Автор: Циглер Г.М.
Теги: геометрия комбинаторный анализ теория графов топология теория вероятностей математическая статистика математика
ISBN: 978-5-4439-0123-7
Год: 2014
Текст
Гюнтер М. Циглер
/ ТЕОРИЯ
МНОГОГРАННИКОВ
Гюнтер М. Циглер
Теория многогранников
Перевод с английского
А. И. Гарбера, Н. Ю. Ероховца и А. А. Гаврилюка
под редакцией Н. П. Долбилина
с приложением В. М. Бухштабера, Н. Ю. Ероховца и Т. Е. Панова
Москва
Издательство МЦНМО
2014
УДК 514.172.4+519.1
ББК 22.151+22.176
Ц58
Циглер Г. М.
Ц58 Теория многогранников / Пер. с англ, под ред. Н. П. Дол-
билина. - М.: МЦНМО, 2014. - 568 с.
ISBN 978-5-4439-0123-7
Книга представляет собой одно из лучших изложений современного
состояния комбинаторной теории выпуклых многогранников, принадлежа-
щее крупному немецкому математику. Изложение сопровождается богатым
набором задач, включающим как учебные упражнения, так и нерешенные
проблемы.
Цель приложения, написанного российскими математиками, — позна-
комить читателя с современными направлениями, возникшими благодаря
глубокой связи между теорией многогранников, с одной стороны, и то-
рической геометрией, торической топологией и теорией особенностей —
с другой.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов, специали-
зирующихся в геометрии, топологии, комбинаторике, а также в приложе-
ниях теории многогранников в разных направлениях исследований; может
быть использована студентами математических специальностей.
ББК 22.151+22.176
Translation from the English language edition:
Lectures on Polytopes by Giinter M. Ziegler
Copyright © 1995 Springer-Verlag New York, Inc.
Springer is a part of Springer Science+Business Media.
All Rights Reserved
Гюнтер Матиас Циглер
Теория многогранников
Подписано к печати 11.11.2013 г. Формат 60 х 90/16. Печать офсетная.
Объем 35,5 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ № 4313.
Отпечатано в ППП «Типография ,Цаука“».
121099, Москва, Шубинский пер., 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru
ISBN 978-0-387-94365-7 (англ.) © Springer-Verlag New York, Inc., 1995.
ISBN 978-5-4439-0123-7 © МЦНМО, перевод на русск. яз., 2014.
Оглавление
Предисловие редактора перевода....................... 6
Предисловие к русскому изданию....................... 8
Предисловие.......................................... 11
Предисловие ко второму изданию....................... 13
Предисловие к седьмому изданию ...................... 14
Глава 0. Введение и примеры ......................... 16
Примечания......................................... 43
Задачи и упражнения................................ 45
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы ........... 50
§1.1. «Основная теорема»............................ 50
§ 1.2. Метод Фурье—Моцкина исключения неизвестных:
аффинный случай..................................... 55
§ 1.3. Метод Фурье—Моцкина для конусов.............. 61
§ 1.4. Лемма Фаркаша................................ 64
§ 1.5. Конус спуска и однородное представление ..... 69
§1.6. Теорема Каратеодори........................... 72
Примечания........................................ 74
Задачи и упражнения............................... 76
Глава 2. Грани многогранников....................... 79
§2.1 . Вершины, грани и гиперграни.................. 79
§ 2.2. Решетка граней............................. 84
§2.3 . Полярность................................ . 89
§ 2.4. Теорема представления для многогранников... 96
§2.5 . Симплициальные и простые многогранники....... 97
§2.6 . Приложение: проективные преобразования....... 99
Примечания.........................................102
Задачи и упражнения................................102
Глава 3. Графы многогранников........................111
§3.1 . Линейные функции и прямые в общем положении .... 111
§3.2 . Направляем ребра («линейное программирование для
геометров») ........................................115
4
Оглавление
§3.3 . Гипотеза Хирша................................118
§3.4 . Простой способ Калаи определить простой многогран-
ник по его графу ....................................131
§ 3.5. Теорема Балинского: граф является d-связным.134
Примечания........................................135
Задачи и упражнения...............................136
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников 145
§4.1 . 3-связные планарные графы.....................146
§4.2 . Простые ДУ-преобразования сохраняют реализуемость . 150
§4.3 . Планарные графы ДУ-приводимы..................151
§4.4 . Обобщения теоремы Штейница...................157
Примечания........................................159
Задачи и упражнения...............................164
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников 174
§5.1 . Полиэдральные комплексы.......................174
§ 5.2. Диаграммы Шлегеля........................... . 180
§ 5.3. d-диаграммы.................................187
§5.4 . Три примера..................................189
Примечания........................................193
Задачи и упражнения...............................196
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения ...202
§6.1 . Цепи и коцепи.................................203
§6.2 . Конфигурации векторов.........................211
§6.3 . Ориентированные матроиды......................213
§ 6.4. Дуальные конфигурации и диаграммы Гейла.....223
§6.5 . Многогранники с малым числом вершин...........229
§ 6.6. Жесткость и универсальность.................239
Примечания........................................244
Задачи и упражнения...............................246
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения ..255
§7.1. Веера..........................................255
§ 7.2. Проекции и суммы Минковского..................260
§7.3. Зонотопы......................................264
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды........275
§ 7.5. Разбиения на зонотопы.........................286
Примечания........................................294
Задачи и упражнения...............................296
Оглавление
5
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе ..303
§8.1. Шеллинговые и нешеллинговые комплексы..........304
§8.2. Шеллинг многогранников........................313
§8.3. h-векторы и соотношения Дена—Соммервилля.....321
§ 8.4. Теорема о верхней границе.....................330
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств........335
§ 8.6. g-теорема и ее следствия......................349
Примечания.........................................357
Задачи и упражнения................................366
Глава 9. Секционные многогранники и далее............379
§ 9.1. Полиэдральные подразбиения и секционные многогран-
ники ................................................380
§ 9.2. Некоторые примеры.............................389
§9.3. Построение пермуто-ассоциэдра.................402
§ 9.4. На пути к категории многогранников?...........412
Примечания.........................................414
Задачи и упражнения................................415
Приложение. Алгебра и комбинаторика выпуклых многогран-
ников (В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Т. Е. Панов).420
Предисловие..........................................420
§А.1. Векторы граней и соотношения Дена—Соммервилля . . 421
Задачи и упражнения................................428
§А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры....................428
Задачи и упражнения................................448
§ А.З. Флаговые многогранники и усеченные кубы.......449
Задачи и упражнения................................457
§А.4. Дифференциальное кольцо выпуклых комбинаторных
многогранников ......................................457
Задачи и упражнения................................469
§ А.5. Семейства многогранников и дифференциальные
уравнения............................................470
Задачи и упражнения................................475
§А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы . . 477
Задачи и упражнения................................518
Литература...........................................519
Предметный указатель.................................557
Предисловие редактора перевода
Эта книга, принадлежащая перу крупного немецкого матема-
тика, начиная с 1995 г. выдержала 7 изданий на английском языке
и в настоящее время является настольной книгой по теории мно-
гогранников. Ее успех определен тем, что, с одной стороны, в ней
весьма полно представлено современное состояние комбинаторной
теории многогранников. С другой стороны, автор мастерски вы-
страивает материал «от простого к сложному» и настолько эмоцио-
нально его излагает, что чтение книги является доступным и захва-
тывающим занятием как для профессионального математика, так
и для успешного студента. Книга замечательна тем, что в ней име-
ется богатая коллекция задач, разнообразная и по содержанию, и по
уровню сложности: от упражнений до открытых проблем (задач «со
звездочкой»). Пуанкаре принадлежит метафора: «наука —это клад-
бище гипотез». В нашем случае можно сказать, что «снятие» очеред-
ной звездочки, то есть решение задачи со звездочкой и перевод ее
в статус упражнения, — это и есть хорошая научная работа. В этом
смысле задачи со звездочкой из книги Гюнтера Циглера уже приве-
ли к решению нескольких известных проблем из теории многогран-
ников. Знаменитый пример снятия звездочки — это опровержение
гипотезы Хирша о верхней границе для комбинаторного диамет-
ра многогранника. Характерно, что опровержение было получено
при помощи конструкции, идея которой обсуждается в этой книге.
В предисловии к российскому изданию автор привлекает внима-
ние читателя к другой нерешенной проблеме — задаче о толщине
4-многогранников. Отметим, что именно эта проблема обсуждалась
в пленарном докладе Циглера на международном конгрессе мате-
матиков в Пекине в 2002 г. На мой взгляд, эта задача — прекрасный
вызов молодым, и не исключено, что скоро мы узнаем о прогрессе
в ее решении.
Российским математикам принадлежит ряд выдающихся ре-
зультатов по теории многогранников: параллелоэдры (Г. Ф. Вороной,
Б. Н. Делоне), внутренняя геометрия многогранников (А. Д.Алек-
сандров и его ученики), теорема об объеме (И. X. Сабитов и А. А. Гай-
фуллин для многомерного случая) и др. Перевод книги Циглера,
Предисловие редактора перевода
7
по нашему мнению, восполнит имеющийся в отечественной лите-
ратуре недостаток текстов о современном состоянии комбинатор-
ной теории многогранников. Замечательно, что член-корреспондент
РАН Виктор Матвеевич Бухштабер вместе со своими учениками
Тарасом Пановым и Николаем Ероховцом написали приложение,
посвященное современным исследованиям по алгебро-комбинатор-
ной теории многогранников, ее обобщениям и связям с другими
разделами математики. Здесь уместно заметить, что молодые рос-
сийские математики, уже получившие значимые результаты в этом
направлении, изучали комбинаторную теорию многогранников по
книге Циглера.
Большую работу провели переводчики — молодые математики
Алексей Гарбер, Николай Ероховец и Андрей Гаврилюк. Они устра-
нили немало опечаток. Трудность представляло то, что у ряда тер-
минов не было удачных или устоявшихся в российской литературе
аналогов. Это вынуждало порой при переводе вводить новые тер-
мины. И здесь мы очень благодарны Сергею Павловичу Тарасову за
ценные советы. Выражаем особую благодарность Александру Мага-
зинову за то, что он внимательно прочитал рукопись и сделал много
ценных замечаний.
В заключение отметим, что перевод этой книги стал возможен
благодаря поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-
дований, личному содействию В. М. Бухштабера, а также редакци-
онной поддержке издательства МЦНМО в лице директора издатель-
ства Юрия Николаевича Торхова и редактора Ольги Васильевой.
Считаю своим долгом поблагодарить профессора Гюнтера Цигле-
ра за огромное удовольствие, которое испытываешь от знакомства
с его книгой, а также за его внимательное и оперативное отноше-
ние к вопросам, возникавшим при работе над переводом.
Николай Долбилин
Предисловие к русскому изданию
При работе над первой версией этой книги о многогранниках
я был исполнен юношеского энтузиазма по отношению к этому пре-
красному новому направлению в математике, с которым я тогда
только-только познакомился, выучил и которым хотелось поделить-
ся с другими (тогда я еще не задумывался о том, сколько труда и сил
предстоит затратить, чтобы закончить эту книгу).
Поэтому я чрезвычайно благодарен читателям за то, сколь за-
мечательно они воспринимали эту книгу, и очень рад, что в даль-
нейшем ей удалось вдохновить, а затем направить и поддержать
разнообразные, плодотворные и весьма впечатляющие исследова-
ния. Это очень живой, динамичный раздел математики, и многие
молодые исследователи, знакомясь с ним при помощи этой книги,
впоследствии делают замечательные работы (в частности, штур-
муя, а иногда и решая задачи «со звездочкой»)! Пожалуй, наибо-
лее впечатляющий из недавних успешных результатов — это контр-
пример к гипотезе Хирша, который был получен Франциско Санто-
сом (гипотеза обсуждается в §3.3), —остроумно построенный про-
стой 43-многогранник с 86 гипергранями и диаметром, превосходя-
щим 43 (Santos F. A counterexample to the Hirsh Conjecture // Ann. of
Math. 2012. Vol. 176, №1. P. 383-412).
С годами я утвердился в мысли, что в теории многогранников
чрезвычайно важны промеры. Упомяну лишь свои любимые гипер-
симплексы, которые, конечно, достойны серьезного изучения. Ряд
примеров из этой книги все еще хранят свои тайны: например, мы
до сих пор не понимаем, почему вершины замечательного много-
гранника — пермуто-ассоциэдра, конструкция которого приводится
в главе 9, лежат на сфере. Из других примеров назовем Q/1-много-
гранники, которые очень важны как для комбинаторной оптимиза-
ции, так и с комбинаторно-геометрической точки зрения; больше
о них можно узнать из моего обзора «Lectures on о О/1-polytopes»
(в книге: Polytopes Combinatorics and Computation / Ed G.Kalai,
G. M. Ziegler. Basel: Birhauser, 2000. (DMV Seminars; Vol. 29). P. 1—41).
Самый заметный «пробел» этой книги —это, пожалуй, так назы-
ваемые многогранники пирамидальной надстройки, которые дают
Предисловие к русскому изданию
9
ответ к проблеме о нижней границе. Это симплициальные мно-
гогранники с минимальным количеством гиперграней при задан-
ном числе вершин. Эти многогранники можно получить, склеивая
симплексы древовидным образом или путем построения повторных
пирамидальных надстроек над гипергранями (отсюда и название).
Я могу также указать на другой свой недавний обзор: «Выпуклые
многогранники: экстремальные конструкции и облики /-векторов»
(в сборнике: Geometric Combinatorics / Eds. Е. Miller et al. // Proc.
Park City Mathematical Institute. 2004. Providence, RI: AMS, 2007.
P. 617—691). В этом обзоре, например, разбирается подход к теореме
Штейница, основанный на упаковках кругов, а также рассказыва-
ется о новых удивительных классах примеров, которые возникли
недавно (в частности, проецированные деформированные произведе-
ния многоугольников}. Там также описывается нынешнее состояние
задачи о /-векторе для 4-многогранников, приводящей, в частно-
сти, к «проблеме о толщине», которая в настоящий момент является
моей любимой нерешенной проблемой в теории многогранников.
Вот ее явная формулировка: существуют ли 4-многогранники со
сколь угодно большим значением отношения
которое по определению измеряет «толщину» решетки граней?
Можно ли привести пример с Ф 10? (Лучшие примеры, постро-
енные на данный момент,— это деформированные произведения
многоугольников, которые имеют толщину, сколь угодно близкую
к Ф = 9. Но пока, как было сказано выше, не ясно даже, является ли
толщина Ф ограниченной в целом.)
В свете великих традиций, которые имеют в России геомет-
рия вообще и теория многогранников в частности, русский пере-
вод этой книги является для меня особенно приятным и почет-
ным. Поколения крупнейших геометров, таких как Г. Ф. Вороной,
Б. Н. Делоне и А. Д. Александров, внесли огромный вклад в эту об-
ласть. Это, например, важные работы Вороного и Делоне по геомет-
рии чисел, содержащие глубокие результаты о параллелоэдрах и зо-
нотопах, или теорема А. Д. Александрова о существовании и един-
ственности многогранника с данной метрикой. Эти работы продол-
жают вдохновлять современных исследователей по дискретной гео-
метрии и, в частности, по дискретной дифференциальной геомет-
10
Предисловие к русскому изданию
рии. В этой книге мало метрической теории многогранников (этой
теме посвящена книга Александрова, которая сначала появилась
на русском языке в 1950 г.1, затем на немецком в 1958 г. и только
в 2005 г. вышла в английском переводе...). Однако в нашей книге
имеется описание прекрасной комбинаторики зонотопов (глава 7).
И сейчас в России ведутся замечательные исследования по теории
многогранников. Дополнение по алгебре и комбинаторике много-
гранников, написанное профессором Виктором Бухштабером сов-
местно с его учениками Тарасом Пановым и Николаем Ероховцом,
является тому доказательством. В дополнении, например, показа-
но, что ассоциэдры и пермутоэдры (которые появляются в главе 9
как секционные многогранники) имеют много других удивитель-
ных обобщений и связей со многими областями математики, от
торической геометрии до дифференциальных уравнений.
В связи с этим я испытываю еще большую радость и гордость
за то, что очень известный российский математик профессор Ни-
колай Долбилин из Математического института им. В. А. Стеклова
в Москве взялся за трудоемкую работу по координации российского
издания моей книги. Алексей Гарбер, Андрей Гаврилюк и Николай
Ероховец совместно подготовили этот перевод книги на русский
язык.
Позвольте мне выразить искреннюю благодарность всем этим
коллегам за их труд и энтузиазм, проявленный при переводе и ре-
дактировании этой книги, при написании приложения к ней. Я на-
деюсь, что мне удастся разделить с нашими российскими читате-
лями то удовольствие, которое я испытывал как от этой области
математики в целом, так и от работы в ней.
Берлин, май 2012 г.
Гюнтер М. Циглер
1 В 2010 г. издано трехтомное собрание трудов А. Д. Александрова, второй том
которого есть переиздание этой книги.
Предисловие
Цель этой книги — познакомить читателя с увлекательным ми-
ром выпуклых многогранников. Эта книга выросла из курса, кото-
рый я читал в Техническом университете Берлина как часть аспи-
рантского курса «Алгоритмическая дискретная математика». Я по-
старался сохранить ощущение лекционных заметок и совершенно
не пытался скрыть свое восторженное отношение к представленной
математике, рассчитывая на то, что это поможет простить появля-
ющуюся время от времени неформальность.
В этой книге нет Р2С2Е1. Каждая из 10 глав завершается до-
полнительными примечаниями и историческими комментариями,
а также упражнениями различной степени сложности. Среди них
есть и нерешенные проблемы (помеченные звездочкой *), которые,
я надеюсь, многим покажутся интригующими. Помимо этого, име-
ется множество указаний на интересные современные работы, ис-
следовательские задачи и относящиеся к ним материалы, которые
могут увести читателя или лектора в сторону от теории многогран-
ников и даже предназначены для этого.
Хотя данные лекции происходят из семестрового курса, рассчи-
танного на 2 часа в неделю, они настолько расширены, что легко
могут стать основой для четырехчасового курса. Главы (после из-
ложения основ в гл. 0—3) по существу независимы друг от друга.
Таким образом, в этой книге содержится материал для нескольких
достаточно разных двухчасовых курсов, таких как «дуальность, ори-
ентированные матроиды и зонотопы» (гл. 6 и 7) или «многогранни-
ки и полиэдральные комплексы» (гл. 4, 5 и 9) и т. д.
Отмечу, что текущие исследования по теории многогранников
весьма динамичны и затрагивают широкий круг различных тем
и вопросов. Основными ориентирами в текущих исследованиях по
теории многогранников являются новое издание книги Грюнбаума
[252] и обзорные главы справочников Кли и Кляйншмидта [329]
и Байер и Ли [63].
1 Р2С2Е= «Process too complicated to explain» [469] — процесс, слишком сложный
для объяснения. Сленг, означает нечто слишком сложное.
12
Предисловие
Чтобы показать, что за всей этой математикой (иногда удиви-
тельно прекрасной) стоят реальные люди, я попытался составить
библиографию с полными именами и фамилиями. В редких случа-
ях, когда я не смог их установить, придется довольствоваться лишь
инициалами (например, Т. С. Гарп).
Все ведущие специалисты в теории многогранников —замеча-
тельные и отзывчивые люди, и я хочу поблагодарить их за по-
мощь и поддержку данного проекта. В частности, я хотел бы по-
благодарить Андерса Бьорнера, Терезу Бидль, Луи Биллеру, Юргена
Экхоффа, Эли Гудмана, Мартина Хенка, Ричарда Хетцеля, Петера
Кляйншмидта, Хорста Мартини, Питера Макмаллена, Рики Полла-
ка, Йорга Рамбау, Юргена Рихтер-Геберта, Ганса Шойермана, Торна
Шермера, Андреаса Шульца, Одеда Шрамма, Мехтхильду Штёр,
Бернда Штурмфельса и многих других за их поддержку, коммен-
тарии, подсказки, исправления и ссылки. Особая благодарность
Гилу Калаи за возможность представить в этой книге некоторые
из его прекрасных результатов. В § 3.4 с разрешения издательства
Академик Пресс мы воспроизводим его статью [299],
• Kalai G. A simple way to tell a simple polytope from its graph // J.
Combinatorial theory. Ser. A. 1988. Vol. 49. P. 381—383;
© 1988 by Academic Press Inc.
Мой текст набран в системе 1AT£X; рисунки сделаны с помощью
пакета xf ig. Они, возможно, несовершенны, но, я надеюсь, понят-
ны. Моей целью было иметь рисунки на (почти) каждой странице,
точно так же, как я использовал бы их на классной доске, чтобы
показать, что такое настоящая геометрия.
Спасибо всем сотрудникам ZIB1 и Мартину Грётшелю за их
непрекращающуюся поддержку.
Берлин, 2 июля 1994 г.
Гюнтер М. Циглер
1 ZIB — Zuse-Institut Berlin — научно-исследовательский институт (в Потсдаме) в об-
ласти прикладной математики и информатики. Конрад Цюсе (1940—1995) создал
первый в мире работающий программируемый компьютер.
Предисловие ко второму изданию
Во второе издание я внес ряд изменений, дополнений, исправ-
лений, добавил новые ссылки, изложил в нем некоторые самые по-
следние результаты.
Однако, как и в предыдущем издании, я ни в коей степени не
претендую на энциклопедичность. Все что я предлагаю здесь, —это
мой личный выбор. Так, я смог включить лишь несколько ярких
фактов из новой книги Юргена Рихтер-Геберта [459], в которой
представлен существенно новый взгляд на 4-многогранники и ре-
шен ряд открытых проблем из первого издания настоящей книги,
включая все проблемы, которые я поставил в статье [574]. Свод-
ка некоторых последних результатов о многогранниках содержится
в работе [576].
После этого издания я постараюсь дополнять эту книгу в элек-
тронном препринте «Дополнения, исправления и другое», самую
последнюю версию которого вы всегда сможете найти по адресу
http://www.math.tu-berlin.de/~ziegler.
Я буду очень благодарен, если и вы сможете внести вклад в про-
цесс обновления.
Я упустил в первом издании шанс поблагодарить Винни-Пуха
за его поддержку в работе над этим проектом. Я хочу также по-
благодарить Терезу Бидль, Джо Бонина, Габора Хетьеи, Винфрида
Хохштатлера, Маркуса Кидерлена, Виктора Кли, Элке Поуз, Юрге-
на Палкуса, Юргена Рихтер-Геберта, Раймунда Зайделя и особенно
Гюнтера Ротэ за полезные комментарии и исправления, которые
они внесли в это пересмотренное издание. Спасибо также Торстену
Хелдману за все.
Берлин, 6 июня, 1997 г.
Гюнтер М. Циглер
Предисловие к седьмому изданию
Мне радостно наблюдать, как «Лекции о многогранниках» рас-
пространяются и широко используются в мире и как учебник по
дискретной геометрии, и как введение в комбинаторную теорию
многогранников, и как отправная точка для замечательных иссле-
дований.
Устояв от соблазна «переписать» и расширить книгу, я внес
в текст много изменений, оставив нетронутым общий формат (и да-
же нумерацию страниц). Я дополнил библиографию и добавил до-
статочно много новых ссылок. Многие из них отсылают читателя
к открытым проблемам в оригинальном издании этой книги, кото-
рые тем временем были серьезно «атакованы» и по крайней мере
частично решены.
В гл. О содержатся примеры явных вычислений многогранников,
которые были проведены мной при помощи программной системы
PORTA [151]. Замечательно, что сейчас у нас есть гораздо более мощ-
ная и доступная программная система для вычисления и комбина-
торного анализа многогранников, созданная Михаэлем Йосвигом
и Евгением Гавриловым [225, 226, 227]. Попробуйте воспользовать-
ся ей!
Я хотел бы обратить внимание на две ставшие доступными в на-
стоящее время книги: «Лекции по дискретной геометрии» Иржи Ма-
тушека [382] и второе издание классической книги Бранко Грюнба-
ума «Выпуклые многогранники» [252], которое было анонсировано
в предисловии к изданию 1995 г. моей книги и наконец появилось
в 2003 г. Это полная перепечатка книги плюс более чем 100 страниц
замечаний, добавлений и новых ссылок. В 2005 г. Грюнбаум получил
за эту книгу премию Американского математического общества,
которой совершенно заслуженно была отмечена ее роль в том, что
она создала современную теорию многогранников1 и до сих пор
в значительной степени определяет ее развитие.
В связи с новым изданием я хочу поблагодарить своих редакто-
ров из издательства Шпрингер Тома фон Форстера, Йоахима Хайн-
1 Автор имеет в виду, в первую очередь, комбинаторную теорию многогранни-
ков.— Прим. ред.
Предисловие к седьмому изданию
15
ца, Ину Линдеманн и Анну Констант за их поддержку в течение
многих лет.
И наконец, из многих других людей, которым я благодарен, поз-
вольте мне назвать Торстена Хелдмана.
Берлин, 19 марта 2007 г.
Гюнтер М. Циглер
Глава О
Введение и примеры
Выпуклые многогранники — это фундаментальные геометриче-
ские объекты: в значительной степени геометрия многогранников
по сути есть геометрия самого пространства (Далее буквой d
обычно обозначается размерность.)
«Классический текст» Бранко Грюнбаума о выпуклых много-
гранниках [252] недавно отметил свой 25-летний юбилей1 и до сих
пор не теряет своей актуальности. Из более поздних книг, посвя-
щенных вопросам, связанным с /-векторами, отметим книги Макм-
аллена и Шепарда [403], Брёнстеда [133], Емеличева, Ковалёва
и Кравцова [570]. Упомянем также книги Стенли [515] и Хиби [274].
Среди самых последних работ отметим несколько отличных обзо-
ров, особенно статьи справочного характера Кли и Кляйншмидта
[329], а также Байер и Ли [63]. Много интересного материала содер-
жится также в работе Эвальда [201], а в работе Крофта, Фалконера
и Гая [168] представлено много задач для исследований.
Цель этой книги такова: не претендуя на энциклопедичность,
мы попытаемся представить введение в основные методы и совре-
менные средства теории многогранников вместе с наиболее яркими
моментами (преимущественно с доказательствами). То обстоятель-
ство, что, начав с несложных вещей, мы можем быстро достичь
удивительных результатов, связано с недавним прогрессом в ряде
областей теории многогранников, которая является неповторимой
в своей простоте. Например, имеется ряд замечательных работ Гила
Калаи (см. гл.З!), которые кратки, оригинальны и быстро стали
классикой. (Даже немного странно, что столь естественные и кажу-
щиеся простыми идеи так долго никому не приходили в голову.)
В наших лекциях мы сосредоточимся на комбинаторных аспек-
тах теории многогранников. Разумеется, наша геометрическая ин-
туиция происходит из жизни в R3 (в пространстве, которое кое-
1 Лекции написаны в 1994 г. —Прим, перев.
Глава 0. Введение и примеры
17
кто из нас по ошибке принимает за «реальный мир», с пагубными,
как следовало бы знать, последствиями). Здесь хотелось бы пре-
дупредить: наша задача (а также и развлечение) отчасти состоит
в том, чтобы увидеть, как трехмерная интуиция может сбить с пу-
ти каждого: существует много теорем о трехмерных многогранни-
ках, аналоги которых в более высоких размерностях неверны. Та-
ким образом, одна из основных задач теории многогранников —
это разработка инструментария для исследования и, по возможно-
сти, для «визуализации» геометрии многомерных многогранников.
Диаграммы Шлегеля, диаграммы Гейла, конструкция Лоуренса —
вот известные инструменты для анализа того, как на самом деле
выглядят многогранники в d-мерном пространстве.
Обозначение 0.0. Мы будем придерживаться обозначений, ко-
торые предназначены для того, чтобы все записываемые выражения
были «очевидно» инвариантны относительно замены координат.
В дальнейшем Rd представляет собой векторное пространство
всех вектор-столбцов длины d с вещественными координатами.
Аналогично (Rd)* обозначает двойственное векторное простран-
ство, а именно вещественное векторное пространство всех ли-
нейных функций Rd R. Они задаются вещественными вектор-
строками длины d.
Символы х, х0, хъ ...,у,z всегда обозначают вектор-столбцы из
Rd (или из Rd±1), которые представляют собой (аффинные) точки.
Матрицы X, У, Z,... представляют собой множества вектор-столб-
цов; таким образом, обычно они являются (d х т)- или (d х и)-мат-
рицами. При этом порядок столбцов в таких множествах не важен.
Кроме того, нам понадобятся единичные векторы et из Rd,
которые являются вектор-столбцами, а также вектор-столбцы 0
и 1 = Sei, составленные из одних нулей и из одних единиц соот-
ветственно.
Символы а, а0, аь Ъ, с,... всегда обозначают вектор-строки
из (Rd)*, которые представляют собой линейные формы. Более того,
вектор-строка ae(Rd)* представляет собой линейную форму
£ = £a: Rd -► R, х^ах.
Здесь ах — это скаляр, полученный как матричное произведение век-
тор-строки (т. е. (1 х d)-матрицы) и вектор-столбца (т. е. (d х ^-мат-
рицы). Матрицы, обозначаемые через А, А', В,..., представляют со-
18
Глава 0. Введение и примеры
бой множества вектор-строк, т. е. обычно это (гл х d)- или (и х d)-MaT-
рицы. Более того, порядок строк при этом не важен.
Мы будем использовать обозначение 1 = (1,..., 1) для вектор-
строки из (Rd)* или (Rd±1)*, состоящей из одних единиц. Таким
образом, 1х — сумма координат вектор-столбца х. Аналогично
О= (0,...,0)
обозначает вектор-строку из одних нулей.
Жирный шрифт зарезервирован для векторов; для скаляров
используется курсив: a, b, с, d,x,y,... Таким образом, координаты
вектор-столбца х будут обозначаться хъ ...,xdGR, а координаты
вектор-строки а — соответственно а1?..., ad.
Основными объектами в любых геометрических рассуждениях
служат точки, прямые, плоскости и т.д., которые являются аффин-
ными подпространствами и также называются (аффинными) плос-
костями. Среди них выделяют векторные подпространства в Rd (со-
держащие начало координат 0GRd), которые называются линейны-
ми подпространствами. Таким образом, непустые аффинные под-
пространства получаются из линейных подпространств параллель-
ным переносом.
Размерность аффинного подпространства — это размерность со-
ответствующего линейного векторного подпространства. Аффин-
ные подпространства размерностей 0,1,2 и d - 1 в Rd называют-
ся точками, прямыми, плоскостями и гиперплоскостями соответ-
ственно.
Для понимания лекций нет необходимости в особых математи-
ческих знаниях: мы лишь предполагаем, что слушатель/читатель
имеет хотя бы некоторое представление о вещественном аффин-
ном пространстве Rd, заменах координат и аффинных отображе-
ниях х —> Ах + х0, которые представляют собой аффинные замены
координат, если А — невырожденная квадратная матрица, и произ-
вольные аффинные замены в общем случае.
В действительности большая часть наших результатов инвари-
антна относительно аффинной замены координат. В частности, точ-
ная размерность объемлющего пространства, как правило, не важ-
на. Если мы обычно говорим «d-многогранник в Rd», то лишь по-
тому, что это звучит гораздо более конкретно, чем описание, начи-
нающееся словами «Пусть V — конечномерное аффинное простран-
ство над упорядоченным полем...».
Глава 0. Введение и примеры
19
Мы принимаем без доказательства тот факт, что аффинные под-
пространства могут быть описаны с помощью линейных уравнений
как аффинный образ некоторого векторного пространства или
как множество всех аффинных комбинаций конечного множества
точек,
{п х
х G Rd: х = Лохо + ... + Лпхп, G R, ^Af = 1 k
i=0 J
Это значит, что любая аффинная плоскость может быть описана
и как пересечение аффинных гиперплоскостей, и как аффинная обо-
лочка конечного множества точек (т. е. пересечение всех аффинных
плоскостей, содержащих это множество). Множество из п 0 то-
чек называется аффинно независимым, если его аффинная оболочка
имеет размерность п -1, т. е. если каждое его собственное подмно-
жество имеет меньшую аффинную оболочку.
Множество точек К с Rd называется выпуклым, если вместе
с любыми двумя своими точками х, у G К оно также содержит и пря-
молинейный отрезок
[х,у] = {Лх+ (1 -Л)у: 0 Л 1}.
Например, затененное множество на следующем рисунке справа яв-
ляется выпуклым, а слева—нет (это одно из немногих невыпуклых
множеств в этой книге).
Очевидно, что любое пересечение выпуклых множеств также
является выпуклым и само пространство Rd также выпукло. Значит,
для любого множества К с Rd «наименьшее» содержащее его выпук-
лое множество, называемое выпуклой оболочкой множества К, мо-
жет быть построено как пересечение всех содержащих К выпуклых
множеств:
conv(K) := р|{К' с Rd: к с к', К' выпуклое}.
20
Глава 0. Введение и примеры
На нашем эскизе показаны подмножество К плоскости (выделено
черным) и его выпуклая оболочка conv(K), которая является семи-
угольником, включающим в себя затененную часть.
Для любого конечного подмножества {х1,...,хк}ски парамет-
ров ..., 0, удовлетворяющих условию Ах + ... + Afc = 1, вы-
пуклая оболочка conv(K) должна содержать точку А^ +... + Afcxfc;
это утверждение можно получить с помощью индукции по к, ис-
пользуя равенство
A1x1 + ... + Afcxfc = (1-Ак)(дф1^х1 + ...+
для Afc < 1. Например, на следующем рисунке изображены отрезки,
попарно стягивающие точки из отмеченной четверки, а также вы-
пуклая оболочка этих точек (закрашенная область).
Геометрически это означает, что вместе с каждым конечным
подмножеством Ко с к выпуклая оболочка conv(K) должна также
содержать и проекцию симплекса, натянутую на Ко. Это доказывает
включение «2» в соотношении
convw = {лл + ... + ЛЛ: <х,....xj СК.Л, г (ф, - 1}.
Правая часть этого равенства, как легко видеть, задает выпуклое
множество, поэтому требуемое равенство доказано.
Если же множество К = {хъ ..., xn} с является конечным, то
мы видим, что его выпуклой оболочкой будет множество
conv(K) = +... + Anxn: п 1, Af 0, £ А, = 1|.
Далее мы дадим две версии определения многогранника. (Сле-
дуя Грюнбауму, мы говорим о «многогранниках», не упоминая ело-
Глава 0. Введение и примеры
21
во «выпуклость»: в этой книге мы не рассматриваем невыпуклые
многогранники.) Две версии математически (но не алгоритмиче-
ски) эквивалентны. Доказательство эквивалентности двух подходов
нетривиально, и мы займемся им в гл. 1.
Определение 0.1. Будем называть 'У-многогранником выпуклую
оболочку конечного множества точек в некотором пространстве Rd.
Назовем -полиэдром пересечение конечного числа замкнутых
полупространств в некотором пространстве Rd. Тогда Ж-многогран-
ник— это -полиэдр, который ограничен, т. е. не содержит луча
{х + ty: t 0} для любого у / 0. (Это определение «ограниченно-
сти» хорошо тем, что в нем не используется метрика или скалярное
произведение и что оно, очевидно, инвариантно относительно аф-
финных замен координат.)
Назовем многогранником множество точек Р с Rd, которое удо-
влетворяет одному из определений У-многогранника или ^-мно-
гогранника.
Размерность многогранника — это размерность его аффинной
оболочки.
Назовем d-многогранником многогранник размерности d в неко-
тором пространстве Re (е d).
Будем называть два многогранника Р с и Q с аффинно
эквивалентными и обозначать Р = Q, если существует аффинное
отображение /: Rd —> Re, которое осуществляет биекцию между точ-
ками этих двух многогранников. (Эта биекция не обязана быть инъ-
екцией или сюръекцией «объемлющих пространств».)
На рисунках мы постарались изобразить оба подхода: слева изоб-
ражен пятиугольник, построенный как выпуклая оболочка пяти то-
чек (У-многогранник), а справа —тот же пятиугольник как -мно-
гогранник, т. е. как пересечение пяти слегка затененных полупро-
странств (ограниченных пятью жирными линиями).
Обычно мы без ограничения общности предполагаем, что изу-
чаемые многогранники являются полномерными, т. е. d обозначает
22
Глава 0. Введение и примеры
одновременно и размерность изучаемого многогранника, и размер-
ность объемлющего пространства Rd.
В этих лекциях мы обратим особое внимание на комбинаторные
свойства граней многогранников, т. е. пересечений многогранника
с гиперплоскостями, для которых весь многогранник лежит в од-
ном из двух замкнутых полупространств, определяемых гиперплос-
костью. Мы дадим точное определение и описание граней в следу-
ющих двух главах. На данный момент мы полагаемся на интуицию,
вытекающую из «жизни в малых размерностях», используя тот факт,
что мы вполне хорошо представляем себе, как «выглядит» 2- или
3-многогранник. Мы рассматриваем сам многогранник как триви-
альную грань; все остальные грани называются собственными. Пу-
стое множество также является гранью каждого многогранника.
Менее тривиально, что в качестве граней могут выступать верши-
ны многогранника, которые являются отдельными точками, ребра,
которые являются одномерными отрезками, и гиперграни, т. е. мак-
симальные собственные грани, размерность которых ровно на еди-
ницу меньше размерности самого многогранника.
Мы говорим, что два многогранника Р и Q комбинаторно эк-
вивалентны (обозначение: P~Q), если существует биекция между
множествами их граней, которая сохраняет отношение включения.
Это есть очевидное, неметрическое понятие эквивалентности, кото-
рое основано только на комбинаторной структуре многогранника;
более строго мы обсудим это определение в § 2.2.
Пример 0.2. Нульмерные многогранники — это точки, а одно-
мерные —- отрезки. Таким образом, любые два 0-многогранника аф-
финно изоморфны, так же как и любые два 1-многогранника.
Двумерные многогранники (2-многогранники) называются мно-
гоугольниками. Многоугольник с п вершинами называется п-уголь-
ником. В двумерном случае из выпуклости следует, что все внутрен-
ние углы при вершинах должны быть меньше чем л. На следующем
рисунке изображен пример выпуклого шестиугольника.
Глава 0. Введение и примеры
23
Два 2-многогранника являются комбинаторно эквивалентными
в том и только том случае, когда они имеют равное количество вер-
шин. Следовательно, мы можем использовать термин «выпуклый
п-угольник» для класса комбинаторной эквивалентности выпуклых
2-многогранников с п вершинами. На самом деле существует пре-
красный представитель этого класса: правильный п-уголъник,
Р2(п) •= conv{(cos(^^)’sin(^7^)) : 0 < п} - ^2-
На следующем рисунке показан правильный шестиугольник
Р2(6) в R2. Он комбинаторно, но не аффинно эквивалентен шести-
угольнику с предыдущего рисунка.
Пример 0.3. Тетраэдр — это известный геометрический объект
(трехмерный многогранник) в R3:
Аналогично его d -мерное обобщение образует первое (и про-
стейшее) бесконечное семейство многомерных многогранников,
которое мы будем рассматривать. Определим d-симплекс как вы-
пуклую оболочку d +1 аффинно независимых точек в Rn, и d.
Таким образом, d-симплекс —это многогранник размерности d
с d +1 вершиной. Естественно, что различные возможные обозна-
чения для d-симплекса приводят к путанице в частности потому,
что авторы книг и статей имеют свои собственные несогласованные
друг с другом соображения о том, что должен обозначать нижний
24
Глава 0. Введение и примеры
индекс: размерность или количество вершин. В дальнейшем мы все-
гда будем использовать нижний индекс для обозначения размерно-
сти многогранника (и это согласуется с нашим тяжеловесным обо-
значением Р2(п) для п-угольника).
Легко видеть, что любые два d-симплекса аффинно эквивалент-
ны. Тем не менее, часто удобно выделить некий канонический об-
разец. Мы будем использовать стандартный d-симплекс Ad с d +1
вершиной в Rd+1,
Ad := {х G Rd+1 : lx = 1, xf 0} = conv{ej,..., ed+1}.
Конструкция симплекса A2 в R3 проиллюстрирована на наших
рисунках:
известными объектами:
Рассматривая их непосредственное многомерное обобщение,
мы приходим к d-мерному гиперкубу (или, короче, к d-кубу)
Cd = {xeRd: -1 ^х, 1} = conv{{+l,-l}d}
и d -мерному кроссполитопу1
Cf = |xeRd: £|xj $ 1} = conv{e1,-e1, ...,ed,-ed}.
1 В литературе на русском языке используются также названия «гипероктаэдр»
и «ортаэдр». —Прим. ред.
Глава 0. Введение и примеры
25
Мы выбрали наши «стандартные образцы» таким образом, что-
бы они были симметричны относительно начала координат. В та-
ком виде существует тесная связь между двумя многогранниками
Cd и Cf: они удовлетворяют соотношениям
= {a G (Rd)*: ах $ 1 для всех х е Cd],
Cd = {а G (Rd)*: ах $ 1 для всех х G С^},
т. е. эти два многогранника полярны друг другу (см. § 2.3).
Теперь легко видеть, что d-мерный кроссполитоп является сим-
плициалъным многогранником, все собственные грани которого яв-
ляются симплексами, т. е. любая гипергрань имеет минимально воз-
можное число вершин, равное d. Аналогично d-мерный гиперкуб —
это простой многогранник: каждая вершина содержится в мини-
мально возможном числе гиперграней, равном d.
Классы простых и симплициальных многогранников очень важ-
ны. Действительно, выпуклая оболочка любого множества точек об-
щего положения в Rd является симплициальным многогранником.
Аналогично если мы рассмотрим систему неравенств общего вида
в Rd (т. е. плоскости, определяемые неравенствами, находятся в об-
щем положении), множество решений которой ограничено, то эта
система определяет простой многогранник. Наконец, эти два по-
нятия связаны полярностью: если многогранники Р и Рл полярны,
то один из них является простым в том и только том случае, когда
второй является симплициальным.
(Термины «в общем положении» и «общего вида» лучше всего
использовать с некоторой свободой — мы даем точное определение
только в том случае, когда становится ясно, сколько «общего поло-
жения» и «общего вида» на самом деле нужно. Можно даже гово-
рить о «достаточно общем положении»! Для наших целей обычно
достаточно требовать следующее: множество из п > d точек в Rd
находится в общем положении, если никакие d +1 из них не лежат
в одной аффинной гиперплоскости. Аналогично система из п > d
неравенств называется общей, если любая точка пространства об-
ращает в равенство не более чем d из них. Более подробно об этом
говорится в § 3.1.)
Отметим здесь еще один момент, благодаря которому d-куб
и d-кроссполитоп особенно замечательны: оба они являются пра-
вильными многогранниками — многогранниками с максимальной
26
Глава 0. Введение и примеры
симметрией (сейчас мы не будем давать точного определения).
Развита подробная и очень красивая теория правильных много-
гранников, которая включает в себя полную классификацию пра-
вильных и полуправильных многогранников во всех размерностях.
Многое можно узнать из комбинаторики и геометрии этих чрез-
вычайно симметричных объектов (это, по словам Питера Макмал-
лена, как «святыни у дороги, которым нужно поклониться на пути
к высшему»).
В нашем родном трехмерном пространстве классификация пра-
вильных многогранников дает пять хорошо известных платоновых
тел: тетраэдр, куб и октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Мы не приводим
здесь изображений икосаэдра и додекаэдра, но рекомендуем статью
Грюнбаума [257] с занятным объяснением того, насколько трудно
получить правильный чертеж (а также того, как это сделать).
Классическое изложение теории правильных многогранников
можно найти в книге Кокстера [164]; современные результаты см.
также в работах Мартини [379, 380], Г. Блинда и Р.Блинд [103],
Макмаллена и Шульте [404]. Эта тема интересна не только по «эс-
тетическим» соображениям, но также и вследствие ее тесной связи
с другими разделами математики, такими как кристаллография
(см. книгу Сенешаль [491]), теория конечных групп отражений
(«групп Кокстера», см. книги Гроува и Бенсона [249] или Хамфриса
[289]), системы корней и комплексы Титса (buildings, см. книгу
Брауна [135]), а также многими другими.
Пример 0.5. Существует несколько простых, но чрезвычайно
полезных воспроизводящих операций, которые производят «новые
многогранники из старых».
Если P — d-многогранник и х0 — точка вне его аффинной обо-
лочки (мы вкладываем Р в Rn при некотором п > d), то выпуклая
оболочка pyr(P) := conv(P U {х0}) является (d +1)-многогранником
и называется пирамидой над Р. Очевидно, что аффинный и комби-
наторный типы многогранника руг(Р) не зависят от конкретного
выбора точки х0 — достаточно просто поменять систему координат.
Гранями пирамиды руг(Р) являются все грани самого многогранни-
ка Р и все пирамиды над его гранями.
Наиболее известными примерами пирамид являются симплек-
сы (пирамида над Ad есть Ad+1) и египетская пирамида
Руг3 = РУг(Р2(4))
Глава 0. Введение и примеры
27
— пирамида над квадратом.
Похожим образом построим бипирамиду bipyr(P), выбрав две
точки х+ и х_ вне aff (Р) таким образом, чтобы некоторая внутренняя
точка отрезка [х+, х_] являлась внутренней точкой многогранника Р.
В качестве примера приведем бипирамиду над треугольником
и кроссполитоп, который можно получить последовательным по-
строением бипирамид над точкой:
bipyr(CdA) = cf+r
Особенно важно, что можно достаточно очевидно определить
произведение двух (или большего количества) многогранников: для
этого рассмотрим два многогранника Р с rp и Q с и положим
PxQ:={(*):xeP,yeQ}.
Мы получаем многогранник размерности dim(P) + dim(Q), непу-
стые грани которого являются произведениями непустых граней
многогранника Р и непустых граней многогранника Q.
В частности, получаем следующие объекты.
• Призма над многогранником Р —это произведение много-
гранника Р и отрезка:
prism(P) :=Рх Др
Этот многогранник полярен бипирамиде:
prism(P) = (Ыруг(Рл))л.
28
Глава 0. Введение и примеры
Наименьшая призма, представляющая интерес, —это призма над
треугольником Д2 х Др известная как треугольная призма.
• Кубы можно интерпретировать как многократные призмы над
точкой. В частности, Cd х [—1,1] = Са+1.
• Произведения симплексов являются очень интересными мно-
гогранниками, которые намного сложнее, чем могло бы показаться
(см. недоказанную гипотезу в задаче 5.3 (3)*). Рассмотрим лишь
Р := Д2 х А2 — произведение двух треугольников. Это 4-многогран-
ник с 9 вершинами. У него 6 гиперграней вида «ребро одного тре-
угольника х другой треугольник»; таким образом, все они суть тре-
угольные призмы. Более того, пересечение любых двух из них имеет
вид либо «один из треугольников х вершина другого», либо «ребро
одного х ребро другого». В любом случае пересечение двумерно.
Следовательно, любые две гиперграни многогранника Р смежны,
и РЛ = (Д2 х Д2)Л — это 4-многогранник с 6 вершинами, любые две
из которых смежны. Таким образом, РЛ — 2-смежностный 4-много-
гранник, не являющийся симплексом; у этого феномена не суще-
ствует трехмерного аналога (см. упражнение 0.0).
• Рассматривая произведения нескольких выпуклых многогран-
ников, мы можем построить «многогранники с большим числом
ал d
вершин». А именно, если а четно, то мы можем построить -крат-
ное произведение m-угольников, которое является d-мерным мно-
dm d/2 т-
гогранником «всего» с гипергранями, но с ma/z вершинами. Ес-
ли d нечетно, мы можем использовать призму над таким произве-
дением. (Как мы увидим в § 8.4, для фиксированной размерности
d эта простая конструкция многогранника с большим количеством
вершин асимптотически оптимальна.)
Пример 0.6. Кривая моментов в Rd определяется следующим
образом:
x:R-*Rd, t->x(t):=
t2
eRd.
Глава 0. Введение и примеры
29
Циклический многогранник Cd(tlftn) — это выпуклая оболочка
Са(Гп t„) := сотфсСгД x(tn)}
различных точек
< t2 < ... < tn, n>d,
на кривой моментов. Далее с использованием «условия четности
Гейла» мы увидим, что все точки x(t,) являются вершинами этого
многогранника и его комбинаторный тип не зависит от выбора па-
раметров Это делает правомерным как обозначение многогран-
ника через Cd(n), так и его название «циклический d-многогран-
ник с п вершинами». На следующем рисунке изображен многогран-
ник С3(6).
Проблема состоит в том, что в размерности 3 мы в действитель-
ности не можем увидеть, почему столь интересны циклические мно-
гогранники. Прежде чем доказать несколько фактов о циклических
многогранниках, проведем некоторые «эксперименты».
Мы используем программу «PORTA» Томаса Кристофа [150,151],
которая выдает полную систему неравенств, определяющих гипер-
грани исходя из списка вершин. Построим четырехмерный цикли-
ческий многогранник С4(8). Будем использовать параметры =£ — 1
для 1 i $ 8. Входным файлом для PORTA будет
DIM=4
CONV -SECTION
0 0 0 0
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
4 16 64 256
5 25 125 625
6 36 216 1296
7 END 49 343 2401
30
Глава 0. Введение и примеры
На выходе PORTA выдает (после 0,11 секунд вычислений) пол-
ную минимальную систему неравенств для выпуклой оболочки вве-
денных точек, а именно:
DIM = 4
VALID
7 49 343 2401
INEQUALITIES_SECTION
( 1) - 210x1 + 107x2 — 18x3 + х4 <= 0
( 2) - 140x1 + 83x2 - 16x3 + х4 <= 0
( 3) - 84x1 + 61x2 - 14x3 + х4 <= 0
( 4) - 42x1 + 41x2 - 12x3 + х4 <= 0
( 5) - 14x1 + 23x2 - 10x3 + х4 <= 0
( 6) + 6x1 - 11x2 + 6x3 - х4 <= 0
( 7) + 12x1 - 19x2 + 8x3 - х4 <= 0
( 8) + 20x1 - 29x2 + 10x3 - х4 <= 0
( 9) + 30x1 - 41x2 + 12x3 - х4 <= 0
( 10) + 42x1 - 55x2 + 14x3 - х4 <= 0
( И) + 50x1 - 35x2 + 10x3 - х4 <= 24
( 12) + 78x1 - 49x2 + 12x3 - х4 <= 40
( 13) + 112x1 - 65x2 + 14x3 - х4 <= 60
( 14) + 152x1 - 83x2 + 16x3 - х4 <= 84
( 15) + 154x1 - 71x2 + 14x3 - х4 <= 120
( 16) + 216x1 - 91x2 + 16x3 - х4 <= 180
( 17) + 288x1 - 113x2 + 18x3 - х4 <= 252
( 18) + 342x1 - 119x2 + 18x3 - х4 <= 360
( 19) + 450x1 - 145x2 + 20x3 - х4 <= 504
( 20) + 638x1 - 179x2 + 22x3 - х4 <= 840
END
В частности, у этого многогранника 20 гиперграней.
С опцией «-v» программа PORTA также выдает матрицу инци-
дентностей между вершинами и гипергранями, которая приведена
на следующей странице. Из этой матрицы мы можем вывести пол-
ное комбинаторное строение многогранника.
В этой матрице инцидентности между вершинами и гипергра-
нями обозначены звездочками. Из матрицы мы можем определить,
что С4(8) — симплициальный многогранник, так как каждая его ги-
пергрань имеет ровно 4 вершины, соответствующие ровно 4 звез-
дочкам в каждом ряду; это также записано в последнем столбце.
Глава 0. Введение и примеры
31
Кроме того, мы видим, что каждая вершина принадлежит ровно 10
гиперграням, так как в каждом столбце по 10 звездочек (это также
записано в нижних строках матрицы).
\ р \ 0 I \ I N \ N 1 1 1 1 1 6 1 1 1 #
Е \ Т Q \ S S \ \ 1 1 1 1 1 1 1 1
— — — —
1 1 . *** : 4
2 1 *... * *. * : 4
3 1 *..** . . * : 4
4 1 *.**. . . * : 4
5 1 ***.. . . * : 4
6 1 ****. . . . : 4
7 1 **,** . . . : 4
8 1 **,.* *. . : 4
9 1 **... **. : 4
10 1 **... . ** : 4
11 1 .**** . . . : 4
12 1 .** . * *. . : 4
13 1 .. **. : 4
14 1 . ** : 4
15 1 ..*** *. . : 4
16 1 ... ♦ *. : 4
17 1 ... . ** : 4
18 1 ...** **. : 4
19 1 ...** . ** : 4
20 1 ... .* *** : 4
# 1 11111 1 00000 111 000
В строках матрицы мы можем заметить следующую особен-
ность, известную как «условие четности Гейла»: каждый отрезок
из последовательных звездочек имеет четную длину, кроме случая,
32
Глава 0. Введение и примеры
когда этот отезок начальный или конечный, т. е. если он и предваря-
ется точкой, и завершается точкой. (Вершины многогранника Cd(n)
обозначены через 1,..., и, где i соответствует x(tf).)
Отсюда можно вывести, что любые две вершины многогран-
ника смежны, т. е. соединены ребром. Также это можно проверить
напрямую: каждая пара вершин содержится не менее чем в 3 ги-
пергранях. Так, ребро 12 содержится в гранях (5) = 1238, (6) = 1234,
(7) = 1245, (8) = 1256, (9) = 1267 и (10) = 1278. Аналогично ребро 13
содержится в гранях (4) = 1348, (5) = 1238 и (6) = 1234.
В завершение отметим, что у этого многогранника имеется ком-
бинаторная симметрия, которая отображает вершину i в вершину
9 — i; см. упражнение 0.7.
Приведенные ниже теорема и следствие содержат полное описа-
ние комбинаторной структуры циклических многогранников, кото-
рую нам подсказали наши вычисления. Здесь мы отступим от обе-
щания не приводить во введении никаких доказательств, главным
образом потому, что эти доказательства интересны, а результаты
немного удивительны (см. следствие 0.8!).
Теорема 0.7 (условие четности Гейла [221]). Пусть n>d^2. Бу-
дем обозначать множество {1,..., п} через [и]. Выберем веществен-
ные параметры tx < t2 < • • • <tn.
Циклический многогранник
CdM = conv{x(t!), ...,x(tn)}
является симплициалъным d-многогранником, причем d-подмно-
жество S с [и] образует его гипергрань, если и только если выпол-
нено следующее «условие четности».
Если i<j не входят в S, то количество чисел k^S между i и j
четно:
2|#{k: k е S, i <к < j} для i,j ф S.
Доказательство. Напомним известное тождество для опреде-
лителя Вандермонда:
( 1 1 ... 1 А
det , . , . , . = det
I x(t0) x(tj) ... x(td)J
1 1 ... 1
t0 tl . • • td
td-l td-l td-l
Lq ... Ld
to t? -
П Uj-ti).
Глава 0. Введение и примеры
33
Это равенство несложно получить, если заметить, что обе его
части — это многочлены, которые обращаются в нуль, если = tj
ддя некоторых i / j. Из равенства можно заметить, что никакие
d +1 точек на кривой моментов не являются аффинно зависимыми.
В частности, это доказывает, что Cd(n) — симплициальный d-много-
гранник.
Рассмотрим подмножество S = {ц,..., id} с [и]. Гиперплоскость
Hs, проходящая через соответствующие точки x(tis), задается урав-
нением
Hs = {x€Rd:Fs(x) = 0},
где
(1 1 ... 1 А
Fs(x) := det
5 \^х x(tfl) ... x(tld)J
Действительно, Fs(x)— линейная функция от х, принимающая ну-
левое значение в заданных точках.
(Читателю было бы полезно проверить хотя бы для одного-двух
примеров, что неравенства, полученные нами для С4(8), имеют вид
±Fs(x) rs для некоторого вещественного rs.)
Теперь пусть точка x(t) двигается по кривой моментов {x(t): t G
GR}. Заметим, что Fs(x(t))-—это многочлен степени d от перемен-
ной t. У него ровно d различных корней tis, в каждом их которых он
меняет знак. Мы попытались проиллюстрировать это на следующем
рисунке.
Подмножество S образует грань в том и только том случае, когда
Fs(x(tf)) имеет один и тот же знак для всех точек x(tf), i G [и] \S, т. е.
34
Глава 0. Введение и примеры
если Fs(x(t)) имеет четное количество перемен знака между Г = Гг
и t = tj для i<j и i, j G [n]\S. □
В частности, полученный критерий показывает, что комбинато-
рика многогранника Cd(tj,..., tn) не зависит от конкретного выбора
параметров таким образом, многогранник Cd(n) корректно опре-
делен как класс комбинаторно эквивалентных многогранников.
Довольно просто расширить условие четности до описания всех
граней многогранника Cd(n). Из этого описания также можно полу-
чить приведенное ниже следствие (см. упражнение 0.8), для кото-
рого мы приводим независимое доказательство.
Следствие 0.8. Любой циклический многогранник Cd(n) явля-
I d I , с d
ется I 2 I -смежностным, т. е. любое множество S из не более чем %
вершин образует грань.
Доказательство. Пусть Cd(n) = Cd(tj,..., tn), tj < ... < tn. Рас-
смотрим произвольное множество Г = {ц, ...,ifc} Q [п] мощности
к Выберем достаточно малое е > 0, удовлетворяющее условиям
tt < + е < ti+1 для всех i < п, и некоторое М > tn + е.
Используя х(М +1), х(М4-2)... в качестве дополнительных «до-
статочно удаленных» точек, мы определим линейную функцию FT(x)
как
р 1 1 ... 1 1 1 ... 1 Л
det\^x x(th) хС^+е) ... x(tlfc) x(tifc+e) х(М+1) ... x(M+d-2k)J’
Это линейная функция от х, которая обращается в нуль в точках
x(tj), если i G Т. Если мы внимательно посмотрим на функцию
FT(«xr(t)), то заметим, что она является многочленом от t степени
d, у которого имеется d «очевидных» различных корней
L, ..., L, tn+e, М + 1 ..., M + d-2k.
Ч Ч 1к 1к
Для любых i, j G [и] \Т между t = и t = tj содержится четное коли-
чество нулей, так как корень t = всегда идет в паре с t = + е.
Таким образом, FT(x(t)) имеет один и тот же знак во всех точках
x(tf):iG[n]\T. □
Для d 3 следствие 0.8 утверждает лишь, что точки x(tf) явля-
ются вершинами многогранника Cd(n): точки на кривой моментов
находятся в выпуклом положении. Тем не менее, для d 4 след-
ствие 0.8 приводит к несколько парадоксальному выводу: оно опи-
сывает свойство, которое не проявляет себя в размерностях d 3.
А именно, для d 4 многогранник Cd(n) имеет п попарно смежных
вершин, где п может быть намного больше, чем d.
Глава О. Введение и примеры
35
В общем случае мы будем называть d-многогранник к-смеж-
ностным, если любое подмножество из к или менее вершин явля-
ется множеством вершин некоторой его грани. В упражнении 0.10
мы увидим, что, за исключением симплексов, не существует мно-
гогранников, которые являются более чем I - I -смежностными. По-
Idl L2J
этому I 2 J-смежностные многогранники также называют просто
смежностными многогранниками. Таким образом, по следствию 0.8
циклические многогранники являются смежностными.
