В. А. КИСЕЛЕВ, А. М. АФАНАСЬЕВ, В. А. ЕРМОЛЕНКО,
И. А. МЕДНИКОВ, М. В. ОВСЯННИКОВА, А. Я. СЛОБОДЧИКОВ,
Н. Н. ТЯЖЕЛОВ, Ю. П. ФЕДОРОВ, И. Ю. ЦВЕИ
Строительная
механика
в примерах
и задачах
Под редакцией заслуженного деятеля науки и техники РСФСР,
д-ра техн, наук, проф. В. А. Киселева
Издание второе исправленное и дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов авгомобильно-дорожных вузов
и факультетов, обучающихся по специальностям
«Мосты и тоннели», «Строительство аэродромов» и «Автомобильные дороги»
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
Моск в я	1968

Рецензент — д-р техн наук проф. В. Г. РЕКАЧ,
научный редактор — канд. техн наук доц Ю П. ФЕДОРОВ
Книга «Строительная механика в примерах и задачах^ (2-е из-
дание) представляет собой задачник но строительной механике
с подробно разработанными примерами и ответами на задачи
Во втором издании устранены замеченные недочеты первого изда-
ния, введен ряд примеров по его темам, и в соответствии с новой
программой (индекс УМУ-71/1) общего курса строительной меха-
ники (первая и вторая части) для специальности «Мосты и тон-
нели», «Строительство аэродромов» и «Автомобильные дороги
автомобильно-дорожных вузов и факультетов введены основы рас-
чета в матричной форме1 статически неопределимых систем и не-
которые элементы программирования.
Книга содержит 21 главу. Расчету статически определимых
систем посвящены главы 1—9, где рассматриваются также приме-
ры расчета на предельные нагрузки, на определение перемещений
и на пространственные системы. В главах 10—13 рассматриваются
примеры расчета статически неопределимых рам, балок, ферм по
методу сил. Главы 14 и 15 посвящены примерам расчета по мето-
ду перемещений, смешанному и комбинированному методам, в гла-
ве 16 отражен расчет сложных рам по методу распределения мо-
ментов. В главах 17 и 18 даны примеры расчета статически неоп-
ределимых систем на предельные нагрузки, а также расчет про-
странственных статически неопределимых систем. В последних
трех главах излагаются матричные методы расчета, основы про-
граммирования и расчет но деформированному состоянию.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для сту-
дентов строительных специальностей автомобильно-дорожных ву-
зов и факультетов и может быть использована студентами транс
портных и строительных вузов
ТП—68.384
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание учебного пособия приведено в соответствие
с новой программой (индекс УМУ-71/1) общего курса строитель-
ной механики (первая и вторая части) для специальности «Мо-
сты и тоннели», «Строительство аэродромов» и «Автомобильные
дороги» автомобильно-дорожных вузов и факультетов.
Содержание пособия в основном соответствует также и про-
грамме по курсу строительной механики инженерно-строитель-
ных специальностей.
В первое издание внесены следующие изменения: исправле-
ны замеченные недостатки, исключена глава о расчете подпор-
ных стен, введены новые главы: «Матричная форма расчетов в
строительной механике», «Элементы программирования задач
строительной механики», «Расчет по деформированному со-
стоянию».
Книга содержит примеры с подробными решениями и зада-
чи с ответами. Некоторые примеры соответствуют содержанию
домашних работ, предусмотренных программой курса. По мере
необходимости приводятся краткие теоретические сведения и го-
товые формулы для разбора примеров и решения задач.
Книга написана сотрудниками кафедры строительной меха-
ники Московского автомобильно-дорожного института.
Авторы будут признательны за сообщения о недостатках
книги.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Строительная механика — наука о расчете сооружений н*
прочность, устойчивость и жесткость. Ее первоочередная зада-
ча состоит в определении внутренних сил (усилий). Внутренние
силы, строго говоря, должны определяться в деформированном
состоянии сооружения, что весьма сложно. Поэтому, учитывая
малые изменения форм сооружений под нагрузкой, внутренние
силы обычно определяются по недеформированному состоянию
сооружения. Хотя это и не точно (что надо знать и помнить), но
для многих случаев практически приемлемо, чем и пользуются
в расчетах.
Сооружения в строительной механике заменяются их схема-
ми, представляющими собой упрощенные изображения (скеле-
ты) сооружений, в которых стержни заменяются осевыми линия-
ми, пластинки — срединными поверхностями, реальные опор-
ные устройства — идеальными связями и т. д., размеры сечений
учитываются моментами инерции и площадями, а свойства ма-
териалов — их механическими характеристиками.
Расчет сооружений проводится по расчетной схеме. Если пол-
ная схема сооружения проста и доступна для расчета, то она
принимается и в качестве расчетной схемы. Если же полная
схема сложна для расчета, то она дополнительно упрощается
путем игнорирования некоторых свойств, играющих второсте-
пенную роль в работе сооружения.
Сооружения, их полные и расчетные схемы разделяются ни
системы по основным признакам, определяющим работу соору-
жения под нагрузкой.
По способу образования системы разделяются:
на неизменяемые, допускающие относительные перемещения
соединенных между собой тел только за счет деформации мате-
риала;
на изменяемые, допускающие относительные перемещения
соединенных между собой тел без деформации материала;
на мгновенно изменяемые, допускающие лишь бесконечно
малые перемещения соединенных между собой тел без дефор-
мации материала.
4
Неизменяемые системы в пределах прочности материала мо-
гут принимать на себя нагрузки любых видов (рис. 1.1), почему
и применяются в несущих конструкциях.
Изменяемые и мгновенно изменяемые системы могут, не ме-
няя без деформации материала своей формы, принимать на себя
лишь нагрузки частных видов, а потому мало пригодны для со-
оружений, несущих различного вида на-
грузки. В частности, изменяемые системы
могут принимать на себя и уравновеши-
вать, не меняя своей формы, только те
нагрузки, работа которых на любых бес-
конечно малых возможных перемеще-
ниях, вычисляемая с точностью до беско-
нечно малых первого порядка, равна ну-
лю. Изображенная на рис. 1.2, а изме-
няемая система может уравновесить
расположенную на ней нагрузку. Дейст-
вительно, работа сил, приложенных к
системе на бесконечно малом возможном
перемещении (рис. 1.2,6), будет равна
нулю:
ДТ =	- Р9 - Р2) ДА = (Р} -Р3~
—Р2) h(l — cos da) = (Рг —
Как видно, с точностью до бесконеч-
но малых первого порядка эта работа
равна нулю.
Равновесие всякого сооружения под
нагрузкой в деформированном состоянии
должно быть обязательно устойчивым,
что можно узнать также по работе сил
на бесконечно малых возможных перемещениях сооружения
в деформированном состоянии (устойчивость в малом) или на
малых конечных перемещениях (устойчивость в большом).
Если работа всех сил, внешних и внутренних, на любых воз-
можных бесконечно малых (конечно малых) перемещениях с
учетом всех бесконечно малых (конечных) величин будет отри-
цательной, то равновесие в малом (большом) устойчиво, если
положительной, то равновесие неустойчиво, а если работа сил
равна нулю, то равновесие безразличное.
Покажем, что равновесие системы (рис 1,2,а) устойчиво.
Работа сил (1.1) с точностью до бесконечно малых высших по-
рядков будет отрицательна, т е. Д7' = — P3h — <0, значит рав-
новесие устойчиво.
5
Если Рз = 0, эта же работа с любой точностью равна нулю, и
равновесие будет безразличным.
Если положить Р3 = 0 (рис. 1.2, а), а длину правой подвески
увеличить, оставив точку В на месте, то сила Р2^=Р совершит
меньшую отрицательную работу, чем сила Р\ = Р положитель-
ную. Работа в целом будет положительной (ДТ>0), и равнове-
сие системы станет неустойчивым.
Методы расчета сооружений зависят от того, является ли
данная задача статически определимой или статически неопре-
делимой, что обусловливается видом системы, характером на-
грузки и предпосылками относительно определения внутренних
сил по недеформированному или деформированному состоянию
сооружения.
Если внутренние силы определять по недеформированному
состоянию, то, независимо от нагрузки, системы можно разделить
на статически определимые и статически неопределимые. Стати-
чески определимые системы — это такие, в которых все реакции
и внутренние силы могут быть найдены из условий равновесия,
а статически неопределимые — такие, где не могут.
В строительной механике большую роль играет так называе-
мый принцип независимости действия сил (принцип наложе-
ния), по которому какая-либо величина (опорная реакция, вп\1-
ренняя сила, напряжение, перемещение и т д.) от несколькид
сил равна алгебраической или геометрической сумме значений
этой величины от каждой силы в отдельности. Алгебраическая
сумма берется для скалярных величин и численных значений
векторов (модулей), когда векторы расположены на одной пря-
мой, а геометрическая сумма — для векторов, проходящих через
одну точку.
Если внутренние силы определять по деформированному со-
стоянию с учетом всех перемещений, то принцип независимости,
вообще говоря, несправедлив Поэтому его надо считать лишь
дополнительной предпосылкой расчета. Он приближенно оправ-
дывается в таких случаях, когда:
1)	каждая нагрузка в отдельности и все вместе дают малые
изменения формы и размеров системы;
2)	определение реакций и внутренних сил производится по
недеформированному состоянию;
3)	материал упругий и следует закону Гука.
Для выяснения справедливости принципа при данных допу-
щениях надо определить искомую величину от сосредоточенной
силы Р произвольного переменного направления, приложенной
в любом месте системы, определяемом переменной координатой
Если при этом искомая скалярная величина линейно зависит от
силы Р, а векторная или имеет постоянное направление, или не
зависимое от значения силы Р, то принцип справедлив.
Так, например, направления опорных реакций А и В простой
балки от силы Р произвольного направления, приложенной в
6
произвольной точке балки (рис. 1.3), не зависят от значения си-
лы Р, следовательно, применим принцип независимости дейст-
вия сил. Для реакции А принцип применим в алгебраическом
виде, а для реакции В — в геометрическом.
Аналитические признаки принципа:
1) исследуемая величина должна быть однородной линейной
функцией внешних сил;
2) дифференциальное уравнение определяемой величины
должно быть обязательно линейным, с коэффициентами, не за-
fl
IV
Рис. 1.3
висящими от сил, по отношению к которым исследуется принцип
наложения, а правая часть его, если она не равна нулю, должна
быть линейно зависящей от этих сил.
Пример 1.1. Выяснить, при каких предпосылках применим
принцип независимости действия сил для определения изгибаю-
щего момента в месте защемления балки (рис. 1.4,а).
Прикладываем в произвольной точке силу Р произвольного
направления, определяемого углом а (рис. 1.4,6), и рассматри-
ваем деформированное состояние балки.
Изгибающий момент в защемлении балки
М = — Pcos а-Zj — Psin а-y(z).	(1.2)
Так как и у (z) зависят от силы Р, то выражение (1.2) не-
линейно относительно силы Р. Принцип независимости для вы-
числения момента неприменим.
Если пренебрегать Az=z— zb то
Л4 = — Pcosa-z— Psina-t/(z).	(1.3)
Это выражение также не линейно относительно силы Р.
Если же дополнительно пренебрегать вертикальным перемеще-
нием у (z), то
М = —Pcosa-z.	(1.4)
Это выражение стало уже линейным относительно силы Р
при любом значении угла а. Значит, принцип независимости для
7
вычисления момента справедлив, если пренебрегать перемеще-
ниями балки, т. е. определять момент по недеформированном\
состоянию балки.
Пример 1.2. При каких условиях применим принцип незави-
симости для балки на упругом основании, сжатой силой Р
(рис. 1.5).
Дифференциальное уравнение с учетом изгибающих момен-
тов от продольной силы в деформированном состоянии балки
имеет вид:
kb
~EJ
ylv + — У"
у EJ
Для применимости принципа:
EJ
(1.5)
быть
qfz)
z
Рис. 1.5
любое
от на-
1)	сила Р должна
постоянной;
2)	EJ может иметь
значение, не зависимое
грузок;
3)	kb : EJ должно быть ве-
личиной, нс зависящей от за-
данных нагрузок.
Применимость принципа можно еще установить следующие
образом.
Предположим, что q = q\+qz. Тогда
Т V ।	». kb	Q1
t/!V ----у ------у _ _V1
1	EJ 1 EJ EJ
У2 + у2 = — •
2	EJ EJ 2 EJ
Складываем эти уравнения:
(+ ^v)+ -~{У\ + У\} + ~ (У. + У,} =	(1.6)
и, сопоставляя (1.6) и (1.5), получаем: у = у\+у2
Глава 2
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ ПЛОСКИХ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 2.1.	ОБРАЗОВАНИЕ И КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПЛОСКИХ СИСТЕМ
Соединяемые элементы плоской системы называют дисками
Каждый обособленный диск Д геометрически неизменяем и об-
ладает тремя степенями свободы на плоскости. Отдельный
8
узел У можно рассматривать как вырожденный диск (диск с
нулевой площадью), обладающий двумя степенями свободы.
Диски соединяют при помощи связей. Основные типы связей
плоских систем: а) стержень с шарнирными концами С — эле-
ментарная связь, ликвидирующая одну степень свободы; б) шар-
нир Ш — связь, эквивалентная двум элементарным связям;
в) припайка П — связь, эквивалентная трем элементарным свя-
зям (рис. 2.1, а—в).
Стержнем можно одновременно соединять только два диска
или узла. Шарниром или припайкой можно одновременно со-
Рис. 2.1
единять несколько дисков. В этом случае связь называется крат-
ной. Ее кратность на единицу меньше числа соединяемых дисков.
Под действием нагрузки на систему в каждой связи могут
возникать соответствующие реакции (рис. 2.1, г—е). Прежде чем
определять реакции связей необходимо исследовать систему,
провести ее кинематический анализ.
В зависимости от числа и расположения дисков и связей си-
стемы подразделяются на неизменяемые, изменяемые и мгновен-
но изменяемые. Степень изменяемости И плоской системы, со-
ставленной из дисков, узлов и связей, можно определить по
формулам:
для систем, прикрепленных к земле,
И = (ЗД + 2У) — (С + 2Ш+ЗП)—Со;	(2.1)
для свободных систем
И = (ЗД + 2У) — (С + 2Ш + 3/7) — 3.	(2.2)
Здесь Д, У, С, Шу П, Со — соответственно число дисков, уз-
лов, стержней, шарниров, припаек и опорных стержней.
Если в приведенных формулах Я>0, то система определенно
изменяема. Если И = 0у то система имеет необходимое число
связей, для того чтобы быть неизменяемой. Если И<0, то систе-
ма имеет «лишние» связи и также может быть неизменяемой.
Отметим, что условие И < 0 не является достаточным усло-
вием геометрической неизменяемости системы. Судить о неиз-
меняемости системы можно только после кинематического ана-
2—1284	9-
лиза, основанного или на правилах образования неизменяемых
систем, или на особых признаках, вытекающих из общих мето-
дов определения реакций связей.
На рис. 2.2, а—в, е—з показаны основные виды образования
неизменяемых систем из двух и трех дисков. Системы, изобра-
женные на рис. 2.2, г, д, и, к, являются мгновенно изменяемыми,
так как расположение связей позволяет дискам иметь бесконеч-
Рис. 2.2
но малые относительные перемещения. Здесь либо два диска
имеют единый мгновенный центр вращения (рис. 2.2, г, <9), либо
три диска имеют три мгновенных центра вращения, лежащие на
одной прямой (рис. 2.2, и, к).
Соединяемые элементы (диски или узлы) и соединяющие
элементы (связи) обладают свойством двойственности. Связи
могут рассматриваться как диски или узлы, а диски, наоборот,
как связи. Поэтому прежде чем исследовать систему, необходи-
мо установить, что в ней принимается за соединяемые, а что —
за соединяющие элементы.
Например, свободную систему, изображенную на рис. 2.2, ж,
можно рассматривать: а) как три диска, соединенные шарнира-
ми (77 = 3-3—2-3—3 = 0); б) как три узла, соединенные связями
АВ, ВС и АС (77 = 2-3—3—3 = 0); в) как два диска I и II, сое-
диненные шарниром В и связью АС (77 = 3-2—1—2-1—3 = 0);
г) как прикрепление к диску III («земле») узла В посредством
10
двух связей АВ и ВС, соединенных шарниром и имеющих шар-
ниры по концам (И = 2- 1—2 = 0).
Обратим внимание на последний вид присоединения, широко
используемый при кинематическом анализе систем. Совокуп-
ность двух стержней или дисков, шарнирно прикрепляющих
узел, называется диадой. При этОхМ все три шарнира не должны
личества диад (или, наоборот, отбрасывание их) не нарушает
степени изменяемости системы.
Отметим также, что при использовании формул (2.1) — (2.2)
следует предварительно создавать из отдельных элементов ук-
рупненные диски на основе указанных видов образования не-
изменяемых систем.
Рассмотрим примеры на образование и кинематический ана-
лиз систем.
Пример 2.1. Образовать из элементов, изображенных на
рис. 2.3, а, геометрически неизменяемую и не имеющую лишних
связей систему.
Число требуемых элементарных связей определим в соответ-
ствии с (2.2) по формуле
с?реб = ЗД + 2У — 2ZZ/ - 3/7 — 3.	(2.3)
2*	11
Здесь Д = 5 (кроме трех дисков, обозначенных на рисунке, при-
нимаем за диски шарнирно-стержневой треугольник АВС и стер-
жень ВД), У = 0, Ш — \ (шарнир 5), /7 = 0. Следовательно,
С?реб =3-5-2.1-3=10.
Что касается выбора и расположения связей, то эта задача
имеет множество решений. На рис. 2.3, б представлено одно из
решений, в котором С = 5 (стержни DE, AF, AG, GH и CD), /// =
= 1, /7=1. Таким образом, СЭ1 = 5 + 2-1+3-1 = 10. В системе,
изображенной на рис. 2.3, в, также введено десять элементар-
ных связей, но при ее образовании допущены следующие ошиб-
ки. Во-первых, диск BD присоединен к диску АВС шарниром и
двумя стержнями (т. е. избыточным числом связей); во-вторых,
полученная стержневая система прикреплена к дискам // и ///
тремя стержнями, пересекающимися в одной точке D; и, нако-
нец, вся система является изменяемой, так как диски / и // не
имеют достаточного числа связей для образования с диском ///
геометрически неизменяемой системы.
Пример 2.2. Исследовать систему, изображенную на рис.
2.3, г.
Примем в данной системе за диски заштрихованные элементы
и «землю». Тогда, Д = 4, С = 2, /7/ = 2 (так как шарнир Д — дву-
кратный),/7= 1, и согласно (2.2) // = 3-4—(2 + 2 • 2 + 3 • 1)—3 = 0.
Таким образом, система может быть геометрически неизменяе-
мой. Для утверждения этого рассмотрим один из возможны:;
путей ее образования.
Диск / припаян к «земле» — он неподвижен; диск // соединен
с диском / при помощи стержня АВ и шарнира Д — система ос-
тается неизменяемой. Аналогично присоединен к диску /7
диск III. Следовательно, вся система геометрически неизменяема.
Пример 2.3. Исследовать систему, изображенную на рис. 2.3, д.
Так как эта система образована из шарнирно-стержневых тре-
угольников и имеет три правильно расположенные опорные свя-
зи, можно заранее утверждать, что она неизменяема.
В данном случае У= 12, С = 23, С0 = 3; следовательно, по фор-
муле (2.1) // = 2-12—(23 + 3)=—2, т. е. система имеет два лиш-
них стержня.
Такой вывод следует и из непосредственного рассмотрения
возможного образования геометрически неизменяемой и стати-
чески определимой системы (рис. 2.3, е). Например, к диску
1-4-5, принимаемому за основной, последовательно прикрепле-
ны: диадой 1-2 и 5-2 узел 2; далее диадой 5-6 и 2-6 узел 6; за-
тем диадой 2-3 и 6-3 узел 3\ диадой 4-7 и 5-7 узел 7; диадой 7-8
и 5-8 узел S; диадой 8-9 и 6-9 узел 9 (стержень 6-8 оказался
лишним); диадой 8-11 и 7-11 узел //; диадой 11-10 и 7-10
узел 10 и, наконец, диадой 8-12 и 9-12 последний узел 12 (стер-
жень 11-12 оказался вторым лишним стержнем).
Естественно, что при ином наращивании диад лишними мо-
гут оказаться другие два стержня. Однако не всякие два стерж-
12
ня заданной системы можно считать лишними. Так, например,
удаление связей 4-5 или 8-9 превращает систему в мгновенно
изменяемую. Нельзя также одновременно удалить связи 5-7 и
6-8, которые порознь могут считаться лишними. Удаление этих
связей превращает заданную систему в изменяемую, представ-
ляющую собой два диска, соединенные тремя параллельными
стержнями одинаковой длины (рис. 2.3,ж).
Пример 2.4. Исследовать систему, изображенную на
рис. 2.4, а.
Исследование путем последовательного наращивания диад
показывает (предлагаем это рассмотреть самостоятельно), что
данная система, освобож-
денная от земли, может
быть представлена в виде
двух дисков, соединенных
всего двумя связями:
стержнем 5-6 и связью-
диском 16-17-29 (рис.
2.4,6). Таким образом, вся
система изменяема, хотя
каждый из дисков имесг
по одной лишней связи
(например, 5-15 и 6-18).
Достаточно один из этих
стержней «переставить»
в поле 5-6-16-17, чтобы
Рис. 2.4
вся система превратилась
в геометрически неизменяемую.
Определение геометрической неизменяемости и числа лишних
связей можно производить и обратным путем — отбрасыванием
узлов с диадами. Такой путь можно назвать способом последо-
вательного разрушения системы.
Пример 2.5. Исследовать систему, изображенную на
рис. 2.5, а.
Здесь Д=13, СОп = 7, ZZ/= 16 (кратность каждого шарнира
указана в кружочке). Таким образом, по (2.1)
/7 = 3-13 — 216 — 7 = 0,
т. е. система может быть неизменяемой.
Проведем кинематический анализ, используя способ после-
довательного разрушения. Сначала мысленно отбросим узлы
И и М, прикрепленные к системе диадами HF и НК (узел Н)
и MG и ML (узел Л4). Обратим внимание на то, что шарнир G в
системе остается, так как он кроме стержня MG соединяет еще
два стержня AG и GB. Далее можно отбросить узел В, прикреп-
ленный стержнем GB к системе и опорным стержнем к земле.
Аналогичным образом отбросим узел С (соединенный опорным
13
стержнем с землей и связью CQ с системой) и узел D (соеди-
ненный опорным стержнем с землей и стержнем DT с системой).
После этого частичного разрушения система будет иметь вид,
изображенный на рис. 2.5,6. Отбрасывая узел N, соединенный
с остающейся частью системы стержнем NP и связью-диском
Рис. 2.5
NR, а затем узел /?, соединенный стержнем RP и связью-диском
RS, получим систему, изображенную на рис. 2.5, в. Она пред-
ставляет собой три диска, соединенные тремя шарнирами, лежа-
щими на одной прямой. Следовательно, заданная система явля-
ется мгновенно изменяемой.
Рис. 2.6
Задачи 2.6—2.17. Исследовать системы, изображенные на
рис. 2.6—2.17.
Ответы: № 2.6. Система неизменяема и имеет один лишний
горизонтальный опорный стержень. Образование системы удоб-
14
но начинать с прикрепления к земле узла С при помощи двух
диад АС и ВС.
№ 2.7. Система мгновенно изменяема. Она может быть пред-
ставлена в виде трех дисков (ABC, DE и FGH), имеющих три
мгновенных центра вращения, которые лежат на вертикальной
прямой.
№ 2.8. Система неизменяема и не имеет лишних связей. Она
может быть представлена в виде трех дисков (включая землю),
имеющих три мгновенных центра вращения, не лежащих на од-
ной прямой.
№ 2.9. Система неизменяема и не имеет
лишних связей. Она может быть рассмотре-
на так же, как и предыдущая система.
Рис. 2.7
Рис. 2.8
Рис. 2.9
№ 2.10. Система неизменяема и имеет три лишние связи (на-
пример, шарнир К и горизонтальный опорный стержень В).
№ 2.11. Система неизменяема и не имеет лишних связей. На
рис. 2.11,6 показан путь образования одной из частей данной
фермы в геометрически неизменяемую систему. Обратим внима-
ние на то, что здесь диском /// является стержень 1-а, а связями
1-8 и 9-2 являются диски А и Б.
№ 2.12. Система неизменяема и не имеет лишних связей. До-
казательство удобно начинать с рассмотрения системы, состоя-
щей из трех дисков; А-1, А-2 и 3-4.
№ 2.13. Система неизменяема и не имеет лишних связей. Ле-
жащие на одной прямой три шарнира D, Е и F (равно как и три
шарнира А, В и С) не делают систему мгновенно изменяемой,
потому что они являются центрами вращения не трех, а четырех
дисков.
№ 2.14. Система изменяема. Не хватает одной связи. Отме-
тим, что при врезании шарниров в места пересечения стержней
степень изменяемости останется той же.
№ 2.15. Система дважды мгновенно изменяема. Во-первых,
мгновенные центры вращения дисков /, II и III лежат на одной
(горизонтальной) прямой; во-вторых, треугольник АВС присое-
динен к системе тремя стержнями, пересекающимися в одной
точке.
№ 2.16. Система мгновенно изменяема.
«Ns 2.17. Система неизменяема и не имеет лишних связей.
15
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Рис. 2.13
Рис. 2.14
16
§ 2.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
И ПРИЗНАКИ ИЗМЕНЯЕМОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Основными методами определения реакций связей являются,
статический метод, метод замены связей и кинематический ме-
тод.
Статический метод
Если система геометрически неизменяема и не имеет лиш-
них связей, то она статически определима. Реакции связей в та-
кой системе можно найти, используя уравнения равновесия.
Аналитическое определение реакций связей основывается на
общем способе сечений, применяемом в различных модифика-
циях.
Пример 2.18. Определить реакции связей 1-6, 3-8 и 2-3 пло-
ской системы, изображенной на рис. 2.18, а.
Реакцию Rh6 найдем из рассмотрения равновесия вырезан-
ного сечением I—I узла 1 (способ вырезания узлов). Так как
диск 1-2 (равно как и другие диски) является ненагруженным
и, следовательно, может быть представлен в виде прямолиней-
ной связи 1-2, то искомую реакцию найдем из уравнения статики
2У = 0,5Р—Rh6 sin ai = 0 (рис. 2.18,6).
Решая это уравнение, получим:
=—-------.
!'6	2 sin Qi
Реакцию R3.8 определим из рассмотрения равновесия части
системы, отделенной сечением II—II (способ простых сечений
или способ моментной точки). Моментной точкой для связи 3-8
является точка k, лежащая на пересечении линий 7-8 и 3-4. Со-
ставляя уравнение равновесия	получим:
Реакцию связи 2-3 нельзя определить при помощи одного се-
чения, так как любое сечение (например, ///—III), проведенное
через данную связь, должно пересечь еще минимум три связи,
не пересекающиеся в одной точке. Поэтому в данном случае не-
обходимо предварительно найти реакцию одной из связей, по-
павших в сечение III—III, при помощи вспомогательного сече-
ния, например сечения IV—IV, вырезающего узел 5.
Согласно рис. 2.18, в: 2 У = —Р—2R2.5 cos аз = 0, и, следова-
тельно,
2'5	2cosa3
Теперь в отсеченной сечением III—III части системы имеются
лишь три неизвестные реакции: искомая а также R7.8 и
17
Рис. 2.18
Рис. 2.19
18
R37. Моментной точкой для связи 2-3 является точка 7. Исходя
из уравнения статики YM7 = R2_3r2 + R2_- г3 = 0 и учитывая полу-
ченное значение R2.-, найдем:
о _ Рг3
* \ •? _ •
2 cos а3 г2
Пример 2.19. Определить вертикальную и горизонтальную
составляющие реакции Rc в шарнире С (рис. 2.19, а, б).
В данном случае для определения реакций Хс и Yc прове-
дем одновременно два сечения: одно через шарниры С и А, дру-
гое— через шарниры С и В (способ совместных сечений).
Затем составим систему двух уравнений статики для двух
отсеченных частей:
для диска /	= Хс• 2а — Yс а + 1 4<?а2 = О,
для диска II ЪМВ = а +	• 2а + 2<?а2 = 0.
Решая совместно эти уравнения при помощи определителей,
получим: Z) = 5a, D\ = —30 qa2 и D2= + 10 qa2. Откуда Хс = —Oqa
и Ус = 2^а.
Отметим, что выражение определителя D не зависит от внеш-
ней нагрузки, а является функцией геометрических параметров
самой системы. При /)=^=0 искомые реакции имеют определен-
ные конечные значения, что свидетельствует о геометрической
неизменяемости системы. Если же определитель £>, составлен-
ный из коэффициентов уравнений равновесия (при достаточном
их числе), будет равен нулю, то усилия в связях будут равны
бесконечности. Это является одним из статических признаков из-
меняемости системы, имеющей достаточное число связей.
Другим статическим признаком изменяемости системы с до-
статочным числом связей является признак нулевой нагрузки,
19
основанный на неоднозначности получаемого решения. Если ре-
акции некоторых связей системы будут отличны от нуля при от-
сутствии внешней нагрузки (нулевой нагрузке), то система либо
мгновенно изменяема, либо изменяема и имеет лишние связи.
Пример 2.20. Доказать, что система, изображенная на
рис. 2.20, а, является мгновенно изменяемой.
Проведем сечение 1—1. Предположим, что в связи 2-С воз-
можно возникновение силы R. Тогда из рассмотрения равнове-
сия отсеченной части (1Л1/: = 0) найдем, что	= —S>c=—/?.
Вырезая узел /, определим реакции Sj 4 и 2. Аналогично
из вырезания узла 2 определим реакции S2 3 и S2 j (рис. 2.20, б).
Из рассмотрения треугольников 1-n-f и i-1-е, а также f-n-2 и
2-g-j, легко установить, что 2 = S2 j иХ1Л = Х2|3. Вырезая
далее узлы 4 и <3, определим, что S3 4 = S4 3 и S44 = SD>3. Та-
ким образом, в данном случае, когда нет внешней нагрузки, ре-
акции всех связей будут функциями силы /?, которая может
иметь произвольное значение. Следовательно, система мгновен-
но изменяема
Метод замены связей
Расчет заданной системы проводится при помощи другой,
«заменяющей» системы, которая является более простой, стати-
чески определимой и получена из заданной путем замены одной
или нескольких связей. При этом удаленные из заданной системы
связи заменяются неизвестными реакциями а на введенные
в заменяющую систему связи накладываются условия равенства
нулю суммарных реакций в них от действия всех сил на заменя-
ющую систему. Эти условия имеют следующий канонический
вид (для k-й введенной связи):
rki + г*2	4- • • • + rkn Хп 4- Rkp = 0,	(2.4)
где rkn — реакция k-й связи от силы Хп~ 1;
Rkp — реакция k-й связи от заданной нагрузки.
Определив из решения системы уравнений типа (2.4) значе-
ния неизвестных Хп, находят реакцию любой связи на основе
принципа независимости действия сил:
S{ = S.x X, ч- S., X, • 4- s;n хп 4- SiP.	(2.5)
Пример 2.21. Определить реакции связей в системе, изобра-
женной на рис. 2.21, а.
1 В книге В. А. Киселева «Строительная механика» (1960, стр. 59), рас-
смотрена сходная ненагруженная система, но являющаяся неизменяемой.
В ней вследствие неравенства углов у продольная сила Si2, определяемая из
вырезания узлов, имеет различные значения (Sj2 — S2i)«
20
Заменяющая система показана на рис. 2.21,6. Здесь связи
2-2' и 3-3' заменены неизвестными силами Х}, Х2 и Х3, а за-
меняющие связи представляют собой защемления в узлах Г, 2'
и 3'. Таким образом, заменяющая система представляет собой
балку ломаного очертания, опирающуюся на две опоры и нагру-
женную помимо силы Р силами Xh Х2 и АЛ3.
Определим значения реакций (моментов во введенных за-
щемлениях) от действия силы Р и единичных сил Л\-= 1:
Гц = Ми = 0,75 -2а =1,5 а\ г31 = М31 = 0,25-2а = 0,5а;
г12 = УИ12 = 0,5 • 2а = 1 а; г32 = М32 = 0,5 • 2а = 1 а;
г13 = Л413 = 0,25-2а = 0,5 а; г33 = М33 = 0,75-2а = 1,5а;
г21 = М21 = 0,25-4а = 1 а;	= 8Р-2а —2,5-2а = НРа;
г22 = Л422 = 0,5-4а = 2 а;	Р2р = 8Р-За— 2,5-4а= 14Ра;
г9Ч == ЛС = 0,25-4а = 1 а;	Л* = 2,5Р-2а = 5Ра.
Согласно (2.4) получим после сокращения на а следующую
систему уравнений:
1,5Xj + Х2 + 0,5Х3 + 1 \Р = 0;
X, + 2Xa + Х3 + 14Р = 0;	•
0.5Х, + Ха + 1,5Х3 + 5Р = 0. ,
21
Решая эту систему уравнений при помощи определителей,
получим: /) = 2; D{ = —8Р; D2 =— 12Р; D3 = 4P. Следовательно,
A'j =— 4Р; Х2 = — 6Р- Х3= +2Р.
В соответствии с (2.5) найдем значения опорных реакций:
VQ = — 8Р; V4 = 0; HQ = —8P.
Обратим внимание на то, что все найденные реакции имеют
определенное значение, так как D=/= 0. Если бы определитель
канонических уравнений метода замены связей равнялся нулю,
то реакции связей имели бы бесконечные значения, что, как и в
статическом методе, свидетельствовало бы об изменяемости си-
стемы.
Пример 2.22. Определить усилия во всех стержнях шарнирно-
стержневой системы, изображенной на рис. 2.22, а.
Данная система имеет достаточное количество связей, чтобы
быть геометрически неизменяемой, так как согласно (2.2) И =
= 2-8—(13 + 3) =0. Нетрудно убедиться, что выбранная заменя-
ющая система, изображенная па рис. 2.22,6, является геометри-
чески неизменяемой. В данном случае заменяющая связь (3-4)
всего одна; поэтому определитель D будет выражен одним коэф-
фициентом Гц, представляющим собой усилие в заменяющей
связи 3-4 от силы Xi = l. Найдем определяя попутно уси-
лия в остальных стержнях.
Вырезая последовательно узлы /, 2, 7 и 3 и учитывая симмет-
ричность системы, получим:
3,-s = + 1; S'i-я =“1'2; 3Л2 =5;й = + 1;
К, =3,-., = —1; 3„ .s„ -+1''2 ;
$4-7 ~ $3-8	$3-7 ~ $4-8 ~	$3-4 ~ Г11 ~
Так как ги=^=0, то система является геометрически неизменя-
емой.
Определим усилие в связи 3-4 от действия внешней силы. По-
ступая аналогично предыдущему, получим:
22
ST-6 = 0; Sf.2 = S£6 = 0; Sts = S?.7 = 0;
SL = S^ =0; S%.7 = S?.s =-P-,
sl7 = S^.s = - V2P; St- = S^.s = + P- = RlP = + P.
На основе (2.4) определим:
X1=--^- = -P.
Гц
В соответствии с (2.5) найдем:
=s6.7 =-- + РГ2; s,_2 = s,.6 =-p-
S2.7 = S5.s = 0; S2..; - S/.J = ~PV2 ;
$4.7 =	=-P/2; S.M. =sh8 =+2P.
Пример 2.23. Определить опорные реакции трехшарнирной
системы, изображенной на рис. 2.19, а.
Определив реакции опорных связей заменяющей системы
(рис. 2.19, в) от действия нагрузки (V^=4qa\ VB = &qa\ Я£=0),
найдем
7?1Р = Мс = — 4^2 + 14ga2 - 10qa2.
Опорные реакции от действия единичной силы %! = 1 равны:
Нв~ 1; VA= — ; Vв —------.Таким образом, Гц = МС = — а —
3	3	3
— 2а =-----а.
3
р
Следовательно, =--------—	+ 6qa\
Гц
Va = Va + VaX1 ~~2qa\ HA= = 6qa;
VB^V^ + VnX^Aqa; HB = HPB + Hb X± - &qa.
Кинематический метод
Из заданной геометрически неизменяемой системы устраня-
ется связь, реакция которой определяется. Взамен устраненной
связи прикладываются соответствующие реакции R. Система та-
ким образом превращается в механизм, которому задается воз-
можное перемещение. Затем в соответствии с принципом воз-
можных перемещений составляется выражение работ внешней
нагрузки и искомой реакции:
2Р/Д/ + 7?Др=0,	(2.6)
23
исходя из которого и определяется значение реакции. Следова-
тельно, неизвестная R определяется из решения одного уравне-
ния. В этом особенность кинематического метода.
Покажем использование кинематического метода на приме-
рах непосредственного применения способа возможных переме-
щений, способа изо-
бражающих точек и
способа мгновенных
центров.
Пример 2.24. Опре-
делить реакцию опор-
ной связи /, возни-
кающую в системе,
изображенной на рис.
2.23, а.
Устраним опорную
связь 1 и взамен ее
приложим реакцию
Рис. 2.23	Rip, Пусть система
имеет возможные пе-
ремещения, как показано на рис. 2.23, а. Тогда
—Р^р ”Т R1P	— 0.
Из геометрических соотношений найдем:
Л 1 + Ь Л A Ь1 Л (Z + ^)^1 А
•
Л, =	V =	.
р D аг с ага21 R
Таким образом,
R	_ (' + *>) Ьг Ь2 р
1Р Л7?
di а % I
Способ изображающих точек основан на построении неполяр-
ного плана возможных перемещений (скоростей) точек образо-
вавшегося механизма. Перемещение (скорость) каждой точки
ki изображается вектором (в определенном масштабе), поверну-
тым на 90° по отношению к действительному направлению пере-
мещения dSi. Конец повернутого вектора k\ называют изобра-
жающей точкой или изображением точки ki.
Общее выражение принципа возможных перемещений запи-
сывают в следующем виде
SP, cos (Pz, dsz) = 0,	(2.7)
где суммирование распространяется на все силы (внешние и оп-
ределяемые реакции). Учитывая, что проекция длины поверну-
24
того вектора на ось, перпендикулярною линии действия силы Р,
представляет собой «плечо» />/<’. этой силы относительно изобра-
жения точки k'. , выражение (2.7) представляют так-
• - 0.
/г.	i k.
(2.8)
Таким образом', искомая реакция R определяется из хеловия
равенства нулю моментов всех
относительно изображения
точек их приложения.
При применении способа
изображающих точек необ-
ходимо знать, что:
а)	изображающая точка
лежит на радиусе-векторе
с началом в мгновенном
центре вращения;
б)	изображение непо-
движной точки совпадает с
самой точкой;
в)	всякий отрезок пря
мой на диске изображается
отрезком параллельной пря-
мой.
Пример 2.25. Определить
усилие в стержне 1-6 ранее
рассмотренной шарнирно-
стержневой системы (см.
рис. 2.22, а).
Удалим связь 1-6 и ее
действие заменим искомы-
ми силами S (см. рис.
2.22, в). Данная система яв-
ляется свободной, поэтому
можно один из дисков при-
нять за неподвижный, на-
пример диск 2-3-7. Изобра-
жения указанных неподвиж-
ных точек будут совпадать
действующих на механизм сил
с ними самими.	рнс 224
Произвольным отрезком	с’
а откладываем изображаю-
щую точку Г на стержне 1-2 (так как точка 2 является мгно-
венным центром вращения). Изображающую точку 8' опреде-
лим как точку, лежащую на пересечении линий Г-8' и 3'-8', па-
раллельных 1-8 и 3-8. Затем найдем изображающую точку 4',
лежащую на пересечении линий 4'-7' и 4'-8'. Далее, аналогич-
25
ным образом найдем изображающую точку 5' и, наконец, поло-
жение изображающей точки 6'.
«Плечи» сил X k' могут быть определены из геометрических
соотношений. В данном случае
л	а	£2	л	3
л., = а- к., ~ — • Л,, = — а.
1	О 2	6	2
Таким образом, согласно (2.8)
I/И ' - SV — Skr, — РХ-, - О
и, следовательно,
Полученный результат в точности совпадает с найденным ра-
нее (пример 2.22). Данный путь решения значительно проще,
чем решение по методу замены связей.
Пример 2.26. Определить реакцию связи CF в шарнирно-
стержневой системе, изображенной на рис. 2.24, а.
Полученный после удаления связи CF механизм, изображен
на рис. 2.24,6. Выбираем произвольно (на радиусе-векторе АВ)
положение изображения точки В. Затем определяем положение
точки Е'. Она лежит на пересечении линии В'Е'\\ВЕ и вертикаль-
ной прямой, проходящей через точку Е. Далее находим положе-
ние точек С' и F'.
с (2.8):
Обратим внимание на то, что как в этом, так и в предыдущем
примере значения для концов устраненного стержня не рав-
ны. Поэтому значение искомой реакции связи имеет определен-
ную величину. Если бы изображения концов устраненного
стержня лежали на прямой, параллельной стержню, то оо,
и, следовательно, система была бы мгновенно изменяемой.
Так, например, если р = а (рис. 2.24), то лс, =	(C'F'\\CF),
т. е. система мгновенно изменяема.
Способ мгновенных центров основан на следующей записи
уравнения (2.7):
♦ dq)k — 0.
(2.9)
26
Здесь Мо*—момент внешних сил, действующих на k-й диск,
относительно его мгновенного центра вращения; dqk— бесконеч-
но малый угол поворота соответствующего диска.
Если мгновенный центр вращения диска удален в бесконеч-
ность, то произведение Mod^k должно быть заменено на /?Д, где
R— равнодействующая сил на диске, а Л — бесконечно малое
перемещение по направлению силы R.
При применении указанного способа необходимо знать, что.
а)	если два диска соединены шарниром, то он является цент-
ром вращения;
б)	если два диска соединены двумя стержнями, то мгновен-
ным центром вращения будет точка пересечения этих стержней;
в)	три взаимных мгновенных центра вращения трех дисков
механизма лежат на одной прямой.
Пример 2.27. Определить реакцию горизонтальной опорной
связи Нл трехшарнирной системы, изображенной на рис. 2.19, а.
Образовавшийся после удаления опорной связи механизм
(рис. 2.19, г) представим в виде четырех дисков, последователь-
но соединенных шарнирами (диск /// — «земля», а диск /V -
вертикальный опорный стержень).
Дадим механизму возможное перемещение, повернув диск //
относительно О2_3 на угол dq>. Положение диска / при этом
будет определяться положением шарнира С и мгновенного цент-
ра вращения Oh3. Последний найдем как точку пересечения ли-
ний Оз4-О14-О]3 и 023-012-013 (на основе отмеченной выше теоре-
мы о трех мгновенных центрах).
Пренебрегая перемещениями высшего порядка малости, по-
лучим в соответствии с (2.9):
Radq> + /Wdqpj + Н д рл dep, — О,
где R = q*2a— равнодействующая распределенной нагрузки;
,	Q J /	Др
а <рг = 2 а<р ' поскольку dcpx = -у, a dtp = -у/
5
рл = — а (из геометрических соотношений).
Отметим, что здесь каждое слагаемое берется с положитель-
ным знаком, поскольку моменты сил и угловые перемещения
совпадают по направлению.
Сократив все члены уравнения на dep, получим
q-2a2 + 14qa2-2 + 5aR = 0,
откуда R = —6qa, что в точности совпадает с результатами, по-
лученными ранее на основе других методов расчета.
Глав а 3
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
И ПЛОСКИХ РАМ НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Пример 3.1. Построить линии влияния изгибающих момен-
тов Л1 и поперечных сил Q в сечениях а, Ь, с и d многопролетной
статически определимой балки (рис. 3 1,я) от вертикальной си-
лы Р= I.
Решение
Статический метод построения линий влияния
Многопролетная балка, в сечениях которой требуется по-
строить линии влияния внутренних сил, состоит из ряда дисков
(АВ, ВС, CD, DE, EF и FG), соединенных между собой шарни-
рами. Для решения поставленной задачи целесообразно выде-
лить основные части балки, т. е. такие, неподвижность которых
относительно земли не зависит от наличия остальных дисков.
При этом необходимо иметь в виду, что поскольку речь идет о
воздействии на систему только вертикальной силы, то усилия
г> горизонтальных связях между дисками равны нулю и переме-
щения дисков по горизонтали происходить не могут.
При таком условии основными частями балки будем считать
диски ЛД CD и FG. Последние два не являются, строго гово-
ря, основными, так как невозможность их горизонтального пе-
ремещения относительно земли обеспечена горизонтальной
связью с землей в диске АВ, т. е. самим диском, но, как указы-
валось выше, при отсутствии горизонтальной нагрузки эти два
диска оказываются независимыми от диска АВ.
Диски ВС и DE не могут перемещаться относительно земли
вследствие наличия дисков АВ и CD, неизменяемо связанных с
землей; диску EF в свою очередь не позволяют смещаться отно-
сительно земли неизменяемо связанные с нею через основной
диск CD диск DE и диск FG (см. главу 2).
В результате такого анализа получаем поэтажную схему
(рис. 3.1,6), из которой видно, что если нагрузка находится на
балках АВ, CD или FG, то работать будут только загруженные
балки, а балки ВС, DE и EF работать не будут.
Если нагрузка находится на балке ВС, то кроме нее рабо-
тает консоль АВ и балка CD. Если нагрузка находится на балке
DE, то кроме нее работает балка CD, а остальные балки не ра-
ботают, и, наконец, если нагрузка на балке EF, то работает кон-
соль FG, балка DE и далее балка CD.
При построении линии влияния усилия в каком-либо сечении
балки сначала надо выделить диск, в котором находится рас-
сматриваемое сечение, как самостоятельную балку и строить
28
29
для нее линию влияния независимо от остальных частей вс<
балки, потом проанализировать, как изменяется это усилие п[
движении нагрузки по дополнительным по отношению к этс
балке частям системы.
Необходимо помнить, что линии влияния реакций связей
статически определимых системах — это ломаные линии, а поте
му две ординаты в пределах одного диска полностью определя
ют очертание линии влияния при движении груза Р=] по этом
диску.
Построение линии влияния Л1а. Для того чтобы построит!
линию влияния изгибающего момента Ма в сечении а, мыс
ленно выделяем диск CD вместе с его связями с землей (см
рис. 3.1, б).
Реакция L при движении груза Р= \ по балке CD равна: Л =
20 — г	ту г т-л
=—, а реакция л = 11РИ ЭТО1М использованы условия
равновесия
1/И -0 и 1/И, -0	(3.1)
опорные реакции положительны при направлении вверх.
При движении груза левее сечения а вплоть до точки /1
Ма = /<(20 — 4) = 16К
или в пределах от а до С
мь = 16-Зу- = 0,8z.	(3.2)
Так как z выражается в метрах, а единичная сила Р — отвле-
ченная величина, то размерность ординат линии влияния момен-
та — метры.
При 2 = 0, т. е. когда груз стоит над опорой Л, Л1а = 0; при 2 =
= 4 м, т. е. когда груз стоит над сечением а, Ма = 0,8 • 4 = 3.2.
Эти две ординаты определят очертание линии влияния Л1Л
при движении груза слева от сечения — отрезок са (см. рис.
3.1, в), называемый левой прямой.
При движении груза справа от сечения а до точки D изгиба-
ющий момент в сечении а запишется так:
Л40 = А-4=	^4 Т	(3.3)
0	20	5	'
При 2 = 4 м, т. е. когда груз находится над сечением а, Ма =
= 3,2; при 2 = 20 м, т. е. когда груз стоит над правой опорой,
Ма = 0. Эти ординаты определят очертание линии влияния Л4О
при движении груза справа от сечения а — отрезок ad, называ-
емый правой прямой (см. рис. 3.1, в).
Так получена линия влияния изгибающего момента в сече-
нии а при движении груза Р = 1 по балке CD. Ординаты над точ-
ками С и D можно найти из подобия фигур, а можно подстав-
30
ляя соответствующие значения 2 в выражения 3.2 и 3.3. Так, ес-
ли груз находится в точке С, т. е. при 2 =—2,5 л/, Ма = 0,8(—2,5) =
=—2; если груз справа от сечения в точке D при 2 = 25 м, то
..	20 — 25 л .
М(1 =-------4 = — 1 М.
а 20
Диск ВС (см. рис. 3.1,6) опирается одним концом на диск
АВ, другим — на диск CD, поэтому, если груз находится в точ-
ке В, нагрузка целиком передается на диск АВ и Л4а = 0; если
груз в точке С, то нагрузка передается на диск CD и Ма = —2
На участке ВС линия влияния очерчена отрезком прямой Ьс.
Диск DE опирается в точке D на диск CD и в точке Н на
землю, поэтому, если груз находится в точке D, Ма = — 1, если
в точке Я, Ма = 0. В пределах диска DE линия влияния очерчена
отрезком dl, ордината в точке Е найдена из геометрических со-
ображений.
Диск EF опирается на диск DE в точке Е, где ордината ли-
нии влияния равна 0,6, и на диск FG в точке F. Значит, если
груз в точке F, то Л4п = 0.
Полное очертание линии влияния Ма показано на рис. 3.1, и.
Построение линии влияния Qa. Здесь, так же как и при по-
строении линии влияния Ма, сначала строим линию влияния Qn
для выделенной части балки CD (см. рис. 3.1,6).
Пусть груз расположен слева от сечения а на участке Са
Тогда Qa = — К=----
При z = 0 Qa = 0, при 2 = 4 м Qa ——0,2. Эти две ординаты да-
ют левую прямую соц линии влияния Qa (рис. 3.1, г).
Когда груз расположен справа от сечения а на участке aD,
При 2 = 4 м Qa = 0,8; при 2 = 20 м Qa = 0.
По этим ординатам строим правую прямую (a2d) линии вли-
яния Qa (см. рис. 3.1, г).
Рассуждая так же, как и при построении линии влияния Ма,
получаем нулевые ординаты линии влияния Qa в точках В, Н
и F.
Общий вид линии влияния поперечной силы в сечении а по-
казан на рис. 3.1, г.
Ординаты линии влияния поперечной силы безразмерны.
Построение линий влияния Мъ и Q^. Чтобы построить линии
влияния момента и поперечной силы в сечении Ь, из поэтажной
схемы (см. рис. 3.1, б) мысленно выделяем диск — простую бал-
ку DE и строим для нее линии влияния Мь и так же как и
для диска — балки CD.
По отношению к балке DE балка CD является основной, по-
этому при движении груза по балке CD и далее по ВС и АВ (см.
рис. 3.1,6) балка DE работать не будет, т. е. ординаты обеих
линий влияния Мь и Qb от точки А до точки D равны нулю.
31
При движении груза по балке ££, дополнительной по отно-
шению к балке DE, последняя работает, что и отмечено частью
линии влияния на участке EF.
При движении груза по балке-консоли FG балка DE не ра-
ботает, ординаты обеих линий влияния Мь и Qb на этом участке
равны нулю.
Линии влияния Мь и Qfj показаны соответственно на
рис. 3.1, б, е.
Разобрать более подробно построение этих линий влияния
рекомендуется самому читателю.
Построение линий влияния Мс и Qc. Для построения линий
влияния в консольном сечении участка FG выделим участок-кон-
соль FG (рис. 3.1, а, б).
Если груз расположен правее сечения с, т. е. на участке cG,
то ЛД = 0 и Qc = 0. Если груз расположен левее сечения с, т. е.
на участке Fc, то
и Qc = — 1,	(3.4)
где — координата точки приложения силы Р=1, отсчитывае-
мая от сечения с влево.
Используя формулы (3.4) и учитывая, что при движении си-
лы Р=1 от точки Е влево дополнительная балка EF не работа-
ет, а значит не работает консоль FG, заключаем, что ординаты
линий влияния Мс и Qc на участке балки АЕ равны нулю.
Линии влияния Md и Qd рекомендуется читателю построить
самостоятельно.
Линии влияния Л4С, Qc, Md и Qd показаны на рис. 3.1, ж—к.
Кинематический метод построения линий влияния момента
в сечении а и поперечной силы в сечении b
Для построения линии влияния Ма кинематическим методом
в заданном сечении а (рис. 3.2, а) устраняем моментную связь,
для чего в этом сечении вводим шарнир, показанный пунктиром.
Теперь заданная система (балка) стала системой изменяемой.
По кинематическому методу форма линии влияния усилия в
некоторой связи определяется эпюрой возможных вертикальных
перемещений системы дисков, по которым движется сила Р=\,
полученной после устранения этой связи.
Чтобы ординаты эпюры возможных перемещений численно
равнялись ординатам линии влияния, следует величину переме-
щения по направлению устраненной связи принять равной еди-
нице.
Знаки линии влияния определяются следующим правилом:
если перемещения двух дисков, образовавшихся из одного после
устранения связи, происходят против направления усилия, при-
ложенного по направлению устраненной связи, то ординаты ли-
нии влияния, расположенные ниже оси, положительны, а распо-
32
ложенные выше оси — отрицательны, если сила Р=1 направле-
на вниз.
После устранения связи (в данном случае введения шарнира
а) проанализируем возможные перемещения отдельных дисков
(см. рис. 3.2, а).
Диск АВ жестко связан с землей в точке Л, следовательно,
относительно земли никаких перемещений он иметь не может.
Диск Са прикреплен к земле двумя стержневыми связями
ВС и LL', центром вращения его относительно земли является
Рис. 3.2
точка пересечения этих связей, т. е. точка L, вокруг которой этот
диск может поворачиваться в любую сторону. После поворота,
в данном случае по часовой стрелке, точки С и а займут соот-
ветственно положения Ci и а\.
Для диска aD нулевой точкой, не имеющей вертикальных пе-
ремещений, служит точка Л, поэтому диск aD после поворота
диска Са займет положение a\Dx\ диск DE займет положение
D{E{\ диск EF — положение E}F, так как диск FG поворачивать-
ся не может, а значит точка F сохранит свое первоначальное по-
ложение.
Ординаты полученной ломаной линии BC{axD{ExF, отсчиты-
ваемые по вертикали от начального положения оси балки, яв-
ляются ординатами линии влияния изгибающего момента в се-
чении а.
Масштаб следует принять таким, чтобы смещение разделен-
ных введенным шарниром дисков относительно друг друга рав-
нялось единице. В данном случае это угол а, величина которого
условно принимается равной единице. Поскольку в кинематиче-
ском методе перемещения подразумеваются бесконечно малыми,
то LL\ рассматривается как дуга при бесконечно малом угле по-
ворота а.
Так как угол принимается условно равным единице, то ор-
дината должна быть равна радиусу поворота или длине перпен-
дикуляра, опущенного из точки ах на вертикаль, проведенную
через точку L, т. е. 4 м.
При построении линии влияния поперечной силы в сечении
b кинематическим методом нужно устранить связь по нормаль-
3—1284
33
ному к оси балки (здесь вертикальному) направлению, сохранив
связь вдоль оси балки и моментную. Эти сохраненные связи по-
казаны на рис. 3.2,6. По направлению устраненной связи к каж-
дому из вновь полученных дисков Db и ЬЕ приложено по попе-
речной силе. Из рисунка видно, что часть балки на участке AD
неподвижна относительно земли.
Нулевой точкой диска ЬЕ является точка Я, в которой этот
диск не может иметь вертикального перемещения. Пусть после
перемещения диск займет новое положение тогда диск
Db, соединенный с диском ЬЕ двумя параллельными связями,
может перемещаться относительно земли, сохраняя параллель-
ность диску ЬЕ и имея нулевой точкой точку D, как принадле-
жащую неподвижному диску CD. Новое положение диска Db
будет Dbi, причем
Диск FG, как и в предыдущем случае, поворачиваться не мо-
жет, поэтому точка F сохранит первоначальное положение, а
диск EF займет положение E\F. Масштабом будет расстояние
по вертикали между новыми положениями дисков Db{ и Ь2ЕХ,
равное единице.
Ординаты ломаной линии Db\b2E\F, отсчитываемые по вер-
тикали от начального положения оси балки, образуют линию
влияния Qb.
Проверить кинематическим методом построенные ранее ста-
тическим методом линии влияния Qa, Mb, Мс, Qc, Md и Qd реко-
мендуется читателю самостоятельно.
Пример 3.2. Построить линии влияния М, Q и N в заданных
сечениях т и К ломаного бруса (рис. 3.3, а).
Решение
Статический метод
Сначала построим линии влияния опорных реакций, для чего
используем уравнения равновесия:
2У-0; — 1 + С = 0; С-1.
Линия влияния реакции С показана рис. 3.3,6.
Для определения опорной реакции А составим уравнение мо-
ментов. За моментную точку следует взять точку О пересечения
направлений двух других опорных реакций В и С:
£мо = О; — 1-г + Л-3 = 0; А = -г-.
Линия влияния реакции А показана на рис. 3.3, в.
Строим линию влияния реакции В.
2Х-0; — Л + В-0; Л-В.
34
Рис. 3.3
3*
35
Следовательно, линия влияния реакции В одинакова с ли-
нией влияния реакции А.
Перейдем к построению линий влияния внутренних сил в за-
данных сечениях.
Строим линию влияния изгибающего момента М в сече-
нии т. Если груз Р=1 движется по системе справа от сечения т
(см. рис. 3.3, а), то
Мт = А-1,5 = — 1,5 = 0,5z;
3
z = 0 (груз стоит над опорой С); Мт = 0;
г =10 м (груз в сечении т)\ Мт = Ь.
Если груз движется слева от сечения т, то момент в сечении
Жт = Л-1,5 — 1 (г — 10) = — 1,5—1 (г—10) = — 0,5г + 10;
3
при z = 10 м Мт = 5;
при z = 12 м Мт = 4.
Линия влияния Мт показана на рис. 3.3, г.
Линия влияния изгибающего момента М в сечении К показа-
на на рис. 3.3, д. Ее построение статическим методом предла-
гается разобрать читателю самостоятельно.
Построение линии влияния поперечной силы Q в сечении т:
груз справа от сечения
Qrn = A sin а = — 0,6 = 0,2г;
3
z — 0; Qm = 0; z = 10 м; Qm =
груз слева от сечения
Qm = A sin а — 1 cos а =	0,6 — 1 • 0,8 = 0,2г — 0,8;
z = 10 м\ Qm= 1,2; z = 12 л:; Qm = 1,6.
Линия влияния Qm показана на рис. 3.3, в.
Построение линии влияния продольной силы N в сечении т
(будем считать продольную силу положительной, если рассмат-
риваемый участок растянут):
груз справа от сечения
Nm = A cos a =	0,8=-^-z;
О	10
о
z = 0; Nm = 0; г = 10 м-, Nm= —;
О
36
груз слева от сечения
Nm — A cos а + 1 sin а = — 0,8 + 1 • 0,6 = —— z + 0,6;
т	3	15
z = 10 м; —; z = 12 л<;	- 3,8.
15
Эта линия влияния показана на рис. 3.3, з.
Линии влияния поперечной и продольной сил в сечении К по-
казаны на рис. 3.3, э/с, и. Построение их статическим методом
следует проделать самостоятельно.
Кинематический метод
Для построения линии влияния изгибающего момента в се-
чении К введем в этом сечении шарнир (рис. 3.4, а). Система
стала изменяемой. Нас интересуют только вертикальные со-
ставляющие возможных перемещений, поэтому спроектируем
диски системы на горизонталь. После введения шарнира систе-
ма состоит из двух дисков: АВК (диск /) и КС (диск 2). Спро-
ектированные на горизонталь эти диски показаны на рис. 3.4,6.
Диск /, как прикрепленный к земле двумя параллельными не-
вертикальными связями, может иметь только поступательное
перемещение, перпендикулярное направлению этих связей, в
данном случае — вертикальное. Положение спроектированного
на горизонталь диска / после возможного перемещения опреде-
ляется линией А2К2. Диск КС в точке С не может иметь верти-
кального перемещения. Точка К — общая для дисков 1 и 2. Зна-
чит единственно возможное положение диска 2 после перемеще-
ния диска 1—это положение К%С\ (рис. 3.4,6). Эпюра
вертикальных возможных перемещений точек заданной системы
определяется ломаной линией Л2Л2С1. После выбора масштаба и
знаков согласно правилу, изложенному в примере 3.1, эта эпюра
становится линией влияния изгибающего момента в сечении /(.
Для построения линии влияния продольной силы N в сече-
нии т устраняем связь по направлению оси стержня, после чего
система будет состоять из двух дисков: Ат (или диск 7х) и тС
(или диск 2х) (рис. 3.4, в). Эти диски Г и 2х могут смещаться
относительно друг друга только поступательно по направлению
N. Как и в предыдущем случае, проектируем их на горизонталь
(рис. 3.4, е).
Для отыскания мгновенных центров вращения применим
теорему о трех мгновенных центрах, по которой в изменяемой
системе из трех связанных дисков мгновенные центры всех ди-
сков должны лежать на одной прямой.
Рассмотрим три диска: /х, 2х и О (земля).
У диска 2х мгновенный центр вращения относительно земли
расположен в точке (2х, О) пересечения направлений линейных
37
связей его с землей. Мгновенный центр вращения диска Г отно-
сительно диска 2' удаляется в бесконечность по направлении/
4-оо, — оо. Мгновенный центр вращения диска Г относи-
тельно земли должен лежать на направлении линейной связи
диска Г с землей, поэтому из точки (2Z, О) проводим прямую
параллельную направлению 4- оо, — оо. Точка пересечение
этой прямой с направлением связи А даст мгновенный цент[
диска /' (Г, О). Теперь все три мгновенных центра (/', О)
(2Z, О) и (Г, 2') лежат на одной прямой.
После перемещения диск 2Z займет положение т’2Сь а дис
оставаясь параллельным диску 2Z, пройдет через свой мгне
38
венный центр (/', О) и займет положение А2т2 (см. рис. 3.4,г).
Если перемещение одного диска относительно другого по на-
правлению N есть ДЛ=1, то проекция величины этого взаимного
перемещения на вертикаль равна sin а. Эта величина представ-
Рис. 3.5
Н-Ю
Зт 7т Зт 7т 35т 35 т Зт 7т Зт 7т Зт 7т
Рис. 3.6
ляет собой масштаб линии влияния Nm, что показано на
рис. 3,4, г.
Аналогично выполнено построение мгновенных центров, эпю-
ры вертикальных перемещений и линии влияния поперечной силы
в сечении т (рис. 3.4, д и е).
Пример 3.3. Вычислить в заданном сечении k балки АВ с
надстройкой А'В' (рис. 3.5, а) наибольший возможный положи-
тельный и наибольший отрицательный изгибающие моменты, а
также наибольшие положительную и отрицательную поперечные
силы при движении по балке колонны автомобилей по типу на-
грузки Н-10 (рис. 3.6).
39
Решение
На рис. 3.5,6 показана сплошной линией abcdef линия вли-
яния изгибающего момента Л1 в сечении k без учета влияния
верхней надстройки, по которой движется груз. На рис. 3.5,6
также сплошной линией показана линия влияния Q в том же
сечении без учета влияния надстройки.
Заштрихованным полем показаны исправленные с учетом уз-
ловой передачи нагрузки надстройкой линии влияния Л1 и Q.
Разобраться в построении этих линий.влияния предлагается чи-
тателю самостоятельно.
Как видно из рис. 3,5, б, мы имеем два отрицательных участ-
ка линии влияния М и один положительный.
По требованию СНиП (Строительные нормы и правила) од-
новременно на сооружении может находиться только один утя-
желенный автомобиль. Для того чтобы искомая величина имела
максимальное значение, один из грузов обязательно должен сто-
ять над одной из выпуклых вершин линии влияния. В большин-
стве случаев для этого наибольший груз следует поставить над
наибольшей ординатой линии влияния, а остальные грузы зай-
мут положение соответственно расстояниям между колесами.
Расстановка грузов на положительной части линии влияния
М показана на рис. 3.5, а. Чтобы проверить, соответствует ли
данное положение грузов расчетному, т. е. будет ли в этом слу-
чае момент наибольшим, используем следующую зависимость:
где ДМ—приращение момента при движении груза влево или
вправо;
Да—приращение пути, причем Лг>0, если грузы подви-
нулись вправо, и Дг<0, если грузы подвинулись
влево;
Ri—равнодействующая грузов, расположенных на од-
ном отрезке прямой;
tgaz—тангенс угла наклона каждого отрезка прямой.
В нашем случае при движении груза вправо (Дг>0) имеем:
а	3,2 Л о .	4 — 3,2 Л Асг
tgai = —— = 0,8; tga2 = —— = 0,05;
4	16
,	0,8 — 4	ПО4-	,8	nil
tga3=------— =—0,2; tga4 =------——= — 0,11;
Я1 = 0; /?2 = 3 + 7+ 3,5= 13,5 т- /?3 = 9,5 + 3 + 7 = 19,5 г;
/?4 = 3 + 7= 10 г;
Stf.fga,. = 13,5-0,05 — 19,5-0,2 — 10-0,11 <0.
40
Так как Дг>0, то AM<0, значит при движении грузов вправо
момент в сечении k уменьшается.
Подвинем грузы влево:
= 3 г; /?а - 7 + 3,5 + 9,5 = 20 г;
/?з = 3 + 7 + 3=13 Г; = 7 Т\
2 tg а, = 3 - 0,8 + 20 - 0,05 — 13 • 0,2 — 7 • 0,11 > 0.
Так как Дг<0, то ДЛ4<0.
Следовательно, как при движении грузов вправо от показан-
ного положения, так и при движении влево момент в сечении
k уменьшается, т. е. данное положение грузов соответствует
наибольшему численному значению положительного момента.
Вычислим его величину по формуле
M = ^PtyCi	(3.6)
Mt = 3-3,2 4- 7-3,4 + 3,5-3,8 + 9,5-4,0 + 3-3,2 +
+ 7-2,4 + 3 • 0,8 + 7 • 0,35 = 116 т • м.
При вычислении наибольшего по абсолютной величине отри-
цательного момента тяжелый автомобиль может находиться
только на одной части линии влияния, в данном случае на ле-
вой, где наибольшие ординаты (рис. 3.5,в). В том, что данное
положение грузов опасное, пусть читатель убедится сам, исполь-
зуя формулу (3.5).
Наибольшая возможная величина отрицательного момента в,
сечении вычислена по формуле (3.6):
Л4Г = 3-2,4 + 7-6,08 + 3-6,24 + 9,5-6,4 + 3,5-3,2 +
+ 7-1,0+ 3-0,75+ 7-0,25 = 152 т-м.
Следовательно, при нагрузке типа Н-10 изгибающий момент
в сечении k будет меняться от 4-116 до —152 т-м.
Легко убедиться, рассмотрев схемы загружения на рис.
3.5, е, ж, что численные значения поперечной силы колеблются
при тех же обстоятельствах от —2,85 до +13,19 т.
Глава 4
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОЧНЫХ
ШАРНИРНЫХ ФЕРМ
За расчетную схему фермы принимаем систему прямых
стержней с идеальными шарнирами в узлах. Нагрузка прикла-
дывается только в узлах в виде сосредоточенных сил. В случае
4—1284
41
распределенной или подвижной нагрузки предполагаем наличие
на ферме дополнительных элементов в виде балок, опирающих-
ся на узлы фермы и распределяющих нагрузку в узлы по зако-
ну рычага.
Пример 4.1. Дана схема фермы и нагрузки (рис. 4.1). Тре-
буется определить усилия в стержнях левой половины фермы ме-
тодом вырезания узлов.
Решение
Определяем опорные реакции обычным способом, беря сум-
мы моментов всех сил, приложенных к ферме, включая реакции,
сначала относительно узла В, затем относительно узла А. В ре-
зультате получим: /?а = 9,46 г, Rb = 9,46 т.
Начинаем вычисление усилий с узла, содержащего не более
двух неизвестных. Вырезаем узел 1 (рис. 4.2, а). Неизвестные
силы направляем от узла. Берем сумму проекций сил на ось
перпендикулярную направлению силы N12 ?
SUj = 0; —Рх cos а — N^a sin 45° = 0;
—3,46 — NhA 0,707 - 0.
Получаем N^A ——q’7q7 —— 4,90 т.
Знак минус указывает на то, что стержень 1-А сжат. Аналогич-
но по Su2 = 0 (рис. 4.2, а) найдем усилие Nt_2 =1,46 т.
Стержень 2-А— примыкающий, так как два других стержня
узла 2 расположены на одной прямой и нагрузки в узле нет.
Усилие в стержне 2-А равно нулю (рис. 4.2,6):
Su. =0; N2A =0; Su2-0f N2 3 = Nf2 - 1,46 т.
42
Дальше рассматриваем узел А (рис. 4.2, в). Неизвестные си-
лы N А_3 и NA.J0 направляем от узла, а известные — по истин-
ному направлению их действия, т. е. сжимающие к узлу, а рас-
тягивающие от узла. Рассматриваем сумму проекций всех сил
на ось uj, перпендикулярную стержню Л-З, и на ось и2, перпен-
дикулярную стержню А-10. В этом случае каждое уравнение по-
лучается с одним неизвестным:
9,46cos45° — 4,90— NA_10 sin 26е 35х - 0;
9,46 cos 18° 25х — 4,90 cos 26°[35х + NA.3 sin 26г 35х = 0.
В результате получаем
NA.I0 =4,10 т; Na.3 = — 10,3 т.
Дальше нужно последовательно вырезать узлы 3, 4 и 10. Вы-
числения предоставляется сделать читателю.
Основные недостатки метода вырезания узлов — зависимость
последующих вычислений от предыдущих и постепенная потеря
точности при достаточно большой цепи вычислений.
Окончательные результаты вычисления усилий в стержнях
фермы даны на рис. 4.1 в скобках у соответствующих стержней.
Плюс означает растяжение, минус — сжатие.
Пример 4.2. Определить усилия в элементах //-В и 5-11
фермы (рис. 4.1) методом простых сечений.
Решение
Этот метод — основной для простых ферм. Его преимущест-
во в том, что усилие в любом стержне определяется независимо
от усилий в других.
4*	43
Вычисляем Nii-в. Проводим сечение /—/ через три стерж-
ня, не пересекающихся
в одной точке. Рассматриваем равнове-
сие правой части (рис. 4.3). Момент-
ную точку выбираем на пересечении
двух других стержней (точка 7). Вы-
числение плеч, входящих в выражения
моментов, представляет собой чисто
геометрическую задачу и здесь не при-
водится.
Находим:
2М7 - 0; ht - 2,53 м; h2 - 6,93 м;
Р4 • 6,93 — RB • 4 + NJhB • 2,53 - 0;
=4,01 т.
По симметрии Nц.в — Na-io-
Для вычисления N5_n проводим сечение II—II (рис. 4.1) и
рассматриваем равновесие правой части. Вследствие параллель-
ности стержней 5-6 и 10-11 для получения одного уравнения с
одним неизвестным берем сумму проекций всех сил, приложен-
ных к правой части, на вертикальную ось. В итоге получается
^5-И =0-
Пример 4.3. Для фермы с нагрузками по рис. 4.4 требуется
построить диаграмму Максвелла — Кремоны.
Решение
Построение диаграммы в принципе совпадает с методом вы-
резания узлов, но в отличие от этого метода вместо двух урав-
нений статики для каждого узла строится силовой многоуголь-
ник, и все эти многоугольники совмещаются на одной диаграм-
ме. Опорные реакции вычисляем аналитически.
Обозначим на рис. 4.4 буквами a, b, с, d, е, f внешние и бук-
вами g, h, i, k, I, m, n, o, p, q, г внутренние поля. Каждую внеш-
нюю или внутреннюю силу на диаграмме обозначим двумя бук-
вами тех полей фермы, между которыми она расположена. На-
чало силы обозначим буквой того поля, из которого уходим, а ко-
нец— буквой того поля, куда приходим при обходе точки
приложения силы по часовой стрелке.
Начинаем с обхода внешних полей фермы. Из поля а пере-г
ходим в 6, затем в с, d, е, f и обратно в а (см. рис. 4.4). На
диаграмме рис. 4.5 получаем силовой многоугольник abcdefaj
Теперь вырезаем узел 1 и обходим его по часовой стрелке. Из Л
переходим в с, из с в g и из g в Ь. На рис. 4.5 это силовой тре|
угольник beg. Точку g находим на пересечении линий, парал!
лельных стержням между полями с и g, g и b. Когда при обход]
узла 1 по часовой стрелке из поля с переходим в g, то на диа
44
грамме это будет отрезок eg, где точка с определяет начало си-
лы, а точка g ее конец. Сила eg направлена вправо, т. е. дейст-
вует от узла /, а сила, направленная от узла, — растягивающая.
Далее в нашем примере обходим узлы 2, А, 3, 4, 10, 5, 6, /Л
7, 8, 9, В (рис. 4.4). Нужно выбирать последовательность узлов
так, чтобы в каждом следую-
щем узле было не более двух
неизвестных сил. Так как на-
правления их известны, то на
пересечении находим недоста-
ющую точку силового много-
угольника для данного узла.
Правильно построенная диаг-
рамма должна замкнуться
(рис. 4.5). На рис. 4.4 даны ре-
зультаты определения усилий
Знак плюс означает растяже-
ние. Диаграмму желательно
вычерчивать в крупном мас-
штабе и до конца, даже если
нужно определить усилия не
во всех стержнях, чтобы по за-
мыканию диаграммы Судить о
ее правильности.
Задача 4.4. Для фермы и
Рйс. 4.S
нагрузки, изображенной на рис. 4.6, а, требуется определить уси-
лия во всех стержнях по методу замены связей.
Указание. Можно устранить опорные связи в узлах 2 и
6 и ввести заменяющие стержневые связи между узлами 1 и 3,
а также 5 и 7.
Ответ дан на рис. 4.6,
45
46
Задача 4.5. Дана схема фермы и нагрузки (рис. 4.7). Тре-
буется определить усилия во всех стержнях фермы по методу
замены связей.
Указание. Для решения задачи достаточно одной заме-
ны связи. Можно, например, устранить связь 12-13 и ввести за-
меняющую связь 3-4.
Ответ дан на рис. 4.7. В скобках против каждого стержня
указано усилие в нем.
Пример 4.6. Для фермы с нагрузкой (рис. 4.8) требуется
определить усилия во всех стержнях фермы кинематическим ме-
тодом, применив способ мгновенных центров и способ изобра-
жающих точек.
Решение
Устраняем связь, присоединяющую узел 4 к земле (рис. 4.9).
Исследуемая система теперь состоит из шести дисков (включая
землю). Диски обозначены на рис. 4.9 римскими цифрами. На-
ходим мгновенные центры всех дисков относительно диска, при-
нятого за неподвижный (в данном случае земли). Применяем
три способа, которые в большинстве случаев решают задачу.
1.	В случае если два диска соединены шарниром, то он и яв-
ляется взаимным мгновенным центром этих дисков.
2.	Если два диска соединены двумя стержневыми связями
или двумя дисками любой формы с шарнирами в местах соеди-
нений, то мгновенный центр лежит на пересечении продолжений
стержневых связей или на пересечении прямых, проходящих че-
рез шарниры.
3.	Мгновенные центры взаимного вращения трех произволь-
ных дисков лежат на одной прямой.
По второму способу находим мгновенные центры (2, /) и
(4, 3) диска II относительно земли (диск /) и диска IV относи-
тельно диска III. Мгновенный центр (<?, 1) находится в точке О
(первый способ). Так же находим (6, /).
Для нахождения мгновенного центра (4, /) рассматриваем
диски IV, I, II и IV, I, III. По первым трем дискам находим пря-
мую (2, 1) — (4,2), на которой согласно третьему способу должен
находиться мгновенный центр (4, 1). По следующим трем дис-
кам находим прямую (3, 1) — (4, 3). На пересечении этих двух
прямых (они обозначены символами 4, 1 в кружках) находится
мгновенный центр (4, 1). Мгновенный центр (5, 1) находим ана-
логично через диски V, I, III и V, I, IV.
Найдем R по способу мгновенных центров.
Имеем уравнение
2MOAd<pA = 0.	(4.1)
Здесь MOk — момент внешних сил, приложенных к диску k от-
носительно мгновенного центра этого диска;
d<pk—бесконечно малый угол поворота диска.
47
16 м
48
Из геометрических соображений находим (рис. 4.9)
= 4,472 м\ /2 = 2,684 м\ l\d^ = l2d(p5, откуда
dq>5= —- d<p3=	d(p3—	.
Y /2 Y 2,684 т 0,600
По (4.1) имеем
(Pi ftj + Р2 h2) dq3 — (Rh^ — Р3Л3) dcp5 = 0.	(4.2)
Здесь силу Р2 полагаем приложенной к диску ///, а при умно-
жении на dq5 ставим знак минус, так как вращение идет против
часовой стрелки. Подставив в (4.2) числовые значения, получим
(2-2 +4-4)d<ps —(/М.6 —20,4)^- = 0,
0,6
откуда Р = 8 т.
Теперь найдем R по способу изображающих точек. Строим
диаграмму изображающих точек. Ищем изображающую точку
5'. Она должна находиться на радиусе, идущем из мгновенного
центра (3.1) в точку 5. Положение ее выбираем произвольно,
например, как на рис. 4.9, приняв длину отрезка 5-5' за 7з дли-
ны отрезка 0-5. Точка 1 принадлежит, как и точка 5, диску III,
поэтому изображающую точку Г находим на пересечении линий
0-1 и 5'-1', причем последняя линия параллельна линии 5-1.
Изображающая точка 2' принадлежит дискам II и VI, поэтому
находим ее на пересечении прямой 1'-2', параллельной 1-2, и
прямой, идущей из мгновенного центра (6, 1) в точку 2.
Ищем изображающую точку 3'. Проводим из точки 2' пря-
мую 2'-3', параллельную 2-3, а из точки 5' прямую 5'-3', парал-
лельную 5-3. На пересечении этих прямых находим 3'. Дальше
проводим прямую 3'-4' параллельно 3-4 и прямую 5'-4' парал-
лельно 5-4. На их пересечении находим 4'. Таким образом,
для построения диаграммы изображающих точек в данном слу-
чае достаточно знать только мгновенные центры (3, 1) и (6, /)
Для системы точек 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 мы получили диаграмму
изображающих точек 0, Г, 2', 3', 4', 5', 6. Изображения точек
0 и 6 совпадают с самими точками. Применяя методы элемен-
тарной геометрии, находим плечи моментов всех сил относи-
тельно изображающих точек:
= 0,667 м; = 1,33 м; Х3 = 0,222 м; Х4 = 0,889 м.
Теперь составляем уравнение
= 0,	(4.3)
которое для данного примера имеет вид:
М + Р2^2	Рз^з 	— 0,
или 2-0,6674-4- 1,334-2 • 0,222— /?• 0,889 = 0,
откуда R = 8 т.
Рис. 4.10, а—з
50
Остальные реакции определяются по уравнениям статики, а
усилия в стержнях — вырезанием узлов или методом сечений.
Результаты даны на рис. 4.8.
Пример4:7. Дана схема фермы с ездой понизу (рис.4.10,а).
Требуется построить линии влияния для отмеченных элементов.
Решение
Прежде всего строим линии влияния опорных реакций А и В.
: Эти линии влияния строятся так же, как и для многоопорной
балки (рис. 4.10,6).
Затем строим линию влияния реакции С. Реакция, прило-
; женная к ферме в узле 5, направлена вниз, а приложенная к
. дополнительной балке 5-6 направлена вверх.
Строим линию влияния N2,.3, . Проводим сечение I—I
|/(рис. 4.10,а). Подагаем груз Р=1 правее узла 3. Рассматрива-
54
ем левый диск (рис. 4.11,а). Условие равновесия левого диска:
2М> = 0, N2,^, Лх +4^ = 0,
откуда
N,.	—А =-------— А = - 2.22Л.	(4.4)
2 -3 й,	21,6
По уравнению (4.4) строим правую часть линии влияния Л'2,.г .
Согласно (4.4) множим все ординаты линии влияния А на
—2,22. Линия О'-5' на рис. 4.10, е есть правая прямая иско-
Рис. 4.11
мой линии влияния. Так как (4.4) справедливо, пока груз рас-
положен правее узла 5, то использовать правую прямую можно
только правее узла 3. Кроме участка 3'-5' правой прямой при
грузе правее узла 3, справедлив и участок 5'-6\ который строит-
ся по уравнению (4.4) и участку 5-6 линии влияния А.
Пусть груз левее узла 2. Рассматриваем правый диск
(рис. 4.11, б):
= 0;	—N2,^, hl — Ва2 = 0;
N	в ------— В= — 2,22В.	(4.5)
2-3 й,	21,6
52
Умножая все ординаты линии влияния В, расположенные меж-
ду узлами 0 и 5, на —2,22, получаем левую прямую 0-4', которая
справедлива левее узла 2. Между узлами 2 и 3 происходит уз-
fl)
Рис. 4.12
Рис. 4.13
ловая передача нагрузки. Линия узловой
передачи нагрузки показана на рис.
4.10, е отрезком 2/-3/.
Проверкой правильности построения
линии влияния может служить тот факт,
что точка пересечения левой и правой
прямых лежит на вертикали, проходящей
через моментную точку 2.
Линия влияния N2_3 строится аналогично с помощью сече-
ния /—/ по моментной точке 3' (рис. 4.10, ж).
Линия влияния N 2_3, строится также с помощью сечения
/—/ по моментной точке 7 (рис. 4.10, з). Ее левая прямая 0-7'
и правая 0'-7' пересекаются на вертикали моментной точки 7.
Левая прямая справедлива на участке 0-2', а правая — на уча-
стке 3'-5'. Отрезок 2'-3'— это линия узловой передачи нагрузки.
Строим линию влияния N2-2'. Вырезаем узел 2' (рис. 4.12,а).
2 и = 0; N2.,3. sin 2а + N2_2. • cos а = 0;
N22, = — S-^N9, ... =—2sinayv„, ... = —2 • 0,180#	;
22	cosa 2 ‘J	2г'-д-’
N2,2. = - 0,360#2,.г.	(4.6)
Линию влияния Nz-2' строим через линию влияния N2'-3’ по
формуле (4.6), изменяя все ординаты последней умножением на
—0,360 (рис. 4.10, и).
Строим линию влияния No-О'- Пусть груз Р=1 находится
в узле 1 или правее узла 1. Вырезаем узел О (рис. 4.12,6)
53
2У = 0, Noo. +Л = 0, No.o. = —Л.
Получаем правую прямую Г-5' (рис. 4.10,к). Теперь пусть груз
находится в узле О (рис. 4.12, я)
2У = 0, Noo,+A-\=0.
Из линии влияния А видим, что в этот момент реакция А = 1.
Следовательно, No-o’ =0. Получаем точку О (рис. 4.10,к). Пе-
реходная прямая 0-1' соответствует узловой передаче нагрузки.
Построим линию влияния N4,_5, . Проводим сечение II—II
(рис. 4.10,а). Пусть груз расположен в узле 4 или левее узла 4.
В этом случае давление С на узел 5 равно нулю. Рассматрива-
ем часть фермы правее сечения //—// (рис. 4.13). Правый диск
теперь состоит из одного стержня 5-5'. Стержни 4'-5\ 4-5' и 4-5—
это связи между левым и правым дисками, которые разрезаны
сечением //—//:
2М4 = 0; — N4,^	= 0; Л4^0;	- 0.
Итак, получена левая прямая 0-4 (рис. 4.10,л).
Далее полагаем, что груз находится в узле 5 или правее уз-
ла 5. Рассматриваем опять правый диск:
2Л44-0; -N4..5,hA + Cd==Q-
N = Ас = -?1-С= 1,85С.	(4.7)
4 -° ht 13	’	v
С помощью формулы (4.7) и линии влияния С строим пра-
вую часть линии влияния N4,_5, (отрезок 5'-6). Соединяем точ-
ки 4 и 5' линией узловой передачи нагрузки.
Пример 4.8. На рис. 4.14, а дана схема шпренгельной фер-
мы. Требуется построить линии влияния для отмеченных эле-
ментов.
Решение
Прежде всего необходимо рассмотреть основную ферму, по-
лученную из заданной путем устранения шпренгелей (рис. 4.15).
Схема основной фермы совпадает со схемой фермы, рассмот-
ренной в примере 4.7. Поэтому линии влияния усилий в элемен-
тах основной фермы в настоящем примере можно полагать уже
построенными (см. пример 4.7).
Линии влияния усилий в стержнях фермы можно строить
отдельно для основной фермы и для шпренгелей, а затем скла-
дывать, однако в данном случае целесообразнее исключать не-
работающие при некотором положении груза Р=1 шпренгели
и затем, рассекая оставшуюся систему по трем стержням, рас-
сматривать левый и правый диски, образующиеся по обе сто-
роны сечения.
54
Рис. 4.14
55
Строим линию влияния N6._9, (рис. 4.14, б).
Для стержня рассматриваемого как элемент основной
•фермы, линия влияния усилия изображается фигурой 0-6'-7'-9'-
12-15'-16 (см. линию влияния N2,_3, на рис. 4.10, е).
Теперь рассмотрим положения груза в пределах большой
панели 6-9. Пусть груз в узле 7 (рис. 4.16,а). Так как в узле 8
в этот момент груза нет, то из вырезания узла 8 следует, что
N88, -0.
0-0
Вырезая узел S', легко доказываем,
верхний шпренгель 6'-9'-8'-8 не работает
что N6>.s, =0. Поэтому
и его можно исключить
на время из схемы фер-
мы. Проводим сечение
через панель 6-7. Тогда
узел 7 и груз Р=1 при-
надлежат правому ди-
ску (рис. 4.16,6) и,
рассматривая равнове-
сие левого диска (0-0'-
6'-6 на рис. 4,14, а), на-
ходим, что точка 7' ле-
жит на правой прямой
(точка 7' на рис.
4,14,6).
Рассматриваем груз
в узле 8. В узле 7 гру-
за нет, поэтому нижний
шпренгель 6-Т-9-7 не
работает. Проводим
сечение через искомый
стержень 6'-9' и через
панель 8-9 (рис. 4.16,в).
Груз принадлежит ле-
вому диску. Поэтому
сносим узел 8 на ле-
вую прямую (точка 8'
на рис. 4.14,6).
Когда груз находится в панелях 6-7, 7-8 и 8-9, то происходит
узловая передача нагрузки, поэтому на рис. 4.14,6 соединяем
точки 6', 7', 8' и 9' отрезками прямых.
Строим линию влияния N6_7 .
Из вырезания узлов 7 и 8 следует, что jVd_7 = N7~8 = N8_9 .
Линия влияния усилия для элемента 6-9 как элемента ос-
новной фермы изображается фигурой 0-6'-8'-9'-12-15'-16 на
рис. 4.14,в (см. также рис. 4.10,ж).
Рассматриваем груз в узле 7. Верхний шпренгель 6'-9'-8'-8
не работает. Проводим сечение через панель 6-7. Груз принад-
56
лежит правому диску (рис. 4.16, б). Сносим узел 7 на правую,
прямую О'-15'. Получаем точку 7' (рис. 4.14, в).
Пусть груз в узле 8. В этом случае нижний шпренгель не ра-
ботает (рис. 4.16,в). Груз принадлежит левому диску. Сносим
узел 8 на левую прямую 0-12' (рис. 4.14,в) и получаем точку
Рис. 4.17
8'. Полученные точки соединяем отрезками по правилу узловой
передачи нагрузки.
Рассмотрим построение линии влияния N7,_8, .
Поскольку элемент 7'-8' входит только в основную ферму и
его линии влияния для основной фермы при езде понизу и по-
верху одинаковы, то линия влияния Nr.s> совпадает с линией
57
влияния усилия в элементе 6-9' основной фермы (рис. 4.15).
Линия влияния для элемента 6-9' основной фермы изображает-
ся фигурой 0-6'-9'-12-15'-16 на рис. 4.14, а. Таким образом, ли-
ния влияния N7,_8, имеет вид, показанный на рис. 4.14, г.
Строим линию влияния N 6_7,.
Линия влияния в основной ферме та же, что и в предыду-
щем случае. Пусть груз находится в узле 7. Верхний шпренгель
находим:
узел 8 на линию узловой передачи основной
не работает (рис. 4.16, б). Рас-
секаем стержень 6-7' и два дру-
гих стержня. Узел 7, а следова-
тельно, и груз Р=1 принадле-
жат правому диску. Точка 7 про-
ектируется на правую прямую.
Рассматриваем груз в узле 8.
Нижний шпренгель не работает
(рис. 4.16, г). С верхнего шпреп-
геля узловая нагрузка передаст-
ся на узлы 6' и 9'. Проектируем
фермы. Соединяя
полученные точки отрезками прямых, строим линию влияния
N6_7, , (рис. 4.14, д).
Линия влияния N8,_9, строится аналогично (рис. 4.17,б).
Построим линию влияния N8_8, .
Рассматриваем груз в узле 8. Вырезая узел 8 (рис. 4.18,а),
N	= 1.
0-0
Теперь пусть груз находится в узле 7 или левее узла 7, в уз-
ле 9 или правее узла 9. В этом случае никакая часть груза в
узел 8 не передается. Из вырезания узла 8 находим:
о-о
Когда груз находится в панелях 7-8 и 8-9, то происходит уз-
ловая передача усилия. Поэтому проводим отрезки 7-8' и 8'-9
(рис. 4.17, в).
Линия влияния N6,_8, строится из вырезания узла 8'
(рис. 4.18, б) :
S и — 0; —АС, cos cl + No о, cos cu = 0;
N6. = ^^-Nss, = ^-Nss. =1,13У88,
6 -8 cos Ct! 8'8	0,716	8-s	8’8
Линия влияния N6,_8, получается из линии влияния N8_8,
путем умножения всех ее ординат на 1,13 (рис. 4.17,а).
Строим линию влияния N6_6, . Вырезаем узел 6' в основной
ферме (рис. 4.19,а):
58
2 и = 0; №,, sin 2а + № cos а — 0;
’ О -У	1 о-о	’
=~2Sin<<-9' =
- — 2-0,180Л^,_9, = — G^0№6,_9,.
С помощью линии влияния усилия Nq6,.9, в элементе 6'-9' ос-
новной фермы (рис. 4.14,6, линия 0-6'-7'-9'-12-15'-16) строим
линию влияния усилия в элементе 6-6' основной фермы (см.
рис. 4.15) согласно формуле
Щ.6. = —0,360Л^,9, .
Исследуем основную ферму, полагая в первом варианте дви-
жение груза понизу, а во втором — поверху, при узловой пере-
даче соответственно на узлы 3-6 и 6-9 или на узлы 3'-6' и 6'-9'.
Рис. 4.19
При езде понизу для основной фермы справедлива линия
0-3'-6'-9'-12-15'-16 (рис. 4.17, д).
Рассмотрим езду поверху. Пусть груз в узле 6' (рис. 4.19,6).
Получаем:
N° =— 0,360Ж 9. — 1,000.
о-о	’ о -9	’
Откладываем от точки 6' вверх отрезок, равный 1. Получаем
точку 6" (рис. 4.17, д). Когда груз в узле 3' или левее его, а так-
же в узле 9' или правее его, то узел 6' работает по схеме
рис. 4.19, а. Итак, линия влияния в стержне 6-6' основной фер-
мы при езде поверху и при узловой передаче нагрузки опреде-
ляется линией 0-3'-6"-9'-12-15'-16 (рис. 4.17, д).
Дальше рассматриваем положения груза в узлах панелей
3-6 и 6-9. Пусть груз в узле 4. Верхний шпренгель 3'-4'-6'-4 осу-
ществляет узловую передачу при езде поверху. Проектируем
узел 4 на линию узловой передачи при езде поверху (точка 4').
Рассмотрим груз в узле 5. Верхний шпренгель не работает.
59
Зато работает нижний шпренгель 3-5'-6-5. Узловая передача
осуществляется на нижние узлы 3 и 6. Проектируем узел 5 на
линию узловой передачи при езде понизу (точка 5')-
Пусть груз находится в узле 6. Езда — понизу. На линии
влияния этому соответствует точка 6'.
Для панели 6-9 рассуждения аналогичные. Окончательная
линия влияния N6.6> дана на рис. 4.17, д.
Линия влияния Ng.g, строится аналогично.
В основной ферме проводим сечение /—/ (рис. 4.15). Даль-
ше строим линии влияния Nlg_y, в основной ферме для езды по-
верху и понизу с помощью моментной точки, находящейся в
пересечении прямых, проходящих через стержни 9'-12' и 6-9.
На рис. 4.17, е линия влияния N^9, при езде понизу опреде-
ляется линией 0-6'-9'-12-15'-16, а при езде поверху — линией
0-6'-9"-12-15'-16.
Отрезок 9”-12 — это линия узло-
вой передачи при езде поверху, а
6'-9'— при езде понизу.
Теперь рассматриваем работу
шпренгелей. Пусть груз располо-
жен в узле 7. В панели 6-9 работает
только нижний шпренгель. Проис-
ходит узловая передача на узлы 6
и 9, т. е. при езде понизу (рис. 4.20).
Проектируем узел 7 на линию 6'-9' (точка 7' на рис. 4.17, е).
Теперь пусть груз в узле 8. В панели 6-9 работает только
верхний шпренгель, который распределяет силу Р=\ в узлы 6'
и 9', т. е. передает ее на левый диск. Поэтому проектируем узел
8 на левую прямую (точка 8').
Рассматриваем груз в узле 9. В этом случае груз принадле-
жит правому диску. Проектируем узел 9 на правую прямую
(точка 9').
Груз в узле 10. В этом случае работает только нижний
шпренгель панели 9-12. Груз принадлежит правому диску. Точ-
ка 10' лежит на правой прямой.
Груз в узле И. Работает только верхний шпренгель панели
9-12. Шпренгель распределяет груз на узлы 9' и 12', из которых
один принадлежит левому диску, а второй — правому. Происхо-
дит узловая передача при езде поверху. Проектируем узел It
на соответствующую линию узловой передачи (точка //').
Полученные точки соединяем отрезками прямых на основе
узловой передачи в пределах малых панелей.
Глава 5
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ
Задачи 5.1—5.5. Определить опорные реакции для трех-
шарнирных круговых арок графическим и аналитическим мето-
дами (рис. 5.1—5.5).
Решение задачи 5.1 (рис.5.1).
Для аналитического определения реакций разложим силу Р
и реакции опор на вертикальные и горизонтальные составляю-
щие и составим условия равновесия 2Л4л = 0 и 2Л4в = 0, откуда
и найдем вертикальные составляющие реакции Ул и VB:
ZMB = VAl + Pxyk~Py(l-x^-,
2 МА — Vв I Pxyk ру xk— 0.
Учитывая, что
Px = Psina; РУ = Р cos а,
yk = г cos а — cos a; xk = г (1 —sin а) = -у- (1 — sin а),
получим
VА — VB = — cos а = cos 45° = 3,54 т.
А в 2	2
Горизонтальные составляющие получим, приравняв алгебра-
ические суммы моментов левых и правых сил относительно шар-
нира С нулю:
ЕТ + "л f - р, (г - *.) “ р. (f - 9.) = °-
откуда
Н. == НR= — sin a = — sin 45° = 3,54 т.
A в 2	2
Полные реакции Ra и Rb получим как геометрическую сумму:
^л = Vv2a + H2a =	(-уСО5а)2 + (т5'ПаУ =T=5Z;
/?л = ^ = 57’-
Указание к задаче 5.2. Если внешний момент М
(рис. 5.2) считать приложенным правее шарнира С, то направ-
ление реакции RA проходит через шарнир С. Направление ре-
акции RB параллельно линии АС,
61
Если момент М приложен левее шарнира С, то напраг
реакций изменится, как указано на рис. 5.2 пунктиром.
Ответы на задачи 5.3—5.5 даны на рис. 5.3—5.5.
Рис. 5.1
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Рис. 5.4
Задача 5.6. Для арки с затяжкой (рис 5.6, а) аналитиче-
ским способом определить опорные реакции и усилие в затяжке.
Построить эпюры M,QhN.
Ответы даны на рис. 5.6,6—г.
Задача 5.7. Построить эпюры Л4, Q и N для трехшарнирной
рамы (рис. 5.7,а). Определить усилие в среднем шарнире С.
Указания: 1. В опорных шарнирах вертикальные состав-
ляющие реакций VA и Vb определяются из условий статики:
ЪМА = 0 и 2Мя = 0.
А	о
62
Горизонтальные составляющие реакций (распор Н) опреде-
ляются из условий
2Л1"р = 2	= О,
т. е. путем приравнивания алгебраической суммы моментов от-
носительно шарнира С правых и левых сил, включая реакции
опор.
2.	Для каждого элемента рамы составляются аналитические
выражения для Af, Q и jV, по которым определяются числовые
значения этих величин для характерных сечений (рис. 5.7,6—а).
В эпюре N растяжение принимается с плюсом.
3.	Проверяется равновесие узлов рамы (рис. 5.7,6).
4.	По эпюрам Q и N определяется усилие в шарнире С
(рис. 5.7, е).
Задача 5.8. Определить аналитически реакции опор и по-
строить эпюры М, Q и N для рамы на рис. 5.8, а.
Указания. Рассматривая трехшарнирную арку оп-
ределяем реакции в шарнирах А и В: УА = 15 т\ VB = 5 т; НА =
= Нв — 5 т. На рис. 5.8,6 реакции показаны сплошными линиями.
Изменив направления реакций V А, VB, НА и Нв на противо-
положные (показаны пунктиром), рассматриваем левую и пра-
вую рамы отдельно и обычным способом находим реакции опор:
т /	5	у т 5 f г 95
— Т\ Нг = — T; Vn=-------Г;
с 6 ’ с 4 D 6
у г 24 т г 5	у у 5 т» 5	ту 25
Яп =----г; VP =—г; НР =— т\ VP = —г; НР^=—-г.
D 4	’	£	2	Е I > F 2	F 4
63
На рис. 5.8, в—д показаны эпюры М, Q и N, построенные на
контуре рамы. В арке продольная сжимающая сила N принята
положительной, в остальных элементах рамы сжимающая про-
дольная сила считается отрицательной.
Рис. 5.7
Задача 5.9. В трехшарнирной арке по рис. 5.9 требуется:
1) установить рациональное очертание оси арки, нагружен-
ной неподвижной нагрузкой, если заданы пролет I и стрела f
арки и сплошная нагрузка интенсивностью q над опорными шар-
нирами и 9о над средним шарниром;
2) найти рациональную ось арки для равномерно распреде-
ленной вертикальной нагрузки интенсивностью q.
Рациональные оси находятся по недеформированной схеме.
Указание. Составить аналитическое "выражение для из-
гибающего момента в поперечном сечении арки с абсциссой х и
64
р
Рис. 5.8
5—1284
65
приравнять его нулю. Тогда уравнение рациональной оси арки
будет:
у = i4x2 - 6хс>1+3/2 (у+•
1 \Ч "Г z4o)
Положив q = qQ = const, получим уравнение рациональной оси
арки для сплошной равномерно распределенной нагрузки:
У= —
Задача 5.10. Построить линии влияния усилий в затяжке
Н и подвесках Sj и S2. Построить линию влияния изгибающе-
го момента в сечении k по-
луциркульной арки (рис.
5.10,	а).
Ответы даны на рис.
5,10, б—г.
Пример 5.11. Для задан-
ного сечения k трехшарнир-
ной арки (рис. 5.11, а) тре-
буется:
Рис. 5.10
Рис. 5.9
а)	определить все внутренние силовые факторы (равнодей-
ствующие внутренних сил) Mt Q, N и Л4ядр, реакции опор и кра-
евые нормальные напряжения аналитически и графически;
б)	построить линии влияния реакций опоры А в косоуголь-
ных и прямоугольных составляющих VA, ZA, V*A и //, а также
линии влияния М, N, Q н Л1ядр в сечении k\
в)	определить по линиям влияния величины VAy ZA, VA , Ну
Mhy Nky Qk и М*д*> ;
г)	сопоставить значения величин реакций, внутренних сил и
напряжений, полученных аналитически, графически и по линиям
влияния.
Расчет произвести по следующим данным:
66
67
I)	ось арки очерчена по параболе, уравнение которой
2)	основные размеры: Zi = 8 м\ /2 = 6 м; а = 2 м\ г = 6 м\ с =
= 4 м\ хк = —2 м\
3)	поперечное сечение k прямоугольное, с размерами Кк =
= 0,9 м и bk = 0,45 м\
4)	внешние силы вертикальные Р=16 т и ^=11 т/м (рис.
5.11, а).
Решение
1.	ГЕОМЕТРИЯ ОСИ АРКИ
Пользуясь уравнением оси арки, вычисляем ординаты для
различных значений абсцисс и результаты сводим в таблицу ко-
ординат (см. табл. 5.1).
Таблица 5.1
х,м	—8,0	—6,0	-4,0	—2,0	0	+2,0	+4,0	+6,0
у, м	6,0	3,38	1,5	0,375	0	0,375	1,5	3,38
По данным табл. 5.1 вычерчиваем ось арки (обычно в мас-
штабе 1 : 100 или 1 : 150) с нанесением пятовых и среднего шар-
ниров и заданными силами (рис. 5.11, б).
Находим геометрические параметры заданного сечения k:
хк =—2 м; ^ = 0,38 м и тангенс угла наклона касательной к оси
арки в точке k с осью х по формуле
, dy 2г ' ,	2г	2-6 n п о_г
tga = —— = х или tga* = xk =  2 = 0,375.
Площадь поперечного сечения
Fk = hkbk = 0,9-0,45 = 0,405 м\
момент сопротивления
г =	= 0,45-0,9» = 0 0 07 м3
6	6
2.	АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ АРКИ
Определение опорных реакций в прямоугольных и косоуго ъь-
ных составляющих. Заменим равномерно распределенную на-
грузку ее равнодействующей 6 = ^(/2—а) = 11(6—2) =44 т с точ-
кой приложения в D с абсциссой лщ = 4 м (рис. 5.11,а).
68
Разложив реакции в пятах А и В на вертикальные составля-
ющие (балочные вертикальные реакции) и по направлению ли-
нии пят (арочные силы), составим для определения VA и VB
уравнения равновесия:
2 Мв - 0; 2Л4Л - 0;
2Л1В= Гл !4 —РДО —Р-6 —G-2- °;
2Л4л = VB-14—Р-4—Р-8 —G12 = 0,
откуда УА = 24,6 т и VB = 51,4 г.
Делаем проверку, составляя сумму проекций всех сил на
ось у.
2У = 0; —51,4 — 24,6 + 16+ 16 + 44 = 0.
Разложив реакции в пятах на вертикальные и горизонталь-
ные составляющие (рис. 5.11,6) (прямоугольные составляющие
V* и 7В — арочные вертикальные реакции и НЛ = НВ = Н —
распор), определим распор И по формуле
л+ал
// = —— = ——— = 31,4 т,
f 3,75
где Л1£ал—балочный момент, равный изгибающему моменту
в сечении С простой горизонтальной балки с про-
летом, равным пролету арки: l = l\ + h\
мс™ = Va ( h +	— р(с + а) — Ра = 24,6(8 + 2) —
— 16(4 + 2)—16-2- 118 т-ти;
f = r — yc—[ll +~а) tgР = 6 — 0,375 — (8 + 2) 0,187 - 3,75 Л1,
здесь
tgp=
г~Ув
/1 + /г
6 — 3,38
8 + 6
= 0,187.
Арочные силы ZA = ZB = Z определим по формуле
z = ——
COsP
31,4
0,98
32,1 т.
Арочные вертикальные реакции V*A и VB находим по фор-
мулам:
v; = Ул + глsinР = Ул + Яtgp = 24,6+ 31,4-0,187 = 30,5 т;
V* = Vn — ZBsinP = VB —tftgp = 51,4 — 31,4 0,187 - 45,5 г.
ODD*	D	° 1	’	1	’	’
Проверка: 2У = 0; —30,5-45,5+16-1-164-44 = 0.
69
Величины реакций в пятовых шарнирах находим по форму-
лам:
RA = /И? +	= /30,52 + 31,42 = 43,8 т;
RB = /”Vb + Нв = 1Л45,52 + 31,4а = 55,1 т.
Определение внутренних сил в сечении k (рис. 5.11,6). Изги-
бающий момент в сечении k определяется по формуле
мк = м^ — Hfk= 115,6 — 31,4-4,503 = — 25,5 т-м,
где Л4*ал — балочный изгибающий момент для сечения k\ оп-
ределяется из соотношения
МГ = VA ( lx - Xk) - Р ( хр - Xk) = 24,6 (8 — 2) —
— 16(4 — 2) = 115,6 т-м-
fk—расстояние по вертикали от центра тяжести сече-
ния k до опорной линии (линия пят);
fk = r — yk —(1г — xk) tg₽ = 6 — 0,375 — (8 — 2) 0,187 = 4,503 м.
Поперечная сила в сечении k
Qk \= (рбал + н tg Р) cos а — Н sin а = (8,6 + 31,4 • 0,187) 0,934 —
— 31,4-0,354 = 2,5 т,
где Q6ka'' — балочная поперечная сила в сечении k-,
Q6aa = v. — P= 24,6 — 16 = 8,6 т-
cos а =	- 1 ---= ..........= 0,934;
Vi +tg2a Vl+0,3752
tga	0,375	n аг,
sin a = —-  — =.............:— = 0,354.
]/'l+tg2a У1 +0,3752
Продольная сила в сечении k
Nk = (Q^ + н tg ₽) sin a + H cos a = (8,6 + 31,4 • 0,187) 0,354 +
+ 31,4-0,934 - 34,53 r.
Следует обратить внимание на знак sin а и cos a.
Чтобы получить правильное значение Nk и Qk для левой час-
ти арки, sin а и cos а надо брать со знаком плюс. Для правой
части арки cos а принимается со знаком плюс, а sin а берется
отрицательным. За угол а принимается острый угол между ка-
сательной к оси арки и горизонталью. При этом сжимающая
продольная сила для арки считается положительной.
Для определения ядровых моментов А4^др и Л4Ддр найдем
положение ядровых точек ki и k2, для чего построим ядро сече-
ния поперечного сечения арки (рис. 5.11,в).
70
Размеры ядра сечения для прямоугольника составляют по
h Ь
главным осям — и —, откуда
kkt =	=	= 0,15 м.
1	6	6
На рис. 5.11,6 показаны ядровые точки k\ и k2 с искажением
масштаба. Алгебраические суммы моментов относительно этих
точек левых (или правых) сил, действующих на арку, и будут
ядровыми моментами для сечения k:
MT>=VAat-HA(ktKt}-Pbt-
M^ = VAa,-Ha(k^)-Pb,.
Здесь —длина отрезка k\k'x на рис. 5.11,6; (k2k’2 ) — то
же, отрезка k2k'2;
at = — xk — у sin ak = 8 — 2--у 0,354 = 5,947 ,и;
a2 = Oj + (k\ k2] = fl] + у sin a = 5,947 +	0,354 = 6,053 jw;
bl = xo — xk--—sina = 4 — 2 — — 0,354 = 1,947 m;
b2 = b, +(kl k’)= 1,947 +	0,354 = 2,053 ж;
(jfejAJ) = r — yk+ у cos a = 6 — 0,38 + -y- 0,934 = 5,76 jw;
(k2 k2) = (kxk\) — ~ cos a = 5,76 —	0,934 = 5,48 m.
Подставляя числовые значения сил и плеч в формулы для
ядровых моментов, получим:
Л1«др = зо,5 • 5,947 — 31,4 • 5,76 — 16 • 1,947 = — 30,67 т• м;
Л4™р = 30,5-6,053 — 31,4-5,48 — 16-2,053 = — 20,32 т-м.
Ядровый момент можно определить и другим способом — че-
рез изгибающий момент и продольную силу (рис. 5.11,в):
MW = Mt—Nb— = — 25,5 — 34,53= — 30,67 т м-
k,	k	k Q	6
Л1«др = Mb + Nb— = —25,5 + 34,53= — 20,32 t m.
k*	k	k Q	6
3.	ГРАФИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ АРКИ
Определение реакций (рис. 5.12,а). Предварительно опреде-
ляем равнодействующие нагрузок, приложенных к левой и пра-
вой частям арки Ллев и /?пр. К левой части арки приложены две
силы Р=16 т. На рис. 5.12,6 построен силовой многоугольник
1-2-3 с полюсом О и веревочный многоугольник со сторонами а,
71
Ь и с. Из силового многоугольника определяется величина рав-
нодействующей левых сил Клев = Р + Р= 16+ 16 = 32 т и из вере-
вочного многоугольника — направление которое должно
пройти через точку пересечения крайних сторон веревочного мно-
гоугольника а и с, параллельных соответственно лучам 0-1 и
0-3 силового многоугольника. Равнодействующая правых сил
/?пр = <7• 4= 11 • 4 = 44 т и приложена посередине загруженного
участка.
72
При действии на арку только силы /?лев направление реакции
блев должно пройти через шарнир С по линии BCD}, а реакция
/4лев — ПО ЛИНИИ AD\.
Построив силовой треугольник 1-2-4 (рис. 5.12,6), получим
реакции Ллев и Влев. Здесь 2-4\\BD{ и 1-4\\AD\.
При действии на арку силы /?Пр направление реакции ДПр
пройдет через шарнир С по линии ACD2, а реакции Впр — по ли-
нии BD2.
Отложив от конца силы /?лев на силовом многоугольнике /?пр,
проведем через начало и конец силы /?Пр линии 3-5\\BD2 и
2-5\\AD2, получим реакции Лпр и Впр.
Полные реакции А и В получим графическим сложением сил
^пр и Ллев и Впр и В
лев-
Наконец, разложив реакции Л и В на вертикальные и гори-
зонтальные составляющие, определим
V* = 30,7 г; HA = HR = H - 31,2 т.
При разложении на косоугольные составляющие получим:
2Л=32 т; = 24,8 т.
4.	ПОСТРОЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА РАВНОДЕЙСТВУЮЩИХ
Вычерчивается ось арки в прежнем масштабе (рис. 5.12, в).
Равномерная нагрузка заменяется сосредоточенными силами
G = 11 т (четыре силы). Затем строится силовой многоугольник,
обходя арку по часовой стрелке, с полюсом О и полюсным рас-
стоянием // = 31,4 т.
Это построение можно совместить с построением силового
многоугольника на рис. 5.12,6.
Лучи О-а, 0-1, 0-2 и т. д. силового многоугольника представ-
ляют равнодействующие левых (правых) сил для различных се-
чений арки.
Наконец, строится веревочный многоугольник, начиная с опо-
ры А (рис. 5.12, в), через которую проводим линию А-1\\О-а до
пересечения с направлением силы Р (левой) в точке /. Через
точку 1 проводим линию 1-2 параллельно лучу 0-1 силового
многоугольника. При надлежащей точности построения направ-
ление равнодействующей R2 должно пройти по линии 2-с\\О-2
через ключевой шарнир С.
Сторона 6-В веревочного многоугольника, параллельная лу-
чу О-b силового многоугольника, должна пройти через правую
опору арки В.
Линия А-1-2-С является многоугольником равнодействующих
для левой части арки, а линия С-3-4-5-6-В при делении сплош-
ной нагрузки на большое число участков обращается из лома-
ной в кривую равнодействующих.
Определение внутренних сил. Поперечная Qh и продольная
Nk силы определяются разложением равнодействующей /?1 на
6—1284
73
направление касательной к оси арки в точке k и направление
нормали (рис. 5.12, в) и, измерив отрезки 1-1' и 0-1' в масштабе
сил,получим:
= 0,3-8 = 2,4 т и ^ = 0,3-114 = 34,2 т.
Изгибающий момент Mk определим умножив ординату kk0
на распор Н с учетом масштаба длин:
Mk = (^0)// = -0,8-31,4 = — 25,2 т-м.
рис. 5.12, в (Мо = 0,8 и чере:
направлению продольной силы
Ядровые моменты опреде-
ляем графически, как указано
на рис. 5.13. Для этого вычер-
чиваем участок арки, содержа-
щий сечение k. Проводим ка-
сательную kt под углом ай
(tg а/г = 0,375) и нормаль k3k,
на которой откладываем ядро-
вые точки k\ и k<2, зная, что
Kk\-^kk2=— =0,15 м. Затем
6
от точки k (центр тяжести по-
перечного сечения) по верти-
кали откладываем отрезок kk^,
величину которого берем из
точку проводим прямую по
Nh\\kt. Тогда
— ЛЦ k^k^ = —34,2-0,9 = — 30,8 т-м-
Л4ядр = _N ( k ь ) = — 34,2-0,6 = —20,52 т-м.
kt	k \	6	2)	’	’	’
5.	ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Линии влияния реакций опор. Линия влияния реакции VA
строится так же как и для простой балки (рис. 5.14,а, б). Ана-
литическое выражение реакции будет:
где z—текущая координата (начало координат в шарнире Л).
Ординаты крайних точек будут: z = 0; Уд = 1 и z = Z; VA = 0,
по которым и строится л. в. VA.
Линия влияния распора Н строится исходя из аналитическо-
го выражения для него, которое имеет вид:
н М6сйл _ м£ал
f (ССг) 
74

