РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
REGULAR & CHAOTIC DYNAMICS
том 12
Редакционный совет:
главный редактор: В. В. Козлов
ответственный редактор: А. В. Борисов
редактор-консультант: Ю. А. Данилов
Editorial Board:
Editor-in-Chicf: V. V. Kozlov
Managing Editor: A. V. Borisov
Advisory Editor: Y. A. Danilov
СЕРИН
РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1.	Э. Картан. Интегральные инварианты (с добавлением В.В.Козлова).
2.	А. В. Болейнов, А. Т. Фоменко. Геометрия и топология интегрируе-
мых геодезических потоков па поверхностях.
3.	А. Д. Морозов, Т. Н. Драгунов и др. Инвариантные множества дина-
мических систем в WINDOWS.
4.	В. В. Козлов. Общая теория вихрей.
5.	М. Оден. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем.
6.	В. В. Голубев. Талант без почвы.
7.	А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли
в гамильтоновой механике.
8.	Дж. Биркгоф. Динамические системы.
9.	Э. Уиттекер. Аналитическая динамика.
10.	В. М. Алексеев. Лекции по небесной механике.
11.	В. И. Арнольд, А.Авец. Эргодические проблемы классической меха-
ники.
12.	П.Р.Халмош. Лекции по эргодической теории.
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
Дж. Гукенхеймер, П. Холмс. Нелинейные колебания, динамические
системы и бифуркации векторных полей.
Г. Зейферт, В. Трельфалль. Вариационное исчисление в целом.
В.	В. Козлов. Методы качественного анализа в динамике твердого
тела.
Р. А. Литтлтон. Устойчивость вращающихся жидких масс.
Дж. Марсден, Т. Ратью. Введение в механику и симметрию.
А. М. Переломов. Интегрируемые системы классической механики и
алгебры Ли.
E-mail: borisov@uni.udm.ru
http://www.rcd.com.ru
П. Р. Халмош
ЛЕКЦИИ
ПО ЭРГОДИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
Перевод с английского
и дополнения
С. В. Фомина
Редакция журнала
«Регулярная и хаотическая динамика»
1999
УДК 530.14
Библиотека «II & С Dynamics»
Том 12
Серия организована издательством «УРСС» и редакцией
журнала «Регулярная и хаотическая динамика» в 1998 г.
П. Р. Халмош.
Лекции по эргодической теории. — Ижевск: Издательский
дом «Удмуртский университет», 1999, 136 стр.
П. Р. Халмош известен советским читателям по переводу его
книги «Теория меры» (ИЛ, 1953). В настоящей небольшой книж-
ке автор с присущим ему педагогическим мастерством знако-
мит читателей с основными идеями, методами и нерешенными
проблемами эргодической теории — главы современной матема-
тики, нашедшей и находящей немаловажные применения в фи-
зике.
Книга доступна достаточно широкому кругу читателей: сту-
дентам, аспирантам и научным работникам в различных облас-
тях математики и теоретической физики.
ISBN 5-7029-0367-6
Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала
«Регулярная и хаотическая динамика»
http://www.rcd.com.ru
@ Редакция журнала «Регулярная
и хаотическая динамика», 1999
Содержание
Предисловие к русскому изданию.................... 7
К читателю........................................ 9
Введение ........................................ 10
Примеры ......................................... 14
Возвращаемость................................... 20
Сходимость в среднем............................. 24
Точечная сходимость ............................. 29
Замечания по поводу эргодической теоремы ........ 34
Эргодичность .................................... 37
Следствия из эргодичности........................ 44
Перемешивание.................................... 50
Алгебры с мерой ................................. 57
Дискретный спектр................................ 62
Автоморфизмы компактных групп.................... 69
Обобщенные собственные значения ................. 76
Слабая топология................................. 81
Слабая аппроксимация............................. 85
Равномерная топология............................ 89
Равномерная аппроксимация........................ 95
Категории........................................ 98
Инвариантные меры................................103
6
Содержание
Инвариантные меры: решение...........................106
Инвариантные меры: проблема..........................109
Обобщенные эргодические теоремы......................113
Нерешенные проблемы .................................118
С.	В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
эргодической теории..................................122
Нормальные динамические системы....................122
Геодезические потоки на многообразиях отрицательной
кривизны......................................124
Динамические системы на торе.......................127
Энтропия динамической системы......................128
Некоторые проблемы.................................131
Литература...........................................134
Предисловие к русскому изданию
Небольшая книжка американского математика П. Р. Халмоша. из-
даваемая ныне в русском переводе, представляет собой запись курса
лекций, прочитанного автором в Чикагском университете.
Эргодическая теория, или иначе, метрическая теория динамичес-
ких систем, составившая содержание этого курса, занимает в совре-
менной математике довольно своеобразное место. С одной стороны, она
почти непосредственно связана с идеями и задачами физики, в первую
очередь статистической механики. С другой стороны, в ней использу-
ется весьма абстрактный математический аппарат, такой, как общая
теория меры, спектральный анализ операторов и т. д. Поэтому, хотя об-
щие идеи эргодической теории несомненно интересны достаточно ши-
рокому кругу математиков, изучение относящейся сюда специальной
литературы представляет собой подчас довольно сложную и трудоем-
кую задачу.
На наш взгляд, Халмошу удалось весьма удачно разрешить труд-
ную задачу такого изложения эргодической теории, которое, с од-
ной стороны, давало бы достаточно ясное и подробное представление
об имеющихся здесь результатах, методах и нерешенных проблемах,
а с другой — не было бы чрезмерно обременено техническими деталя-
ми.
Книгу Халмоша нельзя рассматривать как систематический курс.
Написанная непринужденным языком, она скорее представляет собой
серию бесед на близкие к научным интересам автора темы. Будучи
доступна достаточно широкому кругу читателей, она окажется в то
же время полезной и для специалистов, которые найдут здесь много
тонких замечаний и оригинальных мыслей.
Книга Халмоша не является систематическим курсом не только по
характеру изложения, по также и по выбору материала. Здесь отчет-
ливо проявились личные научные вкусы автора, в течение многих лет
занимавшегося эргодической теорией и получившего здесь ряд важных
результатов. Мы сочли целесообразным изложить в виде дополнения
8
Предисловие к русскому изданию
некоторые существенные результаты, которые или не привлекли вни-
мания автора, или были опубликованы после выхода книги Халмоша
в свет. Читателю следует также иметь в виду, что более старые резуль-
таты, относящиеся к метрической теории динамических систем, под-
робно изложены в обзорной статье В. А. Рохлина (Успехи матом, паук, 4,
№2 (1949)).
Перевод книги Халмоша сделан без всяких изменений, с сохране-
нием по возможности терминологии автора. Переводчиком совместно
с редактором были исправлены лишь замеченные опечатки и отдельные
неточности.
С. В. Фомин
К читателю
Содержание этой небольшой книжки составили записи курса лек-
ций по эргодической теории, прочитанного мною в Чикагском универ-
ситете в весеннем семестре 1955 г. Поэтому книгу нельзя рассматри-
вать как строгую и исчерпывающую монографию. Я прошу читателя
представить себе, что он слушает рассказ, цель которого вновь пробу-
дить интерес к одной из полезных, но в данное время не модных облас-
тей математики. Если опубликование этих записей побудит кого-либо
атаковать, а может быть даже и решить некоторые из заманчивых,
остающихся до сих пор открытыми проблем эргодической теории, то я
буду более чем удовлетворен.
П. Р. X.
Введение
Считается, что развитие топологии началось с известной задачи
о семи Кенигсбергских мостах; отправной точкой для развития эргоди-
ческой теории послужили некоторые соображения, относящиеся к ста-
тистической механике. Задача о семи мостах внесла в математику те-
орему о четных и нечетных вершинах в графах, а задача изучения га-
за — теорему об асимптотическом поведении сохраняющих меру преоб-
разований. В обоих случаях непосредственный «выход» первоначальной
постановки вопроса составил лишь малую часть общей теории. Тем не
менее, поскольку исторический фон представляет определенную цен-
ность, я посвящу в этих лекциях несколько минут схематическому из-
ложению некоторых существенных для дальнейшего понятий статис-
тической механики.
Рассмотрим некоторую механическую систему с п степенями сво-
боды. Для большей конкретности предположим, что п = ЗА: и что данная
система состоит из к частиц, заключенных в замкнутый объем в трех-
мерном пространстве. Пусть массы этих частиц (скажем, молекул газа)
и действующие па них силы полностью известны, тогда мгновенное со-
стояние нашей системы можно задать, указав значения п координат
и п компонент скорости. Эти 2п параметров не являются единственно
возможными; например, для некоторых целей совокупность координат
и импульсов значительно удобнее, чем набор координат и скоростей.
С этой точки зрения состояние системы представляет собой точку
в 2п-мерном евклидовом пространстве, так называемом фазовом про-
странстве. С течением времени состояние системы меняется по соот-
ветствующим физическим законам (дифференциальным уравнениям);
вся история эволюции системы, се прошлое, настоящее и будущее, из-
ображается определенной траекторией в фазовом пространстве. В соот-
ветствии с классической механикой, основанной на причинности, вся
эта траектория может быть в принципе определена, если задана какая-
нибудь одна ее точка (мгновенное состояние). Практически, однако,
мы почти никогда по имеем информации, достаточной для такой пол-
ной определенности. Основная идея статистической механики, впервые
высказанная Гиббсом, состоит в том, чтобы, пренебрегая рассмотрени-
Введение
11
ем отдельного состояния (т. е. отдельной точки в фазовом пространст-
ве), отдать предпочтение статистическому изучению ансамблей состо-
яний (т. е. подмножеств фазового пространства). Вместо того чтобы
спрашивать, «каково будет состояние данной системы в момент вре-
мени £?», мы спрашиваем: «какова вероятность того, что в момент t
состояние системы будет принадлежать определенному подмножеству
фазового пространства?». Первостепенный интерес представляет следу-
ющая асимптотическая постановка вопроса: что (вероятно) будет про-
исходить с системой при t, стремящемся к бесконечности?
Пусть Xt — точка фазового пространства, изображающая состоя-
ние некоторой системы в момент /: тогда соответствие, переводящее
точку Xq в точку Xt, является некоторым преобразованием — пазовом
его Tt; таким образом xt = Ttx,n. Так как в силу очевидных физических
причин Ts+t = TsTt, то {Т(} представляет собой однопараметрическую
группу преобразований. (Такая группа обычно называется потоком.)
Одним из основных результатов статистической механики является те-
орема Лиувилля; она гласит, что если координаты в фазовом простран-
стве выбраны должным образом, то поток в фазовом пространстве не
меняет фазового объема (т. е. 2п-мерного объема в этом пространст-
ве). Другими словами, преобразования, образующие поток, сохраняют
меру: основной задачей статистической механики является изучение
асимптотических свойств некоторых семейств преобразований, сохра-
няющих меру.
Отправляясь от конкретной трехмерной физической ситуации,
мы пришли в результате проведенных выше рассуждений к довольно
абстрактной многомерной математической идеализации, обладающей
важным свойством (а именно, свойством сохранения меры у потока).
Этим свойством обладают и многие другие модели, не менее конкрет-
ные, чем та, которая первоначально привела нас к указанной выше аб-
страктной схеме. Можно рассмотреть, например, физическую систему,
состоящую из миксера для приготовления коктейлей, в котором нахо-
дятся лед и джин с несколькими каплями вермута, и предположить,
что на такую систему действует поток, создаваемый энергичным дви-
жением сбивалки. Такого рода примеры, представляющие очевидный
интерес, будут использоваться на первых порах для иллюстрации на-
ших рассмотрений.
Эргодическая теория представляет собой математический резуль-
тат физических рассмотрений, подобных описанным выше. Эта теория
12
Введение
содержит ряд интересных и нетривиальных теорем; она связана с ря-
дом других областей математики (как, например, теория вероятностей,
топологические группы, гильбертово пространство).
В то же время эта теория имеет и некоторые «патологические» ас-
пекты, которые затемняют лежащее в основе существо дела. Чтобы
сделать излагаемые теоремы и примеры более выразительными и ото-
двинуть на задний план «патологию» и разного рода контрпримеры,
я решил не гнаться за максимальной общностью. Цель этого плана со-
стоит не в том, чтобы умолчать о трудностях, а в том, чтобы избежать
неприятности, которая, во всяком случае на первых порах, не явля-
ется необходимой. Я постараюсь теоремы точно формулировать и ак-
куратно доказывать, однако я не буду стесняться при этом налагать
упрощающие ограничения, которые иногда могут показаться слишком
жесткими. (Одно из преимуществ этого подхода к делу состоит в том,
что он позволяет отчетливо сформулировать имеющиеся здесь нере-
шенные проблемы, среди которых, кстати, есть немало весьма глубо-
ких и интересных.) Так, если окажется полезным предположить, что
та или иная мера является конечной (или, возможно, сигма-конечной)
или что то или иное топологическое пространство имеет счетную базу,
я без колебаний буду это делать.
Первое упрощающее предположение, а именно переход от непре-
рывного к дискретному, можно сделать сейчас же, и оно будет сохра-
няться на протяжении всего этого курса. Каждый отдельный элемент
потока, т. е. Т = Tto при каждом значении to, является сохраняющим
меру преобразованием. Из группового свойства элементов Tt следует,
что Tnt0 = Тп при любом целом п, положительном, отрицательном или
равном нулю. (Тп = То является тождественным преобразованием.)
Поскольку ист оснований ожидать, что асимптотические свойства у 7)
будут иными, чем у Тп, мы будем рассматривать этот последний, дис-
кретный, случай, а по непрерывный. Это имеет определенный физичес-
кий смысл; именно это означает, что мы пытаемся изучать асимпто-
тические свойства потока, производя наблюдения через определенные,
равные между собой промежутки времени. Имеется здесь и опреде-
ленный математический смысл, состоящий в том, что при этом упор
делается на более простые понятия. Первыми объектами изучения яв-
ляются отдельные сохраняющие меру преобразования; изучение групп
таких преобразований мы несколько отложим.
Введение
13
Еще несколько слов на эту же тему, прежде чем я перейду к систе-
матическому изложению теории. Слава, выпавшая на долю одной или
двух предельных теорем, явилась источником распространенного мне-
ния, будто они именно и представляют наибольший интерес в современ-
ной эргодической теории. Я не думаю, чтобы это было так. Существу-
ет много алгебраических и топологических фактов, требующих изуче-
ния; более запутанные аналитические факты можно глубоко осмыслить
лишь в том случае, если рассматривать их в плане общей тополого-
алгебраической структуры.
Литературные ссылки
Halmos Р. R,., Measure Theory, 1950 (русский перевод: Халмош П. Р.,
Теория меры, ИЛ, 1953 г.).
Halmos Р. R., Introduction, to Hilbert space, 1951.
Hopf E., Ergodentheorie, 1937 (русский перевод: Хопф Э., Эргодичес-
кая теория, Успехи матом, паук, 4, № 1, 1949).
Хинчин А. Я., Математические основания статистической меха-
ники, ГТТИ, 1943 г.
Понтрягин Л. С., Теория непрерывных групп, ГТТИ, 1938 г. (Второе
издание, Гостсхиздат, 1954.)
В моем сообщении Американскому математическому обществу
(Bull. Amer. Math. Soc., 1949, стр. 1015) имеются исторические све-
дения о большей части тех вопросов, которые будут затронуты в моих
лекциях, а также исчерпывающая библиография вплоть до 1948 г. Ука-
зания па другие вопросы, которые будут время от времени упоминать-
ся, но которые мы не будем здесь рассматривать детально, можно най-
ти в вышеупомянутом сообщении, а также в докладе Какутани 1950 г.
(Kakutani, Cambridge Congress, т. 2, стр. 128) и в сообщении Американ-
скому математическому обществу, сделанном Окстоби (Oxtoby, Bull.
Amer. Math. Soc., 1952, стр. 116; русский перевод: Окстоби Д., Эрго-
дические множества. Успехи матем. наук, 8, № 3, 1953). Дальнейшие
ссылки будут приводиться в соответствующих местах курса.
Примеры
Основным понятием будет для нас пространство с мерой, т. е. мно-
жество X вместе с некоторой фиксированной сигма-алгеброй его под-
множеств и мерой, определенной на этой алгебре. Напомню, что под
сигма-алгеброй понимается система множеств, замкнутая относитель-
но взятия дополнения и соединения конечного или счетного числа мно-
жеств, а под мерой неотрицательная (возможно, принимающая бес-
конечные значения) сигма-аддитивная функция множеств. Множества,
принадлежащие области определения меры, называются измеримыми
подмножествами пространства X. Все те пространства с мерой, кото-
рые мы будем рассматривать, предполагаются сигма-конечными; иначе
говоря, мы будем предполагать, что X есть сумма счетного числа под-
множеств конечной меры. Смысл этого допущения состоит в том, чтобы
исключить некоторые возможные аномалии, которые иначе могли бы
возникнуть в связи с теоремой Фубини и теоремой Радопа-Никодима;
в предположении сигма-конечности применение этих теорем не вызы-
вает затруднений.
Укажем некоторые типичные примеры тех пространств с мерой,
которые будут рассматриваться ниже: конечномерное евклидово про-
странство с измеримостью в смысле Вореля и лебеговской мерой. Еди-
ничный интервал с теми же определениями измеримости и меры. Мно-
жество всевозможных последовательностей х = {жп} пулей и еди-
ниц, где п пробегает все целые значения; измеримыми множества-
ми являются элементы сигма-алгебры, порожденной множествами ви-
да {ж: хп = 1}, а мера определяется из условия, что ее значение для
пересечения к производящих множеств указанного вида всегда рав-
но 1/2*'. Локально-компактная топологическая группа со счетной базой,
с измеримостью в смысле Вореля и мерой Хаара.
Измеримым преобразованием называется такое отображение про-
странства с мерой в пространство с мерой, при котором прообразы
измеримых множеств измеримы. Измеримое преобразование Т, дей-
ствующее из X в Y, называется обратимым, если существует такое
измеримое преобразование S, действующее из У в X. что и ST и TS
Примеры
15
являются тождественными отображениями (с соответствующими об-
ластями определения). Преобразование S определяется по Т однознач-
но, оно называется обратным к Т и обозначается Т-1.
Большинство тех измеримых преобразований, которые мы будем
рассматривать, являются сохраняющими меру, т. с. обладают тем свой-
ством, что прообраз каждого измеримого множества имеет ту же меру,
что и само это множество. Честно говоря, интерес представляют не са-
ми сохраняющие меру преобразования, а классы эквивалентных между
собой преобразований; при этом два преобразования считаются экви-
валентными, если они отличаются друг от друга лишь па некотором
множестве меры нуль. Обычный пароль, разрешающий переход к рас-
смотрению классов эквивалентности, — это термин «идентификация».
Я предлагаю идентифицировать два сохраняющих меру преобразова-
ния в том и только том случае, если они совпадают почти всюду. Заме-
тим, что если некоторое сохраняющее меру преобразование обратимо,
то обратное к нему преобразование тоже сохраняет меру. Большинст-
во тех преобразований, которые рассматриваются в эргодической те-
ории, представляют собой обратимые сохраняющие меру преобразова-
ния, отображающие пространство с мерой на себя.
Типичным примером измеримого, но не сохраняющего меру пре-
образования на прямой является преобразование Тх = 2ж; легко прове-
рить, что m(T-1£J) = im(£J) для всякого борслсвского множества Е
(где т, само собой разумеется, рассматриваемая мера, в данном
случае мера Лебега). Преобразование, тесно связанное с данным, на
единичном интервале определяется формулой Тх = 2х (mod 1). Гово-
ря яснее, я рассматриваю полусегмент [0, 1) и полагаю Тх = 2х, ес-
ли 0 х < i и Тх = 2.т — 1, если i х < 1. Если Е = Г|,
2 ’	2	Loo/'
то Т [Е есть сумма полусегментов | и	к I к + 11 I •
так что т(Т гЕ) =	| = т(Е)1. Аналогичные рассуждения
показывают, что т(Т~1Е) = т(Е), если Е — произвольный полусег-
мент. Отсюда легко следует, что преобразование Т сохраняет меру. Так
как преобразование Т не взаимно-однозначно (в действительности оно
всюду двукратно) и так как оно не может быть сделано взаимно-одно-
значным путем выбрасывания какого-либо множества меры нуль, то
13десь и в некоторых других местах символ Т гЕ означает полный прообраз
множества Е, даже если преобразование необратимо. — Прим, перев.
16
Примеры
мы получаем таким образом пример необратимого сохраняющего меру
преобразования. Изоморфное представление того же самого преобразо-
вания (в пока еще не определенном, но совершенно очевидном смыс-
ле) получается следующим образом. В качестве пространства с мерой
возьмем множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1, с из-
меримостью, понимаемой в смысле Вореля, и с мерой, нормированной
так, что мера каждой дуги равна ее длине, умноженной на 7^; Т опре-
2тг
дслясм формулой
Tz = z2.
Простой пример обратимого, сохраняющего меру преобразования
на действительной оси дает формула Тх = х + 1. В более общем
случае конечномерного евклидового пространства определим Т, поло-
жив Тх = х + с, где с — некоторый фиксированный вектор. Мы по-
лучим еще более общий случай, если в локально компактной группе
с левоинвариантной мерой Хаара выберем некоторый элемент с и опре-
делим Т, положив Тх = сх. Мы получим полезный частный случай
этого последнего обобщения, если рассмотрим группу комплексных чи-
сел, по модулю равных 1; в этом случае Т реализуется геометрически
как поворот на угол arg с. Можно построить изоморфное представле-
ние того же самого частного случая на единичном интервале, выбрав
некоторое число с, заключенное между 0 и 1, и положив Тх = х + с
(mod 1). Подробнее: Тх = х + с, если 0 < а? < 1 — с, и Тх = х + с — 1,
если	1.
Другую группу примеров можно получить, рассмотрев на плоскос-
ти преобразование Т(а?, у) =	- Прообразом единичного квадра-
та здесь является прямоугольник с основанием и высотой 2. Ана-
логично прообраз каждого прямоугольника представляет собой пря-
моугольник той же площади; отсюда следует, что это преобразование
сохраняет меру. Ясно, что оно обратимо. Обобщим этот пример. Для
этой цели рассмотрим произвольное линейное преобразование конечно-
мерного евклидова пространства. Такое преобразование переводит все
пространство в некоторое подпространство. Всякое собственное под-
пространство имеет меру нуль1, отсюда следует, что преобразование Т
может сохранять меру лишь в том случае, если оно невырождено. Ес-
1 Имеется в виду лебеговская мера, определенная во всем рассматриваемом про-
странстве. — Прим, перев.
Примеры
17
ли Т — невыро;кденное преобразование с детерминантом d. то, как из-
вестно, m(T~1E) = m(£^)/|d| для всякого борелевского множества Е.
(Доказательство этого хорошо известного факта редко приводится. Оно
может быть проведено аналитическими методами, с использованием
понятия якобиана; прямое доказательство см. в книге Caratheodory,
Vorlesungen ueber Funktionen, 1927. стр. 346.)
Невырожденные линейные преобразования действительного конеч-
номерного векторного пространства можно охарактеризовать как не-
прерывные автоморфизмы аддитивной векторной группы. Это естест-
венно наводит па мысль рассмотреть произвольную локально компакт-
ную группу с левоинвариантной мерой Хаара и некоторый непрерыв-
ный автоморфизм Т этой группы. Для того чтобы выяснить, является
ли Т сохраняющим меру преобразованием, мы должны сравнить т(Е)
с п(Е) = т(Т~1Е). Функция множества п является, очевидно, мерой.
Естественно поставить вопрос, будет ли опа лсвоипвариаптпой мерой
Хаара. Иными словами, верно ли равенство т(Т~г (хЕ\) = т(Т~1Е')‘?
Ответ получается утвердительный, так как Т-1(ж1Г) представляет со-
бой левый сдвиг множества Т~гЕ; в самом деле, очевидная выкладка
показывает, что Т~г(хЕ) = (Т~1х)Т~1Е. В силу единственности ме-
ры Хаара отсюда вытекает, что m(T~lE) может отличаться от гп(Е)
лишь постоянным множителем. Это, вообще говоря, все, что мы можем
утверждать; примеры невырожденных линейных преобразований пока-
зывают, что автоморфизм не обязан быть сохраняющим меру. Однако
если группа X компактна, то ш(Х) конечна и, следовательно, указан-
ный выше постоянный множитель можно вычислить, положив Е = X:
так как Т~гХ = А". то этот множитель равен 1 и автоморфизм Т со-
храняет меру.
Интересен частный случай, который получается, если за рассмат-
риваемую группу взять тор, т. е. декартово произведение двух окруж-
ностей. Конкретнее: элементы этой группы суть пары (и, v) комплекс-
ных чисел, равных по модулю 1, а групповая операция представляет
собой покоординатное умножение. Легко показать, что произвольный
автоморфизм такой группы задается некоторой унимодулярной мат-
рицей второго порядка, т. е. матрицей с целочисленными элементами
и детерминантом ±1. Если — такая матрица, то соответствую-
щий автоморфизм Т определяется формулой Т(и, v) = (uavb, ucvd).
Пусть X — пространство последовательностей х = {ж„}, п =
= 0, ±1, ±2, ..., описанное выше, и пусть Т — преобразование, по-
18
Примеры
рождаемое сдвигом всех индексов на единицу, т. е. Тх = у = {//»)•
где уп = хп+г. Это преобразование сохраняет меру и обратимо. Ес-
ли X — пространство односторонних последовательностей, т. е. его эле-
менты суть последовательности {жп}, где п = 0, 1, 2, ..., то та же
самая формула определяет сохраняющее меру, по по обратимое (дву-
кратное) преобразование.
Существует простое отображение S пространства односторонних
последовательностей на единичный отрезок; S переводит последова-
тельность {жта} нулей и единиц в число, записывающееся в виде дво-
ичной дроби 0,	• • • • Преобразование S сохраняет меру и по су-
ществу взаимно-однозначно. Оно не является в точности взаимно-од-
нозначным, поскольку двоично-рациональные числа имеют по два раз-
ных двоичных разложения. Множество тех последовательностей, обра-
зы которых являются двоично-рациональными числами, имеет ту же
мощность, что и само множество двоично-рациональных чисел; каж-
дое из этих двух множеств счетно. Если мы переопределим S соответ-
ствующим образом для этих исключительных последовательностей, то
мы получим обратимое сохраняющее меру преобразование, переводя-
щее пространство последовательностей в единичный отрезок. Сущест-
вование такого отображения показывает, что с точки зрения теории
меры данные два пространства изоморфны между собой. Этот изомор-
физм (т. е. преобразование S) переводит односторонний сдвиг Т в не-
которое обратимое сохраняющее меру преобразование Т' единичного
отрезка; Т' определяется формулой Т! = STS-1. Внимательное рас-
смотрение преобразований S и Т показывает, что Т' наш старый
знакомый: Т'х = 2х (mod 1) почти всюду.
Существует естественное соответствие между пространством дву-
сторонних последовательностей и декартовым произведением про-
странства односторонних последовательностей на себя; это соответ-
ствие переводит точку
{. . .Ж-2, X-х, Ж0, ЖХ, Ж2, . . . }
В
({жц, Ж1, Ж2, . . .	Ж — 1, Ж — 2, . . . }).
Это соответствие представляет собой, как легко проверить, обратимое
сохраняющее меру преобразование, т. с. изоморфизм (в смысле теории
меры). Обозначим этот изоморфизм Р, a Q пусть означает декартов
Примеры
19
квадрат преобразования S (так что Q(x, у) = [Sx, Sy), где х, у — одно-
сторонние последовательности), тогда произведение QP представляет
собой изоморфное отображение пространства двусторонних последова-
тельностей па единичный квадрат. Этот изоморфизм переводит дву-
сторонний сдвиг в обратимое сохраняющее меру преобразование Т",
определенное на квадрате. Рассмотрев введенные только что преобра-
зования, мы увидим, что Т" является близким родственником нашего
старого знакомого, именно
Т”(х, у)(2х (mod 1), если 0 < х < |
и
Т"(х, у)(%х (mod 1), ±(у + 1)), если i х < 1.
(Эти равенства, справедливые почти всюду, следует, естественно, по-
нимать как равенства по модулю 1.) Преобразование Т" можно пред-
ставить геометрически следующим образом. Применим к единичному
квадрату линейное преобразование, переводящее (х, у) в (эх, iy), в ре-
зультате получим прямоугольник с основанием [0, 2) и левой сторо-
ной [б, отрежем правую половину этого прямоугольника (для ко-
торой основанием является [1, 2)) и поместим ее, сделав параллельный
перенос, в верхнюю половину единичного квадрата. Поскольку эта опе-
рация слегка напоминает действия, производимые при замешивании
теста, преобразование Т" иногда называют «преобразованием пекаря».
Возвращаемость
Для того чтобы рассматривать асимптотические свойства сохраня-
ющего меру преобразования Т. т. с. свойства последовательности {Т”},
нужно, чтобы сами степени Т имели смысл; поэтому мы в дальнейшем
ограничимся рассмотрением таких преобразований, которые переводят
некоторое множество X само в себя. Первые по времени и наиболее
простые из вопросов, относящихся к асимптотике, были поставлены
Пуанкаре (Calcul des probabilites, 1912); они относятся к понятию воз-
вращаемости. Пусть Т измеримое преобразование, заданное на X.
и Е С X — измеримое подмножество; точка х 6 Е называется воз-
вращающейся (относительно Е и Т), если Т".г. Е Е хотя бы для одного
целого положительного п. Первый приводимый ниже результат типи-
чен для данного круга вопросов.
Теорема о возвращении. Если Т — сохраняющее меру (но не
обязательно обратимое) преобразование, определенное в пространстве
с конечной мерой, и если Е — некоторое измеримое множество, то
почти все точки множества Е — возвращающиеся.
Доказательство.
Предположим противное; тогда множество F тех точек из Е, ко-
торые в Е никогда по возвращаются, имеет положительную меру. Из-
меримость F вытекает из равенства
F = Е П Т~г(Х - Е) П Т~2(Х — Е ) Г\...
Если х Е F, то ни одна из точек Тх, Т2х, Т3х, ... не принадлежит F;
другими словами: F не пересекается с T~nF ни при каком целом поло-
жительном п. Отсюда следует, что множества F, Т VF. Т2Е ... по-
парно по пересекаются, так как
T~nF П Т_(та+А:)F = T~n(F П T~kF).
Так как Т сохраняет меру, а мера всего пространства конечна, то мы
пришли к противоречию.
Возвращаемость
21
Из доказанной сейчас теоремы о возвращении можно вывести бо-
лее сильную ее формулировку. Верно не только то, что для почти всех
х Е Е по крайней мере один из членов последовательности Тх, Т2х, ...
принадлежит Е; в действительности для почти всех х Е Е существу-
ет бесконечно много таких значений п, что Тпх Е Е. Идея доказа-
тельства здесь состоит в том, что теорема о возвращении применяется
к каждой степени Т. Точнее говоря, пусть Fn есть множество тех точек
из Е, которые никогда не возвращаются в Е преобразованием Т"; тог-
да, по теореме о возвращении, m(Fn) = 0. Если х Е Е — (Fi U F-> U ...),
то Т”1 Е Е для некоторого положительного ni, поскольку х Е Е — Е±.
Возьмем п-2 > п-2, так как х ЕЕ — Fn,2, то Ткп2х Е Е при некотором
положительном к. Усиленный вариант теоремы о возвращении получа-
ется индуктивным повторением этого рассуждения, проведенного нами
дважды.
В доказательстве первоначальной теоремы о возвращении сохра-
няющий меру характер рассматриваемого преобразования и конеч-
ность меры использовались лишь в весьма слабой степени. Единст-
венно существенным фактом было лишь отсутствие такого множест-
ва F положительной меры, что F, T~l F, T~2F, ... попарно не пересе-
каются. Исходя из этого замечания, введем следующее понятие: изме-
римое преобразование Т называется диссипативным, если существу-
ет такое измеримое множество F положительной меры, что множест-
ва F, T~rF, T~2F, ... попарно не пересекаются (такое множество на-
зывается блуждающим); в противном случае преобразование Т называ-
ется консервативным. Ясно, что теорема о возвращении в слабой фор-
мулировке справедлива для любого консервативного преобразования.
Доказательство усиленной теоремы о возвращении опирается на
применимость ослабленной теоремы к любой степени преобразования.
Ясно, что если Т диссипативно, то тем же свойством обладают и все сте-
пени Т. Это не совсем то, что нам надо. Мы смогли бы распространить
усиленную теорему о возвращении па все консервативные преобразова-
ния, если бы знали, что любая степень консервативного преобразования
сама обладает свойством консервативности.
В этот вопрос вносит известную ясность следующее новое понятие:
мы скажем, что преобразование Т является сжимающим, если сущест-
вует такое измеримое множество Е, что Е С Т-1Е и m(T~1E — Е) > 0.
В противном случае преобразование Т называется несжимающим. По-
нятие сжимаемости, которым пользоваться несколько удобнее, чем
22
Возвращаемость
понятием диссипативности, на самом деле эквивалентно последнему.
Действительно, если Е С Т-1Е. причем т(Т~1Е — Е) >0, то по-
ложим F = Т~ГЕ — Е, тогда множества T~nF попарно не пересе-
каются. С другой стороны, если F такое множество положитель-
ной меры, что множества T~nF попарно по пересекаются, то, поло-
жив Е = X — (F U T-1F U T~2F U ...), получим, что Е С Т~ГЕ
и m(T~1E — Е) >0.