Смежностные многогранники обладают рядом экстремальных
свойств. Это одна из причин их важности. К примеру, знаменитая
теорема о верхней границе, доказанная Макмалленом (которую мы
сформулируем и докажем в § 8.4), утверждает, что среди всех d-мно-
гогранников с п вершинами смежностные имеют наибольшее коли-
чество гиперграней. В частности, не существует d-многогранника
с п вершинами с большим количеством гиперграней, чем у цикли-
ческого многогранника Cd(n).
Пример 0.9. Если мы применим аффинное отображение я к
многограннику Р, то получим новый многогранник л(Р): это до-
статочно очевидно из определения У-многогранника (см. опреде-
ление 0.1). Если аффинное отображение инъективно, то многогран-
ник п (Р) (аффинно) изоморфен изначальному, и этот случай инте-
реса не представляет.
Однако мы можем рассматривать и аффинные отображения, ко-
торые переводят Р в многогранник меньшей размерности.
В частности, выпуклая оболочка
conv{xj, ...,хп} с
36
Глава О. Введение и примеры
может быть интерпретирована как образ стандартного симплекса
An-i Rn под действием линейного отображения л: —► Rd, пере-
водящего ef в xf. Это отображение обычно геометрически понима-
ется как проекция многогранников (что подразумевает некоторый
специальный выбор координат, где Rd вложено в Rn как подпро-
странство). Мы получаем, что (У) многогранник есть то же самое,
что и проекция симплекса, и что любая проекция многогранника
также является многогранником.
Многогранник Р с Rd называется центрально-симметричным,
если у него есть центр: такая точка х0 GRd, что х0 + хеР в том
и только том случае, когда х0 — хеР. Любой аффинный образ (про-
екция) кроссполитопа является центрально-симметричным много-
гранником: если
Р = {Ах + х0: х е С^},
то Р — центрально-симметричный многогранник с центром х0. На
самом деле любой центрально-симметричный многогранник явля-
ется проекцией кроссполитопа (см. упражнение 0.2).
Проекции кубов, которые называются зонотопами, образуют
особо интересный класс многогранников. К примеру, с их помощью
можно описывать структуру конфигураций линейных гиперплоско-
стей (см. гл. 7).
Пример 0.10. Перестановочный многогранник (или пермуто-
эдр) nd_j с Rd определяется как выпуклая оболочка множества
flA
точек, получающихся перестановками координат вектора
всей видимости, впервые перестановочный многогранник был ис-
следован Шуте [481] в 1911 г.; следующий рисунок взят из его книги
[481, рис. 4].
Глава 0. Введение и примеры
37
Пермутоэдр является очень интересным многогранником. Действи-
тельно, это простой зонотоп (см. упражнение 0.3), что встречается
не часто. Его вершины можно отождествить с перестановками из 5^
(а именно, сопоставлением вершины
перестановке, которая
\xdJ
отображает xt в i) таким образом, что две вершины будут соеди-
нены ребром в том и только том случае, когда соответствующие
перестановки будут отличаться транспозицией соседних элементов.
Проверьте это на примере перестановочных многогранников П2:
132
и П3:
Существует простое комбинаторное описание всех граней много-
гранника Щ.р его k-граням соответствуют упорядоченные разби-
ения множества [d] на d - к непустых частей. Так, вершинам соот-
38
Глава 0. Введение и примеры
ветствуют перестановки, а гиперграням — разбиения множества [d]
на части (S, [d]\S), где 0cSc [d].
Перестановочный многогранник является классическим объек-
том; дополнительные ссылки см. в книге [96, пример 2.2.5]. Мы
снова встретимся с пермутоэдром в качестве зонотопа в § 7.3 и в
качестве секционного многогранника (многогранника монотонных
путей для куба) — в § 9.2.
Имеется значительно более современный аналог перестано-
вочного многогранника; это ассоциэдр, или ассоциативный много-
гранник Кп_2, впервые комбинаторно описанный Сташефом [522]
в 1964 г. и построенный как выпуклый многогранник Джоном Мил-
нором (неопубликовано), Марком Хэйменом [266] и Карлом Ли
[355]). Вершины этого (простого) многогранника соответствуют
всем ” (2ПП_ способам расставить скобки в строке из п символов,
т. е. всем различным произведениям п членов аь а2,ап, если
произведение неассоциативно. Две вершины соединены ребром
в том и только том случае, когда соответствующие им расстановки
скобок отличаются одним применением закона ассоциативности.
Наш рисунок изображает пятиугольник, который мы рассматрива-
ем как Кп_2 для и = 4:
(**)(**)
((**)*)*<Z^ х. *(*(**))
(*(**))* *((**)*)
Хотя первые конструкции ассоциативного многогранника были
очень специальными, в гл. 9 мы получим ассоциэдр при помощи
очень естественной конструкции, принадлежащей Гельфанду, Зеле-
винскому и Капранову [231, 232], как «вторичный многогранник»
п-угольника [231, замечание 7с]. Более того, в гл. 9 мы построим
более общие «секционные многогранники», которые были введены
Биллерой и Штурмфельсом в работах [78, 79].
Недавно Капранов [313] построил новый комбинаторный объ-
ект ХПП_1 — пермуто-ассоциэдр (или перестановочный ассоциэдр),
который сочетает в себе свойства перестановочного и ассоциатив-
ного многогранников (Капранов обозначил его КРп). Его верши-
ны соответствуют различным способам перемножения п членов
Глава 0. Введение и примеры
39
а1? а2,ап в произвольном порядке в предположении, что произ-
ведение не ассоциативно и не коммутативно. Здесь опять имеется
естественный способ описать все его грани. На чертеже изображен
КП2 -12-угольник.
Капранов [313] показал, что комбинаторно определенный объект
для любого п 2 может быть реализован как клеточный
комплекс, который является топологическим шаром. Вопрос о ре-
ализации пермуто-ассоциэдра (или «капранотопа») как выпуклого
многогранника был решен в нашей совместной работе с Виктором
Райнером [453] в то время, когда я впервые читал эти лекции (см.
§9.3).
Пример 0.11. Класс очень интересных многогранников возни-
кает в теории комбинаторной оптимизации: это класс 0/1-много-
гранников, у которых координаты всех вершин равны 0 или 1 (ср.
с книгой Шрайвера [484] и статьей Циглера [577]). Другими сло-
вами, 0/1-многогранник —это выпуклая оболочка некоторого под-
множества вершин (единичного) куба.
Несложно заметить, что (d - 1)-симплекс Aj-i является
0/1-многогранником. Аналогично можно определить и гиперсим-
плекс Д^-^к) в как
( d 'I
Ad_i(k) = conv^ v G {0, l}d: ц = k > =
I i=i J
( d
= jx G IRd: 0 Of 1 для 1 i d, = Jc
I i=i
где l^k^d-1.
40
Глава 0. Введение и примеры
Это семейство включает в себя и стандартный симплекс, так
как Ad_x = Ad_1(l). Гиперсимплекс Ad_j(k) имеет вершин
и 2d гиперграней в случае, когда 2^k^d-2 (и только d гипергра-
ней для k = 1 и k = d - 1). Например, трехмерный гиперсимплекс
А3(2) CR4 комбинаторно эквивалентен октаэдру.
Видимо, впервые гиперсимплексы появились в работе Габриэ-
лова, Гельфанда и Лосика [218, раздел 1.6] о теории характеристи-
ческих классов. См. также работу Гельфанда, Горески, Макферсона
и Сергановой [229] и упражнение 5.3(1). Несомненно, эти много-
гранники заслуживают дальнейшего исследования.
Пример 0.12. Наиболее «классический» класс 0/1-многогран-
ников (введенный Биркгофом [83] в 1946 г.) возникает из следу-
ющей конструкции. Пусть 5^ обозначает семейство всех переста-
новок множества [d]. Каждой перестановке ст из 5^ сопоставим
матрицу Ха, заданную своими элементами
(1, еслист(0 = к
Ха *= л J
' (0 иначе.
Матрицы Ха являются 0/1-матрицами с ровно одной единицей
в каждой строке и каждом столбце. Если мы отождествим с мно-
жеством всех (d х dj-матриц, то матрицы Xе7 будут 0/1-векторами
в Kdxd, и их выпуклая оболочка образует 0/1-многогранник
P(d) := conv{Xa: ст G 5^} с
Это интересный многогранник с множеством названий: многогран-
ник Биркгофа, многогранник паросочетаний ддя Kd d, многогранник
назначений, многогранник дважды стохастических матриц и т. д.
Многогранник P(d) имеет d! вершин (по построению), d2 ги-
перграней и размерность (d - I)2. На самом деле он полностью
определяется следующим образом:
P(d) = |% G Rdxd: 0 для 1 i,j d,
d
J] = 1 для 1 i d,
k=l
d 1
E xkj = 1 для 1 j d k
k=i J
Это несложно доказать самостоятельно (проделайте это!). Опи-
санный выше результат был получен независимо Биркгофом [83]
Глава 0. Введение и примеры
41
и фон Нейманом [421]. (См. также вариант Ловаса и Пламмера
в книге [369].) Таким образом, многогранники Биркгофа «хоро-
шо описаны», т. е. нам известны все их вершины и гиперграни.
Среди многих других интересных свойств отметим, что много-
гранник P(d) имеет каноническую центральную точку, задаваемую
1 . .
условиями Ху = для всех i и j.
Бруальди и Гибсон в серии из четырех работ [136] провели по-
дробное исследование многогранников Биркгофа. Тем не менее все
еще остаются вопросы.
Пример 0.13. Опишем класс более сложных 0/1-многогранни-
ков. Для этого рассмотрим известную задачу коммивояжера [350],
в которой требуется найти кратчайший цикл (маршрут), проходя-
щий по всем вершинам полного графа Кп на п вершинах, при усло-
вии, что известны длины всех ребер. Например, в приведенном ни-
же графе (и = 6) длина задается евклидовым расстоянием и крат-
чайший маршрут представлен толстыми линиями.
Каждый маршрут коммивояжера можно рассматривать как подмно-
жество Т QE(Kn) из п ребер нашего графа. Каждому маршруту Т
соответствует его «характеристический вектор»
Хт е {0,1}® с R©
— такой 0/1-вектор, у которого компоненты показывают, какие реб-
ра принадлежит маршруту, а какие нет. Теперь определим много-
гранник коммивояжера Q(n) как
Q(n) := conv{/T € {0,1}G) : Г—маршрут в Кп}.
Несложно видеть, что Q (и) — многогранник размерности
(п\ _ п(п —3)
I2J П~ 2 ’
Мы знаем все вершины многогранника Q(n) —это все га-
мильтоновых путей в графе Кп. Теперь для ответа на вопрос о крат-
42
Глава 0. Введение и примеры
чайшем пути нам достаточно найти вершину, минимизирующую
линейную функцию. Таким образом, задача коммивояжера —это
задача линейного программирования для многогранника Q(n).
Аналогично можно определить многогранники Q'(n), соответ-
ствующие асимметричной задаче коммивояжера, в которой нужно
найти кратчайший направленный маршрут в полном ориентиро-
ванном графе К'п с п вершинами, где длина каждого из и (и — 1) на-
правленных ребер задана. Соответствующий многогранник Q'(n) £
с Rn ”п имеет размерность и2 - Зп +1 (для п 3) и (п -1)! вершин.
Чтобы показать, насколько эти многогранники сложно устрое-
ны, мы упомянем недавний результат Биллеры и Сарангараджана
[76] о том, что каждый 0/1-многогранник изоморфен грани много-
гранника Q'(n) для достаточно большого и. Небольшой трюк Кар-
па [317], [295] показывает, что асимметричный многогранник ком-
мивояжера (точнее, его изоморфная копия) Q'(n) является гранью
симметричного многогранника коммивояжера Q(2n). Таким обра-
зом, результат Биллеры и Сарангараджана [76] применим и к сим-
метричному многограннику коммивояжера.
С помощью линейного программирования мы могли бы эф-
фективно решить задачу коммивояжера, если бы сумели справить-
ся с двумя основными препятствиями: мы не знаем неравенств,
определяющих гиперграни многогранников Q(n) (соответственно
Q'(n)), и этих гиперграней просто очень много.
В следующей главе мы опишем общий метод нахождения гипер-
граней многогранника, заданного в виде Q = conv(V). Этот метод
используется в программе PORTA. С его помощью были получены
полные описания многогранников коммивояжера вплоть до Q(8)
и О' (6); см. упражнения 0.14 и 1.1 (4). Тем не менее, кажется, дальше
этот метод не годится: в общем случае алгоритмическое определе-
ние всех гиперграней многогранника Q становится гораздо слож-
нее и требует больше усилий, чем исследование всех вершин этого
многогранника.
Задача нахождения некоторых гиперграней с использованием
комбинаторных свойств задачи коммивояжера является централь-
ным вопросом целого раздела математики, называемого «полиэд-
ральная комбинаторика», — см. работы Грётшеля и Падберга [247],
а также Юнгера, Райнельта и Ринальди [295], в которых дается
основательное введение в тему, включающее детальные сведения
о структуре многогранников Q(n) и Q'(n).
Примечания
43
Примечания
Основные «классические» работы по теории многогранников —
это исследования Шлефли 1852 г. [473], опубликованные в 1901 г.,
книги Брюкнера [138] (1900 г.), Шуте [480] (1905 г.) и Соммервилля
[506] (1929 г.), а также книга Штейница и Радемахера [527] (1934 г.)
о трехмерных многогранниках. (Очень полезную библиографию
можно найти в книге Соммервилля [507].) Современная теория
многогранников1 началась в 1967 г. с книги Грюнбаума [252]. Необ-
ходимо подчеркнуть, что Грюнбаум не только собрал в своей книге
бблыпую часть известных к тому времени результатов, но его книга
также вобрала в себя многочисленные новые достижения и стала
источником новых гипотез, задач, идей и ссылок для всех, кто
изучает многогранники.
Есть и более новые книги и обзоры о многогранниках. Во мно-
гих из них основное внимание сосредоточено на вопросах, связан-
ных с теоремами о верхней и нижней границе, а также с g-теоремой
(среди таких работ можно выделить книги Макмаллена и Шепарда
[403], Брёнстеда [133], Стенли [515] и Хиби [274]), и на различных
вопросах теории /-векторов, см. гл. 8. Другие аспекты исследуются
в книге Барнетта о трехмерных многогранниках [45], в книге Шрай-
вера по оптимизации [484], в работе Кляйншмидта и Кли [329],
а также Байер и Ли [63]. Возможно, читателю будет интересно по-
знакомиться с монографией Паха [431].
В дальнейшем в наших лекциях мы будем избегать тем, относя-
щихся к выпуклым множествам и телам общего вида, так же как и
к большинству выпукло-геометрических свойств многогранников.
По этим вопросам мы отсылаем читателя к книгам Боннесена
и Фенхеля [124], Шнайдера [476] и Эвальда [201]. Мы же будем
обсуждать свойства выпуклых многогранников в терминах их вер-
шин, граней, гиперграней и т. д. (т. е. в терминах конечного семей-
ства комбинаторных данных) и избегать использования аппарата
опорных функций, отображений в ближайшую точку, расстояний,
объемов, интегрирования и т. д. Соответственно, в этой книге мы
не принимаем во внимание все метрические свойства многогран-
1 Здесь автор имеет в виду прежде всего комбинаторную теорию многогранников,
в то время как метрическая теория многогранников, начатая в работах Коши и Мин-
ковского, получила глубокое развитие в работах А. Д. Александрова и его школы. —
Прим. ред.
44
Глава 0. Введение и примеры
ников, такие как объем, площадь поверхности и ширина, которые
сами по себе являются частью очень увлекательной теории.
Мы также не рассматриваем вопросы, относящиеся к целым точ-
кам внутри выпуклых тел, — это привело бы нас к прекрасной тео-
рии, которую ее основатель Герман Минковский [407] назвал «гео-
метрией чисел». Современные результаты, относящиеся к геомет-
рии чисел, можно найти в книгах Касселса [143], а также Грубера
и Леккеркеркера [250]. Алгоритмические методы описаны в рабо-
тах Каннана [310], Лагариаса [346] и Шрайвера [484]. Рекомендуем
также прекрасный обзор Эрдёша, Грубера и Хаммера [199], в кото-
ром особое внимание уделяется задачам.
К сожалению, у нас нет времени и места для более серьезного об-
суждения аспектов линейной и целочисленной оптимизации, связан-
ных с выпуклыми многогранниками. Помимо многогранников ком-
мивояжера были широко изучены многие другие классы многогран-
ников. По-видимому, для практических приложений особенно важны
многогранники разрезов; см. книгу Деза и Лорана [185].
Необходимость в оптимизации на многогранниках при наличии
только частичной информации об их гипергранях приводит к «алго-
ритмам отсечений»: в книгах Шрайвера [484] и Ловаса, Грётшеля
и Шрайвера [246] объясняется мощная теория, которая лежит за
этим. О том, «как найти хорошее решение задачи коммивояжера,
если оно вам очень нужно», написано в двух недавних работах:
Райнельта [452] и Юнгера, Райнельта и Синела [296]. О впечатляю-
щем успехе методов отсечений для чрезвычайно громоздких задач
коммивояжера свидетельствуют статьи в «New York Times» [340]
и «New Scientist» [423], а также обзор Грётшеля и Падберга [248].
О дальнейшем успехе в гонке за «олимпийским золотом по реше-
нию задачи о коммивояжере» (т. е. за решением наиболее трудной
из когда-либо решенных задач) было доложено в работе [21]: Дэвид
Эплгейт, Боб Биксби, Вашек Хватал и Билл Кук смогли получить
оптимальный ответ в случае с 13509 городами. Для этого они ис-
пользовали полиэдральный подход, LP-релаксации, технику метода
ветвей и отсечений, очень тонкую эвристику, искусное программи-
рование, а также сеть из 48 мощных компьютеров. Наконец, в мае
2004 г. эти же авторы вместе с Кельдом Хельсджауном нашли опти-
мальное решение в задаче с 24978 городами [22], [23] \
1 В апреле 2006 г. была решена задача с 85900 городами. —Прим, перев.
Задачи и упражнения
45
Задачи и упражнения
0.0. Дан трехмерный многогранник, у которого любые две вер-
шины соединены ребром. Докажите, что это тетраэдр.
0.1. Докажите, что если многогранник одновременно является
простым и симплициальным, то это симплекс или п-угольник.
Докажите, что, аналогично, если d -многогранник Р является
простым и кубическим (т. е. все его гиперграни комбинаторно экви-
валентны (d — 1)-кубам), то он является d-кубом или п-угольником.
0.2. Докажите, что многогранник может быть представлен как
аффинный образ кроссполитопа в том и только том случае, когда
он центрально-симметричен.
Докажите, что если многогранник Р является зонотопом (т. е.
аффинным образом d-куба), то все его грани центрально-симмет-
ричны. Верно ли обратное?
0.3. Покажите, что перестановочный многогранник nd_j с Rd
(пример 0.10) имеет размерность d - 1, является зонотопом и про-
стым многогранником.
Опишите все его 2d — 2 гиперграни, построив определяющие их
неравенства.
0.4. Пусть СЦ а2 > ad — вещественные числа, не все равные
между собой.
Обобщенный пермутоэдр (илимногогранник орбит) ...
..., ad) — это выпуклая оболочка множества всех точек, полученных
перестановками элементов мультимножества {aj,..., ad}.
Исследуйте комбинаторику обобщенных перестановочных мно-
гогранников. В частности, покажите, что их размерность равна
d -1. Будут ли они все простыми? (Нет.)
При каком условии все ребра многогранника nd_1(a1,..., ad) бу-
дут иметь одинаковую длину? (Шуте [481, с. 5].)
0.5. Пусть Р = Cd с Rd — d-куб. Докажите, что у него ровно 3d +1
граней и что непустым граням можно естественным образом сопо-
ставить векторы знаков из {+, -, 0}d.
Как для данной линейной функции с € (Rd)* найти вершину, для
которой достигается максимум на многограннике Р («оптимизаци-
онная задача»)?
Как для данной точки у € Rd определить, верно ли, что у € Р.
Если у фР, то как найти неравенство, которому удовлетворяет Р, но
не удовлетворяет у («задача отделения»)?
46
Глава 0. Введение и примеры
Для каких еще семейств многогранников из гл. 0 приведенные
выше вопросы могут быть просто решены?
0.6. Опишите циклический d-многогранник Cd(d + 2) с d + 2
вершинами комбинаторно и в явном виде.
Является ли 2-смежностный многогранник (Д2 х постро-
енный в примере 0.5, комбинаторно эквивалентным С4(6)?
0.7. Рассмотрим циклический многогранник
Cd(n) = conv{x(0),x(l), ...,x(n-l)}.
Докажите, что существует аффинная симметрия (аффинное отраже-
ние), которая индуцирует симметрию i п +1 - i (т. е. x(i — !)«—►
<—> х(п - i)) и, следовательно, соответствующую комбинаторную
симметрию многогранника Cd(n).
0.8. Выведите из условия четности Гейла (теорема 0.7) полное
комбинаторное описание всех граней многогранника Cd(n).
Используя это описание, докажите, что циклические многогран-
ники являются |~-j-смежностными (следствие 0.8).
0.9. Докажите (с помощью биекции), что количество способов
выбрать 2к элементов из множества [и] «блоками четной длины»
Л и-к Л
равно (
Выведите из условия четности Гейла следующую формулу для
количества гиперграней многогранника Cd(n):
/d-iCCdCn))
где Г-] обозначает верхнюю целую часть, | 2 | “ |_2 J' ^десь пеР'
вый член соответствует тем гиперграням, у которых первый блок
четный, а второй соответствует случаям с нечетным первым бло-
ком. Отсюда получите, что
п Г п — к\
n-кА к J
n-k-lS
\. к }
/d-i(Cd(n)) =
для четного d = 2k;
для нечетного d = 2k +1.
Какое приблизительное количество гиперграней имеют цикличе-
ские многогранники С10(20), С10(Ю0) и С50(100)?
Задачи и упражнения
47
0.10. Докажите, что если многогранник является к-смежност-
ным, то каждая его (2k - 1)-грань является симплексом. Выведи-
те из этого, что +1 j-смежностный d-многогранник является
симплексом.
0.11*. Существует ли простой и быстрый способ определить, ле-
жит ли произвольная точка (допустим, с рациональными ко-
ординатами) в циклическом многогранникае Cd(1,2,..., п)?
(Общая теория, а именно полиномиальная эквивалентность оп-
тимизации и отделения согласно Грётшелю, Ловасу и Шрайверу
[246], утверждает, что для этой задачи существует полиномиаль-
ный алгоритм, так как оптимизация по Cd(n) проста за счет сравне-
ния вершин. Тем не менее, нас интересует простой комбинаторный
тест, в котором не используется метод эллипсоидов.)
0.12. Докажите утверждения о многограннике Биркгофа P(d) из
примера 0.12. В частности, докажите, что его размерность равна
(d -1)2 и у него d2 гиперграней.
Многогранник Биркгофа P(d) и перестановочный многогран-
ник nd_1 тесно связаны; докажите, что существует каноническая
проекция P(d) -> Щ.р
0.13. Нарисуйте трехмерный ассоциэдр К3. Проверьте общую
. 1Л2П-2А „
формулу и I п _ ]) Для количества вершин у Кп_2.
0.14. Опишите комбинаторную структуру многогранников ком-
мивояжера Q(3), Q(4) и Q(5). Сколько у них вершин и гиперграней?
Какие вершины соединены ребром? Являются ли они простыми или
симплициальными? Попробуйте также описать Q'(2), Q'(3) и Q'(4).
0.15*. Чему равняется максимальное количество /(d) гипергра-
ней d-мерного 0/1-многогранника? Как /(d) растет асимптотически?
(Несложно получить, что
2d ^f(d) ^d!+2d.
Верхняя граница была предложена Имре Бйрани из следующего
наблюдения: если мы будем добавлять «недостающие вершины»
d-куба к нашему многограннику по очереди, то мы добавим объем
1
как минимум для каждой исчезнувшей гиперграни в изначаль-
ном 0/1-многограннике. Процесс завершится d-кубом с объемом 1
и 2d гипергранями).
Более поздние результаты по этой задаче описаны в статье Кор-
тенкампа, Рихтер-Геберта, Сарангараджана и Циглера [343]. Разни-
48
Глава 0. Введение и примеры
ца между верхней и нижней оценками по-прежнему остается очень
большой. Для малых размерностей имеем
/(1) = 2, /(2) = 4, /(3) = 8, f (4) = 16,
/(5) = 40, 121 $ /(6) $ 610 и т. д.
(Методы подсчета см. в работах Айххольцера [5], [6].) Асимпто-
тически наилучшими из известных оценок являются следующие1:
(3,6)d </(d) sS30(d-2)!
для всех достаточно больших d. Здесь верхняя оценка принадлежит
Флэйнеру, Кайбелю и Ротэ [206], а нижняя получается явным вы-
числением «случайных 0/1-многогранников» в малых размерностях
и использованием конструкции «свободной суммы» 0/1-многогран-
ников из работы [343]. Значение 3,6 было получено в марте 1997 г.
Томасом Кристофом для случайного 0/1-многогранника (размерно-
сти 13, с 254 вершинами и по крайней мере 17464356 гипергранями)
при помощи его программы PORTA и новых идей, описанных в ста-
тье Кристофа и Райнельта [155].
«Последние рекорды»2 в «олимпийской гонке» по 0/1-много-
гранникам с большим числом гиперграней можно найти на стра-
нице [342] в Интернете.
0.16. С помощью конструкции «характеристических векторов»
из примера 0.13 покажите, что вершины многогранника Биркгофа
Р(п) соответствуют совершенным паросочетаниям в полном дву-
дольном графе Кпп.
0 10 0
0 0 0 1
10 0 0
0 0 10
1 В работе Barany I. Рог A. (On 0-1 Polytopes with Many Facets // Adv. Math.
/• cd \d/4
2001. Vol. 161. P. 209—228), получена оценка f(d) > :—- для некоторой кон-
v log d J
( cd \d/2
станты с, которая затем была улучшена до /(d) -j- в работе Gatzouras D.,
\ log^ d J
Giannopoulos A., Markoulakis N. Lower bound for the maximal number of facets of a 0/1
polytope // Discrete Comput. Geometry. 2005. Vol. 34. P. 331—349. —Прим. ped.
2 На момент первого издания. —Прим. ped.
Задачи и упражнения
49
0.17. Покажите, что многогранник Биркгофа P(d) с Rd2 содер-
жит асимметричный многогранник коммивояжера
Qz(d) с Rd2"d С Rd\
Верно ли, что каждая гипергрань многогранника Р Cd) содержит ги-
пергрань многогранника Q'(d)?
(Подробное исследование проводится в работе Биллеры и Са-
рангараджана [76].)
Глава 1
Многогранники, полиэдры и конусы
В этой главе мы доказываем некоторые фундаментальные свой-
ства, в частности эквивалентность двух определений многогранни-
ков; см. определение 0.1.
Конечно, возникает вопрос, нужно ли углубляться в такие де-
тали, ведь результат является очевидным, а полные доказательства
можно найти в книгах [133], [252], [403], [484]. Однако для этого
есть несколько важных причин. Во-первых, доказательства знако-
мят читателя с важной техникой (такой как метод Фурье—Моцки-
на), которая пригодится также для других целей. Это также дает
нам реальный инструмент для работы с многогранниками. Допол-
нительно мы приобретаем геометрическую интуицию, которая по-
надобится позднее. Мы также увидим, как естественно возникает
понятие полярности, так как здесь используются две полярные меж-
ду собой версии метода Фурье—Моцкина. «Стандартный» подход за-
ключается в том, чтобы использовать только одну версию, а вторую
доказать на основании полярности. Этот подход упрощает выклад-
ки, но лишает нас полярной версии. Наконец, наши доказатель-
ства являются (по крайней мере они так были задуманы) простыми
и ясными с несложными геометрическими идеями, использующими
элементарную линейную алгебру.
§ 1.1. «Основная теорема»
В дальнейшем мы будем работать с двумя версиями полиэдров —
в этой главе мы увидим, что они математически (но не алгоритми-
чески!) эквивалентны. Эти два понятия также оказались основны-
ми в новой области, называемой «вычислительной выпуклостью».
Подробности можно найти в работах Гритцмана и Кли [242, 243].
Первое понятие — Ж-полиэдр — обозначает пересечение замкну-
тых полупространств, т. е. множество Р с Rn, представленное в виде
Р = Р(А, z) = {х е Rd: Ах $ z}
для некоторой матрицы А е Rmxd и вектора z е Rm. (Здесь Ах $ z —
это обычная сокращенная запись для системы неравенств apcOi,
§ 11. «Основная теорема»
51
..атх$zm, где аь ...,ат — строки матрицы А и zlf..., zm — компо-
ненты вектора z.)
Для второй версии нам потребуется понятие конуса — непусто-
го множества векторов С с Rd, содержащего вместе с каждым ко-
нечным набором векторов все их линейные комбинации с неотри-
цательными коэффициентами. В частности, каждый конус содер-
жит О. Для произвольного множества Y с Rd мы определим кониче-
скую (или положительную) оболочку cone (У) как пересечение всех
конусов в пространстве Rd, содержащих У. Ясно, что множество
С :=сопе(У) является конусом для любого У. Аналогично ситуации
с выпуклыми оболочками (гл. 0) легко видеть, что
сопе(У) = {Л1У1 + ... + Лкук: {yb...,yfc} £У, 0}.
В случае, когда У = {у1? ...,yn} £ Rd является конечным множе-
ством, — а это единственный случай, который нам понадобится, —
получаем
сопе(У) := {ЦУ1 + ... + Гпуп: 0} = {УГ: t 0}.
Мы определим сопе(У) как {0}, если У — пустое множество, т. е.
п = 0.
Определим векторную сумму (или сумму Минковского) двух
множеств Р, Q с как
P + Q = {х + у: х G Р,у G Q}.
На следующем рисунке показана двумерная сумма Минковского
конуса и многогранника.
52
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
Теперь мы определим У-полиэдр как конечно порожденную
выпукло-коническую комбинацию, т. е. множество PCRd? задава-
емое в виде суммы Минковского выпуклой оболочки конечного
набора точек и конуса, порожденного конечным набором векторов:
Р = conv(V) +сопе(У) для некоторых V G Rdxn, Y е Rdxn'.
Таким образом, сравнивая это определение с определением 0.1,
мы получаем, что 'У-многогранник—это ограниченный У-полиэдр,
т. е. полиэдр, который не содержит луча {и + tv: t 0} с ненулевым
вектором v. Для этого нам нужно всего лишь заметить, что множе-
ство conv(V) всегда ограничено. Это следует из простого вычисле-
ния: если xeconv(V), то
min{yfci: 1 $ i $ п} $ xk шах{ц^: 1 $ i $ и}.
Это условие означает, что множество conv(V) находится внутри пря-
моугольного параллелепипеда. Аналогично ^-многогранник—-это
то же самое, что ограниченный J^-полиэдр.
Теперь мы начнем с основной версии «теоремы о представлении
для многогранников», которая будет существенно усилена и обоб-
щена в процессе доказательств. Окончательную версию можно най-
ти в § 2.4.
Теорема 1.1 (основная теорема для многогранников). Множе-
ство Р с является выпуклой оболочкой конечного числа точек
(У-многогранником), т. е.
Р = conv(V) для некоторого набора векторов V е Rdxn,
тогда и только тогда, когда оно является ограниченным пересече-
нием конечного числа полупространств (Ж-многогранником), т. е.
Р = Р(А, z)
для некоторого набора строк A G Rmxd и вектора z G
Этот результат содержит два вывода, которые одинаково «гео-
метрически ясны», нетривиальны для доказательства и в некотором
смысле эквивалентны.
Почему эта теорема так важна? Она обеспечивает две независи-
мые характеристики многогранников, имеющие разную силу в за-
висимости от задачи, которую мы изучаем. Для примера рассмот-
рим следующие четыре утверждения.
§ 1.1. «Основная теорема?
53
• Любое пересечение многогранника и аффинного подпростран-
ства является многогранником.
• Любое пересечение многогранника и полиэдра является много-
гранником.
• Сумма Минковского двух многогранников является многогран-
ником.
• Любая проекция многогранника является многогранником.
Первые два утверждения тривиальны для многогранника, пред-
ставленного в виде Р = Р(А, z) (причем первое является частным
случаем второго), но оба они нетривиальны для выпуклой обо-
лочки конечного набора точек. Подобным образом, последние два
утверждения очевидны для выпуклой оболочки конечного набора
точек, но они нетривиальны для ограниченных пересечений полу-
пространств.
Теорема 1.1 — это то, что нам действительно нужно, это на самом
деле основное утверждение о многогранниках. Тем не менее, это не
самая удобная версия для доказательства. Поэтому мы обобщим ее
до теоремы о полиэдрах, следуя Моцкину [414].
Теорема 1.2 (основная теорема для полиэдров). Множество Р с
с Rd является суммой выпуклой оболочки конечного набора точек
и конической комбинации векторов (V-полиэдром), т. е.
Р = conv(V) + сопе(У) для некоторых V <= IRdxn, У е Rdxn',
тогда и только тогда, когда оно является пересечением конечного
числа замкнутых полупространств (Ж-полиэдром), т. е.
Р = Р(А, z) для некоторых A G Rmxd, z G Rm.
Сначала отметим, что теорема 1.1 является следствием теоремы
1.2, — мы уже увидели, что многогранники являются ограниченны-
ми полиэдрами как в У-, так и в .^-версиях.
Теорема 1.2 может быть доказана напрямую, и геометрическая
идея такого доказательства описана в § 1.2. Тем не менее, проклады-
вать путь через формулы нелегко, в основном из-за того, что с точка-
ми из множества conv(V) +сопе(У) трудно обращаться. Оказывает-
ся, гораздо проще сделать ситуацию «однородной»: мы перейдем от
аффинного d -мерного пространства к линейному (d +1)-мерному.
Для этого мы присоединим дополнительную координату (которую
в дальнейшем будем считать нулевой координатой), отображая точ-
ку хGRd в вектор f jGRd+1.
54
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
Это сводит теорему 1.2 к частному случаю, когда Р является ко-
нусом, и в этом случае она может быть доказана проще.
Теорема 1.3 (основная теорема для конусов). Конус С с Rd яв-
ляется конечно порожденной комбинацией векторов, т. е.
С = сопе(У) для некоторого набора векторов Y G Rdxn,
тогда и только тогда, когда он является пересечением конечного
числа линейных полупространств, т. е.
С = Р(А, 0) для некоторого набора строк A G Rmxd.
Мы докажем теорему 1.3 в § 1.3. В дальнейшем мы будем назы-
вать полиэдральные конусы, охарактеризованные в теореме 1.3, про-
сто «конусами», потому что объекты, которые мы рассматриваем,
разумеется, являются полиэдрами. Заметим, что каждый конус С по
определению содержит начало координат 0.
Посмотрим, почему теорема 1.2 следует из теоремы 1.3 при пере-
ходе к однородному представлению. Для этого сопоставим каждому
полиэдру Р с Rd следующий конус С(Р) с Rd+1.
Если Р = Р(А, z) — .^-полиэдр, то положим
т. е. если Р определяется неравенствами a^x^Zi, то С(Р) определя-
ется неравенствами —z£x0 + atx $ 0 вместе с неравенством х0 0.
Ясно, что С(Р) снова является .^-полиэдром в Rd+1 и
P = {xeRd: Q еС(Р)}.
Также мы видим, что если Р = Р(В, и) — произвольный «^-поли-
эдр в Rd+1, то |xeRd: gp| также является «^-полиэдром.
§ 1.2. Метод Фурье—Моцкина исключения неизвестных: аффинный случай 55
Если Р = conv(V) + сопе(У) — У-полиэдр, то положим
С(Р) = cone
1 О
V Y
Ясно, что С(Р) снова У-полиэдр, теперь в Rd+1, и
P = {xeKd: Г] еС(Р)}.
И обратно, простое вычисление показывает, что если
С = cone(W)
— произвольный конус в Rd+1, порожденный векторами wh wQi О,
то множество |xeRd: gc| является У-полиэдром.
Пусть теперь задан произвольный «^f-полиэдр Р. Мы можем при-
менить теорему 1.3 к С(Р) и получим, что С(Р) является У-конусом,
содержащимся в полупространстве {х G Rd+1: х0 0}. Поэтому Р
тоже У-полиэдр. Обратно, если Р — У-полиэдр, то по теореме 1.3 ас-
социированный с ним конус С(Р) является J^-полиэдром, а значит,
таковым является и Р. □
В обоих случаях С(Р) реализует переход к однородному представ-
лению полиэдра Р, который мы обсудим в § 1.4, после того как бу-
дет доказана лемма Фаркаша. Геометрическая идея изображена на
приведенном выше рисунке, который показывает конус в R3, ассо-
циированный с аффинным многогранником в В2. Если Р — полиэдр,
то к нему нужно добавить недостающие «точки на бесконечности»,
чтобы получить в качестве С(Р) (замкнутый) полиэдр.
§ 1.2. Метод Фурье—Моцкина исключения неизвестных:
аффинный случай
Идея прямого доказательства теоремы 1.2 заключается в сле-
дующем. Нам нужно показать, что всякое пересечение конечного
числа полупространств (Jff-полиэдр) вида Р (A, z) является выпукло-
конической комбинацией (У-полиэдром) вида conv(V) + cone (У),
и обратно, всякая выпукло-коническая комбинация является пере-
сечением конечного числа полупространств.
56
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
Чтобы доказать теорему в одну сторону («каждый У-полиэдр
есть J^-полиэдр»), мы заметим, что каждый У-полиэдр
conv(V) + сопе(У) =
= {х е Rd: 3t е Rn, и е Кп': х = Vt+Yu, t О, и Ъ O,lt = 1}
может быть представлен как проекция множества
{(х, t, u) € Rd+n+n': х = Vt+Yu, t ft 0, и 0, It = 1},
которое, очевидно, является ^-полиэдром. Таким образом, остает-
ся доказать, что
(I) всякая проекция J^-полиэдра снова является J^-полиэдром.
Это можно сделать при помощи метода Фурье—Моцкина исклю-
чения неизвестных посредством проектирования на пространство
на единицу меньшей размерности на каждом шаге. Мы обсудим
здесь только нужный нам случай проектирования вдоль координат-
ных осей. Общий случай можно свести к этому при помощи аффин-
ной замены координат.
В этом параграфе мы даем геометрическую идею для случая аф-
финных полиэдров: замечательная особенность этого случая (в срав-
нении с более элегантной версией для конусов) состоит в том, что
и идею, и большинство трудностей можно объяснить уже в размер-
ности 2, на рисунках, что мы и сделаем. Тем не менее, вместо того
чтобы выводить формулы для этой версии, мы переходим к версии
для конусов и проводим для нее доказательства.
Начнем с J^-полиэдра Р = Р(А, z) с Rd, который мы хотим спро-
ектировать на гиперплоскость {х G Rd: xk = 0} = Rd~1 вдоль оси xk.
Проекцию полиэдра Р с ld можно определить более общим обра-
зом, но мы будем использовать только случай координатных на-
правлений. Введем обозначение
projfc(P) := {x-xkek: х G Р} = {х G Rd: xk = 0, Зу G R: x + yek G Р}
для проекции полиэдра Р в направлении ек. Множество projfc(P) со-
держится в гиперплоскости Нк = {х g Rd: хк = 0}. С этим множе-
ством тесно связано множество исключения
elimfc(P) := {х-tek: х G Р, t G R} = {х G Rd: By G R: x + yek G P}.
Таким образом, elimfc (P) — это множество всех точек в простран-
стве Rd, которые проектируются на множество projfc(P). В частно-
сти, мы получаем изоморфизм elimfc(P) =projfc(P) х R.
§ 1.2. Метод Фурье—Моцкина исключения неизвестных: аффинный случай 57
Для примера рассмотрим следующую систему неравенств:
(1) - xj - 4х2 $ - 9;
(2) - 2xj - х2 $ - 4;
(3) + хг — 2х2 $ 0;
(4) + XJ $4;
(5) + 2хх + х2 $ 11;
(6) - 2xj + 6х2 $ 17;
(7) - 6xj - х2 $ - 6.
.'6
Теперь предположим, что мы фиксировали некоторое значение
координаты хх и интересуемся всеми возможными значениями ко-
ординаты х2. Тогда мы видим, что неравенство (4) требует выполне-
ния условия хг $ 4. Все другие неравенства можно переписать так,
чтобы получить либо верхнюю оценку на х2 (если коэффициент при
х2 положительный), либо нижнюю оценку (если коэффициент при
х2 отрицательный). Более того, решение для х2 существует тогда
и только тогда, когда каждая верхняя оценка, полученная таким
образом, не меньше каждой нижней.
Приведенный ниже рисунок показывает проекцию многоуголь-
ника Р на множество proj2(P), полученную исключением перемен-
ной х2. Здесь множество еПт2(Р) — это бесконечная (затененная)
полоса, состоящая из всех точек, которые лежат выше или ниже
множества proj2(P).
Посмотрим, как множество точек многогранника Р на произ-
вольной вертикальной линии (т. е. при фиксированном значении
58
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
координаты Xj) ограничено сверху и снизу неравенствами с по-
ложительным и, соответственно, отрицательным коэффициентом
ai2. Если решения нет, то некоторая верхняя оценка меньше, чем
некоторая нижняя, т. е. комбинация двух неравенств, одного с по-
ложительным и одного с отрицательным коэффициентом ai2, дает
ограничение на возможные значения xv
Также заметим, что в первоначальной системе есть одно лишнее
неравенство. Это приводит к эффекту, когда одна и та же нижняя
оценка на хт возникает из нескольких различных пар неравенств.
Легко формализовать это двумерное описание и обобщить его
на произвольную размерность. Алгебраическая идея основана на
следующем факте. Рассмотрим коэффициенты при хк в нашей си-
стеме неравенств и предположим, что aik > 0 и < 0. Тогда соот-
ветствующие неравенства можно записать как
а,х zt — aikxk aikxk-aiX+Zi
И
aix^zj — C-ajk)xk -ajkxk+ajX-Zj.
Правые части в новой записи не зависят от хк, поэтому первое
неравенство дает верхнюю оценку на хк, а второе —нижнюю. Ком-
бинация двух неравенств (умноженных соответственно на положи-
тельные коэффициенты —и aik) приводит к условию
aikajX-afkZj -(-ajk)afx+ (-ajk)zh
которое означает, что нижняя оценка на хк меньше верхней, что
эквивалентно «неравенству с исключенной неизвестной»
(а£ка;- 4- {-ajk)at)x $ aikZj +
§ 1.2. Метод Фурье—Моцкина исключения неизвестных: аффинный случай 59
Это линейное ограничение на множество elimfc(P). Можно уви-
деть, что оно выполнено, и без вычислений: это положительная ком-
бинация двух верных неравенств первоначальной системы. Однако
для нас важно видеть его геометрическое происхождение.
Теперь обратно, если х удовлетворяет всем неравенствам с ис-
ключенной неизвестной, а также тем из неравенств первоначаль-
ной системы, которые не содержат хк, то мы можем найти такое зна-
чение координаты хк, что Ax^z. Таким образом, мы нашли полное
описание множества elimfc(P) при помощи линейных неравенств
и доказали следующую теорему.
Теорема 1.4 (метод Фурье—Моцкина). Пусть Р = Р(А, z) с—
полиэдр, AGRmxd и zGRm, и пусть выбрано число k^d. Построим
матрицу А^к G Rm xd, строками которой являются:
• строки матрицы А для всех i, для которых aik = 0,и
• суммы aikaj + (—а^а^ для всех пар i, j, для которых aik > О
ua;fc<0,
и пусть z/k G Rm/ — соответствующий вектор-столбец с коэффици-
ентами
• zt для всех i, для которых aik — 0, и
• aikZj + (-a;fc)zf для всех пар i, j, для которых aik>0u ajk < 0.
Тогда elimfc (Р) =P(A/fc, z/fc) и
projfc(P) = P(A/fc, z/fc) П {x G Rd: xk = 0}.
В частности, для полиэдра Р = Р(А, z) проекция projfc(P) снова
является J^-полиэдром. Повторяя такую операцию, мы получаем
доказательство теоремы 1.2 в одну сторону.
Проблема заключается в том, что формулы довольно громозд-
ки, в частности потому, что мы рассматриваем правые части z( по
отдельности. Эта сложность замечательным образом исчезает при
переходе к однородной версии; см. следующий параграф.
Для доказательства теоремы в обратную сторону («каждый J^-no-
лиэдр является У-полиэдром») мы заметим, что каждый J^-полиэдр
P(A,z) = {xeRd:Ax^z}
может быть описан как пересечение полиэдра (на самом деле ко-
нуса)
С0(А) = Н*) eRd+m:Ax^iv
60
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
с аффинным подпространством
G Rd+m: w = zk
Легко видеть, что конус С0(А) является У-полиэдром: он может
быть описан как
С0(А) = cone
при помощи разложения
Г ,7,1 = s IxiKsignCx,))
ei
Aei
т
+ S (~wj -
Остается доказать, что
(II) любое пересечение У-полиэдра и аффинного подпростран-
ства является У-полиэдром.
Метод, используемый для доказательства этого утверждения
и иногда называемый методом двойного описания, является двой-
ственным к методу Фурье—Моцкина исключения неизвестных (см.
работы Моцкина, Райфа, Томпсона и Тралла [416], а также Данцига
и Ивеса [175]). Мы ограничим наше обсуждение частным случаем,
а именно пересечением многогранника conv(V) с координатной
гиперплоскостью Нк = {хеRd: хк = 0}; затем эту операцию можно
повторить.
Итак, нам дан У-многогранник Р = conv(V) с Rd, и мы хотим
убедиться, что Р п Нк имеет такой же вид. На нашем рисунке чер-
ные точки обозначают множество V, а чуть большие белые точки
обозначают две вершины пересечения множества conv(V) с гипер-
плоскостью Нк.
При взгляде на этот рисунок возникают некоторые интуитив-
ные геометрические соображения, которые подсказывают, что мы
можем написать
Pf]Hk = conv(V/fc),
§ 1.3. Метод Фурье—Моцкина для конусов
61
где V/fc — матрица (множество) вектор-столбцов, построенных как
/ь ( VkiVi + (-Ць)Ц-
V/k = {и,: vki = 0} U |: vki > 0, ify < Of.
Довольно ясно, что P C\Hk 2 conv(V/fc), но чтобы доказать обратное,
нам придется немного потрудиться. Мы опустим здесь это громозд-
кое вычисление, так как вы встретитесь с ним в следующем пара-
графе: оно становится немного более красивым в однородной фор-
ме (лемма 1.6). Так или иначе, действуя таким образом, в принципе
можно дать явное представление точки х в виде выпуклой комбина-
ции векторов из V^k.
Это завершает доказательство теорем 1.1—1.3. □
Можно провести то же самое рассуждение для Р = conv(V) +
+ cone (У). Однако соответствующие вычисления становятся чрез-
вычайно утомительными — они слишком громоздки даже для того,
чтобы оставить их в качестве упражнения. Поэтому переходим к ко-
нусам, для которых все трудности исчезают.
§ 1.3. Метод Фурье—Моцкина для конусов
Основная цель этого параграфа—доказать теорему 1.3. Доказа-
тельство снова состоит из двух частей.
Чтобы доказать прямое утверждение теоремы 1.3, предположим,
что С = cone (У) с — У-конус. Мы можем записать это как
С = {УС G Rd: t 0} = {х е Rd: St G Rn: t 0, х = У С}.
Ясно, что множество {(х, t) е Rd-bn: t 0, х = У С} является J^-ко-
нусом. Поэтому множество С = cone (У) может быть описано как про-
екция этого конуса на подпространство {(х, t) GRd+n: t = 0}. Эту
проекцию снова можно осуществить последовательно, проектируя
по отношению к отдельным координатам tk по очереди. Поэтому
достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 1.5. Если С = Р(А,СГ) —Ж-конус в пространстве Rd, то
таковым является также множество
elimfc(C) = {х - tek: х G С, t g R}
и поэтому также проекция projfc(C) = elimfc(C) П Hk. А именно,
elimfc(C) = P(A/fc, 0) для
A/k := {а,: aik = 0}U{aifca, + (-a^a,: aik > 0, ajk < 0}.
62
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
(Здесь мы понимаем матрицы А и А^к как множества вектор-
строк.)
Доказательство. Вектор-строки матрицы А^к являются поло-
жительными комбинациями вектор-строк матрицы А, поэтому со-
ответствующие неравенства верны для множества С, и мы получа-
ем, что С cP(A/fc,O). Более того, все вектор-строки матрицы А^к
имеют к-компоненту, равную нулю (по построению), т.е. перемен-
ная хк не встречается в системе А^кх 0, что доказывает включение
elimfc(C)cp(A/\0).
Обратно, пусть xeP(A/fc,O), и пусть xfc = 0 (без ограничения
общности). Мы утверждаем, что х — уек G С для. подходящего у. Дей-
ствительно, подставляя х - уек в систему Ах 0, мы находим, что
число у должно удовлетворять условию
тах{—-арг: aik > у тт|-”(-арх: < о|.
Это условие задает непустое множество. Действительно, если aik > О
и ajk < 0, то (~а;)х, так как это равносильно условию
(а^О/ + (-аЛ)а,)х О,
которое выполнено, поскольку х G Р (A/fc, 0). □
Теперь мы переходим к доказательству обратного утверждения
теоремы 1.3. Для этого предположим, что С = Р(А, 0) с Rd — j^-ko-
нус. Его можно описать как
C = {xeRd: Ах^0} =
G Rd+m: Ах
Здесь | J g Rd+m: Ах — У-конус, как мы показали выше.
Пересечение с плоскостью { G Rd+m: w = о| можно осуществ-
лять последовательно, на каждом шаге полагая одну из координат
равной нулю, т. е. пересекая с координатной гиперплоскостью вида
Нк = {у G Rd+m: ук = 0}. Таким образом, достаточно доказать следу-
ющую лемму.
Лемма 1.6. Если С = cone (У)-— У-конус в Rd, то пересечение
СГ}Нк тоже является 'У-конусом. А именно, CC\Hk = cone(Y^ для
у/к ~ {у.: yki = 0} и {ykiyj + (-y^yi: yki > 0, ykj < 0}.
G Rd+m: w
§ 1.3. Метод Фурье—Моцкина для конусов
63
(Здесь мы понимаем матрицы Y и Y/fc как множества вектор-
столбцов. Таким образом, через yki обозначена к-я координата век-
тора yf, т. е. коэффициент с номерами (k, i) матрицы Y = (у15уп),
что согласуется с обозначениями, введенными в обозначениях 0.0.)
Доказательство. Сначала заметим, что все векторы в матрице
Y,k имеют хк-координату, равную нулю, поэтому ясно, что СПНк 2
2cone(Y/fc).
Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим некоторый
вектор v = Yt е cone(Y) (t 0), ик = 0. Тогда либо ttykl = 0 для всех
i, и в этом случае v е cone{yf: yki = 0}, либо мы можем раскрыть
формулу ик = 0 и получим
А := S Ьуи = £ tj(-ykj) > 0.
Используя это соотношение, мы можем переписать v как
» = Е С(У,+ Z Г,У,+ L Г;У; =
*:Уи=0 *:Уи>0 j:yfcj<0
= Z г.у<+х S ( S сД-Ук/))^у.+
i:yw=0 i:yki>0 ГУк]<0
+ д S f Zj ~
j:yk}<Q i: ykl>0
= E ^У;+ E -^((-У^У.+УьУ;)-
i:yki=O i:yfa>0
j:ykj<0
Это доказывает утверждение, так как мы получаем явное представ-
ление вектора v в виде конической суммы векторов из Y/fc. □
Эта лемма завершает доказательство теоремы 1.3. В этом дока-
зательстве мы получили явные формулы для проекций и сечений.
На самом деле можно было менее явно показать, что коэффициенты
просто существуют.
К примеру, в последнем доказательстве пространство коэффици-
ентов оказывается транспортным многогранником (см. задачу 1.8),
причем мы неявно использовали его выделенную внутреннюю точ-
ку. Другой подход заключается в том, чтобы использовать вершину
этого многогранника и таким образом уменьшить число ненулевых
коэффициентов.
Насколько эффективным вычислительным инструментом яв-
ляется метод Фурье—Моцкина? Основная проблема заключается
64
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
в том, что число неравенств, порожденных этим методом, уже за
несколько первых шагов может превзойти любые поддающиеся
обработке пределы. Чтобы увидеть это, заметим, что если матрица
[т2 "I
-4-J строк. Количество
неравенств, грубо говоря, может возводиться в квадрат на каждом
шаге, что приводит к проблемам даже при быстром вычислении на
компьютере с большим объемом памяти.
Тем не менее, вычисления могут быть проведены довольно эф-
фективно. В примечаниях к этой главе можно найти сведения об
имеющихся программах.
Отметим только, что метод Фурье—Моцкина в принципе может
быть использован как алгоритм для линейного программирования
(см. §3.2). Действительно, чтобы найти точку в полиэдре Р(А, z),
которая доставляет максимум линейной функции сх, мы введем
дополнительную неизвестную х0 = сх и исключим все остальные
неизвестные. Это даст нам область значений неизвестной х0, и,
возвратившись назад, можно восстановить оптимальный базис (т. е.
набор таких неравенств, что их комбинация с неотрицательными
коэффициентами дает оптимальную верхнюю оценку на х0). Одна-
ко этот метод является экспоненциальным, и существуют гораздо
лучшие методы.
§ 1.4. Лемма Фаркаша
Кун [345] был первым, кто заметил, что с помощью метода Фу-
рье—Моцкина можно доказать лемму Фаркаша. Эта чрезвычайно
важная лемма встречается во многих работах по теории многогран-
ников и полиэдров. Интересно, что в различных книгах и статьях
под именем «леммы Фаркаша» можно найти на первый взгляд со-
вершенно разные леммы. Тем не менее, они все легко преобразуют-
ся одна в другую.
По существу, лемма Фаркаша описывает условия совместности
системы неравенств. Есть разновидности этой леммы для систем
неравенств в различных стандартных формах: лемма Фаркаша для
полиэдров и для конусов, для систем неравенств, содержащих урав-
нения, для нестрогих или строгих неравенств, для неотрицатель-
ных, положительных или произвольных неизвестных и т. д. Есть так-
же различные способы сформулировать теоремы «типа Фаркаша»:
§ 1.4. Лемма Фаркаша
65
• как теоремы альтернативы (одна система неравенств имеет
решение тогда и только тогда, когда вторая не имеет решений),
• как теоремы перестановки (так как вторая система может быть
получена транспонированием матрицы и векторов первой),
• как теоремы двойственности (теорема двойственности для ли-
нейного программирования имеет тип Фаркаша),
• как хорошие характеризационные теоремы (если система имеет
решение, то любой вектор-решение подтверждает это; если си-
стема не имеет решений, то лемма Фаркаша дает двойственный
вектор, который кодирует этот факт),
• как критерии верности (если неравенство верно на множестве
решений системы, то оно является конической комбинацией
неравенств системы),
• или, двойственным образом, как теоремы отделимости (если
точка не принадлежит выпукло-конической оболочке, то она
может быть отделена от нее линейной функцией.
Другие результаты, касающиеся этого вопроса, можно найти
в работах Мангасаряна [374], а также Стокера и Витцгала [529].
Теоремы отделимости «типа Фаркаша» верны также и для выпук-
лых тел. Бесконечномерные аналоги важны для функционального
анализа (теорема Хана—Банаха).
Сейчас мы приведем ту из версий леммы Фаркаша, которая опи-
сывает условие совместности обычной системы неравенств.
Утверждение 1.7 (лемма Фаркаша I). Пусть AeRmxd и zeRm.
Тогда выполнено только одно из двух условий:
либо существует такая точка xeRd, что Ax^z,
либо существует такая вектор-строка с е (IIF1)*, что с О,
с А = О и cz < 0.
Доказательство. Для начала заметим, что оба условия не могут
быть выполнены одновременно. В противном случае существовали
бы такие вектор-столбец хеIRd и вектор-строка се (Rm)*, что
0 = Ох = (сА)х = с(Ах) $ cz < 0,
что является противоречием.
Теперь определим Р :=P(A,z) и Q :=Р ((-z, А), 0). Заметим,
что вектор хе Rd, для которого Ах z, существует тогда и только
тогда, когда полиэдр Q содержит точку с координатой х0 > 0. Здесь
Q — Ж-конус. Исключим переменные хь ..., xd и получим Ж-конус
elimj elim2 ... elimd (Q).
66
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
Ключевое наблюдение состоит в том, что если мы применяем
метод Фурье—Моцкина, чтобы получить elim^PCD, 0) =P(D/l,0), то
каждое неравенство в новой системе elim^D) является положитель-
ной комбинацией не более двух неравенств системы D, поэтому
матрица D^1 может быть записана как ClD, где матрица С1 имеет
неотрицательные коэффициенты, причем в каждой строке не более
чем два коэффициента ненулевые.
Повторяя эти рассуждения, мы получаем
elim1elim2...elimd(Q) = Р ((-z, A)/d/d~1/ , /2/1,o) =
= Р А), 0) =: Р (C(-z, А), 0),
где С — матрица с неотрицательными коэффициентами.
Все неравенства системы С(—z, А)х 0 имеют вид Yioxo 0, так
как все переменные, отличные от х0, мы исключили.
Теперь предположим, что Р = 0, так что
Q С е ]Rd+1; х0 0}.
После исключения неизвестных мы получаем
elimj elim2 ... elimd(Q) с {х g Rd+1: х0 0},
поэтому система С(—z, А)х 0 содержит неравенство yl0x0 0,
для которого Yio > 0. Пусть с — вектор-строка матрицы С, которая
дает это неравенство. Тогда c(-z, А) = (yl0,0), т. е. cz = -ую < 0
и сА = О. □
Теперь пришло время доказать другую версию леммы Фарка-
ша—для неотрицательных решений систем уравнений. Каждую та-
кую систему можно переписать как систему неравенств, и это в точ-
ности то, что нам нужно для доказательства леммы. В действитель-
ности доказательство хорошо иллюстрирует различные простые, но
важные приемы переписывания систем неравенств, такие как вве-
дение дополнительных переменных и представление неограничен-
ных переменных в виде разностей неотрицательных.
Утверждение 1.8 (лемма Фаркаша II). Пусть AeRmxd и zeRm.
Тогда выполнено только одно из двух условий:
либо существует такая точка xeRd, что Ax = z, х^ 0,
либо существует такая вектор-строка с е (Rm)*, что сА^ 0
и cz < 0.
§ 1.4. Лемма Фаркаша
67
Доказательство. Имеют место следующие равносильные пере-
ходы:
Зх: Ах = z, х 0 <=>
Зх: Ах z, (-А)х -z, -х $ 0 <=>
(
—z
I о;
<=> Зх:
ЛФ I
ЛФ1 .
<=> fiCi О, с2 О, Ъ О:
(q, с2, Ь) -А
\~ldJ
= О, (с15с2, Ь)
< ZA
-z < о
к о?
