Оу, лежащий между
точками (О, К) и (О, Н), виден под наибольшим углом (Н> h >0)?
1562. Через точку А внутри угла провести прямую MN так,
чтобы сумма отрезков сторон 0M-\-0N была наименьшей.
1563. Через точку внутри угла провести прямую, отсекающую
от угла треугольник наименьшей площади.
1564. Верхним основанием правильной шестигранной призмы
является шестиугольник ABCDEFA. Через точку О на оси призмы,
лежащую выше верхнего основания, и через диагонали АС, СЕ и ЕА

15781 § 4. ЗАДАЧИ НА НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 1 Г7
проведены три плоскости пересекающие в точках Bv Dt и Ft
боковые ребра призмы, не проходящие через Л, С и Е. Объем
многогранника, ограниченного с боков и снизу гранями призмы, а сверху
крышей OABfiD^EF^, не зависит от выбора точки О. При каком
условии поверхность многогранника будет наименьшей? (Задача о
пчелиных сотах.)
1565. Плоскость, параллельная противоположным ребрам тетра-
едра, пересекает его по параллелограмму. Когда площадь этого»
параллелограмма наибольшая?
1566. Две стороны параллелограмма — на сторонах треугольника,
а вершина — на третьей стороне. Когда площадь этого
параллелограмма наибольшая?
1567. Прямой круговой конус пересекается плоскостью по
параболическому сегменту. Площадь такого сегмента равна произведению
2
Y основания на высоту. Найти наибольшую площадь сегмента.
1568. К окружности проведены две касательные. Провести третьк>
касательную так, чтобы треугольник, ограничиваемый касательными,
имел наименьшую площадь.
1569. Через точку внутри прямого угла провести прямую так,
чтобы ее отрезок между сторонами угла был наименьшим.
1570. Через точку внутри прямого угла провести прямую так,
чтобы периметр получившегося треугольника был наименьшим.
1571. Найти точку на кривой ху2 = а2(а — х), для которой под-
касательная максимальна.
1572. В какой точке кривой хпу = ап+1 надо провести
касательную, чтобы ее отрезок между осями координат был наименьшим?
1573. Найти наибольшее расстояние от начала координат до
касательной к кривой xny = an+l.
1574. Найти на параболе j/2 = 2/?л: точку, ближайшую к точке (а, 0).
Исследовать результат в зависимости от а.
1575. Найти наименьшую величину отрезка нормали к
параболе х2 = 2ру, лежащего внутри параболы.
1576. К параболе провести нормаль, отсекающую от нее сегмент
наименьшей площади.
1577. Найти наименьшую возможную площадь треугольника*
образованного касательной к эллипсу
и осями координат.
1578. Определить наибольший (наименьший) угол между
сопряженными диаметрами эллипса

118 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1579
1579. Определить наибольший угол между нормалью к эллипсу
x = acost, y = bs\nt и диаметром, проведенным в ту же точку.
1580. Найти наибольшее расстояние от нормали к эллипсу х —
= acos/, y-=bsint до его центра.
1581. Найти наибольшее расстояние точки эллипса x = acost,
y = bsint от конца его малой полуоси. Проанализировать разные
случаи (а2^2Ь2).
1582. В полукруг радиуса R вписать эллипс наибольшей
площади (s = nab', см. предыдущую задачу).
1583. Две точки параболы y = Ax2t имеющие абсциссы а и Ь,
надо соединить ломаной в два звена так, чтобы наибольшая по
абсолютной величине разность соответствующих ординат параболы
и ломаной была бы наименьшей. Найти положение промежуточной
вершины ломаной и точек пересечения ломаной с параболой. Во
сколько раз эта „ошибка" будет меньше „ошибки" хорды.
1584. Дугу параболы у = Ах2 между точками с абсциссами а
и b надо заменить ломаной в п звеньев с наименьшей „ошибкой".
Проверить, что наименьшая „ошибка" равна ^-^ если h стрелка
дуги (ошибка хорды).
§ 5. Ряды, их сходимость
Если при л->оо сумма sw = wl + w3+... ~\-un стремится к некоторому
определенному конечному пределу s, то говорят, что ряд их + и2 + • • • 4"
+ чп + ... — сходящийся, as — его сумма. В этом случае пишем: щ + и2 +
+ • • • + Un + • • • = 5- Необходимое и достаточное условие сходимости ряда
щ -г*и2 + из+ ••• состоит в том» что ПРИ любом положительном
постоянном е можно найти такое по = по(е), что
I s<n+р — sn I = I ип+\ + "п+2 + • • • + "п+ р К е
при всех п > п0 и любых положительных р.
Ряд не сходящийся называется расходящимся.
В следующих примерах можно установить сходимость ряда
и величину его суммы непосредственно.
1585. Непосредственным делением по возрастающим степеням
можно установить тождество:
Исходя из него, показать, что ряд
сходится при J -хг | < 1 и его сумма равна _

1592] § 5. ряды, их сходимость 119
1586. Пользуясь тождеством — = --——- доказать, что
v v -J- 1 v(v -\- 1)
ряд
Ь2'2.3 ' 3-4' •"•
сходится и имеет сумму, равную единице.
1587. Доказать равенство
1588. Доказать равенство
1,11
1.2.3^2.3-4 ] 3-4-5^ 4*
1589. Пользуясь указанием задачи 1586, найти
J . J . J . J .J .
1.4^"2.5"^3.6"r4.7~h5.8"r" "'
1590. Доказать равенство
оо
2 <РЯ — *Wi) = *i — *>
n=l
где предполагается, что lim vn = v.
1591. Установив равенство:
тп | тп, | тп
~ (т + 3) (т + 4)"+" *"" ~ iTfT •
доказать, что в данном случае при w->oo предел суммы ряда не
равен сумме пределов членов ряда, именно: lim (их -f- u2 + иг -\-
... =0 + 0+0+ •.. =0.
Одним из способов изучения сходимости рядов является признак
сравнения: если члены данного ряда иА + и2 + us + • • • по абсолютной величине
не больше соответствующих членов сходящегося ряда положительных
слагаемых vx + t/2 + ^3+ • • •» т0 данный ряд — сходящийся. В этом случае ряд
называется абсолютно сходящимся.
Если ряд их + и2 + us + ... сходится, то Игл ип = 0. Если же ип при
/z->oo не стремится к нулю, то ряд расходящийся.
Исследовать сходимость следующих рядов при разных значениях
переменного х:
1592. х-+£ + |+^+..'

120 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ
1593.
[1593
sin л: , sin 2* , sin 3*
Т72"-Г"27з г~З^Г
1597-
1598. х2
12
Указание. Воспользоваться неравенством: -g< -( тт—.
Во многих случаях для изучения сходимости рядов полезен признак
Даламбера: если, начиная с некоторого места, отношение последующего члена
ряда к предыдущему по абсолютной величине меньше одной и той же
правильной дроби q, т. е. если Г*п+1
лютно). В частности: если lim
W-»OO
I
, где
1, то ряд сходится (абсо-
<1, то ряд Ui -f- "2 + аъ + • • • сходится.
= 1
Если же lim -2^ > 1, то ряд расходится. Случай lim
п->оо \ ип \ п->со
исследуется особо.
Исследовать сходимость рядов:
1599.
1600. 1 + х-\- 1 . 2*2+ 1 • 2 - 3*3+ ...
1601.
1602. д:+ _+_ + —
1603.
1-2
1-2-3
1.2-3-4
1605.
1606e
+/з
1
16*4/5

§ 5. ряды, их сходимость 121
1610. tg^-lf+^-^
, и от .л, | 16 sin4 .у ,
H У 1 n г •••
oo
1614. Исследовать сходимость ряда 2 ttn> есл" «х= 1,а ——=■
n=l n
3 , (—l)n
— ~4 "■ 2 #
1615. Ряд tt1 + tt2+tt3+... составлен по следующему закону:
un=iym~gj где 2w^tt<2m+1, о — постоянное число. Доказать, что
при о> 1 ряд #1 + #2 + tt3+'" сходится, а сумма его равна
2*.
2« 2'
1616. Пользуясь предыдущим результатом, доказать, что при
а>1 ряд 1 + 9^+ з^+4^+ ••• сходится.
1617. Члены ряда составляются по правилу:
1
где 2m~1 < n^2mt о—постоянное число.
Доказать, что при 0 < а < 1 ряд и1-\-и2-\-и3-\- ... расходится
1618. Доказать, что ряд l-f-J- +Jj + ^+... при 0<а<1
расходится.
1619. Установить, что ряд 1 + —:-f--—-[--—-J- .. . —
расходящийся, опираясь на неравенство
2
■ = 2(Vn-\-l—Vn).
В тех случаях, когда -^->1 при /г->оо, признак Даламбера
недостаточен. Если при этом дробь ^-^ равна отношению двух
полиномов относительно nt то может быть полезно применение
признака сходимости Гаусса.

122 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [ 1620
Признак Гаусс, Если Ь±»-^+^^;;; + «; . ~
ряд сходится при Ьх — ах > 1 и расходится при bl~a1^i 1.
Исследовать сходимость рядов:
1620. 11^ 1
II 1 ^ | 1«3 1 , 1*3-5 1 ,
i+7.T + g_._. + j_.T+...
1fi22 1_L2 »|2-4 1 | 2-4-6 1 ,
1622. i+T.T + T_._ + __._+...
162S. 1— g-4.M^-l)_ m(m-lHm-2)+ . ^ > Q
В обширном классе случаев, когда предыдущие признаки не дают
возможности судить о сходимости рядов, можно убедиться в сходимости с
помощью других признаков. Из них один, особенно важный, основан на
тождестве Абеля
афх + <*>Фъ + <ht>z + ... + anbn =
= °i (h — b2) + c2 (b2 — b$\+ ... + <!„_! (bn-t — bn) + onbn,
где
Признак сходимости Дирихле: ряд щул + u2v2 + w3v4 + • • •
сходится, если сумма ил -f- a2+ ... + ип остается ограниченной при
возрастании /г, а числа vXt v*,, v3,... убывают и стремятся к нулю при
неограниченном возрастании номера.
Частный случай признака Дирихле: знакопеременный ряд
и\ — «2 + из — И4 + • • • сходится, если величина ип убывает при
возрастании п и притом lim un = 0 (признак 'Лейбница).
л->оо
Исследовать сходимость следующих рядов:
m \ т(т—\) , т(т— \)(т — 2) , . 1
-4 1 2-4-6 1,
.-_гг_т+...
1627. sin д; — sin sin л: -f- sin sin sin л; —...
* eoo sitI ■* i sin 2x . sin Sar . sin \x .
1W8. -j 1 2 1 5 1 ^ 1- . . .
1629. coS*+ созЗх S7
о
о О 7
Указание к задачам 1628 и 1629. Ограниченность i sin ^x,
п
^j cos (2^ + 1)-^ можно доказать, если найти суммы /J 2 sin -^ sin kx\
п

1636) § 5. ряды, их сходимость 123
Если ряд их + ti2 + u3-\- u4 + ... сходится,а ряд \ux\ +\и2\ + |a3| + ...„
составленный из абсолютных значений его членов, расходится, то данный
ряд называется неабсолютно сходящимся. Следующие примеры показывают
глубокую разницу в характере абсолютной и неабсолютной сходимости.
1632. Пользуясь основным критерием сходимости, доказать, что
сумма абсолютно сходящегося ряда не изменится, если расположить
те же члены ряда в любом другом порядке.
1633. Показать, что сумма неабсолютно сходящегося ряда не
меняется, если члены ряда переставить так, что ни один из них не
удаляется со своего места больше, чем на т мест, где т — любое
заданное число.
1634:. Доказать равенство
2^3 4^5 6 +
_o/i_ 1 1,1 1 1,1 1 1 , \
показав тем самым, что у неабсолютно сходящихся рядов сумма
существенно зависит от порядка слагаемых.
1635. Пользуясь равенствами
--(WHt-t)—•■
•.--W+W+W4+--
доказать, что s<l, a st^> 1, и, следовательно, в^^Фв.
1636. Доказать, что ряд 1 J= + -4= ?=+4= т=
— сходящийся, а ряд 1-\ 1— L^l.__L_l._1_ ^-
УЗ 1^2 ~ /5 ~ У7 У4 У9
Н—т= ?=~Ь • • • . полученный из первого перестановкой слвгае-
VИ уб
мых, — расходящийся.

124 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ 11637
Если ряд, члены которого зависят от а*, остается сходящимся в сегменте
а < х <; Ь, то, написав равенство:
можем быть уверены, что Rn (х) -> 0 при п -+ оо при любом данном х.
Поэтому при любом данном е>0 неравенство |/?п(-*)К6 будет
выполняться, если п достаточно велико: л > «о. При этом число п0, вообще говоря,
зависит не только от е, но и от значения х. Если при любом данном е>0
неравенство | Rn (х) | < е выполняется для всех х в интервале а <; х <; Ьу
как только п ^> Ло, гДе по зависит лишь от е, то ряд называется равномерно
сходящимся. Для равномерно сходящихся рядов справедливы теоремы:
1. Предел суммы ряда равен сумме пределов членов ряда.
2. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть
непрерывная функция.
3. Если ряд, составленный из производных от членов данного ряда,
сходится равномерно, то производная суммы данного ряда равна сумме
ряда, составленного из производных от членов данного ряда.
4. Если члены данного ряда по абсолютной величине не больше, чем
•соответствующие члены сходящегося ряда положительных постоянных
слагаемых, то ряд сходится равномерно.
1637, Доказать, что ряд
сходится в сегменте 0<;л;<;1, но неравномерно.
1638, Доказать, что ряд
сходится при любом х, но неравномерно. Тот же ряд сходится
равномерно в любом конечном сегменте а ^ х ^ Ь.
оо
1639. Доказать, что ряд V 2 сходится равномерно при лю-
бом Ху — оо < х < оо.
1640. Доказать, что ряд
sin 2x , sin Зх ,
Ti 1 Ь-.
можно дифференцировать почленно.
1641. Доказать, что ряд
cos х , cos 2x • cos Зх ,
лредставляет непрерывную функцию ог х.
1642. Пользуясь тождеством Абеля, доказать, что ряды
ах sin x-\- a2 sin 2дг -\- as sin За: + . . .,
ах cos х -J- я2 cos 2х -\- а$ cos Ъх -J-. . .

1647] § 6. разложение в ряды 125
при выполнении условий
сходятся равномерно во всяком сегменте, не заключающем ни внутри,
ни на концах значений х = 0, zt:2ir, гЫти, . . .
1643. Доказать, что сумма ряда
представляет непрерывную функцию.
1644. Доказать, что при а > 2 предыдущая сумма ряда имеет
производную:
2\пЯ
71= 1
1645. Доказать, что при 1 <а<2 функция 5 (х) задачи 1643 не
имеет производной (будучи, однако, непрерывной).
Указание. Воспользоваться тождеством:
^ sin2v3A:
а
v « 1 п + 1
где п — любой выбранный номер, и изучать —■^L, при условии, что л-хэо,
выбирая числа Ьх особым образом в зависимости от выбора номера п.
§ 6. Разложение в ряды
1646. Непосредственным делением, расположив многочлены по
возрастающим степеням буквы х, доказать разложения в ряды:
1 1 . bx ] №xz ,
а — Ьх ~а •" а2 ~ а* "•""•»
1 &х \ "-•*-
1647. Пользуясь тождеством -^—7" ^ = о—Z + ч—7» Д°ка*
О — OX -J- J^" Z — Jt о — X
зать разложение в ряд:
35
6 — 5х+х* 6

126 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1648
1648. Предполагая законным разложение в ряд
и умножая обе части равенства на 1 —х — х2, доказать, что ао= U
ах = 1, а2 = 2, а3 = 3, а4 = 5, . . . и вообще aQi av a2, . . . — числа
ряда Фибоначчи, определяемые равенствами ап = ап_1^{-ап_2 при
л>>2, ао= 1, аг = 1.
1649. Воспользовавшись тождеством
1 1
1 — х —
найти формулу, дающую общий член ап ряда Фибоначчи.
1650. Доказать, что в разложении в ряд дроби
а + Ьх + сх2 .
имеющем место при ЛфО и при достаточно малых значениях |л:|г
между коэффициентами ап существует соотношение: Аап-\- Вап_1-\-
+ C_2 + Dan_s = 0; n>2.
Важное средство для разложения функций в ряд дают формулы Тэй"
лора и Маклорена. Формула Тэйлора может быть записана в таком виде:
Здесь Rn — остаточный член, применяемый в двух видах:
Rn = {\2{ }п (х — а)п (Форма Лагранжа),
Rn = i.2fi)(n-l) (JC-с)"'1 (х-а) (Форма Коши).
В обоих случаях с означает некоторое среднее между числами а и х.
Функция f(x) предполагается имеющей в интервале между а и х
производную л-го порядка.
Формула Маклорена получается из формулы Тэйлора при а = 0 и
имеет вид:
При этом
Лп) /с\
Rn = х 2 п *П (форма Лагранжа),
Ап) /-\
Rn = х о in n x{*-c)n~l (форма Коши).

1650] § 6. разложение в ряды 127
Здесь с — некоторое среднее между числами 0 и х.
В формулах Тэйлора и Маклорена величина п может выбираться
произвольно, если f(x), имеет производные нужного порядка во всех точках
интервала (я, х).
Если Rn->0 при п -> оо, то из этих формул получаются ряды Тэйлора
и Маклорена, имеющие вид:
w=o
Сходимость этих рядов следует из условия: Rn -* 0 при п -> оо, но не обратно.
Следует заметить, что исследование условий, при которых lim Rn = 0,
удается лишь в сравнительно простых случаях. По счастью, теория
функций комплексного переменного дает простое решение вопроса о законности
рядов Тэйлора и Маклорена для широкого класса функций.
Следующие пять разложений получаются из уряда Маклорена:
л*
l
1.2.3 + 1.2.3.4.5"" 1.2.3.4.5.6.7
X2 X* Х~
JT2 + 1.2.3.4" Ь2.3.4.5.6 + '"'
я** H j—72 ' 1,2.3 ' * * *'
X2 . XB X* .
Первые три из них справедливы при всяком значении х. Два последних
справедливы при |jc|<1. При |jc|>1 последнее лишено смысла, так как
ряд расходится. Формула для (1 + х)т, называемая биномом Ньютона, при
|^|>1 справедлива лишь тогда, когда т — целое положительное или нуль.
К указанным пяти рядам по простоте и важности можно присоединить шестой
ряд:
JC8 JC5 JC7
атсЩх = х — y + Tf — у+ •••« ~ 1<а:<1.
Непосредственное получение его из ряда Маклорена несколько
затруднительно, и другие приемы ведут к цели легче. Один из них покажем на
примере функции у = arcsin x. Дифференцируя это равенство и
освобождаясь от знаменателя, получаем: |/ 1 —х2уг = 1. Беря еще раз
производную и опять освобождаясь от знаменателя, приходим к равенству:
(l-_JC2)y//__Jc^ = 0. (*)
Оно представляет так называемое дифференциальное уравнение для
функции у = arcsin х. Предполагая, что разложение у по степеням х существует,

128 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ (1651
напишем:
оо
y = aQ + a1x + a2x2 + ...= 2 <*пхп .
Так как для степенных рядов допустимо почленное дифференцирование, то
отсюда следуют равенства:
/ = 2 папхп-\ у" = 2 «<«~ О«п^"-2.
71=0 71=0
Подставляя эти выражения в уравнение (*), получаем:
Группируя члены по степеням х, что тоже для степенных рядов
законно, получаем:
2 [{п + 2) (п + 1) ап+2- ri*an\ xn = 0.
71 = 0
Чтобы это равенство выполнялось, необходимо должно быть
или
Исходя отсюда, можно найти все ап, если знать д0 и ах. Но разложение
arcsin х = uq + flxjc + Д^2 + • • • должно совпадать с рядом Маклорена для
arcsin х. Поэтому д0 и ai равны значениям arcsin x и (arcsin x)r при х = 0,
т. е. д0 = 0, а^ = 1. Отсюда следуют равенства:
а7-.
1
2
5'
' б
1
3
/у
>
1
~2
5 ~
•3
•4
3^
" 4-
• 5
• б
Ч
5
1
7
1
~~ 2
, • • •
• 3
•4
1
5
Таким образом, если arcsin .к разлагается в ряд по степеням х, то должно
быть:
^ + + + +
По признаку Даламбера ряд сходится при | х |< 1. То, что arcsin x
действительно разлагается в ряд, с легкостью дает теория функций комплексного
переменного.
1651. Разложить по степеням х — 2 полином х* —
1652. Разложить по степеням лг+1 полином хъ-\-2х* — х2-{-
1653. Доказать равенства:
sin (а + л:) = sin a cos x -\- cos a sin at,
cos (а + а:) = cos a cos х — sin a sin x.
разложив левые части по степеням х.

16661 § 6. разложение в ряды 129
1654. В разложении для 1п(1+а:) заменить х на —лги, исходя
из рядов для ln(l-j-Ar) и In (1—л;), получить ряд Грегори:
1655. Получить равенство:
N>0.
1656. Из ряда для ех получить разложение для е~ху а также
разложения:
годные при всяком х.
Пользуясь формулой Эйлера
егх = cos x-\-isin х,
найти следующие суммы:
1657. l+cosA:-fcos2A:+.. . + cos(/i— 1)лг.
1658. cosat + cos3at+cos5a:+. . . + cos(2n— \)х.
1659. sin л: -f- sin 2д: -f- sin Зл: + ... + sin nx.
1660. sin л; — sin 2x + ... — sin 2nx.
1661. sin2 x — sin2 3* + sin2 5x —... + (— If " l sin2 (2n — 1) *.
1662. A:sina + A:2sin2a+.. . + xn~l sin(n— l)x.
Доказать равенства:
т («*+«"*+2 cos *)•
n =0
1665. ex cos x = Jj —^
n—0
Здесь, как и в других случаях, считается, что 0! = 1.
(—1)" z
9 Зак 2666 . Сборник задач, 1

130 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [ 1667
71 = 0
1668. (1+*# sin(maictgx)=|;(-
v=0
7»
2
1669. (1 + *2) 2cos(warctg;t)
л ,
v = 0
1670. Применив формулу Лагранжа к ®(х)— <р(тс), где
sin x . sin 2jc . . sin
у*и -р ду эш-^-
доказать, что при 0 < х < 2тг имеет место равенство
sin л: _. sin 2х . , sin /гл: , тс — л:
1671. Применив формулу Лагранжа к ср (л:) — ?(y), где
• v sin х , sin Зл: _, , sin (2/г — 1) j; , cos 2nx
* ^ 1 ' 3 "| "" i 2/г — 1 *" 4/г sin x '
доказать, что при 0 < х < тт имеет место равенство
sin л: . sin Зл: , sin 5х , ^^ sin (2/г — 1) л: ^^ тс
"I I 3 ' 5 h"*H 2^1 h--- = T.
1672. Пользуясь биномом Ньютона, получить разложение
1673. Доказать, что при |аг|<1 справедливы равенства:
w=0
10*3+,,, = У<" + 1Н* + 2>;

1688] § 6. разложение в ряды 131
1674. Доказать равенство:
1 _ 1 1 .*« . 1 ■ 3 jg* 1 • 3 • 5 х* , .
~ а 2Ф~~т~2-4аР 2- 4-6 Ф^ *' *' \х\<а-
1675. Доказать равенство:
Разложить по степеням х следующие функции:
1676. ут+х~:
7. 1П
1679. ln(2-
1681. ln(l — 2*coscp + A;2) = — 2 ^^pixn ; |*| < 1.
Проверить, что
С помощью подходящей замены переменной получить следующие
разложения в ряды:
1684.
1685. „.-s^ + i^y + ^g^-jrH-...], ,>0.
Получить следующие разложения в ряды:
"~1) 5T1
1687. in(^ + yi + ^) = 2^("~1) 2-4...
,gQQ ,„2(1-УТГ) 1 х
1688. In
__ + ___ + ____
9*

132
IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ
[1689
§ 7. Ряды и действия с ними
1689. Найти сумму ряда s= 1 + 2а: + За:2 + 4а:3 +...,
воспользовавшись равенством:
1690* Найти сумму ряда s— 1 + За: + 5 а:2 + 7 а:3-\- . . ., составив
произведения xs и x*s.
1691. Заметив, что коэффициенты ряда
4а:+ 9а:2
связаны соотношением: ап+2 — 2aw+1 + ап = 2, где ап — коэффициент
при хп, найти сумму ряда умножением ее на 1 — 2х-\-х2.
1692. У ряда
1 -|_*_!_2а:2+ 4л-3 + 7а:4+ 13а:6+ 24а:6+ . . .
каждый следующий коэффициент равен сумме трех предыдущих.
Найти сумму ряда.
1693. Перемножить два ряда:
5=1+2а:+За:2 + 4а:3-)-... и st = 1 — 2а:+За:2 — 4а:3+ • - •
1694. Непосредственным умножением доказать, что
ii . т(т—1)
где sm = 1 + тх-\ у2
т(т—1)(т — 2)
Ь2.3
1695. Перемножением рядов доказать равенство:
= Н i h—угу
1-2-3
1696. Доказать равенства:
1П (1 + X)

1703] § 7. ряды и действия с ними 133
1697. Непосредственным суммированием найти Sn и проверить,
что при |х\ < 1
\+х "+" "1" -+- -Г"
X* , X* . Xs
1698. Для ряда Моргана
UTT^"Hb*4'HI
X X2 \ Х х2 Х* |
"■ 1 + jc3 ' 1 + л:4' 1 + л* ' '''
можно (при \х\Ф I) получить
Sn^x1-^
и потому ряд всегда сходится, но
!х, если | х | <[ 1.
1, если Н>1.
Найти прямым дифференцированием производные от рядов:
1699. х—-Ч-^3—£+•■■.; \х\<1.
1701. *-£ + £-£+...;
1702. 1 + ^+ ^+т£3+
1703. Проверить, что
,. л: А* дг ЛГ sin х
lim cos -^- • cos — • cos -^-... cos ^ =
и отсюда получить:
1 • Л I 1 , X I 1 • Л I 1 .
И
оо
2 1 ^_ 1 J_
22wcos2^ sin2j: x2'
2*

134 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1704
1704. Доказать, что сумма гипергеометрического ряда Гаусса
Fia. р. Т. ,)=l + ^
удовлетворяет уравнению:
где
y = F(a, p, Т, х).
1705. Функция Бесселя J0(x) определяется рядом
ж * \ * *2 , х4 х* ,
J0\x) — А ^2 "+"22742 22 . 42 . б2 *~ ••'
Доказать, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению
1706. Доказать, что
lf_i ■*» 1 ^6 £!__
•у""1 2.3"1" 2.3.5-6 2.3.5.6-8.9
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Составив для соответствующей функции дифференциальное
уравнение, доказать следующие разложения в ряды (|а:|< 1):
1709. ^
5-Г •••
1710. sin ((i arcsin л:) =
~T 3! ~i 5l —...
1711. cos ([i arcsin *) = 1 —
1712. cos ((i arccos at) = A sin -^-(-Bcos^, где Л и В ряды двух
предыдущих задач.

1717] § 7. ряды и действия с ними 135
1713.
. . . (77*2+ 4v2) 2v
v=0
1714. Из предыдущей задачи получить
™ ч2п+1
arcsmх = 2 2,
о
1716. Разложив двумя способами £е , проверить^ что
13 23 зз 43 __
14 ,24 34 44 __
Т^гГ^зГ^й""1" 1Ое'
1716. Замечая, что secA: — четная функция, можем заключить,
что разложение secx: имеет вид:
(2л)! '
где Еп—соответствующие коэффициенты (числа Эйлера). Умножая
почленно на равенство
оо
(2m)!
m=0
получить рекуррентную формулу для чисел Эйлера:
\
(2л)! 2! (2л — 2)! "^ 4! (2л — 4)!
Тай как £0= 1, то из этой формулы следует, что
1717. 1 — yctg-j- = ^(^Г^2^ где ^п —коэффициенты
(называемые числами Бернулли). Доказать, что для чисел Бернулди

136 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ { 1718
существует рекуррентная формула:
2(2/г)! " 233!(2/z — 2)!"t" 25.5!(2/г —4)! •
(_l)n-igl
""» 22я-1(2/г—1)!2!'
Из этой формулы следует, что
р 1 р 1 р ё 1 р 1
**i—-g-. ^2—30» 3~~l2' ^~~ -зо" ••
Написать первые пять членов разложения по степеням х для
следующих функций:
1718. 1о (! + **). 1719. *8ina?.
1721. ^п-^.
1722. Доказать, что при малости величины —% приближенное
равенство У аг-\-Ь ^а-\- -~- имеет погрешность, приблизительно
а ( b \2
равную -«-(-у) » и вычислить с помощью этого равенства значения
радикалов:
а) У% Ь) у%£ с) /847 Л) /^ е)
1723. Доказать приближенную формулу
и вычислить с ее помощью корни:
|/245, /129, 1/515, у 1027.
1724. Существует следующая приближенная формула для
извлечения корней:
п, п. , 2ab
yN /Ч^а+
где ап—точная степень, близкая к N. Доказать, что погрешность
л2 — 1 / Ь \з
этой формулы приближенно равна 12 3 1—^-1 •
1725. Вычислить по предыдущей формуле следующие корни:
а) /ЗОГ b) j^TOT с) У'бООГ d) {^2507 е) /«Ь f) /SiT

1731] § 7. ряды и действия с ними 137
1728. Воспользовавшись биномом Ньютона и равенством
вычислить с 10 знаками величину
1727. С помощью бинома Ньютона и тождества
вычислить Y% с 10 знаками.
1728. С помощью ряда для In(1 -\-х) при л;——-jg, — 25 и go»
а также тождеств
]пА = 21пЗ — 1п2 — 1п5, 1п||-= 31п2 + 1пЗ —21п5,
In|i- = 4ln3 —41n2 —1п5
вычислить натуральные логарифмы чисел 2, 3, 5 и 10 с 10 знаками
после запятой.
1729. Доказать, что величины
— In я, Д21пя = 1п(я+2) — 21п(аг+l)-f 1пя,
— \пп
имеют соответственно следующие разложения в ряды:
+ V + ^
5(2^+1)5
1730. Доказать, что табличная разность обыкновенных
пятизначных логарифмов чисел, т. е. \g(n-\- 1) — \gn, при 1000 <я < 10 000
приближенно выражается формулой Д = 10б • — = —-—; М =
= 0,43429 — логарифмический модуль, Д выражена в стотысячных
долях.
1731. Доказать, что табличная разность логарифмов синусов,
данных через одну минуту, выраженная в стотысячных долях, может
быть дана приближенной формулой
^ 12,6 ctg x,

138 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1732
1732. Доказать, что формулы того же рода для синусов и для
логарифмов тангенсов имеют вид:
A sin х = 29,1 cos x, Mgtgx= ,
s & sin
Несколько следующих задач основано на приближенных равенствах
sin х ^ jc, tg х ^ х, обладающих высокой точностью для малых углов. В
некоторых из этих задач нужно воспользоваться более точными формулами:
x + —.
1733. Под каким углом зрения виден за 10 км диаметр фабричной
трубы с радиусом 2м?
1734. Диск Солнца виден под углом 30'. Во сколько раз
расстояние до Солнца больше диаметра Солнца?
1735. Полотно железной дороги имеет уклон 0,012. Какой угол
с горизонталью оно составляет?
1736. За сутки земной шар пробегает приблизительно дугу в 1°
своей орбиты, диаметр которой 150 • 106. Определить, на сколько
отклоняется от прямой линии путь Земли за 1 секунду (27 км)
и за 1 минуту?
1737. Дуга 1° земного меридиана имеет около 112 км. На сколько
она длиннее своей хорды?
1738. Доказать приближенную формулу: l = \^\3h, где h—высота
наблюдателя над горизонтом в метрах, а / — дальность до горизонта
в километрах.
1739. При измерении расстояния между точками отсчет на
протянутой ленте показал 12 м. Зная, что провес ленты был 20 см,
и считая форму ленты дугой круга, определить расстояние между
точками с поправкой на провес.
В следующих задачах вычислить с помощью рядов величины
с указанной точностью:
1740. Найти sin 1° с точностью до Ю-6.
1741. Найти cos 1° с точностью до Ю-5.
1742. Найти sin 10° с точностью до 10"4.
1743. Вычислить тг с точностью до Ю-10 с помощью тождества
1744. Шенкс вычислил тг с 707 знаками с помощью тождества
предыдущей задачи. Сколько членов в разложениях arctgy и arctg-^™-
он должен был удерживать?
1745. Одно из правил Гюйгенса для вычисления длины
окружности эквивалентно равенству:
з?

1765] § 8. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 139
где Рп и рп — периметры описанного и вписанного правильных
многоугольников, г — радиус круга. Доказать, что погрешность
этого равенства приближенно равна —^.
§ 8. Раскрытие неопределенностей
Решение ближайших задач удобно находится с помощью теоремы,
которую не совсем точно называют правилом Лопиталя. В силу ее, если при х,
стремящемся к конечному или бесконечному пределу, числитель и знамена-
ф (х\
тель дроби j ' одновременно стремятся к нулю или же к бесконеч-
ности, то
При этом предполагается, что предел в правой части существует.
Найти пределы следующих выражений:
ех — е~х — 2дг
1762. Hm -g- 1753. Hm -^; a>0-
. Hm(l_x)tg^. 1755. Km**.
1756. Hm arcsin(;c — a)ctg(x — a).
1757.
Применяя разложение в ряды, найти пределы, указанные в
следующих задачах:
1759. Hm x~siax ш 1760> Нш
Ж ->0 оХ 1 у— Х Ж -> О L * ~
2
1761. Игл L_*2ln(1+1Y]. 1762. Hm(4— ctg*A
х -^ оо L \ / J а; -> о \ '
1763. lim Ш(1+^ + ^)+1п(1-^ + д:2)
у. _ COS Д?
1764. "m(i—^). 1765. H
V * sin x
_sin* — cos*

140 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [ 1766
1766. hm „__ уЧ2.
1768. Hm "V--LQA4-
В следующих задачах пределы находятся разными приемами:
*
Hm ,* . 1770. Hmln*. In (1-х).
л-Г-Sin* 1
1771.
1773. Hm 1"(a + feJ); *>0, я > 0. 1774. lim (cos±f.
1775. Hm (sinx)t«a!. 1776. Hm (arcsinx)**.
1777. Hm fl_xln(l + l)]. 1778. Hm (£tg-S—j-Ц-
1779. lim (!+*)*—«. 1780# Hm[r jc(jc~ 1)+^~7
1781. Найти предел отношения площади сегмента круга к
площади треугольника, образованного хордой и касательными в концах
дуги, при условии, что дуга сегмента стремится к нулю.
1782. Такой же вопрос по отношению к сегменту и
треугольнику, составленному хордой и двумя хордами, соединяющими ее
концы с серединой дуги.
1783. Если а, Ь, с — стороны сферического треугольника, А,
В, С—противолежащие углы, то
cos с = cos a cos b -f- sin a sin b cos С.
Во что переходит эта формула, если а, Ь и с малы?
1784. Тело падает в среде, сопротивление которой
пропорционально первой степени скорости. Путь, пройденный за t секунд,
выражается формулой
где т — масса, а — коэффициент трения. Найти приближенные фор-
at at
мулы для s, если — велико, а также для случая, если — весьма
J m J m
Мало.

