/
Автор: Штрайтвольф Г.
Теги: физика математическая физика физика твердого тела твердое тело теория групп
Год: 1971
Текст
GRUPPENTHEORIE
IN DER FESTKORPERPHYSIK
von
Dr. Rer. Nat. HANS-WALDEMAR STREITWOLF
Physikalisch-Technisches Institut der Deutschen Akademie
der Wissenschaften zu Berlin
AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT
GEEST & PORTIG K.-G*
LEIPZIG 1967
Г. Штрайтвольф
ТЕОРИЯ ГРУПП
В ФИЗИКЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Перевод с немецкого
В. П. ШИРОКОВСКОГО
Под редакцией
акад. С. В. ВОНСОВСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1971
УДК 630.19 + 639.2
Монография известного немецкого физика Г. Штрайтвольфа —
первая и пока единственная в мировой Научной литературе книга,
целиком посвященная применению теории групп в квантовой теории
твердого тела. В частности, в ней рассматривается поведение
электронов в решетке, зонная структура твердого тела, фононные
спектры. Приведен ряд оригинальных результатов, полученных автором,
активно работающим в этой области.
Книга рассчитана на физиков, занимающихся теорией твердого
тела и ее применениями, и на специалистов по теории групп. Кроме
того, она может служить пособием для преподавателей, а также
для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся
в области теоретической физики.
Редакция литературы по физике
Инд. 2-3-2
♦57-71
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Довольно длительное время наблюдается постоянный и
непрерывно возрастающий интерес к использованию методов теории
групп в самых различных областях современной физической
теории. Можно сказать, что знание общих теоретико-групповых ме-
тодов и умение применять их к конкретным физическим задачам
становятся все более необходимыми для всех научных работников.
Хотя по общим вопросам теории групп и ее приложениям в разно:
образных классических и квантовомеханических * задачах
существует весьма обширная литература (в том числе и на русском
языке), уже давно ощущается острая потребность в
специализированных монографиях, посвященных применениям общих
теоретико-групповых методов в определенных конкретных областях
физики. .
В частности, нам представляется весьма
неудовлетворительным положение, которое сложилось с 'литературой по
применению методов теории групп в физике твердого тела.
Соответствующий материал, содержащийся в отдельных главах монографий
Любарского [1], Хамермеша [2], Хейне [3] и многих других, может
служить лишь для самого общего знакомства с кругом проблем,
но практически не позволяет читателю приступить к
самостоятельным исследованиям. Поэтому всякому специалисту,
столкнувшемуся с необходимостью использовать теоретико-групповой
аппарат, после знакомства с содержанием указанных книг
приходится обращаться к изучению обширной (и далеко не всегда легко
доступной) оригинальной литературы.
Стремление заполнить существующий пробел привело к
появлению книги Нокса и Голда [4], являющейся фактически
сборником основных оригинальных статей по применению теоретико-
групповых методов в квантовой теории твердого тела с кратким
вводным пояснением. (Аналогичный характер имеет и монография
Крекнелла [5].) Однако содержащийся в вводной части книги по-
яснительный материал не достаточен для систематического
изучения указанного круга вопросов и не отражает современного
состояния проблемы во всей ее полноте.
Предлагаемая монография известного физика из ГДР
Г. Штрайтвольфа — пока единственная в мировой литературе
6
Предисловие редактора перевода
книга, целиком посвященная только применению теории групп
в квантовой теории твердого тела. С нашей точки зрения, книгу
в целом следует признать очень удачной. Математически строгое
изложение материала, его полнота, компактность и ясность — вот
далеко не все достоинства этой весьма интересной книги.
Монография Штрайтвольфа может служить и прекрасным учебным
пособием не только для научных работников и аспирантов, но и для
студентов, владеющих лишь основами квантовой механики. Что
касается специалистов по теории твердого тела, то, как нам
кажется, они встретят издание этой книги в русском переводе,
безусловно, с большим интересом. Следует также отметить, что в своей
книге автор излагает не только результаты чужих исследований,
но также и свои собственные. В частности, в значительной мере
оригинальным является содержание гл. 9 и 10. Такое
творческое отношение автора к предмету книги делает ее особенно
интересной. *Ц
Автор книги внес в русское издание ряд изменений и любезно
прислал нам список опечаток, замеченных им в немецком
издании. Мы очень благодарны ему за это.
Что касается редакторских поправок, то они в основном
свелись к изменению и дополнению списка литературы. Вместо
принятого у автора списка литературы по главам редактор и
переводчик привели список рекомендуемой литературы и список
литературы, цитируемой в тексте. При переводе введены также
некоторые термины, обычно не употреблявшиеся в русской
литературе. Думаем, что все это не вызовет больших затруднений
у читателей.
Надеемся, что появление в русском переводе этой
фундаментальной книги по конкретному применению теории групп в
задачах квантовой теории твердого тела принесет существенную пользу
советскому читателю.
Акад. С. 5. Вонсовский
ЛИТЕРАТУРА
1. Любарский Г. #., Теория групп и ее применение в физике, Гостехиздат, М.,
1957.
2. Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, изд-во
«Мир», 1966.
3. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
4." Нокс Р., Голд Л., Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970.
5. Cracknell Л. P., Applied Group Theory, Oxford, 1968.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Большинство физических систем обладает определенной прд-
странственной или временной симметрией. Часто исследование
одной только симметрии позволяет сделать важные заключения
о рассматриваемой системе, не требуя точного знания действующих
в ней сил. Это имеет особенно важное значение, если для
действующих сил не известны ни их точная величина, ни их точная
функциональная зависимость. Тогда и полезно провести
исследование, опирающееся лишь на свойства симметрии системы.
Такие исследования наиболее целесообразно проводить
методами теории групп. При квантовомеханическом рассмотрении
проблем можно выделить две основные области применения
теоретико-групповых методов.
Во-первых, знание симметрии проблемы позволяет дать
естественную классификацию собственных значений энергии и
собственных функций и тем самым получить приближенное
представление о характере спектра исследуемого оператора Гамильтона.
Во-вторых, знание трансформационных свойств собственных
функций под действием операторов симметрии позволяет сделать
вполне определенные выводы о необходимости обращения в нуль
некоторых матричных элементов. Такие выводы особенно важны,
так как они, например, при использовании теории возмущений
Шредингера дают информацию о возможном расщеплении
собственных значений под действием возмущений. Если сведения
о матричных элементах используются в расчетах вероятностей
переходов по Дираку, то в результате получаются правила
отбора, запрещающие некоторые переходы в силу симметрии.
В физике твердого тела наиболее существенной является
пространственная кристаллическая симметрия, которая
математически описывается так называемыми пространственными группами
симметрии. Большая часть книги посвящена исследованию
свойств пространственных групп и вытекающих из этих свойств
физических результатов.
Книга предназначается в первую очередь для студентов,
специализирующихся по физике твердого тела. Для ее понимания
требуется знание основ квантовой механики, линейной алгебры и
матричного исчисления. Необходимые для понимания сведения по
теории групп и теории представлений содержатся в гл. 1,
Предисловие автора
После описания в гл. 2 пространственных групп, их свойств и
нахождения их неприводимых представлений в гл. 3 и 4
обсуждаются общие вопросы, связанные с применением теории групп
в квантовой механике. Эти главы можно читать независимо
от гл. 2.
Все последующие главы содержат приложения теории групп
в физике твердого тела. При этом многоэлектронные проблемы
полностью исключаются из рассмотрения.
Вначале исследуется влияние симметрии на решения
спектральной задачи для одноэлектронного оператора Гамильтона с
потенциалом, обладающим кристаллической симметрией (гл. 5 и 6).
В гл. 7 обсуждается учет спин-орбитального взаимодействия.
В гл. 8 рассматривается симметрия по отношению к
обращению времени.
Далее на основе теории групп проведена классификация
колебаний решетки (гл. 9).
Правила отбора для электронных переходов, обусловленные
электрон-фононным взаимодействием и взаимодействием
электронов с внешним электромагнитным полем, рассмотрены в гл. 10.
В заключение получены правила отбора для решеточного
поглощения и эффекта комбинационного рассеяния.
Изложенный материал, конечно, не исчерпывает всех проблем.
В частности, в книге не отражены теория лигандов и вообще
теория кристаллического поля, а также теория магнитных групп.
В заключение автор хотел бы поблагодарить д-ра X. Пуффа
за критический просмотр рукописи.
Г.-В. Штрайтвольф
Берлин
май 1965 г.
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА
§ 1. Группы
1. Определение группы. Группой G называют множество
элементов а, Ъ, с, ..., обладающих следующими свойствами:
1. Между элементами группы установлен закон соответствия,
называемый умножением, согласно которому всякой
упорядоченной паре элементов а, Ъ сопоставляется вполне определенный
третий элемент группы с = ab; с называют произведением а на Ь.
Способ соответствия задают обычно с помощью так называемой
таблицы группы, в которой указывают произведения всех
возможных пар элементов. Заданием своей таблицы группа
определяется полностью.
2. Для умножения справедлив ассоциативный закон
(ab)c = a(bc).
3. Группа содержит правосторонний единичный элемент, т. е.
элемент е, такой, что для всех элементов а группы имеет место
равенство ае = а.
4. Для каждого элемента а в группе имеется
соответствующий ему правосторонний обратный элемент от1, определяемый
равенством аа~1 = е.
Используя аксиомы 1—4, можно показать однозначность
деления ab~l, существование левостороннего единичного элемента,
равного правостороннему, и существование левостороннего
обратного элемента, также равного правостороннему.
Введем еще ряд определений.
Группу G называют конечной, если она содержит конечное
число g элементов, а само число g называют порядком группы G.
В физике твердого тела практически всегда имеют дело
только с конечными группами. Единственное исключение составляет
так называемая группа вращений.
Группу G называют абелевой группой, если для операции
умножения в ней выполняется коммутативный закон
ab =Ьа.
Группу G называют циклической, если в ней имеется
образующий элемент а ^ G, такой, что его степени av- пробегают все
элементы группы, когда показатель степени v принимает всевозможные
10
Гл. 1. Элементы математического аппарата
целочисленные значения. Если существует минимальное целое
число п, такое, что ап = е, то п называют порядком элемента а.
В конечных группах всякий элемент имеет вполне определенный
порядок. Порядок образующего элемента циклической группы
равен порядку самой рассматриваемой группы. Для всякого целого
числа g имеется одна циклическая группа порядка g. Все
циклические группы абелевы.
Рассмотрим два примера:
1. Четверная группа Клейна D2— минимальная группа четвер-
тогопорядка (Vierergruppe). Мы будем описывать ее с помощью
Фиг. 1.
пространственных преобразований (вращений и отражений). В
таком описании четверную группу Клейна D2 можно представить
как совокупность всех вращений, которые переводят в самого
себя прямоугольный параллелепипед с неравными ребрами (фиг. 1).
Очевидно, помимо тождественного преобразования она содержит
еще три поворота на угол я вокруг осей х> у и г. Так как
двукратный поворот на угол я вокруг любой из координатных осей
приводит к тождественному преобразованию, то координатные оси
в этом случае называют осями вращения, или осями симметрии
второго порядка. Элементы группы, соответствующие указанным
вращениям, обозначим через 8, а порядок элемента и ось
вращения будем указывать индексами. Например, символ 62х
обозначает вращение второго порядка, т. е. поворот на угол я, вокруг
оси х. Теперь легко можно построить таблицу группы D2l)
(табл. 1). В первом столбце таблицы находится первый
сомножитель произведения, в первой строке — второй; само произведение
стоит на пересечении соответствующих строки и столбца.
Группа D2y очевидно, абелева (таблица группы симметрична
относительно главной диагонали). Каждый элемент группы совпадает со
1) В соответствии с тем, что вращения обозначены через 6, для единичного
элемента использован символ е(а не е).
§ 1. Группы
11
Таблица 1
г
Ь2Х
Ь2У
Ь2г
г
г
Ь2Х
*2у
*>2Z
*>2Х
*2Х
г
62г
Ь2у
*2у
Ь2у
*>2Z
г
*2Х
Ь2г
*>2г
62У
Ь2Х
г
своим обратным (на главной диагонали таблицы стоят только
единицы); иными словами, все элементы (кроме в) имеют
порядок 2, что вполне естественно, так как им соответствуют вращения
второго порядка. Группа D2 не циклическая; в противном случае
по крайней мере один ее элемент должен был бы иметь
порядок 4.
2. Помимо четверной группы Клейна D2, четвертый порядок
имеет также циклическая группа С4. Ее элементы можно
отождествить с вращениями, переводящими в себя прямую
четырехугольную пирамиду. Все они, очевидно, являются степенями вращения
четвертого порядка 64 вокруг оси пирамиды. Таблица группы Сь
приведена ниже (табл. 2).
Таблица 2
г
«4
*!
*3
е
г
*4
*?
*з
«4
*4
*1
«2
г
*?
Ч
«8
г
*4
*43
*43
г
*4
*?
Поскольку группа С± циклическая, то она, конечно, абелева.
Кроме того, 6^ = 64. Других групп четвертого порядка нет.
Таблица 3
S
N(g)
va(g)
1
1
1
2
1
1
3
1
1
4
2
2
5
1
1
6
2
1
7
1
1
8
5
3
10
2
1
12
5
2
24
15
3
48
32
5
12
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Для каждого заданного порядка g существует конечное число
N(g) групп и конечное число Na(g) абелевых групп. Для
некоторых значений g числа N и Na приведены в табл. 3. Для любого
заданного порядка имеется по крайней мере одна (абелева)
группа, а именно циклическая группа этого порядка.
2. Подгруппы. Если подмножество G' группы G само по себе
образует группу, то G' называют подгруппой группы G.
Так, например, группа Сг, состоящая из элементов е и 64,
является подгруппой группы С4.
Всякая подгруппа G' группы G порождает в G некоторое
разбиение на левосторонние смежные классы 2а = aG'. Класс 2а
состоит из элементов вида ab, где Ъ пробегает по всем элементам
подгруппы G'. Левосторонние смежные классы состоят из
различных элементов. Каждый элемент группы G входит в один из
классов 2а. Все 2а содержат одинаковое число элементов, а
именно столько же, сколько и 2б = eG' = G', т. е. столько, каков
порядок g' подгруппы G'. Число различных левосторонних смежных
классов называют индексом j подгруппы G' в группе G.
Следовательно, / = glg\ т. е. порядок любой подгруппы является
делителем порядка группы. Группы G, порядок которых равен простому
числу, имеют только тривиальные подгруппы: G и {е}.
Докажем, что классы 2а действительно образуют некоторое
разбиение группы G и что они содержат одно и то же число
элементов.
Каждый элемент аеС, очевидно, входит в какой-нибудь
левосторонний смежный класс, а именно в 2а. Если бы элемент а
входил еще и в другой левосторонний класс 2а^, то существовал
бы такой элемент b ^ G\ что а = а'Ь. Отсюда вытекает, что 2а =
= aG' = a'bG' = a'G'— 2а', т. е. а входит лишь в один
левосторонний смежный класс.
Вследствие однозначности деления каждый левосторонний
смежный класс содержит одно и то же число'элементов.
Аналогичные утверждения имеют место и для правосторонних
смежных классов 5йа.
3. Нормальный делитель. Подгруппу Н группы G называют
нормальным делителем или инвариантной подгруппой, если
порождаемое ею разложение на правосторонние смежные классы
совпадает с разложением на левосторонние.
Очевидно, что у абелевых групп любая подгруппа является
нормальным делителем.
Всякая подгруппа индекса 2 есть нормальный делитель,
поскольку разложения на правосторонние и левосторонние смежные
классы содержат лишь по два класса, причем один из них в обоих
случаях совпадает с самой подгруппой,
§ 1. Группы
13
Если Я— нормальный делитель группы G, то смежные
классы 2о сами образуют группу, называемую фактор-группой G/H,
если под произведением двух смежных классов 2а и 2ь понимать
совокупность всех произведений вида а'Ъ', где а'е 2а и 6'е 2&.
При этом можно показать, что совокупность 2а-2ь совпадает со
смежным классом 2аь.
Таким образом, элементами фактор-группы G/H являются
целые классы элементов группы G.
Теперь докажем, что произведение 2а«2ь двух смежных
классов снова будет элементом фактор-группы, т. е. некоторым
левосторонним смежным классом, а именно классом 2а&. Так как
а/е2а = 9?а и 6'е8ь, то существуют такие элементы h\ и h2i
принадлежащие нормальному делителю Я, что а' = ftAa, b' = bh2.
Тогда очевидно, что произведение а'Ъ' = h\abh2 является
элементом класса 2аъ. С другой стороны, для каждого элемента се 2аь
существует элемент АеЯ, такой, что с = abh = ab', где asSa
и ^е йь- Легко показать также, что для смежных классов
выполняются и остальные групповые свойства. Так, роль единичного
элемента играет класс 2б = Я, а обратным к 2а является
смежный класс 8e-i-
Подгруппа Я группы G является ее нормальным делителем
только в том случае, если для всех а е G и 6еЯ элементы
Ь' = a~lba также принадлежат подгруппе Я.
Если вместе с Ъ подгруппе Я принадлежат и все &', то для
любого заданного а множество элементов вида Ьа (бе Я), т. е.
правосторонний смежный класс Jfta, совпадает с множеством всех
ab\ Поскольку элемент Ь' точно так же, как и 6, пробегает по
всем элементам подгруппы Я, то последняя совокупность пред.
ставляет собой левосторонний смежный класс 2а. И обратно, если
№а == 2а, то На = аЯ, т. е. для всякого 6еЯ существует такой
элемент Ь' е Я, что 6а = а£', и 6' пробегает вместе с Ъ по всем
элементам Я.
Последнюю теорему можно сформулировать иначе, используя
понятие класса сопряженных элементов.
Два элемента a, b е G называют сопряженными друг другу,
если существует такой третий элемент с е G, что a = t~lbc. Так
как понятие сопряженности обладает свойствами взаимности и
транзитивности1), то с его помощью можно произвести разбиение
группы G на классы сопряженных элементов (или, короче,
классы), число которых будем обозначать через г.
Тогда доказанную выше теорему можно переформулировать
следующим образом. Подгруппа Я является нормальным
делителем группы G только в том случае, если Я состоит из целого
1) Если элемент а сопряжен с Ь, то и элемент Ъ сопряжен с а\ если а со*
пряжен с Ь и Ь сопряжен с с, то и а сопряжен с с, — Прим. ред.
14
Гл. I. Элементы математического аппарата
числа классов группы G, т. е. вместе с каждым элементом
подгруппы Н содержит и весь соответствующий ему (относительно
группы G) класс.
4. Классы сопряженных элементов. В этом разделе мы
остановимся еще на некоторых свойствах классов сопряженных
элементов.
В абелевых группах каждый элемент сам по себе образует
класс. Число классов в этом случае, очевидно, равно порядку
группы, т. е. г = g.
Единичный элемент всегда образует самостоятельный класс.
Элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок.
Действительно, пусть а и Ь = с~1ас — некоторые сопряженные
элементы и порядок а равен л. Тогда
e~tf = (cbc-l)n = cbnc-1,
откуда следует, что Ьп = е.
В частности, в один класс могут входить лишь повороты вокруг
осей одного и того же порядка.
Обратное утверждение не справедливо. Два элемента одного
и того же порядка могут принадлежать и различным классам.
Так, например, элементы Ьгх и бгу группы D2 оба имеют второй
порядок, но как элементы абелевой группы относятся, разумеется,
к различным классам.
Если известны классы Сь ..., Сг группы G, то можно ввести
понятие произведения двух классов С{С^ понимая под ним
множество всевозможных произведений вида а\а$, где а* пробегает по
всем элементам класса Си a aj независимо от него — по всем
элементам класса Cj. Если через г{ и г$ обозначить число элементов
в классах С{ и Cj, то произведение CiCj будет состоять из пг$
элементов, которые, однако, не обязательно все различны.
Относительно произведений классов сопряженных элементов
справедлива следующая теорема. Множество вида CiCj состоит
из целых классов группы G, что можно записать следующим
образом1):
г
CiCj= ^jCifkCk. (1.1)
Коэффициенты в разложении произведения классов с^ъ равны
целым положительным числам или нулю.
Для доказательства покажем, что если некоторый элемент а
входит в произведение CiCj п раз, то и весь класс С&, которому
принадлежит а, содержится в CiCj также п раз. Действительно,
1) Сумму здесь следует понимать в смысле теоретико-множественного
объединения, причем множество С* следует считать входящим в нее Сцн раз.
§ 1. Группы
15
пусть а содержится п раз в произведении CiCj. Тогда имеется п
различных пар a\^Ct> а)^Ср таких, что аЬа^а (А,= 1, 2, ...
,. ., /г). Если теперь считать, что класс Са образован из а с
помощью элементов bi (I = 1, 2, ..., гЛ), а именно
2 ЬТ аЬи
/-1
то элементы
bi abi= bi aidjbi — bT uibibT cLjbi (A»—l,
., n)
образуют класс Ch n раз и (см. правую часть последнего
равенства) все содержатся в CiCj.
Коэффициенты с^ъ в разложении произведений классов
удовлетворяют ряду соотношений. Например, пусть Ci = {е}, а С/
обозначает класс, обратный Cj (т. е. класс, составленный из
элементов, обратных элементам Cj). Тогда
ст = гьЬи>. (1.2)
Иными словами, Ci содержится в произведении CiCj только в том
случае, если С\ и Cj — взаимно обратные классы. При этом С\
входит в произведение гг- раз.
Доказательство данного утверждения непосредственно
вытекает из того, что элементы, обратные элементам класса Cj,
образуют класс с тем же числом элементов rj (иногда Cy — Cj).
5. Пример. В качестве примера рассмотрим простейшую не-
абелеву группу. Она имеет порядок б (см. табл. 3) и может быть
Фиг. 2.
представлена как совокупность всех вращений, оставляющих
инвариантным равносторонний треугольник. Этими вращениями
будут вращения вокруг оси третьего порядка, перпендикулярной
плоскости треугольника, и три вращения вокруг осей второго
порядка, лежащих в плоскости треугольника и обозначенных /, 2 и
3 (фиг. 2).
16
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Таким образом, элементами группы D3 являются е, 63, б|,
&2i, &22, 623; таблица умножения группы D3 приведена в табл. 4.
Таблица 4
г
*3
«5
*21
622
623 •
е
е
«3
«5
62>
622
623
«3
«3
*!
е
б22
*23
«2.
*^
Ч
е
*3
623
«2.
*22
621
*21
623
*22
е
*,
*3
622
*22
»21
623
«3
8
*§
623
б23
622 .
62.
Ч
б3
8
Порядки элементов группы равны порядкам соответствующих им
операций (вращений). Так, элемент в имеет порядок 1, элементы
621, 622, бгз — порядок 2, 63, 63—порядок 3. В данном примере
каждая совокупность элементов одного и того же порядка
образует класс сопряженных элементов, так что всего имеется три
класса. Легко показать, что обратные классы совпадают со
своими прямыми. В группе имеется один нормальный делитель
{в, &з, *з}. (Помимо всего, он должен быть нормальным
делителем как подгруппа индекса 2.) Кроме нормального делителя,
имеются еще и другие подгруппы, а именно {е, 621}, {г, 622} и {е, бгз},
которые все изоморфны друг другу1). Однако, поскольку эти
подгруппы состоят не из целых классов сопряженных элементов, ни
одна из них не является нормальным делителем. Левосторонние и
правосторонние смежные классы по подгруппе {е, 621}, например,
имеют вид
2: {е, Ы {63, 623}, {6*, 622};
Я: {•, 62i}, {6з, Ы {бз, 62з}.
Ясно, что они различны.
§ 2. Матрицы
1. Определения. Здесь мы коротко напомним основные
определения из теории матриц.
1) Группы G и G' называют изоморфными, если они могут быть взаимно
однозначно отображены друг на друга, причем таблица умножения элементов
группы останется неизменной и для образов этих элементов. Если отображение
G на G' только однозначно, то G' называют гомоморфным образом G.
§ 2. Матрицы
17
Размерностью квадратной матрицы будем называть число ее
строк (или столбцов).
Далее будут использоваться следующие специальные виды
матриц. Матрицу D, получающуюся из D перестановкой строк и
столбцов, называют транспонированной к D. (Для квадратных
матриц такая операция сводится к «отражению относительно главной
диагонали».) Сопряженной к D называют матрицу Df, транспони-
рованную к D*, т. е. D' = D* = D*, где D* — матрица,
комплексно сопряженная к D.
Нормальными называют матрицы, перестановочные со своими
сопряженными: DDf = Df D.
Частными видами нормальных матриц являются следующие:
1. Эрмитовы, или самосопряженные: D = D+.
2. Симметричные, т. е. вещественные матрицы D, обладающие
свойством D = Л.
3. Унитарные: Z>f D = /, где / — единичная матрица.
4. Ортогональные, т. е. вещественные унитарные матрицы.
5. Матрицы вращений, представляющие собой ортогональные
матрицы с детерминантом, равным 1.
6. Матрицы перестановок и псевдоперестановок, имеющие
в каждой строке и каждом столбце только один отличный от
нуля элемент, который в первом случае равен 1, а во втором —
либо 1, либо —1.
7. Диагональные, все элементы которых, находящиеся вне
главной диагонали, равны нулю.
В дальнейшем будут рассматриваться лишь нормальные
матрицы.
2. Эквивалентность. Одним из важнейших понятий в теории
представлений является понятие эквивалентности двух матриц D\
и D2 одной и той же размерности.
Две матрицы D4 и D2, имеющие одну и ту же размерность,
называют эквивалентными, если существует такая неособенная
матрица S (т. е. \S\ =detS ф 0), что имеет место равенство
Преобразование, переводящее D4 в D2, называют преобразованием
подобия. Эквивалентность двух матриц записывают в виде
равенства Di ~ D2; неэквивалентность обозначают через Di<~f-> D2.
Матрицу называют приводимой к диагональному виду, если
она эквивалентнНкакой-нибудь диагональной матрице.
Только нормальную матрицу D можно привести к
диагональному виду с помощью унитарной матрицы S. В этом случае для D
можно решить задачу на собственные значения и поставить на
18
Гл. 1. Элементы математического аппарата
главной диагонали диагональной матрицы, эквивалентной D, ее
собственные числа.
Характеристический полином всякой матрицы D
|D-M|=S(-l)rt-v(jvA<V
является инвариантом любых преобразований подобия. Это
непосредственно вытекает из следующей цепочки равенств:
\S~lDS-)j\ = \S-l{D-]J)S\-
~\S-l\\D-U\\S\ = \D-U\.
Корни К характеристического полинома равны собственным
значениям матрицы D. Коэффициент av характеристического
полинома равен сумме всех (п— v)-мерных главных миноров1). В
частности,
вп-{ == Sp £> (след D),
<*о== I £ I (детерминант D).
Все собственные числа и коэффициенты характеристического
полинома <xv являются инвариантами преобразований подобия.
Следовательно, подобные матрицы всегда имеют одинаковые
собственные числа, следы и детерминанты.
Особое значение для дальнейшего имеют системы матриц, т. е.
совокупности из нескольких матриц:
8>-{D„ .... Dg}.
Число g матриц в такой совокупности называют порядком
системы матриц. На системы матриц можно, например, перенести
только что рассмотренное понятие эквивалентности.
Две системы матриц 2) = [Du ..., Dg) и 2)' = {D[, ..., D'g)
одного и того же порядка g называют эквивалентными, если
существует такая неособенная матрица S, что
D'i=S-lDiS
для всех i = 1, ..., g.
Существенно, что матрица S, осуществляющая преобразование,
одна и та же для всех матриц D* системы ф.
3. Приводимость. Прежде чем дать определение приводимости,
введем понятие прямой суммы двух матриц.
1) Принято называть (п — v)-мерным главным минором я-мерной матрицы/)
детерминант (п — v)-мерной матрицы, получающейся из D вычеркиванием v
строк и v столбцов с равными номерами.
§ 2. Матрицы
19
Матрицу D называют прямой суммой матриц Di и D2, если она
имеет вид
/Z), 0\
D-U J'
т. е. если D — некоторая блочная диагональная матрица, на
главной диагонали которой стоят матрицы Di и D2. В этом случае
будем писать D = DA ф D*
Очевидно, имеют место следующие равенства:'
Размерность D = Размерность Dx + Размерность D2,
SpD^SpDj + SpD^
Аналогичным образом можно ввести понятие прямой суммы
систем матриц, понимая под системой £> 0 ЗУ систему матриц
вида Di®Dl
Далее, назовем приводимой такую матрицу D, которая
эквивалентна какой-нибудь прямой сумме матриц1). В противном
случае будем называть матрицу неприводимой.
Аналогично приводимой назовем такую систему матриц,
которая эквивалентна прямой сумме систем матриц; в противном
случае система матриц неприводима.
Таким образом, приводимую систему матриц с помощью
некоторой матрицы S можно преобразовать к такому виду, чтобы
все ее матрицы имели блочную диагональную форму, причем
разбиение на блоки имело бы одинаковый вид для всех матриц.
Если далее системы блоков сами представляют неприводимые
системы матриц, то говорят, что исходная система матриц
приведена. Привести можно любую приводимую систему матриц.
4. Линейные преобразования. Теперь установим связь между
классами rf-мерных эквивалентных матриц и линейными
преобразованиями в линейном векторном пространстве Vd размерности d.
При фиксированном выборе базиса е4, ..., е<* в пространстве
Va столбец вида
__ 41)
1) Так как далее мы будем иметь дело лишь с матричными группами, нам
Достаточно данного определения, хотя оно несколько и отличается от принятЪго
в математике. Поэтому же мы не будем вводить термины «разложимая» и
«полностью приводимая».
20 Гл. 1. Элементы математического аппарата
d
обозначает вполне определенный вектор г=2*А. Тогда с
помощью любой rf-мерной матрицы D, полагая х
X' = DX, (1.3
можно определить преобразование Л, переводящее вектор г в
вектор г' = Лг. Если далее ввести в пространстве Vd с помощью
равенств
d _
некоторый новый базис, то будем иметь
d d _ , d d __
Следовательно, координаты вектора г относительно базиса е,- свя-
заны с координатами относительно базиса е* следующим
матричным равенством:
X'=S~lX,
где S = (йц). Равенство (1.3) в новой системе координат
примет вид
X' = S~lDSX.
Таким образом, линейное преобразование в новых координатах
будет описываться с помощью матрицы S^DS, эквивалентной D.
В соответствии с этим линейному преобразованию Л в
пространстве Vd можно сопоставить класс эквивалентных матриц.
Векторное пространство Vd называют инвариантным
относительно линейного преобразования Л, если
AVasVd,
т. е. если все векторы пространства Vd под действием
преобразования Л вновь переходят в векторы Vd» В частности, векторное
пространство всегда инвариантно относительно линейных
преобразований, определенных описанным выше способом с помощью
классов эквивалентных матриц. Совершенно аналогично d-мерная
система матриц 35 определяет в пространстве Vd систему
линейных преобразований Я.
Если система матриц приводима, то из (1.3) сразу же
вытекает, что Vd распадается по меньшей мере на столько
подпространств, инвариантных относительно системы преобразований 51,
сколько подсистем содержит система матриц 5D, т. е. сколько
блоков стоит на диагоналях матриц этой системы. Если, с
другой стороны, пространство Vd расщепляется на некоторые инва-
§ 2. Матрицы
21
риантные относительно 91 нетривиальные (не равные нулю или
Vd) подпространства, то система матриц 35 приводима.
Векторное пространство Vd называют приводимым
относительно системы линейных преобразований Я, если Vd содержит
нетривиальные инвариантные подпространства. В противном
случае пространство Vd называют неприводимым.
Пространство Vd неприводимо относительно преобразований
% только тогда, когда неприводима соответствующая система
матриц Ф.
5. Лемма Шура. Очень важную роль при доказательстве
многих теорем играет лемма Шура, к изложению которой мы сейчас
и перейдем.
Пусть имеются две неприводимые системы матриц Фиф7
равного порядка g и не обязательно равных размерностей d и d'.
Если существует такая прямоугольная матрица S, имеющая d
строк и d' столбцов, что для какого-то расположения матриц
в системах имеют место равенства
SD't-DiS (/=1, ..., g), (1.4)
то либо S = О, либо S — неособенная, т. е. квадратная, матрица
(d = dr) и |S|.=£0. Вторая половина альтернативы, очевидно,
равносильна утверждению, что системы матриц фиф'
эквивалентны.
Для доказательства обозначим матричные элементы матрицы
D'i через dT (р, а = 1,2, ,.., d'), а столбцы матрицы S будем
рассматривать как некоторую систему векторов Sp (р =■
- 1, 2, ..., d'). Тогда равенство (1.4). можно записать в виде
^D'rSp-DiSo.
р
Такая запись означает, что векторное пространство, натянутое на
векторы Sa, инвариантно относительно линейных преобразований,
определяемых системой матриц ф в пространстве Vd- Так как
система матриц ф неприводима, то и пространство Vd также
неприводимо относительно соответствующей системы линейных
преобразований. Следовательно, пространство d'-векторов Sa может
только либо быть цулевым, либо совпадать с Vd, т. е. S = О или
d't> d. У
Поскольку система матриц 3)f, сопряженная с Ф, также
неприводима, то
SfDf{=D?S\
и, следовательно, можно показать, что либо S = О, либо d > d'.
Таким образом, для S ФО имеем d = d'\ d векторов Sp линейно
йй
Гл. /. Элементы математического аппарата
независимы, поскольку они являются базисом векторного
пространства Va, а следовательно, и |S|=£0.
Важным следствием из леммы Шура является следующее
утверждение (вторая часть леммы Шура).
Если отличная от нуля матрица S перестановочна со всеми
матрицами некоторой неприводимой системы, то она кратна
единичной матрице, т. е. 5 = XL
Пусть X — некоторое собственное число матрицы S. Тогда
\S — XI\ = 0, и поскольку матрица S — XI перестановочна с
системой матриц 5D, то согласно лемме Шура, S — XI = 0.
§ 3. Теория представлений
► 1. Матричные группы. Под матричной группой понимают
такую систему матриц, матрицы которой образуют группу, причем
групповой операцией умножения является обычное матричное
умножение. В этом случае роль единичного элемента группы играет
единичная матрица, а обратными элементами являются обратные
матрицы. Следовательно, все матрицы любой матричной группы
должны быть неособенными.
Для матричных групп справедлива следующая важная
теорема.
Всякая конечная матричная группа эквивалентна некоторой
унитарной матричной группе.
Если 3) = {Diy ..., Dg} — некоторая матричная группа, то
можно построить эрмитову положительно определенную матрицу
D = 2 DiDt
Матрицу Д в свою очередь, всегда можно привести к
диагональному виду с помощью некоторой унитарной матрицы U:
A = U~lDU,
где £/£/*== /, а матрица Л диагональна и имеет на диагонали
лишь положительные элементы. Далее рассмотрим матрицу Л1/г,
на главной диагонали которой стоят положительные значения
корней из соответствующих элементов матрицы Л. Покажем, что
матрица S = UAl/* преобразует систему матриц 5D в унитарную
систему. Действительно, поскольку
SSf = UAUf = D,
то
S-lDiS(S-]DiS)fr S-]D;DDJS-lf =
§ 3. Теория представлений
23
что и доказывает утверждение. Групповые свойства системы
матриц 5) использовались, когда мы считали, что вместе с D{
матрицы DjDi при любом фиксированном / также пробегают все
элементы группы.
Теперь сформулируем теорему об однозначности разложения
приводимой матричной группы; ее доказательство будет дано
ниже.
Неприводимые составные части приводимой матричной группы
определяются однозначно с точностью до порядка следования и
эквивалентности (преобразования подобия).
В качестве примера рассмотрим матрицы, описывающие
вращения 8, &2х, бгу, 62z. Мы не станем вводить для них новых
обозначений:
/1 0 0\ /1 0 0\
•-(О 1 0 , 62,= 0 -1 0 ,
\0 0 1/ \0 0 -1/
/-1 0 0\ /-1 о о\
*2,-( 0 1 0 , 622 = 0 -1 0 ].
V о о -1/ \ о 0 1/
Эти матрицы образуют матричную группу, эквивалентную
четверной группе Клейна. Очевидно, что они приводимы, записаны
в полностью приведенной форме и могут быть разложены на три
неприводимые составляющие части:
г
1
1
1
*>2Х
1
-1
-1
Ь*у
-1
1
-1
62*
-1
-1
1
2. Представления групп. Представлением группы называют
матричную группу, гомоморфную группе G. Размерность матриц
называют размерностью представления.
Следовательно, всякое представление абстрактной группы
реализуется в виде некоторой системы матриц, дающих при
умножении те же соотношения, что и представляемая абстрактная
группа {основное свойство представлений). Отображение
элементов абстрактной группы на матричную группу не обязательно
Должно быть взаимно однозначным, однако одинаковым
элементам группы всегда соответствуют одни и те же матрицы.
Например, каждому из элементов группы можно сопоставить d-мерные
единичные матрицы. В частности, представление, в котором каж-
24
Гл. 1. Элементы математического аппарата
дому элементу соответствует 1 («одномерная единичная
матрица»), называют тождественным или единичным представлением,
Если отображение элементов группы на матрицы
представления является взаимно однозначным, то представление называют
истинным или точным.
На представления можно перенести также понятия
эквивалентности и приводимости.
Два представления SE>i и ©2 группы G называют эквивалент-
ными, если соответствующие друг другу в этих представлениях
матрицы связаны с помощью одного и того же преобразования
подобия. При этом мы будем писать ®i ~ ©2. В противном
случае SDi'-f'S)*
Так как каждое представление эквивалентно некоторому
унитарному, то часто можно ограничиться рассмотрением лишь
унитарных представлений.
Представление 35 группы G называют приводимым, если оно
эквивалентно прямой сумме представлений. В противном случае
его называют неприводимым.
Вновь справедлива следующая теорема об однозначности.
Разложение представления на неприводимые представления
однозначно с точностью до эквивалентности и порядка
следования неприводимых составляющих частей.
Единичному элементу группы в любом представлении всегда
соответствует единичная матрица.
Все неприводимые представления абелевой группы всегда од.
номерны.
Действительно, поскольку все элементы абелевой группы
перестановочны, то перестановочны и представляющие их матрицы.
(Обратное, очевидно, не имеет места, так как и для неабелевых
групп «матрицы» тождественного представления перестановочны.)
Из перестановочности матриц в силу второй части леммы Шура
вытекает, что все матрицы представлений кратны единичным. Так
как представление неприводимо, то оно, очевидно, должно быть
одномерным.
Все одномерные представления унитарны, т. е. состоят из
чисел типа фазовых множителей. Действительно, если порядок
элемента а равен я, то ап = е и, следовательно, элементу а можно
поставить в соответствие корень n-й степени из единицы.
В частности, все неприводимые представления абелевой
группы всегда унитарны.
Часто также используют (без подробных пояснений)
следующую теорему.
Если 3) и ЗУ — два эквивалентных унитарных неприводимых
представления, то матрица S, определяемая соотношением
©' = s^ftS
§ S. Теория представлений
25
с точностью до постоянного множителя, всегда может быть
выбрана унитарной. (Для приводимых представлений это в общем
случае уже не имеет места.)
Используя соотношение
2),f=Sf£>+S-1+,
имеем
или, так как 5)+ = 5D"1,
®ssf = ssf®.
Из неприводимости 5), согласно лемме Шура, следует, что
SS* = XI.
Множитель Я в последнем равенстве должен быть вещественным,
что легко понять, записав выражение, комплексно сопряженное
с предыдущим. Поскольку матрица S определена лишь с
точностью до постоянного множителя, то можно положить Я=±1.
Однако случай SS+= —/ неприемлем, так как иначе |detS|2 =
= — (—l)dim/, что в общем случае не может иметь места.
Важнейшей характеристикой представления является его
характер. Под характером представления понимают совокупность
следов всех матриц представления. Величину
X(a) = SpD(a)
называют характером элемента а группы в представлении 53).
Эквивалентные представления имеют одинаковые характеры,
поскольку следы матриц инвариантны по отношению к преобразовав
нию подобия. По этой же причине характеры являются фактически
функциями классов, т. е. элементы одного класса (сопряженные
Друг другу элементы) в одном и том же представлении имеют
одинаковые характеры.
Таким образом, Обычно достаточно указывать лишь характеры
классов.
Характер единичного элемента всегда равен размерности
представления.
Если приводимое представление 3) разлагается на неприводи*
мые так, что неприводимое представление SE>i встречается п\ раз,
представление ©2 встречается Лг раз и т. д., то часто это записью
вают следующим образом:
р
Очевидно, что для соответствующих характеров справедливы ра*
венства
%(a)=%np%™{a).
26 Fa. 1. Влементы Математического апНарата
3. Регулярное представление. Рассмотрим теперь одно
представление специального вида, которое можно построить для
любой группы, а именно регулярное представление.
Обозначим элементы группы G через аи ... > %. Далее, если
ах — некоторый произвольный элемент группы G, то вместе с а}
элемент аг = а*а,- также пробегает по всем элементам группы.
Таким образом, элемент а* определяет отображение группы на саму
Себя: dj—>щ. Это отображение позволяет поставить в соответствие
элементу а* матрицу, реализующую ту же самую перестановку
элементов и определяемую равенством 1)
8
apt = 2 Dru (at) а% (j = 1, ..., g). (1.5)
Определенная таким образом система ^-мерных матриц Dr
образует точное представление группы G и носит название регулярного
представления фг группы G.
Взаимная однозначность отображения элементов группы на
матрицы $)г вытекает из однозначности деления. Поэтому
достаточно показать лишь, что совокупность матриц Dr удовлетворяет
основному свойству представлений. Для этого умножим равенство
(1.5) слева на аь.
{akat) a j «= 2 Я// (а*) Г 2 Dmi (а*) ат] =
= 2 [ 2 Dr„u (а*) Dru (а*)] ат..
Так как, с другой стороны, по определению
(akat) а} =* 2 £>т/ (а*а*) Ят,
т
ТО
Drm} (aifli) * 2 Drmt {ak) Drtf {сц)>
Характер элемента ai в регулярном представлении равен числу
элементов ah для которых ага5 = а^ Это означает, что характеры
всех элементов группы, кроме единичного, в регулярном
представлении равны нулю. Характер же единичного элемента, как и всегда,
равен размерности представления, т. е. в данном случае порядку
группы g.
Позже мы покажем, что регулярное представление приводимо
и содержит все неприводимые представления группы G, причем
*) Записанное равенство, внешне вводящее в группе сложение, так как оно
включает умножение элементов группы на число, имеет смысл лишь потому, что
Dr суть матрицы перестановок, элементы которых могут быть равны только или
О, или 1.
§ 3. Теория представлений
27
каждое неприводимое представление встречается в нем столько
раз, какова его размерность.
Сейчас же остановимся только на одном простейшем примере,
а именно рассмотрим циклическую группу С2, состоящую из
элементов г и бг. Неприводимые представления этой группы
одномерны. В соответствии с общей теорией величина в всегда должна
соответствовать 1, а 62 есть корень квадратный из 1, т. е. либо 1,
либо —1. Таким образом, Ихмеется лишь два неприводимых
представления
в 62
1 1
1 -1
Регулярное представление этой группы двумерно (g = 2) и,
следовательно, должно быть приводимым. Легко видеть, что оно
состоит из матриц
^«"(J ?)' Dr(52)==(i о)'
Очевидно также, что данное регулярное представление можно
разложить на два указанных выше неприводимых представления
группы. Иными словами, оно содержит все неприводимые
представления, причем каждое лишь один раз в соответствии с их
размерностями.
4. Основная теорема теории представлений. Теперь мы дока-
жем основную теорему теории представлений.
Каждая конечная группа G имеет столько неэквивалентных
неприводимых представлений, каково число ее классов сопряженных
элементов г. Для любых двух неприводимых представлений 5Dg и
2)р справедливы соотношения ортогональности
^ D(# (a) D®-1 (а) - -*- М/Х» (1.6)
a&G Р
где dp — размерность представления 2)р. Символ b'QP означает, что
6^> = 0 для ЪдФЪр и 6qP = l для S^sBp. Если же 2)^ ~ 3)р,
но не совпадает тождественно с ним, то ничего определенного
сказать нельзя, так же как и в случае приводимых представлений.
Если представления унитарны, то* очевидно,
2 tiff (a) D]$ • (а) —£- бцв/tfip. (1.7)
28 Гл. 1. Элементы математического аппарата
Сначала мы докажем соотношения ортогональности. Пусть 2)а и
3)р — два представления группы G, имеющие размерности dv и
dq, X — некоторая прямоугольная матрица, имеющая dq строк и
dp столбцов, и
Р= 2 D{q)(b)XD{p)~l(b).
Тогда
PZ)(p)(a)= S D(a)(6)ZD(pHI(6)D(p)(a)-
т. е.
PD(p)(a) = Diq)(a)P
-i
D{Q)(a)P,
для всех а^ G. Если теперь 35р и 5Dg неприводимы и
неэквивалентны, то, согласно лемме Шура, Р = 0, так что для Xmn = 6mj6nft
(где индексы /и /5 фиксированы) выполняется равенство
9 = Л/= 2 D\f{a)Dltl(a).
Если же S£)g и 3)р неприводимы и 5Dg = 5)р, то, согласно второй
части леммы Шура, Р = ЯЛ Вычисляя след от обеих частей
написанного равенства и вновь полагая Хтп = 6mj6nA, получаем
hdps=sgSpX = gbk!-
С учетом того, что Я = (g/dp)6hj> окончательно имеем
Используя только что доказанные соотношения ортогональности,
можно показать, что число различных неэквивалентных
неприводимых представлений равно точно г. Определим для каждого
представления 5D r-мерный «вектор характеров»
а(2» =
V'-
l£-v<s»
g
XT
(1.8)
где г* — число элементов в классе С*. Поскольку характеры
являются функциями классов, то их можно нумеровать тем же
индексом, что и соответствующие классы. Векторы характеров двух
§ 3. Теория представлений
29
неэквивалентных неприводимых представлений ортогональны друг
другу. Действительно,
0(р) t0w> = J] LL х(р)^) —i 2 Х(р>* (а) *М> (а).'
Так как всякое представление эквивалентно некоторому
унитарному и характеры являются инвариантами преобразований
подобия, то
Г* (а) - 2 ЛИГ («У = S Ли"1 («). (1.9)
Откуда с учетом соотношений ортогональности имеем
0(Р) tpW=±22 лиг1 w D<? («)=с
Так как r-мерное векторное пространство не может иметь более
чем г ортогональных друг другу векторов, то число
неэквивалентных неприводимых представлений не должно превышать г.
Чтобы показать, что это число не меньше г, предварительно
выведем одну важную формулу, используя понятие регулярного
представления.
Считая, что регулярное представление имеет полностью
приведенную форму, запишем его в виде ч
р
где £>'р — неприводимые составляющие представления S)rl).
Подобное же соотношение имеет место для характеров и векторов
характеров
ог-Цяро<». (1.10)
р
Из ортогональности iK*> следует
так как в регулярном представлении только характер единичного
элемента отличен от нуля и равен g. Равенство пр = dv означает,
что всякое неприводимое представление входит в регулярное
представление столько раз* какова его размерность (об этом уже
упоминалось выше). Тогда из записанного в компонентах равенства
(1.10) вытекает
SdpX^-e*,! (/-1, .... г). (1.11)
!) Число неэквивалентных неприводимых представлений не превышает г.
30
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Подчеркнем, что соотношение (1.11) имеет место для всех
классов Су, суммирование в (1.11) производится по всем
неприводимым представлениям, и %/р) обозначает характер класса Cj в
неприводимом представлении 5)р.
Для дальнейшего нам понадобится еще понятие матрицы
класса, которую мы определим равенством
SjP>- 2 D{0)(a).
Очевидно, что матрицы классов перестановочны со всеми
матрицами представления. Если представление ©р неприводимо, то,
согласно второй части леммы Шура, матрицы классов с
необходимостью должны быть кратны единичным
Вычисляя след от обеих частей данного равенства и учитывая
определение матрицы класса, можно найти величины [if\ Тогда
получим
Stf-J£-.i. (1.12)
ар
Формула умножения классов (1.1), примененная к матрицам
классов неприводимого представления 5)р, может быть записана в виде
г
q(P) о(Р) _ V п ЫР)
' / ~~ АСЧк*к '
или с учетом (1.12)
Суммируя (1.13) по всем неприводимым представлениям и
используя (1.11), получаем
^24^ = ^^.
Далее из (1.2) с учетом того, что г\ = 1, имеем
р
Наконец, поскольку /' соответствует классу, обратному Cj, и так
как, согласно (1.9), характер обратного класса равен комплексно
сопряженному от характера %jt окончательное выражение можно
записать в виде
yS4T=V (1.14)
Р
§ 3. Теорий, представлений
31
Если теперь из векторов характеров, считая их столбцами,
образовать матрицу (число столбцов такой матрицы, как мы уже
знаем, не превышает числа ее строк), то соотношения (1.14)
означают, что строки такой матрицы ортогональны между собой.
Следовательно, число строк не превышает числа столбцов и равно г.
Тем самым доказана основная теорема теории представлений.
5. Характеры. Выше мы уже определили характер
представления как совокупность всех следов матриц этого представления.
Кроме~ того, было показано, что характеры эквивалентных
представлений совпадают и что характеры являются функциями
классов, т. е. что все сопряженные элементы имеют.одинаковые
характеры.
Особый интерес представляют характеры неприводимых пред*
ставлений. Так как, согласно основной теореме теории
представлений, число неприводимых представлений ©р равно числу
классов сопряженных элементов Си характеры %<р) неприводимых
представлений можно записать в виде некоего числового квадрата,
который называют таблицей характеров. Таким образом, любой
группе соответствует вполне определенная таблица характеров.
Таблица характеров с точностью до множителей Vrt/S совпадает
с матрицей, колонками которой служат векторы характеров (1.8),
ортогональность которых мы доказали выше. Следовательно, дли
характеров неприводимых представлений справедливы следующие
соотношения ортогональности:
2/■,#>•$•»-**„, (1.15)
г
2xip)Mp)=f- «„. (i.i6)
Так как характеры неприводимых представлений равны, то 6pq = 1
не только для 3)р = 3)д, но и для 5DP ~ 5D^.
Для характеров приводимых представлений соотношения
ортогональности в общем случае не выполняются.
Для примера рассмотрим таблицу характеров четверной
группы Клейна. Эта группа абелева, т. е. г = g, и, следовательно, число
классов и число неприводимых представлений равны четырем.
В п. 1 мы уже рассмотрели трехмерное (приводимое)
представление группы £>2 и произвели его разбиение на неприводимые
составляющие. Все три получившихся представления различны.
Недостающее четвертое представление, очевидно, тождественное.
Таким образом, таблица характеров группы D2 имеет вид табл. 5.
Полное и систематическое вычисление характеров может быть
32
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Таблица 5
©1
t>2
Фз
£>4
е
1
1
1
1
62v
1
1
—1
—1
Ь2у
1
— 1
1
—1
62*
1
— 1
— 1
1
проведено с использованием коэффициентов в произведениях клас?
сов cijk по формулам (1.13). Однако фактическое проведение
вычислений весьма трудоемко, и поэтому довольно часто мы будем
прибегать к различного рода интуитивным приемам.
Если теперь 2) — некоторое приводимое представление группы
G, то его можно записать в полностью приведенном виде
й>-2лр©р., (1.17)
(Здесь знак суммы 2 следует понимать как прямую
сумму.матриц.) Тогда для характеров имеет место следующее соотношение:
г
Умножая предыдущее равенство на г*%^* и суммируя no t,
согласно (1,15), будем иметь
"p-tS^*,- (1-18)
* 1-1
Следовательно, если известна таблица характеров группы, то легко
определить, на какие неприводимые представления расщепляется-
данное представление этой группы в результате приведения.
Вместе с тем доказана и теорема однозначности, состоящая в том, что
всякое представление с точностью до порядка следования и
эквивалентности разбивается на неприводимые представления только
одним способом.
Далее, используя (1.15), для характеров представления (1.17)
можно написать.
truXi-t р2 /W^^-g^n*. (1.19)
Это рабенство содержит еЩе один критерий приводимости
представления, если известны его характеры и числа riy необходимые
§ 3. Теория представлений
33
для вычисления левой части соотношения. Если представление 5D
неприводимо, то оно эквивалентно некоторому неприводимому
представлению 2)ро, и в «разложение» (1.17) войдет лишь это
представление 3)ро с яро= 1. Все остальные пр будут равны нулю, так
что правая сторона равенства (1.19) окажется равной g. Если же
представление £) приводимо, то сумма справа в (1.19) будет
больше единицы.
Мы сформулируем критерий приводимости следующим
образом.
Представление 5D группы G неприводимо только в том случае,
если
SrilXiP-* (1.20)
В противном случае сумма (1.20) больше g (но всегда кратна g)
и представление 5D приводимо.
Этим критерием можно пользоваться, если даже неизвестно
разложение группы на классы, а известны матрицы или даже
лишь следы матриц представления. Иными словами, достаточно
знания характеров всех элементов, так как
ЗЫйР- 2lx(a)P. (1.21)
Сейчас на небольшом примере мы покажем, как пользоваться
этим критерием. Для этого нам потребуется понятие
индуцированного представления.
Пусть Н — нормальный делитель группы G и 5) —
представление ее фактор-группы G/#, т. е. каждому смежному классу
группы G по Я соответствует некоторая матрица представления.
Сопоставляя эти матрицы SD каждому элементу смежного класса,
мы получим представление G. Это представление будем называть
индуцированным представлением 3)1*1. Тот факт, что 5Dtel
действительно является представлением G, вытекает из того, что любое
произведение аЬ двух элементов группы содержится в
произведении 2а2ь соответствующих смежных классов.
Если представление 5D неприводимо, то и 5)[е1 также
неприводимо, и обратно. Пусть gt ht g/h — порядки групп G, Н и G/tf.
Тогда из (1.21), если 5D — неприводимое представление G/H,
имеем
№ g/h
2lx(a)l2 = 2 2 lx(*)P-*SlfcP-A£-*.
a&G /*»1 a^Lt *-1
т. е. 'Фм — также неприводимое представление G.
34
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Частным случаем соотношений ортогональности (1.16) является
соотношение, которое ранее было получено в связи с регулярным
представлением [ср. с (1.11)]:
2 4 = Р. (1.22)
р-1
С его помощью часто можно установить размерности
неприводимых представлений группы, если известны ее порядок и число
классов сопряженных элементов г.
Так, например, для абелевых групп г = g и, следовательно, они
имеют лишь одномерные неприводимые представления.
Рассмотренная в п. 5 группа D3 имеет шестой порядок и три
класса. Следовательно, чтобы выполнялось соотношение (1.22),
два ее представления должны быть одномерными и
одна—двумерным. Одно из двух одномерных представлений обязательно
является тождественным.
6. Прямое произведение. Часто группу можно представить
в виде так называемого прямого произведения jjByx ее подгрупп,
что позволяет указать способ получения ее представлений через
представления указанных подгрупп. Сначала мы дадим
определение прямого произведения.
Пусть группа G имеет две подгруппы Gx и G2, обладающие
следующими свойствами:
1. Для любых ai е Gj и а2 е G2 выполняется равенство аха2 =»
*= #201.
2. Любой элемент а группы G может быть однозначно
представлен в виде а = аха2 = а2ах, где ах е G\ и а2 е G2.
3. Подгруппы G\ и G2 имеют лишь один общий элемент е.
В этом случае группу G называют прямым произведением
подгрупп G\ и G2 и пишут
G=GXX G2=G2X G{.
С другой стороны, можно, исходя из любых двух групп G\ и G2
с элементами ах е Gx и а2 е G2, построить группу G = Gx X G2
с элементами (ах, а2) (порядок следования элементов ах и а2
произволен), произведение которых определяется следующим
образом:
(аи a2)(bXi b2) = (axbx, a2b2).
Тогда элементы (ах,е) изоморфны группе Gb элементы вида (е,а2)
изоморфны группе G2 и при этом выполнены все три требования,
которым должно удовлетворять прямое произведение.
Порядок g группы, являющейся прямым произведением, равен
произведению gxg2 порядков групп G\ и G2.
§ 3. Теория представлений
35
Любой класс сопряженных элементов прямого произведения G
равен произведению одного из классов С{Р группы G\ на один из
классов С/2) группы G2. Мы будем обозначать эти классы
символами Cij. Число элементов Гц класса Сц равно r[l)rf\ Число
классов г = rW2), где г0> и г(2) — числа классов группы G\ и G2
соответственно.
Для доказательства сформулированных утверждений
относительно классов сопряженных элементов достаточно показать, что
два элемента а и b группы G сопряжены только в том случае, если
взаимно сопряжены соответствующие сомножители а\, а2 и Ьи Ь2.
Действительно, а и Ь всегда можно однозначно разложить на
сомножители а — а\а2 ri Ь = &i62. Далее, если элементы а и Ь
сопряжены, то существует такой элемент и = щи2 е G (щ е Gi,
и2 ^ G2), что а = u~lbu. Вследствие перестановочности элементов
групп G\ и G2 можно написать
а{а2 - а = и2~ Vй ^«^ = (nf1* ,и,) (u~lb2u2).
Откуда, используя однозначность разложения на множители,
имеем
ах — и^1Ь{и{ и а2 = и21Ь2и2.
Обратное утверждение доказывается аналогично.
Для построения представлений прямого произведения нам
потребуется привлечь понятие кронекеровского произведения из
теории матриц.
Кронекеровским произведением d-мерной матрицы
А**(аи) (/, /=1, ..., d)
на d'-мерную матрицу
B = (bi>r) (/', /' = 1, ..., d')
называют матрицу А _® В, построенную из элементов
таким образом, что пары индексов (i, i') нумеруют ее строки, а пары
индексов (/, /') — столбцы. Порядок следования строк и столбцов
допускается произвольный, так что кронекёровское произведение
определяется только с точностью до преобразования подобия.
Размерность матрицы А ® 5, очевидно, равна d-d'. Также очевидно, что
Sp(A ® B) = Sp4 • SpB.
Наконец, если матрицы Ль А2 и В\, В2 имеют одинаковые
размерности, то, сравнивая соответствующие матричные элементы,
легко показать, что
(Ах ® Вх) (Л2 ® В2) = {А{А2) ® (ад). (1.23)
36
Гл. L Элементы математического аппарата
Для систем матриц фиф7 можно ввести два типа кронекеров-
ских произведений:
1) Внутреннее кронекеровское произведение, когда порядки
систем 35 и Ф' равны, т. е. системы содержат одинаковое число g
матриц. Оно определяется равенством
Ф ® Ф' = {Di ® D'u ..., Dg®Dg}.
Порядок системы Ф ® Ф' также равен g.
2) Внешнее кронекеровское произведение Ф X Ф'э состоящее
из всевозможных матриц вида
DiQD', (/=1, ..., g; /=1, .... g').