<=> с2, Ъ О: (сг -с2)А-Ь = О, (Ci-c2)z<0 <=>
<=> = сг - с2, Ъ О сА - Ъ = О, cz < 0 <=>
<=> с: сА О, cz < 0. □
Следующая, моя любимая, версия леммы Фаркаша говорит, что
если линейное неравенство выполнено для всех точек полиэдра, то
либо оно может быть получено как комбинация с положительны-
ми коэффициентами неравенств, определяющих полиэдр, либо по-
лиэдр является пустым множеством, и в этом случае неравенство
0x^-1 может быть получено как комбинация с положительны-
ми коэффициентами. Эта версия леммы Фаркаша включает первую
версию как частный случай: неравенство 0x^—1 выполнено для
всех точек х, удовлетворяющих условию Ах z, тогда и только то-
гда, когда система Ах О не имеет решений.
Утверждение 1.9 (лемма Фаркаша III). Пусть AeRmxd,
a0G(Rd)* uzqGR.
Тогда неравенство aQx zQ верно для всех точек х е Rd, для ко-
торых Ах z, если и только если выполнено хотя бы одно из двух
условий:
1) существует такая вектор-строка с О, что cA = aQucz^ zQ,
2) существует такая вектор-строка с^О, что сА = О и cz<Q.
Доказательство. В части «если» убедиться легко: существова-
ние такой точки х, что Ах О и аох > z0, противоречит как условию
2 (подобно тому как это было в лемме I), так и условию 1 (вычисле-
ния аналогичны).
68
Глава 1 Многогранники, полиэдры и конусы
Чтобы доказать часть «только если», предположим, что ни одно
из условий 1 и 2 не выполнено. Тогда не существует таких вектор-
строки Ь^О и числа /3^0, что ЬА = fla0 nbz</3zQ, иначе при /3 > 0
было бы выполнено условие 1 для с :=
для с:=Ь.
~Ь, а при /3 = 0 —условие 2
Теперь мы можем применить лемму Фаркаша I и получим
, / —(1л \ ( —Zr\ А ЛФI
2(/3,Ь) £ (0,0): (0,Ь) .° =0,(0, Ь) 0 < О ФФ
\ /1 j \ Z 1
лф I — я f ^оА f *0А
<=> 3u>GRd: л <=>
\ A J \ z J
<=> 3w G Rd: Aw z, aow z0.
Далее, переформулируем то, что условие 1 не выполнено, введя до-
полнительную переменную у, и затем применим лемму Фаркаша II
к задаче в двойственном пространстве:
-<(1) <=> J(y, с) 2? (О, О): Y + cz = z0, с(-А) = -а0 <=>
. (1 ©А лф и
<=> J(y, с) (О, О): (у, с) = (z0, -а0) <=>
\ * ft /
л<5'ЭМеИ«: (’
V) V ~A)\yJ \°J
(z0, -а0) I I с О <=>
Ф=> Эу0 0, у е Rd: Ay yoz, аоу > yozo.
Теперь мы получаем, что либо у0 > 0, тогда мы положим х :=
1
Уо
и для этой точки Ах О и аох > z0, либо у0 = 0, тогда мы используем
точку w, построенную раньше (помните?), и положим х:=ш + у.
Эта точка х удовлетворяет условиям Ах = Aw + Ay^z + 0 = z
и aox = aou> + aoy>zo + O = zo- □
Следующая, четвертая и последняя (не учитывая упражнений),
версия показывает, что лемму Фаркаша также можно использовать
для того, чтобы отделить точку от У-полиэдра: если точка х не
содержится в полиэдре Р :=conv(V) +сопе(У), то существует нера-
венство ах а, которое выполняется для всех точек полиэдра Р, но
не выполняется для х.
§ 1.5. Конус спуска и однородное представление
69
Утверждение 1.10 (лемма Фаркаша IV). Пусть Veldxn, Y е
eRdxn и xeRd. Тогда выполнено только одно из двух условий:
либо существуют такие t}u^Q} что lt= 1 и x = Vt + Yu,
либо существует такая вектор-строка (а, а) е (Rd+1)*, что
aVi а для всех i п, ау- 0 для всех j п', но ах > а.
Доказательство. Первое условие можно записать как
что по версии II леммы Фаркаша эквивалентно условию
$(а, —а) е (IRd+1)*
<=> 3(а, -а) е (IRd+1)*: al - aV Z О, aY О,
ax > a.
Последнее условие эквивалентно отрицанию второго условия лем-
мы. □
§1.5. Конус спуска и однородное представление
Пользуясь леммой Фаркаша, мы можем дать инвариантное опи-
сание некоторых очень важных конструкций (в частности, конуса
спуска и перехода однородного представления для выпуклого мно-
жества) и установить их основные свойства. В предложении 1.14 мы
увидим, что однородное представление homog(P) полиэдра Р совпа-
дает с «ассоциированным конусом» С(Р), который мы использовали
в §1.1.
Определение 1.11. Пусть Р с — выпуклое множество. Тогда
линейная часть множества Р определяется как
lineal(P) := {у е Rd: х + ty е Р для всех х е Р, t е R},
а конус спуска (или характеристический конус) множества Р — как
гес(Р) := {у g Rd: х + ty е Р для всех х е Р, t 0}.
Непосредственно из определения мы видим, что lineal(Р) явля-
ется линейным подпространством в Rd. Если мы выберем допол-
нительное подпространство U к lineal(P) (т. е. U nlineal(P) = {0}
70
Глава 1 Многогранники, полиэдры и конусы
и U + lineal(P) = Rd), то Р можно представить как сумму Минков-
ского
Р = lineal(P) + (Р n LT)
линейного подпространства L и выпуклого множества Р П U, у кото-
рого линейная часть нулевая: lineal(P n U) = {0}.
Это замечание обычно делает возможным рассмотрение только
полиэдров с нулевой линейной частью, известных как заостренные
полиэдры.
Для ^-полиэдров мы можем проверить, что lineal (Р (А, 0)) =
= {х g Rd: Ах = 0}. Поэтому, за исключением тривиального линей-
ного слагаемого1, мы можем рассматривать полиэдры Р(А, г) CRd,
для которых матрица А имеет полный ранг d.
Аналогично мы видим, что гес(Р) есть выпуклый конус: он со-
держит 0, любое растяжение вектора в положительное число раз
и любую выпуклую комбинацию любых двух содержащихся в нем
векторов.
Утверждение 1.12. Пусть PQRd — выпуклое множество.
1. Если Р — Р (А, z) — Ж-полиэдр, то таковым является и его
конус спуска:
гес(Р) = Р(А, 0).
2. Если Р = conv(V) + сопе(У) — У-полиэдр, то таковым являет-
ся и его конус спуска:
гес(Р) = сопе(У).
Доказательство. На первый взгляд, обе части очевидны. Но
это не совсем так: внимательное наблюдение показывает, что в ча-
сти 2 включение гес(Р) с сопе(У) не совсем очевидно. Нужна лемма
Фаркаша. Используя версию IV (для V = 0), мы видим, что если
1 Т. е. случая, когда полиэдр совпадает со своей линейной частью. —Прим. перев.
§ 15. Конус спуска и однородное представление
71
у ф сопе(У), то существует такая линейная функция а, что aY < О
и ау>0.
Теперь рассмотрим некоторую точку
z = Vt+Yu е conv(V) + сопе(У), t, и О, It = 1.
Для нее мы получаем
ах = aVt+aYu aVt = У t.av; < max av. =: К,
где К зависит только от а и V. Однако а(х + ty) = ах + t(ay) —> +оо
при t —>+оо, поэтому х + ty ф Р при достаточно больших t, и, значит,
у^гес(Р). □
Определение 1.13. Пусть Р с — выпуклое множество. Его од-
нородное представление определяется как
homog(P) := {tQ) : х € Р, t > 0}+{ (°): у € гес(Р)
Снова легко видеть, что для каждого выпуклого множества Р его
однородное представление homog(P) является выпуклым конусом
в Rd+1. Более того, любое множество Р легко восстанавливается
по своему однородному представлению (если избежать путаницы
с системой координат) как
Р = |х е Rd: g homog(P)
Утверждение 1.14. Пусть PQRd — выпуклое множество.
1. Если P = P(A,z) — Ж-полиэдр, то его однородное представле-
ние также является Ж-полиэдром:
homog(P) = Р
= С(Р).
72
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
2. Если Р = conv(V) 4- сопе(У) — У-полиэдр, то таковым являет-
ся и его однородное представление:
homog(P) = cone I v Y I = C(P).
Доказательство. Это следует из предложения 1.12.
§ 1.6. Теорема Каратеодори
В следующем предложении формулируются две версии (ли-
нейная и аффинная) другого основного инструмента, известного
как теорема Каратеодори. Мы хотим подчеркнуть, что, по срав-
нению с леммой Фаркаша, эта теорема совершенно элементарна
и вполне тривиальна с точки зрения вычислений. Тем не менее, ее
можно успешно применять, например, для усиления леммы Фар-
каша, так же как и основных теорем и теорем представления для
многогранников, конусов и полиэдров. (См. следующую главу.)
Утверждение 1.15 (теорема Каратеодори). Пусть X с Rdxn и
XERd.
1. Если хе cone (X), то xg cone (X') для некоторого подмноже-
ства X' QX не более чем rank(X) = dim(cone(X)) векторов из X.
2. Если х е conv(X), то х е conv(X') для некоторого подмноже-
ства X' QX не более чем
(1\
rank 1^1= dim (convCX)) 4-1
векторов из X.
Сначала мы опишем геометрическую идею (линейной версии).
Пусть сопе(Х) имеет размерность к. Предположим, что к' к 4-1 —
наименьшее такое число, что вектор хе cone(X) может быть пред-
ставлен как сумма к' векторов из X с положительными коэффици-
ентами (Из того, что хесопе(Х), мы получаем, что к' л.)
Конус сопе(Х'), порожденный таким множеством X' с X из к'
векторов, принадлежащих X, можно интерпретировать как проек-
цию положительного ортанта пространства Rfc . Так как к' мини-
мально, точка х лежит в образе внутренности ортанта {teRfc/: t>0}.
Из того, что к' > к, мы получаем, что прообраз точки х при проекции
по меньшей мере одномерен. Таким образом, прообраз содержит
пересечение прямой с ортантом {teRfc/: t^O}. Так как ортант не
содержит ни одну прямую целиком, прообраз содержит граничную
§ 1.6. Теорема Каратеодори
73
точку ортанта, и поэтому вектор х может быть представлен как ко-
ническая комбинация меньше чем к' векторов.
Аналогично (в аффинном случае) рассмотрим проекцию сим-
плекса на многогранник conv(X). Если многогранник-образ имеет
меньшую размерность, чем симплекс, то прообраз каждой его точки
содержит пересечение симплекса с некоторой прямой. Но симплекс
не содержит прямую целиком, поэтому наша прямая должна содер-
жать граничную точку симплекса, что приводит к представлению
с меньшим числом ненулевых коэффициентов.
Сейчас мы дадим алгебраическое доказательство.
Доказательство. Доказывая часть 1, мы без ограничения общ-
ности предположим, что X имеет полную размерность, rank(X) =d.
Этого можно добиться, переходя к линейной оболочке множества X.
Пусть х G сопе(Х), и пусть х = Xt для вектора t О с минималь-
ным носителем supp(t) = {i: > 0}, т.е. с минимальным числом
|{i: ti > 0}| ненулевых компонент. Теперь если | supp(t) | > d, то век-
торы {xt: tI > 0} линейно зависимы. Это означает, что существует
п
такая линейная зависимость вида 0= ^ixb 470 все не равны
i=i
нулю. Умножая зависимость на ненулевое число a G R, мы можем
считать, что > 0 для некоторого i G supp(t) и max{AI: > 0} = 1.
Тогда мы получаем
х =
i i
а это представление с меньшим носителем, что противоречит ми-
нимальности t.
Часть 2 следует непосредственно из того, что
74
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
Примечания
Материал этой главы является классическим — мы опирались на
трактовку Грётшеля из книги [245].
Для дальнейшего исторического экскурса мы рекомендуем кни-
гу Шрайвера [484, раздел 12.2] как превосходный справочник по
историческим источникам со ссылками на оригинальные работы
Фурье, Дайнса и Моцкина, а также Минковского, Вейля, Фаркаша,
Каратеодори и других.
Метод исключения неизвестных был разработан Моцкиным в
его докторской диссертации 1936 г. [414]. Приведем цитату из ра-
боты Данцига и Ивеса [175]:
Многие годы метод называли методом Моцкина исключения
неизвестных. Однако из-за странной привычки копаться в давно
забытых работах теперь он известен как метод Фурье—Моцки-
на исключения неизвестных и, возможно, со временем будет
известен как метод Фурье—Дайнса—Моцкина исключения неиз-
вестных.
Метод Фурье—Моцкина известен не только как теоретический
инструмент. С некоторой осторожностью его можно использовать
для вычислений. «На практике», однако, приходится иметь дело
с эффектом, известным как комбинаторный взрыв: на каждом шаге
а. Г 1
исключения можно преобразовать т неравенств в 1-^-1 новых,
а это означает, что после нескольких шагов количество неравенств
может увеличиться очень сильно. Тем не менее, многие из нера-
венств, которые мы получаем при исключении неизвестных, яв-
ляются избыточными: их можно удалить без изменения полиэдра,
определяемого системой. Поэтому, чтобы уменьшить объем вычис-
лений, важно исключать избыточные неравенства из системы, а для
этого нужно быстро их обнаруживать.
Проблема определения того, будет ли неравенство избыточным,
для J^-полиэдра является нетривиальной — она эквивалентна за-
даче совместности из линейного программирования. Тем не ме-
нее, ситуация улучшается, если в процессе исключения неизвестных
проводить полное описание полиэдра как в так и в У -версиях.
Другими словами, на каждом шаге мы предполагаем, что полиэдр Р
задан в форме
Р = Р(А, z) = conv(V),
Примечания
75
и из обеих версий описания получаем описание для proj;- (Р) и Р П Н;-
соответственно. Если нам даны как V, так и (А, г), то существует
несколько различных критериев, позволяющих определить, являет-
ся ли неравенство избыточным; кроме того, есть некоторые эври-
стические методы, которые можно использовать для быстрого на-
хождения некоторых избыточных неравенств.
Это наблюдение является ключевым для метода двойного опи-
сания Моцкина, Райфа, Томпсона и Трала [416]. Основной метод
проверки на избыточность неравенства как при проекции, так и для
пересечения был открыт и переоткрыт многими авторами. Основ-
ными источниками, появившимися после работ Моцкина и др. [414,
416], являются работы Бюргера [140], Черниковой [148,149], Черни-
кова [548, гл. III и V], Кристофа [150,151], Падберга [434, раздел 7.4]
и Левержа [360]. Мы даем представление об основных критериях
в упражнениях 2.15 и 2.16.
Есть несколько эффективных программ, доступных для экспери-
ментов, среди которых программы Левержа [360, 361], Бильда [565],
Фукуды [212] и Алевраса, Крамера и Падберга [7]. Некоторые из них
включены в систему POLYMAKE [225, 226, 227], которую мы настоя-
тельно рекомендуем в качестве инструмента для вычислений и ком-
бинаторного анализа примеров многогранников. Советуем приобре-
сти практический опыт, строя, рассматривая и анализируя примеры
из этой книги в системе POLYMAKE. В примере 0.6 мы использовали
более старую программу PORTA, написанную на языке СИ Кристо-
фом [151]. По сравнению с основной версией алгоритма, описанной
выше, PORTA использует несколько дополнительных приемов:
1) для гарантии правильности результатов используются раци-
ональные числа (причем как числитель, так и знаменатель могут
быть сколь угодно большими);
2) новые неравенства проверяются на избыточность при помо-
щи такого критерия, как в упражнениях 2.15 и 2.16, до того как они
получены в явном виде, что сохраняет время и место;
3) такая же процедура используется для превращения У-много-
гранников в J^-многогранники («проблема выпуклой оболочки»)
и обратно («проблема нахождения вершин»), при этом используется
полярность; см. § 2.3.
Проблема нахождения вершин подробно изучалась в вычисли-
тельной геометрии. Совсем недавно Хачиян с соавторами [320] по-
казали, что она в действительности принципиально трудна. Были
76
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
предложены и изучены многие альтернативы методу Фурье—Моц-
кина. В качестве примеров можно привести работу Шазеля [147]
и алгоритм Зайделя [489], основанный на шеллинге; см. также об-
зоры Матхайса и Рубена [384], Кристофа [150] и Боргварда [126].
Тем не менее, при исследовании многомерных проблем в теории
многогранников метод Фурье—Моцкина, по-видимому, трудно пре-
взойти.
Другой поразительно элегантный перечисляющий метод «об-
ратного поиска» был недавно описан Эвисом и Фукудой [31]. Ес-
ли выбрать линейную функцию общего положения, то симплекс-
метод (см. §3.2) с «правилом Блэнда» позволяет найти путь из
каждой вершины многогранника в его максимальную вершину.
Если многогранник простой, то такие пути образуют дерево, кото-
рое соединяет вершины, и его можно легко найти. Это дает очень
эффективный алгоритм, который описан в работах Эвиса [27, 28].
В случае непростых многогранников приходится искать дерево на
(огромном) множестве всех возможных базисов. Проделав некото-
рую дополнительную работу, можно определить те базисы, кото-
рые являются лексикографически первыми в вершине (см. также
работу Ротэ [466]). Эвис [27] сообщил об успешном решении ряда
громоздких задач о выпуклой оболочке методом обратного поиска
(см. также [144]).
Кроме того, Эвис, Бремнер и Зайдель в работах [29, 30,131] по-
строили и проанализировали классы «плохих» тестовых примеров
для различных типов алгоритмов выпуклой оболочки. В частности,
произведения циклических многогранников вида Cd(n)d, видимо,
являются «универсально» плохими для всех известных типов алго-
ритмов построения выпуклой оболочки.
Задачи и упражнения
1.0. Если мы ограничим доказательство теоремы 1.2 на мно-
гогранники, где оно перестанет быть верным? Другими словами,
в каком месте мы используем конструкцию, которая обязательно
приводит нас от многогранников к неограниченным полиэдрам?
1.1. Поэкспериментируйте с методами из этой главы на примерах.
1. Вычислите вершины двугранного примера из §1.2. Внима-
тельно проверьте, что все, что вы получите, на самом деле является
вершиной.
Задачи и упражнения
77
2. Вычислите определяющие неравенства для циклического мно-
гогранника С3 (6), например для tt = i, Для каждого неравенства най-
дите множество вершин, для которых оно обращается в равенство.
3. Найдите гиперграни 4-многогранников из упражнений 4.8.6
и 4.8.15 из книги Грюнбаума1 [252, с. 64, 65].
4. Это были примеры Микки-Мауса2 (очень простые). Следую-
щие примеры более реалистичны: найдите все гиперграни много-
гранников коммивояжера Q (6), Q(7), Q (8) и симметричных много-
гранников коммивояжера Q'(5) и Q'(6).
(Лучше использовать компьютер: Q(8) является 20-многогран-
ником с 2520 вершинами и 194187 гипергранями согласно работе
[153]. Многогранник Q(9) имеет 42104442 гиперграней. У много-
гранника Q (10) Кристоф нашел 51043 900 866 гиперграней и пред-
положил, что они дают его полное описание; см. [152] и [154]. По-
добным образом Р. Эйлер и Леверж [200] получили описание мно-
гогранника Q' (6): это 19-многогранник с 120 вершинами и 319015
гипергранями.)
1.2. Опишите метод Фурье—Моцкина для решения систем стро-
гих неравенств {х: Ax<z}. Используйте его для доказательства тео-
ремы о представлении для «открытых полиэдров».
1.3. Докажите, что если С = cone (W) — конус в пространстве
Rd+1, порожденный произвольными векторами и\ (не обязательно
woi 0), то множество
|х<= Rd: Q) е с|
является У-полиэдром.
1 Мы приводим полные тексты этих упражнений из книги Б. Грюнбаума.
Упражнение 4.8.6. Пусть Р — 4-многогранник, определенный как выпуклая
оболочка следующих точек: (-1, -1, -2,0), (-1, -1, 2,0), (-1,0, -1,1), (-1,0,1,1),
(-1,1,-2,0), (-1,1,2,0), (1,-2,-2,0), (1,-2,2,0), (1,0,0,2), (1,2,-2,0),
(1,2,2,0). Покажите, что этим вершинам можно приписать символы А, В, С,
D, Е, F, G, Н, I, J, К так, что их 3-грани имеют следующие множества вершин:
{ABCDEFGH}, {ABCDIK}, {ABEFIJK}, {ADEHIJ}, {BCFGK}, {CDGHIJK}, {EFGHJK}.
Постройте диаграмму Шлегеля многогранника Р.
Упражнение 4.8.15. Определите грани 4-многогранника Р, который задан как вы-
пуклая оболочка десяти точек (0,0,0,0), (0,1,0,1), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,1,0, 0),
(—1,1,0,0) (1,0,1,0), (—1,0,1,0), (1,0,0,1), (—1,0,0,1). Покажите, что все гипер-
грани многогранника, полярного к Р, комбинаторно эквивалентны; определите тип
(к, h) многогранника Р. —Прим. ред.
2 ©Walt Disney, 1927.
78
Глава 1. Многогранники, полиэдры и конусы
1.4. Сформулируйте и докажите лемму Фаркаша для систем вида
Ax^z, х^О.
1.5. Докажите следующую лемму Фаркаша для систем уравне-
ний и неравенств: для матриц А, В, С и векторов и, v, w
либо существует вектор х, удовлетворяющий условиям
Ах = и, Вх v, Сх $ w,
либо существуют такие вектор-строки а, Ь, с, что
аА + ЪВ + сС = 0, Ъ О, с О, au + bv + cw < 0.
1.6. Докажите следующую общую лемму Фаркаша для систем
уравнений и неравенств: для матриц А, В, С, D и векторов z, w
либо существуют векторы х, у, удовлетворяющие системе
Ax+By^z, Cx+Dy = w, х >0,
либо существуют такие вектор-строки с, d, что
cA+dC О, cB + dD = О, с > О, cz + dw<0.
1.7. Сформулируйте и докажите версию теоремы Каратеодори
для выпукло-конических комбинаций.
1.8. Транспортный многогранник задается как
P(d: a, b) = {х € Rdxd: Ху 0 для 1 i, j d,
d d
2 xik = dj; для 1 $ i d, £ xkj = bj для 1 j d}.
k=l k=l
Изучите транспортные многогранники. Определите их размер-
ности. Объясните, чему соответствуют вершины и гиперграни. По-
кажите, что многогранники Биркгофа являются частным случаем
транспортных многогранников. Докажите, что непустой транспорт-
ный многогранник P(d: а, Ь) имеет выделенную внутреннюю точку,
CLjb- &
задаваемую условиями для всех i и J, где А := 2 ak = X
л k=i к=1
1.9.Интерпретируйте лемму Фаркаша IV как утверждение о по-
лиэдрах и заметьте, что оно «тривиально» следует из эквивалентно-
сти понятий У и J^-полиэдра (теорема 1.2). Выведите лемму Фар-
каша II из леммы Фаркаша IV, а затем лемму Фаркаша I из леммы
Фаркаша II. (Этот альтернативный маршрут через дебри лемм Фар-
каша был предложен Джо Бонином.)
Глава 2
Грани многогранников
В этой главе мы обсудим грани и решетки граней. Мы ограни-
чимся только многогранниками, тем не менее, почти все результаты
можно обобщить и на случай полиэдров; см. упражнения.
Мы надеемся, что читателю понравится легкость, с которой по-
лучаются все результаты в этой главе. На самом деле практически
все они являются «геометрически ясными», а если нам все-таки по-
надобится алгебраическое обоснование, то мы будем проделывать
непосредственные вычисления или пользоваться леммами Фарка-
ша.
§ 2.1. Вершины, грани и гиперграни
Определение 2.1. Пусть PCRd — выпуклый многогранник. Ска-
жем, что неравенство сх с0 верно для Р, если оно выполняется
для всех точек х G Р. Гранью многогранника Р называется любое
множество вида
F = Pn{x G Rd: сх = с0},
где сх^с0 —верное для Р неравенство. Размерность грани —это
размерность ее аффинной оболочки: dim(F) :=dim(aff(F)).
Из верного неравенства Ох 0 мы получаем, что сам много-
гранник Р является своей гранью. Все остальные его грани назы-
ваются собственными.
Из неравенства 0x^1 мы видим, что пустое множество 0 все-
гда является гранью многогранника Р.
Грань размерности 0,1, dim(P) — 2 и dim(P) — 1 называется вер-
шиной, ребром, гиперребром и гипергранью соответственно. Таким
образом, вершины — это минимальные непустые грани, а гипергра-
ни — максимальные собственные грани. Множество всех вершин
многогранника Р обозначается vert(P).
Следующие чертежи показывают два верных неравенства для
двумерного многогранника, которые определяют вершину и ребро
соответственно.
80
Глава 2. Грани многогранников
В следующих двух утверждениях мы собрали несколько основ-
ных фактов о гранях.
Утверждение 2.2. Пусть —многогранник.
1. Каждый многогранник является выпуклой оболочкой своих
вершин: P = conv(vert(P)).
2. Если многогранник является выпуклой оболочкой некоторо-
го множества точек, то множество вершин многогранника содер-
жится в этом множестве: из того, что Р = conv(V), следует, что
vert(P)cy.
Доказательство. Пусть Р = conv(V). Если некоторый вектор
Vi G V может быть записан как выпуклая комбинация остальных
векторов из V, то мы можем просто заменить его на это пред-
ставление в любой выпуклой комбинации векторов из V и тем
самым получить меньшее множество V' :=V\vb выпуклая оболочка
которого также является многогранником convCV') = Р.
Теперь покажем, что если вектор vt не может быть представлен
в виде выпуклой комбинации векторов из Vх = V\vb то он являет-
ся вершиной многогранника Р. Используя вторую лемму Фаркаша
(утверждение 1.8), мы получаем
Vi $ conv(Vx) <=> ^t 0: Vi = V't, It = 1 <=>
. f 1Л f1Л лф ii
ЛФП (1 \ fl \
< => 3a: al у, I O, al J <0 <=>
< => 3(/3,-b)=a: bV' $ /31, bvt > /3 <=>
< => 3)8, b: bVj /3 для j # i, bvt > /3.
Таким образом, vt — это вершина, определяемая верным неравен-
ством bx^bvb
Для завершения доказательства обоих пунктов достаточно за-
метить, что вершину vt многогранника Р нельзя записать в виде
выпуклой комбинации точек из Р\ц-. □
§ 2.1 Вершины, грани и гиперграни
81
Утверждение 2.3. Рассмотрим многогранник Р с Rd и множе-
ство его вершин V :=vert(P). Пусть F — некоторая грань многогран-
ника Р.
1. Грань F — это многогранник, у которого vert(F) = F П V.
2. Любое пересечение граней многогранника Р — это снова грань
многогранника Р.
3. Грани многогранника F — это в точности грани многогранни-
ка Р, содержащиеся в F.
4. Справедливо равенство F = PQaff(F).
Доказательство. Пусть грань F определена верным неравен-
ством сх^с0.
Для доказательства первого утверждения части 1 заметим, что
из описания многогранников как пересечений полупространств
следует, что F — многогранник, так как F является пересечением
многогранника Р с полиэдром (гиперплоскостью)
Н := {х G Rd: сх = с0}.
Более того, мы видим, что F с aff(F) си, и это доказывает утвер-
ждение 4.
Для доказательства второго утверждения части 1 заметим, что
vert(F) 2 F n V =: Уо. Чтобы доказать обратное включение, рассмот-
рим такую точку х g F, что существует ее представление в виде
х = Vt, где t^O, lt= 1. Мы имеем
с0 = сх = c(Vt) = (cV)t colt = с0,
поэтому (cvi — Cgjti = 0 для всех i. Из этого следует, что = О для всех
i, для которых Vi ф Vo, а значит, xGconv(V0). Отсюда мы видим, что
F = conv(V0), и по утверждению 2.2 (2) получаем, что vert(F) с у0. На
этом доказательство утверждения 1 завершено.
Чтобы доказать утверждение 2, рассмотрим грани
F = Р П {х G Rd: сх = с0}
и
G = PO{xGRd: bx = b0}
для неравенств сх с0 и Ъх Ьо, каждое из которых верно для Р.
Тогда неравенство (с + Ъ)х с0 + Ъо верно для Р и
Р П {х е Rd: (с + Ь)х = с0 + b0} = F П G.
82
Глава 2. Грани многогранников
Докажем утверждение 3. Если подмножество G с F является гра-
нью многогранника Р, то оно также является гранью многогранни-
ка F. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим грани
F = РП{х G Rd: сх = с0} и G = Fn{x G Rd: bx = b0} c F,
где неравенство сх с0 верно для Р, а неравенство Ьх Ьо верно для
F, но не обязательно для Р.
Положим, как и ранее, Vo :=vert(F) и Vi := V\V0. Мы можем счи-
тать, что F0P и, следовательно, Vi непусто. Неравенство
(Ь + Лс)х Ь0 + Лс0
верно для F для любого Л GR и определяет G как грань многогран-
ника F.
Выберем Л достаточно большим, чтобы выполнялось неравен-
ство Л > -
b0-bv
Cq-CV
для всех v G Vi. Тогда мы получим, что неравенство
(Ь + Лс)х Ьо + ^со выполняется со строгим знаком для всех вершин
v G Vi. Отсюда заключаем, что G является гранью многогранника Р.
(На следующем рисунке можно видеть, что «на самом деле происхо-
дит» во время этих алгебраических преобразований.) □
Далее нам понадобится конструкция «вершинной фигуры», ко-
торая получается разрезанием многогранника гиперплоскостью,
отсекающей ровно одну вершину.
§ 2.1. Вершины, грани и гиперграни
83
Для этого рассмотрим многогранник Р с множеством вершин V =
= vert(P) и вершину v G V. Пусть сх с0 — верное неравенство и
{и} = РП{х: сх = с0}.
Выберем такое Cj<c0, что а/ссг для всех v'eV\v. Определим вер-
шинную фигуру многогранника Рви как многогранник
P/v := РП{х: сх =
Заметим, что конструкция многогранника P/v зависит от выбора
и неравенства сх с0; тем не менее, следующий результат показы-
вает, что комбинаторный тип многогранника P/v неизменен.
Утверждение 2.4. Отображения
п: F —► F П{х: сх = (4},
ст: Р naff ({и} U Fz) <—F'
задают биекцию между k-гранями многогранника Р, содержащими
v, и (к - Г}-гранями многогранника P/v.
Доказательство. Обозначим отрезающую гиперплоскость
{х: сх = Cj}
через Н.
Отображение л определено корректно: пусть F=Pn{x: bx=b0};
тогда F П Н = (Р П Н) П {х: Ъх = Ьо}, где неравенство Ъх Ьо верно
для Р, а значит, и для P/v.
Покажем, что ст корректно определено. Пусть
F' = (РПН)П{х: Ьх = Ь0},
где неравенство Ьх^ Ьо верно для P/v. Тогда неравенство
(Ь + Лс)х bo + Acj
верно для P/v для всех Л G R. Несложные выкладки показывают, что
для
_ bo - bv
Л° с0-С1
84
Глава 2. Грани многогранников
неравенство верно для Р с точным равенством в точке v. Действи-
тельно, рассматривая v' G V\v, мы видим, что cv' < Cj и cv = с0 > q,
следовательно,
u„ (e.-c,^ + (C;-e^)v рпн =
cv - cv' '
Точка v" является выпуклой комбинацией точек v и i/, и из соотно-
шений (Ъ + Aoc)vzz Ьо + XQc1 и (Ъ + Лос)и = b0 + A0Ci мы получаем
неравенство (b + Aoc)i/ b0 + AgCj.
Теперь проверим, что л и ст обратны друг к другу. Запишем
яоо-СГ7) = HnPnaff({v}UFz) = PAHnaff(Fz) = P/и П aff (Fz) = F',
где последнее равенство следует из утверждения 2.3 (4). Аналогично
а о n(F) = Р П aff({v} U (F ПН)) = Р П aff (F) = F,
где равенство (*) следует из того, что любая вершина v' грани F
может быть получена как аффинная комбинация вершины v и неко-
торой точки vu G F П Н.
В заключение заметим, что если Fz — это грань многогранника
P/v размерности к — 1, то соответствующая грань F многогранника
Р имеет размерность к, так как ее аффинной оболочкой является
aff(F) = aff(Fz и {и}), где v aff(Fz) по построению . □
§2.2. Решетка граней
В этом параграфе мы сформулируем часть наших результа-
тов о многогранниках в виде чисто комбинаторных утверждений.
Для этого нам понадобится терминология, связанная с конечными
частично упорядоченными множествами. Мы рекомендуем книгу
Стенли [517, разделы 3.1—3.3] для более глубокого изучения этой
темы и ее дальнейшего развития. Для простоты и унификации
обозначений мы определим основные понятия сейчас.
Определение 2.5 (терминология частично упорядоченных мно-
жеств). Частично упорядоченным множеством (S, $) называется
конечное множество S с отношением «^», которое рефлексивно
(х $ х для всех х G S), транзитивно (из того, что х $ у и у и,
следует, что х $ и) и антисимметрично (из того, что х у и у х,
следует, что х = у).
Обычно мы обозначаем такое частично упорядоченное множе-
ство просто S, когда ясно, о каком порядке идет речь. Любое под-
§ 2.2. Решетка граней
85
множество множества S также является частично упорядоченным
множеством с индуцированным частичным порядком. Цепью в S на-
зывается линейно упорядоченное подмножество множества S; дли-
ной цепи называется число элементов в ней без одного.
Для элементов х, у g S, удовлетворяющих условию х у, назо-
вем множество
[х, у] := {w G S: х w у}
интервалом между х и у. Интервал в S называется булевым, если он
изоморфен частично упорядоченному множеству Вк = (2cfc], с) всех
подмножеств к-элементного множества для некоторого к.
Частично упорядоченное множество называется ограниченным,
если в нем существуют единственный минимальный элемент, обо-
значаемый 0, и единственный максимальный элемент, обозначае-
мый 1. Собственной частью ограниченного частично упорядочен-
ного множества S называется множество S :=S\{0,1}.
Частично упорядоченное множество называется градуирован-
ным, если оно ограничено и все максимальные цепи имеют одну
и ту же длину. В этом случае длина максимальной цепи в ин-
тервале [0, х] называется рангом элемента х и обозначается г(х).
Ранг r(S) := г(1) называется длиной множества S. Например, любая
цепь является градуированным частично упорядоченным подмно-
жеством длины r(C) = |С| -1, а любое булево частично упорядочен-
ное множество Вк является градуированным длины r(Bk) = к для
всех к 1.
Частично упорядоченное множество называется решеткой, если
оно ограничено, любые два элемента х, у G S имеют единственную
минимальную верхнюю границу, которая называется супремумом
х V у, и любые два элемента х, у G S имеют единственную макси-
мальную нижнюю границу, которая называется инфимумом х А у.
(На самом деле из любых двух из этих условий следует третье; если
любая пара элементов имеет супремум (соответственно инфимум),
то и любое конечное подмножество имеет супремум (инфимум).)
Если S является градуированной решеткой, то мы назовем ми-
нимальные элементы множества S\{0} атомами решетки S, а мак-
симальные элементы множества S\{1} — коатомами. Можно дать
эквивалентное определение: атомы — это элементы ранга 1, а коато-
мы-элементы ранга r(S) -1.
Решетка называется атомарной, если каждый элемент является
супремумом к О атомов: х = V... V ак, где мы получаем х = 0 при
86
Глава 2. Грани многогранников
к = 0 и х = aj при к = 1. Аналогично решетка называется коатомар-
ной, если каждый элемент является инфимумом коатомов.
Противоположное частично упорядоченное множество Sop име-
ет то же основное множество, что и S, но х у в Sop, если и только
если в S выполнено обратное неравенство у $ х.
Мы будем использовать графическое представление частично
упорядоченных множеств с помощью диаграмм Хассе, т. е. графов,
нарисованных на плоскости так, что элементы соответствуют вер-
шинам, где х у в том и только том случае, когда существует вос-
ходящий путь из х в у. В этот граф включаются только ребра, со-
ответствующие накрывающим соотношениям, т. е. парам х < у, где
[х,у]={х,у}.
Из всех частично упорядоченных множеств, изображенных на
следующем рисунке, только первое является неограниченным. Вто-
рое является решеткой, но не градуированной. Третье градуирован-
ное (длины 3), но не решетка. Четвертое частично упорядоченное
множество является градуированной решеткой (длины 3), а пятое
даже булево (изоморфно В3). Четвертое множество, в отличие от
пятого, не является ни атомарной, ни коатомарной решеткой.
Эта терминология нам понадобится для изучения множества граней
выпуклого многогранника, упорядоченного по включению.
Определение 2.6. Решеткой граней выпуклого многогранника
Р называется множество I :=L(P) всех его граней, частично упоря-
доченное по включению.
На следующем рисунке в качестве примера показана решетка
граней выпуклого пятиугольника. Здесь минимальный элемент со-
ответствует пустой грани, пять атомов на следующем уровне соот-
ветствуют пяти вершинам, следующий уровень представляет пять
ребер (каждое содержит две вершины), а верхний уровень соответ-
ствует самому пятиугольнику.
§ 2.2. Решетка граней
87
В теореме 2.7 мы собрали основные структурные свойства реше-
ток граней, начиная с того, что они действительно являются решет-
ками, что оправдывает терминологию из определения 2.6.
Теорема 2.7. Пусть Р — выпуклый многогранник.
1. Для любого многогранника Р частично упорядоченное множе-
ство граней L(P) является решеткой длины dim(P) + 1 с функцией
ранга r(F) = dim(F) +1.
2. Любой интервал [G, F] множества L(P) является решеткой
граней некоторого выпуклого многогранника размерности r(F) —
— r(G) — l.
3 («Свойство ромба».) Каждый интервал длины два содержит
ровно четыре элемента, т. е. если GQF и r(F) — r(G) = 2, то суще-
ствуют ровно две такие грани Н, что GcHcF,u интервал [G, F]
выглядит так:
4. Противоположное множество 1(Р)ор также является ча-
стично упорядоченным множеством граней некоторого выпуклого
многогранника.
5. Решетка граней L(P) является одновременно атомарной и ко-
атомарной.
Доказательство. Чтобы показать, что множество 1(Р) есть ре-
шетка, достаточно заметить, что оно имеет единственный макси-
мальный элемент 1 = Р и единственный минимальный элемент
О = 0, а также существует инфимум, причем F AG = F QG. Послед-
нее утверждение верно, так как F n G — грань многогранников F
и G, а следовательно, и многогранника Р, что вытекает из утвер-
ждения 2.3(2). Но каждая грань многогранника Р, содержащаяся
в F и G, должна содержаться в F П G.
Теперь докажем часть 2. По утверждению 2.3(3) мы можем пред-
положить, что F = Р. В случае G = 0 доказываемое очевидно. Ес-
ли G / 0, то по утверждению 2.2(1) у G есть вершина v, которая
в соответствии с утверждением 2.3(3) также является вершиной
многогранника Р. Решетка граней многогранника P/v по утвержде-
нию 2.4 изоморфна интервалу [{и}, Р] решетки 1(Р). Таким обра-
зом, часть 2 доказана индукцией по dim(G).
Для доказательства части 1 осталось проверить, что решетка
Т(Р) является градуированной. Если G с F —грани многогранни-
ка Р, то из включения Р n aff (G) = G с F = Р n aff (F) (по утвержде-
88
Глава 2. Грани многогранников
нию 2.3(4)) мы получаем, что aff(G) с aff(F), а значит, dim(G) <
< dim(F). Осталось показать, что если dim(F) - dim(G) 2, то най-
дется такая грань Н G L(P), что G с Н с F. По части 2 этой теоремы
интервал [G, F] является решеткой граней некоторого многогран-
ника размерности хотя бы 1, а значит, у него есть вершина, которая
соответствует нужной грани Н.
Часть 3 является частным случаем части 2: «ромб» —это решет-
ка граней одномерного многогранника.
Сейчас мы не будем доказывать часть 4, но сделаем это в следу-
ющем параграфе.
Наконец, первое утверждение части 5 непосредственно следует
из утверждения 2.2(1), где атомам решетки L(P) соответствуют вер-
шины многогранника Р, а второе утверждение следует из первого
для противоположного частично упорядоченного множества (кото-
рое является решеткой граней некоторого многогранника в соот-
ветствии с частью 4). □
Эта теорема содержит информацию, которая накладывает суще-
ственные ограничения на структуру решетки граней многогранни-
ка (упражнение 2.3). Более точные результаты мы получим далее.
Заметим, что решетки граней — подходящая основа для опре-
деления комбинаторной эквивалентности многогранников. Наше
предыдущее определение (перед примером 0.2) можно переформу-
лировать следующим образом: Р и Q комбинаторно эквивалентны,
т. е. Р аг Q, если и только если L(P) = L(Q), т. е. их решетки граней
изоморфны.
Согдасно утверждению 2.2(1) это эквивалентно такой биекции
vert(P)«—► vert(Q) между вершинами многогранников, что множе-
ства вершин граней многогранника Р соответствуют множествам
вершин граней многогранника Q. Наше основное замечание состоит
в том, что в этом контексте достаточно работать с вершинами и ги-
пергранями, так как грани —это в точности пересечения гипергра-
ней, а множества вершин граней— это пересечения множеств вер-
шин гиперграней (см. упражнение 2.7). (Другими словами, основ-
ные свойства —это атомарность и коатомарность решеток граней.)
Топологически комбинаторная эквивалентность соответствует
существованию (кусочно линейного) гомеоморфизма между мно-
гогранниками Р = Q, который ограничивается до гомеоморфизма
гиперграней (а значит, и любых граней) этих многогранников. Дру-
гими словами, Р = Q в том и только том случае, когда Р и Q опреде-
§ 2.3. Полярность
89
ляют изоморфные клеточные комплексы (CW-шары); полное опре-
деление этих понятий дается в книгах Манкреса [418] или Бьорнера
[89, раздел 12], [96, раздел 4.7].
§2.3. Полярность
В этом параграфе мы построим полярные многогранники, ко-
торые (почти) все называют «двойственными» (или «дуальными»)
многогранниками. Мы используем термин «полярные», чтобы раз-
делить полярность и дуальность в смысле теории (ориентирован-
ных) матроидов, с которой мы встретимся позже в гл. 6 при изуче-
нии диаграмм Гейла, конструкции Лоуренса и др. (В этом мы будем
следовать соглашениям из книги [96, с.44—45].)
Важным моментом, заслуживающим внимания, является пере-
ход в двойственное пространство, который мы осуществим в этом
параграфе. Можно также зафиксировать скалярное произведение
в самом Rd и построить полярный многогранник в том же простран-
стве, что и начальный. В любом случае нам придется делать вы-
бор, так как для нашей конструкции существенно положение начала
координат. Если же мы хотим этого избежать, то нам необходимо,
используя методы из гл. 1, ввести понятие «конической полярности».
Мы не будем этого делать (чтобы следовать принципу, что эти лек-
ции о многогранниках), но затронем эту тему в упражнении 2.13.
Лемма 2.8. Пусть Р—многогранник в Rd. Следующие условия
для точки у^Р эквивалентны:
1) у не содержится в грани многогранника Р размерности мень-
ше чем d;
2) если ау = а0 и а / 0, то неравенство ах а0 не является
верным для Р; d
3) точку у можно представить в виде у = для d 4-1 аф-
i=0
финно независимых точек x0,...,xdePu параметров > 0,удовле-
d
творяющих условию £ = 1;
i=0 1 d
4) точку у можно представить в виде у = £ xi для d 4-1
аффинно независимых точек xQ,...,xdeP. i=0
Доказательство. Из утверждения 1 следует, что многогранник
Р имеет размерность d. Из этого мы получаем утверждение 2, так
как если неравенство ах а0 верно для Р, то у содержится в грани
90
Глава 2. Грани многогранников
Р n {х G Rd: ах = а0} меньшей размерности. В обратную сторону,
если верно утверждение 2, то ни одно неравенство не может опре-
делять гипергрань, содержащую у.
Из утверждения 4, очевидно, следует утверждение 3, а из него
с помощью несложного вычисления получаем утверждение 2:
d d
а0 = ay = £ $ £ ^а0 = а0.
i=Q i=0
Это соотношение может быть выполнено, только если ахг = а0 для
всех i, т.е. или а = 0, или точки xf аффинно зависимы.
Теперь предположим, что выполнено утверждение 2. Запишем
Р в виде Р = Р(А, z). Ни одно равенство вида ах = а0, а 0 0, не
является верным для всего Р, следовательно, многогранник Р пол-
номерен. Мы утверждаем, что для любого и G Rd выполнено вклю-
чение у + аи G Р для достаточно малых а > 0. Это верно, если ни
одно из неравенств, определяющих Р, не обращается в равенство
в точке у, а это запрещено пунктом 2. Теперь мы можем выбрать
d +1 значений параметра а для векторов е1?..., ed, —(ет +... +ed);
пусть а' > 0 — минимальное из выбранных значений, тогда запись
У = ((у- а'(ех +... + ed)) Ч-Су+а^) +... Ч- (y+a'ed))
дает представление в нужной форме. □
Если условия леммы 2.8 выполняются для точки у, то мы будем
говорить, что у— внутренняя точка многогранника Р. Более того,
мы будем использовать обозначение int(P) для внутренности мно-
гогранника Р, т. е. множества всех его внутренних точек. (Несложно
проверить, что наше определение совпадает с обычным (топологи-
ческим) определением внутренности множества точек Р с Rd.)
Проблема в том, что внутренность многогранника не являет-
ся инвариантом при аффинной эквивалентности многогранников:
центр треугольника является внутренней точкой, если треугольник
вложен в R2, но не является, если он вложен в R3. Более того,
int(P) =0, если многогранник Р не является полномерным в Rd.
Чтобы это исправить, мы введем относительную внутренность
relint(P) многогранника Р, определяемую как его внутренность от-
носительно вложения в аффинную оболочку aff(P), в которой он
полномерен. Аналогично лемме 2.8 следующая лемма характеризу-
ет точки относительной внутренности многогранника Р.
§ 2.3. Полярность
91
Лемма 2.9. Пусть Р—многогранник размерности k :=dim(P)
в некотором пространстве (к $ d). Следующие условия для точ-
ки у еР эквивалентны:
1) у не содержится ни в одной собственной грани многогранни-
ка Р;
2) если неравенство ах $ а0 верно для Р с равенством в точке у,
то равенство ах = а0 выполнено для всех точек хеР;
к
3) точку у можно представить в виде у = для к + 1 аф-
i=0
финно независимых точек х0}...}хкеРи параметров Af > 0,удовле-
k
творяющих условию = 1;
i=0 1 k
4) точку у можно представить в виде у = j-py для к + 1
аффинно независимых точек x0,...,xk€P. i=Q
Заметим, что если Р —непустой многогранник, то его относи-
тельная внутренность содержит хотя бы одну точку, т. е. relint(P) / 0.
Чтобы это доказать, достаточно рассмотреть барицентр множе-
1 N
ства вершин многогранника Р, задаваемый как У •= т? для
i=i
vert(P) = {иъ ..., vN}, или, согласно лемме 2.9(4), барицентр любого
множества из dim(P) 4-1 аффинно независимых точек (например,
вершин) многогранника Р.
Более того, из леммы 2.9(1) мы имеем разложение многогран-
ника Р в объединение непересекающихся относительных внутрен-
ностей его граней1:
Р= | | relint(F).
FGL(P)
Для различных целей, в частности для конструкции полярного
многогранника, к которой мы сейчас перейдем, удобно предполо-
жить без ограничения общности, что Oeint(P). В случае, если мно-
гогранник Р непуст, этого можно добиться с помощью аффинного
1 Знак | | обозначает дизъюнктное объединение. В оригинале автор использует
менее привычное для русскоязычной литературы обозначение |+|. —Прим, перев.
92
Глава 2. Грани многогранников
отображения. Для этого мы проецируем все пространство на aff(P)
и параллельно переносим произвольную точку внутренности мно-
гогранника Р в О. С помощью леммы 2.8 несложно показать, что
многогранник Р удовлетворяет этому условию в том и только том
случае, когда его можно представить в виде Р = Р(А, 1).
Определение 2.10. Для любого подмножества Р с полярное
множество определяется следующим образом:
РЛ := {с G (Kd)*: сх $ 1 для всех х G Р} С (Kd)*.
На следующем рисунке показаны пятиугольник Р на плоско-
сти, определенный пятью вершинами, и полярный ему пятиуголь-
ник РЛ, определенный пятью неравенствами.
Очевидно, что конструкцию полярного множества можно повто-
рить, и таким образом мы получим множество, полярное к полярно-
му, или дважды полярное множество, в виде
РЛЛ = {у G Rd: если сх 1 для всех х G Р, то су $ 1, где с G (Rd)*},
где мы естественным образом отождествили Rd и (Rd)**. Теперь
приведем практически очевидные (?) основные свойства полярного
и дважды полярного множеств.
Теорема 2.11. 1. Из включения Р с Q следует, что э QA
и РЛЛ с qaa.
2. Справедливо включение Р с РЛЛ.
3. Множества Р& и Р^ выпуклые.
4. Справедливы включения ОеРЛ и ОеРЛЛ.
5. Если Р—многогранник и 0еР,то Р = Р^.
6. Если Р—многогранник, О G int(P) и Р задан в виде Р = conv(V),
то
РЛ = {а:аУ$1}.
§ 2.3. Полярность
93
7. Если Р—многогранник, Oeint(P) и Р задан в виде Р = Р(А, 1),
то
РЛ = {cA:c>O,cl = 1}.
Представление Р = conv(V) в п. 6 означает, что Р — многогран-
ник, а представление Р = Р(А, 1) в п. 7 —что Oeint(P). Продолжая
определения выпуклой оболочки и системы неравенств на двой-
ственное пространство (т.е. для вектор-строк), п. 6 и 7 можно за-
писать в виде
РЛ = conv(A) = P(V, 1).
Доказательство. Пункты 1—4 мы оставляем читателю в каче-
стве несложного упражнения, которое можно выполнить устно.
Что касается доказательства п. 5, мы полагаемся на добросовест-
ность читателей, которые аккуратно проведут его на бумаге. Утвер-
ждение п. 5 также следует из п. 6. Чтобы доказать п. 6, запишем
РЛ = {а: ах $ 1 для всех х G Р} =
= {а: av 1 для всех v е. V},
где для последнего равенства включение «с» очевидно, а включе-
ние «2» следует из выпуклости (или несложных вычислений).
Чтобы доказать п. 7, запишем
РЛ = {а: ах $ 1 для всех х: Ах $ 1} =
= {сА: с О, cl= 1},
где включение «2» для последнего неравенства вытекает из следу-
ющих несложных вычислений: (сА)х = с(Ах) $cl = 1, а включение
«с» немного сложнее. Чтобы доказать его, заметим, что неравен-
ство Ах $ 1 имеет решение. Таким образом, по лемме Фаркаша III,
если неравенство ах $ 1 верно для Р, то существует такое с' О, что
с'А = а и с'1$ 1. В силу ограниченности многогранника Р не суще-
ствует такой точки х, что Ах -1, иначе выполнялось бы условие
х / 0 и точка Лх принадлежала бы Р для всех Л 0. Отсюда по лемме
Фаркаша I имеем, что существует такая вектор-строка с" О, что
с"А = О и с"1 > 0. Используя это, положим
Вектор с удовлетворяет условиям с О, сА = с'А = а и с1 = с'1 +
+ (1-с'1) = 1. □
94
Глава 2. Грани многогранников
В качестве иллюстрации полярности мы приведем «классиче-
ские» пары полярных многогранников: (правильные) куб и окта-
эдр, описанные в примере 0.4, и правильные додекаэдр и икосаэдр,
расположенные так, что 0 является их центром симметрии. Более
того, полярный многогранник к любому симплексу также является
симплексом (упражнение 2.12).
На самом деле, как мы увидим из следующей теоремы, комби-
наторная структура многогранника РЛ не зависит от конкретного
вложения Р в Rd, пока 0 g int(P).
Предположим, что Р с — выпуклый d -мерный многогранник,
для которого О является внутренней точкой. Для всех граней F мно-
гогранника Р рассмотрим подмножества многогранника РЛ вида
F° := {с G (Rd)*: сх 1 для всех х G Р,
сх = 1 для всех х G F} с (Rd)*.
Теорема 2.12. Предположим, что Р = conv(V) = Р(А, 1) — много-
гранник 8 Rd и
F = conv(Vz) = {х G Rd: А"х 1, А'х = 1}
— грань многогранника Р, где V = V' U V" и А = A' U А". (Здесь нам
нужно, чтобы все неравенства ах 1 в системе «Ах $ 1», для ко-
торых F с {xGRd: ох= 1}, были включены в подсистему «А'х^ 1».)
Тогда
F* = {с'А!: с' О, с'1 = 1} = {а: aV" $ 1, aV' = 1}.
Доказательство. Запишем
F° = {а: ах $ 1 для всех х G Р, ах = 1 для всех х G F} =
= {а: av 1 для всех v G V, av = 1 для всех v G V7} =
= {а: av $ 1 для всех v G Vzz, av = 1 для всех v G Vz} =
= {a: aV" l,aVz = 1}.
Чтобы доказать вторую часть равенства, используем описание мно-
гогранника РЛ из п. 6 и 7 теоремы 2.11:
F° = {а: ах $ 1 для всех х G Р, ах = 1 для всех х G F} =
= {сА: с > О, cl = 1, сАх = 1 для всех х G F} =
= {с'А':с'}О, с'1 = 1},
§ 2.3. Полярность
95
где включение «5» для последнего равенства очевидно, а включе-
ние «с» нуждается в доказательстве. Чтобы доказать его, выберем
некоторую точку xGrelint(F), удовлетворяющую равенству А'х = 1
и неравенству A"х < 1, и перепишем с А = с'А' + с"А". Тогда из соот-
ношения
1 = (сА)х = (с'А' + с"А"= с' (А'х) + с" (А"х) $ с'1 + с"1 = cl = 1
мы получаем с"(А"х) = с"1, откуда в силу неравенства А"х<Л сле-
дует, что с!1 = О. □
Следствие 2.13. Пусть Р —многогранник, О G int(P), и F, G е
G L(P) ~ его грани. Тогда
1) F° — грань многогранника РЛ,
2) F<x> = Fu
3) F С G в том и только том случае, когда F* 2 G*.
Следствие 2.14. Решетка граней многогранника Р& противопо-
ложна решетке граней многогранника Р:
1(РЛ) = L(P)op.
Это следствие, в частности, завершает доказательство теоремы
2.7, два заключительных пункта которой мы отложили. Также оно
означает, что для любого утверждения о комбинаторной структуре
многогранника существует «полярное утверждение», в котором об-
ращены все включения и произведены замены
0=6 1 = Р
вершины <—> гиперграни
ребра <—> (d - 2)-грани (гиперребра)
... <-► ... ит.д.
Заметим также, что полярность отождествляет решетки граней ги-
перграней с решетками граней (с обращенным порядком) вершин-
ных фигур (в соответствующих вершинах полярного многогранни-
ка). В заключение необходимо сказать, что «полярные» комбинатор-
ные описания многогранников как У-многогранников через вер-
шины и как -многогранников через гиперграни являются логи-
чески эквивалентными.
Тем не менее, метрические свойства конструкции полярного
многогранника зависят от положения точки 0 внутри Р, а комбина-
торные — нет. Это позволяет дать следующее определение: два мно-
гогранника Р и Q комбинаторно полярны, если L(P) =L(Q)op. Сле-
96
Глава 2. Грани многогранников
довательно, конструкция многогранника Рл доказывает существо-
вание комбинаторно полярного многогранника для любого много-
гранника Р.
§ 2.4. Теорема представления для многогранников
В этом параграфе перед нами стоит (к настоящему моменту)
простая задача: сформулировать и доказать общую теорему пред-
ставления для многогранников. На самом деле практически все
уже сделано. Мы уже разобрали все составляющие: метод Фурье—
Моцкина, леммы Фаркаша, теорему Каратеодори и полярность. Для
формулировки теоремы нам потребуется еще один термин: к-остов
многогранника, т. е. объединение его к-мерных граней.
Теорема 2.15 (теорема представления для многогранников).
Подмножество PQ№d является многогранником, если и только если
оно может быть описано любым из следующих (эквивалентных)
способов:
1) аффинная проекция симплекса;
2) все выпуклые комбинации конечного множества точек;
3) все выпуклые комбинации множества вершин vert(P);
4) объединение всех симплексов, натянутых на точки конечного
множества;
5) проекция d-остова симплекса;
6) ограниченное пересечение (замкнутых) полупространств;
7) ограниченное пересечение (замкнутых) полупространств, оп-
ределяющих гиперграни, по одному для каждой гиперграни, и аффин-
ной оболочки множества Р.
Доказательство. Эквивалентность п. 1 и 2 следует из определе-
ний выпуклой оболочки и симплекса. Это пример перевода геомет-
рического утверждения 1 на алгебраический язык утверждения 2.
Аналогичным переводом является эквивалентность п. 4 и 5.
Эквивалентность п. 2 и 3 следует из утверждения 2.2, а эквива-
лентность п. 1 и 5 —из теоремы Каратеодори 1.15 (2).
Эквивалентность п. 2 и 6 — это основная теорема теории много-
гранников — теорема 1.1, которую мы доказали с помощью метода
Фурье—Моцкина. Альтернативным образом, эта эквивалентность
следует из соображений полярности.
Наконец, доказательство эквивалентности п. 3 и 7 мы сводим
к полномерному случаю, в котором, по теореме 2.12 и ее следстви-
§ 2.5. Симплициальные и простые многогранники
97
ям, гиперграни полярного многогранника Рл соответствуют вер-
шинам многогранника Р. В частности, неравенства, определяющие
гиперграни, однозначно определены (если записывать их в виде
atx $ 1), и ни одно из них нельзя удалить. □
§ 2.5. Симплициальные и простые многогранники
Утверждение 2.16. Для любого d-мерного многогранника Р сле-
дующие условия эквивалентны:
1) любая гипергранъ многогранника Р является симплексом, т. е.
Р — симплициольный многогранник;
2) любая собственная грань многогранника Р — симплекс;
3) любая гипергранъ имеет d вершин;
4) любая k-гранъ содержит ровно к + 1 вершину, zdek^d- 1;
5) любой нижний интервал [О, F] СЦР) решетки граней при
F /1 является булевым частично упорядоченным множеством.
Аналогично следующие условия эквивалентны:
1) любая вершинная фигура многогранника Р является симплек-
сом, т.е. Р — простой многогранник;
2) любая повторная вершинная фигура многогранника Р — сим-
плекс;
3) любая вершина содержится в d гипергранях;
4) любая k-грань содержится ровно ed — k гипергранях при к 0;
5) любой верхний интервал [F, 1] с L(P) решетки граней, где
F / 0, является булевым частично упорядоченным множеством.
В частности, многогранник является симплициальным в том
и только том случае, когда любой комбинаторно полярный ему мно-
гогранник является простым, и наоборот, многогранник является
простым в том и только том случае, когда любой комбинаторно
полярный ему многогранник является симплициальным.
Доказательство. Оно достаточно очевидно. В нем используется
только тот факт, что у каждого (d - 1)-мерного симплекса ровно
f d А , о
( k + lj fc-гранеи и его решетка граней —это булево частично упо-
рядоченное множество Bd всех подмножеств d -элементного множе-
ства.