1787] § 9. экстремальные значения функций 141
§ 9. Экстремальные значения функций
нескольких переменных
Наибольшие и наименьшие значения функций от двух переменных,
имеющих в данной области частные производные нужных порядков, находятся
с помощью следующих теорем:
1. Для того чтобы функция /(jc, у) имела экстремальное значение в
некоторой точке (jc, у), необходимо, чтобы в этой точке обращались в нуль
df df
частные производные -=— и ~-.
2. Для того чтобы f(x, у) в некоторой точке (jc, у) имела экстремальное
значение, достаточно, чтобы величина rt — s2 была положительна, а. величины
р и q равны нулю. Если при этом г и *> 0, то величина/(jc, у) имеет
минимальное значение, если же г и *<0, то/(jc, у) имеет максимальное
значение. Здесь приняты для краткости обозначения Монжа:
_ df _ df _ d2/ __ d*f __ ^2/
р-~дх' q~ ду' r~dxv 5 *
Для функций нескольких независимых переменных существуют
подобные же, но несколько более сложные критерии.
3. Для того чтобы функция нескольких переменных f(xv х2,..., хп)
имела в некоторой точке (хь х2,..., хп) экстремальное значение, необходимо
выполнение равенств:
-^ = 0 -^- = 0 -^-=0
dxt ' dx2 ' '"' dxn
При этом предполагается, что во всех точках области функция имеет все
нужные производные.
4. Для того чтобы функция f(xb х2,..., хп) имела в некоторой точке
(хь х2,.. .,хп) экстремальное значение, достаточно выполнение следующих
условий:
ч д/ Л df Л df л
дхг dx2 dxn
b) все главные миноры четного порядка у определителя
р\\ Р\2 ... Р\п
Р21 Р22 • • • Рчп
Pnl Pn2 • • • Pnn
положительны, а знак у главных миноров нечетного порядка оди 1аков со
знаком рц. При этом для краткости положено:
Если при этих условиях £ц>0, то функция имеет минимум. Если же
Рп <0, т0 функция имеет максимум.
Найти экстремальные значения следующих функций, заданных
в явном виде:
1785. z = x*-{-xy+y2 — Ъах — ЪЬу.
1786. г = яРу*(а — х—у).
1787. z =

142 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [ 1788
1788. z = x2 — ху+у2 + 3х— 2у+1.
1789. z = x* + xy+f + ^ + ?j\ x>0, у>0.
1790. г =
1791. z =
1792. z = x*-\-y* — 9лу/ + 27 при О^х^а, О^у^а; я>3-
1793. z = x*-{-y* — 2х\А-4ху — 2у2 при О^лг^д, О^у^а\
а> 1.
1794. 2 = *-*2V(a*2 + £y); я>0, b > 0.
а-\-Ьх 4-су
1795. * = /(« — л) (a—j/X^+j; —а). 1796. 2г=
1797. ^ = sinA:+sin3/+sin(AT + j;); О^лг^
1798. z = sin
1799. z = cos х cos у cos (х-\-у);
1800. z =
1801. z=cosx cos a -f- sin x sin a cos (y — (3).
1802. й = л:з/2:(4л — x— y — z).
1803. tf =
1804. гг=-у8+/' + г3; д;>0, ^>0, z>0.
луг
1805. ^y^ + ^T+^i ^>0, y>0, z>0.
1806. а = (ax+
1807. Задача Гюйгенса: между положительными числами а и b
вставить п других чисел xv х2, .. ., хп так, чтобы величина дроби
и __.
' (а + х±){х± + х2)... {хп-± + хп) (хп + Ь)
получила наибольшее значение.
В следующих задачах требуется найти наибольшее и
наименьшее значения функций z, заданных неявно, как функции от х и у.
1808, 2x*-)r2y2-\-z2-lr8xz — 2 + 8=0.
1809, 2x2 + 6y2-{-2z2 + 8xz — 4x—
1810. 6лг2Н-6.у2Н-6,г2 + 4л; — 8^ — 82 + 5 = 0.
1811. 5лг2 + 5у2 + 522 — 2xy — 2xz — 2yz—72 = 0.
1813. х*у — 3xf-\-Qx+y2-i-7y-i-z2 — Zz— 14 = 0.
1813.

1827] § 9. экстремальные значения функций 143
Дальнейшие примеры содержат вопросы о нахождении относительных
экстремальных значений, т. е. о нахождении экстремальных значений
функции и—}(хь х2,..., хп), переменные которой связаны несколькими
уравнениями ft С*1,*2> • • •. хп) = 0, ?2 (ХЪ ХЬ • • •. хп) = 0, .. ., <р« С*1» -*2» • • •. хп) = О,
где функции /, <plf <р2, ..., срМ1 имеют первые и вторые частные производные
во всей области изменения переменных хь х2,..., хп\ т<^п.
При отыскании экстремальных значений здесь удобен способ Лагранжа.
Он заключается в том, что составляют вспомогательную функцию
где Xlf Х2, ..., Xw — неопределенные постоянные множители^После этого
пишем ряд уравнений:
-дФ дФ дФ
Из них, а также и из уравнений <?i = 0, ср2 = 0^ ..., <pw = 0, можно найти
значения хь х2,...,хп, а также и величины Хь Х2, ..., Xw. Значения
переменных хь х2,..., хп, при которых u=f получает экстремальное значение при
соблюдении условий <pi = 0, ^2 = 0"--» Tm = 0, находятся среди полученных
по способу Лагранжа.
Критерий, дающий возможность узнать, достигается ли экстремальное
значение /, и какое именно, при величинах хъ х2,...,хп, полученных по
способу Лагранжа, сравнительно сложен и здесь не приводится.
Найти наибольшие и наименьшие значения следующих функций
переменных, связанных указанными условиями:
1815'. и = хт-\-уш\ х-\-у = 2а\ д>0, т> U
1816. e = ifT + ^+-..+^lT; xl + xt+...+xn^na\
1817. и = х? + х?+...+х?;
1818. и = ху\
1819. u = xyz;
1820. u =
1821. гг =
№2. u =
1823. u = xyz; x-\-y-\- z = 5, xy-\-yz-\-xz = 8.
1824. u =
1825. и = sin у sin ^ sin у;
1826. и = х—у; tgjc = :
1827. и = -^ + ^ +
все аир положительны, так же как и числа xv лг2,..., хп-

144 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1828
1828. u =
1830. Неравенство Адамара для определителя третьего порядка
а Ь с
а2 Ь2
имеет вид:
|«|< Ь если a2 + 62-fc2 = l,
Доказать это неравенство.
1831. Неравенства Маклорена: если xv х2, ..., хп^0 и х1-{-х2-\-
+ ... + хп = па, то
_!_ <^ П fo"""*) 2
+ ^п-2Хп-1ХпК 1 .2-3 Л , И Т. Д.
Доказать эти неравенства.
1832. Задачу Гюйгенса (см. задачу 1807) можно свести к до
к&зательству неравенства:
если ata2.. ,un = qn. Доказать это неравенство.
В заключение приводится ряд задач на нахождение наибольших и
наименьших величин, которые могут быть решены как изложенными методами, так
и другими.
1833. Из всех треугольников с одинаковым периметром 2/? найти
треугольник с наибольшей площадью.
1834. Найти наибольшую площадь треугольника с данными
основанием а и углом при вершине Л.
1835. Данный треугольник разделить на две равновеликие части
прямою наименьшей длины.
1836. Доказать, что в треугольнике радиус вписанного круга
не больше, чем половина радиуса описанного круга.
1837. В данный треугольник вписать треугольник с
наименьшим периметром.
1838. В данный квадрат вписать четырехугольник с наименьшим
периметром.
1839. Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов
расстояний которой до вершин была бы наименьшей.

I860] § 9. экстремальные значения функций 145
1840. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до
данных точек была бы наименьшей.
1841. Найти наибольшую площадь четырехугольника с данными
сторонами я, b, с, d.
1842. Найти многоугольник с наибольшей площадью и с
данными сторонами а> Ь, с, ...,/.
1843. Найти наибольшую площадь многоугольника с п сторонами,
вписанного'в круг радиуса а,
1844. Найти наименьшую площадь многоугольника с п сторонами,
описанного около круга радиуса я.
1845. В данный круг вписать треугольник, сумма квадратов
сторон которого была бы наибольшей.
1846. В данный круг вписать наибольший по площади
четырехугольник с данным углом а.
1847. На плоскости треугольника найти точку, сумма
квадратов расстояний которой до сторон треугольника была бы
наименьшей.
1848. Из всех плоскостей, проходящих через данную точку,
найти наиболее удаленную от начала координат.
х% v^ z^
1849. На эллипсоиде -к-~\--~^ +-«- = 1 найти точку, наиболее
afi • О" с*
удаленную от начала координат.
1850. Найти наибольший объем параллелепипеда при данной
сумме его ребер 12#.
1851. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда
с данной полной поверхностью 6а2.
1852. Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 2Ь
и 2с описать наименьший по объему эллипсоид.
1853. Через точку (я, Ь, с) провести плоскость, образующую
с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
1854. Определить размеры прямоугольного открытого сверху
ящика так, чтобы при данных объеме V и толщине стенок h на него
пошло наименьшее количество материала.
1855. Определить размеры цилиндрического сосуда с данной
поверхностью и наибольшим объемом.
1856. В данный конус вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема,
1857. Какой из конусов с данной боковой поверхностью 5 имеет
наибольший объем.
1858. Найти наибольший по объему сосуд формы усеченного
конуса с данными основанием и образующей: / = 4г.
1859. На эллипсе даны две точки. Где на том же эллипсе
поместить третью так, чтобы получившийся треугольник имел
наибольшую площадь?
1860. Найти кратчайшее расстояние точки (/?, 4/?) до параболы
Зак. 2666. Сборник задач, J

146 IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ [1861
1861. В заданный равнобедренный треугольник вписать
параболический сегмент с общей осью и наибольшей площадью. Площадь
2
сегмента параболы равна произведению -тг основания на высоту.
1862. В данный эллипс вписать равнобедренный треугольник
наибольшей площади с основанием, параллельным оси.
1863. На эллипсе найти точку, наиболее близкую к данной точке
большой оси (т, 0).
1864. Около эллипса описать треугольник наименьшей площади
с основанием, параллельным оси.
1865. Найти нормаль эллипса, наиболее удаленную от центра.
1866. Найти нормаль к эллипсу с полуосями а и Ь, отрезок
которой внутри эллипса имел бы наименьшую длину.
1867. Провести к эллипсу касательную, отрезок которой между
осями имеет наименьшую длину.
1868. Найти площадь 5 эллипса, полученного при сечении эллип-
JC2 V2 &
соида -2+-72Ч—2 = 1 плоскостью 1х ~\-ту-\-nz = 0.
X2 У2 Z2
1869. Провести к эллипсоиду -^ +42" + -у—1 касательную
плоскость с наименьшей суммой отрезков на осях.
1870. Доказать, что из хорд, параллельных оси Oz и
заключенных между плоскостью z = ax-\-bx-\-c и эллиптическим
параболоидом z = Ах2-\-Bxy-{-Cy2-\-Dx-{-Ey-{-F, максимальная
проходит через центр плоского сечения.
1871. В сегмент эллиптического параболоида z =-т+Т2',
вырезанный плоскостью z = /г, вписать прямоугольный параллелепипед
с наибольшим объемом.
1872. К эллипсоиду -у + Т2+~"2'=1 провести касательную
плоскость так, чтобы центр тяжести треугольника, выделяемого
на этой плоскости плоскостями координат, был наименее удален
от начала.
1873. К эллипсоиду :^+-т2 ~г""Т== * провести касательную
плоскость, образующую с его плоскостями симметрии тетраэдр
наименьшего объема.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Уравнения кривых и их виды
1874:. На горизонтальную ось насажен плоский диск-эксцентрик.
Какую форму он должен иметь, чтобы упирающийся в него
вертикальный стержень совершал гармоническое колебательное движение
при равномерном вращении оси?
1875. Тот же вопрос, но вертикальный стержень должен
совершать равномерное движение вверх и вниз. (Так движется трубка
у некоторых микроскопов.)
1876. Косо срезанный цилиндр покрыт красящим веществом
и катится по плоскости. Какой кривой ограничена окрашенная
часть плоскости?
1877. Доказать, что кривые г = еа<? и г = сеа* геометрически
подобны — одна переходит в другую при увеличении масштаба
рисунка. В то же время они равны, переходя друг в друга при
повороте на некоторый угол.
1878. Доказать, что фигуры, заключенные между осью х и
кривыми у = ех и у = аех, при передвижении одной из этих кривых
вдоль оси х могут быть совмещены.
1879. Прямая данной длины / скользит концами Л и Б по осям
Ох и Оу. Из вершины С прямоугольника ОАСВ на прямую
опускается перпендикуляр. Найти геометрическое место основания этого
перпендикуляра.
1880. Тот же вопрос для конца перпендикуляра, опущенного
из начала координат. (Четырехлепестник.)
1881. Дан отрезок ОО1 = а. На произвольный луч, проходящий
через точку О, опущен из точки Ot перпендикуляр OlMv а из
основания этого перпендикуляра М1 опущен перпендикуляр МгМ на луч,
симметричный с первым относительно линии OOV Найти
геометрическое место оснований второго перпендикуляра М.
1882. Из точки М(%,у) окружности х2-\-у2 = а2 проводится
прямая у = ч\ до.пересечения с осью ординат в точке N. И» точки
(я, 0) проводится прямая в точку N. Найти геометрическое место
точки ее пересечения с ординатой точки М.
1883. Прямой угол вращается около вершины А (а, 0). Из
начала координат через точку пересечения одной из сторон угла
10*

148 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [1884
с окружностью х2-{-у2 = г2 проводится прямая до пересечения с
другой стороной угла. Найти геометрическое место точки пересечения.
1884. Прямоугольный треугольник имеет катеты ЛС = а и
ВС = 2а. Точка В скользит по оси Ох, а точка А скользит по
окружности х2-{-у2 = а2. Найти геометрическое место вершин прямого
угла.
1885. Найти геометрическое место точек касания прямых из
начала координат, касательных к окружностям с радиусом а и с
центром на оси Ох.
1886. Две равные параболы вращаются около своих вершин так,
что четыре точки их пересечения всегда лежат на окружности.
Найти геометрическое место центра окружности.
1887. Найти геометрическое место вершины равнобочной
гиперболы с данным центром, проходящей через данную точку.
1888. Тот же вопрос для фокуса гиперболы.
1889. Гипербола с полуосью а проходит через данные две точки
с расстоянием 2с. Найти геометрическое место центра гиперболы,
если она равнобочная.
1890. Найти геометрическое место середин отрезков нормалей
х2 у2
к эллипсу -^ 4~ тз* = 1» заключенных внутри эллипса.
1891. Два стержня длиной \^2 вращаются вокруг своих
концов, закрепленных в точках (1, 0) и (— 1, 0). Другие концы их
соединены шарнирно стержнем длиной 2. Определить, какую кривую
описывает середина соединительного стержня.
1892. Инверсор Поселлье — Липкина состоит из ромба ABCD со
стороной, равной а. Точки А и С соединены с неподвижной
точкой О прямыми ОА и ОС длиной Ь, где £>я.
Стороны ромба и отрезки О А и ОС — стержни, соединенные
шарнирами. Доказать, что точки О, В и D лежат на одной прямой
и притом О В • OD = b2 — а2 у так что движение вершины ромба по
данной кривой позволяет выполнить инверсию.
1893. Доказать, что при движении точки В в инверсоре Поселлье—
Липкина по окружности, проходящей через точку О, точка D
описывает прямую.
Какие линии изображаются параметрическими уравнениями:
1894. х = Р — f-fl,
1895. x = t2—
1896. x = as\n2t,
1897. A: = as ey
1898. На кривой x = t2—2t+39 y = t2 + 2t—\ найти самую
левую и самую низкую точки.
1899. Воспользовавшись тождеством cos21 -f- sin21 = 1,
представить уравнение эллипса ^■ + ^"===1 B параметрической форме.

1911] § 1. уравнения кривых и их виды 149
1900. Воспользовавшись тождеством £-*•£*= 1, представить
уравнение гиперболы — — ^=1 в параметрической форме.
1901. Представить уравнение окружности х2-\-у2 = а2 в
параметрической форме, приняв за параметр угловой коэффициент хорды
окружности, проходящей через точку (—а, 0).
1902. Доказать, что координаты точек кривой 2-го порядка
можно рационально выразить через угловой коэффициент
переменной хорды кривой, проходящей через какую-нибудь выбранную
точку кривой.
1903. Кривая F(x, y) = 0, координаты точек которой можно
рационально выразить через параметр, называется унику реальной.
Доказать, что кривые r=/(cos<p, sin <p), где/—рациональная
функция, уникурсальны.
1904. Доказать, что циссоида у2 = х__— уникурсальна,
выразив координаты ее точек через угловой коэффициент хорды,
соединяющей начало с данной точкой кривой.
1905. Решая совместно уравнение декартова листа х*-\-у* =
= Ъаху и уравнение вспомогательной прямой y = tx, получить
параметрические уравнения декартова листа:
х 1+*3' у 1 + '3'
1906. Доказать, что три точки декартова листа,
соответствующие значениям параметра tv t2 и t3, лежат на одной прямой тогда
и только тогда, когда ttt2ts = —1. Точки различные.
1907. Доказать, что координаты точек кардиоиды г = а{\ -\- cos cp)
могут быть выражены через некоторый параметр t формулами:
2а(\—&) Ш
1908. При каком условии три точки кардиоиды,
соответствующие значениям параметра tv tv t3 (см. предыдущую задачу), лежат
на одной прямой?
1909. Доказать, что координаты точек строфоиды (2а — х)у2 =
= х(х — а)2 можно выразить рационально через некоторый
параметр t по формулам:
at(fi-l)
У—
1910. При каком условии точки строфоиды, соответствующие
значениям tlt t2, ts параметра (см. предыдущую задачу), лежат
на одной прямой?
1911. При каких значениях tv t2i t3, t± соответствующие точки
строфоиды (см. задачу 1909) лежат на одной окружности?

150 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [ 1912
1912. Доказать, что четыре точки циссоиды х = ^ , ^,
у = i(J\ n", соответствующие значениям параметра tlt t2, t3 и £4,
лежат на одной окружности при условии ^ + ^2~Мз~Ь^4 = ®-
1913. Выразить рационально через вспомогательный параметр
координаты точек лемнискаты (х2-{-у2)2 =^а2(х2—у2).
1914. Показать, что кривая хУ=ух распадается на биссектрису
первого координатного угла и кривую
где п — переменный параметр.
§ 2. Касательная и нормаль
1915. Показать, что кривые
пересекают ось Ох под одинаковыми углами, независимо от
величины а.
1916. Найти угол, под которым кривая
У
пересекает ось Оу.
1917. При каком значении а кривая у = ?—£-!!!£ пересекает ось Оу
под углом 45°?
1918. Тот же вопрос для кривой у = , . 2 .
1919. Какая из прямых, идущих из начала координат, пересекает
гиперболу ху = а2 под прямым углом?
1920. Тот же вопрос для эллипса -§--|-т§-= !•
1921. Найти уравнение синусоиды, пересекающей ось Ох в начале
координат под углом 45°, а в точке (а, 0) — под углом 135а.
1922. Доказать, что угол между радиусом-вектором,
проведенным из начала координат в точку (г, ср) кривой rn = ancosn<?,
и касательной к этой кривой равен жр-}--^--
1923. Доказать, что кривая г = *а<? пересекает все
радиусы-векторы, идущие из начала, под одинаковым углом.
1924. Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда
г = аср и радиусом-вектором, проведенным к точке касания из начала,
стремится к 90° при ср -> оо.

1942] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ 151
1925. Найти угол между касательной к кардиоиде г = а{\ -f cos <p)
и радиусом-вектором точки касания.
1926. Найти уравнение касательной к кривой у = х\п х-\-1
в точке с ординатой 1.
1927. Найти уравнение касательной к кривой 2л:3 — х2у2—3jc -+-
-fу + 7 = 0 в точке (1,-2).
1928. Провести нормаль к кривой х*-\- у2-\-2х—6 = 0 в точке,
где j/ = 3.
1929. Найти нормаль к локону Марии Аньези х2у = а2(а—у),
параллельную прямой у = 2х.
1930. Найти нормаль к кривой у = a In cos — в точке х = 2тга.
1931. Найти нормаль к кардиоиде г = а{\ -\- cos cp),
составляющую угол 45° с полярной осью.
1932. На кривой ху2 = 2аъ найти точки, нормаль в которых
проходит через начало координат.
1933. У кривой л;3— у* = 3х2 найти касательную, параллельную
прямой у = х.
1934. Вычислить расстояние от начала координат до
касательной к кривой x2y = cfi, проведенной в точке с абсциссой х0.
1935. Найти наиболее удаленную от начала координат касатель-
2 1 1
ную к астроиде х*-\-у* =а*.
1936. Доказать, что касательные к кривым у = af(x), имеющие
общую абсциссу точки касания, пересекаются в одной точке.
1937. Доказать, что в точках с одинаковой абсциссой поднормали
к кривым y=f(x) и y = Yf2(x)-\-a2 одинаковы.
1938. Доказать, что у кривых у^ахР отношение подкасатель-
ной к абсциссе точки касания равно —.
1939. Доказать, что у кривой у = а\п(х2 — а2) сумма длин
касательной и подкасательной пропорциональна величине ху.
1940. Доказать, что длина касательной к трактрисе х. * а ~у =
а Л- уф—у*
= 1п—■— — равна а.
1941. Доказать, что все нормали к кривой
х = a (cos t +1 sin t)9 y = a (sin t — t cos t)
одинаково удалены от начала координат.
1942. Доказать, что отрезок нормали к кривой
х = 2а sin t -f- a sin t cos21, y = — a cos31,
заключенный между осями координат, равен 2а.

152 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [1943
1943. Доказать, что у кривой
х = 2а In sin / — 2а sin2/, y = a sin 2t
отрезок оси Ox между касательной и нормалью равен 2а.
1944. Доказать, что окружность х2-\-у2 = а2 и нормали к
эпициклоиде
пересекаются в точке (a cost, a sin/).
1945. То же для гипоциклоиды
— у) Л,
1946. Определить длину отрезка касательной к астроиде
х = a cos3/; y = as\n*t между осями координат.
194?. Найти отрезок нормали к кривой х = (a-\-b) sin /— a sin8/,
у=(а — b)cos t-\- a sin2/cos/, заключенный между осями координат.
1948. Найти расстояние от начала координат касательной к
кривой х = a (cos t-\-t sin/), ^ = a(sin/ — /cos/).
1949. Вычислить расстояние от начала координат касательной
к кривой г = аек*.
1950. Вычислить произведение расстояний фокусов эллипса
x = acost, y = bsint от касательной к нему.
1951. Вычислить длину отрезка нормали к эллипсу х = a cos/,
y = bsint, лежащего внутри этого эллипса.
1952. Нормаль, проведенная в точке М кривой ху = а29
пересекается с прямой у = х в точке N. Найти отношение ОМ: ММ.
1953. Доказать, что площадь трапеции, образованной
касательной к кривой Ъаху = л:3 -f- 2а8, ординатой точки касания и осями
координат, не зависит от выбора точки касания.
1954. Доказать, что касательная к кривой х = а{\—cos/),
y==a(l—sin/) образует вместе с осямг координат треугольник,
периметр которого постоянен. __
1955. Доказать, что касательная к кривой Yx +VУ =Va
отсекает на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.
1956. Доказать, что углы между касательными к кривым г=/(ср)
ках касания составляют в сумме 180°.^
и r = -rj-x и радиусами-векторами при одинаковом значении ср в

точ1972] § 2. касательная и нормаль 153
1957. Доказать, что касательные к кривым у = ^ V—^~"^
при одинаковых абсциссах точки касания пересекаются в одной точке,
положение которой не зависит от X и ц.
1958. Каждый радиус-вектор кривой r = asin8-|- пересекает ее
в трех точках, отличных от полюса. Доказать, что касательные
в этих точках составляют равносторонний треугольник.
1959. В трех точках Mv M2, Мд, расположенных на
декартовом листе х*-\-у* = Ъху на одной прямой, проводятся касательные,
пересекающие эту кривую в точках Pv P2 и Р3- Доказать, что эти
точки лежат на одной прямой.
1960. Из точки М на строфоиде (2а— х)у2 = х(х— а)2
проведены прямые, касающиеся строфоиды в точках Р и Q. Доказать, что
точки МУ Р и Q лежат на одной окружности с началом координат.
(См. задачи 1909, 1910, 1911.)
1961. У лемнискаты (х2-\-у2)2 = а2 (х2—у2) параллельно
данному направлению можно провести две пары касательных. Доказать,
что прямые, соединяющие точки касания каждой пары, составляют
между собой угол 120°.
1962. Найти длину полярной подкасательной и поднормали у
спирали г2 = а2ср.
1963. Доказать, что полярные подкасательные у кривых г=/(ср)
и r == J- ft \ в точках> расположенных на одном радиусе-векторе,
равны.
1964. Доказать, что у кривых г = /(ср) и r = a-j-/(cp) в точках,
лежащих на одном радиусе-векторе, полярные поднормали равны.
1965. Найти круг радиуса а, касательный к декартову листу
хъЛ~Уъ—Ъаху = 0 в точке, где х = -%-> у = -т #•
о о
1966. Провести круг радиуса За, нормальный к циссоиде
х (х2 -j- у2) — 2ау2 = 0 в точке, где х^=а.
1967. Найти круг, проходящий через полюс и касательный к
спирали Архимеда г = аср при <р = ^-.
Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым
углом:
1968. х2—у2 = а2, ху = Ь2.
1969. у2 = 2ir*-f и2, у2 = — 2vx+ v2.
1971. (2а — х)у2=^х*9 (х*<+ у2)2 = Ь2(2х2+у2).
1972. Ь2х2-\- а2у2 = с, уь =с^\

154 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕР.ЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [ 1973
1973. sh\y = ae~x> cosy = be~x-
1974:. rn = an cosflcp, rn = bnsinny.
1975. r2 = In tg cp, r2 cos 2cp + 1 = 0.
1976. Доказать, что кривые
r2 cos 2cp = а2, г2 cos (2ср + а) = Ъ2
пересекаются под углом а.
1977. Доказать, что кривая
пересекает прямую ,у = х под прямым углом.
1978. Доказать, что окружности
пересекаются под прямым углом при соблюдении условия
1979. Географическая широта есть угол между нормалью к
поверхности Земли в данном месте и плоскостью экватора.
Геоцентрическая широта — угол между той же плоскостью и радиусом-вектором
из центра Земли в данную точку. Определить наибольшую разность
этих широт, считая меридиан Земли эллипсом, у которого а = 6400 км,
а — £ = 21 км.
1980. Кривая f(x,y) = 0 называется алгебраической, если f(x,y) —
полином относительно хну. Вводя степени вспомогательного
переменного z, можно сделать этот полином однородным. Пусть
f(x, уt z) = 0—получившееся уравнение. Доказать, что уравнение
касательной к кривой можно написать в виде:
X + %Y + J-Z = Q,
дх ' ду ' dz
где (х, j;)—- точка касания, (X, Y)—точка на касательной, а
величины z и Z после нахождения производных заменяются единицей.
Подэрой кривой относительно данной точки называется
геометрическое место перпендикуляров, опущенных из данной точки на
касательные к данной кривой. Найти подэры следующих кривых:
1981. Эллипса -^ ~Ь йГ == 1 относительно центра.
1982. Параболы у2 = 2рх относительно вершины.
1983. Параболы у2 = 2рх относительно фокуса.
1984. Гиперболы х2—у2 = а2 относительно начала координат.
1985. (-JV ± (-£)*= 1 относительно (0,0).
1986. г = eav относительно полюса.

2003] § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ 155
1987. х2 + у2 = 2ах относительно (0, 0) (ответ дать в полярных
координатах).
1988. rn = ancosny относительно полюса.
1989. Эвольвенты круга:
х = a (cos t +1 sin t), y = a (sin t — t cos t)
относительно начала координат.
1990. Доказать, что точки касания касательных, проведенных из
данной точки к логарифмической спирали г = аетг?, лежат на
окружности, проходящей через полюс и данную точку.
1991. Из начала координат проведен луч, пересекающий
строфоиду у2 (2а — х) = х(х— а)2 в точках М и Mv Найти
геометрическое место точек пересечения касательных к строфоиде в
точках М и Mv
1992. Из данной точки М к кардиоиде r = a(l+coscp) можно
провести три касательные. Каково геометрическое место точек М,
для которых три точки касания лежат на одной прямой?
1993. Каково геометрическое место концов полярной подкасатель-
ной у гиперболической спирали гср = а?
Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны
которого касаются следующих кривых:
1994. Гиперболы b2x2 — a2y2 = a2b2.
1995. Астроиды х = a cos31, y = a sin8t.
1996. Параболы Нейля 4у* = 27ах2.
1997. Циклоиды x = a(t— sint), y = a(l—cost).
1998. Каково геометрическое место вершин угла данной
величины, стороны которого касаются циклоиды?
1999. Из точки М кривой у2 = сеа + 4а (х + а) проводится
нормаль МР до пересечения с осью Ох в точке Р. Доказать, что
середина МР лежит на параболе у2 = ах.
2000. Каково геометрическое место точек, из которых можно
провести к параболе две взаимно перпендикулярные нормали?
2001. При преобразовании обратными радиусами-векторами, или
инверсии, точка с полярными координатами г и ср переходит в точку
Л2 тт
с полярными координатами — и ср, где а—постоянная. Доказать,
что инверсия есть конформное отображение, т. е. что изображения
кривых пересекаются под теми же углами, что и сами кривые.
2002. Парабола у = —ах2 катится без скольжения по параболе
у = ах2. Найти геометричесйЪе место ее вершины в предположении,
что в начальный момент вершины совпадали.
2003. Доказать, что при том же движении параболы ее фокус
описывает прямую, а именно директрису неподвижной параболы.

156 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2004
2004. По эллипсу Ь2х2 -\- агу2 = агЬг катится без скольжения
другой такой же эллипс. В начальном положении их большие оси
соприкасались концами. Найти геометрическое место центра
катящегося эллипса.
Замечание, При решении последних двух задач полезно обратить
внимание на расположение подвижной и неподвижной фигур относительно
их общей касательной.
§ 3. Выпуклость, кривизна и радиус кривизны
2005. При каких значениях х кривая у = хъ-\-ах-{-Ь обращена
выпуклостью вверх?
2006. Определить направление выпуклости кривой х(х2—J>2) +
о
-\-у2 = 0 в точках, где х = -^.
2007. Исследовать характер вогнутости кривой х*=у(х2—у2)
в точках, где у < 0.
2008. Исследовать характер выпуклости кривой rcos3<p = l при
7Г ТС
-Т<<Р<6-
2009. Показать, что кривая л;4+у* = х2+У2 в точках
пересечения с осями обращена к началу координат выпуклой стороной,
а в точках пересечения с биссектрисами углов — вогнутой.
2010. Показать, что кривая x = y(t), y = ty(t) обращена к началу
коорДинат вогнутой стороной, если
(лу _ iff) {хуг — х'у) > 0.
2011. Исходя из определения кривизны, найти длину дуги в 1°
земного меридиана у полюса и экватора. Меридиан можно считать
эллипсом с полуосями а = 6378 км и Ь = а — 21 км (полярная
полуось).
2012. Найти радиус кривизны кривой Ъау2 = 2хъ.
2013. Найти наименьший радиус кривизны у параболы у2 = 2рх,
Найти радиусы кривизны у следующих линий:
2014. у = х* в точке (1, 1).
2015. x = t2, у = Р в точке (1, 1).
2016. y = ach— (цепная линия) в точке (0, а).
2017. 3> = alncos^-.
2018. хп-{-уп = 2ап в точке (а, а).
2019. х = a cos41\ y = a sin41 в точке (а, 0).
2020. x = a(cost-+-tsmt), y = a(sint — tcost).
2021. x = a(t — sint), y = a(l—cost).
2022. r = a(l+coscp).
2023. r2 = a2cos2<p, при ср=О.-

20441 § 3. выпуклость, кривизна и радиус кривизны 157
х = а(/ + sin /)-f b sin -^, lx = ae^icost — sin/),
2024. { \ 2025.
(
2 "
Г A: = a[3/ + sin/cos/(2cos2/+3)],
2026. { л А .
\ y = 2acos4/.
Найти наибольшую кривизну у кривых:
2027. у = \пх. 2028. л; = a cos/, ,y = ^ sin/(эллипс).
2029. у = а\ъ(\ — J). 2030. .y = ach-i.
2031. Если на нормали от точки кривой отложить в сторону
вогнутости кривой величину радиуса кривизны, то найдем центр
кривизны. Доказать, что его координаты для кривой X = (t)
у = ф (/) выражаются формулами:
у_г /(Д/2 + /2)
Найти координаты центра кривизны у кривых:
2032. Гиперболы ху = аг в точке (а, а).
2033. Строфоиды у2 = х2±±±9
2034. з; = * 1П х в той точке, где у' = 0.
2035. r = a(l + coscp). 2036, r = acos8cp.
2037. Доказать, что для точек спирали Архимеда г = а<? при
<р -> оо величина разности между радиусом-вектором и радиусом
кривизны стремится к нулю.
2038. Доказать, что при тех же условиях центр кривизны
перемещается по кривой, стремящейся к совпадению с окружностью г = а,
2039. Доказать, что у кривых rw = awcos#cp полярная нормаль
в я-f-l раз больше радиуса кривизны.
2040. Доказать, что у кривых rn = an sin /гср часть радиуса-век-
2г
тора, заключенная внутри круга кривизны, равна
pp.
2041. Доказать равенство R = -j—, где R — радиус кривизны,
г — радиус-вектор, р — перпендикуляр из' полюса на касательную.
2042. Доказать, что на эллипсе существуй^, вообще говоря, три
такие точки, что круги крибизны к эллипсу в этих точках
проходят через данную точку эллипса.
2043. Доказать, что центры кривизны в точках спирали
Архимеда г = аср, лежащих на одном луче, расположены на эллипсе,
размеры которого не зависят от выбора луча.
2044. Найти наименьшее расстояние центра кривизны эллипса
от центра эллипса.

158 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2045
2045, Координаты точек кривой можно выразить через длину
дуги кривой: x = x(s), y=y(s). Обозначая через As малое
приращение 5, а через Д/ — соответствующую хорду, доказать равенство:
где R — радиус кривизны кривой.
2046. Точка касания принята за начало, касательная — за ось Ох,
а ось Оу направлена от точки касания к центру кривизны. Доказать,
что в окрестности точки касания, т. е. при малых значениях х,
справедливы формулы:
где R — радиус кривизны в точке (0, 0), yt — ордината точек
кривой, у2 — ордината точек круга кривизны.
2047. Найти параболу, соединяющую начало координат О с
точкой В(а-\-Ь, 0) так, чтобы дуга параболы ОВ вместе с нижней
половиной окружности (а: — а)2-\-у2 = Ь2 образовала плавную
кривую с непрерывной кривизной.
2048. Найти параболу у = ах2-\-Ьх-\- с, имеющую с синусоидой
у = sin х в точке (-^-, 1 \ общие касательную и кривизну.
2049. Найти параболу 5-го порядка
у = А*б+ Вх* + Сл;3 + Dx2 + Ex + F,
которая бы в точках (а, К), (— а, —К) касалась прямых у = h
и у = — /г, имея касание второго°порядка.
2050. Доказать, что окружность (л; — За)2 —|- (_у — да)г = 8а2 и
парабола 1/^+ Vy= %Ya имеют в точке (а, а) соприкосновение
3-го порядка.
2051. Доказать, что соприкасающийся круг (круг кривизны) с
кривой 2-го порядка в вершине кривой имеет соприкосновение 3-го
порядка.
2052. Доказать, что для каждой точки, где кривая достаточно
гладка, существует кривая 2-го порядка, имеющая с данной
кривой в данной точке соприкосновение 4-го порядка.
2053. Доказать, что у циклоиды кривая 2-го порядка с
соприкосновением 4-го порядка — всегда эллипс.
2054. Доказать, что у логарифмической спирали кривые 2-го
порядка, имеющие с ней соприкосновение 4-го порядка, — эллипсы,
большие оси которых образуют постоянный угол с
радиусом-вектором точки касания.
2055. Найти геометрическое место фокусов парабол, имеющих
в данной точке соприкосновение 2-го порядка с данной кривой.

2074] § 4. эволюты кривых 159
2056. Найти геометрическое место середин хорд, общих эллипсу
х2 v2
—2 —|— ^ = 1 и его соприкасающемуся кругу.
2057. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров,
х2 у2
опущенных из центра эллипса —г-|-^ = 1 на хорды, общие эллипсу
и его соприкасающемуся кругу.
§ 4. Эволюты кривых
Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой
данной кривой. Уравнение эволюты для кривой х = <р (/), у = Ь (J)
получается исключением параметра t из уравнений
/(^2+/2)
л:'/' ~ *"/ ' ~
Найти эволюты следующих кривых:
2058. Параболы у2 = 2рх.
2059. Эллипса A; = acos/, y = bsint.
2060. Гиперболы л; = асп/, y = bsht.
2061. Астроиды х = a cos3/, у = asindt.
2062. Циссоиды у2 (2а — х) = л;3.
2063. Гиперболы ху = а2.
2064. Цепной линии у = a ch -.
2065. Циклоиды x = a(t — sin/), y = a(l—cos/).
оля* > x = a[2tcost + (t2 — 2)sint],
t = a [2/ sin / — (t2 — 2) cos /].
2067. (
\ = as\nt — (at-\-b)cost.
2068. Кардиоиды r = a(l -f-coscp).
2069. Гипоциклоиды x = a (2 cos t -\- cos 2/), >/ = a (2 sin / — sin 2t).
2070. Трактрисы л: = — a nntg^ + cos/j, ^y= a sin/.
2071. Кривой y = a\ncos-.
2072. Эвольвенты круга ^ = a(cos/-)-/sin/),
^/ = a (sin ^ — t Cos /).
2073. Логарифмической спирали г = еач.
2074. Доказать равенство J^^^ty =у^^/» где (-v» J') —
точка кривой, а ($, ^ — соответствующая точка эволюты.