Порядок систем Ф X Ф' равен g-g'.
Размерности обеих матричных систем равны d-d'.
Если Ф и Ф7— два представления группы G, то
непосредственно из определения кронекеровского произведения вытекает,
что Ф ® Ф7 также будет представлением группы G. Характер
ф ® Ф' равен произведению характеров ф и Ф7, т. е. %{а)% (а).
Если ©1 и Ф2 — представления двух групп Gx и G2, то внешнее
кронекеровское произведение Ф = Ъх ® Ф2 будет представлением
прямого произведения групп Gx и G2, т. е. группы G = G\ X G5.
При этом характер класса Сг;-, очевидно, дается равенством
Xtj = %i%j> и представление Ф неприводимо только в том случае,
если неприводимы представления 5Di и Ф2.
Для доказательства того, что Ф = ®i X Ф2 является
представлением группы G, покажем, что оно удовлетворяет основному
свойству представлений. Если а = аха2 и Ъ = ЬХЬ2 (аи Ьх е G\\
а2, b2^ G2) —два элемента группы G, то, согласно (1.23),
D (axa2bxb2)« Z) (axbxa2b2) = Dj (а^) ® D2 (a2b2) =
= [Ь, (a,) Dx (6,)] ® [^2 (я2) D2 (b2)] =
-[D! (а,) ® D2 (а2)] [£>, (&0 ® D2 (Ь2)] = D (аха2) D (bxb2).
Чтобы показать, что представление ф неприводимо, только если
неприводимы представления ®i и ф2, воспользуемся критерием
(1.20). Для этого вычислим сумму по всем классам Су группы G
г0> И2) г(]) И2)
1 = 1 /^1 i»! /=1
Равенство в последнем выражении будет иметь место лишь в том
случае, если представления ®i и Ф2 неприводимы.
В качестве примера рассмотрим прямое произведение группы G7
на группу второго порядка С2. Пусть G7 — некоторая произвольная
группа, а С2 состоит из г и инверсии i (отражения относительно
§ 3. Теория представлений'
37
центра), т. е. совпадает с группой С*, перестановочной со многими
группами. Таблица характеров группы С2 и^еет вид
1 +
г
1
1
I
1
-1
Таблицу характеров группы G' символически представим в виде
X
Тогда таблица характеров группы G = G' X С2 запишется
следующим образом:
G'
X
X
Ю'
X
-х
Группа G в данном случае состоит из удвоенного по сравнению
с G' числа классов и имеет вдвое больше неприводимых
представлений. Каждому представлению группы G' размерности d
соответствуют два представления группы G той же размерности: четное
и нечетное. Таким образом, таблица характеров групп G = G' X С2
легко может быть построена из соответствующих таблиц групп
G' и С2.
7. Ограничение представления. Часто приходится
рассматривать связь между представлениями группы и ее подгрупп.
Пусть G' — подгруппа группы G, и пусть 2) — представление
группы G. Тогда матрицы представления 2D, соответствующие
элементам подгруппы G', образуют некоторое ее представление. Такое
представление мы будем называть ограничением1) представления
5) на подгруппе G'. В дальнейшем будем обозначать его через ©Ф.
1) Используемые далее термины «ограничение представления»,
«индуцированное представление», «орбита», «малая группа» и т. п. практически не
встречались в имеющейся на русском языке литературе по применению, теории групп
в физике. При переводе этих терминов мы следовали монографии Кэртиса и
Райнера. — Прим. ред.
38
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Каждое представление 3) группы G порождает представление 3)(s)
подгруппы G'. Если представление 3) неприводимо, то порожденное
им представление 3)<s) не обязательно должно быть неприводимым
представлением подгруппы G'. Это и понятно, так как, хотя
система матриц представления 3) не может быть далее приведена, часто
оказывается, что меньшая совокупность матриц, соответствующих
представлению 3)(s), уже приводима.
Для случая, когда подгруппа является нормальным делителем,
мы докажем позже одну важную теорему. Предварительно,
однако, необходимо ввести два новых понятия.
Если Я—нормальный делитель группы G, то по определению
для всех элементов аЕбибеЯ элементы вида a~lba также
принадлежат Я. Тогда из каждого представления 35 нормального
делителя Я с помощью соотношений
Da(b) = D{a~lba) {ae=G)
можно образовать новое представление 3)а подгруппы Я. Это
представление 3)а мы будем называть сопряженным к 2) (относительно
G) представлением Я.
Легко видеть, что матрицы Da(b) образуют представление.
Действительно,
Da (Ь) Da (&') = D (аГ1Ьа) D (аГ1Ь'а) = D (а-гЬЬ'а) - Da (bbf).
Представление 35а состоит из тех же матриц, что и представление
3); они лишь другим способом сопоставлены элементам группы.
Представления 3) и 3)0 имеют одинаковые размерности. С
помощью критерия (1.20) можно показать, что представление 35а
неприводимо только тогда, когда неприводимо представление 35.
Однако представления 3)а и 3) не обязательно являются
неэквивалентными представлениями подгруппы Я. В частности, если
элемент а е Я, то 3) и 3)а, очевидно, эквивалентны.
Если для всех a^G представления 3)а эквивалентны 3), то 35
называют самосопряженным относительно G.
Максимальную совокупность неэквивалентных неприводимых
сопряженных представлений нормального делителя Я группы G
будем называть орбитой О нормального делителя Я относительно
группы G. Число неэквивалентных представлений в этой
совокупности назовем порядком орбиты.
Всякое самосопряженное относительно G представление само
по себе образует орбиту первого порядка.
Так как орбита состоит из представлений одной и той же
размерности, то ее порядок не превышает числа неэквивалентных
неприводимых представлений Я данной размерности.
Теперь можно сформулировать и доказать упомянутую выше
теорему.
§ 3. Теория представлений
39
Всякое ограничение 3)(s> неприводимого представления 2)
группы G на нормальном делителе # ^ G расщепляется на неприводи*
мые составляющие, принадлежащие одной и той же орбите.
При этом любое представление, а следовательно, и вся орбита
встречаются m раз. Число m называют кратностью орбиты в
представлении 35.
Для доказательства предположим, что представление 5)
выбрано так, чтобы 5)(s) как представление Н имело приведенную
форму, т. е.
£>(s)=i«ps>p,
р=1
где ©р — неприводимые представления Я. Тогда для любого
сопряженного к ©Ф относительно G представления S)^ (а е G)
имеем
©? - /Г1 (а) Л> (а) = 2 Яр©Р| а. (1.25)
Заметим, что поскольку ©Ф — ограничение 5), то оно
самосопряжено относительно G, т. е. эквивалентно всем ©£\ Через ©р, а
в (1.25) обозначено сопряженное к ©р представление с матрицами
Ом(»)вОрИа) (бе Я).
Из эквивалентности 3)(5) и Я)?* следует, что их приведенные
формы совпадают с точностью до порядка следования и
эквивалентности, т. е.
г г
р«1 р=1
Так как все 2DP, а при фиксированном р принадлежат одной и той
же орбите, то в приведенную форму S)<s) входят только целые
орбиты. Если представление Фр встречается пр раз, то и всякое
другое представление 2)р, 0 данной орбиты встречается также лр
раз, т. е. все nv ф 0 равны между собой и равны т. В приведенной
форме не может оказаться двух различных орбит. В противном
случае £>(s) можно было бы записать в виде
U [0) { 0 D2{b)h
причем D{(b) состоит только из представлений одной орбиты,
a D2(b)—из представлений другой. Тогда преобразования типа
(1.25) с помощью матриц D(a) сводились бы к перестановке и
преобразованию подобия неприводимых составляющих частей каждой
орбиты. Из этого факта и леммы Шура сразу же вытекает, что 3}
40
Гл. L Элементы математического аппарата
как представление G расщепляется на две составляющие части,
а следовательно, приводимо. Этим полностью завершается
доказательство теоремы.
8. Индуцированные представления. Малые группы. Часто
возникает необходимость в получении всех неприводимых
представлений группы G по неприводимым представлениям какого-нибудь
ее нормального делителя //. Сейчас мы изложим один из способов
такого построения. Предварительно нам потребуется ввести
понятие индуцированного представления.
Если G' ^ G — некоторая подгруппа группы G, то G всегда
можно разложить по G' в левосторонние смежные классы. Число
смежных классов будет равно g/g't где g и g' — порядки групп G
и G'. Фиксируя набор представителей av ..., ag/g„ запишем это
разложение в виде
sis'
G=%atG'.
Пусть далее $) — представление подгруппы G' с матрицами D{b)
(b е G'). Если теперь для любой пары элементов a^G и 6eG;
ввести g/g'-мерные матрицы <х(а, 6), определяя их матричные
элементы равенствами
f 1 для afiaj^a (/, /=1, ..., -jA,
о и {а, Ь) = \ ' \ * ' (1.26)
I 0 в противном случае
то матрицы
Д(/)(я)= 2 о (a, b)®D(b)
b^Gf
образуют некоторое представление группы G. Мы будем называть
его представлением, индуцированным с помощью 5D, и обозначать
через 5D<J).
Докажем, что матрицы DW(a) действительно образуют
представление группы G. Согласно (1.23),
£>(/) (а) DU) (а/) в 2 (а (а, Ь) <g> D (Ь)) (а (а', &') ® D (&')) «
= 2 (<х (а, 6) or (а', &')) ® Ф (6) Я (&') )•
b.b'szG'
Так как матрицы £>(&) образуют представление G', то, производя
замену &&'-*&, получаем
D^ (а) £><'> (а') = 2 (2 (Т (а, М'"1) а (а', &')) ® Д (Ь).
§ 3. Теория представлений
41
Матричные элементы суммы, заключенной в скобки, равны
22Х/(а, bb'~l)a}k(a', b') = oih(aa'9 b).
у f
Действительно, сумма слева дает отличный от нуля результат лишь
в том случае, если одновременно хотя бы для одной пары а,, У
выполняются соотношения
afib'~lap = а, ар'а;1 = а'. (1.27)
Однако нельзя иметь более одной пары а;-, &', так как уравнение
aft' = a'ak (при фиксированных а\ ак) имеет лишь одно решение.
Следовательно, когда выполняются оба равенства (1.27), должно
выполняться соотношение
apakX = аа'>
т.е. сумма равна 1. Таким образом, доказано основное свойство
представлений для 5)^).
Теперь мы проанализируем структуру матриц DW(a).
Представление Ф<Л очевидно, имеет размерность dg/g\ где d —
размерность представления 35. Так как матрицы DW(a) являются
суммами кронекеровских произведений, то их можно разбить на
d-мерные блоки и рассматривать как «укрупненные» g/g'-мерные
матрицы, элементами которых являются d-мерные матрицы.
Строки и столбцы такой матрицы будем нумеровать индексами I
и у. Тогда (*/)-й блок равен
2 oit(a, b)D(b).
Для фиксированной строки I величины Оц(а,Ь) только в том
случае отличны от нуля, если
a^ai^afb'1- (1.28)
Поскольку это ,равенство выполняется только для одной пары
(aj, 6), то в'1-й строке отличен от нуля лишь один блок (ij)1).
Для этого блока справедливо соотношение
ajxaa^ G\ (1.29)
и, следовательно, он равен D(ajxaa^. Аналогично можно
показать, что и в каждом столбце укрупненной матрицы отличен от
нуля лишь один блок. Таким образом, матрицы DW(a) состоят
из (g/g')2 блоков размерности d, из которых отличны от нуля
лишь gig' блоков.
Индуцированное с помощью 5D представление ф^, очевидно,
зависит от выбора системы представителей аг-. Однако можно по-
х) Такие матрицы мы будем называть укрупненными матрицами
перестановок. В отличие от обычных матриц перестановок не равные нулю блоки в них не
обязательно должны быть единичными матрицами.
42
Гл. U Элементы математического аппарата
казать, что получающиеся с различными выборами представителей
индуцированные представления S)'^ и ©W эквивалентны.
Действительно, различный выбор представителей может быть
сделан двумя путями:
1) Путем перенумерации набора представителей а^ что
приводит к перестановке строк и столбцов укрупненных матриц DW(a).
Такие перестановки, как известно, всегда могут быть сведены
к преобразованиям подобия.
2) Если же в соответствующем смежном классе просто выбрать
какой-нибудь другой элемент afv то всегда найдется такой элемент
bi^G', что а^ = а.Ьг Запишем (//)-й блок матрицы D'W(a) в виде
£>Й7)(я)= 2 a^(a9b)D(b).
Однако, согласно определению (1.26),
о'ц(а, Ь) = вц(а, bibbj1),
так что
0',?{а)= 2 OufabtbbT^Dib).
Поскольку bibbf1 вместе с b пробегает все элементы G', то
ЛИ* (а)- 2 от,/(а, VD^ibJDWDXbj),
&eG'
откуда
и матрица U имеет вид
/D(b{) ... О ч
\ 0 ... Dibgfg*)/
Чтобы сформулировать теорему, позволяющую найти все
неприводимые представления группы G, введем понятие малой
группы.
Пусть даны группа G, ее нормальный делитель Я и
неприводимое представление S) нормального делителя. Если теперь
построить всевозможные, сопряженные к 5D относительно G
представления 35а, то элементы аеб, дающие эквивалентные
представления 35а, сами образуют группу, которую мы будем называть
малой группой (второго рода) относительно G, Я и 3). Обозначим
ее через L,
Очевидно, что H^L, и представление Ф является
самосопряженным представлением Я относительно. L.
Покажем, что элементы L действительно образуют группу.
Пусть а, о! е L, т. е. существуют такие U и U\ что
2>а = [/""'©[/, ®a<=U'-l№.
§ 5. Теория представлений
43
Тогда для любого 6еЯ имеем
Daa> (b) = D{a'~la-lbaa') = Da> {сг1Ьа) =
«= U'~lD (arlba) U' = Uf^Da (b) U' =
-U'-lU~lD(b)UU'.
Наконец, введем еще понятие допустимого неприводимого
представления малой группы L. Неприводимое представление 3)(*>
малой группы L, соответствующей G, Н и 35, будем называть (9опу-
стимым, если ограничение 35^ на подгруппе Н расщепляется на
неприводимые составляющие, эквивалентные 3). Поскольку
представление 35 является самосопряженным относительно L, то
достаточно потребовать, чтобы 3) просто входило в ограничение £)Ф.
9. Неприводимые представления групп с нормальным
делителем. Теперь мы в состоянии сформулировать состоящую из двух
частей теорему, которая позволяет строить все неприводимые
представления группы G с нормальным делителем Я, если известны
неприводимые представления нормального делителя.
Пусть даны группа G и ее нормальный делитель Н a G. Тогда
все неприводимые представления 3) подгруппы Н можно
распределить по орбитам относительно G. Пусть еще 3) — неприводимое
представление из орбиты О, a L — малая группа, соответствующая
G, Н и 3). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Каждое допустимое неприводимое представление 2)^ малой
группы L индуцирует неприводимое представление группы G,
являющееся орбитой О.
2) Все неприводимые представления группы G получатся точно
один раз, если из каждой орбиты Н относительно G брать одно
неприводимое представление, строить для него малую группу и из
каждого допустимого неприводимого представления 3)<е> этой
малой группы индуцировать также одно (по первой части теоремы —
обязательно неприводимое) представление.
В частности, из этих утверждений вытекает, что всякое
неприводимое представление группы G эквивалентно одному из
представлений, индуцированных из некоторого допустимого
неприводимого представления какой-нибудь малой группы.
Сначала покажем, что представление *£)(e>J\ индуцированное
из неприводимого представления £)(*> малой группы L, является
неприводимым представлением группы G.
Пусть дана (gYft)d^-мерная матрица Л1), перестановочная со
всеми матрицами представления Ф^7). Будем считать А разбитой
на точно такие же d^-мерные блоки, что и матрицы 35/б»,г)(а)» и
1) Величины g и Л —порядки G и L; d& — размерность $>(*>.
44 Гл. L Элементы математического аппарата
пронумеруем эти блоки индексами (ij). В частности, матрица А
должна быть перестановочна с матрицами D(e>J)(b) (be Я).
Матрицы D(e»J)(6), соответствующие элементам Ь нормального
делителя Я, являющегося подгруппой (а также и нормальным
делителем) малой группы L, квазидиагональны, так как для аеЯ
уравнение (1.28) имеет лишь единственное решение при / = и (Для
нормального делителя левосторонний смежный класс совпадает
с правосторонним.)
Далее d^-мерные блоки можно разбить на подблоки с
размерностями представления 2) подгруппы Я. Матрицы D^J^(b) для
элементов Ь е Я относительно этих уменьшенных блоков будут
также квазидиагональны. Если обозначить подблоки через
D?f(a), то йц (b)**Di(b)bifiob (6 е Я). Тогда из
перестановочности Л = (Л$) с D{e,J)(b) следует, что
S AffD, (Ъ) йАр - 2-D, (b) difiayAt
V,l У, I
или
4#D/(6) = Di(6M#. (1.30)
Здесь
Di(b) = D(a-lbai) (6 s Я)
и D(b)—матрицы неприводимого представления 5) подгруппы Я.
Так как а* ^ L, то ф< — неэквивалентное ф неприводимое
представление. И вообще ф* и ©,-— неэквивалентные неприводимые
представления1), так что из (1.30), используя лемму Шура, имеем
Л$ = Л7./, (1.31)
т.е. А — квазидиагональная матрица. Из (1.31) вытекает
перестановочность А с любой матрицей ф(е»'):
2 Af6„AV/V) = 21^ (а) Л„
Y, / У J
ИЛИ
2tfM(a) = 2£"7(aHf. (1.32V
Y Y
Для i = / = 1 это означает, что матрица (я^) перестановочна с
матрицей (Dif(a)). Но для agL матрицы (Да (а)) образуют
неприводимое представление £)(*> группы L, так что по лемме Шура
1) Если бы 2)/ = С/""!2)уС/, то имело бы место равенство Z^aj"1^) =
*=*U~lD(aJxbql)U для всех 6еЯ, в частности и для b=* а^'а"1, откуда
2) , ~2), т. е. a7laf^L. Последнее невозможно, так как тогда a^^aiL.
ai ai '
§ 3. Теория представлений
45
двР = ябар. Подставляя это соотношение в (1.32) при /= 1,
получаем А?р = Абар, или окончательно
Таким образом, всякая матрица, перестановочная с £)<*» J\ с
необходимостью кратна единичной матрице. Следовательно, по
второй части леммы Шура представление 35^»^ неприводимо.
Ограничение ©(««J) на подгруппе Я будет иметь полностью
приведенную форму. Блоки Du(b) неэквивалентны и расщепляются
на m одинаковых представлений, поскольку Dn(b) (как
ограничение 35<е)) расщепляется на m одинаковых представлений 5)
подгруппы Я.
Следовательно, ©С*»-о является орбитой, в которой содержится
представление 3).
Теперь докажем вторую часть теоремы. Для этого сначала
покажем, что всякое неприводимое представление группы G может
быть индуцировано с помощью допустимого представления
малой группы. Пусть дано произвольное неприводимое
представление G. Выберем это представление так, чтобы оно имело
полностью приведенную форму как представление Я, а одинаковые
представления были бы объединены в блоки. В этом случае блоки
будут иметь равные размерности. Неприводимые составляющие
части представлений образуют орбиту; число блоков в каждой
совокупности равно кратности орбиты. Образуем малую группу L,
соответствующую G, Я и входящему в блок (И) неприводимому
представлению 2) подгруппы Я. Разложим G в левосторонние
смежные классы по L:
G^^atL.
i
Тогда орбита будет состоять из представлений ©г-, образованных
с помощью элементов а% (S)i = 35):
Di(b) = D(a^bai) (b е= Я),
так как все сопряженные представления, образованные с помощью
элементов одного и того же класса, эквивалентны между собой.
Если а е ciiL, то имеется такое Ь', что а = аф' и
Da(Ь) = D (а~]Ьа) = /Г1 (б') D {аТ1Ьщ) D (&') = D"1 (&') D (Ь) D (b').
Так как для любого ЬеЯ выполняется а~1Ьа^Н, то матрицы
представлений, соответствующих br = сг1Ьа, квазидиагональны.
Тогда из равенства ba = abr имеем
2 Du (Ь) 6UDU (а) = 2 Da (a) Dn (У) 6lh
или
Du (b) Du (а) - Du (a) Du (a^ba).
46
Гл. 1. Элементы математического аппарата
Поскольку матрицы Du{b), как и матрицы Д;;(а_16а), «кратны»
(а точнее, равны) некоторому неприводимому представлению Я,
то по лемме Шура блок Dij(a) только тогда отличен от нуля,
когда оба представления эквивалентны. Иными словами,
D {a~rxba^~ D (ау1а~1Ьаа^,
или
D{b)~D(ajxcrlaibajxaa^.
Из последнего соотношения вытекает, что ат1аа^ L.
Следовательно, отличен от нуля лишь блок Dij(a), для которого
a-laafEEL. (1.33)
Таким образом, при фиксированном а в каждой строке и каждом
столбце останется лишь один блок. Например, в первом столбце
матрицы, представляющей элемент аи отличен от нуля блок (Л),
так как только для него удовлетворяется'условие (1.33).
Если теперь представление группы G преобразовать с помощью
матрицы вида
приведенная форма матриц, соответствующих элементам
подгруппы Я, не изменится, а также сохранится положение отличных
от нуля блоков. Обозначая трансформированные блоки через DV
и используя равенство Оц(а\) = Dn(e) = /, получаем
D'n {at)« 2 Dk\ (ak) bikDki (сц) Du (ax) 6n -
k, i
-DTil{ai)Dn(ai)Dii(ai)~I.
Определенный с помощью (1.33) отличный от нуля блок (ij)
с учетом
b = arxaa} е L
после подстановки в трансформированное («штрихованное»)
представление дает
D>u(a) - D'tl (аМГ) = g ^» (а,) *ы (ft) D''1 (а,) =
-2*мЯ*/(*)*п-ЯМ&). (1.34)
/г» /
(Здесь использована унитарность матриц Иц.)
Таким образом, представление ©' состоит из матриц D[\ (b) как
неприводимых составляющих. Доказательство можно будет счи-
§ 3. Теория представлений
47
тать законченным, если показать, что D\\ (Ь) образуют
неприводимое допустимое представление малой группы L.
Очевидно, что 5)и будет представлением L, так как все
матрицы представлений подгруппы L, являющихся ограничением 5/,
имеют вид
(Dn(6) ... О ...1
.0
Это представление допустимо и неприводимо. Если бы оно могло
быть разбито на два составляющих, то, согласно (1.34), все
блоки расщепились бы одинаковым образом, а, следовательно, 2)
было бы приводимым представлением G, что противоречит
предположению.
Таким образом, мы показали, что любое допустимое
неприводимое представление малой группы индуцирует
неприводимое представление G и что таким способом можно построить
любое неприводимое представление G. Такую индуцированную
форму представления называют стандартной формой
представления G.
В заключение следует пояснить, в каком случае получаемые
представления эквивалентны, а в каком нет. При получении
стандартной формы имелась неопределенность в выборе следующих
величин:
1) орбиты О подгруппы Н относительно G;
2) неприводимого представления 5) из орбиты 0\
3) допустимого неприводимого представления ©<*) малой
группы L относительно G, Н и 5);
4) представителей а* Для построения неприводимого
представления.
Проанализируем каждый пункт в отдельности.
1) Так как выбор другой орбиты, очевидно, приводит к
неэквивалентному представлению Я, то и соответствующие им
неприводимые представления G обязательно не эквивалентны.
2) Выбор другого представления 35 данной орбиты О приводит
к малой группе, изоморфной с первой. Индуцированные
представления в этом случае будут отличаться только перестановкой строк
и столбцов, а следовательно, они эквивалентны.
3) Из вида индуцированных матриц ясно, что эквивалентные
представления приводят к эквивалентным индуцированным
представлениям, а неэквивалентные — к неэквивалентным.
48 Гл. /. Элементы математического аппарата
4) Иной выбор представителей, как мы уже видели, приводит
к эквивалентным представлениям.
Таким образом, чтобы получить все неприводимые
представления группы G лишь один раз, из каждой орбиты Н
относительно G следует выбрать одно представление 5), образовать для
него соответствующую малую группу L и из всех допустимых
неприводимых представлений группы L индуцировать неприводимые
представления G.
Данной теоремой мы воспользуемся позже для построения
теории представлений пространственных групп.
Глава 2
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
§ 1. Определение и свойства
пространственных групп
1. Симметрия кристаллов. В физике твердого тела большое
значение имеет симметрия кристаллов. Эта симметрия находит
свое отражение в наличии преобразований трехмерного
пространства, переводящих кристалл в сшмого себя.
Всякий кристалл'состоит из большого числа ядер и электронов.
Для такой системы практическнЕневозможно решить задачу на
собственные значения с полным оператором Гамильтона. Как
правило, приходится прибегать к различного рода приближениям,
вытекающим из опыта.
Так как энергия связи кристаллических твердых тел по
порядку величины составляет несколько электронвольт (эв) на атом,
то можно думать, что в процессе образования кристалла из
свободных атомов заметно меняются состояния лишь электронов
внешних оболочек. Электроны же /(-оболочки, например, почти
всегда сильно связаны с ядром (~ 104 эв), так что их состояния
остаются практически без изменений. В соответствии с этим
кристалл можно представить себе состоящим из атомных остовов
(ионов, т. е. ядер и электронов внутренних оболочек) и электронов
одной или нескольких внешних оболочек. Иногда энергия связи
оказывается очень малой; в этом случае кристалл состоит из
отдельных молекул *).
Комплексы атомов в кристалле, энергия связи которых велика
по сравнению с энергией связи кристалла2), будем называть на-
стицами, составляющими кристалл. Предположим далее, что в
большинстве случаев эти частицы нам известны. Тогда кристалл
можно представить состоящим из неких частиц и сравнительно
слабо связанных электронов, обусловливающих энергию связи
кристалла.
Так как масса составляющих частиц велика по сравнению
с массой электронов, то можно считать, что эти частицы движутся
относительно медленно. Поэтому можно надеяться, что допустимо
вычислять состояния электронов при фиксированных значениях
координат частиц. Иными словами, электронные состояния в этом
!) Это так называемые молекулярные кристаллы, в которых силы связи
атомов внутри молекулы больше, чем между молекулами. — Прим. ред.
2) То есть энергией связи между комплексами. — Прим. ред.
50 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
приближении будут зависеть от координат частиц, как от
параметров. Таким путем в известной мере удается отделить проблему
образования кристалла от проблемы электронных состояний. Этот
подход называют квазистатическим (или адиабатическим)
приближением.
С помощью упоминавшегося выше полного оператора
Гамильтона системы до сих пор не удалось найти симметрию кристалла.
Обычно ее вводят, исходя из экспериментальных данных.
Предположим, что частицы кристалла находятся во вполне
определенных, правильно расположенных положениях равновесия и
совершают около них лишь малые колебания. Это соответствует чисто
классическому описанию частиц.
При исследовании электронной проблемы будем считать, что
составляющие кристалл частицы находятся в своих положениях
равновесия («Г = 0»; при этом мы фактически пренебрегаем
также и нулевыми колебаниями). Они и создают силовое поле, в
котором движутся электроны.
Правильное расположение составляющих кристалл частиц
определяет его симметрию. Симметрия оказывает влияние и на
колебания самих частиц (так называемые колебания решетки) и на
движение системы электронов. Оба эти явления мы здесь и
исследуем.
Предварительно рассмотрим операции симметрии,
оставляющие кристалл инвариантным, т. е. такие пространственные
преобразования, которые переводят в саму себя всю совокупность
положений равновесия составляющих кристалл частиц.
2. Вещественная аффинная группа. Вещественная аффинная
группа состоит из всевозможных трансляций и ортогональных
преобразований обычного трехмерного пространства. Элементы этой
группы осуществляют преобразования вида
г' = аг + а, (2.1)
где а — произвольное ортогональное преобразоование и а —
вектор произвольной трансляции. Обычно преобразования (2.1)
записывают следующим образом:
г' = {а|а}г.
Всякий элемент {а|а} вещественной аффинной группы состоит из
двух частей: точечного преобразования а и трансляции а.
Точечные преобразования а в дальнейшем мы будем
рассматривать как трехмерные ортогональные матрицы. При этом следует
различать чистые вращения и вращения с инверсией1). Наглядно
1) «Точечное преобразование» — это ортогональное преобразование с | а | =
= ±1, «вращение» — ортогональное преобразование с |а| = +1, а «вращение с
инверсией» — преобразование с |а| = —1, т. е. вращение с последующим
отражением относительно начала координат.
§ 1. Определение и свойства пространственных групп 51
элементы {а|а} описывают винтовые движения (|а|= 1) и
отражения в плоскостях скольжения (|а| = —1).
При не обращающихся в нуль трансляциях преобразования
{а|а}, очевидно, нелинейны. Тем не менее они образуют группу,
если под произведением двух элементов понимать определенное по
(2.1) их повторное применение
г'« а(Рг + b) + a = арг + ab + а,
откуда
{a|a}{P|b} = {aP|ab + a}. (2.2)
Результирующий элемент также, очевидно, принадлежит
вещественной аффинной группе преобразований.
Единичным элементом является {е|0}, где г — тождественное
преобразование пространства.
С помощью (2.2) легко получить, что элементом, обратным к
{а|а}, является преобразование вида
{оНаГ'^огЧ-а^а}.
Трансляции {e|t} образуют подгруппу вещественной аффинной
группы, являющуюся ее нормальным делителем, так как для
любого элемента {а|а} вещественной аффинной группы справедливо
равенство
{а|аГ1{8|0{а|а} = {е|а-Ч}, (2.3)
т. е. сопряженный к трансляции элемент также является
трансляцией.
3. Пространственные группы. Под пространственной группой
кристалла понимают всевозможные преобразования пространства,
приводящие кристалл в самого себя. Следовательно, любая
пространственная группа является одной из подгрупп полной
вещественной аффинной группы. Наиболее характерным свойством
кристаллов является их инвариантность по отношению к трансляциям.
Сейчас мы дадим строгое определение пространственной
группы, однако це будем доказывать, что оно эквивалентно
физическому определению пространственной группы как совокупности
всех преобразований симметрии кристалла.
Пространственной группой будем называть дискретную *)
подгруппу вещественной аффинной группы, трансляции которой
образуют ее нормальный делитель Т и имеют вид
{e|R}, R-2«,tlf
где щ — произвольные целые числа.
1) Это значит, что группа имеет счетный порядок.
52 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Нормальный делитель Т группы G называют трансляционное
группой G, а его элементы — допустимыми трансляциями. Допустив
мые трансляции являются целочисленными линейными комбина^
циями' трех линейно независимых элементарных трансляций с век^
торами tb t2, t3. Совокупность всех целочисленных линейных;
комбинаций, т. е. совокупность всех допустимых трансляций %
образует решетку (решетка Браве), соответствующую простран-;
ственной группе рассматриваемого кристалла. Узлы решетки не
обязательно совпадают с положениями равновесия частиц, состав*
ляющих кристалл. Число положений равновесия в общем случае
больше, чем число узлов решетки.
Точечные преобразования а элементов пространственной
группы {а|а} сами образуют группу, называемую точечной группой G0
кристалла. Действительно, пусть а, Ре G0. Тогда в
пространственной группе обязательно найдутся два элемента {а|а} и {р|Ь},
имеющие а или р в качестве точечных преобразований. Так как
произведение {а|а}{р|Ь} также принадлежит пространственной
группе и имеет точечное преобразование оф, то ар является эле:
ментом точечной группы. Легко видеть, что для элементов G0
выполняются и остальные групповые свойства.
Одно из важных свойств пространственных групп состоит в
следующем: решетка пространственной группы должна оставаться
инвариантной по отношению ко всем элементам точечной группы,
соответствующей данной пространственной.
Доказательство этого утверждения непосредственно вытекает
из равенства (2.3). Действительно, пусть R — произвольный узел
решетки и {а|а}—произвольный элемент пространственной
группы. Тогда по (2.3) точка с вектором a~!R также будет узлом
решетки, так как допустимые трансляции образуют нормальный
делитель.
Это простое на первый взгляд свойство имеет очень важное
значение. С одной стороны, оно ограничивает множество
всевозможных точечных групп, так как не все вращения и вращения
с инверсией оставляют инвариантной заданную решетку. С другой
стороны, оно позволяет классифицировать все решетки
соответственно точечным группам, по отношению к которым эти решетки
инвариантны.
Так как группы трансляций бесконечны, то бесконечны и
пространственные группы. Чтобы использовать теорию представлений
конечных групп, мы позже с помощью так называемых условий
Борна — Кармана искусственно сделаем пространственные группы
конечными. Пока же бесконечный порядок рассматриваемых групп
нам не мешает.
Сейчас мы перейдем к рассмотрению основных составляющих
частей пространственных групп: допустимых трансляций и
точечных групп.
§ L Определение и свойства пространственных групп 53
4. Общее рассмотрение решеток Браве. Решетка разбивает
пространство на подобные области, так называемые элементарные
ячейки. При этом элементарная ячейка содержит лишь не
эквивалентные друг другу точки. (Точки гиг' называют эквивалентными,
если они отличаются на допустимую трансляцию решетки:
г' = г + R.) Форма элементарной ячейки определяется заданием
решетки не однозначно. Например, в качестве элементарной
ячейки можно выбрать параллелепипед, построенный на векторах
элементарных трансляций. Однако сами элементарные трансляции
определены не однозначно, так как одну и ту же решетку можно
получить с помощью бесконечного числа троек независимых
элементарных векторов.
Среди всевозможных элементарных ячеек решетки особо
выделяют симметричную элементарную ячейку, или ячейку Вигнера —
Зейтца. Ячейка Вигнера — Зейтца состоит из точек пространства,
расположенных ближе к фиксированному узлу решетки, чем ко
всем остальным. Это определяет способ построения плоскостей,
ограничивающих ячейку Вигнера — Зейтца. Выберем один из узлов
решетки R0 и соединим его прямой с каким-нибудь из узлов
решетки R. Тогда, очевидно, плоскость, проведенная через середину
данного отрезка перпендикулярно ему, делит все точки
пространства на расположенные ближе к R0 и расположенные ближе к R.
Если такое построение провести для всех R=£R0, то мы получим
многогранник, ограничивающий область с центром в точке R0.
Из геометрического построения ясно, что лишь близкие соседи
фактически участвуют в построении многогранника. Так как
вместе с вектором R в решетке всегда имеется и —R, то
ограничивающие плоскости входят парами. При этом точки одной из
плоскостей, составляющих пару, эквивалентны точкам другой, так что
из этих двух плоскостей лишь одну следует относить к ячейке
Вигнера — Зейтца. Указанное обстоятельство следует иметь в виду
и при рассмотрении точек, расположенных на ребрах и в углах
ячейки.
Мы уже видели, что решетка всегда инвариантна относительно
преобразований точечной группы, соответствующей данной
пространственной. Справедливо также утверждение, что все
вращения и вращения с инверсией, оставляющие инвариантной
заданную решетку, обязательно образуют группу. Такая группа
характеризует голоэдрию рассматриваемой решетки. Точечная группа
всегда является подгруппой голоэдрии. Голоэдрия может
соответствовать нескольким решеткам. Всего имеется семь голоэдрий и
четырнадцать решеток, По голоэдрии все кристаллы (и
пространственные группы) разделяются на семь кристаллических
систем.
Из построения ячейки Вигнера — Зейтца видно, что она
инвариантна относительно соответствующей голоэдрии.
54 < Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
5. Четырнадцать решеток Браве. В данном пункте мы дадим
обзор семи кристаллических систем и четырнадцати решеток
Браве:
1. Триклинная система. В этом случае все элементарные
трансляции имеют различную длину и составляют друг с другом раз-,
личные углы. Элементарной ячейкой является параллелепипед
общего вида.
2. Моноклинная система. Моноклинная система содержит две
решетки: простую моноклинную (Гт) и базоцентрированную (Гт)
Фиг. 3. Ячейка Вигнера — Фиг. 4. Ячейка Вигнера — Зейтца простой
Зейтца простой моноклинной ромбической решетки с тремя неэквива-
решетки с одной осью второго лентными осями второго порядка,
порядка.
Элементарной ячейкой простой решетки Гш является
прямоугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (фиг. 3).
Базоцентрированная решетка Гт получается из простой
решетки Гт добавлением узлов в центры одной из пар прямоугольных
граней. В последнем случае призма содержит уже два узла
решетки и не является более элементарной ячейкой 1).
Моноклинная система (а значит, и ее голоэдрия)
характеризуется наличием оси второго порядка.
3. Орторомбическая (ромбическая) система. Эта система
включает четыре решетки: простую (1\>), базоцентрированную (Гр),
!) Часто в литературе термин «элементарная ячейка» употребляется
применительно к призме и в случае гранецентрированной решетки Гт (аналогично и
для других структур). В связи с этим некоторые авторы вводят термин
«примитивная элементарная ячейка», чтобы отличать ее от «расширенных»
элементарных ячеек. Расширенная элементарная ячейка удобна тем, что она лучше
отражает голоэдрию. Однако мы всегда будем придерживаться определения, данного
в § 1, п. 4. — Прим. ред.
§ L Определение и свойства пространственных групп 55
гранецентрированную (Г") и объемноцентрированную (Г"').
Элементарной ячейкой простой решетки Г„ является прямоугольный
параллелепипед, с неравными ребрами. Три элементарные
трансляции расположены под прямым углом друг к другу и имеют
различную длину (фиг. 4).
Базоцентрированная решетка T'v получается из Г„
добавлением узлов в центры одной из пар граней. Так как любые пары
граней совершенно равноправны, то безразлично, которую из них
Фиг. 5. Ячейка Вигнера — Зейтца про- Фиг. 6. Ячейка Вигнера — Зейт-
стой тетрагональной решетки с одной ца п. к. решетки с осями второго
осью четвертого порядка и двумя не- третьего и четвертого порядков,
эквивалентными осями второго порядка.
выбрать. В этом случае параллелепипед содержит два узла
решетки и состоит из двух элементарных ячеек решетки T'v.
Гранецентрированная решетка Г" получается из решетки Г*
добавлением узлов в центры всех граней. Параллелепипед
содержит четыре узла и состоит из четырех элементарных ячеек
решетки Г",
Объемноцентрированная решетка Г"' получается из решетки Tv
Добавлением узлов в центры параллелепипедов. Параллелепипеды
содержат по два узла и две элементарные ячейки (Г^).
Голоэдрия орторомбической системы характеризуется наличием
трех неэквивалентных осей симметрии второго порядка.
4. Тетрагональная система содержит две решетки: простую (Тя)
и объемноцентрированную (Г^). В качестве элементарной ячейки
56 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
простой решетки Тд можно выбрать прямоугольную призму, в
основании которой лежит квадрат (фиг. 5). Тогда решетку Тд можно
рассматривать как частный случай решетки IV Аналогично объем-
ноцентрированная тетрагональная решетка представляет собой
частный случай объемноцентрированной орторомбической
решетки.
Голоэдрия тетрагональной системы характеризуется одной
осью симметрии четвертого порядка и двумя неэквивалентными
осями симметрии второго порядка. Одна из осей второго порядка
параллельна ребру, а вторая — диагонали основания.
5. Кубическая система содержит три решетки: простую (Гс),
гранецентрированную (Г£) и объемноцентрированную (Г").
Кубическую систему также можно рассматривать как частный случай
орторомбической системы, если в качестве элементарной ячейки
простой решетки выбрать куб (фиг. 6). В этом случае гранецен-
трированная кубическая решетка Т'с получится из гранецентриро-
ванной орторомбической Г", а объемноцентрированная
кубическая решетка Г" —из объемноцентрированной орторомбической
Голоэдрия кубической системы характеризуется осью второго
порядка (диагональ грани), осью третьего порядка
(пространственная диагональ куба) и осью четвертого порядка (ребро
куба).
Кубической системой обладают многие твердые тела, и мы
обсудим ее более подробно. Из металлов такой кристаллической
структурой обладают щелочные и благородные, из
полупроводников— германий и соединения AmBv (например, InSb, GaAs).
Ниже представлены векторы элементарных трансляций всех трех
кубических решеток и построены их ячейки Вигнера — Зейтца.
а) Простая кубическая решетка Гс (п. к.). Решетку Гс удобно
задать с помощью следующих трех векторов:
t!-a(l, 0, 0), Ъ-а(0, 1, 0), t8-a(0, 0, 1). (2.4)
Координаты векторов заданы в прямоугольной декартовой системе
координат; а называют постоянной решетки. Ячейкой Вигнера —
Зейтца решетки Гс, очевидно, является куб с длиной ребра а.
В центре этого куба расположен рассматриваемый узел решетки.
б) Гранецентрированная кубическая решетка Г'с (г. ц. к.).
Чаще всего элементарные векторы этой решетки выбирают в виде
(фиг. 7)
t, = a(0, 1, 1), t2 = a(l, 0, 1), t3 = a(l, 1, 0). (2.5)
Каждая точка решетки имеет двенадцать ближайших соседей, т. е.
узлов, отстоящих от рассматриваемого на одном и том же
наименьшем расстоянии. Эти соседние узлы расположены в центрах
§ 1. Определение и свойства пространственных групп 57
граней восьми кубов, окружающих данную точку. В соответствии
с числом соседей ячейку Вигнера — Зейтца ограничивают
двенадцать плоскостей. Ячейкой Вигнера — Зейтца г. ц. к. решетки
является ромбододекаэдр.
Фиг. 7. Ячейка Вигнера— Фиг. 8. Ячейка Вигнера — Зейтца и ба-
Зейтца и базисные векторы зисные векторы о. ц. к. решетки,
г. ц. к. решетки.
в) Объемноцентрированная кубическая решетка Г" (о. ц. к).
В качестве элементарных векторов трансляций чаще всего
выбирают векторы (фиг. 8)
ti —а( —1, 1, 1), t2~a(l, -1, 1), Ъ-а(1, 1, -1). (2.6)
Каждый узел решетки имеет_восемь ближайших соседей,
расположенных на расстояниях а j/З в центрах восьми окружающих
данную точку кубов. При построении ячейки Вигнера — Зейтца
плоскости, соответствующие этим восьми соседям, образуют около
данной точки октаэдр. Однако этот октаэдр «обрезается» еще
плоскостями, соответствующими б1юрым соседям. Шесть вторых соседей
расположены на осях координат на" расстояниях 2а от
рассматриваемой точки. Соответствующие им плоскости отсекают от
октаэдра шесть вершин. Таким образом, ячейка Вигнера — Зейтца
о. ц. к. решетки представляет собой усеченный октаэдр. Он имеет
8 + 6=14 граней: восемь правильных шестиугольников (первые
соседи) и шесть квадратов (вторые соседи).
6. Тригональная система. Тригональную, или ромбоэдрическую,
решетку ГгЛ можно представить себе образованной из
равноотстоящих, сдвинутых относительно друг друга плоских решеток
58 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
(фиг. 9), причем каждая плоская решетка состоит из
равносторонних треугольников. Сдвиг решеток производится таким образом,
что узлы второй решетки находятся на перпендикулярах к центрам
треугольников первой, узлы третьей расположены над центрами
треугольников второй решетки, а четвертая решетка также
сдвинута перпендикулярно первой.
Голоэдрия тригональной системы характеризуется осью
симметрии третьего порядка и перпендикулярной осью второго
порядка. ~~*
Фиг. 9. Вид на тригональную решетку Фиг. 10. Ячейка Вигнера — Зейтца
вдоль нормали к плоским решеткам. и базисные векторы гексагональ-
/ — первая плоская решетка; 2 — вторая плоская НОЙ решетки,
решетка; 5 —третья плоская решетка.
7. Гексагональная система. Гексагональная решетка Гн также
может быть построена путем сдвигов плоских, состоящих из
треугольников решеток, только в этом случае каждый слой будет
просто сдвинут по перпендикуляру относительно предыдущего.
В качестве векторов базисных трансляций можно выбрать
векторы (фиг. 10)
Ъ-а(1, 0, 0), t2-a(-4"» Ц-% о), Ъ-с(0,0,1).
Гексагональная решетка характеризуется двумя константами а
и с.
Каждый узел имеет шесть ближайших соседей в плоскости
своей плоской решетки и два в направлении, перпендикулярном ей.
С помощью этих 6 + 2 = 8 соседей можно построить ячейку
Вигнера— Зейтца, которая является прямой призмой с правильным
шестиугольником в основании. Стороны этого шестиугольника
равны а} а высота призмы равна с.
§ /. Определение и свойства пространственных групп 59
Такой решеткой обладают Mg и CdS. Голоэдрия
гексагональной системы характеризуется осью симметрии шестого порядка
(ось с) и двумя перпендикулярными ей неэквивалентными осями
второго порядка (например, оси х и у).
6. Точечные группы. А. Определение и общие свойства. Точечной
группой Go пространственной группы G будем называть
совокупность точечных преобразований а пространственной группы.
Преобразования а описываются трехмерными ортогональными
матрицами, оставляющими инвариантной соответствующую группе G
решетку.
Более общее определение: точечной группой называют группу
трехмерных ортогональных матриц, переводящих решетку в саму
себя.
Можно также считать точечную группу точным трехмерным
ортогональным представлением некоторой известной абстрактной
точечной группы.
Мы будем различать точечные группы первого рода,
содержащие только повороты, т.е. элементы с |а| = 1, и точечные группы
второго рода, включающие, помимо вращений, еще и вращения
с инверсией.
Любая точечная группа содержит, разумеется, по крайней мере
один элемент с |а| = 1, а именно е.
Совокупность вращений, входящих в точечную группу второго
рода, образует в ней подгруппу с индексом 2, т. е. нормальный
делитель.
Действительно, пусть Go — подгруппа группы G0, содержащая
вращения, и пусть а и р — два произвольных элемента Go, не
принадлежащих Go. Тогда т) = Р'*1ае Go, так как | ц I^P"11| а |= 1.
Следовательно, элементы аир должны принадлежать одному и
тому же смежному классу. Поэтому, кроме Go, возможен еще всего
лишь один смежный класс.
Б. Абстрактные точечные группы точечных групп первого рода.
Здесь мы опишем способ получения, по крайней мере в принципе,
всех точечных групп. Для этого сначала нам нужно будет
построить все абстрактные точечные группы, соответствующие
точечным группам первого рода.
Важным свойством точечных преобразований а является цело-
численность следов их матриц.
Если с помощью преобразования координат перейти от
декартовой системы, в которой заданы точечные преобразования а, к
системе координат, связанной с базисными векторами решетки,
которая остается инвариантной под действием точечной группы Go,
то координаты узлов решетки станут целочисленными. Поскольку
преобразования группы оставляют решетку инвариантной, в этой
60 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
системе координат их матрицы будут целочисленными, а
следовательно, целочисленными будут и следы. Так как следы являются
инвариантами преобразования координат, то Spa также цело-
числен.
Если далее систему координат выбрать так, чтобы ось
вращения была направлена вдоль оси г, то вращение а вокруг этой оси
на угол ф будет описываться матрицей
'coscp — sinqp 0'
sin <р cos ф 0
0 .0 1
След этой матрицы равен 1+2созф. Вследствие независимости
следа от выбора системы координат след элемента а будет
зависеть только от угла поворота ф:
Spa=l+2cos>.
Так как он должен быть обязательно целочисленным, то
оказываются возможными лишь повороты на углы ф = 0, 60, 90, 120, 180°.
Иными словами, элементы групп первого рода могут иметь только
порядки 1, 6, 4, 3, 2, т.е. группа может состоять лишь из осей сим-,
метрии первого, шестого, четвертого, третьего и второго порядков.
Соответствующие этим поворотам характеры равны 3, 2, 1, 0, —1.
Отсюда ясно видно, насколько требование инвариантности
решетки ограничивает возможные точечные группы.
После того как мы нашли для точечных групп первого рода
возможные характеры элементов, можно определить и допустимые
порядки точечных групп первого рода. Для этого предварительно
докажем следующее вспомогательное утверждение.
Если Р(х) — некоторый полином с целочисленными
коэффициентами, ф — представление группы G и % — его характеры, то
число
2 РШ)
as Q
делится на порядок группы g.
Достаточно показать, что на g делятся все числа
s шг.
a&Q
Для п = 0 это очевидно. Для доказательства утверждения при
п = 1 запишем © в полностью приведенной форме
р
так что -
§ Л Определение и свойства пространственных групп 61
В силу, ортогональности характеров
Sx(a) = 2«pS Х(,)*(я)Х(р)(яН
= ЪпрцЬрХ=цпь
р
где х(1)(я)=1 — характер тождественного представления. Для
п> 1 величины [x(a)]n равны характерам представления 5)п (кро-
некеровская степень), и задача сводится к случаю п = 1.
Для рассмотрения нашей проблемы положим
Р(х) = (х+1)х(х-1){х-2).
Тогда для точечных групп первого рода имеем
2 Р(х(а)) = Р(х(е)) = Р(3) = 24,
так как только х = 3 дает в последнюю сумму вклад, отличный от
нуля, а значению % = 3 соответствует a = е. Согласно доказанной
теореме, возможные порядки точечных групп должны являться
делителями 24, т.е. g= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Таким образом,
точечные группы первого рода могут быть уже далеко не
произвольными. Согласно табл. 3, полное число таких неизоморфных групп
(т. е. абстрактных точечных групп первого рода) не должно
превышать 32. Фактически же не любая" группа может являться
абстрактной точечной группой. Для этого группа должна
удовлетворять двум условиям. Во-первых, в нее могут входить только
элементы порядков 1, 2, 3, 4, 6. Во-вторых, она должна иметь
точное трехмерное рртогональное представление, матрицы которого
равны 1, а их следы равны —1, 0, 1, 2, 3. Проверка этих
требований приводит к тому, что из 32 групп исключится 21 группа.
В. Подробное исследование абстрактных точечных групп.
Оставшиеся 11 групп мы исследуем более подробно, а затем перейдем
к абстрактным точечным группам, соответствующим точечным
группам второго рода. В обозначениях Шенфлиса указанные
И групп приведены в табл. 6. Группы небольших порядков (1—6),
Таблица 6
Абстрактная точечная
группа
Порядок
Сх Сг d d D2 Се Dt Di D6 T 0 -
1 2 3 4 4 6 6 8 12 12 24
очевидно, являются абстрактными точечными группами. Процесс
исключения на основе проверки двух указанных выше условий
допускает еще порядки 8, 12 и 24;
62 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Некоторые из перечисленных в таблице групп уже
рассматривались выше. Теперь мы их опишем систематически.
Группа Сп — циклическая группа порядка п. Ее можно
представить, например, как всевозможные вращения вокруг оси /г-го
порядка.
Группа Dn — так называемая группа диэдра; она имеет
порядок 2/г. Группу диаэдра можно представить как группу
всевозможных вращений, переводящих в себя правильный /г-угольник. Она
состоит из п вращений вокруг оси
n-го порядка, перпендикулярной
плоскости n-угольника, и п осей
второго порядка, лежащих в его
плоскости. Группа D3 была
подробно рассмотрена в гл. 1, § 1, п. 5.
Группа тетраэдра состоит из
вращений, оставляющих
инвариантным тетраэдр. . Ее элемен-
У ты1) легче всего установить по
фиг. 11:
Фиг. 11. Тетраэдр с четырьмя
осями третьего и тремя осями
второго порядков.
^2X9
hxyz,
^Зхугу
°20>
"3*#г,
Ьзхугу
«22>
®гху2>
VZxyzi
Ьзхуг
Ьзхуг
Элементы группы расположены по
классам.
Группа отктаэдра О состоит из вращений, оставляющих инва/
риантным октаэдр, или, что то же самое, куб. Ее элементами
являются 2):
62*>
&2xy,
620,
^2x9,
Ъзхуг,
°4г/,
&2г'>
&2yz,
*3xyz>
к1
biy9
&2yz9
b$xyz>
4z,
Ь±2\
&2ZX>
"Zxyzy
bzxyz'
V2zx>
*3xyz9 ®Zxyz> ^Sxyzj
Группа октаэдра имеет пять классов.
1) Здесь через &з*£2> например, обозначен поворот на угол 120° вокруг оси,
параллельной вектору (1, —1, —1). Знак минус часто в дальнейшем будет
ставиться над числом: (1, —1, —1) = (1, 1, 1).
2) Элемент бгяу означает поворот на 180° вокруг оси, лежащей в плоскости
Ху у и составляющей с положительными направлениями осей х и у углы 45°;
62ху—вращение вокруг оси, составляющей 45° с положительным направлением
оси х и отрицательным направлением оси у. Следовательно, повороты б2Ху й,
Ь2хд производятся вокруг осей, лежащих в плоскости ху и перпендикулярных
друг другу.
g L Определение и свойства пространственных групп 63
Г. Остальные абстрактные точечные группы. Теперь мы в
состоянии рассмотреть оставшиеся абстрактные точечные группы,
соответствующие точечным группам второго рода.
Точечные группы второго рода можно разделить на
содержащие инверсию i и не содержащие ее.
Всякая точечная группа второго рода, не содержащая
инверсии, изоморфна одной из групп первого рода.
Пусть Go = Go + Go — разложение .рассматриваемой точечной
группы в смежные классы по нормальному делителю Go,
состоящему из чистых вращений. Тогда совокупность Gi~Go + iGo
состоит из различных вращений. Далее, если Ре Go, то |Р| = — 1
и |ip|= 1. Однако ip не может равняться aG Go, так как иначе
i е G0. Следовательно, отображение
aG God G0-»aG Go с: Gu
P €= Go <= G0 -»iP <= i Go' <= Gx
является изоморфизмом, так что G\—группа, состоящая из чистых
вращений. Но поскольку группа G\ оставляет инвариантной
некоторую решетку (а именно ту же самую решетку, что и Go), то G\ —
точечная группа первого рода.
Таким образом, новые абстрактные точечные группы могут
возникнуть лишь из точечных групп второго рода, содержащих
инверсию. Любую же точечную группу с инверсией можно
представить в виде
G0 = Go + iG0 = Go X Ci9
где Go—нормальный делитель, состоящий из чистых вращений,
а С{ — группа из элементов в и i.
Следовательно, все остальные абстрактные группы можно
получить из одиннадцати уже известных, умножая их непосредственно
на С2. Четыре из получающихся групп уже содержатся среди
одиннадцати рассмотренных, а именно:
С\ X С2 = С2; С2Х. 02 = D2'9 С3X С2 — Cq', D3 X С2 == Dq.
Остальные семь групп вместе с одиннадцатью уже известными
окончательно дают восемнадцать абстрактных точечных групп.
Других абстрактных точечных групп нет.
Из полученных восемнадцати абстрактных точечных групп
можно вывести все точечные группы. Для этого нужно построить
их точечные трехмерные вещественные неэквивалентные
представления с целочисленными характерами и считать совпадающими
представления, отличающиеся только порядком матриц. Таким
образом, точечная группа определяется не как представление, а как
матричная группа, для которой последовательность матриц не
важна. Таким путем получаются 32 неэквивалентные точечные
группы.
64 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Д. Международные обозначения. В литературе не всегда
используются одни и те же обозначения для точечных групп.
Поэтому, прежде чем приступать к общему обсуждению всех 32
точечных групп, мы введем для них так называемые международные
обозначения, которые в последние годы встречаются наиболее ча-
-сто. Они имеют то преимущество, что по ним легко установить
симметрию, описываемую соответствующей точечной группой.
В международных обозначениях точечные группы характеризуются
своими вращениями и вращениями с инверсией. Ось вращения /г-го
порядка обозначается символом п. Если имеется несколько
эквивалентных осей п-го порядка, то п соответствует всей совокупности
эквивалентных осей. В частности, символ п характеризует
циклическую группу Сп. Инверсионно-поворотная ось л-го порядка (со>
вокупность эквивалентных осей) обозначается через п. Таким
образом, п также обозначает циклическую группу, а именно
циклическую группу с образующим элементом i6n.
Вращение с инверсией i6n следует понимать как единый символ.
В частности, если п = 2, то 162 обозначает отражение относительнЬ
плоскости, перпендикулярной оси вращения. Для i62 часто
используют также обозначение р. И аналогично для других п > 2
»63 = (*6> 1*4 —а4. '6в = (У3-
Группы типа п перечислены в табл. 7.
Таблица 7
Группа
1
2
3
4
6
Элементы
е
г .
г
г
г
\
Р
«6
а4
"з
бз"1 1
*2 «4-!
6з Р
*3
Аз"1
«з-1
Порядок
2
2
6
4
6
Вместо 2 часто пишут т, так как 2 обозначает плоскость
отражения, перпендикулярную оси вращения. Если п — нечетное число,
то группа п содержит инверсию и имеет порядок 2/г. В случае
четного п группа п уже не содержит инверсии и ее порядок равен п.
Если в рассматриваемой группе, помимо инверсионно-поворотной
оси четного порядка, содержится и сама инверсия, то это
равносильно наличию плоскости отражения, перпендикулярной данной
оси, так как в этом и только в этом случае в группе будет
содержаться элемент р. Группа, получающаяся из рассмотренной труп-
§ 1. Определение и свойства пространственных групп 65
пы п с четным п добавлением инверсии i, имеет удвоенный порядок
(т. е. 2п) и обозначается через nfm. Группы этого типа приведены
в табл. 8.
Таблица 8
Группа
—
m
—
m j
—
m
Элементы
e
г
г
i
i
1
&2
64
*6
Р
°4
°3
«2
*3
Р
°6
Т* К'
*2 Р
•»-'
"б"'
К1
<
Рассмотрим теперь несколько примеров.
Группа (вращений) тетраэдра Т состоит из- элементов, часть
которых соответствует вращениям вокруг осей третьего порядка,
а часть — вращениям вокруг осей второго порядка. В соответствии
с этим в международных обозначениях группе Т соответствует
символ 23. Группа Ьб также состоит из вращений вокруг осей
второго и третьего порядков; ей соответствует символ 32.
(Последовательность осей установлена, разумеется, по соглашению.)
Если к группе Т добавить еще все вращения с инверсией,
оставляющие инвариантным тетраэдр, то мы получим (полную) группу
тетраэдра Td. Три оси второго порядка группы Т (координатные
оси на фиг. 11) в этом случае станут инверсионно-поворотными
осями четвертого порядка. Кроме них появятся еще шесть
плоскостей отражения (т. е. инверсионно-поворотных осей второго
порядка; например, ось [110]), так что для Td в международных
обозначениях будем иметь 43т (здесь m написано вместо 2).
Группа (вращений) октаэдра О состоит из вращений вокруг
осей четвертого, третьего и второго порядков, так что ей будет
соответствовать символ 432. Группа (полная) октаэдра Од получается
из О добавлением инверсии; следовательно, в международных обо-
4 — 2
значениях ей соответствует символ —3 — . Однако имеется еще
и сокращенная форма международных обозначений, в которой,
например, для Он будем иметь m3m.
Полный перечень всех 32 точечных групп приведен в табл. 9.