Первая и вторая части теоремы эквивалентны в силу полярности.
Здесь мы используем тот факт, что частично упорядоченное множе-
ство, противоположное булеву множеству, само ему изоморфно. □
98
Глава 2. Грани многогранников
Далее будем предполагать (без ограничения общности), что мы
рассматриваем только полномерные многогранники. Для любого
симплициального многогранника Р = conv(V) мы можем немного
«пошевелить» координаты его вершин, не меняя его комбинатор-
ной структуры. Так можно получить комбинаторно эквивалентный
многогранник, координаты всех вершин которого рациональны. Та-
кие многогранники называются рациональными.
Аналогично для любого простого многогранника Р = Р(А, я) мы
можем слегка «пошевелить» определяющие неравенства и получить
неравенства с рациональными коэффициентами. Домножая на об-
щий знаменатель, мы получим многогранник с целочисленными ко-
ординатами вершин (так называемый решеточный многогранник).
Тем самым мы доказали следующий результат.
Утверждение 2.17. Для любого простого или симплициального
многогранника Р существует комбинаторно эквивалентный много-
гранник Р' с целочисленными координатами вершин.
Тем самым получен ответ на один вопрос, но сразу возникает
два новых: во-первых, верно ли это утверждение для всех много-
гранников? Позже мы увидим, что оно верно для всех многогранни-
ков размерности d $ 3 (случай d $ 2 очевиден), но неверно в общем
случае (см. гл. 6). И во-вторых, если целочисленные координаты су-
ществуют, то можно ли их сделать достаточно небольшими? И вновь
в случае малой размерности ответ будет положительным, но в об-
щем случае мы столкнемся с дважды экспоненциальным ростом ко-
ординат в зависимости от количества вершин; см. работу Гудмана,
Поллака и Штурмфельса [238]. В случае размерности d = 3 задача,
кажется, до сих пор не решена (см. задачу 4.16*).
Мы уже встречались с некоторыми примерами простых и сим-
плициальных многогранников в гл. 0: d-симплекс, d-куб и додека-
эдр—это простые многогранники, a d-симплекс, октаэдр, икосаэдр
и все циклические многогранники — это примеры симплициальных
многогранников. Заметим, что у додекаэдра и икосаэдра в их «обыч-
ном» симметричном представлении (в качестве правильных много-
гранников) координаты вершин не являются рациональными. (На
самом деле в качестве правильных многогранников они вообще не
могут быть реализованы с рациональными координатами вершин!)
Любой d-многогранник, который одновременно является про-
стым и симплициальным, является симплексом, если d 3 (более
точное утверждение сформулировано в упражнении 0.0. Чтобы до-
§2.6. Приложение: проективные преобразования
99
казать это, возьмем простой многогранник Р и рассмотрим его про-
извольную вершину v. Эта вершина лежит ровно в d гипергранях,
каждая из которых есть симплекс. Посмотрев на вершинную фи-
гуру, мы видим, что v лежит на d ребрах и d вершин vx,..., vdt
смежных с и, также попарно смежны между собой; именно здесь
мы используем условие d 3. Поскольку мы можем провести анало-
гичные рассуждения начиная с вершины vh эта вершина соединена
ребрами только с и, vx,..., ui+1,..., vd. Таким образом, множе-
ство вершин многогранника Р —это {и, их,..., vd}, и Р —симплекс,
натянутый на это множество. □
§ 2.6. Приложение: проективные преобразования
Несмотря на то что линейные преобразования —это наш ос-
новной метод, позволяющий «взглянуть на многогранники с нуж-
ной стороны», иногда удобно использовать более общие преобразо-
вания, которые позволяют нам «приводить форму многогранника
к нужному виду», — это проективные преобразования.
Мы можем описать проективные преобразования достаточно
просто, используя методы, введенные в этой главе (в частности,
без построения проективного пространства и использования про-
ективной геометрии). Для этого сделаем следующее. Рассмотрим
многогранник Р с Rd,-вложим его в гиперплоскость Н CRd+1 и по-
строим его однородное представление homog(P). По определению
это заостренный конус. Теперь пересечем этот конус другой гипер-
плоскостью К с Rd+1, которую затем отождествим с при помощи
аффинного преобразования.
Здесь гиперплоскость К должна быть допустимой, т. е. должна пе-
ресекать любой луч в homog(P), начинающийся в точке О. При этом
условии мы получим новый многогранник Р' с Rd, который аффин-
но изоморфен К П homog(P), а значит, комбинаторно эквивален-
100
Глава 2. Грани многогранников
тен Р:
L(P) = L(homog(P)) = L(P').
Геометрический процесс можно кратко описать как переход
к однородному представлению (вложение в аффинную гиперплос-
кость) с последующим переходом в обратном направлении (отно-
сительно новой гиперплоскости).
Теперь выведем формулы, прямо описывающие отображение
f: Р —> Р' в d-мерном пространстве. Для этого положим
Н = { (*) : х е Rd}= | ) е Rd+1: xd+1 = l}c ffid+1
И
к={GL)е Rd+1: ax+ad+iXd+i=4-
Гиперплоскость К допустима, если и только если (a, ad+i) ) > 0
для всех вершин uevert(P). Отобразим К обратно в Rd с помощью
аффинного отображения
n:K->Rd, ( х ) — Bx+xd+1z + z'.
V xd+l J
Это отображение является изоморфизмом я: K = Rd, если и только
если
(В z \
det 1/0.
aa+i J
Это значит, что для ad+1 / 0 мы можем взять В = Id,z = z' = 0ив этом
Л х V
случае я(1 ))=х.
V xd+l J
Собирая вместе все написанное, мы получаем формулы для про-
ективного преобразования в виде
хеР~ ff) Д (*) еК~ +z'eRd.
VI/ ax + ad+1 V1J ax + ad+1
Таким образом, проективное преобразование действует на Р как
дробно-линейное отображение, и для Р' получается общая формула
Вх + з . / _ п
-:----h z : X G Р
ах+ам
при условии, что
(В z
det
Va ad+l
и av + ad+1 > 0 для всех v G vert(P).
/0
§ 2.6. Приложение: проективные преобразования
101
Геометрически это преобразование имеет следующую особен-
ность. Отображение определено на внутренности полупространства
К+ = {х е ax+ad+1 0}.
Оно отображает подпространства, которые пересекаются с внутрен-
ностью полупространства К+, в подпространства той же размерно-
сти. Гиперплоскость К, ограничивающая полупространство, проек-
тивным преобразованием «переводится на бесконечность». Таким
образом, прямые, пересекающиеся внутри К\ отображаются в пе-
ресекающиеся прямые, в то время как прямые, пересекающиеся
на граничной гиперплоскости К = {х G Rd: ах 4- ad+1 = 0} полупро-
странства К+, отображаются в параллельные прямые.
Было бы полезно взять хорошую книгу по проективной геометрии —
рекомендуем книгу Гарнера [224] и классические книги Веблена
и Юнга [552], а также Ходжа и Пидо [276] для более подробного изу-
чения — и посмотреть, как там определяются и описываются про-
ективные преобразования, а затем сравнить с тем, как это сделано
у нас.
Понимание проективных преобразований крайне необходимо
для эффективной работы с многогранниками, даже если мы и не
будем к ним активно прибегать в дальнейших главах. Тем не менее,
время от времени читатель будет встречаться с ними (явно или
неявно).
Проективные преобразования используются для «подготовки»,
чтобы получить многогранник с подходящими свойствами без из-
менения его комбинаторной структуры. Для этого (почти всегда)
не нужно возвращаться к формулам, достаточно геометрического
обоснования того, что такое преобразование существует. Два таких
приложения описаны в упражнениях 2.17 и 2.18, оба они будут по-
лезны далее.
102
Глава 2. Грани многогранников
Примечания
Все основные факты о полярности, решетках граней и различ-
ные части теоремы о представлении и их доказательства являются
классическими и принадлежат Фаркашу, Вейлю, Минковскому, Ка-
ратеодори, Моцкину, Куну и другим. Мы вновь рекомендуем книги
Грюнбаума [252] и Шрайвера [484], в которых описывается история
этих результатов.
Задачи и упражнения
2.0. Пусть Р — полиэдр и Fo — некоторая его непустая грань, ми-
нимальная по включению. Докажите, что для произвольной точки
х0 G Fo множество Fo - х0 является линейным пространством и
F0-x0 = lineal (Р).
Таким образом, если Р имеет линейную часть lineal(P) = {0}, то
любая его минимальная грань — это вершина и, в частности, у Р
есть вершины.
2.1. Комбинируя предыдущее упражнение и теорему 1.2, сформу-
лируйте и докажите аналог теоремы представления 2.15 для полиэд-
ров. Обратите особое внимание на формулировку п. 5. В частности,
что получится в случае конуса?
2.2. Покажите, что любой многогранник аффинно изоморфен ог-
раниченному пересечению ортанта с аффинным подпространством.
2.3. Постройте небольшое частично упорядоченное множество,
которое удовлетворяет всем условиям теоремы 2.7, но не соответ-
ствует никакому выпуклому многограннику. Соответствует ли ваш
пример какому-нибудь геометрическому объекту?
2.4. Докажите непосредственно (т. е. без использования поляр-
ности), что любая грань многогранника Р содержится в некоторой
гиперграни.
2.5. Верно ли, что если два 0/1-многогранника комбинаторно
эквивалентны, то они аффинно изоморфны? (Ответ: «нет».)
2.6. Пусть /(d) —количество классов комбинаторной эквива-
лентности d-мерных 0/1-многогранников. Начальными значениями
будут /(0) = /(1) = 1, /(2) = 2 и /(3) = 8. Докажите, что 22* 2< f(cT) <
<22* для d>5.
(Эта оценка дает решение задачи Биллеры и Сарангараджана
[76, раздел 3]. Для доказательства нижней оценки мы вместе с Са-
Задачи и упражнения
103
рангараджаном предлагаем вам рассмотреть все многогранники
вида Р = conv(S), где S с {О, l}d — такие подмножества, что
х G S для всех таких х G {0, l}d, что xd = 1,
0, l-edG$ и еь 1 -ed -ej ф S.
Число таких многогранников 22* 1“4. Покажите, что классы ком-
бинаторной эквивалентности, на которые разбивается множество
многогранников P(S), «достаточно малы».)
2.7. Предположим, что нам задана матрица инциденций
М(Р) е {0,1}тхп = {., *}mxn
вершин и гиперграней выпуклого многогранника Р с т вершинами
и п гипергранями.
Как однозначно восстановить решетку граней многогранника Р
только по матрице М (Р)? Где размерность многогранника Р возни-
кает в вычислениях? Почему не срабатывает ваш алгоритм, если его
применить к матрице, которая не является матрицей инциденций
многогранника? Как связаны матрицы для Р и Рд?
2.8. Пусть Р и Р'—два многогранника с множествами вершин
У = {Vj,..., vn} и V' = {и',..., v^}. Предположим, что для каждого
множества вершин F с у гиперграни многогранника Р соответству-
ющее множество F' с у' является множеством вершин гиперграни
многогранника Р'.
1. Докажите, что для каждой грани многогранника Р соответ-
ствующее множество вершин из V' образует грань многогранни-
ка Р'. Выведите отсюда, что dim(P) dim(P').
2. Лемма. Если Р и Р'—многогранники одной размерности, то
они комбинаторно эквивалентны и соответствующее отображе-
ние можно задать в виде —> i/.
(Подсказка: предположим противное. Тогда у многогранника Р'
найдутся две гиперграни F[ и F2, которые смежны, и соответству-
ющее множество вершин гиперграни Fx образует гипергрань в Р,
a F2 — нет. (Здесь можно воспользоваться связностью графа много-
гранника (Р')л, которая будет доказана в следующей главе.) Теперь
рассмотрим грань F' OF2 коразмерности 2, которая является гипер-
гранью многогранника F'v и используем предположение индукции
для многогранников Рг и F'.)
3. Покажите, что многогранники Р и Р' могут иметь разную
размерность.
104
Глава 2. Грани многогранников
(Подсказка: для этого возьмите куб Р = С3, вершины которого
помечены так, как показано на рисунке, и циклический многогран-
ник Р, = С4(8).)
4. Предположим, что вам известна следующая информация о мно-
гограннике Р: размерность, множество вершин и матрица
М(Р) G {0,1ГХП,
каждая строка которой представляет гипергрань этого многогран-
ника.
На каком основании вы можете сказать, что представлены все
гиперграни? (Замечание: это непросто; можно использовать мето-
ды из гл. 8 или теорию гомологий.) (Пункт 2 важен: см. статьи Кли
и Минти [330, с. 167], Аменты и Циглера [17] и др. Пункт 3 указывает
на ошибку в работе [330, с. 167].)
2.9. Определим гранную фигуру Р/F произвольной грани мно-
гогранника Р как P/F := (F°)A, т.е. как полярный многогранник
к грани многогранника Рл, которая соответствует F. (Гранные фи-
гуры Р/F также известны как факторы многогранника Р. Таким
образом, фактор многогранника Р — это то же самое, что повторная
вершинная фигура.)
Покажите, что это многогранник размерности
dim(P/F) = dim(P) - dim(F) -1.
Охарактеризуйте решетку граней фигуры в терминах решетки
граней многогранника Р и элемента F gL(P).
С помощью обобщения понятия вершинной фигуры опишите
непосредственную конструкцию гранной фигуры Р/F. Как получить
гранную фигуру в качестве повторной вершинной фигуры?
2.10. Можно ли считать, что точки являются вершинами в п. 3
и 4 леммы 2.8 (о характеризации внутренних точек многогранни-
ка)?
2.11. Пусть {i^,..., vk} с vert(Р) — некоторое подмножество вер-
шин многогранника Р. Докажите, что F = {i^} V... V {vk} в частично
Задачи и упражнения
105
упорядоченном множестве 1(Р) в том и только том случае, когда
Г S vi €relint(F). Обобщите это утверждение на случай супремума
к i=i
множества граней {G1?..., Gfc}C£(p).
2.12. Докажите непосредственным вычислением, что любой мно-
гогранник, полярный симплексу, является симплексом.
2.13. Определим конус, полярный конусу С, как
Сд := {с G (Rd)*: сх 0 для всех х G С}.
Покажите, что это определение (с «0» вместо «1») является частным
случаем нашего определения для произвольных подмножеств.
Сформулируйте и докажите аналоги наших теорем 2.11 и 2.12.
2.14. Пусть P — d-многогранник в заданный системой нера-
венств
Р = Р(А, г).
Неравенство этой системы называется избыточным, если удаление
его из системы Ах z не изменяет полиэдр; в противном случае
неравенство называется неизбыточным.
1. С помощью леммы Фаркаша III докажите, что неравенство
является избыточным в том и только том случае, когда его можно
записать в виде положительной линейной комбинации остальных
неравенств системы.
2. Выведите из леммы Фаркаша, что если Р = Р(А,z) 00 и ни
одно из неравенств системы Ах z не является избыточным, то
каждое неравенство определяет гипергрань. Следовательно, любой
многогранник является пересечением полупространств, определя-
ющих гиперграни.
3. Докажите, что если xF G relint(F) — некоторая точка в относи-
тельной внутренности гиперграни F G L(P), то неравенство ах z
определяет гипергрань F в том и только том случае, когда оно верно
для Р и axF=z.
4. Докажите, что для любой гиперграни F многогранника Р су-
ществует единственное неравенство ах z, определяющее F, для
d
которого Z |aj = 1.
i=l
Все эти утверждения вместе доказывают, что любое неизбыточ-
ное описание d -многогранника Р с как Ж-многогранника содер-
жит ровно одно неравенство для каждой гиперграни Р.
106
Глава 2. Грани многогранников
Покажите, что этот результат можно получить с помощью поля-
ризации утверждения 2.2.
Что будет в случае dim(P) < d? Что останется от единственности
в п. 4?
2.15. Пусть Р = conv(V) с — выпуклый d-многогранник, для
которого задано некоторое его описание как ^-многогранника
в виде
Р = Р(А, z).
С каждым неравенством atx zl свяжем множество вершин
Vi := {и G V: ар = sj.
Докажите, что следующие критерии можно использовать для про-
верки избыточности неравенства.
1. Неравенство а{х zt избыточно, если и только если с у?. для
некоторого j^i.
2. Если Vi = Vj, то либо соответствующие неравенства отличают-
ся домножением на константу, либо оба они избыточны.
3. Неравенство является неизбыточным в том и только том слу-
чае, когда оно определяет гипергрань многогранника Р и в системе
нет неравенств, получающихся из него домножением на константу.
4. Если |VJ <d, то неравенство избыточно.
5. Неравенство zt неизбыточно в том и только том случае,
когда в системе нет кратного ему и ранг матрицы вида
равен d.
(Пункты 1 и 5 являются полными критериями избыточности,
которые можно проверить в явном виде. При этом мы не предпо-
лагаем, что множество V является минимальным. Условие 1 являет-
ся (эквивалентно) основным условием из работы Н. В. Черниковой
[149], а условие 5 на проверку ранга кажется не столь эффективным.
К примеру, на практике применяется сочетание условий 1 и 4.)
2.16. Пусть Р = conv(V) с Rd — выпуклый d-многогранник и нам
задано такое его неизбыточное описание как ^-многогранника
Р = Р(А, 2>),
что неравенства atx zt определяют все его различные гиперграни
без повторений. Для каждого неравенства atx zt пусть — множе-
ство точек из V, в которых достигается равенство.
Задачи и упражнения
107
Докажите, что неизбыточное описание многогранника projd(P) с
с Rd~1 может быть получено из следующих критериев:
1) если aid = 0, то неравенство а^х z{ определяет гипергрань
многогранника projd(P);
2) если aid > 0 и a;d < 0, то неравенство
(aidaj + (-a;d)af)x aidZj + (-ajd)Zi
определяет гипергрань многогранника projd (Р) в том и только том
случае, когда включение Ц П V; с vk не выполнено ни для одного
k^i,j.
Более того, докажите, что если |Vt П Vj < d — 1, то полученное
в п. 2 неравенство избыточно. Это, в частности, так в случае, когда
d 2 и Vi; П Vj; = 0. (Дайте геометрические доказательства, они про-
ще, чем алгебраические.)
Объясните, как с помощью метода Фурье—Моцкина (теорема
1.4) и этого критерия избыточности можно получить полное неиз-
быточное описание многогранника Р :=conv(V) даже если V
содержит не только вершины этого многогранника.
Как можно модифицировать этот критерий для случая полиэд-
ров, когда изначальный полиэдр задан в виде P=conv(V) 4-cone (X)?
Что будет в случае dim(P) < d и как преодолеть возникающие
трудности?
(Необходимое и достаточное условие можно найти, например,
в варианте Бюргера [140, теорема 3] метода двойного описания, из-
ложенного в работе [416]. Эвристическая проверка условия «VJ П V, =
= 0» рассматривалась в статье Черниковой [149].)
2.17. Докажите, что для любой пары вершин u, v многогранника
Р с существует такое проективное преобразование Р —* Р', что
вершины и' и v' имеют соответственно наименьшую и наибольшую
координату xd среди всех вершин многогранника Р'.
2.18. Пусть F — некоторая гипергрань многогранника Р с Rd
и п: —> Rd-1—проекция (например, удаление последней коор-
динаты). «Отправляя точку над F на бесконечность», докажите, что
108
Глава 2. Грани многогранников
с помощью проективного преобразования Р ->Р' можно добиться
выполнения условий п(Р'} = Tt(F') и ПР' = ;t“1(G') nF' для
каждой собственной грани G' с Tt(F').
2.19. Используя лемму Фаркаша, докажите, что для любого не-
ограниченного заостренного полиэдра Р существует такое неравен-
ство ах 1, что множество Р':={хеР: ах 1} является много-
гранником с такой гипергранью F' := {xgP: ах= 1}, что к-грани
многогранника F' соответствуют неограниченным (к 4-1)-граням
полиэдра Р, а к-грани многогранника Р', не являющиеся граня-
ми многогранника F', взаимно однозначно соответствуют к-граням
многогранника Р.
Покажите, что полиэдр, комбинаторно эквивалентный Р', также
может быть получен из Р взятием замыкания его образа после
«недопустимого» проективного преобразования, которое переводит
грань на бесконечности в
Как это можно использовать для изучения комбинаторной струк-
туры заостренных неограниченных полиэдров в терминах «много-
гранников с выделенной гранью»?
2.20. Пусть Р с - d-полиэдр с п гипергранями, имеющий не
менее двух вершин. Предположим, что Oeint(P). Построим новый
полиэдр
Р° := (conv(vert(PA) \О))Л.
Докажите, что если Р — многогранник, то О — внутренняя точка по-
лиэдра РА и Р° = Р.
Если полиэдр Р неограничен, то О лежит на границе полиэдра
РА. Докажите, что полярным многогранником к conv(vert(PA) \ О)
Задачи и упражнения
109
относительно его внутренней точки является d-многогранник Р° с п
гипергранями и большим количеством вершин, чем у Р.
2.21. Кривая Каратеодори [142] в R2d задается в виде
у: R —♦ R2d, и у(и) :=
( cos и \
sinu
cos2u
sin2u
cos du
\ sin du 7
1. Докажите, что если 0 < u2 < ... < un < 2n, где n > 2d, to
выпуклая оболочка
U2,un) := conv{y(iti), y(u2),y(un)}
комбинаторно эквивалентна циклическому многограннику С2^(п).
(Подсказка: вам может помочь книга Грюнбаума [252, с. 67,
упражнение 23].)
2. Докажите, что в случае d = 2 отображение
fy^ У2 1 Г 2у2+у4 > 1-Уз
Уз З + Чу+Уз 2У2-У4
ы <3-4у1+у3 у
является проективным преобразованием, которое переводит кри-
вую Каратеодори (а точнее, ее значимую часть) в кривую моментов.
Выведите из этого, что для подходящих вещественных парамет-
ров < t2 < ... < tn многогранник С'(u1?..., un) на самом деле проек-
тивно эквивалентен «стандартному» циклическому многограннику
С4(Г1?..., tn), определенному с помощью кривой моментов (см. при-
мер 0.6).
(На самом деле для любого d 1 многогранник C'2d(ulf и2,..., un)
проективно эквивалентен некоторому стандартному циклическо-
му многограннику C2d(tly t2,..., tn). Чтобы в этом убедиться, можно
в явном виде построить проективное преобразование, переводящее
кривую Каратеодори в кривую моментов, используя замену вида
__1 - cos u _ sinu
*“ sinu 1 + cosu
по
Глава 2. Грани многогранников
и некоторые элементарные тригонометрические тождества, напри-
мер sin 2t = 2 sin t cos t и cos 2t = 2 cos21 — 1.)
2.22. Для взаимно простых (т. е. без общего делителя, больше-
го единицы) чисел р, q GN определим бициклический многогранник
Р4(р, <1> п) как выпуклую оболочку п 5 точек вида
Vi
для 1 i п.
Опишите геометрию и комбинаторику этих многогранников.
1. Какие у них есть симметрии? Докажите, что все гиперграни
многогранника Р4(р, q, и) комбинаторно эквивалентны.
2. Сколько гиперграней у Р4(р, q, и)? При каких условиях на р, q
и п многогранник Р4(р, q, и) симплициальный?
3. Используя п. 1 и 2 предыдущего упражнения, докажите, что
многогранники Р4(1,2, и) и P4(l, (для нечетного и) ком-
бинаторно эквивалентны циклическому многограннику С4(п).
(Смиланский [502, 503].)
2.23. Попытайтесь оценить количество классов комбинаторной
эквивалентности d-многогранников с п-вершинами.
(Гудман и Поллак [235, 236], Алон [12].)
Глава 3
Графы многогранников
Вершины и ребра d-многогранника Р образуют неориентиро-
ванный граф G(P), который несет в себе значительную (но не всю)
информацию о комбинаторной структуре многогранника.
В этой главе мы рассмотрим три основные темы, касающие-
ся графов многогранников: монотонную гипотезу Хирша (мы до-
кажем, что она верна для 0/1-многогранников, а также приведем
недавно полученную оценку Калаи для общего случая), восстанов-
ление простого многогранника по его графу, предложенное Калаи,
и теорему Балинского о d-связности.
Перед тем как приступить к этим темам, мы познакомимся
с двумя техническими инструментами: выражениями наподобие
«пусть L — прямая в общем положении» и геометрической версией
симплекс-метода для линейного программирования, который явля-
ется одним из основных методов поиска на многогранниках.
§ 3.1. Линейные функции и прямые
в общем положении
Мы начнем с краткого обсуждения понятия «общего положе-
ния по отношению к многограннику Р» — это даст нам несколько
полезных методов доказательств, которые мы будем использовать
в последующих параграфах. Чтобы проиллюстрировать эту идею,
в § 3.2 мы сделаем набросок геометрической версии линейного про-
граммирования.
Учитывая работу, проделанную в гл. 1 и 2, можно предполагать,
что мы имеем дело с d-многогранником в пространстве Rd, для
которого 0 является внутренней точкой. Мы будем свободно пере-
ходить от представления при помощи вершин Р = conv(V) к пред-
ставлению при помощи гиперграней Р = Р(А, 1) и обратно. Здесь
А е Rnxd — матрица, рассматриваемая как набор строк:
А = {аъ ..., ап}.
112
Глава 3. Графы многогранников
Нам также понадобятся гиперплоскости в пространстве Rd,
определяемые гипергранями многогранника Р, для которых мы
введем обозначение
:={xeRd:aix = l};
таким образом, гиперграни многогранника Р получаются как
Fi =HiQP.
Каждая из гиперплоскостей Ht определяет два полупространства,
причем через
Н~ :={хе^:а(х^ 1}
мы обозначим замкнутое полупространство, содержащее Р, а через
Н* — другое замкнутое полупространство. В частности,
Р = Н1'ПН9'П...ПН~
12 П
Для начала заметим, что для каждой грани FeL(P) мы знаем,
как найти точку xF е relint (Г), лежащую в ее относительной внут-
ренности; например, мы можем взять центр тяжести множества
вершин грани F.
Очень полезно иметь точку снаружи многогранника Р, но очень
близко к грани F — такая точка используется для построения звезд-
ных подразбиений (см. упражнение 3.0), диаграмм Шлегеля (см.
гл. 5) и многих других конструкций. Точнее говоря, такая точка xF
не должна лежать ни в одной из гиперплоскостей Hi9 т. е. она должна
находиться «в общем положении» по отношению к конфигурации
гиперплоскостей (Rd, {Н1? Н2,НпУ), определяемой многогранни-
ком Р.
Чтобы получить такую точку, рассмотрим собственную грань F
многогранника Р и скажем, что точка у лежит над гранью F, если
у и 0gint(P) лежат по разные стороны от каждой гиперплоскости
Hh содержащей F, но по одну сторону от каждой определяющей
гипергрань гиперплоскости Н; , не содержащей F.
Другими словами, у лежит над гранью F, если aty > 1 для каждо-
го неравенства, обращающегося в равенство на грани F, но а;у < 1
для всех остальных неравенств. На рисунке изображен выпуклый
многоугольник (2-многогранник) и отмечены вершина v, точка yv,
лежащая над этой вершиной, примыкающее ребро Е и точка у£,
лежащая над ребром Е.
§ 3.1. Линейные функции и прямые в общем положении
113
Но как найти точку yF? Можно взять ее на луче, который выходит
из точки О и проходит через точку xFi лежащую в относительной внут-
ренности грани F. На самом деле мы можем взять точку yF :=txF для
любого такого t > 1, что щ (tXp') < 1 для тех i, для которых 0 < afxF < 1.
Ясно, что такое число t можно найти (в явном виде).
Далее нам также понадобится понятие прямой «в общем поло-
жении».
Определение 3.1. Прямая, проходящая через начало координат
Oeint(P), находится в общем положении по отношению к много-
граннику Р, если она не параллельна ни одной из гиперплоскостей
и не проходит через пересечение никаких двух из них.
Если прямая записана в виде L(ii) = {tu: t е R} (для некоторого
вектора и 0 О), то общее положение означает, что щи 0 0 и щи 0 щи
для всех i, j,
Следующая лемма показывает, что направляющий вектор такой
прямой может быть найден сколь угодно близко к произвольному
наперед заданному вектору.
Лемма 3.2. Пусть Р = Р(А, 1), и еRd \ О. Если Л > 0 достаточно
мало, то прямая L(u^) находится в общем положении по отноше-
нию к Р, где
Л2
ц(Л):=и + •
W
Доказательство. Мы воспользуемся тем, что выражение
d
Si (Л) := а(и(Л) = £ aik(ufc + Afc)
k=l
114
Глава 3. Графы многогранников
есть многочлен от Л положительной степени, не большей чем d,
который имеет не более чем d положительных корней. Многочлены
(А) различны, так как при i / j.
Из этого мы получаем, что atu^ 0 для всех, за исключением не
более чем d, положительных значений Л и 0 а;и(Л) для всех, за
исключением не более чем Q ) положительных значений Л. □
Поясним, что мы имеем в виду, говоря «в явном виде». Матема-
тики обычно предпочитают использовать топологическую терми-
нологию («конечное множество гиперплоскостей нигде не плотно
в Qd») либо избыточный алгебраический аппарат («пусть х^ — на-
бор d • п независимых чисел, трансцендентных над основным по-
лем»). Для дискретных проблем, подобных тем, которые возникают
в теории многогранников, это не нужно.
Конструкция из леммы 3.2, которую мы используем для нахож-
дения точек, прямых и т.п. в общем положении, зависит от воз-
мущения при помощи некоторого Л > 0, которое должно быть до-
статочно малым. Можно сказать даже более точно и явно: легко
(в принципе) вычислить такую границу Ло, что любое число Л,
О < Л < Ло, является достаточно малым. Это обусловлено тем, что
для многочленов с рациональными коэффициентами можно найти
границу, отделяющую положительные корни от нуля. Хорошее опи-
сание идей, используемых для поиска такой явной границы, содер-
жится в лекциях Л. Ловаса [368, гл. 1].
(Маленький положительный параметр Л, который нам нужен,
следовало бы по традиции называть е, но это сделало бы наши лек-
ции похожими на курс математического анализа. Мы постараемся
избежать этого до гл. 9, где мы начнем интегрировать по многогран-
никам.)
Тем же методом, что и в лемме 3.2, можно также доказать су-
ществование гиперплоскости в общем положении, сколь угодно близ-
кой к наперед заданной. Чтобы получить такую гиперплоскость, нуж-
но «пошевелить» коэффициенты линейной функции, определяющей
гиперплоскость. Мы приведем результат, опустив доказательство.
Определение 3.3. Линейная функция сх на пространстве Rd
находится в общем положении (или является общей) по отношению
к многограннику Р CRd, если она разделяет вершины многогран-
ника, т. е. cvt / cvj для любых двух различных вершин vt и много-
гранника Р.
§ 3.2. Направляем ребра («линейное программирование для геометров») 115
Лемма 3.4. Пусть Р = Р(А, 1) и с G (Rd)* \ О. Тогда если Л > О
достаточно мало, то линейная функция с(Л)х находится в общем
положении по отношению к многограннику Р, где
с(Л) :=c + (A,A2,...,Ad).
§ 3.2. Направляем ребра
(«линейное программирование для геометров»)
Определение 3.5. Пусть Р — выпуклый многогранник. Его вер-
шины и ребра образуют абстрактный конечный неориентирован-
ный простой граф, называемый графом многогранника Р и обозна-
чаемый G(P).
Для каждой грани FgL(P) мы обозначим через G(F) индуци-
рованный подграф графа G(P) на подмножестве vert(F) с vert(P)
вершин графа G(P), т. е. граф, состоящий из всех вершин грани
F и ребер многогранника Р между ними. Он совпадает с графом
грани F, если эту грань саму рассматривать как многогранник.
(Во всем курсе лекций нам понадобится очень малая часть тео-
рии графов, только некоторая терминология. Если у читателя воз-
никнут вопросы, он может заглянуть в любую книгу по теории гра-
фов. Для этой цели подойдет даже книга, не претендующая на глу-
бину изложения. Что касается хороших книг, мы рекомендуем мо-
нографии Бонди и Мэрти [123], Боллобаша [121] или Татта [551].)
Мы будем рассматривать ориентации графа G(P), т. е. сопостав-
ления каждому ребру направления. Ориентация называется ацикли-
ческой, если в ней нет ориентированных циклов. Из этого следует
(так как все наши графы конечны), что в графе есть сток: вершина,
в которой нет ребер, направленных от нее. (Доказательство: начнем
в произвольной вершине и будем двигаться вдоль направленных
ребер, пока не замкнемся в ориентированный цикл либо не оста-
новимся в стоке.)
Линейное программирование (в версии геометров) состоит в на-
хождении такой точки х0 GP, на которой линейная функция сх до-
стигает максимума, т. е. сх0 = max{cx: х е Р} =: с0. Легко видеть,
что максимум достигается в вершине. На самом деле множество
Fo = {х е Р: сх = с0} грань многогранника, и поэтому в любой вер-
шине грани Fo функция сх достигает максимума.
116
Глава 3. Графы многогранников
Симплекс-метод Данцига [174] в своей «первой фазе» находит
некоторую вершину v многогранника Р. Затем он ищет лучшую
вершину w среди соседей вершины и. Мы будем обозначать через
N(v) множество соседей вершины v, т. е. множество всех таких вер-
шин wevert(P), что conv{v, w} является ребром многогранника Р.
Такой шаг, улучшающий вершину, повторяется, пока алгоритм не
остановится в оптимальной вершине.
Если линейная функция с находится в общем положении, то это
дает нам корректно определенный способ задать ориентацию гра-
фа многогранника Р, направляя ребро conv{vf, Vj} от вершины ц
к вершине Vj, если cvt < cvj (потому что в случае общего положения
равенства быть не может). Мы назовем ее ориентацией графа G(P\
индуцированной функцией с.
При помощи этой конструкции монотонные пути на многогран-
нике Р (пути из ребер, для которых функция строго возрастает на
каждом шаге) переходят в направленные пути в ориентации гра-
фа G(P), индуцированной функцией с.
§ 3.2. Направляем ребра («линейное программирование для геометров») 117
Лемма 3.6. Пусть v evert(P) — вершина, a N(v) —множество ее
соседей в графе G(JP\ Тогда конус (с вершиной в точке и), порожден-
ный соседями вершины v, содержит многогранник Р:
Р с u + cone{u- v: и е N(v)}-
Доказательство. Это следует из нашего доказательства предло-
жения 2.4: соседи вершины v находятся во взаимно однозначном
соответствии с вершинами вершинной фигуры P/v, поэтому наше
утверждение эквивалентно тому, что такие вершины порождают ко-
нус, который содержит многогранник Р. Но мы также увидели, что
каждый луч, выходящий из вершины v в любую другую точку х е Р,
содержит точку вершинной фигуры. Отсюда следуют включения
Р с {v 4- t(u — и): и е P/v, t 0} с
с v + cone{u - v: и G vert(P/v)} =
= u + cone{u-v: и е N(v)}. □
Теорема 3.7. Если сх—линейная функция общего положения по
отношению к Р, то ориентация графа GQP'), индуцированная функ-
цией с, является ациклической и граф имеет единственный сток.
Этот сток есть единственная точка многогранника Р, в которой
функция сх достигает максимума.
Доказательство. Вдоль каждого направленного пути v0, и15...
..., vk в графе G(P) функция сх строго возрастает. Поэтому направ-
ленный путь не может вернуться в начальную вершину, и, значит,
в графе нет направленных циклов. Следовательно, индуцированная
ориентация графа G(P) является ациклической и имеет сток.
Теперь предположим, что v — сток. Тогда все соседи weN(v)
удовлетворяют условию cw < cv. По лемме 3.6 из этого следует, что
неравенство сх < cv выполнено для всех точек х е Р, отличных от
v, т. е. в точке v функция сх достигает максимума на Р, и это един-
ственная точка многогранника Р с таким свойством. □
118
Глава 3. Графы многогранников
Это доказывает, что для любой начальной вершины v G vert(P)
и любой линейной функции сх в общем положении по отноше-
нию к многограннику Р любой строго возрастающий путь из ребер
в конце концов приводит в единственную вершину, в которой функ-
ция достигает максимума на Р.
Это грубое описание, конечно, еще не решает задачу линейного
программирования. Проблемы начинаются с того, что для эффек-
тивной работы мы должны рассматривать базисы и правила вы-
бора ведущего элемента вместо вершин и ребер. (Краткое описа-
ние дается в упражнении 3.10.) Здесь мы сталкиваемся с пробле-
мами невырожденности, если многогранник не является простым
или линейная функция не находится в общем положении. Одним
из путей решения этой проблемы является «возмущение», явное
или неявное. Например, если мы знаем внутреннюю точку (что не
является естественным предположением в практических задачах!),
то мы можем представить Р как Р(А, 1) и затем (скорее неявно,
чем явно) оптимизировать линейную функцию на многограннике
Р(А, 1(Л)), который при малых Л будет невырожденным. Это при-
водит к лексикографическим правилам выбора ведущего элемента,
которые можно найти в книге Хватала [158, с. 34—36]. Более того,
чтобы построить симплекс-метод, мы должны определить, «какое
ребро выбрать». Это приводит к вопросу о правиле выбора ведущего
элемента. Все это относится к комбинаторной геометрии. Дальше
вступают в игру и правят бал численные вопросы.
Как бы то ни было, наше обсуждение задумывалось только
как набросок геометрической картины — очень простой и частной
«картины мира», как его видит дискретный геометр.
§ 3.3. Гипотеза Хирша1
Через 5(G) мы будем обозначать диаметр графа G —наимень-
шее такое число 5, что любые две вершины в графе G могут быть
соединены путем из не более чем 5 ребер.
Для п > d 2 обозначим через A(d, и) наибольший диаметр гра-
фа d-многогранника с не более чем п гипергранями. Подобным об-
1 Недавно гипотеза Хирша была опровергнута: Santos F. A counter-example to the
Hirsh conjecture // Annals of Mathematics. 2012. Vol. 176. P. 383—412, arxiv: 1006.2814.
Контрпример к гипотезе представляет собой многогранник размерности 43 с 86 ги-
пергранями. — Прим. ред.
§ 3.3. Гипотеза Хирша
119
разом, обозначим через Au(d, п) наибольший диаметр в неограни-
ченном случае, т. е. для всех d-мерных заостренных полиэдров с не
более чем п гипергранями (и d 2). Например,
Д(2,п)=[|], Ди(2, п) = п —2.
Наши рисунки иллюстрируют крайние случаи для d = 2 и п — 8.
Определение поведения функции A(d, и)— старая проблема. Зна-
чение A(d, и) является нижней оценкой числа итераций, необхо-
димых для симплекс-метода с любым правилом выбора ведущего
элемента. Таким образом, вопрос о том, является ли рост A(d, и)
полиномиальным по п и d, тесно связан с вопросом, существует ли
правило выбора ведущего элемента, для которого симплекс-метод
является строго полиномиальным алгоритмом линейного програм-
мирования. Подробности можно найти в работе [327, раздел 3].
Известный очень конкретный вопрос, связанный с графами
многогранников, был впервые поставлен Уорреном Хиршем в 1957 г.
(см. книгу Данцига [174, с. 160,168]) и стал известен как гипотеза
Хирша.
Гипотеза 3.8 (гипотеза Хирша, [174, с. 168]). Для и > d 2 пусть
A(d,ri) — наибольший возможный диаметр графа d-многогранника
с п гипергранями. Тогда
A(d, п) n — d.
Правдоподобна ли эта гипотеза? Мы приведем некоторые на-
блюдения, в основном принадлежащие Кли и Уолкапу [331].
• Гипотеза Хирша верна для d 3 и любого п (даже в моно-
тонной и неограниченной версиях, обсуждаемых ниже, как показал
Кли [321]) и для п — d^S, как показали Кли и Уолкап [331].
• Для доказательства гипотезы 3.8 достаточно рассматривать
простые многогранники (см. упражнение 3.5), поэтому всякий раз,
когда это будет полезно, мы будем считать многогранник простым.
120
Глава 3. Графы многогранников
• Если п < 2d, то любые две вершины лежат в общей гиперграни.
Из этого мы заключаем, что A(d, п) $ A(d — 1, п — 1). Повторяя это
рассуждение, мы получаем, что
Д (d, и) $ Д(и - d, 2(п - d)) при п < 2d.
Аналогично Дий, и) $ Ди(п — d, 2(п — d)). В обоих случаях эти нера-
венства в действительности являются равенствами [331]: это до-
вольно очевидно в неограниченном случае. Таким образом, можно
ограничить наше внимание случаем п 2d.
• Что еще более удивительно (см. [331]), гипотеза Хирша будет
верна для всех размерностей, если доказать ее в частном случае
и = 2d для всех размерностей. Случай и = 2d стал известен как ги-
потеза d шагов.
Рассмотрим две вершины, которые не лежат в общей гипергра-
ни. Так как каждая из них принадлежит d гиперграням1, мы видим,
что гипотеза d шагов сводится к очень специальной геометрической
ситуации: после замены координат мы можем предполагать, что
первая вершина v имеет вид v = 0, причем гиперграни, которые ее
содержат, задаются неравенствами 0, описывающими положи-
тельный ортант х 0. Можно предположить, что вторая вершина
задается как u = 1, а ее гиперграни описывают аффинный образ
положительного ортанта.
и
v
В такой ситуации имеются d ребер, выходящих из вершины и, дру-
гие концы которых лежат в гиперплоскостях {х: xt = 0}. Утвержда-
ется, что мы можем попасть из и в v за d шагов.
Из частного случая d-куба мы получаем, что ДУ, 2d) d. Таким
образом, граница, предлагаемая гипотезой d шагов, если она во-
обще верна, конечно, является наилучшей возможной. Более того,
Хольт и Кли [280] и Фритцше и Хольт [210] доказали, что
Д (d, и) п — d при п > d 8,
1 В силу вышесказанного здесь рассматривается простой многогранник.—Прим.
ред.
§ 3.3. Гипотеза Хирша
121
т. е. гипотеза Хирша дает наилучшую возможную оценку для всех
значений п, если размерность достаточно велика.
• Если вы ищете контрпримеры, то естественно рассмотреть
многогранники Cd (и) д, полярные к циклическим, или, более общим
образом, многогранники, полярные к смежностным, так как они
имеют наибольшее число вершин при заданных п и d (согласно
теореме о верхней границе; см. § 8.4). Однако Кли в работе [325] по-
казал, что для многогранников, полярных к циклическим, гипотеза
Хирша верна. Помимо этого, Калаи в работе [304] доказал, что если
Р — многогранник, полярный к смежностному d -многограннику с п
вершинами, то имеется по крайней мере полиномиальная оценка
диаметра: 5 (G) d2 (и - d)2 log(n).
• Гипотеза о невозвращающемся пути, сформулированная Вик-
тором Кли и Филиппом Вольфом, утверждает следующее: для лю-
бых двух вершин и и v (простого) многогранника существует путь
из и в v, не возвращающийся ни на одну из гиперграней, которые
он покинул раньше.
Для иллюстрации этой гипотезы на рисунке показан граф просто-
го трехмерного многогранника с девятью гипергранями (рассмот-
ренный Барнеттом в работе [40]), у которого кратчайший путь
(длины 3) между вершинами и и и имеет возвращение:
Тем не менее, имеется путь без возвращений: для этого достаточно
пройти по границе фигуры.
Легко видеть, что из гипотезы о невозвращающемся пути сле-
дует гипотеза Хирша. Действительно, начальная вершина невозвра-
щающегося пути принадлежит по крайней мере d гиперграням, и в
каждой новой вершине путь проходит по крайней мере по одной но-
вой гиперграни. Поэтому длина невозвращающегося пути не может
превосходить п - d.
122
Глава 3. Графы многогранников
Гипотеза о невозвращающемся пути может показаться гораздо
сильнее гипотезы Хирша. Однако Кли и Уолкап в работе [331] дока-
зали, что эти две гипотезы равносильны.
• Предположение о выпуклости существенно: как показали Ма-
ни и Уолкап в работе [377], гипотеза Хирша неверна для некоторых
топологических клеточных комплексов, являющихся комбинатор-
ными сферами. Она также неверна для двумерных симплициальных
многообразий. Подробности можно найти в работе Барнетта [49].
• Кли и Уолкап [331] показали, что гипотеза Хирша также невер-
на для неограниченных полиэдров, — хотя первоначально она бы-
ла сформулирована именно для них. Они доказали, что для п 2d
выполняется неравенство Au(d, и) и - d + [d/5j. Это наилучшая
известная нижняя оценка для Au(d, и).
Даже более того, как показал Тодд в работе [544], неверна моно-
тонная гипотеза Хирша: неверно, что если с—линейная функция
на многограннике Р, a v — его вершина, то существует монотонный
путь из не более чем п - d ребер из v в вершину итах, в которой
функция сх достигает максимума на Р.
Действительно, рассмотрим произвольный d-полиэдр Р с Rd с не
более чем п гипергранями, и пусть сх—линейная функция на нем.
Чтобы избежать сложностей, мы в дальнейшем будем предполагать,
что линейная функция сх находится в общем положении по отноше-
нию к полиэдру Р, ограничена на нем и что полиэдр является заост-
ренным (т. е. у него есть хотя бы одна вершина и lineal (Р) = {0}). Из
этих предположений мы получаем, что существует вершина и G Р,
на которой сх достигает единственного максимума.
Теперь определим Hu(d, и) как наименьшее такое число, что
в ситуации, описанной выше, для каждой вершины v полиэдра Р
существует (строго) монотонный путь длины не более чем Hu(d, и)
из и в верхнюю вершину, т. е. путь из и в и, вдоль которого сх воз-
растает на каждом шаге. Аналогично определим H(d, и) таким же
образом при дополнительном условии, что Р — многогранник.
Если бы монотонная (ограниченная) гипотеза Хирша была спра-
ведлива, выполнялись бы неравенства
Hu(d, и) и - d (соответственно H(d, и) п - d).
Опровергая это, Тодд в работе [544] показал, что
n-d + min{UJ, $Hu(d,n).
§ 3.3. Гипотеза Хирша
123
В частности, существуют 4-многогранник с и = 8 гипергранями
и вершина, из которой каждый монотонный путь в верхнюю верши-
ну занимает не меньше пяти шагов. Однако в примере Тодда имеет-
ся немонотонный путь, состоящий их двух шагов, идущий сначала
вниз, а затем прямо в верхнюю вершину! Это наводит на мысль
о следующей более ограничительной версии монотонной гипотезы
Хирша, которая все еще может быть верна и из которой следует ги-
потеза Хирша (с помощью простых рассуждений с использованием
проективных преобразований, см. упражнение 2.17).
Гипотеза 3.9 (строго монотонная гипотеза Хирша). Пусть Р —
d-многогранник с п гипергранями, и пусть сх—линейная функция
в общем положении по отношению к Р.
Тогда существует строго возрастающий по отношению к сх
путь из (единственной) вершины umin, в которой сх достигает ми-
нимума, в (единственную) вершину итах, в которой сх достигает
максимума, состоящий из не более чем n — d ребер.
^min
Чтобы проиллюстрировать гипотезу в простом случае, заметим,
что для п-угольника длина кратчайшего монотонного пути в верх-
нюю точку может быть равна п - 2 = Дп(2, и), но если мы начнем
«снизу», нам потребуется не более чем j = Д(2, п) шагов.
Что можно сказать про верхние оценки для чисел A(d, п) и
ДцУ,п)?
В 1967 г. Барнетт [40, 252] доказал, что Au(d, п) n3d~3. Улуч-
шенная оценка Au(d, п) n2d~3 была доказана в 1970 г. Ларманом
в работе [349]. Оценки Барнетта и Лармана линейны по и, но экспо-
ненциальны по размерности d. После этого долгое время ничего не
менялось. Вкратце история состоит в том, что специалисты верили
в эту гипотезу, до тех пор пока не попытались ее доказать и у них
это не получилось; поэтому теперь они думают, что она неверна,
124
Глава 3. Графы многогранников
но также не могут этого доказать. Возможно, прав Калаи, который
пишет, что «это всего лишь авторская догадка (которая ничем не
лучше догадки читателя)» [305]. Существование полиномиальной
(или, тем более, линейной) оценки на Д (d, п) по-прежнему являет-
ся главной открытой проблемой.
Однако недавно Гил Калаи добился существенного успеха: в се-
рии работ (каждая следующая проще и поразительнее предыду-
щей) он установил первые субэкспоненциальные оценки диаметра
многогранника. В ноябре 1990 г. он доказал, что Hu(d,n) п2^
[305, раздел 3]. В марте 1991 г. он получил «псевдополиномиальную»
оценку для проблемы диаметра [305]:
Au(d, п) < n21og2(d)+3.
Существенное упрощение, которое также немного усилило резуль-
тат до оценки Au(d, и) < nlog2(d)+2, было впоследствии найдено Ка-
лаи и Клейтманом [309]. Доказательство, которое мы здесь при-
водим, по существу является модификацией этого доказательства,
приведенного в работе Калаи [306, раздел 2]. Оно так же (на удивле-
ние!) просто, но устанавливает более сильный результат: существо-
вание «псевдополиномиального» монотонного пути в вершину.
Теорема 3.10 (Калаи, [306, раздел 2]). Пусть PQRd — d-мерный
полиэдр с не более чем п гипергранями, и пусть сх—линейная функ-
ция общего положения, достигающая своего максимума на Р в вер-
шине w.
Тогда из любой начальной вершины vevert(P) существует моно-
тонный путь в верхнюю вершину w, длина которого удовлетворяет
оценке
Hu(d,n) $ 2n(d + L1°g2"J_1>) 2n10g2(d)+1 = 2(2d)log2(n).
k a — 1 J
Доказательство. Ключом к этому результату является понятие
активной гиперграни: для данных вершины v полиэдра Р и линей-
ной функции сх гипергрань многогранника Р является активной
(для и), если она содержит точку, которая расположена выше, чем
v (т. е. либо гипергрань не является ограниченной по отношению
к сх, либо в ней есть верхняя вершина w с условием cv < сш).
В этом доказательстве мы также допускаем, что функция сх
может не быть ограниченной на Р. В таком случае последний шаг
«наверх» представляет собой луч (неограниченную одномерную
грань), на котором функция сх неограничена. (В этой ситуации
§ 3.3. Гипотеза Хирша
125
можно себе представить верхнюю вершину как дополнительную
вершину ит, присоединенную к направленному графу из задачи.)
Пусть H(d, и) — число шагов, которые могут потребоваться для
того, чтобы попасть в верхнюю вершину по монотонному пути, при
условии, что мы начинаем путь из вершины и, для которой полиэдр
имеет не более чем п активных гиперграней (и произвольное число
неактивных).
Так как функция H(d, и) монотонна по и, мы непосредственно
получаем
A(d, и) Au(d, и) Hu(d, и) H(d, и).
Поэтому достаточно доказать оценку из теоремы для H(d, и).
Мы будем предполагать, что d^2nn^0.B «пограничных случаях»
получаем
Н(2, и) = п
(все ребра монотонного пути на вершину являются активными,
и в неограниченном случае может оказаться, что все активные реб-
ра лежат на монотонном пути) и
H(d, 0) = H(d, 1) = ... = H(d, d - 2) = 0
(если вершина v не является верхней, то в ней имеется возрастаю-
щее ребро, лежащее в d — 1 активной гиперграни).
Чтобы получить рекурсию для H(d, и), проверим цепочку из че-
тырех простых фактов.
1. Для любого набора & из к активных гиперграней многогран-
ника Р мы можем достичь из v либо верхней вершины, либо вершины
в некоторой гиперграни из набора 3 за не более чем H(d,n — к)
монотонных шагов.
Пусть Ах z — минимальная система неравенств, определяю-
щая Р (имеющая по одному неравенству для каждой гиперграни),
и пусть Р' ~Р(А', 2/) — полиэдр, который получается, если удалить
из системы неравенства, отвечающие неактивным гиперграням, не
содержащим вершину и, а также гиперграням из набора Тогда v
является вершиной полиэдра Р' (если v лежит в одной из гипергра-
ней семейства &, то нам нечего доказывать), и она имеет не более
чем п — k активных гиперграней в полиэдре Pz.
Теперь рассмотрим кратчайший монотонный путь из и в верх-
нюю вершину в Pz. По определению этот путь состоит из не более
чем H(d, и - к) шагов. Если он соприкасается с гипергранью из &
126
Глава 3. Графы многогранников
после не более чем H(d, и - к) шагов, то все доказано. Если это не
так, то верхняя вершина полиэдра Pz является также и верхней вер-
шиной полиэдра Р и путь в нее на Р' также является путем в верх-
нюю вершину на Р длины не более чем H(d, п — к).
2. Если верхней вершины нельзя достичь за H(d,n — к) монотон-
ных шагов, то набор <£, состоящий из всех активных гиперграней,
которых можно достичь из вершины v за не более чем H(d,n- к)
монотонных шагов, содержит по меньшей мере п — k +1 активных
гиперграней.
Пусть имеется к гиперграней, которых нельзя достичь. Удалим
их вместе со всеми неактивными гипергранями, не содержащими
вершину v, и получим задачу, в которой верхнюю вершину можно
достичь не более чем за H(d,n — к) шагов. Однако путь в полу-
ченной задаче соответствует тому же самому пути в изначальной
задаче, ведущему в ту же самую верхнюю вершину. Противоречие.
3. Начав путь из вершины v, мы можем достичь верхней верши-
ны wQ из содержащихся во всех гипергранях семейства <£ за не более
чем H(d,n — k)+ H(d — 1, п — 1) монотонных шагов.
Нам нужно не более чем H(d, п — к) шагов, чтобы достичь любой
гиперграни из семейства Эта гипергрань (размерности d — 1)
имеет не более чем п — 1 активную для новой вершины гипергрань,
поэтому мы можем найти путь в верхнюю вершину длины не более
чем H(d — 1, п - 1).
4. Из вершины wQ мы можем достичь верхней вершины за не
более чем H(d,k — 1) шагов.
Это объясняется тем, что ни одна из гиперграней семейства
не является активной для вершины wQ, поэтому wQ имеет не более
чем n-(n-k + l) = k- l активных гиперграней.
Составляя вместе монотонные пути, мы получаем оценку на
длину кратчайшего монотонного пути из и в верхнюю вершину:
H(d, и) H(d, п - k) + H(d - 1, п -1) 4- H(d, к - 1).
Теперь выберем к := . Пользуясь тем, что по определению
H(d, п) — (нестрого) возрастающая функция от п, мы получаем
H(d,n) $ H(d-l,n-l) + 2#(d, |jj).
Эта рекурсия напоминает нам рекуррентное соотношение для
биномиальных коэффициентов — и мы сделаем замену, чтобы полу-
§ 3.3. Гипотеза Хирша
127
чить его в точности. Для этого определим
/(d, t) := 2-tH(d, 2f) для t 0 и d 2,
и после этой замены рекурсия принимает нужный нам вид
/(d,t)$/(d-l,t)+/(d,t-l).
Из граничных условий /(2, t) = 2r) = 2-t2f = 1 = (f ~1) для
С£1и /(d,0) =H(d, 1) = 0= мы получаем индук-
цией по t 0 и d 2, что
для (d, t) 0 (2,0). Отсюда следует, что
Hu(d, и) H(d, п) H(d, 21+L1°82nJ) = 21+Llog*nJ/(d, 1 + [log2 nJ)
2nf d + L1°g2"J ”2>) sj 2n(d — l)10fe(n) = 2п1+10&(<,"1)
для n, d 2.1 Здесь мы использовали неравенство ( а * b $ (а + l)b,
которое можно доказать индукцией по а 0 и b 0.
(На самом деле есть несколько различных способов получения
оценок на H(d, и) из рекуррентной формулы. Это стандартный тип
упражнений. Вот другой способ, дающий оригинальную оценку
Клейтмана—Калаи. Мы используем начальные значения Н (2, и) = п
и H(d, 0) = 0. Так как H(d, и) растет монотонно по п, мы получаем
простое рекуррентное соотношение
H(d, и) H(d -1, n) + 2Н (d, |д] )
для п > 0 и d 3. После многократного повторения этой процедуры,
пользуясь тем, что п < 4log2n 4(2d)log2n-1, получаем
H(d,n) ^Н(.2,п) + 2Х H(i, [5])
n + 2(d-2)-(2d),og2(n/2) 2d-(2d)10g2(n)-1 = (2d)log2(n).) □
1 Легко видеть, что полученная оценка сильнее заявленной в теореме. Тем самым
теорема доказана.— Прим, перев.
128
Глава 3. Графы многогранников
Было бы трудно и, вероятно, неестественно формулировать это
доказательство так, чтобы все время оставаться в классе многогран-
ников: даже если Р — многогранник, то полиэдр Pz в общем случае
не будет ограниченным. Поэтому теорема была сформулирована
и доказана для полиэдров.
Доказательство также не ограничивается классом многогран-
ников с 2dim(P) гипергранями, о котором идет речь в гипоте-
зе d шагов (см. упражнение 3.7). Тем не менее, мы можем при-
менить полученный результат в этой ситуации и получим, что
A(d, 2d) (2d)log2d+1. В действительности в частном случае л = 2d
мы можем улучшить вычисления верхней границы и получим
A(d,2d) dlog2d+2,
как было показано Калаи [306]. Однако эта оценка все еще далека
от предлагаемой гипотезой оценки A(d, 2d) = d.
В чем же заключается проблема? Почему не получается намно-
го лучшей оценки? В книге Матушека [381] имеется обоснование
того, что приведенный выше анализ по существу является наилуч-
шим возможным, т. е. в любом доказательстве существенно лучшей
оценки должно использоваться больше геометрических особенно-
стей проблемы. В предыдущем доказательстве было использовано
довольно мало геометрических соображений. (В действительности
Калаи [305] описывает весьма общую абстрактную схему, а именно
«симплициальный комплекс с фиксированным порядком шеллинга»
(см. гл. 8), в которой такие верхние оценки можно доказывать.)
Наконец, отметим, что оценки на диаметр могут быть, конечно
(не совсем прямым образом), использованы для построения алго-
ритмов линейного программирования. В своем исследовании [306,
раздел 3] Калаи нашел случайные правила выбора ведущего элемента
для линейного программирования, которые требуют, грубо говоря,
арифметических операций для каждой задачи линейного про-
граммирования в размерности den гипергранями. Простое описание
дано в упражнении 3.9 (2). Последнюю версию см. в работе [308].
Очень похожие результаты были получены независимо и по-
чти одновременно (абсолютно другим способом) Матушеком, Ша-
риром и Вельцлем в работе [383] в рамках двойственного симплекс-
метода.
Для 0/1-многогранников (пример 0.11) гипотеза Хирша совер-
шенно тривиальна, однако прошло некоторое время, прежде чем
§ 3.3. Гипотеза Хирша
129
это отметил Наддеф [419]. Более общий результат, из которого
также следует оценка на диаметр целочисленных многогранников,
был получен Кляйншмидтом и Онном в работе [336]. Мы приведем
немного усиленную форму теоремы Наддефа. (Чтобы вывести из
нее гипотезу Хирша для 0/1-многогранников, мы используем третье
из наблюдений на с. 119—120.)