160 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2075
Пользуясь свойствами эволюты, найти длины дуг следующих
кривых:
2075. Одной дуги циклоиды x = a(t'—sint), у = а{\—cost).
JL 1 1
2076. Астроиды х'6 -{-уг =аг между точками (а, 0) и (0, а).
2077. Кардиоиды r = a(l -J-coscp).
2078. Параболы Нейля у2 = х* от (0, 0) до (4, 8).
2079. Эволюты параболы у2 = 2рх от острия до точки
пересечения эволюты с параболой.
2080. Логарифмической спирали г = еа^ при <р0 < ср < ср0 —J— 2тг.
Замечание. Все перечисленные кривые — эволюты других кривых,
которые легко найти, пользуясь решениями задач, помещенных в первой
части параграфа.
§ 5. Огибающие кривые
Уравнение f(x, у, а) = 0 при различных значениях а изображает
семейство кривых. Иногда существует огибающая этого семейства, т. е. кривая,
касающаяся с кривыми этого семейства. Координаты точки касания кривой
семейства и огибающей удовлетворяют уравнениям:
]{х, у, а) = 0, |=0. С)
Исключая из них параметр я, получаем уравнение, которому
удовлетворяют все точки огибающей. Однако тем же уравнениям (*) удовлетворяют
и точки геометрического места особых точек кривых семейства, т. е. точек
кривых, где —• = 0, -р = 0.
Два примера характерны:
1. Семейство парабол Нейля:
(у — а)2 = х*.
Уравнения (*) принимают вид:
у _ а = 0, (у — а)2 = jc3.
Из них, исключая л, получаем х == 0. Легко видеть, что это уравнение дает
геометрическое место особых точек кривых.
2. Семейство листов Декарта:
*3 + (У — я)3 — 3* (у — а) = 0.
Уравнения (*) принимают вид:
(у — л)2_ х =, о, дгз_f_ (у _ я)з_ Zx (у — а) = 0.
Исключая л, приходим к уравнению: jc4 = 4л:. Оно распадается на два: х = 0
и jc = 1^4. Первое из них дает геометрическое место особых точек, а
второе — огибающую.
Не всякое семейство линий имеет огибающую: примером может служить
семейство концентрических кругов. Может оказаться также, что часть
кривых / (х, у, а) = 0 касается общей огибающей, а другая часть кривых того
же семейства не касается ее и не имеет вообще огибающей.

2100] § 5. огибающие кривые 161
В следующих задачах найти огибающую заданного семейства
линий.
2081. (х — а)2+У2 = 1 • 2082. (х — a)2+у2 = ^.
2083.^ + ^ = 1 при а
2084. Х*2 + |Ау2 = 1 при
2085. b2x2-{-a2y2 = a2b2 при {
2086. Прямых, отсекающих от данного угла, величиной со,
треугольник с площадью 2т2.
2087. bx-\-ay = ab при а-\-Ь = с.
2088. bx-\-ay = ab при а2 + Ь2 = с2.
2089. Вершина угла данной величины а скользит по оси Ох,
а одна из сторон проходит через точку (0, h). Найти огибающую
другой стороны.
2080. Квадрат со стороной а движется так, что две стороны
его АВ и ВС проходят через точки (±&, 0). Найти огибающую
диагонали АС,
2091. Прямая равномерно вращается вокруг точки, движущейся
с данной скоростью по данной прямой. Найти огибающую
подвижной прямой.
2092. Круг катится без скольжения по данной прямой. Найти
огибающую его диаметра.
2093. На хордах окружности х2-\-у2 = а2, параллельных оси Оу,
строятся, как на диаметрах, окружности. Найти их огибающую.
2094г. Найти огибающую окружностей, имеющих центр на
параболе и проходящих через ее вершину.
2095. Найти огибающую окружностей, построенных, как на
диаметрах, на хордах параболы, проходящих через фокус.
2096. Найти огибающую системы окружностей, имеющих центры
на данном эллипсе и проходящих через центр эллипса.
2097. Найти огибающую окружностей с центрами на гиперболе
ху = а2, касающихся оси Ох,
2098. На радиусах-векторах кривой, как на диаметрах, строятся
окружности. Доказать, что огибающая этих окружностей есть
подэра кривой относительно полюса *).
2099. Круг х2-\-у2 = г2 есть огибающая семейства —|-|-= 1.
Какова зависимость между а и Ь?
2100. Переменные z и t связаны уравнением (-) +(т) = !•
Найти огибающую кривых (—J +(7) =*-
*) Определение подэры см. на стр. 154
И Зак. 2666. Сборник задач, I

162 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2101
2101. Светящаяся точка имеет координаты (а, 0). Найти
огибающую лучей, отраженных от окружности х2-\-у2 = а2. (Каустика.)
2102. Параллельные лучи падают на сферическое зеркало. Найти
огибающую отраженных лучей.
2103. Светящаяся точка имеет координаты (а, 0). Найти
огибающую лучей, отраженных от параболы у2 = 2рх.
§ 6. Построение кривых
Найти вершины, т. е. точки, где касательная параллельна одной
из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у
следующих кривых:
2104. х2 + ху+у2 = Ъ. 2105.
2106. (х2+у2)2 = ху. 2107. + у +
2108. у = sin -х. 2109. у = sin x2.
2110. Найти расстояние по горизонтали между
последовательными вершинами кривой у = e~axcosbx.
Найти точки перегиба следующих кривых:
2111. у = х* — 6х2 2112. *3+y* = a3.
2113. х*+у* = х21_ 2114. (а2 + х2)у = ах2.
2115. у = \ + fjA 2116. у = х*е~х-
_
2117. у = ех. 2118. у = х2 In x.
2119. у = tg х, 2120. у = sin4 х + cos4 x.
2121. rcos3cp = l. 2122. r = a(tgcp— 1).
При исследовании формы кривой вблизи данной ее точки (а, Ь) полезно
разложение в ряд Тэйлора. Если /(jc, y) = Q — уравнение кривой, то,
разлагая левую часть по степеням разностей х — я = £, у — Ь = ч\, в силу
равенства /(а, Ь) = 0 получаем:
^ • • • = 0. (•)
Здесь для краткости через /7, q, r, s и t обозначены соответственно
значения производных ~-, -^ , ^~, . *\ и ^ при х = a, y = b.
v дх' ду* дх2' дхду ду2 * . y
Если /?2 + ^2>0, то при малых значениях |S| и | tj | кривая близка
к прямой р£-\- qt\ = 0, т. е. к прямой р(х — a)-\-q{y — b) = 0. Эта прямая —
касательная к кривой в точке (а, Ь). Если же р = 0 и # = 0, т. е. если в
данной точке обе производные -~- и ^- обращаются в нуль, то уравнение (*)
переходит в такое:
Точка (a, b) является особой точкой кривой.

2146] §6. построение кривых 163
Если при этом s2 — rt>0, то точка (я, Ь) — двойная. В ней
пересекаются две ветви кривой. Угловые коэффициенты касательных к этим ветвям
равны корням квадратного уравнения U2 -\- 2sa + r= 0.
Если s2— rt<^6, то точка (я, Ь) — изолированная: в достаточной
близости от нее на кривой точек нет. Если s2 — rt = 0, то для полного изучения
характера особой точки нужно принимать во внимание дальнейшие члены
разложения ряда Тэйлора. Обычно при этом (я, Ь) есть точка возврата
кривой.
Исследовать особые точки следующих алгебраических кривых:
2123. у2 = л;3. 2124. у2 = Ьх* + ах2.
2125. y* = ax?-\-bjfi. 2126. х*+у* — ху = 0.
2127. л;4 — 2ах2у-{-2ау*-{-а2у2 = 0', афО.
2128. л:6 — 2а2х*у — #У = 0.
2129. 2у*х— у* = х(у — х)2. 2130. л:4+У = х2-\-у2.
2131. При каком соотношений между а и Ь кривая у2 =
= х*-\-ах-\-Ь имеет двойную точку?
2132. Доказать, что при 4а3+27£2<0 кривая у2 = л:3 + а* -\-Ь
состоит из двух отдельных частей, а при 4а3+27#2>0 является
сплошной линией.
При изучении трансцендентных кривых формула Тэйлора не всегда
применима. Поэтому трансцендентные кривые имеют особые точки и таких
видов, каких не имеется у алгебраических кривых. Таковы, например, точки
прекращения и угловые точки.
Исследовать особые точки следующих трансцендентных кривых:
2133. у = хх. 2134. у = х In х. 2135. у In х = 1.
2136. у = е*' 2137. у = —Ц- 2138. у = ^Ц-.
\-{-ех 1 -f- е^ё
2139. у = arctg i-. 2140. у = х arctg -. 2141. у = sin —.
X X X
2142. у = х sin 1. 2143. у = х2 sin !. 2144. ху = у*.
X X
При отыскании асимптот кривых следует различать два случая —
асимптоты, параллельные оси Оу, и асимптоты, не параллельные ей. Первые
имеют уравнения х = х0, где Xq — то значение х, при котором у =f(x)
обращается в оо. Прямая у = ах-\-Ь, не параллельная оси Оу, будет асимп
тотой кривой в том случае, если при х -> оо для точек кривой имеет мест ;
равенство
у = ax-\-b -j- е (•*), где е (х) -> 0 при х -> оо.
Отсюда следует, что а = lim Z 6 = lim (у — ах).
Найти асимптоты следующих кривых:
11*

164 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2147
у-^уГЩ!. 2148. у-х + ±.
2151. /- = 4^Т" • 3152; У* — х* = х* + У2
2153. л;3+/3 = а3. 2154. л;3+У* = Ъаху.
2155. л;3+у*+2у —л; = 0. 2156. гср = а.
Изучить форму следующих кривых, предварительно решив
уравнение кривой относительно одной из координат:
2157. у2 = х*(2 — х). 2158. л;4+у = aK
2159. х2п-\-у2п = а2п, п — целое положительное и большое.
2160. х* — 4х2у2 — 6х2 — 4у2 = 0.
2161. л:4 — 6х2у-{-25у2 — 16*2 = 0.
2162. у2 — л;4 + л;6 = 0.
2163. л:4 + л:2;;2 — 18л:2з; + 9^2 = 0.
2164. *4+y
2165. у — 2л:>'2 —
2166. *4+y
2167. л:4+у —8л:2—
Изучить форму следующих замкнутых кривых, перейдя к
полярным координатам:
2168. х*-+у* = 2ху.
2169. (,х2-\-у2 — 6лг)2 = л;2+з/2 (улитка Паскаля).
2170. (х2-\-у2 — 4х)2 = 16(х2-{-у2) (кардиоида).
2171. x*+y* = Sxy2. 2172. х±+у± = х2+у2.
2173. (л:2+y2f = 27л:2з;2. 2174. (л:2-{-у2)2 = лу.
При исследовании кривых с ветвями, уходящими в бесконечность, важно
выяснить, имеются ли асимптоты и каково расположение далеких частей
кривой относительно асимптот. Следующие примеры указывают наиболее
удобные пути исследования:
1. Кривая ** — 2х*у + х2у2 = у.
Деля на х2 и извлекая корень, получаем: х — у = ± •, у zfc.
Если кривая имеет асимптоту^ = ajr -j- р, то при jc -* оо величина отношения
У УУ
i- _^ а. Поэтому слагаемое -*—— представляет величину меньшего порядка,
чем х. Следовательно, уянх. Внося это первое приближение в правую
\Г~х 1
часть равенства для у, получаем: у=х± —— = х±—=. Это — второе
х ух
приближение для у при больших значениях | х |. Оно показывает, что кривая

2174Т § 6. построение кривых 165
имеет асимптоту у = х. При этом кривая приближается к асимптоте только
при у->-\-со двумя ветвями — сверху и снизу.
У той же кривой есть и другая асимптота. Разделив уравнение кривой
± лГу
на (х — у)2 и извлекая корень, находим: х = —. Если х оставлять
х у
лЛу 1
ограниченным, то отсюда при | у | -»• оо следует, что х ^ ± -^—=- = ± #
Это показывает, что у кривой есть асимптота х = 0. При этом кривая
приближается к ней в сторону ее верхней половины при у ->-}- оо.
Приближение выполняется двумя ветвями — справа и слева.
2. Кривая х*-\-уЗ = х2-\-у2.
Совокупность слагаемых высшей степени х3-{-у3 имеет линейный
множитель х -\- у. Зто дает одну асимптоту. Деля на х2 — ху -\- у2, находим:
х2 4- у2 лг2 -4- у2
х 4- у = —г -^-^-.—- или у = — х 4- —z—.——-.—5 • В правой части второе
1 J х* — ху + у2 J { x2-\-xy-\-y2 г ^
слагаемое можем отбросить как величину низшего порядка. Таким образом,
получаем первое приближение для у при *->оо: ytt — х. Подставляя его
в правую часть формулы для у, получаем:
Это — второе приближение для у. Подставляя его в правую часть формулы
для у, получаем:
( !) ( §)
1_J_
Зх
Это — третье приближение для у. Оно показывает, что кривая имеет асимп-
2
тоту у = — х-\- — . При этом кривая приближается к ней в обе стороны:
о
при jc-> + °° и ПРИ •*-*• —оо» оставаясь выше, чем асимптота.
Изложенные приемы дают простой способ исследования асимптот
алгебраических кривых. Каждая из них получается выделением линейного
множителя в совокупности членов уравнения, имеющих высшую степень
относительно х и у одновременно.
Более трудно исследование параболических ветвей кривой, по которым
кривая уходит в бесконечность, не приближаясь к какой-нибудь прямой.
Наиболее полный способ исследования основан на разложении у в ряд по
убывающим целым или дробным степеням х.
Способ получения такого разложения принадлежит Ньютону, а полное
доказательство сходимости этого разложения при достаточно больших
значениях | .дет | было дано лишь в середине XIX в. французским ученым Пюизё.
Этот способ дает заодно и исследование асимптот, если они существуют.
Рассмотрим его в применении к кривой,

166
V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ
Если заменить здесь у на х°, четыре члена уравнения обратятся в степени х
с показателями
4,3 + а, За, 1+а. (*)
Приравнивая эти показатели попарно друг другу, найдем такие значения а:
А. "X 1
1, —, 3, ту, и". При этих значениях а числа (*) дадут четверки чисел:
а
1
4
3
3
3
2
1
2
4
4
4
4
4
4
3 + с
4
13
3
6
9
2
7
2
За
3
4
9
9
2
3
2
1 + а
2
7
3
4
5
2
3
2
В каждой строчке этой таблицы должны находиться по крайней мере
два равных числа. Выбираем те строчки, где эти равные числа больше
остальных чисел той же строчки. Таких строчек две —при а = 1 и при
о
а = -^-. Каждая из них дает разложение искомого вида. При а = 1
разложение будет иметь вид:
§ + §+..„ (1)
3
а при а = -к —
Коэффициенты находятся обычными приемами.
Для получения разложения (1) удобно в уравнении л:4 + х*у = уз + Ху
положить У = т> х== Т" П°сле 9того оно переходит в такое:
1+и = № + &и. (3)
При этих обозначениях разложение (1) принимает вид:
Отсюда находим:
Ф =
Подставляя эти разложения в уравнение (3), получаем:

§ 6. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ 167
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £ в обеих частях
равенства, находим
1 + Л = О, В = А\ С = ЗА*В + А, D =
Отсюда получаются значения коэффициентов:
А = — 1, £ = — 1, С = —4, D = —16,...
Разложение (1) принимает вид
л 4 16
Оно показывает, что у кривой имеется асимптота у = — х — 1. При этом,
если х -> -f- оо, то ветвь кривой приближается к асимптоте, идя снизу, а при
х -> — оо — идя сверху.
Для получения разложения (2) в уравнении *4 + х*у = у3 + ХУ удобно
положить x = -—t y = ~ После этого уравнение переходит в такое:
(4)
Разложение (2) принимает вид:
Отсюда получаем:
Подставляя эти разложения в равенство (4) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях £, получим:
^ = 2аЧ + 6abc
Отсюда^ так как а Ф 0, получаем две системы решений:
1 3
Д=1, ^=2", с ——з"» d=l,...;
а = — 1, ^ = -2", c=g-» rf=l....
Поэтому разложение (2) имеет вид:
| + ... (5)
Здесь У* может иметь каждое из значений + Yx и — V*e
Полученный результат показывает, что у данной кривой имеются две
бесконечные ветви, уходящие в бесконечность при х -> + оо, так что рас-
1 О
стояние между ними и кривыми у = ±:х У"3ё+ -ту х qz—"(/3F+ 1 стремится
к нулю.
Замечание. В таблице, из которой мы получили значения а = 1
о 1
и а = __ имеются значения а = 3 и а = у, при которых равные значения
являются наименьшими среди чисел соответствующей строчки. Они дают
разложения, сходящиеся при достаточно малых значениях \х \ и расположенные

168 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ ( 2175
по возрастающим степеням х. Эти разложения имеют вид:
_L JL JL
у = ах 2 + Ьх + сх 2 + dx2 + ex 2 -f ...
Коэффициенты их находятся подобными же приемами, после чего первое
разложение дает равенство:
Это равенство показывает, что в начале координат кривая имеет
соприкасание четвертого порядка с кривой у = хъ и подобно ей имеет точку
перегиба.
Другое разложение в данном случае геометрического смысла не имеет,
так как среди его коэффициентов имеются мнимые, — в частности, а = ± /.
Разложения указанного типа дают наиболее сильное средство при
изучении кривой в окрестности особой точки, которая путем переноса
координат помещена в начале координат.
Построить кривые (считать а > 0):
2175. у2 = х* — 2х2-\-х. 2176. 4у2 = Ах2у -\- хъ
2Ш. хЬ-\-Ьах*— 16a3j/2 = 0. 2178.
2179. j/6 + л:4 = ху2. 2180.
2181. х±-\-2у*=\х2у. 2182. у* — л:3 + у — 2л: = 0.
2183. (х2— у2)2 = 2х. 2184. х2(х— yf-\- v = 0.
2185. х*у* = х— у. 2186. х2у2 + х— йу = 0.
2187. (2л: +у)2{х-\-у) = х. • 2188. (х2—у2)(х— у)= 1.
2189. Зл:4—у*+2х2у2+2х=0. 2190. ху(х— у)-\-х-\-у=0.
2191. х2у2-{-у= 1. 2192. ху(х2—у2)+ 1 =0.
2193. ху(х2+у2}—2х2у2=\2. 2194. х(х2+у2) = а(х2—у2).
2195. (х2— у2)2 = 4ху. 2196. х2у2-\-у* = 4л:2.
2197. л:4— у*-\-ху = 0. 2198. л:2(л:2-|-з;2) = 4(л:—j;)2.
2199. л:4 —у = 4у2 — л:2. 2200. jfiy2 = (у+ I)2(4 — у2).
2201. (л:2— 1)з/2 = л:4-4л:2. 2202. х2(у — 2)2+2ху=у2.
2203. л:4— у = л:2 — 2у2. 2204.
2205. л:^(л:+з;) + л:2 = 2з;2. 2206.
2207. л:3+.у3 = 3л:2. 2208. х* — 2х2=у*(х— 1).
2209. л:4—у = 4л:2з;. 2210. х* — 2х2у — у2 = 0.
2211. л:4 —2л:2з;2 + з;3 = 0. 2212. л:2У = л:2 + .у2.
2213. хЬ-\-уЬ = Ху2. 2214. л:4+2л:2з/— л:з;2+з;2=0.
Изучить следующие кривые, уравнения которых даны в
параметрической форме или могут быть заданы в такой форме:

2235] § 7. касательная прямая и нормальная плоскость 169
221». * = |±f, , = ^. 2318. * _ ^, ,= Щ=р.
Ш8. ,_
2225. j/2 = a2 sin -J. 2226. у2 = а2 cos -£.
2227. Исследовать линию хУ=ух, заметив, что она распадается
на прямую у = х и кривую
§ 7. Кривые двоякой кривизны: касательная прямая
и нормальная плоскость
2228. Показать, что линия
лежит в некоторой плоскости, и найти уравнение этой плоскости.
2229. При каком соотношении между коэффициентами а, Ь, с,
а1> ^V CV a2> ^2> С2 кРивая
3, = ai
^ = а^ (0 + *2ф (0 +
лежит в плоскости?
2230. Показать, что кривая х = sin 2ср,у = 1 — cos 2ср, 2 = 2 cos cp
лежит на поверхности шара.
2231. Показать то же для кривой
t & /8
2232. Перевести в параметрическую форму уравнение кривой Виви-
ани, определенной пересечением шара x2-\-y2-\-z2 = a2 и цилиндра
х2-\-у2 = ах, положив A: = asin2^.
2233. Доказать, что проекция предыдущей кривой на плоскость
xOz есть парабола.
2234. Найти проекцию на плоскость хОу линии пересечения
параболоида 2 = a:2-|-j/2 и плоскости x-\-y-\-z=l.
2235. Найти проекцию линии x = etsint, у =etcostf z = 2t на
плоскость хОу.

170 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2236
2236. Доказать, что проекция винтовой линии
л; = a cos*, y = asint, z = bt
на плоскость yOz есть синусоида.
2237. Доказать, что при переносе начала координат в точку
Ох(0, 0, Ь$) и повороте осей абсцисс и ррдинат вокруг оси Oxzx
на угол (3 уравнениям винтовой линии л: = a cos*, y = asint, z = bt
можно придать вид: xl = acostv yl = asintl, zx = btv Это
показывает, что винтовая линия способна скользить сама по себе.
2238. Найти уравнение касательной к кривой
_ ** —fi —P
2239. Найти касательную к предыдущей кривой, параллельную
плоскости x-\-3y-]-2z = 0.
2240. Найти косинусы углов с осями у касательной к кривой
лг = *— sin*, y=\—cos*, 2 = 4sin-g-.
2241. У кривой х = — *cos* + sin*, j/ = *sin* + cos*, z = t-\- 1
найти точки, в которых касательная параллельна плоскости yOz или
xOz.
2242. Найти касательную к кривой х2-\-у2= 10, y2-\-z2 = 25
в точке (1, 3, 4).
2243. Найти касательную к кривой 2*2 + Зу2 + г2 = 47, л:2 +
j = 2 в точке (—2, 1, 6).
2244. Найти касательную к кривой x2-\-y2 = z, x=y в точке
(т, т, 2т2).
2245. Найти косинусы углов с осями у касательной к кривой
х2 = 2az, у2 = 2bz.
2246. Такой же вопрос для круга x2-\-y2-\-z2 = a2, у = тх.
2247. К кривой у2 = 2рх, z2 = 2qx проведена касательная в точке,
где х = P\<i - Найти ее длину от точки касания до плоскости х = 0.
2248. Найти угол между касательной к кривой х = a cost,
y = asint, z = bt и вектором, проведенным из начала координат
в точку касания.
2249. Найти нормальную плоскость к кривой z = x2-\-y2, y = x.
2250. В точке, где х== ^-> найти нормальную плоскость к
кривой у2 = 2рх, x2 + z2 = a2.
2251. Доказать, что нормальные плоскости кривой х = a cos*,
у = a sin a sin*, z = a cos а sin* проходят через прямую х = 0,
\t 0
y
2252. Доказать^ что кривая a: = £*cos*, y = etsint, z — ef
пересекает все образующие конуса x2-\-y2 = z2 под одним и тем же
углом.

2262] § 7. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ И НОРМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 171
2253. При каком а кривая x = eatcost, y = eatsmt, z = eat
пересекает все образующие конуса х2-{-у2 = z2 под углом 45°?
2254. Доказать, что линии пересечения цилиндров у2 + z2 = т2
с поверхностью ху = az пересекают под прямым углом все
образующие этой поверхности, принадлежащие одной системе.
2255. Линия x — atgt, у = boost, z = bsint расположена на
поверхности параболоида. Доказать, что она пересекает все
образующие одной системы под прямым углом.
2256. Кривая, называемая локсодромией, определяется уравнением
*ср r= a In tg f-J 2"), где 0 — широта, а ср — долгота точки на шаре.
Доказать, что она пересекает меридианы шара под углом а, тангенс
которого равен а.
Стереографическая проекция состоит в следующем. Верхняя точка шара
х2 + У2 + *2 = az> т- е- точка i4 (0, 0, л), соединяется прямой с
произвольной точкой М (ху у, 0) плоскости хОу. Точка Мь в которой прямая AM
пересекает поверхность шара х2 -\- у2 -\- г2 = az, является изображением на
шаре точки М плоскости хОу, а точка М является изображением точки
Мх(хь уь Zj), лежащей на шаре. Таким образом, стереографическая
проекция дает взаимно однозначное соответствие точек плоскости и шара, за
исключением точки Л, лежащей на верху шара. При этом
2257. Доказать, что стереографическая проекция дает конформное
изображение, т. е. что линии на плоскости пересекаются под тем же
углом, что и их изображения на шаре.
2258. Доказать, что кривая г = ет*, расположенная на плоскости
хОу, где полярная ось совпадает с положительной частью оси Ох,
при стереографической проекции переходит в локсодромию.
2259. Доказать, что окружности на шаре при стереографической
проекции переходят в окружности на плоскости. При этом прямые
считаются за частные случаи окружностей.
2260. Центральная проекция шара х2+у2 -\- z2 = 2az на
плоскость хОу образуется следующим образом. Произвольная точка
М(х, у, 0) плоскости хОу соединяется прямою AM с центром
шара А(0, 0, а). Точка Mv в которой AM пересекает шар,
принимается за изображение точки М, и обратно. Доказать, что эта
проекция не есть конформное изображение.
2261. Доказать, что касательная к кривой х2 = Ъу, 2xy = 9z
образует постоянный угол с некоторым определенным направлением.
2262. Координаты точек некоторой кривой удовлетворяют
соотношению
Доказать, что касательные к этой кривой касаются шара х2-\-у2-{-

172 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2263
2263. Доказать, что касательные к кривой
х = a (sin £ + cos £), y = a(sint— cost), г = Ье~г
пересекают хОу по окружности х2-\-у2 = 4а2.
2264. Найти линии, по которым касательные к винтовой линии
x = acost, y = as\nt, z = bt пересекают: 1) плоскость хОу\ 2)
плоскость xOz.
Сферической индикатрисой касательных данной кривой называют
геометрическое место концов единичных векторов, проведенных из начала
координат и параллельных этим касательным.
2265. Найти сферическую индикатрису касательных винтовой
линии A: = acos£, y = asmtt z — bt.
2266. Тот же вопрос для кривой
х == 2t — sin 2t, у = cos 2t, z = 4 sin t.
§ 8. Кривые двоякой кривизны:
соприкасающаяся плоскость, нормаль и бинормаль
2267. Пользуясь третьей формулой Френе, показать, что кривая,
у которой кручение постоянно равно нулю, лежит в плоскости.
Найти соприкасающиеся плоскости кривых:
2268. у2 = х, x2 = z в точке (1, 1, 1).
2269. у = ср (х), z = a<f(x)-\-b.
2270. х2 = 2az, у2 = 2bz.
2271. * = V
2272. x = у
2273. x = at2-{-bt + ct y = alt2 + blt-\-cv z = a2t2->rb2t-\-c2.
2274. Доказать, что соприкасающаяся плоскость линии х2 = ср' (t),
у2 = t2y'(t), z = ®(t), расположенной на коноидальной поверхности
z = y(^-\t совпадает с касательной плоскостью к этой поверхности.
Найти уравнения главней нормали и бинормали к кривым:
2275. A: = acos£, y = asmtt z = bt.
2276. х = у2, z = x2 в точке (1, 1, 1).
2277 г—** v—fi 7—*
2278. x = -jt y=-j-t z = ~2 в точке (т'Т'т
2279. Найти уравнения сферических индикатрис главной нормали
и бинормали винтовой линии (см. задачи 2265, 2275).
2280. Кривая ;t = ach£cos£, з' = ^ ch / sin ^, z = at лежит на
поверхности вращения х2-\-у2 = а2 сп2 —, называемой катеноидом.

2305] СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ, НОРМАЛЬ И БИНОРМАЛЬ 173
Доказать, что в каждой точке кривой бинормаль совпадает с
нормалью к поверхности.
2281. Доказать, что одна из биссектрис углов между
касательной и бинормалью к кривой х = 3t, у = 3£2, z = 2ЬЪ имеет
постоянное направление.
2282. Кривая имеет проекцией на плоскость хОу синусоиду
y = sinx. Какому соотношению должны удовлетворять аппликаты г
ее точек, чтобы главные нормали были параллельны плоскости yOz?
2283. По главным нормалям винтовой линии х = acost, y = a sint,
z = bt откладываются отрезки данной длины /. Найти
геометрическое место их концов.
2284. Найти поверхность, на которой располагаются все
главные нормали винтовой линии предыдущей задачи.
2285. Тот же вопрос для бинормалей.
Найти радиусы кривизны р у следующих кривых:
2286. x = t— sin£, y=\—cos£ z 4sin
2287. л: —ach^cos*, y^achtsxnt, z = at.
2288. x = V^
2289. Ar =
e%c%i\e\ COS t Sin t ,. ., y4
2290. A: = aTjrr, у = а — , z = a(t — tht).
2291. x2 = y
2292. x2—y2 + z2=U y2 — 2x + z = 0 в точке (1, 1, 1).
2293. x = Zt — fl, y = Zt2, z = *t + P.
2294. x = a(1 — cos2t), y = asin2t, z = 2acost.
2295. л: = a cos3 *, y = asin*t, z = acos2t.
2296. x = sinz — 2rcos^, y = cosz-{-zsinz.
Найти кручение кривых:
2297. у2 = х, x2 = z.
2298. х = Ы — t*t у = Ы2\ z = Zt + fl.
2299. x = sinu — и cos и, у = cos и-{-и sin и, z = a.
2300. x = a(l—cos^)> y = asin2t, z = 2acost.
2301. Найти кривизну и кручение кривой y = — t z=^-^.
2302.* Тот же вопрос для кривой x = 2abt, y = a2lnt, z = b42.
2303. Тот же вопрос для кривой
cos* sin* V
X a y a
X — aTZrkt> y — atSTkt' Z— kcoskt '
2304. Доказать равенство радиусов кривизны и кручения у
кривой x = chz; y = shz.
2305. Доказать, что у сопровождающего триэдра кривой
jc = e*sin£, y = efcost9 z = ef каждое из ребер образует с Oz
постоянный угол.

174 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2306
230& При каком условии центр . кривизны винтовой линии
х = a cos t, y = as\nt, z = bt лежит на том же цилиндре, что и
сама винтовая линия?
2307. Доказать, что у кривой
jc = ach*cos£, у = aoht sin t, z = at
отрезок нормали (не главной!) от точки на кривой до оси Oz равен
радиусу второй кривизны.
2308. Через четыре точки кривой можно провести шар. Если
они стремятся к одной точке, то при соответствующих условиях
шар этот стремится к некоторому предельному шару, называемому
соприкасающимся шаром. Найти его центр и радиус.
2309. Найти приближенные с точностью до малых высшего
порядка уравнения проекций кривой на три плоскости
сопровождающего триэдра вблизи точки касания.
2310. Из центра шара проводятся радиусы, параллельные
главным нормалям замкнутой кривой, не имеющей особых точек.
Доказать, что геометрическое место их концов делит поверхность шара
на две равновеликие части. (Якоби.)
§ 9. Поверхности. Их уравнения
2311. Поверхности, описанные прямой, проходящей через
данную точку (a, Ь, с) и данную кривую, называются коническими.
Доказать, что их уравнения могут быть представлены в виде:
J \z — c ' z — c)
2312. Поверхности, образованные движением прямой,
параллельной вектору Р(/, т, п) и проходящей через данную кривую,
называются цилиндрическими. Доказать, что общий вид уравнения
цилиндрических поверхностей:
f(nx— lz, пу— mz) = 0.
2313. Доказать, что уравнение поверхностей вращения около
оси Oz имеет вид: f(x2-\-y2,z) = 0.
2314. Доказать, что уравнение поверхности вращения около
прямой x = a-\-ltt y = b-{-ntti z = c-\-nt имеет вид:
/(/x-f my + nz, R) = 0,
где
R = [n(y— b) — m(z — c)p+[/(s — с) — п(х — а)]2 +
2315. Найти уравнение цилиндра, описанного около шара х2 +.y2-f-
-}-г2 = а2, с образующими, параллельными прямой x = lt, y = m,
tz = nt.

2332] § 9. поверхности, их уравнения 175
2316. Найти уравнение цилиндра с образующими, параллельными
прямой x=y = z, описанного около эллипсоида х2-f- Ay2 + 9z2 = 1.
2317. Найти уравнение цилиндрической поверхности,
направляющая которой кривая z = 0, х2-\-у2 = ау, а образующие которой
параллельны вектору Р(/, m,ri).
2318. Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину
в точке (—1,0,0) и описанной около параболоида 2у2 -\- z2 = 4л:.
2319. Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину
в точке (а,Ь,с), а направляющей — параболу г = 0, у2 = 2рх.
2320. Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину
в точке (0, 0, —с), а направляющей —лемнискату z = 0, (х2-\-у2)2 =
= а2(х2—у2).
2321. Около параболоида x2-\-y2 = 2z описать коническую
поверхность с вершиной в точке (0, 0, —2).
2322. Найти уравнение конической поверхности, описанной около
поверхности xyz = с8 и с вершиной в (0, 0, —Зс).
Найти уравнения поверхностей, полученных вращением данной
кривой вокруг данной оси:
2323. Эллипса ^2 + ^==1 вокруг оси Ох.
2324. Гиперболы ^ — ^ = 1 вокруг оси Оу.
2325. Параболы у2 = 2рх вокруг оси Ох.
2326. Окружности (x—a)2-\-y2 = R2 около оси Оу.
2327. Параболы у2 = 2рх около оси Оу.
2328. Лемнискаты (х2-\-у2)2==а2(х2—у2) около Ох.
2329. Той же кривой около оси Оу.
2330. Поверхность, происходящая от вращения синусоиды х =
— s\nz, у = 0 около оси Ozt освещена параллельными лучами,
составляющими с Oz угол 45°. Найти форму тени, отбрасываемой
ею на плоскость хОу.
Параметрическое представление поверхностей, введенное Гауссом,
состоит в том, что координаты точек поверхности даются в функции от двух
параметров:
X = ф (И, I/), У = ф (W, I/), Z = (О (И, V).
Следующие вопросы имеют дело с параметрическими уравнениями
поверхностей.
2331. Уравнение шара можно представить в виде:
х = a sin Ь cos <р, у = a sin 6 sin cp, z = a cos 6.
Найти подобную форму уравнения для эллипсоида.
2332. Поверхность задана уравнениями
х = a cos4 и cos4 vt у = а cos4 *г sin4 v, z = a sin4 г/.

176 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [ 2333
Найти ее уравнение в обычной форме.
2333. Тот же вопрос для поверхности, заданной уравнениями
х = a cos3 и cos8 v, у = а cos8 и sin3 v, z = a sin3 v.
2334. Тот же вопрос для поверхности, заданной уравнениями
_ 2U 2V
» У— ° w2 + t/2+l » Z— Cw2 + t,2+l •
§ 10. Касательные плоскости и нормали.
Огибающие
Найти касательные плоскости к поверхностям:
2335. ^ + |J + J= 1 в точке (xl9 yv zx).
2336. х2-\-у2 = z2 в точке (*lf yv zx).
2337. jcy2H- г3=12 в точке (l-f 2, 2).
2338. xn-\-yn-\-zn = an в точке (jc^ j/p ^J.
2339. (jc2 + / + 22)2 = fl2(^2-/ + 22) в точке (jq, yv zt).
2340. Уравнение алгебраической поверхности имеет вид f(x,y, z) =
= 0, где f(x, у, z) — полином. Вводя дополнительно степени
вспомогательной переменной t, можно сделать этот полином однородным,
после чего уравнение поверхности принимает вид: F(x,y, z,t) = O
при t = 1. Доказать, что уравнение касательной плоскости к этой
поверхности можно написать в виде:
где переменное t после дифференцирования заменено единицей.
2341. Определить расстояние от начала координат касательной
2тгг . 2тгг
плоскости к поверхности х cos —г- = у sin —г-.
2342. К поверхности xyz = 1 провести касательную плоскость,
параллельную плоскости x-\-y-\-z — 3 = 0.
2343. Найти линии, по которым касательная плоскость к
поверхности xy = az в точке (xv yv z{) пересекается с поверхностью.
2344. Найти уравнение касательной плоскости к косому
геликоиду х = и cos v, у = и sin v, z = av.
2345* Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
x = u-\-v, y = u2-\-v2, £ = и3-|-г/3 в точке (2, 2, 2).
2346. Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz=cfi
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
2347. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности
V х -f- У у -f- Vz — Vй* образуют на осях координат отрезки,
сумма которых постоянна.

