От алгоритмов — к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления - Шапиро С.И.

Автор: Шапиро С.И.

Теги: деятельность и организация общая теория связи и управления (кибернетика) основы образования теоретические основы философские основы и др математика психология педагогика

Год: 1973

Похожие

Булева структура и её модели

Суждения

Математическая логика и теория алгоритмов

Математика и психология

Текст

С.И.Шапиро
От алгоритмов
- к суждениям
ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ОБУЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТАМ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ
Вступительная статья
А. И. Берга, Б. В. Бирюкова и А. А. Столяра
Москва «Советское радио» Н73

15
Ш 233
УДК 007:37.01
Шапиро С. И. От алгоритмов — к суждениям (Эксперименты по обу-
обучению элементам математического мышления). М., «Сов. радио», 1973г., 288 с.
Книга посвящена важнейшей проблеме психологии мате-
математического мышления — соотношению между процессом мышления
и его продуктом, т. е. между психологическим и логическим. Опи-
Описан многолетний психолого-педагогический эксперимент и предложе-
предложена адекватная модель обучения. Для формализации процессов
мышления и обучения использованы алгоритмы типа Ляпунова,
аппарат алгебры высказываний, направленные графы, операторные
схемы. Обсуждаются вопросы нахождения учащимися обобщенной
модели при решении задач.
Выявлены общие принципы переработки информации челове-
человеком — укрупненные действия, объединение логических элементов,
иерархическое перекодирование, в ходе которого образуются систе-
системы «вложенных» алгоритмов.
Полученные результаты имеют выход к проблемам логики,
интуиции, эвристики в математическом мышлении.
Книга адресуется психологам, математикам, педагогам, а так-
также спецалистам, занятым моделированием разумной деятельности и
совершенствованием человеко-машинных комплексов.
Публикуется по рекомендации Научного совета
по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР
Редакция кибернетической литературы
3314-074
in
Ш
046@1)-73 '*'16 {
Издательство «Советское радио», 1973.

ОПЕРАТОРНО-ЛОГИЧЕСКАЯ «МОДЕЛЬ»
МЫШЛЕНИЯ И ОБУЧЕНИЯ
И КИБЕРНЕТИЧЕСКАЯ ПЕДАГОГИКА
(Вступительная статья)
Задача научной организации процессов труда и обу-
обучения в наши дни осознается как государственная про-
проблема. Это вызывает к жизни исследования, ставящие
задачей существенное улучшение содержания и методов
воспитания и образования. К решению педагогических
проблем все настойчивее начинают привлекаться мате-
математика и кибернетика.
И это понятно. В решении проблемы рационализации
образовательного и воспитательного процессов психоло-
психолого-педагогические исследования, связанные с примене-
применением принципов и методов научного анализа, идущих от
кибернетики и ее математического аппарата, должны
занять важное место. Теперь уже трудно представить
себе разработку психологических и педагогических про-
проблем, которая бы игнорировала «кибернетический путь»
изучения мышления и поведения, совершенствования
обучения и разработки и применения обучающих
устройств.
Идейная основа «кибернетизации» обучения человека
предельно ясна. Она состоит в том — совершенно есте-
естественном— тезисе, что обучение можно рассматривать
как специфический процесс управления, в котором
объектом управления является человек; управление
здесь состоит в воздействии на знания и навыки, на лич-
личностные особенности человека, а цель обучения состоит
в том, чтобы, переводя эту «систему» из одного «состоя-
«состояния» в другое, прийти в конце концов к такому состоя-
состоянию «управляемого объекта» — обучаемого человека, ко-
которое желательно с точки зрения и личности, и общества.
Развернувшееся за последние десять с лишним лет
привлечение точных наук к решению психолого-педаго-
психолого-педагогических проблем привело к появлению областей иссле-
исследования, которые нередко называют «математической
3

психологией» и «кибернетической педагогикой» *\ Важ-
Важно подчеркнуть, что эти области ничуть не «посягают»
на «классические» методы и идеи наук о психике, пове-
поведении и обучении. Наоборот, они преследуют цель раз-
Еивать все ценное, что накоплено психолого-педагогиче-
психолого-педагогической мыслью за тысячелетия ее развития.
Факты свидетельствуют, что математические методы
в науках о человеке имеют немалую историю. Мы можем
в этой связи назвать, например, одного из классиков
психологии и педагогики — И. Ф. Гербарта, автора двух-
двухтомного труда «Психология как наука, заново обосно-
обоснованная наопыте, метафизике и математике» **) И. Ф. Гер-
барт предпринял попытку создать математическую тео-
теорию психологии — «науки о душе», как было принято
говорить в его время. Говоря нынешним языком, он пы-
пытался построить математическую модель неко-
некоторых фрагментов психики, используя для этого аппарат
тогдашней математики — дифференциальное и инте-
интегральное исчисление.
Цель, которую ставил перед собой И. Ф. Гербарт,—
дать такое исследование психики, которое было бы по-
подобно исследованию природы, поскольку последнее всю-
всюду предполагает вполне закономерную связь
явлений и отыскивает ее при помощи разбора фактов,
осмотрительных заключений, проверяемых гипотез и, на-
наконец, где это возможно,, при помощи оценки величин и
вычислений ***> — эту цель можно считать целью всей
*' В 1963—1965 гг. за рубежом вышла энциклопедия математи-
математической психологии — «Handbook of Mathematical Psychology», ed. by
R. Dunkan Luce [a. o.], vol. I—III, New York and London, 1963—1965.
Обширный материал по математическим методам психологии содер-
содержится в труде «Экспериментальная психология» (сб. статей; редак-
редакторы-составители П. Фреес и Ж- Пиаже. Пер. с фраиц. Общ. ре-
редакция и предисловие А. Н. Леонтьева. Вып. 1, 2, 1966; вып. 3, 1973;
вып. 4, 1973, М., «Прогресс»). Кибернетической педагогике посвящеи
двухтомный труд Г. Франка (Н. Frank, Kybernetische Grundlagen
der Padagogik, Bd I—II, 2. Aufl. Baden-Baden, 1969). Методы тео-
теории информации в психолого-педагогической сфере разрабатываются
К. Вельтиером (К. Weltner. Informationstheorie und Erziehungswis-
senschaft. Quickborn, 1970). В нашей стране точные методы в пси-
психологии и педагогике применяются с начала 60-х годов. Следует,
в частности, отметить книгу Л. Б. Ительсоиа «Математические и ки-
кибернетические методы в педагогике» (М., «Просвещение», 1964).
**' J. F. Herbart, Psychologie als Wissenschaft, neu gegriindet auf
Erfahrung, Metaphysik und Mathematik^ B. 1, Konigsberg, 1824; B. 2,
Konigsberg, 1825.
***> J. F. Herbart, op. cit., стр. 1.

современно^ психологии, в том числе педагогической.
В реализации этой цели математико-кибернетические
методы находят вполне определенное, органическое
место.
Если попытаться обозреть совокупность современных
математико-кибернетических методов в науках о психи-
психике, поведении и обучении, — мы будем называть эту об-
область «кибернетической педагогикой», памятуя, разуме-
разумеется о всей условности этого термина*' (мы отнесем
к «кибернетической педагогике», в частности, математи-
математические методы в педагогической психологии), — то обзор
будет выглядеть следующим образом**). С точки зрения
применяемых методов естественно различаются три
группы исследований. Одну из них составляют исследо-
исследования, в которых используются такие разделы «дискрет-
«дискретной» математики, как теория автоматов, теория игр, тео-
теория алгоритмов, включая прикладную теорию алгорит-
алгоритмов и алгоритмические языки, математическая логика
и т. д.
Эти средства применимы при анализе основных поня-
понятий «кибернетической, педагогики», при разработке и
анализе обучающих программ — при программированном
обучении, моделировании взаимодействия обучаемого
с обучающей программой и т. д. Другая группа иссле-
исследований основана на использовании теоретико-инфор-
теоретико-информационных и вероятностно-статистических методов (тео-
(теоретико-информационное исследование текстов, вопросы
восприятия и переработки информации человеком, семан-
семантические преобразования и др. вопросы, существенные
для понимания процессов мышления, решения задач и
обучения). Наконец, третья группа исследований концен-
*) Впрочем, выражение «кибернетическая педагогика» все шире
входит в употребление. В ЧССР, например, за последние годы со-
состоялось уже два симпозиума по кибернетической педагогике.
**) См. Б. В. Бирюков, Е. С. Геллер. Кибернетика в гуманитар-
гуманитарных науках. М., «Наука», 1973. Ом. также Н. Д. Никандров. Про-
Программированное обучение и идеи кибернетики (анализ зарубежного
опыта). М., «Наука», 1970, гл. 2, § 3; в книге Н. Д. Никавдрова
аналогичный обзор сделан исключительно-на зарубежном .материале.
Хорошее представление о составе исследований, объединяемых тер-
термином «кибернетическая педагогика», дает Второй Пражский симпо-
симпозиум по кибернетической педагогике (ом. Б. В. Бирюков, Э. П. Джу-
гели, С. С. Масчан. Современные проблемы кибернетической педа-
педагогики. О втором Пражском симпозиуме по кибернетической
педагогике. «Информационные материалы: кибернетика», вып. 3E9).
М., Изд. Научного совета по кибернетике АН СССР, 1972).

трируется вокруг применения ЭЦВМ для обучения и ис-
исследовательской работы в психологии и педагогике *>..
Следует, однако, подчеркнуть, что эта «рубрикация»
педагогико-кибернетических исследований относительна.
Различные математико-кибернетические методы в пси-
психологии и педагогике требуют совместного, комплексно-
комплексного применения. Алгоритмический подход в ис-
исследовании мышления и актов поведения, в педагоги-
педагогике,— о котором теперь у «ас пойдет речь, — отличается
тем, что в его рамках как бы синтезируются отмеченные
выше линии исследований. В этом отношении он нахо-
находится, так сказать, в «сердцевине» кибернетической пе-
педагогики. Например, он тесно связан с программирован-
программированным обучением, так как создание и использование обу-
обучающих программ и машин фактически предполагает
разработку соответствующих алгоритмов. С другой сто-
стороны, исследование проблем самой алгоритмизации обу-
обучения требует привлечения понятий и аппарата матема-
математической логики, а для оценки качества алгоритмов обу-
обучения целесообразным оказывается привлечение и
средств теории информации. Практическое же примене-
применение алгоритмического подхода требует накопления боль-
большого, соответствующим образом обработанного, спытно-
статистического материала о ходе обучения и об инди-
индивидуальных особенностях усвоения.
Но что, однако, означают слова «алгоритмический
подход в психологии и педагогике»? Под этим имеется
в виду алгоритмизация в обучении, т. е. pas-
работка и обучение учащихся алгоритмам решения опре-
определенных (грамматических, математических, химических
и т. п.) задач, а также построение алгоритмов самого
обучения, т. е. алгоритмов, которые использует препода-
преподаватель в своей учебной работе; поскольку построение
*' Хорошее представление о развитии этого направления в на-
нашей стране дает книга: «Применение ЭВМ в учебном процессе».
Сборник докладов научно-технического семинара, под ред. А. И. Берга,
М., «Советское радио», 1969. В открывающей этот сборник статье,
авторами которой являются В. М. Глушков, А. М. Довгялло,
Е. И. Машбиц и Е. Л. Ю щен ко, рассмотрены различные аспек-
аспекты применения ЭЦВМ в обучении, включая возможности-использо-
возможности-использования ЭЦВМ для управления учебными заведениями, автоматизации
исследований и разработок в области образования и т. д. Что ка-
касается зарубежных работ на аналогииную тему, то можно указать
книгу «Кибернетика и проблемы обучения» (сб. переводов, ред. и
предисл. А. И. Берга). М., «Прогресс», 1970.
6

алгоритмов последнего рода по существу выливается
в построение обучающих программ, оказывается, что
программированное обучение (точнее, дидактическое
программирование) является, определенным ответвлени-
ответвлением алгоритмического подхода *\ Поэтому, когда говорят
об «алгоритмическом подходе к обучению» как о подхо-
подходе, не равнозначном просто программированному обуче-
обучению, ударение делают на обучение алгоритмам.
В «алгоритмический подход» также включается примене-
применение метода алгоритмического (и связанного с ним логи-
логического) анализа и описания процессов мышления и
актов поведения с целью более глубокого уяснения при-
природы интеллектуальных и педагогических процессов.
Разработке алгоритмического подхода как метода ис-
исследования математического мышления и повышения
эффективности обучения математике и посвящена книга
С. И. Шапиро.
Однако прежде чем переходить к этой книге, сделаем
несколько замечаний о понятии алгоритма, как оно
выступает в психолого-педагогических исследованиях и
в решении проблем рационализации обучения.
Древние греки сложили миф об Ариадне, которая по-
послала Тезея убить Минотавра, прятавшегося в запутан-
запутанном лабиринте. Для этого она дала своему герою клу-
клубок ниток, конец которого оставила в своей руке. Раз-
Разматывая клубок или, наоборот, наматывая нить, Тезей
должен был пройти по лабиринту до убежища Минотав-
Минотавра, убить чудовище и затем, пользуясь «путеводной
нитью Ариадны», найти выход из лабиринта. Легенда
повествует, что Тезей решил поставленную задачу.
В этой легенде — извечная мечта людей об общем
методе (алгоритме) решения множества задач, о путе-
путеводной «нити Ариадны», позволяющей ориентироваться
в сложных научных, учебных и практических «лабирин-
«лабиринтах».
Вопросы «общих методов» в мышлении и обучении
всегда волновали психологов, педагогов, методистов, ма-
математиков, естествоиспытателей. Над общими методами
открытия и обоснования истин много размышлял Декарт.
В числе многочисленных сформулированных им «правил
для руководства ума» было, например, такое: «делить
*> Б. В. Бирюков, В. С. Будников. Алгоритмический подход
в психологии и педагогике как путь расширения «языковых средств»
наук о цсихике и обучении, «Teorie a metoda», Rocnik JV/1, 1972.
7

каждое из исследуемых мной затруднений не столько
частей, сколько это возможно и нужно для лучшего лх
преодоления» *\ Ему возражал Лейбниц, считавший, что
это правило Декарта малоэффективно, поскольку искус-
искусство разделения остается не поддающимся истолкова-
истолкованию **>. «Правилам» Декарта Лейбниц противопо-
противопоставил свою идею «истинного метода» — метода, свобод-
свободного от субъективно-психологических моментов, метода,
который, по мысли Лейбница, «должен дать нам filum
Ariadnes, т. е. некоторое осязаемое и грубое средство,
которое направило бы разум, подобно начертанным ли-
линиям в геометрии и формам операций, предписываемым
обучающимся арифметике. Без этого наш разум не смог
бы проделать длинный путь, не сбившись с дороги» ***>.
Эта идея Лейбница — мы знаем — осталась неосуще-
неосуществленной (хотя из нее уже в работах самого философа
вырастал математический анализ и формировалась кон-
концепция математической логики). Последующие века до-
донесли до наших дней контроверзу доказательства
и открытия истины, решения задач на основе неко-
некоторого регулярного приема и путем правдопо-
правдоподобных (эвристических) рассуждений, наводящих
на решение. Современный взгляд на проблему четко вы-
выражен в следующем тезисе Д. Пойа: «будем учиться
доказывать, но будем также учиться догадываться»****'.
При всей бесспорности этого тезиса, относительно пу-
путей его реализации в психологии, дидактике, педагогике,
математике и т. д. не существует единства. Одни иссле-
исследователи подчеркивают важность изучения «регулярных
процедур» мышления, другие ратуют за изучение эври-
эвристического поиска; одни предпочитают методики обуче-
обучения, включающие в качестве неотъемлемого элемента
«учебные алгоритмы», другие выступают за педагогику,
ориентированную на развитие «проблемного мышле-
*> Р. Декарт. Избранные произведения,- пер. с франц. и латин-
латинского. Госполитиздат, 1950, стр. 272.
**) G. W. Leibniz, Die Phiiosophische Schiften, Herausgegeben
von С J. Gerhardt. B. IV, Berlin, 1880, S. 331.
***> G. W. Leibniz, Phiiosophische Schiften, Herausgegeben von
C. J. Gerhardt. B. VII, Berlin, 1890, S. 22 (цитируется по книге:
H. Бурбаки, Очерки по истории математики, перев. с франц. М.,
Изд-во иностранной литературы, 1963, /с. 15).
****> Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения,
перев. с англ. М., Изд-во иностранной литературы, 1957, стр. 10,

ния» *>. П.' С. Александров и А. Н. Колмогоров в своем
учебном пособии по алгебре для шестого класса вводят,
например, в виде некоторого алгоритмического предпи-
предписания общее правило умножения двух рациональных чи-
чисел и предлагают учащемуся «его просто запомнить и
разобраться в вытекающих из него следствиях» **>. Ме-
годисты-математики В. В. Никитин и К. А. Ру пасов
решительно возражают против такого «догматического
сообщения учащимся вновь вводимых условий»***).
Противники алгоритмизации обычно подчеркивают
несовпадение критериев логической строгости и психо-
психологической целесообразности. Их оппоненты, однако^
указывают, что несовпадение не означает несовмести-
несовместимость, — просто надо знать, до каких пределов, где и
когда с психолого-педагогической точки зрения целесо-
целесообразно добиваться строгости и алгоритмичности. Чтобы
понять, что алгоритмичность вовсе не исключает эвристи-
эвристику и «проблемное мышление», полезно остановиться на
понятии алгоритма, как оно может использоваться влси-
хологии и педагогике.
Понятие алгоритма исторически возникло в матема-
математике и является в нем фундаментальным. Повышенный
интерес к нему в наше время объясняется как внутрен-
внутренними проблемами самой математической науки, так и
потребностями машинной математики, интенсивно раз-
развивающейся в нашу эпоху ускоренного роста науки, тех-
техники, производства. Если говорить о мышлении, то
имеется еще одно обстоятельство, выдвигающее понятие
алгоритма на столь видное место, что о нем уже можно
говорить как об общенаучном понятии, — обстоя-
обстоятельство, на которое не всегда обращают внимание.
Именно, научно-техническая революция потребовала для
сфер науки, управления, производственной деятельности
и т. п. особого стиля человеческого мышления, характе-
характеризующегося точностью, определенностью,
формальностью, г. е. теми качествами, которые в
наиболее яркой форме воплощаются в алгоритмической
*> Последняя позиция представлена, в частности, в книге:
А. М. Матюшкин. Проблемные ситуации в мышлении и обучении,
М., «Педагогика», 1972.
**> П. С. Александров, ЧА. Н. Колмогоров. Агебра, ч. 1. Пособие
для средних школ. «Учпедгиз», М., 1939, с. 60.
***) В. В. Никитин, К- А. Рупасов. Определение математических
понятий в курсе средней школы. Пособие для учителей. М., Учпед-
Учпедгиз, 1963, с. 129—131.
9'

деятельности, т. е. деятельности, которую определяет ал-
алгоритм— «точное предписание, определяющее вычисли-
вычислительный процесс, ведущий от варьируемых исходных
данных к искомому результату» *\ Способность м ы-
слить формально, когда это нужно, становится
одним из необходимых признаков научной
и деловой культуры, и возникает задача развития
этой способности уже на первых этапах развития лично-
личности **).
Формальность мышления, однако, вовсе не альтерна-
альтернативна творчеству: «формальное» и «творческое» как про-
проявления интеллекта хороши, каждое, на своем месте.
Более того, бесспорно, что научно-техническая револю-
революция повышает «спрос» на людей, готовых к «производ-
«производству» оригинальных мыслей, новых идей. Человеческая
мысль, призвавшая к жизни ЭЦВМ, все более оказы-
оказывается под их воздействием. Отсюда многочисленные сог
временные искания в психолого-педагогической области,
искания, суть которых можно выразить в девизе: кибер-
кибернетика и творчество! •••).
С самого начала применения идей кибернетики
в психологии и педагогике было ясно, что сложившееся
в математике понятие алгоритма и его многочисленные
уточнения (машины Тьюринга, нормальные алгориф-
алгорифмы, рекурсивные функция и др.) непригодны для опи-
описания процессов мышления и обучения. Представление
об алгоритме как о четком предписании, однозначно
определяющем поведение, оказалось не совсем созвуч-
созвучным задачам использования логической формализации и
алгоритмических описаний в науках о человеке—о его
интеллекте, психике, поведении.
Известно, что основой алгоритмов, в математике — и
тем более математических определений понятия
алгоритма—является приведение регулярных процессов
решения задача к простым, максимально элементарным
операциям. Количество операций и актов их применения
*> А. А. Марков. Теория алпорифмов. «Труды математического
института им. В. А. Стеклова», т. 42, М. — Л, Изд-во Академии наук
СССР, 1954, стр. 3.
**) Это положение отстаивает, а частности, В. А. Успенский
в статье «Как работает машина Поста» (журнал «Математика в шко-
школе», 1967, № 1).
***> Ср. с М. Г. Ярошежжий. Психология в XX столетии. Теоре-
Теоретические проблемы развития психологической науки, М., Политиз-
Политиздат, 1971, гл. 12.
10

при этом принципиальной роли не играет. Оно может,
например,, оказаться столь большим, что соответствую-
соответствующий алгоритмический процесс окажется не вьшолнимым
даже на самых мощных ЭЦВМ, не говоря уже о «не-
«невооруженном» современной техникой человеке. Более
того, ни описание мыслительных процессов в терминах
«абсолютно элементарных операций» (подобных тем, ка-
какие, скажем, используются в ЭЦВМ), ни — тем более —
их вызывание с помощью точных «сверхдетализованных»
предписаний не является психологически и педагогически
целесообразным (даже если бы оно было практически
осуществимо). Дело в том, что человек мыслит «связно»,
«умственными блоками», и излишнее дробление мате-
материала психологически противоестественно. К тому же
действие, элементарное для одного учащегося или на
одном уровне знания и развития обучаемого, может ока-
оказаться неэлементарным для другого учащегося либо
в других условиях обучения того же обучаемого.
В естественных языках и содержательном — повсе-
повседневно-практическом и научном, особенно нематемати-
нематематическом— мышлении распространены объемно четко не
фиксированные понятия, нечеткие термины, высказыва-
высказывания с многозначной и гибкой «шкалой правдоподобия»,
расплывчатые вопросы и предписания, неполно опреде-
определяющие поведение. Мышление далеко не исчерпывается
алгоритмическими формами, и даже в процессах, кото-
которые удается так 'или иначе описать алгоритмами, имеют-
имеются неформализуемые эвристические вкрапления, «недо-
«недопустимые» для математического понятия алгоритма.
В отечественной литературе на эти обстоятельства
одним из первых обратил внимание Л. Н. Ланда *>. Рас-
Рассматривая обучение как процесс управления, он ввел
ослабление понятия алгоритма, названное им предписа-
предписанием алгоритмического типа, или алгоритмическим пред-
предписанием. Предписания алгоритмического типа, однако,
представляют собой только одну из возможных форм
(или направлений) «ослабления» математического поня-
понятия алгоритма, обусловленного спецификой психолого-
педагогической сферы. Более широко картину этого.
ослабления можно описать следующим образом **>.
*> Л. Н. Ланда. Алгоритмизация в обучении. М., «Просвеще-
«Просвещение», 1966.
**) Б. В. Бирюков. Формы ослабления понятия алгоритма, свя-
связанные с введением актов выбора и «расплывчатости». В кн.:
«VI симпозиум по кибернетике», часть II. Тбилиси, 1972.
11

Рассмотрение различных форм поведения и мышле-
мышления приводит к заключению, что имеется некоторая до-
достаточно «непрерывная» их градация, определяемая раз-
различной степенью «жесткости» поведенческих и интеллек-
интеллектуальных процедур. Эта градация простирается от пове-
поведения «абсолютно алгоритмического» через поведение,
«алгоритмическое в той или иной мере», до поведения,
совсем уже не алгоритмического; ступени градации
можно моделировать набором следующих понятий:
«абсолютный алгоритм», «алгоритм сводимости», «алго-
«алгоритм с выбором шагов», «расплывчатый алгоритм»; по-
понятия эти отображают языково-мыслительные формы,
являющиеся предписаниями к выполнению
определенных действий, с разными «дозами»
(и характером) «алгоритмичности».
Наиболее жестким является поведение (и мышление),
определяемое «классическим» алгоритмом — алгоритмом
в обычном математическом смысле. Однако уже в мате-
математике мы сталкиваемся с потребностью в ослабле-
ослаблении понятия а л г о р и т м а. Это ослабление реали-
реализуется в алгоритме сводимости*) — предписа-
предписании, которое сводит решение задач некоторого типа
к решению задач, принятых за решенные; тако-
таковыми являются задачи «Осуществить такую-то операцию,
считающуюся элементарной для данного алгорит-
алгоритма». Частным случаем алгоритмов сводимости являются
упомянутые выше предписания алгоритмического типа;
последние представляют собой такие алгоритмы своди-
сводимости, исполнительным устройством для которых явля-
является человек. В отличие от абсолютных алгоритмов,
правила (операции) которых формальны (т. е. определя-
определяют действия с наглядно усматриваемой или конструк-
конструктивно задаваемой формой объектов), предписания
алгоритмического типа допускают правила, имеющие
содержательный характер: предполагают действия,
существенно зависящие от человеческого понимания;
в силу этого операции, из которых складываются такие
предписания, могут быть, по сути дела, достаточно слож-
сложными «блоками» умственных действий, — лишь бы испо'л-
*' С. А. Яновская. Из истории аксиоматики. «Историко-ма-
тематические исследования», вып. 11./М., Физматгиз, 1958; ее же.
О Некоторых чертах развития математической логики и отношении
ее К техническим приложениям. В кн.: «Применение логики в науке
и технике». Изд-оо АН СССР, М., 1060.
12

нитель-челобек мог без труда оперировать такими «бло
ками» *).
Другим ослаблением математического понятия алго-
алгоритма можно считать так называемый алгоритм с выбо-
выбором шагов. Классические алгоритмы — так же, как и
алгоритмы сводимости, — это детерминистские ал-
алгоритмы: они и е допускают выбора какого-либо ша-
шага поведения (или случайного перехода к какому-либо
шагу); это запрещено требованием точности предписа-
предписания, не оставляющей места произволу. Ситуации вы-
выбора, однако, типичны для поведения, — во всяком слу-
случае, поведения (и мышления) человека; практически
такого рода ситуации могут не противоречить «алгорит-
мичности» поведения: вполне возможно их наличие в по-
поведении, в общем алгоритмическом.
В случае исполнительных устройств — машин трудно
понять, как они могли бы осуществлять алгоритмический
процесс, задаваемый алгоритмом с выбором шагов, не
используя каких-либо вероятностных механизмов типа
датчика случайных чисел. Иное дело человек. Для него
можно допустить в алгоритмах акты выборов, — выборов
из фиксированного (тем или иным способом, не обяза-
обязательно конечного) множества альтернатив; алгоритмы
с такого рода выборами можно назвать недетерми-
недетерминистскими **). Очевидно, что человек может применять
недетерминистские алгоритмы потому, что обладая пси-
психикой (ив частности, волей), он может совершать акты
«свободного» (т. е. не определяемого «извне») выбора.
Наиболее слабой формой тех градаций алгоритмич-
ности, на противоположном полюсе которой находятся
классические алгоритмы математики, являются так на-
называемые расплывчатые (нечеткие) алгорит-
алгоритмы. Понятие о них было введено Л. Заде***), который
*> Анализу предписаний алгоритмического типа как алгоритмов
сводимости, а также значению этих предписаний в психолого-педаго-
психолого-педагогических исследованиях посвящена статья: Б. В. Бирюков,
Л. Н. Л а н д а. Методологический анализ понятия алгоритма в пси-
психологии и педагогике в связи с задачами обучения. Сб. «Вопросы
алгоритмизации и трограммщрования обучения», вып. 1. М., «Про-
ов&ценив», 1969.
**' Эти алгоритмы родственны диспозициям, понятие о ко-
которых введено в статье: В. Б. Борщев, Ю. А. Шрейдер. Алгоритмы,
языки программирования и диспозиции, «Кибернетика», Mi 4, 1965.
***' A. Zadeh, Ftuzy Algorithm», «Information and Control»,
v. 12, Mi 2, 1068.
13

исходил при этом из. развитой им ранее теории расплыв-
расплывчатых (нечетких) множеств — коррелята логики объем-
объемно-неопределенных понятий. Концепция расплывчатых
алгоритмов позволяет надеяться на расширение рамок
алгоритмического подхода в психологии и педагогике,
так как открывает путь к определению условий, при кото-
которых в (нематематическом) мышлении оправдано пользо-
пользование расплывчатыми предписаниями. Именно — нема-
нематематическом, так как в математическом мышле-
мышлении используются почти исключительно «четкие» множе-
множества, объемно-определенные понятия.
Методологический интерес к расплывчатым алгорит-
алгоритмам определяется тем, что их применение предполагает,
что «исполнительное устройство» обладает определенным
механизмом принятия решения (касающегося характера
«расплывания» того или иного нечеткого понятия, входя-
входящего в рассматриваемый расплывчатый алгоритм). «Рас-
«Расплывчатый алгоритм», следовательно, это один из тех
«мостиков», которые в мышлении перекинуты от детер-
детерминистских, «формальных» процедур к процедурам эври-
эвристическим, «творческим».
Развивая алгоритмический подход преимущественно
к математическому мышлению, автору данной
книги надо было прежде всего решить проблему, на ка-
каком пути — в рамках поставленной им задачи — возмож-
возможно раскрытие связи между «формально-детерминистской»
и «неформально-эвристической» сторонами интеллекту-
интеллектуальной деятельности и поведения. «Расплывчатые алго-
алгоритмы» здесь явно не подходили в силу отмеченной выше
особенности математического мышления—использования
в нем (почти исключительно) объемно-определенных по-
понятий*). С. И. Шапиро выбрал путь синтеза алгорит-
алгоритмического и логического — идущего от идей и
аппарата математической логики — аспектов анализа
мышления.
Целесообразность привлечения средств логики при
алгоритмическом описании (и задании) интеллектуаль-
интеллектуальной деятельности и поведения была осознана с пер-
•) Мы отвлекаемся здесь от тонких вопросов, связанных с эффек-
эффективной определимостью математических понятий. Вопросы этого рода,
первостепенные в основаниях математики (и математиче-
математической логике), по-видимому, мало отражаются (еще?) на практике
математических исследований и особенно яа математическом мыш-
мышлении в области приложений математики.
14

вых шагов алгоритмического подхода в психологии
и педагогике. Например, в упоминавшейся книге
Л. Н. Ланды ряд глав посвящен логическим структурам
признаков объектов в алгоритмах (алгоритмических
предписаниях), которым обучают учащихся. Однако это
использование логики при алгоритмическом подходе
к мышлению и обучению в ней отчасти оставалось, так
сказать, недостаточно органическим. С. И. Шапиро по-
поставил своей целью с общей точки зрения взглянуть на
алгоритмические и формально-логические процессы ма-
математического мышления, пролить свет на психологиче-
психологические аспекты перехода от алгоритмических структур
(предписаний алгоритмического типа всмысле Л. Н. Лан-
Ланды) к логическим и наоборот.
В вводной статье к книге нет необходимости подробно
описывать ее содержание. -Отметим лишь некоторые ха-
характерные черты подхода автора.
Исходной идеей монографии является тезис о том, что
«генеральным направлением» мыслительной деятельно-
деятельности человека в процессе переработки «математической
информации» является все большее укрупнение умствен-
умственных действий и связующих их «логических элементов»,
своего рода «иерархическое перекодирование», в ходе
которого формируются символы большой информацион-
информационной плотности, выражающие целые системы операций и
свойств отображаемых объектов. Эти процессы описыва-.
ются в книге с помощью операторных схем алгоритмов,
теоретико-множественных понятий и средств логики вы-
высказываний.
На большом экспериментальном материале обучения
математике в средней школе и вузе С. И. Шапиро по-
построено теоретическое описание (автор называет его «опе-
раторно-логической моделью») механизма «свертывания»
исходных алгоритмически заданных форм математических
понятий — форм, представимых некоторыми опера-
оператор но-логическими схемами алгоритмов (по А. А. Ляпу-
Ляпунову) *), — в «логическую форму» понятия. Это «сверты-
*> А. А. Ляпунов, Г. А. Ш е с т о п а л. Об алгоритмическом
описании процессов управления «Математическое првсвещейие»,
вып. 2, М., Физматгиз, 11957; А. А. Ляпунов. О некоторых общих
вопросах кибернетики. «Проблемы кибернетики», вып. 1. М., Физ-
Физматгиз, 1958.
15

вание» происходит путем опускания некоторых операто-
операторов, их «склеивания» и, затем, «погружения» операторов
в «логические элементы» (которыми являются логические
условия первоначальной развернуто^ операторной алго-
алгоритмической схемы понятия). В результате возникает
«логическая форма понятия», которая фактически уже
не является предписанием алгоритмического типа.
Этот процесс, с психолого-педагогической точки зре-
зрения, можно рассматривать как процесс овладения 'поня-
'понятием, когда соответствующие умственные действий при-
приобретают известный автоматизм, степень их осознавания
обучаемым уменьшается. Овладевая алгоритмом распо-
распознавания, соответствующим данному математическому
понятию, решая связанные с ним задачи, учащиеся пере-
переходят от последовательной, одно за другим, про-
проверки нескольких логических условии к одноактной
их проверке по сокращенной схеме. Логические элементы
как бы развертываются в аккумулированные в них дей-
действия; очередность исходных операторов сменяется их
единовременным «вызовом»; «броуновские движения
мысли» *>, характерные для «неотработанной» «умствен-
«умственной методики» решения задач, прекращаются.
Здесь интересно отметить аналогию, которую автор
проводит между отношением исходных алгоритмических
операторных форм понятий к соответствующим логиче-
логическим формам, из них возникшим, и отношением порож-
порождающей грамматики (некоторого языка) к грамматике
распознающей (того же языка) рассматриваемом в ма-
математической лингвистике и теории автоматов. В сход-
сходстве этих отношений, надо думать, действительно отра-
отражается единство мышления и языка. Во всяком случае,
тезис автора: от алгоритмов к суждениям, or управле-
управления «логикой» (т. е. мышлением) с помощью операторов
к логике управления операторами, — тезис, выражающий
путь развития мышления и обучения в терминах «опера-
торно-логической модели», — проливает, свет не только на
механизмы мысли, но и на формы ихвыражениявязыке.
Но на «логической форме понятия» процесс сверты-
свертывания мысли не заканчивается. Дальнейшее овладение
понятием — умением его применять при решении задач —
*' Выражение одной из сотрудниц ,> П. Я. Гальперина (см.
П. Я. Гальперин. Психология мышления и учение о поэтапном
формировании умственных действий. В кн.: «Исследования ¦'мышле-
¦'мышления в советской психологии». М., «Наука», 1966, стр. 276).
16

приводит к отсеву «несущественных» «логических эле-
элементов», в результате чего в понятии остаются только
«ключевые» (отличающие данное понятие от родствен-
родственных) «логические условия» исходной развернутой алго-
алгоритмической формы понятия. Вычленение ведущих логи-
логических элементов — в книге они^-называются «логически-
«логическими координатами», — происходящее в результате выпа-
выпадения из мысли некоторых ее элементов, приводит к об-
образованию неполных мыслительных структур.
Эти структуры играют важную роль в мышлении —
мышлении уже не алгоритмическом, а скорее творческом.
Одна координата обычно находится «на пересечении» не-
нескольких различных понятий (логических форм понятий),
и этим создаются предпосылки для обобщений. Экспери-
Эксперимент показывает, что при решении задач логические ко-
координаты служат для ориентировки, первой «прикидки»
и пополняются недостающими элементами в зависимости
от потребности их актуализации в конкретной задаче.
«Модель» С. И. Шапиро приводит, таким образом,
к представлению об иерархической, расчленяющейся на
уровни, структуре математического мышления и памяти.
(В связи с этим автор последовательно развивает идею
о запоминании как процессе кодирования информации,
выраженную в ряде психологических и психолого-кибер-
нетических исследований *>.) Существенно, что при этом
устанавливается естественная связь и взаимодействие
между «алгоритмически-формальной» и «эвристически-
проблемной» сторонами интеллектуальной деятельности.
Именно, согласно гипотезе С. И. Шапиро, функция «ло-
«логических координат» в реальном мышлении заключается
в фильтрации исходного поля событий, т. е. отборе исход-
исходных гипотез, подвергающихся затем дальнейшей селек-
селекции, уточнению уже на уровне логической и оператор-
операторной форм понятия.
Известно, что в большинстве разработанных в настоя-
настоящее время «моделей» обучения, как правило, исключает-
исключается начальная стадия, — стадия, на которой возникают
основные трудности алгоритмизации: отбор значимых
раздражителей из практически необозримого множества
возможных вариантов**), определяющий решение о при-
*' См., скажем, Дж. Миллер. Е. Галантер, К- Прибрам. Планы
и структуры поведения, перев. с англ., М., «Прогресс», 1967.
**' Gp. Р. Буш и Ф. Мостеллер. Стохастические модели обучае-
обучаемости. М., Фиаматгиз, 196B.
2-37 . 17

мейении соответствующего алгоритмического предписа-.
ния. Представления о функциях логических координат
в процессах решения задач человеком, развитые в «опе-
раторно-логической модели мышления и обучения»
С. И. Шапиро, являются, возможно, одним из подходов
к данной проблеме.
* * *
Книга С. И. Шапиро принадлежит не только кибер-
кибернетической педагогике и психологии мышления, — это
также труд по педагогике математики.
Педагогика (дидактика) математики — новая, зарож-
зарождающаяся научная область. Первый Международный
конгресс по преподаванию математики (Лион, Франция,
1969) в одном из своих решений отметил, что педагогика'
математики все более становится самостоятельной нау-
наукой со своими собственными проблемами, методами и
экспериментами. Существует даже взгляд, что педагоги-
педагогика математики так относится к традиционной методике
преподавания математики, как, например, научная тео-
теория питания к кулинарным рецептам *).
Разумеется, возможны различные научные системы
педагогики математики, отражающие те или иные кон-
концепции обучения математике **). Особо перспективным
при этом представляется подход, в соответствии с кото-
которым обучение математике рассматривается как обучение
специфической мыслительной деятельности, называемой
ма^тематической деятельностью или мате-
математическим мышлением. Согласно взглядам
классика современной педагогико-математической мыс-
мысли— Д. Пойа, главная задача обучения математике —
учить молодых людей мыслить. Если эту задачу рас-
рассматривать в качестве одной из целей обучения матема-
математике— что вполне естественно, — то возникает вопрос,
как достичь этой цели, как научить мыслить, рассуждать.
Система педагогики математики, развивающая эту
концепцию, должна дать ответ на этот вопрос. Для этого,
очевидно, она должна исходить из определенного пони-
понимания (определенной «модели») математического мыш-
мышления (ведь прежде всего надо знать то, что подлежит
*> I. Gucewicz, M. Sawicki, Dydaktyka matematyki jako powstaj§-
ca dyscyplina badawcza. «Matematyka», Rqfc. XXIV, № 3A14), War-
szawa, 1971.
**) Одна из них изложена в книге: А- А. Столяр. Педагогика
математики. Минск. «Вышэйшая школа», 1969.
18

формированию и развитию). В этом отношении важную
роль призваны сыграть психология и логика, составляю-
составляющие, наряду с общей дидактикой и математикой, основы
педагогики математики.
Совершенно очевидно, что подходя к обучению мате-
математике как к обучению математической деятельности
(представляющей собой определенный род деятельности
мыслительной), педагогика математики не может
опираться на одну логику, исследующую в основном ре-
результаты, продукты процесса мышления, а не сам
этот процесс. Для логики человеческий мозг остается
все-таки «черным ящиком», функционирование которого
определяется лишь по «входу» и «выходу». Однако, чтобы
добиться определенного состояния «выхода», весьма же-
желательно знать, какой должна быть мыслительная дея-
деятельность по переработке соответствующей «входной»
информации, т. е. уметь устанавливать, какие психиче-
психические (в частности, логические) процессы подлежат фор-
формированию и развитию в процессе обучения.
Разумеется, и одна психология без логики недоста-
недостаточна в качестве основы для педагогики математики. Не
учитывая логическую структуру знаний, которые должны
приобретать учащиеся в процессе обучения, не анализи-
анализируя логическую форму рассуждений, с помощью которых
они приобретаются, невозможно рассчитывать на успех
в приобретении вида соответствующей математической
(и иной мыслительной) деятельности. Именно отрывом
психологии от логики объясняется недостаточность неко-
некоторых психологических теорий в качестве основы для по-
построения теории обучения математике.
Педагогика математики нуждается в разработке вза-
взаимосвязанных психолого-логических основ. Подходы
к этой важнейшей и сложной проблеме и исследуются
в предлагаемой книге.
Было бы ошибочно считать, что в предлагаемой чита-
читателю книге (и вообще в одной книге такого объема) мо-
может быть дано исчерпывающее решение проблемы. По
словам автора, речь идет лишь о попытке подойти к ней.
Для этой цели используется метод математико-логиче-
ского моделирования. В книге описана в общих чертах и
иллюстрирована конкретными примерами и эксперимен-
экспериментами «алгоритмическая операторная модель» обучения
элементам математического мышления. Автор, как мы
уже говорили, исходит из следующей основной гипотезы:
2» 19

лри формировании знаний мышление идет от разверну-
развернутых алгоритмических операторно-логических структур
к сокращенным, свернутым логическим формам. Из этой
гипотезы следует, что процесс обучения должен быть
организован преимущественно в направлении от алго-
алгоритмического к логическому, от выполнений развернутой
и вполне детерминированной системы действий к обоб-
обобщенному знанию, в котором эти действия «запечатлены»
в форме логических связей. ¦
Построенная автором алгоритмическая «модель» ма-
математического мышления, как и любое другое «модель-
«модельное» описание мышления, разумеется, неполна. Она
основана на ряде существенных упрощающих предполо-
предположений. Основное допущение автора — о плодотворности
такого исследования математического мышления, в кото-
котором отправным пунктом является алгоритмическая часть
последнего, — в значительной мере оставляет вне рас-
рассмотрения эвристический аспект мыслительной деятель-
деятельности. Хотя автор, развивая свою модель, и приходит
в конце концов к проблемам эвристического поиска, но
не они, конечно, лежат в фокусе его исследования.
Автор и не претендует на полное описание математи-
математического мышления. Он понимает, что алгоритмизация не
охватывает всего многообразия форм математического
мышления, что его «модель» недостаточна для характе-
характеристики соотношения между алгоритмической и эвристи-
эвристической сторонами математического мышления. Это отра-
отражено и в названии книги, где речь идет об обучении
лишь элементам математического мышления. Однако
эта неполнота описания математического мышления не
обесценивает проведенного исследования. Осуществлен-
Осуществленные автором интересные эксперименты подтверждают
возможность использования его «модели» в качестве
одной из. основ при построении эффективного обучения,
при разработке научной системы педагогики математики.
В предлагаемой книге «модель мышления» развита,
разумеется, не во всех деталях. По словам автора, в его
исследовании намечены лишь основы, главные конструк-
конструктивные элементы такой «модели». Однако эти элемент^
достаточно раскрывают логико-алгоритмический подход
к проблеме обучения математическому мышлению.
В книге показана также роль «Алгоритмов обучения»
в качестве подготовительного этапа при построении обу
чающих программ.
20

Хотя исследование автора проведено на математиче-
математическом материале и касается прежде всего математиче-
математического мышления, ряд его результатов, очевидно, пред-
представляет более широкий интерес для моделирова-
моделирования мышления вообще. Поэтому книга будет
полезной ее только для педагогов-математиков, но и для
психологов, специалистов в области дидактики. Опреде-
Определенный интерес она представляет и для тех. кто занима-
занимается автоматизацией научно-исследовательских работ.
Можно надеяться, что интересная книга С. И. Шапи-
Шапиро внесет определенный вклад в разработку проблем
«кибернетической педагогики», в исследование психоло-
психологических основ современной педагогики математики, что
она явится стимулом новых исследований в области ма-
математического моделирования мышления и обучения.
Академик А. И. Берг
Доктор философских наук Б. В. Бирюков
Доктор педагогических наук А. А. Столяр

Светлой памяти брата Соломона — тан-
танкиста, погибшего в Отечественную войну.
Ему было 20 лет.
Введение
1. Приступая к изучению мышления в конкретной
области умственной деятельности, мы застаем готовые,
сложившиеся логические формы. Процесс формирования
остался позади, ушел вглубь, и мысленному взору, вос-
воспринимающему «отраженные» сигналы, предстает ре-
результат, совершенство которого часто поражает.
В данной книге предпринята попытка подойти к важ-
важнейшей проблеме психологии математического мышле-
мышления — соотношению между процессами мышления и их
продуктами, т. е. между психологическим и логическим.
Книга адресуется психологам. Она будет полезна мате-
математику, интересующемуся вопросами психологии мышле-
мышления, методисту-математику, педагогу, а также специали-
специалистам, занятым моделированием разумной деятельности
и совершенствованием человеко-машинных комплексов.
Монография состоит из 4-х глав и 3-х приложений.
Главы делятся на параграфы. I глава. Параграфы 1, 2,
в основном, посвящены обзору и анализу психологиче-
психологической литературы по вопросу мышления в плане постав-
поставленной проблемы, а также первому подходу к задаче
исследования. Рассматриваются различные варианты,
в том числе — попытки решения задачи Моделированием.
Указывается на ограниченность применявшихся описа-
описательных методов и на перспективность математических
моделей. Обосновывается возможность приблизиться
к механизму мышления с помощью алгоритмических мо-
моделей процесса обучения.
В §§ 3—7 этой главы разработана гипотетическая мо-
модель обучения математике с помощью алгоритмов —
в основном, теоретически. Это позволило дедуктивно
получить некоторые выводы о механизме обучения. Гла-
Главы II и III посвящены проверке правильности выдвину-
выдвинутых гипотез путем сопоставления выводов с процессами
реального обучения — в констатирующем эксперименте,
22

а также путем «Запуска» модели, т. е. построения на
основе гипотезы экспериментального обучения.
Деление глав на «теоретическую» и «эксперименталь-
«экспериментальные» в известном смысле условно. Во всех главах при-
приводятся и анализируются результаты многочисленных
экспериментов и наблюдений, а также теоретических ис-
исследований, накопленных автором на протяжении 30-
летней работы преподавателем математики в школе и
вузе. В гл. IV мы, используя полученные результаты,
пытаемся осмыслить механизм математического мыш-
мышления.
Основной метод исследования — обучающий экспери-
эксперимент. Обучение в нормальных школьных (вузовских)
условиях являлось экспериментальным, преподаватель
выступал в роли экспериментатора, и, главное, учащие-
учащиеся не чувствовали себя испытуемыми.
Мы изучали психологические показатели .усвоения ма-
математики при сопоставлении результатов двух методик:
традиционной и с применением алгоритмов в обучении.
Так нам удавалось «присутствовать» при возникновении
тех психических особенностей, которые стимулировались
с помощью алгоритмов. Для работы характерно тесное
переплетение психологии и педагогики (методики) мате-
математики. Обучение математическим алгоритмам и тем бо-
более алгоритмы обучения математике являются предме-
предметом педагогики математики. И оба вопроса, а особенно
второй, принадлежат психологии обучения. Психологи-
Психологические данные об усвоении в каждом конкретном случае
определяли выбор той или иной методики. Пользуясь
соответствующей методикой, нам в ряде случаев удава-
удавалось «заказывать» результат с заранее данными свой-
свойствами.
Мы исходим из указания С. Л. Рубинштейна о том,
что психика,' сознание формируются в деятельности (99,
стр. 14]. Единственной формой усвоения математики
является математическая деятельность — решение задач.
Формализованным элементом деятельности в нашей мо-
модели обучения служит оператор. Деятельность характе-
характеризуется системностью, направленностью. Операторы
упорядочиваются с помощью логических условий. В ито-
итоге возникает операторная структура, или форма (гл. I,
§3).
В работе исследуются возрастающие уровни абстра-
абстрагирования и обобщения при овладении учащимися алго-
23

ритмами и те формы анализа и синтеза, которые- их
определяют (гл. I, § 5). Мы рассматриваем операторную
форму как математический аналог некоторой начальной
ассоциативной структуры. Процессу усвоения знаний со-
соответствует объединение, сращивание операторов, воз-
возникновение «уплотненных» логических связей. Моделью
высшей формы синтеза является «погружение» операто-
операторов в логические условия, их кажущееся выпадение из
мыслительного, процесса, соответствующие свернутому,
сокращенному характеру конкретной деятельности. На
этой основе образуется логическая форма алгоритма.
Процесс возникновения и развития логического продук-
продукта обсуждается в § 2, гл. III. В § 1, а также в других
параграфах этой главы специально рассматривается
связь между логикой решения задач и математической
памятью; исследуются формы и роль памяти в обобщен-
обобщенном математическом мышлении. Наряду и параллельно
с синтезом идет процесс анализа, который отражается
нашей моделью вычленением ведущих логических усло-
условий — образованием логических координат.
Важной задачей теоретического и экспериментального
исследования является выяснение, каким образом гро-
громоздкие алгоритмические структуры деформируются мы-
мышлением в подвижные образования, которые находят
себя каждый раз именно и только в тех задачах, реше-
решению которых они служат. Этот вопрос, в связи с логиче-
логическими координатами, обсуждается, в основном, в §§ 3—
5 гл. III. Проблемы связи логических координат с интуи-
интуитивными представлениями рассмотрены в § 3, гл. III и
§ 4, гл. IV.
Две идеи лежат в основе исследования. Идея сверты-
свертывания, перекодирования структур, образования символов
большой информационной плотности и идея декодирова-
декодирования возникших форм, развертывания их в соответствую-
соответствующую систему действий при решении задач. Вопрос рас-
рассматривается в §§ 3, 5 гл. I и §§ 1—3 гл. II, а также
в приложении 3. Для теоретического описания применя-
применяются матричные, логические, теоретико-множественные
и информационные модели.
В монографии обсуждаются некоторые условия опти-
оптимального (наилучшего в определенном смысле) усвоения
изучаемого материала. Экспериментальное подтвержде-
подтверждение теоретических выкладок читатель найдет в приложе-
приложении 1; в §§ 2, 3 гл. II и особенно в § 4 этой главы, где
24

описано обучение определенному интегралу на базе алго-
алгоритмизации этого понятия. Наряду с общим направле-
направлением развития аналитико-синтетическои деятельности при
усвоении алгоритмов (например, развитием обобщенного
мышления — гл. I, § 5), указываются особенности усвое-
усвоения алгоритмов, в которых проявляются основные инди-
индивидуально-психологические различия. Таким образом,
лейтмотивом проблемы алгоритмов в обучении звучит
вопрос4 о математических способностях школьников.
В этом плане, на наш взгляд, представляет интерес
трактовка процессов «перекодирования» умозаключений,
отражающих синтетическую и аналитическую деятель-
деятельность, как парциальное проявление силы нервной систе-
системы (§ 3, гл. IV).
В работе анализируются трудности, возникающие на
пути «свертывания» и «развертывания» математических
понятий, и способы их устранения, а также- отдельные
дефекты математического мышления учащихся, находя-
находящие объяснение в рамках алгоритмической модели обу-
обучения: «разрывность» мышления, раздвоенность понятий
и др. Отмечаются некоторые методические особенности
построения существующих учебников и учебных пособий
по математике, способствующие усугублению этих дефек-
дефектов. Указываются возможные пути устранения недостат-
недостатков (§ 5 гл. II, § 5 гл. 3, § 3 гл. IV).
Обосновывая полезность применения алгоритмов
в обучении, мы в § 6 гл. II исследуем один из наиболее
трудных в логико-математическом и психологическом
аспектах вопросов — об образовании у учащихся обрати-
обратимых ассоциаций. Доказывается роль алгоритмов как фа-
факторов упрочения многосторонних связей в математиче-
математическом мышлении. В главах I—III теоретически разработа-
разработана и экспериментально апробирована алгоритмическая
модель обучения математике.
Соответствие модели психологической теории мышле-
мышления и, главное, подтвержденная экспериментом эффек-
эффективность обучения.с помощью алгоритмов давали осно-
основание надеяться, что модель отражает некоторые суще-
существенные компоненты реального математического мыш-
мышления. На этой основе в гл. IV предпринята попытка
создания нескольких (частных) моделей процесса мате-
математического мышления (§§ 1—2). Этот путь естественно
вывел нас к проблемам программированного обучения
25

2. Мы хотим познакомить читателя с тем, как посте-
постепенно складывались наши представления о роли и месте
алгоритмов в обучении математике.
а) Понятие обобщенной связи является центральным
в психологической теории обучения. Речь идет об ассо-
ассоциациях, играющих важнейшую роль в математическом
мышлении. Они проявляются многозначно: каждой зада-
задаче соответствует, как правило, одна система таких ассо-
ассоциаций; напротив, одной системе обобщенных ассоциаций
соответствует множество однотипных задач. (Такое соот-
соответствие называется гомоморфизмом.)
Разные аспекты проблемы обобщенных ассоциаций
в учебной работе школьников по математике исследова-
исследовали П. А. Шеварев [137], Н. А. Менчинская G1], В. А. Кру-
тецкий i[53] и др. Имея задачей образование у учащихся
обобщенных связей, казалось наиболее логичным вводить
математические предложения сразу в общем виде: опре-
определения, теоремы, правила (как это и делается в учеб-
учебниках) — тогда соответствующие ассоциации, надо ожи-
ожидать, сами будут складываться как обобщенные. Прак-
Практика, однако, показывает, что такие «обобщения» у мно-
многих школьников вовсе не «работают» при решении за-
задач *).
Большинство авторов сходится в том, что обобщен-
обобщенные ассоциации образуются при решении задач, когда
неоднократное повторение близких по содержанию ло-
логико-математических фигур «сближает» соответствующие
психические связи и они оказываются как бы включен-
включенными в общий «пучок». Тот факт, что решение каждый
раз находится методом проб и ошибок ценой многократ-
многократного повторения избыточных действий, воспринимался
как необходимость. «Блуждания» фактически признава-
признавались единственным путем к истине: При этом оказыва-
оказывалось, что учащиеся раньше или позже приходят к пра-
вилосообразному (термин П. А. Шеварева) упорядоче-
упорядочению действий, в котором находят выражение сложив-
сложившиеся обобщенные ассоциации. Исходя из этого, пред-
представлялось разумным сообщать учащимся регулярные
методы (упорядоченную последовательность действий),
*) Математик-методист М. В. Потоцкий справедливо предупреж-
предупреждает, что соблюдение правил формальной логики еще не решает про-
проблемы обучения [91]. На это указывают й психологи Я- А. Понома-
Пономарев, Л. А. Гурова, В. Н. Пушкин, О. К- Тихомиров и др. [89, 93.
113, 114].
26

применение которых позволит решить любую соответст-
соответствующую методу задачу и тем самым ускорит процесс
образования правилосообразных связей. И далее —во-
—вооружить -учащихся методом самостоятельного поиска та-
таких методов. В случае удачи мы надеялись получить спо-
способ эффективного управления процессом образования
правилосообразных связей.
Мы подошли, таким образом, к вопросу об алгорит-
алгоритмах в обучении математике.
С самого начала было ясно, что алгоритмы в педаго-
педагогике и психологии должны отличаться от математическо-
математического понятия алгоритма (машины Тьюринга, нормального
алгоритма, рекурсивной функции), ввиду субъективного
характера элементарного действия *) в этих науках,
а также из-за неоднозначности способа упорядочения
действий, нарушающей принцип детерминированности.
Большое значение для нас имело знакомство с рабо-
работами Л. Н. Ланда по этому вопросу, в первую очередь,
с вышедшей в 1966 году книгой «Алгоритмизация в обу-
обучении» [56]. Введенное автором понятие предписания
алгоритмического типа, или алгоритма сводимости яви-
явилось тем наиболее приемлемым компромиссом, ценой
которого классическое понятие алгоритма может быть
«допущено» в педагогику и психологию. Имелись, одна-
однако, опасения, что использование готовых регулярных
процедур приведет к накоплению у учащихся некоторой
суммы автоматизированных умений и навыков (в торн-
дайковском смысле) и лишит их подлинного математи-
математического развития. В связи с этим мы обратились к наи-
наиболее разработанной в отечественной литературе психо-
психологической теории интеллектуального развития — теории
поэтапного формирования умственных действий
П. Я. Гальперина. Оказалось, что действия по ориенти-
ориентировке при третьем типе обучения B7, 29], еще до того,
как они материализуются, по существу, упорядочивают-
упорядочиваются с помощью алгоритма в операторной форме.
П. Я. Гальперин приходит к выводу, что «вне треть-
третьего типа учения знание не только фактов, но и законов
не оказывает прямого влияния на развитие мышления»
[27]. Уже первые наши опыты по применению алгорит-
*' Так, например, действие проведения перпендикуляра к прямой
элементарно (атомарно) для одного человека и сложно для другого.
27

Мов в обучении математике подтвердили это высказы-
высказывание. . -.,j
б) Вторая причина, побудившая нас заняться алго-
алгоритмами в обучении, связана с проникновением матема^
тических и кибернетических методов в педагогику и пси-
психологию. Некоторые попытки применения этих методов
оказались обнадеживающими A2, 61, 149].
Кибернетика предлагала принципиально новый под-
подход к обучению как к процессу управления. Одновремен-
Одновременно шел встречный запрос со стороны педагогик, которые,
в условиях повышенных требований, предъявляемых шко-
школе бурным ростом науки и техники, нуждались в более
эффективных формах и методах обучения. Стало ясно,
что без удачных математических моделей мы в этих на-
науках и дальше будем обречены на описательные методы.
Что касается изучения психики, то невольно напрашива-
напрашивалась аналогия. Исследуя психические процессы с помо-
помощью этих же процессов, не оказываемся ли мы в ситуа-
ситуации, описываемой в квантовой механике принципом не-
неопределенности, когда, изучая микрочастицу с помощью
прибора, тем самым уже нарушают состояние частицы.
И тогда, возможно, математические модели будут той
объективизацией, тем отдалением, откуда удастся изу-
изучать ^психологические процессы, не нарушая их чистоты.
Во всяком случае, многие исследователи указывают, что
осознавание действия по необходимости требует отчуж-
отчуждения его от субъекта..
Поворотным моментом для нас было появление
в 1964 году книги Л. Б. Ительсона «Математические и
кибернетические методы в педагогике» [42], в которой
речь идет о создании новой области педагогической нау-
науки, занимающейся количественным исследованием и
структурным моделированием педагогических явлений.
Стало ясно, что действительно «все отрасли наук без
исключения развиваются по пути ... все большего ис-
использования точных математических зависимостей и за-
закономерностей» [10]. Акад. Ляпунов пишет: «Основным
методом кибернетики является алгоритмическое описание
управляющих систем» [68]. Достижения «думающих» ма-
математических машин заставляли пересмотреть взгляд на
алгоритмы как на механические правила. Казалось есте-
естественным первые алгоритмические модели познаватель-
познавательных процессов строить на базе закономерностей пере-
переработки человеком математической информации. Сжа-
28

Л У
sin
/
Ш
/
Рис.
I
X
COS
ш
1.
тость, связность, выводимость, большое количество
алгоритмов, характерные для математики как науки и
учебного предмета, формируют у человека особый, мате-
математический стиль мышления, элементы которого легче
поддаются описанию с помощью алгоритмов.
С другой стороны, ясно, что алгоритмы имеют дис-
дискретный характер и могут описывать скорее не процессы,
а отдельные этапы процесса усвоения знаний. Поэтому
речь должна идти лишь о первом, грубом приближении.
(Математики И. М. Гельфанд и
М. Л. Цетлин считают, что на совре-
менном уровне знаний полное (изо-
морфное) описание сложных систем
неудовлетворительно [32].)
Однако мы надеялись отразить
процесс в виде системы алгоритмиче-
алгоритмических форм, «сходящихся» к оконча-
окончательному продукту обучения.
В) Третья линия «приближений»
к алгоритмам связана непосредственно
с нашей преподавательской работой. Педагогам извест-
известно, ;что учащиеся часто стараются сформулировать свои
знания в виде правил, позволяющих решать соответст-
соответствующие задачи как бы формально без содержательного
раскрытия ситуации.
Поясним на примере. Для определения знаков тригонометриче-
тригонометрических функций некоторые школьники, записав функции подряд, поль-
пользуются правилом: функции, равноудаленные от концов, имеют оди-
одинаковые знаки, а также схемой: с'инус положителен по горизонтали,
косинус — па вертикали, тангенс — по диагонали. Смысл правила
ясен из ряс. 1.
Вот как, например, находится знак секанса в 3-й четверти. Се-
Секанс; второй с конца; второй с начала — косинус; положителен по
вертикали; знак секанса — минус. Это рассуждение, пригодное для
ответа на вопрос, не раскрывает, однако, истинной причины резуль-
результата.
Стремление учащихся к формализации знаний для
получения ответа ценой малых психических усилий —
распространенное явление. Мы вначале смотрели на это
как на полезное мнемоническое средство и не придава-
придавали вопросу особого значения. Вскоре, однако, обнаружи-
обнаружилось, что явление имеет более общий характер: оно так-
также связано с процессами вывода, преобразования, рас-
распознавания, т. е. решением задач в широком смысле.
Далее, педагогам известно, что при изучении математи-
29

ческих понятий учащимся часто недостаточно формули-
формулировки соответствующего предложения. Для усвоения не-
необходимо выполнить с ними несколько упражнений на
применение правила, чтобы в дальнейшем они могли
пользоваться им самостоятельно.
Таким образом, объяснение правила на задаче ока-
оказывалось психологически не эквивалентным формулиров-
формулировке самого правила. В первом случае правило как бы
развертывается в систему действий, а учитель своими
замечаниями каждый раз «подталкивает» ученика к этим
действиям. Естественно возникла мысль «заменить» учи-
учителя формальным предписанием, указывающим, какие
действия и в какой последовательности надо произвести
для применения правила. Так мы подошли к понятию
операторной формы алгоритма преобразования.
В геометрии мы столкнулись и с другим видом алго-
алгоритма — алгоритмом распознавания. Замечено, что при
распознавании понятий многие учащиеся учитывают не
все признаки или приписывают понятиям случайные,
фоновые признаки. (Вопрос о полном наборе признаков,
как и о логической структуре признаков, насколько нам
известно, впервые поставлен Л. Н. Ланда [56].)
В одном из наших экспериментов испытуемые ориен-
ориентировались следующим набором признаков для распозна-
распознавания медианы в треугольнике.
1) Отрезок. 2) Один его конец-^вершина треуголь-
треугольника. 3) Второй конец:
а) принадлежит противолежащей стороне; б) являет-
является ее серединой. Каждый раз объект исследовался на
соответствие набору признаков. Приводим выдержку из
протокола эксперимента.
1) Да. 2) Да. 3) Да: а) Да, б)" Да. Ответ: это не
медиана — она идет вбок.
Так встал вопрос о введении понятий с помощью та-
такой процедуры, которая с самого начала навязывала бы
учащимся необходимость проверки только существенных
признаков.
В завершение мы хотим поделиться одним воспоминанием дет-
детства, имеющем отношение к данному вопросу.
На уроке белорусского языка в 3-м классе учитель прочитал
правило: «В первом слоге перед ударением вместо «о», «е» произ-
произносится и Пишется «а», «я». Десятилетние ребятишки бойко повторя-
повторяли правило и тут же в диктанте допуртили по... 15—20 ошибок
на него.
Автор этих строк был оставлен после уроков. Учитель, взяв
слово из диктанта («.HeenAikv»), спросил, как писать «не» или «ня»,
30

«ее» или «вя»? Я только упорно повторял вслух правило, но, кроме
музыки слов, в нем ничего не находил. Слова были гладкие, подо-
подогнанные, как стих, — и не за что «уцепиться». Тогда учитель предло-
предложил найти ударный слог и подчеркнуть его. Затем — читать слоги
от ударного справа налево. Когда это было выполнено, он попросил
их пронумеровать в порядке чтения. «Так вот, сказал он, если слог
первый, то пишут «а» или «я», если не первый — «о» или «е».
Потом я, помнится, удивлялся, почему так прямо не сказано
в правиле. Это был, кажется, первый запечатлевшийся алгоритм рас-
распознавания. Мы вспомнили об этом через много лет, присутствуя на
занятии ino алгебре о 7-м классе. Мальчик Складывал дроби:
1—хт х2 —1 -
Учитель:—С чего начнем? (Молчание). Ладно, тогда сложи
2/5 + 3/7 (ученик быстро складывает)... Правильно, так и делай
[учащийся пишет: j ,„ _X\+X/(X2_ п )••• Постой, а наименьший
[атель? (На доске появляется: х" — Ь
1). Теперь найди дополнительные множ
общий знаменатель? (На доске появляется: х" — 1 = (х — 1) (х + 1);
НОЗ = х2— 1). Теперь найди дополнительные множители
("
1/A— X)
Ладно, приведи в числителе подобные и т. д.
Оказывается, все, что необходимо для решения, учащийся по
существу знает, однако он самостоятельно не в состоянии справить-
справиться с заданием.
В следующем примере, с вариациями, повторилась та же кар-
картина. Было ясно, что учащемуся недостает соответствующего алго-
алгоритма преобразования.