*9
сч
fjgif
H’S эи<1
SJ Ld'o
LLO
olv~--- Jd
ha
*0
гС
8
гч
>091/
WO
гр ffC/O
ES(>«

ч
^gif
s/o
гд
D (a
, VA 9 If
b 9	4
ffl i$Wfl Ft] W
3
4 (e
09L0
7Г 11HITT
Следовательно, л. в. Н строится так же, как и линия влиянг
балочного момента для сечения, совпадающего с шарниром (
положение которого определяется отрезками 1\ и Г2 (рис. 5.14,6
с ординатами, уменьшенными в f раз. Поэтому откладываем с
оси абсцисс на левой опоре отрезок ==	=2,66, на пра
вой опоре отрезок —=—1—=1,07 и соединяем концы их, Kai
f 3,75
указано на рис. 5.14, в.
На линии влияния указаны значения ординат, соответствую-
щие сосредоточенным силам и шарниру С.
Линия влияния арочной силы Z определяется аналитическим
выражением для Z:
Z =
н
cos р
Поэтому л. в. Z получим из л. в. Я, разделив ее ординаты на
cos₽ = cosl0° 35'= 0,98.
Построение л. в. Z аналогично построению л. в. И, но край-
ние ординаты будут
= 2,72 и = 1,09
0,98	0,98
соответственно под левой и правой опорами (рис. 5.14,г). Ли-
ния влияния полной вертикальной составляющей реакции
(арочная вертикальная реакция) строится исходя из аналити-
ческого выражения для VA :
или
л. в. V*A = л. в. VA + л. в. Н tgр.
Следовательно, ординаты л. в. V*A получаются сложением
ординат л. в. VA и ординат л. в. Я, умноженных на tg (3 = 0,187.
Практически это сложение выполняется так:
1)	строится л. в. VA\
2)	вычисляется величина Н tg (3 для значения ординаты Н
под шарниром С, т. е. 0,765 • 0,187 = 0,143;
3)	к ординате л. в. VA под шарниром С прибавляется отре-
зок 0,143 = Я tg р, и полученные точки соединяются с концевыми
точками эпюры л. в. VA (рис. 5.14, д).
Линии влияния для внутренних сил в сечении Л4д, Qk и Nk
можно построить исходя из аналитического выражения для
этих величин.
Из	вестно, что Мк=М6™ —Hfk. Поэтому л. в. Мк можно по-
лучить сложением л. в. М^1 и л. в. Я, умноженной на fk.
К
Поперечная сила
Qk = О^ал cos а — Я (sin а н- tg ₽ cos а);
следовательно, л. в. Qk получается сложением л. в. Q6kaji с ор-
динатами, умноженными на cos а, ил. в. Яс ординатами, умно-
женными на коэффициент—(sin а — tg0cosa).
Наконец, имея аналитическое выражение для Nk в виде
7V, = 0%ял sin a + Я (cos a + tg ₽ sin a)
(Nk— положительно при сжатии), л. в. Nh получим сложением
л. в. Q%ajl и л. в. Я, помножив предварительно ординаты этих
линий влияния соответственно на sin а и (cos a + tg р sin a).
Другой способ построения линий влияния — это способ по-
строения нулевых точек, который мы и используем в нашем при-
мере для построения л. в. Л1й, Qk, Nk.
Линия влияния Определяем положение нулевой точки*
графически и аналитически.
Для графического определения проводим прямые А К и ВС,
и точку их пересечения D\ сносим на горизонтальную базу для*
построения линии влияния (точка d’b рис. 5.14, е).
Абсциссу нулевой точки можно получить аналитически по
формуле
.. _	//	fUi + M
—	.—----------t
— + /	4 — + f
где
/ = 5,62— 1,87 = 3,75 ж;
/i + Z2 =8 + 6= 14 л<;
1’2 = 4 Ж;
Л = г — z^tgP— у„ = 6 — 6-0,187 — 0,38 = 4,5 ж,
гк = 6 ж.
После подстановки в формулу для и, получим:
3,75-14 _о
и, = ----------- = 7,8 ж.
4,5
4 —+3,75
О
Определив нулевую точку di (рис. 5.14, е), откладываем от
базы ab под левой опорой отрезок Zk = 6 м и через точку ах и ну-
левую точку d\ проводим прямую airfj.
Сносим сечение k на прямую flidi, и полученную точку е сое-
диняем с точкой а. Получаем левую прямую ае и среднюю пря-
мую ес^. Наконец, сносим шарнир С на среднюю прямую, и точ-
77
ку соединяем с точкой Ь. Линия с4Ь— правая прямая линии
влияния.
На линии влияния отмечаем ординаты, соответствующие точ-
кам приложения сосредоточенных сил и шарнира С.
.Числовые значения характерных ординат следует получить
вычислением, исходя из геометрических соотношений, и пока-
зать их на л. в. Mk.
Линия влияния Qh. Графически нулевая точка линии влия-
ния получается следующим построением: проводим через шар-
нир А линию AD2 параллельно касательной к оси арки в точке
k (рис. 5.14, а). Затем через опору В и шарнир С проводим пря-
мую до пересечения с прямой AD2 в точке D2, которую и проек-
тируем на базу а2Ь2 л. в. Qk в нулевую точку d2 с абсциссой и2 =
— 11,7 м, Находим нулевую точку аналитически по формуле
и  fl	f(Zi+M
Mtga*-tgP)+f	tg₽) +f
где	tg ak = 0,375; tg0 = 0,187;
й 4(0,375 — 0,187) 4-3,75
Под опорой А откладываем от базы отрезок а2а3, равный
cos ан = 0,934, и соединяем точку а3 с нулевой точкой d2 (рис.
5.14, ж). Спроектировав на эту линию сечение k и шарнир С,
получим среднюю прямую Через точку а2 проводим прямую
а2е2 параллельно средней прямой ехс^ и проектируем па нее се-
чение k. Линия а2е2 будет левой прямой. Наконец, на среднюю
прямую проектируем шарнир С, и полученную точку с5 соединя-
ем с точкой Ь2. Линия с$Ь2 будет правой прямой.
Вычисляем значение характерных ординат л. в. Qk и отмеча-
ем их на л. в. Qh (рис. 5.14, ж).
Линия влияния Nh. Графически нулевая точка определяется
пересечением линии Д/)3, перпендикулярной касательной к оси
арки в точке k и линии ВС (рис. 5.13,а). На рис. 5.13,а точка
пересечения этих прямых вышла за пределы чертежа. Опреде-
ляем нулевую точку аналитически по формуле
щ _ fl=	+ M .
Mtg₽4-ctga*)— f ^(tgP + cte^)— f
4(0,187 4- 2,67)—3,75
Проектируя точку пересечения прямых AD$ и ВС (рис. 5.14,а)
на базу л. в. Nk (рис. 5.14, з), получим нулевую точку d3, кото-
рая на рис. 5.14,з не показана, так как она вышла за пределы
чертежа.
Затем откладываем от точки а4 отрезок а$а4 = sin ал = 0,354
;и через нулевую точку d3 и точку а5 проводим линию d^a5. Спро-
78
ектировав на нее сечение k и шарнир С, получим среднюю пря-
мую е3сб. Через точку проводим левую прямую параллельно
средней прямой и сносим на нее сечение k. Тогда а4е4 будет ле-
вой прямой. Наконец, точку с& соединяем с точкой Ь3 и получаем
правую прямую с&Ьз. Вычисляем характерные ординаты л. в. Nk
и отмечаем их на л. в. Nk (рис. 5.14, з).
Линии влияния ядровых моментов Л4“др и Л4*1р. Линии вли-
яния ядровых моментов строим также методом нулевых точек.
Для графического определения нулевых точек ядровых мо-
ментов М*™ и	проводим поперечное сечение k (рис.
5.15,а*), проведя предварительно касательную к оси арки в точ-
ке k под углом (tg а/г = 0,375).
В масштабе, принятом для построения арки, откладываем на
поперечном сечении ядровые точки k\ и k2 исходя из соотноше-
ния
* На рис. 5.15, а точки kx и k2 нанесены с искажением масшаба для боль-
шей наглядности. Поэтому и точки D{ и Z)2 смещены так же, как и нулевые
точки di и d2 на рис. 5.15, бив.
79
№) = (^2) = 4--v = °’15jm-
о 6
Проведем прямые Ak{ и Ak2 до пересечения с прямой ВС в
точках D\ и Р2. Проектируя точки Dx и D2 на базовые линии
л. в. Л4*др и Л4*др, получим нулевые точки соответственно d\ и
d2. Аналитическое определение положения нулевых точек вы-
полним аналогично тому, как это делалось при определении ну-
левой точки линии влияния изгибающего момента в сечении k
(рис. 5.14, а и е), пользуясь формулой
ц=—.
Для получим (рис. 5.15, а и б):
„ _ fih + lt) _	3,75-14 7fit-
«1 — ------- = ---------- — /^ОЛ,
где
fk~	=	^i)'	(^i) = (^i)
_ zki tg 0 = 5,76 — 5,947 • 0,187 = 4,65 м-,
Г2 = 4м; гк = а, = 5,947 (см. рис. 5.11, а).
Нулевая точка для M£'ip определяется аналогично:
3,75-14	_П[.
u _ .../.V	.1 Ч =--------------- _ 7 95м
. fb.	. 4,35 .
где
= (k2k'2) — 2^tgP - 5,48 — 6,053-0,187 - 4,35 м;
г^г = б,053л1; zk ^«2(рис. 5.11, а).
После вычисления координат и и2 нулевых точек откла-
дываем их на базовых линиях для Л4*др и Л4£др . Получаем точ-
ки d} и б/2(рис. 5.15, б и в).
Далее для построения, например, л. в. Л1”др от базы ct\bx под
левой опорой откладываем отрезок zk =5,947 м и через точки
и di проводим прямую a\d[, на которую сносим ядровую точ-
ку k\. Полученную точку е{ соединяем с точкой а\, Тогда линия
ахе\ будет левой прямой линии влияния. Наконец, сносим шар-
нир С на продолжение линии e{d\ в точку с1 и соединяем послед-
нюю с точкой 61. Линии:	—средняя прямая, c^i—правая
80
прямая. Следует заметить, что л. в. Л4|др имеет разрыв под цент-
ром тяжести сечения k и поэтому левой прямой, строго говоря,
надо считать не а\в\, а линию на участке от а\ до пересечения с
вертикалью, проходящей через центр тяжести сечения k. То же
относится и к средней прямой, за которую надо принять участок
прямой от точки С\ до пересечения с вертикалью, проходящей
через точку k.
На рис. 5.15,в показана л. в. ядрового момента Л4*др, кото-
рая строится аналогично л. в. Л4£др. Характерные ординаты ли-
ний влияния определяются из подобия треугольников и их зна-
чение указывается на линиях влияния.
6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
Nk> Qk, Mk9 М5ДР И РЕАКЦИЙ ОПОР по линиям влияния
Реакции опор. Реакцию опоры VA определяем по формуле
уа = S pi + S
где Р{ — сосредоточенные силы;
yt— ординаты л. в. VA под силами Р{;
qt — интенсивность сплошной нагрузки на отдельных участ-
ках арки;
<в,-— площадь л. в. VA на участках сплошной нагрузки.
Для нашего примера имеем:
Va = Рух+ Ру2 + qa = 16-0,715+ 16-0,43 + 11 °’2^6'4 =24,7 г.
Аналогично определяем остальные реакции, используя со-
ответствующие линии влияния:
Z„ = 16 0,312+ 16 0,623+ 11	= 32,2т;
распор Н = 16-0,306+ 16-0,612+ 11 -^-4 = 31,5т.
Арочная вертикальная реакция
= 16-0,762+ 16-0,544+ 11 ^у^ = 30,4 т.
Продольная сила Nk в сечении k определяется по формуле
Nk= YtPiyt + Ylqi<a>i.
Ординаты г/, и площадь <ог- берутся из л. в. Nk:
Nk = 16-0,206 + 16-0,77+	= 348 т.
8t
Поперечная сила Qk в сечении k определяется так же, как и
Nh, но ординаты Уг и площадь шг- надо брать из л. в. Qft:
Qk — 16(—0,318) + 16-0,294 + -’-1?5'4 11 = 2,6 г.
Изгибающий момент Mk в сечении k. Расчет ведем по тем же
формулам с использованием л. в. Mkt
Mk = 16-0,92 — 16-0,15 —11 = — 24,9 т-м.
2
Ядровые моменты в сечении k. При определении Л4*др и Л4*др
используем соответственно л. в. Л1*др и л. в. Л4*др,
тогда
Л4”р = 16-0,895— 16-0,272 — 11	= — 30,3 т л;
2
16-0,96— 16 0,038— 11	= _ 19 6 т-м.
2
7.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗНАЧЕНИЙ НОРМАЛЬНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ В СЕЧЕНИИ k
Расчет ведем исходя из числовых значений Nk, Mk, Л4*л₽ и
/И”лр, полученных по линиям влияния, т. е. принимаем следую-
щие значения:
JVa=34,8г; Mk = — 2&Т М- М“р = —30,3 т-м-,
= — 19,6 т-м.
Определение о по двучленной
формуле
а =	(рис. 5.16).
Pk Wk
Краевое напряжение в точке на
внутренней поверхности арки
Nk	Мк — 34-8 I 24-9
С' "7^	Wk ~ 0,405 + 0,0607
= 500 т'м2 = 50 кг 'см2.
То же, по наружной поверхности
в трчке 2:
+ А* = 34 ’8
pk "Г Wk 0,405
= — 32,4 кг':см2.
0,0607
,32
Таблица 5.2
Определяемые величины		Метод определения		
		аналитический	графический	ПО линиям влияния
Опорные реакции в m	VA	24,60	24,80	24,70
	н	31,40	31,20	31,50
	Zb	32,10	32,00	32,20
	Л	30,50	30,70	30,40
Изгибающий момент	в т-м		—25,50	—25,20	—24,90
Поперечная сила Qk в т		2,50	2,40	2,60
Продольная сила Nk в т		34,53	34,20	34,80
Ядровые моменты в т-м		—30,67	-30,80	—30,30
	Мядр	—20,32	| —20,52	|	—19,6
Определение а по одночленной формуле:
—	зо з
а =--------1_ = —l_ — 500 т м2 = 50 кг! см2;
Wk 0,0607
19 6
по - —- — 324г м2 - —32,4 кг'см2.
Wu 0,0607
На рис. 5.16 показана эпюра нормальных напряжении в се-
чении k.
Результаты расчета арки, выполненные различными метода-
ми, сводим в табл. 5.2.
Глава 6
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Прймер 6.1. Для висячей комбинированной системы, со-
стоящей из цепи 0-1-2-3-4 и балки жесткости АС В, требуется
от заданной постоянной нагрузки Р = 8 г, q= \ т/м при 1 = 16 м,
f = 3 м определить:
а)	усилия в элементах цепи и подвесках;
б)	распор цепи Н и вертикальное давление на пилоны RA и
Яв\
в)	построить эпюры М и Q для балки жесткости (рис. 6.1,а).
83
Решение
Устраняем опоры А и В балки АСВ и проводим разрезы в
цепи по сечениям и лежащим на вертикалях АА} и ВВ)
(рис. 6.1, а).
Рис. 6.1
Рассмотрим равновесие системы АСВВ}А\. На нее кроме на-
грузок Р и q действуют реакции со стороны отброшенных связей
V V' N и N
V Л’ В 0-1 И /V.W
Последние две реакции разложим на вертикальные V"A и VnB
и горизонтальные НА, Нв составляющие. Горизонтальная реак-
ция в узле В при вертикальных нагрузках равна нулю. Составим
уравнения равновесия SX = 0;	= 2Л4в = 0.
Из уравнения 2Х = 0 получим НА = НВ — Н.
84
Далее
Г МН =	+ VA)l- — Pl- -- -- - О,
^1 в V Л 1 Л/ g	48
откуда
V. + V" = V.= — Р+ = —8 +	= 7,5т
А А А 8	32	8	32
и
Ум, = (VB + vB\i- — -^-. — i = o,
« и \ и bj g 4	8
где
VB + V’ = V= — + — ql = — + — 1 • 16 = 4,5 т.
в в в 8	32 7	8	32
Следовательно, сумма вертикальной опорной реакции балки
жесткости (VJj, V^) и вертикальной составляющей усилия в
цепи (l/д, V^) равна реакции простой балки пролета /.
Для определения величины распора Н сделаем дополнитель-
ный разрез /—/ (рис. 6.1, а) бесконечно близко справа от шар-
ниров С и 2 и приложим в сечении у шарнира 2 усилие N2_3
заменяющее действие правой части цепи (рис. 6.1, в). Разложив
усилие N 2_3 на горизонтальную и вертикальную составляющие,
составим условия равновесия SX = 0 и SA4c = 0. Из первого ус-
ловия, устанавливаем, что распор цепи в звене 2-3 равен распору
в звене 0-1 и вообще для цепи во всех ее звеньях является вели-
чиной постоянной, равной Н.
Из второго условия получим
^Mc^iyA+V’A^-P^l-H{f + h)-VHh = O,
откуда
(Уя+К4)т-Тр/
тт	Z о	z о
3
Н = 4 т.
Нетрудно видеть, что распор цепи Н определяется аналогич-
но распору трехшарнирной арки по формуле
где МЗС— изгибающий момент для простой балки пролета I в
сечении С;
f — стрела цепи.
85
Реакции И”л VR определяются по формуле (рис. 6.1, в)
V\ = VR = Н tg а, = 4 tg 26 30' - 2 т.
После этого находим реакции опор балки
Ул = 1/л-Рл=7,5-2-5(5т;
^^^-^ = 4,5-2 = 2,5т.
Усилия в цепи Д’ 01 и определим из соотношения
Н	4
А = N = -2- =---------2---- 4,47.
°'J	' '7 coset!	cos26°30'
Аналогично найдем хсилия Аг7.9 и А79 (рис. 6.1, ер
V = у, =—Ж. = __1_ = _Л_ = 4,13 г,
~2	cos а2 cos 14°	0,97
где
Рассматривая равновесие узлов /, 2 и 3, определим усилия
в подвесках 1-5, 2-С и 3-6 (рис. 6.1, г, 6):
SP = 0; N0 l sin сц — N^2 sin а2 — Nh5 = 0;
2V, . = Nn t sin a, — Nt 9 sin a9 = 4,47 sin 26°ЗГ — 4,13 sin 14°;
Nh5 - 1 r; N3^6 - N J5 - 1 t;
A2.c = sina2 = 2-4,13sinl4°-2r.
На рис. 6.1,6 показаны эпюры M и Q для балки жесткости,
построенные обычным способом, путем рассмотрения двухопор-
ной балки, на которую помимо заданных сил действуют реакции
подвесок. Пунктиром показаны эпюры М и Q для обычной
сплошной балки без цепи при той же нагрузке. Сравнение этих
эпюр показывает значительную разгрузку балки жесткости от
изгибающих моментов и поперечных сил при наличии цепи.
Вертикальное давление на пилон RA определяем из соотно-
шения (рис. 6.1, е)
^0-1 „
sin р2 sin (180° — Pi — 02)
86
откуда
D =N sin (180е-fo-fc) = 4 47 sin (180^-63'30'-40°) = 6 8 r
A °'1 sinp2	’ , sin 40°
Реакция RB определяется аналогично.
Пример 6.2. Для арочной комбинированной системы, состоя-
щей из балки жесткости АСВ и цепи Аь Сь построить мето-
дом нулевых точек линии влияния реакции левой опоры бал-
ки V 'А , изгибающего момента Mh и поперечной силы Qh в сече-
нии k балки по следующим данным:
I = 30м; а = 7 zk = 9 м; f = 7,5 лс; fk = 6,75
а = 45 ; ak = 23°40' (рис. 6.2,а).
Решение
Напомним, что нулевые точки линий влияния — это точки,
где ординаты равны нулю при внеузловом (непосредственном)
приложении вертикальной единичной силы. Положение нулевых
точек графически определяется следующим построением (рис.
6.2, а). На цепь Ah Сь В\ сносится по вертикали сечение k балки
жесткости в точку kb затем через опорный шарнир А\ цепи про-
водятся лучи Л1 = 1, A\=k\ и A\=DQ, параллельной звену цепи
1-2, на которое снесено сечение k и фиксируются точки пересече-
ния этих лучей с прямой, проходящей через шарниры В{ и С}
цепи. Полученные точки Dv, DM и DQ сносятся на базовые ли-
нии для построения линий влияния V'A, Mk и Qk.
Полученные таким образом точки d\, d2 и d$ (рис. 6.2,6—-а)
и будут нулевыми точками соответственно л. в. V'A, Mk и Qk.
Кроме этих нулевых точек непосредственно получаются еще
нулевые точки под правой опорой В балки для л. в. V' А, Мк и Qk
(точки Ь, рис. 6.2,6—г) и под левой опорой А для л. в. Мк и Qk
(точка а, рис. 6.2, в, г).
Положение нулевых точек можно получить, аналитически
определив абсциссы этих точек, по следующим формулам:
для л. в. V'
1. I	30
z
1+¥ ,е“
ДЛЯ л. в. Мк
__ I
м~ lfk	30-6,75
1 ---- 1 ------------
2fzk	2-7,5-9
для л. в. Qk
30
30
tg а*
30
tg 23’40'
ои
2-7,5
16л.
87
88
Далее построение л. в. V'А выполняем в такой последова-
тельности: от базы ab (рис. 6.2,6) под левой опорой балки А
откладываем вниз отрезок 4ZtZi = l в произвольном масштабе и
через точку ах и dx проводим прямую, на которую сносим шар-
нир С и точку F. Соединив, наконец, точку с с точкой b получим
окончательную л. в. V'A.
Для построения л. в. Mfi от базы ab (рис. 6.2, в) по вертика-
ли под опорой А балки откладываем ординату z,t = 9 м (в любом
масштабе). Через точку ах и нулевую точку d2 проводим пря-
Рис. 6.3
мую, на которую сносим сечение k и шарнир С. Затем соединяем
точку с с b и точку е с а и сносим конец балки F на продолже-
ние линии еа (точка fi).
Линия fiaecb (рис. 6.2, в) и будет л. в. Мк.
Для построения л. в. Qk откладываем от базы ab (рис. 6.2, г)
под левой опорой А по вертикали отрезок aai=A (в произволь-
ном масштабе) и соединяем точку а1 и нулевую точку d3 прямой,
на которую сносим сечение k в точку е и шарнир С в точку с.
Проведя через точку а линию ае{ параллельно a\d3 и снеся на
нее точки F и k, получим л. в. Qk (ломаная f^ae^ecb).
Наконец на всех л. в. указываются числовые значения всех
характерных ординат, которые определяются из простых гео-
метрических соотношений.
Пример 6.3. Для вантовой формы определить усилия в от-
меченных стержнях от заданной нагрузки и построить линии
влияния усилий в стержнях 2, 3, 5, 6 и 8 при движении груза по
линии АВ (рис. 6.3,а).
89
Решение
1) Определение усилий в стержнях от заданной нагрузки
Усилия в стержнях 1 и 2 определяются из условия, что на-
грузка Р и qa воспринимается прежде всего опорой А и стерж-
нями 1 и 2. Отсюда находим:
Т7 Р 40 пл
^=Т = Т = 20'’'
Л -I- ”	4'6	32,;
2	2	2	2
N
2	2	2
Вырезая узел III из условия равновесия сил, действующих
да него (рис. 6.3,6), находим усилия N3 и Nt. Оси координат на-
правляем, как указано на рис. 6.3,6.
Тогда:
S X = 0; N4 cos 54° — Nz cos 26°30' = 0;
N< = ]\[ cos262<r = 12	= 18
2 cos 54°	0,588
2У = 0; /V3 — TV4 sin 54° — AZ2 sin 26° 30'= 0.
Af3 = sin 54° + AZ2 sin 26°30' = 18,2-0,809+ 12-0,446 = 20,1 t.
Из равновесия узла IV (рис. 6.3, а и 6.3, в) находим усилия
Л;5 и Л^б-
2 Y - N, cos 54° + Nt cos 73° — N± cos 26°30' = 0,
откуда jV5 = 39,6 t;
2 X = N6 — N5 sin 54° — TV4 sin 73° — Nr sin 26°30' = 0,
.откуда Мэ = 64,3 t.
Из равновесия узла V (рис. 6.3, а) определяем усилия N7 и
TVs (ось у перпендикулярна стержню 7):
2 Y - N8 cos 71° — N5 cos 71° — N3 cos 54° - 0,
N8 = 75,5 t;
2 X = N1 — A^sin 71° + N5 sin 71° + N3 sin 54° = 0,
N7= 18,1 t.
Вырезая последовательно остальные узлы и рассматривая
их равновесие, не трудно установить, что усилия в остальных
стержнях фермы равны нулю.
Удобно определять усилия в стержнях методом моментных
точек.
Определим этим методом усилия N3, N7 и Af6. Для этого про-
ведем разрез фермы линией /, как указано на рис. 6.4, а. Усилия
30
в стержнях 9, 10 и 12 равны нулю и потому не показаны на
рис. 6.4, а. Выбрав за моментную точку шарнир С получим:
2Л4с = 0; VAa-P- 1,5а — qa-2,5а + N&hs = 0.
Определяем предварительно длину стержня 7, а затем плечо
Л8 усилия Ng из соотношения
h8 = /7 sin 19° = 24,4 • 0,326 = 7,95 м.
Тогда
Д/ _ ~ГЛ а + 1>5^а + 2.5?Д	_ — 20-6+ 1,5-40-6+2,5-4-6»
8—	Л8	“	7,95
N8 = 75,5 т.
Для определения усилия N7 выбираем узел IV за моментную
точку, относительно которой составляем условие равновесия
2A4IV = 0; VA a — P— + qa — — N,h7 = Q,
откуда
где ft7 = /5sin 19°= 12,2 • 0,326 = 3,97 м.
Длина стержня /5 находится из простых геометрических со-
отношений.
Для определения усилия Мб за моментную точку принимаем
узел V.
Тогда
S Mv = N6hQ + VA-3a — 2,5Pa — qa • 1,5a = 0,
откуда
__ -VA За + 2,5Ра+ 1,5^2
М6 —
-20-3-6+ 2,5.40-6 4- 1,5-4.6* _ б4 3 т
7,14
где
й6 = Z7 sin 17° - 24,4-0,292 = 7,14л«.
2) Построение линий влияния
Линию влияния усилия N2 строим исходя из значения уси-
лия М2 = 0 при положении груза Р=1 на участках Л-/ и VI-B
и М2=1 при положении единичного груза в узле II (рис. 6.4,6),
что следует из рассмотрения равновесия узла II при различных
положениях единичного вертикального груза на линии АВ.
91
92
Вырезая узел ///, рассмотрим равновесие его при положении
единичного груза в узле II	Проектируя силы, действую-
щие в узле, на ось У, которую направляем ± стержню 4, полу-
чим:
2 Y = N3 cos 54° - - N2 sin 8(Г30' = О,
откуда
кт N2-sin80°30'	0»986	< v
/Vo = --------- = ------- = 1,00 /Vo.
3 cos 54°	0,588
Следовательно, л. в. N3 получим из линии влияния /V2, увели-
чив ординаты ее в 1,68 раза. На рис. 6.4, в показана л. в. N3.
Для построения л. в. N$ проведем разрез фермы, как указа-
но на рис. 6.4, а пунктирной линией 2 и, выбрав за моментную
точку шарнир С, составим условие равновесия сил, действую-
щих на вырезанную часть фермы:
2Л4с = 0.
Приняв, что единичный груз расположен на участке А-Д по-
лучим:
2 МС = VA а “ 1 (а + Z) + N5 h5 = °-	(6.1)
Выразим реакцию Уд, как функцию абсциссы z единичного
груза:
V,=	= 1 — — .	(6.2)
л а	а
Учитывая, что /г5 = /г8 = 7,95 м из (6.1) получим:
N = -УА а+\(а+г)	- (1 - a-j-а + г =	.
^5	^5	^5
7V3= ———z = 0,252г	(6.3)
7,95	'
Аналитическое выражение для л. в. N3 (6.3) справедливо для
0<z < а.
При положении единичного груза на участке I-VI выражение
2/Мс = 0 примет вид:
2Л4С = N5h5 + N3h3- 1 (z + а) = 0,	(6.4)
так как реакция Ул = 0.
Откуда
дг __ 4~ Д — Л^з^з_ г 4- 6 — 2У3» 14,3
h5	7,95	’
где йз = 24,4 sin 36° =24,4 • 0,588= 14,3 м.
= 0.	(6.6)
93
Выражение (6.5) представляет уравнение л. в. N$ на участке
6<г<18.
При положении единичного груза на участке VI-В усилие
N5 = 0(6.6).
Вычисляем значение характерных ординат л. в. по урав-
нениям (6.3), (6.5) и (6.6) и результаты сводим в таблицу.
z	0	6	12	18	24	30	36
Ns	0	1,51	—0,76	0	0	0	0
Л. в. N5 показана на рис. 6.4, г.
Для построения л. в. усилий N6 и N& проведем разрез фермы,
как указано на рис. 6.4, а линией /.
Уравнение л. в. получим, выбрав моментную точку в узле
V и составив уравнение равновесия:
2MV — 0;
VA • За + N6 йб — 1 (За — z) = 0.	(6.7)
Отсюда
За— z — Ул'За	За (1—Ул)—z
N* =------=...........*..-------•	(6.8)
Лд	Лд
Выражение (6.8) представляет уравнение л. в. на участке
0<z<18.
В него входит реакция VA, л. в. которой показана на рис.
6.4, д.
На участке 18 <z<36 уравнение л. в. Nq будет: N6 = 0,
так как при положении единичного груза на этом участке уси-
лия Ni и Л/^2 равны нулю и, следовательно, и усилие Af6 также
равно нулю.
Ниже приводится таблица характерных ординат л. в. Nq на
участке 0<z<18, составленная по уравнению (6.8)
z	0	6	12	18
AT.	0	1,68	0,84	0
На рис. 6.4, е показана л. в. Af6.
Для построения л. в. усилия N8 проводим разрез через опо-
ру А стержни 6г 7, 8, 15 и узел IX, как указано линией 1 и 3 на
рис. 6.4, а.
Приняв за моментную точку шарнир С составим условие рав-
новесия сил, действующих на вырезанную часть фермы:
2Л4С = VAa— I (z + а) + N3h3 + N15h15 = 0.
94
Плечо Л15 определяется как
А15 = 8-a-sin26°30' - 8-6-0,446 = 21,4м.
Следовательно, л. в. N8 выражается через л. в. VA и л. в.
п п Л7 _ 1(г + а)-.1.в.Ул o-».S.NuhiS
Л. В. /V8 — -------------------------.
“8
Помещая единичный груз Р=1 последовательно в узлы ниж-
него пояса фермы и используя л. в. N& вместо л. в. в зеркаль-
ном изображении, составим таблицу ординат л. в. N8
Z	0	а	2 а	3 а	4 а	5 а	
VA	1	0	0	0	0	0	0
/V.5	0	0	0	0	0,84	1,68	0
	0	1,51	2,27	3,02	1 ,О1	0	0
На рис. 6.4, ж показана л. в. N8.
Глава 7
ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Пример 7.1. На рис. 7.1. показана ферма, все стержни кото-
рой имеют одинаковое поперечное сечение — два уголка 100Х
Рис. 7.1
Х75Х10 (рис. 7.2). Вычислить
интенсивность предельной равно-
мерно распределенной по всему
нижнему поясу нагрузки, если
от = 2400 кг/см2.
У
^100*75*10
’	3х-163см*
Уг