А перед этим давайте рассмотрим некоторые примеры 0/1-мно-
гогранников Р в Rd: для каждого из них мы приводим размерность
d пространства, в котором он лежит, размерность к = dim(P) самого
многогранника и диаметр 5(G(P)).
d = 2
dim(P) = 1
5(G(P)) = 1
d = 2
dim(P) = 2
5(G(P)) = 1
d = 2
dim(P) = 2
5(G(P)) = 2
d = 3
dim(P) = 2
5(G(P)) = 2
d = 3
dim(P) = 3
5(G(P)) = 2
d = 3
dim(P) = 3
5(G(P)) = 3
Теорема 3.11. Пусть P=conv(V) — 0/l-многогранник, VC{0, l}d.
Тогда для P верна гипотеза Хирша. Точнее говоря, диаметр много-
гранника Р ограничен размерностью:
5(G(PY) dim(P),
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда много-
гранник Р аффинно изоморфен правильному кубу.
Доказательство. Пусть Р имеет две вершины и и и, расстояние
между которыми 6(v,u)^d. Воспользуемся симметрией куба
Id := [0, l]d = conv({0, l}d),
чтобы свести доказательство к случаю и = 0 и ue{0, l}d.
130
Глава 3. Графы многогранников
Пользуясь индукцией по размерности d, мы можем считать что
Р имеет полную размерность; в противном случае пусть ах = z —
уравнение, которое выполнено для всех точек многогранника Р. Из
того, что 0 G Р, мы получаем, что z = 0, и поэтому а / 0. Перестанов-
кой координат можно добиться выполнения условия ad / 0. Тогда
проекция
я: Rd —> Rd-1, I l^x
(удаление последней координаты), отображает 0/1-многогранник
Р в аффинно изоморфный ему многогранник тт(Р) с^"1. Поэтому
мы можем предполагать, что Р с Rd, причем dim(P) = d.
Теперь предположим, что щ = 0 для некоторого i. Тогда 0 и и
являются вершинами грани F(0 :=Р П {х G Rd: х1 = 0} многогран-
ника Р, которая отвечает неравенству xt 0. Таким образом, мы
получаем, что
5(0,u) 5(G(F(0) ^d-1,
из предположения индукции по d. Поэтому можно предполагать,
что п = 1.
Теперь если какая-нибудь из соседних с 1 вершин w G N (1) имеет
к > 1 нулевых компонент, то мы получаем
5(0,1) 5(0, ш) 4- 5(w, 1) d - к +1 < d,
где мы использовали тот факт, что грань
Fw := Р П {х G Rd: х, = 0, если щ = 0}
по индукции по d имеет диаметр не больше чем d — к.
Таким образом, если 5(0,1) d, то все соседи вершины 1 имеют
ровно одну нулевую компоненту. Так как вершина 1 имеет не менее
d соседей (см. лемму 3.6), мы видим, что
N(l) = {l-ef:l$i$d}.
Снова рассматривая грани
F(0 = Р П {х G Rd: Xi = 0}
многогранника Р, мы получаем, что 0 и 1- et находятся на расстоя-
нии d — 1 друг от друга в G(F(l)). Поэтому по индукции имеем
F(0 = conv{x G {0, l}d: xt = 0}.
Собирая все вершины, о которых нам известно, что они принад-
лежат Р, мы получаем, что Р = conv({0, l}d) =Id и 5(G(P)) =d. □
§ 3.4. Простой способ Калаи определить простой многогранник
131
Оценку 5(G(P)) $ dim(P) можно также доказать (тем же ме-
тодом) и в монотонной версии, когда мы интересуемся кратчай-
шим путем к верхней вершине по отношению к заданной линейной
функции. Если мы ограничимся строго монотонной версией гипоте-
зы 3.9, то характеризация случая, в котором достигается равенство,
останется верной (с тем же самым доказательством).
§ 3.4. Простой способ Калаи определить простой
многогранник по его графу
В этом параграфе мы рассматриваем простые многогранники
и их графы. Наш подход основан на изумительной (и изумитель-
но простой) статье Гила Калаи [299] «Простой способ определить
простой многогранник по его графу». На самом деле ситуация еще
хуже: материал данного параграфа почти полностью скопирован
прямо из нее.
Пусть Р —- простой d-многогранник, и пусть G(P) — его граф. Та-
ким образом, G(P) —абстрактный граф, определенный на множе-
стве вершин vert(P) многогранника Р. Две вершины и и и из множе-
ства vert(P) соединены ребром в G(P), если отрезок [и, и] является
ребром многогранника Р.
Перлес в работе [435] высказал в качестве гипотезы следующий
результат.
Теорема 3.12 (Блинд и Мани [108]). Если Р —простой много-
гранник, то граф G^P) полностью определяет его комбинаторную
структуру
Другими словами, если два простых многогранника имеют изо-
морфные графы, то их решетки граней также изоморфны.
Доказательство. Вот простое доказательство Калаи [299] этого
результата.
Рассмотрим множество всех ациклических ориентаций (т. е. ори-
ентаций ребер без ориентированных циклов) графа G(P). Мы не
будем различать ориентацию О графа G(P) и частичный порядок,
который возникает при ориентации О на множестве vert(P) и зада-
ется следующим условием: v и, если существует О-направленный
путь из v в и.
Заметим, что если О — ациклическая ориентация графа G(P), то
индуцированный подграф, получаемый ограничением графа G(P)
132
Глава 3. Графы многогранников
на любое непустое подмножество А множества vert(P), имеет сток
(вершину, из которой ничего не выходит) по отношению к О.
Назовем ациклическую ориентацию О графа G(P) хорошей, если
для каждой непустой грани F многогранника Р граф G(F) имеет ров-
но один сток. В противном случае назовем ориентацию О плохой.
Существование хороших ациклических ориентаций следует из
теоремы 3.7: если сх—линейная функция общего положения по от-
ношению к Р, то она является таковой и по отношению ко всем
граням многогранника. Наша первая цель — научиться различать
хорошие и плохие ориентации графа G(P).
хорошая (один сток) плохая (два стока)
Пусть О — ациклическая ориентация графа G(P). Обозначим че-
рез h° число вершин графа G(P), имеющих ровно к входящих ребер.
Определим
f° := h? + 2h? + 4h° +... + 2kh° + ... + 2dh°
\J 1. £ K. и
Если x —вершина графа G(P), имеющая к входящих ребер относи-
тельно ориентации О, то х является стоком в 2к гранях многогран-
ника Р. (Так как многогранник Р простой, каждые i ребер, инци-
дентные х, определяют i-грань F многогранника Р, содержащую эти
ребра.) Обозначим через f число непустых граней многогранни-
ка Р. Так как каждая грань имеет по крайней мере один сток, мы
видим, что
и
2) ориентация О хорошая тогда и только тогда, когда f°=f.
Чтобы отличить хорошие ориентации от плохих, нужно вычис-
лить f° для каждой ациклической ориентации О. Хорошие ори-
ентации графа G(P)—это те ориентации, у которых значение f°
минимально.
Теперь мы покажем, как распознать грани многогранника Р.
Графы простых k-многогранников к-регулярны: согласно предложе-
нию 2.16 каждая вершина такого графа инцидентна ровно к ребрам.
Теперь сформулировать критерий очень просто: индуцированный
§ 3.4. Простой способ Калаи определить простой многогранник
133
связный к-регулярный подграф Н графа G(P) является графом неко-
торой к-грани многогранника Р тогда и только тогда, когда его вер-
шины являются начальными по отношению к некоторой хорошей
ациклической ориентации О графа G(P). Действительно, если F —
грань многогранника Р, то хорошо известно, что vert(F) является
начальным множеством для некоторой хорошей ациклической ори-
ентации, т. е. таким множеством вершин, что ни одно из направлен-
ных ребер не входит в него извне. Чтобы получить такую ориента-
цию, достаточно рассмотреть линейную функцию, по отношению
к которой вершины грани F лежат ниже всех остальных вершин.
Такую линейную функцию можно получить, взяв функцию сх, опре-
деляющую грань F, и пошевелив ее согласно лемме 3.4.
С другой стороны, пусть Н — связный k-регулярный подграф
графа G(P), и пусть О —хорошая ациклическая ориентация, по
отношению к которой vert(H) является начальным множеством.
Пусть х — сток в Н по отношению к ориентации О. Имеются к ребер
в Н, содержащих х, причем все они направлены к х. Поэтому х —
сток в k-мерной грани F, содержащей эти к ребер. Так как ориен-
тация О хорошая, х является единственным стоком грани F, и по-
этому все остальные вершины грани F не превосходят х. Но vert(H)
включает в себя множество всех вершин, которые не превосходят
х. (Напомним, что vert(H) является начальным множеством по
отношению к ориентации О.) Таким образом, vert(F) с vert(H).
Так как оба графа Н и G(F) являются k-регулярными и связными,
vert(F) =vert(H) и G(F) =Н. На этом доказательство окончено. □
Замечания 3.13. 0. Вы могли бы спросить, означают ли что-
нибудь в действительности параметры h?. Означают — мы вернемся
к ним, когда будем исследовать шеллинг многогранников в гл. 8.
1. У нас нет практического способа отличать хорошие ориента-
ции от плохих. Алгоритм, предложенный в доказательстве, является
экспоненциальным по | vert(P) |, однако можно добиться, чтобы он
«работал» на практике, см. работу Ахатца и Кляйншмидта [1]. Воз-
никает вопрос, есть ли по-настоящему эффективный способ найти,
например, число гиперграней многогранника Р по его графу G(P).
2. Вообще говоря, произвольный многогранник не может быть
восстановлен по своему графу, — это видно, например, из того, что
существуют смежностные (симплициальные) многогранники. Од-
нако Йосвиг [293] нашел обобщение результата и доказательства
Калаи на случай непростых многогранников.
134
Глава 3. Графы многогранников
Перлес [435,437] доказал, что симплициальные d-многогранни-
rd Т *
ки определяются своими 1^1 -остовами; подробности можно наити
в работе Калаи [307]. Произвольный d-многогранник определяется
своим (d — 2)-остовом, nd — 2 —наилучшая размерность даже для
квазисимплициальных многогранников (многогранников, у кото-
рых все гиперграни являются симплициальными многогранника-
ми); подробности см. в книге Грюнбаума [252, гл. 12].
§ 3.5. Теорема Бакинского: граф является d-связным
Очень важное свойство графов d-многогранников состоит в
том, что они являются d-связными. Этот факт был доказан Балин-
ским [37].
Здесь мы используем следующее определение d-связности: граф
G(P) является d-связным, если удаление любого набора из не более
чем d - 1 вершины (и всех инцидентных с ними ребер) оставляет
граф связным.
Конечно, теорема звучит правдоподобно, так как легко прове-
рить (пользуясь леммой 3.6), что каждая вершина графа G(P) име-
ет валентность по крайней мере d. Мы здесь приводим приспо-
собленную к нашему изложению версию доказательства из книги
Грюнбаума [252]. Два других доказательства приведены в работах
Брёнстеда и Максвелла [134] и Барнетта [50]. Два обобщения, от-
вечающие на вопросы, сколько получится компонент у графа, если
удалить к вершин или k-грань, можно найти в работах Кли [322]
и Перлеса и Прабху [439]. Более сильная, «ориентированная» версия
теоремы Балинского скрыта в работе Хольта и Кли [282].
Теорема 3.14 (Балинский [37]). Для каждого d-многогранника
Р его граф G(P) является d-связным.
Доказательство. Пусть Р = conv(V) с где множество V вер-
шин многогранника Р и графа G(P) имеет по крайней мере d +1
элемент. Удалим подмножество из d - 1 вершины S = {иъ ..., с
с у. Мы должны доказать, что граф G(P) \ S, индуцированный на
множестве оставшихся вершин, является связным.
1 d-1
Обозначим через s := -737г £ G Р центр тяжести множества
а 1 i=l
вершин S. По лемме 2.9 (1) мы знаем, что s содержится в относи-
тельной внутренности некоторой грани F. Рассмотрим два случая.
§ 3.5. Теорема Балинского: граф является d-связным
135
Случай 1. Если s содержится в собственной грани F G L(P) \ {Р},
то все точки G S тоже содержатся в этой грани F; в этом мож-
но убедиться с помощью несложных вычислений. Пусть сх $ с0 —
неравенство, верное на многограннике Р и определяющее F. Тогда
с0 — наибольшее значение, которое функция сх может достигать на
Р; при этом наименьшим значением является некоторое g0 < со-
В этом случае каждая вершина из множества V \ S либо лежит в гра-
ни Fq = {х G Р: сх = g0}, либо имеет соседнюю вершину, в которой
значение функции сх меньше (это следует из леммы 3.6) и которая
также принадлежит V \ S. Таким образом, для каждой вершины из
множества V \ S существует убывающий путь, проходящий через
вершины из множества V \ S, связывающий ее с гранью Fo. Наконец,
граф G(F0) является связным по индукции по размерности d.
Случай 2. Если s является внутренней точкой многогранника
Р, то мы можем выбрать такую линейную функцию сх на Rd, что
гиперплоскость {х G : сх = с0} содержит, кроме S, еще по меньшей
мере одну вершину v0 G V \ S. Это возможно, потому что всякое
множество из d точек содержится в некоторой гиперплоскости.
Пусть теперь стах и cmin —- наибольшее и наименьшее значения,
которые принимает функция сх на многограннике Р, и пусть Fmax
и Fmin — соответствующие грани. Тогда графы G(Fmax) и G(Fmin) сно-
ва являются связными по индукции. Каждая вершина v G V \ S связа-
на либо не проходящим через S строго возрастающим относительно
сх путем с Fmax (если cv Cq), либо строго убывающим путем с Fmin
(если cv $ с0). Наконец, дополнительная вершина связана как с Fmax,
так и с Fmin, поэтому и весь граф G(P) \ S связен. □
Примечания
Граф многогранника подробно исследуется в книге Грюнбаума
[252, гл. 11,13 и 16].
Что касается линейного программирования, обычно его описы-
вают гораздо менее геометрически, что больше подходит для алго-
ритмических целей. Также отметим, что этой теме, конечно, можно
было бы посвятить гораздо больше времени, чем мы это сделали
в кратком обзоре в § 3.2. Описание других различных аспектов этого
вопроса можно найти в книгах Данцига [174], Хватала [158], Шрай-
вера [484], Грётшеля, Ловаса и Шрайвера [246], Падберга [434],
Богвардта [125], а также [96, гл. 10]. Что касается «симплекс-метода
Данцига» [174], заметим, что он был разработан Канторовичем еще
136
Глава 3. Графы многогранников
в 1920-е гг., но он не смог опубликовать его достойным образом по
идеологическим причинам [312].
Работа Кли и Кляйншмидта [327] — увлекательный обзор гипо-
тезы Хирша и связанных с ней проблем; эта тема также освещена
в работе Кляйншмидта [335]. Материал § 3.3 взят из статей Калаи
и Клейтмана [305, 309, 306]. В частности, доказательство теоре-
мы 3.10 мы взяли из работы Калаи [306, раздел 2]. Наше обсуждение
0/1-многогранников основано на идеях Наддефа [419] и Кляйнш-
мидта [336]. Наблюдение в теореме 3.11 о том, что предельный слу-
чай достигается только на d -мерных кубах, по-видимому, является
новым (хотя и не очень глубоким).
В своей недавней работе [347] Лагариас, Прабху и Риде рас-
смотрели конфигурационное пространство всевозможных ситуа-
ций в гипотезе d шагов при фиксированном d, провели анализ
его структуры и связали гипотезу d шагов с некоторыми задачами
факторизации матриц. Они также предположили, что на самом деле
имеется по крайней мере 2d-1 путей длины d, соединяющих допол-
нительные вершины любой d-мерной фигуры Данцига. Однако Кли
и Хольт [281, 282] показали, что это верно при d $ 4, но перестает
быть верным при d > 4.
Наше описание восстановления многогранников по их графам,
как отмечалось выше, заимствовано из статьи [299] Гила Калаи.
Следует еще раз повторить, что граф несет в себе важную, но далеко
не полную информацию о структуре многогранника. Так, в общем
случае граф не позволяет определить размерность многогранни-
ка; см. также упражнение 3.4. Кроме того, для различных парамет-
ров имеется гораздо меньше разных графов многогранников, чем
разных многогранников. В действительности Перлес доказал, что
число неизоморфных графов d -многогранников с d + k вершинами
ограничено функцией параметра к (не зависящей от d). Доказатель-
ство этого (см. работу Калаи [307]) основано только на некоторых
леммах о системах конечных множеств. В противоположность ре-
зультату Перлеса легко видеть (например, при помощи методов из
§ 6.5), что число различных многогранников cd+ 2 вершинами (т. е.
для к = 2) не ограничено.
Задачи и упражнения
3.0. (Звездные подразбиения [204].) Пусть F— гипергрань
d -многогранника Р с Rd, Построим точку yF g Bd над гранью F.
Задачи и упражнения
137
Многогранник
st(P, Г) := conv(P U {yF})
является звездным подразбиением многогранника Р относительно
гиперграни F.
1. Опишите грани многогранника st(P, F) при помощи граней
многогранника Р. Отсюда выведите, что комбинаторный тип мно-
гогранника st(P, F) не зависит от точного положения точки yF,
2. Покажите, что если многогранник Р является симплициаль-
ным, то таковым будет и st(P,F). В этом случае выразите число
к-граней многогранника st(P, F) через ^(Р) —числа i-граней мно-
гогранника Р.
3. Для любой вершины v многогранника Р опишите операцию,
«полярную» к звездному подразбиению, задаваемую как
stA(P,v) := (st(PA, 1?))д.
3.1. Для вершины v d-многогранника Р и к 1 постройте кону-
сы, порожденные всеми вершинами многогранника Р, находящи-
мися на расстоянии к от вершины и:
Ск := сопе{ш- v : w G vert(P), 5(v, w) = к}.
Докажите «теорему о вложенных конусах» Хохштетлера [275]:
с^с2^с3^...
3.2. Если многогранник Р имеет размерность d, не меньшую чем
4, то граф G(P) не является планарным. Докажите, что на самом де-
ле он содержит подразбиение полного графа Kd+1 (Грюнбаум [252,
с. 200, 214]).
3.3. Если п > d 4, то граф циклического многогранника Cd (и)
является полным, G(Cd (и)) = Кп. Дайте прямое доказательство этого
факта: для каждого ребра постройте в явном виде линейную функ-
цию, достигающую на нем максимума.
3.4. Пусть P — d-многогранник. Он называется размерностно
неоднозначным, если существует многогранник Q другой размер-
ности dim(Q) /dim(P), имеющий изоморфный граф1: G(Q) =G(P).
1. Покажите, что d -мерный симплекс является размерностно
неоднозначным для d 5, но не для d 4.
1 Корректнее было бы говорить о размерностно неоднозначных графах много-
гранников. Граф G размерностно неоднозначен, если существуют многогранники Р
и Q разных размерностей, графы которых изоморфны G.—Прим. ред.
138
Глава 3. Графы многогранников
2. Покажите, что трехмерные и простые четырехмерные мно-
гогранники являются размерностно однозначными. (Подсказка: ис-
пользуйте упражнение 3.2.)
3. Покажите, что если Р —0/1-многогранник, у которого граф
изоморфен G(Cd), то Р аффинно изоморфен Cd. (Ср. с упражнени-
ем 2.5.)
4. Покажите, что d-мерные кубы размерностно неоднозначны.
В частности, опишите четырехмерный многогранник, у которого
граф изоморфен G(C5).
(Подходящие многогранники можно построить непосредствен-
но или определить при помощи классификации Г. Блинда и Р. Блинд
[107] всех кубических d-многогранников с 2d+1 вершиной. На са-
мом деле для любого п 4 существует четырехмерный кубический
многогранник, у которого граф совпадает с графом п-мерного ку-
ба. Более того, «существуют смежностные кубические многогранни-
ки!» — см. работы Бэбсона, Биллеры и Чана [33] и Йосвига и Цигле-
ра [294].)
3.5. Пусть Р = Р(А, 1) — представление многогранника без из-
быточных неравенств. Покажите, что при достаточно малых Л > 0
многогранник
Р' := Р(А, 1(А)),
где ljA) = 1 + Л‘, как в лемме 3.2, является простым, причем его
гиперграни находятся в естественной биекции с гипергранями мно-
гогранника Р. Более того, покажите, что
5(G(P')) 5(G(P))
и, таким образом, достаточно доказать гипотезу Хирша для простых
многогранников.
3.6. Докажите, что если Р — заостренный полиэдр в простран-
стве R3, то граф, состоящий из всех его ограниченных ребер, явля-
ется связным. Покажите, что, вообще говоря, он не является 2-связ-
ным. Что будет в больших размерностях?
3.7. Пусть Р с такой d-многогранник с 2d гипергранями,
что гиперграни, содержащие точку v = 0, определяют положитель-
ный ортант и 0. Покажите, что каждая из гиперграней многогран-
ника Р может иметь 2d - 1 гиперграней, если d 4.
(По этой причине трудно использовать индукцию для доказа-
тельства гипотезы d шагов.)
Задачи и упражнения
139
3.8. Докажите следующую теорему Кляйншмидта и Окна [336]:
если Р — d-многогранник, у которого множество вершин содержит-
ся в {0,1,k}d, то для диаметра его графа выполняется оценка
5(G(P)) $ kd.
Почему мы не можем использовать этот факт для получения эффек-
тивных оценок диаметров d-многогранников? (Ответ можно найти
в задаче 4.16* и в § 6.5.а.)
3.9. Рассмотрим симплекс-метод, примененный к линейной функ-
ции с на простом d-многограннике с не более чем п гипергранями,
для которой существует и единственна оптимальная вершина.
1*. Правило случайных возрастающих ребер передвигает вы-
бранную точку вверх вдоль случайных ребер, причем в каждой вер-
шине возрастающие ребра, выходящие из нее, выбираются с равной
вероятностью. Можете ли вы предложить субэкспоненциальную
верхнюю оценку (по п и d) ожидаемого числа шагов для такого пра-
вила для любой задачи линейного программирования? Существует
ли полиномиальная верхняя оценка?
2. Предположим, что мы используем следующее правило выбо-
ра ведущего элемента — правило случайной гиперграни для выбора
возрастающего ребра: для данной вершины v
— если число выходящих ребер равно 0, то вершина оптимальна,
— если число выходящих ребер равно 1, то мы выбираем един-
ственное возрастающее ребро,
— если число выходящих ребер больше 1, то мы выбираем случай-
ную гипергрань, содержащую вершину и, ограничиваем задачу
на эту гипергрань и решаем ее при помощи рекурсивного вызо-
ва правила случайной гиперграни.
(Калаи в работе [306] называет это правило выбора ведущего эле-
мента «бюрократическим правилом».)
Покажите, что максимальное ожидаемое время исполнения ал-
горитма может быть ограничено функцией E(d, и), которая при
п > d удовлетворяет рекуррентному соотношению
E(d,ri) ^max!l+E(d,n-l), E(d-l,n-l) + j £ }E(d,n-i)
V а i=l
(Эти рекуррентные соотношения получить нетрудно, а вот вывести
из них асимптотику E(d, п) п4^ не так легко. Подробное описа-
ние анализа асимптотик можно найти в работе Матушека, Шарира
и Вельцла [383].)
140
Глава 3. Графы многогранников
(Оба правила изучаются в работе Гартнера, Хенка и Циглера
[219]. В частности, для некоторых конкретных задач линейного про-
граммирования показано, что существуют начальные вершины, для
которых ожидаемое число шагов (приблизительно) квадратично.
См. также [306].)
3.10. (Базисная версия линейного программирования.) Пусть
Р = Р(А, z) с Rd, и пусть сх — линейная функция на Rd. Подмноже-
ство из d неравенств из тех, что задают многогранник Р, скажем
А'х $ s', является базисом, если матрица А' имеет ранг d (или,
что эквивалентно, система А'х = z1 имеет единственное решение
xeIRd). Базис А'х О' называется допустимым, если единственное
решение системы А'х = z' принадлежит многограннику Р, и двой-
ственно допустимым, если на нем линейная функция сх дости-
гает максимума на конусе {х G IRd: А'х' $ s'} (или, что эквива-
лентно, если точка 0 доставляет максимум функции сх на конусе
{xeRd: А'х^О}).
1. Для любой вершины v многогранника Р с Rd покажите (ис-
пользуя теорему Каратеодори 1.15), что существует допустимый ба-
зис, имеющий v своим решением, и если многогранник Р простой,
то такой базис единствен.
2. Покажите, что все допустимые базисы для вершины много-
гранника Р связаны последовательностью элементарных переходов,
т. е. при каждом из таких переходов одно из неравенств системы
А'х $ s' заменяется одним другим неравенством из большой систе-
мы Ах z.
3. Пусть Б —ребро многогранника Р, содержащее вершину v.
Покажите, что существует такой допустимый базис, что все нера-
венства системы А'х $ s', кроме одного, превращаются на Е в ра-
венства.
4. Покажите, что если базис является одновременно допусти-
мым и двойственно допустимым, то он служит оптимальным реше-
нием линейной программы шахсх при условиях Ах $ z.
5. Пользуясь леммой Фаркаша, докажите, что если Р — непустой
многогранник, то существует базис, который является одновремен-
но допустимым и двойственно допустимым.
3.11 *. Для d-многогранника с п гипергранями найдите макси-
мальное число M(d, и) вершин в монотонном пути.
(Это число M(d, и) является верхней границей для наибольшего
числа шагов в произвольном симплекс-методе. Известно (см. работу
Задачи и упражнения
141
Кли и Минти [330]), что М(d, 2d) 2d и, грубо говоря,
I п I Ld/2J
M(d,n)^J .
Можно было бы предположить, что верхняя оценка, предлагае-
мая теоремой о верхней границе, точна. Однако это не так —см. за-
дачу 8.41*. Кли и Минти [330, с. 175] предположили, что существует
такая функция у, что М (d, и) у (и - d)d.)
3.12 *. Верно ли, что любой 4-многогранник имеет гамильтонов
цикл? (Это предположение принадлежит Барнетту; см. [203, с. 158].
Некоторые частные случаи разобраны в работе Барнетта и Розен-
фельда [54].)
3.13 *. Пусть Р —простой 4-многогранник. Верно ли, что всякий
связный планарный 3-регулярный подграф, который не разделяет
граф G(P), является графом некоторой гиперграни? (Без условия
планарности это была гипотеза Перлеса [299], которую опровергли
в работе [263].)
3.14 . Назовем к-путем между двумя различными вершинами v
и w d-многогранника Р такую последовательность k-граней F19...
...,Fm, что v является вершиной грани Fu w является вершиной
грани Fm, а грани Ff и Fi+1 являются смежными для 1 i < т (т. е.
их пересечение есть (к - 1)-грань). Два к-пути являются непересе-
кающимися, если у них нет ни одной общей к-грани.
1. Выведите из теоремы Балинского, что для к = 1 и к = d - 1
существуют d непересекающихся к-путей между любыми двумя вер-
шинами v и w.
2. Пусть Р — симплекс. Докажите, что между любыми двумя его
вершинами есть L I непересекающихся к-путеи.
3*. Верно ли, что между двумя любыми вершинами v и w про-
извольного d-многогранника Р существуют непересекающихся
к-путей?
(Задача была поставлена Прабху в работе [446] в 1990 г., и до
сих пор в ее решении нет никакого прогресса.)
3.15 . Комплекс Д — это набор d-элементных подмножеств в мно-
жестве [и] :={1,..., и}. (Таким образом, мы определили «абстракт-
ный симплициальный комплекс» в смысле §8.5.) Два множества
F, G G Д являются смежными, если они отличаются только на один
элемент. Это определяет граф на множестве d-элементных подмно-
жеств из Д. Комплекс Д называется сильно связным, если этот граф
142
Глава 3. Графы многогранников
является связным. Более того, комплекс А называется улътрасвяз-
ным, если каждое непустое семейство вида Ак := {F G А: К с F}
является сильно связным.
1. Докажите, что комплекс, отвечающий симплициальному
d-многограннику с множеством вершин (отождествленным с) [и],
является ультрасвязным.
2. Если Р —простой d-многогранник, у которого множество ги-
перграней занумеровано числами из множества [и], то с каждой его
вершиной связано некоторое подмножество из d элементов. Дока-
жите, что получившийся комплекс является ультрасвязным.
3. Каждый симплициальный комплекс, обладающий Шеллин-
гом, является ультрасвязным. (Шеллинг —это очень важное комби-
наторное понятие, определение которого можно найти в § 8.1.)
Докажите, что однородный симплициальный комплекс облада-
ет шеллингом, если и только если его гиперграни F19 ...,FS можно
упорядочить так, чтобы для всех i подкомплекс Fr и ... UFf являлся
ультрасвязным.
4. Пусть А — комплекс, состоящий из четырехэлементных мно-
жеств
{1;2;3;4}, {2; 3; 4; 5}, {1; 3; 4; 6}, {5; 6; 7; 8},
{2; 6; 7; 8}, {1; 5; 7; 8}
и всех четырехэлементных множеств, имеющих два элемента из
множества {1; 2; 3; 4} и два элемента из множества {5; 6; 7; 8}, но
не содержащих одновременно ни 1 и 2, ни 5 и 6. Докажите, что рас-
стояние между множествами {1; 2; 3; 4} и {5; 6; 7; 8} в А равно 5.
Докажите, что комплекс А является ультрасвязным.
5. Опишите ультрасвязный комплекс из треугольников (т.е.
d = 3) на п вершинах, у которого диаметр равен и — 3.
6. Пусть А — ультрасвязный комплекс из треугольников на п
вершинах. Докажите, что между любыми двумя треугольниками су-
ществует путь из треугольников, который проходит через каждую
вершину не более двух раз. Из этого получите, что диаметр не пре-
восходит 2п.
7*. Можете ли вы улучшить оценку 2п до 1,999п (или, по край-
ней мере, до 2п - 1000, 2п - 1)? Можете ли вы найти ультрасвязный
набор треугольников на п вершинах, для которого диаметр больше
чем 1,001п (или, по крайней мере, п -I-100, или даже п - 2)?
Задачи и упражнения
143
(Этот комбинаторный подход к исследованию проблем, связан-
ных с диаметром, принадлежит Ларману [349] и Калаи [305]. В част-
ности, в работе [349] Ларман показал, что между любыми двумя вер-
шинами ультрасвязного комплекса из d-элементных множеств на п
вершинах существует путь, который проходит через каждую вершину
не более чем 2d-1 раз. Отсюда следует оценка Au(d, и) 2d-1n. (См.
также работу Кли и Кляйншмидта [327, раздел 7].)
Неограниченный четырехмерный полиэдр с 8 гипергранями,
построенный Кли и Уолкапом в работе [331] и опровергающий
оценку Хирша, порождает комплекс из п. 4.
Субэкспоненциальные оценки на диаметр ультрасвязных ком-
плексов были найдены Калаи в работе [305, раздел 4.1]. Это упраж-
нение также придумано им.
Пункт 7* демонстрирует невероятную пропасть между извест-
ными верхней и нижней оценками. Отметим, что согласно п. 1 и 2
каждая верхняя оценка, которая может быть доказана для диамет-
ров ультрасвязных комплексов из d -элементных множеств, автома-
тически верна и для Au(d, и).)
3.16. Пусть Р — такой простой d-многогранник, что каждая его
k-грань имеет не более чем 2к гиперграней.
1. Докажите, что диаметр многогранника Р ограничен сверху
размерностью d.
2. Более того, докажите, что для таких многогранников из лю-
бой начальной точки при любой линейной функции можно достичь
верхней вершины за d шагов.
(Это утверждение взято из работы Калаи [305, теорема 3], в ко-
торой доказано, что для каждого фиксированного г 2 если каждая
к-грань многогранника Р имеет не более чем гк гиперграней, то
диаметр и высота многогранника Р ограничены многочленом от d.)
3.17. Для конечных графов G и Н скажем, что G является инду-
цированным подграфом графа Н> если, удалив из графа Н некоторое
множество S вершин (и все инцидентные им ребра), можно полу-
чить граф, изоморфный графу Н. Будем говорить, что граф Н явля-
ется надстройкой графа G, если, кроме того, вершины из множества
S соединены ребрами со всеми другими вершинами графа Н.
1. Докажите, что каждый конечный граф является индуцирован-
ным подграфом графа 4-многогранника.
(Если G имеет п 5 вершин, то начните с С4(п) и добавьте до-
полнительную вершину над каждым ребром, которого нет в G.)
144
Глава 3. Графы многогранников
2. Докажите, что для каждого конечного графа существует неко-
торая надстройка этого графа, являющаяся графом d -многогранни-
ка для некоторого d.
(Если G имеет п 5 вершин, то начните с С4(п) и добавьте до-
полнительную размерность и две новые вершины в ней для каждого
ребра, которого нет в графе G.)
3*. Верно ли, что у каждого конечного графа есть надстройка,
являющаяся графом 4-многогранника? Верно ли это в случае, когда
G — граф, состоящий из п вершин и не имеющий ни одного ребра?
4. Приведите пример 4-связного графа на п 5 вершинах, кото-
рый не является графом никакого 4-многогранника. Можете ли вы
построить 4-регулярный граф с такими свойствами?
(Перлес [438].)
Глава 4
Теорема Штейница для трехмерных
многогранников
Комбинаторная структура 2-многогранников не слишком тайн-
ственна. Познакомиться с удивительным миром трехмерных выпук-
лых (и невыпуклых) многогранников читатель может, обратившись
к книге [492]. Элементарное изложение вопросов комбинаторики
и теории графов, связанных с выпуклыми трехмерными многогран-
никами, можно также найти в книге Барнетта [45].
В этой главе мы заложим основы теории трехмерных много-
гранников, доказав теорему Штейница. Классическая формулиров-
ка звучит следующим образом.
Теорема 4.1 (теорема Штейница [524, 527]). Граф G является
графом трехмерного многогранника тогда и только тогда, когда он
является простым, планарным и 3-связным.
Графы многогранников, несомненно, являются простыми: они
не содержат петель или кратных ребер. Граф G(P) является планар-
ным для любого 3-многогранника (используйте центральную проек-
цию на сферу из внутренней точки многогранника или на плоскость
из точки над гипергранью). Граф G(P) также является 3-связным по
теореме Балинского 3.14. Таким образом, трудной является та часть
теоремы, в которой требуется показать, как по данному 3-связному
планарному графу можно построить 3-многогранник.
Вот четыре наблюдения, показывающие, что это утверждение не
очевидно.
146
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
1. Неизвестны и, похоже, не существуют столь же эффективные
теоремы в высших размерностях.
2. Существует множество интересных следствий и различных
усилений, которые получаются с помощью той же техники доказа-
тельства (см. §4.4).
3. Многие из аналогов этой теоремы в высших размерностях
неверны (мы убедимся в этом в гл. 5 и 6).
4. Слишком простые доказательства этой теоремы пока неиз-
вестны.
Все комбинаторные («классические») доказательства теоремы
Штейница [524], [527, § 54, 63], [252, раздел 13.1], [51] в основ-
ном следуют одному и тому же образцу: доказывается, что каждый
3-связный планарный граф можно построить из графа К4 при помо-
щи определенных операций, сохраняющих реализуемость. (С дру-
гими, «нелинейными» рассуждениями можно познакомиться в при-
мечаниях к этой главе.)
Мы можем представить здесь «более красивое» комбинаторное
доказательство благодаря изящным рассуждениям из теории гра-
фов, используя весьма ловкое умение Трумпера [546,547] обращать-
ся с «ДУ-редукциями». Мы разбили доказательство теоремы 4.1 на
три параграфа.
— В § 4.1 мы обсудим тот минимум теории графов, который нам
потребуется. Основное внимание будет уделено 3-связным гра-
фам и ДУ-редукциям.
— В § 4.2 мы докажем, что теорема Штейница верна для 3-связных
планарных графов, у которых «есть ДУ редукция».
— В § 4.3 мы покажем, что если 3-связный планарный граф G имеет
ДУ-редукцию, то и любой его минор также имеет ДУ-редукцию.
— Наконец, мы покажем, что каждый планарный граф является
минором сетки, а каждая сетка имеет ДУ-редукцию.
В заключение в § 4.4 мы приведем список усилений, обобщений
и следствий из теоремы Штейница.
§ 4.1. 3-связные планарные графы
Итак, нам нужны некоторые основные понятия теории графов.
Давайте на время допустим, что графы могут быть непростыми, т. е.
иметь петли и кратные ребра.
§ 4.1. 3-связные планарные графы
147
Такой граф G является связным, если существует путь между
любыми двумя различными его вершинами. В этой главе мы будем
рассматривать только связные графы.
Граф G, содержащий хотя бы 2 ребра, называется 2-связным,
если он связен, не имеет петель и не теряет связности при удалении
произвольной вершины и всех инцидентных ей ребер. Граф G, со-
держащий хотя бы 4 ребра, называется 3-связным, если он является
простым и не теряет связности при удалении одной или двух вер-
шин. По этому определению минимальный 2-связный граф —это
граф С2 с двумя кратными ребрами:
а минимальный 3-связный граф —это полный граф К4 с 4 вершина-
ми и 6 ребрами:
Преимущество этого определения в том, что оно инвариантно
относительно дуальности, т. е. если мы вкладываем граф в сферу S2
и строим дуальный граф G*, то G является к-связным тогда и только
тогда, когда к-связным является G* (для к = 2,3). Здесь мы не рас-
сматриваем конструкцию дуального графа, но полагаем, что следу-
ющая картинка, которую можно считать нарисованной на плоско-
сти или на 2-сфере, все объясняет.
148
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
Отметим, что комбинаторная структура 3-многогранника пол-
ностью определяется его графом —это частный случай замечания
3.13(2). Из теоремы Уитни [564] следует, что вложение 3-связного
планарного графа в сферу единственно. Для доказательства этого
факта достаточно заметить, что при вложении любой 3-связный пла-
нарный граф разбивает сферу на области, ограниченные бесхордовы-
ми циклами, которые не разделяют граф. Другие циклы графа огра-
ничивают более одной области с каждой из сторон. Значит, они либо
содержат хорду, либо разделяют две вершины, либо и то, и другое.
Обратите внимание на то, что в задаче Перлеса 3.13* спрашивается
про вариант теоремы Уитни для больших размерностей.
Две основные «локальные» операции на графах —это удаление
ребра
и стягивание ребра
>--------f — ¥
при котором отождествляются две вершины одного ребра. Любой
граф, который может быть получен из G с помощью последователь-
ности удалений и стягиваний ребер, называется минором графа G.
Заметим, что ребра минора можно рассматривать как подмноже-
ство ребер графа G.
Частным случаем является стягивание ребер, которые идут по-
следовательно и соединяются при помощи вершин степени 2 (это
равносильно удалению точки деления):
или удаление кратных (или, как их еще называют, параллельных)
ребер (это обычная операция для «получения простого графа):
Будем называть любую последовательность таких операций после-
довательно-параллельной редукцией или SP-редукцией.
AY-операция заменяет треугольник, который ограничивает грань
(т. е. треугольник, не разделяющий граф), на 3-звезду, соединяющую
§ 4.1. 3-связные планарные графы
149
те же вершины, либо наоборот — 3-звезду заменяет на треугольник.
Чтобы уточнить вид замены, будем называть эти операции (Д —> Y)-
преобразованием и (У —> А)-преобразованием соответственно.
На рисунке показано «естественное» соответствие между ребра-
ми треугольника и ребрами 3-звезды. Обратите внимание на то, что
эти операции, меняющие местами К3 и К13, сохраняют количество
ребер в графе. Однако в результате ДУ-преобразования могут по-
явиться последовательные или кратные ребра, которые затем могут
быть SP-редуцированы.
Следующая простая лемма дает более полный ответ на вопрос,
при каких условиях (У -► Д)-преобразование сохраняет связность
графа.
Лемма 4.2. 1. Пусть G — 2-связный граф, а {е, f, g} —ребра, схо-
дящиеся в вершине и степени 3. Если среди этих ребер нет кратных
(гл. е. у вершины и в точности 3 различных соседа), тогда резуль-
тат применения (У —> ^-преобразования также 2-связен.
2. Пусть G —3-связный граф (в частности, в нем нет кратных
ребер, а степень любой вершины не менее 3), не совпадающий с К4.
Пусть {е, f, g} —ребра этого графа, сходящиеся в вершине и степе-
ни 3.
Если применить (У -> ^-преобразование к этой 3-звезде, а за-
тем удалить все образовавшиеся при этом кратные ребра (т. е.
все ребра, которые изначально соединяли соседей вершины и), тогда
полученный граф также будет 3-связным.
Доказательство. Это следует непосредственно из определений:
рассмотрим (У -♦ Д)-преобразование G -♦ G'. Тогда произвольное
множество, состоящее из одной или двух вершин и являющееся раз-
деляющим в G', также будет разделяющим множеством и в G. Един-
ственная проблема, которая могла возникнуть, состоит в том, что
при выполнении (У —> Д)-преобразования могли появиться крат-
ные ребра. Если удалить эти ребра, то операция сохранит 3-связ-
ность. □
150
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
Замечательно, что в силу дуальности мы немедленно получа-
ем дуальное утверждение—лемму 4.2* о связности после (Д —> У)-
преобразований. Для этого мы воспользуемся тем, что при дуально-
сти возникают следующие соответствия:
вложенный планарный граф G > дуальный граф G*,
стягивание последовательных ребер <-* удаление кратных ребер,
к-связный к-связный,
неразделяющий треугольник 3-звезда,
(Д —> У)-преобразование > (У —> Д)-преобразование.
Эту дуальность можно перенести на нашу редукцию многогран-
ников, так как граф 3-многогранника — это в точности дуальный
граф для полярного многогранника:
G(P)* = С(РД).
§ 4.2. Простые ДУ-преобразования сохраняют
реализуемость
Под простой ДУ -редукцией мы подразумеваем любую ДУ-опе-
рацию с последующими всеми возможными SP-редукциями. По
лемме 4.2 и дуальной ей простые ДУ-редукции сохраняют 3-связ-
ность, если применяются к произвольному 3-связному графу, от-
личному от К4.
Имеются 4 различных типа простых (Д -♦ У)-редукций. Чтобы
показать это, отдельно рассмотрим случаи, когда у треугольника
имеются нуль, одна, две или три вершины степени 3.
На этом рисунке пунктиром отмечены ребра, которые могут
как присутствовать в графе, так и отсутствовать. Простые (Д —> У) -ре-
дукции на них не воздействуют.
§4.3. Планарные графы ДУ-приводимы
151
Аналогично если для вершины v степени 3 рассмотреть коли-
чество соседей, которые уже соединены, получим 4 типа простых
(У -> А) -редукций:
Эти 4 преобразования — в точности «полярные операции» (опе-
рации над дуальным графом) к простым (А У)-редукциям.
Лемма 4.3. Пусть граф G' получен из 3-связного планарного
графа G простой &Y-редукцией.
Если G' является графом некоторого 3-многогранника, то G
также является графом некоторого 3-многогранника.
Доказательство. Из соответствия дуальных графов полярным
многогранникам следует, что достаточно рассмотреть только опи-
санные выше 4 типа (А-* У) -преобразований. Для них преобразо-
вание от Р' к Р соответствует просто «отрезанию вершины» подхо-
дящей плоскостью.
(Для наглядности можно рассматривать наш рисунок четырех
типов простых (Д—► У)-преобразований как изображение 3-много-
гранников.) □
§ 4.3. Планарные графы ДУ-приводимы
В этом параграфе мы покажем, что любой 3-связный планарный
граф (с п 4 ребрами) может быть приведен к графу К4 при помощи
152
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
последовательности Д/-преобразований. Это частный случай более
сильной теоремы (для 2-связных планарных графов с «возвратным
ребром»), которая впервые была открыта Епифановым [198], а позд-
нее изящно и коротко доказана Трумпером [546]. В этом параграфе
мы следуем его рассуждениям [546] и [547, раздел 4.3].
Временно потребуем, чтобы рассматриваемый граф был лишь
2-связным. В частности, мы допускаем только те Д/-операции, ко-
торые сохраняют наш граф 2-связным.
В простоте подхода Трумпера к теореме Епифанова читателю
стоило бы оценить «силу теоремы о нормальной форме» (в дан-
ном случае: вложение планарного графа как минора сетки; эта
конструкция также подробно рассматривается в работе Робертсона
и Сеймура [464] о минорах графов).
Далее приведены три леммы и следствие, из которых вытека-
ет нужный результат. [Работая над этим материалом, вы можете
потренироваться в «трехуровневом чтении». Сначала следует про-
читать только формулировки лемм и попробовать понять, что они
означают и насколько они тривиальны. Второй уровень — просмот-
реть доказательства и попытаться понять, знаете ли вы, как это сде-
лать самостоятельно. Если знаете, сделайте сами. Если нет, попы-
тайтесь найти контрпример. Третий уровень—детально разбирать
доказательства, пока не убедитесь, что нашли все ошибки, которые
я сделал, и возможные сокращения рассуждений, которые я упу-
стил. Сообщите мне о них.]
Далее мы будем называть 2-связный граф -приводимым, ес-
ли из него можно получить граф С2 с двумя параллельными реб-
рами при помощи некоторой последовательности Д/-преобразова-
ний и SP-редукций.
Лемма 4.4. Если планарный граф G является Д/-приводимым,
то любой его 2-связный минор Н также Д/-приводим.
Доказательство. Проведем индукцию по количеству шагов ре-
дукции, необходимых, чтобы привести G. Можно считать, что Н не
содержит последовательных или кратных ребер, иначе мы можем
совершить соответствующие редукции и доказывать это утвержде-
ние для минора Н'. Далее, если приведение графа G начинается
с последовательно-параллельной редукции, то Н является также ми-
нором редуцированного графа. Это следует из того, что Н не содер-
жит ни последовательных, ни кратных ребер, а операции удаления
и стягивания ребер коммутируют.
§4.3. Планарные графы ДУ-приводимы
153
Таким образом, можно считать, что приведение графа G начи-
нается с шага ДУ-редукции. В силу дуальности можем считать, что
это (Д У)-шаг G G'.
Пусть e,f,g — три ребра графа G, участвующие в этом шаге ре-
дукции. Если все эти три ребра содержатся в Н, то там они также
образуют неразделяющий треугольник, и мы можем выполнить со-
ответствующий (Д У)-шаг Н ->Н'. По предположению индукции
заключаем, что И' является ДУ-приводимым, а следовательно, и Н
является ДУ-приводимым.
Теперь рассмотрим случай, когда некоторые из ребер е, /, g в Н
отсутствуют. Что с ними произошло? Могло ли оказаться, например,
что лишь одно из них было стянуто и ни одно не было удалено?
Нет, такого быть не могло, так как граф Н простой. Точно так же
не могли быть стянуты два ребра и оставлено третье. Если все три
ребра были стянуты, то мы можем считать, что первое из них было
удалено, затем остальные стянуты. Таким образом, используя пере-
становочность удалений и стягиваний ребер и, возможно, переобо-
значив ребра, мы можем считать, что первое ребро, исчезнувшее
при переходе от G к Н (скажем, е), было удалено.
Но тогда мы можем получить тот же минор Н из G' при помо-
щи стягивания соответствующего ребра в G', так как удаление е из G
и стягивание е в G' приводят к одному и тому же графу. По предпо-
ложению индукции мы вновь получаем приводимость минора Н. □
Обозначим сетку с тп вершинами и гл (и - 1) + п(т — 1) ребра-
ми через G(m, ri). Очевидно, что сетки G(m, и) и G(n, m) изоморфны.
На рисунке изображена сетка G(5,6).
154
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
Лемма 4.5. Если граф G планарный, то он является минором
сетки.
Доказательство. Для доказательства этой леммы фиксируем вло-
жение графа G в плоскость R2. Разделим каждую вершину графа G
таким образом, чтобы получить граф G', для которого G является
минором и все вершины которого имеют степень не более 3.
Далее, мы можем построить вложение графа G' (с подразбиты-
ми ребрами) в конечную решетку, которое комбинаторно эквива-
лентно данному вложению G' (в том смысле, что вершины заданной
грани идут в том же циклическом порядке). Для этого на каждом
шаге мы рисуем по одному ребру на решетке. Всякий раз, когда
наша решетка становится слишком грубой, мы можем сделать ее
более точной, взяв решетку вдвое меньшего размера.
Таким образом, подразбиение графа G' представлено в виде подгра-
фа сетки, а значит, G является минором сетки. □
Это доказательство достаточно очевидно. Его гораздо более глу-
бокие версии, ограничивающие размер сетки, в которую мы вкла-
дываем граф, весьма интересны и важны для приложений, связан-
ных с проблемами проектирования СБИС1. Более точную и пол-
ную информацию о «проектировании решеток» и «изображении
1 СБИС — сверхбольшая интегральная система (в оригинале VLSI — very-large-scale-
integration), микросхема, содержащая до 1 миллиона элементов в кристалле. Совре-
менные СБИС содержат более 1 миллиарда элементов в кристалле. — Прим. ред.
§4.3. Планарные графы Д/-приводимы
155
графов» можно найти в работах Лоулера и др. [350, раздел 3.4.5],
Ленгауэра [359, гл. 5] и Канта [311].
Лемма 4.6. Все сетки G(m, п),т,п^3, ДУ-приводимы, к К4.
Доказательство. Будем использовать в доказательстве два ос-
новных наблюдения. Первое: если ребро соединяет двух соседей
вершины, степень которой равна 3, то его можно удалить, выполнив
сначала (Д -► У)-преобразование, а затем последовательную редук-
цию.
Второе наблюдение: если ребро соединяет двух соседей верши-
ны, степень которой равна 4, то мы можем перенести его «на
другую сторону», используя сначала (Д -♦У)-, а затем (У —> Д)-
преобразов ание.
Используя эти два наблюдения, мы можем привести любую сетку
G(m, и) к К4 следующим образом.
Сначала выполним последовательную редукцию в правом верх-
нем углу. Затем, предполагая, что т 4, делаем одно ребро из двух
в левом нижнем углу. Теперь мы можем двигать данное ребро по
решетке при помощи операций, описанных во втором наблюдении,
пока не «дойдем до границы».
Тогда ребро либо окажется параллельным ребру в правом верхнем
углу, либо будет соединять вершины, смежные с вершиной степе-
ни 3. В первом случае его можно удалить при помощи параллельной
156
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
Таким образом мы удалим первый квадрат последней строки. Ана-
логично можно удалить второй квадрат этой строки и т. д. Послед-
ний квадрат удаляется двумя последовательными и одной парал-
лельной редукциями.
Действуя симметрично, мы можем удалить все квадраты первого
столбца, если п 4.
В конце останется сетка G(3, 3) с одним сокращенным углом. Этот
граф легко приводится к «колесу» — графу W4 квадратной пирами-
ды, а затем к К4. □
Следствие 4.7. Каждый планарный 3-связный граф G может
быть приведен к К4 при помощи последовательности простых
ДУ-преобразований.
Доказательство. Из последних трех лемм следует, что граф G
является ДУ-приводимым1. Будем следовать шагам этого приведе-
ния до первого момента, когда появляются кратные или последо-
вательные ребра. Они могут быть сразу же редуцированы. По лем-
ме 4.2 в результате этой редукции мы получаем планарный 3-связ-
ный граф G'. В этом графе меньше ребер, чем в исходном, значит,
утверждение доказано индукцией по количеству ребер. □
1 К С2 как 2-связный граф. —Прим, перев.
§ 4.4. Обобщения теоремы Штейница
157
Следствие 4.7 также завершает наше доказательство теоремы
Штейница 4.1.
§ 4.4. Обобщения теоремы Штейница
Следствие 4.8. Для каждого трехмерного многогранника суще-
ствует рациональный трехмерный многогранник, комбинаторно
эквивалентный данному.
Доказательство. Это утверждение следует из нашего доказа-
тельства теоремы Штейница: действительно, мы показали, что каж-
дый 3-многогранник может быть приведен к симплексу операциями
Р Р' двух видов:
• построение комбинаторно полярного многогранника,
• «отрезание» вершины степени 3.
В обоих случаях если имеется рациональная реализация многогран-
ника Р', то мы также можем построить многогранник Р с рацио-
нальными вершинами и неравенствами. □
Следствие 4.9. Всякий 3-связный планарный граф имеет пред-
ставление на плоскости, при котором все ребра графа прямолиней-
ны, а каждая ограниченная область, определенная графом, так же
как и объединение всех этих областей, является выпуклым много-
угольником.
Доказательство. Представим 3-связный планарный граф G в ви-
де графа 3-многогранника. Выберем точку х над некоторой гранью
этого многогранника. «Вид» многогранника из этой точки (его про-
екция на данную грань вдоль направлений «видимости») дает тре-
буемое представление. □
Это доказательство содержит конструкцию «диаграммы Шлеге-
ля» для 3-многогранника: см. следующую главу. В теории графов
есть множество связанных с этим результатов. Есть другие дока-
158
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
зательства, например доказательство, предложенное Таттом [549],
в котором в меньшей степени используется геометрия и в боль-
шей—теория графов, использую метод приведений по Томассену
[540] мы получим очень короткое доказательство [268, приложе-
ние 1]. См. также упражнение 4.7.
Есть множество других усилений теоремы Штейница, которые
говорят о том, что можно задавать дополнительные условия на
строящийся многогранник. Например, согласно Барнетту и Грюн-
бауму [52] можно предписать форму гиперграни многогранника
Р, т. е. если даны трехмерный многогранник Р с к-угольной ги-
пергранью К и произвольный к-угольник К' с R3, то мы можем
так «перерисовать» Р, что получим многогранник Р' с R3, комби-
наторно эквивалентный Р, для которого К' является гипергранью,
соответствующей К <zP.
Аналогично мы можем предписать границу тени (Барнетт [41]):
для произвольного цикла в графе G(P) можно найти реализацию
многогранника Р и проекцию многогранника Р на плоскость, кото-
рая переводит этот цикл в границу полученного при проекции мно-
гоугольника. Это удивительно: просто попробуйте проверить это на
каком-нибудь многограннике; см. упражнение 4.9. Однако не стоит
ожидать большего: форма образа (многоугольника) не может быть
предписана —см. упражнение 4.12.
Для произвольного симметричного графа также существует мно-
гогранник, реализующий полную группу симметрий этого графа; см.
работу Мани [375] и теорему 4.13.
Ниже приведено, пожалуй, наиболее важное обобщение, кото-
рое следовало бы включить в теорему Штейница. Оно гласит, что
пространство всех способов наделить 3-многогранник координата-
ми является связным (по модулю отражений). Для доказательства
этого более сильного утверждения нам потребуется рассмотреть
все координатные реализации «по модулю вращений и отражений».
Для этого дадим несколько определений.
Определение 4.10. Рассмотрим d -многогранник Р на п > d вер-
шинах. Мы можем так занумеровать вершины
vert(P) = {хьх2, ...,хп},
что подмножество {хъ х2,..., xd+1} будет определять флаг, т.е.
aff({Xi, х2,..., xfc}) ПР будет являться (к - 1)-гранью многогранни-
ка? для 1 $ к $ d +1.
Примечания
159
Пространство реализаций
С Rdxn
многогранника Р — это множество всех таких матриц Y g Rdxn, что
ук = хк для 1 $ k $ d +1 и что многогранник Р комбинаторно экви-
валентен Q := convfyp уп} при соответствии ->уР
Легко видеть, что пространство реализаций является элемен-
тарным полуалгебраическим множеством, определенным над Z,
т. е. подмножеством вещественного векторного пространства, ко-
торое можно определить в терминах полиномиальных уравнений
и строгих неравенств с целыми коэффициентами. В общем случае
такие элементарные полуалгебраические множества могут быть
сколь угодно сложны как топологические пространства (см. упраж-
нение 4.22). Далее предполагается, что вы знаете, что значит стя-
гиваемость для топологического пространства. В противном случае
вы просто можете считать, что это означает отсутствие «дырок»
в пространстве. В частности, стягиваемые пространства являются
связными.
Теорема 4.11 (теорема Штейница [527, 524]). Для произволь-
ного 3-многогранника Р пространство реализаций 31 (Р) является
стягиваемым, а значит, связным.
Все эти теоремы — о предписанных гипергранях, границе тени,
симметрии, о пространстве реализаций и т. д. — были доказаны при
помощи изящных вариаций одного и того же метода. Подобно ис-
ходной теореме Штейница, они далеко не тривиальны. В этом мож-
но убедиться, проверив, что при повышении размерности на едини-
цу (до d = 4) все эти теоремы перестают быть верными. Мы постро-
им явные примеры в следующих двух главах.
Примечания
Причина, по которой мы использовали именно такие определе-
ния связности графа, заключается в том, что они вписываются в бо-
лее общую и весьма естественную модель. Именно, следуя работам
Татта [550, 551] (см. книгу Трумпера [547, с. 15]), можно определить
k-разрез (для к 1) графа G = (V, Е) как разбиение на два подграфа
Gi = (Vi, Ei) и G2 = (V2, Е2), у которых ровно к общих вершин и нет
общих ребер, а также в каждом из которых содержится не менее к
160
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
ребер. Таким образом, на нашем рисунке
изображен 4-разрез, если с каждой стороны найдется хотя бы по 4
ребра (и, значит, найдется хотя бы один цикл, или неразделяющая
вершина, или и то, и другое). Для произвольного к 2 связный граф
является к-связным, если он не содержит /-разрезов для 1 $ I < к.
Определенная таким образом связность сохраняется при пере-
ходе к дуальному графу и легко распространяется на более общий
случай теории матроидов, и это веская причина для того, чтобы
работать с этим определением. Мы здесь ограничиваемся случаями
к = 2ик = 3, а также не рассматриваем случаи с малым количеством
ребер (всякий связный граф, содержащий менее 2 ребер, 2-связен,
всякий 2-связный граф, содержащий менее 4 ребер, 3-связен).
Ключевое для доказательства теоремы Штейница наблюдение,
а именно тот факт, что реализуемость сохраняется при ДУ-преоб-
разованиях (§4.2), красиво и понятно изложено в книге Грюнбаума
[252, раздел 13.1]. В том месте, когда Грюнбаум начинает серьезно
работать с теорией графов («линзовые графы» и т. д.), мы переклю-
чаемся к идеям Трумпера.
Майлисин и Кли [406] недавно доказали замечательное усиле-
ние теоремы Штейница: они дали описание направленных графов
3-многогранников. При изложении дальнейшего развития теоремы
Штейница мы опирались на обзор Кли и Кляйншмидта [329, раз-
дел 4]. В обзоре [256] Грюнбаум описывает некоторые другие ис-
следования графов трехмерных многогранников. Глубокая теорема
о разрезах для 3-многогранников была доказана Липтоном и Тарья-
ном [365].
Недавно было открыто (точнее, переоткрыто), что теорему Штей-
ница можно доказать совершенно другими, нелинейными метода-
ми. Для этого сначала строится «правильное изображение» мно-
гогранника на плоскости — идея, восходящая к работе Максвелла
1864 г. [385]. Здесь под правильным изображением понимается такое
Примечания
161
представление отрезками прямых (как в следствии 4.9), что внут-
ренние ребра считаются резиновыми струнами различной упруго-
сти, для которых в каждой вершине установлено равновесие сил.
(Таково доказательство Татта в его работе [549]; см. версию с ре-
зиновыми струнами в работе Линиала, Ловаса и Вигдерсона [366].