Глава I
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ОБУЧЕНИИ И МЫШЛЕНИИ
1. Обзор и анализ литературы
Человек может решать задачи, не зная, как это про-
происходит. Отсюда необходимость разработки методов для
явного выражения скрытых актов мышления, формализа-
формализации процесса принятия решения в сложной ситуации [80,
117]. Благодаря интенсивному развитию электронно-вы-
электронно-вычислительной техники, проблема моделирования позна-
познавательных процессов человека стала объектом специаль-
специального изучения.
Существуют различные толкования понятия «модель».
Есть даже мнение, что на данном уровне развития науки
невозможно дать единое определение модели [152;
стр. 23]. Ввиду отсутствия удовлетворительного во всех
отношениях определения, укажем некоторые свойства,
которые обычно приписывают понятию модель.
1. Моделирование есть способ отражения сходства
двух объектов (систем) в виде соответствия между их
элементами и отношениями.
2. Модель позволяет получить знания об объекте (си-
(системе) без непосредственного изучения этого объекта (си-
(системы) .
3. Модель — приближенное, неполное отражение,
абстрагирование от ряда признаков.
4. Структура и законы функционирования модели
проще (или в каком-то смысле доступнее изучению), чем
структура и законы функционирования оригинала.
б. Модель на основе сходства функционирования
имеет вероятностный характер.
В связи с этим Н. В^нер и А. Розенблют определяют
моделирование через подобие (representation), а не вос-
воспроизведение (reproduction) [160, стр. 317]. Ф. Джордж
образно представляет модель в виде скелета, а возни-
возникающую на ее основе теорию/как «целый организм, вклю-
включая мясо» [154, стр.. 313]. Как видим, в понятие модель
не включено (как обязательное) условие визуальной на,-
32

глядности, отсутствие которого, как указывает В. Вени-
Веников, иногда служит поводом для отказа от метода моде-
моделирования при изучении сложных абстрактных теорий
[25].
Важной характеристикой процесса моделирования
многие считают изоморфное соответствие между моделью
и оригиналом. Изоморфизм — взаимно однозначное соот-
соответствие между элементами моделируемого объекта и
модели, сохраняющее отношение. Примером изоморфиз-
изоморфизма является соответствие между множеством действи-
действительных чисел (объект) и множеством точек числовой
прямой (модель) *'. Каждому числу соответствует одна
и только одна точка и наоборот. Отношению «меньше»
объекта соответствует отношение «левее» на модели.
Если одно число меньше другого, то точка, соответствую-
соответствующая первому числу, левее точки, соответствующей вто-
второму числу. Подробнее см. [23, стр. 247].
Наиболее естественны основанные на принципе изо-
изоморфизма модели (интерпретации) аксиоматических тео-
теорий в математике. Вопрос упрощается тем, что объект
раз и навсегда описывается с помощью нескольких акси-
аксиом и правил вывода.
Сложнее с моделями в психологии. При взаимодейст-
взаимодействии с субъектом материальный объект непрерывно из-
изменяется, и для сохранения соответствия необходимо
адекватное изменение психологической модели. Так, пре-
преобразуя в процессе познания объект, психическое и само
вынужденно преобразуется. Если в первом случае эле-
элементы и отношения объекта и его модели представляют
собой два непересекающихся ряда, то теперь ряды как
бы находятся в динамическом равновесии.
Принципиальные методологические трудности возни-
возникают при математическом моделировании психических
процессов, когда приходится изоморфно передать дина-
динамику психологического объекта с помощью «неподвиж-
«неподвижной» математической модели. На эти трудности указыва-
указывают многие авторы {22, 160, стр. 316] и др. Однако, если
известен закон протекания психологического процесса,
то его можно попытаться описать, пользуясь упорядо-
упорядоченным множеством форм математической модели, и
*) Очевидно, что и множество действительных чисел, в свою оче-
очередь, можЛ*рассматриваться как модель множества точек прямой.
Интуитивно ясно, что каждая из двух изоморфных систем может
рассматриваться как модель другой. (Прим. ред.)
3-37 33

тогда содержание процесса отразится в модели перехо-
переходом от одних к другим *>.
Многие авторы рассматривают познание как модели-
моделирование в человеческом мозге объективного мира [4,
стр. 46]. Моделирование становится основным направле-
направлением изучения мышления {51] **>.
Попытку интерпретировать мышление как совокуп-
совокупность динамических мозговых моделей предпринял
Я. А. Пономарев [89]. Автор различает психологический
аспект изучения мышления (взаимодействие субъекта
с объектом) и логический анализ строения знаний.
Психологический процесс познания вовлекает как чув-
чувственное отражение, так и абстрактное и реализуется
с помощью первичных (чувственных) и вторичных
(означенных) моделей. В знаниях мышление выступает
в снятом виде его продукта — в знаковой форме. Это
предполагает расчленение, квантование первичной моде-
модели, слитно отражающей взаимодействие субъекта с объ-
объектом. Так как действия теперь не контролируются веща-
вещами— оригиналами, то логика моделей должна отражать
отношение вещей' Создается возможность отвлечения от
конкретного содержания мыслей, изучения лишь форм
связи частей, законов выводимости знаний. Так возни-
возникает знаковая логическая модель, отражающая недоступ-
недоступные непосредственному восприятию (первичной модели)
связи и свойства в виде понятий, суждений, умозаклю-
умозаключений. Здесь мы сталкиваемся с переходом от сущности
первого порядка к сущности второго порядка A, стр.227].
Логические законы, по необходимости, имеют услов-
условный характер: из знания х вытекает знание у. Истинно х
в действительности или нет, логику не интересует — аде-
адекватная ориентация возможна только через первичные
модели. В этом причина отмеченного многими психолога-
психологами различия между психологическим и .логическим ре:
*> Для психологии актуальны слова Н. А. Бернштейна, сказан-
сказанные, правда по поводу биологии: «... Речь должна идти не о ка-
каком-то приживлении или подбадке математики, а о выращивании но-
новых, биологических глав математики изнутри ..,» A3].
**' С другой стороны, отдельные исследователи недооценивают
роль моделирования, полагая невозможным получение достоверных
данных о живом (тем более — мыслящем) с помощью математиче-
математических «ли технических моделей A55, стр. 116]. Эти. мотивы прозвучали
также в докладах А. В. Брушлинского, И. С. Ладенко, Г. М. Фисен-
ко на симпозиуме по проблемам моделирования психической дея-
деятельности (Новосибирск, 26—30 октября 1ЭД8 г.).
34 ' . '

шением одной и той же задачи. Система звеньев, обра-
образующих путь от знаковой {логической) формы знания
к его применению при решении задач, часто складывает-
складывается психологическими формами мышления, допускающими
короткие замыкания между отдельными звеньями логи-
логической цепочки. С другой стороны, психологическое вы-
выступает как логическое, когда, объективированное в зна-
знаковой модели, оно минует прямое -взаимодействие субъ-
субъекта с объектом. Логическая модель отвечает на вопрос,
как человек должен мыслить *); психологическая — как
он мыслит в действительности. В соответствии с этим
всякая психологическая модель имеет базальную и над-
надстроечную части. Базальной частью она обращена «во-
вие», к первичным моделям, надстроечной — к логиче-
логическим моделям. Она становится логической в момент вы-
выражения ее надстроечной части знаковой моделью, т. е.
отражения слитного в первичной модели взаимодействия
с объектом в расчлененных логических действиях. (На-
(Например, когда надо передать решение другому). По логи-
логическая модель внутри умственной жизни не замкнута
в себе. Суть в том, что в плане формально-логических
операций поиск решения задач не осуществляется. Об-
Область и направление поиска идет по семантическим кри-
критериям [37]. При решении задач происходит многократ-
многократное превращение психологического процесса в его логи-
логический продукт и наоборот. Таким образом, можно гово-
говорить о сообщающихся сферах, о соответствии между
двумя моделями мышления, но не об их тождестве.
На этой черте Я. А. Пономарев останавливается. Из-
Известно, что Жан Пиаже поставил проблему о соответст-
соответствии между логическими структурами и структурами пси-
психической деятельности. По Пиаже логика является аксио-
аксиоматикой мышления, психология — его содержательное
начало. К сожалению, Я. А. Пономарев не развивает это-
этого перспективного, на наш взгляд, направления исследо-
исследования связи между логическим и психологическим. И
одна из причин, как нам представляется, — рассмотрение
моделей только на уровне словесных описаний, отсутст-
отсутствие в книге математического аппарата, способного наи-
наиболее полно отразить знаковый характер моделей, их
взаимоотношения и переходы.
*> Каким должен быть результат процесса мышления. (Прим.
3* 35

Пиаже Положил в основу Познания объективных
структур практические действия человека над предмета-
предметами и идеальные действия над их образами и понятия-
понятиями— на уровне интериоризации [85]. Существенными
являются признаки, инвариантные относительно преоб-
преобразований с помощью определенных действий. Выделе-
Выделение психикой некоторого свойства предметов — инвари-
инварианта относительно перемещения в пространстве — назы-
называется классификацией объектов по данному ¦ свойству
(размер, форма и т. д.). Внутри класса объекты могут
различаться по нехарактеристическому для класса свой-
свойству. Выделение на его основе подклассов называется
сериацией. Операции (предметные и умственные) слу-
служат открытию инвариантов. Ж. Пиаже на огромном экс-
экспериментальном и теоретическом материале показал, что
большинство операций сводится к двум видам упорядо-
упорядочения— классификации и сериации. Таким образом, по-
понятия отражают свойства и отношения элементов, инва-
инвариантные относительно их преобразования с помощью
практических или идеальных действий.
Научить мышление образовывать понятия, значит:
1) «выращивать» в нем структуры, изоморфные су-
существующим объективно классам и сериям предметов;
2) обучить приемам для выполнения этих операций.
Такие системы схем й способов переработки инфор-
информации Пиаже называет структурой интеллекта. Однако
в вопросе формирования структур интеллекта Пиаже не
смог преодолеть односторонности гештальтпсихологии,
согласно которой эти структуры возникают и развива-
развиваются независимо от внешних и внутренних условий в хо-
ходе созревания мозга.
Пиаже рассматривает 4 возрастные стадии.
1) Сенсомоторная (до 2-х лет). Реальность отражает-
отражается по схеме: восприятие—ответное действие. 2) Доопе-
рационный интеллект (от 2-х до 7 лет). Существенные
свойства отражаются наглядно. Операции — представле-
представления действий над вещами. 3) (8—11 лет). Классифика-
Классификация и сериация производятся на основе понятий о суще-
существенных признаках, при непременной опоре на реаль-
реальные образы. Вбзникшие логические структуры носят
предметный характер. 4) Стадия формальных отношений
A1—15 лет). Понятия освобождаются от своего матери-
материального носителя — вещи и выступают как идеальные мо-
модели отношений. Возникает возможность подлинного
36

«теоретического обучения». Деятельность и созревание —
такова формула мышления по Пиаже. Таким образом,
задача дает материал, которым оперирует мышление. Са-
Само же мышление выступает к ней, как нечто посторон-
постороннее, определяемое своими, внутренними врожденными
законами.
Несколько иной подход к упорядочению процесса
формирования понятий предложен в работах Дж. Брун-
нера [21].
Бруннер рассматривает процесс восхождения при об-
образовании все расширяющихся систем «вложенных» по-
понятий как перекодирование информации, а обучение по-
понятиям — как усвоение учащимися систем кодирования.
Подведе.' ie предмета под класс означает распростране-
распространение на него всех свойств класса — дополнительная ин-
информация о предмете идет не от его специального изуче-
изучения, а от структуры. При этом сама структура описыва-
описывается минимальным числом признаков. Такая дедукция
характерна для аксиоматического метода в математике,
и в применении к формированию понятий подход можно
назвать «аксиомосообразным».
Значительный шаг вперед в проблеме формирования
понятий сделал один из основоположников советской
психологии Л. С. Выготский (Избранные психологиче-
сие исследования. М., Изд-во АПН РСФСР, 1956.) Вы-
Выготский рассматривает житейские «псевдопонятия» (син-
креты, комплексы) и научные понятия, возникающие пу-
путем абстрагирования и систематизации. Отображение
значений происходит от синкретов к понятиям, и это сход-
сходно с этапами развития интеллекта по Пиаже. Однако,
в отличие от Пиаже, Выготский не считает, что способы
отображения структурой действительности жестко при-
привязаны к возрасту. Большую роль играет фактор знаний.
Отсюда неравномерное «вызревание» понятий в разных
сферах деятельности человека.
Если по Пиаже понятия формируются только на осно-
основе личного опыта и каждый человек, как бы в миниатю-
миниатюре, повторяет в своем развитии историю науки, то Вы-
Выготский считает главным передачу и усвоение в обучении
общественного опыта. В итоге главный путь формирова-
формирования понятий — обучение. Понятия — продукт содержания
обучения.
Продолжением этой программы является разработан-
разработанная Н. А. Менчинской схема формирования приемов
37

умственной деятельности: усвоение содержания приема^-*
самостоятельное его применение — перенос на новые си-
ситуации. Активный, действенный характер имеет предло-
предложенный Е. Н. Кабановой — Меллер метод расчленяющей
абстракции, при котором учащиеся сознательно выделя-
выделяют и противопоставляют существенные и несущественные
признаки понятий.
Советская психология освободила центральное звено
в теории мышления Пиаже — о действии как источнике
понятий — от его субъективных наслоений. Объективной
предпосылкой логических моделей, возможности упоря-
упорядоченного перехода одних форм мышления в другие
является системность знаний и умственной деятельности
в целом. Еще К. Д. Ушинский писал, что «...ум — есть не
что иное, как хорошо организованная система знаний».
Проблема системности умственной деятельности в со-
советской психологии поставлена Л. С. Выготским. Однако
ему не удалось раскрыть генезис все усложняющихся си-
систем мышления и памяти [100].
А. Н. Леонтьев отрицал связь «между низшей, ассо-
ассоциативной и высшей психологической памятью», будучи
не в состоянии объяснить, «как возможно превращение
механических по своей природе простейших ассоциатив-
ассоциативных комплексов в целостные структурные системы» [64,
стр. 299]. Поэтому, как указывает сам автор в предисло-
предисловии, раскрытие логической памяти как функциональной
системы психологических процессов осталось неосуществ-
неосуществленной задачей.
Б. М. Теплов отмечает связанную с систематичностью
знаний их своеобразную «готовность», «мобилизован-
«мобилизованность» {109, стр. 212]. Но механизм возникновения этих
феноменов, как отмечает Ю. А. Самарин, остается не
вполне ясным [100]. -
С. Л. Рубинштейн также не раскрыл до конца меха-
механизма преобразования простого в сложное. Он считал
простейшую ассоциацию, элементарный ассоциативный
акт столь существенно отличными от высшего мысли-
мыслительного процесса, что сведение второго к первому не-
неравномерно [99, стр. 344].
Рассмотрим с интересующей нас точки зрения неко-
некоторые вопросы его психологической теории мышления.
Мышление определяется действием внешних и внутрен-
внутренних условий. Каждый шаг его'соответствует некоторому
состоянию объекта и, с другой стороны, завершается
38

раскрытием объекта. Изменение объекта вызывает новый
ход мышления и т. д. Психологическим механизмом мыс-
мыслительного акта является анализ через синтез: объект
включается в новые связи (отношения), благодаря чему
в нем выявляются неизвестные ранее свойства, возникает
новое состояние [98, стр. 136]. В итоге «мышление по сво-
своему составу выступает как анализ, синтез, абстракция
и обобщение» [98, стр. 46].
Рубинштейн различает анализ и синтез в логике :и
психологии. В первом случае речь идет о знаниях как
продуктах, и следует говорить о проанализированное™,
обобщенности и т. д. Во втором — о процессе деятельно-
деятельности анализирования, синтезирования.'Неясно, однако, по-
почему анализ и синтез протекают так, а не иначе, каковы
движущие механизмы аналитико-синтетической деятель-
деятельности.
Проблема единства мышления и знаний, т. е. связи
психологического процесса с логическим продуктом, оста-
остается, в известной мере, открытой. Незавершенность своей
теории сознает и сам Рубинштейн, который, в отличие
от традиционного сведения мышления к указанным опе-
операциям, считает, что «не операции порождают мышле-
мышление, а процесс мышления порождает операции, которые
затем в него включаются». Автор утверждает, что пер-
первична не деятельность решения задач, выступающая
эмпирически на поверхность явлений, а нечто другое, что
предстоит вскрыть путем анализа мышления. В одной из
более поздних работ Рубинштейн писал о необходимости,
в связи с этими вопросами, раскрытия механизма ассо-
ассоциации [97].
Ю. А. Самарин считает, что попытки психологов обос-
обосновать системность умственной деятельности были огра-
ограничены отсутствием четких понятий «элемента» и «систе-
«системы» и игнорированием закономерностей возникновения
целостности психической деятельности {100, стр. 138]. От-
Отмечая, что целое больше суммы частей, психологи не
могли указать, откуда возникает «приращение». Началь-
Начальным элементом любого знания и навыка, по Самарину,
является простая локальная ассоциация. Она образуется
первой, разрушается последней. Но это еще не умствен-
умственная деятельность. По мере наращивания запаса ассоциа-
ассоциации возникают ассоциативные ряды, которые, однако,
остаются локальными, пока не включены в систему зна-
знаний, И только после этого они станозятся элементами
39

мысли, приобретают обобщенный характер *'. Дело в-том,
что умственная деятельность начинается с необходимо-
необходимости совершить выбор способа действия или Материала
[100, стр. 236]. Ассоциативная же система знаний как
раз, в отличие от локальных ассоциаций, позволяет при-
применить знания в разных условиях.
Вначале системы относятся к весьма ограниченной об-
области (глава или параграф учебника). Речь идет о ча-
стносистемных ассоциациях, знаменующих переход зна-
знаний от единичного к особенному, еще не обретшего ха-
характера всеобщего. Они проявляются, как умение вычле-
вычленять из ассоциативного фонда знаний наиболее сущест-
существенные в данном вопросе признаки. Следующий уровень
умственной деятельности характеризуется внутрисистем-
внутрисистемными ассоциациями, отражающими упорядоченные сово-
совокупности фактов, представлений, понятий. Они связыва-
связывают воедино основное содержание учебного предмета или
нескольких его разделов.
Системы знаний все же разобщены, пока не найдена
ведущая система, подчиняющая их себе Ц100, стр. 300].
Это происходит на уровне межсистемных (межпредмет-
(межпредметных) ассоциаций. Автор, таким образом, последователь-
последовательно развивает идею иерархии «вложенных» систем зна-
знаний. Системность как особая форма упорядочения высту-
выступает способом организации, управления мышлением.
С этих позиций делается попытка описать общую схему
решения умственной задачи. Прежде всего, находится
тип, к которому Относится данная задача — путем вспо-
вспоминания ранее решенных аналогичных задач. Механизм
процесса основан на актуализации разной степени близо-
близости систем ассоциаций по сходству. Если между усло-
условием и способом действия связь однозначна, то отсутст-
отсутствует выбор и, следовательно, нет умственного решения
[100, стр. 373]. Если нет готового способа действия, то
для сравнения отыскиваются достаточно близкие к дан-
данному условия с известным методом решения. Оба усло-
условия разлагаются на составляющие элементы, находится
пересечение и, в соответствии с их значимостью, судят
о тождестве или степени различия целого.
Системность знаний становится основой вырабатыва-
вырабатывания метода умственной деятельности. Здесь автор, по
*) Это согласуется с. высказыванием Н. А. Менчинокой о том,
что доаналитические «генерализованные» объединения еще не явля-
являются обобщениями [71, стр. 183].
40

сути, приближается к алгоритмическому описанию про-
процесса. Однако операции, к которым оно сводится («Про-
(«Проверка наличия готового способа действия», «Разложение
условия на элементы» и др.), очень сложны и, более
того, не всегда выполнимы. Содержание их раскрыто
в работе недостаточно. Проблема системности знаний
с позиций логико-психологического моделирования рас-
рассматривалась Я. А. Пономаревым |90]. По мнению
Я. А. Пономарева системность знаний характеризуется
следующими чертами.
1. Знания находятся в непрерывной связи с процес-
процессом их приобретения.
2. Всякое знание в' процессе обучения включается
в состав другого, «объемлющего» его знания.
3. При этом «объемлемое» знание деформируется
в соответствии с новыми связями, в которые оно всту-
вступило.
Упорядоченные определенным способом знания обра-
образуют структуру. Основные характеристики структуры —
элемент, система, подсистема. Элементом называются
знания, сознаваемые нерасчлененно. Система —знания,
содержащие более одного элемента и образующие струк-
структуру. Подсистема есть часть системы, являющаяся систе-
системой.. Все эти понятия, как видим, — психологические.
Центральным при переходе от логической модели
к психологической является вопрос о том, как, в соот-
соответствии с условием задачи, система сознается, то как
нерасчлененный элемент, то как подсистема. На этот во-
вопрос, по мнению автора, не содержится ответа в самой
системе, и, таким образом, система по необходимости
предполагает внешнее управление. Но кроме систем зна-
знаний других знаний нет, поэтому проблема самоуправле-
самоуправления остается нерешенной. Причина, нам думается, в том,
что Я. А. Пономарев не рассматривает иерархий систем
знаний разного уровня в их динамическом взаимодейст-
взаимодействии. Это* по-видимому, объясняется отсутствием в рабо-
работе единого способа описания структур. Представляется,
что подход к подлинному моделированию мыслительных
процессов могли бы открыть модели обучения, механизм
которых выверен «в работе» *>. И хотя одна и та же
функция реализуется различными механизмами (точнее,
*> А. А. Смирнов еще в 1946 г. поставил вопрос о специальном
изучении особенностей процесса взаимодействия понятий у школьни-
школьников при усвоении знаний [104].
41

При одинаковой логике псйхблогиЧескйё процессы могут
различаться), положительные результаты должны свиде-
свидетельствовать о приближении модели обучения к реаль-
реальному мышлению, к отражению закономерностей психи-
психики *).
Отдельные методисты-математики пытаются осмыс-
осмыслить процесс обучения математике с позиций взаимодей-
взаимодействия логических и психологических моделей. При этом
исходят из определения методики математики как науки
о наиболее рацональном сообщении новых знаний [91,
стр. 25]. Отметим вышедшую в 1969 г. книгу А. А. Столя-
Столяра «Педагогика математики» [106]. Автор рассматривает
модель обучения, как методическое решение логико-мате-
логико-математической модели. Логическая модель формальна, от-
отвлекается от того, как фактически протекает мышление.
Механизм мыслительной деятельности является объектом
психологической модели. Явно под влиянием идей кибер-
кибернетики автор строит несколько удачных моделей обуче-
обучения математике, ставя вопросы управления математиче-
математическим развитием учащихся: учить открывать алгоритмы
в неупорядоченном хаосе фактов и способов; не только
«доказывать», но и «догадываться» и т. д. И эти идеи
показаны «в работе». Однако в книге не отражена связь,
преемственность моделей — от простых, развернутых
алгоритмических описаний до сжатых формально-логиче-
формально-логических структур. Это та самая «ничейная земля» на грани-
границе между педагогикой математики, психологией и логи-
логикой, которая пока остается целиной не только в рассма-
рассматриваемой книге.
Экстраполируя логику автора, можно, — и мы поста-
постараемся показать плодотворность такого подхода,—
стать на путь алгоритмического моделирования не только
исходного и конечного состояния структур, но и самого
процесса, ведущего от начальных форм к «свернутым»
логическим образованиям. Первые шаги по этому пути
уже предприняли психологи. Мы имеем в виду, прежде
всего, теорию поэтапного формирования умственных дей-
действий П. Я. Гальперина [26, 27, 29]. Анализируя состав
действия, П. Я. Гальперин находит в нем 2 составляю-
составляющие: I) «Понимание» — по объективной роли в действии
оно ориентировочно: представляет общий план, контроль
*> Приходится избегать распространенной «ловушки», когда
априорное приписывание моделей обучения реальному мышлению
затем выдается за «открытие» модели мышления.
42

и коррекцию. Это управляющая инстанция. 2) «Уме-
«Умение» — исполнительная часть действия. Разумность дей-
действия определяется тем, насколько оно ориентировано на
существенное: необходимость, связи, переходы.
Важная задача—обеспечить при обучении разумность
действия еще до его выполнения — реализуется «выстав-
«выставлением вперед» некоторых «логических координат» —
для преемственности, связи. Так вычленяется логический
компонент, сообщающий действию направленность. Кон-
Конструктивно это выглядит в виде упорядоченной системы
указаний и логических условий, регулирующих их ис-
использование: сделай, найди, если то ... и т. д.
Автор называет такое обучение вторым типом фор-
формирования действий. Однако эти описания имеют ограни-
ограниченную сферу приложения, и для каждого нового зада-
задания приходится менять ориентировочную основу. Таким
образом, эмпирическая основа действия все же сохраня-
сохраняется, и фактически речь идет лишь об усовершенствован-
усовершенствованном методе проб и ошибок. Отсюда задача воспитать
у учащихся умение самостоятельно образовать «полную
ориентировочную основу», т. е. находить
1) «Основные единицы» материала данной области.
2) Правила их сочетания в конкретные явления.
При формировании понятий учащиеся усваивают
определенный способ действий, который затем перено-
переносится на новые понятия. Постепенно действия становятся
все более сокращенными и, наконец, они могут пере-
перестать сознаваться. Это уже обучение по третьему типу
ориентировки. В результате такого обучения вещь в пред-
представлениях ребенка распадается на относительно само-
самостоятельные параметры; свойство — на множество еди-
единиц. И все это организуется по схеме, общей для всех
объектов данной области.
П. Я. Гальперин указывает, что в скрытом виде эти
схемы содержатся и в знаниях, приобретенных традици-
традиционными способами (условно — По первому типу ориенти-
ориентировки), но приближение к ним обычно происходит сти-
стихийно, трудно, и даже когда мышление начинает следо-
следовать этим схемам, оно ограничено рамками конкретного
материала. Автор приходит к выводу, что схемы обуче-
обучения, в процессе их использования учащимися, на высшем
Уровне, становятся схемами мышления об описываемых
ими объектах. Сталкиваясь с соответствующей ситуаци-
ситуацией, учащиеся организуют ее по общей схеме, предвосхи-
43

щая в уме решение задачи. (Образно выражаясь, теперь
они «не ждут милостей от природы».)
Так решается вопрос об «обучении детей методике
и технике творческого мышления», о котором', в связи
с недостатками школьных приемов анализа и синтеза,
писала Н. А. Менчинская [70, стр. 132]. Открывается воз-
возможность подлинного управления мышлением — путь от
логического к психологическому. Мышление становится
«разумным», «руководителем действия» [101, стр. 348].
П. Я- Гальперин, как видим, близко подходит к алго-
алгоритмическим моделям в обучении и мышлении. По сути,
переход от обучения по второму типу к обучению по
третьему типу знаменует переход от обучения алгорит-
алгоритмам к алгоритму самообучения. С другой стороны, ори-
ориентировочная деятельность «по третьему типу» близка
к эвристической деятельности, хотя и формируется в усло-
условиях планомерного обучения.
Следующий шаг в этом направлении сделал
Л. Н. Ланда, обратившийся явно к математическим мо-
моделям. Процесс математического моделирования, в об-
.щем, представляют себе так.
Вычленяются наиболее характерные особенности изу-
изучаемого объекта или явления. Затем они переводятся на
язык математики в виде символов, связанных логико-ма-
логико-математическими операциями. Это модель. Из нее матема-
математическими средствами получают следствия, которые про-
проверяются с помощью эксперимента. В зависимости от
соответствия эксперименту модель принимается, коррек-
корректируется, отвергается.
Остановимся теперь на наиболее значительной работе
Л. Н. Ланда «Алгоритмизация, в обучении» [56]. Во
вступительной статье к книге Б. В. Гнеденко и Б. В. Би-
Бирюков указывают, что алгоритмизация в обучении — обу-
обучение алгоритмам и построение алгоритмов обучения —
ведет к внедрению в педагогику точных математических
методов. «Мы убеждены, пишут авторы, что сколь бы
далеко ни продвинулись достижения точной педагогики
в овладении святая святых обучения — в решении задачи
развития творческих способностей и логического мышле-
мышления людей — в ней всегда будут занимать почетное ме-
место алгоритмические методы».
С позиций кибернетики Л. Н. Ланда считает возмож-
возможным рассматривать обучение как управление, в опреде-
определенном смысле, формированием и развитием психических
44

процессов и свойств личности. Алгоритмами удается опи-
описать сложные формы психической, в том числе — мысли
тельной деятельности, внутренние, умственные действия
Многие процессы, которые считались творческими, ока-
оказывается, имеют алгоритмическую природу. Автор выде-
выделяет в мышлении элементарные умственные акты (опе-
(операции) и условия, в ответ на которые эти операции про-
производятся. Последовательная проверка условий и вы-
выполнение действий образует схему, формализацией кото-
которой может служить выражение из операторов, логических
условий и нумерованных стрелок. Это известная форма
Ляпунова — Шестопал, которая оказывается пригодной
для описания алгоритмов в обучении. Однако уже
с исходным понятием — «операция» — в обучении возни-
возникают трудности. Например, некоторые операции часто
оказываются невыполнимыми: «Возбудить интерес», «Вы-
«Вызвать внимание» и др. Далее, операции, элементарные
на одном уровне знаний или для одних учащихся, не
элементарны в других условиях, и вопрос может быть
решен только с помощью эксперимента.
•Сказанное является одной из причин, потребовавших
ослабления математического понятия алгоритма. В свя-
связи с этим Л. Н. Ланда вводит понятие предписания
алгоритмического типа, или алгоритма сводимости. При-
Приближаясь в ряде черт к «абсолютным» алгоритмам (мас-
(массовость, потенциальная — даже актуальная -*- заверши-
мость), алгоритм сводимости допускает «ослабление»
свойства детерминированности. Он становится «абсолют-
«абсолютным» при условии выполнимости и элементарности
(в определенном смысле) его операций.
В отличие от несамообучающегося автомата, у челове-
человека алгоритм в ходе формирования подвергается измене-
изменениям. Основное направление его деформации — сокраще-
сокращение, «свертывание», выпадение ряда элементов из процес-
процесса сознавания. Чем лучше человек овладевает алгорит-
алгоритмом, тем быстрее он в состоянии от него «отказаться»
(стр. 137). На уровне образования понятия — алгоритм
уже сгусток «добытых знаний о предмете, сжатых в одну
мысль» (стр. 144). Завершающая логическая форма — не
алгоритм, однако при возникновении соответствующей
ситуации (в задаче) она находит, приспосабливает под-
подходящий алгоритм, причем наиболее рациональный.
Еще Павлов, указывал, что для образования ассоциа-
ассоциаций недостаточно, чтобы раздражители были «смежны-
45

ми». Ассоциация возникает, когда эта связь имеет значи-
значимость для индивида [100, стр. 108]. В таком случае, воз-
возможно, логические формы моделируют психологический
механизм оценки «значимости» связей. Говоря, в частно-
частности, об алгоритмах распознавания, Л. Н. Ланда видит
цель обучения алгоритмам в «непосредственном» выде-
выделении признаков, а путь к ней — в сознательной и актив-
активной проверке их путем действий по развернутым алго-
алгоритмам (стр. 262). Л. Н. Ланда приводит эксперимен-
экспериментальные данные обучения учащихся правилам и поня-
понятиям русского языка и некоторым предложениям матема-
математики с помощью алгоритмов. Он приходит к следующим
выводам.
1. Алгоритмы обучения позволяют не только сооб-
сообщать и контролировать знания, но и адаптировать обу-
обучение к индивидуальным особенностям учащихся.
2. Алгоритмы из средства управления объектами по-
постепенно становятся средством управления мышле-
мышлением *).
3. Формирование методов мышления — канал, по ко-
которому осуществляется, в частности, воспитание умствен-
умственных способностей учащихся.
4. Решение задач с помощью алгоритмов — одно из
условий развития интуиции (стр. 137).
Так строится механизм, который в действии подтверж-
подтверждает мысль К- Н. Корнилова о целостном, структурном
характере мышления [50, стр. 117], высказанную в тот пе-
период, когда вопрос о природе целенаправленности и
активности мышления еще невозможно было даже поста-
поставить корректно.
Л. Н. Ланда приводит слова Ли Яо-цзу и Вандер-
вельде: «...Желательно иметь такую самонастраивающу-
самонастраивающуюся систему, при которой не было бы необходимости
знать заранее ни окружающих условий, ни характери-
*> Возможность описания с помощью алгоритмов сводимости
мыслительных процессов подчеркивается многими. Так, в монографии
А. Р. Лурия и Л. С. Цветковой {65] указана следующая структура
мыслительного акта. 1) Цель, которую нужно достичь. 2) Ориенти-
Ориентировка в условиях, в которых дана цель. 3) Возникновение общей
схемы решения — алгоритма. 4) Конкретный набор операций, посред-
посредством которых достигается решение. 5) Сличение полученных резуль-
результатов с исходными условия-ми задачи. О; К. Тихомиров и В. А. Тере-
Терехов уточняют эту ехему, рассматривая аналогичные операции с про-
промежуточными целями A12]. Однако Л. Н. Ланда говорит не только
об описании, но об управлении мышлением с помощью алгоритмов
46

йтик объекта и' котбрай все же обеспечила бы достиже-
достижение требуемых динамических свойств...» [145]. По мнению
Л. Н. Ланда алгоритмизация в обучении способствует
формированию таких «самонастраивающихся систем»
мышления.
В заключение отметим, что автор не считает алгорит-
алгоритмы универсальным и единственным способом обучения.
Подчеркивается, например, что в задачах творческого
характера велико значение несводимых к алгоритмам
эвристических методов. Таковы, например, методы поиска
доказательств при решении геометрических задач и др.
Но в том-то и дело, что алгоритмы, в известной мере,
выступают средством воспитания более высоких форм
обучения и мышления. К сожалению, экспериментальные
задачи, использованные Л. Н. Ланда, в частности по ма-
математике, как правило, слишком стандартны, чтобы их
решение служило серьезному исследованию эвристиче-
эвристических методов.
Во всяком случае, теперь время вспомнить слова крупного аме-
американского математика Р. Беллмана о радикальном отличии матема-
математических методов, основанных на полной универсальности, от тех
«правильных» лишь в общих чертах и вовсе не «строгих» методов
работы, к которым прибегает мозг [8, стр. 25].
Остановимся специально на проблеме связи между алгоритмами
и эвристиками. Судя по имеющейся литературе, нет единого тол-
толкования понятия эвристики. Д. Пойа считает, что эвристики изу-
изучают приемы, с помощью которых делаются открытия [159, стр. 132].
Он называет их правдоподобными рассуждениями. Пойа приводит
замечательные слова Кеплера об аналогиях — «верных учителях,
знающих все секреты природы» [159, стр. 31].
Известные специалисты А. Нъюэлл, Г. Саймон и Д. Шоу опре-
определяют эвристику как правило, сокращающее число потенциальных
вариантов перебора [81, стр. 529, 156, 157].
A. В. Брушлинский не видит различия между эвристикой как
наукой и психологией мышления [22].
B. Н. Пушкин отождествляет термины «творческий» и «эври-
«эвристический» [93].
О. К- Тихомиров с этим не соглашается. По его мнению твор-
творчество есть результат деятельности, эвристики же — не продукт,
а организация процесса получения этого продукта [114, стр. 100].
Большинство авторов приписывают эвристикам следующие осо-
особенности. 1) Они удовлетворяют методу планирования (planning),
или принципу редукции подцелей (subgoal reduction) — расчленения
решения задачи на «подзадачи». 2) Ограничивают перебор.
3) В отличие от алгоритмов не гарантируют успешного решения,
способны «увести в сторону». 4) Их использование высоко эффек-
эффективно. Хорошие эвристики дают, по сравнению с алгоритмами, улуч-
улучшение работы на несколько порядков. 5) Эвристические методы.мож-
методы.можно рассматривать как теорию поведения человека при решении за-
задач и др. [139].
47

Не имей возможности специально остановиться на проблеме
творчества, укажем лишь, что еще в начале XX в. П. Энгельгеймер
создал теорию — эврнлогню, где попытался осмыслить основы твор-
творчества. По его чмненню творческий процесс включает:
1. Психологический (интуиция и желание)—связан с возникно-
возникновением замысла.
- 2. Логический (дискурсивное мышление) — непосредственное по-
получение знания.
3. (Конструктивный — выполнение изобретения.
Нам кажется интересной мысль о творчестве как о логикопсн-
хологнческом процессе. Известный французский математик А. Пуан-
Пуанкаре указывал, что основное в творчестве — обнаружение полезных
комбинаций без перебора всех. Ему же принадлежат слова о том,
что механизм математического творчества не очень отличается от
механизма творчества вообще [92]. Сказанное дает повод предпо-
предположить, что эвристики (в смысле Ньюэлла, Шоу и Саймона) играют
основную роль в математическом творчестве и в силу этого к ним
можно приблизиться с помощью логических н психологических мо-
моделей.
Сопоставим на основе приведенных данных некоторые особен-
особенности алгоритмов и эвристик.
Структурные особенности
Алгоритмы Эвристики
1. Массовость. Общность ме-
метода: применимость к множеству
однотипных задач.3
2. Шаговая структура: расчле-
расчленение задачи для ее решения на
.подзадачи".
3. Детерминированность: 3. Не „строгие", правдопо-
жесткость, однозначность преоб- добные методы (рассуждения);
разованнй. В алгоритме перебора сокращают число потенциальных
рассматриваются все варианты. вариантов перебора.
4. Результативность: процесс 4. Не гарантируют успешного
завершается получением конечно- решения задачи, способнц
го результата. „увести в сторону".
Функциональные особенности
5. Роль алгоритмов в мышлении 5. Эвристические методы рас-
мало исследована. сматрнваются как теория пове-
поведения человека при решении
задач. Основные методы, к ко-
которым прибегает мозг для твор-
чества, открытий. Эвристика
(наука)=пснхологин мышления.
Обычно эвристики противопоставляются алгоритмам. Говорят
даже об особой «эвристическойлогике» [72] •', Некоторые авторы, на-
*) Зтн вопросы приобрели актуальность в связи с интенсивным
развитием эвристического машинного программирования. Закономер-
Закономерностям эвристических процессов посвящено большинство докладов
на 4-м Всесоюзном симпозиуме по кибернетике (Тбилиси, 2—4 декаб-
декабря, 1968) и на состоявшемся вслед за ним симпозиуме по моделиро-
моделированию психических процессов (Тбилиси, 5—7 декабря, 1968).
48

против, полагаю!, что между этими понятиями нет жесткой грани
[158]. Но сказанное относится скорее к эвристическому машинному
программированию. Что касается человека, то психологи говорят
о специфичности его эвристической деятельности (93, 113].
В связи с этим представляет интерес подход к вопросу К. М. Шо-
ломия [139]. Автор считает, что эвристики являются алгоритмами,
обеспечивающими решение не всех, а лишь некоторых задач опре-
определенного класса, при условии, что признаки подкласса решаемых
задач в методе отсутствуют и они «е извести» Также составителю
алгоритма. Но тогда эвристики оказываются непознанными алго-
алгоритмами.
Это оптимистическая точка зрения. Действительно, во времена
Архимеда вычисление площадей фигур было чрезвычайно трудной
задачей, требовавшей огромной интуиции. Ныне задача под силу
любому студенту, вооруженному методами интегрального исчисле-
исчисления. Алгебра вооружила арифметику общим подходом к большин-
большинству ее задач. Отпала необходимость в искусственных арифметиче-
арифметических решениях и т. д. Математизация наук, являющаяся знамением
нашего времени, в большой мере обязана широкой замене множества
частных приемов, требующих подчас большого эвристического искус-
искусства, регулярными методами.
Наличие связи между алгоритмами и эвристиками не вызывает
сомнения. Для этого достаточно проанализировать некоторые эври-
эвристические методы—отделение, щепеобразование [81], — попользован-
попользованные при составлении программы «Логик -теоретик» для доказатель-
доказательства на ЭЦВМ ИБМ-704 теорем Рассела и Уайтхеда из их труда
«Prineipia Mathematical
Отделение. Если «{/» теорема, которую нужно доказать, то ма-
машина ищет известное предложение типа х—*у и затем пытается
решить подзадачу х. Метод основан на свойстве логической импли-
импликации, которое легко описывается алгоритмом: из x=il и х—*-у=\
следует: у=\.
Цепеобразование представляет собой композицию нескольких
отделений, использующую транзитивность импликации и т. д.
О логическом* как необходимом компоненте эвристики свидетель-
свидетельствует высказывание А. Пуанкаре: «В математике строгость не
есть все, но без нее в ней нет ничего» [92, стр. 22].
Однако диалектическая связь между эвристиками и алгорит-
алгоритмами не означает их тождества. Прежде всего, имеются авторитет-
авторитетные высказывания о «нелогических моментах» творчества виднейших
математиков и естествоиспытателей Гаусса, Оствальда, Гельмгольца,
Бертрана Рассела, Планка, Эйнштейна и др.
О различии между творческим и логическим говорили А. Пуан-
Пуанкаре— в лекции «Математическое творчество» (конец XIX в.);
Ж. Адамар в выступлениях 1937 г. и в цикле лекций по «психологии
изобретения в математической области» A943 г.)*'; писали психологи
Стэнфордского университета Л. Термен и М. Оден, изучившие
деятельность 1000 одаренных учащихся и т. д.
Далее, отождествление понятий эвристика и алгоритм приносит
прямой вред в вопросах преподавания математики. В связи с этим
поучительно рассмотреть взгляды методистов-математиков на роль
*' В 1970 г. на русском языке в изд-ве «Советское радио» вышла
кн. Ж. Адамара «Исследование психологии процесса изобретения
в области математики».
4-37 49

метода анализа в решений математических ЗаДач. Среди метоДистбй
широко распространено мнение об анализе как более ценном сред-
средстве для развития математического мышления, чем синтез G7, стр. 65],
[125, стр. 293].
Другие авторы (например, Новоселов Ф. П.) считают, что ана-
анализ полезен лишь для человека, уже решившего задачу. В поиске
решения он мало помогает. С «им, в основном, соглашаются 'психо-
'психологи Н. А. Менчинская, 3. И. Калмыкова и др. {71, стр. 137, 367].
Педагоги-практики, однако, знают, каким сильным средством являет-
является умело организованный анализ при решении математических (осо-
(особенно геометрических) задач.
Как могло случиться, что по важнейшему вопросу методики ма-
математики имеются столь разноречивые высказывания? Дело в том,
что одни исследователи и педагоги смотрят на анализ как на
эвристический метод, помогающий при решении задач. Другие —
предъявляют к нему непомерное требование алгоритмической обус-
обусловленности решения. Нет ничего легче, чем дискредитировать метод
путем выхода за область его применения •>. Но если эвристики прин-
принципиально отличны от алгоритмов, то нельзя согласиться с попытка-
попытками сведения мышления только к эвристикам (А. В. Брушлинский).
В противном случае, пришлось бы сознательно исключить один из
перспективных способов управления обучением и мышлением с по-
помощью алгоритмов **>.
Некоторые авторы усматривают отличие алгоритмов от эври-
эвристик в.том, что последние обязательно включают элемент интуиции,
точнее, являются интуитивно оправданными процедурами [31]***'.
Интуиция обычно противопоставляется аналитическому, или дискур-
дискурсивному мышлению [21]. Все без исключения исследователи усматри-
усматривают важнейшую особенность интуитивных решений в их неосозна-
ваемости. Приведем несколько авторитетных высказываний.
Павлов: человек, признающий только осознаваемые процессы,
ходит в темноте с фонарем, освещающим лишь небольшие участки
[84, стр. 105].
Крупный специалист-математик Д. Мордухай-Болтовскяй: глубо-
глубоко внедрение математика в бессознательную сферу 'мышления [74].
Колмогоров: «Наше сознание, которое все направляет и выби-
выбирает, опирается на уже имеющийся огромный резервуар подсозна-
подсознательной информации. Там идет активная работа по созданию новых
комбинаций, идей, образов» {5]. В этом высказывании особенно от-
отчетливо выражена связь подсознательного с психологической мо-
моделью мышления, осознанного — с логической , моделью. Специали-
Специалисты, подчеркивая специфику интуиции, считают, что подсознатель-
подсознательное никогда не дает результата в логически законченном виде
*) В последнее время по этому вопросу веское слово сказали ма-
математики, испытавшие метод анализа («нисходящего» анализа) при
решении задач на электронно-вычислительной машине. Результаты
оказались весьма обнадеживающими [82].
**) Мышление нельзя сводить только к эвристикам, очезидно,
потому, что в действительности оно не сводимо к ним, также как
оно не сводимо к одним алгоритмам (Прим. ред.).
***) Сошлемся также на Луи де Бройля, считающего индукцию,
аналогию, интуицию «испытанными источниками прогресса» {38,
стр. 178, 304] и на А. Пуанкаре: «Логика доказывает, а интуиция
творит» [92, 105].
50

[92, стр. 48], следовательно, не может быть отражено алгоритмом.
Существует, однако, и другая точка зрения, высказанная
И. В. Бычко и Е. С. Жариковым, которые рассматривают интуицию
как логический процесс, поддающийся описанию с помощью алгорит-
алгоритмов B4, стр. 227]. Они считают интуицию бессознательно реализуе-
реализуемым алгоритмом, включающим 3 ступени «психологического пре-
преобразования»: сжатие (уплотнение) алгоритма во времени; свертыва-
свертывание алгоритма (уменьшение числа операций, необходимых для по-
получения результата); перевод алгоритма с уровня сознания в под-
подсознание.
Несмотря на всю спою специфичность, интуиция, по мнению ав-
авторов, является плодом древа логики. Интуитивное оказывается
в генетической преемстзенности с дискурсивным.
Бросается в глаза сходство процесса преобразования алгорит-
алгоритмов при их усвоении учащимися (по Л. Н. Ланда) с перечисленными
ступенями развития интуиции. К сожалению, идеи авторов недо-
недостаточно обоснованы и во многом спорны.
Следует сказать, что «приведение» эвристик к интуиции являет-
является своего рода «выражением темного через темное». ВеДь природа
и психологический механизм интуиции почти не изучены.
Нам представилась возможность о^братить задачу: на основе
исключения алгоритмов вычленить (в процессе решения задач уча-
учащимися) из эвристик интуитивный компонент, исследовать законо-
закономерности его возникновения и функционирования «в чистом виде».
В этом плане вопросы взаимодействия логики и интуиции, в связи
с проблемой алгоритмов в обучении, обсуждаются з данной моно-
монографии.
2. Психологическая теория
и логико-математическая модель, первый подход.
Задачи исследования
Развиваемая в этой работе математическая модель
обучения основана на понятии импликации: А—»-В. А —
посылка; В — заключение; А, В, а также А—»-В прини-
принимают значения: истинно A), ложно @).
Раскроем содержание импликации на примере. Если
[а четно и Ь четно] (А), то [а + b четно] (В).
Это формализация объективной закономерности, не
зависящей от значений А и В. Поясним.
1) Пусть а=4; 6 = 6; а + Ь = 10. Л = 1; 5 = 1; А—>В =
2) а=5; 6 = 7; а+Ь = \2; Л=0; 5 = 1; А—*В = \.
3) а=5; 6 = 6; а + Ь = П\ Л=0; В=0; А—>-В = 1.
И только один случай невозможен: А=\; В = 0 — импли-
импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истин-
истинна, а заключение ложно.
4* 51

Поставим теперь импликации в соответствие психо-
психологическую связь — ассоциацию А'\—В'\ А'—первый
член ассоциации; В'— второй член. О наличии ассоциа-
ассоциации мы судим, если А' (мысль об А) тотчас же вызывает
В' (мысль о В).
В связи с этим, ассоциацию мы также называем вы-
вызовом. Соответствие между компонентами импликации и
ассоциативной связи отражено в табл. 1. Пусть у уча-
Таблица 1
А-+В
Импликация
Посылка (А)
Заключение (В)
Истинно (А, В)
Ложно (А, В)
Истинно М-»В)
Ложно (А-*В)
А'\~В'
Ассоциация
Первый член (А1)
Второй член (В1)
Сознается (член)
Не сознается (член)
Имеется (А'\-Вг)
Отсутствует (А' |— В')
щихся имеется вызов А'\— В'. Рассмотрим все возмож-
возможные случаи.
1) А' сознается. Тогда по определению ассоциации
сознается В'. В соответствии с таблицей А = В = \ и, зна-
значит, А—*-В=1.
2) А' не сознается, В', сознается. (Это возможно, ког-
когда В' является также вторым членом другой ассоциации
А" \— В', причем А" в данный момент сознается). Со-
Согласно таблице, Л=0; 5 = 1, и А—>-В = 1— по определе-
определению импликации.
3) А' не сознается, В' не сознается. Л = 0; 5=0 А—>-
—*-В = 1.
Итак, наличие психологического вызова отражается
истинностью соответствующей логической импликации.
Уточним, на основании сказанного, характер связи меж-
между логико-математическим и психологическим.
1. Для каждой ассоциации имеется соответствующая
импликация. Первому члену ассоциации соответствует
посылка, второму — заключение.
2. Свойствам ассоциации «имеется» («отсутствует»)
соответствуют значения импликации: истинно (ложно).
3. Если ассоциация А'\—В' имеется и в ней А' заме-
заменено соответственно А, В' — В, соотношение вызова (|—)
связкой импликации (—>-), то образовавшаяся имплика-
импликация А—+В истинна как логическая формула.
52

Короче, ассоциативные связи, интерпретируемые как
импликации, — истинны.
При выполнении перечисленных условий будем, как
это принято в математической логике, называть импли-
кативные структуры логической моделью соответствую-
соответствующей психологической связи. Таким образом, ассоциации,
согласно нашим представлениям, самим своим сущест-
существованием предполагают в качестве объективного адреса-
адресата некоторые логические импликации. Обратное, по-види-
по-видимому, неверно: логико-математические сёязи не обяза-
обязательно имеют соответствующие психологические эквива
ленты. Они объективны и не зависят от того, существуют
у данного человека адекватные ассоциации или нет. Если
так, то приобретение знаний, возможно, обязано процес-
процессу синтезирования новых вызовов, соответствующих ло-
логическим связям.
Установленное соответствие, как показано, не изо-
изоморфно— оно однозначно определено только в направ-
направлении от психологического к логико-математическому.
Объективно-логическое богаче связями, содержательнее
своего психологического отражения. Психологическая
теория как бы «вкладывается» в модель. Образно выра-
выражаясь, ассоциации являются перенесенными в «мышле-
«мышление» реально существующими импликативными связями.
(Под «реальностью» импликации мы понимаем следую-
следующее: из эксперимента над объективными явлениями в не-
некотором приближении может быть извлечена таблица
истинности, задающая связку логического следования.)
Рассмотрим, как установленное соответствие проявля-
проявляется при отображении понятий из психологической моде-
модели в логико-математическую.
Пусть А\, А'2> A'z, .:., А'п — конкретные объекты пси-
психологической модели М', объединенные понятием П'.
(Например, — восприятия множества конкретных тре-
треугольников, принадлежащих понятию треугольник.)
Тогда имеются вызовы: Л'.; (— W (t = l, 2, ..., п). В силу
соответствия в математической модели для Л* и П удов-
удовлетворяется: А{—>-Я — истинно (t=l, 2, ..., ri).
Сошлемся на формальное определение «понятия»,
предложенное известным американским математиком и
логиком Чёрчем. Элементам некоторого множества объ-
объектов присваивается символ (наименование). «Понятием»
наименования является правило, решающее для произ-
произвольного объекта вопрос о его принадлежности множе-
53

ству. Множество объектов образует содержание «поня-
«понятия» [153]. Тогда П естественно истолковывается как
некоторое множество, А — его элемент, а — имплика-
импликация,— как принадлежность элемента множеству (А^П).
Таким образом, понятию в логической модели соот-
соответствует закон, решающий вопрос о принадлежности
произвольного элемента А множеству П. Соответствие
сохраняется и для более сложных форм мышления.
П. А. Шеварев указывает, что умозаключения в психоло-
психологическом смысле это те интеллектуальные процессы, ко-
которые при логическом анализе их содержания оказыва-
оказываются умозаключениями в логическом смысле и т. д.
[137].
С позиций математической модели находит объясне-
объяснение ряд психологических закономерностей. Так, напри-
например, из дедуктивной цепочки Х\.—^х'г—*¦ ¦ • • —*Xh, вслед-
вследствие транзитивности логической импликации, истинно
Xi—>Xh. Это является основанием к возникновению, по
закону соответствия, психологической связи х\ f— x\,
т. е. к свертыванию умозаключений — феномену, дейст-
действительно открытому в умственной деятельности учащихся
и т. д. Мы, однако, думаем, что можно рассчитывать на
большее — математическая модель позволит посредством
дедукции предсказать некоторые нетривиальные резуль-
результаты, закономерности, которые трудно уловимы в про-
процессе реального обучения. Но главное — мы попытаемся
показать это в исследовании — в том, что логико-мате-
логико-математическая модель обучения постепенно «присваивается»
мышлением и выступает как управляющая, по принципу
обратной связи, инстанция; психологическая же модель
соответственно становится управляемой, функционирует
в соответствии с навязанной логикой. Нарушение соот-
соответствия должно свидетельствовать о «неисправности»
психологического механизма, или, то же самое, о слабо-
слабости связи между моделями. Например, когда учащиеся
отказываются «признавать» высоты в тупоугольных и
прямоугольных треугольниках, хотя знают определение
высоты треугольника, то это, оказывается, признак не-
недостаточности управления со стороны логической модели.
В связи с этим возникает потребность в таких формах
логического, которые позволили бы увидеть решение еще
до его строгого доказательства [3$, стр. 302], а в обуче-
обучении «подстораживали» бы отклонения психологической
модели от «логической нормы», обеспечили бы оптималь-
54

ную адаптации Психологической модели. Построение и
апробация такой логической модели — одна из задач
данного исследования. Весь предшествующий анализ по-
позволяет заключить, что трудности, связанные с решением
этой важнейшей проблемы психологии, в большей мере
обязаны описательным методам исследования, недоста-
недостаточному использованию математического моделирования.
В связи с этим мы видим другую задачу исследования
в развитии алгоритмического метода описания процесса
обучения, а также мыслительных процессов при решении
задач учащимися.
3. Об алгоритмическом описании формирования
математических понятий
В математической модели обучения, как мы видели,
импликации ставятся в соответствие сложившимся реаль-
реальным знаниям, основанным на ассоциативных связях. Мы
теперь намерены пойти дальше и попытаться отразить
в модели процесс получения знаний. Согласно теории
С. Л. Рубинштейна мыслительному «ходу» предшествует
некоторое состояние объекта (относительно субъекта).
В это состояние, по-видимому, входит степень неопреде-
неопределенности, содержащейся в объекте для субъекта *). На-
Например, если требуется узнать, является ли точка сере-
серединой отрезка, то имеется два возможных исхода: да,
нет.
Задача на выяснение четности функции, вообще гово-
говоря, более неопределенна, так как имеется 3 исхода: чет-
четна, нечетна; не относится ни к одному из классов и т. д.
Конкретный мыслительный акт направлен на уменьше-
уменьшение (снятие, раскрытие) неопределенности, на выбор
одного из нескольких исходов. Предварительное знание
числа возможных исходов (и их вероятности) характери-
характеризует готовность к мышлению.
Состоянию объекта в математической модели поста-
поставим в соответствие логическое условие, которое прини-
принимает одно из нескольких четко указанных значений, обо-
обозначаемых, чаще всего, — 0,1**). Например, логическое
*' Этим подчеркивается, что мышление начинается там, где есть
выбор (гл. I, § 1), а выбор предполагает неопределенность.
**) При описании ситуации дихотомия не является ограниче-
ограничением —любое число аначений приводится к дихотомиям. Пусть, на-
например, (О, 1, 2). Сначала решают, скажем: 0 или A, 2)? Если (\, 2),
то следующий шаг: 1 или 2?
55

условие а равно 1 означает, что точка является Середи-
Серединой отрезка; а = 0 — точка не является серединой отрез-
отрезка. Условная запись:
{1, если точка — середина отрезка, .
О —в противном случае.
Мыслительному «ходу» соотнесем в модели оператор,
характеризующий аналитико-синтетическое действие сня-
снятия неопределенности. В результате мыслительного акта
возникает новое состояние объекта, новая неопределен-
неопределенность. Это отразится в математической модели перехо-
переходом к другому логическому условию, и, в зависимости от
его. значения, совершится переход к тому или иному опе-
оператору и т. д.
Например, пусть логическое условие а находится по-
после оператора проверки равенства /(—x)=f(x). Если
окажется а=\ (равенство справедливо), то следующим
оператором будет утверждение: функция, f(x)—четна.
Если же а=0, то следующим должен быть оператор про-
проверки равенства /(—>:) =—f(x) и т. д.
Таким образом, процесс приобретения знаний фор-
формально отражается с помощью логических условий и
операторов, которые «в переводе» означают: генерирова-
генерирование состояния выбора и действие анализа, оценки, от-
отбора. Упорядоченную последовательность состояний объ-
объекта и мыслительных актов в процессе решения задач
некоторого типа отобразим в модели с помощью алго-
алгоритма.
Покажем нашу модель «в работе» при формировании
понятий у учащихся.
Будем различать две формы образования понятий
у учащихся: операторную и логическую. Это условное
в известном смысле деление необходимо нам для обособ-
обособления Процедуры формирования понятий от ее результа-
результата. Операторная форма связана с процессом формирова-
формирований понятий, логическая — с завершенной структурой,
в которой сформировавшиеся понятия, возможно, пере-
передаются на «хранение» памяти.
Эти формы относятся друг к другу, как низшая сту-
ступень познания к высшей. Раскроем содержание и связь
двух форм понятий на примерах из школьного курса
математики.
I. Алгоритм формирования понятия высоты треуголь-
треугольника. Под алгоритмом обычно понимают жесткое указа-
56

ние о том, какие операции и в какой последовательности
надо произвести для решения любой задачи из некото-
некоторого множества однотипных задач. Подчеркивая роль
шаговой структуры, американский математик и логик
А. Чёрч определяет алгоритм как «эффективный метод
вычисления, особенно, если он распадается на отдель-
отдельные шаги, среди 'которых последующие зависят от пре-
предыдущих» [123, стр. 374].
- Таблица 2
Операторы
А
Н
В
С
D
Е
F
(слож-
(сложный)
G
Логи-
Логические
условия
Р
Я
s
г
Характеристика оператора или логического условия
Проверка, является ли одним из концов отрезка
вершина треугольника.
[ 1, если один из концов отрезка—вершина
/>= \ треугольника,
\ 0—в противном случае
Заключение о том, что данный отрезок—не вы-
высота.
Нахождение противолежащей стороны треуголь-
треугольника.
Проверка принадлежности 2-го конца отрезка
противолежащей стороне.
[ 1, если 2-й конец отрезка принадлежит
q— l противолежащей стороне,
t 0—в противном случае.
Продолжение противолежащей стороны.
Проверка принадлежности 2-го конца отрезка
продолжению противолежащей стороны.
[ 1, если 2-й конец отрезка принадлежит
s= l продолжению противолежащей стороны,
{ 0—в противном случае
Проверка перпендикулярности отрезка направле-
направлению противолежащей стороны.
f 1, если отрезок перпендикулярен к на-
г = | правлению противолежащей стороны,
1 0—в противном случае.
Заключение в том, что данный отрезок—высота.
Алгоритм содержит операторы и логические условия.
Операторы по существу отражают элементарные акты
переработки информации. Логические условия, как мы
видели, характеризуют ситуацию при выборе одного из
нескольких возможных операторов.
1. Операторы и логические условия для распознава-
распознавания высоты треугольника. Опорным является предвари-
предварительно усвоенное понятие перпендикуляра к прямой
(табл. 2).
57

2. Граф алгоритма (рис. 2). А— вход в граф, G -и
Я — выходы.
Граф изображает структуру действий (операций), ко-
которые нужно осуществить для распознавания высоты тре-
треугольника. Он является операторной формой понятия вы-
высоты треугольника.
Правило пользования. Сначала обращаются к опера-
оператору А — к нему нет стрелок. Затем, как это показывает
стрелка, переходят к логическому условию р, означаю-
означающему выбор.
Если р = 1, то переходят к 5, С и т. д.
Если р = 0, то переходят к Я (из которого стрелок
нет), и на этом процесс прекращается.
Операторную форму можно описать с помощью алго-
алгоритма.
3. Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал [66].
Ар | BCq\ \Fr | G. f DEs \ \ Я*>. C.1)
Пояснение. Сначала «срабатывает» крайний слева
член схемы (А). Если после него нет стрелки f, то пере-
переходят к следующему справу члену; если же такая стрел-
стрелка имеется (после логического
условия), то возможно одно из
двух: а) логическое условие
принимает значение 1—тогда
переходят к следующему спра-
справа члену; б) логическое усло-
условие принимает значение 0 —
тогда переходят к тому члену,
перед которым опускается
стрелка с тем же номером.
Например, если /7=1, д=0,
то получается ABCDE... и т. д.
Если на некотором этапе не
оказывается члена,, к которому
надо перейти (например, пос-
после Я), то на этом работа за-
заканчивается. Заканчивается
она также после оператора
с точкой (у нас G). В зависимости от значений логиче-
логических условий процесс распознавания' приводит к различ-
различным операторным последовательностям (табл. 3).
В
*' s означает «не s»: s = l, еслц .5=0; s=0, есдц $=\,

Тйблица 3
N
1
2
3
8
9
10
И
12
13
14
15
16
р
0
0
.
•
i
i
i
я
6
0
0
0
X
1
1
1
г
•
6
0
1
1
0
0
1
1
s
6
1
0
1
0
1**
0
!*¦
Операторы
последовательности
АН
АН
АН
ABCDEH
ABCDEFH
ABCDEH
ABCDEFG
ABCFH
ABCFG
V*
0
0
6
0
0
1
0
1
. v _ / I, если отрезок—высота.
\ 0, в противном случае
•• <7=?1 и «=1 одновременно невозможно. Для прямоугольного треугольника
условимся <7=1. Поэтому строки 14 и Ш^вычеркиуты.
С помощью известной формулы [34, 78] представим v
в совершенной нормальной дизъюнктивной форме и про-
произведем необходимые упрощения
v = pjrs V pqrs < >*>pj/-s" V PQrs V PQrs V Mrs**) < >
>prs(q v <7)V w (sVs)'—>p™ V pv*—*pr (* Vя)-
v = pr(s\/q). C.2)
Это и есть завершающая логическая форма понятия.
Словесно формула читается так:
«Отрезок является высотой треугольника, если:
а) один из его концов — вершина треугольника
(Р=1).
б) он перпендикулярен к направлению противолежа-
противолежащей стороны (г=\),
в) второй его конец принадлежит или противолежа-
противолежащей стороне или ее продолжению» (s\Jq—l).
Мы пришли к обычному определению высоты тре-
треугольника.
*) «-<—к» знак логической равносильности. Две логические фор-
формулы равносильны, если они принимают одинаковые значения ис-
истинности, какие-бы значения не придавать входящим в «их пере-
переменным.
**) qs=O, значит pqrs=O, а прибавление нулевого слагаемого не
изменяет значения v.
59

Понятие сформировано. Получился сгусток знаний,
«сжатых» в одну мысль» (Ланда).
4. Когда мы говорим о формах понятий, то имеются
в виду формы отражения понятий алгоритмическими
структурами. Так как обе формы, операторная й логи-
логическая,— это, по существу, правила для эффективного
решения вопроса о принадлежности «элемента множест-
множеству» (например, о принадлежности данного отрезка мно-
множеству объекгов, удовлетворяющих понятию высоты),
то они являются формализованными понятиями в смыс-
смысле Чёрча (гл. I, § 2).
Операторная форма алгоритма отлична от простой
суммы операторов. В ней оператор формализует не толь-
только действие, но, в известном смысле, также последствие,
т. е. «вызов» следующего оператора. Такая упорядочен-
упорядоченность согласуется с непрерывным характером психологи-
психологических процессов. В связи с этим операторная форма
алгоритма ставится в соответствие понятию в психологи-
психологической модели, как оно проявляется во взаимодействии
субъекта с объектом.
Логическая форма алгоритма отражает понятия в зна-
знаниях, когда они рассматриваются с точки зрения логи-
логической структуры. Ей, следовательно, соответствует логи-
логическая модель мышления.
Читатель, вероятно, спросит, откуда нам известно,
что в голове учащегося происходит именно то, что «пред-
«предписывается» математической моделью. Мы ответим,, что
этого тиы пока не знаем. Но если следствия, выводимые
из модели дедуктивно, объяснят некоторые закономер-
закономерности реального мышления, то, по-видимому, в модели
имеется «рациональное зерно». Если, сверх того, удастся
теоретически получить нетривиальные результаты, под-
подтверждаемые экспериментом, то это усилит объективное
значение модели. И, наконец, когда окажется, что обу-
обучение, организованное в соответствии с моделью, дает
лучшие результаты по сравнению с традиционным обу-
обучением (т. е. механизм «работает хорошо»), можно го-
говорить о приближении модели обучения « модели мыш-
мышления.
Поясним свою мысль на примере из области матема-
математики. Доказывается, скажем, что сумма внутренних углов
треугольника равна 2d. За исходное берется аксиома па-
параллельности. А аксиома? Она принимается как свое-
своеобразное соглашение, допущение, и смотрят, что из этого
60

получится. Если выводимые следствия согласуются
с практикой, то заключают, что, вероятно, в аксиоме
есть доля истины.
Но наш практический опыт всегда ограничен. На ка-
каком-то этапе может оказаться, что результаты теории
уже не вполне соответствуют действительности, и тогда
приходится менять, расширять исходные позиции и т. д.
Отсюда, конечно, не следует, что аксиомы выбираются
произвольно. Напротив, за ними стоит предварительно
накопленный опыт. Сказанное полностью относится к на-
нашей модели обучения.
Мы пытались подчеркнуть 2 особенности модели.
1) Модель на начальном этапе ее развития есть не
более чем правдоподобное допущение.
2) Модель всегда приближенно отражает реальный
процесс.
Но есть ещё одно свойство модели — она выражает
явления, объект, процесс как бы на другом языке, в пере-
переводе. Естественно возникает вопрос, как можно с помо-
помощью внешних по отношению к оригиналу языковых
средств судить о его внутреннем механизме. Поясним
это на жизненном примере. Пирожок стоит 10 коп. Это,
конечно, не значит, что, проглотив гривенник, мы получим
тот же. результат, что и съев пирожок. Тождества здесь
нет. Но вот продавец, распродав пирожки, решил узнать,
сколько их было. Для этого он подсчитывает выручку
в копейках и делит ее на 10. Если бы он мог проанали-
проанализировать свою мысль, то объяснил бы действие так:
10 коп.,— один пирожок; 20 коп. — два пирожка и т. д.
Между количеством пирожков и денег имеется соответ-
соответствие. Оно и позволяет, подсчитав деньги, сделать за-
заключение о пирожках. . Задача словно переведена
с одного «языка» на другой (перекодирована), в нем
произведены расчеты, и полученный результат вновь
переведен на первый «язык» (декодирован) *>. Обычно
в жизненных ситуациях, как видим, это происходит лег-
легко, естественно. В теоретических науках, связанных
с моделированием, необходимы специальные усилия для
преодоления языкового барьера.
5. Пришло время сказать несколько слов о трудностях языко-
языкового .характера в вопросах моделирования. Дело в том, что элементы
*) От этого, между прочим, лчрожки не перестают быть пирож-
пирожками, точно так же, как не исчезает психологическая теория, когда
о ней говорят на языке математической модели.
61

математической модели мы стараемся ввбдйть последовательно, кор-
корректно, конструктивно. Совершенно, например, ясно, что такое импли-
импликация, оператор, логическое условие, операторные н логические фор-
формы алгоритма и т. д. .
Этн понятия распознаются однозначно, нх отличишь друг от
друга н от других понятий. Соответствующие психологические экви-
эквиваленты в большой степени, из-за сложности процессов, ие всегда
точны, часто многозначны. Например, логическое условие в нашей
модели является, по существу, мерой неопределенности, содержащей-
содержащейся в объекте (для субъекта), а, следовательно, и мерой информации
которую получает субъект после раскрытия неопределенности. Оно
конструктивно, может быть выражено числом и т. д. К сожалению,
этого нельзя сказать о его аналоге — психологической характеристи-
характеристике состояния объекта (относительно субъекта).
Другой пример. Выражение «Оператор срабатывает» означает,
что имеет место соответствующий мыслительный ход в психологи-
психологической модели. Но если первое ясно — производится некоторое дей-
действие и вызывается следующий оператор, — то природа мыслитель-
мыслительного акта, его аналнтнко-синтетнческнй механизм, как правило,
неизвестны. Сказанное верно и для большинства других элементов
модели. В связи с этим мы часто переносим «детали» математиче-
математической модели в ситуацию реального мышления. Мы словно говорим,
что если бы реальное мышление однозначно «перевелось» на язык
нашей модели, то произошло бы то-то нлн так-то. Думается, что
при четком понимании соответствия между моделями «одушевление»
математической модели позволяет лучше описать те стороны несом-
несомненно более сложной психологической теории,. которые поддаются
формализации •'.
6. Выбранная нами вначале жесткая последователь-
последовательность действий для распознавания высоты треугольника
в известной мере произвольна. Той же задаче удовлет-
удовлетворял бы граф со входом «С» (проверка принадлежности
одного из концов отрезка стороне треугольника) или
«F» (проверка перпендикулярности отрезка направлению
стороны треугольника). Причина — в независимости при-
признаков, определяющих высоту. Однако логическая струк-
структура результата v, характеризующего сформированное
понятие, инвариантна относительно способа формирова-
формирования (коммутативность логических сомножителей, а так-
также слагаемых). Это важно в психологическом плане, таю
как позволяет на высшем уровне воспринимать все при-
признаки высоты вместе, сразу. Учащийся как бы «видит»
высоту, не различая признаков. Каждый признак в от-
отдельности не осознается, признаки выступают в совокуп-
совокупности, слитности и осознаются как высота.
*' Нам кажется, что иначе и невозможно в вопросах моделиро-
моделирования. Например, говорят: «думающая1* машина» и понимают, что
если бы неизвестный нам механизм мышления соответствовал извест-
известному механизму машины, то это означало бы, что машина думает.

Только в этом случае можно утверждать, что понятие
окончательно сформировалось. Таким образом, дискрет-
дискретность и очередность умственных действий, присущие пер-
первому, операторному этапу формирования понятия, пере-
переходят в непрерывность, когда понятие окончательно соз-
создано.
II. Одновременное восприятие всех признаков в ряде
случаев необходимо, когда понятие используется при ре-
решении задач. Для примера рассмотрим формирование и
применение понятия arcsin т. Опорным является умение
находить синус аргумента.
1. Операторы и логические условия алгоритма распо-
распознавания (табл. 4).
Таблица 4
Опера-
Операторы
А
В
С
С
Логические
условия
Р
q
Характерчстика операторов и логических условий
Проверка равенства синуса угла (дуги) числу т.
\ 1, если синус равен т,
Р~ \ 0—в противном случае.
Проверка принадлежности дуги сегменту
[—я/2, я/2]
f 1. если дуга принадлежит [—я/2, я/2],
Ч~ \ 0—в противном случае.
Заключение о том, что дуга не arcsinm
Заключение о том, что дуга есть arcsinm
2. Граф алгоритма (рис.3).
3. Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал
Ар \ Bq \ С. \ С. (Табл. б.) C.3)
v=pq. C.4)
4. Теперь изменим постановку задачи. Пусть требует-
требуется не распознать дугу как arcsin m, а вычислить значе-
Таблица 5
N
1
2
3
4
P
0
0
1
1
я
о — о —
Операторная
последова-
последовательность
АС
АС
ABC
ABC
v— f 1, если дуга есть arcsinm,
I 0—в противном случае.
— ооо

8
ние арксинуса т. Тут алгоритм распознавания, вообще
говоря, не применим. Действительно, дуг бесчисленное
множество. Другое дело — синус искомой дуги равен т,
и множество дуг сужается. Но оно все же остается бес-
бесконечным. Однозначный выбор станет возможным, если
исходить из области значений arcsin т.
Таким образом, нахождение arcsin m возможно толь-
только при одновременном использовании обоих дризнаков
. понятия: arcsin m — это уже
не операторная последова-
последовательность ABC, а один слож-
сложный нерасчлененный опера-
оператор {ABC}, характеризуемый
логической структурой v =
=pq. Дискретность форми-
формирования понятия уступает
место непрерывности ре-
результата.
5. Изложенный процесс—
от операторных структур
к логическим—укладывается
в схему Леонтьева—Галь-
Леонтьева—Гальперина формирования умственного действия B8, 30] и,
возможно, в какой-то степени является формализован-
формализованным приближением реального психологического процес-
процесса образования у человека умственных действий *) (гл. I,
§1).
Тогда задача первичного овладения понятием в ря-
ряде случаев заключается в упорядочении учащимися не-
некоторого множества операторов и логических условий
(построение графа), которые могут быть занумерованы,
и результат выразится некоторым многозначным числом.
Это можно использовать для альтернативного контроля
умственной деятельности учащихся с помощью програм-
программированных пособий и автоматических устройств.
(О некоторых психологических аспектах программиро-
программированного обучения — см. гл. IV, § 5.) Далее, завершаю-
завершающую логическую структуру удается закодировать числа-
Рис. 3.
*' Мы отнюдь не утверждаем, что путь от операторных структур
к логическим — единственный в процессе познання. Напротив, мы
согласны с положением В. А. Крутецкого о том, что способные к ма-
математике учащиеся могут образовать обобщенные (логические) струк-
структуры «с места», без предварительного обращения к операторным
структурам. Подробнее об этом см. гл. Щ,
64

ми, для этого достаточно закодировать основные логиче-
логические связки и кванторы. Так, возможно, откроется путь
к решению вопроса о вводе информации в автоматиче-
автоматическое устройство при структурном программировании,
с использованием аппарата математической логики..
Сделаем несколько замечаний. Прежде всего, необ-
необходимо подчеркнуть, что в описанных случаях речь идет
об определенном способе обучения некоторым понятиям,
об алгоритме обучения. Учащиеся еще не усвоили (не
вполне усвоили) понятие и овладевают им в процессе
применения сообщенного алгоритма для распознавания
объектов. На некотором уровне алгоритм, которому уча-
учащиеся обучались, как бы присваивается мышлением, оно
начинает следовать ему.
В соответствии с идеями П. Я. Гальперина, схемы
обучения становятся схемами мышления об описываемых
объектах. Однако к этому времени в восприятии алго-
алгоритма уже произошли сдвиги: исходным в мышлении
выступает возникшее знание, отраженное логической фор-
формой, операторно-действенные компоненты вычленяются
путем ее развертки. Процесс применения знаний оказы-
оказывается обратным процессу обучения и отражается в мо-
модели переходом от логической формы к операторной.
Разумеется, высказанные утверждения нуждаются
в серьезном теоретическом и экспериментальном обосно-
обосновании. Кроме того, остается неясным психологический
механизм процесса формирования и применения понятий.
Эти центральные вопросы данного исследования рассма-
рассматриваются, в основном, в гл. II, III и IV. Пока же допу-
допущение об операторно-логической структуре мышления
рассматривается как возможное объяснение результа-
результатов, полученных при обучении школьников нескольким
конкретным понятиям, в свете указания С. Л. Рубинштей-
Рубинштейна о том, что психика формируется в деятельности (§1).
Далее, построенные алгоритмы не вполне удовлетво-
удовлетворяют точному (математическому) понятию алгоритма.
Некоторые операторы не элементарны (например, «про-
«проверка перпендикулярности отрезка направлению сторо-
стороны», «нахождение синуса»). Упорядочение операторов
в ряде случаев произвольно (как это имеет место, на-
например, в случае высоты треугольника), и этим нару-
нарушается свойство детерминированности алгоритма. Что
касается логической формы, то в ней вообще отсутствует
характерный для алгоритма шаговый характер структу-
65

ры. Поэтому речь идет скорее о предписаниях алгорит-
алгоритмического типа в смысле Л. Н. Ланда (см. гл. I, § 1).
III. В качестве более сложного примера рассмотрим
алгоритм распознавания четной и нечетной функций.
1. Операторы и логические условия. Опорными явля-
являются навыки тождественных преобразований и нахожде-
нахождения области определения функции (табл. 6).
Таблица 6
Операторы
М
А
(слож
ный)
В
С
D
(слож-
(сложный)
Е
F
G
Логические
условия
Р
q
Г
5
Характеристика операторов и логических условий
Г 1, если f(x)aiO
\ 0, если f(x)=0"Ha всей числовой'оси
Утверждение: f (x) не принадлежит ни*к~чет-
ным, ни к нечетным функциям.
Нахождение области определения функции
Выяснение, будет ли область определения
функции симметрична относительно начала
координат.
f 1, если область определения симмет-
q= \ рична
1 0—в противном случае
Замена в функции х на (—х)
Тождественные преобразования, приводящие
к избавлению от минуса при аргументе.
Сравнение f (—х) и f (x)
{ I, если f (—х) = f (x)
г- \ 0, ecjraf(-x)#f(x)
Утверждение: f (x) четна
s= | I, если^-х): f(x)
Утверждение: f (x) нечетна
2. Граф алгоритма (рис. 4).
3. Форма Ляпунова — Шестопал
р | ABq f CDEr \ \ F. \ s \ \ G. f M. (Табл. 7.) C.5)
После перехода к совершенной нормальной дизъюнк-
дизъюнктивной форме и несложных преобразований получаем:
v = p\Jqrs C.6)
w = p\Jqrs C.7)
т. е. известные определения четной И нечетной функций,
66

IV. В школьных учебниках и учебных пособиях, в ряде слу-
случаев, не учитывается необходимость формирования понятий у уча-
учащихся. Так, определения, как правило, даются сразу в завершенной
форме; в соответствуювдей модели операторы нлн вовсе элемнннрова-
ны нлн даны «крупно»
(объединены), вследст-
вследствие чего процедура рас-
распознавания объекта не
всегда ясна учащимся.
Приведем определе-
определение высоты нз учебника
Н. И. Никитина (VI—
VIII кл): «Если нз ка-
какой-либо вершины тре- . _
угольника опустим пер- "Of
пенднкуляр на противо- рш ^
положную сторону, то
получим отрезок, кото-
который называется высотой треугольника». Здесь признаки высоты —
«вершина», «перпендикуляр» и т. д. — сообщены мерасчлененно.
Рассуждение словно ведется на уровне результатов действий, а не
самих действий. На первое место выступает логическая импликация:
«Если,... то ...».
Таблица 7
N
1
2
8
9
10
11
12
13
14
15
16
р
0
0
6
1
1
1
1
1
1
1
1
ч
•
•
6
0
0
0
1
1
1
1
г
•
•
6
0
1
1
0
0
1
1
•
6
1
0
1**)
0
1
0
1**)
Операторная
последова-
последовательность
F-G*)
F-G*)
f'g*)
ABM
ABM
ABM
ABCDEM
ABCDEG
ABCDEF
( 1, если f (x) четна
„_ 1 0, если f (jc) не
| является чет-
l ной
1
1
i
0
0
0
0
0
1
—
/ 1, если f (jc) He
1 четна,
ш= 1 0, если f (x) не
1 является
1 нечетн.
1
1
i
0
0
0
0
1
0
—
*) F-0 означает конъюнкцию (логическое умножение), т. е. функция одновре-
одновременно четна н нечетна.
•) Строки вычеркнуты, так как г и s не равны одновременно 1 прн р=я1.
Прн пользовании таким определением у учащихся стихийно,
трудно и не всегда правильно вырабатываются необходимые дей-
действия для распознавания высоты. Отсюда—распространенное «не-
5* 67

признание» высот й тупоугольных и прямоугольных треугольниках,
боковых высот и т. д. Фактически расчет берется на наиболее
одаренных к математике учащихся, способных перейти к высшей
форме понятия, минуя операторную форму. Мы в своей эксперимен-
экспериментальной работе, опираясь на исследования П. Я- Гальперина,, при
объяснении понятий учащимся исходили из алгоритмической про-
процедуры, последовательно формализуя ее:
а) Словесный алгоритм распознавания.
Например: 1) Посмотри, является ли одним из концов отрезка
вершина треугольника. 2) Если нет, то отрезок — не высота.' Если да,
то переходи к следующему пункту и т. д.
б) Графическая модель алгоритма *>.
На высшем уровне учащиеся сами приходят к свернутому опре-
определению понятия. Особенность таких сверток заключается в том, что
при возникновении затруднений они автоматически развертываются,
и без затрат психических усилий со стороны учащихся «срабатывает»
операторная процедура.
Наши результаты свидетельствуют о том, что при указанной
методике формирование понятий происходит в несколько раз бы-
быстрее, чем при традиционном способе их введения. Особенно боль-
большой выигрыш получается за счет средних и мало способных к ма-
математике учащихся.
V. Следующим этапом развития математической мо-
модели является формализация процесса перехода от опе-
операторной формы к логической. Как мы видели, в опера-
операторной форме алгоритма упорядоченность рассуждения
изначально навязывается учащемуся извне и, в извест-
известной мере, для него случайна. Можно предположить, что
в психологическом механизме этому соответствуют ассо-
ассоциации по пространственно-временной смежности.
Напротив, логическая форма, нам представляется,
обобщенно отражает суть зависимостей. Тем более важ-
важно «проиграть» на математической модели процесс пре-
преобразования операторной формы в логическую, который,
возможно, прольет свет на связь между ассоциациями
по смежности и ассоциациями по сходству.
Так как в модели переход связан с «потерей» опера-
операторного компонента алгоритма, то он, надо полагать,
является отражением психологического процесса сверты-
свертывания действий в мышлении. Учитывалось, что свертыва-
свертывание— не механическое уменьшение числа операций, не-
необходимых для получения результата; не исключение,
а скорее совмещение, включение одних операций в со-
состав других, когда несколько операций выступает как
*> Учитывая различные соотношения и уроани развития сигналь-
. ных систем у учащихся, мы в одних случаях шии от словесного алго-
алгоритма к графическому, в других— наоборот.
68

одна [133]. В поиске математических средств описаний
процесса казалось естественным в первую очередь обра-
обратиться к теоретико-множественным представлениям. При
этом мы исходили из канторовского понимания множест-
множества как собрания объектов, мыслимого в виде единого
целого [105, стр. 11].
Операторы, входящие в состав алгоритма, образуют
некоторое множество. Например, множество операторов
алгоритма распознавания высоты треугольника: {А, В,
С, D, E, F, G, Я} —см. табл. 2. Оно соответствует на-
начальному уровню усвоения понятия, и мы его обозна-
обозначим М°.
Далее, как показывает эксперимент, происходит
сращивание отдельных актов мыслительного процесса,
которому в модели соответствуют объединения операто-
операторов В и С, а также D и Е. Возникает множество AfW=
={Л, {В, С}, {?>, Е}, F, G, Щ. Оно отлично от предыду-
предыдущего: теперь В, С, D, Е уже не являются элементами М.
Вместо них образовались новые элементы {В, С}, {?>, Е),
и число элементов теперь не 8, а 6 [105].
Деформация начального множества, отражающая
экспериментально исследованный психологический про-
процесс «свертывания», показана на схеме.
Уровни
Соответствующие множества операторов
М(<>) = {А, В, С, D, E, F, G, Н}
{А, {В, С}, {D, Е}, F.G.H}
Mi*) = {A, {{В, С}, {D, ?}}, F. G, Н}
МС) = {А, {{{В, С}, {D,E}}, F}, G, Н}
М(*) = {А, {{{{В, С}, {D,E}}, F} ,G}, H}
|_ К "
В итоге образуется трехэлементное множество ЛК4>.
Его элементы: А, К, Н.
В алгоритме высоты мы имеем дело с операторами
распознавания понятия. Покажем, что и в случае опе-
операторов преобразования (выполнения математических
действий) применима аналогичная схема. Для примера
отметим этапы процесса усвоения студентами 3 курса
физмата 2-го распределительного закона булевой алггб-
69

ры {78]. За высший уровень Мы считаем прямое ОЁладе-
ние учащимися формулой:
ху V
(х V и) (х V v) (у V и) (у \/ v),
Обозначения
операторов
Операции
х V Уг —» (х V г/) (* V г)
ху v «о«—»¦ (ху V «) (^г/ Vv)
{ХУ V «) (ХУ V f) «~> (« V *</) (о V ху)
(и v *</) (о V ху) ^-» (в v *) (« V г/) (о V *) (о V г/)
(в v *) (и V у) (о V *) (о V г/)«-- (*V«0 (* V v) (у V «)
(V)
А
В
С
D
Е
Замечание. Так как в данном случае операторы жестко упорлдочены, то
множество условимся обозначать .уголками": < >.
Уровни
0
1
2
3
4
Операторные структуры
М(°) = (А, В, С, D,
М(г) = {В, (С, D),
мт=(в, ((с, D), 1
М(*) = ((В, ((С, D),
Е)
?>;
?>»;
.Сокращенные* операции
(ху V «) (ху V о) *—>
«-- (bV*) («V») (oV*) («V»)
(xy\/u)(xy\/v)*—*
(xy\Juv)+-^(x\/u)-
¦ (х v о) (у V «0 (г/ V о)
Мы пришли к одноэлементному множеству М4', ха-
характеризующему окончательное овладение формулой.
Описанная модель достаточно грубо отражает психоло-
психологический механизм «укрупнения» операторов. Переход
к высшим уровням выглядит, как образование оператор-
операторных композиций внутри алгоритма. В действительности
процесс представляется более сложным. Как показывают
наблюдения и эксперимент, в алгоритме распознавания
высоты треугольника операторы В и С не просто объеди-
объединяются в подмножество множества М: оператор В как
бы «поглощается» оператором С. В адекватных мысли-
70

тельных актах снижается степень сознавания В, и дейст-
действия становятся психологически неравноценными — дей-
действие, соответствующее оператору С, выступает как ве-
ведущее. Мы называем этот феномен поглощением (опера-
(оператора В оператором С). При поглощении, в соответствии
с психологическим механизмом, оператор В не элимини-
элиминируется, а входит в состав С, хотя внешне создается ил-
иллюзия одноактности. Этим отражается психологический
процесс формирования «внутреннего алфавита», отлично-
отличного от «внешнего». Теперь реальный процесс рассуждения
при решении задачи будет отличаться от тех его форм,
в которых он отчуждается алгоритмом, «срезанием» не-
некоторых звеньев.
Далее, оператор F на низших уровнях усвоения алго-
алгоритма'играет двойственную роль: он фактически срабаты-
срабатывает то с {ВС}), то с {DE}, образуя подмножества {BCF}
и {DEF}— в зависимости оттого, идет речь о противопо-
противоположной стороне треугольника или о ее продолжении. На
следующих уровнях операторы BCF и DEF как бы
«склеиваются» по их обшей части, и синтезируется со-
сокращенное образование {BCDE}, F, а затем {{BCDE}, F}.
Такое объединение операторов мы называем склеивани-
склеиванием. Ему соответствует булево преобразование:
B&C&F\JD&E&F< >(B&C\/D&E)&F.
Эти операции отражают разные аспекты свертывания
структур в психологической модели. Механизм психоло-
психологического сдвига, по-видимому, состоит в обобщении по-
понятия перпендикулярности как отношения между направ-
направлениями отрезков (а не между отрезками, как это имело
место вначале). Описанные особенности сокращения опе-
операторной формы характерны также для алгоритма пре-
преобразования.
В приведенном примере B-й распределительный за-
закон) мыслительный акт, соответствующий оператору А,
уже на уровне A), оказывается, «поглощен», действием,
соответствующим оператору В (в схеме А опущено.)
Сложный оператор <CD> — не простая композиция С
и D, т. е. последовательность соответствующих операций.
Учащиеся теперь не сознают каждое действие в отдель-
отдельности как проявление переместительного и распредели-
распределительного законов. Возникло качественно новое действие
<CD~>\ не проводимое к С и D и т. д. За счет поглоще-
поглощения ведущим становится действие, соответствующее опе-

ратору Е, которое закрепляется в памяти как представи-
представитель всей психологической структуры [129]. Степень со-
знавания других операторов падает. Теперь многое вы-
выступает как одно- Образовавшиеся связи позволяют по
условию непосредственно получить ответ. В алгоритме
это отражается «потерей» операторов, вследствие чего
обнажаются «в чистом виде» логические связи.
Таким образом, процесс свертывания действия в пси-
психологической модели может быть отражен в математиче-
математической модели приближением операторной формы к логи-
логической. В следующем параграфе предложена матричная
модель перестройки операторных структур.
Таблица 8
Модель мышления
Математическая модель
обучения
Ассоциация
Состояние объекта
Мыслительный акт („ход"), умственное
действие
Упорядоченная последовательность со-
состояний объекта и мыслительных актов
Психологическая модель мышления
Логическая' модель мышления (знания)
Свертывание действия в психологичес-
психологической модели; переход процесса (мышле-
(мышления) в его продукт (знание).
Импликация
Логическое условие
Оператор
Алгоритм
Операторная форма ал-
алгоритма
Логическая форма
Преобразование опера-
операторной формы в логичес-
логическую
VI. В заключение сведем в таблицу соответствующие
понятия психологической и математической моделей
(табл. 8).
4. Матричное описание процесса развития
операторной формы
Процесс сокращения действия при обучении связан
с глубокой качественной перестройкой мыслительных
структур. Он, как будет показано, обязан возникновению
многосторонних ассоциаций, когда вслед за одним дейст-
действием актуализируется целая система связей.
Генезис начальной операторной формы проследим на
алгоритме принципа математической индукции.
Алгоритм в словесном задании (таб. л, 9),
7?