В свое время я доказал (Ann. of Math., 1947, стр. 738), что если
взаимно-однозначное преобразование Т несжимающее, и если 7' 1
измеримо, то и любая степень Т пссжимающая. Это доказательство
носит комбинаторный характер и несколько запутано. Нетрудно было
бы выяснить, остается ли указанный результат в силе, если преобра-
зование не является взаимно-однозначным; у меня такое впечатление,
что некоторая модификация доказательства, проведенного в предполо-
жении взаимной однозначности, должна пройти и в общем случае.
В связи с понятием сжимаемости стоит отметить, что взаим-
но-однозначное измеримое преобразование, имеющее измеримое об-
ратное, определенное на пространстве с конечной мерой, всегда име-
ет, по существу однозначно определенную, не сжимающую часть.
Точнее: существует такое измеримое инвариантное подмножество Y
(т.е. Т ХУ = У), что Т является несжимающим на У, и существует
такое блуждающее множество F, что X — Y есть сумма множеств TnF,
п = 0, ±1, ±2, .... (Идея доказательства: пусть d = supm(D) по всем
блуждающим множествам D; построим последовательность блуждаю-
щих множеств { /!,,. р таких, что m(Dn) —> d. и примем за У дополнение
наименьшего инвариантного множества, содержащего все Л„.) Обобще-
ние этого результата на преобразования, не являющиеся взаимно-одно-
значными, по-видимому, представляет собой довольно деликатную за-
дачу. Укажу хотя бы на такой пример: в качестве X берем множество
всех неотрицательных целых чисел и полагаем Тх = х — 1, если х > 1
и Т1 = 3.
Приведенные выше рассуждения намекают на две возможнос-
ти, каждая из которых фактически реализуема. Во-первых, сохра-
няющее меру преобразование пространства с бесконечной мерой
не обязано быть консервативным, даже если оно обратимо. При-
мер: Тх = х + 1 па дискретном пространстве всех целых чисел. Теоре-
ма о возвращении для этого Т неверна. Во-вторых, взаимно-однознач-
ное, сохраняющее меру преобразование не обязано быть обратимым.
Возвращаемость
23
Пример: пусть X — множество целых чисел; назовем подмножество
из X измеримым в том и только в том случае, если его пересечение со
множеством неотрицательных целых чисел инвариантно относительно
всех транспозиций, меняющих местами 2п и 2п + 1, п = 0, 1, 2, ...:
положим далее Тх = х + 2. Этот пример показывает также, что объеди-
нение двух сжимаемых множеств может не быть сжимаемым; рассмот-
рим неотрицательные целые и отрицательные четные числа в качестве
одного множества и неотрицательные целые и отрицательные нечетные
числа в качестве другого.
Содержание теоремы о возвращении можно сформулировать с по-
мощью характеристической функции (обозначим ее /) множества Е
следующим образом: для почти всех х Е Е ряд f(Tnx) расходит-
ся. Этот результат можно обобщить: если f произвольная неотри-
цательная измеримая функция, то для почти всех х, принадлежащих
множеству {х: f(x) > 0}, ряд ^2f(Tnx) расходится. Доказательство не
представляет труда. Рассмотрим для каждого целого положительного к
множество Ek, на котором /(ж) > ^. Из теоремы о возвращении следу-
ет, что для почти всех ж 6 Ek бесконечно много точек вида Тпх принад-
лежит Ek', требуемый результат получается суммированием всех Ek-
Сходимость в среднем
Теорема о возвращении гласит, что при соответствующих услови-
ях, наложенных на преобразование Т. почти каждая точка произволь-
ного измеримого множества Е возвращается в Е бесконечно много раз.
Естественно спросить: какое же в точности время проводит в Е такая
возвращающаяся точка? В более точной постановке проблема форму-
лируется так: дана некоторая точка х (для наших теперешних целей не
существенно, принадлежит х множеству Е или нет) и дано целое поло-
жительное число рассмотрим отношение числа тех значений к п,
при которых Ткх Е Е. к общему числу рассматриваемых значений к
(т. с. к п) и вычислим предел этого отношения при п —> оо. При этом,
конечно, совсем не очевидно, существует ли этот предел в каком-либо
смысле и в каком именно.
Если / — характеристическая функция множества Е, то интере-
1 ”-1
сующее нас отношение можно записать в виде f(TJx). Вопрос
з=о
о среднем времени пребывания представляет собой, таким образом,
вопрос о сходимости, в смысле Чезаро, последовательности {f(Tnx)}.
Первый существенный шаг здесь был сделан вскоре после того, как
стало ясно, что нет никакой необходимости и даже нежелательно огра-
ничиваться рассмотрением одних лишь характеристических функций.
Если f — произвольная функция на X, то равенство g(x) = f(Tx)
определяет на X некоторую другую функцию g. Если мы поло-
жим g=Uf, то U представляет собой некоторое отображение, опре-
деленное для функций на X. Это отображение U обладает некото-
рыми важными свойствами. Самым очевидным свойством отображе-
ния U является его линейность: если, например, f и g — две комп-
лекснозначные функции на X, а а и Ь — два комплексных числа,
то U(af + bg) = a,Uf + bUg. Если преобразование T сохраняет меру,
то и обладает важным свойством, состоящим в том, что оно переводит
пространство Li в себя и даже является в этом пространстве изомет-
рическим оператором. Это, как известно, означает, что если f Е Li,
Сходимость в среднем
25
то Uf £ L1 и ЦГ/Ц1 = ||/||1 (символ \\f\\p означает норму в Lp). До-
казательство совсем простое. Если f — характеристическая функция
множества Е конечной меры, то Uf — характеристическая функция
множества Т 1Е-, для данного случая требуемый результат вытекает
из равенства ||/}i = т(Е). Отсюда и из линейности U следует, что
оператор U сохраняет нормы конечных линейных комбинаций харак-
теристических функций, так называемых простых функций. Если f —
неотрицательная функция, то f является пределом (в смысле точечной
сходимости) возрастающей последовательности [/„} неотрицательных
простых функций. Так как {Ufn} при этом также является возрас-
тающей последовательностью неотрицательных функций, то из тео-
ремы об интегрировании монотонных последовательностей вытекает,
что lim||C7/„||i = ЦС7УЦ1, так же как и lim||/„|| = \\f\\i- Таким обра-
зом, требуемый результат установлен для неотрицательных функций.
Для общего случая он вытекает из того факта, что в Li каждая функ-
ция / имеет ту же норму, что и \f\. Отмстим, что в проведенных выше
рассуждениях конечность меры основного пространства X нигде не ис-
пользовалась.
Из того, что U есть изометрический оператор в Li, сразу следует,
что U является изометрическим оператором в £2! Для доказательст-
ва следует лишь заметить, что норма в смысле функции f равна
квадратному корню из нормы функции /2 в L±. Если Т — обратимое
сохраняющее меру преобразование, то U — обратимый изометричес-
кий оператор: обратным к нему является оператор V, определяемый
равенством У/(ж) = /(Т-1ж). Обратимый изометрический оператор
в гильбертовом пространстве является унитарным: мы доказали, та-
ким образом, что оператор, порождаемый в L-> обратимым сохраняю-
щим меру преобразованием, унитарен. На этот факт впервые указал
Купман (Koopman, Proc. Nat. Acad. Sci., 1931, стр. 315).
Основная асимптотическая проблема эргодической теории сводит-
ся, таким образом, к изучению предельного поведения средних ви-
-1 n—1
Да п S ’ гДе — изометрический оператор в гильбертовом про-
1=о
страпствс. Однако в терминах гильбертова пространства вопрос сстсс-
। п-1
твенно ставить не о точечной сходимости средних —	а ско-
' .7=0
рос об их сходимости в среднем (квадратичном). Утверждение, что схо-
димость в среднем всегда имеет место, является первым результатом
26
Сходимость в среднем
современной эргодической теории. Этот результат (для унитарных опе-
раторов) впервые доказал Нейман; см. замечания Г. Д. Биркгофа и Куп-
мана об истории вопроса (Proc. Nat. Acad. Sci., 1932, стр. 281). Теорема
Неймана называется статистической эргодической теоремой в отличие
от соответствующего результата Биркгофа — так называемой индиви-
дуальной эргодической теоремы.
В случае, когда вместо гильбертова пространства рассматривается
пространство одномерное, эргодическая теорема Неймана превращает-
ся в изящный и простой факт из классического анализа. В этом случае
изометрический оператор представляет собой комплексное число и, по
модулю равное 1, и рассматривается вопрос о сходимости последова-
л п— 1
тслыюсти средних — гР. Если и = 1, то каждое из этих средних
। _
равно 1. Если и 1, то n-е среднее равно —---- и, следовательно, аб-
п(1 - и) „
солютная величина п-го среднего не превосходит —---, откуда видно,
п 1 — w
что эти средние стремятся к нулю.	1	1
В более общем случае пространства конечной размерности каж-
дый изометрический оператор определяется некоторой унитарной мат-
рицей, которую, без ограничения общности, можно считать диагональ-
ной. Так как диагональные элементы такой матрицы U суть комплекс-
ные числа, по модулю равные 1, то соответствующие средние сходятся
к диагональной матрице, в которой диагональные элементы равны О
или 1. Следовательно, предельная матрица, обозначим ее Р. является
проекционной; фактически она проектирует все пространство на под-
пространство таких векторов /, для которых Uf = f.
Простое и изящное доказательство эргодической теоремы Нейма-
на в общем случае было дано Ф. Риссом. Чтобы изложить это доказа-
тельство, я должен буду воспользоваться одним простым фактом, от-
носящимся к изометрическим операторам в комплексном гильбертовом
пространстве. Прежде всего установим необходимые для дальнейшего
обозначения, связанные с гильбертовым пространством. Норма векто-
ра f в гильбертовом пространстве будет всегда обозначаться симво-
лом ||/||. Если гильбертово пространство реализуется в виде Ь2, то ин-
декс в ||f\|2 мы будем, как правило, опускать. Скалярное произведение
векторов f и g обозначается (/, g); в случае пространства суммиру-
емых с квадратом функций (/, g) =	/(;/;)g(«) dx. (Обратим, между
прочим, внимание на обозначение интеграла. В тех случаях, когда не
Сходимость в среднем
27
возникает сомнений, по какой именно мере берется интеграл, мы бу-
дем писать у" f(x)dx вместо f f(x)dm(x). Если область интегриро-
вания явно не указана, то всегда имеется в виду интеграл по всему
пространству.) Оператор, сопряженный к U, обозначается U*; он опре-
деляется равенством (Uf, g) = (f, U*g), справедливым для всех f и g.
Единичный оператор в гильбертовом пространстве мы обозначим I.
Вспомогательное предложение об изометрических операторах,
нужное для дальнейшего, таково: если U — изометрический оператор,
то Uf = f в том и только в том случае, если U* f = /. Действитель-
но, если Uf = f, то, применив к обеим частям этого равенства U*,
получим, что f = U*f. (Оператор U изометричен, т. е. удовлетворя-
ет условию ||17/|| = ||/|| для всех f в том и только в том случае, ес-
ли U* U = I. Доказывается это в общем случае так же, как и в ко-
нечномерном пространстве. Предостережение: в конечномерном случае
из U* U = I следует UU* = 7; в общем случае это неверно. Другими
словами, изометрический оператор в бесконечномерном гильбертовом
пространстве может быть не унитарен.) Обратно, если U* f = f, то, как
я сейчас покажу, |f7/ — f\\ =0. Действительно,
\\u.f - /II2 = (Uf — f,Uf — f) = \\Uf\\2 - (f, Uf) - (Uf, f) + II/II2.
Так как (/, Uf) = (U*f, /)=||/||2 и аналогично (Uf, f)=(f, C7*/)=||/||2,
то доказательство закончено.
Теперь мы имеем возможность доказать теорему, являющуюся не-
значительным обобщением теоремы Неймана.
Статистическая эргодическая теорема. Если U — изомет-
рический оператор в комплексном гильбертовом пространстве и Р —
оператор, проектирующий это пространство на подпространство всех
п-1
векторов, инвариантных относительно U, то — ^2 U'J f стремится
' :i=o
к Р/ для любого f.
Доказательство. п-1
Если Uf = f, то ^2 U:> f, очевидно, стремится к f. Если f = g — Ug
' j=o
n—1
при некотором g, то 52	/ представляет собой сумму разностей,
з=о
28
Сходимость в среднем
в которой все члены, кроме крайних, сокращаются; эта сумма рав-
на g— Ung. Отсюда получаем, что
j=0
и, следовательно, рассматриваемые средние стремятся к нулю. Заклю-
чительная часть доказательства состоит в установлении того, что каж-
дый вектор / представляет собой комбинацию, в определенном смысле,
таких /, для которых Uf = f, и элементов вида g— Ug.
Множество элементов f вида g — Ug представляет собой линейное
многообразие, по обязательно замкнутое. Из равномерной ограпичсп-
п-1
пости средних Ап = — 52 следует, что Anf —? О для всякого /,
з=о
принадлежащего замыканию этого многообразия. Вообще, если fa —> f
и если Anfk —> 0 для всех к, то Anf —> 0. Доказательство: заметив, что
\\Anf\\^\\An(f-fk)\\ + \\Anfk\\,
выберем к так, чтобы ||/ — fa\\ была достаточно мала; тогда ||ЛП(/ —Д)|
будет тоже мала (независимо от выбора п). После этого выберем п так,
чтобы была мала ||Д„Д ||.
Ортогональное дополнение множества элементов вида g—Ug совпа-
дает с ортогональным дополнением замыкания этого множества. Если h
принадлежит этому ортогональному дополнению, т. е. (7г, g— Ug) — 0
для всех g, то (h, g) — (U*h, g) = 0, т. e. (h — U*h,g) =0 для всех g. От-
сюда следует, что h = U*h и, значит, Uh = h. Эти рассуждения можно
провести в обратном порядке, так что если Uh = h, то (h. Ug — g) = 0
для всех g. Вывод: ортогональное дополнение множества элементов ви-
да / = g — Ug совпадает с множеством элементов /, инвариантных
относительно U. Отсюда следует, что каждый элемент f может быть
записан в виде Д + Д, где Ufa = fa, a fa принадлежит замыканию
многообразия элементов вида Ug — g. Тем самым доказательство ста-
тистической эргодической теоремы закончено.
Изложенные сейчас методы и результаты были обобщены на широ-
кий класс операторов и групп операторов, действующих в весьма общих
абстрактных векторных пространствах. Я не собираюсь вдаваться в из-
ложение этих обобщений, а, напротив, хочу обратиться к более тонким
метрическим проблемам.
Точечная сходимость
Обратимся теперь к эргодической теореме Биркгофа. Излага-
емое доказательство принадлежит (опять-таки) Ф. Риссу (F. Ricsz,
Commentarii, 1945, стр. 221). Оно начинается с некоторых любопытных
комбинаторных рассуждений.
Пусть «1,... ,	— конечная система действительных чисел
и т целое число, причем т п. Член этой системы мы
пазовом m-лидсром, если существует такое целое положительное р,
что 1 р т и + ... + ak+p-i 0. Так, например, 1-лидером будет
всякий неотрицательный член нашей системы; заметим, однако, что
m-лидер при т > 1 не обязан быть неотрицательным.
Лемма. Сумма всех rn-лидеров неотрицательна.
Доказательство.
Если m-лидсров вообще пет, то паше утверждение справедливо.
Далее, пусть «./. — первый из m-лидеров, и пусть аь + • • • + «/г+p-i —
самая короткая из неотрицательных сумм, отвечающих т-лиде-
РУ dk (р те). Я утверждаю, что каждое ah в этой сумме являет-
ся m-лидсром, причем аь +  + dk+p-i 0. Действительно, если это
не так, то + ... + а,ь-1 > 0, что противоречит первоначальному вы-
бору р. Рассмотрим теперь последовательно элементы а^+р, ••• , ап\
сумма всех неотрицательных сумм, полученных аналогичным образом
и состоящих из минимального числа элементов, и представляет собой
как раз сумму всех т-лидеров.
Индивидуальная эргодическая теорема. Пусть Т сохра-
няющее меру (но не обязательно обратимое} преобразование простран-
ства X (мера которого может быть и бесконечна), и пусть f G Li;
1 71 — 1
тогда средние — f(T^x) сходятся почти всюду, причем предельная
1 1=о
функция f* интегрируема и инвариантна (т.е. f*(Tx) = f*(x) почти
всюду). Если т(Х) < ж, то j f*(x) dx = J f(x) dx.
30
Точечная сходимость
Доказательство.
Ясно, что функцию f можно без ограничения общности считать
действительной. Для сокращения записи мы будем писать fj(x) вмес-
то f(T:lx). Доказательство начинается с установления одного вспомо-
гательного предложения, имеющего, впрочем, собственное, достойное
уважения имя.
Максимальная эргодическая теорема. Если Е — множество
таких точек х. в которых хоть одна из сумм /о(^) + • • 	неот-
рицательна, то [ f(x) dx 0.
Е
Пусть Ет — множество тех точек х, в которых хотя бы одна из
сумм /о(ж) + .../Дж) неотрицательна при р т. Ясно, что Ет обра-
зуют неубывающую последовательность и их сумма есть Е, поэтому
достаточно доказать, что f f(x) dx 0 для всех т.
Пусть п — произвольное целое положительное число: для каж-
дой точки х рассмотрим m-лидеры последовательности /0(ж), ...,
fn+m-i(x), и пусть s(x) — их сумма. Пусть Dft — множество та-
ких точек х, для которых /Дж) является m-лидером последовательнос-
ти fo(x), , fn+m-i(x), и пусть gk — его характеристическая функ-
n-j-m — 1
ция. Так как множество D/. измеримо и s = 52 fkgk, то s измерима
k=o
и интегрируема. Поэтому из доказанной выше леммы вытекает, что
n+m—1 «
52 fk(x)dx^0.	(*)
Dk
Заметим далее, что если k = 1, ... , п — 1, то следующие условия,
налагаемые на точку х, попарно эквивалентны:
(I)	Тх е
(II)	А-1(Тж) + ... + А-1+р_1(Т.т)	0 при некотором р < т:
(III)	fk(x) + ... + fk+p-i(x) 0 при некотором р V т:
(IV)	х eDk. '
Другими словами, Dk = T^Dk-i, откуда Dk = Т при
к = 1, ... , п — 1.
Следовательно,
У fk(x)dx = У f(Tkx)dx = У f(x)dx
Dk	T~kD0	Ьо
Точечная сходимость
31
(последнее равенство получается заменой Ткх на ж), так что каждый
из начальных п членов суммы (*) равен первому из них. Так как, оче-
видно, Do = Ет. то из (*) вытекает, что
п f(x)dx + m У |/(ж) | dx О
Etl)
(последние т членов суммы (*) заменены их очевидными мажоранта-
ми). Для завершения доказательства максимальной эргодической тео-
ремы остается полученное неравенство разделить на п и затем перейти
в нем к пределу при п —> оо.
Докажем теперь собственно эргодическую теорему. Пусть а и Ь —
действительные числа а < Ь, и пусть Y = Y(а, 6) множество всех
тех точек х, для которых
п —1	п—1
lim inf | ^2 Л'(ж) < а < b < lim su₽ I 52 Л(ж)-
j=o	1=0
Ясно, что множество Y измеримо и инвариантно относитель-
но Т (т. е. Y = Т-1У): докажем теперь, что m(Y) конечна, а затем,
что m(Y) = 0.
Можно предположить, что b > 0; если это не так, то а < 0 и можно
рассматривать —/ и —а вместо f и Ь соответственно. Пусть С — произ-
вольное подмножество множества Y, измеримое и имеющее конечную
меру. Пусть, далее, g — характеристическая функция множества С.
Применим максимальную эргодическую теорему к f — bg вместо /.
Если F множество, играющее для этой функции ту же роль, что
и Е для /, то мы получаем I (/(ж) — bg(x)) dx 0. Пусть ж G Y,
п— 1 Jf
так что b < lim sup —	/Дж), тогда по крайней мере одно из сред-
п-1	j=O
НИХ П £ Л (ж) должно быть больше, чем b (на самом деле этому
1=о
условию должно удовлетворять много таких средних); отсюда следу-
п—1
ст, что по крайней мерс одно из выражений вида (/(Т-’ж) — bg^T^x})
з=о
неотрицательно. Другими словами, Y С F. Воспользовавшись этим,
а также максимальной эргодической теоремой, я прихожу к выводу,
32
Точечная сходимость
что / f(x)d,x I bg(x')dx и, следовательно, / |/(ж)| d,x Ьт(С).
J F	J F	J
Я доказал, таким образом, что если некоторое измеримое подмножес-
тво множества Y имеет конечную меру, то его мера не превосхо-
дит у У |/(ж)| dx\ отсюда (в силу сигма-конечности меры) следует,
что т(У) < оо. Так как Y инвариантно относительно Т, то можно
вместо пространства X рассматривать множество Y и затем приме-
нить максимальную эргодическую теорему к (интегрируемой!) функ-
ции f—b; поскольку множество Е, фигурирующее в максимальной эрго-
дической теореме, совпадает в этом случае с Y, то из сказанного следу-
ет, что У (f(x)—b) dx 0. Применив аналогичным образом максималь-
ную эргодическую теорему к а — /, получим, что / (а — f{x)) dx 0.
JY
Складывая два последних неравенства, получаем / (а — b) dx 0; так
JY
как по условию а < Ь, то отсюда следует, что m(Y) = 0.
Применяя полученный таким образом результат ко всевозможным
парам (а, Ь) рациональных чисел (а < Ь), получаем, что интересующие
пас средние действительно стремятся к некоторому пределу почти всю-
ду. Далее, так как
/П— 1	Л
52 i^'Widx = / i/widx < °°>
J—О	J
то предельная функция f* интегрируема (в силу леммы Фату) и, следо-
вательно, конечна почти всюду. Тот факт, что f* инвариантна, являет-
ся тривиальным следствием элементарных свойств сходимости в смыс-
ле Чезаро.
Остается только доказать, что если т(Х) конечна, то интегралы
от f и от f* равны между собой. Это опять-таки вытекает из макси-
мальной эргодической теоремы. Если f*(x) а почти всюду, то при
п— 1
каждом е по крайней мерс одна из сумм	— а + е) должна быть
з=о
неотрицательна; отсюда вытекает, что j f(x) dx (а — s)m(X) при
всех е и, следовательно, что / /(ж) dx ат(Х).
Точечная сходимость
33
Ясно, что аналогичным образом из того, что всюду /*(ж) Ъ вы-
текает, что У f(x') dx Ьт(Х'). Обозначим X(k, п) множество тех то-
чек х, в которых к/‘1п	(fc + 1)/2”, и применим написан-
ные выше неравенства к преобразованию Т, рассматриваемому лишь
на (инвариантном) множестве X{k, п). Получим
^т(Х(к, п)) < у f(x)dx^
X(k, n)
^т(Х(к, n)).
Эти последние неравенства справедливы также и для f\ Отсюда сле-
дует, что
-^™(X(k, п)) < / f(x)dx — У f*(x)dx < Хт(х(к, п));
X(fc,n)	X(k,n)
суммируя по k. получаем
У f(x)dx- У f*(x) dx

Так как п произвольно, то доказательство эргодической теоремы за-
кончено.
Замечания по поводу эргодической
теоремы
Аналитические трюки закопчены; теперь пора собрать урожай вы-
текающих из них следствий. Первое из этих следствий состоит в том,
что па пространстве с конечной мерой имеет место также и сходимость
в среднем (со степенью единица), наряду со сходимостью почти всюду.
Другими словами, если Т — сохраняющее меру преобразование про-
/п — 1
I п
j=0
1 n—1
стремится к нулю (здесь, разумеется, /*(ж) = lini^ 52 /(Г-7?/;)). Если f
' j=o
ограничена, то все се средние ограничены той же константой и паше
утверждение вытекает из теоремы Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла. Если же f неограничена, то наше утверждение дока-
зывается с помощью аппроксимации. Если g— некоторая ограниченная
функция, то
72 — 1	72—1
j=0	j=0
72—1
7=0
Первое из стоящих справа слагаемых не превосходит ||/ —g||i, а третье
равно \\f—g||i. Следовательно, выбирая g так, чтобы \\f—g||i была мала,
и, выбирая затем п так, чтобы было мало среднее слагаемое, мы пока-
жем, что стоящее слева выражение мало, что и требовалось доказать.
Одной из популярных тем в аналитической эргодической теории
является исследование взаимных связей различных результатов, при-
мер чего я только что изложил. (Вытекает ли теорема о сходимости
в смысле L> из теоремы о сходимости почти всюду? Следует ли теоре-
ма о сходимости почти всюду из теоремы о сходимости в смысле Li?
Замечания по поводу эргодической теоремы
35
и т. д.) Аналогичная техника используется и для обобщений эргодичес-
ких теорем на преобразования, не являющиеся обязательно сохраняю-
щими меру. Впрочем, поскольку от этих уточнений пока еще только
ожидают каких-либо полезных приложений, я не буду на них остана-
вливаться.
Заслуживают внимания соответствующие обобщения на случай
непрерывного параметра; здесь возникает одно новое обстоятельст-
во, которое следует иметь в виду. Ясно, что следует рассматривать
однопараметрическую полугруппу {!<} сохраняющих меру преобра-
зований, где t принимает неотрицательные действительные значения
и Ts+t = Ts • Tt. Суммы по степеням преобразования, появляющиеся
в эргодических теоремах дискретного типа, в непрерывном случае за-
меняются интегралами. Соответствующая эргодическая теорема уста-
N
навливает сходимость (при N —> сю) интегралов вида j f(Ttx) dt,
о
где f — произвольный элемент из Lj. Для того чтобы придать опреде-
ленный смысл возникающим здесь интегралам, следует сделать неко-
торые предположения относительно характера зависимости Tt от t. Ес-
тественно предположить, что Т)ж представляет собой измеримую функ-
цию своих двух аргументов (£ и ж), где измеримость па положительной
вещественной оси t понимается в смысле Бореля. При этих предположе-
ниях эргодическая теорема для непрерывного параметра имеет смысл
и верна. Соответствующее доказательство представляет собой почти
дословное повторение доказательства, проведенного для дискретного
случая; кроме того, непрерывный случай может быть сведен к дис-
кретному. В этом втором методе основной трюк состоит в применении
дискретной эргодической теоремы к преобразованию и функции F.
определяемой формулой
1
о
Равенство
доказано только для про-
странств с конечной мерой. Это условие конечности здесь не может
быть отброшено; для пространств бесконечной меры заключение невер-
но. Если, например, X действительная прямая и Т сдвиг, опре-
36
Замечания по поводу эргодической теоремы
деляемый формулой Тх = х + 1, а / — характеристическая функция
полуоткрытого единичного интервала, то f(x)d,x, = 1, в то время
как f*(x) = 0 для всех х.
Другой естественно возникающий вопрос связан с обращением эр-
годической теоремы, а именно: пусть Т — сохраняющее меру преоб-
1 п~ 1
разование и f измеримая функция, такая, что	сходит-
з=о
ся почти всюду к конечному пределу f*(x); следует ли отсюда, что f
интегрируема? Ответ здесь, вообще говоря, отрицательный; несколько
позже я приведу пример, относящийся к интересному частному слу-
чаю, в котором ответ положителен. В качестве отрицательного при-
мера рассмотрим снова сдвиг на единицу на действительной оси; ес-
ли f — произвольная функция, равная нулю вне единичного интервала
(в частности, f может быть неотрицательна и неинтегрируема), то f*
тождественно равна нулю. Самым крайним контрпримером является
тождественное преобразование, для пего индивидуальная эргодическая
теорема всегда справедлива.
Я не могу удержаться от соблазна завершить эти замечания еще
одним «доказательством» эргодической теоремы. Пусть f — комплекс-
нозначная функция неотрицательного целочисленного аргумента; поло-
/,	п—1
/(n) dn = lim f(j)- если только этот предел существует,
з=о
и назовем такие функции интегрируемыми. Если Т — сохраняющее
меру преобразование пространства X и / — интегрируемая функция
на X, то
I\f(Tnx)\ dn dx = \f(Tnx)\ dx dn =
= dj'dn = ./ d:l' < ‘
Следовательно, по «теореме Фубини» (!), f(Tnx) интегрируемая
функция своих двух аргументов и, значит, при почти каждом фиксиро-
ванном х она является интегрируемой функцией от п. Нельзя ли всем
этим несуразностям придать определенный смысл?
Эргодичность
Пусть Т — сохраняющее меру преобразование пространства X.
и пусть X является суммой двух непересекающихся измеримых мно-
жеств Е и F, каждое из которых имеет положительную меру и ин-
вариантно относительно Т; тогда изучение любых свойств преобра-
зования Т па X сводится к раздельному изучению соответствующих
свойств Т на Е и Т на F. В этой ситуации преобразование Т естест-
венно назвать разложимым. Наиболее важны неразложимые преобразо-
вания; они обычно называются метрически транзитивными, или эрго-
дическими. Понятие эргодичности представляет собой одну из точных
формулировок (не единственно возможную) того естественного тре-
бования, что данное преобразование достаточно хорошо перемешивает
точки пространства, в котором оно действует.
Для того чтобы привести некоторые примеры эргодических преоб-
разований, удобно сперва дать иную формулировку определения эрго-
дичности. Первая из таких переформулировок очевидна: Т эргодично
в том и только в том случае, если для него существуют только триви-
альные инвариантные множества, т. е. в том и только в том случае, если
для любого измеримого множества Е. инвариантного относительно Т.
или т(Е) = 0, или т(Х — Е) =0. (Напомним определение инвариант-
ности. Множество Е инвариантно относительно Т в том и только в том
случае, когда Т-1Е = Е: это означает, что х принадлежит Е в том
и только в том случае, если Тх принадлежит Е. Функция f инвариант-
на относительно Т в том и только в том случае, когда f(Tx) = j'(x) для
всех х. Ясно, что Е инвариантно в том и только в том случае, если инва-
риантна его характеристическая функция. Я буду обычно употреблять
слово «инвариантно» в смысле «инвариантно почти всюду», так что,
например, для функций инвариантность означает, что f(Tx) = f(x)
для почти всех х.) Полезен следующий вариант определения эргодич-
ности: Т эргодично в том и только в том случае, если всякая инва-
риантная относительно Т измеримая функция есть константа. В одну
сторону доказательство тривиально: если не существует инвариантной
38
Эргодичность
функции, отличной от константы, то пет нетривиальных инвариант-
ных множеств. (Рассмотреть характеристические функции.) Обратно,
предположим, что Т эргодично; надлежит доказать, что если f изме-
рима и инвариантна, то она постоянна. Пусть X(k, п) — множество
тех ж, для которых fc/2n < /(ж) < (к + 1)/2п; тогда из инвариантнос-
ти f следует инвариантность X(k, п). Но из эргодичности Т следует,
что при всех п каждое из множеств Х(к, п), за исключением одного,
имеет меру нуль. Мы получаем требуемый результат, рассмотрев пере-
сечение (по всем п) этих «больших» множеств X(k, п). Если т(А') < ос,
то верно также следующее: Т эргодично в том и только в том случае,
если каждая инвариантная функция, принадлежащая (или принадле-
жащая L2), постоянна; здесь суть дела в том, что характеристическая
функция всякого измеримого множества интегрируема.
Сдвиг Т, определяемый формулой Тх = х + 1 в пространстве це-
лых чисел, эргодичен; сдвиг Тх = х + 2 таковым не является. (Мно-
жество всех четных чисел инвариантно.) Сдвиг Т, определяемый фор-
мулой Тх = х + 1 на действительной оси, неэргодичен; примером не-
тривиального инвариантного множества является сумма (по всем п)
интервалов вида п < х < п + i.
Пусть X — группа вращений окружности (т. е. множество всех
комплексных чисел, по модулю равных 1), с G X и Т определено форму-
лой Тх = еж; тогда Т эргодично при одних с и неэргодично при других.
Если с — корень из единицы, т. е. сп = 1 при некотором целом поло-
жительном п, то Т неэргодично; в самом деле, в этом случае /(ж) = ж"
является отличной от постоянной измеримой инвариантной функцией.
Если с по есть корень из единицы, то Т эргодично. Один из способов
доказать это состоит в том, что рассматриваются функции fn(x) = хп,
п = 0, ±1, ±2, ..., образующие в Т-2 (на X) полную ортогональную
нормированную систему. Если / 6 то / = 52 “пЛи причем ряд
сходится в среднем квадратичном. Определим в L^. как это делалось
выше, оператор U равенством Uf(x) = f(Tx)t так как Ufn = cnfn,
то Uf = 52 ancnfn- Если f инвариантна, то ап = сТа.,,, для всех п и, еле-
п
доватслыю, ап = 0, если только п 0. Отсюда следует, что всякая
инвариантная функция из Т? постоянна и, значит, Т эргодично.
В более общем случае, когда X — компактная абелева груп-
па со счетной базой, а Тх = сж, где с — некоторый фиксирован-
Эргодичность
39
ный элемент из X, необходимое и достаточное условие эргодичнос-
ти Т состоит в том, что последовательность {с”} степеней элемента с,
п = 0, ±1, ±2, ... всюду плотна в X. Доказательство этого факта пред-
ставляет собой интересное отступление от основного русла общей тео-
рии; оно проводится следующим образом.