Доказательство того, что равновесие во всех вершинах при положи-
тельных силах задает выпуклые области, дано Уайтли [561].)
На приведенном рисунке правое изображение является пра-
вильным, левое — нет.
Далее доказывается, что изображенный с помощью прямых линий
3-связный планарный граф можно поднять в трехмерное простран-
ство (чтобы получить 3-многогранник) тогда и только тогда, ко-
гда изображение является правильным в этом смысле. Максвелл
доказал эту теорему только в одном направлении, в другом (более
сложном) она была доказана Крапо и Уайтли в работах [165], [166],
[562, раздел 1.3]; см. также работы Хопкрофта и Кана [284, раздел 3]
и особенно Рихтер-Геберта [459, раздел 12.2].
Имеет место фундаментальный факт, что изображение графа G
является правильным тогда и только тогда, когда существует изоб-
ражение дуального графа (с вершиной «на бесконечности») с реб-
рами, ортогональными соответственным ребрам графа G.
При некоторой аккуратности этот результат можно обобщить на
случай высших размерностей, для d -диаграмм и диаграмм Шлегеля
162
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
(см. гл. 5), как было показано Макмалленом [398], который допол-
нил более раннюю версию, принадлежащую Ауренхаммеру [26].
Вероятно, самая красивая версия метода, основанного на пра-
вильных изображениях, связана с теоремой об упаковке кругов.
Теорема 4.12 (теорема Кёбе—Андреева—Тёрстона об упаковке
кругов [339], [19], [541]). Всякий планарный граф может быть
представлен в таком виде, что его вершинам соответствуют непе-
рекрывающиеся круги, которые касаются друг друга тогда и только
тогда, когда соответствующие им вершины смежны.
Более того, если граф триангулирован, то такое представление
единственно с точностью до преобразований Мёбиуса плоскости
(которые все окружности переводят в окружности).
Если граф 3-связен, то одновременно существует такое пред-
ставление дуального ему графа кругами, при котором пересекаю-
щиеся ребра данного графа и дуального ему представлены кругами,
граничные окружности которых пересекаются под прямым углом.
о
Примечания
163
(В этом случае удобно считать, что одна (.например, дуальная) вер-
шина представлена дополнением к кругу. Тогда вся плоскость/сфера
будет покрыта кругами из данного представления.)
История этого результата (точнее, серии результатов) довольно
запутана. Первоначальная версия была знакома еще Кёбе и опуб-
ликована в 1936 г. Однако его доказательство годится только для
простого и симплициального случая. Тёрстон переоткрыл эту тео-
рему и свел ее доказательство к теореме Андреева, таким образом,
результат стал известен как теорема Андреева—Тёрстона. Некото-
рые детали доказательства содержатся в заметках Тёрстона [541],
но формально эту теорему он никогда не публиковал. К настоя-
щему моменту было найдено множество доказательств, среди них
доказательства, принадлежащие Шрамму [482,483], Браггеру [128],
а также фундаментальное доказательство Колена де Вердьера [161];
см. также работы Мардена и Родина [378], Паха и Агарвала [432,
гл. 8]. Версия с ортогональными окружностями принадлежит Пите-
ру Дойлу. Независимо она появляется в работе Брайтвелла и Шай-
нермана [132]. Конструктивное доказательство см. в работе Мохара
[411]. Одед Шрамм обнаружил, что доказательство Колена де Вер-
дьера можно адаптировать под ортогональную версию теоремы (из
персонального сообщения).
Чтобы почувствовать, «как выглядят упаковки кругами» и «как
они себя ведут», рекомендуем статью Дубейко и Стефансона [186],
а также описываемую в этой статье программу (которая находится
в открытом доступе).
Прямую и дуальную версии можно использовать для доказа-
тельства следующей усиленной версии теоремы Штейница.
• Каждый 3-связный планарный граф является графом 3-много-
гранника Р, ребра которого касаются единичной сферы,
• Для каждого многогранника существует «каноническое» пред-
ставление в таком виде.
Теорема 4.13 (Шрамм [483]). Для всякого планарного 3-связно-
го графа существует представление в виде графа 3-многогранника,
все ребра которого касаются единичной сферы S2 с R3, а точка О
является центром масс точек касания.
Это представление единственно с точностью до вращений и от-
ражений многогранника в R3. В частности, в этом представлении
каждая комбинаторная симметрия графа реализуется как симмет-
рия многогранника.
164
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
Мы не будем здесь излагать подробности, они «слишком нели-
нейны» для этой книги. Тем не менее, детально разработанный ва-
риационный принцип для упаковок кругов, недавно открытый Бо-
бенко и Шпрингборном [109], дает весьма элегантное доказатель-
ство теоремы 4.13. Оно подробно изложено в работе [580], доказа-
тельство единственности см. также в работе Шпрингборна [510].
Еще один алгоритм реализации, на этот раз для симплициаль-
ных 3-многогранников, предложили Дас и Гудрич [178]. По суще-
ству, он работает, выполняя «множество обратных операций Штей-
ница на независимых вершинах за один шаг». Это дает линейный по
времени алгоритм реализации, который создает реализации с одно-
кратно экспоненциальной оценкой на целые координаты (как и ал-
горитм Онна—-Штурмфельса [428], [459, раздел 13.2] в общем случае
3-многогранника).
Элементарные полуалгебраические множества — фундаменталь-
ные объекты. Упражнение 4.22 показывает, что они могут иметь
очень сложную структуру. Общие полуалгебраические множества
(для которых в определяющей системе также допускаются нестро-
гие неравенства) могут быть представлены как конечные объеди-
нения элементарных полуалгебраических множеств.
В этой главе мы рассматривали только достаточно простые про-
странства реализаций (стягиваемые). Ситуация изменится в гл. 6,
когда мы начнем изучать пространства реализаций многогранни-
ков большей размерности. Теория полуалгебраических множеств
называется вещественной алгебраической геометрией. Это бурно
развивающаяся и увлекательная область исследований. Более по-
дробную информацию читатель может найти в книге Бочнака, Ко-
стэ и Рой [110] и статье Беккера [65].
Задачи и упражнения
4.0. Покажите, что полный граф К5 и полный двудольный граф
К3 п являются ДУ-приводимыми. Рассматривая графы, ДУ-эквива-
лентные К6, покажите, что граф Кп не является ДУ-приводимым
при п 6 и что граф Ктп не является ДУ-приводимым при т, п 4.
4.1. Пусть G — 3-связный граф с п 4 ребрами. Покажите, что он
содержит подразбиение графа К4.
4.2. Покажите, что определение к-связности, данное в приме-
чаниях к этой главе, в частных случаях к = 2 и к = 3 совпадает
Задачи и упражнения
165
с определениями 2-связности (для графов, содержащих более одно-
го ребра) и 3-связности (для графов, содержащих более трех ребер)
из § 4.1.
4.3. Какие проблемы возникают с построением Р по Р' при при-
менении простого (У —> Д)-преобразования G —> G'? Чтобы ответить
на этот вопрос, попробуйте доказать (У -> Д) -часть леммы 4.3.
Если вы хорошо знакомы с проективными преобразованиями
(см. § 2.6), объясните, как доказать лемму другим способом, без ис-
пользования полярности.
4.4. Проанализируйте, как доказать теорему о приведении сеток
в рамках множества 3-связных графов. Где возникают проблемы?
Как вы обеспечите 3-связность сеток? Сколько «элементарных опе-
раций» вам потребуется?
4.5. Охарактеризуйте графы центрально-симметричных 3-мно-
гогранников. (Грюнбаум [252, теорема 13.2.5]).
4.6. Рассмотрим произвольный конечный граф G, нарисованный
на плоскости без самопересечений. Пусть у этого графа v вершин, е
ребер, с связных компонент, a f — количество связных областей, на
которые плоскость разбита этим графом. Например, у графа
v = 10, е = 11, f — 5 и с = 3.
Докажите, что в общем случае верно равенство и — е + / = 1 + с.
Выведите отсюда формулу Эйлера
v-e + f = 2
для количества вершин v, количества ребер е и количества граней f
3-многогранника.
4.7. Выведите из теоремы Штейница (из следствия 4.9), что лю-
бой планарный граф можно изобразить на плоскости без самопере-
сечений при помощи прямолинейных отрезков.
(В литературе по теории графов этот результат впервые появил-
ся в работе Вагнера [554] и был переоткрыт Фари [205]. Его также
довольно просто доказать напрямую индукцией по количеству вер-
шин. См., например, книгу Хартсфилда и Рингеля [273, с. 167].)
166
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
4.8. Выведите из упражнения 4.6, что для каждого 3-многогран-
ника Р либо он сам, либо его полярный многогранник РЛ содержит
гипергрань, которая является симплексом. (Это неверно для 4-мно-
гогранников, как видно на примере правильного 24-гранника, ги-
пергранями которого являются октаэдры, а вершинными фигура-
ми—кубы. См., например, книгу Кокстера [164, раздел 8.2].)
4.9. Граф G(C3) трехмерного куба содержит циклы, проходящие
по всем вершинам («гамильтоновы циклы»).
Выберите произвольный такой цикл и постройте такую реализацию
комбинаторного куба в трехмерном пространстве, что стандартная
проекция п: R3 —► R2 переводит куб в 8-угольник, а выбранный
цикл — в границу этого 8-угольника. Сделайте то же самое с трех-
мерным пермутоэдром П3 и с (правильным) додекаэдром.
4.10. Покажите, что мы не можем предписать формы двух гра-
ней 3-многогранника (даже если у этих граней конгруэнтное пере-
сечение). На самом деле уже в треугольной призме
если одна боковая грань задана так, что ребра а и b параллельны,
то в двух других боковых гранях параллельными должны быть пары
b и с и соответственно а и с.
Задачи и упражнения
167
4.11. Также нельзя предписать формы двух непересекающихся
граней 3-многогранника. Чтобы доказать это, проанализируйте приз-
му над n-угольником и покажите следующее. Если нижний п-уголь-
ник уже задан, то вся призма описывается и + 3 линейными пара-
метрами («степенями свободы»), в то время как у формы верхней
грани 2п - 3 параметров. Таким образом, если мы рассматриваем
два n-угольника общего вида, то они, вообще говоря, не могут быть
встроены в призму при п 7.
4.12. Докажите, что нельзя предписать форму границы тени
трехмерного многогранника.
(Юрген Рихтер-Геберт заметил, что из треугольной призмы мож-
но получить шестиугольную проекцию, но форма шестиугольника
не может быть предписана. Ранее Барнетт в статье [46] дал дока-
зательство аналогичного факта для случая тетраэдра со звездным
подразбиением на каждой грани и проекцией в форме правильного
8-угольника. Вы также можете использовать призмы из предыдуще-
го упражнения и вновь посчитать степени свободы.)
4.13. Покажите, что не все 3-многогранники можно представить
в таком виде, что все их грани касаются единичной сферы либо
все их вершины лежат на единичной сфере. Какие 3-многогранники
представимы в таком виде?
(Замечание: это классический вопрос, впервые поставленный
в 1832 г.; см. работы Штейнера [523], Штейница [525] и Шульте
[486]. Проблема описания таких многогранников была решена не-
давно Ходжсоном, Ривином и Смитом [277].)
4.14. Покажите, что если n-угольник так представлен в R2, что
все его ребра касаются S1 в своих серединах, то этот п-угольник
правильный.
Если ребра касаются S1, но не обязательно в серединах, то этот
n-угольник не обязательно правильный, даже если потребовать,
чтобы сумма векторов точек касания равнялась 0.
168
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
4.15. Обозначим через /2(h)gN минимальное такое число, что
выпуклый п-угольник Р2(п) может быть представлен на решетке раз-
мера /2(п) х f2(n), т.е. со всеми вершинами в множестве {0,1,...
• Например,
ЛСЗ) =ЛС4) = 1, /2С5) =ЛС6) = 2, /2С7) =А(8) = 3, /2(9) = 4,
но f2(10) = 5 (см. рисунок).
1. Покажите, что /2(п) сп3/2 для некоторого с > 0.
(На самом деле Тиль [539, теорема 4.1.10] доказал, что оценка
Г и Л з/2
f2(n) = 2л1 12 1 + О (и In и) точна.)
2. При помощи п.1 покажите, что циклический 3-многогран-
ник С3(п) с п вершинами можно представить на решетке размера
к х к х 3, где k = f2(n -1).
3. При помощи п. 1 покажите, что многогранник С3(т)Л, поляр-
ный циклическому и имеющий п вершин (и = 2m — 4), может быть
представлен на решетке размера к' х к' х к', где к' = f2+1).
4.16* . Для п 4 обозначим через f3(n) минимальное такое
натуральное число, что каждый трехмерный многогранник с п
вершинами имеет представление с целочисленными вершинами
в {0,1, ...,/3(п)}3. Пусть /3(п) — такая же функция для симплици-
альных 3-многогранников.
Определите асимптотическое поведение функций f3(n) и /3 (п).
(В работе Гудмана, Поллака и Штурмфельса [238, раздел 5] по-
казано, что для d-мерных симплициальных многогранников с d + 4
вершинами необходимы координаты вершин, растущие по d как
двойная экспонента: .
/d3(d + 4)^22C
для некоторой константы с > 0. Однако мы не знаем подобной фор-
мулы для симплициальных многогранников некоторой фиксирован-
ной размерности d.
1
Задачи и упражнения
169
Случай d = 3 может оказаться особым: вполне может быть, что
для /з(п) имеет место квадратичная верхняя оценка. На данный
момент известны только экспоненциальные оценки f35(n)^28,45п
и f3(n) ^533п\ полученные Окном и Штурмфельсом [428], Рихтер-
Гебертом [459, с. 143] и, наконец, Рибо, Мором и Ротэ [454, гл.6].)
4.17* . Для п 4 обозначим через g(n) G N минимальное такое
натуральное число, что каждый 3-связный планарный граф с п вер-
шинами может быть изображен на плоскости так, что его вершины
принадлежат сетке размера g(n) х g(n), ребра изображены отрезка-
ми, а ограниченные области, определенные этим вложением графа,
так же как и объединение всех этих областей, являются строго вы-
пуклыми (т. е. все внутренние углы меньше я). Оцените g(n).
(Если допускать только прямолинейные вложения, не предпола-
гая выпуклости, то граф можно вложить в сетку размера (2п — 4) х
х (и - 2) (см. статью де Фрессе, Паха и Поллака [209]), и даже
в сетку размера (и — 1) х (п — 1), как показал Шнайдер [479]. В ра-
ботах Кробака и Канта [157], [311, раздел 10.2.2] предложен алго-
ритм, дающий выпуклые (но не строго выпуклые) изображения,
работающий за линейное время, для которого нужна сетка лишь на
(и - 1) х (и - 1) вершинах! Отметим, что здесь применяются сверх-
линейные нижние оценки из задачи 4.15. С предположением стро-
гой выпуклости лучшая известная оценка имеет вид О (и3) х О (и3)
согласно работе Кробака, Гудрича и Тамассии [156].)
4.18* . Верно ли, что каждый 3-многогранник имеет реализацию
с рациональными длинами ребер?
4.19* . Верно ли, что каждый (простой) выпуклый 3-многогран-
ник Р может быть реализован таким образом, что комбинаторно-
полярный многогранник Q ~ можно построить как выпуклую
оболочку вершин, выбранных на соответствующих гипергранях
многогранника Р?
Можете ли вы ответить на этот вопрос для 3-многогранника,
полученного из тетраэдра отрезанием вершин?
170
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
Этот вопрос можно переформулировать так: можете ли вы так
реализовать этот многогранник с точками на его гипергранях, что-
бы смежные гиперграни многогранника Р соответствовали смеж-
ным вершинам выпуклой оболочки этих точек?
(В 1993 г. Рихтер-Геберт обнаружил, что это можно сделать для
описанного выше многогранника Р. В 2004 г. Андреас Паффенхольц
построил для него модель в системе POLYMAKE. В общем случае
проблема возникла из сбивающего с толку описания полярного
многогранника в книге Бартелса [55, с. 74]. Грюнбаум и Шепард
сформулировали этот вопрос в виде задачи 3 в статье [259]. Грюн-
баум послал мне следующее электронное письмо:
Насколько я знаю, проблема все еще открыта. Я склонен верить,
что ответ отрицательный и, как только будет найден контрпример,
мы все будем говорить, насколько он очевиден.
Я с ним согласен.)
4.20. Какие подмножества в R являются элементарными полу-
алгебраическими?
4.21. Докажите, что пространство реализаций произвольного
выпуклого d -многогранника с п вершинами является элементар-
ным полуалгебраическим множеством в Rdxn.
(Для этого вложите многогранник в Rd+1 и рассмотрите макси-
мальные миноры матрицы реализации. Тогда условие, что d +1 то-
чек принадлежат одной гиперграни, эквивалентно равенству нулю
некоторого минора. Аналогично условие, что две точки находятся
по одну сторону относительно гиперграни, порожденной некото-
рым базисом, означает положительность произведения некоторых
двух определителей.)
4.22. Пусть S с Rd - полиэдральное множество, т. е. конечное
объединение выпуклых многогранников. Покажите, что существу-
ет открытое полуалгебраическое множество М с являющееся
окрестностью для F, для которого S является деформационным ре-
трактом.
(Подсказка: сначала покажите, что относительная внутренность,
а также внешность любого шара являются открытыми элементар-
ными полуалгебраическими множествами. Пересечение двух эле-
ментарных полуалгебраических множеств также является элемен-
тарным полуалгебраическим. Таким образом, множество М может
быть построено, например, удалением конечного числа малых за-
мкнутых шаров из большого открытого шара.
Задачи и упражнения
171
На рисунке множество S — объединение отрезка и границы тре-
угольника, а множество М затенено.)
4.23. В следующих задачах обсуждаются различные способы
представления планарного графа на плоскости.
1. Докажите, что вершины планарного двудольного графа могут
быть представлены как горизонтальные и вертикальные замкнутые
отрезки на плоскости, которые пересекаются тогда и только тогда,
когда соответствующие вершины смежны (Хартман, Ньюмен и Зив
[272]).
2. Докажите, что каждый планарный двудольный граф может
быть представлен при помощи непересекающихся горизонтальных
и вертикальных открытых интервалов на плоскости, которые каса-
ются тогда и только тогда, когда соответствующие вершины смеж-
ны (де Фрессе, Оссона де Мендес и Пах [429, раздел 6.3], [208]).
3*. Верно ли, что всякий планарный граф может быть пред-
ставлен как семейство таких отрезков на плоскости, что каждой
вершине соответствует отрезок и смежные вершины соответствуют
пересекающимся отрезкам?
4.24. Опишите «быстрый» алгоритм проверки 3-многогранни-
ков на комбинаторную эквивалентность.
Для этого можно считать, что комбинаторная структура зада-
на матрицами инцидентности вершин и гиперграней многогранни-
ков. По ним можно построить графы. Далее можно использовать тот
172
Глава 4. Теорема Штейница для трехмерных многогранников
факт, что изоморфизм планарных графов может быть проверен «за
линейное время», как показали Хопкрофт и Вонг [283].
(Теоретическое обоснование идеи быстрых алгоритмов дает
теория полиномиальных алгоритмов и NP-полноты, см. книгу Гей-
ри и Джонсона [223]. Вопрос, существует ли полиномиальный ал-
горитм для проверки изоморфизма графов общего вида, являет-
ся одной из знаменитых открытых проблем в этой теории [223,
с. 155-158].)
4.25* . Простое плоское представление трехмерного многогран-
ника можно получить «разрезанием» его поверхности вдоль некото-
рого дерева его графа, если выложить затем полученную структуру
на плоскость. Так мы получаем реберную развертку трехмерного
многогранника. На следующих рисунках изображены реберные раз-
вертки симметричной четырехугольной пирамиды, «не столь сим-
метричной» четырехугольной пирамиды и симметричного куба.
Не каждый способ разрезать трехмерный многогранник приводит
к настоящей реберной развертке без самопересечений. Например,
следующий рисунок показывает «плохой» способ разворачивания
многогранника, комбинаторно эквивалентного кубу.
Верно ли, что всякий 3-многогранник может быть представлен
плоской реберной разверткой без самопересечений?
(Эта задача появляется в работе Шепарда [496], см. также [168,
задача В21]. Реберные развертки трехмерных многогранников де-
Задачи и упражнения
173
тально изучал Александров [II]1. Комбинаторно различные трех-
мерные многогранники могут иметь одинаковые реберные разверт-
ки, т. е. мы не можем в полном смысле «представлять» многогран-
ники как развертки. Пример таких равных реберных разверток был
дан Шепардом [496]. Другой удивительный факт на эту тему мож-
но найти в работе Намики, Матсуи и Фукуды [420]: даже тетраэдр
может иметь самопересекающуюся реберную развертку!2.
4.26* . Охарактеризуйте графы четырехмерных многогранников.
1 В действительности А. Д. Александров изучал класс всех разверток, изометрич-
ных данному многограннику, а не только реберных. Более того, он включал в по-
нятие развертки не только совокупность многоугольников, из которых склеивает-
ся многогранник, но и правило отождествления сторон. В этом случае развертка
однозначно определяет выпуклый многогранник с точностью до конгруэнтности. —
Прим. ред.
2 В отечественной литературе гипотезу о существовании у всякого выпукло-
го многогранника связной несамопересекающейся реберной развертки связывают
с именем великого художника А. Дюрера, написавшего исследования по теории мно-
гогранников с помощью их разверток. Для невыпуклых многогранников гипотеза
Дюрера неверна, даже если все грани многогранника суть выпуклые многоуголь-
ники. Более того, недавно Алексей Глазырин и Алексей Тарасов (Глазырин А. А.,
Тарасов А. С. Анти-Дюрер гипотеза для невыпуклых многогранников // УМН. Т. 64,
вып. 3(387). 2009. С. 179—180) доказали так называемую «анти-Дюрер» гипотезу,
предложенную Н. П. Долбилиным, а именно: для любого целого числа к > 0 найдется
многогранник, гомеоморфный сфере, с выпуклыми гранями, у которого любая неса-
мопересекающаяся реберная развертка состоит не менее чем из к кусков. Обозначим
через т минимальное такое число, что для любого выпуклого многогранника имеется
реберная несамопересекающаяся развертка из т кусков. В терминах т выскажем «аль-
тернативную гипотезу». Верно одно из двух: либо т = 1, либо т = оо. —Прим. ред.
Глава 5
Диаграммы Шлегеля четырехмерных
многогранников
После того как мы разобрались в комбинаторике трехмерных
многогранников (не так ли?), следующим шагом является иссле-
дование четырехмерных. Воспринимать их сложнее, так как у нас
(точнее, у большинства из нас) нет геометрической интуиции че-
тырехмерного евклидова пространства. Тем не менее, для этой цели
нам доступны различные средства. Наиболее известным из них яв-
ляется «диаграмма Шлегеля» многогранника, представляющая со-
бой полиэдральный комплекс, который заключает в себе большую
часть информации о геометрии четырехмерного многогранника.
Мы довольно подробно обсудим полиэдральные комплексы (они
нам понадобятся и для других целей), а затем перейдем к обсужде-
нию диаграмм Шлегеля и некоторых связанных с ними «ловушек».
§ 5.1. Полиэдральные комплексы
Определение 5.1. Полиэдральный комплекс — это такой ко-
нечный набор полиэдров в Rd, что
1) пустой полиэдр принадлежит
2) если Р е % то все грани полиэдра Р тоже принадлежат
3) пересечение Р П Q двух полиэдров Р, Q G является гранью
как полиэдра Р, так и полиэдра Q.
Размерность dim(^)—это наибольшая размерность полиэдра
из Множество |^| := |J Р называется телом (а также полиэд-
ром) комплекса
В наших лекциях мы будем рассматривать почти исключительно
полиэдральные комплексы, состоящие из многогранников, поэто-
му в дальнейшем, если не оговорено противное, полиэдральными
комплексами мы называем комплексы, состоящие из ограниченных
многогранников1.
1 В английском оригинале этому случаю отвечает термин «polytopal complex». —
Прим, перев.
§ 5.1. Полиэдральные комплексы
175
На рисунке показан полиэдральный комплекс размерности 2,
содержащий пустой многогранник, 9 нульмерных многогранников
(вершин), 11 одномерных многогранников (ребер) и два двумер-
ных многогранника (треугольник и четырехугольник).
Иногда мы можем отождествлять полиэдральный комплекс Ч,
с его телом |V|. Например, это имеет смысл для многогранника,
так как мы можем восстановить весь набор граней, зная только
множество точек, образующих многогранник Р. Однако на самом
деле нас чаще всего (см. ниже) интересуют подразбиения много-
гранников и полиэдральные комплексы, и в таком случае комплекс
Ч? содержит важную дополнительную информацию, которую нельзя
восстановить только из тела |^|.
Комбинаторная структура полиэдрального комплекса описы-
вается его частично упорядоченным множеством граней L(^) :=
:= (<#, £) — конечным множеством многогранников из 5^, упорядо-
ченных по вложению. Для полиэдрального комплекса мы можем
найти размерность каждого многогранника, зная ранговую функ-
цию частично упорядоченного множества граней: dim(F) = r(F) — 1
для F G Мы будем говорить, что два полиэдральных комплекса
комбинаторно эквивалентны, если соответствующие им частично
упорядоченные множества граней изоморфны как частично упоря-
доченные множества.
На рисунке показано частично упорядоченное множество L(^o)
приведенного выше комплекса ^0. Отметим, что L(^) не имеет
176
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
единственного максимального элемента, если не является ком-
плексом всех граней одного-единственного выпуклого многогран-
ника. Таким образом, в общем случае L(C) не является решеткой
(хотя это множество является конечной нижней полурешеткой:
в нем есть минимальный элемент, а также существуют инфимумы).
Если мы присоединим искусственный максимальный элемент 1, то
получится решетка
L(^) :=L(tf)U{l}.
Отображениями /:<£->& полиэдральных комплексов называ-
ются отображения /: |^| —> |©|, являющиеся аффинными на каж-
дом многограннике из <#. Два комплекса являются аффинно изо-
морфными, если существует отображение f: которое явля-
ется биекцией между и @ = {/(F): F G ^}. Эквивалентно, отобра-
жение f должно быть такой биекцией между телами комплекса, что
для каждого многогранника F G его образ /(F) является много-
гранником в ©. Подкомплексом полиэдрального комплекса называ-
ется подмножество с , которое само является полиэдральным
комплексом.
Пример 5.2. Пусть Р — многогранник.
1. Комплексом ^(Р) многогранника Р называется комплекс всех
его граней. Частично упорядоченным множеством граней комплек-
са ^(Р) является решетка граней L(P).
2. Граничным комплексом ^(ЭР) многогранника Р называется
подкомплекс комплекса ^(Р), состоящий из всех собственных гра-
ней многогранника Р. Таким образом, его телом является
|^(ЭР)| = 8Р = Р\ relint(P).
Частично упорядоченным множеством граней этого комплекса яв-
ляется множество
L(8P) :=L(P)\{P}.
3. (Полиэдральным) подразбиением многогранника Р называет-
ся полиэдральный комплекс у которого телом является много-
гранник Р: | <# | = Р. Подразбиение является триангуляцией, если все
многогранники в являются симплексами. В частности, особый
интерес представляют подразбиения и триангуляции без новых вер-
шин, т. е. такие комплексы, у которых все нульмерные многогран-
ники являются вершинами многогранника Р.
§ 5.1. Полиэдральные комплексы
177
На иллюстрациях показаны (слева направо) соответственно по-
лиэдральное подразбиение шестиугольника, подразбиение без но-
вых вершин, триангуляция и триангуляция без новых вершин.
Изучению подразбиений многогранников в последнее время уде-
ляется много внимания, так как они имеют большое количество при-
ложений, которые простираются от теории обобщенных гипергео-
метрических функций (начатой Гельфандом [228]) до теории сплай-
нов и вопросов вычислительной геометрии. Мы советуем ознако-
миться, например, с работами Биллеры [69], Эдельсбруннера [190],
Паха [431], Гельфанда, Капранова и Зелевинского [232], Ли [354,
357], а также с работами, на которые ссылаются эти авторы.
Основным и центральным понятием является понятие «регуляр-
ных» подразбиений.
Определение 5.3. Подразбиение многогранника Q с Rd на-
зывается регулярным, если и только если оно возникает из некото-
рого многогранника Р с Rd+1 следующим образом.
1. Многогранник Q является образом я(Р) = Q многогранника
Р при канонической проекции
которая «удаляет последнюю координату».
2. Подразбиение является множеством всех нижних граней
многогранника Р, проектируемых на Q, т. е.
<# = {л(Р): F является нижней гранью многогранника Р},
где нижними называются грани F многогранника Р, которые удо-
влетворяют условию х — Aed+1 $ Р для каждой точки х G F и любого
А > 0. Эквивалентным образом (по лемме Фаркаша), нижними яв-
ляются грани многогранника Р вида
F = {х G Р: сх = с0}, сх $ с0 верно для Р, cd+1 < 0.
Другими словами, Ч? — это семейство всех граней многогран-
ника Р, которые можно увидеть из точки — Ted+1 для достаточно
больших Т—* оо.
178
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
Если проекция многогранников я: Р —> Q задана, то мы будем
обозначать подразбиение многогранника Q, определяемое усло-
вием 2, через EP(Q).
Для d = 1 (подразбиение отрезка Q) это выглядит, как показано
на рисунке, где нижние грани многогранника Р (4 вершины и 3
ребра) выделены жирными линиями:
Рисунок предлагает переформулировку: регулярные подразбиения
возникают из кусочно линейных выпуклых функций следующим об-
разом. Для заданной проекции л: Р —> Q функция
f (х) = minjy G R:
является кусочно линейной и выпуклой. (Функция f: Q —* R называ-
ется кусочно линейной, если Q можно представить в виде конечного
объединения многогранников, на каждом из которых она является
линейной.) Чтобы сделать обратный переход, заметим, что каждая
кусочно линейная выпуклая функция на многограннике Q опреде-
ляет проекцию многогранников, если положить
Кх А
. : х G Q
f (х)у
Проекция нижней границы этого многогранника Р определяет ре-
гулярное подразбиение многогранника Q.
Ясно, что любое подразбиение отрезка (d = 1) является регу-
лярным. Для d = 2 это по-прежнему верно для подразбиений без
внутренних точек, т. е. все подразбиения выпуклого n-угольника без
новых вершин являются регулярными (см. упражнение 5.0).
Пример 5.4. Для набора целых чисел zlf..., zd 1 назовем шта-
белем кубов ^(sj, ...,zd) полиэдральный комплекс, образованный
§ 5.1. Полиэдральные комплексы
179
единичными кубами с целочисленными вершинами, находящимися
внутри d-ящика
B(zlt ...,zd) :={xeRd:0^ х, $ zf для 1 i d},
т. е. полиэдральный комплекс, образованный множеством кубов
С(къ ...,kd) = {хе Rd: к, $ х, =$ к, +1}
для целых чисел кь 0 $ < zb вместе со всеми их гранями. Наш
рисунок иллюстрирует штабели кубов 4) и &>3 (6,4,3).
0*2 (6,4)
В частности, штабель кубов ...,sd) имеет + l)...(sd + 1)
вершин, которые можно описать как
vert(^d(Zj, ...,zd)) = B(zb..., zd)nZd.
Штабель кубов является регулярным подразбиением d-ящика B(zlf...
...,zd). Это следует из того, что штабель является «произведением»
(см. упражнение 5.4) одномерных регулярных подразбиений. В част-
ности, все выпуклые функции вида
/:Kd—»R, x^/(x)=/1(x1) + ...+/d(xd)
для выпуклых функций fi задают подходящие многогранники
~ f ( v А л
^d+iC&b ---’Zd) •= convj L(u) I • v e B(zlt ...,zd^Zd
Канонический способ выбора функции f состоит в том, чтобы взять
У(х) =*i +... +xd = ||х||2. На рисунке мы проиллюстрировали кон-
струкцию трехмерного многогранника &*3 (6,4).
180
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
В заключение этого параграфа мы приводим следующее изображе-
ние в качестве примера подразбиения, которое не является регуляр-
ным. Чтобы увидеть это, заметим, что мы можем предположить, что
/(и4) = /(и5) = /(v6) = 0 для трех внутренних вершин (этого можно
добиться, вычитая из f линейную функцию), и тогда мы получаем
цикл условий f (vj > f (и2) > /(v3) > Aui) ДОЯ тРех внешних вершин.
Отметим, что подразбиение SP(Q) несет в себе много информации
о многограннике Р, но по существу в EP(Q) мы «видим только поло-
вину многогранника Р». Теперь мы «посмотрим поближе» — чтобы
«увидеть больше».
§ 5.2. Диаграммы Шлегеля
Чтобы «посмотреть поближе» на многогранник, мы выберем
точку обзора yF над гипергранью F (см. определение понятия «над»
в §3.1) и будем использовать гипергрань F как «проекционный
экран» для всего, что мы «видим» за ней.
Определение 5.5. Пусть P — d-многогранник в Rd, и пусть F G
gL(P) — гипергрань многогранника Р, определяемая верным нера-
§ 5.2. Диаграммы Шлегеля
181
венством ax^z. Мы обозначим через
Н := aff(F) = {х e Rd: ах = z}
гиперплоскость, натянутую на F. Выберем точку yF над F. Для х GP
определим
z ~ ayF
Диаграммой Шлегеля многогранника Р, отвечающей гиперграни F,
обозначаемой через ®(Р, F), называется образ при проекции р всех
собственных граней многогранника Р, отличных от F, т. е. система
множеств
®(Р, F) := {p(G): G G L(P) \ {Р, F} },
содержащаяся в гиперплоскости Н.
Отображение Р нелинейно, и в общем случае мы не можем заме-
нить в следующем утверждении слова «комбинаторно эквивалент-
ное» на «аффинно изоморфное»; см. упражнение 5.8. Сейчас мы
объясним, почему эта конструкция имеет смысл.
Утверждение 5.6. Диаграмма Шлегеля многогранника Р, отве-
чающая гиперграни F, является полиэдральным подразбиением ги-
перграни F, комбинаторно эквивалентным комплексу ^((dP) \ {F})
всех собственных граней многогранника Р, отличных от F.
Доказательство. Мы пользуемся обозначениями из определе-
ния 5.5. Для каждой грани G многогранника Р множество
CG := {yf + A(x-yf):xGG, Л^О}
является конусом с вершиной yF: действительно, ayF > ах для всех
X G Р в силу выбора точки yF.
182
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
Если G — собственная грань многогранника Р, то она содержится
в гиперплоскости
Hi = {х е Rd: atx = bj,
не проходящей через точку yF. Поэтому мы получаем, что решетка
граней комплекса CG изоморфна 1(G). Теперь если мы пересечем CG
с такой гиперплоскостью, как Н, имеющей ограниченное непустое
пересечение с CG) то мы получим, что решетка граней пересечения
изоморфна решетке граней конуса CG. Но p(G) = CG ПН (формула
для р как раз получается из этого условия), поэтому
L(G) = L(CG)=L(p(G)).
(На самом деле отображение р: G -> p(G) является проектив-
ным преобразованием, очень похожим на преобразование из § 2.6;
см. упражнение 5.8.) □
Отметим здесь одно очень важное свойство диаграмм Шлегеля:
пересечение G П dF является гранью многогранника F = |®| для всех
Ge®.
Диаграммы Шлегеля достаточно обоснованно названы в честь
математика Виктора Шлегеля [474]. Это название было закрепле-
но за ними, по-видимому, Соммервиллем в его книге 1929 г. [506].
В следующем параграфе мы приведем более общее определение
d-диаграмм, частным случаем которых являются диаграммы Шле-
геля.
Если диаграмма Шлегеля задана как полиэдральный комплекс ®,
то мы можем восстановить соответствующую гипергрань F много-
гранника Р как F = |®|. Поэтому, учитывая предложение 5.6, мы
видим, что каждая диаграмма Шлегеля ® определяет комбинатор-
ный тип многогранника Р: мы можем восстановить решетку гра-
ней многогранника Р по его диаграмме. Для этого мы восстановим
Г = |®| и получим
L(P) £ (®U{F,1}, ^),
где частичный порядок «^» определяется включением в пределах
комплекса ®, G^F тогда и только тогда, когда Ge® является гра-
нью многогранника F и 1 — искусственный максимальный элемент.
Интересным свойством диаграммы Шлегеля является то, что
она полностью описывает комбинаторную структуру d-многогран-
ника, сама являясь (d - 1)-мерным объектом, — ведь @(P,F) явля-
§ 5.2. Диаграммы Шлегеля
183
ется полиэдральным комплексом, содержащимся в (d — 1)-мерной
гиперплоскости Н = aff(F).
Это снижение размерности делает диаграммы Шлегеля особен-
но полезными в случае d = 4, где диаграмма Шлегеля 4-многогран-
ника является трехмерным полиэдральным комплексом, для кото-
рого мы имеем замечательную возможность наглядного геометри-
ческого изображения.
Чтобы проиллюстрировать, как работает конструкция Шлегеля,
мы начнем с d = 3. На следующих рисунках показаны построение
диаграммы Шлегеля и сама (двумерная) диаграмма Шлегеля для
трехмерного симплекса
где вершина в центре диаграммы представляет (единственную)
вершину тетраэдра, не лежащую в гиперграни, на которую мы
проектируем. Аналогичные рисунки для трехмерного куба выглядят
так:
Теперь рассмотрим трехмерную призму (произведение треугольни-
ка и отрезка): она имеет неизоморфные гиперграни, поэтому мы
получим различные диаграммы Шлегеля для точек, лежащих над
184
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
различными гипергранями (четырехугольником и треугольником).
Наконец, сейчас мы попытаемся построить диаграмму Шлегеля для
поднятого штабеля квадратов на большой квадратной грани, нахо-
дящейся наверху. Рисунок не является метрически корректным ни
в каком смысле — это всего лишь попытка понять геометрическую
картину. Более точно, мы переходим к диаграмме поднятого штабе-
ля кубов ^3(6,4), которая получается, если смотреть из точки «над
многогранником»:
§ 5.2. Диаграммы Шлегеля
185
Теперь мы переходим к трехмерным диаграммам 4-многогран-
ников: это все «картинки» 4-многогранников, которые у нас будут!
Вот, например, (двумерное) изображение (трехмерной) диаграммы
Шлегеля четырехмерного симплекса:
где вершина в центре диаграммы представляет (единственную)
вершину четрырехмерного симплекса, не лежащую в тетраэдре,
на который мы проектируем. А вот рисунки диаграммы Шлегеля
четырехмерного куба:
и диаграммы Шлегеля прямого произведения двух треугольников
Р = Д2Х^2:
186
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
которая представляет собой разбиение треугольной призмы на пять
треугольных призм — сравните его с нашим описанием из приме-
ра 0.5.
В завершение попытаемся схематически изобразить диаграмму
Шлегеля четырехмерного поднятого штабеля кубов ^4(2,2,2).
Хотя эта картинка чересчур схематична, на ней можно увидеть
комбинаторную структуру (диаграммы Шлегеля) 4-многогранни-
ка я3). Действительно, из диаграммы Шлегеля (сравни-
те также с трехмерным случаем) мы видим, что многогранник
^(Sp и2> *з) имеет в точности и1г2г3 + 7 гиперграней. Семь «боль-
ших гиперграней» — это большая кубическая гипергрань, лежащая
в основе диаграммы, и шесть трехмерных гиперграней, которые
сами проектируются на штабели кубов: две копии многогранни-
ка в верхней и нижней частях диаграммы, две копии
многогранника ^2(г1? гз) в передней и задней частях и две копии
многогранника ^2(и2, гз) в левой и правой частях диаграммы Шле-
геля. Между этими шестью большими гипергранями находится под-
комплекс, образованный 2qZ2z3 маленькими кубами, изоморфный
штабелю z2, я3), с которого мы начинали построение.
Убедитесь в том, что вы «видите» все это: это изображение при-
годится нам в дальнейшем (в §8.2), когда мы снова будем изучать
«поднятые штабели кубов». Недавно Афанасиадис [25] обнаружил
более интересную структуру, связанную построенными и рассмот-
ренными нами многогранниками «штабели кубов».
§ 5.3. d-диаграммы
187
§5.3. d-диаграммы
Диаграммы Шлегеля интенсивно исследовались на протяжении
двадцатого столетия. Однако никто не обращал внимания на про-
блему: не все, что «похоже» на диаграмму Шлегеля, на самом деле
ей является. (См. примечания ниже.) Теперь мы определим, что
значит «похоже».
Определение 5.7. d-диаграммой называется такое полиэдраль-
ное подразбиение © d-многогранника Р = |©| с что G П ЭР явля-
ется гранью многогранника Р для каждого Ge®.
d-диаграмма ® называется симплициальной, если |®| и все мно-
гогранники в ® являются симплексами. Диаграмма называется про-
стой, если каждая вершина многогранника |®| содержится ровно
в d различных d -многогранниках из ® и каждая из оставшихся вер-
шин комплекса ® принадлежит в точности d +1 различным d-мно-
гогранникам из ©.
Проверьте, что всякая диаграмма Шлегеля d -многогранника
является (d — 1)-диаграммой! Как и для полиэдральных комплексов,
для d-диаграмм определены частично упорядоченное множество
граней £(®) и комбинаторная эквивалентность. Так что (соглас-
но определению 5.7) (d - 1)-диаграмма Шлегеля ^iP,F) является
симплициальной (соответственно простой) тогда и только тогда,
когда многогранник Р является симплициальным (соответственно
простым). На самом деле диаграмма ® является симплициальной
тогда и только тогда, когда ее решетка граней £(®) «похожа» на
решетку граней симплициального многогранника, т. е. все нижние
интервалы [0, G] являются булевыми для G /1. Подобным образом,
диаграмма ® является простой тогда и только тогда, когда все
верхние интервалы [G, 1] являются булевыми для G/0.
Вот несколько простых примеров: диаграмма Шлегеля (тре-
угольной призмы), 2-диаграмма, не являющаяся диаграммой Шле-
геля, и полиэдральное подразбиение, которое не является 2-диа-
граммой.
188
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
Отметим, что вопрос, является ли заданная d-диаграмма диа-
граммой Шлегеля, может быть сведен к задаче линейного програм-
мирования (см. упражнение 5.2), но вопрос, является ли она комби-
наторно эквивалентной диаграмме Шлегеля, гораздо трудней. Этот
вопрос можно разделить на задачу перечисления ориентированных
матроидов сфер и задачу реализуемости ориентированных матро-
идов (см. примечания в конце этой главы). Таким образом, следу-
ющая теорема является весьма нетривиальной, но имеет тривиаль-
ное доказательство.
Теорема 5.8. Каждая 2-диаграмма комбинаторно эквивалент-
на диаграмме Шлегеля.
Доказательство. Простое комбинаторное рассуждение пока-
зывает, что граф каждой 2-диаграммы является 3-связным (он про-
стой и планарный по построению). Поэтому теорема следует из тео-
ремы Штейница 4.1 и конструкции диаграммы Шлегеля трехмерных
многогранников. □
Утверждение 5.9. Если диаграмма @ является диаграммой Шле-
геля, то Q есть регулярное подразбиение многогранника F = |©|. Об-
ратное верно, когда F — симплекс, но не в общем случае.
Мы опускаем доказательство — см. упражнения 5.2 (2) и 5.7.
Есть и другие свойства, отличающие диаграммы Шлегеля от
некоторых нешлегелевых диаграмм. Например, пусть — d-диа-
грамма, и пусть L — «восстановленная» решетка граней (d +1)-мно-
гогранника Р, если он существует. Тогда комбинаторная информа-
ция о диаграмме Q содержится в паре (I, F), где F — выделенный
элемент ранга d + 1 (коатом) в L. Мы назовем диаграмму обра-
тимой, если для любого коатома F' решетки L существует d-диа-
грамма, отвечающая паре (L, F'). Мы знаем, что всякая диаграмма
Шлегеля обратима. Оказывается, часть нешлегелевых диаграмм не
являются обратимыми.
Подобным образом, мы скажем, что диаграмма 0 имеет комби-
наторно полярную диаграмму, если существует диаграмма, у кото-
рой комбинаторные данные задаются парой (Lop, А), где А — верши-
на диаграммы (отвечающая атому решетки L и поэтому коато-
му решетки Lop). Каждая диаграмма Шлегеля имеет полярную диа-
грамму (которая тоже является диаграммой Шлегеля), в то время
как некоторые нешлегелевы диаграммы имеют полярную диаграм-
му, а некоторые не имеют.
§ 5.4. Три примера
189
§ 5.4. Три примера
Примеры интересных диаграмм Шлегеля, а также 3-диаграмм,
которые не являются диаграммами Шлегеля, не так уж трудно най-
ти. В этом параграфе мы опишем три поразительно простых при-
мера, из которых два принадлежат Барнетту [47], а один взят из
работы Шульца [487]. Мы советуем также ознакомиться с рабо-
той Эвальда [201, раздел IV.4], в которой приведены «классические»
примеры Брюкнера и Барнетта (см. примечания), и работой Шуль-
ца [488], в которой имеются некоторые другие интересные кон-
струкции.
Из общей теории (а именно, при помощи техники «диаграмм
Гейла», к которым мы скоро перейдем) можно вывести, что каждая
d-диаграмма с не более чем d + 4 вершинами всегда является диа-
граммой Шлегеля. Поэтому минимальные контрпримеры, которые
можно надеяться получить, — только 3-диаграммы с 8 вершинами.
Итак, приступим: следующая конструкция дает нам 3-диаграм-
му, которая не является комбинаторно эквивалентной диаграмме
Шлегеля никакого 4-многогранника.
Пример 5.10 (3-диаграмма Шульца [487]). Мы начнем с трех-
мерного многогранника Q с 6 вершинами, занумерованными на
нашем рисунке числами 1,2,..., 6. Этот многогранник может быть
реализован следующим образом: начнем с тетраэдра и отрежем его
вершину, так что получится треугольная призма, а затем отрежем
дополнительный треугольник [2,3, 5], где 3, 5 были вершинами усе-
ченной пирамиды, а вершина с номером 2 находилась на ее ребре.
5
190
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
Теперь мы выберем дополнительные точки: точку 7 в общем поло-
жении внутри Q, но снаружи тетраэдра [2, 3,5, 6], и точку 8 над
вершиной первоначальной пирамиды, так что все гиперграни мно-
гогранника Q, кроме основания [4,5, 6], «видны» из вершины 8.
Диаграмма ©1? имеющая в основании тетраэдр G = [4, 5, 6,8],
состоит из следующих десяти трехмерных многогранников в R3 и их
граней:
А: [2,3, 5, 6, 7]— бипирамида над треугольником 357,
В,С: [1,2, 3, 7] и [4, 5,6, 7] — два тетраэдра и
D,E: [1,2,4, 5, 7] и [1,3, 4, 6, 7]—две четырехугольные пирамиды,
где В, С, D, Е вместе покрывают внутренность множества Q \ А и по-
лучаются как конусы над гранями многогранника Q с вершиной 7,
F,K,L: [1, 2,3,8], [2, 3, 5, 8] и [3, 5, 6,8] — три тетраэдра,
H,I: [1, 2,4, 5, 8], [1, 3,4,6, 8] —две четырехугольные пирамиды,
где F, К, L, Н, I вместе покрывают внутренность множества G \ Q
и получаются как конусы над гранями многогранника Q с верши-
ной 8.
Легко видеть, что это настоящая 3-диаграмма. Почему же она не
является комбинаторно эквивалентной никакой диаграмме Шлеге-
ля? Если предположить противное, то существует 4-многогранник,
у которого вершины занумерованы числами 1,2,..., 8, и диаграмма
Шлегеля комбинаторно эквивалентна
Тогда все вершины многогранника Q содержатся в объединении
двух двумерных граней [1,2,4,5] и [1,3,4, 6], которые пересекаются
по ребру [1,4]. Поэтому аффинная оболочка R := aff{1, 2, 3,4,5, 6}
вершин многогранника Q имеет размерность 3 в R4. Кроме того,
треугольники [2, 3, 5] и [3, 5,6] содержатся в R. Таким образом, две
2-грани гиперграни А лежат в R, поэтому и вся эта гипергрань долж-
на лежать в R. Тогда вершина 7 и все соседние с ней вершины со-
держатся в R с R4, что противоречит тому факту, что различные ги-
перграни должны порождать различные гиперплоскости в R4, или
лемме 3.6.
Наш следующий пример —диаграмма ^2, являющаяся диаграм-
мой Шлегеля, для которой тело F = |Э21 не может быть предписано.
Этот пример показывает, что для 4-многогранников мы не можем
предписать форму гиперграни, — в противоположность трехмерно-
му случаю, который был рассмотрен в § 4.4.
§ 5.4. Три примера
191
Пример 5.11 (первая диаграмма Барнетта [47]). Рассмотрим ди-
аграмму Шлегеля призмы над четырехугольной пирамидой I х Руг3.
Эту диаграмму можно получить из правильного куба и двух вершин
на вертикальной оси симметрии.
Теперь рассмотрим произвольную 3-диаграмму, комбинаторно
эквивалентную этой. В ней прямые, определяемые ребрами Elt Е2
и Е, принадлежат пучку прямых, т.е. либо они все параллельны,
либо имеют общую точку пересечения. Чтобы увидеть это, рассмот-
рим плоскость R = aff(Е2 UE2), определяемую прямыми Ег и Е2,
и точку ее пересечения с прямой aff(E), которая может лежать «на
бесконечности». Пользуясь тем, что aff(E иЕ^ является двумерной
плоскостью, мы получаем, что точка пересечения лежит на прямой
aff (Е U Ег) П aff (Е2 и Е2) = aff (Ej). Аналогично она должна лежать на
прямой aff(E2).
При помощи симметричных соображений для Ef, Ei+1 и Е мы видим,
что для каждой 3-диаграммы, комбинаторно эквивалентной задан-
192
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
ной, четыре прямые ЕЪЕ2,Е3,Е4 либо являются параллельными,
либо пересекаются в общей точке.
Таким образом, если мы начнем со «скошенного» комбинатор-
ного куба, который не удовлетворяет этому условию (такой куб
нетрудно получить), то мы даже не сможем достроить его до 3-диа-
граммы, изоморфной заданной. В частности, такой скошенный куб
не является гипергранью никакой призмы над четырехугольной пи-
рамидой. □
Теорему Штейница можно сформулировать следующим обра-
зом: любое «разумное» клеточное разбиение двумерной сферы (бо-
лее точно, мы можем рассматривать регулярные клеточные ком-
плексы со свойством пересечения; см. [96, раздел 4.7]) может быть
реализовано как граничный комплекс выпуклого трехмерного мно-
гогранника. Утверждение о том, что после удаления внутренно-
сти 2-грани оставшаяся часть комплекса может быть реализована
как 2-диаграмма, является более слабым.
Казалось бы, эта формулировка теоремы Штейница имеет оче-
видное обобщение на случай трехмерных сфер и четырехмерных
многогранников, но пример Шульца 5.10 показывает, что это обоб-
щение неверно. В действительности нетрудно видеть, что любая
d-диаграмма определяет «разумное» клеточное разбиение d-мерной
сферы. Таким образом, диаграмма изображает трехмерную сфе-
ру, которая может быть реализована при помощи 3-диаграммы, но
не может быть реализована как граница 4-многогранника.
Наш следующий пример показывает, что некоторые трехмер-
ные сферы вообще не могут быть реализованы даже при помощи
3-диаграмм (по крайней мере, с выделенным симплексом в каче-
стве основания).
Пример 5.12 (топологическая диаграмма Барнетта [47]). При-
мер Барнетта ®3 представляет собой «искривленную» топологиче-
скую 3-диаграмму, которая не может быть выпрямлена. Он наво-
дит на мысль, что не следует ожидать эффективного комбинаторно-
го описания d-диаграмм и диаграмм Шлегеля.
Чтобы построить этот пример, мы начнем с тетраэдра Т3. Внутрь
этого тетраэдра мы вклеим подразбиение четырехугольника Q2,
как показано на нашем рисунке, таким образом, чтобы граница че-
тырехугольника Е19 Е2, Е3, Е4 отождествлялась с циклом, образован-
ным четырьмя ребрами Е19 Е2, Е3, Е4 на границе тетраэдра, а внут-
ренность четырехугольника Q2 отображалась во внутренность тет-
Примечания
193
раэдра Т3 вдоль искривленной поверхности (которую можно себе
представлять как мыльную пленку, натянутую на четыре ребра Ef).
Искривленный четырехугольник разбивает внутренность тетраэдра
Т3 на две части, имеющие форму трехмерных клеток. В каждую из
них мы поместим новую вершину и затем произведем «звездное
подразбиение»: каждую вершину соединим со всеми гранями на
границе соответствующей 3-клетки, так что каждая 3-клетка заме-
нится (топологическими) пирамидами над четырьмя треугольника-
ми и двумя четырехугольниками, а также их гранями.
Но эта «топологическая 3-диаграмма» не является реализуемой.
Действительно, любые две реализации тетраэдра эквивалентны.
Теперь попробуем реализовать четырехугольники F2 и F4 из Q2 при
помощи плоских выпуклых четырехугольников. Тогда плоскость
Н2 :=aff(F2) содержит Е2 и (единственную) точку на Е4. Анало-
гично плоскость Н4 := aff(F4) содержит Е4 и точку на Е2. Таким
образом, пересечение Н2ПН4 соединяет точку на ребре Е2 с точкой
на ребре Е4. Это значит, что четыре вершины грани F2 находятся не
в выпуклом положении в тетраэдре Т3. □
Примечания
Диаграммы Шлегеля — это наиболее непосредственное и, веро-
ятно, наиболее эффективное средство изображения четырехмер-
ных объектов. Конечно, чтобы развить геометрическую интуицию,
необходима некоторая тренировка. Не смущайтесь и не давайте
себя разубедить даже утверждениями вроде следующего.
Здесь, однако, может оказаться уместным предупреждение:
не пытайтесь мысленно представить себе п-мерные объекты для
п ^4. Такая попытка не только обречена на неудачу—она может
быть опасной для вашего психического здоровья. (Если вам это
удалось, вы попали в беду.) Говорить об п-мерной геометрии для
п 4 означает просто говорить о некоторой части алгебры.
(Хватал [158, с. 252])
194
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
Это не так, и даже Хватал признает тот факт, что соответствие
между интуитивными геометрическими понятиями и алгебраиче-
ским аппаратом может быть использовано в обоих направлениях
[158, с. 250].
Техника диаграмм Шлегеля широко использовалась уже в нача-
ле XX в. в работе Брюкнера [137], в которой, правда, не делалось
различия между диаграммами Шлегеля и 3-диаграммами.
Имеются также примеры симплициалъных 3-диаграмм, не яв-
ляющихся диаграммами Шлегеля и даже не комбинаторно эквива-
лентных им. Первый такой пример был описан в кратком обзоре
Грюнбаума [251], в котором эта тема была открыта для обсужде-
ния. Первая нешлегелева 3-диаграмма с 8 вершинами была найдена
Грюнбаумом и Сридхараном [260], которые показали, что, вопреки
мнению Брюкнера, одна из его 3-диаграмм не представляет ком-
бинаторный тип никакого 4-многогранника. Этот пример сейчас
известен как сфера Брюкнера [252, с. 222]. Второй пример симпли-
циальной 3-диаграммы, которая не является комбинаторно эквива-
лентной диаграмме Шлегеля, — сфера Барнетта — был найден Бар-
неттом [39] немного позднее. Существуют также трехмерные сим-
плициальные сферы, которые могут быть представлены топологи-
ческими диаграммами (как в нашем примере 5.12), но не прямоли-
нейными. Оба типа примеров замечательно представлены в книге
Эвальда [201, разделы IV. 4 и IV. 5].
Оказывается, при d 3 каждая простая d-диаграмма является
диаграммой Шлегеля некоторого (d 4-1)-мерного многогранника.
Таким образом, имеются также утверждения, верные в трехмер-
ном пространстве, но не выполняющиеся в размерности два. Этот
факт был доказан Уайтли [563] и, даже в более сильной форме,
Рыбниковым [470]. (Они рассматривают довольно общую поста-
новку «поднятия», см. работы Крапо и Уайтли [165,166,167].) Более
ранние результаты Дэвиса [180] и Ауренхаммера [26] не включа-
ли «граничные» условия, создающие дополнительные ограничения
(как в упражнении 5.7).
Полное перечисление всех симплициальных 4-многогранников
с 8 вершинами провели Грюнбаум и Сридхаран в своей работе [260]
(они исправили более раннюю попытку Брюкнера [137]). Они также
предъявили первый пример смежностного многогранника, не явля-
ющегося циклическим, тем самым опровергнув гипотезу Моцкина
[415, 220]. (В упражнении 6.15 вы построите этот пример самосто-
Примечания
195
ятельно!) Задаче классификации трехмерных сфер (как реализуе-
мых, так и не реализуемых в виде границ многогранников) с «ма-
лым» числом вершин посвящены работы Грюнбаума и Сридхарана
[260], Барнетта [43] и Альтшулера, Боковски и Штейнберга [16]. Об-
щий подход к решению (сложных) алгоритмических вопросов, воз-
никающих в этом контексте, был развит Боковски и Штурмфельсом
[117, 118] с использованием теории ориентированных матроидов,
с которыми мы скоро встретимся.
Первые примеры многогранников, у которых форма гиперграни
не может быть предписана, были построены Барнеттом и Грюнбау-
мом в работе [52] (8-многогранник с 12 вершинами; см. также [252,
с. 96]) и затем Барнеттом в работе [43] (четырехмерный многогран-
ник с 13 вершинами). Многогранник с минимальным числом вер-
шин был найден Кляйншмидтом в работе [332]: он придумал при-
мер четырехмерного многогранника с 8 вершинами и 15 гипергра-
нями. Этот многогранник обладает дополнительным свойством: все
остальные его гиперграни являются симплициальными многогран-
никами (тетраэдрами). Мы рассмотрим его в гл.6 (для этого нам
потребуются другие методы), в которой мы также предложим дру-
гой подход к примеру 5.11. Недавно выяснилось, что форма 2-грани
4-многогранника не может быть предписана (см. упражнение 5.11).
До сих пор неизвестно, можно ли предписать форму гиперграни
простого 4-многогранника (задача 6.17 (2)*).
До полного понимания структуры d-диаграмм (даже в частном
случае d = 3) пока еще далеко. Большое количество интересных ком-
бинаторных и алгебраических проблем возникает при изучении сле-
дующего общего вопроса: «Какие структуры могут быть прямолиней-
но расположены в вещественном пространстве?». При помощи неко-
торых фундаментальных лемм Бинга [80] и Уайтхеда [560], которые
мы вскоре увидим в действии в примере 8.9, можно показать, что
этот вопрос на самом деле эквивалентен вопросу «Какие структуры
могут быть подструктурами в d-диаграммах?» Мы бы хотели обратить
внимание читателя на статью в справочнике Брема и Вильса [130].
Отступая в сторону, заметим, что каждая диаграмма Шлегеля
®(С4(п)л, F) многогранника, полярного к циклическому, имеет сле-
дующее свойство: она дает простую конфигурацию п различных
трехмерных многогранников, из которых каждые два пересекают-
ся по общей гиперграни. Такие конфигурации неоднократно стро-
ились «вручную» Титцем [542, 543] Безиковичем [66], Радо [449],
196
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
Дьюдни и Ранчем [184], мной [573] и другими, и они опроверга-
ют трехмерную версию пресловутой «теоремы о четырех красках».