Таблица 9
Оперэторы, логические условия
Символическое обозначение
Логическая форма
Проверка, задано ли свойство (закономер-
(закономерность) на множестве натуральных чисел {я}.
Если свойство задано на {я}, то переходи
к следующему указанию.
Если нет, переходи к указанию 6.
2. Проверка выполнения свойства (законо-
(закономерности) для л= 1. Если оно выполняется,
переходи к следующему указанию.
Если нет, переходи к указанию 5.-
3. Допущение справедливости свойства (за-
(закономерности) для n=k.
4. Проверка справедливости свойства (за-
(закономерности) для л = k -+-1
Если справедливо* переходи к указанию 8.
Если несправедливо, переходи к указанию 5.
Если не удалось произвести проверку, пе-
переходи к указанию
5. Утверждение о ложности свойства (от-
(отсутствии закономерности) для {л}
6. Утверждение о неприменимости принци-
принципа математической индукции
7. Утверждение: вопрос об истинности
свойства (закономерности) остается открытым
8. Утверждение об истинности свойства
(закономерности) на {л}
{О, если нет
1, если да
-{?:
В
если нет
если да
С
D
@. если не справедливо,
I1, если справедливо;
! 2, если не удалось произ-
произвести проверку
?
v =
G
Е
f 1, если закономерность
< доказана для {л}
10—в противном случае
Если свойство (закономерность) за-
задано на множестве натуральных чисел
и оно выполняется для л=1 и из спра-
справедливости свойства для n=k следует
его справедливость для л=й+1, то«
оно выполняется для любого натураль-
натурального л.
Символически это выглядит так:
Если р=\ (и) <7=1 (и) /¦=!, (то>
»=1. (В остальных случаях v=0).

Coot вётст вующий алгоритм Ляпунова — ШестопаЛ.
Ар \ Bq \ CDr I E. \ F. \G.\e D.1)
p&q&r -» v. D.2)
Модифицированные схемы алгоритма
а в с л е. f в е
Другим видом логической формы алгоритма является
предикатная формула:
VT {7A )& Vk [T (k) +T(k+l)] + упЦп)}. D.5)
Для каждого свойства Т, заданного на множестве
натуральных чисел, — если оно верно1 для 1 \Т(\)] и из
его справедливости для произвольного k следует спра-
справедливость для k-{- l[yk[T(k)—*T(k-\- 1I, то свойство
истинно для любого натурального п: упТ(п). [78]. Введем
матричное описание алгоритма. С этой целью составим
матрицу (табл. 10).
Если оператор х «вызывает» оператор у, т. е. в алго-
алгоритме у следует за х (*->*/), то в матрице на пересече-
пересечении строки х со столбцом у будем ставить 1 (хХг/=1).
Таблица 10
А
В
С
D
Е
ъ
F
G
А
0
В
1
0
.
с
1
0
D
1
0
Е
0
1
0
Е
1
ш
1
0
F G
1 .
. 1
. ,
0 .
0
В мышлении этому соответствует ассоциация х' \— у
Например, CxD=l [С \- D'). Если в строке только од-
*> Вспомним, что х' и «/' — это умственные действия, обозначен-
обозначенные соответственно операторами х и у.
74

на единица, то соответствующий строчный оператор на-
назовем безусловным. При большем числе единиц — опе-
оператор условный. Существенно как количество единиц, так
и их место. Например, в строке В: когда итогом действия
оператора будет 1 (выполняется), управление передается
С (т. е. оператору столбца, в котором находится первая
единица данной строки); если 0, — управление переходит
к Е. В строке D: если после срабатывания оператора D
логическое условие принимает значение 1, управление пе-
передается Е; О —.Ё; 2—G и т. д. Все места матрицы, не
занятые 1, считаются нулевыми, что означает отсутствие
вызова.
Получилось матричное описание алгоритма. Действи-
Действительно, мы видим, что сначала срабатывает оператор А.
В строке 2 единицы — оператор А условный. Если логи-
логическое условие равно 1, переходят к оператору В, если
О — к F и т. д.
¦Вычислим по известным правилам степени М [55,
гл. III] (табл. И).
А В G D E E F G
¦ ¦ 1 . . 1 . .
..11 . 1
E
E
F
G . .
Таблица 11
ABCDEEFG
. . . 1 . . . . •
. ... 1 1 .1
М*--
А
В
С
1>
Е
Е
F
G
A BCD ЕЕ F G
1 1 1 . 1 \
75

В нашем случае матрицы выше четвертого порядка —
нулевые.
Введем несколько понятий. Будем говорить, что опе-
оператор А n-звенно управляет оператором С, если, сущест-
существует минимальная цепочка связующих операторов Бь
B2,.-.,Bn-i, что A-*-Br+Bz-*-...-*-Bn = C. Содержательно
это означает реализацию упорядоченной последователь-
последовательности вызовов (импликации): A-*-Bi; Bi-+B2;. .,;5„_1->С.
На этом основании можно говорить также об п-звенном
вызове. Чем меньше п, тем непосредственнее (прямее)
связь между А и С. В этом смысле будем понимать бо-
более высокую связь, или управление. Наивысшим, по-ви-
по-видимому, является однозвенное управление А-+С, т. е.
прямой вызов.
Определение. Если на множестве операторов опера-
оператор А управляет другими n-звенно и выше, то А осу-
осуществляет на множестве управление не ниже п-звенного-
Определение. Множество операторов называется
п-звенно управляемым, если из любых двух операторов
множества по крайней мере один управляет другим не
ниже, чем п-звенно.
Нам потребуется теорема 1 [46, стр. 245]. Если мно-
множество операторов однозвенно управляемо, то найдется,
по крайней" мере, один оператор, управляющий любым
другим оператором не ниже, чем двузвенно. Уточним:
речь идет об операторе К, производящем наибольшее
число однозвенных управлении (такими могут быть не-
несколько операторов и даже—все).
Докажем от противного. Пусть управление К ниже даузвенного,
т. е. найдется оператор \R, которым К не управляет одно- или дву-
двузвенно. Тогда, по условию, R однозвенно управляет К. С другой
стороны, если К однозвенно управляет некоторым оператором S, то
R также однозвенно' управляет этим оператором, в противном случае,
К управлял бы R двузвенно, чго противоречит допущению. Итак R
производит однозвенных управлений на одно больше, чем К, что
также невозможно: К, по условию, имеет наибольшее число одно-
однозвенных управлений. Допущение неверно, теорема доказана.
Определение. Оператор А называется оптимальным
на множестве операторов, если его управление не ниже
управления любого другого оператора множества.
Следствие из теоремы. На однозвенно управляемом
множестве операторов оператор с наибольшим числом
однозвенных управлений является оптимальным, а само
его оптимальное управление — не ниже двузвенного.
Естественно следующее обобщение теоремы 1.
76

Теорема 2. Если множество операторов я-звенно уп-
управляемо, то оператор с наибольшим числом управлений
управляет любым другим оператором не ниже, чем 2п-
звенно.
Доказательство аналогично предыдущему- При п = \
получаем теорему 1.
Теперь вернемся к матрицам. Легко заметить, что 1
в матрице М2 соответствует композиции двух последова-
последовательных вызовов, т. е. двузвенному управлению. Напри-
Например, АхС=\: между А и С имеется опосредованная
связь с помощью оператора В:А^-В и В-*-С. В матрице
М3 ВХЕ= 1 означает трехзвенное управление Б-vC-vD-v
-»-? вследствие трех вызовов: B-vC; C-vD; D-y?. В та-
таком случае степень матрицы, в которой находится 1, ха-
характеризует «звенность» (т. е. количество звеньев в со-
соответствующей цепочке) управления оператора строки
оператором столбца. Тот факт, что М5 состоит из нулей,
означает, что наше множество операторов четырехзвен-
но-управляемо. Мы предполагаем, что реальный процесс
научения отражается, в первом приближении, законом
изменения связей между соответствующими оператора-
операторами. Точнее, процедура преобразования матрицы вызовов
М могла 'бы служить описанием процесса сокращения
психологических форм при научении.
Действительно, матрица М и ее степени отражают
тенденцию к возрастанию управления, к образованию
прямых вызовов за счет элиминирования связующих опе-
операторов. Тот факт, что логический результат действий
многозвенных и соответствующих однозвенных управле-
управлений может быть одинаков (выпадание промежуточных
операторов), возможно, отражает феномен свертывания
психологических структур. Далее, когда множество опе-
операторов в матричной модели однозвенно управляемо, то
оператор, производящий оптимальное (двузвенное — тео-
теорема 1) управление, мог бы выступить в мышлении
«представителем» всей формы. Этим были бы созданы
условия, с одной стороны, для перекодирования алго-
алгоритма в одноэлементное образование, с другой, — дл#
свертывания стоящего за ним психологического про-
процесса.
Исследуем генезис операторной формы психологиче-
психологической модели в реальном мышлении. Рассмотрим следую-
следующие задачи:
1. Доказать: Is + 2s -f... + п* ==ln in + l) B« + 01/Г)-
77

2. В комнате п человек (п>\). У всех испачканы ли-
лица, и каждый смеется над остальными, считая, что его-то
лицо чисто. Доказать: у каждого есть возможность дога-
догадаться, что его лицо испачкано.
Я. Имеется детская пирамида А и два свободных
столбика В и С. Требуется перенести диски на столбик
В, используя С как вспомогательный. Запрещается
класть больший диск на меньший.
Все "при задачи решаются методом математической
индукции (табл. 12).
Таблица 12
Опера-
Операторы
А
о
О
С
D
В
м С Ч
$ ч ?.
?=•!
г-\
v=\
решения
1-я задача
я слагаемых
1.2-3
1 -ИГ"
1=1
1» + 2*+ . . . га» =
га(га + 1) Bга+1)
-* 6
1»+2>+ . . .п' + (п + 1)*=
(п+1) (п + 2) [2(п+1) + 1]
в
2-я задача
п человек
Для двух человек
решение тривиально
• Пусть (для п че-
человек, дисков) за-
задача решена
(п + 1)-й рассуж-
рассуждает. В группе из
п человек каждый
догадался бы, что
его лицо испачкано.
Но они продолжают
смеяться, значит,
мое лицо также ис-
испачкано.
Задача решена
3-я задача
п дисков
(одного диска)
Перенесем л дис-
дисков с Л на С, ис-
используя в качестве
вспомогательного
столбика В. Затем
(га + 1)-й диск пере-
перенесем с Л на В и га
дисков с С на В,
используя вспомо-
вспомогательный А.
Из 30 десятиклассников с задачей 1 в течение часа
справились 26 человек. Задачи 2 и 3 в аналогичных ус-
условиях решили соответственно трое и один испытуемый.
Приводим «мышление вслух» учащегося Ш., решив-
решившего задачу (задача 2). «Если для п человек задача
решается, то («+1)-й уже, конечно, догадается. Над кем
еще будут смеяться?»
Весь процесс, таким образом, экстериоризировался
в виде сокращенного операторного сочетания CD и логи-
логического равенства v=\- Затем Ш. «развернул» решение
задачи в соответствии с алгоритмом D.1). На наш во-
вопрос, как он догадался обратиться к методу индукции,
учащийся сформулировал этот принцип, т. е. сослался
-78

На логическую форму. Анализ решения Ш. и других йс^
пытуемых показывает, что необходимым условием, подго-
подготавливающим свертывавие операторной структуры
(структуры действия), является наличие в математиче-
математической модели большого числа связей между операторами,
возникновение у учащихся состояния готовности перейти
от одного действия к другому, минуя промежуточные.
В итоге форма теряет свою алгоритмическую «жест-
«жесткость» -алгоритм фактически приходит к своему отри-
отрицанию. Именно благодаря более разветвленному управ-
управлению, вызовам «с дальних расстояний» Ш. удалось, как
это отразилось внешне, сразу «перескочить» к операто-
операторам С и D, минуя, в явном виде, А и В, что создало эф-
эффект одновременности всех действий и обеспечило успех
решения.
С другой стороны, попытки заставить учащихся, не
решивших задачи 2 и 3. начать рассуждения сразу с опе-
операторов С или D, как правило, заканчивались неудачей.
Испытуемые сбивались, начинали механически проделы-
проделывать предлагаемые экспериментатором действия, теряли
связь, и это почти всегда заканчивалось одинаково: «Я
лучше подряд...» Вероятно, можно говорить об отсут-
отсутствии (или слабости) у этих учащихся многосторонних
связей, об ограниченности управления операторов.
В гл. III будет показано, что одно из преимуществ обу-
обучения с помощью алгоритмов как раз и состоит в стиму-
стимулировании образования дальних вызовов.
Рассмотрим 3 типа операторов, 1) Элементарные.
Речь идет об отражений неделимых актов переработки
информации, о своеобразных психологических квантах.
Таков, например, наш оператор А. 2) Сложные опера-
операторы алгоритмического типа. Они сами являются алго-
алгоритмами, «вложенными» в. другой алгоритм. Например,
оператор В в задаче 1. Он отражает частичный процесс^
вычислительную процедуру локального характера, отра-
отработанную заранее и воспринимаемую с одного взгляда
как одноэлементная структура. 3) Сложные опера^
торы неалгоритмического типа. Таков оператор D.
«Он срабатывает» по-разному в задачах 1, 2, 3, и, по-ви-
по-видимому, не существует общей закономерности перехода
от п к я+1 в задачах на метод математической ин-
индукции.
За счет действий, обозначенных операторами первых
двух типов, при известной степени обученности, разви-
79

ваётся симультанное (одновременное) мышление. Напро-
Напротив, действия, соответствующие операторам 3-го типа,
как-показали наши исследования (см. гл. III), труднее
поддаются свертыванию, и готовность к их.сокращению
является одним из показателей математических способ-
способностей учащихся. - .
Задача обучения-, по-видимому, состоит, с одной сто-
стороны, в вычленении этих операторов, точнее,-стоящих за
ними мыслительных структур, с другой — в "образовании
на основе «сокращения» операторов первых двух типов
многозвенных (дальних) вызовов. Этому способствует
алгоритмическое описание метода решения. Опыт пока-
показывает, что, раньше или позже, учащиеся сами приходят
к качественному различению действий, обозначенных
в модели операторами (например, в рассмотренных за-,
дачах некоторые сразу начинают с D). Однако процесс
протекает быстрее и безболезненнее, если этот вопрос
сознательно предусмотрен обучением.
5. Операторно-логическая форма и вопросы
обобщенного математического мышления
1. В своих предыдущих исследованиях по вопросу об-
обобщенного математического мышления [133] мы, на осно-
основе- большого экспериментального материала, среди дру-
других, пришли к следующим выводам.
1) Существуют, по крайней мере, 3 уровня в развитии'
обобщенного мышления школьников- На первом уровне
ученику необходимы специальные указания со стороны
о возможности обобщения при решении задач. На втором
уровне учащиеся могут обобщить самостоятельно, когда
это необходимо-для решения. На третьем — ученик спо-
способен к обобщениям в задачах, для' фактического реше-
решения которых обобщения не необходимы и из решения ко-
которых они автоматически не вытекают.
' 2) Обобщения у школьников образуются и функцио-
функционируют на нескольких разных ступенях общности — от
«не законченных» связей, схватывающих лишь общую
структуру объекта, до уточнения их на конкретных поня-
понятиях.
Основой многоступенчатости процесса обобщения
оказалось наличие особых ассрциаций, которые мы на-
назвали наводящими (ориентирующими). Они имеют весь-
весьма общий характер, служат для «первого наведения» и,
80

хотя еще не обеспечивают решения, помогают прибли-
приблизиться к нему. Эти ассоциации создают состояние психо-
психологической готовности к поиску решения задач в разных
направлениях, осуществляют преемственность мысли-
мыслительного процесса. За ними следуют более конкретные
ассоциации, которые актуализируются или не актуали-
актуализируются, в зависимости от результатов, полученных при
актуализации наводящих ассоциаций.
Слабостью наводящих ассоциаций у менее способных
к математике учащихся объясняется своеобразная прямо-
прямолинейность мышления, когда учащиеся идут как бы не
от задачи, а от метода, навязывая его задаче, когда еще
не ясно, что из этого получится. Однако в своих ранних
исследованиях мы не знали механизма возникновения
ориентирующих обобщенных связей и тем более не могли
указать управляемого регулярного процесса для их фор-
формирования.
Мы теперь попытаемся на одном примере показать,
что роль ориентирующего обобщения могла бы выпол-
выполнить модель знаний, отраженная логической формой со-
соответствующего алгоритма. Этот вопрос сложен, и мы
неоднократно будем возвращаться к нему в дальнейшем.
В этом параграфе он, по существу, только ставится.
Оператор как обозначение формализованного в алго-
алгоритме действия всегда конкретен. Невозможно рассма-
рассматривать, проверять, проводить вообще. Рассматривают
уравнение, проверяют перпендикулярность отрезков,про-
отрезков,проводят биссектрису и т. д.
Напротив, одно и то' же логическое условие может
связываться с различными операторами, чему соответст-
соответствуют одинаковой логической структуры переходные со-
состояния объекта между, различными умственными дейст-
действиями, относящимися к нему. Этот факт как раз и позво-
позволяет характеризовать логические условия, независимо от
реальной природы отражаемых состояний объекта, преи-
преимущественно двумя символами: 0; 1.
¦ Таким образом, логическая форма открывается Нам
новой стороной — обобщенностью отражаемой модели
знания. Что касается действий, то они обобщены, по-
поскольку направлены к знаниям как одному из своих ис-
источников. Но в своей обращенности к объекту, в объек-
объективной роли «двигателей» решения задачи они имеют
сравнительно частный характер. Этим вопросам посвя-
посвящен анализ решений нескольких алгебраических задач.
6-37 81.

й. Рассмотрим 3 задачи.
Задача 1. Бассейн наполняется двумя трубами за
а часов, и одна первая груба может наполнить его на
t часов скорее другой. За сколько времени каждая тру-
труба, действуя отдельно, наполнит бассейн?
Задача 2. Из пунктов А и В навстречу друг другу од-
одновременно выехали 2 мотоциклиста. Через а часов они
встретились и, не останавливаясь, продолжали путы 1-й
мотоциклист прибыл в В на t часов раньше,'чем 2-й в А.
За какое время каждый- мотоциклист проезжает расстоя-
расстояние АВ?
Задача 3. Два каменщика, работая вместе, выкладыва-
выкладывают стену за а дней. За сколько дней каждый из них от-
отдельно мог бы выложить эту стену, если' известно, что
второму для выполнения работы потребовалось бы на
/ дней больше, чем первому?
Все задачи, несмотря на внешнее различие, решаются
общим методом и приводятся к одному уравнению:
L , JL
Опишем алгоритм поиска решения с помощью упоря-
упорядоченной последовательности словесных указаний (зада-
(задача 1).
1) Обозначь х — время, за которое первая труба на-
наполняет бассейн. Переходи к следующему указанию.
2) Проверь, удастся ли выразить через х время, за
которое бассейн наполняется второй трубой. Если нет,
сделай заключение о невозможности применения пред-
предполагаемого метода. Если да, переходи к следующему
указанию.
3) Проверь, известно ли время наполнения бассейна
обеими трубами. Если да, то задача .принадлежит данно-
данному типу. Если время неизвестна, переходи к следующе-
следующему указанию.
4) Посмотри, можно ли выразить через х время на-
наполнения бассейна обеими трубами. Если нет, заключи
о неприменимости метода. Если да — метод применим,
(табл. 13.)
Алгоритм в форме Ляпунова —Шестопал:
АВр\сд] \т. l.Dr\ |Г*>. E.1)
*> Если G=1, то г теряет смысл.
82

Модифицированная схема алгоритма:
А .В
3 О Т. J) Г. Т.
E.2)
Если в итоге действия, отраженного оператором,
можно сказать «да* («имеется», «можно»), то переходят
к действию, обозначенному следующим в строке опера-
оператором. В противном случае обращаются к оператору,
указанному соответствующей стрелкой.
На основе таблицы операторных последовательностей
получена дизъюнктивная нормальная форма: v = pqr\J pq.
После упрощения приходим к логической форме:
v = p(q\fr). E.3)
Метод применим, если через время (наполнения бас-
бассейна) одной (трубой) можно выразить время (наполне-
(наполнения бассейна) второй (трубой) и, кроме того, дано время
(наполнения бассейна) обеими (трубами) или это время
может быть выражено через х (р=\ и q = \ или р=1 и
/-=0).
Таблица 13
Опера-
Операторы
А
В
С
D
Т
Логические
условия
г\
У
п
Ч
Г
V
.Содержание оператора, логического условия
Обозначение х времени наполнения бассейна пер-
первой трубой.
Проверка возможности выражения через % вре-
времени наполнения бассейна второй трубой.
f0, если невозможно
"~ \ 1, если возможно
Проверка наличия в условии времени наполнения
бассейна обеими трубами.
fO, если время не дано
ч~~\\, если время дано
Проверка возможности выражения через х вре-
времени наполнения бассейна обеими трубами.
|0, если возможно
11, если невозможно
Заключение о принадлежности задачи данному
типу задач,
v_ @, если задача не принадлежит данному типу
\ 1, если принадлежит
83

Мы получили логический продукт операционального
процесса. Таким же образом формализуется «поиск»
в задачах 2 и 3, с заменой слов «наполнение бассейна»
и «труба» словами «прохождение пути» и «мотоциклист»
для задачи 2-и «выполнение работы» и «каменщик» в за-
задаче 3. Однако эти слова относятся к операторам дейст-
действий, но не к логическим условиям. В логической форме
различия между задачами уже нет. Теперь логические
связи обрели относительную самостоятельность,- опера-
операторы стали абстрактными символами, обезличились. Ес-
Если вместо них «подставить» содержательное действие
(например, наполнение бассейна трубами), то вычленит-
ся конкретная задача.
Создаются объективные предпосылки для восприятия
всех трех задач как одной. Процесс обучения показыва-
показывает, что учащиеся действительно приходят к такому обоб-
обобщению, при котором за конкретным содержанием, преж-
прежде всего, видится тип [52].
Логическая форма, освобожденная от непосредствен-
непосредственных действий, таким образом, может служить схемой
обобщенного математического мышления. Она как бы
является инвариантом относительно конкретного содер-
содержания задачи. В этом смысле, вероятно, можно говорить
о законе сохранения логической формы в алгоритмиче-
алгоритмических структурах.
Описанный алгоритм относится к распознаванию при-
применимости метода решения, а не к самому решению за-
задачи. В результате актуализации алгоритма распознава-
распознавания может оказаться, что предполагаемый метод нецеле-
нецелесообразен или вовсе не применим. Так, например, если
в задаче 2 не будет дано время цо встречи и его нельзя
найти или дыразить, то метод решения непригоден. Но
сам этот факт открывается вследствие' предварительного
«срабатывания» алгоритма распознавания, содержащего
наиболее общие признаки ситуации (р=1; <7 = 0; г=1.
Тогда из E.3) следует и=0).
Таким образом, логическая форма знаний служит для
обобщенного анализа ситуации, для определения сте-
степени ее согласованности с предполагаемым методом-
3. Мы хотим обратить внимание на аналогию между оператор-
но-логическими описаниями мышления и обучения и некоторыми
понятиями, математической лингвистики, Это тем более уместно, чго
формальные грамматики моделируют реальные языки, а мы пытаемся
построить алгоритмические модели психологических форм мышле-
мышления, находящего, как известно, выражение в речи.
84

Формальная грамматика называется порождающей (в смысле
Н. Хамского), если она задает алгоритм /построения некоторых
языковых объектов данной грамматики — назовем эти объекты грам-
грамматически правильными. Формальная грамматика называется распо-
распознающей, если для любого объекта грамматики она решает вопрос,
правилен он или нет, и при положительном ответе — дает указания
о строении объекта. В первом случае имеется в виду общий метод
вывода (образования) любого правильного объекта, во втором —
распознавание для произвольного объекта возможности или невоз-
невозможности его выводи о данной грамматике. Речь, таким образом,
идет о двух противоположно направленных процессах •>. Если объ-
объектами взять понятия в терминах развиваемой здесь алгоритмиче-
алгоритмической схемы мышления и обучения, то операторные формы выпол-
выполняют функцию алгоритма распознавания принадлежности объ-
объекта данному понятию, логические — обобщенного способа порожде-
порождения понятий.
Как видим, логические структуры понятий и соответствующие
операторные формы соотносятся как порождающая и. распознающая
грамматики в математической лингвистике" и теории автоматов. Ана-
Аналогия усиливается тем, что обе модели (языка и мышления) вы-
выражают свои объекты на различных уровнях «свернутости» — от
минимальных структурных элементов (морф; неделимых операторов,
логических условий) до слов, предложений, когда «морфологизм»
в реальной речи уже не сознается, и соответственно-обобщенных ло-
логических «блоков», которые психологически воспринимаются иерас-
члеиеиио.
Возможно, это соответствие глубже, чем кажется с первого
взгляда, и отражает математически внутреннее единство процессов
формирования реального мышления и реального языка. Далее, в ма-
математической лингвистике доказывается, что наиболее важные поро-
порождающие грамматики служат также распознаванию. Что касается
нашей модели, то, в соответствии с реальным мышлением, она,
как было показано, обладает внутренней активностью, готовностью
к преобразованию порождающих форм в распознающие (меха-
(механизм «развертывания»). Это, по-видимому, необходимо, когда тре-
требуется полное созиаваиие процесса решения задачи. С другой сто-
стороны, мы видели, распознающие структуры свертываются в порож-
порождающие в соответствии с формулой: от алгоритмов — к суждениям.
Вероятно, эту адаптивную структуру человеческого мышления
надо учитывать при построении формальных грамматик, если мы
хотим, чтобы они отражали язык как орудие мышления.
В связи с вышесказанным некоторые специалисты по математи-
математической лингвистике считают более глубоким деление грамматик не
на порождающие и распознающие, а по способу задания построения
*) Классическими структурами порождающего типа являются
ассоциативные системы (полугруппы) и группы, заданные конечными
наборами определяющих соотношений типа Ai—В и которые служат
для преобразований исходных слов. В них обратная задача — о су-
существовании для произвольно взятого слова дедуктивной цепочки
подстановок (замен подслов Л,- на В{ или наоборот), ведущей от
исходного слова к данному,—представляет большие трудности.
В ряде случаев вообще не существует алгоритма для решения этой
задачи (алгоритмическая неразрешимость проблемы слов [115]).
85

правильных объектов: с помощью правил, либо с помощью словаря
(если объект имеется в словаре, он правильный, в противном * слу-
случае — нетравильный) *'.
Такой подход нам представляется плодотворным с точки зрения
модели мышления и обучения. Можно, по-видимому, утверждать, что
операторная форма понятия относится к его логической форме, как
задание объектов с помощью правил к их заданию словарем. Тогда
процесс свертывания операторной структуры интерпретируется как
формирование «словаря». Объем и содержание «словаря», возможно,
определяют эффективность соответствующих сформированных обоб-
обобщенных понятий.
4. Нас теперь будет интересовать механизм обобщения в связи
с алгоритмизацией понятий. Будем говорить о готовности понятий,
описываемых алгоритмами, к включению в единый «пучок» на базе
сходства операторных структур. С этой целью возьмем два упорядо-
упорядоченных множества операторов алгоритмов аир
а:А,, А2 Ап . E.4)
•Р : В и В2 Вп E.5)
Попытаемся до введения количественных оценок перечислить
некоторые условия, необходимые для возникновения обобщений.
Прежде всего, обобщение предполагает «близость» в каком-то смысле
алгоритмов соответствующих понятий. Мерой близости могла бы слу-
служить степень совпадения операторов. Так, при Ai=B{, Аг=Вг ве-
вероятность обобщения а и Р в процессе применения алгоритмов, точ-
точнее, их готовность к обобщению, по-видимому, выше, чем, например,
когда Ai=Bu А-хФВъ
Эксперимент показывает, что совпадение или несовпадение
Ak и Bk '(?=1, 2 п) в мышлении учащихся вызывает неодинако-
неодинаковое последействие. Если А^=Вк, то, как правило, процесс экстрапо-
экстраполируется; сравниваются Ak+i и Bk+i (кфп). Напротив, условие
АкфВь в психологической модели в какой-то мере отсекает путь
к дальнейшему сличению структур и, в итоге, — к обобщению, хотя
среди последующих пар операторов могут оказаться равные,
Далее, наиболее важным стимулом к обобщению является ра-
равенство первых операторов. Проверка последующих операторов как
бы служит уточнению, доводке. По мере продвижения «направо» их
вклад в процесс обобщения уменьшается. Возникает своеобразная
инерция движения, и, как свидетельствует эксперимент, при доста-
достаточно глубоком совпадении обобщение возникает независимо от
того, равны или нет другие операторы. J
Рассмотрим, наконец, предельные случаи. Совпадение всех пар
операторов, т. е. равенство структур, естественно, должно отразиться
«нулевым расстоянием» между алгоритмами. Напротив, отсутствие
равных операторов свидетельствует о максимальном «расстоянии».
Исходя из этих соображений, условимся за расстояние между двумя
алгоритмами р(а, Р) принять число 1Д, где X—номер первой в по-
последовательности пары несовпадающих операторов (считая слева на-
направо).
*' А. В. Гладкий, И. А. Мельчук. Элементы математической
лингвистики. «Наука», М., 1969, стр. 152.
86

Примеры;
а) А1ФВ1; X=l; р(а, iP) = i'/A.=i. Sto наибольшее из воз-
возможных расстояний между структурами, б) Ai = Bi\ А2ФВ2; Х=2;
1/2
В общем виде: А1 = В1, А2 — В2, ... , Ах_j = Вх—1> ^
(X < л) — тогда р = 1 /X.
Далее договоримся: р(а, Р)=0 тогда и только тогда, когда
X—1=я, т. е. когда все пары операторов E.4) и E.5) совпадают.
Мы построили конечномерный аналог известного в математике
бэровского метрического пространства *>. Объектами (точками) про-
пространства являются всевозможные упорядоченные операторные струк-
структуры, и для них введена метрика — расстояние р, удовлетворяющее
перечисленным выше естественным требованиям обобщения.
Действительно, с увеличением числа совпадающих операторов,
т. е. X, значение р=1Д убывает, — происходит сближение структур.
Верно и обратное: при уменьшении р увеличивается X и соответ-
соответственно число равных операторов в F.4) и E.6). р, по определению,
обращается в 0, когда а п 'Р совпадают и, наоборот, структуры
равны, когда р=0. Далее, при АгФВ{ р = 1; при Ai=B{ и АгФВь
р= 1/2. В итоге совпадение первых операторов уменьшило расстоя-
расстояние между алгоритмами на 1—1/2=1/2. Если А\ = В\; Аг=Вг; А%Ф
фВ3, то р=1/3, и оно по сравнению с предыдущим уменьшается
лишь на 1/2—1/3=1/6. Следующее уменьшение: 1/3—1/4=1/12 и т. д.
С увеличением числа совпадающих операторов убывание метри-
метрики происходит все медленнее, что согласуется с ведущей ролью
первых операторов в обобщении. Таким образом, р в первом прибли-
приближении служит одной из количественных характеристик процесса
обобщения на" базе алгоритмов.
Замечание. Может оказаться, что E.4) и E.5) содержат неоди-
неодинаковое число операторов.
а:Аи А3,..., Ап,
Р : В\, Вг Вп, Bn+i, ¦ ¦., Вт-
В" этом случае будем уравнивать последовательности «по боль-
большей»— ценой введения фиктивных операторов An+i, ¦ ¦ ¦, Ат так,
что Ап+1ФВп+1.
Для дальнейшего важно ввести понятие о метрическом про
странстве.
Определение. Множество элементов (точек) образует метриче-
метрическое пространство, если существует такое неотрицательное число
р (метрика), что для любых точек х, у, г выполняются следующие
условия.
1°. Аксиома тождества. р(х, у)=0 тогда и только тогда,
когда х=у.
2°. Аксиома симметрии. р(х, у)=р(у, х).
3°. Аксиома треугольника. р(х, j/)^p(x, z)+p(j/, г).
3-я аксиома представляет для нас особый интерес. Ее смысл
в следующем: если две точки (х, у) достаточно близки к третьей
точке (z), то они, в силу указанного неравенства, не могут быть
«слишком» удалены друг от друга, точнее, расстояние между ними
не больше суммы их расстояний до 3-й точки.
Нетрудно доказать, что множество операторов с метрикой
р=1Д образует метрическое пространство. Более того, для трех
*) Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и
функций. М, Гостехиадат, 1948.
87

алгоритмов «t, $ й у не только справедливо р(а, 3Xip(ct, у}
^Р(Р> Y)> но Р(а. Р) в точности равно большему из двух чисел:
р(а, y) и Р(Р. Y)- (Говорят, что «треугольник» равнобедренный,
причем равны его большие стороны.) Следовательно, если каждый
из двух алгоритмов (точнее, каждое из соответствующих понятий)
проявляет готовность к объединению с третьим алгоритмом, то чис-
число, измеряющее их взаимное расстояние, достаточно мало, т. е. ко-
количество общих операторов велико. Этот результат, кажущийся
тривиальным, в действительности не столь уж очевиден.
Могло показаться, что, при условии отдаленности в от § поня-
понятие, описываемое алгоритмом у, т. е. П (у), может по одним призна-
признакам (операторам) объединиться с П (а), по другим — с Я (Р), и,
в итоге, все три понятия окажутся в едином пучке — обобщении.
Если принять введенную нами метрику как отражающую психо-
психологический процесс обобщения на некотором уровне усвоения алго-
алгоритмов, то, оказывается, подобные ситуации исключены.
Пример.
а—алгоритм распознавания высоты треугольника: Аи Аг, А3.
At — проверка принадлежности одного конца отрезка стороне
треугольника.
А2 — проверка совпадения второго конца отрезка с противоле-
противолежащей вершиной треугольника.
Аз — проверка перпендикулярности отрезка направлению сторо-
стороны треугольника.
р — алгоритм распознавания медианы треугольника: В и Вг, В3.
Bi = At; Вг=Аг\ В3 — проверка деления отрезком стороны тре-
треугольника пополам.
у — алгоритм распознавания биссектрисы: Си С& Сз-
С] = At; Сг=Аг\ Сз — проверка деления отрезком угла при вер-
вершине пополам.
6 — алгоритм распознавания средней линии треугольника: D\, Dz,
D3, Dk.
Di = Ai; /?2=Вз; — проверка деления отрезком стороны попо-
пополам.
D3 — проверка принадлежности второго конца отрезка другой
стороне треугольника.
Di — проверка деления отрезюш другой стороны пополам.
р(а, Р) = 1/3; р(а, у) = 1/3; р(|3, у) = '/3 — «треугольник» равно-
равносторонний. р(а, б)=р(Р, 6)=p(v, б) =1/2.
Алгоритмы а, Р, у содержат по 2 общих оператора, и соответ-
соответствующие понятия обобщаются единым понятием — основные линии
в треугольнике. Алгоритм б имеет с каждым (а, р, у) одноэлемент-
одноэлементное пересечение, более удален от них (р = 1/2>1/3), и этим в модели
отражается тот факт, что в реальном мышлении понятие средней
линии треугольника, как правило, не включается в предыдущее обоб-
обобщение.
Мы в своем экспериментальном исследовании сообщали учащим-
учащимся также понятие меди,атрисы — перпендикуляра к стороне треуголь-
треугольника, соединяющего ее середину с точкой на другой стороне тре-
треугольника.. Операторы ее алгоритма распознавания е: Е\, Еъ, Ез, Ei.
?4BCZ) ?ВД ЕАJED
Замечаем, что 8 имеет: с б — три общих оператора (Du D% Di),
с а и Р—по два общих оператора (Аи Аз и Bi, Вз); с у — один
(Q.
88

Наблюдений показывают, что учащиеся 7 класса в задачах
действительно часто называют медиатрису средней линией, что сви-
свидетельствует о близости в их представлениях этих линий. Это со-
согласуется с числовой характеристикой: р = 1/3(?2=-Ог; Езфйз). Од-
Однако семиклассники, как правило, редко отождествляют медиатрису
с остальными линиями в треугольнике.
Можно было предположить, что феномен отождествления будет
иметь место хотя бы по отношению к высоте и медиане, с которыми
имеется по 2 общих оператора. Но в том-то и дело, что психоло-
психологическая оценка, по-видимому, производится ие по числу общих опе-
операторов, а по расстоянию между алгоритмами. Действительно, Е\ =
=Ai = Bi; ЕгФАг; Е2фВ2, и р(е, а)=р(е, Р)=р(е, y) = 1/2. С этой
точки зрения высота и медиана ие имеют преимуществ по сравнению
с биссектрисой.
Приведем результаты эксперимента. На вопрос, заданный уча-
шимся 7 класса, — назвать основные линии в треугольнике — все
30 испытуемых указали иа высоту, медиану и биссектрису, 8 чело-
человек «вспомнили» среднюю линию треугольника и трое — медиатрису.
И это при условий, что иа среднюю линию, например, решено зна-
значительное количество задач. На другой вопрос — какие линии в тре-
треугольнике Вам известны — испытуемые назвали все 5 отрезков. Под-
Подтверждается, что объединение понятий происходит в соответствии
с расстоянием между описывающими их алгоритмами. Однако все
это, оказывается, относится только к начальному периоду усвоения
алгоритмов. В дальнейшем, как свидетельствует процесс обучения,
введенная нами метрика перестает удовлетворять психологическим
особенностям обобщения.
Решающим становится ие порядок действий (операторов) по рас-
распознаванию понятий, который играет существенную роль в опре-
определении р, а только количество общих операторов. И, главное, —
операторы приобретают свойство взвешенности соответственно их
значению в решении задач. На первое место выступают ведущие опе-
операторы, имеющие наибольший вес, независимо от места, приписанно-
приписанного им в алгоритме.
Надо полагать, что возникшая свобода действий, пришедшая
иа смеиу жесткой упорядоченности операторов, отражает психо-
психологический сдвиг, связанный в модели с переходом к логической
форме. Понятие «близости», сходства алгоритмов изменяется.
Так, в алгоритме распознавания высоты ведущим, ориентирую
щим становится оператор As, в алгоритме медианы — В3, биссектри-
биссектрисы — Сз, средней линии — операторы О2 и Oi и т. д. Речь, как легко
заметить, идет об операторах, отличающих одно понятие от друго-
другого. Проявляется важнейшая особенность обобщений — отражение
ие только общего в разном (это имело место частично уже иа
более низком уровне алгоритмизации понятий), но также и разного
в общем. Теперь распознавание понятий в сложной ситуации выбора
начинается с проверки признаков, отличающих данное понятие от
других, близких к нему понятий. Покажем, что такой режим пере-
переработки информации является в определенном смысле оптимальным
Точнее, он позволяет получить результат ценой переработки наи-
наименьшего, по сравнению с другими способами, количества информа-
информации.
В качестве примера рассмотрим ситуацию распознавания отрезка
как высоты в треугольнике. Для простоты допустим, что отрезок
с равно,й вероятность^ моз^ет быть вьтсотой, медианой, биссектри-
89

сой, средней линией, медиатриоой или другой линией, не обладаю-
обладающей признаками перечисленных отрезков. Рассмотрим 2 стратегии,
отличающиеся последовательностью проверки признаков, т. е. по-
последовательностью операторов.
1. а) Проверка перпендикулярности отрезка стороне, треуголь-
треугольника.
б) Проверка совпадения конца отрезка с вершиной треуголь-
треугольника.
2. Обратный порядок «включения» операторов.
Первая стратегия. В двух случаях из 6 отрезок перпендикулярен
стороне (высота, медиатриса). Вероятность перпендикулярности 1/3,
нейерпендикулярности 2/3. Решение вопроса (да, нет) связано с пе-
переработкой (в среднем) информации:
—1/3 Iog2 1/3—2/3 Iog2 2/3=Iog2 3—2/3 (бит). [144].
Это энтропия, или математическое ожидание перерабатываемой
информации для распознавания перпендикулярности.
Пусть оказалось — отрезок перпендикулярен стороне. Учитывая
независимость признаков, констатируем, что в 3-х случаях из 6 он
проходит через вершину (высота, медиана, биссектриса). Вероятность
прохождения 1/2. Перерабатывается logs 2=1 (бит) информации.
Если отрезок ие перпендикулярен стороне треугольника, то он — не
высота, и дополнительной информации для решения задачи не тре-
требуется. Вероятность первого случая 1/3, второго 2/3. Среднее коли-
количество Информации:
1/3-1+2/3-0=1/3 (бит).
Общее количество информации, переработанной при первой стра-
стратегии, #i = Iog23—2/3+1/3=Iog23—1/3 (бит).
Вторая стратегия. Вероятность прохождения отрезка через вер-
вершину треугольника 1/2, и решение вопроса требует переработки
Iog2 2= 1 (бит) информации. Далее, если окажется, что отрезок про-
проходит через вершину, то при исследовании перпендикулярности имеем
вероятности 1/3 и 2/3. Раскрытие ситуации, как мы уже знаем, связа-
связано с Iog2 3—2/3 (бит). В противном случае отрезок не высота, и нет
нужды в дальнейшем исследовании.
Но вероятность прохождения через вершину 1/2, тогда среднее
количество информации для решения вопроса о перпендикулярности:
l/2(Iog2 3-2/3) + 1/2-0 = 1/2 log2 3-1/3.
Суммарное количество переработанной информации при второй
стратегии: Я2= 1/2 Iog2 3—1/3+1 = 1/2 Iog2 3+2/3.
Итак, #i=l,3 (бит); #2=1,5 (бит). Первая стратегия оказалась
«выгоднее» второй — задача решается ценой переработки меньшего
количества информации. «Выигрыш» составляет примерно 13%. Та-
Такова специфика обобщенного мышления на уровне развитой логи-
логической формы. Пользуясь терминологией Н. А. Менчинской [71], мож-
можно сказать, что на уровне метрики р мы фактически имели дело
с доаналистическим обобщением, или генерализацией. И лишь логи-
логическая форма, в которой алгоритм, по существу, приходит к своему
отрицанию, отражает в модели переход к подлинному обобщенному
мышлению.
9Q

Аз
6. Об одном инварианте преобразований
операторно-логических структур
Свернутая и развернутая формы алгоритма как бы
отражают 2 алфавита: внутренний — алфавит психологи-
психологической модели мышления, в нем задача решается чело-
человеком; внешний — служит для отчуждения решения, вы-
вывода его вовне и составляет, по-видимому, основу ло-
логической модели знания.
До сих пор мы описывали мышление фактически в за-
зависимости от уровня свернутости его представления в ма-
математической модели. Связь между мышлением и знани-
знанием формализовалась как перевод с одного «языка» на
другой. Было бы полезно най-
найти параметр, характеризую-
характеризующий процесс независимо от
«языка», от формы соответ-
соответствующего алгоритма. Этот
вопрос обсуждается ниже.
Решение математической /izj
задачи отражается в нашей
модели последовательно-
последовательностью актуализаций операто-
операторов Л, Аи А2, ..., Ап, В,
где Л — соответствует вос-
восприятию условия и задания,
В — ответу.
Одна и та же задача мо-
может иметь несколько реше-
решений; в модели — синтезироваться операторными цепочка-
цепочками разной длины (разумеется, для учащихся данного
уровня знания и развития). Совокупность всех решений
задачи образует направленный граф. Пример графа трех
решений приведен на рис. 5: АА\АьВ; АА1А2А3В;
AAiAzAsAfAbB. Будем, для простоты, считать все опера-
тары одинаково трудными.
Определение. Расстояние оператора Ah от В—
р(Лй)—равно наименьшему числу операторов, связываю-
связывающих Ah с В (включая 5).
Например, р(Л4)=2 (связующие операторы Л5 и
В); р(Л2)=2(Л3. В); р(Л3) = 1E); р(Л4)=2; р(Л)=3(Ль
Л5, В) и т. д.
Определение. Весом оператора Ah+i относительно пе-
перехода AkAk+i называется число v(AkAh+i) =р(Лй) —
91
Рис. 5.

p(+) Вес характеризует приближение к ответу,-ког*
да вслед за Ah срабатывает оператор Ah+i- Он равен од-
одному из трех чисел: 1,0, —1. Соответственно будем назы-
называть оператор Ak+i приближающим, нейтральным или
удаляющим.
Примеры.
v(AAi)=p(A)—р(Л1) = 3—2=1. Оператор At— приближающий.
v(AiAi)=p(Ai)—р(Л2)=2—2=0; Л2 — нейтральный оператор.
»(Л3Л4) = 1— 2=—1. Оператор Л4 — удаляющий. о(Л2Л3) = !;
о(Л4Л5) = 1 и т, д.
Два свойства веса.
1. v(Ak+iAh) =—v(AkAk+i)- Действительно, v (Ah+iAh) =
= p(Ah+1)— p(Ak)=—ip(Ak)— p(i4ft+i)]=—v(AkAk+i).
2. (Свойство аддитивности), v(AkAk+m) = v(AkAh+i) +
+V (Ah+lAh+2) + ... +V (Ah+mr-lAh+m) •
Раскрыв правую часть, получаем:
Р (Ah) —р (Ah+i) +p (Ah+i) —р (Ah+z) + ... +р (Ah+m-i) —
—p(Ah+m) =p(Ah)—p(Ah+m) =v(AhAh+m).
Теорема. Алгебраическая сумма весов при переходе от
одного оператора к другому не зависит от пути, а только
от начала и конца его- Это пояснено примером.
v(AiA5)=p(A1)-p(A5) =2-1 = 1.
-v (A1A2) +v (Л2Л3) +
)*)=р(Л1)-р(Л2)+р(Л2) —
—Р (Аз) +р (А3) -р (Л4) +р (Л4) -р (Л5) =
=р(Л1)-р(Л5) = 1.
Следствия из теоремы.
а) Сумма весов по замкнутому операторному контуру
(циклу) равна нулю.
v (AhAh) ={0 (ЛйЛй+1) + v (Ah+1Ah+2) + ... +
+ V (Ah+m-iAh+m)] + V (Ah+mAh) =
= V (AhAh+m) ~-V (AhAh+m) =0.
¦б) Ни одна из цепочек, соединяющих два оператора,
не является преимущественной перед другими. (В част-
частности, «блуждания» по графу не изменяют весовой ха-
характеристики по сравнению с кратчайшим решением за-
задачи.)
*> В числах: 0+1—1 + 1=1. ••
92 " "

Это можно выразить еще так. Для каждой пары опе-
операторов существует характеристическое число, выражаю-
выражающее вес перехода от первого оператора ко второму.
Пример.
Следовательно, v(A\B)=2.
Таким образом, в математической модели весовая ха-
характеристика решения задачи не зависит от длины опера-
операторной цепочки, отражающей это решение. Если рассма-
рассматривать длину цепочки как показатель уровня свернуто-
свернутости соответствующего психологического процесса, то
станет ясно, что найден инвариант преобразования одних
форм мышления в другие. Действительно, весовая харак-
характеристика одинакова как для психологической модели
процесса решения задачи, так и для логической модели,
отражающей это решение в форме готовых знаний.
7. «Свертывание» информации — закон действия
управляющих систем
Процесс сокращения операторно-логических форм, как
мы видели, связан с проблемой свертывания умозаключе-
умозаключений. Вопрос о свертывании умозаключений в мыслитель-
мыслительной деятельности человека не нов. По этому поводу вы-
высказывались Ф. А. Эрн [142], С. И. Шохор-Троцкий [140],
Н. А. Менчинская [71], А. Н. Леонтьев [64] и др-
В приложении к математическому материалу пробле-
проблема свертывания процесса рассуждений и соответствую-
соответствующих действий на протяжении длительного времени иссле-
исследуется П. А. Шеваревым, 3. И. Калмыковой, В. Л. Яро-
щук, Н. Ф. Талызиной и др. |[137, 138, 45, 146. 107]. Авто-
Авторы отмечают выпадение из сознания учащихся элементов
правил, которые многократно повторяются при решении
задач. По существу в этих работах рассматриваются опе-
операторные формы простейших алгоритмов, не содержащих
ветвлений (логических условий), т. е. образованных
исключительно безусловными операторами. Тогда, как
это следует из нашей модели, в завершенной логической
форме решение задачи возможно без промежуточных
звеньев, путем «короткого замыкания», о котором пишет
П. А. Шеварев. ¦
Процесс свертывания умозаключений играет большую
роль в математическом творчестве школьников. При ре-
93

шений математических задач он помогает мысленно за-
заглянуть вперед, предсказать вероятный результат и, та-
таким образом, связан с ориентировочными обобщениями.
Если заключение В получено из условия А как актуали-
актуализация ассоциативной цепочки A->-Ai->-Az-*~ . ¦ • -*~Ап-*-В-
то промежуточные звенья не только сйязывают А с В, но
и разделяют их. Обнаружение в некоторой задаче осо-
особенностей А связывается не с В, а с Аи Л2 и- т. д. «5»
является частью данного, решения и актуализируется
только в связи с этим решением (или выпадает вместе
с ним). В итоге учащиеся владеют умозаключениями
в цепи логико-математических закономерностей, ведущих
от условия к ответу. Но они не в состоянии свернуть, вы-
выкинуть хотя бы на время из процесса рассуждения про-
промежуточную (связующую) систему обоснований и соеди-
соединить непосредственно первое звено с последним. Из-за
«слабости на стыках» они не видят связи между не сле-
следующими друг за другом звеньями, теряют курс на цель.
А без «прямого видения» невозможно самостоятельно
оценить полезность тех или иных известных умозаключе-
умозаключений и их место в структуре решения задачи. Известные
методы решения задач могут оказаться недейственными.
Чтобы результат «5» приобрел самостоятельность и
выделился из решения данной задачи, он должен быть по
возможности «ближе» к А. Поэтому необходимо образо-
образование сокращенной связи А-^-В, при которой восприятие
условия А непосредственно вызывает результат В-
Если так, то «свертывание» — важное условие пере-
переноса метода при решении конкретных задач. Это своеоб-
своеобразное растворение общего в частном, с удержанием
главных логических условий, т. е., в первую очередь, каж-
каждый раз именно тех элементов общего метода, которые
обеспечивают решение данной задачи. Эту психологиче-
психологическую особенность можно назвать направленностью мыш-
мышления, и она, на наш взгляд, обеспечивает учащимся воз-
возможность видеть разное в общем.
Нам кажется, что постановка вопроса здесь несколько шире,
чем у П. А. Шеварева. П. А. Шеварев, в основном, рассматривает
правила как данные уже сформированные и исследует особенности
процесса их применения учащимися. На этой основе он приходит
к так называемым правилосообразным связям, которыми школьники
ориентируются в учебной деятельности [J37J. На языке нашей гипоте-
гипотезы это означает, что автор исходит из завершенной логической фор-
формы .и изучает процесс вычленения из нее главных логических усло-
условий. Однако вовсе не безразлично, как учащийся пришел к логиче-
94

ской форме. Одно дело, если она возникла как сокращение оператор-
но-действенной алгоритмической структуры и другое дело, — если
учащийся запомнил ее из учебника или со слов учителя в готовом
виде. Процесс формирования главных логических условий в этих
случаях происходит по-разному. В первом случае действительно об-
образуются такие сокращенные «правилосообразные» связи, которые
при необходимости развертываются в соответствующую систему дей-
действий и этим обеспечивают решение математических задач. Во вто-
втором случае может возникнуть кзазилогическая «правилосообразная»
структура, основанная на отмеченных П. А. Шеваревым ошибочных
(и ограниченных) ассоциациях. Например, усвоенное учащимся сразу
в логической форме определение высоты треугольника («Перпенди-
(«Перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противоположную сторону
или ее продолжение») часто завершается «правилом»: «Сверху вниз,
внизу — прямой угол».
При пооперационном формировании понятия оно, обычно, приво-
приводится к другому правилу: «От вершины к направлению противо-
противоположной стороны, и при ней — прямой угол». Эта сокращенная
«правилосообразная» связь актуализируется и тогда, когда речь идет
о так называемых боковых высотах, о высотах в тупоугольном и
прямоугольном треугольниках, т. е. именно в тех случаях, когда ква-
квазилогическое «правило» не срабатывает. Теперь становится более
ясной природа ошибочных правилосообразных евязей, связанных,
в большой степени, с недостатками операторной структуры. Таким
образом, схему «свертывания» П. А. Шеварева в терминах развива-
развиваемой модели можно назвать: от логической формы к ее сокращению
в процессе решения задач. У нас она дополняется важным исходным
звеном: от операторной формы к логической.
Мы представляем себе процесс свёртывания следую-
следующим образом. Опёраторно-действенные элементы алго-
алгоритма, являясь средоточием его постоянных особенностей,
во всех сходных случаях актуализируются в психологиче-
психологической модели по образцу.. Результаты же актуализации,
в зависимости от условия задания, — различны. Так,
квадратное уравнение решается всегда одинаково, тогда
как найденные корни в разных случаях — разные. Алго-
Алгоритмы можно рассматривать с точки зрения результатов
действий и с точки зрения самих действий. В первом слу-
случае мы получаем логическую форму. Например, дискри-
дискриминант (больше, меньше, равен нулю). Корни (такие-то)-
Ответ (такой-то). Во втором случае речь идет об tmepa-
торно-логической форме: вычисляем дискриминант. Он
(больше, меньше или равен 0.) ... Решаем квадратное
уравнение и т. д. В логической форме действия из пси-
психологической модели растворяются, аккумулируются в ло-
логических условиях, сообщив им особое свойство — готов-
готовность к развертыванию, восстановлению операторной
структуры. Это, по-видимому, истоки той «мобилизован-
«мобилизованности^, о которой писал §. М, Теплов {109]. Однако логи-
95

ческие условия привязаны к конкретному заданию, как
бы «материализуются» в нем, часто не сознаются как
независимые от задания. И только наиболее важные из
них — «выталкиваются» над заданием, сознаются как са-
самостоятельные. Отсюда иллюзия, что алгоритм в боль-
большой степени исчезает и задача решается без опоры на
правило.
В действительности алгоритм не исчезает. Объектив-
Объективное субъективизировано, приспособлено к особенностям
человеческого мышления. Во всех случаях «свертывания»
происходит преломление законов формальной логики ре-
решения задач через призму психологических особенностей
их отражения человеком.
Простейший акт переработки математической инфор-
информации отражен логической формулой
Ап-В-+Мя, G.1)
где Ап — переменная особенность; В— особенность, кото-
которая повторяется и при n>N начинает восприниматься
данным человеком как постоянная; Мп — мыслительная
операция, являющаяся ответом на восприятие Ап и В.
Например, Ап — восприятие совокупности конкретных
буквенных выражений и коэффициентов; В — восприятие
разности квадратов; Мп — соответствующее разложение
по формуле разности квадратов.
Для исследования сделаем равносильное преобразова-
преобразование G.1) по формулам булевой алгебры [78]:
Ап-В - Мп; Ап-В V Мп; Лп V Б V Мя. G.2)
Покажем, что психологический эффект действия фор-
формул G.1) и G.2) в интересующем «ас вопросе одинаков.
• Ап истинно*). Пусть n>N. Тогда В воспринимается
как тождественно истинное; Ап -В равносильно Ап (тож-
(тождественно истинный множитель в конъюнкции опускает-
опускается), формула G.1)- вырождается в формулу Ап-^Мп
G.3). Теперь реакция Мп зависит только от Л„; «5» не
воспринимается, и создаются условия для его выпадения
из процесса осознавания. К такому же результату приво-
приводит логический анализ формулы G.2): если В тождест-
тождественно истинно, то В тождественно ложно, и формула при-
*> Т. е. особенность Ап имеет ь1еето; сознается — см. соответ-
соответствие между математической р психологической моделями, (гл. I,
.§2).
96

Таблица 14
нимает вид Ап\/Мп G.4) (тождественно ложное слагае-
слагаемое в дизъюнкции опускается). Теперь при Ап истинно,
по законам булевой алгебры, истинно Мп.
Таким образом, 1) две формулы, равносильные в смыс-
смысле формальной логики, равносильны также в смысле
психологического результата их действия; 2) выпаде-
выпадение В из процесса осознавания (свертывание импликации
G.1) в G.3) или дизъюнкции G.2) в G.4)) являетсяпси-
хологическим проявлением
факта, что В в создавшейся
ситуации воспринимается как
тождественно истинная особен-
особенность, т. е. психологический эф-
эффект неосознавания отражает
логическое осознавание особен-
особенности как всегда истинной. Со-
Соответствие между законами
формальной и так называемой
психологической логики, таким
образом, углубляется.
Для характеристики ситуа-
ситуации введем оператор С(п), при-
принимающий значение «истинно»
тогда и только тогда, когда n>N. Тогда зависимость Мп
от An, В, С(п) выразится табл. 14*>.
Наибольший интерес вызывает шестая строка табли-
таблицы, когда Мп принимает значение «истинно» даже при
ложном В. С помощью несложных формальных преобра-
преобразований можно получить соответствующую формулу:
0
0
0
0
1*)
1
1
1
в
0
0
1
1
0
0
1
1
С(«)
0
1
0
1
0
1
0
1
Мп
0
0
0
0
0
1
1
1
е. особенность Л_ имеет
место.
п = Ап-(В\/С(п)).
G.5)
Истинность Мп, т. е. актуализация необходимых мыс-
мыслительных действий, имеет место в одном из двух слу-
случаев: при истинности (наличии) обеих особенностей Ап
и В или при истинности Ап и n>N (когда С(п) —истин-
—истинно) G8].
Выпадение постоянных особенностей из процесса осо-
знавания ведет к «экономии информации», т. е. позво-
позволяет получить тот же результат путем переработки мень*-
шего количества информации. Если перед каждым при-
примером учащийся ожидает В или В **>, то акт выбора свя-
*> 1 — истинно, 0 — ложно.
**) С одинаковой вероятностью,
7-37 97

зан с переработкой log2 2 = 1 (бит) информации -[144].
Воспринимая В как постоянную особенность, он при ре-
решении «&» примеров должен бы сэкономить k битов
информации.
В действительности такая экономия представляется
только в предельном случае. Суть дела в том, что В
постоянно только с некоторой вероятностью р (р<1), воз-
возрастающей при увеличении количества решенных приме-
примеров, в которых В постоянно. Создается переменная веро-
вероятностная ситуация, в которой р с возрастанием прибли-
приближается к 1. При таких условиях с некоторого момента
(примера) вероятности pup становятся различными
(р>0,5; р<0,5), и тогда количество информации Н =
=p\og2p+p\og2p<ll. (Известно, что количество инфор-
информации энтропия — максимально, когда исходы равнове-
равновероятны.) С возрастанием «k» процесс «экономии инфор-
информации» усиливается- Так как время на переработку ин-
информации Т линейно зависит от К (Т = аН+в [61]), то
происходит ускоренный процесс решения примеров.
Существен вопрос: сопровождается ли выпадение осо-
особенности В из процесса осознавания также выпадением
ее из-под контроля психики? Педагогическая практика
позволяет дать на вопрос отрицательный ответ. Извест-
Известно, например, что после решения подряд большого числа
примеров на использование формулы разности квадратов
учащиеся «с места» применяют эту формулу и к квадра-
квадрату разности.
Мы предлагали учащимся примеры на куб разности
сразу после решения значительного количества примеров
на разность квадратов, и ошибки переноса почти исчезли.
Если бы особенность была бесконтрольна, то этого не
произошло бы, т. е. результат не зависел бы от того, за-
заменено В на Bi = B или на Вг = В. Но В действительно не
осознается, и мы вынуждены признать существование не
управляемого сознанием контролирующего механизма
(КМ), «подстораживающего» случаи появления В. Его
функции — учет вероятностей ситуации, позволяющий
обеспечить экономию_информации. Чем сходнее по внеш-
внешним признакам В и В и требуется более тонкая диффе-
ренцировка, тем менее совершенно действие КМ. Извест-
Известный в информационной психологии эффект Хаймена
«подстораживания» человеком редких сигналов [61]. отме-
отмеченный для 1-й сигнальной системы, по-видимому, имеет
более широкое значение. OaKTqp выпадения из процесса
9S

оСознаванйя повторяющихся особенностей позволяет эко-
экономить психику учащихся для переработки творческой
информации. И хотя он иногда ведет к ошибкам, вслед-
вследствие бесконтрольного переноса, его положительная роль
неоспорима- Системы специальных упражнений, о кото-
которых пишут многие авторы, должны быть направлены не
на борьбу против самого фактора неосознавания, а на
активизацию действия контрольного механизма.
Факт неосознавания человеком постоянных сигналов в некотором
пучке сигналов имеет широкий характер. Это справедливо для
всех управляющих систем.
Один из результатов теории информации заключается в том, что
для передачи постоянных сигналов нет нужды непрерывно загру-
загружать канал связи потоками одинаковых символов. Экономнее один
раз передать совокупность наиболее часто встречающихся символов,
а затем с помощью специальных сигналов сообщать об изменениях
данных сигналов. Эти особенности переработки информации имеют
место не только в технических системах. Они также составляют осно-
основу информационного обмена в кибернетических системах биологиче-
биологического типа. Высшая нервная деятельность человека, по-видимому,
не составляет исключения.
Если бы человеческий глаз воспринимал как независимые ярко-
яркости все точки видимого предмета, то информационный поток быстро
захлестнул бы ячейки мозга. Эволюция сенсибилизировала зритель-
зрительный анализатор так, что он воспринимает только специфичное.
Остальное, известное по другим предметам, добавляется автоматиче-
автоматически C5]. Новейшие исследования мозга с помощью микроэлектродной
техники привели к открытию так называемой группы нейронов вни-
внимания. Это клетки, отвечающие только на раздражители, содержащие
новизну G6]. Можно пока в весьма общих чертах сделать предполо-
предположение, что клетки мозга, реагирующие только на появление, ис-
исчезновение, изменение сигналов и не участвующие непосредственно
в передаче самих сигналов, играют определенную роль в свертыва-
свертывании и развертывании информации. Этим, в частности, можно бы объ-
объяснить тот факт, что «свертки» не сознаются во всех случаях, когда
они проявляются одинаково, и развертываются, когда в этом воз-
возникает необходимость в связи с исчезновением постоянства свернутой
особенности. В науках, основанных на алгоритмах, где применение
правил во всех случаях протекает одинаково, имеются объективные
условия к свертыванию информация. Речь идет о математических
науках. Если представить сложную ассоциацию в виде цепочки
импликаций
(...((А -В,—vMt) .B2—>-M2)...)—уМп=М, G.6)
где А, Ви Mi... M — элементарные ассоциации и их дизъюнкции,
то «свертки» образуются за счет сокращения цепочки до формулы
А—»-M. Происходит то, что П. А. Шеварев называет «коротким за-
замыканием», при котором некоторые ассоциации переходят в кате-
категорию неосознаваемых. Он же отмечает, что на первых этапах обу-
обучения процесс решения учащимися задач развернут, на высших —
сокращен [137].
На существование неосознаваемых процессов в психической
деятельности указывал И. П. Павлов, утверждавший, что объектив-
7* 99

най функций ориентирования Не отраничйваетсй ее проявлением
в сфере сознательного (см. [63, стр. 141}). Американский психолог
Роберт Линер установил, что, чем более обобщен результат, тем
меньше он осознается человеком (см. [122]). А. Н. Леонтьев считает
одним из этапов формирования и развития психических свойств пе-
переход от внешнего действия к внутреннему с обязательной интегра-
интеграцией и свертыванием действия [62].
Все исследователи сходятся на том, что процесс «свертывания»
в мыслительной деятельности человека носит универсальный харак-
характер. Однако большинство авторов считает многократность повторе-
повторений однотипных упражнений (т. е. достаточно большое значение N)
необходимым условием для образования «сверток». Таков действи-
действительно наиболее распространенный путь. Но не единственный. Как
показали исследования В. А. Крутецкого [53] учащихся среднего
школьного возраста, а также наши исследования учащихся старших
классов, у способных к математике школьников есть еще и свой
особый путь к сверткам, я для них указанное условие не обяза-
обязательно. В отличие, например, от зрения способность сводить к ми-
минимуму избыточную информацию для мыслительных процессов не
всеобща и парциальна.
Многие явления указывают на связь способности кон-
контрольного механизма к дифференцировке при переработ-
переработке математической информации с математическими спо-
способностями учащихся. Эксперименты свидетельствуют
о том, что у способных учащихся процесс автоматическо-
автоматического решения примеров (при актуализации «-ассоциаций
[137]) значительно реже сопровождается ошибками при
замене В на В. Это особенно заметно при актуализации
сложных р-ассоциаций, играющих основную роль в реше-
решении математических задач. Обобщенное мышление спо-
способных к математике учащихся в большой степени явля-
является свернутым за счет опускания (неосознавания) ряда
особенностей, и свернутость математического мышления
отмечается как один из компонентов математических спо-
способностей [53].
Выводы. 1. Свертывание и опускание постоянных
сигналов при переработке и проведении информации —
закон действия управляющих систем. Он позволяет
экономить информацию. В психологических процессах
свертывание постоянных особенностей в восприятии и
мышлении часто сопровождается выпадением этих осо-
особенностей из процессов осознавания. Это ведет к эконо-
экономии психических усилий. В математических науках боль-
большое количество закономерностей носит алгоритмический
характер, и их применение во всех родственных случаях
происходит одинаково. Создаются объективные предпо-
предпосылки к «свертыванию информации» в математическом
мышлении.
100

2. При актуализации а-ассоциаций (решений приме-
примеров) наличие сверток свидетельствует о прочности навы-
навыка. Способность к свертыванию р-ассоциаций, играющих
основную роль при решении задач, является одним из
компонентов математических способностей. .Важнейшим
показателем эффективности свертывания является готов-
готовность сверток к развертке (когда постоянство особенно-
особенности нарушается) благодаря действию контрольного ме-
механизма, «подстораживающего» отклонения от постоян-
постоянства.
* * *
В какой-то мере нам удалось в этой главе отразить
математическими средствами преемственность, единство
процесса и его продукта, мышления и знания, психологи-
психологического и логического. Если первые разделы посвящены
построению алгоритмической модели обучения, то в по-
последних — алгоритм, в основном, выполняет функцию
исследовательской модели {88], т. е. служит для открытия
некоторых особенностей мышления, проявляющихся
в обучении.
И пусть результаты получены при весьма ограничен-
ограниченных условиях — главное пока не в этом. Если читатель
убедился в принципиальной возможности описания про-
процесса обучения математическими средствами, то автор,
на данном этапе, будет считать свою задачу выполнен-
выполненной. Постановка задач «над моделью» будет продолжена
в следующих главах.
Теперь мы переходим к описанию широкой экспери-
экспериментальной проверки полученных результатов и к про-
проблемам обучения, возникающим в ходе такой проверки.