2358] § 10. касательные плоскости и нормали, огибающие 177
2348. Доказать, что у поверхности х*^-\-У/з + zJ/» = av* сумма
квадратов отрезков, образованных касательной плоскостью на осях,
есть величина постоянная.
2349. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности
z = xf(—), проходят через одну и ту же точку.
2350. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности
z = x-\-f(y— z), параллельны одной и той же прямой.
2351. Доказать, что отрезок на оси Oz, образованный
плоскостью, касательной к поверхности z-\-Yx2-\-y2-\~z2 = *П/(~Ь
пропорционален расстоянию точки касания до начала координат.
2352. Найти поверхность, на которой лежат касательные к
винтовой линии, и доказать, что нормаль к этой поверхности
составляет с Oz постоянный угол.
2353. Найти на эллипсоиде ~2+т^ + -2 = 1 точки, в которых
нормаль образует постоянный данный угол а с осью Ох.
2354. Доказать, что точка пересечения нормали к поверхности
x2-\-y2-\-z2 = xf(~\ с плоскостью хОу одинаково удалена от
начала координат и от основания нормали.
2355. Отрезок нормали к поверхности z2 = 2d\f x2-\-y2-{- b,
заключенный между поверхностью и плоскостью хОу, проектируется
на хОу. Доказать, что величина проекции постоянна.
2356. Доказать такое же свойство для нормалей к поверхности
х = v cos и — ср (и) cos и -f- ср' (и) sin и,
y = vsinu — ср (и) sin и — срг (и) cos и,
2357. Из точки М на поверхности
/ = rsincp, z2=
проводится нормаль MN до точки N на плоскости хОу, и
опускается перпендикуляр МР на плоскость хОу. Доказать, что £_ N0P,
где О — начало координат, равен 45°.
2358. Доказать, что у поверхности z2 = a2 avctg^-)- f(x2 ~{-y2)
площадь треугольника МОР, полученного таким же путем, как и
в предыдущей задаче, есть величина постоянная.
В следующих задачах требуется установить взаимную ортогональность
указанных поверхностей (так что, если заданы три поверхности, то надо
доказать, что каждая из них пересекается с каждой из остальных под
прямым углом).
12 Зак 2666. Сборник задач, I

178 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2359
Доказать ортогональность следующих систем поверхностей:
2359. xy = az2, x2-\-y2-\-z2 = b, z2 + 2x2
2360. xyz = cfi, 2z2 = x2-+-y2-+-f(x2—y2).
2361. xy = az, Vx2 +
2362. x2-+-y2-\-z2 = ax, x2-\-y2-\-z2 = by, x2-\-y2-\-z2 = cz.
2363. x(x2-\-y2-\-z2)-\-a(x2-\-y2—z2) = 0, x2+y2 + z2 +
-\-2ax-)-2by = 0.
2364. Через каждую точку (х, у, z) проходят три поверхности
Х^ у2 ^2
вида Д2_х2+ 62 — л» -Ь С2 —л2 = * при X = Хх, Х2, Хд, представляю-
щие соответственно эллипсоид, однополостный и двуполостный
гиперболоиды. Доказать ортогональность этих поверхностей.
2365. Из точек прямой у = х, z — -j, лежащей на поверхности
y = xtgz, проводятся нормали к поверхности. Доказать, что они
располагаются на гиперболическом параболоиде.
2366. Такой же вопрос для прямой z = h, by = х\/Га2 — h2 и
поверхности Ь2у2 = х2 (а2 — z2).
2367. Найти геометрическое место проекций центра эллипсоида
х2 у^ z2
-;г-1-£г + -г=1 на касательные плоскости.
оА № С*
2368. По эллипсоиду предыдущей задачи (при а > b > с) катится
без скольжения и верчения другой такой же эллипсоид так, что
в один из моментов концы больших полуосей соприкасались. Найти
геометрическое место концов большой полуоси.
2369. Доказать, что поверхность x2y2-\-x2z2-\-y2z2 = 2xyz
пересекается шаром x2-\-y2-\-z2= 1 по четырем кругам.
Поверхности f(x, у, z, a) = 0, уравнения которых содержат
коэффициент а, меняющийся от одной поверхности к другой, образуют однопара-
метрическое семейство поверхностей. Если две бесконечно близкие
поверхности пересекаются по некоторой линии, то координаты точек этой линии,
называемой характеристической линией, удовлетворяют уравнениям:
Исключая параметр а из этих уравнений, найдем уравнение F (х, у, z) = 0.
Если данное семейство имеет огибающую поверхность, то она вся лежит на
полученной поверхности.
Подобно этому, уравнение f(x, у, z, a, b) = 0 изображает двухпараметри-
ческое семейство поверхностей. Предельное положение точки пересечения
трех близких поверхностей
fix, у, г, a,b) = 0, f(x,y,z,a + ba,b) = 0, f(x, у, z, a, b + ЬЬ) = 0
при Дя -> 0 и Д6 -> 0, т. е. характеристическая точка поверхности семейства
удовлетворяет уравнениям:

2386] § И. линии на поверхностях и кривизна поверхностей 179
Исключая отсюда параметры а и Ь, получим уравнение поверхности
F (х, у, z) = 0. Если данное семейство имеет огибающую поверхность, то все
ее точки удовлетворяют полученному уравнению; но ему могут удовлетворять
и другие точки.
Найти огибающую следующих семейств поверхностей:
2370. Шаров (х — а)2+j/2 + z2 = 1.
2371. Плоскостей, проходящих через точку (1^2, 0, 0) и
удаленных от начала на расстояние, равное единице.
2372. Найти огибающую шаров
(х—It)2 + {у — mtf + (* — nt)2 = а2,
где t — переменный параметр.
2373. Найти огибающую шаров, большие круги которых
расположены на параболоиде z = x2-\-y2.
jr2 v2
2374. Тот же вопрос для параболоида 2z = 1- —.
2375. Найти огибающую шаров радиуса я, центры которых
лежат на окружности х2-\-у2 = г2, 2 = 0.
2376. Найти огибающую плоскостей, касающихся парабол у2 = 2х,
2 = 0; y2 = 2z, x = 0.
2377. Найти огибающую шаров
(х — It)2 + (y — mt)2 + {z — nt)2 = p2t2,
где t — переменный параметр.
ЛГ2 У2 Z2
2378. Найти огибающую эллипсоидов i + p" ~+-~2 ^ 1 ПРИ
условии а2 + #2 + с2 = 1.
2379. То же при условии а-\-Ь-\-с = 1.
2380. Найти огибающую плоскостей, образующих при
пересечении с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.
2381. Найти огибающую плоскостей, у которых отрезки а, Ъ, с
на осях связаны равенством ап-\-Ьп-{-сп=\.
2382. Показать, что круги y = tx,x2-\-y2-\-z2—2f(t)x—а2 = 0
суть характеристики семейства шаров
2—2[f(t)-\-tf'(t)\x — 2f(t)y — a2 = 0.
§ 11. Линии на поверхностях и кривизна поверхностей
Найти главные радиусы кривизны следующих поверхностей:
2383. Эллипсоида ^+^ + ^=1 в точке (0, 0, с)
2384. Параболоида —+ ^ = 2z в точке (0, 0, 0).
2385. Геликоида x = ucosv, y = usinv, z = mv.
2386. Параболоида xy = az.
12*

180 V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. ИСЧИСЛЕНИЯ [2387
2387. Поверхности e*cos х =^
2388. sinz = shAr • shy.
2389. Катеноида х2+у2 = a2 ch2 z-.
2390. Доказать, что еслир^рз— главные радиусы кривизны в
некоторой точке эллипсоида, то на линии пересечения эллипсоида
4
с концентричным шаром у рхр2 = т (рх + р2), где т — постоянная.
2391. Омбилической точкой, или точкой закругления, называется
точка поверхности, где главные радиусы кривизны равны: р1 = р2-
Найти точки закругления эллипсоида
2392. То же для эллипсоида
х2 + 2у2 + 2z2+ 2xy — 2x — 4y — Az-\- 2 = 0.
2393. Найти полную кривизну параболоида
*4-£ = 2г.
Р ' Я
2394. Доказать, что средняя кривизна поверхности
z = In cos x — In cos j;
равна нулю.
2395. Доказать, что полная кривизна параболоида постоянна для
точек пересечения его с соответствующим эллиптическим цилиндром.
2396. Найти полную и среднюю кривизны поверхности вращения
где 9 = У
2397. Доказать, что поверхность вращения трактрисы
2 у2
вокруг оси Ох обладает постоянной отрицательной кривизной, рав-
ной-1.
Замечание. Отсюда следует, что на этой поверхности выполняется
геометрия Лобачевского.
2398. Через вершину параболоида вращения уг-\-г2 = 2рх
проводятся кривые на его поверхности. Найти геометрическое место
их центров кривизны.
2399. Через точку на поверхности проводятся п нормальных
2л
сечений, где угол между последовательными сечениями равен —.
Доказать, что арифметическая средняя кривизны сечений не зависит
ни от числа /г, ни от направления первого сечения (п ^2).

2407] §11. линии на поверхностях и кривизна поверхностей 181
2400. Линия на поверхности, образующая с плоскостью хОу
в каждой своей точке наибольший из углов, какой в этой точке
возможен на поверхности, называется линией наибольшего ската.
Доказать, что касательная к ней, нормаль к поверхности и линия,
идущая через данную точку параллельно Oz, лежат в одной
плоскости.
240L Доказать, что проекции на плоскость хОу горизонталей
поверхности пересекаются под прямым углом с проекциями линий
наибольшего ската.
2402. Доказать, что кривые, проекции которых на плоскость
хОу имеют уравнение ха* = Суь2, где С—постоянная, являются
ЛГ2 V2 22
линиями наибольшего ската для эллипсоида -5+т5 + -т= 1-
Qfi • 0& С&
2403. Две поверхности
уравнения которых отличаются величиной X, являются софокусными.
Доказать, что линии пересечения эллипсоида с софокусными ему
одно- и двуполостным гиперболоидами будут линиями кривизны
для эллипсоида.
2404. Доказать, что у геликоида задачи 2385 вдоль каждой
линии кривизны одна из величин In (и-{-Yu2-{-m2)±v остается
постоянной.
2405. Линия на поверхности, главная нормаль к которой повсюду
совпадает с нормалью к поверхности, называется геодезической.
Показать, что на поверхности шара геодезической линией является
дуга большого круга.
2406. Показать, что на поверхности
х = a cos и cos v, у =• a sin и cos v, z = a In tg f-— -f- -j-J — a sin v
для точек геодезической линии выполняется условие:
da V с sin v
dv CQSzv у a? cos* v — с* '
где с — постоянное.
2407. Найти аналогичное условие для геодезических линий
поверхности вращения х = г cos ср, у = г sin cp, z = /(г).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Комплексные числа
Представить в тригонометрической форме числа:
2408. 1+f. 2409. 1 + //3. 2410. /з —/.
2411. 1—cos a -\-l sin а; 0 < а < 2те. 2412. 1 -4-sina —/cos a.
2413. l+*tga; ^L%
су n
Вычислить следующие выражения, где w =cos y + /sin:
2415. (а+Ъ + с) (а + Ьа + ™2) (я + ^ +
2416. (а + Ьи> + со)2)3-К* + 6u>2 + cw)3.
Вычислить квадратные корни из чисел:
2417. Т/Т 2418. /3 + 4/. 2419. /—7 + 24/.
Решить квадратные уравнения:
2420. *2 + (5 — 2/)*+5(1— 0 = 0.
2421. х2 + (1— 20 jc — 2* = 0.
Найти все значения следующих корней:
2422. fT. 2423. 1^—1+/. 2424. f/— 64. 2425. |/64l
Найти корни уравнений:
2426. (|±|)" = |±£||. 2427. (
Выразить через cos ср и sin cp следующие функции:
2428. cos3cp. 2429. sin3cp. 2430. cos4cp. 2431. sin5cp.
Выразить через тригонометрические функции кратных углов
следующие функции:
2432. cos3 ср. 2433. sin3 ср. 2434. cos4 ср.
2435. sin4 ср. 2436. cos*ср. 2437. sin*ср.

2465] § 1. комплексные числа 183
Доказать равенства:
2438. tgncp = C»tgV-
r
п~~ 1 • 2• 3 ... k
2439. 22»cos2n <p = 2 cos 2ге<р + 2С'геcos (2и — 2) <р -f- • • •
2440. ctgx+ctg (*+£) 4-ctg (* + £)
„.,. . ./ it\./ . 2n\ . / . я — 1 \ sin nx
2441. sinArsin^ + ~jsin^A:-f-~j.. .sin \x-\-—— it j ^-^зг-
Вычислить суммы:
2442. 14-2cosa:+2cos2a:+...
2443. sinx + sin3A; + sin5A;+ ... +sin(2/*—
2444. coscp + acos 3cp-f-... -\-ancos(2n-\- l)cp.
2445. 1 + 2a cos cp -f- 2a2 cos 2cp + ... -f- 2awcos /гср.
Найти величины:
2446. ln( — e). 2447. In(—2). 2448. In/. 2449.
2450. ln(x.+ /y). 2451. e««. 2452. Л 2453. 2*.
2454. (4=P 2455. tg|. 2456. s
2457. cos(a: + /y). 2458. arcigxi.
2459. При каком условии точка z = x-\-iy лежит внутри круга
радиуса R с центром в точке с = а-\-Ы?
2460. В круг с радиусом R и с центром в точке с = а-\-Ы
вписан правильный /г-угольник, одна из вершин которого — в точке
z0 = а-\- (ЬИ- R) L Где остальные вершины?
2461. Две вершины правильного треугольника — в точках z0— 1
и zx = 2-{-t. Найти третью вершину.
2462. Две смежные вершины правильного /г-угольника — в
точках z0 и zx. Найти следующую вершину.
2463. Вершины многоугольника — в точках zk=\-\-z-\-z2-\-
-\- .. .-\-zk~lj |2г|<1. Выяснить, находится ли точка- z = 0 внутри
многоугольника.
2464. Три последовательные вершины параллелограмма — в
точках zv z2, z2. Найти положение четвертой вершины.
2465. Концы отрезка — в точках zx и z2- Найти середину.

184 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА [2466
2466. Массы mv т2, ..., тп — в точках zv z2, ..., zn. Найти
положение центра тяжести.
2467. Точки zv z2, ...,zn — вершины выпуклого /г-угольника,
Найти геометрическое место точек 2 = Х121 + Х222 + ... -\~\izn>
^0 X + X+X
1 + 2++w
2468. Последовательные вершины ломаной лежат в точках
М<1; ао> al>a2> .. .>ак-г> 0.
Доказать, что ломаная не может замкнуться ни при каком
значении к.
2469. Доказать, что уравнение
aoxn-\-alxn-i-\-...A-an = Oi ао>а1>а2> ... >ап>0
не может иметь корней, больших по модулю единицы.
2470. Доказать, что равенства Х1^г1 —{— Х2^г2 —|— Х32г3 = 0,Х1 + Х2 +
+ Х3 = 0, где Х1э Х2, Х3 вещественны, эквивалентны условию, чтобы
точки zv z2, z3 лежали на одной прямой.
2471. Доказать тождество:
и указать его геометрический смысл.
2472. Доказать равносильность равенств
где X вещественно.
Доказать равенства:
2473. 2|*1| + 2|*2|
= 2 |
,
авенс
— Z0\2 И Z2 — ZQ = ^{Z1— zo)>
2474. \х+у\-\-\х—y\ = \x + Vjfl^^\+\x — Ух2— у
Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями,
в которых t—вещественный параметр:
2475. z = z0+te*\ z0 = х0 + iyQ.
2476. z = o + *
2477. 2г = 2г0 +
2478. z = ate*K
2479. z = aeat, аи а — комплексные постоянные.
2480. Проследить, как изменяется аргумент величины х(х—1),
когда х описывает в направлении, обратном направлению движения
часовой стрелки, замкнутую кривую, заключающую внутри точки 0 и 1.
2481. Изучить изменение аргумента величин /л:, /л:— 1 и
/л: {х—1), когда х описывает тот же контур, что и в 2480,

2495) § 2. разложение полинома на множители 185
2482. Как изменится функция u = (z— a)a(z— bf при
вещественных аир, если z опишет замкнутый контур, обходящий против
часовой стрелки точки а и Ь?
2483. Тот же вопрос для функции u = (z — a)a\n(z — а) и
контура, обходящего точку а против часовой стрелки.
§ 2. Разложение полинома на множители, связь
между коэффициентами и корнями
2484. Определить а и b так, чтобы х*-\-Зх2-\-ах-{-b делилось
без остатка на х2 — 2ах-\-2.
2485. Показать, что при целых т, п и р полином хш-\-х*п+1-{-
*2 делится на х2-\-х-\-\.
2486. Доказать, что (х-\-у)п— хп—уп при п = 6т-\-5 делится
на х2-\-ху-\-у2, а при п = 6т-{-1 делится на (х2-\-ху-\-у2)2.
2487. Уравнение Зл;4— 5л:3 -f- Зл;2 + 4х — 2 = 0 имеет корень
1 —|— /. Найти остальные корни.
2488. Доказать, что двойной корень уравнения ср (л:)2 -f- ^ (х)2 = 0
удовлетворяет уравнению у'(х)2-\-&'(х)2 =0, если полиномы ср(дг)
и ф(лг) взаимно простые.
2489. Доказать, что корень кратности п уравнения F [u(x), v(x)] = 0
есть корень кратности п — 1 уравнения F \и' (л:), vf(x)\ = 0. Здесь и (х),
v(x) — взаимно простые полиномы и F(u,v) — однородная функция,
не имеющая кратных линейных множителей.
2490. Доказать, что полином f(x) тогда и только тогда остается
положительным при всех вещественных х, когда
где а0, а1э..., ап—некоторые комплексные числа.
Доказать тождества:
71-1
2491; X2"— 1 =(*2— 1)
2492.
2493. ^n+1+ ! =(JC+ 1} Д ^2 + 2xcos 2^+ l).
k-l
2494. х2^+1=Д(х2 —2xcos(2fe + 1)3I+
249d. sin — sin —. . . sin Ь ^J— = -?—-.
2/г 2/г 2/г 271"1

186 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА [2496
л м л/» . те . 2.% . пк Л/ 2.Т1 —J— 1
2496. sinT;—;—=-siHts—г-г- • .sin — v ' —
2/г + 1 O1" 2/г + 1' ' ' O1" 2/г + 1 2^ c
2497. cos-^ =-cos-^—XT* * «coSo—-j—r = o^.
71+1
(-i)2
пРи
нечетном или четном п соответственно.
олаа . « . Зге . (2/г — 1)тс
2499. sin^sin^. . ,an* 4/г =
2500. sin-isin^. . . 81п(2я-1)1В=41-
2/г 2/г # 2/г 271"1
Окл1 . те . 2те . (/г — 1)те /г
2501. sin — sin — ... sinv — = ——;.
n n n 2n"1
Разложить на множители полиномы:
2502.. (*+ 1 )»+(*— 1)^
2503. х2п-\-С\пх2п-\х2— l) + dnx2n-\x2 — I)2
2504. ^+1 + CL+1^-1(^2-1) + CL+^271-8^2 - I)
)2
+ ()
2505. Вычислить произведение (х\-\- \){х\-\- 1).. .(л:2 + 1), где
Art, лг2»---> -^я — корни полинома хп +а1хп"1+ ... +an»(ai»- ••» Л?г
вещественные).
2506. Корни полинома f(x) = aoxn-\~alxn-1-\- ... +an связаны
соотношениями a:s -{- a:w_s = m, s = 1, 2,..., /г. Доказать тождество:
/(*) = (— l)nf(m — х).
2507. Корни полинома f(x) степени 2/г связаны соотношением
xs-^-xn+8 = 2mt s= 1,2,..., /г. Доказать, что один из корней f (х)
равен /я, а остальные попарно связаны формулами ys-\-yn+s-i = 2nl>
s=l,2,..., п— 1.
2508. Уравнение я^л;7^ аххп"1 + ... + aw = 0, где aoan =^= 0,
имеет &-|-1 член. Показать, что оно не может иметь корней
кратности выше, чем k.
2509. Делится ли на (х— I)4 многочлен х2п—n2xn+l -\- 2(п2— \)хп—
— ^лг^-"1-!- 1?
2510. Найти зависимость между коэффициентами полинома аох* -f-
-{-alx2-\-a2x-\-a3 = 0, если между его корнями имеется зависимость:
2511. Найти зависимость между р, q и г, при которой корни
уравнения л:3+рх2 -\- дх -\- г = 0 составляют геометрическую
прогрессию.
2512. При каких \ и [х корни уравнения хА-\-2х* — 21лг2 +
-f-X* + Iх = 0 образуют арифметическую прогрессию и какую именно?

25231 § 2. разложение полинома на множители 187
2513. При каких р, q а (0 < а < 4) уравнение х*-\-рхл-\- q = О
имеет тройной корень?
2514. Остатки от деления полинома на х — а, х — b, x — с равны
А, В, С. Найти остаток от деления на (х — а) (х — Ь) (х — с).
2515. Корни полинома х*-\-х2 — 2 равны 1, а и р. Найти
полином ср(лг) второй степени, для которого ср(1)= 1, ср(а) = р, ср(Р)= а,
и доказать, что ср (ср (л:)) — х делится на лг3 + лг2 — 2.
2516. Найти полином f(x) седьмой степени, такой, чтобы f(x)-\- 1
делилось на (х—I)4, a f(x)—1 делилось на (х-\- I)4.
2517. Найти полином f(x) степени 2п— 1, такой, чтобы /(х)+ 1
делилось на (х—l)w, a f(x)—1 на (л:+I)71.
2518. Найти полином степени п, который при делении на х — av
х — а2,..., х — ап дает остатки Av Л2,..., Лп.
т
2519. Доказать справедливость тождества Эйлера У] **-,*,^ = 0,
Л = 1
где ср (х) = (х — xt) (х — х2)... (х — хт), числа xv х2,..., хт
различны, а со (л:) — любой полином, степени не выше, чем т — 2.
2520. В равенстве
обе части можно разложить по степеням z, если числа || I!
и {(X-^k-^z — z2\ меньше чем единица. Приравнивая в обеих частях
коэффициенты при одинаковых степенях z, доказать тождество:
2521. Полагая в тождестве предыдущей задачи X == cos ср —|— / sin ср
для полинома Чебышева Гп(лг) = 2~(7г*"1) cos (n arccosA:), получить
явное выражение
—3) xn-i я(л —4)(л —5) хп-ъ
'nW — x 2 I 2T4 2 2Т4Т6 ?Г + - * *
2522. Учитывая характер изменения полинома Тп(х) в интервале
— 1<1а:^1, доказать, что всякий другой полином xn-\-alxn"1-\-
+ ... + ап с вещественными коэффициентами не может постоянно
оставаться по абсолютной величине меньше, чем 2~^~1), т. е. что
полином Чебышева наименее уклоняется от нуля в интервале (—1,1).
2523. F(x)=f(x)y(x)k, где f(x) и ср(лг)—взаимно простые
полиномы без кратных корней. Положив F (х) = Р (x)Q(x), F'(x) =
= P(x)R(x), где Q(x) и R(x) взаимно простые, доказать, что ср(лг)
есть общий наибольший делитель полиномов Q(x) и R(x) — kQ'(x)
(Остроградский).

188 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА [2524
§ 3. Полином с вещественными коэффициентами.
Теорема Ролля
2524. При каких к все корни полинома л:3 — Зх + Х вещественны?
2525. Многочлены
ср (х) = (х — ах) (х — а2)... (х — ап);
ф(*) = (* — bt)(x — b2).. .(* — *„)
имеют корни: аг < Ьх < а2 < Ь2 < ... <ап<Ьп вещественные и
перемежающиеся. Доказать, что при X > О корни полинома p
вещественны и перемежаются с корнями полиномов ср(лг) и ty()
2526. При тех же условиях и р, > X > 0 доказать, что корни
уравнений y(x)-\-'kty(x) = Q, <?(x)-{-\i^(x) = Q вещественные,
простые и взаимно перемежающиеся.
2527. Доказать, что при тех же условиях корни уравнения
ср (х) -\- Хф (х) = 0 возрастают вместе с X.
2528. При каких значениях р и q уравнение xb-\-px-\-q = 0
имеет три вещественных корня?
2529. Доказать, что уравнение хт = 1 + ахт+п, где тип
нечетные, а>0, имеет при (т-\-п)т+пат < ттпп два
положительных корня.
2530. Доказать, что при вещественности корней уравнения
jc3 — 3px-\-q = 0y p > 0 каждый из них по модулю меньше, чем
2]/р. Если же корни х2 и лг3 мнимые, то | xt \ > 1^2/?.
2531*. Доказать, что уравнение х^-^а^*-]- ... -\-ап = 0, где
^i > ^2 > • • • > К-ь> 0» aia2- • -ая Ф 0» не может иметь более чем
п положительных корней.
2532*. Доказать, что полином хп + cttxni + ^а:^ + ... +
■+ат-1хПт'1 + ату гДе л > ni > п2 > • • • > nm-i — целые числа,
ахаг.. ,ат Ф 0, не может иметь более чем 2т вещественных корней.
2533. Доказать, что все корни уравнения х Vl/~ — = 0 —
положительные правильные дроби.
2534*. Все корни полинома аохп~]-а1хп-1--]-... -{-ап—
вещественные, S—целое. Доказать, что и все корни полинома (/г+ 1)8аохп-\-
\^71-1-\- ... -\-ап тоже вещественны.
2535*. Доказать, что все корни полинома {т-\-\)т-1хт-\-ттхт-1-\-
Н I 2 — хт~2-\- ...-(-1=0 лежат в интервале (—1, 0).
2536*. Все корни полинома аохп-\-а1хп-1-\- ... -\-ап
вещественные. Доказать, что корни уравнения usxk-\-C)tas+1xk~l-\-C\as+2xk~2-\-
-f- ... + as+k = 0, s-\-k^nt тоже вещественные.
* См. указание в „Ответах",

2548] § 3. полином с вещественными коэффициентами 189
2537*. При том же условии доказать неравенства:
п О
к+3—ак+1ак+2)2 ^ 4 (ак+1 а А+2) (ак+2 ак+1ак+?)-
2538*. Корни полинома f(x) = аохп+ аххп~^ +...-\-ап
вещественны и различны. Доказать, что у полинома nf(x)f"(x)—
— (п—1)/'(*)2 все корни мнимые.
2539*. Все корни полинома f(x) вещественные. Доказать, что корни
полинома f(x)-{-\f(x) тоже вещественные, если X вещественно.
2540*. При том же условии дано, что полином f(x)-\-m имеет к
мнимых корней. Доказать, что уравнение /'(*)2—f(x)f"(x) —
— mf"(x) = Q имеет не менее чем k вещественных корней.
Доказать теоремы:
2541*. Если все корни полинома f(x) вещественные, то при X > 0
и все корни полинома xf'(x)-\-\f(x) тоже вещественные. (Лагерр.)
2542*. Если у полинома f(x) = a-\-агх-\-а2х2-\- ... -\-апхп все
корни вещественные, а у полинома cp(v) они ^0, то и у полинома
F (х) = 2 ^v? (у)х* все корни вещественные (Лагерр).
2543*. Если у полинома fix) = а-\- ахх -\- а2х2 Ц- ... + апхп все
корни вещественны, то вещественны и все корни полинома F(a:) =
= 2 а$ (у) х*> гДе функция cp(v) выражается произведением
еА* | I (1 + — j e av, числа а положительны, А вещественны
(Лагерр).
2544*. Если корни полинома f(x) = 2av*v и точка х = 0
лежат внутри некоторого выпуклого контура, то внутри того же
контура лежат и корни полинома Z7 (*) = 2*М> М ■**» гл-е ФОО==
, числа av > 0, Л < 0.
2545*. Корни полиномов f(x), /"(*),... , /^-^(jc), где f(x) —
полином степени /г, лежат внутри любого выпуклого контура, внутри
которого лежат корни f(x).~
2546*. Если функция Ф (*) = / (*) + af (x) + a2f (*)+••• +
-f- anf(n) (x), где f(x) — полином степени /г, имеет корни
вещественные, то и полином f(x) — тоже.
2547*. Если корни полинома f(x) = P(x)-{-iQ(x), где полиномы
Р(х) и Q(x) имеют вещественные коэффициенты, лежат по одну
сторону вещественной оси, то корни уравнений Р(х) = 0 и Q(x) = 0
вещественные и перемежающиеся (Эрмит).
2548. Применяя теорему Ролля к функции хтех, доказать, что
уравнение
х+х + Л^^
имеет все корни вещественные.
* См. указание в «Ответах».

190 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА [2549
Доказать вещественность корней уравнений:
2549*. xn+(JL.yxn-t+ (2L<«^yV-»+ ... + 1=0;
1И = 1, 2, 3,...
2550*.
_JL df n
2551*. х*е * dxn =°-
2552*. -Л- + —**-+...+-&-~0, Лу>0,
X — п\ X — п>2 X — CLyi
я i < а2 <,...< ап.
2563*. _Д- + 1г4^+...4
Д,>0 при v<m, Д<0 при
2554*. Доказать, что корни полинома Эрмита—Чебышева
вещественны и лежат в интервале (—]f2n-{-l, 1/"2/г —(— l)
Сколько вещественных корней имеют уравнения:
2555. l+* + ^ + -J+...+^ = 0.
2556.
2557* В разложении по степеням Х:
71=0
фициент cpn(jc) при \п есть полином степени /г+1. Доказать, что
все корни cpw(jc) лежат в интервале (—1, 1) (Эрмит).
2558*. Найти верхнюю границу для числа положительных и
отрицательных и нижнюю границу для числа мнимых корней уравнения
*io_7a;_2 = O.
2559*. В уравнении аохп-\-а1хп^1-\- ... + ап = 0 при некотором k
имеется равенство: а| = ак__1а1с+1. Показать, что среди корней имеются
мнимые.
2560*.В таком же уравнении четыре последовательных
коэффициента образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что
уравнение имеет мнимые корни (Эрмит).
2561*. Доказать, что уравнение
где/00 — полином степени не выше, чем п — 2, имеет мнимые корни.
* См. указание в «Ответах».

2583] § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ 191
2562*. Доказать, что при вещественных а и b уравнение
имеет не больше одного вещественного корня.
§ 4. Рациональные дроби. Разложение на простейшие
Разложить следующие дроби на простейшие:
2565. xb~f~x\ 2566.
C*-D»
2569. ^Т.'.зг- 2570. *4+1
&*)' -I. * , о о , о —о I о.. I 1 • ^*^ • ^»
8
х* + 4'
О v4 v ?И — 1
2573. . , , ,. • 2574. —п ; вг<«-
2575. , „!.-f. , ^. 2576. р^.
_з^+Г
2581. Определить коэффициенты в разложении функции f(x) —
а^сп _f- алхп~х 4-... + ап
= т—-—^Т^ г—т~"^—^г по убывающим степеням д:, если корни
\Х Xi) уХ — Ху) .. . (X — Хп)
знаменателя простые.
2582. Найти сумму ряда 2 яп*71» где
2583. Если хх по абсолютной величине больше остальных корней
уравнения /(*) = хп + аххп'х + ... + ап = 0, то *x = lim -^~±1.
где «п — коэффициент при х"п в разложении дроби |j~ =
/ \Х)
если ср(д:1)=^О. Числа ип можно находить последовательно из равен-
+ + 0
ius+n-i + • • • + anti8 = 0.

192
VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
(2584
2684*. Разложение в ряд правильной рациональной дроби имеет вид
= и0 -+ ахх -+ и2х2 -+ и3х* -+ ..., где числа ип имеют значения О
и ztl. Доказать, что
й (х) = 1 — X"*, ср (х) = а!*»-* + ^т"2 +.. . + ««.
где числа #v могут иметь лишь значения 0 и ±1 (Лагерр).
2585*. Доказать равенство
|
где a:v — корни уравнения л:п=1, отличные от единицы.
2586*. Все корни уравнения /(л:) = 0 степени п — вещественные.
Доказать, что в промежутке ( — Ху*
Хы~1
1
где x^_v a:v, a:v+1—три последовательных корня f(x), нет корней f'(x).
258?*. Все корни полинома f(x) степени п — вещественные, как
и число т. Доказать, что модуль мнимой части каждого из корней
уравнения f(x)-\-imf'(x) = 0 меньше, чем \пт\.
§ 5. Определители. Системы линейных уравнений
Вычислить определители:
2588.
2591.
2594.
2598.
5
1
4
1
1
1
1
X
-1
2 -
2
0
— 1
1
1
1
\+а
1
X
У
+ У
2
-1
2 -
4 2
2 1
2 0
1 1
1
1
У
х + у
X
2
2
-1
•
•
X
. 2589.
3
2592.
4
1
4
+ У
X
У
10 — £
11 —2
2—14
1 2 3
-12 4
—1 1 1
—12 5
2595.
2597.
) 10
10
. 2590.
3
2
6
1 4
4 9
9 16
16 25
1+л 1 1
1 1+6 1
1 1 \+с
1 1 1
(Ь + с)2 а*
62 (с + а)*
С2
С2 |
6
3
2
9
16
25
36
1
1
1
2
6
3
16
25
36
49
\+d
а*
б2
Л+ 6)2
См. указание в „Ответах0.

2604
2698.
1 с
—с 1
b —а
1
. 2599.
. 2600.
§ 5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
а 1 О О
16 10
0—1 с \
О 0 — 1 d
2601. Найти величину определителя Вандермонда
1 1 1 . . . I
х1 хъ х-:
193
1 1 1
х у z
Х2 у2 22
Д =
х1 х2
X2 г2
предполагая сначала, что числа xv х2, . . . , хп различны между
собой.
2602. Вычислить определители Ая и Ая+1, получающиеся из
определителя Вандермонда заменой в последней строчке показателя п — 1
на п или на п-\- 1.
2603. Вычислить величины Ах и А2 определителей, получающихся
из определителя Вандермонда А дифференцированием по xt и
заменой л^на х2 или хг и х2 на лг3:
О
1
2*2
1
1
1
7-
Хо
п(п— \)xf-2 (n—
2604. Доказать равенство:
у.П-1
1!2!3! . . .(/I —
где =
-, А—определитель Вандермонда.
13 Зак. 2666. Сборник задач, I

194
VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
(2605
Вычислить определители:
cos (а — b) cos(b — с) cos (с — а)
2605.
cos (a + b) cos (b -f- с) cos (с -f- a)
si n (a + b) sin (£ + c) sin (c -f- a)
2606.
2608.
sin a
sin b
sine
sin8 а
sin8?
sin3 f
sin8 8
cos a sin 2a
cos b sin 2b
cos с sin 2c
sin2 a cos а .
sin2 (3 cos j3
sin2 f cos у
sin2 8 cos 8 <
Доказать равенства:
2609.
2610.
X a2
X X
2,0^ +Оя_
X ... X
X ... X
X лп
= cp
2607.
sin a cos2 a cos*
sin j3 cos2 p cos*
5in -f cos2 -у cos*
sin а
sin За
sin 5а
| Q
J Y
sin 8 cos2 8 cos3 8
2; Dn =
—1 ,
•
1 0
a2 1
0 —1 аъ
0
0
(X)-X-g,
0 0
0 0
sin£
sin3^
sin bb
... 0
... 0
... 0
an_1
1
sine
sin 3c
sin be
0
0
0
1
где cp(X) = (a1 — X)(a2 —
aw — X),
2611*.
аъ
a2 аъ
an at a2
(n- l)(n-2
= (-!)■
i) <P (аг
где cp(a) =
... -\-anan-1; a — корень уравнения an= 1.
123...Л
2 3 4... 1
n(n-l)
-=(-1)"
2612.
n 1 2... n —
2613*. Доказать неравенство:
л2
ri-2
л
... an
... *n
где
В2>

2626]
§ 5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
195
2614. Доказать, что предыдущий определитель положителен, если,
при тех же условиях, его элементы вещественны.
2615. Доказать, что определитель, у которого элементы avx и а^*
симметричные относительно главной диагонали, — комплексные
сопряженные, имеет вещественное значение.
2616. Элементы определителя порядка п связаны равенствами
avv = 0, а^ = Шр, v>^x, где а^ — вещественное число. Найти
значения я, при которых определители имеют вещественное значение
при любом выборе а^.
2617. При каких п тот же определитель равен чисто мнимому
числу?
2618. Показать, что при нечетных п тот же определитель равен
A(\±i), где А — вещественное.
2619. Доказать равенство:
+ *2У1 1 + *2У2 • • • 1 + ХгУп л . о
= U, П > 2.
+ *пУ2 . •. 1 + ^пУп
2620. Найти величину определителя
а р т
А= «iPiTi
«2 02 Т2
элементы которого — косинусы углов новых осей со старыми;
координатные системы предполагаются прямоугольными.
2621. Показать, что определитель
*2 У2
*ъ Уъ
элементы которого суть проекции трех векторов на оси, не меняется
при преобразовании прямоугольных координат.
Решить системы уравнений:
2622. 2х — г=\% 2623. х-\- у +
*+0 + яЪ> +
2624. х-\-2у+ z-{- t = 0, 2625. Ьх +
2х-\- у-\~ г-|-2^ = 0, х —
х + 2y-+2z+ t = 0,
^+ у+ z-\- t = 0.
2626. х— \y-\-2z =—1,
2х — Ъу— z — 5t = — 7,
Зх — 7у-\- z — Ы = — 8,
у— z— t=—\.
Z
Z
)*
1!
1,
= а,
■ 2а,
-- 0.
13*

196
VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
2627. Из системы уравнений х-\-у-\- 2z = 0, 2х —
x-\-y-\-z = t, 2х — 2y-\-z = u найти и как функцию от t.
Решить системы:
ЛОЛО. Л^ —J— Х2 —у- Лд —|— . . . —(— Хп fit
(Я+2)
п(п + \)
[2627
п (п
_ п(п + \) ... (2п —
~ 1-2-3... п
2629.
2630. Показать, что в том случае, когда определитель А,
составленный из п2 элементов aav, равен нулю, имеет место пропорцио-
л л л
нальность -—• = -jt- = • • • = -^t t Где Aki — алгебраическое допол-
нение элемента акг.
2631. Решить систему уравнений: anxt-\-а^2х2-\- ... + ^пхп = ^
(v==l, 2, ... , п), предполагая, что таблица, составленная из
коэффициентов этих уравнений, — ортогональная. Найдя решение,
показать, что i4V|X = а^ • Д, где Л^х — алгебраическое дополнение
элемента а^у
2632*.
аи а12 ... а1р
а2Х <*22 ••• а2р
Ф0,
ар\ ар2 • • • арр
а все определители порядка р-\- 1 матрицы
' ап ап ... аш
* См. указание в .Ответах".