Действительно, диаграмма Шлегеля ^(С4(п)Л) показывает, что лю-
бое количество регулярных выпуклых областей могут быть попарно
смежными, поэтому никакого конечного количества красок не хва-
тит для того, чтобы раскрасить области простых 3-диаграмм. См.
также обсуждение в книге Грюнбаума [252, раздел 7.4], в работе
Данцера, Грюнбаума и Кли [177], а также в книге [168, задача Е7].
Большое внимание привлекла связанная с этим задача о том,
сколько симплексов могут быть попарно смежными в : см. работы
Перлеса [436] и Закса [571], а также ссылки в них. Названия этих
двух статей говорят нам об известных верхних оценках, а упражне-
ние 5.12 — о нижней, которая предположительно является наилуч-
шей.
Задачи и упражнения
5.0. Докажите, что любое полиэдральное подразбиение много-
угольника без новых вершин является регулярным.
5.1. Покажите, что у следующего многогранника («призмы с шап-
кой») существует нерегулярная триангуляция без новых вершин
(Кляйншмидт и Ли; см. работу Ли [357, раздел 6]).
5.2. Пусть — произвольное полиэдральное подразбиение d-мер-
ного многогранника, лежащего в Rd.
1. Покажите, что вопрос о том, является ли регулярным, мож-
но свести к задаче совместности из линейного программирования.
Как избавиться от строгих неравенств, которые при этом возникают?
2. Пусть ^—диаграмма Шлегеля. Покажите, что она может
быть получена из конструкции «нижних граней», как в определе-
нии 5.3.
Задачи и упражнения
197
(Используйте проективное преобразование, которое переводит
точку yF «на бесконечность»; ср. с упражнением 2.18.)
3. Покажите, что если —d-диаграмма, то вопрос о том, яв-
ляется ли она диаграммой Шлегеля, также можно свести к задаче
совместности из линейного программирования.
5.3. Постройте примеры многогранников, имеющих нерегуляр-
ные триангуляции без новых вершин.
1. Докажите, что четырехмерный куб С4 имеет нерегулярные
триангуляции без новых вершин.
(Долгое время вопрос о том, имеет ли куб Cd нерегулярные три-
ангуляции для любого d, являлся открытой проблемой. В работе
[182] Де Лоэра показал, что такие триангуляции существуют даже
с 24 максимальными симплексами, каждый из которых имеет объ-
1 .
ем 4|.)
2. Докажите,что при d 9 второй гиперсимплекс Ad_1(2) имеет
нерегулярные триангуляции без новых вершин.
(Они были построены комбинаторными методами Де Лоэра,
Штурмфельсом и Томасом [183]; в силу предыдущего упражне-
ния 5.2 (1) можно использовать для решения этой задачи компью-
тер. Особенно это может быть полезно в следующих двух пунктах,
из которых второй является нерешенной проблемой.)
3. Могут ли произведения двух симплексов х An-1 иметь
нерегулярные триангуляции?
(Ответ: могут. Пример —Д3 х Д3, см. работу Де Лоэра [182].)
4*. Рассмотрим триангуляции квадрата [0, и]2 с множеством
вершин {0,1,..., п} х {0,1,..., и}. Оцените числа /(и) и freg(n) всех
триангуляций и соответственно всех регулярных триангуляций.
(Сравните свой результат с оценками из работы [298].) Верно ли,
что «большинство» триангуляций нерегулярны при больших и, т. е.
/reg(n) п э
что отношение стремится к 0 при и —> оо?
5.4. Определите произведение двух полиэдральных комплексов
таким образом, чтобы произведение подразбиений двух многогран-
ников Р и Q являлось подразбиением многогранника Р х Q.
Докажите, что такое подразбиение произведения многогранни-
ков является регулярным тогда и только тогда, когда первоначаль-
ные подразбиения многогранников Р и Q были регулярными.
5.5. Вычислите числа fk граней размерности к многогранника
^(И!,^,^).
198
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
5.6. «По умолчанию» выпуклая функция задана как функция,
определяющая параболоид,
d
i=l
Пусть V с Rd — конечное множество точек (вершин). Покажите,
что регулярное подразбиение многогранника Q :=conv(V), соответ-
ствующее функции /, обладает следующим свойством: для каждой
гиперграни подразбиения существует сфера, содержащая все ее
вершины и не содержащая никаких других вершин из множества V.
(Это подразбиение известно как триангуляция Делоне множе-
ства точек V. Оно имеет большое значение для разных аспектов
вычислительной геометрии; см., например, работу Эдельсбруннера
[190].)
5.7. Покажите, что следующая 2-диаграмма является регуляр-
ной, но не является диаграммой Шлегеля.
5.8. Покажите, что, вообще говоря, полиэдральный комплекс
(ЭР) \ {F} и диаграмма Шлегеля ®(Р, F) не являются аффинно изо-
морфными. (Для этого достаточно рассмотреть трехмерный куб!)
Тем не менее, покажите, что отображение р: G —>p(G) является
проективным преобразованием для всех собственных граней G.
5.9. Постройте диаграмму Шлегеля многогранника
Р = (Д2 X Д2)д,
полярного к произведению двух треугольников.
Постройте диаграммы Шлегеля для циклических многогранни-
ков С3(6) и С4(7).
5.10* . Найдите наименьшее число /(d) симплексов размерности
d, достаточное для триангуляции d-куба.
Благодаря результатам Хагеса и Андерсона [285, 287, 286, 288],
а также Хэймена [267] мы знаем, что /(2) = 2, /(3) = 5, /(4) = 16,
/(5) = 67, /(6) = 308, /(7) = 1493 и 5522 ^/(8) $ 11944.
Задачи и упражнения
199
Для больших d наилучшую до сих пор нижнюю оценку числа
/(d) дает метод Смита [505], в котором используются оценки объе-
ма в гиперболической геометрии.
Верно ли, что минимальное число всегда достигается (только)
на триангуляциях без новых вершин?
Какое минимальное число симплексов достаточно для триангу-
ляции любого 0/1-многогранника? Верно ли, что оно равно мини-
мальному числу симплексов, необходимому для триангуляции куба?
(«Эффективные» триангуляции d-мерных кубов с небольшим
числом гиперграней многократно исследовались, например, с це-
лью применения их в методе конечных элементов для численного
решения дифференциальных уравнений. Поэтому о таких триангу-
ляциях известно довольно много. Например, известно, что асимп-
тотически нужно не более чем pdd\ симплексов при больших d для
некоторой константы р < 1. Подробнее об этом можно узнать из
работ Хэймена [267] и Тодда и Танселя [545].)
5.11. Форма 2-грани 4-многогранника не может быть предписа-
на! А именно, Рихтер-Геберт [459, с. 91], [462] предложил следую-
щую диаграмму четырехмерного многогранника X*:
Докажите, что эта диаграмма действительно является диаграм-
мой Шлегеля четырехмерного многогранника с 8 гипергранями и 12
вершинами. Докажите, что шестиугольник в основании не может
быть задан произвольным образом: три прямые, определяемые
двумя противоположными сторонами и диагональю между ними,
должны проходить через одну точку (на проективной плоскости).
(См. также упражнение 6.11.)
5.12. Покажите, что в пространстве можно так расположить
2d симплексов, что любые два из них будут смежными (т. е. их пере-
сечение имеет размерность d — 1).
5.13. Минимальная триангуляция поверхности тора имеет 7
вершин, 21 ребро и 14 треугольников. Постройте эту триангуля-
200
Глава 5. Диаграммы Шлегеля четырехмерных многогранников
цию и покажите, что она может быть вложена как подкомплекс
в ^(С7(4)), а значит, и как симплициальный комплекс в R3 (Часар
[169], Грюнбаум [252, с. 253]; см. также работы Альтшулера [14]
и Боковски и Эггерта [113]).
5.14* . Верно ли, что любая триангуляция тора может быть реа-
лизована как симплициальный комплекс в R3?
(Это классическая проблема Грюнбаума [252, с. 253], которая
все еще остается открытой. См. работы Эвальда, Кляйншмидта,
Пахнера и Шульца [203, с. 153], Альтшулера, Боковски и Шухерта
[15], а также ссылки в этих работах.)
5.15. Покажите, что любой d -мерный симплициальный ком-
плекс может быть реализован как подкомплекс симплициального
(2d + 2)-мерного многогранника и поэтому имеет прямолинейную
реализацию в качестве симплициального комплекса в R2d+1.
(Подсказка: возьмите подходящий циклический многогранник
и его диаграмму Шлегеля.)
5.16. Покажите, что существуют полиэдральные комплексы, не
являющиеся подкомплексами многогранников. А именно, покажи-
те, что подразбиение ленты Мёбиуса с 6 вершинами, 10 ребрами
и 4 гипергранями, изображенное ниже, может быть реализовано
в качестве полиэдрального комплекса в R3, но не является подком-
плексом никакого многогранника.
(Это наблюдение принадлежит Бетке, Шульцу и Вильсу [68].
В работе Барнетта [48] можно найти похожую на эту, но сим-
плициальную ленту Мёбиуса, которая служит «препятствием к по-
лиэдральности». Более того, даже не всякая триангуляция ленты
Мёбиуса может быть прямолинейно реализована в R3: см. работу
Задачи и упражнения
201
Брэма [129]. Однако конструкция диаграммы Шлегеля показывает,
что такая лента Мёбиуса не может встретиться в границе четырех-
мерного многогранника.)
5.17. Видоизмените 3-диаграмму Шульца из примера 5.10,
подразбив бипирамиду А на три тетраэдра при помощи треуголь-
ников [2, 3,6], [2, 5,6] и [2,6, 7]. Покажите, что таким образом по-
лучается новая 3-диаграмма с 8 вершинами и 12 гипергранями,
содержащая ленту Мёбиуса из предыдущего упражнения в качестве
подкомплекса.
Выведите из этого, что диаграмма также не соответствует
никакому многограннику.
Глава 6
Дуальность, диаграммы Гейла
и приложения
Перейдем к высоким размерностям: после того как мы «успеш-
но справились» с 4-многогранниками, рассмотрим многогранники
с небольшим количеством вершин, т. е. d-многогранники с «d-и-
еще-немного» вершинами. Для этого мы построим теорию дуально-
сти, которая описывает их в терминах объектов небольшой размер-
ности.
Теория дуальности (развитая Перлесом в 1960-х гг. и записан-
ная Грюнбаумом [252]) известна как теория диаграмм Гейла. Позд-
нее произошло осознание (по всей видимости, впервые это сделал
Макмаллен [394]) того, что диаграммы Гейла —это проявление ду-
альности ориентированных матроидов.
Таким образом, за конструкцией диаграмм Гейла скрывают-
ся ориентированные матроиды. Начало теории ориентированных
матроидов положили работы 1970-х гг. как минимум четырех неза-
висимых авторов, среди них Джон Фолкман, Джим Лоуренс, Роберт
Блэнд и Мишель Лас Верньяс; см. [207] и [100].
К настоящему времени ориентированные матроиды образуют
многогранную теорию, достаточно обильную, чтобы о ней писать
толстые книги [96]. Одна из целей наших лекций —дать простое
введение в несколько тем, которые помогут лучше понять много-
гранники. Ключевым моментом послужит описание относитель-
ного положения вершин в терминах цепей и коцепей, а также ду-
альность между этими двумя описаниями — дуальность ориентиро-
ванных матроидов, которая в теории многогранников проявляется
в (линейных и аффинных) диаграммах Гейла.
Итак, эта глава содержит краткое введение в курс ориентиро-
ванных матроидов. (Эта тема получит развитие в гл. 7, когда мы
будем обсуждать конфигурации гиперплоскостей и зонотопы.) Хотя
ориентированные матроиды и требуют некоторых новых понятий
и терминологии, здесь не будет ничего сверхъестественного: только
§ 6.1. Цепи и коцепи
203
не пугайтесь названий. Для дальнейшего изучения мы отсылаем
читателя к книге Бьорнера и др. [96, гл. 1].
В этой главе мы приведем несколько впечатляющих приложе-
ний диаграмм Гейла и дуальности ориентированных матроидов,
в частности
• построение нерационального 8-многогранника с 12 вершинами,
т. е. многогранника, который не может быть реализован таким
образом, чтобы все вершины имели рациональные координаты
(получено Перлесом),
• построение 5-многогранника, у которого нельзя предписать фор-
му 2-грани (новый результат1), и
• построение 24-многогранника с 28 вершинами с несвязным про-
странством реализаций.
Эти результаты «легко» получить из специальных конфигураций то-
чек в пространствах малых размерностей при помощи диаграмм
Гейла.
В заключение мы приведем «конструкцию Лоуренса» — метод,
с помощью которого свойства произвольной конфигурации точек мо-
гут быть воплощены в многогранниках. Это делает возможным до-
казать соответствующие «теоремы об универсальности», утвержда-
ющие, что пространство реализаций многогранника может быть
сколь угодно плохим, в каком смысле — будет уточнено позже.
§ 6.1. Цепи и коцепи
В этом параграфе мы полагаем, что Х = {хь ..., xj - конеч-
ное множество из п точек в аффинном пространстве Rd, например
вершины произвольного d-многогранника. Мы не требуем, чтобы все
точки были различными, но предполагаем, что аффинная оболочка
точек X совпадает со всем пространством Rd. Мы, как и ранее, будем
представлять набор X матрицей XGRdxn, когда это удобно.
Сейчас мы изучим два «дуальных» способа получения комбина-
торных данных из такого множества точек.
6.1.а. Аффинные зависимости
Аффинными зависимостями для множества точек X называются
такие векторы zeRn, что 1^ = 0 и Xz = Q. Эти векторы z образуют
1 На момент первого издания книги (1995 г.). —Прим, перев.
204
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
линейное подпространство в Rn :
a-Dep(X) := {z G Rn: Xz = 0, is = 0}.
Посмотрим на это с геометрической точки зрения. Пусть z / 0 — аф-
финная зависимость. Рассмотрим множества отрицательных и по-
ложительных координат вектора z: N(z) := {i: zt < 0} и P(z) :=
:= {i: > 0}. Мы имеем равенство
Л := 2 Zi-- 2 > 0.
ieP(z) ieW(2)
Умножая на мы получаем, что аффинная зависимость z эквива-
лентна равенству
16Р(2)
Z;
7iXi =
~zi
~xi
У>
ieN(«)
т. е.
у G conv{xf: i G P(s)} Aconv{xf: i G N(s)}
— точка, лежащая одновременно в выпуклой оболочке точек с поло-
жительными коэффициентами и в выпуклой оболочке точек с отри-
цательными коэффициентами.
Л) 3 5 5 2 (Л
Например, пусть X = п 0 п — множество вершин ше-
стиугольника '
Тогда аффинная зависимость
Г
—4
6
-4
1
МА ' 01
даст нам точку у = I I g convlxj, х3, х5} A conv{x2> х4}.
§ 6.1. Цепи и коцепи
205
В частности, нас интересуют аффинные зависимости, включа-
ющие минимально возможное множество точек из X, т. е. зависи-
мости таких непустых множеств точек, что любые их собственные
подмножества аффинно независимы.
Определим носитель вектора как набор его ненулевых компо-
нент. Тогда минимальные аффинно зависимые множества соответ-
ствуют зависимостям с носителями, минимальными по включению.
Для минимальных зависимостей несложно доказать, что сопу-С^:
i gP(z)} и conv{xf: i eN(z)} являются симплексами, относительные
внутренности которых пересекаются в единственной точке у. Та-
кие конфигурации известны как «минимальные разбиения Радона»
благодаря теореме Радона—достаточно простой, но важной лемме
теории выпуклых множеств; см. упражнение 6.0.
Несложно проверить, что любая аффинная зависимость z явля-
ется конечной суммой минимальных зависимостей z'+z" +... .
По теореме Каратеодори 1.15 (см. лемму 6.7) минимальные зависи-
мости z(l) могут быть выбраны согласованно с z, т. е. так, что j-я
компонента любого имеет тот же знак, что и или равна нулю.
И наконец, минимальные аффинные зависимости определяют кон-
фигурацию точек X с точностью до аффинной замены координат
(упражнение 6.1). Вместе эти три утверждения означают, что мини-
мальные аффинные зависимости полностью определяют структуру
конфигурации точек.
Для рассмотренного выше шестиугольника аффинную зависи-
мость можно записать как сумму
206
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
т. е. как сумму двух минимальных зависимостей, приведенных на
рисунке:
«Комбинаторную сущность» введенных понятий можно выде-
лить с помощью функции знака
sign: R -► {+, 0}, z sign(s) = 0,
если z > 0,
если z = 0,
если z < 0.
Применим функцию знака покомпонентно к векторам, и таким
образом из вектор-столбца z G R" мы получим вектор-столбец зна-
ков sign(s) € {+, -, 0}п, а из вектор-строки с G (Rn)* мы получим
вектор-строку знаков sign (с).
Определение 6.1. Пусть X = {xb ...,xn}CRd- множество из п
точек в аффинном пространстве Rd.
Знаковыми векторами множества X называются вектор-столбцы
знаков sign (г), соответствующие аффинным зависимостям точек
из X,
У (X) := {sign(z): z G Rn, Xz = 0, Iz = 0} = SIGN(a-Dep(X)),
где SIGN(U) обозначает множество {sign(x): xg U} для любого под-
множества U с Rn.
Знаковыми цепями множества X называются вектор-столбцы
знаков sign(x), соответствующие минимальным аффинным зави-
симостям точек из X. Множество знаковых цепей множества X
обозначается (X).
Например, для конфигурации из 6 точек, описанной ранее, имеем
гол
вектор
и цепи
+
о
+
+
к<М
§ 6.1. Цепи и коцепи
207
соответствующие неминимальной зависимости (отрезок [2,4] пе-
ресекает треугольник [1, 3, 5]) и двум минимальным зависимостям
(отрезок [2,4] пересекает отрезки [1,3] и [3,5] соответственно),
которые мы вычислили выше.
Таким образом, множества ^(Х) и У(Х) знаковых цепей и век-
торов являются комбинаторными данными, связанными с любой
аффинной конфигурацией точек. В дальнейшем мы получим «ду-
альные данные», называемые знаковыми коцепями и знаковыми
ковекторами. В §6.2 мы получим теоретический подход, который
показывает, что все эти четыре типа данных «эквивалентны», и при-
водит к точной формулировке «дуальности».
6.1.6. Аффинные функции
С помощью любой аффинной функции1 f на Rd вида х—>/(х) =
= сх - г, где с G (Rd)*, z G R, мы можем получить вектор-строку, ко-
торая называется вектором аффинных значений:
(Л*1), ...,/(хп)) = (cXi-и, ...,схп~и) = cX-zl.
Она содержит значения функции сх - z на точках xf множества X.
Для шестиугольника из нашего примера аффинная функция
/(х) =х1 + 2х2-3
порождает вектор аффинных значений (-3, 0,4, 6,3,-1):
Приведенный выше рисунок изображает список значений функ-
ции f (в скобках) и гиперплоскость Hf := {xg Rd: /(х) = 0} (пунк-
тирная линия).
Отметим, что множество
a-Val(X) := {сХ - zl е (Ж")*: с е (Rd)*, z <= R}
1 Аффинная функция —это линейная (неоднородная) функция. — Прим. ред.
208
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
всех векторов аффинных значений является векторным подпро-
странством в (Rn)*.
Геометрический смысл вектор-строки /(X) := сХ — zl состоит
в том, что она содержит расстояния «со знаком» от точек х(- до
ориентированной гиперплоскости Ну. Следовательно, вектор-стро-
ка знаков sign(/(X)) показывает, какие точки из X находятся в по-
ложительном полупространстве Ну \ Hf = {х G Rn: f (х) > 0} отно-
сительно гиперплоскости Hf, какие на самой этой гиперплоскости
и какие в отрицательном полупространстве относительно Hf.
К примеру, для шестиугольника и аффинной функции, описан-
ных выше, мы получим /(X) = (-3,0,4, 6,3,-1) и sign(/(X)) =
— (—, 0, +, +, +, —).
Определение 6.2. Пусть X = {хъ ...,xn}CRd-множество из п
точек в аффинном пространстве Rd.
Знаковыми ковекторами множества X называются вектор-стро-
ки знаков компонент вектора сХ — и1, соответствующие значениям
аффинных функций на точках множества X,
У*(Х) := {sign(cX - zl): с е (Rd)*, г 6 R} = SIGN(a-Val(X)).
Знаковыми коцепями множества X называются знаковые ковек-
торы с минимальными носителями. В этом случае гиперплоскость
Н = {х G Rd: сх — z = 0} порождена некоторыми точками из X. Мно-
жество всех знаковых коцепей обозначается = ^*(Х).
В частности, используя знаковые ковекторы, несложно получить
все грани многогранника conv(X). Для этого мы сопоставим каж-
дой грани Р множество вершин, не принадлежащих ей, т. е. грани
F сопоставим когранъ vert(P) \ vert(F). Аналогично мы определим
когипергранъ как множество вершин многогранника, за исключени-
ем тех, которые принадлежат одной гиперграни. Таким образом, ко-
гиперграни являются минимальными (по включению) когранями,
и все кограни —это в точности объединения когиперграней.
Слегка нарушая нормы языка, назовем вектор знаков положи-
тельным, если он неотрицательный и ненулевой, т. е. если он лежит
в {+, 0}п \ 0, и аналогично для вектор-строк знаков. Таким образом,
мы можем говорить о «положительных знаковых ковекторах», со-
ответствующих аффинным функциям, которые неотрицательны и не
равны тождественно нулю на точках нашего множества.
Следовательно, если X с Rd, то кограни многогранника conv(X)
являются носителями положительных ковекторов из У* (X). Более то-
§ 6.1. Цепи и коцепи
209
го, когиперграни многогранника conv(X) являются носителями по-
ложительных коцепей их ^*(Х). В частности, решетка граней мно-
гогранника conv(X) может быть получена из У*(Х) как множество
носителей всех положительных ковекторов, упорядоченное по вклю-
чению. Она может быть также получена и из ^*(Х), так как когра-
ни — это в точности объединения когиперграней.
Например, следующий рисунок:
показывает аффинные функции —+ 5 и -хг + х2 + 4, определяю-
щие положительные ковекторы
(+, +, 0,0, +, 4-) и (+, 4-, 0, 4-, 4-, +),
которые соответствуют кограням {1,2, 5, 6} и {1, 2,4, 5, 6}, а зна-
чит, вершине {3} и ребру {3, 4}. На самом деле ту же информацию
можно получить и из цепей (мы покажем, как определить их исходя
из коцепей, в следующем параграфе), но это не так просто.
Пример 6.3 (два октаэдра). Пусть
Л = cf = convtep -elt е2, -е2, е3, -е3}
— правильный октаэдр в R3, и пусть Р2 получается из Рт сдвигом
вершины ех в 4- ^е2. Тогда Р2 является неправильным октаэдром,
следовательно, Рг и Р2 комбинаторно эквивалентны, но не аффинно
изоморфны.
В матричном виде мы имеем
Pj = convC^) и где /1 -1 0 0 0 ОЛ = о 0 1-10 0 0 0 0 0 1-1] Р2 = conv(X2), С1 -1 0 0 0 оЛ v - | 01-10 0 Л2 “ 6 0 0 0 0 1 -1
210
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
У нас не хватит терпения, чтобы выписать все векторы и ко-
векторы. Тем не менее, мы приводим список всех коцепей. Мы не
предполагаем, что читатель сам будет проверять все досконально,
но предлагаем ему убедиться, что все это «вытекает из рисунка»
и «кажется правильным». Не так ли?
±(0 0 0 0 + -),
±(0 0 0 0 + ±(0 0 + - 0 ±(0 + 0 + 0 ±(0 + 0 + + ±(0 + + 0 0 ^(Xj): ±(0 + + 0 + ±(+ 0 + - 0 0), ±(0 + + - 0 0), ’ ±(00+-- 0), ±(0 0 + - 0 -), ±(0 + 0 + 0 +), 0< <£*(XV + 0 + + 0) (Х2). ±(0 + + 0 0 +)>
±(+ 0 0 + 0 ±(+ 0 0 + + ±(+0 + 00 ±(+ 0 + 0 + ±(+ - 0 0 0 4е)» ' ±(0 + + 0 + 0), ’ ±(+00 + 0 +), „ ±(+ 0 0 + + 0), 0:: ±(+о + оо +), ±(+ 0 + 0 + 0), ±(+ - 0 0 0 0).
Аналогично цепями будут столбцы следующих матриц, а также им
противоположные:
(+ + f+ + + 0Л
+ + 0 + + + 0
- 0 + 0 +
**(*!): 4- 1 О I 1 с , ^(X2): - 0 + + П — — —
U - -J и — — — 1о )
§ 6.2. Конфигурации векторов
211
§ 6.2. Конфигурации векторов
В § 6.1 мы обсуждали аффинные конфигурации точек в Rd, а те-
перь мы будем рассматривать линейные конфигурации векторов
в Rd+1. Переход достаточно очевиден: любой конфигурации точек
Xi в Rd (такой как вершины d-многогранника) мы сопоставим век-
торы vt := ) в Rd+1. Чтобы сохранить наше обозначение для раз-
мерности, мы введем новый параметр, называемый рангом, равный
г := d + 1. Во время перехода от аффинного случая к линейному
часто бывает удобно использовать отдельную букву г для аффин-
ного ранга (т. е. линейной размерности), который на 1 больше, чем
аффинная размерность d. Таким образом, у нас есть векторы
На самом деле в результате такой операции мы получим ацик-
лическую конфигурацию векторов
V = {v1,...,vn}cr,
характеризуемую следующими двумя свойствами (которые эквива-
лентны в силу леммы Фаркаша II).
1. Не существует неотрицательной линейной зависимости, т. е. нет
такого у^О,у/0, что Vy = O.
2. Существует такая линейная функция с G (Rr)*, что eV > О, (т. е.
cVi>0 для всех i).
Конструкция множеств знаковых цепей, векторов, коцепей и ко-
векторов работает для произвольных конфигураций векторов, не
обязательно ациклических. На самом деле линейно-алгебраические
выражения становятся немного проще в линейном случае.
Действительно, пусть V е IRrxn— матрица множества из п век-
торов в Ю этом множестве векторы могут повторяться, но мы
предполагаем, что они порождают все Rr, т. е. rank(V) = г.
212
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Пространством линейных зависимостей конфигурации векто-
ров V называется множество
Dep(V) := {v G Rn: Vv = 0} С Rn.
Это линейное подпространство в Rn размерности и - г. Знаковыми
векторами конфигурации V называются векторы семейства
У (V) := {sign(v) G {+, -, 0}n: v G Rn, Vv = 0} = SIGN(Dep(V)),
а знаковыми цепями называются знаковые векторы с минимальны-
ми непустыми носителями.
Аналогично строятся дуальные объекты. Пространство векто-
ров значений на конфигурации векторов, которое соответствует ли-
нейным функциям cg (Rr)*, строится следующим образом:
Val(V) := {eV: с G (Г)*} с (Rn)*.
Это линейное подпространство в (Rn)* размерности г. Из него мы
получаем множество знаковых ковекторов конфигурации V:
У*(Ю := {sign(cV): с G (Rr)*} = SIGN(Val(V)).
Теперь мы получаем знаковые коцепи как знаковые ковекторы с ми-
нимальными непустыми носителями: им соответствуют такие ли-
нейные функции, что векторы v G V, на которых эти функции при-
нимают нулевое значение, порождают гиперплоскость в Rr.
Заметим, что введенные определения соответствуют нашим со-
глашениям в аффинном случае (см. упражнение 6.3).
Утверждение 6.4. Пусть матрица V G Rrxn представляет по-
рождающую конфигурацию из п векторов в Rr.
Тогда Val(V) — это множество всех линейных функций, кото-
рые принимают нулевые значения на всех векторах из Dep(V),
a Dep(V) — множество всех векторов, на которых все функции из
Val(V) принимают нулевые значения.
Доказательство. Это следует из подсчета размерности:
dim(Dep(V)) = п - г и dim(Val(V)) = г
и из соотношений
(cV)v = c(Vv) = с0 = 0. □
(Если мы отождествим Rn и (Rn)* с помощью стандартного ска-
лярного произведения, то по тем же соображениям Dep(V) и Val(V)
являются ортогональными дополнениями друг друга в Rn.)
§6.3. Ориентированные матроиды
213
§ 6.3. Ориентированные матроиды
В этом параграфе мы впервые встретимся с ориентированны-
ми матроидами. Чтобы сохранить увлекательность повествования
(и чтобы не напугать неуверенного читателя), мы не будем подни-
мать все завесы сразу. Так, мы пока даже не дадим строгого опре-
деления ориентированных матроидов, хотя и обещаем сделать это
в дальнейшем.
Для применения к диаграммам Гейла достаточно знать некото-
рые основные факты, касающиеся реализуемых ориентированных
матроидов, и мы приведем соответствующие доказательства, ис-
пользуя в качестве основного метода лемму Фаркаша. Общий слу-
чай аналогичен, но требует работы с большим количеством опре-
делений и с точной аксиоматикой. К настоящему моменту мы по-
лучили из теории ориентированных матроидов терминологию (на-
пример, понятия «цепь», «коцепь», «ковектор» и т. д.) и некоторые
интуитивные представления. Не следует их недооценивать.
Определение 6.5. Пусть V G Rrxn —множество векторов, по-
рождающее Rr.
Ориентированный матроид ЛС (V) множества V — это комбина-
торная структура, описываемая следующими четырьмя семейства-
ми векторов знаков:
• множество цепей ^(V),
• множество векторов У(У),
• множество коцепей ^*(V),
• множество ковекторов У* (V).
Семейства векторов знаков, которые получаются из конфигурации
векторов V таким образом, мы будем называть реализуемым ориен-
тированным матроид ом.
В дальнейшем мы будем использовать капительные символы,
например х, и, vg{+, -, 0}п или сG({+, -, 0}п)*, для обозначения
векторов (столбцов или строк) знаков.
Для простой двумерной конфигурации V мы получаем
цепи: ^(V)
векторы: У(У)
214
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
коцепи: (V) = {(0 + +), (О--), (+0-), (-0+), (+ + 0), (- - 0)},
ковекторы: У*(У) =
{(+ + +), (----), (+ + -), (--+), (+--), (- + +)/
(0 + +), (0--), (+0-), (-0+), (+ + 0), (--0), ►.
(ООО)
В этом параграфе мы сосредоточимся на следующих четырех
вопросах.
• Данные, содержащиеся в ориентированном матроиде, высоко
структурированы.
• Все четыре семейства данных ориентированного матроида эк-
вивалентны.
• Дуальность является частью структуры ориентированного мат-
роида.
• Основные операции «удаления» и «сжатия» являются дуальны-
ми операциями на ориентированных матроидах.
б.З.а. Аксиоматика
Семейства векторов знаков, составляющих ориентированный
матроид, глубоко структурированы и не являются просто случайны-
ми множествами. На самом деле они получаются следующим обра-
зом.
Для любого линейного подпространства U с Rn мы определим
оператор SIGN следующим образом:
SIGN(L7) := {sign(x): х G U} С {+, 0}п.
Существует естественный частичный порядок на множестве знаков
{+, —,0}: мы полагаем, что 0< + и 0 < -, в то время как + и -
несравнимы:
+
0
Это соответствует тому факту, что, немного изменив ненулевое чис-
ло, мы получим число того же знака, а если изначальное число рав-
но нулю, то его знак может измениться на +, на — или остаться
равным 0.
§ 6.3. Ориентированные матроиды
215
На множестве векторов знаков У с {+, 0}п мы используем
покомпонентный частичный порядок: и $ и', если и только если
щ $ для всех i. Так, например, мы имеем
(0 + 0 + 000-- + -) < (0 + - + - + 0-- + -),
но
(0 + 0 + 000-- + -) (00- + -+0-- + -)
из-за второй компоненты, в которой + 0.
Мы используем покомпонентный частичный порядок, чтобы опре-
делить оператор MIN, который выделяет все минимальные ненулевые
векторы знаков из У:
MIN(50 := {и е У \ 0: не существует такого и' < и, что и' еУ \ 0}.
Мы будем применять оператор SIGN как к вектор-строкам, так
и к вектор-столбцам. Аналогично мы применяем оператор MIN
как к вектор-строкам, так и к вектор-столбцам знаков.
С учетом этих соглашений мы можем описать данные ориенти-
рованного матроида, соответствующего V, следующим образом:
У(У) = SIGN(Dep(V)), W) = MIN(SIGN(Dep(V))) =MIN(T(V)),
y*(V) = SIGN(Val(V)), ^*(V) = MIN(SIGN(Val(V))) = MIN(y*(V)).
Более того, пространства Dep(V) и Val(V) определяют друг друга
по утверждению 6.4, таким образом, все четыре семейства данных
определяются подпространством U := Val(V). С этой точки зрения
мы говорим об «ориентированном матроиде Ж = Ж (U) подпро-
странства U с Rn». Размерность г := dim(L7) называется рангом мат-
роида Таким образом, объектом нашего изучения в §6.1 и 6.2
были векторы и цепи двух реализуемых ориентированных матрои-
дов рангов г и и - г соответственно:
= ^(Val(X)) и лГ = ^(Dep(X)).
Несложно выписать подробный список аксиом, которым удовле-
творяет любое семейство SIGN(LT). Так можно получить системы ак-
сиом для ориентированных матроидов. Мы сделаем это в гл. 7, хотя
и не сильно углубляясь в детали. На самом деле доказательства, свя-
зывающие различные системы аксиом для ориентированных мат-
роидов, требуют большого объема работы, чего мы пытаемся из-
бежать в этих лекциях (хотя эти доказательства и лежат в основе
теории матроидов; см. [96, гл. 3]).
216
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Ориентированный матроид конфигурации точек —это тонкая
модель ее геометрии. Он дает более точную информацию о конфи-
гурации векторов, чем просто матроид. (Тем, кто хочет более по-
дробно познакомиться с матроидами, мы рекомендуем книги Уэлша
[555], Уайта [557] или Оксли [430].) Можно показать, что комбина-
торная модель очень хорошо приближает «геометрическую реаль-
ность», — точно это будет сформулировано в «теореме о топологи-
ческом представлении» Лоуренса. Мы вернемся к ней в гл. 7.
Это также означает, что все основные свойства геометрии век-
торных конфигураций могут быть получены из формальных свойств
(аксиом). На самом деле существует очень мало геометрических
утверждений, которые будут верны для конфигураций векторов, но
неверны для ориентированных матроидов, и, таким образом, все,
что удовлетворяет этому свойству, вызывает интерес. (См., напри-
мер, теорему 7.20.)
6.3.6. Эквивалентность
Два набора данных «А» и «В», описывающих геометрическую
картину, эквивалентны, если любые две конфигурации с одинако-
выми данными А также имеют одинаковые данные В и наоборот.
Это означает (по существу), что можно построить данные А исходя
из данных В. Любой набор данных, который эквивалентен набору
цепей, мы будем называть ориентированным матроидом конфигу-
рации V.
Сейчас мы покажем, что все четыре семейства данных ориен-
тированного матроида из определения 6.5 эквивалентны. Для этого
нам понадобится комбинаторный аналог условия сх = 0.
Определение 6.6. Пусть хе {+, -,0}п и се ({+, -,0}п)* — два
вектора знаков. Будем говорить, что «с • х = 0», если
• для каждого i выполнено равенство ct = 0 или х( = 0
• или найдется такая пара индексов i, j, что q = xf / 0 и с; = -х;- / 0.
Для множества векторов знаков У с {+, 0}п положим
у1 := {с G ({+, -, 0}п)*: с • и = 0 для всех и е 5^},
и аналогично для множества вектор-строк.
На самом деле условие с • х = 0 выполнено в том и только том
случае, когда найдутся два таких вещественных вектора х е Rn
исе(Г)*, что sign(x) = х, sign(c) = с и сх = 0.
§ 6.3. Ориентированные матроиды
217
Например, выполнено следующее:
Г+Л
Г+Л
(+00-)
= 0, но (+00+)
/0.
При желании читатель может проверить следующие два утвер-
ждения для небольшой конфигурации из трех векторов, приведен-
ной после определения 6.5. Оба они являются фундаментальными
теоремами теории ориентированных матроидов [96, гл. 3]. Для ре-
ализуемого случая у нас не возникнет сложностей с их доказатель-
ством.
Лемма 6.7. Пусть U с Rn - векторное подпространство раз-
мерности г, и пусть ueU- вектор, для которого
sign(u) = и G SIGN(U) с {+, 0}п.
Вектор и может быть записан в виде конечной суммы и=щ+...
... +ик из к $ г векторов ut е U, для которых векторы знаков
uf := signer) меньше и и являются минимальными, т. е. uf $ и
и ufeMIN(SIGN(U)).
Доказательство. Векторы v е U, для которых вектор знаков
sign(v) покомпонентно не больше вектора sign(u), образуют поли-
эдральный конус
C(u) := {v G U: sign(v) $ sign(u)} с и.
На самом деле конус является заостренным: все векторы xgC(u)
удовлетворяют неравенству щх^ 0, причем равенство достига-
ется только при х = 0. i=1
Следовательно, множество P(u) := {х G С (и): £ щх{ = 1} явля-
ется многогранником размерности не более г — 1. По результатам
гл.1 (в том числе по теореме Каратеодори 1.15) любая точка в Р(и)
может быть записана как выпуклая комбинация не более чем г вер-
шин. После линеаризации мы получим, что и является суммой к $ г
векторов, расположенных на граничных лучах (1-гранях) конуса
С (и). В заключение заметим, что векторы знаков, расположенные
на собственных гранях конуса С (и), строго меньше, чем и, а следо-
вательно, минимальные ненулевые векторы знаков находятся в точ-
ности на граничных лучах. □
218
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Утверждение 6.8. Для любого векторного подпространства U с
с Rn имеет место равенство
(MINCSIGNCLT)))1 = (SIGN(LT))1 = SIGNCCJ1).
Доказательство. Пусть и е MIN(SIGN(LD) и с е SIGNCI/1). То-
гда существуют такие векторы и g U и с е U1, что sign(u) = и
и sign(c) = с. В силу того что си = 0, мы по определению получаем
с • и = 0. Следовательно,
(MINCSIGNCtJ)))1 з (SIGN(LT))1 2 SIGNG71).
Для того чтобы доказать обратное включение, рассмотрим с G
G {+, -, 0}п \ SIGNCLT1). Тогда условия
с G U1, sign(c) = с
представляют собой систему линейных уравнений и строгих нера-
венств, которая не имеет решений. Теперь мы используем лемму
Фаркаша следующим образом.
Запишем U в виде L7 = lin{v1,..., vr} =: lin(V) и определим мно-
жества индексов Z := {i: q = 0}, Р := {i: ct > 0} и N := {i: q < 0}.
В этих обозначениях условие c^SIGNCU1) означает, что система
неравенств и уравнений
dvk = 0
для 1 $ к $ г,
di > 0
di < 0
d, = 0
для i G Р,
для i g N,
для i G Z
не имеет решений de (Rn)*. Так как домножение решения d на лю-
бое положительное число все равно дает решение, эквивалентным
образом следующая система не имеет решений:
dvfc = 0
d^+1
d{ $ -1
d,= 0
для 1 $ к $ г,
для i е Р,
для i е N,
для i е Z.
Теперь, применяя лемму Фаркаша (утверждение 1.7, адаптирован-
ное для систем уравнений и неравенств; см. упражнение 1.6), полу-
§ 6.3. Ориентированные матроиды
219
чаем существование вектора
х = ) е Rn+r: х" 0 для i е N,
х” 0 для i е Р,
п
Vx' + Xeix" = ° и Sx"~ Zxi' < °-
i=l ieP ieN
Далее, положив и := Vx', мы получаем, что и G U и выполнено усло-
вие с • sign (и) / 0; на самом деле «с • sign (и) > 0» в очевидном смыс-
ле.
Тем самым доказано, что с (SIGN (17))х. Более того, если мы
разложим и = иг 4-... + ик в сумму минимальных векторов по лем-
ме 6.7, то получим, что ц • с / 0 для некоторого i, а это подтвержда-
ет, что с ф (MINfSIGNfCJ)))1. □
Следствие 6.9. Для любой конфигурации векторов VeRrxn че-
тыре семейства данных, описанные в определении 6.5, определяют
друг друга (мы обозначим это стрелкой —>) следующим образом:
Dep(V)-----------> векторы У(У)-------------> цепи ^(У)
Val(V)----sign > ковекторы У* (У)-—-----> коцепи ^*(У)
Таким образом, любое из четырех семейств определяет остальные
три, а значит, и ориентированный матроид yfl (У).
Доказательство. Данное следствие получается применением
утверждения 6.8 к обоим множествам Dep(V) и Val(V), которые
дуальны друг другу по утверждению 6.4. □
Таким образом, две (отмеченные) конфигурации векторов или
точек задают один и тот же ориентированный матроид, если у них
совпадают множества цепей, или (что эквивалентно) множества ко-
цепей, или множества векторов, или множества ковекторов.
б.З.в. Дуальность
Понятие дуальности пронизывает всю структуру ориентирован-
ных матроидов. На самом деле, так как векторы и ковекторы ориен-
220
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
тированного матроида М (V) определяются одинаковым образом,
как векторы знаков линейного подпространства, они удовлетворя-
ют одинаковым аксиомам (если игнорировать переход от вектор-
столбцов к вектор-строкам).
Определение 6.10. Дуальным к ориентированному матроиду^
называется ориентированный матроид ^*, для которого выполне-
ны следующие условия.
• Векторы в Л* являются ковекторами в М, и, следовательно,
цепи в являются коцепями в Ж.
• Ковекторы в М* являются векторами в М, и, следовательно,
коцепи в являются цепями в Ж.
Из нашего способа определения (реализуемых) ориентирован-
ных матроидов, очевидно, следует, что для каждого ориентирован-
ного матроида Ж существует единственный дуальный ориентиро-
ванный матроид ^*, для которого, в свою очередь, дуальным будет
Ш* = М.
Действительно, если М = Ж (У) — реализуемый матроид с подпро-
странством U CR", то Ж* = ^(£/х) для ортогонального подпро-
странства
U1 := {с G (Rn)*: сх = 0 для всех х е U}.
Таким образом, существование и единственность следуют из утвер-
ждения 6.4 (в реализуемом случае):
ЛС* = ^(Dep(V)) для Л := ^(Val(V)).
Более того, если ЛС имеет ранг г, то имеет ранг и - г, и наобо-
рот.
б.З.г. Удаление и сжатие
Существуют две естественные фундаментальные операции для
конфигурации точек: удаление и сжатие. Они дуальны друг другу
и напрямую переводятся на язык и терминологию ориентирован-
ных матроидов.
Рассмотрим конфигурацию векторов V G Rrxn, и пусть щ G V. Мы
можем удалить щ из V и получить новую конфигурацию V \ щ.
§ 6.3. Ориентированные матроиды
221
Мы можем получить векторы значений на V \ ut из векторов
значений на V простым удалением компоненты, соответствующей
Ui, в то время как зависимостями и цепями для V \ щ являются такие
зависимости и, соответственно, цепи для V, которые не включают
в себя ц (т. е. с нулевой i-й компонентой). Это доказывает следую-
щее утверждение, где мы пометим векторы из V («основное множе-
ство» для Л?(У)) элементами множества {1,..., п} и будем писать
М \ i вместо М (У \ Uj).
Утверждение 6.11. Ориентированный матроид (V) \ i кон-
фигурации V \ ц задается следующими множествами:
У(У\и<) = {V\i: v G У(У), Vi = 0}, y*(V\uf) = {c\i: с G У*(У)},
^(V\Ui.) = {v\i: ve = 0}, ^(У\ид = MIN{c\i: c G <tf*(V)}.
Дуальной к удалению является операция сжатия относительно
Up для этого мы проецируем V параллельно щ на некоторую ги-
перплоскость, которая не содержит Up Если uf = 0, то мы просто
удаляем Up
Алгебраически мы можем сделать это, выбрав такую линейную
функцию с G (Rr)*, что сщ / 0 (например, нам подойдет с := up,
и отображение
cuj
и, —> u, := u,---Up
J J j CUi 1
Это отображение дает новую конфигурацию
V/щ := {й1; йп}
в гиперплоскости {v G Rr: cv = 0}.
222
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Мы можем получить зависимости для V/щ из зависимостей для
V простым стиранием компоненты, соответствующей иь а векторы
значений для V/щ являются такими векторами значений для V,
которые обращаются в 0 на щ (т. е. имеют нулевую i-ю компоненту).
Утверждение 6.12. Ориентированный матроид Ж (V) // конфи-
гурации V/щ задается следующими множествами:
Г(У/и^ = {v \ i: vG У (V)}, У*(У/щ) = {с \ i: с G У*(V), q = 0},
Ъ (у/щ) = MIN{v \ i: v G (V) }, <#* (V \ и{) = {с \ i: с G (V), q = 0}.
Мы приведем два примера, которые показывают, как удаление
и сжатие появляются в связи с многогранниками.
Примеры 6.13. Пусть Р с Rd — многогранник, X := vert(P) —
множество его вершин, и пусть VeRrxn — соответствующая конфи-
гурация векторов в Rr (г = d +1).
Если F является гранью многогранника Р, то конфигурация век-
торов для F получается из V удалением всех вершин, которые не
лежат в F.
Если х G vert(P) с Rd - вершина многогранника Р и и е V с Rr —
соответствующий вектор, то векторной конфигурацией вершинной
фигуры Р/х будет сжатие V/и. (В этом случае гиперплоскость проек-
ции для сжатия может быть выбрана параллельной гиперплоскости,
которая порождена многогранником Р.)
Заметим, что при сжатии мы получим конфигурацию, которая
может содержать много векторов, представляющих внутренние точ-
ки вершинной фигуры. Эти точки соответствуют таким вершинам
ше vert(P), для которых отрезок [ш, и] не является ребром много-
гранника Р.
§ 6.4. Дуальные конфигурации и диаграммы Гейла
223
§ 6.4. Дуальные конфигурации и диаграммы Гейла
Заметим, что пространство Dep(V) с Rn определяет конфигура-
цию VeRrxn вектор-столбцов однозначно с точностью до замен ко-
ординат в Rr, которые соответствуют операциям над строками мат-
рицы V. Соответственно дуальное пространство Val(V) определяет
конфигурацию вектор-строк в (Rn“r)*, которая полностью задает
конфигурацию векторов V.
Теорема 6.14 (дуальная конфигурация). Пусть V GRrxn- кон-
фигурация из п векторов в Rr.
Тогда существует такая матрица G GRnx(n-r), состоящая из п
вектор-строк в (Rn-r)*, что
Val(V) = {cG(Rn)*:cG = O}
и
Dep(V) = {Gx:xeRn"r}.
Конфигурация вектор-строк матрицы G однозначно определена лю-
бым из двух условий с точностью до линейных замен координат
в (Rn“r)*, которые соответствуют операциям над столбцами мат-
рицы G.
Доказательство. Матрица GeRnx(n"r) должна удовлетворять
условиям
rank(G) = п - г и VG = О,
где О —нулевая матрица в Rrx(n“r).
С точки зрения вычислений это означает, что мы должны найти
базис в ортогональном дополнении к пространству, порожденному
строками матрицы V в (Rn)*. Проделать такие вычисления несложно:
нам необходимо привести V к нормальной форме вида V = (/r|M),
ж xn ( М А
тогда дуальную конфигурацию можно записать в виде G := I I.
Существование и единственность матрицы G с точностью до
операций над столбцами следуют из вышесказанного. □
Если мы определим пространства зависимостей и векторов зна-
чений для конфигураций вектор-строк точно так же, как и в случае
вектор-столбцов, то в соответствии с теоремой 6.1 есть, по существу,
одна такая дуальная конфигурация G, для которой
Dep(V) = Val(G) и Val(V) = Dep(G).
Приведенное ниже следствие несет дополнительную информацию
о том, что комбинаторика (в частности, цепи и коцепи) векторной
224
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
конфигурации V может быть восстановлена не только из конфигу-
рации G, но и из ее комбинаторики.
Следствие 6.15. Цепи конфигурации векторов VeRrxn являют-
ся в точности коцепями конфигурации GeRnx(jl~r\ и наоборот.
В частности, ориентированный матроид дуальной конфигура-
ции определяется ориентированным матроидом начальной конфи-
гурации; это будет дуальный ориентированный матроид
Доказательство. См. следствие 6.9 и п. б.З.в. □
В частности, отсюда следует, что дуальной к ациклической кон-
фигурации векторов будет полностью циклическая конфигурация
G = {g1, ...,gn} вектор-строк: это свойство характеризуется следую-
щими двумя свойствами (которые эквивалентны по лемме Фаркаша).
1. Не существует неотрицательного вектора значений, т. е. тако-
го вектора xeRn-r, что Gx^O и Gx/O.
2. Существует положительная зависимость, т. е. для некоторого
с > О выполнено равенство cG = 0.
Сопоставление двух описаний «полной цикличности» и соответ-
ствующих им описаний дуального понятия «ацикличности», данно-
го на с. 211, помогает понять, как осуществляется переход между
дуальными понятиями на уровне линейной алгебры.
С комбинаторной точки зрения мы получаем следующий резуль-
тат.
Следствие 6.16. Векторная конфигурация V является ацикличе-
ской, если и только выполнены следующие эквивалентные условия:
1) ^if(V) не содержит положительных знаковых цепей;
2) (+ + ...+) — знаковый ковектор матроида Ж (V);
3) любое i содержится в неотрицательной коцепи.
§ 6.4. Дуальные конфигурации и диаграммы Гейла
225
В дуальном случае конфигурация вектор-строк G является пол-
ностью циклической, если и только если выполнены следующие эк-
вивалентные условия:
1) М (G) не содержит положительных знаковых коцепей;
2)
— знаковый вектор матроида М (G);
3) любое i содержится в неотрицательной цепи.
В частности, конфигурация векторов V является ациклической
в том и только том случае, когда ее дуальная конфигурации G яв-
ляется полностью циклической, и наоборот.
Собирая вместе эти результаты, мы получаем следующее опре-
деление.
Определение 6.17 (линейные и аффинные диаграммы Гейла).
Пусть Р = conv{x1, ...,xn} — d-многогранник в Rd с п вершинами.
Диаграмма Гейла и аффинная диаграмма Гейла многогранника Р
получаются с помощью следующей последовательности операций:
d-многогранник с п вершинами (1 i п) многогранник
п векторов в Rr = Rd+1,
* (дуальность ориентированных матроидов)
п векторов gt в Rn г = Rn d 1
диаграмма Гейла
п точек (со знаками) в аффинном
(и - d - 2)-пространстве
аффинная диаграмма Гейла
При этом переход от Rd к Rd+1 осуществляется с помощью обыч-
ного вложения, используемого для линеаризации. Конфигурация,
дуальная к полученной конфигурации векторов, называется диа-
граммой Гейла многогранника Р. Она определена однозначно с точ-
ностью до замены координат.
226
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Для спуска из (Rn-d-1)* в (Rn-d-2)* мы находим такой подходя-
щий вектор у GRn-d-1, что для каждого i либо gt- = О, либо gy^o.
Затем мы сопоставляем каждой вектор-строке gt точку
Oj := —е{се (Rn-d-1)*: су = 1} = (Rn-d-2)*,
Si У
которую мы будем называть положительной точкой в аффинном
пространстве Rn-d-2, если gfy > 0, и отрицательной точкой, если
&У<0-
Это порождает аффинную диаграмму Гейла, т. е. конфигурацию
помеченных точек
{ai,--,an}CR"-d-2,
где точка помечена символом i, если она положительна, i, если
она отрицательна, и представляет собой «особую» точку в случае,
когда gj = О.
Спуск в (Rn-d-2)* не теряет комбинаторных данных: цепи и ко-
цепи полученной аффинной конфигурации точек по-прежнему пред-
ставляют цепи и коцепи многогранника Р. Как мы увидим в следую-
щем параграфе, это особенно полезно для многогранников с «неболь-
шим количеством вершин», для которых п — d мало. Сейчас мы рас-
смотрим один пример, иллюстрирующий описанный прием.
Пример 6.18. Для октаэдров из примера 6.3 мы получаем мат-
рицы
А 11 11 А
1 -1 0 0 0 0
0 0 1-10 о
ко 0 0 0 1 —1^
А 11 11 А
1 -1 0 0 0 о
j 0 1-10 о
^0 0 0 0 1 -1;
и преобразования Гейла
§ 6.4. Дуальные конфигурации и диаграммы Гейла
227
Отсюда мы сразу же можем нарисовать диаграммы Гейла (они дву-
мерны) и найти одномерные аффинные диаграммы Гейла с помощью
вектора У = ( * ) • Вот эти линейные и аффинные диаграммы Гейла:
На аффинных диаграммах Гейла черным цветом отмечены положи-
тельные точки, а белым —отрицательные.
Читателю важно понять, как восстанавливаются цепи и коцепи ок-
таэдров из их аффинных диаграмм Гейла: ему должна понравиться
очень компактная (одномерная!) запись комбинаторики трехмер-
ных геометрических объектов.
Основной метод не изменяется. А именно, с помощью аффин-
ных линейных функций мы находим векторы знаков, такие как
ГОЛ
О
+
+ ’
которые являются коцепями для обеих диаграмм Гейла, а значит,
и цепями для обоих октаэдров. Аналогично из минимальных аф-
228
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
финных зависимостей мы получаем векторы знаков, такие как
(+00 + +0),
которые являются цепями для обеих диаграмм, а следовательно, ко-
цепями для октаэдров. Единственное новое свойство состоит в том,
что нужно менять знак на противоположный для всех отрицатель-
ных точек в диаграмме.
Каждое порождающее множество
G = {gi,gn}
из и вектор-строк в (Rn~r)* может быть интерпретировано как диа-
грамма Гейла конфигурации из п векторов, которые порождают Rd.
Однако эти векторы не всегда могут быть получены с помощью
(d -1)-многогранника: конфигурация векторов может не быть «аф-
финной» (ациклической), и, даже если она такой является, эти век-
торы могут не находиться в выпуклом положении. Но существует
простое комбинаторное условие, которое характеризует диаграммы
Гейла; см. следующую теорему. Это условие важно, так как позволя-
ет сделать вывод о существовании многогранника высокой размер-
ности с заданными свойствами, если мы знаем конфигурацию точек
со знаками в малой размерности.
Теорема 6.19 (характеристическое свойство диаграмм Гейла).
Матрица G eRnx(n-r), состоящая из вектор-строк (полного ранга
п — г), является диаграммой Гейла некоторого (г — 1)-многогранни-
ка с п вершинами в том и только том случае, когда любая ее коцепь
содержит не менее двух положительных элементов.
Доказательство. Любая конфигурация G вектор-строк, кото-
рая порождает все пространство, является дуальной конфигурацией
к некоторой порождающей конфигурации векторов V в Rr. Конфи-
гурация V является ациклической, если и только если конфигура-
ция G полностью циклична, т. е. если для G не существует отрица-
тельной коцепи, а следовательно, в любой коцепи конфигурации G
есть хотя бы один положительный элемент.
Учитывая это, мы можем так изменить длины векторов конфи-
гурации V, не изменяя комбинаторики, что V станет конфигура-
цией точек в некоторой аффинной гиперплоскости Н = Rr-1 в Rr.
Точки в Н находятся в выпуклом положении, если ни одна из них
не лежит в выпуклой оболочке остальных, т. е. когда у V нет цепи
с ровно одним положительным элементом, или, другими словами,
у G нет коцепи с ровно одним положительным элементом. □
§ 6.5. Многогранники с малым числом вершин
229
Несложно перенести это условие на случай аффинных диаграмм
Гейла. Проверьте его для полученных ранее аффинных диаграмм
Гейла двух октаэдров из примера 6.18! Из этого условия следует
критерий, который очень просто проверить непосредственно в ин-
тересном случае п — d = 4; подробнее см. далее.
Следствие 6.20 (характеризация диаграмм Гейла многогранни-
ков). Конфигурация А = {а15 ...,ап} точек в (Rn“d-2)*, каждая из
которых названа «положительной» или «отрицательной», аффин-
но порождающая (Rn-d-2)*, является диаграммой Гейла d-много-
гранника с п вершинами, если и только если выполнено следующее
условие: для любой ориентированной гиперплоскости Н в (Rn“d”2)*,
порожденной точками из А, количество положительных точек из
А в положительном полупространстве относительно Н плюс коли-
чество отрицательных точек в отрицательном полупространстве
относительно Н не меньше двух,
В нашем описании мы не уделили внимания случаю «особых»
точек. Они являются коническими точками, т. е. добавление к осо-
бых точек к диаграмме G соответствует к-кратному взятию пирами-
ды над многогранником, представленным диаграммой G.
§ 6.5. Многогранники с малым числом вершин
Любой d-многогранник с d + 1 вершиной является d-симплек-
сом, с которым мы уже знакомы. В этом случае диаграмма Гейла
будет нульмерной, а следовательно, все векторы будут 0-векторами.
Рассмотрим случай d-многогранников с d + 2 вершинами. Суще-
I d2 I
ствует -т- различных комбинаторных типов таких многогранни-
„ L 4 J I d I
ков. Среди них I J являются симплициальными многогранника-
ми, а остальные — пирамидами (возможно, неоднократными) над
симплициальными многогранниками такого же вида. Случай d + 2
вершин является классическим, и его исследование можно найти
в работах Шуте [480] и Соммервилля [506], см. также книгу Грюн-
баума [252, раздел 6.1] или Эвальда [201, раздел 2.6].
Аффинные диаграммы Гейла, представляющие d-многогранни-
ки с d + 2 вершинами, являются нульмерными и могут быть пред-
ставлены «облаком» из положительных (черных), «отрицательных»
(белых) и «особых» (серых) точек. Условие следствия 6.20 требует,
чтобы среди них было хотя бы две черные и хотя бы две белые
230
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
точки. Более того, взаимозамена черных и белых точек не меняет
комбинаторного типа многогранника.
Таким образом, мы получаем следующий полный список в слу-
чае d = 3, п = 5:
представляет бипирамиду над треугольником (это симплициаль-
ный многогранник с шестью гипергранями), а
представляет пирамиду над квадратом (несимплициальный много-
гранник с 5 гипергранями).
В упражнении 6.8 читателю предлагается подобным образом про-
анализировать и классифицировать все 4-многогранники с 6 верши-
нами.
Для многогранников с d + 3 вершинами полная классификация
становится сложной, но не невозможной. Их аффиными диаграмма-
ми Гейла являются конфигурации точек со знаками на прямой. Ос-
новной проблемой является определение того, какие различные диа-
граммы представляют комбинаторно эквивалентные многогранни-
ки. Первые результаты были получены Гейлом, позже Перлес разрабо-
тал технику (диаграмм Гейла), необходимую для анализа многогран-
ников с d + 3 вершинами. Частный случай симплициальных много-
гранников был разобран Грюнбаумом [252, раздел 6.2]; классифи-
кация общего случая была завершена Мани [376] и Кляйншмидтом
[333]. Явные формулы для количества d-многогранников с d 4-3
вершинами были получены Перлесом [252] для симплициального
случая и Фьюси [217] для общего случая (он исправил ошибку, имев-
шуюся в более раннем решении Ллойда [370]). Стоит заметить, что
рассмотренные нами октаэдры имеют в точности d 4- 3 вершин при
d = 3.