Гл ава II
ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Изложенная в первой главе операторно-логическая
схема обучения школьников математическим понятиям *)
требует убедительного подтверждения. На вопрос, на-
насколько формальный алгоритм обучения соответствует
истинному мышлению учащихся (т. е- их «психологиче-
«психологической логике»), должен ответить констатирующий и фор-
формирующий психолого-педагогический эксперимент.
Далее, развитие модели, изучение частных, специаль-
специальных случаев также возможно только в условиях ее про-
проверки в школьном обучении математике. Мы попытаемся
показать, как за продуктами мышления учащихся откры-
открываются определяющие их процессы; как в условиях обу-
обучения операционально-логические структуры математиче-
математических понятий выступают в качестве моделей возможных
систем действий; какими ориентирами руководствуются
учащиеся в соответствии с их индивидуально-психологи-
индивидуально-психологическими особенностями при выборе той или иной модели н
какие ориентиры необходимы для выбора верной модели.
Будет затронут ряд важных вопросов: о логике и интуи-
интуиции, о «стилях» математического мышления и др. Конеч-
Конечно, не имелось в виду их решить. Для нас было важно
подойти к ним под углом зрения гипотезы об операторно-
логической структуре мышления.
Наряду с материалом, накопленным нами на протя-
протяжении 30-летней работы преподавателем математики и
методистом в школе, техникуме, педагогическом и техни-
техническом вузах, здесь использованы результаты специаль-
специального обучающего эксперимента, поставленного в 9—10
классах с физико-математическим уклоном средней шко-
школы № 6 г. Курска в 1962—63 и 1963—64 учебных годах.
Основной метод исследования — психологический ана-
анализ индивидуальных особенностей процесса решения
учащимися математических задач разной степени труд-
трудности по материалу школьной программы. Кроме задач,
решавшихся в связи с изучением программного материа-
материала, подробно проанализированы^ решения свыше 300 спе-
*' Напомним, что речь шла об общем способе обучения некото-
некоторым разделам и понятиям математики, т. е. об алгоритме обучения.
102

циально подобранных задач, на основании которых
с каждым из 30 испытуемых проведено, в среднем, около
100 экспериментов. Для изучения механизма мыслитель-
мыслительных процессов применялся так называемый метод «мыш-
«мышления вслух»: испытуемый решал задачу, рассуждая при
этом вслух [52], [127]. При психологическом анализе мы,
в основном, исходили из особенностей решения задачи,
стараясь реже прибегать к опорредованным показаниям
учащихся.
1. Операторы и логические условия в решении
математических задач
1. В § 3 гл. I мы говорили, в основном, о роли алго-
алгоритмов в формировании понятий. Процесс описывался
как некоторое стандартное преобразование операторной
формы в логико-импликативные связи. В реальном мыш-
мышлении за ним стоит переход от психологической модели
к знаковой (логической) модели. Здесь предпринята по-
попытка проанализировать другую сторону вопроса — как
сложившиеся знания актуализируются при их примене-
применении. Иначе, как возникшие логические связи обнаружи-
обнаруживают себя в виде ассоциативного механизма решения не-
нестандартных математических задач.
Задача 1. В треугольнике ABC высота BD и медиана
BE делят угол на 3 равные части. Найти угол В
(рис. 6).
d e
Рис. 6.
А В
Рис. 7.
Пусть учащийся решил на основе равенства углов
сравнить между собой образовавшиеся отрезки основа-
основания. Как он пришел к догадке, — этого мы пока сказать
не можем. Будем считать, что она уже возникла, и попы-
попытаемся проследить дальнейшее решение задачи- С этой
целью рассмотрим упрощенную ситуацию. В треугольни-
треугольнике ABC требуется высказать суждение об отношении
отрезков AD и DC (рис. 7),
103

Алгоритм для нахождения отношения отрезков*)
1. Алгоритм в словесной форме.
а) Проверь, справедливо ли утверждение, что BD —
медиана. Если окажется — да, заключи: AD=DC. Если
нет или неизвестно, — переходи к следующему указанию.
б) Проверь утверждение: BD — биссектриса угла
ABC.
Если оно верно и в (а) было «нет», то4 заключи:
AD/DC=AB/BC. Если оноверно и в (а) было.«неизве-
было.«неизвестно»— переходи к следующему указанию. Если оно не-
неверно или вопрос остается открытым — заключи: отноше-
отношение найти не умею.
в) Проверь, можно ли утверждать, что BD — высота
треугольника.
Если да, то AD=DC. Если «ет или неизвестно, то
AD/DC=AB/BC
2. Формализация алгоритма (табл. 15).
Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал
\ \\Q.]r- (i.i)
Первым срабатывает оператор а. Затем проверяется
логическое условие р. После каждого логического усло-
условия поднимается стрелка с одной (вверху) или двумя
(вверху и внизу) цифрами. Если /7=1, то, не обращая
внимания на стрелки, переходят к следующему операто-
оператору или логическому условию (у нас — оператор Т). Если
/7=0, то, согласно верхнему номеру стрелки, обращаются
к оператору или логическому условию, перед которым
опускается стрелка с таким же верхним номером (у нас—
к оператору р). Если /7=2, то переход аналогичный, толь-
только в соответствии с нижним номером стрелки (здесь —
также р). Точка после оператора означает, что процесс
закончен.
Несколько нагляднее св,язь между операторами отра-
отражена горизонтальной схемой
I \ ГТ" Г ^
I ' \
*) Речь идет яе о единичной, а о типовой задаче. Поэтому алго-
алгоритмический подход здесь правомерен/ Алгоритм применим к любой
задаче данного типа и, в соответствии с ее конкретным условием,
приводит к различным последовательностям умственных действии,
104

или вертикальной схемой:
я-*
1-
т
R«
Если итогом срабатывания оператора является ответ
«да», то переходят к следующему (справа, снизу) опера-
оператору. Если — «нет», то переход происходит согласно верх-
верхней (правой) стрелке, исходящей из данного оператора.
Если — «неизвестно», то обращаются в соответствии
с нижней (левой) стрелкой- Оператор, из которого не
исходит ни одна стрелка, считается конечным (Т, Q, R).
Таблица 15
Опера-
Операторы
а
Y
Т
Q
R
Логические
условия
р
q
Г
V
W
Содержание операторов, логических условий
Проверка утверждения: BD — медиана треуголь-
ника
( 0, если BD — не медиана
р = 1 1, если BD — медиана
{ 2, если вопрос остается открытым (неиз-
(неизвестно).
Проверка утверждения: BD—биссектриса ABC.
| 0, если BD — не биссектриса или вопрос
q = < остается открытым.
( 1, если BD—биссектриса.
Проверка утверждения: BD—высота треуголь-
треугольника.
_ f 0, если BD — высота треугольника
\ 1, если BD не высота или вопрос остает-
остается открытым.
Утверждение AD — DC.
Утверждение AD/DC=AB/BC
Утверждение: отношение найти не умею (невоз-
(невозможно).
( 0, если AD ф DC или неизвестно, спра-
v = \ ведливо ли: AD^DC.
{ 1, если AD=DC.
1 0, если AD/DC ф АВ/ВС или неизвестно,
w = { справедливо ли: AD/DC ф АВ/ВС
{ 1, если AD/DC = АВ/ВС
105

Операторы распознавания а, $, у— не элементарны.
Это алгоритмы, приведенные предварительно к свернутой
логической форме и воспринимаемые вследствие этого
как одноэлементные. По отношению к A.1) их можно
J3-/7,
12
Рис. 8.
назвать опорными подалгоритмами низшего — первого
порядка: а=/7ц; P = /7i2; у=Пц. Тогда наш алгоритм
является иерархической структурой более высокого —
второго порядка. Обозначим его /7г.
j \T.ni2q\Q. \П^\П13г\Я. \ R. A.4)
Соответствующий лраф (рис. 8).
На основании A.1) и графа составлена табл. 16.
Таблица 16
Значение логических
условий
р-^\
» = q = 0
р = 0; q=\
р = 2; <7 = 0
= 2; <7=1; г =
= 2; <7=1; г =
0
1
Утверждение
Г
R
Q
R
Т
Q
Соответствующая операторнэя
последовательность
аТ.
а^Т.
Пользуясь несложными преобразованиями булевой
алгебры, приходим к логической форме:
v = p\J pqr
*\
A.5)
*) Справедливы соотношения: 2\/0 = 0; 2\/1 = 1; = 0; Т— 1;
О = 0; 1 =0 -р читается: „р с крышечкой".
106

AD = DC, если: доказано, что BD— медиана (р=1)
или — хотя это прямо и не доказано (р = 2) -^-выяснено,
что BD—биссектриса (#=1) и высота (г=0)-
w = q{p\/ рг). A.6)
Словесно: AD/DC=AB/BC, если q=\ и /7 = 0 или q=\;
р=2; г=\. Наконец, логическая формула, характеризую-
характеризующая нерезультативное решение Я:
Я(РУР)- A-7)
Окончательно логическая форма словесно выглядит
так. . .
Если установлено, что BD: 1) медиана или 2) она
же — биссектриса и высота, то AD=DC. 3) Если BD —
биссектриса, то AD/DC=AB/BC*\ В других случаях оп-
Тоб лица 17
Отрезки
AD и DE
AD и DC
АЕ и ЕС
DE и ЕС
Признаки
1
BD—ме-
BD—медиана (BE)
1 + 11+
2
BD— биссек-
биссектриса и высота
(BE)
1 1 1 +
3
BD — биссек-
биссектриса (BE)
+ 1 1 +
Результаты
AD = DE; AB=BE
АЕ — ЕС
DE/EC^BD/BC
ределенного заключения об отрезках сделать нельзя. При-
Применение алгоритма сводится к выбору из трех признаков.
Теперь вернемся к задаче 1. Задача может быть ре-
решена путем нескольких- применений алгоритма /72. Дого-
Договоримся наличие признака в логической форме обозна-
обозначать + , отсутствие —, неизвестно ± (табл. 17).
При совместном рассмотрении результатов получаем:
BD/BC=l/2. Дальнейшее очевидно. В =90°.
Обратимся к эксперименту. Двум группам девяти-
девятиклассников по 15 человек, примерно одинакового уровня
математического развития, было предложено решить за-
задачу 1 в течение 20 мин. При равных прочих условиях во
второй группе дано указание: «Попытайтесь сравнить
между собой отрезки основания треугольника». В пер-
*' Имеется в виду только биссектриса—' медиана исключается
или про нее, по крайней мере, ничего не известно.
107

вой группе задачу решили трое учащихся, наиболее -спо-
-способных к математике. Во второй —11 человек. Как пока-
показали выполнение работы и последующий анализ, из не
решивших задачу испытуемых первой группы по крайней
мере 7 человек начали с рассмотрения отрезков осно-
основания.
Среди решивших задачу был Д. Приводим выдержку
из протокола его «мышления вслух» «... BD ^— биссек-
биссектриса и высота (логический синтез qr. Свернулся опера-
операторный «блок» а$у — С. Ш-) AD=DE; АВ=ВЕ. BE —
биссектриса («свертка» — С. Ш.).
... Пропорциональность сторонам. Отношение извест-
известно ... Все понятно».
Экспериментатор: — Чему равен угол 5?
Д.: — Сейчас найдем- Еще проверим рассуждение.
BD — медиана ААВЕ. Конечно, — биссектриса и высота.
DE = -^-AE. Но АЕ=ЕС. Значит, DE=-^EC и т. д.».
Экспериментатор: — Вы с самого начала так рассуж-
рассуждали?
Д.: — Нет, я как-то вдруг увидел ... Объяснение при-
придумано потом-
Учащаяся К. A гр., средние математические способ-
способности) не решила задачу. Вот начало ее решения. «Раз
Z1=Z_2, то BD — биссектриса /.ABE. Рассмотрим
АЛ ABD и DBE. Они равны. Их стороны AD и DE —
тоже равны. Теперь возьмем АЕ и ЕС. АЕ — ЕС. Что из
этого? ...» Учащаяся так и не добралась до угла В.
Итак, задача 1 решается путем нескольких последова-
последовательных «включений» алгоритма Я2. Как показывает экс-
эксперимент, применение учащимися алгоритма Я2 имеет
более или менее выраженный регулярный характер (осо-
(особенно заметный в решении К.). Рассмотрим такую-то
пару отрезков. Применим алгоритм Я2. Рассмотрим сле-
следующие отрезки и т. д. По-видимому, здесь вне сферы
действия Я2 работает новый алгоритм Я3, «объемлющий»
Яг, и периодически включающий его. Назовем Я3 условно
алгоритмом упорядоченного перебора. Так в процессе
обучения используются иерархические системы «вложен-
«вложенных» алгоритмов Пи Я2, Я3 и т. д., в которых каждый
следующий алгоритм содержит/предыдущий в качестве
подалгоритма.
Однако одно дело производить выбор, когда известно,
что хотя бы некоторые варианты ведут к цели, и совсем
108

другое, — когда не ясно, что из этого, получится. Вспом-
Вспомним, что исходное допущение о сравнении отрезков осно-
основания треугольника имеет лишь пробный характер. Мож-
Можно было с самого начала предположить, что, испытав не-
несколько отрезков и не обнаружив решения, учащиеся не
станут рассматривать остальные зависимости и откажут-
откажутся от гипотезы. Так это действительно и оказалось:
многие испытуемые остались на полпути, прекратили ре-
решение, не разглядев заключительной ситуации.
Обратим внимание, что в решениях большинства
испытуемых, справившихся с заданием, проявился дру-
другой, более гибкий вариант алгоритма /73: «Рассмотрим
отрезки. Если получится такой-то результат, то перейдем
к одним отрезкам, в противном случае — к другим
и т. д.». Здесь характер обращения к П% предусмотрен
определенными логическими условиями. На этом пути
многие исключили из рассмотрения отрезки AD и DC
(так это, во всяком случае, проявилось внешне), «с ме-
места» устранили избыточные равенства типа АВ=ВЕ, не
имеющие применения в дальнейшем.
Возникает вопрос, на чем основана прозорливость
испытуемых, решивших задачу. Психологический анализ
показывает, что Д. и другие учащиеся действительно
использовали алгоритм /72 *). Однако на первом этапе
решения операторная процедура сокращена. В мышле-
мышлении решение, по-видимому, «нащупывается» на уровне
частично свернутых действий, где-то на границе между
психологической и логической моделями. Учащийся слов-
словно обладает «дальнодействием» — способностью произво-
производить следующие действия, минуя предыдущие [137], [134].
Создается возможность одноактно удержать вместе все
пары отрезков. Задача просматривается не до конца, но
на такую глубину, когда уже удается оценить целесооб-
целесообразность подхода.
При необходимости, в процессе решения задач, соот-
соответствующие операторные структуры (в «переводе»—
стоящие за ними структуры умственных действий) вызы-
вызываются и срабатывают автоматически, Этим можно бы
объяснить быстроту, легкость заключений. Так как дей-
действия имеют свернутый характер» они, как правило, не
сознаются, и результат часто воспринимается решающим,
как неожиданный [135].
•) Лучшие результаты испытуемых 2-й группы, по-видимому, объ-
объясняются стимулированием извне их обращения к этому алгоритму.
100

Речь пока о пробе, первой прикидке, когда операции
производятся на уровне логической модели, при мини-
минимальном контакте с объектом — полным условием зада-
задачи. Пройдет некоторое время, и логические условия раз-
развернутся, восстановится oпepaтqpнaя форма (что являет-
является формализованным отражением перехода к психологи-
психологической модели мышления). Но это уже не перврначаль-
ная последовательность операторов. По линии обратной
связи логический компонент упорядочивает операторы,
устраняет лишние действия, ррезает «петли», проклады-
прокладывая прямой путь. (Например, устраняется побочное ра-
равенство АВ — ВЕ и т. д.) -
Психологическая модель мышления, вызвавшая логи-
логическую надстройку (знания), как видим, сама управляет-
управляется ею. Теперь проясняются и причины затруднений не-
некоторых учащихся в решении задачи- Ведь К. также рас-
рассматривала отрезки основания. Однако, в отличие от Д.,
она рассуждает сразу в развернутой форме, до конца,
когда еще не ясно, к чему это приведет. Оставаясь на
уровне отдельных действий, в рамках психологической
модели, К- как бы смотрит на преобразования «изнутри».
Она не в состоянии подняться над задачей, увидеть ее
сразу, в единстве возможных преобразований, с высоты
логической модели. Можно предположить, что причиной
является известная расчлененность мышления, слабость
коммуникаций между его психологическим и логическим
компонентами.
Процесс применения знаний и сами знания в какой-то
степени независимы и только «сосуществуют»; логическое
статично, и общие положения слабо управляют конкрет-
конкретными действиями (например, теоремы — сами по себе,
задачи — сами по себе). Вместо направленного поиска
решения возникает ситуация «свободного блуждания
мысли вокруг задачи» [91]. Этот феномен можно назвать
разрывным мышлением. Одно из его проявлений, имев-
щее место в нашем эксперименте,—своеобразная «сплош-
«сплошность», выражающаяся в неумении перестроить метод,
адаптировать его к данной задаче или отказаться —
в случае Непригодности. Учащийся идет как бы не от за-
задачи, а от метода, когда еще не ясна его пригодность для
решения задали. f
Вероятно, именно благодаря прямолинейному навязы-
навязыванию метода задаче испытуемая К. и прошла мимо ре-
щения, хотя была близка к нему. Подобная организация
ПО

мышления присуща большинству учащийся с ограничен-
ограниченными математическими способностями [133]. Сказанное,
в общем, известно и не раз обсуждалось в психологиче-
психологической литературе. Новым в данном исследовании мы счи-
считаем математическое описание явления в терминах опе-
раторно-логических форм алгоритмов. Тогда вопрос об
устранении отмеченных дефектов мышления становится
производным от эффективности обучения с помощью
алгоритмов.
Заключая, можно сказать: 1) Алгоритм Я2, возможно,
является, в первом приближении, формализованной мо-
моделью психологического процесса решения задачи.
А Л F Е С
Рис. 9.
2) Специфика функционирования модели при реше-
решении задачи определяется индивидуально-психологически-
индивидуально-психологическими особенностями человека.
Решение следующей, контрольной задачи, являющей-
являющейся усложненным вариантом задачи 1, подтвердило полу-
полученные результаты.
Задача 2. В треугольнике ABC высота, биссектриса и
медиана, проведенные из вершины В, делят угол на
4 равные части. Найти угол В (рис. 9).
Задача решается с помощью алгоритма 772 (табл-^8).
Объединив результаты, получаем: BD\BE-==Yt2, /2;
BE 4b°; 5 = 90°.
Задача 2 решалась учащимися на следующем уроке
и после подробного анализа р.ешения задачи 1. Все испы-
испытуемые справились с этапом «сравнения». И все же из
30 человек задачу решили только 11. Не помогло на этот
раз и специальное указание. Поскольку алгоритм все же
«рработал», остается предположить, что основная причи-
причина в том, как, на каком уровне это произошло.
Анализ показал, что учащиеся, справившиеся с зада-
заданием, опирались на свернутую логическую форму, при
111

которой алгоритм tt2 перекодировался в Одноэлементную
структуру фу. Остальные оказались не в состоянии сопо-
сопоставить получающиеся результаты, извлечь из них ответ.
Теперь можно попытаться ответить на главный вопрос.
Первоначальная идея о сравнении отрезков основания
все же не Является исходным моментом решения. Она
(дли Д. й некоторых других испытуемых) скорее продукт
Таблица 18
Отрезки
AD; DF
AD; DE 1
AD; DC
AF; FE
DF; FC
DE; EC '
AF; FC
AE; EC
DF; FE
FE; EC '
Признаки
1
±
—
+
—
2
+
—
—
3
+
+
+
+
Результаты
AD = DF; AB=BF
—
AF/FC = AB/BC
AE^EC
DF/FE = BD/BE
FE/EC = BF/BC
предварительной прикидки возможных результатов на
уровне логической формы алгоритма. По-видимому, под-
подтверждается, что логическая форма в психологическом
плане действительно выступает как форма мышления,
точнее, как логическая модель з'нания.
Итак, в терминах математической модели, решение
задачи находится с помощью минимизированных (пре-
(предельно сокращенных) операторных структур, на основе
логической формы. Решение задачи проводится (и «вы-
«выводится вовне») на основе ¦ развернутых операторных
форм. Переход от логической формы к операторной
отражает важную сторону содержания, психологического
механизма процесса решения задач. Отсюда следует, что
если удастся с помощью .алгоритмов организовать на-
направленный переход от логической формы к операторной,
то это и будет подлинным обучением решению задач.
2. Может показаться, что полученные результаты относятся к уз-
узкому классу математических (геометрических) задач.
Ниже дан психологический анализ решения школьниками логи-
логической задачи, в которой логико-математические отношения высту-
выступают в «чистом виде», ие замаскированные конкретным математиче-
математическим содержанием.
112

Задача. Жители города А говорят правду, города Я—'Лгут. Ка-
Какой вопрос должен задать путешественник встречному жителю, чтобы',
по ответу узнать, в каком городе он находится — А или В?
Ответ (г) может быть только «Да» A) или «Нет» @) [46, 30]..
Алгоритм в видеосистемы словесных Решение данной задачи
1) Сформулировать требование зада- х=это город А (где говорят
чи в виде высказывания и обозна- правду),
чить его «х».
2) Обозначить «у» высказывание: «Вы у=Вы говорите правду.
говорите правду».
3) Образовать эквивалентность: х~у. Высказывание «Это город
А» эквивалентно высказыва-
высказыванию: «Вы говорите правду».
4) Если можно, упростить эквива- Вы живете в этом городе,
лентность.
5) Полученное высказывание сформу- Живете ли Вы в этом горо-
лировать в виде вопроса. Этот де?
вопрос задает путешественник.
6) Ответ «Да» означает х=1, т. е.
высказывание указания A) истин-
истинно;
Ответ «Нет» — х=0 (ложно).
Этому отвечает формула: г~х. Можно показать, что она яв-
является логической формой алгоритма. Чтобы подчеркнуть ассоциа-
ассоциативную структуру соответствующей логической модели мышления,,
приведем форму к импликациям:
z~x*~* (z—ух)&(х—> г) «—>(г —ух) —у,(х—ух) .
Указание 6 обосновывается действием другого алгоритма (пере-
(перебора). Развернем его.
а) Если ответ «Да» и у=\, то х~у=\\. Следовательно, х=\ *',
б) Если ответ «Да» и у=0, то х~у=0, и х=\.
в) Если ответ «Нет» и у=\, то х~у=0, и х=0.
г) Если ответ «Нет» и у=0, то л:-— у= 1, и х=0.
Оба алгоритма,, таким образом, «состыкованы» и образуют це-
целостную композицию. Задача решается путем их последовательного
включения. Если первый алгоритм (указания 1—5) обозначить Яп,
а второй (указание 6) — Пц, то алгоритм решения задачи Я2=
=1ПцПц- Эксперимент показывает, ято почти никто из испытуемых
при решении задач не пользовался алгоритмом Яг в развернутом
виде.
Уже в следующей, контрольной задаче (требовалось узнать,
из какого города встречный) алгоритм Я12 применяется в виде ука-
указания 6. Решение выглядело примерно так. 1) Вы живете в этом
городе—х. 2) Вы говорите правду — у. 3) х~у: «Вы живете в этом,
городе» эквивалентно: «Вы говорите правду». 4) Это город А.
5) Будет ли это город А? 6) Ответ «Да» — встречный живет в этом'
городе, «Нет» — в другом городе **>. Структура Пп, имеющая авто-
*> Логическая эквивалентность истинна тогда и только тогда-,,
когда оба высказывания истинны или оба — ложны.
**> Для удобства мы процесс решения будем разбирать на этой
задаче.
8-37 ИЗ

номНый характер, перекодировалась в Ходе решения В сложный одно-
одноэлементный оператор (указание 6).
В дальнейших решениях вовсе не отражено указание 6, словно
оно само собой подразумевается. Затем, с вариациями у разных
испытуемых, выпали последовательно указания 2 и 1; объединились
указания 3 и 5. В рассуждениях испытуемые, как правило, сразу
переходили к указанию 5, рассматривая его совместно с указанием
4. В данной задаче учащиеся начинали с вопроса: «Будет ли вы-
высказывание «Вы живете в этом городе» эквивалентно высказыва-
высказыванию «Вы говорите правду»?». Однако в ответ на вопрос экспери-
экспериментатора — как они думают •— испытуемые легко восстанавливали
всю процедуру *'. Отсюда мы заключаем, что имеет место погло-
поглощение оператором 5 операторов Г, 2, 3, или свертывание • соответ-
соответствующих действий в процессе реального мышления. Наиболее устой-
устойчиво сохранялось указание 4, что проливает свет на специфику
применения алгоритма. Дело в том, что указания 1, 2, 6 и др. оди-
одинаково используются во всех задачах данного типа и, следовательно,
в каждом конкретном случае не несут дополнительной по сравнению
с алгоритмом информации **'. Напротив, оператор 4 является слож-
сложным компонентом неалгоритмического характера: в разных задачах
упрощения различны. Без его ясного оознавания решить задачу не-
невозможно, и этим, вероятно, объясняется относительная устойчивость
оператора.
Только отдельные испытуемые оказались в состоянии сфодмули-
ровать вопрос в наиболее простом виде сразу по прочтении 'усло-
'условия задачи. Ответ на вопрос задачи все испытуемые получали с по-
помощью формулы z~x.
Итак, решение найдено на основе логической формы и тех ком-
компонентов операторной структуры, без которых невозможно подойти
к этой форме. Остальные операторы явно не применяются.
Обнаруженные ранее с помощью математической модели особен-
особенности взаимодействия логико-психологических моделей мышления
в процессе решения задач, по-видимому, получают подтверждение
и развитие.
2. Логическая форма в задачах на построение
Рассмотрим алгоритмы решения некоторых типов за-
задач на построение в планиметрии. На них удобно изучать
связь между процессом распознавания способа построе-
построения и самим построением (конструкцией). Это позволит
по-новому взглянуть на логическую форму алгоритма,
осмыслить ориентирующую роль в мышлении стоящей за
ней логической модели.
1. Метод геометрических мест точек (ГМТ) [2], [124]
(табл. 19, рис. 10).
*' На проверку оказывается, что это ответ на другой вопрос:
как они думают о том, как они думали при решении задачи. Меняет-
Меняется не обсуждение предмета, а скорее, предмет обсуждения.
**' Вспомним, что количество информации является мерой не-
неопределенности, мерой разнообразия.
114

Таблица 19
a
о.
s
о
В
с
D
Е
F
G
6
& ф
р
п
ч
Г
S
t
V
Содержание оператора, логического
условия
Проверь, не требуется ли в
задаче построить некоторую
точку
( 0, если требуется
Р~~ \ 1 —в противном слу-
случае
Проверить, нельзя ли при-
привести задачу к построению точ-
точки, удовлетворяющей опреде-
определенным условиям.
( 0, если нельзя
^ ~ \ 1, если можно
Проверка возможности раз-
разбить требование задачи на 2 час-
части, каждая из которые опреде-
определяет ГМТ так, что на их пере-
пересечении находится исхомая точ-
точка
[ 0, если не удалось
г = | сделать разбивку
1 1, если удалось
Построение ГМТ, удовлетво-
удовлетворяющего первой части условия.
( 1, если ГМТ построе-
s = < но
1 0 — в противном слу-
случае
Построение ГМТ, удовлетво-
удовлетворяющего второй части условия
( 1, если ГМТ построе-
;= но
{ 0 — в противном слу-
случае
Утверждение: искомая точка
находится на пересечении по-
построенных ГМТ.
Утверждение: заАачу решить
методом ГМТ нельзя. (Не умею).
[ 1, если задача реше-
v = 1 на методом ГМТ
{ 0, если задача не ре-
решена
Реализация алгоритма при ре-
решении задачи: «В данный угол
вписать окружность, проходя-
проходящую через данную точку на
стороне угла» (см. рис. 10)
. Я =
Задача приводится к
к нахождению центра ис-
искомой окружности
а — 1
ч — 1
Можно. 1-я часть: ок-
окружность вписана в угол,
я центр находится на бис-
биссектрисе угла; 2-я часть:
окружность касается дан-
данной прямой в данной точ-
точке, и ее центр находится
на перпендикуляре к пря-
прямой, проведенном через
данную точку.
г=1
Строится биссектриса
данного угла.
s=l
Строится перпендику-
перпендикуляр к стороне угла в дан-
данной точке.
t=\
ti=l
115

Алгоритм Ляпунова — Шестопал.
/7Х = Ар ] Bq \ | Cr \Ds \ Et \ F.) G. . B.1)
Логическая форма алгоритма:
v = (p\/q)rst.. B.2)
#i сводится к двум подалгоритмам: #ц— подалгоритму
распознавания возможности построения и Я12 — подалго-
подалгоритму конструкции *>¦
nn = Ap\Bqj \С, B.3)
nit = Ds\Et\F.lG. B.4)
Подалгоритмы совмещены («состыкованы») с помощью
логического условия г:
Ях=Япг12Ях2. v B.Г)
Смысл этой записи совершенно ясен: решается вопрос
о сведении задачи к нахождению некоторой точки (#ц)
и затем, с помощью г, — о возможности нахождения этой
точки на пересечении двух извест-
известных ГМТ. В зависимости от этого
обращаются (или не обращают-
обращаются) к #12- Переход к IJiz, обуслов-
обусловленный алгоритмом #ц, еще не
означает решения задачи. Так, в
рассматриваемой задаче (табл.19)
учащийся может не уметь прове-
Рис- Ю- сти биссектрису или перпендику-
перпендикуляр, хотя знает, что на их пересе-
пересечении находится искомая точка. Логическая форма #12:
v=st B.5) —задача решается методом "ГМТ, если удает-
удается построить 2 ГМТ, на пересечении которых находится
точка, дающая решение задачи.
2. Метод подобия (табл. 20).
Алгоритм Ляпунова — Шестопал
\\ j \f. B.6)
1
*> Т. е. иодалгорилму непосредственного построения. Для психо-
психологического- анализа процесса мы в формальной модели отчленяем
«решение» задачи от распознавания возможности и способа ее ре-
решения.
116

= Ф К
8 * S
Содержание оператора, логического
условия
Таблица 20
Реализация алгоритма при
решении задачи .Построить
треугольник по двум углам
и радиусу описанного круга"
Проверка возможности разбить
данные условия задачи на две
группы, чтобы первая группа
данных определяла искомую фи-
фигуру с точностью до подобия,
вторая — ее размеры.
/ 0, если нельзя разбить,
I 1, если можно,
" ~~\ 2, если вопрос остает-
I ся открытым
Построение фигуры, удовлет-
удовлетворяющей данным первой груп-
группы
/ 0, если фигуру не уда-
_ I лось построить,
^ j 1, если удалось по-
( строить
Подобное преобразование по-
построенной фигуры в фигуру с
требуемыми размерами.
0, если не удалось сде-
сделать преобразование
подобия,
1, если такое преобра-
преобразование сделано.
Утверждение: полученная фи-
фигура является искомой.
Утверждение: решить задачу
методом подобия нельзя.
Утверждение: решить задачу
методом подобия не удалось.
II, если задача решена
методом подобия
О —в остальных слу-
случаях.
Можно. 1-я группа —
2 угла. 2-я группа — ра-
радиус описанного круга.
Обоснование. 1) Тре-
Треугольники подобны по двум
углам. 2) В подобных
треугольниках стороны
пропорциональны радиу-
радиусам описанных кругов.
р = \.
Строим произвольный
треугольник по 2-м дан-
данным углам.
G=1.
Строим треугольник, по-
подобный предыдущему,
выбрав одну из его вер»
шин за центр подобия и
отношение радиуса иско-
искомого треугольника к ра-
радиусу данного — за коэф-
коэффициент подобия.
>=1-
117

Алгоритм распознавания Я21=Л B.7).
Алгоритм конструкции
ntl = Bq)cr}D. *F. ¦ B.8)
Логическая форма Я^: v = qr B.9) —задача решается
методом подобия, если удается построить фигуру, подоб-
подобную искомой, и ее подобное преобразование удовлетво-
удовлетворяет всем требуемым размерам.
Рассмотрим алгоритмы «в работе» при решении уча-
учащимся задачи. «Построить окружность, проходящую че-
через 2 данные точки и касающуюся данной прямой». За-
Задача решена испытуемым Т. (9 кл.) методом подобия. На
решение ему потребовалось 30 мин.
Из протокола самоотчета учащегося: «.. . Построил
окружность, касающуюся прямой и гомотетично преобра-
преобразовал ее для прохождения через точки М и N .. •»
Как видим, учащийся сознает только свои «геометри-
«геометрические действия», связанные с алгоритмом конструкции,—
построения, преобразования. Внутренняя «пружина», пси-
психологический механизм не отражены.
Откуда мы знаем, что алгоритм распознавания все же
участвует в реальном мышлении? Продолжим протокол.
Экспериментатор: — И на это потребовалось 30 ми-
минут?
Испытуемый: -г- Я не сразу догадался ...
Экспериментатор: — Когда Вы провели перпендикуляр
к MN через его середину, на что Вы рассчитывали?
(рис. И).
Испытуемый:—На нем находится центр искомой
окружности.
Экспериментатор: — Что же Вы не нашли центра?
Испытуемый: — Не смог совместить прохождение
окружности через точки с ее касанием 'прямой...
Теперь приведем фрагменты процесса решения за-
задачи. Прочитав условие, учащийся, не задумываясь, про-
провел перпендикуляр к MN через его середину. Затем он
выбрал несколько точек на перпендикуляре, спроектиро-
спроектировал их на прямую и соединил с точками М и N. Наступи-
Наступила длительная пауза E—7 минут), в течение которой
испытуемый сосредоточенно думал. За это время им
была произнесена только одна фраза: «Вроде нет линии
центров всех окружностей, касающихся данной прямой»,
Далее Т. отказывается от условия прохождения окруж-
113

ности через точки М и N, ограничившись требованием ей
касания прямой. Вскоре задача была решена методом
подобия. Оказывается, учащийся вначале рассчитывал
на ГМТ, удовлетворяющее второй части условия, и не его
вина, что расчет не оправдался.
Наблюдение и психологический анализ, а также по-
последующая беседа, убедительно свидетельствуют о том,
что испытуемый ориентировался на алгоритм П\ ГМТ, и
у него одноактно «сработала» операторная композиция
ABC, за которой стоят соответствующие умственные дей-
действия. Оператор С «проявился» как бы не до конца, так
как уже после первого, явно пробного, построения обна-
обнаружилась непригодность ал-
алгоритма. Окончательный пе-
переход к Я12 не состоялся, но
он, как видим, подготавли-
подготавливался подалгоритмом Пи,
хотя этот факт не отражен
в сознании учащегося.
Надо полагать, что если
бы действия учащегося не „ »,
диктовались общим подхо-
подходом, для которого в первой
попытке оказались невыполненными некоторые логические
условия (г=0 в III), он вряд ли так легко отказался бы
от «заманчивого» метода ГМТ и переключился на метод
подобия. Об этом свидетельствуют действия многих испы-
испытуемых, которые также начали с метода ГМТ, но не ре-
решили задачу, хотя, в общем, вполне владеют методом по-
подобия. На вопрос экспериментатора, почему они не оста-
оставили первоначального замысла, когда обнаружилось, что
решения не получается, даны характерные ответы: «Ка-
«Казалось, вот-вот получится», «Не смог оторваться»
и т. д. *>.
Далее, если бы отказ от одного метода решения я
обращение к другому происходил как механический пе-
перебор известных учащемуся методов, то непонятно, поче-
почему и при втором решении без особых раздумий учащимся
сохранен перпендикуляр АВ (рис. 11). По-видимому, речь
идет о переходе с удержанием, сохранением, т. е. об
управляемом процессе. В таком случае «управляющей
инстанцией» может быть только алгоритм распознавания.
*) Мы относим эгу инертность к разрывному мышлению (§ 1).
119

Теперь рассмотрим Связь между алгоритмом распо-
распознавания и логической формой алгоритма конструкции.
Достаточно сравнить эти 2 понятия, чтобы убедиться в их
родстве.
Например, для алгоритма I7i. Подалгоритм Пц\ про-
проверка возможности сведения задачи к точке на пересече-
пересечении двух известных ГМТ.
Логическая форма П12: задача решается методом
ГМТ, если искомая точка находится на пересечении двух
известных ГМТ.
Возможность решения утверждается с помощью
умственных действий, отраженных в операторах А, В, С.
Эти действия, прямо не участвующие в конструировании
решения, по существу, являются мыслями, в которых
аккумулированы, в свернутом виде, соответствующие гео-
геометрические построения, т. е. материализованные дей-
действия.
Логическая форма представляет в модели следую-
следующий шаг к сокращению действия, деформированного
теперь в логически упорядоченный набор признаков.
Обратим внимание, что алгоритмы распознавания и
конструкции в процессе решения задачи актуализируют-
актуализируются не последовательно, поочередно, а скорее одновремен-
одновременно. Тот факт, что в формализации метода решения алго-
алгоритм распознавания предваряет конструкцию, обязан не
более чем удобству описания. В реальном мышлении рас-
распознавание, представляющее анализ, как бы неявно
включено в конструкцию, в синтез-
Возможность конструкции, как показано, утверждает-
утверждается уже в ходе построения, и это отражает суть анализа
в синтезе, анализа через синтез, о котором писал С. Л. Ру-
Рубинштейн (jvi. I, § 1). Теперь проясняется, почему анализ
(связанный с ориентирующим компонентом алгоритма),
как правило, сознается ослабленно в процессе решения
задач и создается иллюзия самопроизвольного синтеза,
.синтеза без анализа. Внешне это выражается в том, буд-
будто учащиеся сразу начинают с метода решения, без явно
выраженного «подхода» *).
Алгоритм распознавания, мы видели, в большой сте-
степени, выступает в виде логической формы, точнее, отра-
отражает в мышлении роль вынесенной «наружу» логической
*> Это дает некоторым исследователям повод к принижению
роли анализа в механизме инсайта (гл. I, § 1).
120

формы алгоритма конструкции *). Это проливает свет на
ориентирующую функцию логической формы и стоящей
за ней логической модели мышления, которая, оказыва-
оказывается, является в задачах на построение средством выдви-
выдвижения гипотез, прогнозирования, предвидения.
Если учесть, что «... при решеции задач на вычисле-
вычисление с числовыми или параметрическими (буквенными)
данными мы следуем — или, во всяком случае, должны
следовать — тому классическому порядку, который уста-
установлен для задач на построение» J33, стр. 6], то станет
ясно, что отмеченное явление имеет более широкий ха-
характер-
3. О сокращении и развертывании форм мышления
Приведенные ниже эксперименты имеют целью найти
подход к выяснению тех сдвигов, которые происходят
в мышлении при обучении с помощью алгоритмов.
I. Кодирование. Рассмотрим алгоритм нахождения
наибольшего общего делителя двух чисел (НОД) мето-
методом вычитания.
1) Сравни числа.
2) Если первое число больше второго, перейди к ука-
указанию 5.
3) Если первое число меньше второго, переставь чис-
числа местами. Перейди к указанию 5.
4) Прекрати вычисление. Полученное число является
НОД.
5) Вычти из 1-го числа, второе.
6) Замени первое число полученной разностью-
7) Вернись к указанию 1.
Правила пользования алгоритмом.
1. Указания выполняются в порядке следования, если
нет специальных указаний об изменении естественного
порядка.
2. Условное указание B, 3) пропускается, если не вы-
выполнено содержащееся в нем условие. Алгоритм пред-
представлен в операторах, близких к атомарным (элементар-
(элементарным).
Эксперимент. Результаты и их обсуждение. Испытуе-
Испытуемыми были 100 студентов 3-го курса физмата. Алгоритм
*> Выражаясь языком математической лингвистики, можно ска-
сказать, что порождающие (логические) формы выполняют функцию
распознающей грамматики (гл. I, § 5, пункт 3). Процессы порож-
порождения и распознавания сомкнулись в психологаческой модели.
121

предложен при изучении курса математической логики, и
продемонстрирован «а решении нескольких примеров.
Через неделю испытуемым, без предупреждения, было
рекомендовано восстановить алгоритм и решить с его
помощью пример. Оказалось, что 78 человек опускали
указание 6, хотя пример решали верно. 88 испытуемых
исключили указание 1.
Как правило, устойчиво сохранились отраженные в со-
соответствующих операторах действия вычитания и пере-
перестановки чисел в сочетании с упорядочивающими эти опе-
операции логическими связями. Однако логические условия
при решении примера во внешнем плане не отражались.
Вот типичное «мышление вслух»: «Отнимаем ... Пере-
Переставляем .. • Отнимаем ... и т. д.». Вопрос о том, почему
в одних случаях сразу вычитают, а в других — сначала
переставляют, не «выведен» наружу, решается во вну-
внутреннем плане с помощью логической модели знаний,
управляющей в скрытом виде операторами (т. е. соответ-
соответствующими действиями).
Через месяц 55 испытуемых уже исключали оператор
перестановки C). Решение выглядело примерно тах:
«Отнимаем от большего меньшее, уменьшаемое отбрасы-
отбрасываем, с оставшимися числами повторяем то же самое
и т. д.». Формальная часть описания сократилась до ми-
минимума, сохранилось, в основном, содержательное нача-
начало. В таком редуцированном виде алгоритм закрепился
в памяти, образовав соответствующую логическую мо-
модель знаний.
Попытаемся объяснить результаты эксперимента. Пе-
Перестановка чисел является определенным способом фор-
формализации процесса вычитания, при котором уменьшае-
уменьшаемое привязывается к 'первому месту- Отказ от такого
упорядочивания приводит к замене действия, соответст-
соответствующего оператору 5, усложненным, более емким (менее
определенным) действием вычитания из большего числа
меньшего, — независимо от места, где стоят числа,
Изменение содержания символов, вследствие их объ-
объединения, укрупнения мы называем кодированием. В свя-
связи с переходом к новому коду в математической модели
возник символ повышенной информационной плотности
за. счет исключения оператора перестановки и соответст-
соответственно— изменения оператора вычитания. Однако психо-
психологически, оказывается, в некоторых случаях действия
при кодировании не выпадают, а включаются в состав
122

Других действий. Такая перестройка с поглощением отра-
отражается в модели, например, вхождением оператора 6
в состав оператора 5. При этом образовалась не простая
конъюнкция двух операторов. Оператор 5 внешне не
изменился. Возникла композиция с поглощением опера-
оператора 6, который явно не представлен в действии, но вы-
выступает при решении примеров как само собой разумею-
разумеющаяся экстраполяция оператора 5. Подобным образом из
структуры элиминирован оператор сравнения 1, который
при актуализации алгоритма все же играет роль необхо-
необходимого предварения оператора вычитания. Все это явля-
является отражением феномена «скрадывания» в психологиче-
психологической модели отдельных логических звеньев, на который
указывают многие авторы [137, 53] и др. В итоге, по исте-
истечении некоторого времени, оказывается, что алгоритм
уже не тот, каким он был сообщен. Возникает вопрос,
откуда берется «приращение», каков психологический ме-
механизм перекодирования? Ответ, нам представляется,
возможен только один — от прямого взаимодействия
субъекта с объектом, т. е- с задачами в процессе их ре-
решения, когда в мышлении как бы сплавляются начальная
c[)qpMa алгоритма с ранее известными содержательными
связями.
II. Декодирование. Рассмотрим обратную задачу.
Пусть испытуемые владеют некоторым правилом, опера-
операторы которого даны в виде комплексных образований.
Предложим им формализовать его в виде упорядочен-
упорядоченной системы по возможности более простых указаний и
исследуем особенности декодирования, расщепления
сложных форм.
Опишем эксперимент. 100 студентам 3-го курса реко-
рекомендовано составить алгоритм сложения многозначных
чисел. Образцом могло бы быть следующее описание.
Алгоритм сложения двух многозначных чисел.
Указания.
1. Подпиши числа одно под другим так, чтобы одина-
одинаковые разряды стояли друг под другом.
2. Сложи цифры данного разряда.
3. Если над первой цифрой стоит точка, прибавь
к сумме 1.
4. Если полученная сумма меньше 10, то подпиши ее
под слагаемыми. Переходи к указанию 8.
5. Если полученная сумма больше или равна 10, то
вычти из нее 10.
123

б. Запиши разность под слагаемыми.
7- Над первым слагаемым следующего слева разряда
поставь точку.'
8. Смотри следующий слева разряд.
9. Если в разряде есть хотя бы одна значащая цифра,
вернись к указанию 2.
10. Если в разряде нет ни одной значащей цифры, то
посмотри, есть ли в этом разряде точка.
11. Если есть точка, то подпиши в данном разряде 1.
12. Прекрати вычисление — полученное число являет-
является суммой.
Начальное условие: вычисление начинать с разряда
единиц.
Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал (табл- 21)
(рис. 12).
411232 3 4 55
A\Bb\C\c\D\ I EFG \Hh\Kk\L\T C.1)
Результаты и их обсуждение. 80 испытуемых оказа-
оказались не в состоянии разложить процесс на элементарные
шаги (действия) и упорядочить действия с помощью
алгоритма. Как правило, описания построены на основе
сложных операторов и не удовлетворяют предъявленным
требованиям. Приведем несколько примеров простого
объединения операторов и логических условий в работах
испытуемых. «Поставь точку слева, заметив, что десятков
будет на 1 больше» — здесь отражение конъюнкции опе-
операторов: G&H&C.
124

„Постепенно складывай цифры одинаковых разрядов,
(В&Я)*>.
„Прекрати вычисление, если ничего не перенесено и
нет цифр данного разряда" (h = 1 &k = 0 —<¦ Т).
Примеры объединения с поглощением. «Если получен-
полученная сумма (цифр данного разряда — С. Ш.) меньше 10,
го запиши ее в результате. Переходи к указанию 2".
(Указание 2: «Сложи цифры данного разряда». Опуще-
Опущено, но подразумевается,—сдвиг влево на один разряд:
поглощен оператор Н).
Таблица 21
Опера-
Операторы
А
В
С
D
Б
F
G
Н
К
L
Т
Логические
условия
Ь
Q
h
и
к
Содержание
Поразрядное подписывание чисел друг под дру-
другом.
Сложение цифр обозреваемого разряда
Г 1, если над первым слагаемым имеется
Ь = \ точка
1 0 —в противном случае
Прибавление к сумме единицы.
_ 1 1, если сумма меньше 10.
~~ ) 0 —в противном случае.
Подписывание суммы под слагаемыми
Вычитание из суммы 10.
Запись разности под слагаемыми
Фиксирование точкой первого .слагаемого . разря-
разряда, следующего за данным слева.
Обозревание цифры следующего слева разряда.
f 1, если в разряде нет ни одной значащей
h=| цифры
1 0 —в противном случае.
Проверка наличия в данном разряде точки.
i 1, если в разряде нет значащих цифр и
у 1 ' есть точка
~~ | 0, если в разряде нет значащих цифр и
1 нет точки
Проставление в данном разряде суммы 1.
Прекращение вычислений.
«Сложи цифры одинаковых разрядов» — поглощен
оператор А.
Оператор может обозначать целые композиционные
подструктуры алгоритма.
*) Здесь явное апеллирование к смысловым связям.
125

«В разряде десятков сложение произйести аналогич-
аналогично» (цикл В — В) *).
«Перенеси десяток в следующий разряд» *) означает:
если сумма единиц больше или равна 10, то отними от
нее 10, запиши разность в разряде единиц суммы, а над
2 2
разрядом десятков поставь точку: с\ ... \EFG. Структу-
Структура как бы схватывается одноактно. Мышление неделимо
и совершается на уровне результатов. «Мышление
вслух»: ... «Складываем крайние, потом эти ... Еще еди-
единицу оттуда...» Слова сопровождаются жестами, кото-
которые, по существу, оказываются выведенными наружу ко-
кодовыми обозначениями. Некоторые операторы полностью
исключались. «Прибавим единицу к следующему разря-
разряду»— исключен оператор G (фиксирования точкой).
Правда, этот тип преобразования операторов в данном
эксперименте проявился минимально. В более сложных
случаях несколько операторов могут взаимно исключать-
исключаться, и в результате возникает новый оператор.
Опишем одно наблюдение. Учащимся 9 класса, изуча-
изучающим логарифмическую линейку, известно, что при умно-
лсении чисел с помощью левой единицы движка из суммы
порядков вычитается 1, при делении — к разности при-
прибавляется 1. Выполняя комбинированные действия на
умножение и деление, школьники на первых порах рас-
рассуждают примерно так. «Умножаем, левая единица — ми-
минус 1. Делим, левая единица — плюс 1. Ничего не запо-
запоминаем. ..». И так каждый раз. На каком-то этапе овла-
овладения навыком некоторые учащиеся самостятельно при-
приходят к сокращенному правилу: когда последовательное
умножение и деление производятся с помощью одной и
той же единицы (т. е. без переброса движка), единицу
не запоминают. Операторы «Прибавления 1» и «Вычита-
«Вычитания 1» как бы «аннигилируют», и образуется новый опе-
оператор, заменяющий два предыдущих.
Мы пытались показать, как алгоритм из навязанного
мышлению способа действий как бы присваивается мыш-
мышлением, и оно начинает функционировать «алгоритмосо-
образно»- Но это не механическое следование заданным
извне формам, а отражение в психологической модели,
приспособление этих форм к особенностям мышления.
Обнаруживается, что в мышлении, в соответствии с опи-
описанным в математической модели обучения процессом
*' Здесь явное аппеллирование к смысловым связям.
126

преобразования операторной формы в логическую (коди-
(кодированием), организуется логико-психологическая модель
знания. Образовавшаяся предельно свернутая идеальная
модель обладает способностью к самосохранению и ока-
оказывается столь прочным сплавом формального с содер-
содержательным, что преобразовать ее к элементарным дей-
действиям, выделить в чистом виде формальный компонент
(декодировать) трудно, даже при специальном стимули-
стимулировании извне. Мы приходим к выводу, что наряду с при-
присваиванием мышлением «предписываемых» ему формаль-
формальных структур приходится признать невозможность пол-
полной формализации психологической модели мышления.
Переходим теперь к проверке полученных результатов
в обучающем (формирующем) эксперименте, к построе-
построению механизма, отраженного в операторно-логической
модели обучения.
4. Алгоритмизация формирования понятия
«определенный интеграл»
Напомним, в двух словах, суть нашей гипотезы. При
формировании знаний мышление идет от развернутых
структур, отраженных в математической модели опера-
операторными формами, к сокращенным образованиям, кото-
которым соответствуют логические формы. Если так, то из
этого следует важная методическая рекомендация. Про-
Процесс обучения должен быть организован преимуществен-
преимущественно в направлении от операторного к логическому, от вы-
выполнения развернутой системы действий к окончательно-
окончательному знанию, когда эти действия выступают в идеальной
фqpмe логических связей.
Поясним на простейших примерах.
1) При изучении признака делимости числа на 3
в курсе арифметики учащимся обычно сообщают прави-
правило: {число делится на 3] (х) тогда и только тогда, когда
[сумма его цифр делится на 3] (у).
Обратим внимание—здесь не указано, как проверить
кратность чисел трем. Дается только логическая связь,
которую можно отразить формулой: (х-*у)&(у->х). Пред-
Предполагается, по-видимому, что школьники при решении
примеров в состоянии самостоятельно «разменять» связи
на соответствующую систему арифметических действий.
Обычно правило подкрепляется несколькими примерами,
решенными учителем, и создается впечатление, что оно
127

усвоено. Однако многие учителя и методисты обратили
внимание, что школьники не руководствуются правилом,
а поступают по образцу — решают примеры так, как по-
показано на доске. Их «правилосообразные»действия идут
не от правила, не плюс к правилу, а скорее вместо пра-
правила, которого они обычно не знают (если этого спе-
специально не требовать). Из нашей модели следует, что
обучение надо строить в обратном порядке. Правило вна-
вначале дается в операторной форме.
Если требуется узнать, кратно ли число трем, то
а) складывают все цифры этого числа; б) полученную
сумму пробуют делить на 3; в) если сумма кратна трем,
то и данное число кратно трем. Если нет, то число не
кратно трем. После нескольких примеров сообщается
данная выше «логическая форма» правила.
2) Объяснение тождества sin2a+cos2a=l в начале
курса тригонометрии.
1-й вариант объяснения, а) Имеем произволь-
произвольное значение аргумента, б) Обозначим его а. в) Возьмем
sinia. г) Возьмем cos а. д) Возведем sin<j в квадрат,
е) Возведем cos.a в квадрат, ж) Сложим полученные
квадраты синуса и косинуса. 3) Сумма равна 1.
2-й вариант, а—г) Возьмем синус и косинус про-
произвольного аргумента а. д—е) Возведем sin а и cos a
в квадрат, ж—з) Сумма этих квадратов равна 1-
3-й вариант, а—з) Сумма квадратов синуса и ко-
косинуса произвольного аргумента равна 1.
Здесь отражен процесс сокращения структуры за счет
объединения умственных действий на пути к окончатель-
окончательному знанию C-й вариант).
Хорошо, скажет читатель, но откуда мы знаем, что
такая (или подобная) последовательность изложения со-
соответствует реальному мышлению учащихся, т. е., что
в голове все происходит так, как описано в модели.
Можно бы сослаться на педагогический опыт, экспери^
мент. Однако мы предвидим возражения. В констати-
констатирующем эксперименте обучения с помощью алгоритмов
снимаются только отдельные срезы. Но по нескольким
«точкам» мыслительный процесс строится неоднознач-
неоднозначно. Следовательно, модель может оказаться произ-
произвольной. ,
Мы теперь попытаемся показать в обучающем экспе-
эксперименте, что обучение с помощью алгоритмов по способу
последовательного свертывания действия формирует ло-

гическую модель знания, позволяющую эффективно ре-
решать задачи. Для этого использовано формирование по-
понятия определенного интеграла, предусмотренного новой
школьной программой в X классе.
Определенный интеграл является примером понятия,
которое, ввиду его сложности, невозможно ввести иначе,
чём в виде некоторой процедуры действий. Суть в том,
что определение понятия как предела суммы некоторого
вида не содержит явно состава действий. Отсутствует
указание логико-математических операций и порядка их
выполнения. Как показывает опыт, определение не раз-
развертывается автоматически в упорядоченную совокуп-
совокупность действий, обеспечивающих решение задач. Поэтому
понятие обычно дается в виде описания.
Пусть функция y=f(x) задана в промежутке [а, Ь].
а) Разобьем [a, b] с помощью точек деления (а = #0<
<'#1< ¦ ¦ ¦ <хп=Ь) произвольным образом на части-
б) Обозначим длины полученных частей соответствен-
соответственно &хй, ..., Alxn_i, а наибольшую из них через К.
в) Возьмем в каждом из частичных промежутков по
произвольной точке: ?о, Еь • • •, En-i.
п-\
г) Составим интегральную сумму: ][] f(&<) * &Хг и т- Д-
Постановка эксперимента
Для решения задач мы сообщали учащимся следую-
следующий алгоритм.
1. Среди переменных, которыми определяется искомая
величина (z), найти ту, при постоянстве которой задача
сравнительно легко рещается. Обозначить ее у.
2. Обнаружить величину х, от которой зависят гиг/.
3. Если зависимости у от х не дана, то найти ее.
4. Начертить отрезок, изображающий условно проме-
промежуток изменения х и указать конец его, соответствующий
наименьшему значению искомой величины (начало отсче-
отсчета). Направление возрастания х указать стрелкой.
5. Разбить отрезок на п частей (можно — равных) —
элементарных отрезков и обозначить их длины
Д
6. На каждом элементарном отрезке выбрать по одной
произвольной точке и обозначить расстояния этих точек
до начала соответственно: |о, |ь ...., In-i-
9—37 129

7. Один из элементарных отрезков (произвольный)
считать г'-м (итым). Его длина Ахи соответствующая точ-
точка li.
8. Условно допустить все величины, через которые
определяется искомая величина на t-м отрезке, постоян-
постоянными, равными значениям, которые они принимают в точ-
точке igf. Вычислить их значения в точке |,-
9. Проверить, будет ли значение искомой величины на
всем промежутке изменения х равно сумме ее значений
на элементарных отрезках. Если нет, искать вместо тре-
требуемой другую величину, обладающую этим свойством
и через которую выражается требуемая величина.
10. При допущениях, перечисленных в указаниях 8, 9,
найти приближенное значение искомой величины AZi
(или заменяющей ее величины) на отрезке Д&».
11. Составить сумму приближенных значений иско-
искомой величины на всех элементарных отрезках:
1=0
12. Убедиться, что получилась сумма вида
п—1
Yi f$t) Д-Х* — интегральная сумма. В противном случае
1=0
задача не приводится к определенному интегралу.
л—1
13. Записать lim J] f(t,-)Axt-, где Я—наибольшее из всех
значений Ах.
14. Вынести постоянные множители за знак предела.
15. Заменить предел интегральной суммы определен-
определенным интегралом, взяв за границы интегрирования значе-
значения х, соответствующие концам промежутка его измене-
изменения.
16. Вычислить полученный интеграл-
17. Определить параметры (коэффициенты) на основа
условия задачи.
18. Записать значение искомой величины.
К алгоритму прилагается список 10 задач, решение
которых выполнено как реализация предложенного алго-
алгоритма. Для каждой задачи имеется контрольная задача,
которую нужно решить самостоятельно.
Эксперимент по обучению определенному интегралу
с помощью алгоритма поставлен впервые в 1952—54 уч.
130

годах в восьми группах техникума. В последние годы
эксперимент был повторен со студентами политехническо-
политехнического и педагогического институтов очного, заочного и ве-
вечернего отделений, а также с группой школьников-стар-
школьников-старшеклассников. Общее число испытуемых — свыше 1000
Испытуемые после введения понятия определенного инте-
интеграла знакомились с алгоритмом. Каждую из приложен-
приложенных экспериментальных задач вначале предлагалось ре-
решить самостоятельно, пользуясь алгоритмом. В случае
затруднений учащиеся прибегали к приведенным реше-
решениям, а также консультациям преподавателя. После раз-
разбора экспериментальной задачи необходимо было решить
соответствующую контрольную задачу. Ясно, что боль-
большинство указаний сами являются подпрограммами, «вло-
«вложенными» в алгоритм. Некоторые из них в разных зада-
задачах развертываются по-разному. Владение этими опорны-
опорными знаниями — необходимое условие допуска учащихся
к решению данной задачи.
Приводим первые и последние 2 экспериментальные
задачи.
Результаты эксперимента и их анализ
Отметим некоторые особенности, проявившиеся при
использовании испытуемыми алгоритма. По мере усвое-
усвоения материала в ходе решения задач наблюдалось свое-
своеобразное уменьшение числа указаний, используемых уча-
учащимися. Так, указания 4—7 уже примерно при решении
3-й задачи были объединены, и в рассуждениях упомина-
упоминалось только указание 7. Однако, оказывается, указания
4—6 не выпали, а как бы присутствуют в снятой форме,
свернулись, подразумеваются в связи с указанием 7. Мно-
Многие испытуемые сознают этот факт. Приводим высказы-
высказывание одного из них. «Хорошо! Получается сборка ре-
решения из готовых деталей •..»
Экспериментатор:—Что же Вы некоторые «детали»
выбрасываете?
Испытуемый: — Разве я выбрасываю? Я их просто
«беру» вместе — так быстрее и легче ...
При возникновении затруднений, когда замедляется
темп решения, учащиеся словно развертывают аккумули-
аккумулированные действия, восстанавливают всю систему указа-
указаний. Далее были объединены указания 11—14, и затем
11—15. Так в процессе овладевания предписанием проис-
9* 131

Задача 1
Найти площадь-фигуры, 'огра-
'ограниченной параболой у=6х—х".
б х
Рис. 13.
Рае ш е н и е
1. Текущая ордината — у-
2. Текущая абсцисса — х.
3. Дана: у =,6х —Гхг.
Л--
6.x
°Ах0 Дх) . ..
8.
9.
Ах;
' = 0t = 6&,-&?
10. z = s; Asi
11.
12.
132
л—1
<=о
+
Задача 2
Найти координаты центра тяйсе-
стн четверти круга (х, у)
Решение
У
х
4*6
11 • • ' Ъг
-*•*
у = Уг = Уф_щ
Нет. Для нахождения у ищем
Мх — статический момент фигуры
относительно осн ОХ
(р — плотность)
л-1 .
53-|-
/0
¦—е?

13.
14.
15.
16.
17.
НтЦ
а.
О
0
F6*
-X2
Е2
—
) dx
36
18. s = 36 (ед2)
л-1
ftродолжение
л—1
<=0
-у- \ (Л2 — х2) dx
15.
Зя
Задание. Вычислить пло-
площадь фигуры, ограниченной па-
параболами у = х2; у =V х.
Ответ: -п~.
Задание. Аналогично найти
абсциссу центра тяжести четверти
круга ar
Ответ: * = -^.
Задача 9
Размеры пирамиды Хеопса
приблизительно таковы. Высота
(Я) равна 140 м. Ребро квад-
квадратичного основания (а)—200 м.
Удельный вес камня, из кото-
которого она сделана (y) приэлизиг
тельно равен 2,5 Г/см'.
Вычислить работу, затрачен-
затраченную при ее построении на прео-
преодоление силы тяжести.
Задача 10
Стержень АВ длиной / и массой М
притягивает точку С массой /те, ле-
лежащую на его продолжении на рас-
расстоянии а от ближайшего конца
стержня. Найти силу взаимодейст-
взаимодействия стержня и точки. ( Пользуемся
законом Ньютона всемирного тяго-
тяготения для точечных масс: F =
Mm
k
/77 а
о о-
€ А
М
Рис. 15.
133

1. Переменная площадь сече-
ння: у = Q
2. Высота подъема камня,
считая от основания: % = h
S
3. Находим: Q=-j^(H—hy
4-7
ь
9.
10.
+
= A;
н
— Kfdh
16. j2
17.
18. Л =
= 16.3-Ю1»
кГм
Задание. Вычислить рабо-
работу, которую нужно затратить,
чтобы выкачать жидкость с
удельным весом d из резервуа-
резервуара, имеющего форму обращен-
обращенного вершиной вниз конуса, вы-
высота которого равна Н, а ра-
радиус основания R. Как изменит-
изменится результат, если конус обра-
обращен вершиной кверху?
Ответ:
134
П родолжение
1—3. Расстояние от точек
стержня до С: у = х
о 1-
z = F;
iw.
kMm
а+1
кМт С dx
а
kMm
С dx
а (а
kMm
Задание. Используя получен-
полученный результат, найти, какую рабо-
работу совершит сила притяжения,
когда точка, отстоявшая от стерж-
стержня на расстоянии /¦,, приблизится
к нему на расстояние гг, двигаясь
вдоль прямой, составляющей про-
продолжение стержня.
Л kMm fr, r
Ответ: —— In ( — •-
I
Г2 A, + I

ходила перестройка самой программы действий. (Эти
особенности мышления учащихся были нами учтены
в изложении решенных задач.) В решениях испытуемых
неизменно сохранились указания 1, 2, 3, а также указа-
указания 8—10, вызывающие, как правило, наибольшие за-
затруднения, т. е. именно те указания, которые варьиру-
варьируются в задачах и выполнение которых отличает решение
одной задачи от другой. Эти указания содержат значи-
значительную неопределенность, следовательно, наиболее
информационно насыщены.
Таким образом, усвоение алгоритма происходит по
линии все большего свертывания элементов, присущих
всем задачам, в пользу подчеркнутого вычленения указа-
указаний, заключающих индивидуальные особенности данной
задачи или групповые особенности некоторого класса
задач.
На этой основе выделяются классы задач, родствен-
родственных по указаниям—1, 2, 3 и др.: задачи на площадь
криволинейной трапеции [решаются с помощью формулы
ь ъ
s = f f(x)dx\; на объем тела вращения (% [y*dx\; на ко-
( \
ординаты центра тяжести l*=i^ ',$=
и др. К этим формулам испытуемые, как правило, при-
приходили самостоятельно при решении соответствующих
задач в общем виде.
Таким образом, вместо ожидаемого шаблона, связан-
связанного, казалось бы, с природой алгоритма, учащиеся при-
пришли к творческому усвоению метода, который они при-
приспособили к своему мышлению. При этом индивидуаль-
индивидуальные особенности проявились не только в скорости овла-
девания алгоритмом для приложения его к решению за-
задач, но (и особенно отчетливо) в быстроте и эффективно-
эффективности свертывания программы.
Вот как спустя месяц решалась задача. «Какую рабо-
работу нужно совершить, чтобы выкачать воду из резервуара,
имеющего форму обращенного меньшим основанием вниз
усеченного конуса с радиусами оснований R и г и высо-
высотой Н.?» (Рис. 16).
138-

Из протокола решения учащегося:
At
Л==«Г \r + {H-x)^f-X xdx и т. д.
«Г \r
V "
\
U ' /
/
От шаговой структуры алгоритма, как видим, оста-
осталось очень мало. Процесс рассуждения почти полностью
интериоризирован. Механизм «свернутого знания» можно
считать окончательно сформированным. (Затруднения
у испытуемых, правда, воз-
возникли (При выражении АВ,
но эта «подзадача», по-види-
по-видимому, не имеет прямого отно-
отношения к нашему алгоритму.)
Вызывают интерес некото-
некоторые высказывания испытуе-
16- мых, сделанные ими в ходе
эксперимента и последующих
индивидуальных бесед. На вопрос о том, что. общего во
всех решенных задачах, испытуемые отвечают примерно
так. В задачах имеется величина, непостоянство которой
препятствует нахождению искомой величины. На неболь-
небольших участках задания условно считают переменную по-
постоянной. Процесс изменения из непрерывного становит-
становится скачкообразным, ступенчатым. Просуммировав значе-
значения искомой величины на всех участках и перейдя к пре-
пределу, мы как бы снова возвращаемся к непрерывному
изменению. Интеграл служит для вычисления предела.
Нет нужды указывать, что здесь уже не алгоритм
в расчлененных операциях, а скорее' свернутая логиче-
логическая форма. Учащиеся сознают, что определенный инте-
интеграл только схватывает, улавливает единство внутренней
структуры реальных процессов, но не создает его. В диа-
диалектическом единстве (как отрицание отрицания) они
воспринимают 2 противоположные операции: отказ от
непрерывного процесса в пользу дискретного — абстрак-
абстракция, позволяющая найти искомую величину, — и затем
снятие ограничения, возврат к непрерывному на основе
некоторого предельного перехода, т. е. интегрирования.
Можно подумать, что по ходу решения задач учащие-
учащиеся, изучающие материал с помощью так называемой тра-
традиционной методики, раньше или позже самостоятельно
136

откроют описанный или аналогичный алгоритм и нет
нужды навязывать им готовую обобщенную схему рас-
рассуждений. Но в том-то и дело, что, как показывает изу-
изучение материала в контрольных группах, большинство
учащихся, даже после решения 10 задач, в более или ме-
менее трудных ситуациях не знали, с чего начать, что де-
делать дальше. С другой стороны, под руководством препо-
дователя («Попробуйте найти то-то ...», «А если бы эта
величина была постоянная?» и т. д.) они справились
с задачами.
Эти учащиеся, оказывается, видят единство задач
лишь в том, что все они решаются с применением опреде-
определенного интеграла. Выходит, не единство содержания за-
задач, описанных в них .процессов определяет возможность
применения интеграла, а наоборот, сам интеграл якобы
сообщает общность этим процессам. Следствие неправо-
неправомерно поставлено на место причины. Игнорирование
алгоритмической структуры решения задач не проходит
безнаказанно для качества знаний. Уже через полгода
учащиеся, неплохо решавшие в свое время задачи, справ-
справляются только с наиболее простыми из них, для которых
достаточно знания готовых формул. 6 отличие от них
наши испытуемые и после более длительного срока реша-
решали довольно трудные задачи, даже если они не помнили
соответствующих формул. Характерно, что многие из
них, как правило, забыли алгоритм. Сохранились лишь—
и то фрагментарно — некоторые указания: 1, 2, 3, 7, 8,
10, 15. Этого оказалось достаточным для решения задач,
восстановления необходимых формул. Так квантифици-
руется материал, и с помощью малых порций в мышле-
мышлении и памяти создается оптимальный режим переработ-
переработки информации. В своих высказываниях большинство
испытуемых говорило не о формулах, а о методике инте-
интегрирования.
Отметим в заключение, что нам удалось в сравни-
сравнительно короткий срок обучить учащихся техникума реше-
решению таких задач, с которыми обычно с трудом справля-
справляются студенты технического вуза. Особенно хорошие ре-
результаты по сравнению с традиционным изучением полу-
получились у студентов заочных и вечерних отделений, заня-
занятых на производстве, в основном, практической работой,
с более низким уровнем теоретического мышления.
Выводы. Каждое указание алгоритма неявно включа-
включает 2 вопроса: «Что делать?» и «Как делать?».
137

Алгоритм содержит указания 3-х видов. Указания.1-го
вида отвечают сразу на оба вопроса: 4—7; 11—13; 18.
Указания 2-го вида явно решают вопрос «Что делать?».
На вопрос «Как делать?»'отвечают известные алгоритмы
(методы, правила): 14—17. Наконец, имеются указания
3-го вида, для которых структура действий не поддается
единому описанию — нет алгоритмов реализации указан-
указанных действий: 1—3; 8—10. В них локализована наиболее
трудная, творческая составляющая решения задачи. По-
Подобно тому, как механическое движение не исключает
более сложных форм движения, алгоритмирование не
исчерпывает всего многообразия неприводимых форм ма-
математического мышления (см. приложение 1)- Роль алго-
алгоритмов вовсе не в подмене творческого компонента за-
задачи. Алгоритмирование понятия способствует организа-
организации такого режима мышления, когда основные психиче-
психические усилия обучающихся сосредоточиваются на наибо-
наиболее сложных указаниях — 3-го вида, а указания первых
двух — выполняются как бы при «выключенном созна-
сознании». Результатом являются не только более глубокие и
прочные знания, но — и самое ценное — накопление мате-
математического развития учащихся, важным элементом ко-
которого является умение правильно мыслить. Экспери-
Эксперимент, по-видимому, подтверждает гипотезу о развитии
мышления в процессе усвоения знаний от развернутых
операторных структур действий к свернутым логическим
моделям. Это согласуется с нашей операторно-логической
моделью обучения.
Наконец, как и в предыдущем параграфе, приходим
к выводу о невозможности полного описания процесса
решения задач с помощью алгоритма.
5. О «раздвоенности» понятий
Исследуем в свете операторно-логической схемы обу-
обучения феномен раздвоенности понятий — вида «разрыв-
«разрывного» мышления, когда единое понятие, в соответствии
с процессом его возникновения, распадается на несколь-
несколько относительно независимых образований.
Для примера рассмотрим распознавание— как тан-
тангенс угла а. Приведем развернутые алгоритмы, которы-
которыми руководствуются учащиеся на начальных этапах
усвоения.
138

I. Распознавание тангенса острого угла в прямо-
прямоугольном треугольнике. Опорные понятия: прямоуголь-
прямоугольный треугольник; острый угол; противолежащий и при-
прилежащий катеты.
Указание 1. Проверь, является ли а острым углом
в прямоугольном треугольнике—оператор А. Если яв-
является, переходи к указанию 2. Если нет — к указанию 5.
—I
1, если да,
\0 —в противном случае
Указание 2. Посмотри, будет ли т противолежащим
катетом — оператор В. Если будет, переходи к указа-
указанию 3. В противном случае — к указанию 5.
, A, если будет,
\0 — в противном случае.
Указание 3. Проверь, будет ли п прилежащим кате-
катетом— оператор С. Если п — прилежащий катет, пере-
переходи к указанию 4; если нет — к указанию 5.
П, если п — прилежащий катет,
\0 — в противном случае.
Указание 4. Заключение: m/n=tg а — оператор D.
Указание 5. Заключение: m/n^iga— оператор Л.
Алгоритм Ляпунова — Шестопала:
Аа\Вв\Сс\о\п. EЛ)
Его логическая форма abc E.2) словесно читается:
если а — острый угол в прямоугольном треугольнике, то
tgct есть отношение противолежащего катета к приле-
прилежащему.
II. Распознавание отношения — как тангенса про-
произвольного угла. Для удобства пользуемся в обозначе-
обозначениях прежними буквами. Опорные понятия. Система
координат; подвижный радус-вектор; направленный
угол, а также утверждение: если точка взята на направ-
направлении радиуса-вектора, то отношение ее ординаты
к абсциссе есть величина постоянная для данного на-
направления.

Указание 1. Сторону, являющуюся началом угла,
возьми за положительное направление оси абсцисс;
другую сторону — за направление подвижного радиуса-
вектора. Оператор А.
Указание 2. Проверь, является ли т ординатой не-
некоторой точки направления радиуса-вектора. Опера-
Оператор В.
{1, если да,
о-
ь=
в противном случае.
Указание 3. Проверь, является ли п абсциссой этой
точки. Оператор С.
1, если является,
О — в противном случае.
р
!
Указания 4 и 5 — такие же, как в предыдущем алго-
алгоритме.
1 1 i_
Операторно-логическая схема алгоритма: АВЫ CctD.lD
E.3) и его логическая форма: be E.4); tga есть отноше-
отношение ординаты конца подвижного радиуса-вектора К его
абсциссе.
Сравнивая 2 определения тангенса, замечаем, что
операторные структуры, точнее, характер умственных
действий, которые они обозначают, здесь не одинаков.
Так, операторы А, В, С пв E.1) и E.3) описывают раз-
разный состав действий, что отражено в словесных форму-
формулировках понятия. Поэтому нас интересуют логические
формы E.2) и E.4), в которых операторы элиминиро-
элиминированы и фигурируют только продукты их актуализации.
(В .психологической модели речь «дет о сформированных
знаниях.) Известно, что равносильные результаты часто
получаются на основе разных действий. С другой сто-
стороны, одни результаты могут вклю'чать другие как бо-
более частные. Действительно, если в E.2) 6=1, т. е. т —
противолежащий катет, то т также ордината конца ра-
радиус-вектора (гипотенузы), т. е. в E.4): 6=1. Это от-
относится и к логическому условию с.
Ясно, что обратное не всегда верно: только при а=1
формулы E.2) и E.4) совпадают (хотя они и тогда
опираются на разные структуры действий). Так, в логи-
логической форме открывается связь и единство понятия,
140

разобщенного различием способов его введения. Отсюда
следует, что при слабом развитии логической модели
мышления различие понятий может выступить вне их
общности. И тогда в сознании закрепляются и в извест-
известной мере независимо сосуществуют, например, 2 различ-
различных тангенса *>. Это явление значительно более распро-
распространено, чем может показаться с первого взгляда.
Приведем примеры. Студент техни-
техникума помнит 2 вида уравнения па-
раболы: у = ах2+Ьх + с и х2=2ру
(или у2=2рх). И хотя он, в общем,
знает, что то и другое — параболы,
они в его представлениях разобще-
разобщены. В приложениях, при решении
задач параболы «вызываются» соот-
соответственно как «парабола из алгеб-
ры» и «парабола из аналитической
геометрии». Школьник знает квад-
ратную функцию у=ах2+Ьх+с, ее
график, свойства и оказывается бес-
беспомощным, когда в физике требует-
требуется исследовать и графически изо-
изобразить зависимость пути от времени при равноперемен-
равнопеременном движении: s = tW-|—5-. Характерно, что в алгебре он
с аналогичной задачей справляется.
Во всех случаях разные проявления одного и того же
понятия объединены только внешне —общим названием;
соответствующие им в психологической модели ассоциа-
ассоциации остаются локальными, не включены в общую систе-
систему знаний и, по Самарину, еще не представляют собой
умственной деятельности (гл. I, § 1). Кажущаяся общ-
общность оборачивается доаналитической генерализацией
[71]. Проанализируем с интересующей нас точки зрения
математическое мышление учащихся Г. и Ц. На пред-
предложение привести пример монотонной функции Г. чер-
чертит (рис. 17):
Рис. 17.
*' Имели место анекдотичные случаи на приемных экзаменах
в вуз, когда, например, на предложение определить тангенс угла»
абитуриенты спрашивали: «Какой тангенс, из 8-го класса или из
Э-го?» Оказывается, в восьмом классе это понятие вводится в связи
с прямоугольным треугольником. В 9-sm дается координатное wipe*
деление функции. В сознаний абитуриентов закрепились и функцио-
функционируют 2 независимых тангенса.