1$6 Рис. 7.2
95
Решение
Предельной будем считать такую нагрузку, которая хотя бы
Ь одном из растянутых стержней вызывает предельное напря-
жение от, либо такую, которая хотя бы в одном из сжатых
стержней вызывает критическое напряжение.
Выразим усилие в стержнях через нагрузку q, используя ста-
тический метод расчета ферм:
N0., -~N,.r	=-N3.2. = — 15<?; Nr.2 = N2.2, =0;
Следовательно, когда в стержне /Z-2Z нижнего пояса напря-
жение станет равным 2400 кг/см2 либо когда в сжатых стерж-
нях 1-2 и 2-3 верхнего пояса возникнет критическое напряжение
а = окр, нагрузка будет считаться предельной.
Рассмотрим эти варианты.
1. При напряжении 2400 кг!см2 в стержне Г-2' нижнего по-
яса усилие в нем при сварных узлах
Nr 2,	= 2400-2-16,7 -80 160 кг.
Интенсивность предельной нагрузки в этом случае
^г-2’	80 160	,
Q1 поел =-----=--------= 4450 кг м.
^1пред 18	18
2. Критическая сила в стержнях верхнего пояса в стадии уп-
ругой работы может быть вычислена по формуле
Р=я2£7*ин , если 100.
В заданном сечении
^мин
Jx = 2-163 = 326 см4-, Jz = 2(78,5 + 16,7• 2,462) = 359 см4-,
[ 326	„ 1О , ц/ 1200 ,пп
------ = 3,12 СМ\ К = —— =----------------> 100;
’ 2-16,7	1ш,н 3,12
аг	ла2-10в-326 ..пп	4490 осл ,
2V..n / 2 —-------:----= 4490 кг; <72поел =--------— 250 кг м.
кр	12002	’	jg
96
Значит в данном случае предельной нагрузкой для заданной
системы является нагрузка 7 = 250 кг/м, вызывающая критиче-
скую силу в стержнях верхнего пояса, так как 71Прсд>^2пред- Эта
нагрузка должна включать и собственный вес фермы.
Пример 7.2. Задана балка (рис. 7.3, а) с треугольным по-
перечным сечением (рис. 7.3,6). Пренебрегая влиянием попереч-
ной силы, вычислить предельное значение заданной неподвиж-
ной нагрузки при пт = 500 кг!см2.
Решение
Вычислим значение предельного момента для заданного се-
чения. Предельным состоянием будем считать появление пла-
стического шарнира в наиболее напряженном сечении балки
При появлении пластического шарнира нулевая линия раз-
делит заданное сечение на две равновеликие части. Эта линия
h
пройдет на расстоянии ~ г— от вершины треугольника,
к 2
Пластический момент сопротивления равен удвоенному ста-
тическому моменту растянутой или сжатой части сечения отно-
сительно оси х (рис. 7.3,6). Рассматриваем верхнюю сжатую
часть:
ТТ77	гч 1	Ь	И / 2 f	2	/l \	f Г'
= 2 — . -----• -----| — h------•------- ; при b = 60 см,
* |/2 ю ' 3	3 ты
h = 30 j/T см, Гпл 15 800 см3.
Численное значение предельного момента
Мпред = ^пл^т = 15 800-500 --- 79- 105«г-слг = 79тм.
7—1284	97
Численное значение интенсивности предельной неподвижной
нагрузки найдем из соотношения
Ммакс = Мпред; 8,82</ = 79тж; q = 8,96 лип.
Пример 7.3. Для заданной на рис. 7.4, а трехшарпирпой ра-
мы вычислить интенсивность предельной подвижной равномер-
но распределенной нагрузки. Поперечное сечение показано на
рис. 7.4, б, сгт = 500 кг 1см2.
Решение
Вычислим предельную нагрузку, учитывая только влияние
изгибающего момента.
При возникновении пластического шарнира поперечное сече-
ние разделится нулевой линией k—k на две равновеликие
части. Предельный момент сопротивления 47 = 2 • 20 • 60 • 20 =
= 48- 103 см\
При сгт = 500 кг/см2 предельный изгибающий момент
Л4пред = ^пл ат = 48 • 103 • 500 = 240 • 105 кг • см = 240 т • м.
Построим линию влияния изгибающего момента в сечении с
наклонной стойки заданной системы. Нетрудно заметить, что
нулевая точка линии влияния не зависит от положения рассмат-
риваемого сечения на стойке. Найдем площади положительного
и отрицательного участков линии влияния М(:
= _L . .а.(7’5-а) 7 5 = з 75а — 0,5а2;
+	2	7,5
со --------а-12,5 = 2,08а.
~	2	3
Из условия <о+ = со_ найдем а = 3,34 м. При а>3,34 м преоб-
ладает отрицательная площадь. Следовательно, наибольший от-
рицательный изгибающий момент будет при а = 6 м:
со = -0 , L 6.12,5-12,5 At'2; Мм,кс = 12,5q.
Из условия Ммакс =А1Пред находим интенсивность предельной
подвижной равномерно распределенной нагрузки:
Пример 7.4. Наметить порядок подбора высот прямоуголь-
ного поперечного сечения шириной 0,5 м в трехшарнирной раме
равного сопротивления с учетом влияния продольной силы при
действии подвижной нагрузки интенсивностью <у = 64 т/м, от =
= 500 кг/см2. Рама показана на рис. 7.5, а.
Решение
Для балки прямоугольного поперечного профиля (рис. 7.6)
нулевая линия при чистом изгибе в сечении, в котором возник-
98
66
9L эи<1
нет пластический шарнир, пройдет через центр тяжести. Пла-
стический момент сопротивления может быть записан так:
lV7 о bh h	bh2	0,5/z2	h2
Vv - Z --- • - — --- = ---- = -- .
2	4	4	4	8
С учетом продольных сил условие предельного состояния
.при прямоугольном сечении имеет вид
N2
Мпре.1+-^ = ^плат.	(7.1)
4Ь ат
Надо найти такое положение подвижной нагрузки, при котором
левая часть уравнения (7.1) имела бы наибольшее значение
Представим сначала выражение (7.1) в таком виде:
^прсд 4“ р» ^*^пред ~ ^пл ат>
где р = —?------------------= 10~4^/t;
r 46 ат 4-0,5«5000
N*—значение продольной силы, найденной из предпола-
гаемого положения подвижной нагрузки.
Обозначим = Теперь левая часть становится линей-
ной относительно Л4 и Д', и может быть построена линия влия-
ния некоторой величины D: л. в. 7) = л. в. М + а*л. в. N.
Величина D имеет смысл изгибающего момента в сечении
относительно некоторой точки Л, имеющей координату а, отсчи-
тываемую в плоскости сечения от центра тяжести по нормали
к оси рамы. Расчет проведем для сечения, взятого в левой стой-
ке у перехода ее в ригель (рис. 7.5,а).
Линии влияния М и N построены как обычно в трехшарнир-
ной системе (рис. 7.5,6, в).
Так как отрицательная часть линии влияния момента отно-
сительно центра тяжести имеет большую площадь, чем положи-
тельная, то загрузим подвижной нагрузкой отрицательную часть
.линии влияния.
При таком загружении по линиям влияния найдем:
М = ^12^5 w = 800г
2
« _ /OT73JO	2 5.64	367г „ Л-; 
\	2	2	'	1
Dx = М + jiN*N = 800+ 10—’• 367 - 367 = 814 1-м.
Следовательно, в первом приближении высота сечения мо-
жет быть принята
<	- / &D Л f 8-814	. , .
h •= \/ —	\ ------- = 1,14
И ат >	5000
£00
Теперь найдем точку /<i по формуле ее координаты.
а1= ц#; = 1 о-4- 372 = 0,04 м.
Построим линию влияния £>ь как линию влияния момента
относительно точки
Новое значение момента относительно центра 1яжести при
загружении правого участка рамы длиной 12,55 м составляет
кл /2-12,5	0,04-0,05
М = -----------'---— 64 = 800 т • м.
\ 2	2	/
Новое значение продольной силы
64	+ 0781	2,55;	369 /;
\	2	2	1
а2 =	= 10~4 369^ 0,04лт
В пределах точности расчетов точки К\ и К2 совпадают. Сле-
довательно, линия влияния £>i, как линия влияния предельной
величины ГплОт может быть принята за расчетную.
Такой же расчет должен быть проведен для ряда сечений
рамы, в результате чего получим раму равного сопротивления.,
т. е. заданная нагрузка будет предельной для каждого сечения^
Глава 8
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Определение перемещений стержневых систем основано на
анализе работы сил так называемого вспомогательного состоя-
ния, совершаемой ими на перемещениях действительного состо-
яния от заданного воздействия на систему (нагрузка, темпера-
тура, осадка опор и др.).
Вспомогательное состояние создается в системе, свободной
от заданного воздействия, приложением безразмерной «единич-
ной» силы в направлении искомого линейного перемещения, или
безразмерной «единичной» пары сил в направлении углового
перемещения, или, наконец, безразмерной «единичной» группы
сил, прикладываемых в направлении составляющих искомого
группового перемещения.
Перемещения для систем прямых стержней или стержней
малой кривизны вычисляются по формулам:
1) перемещения от нагрузки
V SJ^7 * + XJ + S(8.1)
ин
где Mk, Nk, Qk, MP, Np и QP -— изгибающие моменты, продолт
ные и поперечные силы соот
ветственно во вспомогательно]
и действительном состояниях
J— момент инерции сечения;
F— площадь поперечного сечения
Е и G— модули упругости первого f
второго рода;
р— коэффициент, учитывающий не-
равномерность распределения
касательных напряжений.
В тех случаях когда вычисление интегралов можно произво-
дить путем «перемножения» эпюр, формулу (8.1) условно запи-
сывают так:
'V = (Ч0-W+ (Npy (Nk) + (Qp)- (Qo;	(8.1')
Рис. 8.1
2) перемещения от температуры t (рис. 8.1)
А*'= S f Т	h* + ds + Sf V Mkds =
= S т <*» + S т(/г ~Zi) (8-2)
где	₽ — коэффициент лилейного расширения;
®Nk и ®Mk — площади эпюр Nh и Mk;
и /2— изменения температуры по одну и другую сто-
роны стержня; /2 и й2 следует назначать со сто-
роны растянутой зоны от изгибающего момен-
та Mh\
,3) от смещения опор
Д..= —	(8.3)
где Даа — искомое перемещение по направлению вспомога-
тельной силы /\=1 от группы заданных перемеще-
ний Дт;
102
Rmk— реакция в связи tn от силы Реакцию считаем
положительной, если она совпадает по направлению
С Ат»
\т — заданное перемещение по направлению связи т.
В элементах, работающих преимущественно на изгиб, влия-
ние деформаций от N и Q на перемещение А/,.Р обычно бывает
незначительным и в этом случае в формуле (8.1) можно оста-
вить только первый член.
Рис. 8 2
Для определения перемещений в фермах формулы (8.1),
(8.2) могут быть записаны в таком виде:
Д*, - У Nlk Р,. /,• /„
(8.4)
(8.5)
где Nih — усилие от в z-м стержне фермы; Ц — длина z-ro
стержня; (3;— коэффициент линейного расширения этого стерж-
ня; ti — приращение температуры z-ro стержн/Т при одинаковой
температуре с обеих сторон стержня.
Пример 8.1. Определить перемещение правой подвижной
опоры от заданной нагрузки (рис. 8.2,а), пренебрегая дефор-
мациями от N и Q. Жесткости на изгиб на всех участках посто-
янные и равные.
Решение
Действительное состояние при заданной нагрузке с найден-
ными реакциями опор и эпюрой МР представлено на рис. 8.2, а, б.
Вспомогательное состояние с силой /\=1, направление кото-
рой принимается по линии искомого перемещения подвижной
опоры, дано на рис. 8.2, в. Перемещение определяем по формуле
103
(8.1), а вычисление интегралов ведем по правилам перемноже-
ния эпюр.	__
На всех участках рамы обе эпюры Mk и МР прямолинейны,
поэтому безразлично, в какой из них брать площадь эпюры и в
какой ординату. Возьмем, например, площади в эпюре МР, тог-
да ординаты на уровне их центров тяжести нужно брать из эпю-
ры Mk.
Pl2
На участке AD площадь эпюры МР равна «и = — ; на уровне
-—	2
ее центра тяжести в эпюре Мк ордината равна —I (рис. 8.2, б, в)
О
Произведение (М/{) • (Л4Р) будет отрицательно, так как ордина-
ты эпюр отложены по разные стороны от оси.
Рис. 8.3
На участке DC площадь МР равна о)2 = Р/2; ее центр тяжести
можно нс определять, ибо все ординаты Mh равны I. Они имеют
другой знак, так как отложены по другую сторону от оси эпю-
ры и произведение (Л1д) • (МР) получается тоже отрицательным.
На участках DE и ВС произведения (Л4/?) • (Л4Р) будут равны
нулю, так как на участке DE ординаты Л1/., а на участке ВС пло-
щадь МР равны нулю.
В итоге сумма интегралов здесь состоит только из дв\х про-
изведений:

— , Т/2 . A I + рр I,
EJ 2	3
4Р/2
3EJ
При постоянной жесткости деление на EJ можно выполнять
не по участкам, а вынести за скобки множитель . Знак ми-
нус указывает, что перемещение Д/гР направлено противополож-
но выбранной силе Pk- Если направить силу Pk вправо, то эпю-
ра Mk будет иметь те же знаки, что и эпюра МР, а Д^Р получится
положительным.
104
На рис. 8.2, а пунктиром показан деформированный вид ра-
мы и отмечена величина Д&Р.
Пример 8.2. Вычислить горизонтальное перемещение точки
2 рамы, нагруженной в точке 1 силой Pi =2 т (рис. 8.3,а). Жест-
кости на изгиб на всех участках — постоянные и одинаковые.
Решение
Строим эпюру Mi действительного состояния (рис. 8.3,6).
Во вспомогательном состоянии прикладываем в точке 2 горизон-
тальную силу Р2=1 и строим эпюру Л42
При вычислении перемещения Д21
воспользуемся формулой «перемноже-
ния трапеций» (рис. 8.4):
(A4J • (М2) = — (2ас + 2bd + ad + be).
6
(8.6)
Считая треугольник частным слу-
чаем трапеции, имеющей одну край-
нюю ординату, равную нулю, выполня-
ем перемножение по участкам Л С, CD
и D2 (рис. 8.3, а):
Д21 = —К- [3(2-00 +2-6-3 + 0-3 +6-0) + 2(2-6-3+2-4-1 +
+ 6-1 +4-3)+ 1(2-4-1 +2-2-0+ 4-0+ 2-1)]=	.
Для получения числового значения Д21 в метрах нужно раз-
мерность EJ взять в т>м2.
Задача 8.3. Вычислить углы поворота опорных сечений ра-
мы предыдущего примера от силы Р\ (рис. 8.3,а).
Ответ:
— 43 __ 26
3EJ ’	3EJ
Пример 8.4. Показать, что угол поворота срв сечения на опо-
ре В рамы (рис. 8.5, а) от вертикальной силы Р = 5 т численно
равен прогибу уА под этой силой от действия момента М = 5т-м,
приложенного в направлении угла поворота срв. Жесткости на
изгиб EJ на всех участках постоянны и равны между собой.
Решение
Вычислим сначала угол поворота срв, затем прогиб уА и со-
поставим их величины.
Первое действительное состояние возьмем с нагрузкой силой
Р и построим для него эпюру МР (рис. 8.5,6). Чтобы найти угол
8—1234	105
Рис. 8.5
поворота фв нужно по его направлению приложить во вспомога
тельном состоянии единичный момент All = 1 и построить эпюр^
Мм! (рис. 8.5,в). Угол поворота следует обозначить как пере-
мещение по направлению М от Р, т. е. фв = Лмр.
Вычисляем его по правилам «перемножения» эпюр, исполь-
зуя на участке CD формулу «перемножения трапеций» (8.6):
_	1 Г Q
— 2 10 0+10 0— 10 1)+.!—1 =-|ypod.
Переходим к вычислению прогиба ул. Здесь действительное
состояние нужно взять с нагрузкой моментом М2 = 5 т-м (рис.
106
8.5,г). Строим для него эпюру Мм2 (рис. 8.5,6). Вспомогатель-
ное состояние и его эпюра МР изображены на рис. 8.5, е. Теперь
прогиб обозначаем как перемещение вдоль силы Р от момента
М и вычисляем его при помощи эпюр Мм2 и МР.
—	1 г ч
у А =	= (40 • (Мр) = -L	(2 - 5 - 2 -
— 2-0-2-5-2 4-0-2) + 5- 2-11 = — м.
j EJ
Сопоставляя результаты, видим, что при | Р | = | М | получа-
ется / Амр | = |Арм| или | срв | = | у а I , как это следует из теоремы
взаимности перемещений.
Пример 8.5. Найти изменение расстояния между точками
С и В рамы, нагруженной горизонтальной силой Р (рис. 8.6, а).
Решение
Вычисляем реакции и строим эпюру МР от заданной нагруз-
ки (рис. 8.6,6). По направлению искомого перемещения — из-
менение длины — прикладываем обобщенную силу в виде двух
равных и взаимно противоположных сил (рис. 8.6,в). Их
направление выбираем в предположении, что расстояние между
С и В уменьшается. Эпюра Mh изображена на рис. 8.6, в. Иско-
мое перемещение А/гР определяется перемножением эпюр МР и
Mk на участках CD и DE:
А 1 / h2 5	, n,z.\ Ph2/ 5 . , Л
д =----- — . — Ph + Phlh =----- — h + I .
kp EJ \ 2	3	j EJ \ 6	/
Задача 8.6. Найти взаимный угол поворота опорных сече-
ний от нагрузки Р в раме, изображенной на рис. 8.6, а.
Ответ. Вспомогательное состояние содержит два взаимно
противоположных момента Z=l, приложенных в опорных сече-
ниях. Взаимный угол поворота
Пример 8.7. Вычислить угол поворота сечения С рамы
AEDB, несущей равномерную нагрузку q на участке ED
(рис. 8.7). Размеры и соотношения моментов инерции элемен-
тов рамы указаны на рисунке.
Решение
Определяем реакции и строим эпюру МР от нагрузки дейст-
вительного состояния (рис. 8.7).
Во вспомогательном состоянии снимаем нагрузку, по направ-
лению искомого перемещения прикладываем единичный момент
1— 1 в сечении С и строим эпюру Mz.
8*	107
При вычислении Д2Р перемножение эпюр выполняем по уча-
сткам с учетом разных значений моментов инерции.
На участках АЕ и ВС перемножаем треугольные эпюры
(рис. 8.7, б, в):
3 1ллп1	О’О?	2	. .. п	0,05
-—— 1,44 0,1 =----- и------- 1,44-0,15 =------— ;
3-2EJ	EJ	3-3EJ	EJ ’
Рис. 8 7
На участке CD — трапецеидальные:
—(2 • 2,88  0,7 + 2  1,44 • 0,85 + 2,88 • 0,85 -Н 1,44 • 0,7) = КИ .
6-3EJ	EJ
участке DE эпюру МР разбиваем на трапецию и парабо
На
лический сегмент и перемножаем их раздельно с трапецией и:
эпюры Mz- Так как ординату_можно брать только из прямоли
нейной эпюры (здесь из М2), то остается взять площад
2
эпюры /Ир. Площадь параболического сегмента равна у If с це!
тром тяжести посередине /.
108
Таким образом, имеем
1 Г 2	6
—— —- 6-1,8-0,4 + —(2-1,44-0,1 +2-2,88-0,7 +
4£J [3	6
+ 1,44-0,7 + 2,88-0,1)] =
] EJ
Суммируя результаты
по участкам, получаем:
=	(0,07-0,05 +
+ 1,11 +2,13) = -^-рад.
EJ
Задача 8.8. В раме, изо-
браженной на рис. 8.7, а,
найти вертикальное переме-
щение точки D от равномер-
ной нагрузки q.
Ответ:
Пример 8.9. Найти из-
менение расстояния между
точками С и D рамы ABCD
от горизонтальной равно-
мерной нагрузки q, а затем
определить составляющие
этого изменения: отдельно
перемещения каждой точки
С и D по горизонтали (рис.
8.8, а).
Решение
Эпюры МР и Мх дейст-
вительного и вспомогатель-
ного состояний изображены
Рис. 8.8
на рис. 8.8,6. Во вспомога-
тельном состоянии приложена обобщенная сила Х=1. Измене-
ние расстояния CD будет:
Л 1
EJ
^.Л2 + _1_
3	4	4£J
12^2
2
14,5
EJ
м.
На участке СЕ парабола имеет начало в точке С: здесь ка-
сательная к ней совпадает с осью элемента СЕ (поперечная си-
109
ла Qc= * В этом случае площадь вогнутой параболиче-
ской эпюры равна одной трети произведения длины основания
2 м на высоту 2 т-м. Ее центр тяжести лежит на расстоянии,
равном 3/4 длины основания от начала С. Если касательная к
параболе в крайней точке не совпадает с осью элемента (или не
параллельна ей), то такую фигуру надо разбивать на треуголь-
ник и параболический сегмент.
Чтобы найти составляющие перемещения ДХР, к точкам С и
D прикладываем в новых вспомогательных состояниях отдельно
силы %i = l и Х2=1- Эпюры Mi и М2 от этих сил изображены на
рис. 8.8, в. Перемножая их с эпюрой МР соответственно на участ-
ках ЕЛ, EF и ЕС, получаем:
. 1
Д1Р =-------
17	3£/
J_ 2-2	3 2 _ 34,46
'£/*34	~ EJ
1
3EJ 3
&2Р
3'0лз 1-— 3-1,125—\ +
3	2 )
— . -(—2-12,5-3+ 12,5-2) = —
4EJ 6	EJ
Как и следовало ожидать, Д1РН-Д2р = Дл'р-
На участке ЕА касательная к параболе на уровне точки Е не
параллельна оси ЕА =--------=/=0 ), поэтому для первых слагае-
\ /
мых обоих перемещений криволинейная эпюра МР разбита па
треугольник и параболический сегмент; площадь последнего
равна 2/з произведения длины основания (3 л/) на стрелу f =
= 1,125 т-м. Центр тяжести сегмента лежит посередине основа-
ния. Основанием этой параболы является не прямая Е'Л, от ко-
торой измеряются ее ординаты, а ось элемента ЕЛ, к которой
ординаты перпендикулярны (рис. 8.8,6).
Задача 8.10. Для рамы предыдущего примера определить
изменение прямого угла между горизонтальным сечением стой-
ки в точке Л (сечение 1—1 на рис. 8.8, а) и вертикальным сече-
нием ригеля в точке F (сечение 2—2).
Ответ:
а 12,25 л
Пример 8.11. Рама с защемленными опорами имеет разрез
по оси симметрии. В разрезе приложены групповые (парные) си-
лы Х=1, У = 1 и Z=1 (рис. 8.9,а). Найти расхождение по гори-
зонтали концов рамы у разреза от каждой групповой силы в
отдельности.
НО
Рис. 8.9
Решение
Перемещения от единичных сил принято обозначать через б.
Искомые расхождения (перемещения в направлении X) от еди-
ничных групповых сил X, Y и Z соответственно будут бхх, бху и
6xz. Действительные состояния от каждой групповой силы изо-
бражены на рис. 8.9,6, виг. Они дают эпюры Мх, MY и М7.
Для всех трех перемещений нужно взять одно вспомогатель-
ное состояние. В данном случае оно совпадает с действительным
состоянием от Х=1 (рис. 8.9,6). Таким образом, для нахожде-
ния требуемых перемещений нужно эпюры действительных со-
стояний Л4х, MY и Mz поочередно умножить на эпюру Мх вспо-
могательного состояния.
Используя симметрию системы, получаем:
^(^ + 4-3.4)=.^;
&XY ~ W ’ (^х) ~ О»
так как произведение эпюр левой части равно произведению
эпюр правой части, но с обратным знаком:
= ~н(т + “-3)1 = “5-
Задача 8.12. Найти перемещения буу, бух, 6yz, 6zz, 6zy и
6zx рамы, изображенной на рис. 8.9.
111
Ответ:
Ьуу = -^ГМ’ 6™ = 6хг = °;
^YZ = &zy — О‘> bZZ =	• ~ J ^ZX ~ ^XZ~ ~^у '
Пример 8.13. Вычислить площадь эпюры прогибов простой
балки от равномерной нагрузки q (рис. 8.10,а).
Решение
i
Площадь эпюры прогибов Qy= J ydz можно представить
о
как работу равномерной нагрузки д=1 вспомогательного состо-
яния (рис. 8.10,6) на прогибах действительного состояния, вы-
раженную через внутренние силы:
Рис. 8.10
&у = \gdzy= ^-~Mdz.
О	о
Так как обе эпюры М и М криволинейные, то подставляем
qz2 л* t г2
значения ординат М = -^- z — и /И = — г------— и интегрируем:
= —2— f (lz — z2)2dz = St- .
у 4EJ J V ’	120EJ
о
Пример 8.14. Кривой брус малой кривизны очерчен по дуге
четверти окружности радиуса г и нагружен вертикальной силой
Р на конце (рис. 8.11). Определить перемещения по вертикали
Дрр, по горизонтали А^р и угол поворота AZP конца бруса. Оце-
нить влияние продольной и поперечной сил на величину пере-
мещений, если сечение бруса — прямоугольник с высотой h= —
112
коэффициент неравномерности касательных напряжений р=1,2;
модуль упругости G = 0,4£.
Решение
Внутренние силы действительного состояния
Мр = Рг(1—cos a); Qp =—Psina; Np = Pcos а.
Для определения вертикального перемещения берем вспомога-
тельное состояние с вертикальной силой Р— 1 и находим:
Л1р = г(1—cos a); Qp = —sin a; N р — cos а.
По формуле (8.1), полагая ds = г da, получаем
~/2	г/2
Арр = J (1 — cos a)2 d a + p sin2 ada
и	0
z/2
4- — i cos2ada.
EF j
о
После интегрирования находим:
A	Pr3 / 3	n\ Pr	л	. Pr	л
Д —------I — л — 2 j -p p---•---------• —
pp	EJ \ 4	/	Г GF	4 EF	4
Вынося за скобки общий множитель
д =	JLj +	+ ]]
Pl 4EF I '2 \	« )	0,4 J
J h2
и подставляя р=1,2, r=\0h и i2= — =—(для прямоугольни-
F 12
ка), получаем:
М>Р = 4^~(544 + 3+ 1)-
4EF
Отсюда видно, что влияние Q и W на величину АРР составля-
3 । 1
ет 100<1 % по сравнению с М.
544
Для нахождения ДЛР и AZP берем раздельно два вспомога-
тельных состояния: с горизонтальной силой Х=1 ис моментом
Z=l. Соответственно имеем:
7Wv = rsina; Qv = —cos a; NY = —sin a;
A	7 A	’A	J
Mz=l; Q2 = 0; Wz=0.
Подставляя эти результаты в формулу перемещений и интег-
рируя, получаем:
А /V3	, Pr Рг . Рг2 / л ,\
д =--------р р-----------• Д7р— — I — — 11.
хр 4EJ г 2GF 2EF zp EJ \ 2	)
113
Учитывая заданные значения G, ц и г, находим:
Рг
=	(1200+ 3-1).
Влияние Q и /V на величину перемещений незначительно.
Задача 8.15. Бесшарнирная полуциркульная арка имеет р
рез посередине, в котором приложены групповые силы X-
У=1 и Z=1 (рис. 8.12). Найти перемещения ДХр, Дур и Д2Р
равномерной нагрузки q на всей арке. Влияние Q и N не у
тывать.
Ответ:
Рис. 8.13
/ л
EJ\ 4
^хр '
0; AZP
л qr3
4EJ
Задача 8.16. В арке предыдущей задачи (рис. 8.12) спя'
нагрузку и найти перемещения 8Хх, буу, dzz, SyyAvz и 6yz (
изгиба парными силами X = 1, Y = 1 и 2 = 1.
Ответ:
_ 2г3 / Зл р 1	«	_ л г3
'ХХ~"ЁТ[Т~
Пример 8.17. Кривой брус малой кривизны на двух опора
нагружен равномерной нагрузкой q, очерчен по параболе, опрс
деляемой уравнением y=~z(l—z), и имеет переменное сече
ние с моментом инерции J =—, где 70 — момент инерции сред
cos а
него сечения; а — угол наклона касательной к оси брус;
114
(рис. 8.13). Найти горизонтальное перемещение правой опоры
бруса без учета влияния Q и N.
Решение
Берем вспомогательное состояние с горизонтальной силой
Х=1 на правой опоре. Горизонтальное перемещение правой
опоры вычисляем по формуле (8.1):
i __
С мр мх ,
Дхр =	...Р-х- ds.
хр J EJ
О
Подставляем сюда
Z (Z — z); ~Мх—\у —	z);
ds =
ds
cos а
EJ
dz
Ё70
и интегрируем
Дхр =	— z)zdz = -^~
хр l2EJ0 .)	'	' 15EJO
О
Задача 8.18. Найти прогиб посередине Аур и угол поворота
на левой опоре AZp от нагрузки q в кривом брусе, изображен-
ном на рис. 8.13.
Ответ: AVD = —------ и A7D = —-— (по ходу часовой стрел-
YP 3MEJ0 zp 24EJ0 v j	1
ки), получаются, как в простой балке.
Пример 8.19. Ферма (рис. 8.14, а) нагружена тремя равными
силами Р. Жесткость EF всех стержней фермы одинаковая. Оп-
ределить:
1)	Aip — вертикальное перемещение узла /;
2)	Д2Р— угол поворота стержня 2-3;
3)	Азр — изменение угла между стержнями 1-2 и 3-4.
Решение
Перемещения в ферме от нагрузки согласно (8.4) определя-
ются по формуле
- NP
kP k EF
Для этого во всех стержнях фермы находим продольные си-
лы NP действительного состояния и продольные силы Nk вспо-
могательных состояний. Вспомогательные состояния, соответст-
вующие трем искомым перемещениям, изображены на
рис. 8.14,6—г: 1) в направлении перемещения Aip приложена
сила Ki = 1; 2) в направлении угла поворота стержня (А2р) при-
115
ложен момент М2=1, реализованный парой сил /\2 = л— на
12-3
концах стержня; 3) в направлении изменения угла между стерж-
нями (Азр) приложены два взаимно противоположных момента
М3 = 1, реализованные парами 7(3= — и	.
4-2
Найденные от нагрузок каждого состояния продольные силы
ЛГР, jVb N2 и N3 записаны в табл. 8.1. Беря для каждого стержня
произведения дг ..С I и суммируя их по всем стержням фермы,
EF
получаем соответствующие перемещения. Выполнять это удобно
в форме таблицы.
Знаки плюс в Д1Р и ДЗР обозначают, что узел 1 (рис. 8.14, а)
переместился вниз, а угол 3-4-1 увеличился, что совпадает с на-
правлением сил Л1 и /С3. Знак минус в Д2Р обозначает, что стер-
жень 2-3 повернулся не против, а по ходу часовой стрелки, т. е.
Д2Р не совпадает с направлением сил Л2.
Задача 8.20. Определить угол поворота стержня 2-4 (Д1Р)
и изменение угла 1-3-4 (Д2Р) в ферме предыдущего примера
(рис. 8.14, а).
Ответ:
А/ 1	г
1Р = — .	, по ходу часовой стрелки;
А 14 Р
Д2р = — .-, в сторону уменьшения.
3 EF
116
Таблица 8.1
Стер- жень	/в м	NP	N,	Nt Np I EF	N t	EF	n9	EF
/-2	4		4 3	64 Р 9 EF	0	0	_1_ ~ 3	9 EF
1-3	5	3	5 3	125 _Р_ 9 EF	0	0	5 12	125 JP_ 36 EF
2-3	3	р	0	0	0	0	___1_ ~ 4	~ 4 EF
2-4	4		4 ~ 3	64 P 9 EF	1 3	16 p ~ 9 EF	| CO 1	16 P 9 EF
3-4	5	| СП	0	0	_5_ “ 24	125 144 EF	4 15	100 P 90 EF
3-5	с	Ар	jy	£25 P_	5	__125_P_	o	n
	О	2 Р	з’	6 EF	~~ 24	~ 48 EF		и
4-5	6	— р 2	0	0	1 8	18 P 16 EF	0	0
	Aip	— Np 881 Р ~ ZN1'~EFl~ 18 ' EF			Дгр “	43 P ~ 18 ’ EF\	Дз/.	__2LZ. ’ “ 6 EF
Рис. 8.15
Пример 8.21. Нагрузка фермы и длины ее стержней постоян-
ного сечения даны на рис. 8.15, а. Найти полное перемещение
узла А.
117
Решение
Полное перемещение точки А дает проекции на горизонталь-
ное Air и на вертикальное Д2Р направления. Определяем снача-
ла эти составляющие полного перемещения.
Вычисляем продольные силы действительного и двух вспомо-
гательных состояний и надписываем их на схемах фермы (рис.
8.15,6—г). Составляя суммы произведений — Np Nl по всем
стержням с учетом знаков, получаем:
a^ = 7f(4P^4 + 5PT5 + 5P'1,3+TpT4 +
+ 25р_5_5 р _t_ Л = 2543 _Р_
3	3	3	/	9 EF
Л	1 / Л D 1 Л 1 32 Г) t Л \ 176
А,р = —	1 -4 + — Р-1 - 4 = — •
2Р EF \	3	/3
Полное перемещение узла А
Л.р =	+	/2543“ + 528“ =
Р
EF
2597 Р
9	' EF
Задача 8.22. Найти угол поворота \Zp стержня АВ фермы,
изображенной на рис. 8.15, а.
Л л 234 Р
Ответ: Д7Р = — • — , по ходу часовой стрелки.
9 EF
Задача 8.23. Ферма нагружена силой ЬР по направлению
диагонали CD (пунктир на рис. 8.15,а). Определить горизон-
тальное перемещение узла С.
Р
Ответ: ДСР=208 ---, вправо.
EF
Пример 8.24. В полураскосной ферме вычислены напряже-
ния аР = — кг/см2 от нагрузки и надписаны на стержнях (рис.
F
8.16,а). Определить взаимный угол поворота стержней /-2 и
расхождение точек 3.
Решение
Вычисляем усилия в стержнях от единичных сил вспомога-
тельных состояний и выписываем их на схемах (рис. 8.16,6, в).
Стержни с нулевыми значениями усилий изображены пункти-
ром.
Составляя суммы	= £Nk^-l и используя симмет-
EF	Е
рию системы, получаем:
A1P = 2 1-1000 Y + V (120° + 600)^- —
118

1	_6_1 1 _ 4500 _
2 ' 4 J Е ~ Е ’
Д2Р = 2 [*|- (1600 — 1200) -у + -у (1000 + 600) у +
+ у (1600— 1000) у =
Задача 8.25. Определить вертикальное перемещение опоры
В в раме, если температура изменилась от 0 до 4-20° С внутри и
до —40° С снаружи рамы; коэффициент линейного расширения
0=12-10-6.
Сечение и размеры рамы даны на рис. 8.17,а.
Решение
Перемещение от температуры согласно (8.2) при постоянной
высоте h сечения стержней
^2 + ^2 ^1) W77 + ( t2 Q (0-j .
Рис. 8.18
Здесь /]/i2 + /2Ai = 20.26—40-34 = —840 град-см и /2—С=—40—
—20 = —60° С. Эпюры действительного и вспомогательного со-
стояний изображены на рис. 8.17, б, в, д, е. Пользуясь ими, нахо-
дим перемещение
Д = 12'10.6- [840 (— 500 + — 300
м 60 L \ 10	2
300-500 . 300-300 \1	. Of
— OU f---------------------------= — 1,2^
\	2	2	/
Оно направлено вверх.
Задача 8.26. Вычислить угол поворота сечения А и пол-
ное перемещение Act узла С от изменения температуры в раме,
изображенной на рис. 8.17, а.
Ответ: Azt = 0,028, по ходу часовой стрелки;
Дг, = 1A\2 +Д2 = 0,151 см, вниз и вправо.
G Г	»	Л U	л U
120
Задача 8.27. Вычислить вертикальное перемещение опоры
В и угол поворота сечения А рамы (рис. 8.17, а) в двух случаях
а) при изменении температуры только внутри от 0° до =
= 20° С; /2 = 0;
б) при одинаковом изменении температуры внутри и снару-
жи /1 = ^ = 20°С.
Пример 8.28. Найти полное перемещение узла 3 фермы (рис.
8.18, а), если нагреваются на Г: а) только диагональ Д-/; б) все
стержни фермы.
Решение
Перемещения в ферме от температуры определяются по фор-
муле (8.5). Сумма распространяется только на стержни, в кото-
рых происходит изменение длины от температуры.
Для полного перемещения, направление которого заранее не-
известно, сначала находим перемещения по вертикали и гори-
зонтали. Поэтому выбираем два вспомогательных состояния с
силами У=1 иХ=1 и вычисляем от них усилия в стержнях (рис
8.18, бив),
а) От нагрева только диагонали А-1 имеем:
А... - -5- 0Г5 = — ₽/ Л1;
У/ 6 г	6 г
Ах/ = — — ₽/-5 = — — 0/ м.
xt 6	6
Полное перемещение узла 3
Д3,= J/Д'п + Д'ь
ЗИ2
и направлено вниз и влево по стержню 3-1.
б)	От нагрева всех стержней фермы
ЛУ/ = 0 по симметрии;
Д = А 2 (--4— -5-5+ -Л— • —3-_ \ р/
А/ f И 6	|/2 И/
и направлено вправо.
Задача 8.29. Вычислить угол поворота Az/ стержня /-3
(рис. 8.18), если температура стержней периметра А-2-3-1-В из-
менилась от 0 до —10°С, а диагоналей Л-1 и В-2 — до 4-20°С
Коэффициент линейного расширения (3=117- 10~7.
Ответ: Д^ = 0,00183 рад, против часовой стрелки.
Пример 8.30. Левая опора трехшарнирной рамы получила
горизонтальное смещение влево на величину А] =6 см (рис.
8.19,а). Вычислить полное перемещение шарнира С и взаимный
поворот смежных с ним сечений.
121.
Решение
Перемещение от смещения опор определяется по формуле
(8.3):
а... = — ziL-b.
к-*	тк т
Для искомых перемещений выбираем три вспомогательных
состояния: с силами Х= 1 и У=1 и обобщенным моментом Z=l.
В каждом из этих состояний определяем реакции R в направле-
нии смещения Л] (рис. 8.19, б—г).
Составляющие полного перемещения но горизонтали и вер-
тикали:
Ау/= —Д, = — (--------- б) = 3 см;
Ла	1Л 1	\	2 /	7
Дуд = R[y А} ~	“ 6j — 2 см.
Реакции /?1А и RiY направлены против смещения и соверша-
ют на нем отрицательную работу. Перемещения ААд и АУд по-
лучились положительными: они совпадают с направлениями X
и У.
Находим полное перемещение шарнира С:
Ас. = 1/А V, + Д2 = ]/13 см.
Г	Л *	X л.	"
122
Взаимный угол поворота сечений С
AZ1 =—/?._Aj==-----д1 ——0,01 рад.
h
Он направлен против Z и раскрывается снизу.
Задача 8.31. Найти вертикальное и горизонтальное переме-
щения шарнира С (рис. 8.19) от смещения левой опоры вниз па
Д2=4 см.
Ответ: ДУА =2 см, вниз; Дуд =3 см, влево.
Пример 8.32. В ферме (рис. 8.20, а) стержни 1-А и 1-4 удли-
нились соответственно на 3 и 5 мм, а стержень 1-3 укоротился
Рис. 8.20
на 4 мм. Определить вертикальное перемещение узла 5 от вы-
нужденных удлинений As™ указанных стержней.
Решение
В действительном состоянии заданы вынужденные удлине-
ния стержней (рис. 8.20, а). Определяем в этих стержнях (свя-
зях) реакции = вспомогательного состояния от силы Y =-
= 1 (рис. 8.20,6). По формуле (8.3), в которой знак минус в пра-
вой части заменен па плюс, находим вертикальное перемещение
узла 5:
AVm =-----1—3+ Д-4-i------!—5 = 4 02мм.
Ym 2Кз 2 Уз
Задача 8.33. Найти горизонтальное перемещение узла 2 и
угол поворота стержня 3-4 от вынужденных удлинений стерж-
ней фермы (рис. 8.20, а).
Ответ: Дхтп = 9,96 мм, вправо; Д2т =	, против часовой
d
стрелки.
123
Г лава 9
ОБРАЗОВАНИЕ И РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 9.1. ОБРАЗОВАНИЕ И КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Соединяемые элементы пространственной системы называют
телами. Каждое обособленное тело Т геометрически неизменяе-
мо и обладает шестью степенями свободы в пространстве. От-
дельный узел можно рассматривать как вырожденное тело, об-
ладающее тремя степенями свободы.
Тела соединяются между собой при помощи связей. Сущест-
вуют различные типы связей пространственных систем. Основ-
ной (элементарной) связью является стержень С с шаровыми
шарнирами по концам. Такая связь может одновременно соеди-
нять только два тела или узла. Другие связи могут рассматри-
ваться как комбинации из элементарных связей. Так, например,
шаровой шарнир Ш эквивалентен трем, а припайка — шести
элементарным связям (при правильной их расстановке). Связь,
соединяющая несколько тел, называется кратной. Ее кратность
на единицу меньше числа соединяемых тел.
Пространственные системы, как и плоские, подразделяются
на неизменяемые, изменяемые и мгновенно изменяемые. Степень
изменяемости нросгранственной системы, составленной из тел,
узлов и связей, можно определять по формулам:
для систем, прикрепленных к земле:
И^(ЬТ ' ЗУ) - (С" + 3/7/+ 6/7) — Со; (9.1
для свободных систем
и = (6Т - -ЗУ) - (С- \-3/Л --6П) — 6-	(9.2|
। де С: -число приведенных элементарных связен (кроме inai
ровых шарниров и припаек).
Так же как и для плоских систем, достаточный признак ней
меняемое™ может быть выявлен только из кинематической
анализа системы, основанного в простых случаях на принципа
образования пространственных систем, а в более сложных сл1
чаях — на особых признаках, вытекающих из общих методов о
ределення реакций связей (см. главу 2).
Основными случаями образования геометрически нсизме!
емых пространственных систем являются следующие.
1. Два тела, соединенные шестью стержнями, образуют
изменяемую систему, если при этом все шесть стержней нс пе
сскаются одной прямой или три стержня, лежащие в одной п
скости, не пересекаются в одной точке. В противном случае i
разованныс системы являются либо мгновенно изменяемы
либо изменяемыми с лишними связями. При этом прямая, п
124
секающая все шесть стержней, является мгновенной или посто-
янной осью вращения.
2. Присоединение узла к телу «триадой» — тремя стержня-
ми с шаровыми шарнирами по концам, не лежащими в одной
плоскости, — образует неизменяемую пространственную систему.
Рассмотрим несколько примеров на кинематический анализ
пространственных систем.
Пример 9.1. Система, изо-
браженная на рис. 9.1, а, являет-
ся неизменяемой и представляет
собой простейшую пространст-
Рпс 9.1	Рис 9 2
венную шарнирно-стержневую систему. Здесь У = 4, С = 6 и, сле-
довательно, по (9.2) Я = 3-4—6—6 = 0. Можно считать, что дан-
ная система образована путем прикрепления узла D при помощи
триады к телу — диску АВС.
Пример 9.2. Система, изображенная на рис. 9.1,6, отли-
чается от предыдущей тем, что между шарнирами находятся не
стержни, а тела. Здесь Г = 6, Ш = 4-2 = 8 (каждый шарнир дву-
кратный), а следовательно, по (9.2) Я = 6-6—3-8—6 = 6. Данная
система имеет шесть степеней свободы, так как каждое из шести
тел может свободно вращаться вокруг «своей» оси, т. с. оси, про-
ходящей через шарниры.
Пример 9.3. Изображенная на рис. 9.2 система является из-
меняемой, хотя условие (9.1) выполнено (// = 6—6 = 0). Здесь
четыре опорных стержня параллельны между собой, т. е. пере-
секаются в одной точке, лежащей в бесконечности. Через эту
точку и точку D пересечения двух остальных опорных стержней
можно провести прямую, которая будет осью вращения.
Для того чтобы данную систему превратить в геометрически
неизменяемую, надо один из вертикальных стержней (напри-
мер, В) «перевести» в горизонтальную плоскость. Отметим, что
в горизонтальной плоскости опорный стержень В может занять
любое положение, за исключением одного: он не должен про-
ходить через точку Z), так как в последнем случае в этой точке
125
будут пересекаться три стержня, лежащие в одной плоскости,
и, таким образом, вертикальная ось, проходящая через точку D,
будет мгновенной осью вращения.
Пример 9.4. Определим степень изменяемости системы,
изображенной на рис. 9.3. Здесь тело в виде пространственной
рамы с незамкнутым контуром прикреплено к земле при помо-
щи четырех шаровых шарниров. Согласно (9.1) /7 = 6-1—4-3 =
= —6, т. е. система имеет шесть лишних связей, которые можно
отбросить для «превращения» д
определимую. Однако не всякие
шесть элементарных связей мож-
но отбросить. Например, при уда-
системы
в
Рис. 9.4
лении двух опорных шаровых шарниров С и D все шесть
оставшихся опорных связей пересекались бы одной прямой АВ,
и, следовательно, система была бы изменяемой.
Пример 9.5. Изменяемость системы, изображенной на рис.
9.4, согласно (9.1) равна нулю:
У = 10; С = 24; Соп = 6; // = 3-10 — 24 — 6 = 0.
Для кинематического анализа используем способ последо-
вательного отбрасывания триад (аналогично отбрасыванию диад
в плоских системах). Сначала удалим узел 7 с тремя стержнями
4-7, 5'7 и 6-7. Затем отбросим узел 6 с тремя стержнями 4-6,
5-6 и 3-6', узел 5 с тремя стержнями 3-5, 4-5 и 2-5; узел 4 с тремя
стержнями 1-4, 2-4 и 3-4. Осталась одноярусная ферма. Анало-
гично предыдущему отбросим узлы 3, 2 и 1. В результате полу-
чим диск АВС (тело), прикрепленный к земле шестью опорными
стержнями, три из которых лежат в плоскости диска и не пере-
секаются между собой, а три других перпендикулярны диску и
не лежат в одной плоскости. Следовательно, система геометри-
чески неизменяема.
При кинематическом анализе пространственных шарнирно-
стержневых систем полезно знать следующее правило (теорему
Коши): если шарнирно-стержневая система представляет собой
выпуклый многогранник, в котором каждая грань неизменя-
126
ема в своей плоскости, то и вся система геометрически неизме-
няема. Такая система называется сетчатой. Простейшим приме-
ром ее является элементарная ферма (тетраэдр), рассмотрен-
ная выше (см. рис. 9.1,а).
Пример 9.6. Система, изображенная на рис. 9.5, а, имеет
У =13, С = 32. Следовательно, по (9.2) И=1, т. е. система один
раз изменяема. Покажем
анализа геометрической
структуры, основываясь
на способе последова-
тельного отбрасывания
триад. Отбрасывая сна-
чала узел 5 с тремя
стержнями 1-5, 6-5 и 12-5
(и аналогично узлы 7, 9
и 11), а затем узел 12 с
тремя стержнями 1-12,
4-12 и 13-12 (и аналогич-
но узлы 6, 8 и 10), полу-
чим шарнирную стержне-
вую пятигранную ферму
(рис. 9.5,6), у которой
четыре грани представля-
ют неизменяемые тре-
угольники, а пятая — че-
тырехзвенный механизм.
Следовательно, вся про-
странственная ферма бу-
дет один раз изменяема.
Для того чтобы «пре-
это исходя из непосредственного
Рис. 9.6
вратить» заданную систему в неизменяемую, достаточно в плос-
кую ферму 1-2-3-4 ввести диагональ 1-3 (или 2-4).
Задачи 9.7—9.9. Требуется исследовать пространственные
системы, изображенные на рис. 9.6, а—в.
127
Ответы:
а)	Система геометрически неизменяема и не имеет лишних
связей.
б)	Согласно (9.1) Я = 3, однако система имеет четыре сте-
пени изменяемости, так как здесь один опорный стержень явля-
ется лишним.
в)	Система геометрически неизменяема и нс имеет лишних
связей
§ 9.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Методы определения реакции связей пространственных сн-
егом принципиально те же, что и для плоских систем (см. гла-
ву 2). Наиболее часто применяются статический метод (при рас-
чете простых систем) и метод замены связей (при расчете слож-
ных систем).
При аналитическом определении реакций связей использу-
ется шесть условий статики, имеющих в общем случае следую-
щий вид:
ZX-0; ZMV- 0; ;
2Y - 0; ZM7 - 0; f	(9.3)
ZZ - 0; ZAL --- 0. ‘
Реакции связей можно также находить по способу «момеш-
ной прямой» (аналогично способу «моментной точки» в плоских
системах), согласно которому решается шесть уравнений типа
ZM т -0,	(9.4)
где каждое содержит только одну из неизвестных реакций.
Пример 9.10. Определим опорные реакции системы, изо-
браженной на рис. 9.7. Выбрав координатные оси и направив
опорные реакции «из земли — к телу», получим согласно (9.4)-
ZX-V^-0; ZF-/?2-Р2--=0; ZZ--/?44-/?5-F/?6 ~ Р^ 0; ।
Z< = R^b + R6b + P2h - 0; ZM, - - R& H P.ci -- 0;
ZAt - — R3b — P2a - 0.
Решая совместно эти уравнения, получим
_р2	; р. а>4	__ R:)
ь
Найдем теперь эти реакции исходя из предварительного оп-
ределения положения моментных прямых т — т (см. рис. 9.7)
Моментная прямая I — / проходит через точку пересечения ос-
128
тальных двух стержней 2 и 3, лежащих в той же плоскости, что
и стержень /, и параллельна стержням 4, 5 и 6, т. е. пересекает
все остальные пять стержней. Таким образом, ХМ/./ =R}b +
+ Р 2^2 — О
и, следовательно, R\ = P2 —.
Аналогичным образом
найдем положение моментной прямой ///—III, пересекающей
стержни /, 2, 4, 5 и 6. В данном случае ось III—III совпадает с
осью z. Исходя из уравнения XM/n-n/^R^b + P2a = G, получим:
Так как моментная прямая II—II должна пересекать ос-
тальные пять стержней, т. е. быть параллельной стержням 4, 5
и 6 и при этом проходить через точку пересечения параллельных
стержней I и <?, то, следовательно, она будет удалена в бесконеч-
ность в плоскости xOz. В этом случае условие равенства нулю
моментов всех сил относительно оси, находящейся в бесконеч-
ности, переходит в условие равенства нулю проекций всех сил
на ось, перпендикулярную плоскости, в которой удалена в бес-
конечность ось II—II. Таким образом, из условия XY — R2— Р2 —
= 0 получим, что R2 = P2.
Все моментные прямые вертикальных стержней будут про-
ходить в горизонтальной плоскости. В соответствии с рис. 9.7
получим:
R4a — Pxa = Q, откуда R^P^
£MV_V - R5b-Ptb + P,h = 0, откуда /?5 = P, + P2-y;
9—1284
129
2 7HV/ VI = /?6bsina -4- P2/zsina + P{ 6 sin a = 0, откуда
^=-/’1-^4-
b
Как и следовало ожидать, значения опорных реакций совпа-
ли с ранее найденными.
При расчете пространственных шарнирно-стержневых систем
наряду с общим способом сечений широко применяется его раз-
новидность— способ вырезания узлов, суть которого заключает-
Рис. 9.8
ся в следующем. Если к нагруженному узлу сходится не более
трех стержней, реакции которых неизвестны, то эти реакции мо-
гут быть найдены исходя из условий равновесия проекций всех
сил, сходящихся в данном узле:
2Х - 0;	- 0; 1Z - 0.	(9.5)
Если узел, к которому сходятся три стержня, не нагружен,
то усилия в этих стержнях заведомо равны нулю, а сами стерж-
ни называются неработающими («нулевыми»). Так же как и в
случае плоских ферм, перед расчетом системы надо всегда сна-
чала установить, какие из стержней являются «нулевыми».
Пример 9.11. Определим усилия в стержнях системы, изо-
браженной на рис. 9.8, а. Эта система может рассматриваться
как сетчатая, так как роль замыкающих стержней 4-5, 5-6 и
4-6 играет сама «земля». Поэтому нет необходимости доказы-
вать, что система геометрически неизменяема и статически оп-
ределима.
Прежде всего устанавливаем, что три стержня 1-2, 2-3 и 2-5
являются «нулевыми», так как только они сходятся к ненагру-
женному узлу 2. К ненагруженному узлу 3 сходятся четыре
стержня, но поскольку один из них (2-3) является нулевым, то
130
и остальные три {1-3, 5-3 и 6-3) также являются нулевыми. Эти
стержни можно при дальнейшем расчете мысленно отбросить
(рис. 9.8, б).
Составим уравнения равновесия (9.5) сил, сходящихся в
вырезанном узле /, в соответствии с выбранной системой коор-
динат:
Z X = — Р + Nj_ - cos a sin £ + Nl 6 cos a sin p = 0;
S Y = — Nsin а + X sin а = 0;
ZZ = X t } + N1 cos a cos P + N16 cos a cos P = 0.
Решая совместно эту систему уравнений и учитывая, что
КТ • р з Р 4
sin a=cos a = —-— , sin p = — и cos P = — , получим
/V .. = N =_________-_______=_______—_____
h6 2cosasin|3 j/‘~	3
2 2	’ 5
= 1^2/71,
X^4 = — 2XJ 5 cos a cos p = — 2	2	= — 1,6 m.
Определим усилие X h4 другим путем, используя способ мо-
ментной прямой. Для данного стержня эта прямая проходит че-
рез узлы 5 и 6. Из уравнения %М5_6 = —Р-4— X ь4- 3 = 0 полу-
чим X . = —Р— = — 16 т.
1.А	з
Если пространственная шарнирно-стержневая система со-
стоит из плоских ферм, каждая из которых в своей плоскости
неизменяема, то такую систему удобнее всего рассчитывать по
способу разложения на плоские фермы. Согласно этому способу
заданную нагрузку следует предварительно разложить на со-
ставляющие по направлениям соответствующих граней, затем
найти усилия в стержнях каждой плоской фермы от этих состав-
ляющих и полученные результаты суммировать.
Пример 9.12. Определить усилия в стержнях пространст-
венной фермы, изображенной на рис. 9.9, а.
Разложим силу Р на составляющие по направлениям граней
АС и ВС, как показано на рис. 9.9,6. От действия этих состав-
ляющих (равных Р) в стержнях плоских ферм ВС и АС возник-
нут соответствующие усилия (их значения показаны на рис.
9.9, в). Складывая значения усилий для элементов, принадлежа-
щих двум плоским фермам (пояс С-9), получим суммарные уси-
лия, значения которых представлены в табл. 9.1.
Пример 9.13. Требуется определить усилия в стержнях
пространственной фермы, изображенной на рис. 9.6, в. В каж-
9*
131
Таблица 91
№ элемента	Усилие	№ элемента	Усилие	№ э юмента	Усилие
А-1	—9/4'Р	А-2	! 0	4-6	—Р
1-4	-6/4	2-1	0	i в'7	<-3/4 Р
4-7	—3/4 Р	1-5	0	i 7+	— Р
В-2	+6'4 Р	5-4	0	С-В	— Р
2-5	+3/4 Р	4-8	0	В-3	—5/4 Р
5-8	0	8-7	0	3-2	—Р
С-3	—3/4 Р	А-С	-р 1	2-6	-г5/4 Р
3-6	—3/4 Р	С-1	-1-5/4 Р ;	t 6-5	—Р
6-9	—3/4 Р	1-3	~Р 1	1	+5/4 Р
АВ	0	3-4	' 5/4Р .	।	9-8 1	0
дом из узлов данной фермы сходится более трех стержней и
этому определить усилия в них путем непосредственного вы
зания узлов невозможно.
Для решения этой задачи используем метод замены свя
Порядок расчета пространственных систем при помощи
тода замены связей остается тем же, что и при расчете плод
132
систем. Удалим из заданной системы связь 1-2 и введем вместо
нее заменяющую связь 3-5. Преобразованная система представ-
лена в трех проекциях на рис. 9.10, а — в.
Найдем усилия в стержнях от заданной нагрузки Р и от сил
Д'1= 1. Очевидно, что при действии силы Р стержни, примыкаю-
щие к узлам 1 и 2, будут нулевыми, так как данные узлы, соеди-
няющие теперь только по три стержня, являются ненагружен-
ными. Таким образом, N? = N? . = TVf = N? = N? = N? =
= 0.
Вырежем узел 3, к которому приложена сила Р, и составим
уравнения статики:
2Х = -Np_4 sinр + NP.6 sin₽ = 0;
Г Y = NP_5 sin a — P = 0;
2 Z — — NP_{ cos p — N^_6 cos'P — NPcos a = 0.
(9.6)
Решая совместно полученную систему уравнений, найдем:
<5 = Ч
Р
sin a
2 Уз
3
Р- NP=NP = —NP
f 3-4 J-o	3-5
lz6
6
cos a
2cosg
133
Далее определим усилия в стержнях от сил Хх = 1. Вырежем
сначала узел /, к которому примыкают три стержня (рис.
9.10, г). Так как два из них (1-4 и 1-5) лежат в вертикальной
плоскости, а третий (1-3), так же как и сила Хь —в горизон-
тальной, то проектируя все силы на ось 1-а (перпендикулярную
следу вертикальной плоскости b — Ь), найдем, что Л'Л; =—Хх =
= — 1. В вертикальной плоскости к узлу 1 примыкают только
два стержня. Поэтому Х/./ =—Х/.,?. Учитывая это и используя
условие статики ZTi = 0, получим
2^=2^ cos 60°—ХЛ; cos 60°-f-	sin 45—ХЛ/ sin 45^ 0,
откуда
V I У2 КТ	У %
N. = -\---и N. . =-------.
Аналогично найдем, что
N2 , = — 1; N2 6 = + -ЕА • N . = —-ЕА- .
’	2-0	1	2	’	2
Вырезая затем узел 3, найдем усилия в остальных стержнях
от действия сил Хх. К этому узлу примыкают три стержня (3-4,
3-6 и 3-5), усилия в которых надо определить, и два стержня
(1-3 и 2-3), усилия в которых известны. Равнодействующая 5
сил N 1-з и N2-3, равная 5 = 2X2-,? cos 30° =—V 3, имеет то же
направление, что и сила Р. Поэтому искомые усилия в стержнях
найдем, используя ранее найденные усилия от силы Р. Таким
образом,
N 4^3 6 = — — Кз = — — ;	5 = г = ХА^/зА 2.
В соответствии с (2.4) найдем значение Хх\
х = R1P -= —2= — _ЕА р
1	Гц	3-2	3
Следовательно, по (2.5)
N	==— —Р; N =N2 5= — — (—ТА р\ = —-ЕАр.
/-2	3	•	7-5	2-5	2	\	3	/	6
=- А р.=+А р -.	-
= N	(— iAp) = 0.
3'6	6	\	2 / \	3	/
134
В данном случае усилие X в заменяемом стержне имеет
определенное значение, что свидетельствует о геометрической
неизменяемости системы. В тех же случаях, когда реакция в за-
меняющем стержне равняется нулю, значение силы X становит-
ся неопределенным или равняется бесконечности, что свидетель-
ствует о мгновенной изменяемости системы.
Определение перемещений в пространственных системах ос-
новано на тех же принципах, что и для плоских систем. Но ввиду
того, что внутренние силы в пространственных системах имеют
шесть составляющих, формула перемещений для систем, состо-
ящих из прямолинейных элементов и находящихся под дейст-
вием нагрузки, содержит шесть членов (а не три, как для плос-
ких систем).
Для шарнирных ферм формула Мора для перемещений име-
ет следующий вид (из шести членов остается только один, учи-
тывающий продольные деформации элементов фермы):
Л У
kp~ Zj
(9.7)
Пример 9.14. Требуется определить полное горизонтальное
перемещение точки 2 пространственной фермы, изображенной
на рис. 9.9, а.
Для определения полного перемещения Д2р найдем горизон-
тальные перемещения этой точки по любым двум направлениям,
например по направлениям граней АВ и ВС. Для этого в узле 2
приложим две единичные силы Р{ и Р2 по направлениям соот-
ветствующих граней (рис. 9.11, а, б) и найдем усилия в стерж-
нях фермы от действия этих сил. Отметим, что при этом все эле-
менты фермы, расположенные выше первого яруса, являются
«нулевыми». Учитывая, что каждая сила вызывает усилия толь-
ко в тех элементах фермы, которые расположены в плоскости ее
135
действия, получим следующие, отличные от нуля, значения
усилий:
=~Т;	= +
с. - + v; -v»'< =~т;	'
В соответствии с (9.7) найдем перемещения точки 2 по гра-
ням АВ и ВС. Перемножая полученные усилия с ранее найден-
ными усилиями в стержнях фермы от силы Р, суммируя полу-
ченные произведения и получая при этом EF = const, найдем
«АИ(+1'4 + 1тАт)5 +
+ /— — р}( + —) з + (— Р) 1  4] = — — . — .
\	4 А 4 /	I 2 EF
Полное горизонтальное перемещение точки 2 найдем на ос-
нове графического построения (рис. 9.11,6). Отложим в опре-
деленном масштабе значения Д’р и А*,}, по направлениям граней
АВ и ВС. Из концов отрезков 2-2' и 2-2" восставим перпенди-
куляры. Точка пересечения их 2°, соединенная с точкой 2, опре-
делит вектор полного смещения.
Глава 10
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
РАМ ПО МЕТОДУ СИЛ
Расчет статически неопределимых рам по методу сил прово-
дится на основной системе, получаемой из заданной устранени-
ем всех или части лишних связей. При устранении всех связей
основная система статически определима, а при устранении час-
ти связей — статически неопределима. Статически неопредели-
мая основная система должна быть предварительно хорошо изу-
чена, чтобы на ней можно было далее без затруднений прово-
дить расчет заданной системы.
Наиболее удобной основной системой будет та, у которой
эпюры от неизвестных и от нагрузки простые и как можно
меньше побочных коэффициентов, отличных от нуля.
Степень статической неопределимости заданной системы
(число лишних связей) определяется по формулам:
п -C + 2Z/J + 3/7 + CO4 — ЗД,	(10.1)
136
где С — число связей первого вида (стержней с шарнирами но
концам);
Ш—число цилиндрических шарниров;
П — число припаек;
Соп — число опорных связей (не опор);
Д — число любых статически определимых дисков, из ко-
торых может быть составлена система;
п - ЗК — Ш,	(10.2)
где К—количество замкнутых контуров в системе без учета
шарниров;
Ш — число шарниров в замкнутых контурах.
Внешняя степень статической неопределимости (число лиш-
них связей с землей)
«1 = соп —3 —С;(ам,	(10.3)
где Сзам — число заменяющих связей, т. е. число недостающих
для неизменяемости связей в системе, снятой с опор.
Внутренняя неопределимость (число лишних связей в систе-
ме без опор)
п2 = п — п±.	(Ю.4)
Канонические уравнения метода сил составляются по выражению
^1 + бк2 *2 И---Ь б/« Хп +	= 0 О0’5)
при k= 1, 2, ..., п,
где
=	(Ю.6)
Р__	Р__ ДГ°	р __ л°
Д^ = 2 Мл-т-^ + 2 Nk-£ds + Z p,Qk ^ds-, (10.7)
J EJ	J EF	J GF
Qk,	Qm\ M}p, Np, QQp. — изгибающие моменты,
продольные и поперечные силы в основной системе соответст-
венно от Xk = 1, от Хт = 1 и от нагрузки.
Перемещения от температуры Akt определяются по формуле
V(8.2); от смещения опор Алд—по формуле (8.3).
Интегралы в формулах перемещений будем для сокращения
записи изображать в виде условного произведения
(3,)(3Л).	(10.8)
Если жесткость прямого стержня системы постоянна по его дли-
не, то вычисление интеграла (10.8) по нему можно проводить
путем «перемножения» эпюр. Для этого надо сложную фигуру
эпюры на стержне разбивать на простейшие (рис. 10.1).
10—1284
137
В тех случаях когда одна эпюра линейная, а другая не выше
второго порядка, можно применять формулу (рис. 10.2)
^kP 6EJ	^рз)-	(10.9)
Проверка коэффициентов канонических уравнений и свободных
членов от нагрузки производится по формулам:
Рис. 10.1
Ъкт= (MS) (MS) +
k^-\
т =1
Рис. 10.2
Ед^ = «)-	ой+ (?;,)• (Qs), (io-и)
где Ms, Ns и Qs — суммарно-единичные изгибающие моменты,
продольные и поперечные силы в основной
системе.
Решение канонических уравнений можно записать так:
X-k ~	+ $kzk2 + • • • + $kn An,	(10.12)
где Az — \.р + Azz + А/д.
Коэффициенты влияния ^ = (3/^ вычисляются по формулам
а) при помощи определителей
Рм = Р*. = (- 1)</+А+”	>	(10.13)
где D — основной (общий) определитель канонических уравне-
ний;
138
Dik — определитель, получаемый из основного путем исклю-
чения z-й (£-й) строки и А-го (/-го) столбца;
б) по способу Гаусса
Ра* = — .(*—1) +“*(*4-1) Р(*+1)А "i akn (Ю-И)
(последний член)
ври этом аПп = 0;
$Lk “ а/(:4-1) Р(х4-1)Л + • • • + aZnPn£-	(10.15)
(последний член)
Коэффициенты а берутся из таблицы прямого хода (см. при-
мер 10.10). В этих формулах индексы k и i принимают такие
значения:
первая операция: для формулы (10.14) Л = п, полагая
при этом ann = 0, для формулы (10.15) & = п; /=(м—1), / =
= (/г—2),	1;
вторая операция: для формулы (10.14) k^n—1, для
формулы (10.15) £=(/г—1); f=(/z—2), z=(/z—3), ..., /==Г
Дальнейшие операции ясны (см. пример 10.10).
Проверка коэффициентов влияния Рпг = Ри производится на
основе того, что почленное произведение строки матрицы ||б/Л||
на одноименный столбец (или одноименную строку) матрицы
ЦЫ равно минус единице, а на разноименный столбец (или
разноименную строку) — нулю.
Неизвестные могут также быть вычислены непосредствен-
но при помощи определителей:
=	(10.161
где Dk — определитель, получаемый из основного D путем заме-
ны k-rc столбца свободными членами с обратным знаком.
Проверка окончательных эпюр моментов производится на
основе таких выражений:
(Л4Р)-(МЛ (Npy (Nsj + (Qp). [Qs)^0;	(10.17)
(Ч)' py + (^)- (iv6) + (.J- (Qs) = - £ЛЙ; -10J8)
Л—1
(4)  ft) + (ft • (ft + (Q,, - Ifis) « - V Ди. (10.1»
*.= 1
В выражениях (10.17) — (10.19) надо принимать только те внут-
ренние силы, которые учитывались при вычислении коэффици-
ентов канонических уравнений.
Пример 10.1. Определить степень статической неопредели-
мости рамы (рис. 10.3). Решение проведем по двум вариантам.
1-й вариант. Степень статической неопределимости нахо-
дим по формуле (10.2).
10*
1391
Землю надо считать незамкнутым диском (рис. 10.3, а) и
•мысленно исключить все шарниры. Тогда число контуров /< = 4,
шарниров Ш = 6:
п = 3-4 — 6 = 6.
2-й вариант. Степень статической неопределимости нахо-
дим по формуле (10.1). Представляем систему составленной из
любых статически определимых час-
тей, например по рис. 10.3, б. В этом
случае имеем: дисков Д = 2, стерж-
ней с шарнирами по концам С=1 (затяжка), шарниров Ш =
припаек /7=1 и опорных связей Соп = 1 + 3 + 2 = 6;
п = 1 +21 +31 +6 —3-2 = 6.
Внешнюю степень статической неопределимости рамы нал
дим по формуле (10.3).
Для определения Сзам надо заданную систему снять с ог|
{рис. 10.3, в) и определить степень ее изменяемости, т. е. чид
140
Рис. 10 5
дополнительных связей, необходимых для того, чтобы снятая с
опор система была неизменяема. В нашем случае (рис. 10.3, в)
два диска соединены только шарниром С. Система однажды из-
меняема, так как достаточно ввести один стержень (пунктир-
ный), чтобы система без опор стала неизменяемой. Значит,
Сзам — 1 •
= 6 —3 — 1 = 2.
Внутренняя неопределимость рамы
л2 = п — п1 = 6 — 2 = 4.
При выборе статически определимой
основной системы надо иметь в виду, что
И] определяет наибольшее число связей
с землей, а п2 — самое меньшее число
внутренних связей, которые могут быть
устранены. Однако вместо устранения
всех или части внешних связей из п\ мо-
гут быть устранены дополнительно свя-
зи внутренние, сверх положенных свя-
зей м2.
Пример 10.2. Построить эпюру М в
двухшарнирной раме (рис. 10.4, а), учи-
тывая только деформации изгиба.
Рама однажды статически неопределима. Основная' система
показана на рис. 10.4,6. Каноническое уравнение
%! +	= 0.
Для удобства расчета применяем условно единичную эпюру от
Xj = 1,5 (рис. 10.4, в). Грузовая эпюра дана на рис. 10.4, г. Пере-
множая эпюры, получаем:
би = (Л1).(Л11) = ^. |б1)2 + 6-6-6-3-
\ 2	3 EJ /	4EJ
150
EJ ’