Лемма. Если пространство с мерой X является топологическим
пространством со счетной базой, причем каждое его непустое откры-
тое подмножество имеет положительную меру, и если Т — эргодичес-
кое сохраняющее меру преобразование пространства X, то для почти
всех я: 6 X траектория точки х (т. е. последовательность {Тгаж}) всю-
ду плотна.
Доказательство.
Траектория точки х неплотна в том и только в том случае, если
существует такое непустое открытое множество G, являющееся эле-
ментом базы, что х содержится в пересечении всех X — TnG. Так как
это пересечение представляет собой инвариантное множество, по име-
ющее общих точек с G, и так как m(G) > 0, то его мера равна нулю.
Если х не принадлежит ни одному из этих множеств меры нуль, чис-
ло которых счетно (они отвечают открытым множествам, образующим
базу), то х имеет всюду плотную траекторию.
Это условие плотности, которое, как утверждает доказанная лем-
ма, необходимо для эргодичности, не является достаточным. Чтобы
получить противоречащий пример, рассмотрим в качестве Т такое
преобразование, скажем, на интервале [0, 2), которое оставляет [0, 1)
и [1, 2) инвариантными и которое на каждом из этих двух частич-
ных интервалов эргодично. Требуемый контрпример можно получить,
введя на [0, 2) топологию (отличную, конечно, от обычной) так, что-
бы каждый из подынтервалов [0, 1) и [1, 2) был всюду плотен в [0, 2),
и так, чтобы получающееся при этом пространство с мерой удовлетво-
ряло условиям леммы. Для этой цели рассмотрим па плоскости квад-
рат и выберем в нем два непересекающихся счетных класса полуоткры-
тых интервалов, плотных в нем. Можно очевидным образом установить
взаимно-однозначное соответствие между объединениями каждого из
этих двух классов и интервалами [0, 1) и [1, 2) соответственно; интер-
вал [0, 2) будем рассматривать в той топологии, которая переносится
на него с квадрата с помощью вышеупомянутых двух соответствий.
40
Эргодичность
Другая возможность — это определить меру на квадрате с помощью
этих соответствий, приписав множеству всех «лишних» (т. е. не принад-
лежащих указанным выше интервалам) точек меру нуль и определив
преобразование квадрата как единичное в «лишних» точках и как соот-
ветствующий образ преобразования Т в остальных.
Предположим теперь, что Т представляет собой сдвиг (т. е. Тх = сх
на некоторой компактной коммутативной группе X со счетной базой).
Если преобразование Т эргодично, то, согласно лемме, существует по
крайней мере одна точка (обозначим ее Xq). траектория которой всюду
плотна. Так как преобразование, переводящее х в хх^1, представляет
собой гомеоморфизм, то оно переводит траекторию точки жц, т. е. по-
следовательность {с"жо}, в некоторую всюду плотную последователь-
ность; однако образ этой траектории состоит как раз из степеней эле-
мента с.
Обратно, предположим, что {с”} всюду плотна. Если f — харак-
тер группы X (т. е. непрерывный ее гомеоморфизм в группу враще-
ний окружности), то f(cx) = f(c)f(x), так что f является собственным
вектором унитарного оператора, порожденного преобразованием Т. Так
как характеры образуют полную ортогональную нормированную систе-
му функций в то каждая инвариантная функция из L? может быть
разложена по ним. Поскольку собственные векторы унитарного опера-
тора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны
между собой, каждая инвариантная функция в Ь2 (т. е. каждый соб-
ственный вектор, отвечающий собственному значению 1) представля-
ет собой линейную комбинацию тех характеров, для которых собст-
венное значение равно 1. Таким образом, для того чтобы завершить
доказательство, достаточно показать, что единственным таким харак-
тером является единичный характер. Пусть / — некоторый характер
и f(cx) = почти всюду; тогда, по непрерывности, f(cx) = f(x)
всюду и, следовательно, /(с”ж) = f(x) всюду. Положив х = 1, получа-
ем отсюда, что f — единичный характер.
Как только что описанная топологическая техника, так и метод
разложения Фурье, примененный нами для группы вращений окруж-
ности, могут быть использованы для доказательства того, что враще-
ние на торе (Т(х, у) = (Ьх, су)) эргодично в том и только в том случае,
если коэффициенты Ъ и с целочисленно независимы. Это означает, что
из Ъпст = 1 (при целых п и т) следует п = т = 0.
Может ли линейное преобразование с детерминантом 1 копечпомер-
Эргодичность
41
ного евклидова пространства быть эргодично? Ответ здесь оказывается
отрицательным. Один из способов убедиться в этом состоит в использо-
вании известной теории собственных значений линейных преобразова-
ний в комплексных векторных пространствах. Для этого рассматривае-
мое пространство X должно быть заменено его комплексной оболочкой.
Иначе говоря, рассмотрев декартово произведение X х X, введем в нем
покоординатное сложение векторов, а умножение вектора на комплекс-
ное число определим формулой (а + ib)(x,, у) = (ах — by, bx + а,у). В ре-
зультате мы получим комплексное векторное пространство X комп-
лексной размерности п (где п — действительная размерность X).
Действительная размерность пространства X равна, разумеется, 2п:
2п-мерное действительное векторное пространство X содержит X в ка-
честве n-мерного подпространства. Если Т определить в X форму-
лой Т(х, у) = (Тх, Ту), то Т будет комплексным линейным преоб-
разованием с детерминантом 1. Пусть ci, ... , с& различные соб-
ственные значения преобразования Т*, п^, ... , П}. — их кратности,
a Zi, ... , Zk отвечающие им ненулевые собственные векторы преоб-
разования Т*. Заметим, что, согласно определению Т*, векторы Zj явля-
ются комплексными линейными функционалами на X. Так как X С X,
к
то функционалы Zj определены на X; пусть f(x) = f] (zj(x))nj, тогда
1=1
функция / инвариантна относительно Т. (Напомним, что произведение
собственных значений, каждое из которых взято столько раз, какова
его кратность, равно детерминанту.) Эта функция / не является кон-
стантой. Действительно, f обращается в нуль на соединении подпро-
странств нулей функционалов Zj и отлична от нуля на всех остальных
элементах. Так как действительная и мнимая части каждого из функ-
ционалов Zj представляют собой действительные линейные функцио-
налы на X, то соединение всех этих подпространств нулей представ-
ляет собой теоретико-множественную сумму конечного числа подпро-
странств, размерность каждого из которых меньше п. Поскольку f не-
прерывна, отсюда вытекает, что она не может быть константой почти
всюду. (Примененный здесь трюк с переходом к комплексному про-
странству можно осуществить также, пользуясь вместо линейных пре-
образований матрицами; при этом пришлось бы пользоваться меньшим
количеством понятий, но зато нужно было бы возиться с большим чис-
лом индексов.)
42
Эргодичность
Интересно было бы выяснить, сколь далеко изложенные факты мо-
гут быть обобщены. Может ли автоморфизм некоторой локально ком-
пактной, по по компактной группы быть эргодическим, сохраняющим
меру, преобразованием? По этому поводу неизвестно ничего: лишь для
компактного случая уже кое-что сделано. Я рассмотрю автоморфизмы
компактных групп немного позже.
В качестве следующего примера я возьму сдвиг Т, односторонний
или двусторонний, в соответствующем пространстве последовательнос-
тей; я утверждаю, что в каждом из этих двух случаев Т эргодичен.
Действительно, предположим, что Е — инвариантное измеримое мно-
жество. Поскольку мера определяется ее значениями на множествах,
зависящих лишь от конечного числа координат, существует такое «ко-
нечномерное» множество (обозначим его Л), которое достаточно хо-
рошо аппроксимирует множество Е. Это означает, что мера симмет-
рической разности (или булевской суммы) ВАЛ1 мала и, в частнос-
ти, т(Е') мало отличается от т(Л). Так как Л определяется конечным
числом координат, то, если п достаточно велико, множество В = Т~пА
определяется набором координат, не пересекающимся с тем набором,
который определяет Л, и, следовательно, т(А П В) = т(А)т(В). Так
как преобразование Т и все его степени сохраняют меру и так как Е
инвариантно, то из малости ?и(Е’ДЛ) вытекает малость т(£ДВ). От-
сюда следует, что т(ВД(Л А В)) также мала, а потому т(Л), т(В)
и т(А)т(В) близки к т(В); иначе говоря, величина т(Е) мало отли-
чается от своего квадрата. Поскольку точность аппроксимации может
быть взята как угодно большой, получаем т(Е) = (т(£))2, что и тре-
бовалось. Отсюда следует, что как и преобразование удвоения (Тх =
= 2х (mod 1)), так и преобразование пекаря эргодичны.
Все тс примеры эргодических преобразований, которые мы рас-
сматривали, за исключением сдвига на единицу в пространстве це-
лых чисел, действовали в пространствах с конечной мерой. Построение
примера эргодического преобразования в неатомическом пространстве
бесконечной меры является нетривиальной задачей. (Неатомичность
означает, что каждое измеримое множество положительной меры со-
держит некоторое измеримое подмножество меньшей положительной
меры.) Я покажу, как построить такое преобразование па действитель-
ной оси. На самом деле наиболее удобным представлением простран-
1 См. Халмош П. Р., Теория меры, ИЛ, 1953, стр. 23 и след. — Прим, перво.
Эргодичность
43
ства, в котором действует такое преобразование, является не действи-
тельная ось, а некоторый набор сегментов па плоскости: будет, однако,
ясно, что если эти сегменты приложить друг к другу, то они составят
действительную прямую. Рассматриваемый метод может быть широко
использован для построения примеров.
Пусть {ап} невозрастающая последовательность положитель-
ных чисел, причем «о = 1, и пусть То — обратимое, сохраняющее меру,
эргодическое преобразование единичного полуинтервала. Пусть Хп —
полуинтервал длины а„, лежащий в плоскости параллельно горизон-
тальной оси, и пусть X — объединение всех Хп. (Если ряд Х)ап рас-
ходится, то X очевидным образом эквивалентно, с точки зрения тео-
рии меры, полупрямой, а следовательно, и прямой.)1 Преобразование Т
на X сдвигает каждую точку на единицу вверх, если это возможно
(т. е. Т(х, у) = (х, у + 1)); если же это невозможно (т. е. если у = п
и х «п+1), то Т(х, у) = (Тох, 0). Ясно, что Т — обратимое, сохраня-
ющее меру, преобразование на X. Предполагается, что ап —> 0. Пусть
теперь Е — некоторое измеримое множество, инвариантное относи-
тельно Т. Пусть Eq — пересечение Е с базисным интервалом (т. е. с еди-
ничным интервалом иа горизонтальной оси), тогда Е состоит в точнос-
ти из тех точек, чьи первые координаты принадлежат Eq. Так как Eq
инвариантно относительно То, то или Ео, или его дополнение в базис-
ном интервале имеют меру нуль: отсюда вытекает эргодичность Т, что
и требовалось доказать.
1Автор предполагает, что полуинтервал Хп расположен на прямой у — п и каса-
ется левым концом оси у. — Прим, перев.
Следствия из эргодичности
Для эргодических преобразований эргодическую теорему можно
усилить, добавив к ней описание самой предельной функции. Точнее
говоря, если Т эргодическое сохраняющее меру преобразование, f
1 n—1
интегрируемая функция и /*(ж) = lim^ 52	то /*(ж) постоянна
j=o
почти всюду. Если мера пространства бесконечна, то это постоянное
значение равно нулю. Причина этого состоит в том, что f* интегриру-
ема, а 0 в этом случае — единственная интегрируемая константа. (Это
опять-таки свидетельствует о том, что в случае бесконечной меры у
нас нет оснований предполагать справедливым равенство J f(x,)d,x =
= У /*(.т) dx.) Если мера пространства конечна, то равенство интегра-
лов от f и f* показывает, что f* = —f f(x) d,x. Другими словами,
для эргодического сохраняющего меру преобразования, действующего
в пространстве с конечной мерой, фазовое (= пространственное) сред-
1 га-1
нее почти всюду равно временному среднему, т. е. lim ± 52	Это
1 j=o
утверждение, весьма важное в физическом аспекте теории, иногда (не-
правильно) отождествляется с самой эргодической теоремой. Остается
открытым вопрос, интересный как с математической, так и с физи-
ческой точки зрения, о нахождении удобных (т. е. легко проверяемых),
достаточных условий эргодичности преобразования.
Для пространств с конечной мерой равенство константе вре-
менного среднего для любой интегрируемой функции является необ-
ходимым и достаточным условием эргодичности. Чтобы доказать это,
достаточно проверить, что каждая инвариантная функция из Ly будет
в этом случае константой, а это вытекает из того, что каждая инвари-
антная функция совпадает со своим временным средним. В случае про-
странства с бесконечной мерой может оказаться, что все временные
Следствия из эргодичности
45
средние постоянны, хотя соответствующее преобразование и неэрго-
дично; в качестве примера примем за X целочисленную решетку на
плоскости и определим Т, положив Т{х, у) = (х + 1, у). В этом случае
константа нуль является единственной инвариантной функцией в L±.
Для эргодических преобразований, действующих в пространствах
с конечной мерой, и неотрицательных измеримых функций справед-
1 п~ 1
ливо следующее обращение эргодической теоремы: если — ^2
з=о
стремится почти всюду к некоторому конечному пределу, то f ин-
тегрируема. Для доказательства этого заметим прежде всего, что рас-
сматриваемый предел равен почти всюду некоторой константе с. Ес-
ли Д функция, получающаяся из f с помощью урезания на уров-
не к (т.с. fk(%) = f(x), если f(x) к, fk(x) = к, если /(а;) > к),
то fk ограничена и, следовательно, интегрируема. Из теоремы об ин-
тегрировании монотонных последовательностей вытекает, что интегра-
лы У Д (х) dx стремятся к f f(x) dx-, интегрируемость функции f мож-
но установить, показав, что последовательность Д(ж)</ж} ограни-
-1 п~ 1	1 п~ 1
чена. Так как Д f, то ^2 fk^x) - ^2 f^x) и, следовательно,
j=o	j=o
fk с почти всюду. Поэтому У Д* (ж) d,x ст(Х) для всех к и, значит,
интегралы j fk (ж) dx ограничены той же величиной.
Последний результат непосредственно распространяется на полу-
интегрируемые измеримые действительные функции, т. е. такие из-
меримые функции /, у которых или положительная, или отрицатель-
ная части интегрируемы. То обстоятельство, что указанный выше ре-
зультат нс распространяется па произвольные действительные изме-
римые функции, устанавливается с помощью следующего примера, по-
строенного М. Гсрпстспхабсром. Соответствующее пространство явля-
ется пространством типа «лестницы», которое ранее было использовано
при построении эргодического преобразования на прямой; преобразо-
вание Т представляет собой продолжение эргодического преобразова-
ния То, заданного на основном интервале, такое же, как и в том приме-
ре. Отсюда следует, что Т само эргодично. Вспомогательные числа ап
(т. е. длины интервалов Хп, составляющих пространство X) выбира-
46
Следствия из эргодичности
ЮТСЯ так, ЧТО (I) Я2та-1 = «2га- Я = 1,2,3,..., (II) 52 н-2га СХОДИТСЯ
та
и (III) 52ft2nx/ji- расходится. Этим условиям можно удовлетворить, по-
та
дожив, например, ft2« равным п~3/2. Из (II) вытекает, что т(Х) конеч-
на. Если /(ж) = \/п при ж € Х^п и /(ж) = — уП при ж € Х-2П-1, то из (III)
следует, что f не интегрируема; действительно, ни положительная, ни
отрицательная части f по интегрируемы.
п — 1
Так как в силу (I) в сумме вида 52 /(З^Д:) все члены, за исключе-
но
нием, может быть, двух крайних, взаимно уничтожаются, а абсолют-
г- 	1 П-1
ные значения крайних членов не превосходят у/п, то lim — 52/(^ж)
существует и фактически равен нулю для всех х.	J=o
Для эргодического преобразования Т, определенного па простран-
стве меры 1, Кац сделал одно интересное дополнение к теореме о возвра-
щении (Кас, Bull. Amer. Math. Soc., 1947, стр. 1006). Пусть Е — измери-
мое множество положительной меры и п(ж), при каждом х 6 Е, означа-
ет наименьшее целое положительное число, такое, что Тп^х G Е; тог-
да п(х) определено почти всюду на Е. Легко проверить, что п(ж) — из-
меримая функция на Е. Теорема Каца состоит в том, что / п(х) dx = 1.
J Е
(Доказательство не сложно, но требует несколько искусственной ком-
бинаторики; я его опускаю.)1 Если этот результат записать в ви-
де —'	/ п(х) dx = —, то ему можно придать следующую сло-
т(Е) ,'е	т(Е)
вескую формулировку: среднее время, за которое точка из Е снова
возвращается в Е, обратно пропорционально мерс множества Е. Для
неэргодических преобразований это утверждение неверно.
Предположим снова, что Т — эргодическое, сохраняющее ме-
ру, преобразование, определенное в пространстве X с конечной ме-
рой, и пусть F и G — два измеримых подмножества из X, a f
и g соответственно их характеристические функции. Тот факт,
f(x)dx, т.е. /*(ж) = m(F)/m(X) почти всю-
ду, можно выразить следующим образом: среднее время пребыва-
ния в F для почти всех траекторий пропорционально m(F). Так
1См. также статью Tsurumi Sh., On the recurrence theorems in ergodic theory, Proc.
Japan Acad., 34, № 4, 208-211 (1958). — Прим, иерее.
что /*(ж) = —/
m(X) J
Следствия из эргодичности
47
. п~ 1
как Пш 52 f(TFr,)g(x) = f* (:r)g(x), то из теоремы о почленном ин-
з=о
тегрировании ограниченных сходящихся последовательностей следует,
1 ”'-1
что lim^ 52 :lF П G) = m(F)m(G)/т(Х). Если для каждого из-
з=о
меримого множества Е величину т(Е)/т(Х) интерпретировать как
вероятность того, что некоторая точка принадлежит Е, то последний
результат можно сформулировать следующим образом: вероятность то-
го, что некоторая степень рассматриваемого преобразования переводит
точку из G в F, стремится, в смысле сходимости по Чезаро, к произ-
ведению вероятностей попадания в F и в G. Другими словами, движу-
щееся множество G стремится стать в среднем стохастически незави-
симым от любого фиксированного множества F.
Эргодичность налагает строгие и весьма замечательные ограниче-
ния на спектральную структуру соответствующего унитарного опера-
тора: основные известные по этому поводу факты можно резюмировать
следующим образом.
Теорема о собственных значениях. Обратимое сохраняющее
меру преобразование Т, действующее в пространстве с конечной мерой,
эргодично в том и только в том случае, если число 1 является прос-
тым собственным значением соответствующего унитарного операто-
ра U. Если Т эргодично, то абсолютное значение каждой собственной
функции оператора U постоянно, каждое собственное значение имеет
кратность 1 и совокупность всех собственных значений оператора U
представляет собой подгруппу группы вращений окружности.
Доказательство,
Поскольку мера пространства конечна, каждая постоянная на нем
функция f входит в Так как Uf = f, то число 1 всегда является соб-
ственным значением оператора U. Поскольку совокупность всех посто-
янных функций образует в L2 одномерное подпространство и посколь-
ку Т эргодично в том и только в том случае, когда константы являют-
ся единственными инвариантными функциями в L2, первое утвержде-
ние теоремы справедливо. (Вспомним, что функция из L2 инвариантна
в том и только в том случае, когда опа является собственной функцией
оператора U, отвечающей собственному значению 1.)
Так как оператор U унитарен, то каждое его собственное значение
по модулю равно 1. Отсюда следует, что если / есть собственная функ-
48
Следствия из эргодичности
ция, отвечающая собственному значению с (т. е. f(Tx) = cf(x) почти
всюду), то |/| инвариантен; в силу эргодичности Т отсюда вытекает,
что |/| = const. Если f и g — две собственные функции, отвечающие
собственному значению с, то f/g — инвариантная функция и, следо-
вательно, g отличается лишь постоянным множителем от /. (Заметим,
что f /g имеет смысл, поскольку |gj — ненулевая константа.) Таким об-
разом, доказана простота всех собственных значений. Наконец, если Ъ
ис — собственные значения оператора U, а / и g — соответствующие
собственные функции, то f /g собственная функция оператора U, от-
вечающая собственному значению 6/с; отсюда следует, что собствен-
ные значения оператора U образуют группу.
Я закончу это предварительное рассмотрение понятия эргодичнос-
ти описанием одного частного примера неэргодического преобразова-
ния и обсуждением, возникающего в связи с этим примером предполо-
жения. Пространство X, в котором соответствующее преобразование
действует, представляет собой единичный квадрат или, точнее, тор,
поскольку все операции рассматриваются по модулю 1; само преоб-
разование определяется формулой Т(х, у) = (х. у + ж) (mod 1). Ес-
ли f(x. у) = g(x'). где g — измеримая функция на единичном интер-
вале, то / инвариантна относительно Т; изобилие таких инвариантных
функций показывает, что Т неэргодично. Для каждого фиксированно-
го хо вертикальный отрезок, отвечающий хГ) (т. е. множество пар ви-
да (ж0, у)), инвариантен относительно Т. Преобразование Т, рассматри-
ваемое на таком сегменте, является сохраняющим меру; на почти всех
таких сегментах оно эргодично. (На самом деле оно эргодично на всех
сегментах, кроме тех, у которых .гц рационально; число таких сегмен-
тов счетно.) Таким образом, исходное преобразование Т является пря-
мой суммой (прямым интегралом), в интуитивно очевидном смысле,
эргодических преобразований; данное разложимое преобразование рас-
падается, таким образом, на неразложимые куски. Естественно предпо-
ложить, что такая ситуация является типичной, и это предположение
в известном смысле справедливо. Однако, поскольку доказательство
этого факта довольно тонко и поскольку, что уже хуже, соответствую-
щий результат не принес пока никакой реальной пользы, я опущу здесь
подробное обсуждение теоремы о разложении. Я упомянул эту теоре-
му ввиду ее эвристической ценности. Многие теоремы в этом круге
вопросов можно обычно угадать, предположив, что теорема о разло-
жении имеет место; доказательства же их могут быть получены пспо-
Следствия из эргодичности
49
средственно, т. е. без использования того сложного и тонкого аппарата,
е помощью которого теорема о разложении доказывается.
В качестве одного из примеров результатов такого рода, угадыва-
емых с помощью теоремы о разложении, рассмотрим вопрос о един-
ственности инвариантной меры. Предположим сперва, что Т обрати-
мо и эргодично: что можно сказать о мере р, имеющей ту же область
определения, что и т, эквивалентной т (т. е. р(Е) = 0 в том и только
в том случае, если т(Е) = 0) и инвариантной относительно Т? От-
вет гласит, что р отличается от т постоянным множителем. Для дока-
зательства, воспользовавшись теоремой Радона-Никодима1, напишем
равенство р(Е) = I f(x) dm(x). Так как р(ТЕ) = I f (ж) dm(x), то,
J Е	JTE
воспользовавшись инвариантностью р и заменив переменную интегри-
рования х на Тх, получим, что / /(ж) dm(х) = I f(Tx)dm(x) для
J Е	J Е
каждого измеримого множества Е. Отсюда следует, что f почти всюду
равна константе; поскольку т абсолютно непрерывна относительно р,
эта константа отлична от нуля. Если т(Х) конечна, то полученный
результат можно сформулировать так: пусть Т эргодично, тогда су-
ществует единственная мера р, эквивалентная т, инвариантная отно-
сительно Т и принимающая для всего пространства X заданное значе-
ние. Рассмотрение эргодических частей неэргодического преобразова-
ния подсказывает следующее обобщение: если Т — сохраняющее меру
преобразование в пространстве с конечной мерой и то заданная
мера па алгебре всех инвариантных множеств, эквивалентная мерс т
на той же алгебре, то существует единственная конечная инвариант-
ная мера р, определенная па совокупности всех измеримых множеств,
эквивалентная т и совпадающая с то на инвариантных множествах.
Это обобщение справедливо. Метод доказательства аналогичен той ра-
дон-никодимовской технике, которая была использована выше; детали
я опускаю.
1См. Халмош П. Р., Теория меры, ИЛ, 1953, стр. 128 и след. — Прим, перев.
Перемешивание
Эргодическая теория развивалась преимущественно для обрати-
мых сохраняющих меру преобразований, действующих в том или ином
пространстве с конечной мерой. Поэтому при дальнейшем изложении
теории я ограничусь именно этим случаем. Ниже всюду, где не будет
оговорено противное, слово «преобразование» будет означать обратимое
сохраняющее меру преобразование, а мера т, определенная в соответ-
ствующем пространстве X, будет предполагаться нормированной так,
что т(Х) = 1.
Мы видели, что если преобразование Т эргодично, то последова-
тельность {m(T~nFDG)} сходится в смысле Чсзаро к m(F)m(G). Спра-
ведливость этого утверждения для всех F и G в действительности экви-
валентна эргодичности. Чтобы доказать это, предположим, что Е из-
меримое инвариантное множество, и примем это множество Е как за F,
так и за G. Тогда получим, что т(Е') = (т(Е))2, откуда т(Е) равно
или 0 или 1. Это условие эргодичности может быть выражено и в функ-
циональной форме, а именно: Т эргодично в том и только в том случае,
если У f(Tnx)g(x) dx сходится в смысле Чезаро к	f(x)dx- J g(x) dx
каковы бы ни были f и g из L). В доказательстве нуждается лишь необ-
ходимость. Для этой цели заметим, что если f Е Т2, то в силу статисти-
71— 1
ческой эргодической теоремы f^T^x) сходится в среднем квадра-
' .7=0
1 п—1
тичпом к /*(ж); из неравенства Шварца следует, что - V .f(T:'x)g(x)
з=о
сходится в среднем (со степенью единица) к f*(x)g(x). Поскольку из
сходимости в смысле L± вытекает почленная интегрируемость и по-
скольку, в силу эргодичности, /*(ж) = У /(ж) dx почти всюду, доказа-
тельство закончено.
Условие сходимости в смысле Чезаро допускает естественную на-
глядную интерпретацию. Мы можем представлять себе преобразова-
ние Т как частный случай перемешивания содержимого некоего сосу-
да (объема 1), заполненного несжимаемой жидкостью, которую будем
Перемешивание
51
считать состоящей из 90% джина и 10% вермута. Если G — область,
занятая первоначально вермутом, то для любой части F рассматрива-
емого сосуда относительное содержание вермута в F после п-кратного
перемешивания равно m(T nFQG)/m(G). Таким образом, из эргодич-
ности преобразования Т вытекает, что среднее значение этого относи-
тельного содержания равно в точности 10%. Вообще говоря, в физи-
ческих условиях, вроде описанных выше, можно ожидать, что будет
справедливо более сильное утверждение, а именно, что после достаточ-
но большого числа перемешиваний каждая часть F сосуда будет содер-
жать примерно 10% вермута. На математическом языке это означает
замену сходимости в смысле Чезаро обычной сходимостью, т. е. усло-
вием ]imm(T~nF П G) = m(F) • m(G). Если преобразование Т удовле-
творяет этому условию для любой пары измеримых множеств F и G,
то говорят, что Т является перемешивающим, или, чтобы отличить это
свойство от аналогичного несколько более слабого свойства, — переме-
шивающим в сильном смысле.
Определение перемешивания можно сформулировать и в функцио-
нальном виде: Т является перемешивающим в том и только в том
случае, когда (Unf, g) стремится к (/, 1) • (1, g) при любых f и g
из £2- (Под U понимается, естественно, унитарный оператор, порож-
денный Г.) Если fug— характеристические функции множеств F и G
соответственно, то только что приведенная функциональная формули-
ровка сводится к теоретико-множественной, принятой за определение.
Общая функциональная формулировка выводится из теоретико-мно-
жественной с помощью двойного процесса аппроксимации. Прежде все-
го я утверждаю, что при любой фиксированной характеристической
функции g сформулированный результат справедлив для всех простых
функций / и, значит, в силу возможности £2-аппроксимации, — для
всех функций / из далее, я фиксирую / и провожу аналогичные
рассуждения для g. Так как (/, 1) • (1, g) = ((/, 1) • 1, g), то наш ре-
зультат можно сформулировать следующим образом: преобразование Т
есть перемешивание в том и только в том случае, если степени операто-
ра U сходятся, в смысле слабой сходимости операторов, к оператору Р,
определенному равенством Pf = (f, 1)1. Оператор Р представляет со-
бой проектирование на подпространство констант.
Вращение (т. е. преобразование Т. определяемое на группе враще-
ний окружности равенством Тх = сх) по является перемешиванием.
Действительно, если /(.т) = х, то Uf = cf и, следовательно, Unf = cnf.
52
Перемешивание
Отсюда следует, что (Unf, f) = сп, в то время как (/, 1) • (1, /) = 0.
Простейшим примером преобразования перемешивающего типа явля-
ется преобразование пекаря, т. е. двусторонний сдвиг. Чтобы доказать
это, зададим F и G и выберем конечномерные1 множества А и В, ап-
проксимирующие F и G. Так как т(Т~пА А В) = т(А)т(В) при боль-
ших п, то отсюда следует, что m(T~nF A G) близко к m(F)m(G) при
больших п.
Между эргодичностью и перемешиванием остается место для еще
одного понятия — понятия перемешивания в слабом смысле. Это по-
нятие, представляющееся несколько искусственным, технически очень
важно. Преобразование Т является, по определению, слабым перемеши-
ванием, если
п — 1
11111 Д 12 \m(T~:'F n <?) - m(F)  m(G)\ = 0
.7=0
для любых двух измеримых множеств F и G. Функциональная фор-
мулировка этого свойства, которая, как легко доказать, эквивалентна
теоретико-множественной, гласит:
п—1
- (л i)(i,g)i = o
4=0
для всех /, g из Говоря профессиональным языком, в определении
слабого перемешивания участвует понятие сильной сходимости в смыс-
ле Чезаро взамен просто сходимости по Чезаро, имеющей место в слу-
чае эргодичности, и обычной сходимости, фигурирующей в определе-
нии сильного перемешивания.
С рассматриваемым сейчас типом сходимости связано несколько
изящных аналитических упражнений. Для того чтобы проверить сде-
ланное мной выше утверждение о месте, которое занимает понятие сла-
бого перемешивания (между эргодичностью и сильным перемешивани-
ем), следует доказать, что если {«,„} — сходящаяся последовательность
1 См. пример на стр. 42. — Прим, перев.
Перемешивание
53
1 п — 1
комплексных чисел, т. е. lim<zre = а, то lim 52 \aj — а| = 0, и что ес-
. п—1	_|П —1	J=O
ли lim 52 |«j—« = О, то lim п 52 aj = а- Это доказать легко. Немного
' .7=0	' 1=0
труднее, однако существенно интереснее, следующий факт: для огра-
ниченной последовательности {«„] необходимое и достаточное уело-
1 п— 1
вие справедливости равенства lim 52 lftj — а| = О состоит в том, что
з=о
существует множество целых положительных чисел J, которое имеет
плотность пуль и обладает тем свойством, что если п пробегает лишь
значения, не принадлежащие J, то lima„ = а. (Выражение «J имеет
плотность нуль» означает, что отношение числа номеров между 0 и п—1,
принадлежащих J, к общему их числу, т. е. к п. стремится к нулю
при п —> со.) Если в приведенном выше примере с джином и вермутом
эргодичность может быть выражена утверждением, что F в среднем
содержит 10% вермута, и если сильное перемешивание можно сформу-
лировать так, что по истечении достаточно большого времени F должно
содержать 10% вермута, то можно сказать, что слабое перемешивание
состоит в том, что F по истечении достаточного времени содержит 10%
вермута, за исключением некоторых редких моментов, в которые жид-
кость в F может быть или слишком крепкой, или слишком сладкой.
Слабое перемешивание по является просто искусственным анали-
тическим понятием: его значение основано на том факте, что оно экви-
валентно некоторым довольно естественным геометрическим и функ-
циональным условиям. Чтобы сформулировать соответствующий ре-
зультат, мне нужно ввести два новых понятия. Я буду говорить, что
сохраняющее меру преобразование Т имеет непрерывный спектр, ес-
ли единственным собственным значением отвечающего Т унитарного
оператора U является 1 и если это собственное значение простое. Это
выражение (Т имеет непрерывный спектр) не вполне точно. Так как
константы всегда инвариантны относительно Т, число 1 непременно
должно быть собственным значением оператора [7, так что U всегда
имеет какой-то точечный спектр. В соответствии с введенным нами
только что словоупотреблением Т имеет непрерывный спектр, если то-
чечный спектр оператора U сводится к вышеуказанному неизбежному
минимуму. Второе необходимое нам понятие — это декартов квадрат Т
сохраняющего меру преобразования Т, определенного в некотором про-
странстве Л"; преобразование Т определяется па X — декартовом про-
54
Перемешивание
изведении X на себя формулой Т(х, у) = (Тх, Ту). Унитарный опера-
тор, порожденный преобразованием Т, обозначим U.
Теорема о перемешивании. Преобразование Т является слабо-
перемешивающим в том и только в том случае, когда его спектр не-
прерывен или (другое условие) когда его декартов квадрат эргодичен.
Доказательство.