Г.: — При х>0 функция возрастает, при л;<0 — убы-
убывает. Снизу вверх — кривая возрастает, сверху вниз —
убывает ...
Экспериментатор: — Определите монотонно-возра-
монотонно-возрастающую функцию.
Г.: — С возрастанием аргумента функция возра-
возрастает ... •
Экспериментатор: — Теперь монотонно-убывающую.
Г.: — С убыванием аргумента функция убывает.
Учащийся явно не владеет понятием монотонной
функции, хотя по графику тип монотонности определяет
правильно. Возникает вопрос: на чем основана «геомет-
«геометрическая прозорливость» учащегося? Оказывается, гео-
геометрические представления у Г., в общем, правильные:
возрастает право вверх (лево — вниз), убывает право —
вниз-(лево — вверх). Однако у него это не имеет ни-
никакого отношения к «определению» монотонной функции.
Учащийся Ц. в каком-то смысле является противо-
противоположностью Г.
Ц., например, неплохо формулирует свойства лога-
логарифмической функции, доказывает их и даже применяет
при решении некоторых задач. Однако пояснить на гра-
графике он затрудняется. Выясняется, что фактически ни-
никакой связи между функцией и графиком в его пред-
представлениях нет, отсутствуют простейшие обратимые свя-
связи аргумент-*—>~абсцисса, функция-*—юрдината.
В задаче «Доказать с<а + Ь, если а2+Ь2=с2» Ц. про-
прошел мимо очевидного факта: в прямоугольном треуголь-
треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов. В его (алгебраи-
(алгебраическом) решении задачи сказалась скорее не сила
абстрактного мышления, а неумение опереться на гео-
геометрические интерпретации. Как видим, разрыв между
геометрическим и аналитическим компонентами в мате-
математическом мышлении учащихся — причина слабости
тех и других. Можно думать, что у обоих учащихся мы
сталкиваемся с проявлением раздвоенности мышления —
отсутствием единого начала в аналитических и нагляд-
наглядно-образных представлениях одних и тех же понятий.
В ряде случаев имеет место «несовместимость» геомет-
геометрических представлений со словесными (символически-
(символическими) формулировками соответствующих понятий. Приве-
Приведем примеры.
1) Смежными называются 2 угла, меньше развер-
развернутого, у которых одна сторона общая, а две другие
142

составляют одну прямую. Это верное определение сопро-
сопровождается следующей «импровизацией» (рис. 18): MN—
«общая» сторона. Две другие стороны образуют одну
прямую РО, т. е. совпадают.
2) Сумма множеств — это их общая часть. Определе-
Определение неверно. В действительности сумма множеств состоит
из всех элементов каждого из данных множеств (без
повторений).
Однако геометрическая интерпретация понятия —
верна (рис. 19).
3) Решение неравенства х2—Зх+2>0: 2<*<1 (надо
х>2 или х<1).
Это противоречивое неравенство все же сопровожда-
сопровождается правильным чертежом (рис. 20).
Очевидно, учащийся не в состоянии отразить свои
геометрические представления в адекватной аналитиче-
аналитической форме. Чтобы объяснить отме-
отмеченные случаи несоответствия, по-
посмотрим, как у человека в его пра-
практической деятельности формирует-
формируется понятие «общее». Мы говорим —
общее собрание, понимая: собрание _^
всех членов коллектива; общая (об- м о n
щественная) собственность: собст-
собственность всех, т. е. одного и друго- "
го, и третьего и т. д. «Общее» —
в представлениях связывается со m=Mi+ г/
«сложением», объединением, соби-
собиранием вместе. Тогда' естественно
назвать MN общей стороной углов
(она получается «сложением» сто-
сторон одного и другого угла); пони-
понимать под суммой множеств их об-
общую часть (она содержит элементы Рис. 19.
одного и другого множества). Отме-
Отметим, что рассмотрение суммы множеств как их общей
части в указанном смысле лриводит при решении нера-
неравенств школьниками к распространенным и трудно пре-
преодолимым ошибкам типа 2<*<1.
Мы столкнулись со случаем, когда для усвоения но-
нового необходимо преодолеть сложившиеся в прошлом
опыте устойчивые, но неверные представления. Педагоги-
Педагогический опыт показывает, что в этом смысле корректные
определения, вводимые сразу в завершенной логической
143

форме (как это обычно делается в школе), часто н-е
в состоянии преодолеть инерцию представлений, возник-
возникших в иных ситуациях. Многочисленные наблюдения и
эксперименты позволяют высказать предположение, что
причина раздвоенности
понятий, по крайней мере,
во многих случаях — об-
щая. Каждый раз. поня-
р 20 ¦ тие, в соответствии с си-
ситуацией, формируется на
основе определенных
умственных действий. Новая ситуация часто вызы-
вызывает изменения в структуре действий. В связи с этим
сложившееся ранее понятие может или вовсе бездейст-
бездействовать или образуется его независимый вариант. Если
так, то предлагаемая в математической модели процеду-
процедура формирования понятий, когда с одной стороны, каж-
каждый раз четко вычленяется состав действий и, с другой, —
в логической форме закрепляются особенности, инва-
инвариантные относительно способа формирования (гл. I,
§ 6), должна, на наш взгляд, способствовать обобщению
понятий.
Обратимся к эксперименту. Опишем алгоритм распо-
распознавания смежных углов (рис. 18; табл. 22)
ABCDd 1 Ее \ Gg\ F.\F. E.5)
По мере усвоения материала операторы выпадают, и
учащиеся приходят к общепринятому определению смеж-
смежных углов, т. е. к логической форме deg E.6). Как по-
показывает обучающий эксперимент, при такой методике
описанное выше раздвоение понятия на геометрическое
и аналитическое (словесное) почти полностью исчезает,
и этим окупаются первоначальные затраты времени и
психических усилий на изучение операторной формы
алгоритма (разумеется, в словесном описании). Более
того, усвоенное как итог математической деятельности
в одном разделе, понятие «общее» экстраполируется на
другие разделы, и, как правило, учащиеся уже не
нуждаются в аналогичных развернутых алгоритмических
структурах, например, при решении неравенств. Мы де-
делаем вывод о том, что обучение с помощью алгоритмов
открывает путь к развитию обобщенного мышления и
знания у учащихся. Алгоритм, как указывает Л. Н. Лан-
144

Таблица 22
Последовательность указаний
I. Найди каждый угол и запиши его с помощью
/ / AA?\D • / МО Г*\
2. Запиши стороны первого угла (МО; РО)
3. Запиши стороны второго угла (N0; РО)
4. Проверь, имеется ли сторона, принадлежащая
временно обоим углам—общая сторона (РО)
j_f 1, если имеется,
\ 0 —в противном случае.
5. Проверь, образуют ли 2 другие стороны углов
прямую
?_/ 1. если образуют.
\ 0 —в противном случае.
6. Проверь, меньше ли каждый из углов МОР и
развернутого
/ 1, если меньше.
^1 0 —в противном случае.
7. Утверждение: углы смежные.
8. Утверждение: углы не смежные.
букв
одно-
одну
NOP
*
Операторы
А
В
С
D
Е
G
F
J
да, из средства управления объектом становится сред-
средством управления мышлением. Обучение управляет фор-
формированием и развитием психических процессов (гл. I,
§ 1). Чтобы этот вывод выглядел более убедительно,
мы перейдем теперь к анализу феномена раздвоенного
мышления при овладении учащимися взаимно-обратны-
взаимно-обратными действиями в математике.
6. Алгоритмы в обучении — фактор упрочения
обратных связей
I. В математике различают прямые и обратные тео-
теоремы, числа, функции, действия, задачи. В психологиче-
психологической модели мышления и знания им соответствуют си-
системы обратимых ассоциаций. Как показали исследова-
исследования В. А. Крутецкого, у учащихся среднего школьного
возраста с ограниченными математическими способно-
способностями существует известная расчлененность, независи-
независимость в функционировании прямых и обратных ассоциа-
ассоциаций, проявляющаяся при решении задач [53]. Нам
удалось подтвердить эту закономерность также для
математического мышления старшеклассников [132].
Если у способных к математике школьников обрат-
обратные ассоциации часто образуются почти одновременно
Ю-37 145

й й сочетании С прямыми, непроизвольно, то для уча-
учащихся с ограниченными способностями это специальная
задача. В терминах нашей операторно-логической моде-
модели эти факты интерпретируются как раздвоенность мыш-
мышления при переключении с «прямого» хода мысли на
«обратный». С этим, по-видимому, связаны также труд-
трудности образования так называемых отрицательных оп-
определений. Приведем примеры.
Из 30 семиклассников только 6 человек правильно
ответили на вопрос: «Определить, какой выпуклый че-
четырехугольник не является параллелограммом». Боль-
Большинство считало, что это — «четырехугольник, у которого
нет параллельных сторон». 19 девятиклассников из 28
опрошенных ошибочно считают, что наклонная к пло-
плоскости (в отличие от перпендикуляра) не образует с пря-
прямыми на плоскости прямых углов. Еще хуже, когда
в определении участвуют кванторы. Например, 49 из 60
опрошенных студентов первого курса физмата не смогли
построить на основе определения функции, непрерывной
в точке, определение разрывной функции. Подавляющее
большинство ответов содержали неверные элементы:
«Нет такого е», «Не существует б» и т. д. Характерно,
что на втором курсе, после целого года изучения мате-
математического анализа, положение почти не изменилось.
Другим проявлением недостаточности обратных свя-
связей является эффект отождествления. Под отождествле-
отождествлением понимаем неправомерную подмену учащимися
обратной связи прямой связью. Протокольно фиксиро-
фиксированные наблюдения пояснят понятие. .
1. Ученица 7 кл. Ш. (по четной сумме делает заклю-
заключение о слагаемых): «Каждое слагаемое четно: сумма
четных чисел четна. Значит, числа четны».
2. Учащийся 9 кл. Ч. описывает окружность около
выпуклого четырехугольника, у которого сумма противо-
противоположных углов равна Ы. Ч.: «Во вписанном четырех-
четырехугольнике сумма противоположных .углов 2d ... И тут
дано 2d ... Описываем окружность».
3. Учащийся 8 кл. Т. получил, что квадрат одной
стороны треугольника равен сумме квадратов других
сторон. Т.: «В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следова-
Следовательно, треугольник прямоугольный».
4. Учащаяся 10 кл. К-, обозначив х, у — переменные;
a, b — их пределы; а, р — бесконечно малые, пишет:
146

x=a + a; y=b+$; x+y = (a + b)
К. «Переменная равна своему пределу плюс бесконечно
малая. Значит, (а + b) —предел».
б. Ученик 8 кл. П., получив (х—аJ= (у—ЬJ: «Если
числа равны, то и квадраты равны. Следовательно,
х—а=у—Ь» и т. д.
Отметим, что, в общем, эти школьники умеют фор-
формулировать и доказывать обратные теоремы, указывают
на их отличие от прямых теорем. Но все это — теорети-
теоретически, пока дело не доходит до приложений. Оказыва-
Оказывается, у школьников, изучающих материал с применением
алгоритмических описаний, расчлененность между об-
обратными и прямыми действиями в мышлении уменьша-
уменьшается, а эффект отождествления, как правило, исчезает.
Опишем эксперимент. Речь пойдет об алгоритмиза-
алгоритмизации формирования понятия первообразной функции (не-
(неопределенного интеграла). Обратимся сначала к наблю-
наблюдениям. Испытуемому дано задание: y'=s\nx. Найти у.
Выписка из протокола (мышление вслух): «...у'=
= sinx ... Значит, надо, чтобы если от какой-то функции
взять производную ... От той функции взять производ-
производную— и будет sinx ... у = cosx ... Производная синуса
равна косинусу, но здесь наоборот ... Получается
(—sin x) ... и т. д.». После нескольких неудачных по-
попыток найдено: у =—cosx. Очевидно, мы присутствуем
при проторении путей «справа налево», т. е. при воз-
возникновении в мозгу обратных ассоциаций.
Теперь приведем другой протокол. «. ..y=cosx; тогда
у' будет (—sinx), неверно, у=—cosx». (Это решение
способного к математике школьника.) Ясно, что в пер-
первом случае решение опиралось на развернутую систему
действий. Тратя все усилия на осмысливание того, что
надо делать, учащийся теряет логические связи, пере-
переходы и вынужден возвращаться к началу. Для ускоре-
ускорения процесса нам казалось необходимым специально
обучать менее способных учащихся экономно думать.
С этой целью использована упорядоченная последова-
последовательность указаний.
1. Подбери функцию. 2. Возьми ее производную.
3. Сравни полученную производную с данной функцией.
4. Если они равны, то задача решена. В противном слу-
случае— вернись к указанию 1. (Эта схема имеет более
широкое значение и, по существу, является общим опи-
описанием управления с оомощью обратной связи.) После
Ю* 147

2—3-х примеров учащиеся уже явно не прибегали к ука-
указаниям — они самостоятельно пришли к определению
первообразной. Теперь довольно свободно брались под-
подбором даже интегралы типа §sm2xdx; §e-axdx и др.,
которые обычно вычисляются методом подстановки.
Убедившись, что учащиеся овладели алгоритмом, мы
попытались выяснить, находится ли интегрирование в их
мышлении в связи и под контролем дифференцирования,
или навык интегрирования независим и опирается толь-
только на запоминании формул (табличных интегралов).
Мы предположили, что наличие и глубину связи удоб-
удобнее всего выявить в условиях относительного забывания
учащимися материала, когда при разрушении или ос-
ослаблении одних ассоциаций наличие других и их связь
с первыми могло бы послужить стимулом к восстанов-
восстановлению. С этой целью эксперимент был продолжен через
8 месяцев. За это время учащимся, в приложениях, при-
приходилось несколько раз пользоваться дифференцирова-
дифференцированием, интегрирование — ни разу не применялось. В свя-
связи с этим сомнительно, чтобы испытуемые помнили инте-
интегрирование, vh, вероятно, они помнили основные формулы
дифференцирования. Мы надеялись, таким образом, вы-
выяснить, как умение находить производную, способствует
восстановлению формул интегрирования.
Итоги эксперимента аесьма показательны. У подав-
подавляющего большинства испытуемых, обучавшихся с по-
помощью алгоритма, оказалось полное соответствие между
формулами интегрирования и дифференцирования. От-
Отдельные формулы неверны, однако соответствие между
ними все же сохраняется. Например, J sinxdx = cosx + C;
(cos я)'=sin* (неверно)—однако производная первооб-
первообразной равна подынтегральной функции. Психологиче-
Психологический анализ показывает, что восстановление формул
интегрирования у учащихся шло при участии и под кон-
контролем «прямых» формул дифференцирования. Оказы-
Оказывается, логическая форма понятия ("определение перво-
первообразной) в адекватной психологической модели не
исчезла со временем, а деформировалась, максимально
сократилась, и от нее остались (по выражению одного
испытуемого) главные слова: «Производная равна дан*
ной функции». Это, в терминах математической модели,
и есть Tot элемент, с помощью-которого восстановлена
операторная структура.
Напротив, в контрольной группе, где материал <изу*
148

чался без алгоритма, отмеченное соответствие часто ока-
оказывалось нарушенным.
Например, fr^i=tgx + C (неверно); (tg-*)'^
(верно) и т. д. Это при условии, что некоторые из них
помнят определение первообразной и, в общем, знают
формулы дифференцирования. Значит, соответствующие
ассоциации у них актуализуются раздельно, независимо,
и разрушение обратных связей (интегрирования) не при-
приостанавливается, их слабость не компенсируется наличи-
наличием сравнительно прочных прямых связей (дифференци-
(дифференцирования) *\
Ниже приводится несколько алгоритмических пред-
предписаний для формирования у учащихся многосторонних,
в том числе — обратных связей.
II. Отрицания математических предложений.
1. Построение отрицаний математических предложений связано
для учащихся с определенными трудностями. Между тем, такое
умение необходимо, например, в доказательствах методом от про-
противного. В более широком плане грамотное построение отрицаний
понятий, теорем и т. д. ценно для осмысливания самого существа
изучаемых объектов. К сожалению, в школьном и вузовских курсах
математики этот вопрос не изучается. Вероятно, авторы программ
и учебников полагают, что учащиеся способны самостоятельно, как
бы мимоходом, справиться с этой задачей. Отсюда распространенные
ошибки типа: «Если четырехугольник—не параллелограмм, то у него
нет параллельных сторон», «Если функция не является четной, то
она нечетна» и т. д.
Ниже предложен алгоритм, позволяющий на основе известного
математического предложения построить соответствующее ему от-
отрицание **'.
1) Выделите признаки, простые высказывания о свойствах, за-
зависимости и заключите каждое из них в круглые скобки.
2) Найдите слова—«связки»: «и», «или», «существует» («най-
(«найдется», «имеется») ***'; «Каждый» («Для каждого», «Для всех», «Для
любого»); словосочетания «Если..., то». Каждое из них заключите
в квадратные скобки.
3) В предложениях, содержащих словосочетание «Если..., то»,
необходимо:
а) Удалить это словосочетание.
б) Сохранить неизменной ту часть (посылку), которая находи-
находилась между словами «Если» и «то»— 1-й результат.
*' В терминах математической лингвистики можно, вероятно,
говорить о двух расчлененных грамматиках: порождающей и рас-
распознающей (га. I, § б).
**> Эффективность алгоритма проверялась в -условиях Школь-
Школьного преподавания. В связи с этим он изложен в словесной форме,
без применения аппарата математической логики.
***» С пояснительными словами.
149

Для части (заключения), стоявшей после слова «то», построить
ее отрицание в соответствии с указаниями 4а—4в—2-й результат.
Оба результата соединить союзом «И».
4) В оставшейся, не зависящей от «Если..., то» части пред-
предложения:
а) Заменить «И» на «ИЛИ» н, наоборот, «ИЛИ» на «И».
б) Заменить слова «Существует» на слова «Для каждого»
(«Каждого») н наоборот.
в) Простые высказывания (в круглых скобках), в которые не
входит «Не» («Неверно»), взять с «Не» и, наоборот, исключить «Не»
нз тех высказываний, где оно имеется.
г) Снять скобки, закончить преобразование.
Алгоритм «обучения отрицаниям» сообщается учащимся в ука-
указанном виде. При выполнении упражнений они имеют возможность
пользоваться алгоритмом по записи.
Теперь изложим методику обучения учащихся алгоритму. Пункты
алгоритма выполняются в порядке нх следования. Указания, для
которых необходимо определенное условие (например, наличие
словосочетания «Если..., то» в указании 3), опускаются, если это
условие отсутствует.
Поясним «работу» алгоритма на примерах.
Пример 1. Определение трапеции. Четырехугольник н суще-
существуют 2 параллельные стороны *> и существуют 2 непараллельные
стороны.
Выполнение указания 1. (Четырехугольник) и существуют B па-
параллельные стороны) н существуют B непараллельные стороны).
Выполнение указания 2. (Четырехугольник) [и] [существуют]
B параллельные стороны) [я] {существуют] B непараллельные сто-
стороны) .
Указание 3. Опускается: отсутствует словосочетание «Если...,
то».
Указание 4.
а) (Четырехугольник) [нли] (существуют] B параллельные сто-
стороны) [нлн] (существуют] B непараллельные стороны).
б) (Четырехугольник) [или] {каждые] B стороны параллельны)
[нлн] [каждые] B стороны непараллельны).
в) (Не четырехугольник) |илн] [каждые] B стороны непарал-
непараллельны) [нлн] (каждме] B стороны параллельны).
г) Не четырехугольник илн каждые 2 стороны непараллельны
нлн каждые 2 стороны параллельны •>.
Пример 2. Определение функции у=р(х), монотонно возра-
возрастающей в области D. Для каждых Xi, Хг, если XieD н x2eD н
X2>Xi, ТО f(X2)>f{X1).
Выполнение указаний 1, 2.
(Для каждых хи х2] (если (x4(=Z)) [и] (xjeZ)) [н] (x2>*i). то]
) /())
) ())
Выполнение указания 3.
За. (Для каждых xit xs] (x^D) ЭД (^еО) (н] (x2>Xi) (f(x2)>
@)
@)
36. (Для каждых xit х2] (*ieZ)) [н] (л2е0) [и] (*2>#i) [и]
tf (**) </¦(*!)).
Пояснение. После «то» у нас было (Высказывание f(xn)>f(xi).
К нему, в соответствии с алгоритмом, применяется указание 4(а—в).
*> Противоположные стороны.
150

Пункты 4а и 46 опускаются из-за отсутствия «И», «ИЛИ», «Суще-
«Существует», «Для каждого». В согласии с пунктом 4в }(х2) >/.(*i) берется
с «Не» («Неверно»): неверно, что f(x2) >/(*i). Иначе, f(x2) ^.f (x{).
Далее выполняется указание 4 для оставшейся части: (Для
каждых Xi, х2]. Пункты 4а и 4в опускаются. Согласно 46 слова
«Для каждого» заменяются на слово «Существуют» и, в соответствии
с 4г, снимаются скобки.
Существуют хи х2, что x^D а х2еО и x2>*i и f(x2)
Следующие примеры служат для закрепления навыка.
Предложение Отрицание [предложения
3) Признак делимости числа на 5.
(Число оканчивается нулем (Число не оканчивается нулем)
[или] (число оканчивается пя- [и] (число не оканчивается пя-
пятеркой) теркой).
4) Определение диаметра круга.
(Хорда) [и] (проходит череч (Не хорда) [или] (не прохдит]
центр). через центр).
5) Определение параллелограмма.
(Четырехугольник) [и] [каж- (Не четырехугольник) [или
дые] (две противоположные [существуют] (две непарал"
стороны параллельны) лельные противоположные сто-
стороны) .
6) Предел последовательности: lim ате=а
га->оо
[Дтя любого е] [существует [Существует е], при котором
N], что [для всех п], [если [для любого N\ [найдется п],
>0) [и] (n>N), то] что (е>0) [и] (n>tf) [и]
<) (||)
7) Четная функция y=f(x)
' [Для каждого х], [если (х [Существует х], что (х при-
принадлежит области определе- надлежит области определения
ния функции), то] (—х также функции) [и] (—х не принадле-
принадлежит области определе- жит области определения функ-
ния функции) [и] (/(—х)=/(х)). ции) [или] (К-х)фПх)).
8) Теорема Ферма.
[Для любых натуральных а, в, [Существуют натуральные а,
с, я]: [если (п>2), то] (ап+ Ь, с, п], что (п>2) [и] (ап+
-)-6™=cn неверно). -\-Ьп=сп).
В одном из 10-х классов учащимся, знакомым с содержанием
и историей теоремы Ферма, было предложено следующее ее «до-
«доказательство» методом от противного. Пусть теорема неверна. Тогда
справедливо ап + Ьп—сп. Подставим в это «тождество» а=\, 6=2,
с=3, п=3: 13Ч-23=^=33. Равенства не получилось. Противоречие до-
доказывает теорему. Характерно, что никто из учащихся до самого
151

конца «доказательства» не обнаружил ошибку. Более того, лишь не-
немногие, уже зная, что рассуждение ошибочно, оказались в состоянии
найти истинную причину—некорректность сформулированного «от-
«отрицания» теоремы Ферма.
2. Построение «отрицательных предложений», даже в 'простей-
'простейших случаях, часто требует перестройки известных учащимся поня-
понятий, вычленения основных признаков, логических связей. Так, для
определения «Не окружности» полезно ¦ исходить, например, из та-
такого определения окружности. (Плоская кривая) (и] (замкнутая ли-
линия) [и] [существует точка в плоскости кривой], что [для любых двух
других точек], [если (они принадлежат кривой), то] (они равноуда-
равноудалены от этой точки). «Не окружность»:
(Не плоская кривая) {или] (не замкнутая линия) [или] [для лю-
любой точки в плоскости кривой] [существуют две другие точки], ко-
которые (принадлежат кривой) [и] (не равноудалены от этой точки).
Педагогический эксперимент выявил полную беспомощность
школьников и студентов в вопросе построения отрицаний математи-
математических предложений, когда специальной работы не производилось.
Так, из 50 опрошенных первокурсников физмата «и один не смог пра-
правильно ответить на вопрос: «Когда число а не является пределом
последовательности ?{ате}?», хотя все знали определение предела
последовательности. С другой стороны, учащиеся сравнительно бы-
быстро овладевают алгоритмом и охотно его используют. Хотя строгое
обоснование алгоритма возможно только с помощью аппарата ма-
математической логики, учащиеся приучаются оценивать его резуль-
результаты на интуитивно-содержательном уровне.
Интересно, что по истечении некоторого времени, по мере егр
применения, алгоритм словно преобразуется в сознании учащихся:
отдельные указания объединяются, сливаются и, наконец, алгоритм
как бы «свертывается» — процесс построения отрицания сводится
к одношаговому преобразованию *'. Однако при возникновении за-
затруднений учащиеся в состоянии развернуть структуру. Теперь алго-
алгоритм окончательно закрепился в памяти. Можно, по-видимому,
сказать, что навязанный учащимся извне способ рассуждений стал
формой их внутреннего мышления.
III. Противоположные и обратные теоремы. Алгоритм построе-
построения.
1. Построение отрицаний необходимо, в частности, для образова-
образования теорем, противоположных данным.
Пример. Если в четырехугольнике сущесгвуют B равные про-
противолежащие стороны) и (они же параллельны), то (четырехуголь-
(четырехугольник — иараллелограм). Противоположная теорема образуется отри-
отрицанием условия и отрицанием заключения. Если в четырехугольнике
каждые B противолежащие стороны не равны) или (они не парал-
параллельны), то (четырехугольник — не параллелограм). Однако одно
дело формально, с помощью алгоритма построить отрицания, дру-
другое — оценить истинность полученной противоположной теоремы.
Последнее невозможно без содержательной оценки результата и,
как показывает педагогический опыт, вызывает у учащихся затруд-
затруднения.
Здесь оказывается полезным одновременное рассмотрение теорем,
обратных данным, которые равносильны' противоположным. В на-
•' По заявлению многих испытуемых «обилие мелких указаний
только мешает», и они стараются поскорее избавиться от них.
152

шем примере: если четырехугольник — параллелограм, то у него
существуют две равные и параллельные между собой стороны. Этот
факт учащиеся знают. Следовательно, и противоположное предло-
предложение истинно. Такая ситуация часто встречается в школьном курсе
математики. Известно, однако, что теорема может иметь несколько
различных обратных (противоположных) теорем. Установление свя-
связи между ними является для учащихся трудной логической зада-
задачей. Было бы полезно иметь регулярный метод, позволяющий по
обратной теореме строить соответствующую равносильную противо-
противоположную теорему и наоборот. К этому вопросу мы теперь пере-
переходим.
2. Нам потребуются леммы.
Лемма 1. В теоремах вида «Если Л и В, то С» (А, В, С —
простые высказывания) можно, не нарушая истинности теоремы,
переносить любое из условий (А, В) в заключение (правее «то»),
взяв его с отрицанием «не» и заменив «и» на «или».
В символической форме — имеем 2 теоремы, равносильные дан-
данной:
Если А, то С или не В A),
Если В, то С или не А B).
Докажем A) методом от противного. Пусть С или не В — лож-
ложно. Следовательно, истинно отрицание этого предложения: не С и В
(см. II). Тогда А неверно, иначе, в соответствии с прямой теоре-
теоремой, было бы истинно С. Результат противоречит условию A).
Лемма 2. В теоремах вида «Если Л и В, то С» можно, не на-
нарушая истинности теоремы, переносить заключение в условие и од-
одновременно любое высказывание из условия в заключение, взяв их
каждый раз с отрицанием «не».
Если Л и не С, то не В C).
Если В и не С, то не Л D).
Доказательство аналогично.
Следствие. «Если Л и В, то С» равносильно.
«Если не С, то не Л или не В» E).
Доказательство. Если В и не С, то не Л (лемма 2). Отсюда:
если не С, то не Л или не В (лемма 1).
Пример. Если (прямая лежит в плоскости — Л) и (перпен-
(перпендикулярна проекции наклонной к плоскости—В), то (она перпенди-
перпендикулярна наклонной к плоскости — С).
Вместе с данной истинны следующие теоремы.
1) Если Л, то С или не В,
2) Если В, то С или не А,
3) Если Л и не С, то не В,
4) Если В и не С, то не А,
5) Если не С, то не Л или те В.
3. Определения. Исходим из теоремы зида: ««Если Л и В,
то С».
Теорема называется полностью обратной данной, если она полу-
получается из данной перестановкой условия и заключения. Теорема
называется частично обратной данной, если она получается из дан-
данной перестановкой местами заключения и одного из высказываний
условия. Теорема называется полностью противоположной данной,
если она получается из данной отрицанием (взятием с «не») условия
и отрицанием заключения. Теорема называется частично противо-
противоположной данной, если она получается из данной отрицанием одного
из высказываний условия и отрицанием заключения. .

Таким образом, полностью обратная теорема: «Если С, то А
и В». Соответствующая полностью противоположная теорема:
«Если не А или не В, то не С» (пункт II). Эти теоремы, как изве-
известно, равносильны.
Образуем теперь 2 частично обратные и соответствующие им
частично противоположные теоремы.
а) Если В и С, то Л — обратная теорема.
Если не -А и В, то не С — противоположная теорема.
б) Если Л и С, то В— обратная теорема.
Если Л и не В, то не С — противоположная теорема.
Теоремы согласованы так, что каждая частично обратная тео-
теорема равносильна соответствующей частично противоположной тео-
теореме (лемма 2).
Пример. В теории положительных рядов доказываются 2 тео-
теоремы.
1) Если (ряд A) сходится — С) и (каждый член ряда B) не
превосходит соответствующего члена' ряда A)—Л), то (ряд B)
сходится — В).
2) Если (ряд B) расходится — не В) и (каждый член ряда B)
не превосходит соответствующего члена ряда A)—Л), то (ряд A)
расходится — не С).
Но теоремы указанного вида, мы знаем, равносильны, следо-
следовательно, достаточно доказать только одну из них. Для рассмот-
рассмотренной ранее теоремы о 3-х перпендикулярах полностью обратная
(полностью противоположная) теорема неверна. Неверна также ча-
частично обратная теорема «Если В и С, то Л» и соответствующая
частично противоположная теорема. Верна частично обратная (со-
(соответственно— противоположная) теорема «Если Л и С, то В».
Таким образом, для теоремы о 3-х перпендикулярах верна толь-
только одна из ее трех обратных (противоположных) теорем. К сожале-
сожалению, этот факт ускользает из поля зрения авторов учебников по
геометрии. С другой стороны, легко видеть, что при истинности
полностью обратной (противоположной) теоремы частично обратные
(противоположные) теоремы также истинны.
Однако даже из истинности обеих частично обратных (проти-
(противоположных) теорем еще не следует справедливость- полностью об-
обратной (противоположной) теоремы. Пример. Если (а биссектриса
угла треугольника — Л) и (а высота треугольника — В), то (а медиа-
медиана треугольника — С). Это теорема истинна. Истинны также 2 ее
частично обратные теоремы: «Если Л и С, то В» и «Если В и С, то
Л». Ложна полностью обратная теорема: «Если С, то Л и В».
В заключение отметим, что обнаруженные зависимости сохра-
сохраняют силу и тогда, когда условие содержит более 2-х простых вы-
высказываний.
Теперь сформулируем алгоритм построения согласованных об-
обратных и противоположных теорем.
1) Для получения теоремы, обратной данной («Если Л и В,
то С»), необходимо переставить заключение (С) с условием или
одним из его простых высказываний (А, В).
2) Построение соответстбующей противоположной теоремы про-
производится следующим образом.
а) В прямой теореме берут в скобки заключение и те выска-
высказывания, которые при образовании обратной теоремы переходят
из условия в заключение.
б) Высказывания, стоящие в скобках, в которых отсутствует
154

«не», берут с «не» и, наоборот, исключают «не» из тех высказыва-
высказываний, стоящих в скобках, где оно имеется.
в) Сохраняют неизменными те высказывания, которые при об-
образовании обратной теоремы не переходят из условия в заключе-
заключение.
Пример. Если (Л) и В, то (С).
Обратная теорема. Если С и В, то А. Соответствующая про-
противоположная теорема. Если не А и В, то не С.
Читатель легко построит алгоритм получения обратной теоремы,
когда дана противоположная теорема. Усвоение зависимостей в един-
единстве с их отрицаниями, а также с обратными и противоположными
утверждениями является одним из показателей готовности уча-
учащихся мыслить в «любом направлении». Это необходимое условие
развития у учащихся обобщенного математического мышления.

Глава 111
ОПЕРАТОРНО-ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ¦
ОБУЧЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПАМЯТЬ
1. Логическая модель знания
1. Опишем эксперимент. Двухчасовая письменная
контрольная работа проведена в 10-м классе в естест-
естественных классных условиях, без предварительного преду-
предупреждения учащихся. После проверки работы мы с неко-
некоторыми испытуемыми провели индивидуальные беседы.
Содержание работы. Считая из всех формул сложе-
сложения известной только формулу косинуса разности двух
аргументов и используя формулы приведения, вывести
формулу тангенса двойного аргумента. Работу выпол-
выполняло 15 учащихся.
Целью эксперимента было выяснить:
а) Степень и механизм запоминания и способ вос-
восстановления материала (в операторной, логической, про-
промежуточных формах и т. д.).
б) Последовательность ссылок и переходов при вы-
выводе нужной формулы.
В свое время G месяцев назад) вывод требуемой
формулы в курсе тригонометрии выглядел так:
a) cos (a -f- p) = cos [а — (— р)] = cos а cos p — sin а sin p,
б) sin (а + р) =cos [7-^ а\— pl=sin а cos p+eos а sin Р>
Нас интересовало, будут ли учащиеся вспоминать
указанную последовательность или станут выводить
«по-своему».
Учитывалось, что выводы формул после первоначаль-
первоначального изучения не повторялись, тогда как к самим фор-
формулам учащиеся часто прибегали в дальнейшем при
решении примеров. Все это создавало условия для изу-
изучения характера запоминания и восстановления мате-
материала после забывания, если оно имело место.
156

Результаты и их анализ
Закодируем преобразования (сложные операторы),
выполненные испытуемыми при решении задачи
(табл. 23). Тогда их действия опишутся структурой типа
Ляпунова — Шестопал:
1 2 4 3 2 563145 6
Аа\ВЬ\ \DE\P.\Ff\G\H\ \С\ \М\ A.1)
Ей соответствует граф (рис. 21). Решения, в зави-
зависимости от логических условий, отражены в табл. 24.
5 различных доказательств, использованных нашими
испытуемыми, изображены наследующей схеме (рис.22).
Рис. 21.
Рис. 22.
157

Таблица 23
Обозначе-
Обозначение опера-
операторов (ло-
гич. усло-
условий)
А
В
С
п
С1
F
G
1-1
М
Р
а
Ь
f
Содержание операторов (логических условий)
COS (a+P) = COS [а —(— Р)] = ... = COS а • COS P — sin а • sin P
Sin (а -4- Р) = COS ( ~су — а ) — Р =...=sin а-COS P+ .
1 V 2 1 J
+ cos а-sin р
Sin(a + Р) = ± V 1 — COS2(a+P) = ... = sin а • COS P +
+ cos a-sin р
tg ( + Is) COS (a+P) 1 —tga-tgP
2tg a
COS -2a = COS (a + a) = ... = COS2 a — sin2 a
sin 2a = sin (a + a) = ... = 2 sin a• COS a
Sin 2a 2 tg a
sin 2a =созГ-у — 2a J =
= COS 2f -?- — a)= ... =2sina-COS a
Утверждение: задача решена.
I 0, если за оператором А следует оператор С
а= < 1, , . . * , . . В
^'»Я Я »» Я Г
1 0, если за оператором В следует F
1 1 D
f
{ 0, если за оператором F следует М
= 1 1. . . • . . . G
158

a
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
ь
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
f
0
г
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Операторная
форма
решения
ACDEP
ACDEP
ACDEP
ACDEP
ABFMHP
ABFGHP
ABDEP
ABDEP
AFMHP
AFGHP
AFMHP
AFGHP
Конечно, весовая характери- Таблица 24
стика, инвариантная относитель-
относительно способа решения задачи, оди-
одинакова для всех доказательств
(§ 6, гл. 1). Однако сейчас нас
интересует качество доказатель-
доказательства. Как видно, один и тот же
материал восстановлен по-разно-
по-разному. С ранее изученным совпада-
совпадает вывод 2. Наименее рациональ-
рационально доказательство 1, вследствие
особой сложности действия, фор-
формализованного оператором С.
При беседе с учащимися выясни-
выяснилось, что большинство не помни-
помнило первоначального доказательст-
доказательства, и они удивились, обнаружив,
что доказывали не так, как это
ранее изучалось. Почти все были
уверены, что вспомнили доказа-
доказательство, хотя такой специаль-
специальной задачи себе не ставили («просто выводили»).
На основании анализа работы, а также наблюдений по
ходу выполнения задания и последующих индивидуаль-
индивидуальных бесед мы пришли к выводу, что испытуемых, соот-
соответственно проявлению особенностей памяти, можно
разделить на 2 группы.
Учащиеся первой группы рассуждали примерно так.
Чтобы получить тангенс двойного аргумента, надо знать
выражения для синуса и косинуса суммы (или двойного
аргумента) и т. д. Они шли от конца, от требуемого,
применяли аналитический метод рассуждений. Испытуе-
Испытуемые второй группы сразу направили все усилия на вос-
восстановление отдельных формул; выводили «все, что
выводится», не представляя себе ясно общего пути до-
доказательства. Большинство из них с заданием не спра-
справилось. Их синтез не опирался на* предварительный
анализ.
Вызывает интерес сравнение работ Р. и Л. Синтези-
Синтезировав самые трудные этапы (cos(a-fp)), (sin(a-fp)),
обе «застряли» на подступах к результату:
2sin a COS a
'COS2 a—Sin2"**'
159

Однако более способная к математике Л. знала, что
формула не окончательная. Необходимость перехода
к тангенсам в правой части равенства определила ее
дальнейшие преобразования. Оказывается, испытуемая,
забыв конкретный вид формулы, сохранила в памяти ее
общий функциональный образ tg2a=if(tga), и это обес-
обеспечило эффективное восстановление самой формулы.
Напротив, менее способная Р. забыла не только окон-
окончательный результат, но и. характер функциональной
связи: тангенс двойного аргумента выражается через
тангенс одинарного аргумента. Аналогичные факты име-
имели место и у других учащихся с ограниченными матема-
математическими способностями. Это позволяет предположить,
что наиболее способные учащиеся запоминают формулы,
по крайней мере, дважды: широко — общий характер
функциональной зависимости и узко — их конкретную
конструктивную формулу. Формулы закрепляются как
бы на двух уровнях. Общие логико-математические свя-
связи, отделенные от конкретных проявлений (операций),
сохраняются прочнее и дольше*'.
Несколько ниже будет показано, что при решении
задач, где требуется выбор одной из множества фор-
формул, известных школьнику, их сравнение, по-видимому,
производится в обобщенной форме, на уровне наиболее
существенных логических признаков (условий). Это
ускоряет процесс, позволяет одновременно рассматри-
рассматривать значительное количество формул и обеспечивает
прочное запоминание основных функциональных связей.
В эксперименте подтвердился основной результат
наших предыдущих исследований по вопросу математи-
математической памяти — запоминание способными учащимися
материала на нескольких уровнях [133, 134]. При этом
уровни высшего порядка часто не сознаются учащимися,
маскируются конкретным видом формул и обнаружи-
обнаруживаются, только когда возникают затруднения, например,
при забывании. В своих ранних работах мы не могли
объяснить причину явления. Попытаемся теперь подойти
к вопросу с точки зрения развиваемой здесь операторно-
логической модели обучения. Вначале испытуемые вла-
владели действиями, обозначенными операторной структу-
структурой ABDEP. По мере все более углубленного изучения
*> Возможно, здесь уместно говорить с своеобразном дублиро-
дублировании информации по нескольким, каналам, обедпечивающем наде.ж,-
нссть запоминания^
160

материала, в процессе упражнений обнаружилось, что
к оператору Р можно прийти также на основе других
операторных последовательностей, например ABFGHP
и т. д. Это не было специальной задачей, открывалось
попутно, и результаты, как правило, не отражены в со-
сознании. В связи с этим возникли «ветвления» (например,
после действия, соответствующего оператору В, могут
актуализироваться действия — условно D или F), а зна-
значит, и состояния, отражаемые логическими условиями,
например «Ь» (см. табл. 24). Субъективно этот факт не
переживался, и учащиеся не подозревали, что выводы,
о которых они уже не думают, продолжают обобщаться,
появляются новые варианты. Это отражается в матема-
математической модели наборами логических условий, харак-
характеризующих с определенной полнотой ситуацию, т. е.
логической формой. Но это не все. По ряду причин, и
в первую очередь, на почве индивидуально-психологиче-
индивидуально-психологических различий, у многих учащихся, наряду с этим, обра-
образовались различные сокращенные структуры, напоми-
напоминающие «в переводе» логическую форму алгоритма,
в которой не_достает одного или нескольких условий.
Например, abf, соответствующая операторной форме
ABFGHP, и др. Мы называем форму abf неполной, так
как с ее помощью операторная последовательность вос-
восстанавливается в мышлении и памяти лишь частично:
ABFG (а=\, значит, после А следует В; b=Q — после В
идет F; f=l—за оператором F следует G). Однако
легко догадаться, что она завершается оператором Я
(действием, соответствующим Я). В самом деле, нет
нужды специально запоминать, что если известны sin2u
~ , _ ,„п sin 2а
и cos 2а, то tg2a находится из равенства tg2a= 0 ¦•
COS jbCt
Речь, таким образом, возможно, идет о приспособле-
приспособлении психики решать задачи ценой запоминания мини-
минимального количества логических переходов, т. е. об оп-
оптимизации режима переработки информации.
Можно предположить, что формам разной степени
полноты соответствуют различные уровни запоминания.
Для убедительности приведем результаты другого экс-
эксперимента.
При решении способными к математике учащимися
уравнения sin3a-sin3a+cos3q •cos3a==-g- обнаружено
11—37 161

несколько уровней детализации формулы произведения
:сйнусов.
1) sin За-sin a=cos ...—cos... (Произведение сину-
синусов выражается разностью косинусов).
2) sin 3a*sin«=f(cos4'a, cos 2a). (Косинус суммы;
косинус разности.)
'. 3) sin 3a.sina:=:Cos2a7COS4a*)-
Оказывается, при решении задач формулы первона-
первоначально восстанавливаются в наиболее общей (менее
определенной) форме, при минимальном количестве рас-
распознающих логических условий в модели, и процесс идет
«сверху вниз». В выше приведенном примере, по сви-
свидетельству испытуемых, они сразу обратили внимание
на полезность преобразования произведений в суммы,
так как «произведение синусов выражается через раз-
разность косинусов, произведение косинусов через их сум-
сумму, ;и при равных аргументах есть надежда на упро-
упрощение».
. Мы видим, что общий вид зависимости ориентирует,
предваряет конкретный вид и является как бы первой
прикидкой, после которой формула, ;в соответствии
с.задачей, восстанавливается или не восстанавливается
в-памяти в завершенном виде. Здесь как бы испытыва-
ется< предварительная, пробная психологическая модель,
реализуемая на некоторую «глубину», и, в зависимости
от соответствия полученного результата заключению за-
задачи, модель отклоняется или развертывается в деталях.
Таким образом, совокупности логических условий,
логикр-импликативных связей разной степени полно-
полноты — от наборов, позволяющих в мышлении однозначно
развернуть структуру действий, до единичных условий —
служат для первичного анализа ситуации, для наведе-
наведения на те формы знаний, которые могут обеспечить
решение задачи.
В связи с этим мы называем неполные формы также
логическими координатами. Соответствующие им ассо-
циадии, образующие психологический механизм поиска
решения, естественно назвать ассоциативными коорди-
координатами.
*' Мы, конечно, не утверждаем, что уровней только 3 или всегда
3. Это, по-видимому, зависит от характера задачи, а количество об-
обнаруженных уровней — от чистоты эксперимента.,
№

Ассоциативные координаты, йозмбжно, и сообщают
Знаниям ту «готовность», «мобилизованность», о которой
писал Б. М. Теплов [109]. Как показывает эксперимент,
математическая память не просто кладовая для хране-
хранения информации. Запомнившийся материал здесь обо-
обогащается, и по истечении некоторого времени обнаружи-
обнаруживается, что память хранит вовсе не то, что в нее «по-
«положили», а нечто более ценное и общее—очищенные от
конкретных действий значения; ассоциативные связи,
соответствующие логическим координатам разной сте-
степени полноты. ¦
2. Следующий вопрос — о связи логических коорди-
координат памяти с логической формой мышления. Сама воз-
возможность «запоминания через мышление» не вызывает
сомнений. Вот как, например, многие учащиеся помнят
область определения тангенса (из протокола):
«... Тангенса ... Это — где косинус не равен нулю .
/ ^ х~ sin a .
(имеется в виду формула: tg <х = -^-^ — с. ш.)
, т. е. хф-^-
Описанные ниже 3 эксперимента являются попыткой
подойти к решению вопроса в свете гипотезы об one-,
раторно-логическом обучении. Все эксперименты постав-
поставлены по общей схеме.
1) Испытуемые при изучении соответствующего ма-
материала знакомятся -с некоторой группой формул (свя-
(связей, зависимостей), и им рекомендуется не заучивать
сразу все формулы, а стараться запомнить их постепен-
постепенно, по мере использования при выполнении упражнений,
обращаясь в случае необходимости к учебнику, справоч-
справочникам, специальным таблицам. Предварительно уста-
устанавливается понимание учащимися смысла формул и
их назначения.
2) На указанных выше условиях учащиеся в про-
продолжении месяца решают задачи, в которых, наряду
с другими, применяются исследуемые зависимости. Ко-
Количество выполненных каждым испытуемым упражне-
упражнений порядка 30—40. По окончании этого срока, без
предупреждения испытуемых, проводится контрольная
проверка запоминания исследуемых зависимостей в про-
процессе применения последних.
3) В течение последующего месяца учащиеся, как
правило, не используют экспериментальных формул, и
И* 163

Ё конце егб дается письменная работа, для выполнения
которой необходимо знание этих формул. Как обычно,
разрешается прибегать к вспомогательным материалам.
1-й эксперимент. Поставлен с двумя группами уча-
учащихся 9 кл., в котором мы преподавали математику,
по 5 человек в каждой группе, при изучении формул
еложения в курсе тригонометрии
sin(a±§) =sina cos$± cos a sin p; •
cos (a ± p) = cos a ¦ cos p q= sin a ¦ sin p;
_ tga±tgp
Первую группу составляли учащиеся, способные
к математике. Испытуемые второй группы имели сред-
средние способности к изучению этого предмета.
Результаты и их обсуждение. 1-я группа. По истече-
истечении месячного срока двое помнили все 6 зависимостей;
один — только первые 4; двое — допускали ошибки
в знаках и функциях.
2-я группа. Испытуемые, как правило, не помнили
формул.
Далее, контрольная проверка спустя 2 месяца пока-,
зала, что в задачах, решение которых опирается на
исследуемые формулы, почти все учащиеся испытывали
затруднения, неуверенность. Так, в примере «Доказать:
sin a-f- sin p -[-sin (a-f- jj) = 4sin ^— ¦ cos -|- • cos -y»
некоторые даже способные к математике школьники
начинали с раскрытия sin(a+p), хотя почти очевидна
нерациональность этого преобразования.
По выражению Ч. B-я группа) он «не любит фор-
формул сложения и даже побаивается их в примерах».
Попытаемся обосновать полученные результаты. В пе-
период начального усвоения, когда психика особенно чув-
чувствительна к образованию ассоциаций, в условиях экс-
эксперимента возникают не прямые, а опосредованные
внешним звеном (учебником) контакты.
Постепенно процесс стабилизируется, появляются
(в модели) Л. К. *> типа: «Если ..., то посмотри в учеб-
учебнике». И далее «Если окажется'..., то ... ».
*> Логические координаты.
164

Теперь на пути дальнейшего запоминания (и при-
применения) формул возникает барьер: для синтеза новых
связей, прежде всего, необходимо разрушить уже сло-
сложившиеся устойчивые координаты. Отсюда, нам думает-
думается, в частности, слабое запоминание формул испытуе-
испытуемыми. Об эром свидетельствуют и высказывания уча-
учащихся. «Тянет к книге, как магнитом», «Помню, на
какой странице, в каком углу и т. д.». Эксперимент
позволяет заключить, что для эффективного решения
соответствующих задач целесообразно сначала доби-
добиваться прочного запоминания формул сложения учащи-
учащимися.
2-й эксперимент. Проведен с 10 студентами 1 курса
физмата пединститута при изучении раздела «Неопреде-
«Неопределенный интеграл». Испытуемым предложено не заучи-
заучивать списка так называемых табличных интегралов и
при- решении примеров пользоваться таблицей.
Первая проверка показала, что наиболее часто встре-
встречающиеся интегралы студенты все же запомнили в про-
процессе выполнения упражнений:
\s'mxdx= — cosx + C; \xndx— -^гу\-С(пф — 1);
и др.
Как ход эксперимента, так и высказывания его уча-
участников говорят о том, что последние не испытывали
неудобств от того, что в более сложных случаях часто
приходилось обращаться к учебнику. (Например,
]()
По качеству и скорости решения примеров и задач
испытуемые мало отличались от других студентов.
Следующий эксперимент показывает, что различие
в результатах первых двух экспериментов обусловлено,
во всяком случае, не только возрастными особенностями,
уровнями математического развития испытуемых.
3-й эксперимент. С группой девятиклассников прове-
проведено экспериментальное изучение элементов программи-
программирования на двухадресной электронно-вычислительной
машине (ЭВМ) Минск-22. Это позволило в школьных
условиях смоделировать ситуацию, близкую к ситуации
второго эксперимента (даже в более сложной форме).
После ознакомления с системой основных команд испы-
испытуемые перешли к составлению программ для решения
. 165

различных задач. Кодовые обозначения команд и их
модификаций они брали из таблиц. Результаты, полу-
полученные в экспериментальной группе, на всех этапах
незначительно отличались от результатов контрольной
группы, в которой условием допуска к составлению про-
программ было предварительное усвоение учащимися ос-
основных команд.
Чтобы понять причину идентичности результатов во
втором и третьем экспериментах, попробуем разобрать-
разобраться в том, что общего в обеих ситуациях и чем они отли-
отличаются от ситуации, характеризующей первый экспери-
эксперимент. В обоих последних случаях испытуемым для ре-
решения задач достаточно знать, что такие-то интегралы
являются табличными или такие-то команды реализуют-
реализуются на данной ЭВМ. Тут логика управления действием
достаточно проста: встретился интеграл, возникла по-
потребность в команде, — испытуемый найдет их в соот-
соответствующем месте справочника. Ему не обязательно
помнить формулу или кодовое обозначение, функцию
памяти как бы выполняет внешнее устройство. Систем-
Системность, управляемость процессом осуществляется* логи-
логическими координатами, только они характеризуют не
сами конкретные знания, а скорее знания о том, где
их найти. Это, по-видимому, возможно потому, что фор-
формулы, связи здесь всегда используются одинаково, и
управление не осложнено необходимостью варьирова-
варьирования, перестройки и т. д. Конечно, обращение к «внешней
памяти» несколько замедляет темп решения, и психика
преодолевает эту трудность путем интериоризации свя-
связей — постепенного запоминания формул и кодовых обо-
обозначений, которое облегчается постоянством повторяю-
повторяющихся ситуаций *'.
4 Другое дело в первом эксперименте. В примере, при-
приведенном на стр. 164, выражение sin (а+'р) имеется,
между тем, прибегать к соответствующей формуле сло-
сложения не следует. Здесь полезно другое преобразование
синуса суммы:
sin (a -j- р) = 2sin -y-^ cos —5-*-.
*> Можно сослаться иа закономерность, установленную П. Б. Не-
Невельским, о том, что из равных по длине сообщений лучше запоми-
запоминаются те, которые несут меньше информации для субъекта. (Зин-
ченко П. И. Некоторые проблемы психологии памяти. Тезисы
XVIII Международного Психологического Конгресса, т. 2, М., 1966).
166

Напротив, в условии задачи 29 (прил. 2) нет явного
указания на формулу косинуса разности, и все же ее
применение полезно.
Возможные преобразования в ситуации выбора дей-
действия (вероятностной ситуации) рассматриваются вме-
вместе, одновременно, в сопоставлении с условием и требо-
требованием задания. Значит, недостаточно помнить, где про-
прочитать каждую формулу и даже то, что она служит,
например, для выражения синуса (косинуса, тангенса)
суммы или разности через функции каждого аргумента
в отдельности. Чтобы формулы в роли логических коор-
координат в соответствующих случаях переключали, адап-
адаптировали мышление при синтезе'все новых структур
решений задач, они в адекватной психологической мо-
модели обрастают многосторонними ассоциациями, фикси-
фиксируются в памяти на разных уровнях — от наиболее
общих связей до зависимостей в завершенном виде [133].
Итак, в простых вероятностных ситуациях, когда
формулы, зависимости используются всегда одинаково,
их предварительное запоминание не необходимо, для
этой цели вполне пригодны «внешние устройства». Запо-
Запоминание происходит попутно, в процессе применения
знаний (этот случай не столь уж редкий в практике
обучения). Напротив, в сложных ситуациях, где решение
достигается выбором из множества вероятных исходов,
выгоднее предварительное запоминание опорного мате-
материала, специальное формирование логических координат.
В связи с этим исследуем вопрос о путях развития
логических координат. Ему посвящен следующий па-
параграф.
2. Образование логической формы и ее сокращение
1. Исследуем генезис элементарной «клетки» матема-
математического доказательства — единичного умозаключения
при усвоении материала учащимися. Учащийся (решает
1-й пример на квадратное неравенство сразу после
объяснения учителя — мышление вслух): «... Дискрими-
Дискриминант положителен. Надо разложить трехчлен на множи-
множители, иначе не получим неравенств 1-й степени (разла-
(разлагает). Теперь, когда произведение меньше нуля? ... (Со-
(Составляет системы неравенств и решает без обоснования)
и т. д.».
Здесь в мышлении полностью актуализировалась
структура, описываемая операторной формой алгоритма
167

решения квадратного неравенства. Конкретный пример
выступает как иллюстрация, воплощение метода, пра-
правила, при недостаточном учете специфических , особен-
особенностей примера. Так, для несколько измененного усло-
условия (даны корни квадратного трехчлена) учащийся все
же, следуя общей процедуре, находит дискриминант
и т. д., тогда как теперь в этом нет никакой нужды.
Неравенство л;2<4 решается развернутым ' общим
методом, хотя ответ |*|<2 здесь очевиден и т. д.
(Отметим попутно: при развернутом решении неравен-
неравенства в целом процессы разложения трехчлена на множи-
множители и решения системы линейных неравенств, основан-
основанные на «дальних» правилах, т. е. представляющие собой
отработанные ранее подалгоритмы, — предельно сокра-
сокращены.) Если условие данного примера — малую посылк>
умозаключения — обозначить М, правило — большую по-
посылку— Б, а результат (заключение) —3, то психологи-'
ческий процесс отразится логической формулой Б—*¦
—>-(М—>-3): на основании алгоритма решения из дан-
данного условия следует такой-то результат.
Третий пример на квадратное неравенство: «... Так...
корни — 1; 3 ... Тогда система такая ... и т. д.». Испы-
Испытуемый уже не считает обязательным производить дей-
действие фактического разложения, на множители. Пере-
Перешагнув через этот этап, он продолжает решение. Экс-
Экспериментатор: — Позвольте, а разложить? Испытуемый:
— Что изменится? То же и получится. (Приводит про-
пропущенное рассуждение.)
При' сокращении рассуждений происходит как бы ви-
видимое уменьшение веса правила. Все чаще испытуемый
оперирует только конкретным содержанием примера, и
лишь на «стыках», при переходе от одного этапа к дру-
другому, вспоминается правило. Например, «.../)>0 (это
логическое условие: могло быть, в зависимости от усло-
условия примера, D^O), корни 1 и 3 и т. д.». Так возникают
первые логические условия. Ведущими попеременно
являются элементы то большой, то малой посылки.
В итоге происходит своеобразное выравнивание роли
посылок в умозаключении. На языке логики такое «рав-
«равновесное» состояние можно охарактеризовать как объе-
объединение посылок: Б&М—>-3 *\ И дальше процесс со-
сокращения развивается в том же направлении. Уже
*> С точки зрения формальной лопики эта_формула равносильна
предыдущей: Б—+¦ (М—*-3) t—>Б\/М\/3<—>Б&М\/3«—>Б&М >3-
168

в пятом примере от алгоритмической процедуры ё р'Зс-
суждении остается: «...Корни такие-то ... Эта система
несовместна ... Берем из промежутка ... Решение не-
неравенства (пишет ответ)». Внешне психологические
сдвиги отражаются в быстроте и легкости решения.
Экспериментатор: —Вы что, остальное пропускаете,
даже в уме?
Испытуемый: — Зачем повторять, когда ясно. Да так
легче.
Экспериментатор: —Что же Вы с первого примера
так не делали?
Испытуемый: — Сразу трудно ...
Таким образом, алгоритм как бы сократился, дейст-
действия частично элиминированы. Оставшиеся — произво-
производятся «крупно», нерасчлененно, одноактно; от них,
в основном, сохранились только названия (например,
решение системы и т. д.). Четко вырисовываются кон-
контуры логической формы правила, имеющей дело не
с операторами, а с результатами их актуализации. Пра-
Правило теперь сознается через конкретное содержание при-
примера— происходит врастание большой посылки в малую.
В адекватной формуле это отразится сдвигом малой
посылки на первое место М&Б—кЗ: из данного условия
и с помощью данного правила (уже значительно сокра-
сокращенного) вытекает такое-то заключение (ответ). Затем
в формуле вновь происходит разделение посылок М—>-
—>-(Б—>-3), однако теперь в рассуждении на первом
месте уже стоит малая посылка — большая сведена
к отдельным оборотам, словам; отражается наличием
пауз. Наконец, большая посылка полностью редуцирует-
редуцируется, как бы срастается с малой, становится ее органиче-
органической частью. Связь «сокращается» до вида М => 3. Двой-
Двойной стрелкой подчеркивается мысль, что с формально-
формальнологической точки зрения последняя «импликация» не
равносильна предыдущим. Однако ошибки здесь нет —
само содержание перехода изменилось. Двойная связь
заменяет 2 связи — это фактически одинарная стрелка
плюс обоснование перехода. Но это уже не полная ло-
логическая форма. Образовалась логическая координата,
оказавшаяся продуктом дальнейшего развития логиче-
логической формы: если дан пример такого-то типа, то ответ
выглядит так.
На данном этапе учащиеся уже в состоянии решать
более сложные примеры на применение правила, с уче-
169

ТОМ Йх индивидуальных особенностей. Например, не*
равенство х2—6л;+10>0 решается искусственным мето-
методом, устно: (х—3J+1>0; х — любое действительное
число и т. д. Если на более низких ступенях действия,
обозначенные операторами, создают определенные со-
состояния выбора (в модели — логические условия), то
теперь процесс оборачивается — при возникновении неко-
некоторого комплекса условий, благодаря наличию, состоя-
состояния «готовности», срабатывает соответствующая после-
последовательность действий. Вызванная определенными дей-
действиями, логика словно стала над этими действиями.
От процесса управления логикой к логике управления
процессом — такова формула познания.
Отмеченные этапы в механизме формирования свер-
свернутых умозаключений характерны, в основном, для ис-
испытуемых с более или менее ограниченными математи-
математическими способностями. У способных они как бы сли-
сливаются, и иногда «с места» возникает сокращенна-я
форма. Учащиеся с ограниченными математическими
способностями часто пытаются преодолеть трудности
образования логической формы (соответствующей моде-
модели знаний) и далее — логических координат путем сня-
снятия проблемы, запоминания готовых логических обра-
образований, вне или при минимальной связи с действиями
(операторами), вызывающими их. Этому способствует
постановка нашего математического образования, при
которой в понятиях, правилах часто изначально исклю-
исключаются оперативные элементы, и предложения пред-
предстают учащимся в завершенной логической форме.
Опасность тем более велика, что образовавшаяся та-
таким образом квазилогическая форма маскируется под
истинную логическую форму, ничем не отличаясь от нее
внешне. Более того, она вполне пригодна для решения
несложных, шаблонных задач. Однако в нестандартных
задачах, когда необходима опора на ведущие логиче-
логические координаты для развертки сложной системы дей-
действий,— квази-логическая форма уже не работает. Этот
факт часто открывается учителю неожиданно («Вот
ведь!—ученик до 6-го класса был отличником и вдруг
как-то перестал понимать математику».) Сказанное,
конечно, не означает, что обучение всегда начинается
с раскрытия операторной структуры. Напротив, управ-
управление мышлением предполагает, что обучение должно
опережать, вести за собой. Поэтому на некотором уров-
170

не обученности мыслительный процесс организовывается
по сокращенной схеме, имеющей в математической мо-
модели следующий вид: логическая форма — логические
координаты. Теперь начинают с правил, теорем, опреде-
определений, формул и т. д. — учащиеся самостоятельно раз-
развертывают логическую форму в соответствующую си-
систему действий. (Такая ситуация' экспериментально
исследована в приложении 3.) Однако к такому уровню
еще надо прийти, а не исходить в обучении из молча-
молчаливого допущения, что одно только навязывание логи-
логической формы автоматически обеспечивает ее развертку
в соответствующую операторную структуру при решении
задач.
2. Ввиду важности вопроса, приведем еще один при-
пример, позволяющий изучить в мышлении динамику пере-
перехода от операторной формы к логической и от нее —
к соответствующим координатам.
Распознавание медианы, биссектрисы и высоты тре-
треугольника (табл. 25).
Операторная форма алгоритма
Аа\ВЬ\Сс\Т.\т*). B.1)
Логическая форма
.u=abc. B.2)
Назовем признаки, выраженные логическими усло-
условиями а, Ь, с, — существенными. Наряду с иими в B.2)
могут содержаться и несущественные (фоновые) при-
признаки. Например, отрезок расположен «сверху вниз»
и др. Обозначив совокупность несущественных призна-
признаков а,получаем:
u=abca. . B.3)
Формула B.3) содержит условия трех типов: 1) а —
случайные признаки, не являющиеся необходимыми.
2) а я b — родовые признаки, находящиеся на пересече-
пересечении трех понятий: медианы, биссектрисы, высоты. 3) с
характеризует индивидуальные особенности понятий.
При правильно сформированных понятиях на неко-
некотором, достаточно высоком уровне модель знания, соот-
соответствующая логической структуре abc, срабатывает как
нерасчлененный «символ». Логическая форма математи-
математической модели выступает как целостная единица, и ее
*> В этом алгоритме 3 основные линии треугольника даются
иерасчлеивиио. '
if 1

сопоставление со стимулом может происходить симуяь-
танно — по всем признакам. На следующем уровне (раз-
(различий) актуализируется лишь ассоциативная координа-
координата с, содержащая основные опознавательные ориентиры.
Все, что одинаково, опускается, словно само собой разу-
разумеется. Появляются «свернутые» определения: «высо-
Таблща 25
Операторы,
логические
условия
Содержание
а
В
в
С
и
Т
Т
Проверка, является ли один из концов отрезка верши-
вершиной треугольника *
{1, если является
О —в противном случае
Проверка принадлежности второго конца отрезка про-
противолежащей стороне
( 1, если принадлежит
\ Q —в противном случае
Проверка, делит ли отрезок противолежащую сторону
пополам (делит ли угол при вершине пополам; перпенди-
перпендикулярен ли к направлению противолежащей стороны).
{1, если выполняется хотя бы одно из условий
О —в противном случае
, если данный отрезок—медиана (биссектриса,
высота)
) —в противном случае.
Утверждение: отрезок является медианой (биссектри-
(биссектрисой, высотой),
Утверждение: отрезок не является медианой (биссек-
(биссектрисой, высотой).
та — перпендикуляр к основанию», «медиана — делит
противоположную сторону пополам» и т. д. Ясно, что
это — ведущие логические координаты понятий. У школь-
школьников с ограниченными математическими способностями
неотъемлемым компонентом логической формы часто
являются условия а. Далее, условия, обозначенные а,
Ь, с, воспринимаются мышлением как равнозначные, и
потеря одного из них, как показывает эксперимент, гро-
грозит распадом всей структуры.
3. Приводим протокольную запись «мышления вслух»
студента, повторяющего основные понятия за несколько
часов до экзамена по математическому анализу. «...Пре-
«...Предел функции в точке — эпсилен, дельта ... Предел по-
последовательности— е, N ... Непрерывность в точке А =
= f{a) ... Равномерная непрерывность функции на мно-
множестве-^-6 общее для всех точек ... и т. д.». Чтобы
оценить значение этих сокращений, приводим ¦статисти*
172

ческие данные о наиболее частых ошибках, допущенных
на экзаменах по рассматриваемым вопросам. Из каждых
100 неверных ответов студентов стационара и заочного
отделения физмата (Курск, 1956—68 годы) на опреде-
определение предела функции или последовательности около
70 связано с непониманием различия между N и 6.
Из 70 человек, допустивших ошибки и получивших ука-
указание об определении предела последовательности- на
«языке е—N» (или функции — «на языке е—б»),.—45от-
е—б»),.—45отвечали правильно. Из 100 ошибок в понятии равномер-
равномерной непрерывности функции — 90 лриходитсяна переста-
перестановку кванторов: вместо существует б для всех х упо-
употребляют— для каждого х существует б и т. д.
Таким образом, в рассмотренном протоколе из соот-
соответствующих определений намечены лишь связи, пере-
переключения, специфические условия, отличающие одно
понятие от другого; воспроизведены фрагменты, играю-
играющие роль характерных «узловых точек» (непрерывного
мыслительного процесса), с помощью которых можно,
при необходимости, восстановить понятия. Они создают
экономную организацию памяти — все, что привязано
к ним, выражается через них, опущено, подразумевает-
подразумевается. Ясно, что речь «дет о логических координатах.
Таким образом, логическая форма алгоритма, в соот-
соответствии с отражаемой ею моделью знаний, является
лишь переходной ступенью математической модели обу-
обучения. Она деформируется, следуя перегруппировке
сложившихся в памяти ассоциативных связей, с учетом
индивидуально-психологических особенностей учащегося,
то в «уплотненные» логические координаты, схватываю-
схватывающие основу модели знаний, то в наборы логических
условий, отражающие, в большой степени, фоновые при-
признаки ситуации.
На вопрос, поставленный в конце предыдущего пара-
параграфа, мы, следовательно, можем ответить, что логиче-
логические координаты могут возникнуть как высший этап
развития логической модели знаний.
3. Логические кобрдинаты и интуитивные
представления в процессе решения
математических задач
I. Ниже сделана попытка, с позиций операторно-ло-
гической модели, подойти к важнейшему вопросу мйте-
матического мышления — механизму так называемой
173

догадки, или, как иногда говорят, озарения (инсайта,
Einfall). Кроме наблюдений, полученных в ходе много-
многолетнего обучающего и формирующего эксперимента,
нами использована специальная серия задач, содержа-
содержащих условия для. проявления математического твор-
творчества учащихся.
Задачи невозможно решить без обобщений, и реше-
решение открывает пути к неочевидным заключениям. На-
Нахождение наиболее рационального (простого, изящного)
решения связано с отказом от стереотипных методов
или применением известных методов в необычной си-
ситуации. Задачи вызывают интерес у учащихся. Они, как
правило, не требуют специальных знаний, ь трудность
решения соответствует возможностям испытуемых.
Приводим 20 использованных задач, которые, на наш
взгляд, характеризуются нешаблонностью ситуации, не-
необходимостью догадки, основанной то на геометрических
представлениях, то на абстрактно-логическом, разверну-
развернутом или сокращенном, анализе. Эти задачи можно услов-
условно назвать «одноходовками». В основе их решения одна,
обычно — простая идея. Если она обнаружена, решение
«открывается» сразу, почти без преобразований. Многие
задачи решаются устно.
1. В треугольнике 2 высоты не меньше сторон, на которые они
опущены. Определить вид треугольника.
О т в е т: прямоугольный, равнобедренный.
Решение. В треугольнике ABC— высоты AD и BE. AD^BC^
^BE^AC^AD. Следовательно, AD = BC=BE=AC.
2. Дан круг с диаметром АВ и точка вне круга. Опустить из
точки М перпендикуляр на диаметр АВ, пользуясь только линейкой.
(Точка М расположена так, что перпендикуляр существует.) Решение
видно из рис. 23.
3. Если 2 угла выпуклого четырехугольника — тупые, то диа-
диагональ, соединяющая их вершины, короче диагонали, соединяющей
вершины двух других углов. Доказать.
Решение. Опишем окружность на второй диагонали. Вершины
данных тупых углов лежат внутри круга. Следовательно, соединяю-
соединяющая их диагональ меньше диаметра.
4. Плоскость покрыта сеткой квадра-
квадратов. Можно ли построить равносторонний
треугольник с вершинами в вершинах квад-
квадратов сети?
Ответ: нельзя. Решение. Рис. 24. Для
нахождения Sabc из площади прямоуголь-
прямоугольника вычитают площади трех прямоуголь-
прямоугольных треугольников. Тогда Sabc рациональ-
рационально (алгебраическая сумма рациональных
чисел). С другой стороны,Sabc**агУ3/4 —
Рйе. 23, иррационально (а2 —рациональное число),
174:

5. Можно Ли одной прямой разбить разносторонний треугольник
на 2 равных треугольника?
Ответ: нельзя. Решение. В противном случае, отмеченные от-
отрезки были бы равны, и АС^АВ+ВС, что невозможно. Рис. 25.
6. Найти OOi, если г=\ и заштрихованные фигуры равнове-
равновелики.
Решение. В четверти круга ОВС заменяем заштрихованную
часть на равновеликую .(ABD). Прямоугольник равновелик полу^
кругу. ОО4=я/2 (рис. 26).
7. Может ли сечение параллелепипеда плоскостью быть пра-
правильным пятиугольником?
В
А
/
\
Л
Рис. 24.
Рис. 25.
Ответ: нет. Решение. Плоскость должна пересечь 5 граней
параллелепипеда, среди них 2 пары параллельных граней—;по парал-
параллельным прямым. Но в правильном пятиугольнике нет параллель-
параллельных сторон.
8. Не существует многогранника с нечетным числом граней,
все грани которого — многоугольники с нечетным числом сторон.
Доказать.
Решение. Всех сторон у всех граней любого многогранника —
четное число (удвоенное количество ребер: каждое ребро принад-
принадлежит двум граням). Здесь же
получается нечетное число.
9. Доказать, что произ-
произвольное, число прямых разби-
разбивает плоскость на области, для
раскраски которых достаточно
двух красок. (При раскраши-
раскрашивании любые 2 смежные обла-
области — имеющие хотя бы на не-
небольшом протяжении общую
границу — раскрашиваются, в
разные цвета. Области, имею-
имеющие только несколько общих
точек, смежными не считаются). . ,
Решение. Для одной прямой — верно. Пусть задача решена для
п прямых. Проведя (п+1)-ю прямую, все прежние области и их ча-
части, расположенные по одну сторону от этой прямой, сохраним
Прежних цветов. В тех же, что расположены по другую сторону, цве-
цвета областей переменим на противоположные. Задача решена мето-"
дом полной математической индукции. _ '¦
10. Плывя в лодке против течения, человек бросил палку в воду-
и, не останавливаясь, продолжал движение в том же направлении.
175
Рис. 26.

Через 15 минут ой повернул лодку й дбгиал палку в 1 км от того
места, где выбросил ее. Найти скорость течения (рис. 27).
Решение. За 15 минут лодка проходит AD против течения или
DC—по течению. ЛС=1 км, и палка проплывает это расстояние за
30 минут (пока лодка проходит путь AD+DC). уТеч=2 км/час.
11. Самолет вылетел из пункта А со скоростью иь и одновре-
одновременно ему навстречу из пункта В вышел мотоциклист со скоростью
иг; AB=s. После встречи мотоциклист продолжает свой путь, а са-
С В А П
15 15 15 мин
Рис. 27.
молет возвращается в А, затем вновь поворачивает навстречу мо-
мотоциклисту и т. д., пока мотоциклист не прибудет в В. Какой путь
пролетит самолет?
Ответ: svi/v2.
Решение. (Алгебраическое решение с помощью уравнений очень
сложно. Приводим изящное устное решение.) 'Время самолета в пути
равно времени, за которое мотоциклист прошел из В в Л, т. е. s/y2,
тогда путь самолета — svjv2.
12. Доказать: И10—1 кратно 100.
Решение. A0+1I0—1 = 1010+10 • 109+С2ю • Ю8+ ... +10 • 10 +
+ 1—1.
аЛ-Ъ
13. Найти x:cosx =—у.— (а, 6>0).
Решение, а -\-Ь^г>2\^а-Ь (зависимость между средним арифмети:
ческим и средним геометрическим.) Но cosx<l. Значит, cosх = 1,
и х = 2гсл.
14. В зале ft^2 человек. Доказать, что среди них найдутся 2че-
2человека, имеющие одинаковое число знакомых (никто не считается
знакомым самому себе. Если А знаком с В, то В знаком с А).
Решение. Из ft присутствующих в зале каждый знаком не
более, чем с (ft—1) человеком. Тогда, по крайней мере, двое имеют
одинаковое число знакомых.
15. Даны.целые числа: ри рг рп, (ft^2).
Доказать, что среди них найдутся числа pki, \р^, ¦¦• , р.
I <?,<?2<... <fem<n), что p2ki+ plt-\- ... +p2k кратно п.
Решение. Составим п сумм: pj2; Р\г+р?\ Р12+Рг2+Рз2; Pi2 +
+Рг2+• •-Рп2. Если ни одна из них не кратна п., то, по крайней
мере, две суммы имеют одинаковые остатки от деления на ft, и тогда
их разность кратна п.
Замечание. Задачи 14 и 15, несмотря на внешнее различие,
имеют внутреннее сходство, что выражено в общей идее решения.
Задачи объединены в одном эксперименте и решаются испытуемыми
в порядке следования — от простой к сложной.
16. Доказать: log tg 1° • log tg 2°... log tg 98° • log ig 99°=0.
176

Решение. Среди множителей есть Iogtg456=6.
17. Уравнение lgcos x=cos x не имеет корней. Доказать.
Решение cosx>0 (иначе lgcosx не существует). Тогда
log cos х>0, и cosx>l, что невозможно.
18. В каждом из 10 кошельков— 10 одинаковых по виду монет.
В одном кошельке все монеты фальшивые. Нефальшивая монета
весит 5 г, фальшивая — на 0,1 г больше. Как, имея рычажные весы
и неограниченное количество разновесок по 5 г и 0,1 г, определить
одним взвешиванием, в каком кошельке фальшивые монеты?
Решение. Раскладываем кошельки. Из первого кошелька берем
одну монету, из второго — 2 монеты, из третьего—3 и т. д. Ото-
Отобранные монеты кладем на весы. Количество разновесок по 0,1 г,
которое потребуется для уравновешивания (сверх 55 пятиграммовых
монет), равно номеру кошелька с фальшивыми монетами.
19. а) Среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые
не ходят в кино, б) Люди, которые ходят на стадион, но не ходят
в кино, не имеют телевизоров.
Можно ли утверждать, что не все владельцы телевизоров ходят
на стадион?
Ответ: можно.
Решение. Если бы все владельцы телевизоров ходили на стадион,
то они (по б)) обязательно должны ходить в кино, что противоре-
противоречит а). Ответ поддается уточнению: на стадион не ходят люди,
имеющие телевизоры и не посещающие кино.
20. Требуется перенести п круглых пластинок различных разме-
размеров со столбика А на столбик В (детская пирамида), используя
вспомогательный столбик С. За один ход переносится только одна
пластинка, с любого столбика на любой, но запрещается при этом
класть большую пластинку выше меньшей.
Решение. При я=2 перенести легко. Пусть известно, как осуще-
осуществить перенос «fo> пластин. Перенесем их с Л на С. Затем, пере-
переложив (?+1)-ю пластинку с А на В, перенесем «?» пластин с С на
В, используя А как вспомогательный столбик. Идея решения: снятие
пластинки с А целесообразно только при свободном С. Значит,
упорядочение пластинок на В необходимо для снятия следующего
кольца с А.
П. Не претендуя на полноту анализа, приведем не-
некоторые соображения, возникшие в связи с исследова-
исследованием специфики решения испытуемыми эксперименталь-
экспериментальных задач. Прежде всего, расширим понятие логической
координаты. Понятие логической координаты приобре-
приобретает объективный смысл, когда задача нешаблонна м
для ее решения неизвестен алгоритм. Под логическими
координатами мы до сих пор понимали логические
условия (признаки) и их сочетания, а также фрагменты
структур, которые способствуют решению математиче-
математических задач. Ясно, что условия, помогающие или уско-
ускоряющие решение одних задач, могут оказаться непри-
непригодными для других. Поэтому нельзя говорить об абсо-
абсолютных логических координатах алгоритма, независимо
от решаемых задач.
12—37 177

Логическая Модель Знаний как бы пойорачийаётсЯ
своими признаками к задаче и, в зависимости от содер-
содержания задачи, те или иные признаки или их группы
вычленяются как логические координаты. Однако- в бо-
более сложных случаях приходится опираться также на
признаки, свойства, логические связи и их сочетания
другого типа: они специфичны только для данной за-
задачи, не являются элементами известных алгоритмов,
т. е. общих методов решения многих задач.
Поскольку признаки обоих типов встречаются в за-
задачах одновременно и их часто трудно разграничить,
то и во втором случае будем говорить о логических
координатах — второго типа. Таким образом, в широком
понимании, логическими координатами задачи являются
опорные логико-математические элементы, синтезирова-
синтезированием которых образуется решение задачи.
Для пояснения сформулируем наиболее важные ло-
логические координаты некоторых из вышеприведенных
экспериментальных задач, указав в скобках тип коор-
координат.
Задача 2. а) Вписанный угол, опирающийся на диа-
диаметр,— прямой A). б) Три высоты треугольника пере-
пересекаются в одной точке A).
Задача 6. а) Если необходимо найти площадь фигу-
фигуры, то стоит посмотреть, нельзя ли ее представить как
сумму (разность) фигур, площади которых известны
или легко находятся A).
Задача 7. а) Пятиугольное сечение параллелепипеда
имеет параллельные стороны A). б) В правильном
пятиугольнике нет параллельных сторон A).
Задача 8. а) Число сторон у всех граней многогран-
многогранника четно A). б) Сумма нечетного числа нечетных
чисел — нечетна A).
Задача 9. а) Если требуется доказать закономер-
закономерность для п элементов, то стоит попытаться применить
принцип математической индукции A). б) Когда задача
решена для некоторого числа прямых, то после про-
проведения дополнительной прямой одинаково раскрашен-
раскрашенными могут оказаться лишь смежные области, прилежа-
прилежащие к это» прямой B).
Задача 10. а) Лодка за 15 минут по течению прой-
пройдет больше, чем за те же 15 минут против течения, на
путь, пройденный палкой за 30 минут B).
Задача 11. а) Если 2 тела начали и закончили дви-
178

жение одновременно, то они были в пути одинаковое
время A).
Задача 12. а) 11 = 10+1 A). б) Возведение в сте-
степень по формуле бинома Ньютона A).
Задача 15. а) Составление сумм:
а2; а2+а2;...;а2+а2 + ...+а2; B)
б) Разность между последующей и какой-либо преды-
предыдущей суммой типа (а) есть сумма вида, о котором
речь идет в условии задачи B). в) Число различных
остатков от деления чисел на га не больше (га—1) A).
г) Если 2 числа дают при делении на га один и тот же
остаток, то их разность кратна га A).
(Возможно на пути вычленения логических коорди-
координат удастся получить оценку трудности задания, в за-
зависимости от количества и соотношения содержащихся
в ее решении координат первого и второго типов. Опи-
Описанный процесс, по-видимому, может быть использован
при так называемом программированном обучении.)
Теперь перейдем к экспериментам. Эксперимент по-
показал, что логическая модель понятия или математиче-
математической зависимости не обязательно развертывается именно
в ту структуру действий, которой она обязана своим
происхождением. Имеется в виду в ту систему умствен-
умственных действий, которая сообщает зависимости целе-
целевую направленность.) Так, в одном из наших экспери-
экспериментов обнаружилось, что некоторые учащиеся, в соот-
соответствии с первоначальной задачей, понимают тождество
sin2a + cos2ct=l только как возможность вычисления
синуса или косинуса аргумента по данному его косинусу-
(или синусу). Другие учащиеся, более способные к ма-
математике, указывали и на ряд других моментов: синус
и косинус по абсолютной величине не превосходят еди-
единицы; если сумма квадратов двух чисел — единица, то
одно из них можно принять за синус, другое — за коси-
косинус того же аргумента и т. д. Вероятно, в связи с такой
разносторонностью «развертки» формулы, задаче «Дано:
az+b2<=\; c2jrd?=\. Доказать: |ac+bd|<;l» ряд уча-
учащихся дал «тригонометрическую» интерпретацию, при-
приведшую к оригинальному решению:
a=sinx; b = cosx; c=s\ny; d = cosy,
| ac+bd] => | cos (x—y) | < 1.
12* 179

(Другие испытуемые „увидели" в задаче известное нера-
неравенство | ac-\-bd \ <Yаг-\-Ь%-Yc%-\-d\ и это привело
к не менее красивому решению.)
Таким образом, если у испытуемых первой группы
зависимость содержит только одну координату, с по-
помощью которой она распознается, используется, то у бо-
более способных форма «нацелена» в будущее системой
логических координат. Эта особенность позволяет вос-
воспринимать и оценивать одну и ту же задачу с разных
точек зрения. В этом выражается отраженная в мате-
математической модели готовность логических форм к раз-
развитию, дифференцировке, обобщению, позволяющая им
открыть себя в задачах в различных планах с помощью
тех или иных логических координат.
Рассмотрим развитие логической формы —^->Yху
(х, у>0), точнее, соответствующей модели знаний,
в мышлении учащегося Д., проявившееся при решении
задач. (Это неравенство первоначально возникло в свя-
связи с необходимостью установления зависимости между
наиболее важными способами усреднения чисел: сред-
средним арифметическим и средним геометрическим.)
Доказать л:-| >2(л:>0). Решение:
2 ^Г *' x
х. JL =
По собственной инициативе Д. тем же методом оце-
оценивает более общее выражение:
-.У~а{а, х>0); х-\- —
«Отпочковавшаяся» зависимость является одним из
возможных направлений развития основной формулы,
одной из ее логических координат, выделившейся в .са-
.самостоятельную логическую форму. В' разное время она
актуализировалась в задачах.
I) «Из всех прямоугольников данной площади найти
тот, периметр которого наименьший»
180

2) «Если катер плывет со скоростью v км/час, то
стоимость его эксплуатации в течение одного часа
90+0,4и2 руб. С какой скоростью должен плыть катер,
чтобы стоимость одного километра пути была наимень-
наименьшей?»
Решение. у= 90 + 0'4 ==0,4@ + ^0,4-2^225 =
= 12; v = 15 (км/час).
Таким образом, логическая координата стала заро-
зародышем новой, производной логической формы, обнару-
обнаруживающей собственные логические координаты, собст-
собственные планы развития в соответствии с решаемыми
задачами.
Другим возможным направлением ветвления исход-
исходной формы является логическая координата, которая
словесно выглядит так: если сумма двух чисел постоян-
постоянна, то произведение максимально, когда числа равны.
Она дала начало новой логической форме, сыгравшей
основную роль при решении довольно трудного урав-
уравнения:
левая часть которого приводится к виду:
(На основании sin2х+cos2х — 1 заключаем: sin2x-cos2x
максимально при sin3A: = cos2x = l/2. При этом условии
левая часть уравнения минимальна и равна 12-у. Отсюда
smj/=l).
В более сложной ситуации основная форма «нашла
себя» в задачах:
3) „Дано п положительных чисел ах, а2, ..., ап, при-
причем, ах-а^... -Оп—Х. Доказать: A+а1)A-1~а3)...A-(-ап)>2па.
Решение. 1+fiL+fl !+«» ^ ^
2 2 * * 2
4) „Доказать 5Ж +13*>23ж+1 (х>0)\ Решение.
X
5«+133=>2/5*-13*>2-642=2!)л+1.