12Р
EJ ’
Хх = -Д1р:би = 2Р:25.
Распор рамы Я=1,5 ?G=3P:25.
Исправленная эпюра (эпюра от Н=1,5 Х\=ЗР\2Ь) дана
на рис. 10.4,6, а эпюра от нагрузки в заданной системе — на
рис. 10.4, е.
Проверяем полученную эпюру путем «умножения» ее на эпю-
ру от Хх = 1,5:
+ (— 6-6— 2Р-4-б) — =-12?---------— = 0
\ 25	/4£/	25£V 25EJ
Эпюра МР правильна.
141
Задача 10.3. Построить эпюру М в раме примера 10.2 от
той же нагрузки, если жесткость ригеля будет в 2 раза меньше,
чем была, т. е. 2/, при той же основной системе.
Ответы: ди — 204 :Е/; Л1Р = —24Р : Е1\ Х{ = 8Р'.Ь\. Эпюра
М показана на рис. 10.5, а.
Задача 10.4. Построить эпюру М в раме примера 10.2 от
горизонтальной равномерной нагрузки (рис. 10.5,6).
Ответы при основной системе по рис. 10.4,6:
а) {ТГТГнТтР А1р = — l\6q:EJ, Xi = 58q:75. Эпюра MQ по-
Рис. 10.6	Рис. 10.7
Пример 10.5. Получить в общем виде формулу усилия в за-
тяжке (распора) двухшарнирной рамы от любой вертикальной
нагрузки на ригеле (рис. 10.6, а). Основная система и необходи-
мые для расчета эпюры даны на рис. 10.6,6 и в.
Поскольку в этом случае применена единичная эпюра от
Хг1 = 1, то усилие в затяжке (распор) рамы Н = Хх.
Перемножая эпюры (рис. 10.6,6, в) и учитывая удлинение
затяжки, получим

• — h — 'j 2 + Н------------------—
3 EJ ) kEJ E3F3
(— h3 +
\ з
КЧ \ 1 I .
k / EJ + E3F3*
= — <i)ph:kEJ.
142
Из канонического уравнения
X1 = -^- = a>Ph:(^-khs + h2l + -^-}.	(10.20)
Он	\ 3	E3F3 /
Для двухшарнирной рамы без затяжки на жестких опорах надо
в (10.20) положить жесткость затяжки E3F3 равной бесконечно-
сти. Применим формулу (10.20) для примера 10.2:
Х1 = 8Р4: (— 4-43 + 42-б'| = — .
1	\ 3	/25
Пример 10.6. Построить эпюры М, Q и N в раме (рис.
10.7,а). Каноническое уравнение
^11	~ 0-
Расчет производим с учетом только деформации изгиба. Основ-
ная система показана на рис. 10.7,6; условно-единичная эпю-
ра— на рис. 10.7, в а грузовая — на рис. 10.7, г. Сложные фигу-
ры при перемножении разбиты на простые, как указано на ри-
сунках пунктиром.
Вычисляем перемещения:
Л /л7\ ГГл\ 9,6	2 n 1	. Г9-6/2 n ,	1 с\ ,
«„ = (^)-(M.)=T-T9j7+[T(T9+T6) +
+	+ -L9 )]_L +  -°-6 — =
2 \ 3	3 /J 3EJ 2	3 EJ
= (162 + 114 + 48):EJ = 324:E7.
Применим для вычисления среднего слагаемого по ригелю фор-
мулу (10.9):
—^-(9-9+ 4-7,5-7,5 + 6-6) = 114:EJ;
6-3EJ
Д,р = —	• — 9+ — 6-4,5(7-4,5')—---
1Р \ 2	3	3	’ 4 ’ ) EJ
_	{ % Q _|_L 6	* —____j405£+_144£___ 5497
+ 3	/3£7 ~ EJ “ EJ
Вычислим и здесь первое слагаемое по формуле (10.9):
-----(0-0+ 4-13,5-13,5(7+ 18<79) = —	.
&EJ	EJ
Значение неизвестного
Xj = — Д1р:бп = 61*7:36-
Исправленная эпюра (Мх)Х\ показана на рис. 10.7,д, а эпю-
ра изгибающих моментов от нагрузки — на рис. 10.7, е.
43
Производим проверку путем перемножения эпюры (МР) на
эпюру (Mi), применяя формулу (10.9):
("') = 6ТЯО-О + 41'~Г 72’-Т’)|-т1 +
। 5^7 (_g\ 1 i 6 I Sty /_g\ । 4 /_^lq I _L /	6 \ _i_
12 V J 6-3£V I 12 V	\	6 ' 12 / 2 \	2 )
+ Чг1(-6)1 + 7^llT6 + 4lv T + o° 1 =
6	I bEJ [ 6	6-2	2	j
= — ( _ 130,5<7 +	0.
EJ \	4	3	3 /
Эпюры QP и NP могут быть построены по обычным прави-
лам, если к основной системе (рис. 10.7, б) приложить найден-
ное неизвестное A'b Однако в более сложных случаях такой спо-
соб построения неудобен. В таких случаях построение эпюры
QP следует вести, пользуясь построенной эпюрой МР, а постро-
ение эпюры NP—пользуясь эпюрой Qp. Рассмотрим здесь по-
следний способ.
Для построения эпюры QP надо каждый брус рамы рассмат-
ривать как балку на двух шарнирных опорах с действующей на
него нагрузкой и найденными опорными моментами, взятыми из
эпюры МР (рис. 10.7,е), а далее применить формулу
QP (г) = Q^ (г) + Мправ~^лер- ,	(10.21)
где Qpaл (г) — поперечная сила только от нагрузки, действую-
щей на брус, а Мправ и Млев — соответственно правый и левый
опорные моменты при обычно принятом для балок правиле
знаков.
Для нашего случая такие балки представлены на рис. 10.8.
1) Бруса-/ (рис. 10.8, а):
Qp(z) = (3g-qz) + О) :6;
Q (0) = 3q + 33? =	; Qp (6) = - 3q +	.
72	72 р	721	72
2) Брус 1-2 (рис. 10.8,6):
Qp(z) -O+f-^-W) :6 = — — q.
р	\ б 12 I	’72 j
3) Брус 2-6 (рис. 10.8, в):
Qp(z) = 0 + [0 — (—Ж|:4 = ^.
р V 7	[	\	6 / ]	24
Эпюра Qp в раме построена на рис. 10.8, г.
144
Для построения эпюры NP надо вырезать узлы рамы с дей-
ствующими на них сосредоточенными силами (если они есть),
прикладывая к узлам в разрезах брусьев неизвестные продоль-
ные силы N и ранее найденные поперечные силы Q. Каждую
силу надо обозначать двумя индексами: первый индекс ука-
Рис. 10.8
Рис. 10.9
зывает номер узла, а оба вместе — примыкающий к узлу брус
При этом надо помнить, что положительная поперечная сила
должна вращать узел по часовой стрелке. Затем из условий рав-
новесия в виде суммы проекций сил на ось определяются про-
дольные силы N через известные поперечные силы Q. Начинать
вырезание узлов надо с узла, где соединяются только два бруса.
Затем надо переходить к узлам, в которых не более двух неиз-
вестных продольных сил.
В нашем случае вырезание начнем, например, с узла 1
(рис. 10.9, а). Условия равновесия:
SX-Л/ д-183 =0; sr=155?__yv	=0
1-2	79 '	79	1~а
145
д, _ 183? . N = 1557
72 >	1-а	72
Вырезаем далее узел 2 (рис. 10.9,6). Условия равновесия:
IX N— q = 0; 2У = — Л'., , — — =- 0.
2-1	24 '	2—Ь	72
I 1 >> НИХ.
М2_} — — 61g: 24; N2_b - — 155q: 72.
Эпюра ЛЭ построена на рис. 10.9, в.
Построенные эпюры QP и NP проверяются по условиям рав-
новесия. которые должны выполняться для любой отсеченной
части. Так, например, в нашем случае (рис. 10.9, а) эти условия
249?	61<7 А
для рамы в целом будут: 2. Л = 6g-----------------	0;
-	-	79	94
vy	о- 1Л4 = 6g-3 — -?2 — ^6 0.
72	72	а ч 21	72
Пример 10.7. Построить эпюру изгибающих моментов в ра-
мс (рис. 10.10, а). Рама имеет два контура и четыре шарнира.
По формуле (10.2)
и-3-2—4-2.
Нетрудно убедиться, что рама внешне статически неопреде-
лима. Основная система дана на рис. 10.10,6
Канонические уравнения:
612Х2 + Д1р-0;
^21	+ ^22 ^2 "Ь &2Р ~ 0*
Г'диничные эпюры и эпюра от нагрузки даны на рис. 10.10, в— д.
Эпюра Л11 принята для удобства вычислений условно-единичная.
Вычисляем коэффициенты и свободные члены канонический
\равнений:
2	X /ПО? у 9-6	2	9	. Г9-6 / 2 п ,	1	\ ,
6„	-з..- + |т(з.9+тб) +
, 6-6 / 2 с .
----— 6 +
2 1 3
--9
\1 1	. 64 2
/J3EJ 2*3
— = 324:£7;
E.J
Л \ о
д22=-(м2).(м2) 4- 4
о
Д-6 ) —= 48:EJ-
3	/ 3EJ
6	6’6-6 
2EJ EJ
3
+ — • --------— = 276: EJ-,
2	3 3EJ
Л	Г Л С 9 ~Ь 6	1	ЛС.Е?7
Д,„  -------6-4,5о —1— • ------= — 45<?:£У;
3 v 2 3EJ
9	1
А.,,. =- — 6-4,5^-3 -Д— = — \8q:EJ.
21	3	3EJ
146
Проверяем полученные значения по формулам (10.10) и (10.11),
которые для данного примера записываются в таком виде:
s<W=(4)-(^);	=	(ю.22)
Рис. 10.10
Суммарно единичная эпюра изображена на рис. 10.10, с.
= (324 + 2-48 -1- 276):EJ ---- 696:EJ;
Т7\	9-6	2	9	. Г15-6/2	,с , 1 с\	.
(Л+ • (Л4С) = — • — ----------И ---- — 15 Н-----6 +
' s'	1 s) 2	3	EJ [ 2 ( 3	3	/
+ ^/Аб+ -L15
2(3 з
. 6-6-6 , 6-6
+ ^Г + Т’
И 1_____6-4 2	G
'J 3EJ	2	3	EJ
9	6
— • — = 696: £7;
3 2EJ
147
SA	63? ;
kp	\E.T EJ ) EJ
✓ л xo \	/ л л \	2 z% л r 15 -j- 6	1	63^
<«"p)  <«S) = - У 6 4,5,	~	-
Канонические уравнения в числах:
324Хг + 48Х2 — 45(/ - 0;
48Xi + 276Х2— 18<7 = 0.
Решение их дает: Х{ =0,13264^ и Х2 = 0,042142г/.
Исправленные эпюры даны на рис. 10.10, ж, з, а суммар-
ная— на рис. 10.10, и. Производим проверку полученной эпюры
путем «умножения» ее на суммарно единичную:
,м_,	. А . JL +
L 2 I 3	3 )
, 0,79584?-6 / 1 . _ , 2 „ \	2 „ . _ ,n c 1 1	,
4---------— — 15 4 6------------------ 6-4,5q- 10,5----F
2	1,3	3	/	3 v J 3£V
0,79584?-4 . _2. 6 -j- 4- 0,25285<?6- — +
2	3 EJ	EJ
+ -°’25285(?'6 . -1 . -1- - (38,47417:EJ) —(38,478124:£./) ^ 0.
2	3 2EJ
Точность решения высокая и для данного случая несколько из-
лишняя. Эпюры QP и NP строятся, как в примере 10.6.
Пример 10.8. Построить эпюру изгибающих моментов в ра-
ме (рис. 10.11, а).
Рама трижды статически неопределима. Наиболее удобная
для ее расчета основная система указана на рис. 10.11, б .
Канонические уравнения:
= 0;
^22 ^2 + &2Р ~
^33 ^3
Условно-единичные и грузовая эпюры даны на рис. 10.11,з—с.
Определяем коэффициенты и свободные члены канонических
уравнений:
Гб.4/ 2 а	1 о \ , 3-4/2 о 1 а \] 2	. 6-6-6	144
11 “ | Т (т 6 - Т 7) + Т (Т 3 - Т 6 ) 177 з77	7/’;
22	\ 2	3	' EJ EJ
148
По формуле (10.9):
Рис. 10.11
А,р=-^7(0-6 + 4-291.5-8<?-3) = -^-;
6EJ	EJ
А2р=-^7(0.0-4-2(7.3-89.6) = -
о£«/	Е J
&зр= (0-6 + 4-2</-6 + 8q• 6)= -уу- .
о£ J	EJ
Суммарно-единичная эпюра дана на рис.
10.11, ж.
Проверяем коэффициенты и свободные
члены по формулам (10.22). Обычным пе-
ремножением эпюр находим:
я>41т('т12~^М+
+ ^/А3_ _L 12)1— +
2 \ 3	3	)\ EJ
, 12-6	2	12 . 15-4 2 1С 1	552
-J----- - --------.-- j	;
2	3 3EJ 2	3 EJ EJ
S6Am = (144 + 96 + 312):Е./=~ ;
(М’)- (Я) =
= -у—(0-12 4~ 4-2<?-4,5—- 8</-3) =-|у ;
OjC J	LtJ
2Skp^(-8q-48q-64q):EJ =.
EJ
Из канонических уравнений находим: Х{=
= q:l8; X2 = q:2} Х3 = — ~~. Эпюра из-
гибающих моментов изображена на рис.
Рис. 10.12
149
10.11,3. Проверяем ее перемножением на суммарно-единичную,
применяя формулу (10.9):
78 (Мр)- (Ms)= у-у [281<7 (—3) — 4 • 50,5i/-4,5 — 704, • 121 Д 4-
UZ2 J	LL J
4----— I— 70q-12' 4- 4-267-6 4- 1227-0] 4-
6-3EJ
4-	[1227-0 4-4-14,57-7,5 + 151^-15]^ l800i?.~l8-00?... ^ °.
Задача 10.9. Построить эпюру изгибающих моментов в ра-
ме (рис. 10.12).
Ответы при условно-единичных эпюрах по рис. 10.11, в—а:
611=-144:EJ; 622 = 96:EJ; 63,-312:Е/; Д1Р - 0;
Д.)р - — 32P:EJ\ Д?/, - 48P:EJ; zY1 0; Х0=Р:3;
Х3 - — 2Р:13.
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 10.12,6.
Пример 10.10. Построить эпюру изгибающих моментов в
раме (рис. 10.13, а).
Здесь /С = 2, Ш = 3. Степень сытической неопределимости ио
(10.2) /1 = 3-2—3 = 3. Неопределимость внешняя. Основная си-
стема принята по рис. 10.13,6. Для выбранной основной системы
расчетные эпюры (рис. 10.13,6—е) просты.
Канонические уравнения:
^11 “Ь ^12 ^2	%3 + Д]р “ 0;
б21 Х1+б22Х2 + б23 Хз + Д2р = 0;
^1 + Й32 Х2 + 633 хз + дзр = 0.
Находим перемещения и свободные (грузовые) члены.
& /Тл \	\	6-5	2	6	। [6-4 / 2	с ,	1	.
- 611 = (Л11)-(Л41)= — • — • — 4- — — 6 4- Т1
Z	О	£-</ L z \ °	О
i
12-3.12
2EJ * EJ
— • —	852: £/;
2	3 2EJ
_£±2з. JLL = — 345:Е</;
2 EJ
й13 - (Мх) • (М3) = - ~  6	= - 144: EJ;
.	/Т7 \	3-3	2 о 1	, ГЗ-5/2 qi 1 л \ ,
150
151
6-5/ 1
2
6»4-6
2EJ
623 = (Я) (Я) = - Y •
 — • — = 258: EJ;
2	3 EJ
— • — = — 18: EJ;
3 EJ
б3з = (Я)(Я) = (v3- 46)w + ^T 216:E/;
\ 2* о j il J	J
Д1Р = (Я’)- (Я) = т8-8?^7= 128?:E/;
b.lp = {№py (M2)=0;
ДЗР = - 7-8-8<7^r==-128<7:£J;
S6*m = (852 — 2-345 — 2-144 + 258 —2-18 + 216):EJ -= 312:EJ;
2Д w, - (128q + 0 — 128q) :EJ = 0.
Проверяем по формулам (10.22). Суммарно-единичная эпюра
дана на рис. 10.13, ж
IX)  (X) - т -|
xx6 + i9) +
2 \ 3	3 I
3
77
4-6
2
3-3
2
2	6 _
3	EJ ~
3	3-5	2
EJ 2	3
^(Х9+2.,
2 \ 3	3
2	3 / J 2EJ	2
(М«).	=
Канонические уравнения в числах:
852А\ — 345Х2 — 144Х3 + 12&? - 0;
— 345*! + 258Х2 — 18Х3 + 0 - 0;
— 144%! — 18Х2 + 216Х3 — 1287 = 0.
Их решение проведем различными способами
2
3
2
3
312
EJ ’
. _JL_
2EJ
3___
EJ '
(i)
(2)
(3)
1. По способу Гаусса
Прямой ход записан в табл. 10.1. Из прямого хода имеем
уравнения с треугольной матрицей:
852Хх — 345Х2 — 144Х3 + 128^ - 0;	(1)
118,29915Х2 —76,ЗО992Х3 + 51,83104? - 0;	(2')
142,43808Х3 — 72,932599 - 0.	(З2)
152
Решая эти уравнения снизу вверх, начиная с последнего по-
лучим:
Х3 = 0,512037; X, — 0,107846^; Хг — 0,10736 lq.
Табл а и а Ю1
№ строки	№ уравнения	Неизвестные			Свободные члены X kr	Сумма коэф- фициентов и свободных членов (q — 1)
		Х1	х2	1 х'		
1	(1)	852	—345	-144	128 q	|	491
2			^12 012=”” = ^11 - 0,40493	013 013 = ” — = 0ц = 0,16901		
3	(2)	—345	258	— 18	0	— 105
4	012 (1)		— 139,70085	—58,30992	51,83104 <7	198,82063
5	(21)	•	118,29915	—76,30992	51 ,83104 q	\ 93,82063 93,82027 \
6		•		023= — ”! = = 0,64506		
7	(3)	— 144	-18	216	— 128v	—74
8	а13(1)	•	•	—24,33744	21,63328 <7	82,98391
9	агз(2')	•	•	—49,22448	33,43413q	60,51994
10	Р)			142,43808	-72,93259 7	\б9,5038 69,50549\
Для проверки найденных значений - Х3 подставим их во
второе и третье канонические уравнения:
345-0,1073647 — 258 • 0,1078467 — 18 0,512037
= 37,040587 — 37,0408087 = 0;
144-0,1073647+ 18-0,1078467+ 216 0,512037— 1287 =
= 128,000137— 1287 = 0.
153;
2. При помощи определителей (10.16)
£> =	852 —345 —144		= 14 356 440;
	—345	258	— 18	
	— 144 — 18	216	
	—128<у —345	— 144	
Г>1 =	0	258	— 18	= —1541 3769;
	1289 — 18	216	
	852 — 1289	— 144	
^2= -	-345	0	— 18	= — 1 548 2889;
	-144	1289	216	
	852 —345	— 128с	1
D3 =	—345	258	0	= 7 350 9129;
	—144 — 18	?289	
= - 1 D	0,107364779;	*2 =	= ^- = —0,107846239;
Х3 =	= 0,51202888<?.
3. При помощи коэффициентов влияния (10.12)
Коэффициенты влияния по способу Гаусса (10.14):
0з£ = — 1 :д<2> = — 1:142,43808 = — 0,007020594;
₽2з = 032 = <*23033 = 0,64506 (—0,007020594) = — 0,004528704
₽1з = Рз1 = <*12023 + <*1з₽зз = 0,40493 (—0,004528704) +
+ 0,16901 (—0,007020594) = — 0,003020359;
0™ = — 1: б<’> + а23 032 = — 1:118,29915 +
+ 0,64506 (—0,004528704) = —0,011374432;
012 = 021 = <*12022 + <*13032 = 0,40493 (-0,011374432) +
+ 0,16901 (—0,004528704) = — 0,0053712453;
011 = — 1: 6ц + <*12021 + <*1з0з1 = — 1:852 +
+ 0,40493 (—0,0053712453) + 0,16901 (—0,003020359) =
= — 0,0038591582.
Составим матрицу коэффициентов влияния:
—0,0038591582 —0,0053712453 —0,003020359
1101*11= —0,0053712453 —0,011374432 —0,004528704
—0,0030203590 —0,004528704 —0,007020594
154
Проверим ее умножением на матрицу коэффициентов канони-
ческих уравнений:
Ii6z.il =
852 —345 —1441
—345	258 — 18I
— 144 — 18	216|
Известно, что от перемножения любой строки матрицы р,-Л на
разноименные столбцы (строки) матрицы Ьц< должны получать-
ся нули, а от перемножения на одноименный столбец (строку) --
минус единицы.
Перемножаем первую строку матрицы р,7( на первый столбец
матрицы
-0,0038591582-852 + 0,0053712453-345 + 0,003020359-144 =
= —0,9999914619 =г — 1.
Перемножаем первую строку матрицы р,7( на второй и третий
столбцы матрицы б^:
0,0038591582 • 345 — 0,0053712453  258 + 0,003020359 -18 =
= 1,38577604— 1,3857812874 = — 0,0000052 0;
0,0038591582-144 + 0,0053712453-18 — 0,003020359-216 =
= 0,6524011962 — 0,652397544 = 0,00000365	0.
Вычисляем неизвестные по коэффициентам влияния:
X] = д1р + р12 Д,р + ₽1Я Д3/> = — 0,0038591582-1287 —
-0,0053712453-0 + 0,003020359-128<? = — 0,10736637;
X, = р21 Д1р + р,2 Д,р + р,3 Д3/, = — 0,0053712453 • 1289 —
— 0,011374432-0 + 0,004528704  128q - — 0,10784537;
Х3 = ₽3] Д1р + р3, Д2/, + р3! Дзр = — 0,003020359-1287 —
— 0,004528704-0 + 0,007020594- 1287 = 0,512030087.
Значения неизвестных близки к ранее вычисленным.
Вычисляем коэффициенты влияния при помощи определите-
лей (10.13):
Р12 = (~ 1)<1+2+1)
Pis = (-1)°+3+,)
D = 14 356 440;
258 — 18
— 18
—345
— 18
—345 —144
258 — 18
: 14 356 440 = — 0,003859174;
216
—144 I
: 14 356 440= — 0,005371248;
216 j
: 14 356440 = — 0,0030203866;

155
₽22
Ргз
р.ч.ч
(2+2+1)
(-1)'
(_1)<з+зи>
852
— 144
852 —144 |
—345 — 18 ’
852 —345
—345	258
—144 ,
: 14 356 440	— 0,011374407;
216
14 356 440	—0,0045286993;
: 14 356440 - — 0,0070206123.
Принимая далее найденные значения неизвестных, например
по способу Гаусса, строим исправленные эпюры (рис.
10.13,з — к). Суммарная эпюра дана на рис. 10.13,л.
Проверяем ее путем «умножения» на суммарно-единичную
эпюру, изображенную на рис. 10.13, ж:
(+) _ -	з -L - °-та5»'5 А з _L _
р' ' 57	2	3 EJ 2	3 EJ
0,00297-5	1	3 1	0,0029^.4	1	б 1_____
2	3 EJ 2	3 2EJ
0,64137-4 2 . 1	0,64137-3 / 2 ~ ,
--------- — ь---------------— о +.
2	3 2EJ 2	\ 3
_ 0,96487-3 /_1_ б 2	\ J__ 3,39577-3
2	\3Ь~Ь3У/Е/^~	2
. 4,36057-8 /	2 с .	1 с \	1
+ “^Гт6 + т6Ы/
2	\	3	3	) 2EJ 3	7 2EJ
3’0-—--3- • —6 — = (—40,913925(7 + 40,9149<?)— ^0
2	3 EJ	EJ
• —3— +
3 EJ
(точность решения очень хорошая, даже избыточная).
Эпюры QP и NP строятся, как в примере 10.6.
Если требуется определить какое-либо перемещение в ста-
тически неопределимой раме, то напомним, что единичную силу
следует прикладывать не к заданной раме, а к любой основ-
ной системе, из нее полученной.
Пример 10.11. Построить эпюру изгибающих моментов в
раме (рис. 10.14, а). Рама симметричная. Для использования
симметрии основная система должна быть симметричной. При-
нимаем ее по рис. 10.14,6.
Производим группировку неизвестных в парные неизвестные:
симметричные A'i и Х3 и кососимметричные Х2и А4 (рис. 10.14, в).
Система канонических уравнений для симметричных неиз-
вестных имеет вид:
6ПХ, + 613Х3 + Д1р-=0;
^31 "Ь ^33 *3 "Ь ^ЗР “
156
а для кососимметричных неизвестных:
^22 ^2 + ^24 ^4 Д2Р ~
fl42 Х2 + fi44 Х4 + Д4Р = °"
Единичные эпюры даны на рис. 10.14, г — ж, грузовая — на
рис. 10.14,3.
Рис. 10.14
Вычисляем коэффициенты и свободные члены канонических
уравнений:
2 л 1	.6*6	2 с 1
—- о------------ — 6----
3 EJ 2	3 2EJ
2»6*2\ g = J68
EF Г~~ EJ '
Последнее слагаемое здесь учитывает деформацию затяжки:
«..-(-у -5’6-Й7)2-^зе:£-/:
157

^22
^24
дзз =	— 6—12 = 72:EJ;
33	\ 2	3 2EJ !
8Р-3 А 8Р-3
--------; ;
2Е7-----3₽ 2EJ
-- 12+ 12-3-12')-!- = 744 :Е7;
3	/ EJ
— + 12-з') — = 612:EJ;
644 = 633+ -'2= 936: EJ-
EJ
А	8Р-3 А 8Р-3
Д9Р — —---: Л<г> —----•
2Р 2EJ т 2EJ
Пишем систему канонических уравнений:
168Хг — 36Х3 — 12Р = 0;
— 36Xj + 72Х3+ 12Р = 0;
744Х, + 612Х4 — 12Р — 0;
612Х2 + 936Х4+ 12Р= 0.
Значения неизвестных получаются следующие: Л)=0,04Р;
Х3= —0.1467Р; Х2 = —0.0505Р; Х4 = 0,05773Р. Исправленные эпю-
ры даны на рис. 10.14, и—м, а суммарная — на рис. 10.14, н.
Проверяем суммарную эпюру «умножением» на суммарно-
единичную, представленную на рис. 10.14, о:
ТО-(Я) = £^±-т12-±- +
O15865P±Z2_12__L12X_L
2	' 3	3	/ 2EJ
М83Р.6/_1_ 12 _ А 12 j-I-+ 8Z±+
2	\ 3	3	! 2EJ 2EJ
+	А 12 _2_ 24 — + °’087Р-3 /X 12 + А 24 ) +
3	3	' EJ 2 I 3	3 'EJ
2
r 0.087Р.З-24	0 j955р. 6.4 J_ = /21 7776 — 21,642) —	0.
EF	EJ
10.12. Построить эпюру изгибающих моментов в
10.15, а). Указание: использовать симметрию си-
EJ
Задача
раме (рис.
стемы.
Ответ:
Пример
вестных и изгибающего момента в сечении посередине пролета
системы, изображенной на рис. 10.16, а.
Преобразуем систему введением бесконечно жестких консо-
лей (рис. 10.16,6). Основная система дана на рис. 10.16, в,
Рис. 10.15,6.
10.13. Построить линии влияния основных неиз-
158
а условно-единичные эпюры — на рис. 10.16, г — е. При такой
основной системе все побочные перемещения равны нулю. Урав-
нения основных линий влияния будут: л. в. =	л. в.
Х|2 = —6р2 • Й22‘, Л. В. Х3 =—дрз '. бзз-
Вычисляем коэффициен-
2 а 1 \п 120
— 6-----2 = ------.
3 EJ EJ
Рис. 10.15
Перемещения 6Рь 6Р2 и бРЗ определим через условную (фик-
тивную) нагрузку. Условная балка для нашего случая будет
балкой на двух опорах.
Линия влияния Х1=—=---------------(рис. ю.16,^’,з).
Оц	648 u	’	’ ’
1-й участок (0<г«2):
л. в. %! = 8z:432;
2-й участок (2 < z < 10):
л. в. Xj = [12z— 3(г~2)2 j :648 = [8z—(г—2)2]: 432.
По этим уравнениям построена линия влияния которая будет
симметрична.
б от
Линия влияния Х2 =------- =—6pyEJ: 144(рис. 10.16, и, к).
1-й участок (0" < г < 2):
л. в. Х2 = — 4г:432;
2-й участок (2 < г< 10):
л. в.Хг = -[Аг_А.	+	.<-^1:Н4.
2 I 3	4	2	16	6	]
По этим уравнениям построена линия влияния Х2, которая бу-
дет кососимметрична.
п	v др3 6РЗ EJ
Линия влияния Xз = — -т— =------— .
Озз	1ZU
159
Поскольку на балке изгибающие моменты Л43 равны нулю,
ю перемещения бр3 будут равны нулю и линия влияния А'3 на
всем протяжении балки равна нулю.
Линия влияния изгибающего момента посредине пролета
балки:
1-й участо к (0 < z 2):
л. в. Л4(6) =	(	---	г;
432	2
2-й у ч а с т о к (2 < г - 10):
л. в. Л4(б)	12)-!-	-	-г.
v	412	2
По этим уравнениям построена л. в. М. (6) (рис. 10.16, м).
Пример 10.14. Получить в общем виде уравнение линии
влияния основного неизвестного для ригельно-подкосной си-
стемы (рис. 10.17, а) и построить ее для частного случая, когда
а = 4 м, Ь = 6 м, & = 4,5, пренебрегая в нем продольными силами.
Ригельно-подкосная система однажды статически неопреде-
лима. Она обладает тем свойством, что при любом положении
нагрузки усилия в подкосах равны между собой.
Расчет проведем с учетом продольных сил, определяя внут-
ренние силы по недеформированному состоянию системы. За
160
основную систему принимаем систему с разрезанным подкосом
(рис. 10.17, б), а за неизвестное примем вертикальную про-
екцию усилия в раскосе (рис. 10.17,6). Эпюра моментов от
Xj = l дана на рис. 10.17, в.
Перемещение бц от изгиба
Перемещение бц от сжатия
। ь
11 sin2a£F tg2a£F^‘
Полное перемещение бц запишем так:
«и =	= (1 + II*) 7^- 2 + 5 ,	(10.23)
oLJ \ ан /
где ц* =
Линия влияния
X. = - 6р1:бн.	(10.24)
Перемещения бп определим через условную нагрузку (рис.
10.17, г):
1-й участок (0<z<a):
л. в. Xt =
23
г~~6
(10.25
после некоторых преобразований
л. в. =-------!---
2(1+р*)
а
2EJ
а2
2EJ V
л. в. Хх =
a2 /	2
Z~ 2 V	3
36
ak
а
~kEJ
(г — а)2
2
(10.26)
(10.27)
2
где иг = —
а

2
— а
3
(^ —Q)2
2
11—1284
161
После преобразований
л. в. =
2(1 + н*)
362ц2 (1 —и2)
(10.28)
где и2 =
При а = 4м; b = 6м и k = 4,5 имеем:
1-й участок (0<z<4). По (10.26) при ц* =0
2-й участок (4 <z < 10). По (10.28)
v I
л. в. Aj = —
2
^2(1 —Ц2)
2
Линия влияния построена на рис. 10.18.
Пример 10.15. Построить эпюру изгибающих моментов в ра-
ме (рис. 10.19, а) от заданной температуры. Сечение симметрич-
ное высотой 0,5 м.
Рама однажды статически неопределима. Основная система
дана на рис. 10.19,6. Каноническое уравнение
х 0-6
Оц — —
11	2
+ Au — 0;
— 6—+-^^-= 180:EJ.
3 2EJ EJ
Перемещение от температуры определяется по формуле (8.2)
(рис. 10.19,г).
Для учета удлинений стержней от температуры надо иметь
единичную эпюру продольных сил (рис. 10.19, д):
Дп= 10— + 20—)(1 -4) + р+-10 (- + 6-4^ = 2540р.
Теперь Ху = — Дп: 6П = — у рЕЛ
Эпюра изгибающих моментов от температуры дана на рис.
10.19, е. Полученную эпюру Mt проверяем по формуле (10.18),
которая, поскольку при вычислении бц учитывалась лишь де-
формация изгиба, т. е. эпюра в этом случае будет:
(М/)(М1) = -ДП;
 254p£V 4 6J_ = _ 2540р = _	(10.29)
3	EJ
162
Пример 10.16. Построить эпюру изгибающих моментов в
раме от смещения защемления (рис. 10.20,а). Каноническое
уравнение
6n X, + Д1д = 0;
6п = 180:EJ (см. пример 10.15).
Свободный член канонического
уравнения определяем по формуле
(8.3):
Д1д = — (1 - а — 6<р).
а) Ъ*-10°С
Рис. 10.18
t--20°C
(Ма) Е
Е3(а-Бч>)
30
Рис. 10.19
Рис. 10.20
t--io°c
Неизвестное Х{ = —Дм: дц = (а— 6ср)£/ : 180. Предположим, что
Л\>0. Тогда искомая эпюра будет по рис. 10.20, в. Проверяем
ее по формуле (10.19), которая, поскольку при вычислении 6И
принималась во внимание деформация только изгиба, в этом
случае будет:
(Мд).	= —Д1д;	(10.30)
(мд)-	—-6—— +
\ V \ I) 30-2	3 2EJ
, EJ (а — 6ф) „ £ 1	лч	*
Ч------*------— 4 • 6---= а — 6® = — Д,..
30	EJ	т ,д
11*
163
Глава 11
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
§ 11.1. РАСЧЕТ НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ
При решении задач условимся опоры нумеровать слева на-
право, начиная с нулевой, и каждому пролету присваивать но-
мер его правой опоры.
Стандартную основную систему получаем путем включения
шарниров над каждой из опор и замены устраненных при этом
связей неизвестными
«опорными» моментами.
В выбранной таким об-
разом основной системе
каждый пролет рассмат-
ривается как статически
определимая двухопор-
ная балка, загруженная
заданной нагрузкой и не-
известными моментами
(рис. 11.1,о).
Замечания: 1. Кон-
сольные части при обра-
зовании основной систе-
мы отбрасываются. Дей-
ствие на балку отброшен-
ных консолей заменяется
известными моментами
(рис. 11.1,6).
2. Защемления услов-
но заменяются эквива-
лентными им дополни-
тельными пролетами бес-
конечно малой длины
(рис. 11.1,в).
Аналитическая связь
между неизвестными и
заданной нагрузкой вы-
ражается в виде уравнений трех моментов:
Xt- Л!/—1	2 (X/ 4~ ^/ч-i)	+ ^f-г-х ~
^iai
ll
Jq I
J 0 \
J/+1 / ’
где Mi-lt Mh —три последовательных опорных момента;
моменты положительны, если они вызы-
вают растяжение нижних волокон;
Ц — длина пролета;
164
Jt — момент инерции поперечного сечения бал-
ки; в пределах пролета величины Л по-
стоянная;
Jo—произвольная величина, имеющая размер-
ность момента инерции;
= / . — — приведенная длина пролета;
J t
(oz — площадь эпюры изгибающих моментов от
заданной нагрузки в пролете основной си-
стемы; имеет знак эпюры моментов;
at — расстояние от левой опоры до центра тя-
жести эпюры изгибающих моментов;
— расстояние от правой опоры до центра тя-
жести эпюры изгибающих моментов.
Число уравнений такого вида соответствует степени статиче-
ской неопределимости неразрезной балки и равно числу проме-
жуточных опор в основной системе.
Пример 11.1. Написать уравнения для определения неиз-
вестных опорных моментов в неразрезной балке, показанной на
рис. 11.2, а.
Рис. 11.2
165
Строим основную систему. Включаем над промежуточными
опорами шарниры и прикладываем неизвестные опорные момен-
ты Мх и Л42 (рис. 11.2,6). Система уравнений трех моментов
имеет вид:
+	+	—б(—•	+
\ X •	4/ X । Z	I.	Т '	1	Г I 1
\ *1	"1	*2	"2 /
Х2М1 + 2(Х2+Х3)М2 = -6 (^1. A + М (Ц.1)
\ *2	J2	*3	*> 3 /
Определяем коэффициенты при неизвестных. Полагая Jo=J, на-
ходим, что — = 3, — = — =1 и Х| = 15 • 3 = 45 м, Хг — Аз — 20 м.
Jl J2	J 3
Для определения выражений, входящих в правую часть, строим
в пролетах основной системы эпюру моментов Мр от заданной
нагрузки (рис. 11.2, в). Заметим, что выражения в правой части
(Hi а: (П;Ь;
—у~^- и с кинематическом точки зрения есть величины, про-
порциональные углам поворота концевых сечений пролета
от действия заданной нагрузки. Статическая интерпретация
этих величин показана на рис. 11.2, г. В этом случае они тракту-
ются как опорные реакции от принятой за нагрузку эпюры мо-
ментов Л1р- Имея это в виду, находим:
для 1-го пролета
1	80 ппп 2	Ю + 15	25
(о, = — • — 15 = 200 т-м2; аг = —— = —/4;
1	2	3	3	3
1000	2
—— =-------Т-ЛГ;
h 9
для 2-го пролета
(О, =— 100-20==—7--.1t2; а2 = к = 10.и;
2	3	3	’	2	2
со2а2	со2Ь2	2000	2
	—	 =	Т • М ,
/2------------------/2-3-’
в 3-м пролете:
для отрицательной части эпюры моментов
1 СА 40	1000	2 и 20 . 1	40	100
соЧ1 =---------50— =---------т-м2\ &31 =------------------- — = —м\
31	2	3	3	’	31	3	33	9’
(Оз1&з1	5000	о.
	=.	1 ' м .
Ь3----------27
для положительной части эпюры моментов
1 о- 20	250	2 и 2	20	40
о)Ч9 = — 25— = — т-м2; Ь39 = — • — = —м;
32	2	3	3	’	32	3	3	9	’
<°32^32	500	о.
	 = -1 • м .
1з-----------27
(&зЬз	(Оз1^з1	1 <j>32^32	5000	. 500	500	2
----=------------------—-------------------=---------т - м
1з 1з /з	27	27	3

Сложную эпюру моментов в пролете выгодно разбивать на
простейшие части, площади и положение центров тяжести кото-
рых хорошо известны.
Подставляя значения коэффициентов в систему (11.1), по-
лучим:
2(45 + 20)Л4Х+ 20М2 = —6 (—3 + — 1 );
\ 9	3	/
20Л4, + 2 (20 + 20) Л12 = — б(—1 — — 1 V
После преобразований уравнения принимают следующий вид:
13Mi + 2М2 = — 600; 2М! + 8М2 = — 300.	(11.2)
Пример 11.2. Построить эпюры Л4, Q и найти опорные ре-
акции R для балки, показанной на рис. 11,3, а.
Строим основную систему (рис. 11.3,6). Отбросим консоль и
заменим ее действие моментом Л10 = —54 т-м. Защемление за-
меняем дополнительным пролетом /4 = 0. Над промежуточными
опорами включаем шарниры и прикладываем неизвестные опор-
ные моменты Л1Ь М2 и М$. Момент Л40'считаем известным опор-
ным моментом. Заданный над первой опорой момент Л4 = 72 т-м
относим к нагрузке любого из смежных с опорой пролетов, на-
пример первого. Для балки постоянного сечения	^i =
= li. Система уравнений трех моментов имеет вид:
/iM0 + 2(/1 + Z2)M1 + Z2M2 = -6[-^+-^-); 1
\ *1	*2 /
/2Л4Х + 2 (/2 +/3) Л42 +/3Л43 = — 6	+	(11 3)
\ *2	*3 /
/3М2 + 2(/3 + 0)М3 = -6	+ 0 V
\ h /
Для определения выражений в правой части строим в основ-
ной системе эпюру моментов от заданной нагрузки (рис. 11.3,в).
Из эпюры находим:
со-= СО2 = -72-18 = 648 т-м2; а. = — 18 = 12л;
1	2	2	1	3
-^- = 432 Г-Al2;
h
12+18 ,п .	6 + 18 о
а, = ---—  = 10 М; Ь. — —5------= 8м;
2	3	’	2	3
= 360t-jh2; -^ = 288т-м2-,
1%	!ъ
®3 = -108-24 = 1728 т-м2-, а3=д3=12л1;
3
-^ = «Л =8б4г ,М2
h 1з
167
a)
Рис. 11.3
168
Подставляем полученные значения в систему (11.3):
— 18-54 + 2(18 + 18)Л1Х + 18М2 - — 6 (432 + 288);
18Л4Х + 2 (18 + 24) М2 + 24Л43 - — 6 (360 + 864);
24уИ2 + 2-24Л43 = —6-864.
После преобразований система уравнений принимает вид:
4М1+М2 = — 186;
3Ali + 14М2 + 4Л43 = — 1224;
Л42 4~ 2Л43 = — 216.
(11-4)
Решения системы (11.4) записываем в виде Л4г-= ^-,
где D — определитель системы;
Dt — определитель, который получаем из определителя D
путем замены его f-ro столбца столбцом свободных
членов, расположенных в правой части системы урав-
нений.
Производя вычисления, находим, что
— 186 10
- 1224 14 4
—216 12
4— 186 0
3—1224 4
0— 216 2
90
90
= — 58 Г • At;
4 1— 186
3 14—1224
0 1— 216
79 ТМ.
Зная значения опорных моментов, строим эпюру моментов в
заданной неразрезной балке. Окончательная эпюра в каждом
пролете есть алгебраическая сумма эпюр от найденных значений
опорных моментов и и ранее построенной эпюры Мр
(рис. 11.3, г). Построение проводим в следующем порядке:
1)	над каждой опорой откладываем с учетом знака величину
опорного момента;
2)	вершины отложенных ординат соединяем пунктирной ли-
нией, которую будем называть линией опорных моментов;
3)	от линии опорных моментов откладываем ординаты эпю-
ры Л4р, как бы «подвешивая» эпюры ТИр к линии опорных мо-
ментов;
4)	при суммировании заштриховываем те части, в которых
эпюры не накладываются друг на друга;
5)	к построенной таким образом эпюре пристраиваем эпюру
моментов на консоли.
12—1284
169
Изгибающие моменты в произвольном сечении пролета опре-
деляем по формуле
М (z) - M}p(z) + М._1 + (Д4. -	,	(11.5)
где Mp(z) — аналитическое выражение изгибающих моментов
от заданной нагрузки в пролете основной системы;
Mi — опорные моменты в рассматриваемом пролете.
Для нашей задачи эти выражения имеют вид:
пролет 1: 0 < z< 18;
M(z) - 4z - 54 + (- 32 + 54) -- - - 54 + 5,22z;
18
пролет 2: 0 z < 12;
М (г) = + 6г — 32 + [— 58 — (—32)] — = — 32 + 4,56г;
18
12<г+ 18;
Л4 (г) = 6г — 18 (г — 12) — 32 + [ — 58 — (—32)] — = 184 — 13,44г;
пролет 3: 0 < z < 24;
М(г) = 18г —0,75г2 —58 + [-79-(-58)]^- =
= —58 + 17,12г —0,75г2.
Дифференцируя функцию (11.5), получаем аналитическое выра-
жение поперечной силы в произвольном сечении Z-ro пролета:
(2==^ = <2"(г) + (Л4.-Л1._1)-А-.	(11.6)
Здесь Qp(z)— поперечная сила от заданной нагрузки в про-
лете основной системы;
(Mi—Mi-i)—----поперечная сила от опорных моментов рассмат-
h
риваемого пролета.
Для построения эпюры Q (рис. 11.3, д) надо:
построить эпюру поперечных сил в основной системе (пунк-
тирная линия);
добавить к построенной эпюре постоянную для каждого про-
лета величину, равную разности между правым и левым опор-
ными моментами, деленной на длину пролета;
к построенной эпюре пристроить эпюру поперечных сил на
консольной части.
По формуле (11.6) находим поперечные силы:
пролет 1: 0<z< 18; Q = 5,22т;
пролет 2: 0<z < 12; Q = 4,56т;
170
12 <	18; Q = — 13,44г;
пролет 3: 0 < z < 24; Q = 17,12 — 1,5 z.
Опорные реакции /?г определяем из условий равновесия бес-
конечно малого участка над z-й опорой (рис. 11.3, е) как разность
между поперечными силами в начале (z 4-1)-го и конце z-ro про-
летов по формуле Ri = Qi+i(0)—Qi(li):
/?0 = 5,22 — (—18) = 23,22 г;
/?! = 4,56 — 5,22 = — 0,66 г;
/?2 = 17,12 — (—13,44) = 30,56 т;
7?3 = 0 — (—18,88) = 18,88 т.
Контроль решения
В заданной балке угол поворота двух смежных сечений над
каждой опорой равен 0. Следовательно,
Д<р = £ J ММ,- ^-dz^-0-
где М — изгибающие моменты в неразрезпой балке;
Al- —изгибающие моменты в основной системе от Л1г=1.
Интегрирование обычно производится путем перемножения
эпюр.
На рис. 11.4, а изображен вариант разбивки эпюры М на про-
стейшие фигуры, для каждой из которых легко найти площадь
12*
171
сог- и положение центра тяжести Оп. На рис. 11.4,6—г показаны
ординаты tji-n. расположенные под центрами тяжести выбранных
фигур в единичных эпюрах Производя операции умножения
эпюр, находим:
2
У ( ММг dz — [—(пл. abc) уг1 + (пл. bed) у12]	+
/1=1
+ [—(пл. deh) yi3 — (пл. egh) ylt + (ил. efg) t/15]	=
2
= — — 54-18 —+ —40 18 —-----------— 32-18 — —
2	3	2	3	2	3
__L 58.18 — + — 72-18 — = — 18«2(—88 + 88) = 0;
2	3	2	9	6
О
У j МУИ2 у- dz = [— (пл. deh) y23 — (пл. egh) y2i +
n='2
+ (ПЛ. efg) y2S] + [ — (пл. hgj) y23 — (ил. gij) y„ +
«/ 2
+ (пл. gki) y2S] 4 = - 4 32'18 4 ~ V 58‘18 4 +
J з	z	о z	о
+ — 72-18 ------— 58-24 — —-79-24 — +
2	9	2	3	2	3
+ — 108-24— = — 4 18(— 102+ 102) = 0;
3	2	6
з
У f MM3 у dz = [— (пл. hgj) узе — (пл. gij) y31 +
t/	n
n~3
+ (nл. gki) №8] 4 = _ 4 58 • 24 4 - 4 79 •24 4 +
J 3	z	о z	о
+ — 108-24 — = —24-2(— 108 + 108) = 0.
3	2	6
Задача 11.3. Определить опорный момент для балки,
показанной на рис. 11.5, и построить эпюру М:
а)	для случая, когда Af0 = —Ра принят за известный опор-
ный момент;
б)	для случая, когда Л40 = —Ра отнесен к нагрузке в первом
пролете.
Ответ: М\=—.
4
Задача 11.4. Построить эпюру моментов для балки, пока-
занной на рис. 11.6.
172
Ответ: Мi — —69 т-м.
Задача 11.5. Построить эпюры Л4, Q и найти опорные реак-
ции для неразрезной балки примера 11.1 (см. рис. 11.2).
Ответ:	= —42 т-м-, М2=—27 т-м; Ro = ~ ~
Рис. 1 1 .6
Рис. 11.5
Метод моментных фокусов
В каждом пролете неразрезной балки различают:
1	-	,	М/
левое фокусное отношение яг=-----—, если пролет распо-
ложен левее нагрузки;
правое фокусное отношение k'. =—если пРолет Рас*
положен правее нагрузки.
Из уравнения трех моментов для незагруженных пролетов
устанавливаются рекуррентные зависимости для фокусных от-
ношений смежных пролетов:
= 2 4--^——(2----для левых фокусных отношений и
k\ — 2 4—| 2----------। для правых фокусных отношений.
/
Из этих формул следует:
фокусные отношения зависят только от размеров и жестко-
сти балки и не зависят от нагрузки;
левые фокусные отношения надо вычислять, двигаясь слева
направо, начиная с первого пролета, где k± ~оо, когда на ле-
вом конце шарнирная опора, и kx = 2, если левый конец защем-
лен;
правые фокусные отношения надо вычислять, двигаясь спра-
ва налево, начиная с последнего пролета; причем kn = 00 для
шарнирной опоры и kn =2 для защемления на правом конце.
Для балки с нагрузкой в одном из пролетов выражения для
опорных моментов загруженного пролета имеют вид:
Мм;-«г)	=  б<ог(^г-^)
173
где cdz — площадь эпюры моментов в основной системе от за-
данной в пролете нагрузки; ей приписывается знак
эпюры моментов;
az, bi — расстояния от опор до центра тяжести эпюры.
Отметим, что для первого и последнего загруженных проле-
тов, имеющих шарнирные опоры на концах, формулы (11.7)
принимают вид:
для первого пролета Мо = О, Л1} =——-1.?1 ;	(11.8)
k{
для последнего пролета ~ — 6(0/1, Мп -=0.	(11.9)
ln kn
Если нагружено несколько пролетов балки, то опорные мо-
менты определяют раздельно от нагрузки в каждом пролете, а
затем суммируют.
Пример 11.6. Вычислить опорные моменты для балки, по-
казанной на рис. 11.3, а.
Решение
Полагая /0 = Л, находим, что Xi = 18 м, Лг=18 м, Лз = 24 м.
Левые фокусные отношения вычисляем, начиная с первого
пролета:
^ = сс; ^=2 + ^(2-^-) = 4;
2+^(2--1-|=,
3	24 ’	4 /	16
Правые фокусные отношения вычисляем, начиная с послед-
него пролета:
k' = 2; k', = 2 + — (2 — -!_) = 4;
ь; = 2 + 12 - = Л
1	18 '	4 '	4
Строим в основной системе эпюру моментов от заданной в
пролетах нагрузки (рис. 11.3, в). Из эпюры находим О] =648 т • м2;
£j = 12 м; 0)2 = 648 т-м2; а2=\0 м; = 8 м; (о3= 1728 т-м2;
= = 12 м (см. пример 11.2).
Опорные моменты определяем раздельно.
а)	От нагрузки в первом пролете по (И.8)
м» = 0; М? = — 6'648,12 = — 38,4 т-Л1.
°	’	1	182-15/4
Для незагруженных пролетов, используя правые фокусные
отношения, находим:
Mg = — —
k'.
^2 ~	9,6
М‘ =-----=--------
*
38>4 ПС
—- = 9,6 т-м;
4
= — 4,8 т-м.
2
174
б)	От нагрузки во втором пролете по (11.7):
Ллб 6-648 (8-4 — 10)
/И? =---------------- — 17,6 т-м;
1	182(4-4 —1)
6-648(10-4 —8)	с
---------------	— 2э,6 Т-М.
182(4-4—1)
В первом пролете = — -1- =0,
1 М2
Мб2
В третьем пролете
так как k[ = оо.
= — = \2,8т-м.
2
в)	От нагрузки в третьем пролете по (11.7):
6-1728(12-2 — 12) оо .
Л4” —--------------------- = — 38,4 т-м;
~	242 (53/16-2 — 1)
= тм
3	242 (53/16-2 — 1)
Рассматриваем незагруженные пролеты слева. Применяем
левые фокусные отношения:
М» = —= 9,6 т-м; Л4” =- — М-1 = 0.
1 Лг 4	’	kt
г)	От нагрузки на консоли
Л4;; = — 54 Т-М;
Л4'. = — — - — = 14,4 Т-м;
1	15/4
...	441	14,4 о с
Л41 =-------- =------=• —3,6 Т-М;
k’,	4
.-И' = —	= 1,8 7--Л4.
2
Опорные моменты от совместного действия нагрузки по прин-
ципу независимости действия сил находим как сумму ранее най-
денных величин:
Л40 =	+ М;; +	= — 54 т • м;
Л4] = М\ + Л4" + М'Ч- /И;' ;=
= —38,4 — 17,6 + 9,6 + 14,4 = — 32 т-м;
м, = ма2+ + Л4В +	=
= 9,6 — 25,6 — 38,4 — 3,6 = — 58 т-м;
Мл = Nla 4- Л4!'; + Л4" + Мг, =
о	о	о	о	о
= —4,8 + 12,8 — 88,8 + 1,8 = —79 т-м.
175
где л. в. Q^a.i—линия влияния поперечной силы для того л
сечения в статически определимой основнс
системе.
Ордината на конце консоли равна:	— Al *) — .
In
Линия влияния реакции /г-й опоры Rn определяется формулой
Л. В. Rn = Л. В. + Л. В. ДбаЛ] + /л в _ л. в. мп) -----------
— (л. в. М — л. в. М .) —,
\	п	п—1/ / ’
где л. в. В^ал— линия влияния правой опоры n-го пролета в
статически определимой основной системе;
л* в- —линия влияния левой опоры (п + 1)-го пролета
в статически определимой основной системе.
Таблица 11.1
и	0	0,10	0,20	0,25	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,75	0,80	0,90	1
	0	0,1710	0,2880	0,3281	0,3570	0,3840	0,3750	0,3360	0,2730	0,2340	0,1920	0,0990	0
ft {и)	0	0,0990	0,1920	0,2344	0,2730	0,3360	0,3750	0,3840	0,3570	0,3281	0,2880	0,1710	0
Ордината на конце консоли равна: Rn = (Af* j — М*\—----------
V	7 Лг4-1
Пример 11.7. Построить линии влияния для балки, показан-
ной на рис. 11.8, а. Полагая /о = Л, находим, что М= 18 м, ^2 =
= 18 м, лз = 24 м.
53
Левые фокусные отношения &i=oo, &2 = 4, k3 =—, а правые
16
15
фокусные отношения k’2 = 2, k'2 = 4,	= — (см. пример 11.3).
По полученным данным вычисляем коэффициенты Ац:
Ап = 18/' —— —) = —; Л22 = 18/4 —-Ц =—;
11	\ 4	<х> /	2 ’	22	4 /	2 ’
Л33 = 24 ( 2 —
33	\	53 J 53
Выбираем три статически неопределимые основные системы
(Z=l, 2, 3). В каждой из них с помощью фокусных отношений
строим эпюру моментов от единичного значения неизвестного
Mi= 1 (рис. 11.8, б—г). Используя полученные эпюры, находим
178
значения опорных моментов Mni. Полученные результаты зано-
сим в табл. 11.2. Для определения ординат линий влияния на
консольной части строим эпюру ЛГр (рис. 11.8, д).
Рис. 11.8
Уравнения линий влияния для каждого неизвестного записы-
ваем по пролетам, подставляя соответствующие значения i и п
в формулу (11.13).
Для 1 = 1; л.в;М1 = -^-[Д(и)М(,1_1)1+/2(Ы)Мл1];
1-й пролет (л = 1): л. в. Мг = — 18~'8'2|0 + /2 («)] = — 4,8 А (л);
1ОЭ
2-й пролет
(« = 2): л. в. М, = - [a (л) - -L /2 (л)] =
1 оэ L	4	]
=-4,8 А (л) + 1,2/2 (л);
179
Таблица 11.2
№ пролета			Ali	Опорные моменты от Л1 • — 1			
				Afo	м,	мг	
1	ос	15/4	135/г	0	1	-ч*	»/.
2	4	4	135/2	0	-'Л	1	-vs
3	53/1в	2	2,в0/63	0	4/53	-1в/53	1
3-й пролет (п = 3):
= 2,133/1 (и) — 1,067/2 (и).
Ордината на конце консоли Л1| = 0,8 (рис. 11.8, д). График ли-
пин влияния Л11 показан на рис. 11.9, а.
Для i=2: л. в. Ma =	+	п2].
1-й пролет (n = 1): л. в. М2 =
18• 18• 2 Гn 1 г /	< Qf / ч
___ |0 — — /2 (U)j = 1,2/а (и);
2-й пролет (п = 2): л. в. Л42 =
18-18-2 Г	1 . . .	, t .
-7^---------~/1(«)	+ /2(«>
135 L	4
= l,2/i (и) — 4,8/а(и);
3-й пролет (п — 3): л. в. М2 = —24 24 2 [/i (t
135 [
= — 8,533 Д (и) + 4,267 /а (и).
Ордината на конце консоли Л42 = 0,2. График линии влияния М?
показан на рис. 11.9,6.
Для i = 3: л. в. М3 = -	[ /1 (и) ЛТ(„_1)3 + /2(«) 2Йп3];
1-й пролет (n = 1): л. в. Л43 = — '8~18:53- |о + f2 (и)] =
zibu l ьз j
= —0,6 /а (и);
2-и пролет (п = 2): л. в. М3 =------- — Л(и) —
^1Ои ио
-41/2 («)] = - 0,6 л (и) + 2,4 /2 («);
53
180
а)	Л.В.М,
080
?)	£	Лв.М?”
<Xj' см	*
Рис. 11.9
181
о -	/ о\ л л 24-24-53 Г 16Х/Ч|£/х1
З-и пролет (п = 3): л. в. М3 =---— — А («) + А(«) =
= 4,267 Л («) —14,33/2 (и).
Ордината на конце консоли /И3 = 0,1. График линии влияния Л13
показан на рис. 11.9, в. Линия влияния изгибающего момента
Mh в сечении zk = 7,2 м (щг = 0,4) второго пролета строим по фор-
муле
л. в. Mk = л, в. УЦбал в о,6 + л. в. Л42(0,4).
Линия влияния Л1^ал показана на рис. 11.9, г. Ордината на
конце консоли (рис. 11.8, (3) Л1/г = 0,8-0,6—0,2 -0,4 = 0,4.
График линии влияния Mk показан на рис. 11.9, д.
Линию влияния поперечной силы Qk в том же сечении стро-
им по формуле.
л. в. Q. — л. в. О°ал + (л. в. М? — л. в. М.} —.
^-к	''-R 1 \	2	17 18
Линия влияния (?2ал показана на рис. 11,9, е. Ордината па
конце консоли <?&=(—0,2—0,8) — =—0,06. График линии вли-
18
яния Qk показан на рис. 11.9, ж.
Линию влияния опорной реакции /?2 строим по формуле
л. в. R2 = л. в. В^ал + л. в. Л®ал + (л. в. Л43 — л. в. М,) X
X —----(л. в. М2 — л. в. .
24	'	18
Линии влияния В|ал и Л»ал показаны на рис. 11.9, з. Орди-
ната на конце консоли /?2= (0,14-0,2) —-(—0,2—0,8) Л-=0,07.
24	18
График линии влияния /?2 показан на рис. 11.9, и.
§ 11.3. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ
ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Пример 11.8. Построить линии влияния опорных моментов
для неразрезной балки переменного сечения, показанной на
рис. 11.10, а.
Положим, что Jt (г) = JQ 2
/ **.	/ 5», \	"13
f-2f + l =/оФ(г),
\ ч /	\ ч /
где /о — момент инерции опорного сечения.
182
Для статически определимой основной системы (рис. 11.10,6)
записываем систему уравнений трех моментов в канонической
форме:
6ц Alj + 612 М2 -J- 0 -г ~ 0;
621М, 4- 622 М2 4- 623 М34- 62р - - 0;
0 + S32M24- 633MJ+d3^ 0.
(11.14)
Коэффициенты при неизвестных 6^ постоянные величины, кото-
рые определяются из следующих выражений:
z.
6.,.	= —— f М. М, ,a,dz\
EJq J 1	1	’
о
=6./+ 6?.p=4~ f M2‘ a‘ d~z+Er f a‘-+'d z'
O t/	0	♦/
о	0
185
_____
° о
где
а,_5к__!_.
£7, т(г)
По своему геометрическому смыслу это углы поворота у i-й опо-
ры основной системы от действия единичных значений неизвест-
ных М{_и М{ и Mf+I (рис. 11.11,а, б.).
Свободные члены как функции положения нагрузки находят
из следующих выражений:
f li _____	р ~
— С Мр Mi at dz = — Фа (и),	если груз Р= 1 в i-м про-
EJ» J	EJ<>	лете;
~	t ,
__L С Мр Mt ai+1 dz = -£±1.0! (и), если груз Р = 1 в (i +1 }-м
EJ» J	EJt> пролете;
О, когда груз Р=1 вне пределов i-ro и (i+l)-ro пролетов;
где м== v—безразмерная абсцисса положения груза.
н
Геометрический смысл этих выражений двоякий. С одной сто-
роны, dip угол поворота у i-й опоры при движении единичного
груза по i-му или (i+lj-му пролету (рис. 11.11,в). С другой
стороны, брг = 6гр может рассматриваться, как упругая линия
в i-м и (i+l)-M пролетах основной системы от действия единич-
ного момента М — 1 (рис. 11.11,6).
Для вычисления указанных величин используем способ упру-
гих грузов. Согласно этому методу углы поворота у опорных се-
чений балки определяются как опорные реакции от действия
фиктивной нагрузки в виде упругих грузов (рис. 11.11,6, е):
п
О
- ч, + «;<" - я; + ^+‘ = £ П+ W1 (1 -
о	о
= ^+’ = s wir
о
где п — число узловых точек;
k—номера узловых точек (£=0, 1, 2, ..., п);
— упругий груз в А-й точке i-ro пролета от действия
единичного момента Al, = 1;
184
sei
Wj+'—то же, для (i + 1)-го пролета;
-Свободные члены как функции положения нагрузки:
/?
S* =----Ф2(иД если нагрузка слева от i-й опоры;
р EJq
ft
6* = _2±1 Фх (нД если нагрузка правее i-й опоры, вычисля-
р EJq
ет как изгибающие моменты в k-й точке условной балки от дей-
ствия фиктивной нагрузки (рис. 11.11,ж). Приближенные зна-
чения упругих грузов вычисляем по следующим формулам:
а) в левой крайней точке (k = 0)
(2Л?0/а0+ ТЙ^ад);
n&EJo
0) в промежуточных точках (k=^0, k=fi=n)
^ki ~ Z (М<^< ak-l +
n 6EJ0
в) в правой крайней точке (k = n)
,,an , + 2Mnlan),
n 6EJo
где Mki — изгибающий момент в k-й точке от действия А^=1.
Вычисленные по этим формулам величины положительных упру-
гих грузов направлены вниз (рис. 11.11,е). Значения упругих
грузов при /2=10, а также все необходимые для расчета величи-
ны приведены в табл. 11.3. Используя полученные результаты
находим, что:
.	_ 0,892
“ ejq ;
/2*/0
д 0,892
EJq *
.Откуда следует, что:
д п = -Ь285.(18 + 18) =
11	£70 V ' EJa ’
^12 —	0,892 £</о	18	_ 16,1 ~ Е Л ’
б22 =	1,285 £Jo	(18 + 24) = Ё/J л	
О	0,892	П А	21,4
^23 —		24		•
	£/о		EJo ’
	1,285		30,8
633 —		24	-	- *
	£/о		EJo ’
186
Таблица 11.3
	Г	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
• i-й пролет	Ф(ха)=[2<2-2Гл+1]3	1,000	0,551	0,314	0,195	0,141	0,125	0,141	0,195	0,314	0,551	1,000
	1 а*-	/	V ф(**)	1,000	1,815	3,185	5,128	7,092	8,000	7,092	5,128	3,185	1,815	1,000
	МАг = «л	0,000	0,100	0,200	0,300	0,400	0,500	0,600	0,700	0,800	0,900	1,000
	M*j аА —	. ф(**)	0,000	0,182	0,637	1,538	2,837	4,000	4,255	3,590	2,548	1,634	1,000
	EJо ml - х*"	0,003	0,023	0,071	0,161	0,283	0,386	0,412	0,353	0,257	0,168	0,061
	Ф, (“а)	0,000	0,089	0,176	0,251	0,319	0,354	0,351	0,308	0,227	0,122	0,000
। (Л-Н)-й пролет	Ф(х*)=[2/|-2/й+1]3	1,000	0,551	0,314	0,195	0,141	0,125	0,141	0,195	0,314	0,551	1,000
	в*~ Ф(*а)	1,000	1,815	3,185	5,128	7,092	8,000	7,092	5,128	3,185	1,815	 1,000
	Mki = (»-<*)	1,000	0,900	0,800	0,700	0,600	0,500	0,400	0,300	0,200	0,100	0,000
	—	1 —ik Mkiak =	* Ф(*а)	1,000	1,634	2,548	3,590	4,255	4,000	2,837	1,538	0,637	0,182	0,000
	тМ1 ч-н	0,061	0,168	0,257	0,353	0,412	0,386	0,283	0,161	0,071	0,023	0,003
	Ф1(«а)	| 0,000		0,122	0,227	0,308	0,351	0,354	0,319	0,251	0,176	0,089	0,000
	H8J j . ч 7Г ф»	в 1-м пролете;				
	18» z \	если	груз Р=1	во	втором	
	i 0	в 3-м	пролете;			
	0	в 1-м	пролете;			
		если	груз Р=1	во	втором	пр
	I EJo	в 3-м	пролете;			
	0	в 1-м	пролете;			
	0, \EJ0	если в 3-м	груз Р=1 пролете	во	втором	пре
Неизвестные опорные моменты Л1г- как функции
единичной нагрузки выражаются через коэффициент
системы следующим образом:
л. в. М. = д1р + р/2 д2Р 4- Р/3 6ЗР,
где Ptj= (— 1)	~ — коэффициенты влияния;
D =
^11 ^12 О
^21 ^22 ^23
О 632 63З
— определитель матрицы системы;
Dij — определитель, который получается из определит»
тем исключения i-й строки и /-го столбца.
Используя вычисленные значения величины, получг
.	46,3	16,1	О
D =	——	16,1	54,0	21,4
(£J0)3	о	21,4	30,8
478-1О2
(£/о)3 1
154,0 21,41
0П = (— 1)1 Ejo J-1-’4---’-8-! = — 0,232 10-1 EJa-
r '	°	478-10’
I 16,1 21,41
₽n = (— О2 -'- °- 30,81 = 0,103 10~' £J0;
8 v	0	478-10»	°’
I 16,1 54,01
₽18 = (— 1)’ EJ0 -1-9 - 21’41 = — 0,072 • 10-1 EJ0-
18 v 7	0	478-10»	°’
146,3 0 I
= (- 1)’ EJ0 Ц-^8' = - 0,298- IO"1 FJ0„
4/o-ilr
188
146,3 16,1 I
В,3 = (-!)* EJ0-'-° ^4| = 0,207-10"1 £J0;
4/о* ilr
| 46,3 16,1 I
₽33 = (—-1)5 EJ0 g’0-1- = - 0,469- IO-' EJ0.
478*ICr
Подставляя значения коэффициентов влияния в выражение
(11.15), находим:
л. в. М1 = (—0,252 д1р +0,103 62р —0,072 б3р)
л. в. Л42 = (0,103 о1р —0,29862р + 0,207 63р) 10~x EJo-
л. в. М3 = (— 0.072 61р + 0,207 62р — 0,469 63р) 10-1 • EJ0.
Рис. 11.12
Подставляя в эти выражения полученные ранее значения дР1- при
движении груза по пролетам неразрезной балки, получим сле-
дующие уравнения линий влияния:
а)	груз в 1-м пролете (рис. 11.10, в):
л. в. Л4Х = — 8,17Ф2(«);
л. в. М2 — 3,34 Ф2 (и);
л. в. Л43 = —2,34Ф2 (и);
б)	груз во 2-м пролете (рис. 11.10, г):
л. в. Afi = —8,17Ф1(и) + 3,34Ф2(и);
л. в. Л42 =	3,34 Ф± (и) — 9,65 Ф2 (и);
л. в. М3 = — 2,34 Фх (и) + 6,71 Ф2 (и);
189
в)	груз в 3-м пролете (рис. 11.10,(9):
л. в.	5,93	(и)— 4,15Ф2 (и);
л. в. М2 = — 17,150!^) + 11,96Ф2 (и);
л. в. Л13 =	11,96 0j(u) — 27,05 Ф2 (и).
Графики линий влияния показаны на рис. 11.12; там же пунк-
тирной линией показаны линии влияния для балки постоянного
сечения Z = /o = const.
Глава 12
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
ШАРНИРНЫХ ФЕРМ И КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Пример 12.1. Построить линии влияния опорных реакций и
продольных сил в стержнях 2-3, 3-11, 11-12 фермы, показанной
на рис. 12.1, а. Площади сечений стержней всех поясов равны
между собой и принимаются по F. Площади сечений раскосов
принимаются по 0,5 F. Все стержни изготовлены из одного и
того же материала.
Решение
Ферма однажды статически неопределима внешне, так как
имеет один лишний опорный стержень.
Основная система показана на рис. 12.1, б. Она получена пу-
тем устранения опорного стержня на средней опоре. Таким об-
разом, в качестве лишнего неизвестного принята реакция сред-
ней опоры, которую обозначим
Уравнение линии влияния основного неизвестного имеет вид:
dpi
=	(12.1)
где 6pi — эпюра вертикальных перемещений узлов грузового
(в данном случае нижнего) пояса от силы %i = 1. Собственное
перемещение
Здесь N(1— продольная сила в некотором (i-м) стержне основ-
ной системы от действия на нее силы Xj = l;
lh Ft — длина и площадь поперечного сечения /-го
стержня;
— модуль упругости его материала.
190
191
^умма в (12.2) берется по всем стержням основной системы,
в которых возникают продольные силы от указанного единично-
го воздействия.
Усилия Na в стержнях основной системы от Xj = l могут быть
определены графически по диаграмме Кремоны или аналитиче-
ски способом простых сечений._Эти усилия записаны на рис.
12.1, в у осей стержней. Усилия Nn приведены только для поло-
вины фермы ввиду ее симметрии.
Эпюру 6pi строим при помощи упругих грузов, определяе-
мых по формуле
0Ул1 E[Fi *	( 2*3)
i
Здесь w_nX — упругий груз n-го узла грузового пояса;
Л^-д — усилия в стержнях основной системы от единич-
ной группы сил, приложенной в n-м узле грузово-
го пояса.
Благодаря симметрии фермы достаточно определить упругие
грузы wn\ только для узлов п=1, 2, 3, 4. Установим единичную
группу сил сначала для определения W\\ (ри_с. 12.1,г). В этом
случае усилия в стержнях обозначены через Ыц. Эти усилия мо-
гут быть найдены с помощью диаграммы Кремоны или анали-
тически способом простых сечений. Отличными от нуля оказы-
ваются усилия только у семи стержней в двух загруженных па-
нелях. Эти усилия записаны у осей стержней на рис. 12.1, а.
В заданной ферме все стержни изготовлены из одного и того
же материала Ei=E\ площади сечения стержней поясов отно-
сятся к площадям сечения раскосов как 1 :0,5; длины стержней
поясов относятся к длинам раскосов как 1 : —. Учитывая это и
6
структуру формул (12.1) — (12.3), замечаем, что для упрощения
вычислений wn\ и бц можно принять Ег=Е=1, площади сечения
стержней поясов и их длины — равными 1, площади сечения
раскосов — равными 0,5, а их длины — равными — . Упругий
груз u/ц по формуле (12.3) будет:
0,25-0,75-1 , 0,125-0,375-1 , 0,125-1,125.1 ,
11 1-1 1-1 1-1
0,208-0,625-5	0,208-0,625-5 __ 0,208-0,625-5 _
+	1-0,5-6	+	1-0,5-6	1-0,5-6
0,208-0,625-5 п
--------------— U, о /о.
1-0,5-6
Мы видим, что здесь имеют значение только три первых сла-
гаемых, зависящих от усилий в поясах. Прочие четыре слагае-
192
мых, зависящие от усилий в раскосах, сокращаются, так как в
данном случае они содержат произведения симметричных уси-
лий Лги на кососимметричные усилия Nu. Нетрудно видеть, что
то же самое будет и при вычислении упругих грузов w2i, w3i-
Для их определения необходимо единичную группу сил по-
следовательно смещать, кдк показано на рис. 12.1, д — е. От-
личные от нуля _усилия TVi2, Мгз при этом останутся такими
же, как и усилия Произведя вычисления по формуле (12.3)
и записывая только слагаемые, содержащие усилия в поясах, по
соображениям, отмеченным выше, получим:
0,25.1,50-1 , 0,125-1,125-1 . 0,125-1,875-1 п „СА
о>21 =----------------------------------------= 0,750;
21	1-1	1-1	1-1	’
0,25-2,25-1 . 0,125-1,875-1 , 0,125-2,625-1	< tос
31	1-1	1-1	1-1
При вычислении упругого груза по оси симметрии отмечен-
ное сокращение слагаемых от усилий в раскосах не произойдет.
Действительно, приложив единичную группу сил, как показано
па рис. 12.1, ж, учитывая, что отличные от, пуля усилия Ni4 при
этом достанутся такими же, как и усилия и сопоставляя уси-
лия Nit и Ni] на рис. 12.1 ж и на рис. 12.1, в, замечаем, что по
условию симметрии эти усилия будут иметь соответственно оди-
наковые знаки. Поэтому получим:
0,25.3,00-1 , 0,125.2,625-1 , 0,125-2,625-1 ,
41	1-1	1-1	ы
0,208-0,625-5 4	2 273
'	1-0,5-6
Лоскольку основная система представляет собой однопролетпую
|)срму с ездой понизу и шарнирными опорами, то упругие грузы
фпкладываюгся к фиктивной однопролетной балке с шарнир-
ами опорами по концам. Эта балка, загруженная упругими
рузами, показана па рис. 12.2, а. Так как упругие грузы получи-
шсь положительными, то они направлены вверх.
Эпюра изгибающих моментов в этой балке, представляющая
обой эпюру узловых перемещений бп, представлена на
•ис. 12.2,6.
В принятой основной системе не требуется специального вы-
ведения бц но формуле (12.2), так как в данном случае бн рав-
о с обратным знаком перемещению бп в узле 4, где приложена
ила АД = 1, направленная вверх. Таким образом, имеем бц =
= 58,776.
Подстановкой значений 6Р! и бц в (12.1) получаются орди-
аты линии влияния основного неизвестного АД или, что то же
амое, ординаты искомой линии влияния опорной реакции
I—1284	193