Предположим сперва, что Т является слабоперемешивающим. Что-
бы доказать эргодичность преобразования Т, достаточно доказать,
что {т(Т~пА А В)} сходится (в смысле Чезаро) к т(А)  т(В), ес-
ли 4 и В — измеримые прямоугольники1 в X; здесь т, естествен-
но, означает квадрат меры т, определенный в X. Если А = С х D
и В = F х G, где С, D, F n G измеримые множества из X, то
т(Т~пА П В) = т(Т~иС A F)  m(T~nD A G). Так как, по предположе-
нию, т(Т~пС AF) сходится (в смысле сильной сходимости по Чезаро)
к т(С)  m(F) и аналогично m(T~nD A G) сходится (в том же смысле)
к m(D) • m(G) и так как т(А) = т(С) • m(D), а т(В) = m(F) • m(G),
то достаточно доказать следующую аналитическую лемму: если {а„}
и {^п} — ограниченные последовательности, сходящиеся (в смысле
сильной сходимости по Чезаро) к а и Ь соответственно, то апЬп схо-
дится (по Чезаро) к ab. Это утверждение верно даже е запасом; в дей-
ствительности апЬп стремится к ab, по Чезаро, даже в сильном смыс-
ле. Этот результат получается непосредственно с помощью описания
сильной сходимости по Чезаро в терминах сходимости вне некоторого
множества плотности нуль, с учетом того факта, что объединение двух
множеств плотности нуль есть снова множество плотности нуль.
Предположим теперь, что Т эргодично. Если f собственная
функция оператора U, скажем, Uf = cf, то положим f(x, у) =
= f(x)f(y). Получаем тогда, что Uf = f и, так как Т эргодично,
что f — константа. Но тогда ясно, что f должно быть константой и, зна-
чит, с = 1.
Предположим, наконец, что Т имеет непрерывный спектр; требу-
ется доказать, что Т является слабоперемешивающим. Это наиболее
глубокая часть всего доказательства. Я должен воспользоваться тео-
ремой о спектральном разложении унитарных операторов и еще кое-
1Здесь под измеримым прямоугольником понимается декартово произведение
двух измеримых множеств из X. — Прим, перее.
Перемешивание
55
каким вспомогательным аналитическим аппаратом. Заметим прежде
всего, что достаточно установить равенство
п— 1
Ит|ЕК^'Л /)-(/, 1) - (1, 7)1 = 0;
з=о
отсюда с помощью стандартного построения полярной билинейной фор-
мы по квадратичной получаем общий результат (т. е. е g вместо вто-
рого /). Если / равно некоторой константе с, то (IPf, f) = с|2
и (/, 1)(1, /) = с|2: таким образом, достаточно установить интересу-
ющий нас результат при дополнительном условии (/, 1) = 0. Следую-
щее замечание состоит в том, что достаточно установить стремление
1 п — 1
к пулю выражения - |(ЕЛ f, /)|2. (Это относится к элементарному
j=o
анализу: для ограниченных последовательностей сильная сходимость
по Чезаро равносильна квадратичной сильной сходимости по Чезаро.
Один из способов убедиться в этом состоит в описании этих сходи-
мостей в терминах множеств плотности нуль; прямое доказательство
также нетрудно построить.) Если Е — разложение единицы для опе-
ратора U, то (U3f. f) = J х3 d(E(x)f, f)1. Так как, по условию, / ор-
тогонально всем собственным функциям оператора U. то отсюда сле-
дует, что мера р. определенная для всех борелевских множеств М на
окружности равенством р(М) = (E(M)f, f), равна нулю для каждого
одноточечного множества. Другими словами, мера р неатомична. Под-
лежащее доказательству утверждение сводится теперь к следующему:
если р — неатомичная мера на окружности, то
Следующий шаг состоит в замене
х3 dp(x)
2
па
1В этой формуле интеграл берется по единичной окружности в комплексной плос-
кости. — Прим, перев.
56
Перемешивание
сведении произведения интегралов к двойному интегралу и внесении
знака суммирования под интеграл. Тогда нужный нам результат при-
нимает вид
Иш //	dp(x)dp(y) = 0.
J J j=o
Из того, что мера р неатомична, следует, что диагональ тора (т. е. декар-
това произведения окружности па себя) имеет р хр-мсру пуль. Отсюда
следует, что подынтегральное выражение почти всюду равно
(1 - (ху)и)/п(1 - ХУ).
Теперь, поскольку это подынтегральное выражение стремится к нулю
почти всюду и поскольку оно ограничено (действительно, оно не превы-
шает 1, что видно из его представления в виде суммы), доказательство
может быть завершено с помощью ссылки на теорему Лебега о предель-
ном переходе под знаком интеграла в случае ограниченных сходящихся
последовательностей.
Алгебры с мерой
Эргодическую теорию можно излагать в трех различных аспек-
тах; их можно адекватно охарактеризовать словами алгебраический,
геометрический и аналитический. Геометрическому аспекту уделялось
до сих пор наибольшее внимание; ему отвечает рассмотрение преобра-
зований того или иного пространства с мерой. Аналитический аспект
также был упомянут; ему отвечает рассмотрение линейных операторов,
порождаемых преобразованием, в различных пространствах Lp. Алгеб-
раический аспект является, по моему мнению, самым ясным и наиболее
естественным; ему отвечает рассмотрение групп автоморфизмов неко-
торых определенных булевских алгебр.
Многие из трудностей теории меры и вся имеющаяся здесь пато-
логия возникают в связи с существованием множеств меры нуль. Ал-
гебраическая трактовка обходит все эти неприятности путем отказа от
рассмотрения отдельных множеств вообще; вместо этого рассматрива-
ются классы множеств, сравнимых по модулю множеств меры нуль1.
Предположим, для определенности, что X есть пространство с норми-
рованной мерой т и В — совокупность всех классов эквивалентности
измеримых множеств, причем два измеримых множества Е и F назы-
ваются эквивалентными в том и только в том случае, если их симмет-
рическая разность EXF имеет меру нуль. Множество В представляет
собой булевскую алгебру с обычными булевскими операциями. Дейст-
вительно, если (£?i, £2) и (Fi, F2) пары эквивалентных между собой
множеств, то Е\ U эквивалентно ЕЧ U ТЧ; отсюда видно, что «соеди-
нение» двух классов эквивалентности однозначно определяется, если из
каждого класса выбрать по представителю и рассмотреть класс, содер-
жащий соединение этих представителей. То же самое верно для пере-
сечений и дополнений, и, поскольку мера сигма-аддитивна, это верно
и для счетных соединений и пересечений. Нулевым элементом булев-
ской алгебры В является класс всех множеств меры нуль, единичным
Hi связи с дальнейшими рассуждениями см. Халмош П. Р., Теория меры, ИЛ,
1953, стр. 44, упр. 3 и 4. — Прим, перев.
58
Алгебры с мерой
элементом — класс всех множеств меры 1. Поскольку из m(EAF) = О
следует, что т(Е) = m(F), можно считать, что функция т определена
на В; она, очевидно, представляет собой некоторую меру, определенную
на В. Единственным элементом из В, имеющим меру нуль, является
пулевой элемент; аналогично, меру единица имеет только единичный
элемент. Структура типа (В, т), т.е. булевская сигма-алгебра со стро-
го положительной нормированной мерой, называется алгеброй с мерой.
Алгебра с мерой представляет собой алгебраический эквивалент гео-
метрического понятия пространства с мерой.
Сохраняющее меру преобразование Т пространства X порождает,
естественным образом, отображение В в себя. Образ какого-либо клас-
са эквивалентности при этом отображении можпо определить, выбрав
в нем некоторый представитель Е и рассмотрев класс эквивалентнос-
ти, содержащий Т~ГЕ; из того, что Т сохраняет меру, следует, что
класс, являющийся образом, определяется однозначно и имеет ту же
самую меру, что и исходный класс. Определенное таким образом со-
храняющее меру отображение алгебры В в себя мы обозначим Г-1.
Отображение Т-1 сохраняет в В все булевские операции (в том чис-
ле и над счетными множествами элементов); оно представляет собой
изоморфное отображение алгебры В в (но не обязательно на) себя. Ото-
бражение Т 1 будет автоморфизмом алгебры В в том и только в том
случае, когда преобразование Т обратимо.
Ряд понятий и результатов эргодической теории легко может быть
распространен на соответствующие отображения алгебр с мерой: фак-
тически вся теория может быть изложена в этих рамках. Вместо того
чтобы поступать таким образом, я постараюсь воспользоваться пре-
имуществами как той, так и другой точки зрения: в дальнейшем будут
применяться как алгебраическая, так и геометрическая концепции; вы-
бор той или иной из них будет диктоваться каждый раз соображениями
удобства.
Если В — алгебра с мерой, отвечающая пространству с мерой X,
то каждое обратимое сохраняющее меру преобразование пространст-
ва X порождает некоторый автоморфизм алгебры В. Обратно, можно
ли утверждать, что каждый автоморфизм алгебры порождается таким
образом? Ответ здесь, вообще говоря, отрицательный. Существуют та-
кие крайне патологические пространства с мерой, которые в некото-
ром смысле абсолютно неизмеримы; одно из проявлений этой патологии
состоит в том, что в этих пространствах не существует такого коли-
Алгебры с мерой
59
чества сохраняющих меру преобразований, которое было бы достаточно
для того, чтобы породить все автоморфизмы соответствующей булев-
ской алгебры. Поскольку можно считать, что множества меры нуль
не существенны не только с алгебраической, но также и с физической
точки зрения и поскольку каждая алгебра с мерой может быть реали-
зована в виде алгебры, связанной с непатологическим пространством
с мерой, мы можем спокойно не принимать во внимание такого рода
бедные преобразованиями патологические пространства. Тот факт, что
алгебра с мерой может иметь больше автоморфизмов, чем существу-
ет преобразований в порождающем се пространстве с мерой, является
преимуществом этой алгебры, а отнюдь не недостатком.
Приведенные выше нравоучительные рассуждения можно несколь-
ко конкретизировать, рассмотрев следующий вопрос: когда два обрати-
мых сохраняющих меру преобразования S и Т следует считать по су-
ществу совпадающими? На этот вопрос имеются три возможных отве-
та. Если S иТ рассматриваются как преобразования пространства с ме-
рой X, то точный ответ таков: S и Т различаются несущественно, если
существует обратимое сохраняющее меру преобразование Q простран-
ства X, такое, что S = Q-1TQ-, в этом случае S и Т называются (гео-
метрически) подобными. Если S иТ рассматриваются как автоморфиз-
мы алгебры с мерой В. то точный ответ состоит в следующем: должен
существовать автоморфизм Q этой алгебры, такой, что S = Q~rTQ‘.
в этом случае S и Т называются (алгебраически) сопряженными. Если,
наконец, S и Т рассматриваются как унитарные операторы в гильбер-
товом пространстве Н, то точный ответ состоит в том, что в Н сущест-
вует такой унитарный оператор Q, что S = Q~rTQ, в этом случае S
и Т называются (спектрально) эквивалентными. Для дальнейшего по-
лезно отметить, что понятия подобия, сопряженности и эквивалентнос-
ти можно также определить и для таких пар преобразований, которые
действуют не обязательно в одном и том же пространстве; в этом слу-
чае (вспомогательное) преобразование Q должно отображать область
определения одного преобразования на область определения другого.
Очевидно, что из подобия вытекает сопряженность, а из сопряженнос-
ти — эквивалентность. Утверждать обратное нельзя ни в первом, ни во
втором случае. Из эквивалентности не следует сопряженность в силу
одной интересной и веской алгебраической причины; мы сейчас рас-
смотрим существующее здесь положение. Подобие вытекает из сопря-
женности во всех «порядочных» пространствах с мерой, но не вытекает
60
Алгебры с мерой
из нее в «непорядочных»: в силу этих соображений мы не будем уделять
внимания понятию подобия.
Я закончу этот раздел обсуждением связи между понятиями со-
пряженности и эквивалентности. Пусть В алгебра с мерой, отве-
чающая некоторому пространству с мерой и т — соответствующая
мера. Если Т — автоморфизм алгебры В, то порождаемый Т унитар-
ный оператор U в L-i сохраняет не только норму и линейную структуру
пространства £2. Дополнительные условия вытекают из того, что эле-
менты пространства Л2 являются не просто абстрактными векторами;
будучи функциями (или, точнее, классами эквивалентных между со-
бой функций), они обладают еще и мультипликативными свойствами.
Если мы для осторожности будем рассматривать лишь ограниченные
функции, то умножение не будет выводить нас за пределы Л2 и уни-
тарный оператор U будет сохранять произведение. Это условие на U
оказывается достаточным, так же как и необходимым, для того, чтобы
оператор U порождался некоторым автоморфизмом.
Теорема об умножении. Унитарный оператор U вЦ порожда-
ется, некоторым автоморфизмом Т алгебры В в том и только в том
случае, когда как U, так и U1 переводят каждую ограниченную функ-
цию снова в ограниченную и когда U(fg) = (Uf)  (Ug) для любых огра-
ниченных функций f и g.
Доказательство.
Достаточно доказать, что если оператор U мультипликативен и со-
храняет ограниченность функций, то он порождается автоморфизмом.
Пусть / — характеристическая функция, отвечающая некоторому эле-
менту F алгебры В, тогда /2 = f и, следовательно, (U f)2 = Uf. Отсюда
видно, что Uf также является характеристической функцией, отвеча-
ющей, скажем, элементу G. Если мы обозначим G через TF,xoT будет
представлять собой отображение алгебры В в себя. Из того, что U есть
отображение «па», следует, что и Т тоже представляет собой отобра-
жение «на», а из того, что U не переводит в нуль никакое ненулевое
подпространство, вытекает, что если TF = 0, то F = 0. Доказательст-
во можно завершить, показав, что Т является сохраняющим меру сиг-
ма-гомоморфизмом. То, что Т сохраняет меру, вытекает из сохранения
нормы оператором [/; вспомним, что m(F) = ||/||2. Тот факт, что Т
переводит пересечение снова в пересечение, вытекает из мультиплика-
тивности оператора U. Сохранение суммы при отображении Т следу-
Алгебры с мерой
61
ст из того, что если f и g — характеристические функции множеств,
скажем, F и G, то характеристической функцией множества FjG бу-
дет f + g — fg. Для доказательства сохранения счетного суммирования
нужно воспользоваться (после очевидного индуктивного рассуждения)
непрерывностью оператора U.
Соотношение между сопряженностью и эквивалентностью теперь
ясно. Если S и Т — автоморфизмы, то необходимое и достаточное усло-
вие их сопряженности состоит в том, чтобы они были эквивалентны
и чтобы унитарный оператор, осуществляющий эту эквивалентность,
можно было бы выбрать мультипликативным.
Дискретный спектр
Говорят, что преобразование Т имеет дискретный спектр (или чис-
то точечный спектр), если в L2 существует базис (т.е. полная ортого-
нальная нормированная система функций) {/;}, каждый элемент кото-
рого является собственным вектором порожденного унитарного опера-
тора U.
Теорема о дискретном спектре. Два эргодических преобразова-
ния, каждое из которых имеет дискретный спектр, сопряжены в том
и только в том случае, когда порожденные ими унитарные операторы
эквивалентны.
Доказательство.
Достаточно доказать, что из эквивалентности вытекает сопря-
женность. Пусть S и Т — заданные эргодические преобразования,
и пусть U и V порожденные ими унитарные операторы. Пусть С
множество всех собственных значений оператора U; так как U и V
эквивалентны, то С одновременно является и совокупностью всех соб-
ственных значений оператора V. Каждому с из С отвечает собственный
вектор оператора U. Из теоремы о собственных значениях следует,
что |/с| = const; не умаляя общности, можно предположить, что |/е| = 1.
Из той же теоремы о собственных значениях следует (в силу эргодич-
ности S), что /с определена однозначно, с точностью до постоянного
множителя, равного по модулю единице. Из того, что U имеет дис-
кретный спектр, следует, что семейство {/,,} образует базис в £г-
Если а и b принадлежат С, то /а/(, — собственный вектор опе-
ратора U, отвечающий собственному значению ab; отсюда следует
существование такой константы г (а, Ь), равной по модулю единице,
что fafi, = г (a, b)fub' Я утверждаю, что существует такое гомоморфное
отображение р группы всех функций, равных по модулю единице, на
группу вращений окружности, при котором каждая постоянная функ-
ция переходит в равную ей константу. Если бы рассматриваемые функ-
ции были бы действительно функциями, а не классами эквивалентных
между собой (т. е. совпадающих почти всюду) функций, то это утверж-
дение было бы тривиальным: такой гомоморфизм можно осуществить,
Дискретный спектр
63
поставив в соответствие каждой функции ее значение в определенной
точке. Однако, поскольку этот прием здесь не проходит, приходится
воспользоваться несколько более изощренной теоретико-групповой тех-
никой. Допустим на минуту, что требуемый результат уже получен.
Если sa = p(Ja), то применение р к равенству, определяющему посто-
янный множитель г, показывает, что зазь = г(а, Ь)заь. Отсюда следует,
что если /с = ~s2fc, то отображение, которое каждому с из С ставит
в соответствие функцию /е, является гомоморфизмом. Другими слова-
ми, мы можем, не уменьшая общности, считать, что	каковы
бы ни были а и Ь из С. Аналогично для каждого с из С мы можем найти
такую функцию gc, модуль которой постоянен и равен единице, что gc
есть собственный вектор оператора V, отвечающий собственному зна-
чению с, причем семейство {gc} образует базис в и gagb = gab для
любых а, Ь из С.
Теперь пришло время взяться за теоретико-групповую лемму, ис-
пользованную в нашем доказательстве. Поскольку элементы группы
вращений окружности могут быть отождествлены с соответствующи-
ми постоянными функциями и поскольку группа вращений окружнос-
ти группа с неограниченным делением (т. е. из каждого элемента
этой группы может быть извлечен корень любой степени), паша лемма
может быть сформулирована следующим образом: если Н — некото-
рая абелева группа и К — ее подгруппа с неограниченным делением,
то К служит для Н ретрактом, т. е. существует такое гомоморфное ото-
бражение Н на К, которое на К является тождественным. (По поводу
этой леммы в иных контекстах см. А. Вейль, Интегрирование в топо-
логических группах, ИЛ, 1950, стр. 108, или Kaplansky, Infinite abelian
groups, 1954, стр. 8).
Для доказательства упорядочим по продолжению ретракции на К
подгрупп группы //. содержащих К, и воспользуемся затем леммой
Цорна1 * * * * * * В. Если р — максимальный элемент множества ретракций, то
1 Ретракцией группы Н на ее подгруппу К называется такое гомоморфное отобра-
жение Н на К, при котором каждый элемент К переходит сам в себя. Подгруппа К
называется при этом ретрактом.
Приведем для удобства читателя лемму Порна (см. Люмис, Введение в абстракт-
ный гармонический анализ, ИЛ, 1956 г., стр. 10).
Каждое частично упорядоченное множество А содержит максимальное линейно
упорядоченное подмножество. Если каждое линейно упорядоченное подмножество
из А обладает верхней границей в А. то А содержит максимальный элемент.
В данном случае элементами частично упорядоченного множества А являются
ретракции р на К подгрупп группы Н, содержащих К. Такие ретракции сущсст-
64
Дискретный спектр
подгруппа L, на которой он определен, должна совпадать с Н. Дейст-
вительно, пусть g Е Н — L, и пусть М — подгруппа, порожденнап L
и g. Каждый элемент из М имеет вид hgi, где h Е L и j — целое. Если
никакая положительная степень элемента g по принадлежит L, то та-
кое представление единственно: если п — наименьшая положительная
степень, такая, что gn Е L, то существует единственное представление
указанного вида с 0 j < п. В первом случае положим q{hg!) = p(h),
во втором случае пусть go — корень степени п из p(gn) в К, тогда поло-
жим q(hgi) = p(h)g^ (0 j < п). В обоих случаях q представляет собой
ретракцию М на К\ кроме того, q является продолжением ретракции р.
Это противоречит предположению о максимальности р.
Для завершения доказательства теоремы о дискретном спектре
рассмотрим унитарный оператор W такой, что Wgc = /с для всех с
из С. Я утверждаю, что оператор W мультипликативен, т. е. если g
и h ограниченные функции, то W(g- h) = VE(g) • W(h). Если g = ga
и h = gb, где a, b E С, то это вытекает из определения W и мульти-
пликативных свойств систем {fc} и {gc}. В силу линейности это рас-
пространяется на конечные линейные комбинации элементов gc. Пре-
дельный переход (сперва при фиксированной ограниченной функции h,
а затем еще раз при фиксированной g) не представляет трудностей. Из
теоремы об умножении следует, что W порождается некоторым авто-
морфизмом алгебры с мерой. Доказательство завершается следующей
элементарной выкладкой: JV-1LrWrge = W~1Ufc = cW-1fc = cgc, от-
куда видно, что W~1UW = V.
С помощью теоремы о дискретном спектре можно получить ответы
на все, пожалуй, вопросы, касающиеся эргодических преобразований
вуют, например, тождественное отображение К на себя. Ретракция pi: —> К
считается большей ретракции р2 : К‘2 —> К. если подгруппа Ki содержит подгруп-
пу К‘2 и на К‘2 ретракции pi и р2 совпадают. При этом упорядочении всякое ли-
нейно упорядоченное подмножество в А имеет в А верхнюю грань. Действительно,
пусть {Ра} линейно упорядоченное подмножество Л; Ка соответствующие
подгруппы, тогда (J Ка в силу линейной упорядоченности подгрупп Ка по включе-
нию будет подгруппой Н. содержащей К.
Определим отображение р подгруппы	на К следующим образом. Если
а
а €	то существует «п. такое, что а € КЛо: тогда положим р(а) = Ра0(а).
а
Это отображение р(а), очевидно, не зависит от выбора ад и является гомоморфиз-
мом. При этом р(а) — а на К, т. е. р ретракция, большая всех ра. Отсюда, по лемме
Цорна, вытекает, что в нашем множестве ретракций существует максимальный эле-
мент. — Прим, перев.
Дискретный спектр
65
с дискретным спектром; общий метод можно продемонстрировать на
следующем результате.
Теорема о представлении. Всякое эргодическое сохраняющее
меру преобразование с дискретным спектром сопряжено некоторому
преобразованию сдвига на компактной абелевой группе.
Доказательство.
Пусть С — спектр (т. е. совокупность всех собственных значений)
рассматриваемого преобразования, и пусть X группа характеров
группы С. Положим z(c) = с для каждого с из С. тогда z — эле-
мент группы X. Сдвиг Т на X, определенный равенством Тх = zx,
представляет собой сохраняющее меру преобразование с чисто точеч-
ным спектром, причем этот спектр совпадает с С. Дискретность спект-
ра вытекает из свойств характеров группы X. Они образуют полную
ортогональную нормированную систему в пространстве £2 функций
на X, и, если /о один из этих характеров, то fo(zx) = fa (z) • fo(x),
так что /о есть собственная функция, отвечающая собственному зна-
чению fo(z). Это рассуждение заодно показывает, что спектр преобра-
зования Т состоит из всех fo(z), причем каждое из этих собственных
значений имеет кратность, равную числу тех характеров / группы X,
для которых f(z) = fa (z). Если каждому с G С поставить в соответ-
ствие функцию /с, определенную на X равенством /с(ж) = ж(с), то это
соответствие будет изоморфным отображением С на группу характе-
ров группы X. Так как fc(jz) = с для всех с, то отсюда следует, как
и утверждалось, что спектр преобразования Т есть С. Поскольку это
же соотношение показывает, что каждый элемент из С имеет в спектре
преобразования Т кратность единица, сдвиг Т эргодичен. Теперь уже
теорема о представлении непосредственно следует из теоремы о дис-
кретном спектре.
Из теоремы о представлении и из ее доказательства вытекают не-
которые интересные следствия.
Следствие 1. Каждая подгруппа группы вращений окружности яв-
ляется спектром некоторого эргодического сохраняющего меру преобра-
зования с дискретным спектром.
Доказательство.
В конструкции, примененной в доказательстве теоремы о представ-
лении, ничего, кроме спектра С, не использовалось.
66
Дискретный спектр
Следствие 2. Если Т — эргодическое сохраняющее меру преобра-
зование с дискретным спектром, то Т сопряжено произведению двух
инволюций (преобразование S называется инволюцией, если S2 тож-
дественное преобразование).
Доказательство.
В силу теоремы о представлении я могу предполагать, что Т есть
сдвиг, скажем Тх = сх, па некоторой компактной абелевой группе X.
Если b Е X и Rx = Ья;-1, то R есть инволюция; если Sx = RTx,
то Sx = Ьс~1х~1, так что S — тоже инволюция. Ясно, что Т = RS.
Доказательство закончено.
Следствие 3. Эргодическое сохраняющее меру преобразование с дис-
кретным спектром сопряжено своему обратному.
Доказательство.
Это непосредственно вытекает из следствия 2; из доказательства
видно, кроме того, что это сопряжение может быть осуществлено с по-
мощью инволюции.
Простейшим примером сохраняющего меру преобразования явля-
ется преобразование, определенное па чисто атомическом пространст-
ве. Рассмотрим, например, преобразование Тп = п+1, определенное на
дискретном пространстве целых чисел. Если Рп = 1 — п и Qn = —п,
то Т = PQ. Написанные здесь равенства сохраняют смысл и в том слу-
чае, если в них целые числа заменить вычетами по некоторому цело-
численному модулю, поэтому каждая циклическая (т. с. эргодическая!)
перестановка конечного числа точек является произведением двух ин-
волюций. Поскольку каждая конечная перестановка может быть раз-
ложена на независимые циклы, этот результат остается верным для
всех (т. е. не обязательно эргодических) конечных перестановок. Отсю-
да следует, что каждая конечная перестановка подобна своей обратной.
Этот последний факт ясен и из других соображений: каждый класс
подобных между собой перестановок определяется набором чисел, ука-
зывающих количества циклов заданной длины, входящих в разложение
перестановки, следовательно, подобие перестановки своей обратной вы-
текает из того, что каждая перестановка имеет разложение па циклы
того же типа, что и обратная к ней. Я останавливаюсь на этих эле-
ментарных фактах потому, что они представляют собой дискретный
костяк, на который опираются относящиеся к непрерывному случаю
Дискретный спектр
67
обобщения, полученные выше как следствия из теоремы о представле-
нии.
В каком случае из сохраняющего меру преобразования Т можно
извлечь квадратный корень, т. с. когда существует такое сохраняющее
меру преобразование S, что S2 = Т? Поскольку единственная решенная
часть этой задачи относится к преобразованиям с дискретным спект-
ром, уместно именно сейчас изложить это решение.
Теорема о квадратном корне. Пусть Т эргодическое сохра-
няющее меру преобразование с дискретным спектром, определенное на
пространстве с конечной мерой; оно сопряжено квадрату некоторого
преобразования в том и только в том случае, когда число — 1 не явля-
ется его собственным значением.
Доказательство необходимости (в этой части доказательства
дискретность спектра не используется). Заметим сперва, что каждое
множество (или функция), инвариантное относительно S, автоматичес-
ки инвариантно и относительно S2. Поэтому достаточно доказать, что
если S эргодическое преобразование, квадрат которого тоже эргоди-
чен, и если / — такая функция из L%, что /(S'2®) = —f(x), то f = 0.
Поскольку / по модулю постоянна, /2 6 £2 и из инвариантности /2
относительно S2 вытекает, что /2 постоянна почти всюду.
Положим g(x) = J'(Sx'). Так как g'(S2®) = —g(x), то по теореме
о собственных значениях g(x) = с/(®), где с некоторая константа,
т. е. f(Sx) = cf(x). Отсюда следует, что /(S'2.®) = c?f(x) и, значит,
с2 = —1. Так как f(Sx) = с/(ж), то, не теряя общности, можно поло-
жить с = г. Из того, что собственные векторы, отвечающие различным
собственным значениям, взаимно ортогональны, следует, что / ортого-
нально /, т. е. y*/2(®)d® = 0. Так как /2 = const, то доказательство
закончено.
Доказательство достаточности. Пусть С спектр преобразова-
ния Т. Пусть С* — максимальная подгруппа группы вращений окруж-
ности, содержащая С и не содержащая —I1. Я утверждаю, что операция
возведения в квадрат является на С* автоморфизмом. Тот факт, что
это отображение является гомоморфизмом, очевиден: то, что ядро это-
го гомоморфизма тривиально, следует из того, что С* не содержит —1.
'Существование С* можно доказать, воспользовавшись леммой Цорна. — Прим,
перев.
68
Дискретный спектр
Остается доказать, что возведение в квадрат представляет собой ото-
бражение С* на все С*. Если бы это было не так, то в С* нашелся
бы элемент, скажем а, квадратный корень из которого по принадле-
жал бы С*. Пусть b — квадратный корень из а (в группе вращений
окружности) и D — группа, порожденная С* и Ь. Из максимальности
подгруппы С* следует, что —1 g D-, это означает, что cbn = —1 при
некотором с £ С* и некотором целом п. Так как Ь2 принадлежит С*,
а —1 по принадлежит, то показатель п должен быть почетным, ска-
жем п = 2k + 1. Поскольку cb2k+1 = cakb, получаем, что b = —1/сак
и, следовательно (возведя в квадрат), что а = (1/сак)2. Это противоре-
чит предположению, согласно которому в С* не существует квадрат-
ного корпя из о; таким образом, доказано, что возведение в квадрат
действительно является автоморфизмом для С*. Пусть и — обратный
к нему автоморфизм. Этот автоморфизм и, рассматриваемый как функ-
ция на С. со значениями на единичной окружности представляет собой
характер группы С, обладающий тем свойством, что (w(c))2 = с для
всех с G С. Если X — группа характеров группы С и z — элемент
из X, определенный условием z(e) = с для всех с, то, как мы уже зна-
ем (из теоремы о представлении), Т сопряжено сдвигу S. относящему
каждому х t X элемент zx. Сдвиг, переводящий х в их, является квад-
ратным корнем из S: доказательство теоремы закончено.
Сформулированное условие является достаточным и без предполо-
жения эргодичности Т (Amer. J. of Math., 1942, стр. 159), но это не
представляет интереса.
Автоморфизмы компактных групп
Одна из выдающихся проблем эргодической теории состоит в том,
чтобы выяснить, в какой мере результаты, полученные для преобра-
зований с дискретным спектром, остаются в силе, если дискретность
спектра не предполагается. Все, что можно сделать в данный момент,
это указать довольно скудный запас относящихся сюда примеров.
Для того чтобы рассмотреть самый известный пример преобразо-
вания с непрерывным спектром, я начну с одного замечания, относя-
щегося к полным ортогональным нормированным системам в £2- Ес-
ли {/,} — такая система функций на пространстве с мерой X, a {g,-} —
такая же система функций на пространстве с мерой Y и если функ-
ции hij определены на декартовом произведении Z пространств X и Y
формулой hij(x, у) = fi(x)gj(y), то {/ijj} — полная нормированная сис-
тема функций на Z. Этот результат непосредственно распространяется
па случай произведения любого конечного числа пространств. В извест-
ном смысле этот результат распространяется и на случай бесконечного
члена сомножителей. Чтобы получить базис в пространстве Ь%, постро-
енном на произведении бесконечного числа пространств, в каждом из
которых введена нормированная мера, нужно выбрать по базису (со-
держащему постоянную функцию, равную 1) в пространствах £2, от-
вечающих каждому из этих сомножителей, и составить всевозможные
конечные произведения элементов этих базисов.
Пусть Аф — пространство, состоящее из точек —1 и 1 (каждая из
этих точек имеет меру У2), тогда базис в соответствующем простран-
стве L‘2 можно составить из константы 1 и тождественной функции ж0,
определяемой равенством xq(x) = х. Отсюда и из сделанных выше заме-
чаний о базисе в произведении пространств сразу видно, как построить
базис, скажем, в пространстве X двусторонних последовательностей
чисел —1 и 1. (До сих пор мы рассматривали последовательности из
нулей и единиц. Разница здесь только в обозначениях.) Если хп озна-
чает, при каждом целом п. функцию, равную п-й координате точки
из X, то базис в пространстве £2 функций на X состоит из всевоз-
можных конечных произведений функций хп-, константа 1 может быть
70
Автоморфизмы компактных групп
включена в эту схему, если рассматривать ее как произведение пустого
множества сомножителей.
Предположим теперь, что Т — двусторонний сдвиг в пространст-
ве X, a U — порожденный им унитарный оператор. Два элемента толь-
ко что описанного базиса, составленного из конечных произведений, на-
зовем [/-эквивалентными, если какая-либо целая степень оператора U
переводит один из них в другой. Функция 1 составляет свой собствен-
ный класс [/-эквивалентности; остальные элементы базиса распадают-
ся на счетное число классов [/-эквивалентности, каждый из которых
бесконечен. Каждый из этих классов находится очевидным образом во
взаимно-однозначном соответствии с множеством всех целых чисел;
действие оператора U в таком классе состоит в том, что он перево-
дит элемент, отвечающий числу п, в элемент, отвечающий числу п + 1.
Следовательно, в терминах гильбертова пространства (т.е. с точнос-
тью до спектральной, или унитарной, эквивалентности) оператор U
может быть описан так: существует такой базис, состоящий из век-
тора /0 и бесконечной матрицы векторов /(г, j), где i = 1, 2, 3, ...
и j = 0, ±1, ±2, ..., что Uf0 = /о и [//(г, j) = f(i, j + 1) при всех г
и j. Описанная здесь ситуация встречается достаточно часто, чтобы
для псе придумать специальное краткое название. Если для унитарно-
го оператора U существует базис, который ведет себя как это описано
выше, с той лишь разницей, что мощность множества {?'} возможных
значений первого индекса может быть иной, и если эта мощность рав-
на (конечному или бесконечному) п, то я буду говорить, что U имеет
тип п. На этом языке двусторонний сдвиг следует назвать оператором
типа алеф-нуль.