Е. Голоэдрии. Теперь можно явно выписать все семь голоэдрий.
Так как голоэдрия оставляет решетку инвариантной, то она
представляет собой, некоторую точечную группу и поэтому должна
входить в 32 рассмотренные выше точечные группы. В п. 5 мы уже
Дали для всех семи голоэдрий полную характеристику, следуя
Таблица 9
Порядок
1
2
3
4
4
6
6
8
8
8
12
12
12
16
24
24
24
48
Абстрактные
точечные группы
с,
с2
Сг
с<
Д>(=С2ХС2)
Сб ( = Сз X Сг)
D3
Dt
С 4 X С2
D2 X С2
А$(=/>зХС2)
Г
с6хс2
D4XC2
О
/>б х с2 ,
гхс2
О хс2
1) В левой колонк
чения (полные и сокра
Точечные группы
первого рода *)
с,
с2
С3
С*
Z)2
, сб
/>з
^
А>
Г
О
е —обознг
щенные с
1
2
3
4
222
6
32
422
622
23
432
1чения Ш<
имволы).
Точечные группы
второго рода с i *)
Ct
C*h
5б
C4h
D2fi
Dzv
C*h
Dih
Dth
Th
oh
т
—
т
3
—
м
2_2__ 2 _
т т т
— ттт
3 —= 3т
м
—
м
т т м
— А/ттт
ттт
= 6/ттт
2 -
— 3«тЗ
т
т т
= тЗт
!нфлиса; в правой—меж
Точечные группы
второго рода без i1)
cs
s<
C2V
С3Л
СЪу
C4V, D2d
Cev» ^зА
Та
\ т
4
2тт
6
Ът
4mm, 42т
бтт, 6т2
43т
дународные обозна-
§ 1. Определение и свойства пространственных групп 67
которой теперь легко записать hxjvi еждународные символы. Так как
голоэдрии всегда содержат инверсию, то они являются точечными
группами второго рода с инверсией, а именно: 1 (триклинная
система), — (моноклинная система), (орторомбическая
4 2 2 4—2
система), (тетрагональная система), —3— (кубическая
— 2 6 2 2
система), 3— (тригональная система), (гексагональная
система).
Отсюда с очевидностью следует, что не любые точечные группы
с любыми решетками могут составлять пространственные группы,
а самое большее лишь те точечные группы, которые являются
подгруппами голоэдрии этой решетки. Таким образом, каждой
кристаллической системе соответствуют только некоторые
определенные точечные группы, т. е. 32 точечные группы распределяются
определенным образом по семи кристаллическим системам. Это
Таблица 10
Кристаллическая
система
Триклинная
Моноклинная
Орторомбическая
Тетрагональная
Кубическая
Тригональная
Гексагональная
Возможные
точечные группы
Сь Ct
^2» Cs, Czh
^2V* &2> &2/1
C4, S4, C4h, D4>
^4Vy ^2dy Dih
T, Г*, Td, 0, oh
^з» S6, ^з> Сз©» &3V
C6v, E>zh> Deh
Возможные решетки
Гг простая
Tm простая
Ym базоцентрированная
Yv простая
Tv базоцентрированная
Г" гранецентрированная
Tv объемноцентрированная
Г^ простая
Г объемноцентрированная
Тс простая
Тс гранецентрированная
Г/ объемноцентрированная
Гг^ простая
Гд простая
Голоэдрия
C2h
£>2h
D*h
oh
D3v
распределение приведено в табл. 10. В соответствии с точечными
группами семь кристаллических систем в свою очередь могут быть
подразделены"на 32 кристаллических класса.
68 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
7. Неэлементарные трансляции. Так как подгруппа Т
элементарных трансляций пространственной группы G является ее
нормальным делителем, то G можно разложить в смежные классы
по Г. Очевидно, любые два элемента одного смежного класса
имеют одинаковые точечные преобразования а, а элементы
различных смежных классов — различные. Отсюда вытекает следующее
утверждение.
Фактор-группа G/T изоморфна точечной группе Go. Иными
словами, разложение G в смежные классы можно записать в виде
о- 2 n«lv„},
где {cc|va} — представитель смежного класса, соответствующего а.
Вектор va, связанный с преобразованием а, всегда можно выбрать
так, чтобы он имел минимальную длину среди
всех возможных векторов, связанных с
преобразованием а. Тогда произвольный элемент
пространственной группы запишется
следующим образом:
{a|a}-{8|R}{a|v„} = {a|va + R}.
Здесь а пробегает по всем матрицам точечной
группы, векторы v« определяются через а и
вектор R независимо от а пробегает по всем
векторам решетки.
Следовательно, пространственная группа
определена полностью, если, помимо точечной
группы и решетки, известны еще так называемые векторы неэле-
ментарных трансляций va.
Неэлементарные трансляции va зависят от выбора начала
координат, связанного с осями вращений.
Действительно, если выбрать новое начало координат,
сдвинутое относительно старого на г0, так, что точка с' координатами г
теперь будет иметь координаты г' (фиг. 12), то
Г/«"Г-Г0-{в|Г0Г1Г.
Пусть далее некоторое произвольное преобразование
пространственной группы переводит точку г в эквивалентную ей точку г:
г = {а | а} г.
Тогда для штрихованных векторов будем иметь
{e|r0}f' = {a|a}{e|r0}r',
или
г' = {е| Го}"1 {а| a}{e| г0}г' - {а| a + аг0- г0}г'.
§ 1. Определение и свойства пространственных групп 69
Следовательно,' преобразование {е|г0} осуществляет изоморфное
отображение типа
«Новая» пространственная группа, очевидно, имеет ту же решетку
и ту же точечную группу. Изменилась лишь неэлементарная
трансляция. Теперь она имеет вид
< = va + ar0-r0. (2.7)
Существуют пространственные группы, у которых при
подходящем выборе начала координат можно достичь va = 0 для всех
a е G0. Такие пространственные группы называют симморфными
пространственными ^группами. В этих группах представители {сс|0}
в разложении на смежные классы сами образуют группу,
изоморфную G0. Кристаллы, обладающие симморфными
пространственными группами, называют симморфными кристаллами. Однако
симморфными являются не все пространственные группы. В
некоторых пространственных группах при любом выборе г0 векторы
v« равны нулю не для всех aе Go. Векторы v„^=0b этих группах
могут быть представлены как дроби векторов элементарных
трансляций R. Поэтому неэлементарные трансляции называют также
частичными трансляциями (fraktionelle). В этом случае
пространственной группе принадлежат уже не все точечные
преобразования {а|0}, а некоторые а входят вместе с трансляцией: винтовые
движения (|а|= 1) и отражения в плоскостях скольжения (|а| =
--о.
Из 230 пространственных групп симморфными являются
лишь 73.
Таким образом, для полного задания пространственной группы
необходимо указать следующие три ее составляющие:
1. Решетку допустимых трансляций R, т.е. группу трансляций
Т\ заданием решетки определяется класс Браве и кристаллическая
система (голоэдрия).
2. Точечную группу G0; она является подгруппой голоэдрии
решетки и определяет кристаллический класс.
3. Неэлементарные трансляции v , которые обязательно
должны быть указаны для всех элементов точечной группы; только
для симморфных групп можно все va выбрать равными нулю.
8. Кристаллы с базисом. Теперь покажем, как, исходя из
заданной решетки, построить кристалл, пространственная группа
которого имела бы эту решетку. Как уже упоминалось выше,
решетка разбивает все пространство на элементарные ячейки,
а именно ячейки Вигнера — Зейтца. Заполняя каким-нибудь
способом каждую ячейку Вигнера — Зейтца частицами, из которых
образуется кристалл, мы и получим искомый кристалл.
Заполнение ячейки частицами может быть произведено различными
70 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
способами. В соответствии с этим получающиеся кристаллы также
будут различны.
Если, например, поместить одну частицу, имеющую симметрию
голоэдрии, в центр ячейки Вигнера — Зейтца, то получится
кристалл без базиса. Если же ячейка Вигнера — Зейтца содержит
несколько частлц, то говорят, что эти частицы образуют базис, а
получающийся кристалл называют кристаллом с базисом.
Положения атомов, образующих базис, в ячейке Вигнера — Зейтца
указывают векторами ti, ..., is-
Кристаллы без базиса, очевидно, симморфны. Их точечные
группы совпадают с голоэдрией решетки1).
Базис может обладать или не обладать симметрией голоэдрии.
В первом случае кристалл снова будет симморфным с точечной
группой, совпадающей с голоэдрией. Если же базис не обладает
симметрией голоэдрии, то он все же может иметь симметрию
некоторой точечной группы, являющейся подгруппой голоэдрии.
В этом случае кристалл снова может быть симморфным.
Справедливо и обратное: симморфные кристаллы имеют инвариантные
относительно некоторой точечной группы базисы (или вообще не
имеют их).
Поясним все сказанное выше на примере г. ц. к. решетки Г£.
При этом будем описывать кристаллы, встречающиеся в природе.
1. Кристаллы без базиса. Такие кристаллы являются симморф-
ными, их точечная группа совпадает с голоэдрией Он,
пространственную группу обозначают через 0\. Примерами могут служить
благородные металлы Ag, Au, Си.
2. Базис с симметрией голоэдрии. Если выбрать в качестве
базиса в ячейке Вигнера — Зейтца один (сферически симметричный)
атом в центре (ti = 0) и второй в вершине [тг = а(1, 0, 0)]
ромбододекаэдра 2), то такой базис будет инвариантным по отношению
1) Такие кристаллы называют еще голоэдрическими кристаллами.
2) Ромбододекаэдр имеет 14 вершин (см. фиг. 7). Шесть из них, лежащие на
осях координат [например, а(0, 1, 0); точка Я], эквивалентны друг другу и
отличаются лишь на вектор решетки. Действие любого элемента голоэдрии на такую
вершину дает одну из шести указанных выше вершин. Так как любая
получающаяся вершина эквивалентна исходной, то говорят, что вершина инвариантна
относительно голоэдрии. Восемь оставшихся вершин лежат на пространственных
диагоналях [например, -^ (1, 1, 1); точка Р]. Они распадаются на два
эквивалентных друг другу набора
|(i, 1, о, £о, -1, -и, -|(-i, 1, -о, |(-i, -1. о
и
!(-1, -1, -о, -|(-i, 1, о, f-o, -и о, |(i, 1, -о.
Каждая совокупность вершин инвариантна относительно группы Т*, но не
относительно группы Од.
§ Л Определение и свойства пространственных групп 71
ко всем операциям группы Ол. Следовательно, кристалл является
симморфным и его точечная группа совпадает с голоэдрией Он\
пространственной группой также является группа 0\. Примерами
служат щелочногаллоидные соединения, в которых, например, ион
Na+ находится в центре, а ион С1~ — в вершине ячейки Вигнера —
Зейтца.
3. Структура алмаза. Базис этой структуры состоит из двух
одинаковых атомов, расположенных в центре (х\ = 0) и в точке
т2= т = -2"(1, 1, 1) ячейки Вигнера — Зейтца. Этот базис
инвариантен уже не относительно группы Он, а лишь относительно (полной)
группы тетраэдра Td. Пространственную группу структуры алмаза
обозначают через OL Точечной группой 0\ является голоэдрия
Он- Так как выбранный нами базис не инвариантен относительно
этой конечной группы, то кристалл не является симморфным.
Неэлементарные трансляции этого кристалла подробно будут
описаны в п. 9. Примерами веществ могут служить элементы
четвертой группы периодической системы Si и Ge.
4. Структура цинковой обманки. Ее базис состоит из двух
различных атомов, расположенных в точках %\ = 0 и тг = т = -j-(l> U О
ячейки Вигнера — Зейтца. Пространственную группу
обозначают через Та, точечной группой служит группа Та, оставляющая
базис инвариантным; кристалл является симморфным. Примерами
веществ могут служить соединения типа АШВУ, например InSb,
в котором атом In находится в центре, а атом Sb — в точке т
ячейки Вигнера — Зейтца.
В дальнейшем в качестве примера мы будем рассматривать
структуру типа алмаза.
9. Пример: структура алмаза. Структура алмаза — это
кристаллическая структура с базисом; решетка г. ц. к. В ячейке
Вигнера — Зейтца содержится два одинаковых атома в точках ti = 0 и
Ъ-т-чИ1' 1. О-
Пространственная группа Он задается следующими
характеристиками:
1. Решеткой является решетка Г'с с элементарными векторами
Ъ«а(0, 1, 1), Ъ-а(1, 0, 1), t3-a(l, 1,0).
Ячейкой Вигнера — Зейтца является ромбододекаэдр (см. фиг. 7);
голоэдрия — полная группа октаэдра Он-
2. Точечная группа Он- Эта группа состоит из 48 элементов и,
как всякая группа второго рода с инверсией, может быть
fu /л. й. Кристаллографические НространШеНШе ёруПШ
представлена в виде прямого произведения
он-тахс1т
Полная группа тетраэдра разбивается на пять классов
сопряженных элементов:
»;
"2х> Ъ2у, 62г;
а*х> агЛ v «#. а42.
9ху> Рху> Qyz* Qyz> 9zx>
x±i *±1 x±i А*1
°3xyz, °3xyz, °3xyz, °3xyZ*
•#
9zx',
В соответствии с этим группа Он разбивается на десять классов,
которые мы здесь приводить не будем.
Матрицы а группы Та приведены в табл. 11. Их действие на
векторы определяется равенством
где (х)—координаты вектора до поворота, а (#')—его
координаты после поворота.
3. Неэлементарные трансляции. Вид неэлементарных
трансляций зависит от выбора начала координат (см. п. 7). Для
структуры алмаза обычно рассматривают две возможности:
а) Начало координат расположено в узле, т. е. ti = 0, тг = т.
(Таким образом мы определяли структуру алмаза в предыдущем
пункте.) Так как базис инвариантен относительно группы Т^( то
0 для а <= Td,
т для а ф Та.
ч
б) Начало координат находится в стандартном положении,
т. е. х\ = —т/2, Т2 = т/2. Иными словами, начало координат
находится посередине между обоими базисными атомами.
Неэлементарные трансляции в этом случае могут быть получены по (2.7),
если положить г0 = т/2:
■j (ат - т) для а <= Та,
! (2.8)
т(ат + т) для афТа.
<^а + ^(ат-т):
Вычислим ат — т для ае Та- Если а пробегает по всем
элементам Td, то ат совпадает с одним из векторов, соответствующих
эквивалентным т вершинам (см. примечание на стр. 70). В
соответствии с этим Та можно разложить на левосторонние смежные
[
1
74 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
классы по подгруппе, оставляющей инвариантным т. Эта
подгруппа является точечной группой C3v с элементами е, bfxy2> рхд9 py2f
р2$. В табл. 12 указаны векторы ат и левосторонние смежные
классы группы Td по подгруппе C3v.
Таблица 12
Смежный
класс
"о = ^ Зо
а,
Ц
"з
Элементы
г
hx
Ч
*22
^Зхуг
Зхуг
ьът
^Зхуг
Ь3хуг Рхд
6Wz aiy
Ь3хуг °iJ
Чт огй1
Руг
aiz
aix
%
Pzx
Pyz
Pzx
Pxy
«,,
1 (1,1,1)
-§■ (i. T. 1)
|-0, i,"i)
4 fi.i.D
Из табл. 12 видно, что
Syt-t^t, (у = 0, 1, 2, 3),
(2.9)
если считать t0 = 0.
Группа Csvj разумеется, также является подгруппой группы Oh-
Так как
Oh = Td + iTd,
то ее разложение на левосторонние смежные классы по Сзи
имеет вид
0А«2(в/ + 18/),
и смежные классы i2j состоят из элементов, не принадлежащих
группе Td. Согласно (2.8), v1/i== — v^, так что
v« =
— "2 */ Для ае8/с^.
yt/ для asiS/^^.
(2.10)
(Поскольку неэлементарные трансляции определены лишь с
точностью до вектора решетки, то можно выбрать также v£ = 72t/
при aESj + iSj.) Стандартный выбор начала координат,
очевидно, приводит к тому, что пространственная группа содержит
чистую инверсию {i|0}. Если же начало координат выбрано в узле,
jo инверсия будет входить вместе с неэлементарной трансляцией
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 75
vj = т. Часто оказывается удобным иметь в группе чистую
инверсию, так что стандартный выбор начала координат обычно более
предпочтителен.
Так как
|T|-a^-<|t/|-a/2f
то векторы at, указанные в табл. 12, задают положения четырех
атомов, ближайших к центральному. В решетке алмаза любой
атом окружен четырьмя ближайшими соседями, что обусловлено
валентностью атомов С, Si и Ge. Вместе с тем кристаллизацию
этих веществ в решетке алмаза можно рассматривать как
следствие того, что их валентности равны 4. Здесь мы не станем
останавливаться на этой взаимосвязи.
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп
Так как все пространственные группы содержат в качестве
нормального делителя группу допустимых трансляций Г, то для
построения их неприводимых представлений можно воспользоваться
теорией, развитой в гл. 1, § 3, п. 9. Нам потребуются также
неприводимые представления группы трансляций Г. Начнем с
определения обратной решетки.
1. Обратная решетка. Для любой решетки с узлами в точках
R = nxtx + n2t2 + n3tz {пи «2, nz — целые числа)
можно ввести обратную решетку, узлы которой будут задаваться
векторами К, удовлетворяющими для всех R условиям
KR = 2зт X целое число. (2.11)
В отличие от нее решетку, узлы которой задаются векторами R,
называют прямой решеткой.
Обратная решетка точно так же, как и прямая, полностью
описывается линейными комбинациями базисных векторов обратного
пространства Ь;, которые определяются с помощью соотношений
ЪЬ,-2яа,/ (/,/=1,2,3). (2.12)
Векторы Ь;- однозначно задаются равенствами (2.12) и линейно
независимы, так что любой вектор К можно записать в виде
К - S А,Ь/.
7-1
Поскольку соотношение (2.11) должно выполняться для любого R,
и в частности для R = U, то из (2.12) вытекает, что все числа А,- —
целые.
?6 Рл. 2. Кристаллографические Пространственные группы
Обратная решетка (как и прямая) разбивает все
пространство1) на элементарные ячейки. Однако конкретный вид этих ячеек
не определяется однозначно заданием решетки. В частности,
можно построить симметричные элементарные ячейки, которые в
обратной решетке носят название первой зоны Бриллюэна2) или
просто зоны Бриллюэна. Зона Бриллюэна в обратной решетке —
это то же самое, что и ячейка Вигнера — Зейтца в прямой.
Обратная решетка, как и прямая, остается инвариантной
относительно некоторой точечной группы симметрии. Голоэдрию
обратной решетки можно определить как максимальную точную
группу, переводящую данную обратную решетку в саму себя.
Справедливо следующее утверждение: голоэдрия обратной
решетки совпадает с голоэдрией соответствующей ей прямой
решетки.
Пусть преобразование а принадлежит голоэдрии прямой
решетки. Тогда а-1 также принадлежит этой голоэдрии и в силу
ортогональности а выполняется равенство
(ab/, ^) = (Ь/, сг4£) = 2яХ целое число.
С учетом (2.11) отсюда вытекает, что вектор ab;- является
вектором обратной решетки.
Можно показать и обратное: любой элемент, принадлежащий
голоэдрии обратной решетки, оставляет инвариантным также и
прямую решетку.
Таким образом, любая обратная решетка принадлежит к
одному из 14 классов Браве, а именно к той же кристаллической
системе, что и соответствующая прямая решетка. Так же как и
прямая решетка, обратная решетка зависит лишь от трансляций
пространственной группы и, следовательно, отражает только
трансляционную симметрию проблемы.
В качестве примера рассмотрим обратные решетки кубической
системы.
Используя (2.4) — (2.6), по формуле (2.11) сразу же можно
вычислить векторы Ь; для трех кубических решеток.
1. ГЛ. Так как базисные векторы прямого пространства
ортогональны, то базисные векторы обратного пространства просто
пропорциональны им:
14—f (1, 0, 0), Ь2=^-(0, 1, 0), Ьз = ^(0, 0, 1).
1) Это пространство часто называют обратным пространством, так как
расстояния в-нем измеряются в обратных длинах.
2) Термин «первая зона Бриллюэна» сложился исторически. Имеются и
другие зоны Бриллюэна (более высокие), которые для нашего рассмотрения
несущественны.
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 77
Обратной к решетке Гс является также п. к. решетка с постоянной
2п/а. Зона Бриллюэна представляет собой куб с ребром, равным
2я/а.
2. П. Базисные векторы обратного пространства имеют вид
ь,—|(Т, 1, О, b2=-g(l, Г, 1), Ьз—£(1, 1, Т). (2.13)
Обратной решеткой г. ц. к. решетки является о. ц. к. с
постоянной решетки я/а. Зона Бриллюэна — усеченный октаэдр.
3. Г". Базисные векторы в обратном пространстве равны
bi = 2я/2а(0, 1, 1), Ь2 = 2я/2а(1,0, 1), Ь3 = 2я/2а(1, 1, 0). Обратной
решеткой о. ц. к. решетки является г. ц. к. с постоянной я/а. Зона
Бриллюэна — ромбододекаэдр.
После этих предварительных замечаний об обратных решетках
мы перейдем к неприводимым представлениям группы трансляций.
2. Неприводимые представления группы трансляций. Так как
группа трансляций — это бесконечная группа, на нее нельзя
непосредственно перенести результаты, полученные для конечных групп.
Поэтому обычно трансляционную группу заменяют конечной
группой, накладывая на трансляции так называемые периодические
граничные условия, или условия Борна — Кармана. Они сводятся
к предположению
{e|tJG = {e|0} (/=1,2,3), (2.14)
где G — произвольное, достаточно большое целое число. Это
предположение означает, что весь бесконечный кристалл разбит на
эквивалентные конечные области (параллелепипеды с ребрами
G|t;|). При этом эквивалентные точки каждой из областей
обладают совершенно одинаковыми физическими свойствами, т. е.
в этих точках оказываются равными не только, например,
кристаллический потенциал, но и волновые функции и все остальные
величины, так что трансляция {е| Gtt-} ничем не отличается от
единицы {е|0}. Введенную таким способом большую область
называют основной областью; мы будем обозначать ее через й.
Считается, что если основная область достаточно велика, то ее
отличие от бесконечного кристалла без периодических граничных
условий пренебрежимо мало. Все физические выводы, конечно, не
должны зависеть от размеров основной области.
Введение основной области превращает группу трансляций Т
в конечную группу порядка G3. Эта группа абелева и равна пря«
мому произведению трех циклических подгрупп порядка G:
Т = ТгХТ2ХТ3,
где Т{ — циклическая группа с образующим элементом {e|ti},
порядок которого, согласно (2.14), равен G.
78 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Так как группа 7\- циклическая, то все ее неприводимые
представления одномерны, причем элементу порядка G можно
поставить в соответствие любой из корней степени G из единицы
(см. гл. 1, § 3, п. 2). Следовательно, все G неприводимых
представлений группы Тг можно получить, если сопоставить {г\и}
последовательно все G значений корня из единицы:
д('|)({в|у)-ехр-^ (р,-1, .... G).
Здесь верхний индекс pi характеризует неприводимое
представление. «Матрицы», представляющие остальные элементы группы
{e|tjn/ (ni= 1, ..., G), получаются возведением указанных выше
величин в степень п\.
В согласии с гл. 1, § 3, п. 6 все G3 неприводимых
представлений группы трансляций Т можно получить из построения внешнего
кронекеровского произведения, т. е. полагая
д(Рь Р2, Рз) ( fg I R) ) = еХр 2зх/ (Pi^i + Р2П2 + ргПг)
где
R = /Zjtj + n2t2 + /x3t3.
Тройки /?i, р2, Рз пробегают G3 значений, соответствующих G3
неприводимым представлениям группы Г. Используя понятие
обратной решетки, можно ввести более удобные обозначения для G3
неприводимых представлений.
Введем G3 векторов к, определив их равенствами 4)
k=S*tbf,
где
*!--■§■ (*-1. .... G), (2.15)
т. е. каждый вектор к заменяет тройку ри /?2, Рз- Характеризуя
представления группы Т с помощью векторов к, можно написать
£<k>({8|R}) = 6T''k-s. (2.16)
Из (2.15) видно, что все значения вектора к содержатся в
элементарной ячейке, определенной векторами —Ъи —b2, —Ь3. Так как
по (2.16) представление можно характеризовать как вектором к,
так и векторами k+К (К — любой вектор обратной решетки;
1) Можно было бы также положить
однако ничего нового это не дает.
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 79
ехр[—j'K-R]=1), то значения векторов к, определяющих G3
неприводимых представлений 7\ можно выбрать в любой из
элементарных ячеек обратной решетки. Наиболее удобной для этой цели
ячейкой является зона Бриллюэна. Вектор к, значения которого
лежат в зоне Бриллюэна, называют приведенным вектором к или
приведенным волновым вектором.
Таким образом, неприводимые представления группы
трансляций характеризуются значением приведенного волнового вектора,
лежащим в зоне Бриллюэна, и имеют вид (2.16). G3 значений
вектора к равномерно распределены по всей зоне. Если
величину Q3 устремить к бесконечности, то плотность значений вектора к
будет увеличиваться, пока они не заполнят полностью всю зону
Бриллюэна. Мы всегда будем пользоваться дискретным набором
значений к.
3. Неприводимые представления пространственной группы.
Для получения неприводимых представлений пространственной
группы воспользуемся методом, изложенным в гл. 1, § 3, п. 9.
Всякая пространственная группа G содержит в качестве нормального
делителя группу трансляций Г, неприводимые представления
которой имеют вид (2.16). Распределим эти представления по
орбитам относительно группы G.
Согласно определению, вместе с представлением S)(k) к той же
самой орбите будут относиться и все представления 25(к), для
которых существуют {а|а} е G, такие, что
0{Ю({г\ R})- D(k)({«l аГ>1 Ю{«1 а}). (2.17)
Так как
{а| а}"1 {е| R}{a| а} = {е| a"1 R}, (2.18)
то для всех R должно выполняться равенство
<>-"'•* =е-*(к.«-^) = £Г<(«к,ю (2 19)
или
к' = ак + К. (2.20)
Так как к'— приведенный волновой вектор, т. е. его значения
лежат в зоне Бриллюэна, то заданием а и к вектор К определяется
однозначно. Хотя вектор к лежит в зоне Бриллюэна, может
оказаться, что ak уже не будет лежать внутри нее, и, следовательно,
чтобы вектор к' лежал в зоне, должно выполняться условие К Ф 0.
Это может иметь место, если к лежит на поверхности зоны
Бриллюэна,' так как (грубо говоря) лишь половина этой поверхности
относится к зоне, и вектор ak может попасть на другую половину.
Тогда только добавление вектора КФО снова переведет его на
относящуюся к зоне часть поверхности.
80 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Совокупность векторов к',~получающихся по (2.20), когда а
пробегает все элементы точечной группы, называют звездой
вектора к. Число различных «лучей» звезды ,называют порядком
звезды.
Справедливо следующее утверждение. Орбита Т относительно
G состоит из всех неприводимых представлений 2) ,
принадлежащих звезде к. Распределяя все векторы к по звездам, получаем
все орбиты Т относительно G.
Звезда (орбита) имеет порядок не выше g (g— порядок
точечной группы). В случае когда порядок звезды равен g, ее называют
звездой общего типа. Чем симметричнее положение вектора
звезды, тем меньше ее порядок, тем меньше число ее лучей. Звезда
с к = 0, например, состоит лишь из одного луча.
Теперь мы построим малую группу L, соответствующую G,
Т и ф(к).
Согласно (2.19), эта группа состоит из элементов {а|а}, для
которых -
ak-k + K. (2.21)
Здесь вектор К отличен от нуля лишь для векторов к, лежащих
на поверхности зоны Бриллюэна, и служит для возврата
векторов ak, если они окажутся вне зоны.
. Такую малую группу называют группой волнового вектора к
и обозначают через Gk. Она состоит из элементов {а|а}
пространственной группы, точечные преобразования а которых переводят
лучи звезды вектора к в самих себя (или, если К Ф 0, в
эквивалентное данному лучу положение).
Если S)k—допустимое неприводимое представление Gk, т. е.
неприводимое представление Gk с матрицами
/Ы{в|ВД)-*-»•*/,
то индуцированное представление $)к7) будет неприводимым
представлением пространственной группы G.
Все неприводимые представления G можно получить, беря из
каждой звезды один луч к и индуцируя из всех неэквивалентных
допустимых неприводимых представлений 35к группы Gk
неприводимые представления G. Если m — размерность ©к (кратность
орбиты) и 5 — порядок'звезды вектора к, то размерность
представления'©^ равна ms. .
Неприводимые представления пространственной группы типа
Ъ\? назовем стандартными представлениями. Всякое
неприводимое представление пространственной группы можно привести
к стандартному {стандартная форма).
Разобьем матрицы представления 3)кЛ на /л-мерные блоки
Dij{a). В каждой укрупненной строке и в каждом столбце эти*
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 81
матриц будет отличен от нуля только один блок. Если
зафиксировать набор представителей ai в левостороннем разложении G
по Gk
G=2a£Gk, (2.22)
то по (1.29) блок (ij) отличен от нуля только тогда, когда
a-'aa.k^k + K. (2.23)
Последнее равенство можно записать иначе, пронумеровав лучи
звезды вектора к следующим образом:
k; = a,k + K (k^k).
Тогда блок (ij) отличен от нуля, если
aky-k, + K, ~ (2.24)
и имеет вид
Dit(a)**Dkfa]aat) (2.25)
\а^]ааг согласно (2.23), является элементом Gk].
Если далее для каждой пары а и / ввести функцию ctj, положив
a-faa^G^ (2.26)
то заданием а и / функция о/ определяется вполне однозначно, и
(ij)-u блок запишется в виде
Dif(a) = Dk(aJaa;)diar (2.27)
Теперь можно найти допустимые неприводимые
представления 5Dk группы Gk.
Предварительно мы подробно проанализируем случай звезды
общего типа.
Если вектор к лежит в общем направлении, то его звезда
имеет g лучей, и равенство (2.21) выполняется лишь для е. Малой
группой в этом случае является группа трансляций Т, из
неприводимых представлений которой только одно будет допустимым, а
именно представление, соответствующее рассматриваемому лучу.
Следовательно, всякая звезда общего типа порождает одно
неприводимое представление пространственной группы. Это
представление 35(к'7) имеет размерность g. Матрицы, соответствующие
элементам группы Г, диагональны, и на их главных диагоналях
находятся неприводимые представления
I
где к{ пробегает по всем лучам звезды:
к, = а,к + К.
82 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
(Здесь а* пробегает по всем элементам группы.) В качестве
представителей в разложении (2.22) можно выбрать элементы
{a|va} (ae=G0),
которые, нумеруя элементы точечной группы индексом i (i = 1, ...
• • •, g), обозначим через
Матрица любого элемента {а|а} пространственной группы имеет
в каждой строке и каждом столбце только один отличный от нуля
элемент («блоки» одномерны; кратность орбиты равна 1).
Отличные от нуля элементы получаются с помощью (2.23). Так как
всякий элемент точечной группы порождает из вектора к новый луч
звезды, то
ar^aa^e, или a = a.a~1.
При заданных а и i эти уравнения допускают единственное
решение щ = о"!а{. Так как
{<** I vj""1 {а| а} {а,1 v,} = {е| af1 (а + av, - v,)}f
то по (2.25) отличные от нуля матричные элементы равны
ехр [— * (к, • а-1 (а + avy-v.))] = ехр [— ikt • (a+av; - vf)]. (2.28)
4. Допустимые неприводимые представления группы 0^
В предыдущем пункте мы свели построение неприводимых
представлений пространственной группы к построению допустимых
неприводимых представлений малых групп Gk. Покажем^ каким
образом можно найти нужное представление Gk.
При некоторых дополнительных предположениях допустимые
неприводимые представления группы Gk выражаются через
неприводимые представления так называемой точечной группы Gok
волнового вектора к. Точечная группа Gok волнового вектора к
состоит из элементов точечной группы G0, для которых
выполняется равенство (2.21), т. е. которые оставляют вектор к
инвариантным.
При этом справедливо следующее утверждение. Если
выполнено хотя бы одно из условий:
1) к лежит строго внутри (не на поверхности) зоны Брил-
люэна;
2) Gk —симморфная группа, т. е. в элементы Gk входят
только допустимые трансляции,
то число неэквивалентных допустимых неприводимых
представлений 35k равно числу неэквивалентных неприводимых
представлений ©ok точечной группы G0k волнового вектора к и
Dk(ff|b» = e-ftbZ>ok(P). (2.29)
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 83
Для доказательства того, что при сделанных предположениях
матрицы (2.29) образуют представление, проверим основное
свойство представлений. Согласно (2.29), для любых двух элементов
{р|Ь} и {р'|Ь'} группы Gk имеем
Dk({P|b})Dk({P,lb,}) = e-iMb+bojDok(pp0. (2.30)
С другой стороны,
Дк({Р1 Ь}{Р'1 Ь0) = £Гк(рЬ'+Ь)Я0к (РЭ0 = е'<к-»-1к>ь'*-'к (b+b° Док(РР').
(2.31)
Покажем, что появившийся в (2.31) «лишний» множитель
ехр[*(к—р_1к)Ь'] равен 1, и, следовательно, основное свойство
представлений выполнено. Действительно, если к лежит внутри
зоны Бриллюэна (первый случай), то к = р_1к и ехр[*(к— p^kjb']
для любых Ь'. Если же G —симморфная группа (второй случай),
то Ь' —вектор допустимой трансляции, и так как k — (i^k —
всегда вектор обратной решетки, то вновь exp[j(k— p-Ik)b']=l.
Поскольку Фок в силу неприводимости коммутирует лишь со
скалярными матрицами, то ©к также будет коммутировать только
со скалярными матрицами и, следовательно, представление 35k,
определенное по (2.29), неприводимо.
Представление $>к, очевидно, является допустимым.
Справедливо и обратное утверждение, что при сделанных выше
предположениях любое допустимое неприводимое представление Gk
можно записать в виде (2.29), причем 5D0k будут неприводимыми
представлениями Gok. Пусть
{P|b} = {P|vp + R} = {8|R}{P|vp},
тогда
Ok({Plb} = Dk({e|R})i)k({P|vp}).
Так как ©к — допустимое представление, то
Лк({е|1Ш = £гад./.
Матрица Dk({p|vp}) зависит только от р (и не зависит от Ь), и
можно написать
Ok({P|v(,}) = e-ntv^ok(P),
так что
Ac({P|b}) = £-"bDok(p)#
Из равенств (2.30) и (2.31) следует, что матрицы Dok(P) образуют
представление Gok. Аналогично предыдущему легко убедиться, что
оно неприводимо.
Из доказательства теорем видно, что сформулированные
предположения достаточны; необходимым и достаточным является
более слабое условие, что
ei (k-r !k) ь' e e* (k-Г !k) v = j (232)
для всех p,pe Gok.
84 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Так как точечные группы пространственных групп имеют
невысокие порядки, то их представления хорошо известны.
Неприводимые представления пространственных групп при выполнении
условия (2.32) также легко выражаются через эти известные
представления. Трудности возникают лишь для несимморфных
пространственных групп в случае, еели векторы звезды попадают на
поверхность зоны Бриллюэна. Для таких случаев мы
воспользуемся другими методами.
5. Несимморфные пространственные группы. В этом пункте
укажем способ нахождения допустимых неприводимых
представлений несимморфных групп Gk. Для этого воспользуемся методом,
позволяющим определять все неприводимые представления
группы Gk по неприводимым представлениям ее нормального делителя
Gk, имеющего в Gk индекс 2 или 3. Так как любая
пространственная группа обладает нормальным делителем индекса 2 и 3, то
таким путем проблему определения неприводимых представлений
несимморфной пространственной группы можно свести к
нахождению неприводимых представлений ее симморфной подгруппы. Мы
ограничимся рассмотрением подгрупп с нормальным делителем
индекса 2 и воспользуемся результатами гл. 1, § 3, п. 9.
Распределим неприводимые представления группы GT по
орбитам. Выберем из G какой-нибудь элемент a0^GT (но a0>) и
запишем разложение G по смежным классам GT
G=GT + a0GT.
Если 35 — некоторое представление GT, то для любых а, Ь е GT
имеем
Daua (Ь) = D (a-laolba0a) - D-1 (a) Da> (b) D (а),
т. е. 2)аоа ~ 35ао. Если теперь 3) — неприводимое представление
группы GT и 3) ~ 3)ао, то 35 ~3)а для всех as G и,
следовательно, 5) — самосопряженное представление. Если же 35^35ао, то
не существует такого ое G, чтобы представление Фа было
неэквивалентным и £) и 35J0. В этом случае SDa — 35 Для а е GT, а для
a^GT 35a ~ 35ao. Таким образом, группа GT имеет
относительно G только самосопряженные неприводимые представления или
пары сопряженных неприводимых представлений. Следовательно,
порядок орбиты GT относительно G равен либо 1, либо 2.
Рассмотрим обе эти возможности отдельно:
1. £)/^2)а0. Порядок орбиты в этом случае равен 2, и
представления 3) и S5ao образуют пару неэквивалентных сопряженных
представлений. Тогда группа GT является малой группой *) G, G?
') Термины «малая группа» и «допустимое представление» здесь
используются в том же смысле, что и в п. 3.
§ 2. Неприводимые представления Пространственных групп 85
и 35 и имеет (в силу того, что малая группа совпадает с
нормальным делителем GT) только одно допустимое представление,
а именно 2). Тогда, согласно (1.29), из 55 можно индуцировать
одно неприводимое представление
Таким образом, каждая пара сопряженных неприводимых
представлений группы GT дает одно неприводимое представление
группы G.
2. 35 ~ 35ао. Порядок орбиты в этом случае равен 1, и
представление 3) является самосопряженным относительно G
неприводимым представлением Gr. Малая группа G, GT и 5) совпадает с G.
Тогда всякое ограничение 3)*'s допустимого неприводимого
представления ЗУ*) группы G на подгруппе GT должно быть «кратно»
представлению 5)
£<*•*> = £)$£)е ... =т3).
Покажем, что 2)<е> только в том случае будет неприводимым
представлением, если 3)(*'S) = S), т. е. если написанная выше сумма
содержит лишь одно слагаемое, или, иначе, если кратность орбиты
ЗУ*.*) равна 1. Так как SD — 35а0> то существует такая матрица U,
что
D (ао1ааэ) = U~lD (a) U для всех а €= GT. (2.33)
Если 35^»s> = m3), то, полагая U = ml/, равенство (2.33) можно
записать в виде
D{e)(aolaa0) = U"lDie)(a)U для всех aG GT.
Но из последнего равенства вытекает, что матрица D^)(ao)f/"1
перестановочна со всеми матрицами D(e)(a). Записывая D(e)(a0)
в виде блоков той же размерности, что и представление £>:
D(e)(a0) = (Dif(a0)) (/, /=1, ..., т),
вследствие перестановочности О^(а0)и~1 с Die)(a) имеем
2 Ш (а0) U~{ 6lkD (a) 6kf = %D (a) 6ud№(а0) U~l 6kh
i, k i, ft
или
Dft (a0) U~l D(a) = D (a) D$ (aQ) U~l.
86 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Следовательно, матрицы D\f(ao)U перестановочны с
неприводимой системой матриц S) и, согласно лемме Шура, кратны
единичным
D{$(a0) = XuU.
Так как матрицы D(e)(a0) и U унитарны, то матрица Я— (Хц)
также унитарна
fii/ = 2 d# («о) aft* Ы = 2 xax)iuuf = 2 *Л
Следовательно, матрица X = (Xfi) может быть приведена к
диагональному виду с помощью некоторой унитарной матрицы S =
= (««):
S XS — X = (Xfiij).
Тогда матрица S = (Si$I) приводит представление £)<*> к блочной
диагональной форме, причем размерности всех диагональных
блоков равны размерности 2). В частности, для элементов а£бг
должны иметь место равенства
D\f (а) = 2 sit D (a) blkski = D (а) 6Ф
■ /, k
так как S унитарна; для ао
ЛИГ Ы - 2 suD\H (flo) «а/ = 2 suXtkskJU = X<£/Af/.
Следовательно, представление ®(б> неприводимо лишь в случае
m = 1. Чтобы представление ©(*> было допустимым неприводимым
представлением группы G, его размерность должна совпадать с
размерностью 5D и
D{e)(a) = D(a) для as Gr,
D(6)(a0) = M/,
причем f/ определяется по (2.33). Фазовый множитель X следует
выбрать так» чтобы ©<*) являлось представлением (что возможно
не при любых X). Поскольку матрица U определяется из (2.33)
также лишь с точностью до фазового множителя, то одно из
представлений группы G мы определим, положив
D{e){a) = D(a) для as GT,
D{e)(a0) = U.
Теперь найдем, для какого значения X равенства
D{e)(a) = D{a) для as Gr,
D(e){a0)=XU
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 87
будут определять другое представление G. Для этого во всяком
случае необходимо, чтобы
D<e)(at) = D(al) = ),2U2.
Так как, с другой стороны,
/)(е)Ы) = /)(а2о) = [/2,
то К2 = 1, или К = ±1. Для К =— 1 легко убедиться, что ©(*> также
будет представлением. Оба найденных представления
неэквивалентны. В противном случае существовала бы перестановочная со
всеми матрицами D(a) (a^GT) матрица S (по лемме Шура
S = \х1)у переводящая U в — £/, т. е.
S~lUS = — U.
Откуда следовало бы U = 0, что невозможно.
Таким образом, малая группа G (в случае самосопряженных
представлений ©) имеет два допустимых неприводимых
представления, определяемых равенствами
D{£ (а) = D (а) для a g= GT,
D^(a0)=±f/.
При этом матрица U дожна определяться из равенства
Sao2* U~~l(£)U так, чтобы матрицы ©±* действительно
образовывали представления. Последнее делается не однозначно.
Представления группы G, идуцированные из обоих допустимых
представлений 2)(± малой группы, совпадают с ними.
Подведем итог. Если GT — подгруппа с индексом 2 (а
следовательно, нормальный делитель) группы G и G = GT + a0GTt то
все неприводимые представления группы G могут быть получены
из неприводимых представлений подгруппы GT следующим
образом.
Прежде всего нужно разбить неприводимые представления GT
по орбитам относительно G. При этом встречаются только орбиты
порядка 2 (пара сопряженных представлений) и порядка 1
(самосопряженное представление).
Каждая пара сопряженных неприводимых представлений
подгруппы GT (2)— одно из представлений пары) порождает одно
неприводимое представление группы G с матрицами
- m fD(a) ° \
m /О D (яЯо)\
(2.34)
88 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Всякое самосопряженное неприводимое представление 35
группы GT порождает два неэквивалентных неприводимых
представления G:
D^{a) = D(a) (a<=GT),
D(l)(a)=±UD(aola) (афОт\ %Щ
Матрица U в последнем выражении находится из условия
25а0= U~X(S)U с учетом требования, чтобы ©± были
представлениями группы G.
Тогда, согласно теореме гл. 1, § 3, п. 9, этими представлениями
исчерпываются все неприводимые представления группы G.
Теперь мы можем вернуться к проблеме построения всех
допустимых (теперь уже относительно группы Т) неприводимых
представлений несимморфных групп Gk. Как уже указывалось,
допустимыми являются представления, в которых матрицы
трансляций имеют вид
Ок({г\К}) = е~*Ч.
Если G\ — симморфная подгруппа с индексом 2 группы Gk, то
для построения неприводимых представлений Gk можно
воспользоваться изложенным выше способом. Будем считать, что
неприводимые представления группы Gk известны, так как их
построение, согласно п. 4, свелось к нахождению неприводимых
представлений точечной группы Gok. Таким образом, осталось
показать, что допустимые представления Gk приводят к допустимым
представлениям Gk, а недопустимые — к недопустимым, т. е. для
построения всех допустимых представлений Gk достаточно
использовать только допустимые представления Gk.
Так как для любого а0& G^ справедливо равенство "
Dk (а0- {81 R} a) = e"'(k- "o"' R) Г = e~ik*I,
то из (2.34) и (2.35) тотчас следует, что допустимые представления
Gk порождают допустимые представления Gk. Обратное также,
очевидно, следует из этих же равенств.
6. Типы векторов к в зоне Бриллюэна. Чтобы построить
орбиты подгруппы Т относительно группы G, нужно рассмотреть все
звезды векторов к в зоне Бриллюэна. Проанализируем
всевозможные типы звезд и их расположение в зоне.
Пусть к — некоторый волновой вектор в зоне Бриллюэна,
имеющий определенную.группу G0k. Если теперь перейти в некоторую
бескоцечщ) близкую точку зоны с вектором к + х (х—бесконечно
$ 2. Неприводимые представления продтранСтвёнНьМ груйй 89
малый вектор), то соответствующие группы, очевидно, будут
связаны соотношением
Gok+x = Gok П Gox. (2.36)
Таким образом, группы, лежащие в окрестности Gok, также
являются ее подгруппами. В частности, в бесконечно малой
окрестности точки общего типа находятся лишь точки общего типа, т. е.
точки общего типа могут быть лишь внутренними точками *) зоны
Бриллюэна. Из (2.36) вытекает также, Vro в бесконечно малой
окрестности любой точки всегда имеются точки общего типа. Для
этого достаточно выбрать вектор к лежащим в общем
направлении, что всегда возможно. Симметричными точками в лучшем
случае могут быть лишь точки, принадлежащие границам областей,
заполненных точками общего типа. Так как преобразования
симметрии точечных групп являются вращениями и вращениями
с инверсией, то такие области должны ограничиваться
плоскостями. Симметричные точки образуют некоторые симметричные
комплексы, т. е. совокупности точек с векторами, имеющими одинаковые
группы G0k. Могут встречаться симметричные плоскости,
симметричные линии и симметричные точки.
Если в каждой звезде выбрать один луч (чтобы лишь один раз
получить все неприводимые представления группы G, из каждой
орбиты следует взять лишь одно представление) так, чтобы лучи,
соответствующие бесконечно близким звездам, также были
бесконечно близки и заполняли некоторую ограниченную область, то
такие области будут точно равны g-u части (g— порядок точечной
группы) зоны Бриллюэна, поскольку все ее внутренние точки
лежат в общем положении. Эту область будем называть
элементарным многогранником. Полную совокупность элементарных
многогранников можно получить, действуя на один из них всеми
преобразованиями точечной группы. При этом точки границ
элементарного многогранника иногда будут переходить сами в себя, так как
некоторые из них лежат в симметричных положениях.
7. Пример: решетка алмаза. А. Симметричные комплексы.
Элементарные трансляции структуры алмаза образуют г. ц. к.
решетку. Зоной Бриллюэна этой решетки является усеченный октаэдр.
Зона состоит из 48 /введенных, в. п. 6) элементарных многогран-.
ников, так как точечная группа имеет порядок 48. Выбранный
нами элементарный многогранник представлен на фиг. 13; там же
заглавными латинскими и греческими буквами обозначены
симметричные комплексы. Полный перечень симметричных
комплексов с.указанием их групп симметрии приведен в табл. 13—15.
1) Термин «внутренняя точка» следует понимать в теоретико-множественном
смысле. Отсюда не следует, что точки поверхности зоны не могут быть точками
общего типа.
Симметричные точки
Таблица 13
Точка
Г
X
L
W
к
0
л/а (0, 1, 0)
я/2а(1, 1, 1)
п/2а (1, 2, 0)
*) Абстрактные то
*) Элементы сгруг
Sk'»
Oft (О X С2)
Dih(D4XCt)
D3V (А>)
Did (Dt) \
чечные группы ук
тированы по клас
a<=Td
г
6С±'
362<
8
К
*>2У
Pzx> &ZX
&2Z, &2Х
г
гоЪхуг
Зр£
8
<*4Х
*>2Х
<
азаны в скс
сам сопряж
Элементы а группы, Gfl. 2)
*<£Td
i
\»и {i = xtytz)
662£ (/ = *#, #z, za% ^, yz, zx)
8а*1 {i^xyz^xyz, xyz, xyz)
Зр£ (/=**, у, г)
i 1
26£
р* '
Pz, Pjt
i 1
За*1
362* ^ = *& #*' **)
Р*
^2t/Z
Р*
бках.
енных элементов.
Таблица 14
Симметричные прямые
Прямая
Л
к
я/а (0, А,, 0)3)
О0к'>
Civ (D4)
Элементы о группы О . 2)
аеГ^
&2|/
Pz*» PzJ?
°£Г</ |
26£
Pz» Рд: .
Продолжение табл. 14
Прямая
Л
2, к
Z
S
Q
к
п/2а (Я, Я, Я) 3)
Зя/4а (Я, Я, 0) 4)
п/2а (Я, 2, 0) 3)
я/а(7Л 1, VA)3)
я/2а(1, 2-Я, Я) 3)
<V>
С3* (А>)
^2V (^2)
^2© (^2)
C2v (D2)
Сг (С2)
Элементы о группы G . 2)
«е^
г
9Ь±1
ZGZxyz
г
Р*£
8
&2л:
г
РгЗс
8
1) Абстрактные точечные группы указаны в скобках.
2) Элементы сгруппированы по классам сопряженных элементов.
<) 0<Х<Г.
С^Г</
^2.ДГ#
Р*
9г
&2ZX
Ьц/г
Таблица 15
Симметричные плоскости
Плоскость
1 ГЛА
1 Г2Л, KL
ГД2, KW
1 WUX, WU
1) Абстрактны
2) Элементы с
°0fc*>
CS(C2)
Cs (С,)
Cs (С2)
Cs(C2)
е точечные группы
группированы по к.
Элементы о группы Gfl. 2)
e6rrf
8
8
Р^
8
8
указаны в скобках
пассам сопряженнь
*фт* |
Рг
f>v
• / 1
IX элементов. I
92 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Точки плоскостей LKW и LWU, как и все внутренние точки
элементарного многогранника, находятся в общем положении. Из
точек поверхности многогранника только прямая LU (исключая
точку L, но включая U) не принадлежит ему, так как векторы к,
кончающиеся на LU, относятся к той же звезде, что и векторы,
кончающиеся на прямой L/C,
а элементарный многогранник по
определению не может содержать
двух векторов одной и той же
звезды.
Б. Симморфные группы Gk.
Теперь мы перейдем к построению
допустимых неприводимых пред-
- ставлений 35k малых групп Gk.
Согласно (2.29), для всех
у внутренних точек зоны Бриллюэ-
на, т. е. для Г, Д, Л, 2, ГЛД, Г2Л,
ГЛ2, имеем
. Dk({P|b}) = 6-^Dok(p).
Это же равенство будет справед-
Фиг. 13. Зона Бриллюэна г. ц. к. лив0 и Для некоторых точек,, ле-
решетки. жащих на поверхности зоны
Бриллюэна: /С, /CL, KW.
Характеры представлений групп G0k, соответствующих перечисленным
симметричным комплексам, приведены в табл. 16—21.
Таблица 16
Характеры абстрактной точечной группы О
о
V -
г,
г2
г»
г'
15
х25
8
8
1
1
2
3
3
зб2
Зб2
1
1
2
-1
-1
бб4
ба4
1
-1
0 .
1
-1
бб2
бр
• 1
-1
0
-1
1
8б3
8б3 1
1
1
-1
0
0
В. Несимморфные группы Gk. Для определения допустимых
неприводимых представлений оставшихся несимморфных групп Gk,
соответствующих симметричным комплексам X, L, W, Z, S, Q,
WUX, можно воспользоваться способом, описанным з п. 5.
Таблица 17
Характеры абстрактной точечной группы О X С2
1 о*
г,
г2
г,«
г'
15
1 *»
г;
г'
2
1 12
г15
г25
е
1
1
2
3
3
1
1
2
3
3
362
2
-1
-1
2
-1
— 1
бд4
-1
0
-1
-1
0
— 1
6&2
-1
0
-1
-1
0
-1
8ft3
1
1
-1
0
0
1
1
-1
0
0
i
1
1
2
3
3
-1
-1
-2
-3
-3
Зр
2
-1
-1
— 1
-1
-2
6<г4 6р 8ов
-1 ~
0 (
1 -1
-1 1
— 1 —
0 (
-1
1 —
1
1
) -1
0
0
1 -1
1 -1
) 1
[ 0
1 о
. Таблица 18
Характеры абстрактной точечной группы D4
С4«
°2<*
Ai
А'
Л*
^
д5
г
г
1
1
1
1
2
2ЬА
4у
V Sx
1
1
-1
-1
0
Ь2у
\
1
1
1
1
-2
р , р
X Z
р , р -
ZX ZX
1
-1
1
-1
0
р , р -
ZX ZX
**л 1
4у |
-1
-1
0'
Таблица 19
Характеры абстрактной точечной группы />3
• сз»
л,
л2
л3
8
1
1
. 2
2*з
1
1
-1
зр
1
-1
0
94 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
Таблица 20
Характеры абстрактной точечной
группы С2
Ci
D-
z i
1 1
1 -1
Таблица 21
Характеры абстрактной точечной группы D2 = C2X С2
1 С2*<2>
CiV <S>
s,1)
Si
s2
2,
22
2*
е Р _ Ъп Р 1
ху 2ху z
8 р _ aft р
zx 2zx у
1111
1-1 1-1
1 1-1-1
1-1-1 1
') Представления S обычно нумеруют так, как это сделано в
таблице. С чем это связано, мы обсудим позже в гл. 10, § 7, п. 2.
Существенно, что теперь представление Si уже не является более
тождественным.
Во всех перечисленных случаях, очевидно, имеется подгруппа
Gl индекса 2. Тогда группа Gok будет содержать все
элементы G0k, принадлежащие 74 Выберем а0еСк-. Тогда а0&Та и
vCo = г, так что а0 = {а0|т}.
Допустимые неприводимые представления Gl имеют вид
Dl(№B}) = e-ik*DT0k(t),
где Gok(P) пробегает по всем неприводимым представлениям
Gob Чтобы распределить представления ©к по орбитам, нужно
установить, в каких случаях выполняется соотношение
Dl(b)~Dlfolbao).
За исключением точки W (которую мы рассмотрим отдельно),
все группы G0k либо абелевы (абстрактные точечные группы
совпадают с Сг или с D2), либо содержат инверсию i (точки X и L).
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп §5
Тогда, выбирая ао = i для X и L или беря любое ао ф Та для абе-
левых групп Gok, получаем
Dok (ао_1Ра0) - D& (Р) (Р е= бЦ (2.37)
Откуда
£>£ (ао'^ао) = e-ik*e~ik ('x'x)DTok (a^'Poo) - e~ik «x~x)DTk (Р). (2.38)
Для групп Gok, соответствующих L, S, Q, №£/#,
e-/k(pt-t)eif (2.39)
поскольку если G0k ^ С2, то р = е, а для групп Gok точек L и S,
согласно табл. 12, вектор т вновь переходит в вектор т.
Следовательно, все группы Gk, соответствующие L, S, Q,
WUX, имеют лишь самосопряженные представления. Каждое
такое сомосопряженное представление, согласно (2.35), дает два
неприводимых представления группы Gk:
D±({a\R}) = e-ik*DTok(a) (aeG0rk),
D±({a\T + R})=±e--ik*UDTQk(aola) (a<£Glk).
Теперь мы должны определить вид матрицы U. Так как во всех
случаях выбор ао был таким, что я^в, т0
U2 = D± (a*) = D& ({г | aQt + т}) = *>-* <^+').
Кроме того, по (2.38) и (2.39)
Dl (b) - £>£ (ao-'&ao) - t/"1^ (6) tf,
а, следовательно, матрица f/ перестановочна с ©L Тогда,
согласно лемме Шура, матрица U кратна /, т. е.
Поскольку аофТа, то по табл. 12 имеется совокупность iS*,
содержащая ао, и, согласно (2.9),
OoT + T^tf.
В табл. 22 приведены векторы U рассмотренных нами групп и
указаны элементы ао.
Так как во всех случаях преобразования ао были
перестановочны с Gob то можно написать
Gok = Gok X {», «о)*
Гл. 2. Кристаллографические промрансшнныё группы
Таблица 22
Симметричные
комплексы
L
S
Q
WUX
ао
i
*>2yz
Ру
V + Tet/
t0 = 0
t2 = a(l, 0, 1) I
t0 = 0
tf-ao, o, i)
Тогда таблицу характеров Gok можно построить из таблицы
характеров Gok аналогично (1.24). Комбинируя знаки плюс и
минус в формулах (2.40) со знаками представлений Dok» для
неприводимых представлений Dok группы Gok окончательно будем
иметь
Ас({а| R}) = e-'kRZ)ok(a) (as бЦ
(2.41)
Dk({а| х + R}) = e~mUDok (а) (а ф GTok).
Здесь
[/ = /
(J = e-ib №/2)
для L и Q,
для S и UPUK
(2.42)
и через 5Dk обозначено представление, соответствующее ©оь
Характеры представлений рассмотренных групп приведены в табл.
23 (см. также табл. 21 и 20).
Таблица 23
Характеры абстрактной точечной группы D6 — D3X С2
1 DZd
L3 ■
L'2
- L\
« 2&3 Зр
1 1 1 ~
1 1 1-1
2-1 0
1 1 1
1 1 . -1
2-10
i 2a, 362
111
1-1 -1
2-1 °
-1 -1 -1
-1-1 1
-2 10
Г. Симметричные комплексы X, Z и Wt Рассмотрим отдельно
симметричные комплексы X, Z и W4
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 97
. Для X и Z выполняется равенство (2.37), так что с учетом (2.9)
множитель в (2.38) равен
в-л <*-о = ё-щ a (_ 1}* для р е g^ (243)
где к = кх или к = kz.
Для к = kz группа Gok = {е, ^2z}. Имеется два допустимых
неприводимых представления группы Gk, которые в силу (2.43)
сопряжены друг с другом относительно группы Gk. Следовательно,
они порождают одно неприводимое допустимое представление Gk,
которое можно построить согласно (2.34). Других допустимых
неприводимых представлений для k = kz нет. Характеры
допустимых неприводимых представлений можно найти, используя табл.
20 и соотношения
jC({e|R)H2e-'k*f %({Р1 Ь}) = 0 для Р#е.
т
Для к = кх имеем Gok = Dm* Из таблицы характеров группы
D2d (табл. 18) с учетом (2.43) видно, что Ai и Д£ так же, как
Ai и Аг, образуют пары сопряженных относительно Gk
представлений. Представление As как единственное двумерное
представление является самосопряженным.
Каждая из указанных одномерных пар дает одно допустимое
неприводимое представление Gk, характеры которого легко найти
с помощью (2.34). Представление As, согласно (2.35), дает два
допустимых неприводимых представления Gk. Для вычисления их
характеров нам нужно найти матрицу U.