5) „Решить уравнение: Xs — 2xsin(x-y)-{-1 =0". Ре-
Решение.
sm(x-y) = ^~^-^j-;sm(x-y) = l и т. д.
6) Задача 13 (стр. 176) и др.
Так неравенство (проходящее для некоторых уча-
учащихся незаметно), обращаясь к задачам то одними,
то другими логическими координатами, вызвало У Д-
«цепную реакцию» мыслей, догадок, обеспечивших ему
решение ряда задач повышенной трудности.
Мы пришли к важнейшей особенности логических
форм — их способности к делению, саморазвитию — в со-
соответствующих психологических процессах. Оказывает-
Оказывается, путь к знаниям через специально сформулированную
структуру исходных действий, по-видимому, не единст-
единственный. Возможен и другой путь — от одной логической
формы к другой, в порядке преемственного развития
одной или нескольких ее логических координат. В этом
случае'Возникновение новых форм'происходит как бы не-
незаметно, попутно, при решении задач. Часто сам факт
наличия этих форм не сознается, и тогда их актуализа-
актуализация воспринимается учащимися как догадка.
Одного знания логических координат бывает недоста-
недостаточно для решения задач. Так, единственная координата
в задаче (стр. 179) вовсе" тривиальна, и все же боль-
большинство испытуемых с задачей не справилось. Доста-
Достаточно, однако, было указать учащимся на равенство вре-
времени движения самолета и мотоцикла, как задача тот-
тотчас была решена. Суть в том, что «универсальная»
координата здесь осложняется специфичным содержа-
содержанием данной задачи и фактически станрвится координа-
координатой второго типа.
В задаче 2, которую большинство не решило, обе ко-
координаты известны испытуемым, они с ними неодно-
неоднократно сталкивались при решении задач. Можно было
подумать, что трудности связаны с тем, что эти предло-
предложения прежде встречались и использовались порознь.
Но и после того, как координаты им были сообщены,
учащиеся, не справившиеся с заданием, за исключением
двух, так и не смогли решить задачу. Интерес вызывает
эксперимент с задачей 15. Ее Не решил ни один из
30 учащихся. Тогда мы разбили испытуемых на 2 груп-
группы, с. примерно одинаковым уровнем математического
развития. Одной группе мы сообщили координаты пер*
182

Ёбгй типа — ё) и г), другой — координаты Второго тй'
па — а) и б). В итоге большинство испытуемых второй
группы с задачей справилось, тогда как в первой группе
ни один человек ее не решил. Аналогична картина в экс-
эксперименте с задачей 9. В -контрольном классе получился
такой же результат.
Таким образом, наибольшие затруднения у учащих-
учащихся, как и следовало ожидать, вызывают задачи, решение
которых опирается на координаты второго типа. Однако
и в задачах с координатами первого типа учащиеся, как
мы видели, сталкиваются с трудностями. Чтобы понять
причину, посмотрим, как решали задачу 15 некоторые
учащиеся второй группы. В начале эксперимента испы-
испытуемые получили указание: «Рассмотрите остатки от
деления сумм
Учтите, что разность между последующей и любой пре-
предыдущей суммой является суммой искомого типа». Кро-
Кроме того, мы предварительно убедились, что испытуемым
известна особенность г). Устранив, таким образом,
другие факторы, мы получили возможность исследовать
психологический механизм проявления особенности в)
первого типа.
В соответствии с указаниями можно сформулировать
алгоритм решения в терминах операторов и логических
условий (табл. 26). Как видно из таблицы, после выпол-
выполнения указания 6 возвращаются к указанию 3 и повто-
повторяют прежний цикл операций. Ясно, что цикл повторя-
повторяется не более (я—1) раз, и в процессе его повторения
совершится выход к операторам G или Я — задача бу-
будет решена.
Алгоритм:
Аа | в\ Сс \ DEe\ F \ \ G. \ Н. ^ C.1)
Граф алгоритма (рис. 28).
Алгоритм C.1) содержит 3 логических условия (а,
с, е), которым соответствует 8 упорядоченных наборов
нулей и единиц. Каждому набору удовлетворяет неко-
некоторая реализация алгоритма — последовательность опе-
операторов. Из графа видно, что пока с=е=1, цикл CDEF
183

Таблица йб
Операторы, логические условия
Символические обозначения
логического условия
1. Раздели первую сумму
Р\
на п.
Если первая сумма кратна л,
переходи к указанию 8
Если нет—переходи к сле-
следующему указанию.
2. Рассмотри остаток от деле-
деления первой суммы на л
Переходи к следующему указа-
указанию
3. Раздели вторую сумму р\-\-р\
на л
Если она кратна л, переходи
к указанию 8
Если нет, переходи к сле-
следующему указанию
4. Рассмотрим остаток от деле-
деления второй суммы на л.
Переходи к указанию 5.
5. Сравни последний остаток с
каждым из предыдущих остатков
Если последний остаток равен
какому-либо предыдущему
остатку, переходи к указа-
указанию 7.
Если нет,—переходи к сле-
следующему указанию
6. Увеличь в указаниях 3 и 4
номер суммы на единицу. Вернись
к указанию 3.
7. Утверждение: разность между
последней.рассматриваемой суммой
и предыдущей, имеющей тот же
остаток, есть искомая сумма.
8. Утверждение: рассматривае-
рассматриваемая сумма является искомой.
184
В
D
Н
I 0, если р\ кратно
а=\ п
I — в противном
1 случае
О, если р\-\-р\
кратно п
1 — в противном
случае
О, если равен
1 — в противном
случае
1, если задача ре-
решена,
О —в противном
случае

повторяется. При нарушении этого условия цикл раз-
разрывается операторами Я или G.
Используя совершенную нормальную форму [78], по-
получаем:
v = a\/ с\/е C.2). Это и есть логическая форма
алгоритма. Ее смысл: задача решена, если какая-либо
сумма вида р\ -\-р22 -\-...-\-p2h(k = l, 2, ..., п) кратна п
или дает при делении на п такой же остаток, как неко-
некоторая предыдущая сумма.
Здесь операторы устранены, од-
однако соответствующие действия под-
подразумеваются.
Покажем, что актуализация не-
недостающей координаты (в) проис-
происходит в соответствии с алгоритмом
C.1). Для этого опишем ход экспе-
эксперимента. Из протокола «мышления
вслух» К. (средние 'математические
способности). «...Если pfi крат-
кратно п, то задача решена. Пусть оста-
остаток от деления pi2 на п равен 1.
Хорошо, если Pi2+p22 делится на п
или хотя бы дает тот же остаток.
А если нет? Рассмотрим следующую
сумму и т. д.». Испытуемая после-
последовательно перебрала 4 суммы с раз-
разными остатками от деления на п, но так и не «добра-
«добралась» до необходимости повторения остатка, т. е. до осо-
особенности 3. По нашему предложению К. проделала все
рассуждения сначала — результат тот же. Наконец, ис-
испытуемая пытается разобрать частный случай: п=3.
Составлены все возможные суммы
Рис. 28.
После трехкратного рассуждения (неожиданно) обнару-
обнаруживается повторение остатка. Вскоре этот факт открыл-
открылся в общем виде — задача была решена.
Для сравнения приводим протокол решения способ-
способного к математике Д. Д. (После рассмотрения pi2+P22):
«... Так конца не будет. Всех сумм п. А разных остат-
остатков? (Пауза) п—1. Все ясно». Далее в развернутой
форме реализуется алгоритм C.1). Чем объяснить, что
один и тот же алгоритм актуализируется у разных уча-
185

щихся по разному? Нам думается, суть в том, что'К.
только «рассматривает», «делит», «сравнивает» и т. д.
При этом не имеется в виду определенная цель. Алго-
Алгоритм как бы навязывается задаче. Оставаясь на уровне
отдельных действий, учащаяся видит алгоритм «изнут-
«изнутри». Однако сознавание результативности алгоритма
(завершимости процесса рассуждений) не заложено
в самом процессе. В итоге испытуемая проходит мимо
особенности 3. Открыть эту-особенность удается, только
уловив логическую структуру процесса. Но для этого
необходимо на время «оторваться» от операциональной
последовательности конкретных действий, подняться над
алгоритмом C.1), увидеть все циклы одновременно,
в совокупности.
Вот как это происходит у Д., в терминах математи-
математической модели. Решение сначала «нащупывается» в со-
сокращенной логической форме C.2). Задача прослежи-
прослеживается не до конца, но на такую глубину, когда уже
можно оценить целесообразность подхода. Это первая
прикидка. Алгоритм C.1) в операторной форме втори-
вторичен и срабатывает или нет, в зависимости от результа-
результатов действия предварительной, пробной логической мо-
модели C.2). Так решается вопрос о сознавании системы,
то как нерасчлененный элемент, то как подсистему, ко-
который Я. А. Пономарев считает центральным при пере-
переходе от логической модели мышления к психологической
(гя. I, § 1). Этим также создается та «самонастраиваю-
«самонастраивающаяся организация», то состояние «готовности», когда
решения будущих задач, как отмечает Л. Н. Ланда, уже
как бы предварены в сложившихся системах знаний.
С другой стороны, вычленение логических координат,
по-видимому, относится к тем отмеченным американским
математиком Р. Беллманом «правильным» лишь в общих
чертах, не «строгим» методам работы, к которым при-
прибегает мозг в процессе мышления.
По своей способности увести в сторону эти методы
близки к эвристическим.
Вернемся к анализу. Алгоритм C.1), возможно, дей-
действительно является формализованной моделью реаль-
реального психологического процесса решения задачи. Однако
он актуализируется *' в соответствии с индввидуально-
*> К такому же выводу об актуализации алгоритмов в связи
с индивидуально-психологическими различиями учащихся приходит
Л. Н. Ланда [56].
186

психологическими особенностями испытуемых. Озна-
Означает ли это, что учащиеся с более ограниченными мате-
математическими способностями вовсе не приходят к логи-
логической форме? Нет, не означает. В .противном случае,
они ни при каких обстоятельствах не решили бы задачу.
Однако у этих учащихся логика не опережает, не управ-
управляет, а только следует из действий. В итоге они не мо-
могут заглянуть вперед, сократить действия, предвидеть
вероятный результат, а решение полностью сознается
только тогда, когда оно уже получено. Операторный и
логический компоненты, т. е. психологическая и логиче-
логическая модели, в мышлении этих учащихся расчленены.
Мы пришли к феномену «разрывного» мышления. Итак,
непрерывность, связность мышления, опора на ведущие
логические координаты одних учащихся позволяют им
как бы одномоментно «схватить» решение. Разрывность
мышления других — препятствует Einfall.
Рассмотрим решение задачи 7. Оно содержит 2 ло-
логические координаты первого типа.
а) Пятиугольное плоское сечение параллелепипеда
имеет параллельные стороны.
б) В правильном пятиугольнике нет параллельных
сторон.
Каждая координата, вообще говоря, является само-
самостоятельной задачей, независимой логической формой.
Развернем, для пояснения, координату б) (рис.. 29).
Если BC\\ED, то BCDE— параллело-
параллелограмм, и CD = BE; AABE—правильный,
Л = 60°, что невозможно (каждый угол
правильного пятиугольника равен 108°).
Важно следующее. Ни один из наших
испытуемых эти задачи как отдельные,
специально поставленные раньше не ре-
решал. Более того, все утверждают, что и
по ходу решения других задач такие факты не встреча-
встречались или, во ©сяком случае, они на них не обратили 'вни-
'внимание.
Тем не менее, из 26 испытуемых 8 человек (в течение
урока) решили задачу 7.
Некоторый свет на вопрос проливает дальнейший
ход эксперимента. 18 испытуемым, не решившим зада-
задачу, мы сообщили обе логические координаты в такой
формулировке, как они даны выше. В итоге—15 из них
справились с заданием: решили подзадачи а) и б) и еде-
187

V
*>алй вывод о нейозмо&ностй построения. Более того,
в контрольной группе мы сообщили испытуемым только
одну координату — и получили такие же результаты.
Таким образом, дело, по-видимому, не в умении решать
опорные задачи, а в умении их поставить.
Проанализируем решение Ш., справившегося с зада-
задачей без указаний экспериментатора. Ш. с места построил
сечение. Рис. 30.
Ш. (Мышление вслух): «... АВ вроде параллельно
ED? ... Конечно, параллельные плоскости пересечены
третьей... Тогда и CD\\AE. Какой-
то странный пятиугольник... (Стро-
(Строит пятиугольник — рис. 31). Углы
никак не получаются равными ...»
Вскоре было доказано, что пяти-
пятиугольник неправильный. На реше-
решение ушло 20 минут. Для сравнения
укажем, что испытуемый П. также
обнаружил параллельные стороны
в пятиугольнике, однако не посчи-
посчитал это заслуживающим внимания
и прошел мимо решения. (У него,
как он выразился впоследствии, «не
хватило сил и* терпения додумать до
конца»). Дело в том, что у Д. вслед за первой коорди-
координатой и в связи с ней, вероятно, возникла вторая коор-
координата, относящаяся к первой, «акцепь к средству, тогда
как у П. координаты актуализируются независимо.
Главное, оказывается, не просто координаты, а их не-
непрерывное единство, связность логической структуры.
У П. здесь, надо думать, проявилась характерная для
него разрывность мышления.
Таким образом, в математическом мышлении важ-
важную роль играют 2 противоположных процесса: сокра-
сокращение форм знаний и вычленение логико-ассоциативных
координат — на одном полюсе и синтез координат, обра-
образование новых структур — на другом.
Продолжим анализ. Ведущим ib Einfall у Ш. является
геометрическое «видение». Интуитивное чутье вызывает
логические координаты, и в мышлении они вторичны.
Это, по-видимому, математический «стиль» учащегося.
Так, решение задачи 2 он сразу «увидел» на чертеже и
только потом обосновал. Решение задачи 10 также сна-
сначала «построил».
188
Рис. 30.

Ё задаче 6 учащихся, глядя на чертеж, .почтой Не
думая, обнаружил равновеликость прямоугольника
полукругу. Его единственное замечание: «Такие зада-
задачи встречались — когда одну фигуру заменяют дру-?
гой, без вычислений, и все получается хорошо». Фраза
проливает свет на источник решения — это логическая
координата, одноактное проявление ранее усвоенного
метода в его наиболее общей форме. Этот метод, вообще
говоря, — не алгоритм, а скорее эвристический прием,
ограничивающий поиск решения. Он не гарантирует
оптимального решения и даже просто реше-
решения — его применение лишь должно быть
интуитивно оправдано.
С другой стороны, между методами эв-
эвристического поиска и алгоритмами нет
жесткой грани fl58]*>. Началом, призвав-
призвавшим, включившим координату в данной си- Рис- 3
туации, были геометрические представле-
представления. (Многие авторы отмечают, что у творчески мысля-
мыслящих ученых наиболее ценные идеи возникают при рас-
рассмотрении некоторой модели задачи [48].) Испытуемый
Д. также решил задачу 7. В его решении нам не уда-
удалось обнаружить заметных геометрических опор. Приво-
Приводим фрагменты его «мышления вслух».
Д.: «... В пятиугольнике — 2 пары параллельных сто-
сторон: из 5 граней 2 пары обязательно параллельны ...
В правильном пятиугольнике углы по ... (быстро вычис-
вычисляет) по 108° ... Если 2 его стороны параллельны, то
углы по 90° ... Невозможно».
Задача решалась без чертежей. Больше того, Д. даже
затруднился сразу построить пятиугольное сечение па-
параллелепипеда, когда,. уже после решения, перед ним
была поставлена такая задача. Не лишен интереса от-
ответ испытуемого на вопрос «как он думал?». «Я поду-
подумал, что надо ухватиться за параллельные стороны
многоугольника — больше не за что ... Сначала все
шло гладко, и вдруг мысль как бы метнулась в сторону,
и я понял, что этого быть не может». Таким образом,
у Д. Einfall прямо связан с логическими координатами,
*' Возможно, логические координаты должны быть шоложены
в основу так называемых эвристических программ, если последние
действительно рассматривать как теорию поведения человека при
решении задач [157].
189

и они актуализировались бей йиДимой опбры на гебмет-
рические представления *\
Еще резче различие в геометрическом и аналитическом подхо-
подходах, учащихся проявилось при решении следующей задачи.-«На олим-
олимпиаде были даны 3 задачи: А, В, С. 25 школьников решили хотя
бы одну задачу A). Среди школьников, не решивших зад'ачу А,
решивших В в два раза больше,
чем решивших С B). Школьни-
Школьников, решивших только , задачу А,
на одного больше, чем остальных
школьников-, решивших задачу
А C). Сколько школьников реши-
решили только задачу В, если среди
школьников, решивших только од-
одну задачу, половина не решила
задачу Л? D).
Решение Ш. Ш. несколько раз
внимательно прочитал условие за-
задачи и сделал чертеж (рис. 32).
Приводим его рассуждения. Пло-
Площади каждого из трех кругов ус-
Рис. 32.
ловно выражают число школьни-
школьников, решивших соответствующую задачу. Вся фигура состоит из трех
типов заштрихованных фигур и незаштрихованной части и. Если
к площади косой штриховки прибавить '1, то фигуры всех трех
типов равновелики: C), D).
Из B): y=2z+u, и каждая заштрихованная фигура равна
Ъг+и. Из A): Cz+u) -3+^ = 26; 9z+4;;=26. Единственное целочи-
целочисленное решение: z=u=2. Тогда (/=6; х=8; v + w + t=7.
Основой решения задачи служит геометрическая модель, которую
условно назовем «круговой координатой». Опираясь на свою мо-
модель, Ш. уже после решения Задачи нашел возможность упростить
аналитические рассуждения, т. е. более экономно развернуть логи-
логическую координату в операторную структуру. Приводим протоколь-
протокольную запись его «мышления вслух».
«Три такие площади, как х, вместе с и равны 26. Но <
Значит, х>7. С другой стороны, х<9 (иначе 3x^27). Далее
в противном случае «=5, и система
[у — 2г = 5 не имеет целых корней.
Итак, х=8; и = 2; z=2; у=6».
Решение А. (Для удобства сравнения с решением Ш. изменим
обозначения). А. использовал «прямоугольную модель» (рис. 33).
Заштрихованная часть — 25. Из рисунка 25+3z+l = Cz+«L;
9z+4u=26, и А. пришел к тому же решению, что Ш. На наш вопрос,
*) Убедительный пример. На вопрос, мопут ли синус и косинус
одного аргумента быть одновременно равны нулю, одни учащиеся
отвечают: «Нет, иначе сумма их квадратов не равна единице» («ана-
(«аналитики») ; другие — «Нет, синус обращается в 0 на концах горизон-
горизонтального диаметра, косинус — на концах вертикального» («геомет-
(«геометры») .
190

как он догадался сделать такой чертеж, А. ответил: «Можно иначе».
И, почти не задумываясь, привел «точечную модель». Точнее, заме-
заметив, что х равно 7 или 8, А. остановился на двух возможных точеч-
точечных моделях (рис. 34). Модель (а) явно непригодна, так как и+
+2z=y<x; 2^=0, и х>7. Модель (б) удовлетворяет условию за-
задачи.
В отличие от предыдущих, решение испытуемого Д. чисто ана-
аналитическое. Познакомившись бегло с условием, Д. сказал, что в за-
задаче, по-видимому, 7 неизвестных, которые можно связать уравне-
уравнениями. Еще не представляя себе ясно картины в целом, он (если
пользоваться предыдущими обозначениями) по ходу чтения задачи
получил систему уравнений:
x+y+z+u+v + w + t=25.
y+u=2(z+u),
-х —
= У -
Z
Z
Z
— и —
1
=*=
-t-
1
х= —
Сделав ряд преобразований, Д. пришел к уравнению 9г+4«=26
и легко справился с ним. Когда мы после получения этого уравне-
уравнения попросили Д. наглядно изобразить зависимость между данными,
то оказалось, что никакие наглядные представления в связи с ре-
решением данной задачи у него не возникли. Однако, несколько поду-
подумав, Д. промоделировал задачу геоме-
геометрически. Его модель можно условно
назвать линейной (рис. 35).
«+Cг+иK—1=25; 9г+4и=26.
Таким образам, дело вавсе йе в том,
что Д. не способен к образованию на-
наглядных моделей. Он просто не испыты-
испытывает нужды в них, аналитическое реше-
решение ближе складу его математического
мышления. С другой стороны; Ш. и А.
свободно решают задачи аналитически-
аналитическими методами. Можно было предполо-
предположить, что Д. приучен преимущественно
к аналитическому решению задач, а Ш.
и А. — к опорам на наглядно-образные интерпретации. Однако, как
показывают другие эксперименты и многочисленные наблюдения, все
учащиеся одинаково хорошо справляются как с чисто геометрически-
геометрическими, так и с алгебраическими задачами, не имеющими геометрического
истолкования. Речь, таким образом, идет об устойчивых индивиду-
индивидуальных особенностях математического мышления, вероятно, о гео-
геометрическом и аналитическом «стиле» проявления математических
способностей [53].
При геометрическом решении задача как бы воспринимается сна-
сначала в целом, без деталей, как единый наглядный образ. Логиче-
Логическая, а затем и операторная формы возникают на базе первичного
индуктивного «схватывания» связей, и можно говорить о своеобраз-
своеобразной геометрической интуиции 148]. Напротив, аналитическое решение
начинается с логико-математического анализа, с логических коор-
координат и завершается образованием связного образа. Таким образом,
решение математических задач, в соответствии с индивидуально-
191
Рис. 33.

психологическими различиями учащихся, опирается то на логические
координаты и их сочетания (а'в стереотипных задачах —на готовую
форму знаний), то на интуитивные представления. В сложной задаче
эти факторы действуют в сочетании и образуют экономную компози-
композицию, которую математики называют красивым решением.
7
6
5
*
3
«SI
1
И
- О
о
о
о
о
- о
о
N
*>
0
0
0
0
0
0
0
а
а
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
ц
о
о
о
о
о
о
о
о
N
о
о
о
о
о
о
о
о
о.
о
о
о
о
о
о
о
6)
Рис. 34.
о
о
Напомним, что оба компонента творческого мышления — логиче-
логические координаты и интуитивные представления — возникают в ре-
зул'ьтате свертывания операторно-психологических, а затем и логи-
логических структур умозаключений. Поэтому представляет интерес и
другой подход к проблеме — исследование феномена «озарения» при
z г
25
v+w + t
Рис. 35.
решении математических задач с позиций .парциального проявления
силы нервной системы в связи со скоростью и эффективностью про-
процесса «свертывания». Этот вопрос был подвергнут нами специальному
экспериментальному изучению и рассматривается в § 3, гл. 1\.
III. Ясно, что не все координаты, участвующие в син-
синтезе решения задачи, играют одинаковую роль. Среди
них есть ведущие, после актуализации которых даль-
дальнейшее решение почти не вызывает затруднений. Такие
координаты назовем главными. Нас, естественно, инте-
интересуют способы распознавания главных координат.
192

Задача. В выпуклом n-угольнике все (внутренние)
углы острые. Каково наибольшее значение п?
1-й способ решения: 1) п^З. 2) Острый угол мень-
меньше d. 3) Сумма всех углов меньше nd. 4) Сумма внут-
внутренних углов многоугольника 2d(n—2). 5) 2d(n—2)<.nd.
6) n<4. 7) n = 3.
2-й способ решения: 1) п^З. 2) Сумма внешних
углов — id. 3) Внешние углы тупые. 4) Тупой угол
больше d. 5) п<4. 6) n = 3.
Однако, когда решение задачи предстает в готовом
виде, не всегда просто найти главные координаты. Не-
Нелегко их обнаружить и в процессе решения.
Опишем кратко специальный эксперимент, имевший
целью выявить главную координату решения 2. В нем
участвовало 4 девятых класса с примерно равным со-
составом учащихся. Задача решалась в течение 10 минут.
В первом классе (9i) задача была предложена на уроке
после изучения не связанного с ней материала. В клас-
классе 92 задача дана при повторении свойств внутренних
и внешних углов многоугольника. В классе 9з условие
сопровождалось указанием: «Рассмотрите внешние углы
многоугольника». В классе 94 — указание: «Рассмотрите
сумму внешних углов многоугольника». Таким образом,
в каждом следующем классе, при прочих равных усло-
условиях, усиливался стимул к актуализации координаты B).
Приводим результаты. Класс 9t: решили задачу
1-м способом 6% испытуемых, вторым — 3%. Класс 9г".
первым способом решили. 50%, вторым — 14%'. Классы
9з и 94: первым способом никто не решил, вторым — со-
соответственно 70%' и 86%'• Эксперимент,- по-видимому,
дает основание заключить, что Einfall при решении за-
задачи обязан преимущественно координате B). Таким
образом, вопрос о главных координатах решается путем
допущений и экспериментальной проверки. Аналогично
выявлена главная координата первого решения — нера-
неравенство: 2d(n—2)^nd для п^4. (Так как условие E)
этому противоречит, то п<4.)
Обратим внимание, что в рассмотренных случаях
главными координатами оказались числа или отношения,
инвариантные относительно варьируемых данных зада-
задачи: в первом решении неравенство справедливо для
любого п, не меньшего 4; во втором — 4d постоянно.
С другой стороны* некоторые инварианты не являются
главными координатами: (I), B), D) решения 1 и т. д.
13-37 193

Таким образом, главные координаты, по-видимому, сле-
следует искать среди инвариантов, хотя обратное неверно.
Можно предположить, что это менее тривиальные (наи-
(наиболее информативные) инварианты.
Приведем еще несколько примеров. В задаче 8 глав-
главной координатой является зависимость: число сторон
всех граней многогранника равно удвоенному числу его
ребер. Утверждается инвариантность четности количест-
количества сторон относительно вида многогранника. Это раз-
развитие одной из координат понятия многогранника:
каждое ребро (как линия пересечения) принадлежит
одновременно двум граням.
В задаче 13 главной координатой является форма
(a + b)/2^Vr~ab (а, й>0)—постоянное соотношение
между а и Ъ. (Сама по себе тривиальная зависимость
в условиях данной задачи — тригонометрическое уравне-
уравнение— содержит элементы новизны.)
4. Некоторые особенности проявления
логических координат в процессе обучения
I. Решение математической задачи можно описать
в виде последовательности сменяющихся ситуаций.
Каждая ситуация определяется набором характеристи-
характеристических признаков. Начальной ситуации соответствуют
исходные признаки и требование задачи.
Пример. Катеты прямоугольного треугольника а
и Ь. Найти высоту, Опущенную на гипотенузу. Исходные
признаки. 1) Треугольник. 2) В треугольнике — прямой
угол. 3) Меньшие стороны треугольника а и Ъ.
Требование задачи. Найти высоту, опущенную на
гипотенузу.
Следующая ситуация содержит признаки 1—3 и до-
полнительный признак 4). Гипотенуза равна: Уаг-\-Ьг
и т. д.
Признаки могут сознаваться или не сознаваться
(сознаваться ослабление) решающим задачу [137]. На-
Например, в приведенной задаче признак 2, как показывает
эксперимент, в некоторых случаях не сознается, и это
не препятствует правильному решению задачи. Причина,,
по-видимому, в том, что этот признак не участвует не-
непосредственно в действиях, Продвигающих решение,
а лишь служит обоснованию правильности этих дейст-
действий. В самом деле, ъ равенства для нахождения гипо-
194

тенузы и высоты не входит явно прямой угол. Еели
признак сознается, то он является логической координа-
координатой. Сознавание может быть адекватным и неадекватным.
Сознавание координаты адекватно, если оно отра-
отражает истинную (объективную) роль признака в харак-
характеристике ситуации. Если отражение неполно или не-
неверно, то сознавание неадекватно.
Пример: sin2a=2sin a- cos a.
Начальная ситуация A-й вариант). 1) Синус.
2) Сложный аргумент, состоящий из: а) простого аргу-
аргумента, б) коэффициента 2 при нем. Требование. Выра-
Выразить через синус и косинус простого аргумента. Ответное
действие. 2 умножить на синус и косинус простого
аргумента. Здесь все координаты сознаются адекватно,
и действие выполнено верно.
2-й вариант. 1) Синус. 2) Сложный аргумент, состоя-
состоящий из: а) простого аргумента а, б) коэффициента три
нем. Ответное действие. Коэффициент умножается на
синус а и на косинус а.
В обоих вариантах отражения ситуации ответ вер-
верный. Однако во втором случае координаты 2(а) и 2F)
сознаются неадекватно — правильный результат получен
на основе ошибочного решения задачи. Чтобы в этом
убедиться, достаточно изменить условие. Так, sin За мно-
многие учащиеся представляют как 3sina-cosa — соответ-
соответственно второму варианту сознавания координат. Лож-
Ложность результата сигнализирует об ошибочности ре-
решения.
Итак, при правильном ответе сознавание признаков
может быть: 1) Адекватным. 2) Неадекватным. 3) Ос-
Ослабленным (неполным). В последних двух случаях дей-
действие часто выполняется на основе ошибочных связей.
Признаки, наличие или отсутствие которых может,
в определенных условиях, не сказаться на решении за-
задачи, назовем слабо (ослабленно) информационными.
Например, признак 2 в примере с прямоугольным тре-
треугольником. Неадекватно сознаваемые признаки будем
называть квазиинформационными координатами. Ослаб-
ленно-информационные признаки впервые исследованы
П. А. Шеваревым. На основе сформулированной законо-
закономерности [137] ему удалось объяснить некоторые ошибки
школьников при выполнении алгебраических преобразо-
преобразований. Позднее оказалось, что эта закономерность дей-
действует также в арифметике [146] и геометрии [107].
13* 195

Закономерности проявления квазиинформационных
координат, кажется, специально не исследовались. •
Примеры, a) tg 2а = t __ g ° . Исходные координа-
координаты. 1) Тангенс. 2) Простой угол а. 3) Коэффициент при а.
Ответное действие. Коэффициент умножается на tga a
Т. д.
Координаты 2 и 3 — кЁазиинформационные, хотя сих
помощью (в данном случае) все же получается'правиль-
получается'правильный ответ. Если учащиеся действительно ориентируются
этими признаками, то можно ожидать, например, сле-
следующего выражения для tg3a:
Такие ошибки действительно имеют место в школьной
практике, если после изучения формулы тангенса двой-
двойного аргумента (закрепленного на примерах типа:
tg2p; tg2(a + p); tg6O°= tg2-30° и т. д.) предложить
учащимся представить по этой формуле, скажем, tg3a.
б) После усвоения ими формулы квадрата суммы
мы давали шестиклассникам возвести в куб: (а + ЬK.
Большое число ответов имело вид: (a + bK=a3+3ab + b3.
Анализ, а также последующая беседа позволили выяс-
выяснить, что эти учащиеся в формуле (a + bJ=a2+2ab + b2
опираются на признаки: 1) Сумма двух чисел. 2) Сте-
Степень этой суммы. Ответное действие. Каждое число
возводится в указанную степень, и к сумме степеней
прибавляется произведение чисел, умноженное на пока-
показатель степени. Вторая координата является квазиин-
квазиинформационной, хотя в формуле квадрата суммы она
«работает» и .приводит к правильному ответу.
Аналогичное явление имело мести в 8 классе, когда
учащимся было предложено возвести в квадрат трех-
трехчлен. Среди ответов были такие: (a+b + cJ=a2 + b2+
+ c2+2abc. Здесь, как оказалось, проявились другие
координаты квадрата суммы: 1) Сумма нескольких чи-
чисел. 2) Квадрат этой суммы. Ответное действие. Сумма
квадратов всех чисел, сложенная с удвоенным произве-
произведением этих чисел. Координата 1 и связанные с ней
действия являются квазиинформационными, и все же,
в случае двух слагаемых ответ верный. Таким образом,
одна и та же ситуация субъективно может характеризо-
характеризоваться различными, неравносильными наборами логи-
196

ческйх координат. (Или неравносильными интерпрета-
интерпретациями одних и тех же координат.)
Результаты приведенных и многих других наблюде-
наблюдений и экспериментов дают основание высказать следую-
следующую гипотезу. Пусть при каких-то (ограниченных) усло-
условиях задачи опора на различные интерпретации коорди-
координат (в том числе — на квазиинформационные) ib равной
степени приводит к правильному ответу. Тогда с повто-
повторением этих условий:
1) Возрастает степень сознавания одной из интер-
интерпретаций координат. Если эта интерпретация содержит
квазиинформационные координаты, то решение оши-
ошибочно.
2) Уменьшается степень сознавания других интер-
интерпретаций.
3) Ошибочность решения может проявиться при из-
изменении условия, когда становится необходимой опора
на другие интерпретации.
Отсюда — методический совет. В каждом конкрет-
конкретном случае обучения педагог должен учитывать воз-
возможные интерпретации координат, обеспечивающих уча-
учащимся правильное ответное действие. Если имеются
интерпретации, содержащие квазиинформационные ко-
координаты, то нужно как можно раньше нейтрализовать
их влияние, предупреждая учащихся от возможных оши-
ошибок в рассуждениях. Организуют также специальную
систему упражнений с целью поставить учащихся в ус-
условия, когда использование этих интерпретаций приво-
приводит к неверному ответу. •
Гипотеза имеет общую часть с закономерностью
П. А. Шеварева.
1) Особенность сознавания признака не соответст-
соответствует объективной роли этого признака в характеристике
ситуации (неполное сознавание, неадекватное созна-
вание).
2) Особенность сознавания не служит препятствием
для правильного выполнения ответного действия —
в определенных условиях.
3) Эти условия повторяются. Дальше идет различие.
По Шевареву: степень сознавания признака уменьшает-
уменьшается. Согласно нашей гипотезе: если по каким-либо при-
причинам возникло, в частности, неадекватное сознавание
признаков, то степень этого сознавания возрастает.
Таким образом, закономерность П. А. Шеварева носит
197

безусловный характер — при выполнении пунктов. 1—3
она всегда имеет место. В нашем случае — действие
закономерности обусловлено возникновением неадекват-
неадекватного сознавания. Но как только условие окажется вы-
выполненным, оба психологических процесса уже работают
в одном направлении — усиление особенности сознава-
сознавания.
Есть, однако, подход, объединяющий, на наш взгляд,
оба феномена и позволяющий видеть в них проявление
более общей закономерности психики. Суть этого под-
подхода такова. При прочих равных условиях из возмож-
возможных интерпретаций признаков, в первую очередь, актуа-
актуализируются те, которые позволяют решить задачу ценой
меньшего числа и более простых действий. Укажем, по
крайней мере, 3 случая, когда это имеет место.
1. Одним или несколькими признаками представля-
представляется возможность пренебречь, не учитывать их (они
исключаются из сферы сознавания). Соответственно
сокращается состав действий. Этот случай исследовался
П. А. Шеваревым. Так, если требуется представить трех-
трехчлен в виде квадрата суммы, то: а) складывают осно-
основания данных квадратов, б) полученную сумму возво-
возводят в квадрат. Элиминировано и может не сознаваться
контрольное действие: проверить, является ли второй
член удвоенным произведением оснований квадратов.
2. Некоторые признаки инвариантны (постоянны)
относительно исходной и производной ситуаций. Срав-
Сравним действия (отраженные в модели соответствующими
операторами) в двух вариантах интерпретации призна-
признаков sin 2а в формуле: sin'2a = 2sina* cos а. Если имеется
синус некоторого аргумента, то для его преобразования
по формуле синуса кратного'аргумента нужно:
1-й вариант, а) Представить аргумент левой части
в виде 2а. б) В правой части взять для синуса и коси-
косинуса получившийся одинарный угол а. в) Написать
коэффициентом правой части число 2.
2-й вариант, а) Коэффициент сложного аргумента
левой части перенести коэффициентом в правую часть,
б) Простой аргумент левой части сделать аргументом
синуса и косинуса правой части равенства.
Здесь левая и правая части инвариантны относитель-
относительно коэффициента и аргумента — последние в неизмен-
неизменном виде перешли из левой части в правую. Кроме того,
также «сэкономлено» одно действие. Для sin 2a обе
198

интерпретации, как легко убедиться, приводят к одина-
одинаковым ответам. И если учащиеся «воспитаны» на при-
примерах такого типа, то, как показывает опыт., у них чаще
будет актуализироваться более простая, но, в общем,
ошибочная вторая интерпретация координат.
3. «Простота» признака или действия — в большой
степени субъективная категория. Так, интерпретация
признаков, опосредованная прошлым опытом учащихся,
может оказаться более доступной и приемлемой, даже
если она объективна, возможно, и не проще других ин-
интерпретаций.
Примеры, а) Нередки ошибки типа: 2~3=1/]/Л2
(при условии знания соответствующих правил). Анализ
показывает, что учащиеся, допускающие ошибку, в об-
общем, правильно оценивают ситуацию: необходимо изба-
избавиться от знака минуса в показателе степени. Однако
действуют они в соответствии с другой, более привычной
ситуацией. Оказывается, в большинстве «родственных»
ситуаций, с которыми учащимся приходилось иметь дело
ранее, степени, как правило, имели одновременно отри-
отрицательные и дробные или только дробные показатели.
Ошибка явилась результатом «нажэжения» прошлого
опыта. (Действительно, 2~1/3= 1/1^2.) Признак, ранее
многократно повторявшийся и приводивший неизменно
к правильному решению, воспринимается и тогда, когда
он заменен другим признаком.
б) — х*+4ху—4г/2 = — (хг—4ху+4у2) = — (*—2г/J =
= (х—2уJ. Мы привели 'решение примера учащегося
8 класса П.
Вот выдержка из протокола. П. «... Теперь изменяем
знак 'и получаем ответ...» Экспериментатор: «Изменяем
знак!?» П. «Умножаем «а —1...»
Далее выясняется, что учащийся «интерпретировал»
равенство —(хг—4ху+4у)г~— (х—2г/J как уравнение.
Характерно, что учащиеся 6 класса, не знакомые с ре-
решением уравнений, ошибок типа «отбрасывания минуса»
не делают. В обоих примерах координаты, приведшие
к ошибкам, были ранее информационными. Но ситуация
изменилась, и они продолжают действовать уже как
квазиинформационные.
В связи с этим сформулируем следующий принцип
наложения, или индукции. Если общей частью двух
форм являются логические координаты одной из них,
то при совместной актуализации этих форм другие при-
199

знаки второй формы сознаются ослабление. Речь идет
о направленном изменении восприятия одних форм при
«наложении» на них логических координат других форм.
Будем говорить о преобразовании логических форм через
индукцию — когда под влиянием «внешних» координат
ослабляется сознавание несовпадающих с ними призна-
признаков и соответственно усиливается сознавание общих
признаков.
Ситуации в горимерах а) и 6), на наш взгляд, до-
достаточно хорошо объясняются принципом индукции.
'Следующие примеры также поясняют принцип. 1) Ло-
Логическая координата высоты треугольника: перпендику-
перпендикуляр к стороне. 2) Логическая координата медианы тре-
треугольника: проходит через середину стороны. 3) При-
Признаки геометрического места точек, равноудаленных от
концов стороны треугольника: а) Перпендикуляр к сто-
стороне, б) Проходит через середину стороны.
При решении вопроса о центре описанного около
треугольника круга координаты A) и B) накладыва-
накладываются на логическую форму C). Тогда в ней, вследствие
индукции, ослабленно сознается то второе условие, то
первое. Геометрическое место точек может сознаваться
как «высота» или «медиана». Возникают предпосылки
для ошибочных заключений: центр описанного круга на-
находится на пересечении высот или медиан. Такие ошибки
учащихся имеют место в обучении.
Рассмотрим другой пример. (—аJп. Признаки выра-
выражения: а) Четная степень, б) Знак минус, в) Минус
при основании степени. Логические координаты а) и б).
Теперь рассмотрим ситуацию: —а2п. Условия а) и б) —
те же. Условие в) отлично от предыдущего: минус при
степени. Однако по принципу индукции в) может не
сознаваться (сознаваться ослабленно), и часто возни-
возникает ошибочное заключение: —а2п = а2п. Такова, на наш
взгляд, также природа распространенной в школьной
практике ошибки: —cosx=cosx и т. д.
Из принципа индукции вытекает следствие. Если
2 логические формы имеют общие координаты, то другие
признаки, при актуализации этих форм, сознаются ос-
ослабленно. В итоге различающие формы признаки как бы
отходят на второй план, и формы предстают объединен-
объединенными их общими логическими координатами. Здесь, ве-
вероятно, можно говорить об обобщении форм на основе
логических координат.

П. Тенденций к уменьшению числа признаков и действий, а так-
также к «навязыванию» известных ситуаций в процессе математиче-
математического мышления можно истолковать с позиций теории информации.
Если ситуация подлежит преобразованию в соответствии с требо-
требованием задачи, то она должна удовлетворять определенным приз-
признакам. Признак в каждом конкретном случае находится в одном
из двух состояний: выполняется (принимает значение 1), не вы-
выполняется (значение—0). Например, слагаемое является квадратом—
соответствующий признак — быть квадратом — выполняется; слагае-
слагаемое не является квадратом — признак не выполняется. Легко пока-
показать, что п признаков (xit Хг хп) описывают 2" возможных си-
ситуаций с соответствующими 'Наборами нулей и единиц. Однако дан-
данной задаче удовлетворяет единственный набор A, 1 1), наличие
которого и следует проверить.
Количество признаков служит одним из компонентов сложно-
сложности, или, на языке теории информации, неопределенности ситуации.
Чем больше неопределенность, тем больше информации приходится
переработать для распознавания и преобразования ситуации.
С другой стороны, прошлый опыт действует в направлении воз-
возрастания вероятности одних признаков (интерпретаций) и убыва-
убывания других, и такая неравновероятность, как известно из теории
информации, также уменьшает неопределенность ситуации. Если так,
то закономерности, о которых шла речь, возможно, отражают единое
свойство психики — оптимизировать процесс переработки информа-
информации: получать результат ценой раскрытия минимальной неопределен-
неопределенности. Тот факт, что на этом пути бывают ошибочные умозаклю-
умозаключения (в связи с этим, мы сочли возможным соответствующие
признаки назвать квазиинформациоиными), свидетельствует о недо-
недостаточности описанных процессов «сокращения» и «упрощения»
признаков и действий.
Итак, если (в данных условиях) при каждом из способов пере-
переработки информации—неполном сознавании признаков, адекват-
адекватном сознавании, неадекватном сознавании — возможно правильное
выполнение ответных действий, то преимущественно актуализируется
тот способ, который позволяет это сделать ценой переработки мень-
меньшего количества информации.
5. Методические соображения
Остановимся подробнее на роли логических коорди-
координат в осуществлении преемственности понятий при ус-
усвоении математики. В этом смысле образцом изложения
материала нам представляется учебник для механико-
математических факультетов университетов Г. М. Фих-
тенгольца «Основы математического анализа» '[119].
Возьмем несколько примеров из гл. II, т. 1. Ставя
вопрос о пределе монотонной последовательности, автор
пишет: «Теоремы о существовании пределов функций,
которые приводились до сих пор, имели такой характер:
в предположении, что для одних функций пределы суще-
существуют, устанавливалось существование пределов для
201

Других функций, так или иначе связанных с первыми.
Вопрос о признаках существования конечного предела
для заданной функции, безотносительно к другим функ^
циям, не ставился... Мы рассмотрим здесь один простой
и важный частный класс функций, для которых он ре-
решается легко...» (§ 3, стр. 92). Далее формулируется и
доказывается теорема о пределе монотонной (ограни-
(ограниченной) переменной.
Итак, во всех предыдущих теоремах, среди прочих,
имеется и такое условие (в нашей модели — логическая
координата): можно лодобрать функцию (с определен-
определенными свойствами), для которой заведомо существует
предел. Если такую функцию найти не удается (соот-
(соответствующая логическая координата принимает отрица-
отрицательное значение), то теорема теряет силу, и тогда ста-
ставится вопрос об условиях существования предела для
некоторых функций безотносительно к другим функци-
функциям. Ответом является теорема о монотонно-ограничен-
монотонно-ограниченной последовательности. Логическая координата, при
определенном направлении ее развития, стала в модели
обучения зародышем новой логической формы.
Другой пример. «В случае неограниченной последо-
последовательности иной раз оказывается невозможным выде-
выделение частичной последовательности, имеющей конечный
предел... Наоборот, для ограниченной последовательно-
последовательности имеет место следующее утверждение ...» Формули-
Формулируется лемма Больцано—Вейерштрасса об извлечении
сходящейся подпоследовательности >из ограниченной
последовательности (стр. 105). Говоря об общем при-
признаке существования конечного предела последователь-
последовательности: «... Само определение предела для этой цели
служить не может, ибо в нем фигурирует уже тот пре-
предел, о существовании которого идет речь. Мы нуждаем-
нуждаемся в признаке, который использовал бы лишь то, что
нам дано, а именно последовательность...» Формули-
Формулируется критерий Больцано — Коши (стр. 107) и т. д.
Обращенные в прошлое как своеобразные продол-
продолжения логических координат, эти «вступления» к теоре-
теоремам все же, главным образом, нацелены в будущее,
являются как бы первыми приближениями последующих
теорем. Они, в большой мере, сообщают изложению
системность, связность. Вероятно, можно говорить об
активном формировании в психологической модели си-
систем внутрипредметных ассоциаций (гл. I, § 1).
202

Логические координаты — не единственное связую-
связующее звено между известным и искомым. Другим спосо-
способом связи является опора на ранее усвоенные действия,
операции.
Пример. Пусть функция y = f(x) определена в точ-
точке Хо и в некоторой ее окрестности. yo=f(xo)- Если дать
х -положительное приращение Ах, то функция лолучит
соответствующее приращение Ау, Ау = f(Хо + Ах)—/(#о)
и т. д. Затем определяется непрерывность функции
в точке.
Ясно, что здесь дано операторное «вступление» в по-
понятие непрерывность. Автор учебника в полном смысле
обучает читателя «методике и технике творческого мыш-
мышления» (Н. А. Менчинская, см. гл. I, стр. 44). Разум-
Разумность умственного действия («понимание») обеспечива-
обеспечивается еще до выполнения действия «выставлением впе-
вперед» некоторых логических координат — для преемст-
преемственности, связи. По существу, происходит обучение по
гальперинскому второму и третьему типам ориентиров-
ориентировки (см. гл. I, стр. 43). Однако далеко не все авторы
считают нужным обращаться к операторно-логическим
формам связи.
Приведем несколько примеров из учебника Н. Н. Ни-
Никитина по геометрии (учебник для 6—8 классов, «Про-
«Просвещение», Москва, 1965, § 30, стр. 66). Начинается
сразу с теоремы. Против большей стороны в треуголь-
треугольнике лежит больший угол.
Здесь, нам кажется, учитывая возраст учащихся и
тот факт, что они за связностью логической формы
часто теряют детали, было бы естественно следующее,
«операторное введение». Возьмем ААВС. Пусть АВ>ВС.
Найдем угол, лежащий против стороны АВ. Теперь най-
найдем угол, лежащий против ВС и т. д. Затем формули-
формулируется и доказывается теорема.
К сожалению, этот пример не является исключением
для данного и большинства других школьных учебни-
учебников. На стр. 75 свойство перпендикуляров к прямой так-
также начинается с формулировки теоремы. И только на
следующей странице выясняется, уже в связи с другим
вопросом, что доказанная теорема является признаком
параллельности. При этом остается неизвестным, что
такое признак, чем он отличается от свойства. И, глав-
главное,— вопрос о признаке не ставился, и неясно, в связи
с чем он вдруг возник. Затем сообщается, что существу-
203

ют и более общие признаки параллельности . пря'мых,
однако непонятно, почему они более общие и чем опре-
определяется общность признака. По-видимому, автор счи-
считает, что шестиклассник способен самостоятельно разоб-
разобраться в этих ©опросах. Надежды на то, что упущенные
автором учебника естественные логические связи между
отдельными разделами материала возникнут в мышле-
мышлении учащихся попутно, как продукт изучения материа-
материала, оправдываются далеко не всегда. Как указывает
П. Я- Гальперин, если это и имеет место, то знания, как
правило, ограничены рамками конкретного материала
(гл. I, стр. 43).
Единственным связующим звеном между известным
и неизвестным теперь оказывается доказательство тео-
теорем. Однако оно вовсе не нужно для приложения тео-
теорем к задачам и, естественно, быстро забывается. Тогда
и возникает угроза полной потери связей, расчленения
понятий в психологической модели на отдельные локаль-
локальные ассоциации (Ю. А. Самарин). Это, по-видимому,
одна из причин разрывного мышления *'. В итоге при-
признаки параллельности, как правило, воспринимаются
учащимися разрозненно, независимо.
Представляется более удачным следующий подход
к вопросу. Судить о параллельности двух прямых на
основании определения^ параллельности нельзя, так как
нет практической возможности неограниченно продол-
продолжать прямые. Однако в некоторых случаях все же уда-
удается ответить на вопрос. Пусть про 2 прямые известно,
что каждая из них перпендикулярна третьей. Покажем,
что в таком случае эти прямые параллельны между со-
собой. Затем формулируется и доказывается теорема.
Таким образом, перпендикулярность двух прямых к тре-
третьей является признаком, по которому можно судить
о параллельности первых прямых. Далее, о параллель-
параллельности прямых мы судили, когда они даны как перпекди-
куляры к третьей прямой. Если это условие не выполне-
выполнено, то известный признак не применим. Оказывается,
существуют более общие признаки. Пересечем данные
прямые произвольно 3-й прямой и т. д. Теперь формули-
формулируются и доказываются соответствующие признаки
параллельности. Затем показывается, что предыдущий
признак является частным случаем последних. Легко за-
•> Вопрос подробнее рассмотрен в § 5, гл. II.
204

метить, что здесь использована координатно-логическая
форма связи.
Ранее было показано, что логические координаты
возникают как продукт развития операторной формы
при обучении учащихся с помощью алгоритмов. Отсюда
следует, что математическая модель обучения способст-
способствует осуществлению важного дидактического принципа—
системности в мышлении и знаниях; отражает один из
механизмов возникновения целостности психической дея-
деятельности [100].

Глава IV
К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ
МЕХАНИЗМА МЫШЛЕНИЯ '
1. Модель первая
Начнем с протокола решения учащимся тригономет-
тригонометрического уравнения: sin4x+sin4(x + n/4) = 1А, («Мыш-
(«Мышление вслух»). « ... sin4(x+rc/4) ... Выразится через
(sinx+cosxL и, в общем, приведется к синусу двойного
аргумента ... Лучше перенести одно слагаемое вправо.
Первое? Второе?... Разложим, а дальше что? Да,
sm2(x+n/4) ... Если — как половинный угол, то непло-
неплохо ... Снова приходим к sin2x. (Производит преобразо-
преобразование:
+51п2ху l ). Asm4x висит...
-J-
Интересно, как получилось бы вначале? (sinx+cosxL =
= (l + sin2xJ. Придется sin4* также привести к двойно-
двойному аргументу:
A-cos2Ar)V4 + (l+sin2xO4=l/4. Нет, пожалуй,
лучше, как до этого получалось: A — cos2xJ/4 =
= — -^- sin 2лг B -}- sin 2дг)...» На этом пути вскоре было
обнаружено решение.
Как видим, путь к решению не прямолинеен — име-
имеются возвраты, отступления, переключения. На «поверх-
«поверхности» происходит развертка (разной степени полноты)
логических форм и отдельных координат, выступающих
в качестве моделей соответствующих систем действий.
Однако интимные механизмы не экстериоризируются.
Если бы испытуемый умел говорить все, о чем он думает,
его рассказ мог бы выглядеть примерно так. «Кажется,
довольно сложное уравнение. С чего начать? Сумма чет-
четвертых степеней не разлагается ... Наиболее сложно
второе слагаемое {А}. 1) Попробуем раскрыть sin(x +
+ JT/4) {С}. Прикинем. Синус и косинус я/4 равны,
имеем Я (sin x+cosxL] {F}. Четвертая степень остается.
Вряд ли получится что-нибудь путное — нет существен-
существенного продвижения {Р}. Можно, -конечно, попытаться сна-
сначала возвести в квадрат {?}—выражение сведется
Kf(sin2x) {F).
206

Этот вариант надо будет додумать, а теперь посмот-
посмотрим, нет ли чего получше {Р}. 2) Рассмотрим -^
— sin4 x{D). Разложим как разность квадратов {F}.-^—
— sin2* как-то преобразуется дальше, но с -^--{-sin2*
делать нечего {Р}. 3) Может быть, лучше ^- — sin4(jc—^—^-) ?
Тогда придется иметь дело с sin^jc-}-^-){?};sina (x-J-—j =
= <p(sin2x) {F\. Как будто ничего ... {Р\ Уточним:
}. Дальше, -^—
приведется к <p(sin2x) {F}. Пока не видно, насколько
это полезно {Р}. Проделаем подробно: -г—(—^ ) ==
= —j- sin 2х B -f sin 2x) {G}. Ничего хорошего — еще .ви-
.висит" sin4x{P}.
Кажется, других подходов к примеру нет. Придется
вернуться к первому варианту. У нас получилось
(sin>;+cosA;L=/(sin2A;). К <p(sin2*) мы приходили в3-м
варианте. Может быть, здесь получится лучше? (sinx+
+ cosxL= (I +sin2xJ {G}. Делать нечего, представим
sin4* через двойной аргумент {Р+Е}.
4;n4v._/l-cos2xy. (l-cos2x)^ . (l+sin2xJ
sin x—у -2 j , - 5 | ^ =
Удачного продолжения не видно. Обратимся снова к 3-му
варианту — там тоже получалось sin 2x, причем, знамена-
знаменатель выражения равен 4. {Р}. * ~ c°s х' =—j-s
2x); cos2x —sin2x= 1{G). Дальнейшее реше-
решение стереотипно».
Мы видим, что в процессе «нащупывания» решения
данного примера актуализируется некоторый «алгоритм
мышления», операторы которого выделены нами в фи-
фигурных скобках. Разберем содержание этих операторов.
А. В связи с некоторым общим критерием оценивает-
оценивается сложность задания — в данном случае рассматрива-
рассматриваются и сравниваются функции, аргументы, их структура
и зависимость с целью прийти (приблизить) к уравне-
¦ нию, для решения которого известен алгоритм. Опера-
207

тор А 'вводный —он отражает начало решения и больше
не повторяется.
C. Предварительный выбор, ответного действия,—
производится только после действия, формализованного
оператором А. Оператор С имеет ориентировочный,
пробный характер.
Р. Нахождение рассогласования и принятие решения.
Когда действие выполнено (в модели — операторы F, G),
возникает необходимость в оценке соответствия' резуль-
результата поставленной цели. Можно условно допустить, что
управление процессом, т. е. оценка результата и приня-
принятие решения, осуществляются на основе сигнала рассог-
рассогласования между ожидаемым (эталоном) и полученным.
Этот оператор сложный и, как будет показано дальше,
может быть разложен на составляющие операторы.
D. Выбор другого ответного действия на основе но-
новой ориентирующей координаты. Означает, что преды-
предыдущее действие (группа действий) не дало желаемого
результата. Актуализация этого оператора знаменует
изменение стратегии, общего направления мышления.
E. Выбор уточняющей координаты. На основе преды-
предыдущих действий «рассогласование» уменьшилось, но оно
еще сохраняется. Тогда в соответствии со «стратегиче-
«стратегическим» оператором Д отражающим общее направление
действий, и в плане его развития выбирается следующий
ориентир.
Различие между операторами D и Е — существенное.
D означает, что предыдущие действия не удовлетворя-
удовлетворяют (или не вполне удовлетворяют). Е, напротив, означа-
означает* уточнение ориентира для развития предыдущих дей-
действий и имеет «тактический» характер.
F. «Свернутое» выполнение действий. Назначение
оператора—описать 'проникновение в исследуемую об-
область не до конца, но на такую глубину, когда уже мож-
можно предвосхитить примерный результат; на основе наи-
наиболее общих логических координат — высших символов,
означающих целые системы операций и свойств — про-
проверить пригодность выбранных преобразований.
G. «Развертывание» ответного действия. Отражает
перевод модели, в операциональную форму.
Описанные операторы можно разбить на 3 грурпы.
,. 1. .Управляющие операторы: А, Р. Они служат д^я
отражения процесса оценки ситуации и принятия реше-
решения. , .
208

2. Операторы выбора: С, D, Ё. Актуализируются поД
контролем управляющих операторов. Имеют пробный
характер.
3. Операторы действия: F, G. Продвигают решение,
означают перевод соответствующих психологических
моделей из логической формы в операциональную.
Операторы, как правило, работают в совокупности
(т. е. в совокупности протекают отражаемые ими про-
процессы), и их разделение условно.
Так, например, трудно указать, что первично — выбор
действия или само действие (сокращенное). В самом
деле, если сначала «выбирают», то неясно, из каких
соображений это делается. Скорее всего, выбор осуще-
осуществляется уже в ходе действия, и оператор F «свернуто-
«свернутого» действия неотделим от первичного выбора. Далее,
выбору действия должно предшествовать принятие реше-
решения, а оно связано с оценкой ситуации. Оценка же, как
правило, невозможна на основе Одного только наблюде-
наблюдения, статически. Чтобы оценить, надо несколько изме-
изменить ситуацию, попытаться ее «продвинуть», произвести
предварительное действие. Таким образом, действия,
аккумулированные I в свернутых логических структурах,
как бы управляют сами собой. Иерархическое перекоди-
перекодирование, ведущее к образованию уплотнённых,1 высших
символов математической модели,— это отражение свой-
свойства психики, лежащего, по-видимому, в основе самоуп-
самоуправляющей системы человеческого мышления.
Вернемся к эксперименту. Выпишем последователь-
последовательность операторов, знаменующую решение примера и яв-
являющуюся одной из возможных реализаций «алгоритма
мышления»
ACFPEFPDFPDFPGEF PGPGPEGPG A.1)
Обратим внимание на некоторые особенности этой
строки.
1) После оператора «свертывания» F ©сегда идет Р.
Функция процессов, стоящих оператором F, — обеспе-
обеспечение принятия решения.
2) Р может следовать также за оператором «развер-
«развертывания» G. Это означает, что /решение принимается на
основе развернутых действий.
3) Решение принимается в одном из трех направле-
направлений, ой соответственно возникают психологические состо-
состояния, формализуемые логическими условиями.
14—37 209

а) Пусть й итоге актуализации Р открывается
можность к дальнейшим упрощениям. Тогда срабатыва-
срабатывает психологическая структура, отраженная сочетанием
операторов РЕ, согласно принятому решению выбира-
выбирается уточняющая координата.
б) Действие, формализуемое оператором F, обнару-
обнаружило непригодность выбранного направления — это от-
отразится сочетанием PD, т. е. решением о выборе, нового
«стратегического» направления.
в) Оператор F недостаточен для ответа на вопрос
о пригодности намеченных преобразований. Тогда при-
принимается решение о «развертке» действий, и это отра-
отражено оператором G. Случаю соответствует сочетание PG.
С целью алгоритмического описания процесса, в соот-
соответствии с (вышесказанным, введем три логических усло-
условия
0. если за оператором Р следует Е
1. , D
2. ' . , G, ¦
@, если за оператором Е следует F
Г
О,
О, если за оператором G следует Е
Тогда структура общего решения любой задачи дан-
данного типа (например, тригонометрического уравнения)
такова:
«: AC \ F | Pp^D] \ Ее | \Gg [ A.2)
Каждому конкретному решению соответствует 3 упо-
упорядоченных набора логических условий. Например, при-
приведенное решение A.1) выделится из Ш при следующих
наборах (реализуемых в том порядке, как они напи-
написаны):
р=0; 1; 1;2;2;2;0;2,
е=0; 0; 1,
g=0; 2; 2.
Читателю, который вспомнит, как пользоваться нуме-
нумерованными стрелками, нетрудно будет в этом убедиться.
210

ACFP ... Дальше идет логическое условие р, его пер-
первое значение О, и согласно f переходим кЕ. Первое зна-
значение е также О. По f обращаемся к F, затем Р, и сно-
снова р. Однако второе значение р—1, и переходят к D.
Стрелка после оператора D f означает безусловный пере-
переход к F и т. д.
Получаем: ACFPEFPDF...
Основу структуры % составляет подструктура выбора
очередного «хода» 9ti*>. Она включает в указанном
порядке операторы: С — предварительный отбор (про-
(проба); F — «свернутое» выполнение действия; Р — приня-
принятие решения о выбранном ходе и, в соответствии с ним,
Е—признание «стратегии» удачной и её развитие в ука-
указанном плане с помощью уточняющих координат; D —
отказ от предыдущего, выбор нового «стратегического
хода»; G — «развертывание» ответного действия для
уточнения и принятия окончательного решения.
Символическое изображение
%:CF-Pp\D.\E.\G. A.3)
По существу, мыслительный процесс описывается конеч-
конечной совокупностью сочлененных дискретных актов при-
применения 91,. Психологический механизм, стоящий за
операторами F и G, мы пытались выяснить в гл. III.
Наибольшие затруднения, по-видимому, вызывает
описание оператора Р— нахождения рассогласования
и принятия решения, особенно, когда это делается в пред-
предварительном порядке. (Как указывает М. Минский,
предварительная оценка результатов уменьшает поиск,
позволяет предвидеть [73].) Действие и соответственно
рассогласование между исходным и полученным будем
считать положительным, если в результате произведе-
произведения действия задача становится проще, или, что то же
*> Условием творческого решения задач в некоторой области
П. А. Шеварев считает наличие широкого репертуара (^-ассоциаций.
Имеются в виду ассоциации, в которых 1-й член — созиавание неко-
некоторых особенностей данных задания. Второй — дознавание проб-
пробного производного задания [137]. Таким образом, актуализация
E-ассоциаций связана с выбором, коррекцией, переработкой информа-
информации.
U* 2И

самЪе,— продвигается ближе к цели. В противном слу-
случае действие отрицательно. Вопрос, как видим, связан
с критериями оценки ситуации. Можно, по-видимому,
утверждать, что без критериев для суждения об эффек-
эффективности предпринятых действий задачу (за исключени-
исключением тривиальных случаев) решить нельзя.
Критерии, колечно, в разных задачах различны.
Больше того, они, в общем, различны для одной- и той
же задачи у разных людей, имеют субъективный,, лично-
личностный характер, зависят от способностей человека и его
знаний. Это особенно ясно, когда речь идет о логических
координатах 2-го типа (§ 3, гл. III). Поэтому говорить
о полной формализации действия, описываемого опера-
оператором Р, не приходится. И все же здесь также можно
выделить общие элементы.
Прежде всего, задание, основное или производное,
оценивается в сокращенной форме, т. е. оценке подлежит
не вся логическая форма, а лишь наиболее важные её
координаты. Например, в уравнении sin4x+sin4(#+Jt/4) =
= 1/4, четвертые степени (—)*\ аргументы при синусах
разные (—); сложный аргумент (лс + я/4) (—); л/4( + ).
Ясно, что выбор координат, хотя и не произволен, в из-
известной мере субъективен. Однако наиболее общим кри-
критерием руководствуются все. Речь идет о требовании
простоты выражения.
Действительно, решить уравнение — значит выразить
х числом, привести уравнение к некоторому простейше-
простейшему, стандартному виду. Далее, результат действия также
оценивается в сокращенной форме. Преимущество «свер-
«свернутого» выполнения действий, как мы это здесь понима-
понимаем, состоит, наряду с прочим, в том, что результат сразу
получается в сокращенной форме. В этом смысле «свер-
«свернутые» действия экономны не только для предваритель-
предварительной разведки пригодности выбранной стратегии или пла-
плана решения. Развернутые формы пришлось бы специаль-
специально сокращать, вычислять логические -координаты.
Рассмотрим для пояснения вторую стратегию в реше-
решении нашего уравнения (стр. 207) 1/4—sin4* {?>}. Разло-
Разложим разность квадратов; V2 — sin2* как-то преобразует-
преобразуется, но с V2 + sin2;e делать нечего {F}. Тут суть не только
в Том, что действия (произведены не до конца, не последо-
*' Знаками в скобках мы обозначаем отношение учащегося
к координате: (—) означает необходимость изменения координаты,
( + )—благоприятный момент. "'
313

вательно — у учащегося нет полного представления о по-
получающемся результате. Но это и хорошо, у него зато есть
более ценное — логические координаты: одна четвертая
степень исчезает ( + ); сохраняются аргумент (x + jt/4)
(—), а также другие недостатки. Кроме того, выражение
становится более громоздким, и не видно дальнейших
упрощений. Отличие (рассогласование) полученного
вида уравнения от того, что требуется (найти х), не
меньше рассогласования между .исходным видом и тре-
требуемым. Отсюда заключение — предпринятое действие
отрицательно, от него следует отказаться. «Разность»
между исходным видом уравнения и видом, полученным
в результате сокращенного действия, создаёт перепад
уровней, градиент, являющийся предпосылкой продви-
продвижения решения.
Теперь перейдём к формальному описанию состава Р.
Операторы,
логические Их содержание
услсвия
М Оценка сокращенной исходной формы
N Оценка сокращенного результата „свернуто-
„свернутого" выполнения действия.
К Определение рассогласования между N и М
в логических координатах.
г 0, если рассогласование отрицательно,
ь ь—) '• если оно положительно,
| 2, если рассогласование найти трудно
(не удается).
Т Принятие решения о переходе к оператору Е.
Q Решение о переходе к D.
R Решение о переходе к G.
Р=Яг—является подструктурой 2(i.
<u2:MNKklT4Q4R- A.4)
Таким образом,3t является системой вложенных
структур. Можно согласиться с мнением Л. Б. Ительсо-
на о том, что общим принципом переработки информа-
информации как при формировании понятий, так и при их приме-
применении является иерархическое перекодирование, в про-
процессе которого образуются высшие символы, обозначаю-
обозначающие целую систему операций или свойств *).
Во второй главе мы показали, как происходит этот
процесс при формировании понятий. В третьей и осо-
особенно <в четвертой главам — пытаемся показать, как при
*) Этому вопросу посвящено также приложение 3.
213

решении математических задач «свернутые» понятия
выступают как модели 'классов объектов, к которым от-
относятся задачи, и, соответственно, «ак модели способов
их решения. Можно 'предположить, что приведенные фор-
формальные структуры имеют более широкий характер и
выходят за рамяси ограниченного эксперимента, описан-
описанного выше.
2. Модель вторая
Ниже предпринята попытка построения с позиций
операторно-логических форм модели для задач несколь-
несколько иного типа — на доказательство математических тож-
тождеств. Для этих задач характерно, что одна часть равен-
равенства (допустим, левая) после ряда преобразований при-
приводится к другой части (правой). В отличие от родст-
родственных примеров на упрощение выражений, здесь перед
глазами учащихся готовый ответ, с которым можно срав-
сравнивать текущие преобразования, и это, с психологической
точки зрения, создает особую ситуацию.
-Приводим протокольную запись «мышления вслух»
учащегося 10 кл. при доказательстве тригонометрическо-
тригонометрического тождества: ctg-g—2ctga=tg-2".«... Аргументы в обеих
частях не одинаковы и функции тоже... В левой части
разность {АВ}. Приведем левую часть к -|- {С}, ctga
надо рассмотреть как функцию двойного аргумента {/'}.
Так мы не упростим {#}. (Выпало обоснование: не знаю
формулы котангенса двойного аргумента {BN} — С. Ш.)
Заменим слева ctg через tg(D) и воспользуемся танген-
тангенсом двойного аргумента {F}. Функции и аргументы будут
как в правой части {#}, это то, что нужно {BN}. Проде-
Проделаем:
tg-2-
Тождество доказано {HBNT}.» ¦
Опишем механизм явления с помощью операторов и
логических условий (табл. 27).
214

Опера-
Операторы
А
В
С
D
Е
F
G
Логичес-
Логические усло-
условия
Содержание оператора (логического усло-
условия)
Сравнение обеих частей равенства.
Выработка сигнала рассогласования.
Предварительный выбор ответного
действия.
Выбор другого ответного действия.
Выбор уточняющей координаты.
.Свернутое" выполнение ответного
действия или обнаружение невозможно-
невозможности выполнения.
.Развертывание" ответного дейст-
действия.
Таблица 27
Пояснение
Обозревается и осмысливается задача: условие (лева*
часть), ответ (правая часть). В них сравниваются аргумэнты,
функции, математические действия.
Оценивается степень отличия левой части тождества от
правой и вырабатывается управляющий сигнал рассогласования
(.выдачи на исполнение'),
Выбирается пробное действие—из множества возможных
ответных умственных действий,—которое (ориентировочно)
должно приблизить левую часть к правой, то есть умень-
уменьшить рассогласование.
Отражает факт, что предыдущий выбор не привел' к
уменьшению рассогласования. Осуществляется выбор другого-
действия из того же множества.
Если рассогласование уменьшилось, но еще сохраняется,,
то выбирается пробное действие для дальнейшего приближе-
приближения к правой части.
На основе наиболее общих логических координат при
максимально сокращенном процессе рассуждений пытаются
предвосхитить примерный результат, без деталей. Процесс,
как правило, не осознается.
Если оператор F уменьшает рассогласование, то действие
зазвертывается для окончательного суждения о его целесо-
целесообразности.

to
СП
Продолжеше табл. 27
Опера-
Операторы
Логичес-
Логические усло-
условия
Содержание оператора (логического усло-
условия)
Пояснение
Сравнение промежуточного резуль-
результата с правой частью.
Сравнение текущего
ния с предыдущим.
Окончание работы.
рассогласова-
Р=
г=
1, если рассогласовайие
уменьшилось
О, в противном случае.
0, если последнее действие
было „свернуто"
1, если оно развернуто.
О, если рассогласование рав-
равно нулю
1—в противном случае
Если оператор А сравнивает условие (левую часть) с от-
ответом, то Н выполняет ту же роль для промежуточного
результата и ответа.
Необходимо для оцецки эффективности данного действия.
Свидетельство обращения рассогласования в ноль.
Данный шаг приблизил к ответу по сравнению с предыду-
предыдущим. р=-\ связано с развертыванием -действия. р=0 указы-
указывает на необходимость выбора другого действия, и это от-
отражено обращением к оператору D.
Переход к „q" возможен только при р=1. Если <7=0, то-
необходимо развернуть действие, то есть перейти к опера-
оператору G. 9=1—свидетельствует о полезности последнего пре-
преобразования. Остается выяснить, получен ли ответ, или на-
надо перейти к Е. Вопрос решается условием г.