su'd ем’о
вМ «s oei'o
osz’o ио'оъ
8№f
LSZ'O
средней опоры в заданной ферме. Очертание этой линии влия-
ния и значение ее ординат показаны на рис. 12.2, в.
Ординаты линии влияния опорной реакции левой опоры по-
лучены по выражению
л. в. Rop = (л. в. £<°> + л. в. С- (12.4)
где /?о0? —величина реакции левой опоры от силы Xt = l в ос-
новной системе;
л. в. /?ор}— ординаты линии влияния реакции левой опоры в ос-
новной системе. Эта линия влияния приведена на
рис. 12.2, г.
131
195
Поскольку сила Xj = l приложена посередине фермы и дей-
ствует вверх, тоочертание линии влияния /?ор дано
на рис. 12.2, д.
Линия влияния опорной реакции правой опоры будет иметь
положительную ординату, равную единице, на правой опоре и
очертание, аналогичное R{}P.
Линии влияния усилий в стержнях 2-3, 3-11, 11-12 строим по
выражению
л. в. N[p = (л. в. X,)	+ л. в. Nl°p.	(12.5)
Учитывая величины усилий Х(2-з), = —1,875, N (и-з>, =
= —0,625, Х(п-12), =2,250 (см. рис. 12.1,в), получим по (12.5):
л. в. N{2.3)p = - 1,875 (л. в. X,) + л. в. N^p ;
л- в- Nv-ii) р =— °>625 (л- в- xi) + л- в- Na}-3) р ;
л- в- NU1-I2) Р = 2-250 (Л- В- Х1) + л-	р-
По этим трем выражениям вычислены ординаты линий влияния
усилий в заданных стержнях фермы. Линии влияния в соответ-
ствующих стержнях основной системы: л. в.	; л. в. N(3-idp
л. в. А/(//./2)р представлены на рис. 12.2, е, 12.3, а, в. Очертания
искомых линий влияния показаны на рис. 12.2, ж, 12.3,6. г.
Указания
1. В фермах с ездой по верхнему поясу с опорными стойками
(рис. 12.4, а) при основной системе с устраненной средней опо-
рой фиктивная балка с фиктивной нагрузкой принимается по
схеме, показанной на рис. 12.4,6, где фиктивные опорные мо-
менты выражают перемещения от продольных деформаций
опорных стоек:
М'К- -^2; Ш =
° EoFo ‘ E-F-
2. В консольной ферме (рис. 12.4, в) при указанной основной
системе вид фиктивной балки с фиктивной нагрузкой показан на
рис. 12.4, г. При езде понизу фиктивных опорных моментов не
будет.
Пример 12.2. Построить линии влияния продольных сил в
стержнях 16-17, 18-19, 18-6 фермы, показанной на рис. 12.5, а.
Площади сечений стержней поясов равны по F. Площади сече-
ний шести опорных раскосов по— F. Площади сечений прочих
5
1 тэ
раскосов по — . Все стержни изготовлены из одного и того же
материала.
196
Рис. 12.4
Решение
Ферма дважды статически неопределима внешне, так как
имеет два лишних опорных стержня. Так как заданная ферма
имеет ось симметрии, то выбираем симметричную основную си-
стему. Последняя показана на рис. 12.5,6, где разрезаны стерж-
ни 16-17 и 20-21. Усилия в них обозначены через Х\ и Х2. Чтобы
освободиться от побочных перемещений, применим способ пар-
ных неизвестных. С этой целью симметрично расположенные, но,
вообще говоря, не равные силы Xi и Х2 представим в виде:
= У1 + У2; )
(12.6)
Примем группы сил У| и У2 в качестве новых, парных неизвест-
ных (рис. 12,5,6?). Группа У] — симметрична, а группа У2— ко-
сосиммс!рична. Поэтому побочные перемещения 6i2 и 621=612
равны нулю, и канонические уравнения примут вид:
ди У, +6,^-0;»
6,, Ц-r 0.|
(12.7)
Отсюда уравнение линии влияния обобщенной силы У1 симмет-
ричной группы парных неизвестных будет:
У1-	(12.8)
197
сравнение линии влияния обобщенной силы Уз кососиммет-
ричной группы парных неизвестных:
Y,=	(12.9)
O22
d/3
Рис. 12.5
Линии влияния усилий в стержнях могут быть найдены по вы-
ражению
л. в. Nlp = (л. в. Ntl + (л. в. У2) Na + л. в. N%, (12.10)
где Ntl и Na— величины усилий в стержне i от единичных пар-
ных сил У1 = 1 и Уг= 1 соответственно (рис. 12.5,
г, д).
108
(12.11)
линии влияния усилий в стержнях 16-17 и 20-21, т. е. линии
влияния усилий Xi и X2l также могут быть найдены по (12.10)
либо по (12.6):
л. в.	~ л. в.	+ л. в. У2;
л. в. Х2 = л. в.	— л. в. У2.
Усилия Na и Л/?-2 в стержнях основной системы от У] = 1 и Y2=l
соответственно, найденные обычными методами, записаны у
осей стержней на рис. 12.5, г, д. Так как усилия в первом пролете
на рис. 12.5, г симметричны усилиям в третьем пролете, то в по-
следнем они не показаны.
Подготовительные вычисления для определения собственных
перемещений бц и 622 приведены в табл. 12.1 и 12.2. Для удобст-
ва вычислений формулу этих перемещений представим в виде:
Таблица 12.1
Стержни	Nil		I.,	El E,	F. 	 F„	"v2 ‘l
						El Eq	F 0
0-1	-1/8	1/64	1	1	1	1/64
1-2	—3/8	9/64	1	1	1	9/64
2-3	—5/8	25/64	1	1	1	25/64
3-4	—7/8	49/61	1	1	1	49/64
13-14	1/4	1/16	1	1	1	4/64
14-15	1/2	1/4	1	1	1	16/64
15-16	3/4	9/16	1	1	1	36/64
0-13	1/4	1/16	1	1	4/5	5/64
13-1	—1/4	1/16	1	1	1/2	8/64
1-14	1/4	1/16	1	1	1/2	8/64
14-2	-1/4	1/16	1	1	1/2	8/64
2-15	1/4	1/16	1	1	1/2	8/64
15-3	-1/4	1/16	1	1	1/2	8/64
3-16	1/4	1/16	1	I	1/2	8/64
16-4	-1/4	1/16	1	1	4/5	5/64
16-17	1	1	1	1	1	64/64
4-5	— 1	1	I	1	1	64/64
5-6	— 1	1	1	1	1	64/64
17-18	1	1	1	I	1	64/64
18-19	1	1	l-v2-v2	1	1	32/64
2 на половине фермы 486/64
/о 486	486	/0	486 d 243 d
EoFo 64 ~ 32 ’ E0F0 ~ 32 E0F0~ 16 E0F0
199
V--,	1 X.	t
_ у 1°	- - f°— У------(12.12)
Ei Fl F F E° F° """^ — • —
i WKEoF°	‘ £o Fo
соответственно
v2 ~
,	K~1 Ni1 ,
(12.13)
Eq Eq
где величины /о» £o> относятся к разрезанным стержням 16-17
и 20-21.	Ei
Так как материал всех стержней одинаков, то— =1. Для
_	«	р
поясов отношения — =1, для опорных раскосов-*- =0,8. Для
Го	?о
остальных раскосов — =0,5. Стержни с нулевыми усилиями
__	__ Со
AL, и Ni2 в таблицы не включены.
'	Таблица 12.2
Стержни	N12	^12	1q		Ei E.	о	—2
							Ei eq f9
0-1	-1/8	1/64		1	1	1	1/64
1-2	—3/8	9/64		1	1	1	9/64
2-3	—5/8	25/64		1	1	1	25/64
3-4	-7/8	49/64		1	1	1	49/64 4'64
13-14	1/4	1/16		1	1	1	
14-15	1/2	1/4		1	1	1	16/64
15-16	3/4	9/16		1	1	1	36/64
0-13 13-1 1-14 //_9	1/4	1/16		1	1	4/5	5/61
	-1/4	1/16		1	1	1/2	8/64
	1/4 — 1/4	1/16 1/16		1 1	1 1	1/2 1/2	8/64 8/64
2-15 15-3 3-16	1/4 -1/4	1/16 1/16		1 1	1 1	1/2 1/2	8/64 8/64
	1/4	1/16		1	1	1/2	8/64
	—1 /4	1/16		1	1	4/5	5/64
16-4	1	1		1	1	1	64/64
16-17	-3/4	9/16		1	1	1	36/64
4-0	— 1/4	1/16		1	1	1	4/64
5-6 17-18	1/2 —1/2	1/4 1/4		1 1	1 1	1 4/5	16/64 20/64
4-17	1/2	1/4		1	1	1/2	32/64
17-5	— 1/2	1/4		1	1	1/2	32/64
5-13 13-6	1/2	1/4		1	1	1/2	32/64
				S на	половине фермы		434/64
	л	/с	>	о434	434	i	434 <	1	217	d
	йи= Еа>	Fo 64	32	’ e9f,	,	32 E0F0 16 E,		Oo
200
В рассматриваемом случае для построения эпюры dpi необ-
ходимо вычислить только упругие грузы узлов /, 2, 3, 5У 6, т. е.
яуц, w2i, Шзь ^51, ^бь так как упругие грузы узлов 7, 9, 10, 11
определяются по симметрии: z£?7i = t^5i; ^91=^31; ^10,1 = ^21;
^11,1 = ^11- Аналогично для построения эпюры дР2 необходимо
определить упругие грузы ш!2, ^22» ^32, ^52, ^62, а затем по косой
симметрии будем иметь ^72 = —^52; ^9,2 = —^32; ^10,2 = —^22;
^11,2 = —^12- Для удобства вычислений формулу (12.3) предста-
вим в виде:
(12.14)
Ntn Nit~
е9 ‘ Ло
Подготовительные вычисления для определения по этим фор-
мулам величин wni, wn2 могут быть проведены в таблицах. Так,
табл. 12.3 составлена для вычисления упругого груза ^и. За-
гружение основной системы единичной группой сил для опреде-
ления показано на рис. 12.5, е. Это же загружение пригодно
для определения Ш]2.
Приложенная к основной системе единичная группа сил для
определения о/21 и w22 показана на рис. 12.5, ж. Последователь-
ное смещение единичной группы сил для определения прочих
грузов аналогично описанному в примере 12.1. Остальные упру-
гие грузы будут:
16
W21 = ^10,1 = ™22 = ~ ^10,2 = ----------------
8Е0 FqY 3
27
w3i = 0У91 - ау32 = — ш92 ---------------
8EoFo 3
^51 = ^71 = O'Gl =- -------32,_ ;
8Z:oF0V 3
5
SEqFq V 3
22
^52 -- — W12 = ---------—
8EqFq 3
wc2 = 0.
14—1284
201
Таблица 12.3
“'ll 11,1	/--р р	, г-- •
8dV 3	8EQ Fq V 3
Поскольку основная система имеет три пролета, то упругими
грузами загружается цепь из трех однопролетных балок (рис.
12.6,а. в). Положительные упругие грузы направлены вверх,
отрицательные — вниз. Эпюры изгибающих моментов от этих
грузов (рис. 12.6, б, г) представляют собой узловые эпюры dpi
и 6р2 соответственно.
Подстановкой значений ординат dpi и 6Р2 в (12.8) и (12.9)
получаются ординаты линий влияния У1 и У2. Величины этих ор-
динат и очертания линий влияния У! и У2 показаны на рис.
12.6, д, е.
Линии влияния продольных сил в стержнях 16-17\ 18-19 и
18-6 построены по выражению (12.10). Величины усилий и
Ni2 в указанных стержнях приведены на рис. 12.5, г, д. Таким
образом, имеем
л- В- NU6-17)P = 1 (Л- В- Г1) +1 (л-в- у2) + °;
202
hOLl'O
9960'0^
&LIZ
Li
^Liz
hi
SALIZ
69
larn'o
!8Ю'О
LSI 0'0
§
wso‘o*y£
(fbt—

zsot'o
^иг
и

			     ' । » *
		
Рис. 12.6
U.6Z‘O
шс'о
S99l'O
здесь л. в. Л^(1б-17)р= 0, так как в основной системе стержен]
16-17 разрезан; л. в. A/(ie-i7)p дана на рис. 12.6, ж;
л. в. р = 1 (л. в. KJ + 0 (л. в. У2) + л. в. р ,
л- в- N(tS.6) р '= 0 (л- в- У1) + у (л- в- О + л- в- ^<м-б) р 
Рис. 12.7
Линии влияния Nu> для рассматриваемых стержней в основной
системе показаны на рис. 12.7, а, в. Линии влияния усилий для
этих стержней в заданной системе даны на рис. 12.7,6, г.
Пример 12.3. В комбинированной системе (рис. 12.8, а)*,
представляющей собой неразрезную балку (балку жесткости)
постоянного поперечного сечения, усиленную шарнирной аркой
(гибкой аркой), требуется построить следующие линии влияния:
1) продольной силы в стержне S3; 2) опорного момента на опо-
* Пример 12.3 выполнен доц. канд. техн, наук А. М. Смирновым при \ ча-
стим и под редакцией автора.
204
pe S; 3) момента в сечении над точкой закрепления стойки V2;
4) ядровых моментов в том же сечении; 5) поперечной силы
в том же сечении. Материал балки жесткости и элементов над-
стройки один и тот же. Площади сечения стержней цепи Рцепя =
= 0,2 Гбал, где Гбал — площадь сечения балки жесткости. Пло-
щади сечения подвесок /’’подв^О,! F^. Момент инерции попереч-
Рис. 12.8
ного сечения балки принят численно равным площади этого се-
чения: /бал^ 12^бал. Расстояния верхней и нижней точек ядра
до центра тяжести сечения:
Гв = Гн = 0,3 м.
Арка присоединена к балке без эксцентрицитета.
Решение
1. Выбор основной системы. Заданная система симметрич-
на. Поэтому и основная система выбирается симметричной. Это
значительно упрощает весь дальнейший расчет. За лишнюю
связь принимается стержень S3, расположенный на оси симмет-
рии системы. Неизвестное усилие в этом стержне обозначено че-
205
рез Хх. Принятая основная система изображена на рис. 12.8,6.
Она получена путем разреза стержня S3. Эта основная система
дважды статически неопределима. При этом предполагается,
что расчет неразрезной балки уже произведен. Внешняя нагруз-
ка, сила Р=1, движется по неразрезной балке. Уравнение линии
влияния основного неизвестного имеет вид
л(2)	Л(2)
у - —/19
б{?	б<?>-
перемещений означает, что эти не-
основной системе, которая дважды
Индекс (2) в обозначениях
ремещения определяются в
статически неопределима.
Замена б ip на 6$ производится на основании теоремы о
взаимности перемещений. Геометрический смысл перемещения
я (2)
о'и —это взаимное смещение концов разрезанного стержня по
направлению сил Х\ от действия на основную систему сил
Перемещения dpi—это ординаты изогнутой оси иеразрезпои
балки от действия па основную систему сил ЛЛ] = 1.
Если построить эпюру вертикальных перемещений dpi и каж-
дую ординату разделить на постоянную величину би* , то со-
гласно (12.5) получится линия влияния усилия Xj.
2. Определение единичного перемещения 6ii}. Перемещение
. (2)
Он в основной системе является результатом продольных де-
формаций стержней надстройки и балки жесткости и деформа-
ций изгиба этой балки:
dfp = d<p (2V) + д<?> (Л4).	(12.16)
Перемещение, вызванное продольными деформациями стерж-
ней, определяется по формуле (12.2).
Сумма в (12.2) содержит все стержни надстройки и балку
жесткости на участке ВС. На участках же АВ и CD этой балки
продольных сил нет. Вычисление перемещения би* (AQ показано
в табл. 12.4.
Длины стержней определяются по основным заданным раз-
мерам системы и в табл. 12.4 они даны в метрах. Площади се-
чения стержней указаны в условии примера. Согласно тому же
условию модуль упругости материала: Е{ = Е.
Продольные силы в стержнях шарнирной арки Si, S2 и в под-
весках V2 определены по известным правилам расчета стати-
чески определимых ферм, например методом вырезания узлов.
При этом нетрудно убедиться, что усилия в любом элементе
арочного пояса выразятся (рис. 12.8,в):
S(- = (i = 1, 2, 3, ...).	(12.17)
cos а;
206
Таблица 12.4
Наимено- вание стержней	1. в м	F- в м~	Е- F i в м/т	АД1		А^1	Л Ч
							EiFi в м/т
	9,22	0,2 Fбал	46,1	4-1,54		2,37	109
•$1			В F бал				В F бал
S,	6,70	0,2Гбал	33,5	4-1,12		1,25	41,9
			кВ бал				BF$an
S3	6 — = 3,00 2	0,2Гбал	15,0	4-1,00		1,00	15,0
			BF бал				В F бал
Vi	7,00	0 >I Fбал	70,0	—0,666		0,442	30,9
			BF бал				BF бал
е.	10,00	О.Ибал	100	—0,500		0,25	25,0 
			BF бал				BF бал
	--30,00 = 2 = 15,00	Г4	15,0	— 1 ,00		1 ,00		15,0
\’}С		* бал	^Лзал				BF бал
			-i-	(N) =		1	п 236,8 Ll= с-г BF бал	
б(2)(М==^6(л('т).
£^бал
Усилия в подвесках (рис. 12.8,г):
V, — Xj (tga/+I — tgaz),	(12.18)
где at— угол наклона рассматриваемого г’-го стержня арочного
пояса к горизонту.
Продольная сила на участке балки ВС, т. е. в стержне SBc,
равна горизонтальной проекции усилия в стержне S3 с обрат-
ным знаком, т. е. равна—Х\, в чем легко убедиться, проведя
разрез заданной системы (арки и балки) через элемент S3 и
спроектировав на горизонтальную ось все силы, действующие на
отсеченную часть. Из выражений (12.17) и (12.18) следует, что
линии влияния продольных сил в элементах арки и подвесках
будут подобны линии влияния Х[ и будут определяться этими
выражениями.
Основная система и действующая на нее единичная нагрузка
симметричны. Поэтому в табл. 12.4 учтена только половина си-
стемы. Для получения полного значения перемещения dfP (N)
сумма из табл. 12.4 удваивается. Перемещение дпЧ^) вызвано
изгибом неразрезной балки. Для его определения строится эпю-
ра изгибающих моментов в неразрезной балке от воздействия
207
силы Л\ = 1 на основную систему. Эта эпюра изображена на
рис. 12.9,6. Она построена от нагрузки, данной на рис.
12.9, а. Здесь силы 0,666 и 0,500 заимствованы из табл. 12.4
и выражают действие подвесок на балку (Vi = —0,666;
V2 = -0,500).


A

0,666
0,666
0.5
1
8
5
6
—-----12м-
0.W5
1,6Щ
+ 6м 6м — — 6м ~+-6м
0,666	0,5 Of 0066
2)
Процесс расчета неразрезной балки от указанной нагрузки
не приводится, так как предполагается известным. Вычисление
перемещения d{j>(Al) производится «перемножением» эпюр по
известной формуле
ЭД = (Д). (М<С))=	т),	(12.19)
бал
где Mi—эпюра на рис. 12.9,6, a MfG)—эпюра на рис. 12.9,г.
Здесь для упрощения расчета использовано правило определс-
208
ния перемещений в статически неопределимых системах, со-
гласно которому одна из перемножаемых эпюр может быть взя-
та в системе статически определимой. С этой целью приложена
сила Х} = 1 к статически определимой системе, состоящей из
надстройки с разрезом по стержню S3 и из разрезных шарнирно
опертых балок. Соответствующая система (без надстройки) да-
на на рис. 12.9, в.
__ Применив формулу (12.19) и учитывая, что по условию
/бал=12 /’’бал, после вычислений найдем:
6(2) (Д1) = м т,
”	ЕРблл
Окончательно полное перемещение д!?, увеличенное в ЕР6ал
раз, получается следующим:
^бал 6!? = EF6ля	(М + EF^ 65? (М) = 473,6 + 578 = 1052 м.
3.	Вычисление перемещений бй и ординат линии влияния
А’]. Перемещения дм}—это ординаты изогнутой оси неразрез-
ной балки, показанной на рис. 12.9, а, от действия на основную
систему сил А^= 1.
Вычисление этих ординат производим по уравнению метода
начальных параметров для изогнутой оси балки *:
EJбал Уг “ Ыбал Уо 4" EJбал фо 2 У (? ai)2
I
I
В этой формуле г/0 и фо — прогиб и угол поворота сечения
в начале координат; Miy Pi и ^г- — моменты, сосредоточенные си-
лы и интенсивности равномерно распределенных нагрузок; аг,
bi — расстояния от начала координат до сечений, где приложены
Mi, Pi\ Ci — расстояние от начала координат до начала участка
с интенсивностью qe, di — расстояние от начала координат до
конца этого участка; z—-переменная абсцисса сечения.
Положительными считаются прогиб вниз и поворот сечения
по часовой стрелке; момент — при растяжении нижнего волок-
на; нагрузки Р и q — если они направлены вверх.
Начало координат принимается в точке А. Угол поворота се-
чения в начале координат определяется из условия, что прогиб
на опоре В равен нулю. В данном случае получается —
10,75	„	1 п
-------, а прогно на опоре А: Уо = О.
£*^бал
1 Если нсразрсзная балка будет переменного сечения с плавным изменени-
ем момента инерции, то эпюра бп приближенно может быть построена по
хпругим грузам (см. ниже, пример 12.4).
209
Теперь по формуле (12.20) можно вычислить величины 6/7? в
любом сечении неразрезной балки. Например, прогиб в сечении
4 при г= 18 м определяется из следующего выражения:
^бал«/4 = — 10,75-18 4-21^183—11*^1(18— 12)3 = 183л<3.
6	6
Таким образом, у4 = —183- (м/т). Указанная размерность у4
£«7бал
и вообще размерность перемещений dpi, как и размерность пе-
ремещения дп\ связана с тем, что сила безразмерна. По-
этому силы Na и силы, действующие на неразрезную балку,
данную на рис. 12.9, а, тоже безразмерны.
В табл. 12.5 приводятся вычисленные таким путем значе-
ния d/м, равные прогибам у^ в разных сечениях неразрезной
балки. В этой же таблице приводятся и ординаты линии влия-
ния X], вычисленные по формуле = —. Знаменатель в этой
формуле — постоянная величина, вычисленная выше, д[р =
Ввиду симметрии сооружения ординаты определяются толь-
ко для одной его половины. При вычислении ординат линии
влияния усилия Xi учтено, что жесткость балки согласно зада-
нию выражается через площадь ее сечения:
^бал = (1 Л)2^бал-
Таблица 12.5
№ сечения	/	2	/	 >
	38,2 —		м/т бал	47,6 м/т бал	183,0 4- ' - , - мт бал	331,0 4-	 м/т tLJ (5ал
Ординаты линии вли- яния А'1	4-0,0363	4-0,0453	—0,174	-0,314
В итоге деления d/м на dff ординаты линии влияния Х\ бу-
дут безразмерными. Линия влияния усилия изображена на
рис. 12.10, а.
4.	Построение линии влияния изгибающего момента в сече-
нии 5 балки жесткости. Линия влияния изгибающего момента
в произвольном сечении z неразрезной балки в заданной систе-
210
ме* (в балке жесткости) определяется следующим выражением:
л. в. М(г) = л. в. + (л. в. XJ 7Й2,	(12.21)
где л. в. Л4?н) — ординаты линии влияния изгибающего момента
в данном сечении z основной системы, т. е. не-
разрезной балки:
л. в. Хх—ординаты линии влияния Л4;
Л4(г) —изгибающий момент (тлг/г) в том же сечении от
действия на основную систему сил Xi — 1.
Так, например, уравнение линии влияния Л15 — изгибающего мо-
мента в сечении 5 заданной системы согласно уравнению (12.21)
примет вид:
л. в. М — л. в. Лф) + (л. в. Xj Л45.
Здесь л. В.М50 — ординаты линии влияния изгибающего момен-
та в сечении 5 неразрезной балки; эта линия
влияния изображена на рис. 12.10,6;
4-4,63 тм т—изгибающий момент в сечении 5 основной си-
стемы, т. е. неразрезной балки, от единичного
воздействия (см. рис. 12.9,6);
л. в. Xi —ординаты линии влияния Xt из табл. 12.5.
Процесс построения линий влияния усилий в неразрезной балке
предполагается известным и поэтому не приводится
На рис. 12.10, в изображена линия влияния Л15 изгибающего
момента в сечении 5 заданной комбинированной системы, по-
строенная по указанному уравнению.
5.	Построение линий влияния ядровых моментов в сечении
5 балки жесткости. Так как линии влияния изгибающего мо-
мента и продольной силы имеют различные формы и так как
балка жесткости воспринимает распор арки, то для определения
наибольших краевых нормальных напряжений в балке жестко-
сти при подвижной нагрузке следует применять линии влияния
этих напряжений или линии влияния ядровых моментов, через
которые краевые напряжения выражаются по одночленным фор-
мулам:
мв	мн
----гядр	(12.22)
н WH ’ в wB '	v
где он, Ов— краевые нормальные напряжения в нижней и верх-
ней точках некоторого сечения г;
1 См., например, Г. Г р и о. Неразрезные балки с постоянным моментом
инерции. Таблицы. М. — Л., ГИТИ, 1931.
Возможность использования этих таблиц для балок с различными момен-
тами инерции в пролетах показана в работе И. А. Медникова. О расчете не-
разрезных балок и рам с различными моментами инерции в пролетах. Труды
МАДИ, вып. 11. М., Дориздат, 1949.
211
SIS
0Г21 34d
^2ядр’ ^зядр —ядровые моменты относительно верхней и ниж-
ней точек ядра этого сечения;
Гн, — моменты сопротивления того же сечения при вы-
числении нижнего и верхнего краевых напряже-
ний.
При этом ординаты линий влияния ядровых моментов могут
быть получены по выражению
л- в- = Л. в. Мг ± (л. в. Nz) г,/н;	(12.23)
здесь верхние обозначения относятся к верхней точке ядра; ниж-
ние — к нижней;
л. в. Л1г — ординаты линии влияния изгибающего момента в
данном сечении z балки жесткости относительно
центральной, главной оси сечения;
л. в. Nz — ординаты линии влияния продольной силы в том
же сечении балки жесткости; так как Nz = —
(см. стр. 207), то линия влияния Nz будет иметь тот
же вид, что и линия влияния Х\, но обратные
знаки;
гв, г„—расстояния верхней и нижней точек ядра до цент-
ра тяжести сечения, данные в условиях примера.
Линии влияния ядровых моментов в сечении 5 приведены на
рис. 12.10, г, д.
6. Построение линии влияния поперечной силы в сечении
5 балки жесткости. Ординаты линии влияния Q5 — поперечной
силы в сечении 5 заданной системы — вычисляются по уравне-
нию
л. в. Q5 = л. в. Q.3+ (•'!• в- Ш,	(12.24)
где л. B.Q5 — ординаты линии влияния поперечной силы в се-
чении 5 неразрезной балки;
Q3 — поперечная сила в сечении слева от узла 5 при
действии на основную систему сил Xi = l;
л. в. Хг — ординаты линии влияния усилия Хь
Поперечная сила Q5 = 0,5 т. Она определяется в основной си-
стеме, в том же сечении левее узла 5 от нагрузок, указанных на
рис. 12.9, а.
На рис. 12.10,в изображена линия влияния Q —попереч-
ной силы в сечении неразрезной балки.
На рис. 12.10,ж изображена линия влияния Qs™ . Это линия
влияния поперечной силы в сечении непосредственно слева от
узла 5 для заданной комбинированной системы.
В сечении непосредственно справа от узла 5 имеем Qs = 0.
213
Поэтому линия влияния поперечной силы непосредственно спра-
ва от узла 5, т. е. линия влияния (?5рав, для комбинированной
системы совпадает с линией влияния поперечной силы в сечении
5 неразрезной балки, т. е. с линией влияния, изображенной на
рис. 12.10, е.
Пример 12.4. В комбинированной системе (рис. 12.11, а)*
в виде неразрезной балки переменного сечения, усиленной шар-
нирной цепью, требуется построить следующие линии влияния:
1) распора цепи; 2) опорного момента в балке на опоре /;
3) момента в сечении посередине второго пролета балки. Требу-
ется сравнить построенные линии влияния моментов в анало-
гичной системе, если балка имеет постоянное сечение /д», где Ло—
площадь сечения балки на опоре О и посередине второго про-
лета. Материал балки, цепи и подвесок один и тот же. Площади
сечения стержней цепи Fu = 0,2FQ. Площади сечения подвесок
Людв = О,1/7о. Отношение момента инерции к площади поперечно-
го сечения принято численно равным	• Отсюда Fq =
~	. Цепь прикреплена к верхнему краю балки. Эксцентри-
цитет крепления цепи равен 1 м. Уравнение оси балки в первом
пролете (начало координат в точке О', ось z направлена вправо,
а ось у — вниз) имеет вид:
(12.25)
(12.26)
(начало координат в точке 6, ось у направлена вниз, ось z —
вправо).
Ось третьего пролета симметрична оси первого. В общем слу-
чае для z-ro промежуточного пролета
1
(начало координат на левом конце пролета в верхней точке се-
чения).
* Пример 12.4 выполнен ассист. И. М. Парчевским при участии и под ре-
дакцией автора.
214
20м
215
Момент инерции поперечного сечения в первом и третьем
пролетах изменяется по уравнению *.
J(z) =--77*—777'	(12'27)
1+Ь1Ш+С1 [77)
во втором пролете:
J (*> =-г~—7,° 2 г ,----Г7	(12-28)
. । ^2 / h 1 . с2 /	1г у
1+1(г~т) +~7~7
(начало координат на левом конце второго пролета).
Коэффициенты bi и определяются по формулам
,	64m; — 4п/ — 60	64 П; — 256 m? + 192
Ь; = ----------- ; С- = -----------—----
1	3	3
(12.29)
./0	15	.	1 о
— — —; Ш: = — — — , 1—1,2
Л 2	Jtn 16
Здесь J0— момент инерции сечения на опоре О и в середине
второго пролета;
Jn—момент инерции сечения на опорах 1 и 2;
Jm— момент инерции сечений в середине первого и треть-
его пролетов и в четвертях второго пролета.
2	16
Из (12.29) при z = 1 и i = 2 получим: bi = b2 =-; = с2 =— —
3	3
При этих значениях величины моментов инерции по формулам
(12.27) п (12.28) даны в табл. 12.6.
Таблица 12.6
№ сече - НИЯ	Первый пролет							Второй пролет				
	0	/	2	3	4	-	6	7	г;	9	10	11
JZU.	1,000	1,005	1,019	1,067	1,163	1,382	2,000	1,266	1,113	1,036	1,007	1,000
Подвески закреплены на верхней грани балки. Шарниры,
соединяющие подвески со звеньями цепи, во втором пролете ле-
жат на параболе z/ = 5 (начало координат в точке И\ ось
у направлена вверх).
В первом пролете узлы цепи лежат на квадратной параболе
с вертикальной осью, проходящей через О — О'. В третьем про-
лете— по симметрии с первым.
* Проф. В. А. Киселев. Расчет неразрезных балок плавно-переменного се-
чения. Тезисы докладов XXIV научно-исследовательской конференции МАДИ
(Секция мостов, строительн. конструкций и строительной механики). М., 1966,
стр. 41.
216
Решение
1.	Выбор основной системы. Ввиду симметрии заданной си-
стемы, основная система выбирается симметричной. За неизвест-
ное в лишней связи принимается распор цепи, обозначенный че-
рез Xj. Основная система изображена на рис. 12.11,6. Она
дважды статически неопределима. Уравнение линии влияния
принятого неизвестного имеет вид (12.15).
2.	Построение линии влияния опорных моментов в основной
системе. Так как основная система дважды статически неопре-
делима, то для расчета ее снова выбираем основную систему,
в данном случае статически определимую. Так как эта основная
система имеет ось симметрии, то применяем способ групповых
(парных) неизвестных (см. стр. 197). При этом группа Х2 -сим-
метрична, а группа Х3 — кососимметрична. Собственные единич-
ные состояния показаны на рис. 12.12,6; 12.13, а. Так как
перемещения 612 = 621 = 0, то уравнения линий влияния обобщен-
ных сил Х2 и примут вид:
х2 = — Х3 = —	(12.30)
6 22	У<3
Для построения этих линий влияния применяем графоаналити-
ческий метод. С этой целью для определения упругих грузов
строим эпюры М2 и Л43 (рис. 12.12,6; 12.13, а) и загружаем фик-
тивные балки фиктивной нагрузкой с интенсивностью 7(2) =
=—11°СК0ЛЬКУ балка имеет переменное сечение, то эпюры
интенсивностей фиктивных нагрузок д2 и 73 имеют криволиней-
ное очертание; поэтому для облегчения расчета разбиваем ось
балки на несколько участков, в пределах которых эти эпюры
принимаем линейными (рис. 12.12, в; 12.13,6). В результате
эпюры q2 и 7з приняли многоугольное очертание, а в таком слу-
чае упругие грузы на границе участков могут быть вычислены
по формуле 1
wn=	+ 2 q^) -Г (2^">	(12.31)
где dn^rl—длины участков;
фГ’ — интенсивность фиктивной нагрузки в сечении на
бесконечно малом расстоянии слева от точки /г;
^прав — то справа от точки п.
В данном примере во всех точках qn ~qn
Фиктивные балки с упругими грузами показаны па
рис. 12.12, г и 12.13, в. Упругие грузы, необходимые для получе-
1 Проф. В. А. Киселев. Упругая линия при поперечном изгибе балок Учеб-
ное пособие. «Высшая школа», 1966.
217 •
го
00

Рис. 12.12
3
о 1 2 3 4 5 S 7 8 9I0U
ьэ
<о
Со
ния перемещений бр2, вычислены в сечениях 1—//; упругие гру-
зы, необходимые для получения перемещений бр3, в сечениях
1—5 булут: равны предыдущим в тех же сечениях, а в сечениях
6—10 эти грузы требуется вычислить. Определение упругих гру-
зов произведено только до середины балки ввиду симметрии.
Значения упругих грузов приведены в табл. 12.7.
Таблица 127
№ сече- ния п	1	О	.7 1 !			6		6	9	10	11
Ц7(2) w п	1,651	3,238	4,626	5,609	5,608	1 5,536	7,291	8,556	9,200	9,488	9,569
№(3) w п	1,651	3,238	4,626	5,609 ।	5,808	5,283	5,7<)8	5,318	3,650	1,888	0
От упругих грузов построены эпюры моментов в фиктивных бал-
ках. Эти эпюры, представляющие собой эпюры перемещений
бР2 и бРз, показаны на рис. 12.12, г? и 12.13, г.
Определение коэффициентов б22 и бзз производится по фор-
муле
6,,- ( dz = — С - /И,~ (г)МДг) =-- —	(12.32)
J EJ (г) J (z)
При этом получится:
d22 = — s Wi M, = 114,298; d33	— S M3 = 54,248.
Располагая эпюрами бг2 и бРЗ и значениями б22 и б33, строим
л. в. Х2 и л. в. Х3 по уравнениям (12.30). Уравнения линий влия-
ния опорных моментов на опорах / и 2, обозначенные соответ-
ственно через /У2 и АЛ3, примут вид:
л. в.Х2 = л. в. Л’2 л. в. Х3; л. в. Х3=^л. в. Х2—л. в. Х3. (12.33)
Линии влияния Х2 и Х3 изображены на рис. 12.12, е и 12.13, д.
Линия влияния опорного момента Х2 = Л1}0) изображена на
рис. 12.13, е. Пунктиром показана та же линия влияния в балке
с постоянным моментом инерции.
3.	Построение линии влияния X] по уравнению (12.15). Пе-
ремещение определяется, как и в примере 12.3, т. е. по выра-
жению (12.16). Процесс этого вычисления описан на стр. 206—
209. Эпюры, перемножение которых требуется произвести по
формуле (12.19), показаны на рис. 12.11, с? и 12.11, г. Пунктиром
на рис. 12.11, д представлена эпюра моментов 7И i в неразрезной
балке с постоянным моментом инерции. В данном случае, при
принятых соотношениях площадей и их соотношениях с момен-
10829
тами инерции, получим о	.
EJo
220
(9lS‘0l8lS'0
IlhS'OihffhV
!^h‘0)06£'0
(h£ 2'01^20
ttoioieu'c
000'0(000'0)
290‘0/h00'0)
LOO'O (£11*01
iLO'oheo'oi
ICO'O (190'01
920'0 (l£0‘0}
OOO'O(OOO'O)
Перемещения б^р представляют собой ординаты изогнуто?,
оси неразрезной балки переменного сечения от действия сил
Х1 = 1 на статически неопределимую основную систему
(рис. 12.11,6). Построение эпюры б£р аналогично построению
эпюр брг и брз, описанному выше. Фиктивная балка (рис. 12.14,а)
загружается фиктивной нагрузкой интенсивностью q^ от кото-
рой построена эпюра фиктивных моментов на рис. 12.14,6, кото-
рая является эпюрой прогибов
Линия влияния Х\ показана на рис. 12.14, в. Пунктиром по-
казана та же линия влияния в случае балки постоянного момен-
та инерции /о.
4.	Построение линий влияния изгибающих моментов в задан-
ной системе. Уравнение линии влияния изгибающих моментов в
любом сечении балки имеет по-прежнему вид (12.21), который
применительно к интересующим нас сечениям будет:
л. в. Л4°п°р = л. в. М% л. в. Л4{0) + (л. в. А\) • 12,022;
л. в. Мп = л. в. + (л. в. Xj) (— 8,238).
Значения ординат	12,022,—8,238 взяты из эпюры Мх
(рис. 12.11,6). При этом нетрудно убедиться, что
л. в. — (л. в. + л. в. XX + л. в. Л4?.,
и 2'	“	о'1	и’
222
где л. в. —линия влияния момента в статически определи-
мой основной системе для сечения 11 (см. рис. 12.15,6).
Линии влияния опорного момента на опоре /ив сечении //,
посередине второго пролета, показаны на рис. 12.15, а и 12.15, в;
пунктиром показаны л. в. и л. в. /Ин в балке с постоянным
моментом инерции /0.
Глава 13
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК
Пример 13.1. Дана схема арки (рис. 13.1) и неподвижная
нагрузка на ней. Ось арки очерчена по дуге эллипса. На правой
половине арки нагрузка равномерно распределена по длине и
действует в вертикальном направлении.
Требуется написать выражения всех коэффициентов канони-
ческого уравнения в интегральной форме, учитывая только изги-
бающие моменты.
Решение
Уравнение оси арки имеет вид
(13.1)
Здесь а — длина большой полуоси;
b— длина малой полуоси;
1	a	v
k —------отношение длин полуосей.
Ь
223
Величиной k задаемся. Длину а вычисляем по заданным [ и Z,
причем
a=-Z--'- —.	(13.2)
2 8kf
Основную систему получаем, отбрасывая горизонтальную
связь в одной из опор (рис. 13.2).
Каноническое уравнение имеет вид
6ИХ1 +Л1Р = 0.	(13.3)
Коэффициент di 1 вычисляется через интеграл
in j
6
(13.4)
где
Mj = — 1 (/ — у) - у — г,
ds  —- - dz V 1 +(/)21
cos ср
Выражение коэффициента 6ц через заданные величины
тегральной форме теперь имеет вид:
= 2 У'’
11 Е ,1
(13.5)
(13.6)
(13.7)
в ин-
/(г)
(13.8)
В интеграл (13.8) необходимо подставить у из (13.1) и
г
у' =
2
(13.9)
224
Найдем коэффициент Л1Р. Определяем опорные реакции о г
нагрузки в основной системе (рис. 13.2):
РЧ-7';	(13.10)
4	8
В = '--Pp.	(13.11)
4	8
Находим выражения для изгибающих моментов на всех трех
участках:
при — у < г г-------1- \ Мр(1) -- А (у + г);	(13.12)
при —0; М';.т> = А1~ + г) — Р (Д- 4- z/; (13.13)
при 0 < г < -- ; <<н,) «= Л j + г) — Р, Д. + zj — Д- .
= В ( — — z'l — Д.	(13.14)
Коэффициент Д1р в общем виде имеет вид.
Таким образом, подставляя в (13.15) выражения (13.5)— (13.7)
и (13.12) — (13.14), получим:
-//1 _________________________________
А1Л-Д- J	I \+(.y')-dz +
-ip
(1
+ j I	+ г^-Р(Д- + г)5' 1 +(/)-’dz +
-//4
Ip	_______
+ ~И	l+(!/,)2dz- (1316)
В интегралы (13.16) необходимо подставить у из (13.1) и у' из
(13.9). Интегралы (13.8) и (13.16) в общем случае могут быть
вычислены с помощью численных методов.
Пример 13.2. Дана схема арки (рис. 13.3). Ось арки очер-
чена по дуге окружности. Поперечное сечение — постоянное на
каждом из четырех участков. Требуется с помощью упругого
центра построить эпюру изгибающих моментов в заданной сис-
теме.
Указание. Продольными и поперечными силами при оп-
ределении коэффициентов канонических уравнений пренебречь.
15—1284
225
Решение
Упругий центр рассматриваем как центр тяжести условной
системы (рис. 13.4), имеющей очертание оси арки и погонную
массу, пропорциональную обратной величине жесткости, т. е.
j ds
центр тяжести элементарных условных грузов dv =---.
Находим статический момент относительно оси z условной
системы. Интегрируем только по правой половине системы и, по
симметрии, результаты удваиваем:
~/4	Г/J	Г/4
Sz = 2 С у -j- + 2 1 у ~ = 2 R cos <р + 2 R cos <р =
о	-/I	0	r/l
~/4	г 2
2/? 2	, I R2 C	, j 'ТЛ'7 1 R2
=------ I cosqxicp + I cos qx/cp --- 1,7071 —.
J J	J J	J
0	Tt/4
Условный вес системы составляет
~/4	-/2	г/4	г/2
F=2 J ~ + 2 J ~ = у +-у- J dtp = 2,3562 у.
О	г/4	О	"/4
Находим положение упругого центра:
f ydv _ s2x
| dv F
R2
1,7071 —
--------- - 0,72451 R.
R
2,3562 —
(13.17)
Кроме положения упругого центра необходимо знать направ-
ления главных центральных осей условной системы (рис. 13.4).
В общем случае это можно сделать с помощью формул теории
моментов инерции, а в данном примере вследствие симметрии
226
одна из главных осей совпадает с осью симметрии (у), а другая
(z0) ей перпендикулярна.
Основную систему (рис. 13.5) получаем разрезая арку по оси
симметрии. Каждую сторону разреза соединяем с упругим цент-
ром абсолютно жесткими консолями. Неизвестные приклады-
ваем в упругом центре, причем и Х2 по направлению должны
совпадать с главными осями условной системы (рис. 13.4). Си-
стема канонических уравнений имеет вид:
^22^2 + &2Р =
®33 *3 +	~ 0.
Рис. 13.6
Вычисляем коэффициенты канонических уравнений:
j тс/4	*/2
и.. = S и:- - 2	+ 2 J- =
0	тг/4
тс/4	тс/2
= yj (с—7?cos<p)2/?dq> +-уj (с—/?cos<p)2/?d(p = 0,19126-у;
О	тс/4
"f? (с—у) (— — z\ds
+ 2 |	-------- I (с—7?cos<p) sin ср Rdff —
к?4	27	7 S'
я/2
— j (с —/?cos<p)/?sin<p/?dq> = —0,09335 у- .
тс/4
15е
22J
Коэффициент Д2р равен нулю, так как Х2 — кососимметрич-
ное неизвестное, а нагрузка симметрична. Коэффициент 622 не
равен нулю, следовательно, Х2 = 0. Вычислять 622 нет необходи-
мости. Остается вычислить дзз и A3P:
г/4
PR Г п .	,
----у \ Rs\n фшр
о
к/2
PjR г
2J J
тг/4
R sin <pd(p = — 0,64644 ~у~-
Вычисляем неизвестные:
PR3
0,09335 —
0,19126 —
J
= 0,4881 Р;
(13.18)

д 0,64644 —
Х3 = —~^ =-----------------— = 0,2744 Р/?.	(13.19)
*33	_ R
Эпюру М строим по формуле
м = Л41^1 + Л42Х2 + (Й8Х3 -4-Л&,	(13.20)
где М1 = с — у = с — R cos ф = 0,7245 /? — /? cos ф;
М2Х2 = 0; так как Х2 = 0;
М3= 1;
Л4Р =----— г =---— /? sin ф, при 0 < 2 < /?.
2	2
Ось полуарки разбиваем на восемь равных частей. Вычисле-
ния делаем только для правой половины арки, а на левой эпю-
ру строим по симметрии.
Искомая эпюра изгибающих моментов построена на рис. 13.6.
Пример 13.3. Дана схема симметричной бесшарнирной арки
с размерами (рис. 13.7). Задано прямоугольное поперечное се-
чение и его размеры в замке и пяте. Высота сечения переменная.
Уравнение оси задано по катеноиду
y=-^-(chkz—l).	(13.21)
т — 1
228
Закон изменения моментов инерции задан формулой
(13.22)
Требуется в сечении с абсциссой zk построить линии влияния
Л1, N, Q, а также линии влияния ядровых моментов.
Примечание. Приведенный ниже метод решения годит-
ся для любой формы оси арки и для любого закона изменения
моментов инерции.
Решение
Коэффициент k для уравнения оси находим по одной из фор-
мул:
k = — In ± |Лт2— 1 j	(13.23)
Л
или
k = у- Archm.	(13.24)
В формуле (13.23) можно брать как знак плюс, так и минус.
Вследствие симметрии гиперболического косинуса оба варианта
в конечном итоге приводят к одному результату.
При т = 3,5 по формулам (13.23) или (13.24) находим k =
= 0,19248. По формуле (13.21) вычисляем отдельные ординаты
точек оси. Полуарку разбиваем на 10 частей. Высоты попереч-
ных сечений определяем по формуле
h l/ -----.
г b
Результаты даны в табл. 13.1.
2»
Таблица 13.!
2 В М	у В Л	|	J в м*	|	h в ж
0,00	0,00000	0,042667	0,80000
0,50		0,042920	0,80158
1,00	0,02973		
1,50		0,044947	0,81401
2,00	0,12002		
2,50		0,049000	0,83773
3,00	0,27424		
3,50		0,055080	0,87108
4,00	0,49811		
4,50		0,063186	0,91187
5,00	0,79995		
5,50		0,073319	0,95826
6,00	1,19088		
6,50		0,085479	1,00858
7,00	1,68560		
7,50		0,099665	1,06147
8,00	2,30250		
8,50		0,115878	1,11616
9,00	3,06448		
9,50		0,134117	1,17188
10,00	4,00000	0,144000	1,20000
Вычисляем положение упругого центра. Основная система
изображена на рис. 13.8.
Общая формула для вычисления упругого центра имеет вид:
f ds
гт
c = s----.	(13.25)
R
s
230
Приближенно ее можно заменить следующей
•^=0 1
S
1=0
(13.26)
Здесь yt — ордината точки оси на границе участков;
до-3) — упругий груз для точки на границе участков от
Х3 = 1;
п — число участков.
Мы рассматриваем только одну правую полуарку. Кривую
ось заменяем ломаной с п участками (рис. 13.9). Граничные
точки участков совпадают с осью. Номер участка совпадает с
номером правой граничной точки. Проекции длин всех участков
на ось z приняты равными.
Общая формула для вычисления упругих грузов без учета
продольных и поперечных сил имеет вид:
= — ~j~ (2Л4р’ + М-1)--------(2Л1УЧ <’>) • (13.27:
Здесь Е— модуль упругости;
Asz — длина участка г,
Ji—момент инерции среднего сечения_1-го участка;
M\k}— изгибающий момент в точке i от	= 1.
Изгибающие моменты от Хз^! для всех точек одинаковы и
равны 1. Поэтому формула (13.27) упрощается:
w(3) =-----------
z	2EJi
Результаты вычислений упругих грузов даны в табл. 13.2.
231
Таблица 132
i	Д s. в м	A S. Ji	Л-Ч	।	</,.	Е
0	0,0000	0,000	23,309	-11 ,654	- 0,000
1	1,0004	23,309	22,339	-22,824	— 0,679
2	1,0041	22,339	20,649	—21 ,494	- 2,580
3	1,0118	20,649	18,605	-19,627	— 5,382
4	1,0247	18,605	16,531	-17,568	- 8,751
5	1,0446	16,531	14,644	— 15,587	— 12,469
6	1,0737	14,644	13,051	-13,847	— 16,490
7	1,1156	13,051	11,790	-12,420	—20,935
8	1,1750	11,790	10,849	-11,319	—26,062
9	1,2572	10,849	10,209	-10,529	-32,266
10	1,3694	10,209	0,000	— 5,104	—20,416
Elis'” = — 161,97; Г. 2 у,-оф” = — 146,03
Находим суммы:
10	10
Е £и>&> = — 161,97; Е V У{ wm _ 14603
1=0	1=0
Наконец, получаем положение упругого центра
146,03 nnnirn
с = —— = 0,90159 м.
161,97
Расчет с применением упругого центра позволяет общую сис-
тему канонических уравнений свести к системе
+ Д1Р 0;
б22	~
^зз *з + АЗР = 0,
13.28)
где
л. в. Д1р = эн. бр1; л. в. Д.,р = эн. 6р.,; л. в. Дзр = эн. дрг
Будем строить эпюру dpi на горизонтальном базисе и рас-
сматривать ее как фиктивную эпюру изгибающих моментов в
фиктивной балке от упругих грузов . Рассматриваем только
правую полуарку. На левой стороне эпюру строим по симмет-
рии.
Определяем изгибающие моменты в основной системе от
11=1:
м!1’ = у — с = у — 0,90159.
Далее по формуле (13.27) находим упругие грузы (табл. 13.3).
232
Таблица 13.3
1	6J;	1S<+1 сЛ-+1	-О) Л1/-1	м<'> Л1,-	-(1) м1+\	(1),, Ь	
0	0	3,8847	—	—0,90159	1 —0,87186	10,392	— 9,369
I	3,8847	3,7233	—0,90159	—0,87186	—0,78157	19,678	— 17,157
2	3,7233	3,4415	-0,87186	—0,78157	—0,62735	16,604	— 12,977
3	3,4415	3,1006	—0,78157	—0,62735	-0,40348	12,150	— 7,622
4	3,1006	2,7553	—0,62735	—0,40348	—0,10164	6,951	— 2,804
5	2,7553	2,4407	—0,40348	—0,10164	0,28929	1,462	— 0,148
6	2,4407	2,1752	—0,10164	0,28929	0,78401	— 4,129	- 1,194
7	2,1752	1 ,9649	0,28929	0,78401	1,40091	— 9,875	— 7,742
8	1,9649	1,8082	0,78401	1,40091	2,16289	—16,023	—22,447
9	1,8082	1,7018	1,40091	2,16289	3,09841	—22,986	—49,716
10	1,7018	0	2,16289	3,09841	—	— 14,226	—44,078
—ce»(V/j= 175,25
С ПОМОЩЬЮ упругих грузов строим эпюру dpi (рис. 13.10,6),
как эпюру фиктивных изгибающих моментов в фиктивной балке
(рис. 14.10, я). Положительные упругие грузы направляем
вверх.
При вычислении дн необходимо учитывать влияние продоль-
ной силы. Таким образом,
= d-r- <13-29*
Рассмотрим М2-^- как произведение эпюры М самой на
себя (рис. 13.11):
£ J	+	-а-1) = Vai,-
g (2М, + М+
6/,.^
(2М. + Мж) = -£M.WiE.
Итак,
% j* ~м\ у = — 2 АН*) Е.
Аналогично для продольных сил получим:
у-= -£М« »!»>£,
где
^(2^ + ^,)+^;
(13.30)
(13.31)
(13.32)
16—1284
233
Со
Рис. 13.11
х да


л
—**19878
— 16,60b
+ 12,150
-6,951
1,482
-4129
— 9,875
-----16,023
-----22,986
—/4228
^)ие
Таблица 13.4
i	г1 в м	* at « •G II ь?	4S/ ^7	Д5Ж 6/?ж	shtej	tg».	_(0 ЛЧ-1	—(0 Nl '=СО|Ф/	-(1)		T.(i) w „ N 1 w i E
0	0	0,8000	0	0,2080	0	0	—	1,0000	0,9982	—0,623	—0,623
1	1	0,8016	0,2080	0,2056	0,1937	0,0596	1,0000	0,9982	0,9927	—1,237	—1,235
2	2	0,8140	0,2056	0,2013	0,3945	0,1215	0,9982	0,9927	0,9928	—1,211	—1,202
3	3	0,8378	0,2013	0,1961	0,6101	0,1879	0,9927	0,9828	0,9675	—1,170	—1,150
4	4	0,8711	0,1961	0,1909	0,8483	0,2612	0,9828	0,9675	0,9455	—1,122	—1,086
5	5	0,9119	0,1909	0,1867	1,1180	0,3443	0,9675	0,9455	0,9153	—1,070	—1,012
6	6	0,9583	0,1867	0,1844	1,4293	0,4402	0,9455	0,9153	0,8753	—1,017	-0,931
7	7	1,0086	0,1844	0,1845	1,7936	0,5524	0,9153	0,8753	0,8249	—0,967	-0,846
8	8	1,0615	0,1845	0,1877	2,2247	0,6851	0,8753	0,8249	0,7644	-0,919	—0,758
9	9	1,1162	0,1877	0,1947	2,7384	0,8433	0,8249	0,7644	0,6956	—0,875	—0,669
10	10	1,1719	0,1947	0	3,3539	1,0329	0,7644	0.6956 i	—	-0,420	—0,292
—JW',1’а>4* £=9.80
Вычисления показаны в табл. 13.4.
Находим Ебц:
10 10
~ *11 = — jMpay'» — £ 7V(»®W) = 175,25 + 9,80 = 185,05
i=o	[ i=o
Еди = 2 185,05 = 370,10.
Рис. 13.12
Линия влияния Xt (рис. 13.10, в) строится по формуле
X,- = — —.	(13.33)
о<1
От Х2=1 находим изгибающие моменты М2=М(2>= 1 -z. Уп-
ругие грузы wj2) вычисляем по формуле (13.27). Результаты да-
236
ны на рис. 13.12, а. Эпюра £6р2 (рис. 13.12, б) строится, как эпю-
ра фиктивных изгибающих моментов от w^E.
Коэффициент Й22 определяем следующим образом:
10
(,3-34>
1-0
В настоящем примере получается £622 = 8248,4. Для контроля
можно определить Е622 еще как удвоенную нулевую ординату
эпюры £бр2*
£д„ = 2-4124,2 = 8248,4.
Эпюра £дрз (рис. 13.13,6) строится по упругим грузам w\3] Е
Для контроля найдем:
10
Е6РЗ макс = £ Е = 679,3.
1^0
Ебзз находим по формуле
10
Еди = — 2 U Е.	(13.35»
В настоящем примере получается £63з = 323,94.
Линии влияния Х2 (рис. 13.12,в) и Х3 (рис. 13.13,в) строятся
по формуле (13.33).
Линия влияния внутренней силы в любом сечении строится
по формуле
л. в. S = Si (л. в. ЛД + S2 (л. в. Х2) + £3 (л. в. Х8) +
+ (л. в. 8°р),	(13.36»
где S—изгибающий момент М, поперечная сила Q или про*
дольная сила W в заданном сечении;
Sz— внутренняя сила в том же сечении в основной системе
от Xi=l (постоянная величина);
л. в. £°>— линия влияния соответствующей внутренней силы а
том же сечении в основной системе.
На рис. 13.14 даны линии влияния М}р, Q^, №р в основной
системе для четверти пролета, а на рис. 13.15 — линии влияния
M,Q,N в заданной системе в том же сечении.
Для примера найдем одну ординату линии влияния. Пусть
груз Р=1 находится на бесконечно малую величину правее се-
редины пролета. Тогда
(у — с)Хх + z*X2 + X3 +Л4" = (0,79995—0,90159)1,2071 +
+ 5 0,50000 + 2,0963 — 5,0000 = — 0,5264.
23?
Рис. 13.14
238
Линии влияния в
других сечениях могут
быть построены по об-
щему методу с помо-
щью формулы (13.36).
На рис. 13.16 даны ли-
нии влияния изгибаю-
щих моментов в замке
и пяте.
Ядровый изгибаю-
щий момент для плос-
кой задачи равен сум-
ме моментов сил, рас-
положенных по одну
сторону сечения, отно-
сительно ядровой точ-
ки, расположенной в
этом сечении.
Рассмотрим попе-
речное сечение в чет-
верти пролета при zh =
= 5 м (рис. 13.17, а).
При прямоугольном
поперечном сечении
ядровые точки и k2
расположены на нор-
мали на расстоянии е
от оси.
Формулы для рас-
чета ординат линий
влияния ядровых мо-
ментов имеют вид:
л. в. = (yki —
— с) (л. в. Xj +
+ zkt (л- В- •У») +
+ (л.
Рис. 13.15
в. Х3) + (л. в.
л.’в. М*? = ( ук2 — с) (л. в. A\) + гк1 (л. в. Х>) +
+ (л. в. Х3) + (л. в. М"2),
где
~ р (zkl ~ ZP> "Ри 0 < ZP < Zk>
= ~P ( zk2 ~ Zp) "P" 0 < ZP < V
При расположении груза правее сечения k
Mah = 0 и М°. = 0.
”2
239
Рис. 13. 17
240
В настоящем примере
h	0,93447 п 1СС_.
е = -- =-----= 0,15574 м.
6	6
Линии влияния ядровых моментов даны на рис. 13.18. При
г = 5 линии влияния имеют разрывы, причем точки пересечения
левой и правой ветвей находятся на вертикали, проходящей че-
рез соответствующую ядровую точку k\ или k2.
После загружения линий влияния нормальные напряжения
могут быть определены по формулам:
МЯДР
ст» = —— (для точки 7);
а2------(для точки 2).
Здесь сжатие принимается со знаком плюс.
Задача 13.4. Дана схема двухшарнирной арки (рис
13.19,а). Ось арки очерчена по квадратной параболе
i/=^-z2.	(13 371
Z2
Закон изменения моментов инерции:
J = Jo-4<Jo-4)z2.	(13.38)
Отношения моментов инерции к площадям поперечных сечений
обозначим: k— — ;	; kn = —.
F	Fo	Fn
Полагаем
* = *n-^(£o-A)z2-	(13.39)
Величины kQ и kn считаем заданными. Полагаем
= 0,2 я2, kn - 0,1 м2.
Требуется построить линию влияния распора.
Указания
Основную систему можно получить путем устранения гори-
зонтальной опорной связи в левой или правой опорах. Упругие
грузы находятся по формулам (13.27) и (13.32). Эпюра бР1
строится с помощью фиктивной балки пролетом I с шарнирны-
ми опорами по концам. 6ц находится по формуле (13.29), а
Х} — по (13.33).
Ответ дан на рис. 13.19,6.
241
a)
242
Глава 14
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
По методу перемещений за неизвестные Zk принимаются не-
зависимые линейные (поступательные) и угловые перемещения
узлов k заданной системы. Основная система получается введе-
нием моментных и силовых связей, устраняющих угловые и по-
ступательные упругие перемещения узлов, и представляет собой
систему статически неопределимых балок с обоими защемлен-
ными или с одним защемленным, а другим шарнирно опертым
концами. Канонические уравнения имеют вид:
Гц	+ Г!2 ^2 + Г13	’ R\p ~
Г2} zx + r22 Z, + г,, Z, Н- • ' - /?2р	0;	(14.1)
Здесь rkm—реакция связи k от перемещения Zn/=1;
Rkp — то же, от нагрузки (или от температуры и осадки
опор).
Реакции связей, если пренебрегать деформациями ot_N и Q,
определяются при помощи эпюр изгибающих моментов и МР
основной системы из равновесия вырезанных узлов и стержней,
на которые_были наложены связи.
Эпюры Mh и МР системы состоят из эпюр изгибающих мо-
ментов статически неопределимых балок, входящих в основную
систему. Эпюры моментов от единичных перемещений и от не-
которых нагрузок для балок с постоянной погонной жесткостью
EJ
i = -у- приведены на рис. 14.1 и 14.2.
При расчете по методу перемещений на подвижную нагрузку
необходимо предварительно знать линии влияния моментных и
силовых реакций опор статически неопределимых балок основ-
ной системы. Их ординаты определяются по следующим форму-
лам в зависимости от безразмерной координаты и= — распо-
ложения груза Р=\ в пролете (рис. 14.3):
1)	защемлены оба конца а и Ь:
Га = —//з(«); гь = //4(ы); Va = <рх(«); Vb = 1 — <ря («); (14.2)
2)	защемлен правый конец Ь, левый а — шарнирный:
Га = °; гь = Va = <pa(u); Vb = 1 — <р2(«);	(Н.З)
243
в)
Рис. 14.1
Рис. 14.3
244
Таблица 14.1
u--i_ i	с(п—1)л = (п) 8/	3 З4 д т	Ф,(и) = 1—и- (3—2и)	д з| сч II	Ф, (Ы)=1—fL (3-ма) 2	/б(ы)=^ —(1—и)(2—и)	Д 1 т f?
0	0	0	1,0000	0	1,0000	0	1,0000
0,1	0,0810	0,0090	0,9720	0,0495	0,8505	0,0855	0,9855
0,2	0,1280	0,0320	0,8960	0,0960	0,7040	0,1440	0,9440
0,3	0,1470	0,0630	0,7840	0,1365	0,5635	0,1785	0,8785
0,4	0,1440	0,0960	0,6480	0,1680	0,3920	0,1920	0,7920
•0,5	0,1250	0,1250	0,5000	0,1875	0,3125	0,1875	0,6875
0,6	0,0960	0,1440	0,3520	0,1920	0,2080	0,1680	0,6080
0,7	0,0630	0,1470	0,2160	0,1785	0,1215	0,1365	0,4365
0,8	0,0320	0,1280	0,1040	0,1440	0,0560	0,0960	0,2960
0,9	0,0090	0,0810	0,0280	0,0855	0,0145	0,0495	0,1495
ъо	0	0	0	0	0	0	0
3)	защемлен левый конец а, правый b — шарнирный:
'•а = —^ = 0; Ка = ф8(ц); V6= 1 — <p3(u).	(14.4)
Значения функций f и ср приведены в табл. 14.1.
Ординаты линий влияния неизвестных Zh вычисляются по
формулам:
“ 061 Г\Р 062 Г2Р ' + 0£п ГпР	(1 4.5)
или
=	061	062 ^Р2	*	06п ^Рп‘ (14.6)
Здесь $km—коэффициенты влияния, определяемые решением
системы канонических уравнений (14.1), в которой
принято 7?ьр=1, а все остальные грузовые члены
/?тр=0 (см. главу 10);
rkP—единичные грузовые реакции связей k\ они возни-
кают при движении груза Р=1 в пролетах и вычи-
сляются по формулам (14.2), (14.3) или (14.4);
— гкр— ординаты эпюры прогибов от действия единичных
неизвестных перемещений Zft=l в основной си-
стеме.
Через неизвестные Z выражаются линии влияния внутренних
сил. Например, для сечения С (рис. 14.3):
л. в. Мс = л. в. + (л. в. Zj) МС1 4- (л. в. Z2) МС2 +
+ ...-Ь(л. B.Zn)MCn;	(14.7)
245
л. в. QC = J1, в. Q£ + (л. в. ZX)QCX + (л. в. Z,) QC2 +
+ -+(Л.в.2л)ССп.	(14.7)
Здесь MCk и Qc/e—ординаты, взятые из единичных эпюр Mh
и Q/, в сечении С;
л. в. М^с и л. в. Q}c—линии влияния изгибающего момента и
поперечной силы в сечении С основной си-
стемы, т. е. в той статически неопредели-
мой балке, в которой находится сечение С.
В зависимости от расположения груза Р=\ в пролете
(рис. 14.3) их ординаты вычисляются по формулам:
груз справа от сечения С:
Мр. =- г + V a- Q" = V ;
С а 1 а ’ х С	а1
груз слева от сечения С:
Mc-ra + Vaa-l (a — ul); Q'c-- У, - 1.	(14.8)
Можно их вычислять также по формулам:
Д|0 = Д/бал r LzE	= М(глл — б 4* 6 -- •
JViC 1VlC 1 Г аР z rbP z	C UPa z ' Vpb t ,
<?c = Qc ' — r-aPp-----P =	+ 6py	(14.9)
Здесь Л4£ал и — ординаты линий влияния изгибающего мо-
мента и поперечной силы в сечении С простой балки с шарнир-
ными опорами (статически определимой).
Пример 14.1. Определить степень кинематической неопре-
делимости рамы (рис. 14.4, а) и выбрать основную систему по
методу перемещений.
Решение
Степень неопределимости по методу перемещений равна чи-
слу независимых угловых и поступательных перемещений узлов
рамы. Число угловых перемещений равно числу жестких (не
246
шарнирных) узлов, за исключением опорных, так как послед-
ние не имеют упругой подвижности. В нашем примере жесткими
являются узлы 2, 4 и 5, т. е. три узла.
Число независимых поступательных перемещений определя-
ется числом дополнительных связей, которые нужно поставить,
чтобы сделать неизменяемой систему, полученную введением
такие связи, например, две в узле 1 (они показаны двойными
линиями) и одну в узле 5 (в виде дополнительного стержня,
изображенного пунктиром на рис. 14.4, б, или в виде горизон-
тальной опоры, изображенной на рис. 14.4, в).
Рис. 14.6
Таким образом, степень кинематической неопределимости
будет п = 3 -h 3 = 6.
Основная система показана на рис. 14.4, в. За неизвестные Zj,
Z2 и Z3 приняты угловые перемещения узлов 2, 5 и 4\ неизвест-
ными Z4 и Z6 являются упругие горизонтальные перемещения
узлов 1 и 5, а неизвестное Z5 является упругим вертикальным
перемещением узла 1. Поступательные перемещения узлов 2,
3 и 4 зависят от перемещений узлов 1 и 5.
Задача 14.2. Выбрать основную систему по методу переме-
щений для рам, изображенных на рис. 14.5.
Ответ: См. рис. 14.6.
Пример 14.3. Построить по методу перемещений эпюру из-
гибающих моментов в раме (рис. 14.7, а) от заданной нагрузки.
247
Рис. 14.7
Решение
По методу перемещений рама один раз кинематически неоп-
ределима: у нее только один жесткий узел, способный независи-
мо поворачиваться (узел /), и нет поступательных перемеще-
ний.
Накладываем на узел 1 моментную связь, удерживающую
его от поворота, и получаем основную систему из трех статиче-
ски неопределимых балок (рис. 14.7, б). Искомым неизвестным
является угол поворота Z\ узла /. Каноническое уравнение име-
ет вид:
гп “ О-
Для нахождения реакций R\P и Гц сначала определяем коэф-
фициенты жесткости ik каждой балки. Принимаем Z3 = 4лг = Z и
EJS EJ
—---- = — I.
h I
Тогда
EJ2 E-6J o. . EJ\ E'3J
l2 = —- =----- = 3t; b = —L = ----- — 2r
2 Z2 2Z	1 Zi
2 1
Затем при помощи рис. 14.1 и 14.2 строим эпюры изгибаю-
щих моментов в основной системе: М°р —от нагрузки и М\ — от
248
единичного угла поворота Zj = 1 (рис. 14.7,в, г), учитывая, что
у балок 1-2 и 1-3 защемлены оба конца, а у балки 1-4 защемлен
только левый конец, правый конец — шарнирный.
Из условия равновесия узла 1 (рис. 14.7, д и е) находим ре-
акции:
Rlp - 3 — 7,2 - -4,2 т м- ги = (8 4- 9 + 4) I = 21 i.
Подставляя их в каноническое уравнение, получаем:
Z = — Rlp — 11? А
1 ~ гп “ 21/ ~ 10/ ’
Окончательную эпюру изгибающих моментов МР (рис. 14.7,
рамы получаем сложением эпюры (рис. 14.7,ж) с грузо-
вой эпюрой М рГ
Мр = M}Z. + М"р.
Пример 14.4. Построить эпюру изгибающих моментов двух-
пролетной рамы от горизонтальной силы Р = 63 т (рис. 14.8, а)
Решение
Неизвестными являются угол поворота Z} узла 1 и поступа-
тельное перемещение Z2 ригеля по горизонтали. Основную си-
стему получаем наложением моментной связи на узел 1 и сило-
вой связи, например на опору В (рис. 14.8,6). Канонические
уравнения имеют вид:
Г1 Al	Г12 ^2 “Ь ~
л21 Z. + г22 Z2 + R2p — 0.
„	. .	. EJ EJ
Для коэффициентов жесткости принимаем	=
4
£“•27	E‘6J
= i. Соответственно i2 =--= 2 i\ i3 =---^=4i Они показаны
4	6
на рис. 14.8, а.
При помощи рис. 14.2 и 14.1 вычисляем крайние ординаты
эпюр изгибающих моментов:
от нагрузки (полагая узел С левым, а узел / правым концом
балки, изображенной на рис. 14.2, в):
МР.С1 = - Р13 “л - 63 • 6	= - 28 г. М;
1С = _бз-б(Д-)4-==-56г-Л<:
от Z j = 1 (по рис. 14.1, а):
а “	^1. Л1 “ 2^1 = 2Z; д в = 3f2 — 6Z; В1 — 0;
249
Рис. 14.8
М, , r = 4i, = 16i; М. Г1 = 2i, = 8i;
1,1 и	О	’	1,Ы	о
otZ2=1 (по рис. 14.1, в):
Ч.1с=7^ = 4ц М2 С = 41.
*3
По этим ординатам построены эпюры Л4°Р, Л41 и М2 (рис.
14.8, б—г).
Вырезав узел 1 в единичных и грузовом состояниях (рис.
14.8, д), определяем реакции моментной связи из условия рав-
новесия узла:
гп = (16 + 4 + 6)i = 26i; ^i2 = Г21 = — 4/; /?1Р = 56 т-м.
Для нахождения реакций силовой связи вырезаем ригель АВ
в единичном (Л12) и грузовом (Л4°Р) состояниях (рис. 14.8, д).
Горизонтальные поперечные силы действуют на ригель только в
узле 1. В единичном состоянии поперечную силу в узле 1 нахо-
дим при помощи эпюры Л42:
250
В грузовом состоянии поперечную силу в узле 1 вычисляем
но формуле (рис. 14.2, в), полагая узел 1 на правом конце и
1// = Ц3/з = 4 м:
Qo = Puj (3 - 2а3) = 63 (|-)2 (3 — 2 -у) = у т.
Она направлена вправо. Из равновесия ригеля АВ (рис. 14.8, д)
получаем:
251
Составляем канонические уравнения с числовыми коэффици-
ентами:
26 iZj — 4zZ2 + 56 = 0;
А 7 . 4 *7	140	Л
— 4ZZ, Ч-----iZ,------= 0.
1	3	2	3
Их решение дает-
7 б у _ 53
~; ^2 " “г-
i	i
Умножая ординаты эпюры М] на ZH М2 на Z2 и суммируя ре-
зультаты с эпюрой Л4°р, получаем окончательную эпюру изгиба-
можно принять рав-
ющих моментов рамы (рис. 14.8, е). Замечаем, что множитель
EJ
t ~ — т-м сокращается, поэтому его сразу
ным единице, но помнить размерность при вычислениях.
Пример 14.5. Произвести статический расчет рамы мето-
дом перемещения. Схема рамы, ее размеры, нагрузка и коэффи-
f* J
циенты жесткости /=— (в кружках) показаны на рис. 14.9,а.
Решение
Основная система изображена на рис. 14.9,6. За неизвестные
приняты Zi и Z2— углы поворота узлов 1 и 2; Z3 и Z4 —горизон-
тальные смещения ригелей 1-3 и 2-4.
Эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагруз-
ки (ЛТ°Р) и от единичных неизвестных (Afj, Л42, Л43 и М4) даны
на рис. 14.9. По этим эпюрам находим коэффициенты при неиз-
вестных и свободные члены канонических уравнений. Из равно-
весия узлов 1 и 2 при раздельном действии каждого из единич-
ных неизвестных и нагрузки получаем моментные реакции-
Гц = 12 + 6 = 18; г12 = г21 = 0; г13 = г31 = — 3;
44 = ^1 = °:	12^
г22 = 12 + 9 + 12 — 33; г23 = г32 =	3;
лР=.-8Ч.
Из равновесия вырезанных ригелей 1-3 (сечение 1 — 1 на рис.
14.9,6) и 2-4 (сечения 2—2 на рис. 14.9, е) получаем силовые ре-
акции:
34-3 , 3 о	3	.
гзз — — ---И ~~ — 2; <34 — г4з —	+ — U
252