Для этого прежде всего нужно знать само представление As
группы Gok. Его легко получить, используя трехмерное
представление группы Td (табл. 11). Действительно, ограничение этого
представления на Gok= D2d имеет полностью приведенную
форму. Матричные элементы (22) сами по себе образуют
одномерное представление. Оставшиеся двумерные матрицы Dok образуют
представление As, что легко проверить по характерам. Например,
£ok(M = (J ~J). Д»(р«)-(_° ~J)- (2-44)
Так как о^ейз и pzx е L2 (табл. 12), то U удовлетворяет
следующим уравнениям:
£& (<%) U = - UDb (oiy), (2.45)
DZu(Pzx)U = UDTok(pzx). (2.46)
Кроме того, вследствие а<> = i должно выполняться равенство
98 Гл. 2. Кристаллографические пространственные гриппы
Используя эрмитовость U, напишем
(а х\
Н- »)•
Из (2.44) и (2.45) имеем х = ** и а = —6. Тогда по (2.46) а = 0;
в силу унитарности U окончательно получаем
и-4 J)-
Для вычисления следов допустимых представлений S)±
используем следы матриц 0\Dok(fl), где $^ Gok = D2d. Эти следы
приведены в табл. 24, при составлении которой использовано
представление As, найденное с помощью табл. 11.
Таблица 24
д5
£/Д5
1 Sp (<УД5)
е
с:)
<:)
0
**
С1.)
(и)
0
S
С-:)
о
0
О О -
(Г.)
с:)
-CJ)
±2
±2
62z' *2*
с:)
0 1
Таблица 25
Х\
х2
Хг
х4
{е|0} 2{64|0} {62|/|0} 2{P^|0} 2{62|0}
2 0 2 2 0
2 0 2-2 0
2 0-2 0 0
2 0-2 0 0
{ь2гх\х} {ь2гх\х}
1
to to о о
to to о о
S 2. Неприводимые представления пространственных групп 99
Таким образом, для четырех допустимых неприводимых
представлений Gk(k = k^) получим таблицу характеров (табл. 25).
Характеры элементов {Р|Ь}, где $&Td и Р=£622х, &2zx, равны
нулю. Характеры элементов с трансляциями R Ф 0 получаются при
помощи соотношения
X({a|v. + R})-e-«x({o|vJ). (2.47)
Наконец, мы найдем еще характеры допустимых
представлений группы Gk для k = kvr. Согласно табл. 13, группа Gok
состоит из элементов е, а4л, Ь2х, а~! и изоморфна циклической группе
С4. Образующим элементом является в4Х- Характеры
неприводимых представлений приведены в табл. 26.
Таблица 26
Характеры абстрактной точечной группы СА
S4
®1
£>2
®3
®4
8
1
1
I
1
*4
1
-1
i
— i
h
1
1
-1
-I
—1
04
1
-1
— /
i
Чтобы найти сопряженные между собой представления,
определим характер представления bi{dolbao\. Выберем а0 = {рг|т}.
Тогда, согласно (2.38),-
Dl(ao lba0) = e
_ -/k(Pt-t) -ikH
e~ik* Оток(щ%о) (PeS4).
Вычислим а^!Ра0для образующего элемента р = <х4зс:
В табл. 27 приведены элементы а^!Ра0 и величины
t-ikfa-T)^^
(Рей,)
р
«i^K
/(Ре ад
ikt;
г
г
0
1
04*
<
2
/
•to'
62*
1
-1
Таблица 27
'*
аи
3
-/
100 Гл. 2. Кристаллографические пространственные группы
для всех p^S4 и kw = я/2а(1,2,0). Если взять в табл. 26
тождественное представление 2>ь то сопряженное к нему представление
имеет характеры
г <**х 62Г а4хХ
.1 / -1 -7 '
т. е. сопряженными являются 35i и 35з. Точно так же сопряжены
между собой представления Ф2 и 2)4- Тогда, согласно
(2.34),имеем два допустимых неприводимых представления группы Gk (к =
= М (табл. 28).
Таблица 28
V?2
{г 10} {О4;с|о} {*2*|0} {^|0}
2 1+/ 0 1-/
2 -1-/ 0 -1 + /
(Pit) с ЪфТа
0
0
■ — 1
Характеры элементов {a|va + R} можно найти вновь по (2.47) *).
*) Если для представлений чистых трансляций вместо ехр[—/kR] выбрать
exp [H-i'kR], то характеры элемента {о4х | 0} будут равны 1 — i и —1 + /, а
характеры элемента {a^.110j равны 1 + I и — 1 — L
Глава 3
ПРОСТРАНСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
До сих пор мы занимались общей теорией групп и
представлений. В качестве примера были рассмотрены
кристаллографические пространственные группы и подробно изучены их
представления. Теперь мы хотим применить полученные результаты к
физике.
Симметрия любой (квантовомеханической) физической задачи
проявляется в инвариантности оператора Гамильтона этой
задачи, что в свою очередь приводит к определенным
трансформационным свойствам соответствующих собственных функций.
Аналогично гл. 1, § 2, п. 4, где была установлена связь между
группой линейных преобразований в линейном векторном
пространстве и ее представлениями, мы рассмотрим преобразования
в гильбертовом пространстве и выясним их связь с
представлениями. Полученные результаты будут использованы в гл. 4 для
исследования собственных значений и собственных функций
гамильтонианов систем, обладающих определенной симметрией.
§ 1. Базисные функции
Пусть дана группа G с элементами a&G. Построим
изоморфное отображение ее элементов а на унитарные операторы Ра
гильбертова пространства так, чтобы
PaPb = Pab*
При этом Ра следует понимать как линейные преобразования в
гильбертовом пространстве. Пусть далее 5D — некоторое d-мерное
унитарное представление группы G. Тогда d функций f% (X =
= 1, ..., d) гильбертова пространства называют базисными
функциями представления 5D, если для всех as(J и всех Я= 1, ...
..., d выполняется равенство
В этом случае говорят, что функция fh принадлежит %-й строке
представления Ф.
102
Г л, 3, Пространства представлений
Так как соотношение (3.1) линейно, то вместе с любыми
двумя системами fa и fi (Х= 1, ..., d) базисных функций
представления D любая система вида а/х + РД (а и р — произвольные
числа) также принадлежит представлению 3).
Заметим, что для справедливости предыдущего утверждения
существенна линейность оператора Ра. В частности, для
оператора обращения времени К оно уже не будет иметь места, так
как этот оператор антилинеен, т. е. удовлетворяет равенству
Kaf = a*Kf.
Базисные функции d-мерного унитарного представления 5D
образуют ортогональную систему функций и могут быть
нормированы.
Действительно, поскольку оператор Ра унитарен, то с учетом
соотношений ортогональности (1.7) имеем
-7S 2 DM(a)Dw(a)(fv, М = 7**2<Ь'' М-
Тогда функции
[72<fv.fv)r\
образуют ортонормированную систему базисных функций
представления 35. В дальнейшем мы всегда будем считать, что
функции /^ нормированы.
Базисные функции /^ представления 3) определяют некоторое
d-мерное подпространство Va гильбертова пространства.
Назовем его пространством представления 3). Функции этого
пространства Vd будем называть функциями представления 3). Данное
представление 3) может иметь, вообще говоря, несколько
различных пространств. Напротив, заданием пространства само
представление с точностью до эквивалентности определяется
однозначно.
В последнем легко убедиться следующим образом. Запишем
базисные функции />, в виде d-мерной колонки F и введем с
помощью соотношения
F^U"xFf (3.2)
новый базис F\ Тогда, согласно (3.1),
PaF = D(a)F,
PaF' = (u-lD(a)U)F',
§ 1. Базисные функции
103
а следовательно, fi являются базисными функциями
представления U*-{(£)U, эквивалентного £).
Из (3.1) вытекает, что всякое пространство представления
является инвариантным подпространством гильбертова
пространства относительно операторов Ра (aeG). Справедливо и
обратное. Всякое инвариантное относительно Ра подпространство Vd
является пространством некоторого представления группы G.
Действительно, если ввести в Vd базис /\ (X = 1, ..., d), то
всякая функция вида Pbh также будет принадлежать
пространству Vd- Следовательно, ее можно записать как линейную
комбинацию функций fo. т. е.
или
PbF = D{b)F.
Теперь покажем, что матрицы D(a) образуют представление
группы G. Для этого докажем основное свойство представлений.
По сказанному выше
PaPbF - D (b) PaF = D(b)D (a) F.
Но левая сторона этого выражения равна
PabF = D(ab)F,
и, следовательно, в силу линейной независимости f% имеем
D(a)D(b) = D(ab).
Заметим, что при доказательстве существенно использовалась
линейность оператора Ра. Для групп с антилинейными
операторами уже не всякое инвариантное подпространство будет
пространством представления.
Кроме того, для доказательства, как мы видели,
несущественна ортонормированность функций /у, достаточно, чтобы они
были линейно независимы.
Как и в гл. 1, § 2, п. 4, мы фактически установили связь между
группой G унитарных преобразований в некотором
инвариантном подпространстве и классом ее эквивалентных
представлений 3).
Поэтому можно сформулировать следующее утверждение:
инвариантное относительно операторов Ра группы G
подпространство Vd только тогда неприводимо, когда неприводимы
соответствующие ему представления £).
104
Гл. 3, Пространства представлений
§ 2. Теорема о разложении
Пусть $)ь ... Д)г — полная совокупность неприводимых
представлений группы G и / — произвольная функция гильбертова
пространства. Тогда можно построить пространство представлений
3)р(/? = 1,..., г) с такими базисными функциями /Jf} (и = 1, ...
...9d ; dp — размерности представлений Фр), что возможно
разложение / по /х):
/-iicW- (з.з)
Иными словами, любая функция f может быть разложена по
функциям неприводимых представлений группы G. \
Для доказательства построим подпространство Vd
гильбертова пространства, определяемое функциями fa = Paf (aeG).
Размерность d этого подпространства, очевидно, не превосходит
порядка группы G (т. е. d<*Cg), и оно инвариантно относительно
Ра (а € G). Следовательно, Vd является пространством
представления 5D группы G. Так как feVd, то в пространстве Vd можно
ввести такой ортонормированный базис fь ..., fa что f\ — f. В
общем случае представление 5D и пространство Vd будут
приводимы. Если преобразование, с помощью которого осуществляется
приведение 5), обозначить через U
то базисные функции fj представления ©', согласно (3.2),
запишутся следующим образом:
й=2ад. (3-4)
1 = 1
Функции // образуют систему базисных функций,
принадлежащих представлениям ©р. Поэтому удобно вместо индекса /,
изменяющегося от 1 до d, ввести индексы ртк, где р обозначает
номер неприводимого представления 5DP, т принимает значения
от 1 до пр и нумерует многократно встречающиеся одинаковые
представления 3)р, к нумерует строки представления abp.
Следовательно,
г
d = 2 npdp.
p=i
Обращая равенство (3.4) и учитывая, что / = fu получим
.разложение / по функциям неприводимых представлений в явном виде
f « 2л UlipmKfpm*. (3.5)
ртк
§ 3. Приведение с помощью идемпотентных операторов 105
Так как 2 U]. pmJpm7i принадлежит и-й строке представления Фр,
то полученное выражение имеет искомый вид (3.3).
§ 3, Приведение с помощью идемпотентных
операторов
Так как, согласно § 2, всякая функция может быть разложена
по базисным функциям неприводимых представлений группы G,
то можно ввести операторы проектирования, соответствующие
отдельным строкам представлений и «выделяющие» из любой
функции часть, соответствующую данной строке данного представления.
Введем операторы, построенные из матричных элементов
неприводимых представлений группы G:
р^ = -^2д$»Л, (3.6)
a&G
В предположении унитарности Ра можно доказать, что
р>^ = ^АЛ-> (3.8)
т. е. что операторы р^ эрмитовы и идемпотентны (это и есть
операторы проектирования), а операторы p£v (\i Ф v) нильпо-
тентны *).
Действительно, равенство (3.7) вытекает из унитарности Фр
и Ра:
a&G a&G
Предполагая, что при р = рг представления 3)р и £у равны (а не
только эквивалентны: 5$)р ~ ©Р'), и используя соотношения
ортогональности (1.7), легко получить и (3.8)
a,a'se
c,6sG
2 Е№(а)1№{аГ1Ъ)Рь =
bsG
2 2 DJ84a)D$(a) JJ D$>) Р, = 6РРЛ,д>р^
Я, ceG 6eG
!) Оператор p называют идемпотентным, если р2 = р; если же р2«0, то
его называют нцльпотентным.
106
Гл. 3. Пространства представлений
Теперь покажем, что оператор проектирования р^ из любой
функции ф гильбертова пространства выделяет часть, являющуюся
базисной функцией [л-й строки представления Фр, а действие
операторов р^ на ф при фиксированном jx дает все базисные
функции представления Фр, если v изменяется от 1 до dp.
Действительно, по теореме разложения (3.3) любую функцию ф
можно представить в виде
' £*' ар'Ыр')
ф= 2 2 с* '* •
р'=1 х=1
где f{pг) — известные базисные функции к-й строки представления
Действуя на ф оператором р£д и используя соотношения
ортогональности (1.7), имеем
р'и oeG
~т2с"2 2 ^(e)DJS?(a)Art-cW.
р'и X aeG
Следовательно, для v = \л получается непосредственно проекция
cffiW функции ф на /<f >, а для v ф \i — остальные партнеры /W
(наличие перед ними численного множителя с&\ разумеется,
несущественно) .
Заметим еще, что если ф не содержит компоненты f<g\ то
Р?/Р = о.
Далее из теоремы разложения вытекает, что сумма всех
операторов проектирования р? равна 1, т. е.
г dp
Часто оказывается, что ф является функцией некоторого
приводимого представления © группы G. Пусть это представление
эквивалентно приведенному представлению вида
2 прЪр. (3.9)
p=i
Тогда в разложении ф по базисным функциям неприводимых
представлений могут встретиться только такие функции, которые
соответствуют неприводимым составляющим частям представления
(3.9). Если далее ввести в пространстве представления, которому
принадлежит ф, в соответствие с разложением (3.9) базисные
§ 4. Ортогональность базисных функций
107
функции fpmyi (см. § 2), то функция р^ф (с точностью до
постоянного множителя) равна базисной функции /pmv, если m = 1
и Ф содержит компоненту fvm^ Если же ш> 1, то р^ф в общем
случае является линейной комбинацией функций rprcV с различными
т, т. е. из каждой функции ф указанным спосооом можно
получить лишь одну совокупность так называемых симметризованных
функций fpv (если, конечно, р^ф ф 0).
Операторы р^, как видно из их определения, можно
построить только тогда, когда известны матричные элементы D$(a)
матриц представлений. Часто же известны лишь характеры %р(а).
В этом случае можно ввести операторы рр, соответствующие
представлениям £)р:
dP d
Такие операторы выделяют из функции ф части, лежащие в
пространствах представлений 3)р. Если, например, функции ф*
образуют приводимое пространство представления 35, содержащего
неприводимое представление Фр, то линейно независимые функции
РрФ* образуют пространство представления 5DP. После ортонорми-
ровки функций ррфг получится базис представления Фр.
Следовательно, если р£ не известны, то для построения
симметризованных функций можно использовать и указанный способ.
§ 4. Ортогональность базисных функций
Теперь мы докажем одно соотношение, которое имеет очень
важное значение при выводе правил отбора. Под правилами
отбора мы понимаем правила, показывающие, разрешен или
запрещен квантовомеханический переход физической системы из одного
состояния в другое в первом порядке теории возмущений.
Если /^ — базисная функция к-й строки неприводимого
представления S)p и • g^ — базисная функция х'-й строки
неприводимого представления $V той же группы G, то
№\ gW)=b'PP***>(fip), А (з.п)
где X произвольно. Иными словами, базисные функции, а также
и функции, принадлежащие неэквивалентным неприводимым
представлениям, ортогональны между собой. Базисные функции
одинаковых (эквивалентности недостаточно) неприводимых
представлений, принадлежащие различным строкам, также ортогональны.
Если же две базисные функции соответствуют одной и той же
108
Гл. 3. Пространства представлений
строке неприводимого представления, то их скалярное
произведение не зависит от номера строки, т. е. величина
№\ $)
не зависит от х. При этом f^ и g^ могут принадлежать к
различным пространствам представления. Если же они принадлежат
одному пространству, то
и, естественно, эта величина также не зависит от х.
Относительно базисных функций эквивалентных, но не
одинаковых представлений ничего сказать нельзя.
Доказательство высказанных утверждений вытекает из
соотношений ортогональности (1.7) и унитарности операторов Ра.
(#. вП-(РЛ». ры№)-\ 2 №. PJ&-
').
8
- 7 S °& и *& <«> • ^ «^=i *** у. w. «р.
ЛЛ МЯЛ
ae-G Х-1
Если обе функции /£> и gjf> принадлежат х-й строке
неприводимого представления ЯЬР, то
р Я-1
и, следовательно, не зависит от х. Этим и завершается
доказательство равенства (3.11).
Теперь мы покажем, каким образом в общем случае
выводятся правила отбора. При этом мы будем исходить из
предположения, что обращение в нуль матричного элемента
if, Ag),
характеризующего вероятность перехода из состояния f в
состояние g, обусловлено только симметрией. Если оператор А
перестановочен с операторами Ра группы G и g — базисная функция
некоторого неприводимого представления этой группы, то Ag будет
принадлежать той же строке, что и g. Это вытекает, согласно
(3.1), из перестановочности А и Ра. Если / в свою очередь также
базисная функция некоторого неприводимого представления
группы G, то, зная представления, с помощью соотношений (3.11)
легко установить, равна или не равна нулю величина (/, Ag). Если
же f и g не являются базисными функциями, то по теореме
разложения их можно разложить по базисным функциям. Матричный
элемент (f, Ag) будет тогда равен сумме матричных элементов, к
§ 5. Критерий для функций представлений
109
каждому из которых уже можно применить критерий
ортогональности. Этим способом искомые матричные элементы часто
существенно упрощаются.
§ 5. Критерий для функций представлений
Теперь мы выведем необходимое и достаточное условие того,
что функция ffi принадлежит к-й строке неприводимого
представления 2)р группы G, т. е. что существует такое пространство
представления Фр, которому принадлежит эта функция, и что fig*
соответствует в нем х-й строке представления ©р.
Функция /W только в том случае принадлежит к-й строке
неприводимого представления Фр группы G, если
2 D^^pJf=-t^]- <ЗЛ2>
ae=G
Здесь g — порядок группы G, dp — размерность представления Фр.
Действительно, если fW принадлежит к-й строке
представления Фр, то имеется dv базисных функций f%\ одной из которых
является сама ffi и для которых выполняются равенства типа
(3.1)
Умножая это выражение на D{^(a) и суммируя по всем ае(5,
в силу ортогональности (1.7) получаем .
2 ^mw-S 2 m*)wi*(a) w=-£-w.
a^G A, a^G
С другой стороны, если для всех /{£> выполняется равенство (3.12),
то можно ввести dv функций
/r = 7S*'(e)W <злз>
a^G
Сама f%\ очевидно, одна из них. Эти функции образуют базис
представления Фр, так как
pJ(t = T 2 ^*WW=7 2 лй*(«г,б)-/УЙ»-
по
Гл. 3. Пространства представлений
В заключение заметим, что (3.13) позволяет получить
полностью весь базис представления ©, если известна только одна его
функция /х, соответствующая х-й строке этого представления. При
этом представление 3D не обязательно должно быть неприводимым.
Теперь мы получим критерий того, что fw являются функциями
представления Фр, т. е. что /М лежит в пространстве
представления £}р.
Функция f<P) только тогда является функцией неприводимого
представления Фр группы G, когда
2 ^'MPjto—f-f*. (3.14)
веб Р
В критерий входят, конечно, только характеры, а не матричные
элементы представлений^ так как функции представлений
определяются для целых классов эквивалентных представлений.
Для доказательства разложим /W по базисным функциям
[см. равенство (3.5)]
/ ^ 2j U1; qmytlqmxy
gmn
откуда, записывая явное выражение для характера представления
55р, к которому принадлежат функции f , и используя (1.7),
имеем
2 х(р) * («> pf* - S Е Е ^ * w ^ <«> ^ «-&» -
a^G a^G gmn K\i
= -J- £j bqp ^ U\\ qmnfqmK = ~^— Jj ^*: ртх1ртк» (3.15)
q mn mx
Если теперь fw — некоторая функция, принадлежащая Фр, то
в силу ортогональности функций представлений
/(P)=2t/,;,m*/U. (ЗЛ6)
mx
Подставляя правую часть (3.16) в (3.15), мы и получим (3.14).
Если же выполнено условие (3.14), то из (3.15) вытекает (3.16),
а, следовательно, функция /(*> является функцией
представления Фр.
Глава 4
ТЕОРИЯ ГРУПП
И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
В предыдущей главе, используя понятие пространства
представления, мы установили связь между группами и их
представлениями, с одной стороны, и преобразованиями в гильбертовом
пространстве — с другой. На этом в свою очередь основано
применение теории групп в квантовой механике. В настоящей тлаве, не
останавливаясь на частных задачах, мы постараемся показать в
общем виде, как можно использовать в квантовой механике
теоретико-групповые методы. Будут рассмотрены три области
применения, охватывающие большинство проблем, а именно:
1. Классификация с помощью неприводимых представлений
групп симметрии собственных чисел и собственных функций
оператора Гамильтона.
2. Исследование расщепления вырожденных состояний под
влиянием малых возмущений.
3: Установление правил отбора.
Ниже мы подробно остановимся на каждом из этих вопросов.
^ § 1. Гамильтонианы, обладающие симметрией
Здесь будут рассмотрены физические системы, обладающие
определенной симметрией. Прежде всего проанализируем
пространственную симметрию одночастичной системы с оператором
Гамильтона Н = Т + V. В этом случае симметрия задачи определяется
пространственными свойствами потенциала V(r), в котором
совершает движение исследуемая частица. Симметрия проявляется здесь
фактически в инвариантности потенциала. Так, в частности, задача
о частице в кубическом потенциальном ящике инвариантна по
отношению к инверсии относительно центра куба, т. е. потенциал не
меняется при замене г на —г. Говорят, что такой потенциал
инвариантен сшюсительно инверсии. Вместе с тем физические задачи,
помимо пространственной симметрии, могут иметь еще симметрию
другого типа. Например, задача двух электронов должна, быть
инвариантна относительно перестановки этих электронов. Важным
свойством многих систем является только их инвариантность по
отношению к обращению времени. На последнем свойстве мы
подробнее остановимся позже.
112 Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
Любому линейному пространственному преобразованию а =
= {а | а}, оставляющему инвариантной задачу, а следовательно, и
соответствующий потенциал
V(ar) = V(r), (4.1)
можно сопоставить перестановочный с потенциалом V(r)
оператор Ра в гильбертовом пространстве. Введем линейные
операторы Ра, действующие на координаты |г) согласно правилу
Ра\т) = |аг>. (4.2)
Тогда соответствие
а++Ра
образует изоморфизм, поскольку в силу равенства
PaPb\r) = Pa\br) = \abr) = Pab\r)
операторы Ра перемножаются точно так же, как и
соответствующие им преобразования.
Операторы Ра унитарны, что легко показать, используя
определение (4.2):
<г' | PlPa I г> = (ат' | ат) = б (аг' - ат) = б (г' - г) = <r' | г).
В общем случае любая (а не только пространственная) симметрия
физических систем может быть описана при помощи
перестановочных с гамильтонианом унитарных или (как, например, обращение
времени) антиунитарных операторов гильбертова пространства.
Такие операторы называют операторами симметрии
гамильтониана.
Группу операторов симметрии гамильтониана назовем его
группой симметрии. Любая подгруппа группы симметрии
гамильтониана сама также является группой симметрии этого
гамильтониана. Часто оказывается возможным указать для данного оператора
Гамильтона «максимальную» группу симметрии, содержащую все
возможные для этого гамильтониана операторы симметрии.
Действие оператора Ра на произвольную функцию \f) в
координатном представлении записывается следующим образом
tf(r)=(r|f»:
PJ (г) - (г | (Ра | /)) = (аг'г I f) = f (а-»г).
Следовательно, действие на функцию f(r) оператора Ра дает
новую функцию
f(r) = f(a-Ir),
для которой выполняется равенство
f'(r') = f(r),
§ 2. Собственные пространства и представления 113
где г' = аг. Следовательно, значение функции / в точке г равно
значению трансформированной функции f = Paf в
трансформированной точке г' = аг.
Определенные с помощью (4.2) операторы Ра перестановочны
с потенциалом, если преобразования а обладают свойством (4.1).
Далее, если преобразования а = {а|а} являются элементами
вещественной аффинной группы, то операторы Ра перестановочны
также и с оператором кинетической энергии Т:
I l i l tjk i к 'а г
-Ш , -'.[2&Ч
i °Xi \а-1т L i Xi J
Следовательно, при выполнении (4.1) операторы Ра
перестановочны с полным оператором Гамильтона Я = Т + V.
§ 2. Собственные пространства и представления
Пусть Я— оператор Гамильтона некоторой физической
системы, Ev — его собственные значения и Vv — соответствующие
этому значению собственные пространства, т. е. пространства,
содержащие все собственные функции оператора Я,
принадлежащие Ev. Если \f>p — одна из функций пространства Vp—
принадлежит собственному значению Ер, то
Н% = ЕР%.
Пусть теперь Ра — оператор симметрии гамильтониана Я. Тогда Ра
перестановочен с Я и, следовательно,
НРа% = ЕрРа%,
т. е. функция Patyp также принадлежит собственному значению Ер
и лежит в пространстве Vp. Это означает, что пространство Vp
является инвариантным подпространством относительно любой
группы симметрии гамильтониана Я. Очевидно, этим свойством
обладают все собственные пространства оператора Гамильтона.
Так как числа Ер вещественны, то утверждение остается в силе
и для групп симметрии, содержащих антиунитарные операторы.
Если рассматриваемая группа симметрии оператора
Гамильтона состоит только из унитарных операторов, то собственное про-
странство (поскольку оно является инвариантным
подпространством) будет пространством какого-то представления группы
симметрии. Это представление может быть как приводимым, так и
неприводимым. Размерность пространства представления равна
114
Гл. 4. Теория групп и квантовая механика •
вырождению соответствующего собственного значения. Всякое
собственное пространство оператора Н является пространством
представления любой его группы симметрии.
Пусть G— группа симметрии оператора Гамильтона Н и Vp —.
собственное пространство (пространство представления)
неприводимого представления 3)р группы G. Любая подгруппа G'
группы G также является группой симметрии Я. Следовательно,
Vp также будет пространством представления и для группы G',
а именно пространством ограничения 2)^ представления фр на
подгруппе G'. При этом, если даже Vp было неприводимым
пространством представления группы G, в общем случае оно может
оказаться уже приводимым пространством представления
подгруппы G', так как может быть приводимым ограничение S)pS).
Чем меньше выбранная подгруппа G', тем больше расщепляется
собственное пространство. И наоборот, при переходе к
охватывающим группам (пока не будет достигнута максимальная группа)
все большее число собственных пространств будет становиться
неприводимым. Можно предполагать, что в конце концов все
собственные пространства неприводимы.
Высказанное предположение в дальнейшем мы сформулируем
как постулат неприводимости. Однако предварительно необходимо
ввести еще одно определение.
Собственное значение называют закономерно вырожденным
относительно группы симметрии оператора Гамильтона, если
соответствующее ему собственное пространство является неприводимым
инвариантным подпространством относительно этой группы. Если
же собственному значению отвечает приводимое инвариантное
подпространство, то его называют случайно вырожденным.
В таком виде данное определение применимо к группам
симметрии с антиунитарными операторами, когда собственные
пространства уже не являются пространствами представлений. Для
групп симметрии, включающих только унитарные операторы,
собственное значение закономерно вырождено, если соответствующее
ему представление неприводимо, и случайно вырождено, если оно
приводимо.
Теперь можно сформулировать постулат неприводимости.
Все собственные значения оператора Гамильтона закономерно
вырождены (относительно максимальной группы симметрии).
При этом максимальная группа симметрии может включать и
антиунитарные операторы. Если максимальная группа состоит
только из унитарных операторов, то, согласно сформулированному
постулату, всякое собственное пространство будет пространством
ее неприводимого представления.
Случайное вырождение имеет место только при некоторых
частных потенциалах. Как показывает опыт, его можно либо
полностью снять, либо перенести на другое значение энергии за счет
§ 2. Собственные пространства и представления Ц5
малого изменения потенциала (при этом, конечно, симметрия
потенциала не меняется). Поэтому в практических задачах
случайное вырождение несущественно.
Если ограничиться рассмотрением только унитарных
операторов симметрии, то могут появиться следующие возможности.
Оператор Гамильтона Н обладает бесконечным числом собственных
значений Ер с собственными пространствами Vp. В то же время
всякое собственное пространство является пространством
неприводимого представления максимальной1) группы симметрии G.
Если при этом G — конечная группа, то она имеет только
конечное число неприводимых представлений.' Поэтому, хотя всякому
пространству Vp соответствует вполне определенное неприводимое
представление Фр, одному и тому же неприводимому
представлению ©р принадлежит несколько пространств Vv. Однако
кратность вырождения энергетического уровня Ер связана только
с размерностью неприводимого представления.
Выбирая подходящим" образом для оператора Н полную орто-
нормированную систему собственных функций, можно добиться,
чтобы они одновременно образовывали ортонормированные базисы
и во всех собственных пространствах Vp. Вместе с тем такие
функции будут являться базисами некоторых неприводимых
представлений ©р. Поэтому собственные функции ф оператора Н можно
характеризовать тройкой индексов /?тх(г|)Рт„), где р показывает,
к какому неприводимому представлению 3l)p принадлежит
функция \[), m нумерует собственные пространства оператора Я,
соответствующие одинаковым представлениям ©р, и может в
принципе принимать бесконечное число значений, а к указывает строку
представления ©р и принимает значения 1, ..., dp.
Собственные значения и собственные пространства в этих
обозначениях можно нумеровать индексами ргп, т. е. Ерш, Vpm.
Таким путем строится естественная, обусловленная только
симметрией задачи индексация собственных значений и собственных
функций ее оператора Гамильтона. Кратность вырождения
собственного значения Ерт определяется размерностью
представления ©р (максимальной) группы симметрии и равна dp.
Ортонормированные функции г|)ршх под действием операторов симметрии
преобразуются, согласно (3.1), к виду
Полную ортонормированную систему собственных функций всегда
можно выбрать так, чтобы представления ©р всех пространств Vpm
{т = 1, 2, ...) были равны, а не только эквивалентны.
*) Так как в дальнейшем мы будем иметь дело практически всегда с
максимальной группой симметрии, то для краткости станем ее называть просто
«группой симметрии».
116
Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
§ 3. Пример
В качестве примера рассмотрим свободную частицу в
одномерном потенциальном ящике. Оператор Гамильтона этой задачи
запишется следующим образом:
я=<&Г+^>'
где
V(x)
(О для \х\<а,
[ оо для | х \>а.
Собственные значения и собственные (ненормированные) функции
имеют вид
, м | cos-^я*, \х\<а, Й2Я2
/
О, \х\>а,
8пг0а2
Фп (X) =
sin-z-nx, \х\<а, й*я2
2а
О, |л:|>а,
^=-8^^^ * = 2f4,..
Все собственные значения невырождены.
Группа симметрии рассматриваемого оператора Н состоит из
операторов Р8 и Pi преобразований г и i; действие оператора Р{
дается равенством
Дф (*) = *(-*)•
Группа, состоящая из г и i, имеет два неприводимых
представления; их характеры приведены в табл. 20. Оба представления
одномерны. Таким образом, имеются только простые (закономерно
вырожденные) собственные значения. Функции представления $)+
четны, функции представления 2)_ нечетны. Равенства (4.3) в
нашем простейшем примере (для оператора Pi) имеют вид
Фп(-^) = <ФпМ Для 5D+,
♦*(-*)=-♦»(*) Для ®-
Функции с нечетным п принадлежат к ©+, с четным — к Ф_.
Если характеризовать собственные значения и собственные
функции с помощью системы индексов ртк, то получим (х = 1
§ 4. Сравнение с методом Дирака
117
и-всюду опущено)
О, \х\>а,
sin —/пл:, \х\<а, ы„г
| 0, \х\>а, 2т°а
2
где m пробегает все возможные положительные целые числа.
§ 4. Сравнение с методом Дирака
Выше мы показали, что можно классифицировать собственные
значения и собственные функции оператора Гамильтона, зная
неприводимые представления его группы симметрии. В то же время,
согласно Дираку, собственные значения и собственные функции
можно характеризовать с помощью полного набора одновременно
наблюдаемых величин. Оказывается, что всегда можно указать
такой полный набор, который, так сказать, измеряет номера
представлений и их строки.
Введем операторы
Л = 7~ Е Р« (/=1. ■■•. ')>
PL = T S D8W. (P-1, .... г; Л-1, .... dp)
[ср. с (3.6)]. Покажем, что полная ортонормированная система
собственных функций вида г|)ртх состоит из собственных функций
операторов Pj и р£г
Так как г,-Р;- соответствуют матрицам классов сопряженных
элементов (1.12), то
Х(р)
Из соотношений ортогональности (1.7) имеем также
pmw=т S 2) D$ * <«> дди («) <w -
ц aeG
т. e. pJk~- эрмитов оператор, «измеряющий» представление $DP
и строку К.
lid
Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
Поскольку функции г|эртх одновременно являются системой
собственных функций Операторов Я и р£х, то Я, р£х образуют
систему коммутирующих операторов. Оператор Я определяет энергию,
по которой можно найти 5)р и т. В то же время р£х определяет
еще раз $)р и строку %. Поэтому система Я, р^ не является
минимальной системой коммутирующих операторов.
Если характеры представлений вещественны, то операторы Pj
также эрмитовы. Они позволяют определить характеры. Поскольку
их собственными функциями служат функции г|)9тх, то операторы
Pj перестановочны как между собой, так и с Я и р£х.
§ 5. Теория возмущений Шредингера
В этом параграфе исследуется влияние малого возмущения Нх
на собственные значения невозмущенного оператора Гамильтона
Я0. При этом, чтобы установить связь между собственными
значениями и собственными функциями при переходе от Я0 к Я =
= Я0 + Яь использованы общие результаты рассмотрения групп
симметрии этих операторов.
Очевидно, что если возмущения Н\ бесконечно мало, то
собственные значения операторов Я0 и Я должны различаться также
незначительно. Ясно также, что два соседних собственных
значения Я0 не могут перейти точно в одно значение Я. Поэтому
собственные значения оператора Я0 при переходе к оператору Я
могут либо сдвинуться на малую величину, либо, если собственное
значение вырождено, расщепиться. Теория групп позволяет, исходя
из рассмотрения групп симметрии операторов Я0 и Я, указать
возможность и характер расщепления собственных значений Я0,
однако ничего не может сказать о его величине. Величина
расщепления определяется конкретным видом возмущения Яь а не только
его симметрией.
Чтобы ввести обозначения, мы кратко изложим теорию
возмущений Шредингера.
Рассмотрим какое-нибудь собственное значение Ерт оператора
Я0. Как обычно, р — номер представления ©р, к которому
принадлежит собственное пространство, а т нумерует различные
собственные пространства, относящиеся к представлению фр. Так как
в дальнейшем мы будем иметь дело с вполне определенным
собственным значением Ерту то для простоты опустим индексы и
будем просто писать Е°.
Введем в d-мерном собственном пространстве V0 собственного
значения Е° ортонормированный базис
фо, ..., 1#с=К».
§ 5. Теория возмущений Шредингера
119
Под действием малого возмущения Нг собственное значение Е°
может расщепиться на п собственных значений оператора Я:
Тогда каждому собственному значению Е{ соответствует di-мерное
собственное пространство V{ оператора Н. Выберем в каждом V\
ортонормированные базисы
При этом
п
S d, - rf. (4.4)
При Н\-+0 имеем х) Ei-*E° (i = 1, ..., я). Напишем
Et = Е° + Е\9 где lim Е\ = 0, (4.5)
я,-»о
и аналогично
*л-*?х + +1Х. ™e lim ф^ = 0. (4.6)
Подставляя (4.5) и (4.6) в уравнение Шредингера
и учитывая, что Н\, Е\ и «ф)^ —малые величины, мы можем
приравнять друг другу величины одного порядка. Это дает
ЗДх-ЯЧх. (4-7)
"Х + ("о-*D+!x-*!+»• (4-8)
Из уравнения (4.7) видно, что функции ф^, как и введенные
ранее функции о|)° (р = 1, ..., d), являются собственными
функциями оператора Н0 и принадлежат собственному значению Е°. Так
как функции ф°я получались из ортонормированных функций граХ
с помощью предельного перехода, то функции ^°а сами ортонор-
мированы и, следовательно, образуют в пространстве V0 ортонор-
мированный базис. Однако в отличие от базисных функций «ф° они
имеют вид, подобный функциям фа, так как были получены из них
предельным переходом. В связи с этим функции т\>°а называют
правильными собственными функциями (нулевого порядка). Умножая
1) Предельный переход #i->0 следует понимать в том смысле, что
Н\ = kV, и к нулю стремится малый параметр К. Поэтому группа симметрии
оператора #j при таком переходе не меняется.
120 Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
(4.8) скалярно на ф£ и вставляя между Нх и ^°а единичный опера*
тор, получаем
Д «, Я,<) «£, ф?0 = £> ОД, 1ОД. (4.9)
Правильные собственные функции можно связать с функциями a|)jj
некоторым унитарным преобразованием U:
С = |^р:Л< (4Л0)
В силу (4.4) пары индексов i% (i= 1, ..., л; Я= 1, ..., d*)
пробегают точно те же значения, что и индекс р (р = 1, ..., d).
Тогда
и (4.9) можно записать также в виде
U-^iU = El, (4.11)
где
"-("«.«)• *i-(fl*.tfi<*))
И
" £,' 0
0 £|
0
0
£2 0
0 El
•
Здесь все матрицы d-мерны и t/ является матрицей, диагонали-
зующей фь Зная U и используя (4.11), можно найти правильные
функции о|)?х, поправки Е\ в диагональных элементах Е\ и тем
самым степень расщепления £°.
di раз
> d2 раз.
§ 6. Учет симметрии
121
§ 6. Учет симметрии
Если G и G' — группы симметрии операторов Я0 и Я, то в
большинстве случаев G' является подгруппой G, т. е. возмущение, как
правило, понижает симметрию1).
Согласно § 5, собственное пространство V0 оператора Я0 под
действием малого возмущения Н\ переходит в близкое
пространство V, которое в общем случае будет прямой суммой
собственных пространств V{ оператора Я:
v=%vt.
i = l
При предельном переходе Н\->0 имеем V-+-V0 и Vi->Vi, где
пространства V? определяются функциями «ф?х.
Все V{ как собственные пространства оператора Я являются
пространствами представлений группы G':
(А" 1
Если в последнем равенстве сделать переход Hi —► (), то получим
При этом матрицы
D$'(a) = HmD{ft(a)
я,-»о
также образуют представление G', поскольку функции ф°Л
определяют пространство, инвариантное относительно Ра (fleG,)(
Представление 55)?, получающееся из ©* предельным переходом,
называют предельным представлением. Характеры 55* и 35?
различаются незначительно. Согласно критерию приводимости (1.20),
представление ©< неприводимо только тогда, когда неприводимо
35?. Следовательно, чтобы получить данные о закономерном или
случайном вырождении, достаточно исследовать на приводимость
предельные представления.
Правильные собственные функции ^°а оператора Я0 служат
базисными функциями предельного представления 5D/ группы
симметрии G' оператора Я. Точно так же функция «ф£ суть базисные
функции представления S) группы G.
Поскольку, согласно (4.10), исходные («ф£) и правильные («ф^)
собственные функции связаны унитарным преобразованием £/, то
1) Однако, например, если возмущение #i содержит векторный потенциал,
это уже может и не иметь места. В частности, включение магнитного поля
может полностью изменить симметрию задачи (см. [1, 2]).
122
Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
ограничение представления U~l<S)U на G' будет прямой суммой
представлений 2)? подгруппы G'. Отсюда вытекает, что эти
предельные представления должны содержаться и в ограничении ©
на G'. Таким образом, всякая определенная по (4.11) матрица U,
диагонализующая фь дает правильные собственные функции «ф?х,
определяющие предельные представления собственного
значения Е°. Фактически U лишь частично расщепляет ограничение ©(*)
представления 5D на G', но не дает полного приведения.
Справедливо и обратное. Если в ограничении $)(s> содержатся одинаковые
неприводимые части, то матрица, полностью приводящая 55^, не
диагонализует фь Позже мы вернемся к этому вопросу еще раз.
Рассмотрим возможные случаи в зависимости от приводимости
встречающихся представлений и соотношения между группами
(G'=G или. G'c=G).
1. Пусть G'= G и Е° закономерно вырождено. Пусть, кроме
того, © — произвольное неприводимое представление группы G.
Тогда вследствие G' = G предельные представления должны
содержаться в S). Поскольку '3D неприводимо, то оно может дать
лишь одно совпадающее с Ф предельное представление.
Следовательно, закономерно вырожденное собственное значение под
действием возмущений той же симметрии не расщепляется.
2. Пусть G' = G и Е° случайно вырождено, и пусть, например,
Ф является прямой суммой двух неприводимых представлений
Вследствие G' = G предельные представления будут
представлениями G и должны содержаться в ©. Следовательно, такими
предельными представлениями могут быть только SV и £)Р", т. е.
собственное значение Е° расщепляется самое большее на два
(закономерно вырожденных) собственных значения.
Хотя подходящим выбором возмущения- Н\ случайное
вырождение исходного собственного значения можно сохранить и для
возмущенного оператора Я, в общем случае вырожденное
случайно собственное значение за счет возмущения той же симметрии
расщепляется на закономерно вырожденные компоненты.
3. Пусть G'czG, Е° вырождено закономерно и ©—
неприводимое -представление G. Ограничение $)(s) представления 5D на G'
может быть как приводимым, так и неприводимым
представлением G'. Во всяком случае, $)<*) должно содержать предельное
представление. Если £)(*) — неприводимое представление группы G'
то только оно само может быть предельным. Тогда собственное
значение остается закономерно вырожденным и при^ наличии
возмущения.
Если же $)W—приводимое представление G', то оно содержит
несколько предельных представлений, но не более, чем число не-
§ 7. Правила отбора
123
приводимых составляющих представления $)(*). Если число
(пусть п) предельных представлений точно равно числу
неприводимых составляющих $)(*>, то собственное значение оператора Я0
расщепляется на п закономерно вырожденных собственных
значений Я, и предельные представления будут совпадать с
неприводимыми составляющими $)(s>. Если же число п предельных
представлений меньше числа неприводимых составляющих 5D<S), то по
крайней мере одно предельное представление будет приводимым,
а соответствующее ему собственное значение Я вырождено
случайно.
Таким образом, если ограничение Ф^ неприводимо,
закономерно вырожденное собственное значение оператора Я0 не
расщепляется под действием возмущения меньшей симметрии. В
противном случае, вообще говоря, оно расщепится на столько
закономерно вырожденных собственных значений Я, сколько
неприводимых составляющих частей имеет 2Ж Однако иногда эти
составляющие части могут относиться к одинаковым собственным
значениям Я, т. е. последние будут вырождены еще и случайно.
4. Пусть G'a G и Е° вырождено случайно. Пусть далее $) —
приводимое представление, a 35<s>—его ограничение. В общем
случае все неприводимые составляющие $)(s) являются
предельными представлениями. Однако может оказаться, что некоторые
неприводимые составляющие 35<s) совпадают и образуют
приводимое предельное представление, которое в этом случае
соответствует вырожденному случайно собственному значению оператора Я.
Используя постулат неприводимости (см. § 2), все сказанное
выше можно резюмировать следующим образом.
Собственное значение Е° оператора Я0, соответствующее
представлению SD группы симметрии G этого оператора, в общем
случае под действием малого возмущения Н\ расщепляется на
столько собственных значений Е{ оператора Я, сколько
неприводимых составляющих частей имеет ограничение Ф^
представления 5D на группе симметрии G' оператора Я. При этом Е{~ будут
закономерно вырожденными собственными значениями Я. Их
кратность вырождения определяется размерностями неприводимых
составляющих ©Ф. Кроме того, случайно некоторые из £г- могут
совпадать (случайное вырождение).
О величине расщепления собственных значений можно судить
по матричным элементам §ь определенным согласно (4.11).
Вычисление этих матричных элементов облегчается знанием правил
отбора, которые мы обсудим в следующем параграфе.
§ 7. Правила отбора
Матрица $i состоит из матричных элементов оператора
возмущения Н\ на собственных функциях невозмущенного
оператора Я0, принадлежащих одному из его собственных пространств.
124
Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
Такие же матричные элементы встречаются и в теории возмущений
Дирака. Они определяют вероятность перехода системы из
состояния я|) в состояние г|/ под действием возмущения Нх. Будем
считать г{> и г|/ собственными функциями оператора Я0. Пусть,
кроме того, г|) и г|/ являются функциями представлений групп
симметрии G и G' операторов Н0 и Я. Представление группы G'
в общем случае приводимо. Согласно теореме разложения (3.3),
г|э и г|/ можно разложить по базисным функциям неприводимых
представлений 5)£ группы G':
Тогда для матричного элемента перехода имеем
Так как, согласно гл. 3, § 4, функции Hxg$f) и g$p обе
принадлежат х'-й строке представления £)£„ то, когда /^ и g^ относятся
к одинаковым представлениям 5^, используя соотношения
ортогональности базисных функций (3.11), получаем
(*, #,Ф') = 2 f S <#> *<<«>) (/1-й, #,^>), (4.12)
где X произвольно. Ввиду наличия суммы
матричный элемент («ф, #it|/) обращается в нуль и в том случае,
если в разложение г|/ не входит к-я строка представления 35а,
входящая в разложение г|>, и обратно. Иными словами, когда для
каждой пары q, к по крайней мере одно из произведений С^*С^Я
равно нулю.
Проведенное рассмотрение мы используем для практического
вычисления матрицы фь Задание операторов Н0 и Н определяет
группы симметрии G и G'. Исследуем собственное значение Е°,
соответствующее представлению © группы G. Для этого построим
(в общем случае приводимое) ограничение $)(s) этого
представления на G'. Так как предельные представления, определяющие рас-
§ 7. Правила отбора
125
щепление Е°, являются представлениями G' и входят в $)Ф, то
они должны состоять из неприводимых составляющих 55<s) или
равняться им. Неприводимые составляющие £№) можно легко
определить по (1.18), если известны таблицы характеров групп G
и G'.
Теперь мы найдем так называемые симметризованные
собственные функции (гл. 3, § 3). Это собственные функции
собственного пространства V0 оператора Я0, являющиеся базисными
функциями неприводимых представлений подгруппы G'. Эти функции
осуществляют полное приведение D<s). Такие симметризованные
собственные функции можно определить, не зная явного вида
оператора возмущения, а зная лишь его группу симметрии.
Предполагая, что базис «ф£ собственного пространства V0
состоит из симметризованных относительно G' собственных
функций, легко убедиться, что матрица $Q\ будет иметь особенно
простой вид.
Так, если в приведенной форме *S№ не встречается одинаковых
представлений, то матрица $i диагональна. Действительно, в
выражении
индексы р и а содержат индекс q неприводимого представления
©£ группы G', индекс m — порядковый номер совпадающих ©? и
индекс х — номер строки представления £)£:
р -> (qmn), а -> (?'mY).
Так как в нашем случае m = mr = 1, то из (4Л2) следует
Скалярное произведение (а|)°х, #,i|>JK) при этом не зависит от
номера к (х=1, ...,rfp). Имеется сдвиг собственных значений.
Матричные элементы двух различных представлений случайно
могут оказаться равными (случайное вырождение).
Предположим теперь, что в разложении одно из неприводимых
представлений £>{ групп G' встречается дважды. Тогда
существуют два набора симметризованных собственных функций,
принадлежащих одному и тому же представлению ©J. Матрица §i
уже не будет больше диагональной, так как для q = 1 индекс m
может принимать значения 1 и 2. Если $\ разбить на блоки в
соответствии с неприводимыми частями 3>>, то будут иметься
отличные от нуля недиагональные блоки вида
126 Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
(Х= 1, ..., d\). Следовательно, матрица £>i имеет вид
Га,/, Ых 1
I 0 ...
Ь*1Х а21{
о Сз/\. Г
где U — единичные матрицы с размерностями d\\ ajy b и Ck —
числа.
Для вычисления сдвига обоих собственных чисел Я,
соответствующих S)i, относительно Е° необходимо диагонализовать
матрицу
h м.
\Ь* а2)
Если в общем случае в представлении $)<s> какое-нибудь
неприводимое представление группы G' входит v раз, то задача
вычисления поправок к энергии сведется к диагонализации v-мер-
ной матрицы.
Так как довольно часто в разложения входят лишь
неэквивалентные неприродимые представления, использование симметри-
зованных собственных функций весьма существенно упрощает
диагонализацию матрицы £i. '
§ 8. Тензорные операторы
Часто приходится иметь дело с операторами, которые при
преобразованиях системы координат не остаются инвариантными,
а сами преобразуются каким-нибудь способом. В частности,
многие физические величины имеют тензорный характер. Так,
импульс р — вектор, состоящий из трех компонент р\, р2 и /?3,
которые в свою очередь являются операторами в гильбертовом
пространстве. Под действием операторов Ра, соответствующих полной
аффинной группе (гл. 2, § 1, п. 2), компоненты р преобразуются
согласно трехмерному представлению 5Di группы вращений
(приложение 1) с матрицами а:
Чистые трансляции {е|а} оставляют р инвариантным.
Аналогичная ситуация имеет место для тензора второго ранга Тц (компо-
§ 8. Тензорные операторы
127
ненты Tij суть операторы в гильбертовом пространстве)
з
РаТцРаХ= 2 СЬЛ/Гы. (4.13)
Девять компонент тензора Тц преобразуются по девятимерному
представлению ©i ® S)i группы вращений, т. е. согласно
(внутреннему) кронекеровскому квадрату ©ь
Аналогичное положение имеет место и для тензорных
операторов более высокого порядка. В соответствии с этой точкой
зрения инвариантный кристаллический потенциал Vo(r) является
скаляром.
Если компоненты тензора Тц симметричны, то независимыми
будут лишь шесть из них, например Тц при i^j. Рассмотрим
преобразование этих шести компонент. Любая из них может быть
выражена через шесть независимых в виде линейной комбинации
PaT*P?-2Dwto(a)Tk. (4.14)
В этой записи к и К соответствуют парам ij. Согласно Фохту,
сопоставление индексов дается" таблицей (индексы Фохта)
И
И
и
1
22
2
33
3
23
4
31
5^
12
6
Фактически (4.14) определяет некоторое шестимерное
представление 5D(i2). Мы назовем его симметричным кронекеровским
квадратом ©ь В общем случае такой квадрат ©од можно ввести и для
любого d-мерного представления ©.
Пусть /ь ..., fa — базисные функции представления 5£>
Тогда функции /,/*' (i-^i') образуют базис представления Ф(2), и
мы имеем
d
= 2t(Dti{a)Drr{a) + Dt4{a)Du>(a)- Dt,{a)Dir{a)bir)ffr =
d
== 2 ,D(2)it'it' (a)fJl'9
128
Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
где
А2) wiv (а) = Du (a) Dry (a) + Di4 (a) Dir (а) -Du (a) Dif, (а) 6ц> (4.15)
(i</',/«</'). Размерность Ф(2) равна d(d + 1)/2. Характеры легко
получаются по (4.15)
Х(2,(а) = -^[Ы«))2 + Х(«2)]. (4.16)
Если Tfj — антисимметричный тензор размерности d, то
независимы и отличны от нуля лишь d(d— 1)/2 различных компонент,
а именно Т^ с /^С/. Снова можно расположить пары индексов ij
в определенном порядке, занумеровать их индексом к (для d = 3,
например, 23 —> 1, 31 —>2, 12 —> 3) и ввести с помощью равенства
d{d-\)/2
РаТ*р;1= 2 о[2]Кк(а)п
а,=1
антисимметричный кронекеровский квадрат Ф[2] представления ©.
Характеры Физ (для d = 3) равны
Х{2] («) = ^22 (*) D33 (*) - D32 И D23 (*) +
+ слагаемые с циклически переставленными индексами =
= \Ша)?-%№)]. (4.17)
Последнее равенство имеет место и для представлений
произвольной размерности d.
Кроме того, из (4.16) и (4.17) имеем
3)® £) = £)<2)©2)[2],
т. е. кронекеровский квадрат всегда может быть разложен на
симметричную и антисимметричную части.
§ 9. Теорема Вигнера —Эккарта
После сделанных замечаний относительно тензорных
операторов мы перейдем к рассмотрению теоремы Вигнера — Эккарта.
Речь пойдет о некотором обобщении результатов § 7 и о
применении этих обобщенных результатов к выводу правил отбора.
Рассмотрим интеграл вида
WvW- <4Л8>
где ТРь—компонента тензорного оператора произвольного ранга,
преобразующаяся согласно представлению Фр группы G, а *ф£,х, и
о|) — базисные функции представлений £>fl, и £>fl той же
группы G.
§ 9. Теорема Вигнера—Эккарта
№
Тогда функция TpK\pqyi будет базисной функцией внутреннего
кронекеровского произведения 5DP ® 3)<2
dp dq
РаТр^дк = РаТр^Ра'Ра^к =2 2 0J# (fl) Д(# (а) Г^у.
Используя технику операторов проектирования гл. 3, § 3, из
PaXv^qn можно выделить часть, преобразующуюся так же, как и
а|/,х,. В силу соотношений ортогональности (1.6) вклад в интеграл
(4.18) дают только такие проекции. Если р£х,— оператор
проектирования, который порождает функции, преобразующиеся как
*;v»т0
лишь в том случае, если
Р&Л*«кв0- - (4.19)
Последнее же имеет место, только когда произведение 3)p®S)g
не содержит представления 5V (по предположению
представление $V неприводимо; собственные функции не обладают
случайным вырождением). Однако в том случае, когда $V содержится
в Фр ® 5Dg, интеграл все еще может быть равен нулю, а именно,
если разложение Тр^дк по базисным функциям неприводимых
представлений группы G не содержит компоненты,
соответствующей к'-й строке представления 25q>, т. е. справедливо (4.19).
Ниже мы проанализируем интеграл (4.18) подробнее.
Пусть дано представление ©рХ<7 = ®р ® ®д с базисными
функциями \|)ц (|л = 1,...., dpdq). В частности, в качестве «ф^ можно
взять ТРъ$Як Пусть далее 5)рХ<7 — приведенная форма
представления Фрхя- Равенство
Ъ'рХд-и-1ЪрХяи (4.20)
определяет матрицу £/, осуществляющую приведение, еще не
однозначно. Если все матрицы в этом равенстве разбиты на блоки,
соответствующие неприводимым частям представления 3)рх<7> и
равенство (4.20) выполняется, кроме U, еще и для £/', то из
вытекает соотношение
или с учетом
S-lT't/', DpXq^(Dt6u)
будем иметь
SikDk-DtSthl
130 Гл. 4. Теория групп и квантовая механика
Так как D{ образуют неприводимые представления, то по лемме
Шура
Sik = 0 для ©,<*©*,
Sik = XikI для ©,-©*. 14,21)
Согласно (3.2), базис представления 2)рх</ получается из «фц с
помощью преобразования U. Обозначим соответствующие базисные
функции через /gwx, где q — номер неприводимого представления
группы G, m — номера совпадающих 5Dg и К — номер строки
(X = 1, ..., dq). Функции fqmb не вполне определены в том же
смысле, что и £/. Формулы (4.21) позволяют проанализировать
эту неопределенность. Если все неприводимые составляющие
части представления ®pxq различны (т=1), то функции fqmi
определены с точностью до фазового множителя %q (общего для
всех функций данного представления). Если же какое-нибудь
неприводимое представление встречается несколько раз, то
функции fqmx определены лишь с точностью до линейной комбинации
функций, соответствующих одной и той же строке, т. е. вместо
fqm\ в качестве базисной функции Я-й строки представления ®'Pxq
можно взять также
IqK ==s ^j CqmlqrriK*
m
где cqm не зависят от Я.
Следовательно, матрицы U^ и функции fqmx заданием
представлений £)рх<7 и ®pxq определены с точностью до множителя,
который соответствует данному неприводимому представлению, но
не зависит от номеров строк.
Если теперь выбрать в качестве базисных функций i|)x функции
Тръ#яю т0 их можно разложить по fq'mK' полученным указанным
выше способом:
*p}$qY.= ^,UpbqK,q'mK'lq'mV-
Тогда для интеграла (4.18) имеем
Wq'*" Tp^qii)** 2 U*pbq*, q'mK'Wq"*" W)'
Скалярные произведения
Wq'7t'> l|Vmx') ~ Aq'm
no (3.11) не зависят от номеров строк. Напишем выражение
q'
UUqyi,q>m*> = (, I ,m) (4.22)
и назовем полученные величины коэффициентами связи. С
точностью до не зависящего от и множителя они определяются через
§ 9. Теорема Вигнера—Эккарта
131
представления 5DPxg и Q'pxq- Следовательно, эти коэффициенты
не зависят от конкретного вида функций ТРи\>дч и могут быть
вычислены целиком на теоретико-групповой основе. Не зависящий от
номера строки множитель при этом всегда может быть включен
в константу А#т.
Тогда можно записать следующее обобщение теоремы
Вигнера— Эккарта:
(*•*, Грхфах) - 2 Aq>m ( )
(4.23)
Константы Л$'т не зависят от к\ 1их, так что матричные
элементы, дающие величину вероятности перехода, в основном
определяются коэффициентами связи ^
Р Я
Я'
m
г.
а в случае, если
неприводимое представление встречается только один раз, просто
пропорциональны им. Все коэффициенты связи можно найти из
симметрии.
Если, в частности, представление 5V не входит в разложение
£)р®Фд, то (
Р Я
Я'
\ = 0 и матричные элементы также
х' mf
обращаются в нуль, что мы и видели уже выше.
Если G — трехмерная группа вращений (см. приложение 1),
/l l'\L\
то коэффициенты связи ( Л *,/ совпадают с хорошо из-
хт т'|М/
вестными коэффициентами Клебша — Гордана. В разложение
55/ ® 3V любое ©l может входить только один раз; справедливо
уравнение Клебша — Гюрдана
Глава 5
ЭЛЕКТРОН
В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Фока
После обсуждения общих принципов применения теории групп
в физике перейдем к изучению ее применений в твердом теле.
Сначала будут рассмотрены кристаллы при нулевой температуре и
в отсутствие каких-либо внешних возмущений: электрических и
магнитных полей, механических напряжений и т. п. В соответствии
с положениями гл. 2, § 1, п. 1 гамильтониан проблемы запишем
в виде
И к = Нп + Не + Нпе.
Здесь Нп — сумма всех кинетических энергий составляющих
кристалл частиц и энергий их взаимодействия, Не—сумма
кинетических энергий слабо связанных электронов внешних оболочек и их
(кулоновская) энергия взаимодействия, Нпе — энергия
взаимодействия двух указанных систем.