Если Xq — произвольное пространство с нормированной мерой, то
не представляет труда построить пространство X двусторонних после-
довательностей {жта}, где хп Е Хо, п = 0, ±1, ±2, ..., и определить
декартово произведение мер в X. После этого можно определить в X
двусторонний сдвиг; техника, с помощью которой было установлено,
что это преобразование является эргодическим (фактически перемеши-
вающим в сильном смысле) в случае двухточечного Xq. позволяет полу-
чить те же самые результаты и для рассматриваемого общего случая.
Если Хо не слишком велико (точнее говоря, если Хо сепарабельно или,
что эквивалентно, если пространство Л2 над Xq сепарабельно), то соот-
ветствующий обобщенный сдвиг имеет спектральный тип алеф-нуль.
(Ситуация не слишком отличается и в случае несепарабельного Xq; ме-
Автоморфизмы компактных групп
71
няется лишь мощность, отвечающая спектральному типу.) В частнос-
ти, сдвиг троичных и сдвиг двоичных последовательностей имеют один
и тот же тип. Выражаясь более обычным языком, эти два преобразо-
вания эквивалентны. Являются ли они сопряженными или нет — это
одна из самых волнующих нерешенных проблем эргодической теории1.
Если Ад = {—1, 1}, то Ад — мультипликативная абелева груп-
па. Введем в Ад дискретную топологию, что превратит Ао в компакт-
ную абелеву группу, и образуем декартово произведение А счетного
числа экземпляров группы Ад. Компактная абелева группа А может
быть отождествлена с пространством двусторонних двоичных последо-
вательностей. С теоретико-групповой точки зрения сдвиг в этом про-
странстве обладает следующим важным свойством: он представляет
собой непрерывный автоморфизм группы А. Обобщенные сдвиги так-
же могут быть отождествлены аналогичным образом с непрерывными
автоморфизмами определенных компактных абелевых групп. Тот факт,
что все они имеют, при соответствующих предположениях счетности,
тип алсф-пуль, является частным случаем теоремы, которая будет до-
казана немного позже.
Предположим, что А компактная абелева группа, и пусть С
ее группа характеров. Известно, что если Т — непрерывный автомор-
физм группы А, то Т — сохраняющее меру преобразование на А (по
отношению к мерс Хаара). Пусть U — унитарный оператор, порожден-
ный Т. Легко проверить, что если / Е С, то Uf Е С и, более того,
отображение U, рассматриваемое на С. является автоморфизмом груп-
пы С. В частности, если f Е С, то имеет смысл говорить о траектории
элемента f (относительно преобразования U); под этим понимается,
конечно, совокупность всех характеров вида Unf. где п — целое. Ес-
ли f — единичный характер, то его траектория состоит только из него
самого. Если U по имеет других конечных траекторий, то я буду го-
ворить, для краткости, просто, что U не имеет конечных траекторий.
Теорема об автоморфизмах. Если непрерывный автоморфизм Т
компактной абелевой группы X эргодичен, то порожденный им авто-
морфизм U группы характеров С не имеет конечных траекторий. Ес-
ли U не имеет конечных траекторий, тоТ имеет стандартный тип п
(где п конечно или бесконечно) и, следовательно, является перемеши-
вающим в сильном смысле.
1 Отрицательное решение этой проблемы было получено А. Н. Колмогоровым.
См. добавление переводчика, стр. 140-143. — Прим, перев.
72
Автоморфизмы компактных групп
Доказательство.
Предположим, что траектория (относительно U) некоторого f G С
(J 1) конечна, и пусть п — наименьшее целое положительное чис-
ло, для которого Unf = f. Тогда траектория элемента / состоит
из /, Uf, ... , U”-1 f; если g — сумма всех этих функций, то Ug = g.
Так как характеры попарно ортогональны и, следовательно, линейно
независимы, то g отлично от постоянной и Т пеэргодичпо.
Предположим теперь, что U не имеет конечных траекторий. Из
того, что характеры группы X образуют базис в соответствующем L>.
следует, что Т имеет тип п при некотором п; остается показать, что
преобразование такого типа обязательно является перемешивающим.
Это — в чистом виде лемма о гильбертовом пространстве. Рассмотрев
по отдельности каждую из строк матрицы базисных векторов f(i, j)
и вспомнив функциональную форму определения сильного перемеши-
вания, мы сведем нашу задачу к следующей: если {fj} — базис в гиль-
бертовом пространстве, j = 0, ±1, ±2, ... и если U такой унитарный
оператор, что U fj = fj+i, то Un слабо стремится к 0, т.е. (Unf, g) —> О
при любых / и g. Достаточно доказать это утверждение для того слу-
чая, когда оба вектора / и g — базисные; общий случай получается от-
сюда сразу с помощью обычных соображений линейности и непрерыв-
ности. Но указанный частный случай тривиален: если f = fj и g = Д,
то (Unf, g) = (Jj+n. fk) и, следовательно, (Unf, g) = 0 при всех доста-
точно больших п.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что для непре-
рывных автоморфизмов компактных абелевых групп эргодичность рав-
носильна перемешиванию. Эта теорема была обобщена на некоммута-
тивные группы, см. Kaplansky, Can. J. of Math., 1949, стр. 111.
Верна более сильная формулировка этой теоремы; с помощью чисто
теоретико-групповых соображений я доказал в свое время, что карди-
нальное число п должно быть обязательно бесконечным (Bull. Amer.
Math. Soc., 1943, стр. 621). (Вообще вопрос о существовании сохраня-
ющих меру преобразований конечного типа остается открытым.) Во
многих частных случаях тот факт, что п бесконечно, усматривается
непосредственно: общий случай выглядит следующим образом.
Теорема о бесконечной кратности. Если автоморфизм U не-
которой абелевой группы С имеет только бесконечные траектории, за
Автоморфизмы компактных групп
73
исключением тривиальной траектории {1}, то число этих траекторий
бесконечно (предполагается, что С 7^ {1}).
Доказательство.
Предположим, что число траекторий конечно. Случай I: С име-
ет конечное число образующих. Из основной теоремы об абелевых
группах следует, что тогда С имеет лишь конечное число элемен-
тов конечного порядка. Поскольку все элементы, принадлежащие од-
ной и той же траектории, имеют одинаковый порядок, отсюда следу-
ет, что С — группа без кручения, а тогда в С должны содержаться
элементы любой высоты. (Высотой элемента / называется наиболь-
шее из чисел п, таких, что f = gn при каком-либо g 6 С.) Поскольку
все элементы одной и той же траектории имеют одинаковую высоту,
получаем, что число траекторий должно быть бесконечно, — проти-
воречие. Случай II: С произвольна. Достаточно доказать, что С со-
держит нетривиальную подгруппу, имеющую конечное число образу-
ющих и инвариантную относительно U и I7-1. Если f Е С, f 1,
то должны существовать два формально различных члена последова-
тельности ( Ц IP f > , принадлежащих одной и той же траектории,
Ч'=о J
скажем J] IP f = Uk Г П •/) = П U^+kf. Сократив формально оди-
j-0	4=0	' j=o
паковые члены, я получу соотношение вида (Егр/±1)...	= 1,
где р < ... < q. Отсюда следует, что подгруппа, порожденная элемен-
тами Upf, Up+1f, ... , Uqf, инвариантна относительно U и I7-1. (Это
изящное доказательство проще, чем мое первоначальное; оно принадле-
жит В. А. Рохлину, Известия АН СССР, 1949, стр. 329.)
Рассмотрим важный частный случай теоремы об автоморфиз-
мах, приняв за группу X тор. Мы уже знаем, что всякий авто-
морфизм Т тора X определяется унимодулярной матрицей (“^)
по формуле Т(и, v) = (u'1vb, ucvd). Каждый характер группы X
имеет вид f(u, v) = unvm, где пит — целые. Отсюда следу-
ет, что Uf(u, v) = f(T(u, v)) = uan+cmvbn+dm, так что и действует
на группу характеров С группы X (т. е. на плоскую целочислен-
ную решетку), как транспонированная матрица М = (^)- Из чис-
то алгебраических соображений вытекает, что U не имеет конеч-
ных траекторий в том и только в том случае, если среди собст-
венных значений матрицы М нет корней из единицы. (Доказатель-
74
Автоморфизмы компактных групп
ство. Пусть траектория точки (п, т) относительно М конечна, ска-
жем Мк(п. т) = (п, т). Обозначив через q корень степени k из еди-
ницы, заметим, что дА-1(п, т) + qk~2M(n, т) + ... + Мк-1{п. т) —
комплексный собственный вектор матрицы М. отвечающий собствен-
ному значению q. Обратно, если q является собственным значением
для М, то Mk — 1 — вырожденное линейное преобразование вектор-
ного пространства над полем рациональных чисел; отсюда следует, что
существует ненулевая точка (п, т). траектория которой относитель-
но М конечна.) Эти замечания дают возможность написать сколь-
ко угодно перемешивающих преобразований на торе. Одним из них
будет преобразование T(w, v) = (uv, и), или, в действительной запи-
си, Т(х, у) = (х + у, ж) (mod 1).
Другой пример получится, если за X принять (мультипликатив-
но записанную) группу характеров аддитивной группы рациональных
чисел (или, в качестве слегка видоизмсиспиого примера, двоичных ра-
циональных дробей); для этой группы операция возведения в квадрат
является перемешивающим автоморфизмом.
Различные получающиеся таким образом примеры не могут ре-
шить вопроса о соотношении между эквивалентностью и сопряженнос-
тью для случая непрерывного спектра. Все они (т. с. эти примеры) эк-
вивалентны между собой (если на группы наложены соответствующие
условия счетности), но едва ли сопряжены друг другу. Однако, посколь-
ку их принадлежность к различным классам сопряженности не доказа-
на, вопрос остается открытым1.
Следует отмстить, что, хотя применительно к автоморфизмам
групп в нашем распоряжении и нет такого инструмента, как теоре-
ма о представлении для преобразований с дискретным спектром, не-
которые следствия этой теоремы справедливы для одного интересного
класса таких автоморфизмов, а именно для сдвигов.
Рассмотрим пространство двусторонних последовательностей, со-
стоящих из элементов некоторого пространства X с нормированной ме-
рой, и пусть Т — двусторонний сдвиг в этом пространстве. Если преоб-
разования Р и Q определить формулами (Рх)п = Х-п и (Qx)n = ./Д-,,
соответственно, то PQ = Т. так что всякий сдвиг есть произведение
двух инволюций (и, следовательно, каждый сдвиг подобен своему об-
ратному).
гСм. примечание переводчика на стр. 71. — Прим, перев.
Автоморфизмы компактных групп
75
Обозначим через Тх сдвиг в пространстве двусторонних после-
довательностей элементов из X. Ясно, что если пространства X и Y
метрически изоморфны, т. с. если существует обратимое сохраняю-
щее меру преобразование, отображающее X на Y, то Тх и Ту —
подобные преобразования. Заметим далее, что естественным образом
можно установить подобие между декартовым произведением двух
сдвигов и сдвигом в пространстве последовательностей, составленных
из элементов декартова произведения соответствующих пространств,
т. е. что Тх х Ту подобно Туху. Заметим, наконец, что квадрат сдвига
подобен его декартову квадрату, т. е. что Ту подобно Тх х Тх - Из этих
замечаний следует, что если, например, X состоит из 9 точек, каж-
дая из которых имеет меру У9, то существует квадратный корень из Т
и он подобен сдвигу в пространстве последовательностей, построенных
из элементов 3-точечного пространства, каждая точка которого имеет
меру У3. Отсюда вытекает также, поскольку единичный интервал мет-
рически изоморфен единичному квадрату, что если X — единичный
интервал, то квадратный корень из Тх существует и подобен само-
му Тх-
Обобщенные собственные значения
Пусть Т — обратимое сохраняющее меру преобразование про-
странства X с нормированной мерой. Я собираюсь рассмотреть неко-
торые классы функций, связанные с Т, и некоторый метод построения
новых классов из старых. Интересующие нас классы состоят из изме-
римых функций, равных по абсолютной величине единице. Если G —
один из таких классов, то под G' мы будем понимать класс всех таких
функций / (измеримых и равных по абсолютной величине 1), для кая?-
дой из которых существует такая функция g Е G, что / (Тх) = g(x)f(x)
почти всюду. Другими словами, элементы из G' можно рассматривать
как собственные векторы, отвечающие обобщенным собственным зна-
чениям; эти собственные значения вместо того, чтобы быть констан-
тами, являются теперь элементами класса G. Полезно отмстить, хотя
это и очевидно, что если Н С G. то Н' С G'.
Пусть Gi — множество всех постоянных функций (по абсолютной
величине равных 1): определим Gn по индукции, положив G„+i = G'n,
п = 1, 2, 3, .... В частности, элементы из G2 — это собственные функ-
ции; если мы предположим (что мы и сделаем, начиная с этого момен-
та), что Т эргодично, то G2 будет содержать все собственные функ-
ции преобразования Т с точностью до постоянного множителя. Если f
постоянна, то f(Tx) = 1 • f(x); так как 1 6 Gi, то отсюда следует,
что f Е G2, так что Gi С G2. Отсюда по индукции видим, что после-
довательность {Gra} — возрастающая. Отмечу попутно, что каждый
класс Gn представляет собой мультипликативную группу и инвариан-
тен относительно Т (т. е. Uf Е Gn в том и только в том случае, ес-
ли f Е Gn, где U, разумеется, унитарный оператор, порожденный Т);
доказательство этих фактов также легко получить с помощью индук-
ции.
Если оказывается, что Gn = Gn+i, то G„ = Gn+k для всех к. Обо-
значим п(Т) наименьшее целое положительное значение п, при котором
имеет место указанное равенство; при этом не исключена возможность,
что п(Т) окажется бесконечным. Во всяком случае, п(Т) остается, оче-
видно, инвариантным при переходе от Т к преобразованию с ним сопря-
Обобщенные собственные значения
77
женному, т. е. если Т и S сопряжены, то п(Т) = n(S). Я докажу сущест-
вование эквивалентных, но не сопряженных между собой преобразова-
ний, указав два эквивалентных между собой преобразования S и Т, для
которых n(S) п(Т). Заметим, что равенство п(Т) = 1 представляет
собой характеристику преобразований с непрерывным спектром.
Чтобы показать технику вычисления п.(Т), предположим, что X —
окружность и В. — эргодическое вращение: Rx = сх. Класс G2 состоит
из всех собственных функций преобразования R, т. е. из всех функ-
ций gm = xm, m = 0, ±1, ±2, ..., и их произведений на константы.
Пусть f g G3. так что Uf = bgmf при некотором целом m и некото-
рой константе Ь, равной по абсолютной величине единице. Разложим f
в ряд Фурье: / = 52 angn-, так как Uf = 52 ancngn и bgmf = 52 an-mbgn,
то an-mb = апсп. Так как отсюда следует, что \ап-т| = |ап| для всех п,
то т = 0; иначе должно было бы быть = 0 для всех п, что противо-
речит условию |/| = 1. (Вспомним, что ряд 52 |®п|2 должен сходиться.)
Однако если т = 0, то f — обычный собственный вектор операто-
ра U, так что / 6 (?2- Мы доказали, что G3 = G2 и, следовательно,
что n(R) = 2.
Преобразования S и Т, составляющие упомянутый выше контрпри-
мер, определяются следующим образом. В качестве пространства X бе-
рется тор. Пусть с— комплексное число, равное по абсолютной величи-
не 1, но не являющееся корнем из 1, и пусть Q — перемешивающее пре-
образование типа алеф-нуль на окружности. Положим S(x, у) = (сх, су)
и Т(х, у) = (сх, Qy). Я покажу, что S и Т эквивалентны, но n(S) = 3,
а п(Т) = 2. Символами U и V мы обозначим унитарные операторы,
порожденные S и Т соответственно.
Положим gn,m(x, у) = хпут, п,т = 0, ±1, ±2, ...: функции gn>TO
образуют полную ортогональную нормированную систему в Бг- Так
как Ugn,m = Спgn+m,m, то функция g;l.o является собственной, отвеча-
ющей собственному значению с”, а функции gn,m при m/О операто-
ром U преобразуются друг в друга и умножаются при этом на опреде-
ленные постоянные числа. Я хочу избавиться от этих постоянных мно-
жителей. Иначе говоря, я хочу положить fn,m = afhmgn_m, где а„:„( —
постоянные, равные по абсолютной величине 1 при всех т 0, и сде-
лать это так, что Ufn,m = fn+m.m при m 0. Это требование налагает
на константы а,п,т известные ограничения; более детальное рассмотре-
ние вопроса показывает, что этим условиям можно удовлетворить с по-
мощью некоторого индуктивного построения. Им можно удовлетворить
78
Обобщенные собственные значения
также и с помощью явной формулы: выберем Ьт так, что Ь^1 = с, и по-
ложим ап,П1 = Ьт  Окончательный результат можно, после неко-
торых очевидных изменений в обозначениях, сформулировать следую-
щим образом. Существует полная ортогональная нормированная систе-
ма, состоящая из последовательности {/гта} и двойной последовательнос-
ти таких, что hn — собственный вектор, отвечающий собствен-
ному значению с”, a hi.j преобразуется в hi+ij, где i = 0, ±1, ±2, ...
и J = 1, 2, 3,.... Это полностью характеризует спектральную струк-
туру преобразования S.
Перейдем теперь к вычислению n(S). Каждая функция из G? от-
личается лишь постоянным множителем от хт, поэтому если / £ G3,
то f(cx, ху) = bxmf(x, у) при некотором целом т и некоторой кон-
станте Ъ, такой, что \b\ = 1. При каждом фиксированном х функ-
ция /(ж, у) может быть разложена по у в ряд Фурье, коэффициен-
ты которого являются измеримыми функциями от х. Если /(ж, у) =
= £ fn(x)yn, то f(cx, су) = £ fn(cx)xnyn нЬхтf(x, у) = ^bfn(x)xmyn
так что fH(cx) = bxm~nfn(x). Из наших вычислений значения n(R) для
эргодического вращения R вытекает, что единственная ненулевая воз-
можность здесь — это п = т, и тогда функция fm сама должна быть
собственной функцией для R. Отсюда следует, что /(ж, у) должна отли-
чаться лишь постоянным множителем от хкут при некотором к. Три-
виальным образом проверяется обратное, т. е. если f имеет указанный
вид, то f £ G3. Отсюда, в частности, следует, что n(S) 3.
Если / Е Gi, то /(сж, су) = bxkymf(x, у). Воспользуемся та-
кими же разложениями, как и выше. Если /(ж, у) = 52/та(ж)?/та,
то /(еж, су) = fn(cx)xnyn и bxkymf(x, у) = ^ь/п-нАх)хкуп, так,
что fn(cx)xn = bfn-m(x)xk. Беря нормы правой и левой частей,
получим, что ||/„|| = ||/та-т|| для всех п. Поскольку ряд 23||/„||2
сходится, это возможно лишь при т = 0. Далее, если т = 0,
то /та(сж) = bxk~nfn(x); как и раньше, отсюда следует, что единствен-
ная возможность, не приводящая к тождественному нулю, это п = к,
и тогда /й(ж) должна равняться константе, умноженной на некоторую
степень ж. Отсюда в свою очередь следует, что / £ (?з; мы доказали,
что G± = G3. следовательно n(S) = 3.
Ситуация для Т аналогична. Пусть W — унитарный оператор,
порожденный вспомогательным перемешивающим преобразованием Q
типа алеф-нуль. Пусть {gn,m} — ортогональная нормированная сис-
Обобщенные собственные значения
79
тема функций на окружности (п = 0, ±1, ±2, ...; т = 1, 2, 3, ...)
такая, что вместе с постоянной функцией 1 она образует базис, при-
чем Wgn,m = g-n+l,m- Положим hn(x,y) = Хп И Pk,n,m(x, у) =
= xkgn,m(y)- Ясно, что Vhn = cnhn и Vpk,n,m = ckPk,n+i,m- Изба-
вимся от множителя так же как это мы сделали выше, в случае опе-
ратора U. Эффективно ЭТО МОЖНО сделать, ПОЛОЖИВ Qk.n.m = CnkPk,n,m,
откуда Vqk7 n, m =	Множество всех пар (А:. т) счетно, поэтому
все эти пары можно перенумеровать целыми положительными числа-
ми j. Если мы обозначим qp,i,m через hi,j (для пары (fe, т), имеющей
номер j), то получим Vhij = hi+ij', тем самым доказательство экви-
валентности операторов U и V завершено.
Чтобы доказать, что п(Т) = 2, предположим, что f принадлежит
классу G3 для Т, т. е. что f(cx, Qy) = Ьхк/(х, у) при некотором це-
лом к и некоторой константе Ь. равной по абсолютной величине 1. Раз-
ложим fax, у) как функцию от у в ряд по gn.,H. Если
/(ж, У) = M-Q +
ТО
f(cx, Qy) = fo(cx) + fn-l,m(cx)gn,m(y)
И
bxkf(x, у) = bxkfa(x) + ^bxkfn,m(x)gn!m(y).
Отсюда вытекает, что fa(cx) = bxkfa(x) и, следовательно, fa представ-
ляет собой константу, умноженную па некоторую степень х. Отсюда
следует также, что fn-i.m(cx) = bxkfn,m(x). Переходя к нормам, по-
лучаем, как и выше, что ,fn,m = 0 для всех пит. Отсюда следует,
что /(ж, у) = fa(х) и, следовательно, f Е G-z- Доказательство законче-
но.
Полученный результат является весьма частным. Теперь мы, ра-
зумеется, знаем, что из эквивалентности не вытекает сопряженность.
Однако, поскольку эквивалентные между собой преобразования S и Т
имеют смешанный спектр (не дискретный и не непрерывный), мы
не знаем ни того, следует ли из эквивалентности сопряженность для
преобразований с непрерывным спектром, ни, в частности, того, бу-
дут ли сопряжены друг другу два перемешивающих преобразования
типа алсф-пуль1. Вопрос все еще остается открытым. Однако и при-
мер со смешанным спектром имеет определенную ценность: сам метод
1См. примечание переводчика на стр. 71. — Прим, перев.
80
Обобщенные собственные значения
(т. с. построение обобщенных собственных значений и обобщенных соб-
ственных функций) представляет интерес независимо от того частного
результата, для получения которого он был развит. У меня, например,
сложилось впечатление, что обобщенные собственные значения могли
бы дать в спектральной теории кое-что новое.
Преобразование S является частным случаем того, что Апдзаи на-
звал косым произведением (Anzai, Osaka J., 1951, стр. 83); используя
такого рода косые произведения, Андзаи построил сохраняющее меру
преобразование, не сопряженное своему обратному.
Слабая топология
В каком смысле можно говорить о сходимости последовательности
сохраняющих меру преобразований к какому-либо сохраняющему ме-
ру преобразованию? Другими словами, какие представляющие интерес
топологии можно ввести в множество всех сохраняющих меру преобра-
зований некоторого пространства с мерой? Их существует несколько,
различной ценности: я перехожу к рассмотрению одной из самых пло-
дотворных.
Необходимо сделать некоторые предварительные замечания.
Во-первых, ограничим дальнейшее рассмотрение обратимыми сохраня-
ющими меру преобразованиями; таким образом, множество, подлежа-
щее топологизации, представляет собой группу. Во-вторых, будем, как
обычно, отождествлять два сохраняющих меру преобразования, если
они отличаются лишь на некотором множестве меры нуль; поэтому ра-
зумно сосредоточить внимание по па группе обратимых, сохраняющих
меру преобразований пространства с мерой, а на группе автоморфизмов
алгебры с мерой В, связанной с X. Наконец (это наименее важно), мы
будем предполагать, что основное пространство с мерой X есть единич-
ный интервал. Это предположение вовсе не столь ограничительно, как
это кажется. Алгебра с мерой, отвечающая интервалу, нормирована,
неатомична и сепарабельна. Известно, что любые две алгебры с мерой,
удовлетворяющие этим трем условиям, изоморфны между собой. Тот
факт, что X есть единичный интервал, будет использован двояко. Ос-
новную роль будет играть то, что отсюда вытекают пормироваппость,
неатомичность и сепарабельность В-, все рассуждения, основанные на
этих свойствах, применимы к большинству других пространств с ме-
рой, упоминавшихся мной (например, ко всем недискретным компакт-
ным группам со счетной базой, в частности к тору и к пространству
последовательностей). Вспомогательную роль будут играть некоторые
свойства упорядоченности, присущие интервалу (например, будет ис-
пользовано понятие подынтервала). Эти рассуждения, разумеется, не
переносятся на более общий случай слово в слово, однако все, что нуж-
но сделать для их обобщения, это заменить подынтервалы такими
82
Слабая топология
элементами соответствующей булевской алгебры, которые отвечают
подынтервалам при некотором изоморфизме.
Последнее из предварительных замечаний относится к связи меж-
ду той топологией, которую мы будем изучать, и различными извест-
ными топологизациями множества операторов гильбертова пространст-
ва. Сильная топология для операторов определяется так: {А,} сходится
к А в том и только в том случае, если \\Ajf — Af\\ 0 при всяком /;
слабая топология требует, чтобы (Ajf, g) > (А/, g) при любых f и g.
(Множество индексов {.)} здесь — любое направленное множество.) По-
скольку автоморфизмы алгебры В можно рассматривать как (порож-
денные ими) операторы в /.о- группа автоморфизмов наследует всякую
топологию, которой обладает группа унитарных операторов. Сильная и
слабая топологии, рассматриваемые лишь для унитарных операторов,
оказываются совпадающими. (Доказательство. Из сильной сходимости
всегда следует слабая сходимость. Пусть {[/,} — унитарные операто-
ры, слабо сходящиеся к унитарному оператору [7; вычислим квадрат
нормы — J7/||2 и заметим, что каждый из получающихся здесь
четырех членов стремится, с точностью до знака, к (/, /).) Отсюда
следует, что для группы G автоморфизмов эти две топологизации так-
же дают один и тот же результат. Топология, которую я собираюсь
описать (будем называть ее слабой топологией), совпадает с ними обе-
ими.
Слабая топология для группы G автоморфизмов состоит в том,
что {Г,} сходится к Т тогда и только тогда, когда {TjE} сходится
к ТЕ для каждого измеримого множества Е (или, лучше сказать, для
каждого элемента Е алгебры с мерой В)-, говоря подробнее, требуется,
чтобы m(TjEATE) —> 0. (Символ Д означает, как и выше, симметрич-
ную разность, т. е. булевское сложение.) Еще подробнее: полную систе-
му окрестностей образуют множества вида
N(S) = N(S; Е, е) = {Т: m(SEATE) < е}.
Первый из результатов, относящихся к слабой топологии, состо-
ит в том, что в этой топологии группа G оказывается топологичес-
кой группой, удовлетворяющей первой аксиоме счетности. Чтобы до-
казать, что G является То-прострапством, предположим, что S 7^ I
(символ I означает единичный автоморфизм), и пусть Е — такое мно-
жество (т.е. элемент из В), что SE / Е. Если е = m(SEAE), то
Слабая топология
83
окрестность N(I; Е, е) не содержит S. Непрерывность операции пере-
хода к обратному элементу вытекает из того, что Т g N(S; Е, е) в том
и только в том случае, если 7' 1 6	SE, е). Для доказательства
непрерывности произведения предположим, что {£.,} и {2у} сходятся
к S и Т соответственно. Поскольку TjE близко, при больших j. к ТЕ,
a SjTE близко к STE и поскольку из сохранения меры преобразовани-
ем Sj следует, что SjTjE настолько же близко к SjTE, насколько TjE
близко к ТЕ, мы заключаем, что SjTjE близко к STE, когда j достаточ-
но велико. Эти замечания показывают, что G является топологической
группой. Поэтому для проверки первой аксиомы счетности достаточно
доказать существование счетной определяющей системы окрестностей
у единичного элемента I. Выберем для этого в В счетное всюду плотное
множество {-Ед,}; окрестности N(I; Ek, 1/h) образуют определяющую
систему окрестностей элемента I. Действительно, пусть N(I; Е, е) —
произвольная окрестность элемента I. Если h и к выбраны так, что
и т(ЕДЕ^) и 1/h меньше, чем е/3, то 7V(/; Ek, 1/h) С N(I-, Е, е).
С G (как и со всякой топологической группой) можно естествен-
ным образом связать некоторое понятие равномерности. Будем назы-
вать левой равномерностью ту, по отношению к которой последователь-
ность {/'„} фундаментальна в том и только в том случае, если Т~1Тт
близко к I для любых достаточно больших п и т; правая равномер-
ность определяется аналогично с помощью ТпТ^1. Группа G не полна
в каждой из этих равномерностей. Соответствующие примеры проще
всего построить в пространстве односторонних последовательностей.
Пусть Тп — преобразование, порождаемое циклической перестановкой
первых п индексов, т. е. если Тпх = у, то yk+i = %k при 0 к < п,
уа = хп vi уь = Xk при к > п. Ясно, что каждое Тп представля-
ет собой обратимое сохраняющее меру преобразование. Я утверждаю,
что Т~гТпЕ сходится, для любого Е, к IE, при т, п —> сю. Для конеч-
номерных множеств это просто (Т^ТпЕ на самом деле просто равно
для них Е при всех достаточно больших п): для произвольных измери-
мых множеств это получается с помощью аппроксимации. Отсюда сле-
дует, что {Т„} — левая фундаментальная последовательность; однако,
очевидно, что рассматриваемая последовательность не имеет предела
в G. Рассмотрев последовательность {Т”1} убедимся, что G не полна
и справа.
Правильным является двустороннее определение равномерности
в G, т. е. такое, по отношению к которому последовательность {Тп,}
84
Слабая топология
является фундаментальной в том и только в том случае, если и Т~1Т„1,
и ТпТ~1 близки к I, как только п и гп достаточно велики. По отношению
к этой равномерности G полна. Ввиду наличия первой аксиомы счетнос-
ти достаточно доказать полноту по отношению к последовательностям.
Если {Т„} двусторонне фундаментальная последовательность в G.
то как {Т,(Е}, так и {Т^Е} — фундаментальные последовательности
в В; отсюда следует, что {Т,,Е\ и {Т~тЕ} сходятся, скажем, к ТЕ и SE
соответственно для любого Е из В. (Полнота В — это перефразировка
теоремы Фишера-Рисса.) Поскольку дополнение, сумма и мера — не-
прерывные функции на В, отображения Т и S. определенные на В, со-
храняют меру и все конечные булевские операции; отсюда следует, что
они сохраняют и счетные операции. (Вообще говоря, булевский гомо-
морфизм не обязан быть сигма-гомоморфизмом; здесь это получается
благодаря сохранению меры.) Отображения Т и S представляют собой,
таким образом, эндоморфизмы алгебры В. Поскольку, как легко про-
верить, TSE = STE = Е для всех Е, они являются автоморфизмами
и S = T~1.
Понятие полноты привычнее в случае метрических пространств,
чем в случае более общих равномерных пространств (например, топо-
логических групп). Как известно, равномерное пространство, удовле-
творяющее первой аксиоме счетности, метризуемо, поэтому все свой-
ства группы G можно, в принципе, излагать в терминах соответству-
ющей метрики. Легко описать эту метрику. Пусть {Е„} — счетное,
всюду плотное в В множество; примем за расстояние между S и Т
величину ^2(1/2га)(т,(5ЕгаДТЕи) + m(S~1EnДТ-1Е„)); утверждается,
что эта метрика порождает в G слабую топологию и двустороннюю
равномерную структуру. (Опа по является пи право-, пи лсвоипвари-
антной.) Однако, поскольку эта довольно искусственная конструкция
не проливает, по-видимому, никакого дополнительного света на струк-
туру группы G, я не вижу оснований вдаваться в дальнейшее ее из-
учение. Дело обстояло бы совсем иначе, если можно было бы найти в G
инвариантную метрику (т. е. метрику в G, инвариантную относитель-
но умножения справа и слева). Общая теория топологических групп га-
рантирует существование односторонне-инвариантной метрики; однако
двусторонней не существует. Несколько более расширенную трактовку
ряда относящихся сюда вопросов, а также литературные ссылки можно
найти в первой моей работе, посвященной этой тематике (Trans. Amer.
Math. Soc., 1944, стр. 11).
Слабая аппроксимация
Я буду называть интервал (к/2п,, (к + 1)/2п) двоичным интерва-
лом ранга п (п = 0, 1. 2, ...; к = 0, 1, 2, ... , 2та —1), а некоторую сумму
таких интервалов (п фиксировано) двоичным множеством ранга п.
Под перестановкой (точнее, двоичной перестановкой ранга п) я буду по-
нимать обратимое сохраняющее меру преобразование (или, скорее, от-
вечающий ему автоморфизм), переводящее каждый двоичный интервал
ранга п в другой двоичный интервал того же ранга с помощью обычного
переноса. Циклическая перестановка ранга п — это перестановка, ко-
торая циклически переставляет двоичные интервалы ранга п. (Предо-
стережение: это означает, что соответствующая перестановка состоит
только из одного цикла, а вовсе не то, что каждый двоичный интер-
вал ранга п переходит в тот, который непосредственно следует за ним
в естественном порядке.) Двоичная окрестность (некоторого автомор-
физма S G G) это множество вида {Т: m(SDATD) < е}, где D
некоторое двоичное множество. Двоичные окрестности образуют про-
изводящую систему окрестностей для рассматриваемой топологии в G;
конечные пересечения их образуют в G базис. Основная в этом круге
вопросов теорема утверждает, по существу, что перестановки всюду
плотны в G. Иногда оказывается полезной следующая более детальная
со формулировка.