_ 3	9 + 9	3 __ 19
R“ ”У + ТГ + Т“Т’ R^~°-
Канонические уравнения с числовыми коэффициентами име-
ют вид.
18Z, —3Z3 + 12</= 0;
33Z2—3Z3 —-~Z4—8<? = 0;
— 3Zj — 3Z2 + 2Z3 — Z4 — 8q = 0;
—-|-Z2 —Z3 + ^Zt — 0.
Решая их и подставляя значение q = 0,49 т/м, находим:
Z, - — ; Z2 =	; Z3 = 3,51; Z4 = 0,89.
6	6
Окончательную эпюру изгибающих моментов рамы строим
по ординатам на концах стержней. Ординаты вычислены по
формуле
мр = м«р + м, z1 + м2 Z, + •  • + мп zn.
Например, на концах стержня А-1:
М. , = 12-0,49 —6— + 3-3,51 = 14,86 т-м-,
А-1	’	6
Л4..= 12-0,49+ 12 — -3-3,51 = — 1,55 т-м.
1Д	’	6
На этих концах ординаты эпюр М2 и М4 равны пулю.
На концах стержней узла 2:
/И23 = 9^ —3-3,51 + 3-0,89 = —3,555 т-м;
М = 8-0,49 — 12= — 1,82 т-м;
2	6
= 12?^-7 — — 0,89 = 1,735 т-м и г. д.
-а 6	2
По найденным ординатам построена эпюра МР (рис. 14.9, ж)
Ее правильность проверяем из условий равновесия вырезанных
узлов и ригелей. Например, на узел 2 действуют моменты
(рис. 14.9, з)
^23 — М24 — М‘2В = 3>555 —1,82—1,735 - 0.
253
На ригель 1-3 действуют поперечные силы
jP 14.86 4-l.55_ 3^553 = 3 92_2J35— 1,185 = 0.
2	6	3
На ригель 2-4 действуют силы
3,555	1,735 — 1,135	2,67 i iqc । л ic i о-- n
—------------------------= 1,18o + 0,15 — l,3oo = 0.
3	4	2
Пример 14.6. Дана двухпролетная рама. Размеры рамы и
коэффициенты жесткости элементов показаны на рис. 14.10, а
Рис. 14.10
Вычислить коэффициенты влияния, построить линии влияния не-
известных, а также линии влияния изгибающего момента и по-
перечной силы в сечении С посередине левого пролета, пользуясь
методом перемещений.
Решение
Рама дважды кинематически неопределима. За неизвестные
принимаем угол поворота узла Zx и горизонтальное смещение
ригеля Z2- Строим эпюры моментов и М2 от единичных неиз-
вестных основной системы (рис. 14.10,6, в). Канонические урав-
нения метода перемещений имеют вид:
Г11	Г12^2 + rip = 0»
^*21 ^1	^22 ^2	^2Р = Q*
Вычисляем коэффициенты при неизвестных. Из равновесия
узла по эпюре М\ имеем Гц = 12 + 6 + 4 = 22; по эпюре М2 нахо-
. 1
дим Г12 = Г21 = — 1; из равновесия ригеля получаем г22 =—.
3
Для контроля строим суммарную единичную эпюру Ms
(рис. 14.10, г) и, учитывая, что EJh — iklk, вычисляем:
254

-A— 2 (62 4- 122 — 6 12) -
6-3/j
+ 6±k + 2i_ 2 (32 4- I2 —3 1) = 20-'-
3-2-Z,	6-/3	3
Эта сумма должна равняться сумме коэффициентов при неиз-
вестных £гдг = 22—1 —1+— = 20 — , что свидетельствует о
3	3
правильности их вычисления.
Для нахождения чисел влияния |31г- принимаем в канониче-
ских уравнениях Г1Р=1, а все остальные грузовые члены rkP = 0
Тогда Z| = Pn и 2Г2 = Р21, и канонические уравнения с учетом чи-
словых значений коэффициентов rki примут вид:
22Pn-l>p21+ 1 =0;
— 1 ’ Р11 + “ Р21 + 0 = 0.
о
Решая их, например, при
помощи определителей, находим
Р и
19 ’
Для контроля полученные числа влияния подставляем в ка-
нонические уравнения:
22 f--Ц — 1 (— —) + 1 = 0; — 1 /— -Ц 4. _L /_	= о
\	19/	\	19 >	\ 19/	3 \	19/
и убеждаемся в правильности их вычисления.
Аналогично можно найти р22 и £i2, приняв г2Р=1 и г1Р = 0.
Но в нашем примере это делать не нужно, так как входящая в
уравнения (14.5) силовая реакция г2Р при вертикальной нагруз-
ке равна нулю и неизвестные здесь выражаются только через-
моментную реакцию г}Р:
~ Р11 Г1Р» ~ Р‘21 Г1Р’
При этом p2i = Pi2 уже вычислено.
25S
Составляем уравнения ординат линий влияния неизвестных в
функции от безразмерной координаты	определяющей
положение груза Р=1 в пролете.
Груз в первом пролете. Так как этот пролет является бал-
кой с защемленными концами, то для грузовой реакции Г[Р = гь
пользуемся формулой (14.2) и получаем уравнения линий влия-
ния неизвестных
- Рп К ft (и) = - Л (u); Z2 = Р21I. h (и) = - Л («).
Груз во втором пролете. В этом пролете левая опора за-
щемленная, правая — шарнирная, поэтому для грузовой реак-
ции riP = ra нужно воспользоваться формулой (14.4) и тогда
уравнения для неизвестных будут
~ Ри 4 /б (w) “ “g /в (uh ^2	Р21 ^2 /в	h(u).
Значения функций и /г,(ц) берем из табл. 14.1 и вычис-
ляем ординаты линий влияния неизвестных для выбранных се-
чений в пролетах. Порядок вычисления ясен из табл. 14.2.
Таблица 14 2
Гру i	2 и—	 1	0,1	0,3	0,5	0,7	0.9
В 1-м про- лете		0,009	0,063	0,125	0,147	1 0,081
	12 Zl=-—/>(«)	—0,0057	—0 ,0398	—0,0789	—0,0928	—0,0511
	36 z.—-/.(«1	—0,017	—0,119	-0,237	—0,278	—0,153
Во 2-м про- лете		0,0855	0,1785	0,1875	0,1365	0,0495
	г1 = 22/в(„)	0,0450	0,0940	0,0987	0,0718	0,0260
	30 М'О	0,135	0,284	| 0,296	1 1 0,215	0,078
Груз на консоли. Линия влияния неизвестного на участке
консоли изображается прямой, касательной в опорном сечении
(начале консоли) к его линии влияния на участке пролета перед
консолью. Угол наклона касательной определяется как произ-
водная от неизвестного на участке пролета, взятая в сечении на
256
опоре. На конце консоли длиной 4 ордината линии влияния не-
известного равна:
Zlk = Ik при z = /2.
\ аг/
По найденным ординатам построена линия влияния неизвест-
ного Z\ (рис. 14.11, а). Линия влияния неизвестного Z2 имеет та-
кой же вид с другими значениями ординат (табл. 14.2).
Теперь переходим к построению линий влияния внутренних
сил по формулам (14.7). Для линии влияния изгибающего мо-
мента сначала составляем уравнение л. в. Al°c только для пер-
вого пролета, в котором находится сечение С, пользуясь форму-
лами (14.8) и (14.2) как для балки с обоими защемленными
концами:
при грузе слева от сечения С
л. в. Л4с = — li/з + аФ1 (w) —	— ик) —
= - 12 /3 (и) + 6Ф1 (и) — (6 — 12 и);
17—1284
257
§
г и= —	0	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9
-12/з(«)	0	—0,972	-1,764	-1,500	—0,756	—0,108
6ф1 (и)	6,0	5,830	4,704	3,000	1,296	0,168
—1(6— — 12и)	-6,0	—4,800	—2,400	0		
Л12.	0	0,058	0,540	1,500	0,540	0,060
-3Zr	0	0,017	0,119	0,237	0,278	0,153
Мс	0	0,075	0,659	1,737	0,818	0,213
<Р1(и)—1	0	—0,028	—0,216	—0,500		
<Р1 («)				0,500	0,216	0,028
к> | оо N	0	0,008	0,060	0,116	0,139	0,77
Qc	0	—0,020	—0,156	—0,384 0,616	0,355	0,105
Таблица 14.3
1.0	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	1,0	Кон- соль
0							
0							
							
							
i 0	—0,135	—0,282	—0,296	—0,215	—0,078	0	0,316
0	—0,135	—0,282	—0,296	—0,215	—0,078	0	0,316
							
							
0	—0,067	—0,141	—0,148	—0,107	-0,039	0	0,159
0	—0,067	—0,141	—0,148	-0,107	—0,039	0	0,159
при грузе справа от сечения С
л. в. Мс = — 12/з (и) + бдд (и).
Вычисление ординат выполняем в табл. 14.3. Затем из единич-
ных эпюр ТЙЙ и М2 берем в сечении С ординаты AlCi =—3 м и
Л1с2 = 0 и выписываем в табл. 14.3 значения —3 (Zj). Складывая
с л. в. Л4с, получаем ординаты л. в. Мс (табл. 14.3).
Аналогично по формуле (14.7) с учетом значений (14.8) и
(14.2) составляем уравнение ординат линии влияния попереч-
ной силы в сечении С:
з
при грузе слева л. в. Qc = (pj (и)—1-~(л. в-^);
з
при грузе справа л. в. Qc = (pj (и)-- (л. в. ZJ.
о	Г7 dM —12—6	3
Здесь Qci определено по эпюре Mi как---=----------=------,
dz 12	2
a Qc2 = 0. По найденным ординатам (табл. 14.3) построены ли-
нии влияния Мс и Qc (рис. 14.11,6, в).
Пример 14.7. Произвести статический расчет рамы, изо-
браженной на рис. 14.12, а, на подвижную нагрузку методом пе-
ремещений с построением линий влияния неизвестных и внут-
ренних сил в сечении С.
Решение
f
Основная система изображена на рис. 14.12,6; неизвестными
приняты угловые перемещения узлов Z\ и Z2 и их горизонталь-
ное смещение Z3. Учитывая погонные жесткости (показаны в
кружках) и пользуясь эпюрами рис. 14.1, строим единичные
эпюры Mi, М2 и М3 (рис. 14.12, в—д). По этим эпюрам опреде-
ляем единичные реакции (коэффициенты при неизвестных ка-
нонических уравнениях).	_____	__
Из равновесия узла 1 в состояниях М{, М2 и Л13 находим
Гц = 5 -’-3 + 2 = 10;	Г12 = г21 = 2,5;	ri3~r3[ == —1,5.
Из равновесия узла 2 в состояниях М2 и М3
г22 — 3 4- 2 + 5 = 10;	^2з~^з2~—1,5.	_
Из равновесия ригеля в состоянии Л43
r„ =	+	+	= i + 1,5 = 2,5.
33	/2	/2	4.32	2*22
14	*5	_
Для контроля строим суммарную единичную эпюру Ms и вычис-
ляем:
у	Г^.*=?У + 1^+2^ +
^Jj EJ	Н 3-2	3-3	3-25
+ <>+l = 21,5.
1	3.1
17*
259
Рис. 1 I 12
Т а б л и на 14 4
Определение коэффициентов влияния по Гауссу^ Прямой ход
№ канонического уравнения и коэф- фициент а	Коэффициент г при неижестныч			Сумма коэффи- пиен!ов S
		1 z‘	1	Z3	
(1) а1£— П1	10 —1	2,5 -0,25	— 1 ,5 0,15	11
(2) «12(1)	2,5 —2,5	10 — 0,625	-1,5 0,375	11 —2,75
(21) = (2)+а12(1)	•	9,375	| —1,125	|	8,25
r\k а^~ ,л 7 22	•	— 1	0,12	—
(3) + а13 (1) а2г(2')	—1,5 1,5 •	— 1 ,5 0,375 1,125	2,5 —0,225 —0,135	—0,5 1,65 0,99
(311)	е	9	2,14	2,14
Тот же результат дает и
2rik = Ю + 2-2,5 — 2-1,5 + 10 — 2-1,5 + 2,5 - 21,5.
2G0
Канонические уравнения с числовыми коэффициентами имеют
вид:
10Zx + 2,5 Z2 — l,5Z3 + rlp = 0;	(1)
2,5Zj + 10Z2—l,5Z3 + r2p = 0;	(2)
— 1,5 Zx — 1,5 Z2 + 2,5 Z3 + r3p = 0.	(3)
Переходим к вычислению коэффициентов влияния. Восполь-
зуемся способом Гаусса. Прямой ход приведен в табл. 14.4.
Обратны й х о д
1-я операция. Приняв г3р=1, а Г2р = Пр = 0, из табл. 14.4
получаем систему неполных уравнений, в которых неизвестные
Zh равны коэффициентам влияния:
гз'₽зз = —(3")
4₽2з + 4₽зз= 0;	(2')
Г11 Р13 + Г12 Р2З + Г13 Рзз — 0.	(1)
V	Г12	г13
л читывал, что — —а23,------= —а12,---= —а13,
г'п	Ги	Гп
и подставляя их числовые значения из табл. 14,4, имеем:
р33 = —	= — 0,467; Р23 =-а2з Рзз = — 0,12-0,467 = — 0,0561;
р13 = а12р23 + а13 Рзз = 0,25-0,0561 — 0,15-0,467 = —0,0561.
Для контроля подставляем найденные коэффициенты влия-
ния рлз в каноническое уравнение (3) вместо неизвестных Zh:
1,5-0,0561 4- 1,5-0,0561 — 2,5-0,467 = — 1.
2-я операция. Теперь принимаем Г2р=1, a r3P = riP = 0 и вы-
писываем из табл. 14.4 уравнения:
Г22 Р‘22 + Г23 Рз2 “	>	(2 )
Г11 Р12 + Г12 Р22 + Г13 Рз2 “ 0	(1)
с коэффициентами влияния р/<2 вместо неизвестных Zh. Снова
учитывая значения коэффициентов а и то, что Рз2= ₽2з уже най-
дено, находим:
Р22 =----7 + а23 р32 = — —-0,12- 0,0561 = — 0,1134;
Я2	9.3/0
Р12 = ai2p22 + «1зРз2 = 0,25-0,1134 — 0,15-0,0561 = 0,0199.
261
Контроль выполняем подстановкой в уравнение (2):
2,5-0,0199 — 10-0,1134 + 1,5-0,0561 = - 1.
3-я операция. Полагая 'г1Р=1, а Г2р = гзр = 0, из уравне
ния (1)
г 11 Pi 1 + ri2 Р21 + г 1з Р31 —	1
находим:
₽и =--------F ai2p2i + а1зРз1 — —~ — 0,25-0,0199 —
''п	10
-0,15-0,0561 - —0,1134.
Контроль выполняем обратной подстановкой в уравнение (1).
Теперь линии влияния неизвестных Zh можно выразить че-
рез коэффициенты влияния и прогибы по формуле (14.6). Со-
ставляем уравнения ординат эпюры прогибов в основной систе-
ме от единичных неизвестных. При этом учитываем, что от неиз-
вестного Z] прогибы будут только в первом и втором пролетах,
от Z2— во втором и третьем, а от Z3 прогибы бРЗ всех
пролетов ригеля в основной системе равны нулю (рис. 14.12), так
же как и силовая реакция гЗР от вертикальной нагрузки Р=1:
6р3 = Сзр = 0.
Для вычисления ординат прогибов первого пролета (левый
конец шарнирный, правый защемлен) пользуемся формулами
(14.3):
SPi = rip “ гь “ h h
Чтобы получить прогибы консоли, умножаем значение производ-
ной от прогиба первого пролета в сечении левой опоры (при г =
= 0) на координату сечения. На конце левой консоли имеем:
йР1 = — Г— I f (u)l( — /Л =/./. — Г— (1— ы2)1 —
Pi dz' 1'5\ 'л k) k 1	[ 2 V 'Jrfznp,, 2=0
= —/ = 15.
2
Для прогибов второго пролета (оба конца защемлены) со-
ставляем уравнения по формулам (14.2):
6Р] = Г1Р — Га~ 1'2	(U)*’
бр2 “  С?Р “ ГЬ~	^2 Л	»
для прогибов третьего пролета (левый конец защемлен, правый
шарнирный)—по формулам (14.4):
^Р1 = брз = Г2Р “ Га ~ ^3 f
По составленным уравнениям при помощи табл. 14.1 сна-
чала вычисляем ординаты эпюры прогибов бР1 и 6Р2. Например,
прогибы второго пролета будут:
262
при rz = 0,2
бр1 = l2 f3 (a) = 16-0,128 = 2,048;
Sp2 == — /2 f4 (u) = — 16- 0,032 = — 0,512;
при n = 0,4
Spi = 16-0,144 = 2,304;
Sp2 = — 16 0,096 = — 1,536 и t. д.
Затем по формулам (14.6) для нашего примера:
^1 “ Pll	Р12 &Р2 ;	~	?21	^22 ^Р2 »
Z3 =	Р31 бр1 Р32 бр2
вычисляем ординаты линий влияния неизвестных. Например,
для второго пролета:
при н = 0,2
Zi = 0,1134-2,048 + 0,0199-0,512 = 0,2423;
Z2 = 0,0199-2,048 — 0,1134 • 0,512 = —0,0989;
Z3 = 0,0561 (2,048 — 0,512) = 0,086;
при u = 0,4
Zx = 0,1134-2,304 + 0,0199-1,536 = 0,2919;
Z2 = — 0,0199 • 2,304 — 0,1134 -1,536 = — 0,2201;
Z3 = 0,0561 (2,304— 1,536) = 0,043 и т. д.
Эти вычисления приведены в табл. 14.5.
Имея неизвестные, переходим к вычислению ординат линий
влияния М и Q в заданном сечении по формулам (14.7). Нач-
нем с изгибающего момента. Для л. в. воспользуемся фор-
мулой (14.9). Подставляя в нее <2 = 9,4 м, /2=16 м, получаем вы-
ражение
— 0,4 бр1 + 0,6 6^ ,
действительное только для второго пролета, в котором находит-
ся сечение С. При грузе слева от него М^ал = (/2—а)и, при гру-
зе справа М^йл = а(1—и).
Ордината л. в. Л4£, например, равна:
при w = 0,2
Мс = (16 — 9,6) 0,2 —0,4-2,048 —0,6-0,512 = 0,155;
при и — 0,4
Л$ = (16 — 9,6) 0,4—0,4-2,304 —0,6-1,536 = 0,716 и т. д.
263
Вычисление ордина
2 и=~	Консоль	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	0,2
др1	1,5	0	—0,960	— 1,680	— 1,920	— 1,440	1 °	2,048
&Р2				|			°	—0,512
—Pn^pi =0,1134др|	0,170	0	-0,109	—0,190	-0,218	j—0,163	0	0,232
—р12ди=_0,0199.5Р2							0	0,010
Zi	0,170	0	—0,109	—0,190	—0,218	—0,163	0	0,242
_021 6р1=_ 0,01996р.	—0,030	0	0,019	0,033	0,038	0,029	0	—0,041
1 >_	 П -022^2=0,1134^							0	—0,058
гг	—0,030	0	0,019	0,033	0,038	0,029	0	—0,099
/3=0,0561(6^+^)	0,084	0	—0,054	—0,094	—0,107	—0,081	0	0,086
м£ал							0	1,280
+	—0»4dpi							0	-0,818
0,6 6К							0	—0,307
М°с							0	0,155
+ 0,09656^,	0,145	0	—0,093	—0,162	—0,186	—0,139	0	0,197
—0,23676^2							0	0,121
Мс	0,145	0	—0,093	—0,162	—0,186	—0,139	0	0,473
лбал							0	—0,200
		 _L( бр.+б^) 10							0	0,096
<2°с +					1			0	—0,104
—0,0438( dp.+dpj)	—0,066	0	0,042	0,073	0,084	0,063	0	—0,067
Qc	—0,066	0	0,042	0,073	0,084	0,063	0	-0,171
264
Таблица 14.5
1ИНИЙ влияния
0,4	0,6	0,8	2,0	0,2	0,4	0,6	0,8	3,0
2,304	1,536	0,512	0					
—1,536	—2,304	—2,048	0	1,728	2,304	2,016	1,152	0
0,261	0,174	0,058						
0,031	0,046	0,041	0	—0,034	—0,046	—0,040	—0,023 |	0
0,292	0,220	0,099	0	—0,034	—0,046	—0,040	—0,023	0
—0,046	—0,031	—0,010	0					
—0,174	—0,261	—0,232	0	0,196	0,261	0,229	0,131	0
—0,220	—0,292	—0,242	0	0,196	0,261 |	0,229	0,131	0
0,043	—0,043	—0,086	0	0,097	0,129	0,113	0,064	0
2,560	3,840	1,920	0					
—0,922	—0,614	—0,205	0					
—0,922	—1,384	—1,229	0					
0,716	1,842	0,486	0					
0,223	0,148	0,049	0					
0,363	0,546	0,484	0	—0,409	—0,546	—0,477	—0,272	0
1,302	2,536	1,019	0	—0,409	—0,546	—0,477	—0,272	0
—0,400	—0,600 // /	0,400	0,200	0					
—0,048	—0,048	—0,096	0					
—0,352	—0,648 / /	0,352	0,104	0					
—0,033	0,033	0,067	0	—0,076	—0,099	-0,088	—0,051	0
—0,385	—0,615 / / 0,385	0,171	0	—0,076	—0,099	—0,088	-0,051	0
18—1284
265
Вычисление остальных ординат Л1£ приведено в табл. 14.5.
Далее для сечения С из эпюр М (рис. 14.12) находим значе-
ния МС1 = 0,5; Мс2 = —2,0 и Л4сз = 0 и по формуле (14.7) вычис-
ляем ординаты л. в. Л4С, выраженные через неизвестные. Но
можно определить эти ординаты без предварительного вычисле-
ния ординат линий влияния неизвестных. Для этого в формулу
(14.7) подставляем значения неизвестных по формуле (14.6):
Мс = М"с - Л1С1 (рн др1 + ₽12 6Р2) - МС2 (.8,, др1 + Р,, 6р2),
вычисляем числовые коэффициенты при прогибах:
Мг, р„ + Л4™В.„ = — 0,5 0,1134—2,0 0,0199 = —0,0965;
МС1 Р12 +	₽22 = 0,5 0,0199 + 2,0-0,1134 = 0,2367
и получаем уравнение ординат л. в. Мс в виде:
МС = МС + 0’0965	“ 0’2367 6Р2 •
Например, для первого пролета (/VI£ =0 и 6Р2 = 0):
при /7 = 0,2
Мс = —0,0965-0,960 = -0,0926;
при и == 0,4
Л4С = — 0,0965-1,68 = — 0,1623 и г. д.;
для второго пролета в сечении и = 0,2
Мс = 0,155+ 0,0965-2,048 + 0,2367-0,512 = 0,473;
в сечении и = 0,4
/Ис = 0,716+ 0,0965-2,304+ 0,2367-1,536 = 1,302 и т.
Вычисленные так ординаты л. в. Мс приведены в табл. 14.5.
Аналогично вычисляем ординаты л. в. Qc по формуле (14.7).
Сначала для второго пролета, где находится сечение С, по фор-
муле (14.9) определяем:
При грузе слева
Q6a.i = уба., _ j =	__ j = _ и
а	1
*2
При грузе справа = Г“ал = 1'2~г =1 — и.
^2
Вычисление ординат ясно из табл. 14.5. Затем при помо-
щи формул (14.6) и (14.7) выражаем Qc в функции прогибов:
266
Рис. 14.13
и вычисляем коэффициенты при прогибах
PiiQci + Р21 Сс2 = (0,1134 - 0,0199)	= 0,0438 = ₽12QC1 + ₽.22 Qc,.
Благодаря тому, что коэффициенты при 6Pi и 6Р2 оказались
одинаковыми, получаем простое уравнение
л. в. Qc =	- °’0438 ( Spi + М>
по которому находим ординаты л. в. Qc (табл. 14.5).
Например, в сечении z/ = 0,2 второго пролета
Qc = — 0,104 —0,0438(2,048 — 0,512) - — 0,171 и т. д.
По найденным ординатам построены линии влияния на
рис. 14.13.
18*
267
Глава 15
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМ ПО СМЕШАННОМУ И КОМБИНИРОВАННОМУ
МЕТОДАМ
§ 15.1.	СМЕШАННЫЙ МЕТОД (А. А. ГВОЗДЕВА)
Смешанным методом расчета статически неопределимых си-
стем называется метод, в котором одна часть неизвестных пред-
ставляет собой реакции Х{ в устраненных связях, а другая — пе-
ремещения Zi наложенных связей. Основная система образуется
устранением связей, как в методе сил, в той части системы, ко-
торая проще рассчитывается методом сил, и наложением свя-
зей, как в методе перемещений, в той части системы, которая
наиболее просто может быть рассчитана по методу переме-
щений.
Смешанный метод имеет канонические уравнения двух ви-
дов: уравнения метода сил, число которых равно числу устра-
ненных связей, и метода перемещений, число которых равно чис-
лу наложенных связей. Уравнения обоих видов содержат одно-
временно неизвестные Xt и Z{. В общем виде система канониче-
ских уравнений имеет вид:
Хх + б12 Х2 + • • • + d1(. Z. +  • • + Sln Zn + Д1Р = 0;
+ rn-2 Х2 + • • • + rn. z.t -I- ... 4- Гпп Za + RnP ;= 0.
Канонические уравнения метода сил содержат два вида еди-
ничных перемещений: перемещения бг/{ от единичных сил, при-
ложенных в направлении устраненных связей, и перемещения
6ik от единичных перемещений наложенных связей. Канониче-
ские уравнения метода перемещений содержат два вида реак-
ций: реакции в наложенных связях от единичных перемещений
наложенных связей rik и реакции в наложенных связях от еди-
ничных сил, приложенных в направлении устраненных свя-
зей rik.
Перемещения 6г-& и реакции rik определяются по обычным
правилам, принятым в методах сил и перемещений. Реакции rik
могут быть определены из условий равновесия, так же как в ме-
тоде перемещений. Перемещения бг/г определяются по геометри-
ческим соображениям или на основании теоремы взаимности
$ik “ Г 2/1.
Грузовые члены Дг-р и RiP определяются так же, как в ме-
тодах сил и перемещений.
Эпюра моментов в заданной системе строится на основании
следующего выражения:
268
М = М. X. + М, X, +----+  + MZ+M.,.
II	4 I	14 i 4	/
Правильность вычисления величин перемещений б7д и реак-
ций rik при прямых стержнях контролируется перемножением
самих на себя суммарных единичных эпюр изгибающих момен-
тов, построенных отдельно для неизвестных метода сил и мето-
да перемещений, входящих в канонические уравнения смешан-
ного метода.
Правильность вычисления величин перемещений 6ik и реак-
ций rik не может быть проверена перемножением эпюр, поэтому
необходимо bik определять из геометрических соображений и
проверять по теореме взаимности.
Эпюра изгибающих моментов в заданной системе может
быть проверена путем умножения ее на суммарную единичную
эпюру моментов любой основной системы метода сил. Результат
перемножения при расчете на нагрузку должен быть равен
нулю.
Вообще показателем правильности расчета является отсут-
ствие перемещений в направлении неизвестных реакций Хг- и ра-
венство нулю реакций в местах приложения неизвестных пере-
мещений Z[.
Примеп 15.1. Построить эпюру изгибающих моментов для
рамы, изображенной на рис. 15.1, а.
Решение
Рассматриваемая система при расчете ее по методу сил яв-
ляется восемь раз статически неопределимой. Степень подвиж-
ности узлов при расчете по методу перемещений равна шести.
Из рассмотрения основных систем методов сил и перемещений
(рис. 15.1,6, в) можно видеть, что нижний контур содержит
шесть неизвестных метода сил, а верхний только два. Основная
система метода перемещений в нижнем контуре имеет два не-
известных, а в верхнем четыре. При расчете же этой рамы по
смешанному методу целесообразно основную систему принять
такой, чтобы в верхнем контуре за неизвестные были приняты
неизвестные метода сил, а в нижнем — неизвестные метода пе-
ремещений (рис. 15.2, а).
В общем виде система канонических уравнений смешанного
метода для данной рамы будет:
6Н *! +	+ 613 ^3 + 614 Л + А1Р - 0;
6-21	+ 629 Х2 + б23 Z3 + 624 Z4 + А2р = 0;
r3i ^i гз2 + г33 Z3 + r34 Z4 + /?зр = 0;
Г41	Г42 ^2 “Ь Г43	+ Г44^4	^4Р “
269
270
271
Первое и второе уравнения — уравнения перемещений — вы
ражают условия, что сумма перемещений в направлениях Xi 1
Х2 от действия Xh Х2, Z3, Z4 и нагрузки равны нулю, поскольку
такие перемещения в заданной системе невозможны. Третье и
четвертое уравнения — уравнения реакций — выражают усло-
вия, что реакции в наложенных связях от действия Х2, Z3, Z4
и нагрузки равны нулю, так как в действительности связи от-
сутствуют.
Для определения единичных и грузовых перемещений и реак-
ций построены единичные и грузовые эпюры изгибающих мо-
ментов в основной системе (рис. 15.2,6— о).
Перемещения 6ц, 612, 622 определяем перемножением соот-
ветствующих эпюр изгибающих моментов
£J61i = 2f— • — 5-4--4	4-3-4^ - 128;
11	\ 5	2	3	I
EJ622 =144;
EJ612 = EJ62l = 0.
Реакции r33, r44, r34, а также r31, r4I, /'32, г42 определены из рас-
смотрения равновесия соответствующих узлов:
3EJ , 3EJ , о г? г л nr г? j
газ =------------г 2EJ =- 4,25Е7;
33	2	4
^44 “ §EJ;	— /'43 “ EJ\
г1з -- J; Г41 --
г?2 -== 6; г42	— 6.
Перемещения б13, д}4, 623, 624 определены по теореме взаим-
ности (bik = — rhiy.
&1з — 4; 6i4 ~ 4;
623 =	6; 62i б.
Те же значения этих перемещений получаются и из геометри-
ческих соображений.
Грузовые перемещения и реакции равны: AiP = 0; Д2р = 0;
R3p — 9,0 т • м\ R4p~ 0.
Правильность вычисления значений единичных перемещений
и реакций проверяется перемножением суммарных единичных
эпюр изгибающих моментов (рис. 15.2, ж, з). Проверка не при-
водится.
Система канонических уравнений в численном виде записы-
вается так:
+ 0,0Х2 + 4,0Z3-}-4,0Z4 = 0;
272
0,0Хх +	*2 + (-6,0) Z3 + 6,0Z4 = 0;
(—4,0) Л\ + 6,0Х2 4- 4,25EJZ3 + £VZ4 4- 9,0 =•= 0;
(—4,0) Xj 4- (-6,0) А4 4- EJZ3 4- 5,0E/Z4 = 0.
Эту систему удобно решить, применив сокращенный алго-
рифм Гаусса.
Необходимо в первом и втором или в третьем и четвертом
уравнениях сменить знаки у всех слагаемых, чтобы коэффи-
циенты. расположенные симметрично относительно главной диа-
гонали, были равны.
Решение системы уравнений по Гауссу дает следующие зна-
чения неизвестных (подробное решение опущено):
Хг - 0,05253 т; А2 =- —0,09728 т;
Z3 = — 2,00775 — ; Z4 = 0,32683 — .
3	EJ	EJ
Подстановка полученных значений неизвестных в исходные
уравнения дает тождества, что свидетельствует о правильности
решения системы уравнений.
Эпюра изгибающих моментов в заданной системе (рис. 15.3)
построена по выражению
М =	+ М,Х2 + ~M3Z3 + M4Z4 + Мр .
Все узлы рамы находятся в равновесии, а
V
J EJ
ds = 0.
273
274
Здесь Ms — суммарный единичный момент в любой основ
ной системе метода сил (эпюра Ms дана на рис. 15.2, и).
Задача 15.2. Построить эпюру моментов для рамы, изобра-
женной на рис. 15.4, а.
Указание. Следует рассмотреть основные системы мето-
дов сил и перемещений, а также смешанного метода. Убедив-
шись, что из всех рассмотренных основных систем основная си-
стема смешанного метода содержит наименьшее число неизвест-
ных, применить ее для решения рамы.
В качестве ответа на рис. 15.4,6, в даны основная система
смешанного метода и эпюра изгибающих моментов в заданной
системе.
§ 15.2. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД
(ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТУ СИММЕТРИЧНЫХ РАМ)
В симметричных системах нагрузка всегда может быть раз-
ложена на симметричную и кососимметричную. Комбинирован-
ный метод расчета симметричных систем состоит в раздельном
применении методов сил и перемещений к расчету рам на эти
виды нагрузок.
На симметричную нагрузку расчет производится по методу
перемещений, а на кососимметричную — по методу сил. Общее
число неизвестных комбинированного метода обычно меньше
числа неизвестных при расчете системы только методом сил или
методом перемещений, а также смешанным методом.
При расчете комбинированным методом сохраняются все
особенности и методы контроля, которые свойственны методам
сил и перемещений.
Пример 15.3. Требуется построить эпюру изгибающих мо-
ментов для симметричной рамы (рис. 15.5, а).
Решение
Рассматриваемая рама симметрична относительно верти-
кальной оси, проходящей через середины ригелей. Разложение
нагрузки на симметричную и кососимметричную показано на
рис. 15.5, б, в.
При расчете заданной рамы по методу перемещений число
неизвестных в общем случае равно шести (см. основную систе-
му метода перемещений, рис. 15.5, г). Если нагрузка только
симметричная, то кососимметричные неизвестные обращаются в
нуль и число неизвестных будет равно двум (Z2, Z4).
При расчете по методу сил число неизвестных равно восьми
(см. основную систему метода сил, рис. 15.5,6). В случае косо-
симметричной нагрузки все симметричные неизвестные обра-
щаются в нуль и число неизвестных будет равно трем (Х2,
х7).
275
По смешанному методу общее число неизвестных равно ше-
сти— по три при расчете на симметричную и кососимметричную
нагрузки.
Таким образом, расчет заданной системы на симметричную
нагрузку наиболее просто производится по методу перемещений,
а на кососимметричную — по методу сил.
2
а)	Г
ц-Эрт/м J
Л 3j
j
-—lj-бм
б)	в)
Рис. 15.5
Расчет на симметричную нагрузку. Основная си-
стема для этого случая дана на рис. 15.6, а. Система канониче-
ских уравнений в общем виде будет:
Г22	+ Г24 ^4 + ^2Р “ GJ
Г42 ^2 + Г44 ^4 +
На рис. 15.6,6, в, д даны эпюры изгибающих моментов от
парных смещений и нагрузки. Определение единичных и грузо-
вых реакций производится исходя из единичных и грузовых
эпюр изгибающих моментов путем рассмотрения равновесия
узлов. Если принять Е/-=1, получим следующие значения ре-
акций:
276
4,8,8	4
2	3	9	9	3
— 40 .
“ 9 ’
__ 83
Т 44 —	»
9
__ _ 4
Z24 — Г42 “ “ J
О
27
Система уравнений в чис-
ленном виде:
— Z2 4- — Z4 = 0;
9	2	3	4
— Z2 + — Z4 + — = 0.
3	9	2
Решая систему, будем иметь
Z2-0,46; Z4 = —1,53.
Правильность решения си-
стемы уравнений должна про-
веряться подстановкой найден-
ных значений неизвестных в
исходные уравнения и обраще-
нием их в тождества.
Эпюра изгибающих момен-
тов в заданной системе от дей-
ствия симметричной нагрузки
построена по выражению Мс =
= A4^Z2 + /VI 4Z44-ATp и дана па
рис. 15.6, с. Равновесие узлов
рамы свидетельствует о пра-
вильности построения эпюры.
Возможна также проверка по
выражению
V f АП Л4С V
2jJ +
Рис. 15.6
(эпюру Ms см. рис. 15.6, г).
Расчет на кососимметричную нагрузку. Основ-
ная система приведена на рис. 15.7, а.
Система канонических уравнений в общем виде запишется:
^22 ^2 + ^24 ^4 + ^27 ^7 + ^2Р =
277
642 ^2	^44	+ 647 X7 -Ь Д4р — 0;
672X2 + 674X4 + 677X7 + A7p^0.
Определение единичных и грузовых перемещений произве-
дено путем перемножения единичных и грузовых эпюр изгибаю-
щих моментов (рис. 15.7,6— г.е):
£/д22 = 2[—  — 6,0-6,0 — 6,0 + 4,5-6,0-6,0^ = 372,00;
2	3	3	/
£J644 = 318,00; £J677 = 197,44;
£J621 = £<7d42 = 243,00;
£J627 = £J672 = 243,00;
£Jd47 = £J674 = 182,25;
£JA,p = — 1620,00;
EJ\ip = — 1093,50;
EJ\7p - — 1093,50.
Рис. 15.7
278
Правильность вычисления единичных перемещений прове-
ряется по выражению
2j J ds =	= 2j (6,-,. + 26м),
а грузовых
V С м*смкРс , V
I -----------ds —- Д	Д
J EJ	SP lP
(эпюру A4sc см. на рис. 15.7, д).
Система канонических уравнений в численном виде запи-
шется так:
372,00Х2 + 243,00% t + 243,00Х7 — 1620,00 - 0;
243,00Х2 + 318,94Х4 + 182,25Х7 — 1093,50 - 0;
243,00Х2+ 182,25Х4 + 197,44%- — 1093,50 - 0.
Решение системы канонических уравнений рационально вы-
полнить по сокращенному алгорифму Гаусса или с помощью
определителей. Подробное решение, выполненное с помощью
определителей, не приводится.
Значения неизвестных будут: %2 = 3,73510 т; %4 = 0,09485 г;
%7-0,85364 т.
Подстановка полученных значений неизвестных в исходные
уравнения обращает их в тождества, что свидетельствует о пра-
вильности решения системы уравнений.
Эпюра изгибающих моментов от кососимметричной нагруз-
ки, построенная по выражению ЛГ'С= M'f Хъ+ МдХ^ + М^сХ1-\-
+ Л4рс, дана на рис. 15.7, ж.
279
Проверка этой эпюры выполнена принятым в методе сил
V С м$смкс
способом I --------- ds = 0. Из эпюры также видно, что все
узлы рамы находятся в равновесии.
Эпюра изгибающих моментов в заданной системе (рис. 15.8)
получается суммированием Мс и М1<с.
Глава 16
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ ПО МЕТОДУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МОМЕНТОВ (МЕТОД Г. КАНИ)
Методы распределения основаны па том, что после опреде-
ления начальных моментов в основной системе и установления,
что условия равновесия или непрерывности деформаций не вы-
полняются, производится распределение неуравновешенных сил
или деформаций и передача их на соседние узлы. Это распреде-
ление выполняется в определенном порядке последовательными
приближениями, как правило, без составления и решения урав-
нений.
Методом последовательных приближений (итерации) мож-
но получить результаты с любой желаемой степенью точности.
К итерационным методам относятся методы Н. М. Вернадского,
X. Кросса, Г. Кани и др.
Метод Г. Кани 1 является наиболее удобным при расчете на
вертикальную и горизонтальную нагрузки многоэтажных рам с
неподвижными и смещающимися узлами, так как он дает воз-
можность легко контролировать правильность расчета.
Целью статического расчета рам является определение опор-
ных моментов, т. е. моментов по концам стержней. Если опор-
ный момент действует по направлению движения часовой стрел-
ки, то считаем его положительным. Аналогичное правило зна-
ков принимаем для узловых моментов и углов поворота.
Узлы стержневой системы обозначим 1, 2, ..., i, ..., k, ..., т
и т. д.
Опорный момент стержня l-k на конце i (или на конце k)
обозначим Mik (или Mki), где первая буква индекса обозначает
конец стержня, к которому приложен момент.
Опорные моменты стержня i-k, возникающие от заданной на-
грузки, в предположении полного защемления обоих концов
стержня, называются опорными моментами защемления и обоз-
начаются Mik или M/{i, i= --погонная жесткость.
1 Г. Кани. Расчет многоэтажных рам. Пер. с нем. Госстройиздат, 1963.
280
Расчет рамы ведется в предположении полного закрепления
ее узлов от поворота и смещения (основное состояние). Таким
образом, каждый стержень рамы рассматривается как балка,
защемленная двумя концами.
Фиктивные внешние силы и моменты, удерживающие узлы
от поворота и смещения, называются реактивными силами и ре-
активными моментами. После определения опорных моментов
защемления в основном состоянии реактивные силы и момен-
ты в каждом узле могут_быть вычислены из условий равновесия.
Реактивный момент ЛЦ для узла i равен: =
(О
Если в рассматриваемой системе есть стержни, имеющие с
одной стороны шарнир, то после определения опорных момен-
тов защемления от нагрузки, расположенной на нем, погонная
жесткость этих стержней принимается равной: г=—t (1 —
4
истинная погонная жесткость стержня), и весь дальнейший рас-
чет ведется, как для обычного защемленного стержня, оконча-
тельный же опорный момент в сечении, где в действительности
имеется шарнир, принимается равным нулю.
§ 16.1.	РАСЧЕТ РАМ С НЕСМЕНЯЕМЫМИ УЗЛАМИ
Если узлы рамы не закреплены от поворота, то при приложе-
нии внешней нагрузки узел повернется на определенный угол
(конец i стержня i-k на фг-, а конец k на ф/J. Деформация стерж-
ня от нагрузки и поворота концов (рис. 16.1) может быть пред-
ставлена как сумма трех состояний, а опорный момент стерж-
ня— как сумма соответствующих этим состояниям опорных мо-
ментов по концам стержня:
1)	деформации стержня i-k от заданной внешней нагрузки
(рис. 16.1, а) при обоих защемленных концах стержня и отсут-
ствии их смещения (соответствует Л1^);
2)	деформации от поворота конца i на угол <рг- (рис. 16.1,6)
при защемленном от поворота конце k и отсутствии смещения
обоих концов (соответствует 2Мц<)\
3)	деформации от поворота конца k на угол (рис. 16.1, в),
в то время как конец i защемлен от поворота и отсутствует сме-
щение обоих концов (соответствует Mkt )•
Концы стержней, примыкающих к рассматриваемому узлу,
назовем прилежащими концами, а другие концы этих стерж-
ней — противолежащими.
Опорный момент конца i стержня i-k будет:
Mik = Mik +	+ Mki.
Для любого узла SAfi/l = O.
(О
28k
Следовательно,
1 Mik + V 2М-к 4- X Мк1 = О,
(О (<)	<0
но
Л/,. = S М.е, Mt + X Мк1 = - 2 У м'!к,
(О	(/)	(О
где Mi — реактивный момент в узле i.
Таким образом, сумма реактивного момента и всех мо-
ментов от поворота противолежащих концов стержней £Л1,.
(О 1
Рис. 16.1
равна сумме моментов от
поворота прилежащих
концов стержней узла L
Если известна сумма
моментов, вызывающих
поворот всех стержней
узла, то моменты от этого
поворота для стержня мо-
гут быть определены пу-
тем распределения этой
суммы пропорционально
погонным жесткостям
стержней.
Для определения M'.k
применяют метод после-
довательных приближе-
ний, полагая в первом
приближении моменты
Mki по противолежащим
концам стержней равны-
ми нулю.
В дальнейшем составляется сумма реактивного момента и
всех приближенных величин моментов от поворота противоле-
жащих концов стержней и производится их распределение.
Моменты от поворота вычисляются с помощью коэффициен-
та поворота [хцг.
Mik = i^ik [Мi +	»
(О
где iiik = — 4---; V _ _L (контроль).
(О (О
Жесткость стержней, имеющих шарнирное закрепление од-
ного из концов, берется при определении коэффициентов пово-
f3	\
см. ранее i'=—i
282
Окончательные значения опорных моментов могут быть по-
лучены как сумма опорных моментов защемления Mih и момен-
тов от поворота прилежащего и противолежащего концов
стержней.
Для стержня i-k в узле i
Mjk — Mik 4~ 2Л4^ Mki.
§ 16.2.	РАСЧЕТ РАМ С УЗЛАМИ, ИМЕЮЩИМИ
ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ СМЕЩЕНИЕ
Если при деформации узлов концы стержней не только пово-
рачиваются, но и смещаются относительно друг друга, то кроме
ранее приведенных составных частей деформации и соответст-
вующих им опорных моментов по концам стержня добавится
деформация, вызванная смещением концов на величину б, без
дополнительного поворота опорных сечений и возникнет соот-
ветствующий опорный момент от смещения M”ik (рис. 16.1, г).
Таким образом, полный опорный момент конца i для стерж-
ня i-k будет:
== М^ 4- 2714^ 4- Mik 4- Mik •
Для каждого узла l^Mik=0.
i
Следовательно,
X Mik 4“ 2 X Мik 4- Xi Mki 4- X Mik = 0
i	i	i	i
или
Mi 4- X (Мн 4- Mik) - - 2 X M’ik.
I	i
Опорные моменты от поворота и смещения вычисляются так-
же с помощью коэффициентов поворота:
Mik = p>/k [М< 4- X (Mki 4~ Mik) j .
i
Моменты от смещения определяются на основании того, что
сумма всех поперечных сил этажа SQ^ = 0 (для вертикальной
г
нагрузки) и что при наличии горизонтальной нагрузки =
(г)	(г)
= X Нь где X Hi —сумма всех горизонтальных сил, которые
приложены к узлам выше этажа г.
283
Поперечной силой этажа при горизонтальной нагрузке бу-
(г) _ (г) _
дем называть Qr = У/Л (У #/ —сумма всех реактивных сил,
i— 1	Z=1
приложенных выше этажа).
При вертикальной нагрузке моменты от смещения
Mik = vik [X Cik (Mik + Mki) j .
(r)
При горизонтальной
Mik = Vik [Mr + V cik (Mik + Mki) j,
(r)
Zlr	11	«•
где cik— — — коэффициент перехода стоики;
hik
hr—высота этажа (обычно высота наиболее часто
встречающихся в этаже стоек);
hik— высота данной стойки;
Тл Qrhr
Mr =	- — этажный момент от горизонтальных сил.
3
2 cik4k
Коэффициент смещения vik =------------
2 mc\k ‘ik
Если стойки имеют один шарнирно опертый, а другой защем-
ленный концы, то т= —, высота берется с коэффициентом
3	3
—, a iik — с коэффициентом — .
Для стоек с двумя защемленными концами т=1 и коэффи-
циенты при и iifl равны единице.
Контроль коэффициентов смещения:
= —-у-
(Г)
§ 16.3.	КОНТРОЛЬ ОПОРНЫХ МОМЕНТОВ
а)	При несмещаемых узлах
Проверка условий равновесия
Условие I. В каждом узле i сумма всех опорных моментов
Mik стержней, сходящихся в узле, должна быть равна нулю:
2А^=0.
(О
При наличии внешнего момента 7И/ У Mik = М^
(О
Проверка условий неразрывности деформаций
284
Условие II. В каждом узле i углы поворота всех стержней,
жестко связанных с узлом, должны быть равны:
гг - - Ж’ _i_ Mik Mfej
' 3Eiik	&Eijk 
qPik—Угол поворота, возникающий от нагрузки в стержне i-k,
в предположении шарнирной схемы опирания.
Увеличенные в ЗЕ раз углы поворота составляют:
'р ___ 'гм	।	I
1 ik “ 1 ik	‘	z	9
lik	2
Mkt
1 ik
где

и т.д.
б)	При смещаемых узлах
Проверка условий равновесия
Условие I. То же, что при нссмсщасмых узлах.
Условие 1а. В каждом этаже г в горизонтальном сечении,
проведенном через стойки этажа, сумма всех поперечных сил
стоек должна быть равна сумме всех горизонтальных составля-
г
ющих нагрузки, приложенной выше этажа,	У Hik,
(г)
Проверка условий неразрывности деформаций
Условие II. То же, что при песмещасмых узлах
т — Г) _±_ то I M'lk-_____________L . Mki
1	ik " Uik < lk^ 	9	. ’
lik 2 lik
где Dik —--------угол поворота от смещения (увеличен по
^ik
отношению к истинному в ЗЕ раз).
Условие Па. В каждом этаже г для всех стоек должны
быть равны между собой величины Dikhik.
Пример 16.1. Требуется построить эпюру моментов для ра-
мы, изображенной на рис. 16.2, а.
Решение
Рассматриваемая рама не имеет горизонтальной подвижно-
сти узлов. Вычисляем погонные жесткости стержней, положив
EZ=1 (Е/ можно принять равным любому числу, так как нуж-
но знать только соотношение жесткостей отдельных стержней):
»01=	= 1,0; Х12 = 1,0; i03 = 0,25; i3i = 1,0;
5
t14 = 0,25; 1'45= 1,0; i36 = 0,25;	— 0,25.
285
b)
Рис. 16.2
286
По погонным жесткостям вычисляем коэффициенты пово-
рота:
..  _____L ^ik .
I*ik	2 V • ’
2	4k
(4
р01 =----?-----= _ 0,4000; Роз = - 0,1000;
^01	2	0,25+1,0	’ Г	’
р10 ------- • ----_ 0,2222; р12 = — 0,2222;
2	0,25+1,0+ 1,0	г
Мм — — 0,0566;
Нз4 = - у---------у2----------= ~ 0,3478;
0,25 + —-0,25+ 1,0
4
рзв = — 0,0652; рзо = — 0,0870;
р43 = —0,2051; р41 = —0,0513; р45 =—0,2051; р47 = —0,0385.
Вычисляем значения моментов защемления по концам загру-
женных стержней 0-1 и 4-5.
Учитывая правила знаков для моментов защемления, по-
лучим:
Л401 = --^- = — — = —4,167 т-м- Яо = 4,167 т-м-
01	12	12	’	’	10
Л445 = — 4,167 т-м; Л454 = 4,167 т-м.
Результаты распределения моментов от поворота узлов за-
писываются по схеме рамы (можно и в табличной форме). Схе-
ма рамы изображается таким образом, чтобы было достаточно
места для записи опорных моментов, получаемых в процессе
итерации. Предварительно на схеме рамы (рис. 16.2, б) во внеш-
них кружках, имеющих центры в узлах, записываются значения
коэффициентов поворота, а во внутренних кружках величины
реактивных моментов Mj= 2 М-^. Значения моментов защемле-
__	(О
ния Mik записываются на схеме рамы сверху ригеля у соответ-
ствующего узла. Результаты распределения моментов записы-
ваются столбиком для ригелей сверху вниз под ригелем, для
стоек по направлению от узлов вдоль стоек справа. Распреде-
ление моментов можно начинать с любого узла и проводить в
любой последовательности.
Начинаем распределение моментов с узла 0. Выражаем мо-
мент от поворота узла 0 через реактивный момент и моменты
от поворота противолежащих концов стержней, сходящихся в
узле.
Для первого приближения момент от поворота узла 0 равен
—4,167 т-м. (Моменты от поворота противолежащих концов
287
равны нулю.) Распределяем полученный момент в соответствии
со значениями коэффициентов поворота:
Мн = — 0,4000(—4,167) - 1,668
Л4оз = — 0,1000(—4,167) = 0,417 т-м
и записываем на схему у соответствующих стержней.
Переходим к узлу /. Момент от поворота узла, выраженный
через реактивный момент и момент от поворота противолежа-
щих концов стержней,
т S = 4,1674- 1,668 = 5,835 т • м.
(1)
Распределяем этот момент:
Мю = — 0,2222-5,835 = — 1,296 т-м;
Л4Н = -0,0566-5,835 = —0,324 т-м-,
0,2222-5,835 = — 1,296 т-м
я записываем на схеме.
Для узла 4 момент от поворота узла равен:
—4,167 + (—0,324) =—4,491 т-м.
Распределяем этот момент:
М\х = — 0,0513(—4,491) = 0,230 т-м-,
Л4;5=—0,2051 (—4,491) = 0,921 т-м-
М'х = — 0,0385(—4,491) = 0,173 т-м-,
= — 0,2051 (—4,491) = 0,921 т-м
п записываем на схеме рамы.
В узле 3 момент от поворота узла будет: 0,9214-0,417 =
= 1,338 т -м.
Производим распределение:
/И'о = — 0,0870-1,338 = —0,116 т-м-
Мм = -0,3478-1,388 = —0,465 т-м-,
Л1'6 = —0,0652 1,338 = —0,087 т-м.
Результаты распределения записываем па схеме.
Переходим ко второму приближению. Опять возвращаемся
к узлу 0. Момент от поворота узла 0 равен:
+	= —4,167— 1,296 — 0,116 - —5,579 т-м.
(0)
288
Распределяем этот момент:
/И01 - —0,4000 (—5,579) - 2,232 / м;
Л103 - — 0,1000 (—5,579) - 0,558 7 • м
и записываем результаты распределения на схеме.
Затем переходим к узлу /, потом 4 и т. д. аналогично изло-
женному выше. Результаты распределения моментов по четы-
рем приближениям даны на рис. 16.2, б.
По значениям моментов от поворота, полученным в послед-
нем приближении, вычисляют значения опорных моментов:
М ik — Mik + 2/Wt-£ -- Mki.
Вычисление опорных моментов ведут на такой же схеме ра-
мы, как и вычисление составляющих моментов, при этом наибо-
лее простой путь для получения окончательного релльтата
следующий:
1)	на каждый конец стержня записываются значения опор-
ных моментов от защемления и окончательные значения момен-
тов от поворота (М/г и Л4^);
2)	для каждого стержня составляется сумма M'jk •!- Mki ; по-
лученные числа записываются на обоих концах стержня;
3)	на каждом конце стержня суммируются полученные
числа.
На рис. 16.3, а дано вычисление опорных моментов, а на
рис. 16.3,6 — эпюры изгибающих моментов для заданной рамы.
Из эпюр моментов следует, что все узлы рамы находятся в рав-
новесии.
Проверка условий неразрывности деформаций показывает,
что в каждом узле углы поворота всех стержней, жестко связан-
ных с узлом, равны.
Например, в узле 6?
пр ___	। Mqi ~	1 М10
1 01 “ 1 91 ‘	~ V ’ J ’
101	*01
О с ч ql2 (	о ql2	ql2
где Т .	3£ф(1 = -— (так как © , = —---------= -—. как
О1	*01 о • v	• 01	т	о 1 г;
0*01	J 01	^*£*01
24Е —у—
для балки с шарнирным закреплением концов и равномерно
распределенной нагрузкой);
	Т - 2’52 ' 01 —	1,023 	Jl_	3,489	-3,440;
	1	8-1,0	1,0	2	1,0	
/р 	Л4оз / оз —	".		Мзо _	_ 1,018	1_	0,296 _	3,440; Т 01 — Тоз
*03	2	i оз	0,25	2	0,25 ”	
Пример 16.2. Построить эпюру изгибающих моментов для
рамы (рис. 16.4, а).
19—1284
289
-0,106 ^0д9
-0,106
-0,212
4167
-1500
0022
3,469
1,047
0479
1,526
0,197 '2.073
0,197
0394
Wk
1,047
5.214
Рис. 16.3
2G0
163
«61
К91 ЭМ
MOV
SLOO
10M
€9l‘P
HCO
€96'0
9oe'o
ZL90
£960
9080
ZL80
0890 -J
Z90V
190*0
£90'0
8010
*181'0
9800
960'0
ai'o
иго
G9£'O
LLlO
£9i0
$600
OLO'O
£900
089'0
SC9Z-
S€9'Z~
1192-
Z9S'Z-
ZfffZ-
OLG'l
SZG'l
вггг-
ьггг-
еогг-
9ы'г-
199 i -
009'01
SZG'l
LHS1
iCSO —
1904
1080
1190'
909$-
L8C0-
U£0-
OQIO~
9990-
1980-
9180-
8190-
саъ-
69г o
9LZ0
OGZ'O
990'0
1990
Решение
Рассматриваемая рама обладает горизонтальной подвиж
ностью узлов.
Е Вычисляем погонные жесткости стержней рамы, приняв
«01 =	= 0,5000; 114 = 0,4444; 145 - 0,5000; i17 = 0,2222.
6,0
t46 - 0,2222; i23 = 0,4444; i12 = 0,3333; i34 = 0,3333.
По погонным жесткостям вычисляем коэффициенты пово-
рота-
3
0,5000—
Ню Р45 = - ~ • ------------------------------------- = - о, 1364;
0,5000 j- 4- 0,4444 + 0,3333-40,2222
Ц12 “ Ц43 ==	0,1212;	= р,41 — — 0,1616;
Ц17 — |Ц(; ” — 0,0808;
___________	1	0,3333	л шло	а 00^7
Р21 — Ц34 —	~ n ooqq 1 п лллл ~	0,2143; р23 — ц32 =	0,2857.
2	0,3333-4 0,4444
Вычисляем коэффициенты смещения:
______-----3 ciklik ,	„ hr
у , —	.- Q ,	.
2 ^mc2[kiik	hik
(г)
Принимаем за высоту этажей высоты стоек, тогда
С12 = с43 — С17 — С46 — 1,0;
3	1,0-0,3333	П7СП
Vio — v4o =----.-------------------------= — 0,750;
12	3	2	1,0-1,02 (0,3333 + 0,3333)
vi7 = v4<; “ — 0,750.
Вычисляем значения моментов защемления ио концам загру-
женных стержней:
Л401 = 0;	Л410 =	= — = 13,500 7 .и.
8	8
Аналогично примеру 16.1 записываем вычисленные значения
коэффициентов поворота, моментов защемления и реактивных
моментов на схеме рамы. Значения коэффициентов перехода
стоек cik и коэффициентов смещений записываются в середи-
не высоты стоек.
292
Начинаем распределение моментов узла /.
При первом приближении момент от поворота узла /, под-
лежащий распределению, равен:
All + ^Mki - 13, 500 + 0,0 - 13,500 тм.
(D
Распределяем этот момент в соответствии со значениями
коэффициентов поворота:
Л1;о = —0,1364 13,500 =—1,841 тм-
М'12 = — 0,1212- 13,500 - — 1,636 тм\
Ми = —0,1616- 13,500 - —2,182 тм.
М' = — 0.0808 13,500 - - 1,091 тм
п записываем на схеме рамы.
Далее определяем момент от поворота следующего узла 2
Л42Ч-£ЛЬ2 = —1,636 т-м и производим его распределение и за-
2
пись результатов на схеме рамы и т. д. по узлам 3 и 4 (анало-
гично примеру 16.1).
После того как закончено первое приближение, определяем
моменты от смещения ригелей 2-3 и 1-4, подлежащие распреде-
лению:
\ cik {Mik + Mki) -
(г)
От смещения ригеля 2-3
c.k(M'!k +Mki\ - 1,0(—1,636 + 0,351 -
(2-3)
-0,100 + 0,227)	— 1,108 тм.
От смещения ригеля 1-4
£ c.k(M'.k + M'k^ 1,0(—1,091 + 0,184) = — 0,907 тм.
(1-4)
Распределяем моменты от смещения ригелей в соответствии
с коэффициентами смещения:
ЛГ12 = v12£ c'ik[M';k + Ai;.) = —0,750 (—1,108) = 0,831 т м,
(2-3)
аналогично
М" = 0,831 Т М;
М\. = v17Y ctk(^'tk + Mki) = —0,750(—0,907) = 0,680 тм;
(1-4)
Л4"6 = 0,680 тм.
293
Результаты распределения моментов от смещения ригелей
записываем в середине высоты стоек. При следующих прибли-
жениях распределению подлежат уже суммы моментов от по-
ворота узлов и смещений ригелей.
Для второго приближения для узла 1 момент, подлежащий
распределению,
Ml +S(^1+^)=13,500+0,351+0,369+0,831+0,680=15,731 т*м.
294
Распределяем этот момент:
Л4;о= -0,1364-15,731 - —2,146 т-л<;
Л/;2 = — 0,1212 15,731 — — 1,907 т-м- М'14 = — 0,1616-15,731 =
= — 2,542 т-л:; Л4П0,0808 -15,731 = — 1,271 г-ж.
Результаты распределения записываелМ на схеме рамы.
Аналогичные операции выполняются для узлов 2, 3, 4.
После того как второе приближение окончено, вновь вычис-
ляются моменты от смещения ригелей и т. д. Результаты распре-
деления моментов от поворота и смещения для пяти приближе-
ний, выполненных при расчете данной рамы, даны на рис. 16.4,6.
По значениям моментов от поворота и смещения, получен-
ным в последнем приближении, вычисляют величины опорных
моментов	-j-2Afz^ + Mkt + Mik. Вычисление опорных мо-
ментов ведется на схеме рамы в такой последовательности:
1)	на каждый конец стержня записываются значения опор-
ных моментов от защемления и окончательные значения момен-
тов от поворота (M'ik и Л4*.);
2)	для каждого стержня составляется сумма +	+
4-ЛГЛ); полученные числа записываются на обоих концах
стержня;
3)	на каждом конце стержня суммируются полученные
числа;
4)	окончательные значения моментов от смещения ригелей
записываются у середины стоек.
На рис. 16.5, а дано вычисление опорных моментов, а на
рис. 16,5, б эпюра моментов в заданной системе. Из эпюр мо-
ментов следует, что после округления значений моментов все
узлы рамы находятся в равновесии.
Условие неразрывности деформаций также выполняется
(проверка опущена).
Глава 17
ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ1
Пример 17.1. Определить параметр Р (кГ) расчетной на-
грузки для неразрезной балки (рис. 17.1, а) из пластичного ма-
1 Прежде чем приступить к проработке данной главы, следует усвоить
решение примеров, помещенных в главе 21 учебника В. А. Киселева Строи-
тельная механика. М., Стройиздат, 1967, стр. 493—522.
295
териала при однократном статическом загружении и одновре-
менном пропорциональном возрастании нагрузки во всех проле-
тах. Балка состоит из прокатных двутавров с различной
несущей способностью в отдельных пролетах. Номера двутавров
обозначены в пролетах балки. Расчетное сопротивление материа-
Р Р Р
1ц-8м
1г Цм
1г 5 м