Если разница в массе между электронами и частицами велика,
то можно разделить HKi приближенно считая, что электроны
движутся в фиксированном поле частиц и не оказывают обратного
действия (квазистатическое приближение). Таким образом, наша
задача подразделяется на электронную и решеточную. Решетка
будет рассмотрена нами позже в гл. 9 в связи с исследованием ее
колебаний.
Оператор Гамильтона электронной задачи при сделанных
предположениях имеет вид
(Для простоты спиновое взаимодействие не учитывается.) У (г) —
потенциальная энергия электрона в поле фиксированных частиц,
которая параметрически зависит от их конфигурации. Так как
кристалл считается находящимся в положении равновесия
(Г = 0°К), то в V(r) фиксирована равновесная конфигурация
частиц, имеющая полную симметрию кристалла. Иными словами,
потенциал V(r) инвариантен относительно всех преобразований
пространственной группы симметрии рассматриваемого кристалла.
Следуя Фоку, сведем М-электронную проблему с
гамильтонианом (5.1) к одноэлектронной. Для этого предположим, что основ-
§ 1. Уравнения Фока
133
ное состояние.оператора (5.1) приближенно описывается
детерминантом Слэтера
*—j^jH<P<fo/H (5.2)
составленным из одночастичных функций cpi(<7j)> гДе Я о включает
пространственные (г;) и спиновые. (Sj) переменные. Используя
вариационный принцип квантовой механики, функции qp*(<7j)
можно определить таким образом, чтобы аппроксимация основного
состояния (5.2) была оптимальной. Отсюда вытекает, что фг(<7>*)
должны удовлетворять уравнениям Фока
N
[~ ШЛ+ К(г)]ф< fa> + 2 J d(l%W)j^7\ х
/«1
X [ф* (q) Ф/ ((f) - Ф/ (q) Ф< ((f)] = *№ (q), (5.3)
где i= 1, ..., N, а интегрирование по q' включает и
суммирование по спиновым переменным s'. Первый член в квадратных
скобках описывает кулоновское взаимодействие рассматриваемого
электрона со всеми остальными, включая и самодействие; второй
член, с одной стороны, корректирует это самодействие, а с
другой— учитывает требуемое принципом Паули обменное
взаимодействие. Обменный член, как видно непосредственно из его
записи, имеет нелокальную структуру. Его действие на функцию
зависит не только от значения функции в рассматриваемой точке,
но и от ее поведения во всей области изменения переменной.
Согласно Слэтеру [3], можно ввести средний обменный потенциал, не
зависящий от состояния
- 2 / dq'y](q) [г_г, ф;(q)<р,{q') ~
vi и/ф;(/)Т7=7г<м<?)'М<7')
2 \*wJ -hzr
ф* (?)
U=i _ _J ф£ (q) =
N
2 J d/ф/ (?)Ф/ (/) |rlr'| 4>/ (?) Ф/(/)
-ш —tj—— — <M?)> <5-4)
134
Гл. 5. Электрон в периодическом поле
так что уравнение Фока будет иметь следующий приближенный
вид:
[ ~ ~Ъп" Д + V° (г>] ф< ^)в е№ ^
При этом локальный потенциалv Vo(r) одинаково зависит от всех
одночастичных функций, из которых строилось основное состояние.
Уравнения Фока (5.3) суть система интегро-дифференциальных
уравнений для определения N основных одночастичных состояний.
Параметры е* по теореме Купманса имеют смысл (отрицательных)
энергий ионизации соответствующих этим состояниям электронов.
Если функции фь ..., ф# известны, то их можно подставить
в (5.3) вместо qpj и получить спектральную задачу для оператора
Фока, решениями которой являются фг- и ег- (i = 1, ..., оо).
Естественно, наинизшие собственные функции фь ..., <pN будут теми
же самыми, на которых строился оператор Фока.
Более высокие состояния можно считать возбужденными одно-
частичными состояниями, но нужно помнить, что такая трактовка
приемлема лишь для не очень больших возбуждений.
Анализу спектральной задачи для оператора Фока
применительно к нахождению собственных функций и собственных
значений электронов в кристалле посвящен ряд следующих параграфов.
Предварительно мы обсудим симметрию оператора Фока.
§ 2. Симметрия оператора Фока
Согласно Рутану [4]у оператор Фока должен быть
перестановочен с теми же операторами симметрии, что и потенциал V(r),
т. е. с операторами полной пространственной группы симметрии
кристалла. Иными словами, пространственная группа является
также и группой симметрии оператора Фока. Необходимым
предположением для выполнимости этого утверждения является
однозначность функции (5.2), удовлетворяющей вариационному
принципу, а именно все функции (5.2), минимизирующие полную
энергию (5.1), должны отличаться лишь на постоянный множитель,
т. е. основное состояние не вырождено.
Если, в частности, разбить фг(<7) на спиновую и
пространственную части
Ф«(?) = *|(г)Ч|(*)»
то из однозначности ¥ следует, что все N состояний, из которых
строилась эта функция, разобьются на пары с одинаковыми
пространственными и различными спиновыми частями. Следовательно,
N может быть только четным числом. В противном случае имелся
бы неспаренный электро-{щзные направления спина которого
приводили бы к рааньш состояниям 4я с одной и той же энергией.
Совершенно аналогишкг можно показать, что для однозначности W
§ й. Симметрия оператора Фока
13$
все вырожденные в основном состоянии одночастичные
пространственные состояния должны быть полностью заполнены. Систему
с таким образом однозначно определенным основным состоянием
назовем системой с заполненными оболочками.
Доказательство сформулированного выше положения проведем
в несколько этапов.
Легко убедиться, что все операторы симметрии Ра (а е G)
перестановочны с оператором Гамильтона (5.1), если считать, что
Ра действуют на все г*, т. е.
PJ(ru •••> rN) = f(a-1rl, ..., a-hN).
Если теперь Ч? — функция, минимизирующая полную энергию
то, поскольку [Ра, Н] = 0 и оператор Ра унитарен,
^мин {Pa%PaW) »
а, следовательно, всякая функция /VP также будет функцией,
минимизирующей полную энергию. Тогда в силу однозначности V
функция /VP должна быть ей кратна, т. е.
Р«¥-св¥. (5.5)
Отсюда, согласно гл. 3, § 1, вытекает, что са образуют
представление группы G (|с0|= 1) и, следоватерьно, 4я — базисная функция
некоторого одномерного представления пространственной группы.
Так как W имеет вид (5.2), то
PJP —
у=-\Ра%Ш\.
Если дополнить функции фь ..., ф^ до полной системы
функций ф1, ..., фаг, ф^+ь •.. (добавив, допустим, все собственные
функции оператора Фока), то Рафг- можно разложить в ряд
оо
РвФ*-Д!Д/|ф/ (5.6)
с коэффициентами D#, зависящими от а. Тогда равенство (б.б)
примет вид
136
Гл._ 5. Электрон в периодическом поле
Левая часть этого соотношения есть бесконечная сумма Л/-мерных
слэтеровских детерминантов. Так как все детерминанты,
построенные из различных наборов функций фг-, ортогональны (ср*
предполагаются ортогональными), то слева можно оставить только
слагаемые, составленные из функций <рь ..., q>N. Сумма
коэффициентов перед ними должна равняться са. Проанализируем подробнее
два сорта вкладов в сумму слева:
1. Рассмотрим все члены, в которых яь ..., nN получаются
перестановкой 1, ..., N. В любом из них можно так переставить
строки детерминанта |фп (fy)|> что детерминант слева совпадет
с детерминантом |ф<(<7;) |, стоящим справа. При этом одновременно
перед Dn{\ появятся такие множители, что всю сумму можно будет
свернуть в детерминант |1>^|,.где i, j = 1, ..., N.
Так как все другие слагаемые слева равны нулю, то
\Dif\ = ca. (5.7)
2. Теперь проанализируем вклады в левую часть равенства
от членов, у которых п\,'...,Пя являются перестановками
1, ..., k— 1, k + 1, ..., N, а (а > N, k^-N). Снова можно так
упорядочить строки |фп '(qMt чтобы каждое слагаемое
умножалось на один и тот же детерминант. Тогда сумма по всем
слагаемым даст детерминант, матрица которого получается из (Da)
заменой &-й строки на Daj. Такой детерминант должен равняться
нулю, так что
JjAA=o, . (6.8)
где &kj — алгебраическое дополнение элемента Dkj в матрице
(Dij) (i, /= 1, ..., N). Умножая (5.8) на Dkl (k, I = 1, ..., N) и
суммируя no k, получаем
Dal\Dif\ = 0.
Однако вследствие (5.7)
\Du\ = ca^0,
поэтому окончательно
для всех а > N и всех / «< N.
Таким образом, суммирование в (5.7) производится только от
1 до N. В силу (5.7) детерминант |D*j| отличен от нуля и
матрицы (Dij) образуют представление пространственной группы.
Функции основного состояния фь ..., Фаг являются базисными
функциями этого представления
Л*Ф/ = 2Я/*(я)<Р/ •(/-!, ..., N). (5.9)
§ 3. Энергетические зоны
137
Теперь покажем, что оператор Фока перестановочен со всеми
операторами Ра пространственной, группы. Доказательство
требуется, конечно, лишь для кулоновской и обменной частей
взаимодействия (С + А). Если ср(<7) — произвольная функция, то
Pa(C + A)y(q) =
N
- *« 2 J dq% (<f) j^- [<p (q) Ф/ (?') - Ф/ (q) Ф (?')] =
/-i
- S J* ^ м ifl-ir-^i[(р*ф м} ф/ (^ -{p^(?)>ф ™
Преобразуем далее интеграл с помощью подстановки г' = а_1г".
С учетом соотношения
ф(?0 = ф(я-У0 = Лл> (?''),
равенства (5.9) и унитарности матриц представления будем иметь
Pa(C + A)<v(q) =
N
= (С + А)РМФ
Таким образом, оператор Фока Яо = Т + У0 обладает симметрией
полной пространственной группы кристалла. При этом под V0
здесь можно понимать как входящий в (5.3) оператор С + А, так
и сумму С и определяемого по (5.4) локального обменного
потенциала Слэтера.
§ 3. Энергетические зоны
Так как оператор Я0 обладает симметрией пространственной
группы кристалла, т. е.
[Я0, PJ = 0 (a<=G),
то собственные пространства Я0 являются пространствами (в
общем случае) неприводимых представлений пространственной
группы. Если собственные пространства Я0 заданы с помощью
базисных функций, соответствующих стандартным представлениям
группы (как это было сделацо з гл. 2, § 2), то в соответствии
138
Гл. 5. Электрон в периодическом поле
с гл. 4, § 2 эти базисные функции (собственные функции Я0)
можно обозначать номерами строк указанных представлений.
Следует помнить, однако, что строка представления в этом случае
задается двумя характеристиками: лучом звезды вектора к*
(укрупненная строка представления) и индексом v, нумерующим строки
внутри блока Оц. Индекс v для заданной энергии, т. е. для
фиксированного собственного пространства Я0, принимает m значений,
где m — размерность неприводимого допустимого представления
25k группы Gk, иначе говоря, кратность орбиты звезды к. Таким
образом, ко всякому собственному пространству принадлежит
целая звезда к, к каждому лучу которой относится m (ортонормиро-
ванных) собственных функций. Наоборот, рассматривая один луч к,
в общем случае можно найти бесконечно много собственных
пространств #о, звезды которых содержат данное к. Если все эти
пространства упорядочить по возрастанию энергии (по
возрастанию собственных значений Н0), то в качестве базисных функций
можно выбрать ортонормированные собственные функции этих
пространств и, начиная с нижнего, пронумеровать их в порядке
возрастания энергии индексом v. В этом случае v уже не в каждом
пространстве представления Фк будет принимать значения от 1
до т, а в данном пространстве счет будет начинаться с того места,
на котором он закончился в предыдущем. Следовательно, если
т>1, т. е. пространство представления содержит несколько
линейно независимых собственных функций, то нумерация этих
собственных функций не однозначна. Фиксируется только вся
совокупность из v значений. В связи с этим обстоятельством на нумерации
собственных функций следует остановиться подробнее.
Если к лежит в общем направлении (а это имеет место в
большинстве случаев), то в отсутствие случайного вырождения m = 1.
Поэтому для точек общего типа нумерация собственных функций
индексом v вполне однозначна. Систему ортонормированных
собственных функций Н0 выберем так, чтобы она состояла из
базисных функций стандартных представлений пространственной
группы. Тогда эти функции можно характеризовать приведенным
волновым вектором к и индексом v, принимающим значения от 1
до оо, т. е. писать «фкУ. Каждой паре kv соответствует только одна
собственная функция, так что имеют место соотношения
ортогональности
J^kv^k'v'd3r = 6kAv-
Q
Для вектора к, лежащего в общем направлении (точнее, для
m = 1), заданием к и v функция tpkv (с точностью до зависящего
от к и v фазового множителя) определяется однозначно.
§ 3. Энергетические зоны
139
Если же, напротив, пг> 1, то выбор вырожденных между
собой линейно независимых функций пространства представления
S)k произволен.
Собственные значения, соответствующие собственным функциям
i|)kv, теперь также можно обозначать индексами к и v и писать E^v.
Хотя соответствие kv -«-► tpkv взаимно однозначно (в указанном
выше смысле), наличие вырождения не позволяет установить
такое же соответствие между kv и энергией EkVi так как одному и
тому же значению энергии может соответствовать несколько пар
kv. Если пренебречь случайным вырождением, очевидно, все
указанные kv соответствуют значениям энергии, относящимся к
одному и тому же стандартному представлению, т. е. равны все Е&,
у которых к принадлежат одной звезде, a v пробегает m номеров
строк представления ф^. По определению звезды (гл. 2, § 2, п. 3),
в частности,
tfkv^akv (aeGo), (5.10)
т. е. при фиксированном v энергии всех лучей звезды равны. Иначе
говоря, энергия, рассматриваемая как функция к в зонеБриллюэна,
имеет симметрию точечной группы Go. Поэтому достаточно знать
£kv лишь в основном многограннике зоны Бриллюэна, чтобы по
(5.10) ее можно было определить во всей зоне.
Можно также показать, что при фиксированном v энергия
представляет собой непрерывную функцию вектора к во всей зоне
Бриллюэна1). Таким образом, функция E^v с фиксированным v
определяет гиперповерхность в четырехмерном пространстве
(£, к). В соответствии с определением v эти поверхности не могут
пересекаться; возможно лишь их касание, так как ниже лежащие
поверхности по определению имеют меньший номер, чем лежащие
выше. Эти, поверхности называют энергетическими зонами, а
характеризующий их индекс v — номером зон.
Итак, энергетический спектр электронов с гамильтонианом,
обладающим кристаллической симметрией, состоит из
последовательности энергетических зон (расположенных над зоной
Бриллюэна), которые, согласно (5.10), имеют симметрию точечной
группы. Для всех точек к общего типа энергетические зоны не
соприкасаются (если, конечно, нет случайного вырождения). В
симметричных точках может иметь место касание m зон. В этом случае
говорят, что имеется m вырожденных зон. Следовательно, нужно
различать два сорта (закономерного) вырождения: во-первых,
1) Поскольку мы ввели основную область, то вектор к принимает лишь
конечное число дискретных значений, так что £kv определены только в дискретном
числе точек. Однако, поскольку величина G полностью произвольна и энергия
не зависит от величины основной области, можно определить Ekv (и \|)kv) для
всех к в зоне Бриллюэна.
140 Гл. 6. Электрон в периодическом поле
определяемое по (5.10) вырождение по лучам звезды и,
во-вторых, вырождение зон, если m > 1.
Кратность вырождения в последнем случае равна размерности
представления ©к-
Для графического изображения £kv используют два способа.
Либо откладывают энергию вдоль некоторого направления в зоне
Бриллюэна, либо проводят в зоне Бриллюэна ряд плоскостей и
вычерчивают кривые постоянной энергии, т. е. линии пересечения
поверхности Е = const с этими плоскостями. Следует обратить
внимание на различие между зависящими от к энергетическими
гиперповерхностями (зонами) и поверхностями Е = const. В первом
случае параметром поверхности является номер v, во втором роль
параметра играет сама энергия Е. Ниже мы подробно рассмотрим
один пример.
§ 4. Трансформационные свойства собственных функций.
Теорема Блоха
Здесь мы остановимся на свойствах собственных функций
оператора #о, вытекающих из того, что они являются базисными
функциями стандартных представлений пространственных групп.
Согласно гл. 2, § 2, п. 3, стандартное представление не является
еще вполне определенным, так как осталась произвольной
последовательность лучей звезды, выбор представителей а{ и
конкретный вид представления ©к. Для последующего необходимо
зафиксировать все эти характеристики. Тогда собственные функции
i|)kv с точностью до общего фазового множителя будут полностью
определяться тем, что они являются базисными функциями
стандартного представления.
Если t|)kv (v принимает m значений) — базисные функции
допустимого неприводимого представления 5Dk, то функции
V"P"A* е-1» —s; ki = k) (5Л1)
являются базисными функциями стандартного представления,
определяемого звездой (ki, ..., ks), набором представителей а\, ..., а8
и представлением ©к группы Gk.
Для доказательства подействуем на tykv оператором Ра
(azzG) J
Pa\r=Paaj\v
Для любого acij можно указать единственное ait такое, что
атхаа^ Gk. Так как a|)kv — базисные функции представления
35k, то
§ 4. Трансформационные свойства собственных функций 141
и с учетом (2.25) имеем
= 2 DMfrtaa,)*^ = 2 Dt ,(а)^. (5.12)
г** 1AV
(Суммирование по i указано, конечно, формально, так как для
всякого / имеется лишь один блок Оц(а)ФО-)
Покажем, что при фиксированном / функции
*kjV = Pafi*
являются функциями представления, а именно базисными
функциями в известном смысле того же самого представления S)k.
Для пояснения этого построим изоморфную Gk группу ajGkajl.
Очевидно,
есть группа, точечные преобразования которой оставляют
инвариантным вектор kj. Следовательно, соотношения (5.13)
устанавливают изоморфизм Gk и Gk..
Если далее aeGk., то в (5.12) i = /, и для всех аебь
имеет место равенство
Ра%г= 2 Д«(«,-«!,)<^. (5.14)
Входящая в него матрица Dk{ajxaa^ равна матрице
представления 5Dk, соответствующей, согласно изоморфизму (5.13),
элементу а.
Из (5.12) можно получить еще один важный вывод.
Если, в частности, а = {e|R}, то снова i = /, и с учетом
равенства
будем иметь
/><.i«v=e~'k/,V
Так как, с другой стороны,
*wwV(r)"V(r~R)'
то для всех kj и R имеем
142
Гл. 5. Электрон в периодическом поле
Функции, стоящие в правой стороне этого равенства, обладают
периодичностью решетки, т. е. любая собственная функция
оператора Гамильтона Я0 может быть записана в виде
^ = 7Т*^(г)> (5.15)
где
"kv(r + R) = "kv(r) (5.16)
для всех R.
Функции вида (5.15) с условием (5.16) называют блоховскими
функциями; их периодическую часть «kv(r) называют блоховским
множителем. Нормирующий множитель l/]/Q выбирают так,
чтобы в случае, когда функция a|)kv нормирована на объем
основной области Q, функция «kv была нормирована на элементарную
ячейку.
. Полученный выше результат окончательно может быть
сформулирован в виде следующей теоремы.
Теорема Блоха. Собственные функции любого оператора
Гамильтона Н0, инвариантного относительно трансляций решетки,
можно записать в виде блоховских функций. Мы будем называть
такие собственные функции функциями Блоха. В соответствии
с этим электрон, находящийся в поле периодического потенциала,
также называют электроном Блоха.
Заметим, что теорема Блоха была получена лишь на основе
инвариантности проблемы относительно трансляций решетки.
Предположим теперь, что представление ©к одномерно, т. е.
нет никакого вырождения зон. В этом случае (5.12) сведется
к виду
Если далее a=*{ajl\ — ajla] и к, (а следовательно, и к{)—
вектор общего типа, то, очевидно, а* = {е| 0} и
*гН~{е|агЧу«у--а)}'
так что имеем
V(a/r+a)=e"'k,(Vara4v(r).
Наконец, если еще vtt, = 0 и а = 0 (последнее всегда можно
осуществить для симморфных групп), то
+*,(««■)-*,„,«. . (5.17)
(Равенство имеет смысл, если ак — приведенный волновой вектор;
в противном случае его следует привести, добавив вектор обратной
решетки к.)
§ 5. Соотношения совместности
143
Оказывается, однако, что не всегда целесообразно выбирать
собственные функции Я0 в форме базисных функций стандартных
представлений. Как известно, ортонормированная система
собственных функций #о определена лишь с точностью до зависящего от
квантовых чисел к и v фазового множителя. Этот множитель
можно выбрать так, чтобы собственные функции имели блохов-
скую форму и как функции к были непрерывны в заданной
области зоны Бриллюэна. Но данным требованиям иногда нельзя
удовлетворить одновременно с условием, чтобы функции были
базисными функциями стандартного представления. Так,
например, если пространственная группа кристалла симморфна и
содержит инверсию {i|0}, то для невырожденных полос из (5.17),
считая «фку базисной функцией стандартного представления, имеем
*-kv(--r)-^(r).
Если вместе с тем потребовать, чтобы функция o|)kv была
непрерывна по к при к = 0, то, устремляя в предыдущем равенстве
к к 0, получим, что ipov(r) всегда должна быть четной. Фактически
же могут существовать зоны, для которых a|)ov(r) —нечетная
функция г. В этом случае требование непрерывности по к противоречит
требованию, что tpkv-^базисная функция стандартного
представления.
Если ввести новые собственные функции, положив для каждой
пары (к, —к) векторов звезды
то они, конечно, также будут образовывать систему базисных
функций, но эта система будет соответствовать не стандартному
представлению, а некоторому эквивалентному ему. Функция aj)kv
может быть выбрана непрерывной по к, если opov—нечетная
функция г.
Указанные трудности одновременного выполнения условий
связаны с тем, что фазовый множитель базисных функций
различных представлений определялся по-разному. Если ограничиться
рассмотрением базисных функций представления Фк и
зафиксировать определенный луч звезды, то можно надеяться обойти эту
трудность.
Тем не менее в следующем параграфе мы убедимся, что в
общем случае функции Блоха даже внутри основного многогранника
не могут быть выбраны непрерывными.
§ 5. Соотношения совместности
Если зафиксировать номер зоны v и пройти всю зону
Бриллюэна, то данное собственное значение £kv пробежит всю зону v.
В то же время для каждого собственного значения £kv можно
144
Гл. 5. Электрон в периодическом поле
указать представление Фк, по которому преобразуются его
собственные функции [см. (5.12) или (5.11) соответственно (5.14)].
Покажем, что эти представления 5Dk не независимы, а
определенным образом связаны друг с другом. При этом связь
представлений ®к между собой определяется лишь симметрией задачи и
не зависит от частного вида потенциала Vq. Говорят, что
представления Фк должны быть совместны или удовлетворять
определенным соотношениям совместности.
Выберем ортнормированную систему собственных функций \|>kv
оператора Я0 так, чтобы a|)kv имели вид функций Блоха (5.15),
(5.16). Тогда одновременно они будут базисными функциями
допустимого неприводимого представления ©к группы Gk (если нет
случайного вырождения).
Выберем далее некоторую произвольную точку к в зоне Брил-
люэна и близкую к ней точку k+х и проанализируем, как
связаны между собой представления Фк и $*+*. Если рассмотреть
еще значение энергии £(k+*)v, соответствующее собственное
пространство которого определяется базисными функциями ^(k+x)
представления Фк+х, то
^,Mv = SCWV,v (ее Gk+x). (6.18)
Выберем (что всегда возможно) фазовый множитель в функциях
Блоха так, чтобы i|>kv была непрерывной функцией к, когда к
меняется вдоль направления и = и/|и|, т. е.
Hjn*<k+H)ve1W
ае-»0
и перейдем в (5.18) к пределу при и-*0. Тогда в силу
непрерывности функции \|)kv представление 5Dk+k также будет иметь
некоторое предельное значение. Положим
S)kM = Hm3)k+x
ч-»0
и назовем его предельным представлением точки к. Это
представление, вообще говоря, зависит от направления и. Можно написать
PA,- 2 Д|В& «)V (аеЕ <W. (6-19)
где \|)kv — функции Блоха в точке к.
Если в точку к вдоль направления и сходится п зон, то имеется
п предельных представлений, для каждого из которых
выполняются соотношения (5.19). Базисные функции различных
предельных представлений ортогональны. Они образуют систему
базисных функций представления ©к. Но это в свою очередь означает,
§ 5. Соотношения совместности
145
что ограничение представления Фк на подгруппе Gk+x имеет пол*,
ностью приведенную форму и распадается на п предельных
представлений. Осуществляя приведение ограничения 2>кх)
представления Фк на подгруппе Gk+*, можно получить предельные
представления ©к(*0> которые будут лишь незначительно отличаться от
представлений $>к+* точки к + и. Следовательно, при изменении к
вдоль направления и будут встречаться не любые представления,
а только те, которые содержатся в ©{Г*. Это и означает, что ©к+*
совместно с ©к- Условия совместности можно получить путем
приведения ©к0.
Рассмотрим частные ^случаи.
Пусть направление и выбрано так, что к + и — точка общего
типа. Тогда Gk+x =Т (Т — группа допустимых трансляций), и
предельное представление
D{k) (х; {е | R}) - lim Z)(k+x)({г | R}) - e~ik*
х-»0
совместно со всеми представлениями ©к> поскольку
©к—допустимое представление. Следовательно, при переходе в точку общего
типа не требуется удовлетворять никаким специальным условиям
совместности.
Если направление и выбрано так, что к + и имеет ту же
симметрию, что и к, т. е. Gk+x = Gk, то ©к0 = Ек и вследствие этого
неприводимо (если опять, конечно, нет случайного вырождения).
Следовательно, при изменении к вдоль симметричного комплекса
имеющееся вырождение зон не снимается. Расщепление зон может
иметь место лишь при уходе с комплекса.
Если направление и выбрано так, что к + и лежит уже не на
симметричном комплексе вектора к, т. е. Gk+x cz Gk, то ©к может
оказаться приводимым и распасться на п предельных
представлений ©к(х). Тогда зоны, вырожденные в точке к, расщепятся
в точке к + и на п зон. При этом их собственные функции будут
преобразовываться по представлениям ©k+х, близким к
предельным.
Таким образом, соотношения совместности следует искать при
переходе от симметричной точки к симметричной прямой и от
прямой к плоскости. В качестве примера в § 7 мы найдем такие
соотношения для решетки алмаза.
В заключение сделаем несколько замечаний относительно
непрерывности функций Блоха в зоне Бриллюэна. Если наряду
с и выбрать еще и другое направление и', то (считая, что «фк
непрерывно в направлении х'), как и выше, получим, что ©к0 также
Должны иметь полностью приведенную форму. Но поскольку в
общем случае представление ©к нельзя выбрать так, чтобы оба его
146
Гл. 5. Электрон в периодическом поле
ограничения ©к и ад0 были в приведенной форме, то
следовательно, функции Блоха нельзя выбрать непрерывными
одновременно во всех направлениях.
Трудности, конечно, возникают лишь в том случае, когда точка
к + х лежит в симметричном положении, так как переход в точку
общего типа, как уже говорилось выше, не требует выполнения
никаких дополнительных соотношений совместности, поскольку
ограничение любого представления в этом случае всегда имеет
приведенную форму. Ясно, что поэтому же не возникает трудностей
с непрерывностью a|)kv, если точка лежит в общем положении или
на симметричной плоскости. Только для симметричных линий и
точек функция o|)kv не может быть выбрана непрерывной
одновременно для всех направлений.
§ 6. Случайное вырождение
Всюду до сих пор мы не рассматривали случайного
вырождения. Но может оказаться, что случайное вырождение имеет место
для какой-нибудь изолированной точки или даже вдоль целой
линии в зоне Бриллюэна. Мы уже говорили, что случайное
вырождение связано с конкретным видом потенциала и поэтому может
быть снято его малым изменением, не меняющим симметрию
задачи. При этом случайное вырождение либо снимается полностью,
либо перемещается в соседнюю точку зоны Бриллюэна. Интересен
только последний вид вырождения. Оно встречается реже в
симметричных точках, чаще вдоль симметричных линий зоны
Бриллюэна.
В соответствии с определением представления,
соответствующие случайно вырожденным собственным значениям, принадлежат
приводимому представлению группы симметрии, а следовательно,
и пространственной группы. Это представление всегда можно
считать разложенным на несколько (неприводимых) стандартных
представлений. Для простоты предположим, что рассматриваемое
представление состоит только из двух стандартных. Тогда
возможны следующие случаи:
1. Оба стандартных представления имеют одну и ту же
звезду. Тогда лучу звезды соответствует больше зон, чем это допускает
размерность представления Фк, так как к ним будут относиться
еще и зоны, принадлежащие 3)к. (Здесь Фк и ©к — допустимые
неприводимые представления группы Gk, с помощью которых
индуцированы указанные выше стандартные представления.)
Представления 35k и Dk могут оказаться эквивалентными. Этот
случай, в частности, всегда имеет место, если к — вектор общего типа,
поскольку тогда для каждого к имеется только одно допустимое
неприводимое представление ®к, так что ©к — ЗД. Поэтому если
§. в. Случайное вырождение
147
$)к и 3)к не эквивалентны, то к с необходимостью лежит в
симметричном положении.
В качестве примера рассмотрим структуру зон проводимости
кремния в направлении [010]. Расчеты в симметричных точках Г
и X показали, что в точке Г имеется собственное значение с
представлением Г15 и лежащее над ним собственное значение с
представлением Гг. Нижнее собственное значение вырождено •
трехкратно, верхнее не вырождено. Следовательно, в Г45 сходятся три
зоны. В точке X было вычислено собственное значение для
допустимого неприводимого представления ХА.
Фиг. 14. Схематический ход зон про- Фиг. 15. Случайное вырождение для
водимости кремния направления [010]. различных звезд.
Так как по соотношениям совместности (см. § 7) Г15
расщепляется на два предельных представления Д4 и Д5, Г£ переходит
в Аг, Xi расщепляется на Ai и Д£ и так как далее (при
закономерном вырождении) представления вдоль симметричной линии А
изменяются только непрерывно, то расположение зон вдоль этого
направления [а в силу (5.10) и вдоль всех эквивалентных
направлений] будет иметь вид, схематически представленный на фиг. 14.
Следовательно, с необходимостью существует такая точка Д0, в
которой энергия £kv будет вырождена случайно. Тогда SDk = A2,
Dk = A5. В точке До представления меняются местами, что
невозможно при закономерном вырождении. Зона, лежащая над Д4,
характеризуется представлениями Д5 и Дг, а следующая за ней —
представлениями Д£ и As. Малые изменения кристаллического
потенциала (не меняющие его симметрии) передвигают точку
случайного вырождения вдоль оси. До тех пор пока уровень ri5
лежит ниже Гг, будет существовать и точка случайного
вырождения Д0.
2. Звезды обоих стандартных представлений различны. Тогда
к каждому лучу звезды к относится столько зон, какова
размерность S)k, т. е. сколько требуется при закономерном вырождении.
148
Гл. 5. Электрон в периодическом поле
Аналогично к каждому лучу звезды к' относится столько полос,
какова размерность представления 5)к'. Звезды могут относиться
к одной и той же зоне (соответственно к одним и тем же зонам)
или к различным. В последнем случае говорят о перекрытии зон.
Оба случая схематически представлены на фиг. 15.
§ 7. Пример: структура алмаза
Теперь выведем соотношения совместности для кристаллов со
структурой алмаза. Как мы уже видели, нетривиальные
соотношения возникают лишь при переходе от точек к линиям и от линий
к плоскостям. Используя табл. 13—15 гл. 2, § 2, п. 7, А, легко
составить таблицу таких переходов (табл.29). Переход от
симметричной прямой Q происходит прямо в точки общего типа.
Таблица 29
Симметричные точки
Симметричные
тем
Симметричные
плоскости
ГЛД -
ГЕЛ , KL
WUX
Для нахождения соотношений совместности нужно
воспользоваться характерами представлений 5Dk, приведенными в гл. 2, §2,
п. 7, Б — Г, и с помощью формулы (1.18) определить, какие
предельные представления входят в ограничение ©if*- Все
соотношения совместности для решетки алмаза приведены в табл. 30—38.
На фиг. 16 в качестве иллюстрации показан ход энергетических
зон кремния вдоль направлений [111] и [100] в зоне Бриллюэна.
Так как методы расчета электронного энергетического спектра
в кристаллах в большинстве своем позволяют получить без
непомерно больших вычислительных затрат только значения энергии
§ 7. Пример: структура алмаза
149
Таблица 30
1
г-д
гг^л~~
1 Г-2
г1
*1
л,
2,
г2
Д?
л2
24
Г12
д.
д2
Лз
2,
24
ri5
д;
д5
л2
л,
22
23
24
4
л;
д5
л,
Лз
2,
22
2з
г1
д;
л2
2а
Г2
4
л,
2з
4
4
д;
Лз
22
23
Г15
Ai
А5
л,
Л3
2,
23
24
Г25 1
д2
А5 1
л2
Лз
2,
22
24
в симметричных точках, то очевидна полезность соотношений
совместности, позволяющих хотя бы схематически интерполировать
ход зон между вычисленными значениями.
При Т = 0° К все зоны до Г25 заполнены, а все расположенные
выше свободны. Зоны Г25 называют валентными зонами, а более
высокие — зонами проводимости. Три
валентные зоны перекрываются.
Следовательно, должны существовать точки
случайного вырождения с различными
звездами. При к = 0 (точка Г) все три
валентные зоны (закономерно)
вырождены. В этой же точке расположен край
4
2
о
-2
о -4
валентной зоны, т. е. ее энергетически « ж
наивысшая точка. Край зоны проводи- ^ _8
мости (ее энергетически наинизшая
точка) лежит на оси [100] (точка типа А).
Волновые функции в этой точке
преобразуются по представлению Дь Вследствие
симметрии энергии (5.10) для кремния
край зоны проводимости в зоне Брил-
люэна достигается в шести точках. Так
как представление Ai одномерно, то к
краю зоны проводимости (в
противоположность валентной зоне) другие зоны не подходят. Иными
словами, край зоны проводимости не вырожден, но кратный, а край
валентной зоны вырожден, но простой. По использовавшейся
ранее терминологии край зоны проводимости вырожден по звезде,
но не вырожден по зонам, а валентные зоны, наоборот, имеют
вырождение по зонам, но не имеют его по звезде.
чо
42
44
Фиг. 16. Энергетические
зоны кремния.
Таблица 31
*-д
1 X-Z
1 X-S
Xi Xi Х$ Xi
Д1 Д1 Д5 Д5
Д2 Д2
Z Z Z Z \
Si 02 03 Oj
03 04 04 02
Таблица 32
L-Л
1 L-Q
/ г г \
Lj L2 L3 L\ L2 L3
Aj Л2 Л3 Л2 Л, Л3
+ - Н- + - Н- 1) \
— -
1) Если имеется только два допустимых неприводимых
представления, то знак плюс соответствует представлению Ф^, получающемуся
из единичного, а знак минус соответствует другому представлению.
Таблица 33
1 W-Z
1 W-Q; WUX, WU; ГАЕ, KW
W\ Wt
2 2 1
+ +
Таблица 34
-
А - ГЛА
Д-ГД2, KW
*\ А1 Д2 Д2 Д5
+ - - + +
+ *- + -+ 1
§ 7. Пример: структура алмаза
151
Таблица 35
Л-ГЛД; Г2Л, KL
Ai Л2 At
+ - +
Таблица 36
2-ГЛ2, KW
1 2-Г2Л, KL
2i 22 2$ £4
+ - - +
+ - + -
Таблица 37
Z-WUX; ГА2
Z
+
Таблица 38
s-wux
s-глл
- * Si S* Sj S4
+ + -
+ - + - 1
Из таблицы характеров точек X и Z видно, что для них
имеются только двумерные представления. Причина этого в
наличии неэлементарных трансляций в группе 0\. Как следствие
наличия в группе Он винтовых осей и плоскостей отражения точки X
и Z всегда имеют двукратно вырожденные зоны.
Г л а в а 6
РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ЗОН
§ 1. Методика
В предыдущей главе были рассмотрены общие свойства
электронов в кристаллах. Теперь мы перейдем к обсуждению ряда
методов численного расчета энергетических уровней, уделяя особое
внимание упрощениям, которые можно сделать в этих методах,
используя аппарат теории групп.
В основе почти всех методов расчета энергетических зон
лежит то, что волновую функцию электрона в кристалле o|)kv (г)
можно разложить в ряд по полной системе функций ф*(г):
^kv(r) = 2^(r). . (6.1)
Чтобы выбрать систему функций по возможности целесообразнее,
предварительно остановимся на некоторых особенностях функций
Блоха
Эти функции суть не что иное, как модулированные периодическим
множителем ukv{r) плоские волны exp(j'kr), длина волны которых
больше постоянной решетки (так как к — приведенный волновой
вектор). Вблизи ядер эти функции должны быть приближенно
равны атомным волновым функциям. Это обусловливает в общем
случае их резкое изменение, связанное с наличием радиальных и
угловых узлов. Поскольку длина волны в экспоненте exp(tkr)
велика4, то такие изменения могут быть обусловлены лишь
периодическим множителем. Таким образом, блоховские волны ведут себя
в основном как плоские волны ехр(Лх), но вблизи ядер имеют
атомный характер.
Приведенное соображение о поведении функций Блоха наводит
на мысль о возможности использования в разложении (6.1) в
качестве функций фг плоских волн или сферических гармоник. Оба
подхода реализованы в нескольких методах расчета спектра. Они
используются как в вариационных -методах,- так и в ячеечных.
При вариационном подходе задача сводится к решению
вариационной проблемы
§ 2. Симметризйвйнный плоские волны
153
по методу Ритца в предположении, ,что пробные функции имеют
вид (6.1)- Тогда для нахождения собственных значений #о, как
обычно, необходимо решить секулярное уравнение
1(ф|. Яоф/)-Я(Ф|, ф,)|-0. (6.2)
В ячеечных методах используют блоховскую форму
собственных функций, что позволяет искать собственные функции только
в элементарной ячейке (например, в ячейке Вигнера — Зейтца),
после чего ее легко можно продолжить в любую другую ячейку.
В этом случае уравнение Шредингера решают в ячейке Вигнера —
Зейтца с граничными условиями, вытекающими из блоховского
вида собственных функций. Решение уравнения Шредингера снова
производится в предположении (6.1). Чаще всего в качестве
функций фг в этом случае выбирают сферические гармоники.
В практических расчетах суммирование по i в (6.1), разумеется,
ограничивается конечным числом членов.
Всегда можно построить такие линейные комбинации функций фг,
чтобы эти комбинации являлись базисными функциями
допустимого неприводимого представления ©к- Такие линейные
комбинации называют симметризованными функциями (гл. 3> § 3). Тогда
разложение (6.1) лучше вести по симметризованным функциям,
соответствующим определенным строкам представлений ©к. Так как
ipkv принадлежит определенной строке какого-нибудь заданного
представления ©к, то в ее разложение могут входить только сим-
метризованные функции, принадлежащие ток же строке того же
представления. Использование симметризованных функций
заметно упрощает разложение (6.1) и вместе с тем позволяет, не
увеличивая объема вычислений, эффективно учесть большее число
функций в разложении.
Ниже мы изложим способ построения симметризованных
функций, пригодный как для плоских волн, так и для сферических
гармоник.
§ 2. Симметризованные плоские волны
Так как собственные функции оператора Гамильтона Но в
кристалле всегда можно записать в виде функций Блоха, в
разложение i|5kv по плоским волнам войдут только волны с эквивалентными
волновыми векторами к, т. е. волны с волновыми векторами,
отличающимися на вектор обратной решетки:
ФкУ=2аи(К)ег<к+к>'.- (6.3)
.К
Попытаемся симмётризовать ' плоские волны exp [f(k + К)?]
с фиксированным к. В качестве группы, базисными функциями
представлений которой являются ifkv, возьмем группу Gt. Посмот-
154
Гл. 6. Расчет энергетических зон
рим сначала, как изменяется exp[t(k + К) г] под действием
оператора Ра(а = {а|а} е Gk):
pa6i (k+K) г = ei (k+K. a-1 (r-a)) =
в е1 (а <к+к>' г~а> = е~1(а (к +К)» а)£* (а (к+К)»г). (6.4)
Из (6.4) видно, что в результате вновь получается плоская волна,
волновой вектор которой а (к + К) эквивалентен k(ae Gk), а
длина волны совпадает с длиной волны исходной функции ехр|7(к +
+ К) г]. Векторы а (к + К) (к и К фиксированы; ае G0k) назовем
k-звездой вектора k + K. Это определение является обобщением
прежнего определения звезды (гл. 2, § 2, п. 3) в двух отношениях
Во-первых, а пробегает не по всем элементам точечной группы,
а только по подгруппе Gok. Во-вторых, используются векторы
а(к + К), не обязательно лежащие в зоне Бридлюэна
[приведенный волновой вектор в а(к + К) всегда равен к]. Все относящиеся
к одной звезде плоские волны имеют одинаковую длину волны
(а следовательно, и одинаковую кинетическую энергию).
Таким образом, из соотношений (6.4) вытекает, что плоские
волны, принадлежащие одной звезде к, образуют систему
базисных функций некоторого (в общем случае приводимого)
представления группы Gk. Размерность этого представления равна порядку
звезды (т. е. числу ее лучей). Матрицы представлений являются
обобщенными матрицами перестановок, т. е. в каждой их строке и
каждом столбце отличен от нуля только один матричный элемент.
Получающееся представление будет допустимым, так как,
согласно (6.4),
Я ({<4R}H *-"«/.
Характеры этого представления вычисляются по формуле
x(a) = 2e-M-k+K')a> (6.5)
где суммирование производится по векторам к + К',
принадлежащим к-звезде вектора k+K, для которых а (к + К') = к + К'.
Теперь разложение (6.3) можно переписать как сумму по к-звез-
дам, считая плоские волны базисными функциями представления
группы Gk:
4>kv= 2 2 akv(K)*<<k+*>'-. (6.6)
k-звезды k+K' « k-звезде
Если выполнить приведение представления, соответствующего
какой-нибудь k-звезде группы Gk, то получающиеся в результате
этого приведения базисные функции и будут искомыми симметри-
зованными плоскими волнами. В разложение (6.6) войдут только
такие симметризованные плоские волны, которые имеют ту же
симметрию, что и ^kv (т, е. принадлежат той же строке того же пред-
§ 2. Симметризованные плоские волны
155
ставления). Следовательно, если требуется найти функцию t|)kv
некоторой определенной симметрии, то в разложении достаточно
учесть смметризованные плоские волны, которые обладают
симметрией ij>kv. Для каждого к и каждого типа симметрии (строки
представления) имеется целая последовательность симметризован-
ных плоских волн. Эти плоские волны можно упорядочить,
например, по возрастанию кинетической энергии (убыванию длины
волны).
Интересно взглянуть на симметризованные плоские волны
с точки зрения стандартной теории возмущений Шредингера. Если
в гамильтониане Я0 = Т + Vo кристаллический потенциал Vo
рассматривать как малое возмущение, то плоские волны суть
собственные функции нулевого приближения. Тогда
симметризованные плоские волны будут правильными функциями нулевого
приближения. Собственные значения в этом, случае будут находиться
вблизи энергии плоской волны данной звезды: ft2(k + К)2/2т.
Фактически, конечно, кристаллический потенциал Vo никогда не
бывает малым возмущением оператора Г. Тем не менее такой
подход имеет важное значение для металлов, когда удается ввести
эффективный псевдогамильтониан Нр вида Нр — Т + Vo + Vr с
теми же собственными значениями, что и Я0 (разумеется, не с теми
же собственными функциями), в котором потенциал
отталкивания Vr приблизительно компенсирует Vo. Спектр таких металлов
во многом подобен спектру свободных электронов. Данная
ситуация реализуется в так называемых простых металлах: щелочных,
Mg, Zn, А1 и т. д.
Если разложение производить по плоским волнам, то
уравнение (6.2) запишется в виде
l#kKK'- £SKK'l = 0, (6.7)
где
Я*кк— "^ I е-<(к+ЮгЯ0е'(к+к')г dh = |L (к + К)2 6КК'+ Пкк-
Q
И
VUKK,=-L J г-ик+Югу0гМк+к')г^зг
Q
Если Vo=Vo(r)—некоторый локальный потенциал, то величины
VkKK' ■■ ^ок-к'
суть его коэффициенты Фурье, а, следовательно, Vo можно
записать в виде
1Мг)=2 WKr.
156
Гл. 6. Расчет энергетических зон
Симметрия кристаллического потенциала проявляется в свойствах
его коэффициентов Фурье. Действительно,
V0(a-lr) - 2 VoKel I*«"' <>->] -
- 2 iv,(*V-V (eK*r) - S W(aK* Л
К аК
Отсюда следует
Следовательно, коэффициенты Фурье УСк данной звезды связаны
друг с другом множителем ехр [—1\ а К, vtt)].
Кроме того, из вещественности Vo(r) имеем
Уок^о-к. (6.9)
Для иллюстрации соотношений (6.8) з качестве примера
рассмотрим структуру алмаза и поместим начало координат в узле.
{\\\)-звезда [т. е. звезда, получающаяся из вектора К =
= эт/а(1, 1, 1)]. Согласно табл. 12, каждые четыре коэффициента
Фурье Vk» векторы К которых переводятся друг в друга с
помощью преобразований а е Td, равны друг другу. Далее,
Уо-к = е*^ок=--*Уок [К—5-0, 1, I)].
Отсюда с учетом (6.9) имеем
Vok = ^°-к — — *Уок>
так что
„ i+, „ я/0,1.1). (1.1.1).
У'мут* к"l(l,i,i), (1,1,1).
т/ 1-1 и я {О, LI), 0,1,1),
Ко(111>_, K = 7{(Ul)t (1л1)-
и величина Уо<ш> вещественна.
(200)-звезда. Для а = ру ф Td и К = я/а (2,0, 0) равенство
(6.8) приводит к
K<*--V« (К —J-(2f 0,0)),
т. е. все коэффициенты Фурье (200)-звезды обращаются в нуль.
(220) -звезда. Для всех векторов К звезды имеем
т. е. все коэффициенты Фурье Fok (220)-звезды равны друг другу.
(222) -звезда. Для а = i ф Td и К = я/а (2,2,2) имеем
Ко-к = е'к'Кок --Уж (К —£- (2, 2, 2))
Кок =
§ 3. Пример
157
и с учетом (6.9)
Vok = Vo-к = — Vok-
Лучи звезды, переводящиеся друг в друга с помощью
преобразований аеГй, как и для (Ш)-звезды, имеют равные компоненты
Фурье Fok» так что
я/(2,2, 2), (2, 2,2),
Пк =
(2, 2, 2), (2, 2, 2),
я , (2, 2, 2), (2, 2, 2),
-/iw>, K=Tl(2)-2U2)2>2)>
и величина Уо<222> вещественна.
Если начало координат поместить в стандартное положение, то
разложение потенциала в ряде Фурье будет иметь вид
Ко(г) = П(г') = 2Пк^Кг',
к
где
7& = *"«*«,
так что имеем
для (Ш)-звезды: ^к = 70<ш>,
для (200) -звезды: У0<200у = 0,
для (220)-звезды: VqK*=* ± Vo<220>> если обе не обращающиеся в нуль (6.10)
компоненты имеют одинаковые (разные) знаки,
для (222)-звезды: VqK = У0<222у
§ 3. Пример
1. Структура алмаза, точка Г. В качестве примера найдем
наинизшие симметризованные плоские волны в двух точках зоны
Вриллюэна для структуры алмаза.
k-звезда вектора к + К для точки Г, т. е. для к = 0, состоит
из всех векторов аК (аебо). Согласно (2.13), векторы обратной
решетки г. ц. к. структуры в декартовой системе координат имеют»
вид
К=^(-А1 + А2 + А3> hx-h2 + hz, hx + h2-h\ (6.11)
где hu h2i hz — целые числа. Звездами с наименьшими
кинетическими энергиями будут
(000), -=-(111), -£-(260), -£-<220>, -2-<311>, -=-(222),
JL(400>, -2.(420), -=-(331), -2-<422>, -=-<333>, f(5ll).
158
Гл. 6. Расчет энергетических зон
Как видно из рассмотрения двух последних звезд, длины волн для
плоских волн, имеющих различные звезды, могут оказаться
равными.
Теперь выполним приведение представлений 5Dk (k = 0),
соответствующих различным звездам. Так как к = 0, то
Х(а) = 2е<«\
и суммирование ведется по векторам К', принадлежащим звезде К
и таким, что аК' = К'. С помощью соотношения (1.18) можно
установить, какие неприводимые представления содержатся в
представлении, принадлежащем данной звезде.
(ООО)-звезда, поскольку она имеет лишь один луч, порождает
одно одномерное (а следовательно, и неприводимое)
представление, а именно представление Т\.
(Ш)-звезда состоит из восьми лучей. Ее лучи остаются
инвариантными только под действием элементов группы GokA, т. е.
под действием преобразований 8з и р£ (табл. 14). Каждое
конкретное преобразование 6з оставляет инвариантными два луча
[например, бзх^-векторы тс/а(1.1.1), я/а(1,1, Г). Так как бз^Г^
то ехр[—j'K'Va] = 1, т. е.
%({63|R}) = 2.
Всякое данное рг- оставляет инвариантными четыре луча
[например, р*г/-лучи я/а(1, 1, 1), я/а(1, 1,1), я/а(Т,Г, 1), я/а(1,1,1)]. Так
как pf е Tdj то ехр [—t'K'va] = 1 и, следовательно,
X({P*|R}) = 4.
Таким образом, характеры приводимого представления Oh группы
имеют значения, указанные в табл. 39.
Таблица 39
8 Збг 664 ббг 863
8 0 0 0 2
/ Зр 6or4 6р 8стб
0 0 0 4 0
Приведение, выполненное с использованием таблицы характеров
неприводимых представлений (табл. 17), дает представления
Гь Гг, Гг5 и 1\5. Аналогично можно найти неприводимые
составляющие и для других звезд. Для звезд с меньшими кинетическими
энергиями результаты приведены в табл. 40. Из таблицы видно,
что, например, для вычисления волновой функции симметрии Г15
волны (000)- и (200)-звезд учитывать не следует. Коэффициенты
перед этими звездами обращаются в нуль.
§ 3. Пример
159
Ограничимся, например, двумя самыми нижними звездами:
(000) и (111). Тогда входящие в секулярный детерминант
компоненты Vok-k'1) для К, К' е(000) и (111), образуются из векторов
(000)-, (111)-, (200)-, (220)-, (222)-звезд. Секулярный
детерминант типа (6.7) в этом случае имеет вид
1 foo~£
^0<111>
^0<111>
••• ^0<111> •••
А
В
"• ^0 <ш> - - •
В
А
где
Л =
D
Vo<220>
Vo<220>
Vo<220>
* _ Зя2Й2
Vo <220>
D
- Vo<220>
- Vo <220>
л. т/лл — ;
Vo<220>
~ V6(220>
D
— Vo<220>
7 R — Т/л
Vo<220>
— V6(220>
— Vo<220>
D
2ma2
Если плоские волны преобразовать в симметризованные плоские
волны, то преобразованный в соответствии с этим детерминант
распадется, согласно табл. 40, на произведение такого числа
частичных детерминантов, каково суммарное число строк
неприводимых представлений. В нашем случае встречаются представления
1\, Гг, Г25 и Г15. Следовательно, детерминант расщепится на во*
семь поддетерминантов. Все они одномерны, за исключением де*
терминанта, соответствующего представлению Гь так как Т\
встречается дважды и соответствующий ему детерминант будет
двумерным. Детерминанты, относящиеся к отдельным строкам
1) Вычисления ведутся при стандартном выборе начала координат.
160 Гл. 6. Расчет Энергетических зон
Таблица 40
Звезды
(000)
(ПО
(200)
(220)
(311)
(222)
(400)
Неприводимые составляющие представлений звезд 1
Г1
1
1
1
1
1
1
Г2
Г12
1
1
1
ris
1
4
1
1
1
2
1
г1
Г2
1
1
1
1
4
1
1
Г15
1
1
2
1 <
1
Г25
1
1
многомерных представлений (например, Г25), равны, так как,
согласно (3.11), их матричные элементы не зависят от номеров
строк. Поэтому требуется решать только один из таких
детерминантов.
Теперь мы найдем симметризованные плоские волны из
пространств представлений Гь Т[> Г25 и Г15 в пространстве волны
(111). Так как нам известны матрицы всех четырех
представлений1), то симметризованные плоские волны можно получить из
плоских волн (111)-звезды, используя введенные в гл. 3, § 3
операторы pjv [см. (3.6)]. Для этого воспользуемся плоской волной
с вектором К = я/а(1,1, 1).
Таблица 41
1
0
1
2
3
К/
£<"• ■• ■>
£о.т.г>
i(T,i.T)
£(T.I.-i>
7
0
т
2
3
к7
Т(Т>Т,Т)
5 (Т. I. О
7(Ь Г- !>
|(i.'i.T)
1) Для одномерных представлений эти матрицы совпадает с характерами, а
для Г25 и Г15 получаются с помощью табл. 114
§ 3. Пример
161
Обозначая в соответствии с табл. 41 через Wj плоские волны
отдельных лучей (Ш)-звезды, для ogSj (i8js Sj) будем иметь
PaW0 = rf=e' С*' r-v»> = e-^'W,.
(6.12)
Если выбрать начало координат в стандартном положении, то по
(2.10) получим
\ih / = 0, 0,
is2/( /-1,2,3, Г, 2,3,
и
PaWo
f W„ си
dpG>
Г 2 r>W(«)(W0±Wz)-% 2 D^(«)(^±r7)1.
Lasj?0 /-laejs^ J
Здесь знак плюс относится к четным представлениям $)Р = ГЬ
Г25, а знак минус —к нечетным $)р — Гг, Г15 [так как D{fv(ia) =
-±D$(a)].
Полагая v = 1, получаем, что функции fpil — Pfu^o все отличны
от нуля, а следовательно, являются искомыми симметризованными
плоскими волнами. Тогда, используя табл. 11, с точностью до
нормировочного множителя имеем
Г /(Г,) "
!(П)
А(ГУ
htFld
№)
/.(Г15)
/2(г15)
Lfa(Tle)_
'1 TIT 1 1 1 Т"|
1 ITT I 1 1 1
1 Т l 1 1 Г 1, 1
1 1 Г 1 1 1 Г 1
1 1 1 Г 1 1 1 I
1 I 1 1 Т 1 т т
1 1 Т 1 Г Г 1 I
_1 1 1 Г ГТ Т 1 J
Гг°1
Wx
w*
Ws
w~u
\-щ 1
WA
L*jJ
С учетом (000)- и (Ш)-звезд .энергия, соответствующая
представлениям П, Г25 и Г15, вычисляется по формуле
162
/л. 6. Расчет энергетических зон
Только для представления Т\ требуется решить детерминант
второго порядка
'(f'tHon-E (f',H0f)
(/, H0f) (/, H0f)-E
= 0,
где
r-W> f=f^>
или, записывая матричные элементы в явном виде (с 6.10),
Vqq—E Vo<in>
Зя2й2
0<111>
2ша2
+ VqO — 3 V'o <220> + Vq <222> — Е
= 0.
Таким образом, оба значения £(ri) найти также легко.
2. Структура алмаза, точка X. Выбирая кх = я/а(0, 1,0) и
используя векторы к г. ц. к. решетки (6.11), получаем Х-звезды,
указанные в табл. 42.
Таблица 42
X ^звезда
(010)
(101)
(210)
(121)
(030)
(212)
Элементы
± л/а (0, 1, 0)
±я/а(1, 0, 1), ±я/а(1, 0, 1)
± я/а (2. 1, 0)4 ± я/а (2, 1, 0),
± я/а (1,2,1), ± я/а (1,2,1),
± я/а (0, 3. 0)
±я/а(2, 1, 2). ±я/а(2, 1,2).
±я/а(0, 1,2), ±я/а(0, 1,2)
± я/а (1,2, 1), ±я/а(1, 2, 1)
± я/а (2, 1, 2), ± я/а (2, 1, 2)
Кратность
2
4
8
8
2
8
Каждая Х-звезда порождает представление Gk, характеры
которого снова можно вычислить по (6.5). Неприводимые
составляющие этих представлений даны в табл. 43.
Рассмотрим построение симметризованных плоских волн для
ХЮ1)-звезды. Четыре плоские волны
^^/=тИк/
с векторами
к,—2.(1,0, 1), к2 = -£-(1, 0, 1), к3=-к2, к4 = - к,
порождают некоторое пространство представления, распадающееся
на два неприводимых подпространства. Последние связаны с сим-
§ 3. Пример
163
Таблица 43
Я-звезда
(010)
(101)
(210)
(121)
(030)
(212)
Xi
1
1
1
N 2
1
2
х2
1
*3
1
1
1
*4
1
1
1
1
метризованными плоскими волнами. Для их нахождения вновь
воспользуемся техникой операторов проектирования. Однако,
поскольку нам известны лишь характеры представлений Х\ и X*, мы
вынуждены попытаться обойтись операторами рр [см. (ЗЛО)].
Подействовав [см. (6.4)] операторами рр (р = 1, 4) на все четыре
функции Wf
а € G0ky
получим восемь функций
(Начало координат в этом случае выбрано в атоме.) Из этих
функций лишь четыре, линейно независимые, порождают пространства
представлений Х\ и Х^:
*,:
1^2+^3,
Xt:
w3 - w»
164
Гл. 6. Расчет энергетических зон
Эти симметризованные плоские волны получаются следующим
образом:
/п\ /1 0 0 1\ ,WX\
f» | = дЛ ° 1 1 ° И ^2 I
/41 I V* I 0 1 1 о II wzy
/42/ \1 0 0 1/ W4/
Конечно, можно построить и другие симметризованные плоские
волны.
§ 4. Метод ОПВ
Мы уже упоминали раньше о качественном ходе волновых
функций i|>kv(r). В частности, говорилось, что вблизи атомных ядер
функции ^kv(r) ведут себя подобно атомным волновым функциям
и, обладая в соответствии с главным квантовым числом
определенным количеством узлов, меняются относительно резко.
Напротив, в промежутках между ядрами потенциал почти постоянен и
функция \|?kv(r) близка просто к плоской волне. Поэтому, для того
чтобы правильно передать осцилляции волновой функции вблизи
ядер, требовалось бы вести разложение по плоским волнам до
волн с очень малой длиной волны. Это требует учета очень
большого числа членов в разложении, что делает процедуру
невыполнимой. Кроме того, вариационный способ дает
удовлетворительный результат только для основного и нескольких глубоко
лежащих состояний. Таким образом, пришлось бы вычислять
энергетически очень глубоко лежащие состояния, которые для твердых тел
значения не имеют.