2644] § 6. МАТРИЦЫ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 197
содержащие А как минор, равны нулю. Доказать, что ранг матрицы
равен р.
2633. При каком условии три точки (xv y^)> (*2> У2)> (*з» Уз)
лежат на одной прямой?
2634. При каком условии три прямые
alx-\-bly-\-cl = Q, a2x-\-b2y-\-c2 = Q, a3x + Ьъу + съ == О
пересекаются в одной точке?
2635. При каком условии четыре точки Мt (xv yv zj, M2 (x2, y2, z2),
M3(xv y3, z3), Ж4(л:4, yv z±) лежат в одной плоскости?
2636. При каком условии п точек AIv(a:v, j/v, 2v), v = 1, 2, . .. , n,
лежат в одной плоскости и при каком лежат на одной прямой?
2637. При каких условиях п плоскостей А^х-\-В^у-\-С^-\-
+ DV = 0, v = 1, 2, . .., п, пересекаются в одной точке или по одной
прямой?
§ 6. Матрицы. Характеристическое уравнение.
Квадратичные формы
2638. Величина \ равна наибольшему положительному корню
характеристического уравнения матрицы ||aift||'c положительными
элементами. Каковы знаки решений системы \Xv = a>)lxl-
_j_ ... -\-а^пхп, v= I, 2, ... , п?
2639. Найти вид элементов прямоугольной матрицы
(•■-,:-
\ О>п\ ап2 • • • апт j
ранг которой равен единице.
2640. Показать, что матрица ранга г может быть представлена
в виде суммы г матриц ранга единица. Какое следствие для
билинейных форм вытекает отсюда?
2641. Если Ах и Bt—транспонированные матрицы А и Б, то
(AB)t = BtAl9 Доказать.
2642. Найти правила действий для гиперкомплексных чисел вида
q = ае-\-bi-\-cj-\-dk, где е, i, j и k обозначают следующие
матрицы:
,_/ о i\ / о у—х\
у""\-1 о)'. * = уу=т о у
2643. Найти вид матрицы, перестановочной с любой матрицей.
2644. В каком случае матрица А линейного преобразования
3\ = avlxt -f- av2Ar2 + ... -f- avnxn удовлетворяет условию AAt = E,
где Е — единичная матрица, a At — транспонированная матрица Л?

198
VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
[2645
2645. Найти вещественные корни уравнения
и —х а\2 • • • а\п
а2\ а22 — х • • • а2п
= 0
при условии, что а^ = —а^ и все а^ — вещественные.
2646. Доказать, что характеристическое уравнение
ортогональной матрицы возвратное, т. е. его корни связаны попарно
зависимостями хчхп_^ = 1.
п п
2647. Квадратичная форма 2 2 Лм^Л — определенная, а число
у. = 1 v = 1
X заключается между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
«12 +^12 ---аы + хЬ1п
= 0.
ат + хЬп
Доказать, что квадратичная форма
апп
*>V
—
неопределенная. Здесь х^ и xv — независимые переменные.
2648*. Доказать, что корни характеристического уравнения
матрицы с элементами а^ имеют вещественную часть, заключающуюся
между наибольшим и наименьшим корнями характеристического
уравнения симметрической матрицы с элементами Ь^> где 2£pv =
= 0p.v + 0V|f При этом все а^ — вещественные.
2649. Найти границы величины вещественной части корня
характеристического уравнения кососимметрической матрицы с
вещественными элементами.
2650. Доказать, что корень s характеристического уравнения
матрицы с элементами а^ меньше по модулю, чем наибольший
положительный корень о матрицы с элементами \а^\.
2651. Доказать, что наибольший из положительных корней
характеристического уравнения матрицы с положительными элементами
больше по модулю, чем любой другой корень того же уравнения.
2652*. Доказать, что наибольший корень характеристического
уравнения матрицы с положительными элементами а^ больше по
модулю, чем любой корень характеристического уравнения матрицы
с элементами ^v = \faa.
2653. Показать, что корни характеристического уравнения
матрицы с положительными элементами а по модулю меньше
наибольшего корня характеристического уравнения матрицы с элементами
b , где 2b, v = a v + а .
См. указание в „Ответах".

2660]
§ 6. МАТРИЦЫ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
199
2654. Элементы матрицы ||(^v)|| определяются по формулам:
V". v = Vab + ^2^2v + • • • + b^nam\ [x = 1, 2, ..., л, где blv
bl2, ..., bln и а^ — данные числа. Найти величину произведения
определителей
Ьп Ь12 ... Ь
1п
Ьп\ Ьп2... Ьп
аХ1 — х а12
Я2Л
2655. Найти элементарные делители матрицы
2656. То же для матрицы
(5 —х 30 —48 \
3 И —X —24
3 15 — 25 — X/
2657. Исследовать эквивалентность матриц
/1-Х 1 0
0 1 — X 0
\0 0 2-Х
2658. Показать, что матрица ||(а^)||, будучи подставлена вместо х
в характеристическое уравнение той же матрицы
а1п
— у
ему удовлетворяет.
2659. Составить элементарные делители матрицы
/X 1 О О О
X О О О
0 0X0 О
О О О X — 1 О
0 0 0 X — 1/
приведя ее к каноническому виду путем элементарных
преобразований.
2660. M(bv b2t ...; bn) — двойная точка квадратичной формы
п п
{л =* 1 v = l r r г

200 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
[2661
обращающейся в нуль в точке N(cv c2, ...,сп). Найти значение
формы в точках прямой MN.
Представить в виде суммы квадратов следующие квадратичные
формы:
2661. 4xy-\-4xz + 4yz.
2662. Sx2-\-5y2-{-2z2 — 6yz-\-4xz — 2ху.
2663. Зл;2 + Ъу2 + 3z2 + Slv2 — 2ху + 2xz + \0xv — 6yz+
+ 2yv -f- 6zv.
n n
2664. Квадратичная форма 2 2 a>v*>*v посредством линей-
{* = 1 V = l
ного преобразования х^ = с^у^с^у^.. .-\-с^пуп, [х = 1, 2, ..., /г,
п п
преобразована в квадратичную форму 2 2 ^WV-Vv Найти линей-
ь= 1 v = 1 ^ h
ное преобраззвание, переводящее форму, союзную первой, в форму,
союзную второй.
п п п п
2665. Формы 2 2 flp.vVv 2 2 Ь„,х ^положительны. До-
{X=lV=l |l=hsl
п п
казать, что и форма 2 2 а^^хоУ^ положительна.
§ 7. Симметрические функции
2666. Пользуясь основной теоремой о симметрических функциях,
доказать, что целая рациональная симметрическая функция степени т
от корней уравнения xn-{-plxn-1-{- ргхп~2-\- . .. -f-/?n = 0
рационально выражается через pv р2, ..., рт.
2667. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать, что
суммы степеней корней уравнений Slt 52, ..•» Sm у уравнений
xn-\-plxn~1-\-p2xn~2-\- . .. +/?п = 0 и jc^ + ^^^ + ^'H
+ . .. ~|-/?w = 0 одни и те же. Здесь т^п.
2668. Опираясь на результат двух предыдущих задач, доказать,
что при т^п для сумм степеней корней уравнения справедлива
формула:
2669. Умножая на подходящую степень х левую часть
уравнения xn-\-p1xn~i-\-p2xn~2-\~ ...-\-рп = 0у получить равенство для
сумм степеней корней уравнения при т > п:
Найти значения указанных симметрических функций корней
данных уравнений:
2670. *Б—Зл:3 — 5х+ 1 =0; 2 J&

2686] § ?• симметрические функции 201
2671. л:3+3л:2 — х — 7 = 0; 2 л£.
2672. x4+ax^+bx2-\-cx + d = 0) 2 *Ц*5 v =£ ji.
2673. л:3 — x — 1 = 0; 2 *i (*a ~ xzf-
2674. x* — 5л:2 — 2л: + 1 = 0; 2 (xi — *2)2 (*з — хд2-
2675. j^+x^+.-.+x+l—O; 2 JC?jc|jc|; л > 8.
2676. л:5 — 4л:3+л:2 + Зл:+1 =0; 2
2677. л:* + (a + )^ ( +
^+...+^) = 0; найти 5W при
2678. Д(^^1)
2679. Доказать формулы Варинга, дающие выражения для 5W,
суммы Ш'Х степеней корней уравнений хп-\-р^71'1 +... ~\-рп = ^
через коэффициенты уравнения. Эти формулы можно написать в
таком виде:
г •••
В каждой из сумм в правой части индексы jx, v, X, . ..
положительны, а их сумма равна т.
Для кубичного уравнения л:3-|-ал:2 + £л; + с = 0 вычислить
следующие симметрические функции:
2680. А+4 А + А4+4
Х1 + Х2
х\ \ X2XZ , хг~Т~Х1Х^ ХЪ i
2681. Площадь треугольника со сторонами л^, х2, х3.
Представить в виде целой функции от х следующие дробные
функции корня данного уравнения (уничтожение иррациональности
в знаменателе):
2682. tl+У^; *3—2 = 0. 2683. х,\ + 2\ х* —5 = 0.
Узнать, имеют ли общий корень полиномы ср(лт) и
2686. ср(х) = л:3 — Зл:2 + х+1, ^{х) = 2л:3 — 4л:-f- 2.

202 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕВРА [2687
2687. у(х) = {+ ^()r
2688. ср(л:) = л:5+л:2+ 1, ty(x) = а:5 —а:8-|- 2.
2689. При каких л и [х уравнения
х8 — 6а:2 + Ха: — 3 = 0, а:8 — а:2 + |хх + 2 = 0
имеют два общих корня?
Решить системы уравнений:
2690. Ъх2 — by2 — Зл:+9у = 0,
5х8 + 5У—15л:2—13xj;—у = 0.
2691. Зх3 + 9a:2j/ + 9ху2 + 3j/8 + 2х2 — Аху + 2j/2 = 5,
4х8+ 12x2j;+ 12х^2 + 4У — х*-\-2ху— у2 = 3.
Исключить а: из систем уравнений:
2692.
+ у )+у{Щ
2693. а:8-]-^^2 — 4 = 0, лг3-+- wjc+ 2 = 0.
2694г. х8 + 4/гсх2 — Зл:+2 = 0, 2х8 + (/?г+ 2)л:2 — 5х+ 1 =0.
2695. Найти дискриминант хп~]-а = 0.
2696. То же для уравнения х*-\-px2-\-qx-\-r = 0.
2697. В выражение дискриминанта D(a0, av ..., ап) входит член
1^""1. Найти Ж.
2698*. Доказать теорему: если все корни уравнения с целыми
коэффициентами хп-\- р1хп-'1-\- ... -\-рп = 0 по модулю равны
единице, то они равны корням из единицы (Кронекер).
§ 8. Преобразование и решение уравнений
2699. Корни уравнения x%-\-px-{-q = 0 вещественны при
условии 4/?8-|- 27q2^ 0. Когда корни уравнения х*-\-ах2-\-Ьх-\-с = 0
вещественны ?
2700. Решить уравнение а:4 + 4а:8+ 11л:2-{- 14л:—|- 12 = 0
подстановкой х=у-\-о при подходящем выборе о.
Следующие уравнения привести к уравнениям с целыми
коэффициентами и коэффициентом при старшем члене, равном единице,
применяя подстановку вида у = ах:
2701. 5а:4— 9а:8+15а:2— 12а:+18 = 0.
2702. 900а:4— 750а:8 + 375а:2— 13=0.
2703. Доказать, что уравнение а0х2п-\-а^271-2-\- ... -|-ап = 0
имеет мнимые корни, если уравнение а0х2п — а^х271'2 -{-••• +
+{—1)пап = 0 имеет вещественные.
2704. Найти уравнение, корни которого равны квадратам корней
уравнения а:6 + а:8+ а:2+ 2а:+3 = 0, и доказать, что у данного
уравнения есть мнимые корни.
* См. указание в „Ответа^

2722] § 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 203
3705. У уравнения хА — 2л:3 — За:2 —|— 4л: — 1=0 один из корней
равен квадрату другого. Решить уравнение.
Решить уравнения:
2706. а:' — 6/яа:3 + 2 (4т2 + л) *2 — бтпх + п2 = 0.
2707. 4(а:2 —а:+1)3 —27а:2(а:—1)2 = 0.
2708. При каком условии два из корней уравнения
= 0 отличаются только знаком?
Доказать теоремы:
2709. Возвратное уравнение ал:2п+^1^2?1"1+ • • • +а1х-\-а = 0
1хА- 1\2
подстановкой у = [ __ ) приводится к решению уравнения
степени п и квадратного уравнения.
2710*. Возвратное уравнение с вещественными коэффициентами
х2п-{-а1х2п-1-\-.. .-\-апхп-\- ... +^1*+ 1=0, у которого |awK2
имеет по крайней мере одну пару мнимых корней.
2711. Полином с вещественными коэффициентами /(л:) =
-\-а^71'1-\- ,..-\-ап в интервале (—2, 2) не может по абсолютной
величине все время оставаться меньше, чем 2.
2712. Уравнение с вещественными коэффициентами x2n+1 -f-
-\-alx2n~i -\- ... + апх = т в интервале (— 2, 2) имеет хотя бы один
корень, если | т \ < 2.
2713. Уравнение с вещественными коэффициентами x2n+i +
-f- a^x271'1 -(-... -\-апх = т имеет корень в промежутке (—2/, 2/),
где 212п+1 = \т\ (Чебышев).
Преобразовать следующие уравнения указанной подстановкой
(преобразование Чирнгауза):
2714. а:3 — х2 — 4а: + 4 = 0; у = х2 + х— 1.
2715. 2а:3 —5а:2 + д;4-2 = 0; у = 2х2+Ъх— 1.
2716. а:3— 6а:2+15а:— 14 = 0; 2^ = *2 — 5а:+8.
2717. а:^ + 2а:3— 13а:2— 14х+48=0; у = х2 + х — 7.
Найти уравнения для у, корни которых выражаются через корни
данных уравнений указанным образом:
2718. х*-\-2х — 1 = 0; yi = а^а:2, у2 = A:tA:3, уъ = х2хг.
2719. а:3 —а:2 —3=0; у,= .Xl _ и т. д.
2720.
2721.
\ Т 2 3
2722. ла:3 + З^а:2 + За2А: + а3 = 0; ух = (а:х — х2) (xt — a:3).
* См, указание в рОтветах*.

204 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА [2723
Решить уравнения:
2723. л:3 — Зал:2 + (За2 — Ь2)х — а3 + а£2 = 0.
2724. л:3 — 3 (а — Ь) х2 + (За2 — 6а£ — Ь2) х — а3 + За2£ + аЪ2 —
2725. л:3 — (а+ 1)2*2 + (2а3+а2 + 2а — 1)х — а4+ 1 =0.
2726. л:3 — 5л:2 + Зл:+6 = 0.
2727. л:4 — 12ал:3 + (45а2 — Ь2) х2 — 2а (29а2 — ЪЬ2) х +
+ 24а2(а2 — Ь2) = 0.
2728. *4 —4(а+1)*3+(5а2 + 14а+ 4)л:2 —
—(2а3+14а2+12а)л:4-4а3+8а2=0.
2729. 2а:4+7а:3+10а:2+11а:+6 = 0.
Полное кубичное уравнение
линейной подстановкой у = х «~ приводится к уравнению
Последнее проще всего решается подстановкой х = u-\-v, вводящей два
новых неизвестных. После невиданное уравнение переходит в такое:
и'* +1/3 + (3uv + p) {и + v) + q = 0.
Чтобы удовлетворить этому уравнению, достаточно положить и3 +1/3 = — q,
3wt/+/? = 0. Отсюда находятся и и t/, а потом и х. Окончательно
получается формула Кардана:
Для кубичных радикалов следует брать лишь такие значения, чтобы их
произведение было равно — 4" (способ Гудде).
Подобно этому, полное уравнение четвертой степени
подстановкой у = х—— приводится к уравнению
Один из наиболее простых способов его решения принадлежит Феррари.
Уравнение переписываем в таком виде:
4*4 + 4a*2 == — 4Ьх — 4с.
Прибавляя одинаковые слагаемые к обеим частям, получаем:
4х* + 4 (а + X) х* + (а +1)2 = 4Хлг2 — 4Ьх — 4с + (а + Х)2
(2*2 + а + Х)2 = 4Х*2 — 4^лг + /J* + 2а\ + а? — 4с. (*)
Величину X можно подобрать так, чтобы полином в правой части имел
равные корни. Для этого должно быть
2 _ 4с) \ — Р = 0.

2765] § 9. отделение и вычисление корней 205
Если X — один из корней этой кубической резольвенты, to уравнение (*)
переписывается в таком виде:
и сводится к двум квадратным уравнениям:
Решить по формуле Кардана и способу Феррари уравнения:
2730. х8 — бдг—9 = 0. 2731. *8 + 6*—7 = 0.
2732. лг8+3дг —2=0. 2733. *8+3* —4 = 0.
2734. Xs — 7х—6 = 0. 2735. ** + 3*2 + 2*+3 = 0.
2736. *4+2*2+4* + 8 = 0. 2737. *4—*8+3*2—5*+2 = 0.
2738. *4 — 17#2 — 20* — 6 = 0.
§ 9. Отделение и вычисление корней
Найти рациональные корни уравнений:
2739. бдг*— Их»—лг2-4 = 0. 2740. 4**—11*2+9* —2 = 0.
2741. 2лг8-Ь 12jc2-|- 13лг-Ь 15 = 0.
2742. 2** — 4*з+3*2 — 5* — 2 = 0.
2743. 6*5 + 11** — х3 + 5х — 6 = 0.
2744. *5 — 5** +2*3 — 25л:2 + 21 х + 270 = 0.
2745. лг6 + 3*Б + 4дг* + За:8—15дг2—16лг+20 = 0.
2746. 6 6 632+6 0
Найти кратные корни уравнений:
2747. *8—12дг+16 = 0. 2748. х*-\-х2 — 8х— 12 = 0.
2749. аг* + 2дгЗ_Злг2-4л: + 4 = 0. 2750. xi— 6лг2-8*+24 = 0.
2751. х5 — Xs— 4дг2 — Злг — 2 = 0.
2752. xf>-\-2xi — 8лг8— 16*2+16лг+32 = 0.
2753. *в_|_6*5+ 3*4+ 12*8+ 3*2 + 6*+ 1 = 0.
2754. (*+1)7 — *' + 7*+6 = 0.
2755. *б —*5 + 2** —*з+2*2 —*+1=0.
2756. *8+2*8 —2*2—1=0.
Отделить вещественные корни уравнений:
2757. *8— 12* + 5 = 0. 2758. *3 —27*—17 = 0.
2759. *4—2*8—5*2+2*+2=0. 2760. *4—2*8—5*2+3*+1=0.
2761. *5—2** — 5*з+ 19*2— 17*+ 1=0.
2762. *5+3*4 — 9*3 — 7*2 + 39* — 21=0.
2763.
Отделить по способу Фурье корни уравнений:
2764. *8—12* —4 = 0. 2765 *8—2'4*+11 =0.

206 VI. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА [2766
2766. л:4 —4л:3 —За:+23=0. 2767. л:4 — л:3+4л:2 + х — 4 = 0.
2768. *4 + 6л:3 — 2*2+1=0. 2769. л:5— 10л:3+6л: + 1 =0.
2770. л:б + 3л:4+2л:3 — За:2 — 2х— 2 = 0.
Отделить по способу Штурма корни уравнений:
2771. *3 + 2л: — 7 = 0. 2772. *3—21*+7 = 0.
2773. х* — 6х*-+-х2— 1 =0. 2774. *4+л:3 —4*2—4*+1 =0.
2775. л:4— 12a:s — 55а:2 + 96 = 0. 2776. л:б + 5л:3 —7*+2 = 0.
2777. *б + 7л:3 — 5*+11 =0.
2778. Составить ряд функций Штурма для уравнений
а) x2-\-px-\-q = 0 и b) x*-\-px-\-q = 0.
2779. Методом Штурма найти условие вещественности корней
уравнения л:5 — 5рх*-{-5р2х-{-2q = 0.
2780. Сколько вещественных корней имеет предыдущее
уравнение, если ръ < q2?
2781. Числа av — вещественны, £v — положительны. При этом
п
JJ (х — av — bJ) = <f(x)-\-tty(x), где ср (л:) и ty(x) — полиномы
v = 1
с вещественными коэффициентами. Доказать, что корни уравнения
P?(x)-\-Qty(x)==Q вещественны при любых вещественных р и q.
2782. Отделить корни уравнения относительно X:
2783. Определить число вещественных корней уравнения
воспользовавшись теоремой Штурма и равенством
Вычислить с точностью до 10~5 корни следующих уравнений:
2784. х3 — 5*+l =0. 2785. а:3 — 9х2 + 20а:— 11 =0.
2786. *3 + 3л:2 — 4х— 1=0. 2787. *3 + б*2 + 6* — 7 = 0.
2788. *3 — За:2 + 8а:+10 = 0. 2789. а:4+2а:2 — 6*+2 =0.
2790.
Найти с точностью до 10~3 корни следующих уравнений:
2791. *4 + 2л:3+6л:2— 1 =0. 2792. Юл: = 10 + sinx.
2793. 10* = *-*. 2794. х = е~х. 2795. 101па: = а:3 —3.
2796. Шар с радиусом 1 м имеет удельный вес 0,75. На какую
высоту он выступает из воды, плавая в ней?

ОТВЕТЫ*)
1. {—5, —3}. 2. cos а = —; sin а = — —; АВ = 5. 3. cos в = 0.
и О
QQ
4- J3-. 5. —2У2. 6. 5/2", 'а = —45°. 7. (7, 3). 8. (12, —7).
9. А(—1, 0), 5(5, 6). 10. (2, -2). 11. (8, 1), (0, -3), (—4, 5). 12. (3, 10) и
(—1, 7) или (9, 2) и (5, —1). 13. (6, ±2/3). 14. (5, 1). 19. Координаты
одной из вершин: £ = xt — X2+xB —... — х2п-2 + х2п-ь ч\==У1 — У2 +
+ Уг- ... - У2П-2+ Лы-i- 20. (0, 0), (10, 0). 21. 1 уТзб, (у, -у ).
22. 9,5. 23. 11,5. 24. 12 ±20. 25. 49. 26. —35. 27. 29,5. 28. (5, 4).
29. хУЪ=—х1 — уь у У"2 = х1 — у1. 30. (-7, 1). 31. (х— 1)У^=
32. (--J, -2). 33. (4л+3).45°.
35. (2 + 5/3, 8). 36. 7. 37. 6У2"; 225°; 4; 330°. ЗЭ.у = ±h. АО. x = ±h.
41. у = л:, л: + у — 1 = 0. 42. (5, 7). 43. Л^ выше, М2 и Af4 ниже, Af3 —
на прямой. 44. у = лг— 1. 45. х + Зу — 5 = 0. 46. лг — 3 = 0-
47. Здг —у —4 = 0, Зд: + 2у—1 =0, Злг + бу — 34 = 0. 48. 2х + 3у— 1 = 0.
49. д: + 2у + 4 = 0. 50. 5д: + у —20 = 0, л: — 5у + 22 = 0. 51. 135°; 30°; 15°.
52. Зх + 2у — 6 = 0, Зх + 8у + 12 = 0. 53. (—1, —1), (—2, —2), (8, —7).
54. 10. 55. Пу — 8х— 14 = ±5У"3(лг— 1). 56. Зх + у — 4 = 0, Зх + у —
— 8 = 0, л: — Зу — 4 = 0, х — Зу — 8 = 0. 57. (2, 4), V* 58. Зд: + 2у —
-7 = 0, 4х + у — 6 = 0. 59. дг + 2у—11 = 0, 2д: + у —5 = 0. 60.3л: —
+ 11=0, 4д: + 3у —2 = 0. 61. 7дг — 24у — 62 = 0, х = 2. 62. у =
у = 3х— 10. 63. 4дг — Зу + 25 = 0. 64. 4лг + 3у + 1 ± 15 = 0. €5.3/1/52:
66. 2д: + 4у — 3 = 0. 67. 12д: + 8у —7 = 0. 68. 2х + Зу ± 6 = 0.
69. (0, 3), (2, -1). 70. х—у + 1 = 0, Зх+2у-7 = 0, 2д:+Зу+7 = 0. 71. 4х~
_у_7 = 0, х + Зу — 31=0, д: + 5у = 7. 72. Зд: + у = 25, л: — Зу =
= 15,у = 2дг. 73. tgo>=i|-. 74. 2у = 3дг, 13дг —4у=14. 75. 9дг—у —
— 39 = 0, х — 4у+16 = 0, 12л:— 13у— 18 = 0. 76. у = х + 3. 77. Зд: —
х — 5у+1=0. 78. 2х + Чу = 5. 79. 31л: +
= 0. 80. Зл: + 4у = 25. 81. 2л: + 7у = 5. 82,л: = 0, у = 0. 83. л: ~
= 0, 7х + у— 17 = 0. 84. 7л: + у + 4 = 0, л: —7
*) Чертежи к ответам даны на стр. 248—282,

20tf ответы [ 85
85. 4л: + 2у+1=0. 86. х = у. 87.5. 88.(4"» А- •* л: + 4у = 4.
90. 2л: + 11у — 24 = 0. 91. (4 ^-, 4 {^V 92. у = ± (л:-4). 93.5л:-4у +2=0,
—5y+l=0. 94.^—^., ^-\ 95.3* —46y +28 = 0, 9x +
+ 2y —28 = 0, 46л: — 3y — 77 = 0. 96. * = 1, Злг — 4y+l=0, х — 8у +
+ 27 = 0. 97. 2х — у+ 4 = 0. 100. лг^б = — х — 2у + I, у1УЪ = 2х —
-у + 1. 101. (*1 + Ух)/2+3 = 0, (хх-У1) /2 +1=0. 1О7.** + У2 =
= #>'. 108. r = asin^. 109. (3, —4). 110. Четыре решения. Один из
ответов: л:2 + у2 — 4лг —6у + 9 = 0. 111. уУ26. 112. л:2 + у2—Юл: —5у = 0.
113. (0, 1), (-|, — i-V 114.л:2 + у2 = 25. 115.л: + 2у = 5. 116. —2*+у = 5,
л:+2у=5. 117. адг = ^. 118. дг+у = 3±31/2". 119- /2= ^+^+^ + 5^ + С-
121. (л: — 4)2 + (у — 4)2 = 16, (х — 20)2 + (у — 20)2 = 400. 122. х* + у2 = 15л:.
123. (—3, 0). 124. (х — Л)2 + У2 = ^. Л2 д;2 + (у _ а)2 = ^ а\ 130. д:2 + у2 =
133- ^ + Ж=1- 134. y=jcctg^-. 135. (2я-*)>>2 =
2] . [(д; _ а)2 _J_ y2J = ^4 ИЛИ Г4 —
2ср + а4 — 64 = 0. 138. (*2 + у2)2 =: 2а2 (л? — у2) Или г =
/ ^. 139. Если данные точки: (0, 0) и (с, 0), то полярное
уравнение: (1 — д2) Г2 _ 2 (ab + с cos <p)r + с2 -- 62 = о. 140. у2 [(а + у)2 + х*] =
= Л2(а+у)2. 141. (Jc2+>f2_ajc)2=^2(JC2+:y2). 142. ДГ = Д (t + ^ Sitl 0» У =
= л (sin / — ^cos 0. 143. x = a(t —sin t), y = a(\ — cos tf). 144. x = at —
— b sin/, у = a — 6 cos £ 145. x = a [(/г + 1) cos t — cos (n + 1) tf], у =
= a [(/г + 1) sin * — sin (n + 1) tf]. 146. x = a [(/г — 1) cos /+cos (/г — 1) *J, у =
= a [(/г — 1) sin ^ — sin (/г — 1) t]. 151. Отрезок прямой bx = ± лу. 152.
Прямая, соединяющая середину высоты с серединой основания. 153. Прямая,
соединяющая середины диагоналей. 154. Зх2 — у2-\-2ах = а2. 155. х2 —
— у2 + 2л:у ctg ср = сСК 156. л: + у=1. 157. Прямая. 160. Прямые. 161. х* +
\* х. 164. 4у = лг2. 165. у2 = 2лг. 166. ^i см. 167. Фокусное
расстояние 2,5 еж. 169. 16. 171. * = -|-/>, х = ^гр. 172. у2=16дг + 64. 173. у2 =
о и
* = 2а. 174. у = 2х; (±, 1J. 175. (-1, -6), (-1, У
--у-. "9. у = |(^2 + 2^ + 5), ^2 + >f2 + ^_9y + 8 = 0, tgco = l;
0; ^-. 181. у = дг—1. 182. ±2дг + у + 4 = 0. 183. х — 2у + 2 = 0, х +
+ 4у + 8 = 0. 185. tg <о = 2 УЗ". 185. /?/2 sin a. 187. Касательная в
вершине. 188. у = 2х + 4. 183. д: ± у + 2 = 0. 191. Директриса. 192. д:2 +
+ 4у2 = 36. 193. УТб, 1^6. 194, д:2 + 4у2 = 65. 196. — 0,08. 197. ~ 5,1.10».

308] ответы 209
198. -55+"IT = 4. *1==4'зТ' *ъ = — 34- 199. 0,5. 200. /2. 201.
55T зТ 34
202. 1: УУ. 203. 2x^ = 0?. 204. УТ, 2. 205. 120°. 206. 1:
207. Зд:2 + 4у2 = 192. 208. 2*2 - 2у2 = лз - Ъ\ 203. -^- + д2^с2 = 1.
ш. $-$-i ». ■£-$-.. «■*+£-• Й-?--1
213, ^--^=1. 214. (8,2, ±1,35). 215. Ь. 216. 16*2 + 25)0 = 400.
217. 9*2— 16у2 = 144. 221. х ± 2у = 0. 225. 60°. 226. ах = Ьх = |/"2. 22Т. аг =
228. .2= 5/13-13 Шв у=-3^, У = ~^Г 230^ =
8* ж , 15 . 12
233. sin?-(m—1-)J^1. 234. tg? = -^l. 235. 2^ = 17.9,
2^=17,1. 237. у = — 2х ±4; -у= . 238. дг — у± 2 = 0. 239. л: — 3 = 0,
10л: + 9у + 24 = 0. 240. *— 1=0, 5* + 4у + 3 = 0. 241. 2дг —
242- 10*л+Зу±8=_0. 243. х — у±2 = 0, 2/2. 245. у = ±3(х±4).
246. у ± 6 = ± Y3,8 х. 247. 90°. 254. а), Ь) — пары пересекающихся
прямых; с) двойная прямая; d) параллельные прямые; е) точка; f) мнимость.
255. а) мнимость; Ь) гипербола; с) парабола. 256. k= \. 257. k = -^.
258. Х= ±-т=-> ^^/3—2у = 0, дг —2ауУз" + 2 = 0, а== ±1. 259. X =
= 4<7, fx = —7сг, л: + ay — 3 = 0, 2л: + 2ау — 1 = 0, а = ±1. 260. а: + 1 = О,
2* — у+1=0. 262. лгу = л: + у. 265. лгу — у* — х — 2у + 3 = 0. 266. ху +
+ 2у — л: — 2 = 0. 267. (* — у)2 = 2л: + 2у + 3. 268. л:2 + ху + 6у2 + 2х +
. 275. С(-1; 0), ^ + ^^—3 = 0. 276. С (2; 1), J
. 277. C(l; -1), ^-2^^ + ^-7 = 0. 279. у-
= 0. 280. /^(1; 1), ^(-2; -2). 281. е= У%. 282. С (3; 1), а = 45°,
), а = 45°, 4д;2 — 2^ + 23 = 0. 284. а = 45°, jct =
у* =2^ 1/2". 288. 5^ =
289. ^1/34=3^ + 5^-1, 2^У34 = -10д: + 6у-7, у?
294. 4д:2+9у2=36. 295. л:? + 9у? = 9. 296. jcf + 4yj=ia 297. 9х\ + 4yf=324.
298. 9j^-y2=9. 299. 9*?— 25у?=225. 300. 9jc?— 16yJ= 144. 301. х\- 9у\ = 9.
39в. у5 = 2дг1в 303. д:?—2у2 = 3. 304. (лг + у — 1) (2дг —Зу — 3) + 4 = 0.
305. (Jf-y + l)(Jt + y-4) + 2 = aa0i.[^(JC-e) + B(y-ft)J.[B(jc-a)-
С = 0. 307. (лг + у)2 + 5дг —у = 0. 308. (х— у)2 + д:— 1 = 0-
14 Зак. 2666. Сборник задач, J

210 ответы [309
309. (* — у)2 = 8*. 310. 4*2 — Ixy + Ay2 — 7* + 8y = 0. 313. (* — 2y — :
2 = 9. 314. (* + y—l)2 + * + 2y—1 =0. 315. (* — y + l)2±
+ (* — У + O2= 8. 317. 3(* + 2y — 4)2 + 2(* — 3y + 2)^ = 10,
8(* + 2y-4)2 + 3(* —3y + 2)2=20. 319. * + у = I, F (2, 1). 320./ч(-1; 2),'
F2{3; 0), ;y = 2*, у = 2* —2. 321. Fx{—2; 4), /^(0; 0), * —2y+14 = 0, * —
_ 2у — 4 = 0. 322. *3 — 2xy + y2-\-8x = 0. 323. 5*2 — 8xy + 5y2 _ 12* +
+ 6y = 0. 324. 100 [(* — 2)2 + {y — 1 )2] = (x — у — 50)2. 325. 2xy = 1.
326. Фокусы в точках (l ±-LZ-f i-J. 327. (5*—l)2+(5y+3)2 =
(4* + 1)2 + (4y + 6)* = 5(* + 2y + 1)3 328. (* - 1)2 + {y — 1)2 =
= [2 — *— y± l/2"(* + y—1)]2 (*—1)2 +(y — I)2 = [2 — 3* — у ±
± j/^ (* + у — I)]2. 32J. <* — a)2 + (y — a)2 = 2a2 (jc + у + 1)2^ ба = —1 ±
±/7. 330. 9[(*-l)2 + (y-l)2]=25(*-y + 4)2, (*_l)2+(y_i)2=25.
331. (* — y)2 = 8(* + y). 332. 2*2 —2y2 + 4y_i=o. 333. 2(*—1) +
+ 2(y+l)2=l. 334. Если директриса ось Оу, данная точка (a, 0), то
искомое уравнение: 4*2 + у2 = 4а*. 335. (* + 1 )2 + {у + I)2 = 1. 336.
Гипербола. 337. * = 2у. 338. х + у — 2 = 0, 5* + 5у —6 = 0. 33J. у ± 2 = 0,
*±2 = 0. 340. 9* + Юу — 28 = 0. 341. * + у — 2 = 0, 7*+10у —8 = 0.
г2
347. Концентрическая окружность радиуса ^-. 348. В теореме Паскаля
сторона, обратившаяся в нуль, заменяется касательной в вершине
пятиугольника. В теореме Брианшона получается пятиугольник, когда одна
вершина становится точкой касания. 353. 4*2 — 5у2 — 12* + 4 = 0.
354. {х + у)2 + б* — 26у — 55 = 0, (* — у)2 — 10* — 6у + 25 = 0. 355. ху —
— * — у — 1 = 0. 355. ах = а2 — Ь2 357. х2 + у2 = а2.
358. Фокус 360. Если направление задано прямой у = тх, то
искомое уравнение (* + ту) {тх — у) = т {а2 — Ь2). 361. * + у — 1=0.
362. х%-\-у2 = у. 363. Две параболы. 364. Парабола.
367. Окружность. 370. Парабола. 372. {А — В) ху — АЬх + Bay = 0.
373. Прямая. 376. Если данный круг х2-\-у2 = а2 и точка А {с, 0), то
искомое уравнение {а2 — с2) (*2 + у2) + 2а2сх — 2а4 = 0. 377. Гипербола.
378. Эллипс. 384. | г | = 9, cos a =—-, cos p = — -g-, cos y= -q-. 385. a + b + c =
11. 385. —3. 387. — 13i + 18j — 7k. 331.45°.
392. 60°. 393. |ЛВ| = 15; £ ВАС = 90°. 394. 45. 395. —у. 396. ±(6i—
—9j — 2k). 397. - 14. 398. a X (bXc) = —30i + j - 27kjja X b) Xc = —16i —
{ABXAC)-AD ,Л"27~ ~ \ABX^AC\
-20J + 4K. 399. 3. 400. »-(|Дх^, =Y TT • ™-ЩГ
404. /тг=~. 405. X==l, f*==-l->a=i + j + -jk. 407. 15a* =
= i —5j + 8k, 15b* = — 2f—5j — k, 15c* = 5i + 5 — 5k, ^i + *2j + *3k =
= ma* + /zb* +/?c*. 410. * = {ma + a X b): | a |2. 411. x = 3i + 2j.
415. 12У "j/3—1. 416. Первый орт имеет направление а, третий орт
перпендикулярен каи лежит в плоскости а и Ь. 417. ех cos в + е[ sin в,