Теорема о слабой аппроксимации. Каждая двоичная окрест-
ность содержит циклические перестановки сколь угодно высокого ранга.
Доказательство.
Сперва я докажу, что если Р — некоторая перестановка и
N = {Т: m(PDiATDi) < е, г = 1. 2, .... п} некоторая ее двоичная
окрестность, то N содержит циклические перестановки сколь угодно
высокого ранга; после этого я для завершения доказательства покажу,
что перестановки всюду плотны в G. Каждое PD} есть некоторое дво-
ичное множество. Отсюда следует, что существует такое целое j, что
каждое из этих множеств является двоичным множеством ранга j:
86
Слабая аппроксимация
при этом целое число j можно выбрать сколь угодно большим. Выбе-
рем k > j так, что 1/2к < e/2j+1. Каждый двоичный интервал ранга j
представляет собой сумму 2к~:> двоичных интервалов ранга к. Я опре-
делю теперь циклическую перестановку Q ранга к так, что Q Е N.
Начнем с двоичного интервала Е ранга j. Если Р по оставляет Е
на месте, то пусть Q отображает первый (в смысле естественного по-
рядка) подынтервал ранга к из Е на первый из подынтервалов ранга к
множества РЕ. Если Р не переводит РЕ обратно в Е, то положим,
что Q отображает первый подынтервал ранга к множества РЕ на пер-
вый подынтервал ранга к множества Р2Е. Будем продолжать этот про-
цесс до тех пор, пока не достигнем последнего члена в P-цикле множес-
тва Р, пусть это будет Pq^1E. Перестановка Р переводит Pq [ К снова
в Е-, пусть Q переводит первый подынтервал ранга к из Pq~1E во вто-
рой подынтервал ранга к множества Е. Пройдем снова весь цикл, но
с заменой всюду слова «первый» на «второй». Дойдем здесь до конца и
затем положим, что Q переводит второй подынтервал ранга к из Pq LE
в третий подынтервал ранга к множества Е. Будем повторять этот про-
цесс еще и еще, до тех пор пока не достигнем последнего подынтервала
ранга к в Pq~1E. Пусть F — двоичный интервал ранга j, не пересе-
кающийся с P-циклом множества Е (т. е. отличный от Е, ... , Pq~1E),
и пусть Q переводит последний подынтервал ранга к из Р'1 *~Е в пер-
вый подынтервал ранга к множества F. Повторим для F тот же самый
процесс, который был описан для Е, а затем проделаем то же самое для
всех циклов, на которые раскладывается перестановка Р. Перестанов-
ка Q должна переводить последний подынтервал ранга к в последнем
члене последнего цикла перестановки Р в первый подынтервал ранга к
первоначально выбранного интервала Е.
Ясно, что Q — циклическая перестановка ранга к. Из построения Q
следует, что если Е — некоторый двоичный интервал ранга j (не обя-
зательно то самое Е, которое было выбрано выше), то m(PEAQE') <
< 2/2к. Двоичное множество ранга j представляет собой объединение
не более чем 2J двоичных интервалов ранга j, поэтому, если Е — про-
извольное двоичное множество ранга j, то
m(PEAQE) < V(2/2k) = 2-'+1 /2к < е.
Отсюда следует, что Q 6 N; остается доказать, что перестановки всюду
плотны в G.
Слабая аппроксимация
87
Я должен показать, что если Т — произвольное преобразование
и если N = {S: m(SDjXTDi) < е, г = 1,2, ... ,п} его двоичная
окрестность, то N содержит некоторую перестановку. Я могу предпо-
лагать, что двоичные множества Di представляют собой совокупность
всех двоичных интервалов некоторого определенного ранга (так что п
равно некоторой степени двойки); окрестность, определенная такими
интервалами и достаточно малым е, заведомо содержится во всякой
двоичной окрестности. Идея доказательства состоит в аппроксимации
множеств TDi двоичными множествами и затем соответствующей пе-
рестановке этих двоичных множеств.
Класс Во двоичных множеств плотен в метрическом пространстве
множеств (или, точнее, в алгебре с мерой); он замкнут относительно
конечных булевских операций, а мера каждого из принадлежащих ему
множеств равна некоторому двоичному рациональному числу. Далее,
если Е 6 Во и если г — некоторое двоичное рациональное число меж-
ду 0 и тп(Е), то Е содержит подмножества меры г, принадлежащие Bq.
Эти специальные свойства класса Во и дают мне возможность дока-
зать соответствующую аппроксимационную лемму. Я перечисляю эти
свойства потому, что существуют и другие классы множеств, отличные
от Bq, которые обладают теми же свойствами и которыми нам придется
пользоваться; самым примечательным из примеров такого рода классов
является совокупность множеств вида ТЕ, где Е 6 Во.
Предположим теперь, что {-ЕД, ... , Еп} — разбиение пространст-
ва X, 3 — положительное число, ту, ... , /у — положительные двоичные
рациональные числа, такие, что сумма их равна 1 и \m(Ei) — г,| < 6
при i = 1, 2, ... , fe. Я утверждаю, что существует такое разбие-
ние {Fi, ... , Fn} пространства X, что: 1°) каждое Fi принадлежит Bq;
2°) m(EiXFi) < 23 и 3°) т(Е) = п, i = 1, 2, ... , к. Для доказательст-
ва начнем с того, что аппроксимируем достаточно точно каждое из Е}
некоторым множеством Fj из Bq; пусть у — точность этой аппрокси-
мации. Множества Е, которые мы при этом получим, не обязаны со-
ставлять разбиение пространства X, а меры их не обязаны иметь ука-
занные выше значения. Так как т(Е{) —т(Е\) = m(Ei —Fi) —m(Fi — Ei),
то m(Fi) отличается меньше, чем на у от m(Ej) и, следовательно, мень-
ше, чем па у + 3 от г». Произведем теперь замену множеств Е; моя
первая задача — сделать их попарно непересекающимися. Поскольку
m({Ei A Ej)X(Fi A Fj)) Д m(EiXFi) + m(EjXFj) < 2у
88
Слабая аппроксимация
и поскольку m,(Ei A Ej) = 0, мера пересечения каждого Fi с суммой
всех остальных меньше, чем 2ку. Измененные Е это множества, ко-
торые получаются после выбрасывания этих пересечений. Меры этих
новых множеств Fi отличаются меньше чем на 2ку + у + 3 от ту и но-
вые F{ аппроксимируют множества Е{ с точностью до 2^7+7. Теперь F,
уже попарно не пересекаются, однако их сумма не обязана составлять
все X, а их меры имеют не совсем те значения, которые требуются.
Необходимо еще одно их изменение. От каждого «слишком толстого»
множества Ft (т. е. такого, что rn(Fi) > ту) я отниму столько, чтобы
сделать его меру равной ту, и разницу добавлю к дополнению суммы
всех F-i, затем к каждому «тощему» Е я добавлю из этого дополнения
столько, чтобы сделать его меру равной п, и при этом не вывести Е
из Вп. Поскольку такие дважды исправленные множества F,; аппрокси-
мируют Ei с точностью до (2&7 + 7) + (2^7 + у + <5), доказательство
завершается замечанием, что у можно выбрать настолько малым, что-
бы это последнее выражение было меньше, чем 26.
Вернемся теперь к окрестности N. Множества Di A TDj обра-
зуют разбиение пространства X. Пусть 8 — такое положительное
число, что п28 < е/2. Применив аппроксимационную лемму, полу-
чим такое разбиение пространства X на двоичные множест-
ва, что m({Di A TDj)XEtj) < 3. Применив снова ту же лемму (на
этот раз к Т-прообразам этих двоичных множеств), получим та-
кое разбиение {Ej} пространства X на двоичные множества, что
m((Di A TDj)XTFij) < 23 и m(Ej) = mEij. Так как Т сохраняет меру,
то отсюда следует, что m((T~1D{ A Dj)XFij) < 28.
Пусть к — такое целое число, что все Di, Ец и Fij имеют ранг к.
Пусть Р — перестановка ранга к, переводящая Fij в Eij. Так как Dj
есть сумма (по i) множеств T^1D, A Dj, то Dj находится в п28 бли-
зости и, следовательно, в е/2-близости от суммы (по i) множеств Ej.
Отсюда следует, что PDj находится в е/2-близости от суммы (по i)
множеств Eij. Поскольку эта последняя сумма находится в е/2-близос-
ти от суммы (по i) множеств Di A TDj, а следовательно, и от TDj,
получаем, что PDj находится в е-близости от TDj; тем самым доказа-
тельство теоремы о слабой аппроксимации закопчено.
Равномерная топология
Изучение различных топологий и взаимоотношений между ними
представляет собой, несмотря на большую популярность этих вопро-
сов в теории линейных топологических пространств, довольно скуч-
ное занятие. Тот факт, что слабая и сильная топологии в пространстве
операторов совпадают между собой, если их рассматривать лишь для
сохраняющих меру преобразований, — просто находка: забот на од-
ну топологию меньше. Оказывается, таким образом, что на самом деле
в множестве сохраняющих меру преобразований (или, точнее, автомор-
физмов) существуют в точности две полезные топологии (в противо-
вес тому путаному изобилию, которое имеется в теории операторов).
Прежде чем продолжить рассмотрение приложений слабой топологии,
я введу для автоморфизмов другую полезную топологию; я буду назы-
вать се равномерной топологией.
Пусть S и Т элементы группы G автоморфизмов: положим
d(S. Г) = sup[m(5£;AT£;)].
Е
Ясно, что d обладает свойствами расстояния и легко проверить, что d
инвариантно относительно всех групповых операций (умножение слева
и справа, переход к обратным элементам). Равномерная топология —
это, по определению, та топология, которая определяется метрикой d:
G с этой топологией представляет собой топологическую группу.
Полезным подспорьем при изучении метрики d, является другая
метрика d'; по определению
d'(S. Т) = т({ж: Sx Тж}).
То, что d! обладает свойствами расстояния, проверяется непосредствен-
но. Неравенство треугольника вытекает из того, что если Sx отлично
от Тж, то или Sx или Тх отличпо от Qx. Метрика d' инварианта отно-
сительно всех групповых операций. Для умножения слева это очевидно.
90
Равномерная топология
Чтобы доказать инвариантность d! относительно перехода к обратным
элементам, заметим, что
5{ж: Sx Тх} = {ж: 5-1ж	Т-1ж}.
Инвариантность относительно умножения справа следует из инвари-
антности относительно умножения слева и относительно перехода к об-
ратному.
Сейчас я должен несколько уклониться в сторону и изложить ряд
вспомогательных фактов. Они будут использованы в дальнейшем, по
представляют и некоторый самостоятельный интерес; непосредствен-
ным поводом для их изложения является выяснение связи между d и d'.
Прежде всего я должен изложить некоторые элементарные факты,
относящиеся к понятию периодичности. Если Тпх = х при некотором
целом положительном п, то преобразование Т называется периодичес-
ким в точке ж; наименьшее положительное п называется периодом Т
в точке ж. Соответствующее глобальное понятие вводится тоже стан-
дартным образом: если Тп = I при некотором п, то преобразование Т
называется периодическим, а его периодом называется наименьшее по-
ложительное п, для которого равенство Тп = I справедливо. Ясно, что
периодическое преобразование периодично в каждой точке ж: обратное,
однако, неверно. Если Т периодично лишь на множестве меры нуль, то я
буду говорить, что Т апериодично.
Каждое преобразование Т может быть естественным образом раз-
бито на периодическую и апериодическую части. Точнее, пусть Ап
означает множество тех точек, в которых Т имеет период п, и
пусть Ло — дополнение суммы всех этих А„; тогда Т апериодично
на Ло-
Лемма 1. Если Т периодично с периодом п почти в каждой точке
пространства X, то существует такое измеримое множество Е ме-
ры 1/п, что множества Е, ТЕ, ....	попарно не пересекаются.
Доказательство.
Если п = 1, то доказывать нечего. Если п > 1, то должно
существовать такое измеримое множество Е±, что m(EiXTE^) > 0:
иначе Т было бы периодично с периодом 1 почти всюду. Так как
m(Ei —TEi)=m(Ei) —m(EiГ\ТEi) и m(ТЕ^ — Ei)=тп(ТЕ±) —m(EiГ\ТEi),
то из сохранения меры преобразованием Т следует, что m(Ei — ТЕ\} > 0.
Равномерная топология
91
Другими словами, если F± = Е± — TEi, то Е± — измеримое множес-
тво положительной меры, такое, что Fi и TFi не имеют общих то-
чек. При п = 2 рассуждения на этом заканчиваются. Если п > 2,
то существует, я утверждаю, такое измеримое подмножество Е% С Fi,
что т(Е2&Т2Е2) > 0; иначе бы Т имело период 2 почти в каждой
точке множества Fi. Положим F2 = Е2 — Т2Е2', как и выше, полу-
чаем, что F} и T2F2 не пересекаются. Проделав таким образом п — 1
шагов, я получу убывающую цепочку Fi, ... , F„_i множеств положи-
тельной меры, такую, что Fj и T^Fj не пересекаются. Если Е = Fn-i,
то Е не пересекается с T:lЕ. j = 1, ... , п — 1 и отсюда следует, что
множества Е. ТЕ, , Тп1Е попарно не пересекаются. При этом мо-
жет, однако, не выполняться условие m(F) = 1/п. Чтобы исправить
это, нужно рассмотреть дополнение множества Е U ТЕ U ... U Тп~гЕ
и провести для пего тс же самые рассуждения, которые были прове-
дены для X. (Верно, хотя это и не существенно, что данное множес-
тво инвариантно.) Продолжим наши рассуждения по индукции, если
понадобится, то трансфинитной. Поскольку система попарно непересе-
кающихся множеств положительной меры не может быть несчетной,
процесс оборвется па некотором счетном трапсфипитс.
Лемма 2. Если Т апериодично, то для каждого целого положи-
тельного п и каждого положительного е существует такое измеримое
множество Е, что множества Е, ТЕ, Тп~1Е попарно не пересекаются
и т(Е U ТЕ U ... U Тп~1Е) > 1 - е.
Доказательство.
Пусть р — такое целое положительное число, что 2/р < е. Пер-
вый существенный шаг доказательства состоит в использовании дока-
зательства леммы 1 (с рп вместо п). Это доказательство дает следу-
ющее: строится такое измеримое множество F положительной меры,
что F, TF,... , Tpn~1F попарно не пересекаются и что F — макси-
мальное, по мере, среди таких множеств. (Это означает, что не сущест-
вует множества, содержащего F, которое превосходило бы F по мере
и имело бы указанные свойства.) Из максимальности F следует, что
если Fo — измеримое подмножество множества Tpn~1F, имеющее по-
ложительную меру, то T^FqAF должно иметь положительную меру для
некоторых j = 1, ... , рп. (Иначе, объединив TFq и F, мы получили бы
противоречие с предположенной максимальностью F.) Отсюда в свою
очередь следует, что если Fj — множество таких точек х из Tpn~1F,
92
Равномерная топология
что Т^х Е. F, но Тгх F при 1 i < j < рп, то попарно непересекаю-
щиеся множества Fj исчерпывают почти все Tpn~1F.
Множества в каждом из столбцов таблицы
TF2
TF3 T‘2F3
TF T2F трп-ip
x pn x pn • • •	x pn
попарно не пересекаются (поскольку они представляют собой резуль-
таты применения одной и той же степени преобразования Т к пс-
пересекающимся подмножествам множества Tpn~1F), а два множес-
тва, находящиеся в разных столбцах, тоже не пересекаются (так
как их прообразы, отвечающие соответствующей степени преобра-
зования Т, лежат в различных множествах, принадлежащих систе-
ме F,TF, ... . 7',”‘ 'А'). Далее, я утверждаю, что все эти множес-
тва (т. е. множества T‘Fj при 1 i < j рп) не пересекаются ни
с одним из TkF (0 к рп — 1) и, следовательно, по пересекаются
с F U TF U ... U Tpn~xF. Действительно, если к > i, то TlFj A TkF
содержится в множестве у®(ур«-1у р Tk~'lF), которое пусто; если
же к г, то 0 г — к < j, так что Tt~kFj A F пусто (в силу опре-
деления Fj) и, следовательно, T*Fj F\TkF = Tk(Tl~kFj AF) тоже пусто.
Из проведенных выше рассуждений следует, в частности, что мно-
жества TFi, T2F2, ... ,TpnFpn суть попарно непересекающиеся под-
множества множества F; их меры равны соответственно мерам мно-
жеств Fi, F2, ... , Fpn и, значит, в сумме составляют m(Tpn~1F); от-
куда вытекает, что они почти исчерпывают все F. Отсюда я получаю,
что множество
F* = ( J TkF) U ( IJ T'Fj^
к=0	l<Zi<j^.pn
почти инвариантно относительно Т. Из апериодичности Т вытекает те-
перь, что F* почти совпадает с X, поскольку иначе с помощью допол-
нения к F* можно было бы увеличить максимальное множество F.
Теперь я уже в состоянии определить нужное нам множество Е.
Грубо говоря, для получения Е нужно взять каждое n-ое из мно-
жеств F, TF, ... , Tpn^1F, а также каждое n-е множество в каждой
из строк таблицы {T’Fj} настолько далеко, насколько это возможно.
Равномерная топология
93
Точнее,
р-1
Е = ( [J TknF^ U ( IJ Tm+i А’.,).
k=0	o^t
(i+l)n^j —1
Ясно, что множества Е, ТЕ, ... , Тп~1Е попарно не пересекают-
ся. То, что не входит в их сумму, содержит менее чем 2п множеств
из каждой строки таблицы {TlFj}. Это означает, что для каждого j,
часть j-ой строки, не входящая в Е U ТЕ U ... U Тп~1Е, имеет меру
меньшую, чем 2nm(Fj), и, следовательно,
m(E U ТЕ U ... U 7’п 1 /'.'j > 1 —	= 1 - 2п • m(F).
j=i
Так как множества F, TF, ... , Tpn~1F попарно не пересекаются,
то 2п • m(F) 2п^ =	< г, и доказательство закончено. (Идея
этого доказательства была указана мне Д. С. Орнстейном.)
Теорема о сравнении. d d!.
«5
Доказательство.
Поскольку d и dr инвариантны относительно групповых операций,
достаточно доказать, что |d'(I, Т) d(I, Т) d'(I, Т) для каждо-
го сохраняющего меру преобразования Т. Если F = {ж: ж Тх},
то d'(I, Т) = m(F): заметим, что F инвариантно относительно Т и что
таким же свойством обладает каждое подмножество множества X — F.
Если Е произвольное измеримое множество, то
т(ЕДТЕ) m((E A F)XT(E A F)) + т((Е - F)XT(E - F)) =
= т((Е A F)XT(E A F))	m(F);
откуда следует, что d(I, Т) d'(I, Т).
Для того чтобы установить оценку d снизу, рассмотрим разбие-
ние {До, Д15 Аз-, •••} пространства X на его апериодическую и пе-
риодические части. Применив лемму 2 (к Лп вместо X, при п = 2,
и е |), найдем измеримое подмножество Ео множества Ао, непе-
рссскающссся с ТЕ® и удовлетворяющее условию т(7?о) >
Применив лемму 1 к Ап, найдем такое измеримое подмножество Еп
94
Равномерная топология
множества Ап, что Еп, ТЕп, , Тп 1Еп, попарно не пересекаются,
причем т(Еп) = ±т(Ап).
Определим новую систему множеств Fn следующим образом. Ес-
ли п = 0, то Fn = Еп. Если п 2, то Fn есть сумма Еп и об-
разов множества Еп при всех четных положительных степенях ав-
томорфизма Т. мспьших чем п — 1 (т. с. в случае почетного п мно-
жество Тп~1Еп не входит в F„). Множество Fn (где п 1) не пе-
ресекается с TFn. Далее, если п = 2, 4, 6, ..., то m(Fn) = ^m(An),
а если п = 3, 5, 7, .... то m(Fn) = | (1 — m(An). Отсюда следует,
что m(Fn) ^т(Ап'), где п / 1. Если F есть сумма всех таких Fn
(т. е. F = Fq U F2 U Eg U ...; заметим, что никакого Fi нет), то F не
псрссскастся с TF и m(F) ^(1 — m(Ai)). Слсдоватслыю,
О
d(I, Т) m(FATF)	I(1 - m(Ax)) = ?d'(E, Т);
О	о
доказательство закончено.
Сдвиги на единичном интервале на | и на | (mod 1) показывают,
что обе оценки в теореме сравнения не могут быть улучшены.
Из теоремы сравнения видно, что обе метрики — как г/. так и d! —
приводят к одной и той же топологии, а именно к равномерной. Воз-
можность пользоваться каждый раз той метрикой, которая в данный
момент времени удобна, часто облегчает доказательство тех или иных
свойств равномерной топологии. Так, например, из определения d сразу
же видно, что слабая топология слабее, чем равномерная. Отсюда следу-
ет, что группа G полна и в равномерной топологии. Действительно, если
последовательность {Т„} фундаментальна в смысле метрики d, то {Тп}
слабо (двусторонне) фундаментальна и, следовательно, сходится
к некоторому Т в смысле слабой топологии; легко показать, что тог-
да {7’,,} сходится к Т и в равномерной топологии. (Слабый предел по-
следовательности, фундаментальной в смысле равномерной топологии,
обязательно является се равномерным пределом.) С другой стороны,
для доказательства, что G не сепарабельна в смысле равномерной то-
пологии, проще всего воспользоваться метрикой d': если Та означает
сдвиг на единичном интервале на a (mod 1), то d'(Ta, Ту) = 1, как толь-
ко а Ъ. Отсюда мы попутно заключаем, что равномерная топология
действительно сильнее, чем слабая топология.
Равномерная аппроксимация
Чтобы получить аппроксимационную теорему, отвечающую рав-
номерной топологии, удобно опереться на следующий результат, пред-
ставляющий и некоторый самостоятельный интерес.
Лемма. Если Е и F борелевские множества на интервале X,
имеющие одну и ту же меру, то существует такое обратимое сохра-
няющее меру преобразование Т интервала X, что m(TEXF) = 0.
Доказательство.
Существует много путей для доказательства (и попутно усиления)
этой леммы; некоторые из них повели бы нас окольными путями че-
рез исследование различных аномалий борелевских множеств. Простое
и удобное доказательство, основанное па соображениях теории меры,
проводится следующим образом. Если т(Е) = m(F) = 0, то доказы-
вать нечего. Если же эти меры отличны от пуля, то пусть S — произ-
вольное обратимое эргодическое преобразование на X. При некотором
целом положительном значении п мера множества SnE A F по равна
нулю; определим Т на EC\S~nF как Sn. Далее будем проводить индук-
цию. Если т(Е — S~nF) 0, то, применив те же самые рассуждения,
найдем имеющий положительную меру кусок множества Е — S~nF, ко-
торый отображается некоторой степенью преобразования S в F — SnE,
и определим Т па этом куске как соответствующую степень преобразо-
вания S. На всем Е преобразование Т определяется путем повторения,
возможно, трапсфипитпого, этой процедуры, т. с. методом исчерпыва-
ния. Применив затем тот же самый процесс к X — Е и X — F, мы
продолжим Т на все X.
Заметим, что, как видно из этой леммы, метрическая структу-
ра любого борелевского множества та же самая, что и у интервала.
Отсюда, в частности, следует, что па всяком борслсвском множест-
ве положительной меры существуют эргодические, сохраняющие меру
преобразования.
Аналогом теоремы о слабой аппроксимации в случае равномер-
ной топологии является утверждение, что множество всех периоди-
96
Равномерная аппроксимация
ческих преобразований плотно в G в смысле равномерной топологии.
Это утверждение непосредственно вытекает из разложимости преобра-
зования на апериодическую и периодические части и из следующего
количественного утверждения, относящегося к апериодическим преоб-
разованиям.
Теорема о равномерной аппроксимации. Если Т — некото-
рое апериодическое преобразование, то для каждого целого положитель-
ного п и для каждого положительного г существует такое преобразо-
вание S, что S имеет всюду период п и d'(S, Т) < ^ + £.
Доказательство.
Воспользовавшись леммой 2 предыдущего параграфа, построим та-
кое измеримое множество Е, что множества Е, ТЕ, ... ,	попар-
но не пересекаются и ш(Е U ТЕ U ... U Tn~rE) > 1 — е. Если ж принад-
лежит Е U ТЕ U ... U Тп~2Е, то положим Sx = Тх-, если х Е Тп LE.
то положим Sx = Т~п+1х. Преобразование S определено, таким обра-
зом, на Е U ТЕ U ... U Tn-1E. На всей своей области определения оно
периодично с периодом п; причем
d’(S, Т) т(Тп~1Е) + е = гп{Е) + е | + е,
независимо от того, как мы продолжим S на все X. Следовательно, все,
что остается сделать, это доопределить S на X — (EUTEU.. .UTn~1E)
так, чтобы оно было всюду периодично с периодом п. Возможность
такого доопределения сразу вытекает из леммы, доказанной в начале
этого параграфа.
Первоначальный вариант теоремы о равномерной аппроксимации
послужил леммой в доказательстве теорем о категориях, речь о кото-
рых будет идти в следующем параграфе (Ann. of Math., 1944, стр. 786):
в этом варианте было 4/п вместо 1/п + е. Приведенный выше вариант
был опубликован (без изложения доказательства) В. А. Рохлиным (ДАН
СССР, 1948, стр. 349)1.
Из этой теоремы вытекает интересное следствие; я утверждаю, что
в смысле равномерной топологии множество всех эргодических преоб-
разований нигде не плотно в G. В самом деле, я знаю, что каждая сфе-
ра в G содержит периодическое преобразование S, скажем периода п.
1 Доказательство этой теоремы содержится в работе В. А. Рохлина «Избранные
вопросы метрической теории динамических систем», Успехи матем. наук, 4, № 2,
57-128 (1949). — Прим, перев.
Равномерная аппроксимация
97
Пусть г — положительное число, меньшее чем 1/п, и такое, что сфе-
ра А? с центром S и радиусом г целиком лежит внутри данной сферы;
для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что ни
одно из принадлежащих К преобразований не эргодично. Чтобы дока-
зать это, рассмотрим некоторое Т ( К и положим Е = {х: Sx Тх}.
По построению т(Е) < Пусть Е* = Е U SE U ... U Sn~xE, тог-
да m(_E*) < 1 и SE* = Е*. Если х Е X — Е, то Sx = Тх; отсюда
следует, что Т(Х — Е*) = X — Е*. Поскольку m(X — Е*) > 0, преоб-
разование Т могло бы быть эргодично только при т(Е*) = 0. Однако
отсюда следовало бы, что т(Е) = 0 и, значит, Т = 5; таким образом,
преобразование Т ни в каком случае не может быть эргодично.
Взглянув на метрику d', мы сразу видим, что двум преобразова-
ниям очень трудно быть близкими между собой в равномерной тополо-
гии. Другими словами, равномерная топология очень сильна (сущест-
вует много открытых множеств): фактически она настолько сильна,
что почти совпадает с дискретной. Следовательно, утверждение, что
некоторое множество (как, например, множество периодических пре-
образований) всюду плотно в смысле равномерной топологии, вскрыва-
ет глубокие структурные свойства сохраняющих меру преобразований.
С другой стороны, по тем же самым причинам некоторому наперед за-
данному множеству (такому, как множество всех эргодических преоб-
разований) весьма просто оказаться нигде не плотным: утверждение
о том, что некоторое множество топологически мало (например, нигде
не плотно или имеет первую категорию), является по существу лишь
проявлением свойств самой топологии.
Категории
Я возвращаюсь теперь к рассмотрению слабой топологии. Я хо-
чу изложить некоторые сведения о топологической массивности трех
важных множеств преобразований, а именно преобразований сильно
перемешивающих, слабо перемешивающих и эргодических.
Первая теорема о категориях. В слабой топологии множество
всех сильно перемешивающих преобразований имеет первую категорию.
Доказательство.
Пусть Pk — множество всех периодических преобразований перио-
да к (т. е. таких преобразований Т, для которых Тк = I); обозначим Р*
сумму (по всем к, > п) множеств Р^,. Из теоремы о слабой аппроксима-
ции следует, что каждое из множеств Р* всюду плотно.
Пусть Е — первая половина единичного интервала; положим Mj. =
=	—1|}. Множество Мк замкнуто в слабой тополо-
гии. Если М* — пересечение (по всем к > п) множеств М/. и если М* —
сумма (по всем п) множеств М*, то М* содержит все сильно переме-
шивающие преобразования; поэтому достаточно доказать, что М* есть
множество первой категории. В свою очередь для этого достаточно до-
казать, что каждое М* нигде не плотно; поскольку М* замкнуто, это
эквивалентно доказательству того, что G — М* всюду плотно. Еще одна
редукция: так как G — M* есть сумма (по всем к > п) множеств G — Mj..
достаточно доказать, что Pk С G — Мк. Но это последнее тривиально;
если Т 6 Pk, то ТкЕ = Е и, следовательно, т(Е Г) ТкЕ) — | так
что Т не принадлежит Мк-
Для изучения класса слабо перемешивающих преобразований мне
понадобится одна лемма, интересная и сама по себе.
Лемма о сопряженности. В слабой топологии класс преобразо-
ваний, сопряженных любому фиксированному апериодическому преобра-
зованию То (т. е. множество всех преобразований вида S~1ToS), всюду
плотен в G.
Категории
99
Доказательство.
Пусть N = {Т: m(PDiATDi) < е, i = 1, 2, ... , п} — двоич-
ная окрестность перестановки F; требуется доказать, что при неко-
тором S ( G преобразование S'-'TqS принадлежит N. Обозначим М
слабую окрестность, определенную так же, как и N, по с заменой е
на е/2. Из теоремы о слабой аппроксимации вытекает, что М содержит
циклическую перестановку Q ранга к. большего, чем ранги всех /9,;
и такого, что l/2fc—2 < s. Воспользовавшись теоремой о равномер-
ной аппроксимации (с 2к и 1/2* вместо п и г соответственно), най-
дем преобразование R, имеющее (почти) всюду период 2к и такое,
что d’(R, То) 2/2* < е/2.
Я утверждаю, что Q и R сопряжены в G. Для доказательства этого
обозначим через То, ... , Eq-i (q = 2fc) двоичные интервалы ранга к,
упорядоченные так, что QEi = £)+1(г mod q). и обозначим через Fq та-
кое множество меры 1/q, что множества То, RFq, •. • , R‘i~1Fq попарно
не пересекаются. Положим Fi = R’F,. i = 1, ... , q — 1, и пусть S лю-
бое сохраняющее меру преобразование, переводящее Ео в Fo. Преобра-
зование S можно продолжить на весь интервал, положив Sx = RtSQ~tx
при х ( Ei. Схематически
„ Q	„ Q	„ Q	Q	Q	Q
Eq	—--> El	—--->	Е2	—---->	. . .	—-->	E,J 2	—-->	Eq —l	—-->	Eq
sj	sj	sj	sj	sj	sj
To	---> Fl	---->	F2	----->	...	----->	Fq_2	---->	Fq-i	--->	Fq
R	R	R	R	R	R
Легко проверить, что Q = S~1RS.
Теперь доказательство уже почти закончено. Так как d'(R, То) < |
и так как d' инвариантно относительно групповых операций, получаем
d’(Q, S~1T0S) = d'{S~1RS, S^TqS) < |.
Отсюда я заключаю, что
m(PDiA.S~1T0SDi) m(PDiSQDi) + miQDi^S^ToSDi)
m(PDi^QDi) + d(Q, S~1T0S) < | + d'(Q, S^TqS) < e.
Следовательно, S^TqS C N; доказательство закончено.
100
Категории
Вторая теорема о категориях. Множество всех слабо пере-
мешивающих преобразований есть, в смысле слабой топологии, всюду
плотное Gg.
Доказательство.
Пусть М — множество слабо перемешивающих преобразований.
Ясно, что каждый элемент из М апериодичен и что множество М за-
мкнуто относительно операции сопряжения. Далее, так как М не пусто,
то, принимая во внимание лемму о сопряженности, достаточно пока-
зать, что М есть Gg.
Для проведения этого доказательства я обозначу символом Ut
унитарный оператор, порожденный сохраняющим меру преобразова-
нием Т. Я должен воспользоваться тем фактом, что если f.g £ L2,
то функция, принимающая в точке Т значение (Urf, g), непрерывна
в слабой топологии группы G; это сразу вытекает из того, что слабая
топология группы G совпадает со слабой топологией в пространстве
операторов, рассматриваемой на множестве унитарных операторов.
Пусть {/„} счетное плотное в L2 множество; положим
K(i, j, к, п) = [Т: \(U£fi, fj - (Ji, 1)(1, Л)| <
И
К = AAALM^
i j к п
Из того, что (Urf, g) непрерывно зависит от Т, следует, что каж-
дое К (г, j, к, п) открыто, а потому К есть Gg. Воспользовавшись опи-
санием слабого перемешивания в терминах сходимости вис некоторого
множества нулевой плотности, мы видим, что М С К-, я закончу до-
казательство, показав, что К С М. Это удобнее всего доказывать от
противного: я покажу, что если преобразование Т не является слабо
перемешивающим, то оно не принадлежит К.