Чтобы обойти указанные трудности, Херринг [5] предложил
метод, позволяющий сразу находить только лежащие выше зоны, так
называемые валентные зоны и зоны проводимости, состояния в
которых занимают электроны, обусловливающие большинство
свойств твердых тел. Метод в принципе очень прост. Вся зонная
система твердого тела разбивается на глубокие остовные зоны и
лежащие над ними валентные зоны. Для большинства твердых
тел такое разбиение естественно, так как в них часть электронов
относительно жестко связана с ядрами (электроны остова), а
остальные перемещаются сравнительно легко. Они и существенны для
всех свойств твердых тел. Электроны остова занимают довольно
узкие остовные зоны, которые суть не что иное, как несколько
размытые за счет взаимодействия с соседними атомами атомные
уровни. Поэтому остовные состояния можно аппроксимировать
с помощью атомных и считать известными. Если далее в качестве
пробных функций в вариационной задаче использовать функции,
ортогональные к остовным волновым функциям, то приближенно
получим наинизшее валентное состояние.
§ 4. Метод ОПВ
165
Предположим, что остовные состояния ip^ нам известны.
(Здесь к принимает значения в зоне Бриллюэна, a i нумерует
остовные зоны.) Если теперь
Р=ЪРы
к, i
есть оператор проектирования на пространство остовных
состояний, то функции
xkiK(r)-iQe'(k+,0r-el(k+IC)r--SPwe'*+»r (блз)
(здесь Q = 1—Р) образуют полную систему функций,
ортогональных ко всем остовным состояниям. Тогда пробные функции
вариационной задачи (валентные функции) можно разложить в ряд
по этой системе. Функции %к к(г) называют ортогонализованными
плоскими волнами (ОПВ). Вследствие ортогональности к
остовным состояниям ОПВ обладают важным свойством: правильно пе'-
редают качественный ход валентных функций. Они состоят, во-
первых, из плоских волн exp[t(k+K)r] и, во-вторых, из частей
типа — S^kiCtki, exp|7(k + К)г]), имеющих сильные осцилляции
вблизи ядер. Следовательно, даже одна ОПВ дает существенно
лучшее приближение к волновой функции, чем просто одна
плоская волна.
Проанализируем трансформационные свойства ОПВ.
Поскольку оператор Р вместе со всякой функцией «фк*
включает и все вырожденные с ней состояния, то Р перестановочен со
всеми операторами Ра (aeG). Действительно, пусть
к, i
где к, i пробегают по всем состояниям с данной энергией (к — по
лучам звезды, i—по вырожденным при данном к зонам). Тогда,
так как Ра и 3). унитарны, для любой функции f имеем
Pjrt = 2/ >Л| (1w /) -$' *Ai СА.. PJ) -
= 2' 2' Dk,t,ki (a) Dk.ni (а) ^ «^ Ра) = P'PJ.
k, i к', i'
к", V
Но оператор Р равен сумме операторов Р', а следовательно, также
перестановочен со всеми Ра {a^G). То же самое, очевидно,
справедливо и для Q. ,
Из доказанного утверждения с учетом (6.13) вытекает важное
свойство ОПВ: они преобразуются точно так же, как
соответствующие плоские волны. Следовательно, симметризованные ОПВ
можно строить так, как это описано в § 2 и 3, и с теми же
коэффициентами, что и для симметризованных плоских волн.
166
Гл. 6.^ Расчет энергетических зон
Благодаря тому что описаный в § 2 способ симметризации без
изменений переносится на ОПВ, он имеет особо важное значение.
Сейчас мы сделаем еще одно замечание относительно
аппроксимации остовных волновых функций. Практически всегда «фк*
аппроксимируется с помощью так называемых блоховских сумм
% (к s) (О = О"''2 2 eik <R+t^ (г - R - xs). (6.14)
Здесь фь(г)—атомная волновая функция атома, находящегося
в точке г = 0, с квантовыми числами А( = /г, /, т). Блоховская
сумма, очевидно, удовлетворяет теореме Блоха
и локализована вблизи точек R + х8 где s фиксировано. Остовные
волновые функции -фкг можно было бы аппроксимировать с
помощью линейных комбинаций фка,*) с фиксированными к и X:
Фк,(г)«2с5о|)к(Х5)(г).
При этом коэффициенты cs можно подобрать так, чтобы
написанная сумма была функцией представления. Однако в этом случае
оператор Р' уже не будет перестановочен с Ра.
Запишем атомные волновые функции фх(г) [А, = (я, /, ш)] в виде
Фх(г)-#„/(г)Г,т(А, Ф).
Тогда они будут являться базисными функциями неприводимых
представлений £)* полной ортогональной группы (знак плюс —
для четных /, знак минус — для нечетных; см. приложение 1)
Р.Фх(г)-2^(о)Ф|1(г)
(\1 пробегает 2/ + 1 значений). Тогда для а = {а|а} е G
^k(..,)(0 = Q"'/22etk(R+t^(a-'(r-a-aR-aTs)) =
- Q-*A | eik <R+t*> 2 D{5 («) % (г ~ а - «R - at,).
Так как
а + a(R + xs) = a(R + x8) - R' + tSo
— снова некоторый узел кристалла, то для ak, лежащих в зоне
Бриллюэна, имеем
*Л а. 4 « = G_3/2 R2 •' (* R'+t*"a4* («) Ф, (г - R' - хJ =
= 21«-'^"^w^MJ(r)=
-2 £{*(*)+*<**> W- (6.15)
§ 4. Метод ОПВ
167
Если выполняется, условие (2.32), то D1^ (а) — представление
группы Gk. Это представление получается из представления 3)/
группы вращений и в общем случае приводимо.
Появляющийся индекс s0 является функцией а и s. Поясним это
на примере структуры алмаза. Пусть начало координат
расположено в узле решетки. Тогда
\ = ™s + Va + *>
где R — вектор допустимой трансляции, который выбирается так,
чтобы в правой стороне соотношения стоял один из векторов,
определяющих базис в ячейке Вигнера — Зейтца, С учетом (2.9) имеем
**-<**, + Re*, (aerd)
и
Значения So как функции а и s повторены в табл. 44.
Таблица 44
&Td
ФТ*
1
1
2
2
2
1
Теперь потребуем, чтобы линейная комбинация
была базисной функцией какого-нибудь представления группы G^
С учетом (6.15) для aeGt имеем
?.Wr)
Е Чх («> С (*к (X. I) М + 1Г С*к (X. 2) «) (« * Та).
Отсюда очевидно, что фкоо только в том случае будет базисной
функцией, если с2 = 1 (т. е. если с= ±1) и одновременно
Dt(a) (a<=Td) и ±/>,(*) (<*<£^)
образуют пару представлений группы Gk. Последнее выполняется
всегда.
168
Гл. 6. Расчет энергетических зон
Следовательно, функции
Фк (X) — у J (*k (X, 1) ± ^к (К 2))
являются базисными функциями представлений
(6.16)
(6.17)
группы Gk- (Суммы Блоха (6.14), напротив, для кристаллов с
базисом таковыми не являются.) Состояния-(6.16) соответствуют
различным средним значениям оператора Гамильтона. Меньшим
значениям энергии отвечают состояния, называемые связующими,
большим — антисвязующие. Представления (6.17) в общем случае
приводимы. Это приведение можно выполнить для различных
точек к зоны Бриллюэена, если известны характеры представлений
группы вращений.
Для к = 0 характеры Д(а) равны (см. приложение 1)
&(<*)
= -sin (/ + !/2) 6
sin 720
(а 6= Ь3),
(в— угол поворота преобразования а). Характеры ограничения
представлений группы вращений на подгруппе Oh даны в табл.45.
/
0
1 •
2
3
4
8
1
3
h 5
7
9
Зб2
г
т
6б4
г
"
6б2
г
8б3
1
0
Г
1
0
i
1
3
5
7
9
Зр
6(Т4
1
-!
Т
1
1
Таблица 45
\
6р 8а6 I
1 1
1 0
1 Г
1 f
1 0
Образуя по (6.17) представления 2)}±3 и выполняя приведение,
получим представленные в табл. 46 составляющие части. Более
точный анализ показывает, что для к = О при четном I
«связующие состояния», а при нечетном I «антисвязующие состояния»
относятся к S)|+1. Для представления 5Е)/""1 имеет место обратное.
§ 5. Решеточные гармоники
169
Таблица 46
1
0
1
2
3
4
ф|+1
Ti
Г,5
^12 + Г25
Г2 + Г25 + Г15
Г1 + Г12 + Г[5 + Г^
фМ - 1
г'
2
«Ь
г;2+г15
г, + г;5+г^
^2 + Г12 + Г25 + 1,15
§ б. Решеточные гармоники
Так как собственные функции оператора Гамильтона Я0 в
кристалле имеют вид функций Блоха, достаточно определить их
в элементарной ячейке. После этого они могут быть легко
вычислены в любой точке кристалла. Поэтому ряд методов решения
спектральной задачи для гамильтониана Я0 основывается на
нахождении функций внутри элементарной ячейки при граничных
условиях, вытекающих из блоховской формы и требований
непрерывности. Наиболее известным из ячеечных методов является
метод Вигнера — Зейтца.
При этом чаще всего собственные функции разлагаются в ряд
по сферическим гармоникам. Такое разложение удобно, если
потенциал обладает сферической симметрией в некоторой
окрестности атома, а точнее, внутри «атомной ячейки» (области кристалла,
лежащей вблизи рассматриваемого атома). Такая атомная ячейка
может быть и меньше ячейки Вигнера — Зейтца, если исследуется
кристалл с базисом. На самом деле, разумеется, потенциал
обладает меньшей симметрией, а именно симметрией, задаваемой
пространственной группой. Потенциал в атомной ячейке инвариантен
относительно подгруппы точечной группы, содержащей элементы,
отличающиеся допустимыми трансляциями. Для симморфных
групп потенциал инвариантен относительно всей точечной группы.
Для простоты в- дальнейшем мы рассмотрим только случай сим-
морфной группы.
Так как сферические функции являются базисными функциями
неприводимых представлений S)f полной ортогональной группы
о3 (плюс — для четных / и минус — для нечетных /; см.
приложение 1), а потенциал в атомной ячейке инвариантен только
относительно подгруппы ортогональной группы, то собственные
функции #о целесообразно разлагать внутри атомной ячейки не по
Таблица 47
T1
1 Га
г„
А25
Г'5
Г'
1 • г'
1 г'
М2
1 г25
1 г'5
/
- 0
4
2
4
2
4
4
3
' з
1
3
1
1
(525/16)1/з (л:4 4- ^4 + з4 - 3/5)
Для /<6 нет
Vb/4 (2х2 - у2 - z2)
Vm(y2-z2)
(735/16)72 [2*4 - у4 - 24 - 6 (2л:2 - у2 - z2)/7]
(2205/16)1/2 [у4 - г4 - 6 (#2 - z2)/7]
VTEyz
Vttzx
V^xy
{220S/4)tf*(x2-\/7)yz
{2205/4)l/>(y2-\/7)zx
(2205/4)l/*(z2-\/7)xy
{3\5/4)l/>(y2-z2)yz
(3\S/4)l,*(z2-x2)zx
{3\5/4)l/*(x2-y2)xy
Для /<9 нет
VMxtjz
Для /<5 нет
, {\0bf4)1!*{y2-z2)x
(105/4),/2 (z2 - x2) у
(\05/4)l/*(x2-y2)z
V*x
V*y
V3z
(175/4)1/2(л:2-3/5)д:
(176/4)* fo»-З/б) у
(l75/4)'/2(z2-3/5)z
$ S. Решеточные гармоники \?l
сферическим функциям, а по симметризованным сферическим
функциям в соответствии с симметрией искомой собственной
функции. За счет этого, так же как и при использовании симметризо-
ванных плоских волн, уменьшается объем вычислений, требуемых
для достижения заданной точности.
Такие симметризованные сферические функции называют
решеточными гармониками. В частности, для кубических кристаллов
употребляют термин кубические гармоники.
В общем случае ограничение представления S)f приводимо*
Для группы Oh неприводимые составляющие ограничений пред*
ставлений 25/" (/ четно) и 55Г (Z нечетно) даны в столбце D\+]
табл. 46.
Решеточные гармоники можно построить, используя технику
операторов проектирования (гл. 3, § 3) подобно тому, как мы
это проделали на нескольких примерах для плоских волн. Более
простым и часто используемым является прямой метод, предло*
женный Лаге и Бете [6]. Для этого сначала надо составить таб*
лицу, из которой видно, как преобразуются под действием элемен*
тов группы базисные функции всех неприводимых представлений;
Затем для каждого / строят так называемый характеристический
полином, т. е. линейную комбинацию слагаемых вида xay^z^
(a + P + Y —0» которая имеет те же трансформационные
свойства. После деления на (х2 + у2 + z2)ll2 и ортонормировки из них
получаются решеточные гармоники.
В табл. 47 приведены кубические гармоники низшего порядки
(до / = 4), соответствующие точечной группе 0^. Эти гармоники
нормированы на единичной сфере.
Другие решеточные гармоники можно найти в работах [7—9].
Глава 7
СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ.
ДВОЙНЫЕ ГРУППЫ
§ 1. Спин-орбитальное взаимодействие
Всюду выше мы пренебрегали спином электрона. Однако во
многих задачах физики твердого тела существенную роль играет
так называемое спин-орбитальное взаимодействие. Под этим
понимают взаимодействие собственного спинового магнитного момента
электрона с магнитным полем, создаваемым орбитальным
движением этого электрона. Спин-орбитальное взаимодействие тем
больше, чем быстрее движется электрон, чем резче меняется
кристаллический потенциал и чем больше заряды ядер. Спин-орбитальное
взаимодействие дает соответствующее слагаемое в оператор
Гамильтона, которое обусловливает сдвиг, а иногда и расщепление
термов, полученных без его учета.
Для последовательного описания спин-орбитального
взаимодействия следовало бы использовать уравнение Дирака. Однако
поскольку скорость электрона все же мала по сравнению со
скоростью света с, то уравнение Дирака можно приближенно
заменить уравнением Паули
H+£--w+^(r)+TW^p)+»(w><p)o-^<p=0-
(7.1)
Уравнение Паули является двухкомпонентным уравнением для
двухкомпонентных спиноров и получается из уравнения Дирака
разложением по степеням v/c. В (7.1) оно записано для
состояний с положительной энергией Е » тс2 (т. е. для электронов, а не
позитронов).
Функция ф — двухкомпонентный спинор, разложение которого
по базисным спинорам имеет вид
Ф-(ф (Г) I -Ф+(«■)"+ +Ф-(г)«-• (7-2)
где базисные спиноры
в+-(о)' «--(?)
соответствуют двум возможным направлениям спина электрона.
$ 2. Симметрия уравнения Паули
173
Оператор а — векторный оператор, состоящий из .трех спиновых
матриц Паули а*:
*« = (? 1)> а2=(/ ~о)' a3=(i- i)"
Первые три слагаемых в уравнении Паули (7.1) представляют
собой энергию свободного электрона. Основной член
тс2—собственная энергия электрона, р2/2т — кинетическая энергия в
нулевом приближении по vfc и —р4/8т3с2 — масс-скоростная
поправка в первом приближении по v2/c2. Пятое слагаемое (дарвиновская
поправка) описывает релятивистскую добавку к потенциалу.
Наконец, последний член соответствует взаимодействию спина а с
орбитальным движением электрона. Наличие спин-орбитального
слагаемого приводит к тому, что уравнение Паули является системой
дифференциальных уравнений относительно функций ф+(г) и qp-(r),
Это обстоятельство существенно усложняет рассмотрение
уравнения Паули. Из уравнения мы также видим, что спин-орбитальное
взаимодействие тем больше, чем сильнее изменение потенциала
V(г) и чем больше импульс электрона р.
§ 2. Симметрия уравнения Паули
Отдельные слагаемые, входящие в уравнение Паули, состоят
из произведений операторов двух типов. Это, во-первых,
операторы, действующие только на координатные части спиноров (7.2), и,
во-вторых, операторы (двумерные матрицы), преобразующие обе
компоненты спинора. Матрицы, действующие на спинор, для всех
слагаемых, кроме члена, ответственного за спин-орбитальное
взаимодействие, равны единичной матрице. В соответствии с этим
оператор симметрии, перестановочный с гамильтонианом уравнения
Паули, также будет состоять из двух множителей.
Чтобы исследовать симметрию уравнения Паули, рассмотрим
предварительно, каким образом коммутируют с оператором V
операторы Ра(а^ G).
Если ф(г)—произвольная функция (вектор в гильбертовом
пространстве), то
РаЧ> (г) - Ф (а-гт) - ф [2of/ (*, - а,)].
Тогда
174- Гл. 7. Спин-орбитальное взаимодействие. Двойные группы
Отсюда имеем
Ра 1х~7 = 2л 1x7 РаЩк>
к t i
или
PaV = aVPa. (7.3)
Операторы симметрии уравнения Паули выберем в виде
SPa,
где S — двумерная квадратная матрица, а Ра действует на
функции координат уже известным образом. Исследуем теперь
симметрию отдельных слагаемых в уравнении Паули.
Очевидно, что для первых пяти членов матрица S полностью
произвольна; Ра должны быть такими, чтобы a^G. Подчеркнем,
что сказанное справедливо и для пятого слагаемого, которое с
учетом (7.3) и условия <ш = 8 также перестановочно с Ра (a^G):
Pa (W, V) = (PaW, PaV) = (aVPaV9 aVPa) - (W, aSV) Pa = (W, V) Pa.
Трудности возникают лишь для последнего члена (WXp)a. Его
удобно записать в виде детерминанта со строками W, V и a
|W, V, a |. (7.4)
Тогда
SPa I W, V, a | = | PaW, PaV, So | -
= I aVPflF, aVPa, aSaa | =
= | a|| W, V, SaaS~l\SPa.
Следовательно, оператор SPa только в том случае перестановочен
с (7.4), если
lalSaaS^-or.
Таким образом, матрицы S зависят от а. Группа симметрии
уравнения Паули состоит из элементов
SaPa>
где Sa должны удовлетворять соотношениям
|a|2ol/S.a/S;l-al. (7.5)
Спрашивается, в какой мере соотношения (7.5) определяют вид
матриц Sn. Пусть, помимо S«, соотношениям (7.5) удовлетворяют
еще матрицы 5«. Тогда
§ 3. Неприводимые представления двойных групп 175
т. е. произведения S'aS7l коммутируют со всеми спиновыми
матрицами Паули, а поэтому должны быть кратны единице.
Следовательно, S* определяются соотношениями (7.5) с точностью до
постоянного множителя X. Но так как с точки зрения физики нас
интересуют только волновые «функции» (собственные спиноры
уравнения Паули), a SaPaq> и XSaPa(p описывают одно и то же
состояние, то множитель К несуществен.
Для aeb3, учитывая (П1.5), можно выбрать Sa^u2. Для
вращений с инверсией положим
Sia = Sa (ае=Ь3). (7.6)
Если в последнем соотношении вместо единицы взять другой
множитель, то увеличенная таким образом группа симметрии
уравнения Паули не приводит ни к каким новым результатам.
Таким образом, в качестве группы симметрии гамильтониана
уравнения Паули мы возьмем группу, состоящую из элементов
± SaPa (а е= G).
Эта группа содержит вдвое больше элементов, чем исходная
пространственная группа, и называется двойной пространственной
группой G(d\
Матрицы So (aeb3) выражаются, согласно (П1.6), через углы
Эйлера Ф, 0 и ?.
Для классификации собственных значений уравнения Паули
вновь можно воспользоваться неприводимыми представлениями
его группы симметрии, к обсуждению которых мы сейчас и
перейдем.
§ 3. Неприводимые представления двойных
пространственных групп
Элементы абстрактной двойной пространственной группы мы
будем обозначать следующим образом:
[a±|a]«-*±S.Pe.
(В отличие от {а|а} им не соответствуют никакие преобразования
в обычном пространстве.)
Простые пространственные группы не являются подгруппами
двойных пространственных групп. Поэтому неприводимые
представления двойных пространственных групп нельзя получить из
неприводимых представлений пространственных групп
рассмотренным выше способом. Однако для их получения мы воспользуемся
в принципе тем же самым приемом.
Двойная пространственная группа обладает нормальным
делителем, состоящим из элементов
le*|Rl
176 Гл. 7. Спин-орбитальное взаимодействие. Двойные группы
двойной группы трансляций T^d\ Подгруппа Т+ этой группы с
элементами вида
[e+!R]
имеет в Т№ индекс 2. Так как 7W — абелева группа, то
где e<d> — группа из элементовч[е+|0] и [е~|0].
Тогда, согласно (1.24), представления группы Hd) легко можно
получить из уже известных представлений Т+. Число неприводимых
представлений 7W будет вдвое больше, чем у 74, а именно
появятся «четные» и «нечетные» представления (табл. 48).
Таблица 48
V.
U+|R]
[e-|Rl
ф(М+
e-ikR
e-«kR
ф(к)-
e-«kR
-<T<kR
Для получения неприводимых представлений двойных
пространственных групп мы воспользуемся методом, изложенным в
гл. 1, § 3, п. 9.
Как и в гл. 2, § 2, п. 3, разобъем неприводимые представления
TW по орбитам. Заметим, что при этом четные и нечетные
представления будут относиться к различным орбитам и что орбита,
как и раньше, будет состоять из всех представлений звезды
волнового вектора к. Следовательно, число орбит будет вдвое больше,
чем в обычной пространственной группе. Каждой звезде
соответствуют орбиты из четных и нечетных представлений. Малые
группы Q{d\ T{d) и 5D(k)+ (или 5)(к)-), очевидно, состоят из элементов
[о*|а] (aeGk)
двойной группы G(d) волнового вектора к. Такая группа также
имеет вдвое больший порядок, чем Gk. Обе группы,
соответствующие S)(k)+ и £)(к)-, равны 0(Л
Для получения неприводимых представлений двойной
пространственной группы построим допустимые представления G^ , как
четные (соответствующие 35(к)+), так и нечетные (соответствующие
S)(k)~"). Четные допустимые представления получаются из
допустимых представлений G^, если поставить в соответствие [а+|а]
§ 4. Дополнительные представления двойных точечных групп 177
и [а"|а] те же матрицы, что и {а|а}. Как мы увидим в дальнейшем,
нечетные представления имеют в физических задачах большее
значение, чем четные. Такие представления часто называют
дополнительными представлениями. Они определяются соотношениями
0([*+|a])--D([cr|a]).
Как и в гл. 2, § 2, п. 4, если пространственная группа симморф-
на или если к лежит внутри зоны Бриллюэна, нахождение
допустимых неприводимых представлений Gk° сводится к нахождению
неприводимых представлений двойной точечной группы G^ век-
тора к, состоящей из элементов а+, а~~ (а е G0). Тогда
аналогично (2.29) имеем
АсСГЫЬе-'^Г), (7.7)
где Dok (Р*) ~ матрицы неприводимого представления двойной
точечной группы Gof. Так как в дальнейшем нас будут интересовать
только дополнительные представления, то для G$ мы будем
использовать также только такие представления, для которых
A)k(P+)=-A>k(P~).
На более сложных случаях, когда 5Dk уже не имеет простого
вида (7.7), мы здесь останавливаться не будем. Метод
рассуждений в этом случае во многом совпадает с построением в обычных
пространственных группах (гл. 2, § 2, п. 5).
§ 4. Дополнительные представления двойных
точечных групп
Каждой точечной группе соответствует двойная точечная
группа вдвое большего порядка. Всего имеются 32 двойные точечные
группы. Всякая двойная точечная группа обладает нормальным
делителем второго порядка (индекса g), состоящим из элементов
е+, е-.
Элементы типа а+ сами по себе группы не образуют. Однако
двойные группы всегда можно представить в виде прямого
произведения, так что вычисление их неприводимых представлений и
характеров не вызывает очень больших затруднений.
Фактор-группа Go / {s+, в~} изоморфна соответствующей
точечной группе G0. Следовательно, часть неприводимых представлений
Go0 можно получить непосредственно из неприводимых
представлений G0. Это четные представления Go30. Как мы уже
говорили, более интересными являются дополнительные
представления.
178 Гл. 7. Спин-орбитальное взаимодействие. Двойные группы
Две изоморфные точечные группы (группы, соответствующие
одной и той же абстрактной точечной группе), вообще говоря, не
рсегда дают изоморфные двойные точечные группы. Двойные
группы будут изоморфными, если одна из исходных групп — группа
первого рода, а вторая — группа второго рода без инверсии.
Если, например, вторая из указанных групп состоит из элемен-
тоз
$, (*2, ..., CCg/2, lCtg/2+l, ..., tag
(здесь щ — чистые вращения; все о,- различны, так как i не
содержится в группе), то первая группа имеет вид
8, СС2, ..., С^.
Тогда в силу (7.6) соответствующие им двойные точечные группы
изоморфны.
^Напротив, если вторая группа содержит инверсию, то
получающиеся двойные группы уже не будут изоморфными.
Для нахождения характеров дополнительных представлений
проанализируем разбиение двойных точечных групп на классы
сопряженных элементов.
В общем случае двойная точечная группа Go имеет не
обязательно вдвое больше классов, чем соответствующая ей точечная
группа Go.
Если С) — некоторый класс группы Go, то совокупность
элементов а+ и а"", соответствующих элементу а класса Cj, порождает
два класса С/" и CJ группы Go , за исключением случая, когда
С;- (или iCj, если С,- состоит из вращений с инверсией) содержит
повороты на угол я, оси которых перпендикулярны также
некоторой оси второго порядка рассматриваемой точечной группы. В
последнем случае С? и CJ образуют один класс группы Go°.
При этом не обязательно класс С/+ должен состоять из
элементов а+, а класс С/* — из элементов а". Однако если а+ е С/", то
сГеС/\ и если а+еС/", то а"еС/+.
Прежде всего покажем, что при образовании двойной группы
классы Cj могут только расщепиться. Пусть аир принадлежат
различным классам группы G0. Если бы а+ и р+ попали в один и
тот же класс группы G$\ то существовало бы такое y+ (или Y~)>
что
«+ = (yTVy+.
Так как группа G0 гомоморфна Go0, то должно иметь место
равенство
a = Y-ipY>
что противоречит предположению,
§ 4. Дополнительные представления двойных точбчньис групп 179
Теперь покажем, что если С, не содержит вращений на угол я,
то Cf и CJ образуют два различных класса. [Ввиду (7.6) случай,
когда Cj содержит вращения с инверсией, отдельно рассматривать
не надо.] Действительно, матрицы
D(a+)«Sa, D(cr)«-S.
[Sa определены по (П1.6)] образуют представление Go0- Если
выбрать ось z вдоль оси вращения а, то в = 0, а Ч? + Ф есть угол
вращения. Тогда характеры указанных выше представлений
вычисляются по формулам
x(a+) = 2cos—^—> %(cr)--2cos—^—■
В силу равенства
х(<*+)=-х(<*~)
характеры С* и CJ различны, за исключением случая, когда
%{а+) = 0, т. е. V + Ф = я. Только для угла поворота, я элементы
из Cf и CJ могут принадлежать одному классу.
Предположим теперь, что Cf и CJ образуют один класс. Если
a е Cj, то существует такое р, что
Sa = S(T1(-5a)Sp. (7.8)
Пусть снова ось z параллельна оси вращения а. Тогда в» = О»
Чг„ + Ф„=яи
Согласно (П1.6), матрица S& имеет вид
так что из (7.8) вытекает а — О, т. е. cos (©и/2) =0и,
следовательно, ви = я. Но ©и = я, очевидно, означает, что р — поворот на Jt
вокруг какой-нибудь оси, лежащей в плоскости ху.
Напротив, если имеется поворот р на угол я вокруг
какой-нибудь оси, лежащей в плоскости ху, то в матрице вида (7.9),
представляющей этот поворот, й = 0 и имеет место равенство (7.8).
Следовательно, только если существует поворот второго порядка a
вокруг оси, «перпендикулярной» всем осям поворотов типа Р,
класс Cj не расщепится и С/* и CJ" будут принадлежать одному
классу.
В качестве примера рассмотрим класс поворотов третьего
порядка 63. В двойной точечной группе этот класс расщепляется на
180 Гл. 7. Спин-орбитальное взаимодействие, Двойные группы
два класса сопряженных элементов С+ и С~. По характерам
представления Фу2 (табл. 49) видно, что не все а+ лежат в С+ и не вой
а"* —в С\ . .
Таблица 49
а
Ху, («)
*з+
1
(ЧГ
-1
К
-1
(•.-)•
1
Класс С+ состоит из элементов бз" и (б3 )2, а класс С — из
элементов (бз")2 и 6<Г. «
Характеры дополнительных представлений в нерасщепляю-
щихся классах равны нулю. Действительно, так как для
дополнительных представлений
х(<*+)=-х(<*~)
и вместе с тем для нерасщепляющихся классов
х(<*+) = %(<*-),
то
Х(а+) = Х(а-) = 0.
Если С;- состоит из вращений на я и если С* и СТ —
различные классы, то характеры %f чисто мнимые. Действительно, для
0 = ОиЧг + Ф = яиз (П1.6) имеем
Оа = «Ьо>
т. е.
Так как в силу унитарности представлений
X (а""1) = Х*(<*)>
то
Х(а+)- - Х(а-)- ~ х((а+Г!)- ~Х*(а+).
Доказанные здесь утверждения полезны при практическом
нахождении характеров дополнительных представлений. Полные
таблицы таких характеров содержатся в работе Костера [10].
§ 5. Спин-орбитальное расщепление
В § 2 мы уже видели, что уравнение Паули без
спин-орбитального взаимодействия (упрощенное уравнение Паули) инвариантно
относительно преобразований SPa, где ogG и S — произвольная
матрица унитарной группы и2. Так как S и Ра не зависят друг от
§ 5. Спин-орбитальное расщепление
181
друга, то упрощенное уравнение Паули инвариантно относительно
прямого произведения G X и2. При учете уже спин-орбитального
взаимодействия симметрия понижается. Матрицы S будут зависеть
от Ра, и полное уравнение Паули инвариантно уже только
относительно преобразований двойной пространственной группы. Такое
понижение симметрии приводит к расщеплению уровней; его
можно исследовать методом, изложенным в гл. 4, § 6.
Решения упрощенного уравнения Паули под действием
преобразований группы G X и2 преобразуются по неприводимым
представлениям этой группы, а именно по представлениям 2) X ©у2, гДе
3D— неприводимые представления пространственной группы G.
Если (pi, ..., ф<* — ортонормированные решения одной из
компонент упрощенного уравнения Паули, относящиеся к одному и
тому же значению энергии, то спиноры фг«а (*=1, ..., d; а ==
= +, —) образуют базис в пространстве решений упрощенного
уравнения Паули. Следовательно, они являются также базисными
функциями представления © X ©у, группы G X и2 (если, конечно,
<pi, ..., <р<2 образуют базис представления ©).
Таким образом, все значения энергии по крайней мере
двукратно вырождены. Всякое состояние (функцию координат) можно
связать с двумя направлениями спина.
При учете спин-орбитального взаимодействия собственные
значения упрощенного уравнения Паули расщепятся. Ограничения
представлений © X ©у, на новой группе симметрии (двойной
пространственной группе) в общем случае приводимы. Приведение
этих представлений, согласно гл. 4, § 6, и дает расщепление
собственных значений под действием спин-орбитального
взаимодействия.
Ограничения представлений © X ©у, на G(d\ очевидно,
являются дополнительными представлениями, так как ввиду
©./>+)=-©У2(а~)
имеет место
2>(s)(a+)=-2)(sV).
Но дополнительные представления расщепляются только на
дополнительные, так как если %i — характеры дополнительного
(а следовательно, нечетного) представления и %[р) — характеры
четного представления, то по (1.18) соответствующие пр равны
нулю. Поэтому физический смысл имеют только дополнительные
представления двойных групп.
Рассмотрим пример. Край валентной зоны кремния лежит в
точке к = 0. Он трехкратно (при учете спина — шестикратно)
вырожден. Ему соответствует представление Г25 (гл. 5, §7ифиг. 16).
Исследуем поведение собственного значения F25 при учете спин-
орбитального взаимодействия. В табл. 50 даны характеры шести
182 Гл. 7. Спин-орбитальное взаимодействие. Двойные группы
Таблица 50
Г8+
г-
г8-
Г25*А/2
е+ 36+ 66+ 66+ 863+
2 0/201
2 0 -/2 0 1
4 0 0 0-1
2 0 /2" 0 1
2 0 -/2" 0 1
4 0 0 0-1
6 0 -/2 0 0
i+ Зр+ 6<т+ 6р+ 8ог+
2 0 /2 0 1
2 0 -V2 0 1
4 0 0 0-1
-2 0 -/2" 0 -1
-2 0 /2" 0 -1
-4 0 0 0 1
6 0 -/2" 0 0
дополнительных представлений двойной группы Oh, а также
характеры ограничения представления Г^ X 5Е>у,. Характеры можно
найти согласно (П1.6)
X1/2 = 2cosf,
где ф — угол поворота. В табл. 50 приведены лишь характеры
элементов а+, так как для дополнительных представлений
Х(а~)=-Х(<*+).
Ограничение Г^ X 5)у2, очевидно, расщепляется на Ет" и Ез".
Как и для обычных групп, можно установить соотношения
совместности. Так как число дополнительных представлений чаще
всего меньше, чем число четных представлений, значение условий
совместности для двойных групп не так велико. Часто условия
выполняются сами по себе (см. § 6).
Подробнее условия совместности проанализированы в работе
Эллиотта [11].
§ 6. Пример. Структура цинковой обманки
В гл. 2, § 1, п. 8 мы уже видели, что структура цинковой
обманки получается из структуры алмаза, если базисные атомы
различны. Точечной группой в этом случае будет группа Td, и
кристалл становится симморфным. Зона Бриллюэна остается той же
самой, что и для алмаза. Симметричные комплексы можно
получить из табл. 13—15, если учесть, что группы G0k состоят только
из элементов aeTd (см. предпоследний столбец указанных таб-
§ 6. Структура цинковой обманки. Пример 183
лиц). Таким образом, имеются три симметричные точки Г, X, W\
три прямые A, A(L), Z и две плоскости TAA(S) и Г2Л(2, К, KL).
Таблица 51
Tf
г6
г7
г8
8+
2
2
4
60Г+
п
-п
0
6р+
0
0
0
863+
1
1
-1
3*2+
0
0
0
Таблица 52
42
х<
X,
е+
2
2
ч
V2
-V2
Чу
0
0
2р+
0
0
2^2+
0
0
Таблица 53
u3t>
*+ 263%2 ЗР+
1 -1 1 \
1 -1 -/
2 10
Симметричные комплексы L, Л; Li^L5.
Таблица 54
с?
IT,
(0 =
«+ «й *& К)"1 1
/ j
1 © / ©3
1 — ©3 — / — ©
1 — © / — ©3
1 ©3 — / ^
= е(п*4; Wl-W» W*7 = WS.
184 Гл. 7. Спин-орбитальное взаимодействие. Двойные группы
Для этих симметричных элементов мы выпишем дополнительные
представления соответствующих двойных групп Gok (табл. 51—57).
Таблица 55
rid)
и2о
А5
et 6ty *>tx *>tx
2 0 0 0
Таблица 56
с?
2+
' 8+ p+
1 i
1 -/
Симметричные комплексы 2, К,
S, ГЛЛ, Г2Л, KL; S+=S_
Таблица 57
<Ф
Z-
8+ 6 +
1 /
1 -/
z\ - z_
При этом опущены четные представления, так как они не
интересны с точки зрения физики. Кроме того,.в силу соотношения
Х(а-)=-Х(<*+).
в таблицах приведены только характеры а+.
Ниже (табл. 58, 59) даны также условия совместности; по
пострению таблицы аналогичны табл. 29. Остальные условия
совместности имеют вид
Д5->ГЛД+, ГЛД-,
/,4->ГЛД+,
/,5->ГЛД_,
ГЛЛ,, ГЛД_
§ в. Структура 'цинковой обманки. Пример
185
Таблица 58
Г-Д
1 Г-Л
Г-2
гв г7- г, ^—j
Д5 As 2As
Лб Лб Л4
л5
л6 1
2+ S+ 22+ '
2- 2- 22-
Таблица 59
Хъ X?
Х-Д I А5 А5
X-Z, S \ Z+ Z+
Z-. 2-
Фиг. 17. Схема возможных энергетических зон для кристалла
со структурой цинковой обманки.
Фактически состояния L* и L% вырождены вследствие обращения времени
(см. табл. 63).
На фиг. 17 для иллюстрации приведено возможное расположение
энергетических зон для кристаллов со структурой цинковой
обманки.
Глава 8
СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ
К ОБРАЩЕНИЮ ВРЕМЕНИ
§ 1. Определение оператора обращения времени
До сих пор мы исследовали только пространственную
симметрию рассматриваемых физических задач. Часто, однако, задачи
имеют симметрию и относительно времени. В частности, для
многих физических систем процессы, возможные в одной
последовательности, возможны и в обратной. Обычно говорят, что такие
системы инвариантны относительно обращения времени.
Оператор /С, с помощью которого из состояния о|) получается состояние
с обратным временем, называют оператором обращения времени.
В силу своего определения он коммутирует с операторами
координаты и антикоммутирует с оператором импульса
JT'rtf-r, /С~!р/С= -р. (8.1)
В пренебрежении спином в координатном представлении имеем
Так как оператор К коммутирует с г, а следовательно, и с V, то
(с точностью до несущественного численного множителя) он
совпадает с оператором комплексного сопряжения Ко
Если учитывать спин, то под действием оператора К должны
измениться и спиновые сьстояния. Спиновый момент равен
Где а — Eekfdp-MafpMta Паули. Так как по (8.1) для момента ко*
Личества движения имеем
/С [Г <pltf«-f Хр,
то логично потребовать выполнения такого же соотношения и для
спинового момента
JT'sff^-s. (8.2)
Поскольку вместе с тем должны выполняться соотношения (8.1),
то К содержит Ко в качестве сомножителя, т. е. записывается
в виде
/С = «/Со* (8.3)
§ 2. Задачи с симметрией относительно обращения времени 187
Здесь и— некая действующая на спинор двумерная матрица,
определяемая соотношением (8.2). Из (8.2) и (8.3) вытекает, что х
коммутирует с аг и антикоммутирует с ы и аз. Это определяет и
с точностью до несущественного постоянного множителя, а именно
можно считать
К — о2Коу
так как матрица съ удовлетворяет всем сформулированным выше
требованиям. (Ее действие сводится к перестановке местами
положительной и отрицательной г-компонент спина.)
В качестве окончательного определения оператора обращения
времени примем: К = Ко— для задач без учета спина и К = в%Ко—
для задач с учетом спина.
Ниже мы приведем некоторые свойства оператора обращения
времени.
1. Антилинейность:
К (оф, + 6о|)2) = а*КЬ + 6*/Сф2.
2. Антиунитарность:
(**!,***) = (Ф2, *,).
Действительно, если К = Ко, то
(*+,. К%) = J (К0%У KQ%dh = J ^2dh - (ф2, ф,).
Если же К = сгг/Со, т0
и, следовательно,
-[+i-^-++i+^+]*r-(^f ♦,).
3. /С2 — 1 без спина и /С2 = —1 со спином:
^Л* о = V2 = - ог2« - 1.
§ 2. Задачи, обладающие симметрией относительно
обращения времени
Гамильтониан электрона в кристалле в силу (8.1), очевидно,
перестановочен с /С. Симметрия оператора Гамильтона
относительно обращения времени в данном случае отражает лишь тот факт,
что оператор энергии в координатном представлении веществен.
Оператор Паули также инвариантен относительно обращения
времени» только в этом случае К = ozKq. Перестановочность К с
188 Гл. 8. Симметрия по отношению к обращению времени
двумя последними слагаемыми оператора Паули (дарвиновским и
спин-орбитальным) вытекает из его антикоммутативности с i и р
в первом случае и с р и а — во втором, так как две перемены
знака взаимно компенсируются.
Кроме того, К коммутирует со всеми рассмотренными выше
операторами пространственных преобразований.
Действительно, оператор К = Ко перестановочен со всеми
операторами Ра пространственной группы, так как операторы Ра
соответствуют вещественным преобразованиям. Оператор К = вгКо
перестановочен со всеми операторами ±SaPa двойной
пространственной группы, так как с^/Со коммутирует со всеми матрицами
Sa унитарной группы Иг. Последнее легко проверить
непосредственно. Всякая матрица группы и2 имеет вид
а Ь
-Ь* а*
и, следовательно,
(а Ь \ /О -Л/ a* b*\ fib -to Л
С другой стороны,
а Ь
Ь* а"
О -Л fib -ia\
i оГ0 = и* ib')K*
, G X {e; KY без спина,
Gi
что и доказывает утверждение.
Таким образом, всякую группу пространственной симметрии
(G или G<d)), добавляя оператор /С, можно расширить до группы
симметрии Gk
^=[GX{8; К; К2; К3} со спином
(в последнем случае К2 = —1, /С3 = —К).
Теперь мы могли бы снова искать неприводимые представления
этих групп. Однако с точки зрения физических приложений такие
представления уже не имеют большого значения, так как группа
содержит антиунитарные элементы. В этом случае собственные
пространства Н хотя и будут инвариантными подпространствами
группы симметрии, но уже не являются пространствами
представлений (гл. 3, § 1 и гл. 4, § 2). Вследствие этого результаты теории
представлений не имеют непосредственного физического
применения. Теорию представлений можно было бы обобщить и
рассматривать так называемые копредставления*). Мы предпочтем
избрать более простой путь.
]) См. монографию Вигнера [12J.
§ 2. Задачи с симметрией относительно обращения времени 189
Если фг, ..., фп— базисные функции некоторого неприводимого
представления пространственной группы (или двойной
пространственной группы1)), то функции
ф'х = Кфх (»с-1 л)
принадлежат Тому же самому значению энергии, что и фх.
Возможны два случая. Либо все ф£ являются линейными
комбинациями фх, либо пространство, порождаемое фх и ф„, больше
пространства, порождаемого одними фх. Во втором случае должно
существовать второе неприводимое представление пространственной
группы, соответствующее тому же значению энергии, что и
функции фх. Следовательно, такое значение энергии относительно
группы G ийеет случайное вырождение. Добавление оператора К
делает это вырождение закономерным2). В-случае когда при учете
обращения времени появляется новое вырождение, или, точнее,
когда случайное вырождение (не поддающееся исследованию с
помощью теории симметрии) становится закономерным, часто говорят
о дополнительном вырождении или о повышении вырождения.
Теперь мы подробнее остановимся на свойствах функций ф£.
Если фх— базисные функции неприводимого представления 5D
пространственной группы, то ф£ образуют базис неприводимого
представления 5D*.
Функции фх и ф„ (к = 1, ..., п) определяют или 2я-мерное
или я-мерное пространство. В последнем случае это пространство
совпадает с пространством, порождаемым функциями фх*
Действительно, пусть, например, фь ..., фп и фр ..., ф£
линейно независимы. Тогда должно иметь место равенство
i(«A-«)=o,
причем не все ах, а'к равны нулю. В то же время так как фх —
базисные функции, то функция
Ф=ЕаА = 2аЖ (8.4)
и=1 и=1
1) В дальнейшем такого рода пояснения мы будем опускать. Все
рассмотрение ведется для пространственных групп, если пренебрегается спином, и для
двойных пространственных групп при его учете.
2) Понятия «случайного» и «закономерного» вырождения имеют смысл в
для групп с антиунитарными операторами (гл. 4, § 2),
190 Гл. 8. Симметрия по отношению к обращению времени
только в том случае может быть тождественно равна нулю, если
все <хк = 0. Но это означает, что
причем не все а£ = 0, т.е. а|)£ линейно зависимы. Последнее не-
возможно, так как они образуют базис. Следовательно, ф Ф 0.
Поскольку ф лежит в определяемом «ф£ пространстве представления,
то представление Ф* можно легко преобразовать таким образом,
чтобы функция ф соответствовала первой строке этого
преобразованного представления. При этом ф„ будут линейными
комбинациями новых базисных функций. Это означает, что, согласно (3.13),
они могут быть представлены как линейные комбинации функций
Раф. Так как Раф в свою очередь по (8.4) являются линейными
комбинациями г|)х , то окончательно ф£ выражаются линейно
через %.
Таким образом, либо добавление обращения времени не
позволяет сказать ничего нового относительно вырождения, либо
рассматриваемое значение энергии оказывается вдвое больше
вырожденным, чем это следовало из рассмотрения одной
пространственной симметрии.
При учете спина фх и o|)„ всегда ортогональны друг другу.
Действительно, пусть
Тогда
*-("£)
и ортогональность очевидна.
При учете спина собственные значения уравнения Паули по
крайней мере двукратно вырождены (вырождение Крамерса). Это,
конечно, еще не означает, что всегда имеет место «дополнительное
вырождение».
Так как а|)н—функция Блоха с некоторым фиксированным к,
то о|)^ — функция Блоха с вектором —к. Поскольку эти функции
вырождены, то
£k = £-k. (8.5)
Последнее соотношение является следствием обращения времени.
Раньше мы могли его получить только для точечных групп с
инверсией.
§ 3. Критерий дополнительного вырождения,
191
§ 3. Критерий дополнительного вырождения
Сейчас мы рассмотрим критерий, впервые полученный Херрин-
гом [13] и позволяющий узнать по представлению 5D, имеется ли
дополнительное вырождение. При этом следует различать случаи
«со спином» и «без спина». Критерий записан в табл. 60.
Таблица 60
а
б
в
3) ~ ©* ~ ©г
55* = /
55* - - /
Размерности пространств
со спином
п
2л
2п
без спина
2п
2п
п
Фигурирующая в таблице матрица S определяется равенством
®* = S-l®S. (8.6)
В случае а представление © эквивалентно вещественному
представлению $)г, в случае в, наоборот, не существует вещественного
представления, эквивалентного 3D. Сначала покажем, что эти два
случая соответствуют условиям
SS* = I, SS*=-I.
Образуя от (8.6) комплексно сопряженное выражение и
используя в правой части снова соотношение (8.6), получаем
откуда по лемме Шура
SS* = kI.
Далее, из унитарности 5 имеем \Х\ = 1, а из равенства
S*S =* я7 - X*S~lS - X*S~l -1 SS*S = -£ 5*S
получаем, что К = А,*, т. е.
Я=±1, SS*=±L
В случае а должна существовать такая унитарная матрица £/,
которая преобразует 2) в вещественное представление £)г:
tr'sot/-©,.
192 Гл. 8. Симметрия по отношению к обращению времени
Комбинируя это равенство с комплексно сопряженным, получаем
<B*=U*U~l(£)UU~l*.
С учетом (8.6) по лемме Шура имеем
S = XUU*~l (U|2=l),
так что
SS* = U|2(/f/-1*£/*f/~I«/.
Напротив, если
SS* = I,
to
т. е. S — симметричная матрица. Следовательно, она может быть
диагонализована с помощью вещественной матрицы R:
Sd = R~lSR:
Диагональные элементы Sd имеют вид exp(ftpj), где q)j
вещественны. Введем вспомогательную матрицу У$/ с элементами
ехр(72''ф;). Тогда матрица
u~rVs^r~1
преобразует Ф в вещественное представление
{и~1ъи)* = U~l*®*U* -= u~l*s-l®su* = {/"to,
так как в силу
имеет место равенство
Uи~н - R /§;R~lR {Vs^yU R~l = RSdR~l - S.
Теперь мы перейдем к доказательству критерия табл. 60.
Простейшим является случай б. Так как ф^®*, то «фх и о|)^ ортого*
нальны друг другу и, следовательно, имеет место дополнительное
вырождение. Для случаев а к в рассмотрим отдельно задачи «со
спином» и «без спина».
1. Задача «без спина», т. е. К = /Со-
Случай а. Пусть функции \|)х и «ф^ уже преобразованы таким
образом, что являются базисными функциями вещественного
представления 5Dr. Тогда функции
§ 3. Критерий дополнительного вырождения
193
также будут базисными функциями 3)г. Так как в то же время
они инвариантны под действием К (/(2= 1)
то Фх порождают лежащее в г|эх, г|эх и инвариантное
относительно группы GK подпространство размерности п. Но поскольку
пространство фх, а|)х неприводимо относительно GK
(предполагается закономерное вырождение), то оно совпадает с
пространством срх и также имеет размерность п.
Случай в. Пусть г|эх—базисные функции представления ©:
Ра<ф = 5(а)г|)
(здесь г|) — вектор-столбец из г|)х). Тогда
PaSq> = SD (a) S~lSq> = D* (а) So|>,
т. е. ЗЧ|> — базисные функции представления ф*. Если бы г|/
лежали в пространстве «ф, они отличались бы от #ф лишь на
фазовый множитель со, так как оба набора являются базисом одного
и того же представления ©*, т. е. г|/ = ооЗг|). Отсюда с учетом
а|>*=а|/, SS*=-I
вытекало бы
ф* = coSa|) = I со р SS V - - | со |2 <ф*,
что невозможно. Следовательно, г|> и \|/ линейно независимы.
2. Задача «со спином», т. е. К = сгг/Со.
Случай а. Снова будем ечитать, что г|эх и «фх преобразованы
так, что образуют базис вещественного представления Фг. Если
бы обе системы функций порождали одно и то же пространство,,
то мы имели бы
Фх = и4
и с учетом К2 = —1
о|)к = со/С«фх = (й/Ссй/С-фи = - I со |2 г|)х,
что невозможно. Следовательно, г|)х и о|)^ линейно независимы.
Случай в. В этом случае вновь можно построить л-мерное
подпространство, инвариантное относительно Gx. Оно порождается
функциями
(p = a|)-}-S*a|/.
Функции ф являются базисными функциями представления 5D
?а<Р - Р<Л + S*Pay' = D (а) ф + S*D* (а) г|/ = Л (а) [а|> + S Y] = Л (а) ср
7 Зак. 1026
394 Гл. 8. Симметрия по отношению к обращению времени
.и определяют инвариантное относительно К пространство (/С2=—1
SS* = —/)
Следовательно, дополнительного вырождения не будет.
§ 4. Теорема Фробениуса и Шура для пространственных групп
Критерий табл. 60 ничего не дает, если нельзя легко
установить, какой из случаев имеет место. Проще всего установить
случай б; труднее разделить случаи а и в.
Фробениус и Шур доказали теорему, используя которую можно
узнать по характерам исходного представления, какой из случаев
имеет место.
Теорема Фробениуса и Шура. Если $) — некоторое
неприводимое представление группы G порядка g, то
2 Х(а2)-
a^G
g, случаи а,
0, случай б,
~ gj случай е.
Доказательство этой теоремы приведено в приложении 2.
Распишем фигурирующую в теореме сумму для случая
пространственных групп. Если ©— неприводимое представление
пространственной группы, записанное в стандартной форме, то [см.
(2.25)]
2 %(а2)= S 2 2 SpD^ayWa^.
a&G аеО0 R /(а'ку-ку+К) KV ' "
Разделим суммирование по о и /
2 2 -2! 2
o60fl /(a2ky=ky + K) /-I o(oeG0, a2ky=»ky+K)
Введем далее b = aylaay Тогда вместо суммы по а имеем
так что
В силу
имеем
2 ,
р(реО0, »2еО0к)
2хИ=22 2 sP£>k(n.
«SO /-1 R О (Э е Go. f е О0к)
ft8-{P|v, + RP = {p*|pv, + v, + PR + R}
Dk (62) = e-«k(i>R+R)jDk (Р21 pV|) + Vp)>
§ 4, Теорема Фробениуса и Шура для пространственных групп 195
Откуда с учетом
2e-^(PR+R) = 2e-l(P~,k+k)« = Q326pk+k к (8.7)
R R К
получаем
2 %(a2) = sG* 2 26pk+k,KSpDk({P2|pvp + vp}).
a^G P(peG0. P2^G0k) К
Символ Кронекера 6/3k+k. к ограничивает суммирование только
такими р, для которых рк = —к + К. Для элементов р, очевидно,
выполняется равенство р2 е G0k> так что окончательно получаем:
ae=G ре AfQk
где Мок — совокупность всех элементов точечной группы, для
которых рк = —к + К. (Вместо элемента {Р| v^} можно писать любой
элемент Ь — {р|vp + R}, так как дополнительный множитель
£-ilc(pR+R) = e-i (p~!k+lc) R
в силу условия рк = —к + К равен единице.)
Таким образом, критерий для пространственных групп примет
вид
f g/s случай а,
2 SpDk(62) = j 0 случай б, (8.8)
реЛ*ок | — g/s случай в.
В последнем равенстве уИок — совокупность элементов р е G0
с рк = —к + К, а Ь — какой-нибудь элемент пространственной
группы с вращательной частью, равной р1).
Критерий (8.8) применим и к двойным группам, причем в силу
равенства
SpDk((ft+)2) = SpDk((6-)2),
суммирование достаточно вести лишь по элементам с Р+.
__ Сначала проанализируем совокупность М0^. Обозначая
к = —к + К, в зависимости от соотношения между кик будем
различать три случая [11].
Случай 1: к = к. Такое, соотношение может иметь место лишь
при 2к = К, т. е., например, для к = 0.
Случай 2: к Ф к, звезда к = звезде к.
) Не обязательно 6е(?к.
196 Гл. 8. Симметрия по отношению к обращению времени
Случай 3: кфк, звезда к Ф звезде к (i ф G0).
Для этих трех случаев соответственно имеем
{aGok, случаи 1 и 3,
пусто, случаи 2,
где ак = —к + К. _
В случае 1 всегда__можно принять a = г; в случае 2, если i^G0,
то можно положить a = i.
Рассмотрим, как связаны друг с другом представления,
соответствующие вырожденным за счет обращения времени
пространствам.
Пусть i|>k,v (к' ^звезде к)—базисные функции стандартного
представления 3). Тогда вырожденные с ними функции /Ca|)k,v
являются базисными функциями представления 2)* и 35* —
стандартное представление звезды к.
Проанализируем перечисленные выше три случая отдельно.
Случай 1: к = к. Если имеется дополнительное вырождение
(по Херрингу, случаи бив без спина и случаи а и б со спином),
то Фк Ф £>к и каждый луч звезды двукратно вырожден
(дополнительное вырождение).
Случай 2: кФк, звезда к = звезде к. Если не имеется
дополнительного вырождения (по Херрингу, случай а без спина и
случай в со спином), то 5D и 5D* заданы в одном и том же
пространстве представления.
Если же дополнительное вырождение имеется, то
соответствующие представлениям 35 и Ф* пространства различны. Так как
звезды представлений 35 и Ф* совпадают, то 5D* может быть
получено 1) из того же самого луча кис помощью тех же самых
представителей аи что и S). При этом сначала 3)* получают,
исходя из к. Затем с помощью перестановок блоков в $)*, что
соответствует преобразованию подобия, получается представление
35', которое уже можно построить, исходя из луча к. Функции,
соответствующие лучу к, являются базисными функциями
представления 55k.
Чтобы получить представления 35k луча к, воспользуемся
формулой (5Л4). Если a = {a|v} — некоторый представитель класса
луча к (ак = —к + К) и tpkv — базисные функции представления
35k, то Р- \|)kv будут базисными функциями представления 3)£
х) Это значит, что блок (11) образует допустимое неприводимое
представление Gk.
$ 4. Теорема ФробениусаиШура для пространственных групп Ш
и имеет места равенство
D'k (а) = D'k (aad-1) (а е Gr = Gk)>
Поскольку Gk = Gk, to 3)£ — представление группы Gk.
В нашем случае ©£ = 5©^ так что для представления 3)^ из
которого получается $)*, имеем
дк (*) - Dk С***-"1) (а е Gk> (8.9)
Хотя два стандартных представления, принадлежащих выро*
жденным друг с другом собственным пространствам, суть
просто 3) и 2)*, «малые» представления 2>к и 35к, из которых они
были получены, связаны, как это видно из (8.9), довольно слож*
ным образом.
В некоторых частных случаях соотношения (8.9) упрощаются
и 5Dk и £)£ находятся по таблицам характеров.
Если, например, а выбрано так, что аа = аа для всех
а е Gk, то
ааат1 « {а | v — av + аа} = {г | v — av + аа — а}{а | а}
й _ •
D'k (а) = D*k {{г | v - av + аа - а}) D*k (a),
или
Если далее {i|0} е G, то можно положить а = {i|0} и получить
Xt(a)-e-»'^(a).
Эта формула была получена Эллиоттом [8].
Случай 3: кФк, звезда к =£ звезде к. В этом случае представ*
ления J) и S* принадлежат различным звездам, неэквивалентны
и, следовательно, имеет место по Херрингу случай б.
Дополнительное вырождение состоит в перекрытии зон.
Полученные результаты суммированы в табл. 61. В этой таб*
лице слева стоит представление луча к, справа —представление
луча к. «Малые» представления, соответствующие одному и тому
же стандартному представлению, соединены горизонтальной
чертой.
В заключение рассмотрим точки общего типа. Если i е Go, то
для точек общего типа всегда имеет место случай 2, Afok = ОЬ и
из (8.8) имеем случай а для задач без спина и случай б для
задач со спином. Дополнительного вырождения нет.
Если i qk Go, то для точек общего типа могут иметь место все
три возможности. Например, случай 1 реализуется в триклинной
решетке (все точки общего типа!), при к = О* Из (8.8) вытекает,
"iSS /*л. 8. Симметрия По oiHOUiekutd к обращению вреМёНи
а
б
в
Без спина
1
Ч
"%
Ъ
н
-
-
2
%
$к~
®к~
5
-
-
-
**1
к\
3
Невозможен
*>к
KJ
Р
[ево
зможен
Таблица
5/
Со спином
1
®к
^7
%
-1
—
И
2
®к
-
*>к|
1ЧТ1
%
3
Невозможен
*>к
л» 1 1
Невозможен
что случай 2 (а) может реализоваться также только для
некоторых к, например для точек общего типа плоскости ГЛ2 в
структуре цинковой обманки. Согласно (8.8), будем иметь случай а
без спина и случай в со спином; дополнительного вырождения нет.
Наиболее часто реализуется случай 3 (дополнительное
перекрытие зон).
§ 5. Пример. Структура цинковой обманки
Применим критерий (8.8) к двойным группам структуры
цинковой обманки, характеры дополнительных представлений которых
даны в табл. 51—57. При этом суммирование достаточно вести по
характерам х((^+)2)- Рассмотрим один из симметричных
комплексов.
Для точки Г имеем
Очевидно,
Afok — Go — Т.а.