497) ответы 211
где е; = е1Х(е2Хе1):|е1Х(е2Хе1)|. 418. [(б -1=) * + (2 +
419. г1= (г . е)е + (е X г) sino> +
+ (eXr)Xe.coso>. 420. ^[(7 + 2/6") i + (5-2/6)j + (4- /б)к].
423. ^- —X + T=L 424# ~6'"~3' 2* 425' * + 2;у + 2г = 2. 426. 5x —
— 3y — 7z = 0. 427. x— 1=0, у — 1=0, г — 1=0,
12 1 1
428. cos a = — , cos p = — , cos y = -=. 423. cos (/?, xOy) = -=■.
у 6 у б у б "
430. sin(p,Ox) = j. 431. cos8 = 4r* 432e cosp
— у — Зг = 0. 434. 2х — у + 1 = 0. 435. jc — у = 0. 436. По разные стороны.
437. 6. 438. г=1 ±20. 43S. У"3- 440.
442. 7г1 = —2, 5г2=—28. 443. 17jc — 14г + 39 = 0, 35;с-~38г —117 = 0.
444. (3, — 1, 0). 445. х + 2у = 0. 445. х + у — z — 3 = 0.
447. jc —2у+г —3 = 0. 448. (1, 2, 3). 450. JC + y + 2z —4 = 0.
451. 3xl = — x + 2y — 22 + 7, 3yt =_2jc — у — 2г + 1,3^t = — 2x — 2y—z + 2.
452. x + y±z = a. 453. X = ± /2. 454. X = 3. 457. 2jc — у — 2г + 4 = 0,
4х — у — 2г + 2 = 0. 459. 5х — Зу + 5 = 0, jc —Зг —2 = 0, у — 5г — 5 = 0.
460. cos a = —l=r , cosp = -^, cosy = Д=-. 461. 60°. 462.90°.
YMj ^бТ /61
463. cos? =/12.. 464. JQ+ «***) =. 465. 0°. 466.
Г 13 /5sin»2a + 12sin2a+8
467. x=l, у = 2. 468. -^-, -jg-, -=j-
469. ЛЧ5, 2,5, 2,5), S'(2, 4, 4), | A'V\ =-|yT. 470.
— 2z+\ =0, jc + 2y —г —2 = 0. 474. ^ —у + г —2 = 0, .*-|-у+2г— 5 = 0.
475. x + y + 3z — 7 = 0. 476. jc —г+1=0. 477. jc —у + г = 0.
478. jc — 5y + 5z — 2 = 0. 479. jc — 2y+ г—1 = 0.
480.
482. *-(2±/3)у + (1±/3")г = <Х 483.4 = 4 = 4- 484.-^^ =
= -L-2=s£+lu 485. 7x — 26y+\8z = 0. 486. Jc + 2y+l=0.
487. JC + 3y = 0, Зх — y + 4z — 12 = 0. 488. ( — 7, —5,-11). 489.(1,0,-2).
490. (-5, 2, 4). 491. Зх — y + z— 1 =0, jt-f 2у-г=0. 492. (-^ -2/3, 4/з).
493. X = 1,25. 494. x + y + г+1=0, 2x — y — z + m = 0. 495. ^"^ =
— У~ = г"|" . 496. y+l=0, 2jc — г-f 1 = 0, Д= /57 497. tg? =«/,.
14*

212
ОТВЕТЫ
(498
= 2nt-z0, где
500.
498. x1 = 2lt — x0
499. x + y + z = C
cos (1,111)=-^=;
503. x-\-2y-\-2z
511.^/2=1. 514. 2: УУ 516. *=1 = 1±1 = 1^ *=I
-2 = 0, 2x + 5y+4z+S=0. 501. cos (I, II)=0,
cos (II, III) = —L-. 502. 5x + 3y — z— 1 = 0.
—1=0. 504. x — z — 2 = 0. 507. rf/2 =3. 510. rf=l.
г-!. 517.^
11
4 ~~ 5 ~~ — 8 ' 47"
y —2 г —3 jc—1 y —2 z — 3
— 1
55 22 22 55
518. Тангенсы последовательных углов -«=-, -г^, -^т-, —.
15 4 '
519. x = 0,
520. #(*—
525.
~.
*0,
526. jc ± у = 0.
527. у + г = 2. 528. (х — 1)2 + У2 = -г2. 529. -*2 + ^У + хг = jc + у.
530. 2jc2 + г2 — 3jcy + Zxz — 3yz — 5jc + Зу — 14г + 9 = 0. 531. Jry + xz —
— уг=^. 532.4л:2— \QXy-\- 4xz + 7у2 — 5yz + 8x—l0y-\-2z = 0. 533. у = г.
534. 2*2 + 2у2 — 2г2 + 12ху + 4xz — 4уг + 5х + 23у + 9г + 4 = 0.
535. -*2 + У2 = (z — 1)2 536. (* — г)2 + (У ~ -г)2 = 1. 537. у = jc tg oz.
538. ^2_f-[jc(jC + y + ^)—^(* + у)]2=Л2^2 539. *2 + у2_;сг_:уг_г_1=0
540. Jc2 + y2 = ^. 542. (2х — у — zf + (x — 2y+ z)* = (х + у + z — З)2
543. ,у2 = 6лг —9. 544. Если лампочка в точке (5, 0, 0), центр абажура
в точке (5, 0, —1), стена — плоскость yOz. 1 ед. = 1 дм. Уравнение тени
. 547.(0, 0, 4).
—4у2= ЮО; х = 0. 545. (0, 0, 2). 546. А), 0, 2±-^-
548. *2 + у2 = 2(г±а)2,
552. г2 = rj, где r2 (/2 -f- m2 + n2):
551. х = 0,
z — c, x — a
n I .
Z — Cb X — С
nu U
: — а, у — b
/, m
> — *ь У —
1Ь т
у — by z — с
тпь
554. у2_^2 = 4
:0. 556.
It, z = t. 560.
-2)(г-
24
D, 2B, Z7
£, Р, 2С
+ [h(2x — Зу + 2) + Hi
562. (х+2у—z+l)(x—y-\
564. х
. 553. (5х—5у—3)2 + (5jc—5г + 5)2 + (5y—5z + 8)2= 98.
555.
2A\ D
D\ 2B
xz + Fyz +
557. х = 24*, у = —52*, z = Ы и jc = 2*
1)2 + Z)(jc—2)(y — 1) +
— 1)(г—1) = 0 при выполнении условий А >0,
561.
2г)]2 = 0, причем Х^ — Xtfx = 0.
= 0. 563. х + у +2г+5 = 0, у — Зх— 1 =
= г и у = 1, x = z. 565. * — у + 2 = 0,
= 0, z = 0. 566. *~~Х = y~J- = Z~Zr- .
ay b2q — c2p be у р be уq

650] ответы 213
567. 4jc — Зу — 5г + 4 = 0. 5i8. 4x + 2y + 4 + Х (у + г) = 0 при Х<— 5.
569. С(1, 1, -1); 4 + у\ + г\ + 2х1У1-2У1*1 + Ьхх21=\. 570.2^+6у?+
+ 2г* + Sxt2t +1 = 0. 571. 4х1у1+4х1г1 = 1. 572. x2+y*+z*—x—y + z = 0.
573. Образующие конуса 5(х + 2)* + 20(у — 1)2 = 8(5г+ 1)2 574. *2 +
+ у2_г2=4. 583. 2jc—Зу + 2г—2 = 0. 584. *+;у+г = 6. 585. х—у — 2=0.
586. 2 = 0, Р(0, т, п). 587. 2jc + y —г = 0. 588. 3jc+1 = 0, Зг — 2 = 0.
589. Р(0, 1, 0). 598. х = с. 591. z = 1, 2дг = 3у. 592. .к = 2г — 2, у = г— 1.
593. у = С. 597. JL+£ + iL = ±V3. 598. i + -£- + £ = ±l.
599. (Л, Ж, Л), где *= 1: у^+^+А ^0. (±^^ ^|)
604. (а, а, а), где а = ± 1. §05. (а, а, —За), где а = ± L 606. jc2+j/2= 1,
> = z. 609. 90°. 610. 90°. 611. ~ —-f =±~—С-1Л_. 624. Куб с реб-
а о с
ром а Уз". 625. 2лг2 -f- 2у2 —• 2ху + 2х + 2у — 1 = 0. 626. х2 + У2 + г2 = Д2>
-^ + У + г = 0. 627. .к2 — 2^у + у2__2(^4-у)+1=0. 629. Его
образующие параллельны вектору P(y#2_£2 , о, ± у#2_с2 ). i32. -5— -*i+
дФ дФ дФ
*~ ^у ^1 ■" ^г^1 ■" "5F х = где после ДиФФеРенДирования положено t = 1.
633. ^(л", у, г) = 0, / -z 1- т -$—\- п -г— = 0. 634.
636. х — у + 2— 1 ■= 0. 637. 1(х + 2) -f- т(у — 1) + п (2г + 9) = 0.
638. x+y+z=0,1х+ту—(1+т) 2=0. 642. х\ + yf + г\ = 49, 0^3, —4, —5).
{3 (jc — 1) = 2xt + 2yt — гь
Зу = 2xt — у{+ 2гь
644. 2х\ + у\ — г\ = 2; формулы перехода: | 3 (у + 1) = 2хх — ух + 2гь
645. Jtf + 2у\ — Зг^ = 6; формулы перехода: | 3 (у + 1) = 2хх — ух -\- 2гъ
I Зг = 2хх + 2.У! — 2t.
{3 (х + 1) = —2jq — 2ух -f- г1э
3 (у + 1) = —2*1. + У1 — 2-гь
3 (г + 1) = -*i — 2ух — 2гь
647. хх + 2<у1 = 2гх; формулы перехода:
648. *! — уг = 2гх; формулы перехода:
649. xl + 2yl = 2, x + t+i = ^ y_:
36 = 2*1 + 2у1 + г1, 34 = 2*!-*-: .
650. *х — Ух = h х — т = 6, у -J- 2/w = у], г -(- 2/w = С; дальше те л<е формулы,

214 ответы [651
что в предыдущей задаче. 651. у\ = 2хх; формулы перехода, как в предыду-
( 9(х + 7т) = 4хг -4ух + 7гь
щей задаче. 652. jcf — уJ == 0 < 9 (у + 4/я) = *i + 8^ + 4zb
[ 9 = -8*! — Л + 4zt
653. ** + у* = 0 3(у-2ш) = -2д:1 + у1-2г1, 654.
(
х — 3/п -f- 2/г = ^, у -{-2т — 6/г = yj, г + 6/?г + 3/г = С. См. ответ к задаче 655.
[ 76 = 6^-3^ + 2?!
655. х\ = 0 \ 7ч\ = 3xt + 2yi — 6^t (Для обеих задач 654 и 655.)
I
656. *2l + y2l + 2z2l = 0, х + 2 = хьу — 3 = уь г —2 = *t. 657. 4у2-2г2=*.
658. X = ± 1, jt = ± /2". 659. ^ + ас + 6с = 0. 660. у = 0; Х2^_+ Хг +
+ (1+Х)(1-Х)2—1=0. 661. 2с = 1+а/5; г = 0; 2jc = (а 1^5 — 1)у;
ff = ± 1. 663. /w < —1 — эллипсоид; т = —1 — эллиптический цилиндр;
— 1 < /тг <С "9— однополостный гиперболоид; /тг = -^—конус; -^-<[/w<;i—
двуполостный гиперболоид; т = 1 — цилиндр, /тг > 1 — эллипсоид.
664. 5(«2+ рг + 1) = (а + 2р + 1)2 665. дту + дтг + уг + а2 = 0.
666. A(z + a)x + B(z — a)y + C(z2 — a*) = 0. Гиперболический параболоид.
668. 4(* + у + г)2 — 3(2дг — у — 2)* + (у — г+1)»=1. 669. (д: + 2у + г)2+
+ 4(jc — г)2=16. 670. д:2+4у2 + (2г —2)2 = 5. 671. *2 + ;у2 + (,гг— 1)2 = 2.
£72. (x + y+z)*+4(x-y) = 9. 676. 9(лг—у)2+(дг+7у—7г)2=9(дг+у+г)
и 9(дг-у)2+(д:-5у+52г)2 = 9(д:+у+г). 677. х-у+(—2±У*7)(2дг-г) = 0.
678. (-^-, -1, ^. 673. JC+16y-30z±/33(jc-6^)==0. 680.
лг + у — 22г = 1. 681. х — 4у— 1±УЗ(дг — 2у) = 0. 682.
683.2* — у — 4г = 0. 684. /г ± kx = const, Ы /
685. У = 0, /С2ДГ = ± ka?Z. 686. С2у2 (ф __ ^2) = ^2 (^ _ Д)2 (а2 _|_ С2). 687. Х= С,
x + y — z = c. 688. z + 1 = 0; д: + 2у = 2; г + 1 = 0, Зх + 4у — 4 = 0.
689. z = a и X* + ру + z = р. 690. г = а и az + bx + cy +/==г + р.
691. X = jju=1. 692. *2 + у24-г2 —yir—1±дгг1/3" = 0. 693. Гипербола
в плоскости xOz. 694. у = 0, г* + 2рл: = /?2 515. jc2 +- у2 +- г-2 — 4а* — 46у —
— 2сг + 2г а* + Ь2 ^ & 697- jc —2у + г-0; х — (1 ±Y3)у = 0.
с
698. * = 0. 699. 2x = q — р. 700. *+ 1 = Хг, А. (у + 1) = — х и д:+ 1 = X*,
Х(у+1)_=— г. 701. jc — у — <r = X(j/"3 —у + г), Х(* — у — *) =
= 2(УЗ+у —г). 702. 2у + г = 0, * + 8у —2 = 0; 2у — г = 0,
j; —24у —2 = 0. 703. 135°; a=j60°, р = 60°, т = 45°. 704. 4*2 + у2 —
— -г2 — 1=0. 705. у^—г2 — * = 0. 706. (/г* —
707. **
г = 2а.
711. *2
±r + * +
709. г2
+ 2у2 + 2
аЬ
+ 3X2
г2 +
xz 2bx 2az 0.
' —уг + 6* + 2у —4 =
2xz — 5у — Зг =
0.
0.
708. рх - -
710. у2
712.
2д2 у о,
= 2* — г.
Парабола.

870] ответы 215
1 13
713. 2 и 2/УЗ*- 714. Окружность радиуса ~г=• 715. г— - 717. -^.
9 /W п h
718. —8. 719. 6. 720. -тт. 721. л. 722. ■—. 723. —1. 724. Т" .
on z
725. С*. 726. £j. 727. ~. 728. -|. 729. ^-. 730. 1. 731. 0. 732. 0.
733. —1. 734. ± 1 при х -> ±оо. 735. ± 1 при х -► ±оо. 736. —у. 737. — 1.
738. а2 + а + 4 • 739. Ve • ™- 1/2 - 741. 4/з. 742. \. 743. V2 • 744. 1.
745. V» 746. у. 747. 1. 748. у. 749. 2. 750. 0, если x-> + oo, и +оо,если
х-> — оо. 751.0. 752. ±1. 753.0. 754.-^. 755.0. 756.0. 757. —\.
2 4
758. -j 1/2". 759. (^ + a2+...+ап):/г. 760. у. 761. X = — 1, jx = 0.
•w П 1 1
ИЗ 2 Т
S50- 7б5- га •
766. 2л. 767. 1, если д> 1; 0, если а<1; ^-, если а = 1. 768. 0 при
а =^= 1; -^- при а= 1. 769. 1, если а> 1; —1, если а< 1; 0, если а= 1.
770. 0. 771. 4. 772. 4- *73. 5- "4. ~. 775. (— l)w-w.~. 776. 1. 777.x.
<з л п
778. -i v 779. у (л2 — /?г2). 780. -|. 781. у. 782. 2 cos а. 783. - sin л
784. —2 cos л. 785. 0. 786. — ^-. 787. -4=-. 788. —^=-. 789. ~. 790. 1.
4 у 2 УЗ 4
791. <ут • 792. — у. 793. -у • 794. 4. 795. ^2. 796. е. 797. Oj 798. ^. 799. е\
800. г2. 801.1. 802. Z"^. 803. е^. 804. ^ctsa. 805. ^6ctga. 806.^-1.
807. 1. 808. е. 809. 0. 810. 0, если х-+~, оставаясь > -^ ^
оо, если х -+ -г, оставаясь < — (х-+- 0). 811.0. . 812. е~К
4 4 \ 4 /
813. -^-Af = 0,043429... 814. —1. 815. —~. 816. -—. 817. 2*. 818. 1.
819. 1. 820. j. 821. lna. 822. lna. 823. (lna)2. 824. \па — \nb. 825. a —p.
826. 1. 827. ac\na. 828. а, если a^>\; 1, если д<1. 829. У^гб-
830. у «1-Л2---.*т 831.1. 832. л. 845.-4-. 846. у. 861. хп =± у(^ 1 +
^) 2 T!
W-»OO ^ П->ОО
868. 1— /1 —ж, 870. у = 2х, если 0<л:<1;

216
ответы
[871
у = Xj~ , если 1 < л: < 3; у = х + 2, если 3 < х < 4. 871. и при , > 1, и
при ,<—1; v при jc>1; у при —1<jc<1; г при лг<1, и при
872. у при je>-3, и при ,<!—3; z при любом х. 873. У при ,>0; г при
любом х. 874. Да. 875. При а = 0. 876. При jc = л2, где л — целое, поло-
i_ 1
жительное. 877. При х = 0; Iim^a? = oo, lim^a? = 0. 878. limy = 1,
ж-> + о ж->—о ж->1—о
lim у = 0. 87§. Разрыв и при л: = ± 2; разрыв t/ при
рыв w при je = O, +1, —1. 880. х = -
± "^3; раз-
. 881. х =
7i л, ^ = —--1- — ^
= тс л, кроме л = 0. 882. х = 0. 883. х = 0. 884. Нет. 885—946 и 957—
965. См. чертежи. 967. Если wt тот корень уравнения f<rt2+(& — а )«> — Р =
= 0, что
970- 1_
974.-12^
978.-^-, 8
1, то
-*з 971. 7^-
= o>i. 968. 6x2—
972.
969. 4*3 — бдг.
1 4- Jt2
973
975.
^^^.
976.
^.
=
971. хЧ*>. 980. ,cos , + sin ,. 981. х*cos,. 982. In ,.
991. 3 sin2, cos л:.
3
992. Юл: (л:2—1)4.
995. 5 cos Ьх. 996.
993. — 5 cos4 х sin x.
997. —е~*.
х* + х •
1008. b cos ax cos bx — a sin ax sin
— b sin bx). 1011. .
1014. x*№x. 1015. —
-} ^
. 1010. eax (a cos 6, —-
1016.

10881 ответы 217
1021. . ] л . 1022. -У-
у\ — sin4*
1024. ,_ , Jf, , ., • 1025. , * v4 • 1026.
ИЭТ- Ж__"28. tg-* 1029. -J^. 1030. i^_
,oai i/" a 1032. . 2g:C =•. 1033. —-^
COS3* ■ 103°" COS2
»^Й^1- «»• ^5S; '•»• -^
ш, ,2"1П* ни. ML£±X£±£>. 103S.
(а+ ^2)2 2 У л:
1 1 2 arcsin.
Ю40. г о Ю41. —г—;— л о • 1042.
/+ 1, когда а>0, 1
1043. sign(cos*); cos.^0; sign — (_ ^^ a<Q 1044. ~^y^=-
i/"?2—^2 2 sign jc
1045. У*-д • 1046. ,..,,,-..■, , Л.. „• • 1047. - ,/A-^, *^ ± 1.
^F=^-; в = sign (4*2_1);
a cos2 x + 6 sin* л: '
1058.
1065.
1069. arctg(l-i- У?). 1070. arctgyl. 1071,— arcsinДx . 1072. 2x(arctgjc)2.
2xy jc
1075-
1/1 + лг4
1076. sign *; х Ф 0. 1077. 2* sin cos —, если х Ф 0; / = 0 при х = 0.
л*"*1 — (и + 1) хп + 1 , „ (л + 1) slnw* —я sin (я + 1) *
1078- (*-1)2 • 107Э" 2(1-cos*) *
1080. (2n-1>sln(2" + 1>*-(2w + 1)sin(2n-1>*. i085. 45° 0°, -45°.
1086. —45°. 1087. 45°. 108В. 45° при лг = 2/гя; —45° при * = (2« + 1) тс.

ответы [1089
1089. А = а. 1090. а = е. 1011. 30°, 45°, 60°. 1092. а = 4. 1099. у = х+1.
1100. у = * — 2. 1103. &2 — 4лс = 0. 1104.4/?з + 27^2 = а 1105. а = ее , * = *.
1107. tga= — — ctg/. 1108. 45°. 1109. •£■ — 4*. «И- У = 2* —3.
1112. (4,3) и (3,7). 1113. tga = 17± 121/2. 1118. При *>0 выпуклостью*
вниз, при *< 0 —вверх. 1119. ±-^/2. 1120. ±^У^- 1121. 120.
12
1122. 0. 1123. 12 960. 1124. -^-* 5. 1125. *2 (60 In * + 47).
1126. 27а** 1пз а% 1Ш. пт (т + 1) (т + 2) (т + 3) х~™~*.
1128. — 6(* — 1)""4. 1129. 16г3я? (*2 + 4* + 3).
1130. 27 (3*2 cos 3* + 8* sin 3* — 4 cos 3*). 1131. 2*9. &х (2*а + 100* + 1225).
1132. *2sin* — 80* cos*— 1560 sin*. 1133. —4^ sin*. 1134.
(1+*2)3 •
1135. ™ s/a. 1140. 2(/г!)(1-*)"п-1. 1141. (-Xf^nlabn-iX
1143. (-l^l^-^-^+l)-»-1]. 1144. (_1)n-ib3.5...(2/z-3)x
2
X x Т 2 . 1145. 2«-i cos (2x + n^). 1146.
l)mx + n(n — l)(n — 2)]. 1147. an*2 sin
* cos (a* + л |-W л (n — 1) д"-2 Sin (a* + л |-V 1148. (—
X (л — 4)! jfl-n, если /г > 4. 1149. (- If"1 an (n — 1)! (ax + b)~n.
1150. (/z—l)![(l-*)-w— (_1)M
~). 1152. (- \)n n\
_I_I LI ii7,
2 3 "• ny 11M"
(acosp/ —psinpO3'
1173 5cos'-4 „7d cos 2^УюГ5 я + 1
1173" ДО sin'/cos?; e 1174" аЧШ * 117S" ~X
X - ^^^ • 1176. Telo" * 7 oTTq~7 j. \ r * 1177. — л9 ,
Sin3 (/2 -|- 1) «p . у COS /2<p
w(l+2cosQ3 3 8 — 7 cos2/
4л
I 4a cos 2"
5 —

1246] ответы 219
sinio i_
31 sin I — cos t 3 sin * — cos t (sin I — cos f) sin I
1185" ДО cos'* ' lll№" 2eV*cose* ' 1187" a** cos*
1192- ~Ш fi 1206
= 3y2 _ Zx. 1207. |j = 6л:2 —
+ + i
|WlnJ, 1210. *L = a*« + 3y-l. ^—г» + 3* -^г = 2уг+1.
ди „ ди лм/ -л-л ди у да х
1211' 1F = ^ dy-^^^ mZ' Sx—W+yT' ау- = -3^+3^'
|L = y+3 |L=^_4. 1214. *L = 2*+y + *,
^-=:х + 2у + г, -£ = x + y + 2z. 1215. "^ = ^У*-**"1» •д^-=«вУ*"1,
л^ (5^ ди ди
-—- = (jcv)* In (xy). 1216. = угяУ in г, -з— = xzxv in г, -^— =
дг ох о у дг
1217. 2 cos (*2 + y») • (jf rf^r + у rfy). 1218. -^^УУ • «И. ?**-**> X
122o -ytf-* + yrfy + g<te 12И rfjc +
1222. xy UL dx + \nx dy^j. 1229. 2 + 14 1^3. 1230. — 18. 1231. — j,
" _£ 1M2 + \ ^ ' ду бу'бх) + d^ ' dx "" (jy dy
1233.62. 1234
f~ x% v2 z*
. 2|/ -sr + ^ + ^r •
- Ш6- fW ° те
' °- тег-
(лг + у)-(1+д:
— у cos (л: + у). 1238. д^-Ц! +У 1п лг). 1239.
1242. (x*yW+3xyz+\) и. 1243. 2rf;r2 — 2^лг rfy + 4rfy2.1244. 2 (у dx -f дг
1245. [(уаГл; + л;</у)2 + 2^дг^у].и. 1246. [(yrfjf — xdy? —

220 ответы [1247
— (xdx + y dy)2] (x2 + у2)"2. 1247. — sin (x + у + z) (dx + dy + dz)2.
1248. 24 (dx* + 4dx* dy + 2dx dy2 dz + Ых dy dz2 + dz*). 1249. 24 (dx* —
— 3dx* dy2 _j_ dyi)t 1250. 24 (dx* + 3dx* dy + dz*). 1251. 6 dx dy dz.
1252. ^
-^ = — 8 cos (2x + y), JS" o = — 2 cos (2л: -f у). 1254. ^h=cos (*+>•) X
дхъ ox oy2
1256. ^ч = "; A dlUA =6h. 1257.
?3 ? ^ ?
р () ( ;y j у ) j p' (t) dx dy. 1258. <ta = <p' (0 (2jc ^д
= 4cp" (0 (jc rfjt + у dy)2 + 2cp' (0 (dx2 + <fy2). 1259. rftt = 2/ (/) X
)2 + 2Y(t)X
1260. Л« = ^(а^ + *^ + сйГг)а + 2-^-
(?|2 OS Of\
dx + bidy + cldz)+^(aldx + btdy+ ctdz)2
1261. d^u = a2^-dx2 + b2^l.dy2 + c2^dz2 + 2ab ^\-dxdy + 2ac **
^2 2 ?C2 7 (7
1262. du= *Ldx+ %L
дх ду
- dy), cPu = bw + 2_^_ rf^ rfy + J|
(?л:2 дхду ду2
1263. Л
_|!|_^^+ ?!Ui,2+ 4?-«+ 4^ЛЬ Здесь ^ =2xdx + 2ydy,
O$Of\ Off (7? (7Y)
f\ = xdy-\-y dx\ cPl = 2dx2 + 2dy2; d2^ = 2dx dy. Поэтому, например,
д2и д2у д2Ф (?2ф (^Ф (?^м
дщ
ф 1267. р. 1268. р2 sin ср.
1269. С . 1270. if?. 1277. 0. 1278. r2f (r). 1279. 0.
ар sin <p
1301. / = -1. 1302. х = 0, лт = «Г2. 1303. / = —
1304- У' = -^co»y+?ny-2s.n2y • 1305- *' = l-alosy'
1306 „да_ 1 -,„. 4(л:+у)
^-(l-ecosy)»- IOU°' У = 3" IOUf' <1+*+.У>8'
1309. (y — 6) уIV + 4уулг + з//2 = o. i3io. у = ± 1.1311. ± ■
2
1312. y' = 0, y/ = oo. 1313. / = 1, 2^ = — y.

1371) ответы 221
1316' *' = 5' ^ = 12' 1317« / =
1318. / = — 1, z' = 0; 5/' = — 4. 5г" = 4.
Л2> r __ /> 1 \
2~л: <^2г _ 2у (л: — 2) ^г __ г sin л: — cos у дг
1+г' дхду~~~ (1+г)9 ' дх ~~ cos x— ysxnz ' ду
1324.
[(sin2 2г cos 2лг + sin2 2x cos 2г) dx* +2 cos 2г sin 2лг
+ (sin2 2г cos 1y + sin2 2y cos 2г) rfy2]. 1326. a!2^^ = — (dx* — 2 rfy2).
1327. (x? + У)* &z = [2 (x<?f + Y) <P<P' — W + V) <P2] d
*. 1329. g = |,
|f =-i-cost/ctg«. 1333. a) 2; 6)1. 1340. ^■ +
1341. g = 0. 1342. g = 0. • 1343. g + a^ = 0. 1344.
+ 2g+y = 0. 1345. y™-y';-y't + y=0. 1346. у;"
^2V /У2« *
«47. ^ + У = 0. 1350. ^ + e««+l)y=0. 1351.
1352. ^. 1353. ДХ^
1355. t/'+t; = a 1356. u» — a'= (ра)аа- 1357'
— = 0. 1362. и -^
dz л
-I" 1365. .J cos 2,-| sin 2,. 1366. (J
wo- £+S

222
1372. <* = ^,
ОТВЕТЫ
1
^ = 0. 1374. рой 1375. ^
1377. r%IV + 2raa'" — га -f н' = 0. 1378. н?
[1372
« = "f. P = -7. «=**■
. ma.
' + a? = 0. 1379. и" +
13S2.
при x
1427.
1428.
-|. 1421.
1422.
1423.
16
= —2, ymin = —16 при л: = +2. 1426. Экстремума нет.
4 При *=1, Ут!п = —28 ПРИ х =5
при * = &. 1429. Экстремума нет.
1430.
1431.
1432.
1433.
1434.
1435.
1436.
1437.
1438.
1439.
1440.
1441.
1442.
1443.
1444.
1445.
1446.
1447.
1448.
1449.
Утшх -
ЛГ==1
x = 0
x = l
у ___ 1
a2
X~~ a — b
дг = 4
х = ±Т^2"
JC = П
л: = -Ы
jc — In 2
x — 9ln>
Утт
Х=\, 3
Х = 4
х 1
л: = + 1
а2
л: =16
х — + 1
х = 0
л- = ^"х
л: = ^""1
jc = 1
л: = 0 (если
л — четное)
л: = 0
л: = 0
Функция только возрастает.
тс
х=т
л:-— тс
1450.
1451.
1452.
1453.
1454.
1455.
Ушах
1) х = ~2
Z) х-~ 2
а
тс 7
J£ z=r ——- -—- 7С
8 ' 8
Зтс
тс
jc = -S- + 2тс/г
1
*У==~"2"
3
"*"" 2ТС
если 2^2 <1
7С
Г
2 '
2тс —а,
если 2г2 >1,
sin а =
е
ТС А
з
J£ -^— Л* ^_ чг
5 я
тс

1509]
ОТВЕТЫ
223
1456.
1457.
1458.
1459.
Утях
х = + ±
(У = 2)
если я<0
х=1 (у = 1)
*=1 (у = 0)
-Vmin
если а>0
1460.
1461.
1402.
1463.
у всегда
(Х ~«^
Vy == /27;
1 1
-уг
-Vrain
убывает.
л: Vlb
Vy = —F27J
для у>0
1464.
1465.
1466.
1467.
1468.
1469.
1470.
1471.
х =
Х =
х =
х =
X =
X ==
Усллх
-а
0(у = л)
0 (у = Л)
па
±а
Уши,
х = а
х-0
ЛГ=1
(если л
четное)
х=0
х =
^=
X =
JC =
JC =
Л-
X =
Примечание
= 0 — точка перегиба, асимптот нет.
-+- а
""Уз"
— точка перегиба, асимптота
= 0 — точка перегиба, асимптот нет.
= 1,331 — точка перегиба, а асимптоты
= —1; у = 0, х = 4.
+- а
±YT
-+ а
-±уг
— точка перегиба, асимптота
тпшгя прпргибя яримгттотя
у = и.
у = 0 — асимптота вправо, х = n± *tf~n —
точка перегиба и х = 0 при п —
нечетном.
х -
асимптота.
5± 1^17—точка перегиба, у=0
1472 и 1473. См. чертежи. 1474. Убывающая функция; асимптоты
лг = О, jc = ±1, у = 0. 1475. Асимптоты: jc ===== I; у—О, х = — у — точка
перегиба. 1476. Асимптоты: х = 1; л: = 3; у = 1; jf == -g- 0 — г 5 — Г 25) —
точка перегиба. 1477. Асимптоты: х = —. 1; у == ± 1. Область существования
|л:|>1. 1478—1494. (см. чертежи). 1495. Сдвинутая синусоида с
периодом у. 1496—1499 (см. чертежи). 1500. Асимптота: у = 0. Экстремумы
при jc, равных корням уравнения x = tgx. Затухающие волны. 1501. Волны
постоянной амплитуды с уменьшающейся длиной. 1502—1506. См.
чертежи. 1507. Два. 1508. Два. 150J. Если л<1—один, если д>1— три.

224 ответы [1510
1510. Если а>0 — один, если <д<0 — два, если а<^—. нет
корней. 1511. Если а> нет корней, если 0<а< два корня, если
д<0 — один корень. 1514. /я<11. 1515. /w>175, 27/w<— 188.
1516. 0 < 16m < 621. 1517. /и = 72, 27т = — 800. 1518. т = — 1.
1519. /я>0. 1520. 2/тг = ± (Зп — 2). 1521. s = а*. 1522. s = 2а2. 1523.
Сторона, параллельная основанию сегмента, стягивает дугу 2<р, где 4cos<p =
ah
. 2/тг ah
= cosa+ у 8 + cos2a. 1524. ^—у~. 1525. -j-. 152§. Jt — сторона
вырезанных квадратов, 6х = а-\-Ь — Ya2 — аЬ-\- Ь2. 1527. у = л: У 2, если
4
д: — ширина, у — высота. 1528. a2tgiz-. 1529. « ^-— ла3. 1530. ъгг&.
1531. 27ia2. 1532. §f^h- 1533. ^-. 1534. J^3*^'
1535. Qnfi. 1536. |^з. 1537. -^,. 1538. Л = ^=.
1539. ^Г^-/3- 1540. 2я|/ -|. 1541. ^Уз"-]/^^. 1542.
Основание равно -£-. 1543. г = |/ ^. 1544. Г2(^ + t/g) = (av2 — ^)2.
1545. ^2 =
+ т(у1 — Ь) + п (гг — с)]: (/2 + т2 + /г2). 1547. Если x = avx: у v\ —- v2
оказывается <6, то ломаная ЛС5, где С (х, 0). Если л:>6, то скорейший
путь — прямая АВ. 1548. / = (а/з + ^/з)3/а- 1549. /ял:2 = 2ар при
/? > -у-. 1550. t (у2 + v\ — 2г/г/! cos a) = /i/ + /^i — {1& + /t/^cos a.
1551. При />4a равновесия нет. При /<4д угол наклона <р определяется
равенством 16a cos <р = / + Y^ + 128a2. 1552. Если <р — угол наклона
стержня к горизонту, то 2 sin a sin (j tg <g = sin (a — p). 1553. Когда квадраты
расстояний точки до центров относятся как кубы радиусов. 1554. h = -у=.
1555. Отверстие должно быть на середине высоты. 1556. 46cos<p =
— ^. 1557. 2 ( Р . 1558. Отношение должно быть равно —,
155J. r = h = y ^-, если a<J/ -^-. 1560. tg<p = j/ cos~/ tg^ =
1
я » max sin (6 — <p) = tg2^-# 1561. (У*ЯЛ, О).
cos — *
- 1562. OiW = a-\- Yah 1563. Отрезок прямой внутри угла должен данной
точкой делиться пополам. 1554. ctg<p= ^2 , если ср —угол наклона
искомых плоскостей к основанию. 15S5. Плоскость делит ребра пополам.