Если преобразование Т не является слабо перемешивающим, то по
теореме о перемешивании Ut имеет нетривиальную собственную функ-
цию. Не ограничивая общности, я могу предположить, что существу-
ют такая функция f £ L2 и такая константа с, равная по абсолют-
ной величине 1, что ||/|| = 1, (1, /) = 0 и Urf = cf. Пусть г таково,
что ||/ — fi\\ < 0,1; я покажу, что Т не принадлежит К, доказав, что
при этом значении i преобразование Т не содержится в К (г, г, 2, п) ни
Категории
101
при каком значении п. Я должен доказать, следовательно, что
<1п =	fi) - (ft, 1)(1, /,:)| > 0,5
для всех значений п.
Заметим, что ||/;||	||/|| + \\f - fj\\ < 1,1. Так как
КС?/, /)-(/, 1)(1, 7)1 = 1,
ТО
1 < 1(^7, 7) - (U?f, fi)\ + \(U?f, fi) - (U^fi, fi)\ +
+ \№fi,fi)-(fi,l)(l, fi)\ +
+ |(Л,1)(1,Л)-(/.г, 1)(1,Л)| +
+ |(/,:, 1)(1, /)-(/, 1)(1, /)|<
0,1 + 0,11 + qn + 0,11 + 0 < qn + 0,5:
доказательство теоремы закончено.
Из второй теоремы о категориях вытекает, что в смысле слабой
топологии совокупность всех слабо перемешивающих преобразований
есть множество второй категории; отсюда следует, что эргодические
преобразования тем более образуют множество второй категории. С по-
мощью приема, аналогичного использованному в доказательстве второй
теоремы о категориях, можно показать, что эргодические преобразо-
вания образуют множество, которое в смысле слабой топологии есть
всюду плотное Gg1, это заведомо проще, чем соответствующий резуль-
тат для слабо перемешивающих преобразований.
Теоремы о категориях часто используются как метод доказатель-
ства существования. Вторая теорема о категориях по относится, конеч-
но, к числу подобных теорем: существование слабо перемешивающих
преобразований было использовано в пей в самом ходе доказательства.
Однако из совокупности обеих теорем о категориях вытекает существо-
вание преобразований, перемешивающих слабо, но не перемешивающих
сильно. Вторая теорема о категориях дает одновременно и доказатель-
ство гипотезы Г. Д. Биркгофа о том, что в некотором смысле эргодичес-
кие преобразования представляют собой общий случай.
Исторически вторая теорема о категориях предшествовала первой:
я доказал ее в работе, озаглавленной «Общее, сохраняющее меру пре-
образование есть перемешивание» (Ann. of Math., 1944, стр. 786). Пер-
вая теорема о категориях и ее изящное доказательство были найдены
102
Категории
В. А. Рохлиным (ДАН СССР. 1948, стр. 349): его работа называется: «Об-
щее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание».
Группе G был посвящен ряд дальнейших исследований. Отмечу, не
предрешая возможностей применения этих результатов, что, как дока-
зал Харада (Harada, Japan Acad., 1951, стр. 523), группа G топологи-
чески проста (т. е. она не имеет нетривиальных замкнутых нормальных
делителей) и линейно связна.
Инвариантные меры
Почти вес сказанное выше относилось к сохраняющим меру пре-
образованиям, теперь я хочу выяснить, сколь вероятно, что некоторое
преобразование является сохраняющим меру.
Предположим, как обычно, что X — пространство с мерой, т —
определенная па нем сигма-конечная мера и Т — определенное па X
измеримое преобразование; для простоты я предположу, что Т обра-
тимо. Задача состоит в нахождении меры р, определенной на том же
классе измеримых множеств, что и тп, и инвариантной относительно Т.
Такая формулировка задачи не вполне удовлетворительна. Каким
еще условиям, кроме инвариантности, должна удовлетворять мера р?
Тривиальным образом задача всегда разрешима: если р тождественно
равна нулю, то р является инвариантной мерой. Единственный эффек-
тивный способ исключить этот крайний случай (и аналогичные ему
столь же неприятные случаи) — это предположить, чтор имеет не боль-
ше множеств меры нуль, чем мера тп. Выражаясь точнее, я потребую,
чтобы мера т была абсолютно непрерывна по отношению к р, т. е. что-
бы т(Е) обращалась в пуль как только р(Е) = 0. Это уточнение задачи,
однако, все еще не вполне достаточно. Чтобы продемонстрировать име-
ющиеся здесь трудности, примем за р(Е) число точек множества Е.
Нсно, что р — инвариантная мера и что т абсолютно непрерывна от-
носительно р, однако столь же ясно и то, что эта мера р опять-таки
является тривиальным решением задачи. Способ исключить такого ро-
да р состоит в наложении на р требования сигма-конечности (подобно
сигма-конечности меры т). Еще более радикальный способ, разумеет-
ся, — потребовать, чтобы р была конечна.
Проблема инвариантной меры распадается на две части. Пусть да-
но обратимое измеримое преобразование Т пространства X с сигма-ко-
нечной мерой т; при каких условиях существует конечная мера р, ин-
вариантная относительно Т и такая, что т абсолютно непрерывна по
отношению кр (проблема I)? При каких условиях существует сигма-ко-
нечная мера р, удовлетворяющая тем же условиям (проблема II)? Для
104
Инвариантные меры
решения этих проблем целесообразно свести их к некоторым связанным
с ними более специальным вопросам.
Прежде всего, я утверждаю, что меру т можно без умень-
шения общности предполагать конечной. Действительно, предполо-
жим, что {Sn} счетный класс попарно непересекающихся мно-
жеств, сумма которых равна X (такой класс существует в силу сиг-
ма-конечности т), и пусть {с„} — соответствующая счетная систе-
ма положительных чисел, такая, что ряд спт(Еп) сходится. Если
то(Е) = '^Jcnm(EnQ Е), то то конечная мера, эквивалентная т
(т. с. т и то имеют одни и тс же множества меры пуль). Поэтому ме-
ра т будет абсолютно непрерывна по отношению к р в том и только
в том случае, если такова будет мера то- Заменив т на то- я могу счи-
тать, что я и сделаю, меру т конечной; в дальнейшем я буду полагать,
что т(Х) = 1.
Преобразование Т мы предположили обратимым, по, естественно,
не считали его сохраняющим меру. Может даже случиться, что сущест-
вует измеримое множество Е меры нуль, для которого т(Т~1Е) поло-
жительна (или положительная гп(ТЕ), или и то и другое). Преобразо-
вание, для которого это имеет место, называется сингулярным; если
и т(ТЕ) и т(Т~1Е) равны нулю как только т(Е) равно нулю, то Т
называется несингулярным. Я утверждаю, что с точки зрения пробле-
мы инвариантной меры (в обоих ее вариантах) можно без ограничения
общности считать, что Т несингулярно.
Для доказательства этого утверждения предположим, что {с„},
где п = 0, ±1, ±2, ..., такая последовательность положительных
чисел, что £с„ = 1. Положим то(Е) = ^спт(ТпЕ). Ясно, что то —
нормированная мера и т абсолютно непрерывна относительно то-
Я утверждаю, что если т абсолютно непрерывна по отношению к не-
которой инвариантной мере р, то то тоже абсолютно непрерывна по
отношению к р. Действительно, если р(Е) = 0, то р(ТпЕ) = 0 для
всех п и, следовательно, т(ТпЕ) = 0 при всех п; отсюда следует, как
и утверждалось, что то(Е') = 0. Из этого замечания вытекает, что
проблема нахождения р при заданной мере т равносильна нахожде-
нию р при заданной мере то- Однако если то(Е) = 0, то то(ТЕ) =
= moiT^E') = 0: поэтому я могу, что я и сделаю, считать Т несингу-
лярным (по отношению к т).
Дважды изменив т, я добился конечности т и несингулярнос-
ти Т. Мое третье и последнее замечание в этом плане состоит в том,
Инвариантные меры
105
что при отыскании инвариантной меры р можно ограничиться клас-
сом мер, эквивалентных т. Точнее говоря, я утверждаю, что ес-
ли р — некоторая сигма-конечная инвариантная мера, по отношению
к которой т абсолютно непрерывна, то существует такая сигма-ко-
псчпая инвариантная мера ро, что т эквивалентна ро; при этом, ес-
ли р конечна, то ро тоже конечна. Для доказательства этого найдем,
воспользовавшись теоремой Радона-Никодима, такую функцию /,
что т(Е) = I f(x,) dp(x) для каждого измеримого множества Е. (Вер-
Je
но, хотя для нас и не существенно, что в силу конечности меры т
функция f принадлежит Li по мерс р.) Если А = {х; f(x) = 0},
то т(А) = 0 и, следовательно, в силу несингулярности преобразова-
ния Т, также т(ТпА) = 0 при всех п (п = 0, ±1, ±2, ...). Если В —
сумма (по всем п) множеств ТпА, то В — измеримое инвариантное
множество и т(В) = 0. Если ро(Е) = р(Е — В), то р^ есть мера; ме-
ра ро так же как и р сигма-копсчпа, и ро инвариантна относительно Т.
Если ро(Е) = 0, то р(Е — В) =0 и, следовательно, т(Е — В) = 0;
но поскольку т(Е — В) = т(Е) — т(Е А В) = т(Е), отсюда вытека-
ет, что т(Е) = 0. Обратно, если т(Е) = 0, то т(Е — В) = 0. Так
как Е—В С X— В С {ж: /(ж)>0} и так как т(Е — В)= I f(x)dp(x),
Je-b
то р(Е — В) = 0 и, следовательно, ро(Е) = 0. Мы достигли намеченной
цели.
Проблема (или проблемы) инвариантной меры сведена теперь к сле-
дующей: дано некоторое обратимое, измеримое и несингулярное пре-
образование Т некоторого пространства с конечной мерой т, ищется
конечная (или, иначе, сигма-конечная) мера р, эквивалентная т и ин-
вариантная относительно Т.
Инвариантные меры: решение
В некотором малопривлекательном смысле проблему инвариант-
ной меры можно считать решенной. Чтобы уточнить, в каком именно
смысле, мне нужно ввести одно новое понятие. Пусть {£;} — некото-
рая бесконечная последовательность попарно непересекающихся мно-
жеств, сумма которых есть Е; пусть, далее, {Ft} — другая такая же
последовательность с суммой F, и пусть, наконец, {п.,} — такая после-
довательность целых чисел, что TniEf = F^. При этих условиях я буду
называть множества Е и F эквивалентными относительно счетного
разложения. (Ясно, что так определенное отношение действительно об-
ладает всеми свойствами эквивалентности.) Если мера р инвариантна
относительно Т, то р(Е) = p(F). как только Е и F эквивалентны.
По аналогии с дсдскипдовским определением конечности я буду
говорить, что измеримое множество Е ограничено, если оно не эквива-
лентно относительно счетного разложения никакому своему собствен-
ному подмножеству; точнее, Е называется ограниченным, если каждое
его измеримое подмножество, эквивалентное Е относительно счетно-
го разложения, совпадает (с точностью до множества меры пуль) с Е.
Множество Е называется сигма-ограниченным, если оно представимо
как сумма счетного числа ограниченных множеств. Преобразование Т
называется ограниченным (или сигма-ограниченным), если все про-
странство X ограничено (соответственно сигма-ограничено).
Если проблема инвариантной меры имеет решение р, то каждое
множество, имеющее конечную меру р, ограничено; следовательно, ес-
ли р конечна, то Т ограничено, а если р сигма-конечна, то Т сигма-огра-
ничено. Малопривлекательное решение проблемы инвариантной меры,
о котором я упоминал выше, состоит в том, что верно и утверждение,
обратное к только что высказанному: если Т ограничено, то существу-
ет конечная инвариантная мера, эквивалентная заданной, а если Т сиг-
ма-ограничено, то существует сигма-конечная мера с теми же свойст-
вами. Для конечного случая это утверждение было доказано Э.Хопфом
(E.Hopf, Trans. Amer. Math. Soc., 1932, стр. 373), а для сигма-копсчпого
мною (Annals of Math., 1947, стр. 735).
Инвариантные меры: решение
107
Понятие неограниченности является своего рода обобщением по-
нятия сжимаемости.Точнее если Е сжимаемо, то Е неограничено.
Действительно, если Е С Т-1Е и т(Т~1Е — Е) >0, то ТЕ С Е
и т(Е — ТЕ) > 0 (вспомним, что Т предполагается несингулярным):
отсюда следует, что Т неограничено и, тем более, что Т неограничено.
Отсюда в свою очередь следует, что проблема инвариантной меры не
может иметь решения, если Т сжимающее преобразование. Предпо-
ложим, что Т пссжимающсс, имеет ли проблема конечной инвариант-
ной меры решение в этом случае? Этот вопрос считался нетривиаль-
ным. Он оставался открытым в течение пятнадцати лет. Этот вопрос
равносилен следующему: существует ли консервативное преобразова-
ние Т, для которого не существовало бы конечной инвариантной меры,
эквивалентной исходной? (Другие предположения также остаются в си-
ле: Т предполагается измеримым, обратимым и несингулярным, равно
как и консервативным.) В настоящее время известно, что ответ здесь
утвердительный и доказательство не сложно. Пусть Т — эргодическое,
сохраняющее меру преобразование па прямой. (Прямая, разумеется, по
является пространством с конечной мерой, но это не существенно: ле-
бегова мера может быть заменена, если угодно, эквивалентной ей ко-
нечной мерой. Чтобы упростить рассмотрение этого примера, я не буду
делать такой замены.) Ясно, что Т измеримо, обратимо и несингулярно:
я докажу, что оно консервативно и что для пего по существует никакой
инвариантной конечной меры, эквивалентной исходной.
Если F некоторое измеримое множество, непересекающееся
с T~nF при п = 1, 2, 3, ..., то множества TnF попарно не име-
ют общих точек (п = 0, ±1, ±2, ...). Если мера множества F по-
ложительна, то существует такое измеримое подмножество G С F.
что 0 < m(G) < m(F). Сумма всех TnG, п = 0, ±1, ±2, ..., представ-
ляет собой нетривиальное инвариантное множество; это противоречит
эргодичности Т, следовательно, Т действительно консервативно.
Предположим теперь, что р — некоторая конечная инвариант-
ная мера, эквивалентная тп. В силу теоремы Радона-Никодима су-
ществует такая неотрицательная интегрируемая по т функция /,
что р(Е) = I f(x) dm(x) для всякого измеримого Е. Отсюда следу-
J Е
ет, что р(ТЕ) = / f(Tx)dm(x); отсюда и из инвариантности меры р
J Е
я заключаю, что / должна быть инвариантна (почти всюду) относи-
108
Инвариантные меры: решение
тельно Т. Но тогда из эргодичности преобразования Т следует, что f
постоянна (почти всюду): так как / интегрируема по мере Лебега на
всей прямой, то f должна быть почти всюду равна пулю. Но тогда ме-
ра р тождественно равна нулю в противоречие с предположением об
эквивалентности р и т.
Приведенное выше доказательство не использует понятия ограни-
ченности. Причина, по которой «решение» проблемы ипвариаптпой ме-
ры в терминах этого понятия является неудовлетворительным, состоит
в том, что не видно каких-либо путей использования этого понятия. Со-
держательность относящейся сюда теоремы Хопфа (т. е. существование
преобразований, нетривиальным образом неограниченных) сама по се-
бе была доказана с использованием понятия конечной ипвариаптпой
меры. Что касается моей теоремы по этому поводу, то ее содержатель-
ность пока не установлена; возможно, что всякое измеримое, обрати-
мое и несингулярное преобразование сигма-ограничено; мне кажется,
что эта гипотеза неверна; представляется весьма вероятным, что су-
ществуют преобразования, не являющиеся сигма-ограниченными. Од-
нако, поскольку я не верю, что понятие ограниченности может явиться
инструментом для решения рассматриваемой нами проблемы, я не бу-
ду тратить время на доказательство двух упомянутых теорем, связан-
ных с этим понятием. Вместо этого я займусь тем, что сформулирую
нашу нерешенную проблему в двух или трех более обнадеживающих
вариантах.
Инвариантные меры: проблема
Первая (и наименее интересная) переформулировка проблемы ин-
вариантной меры состоит в следующем: существуют ли вполне неогра-
ниченные преобразования? (Под вполне неограниченным преобразова-
нием я понимаю такое преобразование, для которого по существует
ограниченных множеств положительной меры.) Чтобы доказать экви-
валентность этого вопроса проблеме инвариантной меры, я буду рас-
суждать следующим образом. Сигма-ограниченное преобразование за-
ведомо не является вполне неограниченным; следовательно, если бы
было верно, что всякое преобразование сигма-ограпичспо, то вполне
неограниченных преобразований не могло бы существовать. Наоборот,
предположим, что существует некоторое преобразование, не являюще-
еся сигма-ограниченным; я утверждаю, что в этом случае существует
такое инвариантное множество положительной меры, па котором это
преобразование вполне неограничено. Действительно, в противном слу-
чае каждое инвариантное множество положительной меры содержало
бы ограниченное множество положительной меры. Отсюда и из того
факта, что заданная мера сигма-конечна, легко получаем методом ис-
черпывания, что рассматриваемое преобразование сигма-ограпичспо.
Более перспективной переформулировкой проблемы инвариантной
меры является сведение се к решению некоторого функционального
уравнения. Предположим, как и выше, что Т несингулярно; согласно
теореме Радона-Никодима, существует такая положительная измери-
мая функция w, что m(TE) = / w(x) dm(x} для каждого измеримо-
JE
го Е. Функцию w естественно назвать якобианом преобразования Т;
опа играет для Т ту же роль, что и абсолютная величина якобиана для
дифференцируемых преобразований евклидова пространства. Преобра-
зование Т является сохраняющим меру в том и только в том случае,
если w имеет почти всюду постоянное значение 1.
Если р сигма-конечная, инвариантная мера, эквивалентная т.
то существует такая положительная измеримая функция f. что
т(Е) = / f(x)dp(x). Отсюда получаем т{ТЕ) = / /(Тж) dp(x); в то
J Е	J Е
110
Инвариантные меры: проблема
же самое время из полученного выше равенства с якобианом вытекает,
что т(ТЕ) = / w(x)f(x) dp(x). Отсюда следует, что f(Tx)=w(x)f(x')
J Е
почти всюду. Обратно, допустим, что это функциональное уравне-
ние имеет положительное измеримое решение, и положим р(Е) =
= I } dm(x). Ясно, что р — сигма-конечная мера, эквивалспт-
Je
пая m; далее, так как
= [ (—J—) dm(T;r) = [ —^—w(x)dm(Tx) = р(Е),
J ' J \Л X ) '	J J X)
Е	Е
то мера р инвариантна.
Интересно отметить, что положительное (но не обязательно изме-
римое) решение полученного функционального уравнения существует
всегда. Все, что нужно сделать для нахождения такого решения — это
на каждой траектории задать /(.т) произвольно в одной точке х, а за-
тем определить значения f в точках, являющихся последовательными
образами точки х, с помощью функционального уравнения. Если Т со-
храняет меру (в этом случае, конечно, нет никакой необходимости рас-
сматривать функциональное уравнение), паше уравнение превращается
в f(Tx) = f(x), т. е. в уравнение инвариантной функции, и всякая по-
ложительная константа является допустимым его решением. В общем
случае произведение какой-либо инвариантной функции на решение на-
шего функционального уравнения есть другое его решение, и каждое
такое решение может быть получено из некоторого частного решения
путем умножения его на соответствующую инвариантную функцию.
Существование вполне неограниченных преобразований и разре-
шимость вышеуказанного функционального уравнения — это две пере-
формулировки пашей основной проблемы. Я перейду теперь к струк-
турной теореме, дающей способ построения произвольного непатологи-
ческого преобразования с помощью таких преобразований, для которых
проблема инвариантной меры тривиальным образом разрешима.
Существуют два класса преобразований, особенно простых с точ-
ки зрения вопроса о нахождении ипвариаптпой меры. Один из них —
это сохраняющие меру преобразования: для них проблемы просто нет.
Другой — это класс простых преобразований; преобразование называ-
ется простым, если для него существует такое измеримое множест-
во Е, что все его образы ТпЕ 0, ±1, ±2, ... попарно не пересекаются,
Инвариантные меры: проблема
111
а на дополнении суммы этих образов преобразование Т сводится к тож-
дественному. (Другими словами, преобразование Т — простое, если его
несжимающап, или консервативная, часть есть тождественное преоб-
разование.)
Теорема о факторизации. Каждое измеримое, обратимое и не-
сингулярное преобразование Т единичного отрезка представимо в виде
произведения Т = PS, где Р сохраняет меру, aS — простое преобра-
зование.
Доказательство.
Для каждого х из [0, 1] положим Sx = m(T[0, ж]). Ясно, что
S — монотонная неубывающая функция, удовлетворяющая услови-
ям SO = О, S1 = 1. Если а b и Sa = Sb, то т(Т(а, Ь]) = 0. Но
тогда т((а, &]) = 0, т. с. а = b и, следовательно, S строго возрастает.
Если числа х,п стремятся к жц сверху, то множества [0, х,п] образу-
ют убывающую цепочку и их пересечение равно [0, жц]. Отсюда следует,
что S непрерывна справа. Если же хп стремятся к ящ снизу, то множес-
тва [0, хп] образуют возрастающую цепочку и их сумма есть [0, жо);
отсюда вытекает непрерывность S слева. Итак S есть гомеоморфное
отображение отрезка на себя; отсюда автоматически вытекает, что S —
обратимое и измеримое (по Борслю) преобразование.
Из равенств m(S[0, ж]) = Sx = m(T[0, ж]) легко вытекает,
что m(SE) = т(ТЕ), если Е — какой-либо интервал (с концевыми
точками или без них) и, следовательно, m(SE) = т(ТЕ) для лю-
бого борелевского множества Е. (Отсюда легко получить, что S не-
сингулярно. Верно также, что S измеримо как в лсбсговском смыс-
ле, так и в борелевском смысле. Мне эти факты не понадобятся.) Ес-
ли Р = TS-1, то Р — обратимое измеримое преобразование. Так
как т(РЕ) = m(TS~1E) = m(SS~1E) = т(Е), то Р сохраняет ме-
ру; остается доказать, что преобразование S — простое.
Единичный отрезок есть сумма трех множеств {ж: Sx = ж},
{ж: Sx < ж} и {ж: Sx > ж}, причем каждое из двух последних, будучи
открытым, представляет собой сумму не более чем счетного числа от-
крытых интервалов, концевые точки которых принадлежат первому из
указанных множеств. Если Sa < а, то последовательные образы1 интер-
вала (Sa, а] попарно не пересекаются и в сумме исчерпывают один из
1 При всех степенях преобразования S. — Прим, перев.
112
Инвариантные меры: проблема
открытых интервалов, составляющих {х: Sx < ж}. В каждом из откры-
тых интервалов каждого из двух множеств {ж: Sx < ж} и {ж: Sx > ж}
можно найти такой производящий подынтервал. Ясно, что сумма таких
производящих подынтервалов есть блуждающее множество, последова-
тельные образы которого исчерпывают всю сжимаемую часть интер-
вала. Тем самым доказательство теоремы о факторизации закончено.
Что можно сказать о якобианах тех типов преобразований, для ко-
торых проблема существования инвариантной меры все еще остается
открытой? Некоторую негативную информацию дает здесь следующая
теорема.
Теорема об якобиане. Если Т — измеримое обратимое несингу-
лярное и несжимающее преобразование пространства X с сигма-конеч-
ной (но не обязательно конечной) мерой т и если гп(ТЕ) т(Е) для
каждого измеримого Е, то Т сохраняет меру.
Доказательство.
Если Т не сохраняет меру, то существует такое измеримое
множество Е, что т(ТЕ) < т(Е') < оо. При ж Е Е обозна-
чим через п(х) наименьшее в тех целых положительных чисел п,
для которых Tnx Е Е. Заметим, что в силу теоремы о возвраще-
нии п(ж) конечно (почти всюду) на Е. Положим Хк={х Е Е: n(x)=k}
оо fe-1	оо fe-1	оо
и F= и и Т‘Хк- Получаем TF= |J J ГХк U |J TkXk C F U E=F
k-l i=0	k-l i=l	k-l
и F—TF=E— IJ ТкХк. Поскольку из предположения относительно Е
к=1
вытекает, что т(ТкХк) < т(Хк) по крайней мере для одного значе-
ния к, получаем, что m(F — TF) > т(Е) — т(Хк) = 0 и, следова-
ла!
тельно, что Т сжимающее. (Идея этого доказательства была подсказана
мне Д. С. Орнстейном.)
Из этой теоремы вытекает, что якобиан представляющего интерес
преобразования не может быть тождественно равен константе мень-
шей 1. Другими словами, не представляют интереса ни равномерно
сжимающие меру преобразования, пи (переход к Т ') равномерно раз-
дувающие ее.
Обобщенные эргодические теоремы
Первое обобщение, которое я собираюсь изложить, — это так на-
зываемая вероятностная эргодическая теорема (см. Pitt, Proc. Camb.
Phil. Soc., 1942, стр. 325 и Ulam and von Neumann, Bull. Amer. Math.
Soc., 1945, стр. 660). Простейший пример такого рода теорем можно
получить, рассмотрев два сохраняющих меру преобразования S и Т
(на одном и том же пространстве X) и изучив поведение последова-
тельностей вида j i f(Qjx) где каждое Qj получается из пред-
1 1=о J
шествующего ему умножением на S или на Т. Если каждый раз этот
сомножитель «выбирается случайно», то становится осмысленным во-
прос о вероятности того, что такая последовательность сходится почти
всюду.
Корректный способ построения математической модели для бес-
конечной последовательности случайных выборок (из двух, или, ес-
ли угодно, из любого числа объектов) достаточно хорошо известен.
Пусть Y — пространство с вероятностной (т. е. нормированной) ме-
рой, и пусть Y* — пространство всех последовательностей (скажем,
односторонних) элементов из Y, снабженное мерой, построенной как
бесконечное произведение (обозначим ее р). Предположим теперь, что
каждой точке у Е Y отвечает обратимое сохраняющее меру преоб-
разование Ту пространства X с мерой т. Пусть у* = {yn} G Y*
(п = 0,1,2,...), обозначим Ту' произведение ТУкТУк...ТУ1 Туо.
Здесь к = 1, 2, ...; при к — 0 определим , положив Ту9 = Ту.
Если / — некоторая комплексная функция на X, то при каждом фик-
сированном у* имеет смысл спрашивать, сходится ли почти всюду по-
{1 п~1	('I 1
— £ f(1yVx) г, а также спрашивать, какова мера
1=о	>
множества тех у*, для которых имеет место сходимость почти всюду.
Построение последовательности {Т^} можно описать и иначе. Ес-
ли S сдвиг (односторонний) в У*, то ТУк = Туоу.у Другими ело-
114
Обобщенные эргодические теоремы
вами, если я полагаю Т*, = Туо, то ТУк = Tgk , и, следовательно,
у* S’-//'	Sy* у*
при k = 1, 2, .... (Как и раньше, ТуУ = Т*„ = Туо.) С этой точки зрения
конструкция пространства Y* представляется излишне специальной:
она используется лишь для определения сохраняющего меру преобра-
зования S. (Я мог бы получить тот же самый результат, относящийся
к обратимому преобразованию S, просто рассмотрев пространство дву-
сторонних последовательностей.) Если я забуду о происхождении про-
странства Y* (и если, для упрощения записи, я буду обозначать его,
начиная с этого момента, У), то я приду, в конце концов, к следующе-
му точному обобщению того результата, который не вполне отчетливо
был сформулирован выше. Пусть X и У — пространства с нормирован-
ными мерами тп и р соответственно. Пусть S — некоторое сохраняющее
меру преобразование пространства У, а Ту, при каждом у 6 У, со-
храняющее меру преобразование пространства X. Предположим, что
семейство |УИ} измеримо, в том смысле, что отображение (X х У в X),
переводящее (ж, у) в Тух, представляет собой измеримое преобразова-
ние. Полагаем = Ту и Ту"' = TSkyTSk-iy .. .TsyTy при к 1.
Вероятностная эргодическая теорема. Если f инптегрируе-
мая функция на X, то для почти всех у средние 52 f(Tyx) сходятся
j=0
почти всюду, предельная функция /* интегрируема.
Доказательство.
Я докажу больше, чем необходимо; это «больше» само по себе пред-
ставляет довольно интересное обобщение вероятностной эргодической
теоремы. Рассмотрим преобразование Q пространства X х У, опре-
деленное формулой Q(x, у) = (Тух, Sy). Из предположения об изме-
римости семейства {Т^} следует, что Q измеримо и сохраняет меру.
Действительно, оно представляет собой декартово произведение двух
преобразований: (1) преобразования (X х У в X), переводящего (х, у)
в Тух, и (2) преобразования (X х У в У), переводящего (ж, у) в Sy. Из
эргодической теоремы вытекает, что если g интегрируемая функ-
п —1
ция на X х У, то - 52 g(Qi(x, у)) сходится почти всюду к некоторо-
го
му конечному пределу £*(ж, у)', предельная функция g* интегрируема
Обобщенные эргодические теоремы
115
и УУ g*(x, у) dm(x) dp(y) = g(x, у) dm(x) dp(y). Это и есть обещан-
ная прибыль: отсюда приведенная выше формулировка вероятностной
эргодической теоремы получается как следствие.
Заметим (воспользовавшись несложной индукцией), что Qk(x, у) =
= (Тук Х)ж, Sky), к = 1,2,.... Если g определяется равенством g(x, у) =
= /(ж), то g(Qk(ж, у)) = f(Tyk 1->ж). Все доказано; в качестве «сверхпри-
были» я получаю, что J f(x) dm(x) = JJ fy(x) dm(x) dp(y) (где смысл
символа f* очевиден).
Нетривиальным вопросом, связанным с этим кругом идей, явля-
ется вопрос об эргодических и перемешивающих свойствах вспомога-
тельного преобразования Q. В некоторых частных случаях эргодич-
ность преобразования Q может быть охарактеризована непосредствен-
но в терминах преобразований S и {TjJ; общая проблема остается от-
крытой. (См. Kakutani, Berkeley Symposium, 1951, стр. 247, и Gladys/,
Bull. Polon., 1954, стр. 411).
Метод доказательства вероятностной эргодической теоремы
(т. е. рассмотрение косых произведений преобразований, аналогич-
ных Q) имеет и другие применения. Вот пример: если S — сохра-
няющее меру преобразование пространства Y и если q — некоторая
измеримая функция,	равная по абсолютной величине единице,	то моди-
1	п~1/	\
фицироваппыс средние	-	^3 I	q(Sly)j f(Siy) сходятся	почти	всю-
j-o	'
ду к некоторому конечному (на самом деле интегрируемому) пределу
в предположении, что заданная функция f интегрируема па У). Что-
бы доказать это, примем за X окружность (с нормированной лебегов-
ской мерой) и положим Тух = q(y)x при каждом у £ У. Условия ве-
роятностной эргодической теоремы выполнены. Если g(x, у) = xf(y),
1 п~1
то, по эргодической теореме, ± g^Q^x, у)) сходится почти всюду
J-0
к некоторому конечному пределу £*(ж, у); предельная функция g* ин-
тегрируема на X х У. (Преобразование Q определяется, естественно,
формулой Q(x, у) = (ТуХ, Sy) = (q(y)x, Sy). Так как
п—1	п—1
i£g(W,y)) = |£( П
j-o	j-o
116
Обобщенные эргодические теоремы
то для почти каждого х сходимость имеет место почти всюду по у. Для
завершения доказательства остается найти какое-либо «хорошо ведущее
себя» значение х и разделить на него.
Вот еще один результат такого же типа: если X. Y, S и / определе-
1	1
ны, как и выше, то для каждого с G X средние с? f(Siy) сходятся
з=о
для почти всех у G Y. Для доказательства этого рассмотрим преобра-
зование Q на X х Y, определенное равенством Q{x, у) = {ex, Sy). Ес-
ли g{x, у) = xf{y), то g{Qn{x, у) = g{cnx, Sny) = cnxf{Sny) — конец
доказательства очевиден. Попутно заметим, что средние	х^ f(S^y)
j=o
для почти всех пар (х, у) стремятся к конечному пределу. Для доказа-
тельства этого рассмотрим преобразование Q пространства X х Y х X,
определяемое формулой Q(x, у, z) = (х, Sy, xz), и заметим, что ес-
ли g{x, у, z) = zf(y), то g(Qn(x, у, z)) = xnzf(Sny). Самый сильный
результат этого рода был анонсирован Винером и Винтнером (Amer. J.
of Math., 1941. стр. 794); они утверждают, что существует такое мно-
жество Е С Y, имеющее меру нуль, что если у не принадлежит Е,
1 п~ 1
10 n Е f(Sjy) сходится для всех х. Я никогда не мог понять их
з=о
доказательства.
Третье направление обобщений было впервые указано Гуревичем
(Hurewicz, Annals of Math., 1944, стр. 195); этот результат относится
к асимптотическому поведению преобразований, не обязательно сохра-
няющих меру. Если (как и обычно) мы ограничимся рассмотрением об-
ратимых измеримых преобразований Т, то едва ли мы ограничим общ-
ность, считая, то Т является несингулярным и несжимающим. Соот-
ветствующая редукция довольно подробно обсуждалась в предыдущих
параграфах, посвященных проблеме инвариантной меры. Даже если мы
не будем считать здесь эту редукцию вполне убедительной, несомненно
то, что самая общая из известных эргодических теорем легко вытекает
из теоремы средней общности, которую я сейчас изложу, т. е. из тео-
ремы для обратимых измеримых несингулярных несжимающих преоб-
разований.