(е+)2 = е+, (Р+)2 = е-, (*+)*-е-
§ 5. Пример. Структура цинковой обманки
199
Так как вместе сао к MQk принадлежит и сг| и так как
(а4+)2 = 62+, ((а4+)3)2 = 62-,
то элемент ст/ не дает вклада в сумму.
Далее, согласно табл. 49, элементы бз" и (&Г)2, так же как и
элементы (бз~)2 и бз\ образуют отдельные классы. Поскольку
(бз~)2 и ((б^)2)2 лежат в классе С~, каждый из элементов
добавляет к сумме характер С". Вычисление сумм проделано в табл. 62.
Таблица 62
а+
(а+)2
гб
г7
г8
8+
8+
2
2
4
6а+
-
6р+
б£"
-2
-2
-4
863+
863"
-1
-1
1
36+
3£~
-2
-2
-4
2
-24
-24
-24
Таблица 63
.Симметричный
комплекс
Г
X
1 W
1 д
2, к
г, s
L
Л
ГЛЛ, Г2Л, KL
Представление
Гб» г7, г8
#6. ^7
r5, r6, w7, г8
А5
s+, s_
^+, Z-
^4, L5
Л4, л5, лб
+, -
Случай
в
в
в
в
б
в
б
в
б
б
1
1
2
2
2
2
1
з
3
Дополнительного вырождения нет
То же
Имеется двукратное
вырождение в каждой точке
Дополнительного вырождения нет
Имеется двукратное
вырождение в каждой точке
То же
Имеется двукратное
вырождение в каждой точке
Дополнительного вырождения нет
Перекрытие полос; простое
вырождение в каждой точке
То же
7*
200 Гл. 5. Симметрия по отношению к обращению времени
Для всех представлений реализуется случай в, следовательно,
дополнительного вырождения нет.
Аналогично можно рассмотреть и остальные симметричные
комплексы. Результаты этого рассмотрения приведены в табл.,63.
Из таблицы видно, что могут иметь место различные возможности.
Если звезда к =£звезде к1), то должно иметь место вырождение
энергетических зон, связанное с равенством £к = £-к [см. (8.5)].
Звезды кик должны соответствовать одной и той же энергии. При
этом представления 3)к лучей звезды неэквивалентны (случай б:
L4~L5, ГЛД+^ГЛД-).
Если же звезда к = звезде к, то или вообще нет
дополнительного вырождения (случай в: Г, X, Le, А), или вырождены два
представления ©к и ©к (La + £5). Это значит, что обращение
времени приводит к совпадению двух зон в данной точке к.
При учете спин-орбитального взаимодействия состояние Гв при
изменении вектора к вдоль прямой 2 расщепится на четыре
состояния: два 2+ и два 2-. Обращение времени приводит к
вырождению состояний 2+ и 2-, так что Гв фактически расщепится
только на две двукратно вырожденные зоны.
1) Это может быть, только если i ф. Go, как, например, в структуре цинковой
обманки. Частично по этой причине мы и выбрали данный пример.
Глава 9
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
§ 1. Борновская теория решеток
Кристаллическая симметрия не только может быть
использована для описания и классификации электронных состояний в
кристалле, но также позволяет классифицировать и колебания
решетки1). Чтобы ввести необходимые обозначения, мы коротко
остановимся на том, как описываются колебания решетки.
Рассмотрим кристалл, частицы которого находятся в
положениях равновесия
R + т, (s-1, ..., 5).
Здесь R пробегает по G3 узлам основной области, a ts задают
базис в элементарной ячейке. Будем считать, что частицы
кристалла могут совершать только колебания вблизи положений
равновесия. При этом частица, находящаяся в точке R+ts, смещается
на вектор и* с компонентами и*у. Потенциальная энергия
кристалла со смещенными частицами будет зависеть от их новых
координат
у (* + '.+«о-
В дальнейшем мы будем рассматривать только колебания
С малыми смещениями, так что потенциальную энергию можно
разложить в ряд по и*. Нормируем потенциальную энергию так,
чтобы член нулевого порядка по и^ обращался в нуль, т. е.
положим V(R + ts) = 0. Так как вместе с тем R + ts есть положение
равновесия, то обратится в нуль и член первого порядка. Если
наконец, пренебречь членами выше второго порядка, то для
потенциальной энергии будем нмет{> (так называемое гармоническое
приближение)
2 *t *Tt, ди%,ди£г
Rjs R'/'s' «/ R'
tlhuh'-
Введем динамическую матрицу
nss' 1 d*V
YMSMS, dusRidu%r
U^O
u=0
l) Понятие «решетка» употребляется, здесь в смысле «кристалл», а не как
совокупность допустимых трансляций R.
202
Гл. 9. Колебания решетки
(Ms — масса 5-й частицы) и приведенные смещения
Iw-V^^r (9.1)
Тогда канонически сопряженный с координатой |*у импульс
запишется следующим образом:
и функция Гамильтона атомов кристалла будет иметь вид
R/s R/s R7V
Наконец, с помощью некоторого канонического
преобразования U введем вместо | новые переменные q (так называемые
нормальные координаты)
1-Щ (9-3)
так, чтобы это преобразование приводило динамическую матрицу
к диагональному виду
Так как динамическая матрица вещественна, симметрична и
положительно определена1), то диагональные элементы матрицы Df
(т. е. собственные значения матрицы D) положительны, и их
можно обозначить через со2.
Мы проведем преобразование U явно в два этапа. Используем
очевидное свойство динамической матрицы
d(r+r0)/(r4r;)/=d^' <9-4)
(выполняющееся для всех векторов решетки R0) и произведем
сначала преобразование Фурье, положив
1_
1/Q5"
При этом вектор w принимает столько же значений, что и R, т. е*
пробегает G3 значений в зоне Бриллюэна (гл. 2, § 2), так что
И'—квадратная матрица.
В результате такого преобразования Фурье динамическая
матрица D приводится к ь|зазидиагональному виду С с 35-мерными
блоками по диагонали
Cw/w'/' = 6WW'C//' (w).
ll Положительная определенность матрицы D вытекает из условия устой-
чиэоСти кристалла.
# R/w/' = -Г7== бу/Ав*'"*.
§ 1. Борное екая теория решеток
203
Диагональные блоки матрицы C(w) состоят из матричных
элементов вида
C^(w) = 2.-LwROrW. (9.5)
R
Матрица C(w) приводится к диагональному виду с помощью
так называемой матрицы поляризаций e(w):
е (w)"1 С (w) е (w) = со2 (w), (9.6)
где ©2(w) —диагональная матрица с положительными
собственными значениями ©^ (^ = 1> • ••> 3S) на диагонали. Столбцы ew,
матрицы e(w) являются собственными векторами C(w). Вектор
ew/ называют вектором поляризации, соответствующим частоте cow*
Чтобы найти канонически сопряженные нормальным
координатам qwt импульсы pwt, выразим кинетическую энергию через qwt
[см. (9.2)]
Т = \ Р+Р = -I ГI = - ?f uf U? = Т ***•
откуда
Таким образом, функция Гамильтона в нормальных координатах
запишется в виде
Переход к квантовомеханическому описанию можно осуществить,
если считать канонически сопряженные переменные операторами
и потребовать выполнения обычных перестановочных соотношений
Тогда, вводя операторы рождения и уничтожения (&*, и bwt)
brt-Viarfawt + T^ll})' (9.7)
Для оператора Гамильтона будем иметь
Я = 2^((б^ + у). (9.8)
Следовательно, оператор Гамильтона для колебаний решетки
(в гармоническом приближении) равен оператору Гамильтона
системы 3G3S невзаимодействующих гармонических осцилляторов
с частотами ©w/. Поэтому состояния кристалла полностью опре?
Деляются заданием чисел заполнения этих осцилляторов. Числа
204 tju 9. Колебаний решётка
заполнения указывают, сколько квантов энергии fia>w, приходится
на осциллятор (w/). Такие кванты называют звуковыми квантамщ
или фононами.
Как и энергии электронов £kv> частоты колебаний a>w, при
фиксированном / образуют полосу частот (гиперповерхность над
зоной Бриллюэна). Возникающие таким образом 3S полос назы*
вают ветвями колебаний. Для трех из них cow, = 0 при w = 0.
Эти ветви при w = 0 вырождены; они называются акустическими
ветвями. Остальные 35 — 3 ветвей называются оптическими. Кри*
сталлы без базиса (S = 1) имеют только акустические ветви
колебаний.
Если проделать преобразования (9.7), (9.3) и (9.1) в обратном
йорядке, то для смещений частиц в точке R + ts получим
"*/ * yW S ]/ 2Ai\ ^'WR М' bwt + К0МПЛ' С0ПР^ (9*9)
Из формулы (9.9) видно, что в смещение usRf дают вклад все
колебания решетки (w/). Если возбуждено одно колебание (w/),
то сумма содержит только одно слагаемое. Тогда направление
вектора и* определяется тремя компонентами (ew*)/ (s
фиксировано, /= 1, 2, 3) 35-мерного вектора поляризации. Следовательно,
ЗЯ-мерный вектор поляризации распадается на S трехмерных век*
торов поляризации.
§ 2. Симметрия динамической матрицы
Потенциальная энергия кристалла зависит от G3S векторных
аргументов R + t^ + u* (координат всех G3S атомов кристалла)
Если кристалл вращать и перемещать как целое* то его
потенциальная энергия не изменится. Преобразования такого рода
сводятся к действию на все аргументы функции V одного и того же
йреобразования а = {а|а}, где а — произвольный элемент
вещественной аффинной группы (гл. 2, § 1, п. 2). Если а — элемент
пространственной группы, то a(R + ts)— снова некоторое
положение равновесия какой-либо частицы кристалла и может быть
записано в виде1)
a(R + *s) = aR + at5 = aR + R(5, a) + t5o(5,a). (9.10)
Функция So(s, а) зависит только от точечного преобразования
элемента а и описывает зависящее от а новое расположение век-
l) а — нелинейный оператор*
§ 2. Симметрия динамической матрицы 205
торов ts. Поэтому существует и обратная функция Sq1(s, а).
Допустимая трансляция R(s, а) зависит и от 5 и от а. С учетом
(9.10) имеем
K(R + Ts + u^) = l/(aR + R(5, а) + х^§щ) + шЦ).
Таким образом, потенциальная энергия не зависит от того, имеет
ли атом координату R + ts и смещение и* или координату
a(R + ts) и смещение au*. Так как атомы с положениями
равновесия R + Ts и a(R + ts) одинаковы, то атом, находившийся
раньше в точке a(R + ts), можно сместить вместо au^ на
величину u^R+ius ay Тогда для вторых производных будем иметь
(а €= G)
д*у уч dW
auRiouKi> u, auaR+R{St a) t cwttR4R(s,f a) v
или так как
то
2л «i/^R/RT ~ ^J ^«R+R%?a) *«R'+R(«'. a) i'0,i>j'. (9.11)
Теперь исследуем, как отражается симметрия (9.11) на
свойствах матрицы C(w) [см. (9.5)]. Если в (9.11) положит^ R'= Q?
то из (9.5) получим
/ *' R
Воспользуемся (9.4) и вместо R введем новую переменную
суммирования
aR + R(s, a)-R(s', а).
Тогда получим
a//C //' (w) = 2a Zi в Умы' a*'/'.
/ V R
Снова учитывая (9.5), будем иметь
2a*/e-''(aw' R(s' a))C?y<(w) - SCfi^"a)*o(s'' aW)a/re4K R(s'* a)).
Последнее равенство справедливо для всех s, и в частности для
Sol{st а). Введем искусственно суммирование по s" и
воспользуемся равенствами
sn(s7l (s, a) a) = s, 6 // -1, , = 6cc ,c„ „,.
206
Гл. 9. Колебаний, решетки
Тогда
2rt * — * («w, R (s", a) WV / ч
/. s"
С ^ г (aw) ai'j>os»SU &, а)в
i\ s"
Из последнего соотношения видно, что С (aw) и C(w) связаны
преобразованием подобия 2) (a, w)
© (a, w) С (w) = С (aw) © (a, w) (а е= G), (9.12)
где
S>?f(af w) = at76SSo(^ a)<T'*(aw' R(s' a)). (9.13)
В силу (9.12) матрицы C(w) и С (aw) имеют одинаковые
собственные значения, так что
gew = g>w для всех as Go. (9.14)
Следовательно, частоты колебаний как функции w имеют в зоне
Бриллюэна ту же симметрию, что и электронные энергетические
полосы.
Ввиду вещественности динамической матрицы по (9.5) имеем
C(w) = C*(-w).
Откуда
(D_w = tDw, (9.15)
что является полным аналогом следствия, вытекающего для
электронных энергетических спектров из симметрии по отношению к
обращению времени.
Если теперь рассмотреть преобразования а е Gw, то
aw = w + К
и C(w) перестановочна со всеми
S)ff (a, w) = at76SSo(^ a)<r/wR(s'' a\ - (9.16)
Матрицы (aij) образуют трехмерное представление точечной
группы, по которому преобразуются векторы. Например, для
точечной группы Oh это будет представление Г15 (табл. 11).
Покажем, что матрицы 5D (a, w) тоже образуют некоторое
унитарное представление группы Gw. Унитарность проверяется
непосредственно (даже для a^Gw):
2 ©?/' (я, w) )D*7'S (a, w) = 2 a*/'a//'6ss0(s"f a)6S'S(>(s", a) = 6,76^.
sTf s"i'
Для a, JgGw справедливо и основное свойство представлений
2 5)?f(a, w)3DJT(6, w) = S а^Д-с. в)6^, ,)*-'"(R(S"' fl)+R(s- »»
§ 3. Трансформационные свойства векторов поляризации 207
Действительно, так как ogGw, то вместо R(s\b) в экспоненте
можно написать aR(s', &). Тогда в полученной сумме можно
воспользоваться равенствами
R(s", a) + aR(s', b) = R(s0(s', Р), a) + aR(s', u) = R(s', ab),
поскольку из (9.10) следует
a&t^ = aTSo(^fP) + aR(5/, 6) = TSe(so(s,t p)t a) + R(s0(s', Р), a) + aR(s', b).
Однако так как
50(50(5', Р), а) = 5о(5', ар),
то основное свойство представлений доказано.
Если матрицы 2) (a, w) разбить на блоки так, чтобы эти блоки
нумеровались индексом 5, то 2) (a, w) будут укрупненными
матрицами перестановок. В каждом 5-м из укрупненных рядов (строк и
столбцов) отличен от нуля только один блок. Сами блоки
трехмерны и состоят с точностью до фазового множителя из
матриц (ац).
§ 3. Трансформационные свойства векторов поляризации
Из инвариантности матрицы C(w) с помощью рассмотрения,
аналогичного гл. 4, § 2, можно получить трансформационные
свойства векторов поляризации.
Согласно (9.6), уравнение для определения собственных
значений матрицы C(w) записывается в виде
С (w) е (w) = е (w) ш2 (w). (9.17)
35-мерные векторы поляризации выражаются через столбцы ew*
матрицы e(w). Так как C(w) перестановочна со всеми 2) (a, w)
(ae=Gw),To
С (w) 2) (a, w) e (w) = 2) (a, w) e (w) ©2 (w) (a e= Gw).
Следовательно, столбцы матриц 2)(a, w)e(w) (aeGw) являются
собственными векторами, принадлежащими тому же собственному
значению, что и столбцы матрицы e(w). Тогда столбцы матрицы
2) (a, w)e(w), соответствующие некоторой фиксированной
собственной частоте, будут линейной комбинацией столбцов матрицы
e(w), соответствующих той же частоте:
2) (a, w) е (w) = е (w) D (a, w) (а е= Gw). (9.18)
Если собственное пространство неприводимо относительно
умножения на 2) (a, w) (закономерное вырождение частот колебаний),
то матрицы D (a, w) являются полностью приведенной формой
матриц 2) (a, w) и приведение осуществляется с помощью матрицы
поляризацией e(w). Если же имеется случайное вырождение, то
208
Гл. 9. Колебания решетки
приведение будет неполным. Векторы поляризации под действием
матриц S) (a, w) преобразуются по неприводимым частям
представлений, получаемых из 5D(a, w). Как и в электронных спектрах,
здесь можно установить соотношения совместности.
Хотя каждая матрица поляризаций e(w) (определяемая из
решения спектральной задачи еще не однозначно) осуществляет
приведение матриц представления 5D(a, w), не всякая
осуществляющая приведение матрица будет матрицей возможных поляризаций.
Однако в полную совокупность таких матриц входят также и все
матрицы поляризаций. Поэтому по общему виду приводящих
матриц в случае удачи можно, исходя только из симметрии, указать
форму матрицы поляризаций.
В качестве примера рассмотрим колебания решетки в
кристаллах со структурой алмаза. м
§ 4. Пример. Структура алмаза
Выберем начало координат в узле (ti = 0, Т2 = т). Матрицы
5) (a, w) шестимерны и могут быть разбиты на четыре трехмерных
блока. Согласно табл. 44, имеем *)
и в силу (2.9)
/w(at-.t) = *(«w-w)« e { v *' (9Л9)
где aw = w + Ka. Следовательно, в матрицах 5D(a, w)
- R ($', a)« тад(в/§ a) - ат3, — а
Й
*>(a. *)-<-"*(;; °J («еЦ
/0 e-'(w«r)a\
S)(a,w) = e-^^i(wi)a 0 J {афТа).
Здесь
a = {a|a}, A.-e'*"*
и матрицы а образуют представление Tie группы Он.
Характеры представления с матрицами £>(a, w) равны
fe-'-»(l+X.)Spo (as Г,),
5С(«, w) = Jn ,„^тч (9-20)
0 (a* Г,).
]) Это значит, что для s0(l, «) — 2, s0(2, a) — 1 для а^Г^.
§ 4. Пример» Структура алмаза
209
Это представление легко привести, что позволяет судить о
кратности закономерного вырождения шести ветвей колебаний для
всех точек w зоны Бриллюэна. Если w лежит в общем
направлении, то все шесть ветвей различны, если, конечно, нет случайного
вырождения.
Применим теперь проведенное выше рассмотрение свойств
векторов поляризаций к какой-нибудь фиксированной точке зоны
Бриллюэна.
Для простоты предварительно преобразуем 35 (a, w) с помощью
матрицы
в
e(wM*f™e^)-(J 1Мш1)
5) (a, w) = 8~1(w)S)(a, w)e(w).
Матрица £/, приводящая 3), выражается_через матрицу £/э
приводящую Ф, с помощью соотношения U = еО.
Матрицы 5D(a, w) с учетом (9.19) имеют вид
®(e.w)-e-*™(j °J) («вгд
_• /0 Я*а\
Так как для w, лежащих внутри зоны Бриллюэна, %а «= 1, то
матрицы Ф(а, w) привести легко.
1. Точка Г, wr = (0, 0, 0). Матрицы
/а 0\
(о а) №*
©(a, w) = {
0 а\
образуют приводимое представление группы Ол, которое
распадается на Г15 и F25.
Чтобы получить сведения о векторах, поляризации, найдем
общий вид матрицы, осуществляющей приведение Ф (a, w). Матрица
Uo = 4=(r . ,) (9-21)
210
Гл. 0. Колебания решетки
есть некоторая приводящая матрица частного вида:
а 0У
Uol®{a, w)£/0 =
0 а
0 -а) <в*™
Для нахождения общего вида приводящей матрицы умножим £/0
на матрицу
преобразующую оба представления Г45 и Г-25 (каждое само по
себе) в эквивалентные
«I о\т ил /и, и2\/Р! о\
0 а2Ди3 uj VU3 и4Д0 pj'
Здесь ai и Pi — представления, эквивалентные Г15, а a2 и р2—
представления, эквивалентные Ггб. После умножения имеем
aiU2=U2P2,
a2U3=U3Pi.
Так как представления а4 и р2 неэквивалентны и неприводимы, то
по лемме Шура U2 = 0. Аналогично и U3 = 0. Следовательно,
общая приводящая матрица запишется в виде
/U, 0 \ 1 /U, U4\
"-"•(о u.rwU -и!)1 <9-22)
где Ui и U4 — произвольные унитарные трехмерные матрицы. Так
как е(0) — /, то U = U.
Матрица поляризаций при w = 0 с необходимостью должна
иметь вид (9.22). Три ее первых столбца будут векторами
поляризации, преобразующимися по Т\ь. Можно показать, что
соответствующие собственные частоты ю = 0. Следовательно, речь идет о
трех вырожденных при w = 0 акустических ветвях спектра
колебаний. Три другие оптические ветви также вырождены при w = 0.
Согласно замечанию в конце § 1, три первые компоненты
вектора поляризации определяют направление смещения частицы,
расположенной в точке ti, три другие — смещение частицы с т2. Так
как при w = 0 множитель перед векторами поляризации не
зависит от R [см. (9.9)], то обе подрешетки (подрешетка из узлов типа
„jj и подрешетка из узлов типа т2) как целое колеблются относи-
§ 4» Пример. Структура алмаза
211
тельно друг друга. Для акустических колебаний векторы
поляризации ti и хг равны (ei =» ег), так как им соответствует
ил
и подрешетки колеблются точно параллельно. Для оптических
колебаний ei = —ег, так как им соответствует
-и4,
и подрешетки колеблются антипараллельно.
Мы будем называть колебания чисто акустическими, если
d = ег, и чисто оптическими, если ei = —е2. В общем случае
равенства е4 = ±е2 выполняются только приближенно. Тогда говорят
о смешивании колебаний разных типов1). При w = 0 как
акустические, так и оптические колебания «чистые». Для w ф 0, наоборот,
в общем случае имеет место смешивание колебаний.
2. Точка Д, wA = (w, 0,0). Если взять матрицы из табл. 11,
то представление {%л ~ 1 для внутренних точек зоны Бриллюэна)
£>(а, w) =
р~
еш
1
■twa
\
i
- twa 1
'а
.0
(0
<«■
0
а
а
0
ИЦ
{*фТа)
снова приводится с помощью матрицы U0 [см. (9.21)]. Оно распа-
дается на
Матрица общего типа, преобразующая неприводимые
составляющие части в эквивалентные (каждую часть саму по себе), имеет
вид
и„
0
0
0
0
и22
0
и42
0
0
изз
0
0
и24
0
U44
(Uii и и3з одномерные, U22 и U44 двумерные). При этом снова
была использована лемма Шура. Отсюда приводящая матрица
1) Здесь мы, конечно, по-прежнему придерживаемся данного ранее
определения акустических и оптических ветвей колебаний. В этом смысле и может
оказаться, что, например, оптические колебания не являются «чисто
оптическими», а имеют еще и «акустическую примесь».
212
Гл. 9. Колебания решетки
и„
0
*Un
0
Ai
0
и22+и42
0
^(U22-U42)
As .
U33
0
-UJ33
0
д;
0
U44+U24
0
^(-U44 + U24)
As
общего вида Ф имеет следующую структуру:
и =
где %х = ехр (пу, т), arg Лт"< я/2.
Колебания, соответствующие представлениям Ai и Д5, в силу
соотношений совместности являются акустическими (со~*0 при
w~►О), а представлениям Д£ и А5 соответствуют оптические
колебания. Трехмерные векторы поляризации, относящиеся к
представлениям Д4 и A£, имеют вид (U, 0, 0) и параллельны или антипа-
раллельны w. Они описывают продольные колебания. Колебания,
соответствующие представлению As, называют поперечными; они
двукратно вырождены (представление As двумерно). Таким
образом, используя только симметрию, мы получили результаты,
приведенные в табл. 64.
Таблица 64
Поляризация
/-1
/-2, 3
Акустическая ветвь
Продольные ко*
лебания Aj
Поперечные
вырожденные
колебания А5
Оптическая ветвь
Продольные
колебания А2
Поперечные
вырожденные
колебания As
3. Точка 2, w2==(oy/vT) (1,1,0). Аналогично тому, как это
делалось для точек Д, получается общая матрица £/, приводящая
представление 5D:
{/■
Г и„
и„
-*и«
X,Un
kUn
L AtUei
?!
-и?2
и22
0
— Xf\J22
Я,1122
0
h
-- U43
-U43
U33
A*U43
A*U43
^U33
Ъ
-и44
-"U44
Us*
XtU44
XtXJu
XxUm
3?
U55
-Uss
0
— A,»U55
AtUk
0
■ ??
u16l
uI6
-U*
*rU,6
X»Uie
^Ueie J
§1
(9.23)
§ 5. Трансформационные свойства операторов рождения фононов 213
Представление 24 описывает поперечные акустические колебания,
а 2г—поперечные оптические. Продольных колебаний нет (за
исключением случая, когда Uei = 0 или U34 = 0) 1). Первые три ветви
колебаний (2Ь 24, 2з) акустические, три другие (23, 2г, Si)-—
оптические. Все эетви не вырождены.
§ 5f Трансформационные свойства
операторов рождения фононов
При рассмотрении правил отбора для процессов с участием
фононов мы будем использовать трансформационные свойства
волновых функций, описывающих состояния решетки. В силу (9.8)
каждая такая волновая функция
может быть записана в виде
Ч^ШСГ^о, 0.24)
где Ч'о — состояние вакуума, a W
соответствует состоянию, в котором
возбуждены nwt фононов (w/)t
Прежде чем исследовать
трансформационные свойства функции Ф,
нам необходимо знать трансформа- фиг 1а К ге0метрическомУ опре-
ционные свойства операторов рож- делению
Радения bltt.
Сначала введем операторы Р«2), действующие на btr Для
этого рассмотрим смещения и*. Они задают некоторое векторное
поле, известное лишь вблизи узлов R + ts. Если ввести векторное
поле и(г) и подействовать на него оператором а== {а|а}, то полу*
чится некоторое новое векторное поле и'(г') (фиг. 18)
г' = аг, и' (г') = ац (г).
Если компоненты и рассматривать как элементы гильбертова
пространства, то можно ввести операторы Ра, осуществляющие
описанное выше преобразование:
Pa JU (Г) Ра = U' (Г) *= <Ш (йЛ) (а € О).
Эти операторы образуют группу, изоморфную О, что легко
показать, проверив основное групповое свойство: Раь = РаРъ.
Действительно,
PblPalU (Г) PaPb = Pb^VL (flT'r) Pb = <* (Pu {Ь^оГ^т)) - PabU (f) РаЬ.
1) При малых | w | матрицы U6i и U34 стремятся к нулю.
2) Мы воспользовались для этих операторов прежним обозначением. Однако
Зтоне означает, что они совпадают,
214
Гл. 9. Колебания решетки
В нашем случае (r->R + ts), используя (9.10) и заменяя а наст1,
имеем
С учетом (9.9) последнее равенство можно записать в виде
2 <Dw/VWR(ew*)/ PabyrtPZ1 + КОМПЛ. СОПр. =
- 2 «ыУ w(aR+R (s'a) 2 on (ew,)roU m)bwi + компл. conp. (9.-25)
Тем самым мы фактически и получили трансформационные
свойства операторов b$,t- Заметим, что при унитарных
преобразованиях Ра операторы уничтожения преобразуются сами по себе, а
операторы рождения — сами по себе. Поэтому в (9.25) можно
опустить член «+ компл. сопр.» и получить трансформационные
свойства операторов уничтожения. Для операторов рождения они
получаются путем нахождения эрмитово-сопряженного выражения.
Если умножить (9.25) на ехр(—nv'R) и просуммировать по R,
то в силу
2e^w»aRbiWR==2^(a""lw-w,b = G32s / -1 ^
R R К W'° W+K
в правой части (9.25) будем иметь (w-*w)
2©w?(ew*)/ PabwtPal = 2gw* 2 б* aw' s' a ay/65'So(s,a)(eaw/)/' 6«w/.
i t /V
Вводя ЗБ-мерный столбец &(w) и используя (9.13) и (9.14), в
матричной форме получаем
е (w) gT'/2 (w) РаЬ (w) Pa ' - ®+ (a, w) ^ (aw) со"1/з (w) 6 (aw),
или
РаЬ (w) Pa' = <o1/2 (w) (5D (a, w) e (w))+ г (aw) оТ72 (w) b (aw). (9.26)
Для a£Gw имеем
e(aw) = e(w).
Используя (9.18) и тот факт, что ©1/2(w) перестановочна с
квазидиагональной матрицей D+ (a, w), получаем
Рай (w) Р«' = Df (a, w) b (w) (a e Gw).
Отсюда для операторов рождения будем иметь
Pabf (w) Pa l = bf (w) D (a, w) (a s Gw). (9.27)
Таким образом, под действием преобразований Ра группы
вектора w 3S операторов btt (w фиксировано) преобразуются друг
§ 5. Трансформационные свойства операторов рождения фононов 215
в ДРУга п0 приведенному представлению D(a, w), т. е. все
операторы bwt луча w звезды, относящиеся к одной частоте o)w/,
преобразуются друг через друга.
Если же aeG, то, согласно (9.26), друг в друга преобразуются
и операторы различных лучей. Умножая уравнение (9.17) на
5£)(a, w) и используя (9.12), получаем
С (aw) 2) (a, w) е (w) = © (a, w) e (w) ©2 (w). (9.28)
Следовательно, D(a, w)e(w)—матрица собственных векторов
луча aw. Матрица ef (aw)D(a, w)e(w) имеет ту же самую
квазидиагональную форму, что и (o(w), и перестановочна с <o(w), так что
из (9.26) вытекает
РаЬ (w) РГ1 = е+ (w) 5Df (a, w) б (aw) b (aw) (9.29)
и для операторов рождения имеем
Pabf (w) PaX = bf (aw) e+ (aw) S> (a, w) б (w). (9.30)
Так как матрица собственных векторов e(w) из уравнения (9.17)
определяется не однозначно, то матрицы e(w), относящиеся к
отдельным звездам, можно определить так, чтобы
e(a£Wl) = &(a,f wf)e(w,), (9.31)
где ai — представители левостороннего разложения G по Gw-Этим
одновременно задаются нормальные координаты qm,
соответствующие операторам bm и btt.
Теперь покажем, что соотношение (9.30) определяет некоторое
(в общем случае приводимое) представление пространственной
группы, имеющее стандартную форму
PabLtP;l=2iDi}(a)biir. (9.32)
' ir rt l
Отличны от нуля лишь те блоки £<;(£), для которых
aw/ = w( + К.
Так как, кроме того, в силу (9.31)
Dix (ад = ш-,/2 (w,) е+ (a/Wl) 2) (ah wj) е (w^ ш'/2 (w,) e /f
то, согласно (1.34) и (9.27), отличны от нуля блоки v
Dif (а) *= Dn (a^aaj)« D {ajxaav w,). (9.33)
Каждый из этих 35-мерных блоков имеет уже приведенную форму.
Операторы bttt (i = 1, ..., s; 5 —порядок звезды; / = 1, ..., 3S)
образуют совокупность операторов, преобразующуюся согласно
216
Гл. 9. Колебания решетки
приводимому стандартному представлению пространственной
группы. Эта стандартная форма индуцируется из представления
D(6,wi) (ieGWl).
Здесь D(b, Wi) взято уже в приведенной форме, так что
порождается также стандартная форма. При этом btt принадлежит
неприводимой совокупности операторов1), соответствующих одной и
той же частоте o>w/. Размерность неприводимого стандартного
представления равна кратности вырождения частоты <ow,.
§ 6. Трансформационные свойства фононной волновой функции
Прежде чем рассмотреть трансформационные свойства
волновой функции, покажем, что операторы Pa(a^G) перестановочны
с оператором Гамильтона (9.8), описывающим колебания решетки.
Используя (9.29) и (9.30), имеем
P^PJ1 = Pa51[^+(w)(o(w)6(w) + Y^Sp(o(w)]Pa1 =
w
+ 2-^SP(o(w).
w
Так как в силу (9.28) матрица е* (aw)S)(a, w)£(w) перестановочна
с co(w), а e(w) и 35 (a, w) унитарны, то после, замены индекса
суммирования w на aw справедливость утверждения становится
очевидной. Следовательно, собственные функции оператора Н
являются базисными функциями неприводимых представлений
пространственной группы.
Мы не станем пока рассматривать трансформационные
свойства волновой функции общего вида (9.24), а введем некоторые
обозначения.
Для однофононных состояний, т. е. для состояний, в которых
возбужден только один фонон, вследствие инвариантности
функции вакуума Ч'о относительно операторов Ра имеем
В силу (9.32) одиофононная функция Ч*\у* преобразуется по
неприводимому стандартному представлению пространственной
труппы. Другие партнеры 4Vp функции ?w/ получаются, когда wT
принимает все возможные значения, для которых ©wT«=©w<.
1) Если пренебречь случайным вырождением.
§ 6. Трансформационные свойства фононной волновой функции 21?
Аналогичное соотношение имеет место и для двухфононных
состояний
= 2SOi;(a)D;y(a)f у. (9.34)
Если 6+ . и 6*^/ относятся к различным блокам тензорного
оператора, т. е. ©w Ф ®w/ (сучайным .вырождением мы
пренебрегаем), то Ч7 f г / преобразуется по внутреннему кронекеров-
скому произведению 2) ® ©', сомножители которого имеют
стандартную форму. В общем случае это представление приводимо.
Векторы Wj и w^, могут принадлежать различным звездам, но
явно это не используется (если они принадлежат одной звезде,
достаточно вместо w^ написать w;.„ т. е. без штриха у w).
Состояния решетки,, получающиеся из двухфононного,
операторы рождения которых преобразуются по различным неприводимым
представлениям, называют (аналогично тому, как это принято
в акустике) комбинированными колебаниями, так как их энергия
аддитивно складывается из частот отдельных колебаний
^^у-Чу + Чг;/-
Если оба оператора принадлежат одной неприводимой
совокупности, то соответствующая энергия равна
(Wj и w^ принадлежат одной и той же звезде). Такие состояния
назовем кратными колебаниями.
Так как в этом случае операторы рождения btjt и bWj,t оба
преобразуются по одному и тому же представлению 2) и функция
^w /, w >v симметрична относительно перестановки (/7) «-> (/'/'),
то кратные колебания преобразуются по симметризованному кро-
некеровскому квадрату 2)<2).
Общее состояние решетки символически можно записать
теперь в виде
V = 6^_... b^^jW^..^ ...%. (9.35)
пх m пг
3), £>2 Фз
Операторы рождения распределены по неприводимым блокам.
Конечно, не обязательно должны входить операторы всех блоков и
218
Гл. 9. Колебания решетки
не все операторы входят только один раз. Число п% указывает,
сколько встречается операторов 6+, преобразующихся по
представлению 3)г- Тогда функция 4я преобразуется согласно
©1(Л1)®®2(Л2)®2)з(Пз>® •••
S)*(n,) обозначает пгю симметризованную степень 5Di).
Воспользуемся тем, что представление, по которому
преобразуются bitty имеет стандартную форму. Матрицы, представляющие
операторы трансляций, имеют диагональный вид. Но и во
внутреннем кронекеровском произведении двух стандартных
представлений для этих операторов будет получаться диагональная матрица,
причем на ее диагонали будут стоять элементы
e-'(w/+w/')R,
где
wy е звезде wp w^, е звезде wj.
Диагональные члены группируются в целые звезды.
Следовательно, внутреннее кронекеровское произведение двух стандартных
представлений_содержит несколько звезд. Разобьем все матрицы
произведения 5) = $) ® $)' на блоки так, чтобы диагональные
блоки при трансляциях имели вид
Тогда по (2.18) для представлений можно написать
(e-fWR-e-*(aw.R))S(fl)-Of
где D (а) — блок, соответствующий w и w. Если w' не
принадлежит звезде w, то D(a) = 0, т. е. внутреннее кронекеровское
произведение стандартных представлений расщепится на такое
количество (в общем случае еще приводимых) представлений, сколько
оно содержит звезд.
Полностью аналогично можно рассмотреть и кронекеровский
квадрат. В этом случае трансляции также представляются
диагональными матрицами [см. (4.15)] с элементами
e-4w/+w/')R,
причем /^л'. Снова входят только целые звезды, и представление
может быть расщеплено по этим звездам.
Вводя, согласно (2.26), функцию а/
aJaa.-b^G^ (9.36)
(otj и bj однозначно определяются через / и а), для блоков матриц
представления [см. (9.33)] получаем
Di}(a) = D(bhWi)6itai. (9.37)
§ 6. Трансформационные свойства фононной волновой функции 219
Тогда симметричный кронекеровский квадрат имеет вид
D{2) iviv (а) = Drt {bj) Dr>t> (br) 6г«,6гаг + Dft (bj) Drt> (br) X
rr'tt'
X 6t'tt/6ta/' — Drt {bj) Drt' (bf) 6ta/6*a/'6u-'6rr'
(/ = /', / = /', r<r', *<*' и i<i'9 i< /', величины r, r\ ty V
произвольны; аргумент w4 ради простоты опущен).
Если / = /', то D{2) ~ дИ„ т. е. функции
biftblrtW0 (/=1, ..., s; W = l, ..., m)
образуют базис sm(m + 1)/2-мерного представления
пространственной группы. Точно так же функции
biitbirt^o (/</'= 1, ..., s; t, t'=l9 ..., m)
образуют базис m2s(s—1)/2-мерного представления. Полностью
симметричный кронекеровский квадрат имеет размерность
m(m+\) , 2 s(s—\) __ sm(sm+\)
S ^ \-m 2 g >
как и должно быть.
Для i = г, / = /' имеем
D{2) ид (а) = [Dr* (6/) D?r(bj) + Dr>t {b,) Drt>(ft/) -
- £>r* (bj) DrV (bj) 6ГГ>] в«./ = Dm Tr>tt> (&/) 6iah (9.38)
где Dp) rr'tt' (b) — матричные элементы симметричного кронекеров-
ского квадрата представления D (b, w4) группы GWl.
Для i < i', j < ]' получим
D{2) ii'ir (a) = Drt (bj) Dr>t> (br) 6/a/6r«/' + Dr>t (bt) Drt> (br) 6r«A«/'. (9.39)
rr't*'
Глава 10
ПРАВИЛА ОТБОРА
§ 1. Тензоры
Макроскопические свойства кристаллов часто описываются е
помощью тензоров, связывающих оказываемое на кристалл
воздействие с результатом этих воздействий. Например, тензор
электропроводности а позволяет по приложенному к кристаллу
электрическому полю Е определить плотность тока j:
j=aE.
Эти так называемые материальные тензоры обладают
определенными свойствами инвариантности. Например, тензор а
инвариантен относительно всех преобразований а точечной группы, так как
при одном и том же внешнем поле плотность тока в кристалле,
преобразованном (повернутом) с помощью a е G0, должна
оставаться неизменной, т. е.
aaor^a. (ЮЛ)
Рассмотрим совокупность физических величин Tiy для которых
для всех а из группы G имеют место соотношения
D(a)T=T. ,(10.2)
Матрицы D(a) в этом случае образуют представление 35
группы G. Если Т — матрица-столбец, построенная из 7\ (в частности,
Т{ — компоненты некоторого тензора), то (10.1) есть просто^форма
записи (10.2).
Пусть U — унитарная матрица, осуществляющая приведение
представления Я):
©' = {/-'©[/.
Тогда для V = UT имеем
D'(a)T' = T' (a*=G).
Написанное равенство выполняется для любого неприводимого
блока Dp матрицы D':
D'p (а) Тр = ТР = fpDx (а) (а е G).
Здесь Di(a) = 1—тождественное представление группы G. Тогда,
согласно лемме Шура, если D'p=£ Di? то блок Т'р = 0. Количество
§ 2. Матричные элемент
Uil
входящих в 35 представлений 35i дает число не обращающихся
в нуль компонент гензора Г', т. е. число независимых компонент 7\
В частности, если 5Dt вообще не входит в 5D, то равны нулю все т\%
а следовательно, и все 7\-.
Если теперь рассмотреть соотношения *йпа (10.2) только дли
какой-нибудь подгруппы G' группы G, то можно выполнить
приведение ограничения $)(s> представления 2) на подгруппе G' и
получить в общем случае более простое разбиение &>' представления Ф
на блоки. Так как представление S)i уже не может быть разбито
на блоки, то оно входит в $И по крайней мере сколько же раз,
сколько и в 2). Поэтому если И№ не содержит тождественного
представления, то и Ъ его содержать не может. Следовательно,
иногда уже только из рассмотрения ограничений Молено etfasatb,
что все величины 7\- обращаются в нуль.
В качестве примера найдем число независимых компонен? теп*
зора электропроводности а в кубическом кристалле. Так как тен*
зор а. симметричен, то (10.1) нельзя сразу записать в виде (10.2)
так, чтобы © было представлением. Сначала это равенство нужно
симметризовать [см. (4.14)] и выполнить приведение симметричного
кронекеровского квадрата представления Г^. Это дает
ГЙ*Г,©Г1Яф1^.
Следовательно, в имеет только одну независимую компоненту.
Хорошо известный вид тензора электропроводности в кубиче*
ских кристаллах
в а «= в06а
Таким путем Получен быть не может. Однако это Мо&но сделать,
исходя непосредственно из (10.1) и используя леМму Шура, так
как тензор а перестановочен с неприводимым представлением Г15.
§ 2. Матричные Элементы
При анализе правил отбора длн каких-либо квантовомезейниче*
ских переходов обычно определяют, в каких случаях матричные
элементы для таких Переходов обращаются в нуль вследствие
симметрии. Этот вопрос мы и рассмотрим здесь.
Исследуемый матричный элемент запишем в виде
Пусть далее волновые функции являются базисными функциями
представлений 2) и 5D/ группы G, т. е.
№
Гл. 10. Правила отбора
и операторы (V образуют набор элементов тензорного оператора
(гл. 4, § 8), соответствующих представлению 2)" той же самой
группы G:
PaOi~P;l = %Dri"(a)Or.
г
Тогда для записанного выше матричного элемента имеем
W» О,.*,) - 2 Д/V Mpfa(a) D.. (а)(ф;„ 0^у). (10.3)
Если теперь индексы i', i", i пробегают по всем строкам
соответствующих представлений, то получающиеся в результате этого
матричные элементы образуют совокупность физических величин,
для которых имеет место [аналогично (10.2)] равенство (10.3).
Чтобы установить, какое число матричных элементов линейно
независимо, вновь следует определить, сколько раз тождественное
представление группы входит в представление, определяемое с
помощью (10.3).
Если перестановки индексов не приводят ни к каким
дополнительным соотношениям симметрии, то исходное (приводимое)
представление равно внутреннему кронекеровскому произведению
ф'*®2)"®2). Если же имеет место симметрия или антисимметрия
по отношению к перестановке каких-нибудь двух индексов (пусть i
и i"), то соответствующие представления будут равны ($)" = 5D) и
нужно выполнить приведение Ф'*®$)(2), или 5/*®5)[2]. Позже мы
рассмотрим некоторые примеры.
Вместо того чтобы определять, сколько раз в представлении
ЯУ*®5)"®Я> содержится тождественное представление, можно
исследовать, сколько раз в представление 5D"®5D входит
представление S/.
Если рассматриваемая группа симметрии G является
пространственной группой, то математически задача сводится к
приведению внутреннего кронекеровского произведения двух стандартных
представлений или симметричного (антисимметричного)
кронекеровского квадрата одного стандартного представления.
Рассматриваемые группы не обязательно должны быть
полными пространственными группами; они могут быть и любыми их
подгруппами.
§ 3. Трансляции
Если рассматриваемая группа является группой трансляций, то
функции г|), г|/ и оператор О характеризуются значениями
к,, к',, и к£ приведенного волнового вектора. Тогда равенство
§ 3. Трансляции
223
(10.3) принимает вид
Отличными от нуля будут только те матричные элементы, для
которых тройки векторов Ц„ к"„ и 1^ удовлетворяют условию
-kr + k;* + k, = K. * (10.4)
Это условие называют законом сохранения квазиимпульса.
Следовательно, разрешенными могут быть только переходы с
сохранением квазиимпульса.
Если полная группа симметрии содержит подгруппу
трансляций, как это, например, имеет место для пространственных групп,
то закон сохранения квазиимпульса, конечно, также должен
выполняться.
Если к. и к\, независимо друг от друга пробегают по
совокупностям векторов своих звезд, то множество векторов вида
k'r ~ kt + К
(К служит для приведения результирующего вектора в первую
зону) состоит из целых звезд. Поэтому результатом приведения
произведения двух стандартных представлений 2/*®$) будут
стандартные, представления этих звезд (приведение по звездам) .В
частности, если рассматривать звезду вектора к",1), то следует
учитывать только соответствующие этой звезде составляющие
представления 2У*®$). Всевозможные тройки, которые могут быть
получены из трех звезд векторов k'v к" и кр удовлетворяющие (10.4),
часто можно получить из какой-нибудь одной тройки к\„ к"„ и к.,
подействовав на нее всеми элементами точечной группы. При этом
каждая тройка получится р раз, где р — порядок группы2):
*) Это значит, что оператор О преобразуется по одному из представлений
данной звезды.
2) В силу закона сохранения квазиимпульса достаточно вычислить
пересечение лищь двух групп, например Qq = G0kf Л GokJ,-
224
Гл. 10, Правила отбора
Если одна из составляющих звезд — звезда вектора к =* 0, то
последнее утверждение вполне строго. В некоторых особых случаях4)
таким путем получаются не все тройки, удовлетворяющие
соотношению (10.4). При наличии такой ситуации последующее
рассмотрение пригодно только для той части представлений Ф'* ®фэ
которые соответствуют тройкам, получающимся с помощью
преобразований группы G0. В рассмотренных ниже примерах такой
случай не встречается.
В качестве примера того, как производится приведение по
звездам, рассмотрим представления $)' и 35, соответствующие
точке ki = (0, k, 0) в, решетке алмаза (точка типа Д). Всего
имеется 36 троек к£„ к"„ к. с
-к{' + к£ + к< = К,
где i" определяется через /' и L В представление Ф'*®35 звезда
k" = 0 входит шесть раз, звезда к" = (0, 2k, 0)— один раз и звезда
к" = {к,—k, 0)—два раза. Тройки, соответствующие двум
последним звездам, в противоположность примеру в примечании, можно
получить из одной тройки применением преобразований Gq.
§ 4. Приведение внутреннего кронекеровского произведения
двух стандартных представлений
Если полная группа симметрии является пространственной
группой, то целесообразно выбрать ее представления 2)', Ф" и ф
в стандартной форме и записать равенство (10.3) в виде
(+£' v'> <V v"4>k Jl - 2 DP'*' (Л~ W) №** {€?аа'Й X
V Г i" i J И'[Л"Ц
X С (а^аа) (<к;у, О^^). (10.5)
Отличны от нуля только те матричные элементы, для троек
волновых векторов которых k£„ к£, kt выполняется закон сохранения
квазиимпульса. Пусть эти тройки могут быть получены с помощью
преобразований точечной группы <?о из одной фиксированной
тройки
к' = а£кь k" = a"kf, k = <*oki<
1) Пусть, например, G0 = (z, 63, 63 !). Определим для вектора ki звезду
kj, k2 = 63kj, k3 = ^з"!к1 и рассмотрим три звезды векторов —ki, кь кь Тогда
для тройки (—ki, k2, k3) выполняется закон сохранения квазиимпульса,. Он взд-
ртолняется и для тройки (—кь к3, к2), однако последняя не может быть получен^
из первой применением преобразования сеебо. Всего, можно построить шесть,
троек, но для их получения имеется только три элемента точечной группы. Такой
ргучай встречаете» те/л чаще, чем меньше порядок точечной группы. ' . ^ „
§ 4. Приведение внутреннего кронекеровского произведения 225
Тогда для любого элемента
az=G=Gk<f)Gk»()Gk
в (10.5) входят только матричные элементы этой же тройки к',
к", к. Применяя для троек сокращенные обозначения, из (10.5)
имеем
(v'|v"v>= 2Dp'y'fa-laaQiy&"*'x
х (oTW)0irWfl^)<i*' \v"v)- (Ю.6)
Все остальные матричные элементы зависят от элемента (v'|v"v).
Эту зависимость можно выразить явно, если воспользоваться
тройкой, получающейся из (к7, к", к) с помощью преобразования а-1,
и равенством (10.5) для а = {а|а}. Тогда в правой части соотно*
шения будет стоять только матричный элемент (v'|v"v).
Следовательно, чтобы определить число линейно независимых
/ v' I v" V \
матричных элементов {v I . /, стоящих в левой части ра*
I | ь ь
венства (10.5), нужно с помощью (10.6) найти линейно независи»
мые матричные элементы (v'|v"v).
Если матричные элементы (v'|v"v) не симметричны, не анти*
симметричны относительно перестановки индексов, то в (10.6)
входит ограничение внутреннего кронекеровского произведения
представлений $)', ©" и 5) на подгруппе 5".
Число единичных представлений, а следовательно, и число ли*
/v'lv" v4
неино независимых матричных элементов ^., .„ . / равно
п *" W S & (а'о~*аад *< (<"'<) \ (ао*аао)> (Ю.7)
csfl 1
где р — порядок So и, например, %к — характер допустимого не*
приводимого представления 2)^.
Так как ©к,— допустимое представление, то для a =*{a|va + R}
имеем
Хк, КЮ = с'1 Кк" % К1 {« I va) %). (10.8)
В силу
-a&kf + aaff + aoki-K (10.9)
суммирование по R в (10.7) может быть выполнено в явном виде.
Таким образом, окончательно имеем
n=j %^(%~*™д^УГ*<)\(ао*аао1 (ШЛО)
as Go
где a={a|vj; a'Q, aj и ^определяются по (10.9) и
^о = °оа^;Пе0а^пе0аЛ.
226
Гл. 10. Правила отбора
§ 5. Приведение симметричного (антисимметричного)
кронекеровского квадрата стандартного представления
Характеры симметричного (антисимметричного)
кронекеровского квадрата стандартного представления вычисляются по
формуле [см. (4.16) и (4.17)]
Ч) (a) —gTS %ki {аг^аа.)^ {араа.„)baiibai„.„ ± J ^ (ат1а\)6аШ].
И U" i J
Следовательно, число тождественных представлений,
содержащихся в произведении ЗУ* ® 2)(2), равно
[2J
п e W S S хГ; (^ГХ') 6а.,., [2 Хк {ат1аа.) X
X %ki [apaait)baiibai4„ ± J) %ki (а~*а\) 6tt,J.
Первую сумму в квадратных скобках (с точностью.до множителя
V2) мы уже вычисляли в § 4. Она равна половине выражения
(10.10).
Во второй сумме в квадратных скобках аналогично (10.8)
выделим трансляции
a2 = {a|va + R}2 = {8|aR + R}{a|v„}2.
Тогда с учетом
iy,-i,Kk;+e"Ski^ki)R=y5 ,, ,
G3 Id е ZjL °-a^k1+«-Iaik1+a£k1. К
R К
второе слагаемое можно записать в виде
х*-.;,к;+.-иЛ+.Л>к.- (Ю.П)
Сначала при фиксированной тройке, удовлетворяющей закону
сохранения квазиимпульса, выполним суммирование по всем а, для
которых выполнено условие, записанное в индексе символа Кроне-
кера. Затем из тройки (10.9), применяя преобразования aeGo,
получим произвольные тройки
(a{,k{, a-'a.kp a^) = (aa£k{, a<kp aa0k,). (10.12)
После этого можно просуммировать по всем a е G0. Так как при
этом каждая тройка войдет р раз, результат следует поделить на р.
$ 5. Приведение симметричного кронекеровского квадрата 22?
Символ Кронекера требует выполнения условий
ае Gok;,- Goa«;k;««"!ме G0a^ (юлз)
tfeGo.A. (10.14)
Последнее условие выполняется автоматически, так как из
третьего символа Кронекера вытекает, что
- a\Wx + or'а.Ц + a^kj - К. (Ю. 15)
Действительно, умножая (10.15) на а, снова подставляя в (10.15)
и используя (10.13), имеем
т. е. условие (10.14).
Напротив, описанное с помощью (10.12) суммирование по
тройкам приводит при суммировании по а к дополнительному условию
на а. А именно должно иметь место равенство
a^a.k^aa^kp
или _ _ _ _
o-1oaak1 = ос^кд л a-'aa <= aQGok a^1. (ю.16)
В силу (10.12) аргументы в характерах (10.11) равны
а'^а^ааа'ц и ац1а~ха2аа0,
так что если вместо суммирования по а ввести суммирование по
а' = атхаау то (10.11) можно переписать в виде
о €= Go a'szG
где равенство __
s=%\ п «А/С1
получается из (10.13) и (10.16^.
Так как суммирования по а и R независимы (последнее имеет
место в силу условия a'e G), то оба они легко выполняются.
Таким образом, окончательно (с учетом первого слагаемого)
в квадратных скобках получаем
-gp S <\ («ГЧЦ К1^). (Ю.17)
±
Ш tA. id. Правила отбора
Здесь снова a={a\va}\ а'0, a|j и Oq определяются равенством
причем
5o-4;no*.n4v
й р — порядок группы 2Г<ь
§ 6. Симметрия по отношению к обращению времени
Помимо пространственной симметрии, описываемой
преобразованиями пространственной группы G, на обращение в нуль
матричных элементов может влиять и симметрия по отношению к
изменению знака времени. Пусть в выражении (10.5) функции tf>'
образуют пространство представления Я/. Тогда функции /Ctj/
будут образовывать пространство представления 5D'*. Аналогично
Сказанному в гл. 8, § 2 можно показать, что все функции /Сф' и ф'
Либо линейно независимы, либо определяют одно Пространство.
В последнем случае можно указать дополнительные правила
отбора для матричных элементов (10.5). Вместо (10.5) достаточно
исследовать матричный элемент
(*£;у. <V**y. <10-18>
так как все элементы типа (10.18) только тогда равны нулю, когда
равны нулю все элементы (10.5).
Пусть далее оператор Ок* * имеет относительно
преобразования обращения F простейшие трансформационные свойства:
FOF^^KO*K~l=fO (/- ± 1). (10.19)
Тогда в силу антиунитарности К имеем
Отсюда вытекает, что матричный элемент (10J8) симметричен
(или антисимметричен) относительно перестановки пар индексов
(kV)H (k, v), смотря по тому, какое из равенств имеет место;
fK2=\ или fK2= -1.
§ 7. Электрон-фононное взаимодействие
229
Тогда © = ЗУ*, и для получения правил отбора необходимо
проверить, содержится ли представление ЗУ' в представлениях 2)('2)
или £>и.
В последующих параграфах мы рассмотрим примеры
нахождения правил отбора.
§ 7. Электрон-фононное взаимодействие
1. Определение матричных элементов. Взаимодействие
электронов в кристалле с колебаниями решетки, или, как его обычно
называют, электрон-фононное взаимодействие, имеет важное
значение в процессах переноса. Идеальный «свободный» блоховский
электрон под действием внешнего электрического поля движется
по кристаллу беспрепятственно. «Торможение» возникает за счет
«столкновений» с фононами, т. е. вследствие взаимодействия с
колебаниями решетки. Это, в частности, приводит к отличному от
нуля сопротивлению.
В гл. 2, § 1, п. 1 мы уже говорили, что в адиабатическом
приближении происходит разделение проблемы движения электронов
в покоящейся решетке и проблемы колебаний кристаллических
частиц. При этом пренебрегают малыми членами, описывающими
взаимодействие блоховского электрона с колебаниями решетки.
Однако непосредственно из рассмотрения этих малых членов
отнюдь не легко получить выражение для потенциала
взаимодействия электронов и фононов НЕР. Поэтому мы найдем НЕР иначе.
Обозначим потенциал электрона в точке г, когда частицы
кристалла находятся не в положениях равновесия, а смещены на
величины u*J, через V(r; u*)# Тогда V(r;0) равен
периодическому кристаллическому потенциалу Vo(r), в котором
рассматривались состояния электрона в гл. 5. В этих обозначениях
потенциал электрон-фононного взаимодействия запишется следующим
образом:
HBP-V{r;u$-V0(r).
В большинстве случаев НЕР разлагают в ряд по предположительно
малым смещениям и^ т. е. записывают в виде
*да~2«'Л'Г(пЧ)1.--о (10-20>.
Малые смещения и* можно заменить по (9.9) и получить для
НЕР выражение, линейное относительно операторов рождения и
уничтожения:
НЕР** 2 [&,у//Лу*(г) + компл. сопр.]. (10.21)
vrt
Если учитывать НЕР по теории возмущений, то в первом
приближении появятся только однофононные процессы. Иными словами,
230
Гл. 10. Правила отбора
в этом случае в одном элементарном процессе взаимодействия
электрон обменивается с фононным ансамблем только одним фо-
ноном.
В матричный элемент перехода
(f\HEP\i) (10.22)
входят волновые функции {f\ и \i), каждая из которых состоит
из электронной части (блоховской волны (kV| и |kv)) и фонон-
ной части вида (9.35). Если ограничиться в НЕр линейным
приближением (10.20), то для того чтобы элемент (10.22) не
обращался в нуль, начальное и конечное состояния должны
различаться на один фонон.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда в начальном
состоянии находится на один фонон (wt) больше, чем в конечном
(процесс поглощения). Тогда в разложении (10.21)
взаимодействия НЕР по bwt и bt войдет только член, пропорциональный
оператору bwt:
</l#£pU> = (kV; ... nw,-l ...\bwtHwt(r)\ ...nwt...; kv) =
= ^(ФиЛ bwtHwt(r)6^Av). (10.23)
Для получения правил отбора воспользуемся результатами гл. 10,
§ 2. Исследуем трансформационные свойства трех составляющих
частей матричного элемента, т. е. оператора и функций,
состоящих из произведения элементов электронного и фононного
гильбертовых пространств. Действие оператора симметрии Ра на
электронную составляющую фь и фононную составляющую (в нашей
записи bwt и btt) известно. Так как обе части не зависят друг
от друга, то полная волновая функция преобразуется согласно
внутреннему кронекеровскому произведению представлений, по
которым преобразуются электронная и фононная функции. Пусть
i|>k,v, преобразуется по (неприводимому) представлению $)'
пространственной группы, btt— по представлению Ф и «фь—по
представлению 35. Тогда ilVv'^o преобразуется по ©' и
ФкХЛ-по£®$.
Оператор bwtHwt (г) как часть НЕр, а в силу этого и как часть
полного оператора Гамильтона кристалла перестановочен со всеми
операторами Ра пространственной группы.
Следовательно, матричный элемент (10.23) отличен от нуля,
лишь если 5D' входит в разложение 5D ® 5D.
Для процессов испускания вместо (10.23) имеем
(Л НЕР | i) = <kV; ... nwt ... I #w*(r)btt\ ... nwt - 1 ...; kv> =
§ 7. Электрон-фононное взаимодействие
231
поскольку и в этом случае из разложения (10.21) дает вклад
только одно слагаемое с btt. Правила отбора для поглощения
при переходе из состояния (kv) в состояние (kV) будут теми
же самыми, что и для испускания, если поменять местами (kv)
и (kV).
2. Междолинные переходы в полупроводниках с несколькими
экстремумами. В гл. 5, § 7 мы показали, что край зоны
проводимости кремния шестикратно вырожден (вырождение по звезде).