1652] ответы 225
15S6. Вершина в середине стороны. 1567- -^—1г — где / —
образующая, г — радиус основания. 1568. Третья касательная перпендикулярна
к биссектрисе угла между первыми двумя. 1559. Наклон прямой <р
дается формулой tg<p = 1/ —. 1570. Наклон определяется из урав-
з
нения: a cos <р'— b sin <р = а — Ь. 1571. х = -к-. 1572. л: = а • л2 <п+1*»
= 1573. л: =
./г 2<w+1> -l/ 1+-.
1574. л: = л —^, если я>-^-; * = 0, если #<^. 1575..*: = /?,
£min = 3/7 Y% • 1576. Нормаль с осью параболы должна составлять 45°.
1577. аЬ. 1578. tgV=^^. 1579. {£<Р = ^^. «80. d = a — b.
а2 — __
1581. d=—z==. если л>^ У"2; rf = 2^, если л<6т/"2 1582.
1 Д20^
1583. jco=^±^-, д:1-л = (^о-^1)У2;
в 3 + 2^2" раз. 1584. Абсциссы вершин составляют арифметическую
прогрессию. 1589. jМ +9* + Т = 18' 1592" Сходится при—1
1593. Сходится при —1<*<1. 1594. Сходится при—1
1595. Сходится при любом х. 1596. Сходится при—1^лг-^1.
1597. Сходится при любых хл кроме целых отрицательных и нуля.
1598. Сходится при любом х, кроме 0. 1599. Сходится при любом х.
1600. Расходится при любом х, кроме 0. 1601. Сходится при — 1<*<+ 1
1602. Сходится при —н-< л:< 2". 1603. Сходится при — е < х < е. 1604.
Сходится при —2< х <2.1605. Сходится при — 1 < х < 3.1606. Сходится при л:> „
и при л:< — Tj-. 1607. Сходится при 2<*<4. 1608. Сходится при л:>— 1.
1609. Сходится при \х\ > 2 и при|лгКо-. 1610. Сходится при kn — — < лг<
<£"+ г- 1в11. Сходится при kn — J <лг<Лт: + 7-. 1612. Сходится при
4 о о
— 1<лг<1. 1613. Сходится при л:>0. 1614. Сходится. 1620. Расходится.
1621. Сходится. 1622. Расходится. 1623. Сходится. 1624. а)
Сходится, б) сходится при <j>0. 1625. Сходится. 1626. Сходится. 1627.
Сходится. 1628. Сходится при любом х, 1629. Сходится при всех хл
кроме x = kx. 1630. Сходится. 1631. Сходится. 1649. ап =
-(х-2)2 + 3(х-2)3 + (х-2)4. 1652. (*+ 1)2 + 2 (л: + I)3—3 (л:+ 1) 4+
15 Зак. 2666. Сборник задач, I

226
ответы
[1657
sin (n
Ш9.
, п 4- 1 nx
sin —^—x sin -д-
sin5"
(— l)»-i sin2 2/zjtr — [1 + (— 1)^-1] sin^jc
2 cos 2л:
1676. 1+^-
1677. 2Г£+М±
при-1<д:<1.
sin nx cos
16S0. -
(/г + о")
cosj
л: sin д — x™ sin
«P»
1678.-2 ^cos^^1,
1. 1679. In2-
mo.
m
1690. (1-Jt)2s = l+Jc; |л:|< 1.
1692. (1 — x — x* — x*)s= 1; |*|<
oo
• •; W<i. 1699. У(-х)« =
1691. (1— x)3s=l+x; W<1.
1693. S5t = 1 + 2л:2 -f 3x* +
oo
-~-^. 1700. 2 (— Jk:2)?i =
о
1701. l-J + ~^
-1^-+.,. 1719. l
1721. .J.+ g.
1702.
1718. Ш2+ f + f-
1720.
1722.
^ b) 4^ c) 9l_t
d) 15J. e) 15*-. 1723. 3^, 2^g, 2^, 2^. 1725. a) 3,1071,
b) 4,12121, c) 7,937008, d) 3,017089, e) 7,74603, f) 9,16514. 1726. fa =
= 1,2599210499. 1727. У*2 = 1,4142135624. 1728. In 2 = 0,6931471806;
In 3=1,0986122886; In 5 = 1,6094379124; In 10 = 2,3025850930. 1733. 1,47.
1734. ~114 раз. 1735. ~417. 1736. Около З мм и И ли
1737. —на 1,4 м. 1739. 11,99. 1740. 0,01745. 1741. 0,99985.
1742..0,1736. 1743. 3,1415926536. 1744. 506 и 148.
1746. — —.
т
1747. -|.
о
1754. -L
1748. ^ 1749. — i 1750. ~- "51.2. 1752.0. 1753.0.
1755. 1. 1756. 1. 1757. 0. 1758. 0. 1759. 1. 1760. 0.
1761.
1762. ?-. 1763. 1. 1764. — ^. 1765. — е. 1766. 4. 1767.

18191 ответы 227
1 --
1768. /'"(*). 1769.1.1770. 0. 17Л. 1.1772. е~\ 1773. zt=- 1774.* 2.
1775. 1. 1776. 1. 1777.0. 1778. 0. 1779. — ^. 1780. — ^-, если л: ->0, оста-
2 4
ваясь>0; +оо, если л:->0, оставаясь <0. 1781. «"- 1782. «" • 1783. с2 =
о о
os С. 1784. s = — 1- и s = ^-. 1785. Минимум
-ah) при x = 2a — bt y = 2b — a. 1786. Максимум при
лг= S-, у = о-,1787. Минимум при х = <з У"2, у = — <т У 2 , а = ± 1;при
х = 0, у = 0 нет экстремального значения. 1788. Минимум при Зх = — 4,
Зу = 1. 1789. Минимум при х = у = я • 3 3. 1790. При х = у = а
минимум, если я>0; максимум, если я<0. 1791. Если кривая г = 0 — эллипс,
а точка (хс, ус) — его центр, то при х = хе, у = ус максимум, если А < 0,
и минимум, если -4>0. Если кривая г = 0 — не эллипс, то экстремального
значения г нет. 1732. Минимум z при х=у = 3. Максимум г = #3 + 27,
если я<9, и 2л3—9л2 + 27, если я>9. 1793. Максимум при х — а, у = а
и равен 2я4, минимум при л: = 1, у = 0 или л: = 0, у = 1 и равен — 1.
1794. Если a^>bt то максимум при * = ±1, у = 0. Если а<^Ь, то
максимум при л: = 0, у = ±1. Если а = Ьл то максимум при лг2-)-^— 1ф
Наименьшее значение — при х = у = 0. 1795. Максимум при Зх = 3у = 2а.
1796. Максимум при ах = Ь, ау = с. 1797. Максимум при Зл: = Зу = л
1798. Максимум при 6х = бу = я и бл: = бу = 5тс, минимум при 2х = 2у = Зя
1799. Минимум при Зл: = Зу = п или 2л, максимум г = 1. 1800. лг — у =
= 2/ггс — максимум, х — у = (2/г -(- 1) тс — минимум, если ab > 0. Если лб < 0.
то наоборот. 1801. При х = а, у = £ — максимум, при х = п — а, у = п-\- р—
минимум. 1802. Максимум при х = у = z = а. При д: = у = г = 0 нет
экстремального значения. 1803. Минимум при Зх = —2; Зу = —1, г = — 1.
1804. Минимум при x = y — z. 1805. Минимум при л: = у = г. 1806.
Максимум при тх = а, ту = b, mz = с; минимум при /ял: = — а\ ту = — Ь\
mz = — с; m = Y%(a2 + ^2 + £2)- 1807. Числа я, хь хъ ..., л:п, 6 должны
составлять геометрическую прогрессию. 1808. Минимум z при х = —2, у = 0.
Максимум при 7х =16, у = 0. 1809. Минимум z при Зл: = — 1 — У&
Зу = 2, максимум при Зх = —1 + У*б~, Зу = 2. 1810. Максимум z при Здг=
= — 1, Зу = 2, минимум при тех же значениях. 1811. Максимум при х =
= у = 1, минимум при х = у = — 1. 1812. При х=\, у = 2 нет
экстремального значения. 1813. При ±х = а; ±у = а максимум z = а у 1 + У3.
минимум 2 = — а у 1 + Уз". При л: = 0, у = 0 минимум z = a Y%
максимум z = — а У^. 1814. Максимум при х = у = — #У2, минимум при х =
= у = #j/2. 1815. Минимум при лг = у = а. 1816. Минимум при лг1 = лг2 =
= дг3 = ... = хп = а. 1817. Максимум при хг = дг2 = ... = хп = а.
1818. Максимум при л: |/"2 = у У2 = ± 1, минимум при х |/"2 = — у У?=
= db 1. 1819. Максимум при х = у = z = -\-l, при х = — у = — г= -{-1
15*

228 ответы [1820
и т. д., минимум при х = у = г = — 1, х = — у = — г = — 1 и т. д.
Максимум и = 1, минимум и = — 1. 1820- Минимум при x = tY~a>> y = tY&>
1821" Максимум и равен [%).
1822. Минимум равен -(12—^18), максимум у-(12+ уТв). <|в23. Наи-
112
большее значение -^=-, наименьшее 4. 1824. Экстремальные значения и
Р . т2 , п2 Л Л1? и
являются корнями уравнения --{ t?-\ т = 0. 1825. Наи-
и — а2 и — о2 и — с2
большее значение ^-, наименьшее 0. 1826. Максимум при Зх = те, 6у = п,
наименьшее значение 0. 1827. Минимум равен — ( Yai$i + У"а2?2 ~г~ • • • +
+ Yan$n)2- 1828. Экстремальные значения в точках, где главные диаметры
поверхности Ах2 + By2 + Cz2 + £)л:у + £лг<г + ^уг = М пересекают шар
х2 + У2 + *2 = а2. 1829. Экстремальные значения там, где оси симметрии эллип-
Х2 у2 ^2
са~2 +Т2+ -2"= 1» 1х-\-ту + с2 = 0 пересекают шар х2 + у2 + г2= 1.
ср
1833. Равносторонний. 1834. Равнобедренный. 1835. Длина равна У"2а6 sin-g »
где a, b — стороны треугольника, <р — угол между ними. 1837. Ортоцен-
трический треугольник, вершины которого в основаниях высот данного.
1838. Прямоугольник. 183J. Координаты искомой точки равны
арифметическим средним координат вершин. 1840. Координаты ее равны
арифметическим средним координат данных точек. 1841. Площадь четырехугольника,
вписанного в круг. 1842. Многоугольник, вписанный в круг. 1843. Площадь
S- a2 sin — правильного многоугольника. 1844. Площадь па2 tg —
правильного многоугольника. 1845. Равносторонний треугольник. 1846. Площадь
его 2R2 sin а, где R — радиус круга. 1847. Если 5 — площадь треугольника,
а, Ь, с — стороны, х, у, z — расстояния точки до сторон, то о • х = 2sa;
Ь . у = 2sb, b-z = 2sc; o = (a2 + b2 + с2). 1848. Плоскость, перпендикулярная
к-радиусу-вектору, проведенному из начала в данную точку. 1849. Точка
(а, 0, 0), если а>^>с. 1859. а\ 1851. а\ 1852. ^ ^ ^
1853. ~ + |- + -=3. 1854. x = y = 2z = V2v. 1855. Осевое сечение
цилиндра — квадрат. 1856. Высота параллелепипеда равна -«, где h —
о
высота конуса. 1857. Если R — радиус основания конуса, то тс/?2 ]/3 = 5.
1858. /? = /. 185S. Касательная в этой точке должна быть параллельна прямой,
соединяющей данные точки. I860. р^^бГ 1851. Высота сегмента должна состав-
лять j высоты треугольника. 1862. Основание должно проходить через
середину другой полуоси. 1863. Абсцисса искомой точки х находится из
равенства (а2 — Ь2) х2 = та2, если | am \ < а2 — Ь2. При | am \ >. а2 — Ь2 должно

1917] ответы 229
быть х = a sign /и. 1864. Равнобедренный треугольник с вершиной на другой
оси. 1865. Нормаль должна проходить через точки (dbl/ а ,; ibi/ —■— ).
\ г а-\- о V а~\- о/
186f. Если а2>262, то нормаль проходит через точку x = ±:a2i/ а~~~ "'
г л4—о4
^ = zb^2l/ —-. Если же а2 < 263, то нормаль совпадает с малой осью
V а4 — о4
эллипса. 1867. xYa + b = ± УИ?\ у Ya + b = ± У>3. Здесь х и у —
координаты точки касания. 1868. S У а2/2 + &2яг- -f- с2/г2= л абс У"/2 + яг- + /г2.
9") —
jc у . 2г
вершина параллелепипеда. 1872. —^= + —f= -г /-— =
= Уа + b + с — одна из восьми плоскостей. 1873. Точка касания плоскости
(a kb с \
±-т=, ±-т=, ±-^=J. 1874. Уравнение контура эксцентрика в
полярных координатах имеет вид: г = а + b cos (/г<р + а). 1875. Контур диска
должен состоять из двух спиралей Архимеда г = ау. 1876. Синусоидой.
1879. Астроида хг +у3 =/3. 1880. (*2 + у2)3 = /2JC2y2. 1881. (^2 + y2)2 = v
=ах (х2—у2), (Точка О принята за начало координат, прямая ООх — за ось Ох.)
1882. (J)2 + (^Ь)2 = 1. 1883. г2 (х2 + у2- ах)2 = а2(х- а)
1884. (х2 — Ху + у2)2 + у4 = 4а2у2. 1885. (х2 + у*) у2 = а2х2. 1886. Две
улитки Паскаля. 1887. Лемниската. 1888. То же. 1889. В полярных
координатах (г2 — с2) sin 9 = ±а2. При этом полюс — в середине отрезка
между данными точками, а полярной осью служит сам отрезок.
1830. (Ь2х2 + а2у2)2(айу2 + ДО*2) = aW (а* — Ь*)2 х2у2. 18Э1. Окружность или
лемниската (в зависимости от того, находятся ли вращающиеся стержни
по одну или по разные стороны от оси Ох). 1894. Парабола. 1895. Часть
прямой х — у = 2, где х>2. 1896. Отрезок прямой ~ -f у = t,
заключенный между осями. 1897. Часть параболы Y*+ У~У = V#»
заключенная между точками (а, 0) и (0, а). 1898. (2, 2) — самая левая, (6, —2) самая
низкая точка. 1899. х = a cos t, y = b sin t 1900. x = a ch t, y = bsht.
190i. x^aj^.y^r;^. 1908.
= 0. 1911.
1913. Пересечением
лемнискаты с окружностью л:2-|-.у2 = я/(.к — у) получим при
соответствующем t любую точку кривой. Ее координаты выразятся форму-
лами х~аП*+Ъ , у = а ^^ ■ М«. 45°. 1S17. ±а=
16 Зак 2666. Сборник задач, I