Для описания упорядоченной последовательности ум-
умственных действий воспользуемся, как обычно, алгорит-
алгоритмом Ляпунова — Шестопал
5 2 134 S 4 153 2
ABC | F \ HBNp \q\r\E\ \T.\D\ \G\. B.1)
Составим таблицу значений логических условий и
соответствующих операторных последовательностей
(табл. 28).
Рассматриваемые операторы — сравнения, выбора,
выполнения действия — являются сложными структура-
структурами, подпрограммами общей программы. Они имеют при-
примерно такой же состав, как в первой модели (§1). Вер-
Вернемся к примеру и попытаемся в операторно-логическои
форме описать мышление учащегося. Для этого в про-
протокольной записи (в фигурных скобках) указаны опера-
операторы, соответствующие отдельным высказываниям. АВ—
сравниваются обе части равенства и отмечается их отли-
отличие (рассогласование). С — выбирается первое пробное
умственное действие. F — ctga рассматривается как
f(co/2); конкретный вид функции f пока не сознается, за-
зависимость ctga от а/2 отражена на «высшем» функци-
функциональном уровне. Я— требуемого результата не получа-
получается (сравнение с ответом). BN— рассогласование
велико, оно не уменьшилось по сравнению с условием.
Значит, /7=0, и переходят к D, т. е. выбору другого дей-
действия, отправляясь снова от условия. F—tga входит в
ориентировочную связь: tg2a=f(tgai)—этого достаточно
для первой оценки целесообраз'насти преобразования.
Я— предвидится сближение левой и правой частей.
BN — уменьшилось, по сравнению с предыдущим,
рассогласование. Следовательно, /7 = 1,— и переход к ло-
логическому условию q.
Но q=0 — действие «выполнено» только ориентиро-
ориентировочно, поэтому, согласно B.1),— переход к оператору G,
выполнение развернутой цепочки преобразований.
HBNT—-полученный результат совпал с правой частью;
рассогласование исчезло (несомненно, уменьшилось):
р = 1; <7=1. Переход к логическому условию г. г=0,—
и обращение к оператору Т означает, что задача решена.
Отметим, что далеко не всегда удается получить от
испытуемых четко расчлененную картину рассуждений.
Многие учащиеся, взглянув на условие, сразу пишут
решение (оператор G), и у них самих создается иллю-
217

Таблица 28 •
р
0
0
0
0
1
1
1
1
ч
0
0
1
1
0
0
1
1
г
0
1
0
1
0
1
0
1
Операторная последователь-
последовательность
ABCFHBNDFHBNDFHBN...
ш
ш
ш
ABCFHBNGHBN
п
ABCFHBNGHBNT
ABCFHBNGHBNEFHBNEFHBN...
Пояснение
Циклы DFHBN пов-
повторяются, пока не по-
получим р—\—послед-
р—\—последнее действие прибли-
приблизило к ответу по срав-
сравнению с предыдущим.
Сокращенное выпол-
выполнение действия показа-
показало его целесообраз-
целесообразность. Теперь процесс
следует развернуть
(для контроля). В отли-
отличие от прежнего, про-
происходит обращение к
оператору „разверты-
„развертывания" G (выделен по-
полужирным) . После N
получаем: р—\, <7=1,
и дальнейший процесс
описывается следую-
следующими двумя строками.
Реализуется логичес-
логическое условие г. Если
г=0, то переход к опе-
оператору Г означает,
что пример решен.
г=1 —свидетельство,
что хотя последнее
действие и приблизило
к ответу, решение
еще не завершено.
Обращение к Е ха-
характеризует выбор но-
нового ответного дейст-
действия на основе уже
полученного промежу-
промежуточного результата.
Циклы EFHBN пов-
повторяются, пока не ста-
станет г=0, и тогда про-
процесс закончится, как
это видно из послед-
последней строки.
218

зия одноактности, отсутствия процесса предваритель-
предварительного обдумывания. Однако психологический анализ по-
показывает, что и в этом случае имеет место своеобразное
сокращенное рассуждение.
Приводим граф, описывающий функционирование
структуры B.1) (рис. 36).
Из B.1), табл. 28, а также из графа видно, что в
любом случае первой актуализируется психологическая
структура, соответствующая
последовательности ' операто-
операторов ABCF HBN*\ она закан-
заканчивается оператором N сравне-
сравнения полученного рассогласова-
рассогласования с начальным. Потом вклю-
включаются циклы.
1-й цикл: DFHBN. Обраще-
Обращение к нему происходит при
/7 = 0— свидетельство, что оче-
очередной шаг не приблизил к от-
ответу. Содержание цикла: вы-
выбор и ориентировочное («свер-
(«свернутое») выполнение действия.
Выход из цикла означает, что
«сближающее» действие, нако-
наконец, найдено. Если никакое из
известных испытуемому проб-
пробных действий не приближает
к ответу, то решение «зацикливается»,
нерешенным.
2-й цикл: GHBN. Реализуется при /7=1 (т. е. после
выхода из первого цикла) и q = 0. Его актуализация
означает, что выбранный шаг, по-видимому, удачен,
однако вывод сделан только на основании первой «при-
«прикидки». Поэтому необходимо повторить действия в «раз-
«развернутом» виде, со всеми деталями.
После однократного прохождения цикла «разверты-
«развертывания» <7—1. Если станет /7 = 0 (предположение о целе-
целесообразности выбранного действия не подтвердилось),
снова включается первый цикл. Если /7 = 1 (предполо-
(предположение подтвердилось),— срабатывает 3-й цикл.
3-й цикл: EFHBN. Имеет место при p = q — r=\. Хотя
целесообразность текущего шага подтвердилась, реше-
Рис. 36.
пример остается
до Ъ.
*) Соответствующие переходы «а графе занумерованы: от
219

ние не закончено. Оператор Е отражает выбор дальней'
шего шага .после чего вновь срабатывают («вложен-
(«вложенные» в третий) первый и второй циклы. Завершение
3-го цикла происходит при г = 0 — свидетельство о-полу-
о-получении ответа.
Итак, 3-й цикл (продвижения) =выбор действия +
+ свернутое (пробное) выполнение действия A-й цикл)+
^-развернутое действие B-й цикл). Такова формула
функционирования нашей модели.
Циклы отражают замкнутые психические акты, и их
связь, единство осуществляется с помощью логических
условий *). Действительно, процессом управляют логи-
логические условия риг, которые, в конечном итоге, опре-
определяются величиной рассогласования. Чтобы имело ме-
место сравнение рассогласований в последовательных
действиях, каждый раз необходим возврат к началу
(цикл), т. е. наличие обратной связи в психологической
модели мышления. В рассмотренном случае управляю-
управляющий сигнал о целесообразности выбранного преобразо-
преобразования вырабатывается вследствие сравнения результата
промежуточного действия с эталоном — известным отве-
ответом; Однако в ряде случаев этого недостаточно**), и
возникает 'потребность во внутренних стимулах. Вопрос
решается с помощью состояния, формализованного
логическим условием q. Предварительное сокращенное
(«свернутое») выполнение действий на основе наиболее
общих функциональных координат является, по-види-
по-видимому, вынужденной формой организации самоконтроля,
особенно при отсутствии или недостаточности внешних
эталонов для сравнения. Контрольный механизм про-
процессов «свертывания — развертывания», о котором мы
писали ранее, очевидно, есть не что иное, как отражен-
отраженная в сокращенных логических формах модели антици-
антиципирующая схема решения (Зельц).
Слабостью процесса «свертывания» объясняются
попытки многих учащихся с ограниченными математи-
математическими способностями решать задачи «в лоб», без
предварительной прикидки, предположения о возмож-
возможном результате [133]. Фактически речь идет о неспособ-
неспособности их психики к организации эффективно действую-
*) Это согласуется с представлениями Н. А. Бернштейиа о дис-
дискретных и непрерывных составляющих нервных сигналов [14], а так-
также- с гипотезой акцептора действия П. К- Анохина [6].
**) Хотя бы в тех задачах, где ответ неизвестен,
220

щей Линии обратной связи, отражаемой недостаточной
активностью операторно-логичеокой модели. Так, идеи
кибернетики позволяют по-новому взглянуть на природу
и структуру математического творчества. К этому во-
вопросу мы вернемся в § 5 в связи с проблемами програм-
программированного обучения.
3. Свернутость умозаключений как парциальное
проявление силы нервной системы
I. Мы сознаем, что описанные выше модели имеют
фрагментарный характер и речь идет скорее о разведке,
подходе к построению моделей мышления, о некоторых
моментах, которые для этого полезны. Приведенные
схемы требуют «развертывания», наполнения конкрет-
конкретным содержанием в реальной ситуации обучения.
Несомненно, центральной психологической «пружин-
«пружинкой» в механизме так называемого озарения является
процесс свертывания информации, проникновения в за-
задачу на уровне сокращенной логической формы, ее
основных ориентиров -— логических координат. Это, по-
видимому, относится не только к оператору F свернуто-
свернутого выполнения действия. Операторы А, Р предполагают
оценку и принятие решения на основе минимизирован-
минимизированной логической формы. Действия в снятой форме логи-
логических координат составляют внутреннее содержание
операторов выбора С, D, Е и т. д.
В связи с этим мы считаем необходимым вернуться
к вопросу о свертывании-умозаключений, неоднократно
обсуждавшемуся в данной книге, и рассмотреть его
в новом плане — под углом зрения парциального прояв-
проявления силы нервной системы в математической деятель-
деятельности. Этот вопрос, в связи со способностью школьников
к математике, впервые поставлен В. А. Крутецким [52].
На важность проблемы парциальных типов для изуче-
изучения специальных способностей указывал Б. М. Теплов
[ПО], [111].
Методика и организация эксперимента
В описываемом эксперименте, состоящем в решении
геометрической задачи на построение, участвовало 20
девятиклассников, математические способности которых
были изучены предварительно в ходе длительного на-
наблюдения и экспериментирования. В исследовании были
221

использованы представления о структуре и методике"
изучения математических способностей, предложенные
В. А. Крутецким E2], [53], а также методика, разрабо-
разработанная автором [116], [128], [136]. Среди испытуемых
были 10 человек с хорошими и 10 — со средними мате-
математическими способностями. Время, отведенное испы-
испытуемым на решение задачи, ограничивалось одним уро-
кем. Решение выполнялось без черновика.
Рис. 38.
Задача., Даны отрезок АВ и прямая I. Найти на пря-
прямой такую точку С, чтобы прямая была биссектрисой
угла при вершине С треугольника ABC.
Решение задачи. 4-й случай. Прямая пересекает
отрезок (рис. 37). Строим Ai симметрично А относитель-
относительно I. Проводим BAt до пересечения с прямой в точке С.
Если прямая делит АВ пополам, то она перпендикуляр-
перпендикулярна АВ, и задача имеет бесчисленное множество реше-
решений. Условия существования и единственности решения:
CD не перпендикулярно АВ; AD^DB; I % АВ.
2-й случай. Прямая пересекает продолжение АВ.
(рис. 38).
Результаты и их анализ
Решение математической задачи является деятельно-
деятельностью в ситуации выбора, в ходе которой осуществляет-
осуществляется организация, упорядочение имеющихся знаний.
В нашем случае решение сводится к двум построениям
— логическим координатам. ;
а) Построение точки, симметричной данной относи-
относительно оси.
222

б) Нахождение точки пересечения двух прямых.
В данной конкретной ситуации они выглядят так.
а) Построение Аи симметричной А относительно I.
б) Построение точки пересечения BAi с данной пря-
прямой.
Учащимся предстояло выбрать из того, что они зна-
знают, необходимые сведения и привести их в определен-
определенную систему. На языке операторно-логической модели
это означает — найти соответст-
соответствующие координаты, упорядочить
их в логическую форму и развер-
развернуть последнюю в операторную
структуру.
Все испытуемые с хорошими
способностями к математике
справились с решением задачи.
Из учащихся со средними мате-
математическими способностями за-
задачу решили двое. Однако, когда Рис. 39.
учащемуся Ч., не решившему за-
задачу, были показаны рисунки 37, 38, он легко разоб-
разобрался в построении и обосновал его. Больше того, Ч.
проанализировал решение, исследовал его на единст-
единственность и непротиворечивость, т. е. воспринял решение
обобщенно. Аналогичное явление имело место и у дру-
других учащихся со средними математическими способно-
способностями. Возникает вопрос, почему они не смогли само-
самостоятельно решить задачу. Можно было подумать, что
более способные учащиеся интуитивно «увидели» необ-
необходимые построения, а другие, вследствие ограниченно-
ограниченности интуитивных представлений, к этому не готовы.
Однако это не так. Логико-математический анализ
задачи показывает, что мышление учащихся должно
протекать в одном из следующих направлений. Найти
точку С, чтобы: 1) ZACD=ZDCB, 2) AC/CB=AD/DB,
3) DC—геометрическое место точек, одинаково удален-
удаленных от АС и ВС. Психологический анализ решения под-
подтверждает, что все испытуемые действительно обрати-
обратились к этим и только этим вариантам. Использование
первого направления сразу приводит к вышеописанным
решениям (рис. 37, 38). При втором варианте реше-
решение усложняется (рис. 39). Оно сводится к построению
равнобедренного треугольника BCF(BC=CF), для чего,
в свою очередь, необходимо получение точки At. Но
223

тогда равнобедренный треугольник и связанное с ним
построение — избыточны. При использовании 3-го вари-
варианта не видно прямых путей к решению задачи. Усло-
Условимся говорить соответственно об оптимальной A),
усложненной B) и плохой C) стратегии. Под стратеги-
стратегией будем понимать общее направление, идею решения,
которая конкретизируется на каждом этапе деятельно-
деятельности, реализующей решение. (В отличие от плана, содер-
содержащего основные узлы решения от начала до конца.)
В терминах наших моделей речь
,В идет о модификациях стратегиче-
стратегического оператора D и управляемом
им операторе тактического выбо-
выбора Е.
Есть основания предположить,
что, приступая к решению, учащие-
рис-40 ся> как пРавил0> еЩе не видят пре-
преимуществ той или иной страте-
стратегии, ни одна стратегия для них
не является предпочтительной. Об этом, в частно-
частности, свидетельствует тот факт, что ряд способных школь-
школьников вначале обратился к стратегиям 2 и 3. Некоторые
из них пришли к стратегии 1 только после реализации
стратегии 2, когда выявилась избыточность отдельных
построений. Напротив, часть менее способных учащих-
учащихся сразу остановилась на оптимальной стратегии, что
произошло,, по-видимому, случайно, так как решение
задачи не было ими получено. Оператор А начальной
оценки задания имеет, таким образом, пробный, ориен-
ориентировочный характер. Различие между способными и
менее способными к математике школьниками вырази-
выразилось в быстроте переключения, отказе от неудачно вы-
выбранной стратегии.
Учащиеся Д. и П. оба сначала выбрали стратегию 3
и выполнили примерно одинаковые ориентировочные
(для анализа) построения (оператор.Л) (рис. 40).
Однако Д., не найдя пути к решению, отказывается
от своего метода и вскоре обнаруживает более удачную
стратегию. П., напротив, предпринимает «отчаянные»
попытки вписать окружность, чтобы касательные к ней
из какой-то точки прямой «Ь> лрошли через точки А и
В. Не находя решения, П. пытается рассмотреть и дру-
другие стратегии, однако его мысли неизменно «вращаются
вокруг окружности». Задача остается нерешенной.
224

Основа, как'видим,— эффективность действия операто-
оператора Р оценки рассогласования и принятия решения
о «запуске» механизма выбора нового, стратегического
характера действия (оператора D).
Понятие быстроты переключения, характеризующее
гибкость математического мышления, сходно с извест-
известным психологическим понятием «лабильности» [108]. За
отсутствием более точного специального термина мы
будем условно называть быстроту нашего специфичного
переключения лабильностью математического мышле-
мышления. Эксперимент показывает, что одна лишь лабиль-
лабильность мышления еще не определяет успеха при решении
задачи. Так, некоторые учащиеся рассмотрели все 3
варианта решения, сравнительно легко переходили от
одной стратегии к другой (т. е. проявили высокий уро-
уровень Лабильности) и все же не обнаружили центрально-
центрального звена решения, т. е. симметричного отображения
одного из концов отрезка относительно /. В связи с этим
встает вопрос о некоторых достаточных условиях, обе-
обеспечивающих догадку.
Уже было отмечено, что и у испытуемых, справив-
справившихся с заданием, путь к решению задачи далеко не
всегда прямолинеен: имеются пробы, колебания, отступ-
отступления, переключения. Действительно, учащийся, остано-
остановившись на некоторой стратегии, сосредоточенно дума-
думает в «выбранном направлении», ищет план решения,
«нащупывает» стыки между операторами D и Е. Прохо-
Проходит некоторое время, и он переключается на другую
стратегию. Время ушло на «пробные шаги», угадывание
очередного хода, мысленное прикидывание. Приводим
психологический отчет учащегося Д., решившего задачу
в течение 15 минут. Д.: «... Построил симметричную
точку, соединил,— вот точка С».
Экспериментатор: — И «а это нужно 15 минут!?
Д.:— Я не сразу догадался.
Экспериментатор: — Как вы догадались построить
точку, симметричную Л?
Д.:—Сначала я хотел с помощью метода подобия
получить окружность, чтобы касательные к ней из то-
точек А и В пересекались на прямой ... Это не удалось.
(В работе действительно имеется 2 чертежа, отражаю-
отражающие соответствующие попытки построения окружности—
С. Ш.). Сам не знаю, почему я остановился на точке
Ль Я тогда даже не подумал, что она симметричная...

Одно только мелькнуло: углы 1 и 2 всегда равны.
(Независимо от положения точки С на прямой — С. Ш.)
Значит, С находится на продолжении BAi.
Учащийся Ч. в беседе отметил, что он также думал
о симметричном отображении концов отрезка относи-
относительно / и даже сделал соответствующее построение.
Это подтверждается также анализом его работы и на-
наблюдениями по ходу ее выполнения. Однако Ч. не оце-
оценил значения этого шага и прошел мимо решения за-
задачи.
Таким образом, Д. и Ч. оба сделали правильный
первый шаг, однако Д. решил задачу, Ч. — нет. Тот
факт, что у Д. симметрия «сработала» в данной ситуа-
ситуации и за первым построением последовало второе, сви-
свидетельствует о широте, обобщенности усвоения понятия
симметрии точек относительно прямой. Однако, как
указывалось выше, Ч. также мыслит обобщенно, и все
же у него симметрия только «проявилась». Дело в том,
что Д., еще фактически не выполнив первого построения,
уже «видел» следующий шаг, более важный, завершаю-
завершающий. Создается ситуация, когда учащийся словно лере- .
скакивает через первый этап, который, как мы видели
(совсем или частично), не отражается в сознании уче-
ученика. В связи с этим результат субъективно восприни-
воспринимается как ничем не детерминированный. Происходит то,
что П. А. Шеварев называет свертыванием рассужде-
рассуждений и соответствующих действий [137]. Процесс мышле-
мышления у Д. непрерывен за счет «свертывания» умозаклю-
умозаключений. В итоге — быстрый синтез логических форм из
отдельных координат *'.
Мышление Ч., напротив, прерывно, дискретно, раз-
развернуто. Он не способен сразу, одноактно увидеть, про-
проделать несколько шагов вместе, слитно. В этом суть.
Это не значит, что мышление Ч. инертно. Наоборот, Ч.
быстро делает предположения, лробует, переходит от
одной стратегии к другой. И все же скорость этих опе-
операций не становится у него скоростью переработки
полезной информации, т. е. мерой приближения к цели.
Речь идет об особом свойстве психики («дальновиде-
(«дальновидении») — способности как бы мгновенно увидеть и про-
*' В модели можно, по-видимому, говорить о «дальнодействии»
стратегического оператора, обеспечивающего эффективное переклю-
переключение с одного значения оператора Е (тактического выбора) на
другое.
226

извести последующие действия, не производя явно пре-
предыдущих.
Теперь мы подошли к главному — мыслительная
функция способных к математике учащихся в большей
степени определяется эффективностью оператора Fсвер-
Fсвернутого выполнения действия. Одна из особенностей
«свернутого решения»—неожиданность для решающего
появления результата в данный момент, временная не-
неопределенность результата («Вдруг увидел», «Мелькну-
«Мелькнуло» и т. д.). Учащийся Ш. сказал: «Посмотрел на эти
точки (А и Ai — С. Ш.), и тут, как током ударило,—
чувствую, что задача решена». ^
Экспериментатор: — Что значит «чувствую»?
Учащийся объясняет и обосновывает дальнейшее
построение.
Экспериментатор: — Вы так рассуждали, анализиро-
анализировали?
Ш.:—Не анализировал. Сначала, правда, рассуж-
рассуждал, пробовал и вдруг как-то сразу увидел решение.
Вообще, анализировать легко, когда задача решена,
а догадаться-—это совсем другое ...
Эту же мысль так или иначе выразили и другие ис-
испытуемые. Анализ процесса «мышления вслух» при
решении учащимися задачи полностью подтверждает
факт временной неожиданности догадки. Может пока-
заться, что учащиеся после построения симметричной
точки пришли к известной задаче, к ранее усвоенной
логической форме и, не решая, просто вспомнили ответ.
Но в том-то и дело, что они таких или подобных задач
прежде не решали. Далее, если бы здесь имел место акт
памяти, то сомнительно, чтобы все испытуемые могли,
не задумываясь, сразу обосновать построение, как это
имело место во всех случаях при решении данной за-
задачи.
В связи с резким продвижением решения задачи
в момент «свертывания» можно, вероятно, говорить
о возрастании скорости получения полезной информа-
информации учащимися. Речь идет об экономной организации
процесса переработки информации, своеобразном каче-
качественном скачке, характерном для математического
мышления способных к математике школьников. Если
рассмотреть нешаблонную задачу как сильный раздра-
раздражитель, а ее решение как ответную реакцию, то вероят-
вероятной предпосылкой изменения скорости (возникновения
15» 227

п
о
время
Рис. 41.
ускорения) Является сила нервной сйсТемь!, точнее, ее
парциальное проявление в сфере математической дея-
деятельности.
Проявление силы в момент «свертывания»- мы пред-
представляем себе примерно так (рис. 41).
Существенна не только площадь, выражающая «им- ¦
пульс силы» /та»А/, но и отношение fmax/At, т. е. прояв-
проявление больших значений силы в малое время. На осно-
основании вышесказанного мы думаем, что «свернутость»
мышления характеризуется, по
крайней мере, следующими осо-
особенностями: большими скоростя-
скоростями протекания процесса; неосоз-
наваемостью для учащихся про-
проявления соответствующих связей;
моментами высокого напряжения
возбудительного процесса.
Следующая теоретико-инфор-
теоретико-информационная модель удовлетвори-
удовлетворительно объясняет связь между
этими компонентами. Каждая
обобщенная ассоциация (точнее,
соответствующие нервные свя-
связи) является каналом для про-
проведения информации определенного типа. Важная ха-
характеристика канала — его пропускная способность, ог-
ограничивающая объем информации, проводящейся в еди-
единицу времени. Скорость прохождения информации
по нервному каналу, вероятно, определяется разностью
между силой возбуждения и торможения. При значи-
значительном торможении информация передается относи-
относительно медленно, и все этапы процесса её переработки
осознаются. Если под действием некоторых факторов
торможение уменьшается, то может наступить явление
«сверхпроводимости». Речь идет о таких скоростях, при
которых процесс переработки информации воспринима-
воспринимается как мгновенный, свертывается, не осознается. При
возникновении затруднений возрастает действие тормоз-
тормозного фактора и происходит «развертывание» (замедле-
(замедление актуализации, осознавание) выпавшей системы умо-
умозаключений и действий.
Таким образом, «свертывание» характеризует осо-
особый, оптимальный уровень переработки математической
информации за счет динамического регулирования воз-
233

буДйтельйО-торМбзногО сйлоВбго градиента. При обра-
образовании логических форм (и координат) действия обо-
обоснования фактически не выпадают — они только произ-
производятся настолько быстро, чч-о уже не подконтрольны
сознанию. Свертывание — это не разрыв операторной
структуры, а уплотненная непрерывность. Не претендуя
на полную адекватность гипотетической «силовой»
модели, попытаемся объяснить на её основе некоторые
факты.
1) Многократно отмеченный щ литературе феномен
связи между так называемыми осознаваемыми и неосо-
неосознаваемыми процессами в умственной деятельности
можно, вероятно, объяснить тем, что «свернутость»,
являющаяся во многих случаях причиной неосознава-
ния, есть функциональное состояние, связанное с опре-
определенным скоростным режимом работы соответствую-
соответствующих информационных каналов. Возрастание скорости
переработки информации выше некоторой грани снижа-
снижает степень сознавания процесса, и, напротив, уменьше-
уменьшение скорости—приводит к его осознаванию.
В [116] высказана гипотеза о том, что сила нервной
системы является причиной, превращающей общую под-
подвижность, скорость вообще в скорость переработки
полезной информации. Если так, то мы здесь, возможно,
сталкиваемся с особым проявлением силы при перера-
переработке математической информации. Это согласуется с рй-
потезой В. А. Крутецкого о парциальном проявлении
силы нервной системы в математической деятельности
у способных к математике школьников [52].
2) «Свертывание» зависит от способности нервных
каналов к одновременной переработке больших объ-
объемов 'информации ири минимальном торможении; оно
обеспечивается выдерживанием длительного возбужде-
возбуждения (при решении математических задач) без обнару-
обнаружения запредельного торможения и, следовательно,
связано с наблюдаемой повышенной умственной работо-
работоспособностью способных к математике школьников A16}.
3) Возможны 2 пути к. «свертыванию»: постепенное
преодоление инерции нервных каналов в результате
большого числа однотипных упражнений и быстрое
свертывание вследствие особой «податливости» нервной
системы, её готовности к проведению информации при
минимальном торможении. Экспериментально установ-
установлено, что именно во втором случае мы сталкиваемся
229

С проявлением математических способностей. .Нами
была сделана попытка подкрепить модель лроцесса
«свертывания» специальным экспериментом на исследо-
исследование связи между способностью к «свертыванию» и
силой нервной системы, когда она проявляется как ум-
умственная работоспособность при длительном решении
математических задач.
Автор, работая 'преподавателем математикзи ib школе,
в течение целого учебного года проводил с этой целью
один раз в неделю строенные уроки, на которых испыту-
испытуемые решали математические задачи по всем разделам
курса. Способным учащимся давались задачи повышен-
повышенной трудности, так что все испытуемые работали напря-
напряженно, почти на пределе, но с большим интересом.
В качестве индикатора степени утомляемости учащихся
была использована их скорость вычисления при рабо-
работе с логарифмической линейкой. Методика и организа-
организация эксперимента описаны в [127]. «Замеряя» с ломо-
щью теоретико-информационных методов скорость
вычислений испытуемых до и после решения математи-
математических задач, мы судили о степени усталости учащихся.
Затем сопоставлялись индивидуальные результаты ско-
скорости вычислений: в широком плане — с математиче-
математическими способностями учащихся в целом и в узком
плане —со способностью к свертыванию рассуждений
и соответствующих действий, к образованию логических
форм и логических координат. Что касается первого, то
обнаружилась прямая связь между умственной выносли-
выносливостью учащихся при решении математических задач и
их математическими способностями. Если рассмотреть
информативность задания как меру его трудности (не-
(нешаблонности), то количество информации, переработан-
переработанной способными учащимися во время эксперимента,
значительно превышает соответствующий информацион-
информационный объём, переработанный менее способными учащи-
учащимися. И все же способные уставали меньше. Выясни-
Выяснилось также, что явление имеет парциальный характер:
после трех уроков — литературы, истории, иностранного
языка—скорость вычисления у способных к математике
учащихся в среднем оказалась ниже, чем после трех
уроков напряженных занятий математикой. Для иссле-
исследования связи со способностью к «свертыванию» на
отдельных этапах предлагались задачи, решение кото-
которых невозможно без «сокращения» некоторых звеньев
230

мыслительного процесса. Например, давались для уст-
устного решения задачи, содержащие значительное количе-
количество преобразований, так что при развернутом решении
просто невозможно запомнить промежуточные резуль-
результаты и, следовательно, справиться с заданием.
Опишем в общих чертах один из экспериментов.
Менее трех минут (потребовалось способному к матема-
математике А. для решения примера.
тг 2 cos1 а — cos а .,
Упростить: ¦2tg(w/4_B)8ln,W4 + .)co8B • Мы ПОПР°СИЛИ
учащегося рассказать ход мышления. А. «с места» на-
написал:
2cos3 а—cos a=cos «cos 2а.
Экспериментатор: — Вам известна такая формула?
А.:—Это легко 'получается.
Экспериментатор:—Вы помните эту формулу?
А.:—Я ее выведу. (Делает, не задумываясь, необхо-
необходимые преобразования.)
Экспериментатор:— Вы так решали в уме?
А.:—Так подробно — нет, я сразу увидел, что полу-
получается.
Экспериментатор:—Но Вы же как-то выводили, ког-
когда решали?
А.:—Кажется, нет. Если все делать, то одно «захле-
«захлестнет» другое..-. Думать приходится над тем, что не
очевидно...
Экспериментатор:— Из каких соображений Вы заме-
заменили tg(rt/4^ai)=ctg(rt/4 + a)?
А.: — Я заметил, что получается:
(/) (/)
sin (я/2 + 2a) =cos 2a.
Экспериментатор: —* Вы так подробно рассуждали?
Д.:— Нет, я сразу увидел, что получается cos 2a и
т. д.
Примерно так же протекало «мышление вслух» при
решении примера другими способными учащимися. На-
Наличие свернутой системы умозаключений обеспечило
одновременное и быстрое рассмотрение нескольких дей-
действий и выбор пути решения примера. Из 8 участвовав-
участвовавших в эксперименте способных к математике девяти-
девятиклассников 6 решили пример устно, 2 — при минималь-
минимальном числе записей промежуточных равенств. (Это
после 3 уроков решения сложных задач творческого
характера.) Как показал анализ, основой их решений
231

является свертывание рассуждений и соответствующих
действий, своеобразное поглощение последующими логи-
логическими формами — предыдущих. Напротив, ни один из
10 испытуемых со средними математическими способ-
способностями не справился с устным решением примера. Все
жаловались на невозможность «все запомнить», а неко-
некоторые — на усталость и даже на головную боль. Полу-
Получив разрешение на письменное выполнение задания,
учащиеся решили пример, однако их решения'были раз-
развернуты, изобиловали излишними деталями, преобразо-
преобразованиями. По итоговым результатам эксперимента на
одно решение примера этими учащимися приходится,
в среднем, в 1,8 раза больше развернутых математиче-
математических и логических переходов, чем на решение примера
способными к математике школьниками. Аналогичные
результаты «получились <и в других экспериментах. Ока-
Оказалось, что чем труднее задача, тем больше относитель-
относительный «коэффициент свернутости» у способных <к матема-
математике учащихся.
Таким образом, способность к «свертыванию», по-ви-
по-видимому, является одной из форм парциального проявле-
проявления силы нервной системы лри решении математических
задач.
П. Для большей убедительности полученных результатов по-
покажем на отдельных наблюдениях н экспериментах нз практики
обучения, что неспособность" учащихся к свертыванию (рассужде-
ннй, преобразований), незрелость логических форм, слабость логи-
логических координат являются причиной феномена сплошности в мыш-
мышлении, о которой мы писали в § 1, гл. П. При этом мы не претен-
претендуем на какую-лнбо полную класснфнкацню всех проявленнй сплош-
сплошности.
1. Неспособность к извлечениям. ((«Только подряд».)
а) Правило. Чтобы перемножить 2 относительных числа, надо
перемножить нх абсолютные значения и взять произведение со зна-
знаком «+», если знаки сомножителей одинаковы, н со знаком «—»,
если они противоположны.
Наблюдение. Шестиклассники свободно пользуются правилом при
решении примеров, и может показаться, что усвоена его логическая
форма. Однако в ответ на вопрос об умножении двух чисел с про-
противоположными знаками многие учащнеся чнтают полный текст пра-
правила, не в состоянии сократить его, сделать извлечение.
б) Наблюдение. Некоторые студенты 3-го курса фнзмата помнят
преобразования, избавляющие от эквивалентности: х~у<—*(х-*
—+У) (У—*)«—K^V У) (х V '?)¦
На вопрос об исключении импликации онн затрудняются отве-
ответить, хотя соответствующее преобразование (х—>-#«—*x\fy) входи-
входило компонентом в ответ на предыдущий вопрос.

S обоих случаях (a, 6) проявляется недостаточность опера-
оператора свертывания F: нз операторных структур не вычленнлнсь веду-
ведущие логические координаты.
в) Эксперимент. Студенты забыли определение предела после-
последовательности. Им напомнили главную логическую координату
(\ап—а\<г для n>N), но значительной части испытуемых это не
помогло. Когда было сообщено начало определения (для каждого
е>0 существует N...), большинство быстро восстановило его полно-
полностью.
г) Некоторые восьмиклассники, умеющие решать полные квад-
квадратные уравнения (x2+px+q=Q), не справляются с неполными
уравнениями (x2+q=Q; х2+рх=0), т. е. с частными случаями. Еще
чаще школьники не готовы к решению неравенств, скажем, типа
#2<а(а>0), хотя знакомы с алгоритмом решения полных квадрат-
квадратных неравенств. Ясно, что структура решения не поддается сверты-
свертыванию.
2. Неправомерное обобщение. (Перенос части на целое, «не-
«нечувствительность к ограничениям.)
а) Определение степени как произведения равных сомножителей
механически переносите» многими школьниками на произвольную
степень. В итоге неясно, зачем специально выводятся законы дей-
действий над степенями, скажем, с рациональными показателями.
б) Учащимся известно, что хг+аг не разлагается на множители.
Но это верно только на множестве рациональных чисел. Для более
широких множеств справедливы разложения:
хг + а*^ (х + а — УШх) (х + а +У2ах) и х2 + а2 = (x+ai)(x — ai).
И все же «табу», наложенное на разложение суммы квадратов,
столь сильно, что, как показывает эксперимент, многие десятиклас-
десятиклассники, перемножившие (x+ai) (х—ai)=x2+a2, отрицают возможность
разложения *2+а2 на линейные множители.
в) Пример ошибочного доказательства приводит Ф. Клейн
(Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1.
ОНТИ НКТП, 1935.) Геометрически доказывается тождество
(а—b)(c—d)=ac—ad—bc+bd для a, b, с, d>0; a>b; c>d. Далее
допускают: а=с=0 (нарушение одного нз элементов условия) н
получают (—Ь) (—d)=bd. — Правило знаков прн умножении отри-
отрицательных чисел «доказано». Во всех случаях происходит неправо-
неправомерное «выключение» какой-либо логической координаты, что свиде-
свидетельствует о дефектах в механизме «свертывания».
3. Неспособность к переключению. («Только как раньше».)
а) Наблюдение. Группа студентов 1-го курса, усвоивших правило
вычисления модуля вектора, заданного в виде а {х, у, г), де в со-
состоянии решить такую же задачу для вектора, записанного в другом
виде: a=xl+y]+zJc.
б) По ходу решения уравнения итерационным методом требует-
п
ся доказать: |—-g-sin ядс| <1 на сегменте [1, 2]. В аналогичном
примере, решенном в учебнике, на сегменте A, 2] рассматривается
функция 1/3 Vх8. На основе монотонного убывания заключают, что
ее наибольшее значение (прн *=1) равно 1/3 (т. е. меньше 1). Но
в данном примере синус не убывает, и многие студенты физмата не
в состоянии доказать неравенство, хотя все, конечно, знают, ^что сн-
нус ео абсолютной величине меньше 1. Включение варьируемых
признаков в логические координаты; слабость переключения (на-
233

Пример, ограниченность операторов ?) и Ё в (б)) говорит 6- несфор-
мированности соответствующих логических структур.
4. Неадаптивность мышления («как привычно, а ие как надо»).
а) Наблюдение. Требуется доказать:
sin2 х — cos2x
sinх cos x =tg*-ctgx.
Здесь достаточно произвести в левой части почленное деление
на знаменатель, чтобы получить ответ. Однако некоторые девяти-
девятиклассники производят другое преобразование —2cos 2*/sin 2x (уво-
(уводящее в сторону) только потому, что оно более привычно.
б) Пример. Упростить: —sin2*—cos2*+cos22x. Решение: —1 +
+oos22*. Далее ряд ртащихся испытывает затруднения, хотя сле-
следующее преобразование такого же типа, как предыдущее, только
осложненное дополнительным действием — вынесением (—1) за
скобки.
в) Требуется исследовать корни квадратного уравнения х2+5х+
+ 10=0. Из протокола ответа абитуриента на вступительном экза-
экзамене
«Xi + Xs = —5, Xi-xs=10.
Произведение положительно — знаки корней одинаковы. Сумма
отрицательна, значит, и корни отрицательны...». В действительности
корни — мнимые, и рассуждение абсурдно. Специальное изучение
вопроса показывает, что в подавляющем большинстве случаев уча-
учащимся приходится исследовать корни, когда дискриминант (.D)
больше нуля. В соответствующей алгоритмической процедуре со-
знавание оператора <Проверки знака дискриминанта» притупляется.
Элиминируется и логическое условие: <Если D<0, то корни мнимые;
если D^O, то... а т. д.». Возникшая логическая форма оказывается
существенно неполной. В итоге — решение по принципу «Делай как
всегда». Эксперименты, поставленные со школьниками и студентами
на протяжении ряда лет, позволяют заключить, что в большинстве
случаев «плотность» в мышлении учащихся по одним показателям
коррелирует со сплошностью по другим показателям, и можно, по-
видимому, ставить вопрос о проявлении ограниченности математиче-
математических способностей.
4. К вопросу о связи между логикой и интуицией
в математическом мышлении
В конце предыдущего параграфа показано, что важ-
важнейшей особенностью «сверток» является их выпадение
из сознания (при решении человеком математических
задач) вследствие относительно большой скорости про-
протекания возбудительного процесса. В этом случае меха-
механизм решения часто воспринимается учащимися и педа-
педагогом как 'Проявление интуиции. Таким образом, алго-
алгоритмический подход к обучению и мышлению позволяет
234

исследовать некоторые истоки отдельных видов мате-
математической интуиции и поставить вопрос о связи между
логикой и интуицией в математическом мышлении, в ча-
частности, об «интуитивной природе» главных операторов
мышления: А, Р, С, D, Е и др.
Вопрос о связи интуитивного и формально-логиче-
формально-логического в мышлении (в частности, математическом) в пси-
психологической литературе мало исследован. Между тем,
эта связь является важным звеном в механизме челове-
человеческого мышления. Мы попытались на конкретном учеб-
учебном материале и с позиций гипотезы об .операторно-ло-
гическом мышлении подойти к постановке вопроса.
С этой целью казалось полезным изучение в указанном
плане некоторых психологических особенностей усвоения
студентами-математиками первых разделов теории
множеств, в которых обнаруживается недостаточность
выработанных средней школой интуитивных представле-
представлений. Следует подчеркнуть, что из-за ограниченности и
выборочности материала мы не делаем никаких общих
выводов. Речь идет только о возможном подходе к по-
постановке задачи.
Теория множеств, в которой математическое мышле-
мышление совершает качественный скачок от конечных сово-
совокупностей к бесконечным, доставляет нам примеры, ког-
когда интуиция, возникшая в сфере конечного, отказывает
в новой ситуации. Уже факты взаимно-однозначного
соответствия между множеством натуральных чисел и
множеством четных чисел-, образующим его часть, еро-
тиворечат сложившимся ранее представлениям. Но за-
закон у=2х логически убеждает, что соответствие дейст-
действительно имеет место. Далее оказывается, что множест-
множество рациональных чисел также эквивалентно множеству
натуральных чисел. Один довольно способный к матема-
математике студент «признался»: «Я, конечно, понимаю, что'
в доказательстве все правильно. Умом понимаю, а'ред
как-то не верится, не вижу...» Интуиция, рождения'
в недрах конечных множеств, обладает инерцией и .не,;
сразу уступает место «интуиции бесконечного». .'^
Попытаемся с помощью психологического анал'йач
вскрыть причины и механизм явления. Процесс обраще-
обращения учащихся с конечными множествами привел к логи-
логической формуле: если 2 множества конечны и число их
элементов одинаково, то между ними можно установить
взаимно-однозначное соответствие (они эквивалентны),

если у них разное число элементов, то такого соответ-
соответствия установить нельзя.
В операторной форме алгоритм распознавания вы-
выглядит так.
1. Подсчитай число элементов 1-го множества.
2. Подсчитай число элементов 2-го множества.
3: Если числа равны, то элементы можно привести
во взаимно-однозначное соответствие. В противном слу-
случае— этого сделать нельзя.
. Алгоритм ни в операторной, ни в логической форме
учащимся и учащимися явно не формулировался. Боль-
Больше того, учащиеся, как правило, даже не знакомы с по-
понятием взаимно-однозначного соответствия, Тем не
менее они, сами не подозревая, ориентируются на осно-
основе приведенного алгоритма. Об этом свидетельствует
эксперимент с Ирой К. A-й класс).
На доске в произвольном порядке стоят шахматные
фигуры.
Экспериментатор:—Скажи, пожалуйста, можно ли
против каждой черной фигуры поставить белую?
Девочка подсчитывает число белых фигур, затем —
число черных.
Ира:—Нельзя, белых нехватает.
Другие дети отвечали: «Черные фигуры остаются».
По существу, они ироводят мысленный эксперимент
по приведению 2-х множеств во взаимно-однозначное
соответствие: первый против первого, второй — лротие
второго и т. д. (Некоторые первоклассники «материа-
«материализовали» счет: ставили против каждой черной фигуры
белую). Средние и старшие школьники решали задачу
аналогично. Логическая форма рассматриваемого пра-
правила содержит 2 координаты: а) Множество конечно,
б) Множества с одинаковым числом элементов можно
привести во взаимно-однозначное соответствие, с разным
— нельзя. Поскольку сфера деятельности учащихся ог-
ограничивалась конечными множествами, первая коорди-
координата постоянна. При многократном повторении ситуации
оказывается, что ее сознавание не необходимо для пра-
правильного решения задачи. В этом случае, согласно
закономерности, установленной П. А. Шеваревым, сте-
степень сознавания этой координаты должна уменьшаться,
и она попадает в сферу свертывания [137 стр. 169]. В ито-
итоге — более или менее отчетливо сознается только вторая
логическая координата: между одинаковым числом эле-
236

ментов можно установить взаимно-однозначное соответ-
соответствие, между разным числом — нельзя.
Вайно следующее. Возникновение и состав опера-
операторной формы; образование логической формы; вычле-
вычленение логических координат и особенно доминирование
второй Координаты — не сознаются учащимися как еди-
единый, взаимосвязанный процесс. Поэтому ведущая логи-
логическая координата воспринимается как существующая
изначально и независимо. Но вот студенты столкнулись
с необходимостью решения вопроса об эквивалентности
бесконечных множеств. Если бы ориентирующая коор-
координата вызвала соответствующую операторную (или
логическую) структуру, то студентам стало бы ясно,
что процесс счета здесь не применим, и открылся бы
ограниченный характер самой координаты. Но в том-то
и дело, что такой развертки не происходит, и учащиеся
недоумевают: «... В однрм множестве 'чисел больше,
в другом — меньше, как же они эквивалентны?». На
наш вопрос, почему при эквивалентности обязательно
одинаковое число элементов, испытуемые, как правило,
отвечали: «Так всегда», «Как же иначе?» и т. д. В соот-
соответствии с неправильной оценкой ситуации (недостаточ-
(недостаточностью оператора Р) —ложное заключение (ложность
оператора D).
Мы проследили, как, в соответствии с логикой' про-
процесса, возникают ограниченные координаты, которые
затем отделяются, становятся над процессом, вне его и
принимают форму интуитивных представлений. Здесь
логическое генетически предшествует интуитивному. Так
в ряде случаев удается обнаружить «логическую пре-
предысторию» интуиции. Новая логика вызывает новую
интуицию — интуицию бесконечного, и, таким образом,
интуиция развивается под контролем логики. В модели
это отражается совершенствованием механизма дейст-
действия оператора D. Однако ломка «конечных представле-
представлений» этим не ограничивается. Дальше на студентов
«обрушиваются» уже вовсе не очевидные вещи. Если
сегмент [0, 1] разделить на 3 равные части и удалить
средний интервал, затем повторить процесс для остав-
оставшихся сегментов и далее неограниченно его продол-
продолжить, то оставшееся от сегмента после всех удалений
множество — канторово множество — имеет нулевую
«длину» (меру): 1 —A/3 + 2/9 + 4/27+...) =0. Результаг
интуитивно угадывается еще до подсчета. И хотя гео-
237

метрическая интуиция подсказывает, что, кроме концов
сегментов, остается «что-то еще», равномощность кан-
торового множества нулевой меры множеству / точек
всей числовой оси воспринимается как неожиданность.
Этот факт трудно было предвидеть на основе ^ложив-
^ложившихся представлений. Однако логика доказательства
безупречна, и интуиция вынуждена перестраиваться,
приспосабливаться.
Интуитивные представления о бесконечности у школь-
школьников, пришедших в вуз, примитивны. Так, при изуче-
изучении математического анализа часто обнаруживается
следующий факт: студенты уверены, что всякое беско-
бесконечное множество имеет предельные точки. Указание
на натуральные числа заставляет их изменить представ-
представление по данному вопросу. Возникают, вообще говоря,
правильные предположения о плотности, непрерывности
множеств как условий наличия предельных точек и
т. д. Однако очень редко (в наших экспериментах из
20 случаев — 2 раза) студентами ставится требование
об ограниченности бесконечных множеств. Мы устано-
установили, что испытуемые часто воспринимают понятия
«бесконечно» и «ограничено» как несовместимые. («Раз
бесконечно, значит, не ограничено. Бесконечно ведь...»).
Оказывается, в средней школе у учащихся выраба-
вырабатываются представления преимущественно о так назы-
называемой потенциальной (становящейся) бесконечности,
величине, которая в процессе изменения может стать и
оставаться по абсолютной величине больше любого
сколь угодно большого наперед заданного положитель-
положительного числа. При этом незавершенность процесса измене-
изменения ошибочно воспринимается школьниками как его
неограниченность в пространстве. Этому способствуют
известные учащимся примеры бесконечных множеств:
множество рациональных чисел, числовая ось, плос-
плоскость и т. д. Так на базе иевернои геометрической инту-
интуиции возникает неправомерный образ, бесконечного как
неограниченного. Интуиция, столкнувшись в математи-
математическом анализе с так называемой актуальной («завер-
(«завершенной») бесконечностью, нуждается в перестройке.
Возможно, именно с этим связаны значительные труд-
трудности усвоения студентами математического анализа на
первых курсах вуйа.; /
Для изучения тголй. логических координат в развитии
интуиции мы провели - Следующий эксперимент. После
238

определения и пояснения на примерах понятия замкну-
того множества (множество, содержащее все свои пре-
дельнке точки) мы попросили некоторых слушателей
ответить на вопрос: верно ли, что сумма замкнутых
•множеств замкнута. Все ответы испытуемых были утвер-
утвердительные. Мышление К. характерно и для других испы-
испытуемых.] «Если каждое множество содержит свои пре-
предельные точки, то и вместе, в сумме они их содержат...
Куда еще денутся предельные точки?...» Тут, конечно,
дефект логики: предельные точки суммы множеств мо-
могут не быть предельными для слагаемых. (Обратное
верно.) Мы попытались выяснить, понимает ли К., что
значение истинности прямого и обратного предложений
может не совпасть. Оказывается, понимает. Поясняет -
на примерах. Доказывает, используя аппарат алгебры
высказываний, что из х—и/ не следует у—ух и т. д.
Можно было предположить, что К. автоматически поль-
пользуется ложной логической формулой: из истинности
«для каждого» следует истинность «для всех». Но бесе-
беседа показывает, что он отдает себе отчет в недопустимо-
недопустимости такого перехода. Значит, ошибка —не общелогиче-
общелогическая. Может быть, 'К. не усвоил понятий «предельная
точка, замкнутое множество, сумма множеств»? Нет, он
овладел этими понятиями, по крайней мере, в той сте-
степени, в какой это необходимо для правильного ответа
на данный вопрос. Для убедительности К. приводит
примеры, когда сумма замкнутых множеств замкнута
(сумма нескольких сегментов). Он пытается доказать
свое утверждение и в. общем виде. Приводим выдержку
из протокола (мышление вслух). «Если а —предельная
точка суммы множеств, то/она предельна для некоторо-
некоторого слагаемого ...» (Это квазилогическая координата —
С. Ш.) *)
Экспериментатор: — Почему? К. — В любой окрестно-
окрестности «а» находится бесконечное множество точек суммы,
значит, хотя бы одного слагаемого... Одного слагаемо-
слагаемого ... Нет, кажется, это мне показалось.
Вскоре 'был построен опровергающий пример.
Анализ процесса мышления испытуемого подтверж-
подтверждает, что он исходил из свойств конечных множеств,
экстраполируя их на бесконечные множества. (Для ко-
*> Неспособность к развертыванию понятия «предельная точка»
в применении в конкретной ситуации — проявление слабости опера-
оператора G перевода понятия в операционную форму.
239

нечного числа множеств его утверждение верно.) Пере-
Перенос произошел «с места», без обоснований. Достаточно
было К. перейти к рассуждениям, т. е. развернуть, коор-
координату в систему действий, как оказалось, что /«интуи-
/«интуиция конечного» не выдерживает логического разюора. .
Некоторые испытуемые в подобной ситуации упорно
«доказывали», что предельная точка суммы предельна
и для какого-либо слагаемого. Это, как правило,, имело
место у менее способных к математике, но добросовест-
добросовестных студентов, у которых, таким образом, наиболее от-
отчетливо проявилась инерция незрелой интуиции. Речь
идет о дефектах в механизме функционирования опера-
оператора D. Логический анализ не проходит бесследно для
интуиции. Так, в последующей теореме (о пересечении
открытых множеств) большинство испытуемых уже не
считало очевидным, что пересечение — всегда открытое
множество, хотя возникающая здесь ситуация аналогич-
аналогична предыдущей. Подумав, они приводили примеры пере-
пересечения бесконечного множества открытых множеств, не
являющегося открытым множеством. Совершенствова-
Совершенствование интуиции имеет, таким образом, основой предшест-
предшествующий логический анализ. Характерно, что группа
студентов, для которых был изменен порядок изложения
материала, — сначала рассмотрела теорему об открытых
множествах, потом о замкнутых — не обратила внима-
внимания на специфику закономерностей для бесконечного
множества открытых множеств.
В ряде случаев, однако, интуиция опережает логику,
ведет ее за собой. Так, обосновывая самостоятельно не-
невозможность дедекиндовых сечений 4-го рода (нижний
класс имеет наибольший элемент, верхний — наимень-
наименьший), ряд студентов ссылается на то, нто в противном
случае у классов был бы общий элемент, что противоре-
противоречит определению сечения*). Психологический анализ
показывает, что утверждение, опирающееся одним кон-
концом на логику определения сечения, в. еще большей сте-
степени обязано интуитивному представлению рациональ-
*' Интересно, что о определении сечения фактияески нет пункта
о невозможности общих элементов. Однако по нашему требованию
студенты быстро «доводили» ссылку до определения: «каждое число
нижнего класса меньше каждого числа верхнего класса (по опреде-
определению), значит, общих чисел нет». Психологический анализ пока-
показал, что приведенное умозаключение явно отсутствовало в рассуж-
рассуждениях, но предполагалось. Вероятно, мы здесь столкнулись с фе-
феноменом «свертывания» рассуждений.
240 '¦

ных чисел, как образующих всюду плотное множество
на числовой оси.
Несомненный интерес представляет механизм возник-
возникновений геометрической интуиции. Не имея возможности
подробно осветить вопрос, укажем, что геометрические
представления явились побочными логическими коорди-
координатами логико-операторной структуры изображения дей-
действительных чисел бесконечными (десятичными) дробя-
дробями. Существенно, что координаты образовались непро-
непроизвольно, учащиеся над этим вопросом никогда ранее
не задумывались. Все же в подсознании представления
возникли, и, когда потребовалось, они актуализирова-
актуализировались. Однако сами учащиеся не догадываются, на чем
основано их геометрическое «видение». Об этом свиде-
свидетельствует тот факт, что испытуемые оказались не в со-
состоянии сразу убедительно обосновать ложность пред-
предположения, при котором имеется наибольший элемент
нижнего класса (/ч), не совпадающий с наименьшим
элементом верхнего класса (г2) (хотя все утверждали,
. что «это невозможно, потому что... как же это возмож-
возможно»), тогда как достаточно было сослаться на плот-
плотность множества рациональных чисел. Однако после
некоторого размышления студенты приходили к выво-
выводу, что между Ту и г2 можно вставить 3-е рациональное
число, которому фактически нет места во множестве
рациональных чисел. Таким образом, основой правиль-
правильного ответа испытуемых послужила геометрическая
интуиция — не доведенные до логических, обоснований
представления,— и только впоследствии появились не-
необходимые ссылки.
Связь между формально-логическим и интуитивным
в мышлении.отчетливо проявилась при психологическом
исследовании усвоения студентами леммы Бореля
о покрытиях. (Из бесконечного покрытия сегмента ин-
интервалами можно выделить конечное подпокрытие.)
Первое впечатление слушателей после ознакомления
с содержанием леммы — её геометрическая очевидность.
В беседах удалось выявить природу интуиции. У сег-
сегмента— конечная длина. Значит, как бы ни были малы
интервалы, можно выбрать несколько из них для той же
роли покрытия сегмента. Однако в опорном образе от-
отсутствует существенная особенность, характеризующая
структуру сегмента (его замкнутость), вследствие чего
интуиция «пробуксовывает» каждый раз, когда перехо-
16—37 241

дат К другим покрытиям, например, к покрытию полу-
полусегмента интервалами. Мы предложили слушателям
следующее покрытие полусегмента [а, в):
Каждый следующий интервал покрытия срдержит
левый конец в предыдущем интервале, а правый — в се-
середине еще не покрытого полусегмента. Передаем при-
примерную беседу студента, опирающегося на свои сложив-
сложившиеся интуитивные представления, с экспериментато-
экспериментатором, пытающимся с помощью логического анализа рас-
расширить эти представления.
Рис. 42.
Интуиция:—это не покрытие — вне любого интерва-
интервала Ai, Дг и т. д. остаются точки [а, Ь): Логика: — Возь-
Возьмем произвольную точку полусегмента. Как бы ни была
близка она к точке Ь, найдется Дй, ;внутри которого она
окажется. Значит, покрытие? Интуиция:—Но вне Дй,
каким бы оно ни было «правым», существуют «непокры-
«непокрытые» точки? ... Логика: — И все же для каждой точки
найдется интервал покрытия — в этом суть. Интуиция:—
Согласна, здесь действительно .покрытие, из которого
нельзя отбросить ни один интервал. Я просто не видела,
что возможны покрытия, не имеющие крайнего правого
интервала... Но для сегмента это все же невозможно,
и теорема справедлива для сегмента. Теперь я вижу раз-
различие.
Отсюда ясно, что в первоначальном интуитивном
образе неправомерно отождествлены две логические
формулы: для каждого интервала существуют «непокры-
«непокрытые» им точки и существуют точки, не покрытые ника-
никаким интервалом. Если первая формула истинна, то вто-
вторая— ложна. Логический анализ направляет, развивает
ограниченные наглядные представления. Возникает обо-
обогащенный интуитивный образ. Это подтверждается сле-
следующим психологическим экспериментом. Двум группам
студентов, по 15 человек в каждой, с примерно одинако-
одинаковым уровнем математического развития мы излагали
лемму Бореля, используя разный методики. В первой
группе после формулировки теоремы сразу было сооб-
сообщено доказательство. Оно просто (рис. 43).
242

Если не существует конечного подпокрытия для
[а, Ь], то не существует его хотя бы для одной полови-
половины сегмента. Повторив рассуждение для этой половины
и т. д. приходим « существованию сегмента, покрыва-
покрываемого одним интервалом, что невозможно.
После доказательства теоремы мы предложили испы-
испытуемым письменно ответить, пригоднс! ли доказательст-
доказательство для случаев, когда речь идет о покрытии интервала
(а не сегмента). Подавляющее большинство испытуе-
испытуемых не смогло дать вразумительного ответа, а некото-
некоторые упорно считали, что рассуждения сохраняют силу
также для интервала. («Ничего не изменится — делим...
общая точка... то же самое ».) Геометрическая инту-
интуиция явно подводит.
Испытуемые второй группы были перед доказатель-
доказательством теоремы ознакомлены с вышеприведенным приме-
примером, когда для полусегмента теорема теряет силу.
В итоге большинство испытуемых, обсуждая лемму для
случая покрытия интервала, указало, что общей точкой
для системы вложенных сегментов может оказаться
конец интервала, а он не принадлежит ни одному эле-
элементу покрытия. Тогда приведённое доказательство не-
неверно. Это — правильное геометрическое истолкование
вопроса, хотя действительная причина (замкнутость
сегмента и незамкнутость интервала) здесь не указана.
Может показаться, что испытуемые просто не посчита-
посчитали нужным обосновать свое мнение и что, обдумывая
ответ, они все же опирались на логическую структуру,
Рис. 43.
а не на геометрическое чутье. Но в том-то и дело, что
ответы, как правило, давались быстро, сразу, и мало
вероятно, чтобы имел место факт сознательного обду-
обдумывания. С другой стороны, некоторые испытуемые ока-
оказались не в состоянии обосновать свой ответ логически-
логическими координатами, когда вопрос обоснования ответа был
поставлен перед ними специально, и довольствовались
соображениями геометрической очевидности. Наконец,
даже те из них, которые сумели восстановить логиче-
16» 243

скую структуру и объяснить непригодность доказатель-
доказательства для интервала (ссылкой на его незамкнутость),
утверждали, что обоснование придумано потом. Снача-
Сначала они «просто увидели, что сегменты могут стягивать-
стягиваться к крайней точке, и тогда ничего из рассуждения не
получится». Таким образом, геометрическая интуиция
опередила формально-логическое обоснование. Харак-
Характерно, что испытуемые этой группы оказались в состоя-
состоянии обобщить лемму и её доказательство на замкнутые
Формы
Операторная
±
Логическая
Логические
координаты
Интуитивные
представления
Рис. 44.
множества (сегмент — только частный случай), хотя
теперь «геометрическое зрение» уже не помогает и рас-
рассуждения проводятся в словесно-аналитическом плане,
с опорой на операторно-логическую форму алгоритмиче-
алгоритмической структуры. В этом, вероятно, сказалась стимули-
стимулирующая роль развитой геометрической интуиции.
Таким образом, взаимодействие между логическим и
интуитивным в математическом мышлении проявилось
в следующем плане: от ограниченной интуиции через
систему логических координат к интуиции более высо-
высокого порядка, и от нее к высшему уровню операторно-
логической структуры. Чем абстрактнее становится изу-
изучаемый материал, тем труднее найти лежащие в его
основе простые, интуитивно угадываемые идеи*), их
открытие — одна из задач психологического анализа.
Думается, что обнаруженные здесь на конкретном ма-
материале связи имеют более широкое значение и должны
учитываться в процессе обучения, как: школьного, так и
вузовского.
*' История математики показывает, что некоторые заблуждения,
имевшие основой недостаточность существующих интуитивных пред-
представлений, завершились открытиями, которые приводили к возник-
возникновению новой интуиции. Как отмечает И. К- Андронов, ма-
математическая интуиция по крайней мере ."дважды подводила челове-
человечество: в теории параллельных прямых, и это привело к открытию
геометрии Лобачевского, и в вопросе, завершившемся построением
непрерывных, нигде не дифференцируемых функций (Вейерштрасс).
244

Что касается гипотезы об операторно-логическом
мышлении, то в ней, по-видимому, можно говорить
о новом эвене — интуитивных представлениях. В итоге
развитие мышления изобразится следующей схемой:
операторная форма алгоритма; логическая форма; логи-
логические координаты, интуитивные представления (рис. 44)
5. Дополнительные линии обратной связи
при программированном обучении
Поставим вопрос: что нового вносит в организацию
мышления учащегося программированное обучение?
Оказывается, на этот вопрос ответить не так просто, и,
прежде всего, потому, что недостаточно изучен меха-
механизм мышления. Рассмотрим вопрос в свете результа-
результатов, полученных нами в предыдущих разделах.
Возьмем разветвленную программу некоторого типа.
Запланировано к изучению п связанных между собой
порций материала, к каждой из которых имеется 1 конт-
контрольный вопрос. При неверном ответе учащемуся дается
первое указание, после чего предлагается вернуться
к вопросу. Если следующий ответ также неверный, дает-
дается второе указание. Учащийся, который не в состоянии
ответить верно на вопрос после второго указания, зна-
знакомится с правильным ответом на вопрос и переходит
к следующей порции информации.
Опишем процесс управления обучением с помощью
операторов и логических условий (табл. 29).
Алгоритм
2 15 6 6213234245
\.АВСр\ \Hs\T.\D\ \q\E\ \r\F\ \G\ E.1)
Если после действий, обозначенных операторами А,
В, С, оказалось, что р=\, то в соответствии с алгорит-
алгоритмом переходим к оператору Я и к логическому условию
б
s. Пусть 1<п, тогда s = 0, и по f обращаемся к опера-
оператору D «переадресации» (прибавления к номеру пор-
2
ции в А единицы). Затем f—возврат к А: учащийся
получает вторую порцию информации и т. д., пока не
станет s = l и оператор Т не засвидетельствует оконча-
окончание работы (если еще до этого р не обратится в нуль).
Пусть в некоторой порции р = 0 (ответ учащегося
неверный). По f переходят к логическому условию q.
Но q—\— учащийся ошибся ответом на данный вопрос
245

3
первый раз. Не замечая |, переходим к оператору
2
Е — учащийся получает первое указание и по сигналу f
снова возвращается к той же порции (А). Если он и
после этого не в состоянии правильно ответить на воп-
з
рос, то q=0, и по | переходим к логическому условию
г, г=\, поэтому производится действие, соответствующее
оператору F (выдача второго .указания), и учащийся
Таблица 29
Опера-
Операторы
А
В
с
D
Е
F
G
Н
Т
!!•
in
п
q
г
Содержание оператора (логического условия)
Дача ученику первой порции материала.
Дача ученику контрольного вопроса к дан-
данной порции.
Ответ ученика на контрольный вопрос.
Прибавление к номеру порции в операто-
операторе А единицы („переадрееация").
Выдача ученику первого указания к дан-
данной порции.
Выдача ученику второго указания к дан-
данной порции.
Выдача ученику правильного ответа на воп-
вопрос данной порции.
Сравнение номера текущей порции с п.
Окончание работы.
{ 1, если данный ответ правильный
Р~ \ 0—в противном случае.
Г 1, если ученик первый раз отвечает
q= < на данный вопрос.
1 0 если не первый раз.
( 1, если ученик второй раз отвечает
г= < на данный вопрос;
( 0 если 3-й раз.
1 1, если номер данной порции л
\ 0 если номер меньше я.
Направле-
Направление связи
.учитель"—
ученик
—»
—»
¦—
-•
—»
вновь возвращается к контрольному вопросу. Если и
теперь р = 0, то г=0 (учащийся 3-й раз отвечал на дан-
данный вопрос), и по f переходим к оператору G — выдаче
учащемуся правильного ответа на ,вопрос. Затем, сог-
5 '
ласно f,— возврат к Я и переход к следующей порции,
если её номер не больше п.
246

Описанная ситуация типична для любой разветв-
разветвленной программы. Ниже показано, что наличие, наря-
наряду с операторами, логических условий (узлов ветвле-
ветвления) р, q, r — характеристическая особенность разветв-
разветвленных программ, отличающая их от линейных программ.
Приводим графическое изображение связей (рис. 45).
Основной рабочий цикл описывается операторной
последовательностью: '—*ABCHD—' —порция, вопрос,
ответ (правильный), проверка окончания. При выходе
из этого цикла (р = 0) образуется:
а) 2-й цикл \—+АВСЕ—\ с возвратом в основной
цикл в «точке» А, после первого указания, или
б) 3-й цикл I—>ABCF — I с возвратом в основной
цикл в «точке» А, после второго указания, или
в) 4-й цикл \—*ABCGHD — \ —включение в основной
цикл в «точке» Я, после ознакомления учащегося
с правильным ответом (решением).
Аналогичная линейная программа изобразится гра-
графом (рис. 46). Это «е что иное, как 4-й цикл 'разветвлен-
'разветвленной программы. Соответствующий алгоритм является
подпрограммой E.1).
1 ABCGHs) Т. \ D2\
E.2)
Устранение логических условий р, q, r привело к ликви-
ликвидации «лабиринта», совпадению каждой реализации
с самой программой {19].

Попытаемся теперь, в общих чертах, ответить на по-
поставленный вопрос. Очевидно, в схеме управления обу-
обучением внутренние (умственные) действия человека
приходятся на промежуток между операторами В (по-
(получение вопроса) и С (дача ответа) "*\ Здесь в управля-
управляющую программу включается «внутренняя программа»,
некоторые модели которой описаны выше. Перед выбо-
выбором следующего шага действия учащегося программой
«выводятся вовне», акстериарязируются— для контро-
контроля, подтверждения, получения указания. По существу
программой предусмотрена дополнительная, внешняя
управляющая схема — комплекс условий, позволяющих
оценить правильность полученного результата, выбрать
верный путь, а в ряде случаев — сообщающий правиль-
правильное решение. Затем процесс вновь уходит «вовнутрь» и
т. д.
Общая схема такова:
г—»» Извне - вовнутрь. ¦
Изнутри - вовнутрь: механизм мышления. <
'—Изнутри - вовне: выход к „внешнему" управлению. <—I
Эффект обучения определяется взаимодействием
двух управляющих систем: внутренней — операторно-
логической моделью и внешней — программой. Прямой
сигнал одной системы является, вообще говоря, «отра-
«отраженным» для другой. (И если при линейном програм-
программировании следующая порция предопределена заранее
и её выбор не содержит информации о предыдущей
порции, то все же усвоение следующей порции учащим-
учащимся связано также с его ответом на предыдущий вопрос.
Характер этого усвоения зависит от «рассогласования»
между предыдущим ответом учащегося и ответом, дан-
данным в программе).
Отсюда следует, что лорции информации обучающей
программы должны соответствовать умственным дейст-
действиям обучающихся: выход «вовне» предусматривается
программой тогда и так, когда и в какой форме в этом
есть внутренняя необходимость. Несоблюдение этого ус-
условия ослабляет обучающий фактор программы,
а в ряде случаев её «вторжение» приносит вред.
*' Отмечено Д на рис. 45.
248

Приведем некоторые экспериментальные данные. Группа шести-
шестиклассников решала арифметическую задачу по разветвленной про-
программе.
1-я порция. Задача. Ученику предложено решить 40 задач. За
каждую решенную задачу ему начисляется 3 очка, за каждую нере-
нерешенную снимается 5 очков. В итоге число заработанных и опи-
описанных очков оказалось равным. Сколько задач решил ученик и
сколько не решил? Прочти внимательно условие. Подумай, каким
методом надо решить задачу. Переходи ко второй порции.
2-я порция. 1) Методом предположения. Допустим, что ученик
решил все задачи. Переходи к порции 3. 2) Методом предположения
Пусть ученик не решил ни одной задачи. Переходи к порции 4.
3) Делением числа в данном отношении и т. д.
Эксперимент проведен с помощью специальных программно-
обучающих устройств, снабженных записывающей приставкой, кото-
которая позволяет экспериментатору учитывать: время ответа на каждую
порцию, количество неправильных проб, число и последовательность
получения указаний и т. д. [128].
Неожиданным для нас оказалось, что почти все испытуемые
воспользовались методом деления в данном отношении. Еще пара-
парадоксальнее —: некоторые ученики со средними математическими спо-
способностями получили ответ быстрее способных учеников. В резуль-
результате анализа записи на ленте записывающей приставки, а также по-
последующей беседы выяснилось, что, прочтя условие, эти ученики
сразу перешли ко второй порции, разделили число 40 в отношении
3:5 и получили 15 и 25. Остальное их уже не интересовало. Многие
утверждали, что «больше тут ничего не придумаешь». Учащихся да-
даже не смутило, что решенных оказалось 15 задач, нерешенных — 25,
тогда как проверка показывает, что должно быть наоборот. Они
просто поменяли ответы местами, и этим удовлетворились. Несмотря
на внешнее благополучие, задача фактически не решена. Основной
момент—количество решенных и нерешенных задач обратно пропор-
пропорционально числам 3 и 5 — учащимися не усвоен. Выяснилось, что не-
несколько более способных к математике учеников, прочтя условие,
самостоятельно выбрали метод предположения. Однако, познако-
познакомившись с 3-м пунктом 2-й порции, они предпочли перестроиться:
указанный способ оказался более заманчивым. Это потребовало
торможения уже активизировавшихся связей и, естественно, задер-
задержало решение. Интересно, что в контрольной группе, где учащиеся
решали задачу без специальной программы, все воспользовались ме-
методом предположения.
Надо, таким образом, думать, что другой метод решения не
согласуется с собственным ходом мышления учащихся, умственные
действия навязаны извне. Может показаться, что вообще не стоило
включать во вторую порцию пункт 3. Но это не соответствовало
бы принципу максимального ветвления, при котором должны пред-
предусматриваться все способы решения. В связи с этим мы в дальней-
дальнейших экспериментах заменили пункт 3 второй порции следующим:
«3) Другими методами». Такая нейтральная формулировка резко из-
изменила как стратегию учащихся, так и результаты эксперимента,
проведенного в аналогичных условиях. Испытуемые теперь решали
задачу методом предположения и лишь двое (из 15) наиболее спо-
способных к математике уже после привычного решения самостоятельно
обнаружили другой способ. У нас, конечно, нет уверенности, что
выбранный вариант программирования является оптимальным.
?49

Еще отчетливее «несовпадение в фазах» между внутренними дей-
действиями и внешними управляющими воздействиями проявилось при
решении несколькими слабыми десятиклассниками уравнения: sin x=
=2cos *..
Усилия программы были направлены на вычленение наиболее
важных в данной ситуации логических координат — чтобы учащиеся
увидели целесообразность преобразования sin* по формуле синуса
двойного аргумента. При этом, естественно, предполагалось, что ис-
испытуемые владеют этим преобразованием, им только надо помочь
догадаться прибегнуть к нему. Однако оказалось, что учащиеся
просто не знают, как делать необходимое преобразование, т. е.
не владеют соответствующей логической формой. В беседе обнаружи-
обнаружилось, что большинство испытуемых не в состоянии обобщить форму-
формулу sin2x=2sinxcos х. Они, оказывается,считают аргумент «х» «пра-
«правой части существенной (постоянной) особенностью, а коэффициент
«2» — несущественной. В итоге получилось: sin nx=nsinxcosx, что
не соответствует действительности. Учащиеся были психологически не
подготовлены к данной программе, их соответствующая внутренняя
модель оказалась неадекватной, а значит, задача — слишком боль-
большим забеганием вперед и поэтому бесполезной.
Только при соблюдении необходимого соответствия внутренние
действия вызывают адекватное внешнее воздействие, которое, в свою
очередь, влияет на дальнейшие «внутренние шаги». Так синтезируется
управляющая линия обратной связи, при которой влияние предыду-
предыдущих действий учащегося на его последующие действия опосредуется
внешними факторами. Создается возможность целенаправленно воз-
воздействовать на интимные механизмы мышления человека. Обучение
становится управляемым.
Выводы. Здесь предпринята попытка подойти к важ-
важнейшей проблеме психологии мышления —соотношению
между процессами мышления и их .продуктами, т. е. меж-
между психологическим и логическим. Проблема имеет 2 сто-
стороны, а) Генетическую — 1возникновение, формирование
логического продукта, б) Актуализацию возникших логи-
логических форм мышления (и знания) при решении конкрет-
конкретных задач.
Для формализации процесса использованы алгоритмы
типа Ляпунова — Шестопал A957), аппарат булевых
алгебр, направленные графы, матричные операции. При-
Применяются операторные схемы и логические формы.
Описаны психолого-ледагогический эсперимент и аде-
адекватная модель обучения.
1. На уровне-начального формирования понятий опе-
операторы обозначают элементарные акты переработки ин-
информации. В исследовании экспериментально показано,
что на стадии актуализации — это уже многозвенные
образования, отражающие целые процессы. Возникнув,
сложные операторы, в качестве подпрограмм, участвуют
в синтезе еще более сложных структур и т. д.
250

Теперь операционально-логические формы математи-
математических понятий выступают как модели классов объектов,
к которым относятся задачи, или модели возможных
систем действий (способов решения) и, вероятно, являют-
являются теми гипотезами, из которых человек выбирает в поис-
поисках решения. В связи с этим рассматриваются вопросы:
нахождения обобщенной модели, соответствующей зада-
задаче,—ориентиры, определяющие этот выбор; перевода мо-
модели из логической формы в операциональную — опреде-
определение системы операций, обеспечивающих решение зада-
задачи; проверки правильности выбора с помощью пробных
решений; оценки «рассогласования» между требуемым и
полученным. Затем нам казалось возможным перейти
к выявлению общих принципов переработки информации
человеком при формировании и применении понятий. Та-
Таким принципом, на наш взгляд, является укрупнение
операторов — иерархическое перекодирование, в ходе
которого возникают системы вложенных алгоритмов;
образования, обозначающие «блоки» операций и свойств.
Теоретико-информационный анализ подтверждает эф-
эффективность механизма иерархических структур.
2. После срабатывания оператора, т. е. выполнения
соответствующего действия, часто возникает ситуация
выбора, которая характеризуется в модели логическими
условиями. Логическая форма, .появляющаяся на основе
операторной, связана с результатом; представляет фор-
формализованное отражение логико-психологической модели
знаний. Важнейшая особенность логической формы — ее
опережающий характер. Она является моделью прошло-
прошлого, направленной в будущее («модель потребного буду-
будущего»— Н. А. Бернштейн). Теперь логические условия
обладают известной свободой актуализации — алгоритм
как бы приходит к своему отрицанию: учащиеся в состо-
состоянии решать задачи без явного обращения к алгоритмам.
Отдельные условия отпочковываются, становятся, в соот-
соответствии с процессом мышления, зародышами производ-
производных логических форм. В этом вторая особенность логиче-
логических форм: готовность к саморазвитию — делением и син-
синтезом. Обращаясь к-задачам различными логическими
условиями, модель знаний, стоящая за формой, развива-
развивается, совершенствуется — в действии. Отсутствие внеш-
внешних воздействий разрушает логическую форму, актив-
активность— способ ее самосохранения. Это третья особен-
особенность логической формы.
251

Математический расчёт показывает, чтб переход К Ло-
Логической форме знаний создает такие сдвиги в модели,
при которых удельный вес информации, идущей на дости-
достижение цели, увеличивается. Возрастает ценность инфор-
информации, которая из меры затраченного труда становится
мерой приближения к цели.
3. Развитие операторно-логической формы сопровож-
сопровождается ее сокращением. Этот процесс мы называем свер-
свертыванием*'. Он включает: 1) объединение нескольких
операторов в один. Происходит: путем а) простого объ-
объединения — композиции; б) склеивания — наложения од-
одного оператора на другой по их общей части; в) погло-
поглощения — вида склеивания, когда один из операторов
принадлежит другому.
2) Объединение логических условий соответственно
объединению операторов.
3) Погружение операторов: операторы включаются
в состав логических условий, и возникает логическая
форма.
4) Образование неполных форм — логических коор-
координат.
4. Одним из центральных в работе является понятие
управления в структуре, отражающее свойство упоря-
упорядоченности мышления и знания или (в модели) готовно-
готовности одних операторов непосредственно следовать за
другими (вызывать другие). Показано, что оператор,
производящий оптимальное управление, т. е. имеющий
наибольшее число прямых вызовов, часто выступает
в мышлении представителем всей формы, и создаются
объективные условия для перекодирования формы
в одноэлементное образование. Введенная нами матри-
матрица вызовов характеризует тенденцию к возрастанию
управления за счет элиминирования промежуточных
операторов, образования прямых связей. Это дает осно-
основание считать матрицу вызовов и её степени одной из
возможных моделей (матричной моделью) процесса
свертывания мыслительных структур. '
5. В обучении с помощью алгоритмов важна про-
проблема длины шага. Она ставится так: на какой ступени
свертывания следует вводить алгоритмы, чтобы достичь
высоких результатов в кратчайшее время при мини-
минимальных затратах психических усилий учащихся. Ана-
*' Он отражает свертывание психических структур.
252

ЛиЗ пбкаЗЫЁЙет, что. в действующих учебниках и йдбо-
биях «о математике, как правило, понятия даются сразу
в завершенной свернутой форме, операторы элиминиро-
элиминированы, и процедурный характер образования понятия
скрыт. Фактически расчет берется на наиболее одарен-
одаренных учащихся, способных перейти к высшей форме поня-
понятия, минуя операторно-генетическую форму. С другой
стороны, оказывается, излишнее дробление операторов
на элементарные в ряде случаев грозит нарушением
единства понятия, потерей обучающимися интереса к
материалу и, в итоге, не менее погубно, чем введение
структур сразу в логической форме. Длина шага, по-ви-
по-видимому, зависит от индивидуального уровня математи-
математического развития учащегося, а также от его исходных
знаний по данному вопросу. (Было бы интересно попы-
попытаться найти подходы к решению обратной задачи: на
основе выявленной оптимальной длины шага при усвое-
усвоении алгоритмов определенного типа дать заключение об
уровне математического развития учащегося.)
6. Особенности функционирования логических коор-
координат описываются принципами множественного развер-
развертывания и индукции. Множественность (неоднознач-
(неоднозначность) развертки обеспечивает логическим координатам
готовность к решению задач разных типов. В возникаю-
возникающей ситуации неопределенности, связанной с выбором,
как правило, обеспечивается высокая эффективность
творческого решения задач, когда отсутствуют (неизве-
(неизвестны) регулярные методы.
Принцип индукции формулируется так. Если общей
частью двух форм являются логические координаты
одной из них, то при совместной актуализации этих
форм другие логические условия второй формы сознают-
сознаются ослабленно. Речь идет о направленном изменении
восприятия одних форм три наложении на них логиче-
логических координат других форм,— когда под влиянием
«внешних» координат индуцируется усиление сознава-
ния совпадающих с ними признаков и ослабляется со-
знавание остальных признаков. Отсюда следует, что
если 2 логические формы имеют общие координаты, то
другие признаки лри актуализации этих форм сознаются
ослабленно. В итоге формы предстают объединенными
их общими логическими координатами. Мы приходим
к важному результату — обобщению на основе логиче-
логических координат.
253

7. Свернутый и развернутый виды алгоритма соот-
соответствуют двум алфавитам: внутреннему — в нём мате-
математическая задача решается человеком — и внешнему,
служащему обычно для первичного восприятия условия
и вывода решения вовне. Нам удалось найти числовой
параметр, инвариантный относительно «языка» — весо-
весовую характеристику алгоритма, свидетельствующую
о единстве психологических процессов свертывания —
развертывания.
8. Подходы к решению математической задачи, как
показывает эксперимент, находятся учащимися во внут^
реннем алфавите, на уровне свернутых логических форм
и логических координат. Задача просматривается не до
конца, но на такую глубину, когда уже можно оценить
целесообразность гипотезы. «Операторы», по мере необ-
необходимости, вызываются и срабатывают автоматически.
Действия могут не сознаваться, а результат — восприни-
восприниматься как неожиданный.
Это прикидка. Затем логические координаты находят
еебя в соответствующих действиях. Так оборачивается
процесс, и, вызванная определенными действиями, логи-
логика знаний словно становится над этими действиями. Ло-
Логические -координаты (точнее, их психологические экви-
эквиваленты) теперь «подстораживают» появление удовле-
удовлетворяющего им комплекса признаков, чтобы развернуться
в операторную форму. Этим, по-видимому, обеспечивает-
обеспечивается быстрота, легкость заключений.
Под управлением логики операторы перекодируются
в абстрактные символы, обезличиваются, обобщаются —
возникает готовность к решению любой задачи данного
типа. В мышлении образуется самоуправляющаяся сис-
система, функционирующая в соответствии с формулой: от
управления логикой с помощью операторов (действий)
к логике управления операторами.
9. Нами экспериментально исследованы случаи рас-
расчлененности операторов и логических- условий в мышле-
мышлении учащихся. Компоненты в известной мере независимы
и только «сосуществуют». Общие положения перестают
управлять действиями: действия сами по себе, прави-
правила—сами по себе. (Формулы и теоремы учащийся знает,
а решать задачи не умеет). Феномен можно назвать раз-
разрывностью мышления. С этим связано и явление так на-
называемой сплошности, когда алгоритм навязывается за-
задаче без учета ее особенностей. Оно выражается в не-
254