Так как подходящим выбором примеси в кремнии можно создать
избыток электронов вблизи края зоны проводимости, то в зоне
Бриллюэна появятся шесть областей, которые в наинизшей зоне
проводимости будут заняты электронами. Эти шесть экстремумов
(долин) расположены в окрестностях точек
(± k0, 0, 0), (0, ± &о, 0); (0, 0, ± ko),
где для кремния k0 = (тс/а) -0,85. За счет электрон-фононного
взаимодействия электроны из одного минимума могут переходить
в другие. Такие процессы называют междолинным рассеянием.-
Для того чтобы процесс рассеяния (kv)-*(k'v) (номер полосы
для всех экстремумов один и тот же) с поглощением одного фо-
нона (wt) был возможен, необходимо выполнение закона
сохранения квазиимпульса
-k' + w + k = K. -- (Ю.24)
Так как матричные элементы (10.23) в большинстве случаев
вычисляются для краев энергетических зон, мы рассмотрим переходы
между состояниями с векторами к, соответствующими этим краям
(нулевое приближение). Вероятность переходов для достаточно
близких состояний в силу непрерывности не будет сильно
отличаться от вероятности переходов между состояниями краев зон.
Из (10.24) видно, что для кремния могут иметь место два
существенно различных междолинных процесса: во-первых, переходы
в противоположный минимум (g-рассеяние) и, во-вторых,
переходы в другие четыре минимума (/-рассеяние). Волновые векторы
для двух указанных типов процессов приведены в табл. 65. Все
Таблица 65
g-рассеяние
/-рассеяние
Jfe-(0, k
i
k' w К
(0, - ko, 0) (0, 2и0. 0) 2я/а (0, 1, 0)
(*o. 0. 0) (- x0. K0, я/а) л/а (-1, 1, 1)
о, 0), k0 = (я/а) • 0,85, и0 - (л/а) • 0.15. |
232
Гл. 10. Правила отбора
междолинные процессы в кремнии происходят с участием вектора
обратной решетки К=£0. Процессы, в которых условие (10.24)
выполняется лишь при К=£0, называют процессами переброса.
Классификация процессов по экстремумам соответствует
рассмотренному в § 3 примеру приведения по звездам.
Помимо закона сохранения квазиимпульса (10.24), должны
выполняться и другие правила отбора. Мы получим их исходя из
(10.10). В рассматриваемом случае волновые функции «фк и фк
относятся к одному и тому же представлению пространственной
группы. Представление 2)0к в этом
случае равно А\ (гл. 5, § 7).
Тогда для ^-процессов вектор w
лежит вдоль направления Д зоны Брил-
люэна. Согласно фиг. 19,
представление 3)ow равно Ai [продольные
акустические колебания (LA)], или Д> (LO),
или Д5 {ТА или ТО). Для этих трех
случаев, используя (10.10), можно
вычислить величину /г. Для
Э|5
< = {i|t},
«o=V
имеем
/-i
Фиг.
w
19. Фононный
кремния.
спектр
«о {«lv.}aJ-{a|-v. + T-aT},
так что произведение трех характеров
в (10.10) равно
e*(-T.+.-«-».)-*-v.x^(a) =
= e~iKW
(a),
а вектор К определяется по (10.24) (табл. 65). Далее используем
*-1Ь =
Так как
„-*Kva
± 1
соответственно для a^Td и a&Tdl то из табл. 18 следует, что
только представление Дг дает отличное от нуля значение п.
Поэтому только для фононов типа Д£, т. е. продольных оптических
фононов, имеет место ^-рассеяние.
Из четырех возможных ^-процессов с начальным вектором
к = (0, ко, 0) мы рассмотрим переход, указанный в табл. 65. Группа
G = Gok П Gok',
>
как это видно из табл. 14, состоит из элементов в и рг. Если
выбрать
$ 7. Электрон-фононкое взаимодействие
233
то в силу равенства
имеем
«Ъ'РА^Р*
Чтобы вектор w=(—хо, ко, я/а) получался из луча Wi = (xo, я/а,хо)
основного многогранника зоны Бриллюэна, положим а" = {^J*},
что обеспечивает выполнение условия c^'w^w. Так как,
согласно (2.9),
«Г1 {р. Iт) < - {**А\« I \А'} - {Р, |' - *з}>
то произведение характеров в (10.10) в силу (2.41) и (2.42)
равно (ао = г)
С (в), <* = *> .
-C(Pj» а = Р*>
Отсюда с помощью табл. 21 получаем, что п отлично ot нуля
только для представлений S{ и S4.
Выясним, какого типа фононы соответствуют представлениям
Si и S4. Для этого воспользуемся условиями совместности в точках
w, - (и*-J-, *о), ^^(Т'1'!)'
Вектор w', очевидно, принадлежит звезде w* = Зя/4а(1, 1,0).
Следовательно, необходимо обсудить совместность 2 (К — просто
отдельная точка того же самого симметричного комплекса) и S,
причем совместность нужно проследить исходя не из лежащего
в основании многогранника луча Wk, а из точки w'.
Если DK(ci) — представление w#, то, согласно (5.14),
представление w' равно
При этом aj должно удовлетворять соотношению w' = a,jWK +_ К.
Выберем а1=*{абХ]Уг\х}. Тогда, полагая а/ = {а/|а/}, имеем
Va4 = {wa'°^U I <W (a'T -т +а')}
и
D*(*/~,fl'*/)"
8=5 ( r«wV* (ч>* Л)^(a^ycr-i г) (a, ^ Г/| a, = к |т + R}>
234
Гл. 10 ^Правила отбора
f Г e-ivl'*D0S(a') (а'<
С другой стороны, предельное представление точки 5 при wi—»w'
[см. (2.41) и (2.42)] равно
rrf;a' = {a'|R}),
^7-rf;a'={a'|t + R}).
Отсюда
е и0К\ 6хугаа6хуг) \Г *= ' d>
в Н^Л°')+гя/4О0/с((Т6ед2аЧ-'г) (a^rd).
Так как a' е GoW', т. е. а' пробегает элементы 8, р2х е fd и
бгг*, Pj, 9^ Та> то, согласно табл. 12, экспонента в (10.25) для
Фиг. 20. Качественная картина фононного
спектра кристаллов алмаза.
а'^Та равна 1, а для а'фТл равна —1. Связь между
элементами а' и aGXy2a'aQXlyz приведена, в табл. 66.
Таблица 66
а'
°6хуга °6хуг
г
г
Рг*
Рад
62г*
Ь2ху -
■V 1
Рг
Сравнивая таблицы характеров 2 и S (табл. 21), видим, что
представления S* непосредственно переходят в представления 2*
в точке w' звезды точки К. Теперь ясен и необычный порядок ну-
§ 7. Электрон-фононное взаимодействие
235
мерации представлений Si в табл. 21. Это сделано для того, чтобы
согласовать их с обозначениями 2*.
В соответствии с изложением гл. 9, § 4, п. 3 полученным выше
правилам отбора легко дать физическое толкование. Так как Si
совместны с 2;, то, согласно (9.23), представление S* (как и 24)
описывает продольные акустические колебания, a S\ — наложение
«продольных» акустических и «поперечных» оптических
колебаний. Разумеется, указанные поляризации в хорошем приближении
имеют место лишь при малых |w| (длинные волны). На фиг. 20
качественно показан фононный спектр кремния. Фононы,
участвующие в f-процессах, указаны точками. Энергии фононов этим еще
не определяются. Чаще всего их считают приближенно равными
энергиям в соседних точках X, которые известны экспериментально
(фиг. 19).
Зона проводимости германия также имеет несколько
экстремумов. Минимумы находятся в четырех точках L, и им
соответствует представление L\. По отношению к минимуму в точке
к ={п/2а) (Т, 1,1) все остальные экстремумы расположены
одинаково, так что в данном случае возможен один тип переходов. Рао
смотрим, например, переход
Тогда
w~£ (0,1,0), К—5-0, М).
Величина п вычисляется по (10.10). Из табл. 13 имеем
G0=G0LnG0X=(8;p2;,i,622j-).
а0={Ь2у\°}> < = % = *>
*о~' {« I va} а'0 = {а^Ч I <*ГЧ} - {<* IVJ-
С учетом (2.41) и (2.42) в силу равенств
для произведения характеров будем иметь
[1 (aeU
*x({«lv«})-|e_i№ (афТа).
Так как
то из таблицы характеров точки X (табл. 25) вытекает, что п~$=0
для Х\ и Х3. Согласно фиг. 20, междолинное рассеяние в германии
Выбирая
получим
8*
236
Гл. 10. Правила отбора
без учета симметрии по отношению к обращению времени
невозможно только для поперечных оптических фононов. Полученные
в этом разделе правила отбора для процессов поглощения
пригодны также и для процессов испускания.
3. Влияние симметрии относительно обращения времени. До
сих пор при рассмотрении междолинных переходов мы не
учитывали симметрию относительно обращения времени. Сейчас мы
проанализируем, какие дополнительные правила отбора должны
выполняться, если учесть это обстоятельство.
Рассмотрим f-переходы в кремнии. Согласно критерию Хер-
ринга (табл. 60), в этом случае дополнительного вырождения не
появляется, так что шесть собственных функций ф и /С\|)
определяют одно пространство.
Исследуем матричный элемент вида
(V** я£Рб+ЛФку) = К. К нЕРь1,ч0)%,) •
Внутренние скобки означают, что выражение в них
проинтегрировано по нормальным координатам. Оно преобразуется так же,
как и btt, и с учетом (10.21) равно #w* (г). Следовательно, имеем
KHtt (г) /С1 = KH*wt (г) /Г1 - Яw* (г).
т. е. в обозначениях (10.19) это случай / = 1.
Таким образом, нужно разложить по стандартным
представлениям точки Wi симметричный кронекеровский квадрат
представления Дь Закон сохранения квазиимпульса дает (табл. 65)
-а^ + а^ + к^К, (10.26)
где
- ao< = w = (~ "о. "о. т) = - рЛ
afk1--k'--(Abi0i0)-e„kr
Выражение (10.26) уже имеет вид, требуемый в (10.17). Выберем
Группы векторов kj и к' равны (табл. 14)
°ок 8> Ч' р«- Р*х> 2Ь%1> РА'
Gok-: 8» К' Pyz> Pyz> 2ЬТх1> W
&о состоит из 8 и рг. Так как aj' е G^ , то
§ 8, Оптические электронные переходы 237
Тогда соотношение (10.17) примет вид
^ = Т [^ «^ I О» Х2Д1 ({е I 0}) + ^ ({р^ | т}) %Д1 ({р^ | р^т}) х
X Хд. ({Р, I *}) + Й ({Р* I °}) Хд. «• 10» + %з ({**, I '}) Хд. (I8 I »^ + *})]•
(10.27)
Характеры %s определяются по (2.41) и (2.42) с учетом табл. 21.
Окончательно получаем
f 0 для S2, S3> S4,
>* = { i о
[ 1 для S{.
Согласно изложенному в § 7, п. 2 без учета симметрии
относительно обращения времени, разрешены переходы с участием фо-
нонов типа 54. Однако симметрия задачи относительно обращения
времени их запрещает. Следовательно, возможно только рассеяние
на смешанных «продольных» акустических и «поперечных»,
оптических фононах.
§ 8. Оптические электронные переходы
1. Прямые оптические переходы. Взаимодействие
электромагнитного излучения с веществом мы будем описывать
полуклассически, используя оператор
Яоцт=-~А.р, (10.28)
где А — зависящий от координат и времени векторный потенциал
внешнего электромагнитного поля. Электромагнитные волны
обычно считают плоскими, монохроматическими и линейно
поляризованными, так что А имеет вид
А = Re А0е< (<*Г~Ш).
Вероятность перехода блоховского электрона из состояния
|kv) в состояние |kV) под действием электромагнитной волны
определяется матричным элементом
-^(kV|A.p|kv). (10.29)
Так как оператор А-р относится к представлению
пространственной группы звезды вектора q, то матричный элемент (10.29)
отличен от нуля только в том случае, если имеет место закон
сохранения квазиимпульса
-k' + q + k = K.
Однако поскольку обычно используемые в исследованиях длины
волн имеют величину порядка 1 мкм9 то |q| мал, и, следовательно,
в разложении А по г можно ограничиться первым (не зависящим
от г) слагаемым {дипольное приближение). Тогда вместо (10.29)
238
Гл. 10. Правила отбора
вероятность перехода будет определяться матричным элементом
(kV|p|kv).
Таким образом, для оптических переходов в дипольном
приближении достаточно исследовать матричные элементы оператора
импульса.
Так как оператор р преобразуется как вектор, операторы ри
Рг, рз соответствуют «векторному» представлению
пространственной группы (т. е. представлению, по которому преобразуются
векторы). Для кубической группы это будет представление Г15
точки Г. Закон сохранения квазиимпульса дает
k' = k. V -(10.30)
Следовательно, оптические переходы происходят только с
сохранением волнового вектора. Таким образом, в зонной модели (см.,
например, фиг. 16) возможны переходы из какого-либо состояния
в состояние, расположенное вертикально «над ним» или
вертикально «под ним». Такие переходы называют прямыми оптическими
переходами. Следовательно, прямые оптические переходы имеют
место в первом порядке теории возмущений и в дипольном
приближении. Для таких переходов выполняются правила отбора
(10.30) для волнового вектора.
Остальные правила отбора получаются по (10.10). Так как,
согласно (20.30), к' = к, то можно положить а£ = а0 = е, а также
к" = 0 и Go = G0k.
В качестве примеров рассмотрим прямые оптические переходы,
связанные с валентными зонами и зонами проводимости в
германии и кремнии.
Край валентной зоны для кремния и германия находится в
точке к = 0 и имеет симметрию Г25. Выполнив приведение [ср. (1.18)]
Г25®Г15 = Г2®Г;2©Г15©Г25>
получим, что возможны переходы только в состояния, имеющие
симметрию, соответствующую правой части написанного
равенства. Следовательно, разрешены переходы (фиг. 16 и 21) для
кремния в Г15 и для германия в Г2.
Край зоны проводимости кремния имеет симметрию Аь
Лежащее «под ним» ближайшее валентное состояние с тем же к имеет
симметрию Аб. Полагая в (10.10) %" равным характеру
представления Т\5 (табл. 17 и 18), имеем
n = J S ЗЙд,(а)Хогй(а)Ход|(«)8в,1-
а е бод
Следовательно, переход разрешен.
Край зоны проводимости германия имеет симметрию Lu а
лежащее «под ним» состояние валентной зоны с тем же к —
симметрию Ц. Согласно (10.10), такие переходы также разрешены.
§ 8. Оптические электронные переходы
239
Рассмотренные выше переходы ответственны за так
называемый край поглощения. Так как, например, для кремния
наименьшая по величине (т. е. при том же к) прямая щель между зоной
проводимости и валентной
зоной равна
**-*г,
-Ет
25
то для энергий падающей
волны йш>- Ed возникает заметное
поглощение, т. е. при Ъы = ^
= Еа поглощение имеет «край». £
В то же время запрещенная
зона
Еш-ЕьГЕ*Л
у кремния меньше Еа. Поэтому
фактически уже и при //ш>-
^-Её имеет место поглощение,
обусловленное переходами, не
подчиняющимися правилам
отбора (10.30). Ниже мы
проанализируем эти непрямые
переходы.
Фиг. 21. Электронные энергетические
зоны германия.
2. Непрямые оптические переходы. Эксперимент показывает,
что уже при йш> Eg имеет место заметное возрастание
поглощения. Этот эффект не может быть объяснен прямыми переходами.
Для его описания требовалось бы учитывать вероятность
переходов в более высоком порядке, например двухфотонные процессы.
Однако, как мы увидим ниже, более вероятны процессы, в которых
участвуют один фотон и еще какой-нибудь партнер, например фо*
нон или нарушение структуры в кристалле. Такие процессы
называют непрямыми оптическими переходами. Мы рассмотрим случай,
когда происходит столкновение с фононом. В этом случае опера*
тор, вызывающий переходы, имеет вид [см. (10.21) и (10.28)]
Н\ = Hep + Н
опт*
Вероятность перехода из состояния kv в состояние kV во втором
порядке теории возмущений равна
WWkv =
2я
(kVlffJk'V'Hk'V'lffilkv)
Е"-Е
k"v"
6(Е~Е'). (10.31)
240
Гл. 10. Правила отборй
При этом, хотя система виртуально переходит в промежуточное
состояние |k"v"), закон сохранения энергии должен иметь место
лишь для полного перехода.
Так как Нх состоит из двух слагаемых, то каждое слагаемое
в (10.31) включает четыре составляющие: переход с участием двух
фотонов, два перехода с участием фотона и фонона и переход
с участием двух фононов. В каждом из перечисленных процессов
два процесса виртуальны. Для процессов с участием фотонов
должны выполняться правила
отбора (10.30), для процессов с
участием фононов — правила (10.24).
В то время тяак процессы с участием
фотонов вызывают только
«вертикальные» переходы, процессы с
участием фононов изменяют волновой
вектор. На фиг. 22 в качестве
примера на схеме энергетических зон
кремния показаны три первых типа
процессов.
Более вероятными являются
процессы, для которых разность
энергий Е" — Е меньше, т. е. меньше
отклонение энергии промежуточно*
го состояния от начального. На
фиг. 22 наиболее вероятным
является процесс / — оптическое
поглощение (и обратный ему) процесс
// — рекомбинация. Двухфотонные
процессы /// относительно маловероятны. Поэтому мы ограничимся
рассмотрением поглощения с участием фонона и фотона. Для ре*
комбинации правила отбора те же самые, так что их здесь можно и
не рассматривать. Слагаемые в (10.31) суть произведения
матричных элементов (10.23) и (10.29). Для переходов Гг5-> Ai (фиг. 22)
в сумме (10.31) достаточно учесть процессы / и //, так как они
имеют наименьшую разность энергий.
Рассмотрим правила отбора для отдельных матричных
элементов. Для «оптических» матричных элементов это уже сделано в
предыдущем пункте, где показано, что все рассматриваемые
переходы разрешены.
Для переходов, обусловленных электрон-фононным
взаимодействием, имеет место закон сохранения квазиимпульса (фиг. 22):
k" = w для процессов типа /,
(10 32)
к' — w для процессов типа //.
Правила отбора можно вычислить по (10.10), положив
а£ = < - а0 = 8.
Фиг. 22. Непрямые переходы в
Кремнии.
I — фотонный процесс: 2 — фононный
процесс; 5 — виртуальные
промежуточные состояния.
§ 8. Оптические электронные переходы
241
Учитывая, что Go = Goa, и используя табл. 17 и 18, имеем
1Л25 ® As — A i ф А' ф А2 0 Д2 0 As для процессов типа /,
Г15® А1=Д1фА5 для процессов типа //.
Следовательно, процессы типа / разрешены для всех фононов, а
процессы типа // — для фононов типа Ai и Д5. Согласно фиг. 19,
процессы типа // запрещены для фононов типа Аг, т. е.
продольных оптических фононов.
^ялл* / .*. 2 • 3
Фиг. 23. Непрямые переходы в
германии.
/ — фотонный процесс; 3 — фононный
процесс; 3 —виртуальные промежуточные
состояния.
Фиг. 24. Фононный спектр германия
Проведем аналогичное рассмотрение для германия. Возможные
процессы показаны на фиг. 23. Все процессы с участием фотонов
снова разрешены (см. п. 1). Выполняется закон сохранения
квазиимпульса (10.32). Учитывая, что Go = G0l, из (10.10) с учетом
(2.41) и (2.42) и табл. 17 и 23 имеем
Г25® Lz==L'\@L2@2Lz для процессов типа /,
Гг ® L\ = L2 для процессов типа //.
Таким образом, процессы типа / запрещены для фононов Lt(LA) и
L3(TA), а в поглощение и рекомбинацию дают вклад процессы
типа //. Согласно фиг. 24, в процессах типа // могут участвовать
только продольные акустические фононы. Из характеров (9.20)
получаем, что шесть ветвей колебаний, возникающих в решетке
алмаза в точке L, относятся к представлениям L\x Ь'ь Lz и £з?
242
Гл. 10. Правила отбора
Связь этих ветвей с экспериментально наблюдаемыми не
однозначна. Различные косвенные аргументы, на которых мы здесь не
можем останавливаться, говорят в пользу расположения, показанного
на фиг. 24.
§ 9. Поглощение решеткой и эффект комбинационного
рассеяния
1. Общие положения. В заключение рассмотрим правила
отбора для двух явлений, связанных с взаимодействием
электромагнитного излучения с колебаниями решетки. Если колеблющуюся
решетку облучать светом соответствующей частоты, то, во-первых,
может происходить поглощение фотона и рождение одного или
нескольких фононов (инфракрасное поглощение решеткой).
Во-вторых, фотон может отдавать часть энергии на создание фононов или
получать энергию при их уничтожении, изменяя (повышая или
понижая) свою частоту (эффект комбинационного рассеяния). Для
нахождения правил отбора нам нет необходимости точно знать оба
эти механизма электрон-фононного взаимодействия. Квантовоме-
ханически эти взаимодействия описываются с помощью
виртуальных возбуждений электронных состояний. Так как вызывающие
возбуждение световые кванты имеют достаточно большую (по
сравнению с постоянной решетки) длину волны, то взаимодействие
можно рассматривать в дипольном приближении. Тогда
поглощение решеткой будет определяться матричным элементом диполь-
ного момента Р, а эффект комбинационного рассеяния —
матричными элементами тензора поляризуемости а. Векторы Р и а
зависят от нормальных координат кристалла и могут быть разложены
в степенные ряды по операторам рождения и уничтожения
фононов. Каждый член разложения дает свой вклад в эффект.
Например, матричный элемент слагаемого, пропорционального bttbt't'*
равен
(/|0|/) = </|б^г|^), (10.33)
где \1) и (f|—функции начального и конечного состояний
кристалла, имеющие вид (9.24). В силу ортогональности волновых
функций в нашем случае могут быть отличны от нуля только те
матричные элементы, для которых конечное и начальное
состояния отличаются одним фононом (wt) и одним фононом (w'f).
Рассмотренное слагаемое описывает двухфононный процесс, в
котором одновременно рождаются фононы (vtt) и (wT). Такие
процессы будем называть процессами рождения в отличие от
процессов одновременного рождения и уничтожения, связанных с
операторами типа bwtbt't' и описывающих рождение фонона (wT) и
уничтожение фонона (w/).
§ 0. Поглощение решеткой и эффект комбинационного рассеяния 243
Для матричных элементов (10.33) также имеют место правила
отбора, вытекающие из симметрии. Установим
трансформационные свойства трех величин, входящих в матричный элемент.
Волновые функции фононов мы уже исследовали в гл. 9, § 6. Там же
было установлено, что остальные слагаемые в разложении
оператора О преобразуются так же, как и сам оператор, т. е. для Р —
как векторы, а для а — как тензоры второго ранга. Примем, что
исходным состоянием является состояние вакуума Wo, т. е.
кристалл в начальном состоянии совершает только нулевые
колебания. Тогда величина О^о преобразуется согласно «векторному»
представлению (в случае Р) и согласно внутреннему кронекеров-
скому квадрату этого представления (в случае а). Как правило,
тензор поляризуемости а можно считать симметричным (его
антисимметричная часть мала), так что во втором случае величина
ОЧ?0 должна преобразовываться по симметричному кронекеров-
скому квадрату (гл. 4, § 8).
Функции (/1 и O^Fo можно рассматривать как функции
некоторых представлений пространственной группы и, следовательно, для
нахождения правил отбора достаточно установить, имеют ли эти
представления одинаковые неприводимые составляющие.
Приведение О^о обычно довольно просто. Для функции (f\ мы
отдельно рассмотрим однофононные состояния (соответствующее
им представление неприводимо) и двухфононные состояния. В
последнем случае нужно выполнить приведение внутреннего кроне-
керовского произведения или симметричного кронекеровского
квадрата.
Не все фононы дают одинаковый вклад в рассматриваемые
нами эффекты. Особенно важную роль играют частоты cow/, для
которых максимальна плотность состояний, т. е. для которых
Vw ®wt = 0. Соответствующие точки зоны Бриллюэна называют
критическими точками. Их положение частично определяется
симметрией кристалла, частично — величиной элементов динамической
матрицы. Таким образом, основной вклад в поглощение решеткой
и в эффект комбинационного рассеяния дают фононы,
соответствующие критическим точкам зоны Бриллюэна.
2. Однофононные процессы. Однофононные процессы опи«
сываются матричными элементами вида
<f\bt,U).
Поскольку должен выполняться закон сохранения квазиимпульса,
| i) = Ч^о, и оператору О соответствует значение w = 0, то отличны
от нуля только матричные элементы, конечным состояниям
которых также отвечают значения w = 0. Поэтому достаточно иссле*
довать, входит ли в разложение OW0 стандартная форма
244
Гл. 10. Правила отбора
представления с w = 0. Только фононы с w = 0 могут участвовать
в однофононных процессах при инфракрасном поглощении
решеткой. То же самое справедливо и для эффекта комбинационного
рассеяния.
3. Двухфононные процессы. Л. Комбинированные колебания.
Для двухфононных процессов конечное состояние имеет вид
bttb^t^o. (10.34)
При комбинированных колебаниях оба оператора рождения
соответствуют различным наборам элементов тензорного оператора,
определяющим. неприводимые представления пространственной
группы. Согласно (9.34), их произведение преобразуется по
внутреннему кронекеровскому произведению представлений,
соответствующих отдельным операторам. Пусть оператор О преобразуется
по представлению, характеры %(а) неприводимых составляющих
которого известны1). Тогда для числа единичных представлений,
согласно (10.10), имеем (Uq^Uq = 8)
"=7 S^(a)^(«)xWiK^o> (10-35)
Закон сохранения квазиимпульса дает
wf + aowi = К-
Исследуем условия, которым должны удовлетворять в этом случае
звезды.
1) Звезда wf не равна звезде wt. Тогда можно выбрать ао =
«= г. Звезды обратны друг другу. Необходимые условия i ф G0 или
Wi=£0.
2) Звезда w" равна звезде w4. Тогда w" = w1% Для каждого
луча Wi = a^Wi в звезде имеется обратный луч wr = aiCtoWj и
выполняется равенство
Wl + w7 = K, (10.36)
причем вектор v/j не обязательно должен быть отличен от xvr
а) Wj-=w4. Тогда Wr=wr Далее ао = в, что в силу (10.36)
возможно лишь или для Wi = 0, или для 2w4 = К (т. е. для точек
поверхности зоны Бриллюэна).
б) Wj-^Wj. Тогда wr=£wr Звезда имеет четный порядок. В
качестве представителей в стандартных представлениях удобно
выбрать
ai> •••> aslv аро* •••» a5/2ao*
Если i е Go, то можно положить ao = i.
1) Так как оператору О в нашем случае соответствует значение w =* 0, то
%'(а) = х'(а) и не зависит от трансляций.
§ 9. Поглощение решеткой и эффект комбинационного рассеяния 245
Б. Кратные колебания. Для кратных колебаний оба оператора
в (10.34) соответствуют одному и тому же набору элементов
тензора, векторы w и w" относятся к одной и той же звезде и (10.34)
преобразуется по симметричному кронекеровскому квадрату.
Приведение можно выполнить по (10.17). Рассмотрим два случая:
wT = wp wr^Wl
(см. п. А).
а) wp= w4. Тогда
а' = а" = ап = 8, (? = П G = G
0 0 0 » ^о ^Ow,» ^0 ^OWi»
так что
"-7 S ГЩ^Щ^у (10.37)
neG0w,
б) wTM=Wt. В этом случае уже нельзя положить ао = г и мы
имеем
п = -1£ 2 ^(«)5CW1(«)XW1K4) +
а s G0w,
+-£" £ x'>)%w>2)- (10-38)
a s a0G0wi
4. Пример. Структура алмаза. Связанные с симметрией
критические точки структуры алмаза, обусловливающие основной
вклад в поглощение решеткой и эффект комбинационного
рассеяния: Г, X, L, W и 2. Рассмотрим для них однофононные процессы и
комбинированные и кратные колебания в двухфононных процессах.
Начнем с исследования трансформационных свойств
оператора О и функции 04V Для инфракрасного поглощения О
преобразуется по «векторному» представлению, т. е. по Г15. Для эффекта
комбинационного рассеяния О ^ «, где а —симметричный тензор
второго ранга, преобразующийся согласно симметричному
кронекеровскому квадрату Г$, разложение которого имеет вид
ГЙ-Г1фГ1Я0«5.
Мы должны исследовать, содержится ли представление Г45
(инфракрасное поглощение) или Г,, Г12, Г£5 (эффект
комбинационного рассеяния) в данном «фононном» представлении.
Фононный спектр кремния (аналогично и для германия)
приведен на фиг. 19. Из характеров (9.20) следует, что в критических
точках Г, X, L, W имеется 11 различных видов фононов Г£5, Xi9
Хи X*, L3, Li, Lu U Wu 2W2.
1) Однофононные процессы. Для этих процессов существенны
только фононы Г25, которые не участвуют в инфракрасном
поглощении, но участвуют в эффекте комбинационного рассеяния.
246
Гл. 10. Правила отбора
2) Двухфононные процессы. Рассмотрим критические точки Г,
XuW.
Точка Г. Имеются лишь фононы типа Г25, так что могут
возникнуть только кратные колебания, а именно колебания с wi = wy
(2)
[см. (10.37)]. Приведение Гя дает
'(2) "~ " "*•*■*-
Следовательно, фононы Г25 участвуют только в эффекте
комбинационного рассеяния.
Точка X. Исследуем три типа возможных комбинированных
колебаний: ХАХи ХДз и ХхХг. В силу равенства — vtx = w^ + К
в (10.35) используем ао = е. Требуемые значения характеров
приведены в табл. 67 (ср. с табл. 25).
Таблица 67
Х*Х\
Х4Х$
X\XZ
8
4
4
4
2*4
0
0
0
62
-4
4
-4
2р
0
0
0
262
0
0
0
26 2 (zx, zx)
0
-4
0
Для рассматриваемых представлений приведение дает
x4Xi-*r£5erI5®...,
Л4Л3—*Г12®1 is© •••>
*1Хз->Г£5©Г15© ....
Все колебания участвуют и в инфракрасном поглощении и в
эффекте комбинационного рассеяния.
Правила отбора для кратных колебаний определим по (10.37).
В табл. 68 вычислены характеры симметричного кронекеровского
квадрата. При этом учитывалось, что
X({«|vj2) = eiw(ttv«+v«)x({a2|0}),
И для а ф Td по (2.9)
e-,w(ttt+t) = e_,wt/=±I ^ /=={ 0. 2,
[ 1, О.
Приведение для рассматриваемых нами представлений дает
х?\ xf, хТ->тх@тп@г2Ъ@...у
т. е. представление Г45 в разложение не входит. Таким образом,
все кратные колебания в точке X участвуют в эффекте
комбинационного рассеяния, но не участвуют в инфракрасном поглощении.
§ 9. Поглощение решеткой и эффект комбинационного рассеяния 247
Таблица 68
А
А
А
i
-*wt,
\е ->
Xi (*2)
\ Хз (а2)
%* (а2)
х52)
хР
xi2)
{г 10}
4
4
4
2
2
2
3
3
3
2{а4|0}
0
0
0
2
-2
-2
1
-1
-1
{М0}
4
4
4
2
2
2
3
3
з
2{Р|0}
4
0
0
2
2
2
3
1
1
2{62|0}
0
0
0
2
2
2
1
1
1
(И»>
0
0
0
0
1
2
2
2
1
1
1
2(Ч*}
0
0
0
1,3
-1
-2
2
2
-1
1
1
Ы*>
0
0
0
2
1
2
2
2
1
1
1
<*2«l'>
0
4
4
2
1
2
2
2
1
3
3
{ь2гх\*}
0
4
4
0
1
2
2
2
1
з-
3
2{Р|г}
0
0
0
1.3
-1
~2
-2
-2
-1
-1
-1
Точка W. Для точки ww = (я/2а) (1, 2, 0) вектор —ww Ф
фу/w+K
Так как {i|t}eG, выберем a0 = {i|t}, и для aeSjCTd из
(2.9) получаем
а-1 {а |0}а0«{а |т - ат} - {a It,},
так что
где
Х(я5"Ч«|0}а0)~|уе(а),
!V
1,
-1,
—/.
для а<
18*
Для комбинированных колебаний (WiW2, №2^2)*) с помощью
табл. 69 и формулы (10.35) имеем
Г1И72-*Г12®21й02Г15е ....
Га^а-^еГмфГ&фГме....
*) Wil^i не является комбинированным колебанием, так как состояние W\
встречается один раз.
248 Гл. 10. Правила отбора
Таблица 69
I
й«
М^2
^2^2
(«10}
0
1
4
4
{•«1°)
2
— /
-2
2
{•2i|°>
1
-1
0
0
К'И
3
/
-2
2
{а | г} с и ф Td
0 1
0
Оба типа состояний участвуют и в инфракрасном поглощении, и
в эффекте комбинационного рассеяния.
Чтобы найти вклад в оба эффекта кратных колебаний в
точке W, используем множество элементов iGow [см. (10.38)]. В силу
равенства
Х*(\а)=±%*(а)
(плюс для Гь Г12, Г25; минус для Г15) вторую сумму в выражении
(10.38) запишем в виде
± 2 5C({ia|vitt}2)f (а)=± 2 К%({^Ю})%Ш
где [см. (2.9)]
I 1, *Фта.
Таблица 70
А
В
Ml
Ml
1&,({а2|о})
±(А-В)
;{»|0)
4
4
2
2
3
1
{•«И
2
2
0
0
1
1
{*2,|°}
0
0
-2
-2
-1
1
КМ
2
2
0
0
1
1
VlyzV)
0
0
2
2
1
-1
Ы*}
0
0
2
2
1
-1
<*2у*И
0
0
2
| 2
1
-1
ы*>
0
0
2
2
1
-1
§ 9. Поглощение решеткой и эффект комбинационного рассеяния 249
Используя табл. 70, выполним приведение
W?\ 1И?->Г,0Г12®Гие ..:,
откуда снова видно, что представление Г^ в разложение не
входит. Таким образом, кратные колебания в точке W участвуют в
эффекте комбинационного рассеяния и не участвуют в
инфракрасном поглощении.
5. Кристаллы с центром инверсии. Рассматривая только
симметрию относительно подгруппы ({е 10}, {i|0}) и используя
результаты § 1, легко показать, что для кристаллов с центром инверсии
двухфононные процессы для кратных колебаний в инфракрасном
поглощении не участвуют, а для точек общего типа все
двухфононные процессы участвуют и в инфракрасном поглощении и в
эффекте комбинационного рассеяния.
Рассматриваемые фононы в силу закона сохранения
квазиимпульса имеют противоположные волновые векторы: bwt b-Wf.
Если btvt и &lWf соответствуют одному и тому же набору
элементов оператора (кратные колебания), то п вычисляется по (10.37)
или по (10.38) в зависимости от того, имеет ли место равенство
w = —w или w Ф —w. В обоих случаях получаем
/i = -i(l+P),
где число Р характеризует четность оператора возмущения. Эта
величина равна — 1 для оператора Р и +1 для оператора а.
Следовательно, двухфононные кратные колебания не участвуют в
инфракрасном поглощении.
Комбинационные кратные колебания в точке общего типа,
напротив, возможны, так как в этом случае только е е Go.
Если операторы btt и 6lwr относятся к различным частям
операторов (комбинированные колебания), то п можно вычислить
по (10.35). Для точки общего типа имеем п = 1. Следовательно,
комбинированные колебания в общей точке участвуют и в
инфракрасном поглощении и в эффекте комбинационного рассеяния. Это
утверждение справедливо, если i ф G0.
Приложение I
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
Трехмерная группа вращений Ь3 состоит из поворотов вокруг
произвольных осей на произвольные углы в трехмерном
пространстве. Ее элементы определяются тремя параметрами, например
двумя углами, задающими направление поворота, и углом
поворота, или тремя углами Эйлера. Группа вращений — это
бесконечная группа, и поэтому доказанные в гл. 1 теоремы для нее
несправедливы. Можно, однако, показать, что во многих случаях эти
теоремы могут быть использованы.
Перечислим некоторые существенные для нас свойства группы
вращений и ее представлений.
1. Для каждого целого / имеется одно точное (за исключением
/ = 0) неприводимое представление 2)* группы вращений
размерности 2/ + 1. Характеры представлений 2)* зависят только от
углов коворота
Ш-^Щ^-- (пи)
Элементы, имеющие одну и ту же величину угла, относятся к
одному классу.
2. Всякое приводимое представление группы Ь3 может быть
разложено на неприводимые.
3. Сферические функции
У «ЮЛ {(-»mNtmP\m4cosb)e™ m = 0 /,
Ytm^^\NtmP\m4cos^e^, «--/ -1, (Ш>2)
образуют базис представления %% группы вращений.
Нормировочный множитель Nim вычисляется по формуле
и -./2/+1 (/-lm|)i . ш. 3v
Nim-y —5Г.(/ + |т|), • U11.0J
Неприводимые представления группы вращений 251
— присоединенные полиномы Лежандра. Таким образом,
сферические функции ортонормированы на сфере единичного радиуса
J Уг«' (Ъ ф) Yim (Ф, ф) da = вй^ш'.
4. Трехмерная группа вращений Ь3 путем добавления
инверсии i может быть расширена до трехмерной ортогональной
группы Оз, т. е.
<>з = Ь3 X Си
где Gi—Lгруппа, состоящая из элементов еи1
5. Так как о3 можно представить в виде прямого произведения,
каждому представлению 5D/ группы Ьз соответствуют два
представления S)f группы Оз. В представлении 35/+ элементу i соответствует
(21 + 1) -мерная единичная матрица, в представлении S)f — эта
же матрица с обратным знаком.
6. Сферические функции К*т, как видно из их определения,
имеют четность (—I)1:
Р,Г/т = (-1)'Г/т. (П1.4)
Следовательно, при четном / они являются базисными функциями
представлений 55)*, а при нечетном / — базисными функциями
представлений ©f.
7. Множество двумерных унитарных матриц с детерминантами,
равными 1, как легко видеть, образуют группу — так называемую
унитарную группу и2. Группа вращений Ь3 есть гомоморфный
образ группы и2, в котором каждой паре матриц S и —S из и2
соответствует. один и тот же элемент Ьз. Гомоморфизм задается
соотношением
' Sa^S^a., (ш.5)
где d — спиновые матрицы Паули и (a*j) — матрицы
представления SVrpynnbi вращений. Очевидно, что если указанное
соотношение имеет место для Sa, то оно должно выполняться и для
XSa. Однако так как XSa<= u2, то К = ± 1.
8. Унитарная группа it2 имеет ровно одно неприводимое
представление 3>/ размерности (21 + 1). Представления нечетной
размерности не являются точными: преобразованиям Sa и —S*
соответствуют одинаковые матрицы. Однако эти представления
являются точными (за исключением I = 0) представлениями 35/
группы вращений Ь3. Представления четной размерности являются
точными представлениями. Эти представления также называют спи-
новыми представлениями группы вращений Ь3. При этом каждому
элементу группы вращений соответствуют две матрицы, которые
отличаются друг от друга знаком. Для спиновых представлений
252
Приложение 1
основное свойство представлении справедливо с точностью до
знака
D(a)D(P)=±£>(aP).
Группа и2 совпадает со своим представлением ©у,. Матрицы
Sa (а е Ьз) можно записать через три угла Эйлера Ф, 0 и Ч? *)
? 2 cos^ — б sinT
[Sa=| ^г_ф ^+ф |, (П1.6)
(ХФ, 0, Чг<^2я. (Для 2я<Ф, 0, ^F^4n получаются те же
матрицы, но с противоположным знаком.)
Мы будем рассматривать (П1.6) в качестве окончательного
определения Sa.
1) Каждое произвольное вращение а однозначно может быть построено из
трех последовательных вращений: вращения на угол Ф вокруг оси г, вращения
на угол в вокруг (новой) оси у и вращения на угол Ч? вокруг (новой) оси г.
Приложение 2
ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
И ШУРА
Пусть 5) — некоторое неприводимое представление группы
Требуется доказать, что
( g, S)~S>\ 55* = /,
£ Х(а2)= О, £>*2>*,
0SG I -g, 2>~2>*. 55*=-/.
Действительно, ,
2 X(a2) = S S Dw(a)D/f(a)-2 S Dt/(a)D'tf(a-»).
aeG i,/esO w ' i, i a *= G ч *'
Тогда если S) ^ 3)*, то вычисленная сумма обращается в нуль
основной теореме (1.6).
Если же 5) ~ ©*, т. е.
то по (1.6) снова имеем
asG i, j т,п а^ G
=iy2iS7llsli = f%s-lisii=JLsp(sS)=±g
для 55* = ±/.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
/ Единичная матрица
а — {«| а} Элемент пространственной группы
at Представители в стандартной форме
А Векторный потенциал
byffiXrt Операторы уничтожения и рождения фононов
Ь/ Базисные векторы обратной решетки
ciik Коэффициенты в умножении классов
С Класс сопряженных элементов
D (а) Матрица представления, соответствующая элементу а
O^R/R'/') Динамическая матрица
Ъ Представление
£>/2v Симметричный кронекеровский квадрат 3)
©до Антисимметричный кронекеровский квадрат S)
£)а Сопряженное представление
Ъ^ Допустимое представление
£)^ Индуцированное представление
£)/ Представление группы вращений
Ъ^ Ограничение представления
Ь3 Трехмерная группа вращений
e{w) Матрица поляризаций
JE"kv Энергия электрона Блоха
ewf Вектор поляризации
g Порядок группы
G Размер основной области
G Пространственная группа
Go Точечная группа
(701с Точечная группа волнового вектора к
(7^ Двойная точечная группа волнового вектора к
Q(d) Двойная пространственная группа
(7к Группа волнового вектора к
G^ Двойная группа волнового вектора к
i Инверсия
/С Оператор обращения времени
/Со Оператор комплексного сопряжения
Обозначения
255
к Приведенный волновой вектор
К Вектор обратной решетки
L Малая группа
8 Левосторонний смежный класс
т Кратность орбиты
Ms Масса s-й частицы кристалла
Oh Полная кубическая группа
03 Трехмерная ортогональная группа
О Орбита
Ра Оператор симметрии
Р Электрический дипольный момент
Qvrt Нормальные координаты
q Волновой вектор световой волны
г Число классов
R Допустимая трансляция
SR Правосторонний смежный класс
s Порядок звезды
S Число базисных атомов в элементарной ячейке
S\p) Матрица класса
Sd Элемент группы ц2
X Группа трансляций
fd Группа тетраэдра
Т(ф Двойная группа трансляций
- t( Векторы основных трансляций
' и« Смещения частиц кристалла из их положений равновесия
щ Унитарная группа
V0k Коэффициенты Фурье кристаллического потенциала
Vq (г) Кристаллический потенциал
va Неэлементарные трансляции
w Волновой вектор колебаний решетки
а Тензор поляризуемости
а Элемент точечной группы
•8 Единичный элемент точечной группы Go
v Номер полосы
|ру Приведенные смещения
о( Спиновые матрицы Паули
а Вектор-матрица Паули
т Базисные векторы
J Характер
i|)kv Функция Блоха
Ч^ Состояние вакуума
(Owt Частота колебаний решетки
Q Объем основной области
СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zak /., Phys. Rev., 136, А776 (1964).
2*.Fischbeck Я. /., Phys. stat. sol, 38, 1 (1970).
3*. Slater /. C, Phys. Rev., 81, 385 (1951).
4. Roothaan С. C. /., Rev. Mod. Phys., 23, 69 (1951).
5*.Herring C, Phys. Rev., 57, 1169 (1940).
6. von der Lage F. C, Bethe Я. A., Phys. Rev., 71, 612 (1947) (см. перевод
в книге Р. Нокс, А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970)^
7. Bell D. G., Rev. Mod. Phys., 26, 311 (1954) (см. перевод в книге Р. Нокс,
А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970).
S*.Altmann S. L., Cracknell А. P., Rev. Mod. Phys.*, 37, 19 (1965).
9*.Altmann S. L., Bradley C. /., Rev. Mod. Phys., 37, 33 (1965).
10. Koster С F., в книге «Solid State Physics», vol. 5, New York, 1957.
11. Elliott R. J., Phys. Rev., 96, 280 (1954) (см. перевод в сборнике «Проблемы
физики полупроводников», ИЛ, 1957).
12. Wigner Е., Group Theory, New York, 1959 (см. перевод: Е. Вигнер, Теория
групп, 1961).
13. Herring С, Phys. Rev., 52, 361 (1937) (см. перевод в книге Р. Нокс, А. Голд,
Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970.)
[4*.Рашба Е. Я., ФТТ, 1, 407 (1959).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борн М., Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ,
1958.
2*.Багавантам С, Венкатарайуду Т., Теория групп и ее применение к
физическим проблемам, ИЛ, 1959.
3. Вигнер Е., Теория групп, ИЛ, 1961.
4. Джонс Г., Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах,
изд-во «Мир», 1968.
5. Дирак П., Основы квантовой механики, Гостехиздат, М. — Л., 1947.
6. Каллуэй Дж., Теория энергетической зонной структуры, изд-во «Мир», 1969.
7*. Кэртис Ч., Райнер Я., Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр, изд-во «Наука», 1969.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, изд-во «Наука», 1963.
9. Любарский Г. Я-, Теория групп и ее применение в физике, ГИТТЛ, М., 1957.
[0*.Нокс Р., Голд А., Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970.
\\*.Петрашень М. Я., Трифонов Е. Д., Применение теории групп в квантовой
механике, изд-во «Наука», 1967.
12*. Соколов А. В., Широковский В. П., УФН, 60, 617 (1956); 71, 485 (1960).
13*. Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам,
изд-во «Мир», 1966.
14. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
15. Bethe Я., Ann. Phys., 3, 133 (1929).
J6. Birman J. L., Phys. Rev., 127, 1093 (1962); 131, 1489 (1963).
Список рекомендуемой литературы
257
17. Воегпег #., Darstellungen von Gruppen mit Berucksichtigung der Bedurfnisse
der modernen Physik, Berlin, 1955.
18. Bouckaert L. P., Smoluchowski R., Wigner £., Phys. Rev., 50, 58 (1936) (см.
перевод в книге Р. Ноксу А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во
«Наука», 1970).
19. Cornwell J. P., Group Theory and Electronic Energy Bands in Solids,
Amsterdam— London, 1969.
20. Elliott R. /., London R., Journ. Phys. Chem. Solids, 15, 146 (1960).
21. Falk G., Algebra, в книге Handbuch, der Physik, Bd. 2, Berlin — Gottingert -=-
Heidelberg, 1955.
22*. Frei V.y Czech. Journ. Phys., B17, 147, 233 (1967); Phys. stat. sol., 22, 381
(1967).
23. Herring C, Journ. Franklin Inst., 233, 525 (1942) (см. перевод в книге
Р. Нокс, А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970).
24. Herring С, Phys. Rev., 52, 365 (1937) (см. перевод в книге Р. Нокс, А. Голд,
Симметрия в твердом телех изд-во «Наука», 1970).
25. Lax М.у Hopfield J. /., Phys. Rev., 124, 115 (1961 (см. перевод в книге
Р. Нокс, А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», .1970).
26. Lax М.у в книге Proceedings of the International Conference on
Semiconductors Exeter, 1962 (см. перевод в книге Р. Нокс, А. Голд, Симметрия в
твердом теле, изд-во «Наука», 1970).
27. Lax М.у Phys. Rev., 138, А793 (1965).
28. Littlewood D. E., The Theory of Group Characters and Matrix Representations
of Groups, Oxford, 1940.
29. Lomont J. 5., Applications of finite groups, New York, 1959.
30. London R., Adv. Phys., 13, 423 (1964).
31. Mariot L., Groupes finis de symetrie de recherche de solutions de Tequation
de Schrodinger, Paris, 1959.
32. McWeeny R., Symmetry, Oxford, 1963.
33. Opechowski W\, Physica, 7, 552 (1940) (см. перевод в книге Р. Нокс9
А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», 1970),
34. Seitz P., Ann. Math., 37, 17 (1936).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алмаза структура 71, 89
Антилинейный оператор 102
Атомная ячейка 169
Базисные функции 101
Базодентрированная решетка 54
Блоха множитель 142
— суммы 166
— теорема 142, 166
— функция 142
— электроны 142
Борна — Кармана условия 52, 77
Браве решетка 52, 53, 69
Бриллюэна зона 76, 88, 139, 154
Векторное Пространство инвариантное
20
Ветви колебаний акустические 204
оптические 204
Вигнера — Зейтца ячейка 53, 69,76,153,
167
Вигнера — Эккарта теорема 128
Винтовые движения 51
Волны плоские ортогонализованные 165
симметризованные 153
Вращение 50
— с инверсией 50
Вырождение дополнительное 189
— закономерное 114, 189
*— случайное 114, 146
Гармоническое приближение 201
Германий 235, 240, 241
Главный минор 1В
Голоэдрия 53, 65, 56, 65, 70, 76
Гомоморфный образ 16
Группа абелева 9, 24
— вещественная аффинная 50, 204
— вращений 65, 131, 167, 250
— диэдра 62
— изоморфная 16
— конечная 9
Группа малая 40
волнового вектора к 80
— октаэдра 62
— пространственная 49, 51, 79
двойная 175
симморфная 69
— тетраэдра 62
— точечная 52, 59, 66, 69
абстрактная 59
волнового вектора к 82
второго рода 59, 63
двойная 177
волнового вектора 176
первого рода 59
— трансляций 51, 77, 81
— трехмерная ортогональная 251
— унитарная 251
— циклическая 9, 62, 64
— четверная Клейна 10, И, 23, 31
Группы порядок 9
— представление 23
— таблица 9
Двухфононные процессы 244
— состояния 217
Детерминант 18
Дипольное приближение 238
Задача на собственные значения 17
Закон сохранения квазиимпульса 223,
232
Звезда вектора к 80, 138
— общего типа 80, 81
к-звезда вектора к + К 154
Звезды порядок 80
Звуковые кванты 204
Зона валентная 149
— проводимости 149
Инверсия 36, 63
Инфракрасное поглощение решеткой
242, 249
Предметный указатель
259
Классы элементов 13
Клебша — Гордана коэффициенты 131
уравнение 131
Колебания акустические 211
— комбинированные 217, 244, 247
— кратные 217, 245
— оптические 211
— поперечные 212
— продольные 212
— решетки 201
Коэффициенты связи 130
Край поглощения 239
Кремний 149, 181, 231, 241
Кристалл без базиса 70, 204
— с базисом 70
центром инверсии 249
Кристаллическая система
гексагональная 58, 67
кубическая 56, 67, 76
моноклинная 54, 67
орторомбическая 54, 67
ромбическая 54
ромбоэдрическая 57
тетрагональная 55, 67
тригональная 57, 67
триклинная 54, 67
Кристаллические классы 67
системы 54, 67
Критерий приводимости 33
Критические точки 243
Кронекеровский квадрат
антисимметричный 128, 222, 226
— — симметричный 127, 222, 226
Кронекеровское произведение 35, 222
внешнее 36
внутреннее 36, 224
Материальные тензоры 220
Матрицы вращений 17
— диагональные 17
— динамические 202
— нормальные 17
— ортогональные 17
— перестановок 17
— поляризации 203
— приводимые 17, 19
— размерность 17
— самосопряженные 17
— симметричные 17
— сопряженные 17
— транспонированные 17
— унитарные 17
— эквивалентность 17
— эрмитовы 17
Междолинное рассеяние 231
Нормальные координаты 202
Нормальный делитель 12, 38, 52
Однофононные процессы 243, 245
— состояния 216
Оператор Гамильтона электронной
задачи 132
— обращения времени 102, 186
— проектирования 105
— тензорный 126, 221
Орбита 38
Основная область 77
Ось вращения 10
— с 59
Отражение 64
— в плоскостях скольжения 51
Паули уравнение 172
Переходы оптические непрямые 239
прямые 237, 238
Подгруппы 12, 37
— инвариантные 12
— индекс 12
Подход адиабатический 50
Поляризации вектор 203
Постулат неприводимости 114
Потенциал отталкивания 155
Правила отбора 107, 108; 123, 128, 221
Правильные собственные функции 119
Представлений основная теорема 27
— основное свойство 23
— пространство 102
— размерность 23
— стандартная форма 47, 80
— функции 102
— характер 25
Представления дополнительные 177
— допустимые 43
— индуцированные 40
— истинные 24
— неприводимые 39
— нечетные 37
— предельные 121, 144
— приводимые 29
— регулярные 26
— самосопряженные 38
— сопряженные 38
— спиновые 25
— тождественные 24
— четные 37
— эквивалентные 24
Преобразование подобия 17
Приведение по звездам 190, 232
Приведенный эолновой вектор 79, 138
260
Предметный указатель
Процессы переброса 232
— рождения 242
— уничтожения 242
Прямая сумма 19
Прямое произведение групп 34
Рекомбинация 240
Решетка 52, 67, 69
— кубическая гранецентрированная 56
объемноцентрированная 57
— — простая 56
— обратная 75
— прямая 75
Решетки гармоники 171
кубические 171
— колебания 201
— постоянная 56
Симметричные комплексы 89
— линии 89
— плоскости 89
— точки 89
Симметрия относительно обращения
времени 187, 228, 237
Система матриц 18
порядок 18
эквивалентная 18
— с заполненными оболочками 135
След 18
Слэтера детерминант 133
Смежные классы левосторонние 12
правосторонние 12
Совместности соотношения 143, 182,
184
Состояния антисвязующие 168
— связующие 168
Спин-орбитальное взаимодействие 172
Точечное преобразование 50
Трансляции неэлементарные 68, 72
— частичные 69
— элементарные 52
Фактор-группа 13, 68
Фока уравнения 133
Фононы 204
Фохта индексы 127
Фробениуса и Шура теорема 194, 253
Функции блоховские 142
— представления 101, 102, 108
— симметризованные 107, 126, 153
Характер 25, 26, 31
Характеристический полином 18
Характеров вектор 28
— таблица 31
Цинковой обманки структура 71, 182,
193
Шредингера теория возмущений 118
Шура лемма 21, 210
Эквивалентность 17
Элемента порядок 10
Элементарная ячейка 53, 58
Элементарный многогранник 89, 139,
148, 157, 162, 167, 245
Элемент единичный 9
— образующий 9
— обратный 9
— сопряженный 13, 51
Энергетические зоны 137
Энергетических зон вырождение 139,
149, 151
случайное 146
— — индекс 139
— — перекрытие 148
Энергия связи 49
Эффект комбинационного рассеяния
242, 244, 249
Ячеечные методы 153
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода g
Предисловие автора 7
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА 9
§ 1. Группы 9
§ 2. Матрицы 16
§ 3. Теория представлений 22
ГЛАВА 2. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ .... 49
§ 1. Определение и свойства пространственных групп 49
§ 2. Неприводимые представления пространственных групп 75
ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 101
§ 1. Базисные функции 101
§ 2. Теорема о разложении 104
§ 3. Приведение с помощью идемпотентных операторов ...... 105
§ 4. Ортогональность базисных функций Ю7
§ 5. Критерий для функций представлений 109
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 111
§ 1. Гамильтонианы, обладающие симметрией 111
§ 2. Собственные пространства и представления -.113
§ 3. Пример 116
§ 4. Сравнение с методом Дирака 117
§ 5. Теория возмущений Шредингера 118
§ 6. Учет симметрии 121
§ 7. Правила отбора 123
§ 8. Тензорные операторы 126
§ 9. Теорема Вигнера — Эккарта 1Г8
ГЛАВА б. ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ • 132
§ I. Уравнения Фока 132
§ 2. Симметрия оператора Фока 134
§ 3. Энергетические зоны 137
§ 4. Трансформационные свойства собственных функций. Теорема
Блоха 140
§ б. Соотношения совместности 143
§ 6. Случайное вырождение 146
§ 7. Пример. Структура алмаза 148
ГЛАВА 6. РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН 152
§ 1. Методика 152
§ 2. Симметризованные плоские волны 153
262 •
Оглавление
§ 3. Пример 157
§ 4. Метод ОПВ 164
§ 5. Решеточные гармоники 169
ГЛАВА 7- СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. ДВОЙНЫЕ ГРУППЫ ... 172
§ 1. Спин-орбитальное взаимодействие 172
§ 2. Симметрия уравнения Паули ! . . .173
§ 3. Неприводимые представления двойных пространственных групп . 175
§ 4. Дополнительные представления двойных точечных групп .... 177
§ 5. Спин-орбитальное расщепление 180
§ 6. Пример. Структура цинковой обманки . . , .182
ГЛАВА 8. СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ОБРАЩЕНИЮ ВРЕМЕНИ .... 186
§ 1. Определение оператора обращения времени . . . . .. . . . .186
§ 2. Задачи, обладающие симметрией относительно обращения времени 187
§ 3. Критерий дополнительного вырождения 191
§ 4. Теорема Фробениуса и Шура для пространственных групп . . .194
§ 5. Пример. Структура цинковой обманки 198
ЛАВА 9. КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ 201
§ 1. Борновская теория решеток 201
§ 2. Симметрия динамической матрицы 204
§ 3. Трансформационные свойства векторов поляризации 207
§ 4. Пример. Структура алмаза . \ . 208
§ 5. Трансформационные свойства операторов рождения фононов . . 213
§ 6. Трансформационные свойства фононной волновой функции . . . 216
ГЛАВА 10. ПРАВИЛА ОТБОРА 220
§ 1. Тензоры 220
§ 2. Матричные элементы 221
§ 3. Трансляции .- 222
§ 4. Приведение внутреннего кронекеровского произведения двух
стандартных представлений 224
§ 5. Приведение симметричного (антисимметричного) кронекеровского
квадрата стандартного представления 226
§ 6. Симметрия по отношению к обращению времени . '. 228
§ 7. Электрон-фононное взаимодействие . ' 229
§ 8. Оптические электронные переходы 237
§ 9. Поглощение решеткой и эффект комбинационного рассеяния . . 242
ПРИЛОЖЕНИЕ- 1. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 250
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА И ШУРА . 253
Обозначения 254
Список цитируемой литературы 256
Список рекомендуемой литературы 256
Предметный указатель ..,,...,....,.., 258
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по
адресу:
129820, Москва, И-JIO, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».
Г. Штрайтвольф
ТЕОРИЯ ГРУПП
В ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЁЛЛ
Редактор В. Я. САМСОНОВА
Художник Я. А, Фильчагина
Художественный редактор Я. Ф. Некундэ
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор Соколова Я. С.
Сдано в набор 16/1II 1971 г.
Подписано к печати 23/VII 1971 г.
Бумага №2, 60X907ie=8,25 бум. л. 16,50 печ
л. Уч.-изд. л. 14,78. Изд. № 2/5532
Цена 1 р. 42 к. Зак. 1026
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва» 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография №2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Измайловский проспект, 29