230 ответы [1918
1§18. а = 1. 1919. у = х. 1920. х = 0иу = 0. 1921. у = — sin—.
ТС А
1925. р- = Y + 900- 1926. у = х. 1927. л: —у —3 = 0. 1928. 6лг —5у + 21 =0.
1929. Одна из нормалей: 4х — 2у — За = 0. 1930. лг = 2тсд. 1931. Нормали в
точках, где <р = ±30° и ср = ±150°. 1932. (а, ±а/2~). 1933. л:—jf = 4
1934. d = ^^ -. 1935. (х ±у) /2~= ± а. 1945. / = а. 1947. / = 2а,
Ухь0+4а*
=at. 1949. йГ = -т==г^9* 1950. dtd2 = b2 1951. (а* sin2 ^-(--
У 1 +
+ № cos2 tt)d = 2а6 (^cos2/, + a2sin2^) V«2 sin^ + #* cos2^. 1952. 1.
1SC2. Подкасательная -^-, поднормаль |^. 1965. Центр одного из кру-
гов в точке, где х — (-^ ~\—-==г\ а, у — (-5 1=) &• 1966- Центр одно-
V 3 т^41 / \ ^ /41 '
го из кругов в точке (х, у), где хУТ = (3+ У*5) а, у У~Ь =_(б + "|/1Г) а.
1967. Центр круга в точке {х,у)\ %xY2 = (к —4) a; 8yY% = (^ + 4) а.
1979. Тангенс наибольшей разности равен—^"Т—* сама она — около И'.
1981. C*2 + <y2)2 = a2JC2 + 62y2 1982. Циссоида, асимптотой которой служит
директриса параболы. 1983.-^ = 0 — касательная в вершине. 1984. Лемни-
п п п
ската. 1985. {ах) п~1 ± (byf111 = (jc2 + y2)"^. 1986. Логарифмическая
п п
~~~~~ ' /2СР
спираль. 1387. Кардиоида r = a{\ + cos со). 1988. rn+l = an+1 cos , ^ .
1989. Спираль Архимеда (см. ответ на задачу 1875). 1991. Циссоида.
1992- Окружность. 1993. Окружность. 1994. х2 -f- у2 = а2 — Ь2, а2> б2; при
д2<62 таких углов нет. 1995. 2(х* + у2)* = а?(х* — у2)* 1995.
Парабола. 1937. х = а( т>+* — -$ cos ч, У = а(2 + ^т sintj, где ^ —тот
же параметр, что и у циклоиды. 1998. Удлиненная циклоида
( х = аЬ j2- sin в,
Делагира: { si"av 2000. Парабола.
2002. V3 + х2[у + -х- = 0.
2005. При х<С.0. 2005. Выпуклость обращена к оси х. 2007. Вогнутость
к оси Оу. 2008. Выпуклость к полюсу. 2011. 112 и 111 км.
2012. l/~{2a+o3*)3x . 2013. р. 2014. -|УТО- 2015. Л /13. 2016. л
У да* 3 6
2018. ^^ . 2019. 2д. 2020. at. 2021. L
2C23. -. 2024. R = 4azos4r + b. 2025.
6 Z

2D96] ответы 231
о
2026. 8а cos3L 2027. —j= щ 2028. На конце большой оси равнат2;д>6.
2 1
2029. В точке (0, 0) равна -. 2030. В точке (0; а) равна—. 2032. (2д, 2а).
2035. хс = | + |-(2coscp — cos2<p), ус = |- (2 sin <? — sin 2<р). 2036. *с =
_ 6asin3cpcos3cp
У*- 1+2 sin*<p '
+ 1 - ~. 2049. у = j [з (^)5 - 10 (^J + 15 J]. 2055. Окружность
•*2 + У2 = ay* где 2a — радиус кривизны в данной точке (касательная в
данной точке принята за ось Ох, нормаль — за ось Оу). 2055. х = a cos t cos 2t,
y = —bsint COS 2t. 2057. (aW — #ty2)2 = (X2 _l_ y2)2 (а2д;2 _|_ £23,2).
2 — i_
2058- 27/?y2 = 8 (x—p )*. 2059. (ад:)7 + (6y)T = (o2 - &2)"з".
2. L — 2. 2. 2*
2060. (ад:)3 — (6;y)3 = («2 -f. 12) 3. 2011. Астроида (x + y)3 + (x — у)3 = 2ab
2 £
2062. (^-)4 + 6a2 ^)2 4- З^зд; = 0. 2063. (x + y)T - (x ~ y) * =
. 2065. х = па + а (х — sin x),
У = — 2а + а (1 — cos х) (циклоида). 2066. х = 2а (t cos / — sin /),
у = 2а (t sin / + cos /). 2067. x = a cos /, у = д sin *. 2068. Кардиоида.
2069. Гипоциклоида x = 3a(2 cos / — cos 2t\ у = 3a (2 sin /+sin 2*). 2070. Цеп-
ная линия у=дсп —. 2071. x = a(arccos и — и"1 yl — и2), а\пи=а + у.
2072. x2 + у2 = a2. 2073. При том же полюсе и соответствующем повороте
ею. 3
полярной оси уравнение эволюты гг = е . 2075. 8а. 2076. -гг #• 2077. 8а.
2078. -^- (10 УТО"— 1). 2079. /? (3УТ — 1). 2080. У1— а-» ^а<р1 (^2теа — 1).
2081. у = ± 1. 2082. у = due. 2083. Контур квадрата | х\ + |у| = 1.
i. 2. 2.
2084. ±JC±y = 1. 2085. xs -\-ys =as. 2086. Гипербола, для которой сто-
2 2 2
роны угла асимпготы. 2087. УТ + У7= У*^ 2083. jc3 +у3 =с 3.
2089. д: sin а = 2 YEf— (у + Л) cos а. 2090. х2 + (у — б)2 = i-aft
2091. Циклоида. 2092. Циклоида. 2093. *2 + 2у2 = 2д2 2094. дгЗ + дгу2 +
+РУ2 = 0. Если у2 = 2/7JC — уравнение параболы. 2095. Если у2 = 2рх + рР —
уравнение параболы, то огибающей будет: 1) прямая х-\-р = 0 и
2) окружность 2*2 + 2у2 = рх + /?а. • 2096.
16*

232 ответы [2097
= (д? -\- у2)2у если Ь2х2 + а2У2 = а2Ь2 — уравнение данного эллипса.
2097. 1) У = 0,2) х = а ^*-, у == д-J|—, <г = ±1. 2093. -L + ± = —m
тп
шп
+(У\т+п = 1. 2101. Кардиоида. 2102. Эпициклоида,
у которой радиус катящегося круга равен половине радиуса неподвижного
+ 61 X)*4(6X?+ 4X2 ^
р # + 6(1 — X)*4-(-6X1?+ 4X2
круга. 2103. * = 2(1-21) З^Г^Х
Х = -. 2104. (а, -2а), (2с>, -а); а = ±1. 2105. (0; ± 1);
4
ям. (^i.ii»-), (ll^L.lil); , = ±I. яот.вершк»„
с касательными, параллельными оси Ох, в точках (dt а; ±: а); с
касательными, параллельными оси Оу, в точках ((± 1 it У^) л, 0)-
2108. (2/z + 1) ttj: = 2. 210Э. ±д:У"2 = У"(2/г + 1) те. 2110. ■£.
2111. дт = ±.Д. 2112. (0, а), (а, 0). 2113. (1, 0). 2114. xTfZ=±a.
2115. х = 0. 2116. д: = 2 и *==6. 2117. 2д: = —1. 2118. х = е 2.
2119. j: = /гтг. 2120. 8дг = (2/г + 1)тс. 2121. б? = ±^. 2122. Точки
перегиба находятся из уравнения 2 tgs cp-)-3 tg2 cp-f-3 = 0. 2123. (0, 0) — точка
возврата. 2124. (0, 0) — двойная точка при а > 0, изолированная точка при
а<0, точка возврата при ^ = 0и ЬфО. 2125.. То же. 2126. (0, 0) —
двойная точка. 2127. (0, 0) — изолированная точка 2128. (0, 0) — тройная точка
с совпадающей касательной у = 0. 2129. То же, но с касательными
х = 0, у = х. 2130. (0, 0) — изолированная точка. 2131. 4а3 + 2762 = 0.
2133. (0, 1) —точка прекращения. 2134. (0, 0) —то же. 2135. (0, 0) —тоже.
2136. В начале координат разрыв. 2137. Разрыв в начале координат.
2138. Угловая точка в начале координат. 2133. Конечный разрыв при х*= 0.
2140. Угловая точка при х = 0. 2141. В окрестности точки х = 0
бесконечное множество вершин. 2142. То же. 2143. То же. 2144. (£, е) —
двойная точка. 2145. х = 1, у = 1. 2146. у = 0, х = 3. 2147. х = — 1, у = ± 1.
2148. у = х, х = 0. 2149. лг = О, л: = 1, х = 2, у=0. 2150. у = ± (* + а),
х = а. 2151. 2у = ±(2лг — b), x = — b. 2152. Зу = Зл: + 2. 2153. х+у = 0.
2154. х + у + а = 0. 2155. х + у = 0. 2156. rsin<p = a. 2157. Максимум! у I
при 2х = 3. Острие в (0,0). При 2х = 3 — |/Т точка перегиба. В точке
(2, 0) касательная параллельна оси Оу. См. чертеж. 2158. Псевдоквадрат
с четырьмя осями симметрии. О А = а, ВС = а ( У"2 — У 2 ). См. чертеж.
1
2153. Еще большее приближение к квадрату. BC = aY% (l —2 ^~<2~«
2160. Похожа на гиперболу. Асимптота 2у = ± х. Область существования

2173] ответы 233
х2>6. См. чертеж. 2161. Область существования |х |<5. В начале
координат двойная точка с касательными Ъу = ± Ах, Максимум у при х =
= ± У^ЙГ. Минимум при х = ± у^. См. чертеж. 2162. Область
существования | х |<1. В начале двойная точка с касательной у = 0. Максимум | у | при
Зд: = 2. Точка перегиба при х 1^12 = ± 1^9 — l/3& См. чертеж. 2163. В
начале точка с двойной касательной у = 0. Вершины в точках (± б, 12)
(±6"|A2", 8). См. чертеж. 2164. В начале точка самоприкосновения. Максимум
g-f- у209
\у\ при х = ^ . Область существования: —1<х<4. См. чертеж.
21€5. В начале точка самоприкосновения. При jje|v<y"3 имеем у =
= ±Vx + У 4*2 — jc*. При -|Лз"<д:<2 имеем у = ±У х± -|/*4л:2 — А
/15 -I- l/33
—-^р—.
Касательные, параллельные оси Оу, в точках (± У1Г, 0) и (2, it VY). См. чертеж»
2166. При 0<у<6 имеем х = ± V— 4у + У 16у2 + 6уЗ — у4. При
—2<О<0 имеем д: = ± 1^—4у ± У 1бу2 + 6уЗ — у4. Касательная,
параллельная оси Ох, в точках (0, 6), (±2уТ, —2). В начале — тройная точка с
касательными у = 0, у]/~3 =±2х. См. чертеж. _2167. Касательные,
параллельные оси Ох, в точках (0, ±1^2"), (0, ±2]/"2~), (±2, ±У1о).
Касательные, параллельные оси Оу, в точках (±3, zhV5); точки (±2, 0) — двойные.
См. чертеж. 2168. В начале — двойная точка; оси координат касательные. Каса-
8/~~3 /"27
тельные, параллельные осям х1 = \/ j^, yi=y у^ и т. д. См. чертеж.
2169. В начале — двойная точка с касательными у = it x 1^35. Касательные,
параллельные оси Ох, в точках f —, ±-g- "j/*7 J, (-^, ± —К—)• Касательг
ные, параллельные оси Оу, в точках (5,0) (7,0), f — 94» ± ... ). См. чертеж.
2170. Кардиоида — частный случай улитки Паскаля. В начале — точка
возврата с касательной у = 0. Касательные, параллельные оси Ох, в
точках (3, ±1^27). Касательные, параллельные оси Оу, в точках (8, 0),
(—1, ±Y3). См. чертеж. 2171. Начало координат — тройная точка; оси
координат — касательные в нем. Касательные, параллельные оси Ох, в
точках ( У12, ± у 6 Уй). Касательные, параллельные оси Оу, в точках (4, ± 4).
См. чертеж. 2172. Бисквит. Начало — изолированная точка. Касательная,
параллельная оси Ох, в точках (0, ±1), f ± —т=, ± — ).
Каса-
тельная, параллельная оси Оу, в точках (±1, 0); ( ± -^, ±-т=1.
См. чертеж. 2173. Четырехлепестник. Начало — четверная точка кривой,
оси координат касательные в ней. Касательные, параллельные оси Ох,

234 ответы [2174
в точках _(±У2, ±2). Касательные, параллельные оси Оу, в точках
(±2, ±1^2). Прямые y = dzx — оси симметрии. См. чертеж. 2174.
Лемниската. Начало — двойная точка; оси координат — касательные в нем.
Касательные, параллельные оси Ох, в точках \^аУз, оу 27). Касательная, па-
(4 4 _\
а 1^27, ауЗ ), где 4а = ±1. Прямая у = х —
ось симметрии. См. чертеж. 2175- Точка (1, 0) двойная, с касательными
(1 2 \
т * ~ —т^ )•
Касательная, параллельная оси Оу, в точке (0, 0). См. чертеж. 2176.
Двойная точка в (0, 0) с касательной у = 0. Касательная, параллельная оси Оу:
24
jc + 1 = 0. Касательная, параллельная оси Ох, в точке х = ——. См. чер-
теж. 2177- Начало — двойная точка с касательной у = 0. Касательная,
параллельная оси Ох, в точках (—4а, ±4я). Касательная, параллельная оси Оу,
в точке (—5а, 0). См. чертеж. 2178- Начало — тройная точка с касательными
у = 0, у = х, у = — х. Есть параболические ветви. Касательные,
параллельные оси Ох, в точках 11/ -ту e*g» 1/ 951/ ^~а/- Касательные,
параллельные оси Оу, в точках ( ——^-—с,-'-—^-—aj, a = dzl. См.
чертеж. 2179. Начало координат — тройная точка с касательными х = 0, у = 0.
Имеется касательная, параллельная оси Ох, и касательная, параллельная
оси Оу (не считая касательных в начале координат). См. чертеж.
2180. Начало координат — тройная точка с касательной у = 0. Касательная,
параллельная оси Ох, в точке (1, —1). Касательная, параллельная оси Оу,
(о з 8\ 2
■тгУ4, —-Q-)- Криволинейная асимптота у = х* + -q-*. См.
чертеж. 2181. Начало — тройная точка с касательными у = 0, у =
Касательные, параллельные оси Ох, в точках (±2, 2). Касательные,
параллельные оси
Оу, в точках ( dz у -^-, —J. Две параболические ветви, на
которых хг :у->— 1^2 , при удалении в бесконечность. См. чертеж. 2182. jAchm-
птота у = х. В начале координат перегиб с касательной у = 2х, Вершин
нет. См. чертеж. 2183. Асимптоты y = dzx. Касательные, параллельные
оси Оу, в точках (0, 0), (уГ2, 0). См. чертеж. 2184. Асимптоты х = 0
и у = х. Касательные, параллельные оси Ох, в точках (0, 0), (—1^2", —2)^2).
Касательная, параллельная оси Оу, в точке (а, —а), cy'^r4~= 1. См. чертеж.
2185. Асимптоты х = 0, у = 0. Касательная, параллельная оси Ох,
в точке ly g", "q"1/ "о")- Касательная, параллельная оси Оу, в точке
(2 б/~1Г 5/"1Г\
—5" г "8"' ~r IT/ ^ начале касательная у = ;е. Параллельная ей

2202] ответы 235
касательная в точке \— у 2, у 2 ). 2186. Асимптоты х = 0, у = 0.
Касательная, параллельная оси Ох, в точке (—2, — -=Л Касательная,
параллельная оси Оу, в точке (1, 1). В начале касательная х — 2у=0. См. чертеж.
2187. Асимптота х + у = 0. В начале точка перегиба с касательной х = О
Две вершины с касательными, параллельными оси Ох, в точках.
4 + У7Г) К2 + УЬх = dzl, у = zb ( Yb + 1) х. См. чертеж. 218В. Асимп-
/ 1
тоты у = ±.к. Касательные, параллельные осям, в точках/
V V 32
(о IV
- , —Y См. чертеж. 2181. Асимптоты у = rt *|/1Г. Касательные,
^32 ^32/
параллельные оси Оу, в точках (0, 0), \— у у, ± j/ yj, f — у -^, 0j .
См. чертеж. 2190. Асимптоты * = 0, у = 0, у = *. В (0, 0) перегиб с
касательной у = — х. Касательные, параллельные оси Ох, в точках (а, ( j/"J + l) a)*
(—а, а(У^—1)); а = ±1. См. чертеж. 2191. Асимптоты jc = O, y = 0.
Касательная, параллельная оси Ох, в точке (0, 1). См. чертеж. 2192.
Асимптоты: х = 0, у = 0, у = dzx. Оси симметрии у ± (l dz У^2) jc = 0. См.
чертеж. 2193. Асимптоты: х = 0, у = 0, у = jc. Уравнение кривой в
полярных координатах г4 sin 2ср (1 — sin2<p) = 24, величина г минимальная при
те 5тс 13тс 17тс ^ й _ _
^ = Т2 * 12*' Т7' "12"" чертеж. 2194. Асимптота х + а = 0. В начале —
двойная точка с касательными у = ±z x. Касательная, параллельная
оси Оу, в точке (а, 0); касательные, параллельные оси Ох, в точках
( " — a, ±l I / ——^ a J. См. чертеж. 2195. Асимптоты х—у ± 1=0.
В (0, 0) — двойная точка с касательными х = 0, у = 0. См. чертеж.
2196. Асимптоты у = ±2. Начало — двойная точка с касательной х = 0^
См. чертеж. 2197. Асимптоты у = zt x. В начале — двойная точка с
касательными jc = O, у = 0. Пять точек перегиба. См. чертеж. 2198. Асимптоты
х = ± 2. Начало — двойная точка с касательной у = ^. Касательные, парал.
лельные оси Ох, в точках (± 2 l/V-(l — О),- (±2^У ^(1 — t)), где * —корень
уравнения ^-\-2t —1=0 (ttt0,45). Касательные, параллельные оси Оу,
в точках (±21^2, 1р2"|/1Г). См. чертеж. 2199. Асимптоты у = ±.х. Пять
точек перегиба. В начале — двойная точка с касательными 2.у ± х = 0.
Вершин нет. См. чертеж. 2200. Асимптота у = 0. Особая точка (0, —1) —двои»
ная с касательными Зу-|-3±^У^ =0. Касательные, параллельные оси Оху
в точках (0, ±2) (конхоида Никомеда). См. чертеж. 2201. Асимптоты
х = ±1, у = ± х. Касательные, параллельные оси Оу, в точках (±2, 0).
Начало — двойная точка с касательными у = dz2x. См. чертеж. 2202.
Асимптоты у = 2, х = ±1. Начало — двойная точка с касательными у = (l ± Yb )x+

236 ответы [2203
Касательная, параллельная оси Оу, в точке (-j-, -^). См. чертеж. 2203.
Асимптоты у = ±дг. Начало — двойная точка с касательными 2у = ±.xY2.
Касательные, параллельные оси Ох, в точках (0, ± "|/"2 ), ( ± -—-, ±
= )•
Касательные, параллельные оси Оу, в точках (±1, 0). См. чертеж.
2204. Асимптоты у = ±1, х-=—1, х = —2. Начало — двойная точка с
касательными у 1^2= due. См. чертеж. 2205. Асимптоты х-=2, у = —1,
х-{- у -\-\ =0. Начало — двойная точка с касательными 2у = ±х"]/~2-
Касательные, параллельные оси Ох, в точках (4, —4 ±2^2"). См. чертеж.
2206. Асимптота х = 2а. Начало — точка возврата с касательной у = 0
{циссоида Диоклеса). См. чертеж. 2207. Асимптота х-\-у = 1. Начало —
точка возврата с касательной х = 0. (3, 0) — точка перегиба с касательной,
параллельной оси Оу. В точке (2, |^Т) касательная параллельна оси Ох.
См. чертеж. 2208. Начало координат — точка возврата с касательной х = 0.
Асимптоты х =1, у = х-\--%. Одна касательная параллельна оси Ох.
о
См. чертеж.. 2209. Скифоида. Асимптоты у -\- 1 = dz x. Начало — тройная
точка с касательными х = 0 и у = 0. См. чертеж. 2210. Асимптота
Ах — 8у — 1=0. Криволинейная асимптота 8у = —16л:2 — 4х -\- 1. Начало —
точка возврата с касательной у = 0. Касательная, параллельная оси Ох,
(9 27\
—g-, —goj. Касательная, параллельная оси Оу, в точке (—1, —1).
См. чертеж. 2211. Асимптоты 8у = 1 ± 4х Y% • Криволинейная асимптота
у = 2х2 — —. Касательные, параллельные оси Ох, в точках (0, 0) и (±1, 1).
/ /"27 9\
Касательные, параллельные оси Оу, в точках (±1/ оо» "о")- См- чертеж.
2212. Асимптоты х = ±1, у = ±1. См. чертеж. 2213. Асимптота х-{-у = 0.
Начало — тройная точка с касательными х = 0, у = 0. Касательные, параллель-
ffy* V\Q\
ные оси Ол:, в точках ± (-—, ~—). Касательные, параллельные оси Оу
, 10 10
, /у 108 1^48\
в точках ± ( , —f=y См. чертеж. 2214. Асимптота х = 1.
Криволинейная асимптота у= (х-\- 1) (± У~х + 1). Начало —точка возврата с каса-
(1 (\ O^R\
—, -—).
2215. Асимптота *=1. Точка возврата (2,0). См. чертеж.
2216. Асимптоты x = -j, У = ~2> У=1- Касательные, параллельные
оси Оу, в точках (~1±2 » ±Т^) • См* чертеж.
2217. Асимптоты 2у = ±1. Касательные, параллельные оси Ол*, при

2268]
ОТВЕТЫ
237
t у 3 = ±1. Касательные, параллельные оси • Оу, при t = 0 и t = оо.
См. чертеж. 2218. Асимптоты Jc + y:Ji2 = 0 и * = 0. Касательные,
параллельные оси Ох, при 2* = ±к5 + У"17. См. чертеж. 2219. Асимптоты
х=1, 3* = 4, у = 2, Зу = 2. Касательные, параллельные оси О*, при £ =
= — 2 ± УТГ, и параллельная оси О.у, при £ = 0. См. чертеж. 2220. Асимптота
х = 1. Двойная точка в начале. Касательная, параллельная оси Оу, при
/ = 0. Две вершины с касательными, параллельными оси Ох. 2221. Асимптота
х -f- 1 = 0. Двойные точки при £ = 0 и t = 1. Касательные, параллельные оси
Оу, при t= —1± "|/2Г Касательная, параллельная оси О*, при t, равном
корню уравнения & -{- Ы — 2 = 0, т. е. при * = 0,596 ... 2222. Асимптоты:
4у=2дг —3, 2л:+1 = 0, у = 0. Касательные, параллельные оси Оу, при
/ = 0 и £ = 2. При t = Т"
Т
двойная точка. 2223. Асимптоты: 2х =
2у= — 9, х — у = 6. При *= — 2 касательная, параллельная оси О*; при
t = 2 касательная, параллельная оси Оу. При £ = 0 точка возврата.
2224. В начале двойная точка. Асимптота у = х -f-1. Две параболические
ветви. 2225. Начало — двойная точка. Асимптоты у = 0. Две точки, где
касательная параллельна оси Ох. 2226. Асимптоты у = ±ia. Начало двойная
точка. 2227. Двойная точка(е, е). Асимптоты х —1=0 и у —1=0.
См. чертеж. 2228.
с — х
= 0. 2229.
a b
а2 b2
c2 — z
=д sin21, у = a sin t cos t, z = a cos t 2234.
2235. В соответствующих полярных координатах г = е9.
4х — 1 Зу + 1 2z — 1 х —
= 0. 2232. х =
2238. 4X~z ** =
Q
=z — 2.
2240. cos а =
cos
sin "о" cos "о"» cos ^ = cos "9""
касательная параллельна yOz, при t = (2п + 1) — касательная
параллельна xOz. 2242. х + Зу = 10, Зу + 4z = 25. 2243. —4x + 3y + 6z = 47,
—4л: + 4у —г = 6. 2244. 2т(х +у) =z + 2m?, лг = у. 2245. m cos a = /а,
/и cos р = Yb» л*cos Т = y*22ti /?г = У"а + ^ + 2гх. 2246. Af cos а = zt,
М cos р = /ягх, М cos т = — (
/? + ?
У^
2253. (л:±у)У"4
=а (cos t+t sin 0, У=л (sin t— t cos /) и х =
ность rjc = — a sin /, ry = a cos £ лг = 6; r = V afi+b2* 2266. Jt: = sin21, у =
= —*in ^ cos /, z =cos ^ (кривая Вивиани) (см. задачу №2232). 22S8. 6х—8у—
2247.

238 ответы [2269
—z+3=0. 22S9.z=ay+b. 2272. xYb±.у Ya =0. 2271.—*~fx+efy+zV2 —
— 2* = 0. 2272. fo: sin * — £y cos t + a (z — bf) = 0. 2273. (03*1—01*2) (*—*o)+
+ (o£2 — Оа*)(У — Уа) + («1* — abt)(z — го) = О. 2275. Уо* —*«У = 0, z = z0 —
главная нормаль, XqX 4- yoy = я2, a2 (.* — xQ) = by^ (z — z0) — бинормаль.
2276. Бинормаль: jc = 6*-)-lf y= —8*4-1» z= —t+l; главная нормаль:
*=—31*+1, у =—26*4-1, «г = 22* 4-1. 2277. Вектор бинормали
В[1, — 2*, *2], вектор главной нормали N[2*4"'3. I — *4, — t — 2*3].
1 2 1
2278. х = 2t + у, у= —2*4--q", г==^"'"*9' —бинормаль, х =
1 2 1
= 2*4~-9-, y = t + ~z> z~ —2*4--9-— главная нормаль. 2273. сх =
= — a sin *, cy = a cos *, cz = b — индикатриса касательной, сх =
— bsint, су = — b cos *, cz = a — индикатриса бинормали; с2 = а2 -{- Ь2.
2282. — • -з-| = sin х cos x. 2283. Винтовая линия х = (а — /) cos *, у =
= (а — /) sin *, z = bt 2284. у = jc tg у. 2285. Параметрическое
представление точек поверхности х = a cos и 4- bv sin a, у = a sin a — £1/ cos u, 2 =
= av + bu. 2286. P|/ 1 + sina 4=4. 2287. p sh * = a l/Tch2*.
2288. p/2" = (*4- у)2. 2283. p 1/2"= зЛ 2230. 2p = ach *. 2231.
2232. p = УТ. 2233. 3(14- ^)2- 2234. 2a (1 4- sin2 t)2 :
: V54-sin2*. 2235. -=^-a sin 2*. 2236. (1 4-z2)2 : V1 4-z2 + z*. 2237.
4- Збуз + 1): 12. 2238. щ^. 2233. -^ + ^+г 2300. ^. 2301. ap
= ar = (y + д)2 2302. 2 a&*p = (a2 + 2b2Pf\ r = — p. 2306. Если шаг винта
равен длине окружности цилиндра. 2308. Центр лежит на оси кривизны на рас-
dp
стоянии — г -j- от центра кривизны. 2303. б2 = 2рг\ — на соприкасающейся
плоскости, 6ргС= —£3—на спрямляющей плоскости, 9г2С2 = 2рг)3—на
нормальной плоскости. 2315. (тх — ly)2 + (lz — пх)2 -\- (пу — тг)г =
= а2 (/2 + т2 4- л2). 2316. (х + Ау + 9г)2 = 14 (х* + 4у2 + 9z* — 1).
2317. {nx — lz)2 + (ny — mz)2 = an(ny — mz). 2318. (x + I)*
2313. (bz—cy)2 = 2p(z—c){az— ex). 2320. c2 (x2+y*)* = Ф(х* — y2)(z
2321. 4(x* + y*) = (z + 2)2. 2322. 4xy + (z + 3c)2 = 0. 2323.
4- y+&Z =\. 2324. Jg + g—^-1. 2325.
2326. (уд;2_|_г2__a)2 + y2==/?2. 2327. y*=4p*(x2+z2). 2328.
в,-а3(<гз_<уй_га)# 232з. (д:2 + у2Н-г2Я = ^(д:2 —у24-г2). 2330- Циклоида.
2331. л: = a sin 0 cos *> у=6 sin в sin 9, *±=с cos 9. 2332. Y*+V~y+ У*= Y^*

2410] ответы 239
2334. ■^" + -р- + ~с2~
—«г = 1. 2336. xxt + у Ух = ггь 2337. jc + у + Зг = 9. 2338. х^~1
2339. (2г2 — a*) jctjc + (2г2
ч-t-yii-^. 2341. <*=—=
V •
= г\ где г2 =
2342. дт + у + г' —3 = 0. 2343. 1) .* = .*!, лг^ = az\ 2) y = yt, )Ч* = дг.
2344. х sin v — у cos v + — г = uv. 2345. 3* — Зу + г = 2. 2352. x cos м +
a*. 2353. -^r + "52" + ^2 = lf
*S"+5"=5tg2 *•
2368. (jc2 + у2 + г2)2 = 4(а2д;2 + ^y2 + С2г2). 2370. у +
23Л. у2 + г* = (х — У2 )2. 2312. (пу — mz)* + (lz — nxf -f (mx — ly)2 =
= a2 (/2 + m2 + Л2). 2373. 4 (дт2 + y2) = 4г+1. 2374. л:2 + [y±
2383. —и—.
2384. p и q. 2385. m/?! = — mR2 = u* + /и2. 2386. aR1
2388. #i = — R2 = chxchy. 2389. Rl= —R2 = ach2 —. 2331. Точки
пересечения эллипсоида с прямыми у =="0; сх "|/"&2 — c^dzaz Ya2 — ^2 = 0> если
л > ^ > с. 2392. Точки пересечения эллипсоида с прямыми: <
{2 — 1=0 1 / ^2 V2 \2 1
//' ; -tJ-+tJ— ^-г+-гИ=- 2398-
P(l+/2)2 «1 *2 2(1+/2)| 2P/l+/^
(^У ^ \где с — постоянная.
+ г* = рх. 2407. (l+/t)(Jt)2e,•(£-!),
2408. УТ (cos -^ + / sin -^). 2401. 2 (cos -^- + /sin y) • 24И- 2 (cos -g^"

240 ответы [2411
. 2411. 2sin|-(cos^ + /sin7^). 2412.
x [cos (т - т) +/sln (t " t) ] • 2413- ши(cos a+lsin ay
2414. л2—ab+b*. 2415. л3+63+с3—Злбс. 2416. (2л—b—c) (2b—a—c) (2c—a—b).
2417. ±l-jp- ?418. ±(2 + /). 2419. ±(3 + 4/). 2420. хг = —
«= —3 + /. 2421. jc1==2/, л:2 = —1. 2422. —/, ^
6
2423. У 2 (cos <р + / sin <f); <Р = 45°, 165°, 285°. 2424. 2 (cos <р + / sin 9);
ср = 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°. 2425. 2 (cos 9 + / sin 9);
<р = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. 2426. хк = tg ^±^; k = 0, 1, ..., п — L
2427. xk = ctg-^iln; k = 0, I, .... л —1. 2428. cos3? — 3 cos cp sin2cp.
2429. 3 cos2 9 sin cp — sin3 <p. 2430. cos^ cp — 6 cos2 cp sin2 <p + sin^ cp,
2431. 5 sin cp cos* <p — 10 sin3 9 cos2 ? -f sin5 cp. 2432. -j (3 cos cp + cos 3<p).
2433. i- (3 sin cp — sin 3<p). 2434. ~ (3 + 4 cos 2cp + cos Фр). 2435. -g- X
X (3 — 4 cos 2cp + cos 4^p). 2436. -^- (10 cos 9 + 5 cos 3f + cos 5<p). 2437. -^ X
sin (я+ "9") x
X(10sincp~5sin3cp + sin5cp). 2442. —^ ^—. 2443.
sin"2"
(1 — a) cos cp — qn+i cos (2^ + 3) cp + д^+2 cos (2/г + 1) cp
1 — 2л cos 2f + л2
71
2453. e-2n%+i Jn2. 2454. г ^+ T. 2455. / th у. 2456. sin jc ch у + i cos x sh y.
2457. cos x ch у — / sin jc sh y. 2458. — In j-=^ + /гтт. 2453. (x — of +
2. 2450. a + bi+iRe n ;k=l, 2..., /г— 1. 2461. 1 + У"2 ^ 12.
±5*
2462. гх + (гх — г0) ^ w . 2463. Вне многоугольника. 2464. г4 = zt — г2 + г3*
2465. 1^ + го). 2466. "1*1 + ^2+■■■+*»*». 2467. Площадь,
2 ^ -/ m1 + m2+... +mw
ограниченная многоугольником. 2471. Сумма квадратов диагоналей парал-

2538] ответы 241
лелограмма равна сумме квадратов его сторон. 2475. Прямая. 2476.
Окружность. 2477. Эллипс. 2478. Спираль Архимеда. 2479. Логарифмическая:
спираль. 2480. Увеличивается на 4тс. 2481. Первые два возрастают на п,
последний — на 2тс. 2482. Умножится на е2гЛ^а+^\ 2483. и обратится
в ue2nia + 2тЛ (z — a)* e2nia. 2484. а = 0, Ь = — 2 или 2а уТ = ± 1,
Ь = — 3. 2487. 1 - /, ~ (— 1 ± У"13). 2502. 2 JJ (* + ' ctg^T *) -
/5 = 0
2503. 22»-i Д (* - cos* ?*±1 *). 2504. 2*»дг Ц
( )Ц
250Э. Не делится. 2510. 27^?, — «Цл^з + 2о| = 0. 2511. rp3 = q
2512. Ь = — 22, (х = 40, ^ = — 5, лг2 = —2, дг3 = 1, лг4 = 4. 2513. а =
■»■
2515. 5ч» (л") = 4j*t2 + 3jc — 2. 2516.
= - 1 +-g- (лг— 1)* fl
... (x — an). 2524. — 2<Д<2. 2528. ^ + P?<0, 4^ = ^, 5/?, =/?.
2531. Положить х = ег и применить теорему Ролля; придем к уравнению-
без ап. Разделить на ехп-1г и еще раз применить теорему Ролля и т. д.
2532. Следствие предыдущей. 2534. Положить х = еь и применить теорему
Ролля. 2535. Следствие предыдущей. 2535. Корни уравнения а^хш-\г
+ а1хт~1+ ... -\-апхш-^ = 0 вещественны при любом т. Новое уравнение
получаем, дифференцируя левую часть т — s — k раз. Заменяем х на —
и умножаем на xs+K Умножаем на j^^-s-л и дифференцируем т — k раз.
Опять заменяем х на — и освобождаем от знаменателя xs+K Делим на
(т — s)\ (т — k)\ и умножаем на k\ Перейдя к пределу по т -> оо, получаем
нужное уравнение. Вещественность всех корней уравнения сохраняется.
2537. Следствие предыдущей. 2538. Уравнение можно переписать в таком
/ (х) f (х) /' (х)2
/ (х) f (х)/ (х) Г f ОсЛ2
виде: nJ —f/\2 ~H f r =^* ^азлагая на простейшие дроби^
(п \2 п
У. I = п V г^, что при вещественных х и х^
ki I ki

242 ответы [2539
противоречит неравенству Коши (^ajfiuf < 2Л12^- 2539' гРаФик ФУНК*
f (х)
ции -А-4 имеет п вертикальных асимптот, если корни/(х) различны. Можно
X
также применить теорему Ролля к функции е к f (x). 2540. Следует из того,
что уравнение имеет корень между двумя корнями /' (х), между которыми
/{х) + тфО. 2541. Применить теорему Ролля к x*f(x). 2542, 43.
Следствие 2541 и того, что корни f(ax) вещественны, если корни f (х)
вещественны и а вещественно. 2544. Основано на соответственном
обобщении 2541. Последнее получается из рассмотрения суммы 1- \^ .
X лшл X Xfc
2545. Следствие предыдущего и того, что начало можно перенести в любую
х_
точку. 2546. Теорема Ролля для функции е а Ф (х). 2547. Изучить arg/ (x)
при движении по отрезку вещественной оси между точками —N и -\-N
и по замыкающей полуокружности. 2549. Следствие 2536 и бинома Ньютона.
2550, 51. Теорема Ролля. 2552. В каждом из интервалов (#v, #v+l) есть
корень. 2553. В одном из интервалов нет корня, но уравнение имеет
степень п — 2. 2554. Вещественность следует из теоремы Ролля для е~х\
Чтобы показать отсутствие корней у Рп(х) при |л:|> V2/г + 1» рассмотреть
у = е 2 Рп(х) и, заметив, что у" + (2/г + 1 — *2) у = 0, у (со) = У (оо) = 0,
применить теорему Ролля. 2555. При нечетном п один корень, при четном /г
хп
ни одного, так как при четном п и при у' = 0, у">0, утт = —р >0.
2556. При нечетном п один корень, при четном ни одного. 2557.
Воспользоваться равенством: (1—х2) у'п (х) = л<рп+1 (х)% из которого следует, что
число вещественных корней <рп+1 (х) !> числа корней уп(х) плюс единица.
2558. Число jc/c > 0 не больше единицы, число -*&<() — тоже. Число мнимых
корней не меньше восьми. 2559. Следствие 2537. 2560. Если f(x) =0 —
данное уравнение, то (х2 — 2х + !)/(•*) =0 имеет мнимые корни.
2561. Умножить на (х— \)п~К 2562. Умножить на (х — а) (х — Ь).
+ Ц+ «и.

26071
ответы
243*
2-2* cosy
2577.
v=0
2v
_±_
. 2578.
2580. -
енты ряда должны быть связаны соотношением: «o^s + ^iae+i + • • • "К
+ лш«8+ж = 0, Ло=7^О- Беря последовательные числа среди коэффициентов^
«о» иъ и2---> можем получить не более чем 3W различных
последовательностей, так как «v = ± 1 или 0. Поэтому среди таких групп по т чисел и^.
найдутся одинаковые. Если числа uh иг+ь ..., иг+т совпадают с числами
, где со(лг) полином.
2585. Искомая сумма равна—^ттТч' где"
й
1 — хр j \)
f (х) = л^"1 -f- хп~2 + ... + 1. 258S. Если у — корень производной в интер-
п
вале (*„_!, ^v+i). то Zj 7. ==0- 2587- Следует из равенства 4т^~"
^" У — хк J \х)
А = 1
= — или V—1-— = -. 2588. 27. 2589. 375. 2590. —217. 2591. — 7_
т Ad х — Хц т
2592. —5. 2593. 0.
2596. —
2599.
2601.
2594. ab. 2595. abed + bed + acd + abd + abc^
25Э7. 2abc (a + Ь + с)3. 2598. l+«a + ^ + A-
2600. (^ — у) (у — г) (* — jr)J-
2602.
П
v>2
v>tx>2
v>3
2605.
— 2 sin (л — b) sin (6 — c) sin (c —
2603. At =-
v>ix>3
2606. 4 sin
2607. — 64apY (pa — a*) (f — o») (y2 — p2); a = sin a, p = sin bt 7 = sin fc.
-^-~ sin -=^ sin ^=^ [sin (л + b) + sin (ft + c) + sfn (c +

244
ОТВЕТЫ
[2608
2608. sin (a — p) sin (p — ?) sin (y — o) sin (a — ?) sin (a — o) sin (f3 — 6).
2610. Полезно положить ах = \ (1 + cj), Л2 = ^(1+^2), ..., 0W = X (1-|-aw).
2611. Помножая строки на степени а и складывая, легко установить
делимость на <p(ai)> ?(a2)»--«» 9 (ал)- 2613. Рассмотреть систему
соответствующих линейных уравнений. Если А = 0, то одно из них окажется невозможным.
2614. Умножить все элементы, не стоящие на главной диагонали, на 6, где
|6|<1, и заставить 6->0. 2616. п = 4т,(т = 1, 2,...). 2617. п = 4т — 2,
(т= 1, 2, ...). 2620. А = + 1, если новые оси можно непрерывным
движением совместить со старыми; А = — 1, если ориентировка новых осей
отличается от ориентировки старых. 2622. х = 1, у = 0, z=l. 2623. х =
= д, у = 1, г = —1. 2624. * = — £ у = 0, г = 0. 2625. д:=1,у =
= — 1, 2 = — 1, t=l. 2626. JC=l+2a-f-2x, y = l-J-a, г=1 +
+ a — ^, f = 1 + х. 2627. и = — t 2628. хх = х2= ... = jcw = 1.
2623. д:, =
2(/2 — 1)
нейных уравнений.
— v. 2632. Рассмотреть соответствующую систему ли-
1 1 1
Х\ Х2 Х$
У1 У2 Уз
= 0.
2634.
а2 Ь2 с2
as bs c3
= 0.
— ^2; >^4 — Уъ ^ —
= 0. 2636. Если ранг прямоугольной
1 1 ...
матрицы
равен 3, то — в плоскости, если ранг 2, то — на пря-
мой. 2637. Такое же условие, как в предыдущей задаче, для ранга матрицы
из коэффициентов плоскостей. 2638. Знак у всех хч в одном решении
одинаковый. 263Э. а^ = 1^т^; ц = 1, 2, ..., п; v = 1, 2, ..., т. 2640.
Билинейная форма ранга г может быть представлена как сумма г произведений пар
линейных форм. 2642. (ае + Ы + ej + dk) ± (ахе + Ьг1 + erf + dtk) =
= (a±a1)e + (b±b1)t + (c±c1)j + (d±d1)k; (ae + bl + cj + dk)X
X (#i£ + hi + erf + dtk) = aai — bb^ + ccx — ddt + (я^ + btb + c^i — ctd) i +
+ («ct + atc + ^i^ — bdt) j + (й^! + axd -f- ^Cj — 6^) k. 2643. Диагональная
матрица, т. е. матрица, у которой все элементы не на главной диагонали равны
нулю. 2644. А — ортогональная матрица. 2645. При четном п корни
мнимые, при п нечетном х = 0. 2646. Следует из того, что у ортогональной
подстановки обратная.матрица получается транспонированием. 2648.
Рассмотреть систему уравнений
nzn = 0,
= 0.
положив s = и + iv,
пользоваться неравенством Коши:
— s) zn = 0,
«*v + ty»- 2649. Корни чисто мнимые. 2652. Вое-
<2V

^2710]
ответы
245
1 bn
x 021
b12
... b
ln
2655.
2654.
= (\—\)(к — 4). 2656. 1Д +1,(^+1)(^ + 4). 2657. У первой Е± = Е2= 1,
EZ = (K — 2) (к—I)2, у второй Е1 = Е2 = 1, Ез = 0< — 2) (к — I)2;
эквивалентны. 2659. Et = E2 = E3=l, £4 = Х(Х —1), £5 = X2 (X— 1). 2660. 0.
2661. {х-\-у -\-2z)2— (х— у)2 — 4г2. 2662. Два положительных и один
отрицательный знак перед квадратами. 2663. Три квадрата, взятых с
плюсом, один с минусом. 2664. х^ = С^у± + С^2у2 + ... + С^пуП1 где С^ —
алгебраическое дополнение элемента cF, в соответствующем определителе.
2670. 38. 2671. 59. 2672. аЧ — 2Ь- — ас + 4d. 2673. —9. 2674. 74.
2675. —1. 2676. —12. 2677. Sm = — (a™ + b™). 2678. St = S2 =
2680.
2C81. TV=
c — ab
2682. 5j:
: — 6.
— 8ac.
= 2*3— Зд:2 + 4x — 7. 2684. у = 2л:2—х — 2. 2685.
2686. Общий корень х =
с — л
2683.
— 4у =
корней нет. 2688. Тоже. 2689. \ = 10;р, = — 5.
двойная, (2,-1), (1,2), (1,68; 2,52). 2691.
о-
1_—цГз\
4 )'
2687. Общих
2690. Точки (0, 0) —
Точки (1, 0), (0, 1)
с-
2692.
2у — 26 15
5 — 49у + 111 \Ъу — 99
15у 99
7
2.}'-26,
1й
= 0.
2693.
+ 713/н2 — 100m = 0. 2695. ( — 1) 2
n(n-i)
-i. 2696.
0. 2694.28^ +
— рЦ* — \8pqr +
2697. M = ( — 1) 2 /г^. 2698. Рассмотреть уравнения
-*n + A^^7*""1 + • • • Л-Pn^ = 0» корни которых равны корням данного в
степени v. Числа /£ ограничены и целые. Среди уравнений должны быть
одинаковые. 2699. 463 + 27с2 + 4аъс — аЧ2 — \8abc < 0. 2700. Подстановка
jc = y — l; корни *== — 1±/^ — 1±/1/"а 2701. З'4 — ^>'3 + 75у2 —
— 300jr +2250 = 0; 5jc=j/. 2702. у* — 25у3 + 375.У2 — 11700 = 0; 30д: = у.
2704. уь + 2у* + 5у* + 3у2 — 2у — 9 = 0. 2705. 2д: = — 1 ± У5Г 2706.
Корни /тг± у'т? — п, 2ш± У"4/тг2 — /г. 2707. ^ = ^ = 2, 2дг3 = 2дг4= 1, *5 =
= jc6 = — 1. 2708. # = 0. 2710. Левую часть можно разбить на множители:

246 ответы [2711
+ • • • + ^ • При этом получается равенство: b\ + b\ + ... + Ьгп +1 = anbn.
Если — 2 < ап < 2, то при вещественных *v равенство невозможно. Поэтому
среди Ь^ а значит и среди х^ должны быть мнимые. 2711. Рассмотреть
(х\ 1
Y J, где 7"п (х) = . _t cos /г arccos x — полином Чебы-
шева. 2712- Сводится к предыдущему результату. 2714. уъ— 7у2+11у~
— 5 = 0. 2715. уг— 15.у2+18.у+104 = 0. 2Л6. (у — 1)2(у + 1)2 = 0.
2717. У + 2ду2 + (Лз + Ь) у + аЪ _ с = о. 2718. У3 — 2у2 — 1 = 0.
2719. 25у> + 37у2+18у + 3 = 0. 2720. у+р = 0. 2721. 243У* + 288.У2 —
— 153у + 145 = 0. 2722. дву3 + 9л< (л^ — д2) У — 108 (д^ — я2)3 —
— 27 (2а\ — 3^!^^ — л^з)2 = °- 2723- л, д — ^, д + ^. 2724. а + b, а — Ь,
а — ЗЬ. 2725. д— 1, а + 1, д2+ 1. 2726. ^ = 2,2^ = 3+1^21, 2д:3 = 3 —
— УШ. 2727. 4а,6а,а — Ь, а + Ь. 2728. д, 2д, д + 2, 2. 272§. ^ = —1,
х2 = -2, 4хъ, 4 = -1±/У23. 2730. ^ = 3, 2д:& 3 =- 3 ± /
2731. ^i=l, 2х2„ = — 1 ± /1/27. 2732. хг = "^
« + v, х2 = иь>-\- г/о)2, jc3 = «(о2 + г/ш; о>3 = 1. 2733. Х\ = у 2 + У1Г+
— 1 ± / У И 2734. j
+1^*9Т/Т—10/ и т. д. Корни — 1, 3, —2. 2735. 2д:ь 2 = — 1 ±
2736. ДГ!, 2 = —1±/, д:3, 4 = 1±^У^ 2737.
2738. — 2zh У2, 2 ± У7Г 2739. дгх = 2; Зд:2 = —2.
2740. 2дгг = 2х2 = 1, дг3 = 1, *4 = —2. 2741. дгг = — 5. 2742. jq = 2.
2743. 2х1 = — 3,3х2 = 2. 2744. —2,5,3. 2745. хг = дг2= 1, л:3 = д:4 = — 2.
2746. *i = — 2, 2л:2 = 1. 2747. хг = х2 = 2. 2748. ^ = ^2 = —2.
2749. jq = лг2 = 1, хг = х4 = — 2. 2750. JCi = Л"2 = 2. 2751. Левая часть
делится на (х2 + х + 1)2. 2752. ^ = лг2 = хъ = — 2, лг4 = хъ = 2. 2753. xt =
= х2=1,хг = х± = — 1. 2754. ^ = ^= — 1. 2755. Делитель (х2—х +1)2.
2756. ^ = ^2 = ^3 = /. 2757. Корни в интервалах ( — 4, —3), (0,1), (3,4).
2758. Корни в интервалах (—5, —4), (—1, 0), (5,6). 2759. (—2, —1),
(-1,0), (0,1), (3,4). 27G0. (-2, -1), (-1,0), (0,1), (3,4). 2761. (-3,-2),
(0,1), (1,2). 2762. (—5, —4), (—3, —2), (0, 1). 2763. 1)/?>0, — один
вещественный корень хь знак которого обратен знаку q; 2) р < 0, — один или три
вещественных корня, смотря по знаку (2п)2пр2п^1 + (2/г + 1)2«+1^2^#
2764. (—4, —3), (—1,0), (3,4). 2765. (—6, —5), (0, 1), (4, 5). 2766. (2,3),
(3,4). 2767. (-1,0), (0,1). 2768. (-7, -6), (-1,0). 2769. (0,1), (3,4),
(~~l'°)'{~lt~i)' (-4'-3)' 2™>- (1,2). 2771. (1,2). 2772. (-5,-4),
(0,1), (4,5). 2773. (-1,0), (5,6). 2774. (-2,-1,5), (-1,5,-1), (0,1), (1,2),
2775. (-3,-2), (-2,-1), (1,2), (15,16). 2776. (-2,-1); (0, 0,5), (0,5, 1).

27961 ответы 247
2777- (—2, —1). 2778. a) х2 + рх + q, 2х + р, р2 — 4q, b) x* + px + q,
Зх2 + р, — 2/7-зс: — З^г, — (4р3 + 27q2). 2779, 80. Корни вещественны при
РЪ^Я2- При pb<iq2 уравнение имеет лишь один вещественный корень.
2782. Корни в интервалах (-— я2, — Ь2), (— Ь2, — с2), (-— с2, оо). 2783. Если а
вне интервала (—л,0). уравнение имеет один вещественный корень при п
нечетном и ни одного при п четном. Если п в интервале (— п, 0) и k — целая
часть — а, то при четном п два вещественных корня, а при п нечетном —
один, если и k нечетное, и три — если k четное. 2784. х^ = — 2,33006,
х2 = 0,20164. 2785. 0,83399, 5,94883. 278Б. —3,94883, —0,21718, 1,16602.
2787. —4,14510, 0,66908. 2788. —0,88677. 2789. 0,38687, 1,24025.
2790. —0,19994. 2791. —0,435, 0,381. 2792. 1,088. 2793. 0,091. 2794. 0,567.
2795. 0,776; 2,223. 2796. 652,7 мм.

ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
К задаче 885.
х
К задаче 886.
К задаче 887.
К задаче 888.
К задаче 8£9.

891]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ'
249
\
\
•-
\
\y=az?+z-f -
V
\ °
i
i
[
Г'
1 a-L
f j CUy
X
К задаче 890.
К задаче 891.

ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
Г8Э2
У
1
и х3
. У" Ю
1
1
X
\
К задаче 892.
К задаче 893.
К задаче 894.
К задаче 895.

899]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
251
К задаче 896.
О ' ' ' X
К задаче 898.
К задаче 897.
К задаче 899.

252
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[900
У
1 о
X
К задаче 900.
К задаче 901.
К задаче 902.
К задаче 903.

908)
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
253
К задаче 904.
К задаче 905.
У\
0
z?~2x+f
*—<*»
X
К задаче 906.
К задаче 908.
17 Зак 2666. Сборник задач, 1

254
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[909

915]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
255
К задаче 915.
17*

256
ЧЕРТЕЖИ К^_ ОТВЕТАМ
[916
К задаче .916.
Н 1-
К задаче 917.
I x
К задаче 918.
К задаче 919.

923]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
257
H 1 1 1
•
1
0
Г
V*
г-'
=±JM
V x+f
X
*^+———
К задаче 920.
К задаче 921.
К задаче 922.
К задаче 923.

258
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[924
—r
У\
p^
1 о
-
1
/
К задаче 925.
/"\
У
0
■
/
\
\
У1
/
0
/
^^
N
К задаче
y=et
*
X
ч
924.
У
К задаче
>
^У
К задаче
928.
^—-^
К
Лпх
— ■■*
927.
\
t
Ч
X
задаче 926.
X
y*2sin
\
\
^^
ч у
X
X
г

933|
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
259
y=SLP ft y-sinf
К задаче 929.
2п х
К задаче 931.
_ sinx
К задаче 933.

260
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[934
К задаче 934.
К задаче 935.
J\ !фк
i ! / i
-2п
ГМ1
К задаче 936.

941]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
261
1
1
I
2
К
Ч
т п
1
\
N
-/ 0
V
У
К задаче
y=arccosx
\
) 1 х
К задаче 9В9.
4
1
Цк
"\
937.
N
-/
К
1
1
У
п
7Г
2
\
0
задаче
•
X
/
941.
У
п
2
0
у
я
1
' f
У
/
0
К задаче
1
К задаче 940.
-
ctgx
•х
arcsinz
i
1 X
938.
'X
X

262
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[942
f
y=arctg I»
■7
О f
К задаче 942.
у=агсс\

959]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
263
y=arctg ftgxj
-?
л
-f
К задаче 946.
К задаче 958.
К задаче 959.

264
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[960
К задаче 960.
т,-ЯЗ
К задаче 961.
К задаче 962.

965]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
265
К задаче 963.
U-a
'-2п -тгч
К задаче 964.
У>
К задаче 965.

266
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[1472
К задаче 1472.
К задаче 1473.
К задаче 1479.
y=Vx2+z+f -Vx2-x+/
К задаче 1480.

1488]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
267
1
-/
к
к
У
•^
0
задаче
г
•
/
1481.
X
задаче 1483.
К задаче i486.
Г
К задаче 1482.
У
п г
К задаче 1484,
х К задаче 1485.
К задаче 1487, К задаче 1488.

268
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[1489
К задаче 1489.
х1 -корено уравнения
К задаче 149К
т,<х2<х3 вещественные корни
урабнения x3+px+q=0
К задаче 1492.
(а>0)
К задаче 1490.
d) Двойная точка
У
К задаче 1493.

1498]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
269
К задаче 1494.
j cos Зх
К задаче 1497.
у =slnx+jsin 2x+ jSln Зх
К задаче 1493.
18 Зак 2666. Сборник задач, I

270
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[1499
К задаче 1499.
y=xlnx
у=хЧпх
К задаче 1502. К задаче 1503.
К задаче 1504.
-1
/■КГ /I
1-Х i
О / х
-f
У
1
I
е-
0
1
X
К задаче 1505.
К задаче 1506.

21641
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
271
У2=х3(2-х)
К задаче 2158.
К задаче 2157.
К задаче 2160.
К задаче 2161.
К задаче 2162.
К задаче 2163.
К задаче 2164.
\ь~

274
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[2177
К задаче 2177.
У
и
1 \
1 \ xe+2x3y-yJ=0
■ i
■ 1
1 \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ ^
\ ^
\\
0
/1
/ 1
/ 1
1 1
/ 1
/ 1
/ /
/ /
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
11
1 1
11
V
у*-х*у+х^=О
К задаче 2178.
■' ..5. -.<*_
К задаче 2180.
К задаче 2181.

2187]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
275
К задаче 2182.
К задаче 2183.
К задаче 2164.
К задаче 2185.
-2у=0
К задаче 2186.
К задаче 2187.

272
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[2165
К задаче 2170.

2176]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
273
К задаче 2171.
К задаче 2173.
К задаче 2172.
К задаче 2175.
К задаче 2176.

276
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[2188
ч
У
У
ч
ч
/0
(х2-Чг>
ч
(х-у)=1
У
X
К задаче 2189.
К задаче 2190.
К задаче 2191.
°/,
К задаче 2192.

2197]
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
277
К задаче 2193.
К задаче 2195.
К задаче 2194.
К задаче 2196.
К задаче 2197.

278
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[2198

22081
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
279
К задаче 2204.
К задаче 2205.
К задаче 2206.
У
К задаче 2207.
К задаче 2208.

280
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[2209
\
у
/
У
V
\
К задаче 2209.
К задаче 2210.
222z
К задаче 2213.

2217)
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
281
К задаче 2214.
г+t*
К задаче 2215.
У
1
"г
0
«
К задаче 2216.
Hi _ Л/
К задаче 2217.

282
ЧЕРТЕЖИ К ОТВЕТАМ
[2218
У\
0
1
т
1
] ' ' "х
i
К задаче 2218.
К задаче 2219.
К задаче 2227.

Гюятер Николай Максимович
и Кузьмин Родион Осиевич
Сборник задач по высшей математике
Том I
Редактор Г. П. Акилов
Техн. редактор К. М. Волчок
Корректор Л. И. Исакова
Сдано в набор 4/11 1957 г. Подписано
к печати 21/XII 1957 г. Бумага 60х92/,в.
Физ. печ. л. 17,75. Усл. печ. л. 17,75.
Уч.-изд. л. 19,38. Допечатка тиража 25 000 экз.
Цена 6 р. 80 к. Заказ № 2666.
Государственное издательство
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский пр., 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград. Измайловский пр., 29

Опечатки
Стр.
43
47
178
181
209
212
214
215
216
217
218
222
222
224
228
229
232
232
239
240
243
243
Строка
13 СВ.
18,19 св.
19 сн.
4 »
10 св.
4 сн.
1 »
3 »
7 св.
2 сн.
1 св.
Табл.^
Табл.
12 св.
1 сн.
12 св.
3 »
2 сн.
3 »
4 »
10 »
10 »
Напечатано
х — 3 у + 2 2—1
2 3 6
удовлетворяют координаты
концов большой полуоси
У с sin v
х—у±2=0
xfJLl __ xlfJL = о
846. -д- 861.
тс , тс , 1
2 О О
4 sin2 л:
1450. <х|2тс —а
1451.
тс а
* 4 2
^ Уз .|/ »^-
(а2 — Р) х2 = та2
ш
1 , 1
/?1 ^2
(3±4)7ici
^ 12
375
—
217
Должно быть
л: —3 у + 2 2— 1
6 —3 2
удовлетворяют только
координаты
центра эллипсоида
с sin v
у = — 1, 4х — 5у = 13
~Ъх
846. -^-. 849. VT. 861.
jc = ± -^- + тел (черт, к задаче
6 1499).
— 4 sin2 л:
1450. х = а |дг = тс + а
Х = тс — а|х = 2тс — а
тс л
• "* 4 2
тс л
* 4 2
(а2 — №) х = am2
Г = 4± 0<р
ш
а/2
1/1 1 \
2 \ /?i /?2 /
(З±4)«г
^ 12
— 375
143
Зак. 2666.