1№18	1№27а	1№22а	1№2Уа
ла с учетом коэффициента условий работы от = т/? = 2500 кГ1см2.
Влиянием поперечных сил на величину расчетной нагрузки пре-
небречь.
Р е ш е и и е
1.	Определяем пластические моменты сопротивления №пл в
каждом пролете по формуле
U7™ = 2SX,	(17.1
296
где Sx — статический момент полусечения двутавра относитель-
но центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба.
Для вычисления №пл удобно воспользоваться таблицами
ГОСТ 8239—56 для прокатных двутавров, содержащих величи-
ны Sx. Имеем:
№пл1 - 2'83,7 = 167,4 сж3; Гпл3 = 2-141 - 282 см3;
Гпл2 - 2-229 - 458 см3; №пл4 - 2-178 - 356 см3,
2.	Определяем предельные опорные и пролетные моменты
для каждого пролета по формуле
Мпр = ГплтЯ.	(17.2)
Имеем:
Мпр1 - 167,4-2500 - 418 500 кГ-см = 4,185 г-ж;
/Ипр2 - 458-2500 - 1 145 000 кГ-см - 11,45 т-м;
Мпр3 - 282-2500 - 705 000 кГ-см - 7,05 т-м;
?Ипр4- 356-2500 -890 000 кГ- см -8,9 т-м.
3.	Строим эпюры моментов в каждом пролете, как в балке
с шарнирными опорами по концам, от расчетных нагрузок этих
пролетов. Указанные эпюры моментов приведены на рис. 17.1, б.
Ординаты этих эпюр являются функциями параметра на-
грузки Р.
Операции 4, 5, 6 показаны на рис. 17.1, в. Эти операции со-
стоят в следующем.
4.	Откладываем с нижней стороны балки найденные для
каждого пролета предельные моменты (п. 2) и проводим пунк-
тиром линии, параллельные балке.
5.	На каждой опоре сверху откладываем меньший из двух
предельных моментов, примыкающих к данной опоре, соединяя
которые пунктиром, получаем линию опорных моментов.
В нашем случае над первой опорой откладываем Л4пр1, над
второй и третьей опорами откладываем М^, При этом разу-
меется, что опорные моменты в шарнирах над нулевой опорой
(левой) и над четвертой опорой (правой) равны нулю.
6.	В каждом пролете к линии опорных моментов «подвеши-
ваем» эпюры изгибающих моментов простых балок, полученные
в п. 3, с таким расчетом, чтобы эти эпюры снизу касались линии
предельных моментов.
Таким образом, эпюра моментов, помещенная на рис. 17.1, в,
представляет собой предельную эпюру моментов при данной
схеме загружения неразрезной балки.
7.	Учитывая эту эпюру моментов и исходя из допущения о
разрушении каждого пролета в отдельности, определяем пара-
метры предельной нагрузки в пролетах, руководствуясь при
этом геометрическими соображениями.
20—1284
297
При разрушении первого пролета принимаем приближенно,
что пластический шарнир в этом пролете расположен посереди-
не пролета (точно 0,414 Zj) *.
Тогда
<р1 + = °’4Р>
или 4,185+ ^^-=0,4Л.
2	1
Отсюда Pi —15,69 т.
При разрушении второго пролета
<р2 + Mnpl + ^np3 = 2,5Ра
1 1 л е । 4,185 -f- 7,05 п г
или 11,45 + —---- = 2,5Ра.
Отсюда Р2 = 6,83 т.
При разрушении третьего пролета
Л^прЗ + ^прЗ — ~т~ Рз
О
или 2-7,05 = — Р3.
’	3	3
Отсюда Р3 = 4,23 т.
При разрушении четвертого пролета:
о
<р4 + 4<рз = 1,78Р4
О
или 8,9 + — 7,05 = 1,78Р4.
3
Отсюда Р4 = 7,67 т.
8.	Выбираем наименьшее значение Р из всех полученных.
Этим значением оказался ответ для третьего пролета. Таким об-
разом, Р = 4,23 т = 4230 кГ.
Следовательно, при одновременном пропорциональном воз-
растании нагрузки во всех пролетах третий пролет разрушится
при достижении Р = 4230 кГ. Остальные пролеты останутся не-
разгруженными. Но сооружение в целом при этом становится
непригодным для нормальной эксплуатации.
Пример 17.2. Определить интенсивность расчетной нагруз-
ки q, приложенной к ригелю двухшарнирной рамы (рис. 17.2,а).
Построить эпюры М, Q, N, соответствующие этой нагрузке. Ма-
териал рамы пластичный. Загружение однократное статическое.
Сечения ригелей и стоек одинаковы. Они имеют форму двутав-
* См. ответ к задаче 17;4 при п=2.
298
Рис. 17.2
to
с©
п i ш i н
ра, размеры которого показаны на рис. 17.2,6. Расчетное сопро-
тивление материала т/? = 2500 кГ1см2. Влиянием поперечных сил
на величину расчетной нагрузки пренебречь.
Решение
1. Подсчитываем 1ГПЛ:
л = Д- [Ь ( й2 — h]) + 6Л2j = Д-111,2 (33,4 + 28) (33,4 —
— 28)+ 1,8-282| = 1280 см3.
2. Находим эюру изгибающих моментов в ригеле, как в про-
стой балке (рис. 17.2, в). Эта эпюра представлена на рис. 17.2, д.
Наибольшая ордината эпюры М°ал = 414,729 кГ-см.
Рис. 17.3
3. Определяем расчетную на-
грузку для рамы. Хотя сечения
ригелей и стоек одинаковы, но
так как при определении ра:чет-
ной нагрузки мы учитываем не
только предельные изгибающие
моменты, но и предельные про-
дольные силы, которые в ригеле
и стойках, вообще говоря, раз-
личны, то приходится сопостав-
лять два варианта разрушения:
три пластических шарнира толь-
ко на ригеле (рис. 17.2, е) и один
пластический шарнир на ригеле,
второй — на стойке (рис. 17.2,ж).
первому варианту.
а) Разрушение рамы по
Поскольку продольная сила в ригеле постоянна, то и Л4пр
во всех трех пластических шарнирах одинаковы. Поэтому пла-
стический шарнир в пролете ригеля будет там, где наибольший
балочный момент, т. е. при « = 2,88 м.
стояния имеет вид:
Л^ал
Условие предельного со-
юал\2
= Ц/риг
пл
(17.3)
2mR 16№ бриг (mR)2
Здесь Н — высота стоек; бриг — толщина стенки двутавра. Зна-
чение остальных величин известно из предыдущего изложения.
Подставив в (17.3) необходимые величины, получим:
414,72,7!	414,722<7?	=
2-2500	16.2602.1,8.25002
Решив это квадратное уравнение, получим:
4.2602.1,8.2500
=----------------
414,72
1280
2602.1,8
300
±-67 600,1 ’.8.:2600. (]Л 1 -4- 0 01052 — 1) =
414,72	'	7
12.16.8,10* (1,00525— 1) = 15 404 кГ,м.
414,72 v
Следует заметить, что так как в квадратном уравнении (17.3)
второй член левой части, учитывающий влияние продольной
силы, является уточнением первого члена, который учитывает
влияние изгибающего момента и имеет, как правило, преоблада-
ющее значение, то удобно это квадратное уравнение решать по-
следовательными приближениями. При этом часто бывает до-
статочно только одного приближения. Так, представим получен-
ное уравнение в следующем виде:
2-1280-2500 L	414,722-^
п -- ---------- I --- ----------------------
414,72 L 1280-16-2602-1,8-25002
Положив в правой части q\ =0, получим: qi = 15 432 кГ/м. Под-
ставив эту величину в правую часть, будем иметь: q^
= 15 392 кГ/м. Таким образом, результат первого приближения
близок к результату, найденному по обычному решению квад-
ратного уравнения.
б) Разрушение по второму варианту.
Условие предельного состояния имеет вид:
уЭДбал __
«С
v2	V
г макс	J
4(m/?)2dCT /
4/72 6рИГ
mR +
П7СТ —
" пл
у-
г макс
4 (mR)* дст
(17.4)
где Умакс — наибольшая продольная сила в стойках.
Остальные величины имеют уже известные значения.
В нашем случае VMaKc возникает в левой стойке. Эта про-
дольная сила равна реакции А просто,' балки (рис. 17.2, в):
Умакс — 2,88(? К1 .
Подставив числовые величины в (17.4), получим:
414,7292 =
1280
_ (2,8892)2 у
4-25002-1,8 ]
4-2602-1,8
2500 +
+ 1280
(2,8892)2 1
4-25002-1,8 J
2500.
(17.5)
Это уравнение удобно решать последовательными приближения-
ми. С этой целью имеет смысл в качестве начального значения
92 подставить в правую часть полученного уравнения величину
301
qx или 7o, найденную без учета продольной силы из следующе
формулы:
= (ГКГ + IF") tnR.	(17.6
Имеем: 414,72 q0= (1280+1280)2500.
Отсюда: qo — 15 432 кГ/м.
Подставив это число в правую часть уравнения (17.5), по-
лучим с достаточной точностью q2 = 15 260 кГ/м.
Таким образом, наименьшая нагрузка получилась по второ-
му варианту: <у= 15,26 т/м. Разрушение рамы произойдет по схе-
ме, показанной на рис. 17.2,ж. Ответ q2<q\ логичен, так как в
данном случае продольная сила в левой стойке будет больше,
чем в ригеле. Об этом можно судить по эпюре N (рис. 17.2,к).
В данном примере, как это часто бывает, учет продольных сил
не внес существенной поправки в значение qQi найденное по фор-
муле (17.6) без этого учета.
4. Строим эпюры М, Q, N в предельном состоянии. Так как
разрушение происходит по второму варианту, то вычисляем сна-
чала предельный момент в узле рамы у левой стойки по фор-
муле
Г	0vCT)2 1
м"= IF"-------"Р  mR,	(17.7)
L	4(/n/?)2oCT J
где У" =УМакс — реакция А.
Имеем:
1280 — (2’88'152—12500 = (1280 — 42,92) 2500 =
4-2500М.8 J
= 3 092 500 кГ-см = 30,925 т-м.
Наибольший балочный момент (рис. 17.2, д):
2Иаал = 4,1472? = 414,72-15260 = 6328627 кГ• см = 63,286 т-м-
По величинам Л4" и Л4®ал построена эпюра моментов Мпр
от расчетной нагрузки (рис. 17.2, з).
Для проверки вычислим наибольший момент в пролете ри-
геля двумя способами:
1) Л1Риг = 63,286 — 30,925 = 32,361 т-м;
2)М₽-= IF^ -	mR-	(17.8)
1 L	4 \tnK) ориг j
Продольная сила в ригеле
N*™ = 2^1 = 3°!-?2— = 11,894 т.
М"р =
302
Учитывая это значение, произведем вычисления по (17.8):
МРИГ = Г 1280----*-	—12500 = (1280 —
п₽ [	4 2500М.8]	'
— 3,14)2500 = 3 192 150 кГсм.
_	(32,361 —31,992) 100
Р а схождение: 3-----------------
0,5(32,361 4- 31,992)
Эпюра поперечных сил Qnp
= 1,36%, что допустимо.
(рис. 17.2, и) построена по
эпюре Л1Пр обычным способом;
при этом использована эпюра
Фбал (рис. 17.2,г). При постро-
ении эпюры продольных сил
МПр (рис. 17.2, к) использова-
ны следующие величины:
1)	для левой стойки	= реакции А = 2,88 q = 2,88 • 15,26 =
= 43,949 т;
2)	для правой стойки N(nc^n) = реакции В = 1,92q= 1,92Х
X 15,26=29,299 т;
3)	для ригеля (см. выше) : ЛГр”г= 11,894 /.
Задача 17.3. Определить Ц7ПЛ в балках, защемленных дву-
мя концами (рис. 17.3,а, б).
Ответы:
1. При загружеции, показанном на рис. 17.3, а,
W
= ЗР/
пл"“ 8mR
2. При загружении, показанном на рис. 17.3,6,
W
пл
18mR VT
Задача 17.4. Определить положение пластического шарни-
ра в балке, шарнирно опертой левым концом и защемленной
правым, при нагрузке, показанной на рис. 17.4.
Ответ: а = I (|/ 1 + ~---1 , где я > 2.
Задача 17.5. Найти предельные нагрузки в двухпролетных
неразрезных балках с переменными моментами сопротивления
ТГпл в пролетах (рис. 17.5,а—в). Эпюры предельных изгибаю-
щих моментов в балках, построенные по выражению
Л1Пр = О'т^пл = /«^пЛ,
показаны на рисунках пунктиром с двух сторон от осей балок.
Эпюры предельных моментов при заданных схемах загруже-
ния показаны сплошными линиями.
303
Ответы:
1. К схемам по рис. 17.5, а, б:
р __ ПЛ2 Г j | ПЛ1 (fl ~Г Ь)~1
“ b L ‘ ^ПЛ2С Г
Рис. 17.5
2. К схеме по рис. *17.5, в:
°*Т ^ПЛ1 11 /] I ^ПЛ1 С^‘1 \
с^-а)	W^/J’
Глава 18
РАСЧЕТ ПРОТСРАНСТВЕННЫХ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Пример 18.1. В раме, показанной на рис. 18.1, а—в, от за-
данной нагрузки построить эпюры внутренних сил, пользуясь
методом сил. Поперечное сечение всех стержней одинаково —
прямоугольник с соотношением сторон — = 2, G = 0,4£.
ь
304
где Мх и Му — изгибающие моменты относительно осей х и у‘,
Мкр — крутящий момент.
При вычислении свободных членов Мт в формуле (18.1) за-
меняется на Afo.
На величину деформаций в пространственной системе влияет
не только изгибающий, но и крутящий момент. Поскольку все
единичные эпюры линейны, то для вычисления интегралов при-
меним правило Верещагина. Так как при перемножении эпюр
получаются слагаемые, имеющие в знаменателе выражения Е/х,
Ely и GJKp. необходимо привести их к одному какому-либо вы-
ражению. В данном случае выразим их все через EJX.
Как указано в условии, 6 = 0,4 Е и -^-=2.
Главные оси сечения показаны на рис. 18.1,6. Осевые мо-
менты инерции запишутся так:
1 — bh3 = hi  г = hb3 == —
х~ 12 “ 24 ’ у~ 12 " 96
По теории кручения стержней прямоугольного сечения JKp =
= ab3h.
При й/6 = 2; а = 0,229, тогда ZKP=0,229 h = 0,0286ft4.
Выражая все жесткости через Е/х, получим:
EJU = E~ = E-^ = 0,25£Jx;
^	96	96	Xi
GJKp = 0,4E-0,0286 ‘24JX = 0,274£Jx.
Вычисление коэффициента и свободных членов:
2 о 1	18
9 #
EJX ’
18 .
5И = 2—• — 3 —=
11	2	3	£/д
б12 = - 2 — 1 — =
2 EJX
dls = — 2 — 2 — = -
2 EJX
б» = 0;
622 = 2 ЬЗ. 1 + 1-3.! _
3
12 .
EJх	EJ х
х _ о 1-3.2 + 0.5-2-2-1 _ 16
Ооо -- Л	--
23	с 1	EJ х
EJ.
^24 — 0;
S = 2[— • — 3 — + —--------------— 2 — - + 2-3-2 — +
33	2	3 EJX 2	3	EJ х	EJX
307'
4- з • з • з + 3 •2 ’3 —!___1 = 391*в-.
EJy	GJKpJ	EJ x ’
S34 = 0;
/131 . 1-3-1 \	45,9 .
\ EJy + GJKp /	EJ x ’
x	2/З.З
55 “ EJ x \ 2
^56 ~	^57 “
«	2/2-2
О r p — I	•
EJX \ 2
уЗ + 3-З-З
- + 2-3-3
3
~ 72
' EJX
45,3
EJX
341,2
EJX
- 1	_3J
“ E J у + Gj
36
EJX ’
108
EJX ’
M\ _ 45,9
кр /	EJx
M\ _ 115,8
кр /	EJx
. -3-2—
3
667 = -2*±U
^EJy
668==_2±^
68	2EJy*
1-3-1 ,
^66 ““
677
®78
^88
\ EJy
= 2/-^ + ^
\ EJy
я	394,6
= S“ = ^T:
.	3-3-8
Д = -----
p 2EJX
36
EJ,
кр
Д2Р —-----f— 8’3*1--------1 -p
EJx \	2
0,5-2-2
3
31,3
tEJx *
Дзр= —— 4,5-3 — 3—— • —2 + -0,5-2-1-8-3
3P EJX 3	4	*	2	3	3’
_ 3-2-4,5 _ 6-3-3 _ _ 274,7 .
GJKp 2EJy	EJ x ’
д __ 4-2-1	4-3-1 _ 59,8 .
4₽~ 2EJy + GJKP ~ EJX ’
^5P~ e\x	(—8-3-3	— - — + — 0.5-2-2 ) = — \	7	3	3	)	EJX
ЛЙР= — 6p EJy	I	4-2	7	3-3	2 „ \	3-3-4	240,8 				 	(3	—	 \	2	3	2	3	/	GJKp	EJ x A	4,5-2-1	. 6-3.1	3,1 1P	GJKp	2EJV	EJX ’
308
Рис, 18.3
Рис. 18.4
309
6.3.3
Д = 22^2. + -(——4,5-3—3-- — • —
8Р 2EJy EJX \	3	4	2	3
.j. Ao 5.2-1 -8-3-2') — — -4’5 = — —-’-7-
3	) GJKP	EJ х
Проверка коэффициентов и свободных членов производится,
как и в плоских системах, через умножение суммарно-единичной
эпюры самой на себя и на грузовую эпюру с учетом крутящих
моментов.
Системы уравнений в численном виде:
18Хх — 9Ха — 18Х3 + 36 = 0;
—	9Хх 4-12Ха+16Х3 —31,3 = 0;
—	18Хх + 16Ха + 394,6Х3— 274,7=0;
. 45,9Х4 + 59,8 = 0;
72XS + 45,ЗХ8 - 89,3 = 0;
341,2ХС — 36Х7 — 108Х8 — 240,8 = 0;
—36ХС + 45,9Х7+115,8Х8 + 3,1 = 0;
. 45,ЗХ5— 108Хв+115,8Х7+394,6Х8—58,7 = 0-
Из этих уравнений найдем численные значения лишних не-
известных X (рекомендуется решать систему уравнений, поль-
зуясь способом Гаусса):
Х4 = — 0,79;	Х5=1,04;
Х2 = 1,20;	Хв = 0,78;
Х3 = 0,61;	Х7 = —0,26;
Х4 = — 1,30;	Х8 = 0,32.
После вычисления лишних неизвестных строим эпюры внут-
ренних сил (рис. 18.3). Проверка эяюр изгибающих и крутя-
310
щих моментов производится так же, как и в плоских системах,
умножением их на единичные эпюры моментов, построенные в
любой основной системе метода сил. Результат должен быть ра-
вен нулю.
Кроме того, можно рассмотреть равновесие любой отсечен-
ной части рамы. Так, на рис. 18.4 показаны вырезанные узлы
рамы со всеми внутренними силами. Нетрудно убедиться, что
эти узлы находятся в равновесии.
Пример 18.2. В раме, показанной на рис. 18.5, от заданной
нагрузки построить эпюры внутренних сил, пользуясь методом
перемещений. Поперечные сечения стержней — круг. Относи-
тельные величины осевых моментов инерции сечения указаны
на чертеже; Е = 2- 106 кг/см2\ G = 8-105 кг/см2.
Решение
Заданная система шесть раз статически неопределима. Что-
бы получить основную систему метода перемещений, вводим в
жесткий узел моментную связь, устраняющую возможность по-
воротов этого узла относительно трех осей декартовой системы
координат, и две линейные связи, устраняющие возможность
горизонтального смещения вправо концов горизонтальных стер-
жней. Связь № 2 можно было бы не вводить, так как в горизон-
тальной плоскости этот стержень является консолью, т. е. ста-
тически определимой частью системы. Здесь эта связь введена
в методических целях. В качестве лишних неизвестных приняты
поступательные перемещения вправо концов горизонтальных
стержней Z] и Z2 и углы поворота жесткого узла относительно
трех взаимно перпендикулярных направлений: Z3 — в горизон-
тальной плоскости, Z4 — в вертикальной плоскости чертежа и
Z5 — в вертикальной же плоскости, перпендикулярной. плоско-
сти чертежа. Основная система с лишними неизвестными по-
казана на рис. 18.6.
Смещения в пространственных системах в отличие от плоских
могут вызывать не только изгибающие, но и крутящие моменты
в стержнях. При построении эпюр крутящих моментов надо
иметь в виду, что угол закручивания
ф = -4?кр/ , откуда Л4кр = <р -G/kP . Если (р = 1, то Л1кр= —кр .
GJKp
Если сечение круг, как в нашем случае, то /Кр = 2/И- Тогда
GJKP 8*10б«2/и ЛО г	к
2 10s J	где — момент инерции при изгибе.
В последующем при расчете везде принято Е7И=1; GZKp=0,8.
На рис. 18.7, а — д показаны единичные эпюры моментов —
изгибающих и крутящих от единичных смещений. На рис. 18.7, е
дана эпюра изгибающих моментов в основной системе от на-
грузки. Пунктирными линиями показаны оси стержней в дефор-
311
312
мированном состоянии от смещения. Эпюры изгибающих мо-.
ментов построены со стороны растянутого волокна. Эпюры кру-
тящих моментов очерчены пунктирной линией на тех же чер-
тежах.
Коэффициенты и свободные члены, являющиеся реакциями
во введенных связях, найдены из равновесия отсеченных частей
рамы (рис. 18.8). Поперечные силы вычислены по формуле Q =
Направление их принято,как и в плоской системе.
По эпюре Mi (рис. 18.8,а):
ru — 0,5; r2i ~ у J r3i — 1,25; /*41 —	0,25; /*51 — 0.
По эпюре М2 (рис. 18.8,6):
Г12 ~	у ; Г22 ~ ~у ; Г32 =	1 ,25; /*42 — 0; г52 = 0.
По эпюре Мз (рис. 18.8,в):
/*1з = 1,25; /*23 --	1,25; г 33 — 5,75; /*43 = 0; гьз — 0.
По эпюре Л14 (рис. 18.8,г):
/*14	— 0,25; /*24 = 0; г34 = 0; г44 = 3,8; г54	0.
По эпюре М5 (рис. 18.8,6):
Г15 — 0;	/*25 ~ 0;	Г35 — 0;	Г45 = 0;	/*55 = 6.
По эпюре Л4£ (рис. 18.8, е) :
Rw = —7^ /?2р = —4,5; R3P = — 4,5; /?4р = 5,5;
/?5Р=12.
Проверки коэффициентов и свободных членов производятся
так же, как и в плоских системах, но только с учетом крутящих
моментов.
Составим систему канонических уравнений в общем виде и
в числах:
f	Г11	“Ь Г12 ^2 + Г13 23 + Г\,	+	Г15	Z5	+	R\p	= О*,
Г 21	+ Г22 ^2 + f23	+ Г24 ^4	+ Г25 ^5 + ^2P	0;
Г31	“Ь f32 ^2	Г33	^3 + Г34	+	Г35	^5	+	^3P	~ 0;
Г 41	Г42 ^2 “Ь f43 23 + Г44 ^4 Г45 ^5 + ^4P “ 0j
I f51	+ f52 ^2 + Г53 ^3 + rf4 ^4 + Г55 ^5 + ^5P ~ 0;
313,
Рис. 18.8
314
Рис. 18.9	Рис. 18.10
315
0.5Z! - Z2 + 1,25Z3 — 0,25Z4 — 7,5 = 0;
— — zt + —Z2—1,25Z3 — 4,5 = 0;
12	12
1,25Z4 — 1,25Z2 + 5,75Z3 — 4,5 = 0;
—0,25Zj + 3,8Z4 + 5,5 = 0;
6Z5 +12 = 0.
1
Целесообразнее всего решать данную систему уравнений по
способу Гаусса. Решив систему уравнений, получим численные
значения неизвестных:
Z1 = 174; Z2 = 211,8; Z3 = 9; Z4 = 10; Z5 = — 2.
Умножая единичные эпюры на вычисленные значения и скла-
дывая их с грузовой эпюрой в основной системе, получим эпю-
ры изгибающих и крутящих моментов в заданной системе (рис.
18.9,а и б).
Используя эпюру изгибающих моментов и формулу
вычислим значения поперечных сил в стержнях и построим
эпюру Q (рис. 18.9,в).
Численные значения продольных сил в стержнях могут быть
вычислены из равновесия жесткого узла; эпюра W показана на
рис. 18.9, г.
Для проверки полученных эпюр можно рассмотреть равно-
весие любой отсеченной части рамы с приложенными в сечениях
внутренними силами Л4И, Мкр, Q и N (см. например, рис. 18.10).
Кроме того, можно выбрать основную систему метода сил,
построить в ней эпюры изгибающих и крутящих моментов и пе-
ремножить с соответствующими эпюрами Ми и Л4кр в заданной
системе. В результате перемножения эпюр мы должны получить
нуль.
Глава 19
МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТОВ
В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
Матричная форма расчетов приводит к однообразным опера-
циям с матрицами, что создает известные удобства для про-
граммирования вычислений на электронные цифровые вычисли-
тельные машины (ЭЦВМ).
316
1. МАТРИЦЫ влияния
Назначение матрицы влияния величины S (реакций, изгиба-
ющих моментов, поперечных сил и т. д.) состоит в том, чтобы
преобразовать матрицу столбец (вектор) нагрузок в вектор ве-
личины S.
Предполагаем, что силы Ро, Р\, Ль •••, Р» приложены в точ-
ках 0, 1,..., п системы. Матрица влияния
°(J0 °01
$10 ^11
<5/0 *^/1
SfiO $п1
(19.D
Здесь /-й столбец — значения величины S от Pi=l, прило-
женной в точке i системы.
Если матрица составляется для изгибающих моментов, про-
дольных пли поперечных сил, то f-й столбец матрицы легко по-
лучается из соответствующей эпюры от Рг=1.
Если действующие па систему силы одного направления (на-
пример, вертикального), то f-я строка матрицы можег быть за-
писана по линии влияния Si.
В тех случаях когда величина S при сосредоточенных силах
может иметь два значения, как, например, продольная или по-
перечная сила, то
S.. = S,CB
11	It ll
(19.2)
Преобразование вектора нагрузки P в вектор величины S
производится па основе выражения
S=BsP.	(19.3)
Пример 19.1. Составить матрицу влияния изгибающих мо-
ментов и определить их вектор от нагрузки (рис. 19.1).
В общем случае, когда балка разделена на п равных частей,
i-й столбец матрицы влияния изгибающих моментов при верти-
кальных силах определится по формулам:
Mki=- — k(n -i) при k	(19.4)
п2
Mki — — i (п — k) при k - i.	(19.5)
п2
В нашехМ случае п = 6.
Составим 4-й столбец матрицы:
при£^4	Mh4= -^-£(6—4);
317
при k >4
M„ = J-4(6-k).
Четвертый столбец —— [ 0 2 4 6 8 4 01|.
36 ц	л
Аналогично составляются и остальные столбцы.
Рис. 19.2
р-р
Рис. 19.1
По выражению (19.3)					
	0000000		Р0=Р		0
	0 5 4 3 2 10		Р^Р		15Р/:36
	0 4 8 6 4 2 0		Рг=Р		24Р/:36
ВМР = — м	36	0 3 6 9 6 3 0		Р3=Р	—	27Р/:36
	0 2 4 6 8 4 0		Р^Р		24Р/:36
	0 1 2 3 4 5 0		РЪ=Р		15Р/:36
	0 0 0 0 0 0 0		Р6=Р		0
Задача 19.2. Составить матрицу влияния изгибающих момен-
тов для балки при п = 5.
Ответ:
Задача 19.3. Составить матрицы влияния изгибающих мо-
ментов и поперечных сил (рис. 19.2).
Указание: столбцы матрицы получать из эпюр от сил Рг-=1.
Ответы:
	0	0	0	0	0
	— 1 cos а	0	0	0	0
в« - X	—2 cos а	1	0	0	0
	—3 cos а	2	— 1 COS р	0	0
	—4 cos а	3	—2cos0	— 1	0
318
	0/—cos а	0	0	0	0
	—cos а	0/1	0	0	0
	—cos а	1	0/—cos р	0	0
	—cos а	1	—cosp	0/-1	0
	—cos а	1	—cosp	— 1	0/1
2. МАТРИЦЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Приближенное вычисление интегралов, входящих в форму-
лу перемещений, может быть проведено по формуле Симпсона,,
при четном делении участка I проекции бруса на ось z (рис.
19.3), на п равных частей:
&km ~ J Л^2 = ~ [Ло + 4 (тц + Т]3 + • • • + Л/1-1) +
+ 2 (л2 + Л4 Н-----FЛл_2) + лД	(19.6}
где
(19.7}
и Sim — соответствующие усилия (изгибающие моменты,
продольные или поперечные силы) в точке i от Р*=1 и от на-
грузки т\
Bi — жесткость стержня в точке /, соответствующая усилию
yi — ордината оси стержня.
Если i-й участок стержня, начало которого обозначено i—1,
а конец г, с проекцией на ось г, равной разбить только на
два участка (рис. 19.4), то при учете только изгибающих мо-
ментов имеем формулу
319

4-47И сред Д^сред дсред | Д|прав Д/|прав ^прав
1 Ik im i * ik im i J ’
где at = EJ.i; \EtJt cos az;
(19.8)
(19.9)
EJ• - жесткость какого-либо сечения стержня системы, при-
нятая за основную.
Здесь i — номер участка (а не точки).
Для прямых стержней, когда ось z совпадает с осью стерж-
ня, а{ = 0 и cosai= 1.
—	Al-
Если линейная функция, а ----------—------линейная или па-
f/J/cosaj
рабола второго порядка, то формула (19.8) дает точное значе-
ние интеграла.
Формула (19.8) в матричной форме
1) Яа = [|Мй-м;г'М?Г"||
-матрица-строка единичных моментов Mih
участке (транспонированный столбец матрицы
этом участке);
где
(19.10)
(19.11)
от /\=1 на f-м
влияния на
Mk
2) At = -А_
6EJ.
a*Ctt О О
О 4аС|,ед О
О О а9Рав
(19.12)
участке;
(19.13)
3) Mim = M,
= IW?BB М.сРедЛ4‘‘Рав|1
[ ( im im im J J
- матрица податливости на i-м 1
мгтп'
Л4сРел
im
Д^прав
im
матрица-столбец моментов Mim на i-м участке от нагрузки.
В (19.13) указано обозначение матрицы столбца в трех упот-
ребляемых здесь видах.
Полное перемещение, при п участках
А, -||Л?:.ЛГ . . ЛО-Л-ИтИ. ЛГ . . MU, (19.14)
km 1| ik 2k	/г#||	|| \т 1т	пт'с у '
Aj, 0 0..................0
0 Д2 0..............  .	. .0
где А = ...........................0
(19.15)
0 0 0.............. 0	Ап
320
— квазидиагональная матрица из матриц податливости стерж-
ней или их участков.
Часто на прямых стержнях эпюры (Mik) и (/Игш) линейны,
тогда для (19.14) и (19.15) имеем:
1) ЛГ.. =	ЛТ"Ра,,11; 1	ik	1 ik	ik II’			(19.16)
2) Л,- = —1 6EJ. 1 1	1 «Д' + а,-рс11 «)рс’ осре.1	4-		;	(19.17)
3) м!т =	/И-.,ев Itn Мправ 1т		(19.18)
Если, кроме того, сечение прямого стержня на участке по-
стоянно, то алвв=а^рс1=а^в = ai и матрица А,- будет:
A	di А i — 6EJ..	2fiz at at 2ai	- di	I2 1 1 2	(19.19)
		C>Ei J i cos at-		
В тех случаях когда Д/прэ»		= M .'™ ,		(19.20)
матрица левым верхним углом может быть наложена на
нижний правый угол матрицы Лг-, где значения аугЛов получа-
ются суммированием а’.1рав и т. е.
%лов = аГв + а/ж1-	(19.21)
Для прямых стержней, когда а = 0, строки матрицы податливо-
сти (19.19) могут быть составлены как углы поворота на опорах
простой балки от моментов, равных единице, приложенных по
очереди к левой и правой опорам.
Учет деформаций удлинений и сдвигов проводится на основе
тех же матриц, составленных для учета деформаций изгиба,
путем соответствующей замены символов: __
Mik, М1т и соответственно на Nik, Nim и
Ь:=-----------;	(19.22)
E i Ei cos a i
Mik, Mim и а,- соответственно на Qik, Qim и
С,= И—^-------;	(19.23)
GiE i cos ai
EJ* на EF*,
Если, как это часто бывает для прямых стержней, A^, Nim
и или Qik, Qim и Ci — постоянны по длине стержня или его
участка, то матрицы Ai соответственно будут:
Лл'=-^-н	(19.24)
EF* ‘ EF*
21—1284
321
Формула перемещений для ферм в матричной записи
= n:, A-NlnV	(19.25)
где 1)Л^ЧГ^А---М	(19.26)
— матрица строка единичных усилий Nik от /\=1;
2) А = —
EF.
0 0 0. . . О
О /Д 0 0. . . О
.................О
О [0 0 0. . . 1пЬп
(19.27)
Рис. 19.5
—	матрица податливости;
здесь = EF..:: Et	(cosaz — 1);
3)^ = |[Лр?Л2...........I (19.28)
—	матрица столбец усилий Nim,
Пример 19.4. Определить верти-
кальное перемещение точки а (рис.
19.5).
Необходимые эпюры даны на рис.
19.5, бив.
Составляем матрицы податливо-
стей.
Для стержня ab, имеющего эпюру
(Л/7) криволинейную, матрицу АаЬ
составим по (19.12), принимая
за EJ* жесткость вертикального стер-
жня EJ.
Для стержня Ьс, имеющего эпюры
(М6/) и (Mk) линейные, матрицу АЬс
составим по (19.19)
л - 6
ab 6EJ
1 4 О О
0 4110
О 0 \'t
л 3
A fa--------
6EJ
2 1
1 2
По формуле (19.14) с учетом (19.11), (19.13), (19.16) и
(19.18):
322
ДА,= ||03666||-
После упрощений
6
6£J
— О
4
О
о
4EJ\kq = || 03666|| -
о
1
о
О
1
3
6EJ
2
1
1
2
О
4,5?
18?
18?
18а
1
0
О
О
О
о
4
0
О
О
О
О
1
О
о
о
о
о
4
2
О
О
О
2
4
О
4,5?
18,0?
18,0?
18,0?
(4)
слева направо:
18,0? 18,0?}] =
Раскрываем матричное равенство по ходу
4EJ\hq =||0 12 6	36 36||-|{ 0 4,5? 18,0?
= 1458?.	_
Поскольку в эпюрах (Л49) и (Afft) угловые ординаты в точке b
одинаковы, то для сокращения вычислений матрицы Ааь и АЬе
можно наложить углами и применить формулу (19.21), запи-
сывая угловые ординаты эпюр по одному
4EJbkq = || 0 3661|-
1
О
О
о
о
4
О
О
О
О
5
2
О
О
2
4
разу:
О
4,5?
18,0?
18,0?
= ||0 12 42^36||-|(0 4,5?
18?
18,0?) | = 1458?.
Пример 19.5. Определить вертикальное перемещение в точке
А от момента Л4 = 5 т-м в системе, рассмотренной в примере
(8.4).
Необходимые эпюры показаны на рис. 8.5.
Условимся моменты, отложенные снаружи контура, брать со
знаком плюс.
Эпюры линейные, поэтому применяем матрицы Л, по (19.19).
По формуле (19.14)
ДАт=||0 2 2 -2 -2 0||Х
2 1
1 2
2
16Е/
3 II2 1
6EJ 1 2
21*
323
После упрощения с наложением углов матриц
6EJA^-||0 2 —2_ 0Ц-
4 2 0 0
2 10 3 0
0 3 10 2
9 0 2 4
0
0
—5
—5
= ||4 14 -14 —4||-|{Q 0 —5 — 5)|-90.
3. МАТРИЦЫ УПРУГИХ ГРУЗОВ
Для построения эпюры перемещений одного направления,
как, например, эпюры прогибов балок и арок переменного сече-
ния применяется условная нагрузка 7* (рис. 19.6), которой за-
Рис. 19.6
гружается условная балка с граничными условиями (опорами),
устанавливаемыми в зависимости от закреплений заданной си-
стемы (см. учебники).
Выражение условной (фиктивной) нагрузки для плоских си-
стем
а* =------------1- — (+ — (и V (19.29)*
Чт EJ cos a dz \ EF / Т dz \“ GF ]
Перемещения А определяются из уравнения
— = <?*.	(19.30)
• См. В, А. Киселев. Строительная механика. 1967, стр. 257,
324
Соответственно
— — Q* (условная поперечная сила от нагрузки 7*);
d 2
А = Л4* (условный изгибающий момент от нагрузки <?*).
Обычно вместо решения уравнения (19.30) эпюру переме-
щений А получают как эпюру изгибающих моментов Л4* от ус-
ловной нагрузки q* в условной балке обычными средствами.
Для этого криволинейную эпюру qm разбивают на участки и за-
меняют сосредоточенными грузами Vhm, которые по закону ры-
чага раскладываются на силы Wkrn, действующие на границе
участков, называемые упругими грузами (рис. 19.6), а момен-
ты Л4* вычисляют для точек — границ участков. В приближен-
ных расчетах криволинейную эпюру qm аппроксимируют пря-
мой или параболой.
Применяя (19.29) с учетом N и Q надо иметь в виду, что на
концах условной балки помимо упругих грузов должны быть
учтены еще дополнительные сосредоточенные силы:
EFq	GFo
EFn GFn
( + N — растяжение).
При аппроксимации q*m прямыми линиями на основе (19.29) по-
лучаем формулу упругих грузов.
I)	Промежуточные упругие грузы [k = 1, 2, ..., (п—1)]:
^кт = 6ЕЛ Г	2С>В + 2«В +СЫт1 +
д^прав
_±n_tga^'
£^прав *
дтправ
£FnpaB
tga;eB-
Qnpan
km
GFnpaB
(19.31 )
где — момент инерции какого-либо сечения стержня;
d0 — длина какого-либо участка;
d.:J^\B d{}cosa^aa;
“(#—1)Г77	(Л?—1)ГП * k	К—I ’’	R—I
длев = _ Древ J d  J лев d cos „лев
” km	km « k k и k *
„прав = _ Дррав J d . .прав d cos „прав.	( | 9 32)
• km	km	"1 * * k v	k
325
C+»m =	d0COSa“
2)	Крайние упругие грузы:
а) крайний левый
W
От
^(ЭДГ + С.В) +
1	/ Д/лев	jynpas
— —— tg afeB 4-----------—----tga"₽aB
2	\£А]ев	EF$>™
i / OfeB	o"P,B \
4-----1 gi--------F Ho---------- ;
2 GFjeB	GF^a J
.{19.3
б) крайний правый
Wnm=-Дг (*"£-’>»+) ~
1 МГГ1И
2 l £/?прав
Nx™
_^_tgar
EF*™
/	г)лев X
J_ / ii w(n—l)m , ^nm |
2 у ” 1 дрправ n GF™0 J
г)Прав
**(л—l)m
(19.34)
В выражениях (19.31) — (19.34) и далее индекс у буквы d
соответствует номеру участка, а у остальных величин — номеру
точки (рис. 19.6).
Выражение упругих грузов в матричной форме:
wm = w4M) +	+ w™ = w<M) мт +
где 1) |V(A4)_ _ do	+	(19.35) 2аправ йлев Q 0	0	000 дправ 2алев 2апра» длев 0	0	0	0 0	0 а"Рав 2авев2аправ аае» 0	0 0	0	0	0 а"Ра® 2але“. 2«прс“ але” п—1	а—1	п— 1	п 0	0	0	0	0	0 апРа“ 2а1СВ п— 1	п
6EJ*	
(19.36)
Здесь:
дправ = d J . /прав d cos onpa„ .
Л—1	k # k—1 О	R—1 *
ал.eB = d. J.: dn cos a?eB;
к	к ft k О я *
^прав = J*; /прав dQcOS a^,B;
326
ak+l “ ^4-1 Л * *^+1 d0 C0S а/г+Р
Mm4CBCCB. . .М(Г1)тМ?^81)гпМ^вН (19.37)
(матрица столбец из моментов Мт) :
1EF,
2)	£прав	Ьвев	0	0	0	0	0	0 1
	— Ь”Рав	— Ьввв	£прав	Ь™в	0	0	0	0
X	0	0	_ £прав	— Ьввв	^прав		0	0
	0	0	0	0		^прав		£прав	Ьмв 1 п
	0	0	0	0	0	0		— Е1СВ п 1
(19.38)
bt = EF* tgaf : Е,- Ez;
(19.39)
3) Матрицы W<l?) и Qm получаются из матриц W(N} и пу-
тем замены:
в матрице (19.38) bi на с^цЕЕ* :
в матрице-столбце (19.39) Nt на Q,.
В тех случаях когда
Млвв =	NBeB = Nn?BB k	fl			; Qr = Ql E"₽BB; Я = k 1 R	рав. ice d*+l ~	' = a"PaB; J?eB k ’ k d\		= /прав.
	/Тлев 1 k		1 —					
матрицы будут								
	2a0		0	0	0	0	0	0		
	a0	4at	«2	0	0	0	0	0		
	£_ GEJ*	0		4a2	a3 0	0	0	0	1	(19.40)
0	0	0	0	о an_., 4an_} an
0	0	0	0 ~ J *	0	0	an-l 2fln : Jkcos a^;
(19-41)
W(N) _	1	p0	b±	0	0	0	0	0	0 \b0	0	b2	0	0	0	0	0 °А0Л °.°. .°.. ° ; (19-42) 10	0	0	0	0	bn_2	0	bn 1 0	0	0	0	0	0	bn_!	bn
yy	— 2EF*	
"„-ll-W».	(19.43)
327
Если в этих же случаях нагрузку 7* аппроксимировать па-
раболой, то матрица Ц7(Л/) будет иметь такой вид:
3,5 а0 3^! — 0,5а2 О О О О О
а0 10^! а2	0	0	0	0	О
цл(Л1> — ~d 0 аг 10 а2	а3	О	О	О	О
12FJ,................................................'
ООО 00 ап_2 10ап_1 ап
0	0	0	0 0 —0,5 а 9 За . 3,5а
(19.44)
Отметим, что если сгрузка q*, вычисленная по (19.29) с
учетом только изгибающих моментов, на всем протяжении бруса
описывается параболой или прямой, то матрица (19.44) в этих
условиях определит точные
значения упругих грузов, а
матрица (19.40) дает точные
значения упругих грузов лишь
тогда, когда q* описывается
прямой.
Рис. 19.7	Рис. 19.8
пли кривой приближенно
Если брус ломаный (рис. 19.7)
заменяется ломаным, то упругие грузы обычно записываются
в таком виде.
1. Промежуточные грузы [когда й=1, 2,	(п= 1)]
Wkm
4- Л4;,св
---------(W n m
6cosnkEJk V	km)
2£fHl
пправ . /.лев
, _ ^km 4(M-1) m
2G/>+1
'М-1
----+
6cosaA+1£JA+/
— LI*------------- .
r 2GFk
tg «*:+
(19.45)
2. Крайние грузы:
328
а) крайний левый
/управ . дглев
l^om =-----------------(2М"Рав + М^в) 4- —-------------— tg cti +
6 cos 1EJX ' Om ,m' 2EFi s
СГ+С.8
(19.46)
б) крайний правый
.	А/лев _i_ /VnPaB
w =____________dn (ЛДправ I 2Л4лев\ —	(п~1} т
6 cos onEJn ( т +	2EFn
tg a,
QnmB + Qn(Pn-i)m
2GF„
Матрицы (19.36) — (19.43) легко могут быть приспособлены
и для упругих грузов (19.45) —(19.47).
Перемещения Д по направлению упругих грузов определя-
ются на основе матричного равенства
= Вм (W(Af’ М,п + WlN} Nm + W^QJ,
(19.47)
(19.48)
где Вм—матрица влияния изгибающих моментов в условной
балке.
В тех случаях когда эпюра (Л4?) от силы Р^ — Х многоуголь-
ник с вершинами на границах участков d (или приближенно
аппроксимирована таким многоугольником), перемещение по
направлению силы Piy при учете только деформаций изгиба,
определяется по формуле
Д,.ст = -£^’(19.49)
где Mki — момент от силы Л=1 в точке k.
Пример 19.6. Построить эпюру прогибов балки переменного
сечения (рис. 19.8) по упругим грузам, если ее момент инерции
изменяется по закону
J(2)== Jo: [п + 4(1-п)-^-4(1-м)^-],	(а)
где Jo — момент инерции среднего сечения балки, а п=-Д-
7(0)
Точное решение такой задачи путем интегрирования урав-
нения (19.29) без учета Q дало
а / \ PZ2 /с , ч Рп z3 4Р(\—п) z*
Д=и (г) =--(5 + n)z---------------- .--h
V 7	16 EJq	2ЕЛ 3!	IE J	4!
12 P	z6
+ -^-(1—П)—.	(6)
/2 E J, V	5!	V 1
22—1284
329
Разделим балку на четыре части. За примем /0- Тогда сц пр
/	J О	1 ( \	0	3 4" П «
</(0) = —; J — = ~— : а0 = п; ^=-7-; я2= 1.
п \ 4 / о 4- п	4
Составим матрицу упругих грузов по (19.35) и (19.40).
	2п	0	0	0 п		0		3+n j
	п (3+п) 1	0	0		1		20+4n i
__ —1	3_+п Н л Q	Р1	2	— _ Р1'	38+2n
т	24 EJa	4	4	4	8		~~	768EJ0	
	0	0 1 (3+п)«		1		20+4n
	ооо 4^ 2п 4		0		34-n
Условная балка в нашем случае будет также балкой на двух
опорах.
Составим выражение (19.48), исключая упругие грузы на
опорах и учитывая положительное направление упругих грузов
вверх: Д = ВЛ1И^1,=
з
2
1
I
Тб
/_р/21 20+4и
20+4п
Pl3
3072 EJ0
!394-5п
158 + 6п
39+5а
2 1
4 2
2 3
Точные значения по (б)
Д = .........
3072 Е Л
Опорная реакция условной
38,3+5,7 п
57,64-6,4 п •
38,34 5,7 п
балки, равная
2, опре-
деляет угол наклона касательной к упругой линии на опоре.
р/2	р12
--------= ------ (42 4- 6п) [точное значение по (б)--------х
2	768 EJ0	v 7 768 ЕЛ
Х(40 + 8п)].
Заметим, что при я=1, когда упругие грузы становятся точ-
ными, прогибы балки, получаемые по упругим грузам, совпа-
дают с точными значениями.
4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА МЕТОДА СИЛ
Канонические уравнения метода сил
DX + Dp = 0,	(19.50)
где
1) D = |!MI =	О o> to •-*	®12 * ’ ’		(19.51)
		622'		
	дя1		' • &ПП nn	
— квадратная матрица коэффициентов канонических уравнений;
ззо
2) Л'=|{Х1Х8-.-Хя)|	(19.52)
— матрица столбец (вектор) неизвестных;
3) "я-НМ-Н4.^'АН	(19.53)
—	матрица столбец свободных членов
А* =	•	(19.54)
Если основная система разбита на t участков (для рам-стерж-
ней) и перемещения определяются только при учете изгибаю-
щих моментов, то
D — M'-A-M,	(19.55)
Мц М1г   • М1Я
М%1 ^22' ' М%п
где	1) М — .......................... (19.56)
Мп Ma-.. Mtn
—	прямоугольная матрица из t строк и п столбцоВд_столбцы ко-
торой состоят из столбцов единичных моментов Мц, от Xh=\
(6=1, 2, ..., п) на i-м участке (i=l, 2, ..., /), определяемых в за-
висимости от условий по (19.11) или по (19.16);
2)	А =	Лд 0 0 0 0 0 0 Л2 0 0 0 0	(19.57)
	0 0 0 0 0 At	
—	диагональная блочная матрица податливости из матриц по-
датливостей на отдельных участках, записываемых в зависимо-
сти от условий по (19.12), или по (19.17), или по (19.19);
3) М' — транспонированная матрицаМ [см. (19.56)]. (19.58)
Поскольку 6km=6mk, то для сокращения вычислений вторая
строка матрицы (19.58) может умножаться только на столбцы
матрицы (19.56) без первого; третья строка матрицы (19.58)
может умножаться на столбцы матрицы (19.56) без первого и
второго и т. д.
Заметим, однако, что полное перемножение упоминаемых
матриц доставляет проверку взаимных коэффициентов.
Проверка матрицы D производится по равенству
(MS)(MS) = M'SA-MS,	(19.59)
где
1) Ms=--\{MlsMis---Mts}\	(19.60)
— матрица столбец из матриц столбцов суммарно-единичных
22а—1284
331
моментов на отдельных участках, определяемых в зависимости
от принимаемого вида матрицы А (19.57) по формулам:
ж,., = жв-ЖГ-М?Г}|	(19.61)
Ж = 1(Жев-Жрав)1,	(19.62)
Dp—M'-A-Mp,	(19.63)
где М и А соответственно по (19.56) и (19.57), а
=|{<Хр---<>Н	а 9.64)
— матрица столбец из матриц столбцов моментов М{р на отдель-
ных участках основной системы, определяемых по формулам,
аналогичным (19.61) или (19.62), с заменой там Alis на М]Р.
Проверка матрицы DP:
(Л4$>) • Ш =2И; • А-Мр,
где Ms, А и Мр соответственно по (19.60), (19.57) и
В соответствии с (19.50), (19.55) и (19.58)
Х = — D~ Dp — (М'-АМ )-1 • (ЛГ'-Л-ЛТ®).
Обратная матрица с переменой знака:
Р11 Р12 ’' ‘ Pin
Р21 Р22' ’ ' Ргп ;
(19.65)
(19.64).
(19.66)

Pnl Рпг ‘ ‘ Рлл
Рлт — коэффициенты влияния по (10.13) — (10.15).
Изгибающие моменты в заданной системе от нагрузки опре-
деляются по матричному равенству
Мр = М-Х+ Мр,
(19.67)
где	М—матрица	по (19.56);
X — матрица	столбец по	(19.66);
— матрица	столбец по	(19.64).
Проверка полученной эпюры в матричной форме:
(Л4р). (2Й$) = М;-Л-Л1Р,	(19.68)
где Mj—транспонированная матрица (19.60);
А — матрица по (19.57);
Мр = |{М1рМ2р • • -М/р}|	(19.69)
— матрица столбец из матриц столбцов моментов МР на i-м
участке, записываемых, как (19.61) или (19.62) с заменой там
Mis на MiP.
332
Если расчет производится на несколько раздельных нагру-
зок, то матрица столбец М°р (19.64) превращается в прямо-
угольную матрицу с числом столбцов, равным числу нагрузок.
Пример 19.7. Построить эпюру изгибающих моментов в раме
(рис. 19.9).
Основная система и необходимые для расчета эпюры при
учете только деформаций
изгиба показаны на рис.
19.10.
Канонические уравне-
ния по (19.50)
D X + Dp = 0.
J S
6м

Рис. 19.9	Рис. 19.10
Составляем матрицу D по
рамы за участок и применяя
(19.55), считая каждый стержень
для матрицы Ai формулу (19.19):
111 0 0 0 0 3/4
Л = 0 1 1 0 0 —3/4
||0 0 0 1 1 1
4 II2 1 ||
12Е J 1 2
— II2 ’II
24 Е J II1 21|
3 || 2 1 ||
6EJ ||1 2 ||
1	0	0
0	1	о
у	°	10
Л	0	0	1
0	0	1
3/4 -3/4 1
После упрощения записи
j II1 о о о о
D = Р 110 0 —
UfiJ 0 0 011
з/
4
4
1
8 4	0	0	j.0	О
4 8	0	0	О	О
0 0	6	3	О	О
0 0	3	6	О	О
О 0	0	0	12	6
0 0	0	0	6	12
1	О	О
О	1	О
О	1	О
О	0	1
О	О	1
3	3'1
/4	4 1
(а)
22э
333
Раскрываем матричное равенство, производя умножение сле£
направо:
D — —
12EJ
4,5	9
—4,5 — 9
18	18
1	О	О
О	1	О
О	1	О
О	0	1
О	0	1
3/4	-’/«	1
8 4
4 8
О О
О О
6 3
3 6
II 59 —11	54
—11	83 — 42
|| 54 —42
(б
Поскольку изгибающие моменты в эпюрах непрерывны, то мож-
но матрицы Л < в (а) наложить углами, а моменты на границах
участков записывать один раз.
1 1 0
О = — 0 1
12EJ 0 0
3/4
-3/4
1
О
О
1
1
(в)
О
О
1
D = ——
48 EJ
8 4
4 14
О 3
1
48 EJ
59
— 11
54
—11	54
83 — 42
—42	168
совпадает с (б).
Матрицу Dp составим по (19.63).
Поскольку эпюра Мр имеется только на стержне (2-3), то мат-
рицу Dp составим только по этому стержню, разбивая его на
три участка:
Ai —	— А$ —
2
24EJ
D
2
1
1
2
000000
3 2 2 1 1 0
0 112 2 3
1
12EJ
210000
120000
0 0 2 1 0 0
001200
000021
0 0 0 0 1 2
О
2Р
2Р
2Р
2Р
О
334
1	0 0 0 0 0 0 8 7 5 4 2 1 1 2 4 5 7 8		0 2Р 2Р	— 1	0 36Р 36Р
36EJ		Й	2Р 2Р 0	“ 36EJ	
Канонические уравнения в числах			
59 —11	54			0
— 11	83 -42 • 54 —42	168	X, Х3	+	48Р =0. 48?
Обратная матрица — D~l, найденная по (10.13), будет
	 ГТ-1 — 	1			—12180	420	—4020 420 —6996 —1884 —4020 —6996 —4776	
	506 160		
	—0,024063	0,0008297	0,007942	
=	0,0008297 0,007942	—0,013821	—0,003722 —0,003722	—0,0094357	
Значения неизвестных:
	—0,024063	0,0008297	0,007942		0
х =	0,0008297	—0,013821	—0,003722		48Р
	0,007942	—0,003722	—0,0094357		48Р
0,4210416Р
—0,842064?
—0,06315696Р
Вычисляем моменты МР в точках 1, 2, а, Ь, 3, 4 по (19.67):
	1	0	0		0		0,42104?
	0	1	0		0		—0,84206?
	0	а/з	7з	0,42104?	2?		1,22811?
м р =	0	7з	7з	• —0,84206? +	2?		1,29826?
	0	0	1	—0,63157?	0		—0,63157?
	7<	-3/«	1		0		0,31580?
Эпюра построена на рис. 19.11.
335
Проверка полученной эпюры по (19.68)
(Мр) • (Ms) = II 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1|| х
4 112 II
12EJ II 1 2 I
2
245./
12 1||
I 1 2||
2 [12
24 EJ I) 1
(нули)
1 || (нули)
2II
2 || 2 1||
24EJ || 1 2 ||
3 || 2 1||
6EJ || I 21|
0,421?
—0,842?
—0,842?
1,228Р
1.228Р
Х 1,298? '
1.298Р
—0,632?
—0,632Р
0,316?
После наложения угловых значений матриц Л>- и исключения
двойной записи моментов МР на границах участков
	8 4 0 0 0 0	
	4 10 1 0 00	
	0 14 1 0 0	
(М,)  (М.) - II 1 1 1 1 1 1|| 12^	0 0 14 10	X
	0 0 0 1 14 6	
	0 000 6 12	
0,421?
—0,842?
1,228?
1,298?
= 25,896? — 25,906? 0.
-0,632?
0,316?
336
Эпюра изгибающих моментов в рассмотренной здесь раме была
также построена при помощи электронно-вычислительной ма-
шины (см. рис. 20.12).
5. МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТА БЕСШАРНИРНЫХ АРОК
Расчет арок на неподвижную нагрузку в матричной форме
мало отличается от аналогичного расчета на такую нагрузку
рам. Поэтому здесь рас-
сматривается только по-
строение линий влияния
основных неизвестных
Х2 и Х3 (рис. 19.12).
Положение упругого
центра определяется по
условию д1з = бз1 — 0 и со-
ответствует центру тяже-
сти условной нагрузки
j. ds	о
g* = —, приложенной к
арке и направленной го-
ризонтально.
Далее излагаем рас-
чет по упругим грузам.
Тут же заметим, что, во-
обще говоря, расчет по
упругим грузам является
расчетом приближенным.
Только в отдельных слу-
чаях, когда упругие гру-
зы вычисляются точно, он
Рис. 19.12
может стать точным рас-
четом. Согласно (19.49)
д31 = — S > • М3 = —	.1=0,	(19.70)
где Wffl* —упругие грузы от Xi = l, вычисленные только от из-
гибающих моментов Л11 = 1(# — с):
6В “ - £	-X, = - 2 П“> (у, -	<19.71)
где Wk3 — упругие грузы от Лз=1, когда Л43 = 1.
Эти выражения можно записать так:
2	= 2 (U7W) _ Ц7(М)) = 2 Ц7(М) — с2 = 0,	(19.72)
где ^’—упругие грузы	от	My=l.y.
=	(19.73)
кЗ	k	k3	\	'
337
Отсюда получаем два выражения для определения упругого
центра:
(19.74)
(19.75)
При линейной интерполяции нагрузки q* обе формулы (19.74)
и (19.75) приближенны и дают одинаковые ответы только в тех
случаях, когда между точками i—1 и i, на f-м участке, величина
1 : £7 cos а принимается постоянной.
В таких случаях упругие грузы (19.35), вычисленные только
с учетом изгибающих моментов, будут совпадать с упругими
грузами (19.45).
Поскольку матрица упругих грузов при параболической ап-
проксимации нагрузки q* (19.44) не сложнее матрицы при ли-
нейной аппроксимации нагрузки (19.40) и от нее следует ожи-
дать более точного расчета, то ее и надо применять.
Упругие грузы Wi могут быть вычислены от моментов Mi =
= 1 (у—с) или по формуле
= Wky} — cWki} •	(19.76)
В этом случае, если положение упругого центра определя-
лось по (19.74), всегда	=631 = 0.
Канонические уравнения:
6ц*1 + б1Р=°; 622Х2 + д2р = 0; 633X3 + 6^=0.	(19.77)
Собственные перемещения через упругие грузы, с учетом
только деформации изгиба, по (19.49):
Y = - 2	4 = - 2	(yk - с) = - 2 yk; (19-78)
V 622 = - 2	=	Zk- (19.79)
=	=	(19.80)
2	33	ЛЗ «3	ко	'	'
Эпюры перемещений от Л\=1 (/=1, 2 и 3) 6рг=6гр опреде-
ляются или по дифференциальному уравнению (19.30), или в
общем случае приближенно по упругим грузам.
Матрица упругих грузов, с учетом только изгибающих мо-
ментов, при п делениях полупролета арки
где ЖИ) — матрица по (19.40) или лучше по (19.44).
338
Согласно (19.76)
2
оу
U7<M)
пу
ф = 0.
^03
w13
Wn3
(19.82)
(19.83)
Пример 19.8. Построить линии влияния основных неизвест-
ных в параболической арке, если J(z) = -^~ (рис. 19.12).
cosa
Для учебных целей разделим полупролет арки только на
шесть равных частей (n = 6, d=//12).
За принимаем /о, что дает ah= ——— = 1.
J&COSC^
Составляем матрицу упругих грузов (19.81), применяя для
матрицу (19.44) при параболической аппроксимации нагруз-
ки q*.
3,5 3 —0,5 0	000
1 10	1	0	0 0 0
0
0
0
||Ц7(М) W(M) W(M) || = _
I
144£JO
1 10 1	000
О 1 10	100
О 0	1	10	10
О 00	1 10 1
3,5
о
0 0	0 0 —0,5 3
If
144-36EJ0
2 = 864	2 = 216	2 = 72
339
Упругий центр по формуле (19.74)
с = [(//864):(144.36£70)]:(/:2£J0)
3
Мы получили точное положение упругого центра вследствие
того, что EJ cosa = £Jo, арка параболическая и аппроксимация
нагрузки q*y —-----— была принята параболической.
jE«7 о
По формуле (19.75) получено
с = [(//876): (144.36£70)]:(/: 2£J0) = 876/: 2592 >	.
3
Вычисляем упругие г ЦЛ(М) 			рузы 1 14 50 ПО 194 302 193	F] по (19.7( , У	6 12 12 12 12 12 6	If	71 130 94 34 — 50 — 158 — 121	
1	144-36£У0		\M-3EJq		144-36£/0		
				sr<M>= 0		
Собственные перемещения по (19.78) — (19.80):
=-------------Ц71 1зо 94 34 —50 —158 —121 ||Х
2	144-36 EJ0 1
X —1(0 1 4 9 16 25 36(| = 2//2:45,OO2£Jo
36
(точное значение 2lf2:45 EJQ)\
=-----------1| 2 12 24 36 48 60 341| X
2	144-12Е/0
Х-£ 1(0 1 2 3 4 5 6)| =/3 : 24 £J0;
—3 =--------||6 12 12 12 12 12 6||-|(1 11111 1)|=/:2£/0.
2	144 EJ0
Перемещения 622 и 633 совпали с их точными значениями. Это
явилось следствием точного вычисления упругих грузов U72 и И73.
Условная балка для правой полуарки будет консольная с за-
щемлением на левом конце.
Составляем матрицу перемещений:
340
n = пл ,|i = д = J_
P II Pi il M m |2
fl
144-36EJ0
fl2
48J296E/0
0 1 2 3 4 5 6
0 0 12 3 4 5
0 0 0 12 3 4
0 0 0 0 1 2 3
0 0 0 0 0 1 2
71
130
94
34
— 50
— 158
— 121
— 1296
— 1225
— 1024
— 729
— 400
— 121
0
/ — z2
(72.12ЕЛ)
1
6
12
18
24
30
17
24E70
—432
—325
—224
-135
— 64
— 17
0
1
2
2
2
2
2
1
Z2
288 E Jo
—36
—25
— 16
— 9
— 4
— 1
0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
Bee dpi, 6p2 и дрз совпадают с их точными значениями по при
чинам, объясненным ранее:
л. в. = ^pi *	*,
Л. В. Xq $Р2 * ^22’
л. в. Х3 = дрз : б33.
Линии влияния на правой полуарке показаны на рис. 19.12.
Матрица ординат линий влияния Х2 и Х3:
II Л. в. Х|| =	15/	1296	432	36 1225	325	25 1024	224	16 1	Z 864	135	288	9 400	64	4 121	17	1 0	0	0
	64/1296	
34!
Произведем теперь расчет при линейной аппроксимации нагруз-
ки q*. Нетрудно убедиться в том, что упругие грузы	и
будут одинаковыми, как при параболической аппроксима-
ции нагрузки q*, так и при линейной, поскольку нагрузки qz . и
qz линейны и для них параболическая аппроксимация
дается в линейную. Производим
грузов WW;
вычисление матрицы
вырож-
упругих
2
= _zL_
" 72EJa
О
О
О
О
О
1
4
1
О
О
О
О
О
1
4
1
О
О
О
О
О
4
1
О
О
О
О
О
1
4
1
О
о
О
О
О
1
4
1
О
о
о
о
о
1
2
f
36
Положение упругого центра
= If -438 ._______________1_
~ 72-36£V0 * 2EJa 72-36
Теперь упругие грузы по (19.76):
876/
О
1
4
9
16
25
36
близко
-У
72-36£V0
1
8
26
56
98
152
97
2^ = 438
К
f_
3
1
8
26
56
98
152
97
Упругие грузы
ми их значениями.
Можно подсчитывать
=_______Ч____
1	72-36£70
_______L_
1	72£V0
876/
72-36
I
72EJt
3
6
б
6
6
6
3
fl
144-36£V0
71
130
94
34
—50
— 158
— 121
совпадают
с ранее
подсчитанными точны-

от моментов

2
1
О
О
О
О
О
1
4
О
1
4
О
О
О
О
О
О
О
О
О
1
4
1
О
О
О
О
О
1
4
1
О
О
О
О
О
1
4
1
О
О
О
О
О
1
2
f
144-3
— 146
—134
—98
—38
46
154
286
342
fl	71 130 94 34 —50
144-36£Jo	
	— 158
	— 121
В данном случае совпали с ранее вычисленными.
6. МАТРИЧНАЯ ФОРМА МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Канонические уравнения метода
/?.Z + /?p = 0,	(19.84)
где
Г11 Г12
Г21 Г22
I) я = IW =
(19.85)
^Л1^л2............?пп
— матрица реакций от единичных смещений в основной систе-
ме— коэффициентов канонических уравнений (матрица жестко-
сти);
.......Z„)|	(19.86)
— матрица столбец (вектор) неизвестных;
з) я,=и ад=ii*i *2........ад <19-87>
— матрица столбец свободных членов канонических уравне-
ний — реакций от воздействий в основной системе, при
*.=*.,+*«+ад- <19-88)
Решение (19.84) в матричной форме			(19.89)	
	Z = -R~' Rp,			
где	— R-1 =	Pll P12	 021 022 		е е 1-Ч	d CCL CCL	(19.90)
		0Я1 Рл2		• Pnn	
рлт — коэффициенты влияния по (10.13—10.15) с заменой
там СИМВОЛОВ dkm на СИМВОЛЫ Гйт.
343
Составление эпюры (Л4) в заданной системе может быть про-