Положим, как мы уже это делали выше, dmT = wd m (т. е.
m {ТЕ) = / w (ж) dm (ж)). Отсюда сразу получаем, что din Тп = wn dm,
J Е
Обобщенные эргодические теоремы
117
где wn (х) = П w (Пх), п = 1, 2, ....
o^j<«
Теорема. Если f интегрируема, то взвешенные средние
п— 1	п— 1
52 f{T}x)Wj (ж) /	wi (.х)
j—0	j—0
сходятся почти всюду к конечному пределу f*(x); предельная функ-
ция f* интегрируема.
Здесь мера т может быть бесконечна: если предполагается, что
она конечна, то J/(ж) dm(x) = J /*(ж) dm(x). Доказательство этого ре-
зультата отличается от доказательства теоремы Биркгофа лишь в мало-
интересных деталях. Компактное доказательство можно найти в моей
заметке на эту тему (Proc. Nat. Acad. Sci., 1946, стр. 156). До тех пор
пока проблема инвариантной меры остается нерешенной, это направле-
ние в обобщении эргодических теорем не внушает доверия; насколько
известно, оно не применимо ни в одном случае, который не охватывался
бы непосредственно теоремой Биркгофа.
Три указанные выше обобщения могут быть соединены вместе. Су-
ществуют вероятностные эргодические теоремы, модифицированные
с помощью функционального множителя q при наличии инвариантной
меры, существуют и аналогичные модификации эргодических теорем
без предположения инвариантности меры; я не сомневаюсь, что должны
существовать и легкодоступные модификации вероятностной эргоди-
ческой теоремы без предположения инвариантности меры. Вдаваться
в подробности здесь я не буду.
Нерешенные проблемы
1.	Поскольку физики заинтересованы в замене фазовых средних
временными и поскольку эргодическая теорема, по-видимому, разре-
шает это делать, первоначально результат Биркгофа был объявлен па-
нацеей от всех болезней статистической механики. Вскоре, однако, об-
наружилось, что одна проблема просто заменилась другой: вместо то-
го чтобы решать, можно ли фазовые средние заменить временными,
физик должен теперь решать, будет ли заданное преобразование эрго-
дическим. Уже по одной этой причине было бы интересно получить
какие-либо подходящие теоремы, которые гарантировали бы, при опре-
деленных условиях, эргодичность того или иного сохраняющего меру
преобразования; никаких общих результатов такого рода не известно.
2.	Теорема о возвращении и эргодическая теорема указывают
на то, что если Т — сохраняющее меру преобразование и / — интег-
рируемая функция, то почти все последовательности {f(Tnx)} «рекур-
рентны» в некотором смысле, который мы не уточняем. Можно ли ввес-
ти понятие рекуррентности для последовательностей действительных
чисел так, чтобы для последовательности {ап}, рекуррентной в этом
1 п— 1
смысле, средние — aj стремились бы к некоторому конечному пре-
делу и так, чтобы для сохраняющего меру Т и интегрируемой / после-
довательность {f(Tnx)} была рекуррентна почти всюду?1
3.	Нерешенной алгебраической проблемой эргодической теории яв-
ляется проблема сопряженности; когда два преобразования сопряжены
между собой? Такая постановка вопроса, конечно, слишком неопреде-
ленна, однако имеется несколько относящихся сюда интересных и впол-
не конкретных вопросов, па которые можно ответить «да» или «ист»
и которые следовало бы решить. (Общая проблема, быть может, и не
будет решена; не вполне ясно даже, что она собой представляет.) Вот не-
которые примеры, (а) Существуют ли пространства, не изоморфные
'Решение этой задачи см. в работе Ф. В. Широкова «Решение одной задачи Хал-
моша», Успехи матем. наук. — Прим, перед.
Нерешенные проблемы
119
в смысле теории меры и такие, что построенные с их помощью сдвиги
сопряжены между собой? (б) Существуют ли эквивалентные, но не со-
пряженные между собой эргодические преобразования с непрерывным
спектром? (в) Существуют ли сопряженные между собой эргодичес-
кие автоморфизмы некоторой компактной группы, не принадлежащие
в группе автоморфизмов рассматриваемой группы одному и тому же
классу сопряженных элементов?1
4.	Проблема квадратного корня остается по существу открытой,
как, само собой разумеется, и более общая проблема корпя п-й степени
и проблема включения автоморфизма в поток. Когда существует квад-
ратный корень из сохраняющего меру преобразования? Более частный
вопрос: из всякого ли преобразования с непрерывным спектром можно
извлечь квадратный корень? Можно ли извлечь квадратный корень из
любого сдвига?
5.	Какие унитарные операторы порождаются сохраняющими ме-
ру преобразованиями? Предположим, чтобы рассмотреть конкретный
частный случай, что векторы g и fij образуют полную ортогональную
нормированную систему в гильбертовом пространстве, i = 1, 2, ... , п;
j = 0, ±1, ±2, ... и что U — унитарный оператор, определенный усло-
виями Ug = g и Ufi.j = fi’j+i- Существует ли сохраняющее меру пре-
образование Т пространства с конечной (!) мерой, порождающее уни-
тарный оператор, эквивалентный U?
6.	Теорема Лиувилля утверждает существование инвариантной
меры; ее следовало бы включить в соответствующую общую концеп-
цию. Сам по себе рассматриваемый вопрос есть, конечно, вопрос об
инвариантной мере; его видимая неприступность крайне досадна. Прос-
тейший вопрос, допускающий ответ «да» или «нет», был сформулирован
выше следующим образом: если Т — измеримое, обратимое и несингу-
лярное преобразование некоторого пространства с заданной в нем ме-
рой т, то существует ли сигма-копсчпая мера, эквивалентная m и ин-
вариантная относительно Т? Этот же вопрос можно поставить в тео-
ретико-групповой форме: отдельное преобразование можно рассматри-
вать как образующий элемент циклической группы. Что можно сказать
в случае абелевых групп более общего вида? Что относительно групп,
по обязательно коммутативных?
1В настоящее время получен положительный ответ на все эти три вопроса. —
Прим, иерее.
120
Нерешенные проблемы
За исключением нескольких тривиальных замечаний, которые
можно сделать по поводу компактных абелевых групп, известно лишь
(von Neumann, Annals of Math., 1940, стр. 94), что ответ на вопрос
о существовании эквивалентной инвариантной меры (для произволь-
ных групп) может быть иногда отрицателен. Когда он положителен?
7.	Функциональные уравнения типа f(Tx) = w(x)f(x) встречают-
ся в теории ипвариаптпой меры; они же, в совсем иной ситуации, встре-
чаются при рассмотрении обобщенных собственных значений. (Функ-
ция w задана, функция f неизвестна.) Систематический подход к их из-
учению крайне необходим. Вот простейший вопрос, на который можно
ответить «да» или «нет»: существует такое сохраняющее меру преобра-
зование Т неатомического пространства с конечной мерой, для которо-
го это функциональное уравнение имеет измеримое решение / (по абсо-
лютной величине тождественно равное 1) для каждой измеримой функ-
ции w (по абсолютной величине тождественно равной 1)?
8.	В надежде решить проблему сопряженности время от времени
предлагались тс или иные инварианты преобразований. Одним из оче-
видных инвариантов такого рода является класс инвариантных подал-
гебр алгебры с мерой. Если В — алгебра с мерой, отвечающая данному
пространству с мерой X, и если Т — автоморфизм алгебры В, порож-
денный сохраняющим меру преобразованием пространства X, то подал-
гебра Во С В называется инвариантной относительно Т, если ТЕ Е Ва,
как только Е Е Во. (Здесь «подалгебра» понимается как «сигма-подал-
гебра».) Какие имеются возможности для нетривиальных инвариант-
ных подалгебр? Точнее: пусть X — пространство двусторонних после-
довательностей элементов { — 1, 1} и Т — автоморфизм, порожденный
двусторонним сдвигом. Пусть, далее, Bq — совокупность всех «симмет-
ричных» измеримых множеств (или, вернее, совокупность всех классов
эквивалентности таких множеств по модулю множеств меры нуль): при
этом множество Е называется симметричным, если {— хп} Е Е, как
только {жп} € Е. Подалгебра Bq инвариантна относительно Т; сущест-
вуют ли здесь какие-либо другие инвариантные подалгебры?
9.	Любопытный инвариант получается из рассмотрения автомор-
физмов компактных абелевых групп. Пусть X — тор и Т — его ав-
томорфизм, определяемый упимодулярпой матрицей М = Обо-
значим через к след матрицы М, т. е. к = а + d, и предположим,
Нерешенные проблемы
121
для простоты, что детерминант М равен +1. Из того, что М (а так-
же и транспонированная матрица М') удовлетворяет уравнению Га-
мильтона-Кэли (№ — кМ + 1 = 0), следует, что если f — характер
группы X, то (U2f) • (U • f) k • f = 1. (Здесь U, конечно, означает
унитарный оператор, порожденный Т.) Существование или несущест-
вование характеров f, удовлетворяющих подобным тождествам, есть
инвариант преобразования Т. Вот, например, постановка задачи: ес-
ли N — другая унимодулярная матрица, определяющая другой авто-
морфизм S, причем М и N имеют разные характеристические уравне-
ния, и если V — унитарный оператор, порожденный S, то существует
ли отличная от константы функция /, равная по абсолютной величине 1
и такая, что (V2f)  (Vf)~k • f = 1?
10.	В. А. Рохлин (Известия АН СССР, 1949, стр. 329) пред-
ложил, в качестве инварианта, понятие r-кратного перемешивания.
Пусть г — целое положительное число, г = 1,2,3,...; рассмотрим
упорядоченные системы К, состоящие из г + 1 неотрицательных це-
лых чисел: К = (к0,...,кг). (Среди этих fe, могут быть и сов-
падающие.) Определим протяженность К (символ л(Л")) как мини-
мум из всех разностей \k{ — kj\, где г, j = 0, ... , г и, конечно,
i 7? j. Бесконечная последовательность {А?(п)} таких (г + 1)-сис-
тем, К(п) = (к0(п), ... , fer(n)), называется допустимой, если s(K(n))
стремится к бесконечности вместе с п. Преобразование Т назы-
вается г-кратно перемешивающим, если для каждой упорядоченной
(г + 1)-систсмы измеримых множеств (Ео, .... Ег) и для каждой до-
пустимой последовательности	верно, что f) Тк’^Е^ стре-
r	i=n
мится, при п -> оо, к П Пока еще не установлено, что этот ин-
?:=о
вариант дает возможность различить какие-либо два преобразования:
Рохлин установил, что любой эргодический автоморфизм компактной
абелевой группы является r-кратно перемешивающим при всех г. Во-
прос: существует ли перемешивающее (т. с. однократно перемешиваю-
щее) преобразование, которое не было бы двукратно перемешивающим?
Некоторые новые проблемы и результаты
эргодической теории
С. В. Фомин
За время, прошедшее после выхода в свет книги Халмоша, в теории
динамических систем был получен ряд новых результатов, которые,
в свою очередь, вызвали появление новых проблем. Кроме того, как
уже отмечалось в предисловии, Халмош не упомянул и о некоторых
более старых результатах, заслуживающих, па наш взгляд, внимания.
Ниже мы изложим некоторые результаты, относящиеся к спектральной
теории динамических систем, не вошедшие в книгу Халмоша.
Нормальные динамические системы
Теоремы Халмоша и Рохлина о категориях (см. стр. 98 и след.) по-
казывают, что динамические системы со слабым перемешиванием, но
без сильного, образуют в пространстве динамических систем множес-
тво второй категории. Так как системы, имеющие стандартный спек-
тральный тип п, с любым конечным или бесконечным п1 (определе-
ние см. на стр. 70) обладают сильным перемешиванием (доказатель-
ство этого факта см., например, в [1]), то отсюда следует, что эрго-
дические динамические системы с непрерывным, но не лебеговским
спектром существуют и даже образуют множество второй категории.
Однако простейшие примеры систем с непрерывным спектром имеют
именно лебеговский спектр. Индивидуальные примеры динамических
систем с непрерывным не лебеговским спектром были найдены лишь
в 1950 г. [2]. Они строятся следующим образом. Пусть X пространст-
во двусторонних последовательностей {жп} действительных чисел (п =
= 0, ±1, ±2, ...), а Т — сдвиг в этом пространстве (т. е. Т{жп} = {'(/«},
где уп = xn+i). Определим меру у в пространстве X, положив, что
1Такой спектр называется обычно лебеговским, так как в этом случае соответ-
ствующис спектральные типы эквивалентны обычной лсбсговской мерс на прямой.
В дальнейшем мы будем пользоваться этим общепринятым термином.
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
123
всякое множество А, определяемое системой неравенств
ак < хПк < bk (к = 1, 2, ... , г)
(где ni, ... , пг — заданные целые числа, а* и bk — заданные действи-
тельные числа), измеримо и
Ь1 ьг
v(A) = q у... У
а.1 аг
где Q фиксированная положительно определенная квадратичная фор-
ма, зависящая только от набора индексов rij, .... пТ, a q — число,
определяемое из соотношения pdjX) = 1. Эта мера р при соответ-
ствующих условиях на Q будет инвариантна относительно сдвига Т.
а также будет удовлетворять соответствующим условиям согласован-
ности, при которых она может быть продолжена, по известной теореме
А. Н. Колмогорова [3], с множеств указанного выше специального вида
на борелевское замыкание совокупности таких множеств. Таким обра-
зом, мы получаем в пространстве X динамическую систему с инвари-
антной мерой р. Такие системы называются нормальными динамичес-
кими системами. С теоретико-вероятностной точки зрения нормальная
система представляет собой не что иное, как гауссовский стационарный
процесс с дискретным временем. Как известно, гауссовский стацио-
нарный процесс (т. е. мера /х) однозначно определяется корреляционной
последовательностью
В(к) = У .тож/. d/x, (fc = 0, ±1, ±2, ...).
х
В(к) представляет собой положительно определенную последователь-
ность; обратно: всякая положительно определенная последовательность
служит корреляционной последовательностью для некоторой меры. По-
следовательность В (к) можно представить, по теореме Бохнера, в виде
В(к) = У eikxd$(X),
где Ф(А) — (непрерывная слева) функция распределения, постоян-
ная вне отрезка —тг А тг и удовлетворяющая соотноше-
нию Ф(А) — Ф(+0) = Ф(0) — Ф(—А + 0), вытекающему из вещественнос-
ти чисел В (к).
124
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
Функция Ф(А) называется спектральной функцией гауссовской ин-
вариантной меры ц. Она полностью определяет меру /х, а следовательно,
и соответствующую нормальную динамическую систему. В частнос-
ти, Ф(А) определяет все спектральные свойства системы. Если Ф(А)
непрерывна, то соответствующая нормальная динамическая система
эргодична и имеет непрерывный спектр. Полное восстановление спект-
ра системы по заданной Ф(А) представляет значительные трудности.
Исчерпывающим образом удается описать лишь все возможные макси-
мальные спектральные типы. Максимальный спектральный тип всякой
нормальной динамической системы обладает тем свойством, что сверт-
ка его с самим собой ему подчинена. Кроме того, он является четным,
т. е. симметричен относительно точки А = 0. (Этим последним свойст-
вом обладают все спектральные типы любой динамической системы.)
Оказалось, что каков бы ни был спектральный тип, обладающий этими
двумя свойствами, существует нормальная динамическая система, для
которой он служит максимальным типом. Отсюда видно, что, помимо
лебеговского непрерывного спектра, с помощью нормальных динами-
ческих систем можно получить и другие спектральные типы.
Хотя полный анализ спектра нормальной динамической систе-
мы представляет собой весьма трудную задачу, в некоторых случа-
ях ее можно довести до конца. В частности, как показал недавно
И. В. Кирсанов [4], можно построить нормальную эргодическую дина-
мическую систему с непрерывным простым спектром. Для этого нужно
рассмотреть меру с такой спектральной функцией, точки роста кото-
рой образуют совершенное множество (лсбсговской меры пуль), между
элементами которого нет нетривиальных целочисленных соотношений.
Тем самым получено положительное решение давно поставленного во-
проса о существовании динамических систем с простым непрерывным
спектром.
Геодезические потоки на многообразиях
отрицательной кривизны
Хорошо известны примеры динамических систем с непрерывным
спектром, строящиеся с помощью автоморфизмов компактных абеле-
вых групп (см. соотв. раздел книги Халмоша). Другой класс систем с не-
прерывным спектром образуют нормальные системы, о которых было
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
125
сказано выше. Однако оба эти класса систем довольно далеки от реаль-
ных механических систем, эволюция которых определяется дифферен-
циальными уравнениями. Интересный класс систем, тесно связанных
с задачами механики и имеющих непрерывный спектр, образуют так
называемые геодезические потоки. Пусть Мк — некоторое fe-мсрпос
риманово многообразие, и пусть X есть (2к — 1)-мерное многообразие
линейных элементов многообразия Мк, т. с. пар (о, I), где a G Мк, al —
единичный вектор, касательный к Мк в точке а. Каждый элемент («, I)
определяет единственную геодезическую, проходящую через точку а
в направлении I. Преобразование St в X определяется как движение
каждого элемента (а, Г) вдоль определяемой им геодезической со ско-
ростью 1. Предполагая, что все геодезические на Мк неограниченно
продолжаемы, мы получаем таким образом на X динамическую систе-
му. Инвариантная мера р па X определяется формулой dp = dv • dev,
где dv —элемент А;-мерного объема в Мк, a dev —элемент (fc —^-мерно-
го объема на сфере единичных касательных элементов в точке а G Мк.
Так определенная динамическая система называется геодезическим по-
током на многообразии Мк. Естественно рассматривать геодезические
потоки на поверхности отрицательной кривизны, так как именно этот
случай приводит к эргодическим системам.
В исследовании спектральных свойств геодезических потоков па
многообразиях отрицательной кривизны был получен ряд существен-
ных, хотя еще и по вполне окончательных результатов. В работах
Э.Хопфа и Г. А. Хедлунда (см. [5], [10]) было доказано (сперва при к = 2,
а затем и для любого к), что геодезический поток па /с-мсрпом мно-
гообразии постоянной отрицательной кривизны обладает сильным пе-
ремешиванием (и, следовательно, имеет непрерывный спектр). Эрго-
дичность потока была установлена также и для поверхностей (к = 2)
переменной (но органической сверху и снизу) отрицательной кривиз-
ны. Полное вычисление спектральных инвариантов системы удалось
провести лишь для геодезических потоков на поверхностях постоянной
отрицательной кривизны [6], [7], именно оказалось, что геодезический
поток на любой замкнутой поверхности постоянной отрицательной кри-
визны имеет счетнократный лебеговский спектр.
Этот последний результат был получен методами теории представ-
лений групп с помощью следующей конструкции. Пусть G группа
действительных матриц 2-го порядка с детерминантом 1, a D — неко-
торая ее дискретная подгруппа (например, подгруппа целочисленных
126
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
матриц), и пусть X — пространство классов смежности G/D. В про-
странстве X определим движение, положив
Stg = ggt (g<EG/D),
где
(е~* 0\	, .
в*/	W
В X можно ввести меру, которая будет инвариантна относительно
преобразований S*. Построенная таким образом динамическая систе-
ма оказывается изоморфной геодезическому потоку па некоторой по-
верхности постоянной отрицательной кривизны. Обратно, выбирая со-
ответствующим образом дискретную подгруппу D. можно построить
этим способом геодезический поток на любой такой поверхности. Для
исследования спектральных свойств системы (X, //, St) использует-
ся следующий прием. В пространстве X можно рассматривать сдви-
ги g —> gg не только для элементов g = gt вида (*), но и для произволь-
ных элементов из G. Таким образом, в пространстве Ь^ДХ) суммируе-
мых в квадрате функций на X определяется унитарное представление
группы G. (Оператор Tg, отвечающий элементу g 6 G, определяется
формулой Tgf(g) = f(gg). Это представление может быть разложено
на неприводимые представления. В каждом подпространстве, отвеча-
ющем неприводимому унитарному представлению группы G, можно
определить спектр группы операторов Ut, порождаемых сдвигами St-
Для этого используются явные формулы неприводимых унитарных
представлений группы унимодулярных матриц второго порядка, най-
денные И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком. После этого уже спектр
операторов Ut во всем пространстве Lz(X), т. с. спектр рассматривае-
мой динамической системы, находится без труда.
Описанная теоретико-групповая конструкция может быть обобще-
на следующим образом. Пусть G — некоторая группа Ли, D — ее дис-
кретная, а К — компактная подгруппы и X — пространство двусто-
ронних классов смежности DgK группы G по D и К. Пусть, кроме
того, pt — обычная мера в пространстве классов смежности и {gt} —
однопараметрическая подгруппа группы G, такая, что Kgt = gtK. Лег-
ко проверить, что формула
St(DgK) = DggtK
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
127
определяет однопараметрическую группу преобразований пространст-
ва X, оставляющих меру у инвариантной. Таким образом, в простран-
стве X классов смежности DgK определяется динамическая система.
Изучение ее спектра сводится к исследованию неприводимых унитар-
ных представлений группы G. Таким методом можно, например, иссле-
довать спектральные свойства геодезических потоков на многообрази-
ях постоянной отрицательной кривизны размерности к > 2.
Динамические системы на торе
Динамические системы, связанные с реальными задачами механи-
ки, весьма сложны. Поэтому в теории динамических систем важную
роль играет исследование различного рода модельных примеров. Одной
из таких простейших, по в то же время достаточно содержательных
и интересных моделей являются динамические системы на торе.
Рассмотрим динамическую систему, определяемую дифференци-
альными уравнениями:
# = Х(х, у);	= У(Ж, у),	(1)
Сбс*	(J/V
где X, Y — аналитические функции с периодом 2тг по х и по у. Если эта
система — эргодическая, то, как показал А. Н. Колмогоров [8], ее можно
с помощью аналитического же преобразования переменных привести
к виду
du _	1	dv _	1
dt	F(u,v)'	dt F(u,vY
где F(u, v) > 0 аналитическая периодическая функция, a 7 ир-
рациональное число. В этих новых переменных инвариантная мера на
торе задается формулой
d/i, = Н(и. v) dudv.
С паглядпо-гсомстричсской точки зрения переход от системы (1) к (2)
означает «выпрямление» траекторий системы (если изобразить тор в ви-
де квадрата 0 и 2тг, 0 v 2тг, то каждая траектория системы (2)
изобразится при этом системой прямолинейных отрезков).
128
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
В упомянутой выше работе А. Н. Колмогорова показано, что если
константа 7 «не слишком хорошо аппроксимируется рациональными
дробями», то спектр динамической системы (2) всегда (т. с. при любом
выборе F) чисто точечный, с двумя образующими. Если же 7 аппрокси-
мируется рациональными дробями «аномально хорошо», то спектр сис-
темы (2) может быть как точечный, так и непрерывный.
Изучение динамических систем на торе, несмотря на их кажущую-
ся простоту, приводит к трудным и весьма содержательным вопросам,
многие из которых остаются еще открытыми.
Энтропия динамической системы
Одной из центральных проблем спектральной теории динамичес-
ких систем является вопрос о том, существуют ли неизоморфные эрго-
дические системы с одинаковым непрерывным спектром. Вопрос этот
оставался открытым, несмотря на усилия ряда математиков, на про-
тяжении более четверти века и подавно был (положительно) решен
А.Н.Колмогоровым [9]. Именно, А.Н.Колмогоров построил для дина-
мических систем новый инвариант, названный им «энтропией на еди-
ницу времени», и указал примеры эргодических систем с одним и тем
же непрерывным (а именно счетнократным лебеговским) спектром, для
которых этот инвариант принимает различные значения.
Схема, с помощью которой вводится этот инвариант, может быть
изложена следующим образом1. Для упрощения дела мы ограничимся
случаем дискретного времени.
Пусть X — пространство с мерой /;. и S — сохраняющий меру /;. ав-
томорфизм этого пространства, причем ц(Х) = 1. Пусть Ci, ., Сп —
попарно непересекающиеся измеримые множества, в сумме составля-
ющие все X. Положим
п
Hic) =
г=1
Далее, введя для упрощения дальнейших записей обозначения
Hik = p(Ci nSCk),
1Этот вариант определения энтропии динамической системы принадлежит
Я. Г. Синаю [11].
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
129
положим
п
= - 52 Р"'1к
г, к = 1
Аналогично пусть
k4,i2...ir = КСй nsci2n...ns”-1cir),
И
n
2	P'21«2-«*r ^Мй*2««.^г*
ii, ... , ir=l
Пусть теперь
= lim	(**)
r—>oc '
Наконец, пусть
H = sup Я(с),
где точная верхняя грань берется по всем возможным исходным разби-
ениям пространства X. Величина Н. которая может принимать различ-
ные неотрицательные значения (включая 0 и ос), и называется энтропи-
ей динамической системы (X, /1. S) на единицу времени. Из определе-
ния ясно, что Н является инвариантом динамической системы. Дейст-
вительно, если системы (X, ц, S) и (У, v. Т) изоморфны между собой,
то каждому конечному разбиению пространства X отвечает [при фик-
сированном изоморфном отображении (X, /z, S) на (У, v, Т)] определен-
ное разбиение пространства У, и обратно, причем это соответствие со-
храняется и для сдвигов элементов разбиений, и их пересечений. По-
скольку в определении Н рассматриваются все конечные измеримые
разбиения системы, для изоморфных систем величина Н оказывается
одной и той же.
Не останавливаясь на выяснении различных свойств инвариан-
та Н. заметим лишь, что предел (**) существует в силу известной те-
оремы Мак Миллана [12]; укажем две динамические системы с одним
и тем же непрерывным спектром (а именно счстпократпым лебегов-
ским) и такие, что в каждой из них инвариант Н существует и коне-
чен, но принимает различные значения. Такими системами являются
уже знакомые читателю книги Халмоша сдвиги в пространстве двусто-
ронних последовательностей, двоичных в первом случае и троичных во
130
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
втором. Итак, пусть X — пространство двусторонних двоичных после-
довательностей
f	1 J°
и S — сдвиг в нем, т. е.
Sx = у, где уп = хп+1\
мера в X определяется как бесконечное произведение мер двухточеч-
ных пространств {0, 1}, в которых каждая точка имеет меру У2.
Рассмотрим разбиение пространства X на два множества Ci и ('>'
Ci состоит из тех точек, для которых х0 = 0, Сг — из остальных.
Множество SCi состоит, очевидно, из тех точек, для которых xi = 0.
Ясно, что
Рп = //(Ci П SCJ = \
и
_ 1
Р-12 — Р-21 — Р-22 —
Далее, пользуясь введенными выше обозначениями, имеем
_ 1
Pl I *2	2Г
при любых «1, ... , ir. Отсюда получаем, что
Н[с) = In 2.
Далее
Я2С) = -|£1пРРг2 =21112-
И вообще для данного разбиения
= In 2Г = г In 2.
Отсюда получаем, что для данного разбиения
Я(с) = 1п2.
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты	131
Можно показать, что не большее значение получится для лю-
бого другого конечного разбиения С пространства X. Поэтому в рас-
сматриваемой динамической системе Н = In 2.
Если теперь рассмотреть пространство троичных двусторонних по-
следовательностей
{...Х-п, ....	х0, ®1, ... , хп, ...}, хп = 0, 1, 2,
причем в основном трехточечном пространстве {0, 1, 2} каждый эле-
мент имеет меру
О
то для динамической системы, определяемой в этом
пространстве с помощью сдвига, мы получим, что Н = 1пЗ. Следова-
тельно, сдвиги в пространствах двоичных и троичных последователь-
ностей действительно представляют собой примеры эргодических сис-
тем, спектрально эквивалентных, но не изоморфных.
Некоторые проблемы
В дополнение к сформулированным Халмошем проблемам эргоди-
ческой теории (некоторые из которых были решены после выхода книги
Халмоша) укажем еще несколько проблем, относящихся к спектральной
теории динамических систем.
1. В связи с тем, что теперь установлено существование эргоди-
ческих динамических систем с простым непрерывным спектром, стано-
вится содержательным следующий вопрос: существуют ли эргодичес-
кие динамические системы с одним и тем же простым спектром и не
изоморфные между собой? Поскольку точечный спектр эргодических
систем всегда простой, отрицательное решение этого вопроса было бы
существенным обобщением известной теоремы о том, что эргодичес-
кая система с чисто точечным спектром определяется своим спектром
с точностью до изоморфизма.
2. Как сказано выше, в работе А. Н. Колмогорова [8] доказано,
что спектр эргодической динамической системы, определяемой на торе
уравнениями
du _	1	dv _	7	/ ч
dt F(u,v)'	dt F(u, t?)
132
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты
с аналитической функцией F(u, г), может быть чисто точечным с дву-
мя образующими, а может быть и непрерывным. В связи с этим ре-
зультатом возникают следующие вопросы:
1)	какой именно непрерывный спектр может иметь система (а);
2)	может ли система (а) иметь чисто точечный спектр, отличный
от группы с двумя образующими (по-видимому, нет);
3)	может ли система (а) иметь смешанный спектр (по-видимому,
нет).
По поводу первого вопроса не известно ничего. На второй и третий
вопросы можно дать отрицательные ответы, если предположить непре-
рывность собственных функций. Заметим попутно, что можно легко
построить эргодическую динамическую систему со смешанным спект-
ром, определяемую дифференциальными уравнениями, на торе трех
или большего числа измерений.
3.	Как известно [7], геодезический поток на компактной поверх-
ности постоянной отрицательной кривизны имеет счстпократпый лсбс-
говский спектр. Для геодезических потоков на поверхностях перемен-
ной (ограниченной сверху и снизу) кривизны известно лишь, что они
обладают перемешиванием (откуда вытекает непрерывность спектра).
Может ли в случае переменной кривизны получиться спектр, отличный
от лебеговского?
4.	Во всех известных примерах эргодических динамических сис-
тем, определяемых системой дифференциальных уравнений на fe-мер-
ном гладком многообразии, точечный спектр представляет собой груп-
пу, не более чем с к образующими. Однако никакой теоремы, уста-
навливающей неизбежность такого положения дел в общем случае, не
существует. Таким образом, остается перешеппой задача: доказать, что
точечный спектр эргодической динамической системы, определяемый
па гладком /г-мерпом многообразии системой дифференциальных урав-
нений с непрерывными коэффициентами, представляет собой группу,
по более чем с к образующими (или построить противоречащий при-
мер).
5.	Описанные выше «нормальные динамические системы» облада-
ют тем свойством, что свертка Ф*Ф максимального спектрального ти-
па Ф такой системы с самим собой эквивалентна Ф или подчинена ему.
Это свойство представляет собой довольно естественный континуаль-
ный аналог того факта, что собственные значения эргодической дина-
С. В. Фомин. Некоторые новые проблемы и результаты	133
мичсской системы с чисто точечным спектром образуют группу. Воз-
можно, что вышеуказанным свойством обладают максимальные спек-
тральные типы всех (а не только нормальных) эргодических систем.
Однако вопрос этот пока остается открытым.
6.	Найденный А. Н. Колмогоровым новый инвариант динамичес-
ких систем — энтропия на единицу времени — дает возможность более
тонкой (чем по одним только спектральным свойствам) классификации
динамических систем. Возникает вопрос, будет ли эта классификация
исчерпывающей? Иначе говоря, всегда ли две эргодические динамичес-
кие системы, имеющие один и тот же спектр и одну и ту же энтропию
на единицу времени, изоморфны между собой?
Литература1
[1]	Рохлин В. А., Успехи математических наук, 4, №2, 57-128 (1949).
[2]	Фомин С. В., Украинский математический журнал, 2, №2 (1950).
[3]	Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, Мос-
ква. 1936.
[4]	Гирсапов И. В., ДАН СССР, 119, №5 (1958).
[5]	ХопфЭ., Успехи математических наук, 4, №2 (1949).
[6]	Гельфанд И.М., Фомин С. В., ДАН СССР, 76, №6, 771 774 (1951).
[7]	Гельфанд И. М., Фомин С. В., Успехи математических наук, 7, №1
(1952).
[8]	Колмогоров А. Н., ДАН СССР, 93, №5 (1953).
[9]	Колмогоров А.Н., ДАН СССР, 119, №5 (1958).
[10]	Hedlund G. A., Bull. Amer. Math. Soc., 45, 241 (1939).
[И] Сипай Я. Г., ДАН СССР, 124, №4, (1959).
[12]	Хинчин А. Я., Успехи математических наук, 11, №1, 17-75 (1956).
13десь приведена только литература, цитированная в дополнении.
Халмош Поль
Лекции по эргодической теории
Дизайнер М. В. Ботя
Компьютерная подготовка: М. В. Чибирева
А. В. Широбоков
Корректор И. А. Николаева
Лицензия ЛР №020411 от 16.02.97. Подписано к печати 20.12.99.
Формат 60 х 841/16. Печать офсетная. Усл.печ.л. 7.91. Уч. изд. л. 8,2.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная № 1.
Заказ № . Тираж 600 экз.
Издательский дом «Удмуртский университет»,
426011, г. Ижевск, ул. Майская, 23.
Типография Удмуртского госуниверситета,
426034, ул. Университетская, 1, корн. 4.