умении перестроить алгоритм •>, приспособить его
к данной задаче, отказаться от него в случае непригод-
непригодности.
Удалось установить, что отмеченные многими автора-
авторами трудности переключения с «прямого» хода мышления
на «обратный» также, по-видимому, связаны с разрыв-
разрывным мышлением, — когда переход от сформировавшейся
логической структуры (прямой) к ее операторной раз-
развертке осложнен необходимостью обращения операто-
операторов. С другой стороны, распространенные случаи отож-
отождествления школьниками обратных связей с прямыми,
возможно, являются одним из вариантов сплошности.
Экспериментально доказано, что у школьников, широко
использующих в обучении алгоритмы, расчлененность
между прямыми и обратными предложениями наблю-
наблюдается значительно реже, а эффект отождествления поч-
почти полностью исчезает. Исследование показало, что на
уровне развитых логических координат у учащихся соз-
создается равновесное психическое состояние, когда диск-
дискретность элементов логических форм не сопровождается
(как это можно было ожидать) разрывным мышлением,
а непрерывность развернутых структур не переходит
в свою противоположность —.сплошность.
С позиций операторно-логической модели разрывное
мышление интерпретируется как дефект перекодирова-
перекодирования. С одной стороны, недостаточность сокращения на-
начальных, развернутых структур (слабость кодирова-
кодирования) — задержка информации на «входе». С другой —
слабость перевода сокращенных образований в развер-
развернутые связные формы (декодирования) — задержка
информации «на выходе». Есть основания предположить,
что сплошность представляет собой вид компенсации раз-
разрывного мышления — ценой запоминания несокращенных
форм и оперирования ими без перевода.
10. Существует, по крайней мере, два пути оптими-
оптимизации процесса переработки математической инфор-
информации.
а) Образование иерархических структур-систем «вло-
«вложенных» алгоритмов. Иерархическое перекодирование
оказывается психологической формой распространенного
среди кибернетических систем метода укрупнения инфор-
*> Т. е. создать «а его основе иовый алгоритм, пригодный для
решения дайной задачи.
255

мации, при которой запоминается и используется неболь-
небольшое количество символов большой информационной
плотности.
б) Синтезирование систем многосторонних связей,
когда в ответ на актуализацию одного оператора сраба-
срабатывает целый комплекс связанных с ним операторов.
В заключение отметим, что предлагаемая здесь мо-
модель усвоения математических знаний имеет, в основном,
дискретный характер и, по-видимому, описывает скорее
не процессы мышления, а их отдельные состояния! Речь,
таким образом, идет лишь о некотором приближении
к истинному механизму.
Автор не считает данное исследование законченным.
Напротив, он уверен, что построенная модель обучения
и мышления может быть продолжена и уточнена в ре-
результате дальнейшего теоретического и эксперименталь-
экспериментального исследования, которое, он надеется, откроет ряд
нетривиальных результатов.
* *
*
В психологическом исследовании мышления познава-
познавательный акт выступает в качестве процеоса, развиваю-
развивающегося с некоторого начального состояния объекта (от-
(относительно субъекта). В нашем случае это состояние ох-
охватывает условие и требование математической задачи,
а также наличные знания человека, определяющие его
готовность к решению данной задачи. «Разность» между
требуемым и наличным создает градиент, являющийся
необходимым условием мыслительного акта, внутренним
импульсом для его совершения. При наличии градиента
производится некоторая последовательность умственных
операций (анализ, синтез, обобщение, абстракция), и за-
задача приводится к новому состоянию — открываются не-
неизвестные ранее и не схваченные вначале зависимости,
связи. Ответом на это состояние являются новые опера-
операции, действия и т. д. В этом, нам представляется, суть
известной формулы С. Л. Рубинштейна о том, что «не
операции порождают мышление, а процесс мышления по-
порождает операции, которые затем в него включаются»
(см. гл. I, § 1).
Важным звеном психологического механизма процес-
процесса является анализ через синтез: выполняются пробные
действия, имеющие ориентировочный характер, объект
256

включается в новые отношения и, в соответствии с полу-
полученным результатом, действия продолжаются, корректи-
корректируются, отклоняются. В ряде случаев состояние харак-
характеризуется несколькими известными исходами, множество
вариантов возможных действий обозримо, и поиск, как
мы видели, поддается алгоритмическому описанию.
По крайней мере, два условия способствуют этому.
1. Действия сокращены юо времени, свернуты. 2. Логи-
Логические связи в модели знаний квантуются в относительно
небольшие локальные системы, и это облегчает при их
развертке просматривание результата еще до того, как
произведены все действия *>. Речь идет о действиях, ког-
когда область поиска уже определилась, и она уточняется
с помощью операций локального характера.
Структура поиска общего, стратегического направ-
направления решения задачи сложнее, так как неопределен-
неопределенность (количество возможных исходов, трудность учета
вариантов) здесь неизмеримо больше. Поиск основан на
обобщениях высшего уровня, содержит неполные (неза-
(незавершенные) формы знаний, логические координаты вто-
второго типа, соответствующие различным направлениям
применения знаний. Эти формы уточняются с помощью
антиципирующих моделей, координаты обрастают допол-
дополнительными связями уже в ходе самого действия, когда
результат каждый раз (по линии обратной связи) управ-
управляет дальнейшим развитием психологического действия.
Этот процесс творческого мышления имеет сложную ве-
вероятностную структуру, !как травило, не поддается алго-
алгоритмическому описанию й по возможности «увести в сто-
сторону» скорее приближается к эвристическому. По-
видимому, здесь находится принципиальный рубеж
возможности алгоритмизации обучения и мышления.
Таким образом, мыслительный акт развивается сверху
вниз: от наиболее сокращенных, часто — неполных, ори-
ориентировочных форм знаний к завершенным логическим
структурам, которые часто моделируются с помощью
алгоритмов. Процесс протекает в соответствии с извест-
известной формулой В. И. Ленина: «Движение познания к объ-
объекту всегда может идти лишь диалектически: отойти, что-
чтобы вернее попасть — отступить, чтобы лучше прыгнуть
(познать)» [1].
- *) Способность перерабатывать и запоминать материал неболь-
небольшими порциями составляет психологическую основу программирован-
программированного обучения.
17-37 ' 257

Приложение 1
Обучающие алгоритмы
Алгоритмические описания особенно ценны в обучении в тех
нередких случаях, когда математические понятия вводятся некон-
неконструктивно— в терминах неограниченных кванторов всеобщности и
существования, а также, когда
понятие насыщено логическими
связями, за которыми не сразу
усматриваются соответствующие
логико-математические операции.
Такими, по существу, являются
все понятия теории пределов.
I. Предел последовательно-
последовательности. Дано {ап} — последователь-
последовательность и число а.
Проверить, является ли а пре-
пределом последовательности.
1. Алгоритм в словесной форме |(табл. 30).
2. Алгоритм в форме Ляпунова—Шестапал (табл. 31).
I I 3 2 4 2 3 4
ABblClDElelGgtTKL.lHt IT. (I.I)
Логическая форма алгоритма: eg A.2)
Словесно: limап=а, если решением неравенства |ап—я|<е
я-»оо
или усиленного неравенства является n>f(e). В противном случае—
lim а„ Ф а
Ф
. Мы пришли к наиболее динамичным вариантам известных опре-
определений, которые неявно заключают и действия для распознавания
числа как предела последовательности. Для сравнения приводим
•эти определения в обычной, «статической» форме, записанными е пв
мощью предикатных формул.
е>0&л>Л?-|а„-в| <.). A.3)
Для каждого е существует /V, что для всех п: из е>0 и n>N
еледует |а„—а\<&.
lim ап ф а:деуМЗп(е> 0 & п> N & | ап — а | ^ е) A.4)
Граф алгоритма (рис. 47).
. . Эксперимент. Результаты и их анализ
В эксперименте участвовали 2 учебные группы 1-го кур-
са физмата пединститута F1 человек), которым понятие
предела .последовательности сообщено в алгоритмической
форме. Результаты. 39 испытуемых в ходе дальнейше-
дальнейшего изучения материала самостоятельно пришли к тради-
258

Таблица 30
Указания.
(Указания выполняются в порядке
их записи)
Символичес-
Символическое обозначе-
обозначение
Пояснение на примерах
llm
л-»оо
lim —=
ч-м» "
1. Взять произвольное
сколь угодно малое положи-
положительное число
2. Составить разность
между общим членом после-
последовательности и предполагае-
предполагаемым пределом.
3. По возможности упро-
упростить разность
4. Взять абсолютное значе-
значение разности
5. Допустить, что \ап—а\
меньше е.
6. Если можно, решить по-
полученное неравенство отно-
относительно п.
1, В противном случае
„усилить" неравенство, что-
чтобы оно стало разрешимым
относительно п. Это значит:
получить неравенство, из ко-
которого следует данное (но
которое, возможно, не сле-
следует из данного)
8. Если при решении не-
неравенства окажется, что п
больше некоторой величины
(зависящей от е), то а—пре-
а—предел последовательности.
9. В этом случае найти
целую часть числа Де) и
обозначить ее N. (При Л/
выполняется \а„—а|<е)
10. Если условие указания 8
не выполнено, то а не явля-
является пределом последователь-
последовательности.
17*
s>0
ап—а
\ап—а\
\ап—а\<г
>«)
Нта„=а
\\пшпфа
Г—
е>0
П+П>
2
s>0
3
п
-B)
-§¦*«
п+п*
2
n+n*
а>-7Г<>
б)-|гО
и другие.
2
а) л> —
1
n=e(±-
Например, при
е=0,3
59

Опера-
Операторы
А
В
С
D
Е
G
Н
К
L
Т
Т
Логичес-
Логические усло-
условия
е
8
Таблица 57
СодержгНие .оператора (логического условия) ¦
Задание е(е>0).
Составление разности ап—а
1 1, если разность можно упростить
~ \ 0—в противном случае
Упрощение разности
Составление
Допущение:
ап—а
ап—а
О
1 1, если неравенство \ап—а|<е или „усиленное"
е= | неравенство можно решить относительно п
\ 0—в противном случае
Решение неравенства \ап—а|<е или „усиленного1*
неравенства.
1 1, если решением неравенства будет: n>f(e)
*~ \ 0—в противном случае
„Усиление" неравенства с целью сделать его разре-
разрешимым относительно п.
Нахождение ?(f(e))
Обозначение: E(f(e))—N
Утверждение: liman—a
п-юо
Утверждение: lima,,.^
ционному определению понятия. Все уловили основную
связь: n>N—>-\ап—а\<_ъ- Допущенные ошибки, в ос-
основном, связаны с использованием кванторов: «Есть е»
вместо — «Для каждого е»; «Для всех Af» вместо «Най-
«Найдется N* и т. д. Однако даже те испытуемые, которые
не смогли дать определения, правильно решали примеры
на распознавание числа как предела последовательности.
Характерно, что уже после 1—2 1примеро;в испытуемые
отказались от указаний 1—4, свели алгоритм к указани-
указаниям 5—10, по-видимому, сделав этим первый шаг к ло-
логической форме.
В контрольной группе, где понятие введено без алго-
алгоритма, «и один студент не смог решить самостоятельно
примера. Отдельные указания экспериментатора (на-
(например, допустите \ап—а|<е)> как правило, не дали
сколько-нибудь существенного улучшения. Только после
подробного разбора решений нескольких примеров ис-
испытуемые овладели методом. (Особенно трудно усваи-
усваивался вопрос в отрицательном плане, —когда требова-
260

лось доказать, что число а не является пределом после-
'довательности.)
Может показаться, что таким путем мы помогли этим
испытуемым приложить определение к исследованию.
Однако выяснилось, что определение зсе же «не работает»,
студенты решают примеры по образцу, независимо от определения.
Оказывается, на основе нескольких сообщенных им решений испы-
испытуемые пришли к своеобразному алгоритму, которым они ориентиро-
ориентировались впоследствии. Попытку экспериментатора обосновать действия
ссылками на определение испытуемые воспринимали как формаль-
формальную процедуру. Таким образом, обучение на частных примерах
привело не к развертке определения, а к другому, независимому
определению, по сути, к протаскиванию того же алгоритма «с чер-
черного хода».
Рис. 48.
Как показали наблюдения, при последующей учебе почти все
изучавшие материал с помощью традиционной методики уже через
полгода забыли процедуру распознавания числа как предела после-
последовательности, хотя, в основном, помнили определение. (Определение
часто использовалось в текущем материале при доказательстве тео-
теорем.) С другой стороны, многие изучавшие материал на основе
алгоритма к этому времени также забыли систему указаний, однако
при необходимости они ее восстановили, исходя из определения
предела последовательности. При этом чаще всего правильно приме-
применялись кванторы, вызывающие обычно затруднения.
II. Распознавание числа как предела функции в точке.
1. Алгоритм в словесной форме (табл. 32).
2. Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал
13 1 2 3 2
ABCcj \L. iDEejHKt 1 G. A.5)
Граф алгоритма (рис. 48).
Символическая запись определения понятия предела функции
в точке:
°&l*-a|<»-*lf(*)-^l<«- С-6)
Отрицание определения:
f(x)
A.7)
261

I
Таблица 32
Указания*
1. Взять произвольное сколь
угодно малое положительное е
2. Составить абсолютную ве-
величину разности между данной
функцией и предполагаемым пре-
пределом и допустить, что она
меньше е. •
3. Попытаться решить полу-
полученное неравенство относитель-
относительно |х—а|. Если это не удается,
перейти К указанию 4. Если ре-
решение имеет вид \х—aKF(e)>0,
то взять 8 <; F(e) и -перейти
к указанию 10. Если решение
не имеет такого вида, перейти
к указанию 7,
4. Решить неравенство отно-
относительно X
Символическое обоз-
обозначение
1/М-Л1О
\х-а\<д
Пояснение
1
Х-+2
е>0
\Х2—4|<е
(Условие выпол-
выполнено)
K4-s<x<|/4+s
ча примерах
2
х-*\ + Ф
s>0
[Зх+2—61=
=[3х—4|<е
о о
Операторы и логические
условия
А
В
с
¦ 0, когда решить не-
неравенство не уда-
удалось
1, если решение
имеет вид
\х—a\<^F(e)^0
2, если решение не
имеет такого вида
D
* Указания выполняются в порядке записи, если нет специальных указаний об изменении порядка.

Продолжение табл. 32
Указания
5. Выразить (оценить) сверху
и снизу из полученного неравен-
неравенства х—а
6. Если ф(е)—а>0, <р(е)—а<0,
то перейти к указанию 8. В
противном случае перейти к
указанию 7.
7. Утверждение: Ит}(х)фА
х-*а
8. Сравнить числа ф(е)—а и
<f(e)—а и, выбрав меньшее из
них по абсолютной величине,
обозначить его или любое мень-
меньшее число 8.
9. Записать решение неравен-
неравенства из указания 2 в виде \х—
—а\<Ь
10. Утверждение: limf(x)=A
Символическое обоз-
обозначение
<р(е)—а<С.х—а<
8<т1п(Ф(е)—а,
а—<Р(е))
|,_а|<8
Пояснение на примерах
1
х-*2 ~
+
К4+Г—2<2—
\х—2|<8<K4-f-e—
—2
Нтх2=4
х-+2
2
Л™1 Х+
1-е ^ | J+e
О О
^<„
•
Операторы и логические
1 УСЛОВИЯ
Е
A, если Ф(е)—а>0,
1<р(е)—з<0
10—в противном слу-
[чае
G
Н
К
L

Эксперимент является продолжением предыдущего и проведен
с теми же испытуемыми. Результаты получены аналогичные.
Можно было ожидать, что в связи с последовательным изуче-
изучением двух родственных понятий произойдет наложение элементов
одного понятия на другое. Известно, например, что в определении
предела последовательности студенты часто аодставляют «8—6»
вместо «8—N» и наоборот. Оказывается, что явление, характерное
для традиционной методики, почти не имеет места при алгоритми-
алгоритмизации понятий. На основе обоих экспериментов мы приходим к вы-
выводу, что в ряде неконструктивных понятий (т. е. понятий,- содерг
жащих неограниченные кванторы) алгоритмизация ускоряет и углуб-
углубляет усвоение материала. Вскрывая динамическую структуру по-
понятия, расчленяя его на отдельные подструктуры, вплоть до элемен-
элементарных, алгоритм, по-видимому, упорядочивает логико-математические
операции для приложения понятия к конкретным объектам. Кажу-
Кажущаяся перспектива избежания алгоритмизации за счет прямого пе-
перехода от определения к -его развертке на примерах в действитель-
действительности часто оборачивается другой формой введения того же
алгоритма, однако, как показывают эксперименты, менее эффектив-
эффективной.
Мы указали на один, весьма распространенный, тип понятий,
в которых сказываются преимущества обучающего алгоритма. Выде-
Выделение таких типов понятий (и не только понятий) является специ-
специальной задачей (близкой к проблемам программированного обуче-
обучения). Не останавливаясь подробно, назовем еще некоторые вопросы,
которые наши студенты успешно изучали с помощью алгоритмов:
бесконечно малая, бесконечно большая величина, производная и др.
Следует однако предостеречь от чрезмерного увлечения, абсолютиза-
абсолютизации алгоритмического подхода к понятиям. Нет ничего легче, чем
дискредитировать метод путем неограниченного его применения. Во
многих случаях (например, когда состав действий усматривается
непосредственно из определения) алгоритмизация, как показывают
наши эксперименты, не приносит пользы, а лишь оказывается допол-
дополнительным бременем для обучающихся.
. Можно пока указать на общую тенденцию. По мере родта зна-
знаний и математической культуры учащихся все больше проявляется
их готовность к прямому «схватыванию» логической формы, к усвое-
усвоению понятий на основе свернутых определений, без явного обра-
обращения к алгоритмам. Однако, подчеркиваем, это результат обучения,
а не исходный момент.
Приложение 2
Задачи для исследования. Einfall
1. Доказать 5* > 13* > 23*+> (х > 0).
X X
2
Решение. 5*+13* > 2К5*13*=2-65 >2-64 = :
2. Доказать: У7 + 4 V' 3 — V3 — чедно.
Решение, у 7 + \ V 3 — V 3 =¦¦ ]/B + V ЗJ - V 3 = 2.
3. Решить уравнение; х-2 — 2х sin (xy) -(-1=0,
264

1+ x2 I x I
Рещение . sin (xy) = —^— ,.-• —^~ и т. д.
4. Найти вещественные корни уравнения: х2 + 4х cos (х</)+4= 0.
Решение, [х + 2соз (ху)\г + 4 [1 - cos2 (xy)] == 0.
Jx + 2cos(xi/) = 0,
\ sin(xi/) — 0 и т. д.
5. Доказать, что 22 — 1 кратно 3.
Решение. 22 —произведение четного числа двоек или целого
числа четвёрок. Остаток от деления 4 на 3 равен 1. Тогда и произ-
ведение дает при делении на 3 остаток 1. Значит, 2 — 1 кратно 3.
6. Дано а* + Ь2=с2 (а, Ъ, с>0). Доказать: а3+Ь3<с3.
Решение. а2с+ЬЧ=с3; а3+Ь3<сг.
7. Представить 2а2+262 как сумму двух квадратов.
Решение. 2а2+262= (а+6J+(а—ЬJ.
8. Найти все решения в целых числах уравнения:
у
... +]Лс +V~x~ =V-
Решение, x—k2; kz+k=m2; k(k+\)=m2, что возможно только
при k=m—0. Значит, х=у—0.
9. Дробь со знаменателем п обращается в чистую периоди-
периодическую. Определить наибольшее число цифр в ее наименьшем перио-
периоде. Ответ: (п—1).
Решение. Количество различных остатков от деления на п будет
п—1.
Не далее я-го остатка повторится первый остаток, иначе не бу-
будет чистой периодической дроби.
244-395-151
10. Вычислить в уме: 244 +395-243
„ 243-395 + C95— 151)
Решение. Преобразуем • 244 + 395^243 = 1
11. Вычислить: Ко,999 ... 9 с точностью до сотого десятичного
ГоЬ^
знака.
Решение. Меньше 0,99 ... 9 невозможно — ответ не меньше под-
100 раз
коренного числа. Больше, т. е. 1, уже много.
Ответ: 0,99... 9
100 раз
12. Доказать, что отношение n-значного числа к произведению
его цифр не меньше 11/9 (^2)
яI0я-1+.-.+ап /\0\n-l /Ю\л—1 1 11
Решение- в, ...а. Ц—j +[Т) -Ш>Т'
13. Для любых комплексных х и у доказать:
Решение. Здесь в векторной форме записана теорема о сумме
квадратов диагоналей параллелограмма.
265

14. Доказать: я,—а\-\-а\—...+я|га_,—а\п кратно 24, если
at — нечетные числа, не кратные 3 (('= 1, 2, ... , 2п).
Решение. а\ — а\ + а\ — ... + я|„_, — я|„= [а] — 1) — (я|— 1)+
+ («з-1)-(«4— 1) -4- ... -t- («|n_i— О — (я|„— О- Каждое слагае-
слагаемое кратно 24. Действительно, а|— 1 = (ah — l)(eh + 1) —здесь
хотя бы один сомножитель кратен 3; оба четны; хотя бы один кратен 4.
15. Решить уравнение: 2х3—6х+5=0.
Решение. x = t + ~; 2^ + -7)'— 6 (' + т)+5 = 0; 2A'+
+ -JTy+5 = 0 и т. д.
16. Решить уравнение: х2+A+хJх2=8('1+х:J.
Решение: *2+A+хJх2+2х2A+х)=8A+хJ+2х2A+х); [х+{1 +
]2 = 2A+х):[х2+4A+х)]; хЦх+2)*=2{х + \) (х+2J и т. д.
17. Решить уравнение: i/"x + 45 — v/'x — 16^1.
Решение: ($"х + 45)8 = A + tfx — 16)'. Получается квадратное
уравнение относительно i/jc—16
18. Решить уравнение: х> + 2VHx* + Зх + К— 1 = 0.
Решение: х ( ^"ЗJ + Bх2+ 1) У"Ъ + (х8 — 1) =0; |ЛЗ =
_ _Bх3+1)+И Bх + 1K
— 5 -1—g и т- д- — получаем 2 квадратных урав-
уравнения относительно х.
19. Решить уравнение: (х2—яJ—6х2+4х+2а=0.
Решение: {(х2—аJ—2(х2—а) + 1]—4х2+4х—.1=0; (х2—я—IJ—
—Bх—1J=0; (х2—2х— а)(хг+2х—а—2)=0 и т. д.
20. Найти сумму: s = x+2x*+3x3+ ... +пхп.
Решение: s = (х + хг + х' + ... + хп) +(х2 + 2х> + ... +
+ /ix?l+1)-nx"+1; s = *^_7i +xs — nx" + '.
Дальше решае'тся уравнение относительно s.
21. Две группы людей А и В построены друг против друга так,
что каждый человек группы В ниже стоящего против него человека
группы Л. Затем в каждой группе
, . -^*- людей упорядочили по росту. До-
д |*о " J С казать, что и теперь каждый че-
Человек Машина ', ловек из В меньше противостоя-
противостоящего из А.
Рис. 49. Решение: п-й по росту чело-
человек группы В не выше га-го чело-
человека (в строю) этой группы и,
значит, ниже п человек группы А, стоявших прежде против них; п-й
по росту группы А находится среди ^йх или выше некоторых.
22. Одному ученику для покупки книги нехватает 30 коп., дру-
другому — 1 копейки. Сложив свои деньги, ученики обнаружили, что де-
денег на покупку все же нехватает. Сколько стоит книга?
266

Решение: У первого денег не было, гак как второму недоставало
только одной копейки. Ответ. Книга стоит 30 коп.
23. Человек обычно приезжал на станцию одним и тем же по-
поездом. К этому времени за ним приходила машина и отвозила его
домой. Однажды он приехал на один час раньше и пошел пешком.
По дороге он встретил машину и вернулся домой на 20 мин. раньше
обычного. Сколько времени он шел
пешком? (рис. 49).
Решение. Машина пришла в С на
20 минут раньше, сэкономив в рас-
расстоянии 2АВ. Значит, АВ она про-
проходит за 10 минут. Но поезд пришел
на 1 час раньше. Следовательно.
50 минут человек шел пешком до А.
24. Лестница стоит так, что верх-
верхний ее конец упирается в стену зда-
здания на одной стороне улицы на вы-
высоте 9 м, на другой стороне — на
высоте 12 м. Оба положения лестни-
лестницы взаимно перпендикулярны, а низ Рис. 50.
ее неподвижен. Найти ширину ули-
улицы (рис. 50).
Решение. Z1 = Z2; AABE=ACDE; AD=2l.
Замечание. Нерациональное решение: 9-\-(\^хг—144 +
+ -|Лс2 — 81J = 2x2 и т. д. ,
25. В треугольнике высота и медиана, проведенные из верши-
вершины одного угла, делят этот угол на 3 равные части. Найти углы
треугольника.
Решение: CDICB=DEIEB=ill2; В=30°; С=90р (.рис. 51).
1 1
26. SA/lnn = Ql ВМ= -о-ЛВ; BN' = •=- ВС. Найти SAMBN
^TS^^bc^ (Г<2
(рис. 52).
Решение.
М
Рис. 52.
27. Даны 2 пересекающиеся окружности. Какова наибольшая
секущая, проходящая через их точку пересечения?
Ответ. Секущая АВ, параллельная линии центров (рис. 53).
Решение. АВ = ЮО,; CD=2OE; OE<OOh
28. Доказать, что еуммы расстояний противоположных в«ршин
267

параллелограмма от непересекающеи его плоскости равны между
собой.
Решение. Каждая сумма равна удвоенному расстоянию от
центра параллелограмма до плоскости.
29. Дано: a2+b2=\; c2 + d2=l. Доказать: |ae + 6d|s?l.'
Решение 1. a=sinx; b = cosx; c=siuy; d=cosy.
|ac+bd\ = |sin x sin y+cosx cos y'\ = |cos(x—у) | ;gl.
Решение 2. Пусть a и b — координаты вектора А, с я d — koop-
динаты В. Тогда (ac-\-bd) — скалярное произведение векторов; Va2-\-b2
и Vc2+ d2 — их длины (модули). .|ac + bd\<Va*+b2 -Vc2+d2=l.
30. Kslna + К cos a > 1 @ < а < -|-J. Доказать.
Решение: sin2 a+cos2 a = 1; slna+cos a^l; Ksin a-j^/cos a >1—
корень из числа, не превосходящего 1, не меньше самого числа.
31. Можно ли из 37 ниток сплести сетку так, чтобы каждая
нитка была шязаюа только с пятью другими.
Рис. 53.
Ответ: нельзя. Решение. На каждой нитке — 5 узелков; узе-
узелок образуется двумя нитками. Всего (узелков 5-37:2—не целое
число; (см. аналогичную задачу 8 в § 4, гл. III, но уже математи-
математического содержания).
Приложение 3
Операторная и логическая формы — два способа
кодирования информации. Эксперимент
Из того, что операторно-логическая форма широко применима,
конечно, не следует, что ее применение всегда психологически оправ-
оправдано. Известно," что универсальность человеческого мышления, его
быстродействие достигается специфичными механизмами. Речь идет
об оптимальных условиях усвоения — достижении высоких резуль-
результатов путем переработки наименьшего количества информации,
в кратчайшее время, при минимальных психических усилиях.
Альтернативой оператораой фермы является «чисто» логическая
форма — логико-психологическое образование, в котором операторы
263

внешне элиминированы, а фактически включены в логические усло-
условия. Важно выяснить, хотя бы в частной ситуации, каковы преиму-
преимущества и недостатки операторной формы перед логической, -в каких
случаях «экономнее» начинать изучение материала в операторной
форме и в каких — предпочтительнее исходить из готовой логиче-
логической формы. Этому вопросу посвящен описанный ниже экспери-
эксперимент. ¦
Методика и организация эксперимента
Эксперимент проведен с помощью настольной клавишной элек-
электронно-вычислительной машины «Вега», выпускаемой Курским заво-
заводом счетно-аналитических машин. Испытуемыми были 20 студентов
5 курса физико-математического факультета пединститута, проходив-
проходившие практикум в связи с изучением курса «Программирование и
вычислительные машины».
Испытуемым предстояло реализовать определенную вычислитель-
вычислительную процедуру: извлечь у/ х итерационным методом по формуле
(Ук-i и ун — два следующих друг за другом приближения корня).
Все результаты, получаемые на «Веге», высвечиваются на фосфо-
фосфоресцирующем экране, и это позволяет систематически контролиро-
контролировать ход эксперимента. «Вега» имеет 3 регистра для хранения чисел:
клавиатура (К), сумматор (С), множитель (М). Элементарным дей-
действием является надавливание на клавишу, и к упорядоченной . по-
последовательности таких действий приводится любая арифметическая
операция.
Например, деление.
1. Набор делимого на клавиатуре (—уК).
2. Передача делимого с клавиатуры на сумматор (К—уС).
3. Набор делителя на клавиатуре (—у К).
4. Надавливание на клавишу деления (:).
Эксперимент проведен по двум различным методикам. В каждой
методике участвовало 10 испытуемых.
1-я методика. После овладения четырьмя арифметическими опе-
операциями на «Веге» (т. е. последовательностью соответствующих «на-
«надавливаний» на клавиши в каждой операции) испытуемому дается
задание: извлечь j/х с помощью следующей программы.
Обозначение оператора
А
В
D
Е
Е C.2)
А
F
А
В
G
И
269
й
о.
ю
л
н
S
о.
о
CQ
О
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
_ 11.
Х-+К
К->С
М-+К
;
.
2->К
X
з-к
С—*К
к-*м

iO, ее.
11.-«
Схематическое изображение действий в операторной форще
C.2) представлено иа рис! 54.
Пояснение, х—>-К означает набор числа х на клавиатуре. К—>-
—>-С—передача содержимого клавиатуры (х) на сумматор и т. д.
В инструкции указывается необходимость вычислять 'по воз-
возможности быстрее, однако — не допуская ошибок. Программа, по
существу, представляет собой описание упорядоченной совокуп-
совокупности элементарных действий («надавливаний»), с помощью которой
решается задача, или операторную форму структуры C.1).
Для изображения алгоритма в форме Ляпунова-Шестолал по-
потребуются дополнительно оператор .Г — прекращения вычислений и
логическое условие е: ' .
iO, если число произведенных циклов меньше 5,
¦ если оно равно 5.
\ABDEEAFAEe \T.\GH\ C.3)
Значение х в задании известно. Посылка начального приближе-
приближения корня на множитель производится предварительно эксперимен-
экспериментатором. После 5 повторений вы-
вычислительного Цикла испытуемому
предлагается написать формулу
C.1), на основе которой состав-
составлена программа *'.
В случае затруднений реко-
рекомендуется продолжить вычисле-
вычисления по программе, и после каж-
каждого цикла вопрос повторяется.
Время выполнения каждого цикла
фиксируется. Общее количество
циклов — 15. По требованию экс-
экспериментатора, в зависимости от
хода эксперимента, вычисления
прерываются для контроля ре-
результата. Таким образом, изучает-
изучается эффективность перехода от
Рис. 54. операторной формы алгоритма
к логической форме. -
2-я методика. Испытуемым, владеющий арифметическими опера-
операциями на «Вегс», знакомится с итерационной формулой C.1). Затем
ему предлагается с помощью этой формулы извлечь кубический
кврень из некоторого числа, повторив цикл 15 раз подряд.
Теперь за каждой арифметической операцией формулы C.1) ис-
испытуемым предстоит увидеть и произвести соответствующую систе-
систему действий на «Веге». Ясно, что психологически решается задача,
обратная предыдущей, — о развертке логической формы в опера-
операторную структуру .C.2) **>.
Сопоставляя результаты, полученные по обеим методикам, мы
пытались исследовать особенности формирования вычислительного
навыка в зависимости от формы задания обучающего алгоритма:
операторной или логической. Эта задача требует уточнения. Дело
*> Разумеется, раньше он эту формулу не знал.
**) Или, на языке математической лингвистики, с преобразова-
преобразовании порождающей грамматики <в распознающую, (гл. I, § 5).
270

Рис. 55.
в том, что C.1) можно считать логической формой только относи-
относительно C.2). На самом деле C.1) также операторная структура.
Однако действиями в ней являются целые арифметические операции,
т. а. «блоки» элементарных действий алгоритма C.2). Поэтому
фактически исследуется готовность к перекодированию действий,
к ввертыванию и развертыванию символов структурного алфавита.
Однако логическая форма от
операторной как раз и отличает-
отличается уровнем «свернутости», и пре-
преимущественное направление про-
процессов «свертывания ¦— разверты-
развертывания» характеризует большую
эффективность то операторйой, то
логической формы. Мы отдавали ¦
себе отчет, что на чистоту экспе-
эксперимента может повлиять соотно-
соотношение сигнальных систем испытуе-
испытуемых. Действительно, при первой
методике могли сказаться преиму-
преимущества «второсигнальнико'в»; при
второй методике — «первосигн-альников». Для -максимальной ней-'
трализации этого фактора группы испытуемых комплектовались так,
«йгобы количество «перво-» и «вторасигнальников» в обеих методиках
выло одинаково. Применялась разработанная М. Н. Борисовой ме-
методика изучения соотношения наглядно-образных и словесно-логи-
словесно-логических компонентов Щ], проверенная В. А: Крутецким [53, етр. 194]
на математическом материале.
Результаты и их анализ
1-я методика. Среднее время выполнения первого цикла 15,8 с;
йятого—14,5 с. Ни один из 10 испытуемых не смог написать фор-
формулу C.1) после 5 циклов После 6-го цикла формулу составили
двое. После 7-го — еще 6 человек. Среднее время выполнения 10-го
цикла—12 с. Среднее количество ошибок на один цикл — не ме-
менее 0,6.
2-я методика. 'Время на 1-й и 5-й циклы соответственно 20,4 с
и 13 с. На 10-й цикл—12 с. Среднее количество ошибок на один
цикл —- 0,3.
Преимущества 2-й методики очевидны. Так как задачу незоз-
можно решить вне операторной формы, то первый вывод следующий.
Процесс развертывания логической формы в операторную развивает-
Ёя интенсивнее, чем процесс свертывания C.2) в C.1). Об этом,
прежде всего, свидетельствует резкое уменьшение времени при втв-
рой методике от 1-го цикла к 5-му: 20.4 с. против 13. Временное
преимущество операторной формы C.2) в перзом цикле быстро ис-
исчерпывается, и уже к 5-му циклу разность равна 1,5 с. в пользу ло-
логической формы A4,5—13). В десятом цикле затраченное время при
обеих методиках примерно одинаково A2 с).
Из-за незначительного различия во времени на 1-й и 5-й циклы
при первой методике может показаться,* что процесс свертывания
вовсе не имеет места. Однако ход эксперимента отвергает такое
предположение.
В этом плане характерны «проговаривания» испытуемыми- вы-
выполняемых действий. Вначале: «...Так... теперь на клавиатуре наби-
271

раем подкоренное число (делает), передаем его на сумматор
и т. д.». Несколько позднее: «Клавиатура... Сумматор... Деление
и т. д.». Еще позднее: «...Делим... Опять делим... Набираем... Умно-
Умножаем...». Элементарные действия и регистры («набираем», «пере-
«передаем», «сумматор» и др.) уходяг на задний план, информация как
бы укрупняется, возникают сочетания в виде мерасчлененных ариф-
арифметических операций. У многих проговариванне становится «внутрен-
«внутренним», про себя. Однако к пятому циклу при первой методике логи-
логическая форма еще не сложилась, хотя замечания испытуемых гово-
говорят о наличии процесса конструирования формы. Когда же испытуе-
испытуемым было предъявлено специальное требование о необходимости
образования формы C.1), они с задачей сравнительно быстро справ-
справлялись. Таким образом, внешнее стимулирование, установка на вы-
выработку логической формы 'ускоряет процесс. Однако и после воз-
возникновения логической формы iG—9 циклы) возрастание скорости
минимально, а количество допущенных ошибок даже увеличилось,
Анализ показывает, что все психические усилия испытуемых в этот
период направлены на овладение логической формой (испытуемый:
«...Ищу, где начинается и где кончается деление...»), на внутрен-
внутреннюю перестройку алгоритма, и этот скрытый процесс не отражается '
на скорости и безошибочности решения. Только к 10—12 циклам
ошибки почти исчезают, и заметно уменьшается время на один
цикл. Можно предположить, что к этому времени формирование
логической структуры C.1) закончилось. Операторная и логическая
формы, как уже указывалось, являются разными организациями
переработки одной и той же информации, двумя ступенями алго-
алгоритма, разнящимися величиной «единицы действия». В широком
плане переход от одной формы к другой является вопросом кодиро-
кодирования и декодирования информации.
Попытаемся теперь сформулировать задачу и полученные ре-
результаты в этих терминах. 1) Имеется 2 алфавита. Первый — че-
четырехбуквенный. Его символы: сложение, вычитание, умножение, де-
деление. Второй алфавит состоит из конечного числа образующих типа"
«нажатие на такую,-то клавишу» (послать число, передать число
И т. д.).
2) Каждый символ шервото алфавита переводится в 4-буквен-
ное слово второго алфавита. (Под словом в математической логике
обычно понимают конечную упорядоченную последовательность букв
алфавита.)
3) Оба алфавита испытуемым хорошо знакомы.
В этих условиях перевод слова (формула 3.1) первого алфавита
во второй осуществляется испытуемыми легче, чем обратный пере-
перевод — из второго алфавита в первый.
Дело в том, что арифметические операции на «Веге» изучались
в направлении: от операции к соответствующей системе реализую-
реализующих ее элементарных действий («нажатий» на клавиши). Например,
«Если требуется перемножить 2 числа, то набирают число на кла-
клавиатуре, передают его на множитель и т. д.». Перевод же из вто-
второго алфавита в первый происходит по другому правилу. «Если
набрать число на клавиатуре, передать его на множитель и т. д.,
:то произойдет операция умножения». В первом случае актуализиро-
актуализировались прямые связи, во втором — обратные. Как показал В. А. Кру-
тецкий, вторая задача психологически rfe равносильна первой и, как
правило, решается труднее [53]. Есть и другая причина. Разверты-
Развертывание слова первого алфавита происходит всегда одинаково: каж-
272

дая буква заменяется соответствующей группой букв. Достаточно,
владеть кодом, и задача решается автоматически. Механизм об-
обратного процесса иной. Не каждое четырехбуквенное слово второго
алфавита является буквой первого алфавита, и обратный перевод
связан с поисками, выбором, дифференцировкои.
Итак, в рассматриваемом случае решение задачи сразу в логиче-
логической форме C.1) выгоднее, чем в операторной форме C.2). Разу-
Разумеется, в других случаях, как неоднократно отмечалось в этой книге,
экономнее начинать обучение с операторной формы. Изучение и
классификация алгоритмических описаний в этом плане — важная
задача. Однако она не является темой данного исследования. Мы
только попытались поставить вопрос.
18—37

Список литературы
1. Ленин В. И. Философские тетради, т. 29, Поли. собр. соч. 4 изд.
М., Политиздат.
2. Адам ар Ж. Элементарная геометрия, ч. 1, М., Учпедгиз, 1949.
3. А л е к с е е в Н. Г. Правомерен ли «алгоритмический» подход
к анализу процессов обучения. «Вопросы психологии», 3, 1963.
4. А м о с о в Н. М. Моделирование мышления и психики'. Киев,
Изд. «Наукова думка», 1965.
5. Амосов Н. М. Регуляция жизненных функций и кибернетика.
Киев, Изд. «Наукгава думка», 1964.
6. А н о х и н П. К- Кибернетика и интегративная деятельность
мозга. Материалы XVIII Международного психологического
конгресса. (Симпозиум 2.) М., 1966.
7. Б а с с и н Ф. В. Сознание и бессознательное. В сб. «Философ-
«Философские вопросы физиологии высшей нервной деятельности и психо-
психологии». Изд. АН СССР, М., 11963.
8. Б е л л >м а я Р. 'Кибернетика и медицинская диагностика. М.,
«Знание», .1968.
9. Белопольская А. Р. Опыт применения обучающих алгорит-
алгоритмов. «Вестник высшей школы», 1963, 6.
10. Б е р г А. И. Кибернетика и общественные науки. «Наука и
¦жизнь», 1963, № 2.
11. Берг А. И. Кибернетика — наука об оптимальном управлении.
М.—Л., «Энергия», 1964.
12. Б ж а лав а И. Т. Психология установки и кибернетика. М.,
«Наука», 1966.
13. Берн штейн Н. А. На путях к биологии активности. «Вопросы
философии», 1905, № 10.
14. Берн штейн Н. А. Очередные проблемы физиологии актив-
активности. В сб. «Проблемы кибернетики», 1961, № 6.
15. Бирюков Б. В. и Коноплянкин А. А. Математика и
логика. В сб. «Диалектический материализм и вопросы естество-
естествознания», М., Изд. МГУ, 1964.
16. Бирюков Б. В. и Петров Ю. А. Актуальные вопросы ло-
логического анализа науки. «Философские науки», 11967, № 6.
17. Бирюков Б. В. Философские вопросы логической формали-
формализации и логических средств кибернетики. Докторюкая диссерта-
диссертация. И-т философии АН СССР. М., 1965.
18. Болтянский В. Г. Математика и оптимальное управление.
М., «Знание», 1968.
19. Болтянский В. Г. Что такое программированное обучение?
«Математика в школе», № 5, 1967.
20. Б о р и с о в а М. Н. Методика определения соотношений первой
и второй сигнальных систем в условиях зрительного запомина-
запоминания. В сб. «Типологические особенности высшей нервной деятель-
деятельности человека», т. I, М., Изд. АОН РСФСР, 1956.
21. Бруинер Дж. Процесс обучения, Изд-во АПН РСФСР, 1962.
22. Брушлииский А. В. О некоторых методах моделирования
в психологии. В сб. «Методологические и теоретические пробле-
проблемы психологии», М., «Наука», 1969.
23. Бур баки Н. Теория множеств, М., Изд-во «Мир», 1965.
274

24. Бычко И.'В. и Жариков Е. С. Логика научного исследова-
исследования. М., «Наука», 1965.
25. Веников В. Моделирование в науке и технике. «Наука и
жизнь», 11966, № 9.
26. Гальперин П. Я- и Т а л ы з и н а Н. Ф. Формирование на-
начальных геометрических, понятий на основе организованного дей-
действия учащихся. «Вопросы психологии», Ю57, № 1.
27. Г а л ь п е р и н П. Я- К исследованию интеллектуального разви-
развития ребенка. «Вопросы психологии», '1969, № '1.
28. Гальперин П. Я- Опыт изучения формирования умственных
действий. «Доклады на совещании по вопросам психологии»,
М., Изд-во АПН РСФСР, 1954.
29. Гальперин П. Я- Развитие исследований по формированию
умственных действий. «Психологическая наука в СССР», т. 1, М.,
Изд-во АПН РСФСР, 1959.
30. Г а л ь п е р и н П. Я- Умственные действия Как основа формиро-
формирования мысли и образа. «Вопросы 'психологии», 1957, № 6.
31. Гелернтер Г. Реализация машины, доказывающей геометри-
геометрические теоремы. В сб. «Вычислительные машины и мышление».
Изд. «Мир», М., 1967.
32. Гельфанд И. М. иЦетлин М. Л. О некоторых способах
управления сложными системами, «Успехи математических наук»,
т. XVIII, вып. 1A03), 1962.
33. Г и б ш И. А. Исследование решений задач с параметрическими
данными. М., Изд-во АПН РСФСР, 1952.
34. Гильберт Д. и Аккерман. Основы теоретической логики.
М., Изд-во иностр. л-ры, 1947.
35. Глезер В. Д. и Цуккерман И. И. Информация и зрение.
М.—Л., Изд. АН СССР, 1961.
36. Г л у ш к о в В. М. Кибернетика и педагогика. «Наука и жизнь»,
1964, № 2.
37. Г у р о в а Л. Л. О соотношении формальных и эвристических
компонентов в решении задач. «Вопросы психологии», 1968, № 2.
38. Де Бройль Луи. По тропам науки. Изд-во иностр. л-ры,
М„ 1962.
39.,, Д е м и д о в и ч Б. П., М а р о н И. А., Ш у в а л о в а Э. 3. Чи-
Численные методы анализа. Изд-во фчм. л-ры, М., 1963.
40. .3 н а к о в Л. В. Память, М., Учпедгиз, 1948.
41. Зинченко П. И., Невельский П. Б., Рыжкова Н. И.,
Сологуб В. Г. Вопросы психологии и теории информации. (Об-
(Обзоры зарубежных исследовании). «Вопросы , психологии», 1963,
№ 3.
42. И те лье он Л. Б. Математические и кибернетические методы
в педагогике, М., «Просвещение», 1964.
43. И те ль сон Л. Б. Математические методы в педагогике и педа-
педагогической психологии. Докторская диссертация. Азерб. пединсти-
пединститут им. Анудова, 1965.
44. Ит ель сон Л. Б. Об одном новом принципе математического
моделирования в психологии. Тезисы докладов XVIII Между-
Международного психологического Конгресса, II,- М., 1966.
45. К а л м ы к о в а 3. И. Процессы анализа и синтеза при решении
арифметических задач. «Известия АПН РСФСР», вып. 71, '1955.
46i К е м е н и Дж., С н е л л Дж., Т о м с о н Дж. Введение в конеч-
конечную математику. Изд-во иностр. л-ры, М., 1963.
18* . 275

47. К л им и С. К. Введение в метаматематику. Иад-во иностр. л-ры.
М., 1957.
48. Ко л м о го ро в А. Н. О профессии математики. Изд. ЛГУ,
1959.
49. Кольман Э., 3 и х О. Занимательная логика. Изд. «Наука»,
М., 1966.
50. К о р н и л о в К. Н. Психология. Учебник для высших педаго-
педагогических учебных заведений. М., Учпедгиз, 1934.
51. Кочергин А. Н. Моделирование мышления. Изд. полит, лите-
литературы. М., 1969.
52. Крутецкий В. А. Анализ индивидуальной структуры мате-
математических способностей у школьников. В сб. «Способности и
интересы», М., Изд. АПН РСФСР, 1962.
53. Крутецкий В. А. Психология математических способностей
школьников. «Просвещение», М., 1968.
54. К р ы г о в с к а я А. С. Обзорный доклад на Международном
Конгрессе математиков (Москва, 1966). «Математика в школе»,
№ 6, 1966.
55. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Изд. «Наука», М., 1963.
56. Л а н д а Л. Н. Алгоритмизация в обучении. «Просвещение»,
1966.
57. Ланд а Л. Н. и Белопольская А. Р. Формирование
у учащихся общих схем умственных действий как условие эф-
эффективного обучения методам умственной работы. «Тезисы док-
докладов на 1 съезде общества психологов». М., Изд. АПН РСФСР,
1969.
58. Л анда Л. Н. Обучение учащихся методам рационального мыш-
мышления и .проблема алгоритмов. «Вопросы психологии», 1961, № 1.
59. Л анда Л. Н. Опыт применения математической логики и тео-
теории информации к некоторым проблемам обучения. «Вопросы
психологии», 1962, № 2.
60. Л а н д а Л. Н. О роли поисковых проб в процессе мышления.
«Тезисы докладов на совещании по вопросам психологии позна-
познания B0—22 мая 1967)». М., Изд. АН СССР, 1957.
61. Леонтьев А. Н., Кринчик Е. П. О применении теории
информации в конкретно-психологических исследованиях. «Воп-
«Вопросы психологии», 1961, № 5.
62. Л е о н т ь е в А. Н. Природа и формирование психических
свойств и процессов человека. «Вопросы психологии», 1955, № 1.
63. Леонтьев А. Н. Проблемы развития психики. М., Изд. АПН
РСФСР, 1959.
64. Леонтьев А. Н. Развитие памяти. М., Учпедгиз, 1931.
65. Лурия А. Р., Цверкова Л. С. Нейропсихологический ана-
анализ решения задач, Изд-во «Просвещение», .1987.
66. Л я п у н о в А. А. и Ш е с т о п а л Г. А. Об алгоритмическом
описании процессов управления. «Математическое просвещение»,
1957, № 2.
67. Ляпунов А. А. и Яблонский С. В. Теоретические пробле-
проблемы кибернетики. В сб. «Проблемы кибернетики», вып. 9, М., Физ-
матгиз, 1963.
68. Л я п у н о в А. А. О некоторых общих вопросах кибернетики
В сб. «Проблемы кибернетики», вып./1, M., Физматгиз, 1958.
69. Марков А. А. Теория алгорифмов. Труды математического
института им. В. А. Стехлова, XII. Изд. АН СССР, М.—Л.,
1954.
.276

70. М е н ч и н ск а я Н. А. Интеллектуальная деятельность при ре-
решении арифметических задач. «Известия АПН РСФСР», вып. 3,
1943.
71. Me н чин ск а я Н. А. Психология обучения арифметике. М.,
Учпедгиз, 1955.
72: М и л л е р Д., Г а л а н т е р Ю., Прибрам К. Планы и струк-
структура поведения. М., «Прогресс», 1964.
73. Минский М. На путях к созданию искусственного разума
(сбзор). В сб. «Вычислительные машины и мышление», «Мир»,
М, 1967.
74. М о р д у х а и - Б q л т о в с к и й Д. Психология математического
мышления. «Вопросы философии и психология», КН. 94, 1908.
75. Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные мате-
математические олимпиады. «Просвещение», М., 1967.
76. Напалков А., Т у р о в А. Элементарные единицы мозга.
«Наука и жизнь», 1964, № 6.
77. Н и к и т и н Н. Н. Решение арифметических задач в начальной
школе, М., Учпедгиз, 1948.
78. Новиков П. С. Элементы математической логики. М., Физ-
матгиз, 1959.
79. Н о р к и н С. Б. и др. Элементы пычислительной математики.
Изд. «Высшая школа», М., 1963.
80. Ньюэлл А., Шоу Дж. и Саймон Г. Программа для игры
в шахматы и проблема сложности. В сб. «Вычислительные маши-
машины и мышление». «Мир», М., 1967.
81. Ньюэлл А.. Шоу Дж. и Саймон Г. Процессы творческого
мышления. В сб. «Психология мышления», М., «Прогресс», 1965.
82. Ньюэлл А., Шоу, Дж. и Саймой Г. Эмпирическое иссле-
исследование машины «Логик—теоретик», пример эвристики. Там же.
83. Павлов И. П. Павловские среды, т. II, Изд-во АН СССР, 1949.
84. Павлов И. П. Полное собрание соч., т. III, кн. I. Изд-во АН
СССР, 1951.
85. Пиаже Ж. и Инельдер Б. Генезис элементарных логиче-
логических структур. Классификация и сериация. М., Изд-во иностр.
л-ры, 1963.
86. Пой а Д. Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1959.
87. П о и а Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Изд-во
иностр. л-ры, М., 1957.
88. Полетаев И. А. О математических моделях элементарных
процессов в биогеоценозах. «Проблемы кибернетики», вып. 16,
М., «Наука», 1966.
89. Пономарев Я. А. Знания, мышление и умственное развитие.
«Просвещение», М., 1967.
90. Пономарев Я. А. Психика и интуиция. Изд-во иностр. л-ры,
М., 1967.
91. Потоцкий М. В. О педагогических основах обучения мате-
математике. Учпедгиз, М., 1963.
92. Паункаре А. Наука и.метод. С-Петербург, 1910.
93. Пушкин В. Н. К пониманию эвристической деятельности
¦в кибернетике и исихологии. «Вопросы психологии», 1965, № 1.
94. Репки на Г. В. Некоторые особенности оперативных единиц
памяти. Материалы III Всесоюзного съезда общества психологов,
т. 1, М., 1968.
95. Р о з е н б е р г Н. М. Обучение алгоритмам умственных и прак-
практических действий. «Советская педагогика», 1965, № 8.
277

96. Рубинштейн С. Л. Бытие и сознание. Изд. АН СССР, М.,.
1957.
97. Рубинштейн С. Л. Несколько замечаний р связи оо статьей
А. А. Ветрова «Продуктивное (мышление и ассоциация». «Вопро-
«Вопросы психологии», I, 1960.
98. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования.
М., Изд. АН СССР, 1958
99. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. М., Учпедгиз,
1946.
100. Самарин Ю. А. Очерки психологии ума. Изд. АПН РСФСР,
М, 1950.
101. Сеченов И. М. Избранные произведения, т. I. Изд. АН
СССР, 1952.
102. Сидельковский А. П. Алгоритмический подход к анализу
процессов обучения правомерен. . «Вопросы психологии», 11964,
№ 5.
103. Славская К. А. Процесс мышления и актуализации знаний.
«Вопросы психологии», 1959, № 3.
104. Смирнов А. А. Вопросы психологии усвоения понятий школь-
школьниками. «Советская педагогика», 1946, № 8—9.
105. Столл Роберт. Множества. Логика. Аксиоматические тео-
теории. «Просвещение», М., 1968.
106. Столяр А. А. Педагогика математики. Изд. «Вышэйшая шко-
школа», Минск, 1969.
107. Талызина Н. Ф. Особенности умозаключений при решении
геометрических задач. «Известия АПН РСФСР», вып. 80, М.,
1957.
108. Теплое Б. М. и Небылицин В. Д. Изучение основных
свойств нервной системы и их значение для психологии инди-
индивидуальных ]различий. «Вопросы психологии», 1963, № б.
109. Те плов Б. М. К вопросу о-практическом мышлении. «Ученые
записки МГУ», вып. 90, 1945.
110. Теплое Б. М. Некоторые вопросы изучения общих типов
высшей нервной деятельности человека и животных. В сб.
«Типологические особенности высшей нервной деятельности че-
человека». Изд. АПН РСФСР, 1956.
111. Теплое Б. М. Учение о типах высшей нервной деятельности
и психология. «Доклады на XIV Международном Конгрессе по
психологии». Изд. АПН РСФСР, 1954.
112. Тихомиров О. К- и Терехов В. А. Знание и смысл
в процессе решения мыслительной задачи. «Вопросы психоло-
психологии», 1969, № 4.
113. Т и х о м и р о в О. К. Эвристики человека. «Вопросы психо-
психологии», 1967, № 2.
114. Т и х о м и р о в О.К- Эвристики человека я машины. «Вопросы
. философии», 1966, № 4.
115. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение за-
задач. Гос. изд-во ф-м л-ры, М., I960.
116. Ум а некий Л. И., Шапиро С. И. Экспериментальное изу-
изучение сенсомоторных реакций в вероятностной ситуации в связи
с силой и подвижностью нервной 'системы. «Вогаросы психоло-
психологии», 1965, № 5.
117. Фейгенбауи* Э. и Фельдман Дж. Введение. В сб. «Вы-
«Вычислительные машины и мышление». «Мир», М., 1967.
278

118. Фей ген бе р г И. М. Вероятностное прогнозирование в дея-
деятельности мозга. «Вопросы психологии», 1963, № 2.
119. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. 1,
«Наука», М., 1968.
120. Фридман Л. М. Учебные алгоритмы распознавания. «Изве-
«Известия АПН РСФСР», вып.- 129, 1963. ¦ .
121. Харкевич А. А. О Ценности информации. «Проблемы кибер-
кибернетики», 4, Физматпиз, 1960.
122. Ховланд Карл. Научение и сохранение заученного челове-
человеком. В сб. «Экспериментальная психология», т. 2, М., Изд-во
ин-й л-ры, 1963.
123. Ч е р ч А. Введение в математическую логику. М., Изд-во
иностр. л-ры, 1960.
124. Ч етв ер ту хи н Н. Ф. Методы геометрических построений.
М., Учпедгиз, 1952.
125. Чичи'гия В. Г. Методика (преподавания арифметики. М., Уч-
Учпедгиз, ,1949.
126. Шапиро С. И. Алгоритмическое описание процесса фор-
формирования умственных действий. В сб. «Вопросы методики пре-
преподавания математики и физики». Ученые записки. Курский
¦пед. ин-т. Вып. 42, Курск, 1968.
127. Шапиро С. И. Исследование индивидуальных особенностей
учащихся в процессе переработки математической информации.
«.Вопросы (психологии», 11965, № 2.
128. Шапиро С. И., Казанский В. П. Некоторые особенности
переработки информации при программированном обучении
с помощью обучающих устройств. В сб. «Вопросы преподавания
(математики, физики и астрономии в школе». Ученые записки,
Курский пед. ин-т, выпуск 27, Курск, 1966.
129. Шапиро С. И. Об алгоритмизации процесса формирования
понятий. «Вопросы психологии», 1967, № 2.
130. Шапиро С. И. Об использовании алгебры логики для физи-
физического моделирования. «Математика в школе», 1964, № 5.
131. Шапиро С. И. О некоторых приложениях теоретико-информа-
теоретико-информационных методов. Труды 4-й научной конференции математи-
математических кафедр Юга РСФСР. Ставрополь-на-Кавказе, 1963.
132. Шапиро С. И. О роли акцептора действия в механизме об-
обратной овязи при переработке математической информации. Те-
Тезисы докладов на III Всесоюзном съезде общества психологов
СССР, т. 1, М., 1968. '
133. Шапиро С. И. Психологический анализ структуры матема-
математических способностей в старшем школьном возрасте. Канди-
Кандидатская диссертация. МГПИ им. Крупской. 1967.
134. Шапиро С. И. Свертывание умозаключений и его связь
с математическими способностями. «Новые исследования в пе-
педагогических науках», X, 1967.
135. Шапиро СИ. Свернутость умозаключений как парциальное
проявление силы нервной системы. «Вопросы психологии», 1968
№ 2.
136. Шапиро С. И., Уманский Л. И. О применении теории
информации к изучению способностей человека. «Вопросы пси-
психологии», 1963, № 1.
137. Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе
школьника. Изд. АПН РСФСР, М., 1959.
279

138. Ше варев П. А. Опыт психологического анализа алгебраиче-
алгебраических ошибок. «Известия АПН РСФСР-\ вып. 3, 1946.
139. Шол омий К. М. О различии между эвристическими и неэв-
неэвристическими программами. «Вопросы психологии», 1969, №3.
140. Ш охо р - Тр оцки й С. И. Методика арифметики. Пособие
для учителей начальной школы, Ш16.
141. Эр дни ев П. М. Сравнение и обобщение при обучении ма-
математике. М., Учпедгиз, I960.
142. Эр н Ф. А. Очерки по методике арифметики, Рига, 1915.
143. Э ш б и У. Р. Введение в кибернетику. М., Изд-во иностр. л-ры,
1963.
144. Яглом А. М. и Яглом И. _М. Вероятность и информация.
Физматгиз. М., 1960.
145. Яо-Цзу Ли, Вандервельде Ц. И. Теория нелинейных
самонастраивающихся систем. «Труды 'международной конфе-
конференции по автоматическому управлению», т. 2, М., Изд. АН
СССР, 1961.
146. Я рощу к В. Л. Психологический анализ процессов решения
типовых арифметических задач. «Известия АПН РСФСР»,
вып. 80, 1957.
147. С 1 а и 8 G., Zur Anwendung der Informationstheorie auf lern-
psychologische Probleme. «Padagogik», 1, 1965.
148. С 1 a u fi G., Zur Handlungsanalyse durch Algorithmen und ihre
Anwendung im Unterricht «Padagogik», 4, 1965.
149. Frank H., Kybernetische Grundlagen der Padagogik. Eine
Einfiihrung in die Informationspsychologie. Baden- Baden, Agis,
1962.
150. I f f 1 a n d E., Die Anwendung mathematischer Methoden in der
Methodik nichtmathematischer Facher. «Padagogik», 5, 1964.
151. Kelbert H., Ober die Anwendung der Algorithem von Ljapu-"
now in der Berufspadagogik. In: «Mathematische und physika-
lisch-technische Probleme der Kybernetik», Berlin, 1963.
152. Apostel L., Towards the formal study of Models in the Non-
formal science, «The Concept and the Role of the Models in Ma-
Mathematics and Nature and social Sciences», Dortrecht, 1961.
153. Church A., Introduction to mathematical Logic 1, Princeton
Univ. Press, Princeton, N. Y., 1956.
154. George F. H., Models and Theories in Social Sciences, «Sym-
«Symposium on Sociological Theory».
155. Meuer H., On the Heuristic Value of scientific Model, «Phi-
«Philosophy of science, 1951, vol. 18, № 2.
156. Newell A., S с h a w I., Simon H., A general problem
solving program for a computer «Computers and Automation»,
vol. 8, № 7, 1959.
157. Newell A., S с h a w I., Simon H., Elements of a theory of
human problem solving. «Psychological Review», vol. 65, № 3,
1958. :
158. Newell A., Simon H., The simulation of human thought
«Current trends in psychological theory. Univ. of Pitsburg Press»,
1961.
159. Poly a C, How to solve It, Princeton, N. Y., 1954.
160. Rosenblueth A. and Wiener N., The Role of Models in
Science, «Philosophy of Science», 1945, yol. 12, № 4.
161. Pi a get J. La psycho logie de ['intelligence. Paris, 1947.

Предметный указатель
Алгоритм 7, 48, 57, 252
— с выбором шагов 13
Алгоритмизация в обучении 6,
27, 55, 145
— формирования понятия «оп-
«определенный интеграл» 127
Алгоритмические модели в обу-
обучении и мышлении 32
— предписания для формиро-
формирования у учащихся много-
многосторонних связей 149
Алгоритм распознавания чет-
четной и нечетной функций 66
— сводимости (предписание ал-
алгоритмического типа) 12,
28, 45 ¦
Алгоритмы_ обучения 46
— детерминистские и недетер-
недетерминистские 13
— расплывчатые (нечеткие) 13
— распознавания 30
— и эвристики 48
Второй тип формирования дей-
действий 43
Вызов 52 (ассоциация)
Гомрморфизм 26
Готовность понятий к включе-
включению в единый пучок 86
Декодирование 123
Динамика перехода от опера-
операторной формы к логической
171
Иерархическое перекодирова-
перекодирование 255
Изоморфизм 33
Интуиция 51
— геометрическая 244
Квазиинформационные коорди-
координаты 195
«Кибернетизация» обучения 3
Кибернетическая педагогика 4
Классификация объектов 36
Кодирование 122
Лабильность математического
мышления 225
Логика и интуиция в матема-
математическом мышлении 234
Логическая модель 35, 156
— равносильность 59
— форма в задачах на постро-
построение 114
Логические координаты 162,
194, 253
и интуитивные представ-
представления 173
Математическая модель обуче-
обучения 51, 55
— память 156
— психология 4
Математическое доказатель-
доказательство 167
— мышление 20
Метрическое пространство 87
Множество n-звенно управляе-
управляемых операторов 75
Множеств теория 235
Моделирование 34
— на доказательство матема-
математических тождеств 214
— механизмов мышления 206
Модель 32, 44
Направленность мышления 94
Обобщенное математическое
мышление 80
Обобщенные связи 26
Обучающие алгоритмы 258
Объекты грамматически пра-
правильные 85
Озарение 221
Оператор 23
— безусловный 75
— оптимальный на множестве
операторов 76
Операторная форма алгоритма
преобразования 30
Операторно-.чогическая схема
обучения 156
» 281

Операторы приближающие,
нейтральные, удаляющие 92
— и логические условия в ре-
решении математических за-
задач 103
Оптимизация процесса перера-
переработки математической ин-
информации 255
Память в обобщенном матема-
математическом мышлении 24
Педагогика математики 18, 42
Поглощение оператора 71
Понятие 5в
— управления в структуре 252
Предписание алгоритмического
типа 45
Преобразование операторно-ло-
гических структур 91
Признаки слабо информацион-
информационные 195
— существенные 171
Проблема длины шага 252
— парциальных типов для изу-
изучения способностей 221
Процесс формирования поня-
понятий 37
Программированное обучение
245
Психология математического
мышления 22
Раздвоенность понятий 138
Разрывность мышления ПО,
119, 204, Е54
«Свертывание» 93, 252
Связь логических координат с
интуитивными ' представле-
представлениями 24
— между логикой решения за-
задач и математической па-,
мятью 24
— между формально-логиче-
формально-логическим и интуитивным 241
Сериация 36
Синтезирование систем много-
многосторонних связей 256
Системность умственной дея-
деятельности 38, 39
Соотношение между психологи-
психологическим и логическим 250
Стратегия 224'
Структура интеллекта 36
Творчество 45, 48
— и логика 49
Теорема полностью обратная
..данной 153
— полностью противополож-
противоположная данной 453
— частично противоположная
данной 153
— частично обратная данной
153
Теория поэтапного формирова-
формирования умственных действий
42
Трудности образования отри-
отрицательных определений 146
Ферма теорема 151
Формальная грамматика по-
порождающая 85
распознающая 86
Хаймена эффект 98
Цепеобразование 49
Эвристика 47, 49
Элемент структуры 41

Именной указатель
Адамар Ж. 49, 114, 274
Александров П. С. 9, 87
Амосов Н. М. 34, 50, 274
Андронов И. К. 244
Анохин П. К. 220
Апостел Л. (Apostel L.) 32,
280
Бел лиан Р. 47, 186, 274
Берг А. И. 6, 21, 28, 274
Бернштейн Н. А. 34, 220, 251,
274
Бжалава И. Т. 27, 274
Бирюков Б. В. б, 11, 13, 7, 21,
44
Болтянский В. Г. 247, 274
Больцано Й02
Борисова М. Н. 271, 274
Борель 242
Борщев В. Б. 13
Бродбент 17
Бружер Дж. 37, 60, 274 ' •
де Бройль Луи 50, '54, ,275
Брушлинский А. В. 33, 34, 47,
50, 274
Будников В. С. 7
Бурбаки Н. 8, 33, 27'4
Буш Р. 17
Бычко И. В. 51,-275
Вандервельде Ц. И. 46, 47, 280
Вейерштрасс 202, 244
Вельтнер К- (К- Weltner) 4
Веников В. 33, 275
Винер Н. (Wiener N.) 32, 33,
280
Выготский Л. С. 37, 38
Галантер Е. 17, 48, 277
Гальперин П. Я. 16, 27, 28, 42
43, 44, 64, 65, 68, 204, 275
Гаусс К. Ф. 49
Гелернтер Г. 50, 275
Гельмгольц 49
Гельфанд И. М. 29, 275
Георг Ф. X. (George F. Н.) 280
Гербарт И. Ф. (I. F. Herbert)
4, 5
Гибш И. А. 121, 276
Гильберт Д. 59, 275
. Гладкий А. В. 86
Глезер В. Д. 99, 275
Глушков В. М. 6, 275
Гнеденко Б. В. 44
Гурова А. А. 26, 36, 275
Декарт Р. 8
Демидович Б. П. 269, 275
Джордж Ф. 32, 280
Джугели Э. П. 5
Довгялло А. М. 6
Жариков Е. С. S1, 275
Заде Л. (A. Zadeh) 13
Зорина Н. Д. 5
Инельдер Б. 36, 277
Ительсоя Л. Б. 4, 28, 213, 275
Кабанова — Меллер Е. Н. 38
Казанский В. П. 222, 249, 279
Калмыкова 3. И. 50, 93, 275
Келберт X. (Kelbert) 280
Кемени Дж. 76, 113, 275
Клаус Г. О. (ClauS Q.) 280
Клейн Ф. 233
Колмогоров А. Н. 9, 50, 189,
191, 276
Корнилор К. Н. 46, 276
Кочергин А. Н. 34, 276
Коши 202
Кринчик Е. П. 44, 98, 276
28

Крутёцкий В. А. 26, 64, 84, 100,
103, 145, 191, 221, 222, 229,
271, 272, 276
Куба 17
Курош А. Г. 75, 276
Ладенко И. С. 34
Ланда Л. Н. ill, 13, 15, 28, 30,
44. 45, 46, 47, 51, 60, 66, 144,
186, 276
Лейбниц Г. В. (Q. W. Leibniz)
8
Ленин В. И. 34, 257, 274
Леонтьев А. Н. 27, 38, 64, 93,
98—100, 276
Линер Р. 99
Лобачевский 244
Лурия А. Р. 46, 276
Ляпунов А. А. 15, 28, 45, 63,
66 74, 82. 116, 124, 139, 157,
217, 250, 261, 276
Марков А. А. 10, 276
Марон И. А. 269, 275
Масчан С. С. 5
Матюшкин А. М. 9
Машбиц Е. И. 6
Мейер X. (Meuer H.) 280
Мельчук И. А. 86
Менчинская Н. А. 26, 37, 40,
44, 50, 90, 93, 141, 203, 277
Миллер Дж. 17, 48, 277
Минский М. 211, 277
Мордухай-Болтовский Д. 50,
277
Напалков А. 99, 277
Невельский П. Б. 166
Никандров Н. Д. 5
Никитин В. В. 9
Никитин Н. Н. 50, 203, 277
Новиков П. С. 74, 79, 185, 277
Новоселов Ф. П. 50, 277
Ньюэлл A. (Newell A.) 32, 47,
48, 49, 50, 189, 277, 280
Оден М. 49
Оствальд 49
Павлов 45, 50, 99, 277
Пиаже Ж. (Piaget J.) 35—38,
277"
Планк 49
Познер 17
Пойа Д. 8, 18, 47, 277
Полетаев И. А. 101, 277
Пономарев Я. А. 26, 34 35, 41,
186, 277
284
Потоцкий М;ё. 26, 42, 110,27?
Прибрам К. 48, 277
Пуанкаре А. 48, 49, 50, 277
Пушкин В. Н. 26, 47, 49, 277
Рассел Б. 49
Розенблют A. (Rosenblueth A.)
32, 280
Рубинштейн С. Л. 23, 55, 38,
39, 120, 256, 278
Рупасов К. А. 9
•Саймон Г. (Simon H.) 32, 47,
48, 49, 50, 189, 277, 280
Самарин Ю. А. 38, 39, 40, 46,
204, 205, 278
Скороспешкина Н. Д. 4
Смирнов А. А. 41
Снелл Дж. 76, 275
Столл Роберт 50, 278
Столяр А. А. 18, 21, 42
Талызина Н. Ф. 93, 195, 275,
278
Теплое Б. М. 38, 95, 163, 221,
225, 278
Терехов В. А. 46
Термен Л. 49
Тихомиров О. К. 26, 46, 47, 49,
278
Томсон Дж. 76, 275
Трахтенброт Б. А. 34, 85, 278
Туров А. 99, 277
Уайтхед 49
Уманский Л. И. 222, 229, 278
Успенский В. А. ГО
Ушинский К. Д. 38
Фейгенбаум Э. 32, 278
Фельдман Дж. 32, 278
ФермаП. 151, 152
Фисенко Г. М. 34
Фихтенгольц Г. М. 201, 278
Франк Г. (Н. Frank) 4, 27, 280
Хаймен 98
Ховланд Карл 100, 279
Цветкова Л. С. 46
Цетлин М. Л. 29, 275
Цуккерман И. И. 99, 275
Чёрч A. (Church A.) 54, 57, 60,
279, 280
Чичигин В. Г. 50, 279
Шадиро С. И. 7, 14, 15, 17, 18,
21, 50, 69, 72, 80, 103, 109,
ПО, 145, 160, 167, 220, 222,
229, 230, 249, 279

Шеварёв П. А. 26, 45, Ю, 54,
93, 94, 99, 100, 109, 195, 122,
197, 198, ,211, 226, 236, 279
Шоломий К. М. 47, 279, 49
Шестопал Г. А. 15, 45, 63, 66,
74, 82, 104, 116, 124, 139,
157, 217, 250, 258, 261, 270
Шохор-Троцкий С. И. 93
Шоу Д. 32, 47, 48, 49, 50, 189,
277, 280
Шрейдер Ю. А. 13
Шувалова Э. 3. 269, 275
Эйнштейн А. 4§
Энгельгеймер П. 48
Эрн Ф. А. 93
Ющенко Е. Л. 6
Яглом А. М. 97, 280
Яглом И. М. 97, 280
Яновская С. А. 12
Яо-Цзу Ли 47, 280
Ярошевский М. Г. 10
Яро щук Н. Ф. 93, 195, 280

ОГЛАВЛЕНИЕ
Операторно-логическая «модель» мышления и обучения и ки-
кибернетическая педагогика (вступительная статья) ... 3
Введение . 22
Глава I.
Алгоритмические модели в обучении и мышлении
1. Обзор и анализ литературы 32
2. Психологическая теория и логико-математическая модель,
первый подход. Задачи исследования 51
3. Об алгоритмическом описании формирования математиче-
математических понятий 55
4. Матричное описание процесса развития операторной формы 72
5. Операторно-логическая форма и вопросы обобщенного ма-
математического мышления 80
ё. Об одном инварианте преобразования операторно-логиче-
ских структур 91
7. «Свертывание» информации — закон действия управляющих
систем ' 93
Глава II.
Психолого-педагогический эксперимент
1. Операторы и логические условия в решении математических
задач 103
2. Логическая форма в задачах на построение 114
3. О сокращении и развертывании форм мышления . . . 121
4. Алгоритмизация формирования понятия «определенный
интеграл» ..... 127
5. О «раздвоенности» понятий 138
6. Алгоритмы в обучеиии-^фактор упрочения обратных связей 145
Глава III.
Операторно-логическая схема обучения и математическая
память
1. Логическая модель знания 156
2. Образование логической формы и ее сокращение . . . . 167
3. Логические координаты и интуитивные представления в про-
процессе решения математических задай ....... 173
4. Некоторые особенности проявления' логических координат
в процессе обучения 194
5. Методические соображения 201
286

Глава IV.
Л' вопросу о моделировании механизма мышления
1. Модель первая 206
2. Модель вторая ¦ . 214
3. Свернутость умозаключений как парциальное проявление
силы нервной системы 221
4. К вопросу о связи между логикой и интуицией в матема-
математическом мышлении 234
5. Дополнительные линии обратной связи при программиро-
программированном обучении 245
Приложение 1. Обучающие алгоритмы 258
Приложение 2. Задачи для исследования Einfall .... 264
Приложение 3. Операторная и логическая формы — два спосо-
способа кодирования информации. Эксперимент 268
Описок литературы 274
Предметный указатель 281
Именной указатель 283

Шапиро СИ. :
Ш 233 От алгоритмов — к суждениям (Эксперименты
по обучению элементам математического мышле-
мышления). М., «Сов. радио», 1973.
288 с. с ил.
Книга посвящена проблеме психологии математического мышле-
мышления — соотношению между процессом мышления и его продуктом,
т. е. между психологическим и логическим. Выявлены общие прин-
принципы переработки информации человеком — укрупненные действия.
Книга адресуется психологам математикам, педагогам, а также спе-
специалистам, занятым моделированием разумной деятельности и совер-
совершенствованием человеко-машинных комплексов.
САМУИЛ ИОСИФОВИЧ ШАПИРО
ОТ АЛГОРИТМОВ - К СУЖДЕНИЯМ
Эксперименты по обучению элементам
математического мышления
Под ред. Абрама Ароновича Столяра
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Обложка художника О. В. Камаева
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректор О. П. Трушкова
Сдано в набор 22/1 1973 г. Подписано в печать 6/VII 1973 г. Т-10763
Формат 84Х108'/за Бумага машиномелованная
Объем 15,12 усл. п. л. 16,143 уч.-изд. л.
Тираж 14 500 экз. Зак. 37 Цена 1 р. 07 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, э/я 693
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва. М-114. Шлюзовая наб.. 10.