ведено по такому выражению:
Пример 19.9. Построить эпюру изгибающих моментов в раме
(рис. 19.13, я).
(19.91)
Рис. 19.13
В кружочках указаны погонные жесткости.
Основная система с эпюрой от нагрузки (Л4°Р) показана на
рис. 19.13,6, а остальные необходимые эпюры (Л11) и (Л42) на
рис. 19.13, в—г.
Составляем матрицу R (19.85) на основе единичных эпюр (Mj)
Рис. 19.14
и (М2):
56 6
6 3
Составляем матрицу RP (19.87)
по эпюре (Л4£ ) :
12?
О
Коэффициенты обратной матрицы (19.90) с изменением знака
по (10.13):
pn = (—1)(1+I+1>	= —з_.
132	132
d+2+i) 6	_	6	.
132	132 ’
(14-2+2) 56	_ 56	.
132	~	132	’
344
r-' = -L -з e
132	6 —56
Неизвестные по (19.89):
Z = —
132
6
—56
12g	1	—36
0	132	72q
—3
6
Изгибающие моменты вычисляем по (19.91) в точках О = а, 1, 2,
3,4,5nt = b.
Условимся считать изгибающие моменты, отложенные на вытя-
нутой зоне внутри контура рамы, положительными:
О 3
О О
16 О
—8 О
—32 О
24	6
— 12 —6
1
11
О
О
— 12^
67
— 127
О
О
187
О
— I8O7
907
—З67
—367
О
Эпюра построена на рис. 19.14.
Глава 20
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Электронные вычислительные машины очень необходимы
для такой науки, как строительная механика. Они позволяют
быстро и эффективно проводить весьма большие и сложные вы-
числения при решении задач. Сложные задачи, а также и про-
стые, требующие многочисленных вариантов решений, целесо-
образно подготовлять для решения на электронных вычисли-
тельных машинах. Многие задачи вообще не могут быть решены
без электронных вычислительных машин.
Рассмотрим общие принципы устройства электронной вычи-
слительной машины.
Выполняя вычисления, вычисляющий должен иметь: исход-
ные данные, инструкцию, арифмометр, бумагу для записи про-
межуточных результатов и бумагу для записи окончательных
результатов (рис. 20.1).
Порядок работы вычисляющего следующий: он выбирает ис-
ходные данные и согласно инструкции обрабатывает их на ариф-
345
3
Рис. 20.1
Условные обозначения:
___Потоки Вычисляющей
информации
Сигналы
' ^управления
Рис. 20.2
346
мометрс, ведет запись промежуточных результатов, а оконча-
тельные результаты выписывает отдельно. На рис. 20.1 стрел<
ками показано прохождение потоков информации.
Электронная вычислительная машина действует по такому
же принципу (рис. 20.2). Исходные данные в виде чисел (кон-
станты), а также программа, которая в вычислительной машине
выполняет роль инструкции и представляет собой тоже ряд чи-
сел, наносятся на бумажную ленту (перфоленту) в виде про-
бивок (отверстий) согласно установленному коду. Константы и
программа считываются с движущейся перфоленты с помощью
фотоэлектрического устройства и через арифметическое устрой-
ство записываются в запоминающем устройстве, после чего пер-
фолента останавливается. Вместо перфоленты могут также ис-
пользоваться перфокарты.
Запоминающие устройства в разных машинах могут быть
устроены по-разному. Очень часто одна машина имеет несколь-
ко запоминающих устройств разного типа. Мы рассмотрим маг-
нитное оперативное запоминающее устройство (МОЗУ). Оно
состоит из многих тысяч магнитных сердечников, каждый из кото-
рых может быть намагничен положительным или отрицатель-
ным магнитным потоком в зависимости от направления импуль-
са тока, проходящего через его обмотку. Одно из направлений
соответствует цифре 0, а другое 1. Числа в запоминающем уст-
ройстве представляются в двоичной системе счисления. Запись
и считывание чисел и передача их из МОЗУ в арифметическое
устройство и обратно происходят со скоростью нескольких тысяч
чисел в секунду.
Арифметическое устройство согласно сигналам, поступаю-
щим от программы через устройство управления, производит все
необходимые арифметические и логические операции со скоро-
стью несколько тысяч операций в секунду, после чего выходное
устройство печатает результат решения задачи и машина оста-
навливается.
Вычисляющий в процессе решения задачи участия не прини-
мает. Панель сигнализации и пульт управления используются
только для управления машиной при вводе исходных данных, г
также после ее остановки.
Рассмотрим методы программирования для электронной вы-
числительной машины «Минск-2». Здесь будут даны только
краткие сведения об этой машине, необходимые для понимания
дальнейшего текста. Читатель, желающий подробнее познако-
миться с машиной «Минск-2», может воспользоваться имеющей*-
ся литературой L
1 А. В. К о р ч а г и н, И. А. Харламова, О. П Кудрявцева. Про-
граммирование для электронно-вычислительных машин (Учебное пособие).
Глава IV. Общие сведения о ЭЦВМ «Минск-2». «Экономика», 1966.
Н. А. К р и н и ц к и й, Г. А. М и р о н о в, Г. Д. Фролов. Программиро-
вание. Глава 13. Программно-управляемая машина «Минск-2». Издание 2-е.
«Наука», 1966.
ЗЯ
Так как запись чисел в вычислительной машине производит-
ся в двоичной и восьмеричной системах счисления, то нам необ-
ходимо иметь представление об этих системах.
Двоичная и восьмеричная системы счисления, как и десятич-
ная,— позиционные, т. е. значение цифры зависит от того, какое
положение она занимает в числе.
чиоь	51?	бч	в	1
>------f-----4------1-------±
2048 51? 1/8 3?	8 4 2 1
*10?ч*256~ $4	** *
/	2	_L	_L_
В	64	5	4096
7 ./ t / / t / / 8с^с
2* 'I ?	?
__________________51L.-2M . С/С
Рис. 20.3
Если В десятичной системе счисления единица, занимающая
положение на одну позицию левее данной, в 10 раз больше нее,
то в восьмеричной системе она в 8 раз больше, а в двоичной —
в 2 раза.
Восьмеричная система счисления имеет восемь цифр:
0 12 3 4 5 6 7,
а двоичная только две:
0 1.
Обозначим точками позиции цифр в восьмеричной или дво-
ичной системах счисления (рис. 20.3). Над точками на рис. 20.3
написаны значения, которые примет единица, поставленная в
Эти позиции. Если на данной позиции вместо 1 стоит цифра н,
то она принимает значение в п раз больше, чем приняла бы на
этой позиции цифра 1.
Пусть дано число в восьмеричной системе
*8 = 24,3.
Таблица 20.1
. __________________________ Переведем это число в деся-
Изображения чисел в системах счисления			тичную систему счисления
десятичной 1	двоичной	восьмеричной	х10= 2-8 4-4-1+3 4- = О = 20,375.
0 1	000 001	0 1	
2 3	010 011	2 3	Из рис. 20.3 видно, что один
4	100	4	разряд восьмеричной системы
5	101	5	счисления заменяет три разря-
6	110	6	да двоичной системы. В табл.
7 8	111 1000	7 10	20.1 даны соответствия чисел
9	1001	11	в десятичной, двоичной и вось- меричной системах счисления.
348
С помощью табл. 20.1 числа, записанные в восьмеричной си-
стеме счисления, легко можно переводить в двоичную систему.
Достаточно цифру каждого разряда заменить соответствующим
трехразрядным двоичным числом и отбросить крайние нули сле-
ва и справа, например:
х8 == 24,3;
х2 = 10100,011.
Обратный перевод из двоичной системы счисления в восьме-
ричную осуществляется аналогично.
Цифры десятичной системы счисления могут быть записаны
по двоичной системе счисления, согласно табл. 20.1, например,
х10 = 20,375 = 0010 0000, ООП 0111 0101.
Такая запись называется двоично-десятичной. Она не эквива-
лентна записи по двоичной системе счисления, что видно на при-,
мере:
20,3751() = 00100000,0011011 101012_1{),
2О,3751о = 24,38 - 00010100,0110000000002.
Двоично-десятичная запись чисел применяется при вводе ис.
ходных данных и при выводе результатов на печать, а двоич-
ная система — при вычислениях в арифметическом устройстве
вычислительной машины в процессе решения задачи.
Числа в электронной вычислительной машине в процессе вы
числений чаще всего представляются в двоичной системе счис-
ления с плавающей запятой. В этом случае любое число пред-
ставляется в виде
а = т-2р,
где т — мантисса числа;
р — порядок чиста.
Как мантисса, так и порядок — это двоичные числа, имею-
щие знак. Знак мантиссы т определяет знак числа а. Если знак
порядка положительный, то 2^>1, а если отрицательный, то
2^ <1. Знак плюс изображается цифрой 0, а минус — цифрой I.
Числа с плавающей запятой приводятся к нормализованному
виду. Мантисса в нормализованном числе должна быть ограни-
чена пределами
Запишем, к примеру, число 20,375 по двоичной системе счис-
ления с плавающей запятой:
2О,3751о - 24,38 - 10100,0112 - 0,10100011 • 10101.
Здесь т = 0,101000112 = 0,63671910,
Р — Ю12 ~ 510.
34В
операции определяет вид операции, которую должна выполнять
вычислительная машина, например, сложение, умножение и т. п
Два разряда, обозначенные буквой /V, означают блок МОЗУ.
При использовании только одного блока здесь всегда будут ну-
ли. Четыре разряда, обозначенные буквой /, содержат адрес ин-
дексной ячейки. Двенадцать разрядов, отмеченные буквой а\, со-
держат первый адрес. Двенадцать разрядов, отмеченные буквой
«2, содержат второй адрес
Таким образом, команда машины содержит два адреса, и по-
этому машина «Минск-2» называется двухадресной.
Каждая ячейка ЛАОЗУ имеет свой адрес (номер). Адреса
изображаются целыми числами по восьмеричной системе от 0000
до 7777. Ячейка с адресом 0000 всегда содержит нули во всех
разрядах. Число нуль в системе с плавающей запятой в машине-
«Минск-2» изображается так:
Д-0000 0000 0177 в восьмеричной записи
или 4-000 000 059 в десятичной записи.
Программа для машины состоит из команд, следующих одна
за другой. Машина выбирает команды последовательно одну за
другой, начиная с первой, вызывает из запоминающего устрой-
ства в арифметическое устройство необходимые числа, произво-
дит все операции над числами, предусмотренные командами, и
записывает результаты в запоминающее устройство. Имеются
команды, позволяющие прерывать последовательное исполнение
программы и передавать управление командам, расположен*
ным в других участках памяти. Каждая команда имеет соб*
ственный адрес, т. е. адрес той ячейки, в которой она нахо*
дится.
Необходимо отметить важную особенность запоминающих
устройств электронных вычислительных машин. При считывании
(выборке) числа из некоторой ячейки памяти в арифметическое
устройство направляется копия числа, а само число остается на
старом месте. При записи (засылке) числа в некоторую ячейку
запоминающего устройства старое содержимое ячейки стирает-
ся, а его место занимает записываемое число.
Рассмотрим сокращенную систему команд машины
«Минск-2». Мы не будем рассматривать те команды машины, ко-
торые не требуются для решения изложенных ниже задач. Ко*
манды машины даны в табл. 20.2
Остановимся более подробно на некоторых командах.
По команде 4-14 00 а} а2 происходит алгебраическое сложе-
ние чисел, содержащихся в ячейках оперативного запоминающе-
го устройства с адресами и а2 и результат записывается в
ячейку с адресом а2 и в сумматор. Пусть в ячейке Я] =5760 со-
держится число 4-0,4897247, а в ячейке «2 = 6013 — число
4-0,003760262. Тогда после исполнения находящейся в ячейке
2102 команды 4-14 00 5760 6013 в ячейке 6013 и в сумматоре
352
Таблица 20 2
Система команд машины «Минск-2»
Код
опе-
рации
Действия с плавающей
запятой
Кол
опе-
рации
Действия
+14	(о2) + (01)-*	/'а2 \сл<
+ 15	(at) + (ах)-*	см
+ 16	(см) + (ах)—	(а2
+ 17	(см) + (ai) -	- см
+24	(а2) — (ах)—	(а2 \см
4-25	(а,) — (ах)-	см
4-26	(с-и) — (ах)-	1 а2 [см
+27	(см)— (ах)-	см
+34	(а8) • (ах)- |	{см
+35	(аг) • (ах)—	см
+36	(см)  (ах)- |	(а2 {см
+37	(СМ) • (О1)-> см	
+44	(а2) : (ах)— |	(а2 [СМ
+45	(а,) : (ах)— <	?М
+46	(см): (а,)- |	(а2 {СМ
+47	(см) : (ах)— i	:м
Код опе- рации	Действия с фиксированной запятой	
+10	(а») + (ах)—	/а2 \сл<
+11	(аг) + (ах)-	см
+12	(см) + (ах)—	/а2
+ 13	(см) + (ах)—	см
+20	(а*) — (ах)—	[см
+21	(а») — (ах)—	см
+22	(см)—(а,)-	(а2 \сж
+23	(см) — (ах)—	см
— 10
—11
—12
+70
+74
-30
—31
—32
\°гм
l(<h)H (£,
(а2) Л (Я1) - (
(а,) / (ах) — (£,
П. У. — at; (см) -* а2
П. У.-+ а^,
—30 00 к + 1	0000-	о2
Если	то	П. У,-	аъ
если /?<0, то	П. У.-	о2.
(Л/) + (42)- Дь п-1;
если п— 1	0, то П. У.-* alt
если и — 1 < 0, то П. У. -* к + 1
Вид команды	Действия
—60 00 1400 а2 —60 00 0400 а2 -60 00 3400 0000 +00 00 0000 0000 —00 00 0000 0000	(а2) -* печать в 8С/С (а2)-> печать в 10с/с Пропуск строки при печати Ничего не делать Останов
Условные обозначения
см — сумматор
ах — первый адрес
а2 — второй адрес
(см)— содержимое
сумматора
(oi) — содержимое
ячейки с ад-
ресом О1
(аа) — содержимое
ячейки с ад-
ресом о2
->	— запись в ячей-
ку с адресом
о2 и в сумма-
тор
-*см — запись в сум-
матор
П. У.-> передача уп-
равления
А — адресная
часть ячейки
—собственный
адрес следу-
ющей команды
/? — результат пре-
дыдущей опе-
рации
353
появится число 4-0,4934850. Кратко запишем это в следующем
виде:
2102 +14 00 5760 6013
5760 +4897247+00
6013 +3760262—02
6013 +4934850+00
Здесь числа записаны по десятичной системе счисления в нор-
мализованной форме с плавающей запятой. На самом деле в
регистрах арифметического устройства и в ячейках запоминаю-
щего устройства они находятся в двоичной системе счисления в
нормализованной форме с плавающей запятой (рис. 20.4).
Аналогичные примеры для кодов операций +24, +34, и
4-44 имеют вид:
2114 +24 00 5760 6015
5760 +2680012—03
6015 +2728457+03
6015 +2728454+03
2076 +34 00 0303 6013
0303 +7850000+01
6013 +1432661—02
6013 +1124639—01
2045 +44 00 0307 5760
0307 +9809999+01
5760 +9608399+01
5760 +9794495 + 00
По команде +10 00 ах а2 происходит сложение с фиксиро-
ванной запятой чисел, содержащихся в ячейках а2 и и запись
результата в а2 и в сумматор. Числа должны быть записаны по
схеме с фиксированной запятой (рис. 20.6). Таким образом, в
этом случае числа не могут быть больше единицы. По командам
с фиксированной запятой можно оперировать пе только с чис-
лами, но и с кодами, т. с. с наборами двоичных нулей и единиц,
не имеющих числового смысла.
Команда —10 00 а\ а2 позволяет передать число или код из
ячейки а\ в ячейку а2 и в сумматор. После исполнения команды
в ячейках а\, а2 и в сумматоре будет находиться число, которое
до исполнения команды находилось в ячейке а\.
Команда с кодом —30 производит безусловную передачу уп-
равления. Пусть, например, в ячейке 2104 находится команда
2104 —30 00 2135 0133.
354
После исполнения этой команды в ячейке с адресом 0133 поя-
вится содержимое сумматора, оставшееся от предыдущей ко-
манды, все команды, содержащиеся в ячейках с 2105 по 2134
включительно, пропускаются, и следующей будет исполнена ко-
манда, содержащаяся в ячейке 2135. Очень часто при безуслов-
ной передаче управления в качестве второго адреса пишут 0000.
Команда с кодом операции —31 позволяет перейти к под-
программе с возвратом на основную программу. Подпрограмма
представляет собой отдельную программу, которая может вклю-
чаться в работу по специальным командам в отдельных местах
основной программы. Пусть, например, в ячейке k находится
команда с кодом операции —31
k— 1 .............
k	—31 00 ах а2
£+1 ..............
В ячейках выше и ниже k находятся другие команды, а в ячей-
ках с а\ по а2—1 находится группа команд, образующих подпро-
грамму. Тогда, после исполнения команды
—31 00 а± а2
произойдет передача управления команде в ячейке и запись
в ячейку а2 команды
а2 —30 00 k+1 0000.
Таким образом, после исполнения всех команд подпрограммы,
последняя команда, находящаяся в ячейке а2, осуществляет воз-
врат к ячейке k + 1 основной программы.
С помощью подпрограмм производится перевод чисел из
десятичной системы счисления в двоичную и обратно, вычисле-
ние элементарных функций и другие действия.
Команда с кодом операции —32 производит условную пере-
дачу управления. Если результат предыдущей команды R > 0,
то происходит передача управления по первому адресу, в про-
тивном случае (/?<0) управление передается по второму адресу.
Команда с кодом операции 4-70 осуществляет поразрядное
(отдельно в каждом двоичном разряде) логическое умножение
кодов, содержащихся в ячейках а2 и а\ и запись результата в
ячейку а2 и в сумматор. В операции участвуют все 37 разрядов,
включая знаковый.
Логическое умножение кодов осуществляется согласно таб-
лице
ОДО-О
1 А0 = 0
ОД 1 -0
1 А 1 = 1
355
Пусть, например, до исполнения команды, в ячейках содержа-
лись коды (в восьмеричной системе счисления см. рис. 20.6)
5032 +0000 7777 0000
5021 +0000 5541 5551
После исполнения команды
5103 +70 00 5032 5021
в ячейке 5021 и в сумматоре будет
5021 +0000 5541 0000
Команда с кодом операции +74 осуществляет поразрядное
логическое сложение. В операции участвуют все 37 разрядов
Таблица логического сложения имеет вид:
0 \/ 0 --- 0
0'1-1
1/0=1
1 V 1 = 1
Пусть до исполнения команды в ячейках содержались коды
(в восьмеричной системе):
5047 —10 00 0000 5001
5021 +00 00 5541 0000
После исполнения команды
5104 +74 00 5047 5021
в ячейке 5021 и в сумматоре будет
5021 —10 00 5541 5001
Команды с кодами операций +70 и +74 применяются в ос-
новном для формирования команд и для изменения их адресов.
Ячейки в оперативной памяти машины с адресами от 0001
по 0017 включительно могут использоваться как индексные.
В эти ячейки могут быть записаны специальные коды, которые
позволяют изменять адреса в процессе выполнения любой
команды.
Если индекс-адрес команды не равен нулю, то перед испол-
нением команды ее адресная часть (последние 24 разряда) скла-
дывается с содержимым адресной части соответствующей ин-
декс-ячейки, и только после этого команда исполняется.
Пусть, например, в ячейке 0003 содержится код
0003 +0012 0001 0002,
тогда команда
1021 +14 03 + 121 0235
356
перед исполнением преобразуется к виду
+ 14 00 0122 0237
и после этого исполняется. Преобразование команды происхо-
дит в специальных регистрах, а в оперативной памяти команда
остается в прежнем виде
1021 +14 03 0121 0235.
Для образования циклов служит команда с кодом опера-
ции —20.
Циклом называется группа команд, составленная таким об-
разом, что после исполнения последней команды этой группы
управление передается опять первой команде. Выход из цикла
осуществляется при исполнении определенного условия.
По команде
—20 I ах а2
(где i может принимать значения от 01 до 17) производятся сле-
дующие действия.
К адресной части содержимого индексной ячейки i прибавля-
ется содержимое адресной части ячейки а2, из содержимого
старших 13 разрядов индексной ячейки вычитается единица (эти
13 разрядов рассматриваются как целое двоичное число), если
результат вычитания оказывается большим или равным нулю,
то происходит передача управления по первому адресу, если ре-
зультат меньше нуля, то происходит переход к следующей
команде.
По команде —60 00 0400 а2 происходит печать в десятичной
системе счисления из ячейки а2. Число, находящееся в ячейке а2,
должно быть предварительно переведено в десятичную сие гему
счисления с помощью стандартной подпрограммы.
По команде —60 00 1400 а2 происходит печать в восьмерич-
ной системе счисления из ячейки а2. Число в ячейке а2 находит-
ся в двоичной системе и печатается в восьмеричной системе не-
посредственно по команде.
Команда +00 00 0000 0000 не производит никаких действий и
может служить в качестве пробела в программе.
Команда —00 00 0000 0000 останавливает машину.
На электронной вычислительной машине «Минск-2» можно
работать вводя исходные числа и получая результаты в восьме-
ричной системе счисления, по тогда необходимо вручную произ-
водить перевод чисел из десятичной системы счисления в вось-
меричную и обратно.
Чтобы этого не делать, составлены специальные стандартные
подпрограммы (СП). Стандартная подпрограмма для перевода
чисел из десятичной системы счисления в двоичную (СП 10—2)
занимает ячейки с 7000 по 7036 включительно, а стандартная
подпрограмма для перевода из двоичной системы в десятичную
23—1284
357
(СП 2—10)—ячейки с 7037 по 7105. Перед выполнением СП
исходное число должно быть записано в ячейку 0040, а резуль-
тат получается в ячейке 0041. Кроме того, в процессе работы СП
используются ячейки 0001, 0017, 0042, 0043, 0044, 0045.
Обращение к СП 10—2 осуществляется двумя командами:
/г—1 —Ю 00 а, 0040
k	—31 00 7000 0017,
причем исходное число в двоично-десятичной записи должно
быть в ячейке с адресом сц, а результат (то же число, переведен-
ное в двоичную систему счисления в нормализованной форме с
плавающей запятой) получится в ячейке 0041.
Обращение к СП 2—10 осуществляется двумя командами:
Л— 1 —10 00	0040
k —31 00 7037 0017
Здесь также исходное число в двоично!! системе счисления в нор-
мализованной форме с плавающей занятой находится в ячейке
с адресом яр, а результат получаемся в ячейке 0041. Стандарт-
ные подпрограммы по переводу чисел из двоичной системы в
десятичную л обратно обычно прилагаются к описанию машины
и здесь не приводя'!ся.
Для действий с матрицам!! также могут быть составлены
стандартные подпрограммы.
Будем располагать sac менты матриц в заноминчюше я уст-
ройстве машины следующим образом. В первой ячейке участ-
ка памяти, отведенного для данной шыр мил, записываем число
/и, равное числу строк матрицы, ею второ;’! ячейке -- число столб-
цов матрицы /z, дальше по порядку записываются все элементы
первой строки, затем второй и т д. до последнего элемента по-
следней строки.
Например, матрица
а ~~ j6711 6212 2'13 I
I С1। Q fy 2	^23 |
записывается так:
k 2
6-М 3
&+2 ап
^4-4 а13
Л+5 а21
&4~6 <222
k-^7 а23
358
Все числа, включая /пип, записываются по двоичной систе-
ме счисления в виде нормализованных чисел с плавающей за-
пятой. Матрицы могут быть расположены в любых свободных
ячейках памяти машины.
Систему стандартных подпрограмм по действиям с матрица-
ми располагаем в ячейках с 5025 по 5430, кроме того, под рабо-
чие ячейки занимаем ячейки с адресами от 5000 до 5024.
Обращение к СП сложения матриц записывается четырьмя
командами:
k	—30	00	k+2	0000
&+ 1	+00	00	т1	т2
k+2	—10	00	£+1	5000
А>+3	—31	00	5055	0017
В ячейке Л+1 содержится информация о месте расположения
двух суммируемых матриц.
т1—адрес первой ячейки, содержащей информацию о числе
строк первой матрицы;
т2 — адрес первой ячейки второй матрицы.
Результат получается в тех же ячейках, где до сложения поме-
щалась вторая матрица. В случае если число строк и число
столбцов двух суммируемых матриц не равны между собой
(матрицы пс одинакового типа), в СП предусмотрен останов.
Обращение к СП вычитания матриц имеет вид:
k	—30	00	k+2	0000
&+1	+00	00	/7?!	/и2
k+2	—10	00	АН-1	5000
k+3	—31	00	5063	0017
Адресом матрицы условимся называть адрес се первой ячей-
ки т. При вычигании матриц из матрицы по адресу пг2 вычита-
ется матрица по адресу и результат записывается по адресу
т2. Если матрицы не одинакового типа, то предусмотрен
останов.
Обращение к СП перемещения матрицы имеет вид:
k	—30 00 fc+2 0000
&+1	4-00 00 т1 т2
Н-2	—10 00 &4-1 5000
k+3	—31 00 5071 0017
Здесь матрица, расположенная по адресу перемещается в
другое место запоминающего устройства машины по адресу т2.
23*	359
Транспонирование матрицы осуществляется следующими
четырьмя командами через СП транспонирования матрицы:
k	—30	00	*4-2	0000
*4-1	4-00	00	т1	т2
*4-2	—10	00	*4-1	5000
k+3	—31	00	5077	0017
Здесь т1~ адрес транспонируемой матрицы;
/п2—адрес, по которому записывается матрица после
транспонирования, причем
Перемножение матриц осуществляется с помощью обраще-
ния к СП, состоящего из четырех команд
k	—30	00	k+2	0000
*4-1	4-00	00	т1	т2
k+2	—10	00	*4-1	5000
*4-3	—31	00	5101	0017
Здесь /Их— адрес матрицы — множимого;
т2— адрес матрицы — множителя.
Результат получается по адресу гиг. Для работы СП пере-
множения матриц необходимы рабочие ячейки начиная с 5513,
куда на время работы СП перемещается матрица из т2, кроме
того, нужно соблюдать условия
/Fij =/= 5513 и zHj
Рассмотренная система стандартных подпрограмм позволяет
работать с матрицами, имеющими в принципе сколь угодно мно-
го элементов, однако на практике число элементов матриц огра-
ничено имеющимся в оперативном запоминающем устройст-
ве машины количеством свободных ячеек.
Для обращения матриц существуют специальные стандарт-
ные подпрограммы, однако мы здесь рассмотрим только про-
стейшую СП, позволяющую обращать способом Гаусса симмет-
ричную матрицу третьего порядка. Перед обращением матрица
перемещается по адресу 5513, затем с помощью команды
—31 00 5432 0017
обращаем матрицу через СП. Результат получается по адресу
5513.
Ниже приводится система стандартных подпрограмм по дей-
ствиям с	матрицами:
5025	+14 00 0000 0000	5031 +11 00 0000 0000
5026	+24 00 0000 0000	5032 +00 00 7777 0000
5027	+34 00 0000 0000	5033 +00 00 0000 7777
5030	— 10 00 0000 0000	5034 +00 00 0001 0000
360
5035	+ 00 00	0000	0001	5115	-10 00	5021	5116
5036	+ 00 00	0001	0001	5116	+ 00 00	0000	0000
5037	+40 00	0000	0001	5117	+ 12 00	0000	5003
5040	+ 63 14	6314	6103	5120	+ 10 00	5035	5021
5041	+ 00 00	0000	0177	5121	-10 00	5021	5122
5042	+ 10 00	5036	5024	5122	+ 00 00	0000	0000
5043	+ 14 00	5037	5005	5123	+ 12 00	0000	5004
5044	-30 00	5146	0000	5124	-10 00	5001	5005
5045	-30 00	5165	0000	5125	+ 34 00	5002	5005
5046	-30 00	5252	0000	5126	+ 14 00	5040	5005
5047	-10 00	0000	5001	5127	-10 00	5037	5011
5050	+ 10 00	5036	5152	5130	+ 00 00	0000	0000
5051	+ 20 00	5036	5152	5131	+00 00	0000	0000
5052	-77 77	0000	7777	5132	-10 00	5003	5021
5053	-10 00	5023	оооо	5133	+ 24 00	5001	5021
5054	+ 12 00	0000	5515	5134	-12 00	5021	5022
5055	— 10 00	5025	5024	5135	+ 24 00	5040	5022
5056	-10 00	5042	5147	5136	-32 00	5137	5140
5057	-10 00	5042	5150	5137	-00 00	0000	0000
5060	-10 00	5050	5157	5140	-10 00	5004	5021
5061	-10 00	5130	5131	5141	+ 24 00	5002	5021
5062	-30 00	5102	0000	5142	-12 00	5021	5022
5063	-10 00	5026	5024	5143	+24 00	5040	5022
5064	-10 00	5042	5147	5144	-32 00	5145	5146
5065	-10 00	5042	5150	5145	-00 00	0000	0000
5066	-10 00	5050	5157	5146	+ 74 00	5000	5024
5067	-10 00	5130	5131	5147	+ 00 00	0000	0000
5070	-30 00	5102	0000	5150	+ 00 00	0000	0000
5071	-10 00	5030	5024	5151	-10 00	5024	5152
5072	-10 00	5043	5147	5152	+00 00	0000	0000
5073	- 10 00	5043	5150	5153	+ 14 00	5037	5011
5074	-10 00	5051	5157	5154	-10 00	5011	5021
5075	- 10 00	5044	5131	5155	+ 24 00	5005	5021
5076	-30 00	5102	0000	5156	—32 00	5161	5157
5077	- 10 00	5045	5131	5157	+ 00 00	0000	0000
5100	-30 00	5102	0000	5160	-30 00	5152	0000
5101	-10 00	5046	5131	5161	-30 00	0017	0000
5102	- 10 00	5000	5021	5162	+ 00 00	0000	0000
5103	+ 70 00	5032	5021	5163	+ 00 00	0000	0000
5104	+ 74 00	5047	5021	5164	+ 00 00	0000	0000
5105	- 10 00	5021	5106	5165	-10 00	5001	5006
5106	+ 00 00	0000	0000	5166	+ 24 00	5040	5006
5107	+ 20 00	5036	5021	5167	-10 00	5002	5007
5110	-10 00	5021	5111	5170	+ 24 00	5040	5007
5111	+ 00 00	0000	0000	5171	-10 00	5037	5012
5112	- 10 00	5000	5021	5172	-10 00	5034	5024
5113	+ 70 00	5033	5021	5173	-10 00	5007	5021
5114	+ 74 00	5031	5021	5174	+24 00	5012	5021
361
5175	-32	00	5176	5201	5255	+ 10	00	5035	5024
5176	+ 14	00	5037	5012	5256	+ 74	00	5053	5024
5177	+ 10	00	5034	5024	5257	-10	00	5024	5377
5200	-30	00	5173	0000	5260	-10	00	5001	5006
5201	-10	00	5000	5021	5261	+ 24	00	5040	5006
5202	+ 10	00	5035	5021	5262	-10	00	5002	5007
5203	-10	00	5030	5205	5263	+ 24	00	5040	5007
5204	+ 74	00	5021	5205	5264	-10	00	5004	5010
5205	+ 00	00	0000	0000	5265	+ 24	00	5040	5010
5206	— 10	00	5000	5021	5266	-10	00	5037	5011
5207	+ 10	00	5034	5021	5267	-10	00	5034	5017
5210	-10	00	5030	5212	5270	-10	00	5007	5021
5211	+ 74	00	5021	5212	5271	+ 24	00	5011	5021
5212	+ 00	00	0000	0000	5272	-32	00	5273	5276
5213	-10	00	5000	5021	5273	+ 14	00	5037	5011
5214	+ 10	00	5036	5021	5274	+ 10	00	5034	5017
5215	+ 10	00	5036	5021	5275	-30	00	5270	0000
5216	-10	00	5030	5225	5276	-10	00	5037	5011
5217	+ 74	00	5021	5225	5277	-10	00	5034	5020
5220	-10	00	5037	5013	5300	-10	00	5010	5021
5221	-10	00	5037	5014	5301	+ 24	00	5011	5021
5222	+ 70	00	5032	5021	5302	-32	00	5303	5306
5223	-10	00	5021	5015	5303	+ 14	00	5037	5011
5224	+ 10	00	5034	5015	5304	+ 10	00	5034	5020
5225	+ 00	00	0000	0000	5305	-30	00	5300	0000
5226	-10	00	5006	5021	5306	-10	00	5003	5005
5227	+ 24	00	5013	5021	5307	-j- 34	00	5004	5005
5230	-32	00	5231	5235	5310	+ 24	00	5040	5005
5231	+ 14	00	5037	5013	5311	-10	00	5000	5320
5232	+ 20	00	5035	5225	5312	+ 70	00	5033	5320
5233	+ 20	00	5024	5225	5313	+ 10	00	5035	5320
5234	-30	00	5225	0000	5314	+ 10	00	5035	5320
5235	-10	00	5007	5022	5315	+ 74	00	5031	5320
5236	+ 24	00	5014	5022	5316	-10	00	5054	5321
5237	-32	00	5240	5247	5317	-10	00	5037	5011
5240	-10	00	5037	5013	5320	+ 00	00	0000	0000
5241	+ 14	00	5037	5014	5321	+ 00	00	0000	0000
5242	+ 70	00	5052	5225	5322	-10	00	5005	5021
5243	+ 20	00	5035	5225	5323	+ 24	00	5011	5021
5244	+ 20	00	5015	5225	5324	-32	00	5325	5331
5245	+ 10	00	5034	5015	5325	+ 14	00	5037	5011
5246	-30	00	5225	0000	5326	+ 10	00	5035	5320
5247	-30	00	0017	0000	5327	+ 10	00	5035	5321
5250	+ 00	00	0000	0000	5330	-30	00	5320	0000
5251	+ 00	00	0000	0000	5331	-10	00	5030	5333
5252	-10	00	5000	5024	5332	+ 20	00	5000	5333
5253	+ 70	00	5033	5024	5333	+ 00	00	0000	0000
5254	+ 10	00	5035	5024	5334	-10	00	5002	5021
362
5335	+ 24	00	5003	5021	5415	-32	00	5416	5427
5336	-12	00	5021	5022	5416	+20	00	5017	5015
5337	+ 24	00	5040	5022	5417	-10	00	5015	5365
5340	-32	00	5341	5342	5420	-10	00	5347	5366
5341	-00	00	0000	0000	5421	-10	00	5347	5016
5342	-10	00	5000	5015	5422	-10	00	5037	5013
5343	+ 70	00	5032	5015	5423	-10	00	5037	5012
5344	+ 10	00	5034	5015	5424	+ 14	00	5037	5014
5345	+ 10	00	5034	5015	5425	+ 20	00	5035	5377
5346	-30	00	5350	0000	5426	-30	00	5365	0000
5347	+ 34	00	5515	5022	5427	-30	00	0017	0000
5350	-10	00	5347	5016	5430	+ 00	00	0000	0000
5351	-10	00	5037	5013	5431	+ 60	00	0000	0002
5352	-10	00	5037	5012	5432	-11	00	5516	5526
5353	-10	00	5037	5014	5433	+ 44	00	5515	5526
5354	-10	00	5041	5023	5434	-11	00	5517	5527
5355	-30	00	5357	0000	5435	+ 44	00	5515	5527
5356	+ 00	00	0000	5022	5436	-10	00	5517	5530
5357	-10	00	5356	5021	5437	+ 34	00	5526	5516
5360	+ 74	00	5015	5021	5440	+ 14	00	5516	5521
5361	-10	00	5030	5015	5441	+ 34	00	5526	5530
5362	+ 20	00	5021	5015	5442	+ 14	00	5530	5522
5363	-10	00	5016	5366	5443	-11	00	5522	5530
5364	-10	00	5015	5365	5444	+ 44	00	5521	5530
5365	+ 00	00	0000	0000	5445	+ 34	00	5527	5517
5366	+ 00	00	0000	0000	5446	+ 34	00	5530	5522
5367	+ 14	00	5022	5023	5447	+ 14	00	5525	5522
5370	-10	00	5007	5021	5450	+ 14	00	5517	5522
5371	+ 24	00	5013	5021	5451	-10	00	5037	5525
5372	-32	00	5373	5377	5452	+ 44	00	5522	5525
5373	+ 20	00	5034	5365	5453	-10	00	5525	5522
5374	+ 10	00	5020	5366	5454	+ 34	00	5530	5522
5375	+ 14	00	5037	5013	5455	-10	00	5522	5524
5376	-30	00	5365	0000	5456	-10	00	5525	5517
5377	+ 00	00	0000	0000	5457	+ 34	00	5527	5517
5400	-10	00	5041	5023	5460	-10	00	5522	5523
5401	-10	00	5010	5021	5461	+ 34	00	5526	5523
5402	+ 24	00	5012	5021	5462	+ 14	00	5523	5517
5403	-32	00	5404	5413	5463	-10	00	5517	5523
5404	-10	00	5015	5365	5464	-10	00	5037	5520
5405	+ 10	00	5034	5016	5465	+ 44	00	5521	5520
5406	-10	00	5016	5366	5466	-10	00	5522	5521
5407	-10	00	5037	5013	5467	+ 34	00	5530	5521
5410	+ 14	00	5037	5012	5470	+ 14	00	5520	5521
5411	+ 20	00	5035	5377	5471	-10	00	5522	5516
5412	-30	00	5365	0000	5472	+ 34	00	5527	5516
5413	-10	00	5006	5021	5473	-10	00	5521	5520
5414	+ 24	00	5014	5021	5474	+ 34	00	5526	5520
363
5475	+ 14	00	5520	5516	5504	- 10	00	5516	5530
5476	-10	00	5516	5520	5505	+ 34	00	5526	5530
5477	-10	00	5037	5530	5506	+ 14	00	5530	5515
5500	+ 44	00	5515	5530	5507	- 10	00	5431	5513
5501	-10	00	5517	5515	5510	- 10	00	5431	5514
5502	+ 34	00	5527	5515	5511	-30	00	0017	0000
5503	+ 14	00	5530	5515	5512	+ 00	00	0000	0000
В этой системе СП в ячейках с 5025 по 5054 содержатся чис-
ла, записанные в форме команд и заготовки для формирования
различных команд. Система СП содержит следующие основные
части:
5055—5062 — входные команды СП сложения матриц;
5063—5070 — входные команды СП вычитания матриц;
5071—5076 — входные команды СП перемещения матрицы,
5077—5100 — входные команды СП транспонирования матрицы;
5101 — входная команда перемножения матриц;
5102—5131 —общие блоки;
5132—5161—СП сложения, вычитания и перемещения матриц;
5165—5247 — СП транспонирования матрицы;
5252—5427 — СП перемножения матриц;
5431 — число 3;
5432—5511 —СП обращения матрицы третьего порядка.
Читателю книги, который интересуется деталями стандартных
подпрограмм по действиям с матрицами рекомендуется выб-
рать какие-нибудь простые примеры и на бумаге произвести все
действия, которые производит по СП вычислительная машина.
Однако для практической работы знание деталей устройства си-
стемы стандартных подпрограмм необязательно, нужно только
хорошо усвоить систему обращения к ним.
Рассмотрим пример на сложение матриц.
Пример 20.1. Требуется сложить матрицы а и Ь, применяя
систему СП по действиям с матрицами:
1 2 3
2 3 1
112 1
0 2 2 Г
очевидно, что
Пусть /72} = 5531 а т2 —5541.
Содержимое ячеек запоминающего устройства машины до
сложения (в восьмеричной системе) представляется так:
5531	+ 40	00	0000	0002	5536	+ 40	00	0000	0002
5532	+ 60	00	0000	0002	5537	+ 60	00	0000	0002
5533	+ 40	00	0000	0001	5540	+ 40	00	0000	0001
5534	+ 40	00	0000	0002	5541	+ 40	00	0000	0002
5535	+ 60	00	0000	0002	5542	+ 60	00	0000	0002
364
5543 5544 5545	+ 40 00 0000 0001 + 40 00 0000 0001			5546 5547 5550	+ 00 00 0000 + 40 00 0000			0177 0002 0002
	+ 40	00 0000	0002		+ 40	00	0000	
Пишем обращение			к системе СП					
5600	-30	00 5602	0000	5602	— 10	00	5601	5000
5601	+ 00	00 5531	5541	5603	-31	00	5055	0017
После	выполнения этих команд в			ячейках, начин			ая с	5541
явятся	числа:							
5541	+ 40	00 0000	0002	5545	+ 50	00	0000	0003
5542	+ 60	00 0000	0002	5546	+ 40	00	0000	0002
5543	+ 40	00 0000	0002	5547	+ 50	00	0000	0003
5544	+ 60	00 0000	0002	5550	+ 60	00	0000	0002
Пример 20.2. Дача статически неопределимая рама (рис.
20.8). Размеры рамы и моменты инерции ее участков определя-
ются величинами 1\, 1%, Л, /2, h- Нагрузка задается величина-
ми Р\, Р2, ^|, «2- На участках рамы 1-2, 2-5 и 5-6 моменты инер-
ции поперечных сечений постоянные. Модуль упругости для всех
элементов рамы одинаковый.
Требуется составить программу для вычисления изгибающих
моментов в точках /, 2, 3, 4,5,6 и решить ряд числовых приме-
ров на электронной вычислительной машине «Минск-2е
Решение
Основную систему принимаем по рис. 20.9, а. Единичные эпю-
ры изгибающих моментов построены на рис. 20.9,6—е
Составляем матрицу влияния:
Шц
0
0
0
0
0	0	0	0
т22	0	0	0
т32	т33	т34	'ПЗЬ
'”.12	т43	т44	т43
0		0	0
шв2	т33	0	0
Здесь
mu - 1;
Z3
61 Л ’
^22 — 1 1
365
366
^62--------7~',
*1
тзз —
т —	+ а2 .
ЛП43-----------,
*2
'«5з= 1;
твз = 1;
т —	01 .
гл34 _	?
*2
w ____ (^2 — Ql — а2) 01
ТП44 — ----------------э
/2
т ____ (^2—Я1—02)01.
^35 “ -----------------
/2
_	_ (al + ^2) (I2 —	—^2)
Ш45 — ------------------•
Составляем матрицу неизвестных и матрицу нагрузок:
по
НаходихМ матрицы податливостей
эпюрах изгибающих моментов:
А = 1 II 2^z
‘	6£J0 X,
участкам при линейных
где
%, = ^°.
Принимаем /0= 1, Е = 1, тогда:
%! = Л . х2 = £1
т	А
1
6
. Л _ «2 .
, Л3 — —,
J2
; Х4

А3
2
6
•^5
6
2%х
А.х
2Х3
А.3
2Х5
h
Хх
21х ’
18 |
2%3| ’
^5 I
218 Г
А2
А
21,
/2 -- Qi — а2
£
6
_ 1
4 ” 6
J2
2Х2
Х2
2Х4

Ха I_
2Х2 Г
М-
2%4 Г
367
Матрица податливости для всей рамы имеет вид						
	fll	/12	0	0	0	0	
	/21	/ 22 /2З 0		0	0	
А =	0 0	/ 32 /зз /з4 0 /43 /44		0 /45	0 0	t
	0	0 0	/54	/55	/и	
	0	0 0	> 0	/б5	/ee	
где						
f — — • /п - 3 .	f 12;	= /21 =	6 ’	/22 ~	- —	~f~ ^2. 3	’
f 		f	A-2	f 		^2 4~	Л3	
/23 —	/32	“ 6 ’	/33	3	*	
f 		f	— Al	f 		w	^4.	
/34 —	/43	~ 6 ’	/44 —	3		
/45 —	/54 :	— ” 6 *	/55 “	^4 4~ 3	^5.	
f _ f ____ ^5	£	__ ^5
/56	/65--।	/66 “ "V •
и	о
Решение задачи найдем по формулам (19.67 и 19.66)
Мр = М°р -М(М'А- М)~' (М'-А-Мр)_
Здесь
Мр— искомая матрица-столбец изгибающих моментов к
заданной системе;
М° = В Р,
М = ВХ\ __
М'—матрица, транспонированная от М.
Блок-схема программы расчета рамы изображена на
рис. 20.10.
Константы для рамы размещаем в ячейках 0400—0411 сле-
дующим образом:
0400	li	0405	J s
0401	/2	0406	Pi
0402	^3	0407	Рг
0403	J1	0410	Ol
0404		0411	Q2
Рабочие ячейки для программы расчета рамы размещаем
в ячейках 4000—4342. Матрицы располагаем в следующих ячей-
ках:
4000—4037	В	4124—4133	М°р
4040—4060	X	4134—4201	А
4061—4067	Р	4202—4225	М'
4100—4123 М
368
В ячейках 4070—4074 размещаем числа Xi—л5. Ячейки 4075—
4077 используем как рабочие для чисел. В двух группах ячеек
Блок-схема программы pacueia рамы
Перевод констант в двоичную
систему счисления. Засылка ну- 1
лей в рабочие ячейки
I
Сос1авление матрицы В	2
I
Составление матриц X и Р	3
| Вычисление матрицы М 4
I
Вычисление матрицы М'р | 5
Вычисление матрицы подами-
вости А	’
Вычисление ординат эпюры Мр
в заданной системе по формуле 7
Мр=М£~М(ЛГАМ)~ЧМ'АМ°>)
Перевод решения в десятичную
систему счисления. Печать ре- 8
шенпя
Рис. 20.10
4226—4273 и 4274—4342 могут быть расположены любые две
матрицы, таким образом, эти группы ячеек являются рабочими
для матриц.
Программу расчета рамы размещаем начиная с ячейки 0412.
Программа расчета рамы приводится ниже.
0412	+ 00	00	0000	0000	0417	+ 50	00	0000	0003
0413	+ 40	00	0000	0001	0420	+ 60	00	0000	0003
0414	+40	00	0000	0002	0421	+ 00	00	0000	0177
0415	+ 60	00	0000	0002	0422	+ 00	11	0000	0001
0416	+ 40	00	0000	0003					
369
0423
0424
0425
0426
0427
0430
0431
0432
0433
0434
0435
0436
0437
0440
0441
0442
0443
0444
0445
0446
0447
0450
0451
0452
0453
0454
0455
0456
0457
0460
0461
0462
0463
0464
0465
0466
0467
0470
0471
0472
0473
0474
0475
0476
0477
0500
0501
0502
370
+ 03	43	0000	0001	0503
-10	00	0422	0003 1	0504
+ 11	03	0000	0377	0505
+ 12	00	0000	0040	0506
-31	00	7000	0017	0507
-10	03	0041	0377	П£1 л
-20	03	0425	0422	vJ 1 V
-10	00	0423	0004	vu 1 1
-10	04	0421	3777	VU 1
-20	04	0433	0423	1 о
-10	00	0420	4000 2	0514
-10	00	0417	4001	0515
-10	00	0413	4002	0516
-10	00	0402	4033	лк] 7
+ 44	00	0400	4033	
-10	00	0413	4010	0520
-10	00	0401	4015	0521
+ 24	00	0410	4015	0599
+ 44	00	0401	4015	
-10	00	0401	4022	0523
+ 24	00	0410	4022	0524
+ 24	00	0411	4022	0595
+ 44	00	0401	4022	
-11	00	0402	4034	0526
+ 44	00	0400	4034	0527
-10	00	0410	4016	0590
+ 44	00	0401	4016	vOOv
-10	00	0410	4023	0531
+ 14	00	0411	4023	0532
+44	00	0401	4023	0533
-10	00	0413	4030	
-10	00	0413	4035	0534
-10	00	0401	4017	0535
+ 24	00	0410	4017	0536
+34	00	0410	4017	0537
+ 44	00	0401	4017	
-10	00	0401	4024	0540
+ 24	00	0410	4024	0541
+ 24	00	0411	4024	0542
+ 34	00	4016	4024	0543
-10	00	0401	4020	0544
+ 24	00	0410	4020	0545
+24	00	0411	4020	0546
+34	00	0410	4020	0547
+ 44	00	0401	4020	0550
-10	00	0410	4075	0551
+ 14	00	0411	4075	0552
-10	00	0401	4025	0553
+ 24 00 0410 4025 + 24 00 0411 4025 + 34 00 4075 4025 +44 00 0401 4025				
-10	00	0417 4040 3		
-10	00	0415	4041	
-10	00	0413	4042	
-10	00	0413	4046	
-10	00	0413	4052	
-10	00	0417	4061	
-10	00	0413	4062	
-10	00	0406	4066	p
-10	00	0407	4067	
-30	00	0522	0000	4
+ 00	00	4040	4100	
-10	00	0521	5000	X—4100
-31	00	5071	0017	
-30	00	0526	0000	
+ 00	00	4000	4100	
-10	00	0525	5000	£X->4100
-31	00	5101	0017	
-30	00	0532	0000	5
+ 00	00	4061	4124	
				p -4124
-10	00	0531	5000	
-31	00	5071	0017	
-30	00	0536	0000 i	
+ 00	00	4000	4124	
-10	00	0535	5000	В P
-31	00	5101	0017	
-10	00	0420	4134 (	
-10	00	0420	4135	
-10	00	0400	4070	
+ 44	00	0403	4070	
-10	00	0410	4071	
+ 44	00	0404	4071	
-10	00	0411	4072	
+ 44	00	0404	4072	
-10	00	0401	4073	
+24	00	0410	4073	
+ 24	00	0411	4073	
+44	00	0404	4073	
>54	-10	00	0402	4074		0631	-30	00	0633	0000	
'55	+ 44	00	0405	4074		0632	+00	00	4202	4226	
>56	-10	00	4070	4136		0633	-10	00	0632	5000	М'А-Мр
>57 >60	+44 -10	00 00	0415 4070	4136 4137		0634	-31	00	5101	0017	
>61	+44	00	0420	4137		0635	-30	00	0637	0000	
>62	-10	00	4137	4144		0636	+ 00	00	4100	4274	
>63	-10	00	4070	4145		0637	-10	00	0636	5000	
>64	+ 14	00	4071	4145		0640	-31	00	5071	0017	
>65	.+44	00	0415	4145		0641	-30	00	0643	0000	
>66	-10	00	4071	4146		0642	+ 00	00	4134	4274	
>67	+ 44	00	0420	4146		0643	-10	00	0642	5000	
570	-10	00	4146	4153		0644	-31	00	5101	0017	
571 572	-10 + 14	00 00	4071 4072	4154 4154		0645	-30	00	0647	0000	
573	+44	00	0415	4154		0646	+00	00	4202	4274	М'-АМ
574	-10	00	4072	4155		0647	-10	00	0646	5000	
575	+ 44	00	0420	4155		0650	-31	00	5101	0017	
576	-10	00	4155	4162		0651	-30	00	0653	0000	
577	-10	00	4072	4163		0652	+ 00	00	4274	5513	
600	+ 14	00	4073	4163		0653	-10	00	0652	5000	
601	+ 44	00	0415	4163		0654	-31	00	5071	0017	
602	-10	00	4073	4164							(М'-А-М]"'
603	+ 44	00	0420	4164		0655	-31	00	5432	0017	
604	-10	00	4164	4171		0656	-30	00	0660	0000	
605	-10	00	4073	4172		0657	+ 00	00	5513	4274	
606	+ 14	00	4074	4172		0660	-10	00	0657	5000	
607	+44	00	0415	4172		0661	-31	00	5071	0017	
610	-10	00	4074	4173		0662	-30	00	0664	0000	
611	+ 44	00	0420	4173		0663	+ 00	00	4274	4226	
612	-10	00	4173	4200		0664	-10	00	0663	5000	
613	-10	00	4074	4201		0665	-31	00	5101	0017	
614	+44	00	0415	4201		0666	-30	00	0670	0000	
'615	-30	00	0617	0000	7	0667	+ 00	00	4100	4226	
616	+ 00	00	4100	4202	М'	0670	-10	00	0667	5000	
>617	-10	00	0616	5000		0671	-31	00	5101	0017	
>620	-31	00	5077	0017		0672	-30	00	0674	0000 '	
						0673	+ 00	00	4226	4124	АЛ
•621	-30	00	0623	0000		0674	-10	00	0673	5000	/Ир
•622	+00	00	4124	4226	м°	0675	-31	00	5063	0017	
(623	-10	00	0622	5000							
1624	-31	00	5071	0017		0676 0677	-30 + 00	00 05	0700 0001	0000 0000	8
1625	-30	00	0627	0000		0700	-10	00	0677	0005	
1626	+00	00	4134	4226	А-М°р	0701	-10	05	4125	0040	
1627	-10	00	0626	5000		, 0702 0703	-31 -60	00 00	7037 0400	0017 0041	Печать JA.
)630	-31	00	5101	0017		0704	-20	05	0701	0677	►
371
0705 —00 00 0000 0000 Останов 0706 +00 00 0000 0000
Если работать без СП 10—2 и СП 2—10, то почти вся про-
грамма остается прежней, только небольшая се часть в конце
изменяется:
0677	+00	05	0000	0001
0700	-10	00	0677	0005
0701	-60	05	1400	4125
0702 -20 05 0701 0677
0703 -00 00 0000 0000
Таким образом, в оперативной памяти машины программы
и числа разместились следующим образом:
0000 — нуль;
0001—0017 — индексные ячейки,
0040 — аргумент СП;
0041 — результат СП;
0042—0045 — рабочие ячейки СП,
0400—0411 —константы программы расчета рамы,
0412—0706 — программа расчета рамы;
4000—4342 — рабочие ячейки программы расчета рамы;
5000—5024 — рабочие ячейки системы СП по действиям с
матрицахли;
5025—5512 — программа и константы СП по действиям с мат-
рицами;
5513—5560 — рабочие ячейки СП по действиям с матрицами,
7000—7105 — СП 10—2 и СП 2—10.
Программы расчета рамы 0412—0706, СП по действиям с
матрицами 5025—5512, СП 10—2 и СП 2-—10 7000—7105, а так-
же константы 0400—0411 с помощью перфоратора переносятся
на перфоленту в виде пробивок.
07 00^100006770005.-Ю05Ч1250040.-310070370017.-600004000041.
440004004033.
0400)-300000001.
Рис. 20 Н
Внешний вид небольших участков перфоленты дан на рис
20.11. Перфолента должна быть тщательно проверена, а затем
установлена в устройство ввода с перфоленты электронной вы-
числительной машины «Минск-2».
Нажатием кнопки на пульте управления машины содержи-
мое перфоленты вводится в оперативное запоминающее устрой-
372
ство машины. Затем на пульте набирается начальный адрес
пускаемой программы расчета рамы 0424, нажатием кнопки он
заносится в счетчик адресов команд и нажатием клавиши «Ав-
томат» и кнопки «Пуск» машина включается на автоматический
режим выполнения программы. Машина автоматически вычис-
ляет все необходимые матрицы и печатает результат.
Если программу нужно пускать во второй раз при тех же
константах, то начальный адрес должен быть нс 0424, а 0432,
так как во второй раз переводить числа из десятичной системы
Рис. 20.12
счисления в двоичную не нужно и даже ошибочно. При работе
без СП 10—2, СП 2—10 нужно в ячейки 0400—0411 вводить
константы в восьмеричной системе, а пуск программы делать с
начального адреса 0432.
Для начальных данных /1=4 ж, /2 = 6 м, /З = 3 м. /1 = 2, /2 = 4,
/з=1, /\ = 1 т, Р2=1 т, П1=2 м, а2 = <2 м машина печатает сле-
дующие результаты:
4-4210526+00	+1298245 + 01
- 8421052 + 00	—6315789 + 00
+1228070+01	+3157894 + 00
Эпюра изгибающих моментов в раме, построенная по ма-
шинному решению, дана на рис. 20.12 (см. также рис. 19.11).
В табл. 20.3 даны другие решения, полученные на машине
Для исходных данных Л=3 м, 12 = 6 м, = 2 м, /1 = 3, /2=1,
/з = 2, Pi = l т, Р2=2 т, «1 = 1,5 Л£, «2 = 2 ж, константы в восьме-
ричной системе и результат, печатаемый машиной, имеют вид:
0400	+ 60 00 0000 0002	0404	+ 40 00 0000 0001
0401	+ 60 00 0000 0003	0405	+ 40 00 0000 0002
0402	+40 00 0000 0002	0406	+ 40 00 0000 0001
0403	+ 60 00 0000 0002	0407	+ 40 00 0000 0002
24—1284
373
0410 +60 00 0000 0001 +704156562101
0411 +40 00 0000 0002 +666147550001
+ 501150617001 - 663271213401
- 401316525402 + 747725702101
Таблица 20.3
№ варианта	1	2	3	4
/1, М /2, М l-i, м /1 I 2 7 з Ръ т Р2, Т ai, м а<>, м Мг м2 м. мл м5 MG	3 6 2 3 1 2 1 2 1,5 2 + 12547054-01 —2010965+01 4416174+00 + 1711728+01 — 1700632+01 +4764821+00	6 6 2 3 1 2 1,5 2 + 1169199+ 01 —1909042+01 +5575264+00 + 1846284+01 —1542767+01 —5166874+00	6 6 2 1 1 2 1 2 1,5 2 +7753886+00 — 1350144+01 +9433570+00 +2001358+01 —1676138+01 —9676279+00	6 6 6 1 1 2 1 2 1 ,5 2 +7898065+00 — 1378100+01 +9465215+00 +2046017+01 — 1579613+01 +5882936+00
№ варианта	5	G	7	в
/г, м /2, м 1-1, М к 12 /з Рь т Р2, т С1г, м а2. м М2 м3 м, м5 мв	6 6 6 1 1 1 1 9 1 ,5 2 +6681547+00 -1352678+01 + 1025049+01 +2195353+01 — 1341765+01 +6790674+00	6 6 6 1 1 1 1 2 2 2 +6984126+00 —1301587+01 + 1343915+01 + 1989418+01 — 1365079+01 +6349206+00	6 6 6 1 1 2 2 2 2 +8888888+00 — 1777777+01 +2222222 4-01 -{-2222222+01 — 1777777+01 +8888888+00	4 6 3 2 4 1 1 о 2 2 + 6505452+00 —1236225+01 + 1521647+01 +2279521+01 —9626047+00 +4524735+00
В заключение отметим, что рассмотренная здесь учебная за-
дача является довольно простой и не типична для расчета на
электронных вычислительных машинах, однако принципы, поло-
женные в основу приведенной здесь программы (стандартные
подпрограммы, матрицы), широко применяются при решении
задач строительной механики.
374
Глава 21
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СИСТЕМ
ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
Основные особенности расчета по деформированному состоя-
нию заключаются в том, что определение внутренних сил про-
изводится с учетом изменения под действием нагрузки схемы
системы, при этом нарушается линейная зависимость между
силами и перемещениями и принцип независимости дейст-
вия сил уже не применим. При расчете по деформированно-
му состоянию большинство задач становится статически неопре-
делимым.
Нелинейность между нагрузками и перемещениями (геомет-
рическая нелинейность) вызывает при расчете значительные ос-
ложнения. Точное решение таких задач, требующее установле-
ния зависимости между нагрузками и перемещениями, даже при
расчете сравнительно простых систем в замкнутом виде не про-
сто и часто требует применения специального математическо-
го аппарата. Расчет по деформированному состоянию может
осуществляться и методом последовательных приближений. По-
рядок такого расчета следующий:
1)	по недеформированному состоянию проводится обычный
расчет и определяются М, N, Q, по которым определяется де-
формированное состояние первого приближения;
2)	по деформированному состоянию первого приближения
находятся внутренние силы первого приближения М\, Afb Qi и
вычисляются их приращения AA4j =Afi—М и т. д.;
3)	недеформированная система рассчитывается на прираще-
ние внутренних сил АА4Ь A2Vb AQi, и устанавливается деформи-
рованное состояние второго приближения (для ускорения сходи-
мости процесса приближения иногда целесообразно, хотя это и
сложнее, рассматривать деформированное состояние первого
приближения и по нему получить деформированное состояние
второго приближения);
4)	по деформированному состоянию второго приближения
находятся внутренние силы второго приближения и их прира-
щения; аналогично пп. 3 и 4 проводятся последующие прибли-
жения; для многих сооружений (пологие арки, висячие системы
и т. д.) расчет по деформированной схеме необходим, так как
позволяет произвести определение внутренних сил и напряже-
ний с большой точностью и тем самым обеспечить надежность
сооружения без излишнего расхода материала. Приводимый ни-
же пример расчета арки по деформированному состоянию ил-
люстрирует применение метода последовательных приближений
и дает возможность оценить для частных задач разницу в вели-
чинах внутренних сил и напряжений при расчете их по недефор-
мированному и деформированному состоянию.
24*
375
Пример 21.1. Требуется произвести поверочный расчет (он
ределить М, N и сг) двухшарнирной арки, изображенной нг
рис. 21.1, а. по деформированному состоянию (распределенная
нагрузка q — A т/м). Ось арки очерчена по квадратной параболе
/ = 96 м, f = 9,6 м. Площади поперечного сечения и моменты инер-
ции по длине арки меняются по закону: F = FC cos а и J = JC cos о.
высота сечения в ключе 1,2 м, отношение — = — (при выраже-
Fc 20 н н
нии Fr в м2 и Jc в л<4) Jс = 0,026 м\ Е==2У \ • 107 т/м2
Рис. 21.1
376
Решение
Заданная двухшарнирная арка при расчете ее по недеформи-
рованному состоянию по методу сил имеет степень статической
неопределимости, равную единице. Поскольку первым этапом
расчета по деформированному состоянию при решении задачи
методом последовательных приближений является обычный рас-
чет по недеформированной схеме, применяем основную систему,
в которой за неизвестное берем распор арки. (рис. 21.1,в). Ка-
ноническое уравнение метода сил будет иметь вид:
= О*
Определение коэффициентов канонического уравнения произ-
водится по формулам перемещений с учетом изгибающего мо-
мента и продольных сил:
6 х, = у f ds + у f &L ds в у f	+
.4jJ EJ ZjJ EF Z.J EJC cos’a
! у f
XJJ E ccos1a’
EJ	EF 2jJ EJGcos»a +
, Vf W'dz
‘’ZjJ EFecos»a-
Вычисление интегралов, входящих в формулы перемещений,
может быть осуществлено по формуле Симпсона, если известны
значения моментов и продольных сил в отдельных точках оси
арки. При четном числе участков формула Симпсона имеет вид:
Jr|dz = • -£- [По + 4 (ъ + т)з + • • + т],,-,) +
+ 2 (t]2 + Ч-----Ь п„_2) + HeJ.
Где n=S*-^-.
В cos a
В нашем случае S# — внутренние Силы Mi или Nr,
$т — внутренние силы МР или NP,
(М или N)
В — жесткость EJ или EF (EJ—Etc cos а, а
EF = EFO cos a;
rt — угол наклона касательной к оси арки.
Для определения внутренних сил необходимо вычислить ко-
ординаты точек оси арки, значения sin: а и cos а. Для этой цели
377
разбиваем арку на части, горизонтальные проекции которы
d = 8 м (рис. 21.1,6).
Уравнение оси арки, очерченной по квадратной параболе npi
расположении начала координат на левой опоре, имеет вид:
У = -у(/ —2)г,
а
У' = tg а =
По z/' = tga производится вычисление sin а и cos а:
tga	1
sin а = —	-----; cos а =	—
Kl+tg’a	V l+tg2a
Вычисленные по указанным формулам значения у, у', sin a,
cos a, cos2 a приведены в табл. 21.1.
Таблица 21.1
№ точки	Z, м	У, М	a	|sin a|	|cos a|	COS2 a
0	0	0	0,400	0,37140	0,92850	0,8621
1	8	2,933	0,333	0,31593	0,94876	0,9001
2	16	5,333	0,267	0,25797	0,96618	0,9335
з	24	7,2	0,200	0,19607	0,98039	0,9612
4	32	8,54	0,133	0,13183	0,99128	0,9826
5	40	9,333	0,067	0,06685	0,99780	0,9956
6	48	9,6	0,000	0,00000	1,0000	1,0000
1 7	56	9,333	—0,067	0,06685	0,99780	0,9956
' 8	64	8,54	—0,133	0,13183	0,99128	0,9826
9	72	7,2	—0,200	0,19607	0,98039	0,9612
10	80	5,333	—0,267	0,25797	0,96618	0,9335
11	88	2,933	—0,333	0,31593	0,94876	0,9001
12	96	0	—0,400	0,37140	0,92850	0,8621
Изгибающий момент и продольная сила в основной системе
от единичной силы, приложенной в направлении Х\ (рис. 21.1,г),
в общем виде записываются следующим образом:
Мх = — 1 у; Ni = 1 cos a.
Сжимающая продольная сила считается положительной. Внут-
ренние силы от нагрузки в основной системе:
на участке
0<г<— М =VAz-g-^-
2	“ Л 2
^(i) = (Vx-^)sina;
378
сю
со
№ точки	Z, м	Mit м		Мр. т м
1	2	3	4	5
0	0	0	0,9285	0
1	8	—2,933	0,94876	1024
2	16	—5,333	0,96618	1792
3	24	—7,20	0,98039	2304
4	32	—8,54	0,99128	2560
5	40	-9,333	0,9978	2560
6	48	-9,60	1	2304
7	56	-9,333	0,9978	1920
8	64	-8,54	0,99128	1536
9	72	—7,20	0,98039	1152
10	80	—5,333	0,96618	768
11	88	—2,933	0,94876	384
12	96	0	0,9285	0
Таблица 21.2
NP’т	COS3 a	NlNx cos3 a	MiMp cos3 a	Wp
				cgs3 a
6	7	8	9	10
53,4816	0	1	0	57,598
35,3842	9,5572	1	—3336,468	37,294
20,6376	30,466	1	— 10237,176	21,36
9,4114	53,933	1	—17257,329	9,599
2,1093	74,223	1	—22249,364	2,128
— 1,0696	87,489	1	—23997,607	— 1,072
0	92,160	1	-22118,4	0
3,2088	87,489	1	-17998,205	3,216
6,3278	74,223	1	—13349,619	6,384
9,4114	53,933	1	—8628,664	9,599
12,3826	30,466	1	—4387,361	12,816
15,1646	9,5572	1	—1251,176	15,984
17,8272	0	1	0	19,2
на участке
“ Vasina.
Значения внутренних сил, вычисленных по приведенным фор-
мулам, даны в табл. 21.2.
Вычисление бп и Д1Р произведено по формуле Симпсона, ве-
личины	для которой приведены в табл. 21.2
(графы 7, 8, 9, 10) Вс — жесткость арки в ключе:
EJC бп = EJC б<м) + EJC б<р = 4829,6959 + 4,8006 = 4834,4965;
EJr Д1Р = EJr № + ej мю = — 1 158 975,883 + 61,267 = -
G 1г*	G I г	Ъ 1г
— 1 158 914,616.
Распор при учете в Д1Р и du М и N равен-
X, = - ^ = - <-'158 91,'6|6) = 239,718 7.
би	4834,4965j
Момент и продольная сила в заданной системе, определенные в
результате расчета по недеформированной схеме, вычислены по
выражениям
М = Мх Хх + Мр;
N = Nx Хх + Np
и даны в табл. 21.3.
Таблица 213
№ точки	2, М	М, i м	N, т
0	0	1 ।	0	276,06
1	8	320,91	262,81
2	16	513,58	252,25
3	24	578,03	244,43
4	32	512,81	239,74
5	40	322,71	238,12
6	48	2,71	239,72
7	56	-317,29	242,4
8	64	-511,19	243,96
9	72	-573,97	244,43
10	80	-510,42	243,99
11	88	-319,09	242,59
12	96	0	240,41
Проверка правильности вычисления Х\ и значений М и N
в сечениях арки производится принятым в методе сил способом
380
МгМ , .
—-— ds +
EJ
Вычисление интегралов в данном примере произведено по фор-
муле Симпсона (результат контроля не приводится).
Имея значения М и N из расчета по недеформированному со-
стоянию, определяем деформированное состояние первого при-
ближения.
Определение вертикальных перемещений точек оси арки мо-
жет быть произведено различными приемами. Наиболее просто
перемещения могут быть определены при помощи упругих гру-
зов, общее выражение которых при учете М и W (влияние Q на
перемещений мало и им в данном случае можно пренебречь) име
ет вид [см. (19.31)]:
Ц7 = -А- I Апра»
6EJ, I7’*-1’
, Л/леВ
- 1 "W^tga^
EF
4- 2(7ieB4- 2 лпрэв 4- /7'1СВ
‘ 4km ' 4km C/(A’+l)m
где
EF*™
— tga"pan-------— tga?‘
£Лправ	Ep.w
д/прав
/v(«— 1) m
tga^B ,
£ £пра в	* 1
гуправ
4(k—\) m
M"Pa" ./ <*ь
(«—1) m * k
2
«Ч™ «ГГ
QJlea
т km
олев _ —
Ч km
I ICR a „лев
k “п cos ak
RfTl 4c n~j~ 1
где
•Z^" d0 cos а"рав
dt,,
* л-f-i
гЛСВ j	~ЛСВ
J «4-1 a0 cos a«41
J*—момент инерции какого-либо сечения арки.
dQ~ длина какой-либо горизонтальной проекции участ-
ка арки;
</^4! — моменты инерции k, k+\ сечений арки;
dk, dk+!—длины горизонтальных проекций k, 6+1 участков
арки;
Mkm, ^km~~ момент и продольная сила в сечении k от воздей-
ствия т.
Направление положительных упругих грузов — вверх.
Для рассматриваемого примера формулы для упругих гру-
зов. учитывая, что	=JC, dQ = d, Jk = Jc cos a«;
38 >
Fi = FC cos a/t и данные табл. 21.1, будут:
я	J d	J d
= — — Mnm----------------------2M,„,------£--------
d cos2
Nim Ш «2
EFC cos ao
_ 1 |
0,9335] '
1	Г.,	0,267	0,400 I
+ 40 EJC [ 2m 0,9918	Q'n 0,9285J ’
6EJC
Jrd
— 2Mlrn-----------
1 Jcd cos2 a
Jc d cos2 a0
Jrd
[	_______5_______
'2^71 t j n
Jr d cos2 a,
ь	2
•Vo/n tg <*o
EFn cos co
6FJ,
Morn
0,821
*Mlm
0,9001
— M
8
2
окончательно
Wlm =	1 ’ 1599 Mom - 4,4438 Mlm - 1,0712 M2m) +
+	(0,276 Nim~ 0,431 NOm);
=-	(- 1,1109 Mlm - 4,2848 M2m - 1,0403 Ms,„) +
4-^(0,204 ^„,-0,351^);
 
И T. Д.
По формулам упругих грузов вычислены упругие грузы Wh для
определения деформированного состояния первого приближения
(берутся значения М и N из расчета по недеформированному со-
стоянию ).
Величины упругих грузов W}< приведены в табл. 21.4.
Таблица 21.5
Таблица 21.4
№ точки	w~2eicwk	№ точки	
0			0		
1	—26,3552	1	—2,6681
2	—42,1122	2	—4,4606
3	—46,3622	3	—4,9846
4	—40,1718	4	—4,2329
5	—24,2835	5	—2,454
6	— 0,2247	6	—0,0754
7	23,8828	7	—2,3056
8	39,9375	8	4,188
9	46,0518	9	4,8673
10	41,8291	10	4,3664
11	26,1941	И	2,624
12	—	12	—
382
Эпюра вертикальных перемещений оси арки (эпюра проги-
бов г/i) получена как эпюра фиктивных моментов от упругих
грузов Wh. Фиктивная система и эпюра у\ дана на рис. 21.2, а, б.
По найденным значениям вычислены приращения момен-
та в сечениях арки ДЛ^ = Х\У\, изменения N от деформации оси
-арки малы и ими можно пренебречь.
Если к моменту М, найденному при расчете арки по недефор-
мированному состоянию, прибавить ДЛ4Ь то получим момент Mi
первого приближения. Изменение момента в сечениях арки вы-
зовет дополнительную деформацию оси арки и новое изменение
момента.
Произведя вторичное вычисление упругих грузов от ДЛ4], оп-
ределим дополнительные вертикальные перемещения оси арки
у2 и ДМ, = Хуу2.
Момент второго приближения М2 = Л4|+ ЛМ2. Величины упру-
гих грузов Wki для определения у2 вычислены по тем же фор-
мулам, что и Wh, и приведены в табл. 21.5. Фиктивная система и
эпюра у2 приведены на рис. 21.2, в, г.
Результаты вычислений момента ДЛ1/{ в сечениях арки от де-
формации ее оси и значения моментов первого и второго при-
ближений Мх и Л42, а также значения N даны в табл. 21.6.
Таблица 21.6
Хе точки	Z, м	Момент в т-м					Продоль- ная сила в т N
		М		Mj I приближе- ние	У2	м2 II приближе- ние	
0	0	0	0	0	0	0	276,06
1	8	320,91	31,88	352,79	3,38	356,17	262,81
2	16	513,58	54,66	568,24	5,83	574,07	252,25
3	24	578,03	62,57	640,6	6,74	647,34	244,43
4	32	512,81	54,18	566,99	5,87	572,86	239,74
5	40	322,71	31,88	354,59	3,55	358,14	238,12
6	48	2,71	0,96	3,67	0,34 |	4,01	239,72
7	56	—317,29	—29,96	—347,25	—2,88	—350.13	242,4
8	64	—511,19	—52,5	—563,69	—5,3	—568,99	243,96
9	72	—573,97	—61,13	—635,1	—6,23	—641,33	244,43
10	80	—510,42	—53,46	—563,88	—5,49	—569,37	243,99
11	88	—319,09	—31,4	—350,49	—3,21	—353,7	242,59
12	96	0	0	0	0	0	240,41
Из данных, приведенных в табл. 21.6 следует, что в четверти
пролета моменты второго приближения превышают моменты,
полученные при расчете по недеформированному состоянию на
12%, а в середине пролета на 48%.
Однако значительное изменение малых абсолютных значений
момента в середине пролета незначительно меняет величины
нормальных напряжений в сечении.
383
1,3342(0,0243)
5

1,5317(0,0281)
1,3424(0,03451
0,8085(0,0148}
0,078310,0014)
0,00(0,000)
7,29(0,133)
12,48(0,338)
14,29(0,3611
12,40(0,2261
7,29(0,133)
3
з
_ С»
£ 1
л

(0,0120)0,6579
(0,0321)1,2097
(0,0360)1,4264
(0,0229/ 1,2538
(0,0134)0,7319
(0,000} 0,000
10,131/7,16
(0,000/0,00
0.24(0,004)
(0125)6,83
(0,213111,93
(0,255113,95
10,233112,23

X
sipe*
.8
а

8 четверти пролета нормальные напряжения по нижней кромке
сечения превышают почти на 10% напряжения, определяемые
из расчета по недеформированному состоянию. Рассмотренный
пример расчета арки по деформированному состоянию показы-
вает, что при расчете по недеформированному состоянию воз-
можны значительные ошибки при определении величин внутрен-
них сил и напряжений, и подчеркивает необходимость рассчиты-
вать конструкции с учетом деформации систем под нагрузкой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 3
Глава 1. Введение (д-р техн, наук проф. В. А. Киселев)............. 4
Глава 2. Кинематический анализ и общие методы определения реакций
связей плоских статически определимых систем (канд. техн, наук
доц. И. Ю. Цвей) ...............................................Ь
Глава 3. Расчет статически определимых балок и плоских рам на по-
движную нагрузку (ст. препод. М. В. Овсянникова).............. 28
Глава 4. Расчет статически определимых балочных шарнирных ферм
(канд. техн, наук доц. Ю. П. Федоров)......................... 41
Глава 5. Расчет трехшарнирных систем (доц. Н. Н. Тяжелое) ...	61
Глава 6. Расчет плоских статически определимых комбинированных си-
стем (доц. Н. Н. Тяжелое)..................................... 83
Глава 7. Предельные нагрузки плоских статически определимых систем
(ст. препод. М. В. Овсянникова)............................... 95
Глава 8. Перемещения плоских стержневых систем (канд. техн, наук
доц. А. М. Афанасьев)........................................ 101
Глава 9. Образование и расчет пространственных статически определи-
мых систем (канд. техн, наук доц. И. Ю. Цвей)................ 124
Глава 10. Расчет плоских статически неопределимых рам по методу сил
(д-р техн, наук, проф. В. А. Киселев)........................ 136
Глава 11. Расчет неразрезных балок (ст. препод. В. А. Ермоленко) 164
Глава 12. Расчет плоских статически неопределимых шарнирных ферм
и комбинированных систем (д-р техн, наук проф. И. А. Медников) 190
Глава 13. Расчет статически неопределимых арок (канд. техн, наук
доц. Ю. П. Федоров)...........................................223
Глава 14. Расчет плоских статически неопределимых систем по методу
перемещений (канд. техн. наук доц. А. М. Афанасьев).......... 243
Глава .15. Расчет плоских статически неопределимых систем по смешан-
ному и комбинированному методам (канд. техн, наук доц.
А. Я. Слободчиков)........................................... 268
Глава 16. Расчет плоских рам по методу распределения моментов (ме-
тод Г. Кани) (канд. техн, наук доц. А. Я. Слободчиков) ....	280
Глава 17. Предельные нагрузки статически неопределимых систем (д-р
техн, наук проф. И. А. Медников)................................ 295
Глава 18. Расчет пространственных статически неопределимых систем
(ст. препод. М. В. Овсянникова)................................. 304
Глава 19. Матричная форма расчетов в строительной механике (д-р
техн, наук проф. В. А. Киселев)................................. 316
Глава 20. Элементы программирования задач строительной механики
(канд. техн, наук доц. Ю. П. Федоров)........................... 345
Глава 21. Расчет плоских систем по деформированному состоянию
(канд. техн, наук доц. А. Я. Слободчиков)...................:	:	375
Строительная механика
в примерах и задачах
•	• •
Москва, К-31. Кузнецкий мост, 9
•	• в
Редактор издательства Т. В. Горячева
Переплет художника В. А. Дудакова
Технический редактор Т. М. К а н
Корректор Л. П. Атавина
Сдано в набор14/У1П 1967 г. Подписано к печати 10/1 1968 г.
Т-00511 Бумага 60x 90l/ifi д. л. 12,125 бум. л. 24,55 печ. л
(уч.-изд. 24,7 л.) Тираж ЗООЮО экз. Изд. № А1-518
Заказ 1284. Цена 99 к.
Владимирская типография Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Гор. Владимир, ул. Победы, д. 18-6