У многогранников с d 4- 3 вершинами все еще нет необычных
свойств.
В заключение рассмотрим случай многогранников с d+4 вер-
шинами — порог для контрпримеров, как он был назван Штурм-
фельсом [532]. Такие многогранники можно анализировать с по-
мощью плоских конфигураций, которые могут быть произвольной
сложности. В частности, для достаточно большого d существуют
• d-многогранники с d + 4 вершинами, которые не допускают ре-
ализации с рациональными вершинами,
§ 6.5. Многогранники с малым числом вершин
231
• d-многогранники с d + 4 вершинами, для которых нельзя пред-
писать форму гиперграни,
• d-многогранники с d + 4 вершинами, для которых пространство
реализаций не является связным.
Сейчас мы обсудим подход к этим проблемам при помощи диа-
грамм Гейла.
6.5.а. Нерациональный 8-многогранник
Используя диаграммы Гейла, Перлес показал, что имеются нера-
циональные многогранники, т.е. многогранники, для которых не
существует комбинаторно эквивалентных многогранников с раци-
ональными координатами.
Пример 6.21 (Перлес [252, с. 95], [96, рис. 8.4.1]). Существует
нерациональный 8-многогранник с 12 вершинами.
Чтобы в этом убедиться, читатель может проверить, что конфи-
гурация G, приведенная на рисунке ниже, удовлетворяет следую-
щим трем свойствам.
1. Конфигурация G не может быть реализована с рациональны-
ми координатами «как матроид», т. е. не существует плоской кон-
фигурации из 12 точек с рациональными координатами, в которой
те же множества точек, что и в G, совпадают или лежат на одной
прямой. (В конструкции правильного пятиугольника присутствует
золотое сечение, поэтому он может быть реализован только с коор-
динатами из поля, содержащего У5.)
2. Конфигурация G является диаграммой Гейла 8-многогранни-
ка с 12 вершинами (проверьте это!); многогранник, представлен-
ный конфигурацией G, не может иметь только рациональные коор-
динаты.
1 5 69 2
3
4
232
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
3. Рассмотрим произвольную порождающую конфигурацию G1
из 12 точек со знаками на плоскости (аффинную диаграмму Гейла
в R2). Если G’ имеет те же положительные цепи, что и G, то три пары
точек, которые совпадают в G, должны совпадать и в G\ а тройки
и четверки точек, лежащие в G на одной прямой, в G' также должны
лежать на одной прямой, так как все они являются положительны-
ми векторами (объединениями положительных цепей).
Следовательно, и конфигурация G' не может быть реализована
с рациональными координатами.
Таким образом, G является диаграммой Гейла нерационального
многогранника Р. Если Р' — многогранник, комбинаторно эквива-
лентный Р, то его диаграмма Гейла G' имеет те же положительные
цепи, что и диаграмма Гейла G, а значит, G' и Р' также не могут быть
рациональными в соответствии с п. 3.
6.5.6. Гиперграни 4-многогранника не могут
быть предписаны
Первым, кто заметил, что, вообще говоря, нельзя предписать
форму гиперграни d-многогранника, скорее всего, был Перлес; см.
книгу Грюнбаума [252, с. 96, упражнение 3]. Пример 4-многогран-
ника с 8 вершинами, для которого нельзя предписать форму гипер-
грани, построил Кляйншмидт [332]. Это пример наименьшей раз-
мерности и с наименьшим числом вершин, так как для всех трех-
мерных многогранников и всех d-многогранников с не более чем
d + З вершинами форма любой гиперграни может быть предписана.
При d = 4 и п = 8 многогранник Кляйншмидта может быть построен
при помощи двумерной аффинной диаграммы Гейла (см. упражне-
ние 6.18). У него есть специальное свойство: все гиперграни, кроме
«плохой», являются симплициальными.
В гл. 5 мы рассмотрели «пример Барнетта» (см. пример 5.11), ко-
торый имеет минимальное количество гиперграней, а именно семь.
На самом деле если Р является призмой над пирамидой с квадрат-
ным основанием, то форма его кубоподобной грани не может быть
предписана. Пирамида над квадратом Руг3 изоморфна своему по-
лярному многограннику. Следовательно, — это бипирамида над
пирамидой с квадратным основанием, и эта бипирамида является
4-многогранником с 7 вершинами, для которого нельзя предписать
форму вершинной фигуры.
§ 6.5. Многогранники с малым числом вершин
233
В следующем примере построена диаграмма Гейла для примера
Барнетта [47]; эта диаграмма была найдена Штурмфельсом [532]
независимо от работы Барнетта.
Пример 6.22 ([532, утверждение 5.1]). Существует 4-многогран-
ник с 7 гипергранями, для которого нельзя предписать форму ги-
перграни.
Действительно, рассмотрим бипирамиду Рл над пирамидой с
квадратным основанием, заданную матрицей
v = (11 1 111 1> 10-1 000 0 0 1 0-100 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 -1; Л) 0 2 2001^ 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 0-1000 00-2-2100 (0 0 2 2 0 1 0;
из которой мы можем получить диаграмму Гейла
Заметим, что вершинная фигура в вершине 5 является октаэдром.
Ее диаграмма Гейла получается удалением из диаграммы точки 5;
она соответствует правильному октаэдру (ср. с примером 6.18).
Теперь для Рл мы видим, что пары вершин 56 и 57 являются
положительными когипергранями, а значит, точки 6 и 7 на аффин-
ной диаграмме Гейла вершинной фигуры Рл/5 должны совпадать.
Следовательно, если мы начнем с неправильного октаэдра с диа-
граммой Гейла
то он не является вершинной фигурой никакого 4-многогранника,
комбинаторно эквивалентного РЛ.
234
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
6.5.в. 2-грани 5-многогранника не могут
быть предписаны
Мы только что привели второе доказательство того, что нельзя
предписать форму гиперграни 4-многогранника.
Однако, может быть, это было неправильное обобщение трех-
мерной теоремы о возможности предписать форму гиперграни?
Может быть, можно предписать форму любой 2-грани d -много-
гранника? В первом издании этой книги такая задача для d = 4
считалась нерешенной (задача 6.11*), но теперь вы можете найти
ее в упражнении 6.11. Для d = 5 мы приведем следующий контр-
пример из первого издания. Он основан на анализе, для которого,
по существу, и были введены диаграммы Гейла. По-видимому, это
одно из первых существенных применений трехмерных аффинных
диаграмм Гейла.
Пример 6.23. Существует 5-многогранник Р с 10 гипергранями
и 12 вершинами, для которого форма 2-грани не может быть пред-
писана.
Чтобы доказать это, построим полярный многогранник Q :=РЛ,
т. е. 5-многогранник с 10 вершинами и 12 гипергранями, и про-
верим, что форма гранной фигуры (см. упражнение 2.9) одной из
2-граней не может быть предписана.
Для этого рассмотрим конфигурацию точек со знаками, задан-
ную следующим образом: вершины треугольной призмы, отмечен-
ные числами 2,3,..., 7, являются положительными точками, центры
8, 9,10 квадратных граней призмы и центр 1 всей призмы являются
отрицательными точками. На следующем рисунке показано, как мы
отметили указанные точки.
§ 6.5. Многогранники с малым числом вершин
235
Несложно задать координаты. На самом деле соответствующая
конфигурация векторов в R4 может быть задана матрицей
f-1 111111-1-1 -1Л
-1 2 2 2 0 0 0 -1 -1 -1
-2 0 0 6 0 0 6 0 -3 -3 ’
(-2 0 6 0 0 6 0 -3 -3 0>
Сейчас мы проверим факты, из которых следует необходимое нам
утверждение.
1. Данная конфигурация точек со знаками является аффинной
диаграммой Гейла 5-многогранника Q с 10 вершинами.
Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что любая ко-
цепь этой конфигурации содержит не менее двух отрицательных
и не менее двух положительных элементов.
2. Тройка (8,9,10) задает треугольник F = [8, 9,10], который
является 2-гранью 5-многогранника Q.
Точка 1 находится внутри призмы, а следовательно, точки, от-
личные от 8, 9,10, составляют положительную цепь
(+ + + + + + +000).
3. Гранная фигура Q/F является шестиугольником, диагонали
которого пересекаются в одной точке.
Действительно, мы получим аффинную диаграмму Гейла для Q/F
после удаления точек 8, 9,10 из диаграммы для Q. Но то, что оста-
нется, будет аффинной диаграммой Гейла шестиугольника [2, 6,4, 5,
3, 7], большие диагонали которого пересекаются в точке 1.
4. Многогранник Q имеет 12 гиперграней.
Гиперграни являются дополнениями к положительным цепям
диаграммы (точнее, выпуклыми оболочками соответствующих то-
236
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
чек). Все положительные цепи несложно выписать:
286, 385, 2107, 4105, 397, 496,
23157, 23167, 24156, 24167, 34156, 34157.
5. Любая диаграмма Гейла G' с теми же положительными цепя-
ми содержит диаграмму шестиугольника с диагоналями, пересека-
ющимися в одной точке.
Рассмотрим любую другую (линейную) диаграмму Гейла G' на
10 точках с теми же положительными цепями. Из цепей, содержа-
щих три вершины, мы видим, что множества 2/4/5/7/10/, 2'3/5'6/8/
и ЗЧ'б^' должны быть плоскими. Тем не менее, они не могут
выродиться на прямую, так как в этом случае вся диаграмма Гей-
ла выродится на плоскость и не сможет содержать положительных
цепей из 5 вершин. Теперь можно показать (с использованием про-
ективной единственности треугольной призмы, но здесь мы не бу-
дем приводить строгого доказательства), что в подходящей системе
координат G'V' совпадает с G\l, так как диаграмма Гейла G7 также
состоит из треугольной призмы с отмеченными центрами гипергра-
ней. Для существования приведенных выше 5-цепей необходимо,
чтобы точка 1' находилась внутри призмы. А значит, если мы рас-
смотрим диаграмму G'\{8', 9', 10'}, то она содержит 5-цепи, указан-
ные выше (и, таким образом, описывает нужный шестиугольник),
а также содержит 3-коцепи Г2'5', 1'3'6' и 1'4'7' (что означает пе-
ресечение больших диагоналей шестиугольника в точке 1', как и
требуется).
Явное геометрическое описание многогранника Р = QA дано
в упражнении 6.27.
6.5.г. Многогранники, нарушающие гипотезу
об изотопии
Как было сказано в §4.4, «пространство реализаций» много-
гранника является элементарным полуалгебраическим множеством
и элементарные полуалгебраические множества могут быть сколь
угодно сложными пространствами: они могут быть несвязными,
иметь отверстия и т. д. (см. упражнение 4.22).
Тем не менее, теорема Штейница 4.11 утверждает, что для лю-
бого трехмерного многогранника пространство реализаций ^(Р)
является стягиваемым, а следовательно, связным. (Чтобы это было
§ 6.5. Многогранники с малым числом вершин
237
так, нам понадобилось зафиксировать аффинный базис в определе-
нии 4.10 пространств реализаций, чтобы быть уверенными в том,
что «отражение» не порождает второй компоненты пространства
реализаций.)
Другими словами, для двух заданных трехмерных многогранни-
ков одного комбинаторного типа и ориентации существует такая
непрерывная деформация одного из них в другой, что любой про-
межуточный объект является трехмерным многогранником того же
комбинаторного типа. Используя диаграммы Гейла, аналогичное
утверждение несложно получить для d-многогранников с не более
чем d + З вершинами.
Тем не менее, это «свойство изотопии» нарушается даже для
4-многогранников: Кляйншмидт построил четырехмерный пример
с 10 вершинами [114]. Комбинаторно он получается склеиванием
двух экземпляров восьмивершинного многогранника Кляйншмид-
та из упражнения 6.18 по октаэдральным гиперграням «несовмести-
мым образом». См. работы Мнёва [408, с. 530] и Боковски и Гедеса
де Оливейра [115]. Теорема Рихтер-Геберта об универсальности для
4-многогранников [459] дает систематический метод построения
четырехмерных контрпримеров.
В этой книге мы начнем с построения плоской конфигурации
точек, для которой нарушается гипотеза об изотопии [463, 234],
а затем перенесем полученный результат на многогранники.
Пример 6.24 (неизотопный 24-многогранник с 28 вершинами).
Для того чтобы показать, что «свойство изотопии» нарушается для
d-многогранников с d + 4 вершинами, мы сначала построим плос-
кую конфигурацию точек, которая не является изотопной.
Наименьшие известные на данный момент неизотопные плос-
кие конфигурации точек состоят из 14 точек. Первая такая конфи-
гурация была найдена Суворовым [537], [96, с. 363]. Здесь мы пред-
ставим более элегантную и новую конструкцию, найденную Рихтер-
Гебертом [458].
Пример Рихтер-Геберта изображен на рисунке ниже. Две точки
конфигурации «находятся на бесконечности» (что интерпретирует-
ся как «очень далекие точки» на аффинной конфигурации).
Ключевое свойство рисунка состоит в следующем. Попробуем
построить новую конфигурацию из 14 точек на (проективной) плос-
кости так, чтобы точки, коллинеарные на старом рисунке, также
были бы коллинеарны на новом. После проективного преобразова-
238
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
ния мы можем предположить, что точки 1, 2, 3 и 4 («проективный
базис») расположены так же, как и на изначальном рисунке. Теперь
выберем точку 5 на диагонали, проходящей через 3 и 4. Таким об-
разом, мы имеем пять точек, которые затем последовательно опре-
деляют точки 6, 7,..., 13. Четырнадцатую точку 14 поместим в пе-
ресечение прямых 1,3 и 2,4 так, чтобы она не попала на прямую
12,13: это можно сделать, если точка 5 была выбрана немного ниже
и правее центра, как на нашем рисунке, или немного выше и левее
центра, в этом случае рисунок будет отражением нашего; однако
невозможно реализовать эту же самую конфигурацию таким обра-
зом, чтобы она была симметрична относительно диагонали х = у
(попытки это сделать приводят к другой конфигурации, в которой
точки 12, 13,14 лежат на одной прямой): для этого нам потребова-
лось бы выбрать точку 5 в центре, что привело бы к тому, что точки
12, 13 и 14 попали бы на одну прямую.
Конфигурацию с таким свойством несложно построить. Этот
пример обладает более сильным свойством: если точку 5 выбрать
достаточно близко к середине отрезка [3,4], то «нижняя правая»
и «верхняя левая» реализации имеют не только совпадающие на-
боры коллинеарных точек (а значит, и одинаковые беззнаковые ко-
цепи и, следовательно, одинаковые матроиды), но и одинаковые
знаковые коцепи, а значит, обе реализации дают совпадающие ори-
§ 6.6. Жесткость и универсальность
239
ентированные матроиды.. Мы не знаем, необходимы ли все 14 точек
для такого примера; может быть, вы сможете обойтись меньшим
количеством (задача 6.26*)?
С помощью этих примеров нетрудно построить плоскую аффин-
ную диаграмму Гейла с несвязным пространством реализаций. Тем
не менее, мы должны быть уверены в том, что любой многогранник,
(всего лишь) комбинаторно эквивалентный только что построенно-
му, имеет ту же диаграмму. «Решительный» метод состоит в том,
чтобы заменить каждую точку диаграммы на пару из положитель-
ной и отрицательной точек. В результате мы получим диаграмму
Гейла 24-многогранника с 28 вершинами, который имеет два класса
изотопии для своих реализаций. Именно в этом по сути и состоит
«конструкция Лоуренса», которую мы обсудим позже.
Необходимо упомянуть другую неизотопную конфигурацию из
21 точки, которая была построена в явном виде в работе Уайта
[559]. Общий метод построения принадлежит Мнёву [408]. В част-
ности, теорема Мнёва об универсальности (см. далее) показывает,
что «пространство реализаций» плоской конфигурации точек мо-
жет быть сколь угодно сложным.
Более того, Суворов [537] и Джагги и др. [290] построили неизо-
топные конфигурации, состоящие из точек в общем положении. Из
этих конфигураций можно при помощи техники Штурмфельса [117,
теорема 6.5] получить симплициальные многогранники, нарушаю-
щие гипотезу об изотопии. Это дает примеры для гораздо более об-
щей «теоремы об универсальности для многогранников», которую
мы обсудим в следующем параграфе.
§ 6.6. Жесткость и универсальность
Мы охарактеризовали диаграммы Гейла многогранников в след-
ствии 6.20. Тем не менее, чтобы утверждать что-либо о много-
гранниках фиксированного комбинаторного типа, недостаточно
рассмотреть конкретную диаграмму Гейла; необходимо установить,
что данное утверждение верно для всех многогранников, комбина-
торно эквивалентных данному многограннику.
Здесь нам придется иметь дело с двумя различными понятиями
эквивалентности. Мы отмечали, что два многогранника могут быть
комбинаторно эквивалентными, но иметь при этом различные ори-
ентированные матроиды (см., например, октаэдры из примера 6.3).
240
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Тем не менее, два многогранника с одинаковыми ориентирован-
ными матроидами комбинаторно эквивалентны: у них одинаковые
ковекторы, следовательно, одинаковые положительные ковекторы,
следовательно, одинаковые кограни, а значит, и одинаковые грани.
Чтобы использовать диаграммы Гейла для многомерных много-
гранников, необходимо рассмотреть одновременно все диаграммы
Гейла, представляющие класс комбинаторно эквивалентных много-
гранников. Это не просто и привело бы нас к обсуждению «частич-
ных ориентированных матроидов», чего бы мы хотели избежать
(для этого также не хватает теории). Вместо этого мы ограничимся
важным частным случаем: когда существует только один ориенти-
рованный матроид для данного выпуклого многогранника (точнее,
для его класса комбинаторной эквивалентности).
Определение 6.25. Ориентированный матроид d-многогранни-
ка Р с Rd называется жестким, если любой многогранник Р', ком-
бинаторно эквивалентный Р, имеет тот же самый ориентирован-
ный матроид.
Мы будем считать, что вершинам многогранников Р и Р' сопо-
ставлены элементы множества [и] таким образом, что это согласу-
ется с их комбинаторной эквивалентностью. В этом случае комби-
наторная эквивалентность означает, что ориентированные матро-
иды ЛС (Р) и Л (Р') имеют одинаковые множества положительных
коцепей, а жесткость означает, что из этого следует совпадение
множеств всех коцепей многогранников Р и Р7:
(Р) П {+, 0}п = (Р7) п {+, 0}п => ^*(Р) = ^*(PZ).
Например, треугольные призмы являются жесткими, а октаэдры
нет. Понятие жесткости в основном интересно благодаря некото-
рым примерам жестких многогранников, хотя «большинство» мно-
гогранников не являются жесткими. Далее мы приведем конструк-
цию, которая позволяет получать жесткие многогранники.
Теорема и Определение 6.26 (конструкция Лоуренса). Пусть
V eRrxn — конфигурация векторов в Rr, которая, возможно, была
получена из конфигурации точек X е Rdxn в Rd, где г = d + 1. (Во
избежание неприятностей мы предполагаем, что V не содержит
копетлей, т. е. если мы из V удалим вектор, то остальные векторы
все равно будут порождать Rr.)
Пусть G eRnx(n-r) — диаграмма Гейла конфигурации V. Тогда,
добавляя к ней векторы, противоположные векторам из G, мы по-
§6.6. Жесткость и универсальность
241
лучим новую диаграмму Гейла
G.= (_Gg) eR2nx("’r)
для многогранника с 2п вершинами в R2n~(n~r)-1 Этот мно-
гогранник обозначается A(V) CRn+d и называется многогранником
Лоуренса конфигурации V.
Мы можем получить многогранник Лоуренса Л(У) также с помо-
щью последовательных расширений Лоуренса V -*cri(y): для этого
мы заменяем каждый вектор vt из V на пару векторов
vi+ := Vi + er+i и :=vf + 2er+i,
чтобы получить ациклическую конфигурацию векторов в Rr+n и за-
тем перейти к аффинному пространству
Если мы начинаем с аффинной конфигурации точек X, то мож-
но применять поднятия Лоуренса прямо к конфигурации точек без
линеаризации.
Наши рисунки иллюстрируют оба случая: «линейную картину»
с одним поднятием Лоуренса, примененным к конфигурации векто-
ров
и «аффинную картину», для которой поднятие Лоуренса применя-
ется к единственной точке из конечной точечной конфигурации
и увеличивает размерность конфигурации на 1.
242
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Доказательство. Несложно проверить, что конструкция Лоу-
ренса дает выпуклый многогранник и что два приведенных его опи-
сания эквивалентны. □
В качестве тривиального примера рассмотрим три ненулевых
вектора в R1 (г = 1, п = 3). После применения к ним конструкции
Лоуренса мы получим треугольную призму в R3; здесь мы приводим
рисунок соответствующей аффинной конструкции.
Теорема 6.27. Многогранники Лоуренса являются жесткими,
т. е. если многогранник Р' комбинаторно эквивалентен А(У), то
ориентированный матроид для Р' изоморфен ориентированному
матроидудля А(У). В частности, диаграммы Гейла многогранников
Р' и А(У) изоморфны.
Доказательство. В диаграмме Гейла G многогранника Лоуренса
А(У) и в любой другой диаграмме Гейла G' с теми же положительны-
ми цепями точки разбиваются на пары из положительной и отрица-
тельной точек, так как эти пары образуют положительные цепи.
Более того, если мы рассмотрим любую другую цепь, то она
содержит не более одной точки из любой такой пары. Следователь-
но, все цепи диаграммы Гейла получаются из положительных цепей
заменой некоторых положительных точек на отрицательные точки
из их пар. Таким образом, все цепи диаграммы однозначно опреде-
ляются положительными цепями, и конфигурация V является жест-
кой. □
Конструкция Лоуренса имеет множество применений. Возмож-
но, наиболее впечатляющим из них является «теорема об универ-
сальности» для многогранников, которую мы сейчас рассмотрим.
Для этого нам потребуется подходящее отношение эквивалент-
ности для полуалгебраических множеств. Мы будем использовать
вариант Рихтер-Геберта из работы [459]. Два полуалгебраических
§ 6.6. Жесткость и универсальность
243
множества S и Т называются стабильно эквивалентными, если их
можно связать последовательностью «рациональных замен коорди-
нат» (таких, что f и У1 — рациональные функции с рациональными
коэффициентами, которые индуцируют гомеоморфизмы рассмат-
риваемых множеств) и «стабильных проекций» (у которых слои
являются относительными внутренностями рациональных поли-
эдров). Точные определения и подробности см. в работе Рихтер-
Геберта [459, раздел 2.5]. Понятие стабильной эквивалентности
очень «ограничительно». Действительно, стабильно эквивалентные
множества S и Т
• имеют одинаковый гомотопический тип (в частности, S связно
тогда и только тогда, когда Т связно);
• имеют одинаковую алгебраическую сложность (в частности, S
содержит рациональные точки тогда и только тогда, когда Т со-
держит рациональные точки);
• имеют сходные структуры особенностей (в частности, S являет-
ся многообразием тогда и только тогда, когда Т является много-
образием).
Теорема об универсальности для многогранников 6.28 (Мнёв
[408]). Любое элементарное полуалгебраическое множество над Z
стабильно эквивалентно пространству реализаций некоторого мно-
гогранника.
Любое открытое элементарное полуалгебраическое множество
над Z стабильно эквивалентно пространству реализаций некото-
рого симплициалъного многогранника.
По существу эта теорема означает, что пространство реализа-
ций многогранника может быть «сколь угодно сложным»: оно мо-
жет быть несвязным с большим количеством компонент, может со-
стоять из окружностей и сфер (т.е. иметь «гомологии» всех раз-
мерностей) и может иметь все виды сложных особенностей —в об-
щем случае оно вовсе не является многообразием, как утверждается
в книге [465, с. 18].
Теорема, на которой основаны все вышеуказанные свойства, —
это теорема об универсальности Мнёва: пространство реализаций
для плоских конфигураций точек (т. е. для ориентированных матро-
идов ранга 3) может быть любым полуалгебраическим множеством
с точностью до стабильной эквивалентности.
В течение долгого времени не было опубликовано полного дока-
зательства этой теоремы. В работе Мнёва [408] содержится только
244
Глава б. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
набросок основных идей «локальной» теоремы; два дальнейших
наброска приведены в работах Шора [499, раздел 4] и Гудмана
и Поллака [237, раздел 7]; см. также книгу Бьорнера и др. [96,
раздел 8.6]. Окончательное полное доказательство было приведено
в работе Гюнцеля [261]. Его доказательство также покрывает важ-
ное обобщение, анонсированное Мнёвым [409], —«универсальную
теорему о разбиении» для ориентированных матроидов.
С другой стороны, гораздо проще показать (используя конструк-
ции фон Штаудта для сложения и умножения точек из классической
проективной геометрии [276, раздел VI.7], [118, раздел 2.1], [558,
раздел 7]), что наименьшее подполе в R, над которым могут быть
реализованы все плоские конфигурации точек, — это поле всех ал-
гебраических чисел А с R. Вместе с теоремой 6.28 это означает, что
А — наименьшее поле, над которым может быть реализован любой
многогранник.
Недавно были получены замечательные новые результаты: тео-
рема Рихтер-Геберта об универсальности для 4-многогранников
и (даже более сильная) универсальная теорема о разбиении для
4-многогранников вместе со всеми их следствиями и обобщениями.
Теорема об универсальности для 4-многогранников 6.29 (Рих-
тер-Геберт [459]). Каждое элементарное полуалгебраическое мно-
жество над Z стабильно эквивалентно пространству реализаций
некоторого четырехмерного многогранника.
В рамках этой работы, написанной после выхода в печать перво-
го издания нашей книги, Рихтер-Геберт решил целый ряд основных
открытых проблем (см. задачи 5.11*, 6.10* и 6.11*). У нас нет ни
времени, ни места для изложения работы Рихтер-Геберта [459] (см.
также работу Гюнцеля [262]). Анонс результатов появился в ста-
тье [462], обзор можно найти в работе Рихтер-Геберта [460].
Примечания
Всю информацию об ориентированных матроидах, использо-
ванную в этих лекциях, можно найти в монографии Бьорнера и др.
[96]. Среди других изложений, содержащих обзор теории ориенти-
рованных матроидов, мы рекомендуем работы Бахема [34], Бахема
и Керна [35], Боковски и Штурмфельса [118] и Боковски [112].
Как вы могли заметить, мы сознательно старались не выносить
понятия линейной алгебры на передний план. Вы можете перефор-
мулировать основные конструкции на более современном языке. Для
Примечания
245
этого конфигурацию векторов V G Rrxn можно рассматривать как ли-
нейное отображение V: Rn —»Rr, пространство Dep(V) — как ядро
этого отображения, Val(V) — как образ двойственного отображения
ит.д.
Удаление и сжатие «элемента» являются основными операция-
ми в различных областях: для графов (см. §4.1), для конфигураций
векторов и ориентированных матроидов (см. п. б.З.г и для конфи-
гураций гиперплоскостей и зонотопов (см. следующую главу). На
самом деле доказательства «посредством удаления и сжатия», про-
водящиеся по индукции по числу элементов и сводящиеся к анализу
информации, получаемой после удаления и сжатия одного и того же
элемента, невероятно эффективны. Классическим примером такого
подхода является работа Заславского [572] о конфигурациях гипер-
плоскостей.
Диаграммы Гейла как метод доказательства впервые появились
в работе Гейла [220] и были развиты до их полной эффективности
и красоты Перлесом, как описано в книге Грюнбаума [252]. Допол-
нительную информацию можно найти в книге Макмаллена и Ше-
парда [403, часть 3] и в обзоре Макмаллена [394]; см. также изложе-
ние (с интересными иллюстрациями и примерами) в книге Эвальда
[201]. В работе Айзенбада и Попеску [195] описан взгляд с точки
зрения алгебраической геометрии. По всей видимости, тесная связь
между техникой диаграмм Гейла и дуальностью ориентированных
матроидов была впервые отмечена в статье [394], а полное соответ-
ствие было разработано в работе Штурмфельса [531].
Сведение к аффинным диаграммам Гейла неявно присутствует
в работе Перлеса (см. книгу Грюнбаума [252, с. 59]) и также исполь-
зовалось Боковски [116]; как самостоятельный метод оно появилось
в работе Штурмфельса [532]. Для полноты изложения отметим, что
любые две аффинные диаграммы Гейла одного многогранника свя-
заны некоторым проективным преобразованием и соответствую-
щей переориентацией.
Многие интересные свойства многогранников могут быть успеш-
но исследованы с точки зрения ориентированных матроидов не
только с помощью диаграмм Гейла. Обзоры такого подхода даны
в книге Грюнбаума [252], а также в работах Боковски и Штурмфель-
са [118] и Байер и Ли [63, раздел 4].
Некоторые авторы различают понятия «диаграмм Гейла» и «пре-
образований Гейла». Мы не проводим этого различия, но по суще-
246
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
ству то, что мы построили здесь, —- это преобразования Гейла, в то
время как любая конфигурация, представляющая дуальный ори-
ентированный матроид, является диаграммой Гейла. Необходимо
сказать, что существует несколько полезных вариантов конструк-
ции диаграмм Гейла, в том числе «бескоординатная» формулировка
[202, 394], которая оказалась полезной при исследовании Кляйнш-
мидтом и Вудом бесконечномерных многогранников [338, 569].
Читателей, заинтересовавшихся гипотезой об изотопии, мы от-
сылаем к работе [96, раздел 8.6].
Конструкция Лоуренса принадлежит Джиму Лоуренсу (удиви-
тельно!), хотя никогда не была им опубликована. Она появляет-
ся в работе Биллеры и Мансона [77, раздел 2], а также подробно
объясняется (в терминах ориентированных матроидов) в книге [96,
раздел 9.3].
В статье Штурмфельса [530] приводится «а-конструкция» для
построения жестких 6-многогранников из плоских конфигураций.
Однако некоторые рассуждения в этой статье неверны. (А именно,
утверждение о том, что ориентация всех «внешних симплексов»
многогранника определяется комбинаторикой решетки граней, яв-
ляется верным лишь для симплициальных многогранников: действи-
тельно, рассмотрим конус над нежестким многогранником, в ко-
тором все симплексы являются внешними. Однако многогранники,
получающиеся в результате а-конструкции, не являются симплици-
альными, и в общем случае они не являются жесткими.)
Задачи и упражнения
6.0. Докажите теорему Радона: для любого множества V из d + 2
точек в существуют два таких его непересекающихся подмноже-
ства У1? V2 Q V, что relint (Vi) П relint(V2) / 0- Почему мы можем пред-
полагать, что выпуклые оболочки conv(Vf) являются симплексами?
6.1. Покажите, что если две конфигурации из п точек в Rd имеют
одинаковые множества минимальных аффинных зависимостей, то
они аффинно эквивалентны.
6.2. Выпишите все цепи и коцепи шестиугольника, описанного
в § 6.1. Сколько у него векторов и ковекторов? (Не выписывайте их
все, их слишком много.)
6.3. Покажите, что определения векторов, цепей и т.п. для
аффинного и линейного случая согласуются между собой: если
Задачи и упражнения
247
v=(x)’T0
a-Dep(X) = Dep(V) и a-Val(X) = Val(V),
а значит, мы получаем один и тот же ориентированный матроид
(одни и те же цепи, коцепи и т. п.) для X и для V.
6.4. Пусть D = (V, А) — ориентированный граф с множеством ре-
бер А = {1, 2,..., и}. Определим знаковые цепи графа D как векторы
знаков и = {0, +, -}п, которые соответствуют циклам в D вместе
с выбранной ориентацией следующим образом: если ребро i не со-
держится в цикле, то щ = 0; если i содержится в цикле и его ори-
ентация соответствует ориентации цикла, то щ = +; а если оно на-
правлено в противоположную сторону ориентации цикла, то щ = —.
ГОЛ
0
0
+
\oj
Например, для ориентированного графа, изображенного на рисун-
ке, отмеченному ориентированному циклу будет соответствовать
вектор знаков, приведенный справа от графа.
Покажите, что знаковые цепи, которые мы получим таким обра-
зом, являются знаковыми цепями некоторого реализуемого ориен-
тированного матроида (см. определение 6.5), коцепи которого соот-
ветствуют минимальным ориентированным разрезам в графе. Ин-
терпретируйте векторы и ковекторы этого ориентированного мат-
роида в терминах графа.
(Подсказка. Для этого нужно сопоставить графу D некоторую
конфигурацию векторов: канонической является конфигурация из
векторов Vy =е( - для каждого ребра из вершины j в вершину /.)
6.5. Докажите, что два наших описания ациклических конфигу-
раций векторов являются эквивалентными. Докажите, что дуаль-
ной к ациклической является полностью циклическая конфигура-
ция (см. следствие 6.16).
Опишите небольшую конфигурацию векторов, которая не явля-
ются ни ациклической, ни полностью циклической.
248
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
6.6. d-многогранник с п вершинами является симплициальным
в том и только том случае, когда любая его непустая когрань содер-
жит не менее п — d элементов. Получите из этого характеризацию
(аффинных) диаграмм Гейла, которые представляют симплициаль-
ные многогранники.
6.7. Как по данной диаграмме Гейла можно перечислить (реаль-
но) все гиперграни соответствующего многогранника?
6.8. Покажите, что следующие диаграммы представляют четыре
комбинаторно различных 4-многогранника с 6 вершинами.
1$
Опишите эти многогранники.
Сколько у них гиперграней и ребер? Какие из них простые и ка-
кие симплициальные? Какой из них bipyr(A3)? А какой С4(6)?
6.9. Опишите все 4-многогранники с 7 вершинами. Для этого ис-
пользуйте все «наглядные приемы», изученные нами к настоящему
времени, а именно
• диаграммы Шлегеля;
• диаграммы Гейла;
• комбинаторное описание (с помощью матриц инцидентности
вершин и граней),
и покажите, как различные типы данных соответствуют друг другу.
6.10* . Какое наименьшее число вершин может иметь нерацио-
нальный 4-многогранник? (Нерациональные 4-многогранники су-
ществуют согласно теореме Рихтер-Геберта об универсальности,
см. примечания к этой главе. Самый «маленький» явный пример
Рихтер-Геберта имеет 33 вершины [459, с. 80]. Наименьшее число
вершин и гиперграней неизвестно.)
6.11* . Исследуйте четырехмерный многогранник X* с 8 гипер-
гранями и 12 вершинами, для которого полярный многогранник
задается аффинной диаграммой Гейла:
Задачи и упражнения
249
Докажите, что у X* есть шестиугольная двумерная грань, форма ко-
торой не может быть предписана. Проверьте, что многогранник X*
комбинаторно эквивалентен многограннику с диаграммой Шлегеля
из упражнения 5.11.
6.12. Нарисуйте произвольную «хорошую» конфигурацию из бе-
лых и черных точек на плоскости и ответьте на следующие вопросы.
1. Является ли эта конфигурация диаграммой Гейла некоторого
многогранника? (Если нет, то добавьте еще несколько точек чтобы
она стала таковой.)
2. Каковы его размерность и количество гиперграней?
3. Является ли он простым или симплициальным? Можно ли
описать его гиперграни?
4. Существуют ли у него несмежные вершины? Можно ли найти
его граф?
6.13. Для п d 2 рассмотрим кривую моментов в Rn-d“2 и по-
местим на нее п точек, чередуя положительные и отрицательные
точки.
Покажите, что ориентированный матроид этой конфигурации явля-
ется дуальным к ориентированному матроиду циклического много-
гранника Cd(n), т. е. это диаграмма Гейла многогранника, комбина-
торно эквивалентного Cd(n). Действительно ли эта конфигурация
является преобразованием Гейла для Cd(n)?
6.14. Докажите, что для 2d-многогранника с п вершинами сле-
дующие условия эквивалентны.
1. Многогранник Р является смежностным.
2. Любое подмножество из п - d вершин образует положитель-
ный ковектор.
3. Любая цепь многогранника Р содержит в точности d + 1 по-
ложительных и d +1 отрицательных элементов.
Выведите соответствующий критерий для определения того,
представляет ли диаграмма Гейла (четномерный) смежностный
многогранник.
6.15. Покажите, что из двух следующих рисунков первый являет-
ся диаграммой Гейла многогранника С4(8), а второй—диаграммой
250
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Гейла 2-смежностного 4-многогранника с 8 вершинами, не являю-
щегося циклическим (как показано в [531, с. 543]).
Большое количество не циклических смежностных многогранников
можно получить таким образом с помощью небольших изменений
диаграмм Гейла циклических многогранников. (Еще больше приме-
ров построено в работе Шемера [494].)
6.16* . Перлес предположил, что любой симплициальный мно-
гогранник комбинаторно эквивалентен гранной фигуре (повтор-
ной вершинной фигуре) четномерного смежностного многогранни-
ка (или, что эквивалентно, любой простой многогранник является
гранью многогранника, полярного к смежностному).
1. Назовем (конечную) конфигурацию векторов в R3 равномер-
ной, если любые ее три вектора порождают R3. Будем говорить,
что она сбалансирована, если для любой плоскости, порожденной
какими-то двумя ее векторами, по разные стороны от нее лежит
поровну векторов.
Покажите, что для симплициальных d -многогранников с d + 4
вершинами построение диаграммы Гейла сводит задачу Перлеса
к «задаче вложения» о том, что любая равномерная конфигурация
d + 4 векторов в R3 может быть дополнена до равномерной сбалан-
сированной конфигурации.
2. Используя часть 1, решите задачу Перлеса для симплициаль-
ных d-многогранников с п = d + 4 вершинами. Каждый симплици-
альный d-многогранник с d + 4 вершинами является фактором (т. е.
комбинаторно эквивалентен повторной вершинной фигуре) смеж-
ностного (2d + 4)-многогранника с 2d + 8 вершинами.
(Подсказка. Для доказательства части 1 вам потребуется крите-
рий из упражнения 6.14. Формулировка задачи Перлеса с помощью
диаграмм Гейла принадлежит Штурмфельсу. В работе Штурмфельса
[532, раздел 7] также получены некоторые частичные результаты.
Часть 2 доказана Кортенкампом в работе [341].)
6.17. Докажите, что конфигурация
Задачи и упражнения
251
является аффинной диаграммой Гейла 4-многогранника Р с 8 вер-
шинами, и удостоверьтесь в следующих фактах. У многогранника 9
гиперграней: четыре тетраэдра, четыре четырехугольные пирами-
ды и октаэдр 235678. В любой диаграмме Гейла G' с тем же множе-
ством положительных цепей точки 7 и 8 совпадают, следовательно,
для любого многогранника, комбинаторно эквивалентного Р, вер-
шины 2356 октаэдральной грани 235678 компланарны. Таким обра-
зом, форма октаэдральной гирперграни не может быть предписана.
Тем не менее, докажите, что ориентированный матроид многогран-
ника Р не является жестким.
6.18. Докажите, что приведенная ниже конфигурация являет-
ся аффинной диаграммой Гейла 4-многогранника с 8 вершинами
и 11 гипергранями (он называется многогранником Кляйншмидта
К4(8)), и проверьте следующие утверждения.
Все его гиперграни, за исключением октаэдральной грани 235678,
являются тетраэдрами. Октаэдральная грань не является правиль-
ной. Ни одна диаграмма Гейла G' с теми же положительными це-
пями не может содержать коллинеарные точки 136, 125 и 178; сле-
довательно, не существует многогранника, комбинаторно эквива-
лентного К4 (8), с правильной октаэдральной гранью.
252
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
Покажите, что ориентированный матроид многогранника К4(8) не
является жестким.
(Кляйншмидт [332, 203], Штурмфельс [532, рис.6(a)].)
6.19. 1. Постройте простой многогранник, для которого нельзя
предписать форму гиперграни. Например, вы можете исследовать
многогранник, полярный к симплициальному 6-многограннику с 10
вершинами, который задается следующей диаграммой Гейла:
2*. Можно ли предписать форму гиперграни простого 4-много-
гранника?
6.20. Рассмотрим центрально-симметричный многогранник Р с
с с 2п вершинами, заданный в виде Р = conv(X), где
X = {u±vlfu±v2, ...,u±un}.
Покажите, что зависимости и векторы значений конфигура-
ции X могут быть восстановлены по аналогичным данным для
следующего множества, состоящего всего из и +1 точки в
Хо = {u, u + v19u + v2, ...,и + ип}.
Следовательно, комбинаторику многогранника Р можно описать
с помощью дуальной к Vo конфигурации Go с (Rn-d)* — так называ-
емой центральной диаграммы (Гейла) многогранника Р (согласно
работе Макмаллена и Шепарда [402]).
Используйте центральные диаграммы для классификации цен-
трально-симметричных многогранников с не более чем 2d + 2 вер-
шинами для малых значений d. (Случай d = 4 рассмотрен в книге
Грюнбаума [252, раздел 6.4].)
Аргументируйте, почему полная классификация центрально-
симметричных многогранников с не более чем 2d + 2 вершинами
недостижима.
Докажите, что метрические свойства такой диаграммы суще-
ственны и невозможно провести дальнейшую редукцию к аффин-
ным диаграммам.
Задачи и упражнения
253
Докажите также, что знаковые цепи для Хо не определяют зна-
ковые цепи для X, т. е. нам недостаточно рассматривать только дан-
ные ориентированного матроида [402].
6.21. Примените конструкцию Лоуренса к трем точкам, лежа-
щим на одной прямой, которые либо все различны, либо две из них
совпадают. Какие многогранники получатся? Выпишите все цепи
и коцепи обеих конфигураций: изначальной и поднятия Лоуренса.
6.22. Рассмотрите призмы prism(Ad) над симплексами и по-
стройте их диаграммы Гейла. Покажите, что все они могут быть
получены как многогранники Лоуренса.
6.23. Докажите, что ориентированный матроид, построенный
в качестве примера для 5-многогранника, у которого нельзя пред-
писать форму 2-грани, не является жестким. (Используйте тот факт,
что можно слегка пошевелить точку 1 без изменения положитель-
ных цепей.)
Является ли пример Перлеса нерационального 8-многогранника
жестким?
6.24. Многогранник называется проективно единственным, ес-
ли любой комбинаторно эквивалентный ему многогранник может
быть получен с помощью проективного преобразования.
1. Докажите, что на плоскости треугольники и четырехугольни-
ки являются проективно единственными, а n-угольники при п 5
не проективно единственны.
2. Докажите более общий факт, что d-многогранники с п d + 2
вершинами проективно единственны.
3. Докажите, что если многогранник Р является проективно
единственным, то и РА тоже. Получите отсюда, что d-многогран-
ники с не более чем d + 2 гипергранями проективно единственны.
4. Выведите из п. 3, что 3-многогранники с 9 ребрами про-
ективно единственны. (Используйте формулу Эйлера и-е + / = 2из
упражнения 4.6 или гл. 8.)
Докажите и обратное утверждение.
5. Докажите, что если многогранник Р является проективно
единственным и F — его грань, то многогранник F не обязательно
является проективно единственным. В этом случае форма грани F
не может быть предписана.
6.25 . Сколько точек (положительных и отрицательных) необхо-
димо, чтобы получить диаграмму Гейла жесткого многогранника из
конфигурации Рихтер-Геберта?
254
Глава 6. Дуальность, диаграммы Гейла и приложения
6.26 *. Какое наименьшее количество точек содержит плоская
конфигурация точек, нарушающая гипотезу об изотопии?
(В настоящий момент самые маленькие примеры содержат 14 то-
чек, см. пример 6.24. С другой стороны, изотопия доказана Рихтер-
Гебертом [455], [96, раздел 8.2] для п 9 точек, но только в случае
конфигураций точек общего положения.)
6.27 *. Докажите, что многогранник Р из примера 6.23 может
быть построен при помощи трех расширений Лоуренса из конфи-
гурации теоремы Паскаля («вершины шестиугольника лежат на эл-
липсе тогда и только тогда, когда три точки пересечения противо-
положных сторон лежат на одной прямой»); см. рисунок:
Выведите из этого метода построения, что Р является пятимер-
ным многогранником, у которого форма двумерной грани не мо-
жет быть предписана. (Подробное обсуждение см. в работе Рихтер-
Геберта [459, пример 3.4.3].)
Глава 7
Веера, конфигурации, зонотопы
и разбиения
Зонотопами называются образы n-мерных кубов при аффинных
проекциях. Так как во многих аспектах теории многогранников ку-
бы являются достаточно простыми объектами, данное определение
может скрыть сложность и многообразие этого понятия. Зонотопы
интересны с различных точек зрения. Их комбинаторная структура
тесно связана с комбинаторной структурой вещественных конфигу-
раций гиперплоскостей (и в определенном смысле эквивалентна ей).
Цель этой главы—дать представление о геометрических свой-
ствах зонотопов и средства для их комбинаторного описания. Мы
увидим, как зонотопы моделируются ориентированными матроида-
ми, и обсудим неожиданное возникновение произвольных («нереа-
лизуемых») ориентированных матроидов при изучении конфигура-
ций гиперплоскостей и разбиений на зонотопы.
§ 7.1. Веера
Определение 7.1. Веером в Rd называется семейство
= {С1?..., CN}
непустых полиэдральных конусов, обладающих следующими свой-
ствами.
1. Любая непустая грань конуса из & также является конусом
из &.
2. Пересечение любых двух конусов из & является гранью каж-
дого из них.
Веер & называется полным, если объединение
Cj U ... U
N
конусов веера & совпадает с Rd, т. е^ |J Q = Rd. Мы будем рассмат-
i=i
ривать только полные веера, поэтому обычно будем опускать слово
«полный».
256
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Веер & называется заостренным, если {0} является конусом
из & (а значит, и гранью каждого конуса из <^). Веер называется
симплициальным, если все его конусы являются симплициальными,
т. е. конусами, порожденными линейно независимыми векторами.
Симплициальные конусы и веера автоматически являются заост-
ренными.
На следующем рисунке изображены три полных веера в R2
с N = 13, N = 11 и N = 3 конусами, из которых 6, 5 и 2 конуса
соответственно являются полномерными. Первые два являются за-
остренными (для d = 2 это влечет их симплициальность), а третий
нет.
Существует несколько эквивалентных или похожих способов
определить веер (см. примечания к этой главе). Определение, ко-
торое мы привели здесь, по существу всего лишь описывает полиэд-
ральный комплекс из конусов (как в определении 5.1), объединение
которых совпадает с Rd. В частности, из этого определения следует,
что относительные внутренности конусов из & образуют разбиение
пространства:
| | relint(Cf) = Rd.
i=l
Сейчас мы назовем первую из причин, по которым мы рассматри-
ваем веера в теории многогранников.
Пример 7.2. Пусть Р — многогранник в Rd и О G relint(P). Опре-
делим веер граней многогранника Р как множество всех конусов,
порожденных его собственными гранями:
с^(Р) := {cone(F): F G £(Р) \Р}.
Веер граней ^(Р) является заостренным веером в пространстве
lin(P): объединение его конусов—линейная оболочка lin(P). Он яв-
ляется полным в Rd, если Р является d-многогранником и О G int(P).
§ 7.1. Веера
257
На нашем рисунке показано построение веера граней для 2-много-
гранника с заданным началом координат внутри него. Заметим, что
геометрия веера граней зависит от положения начала координат
внутри Р.
Пример 7.3. Пусть Р — непустой многогранник в Rd. Чтобы оп-
ределить его нормальный веер, рассмотрим конусы, состоящие из
линейных функций, максимальных на фиксированной грани мно-
гогранника Р, т. е. для каждой непустой грани F многогранника Р
определим
Nf := {с € (Rd)*: F с {х € Р: сх = max су: у G Р}}.
Таким образом, мы определяем
<#(Р) := {NF:FGL(P)\0}.
Веер <#(Р) является полным веером в (Rd)*. Если многогранник Р
является d -мерным, то веер является заостренным, так как в этом
случае точка {0} = NP содержится в данном веере.
258
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
На данном рисунке изображено построение нормального веера для
2-многогранника; мы отождествили R2 и (R2)* с помощью обык-
новенного скалярного произведения, что выразилось в появлении
прямых углов.
Веер граней и нормальный веер — естественные объекты, свя-
занные с многогранником. В частности, они возникают в теории
оптимизации. Действительно, заметим, что вопрос «В каком конусе
из е#(Р) лежит линейная функция с?» является задачей линейного
программирования нахождения тахсх, хеР. Аналогично вопрос
«В каком конусе из J^(P) лежит вектор и?» является задачей отде-
ления, для решения которой необходимо найти одно-единственное
верное неравенство, позволяющее определить, для каких а > 0 точ-
ка av принадлежит Р.
Пример 7.4. Пусть {Н1?..., Нр} — конечное семейство ли-
нейных гиперплоскостей в Rd, в котором каждая гиперплоскость
представлена в виде
Hi = {x6Rd:cix = 0}
для некоторого с, е (Rd)*.
Очевидно, что набор з/ разбивает Rd в полный веер 3^. Кону-
сы этого веера также называются гранями данной (линейной) кон-
фигурации гиперплоскостей . Комбинаторика веера несет много
информации о конфигурации вектор-строк
С = {съ ...,ср}
—достаточно просто показать, что конусы из естественным об-
разом соответствуют ковекторам для С. Подробнее мы познакомим-
ся с этим результатом в теореме 7.16 и следствии 7.18.
На рисунке после определения 7.1 первый и третий веера зада-
ются с помощью конфигураций гиперплоскостей, а второй — нет.
Пример 7.5. Также существуют полные симплициальные веера
J^o в R3, которые не представляются в виде ^(Р) ни для какого
многогранника Р.
В качестве одного из примеров рассмотрим следующую кон-
струкцию. Начнем с симплицальной 2-диаграммы которая не
является диаграммой Шлегеля, например, возьмем диаграмму, ко-
торую мы привели перед теоремой 5.8. Поместим ее на аффинную
плоскость и рассмотрим все конусы над гранями этой диаграммы.
Завершим построение веера добавив один дополнительный луч
§7.1. Веера
259
и симплициальные конусы, натянутые на этот луч и конусы, порож-
денные границей диаграммы На следующем рисунке приведено
описанное построение:
Построенный веер не является веером граней ни для какого
многогранника. Действительно, предположим, что ^0 = ^(Р) для
некоторого многогранника Р. Рассмотрим многогранник Р', кото-
рый является выпуклой оболочкой всех вершин многогранника Р,
кроме вершины, соответствующей «дополнительному лучу». В этом
случае начало координат находится над треугольной гранью много-
гранника Р' и соответствующая диаграмма Шлегеля будет (проек-
тивно) эквивалентна той, с которой мы начали наше построение.
Таким образом, получено противоречие.
Данный пример—далеко не худшее из того, что может произой-
ти; например, существует (несимплициальный) веер, который не
является веером граней ни одной звездной сферы (с плоскими ги-
пергранями), см. работу Эйкельберга [194]. Также мы рекомендуем
ознакомиться с работой Эвальда [201, раздел Ш.5] и примерами
и ссылками, которые он приводит.
Опишем три простые операции с веерами, которые нам понадо-
бятся в дальнейшем.
Определение 7.6. Пусть —веер в Rp, а —веер в Rq, тогда
их прямой суммой называется веер
& Ф := {С х С1: С G С' G ^}.
Если & и — два веера в одном пространстве Rd, то мы опреде-
лим их общее подразбиение (или измельчение) как
& N<S := {СПС7: CgJ^, С' g
260
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Если & является веером в IRd и V с Rd — векторное подпростран-
ство, то ограничением веера & на V является веер
jr|y:= {CnV:CGj^}.
Несложно проверить, что результатом каждой из трех описан-
ных конструкций будет веер в смысле определения 7.1. При желании
можно рассматривать := {V} как (неполный) веер в Rd, тогда
ограничение на V является пересечением с #v, т. е. <^| V = & Л #v.
Лемма 7.7. Пусть Р с Rp и Q с R4 — два многогранника. Тогда
нормальным веером их прямого произведения Р х Q с rp+ч будет
прямая сумма
<#(PxQ) = t#(P)®t#(Q).
Пример 7.8. Нормальный веер куба Cd = {х G Rd: - 1 xf 1}
совпадает с веердй граней полярного ему d -мерного кроссполитопа
(в упражнении 7.1 предлагается обобщить этот результат).
Мы видим, что нормальный веер задан в виде конфигурации
координатных гиперплоскостей в (Rd)*. Этот простой результат (так
как оптимизация по кубу очевидна) подтверждает лемму 7.7: ве-
ер конфигурации координатных гиперплоскостей является прямой
суммой одномерных вееров.
Конусы в веере также характеризуются функцией знаков: каждому
конусу в веере можно поставить в соответствие вектор из {+, —, 0}d,
а ортанты соответствуют векторам из {+, — }d.
§ 7.2. Проекции и суммы Минковского
Пусть Р с rp — р-многогранник, и пусть п: Rp —* Rd — аффинное
отображение л (х) = Ах — я, где A G (Rd)p = Rdxp и zGRd.
Если отображение тс инъективно (т.е. А имеет ранг р), мы бу-
дем называть его аффинным преобразованием. В этом случае тс(Р)
является многогранником, аффинно изоморфным Р.
§ 7.2. Проекции и суммы Минковского
261
Если отображение л не обязательно инъективно, то мы будем
называть его аффинной проекцией, или аффинным отображением.
В этом случае Q := л(Р) также является многогранником, размер-
ность которого равна dim(Q) = dimO(IRp)) = rank(A); здесь мы
предположили, что dim(P) = р.
Обычно мы предполагаем, что отображение л является сюръек-
тивным. Мы можем так считать после ограничения образа отобра-
жения п на л(1йр) CRd. Таким образом, п отображает р-многогран-
ник Р с rp в d-многогранник Q с Rd. Если нас интересуют только
свойства, инвариантные относительно трансляций, то мы можем
также считать, что z = 0 и отображение л на самом деле является
линейным.
Определение 7.9. Проекцией многогранников
71: Р Q
называется такое аффинное отображение л: Rp -*Rd, x^Ax — z,
что Р с rp является р-многогранником, Q с Rd является d -много-
гранником и я(Р) = Q.
Вот весьма простой, но важный факт о проекциях.
Лемма 7.10. Пусть я: Р-*Q — проекция многогранников. Тогда
для каждой грани F многогранника Q, F gL(Q), прообраз tt-1(F) =
= {у G Р: 71 (у) G F} является гранью многогранника Р.
Более того, если F, G являются гранями многогранника Q, то
условие FQG выполнено, если и только если 7i“1(F) сtc~1(G).
Доказательство. Если с G (Rd)* определяет F, то с о я определя-
ет л“1(Р). Вместо выписывания тривиальных вычислений мы при-
ведем соответствующую картинку. □
262
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Линейная алгебра, лежащая в основе этой конструкции, доволь-
но проста. Для сюръективного отображения л: Rp -* Rd мы мо-
жем получить двойственное отображение л*: (Rd)* (Rp)*, кото-
рое действует по правилу с —► с о я и является инъективным. Это
отображение выделяет некоторое семейство функций на Rp (а зна-
чит, и на Rd), а именно семейство функций, которые постоянны
на слоях отображения я. Вложение л* используется в следующей
лемме.
Лемма 7.11. Нормальный веер c#(Q) проекции Q изоморфен по-
средством п* ограничению веера Л(Р) на образ отображения я*,
т. е. на линейное подпространство rc*(Rd)*:
J<(Q) * .#(Р) 7t*(Rd)*.
В гл.1 мь/рассмотрели очень специальный класс проекций:
проекции вдоль координатных осей (где d = р — 1), которые со-
ответствуют исключению неизвестных методом Фурье—Моцкина.
Общий случай, безусловно, более интересен. На самом деле, если
мы попробуем посмотреть на многогранники как на категорию
с естественными определениями, то, скорее всего, изоморфизмом
будет аффинный изоморфизм, а сюръективными отображениями
должны служить аффинные проекции. Геометрия проекций не ис-
следована полностью; мы вернемся к этому позже.
Заметим, что в терминах полярности, которая связывает две
версии метода Фурье—Моцкина, приведенные в гл. 1, полярной опе-
рацией к проекции является операция пересечения, когда мы берем
Q = р n V, где О G relint(P) и V с Rd является векторным подпро-
странством. В этом случае <^(Q) = <^(P)|v.
Простым приложением проекции является конструкция сумм
Минковского, с которой мы уже встречались в § 1.1. Мы разберем
только случай двух слагаемых, так как обобщение на случай боль-
шего количества слагаемых является очевидным.
Суммой Минковского (или векторной суммой) двух многогран-
ников Р и Р' из Rd называется многогранник
Р + Р' := {х + х':хеР, х' G Р'}.
Рассмотрим проекцию л: R2d Rd, заданную в виде
^IxJ :=х + х>
§ 7.2. Проекции и суммы Минковского
263
для которой двойственное отображение л*: (Rd)* -»(R2d)* является
диагональным отображением л*(с) = (с, с), так как
=с(л(£)) =с(х+х') = (C,C)Q).
Теперь мы можем записать сумму Минковского в виде проекции
произведения:
Р + Р' := тг(РхР').
Таким образом, подытоживая несложные наблюдения, мы получаем
нормальный веер суммы Минковского. (Будьте осторожны, он не
является прямой суммой вееров слагаемых!)
Утверждение 7.12. Нормальный веер суммы Минковского явля-
ется общим подразбиением вееров слагаемых:
Л(Р х Р') = ,#(Р) Ае#(Р').
Доказательство. Справедливы соотношения
<#(Р + Р') = <#( л (Р X Р')) ^Ж(Р х Рх) л*»'')* =
= С#(Р)Ф<#(Р')) rc*(Rd)* = ^(Р)Л^(Р'),
где мы используем лемму 7.7 о прямой сумме, лемму 7.11 о нор-
мальном веере проекции и явный вид двойственного отображения
я*(с) = (с, с). □
264
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
§7.3. Зонотопы
Зонотопы — это особое^емейство многогранников, которое мож-
но определить несколькими способами, например как проекции ку-
бов, как суммы Минковского нескольких отрезков, как множества
ограниченных линейных комбинаций наборов векторов. Каждое из
этих описаний дает свой взгляд на комбинаторику зонотопов. Мы
рассмотрим несколько таких описаний, каждое из которых при-
ведет нас к одной и той же «ассоциированной» системе векторов
знаков, описывающей комбинаторику зонотопа. Основной целью
будет понять, в каком смысле зонотопы и конфигурации гиперплос-
костей можно рассматривать как эквивалентные объекты и каким
образом комбинаторная структура зонотопа задается с помощью
ориентированного матроида.
После того как в последнем параграфе мы рассмотрели общие
проекции, теперь исследуем очень специальный (но интересный)
случай: проекции кубов, т. е. аффинные (сюръективные) отображе-
ния л: Р —> Q, х —► Vx + z, где Р является р-кубом:
Р = Ср = {х G Rp: -1 х11 для всех i}.
Определение 7.13. Зонотопом называется образ куба при ка-
кой-либо аффинной проекции, т. е. такой d-многогранник Z с lRd,
который можно представить в виде
Z = Z(V) ~V-Cp+z = {Vy+z:yGCp} =
р
= {xGKd: х = z + £ xfvf, -1 Xi 1}
i=l
для некоторой матрицы (конфигурации векторов)
V = (иъ...,ир) 6lRdxp.
§ 7.3. Зонотопы
265
Эквивалентно, в силу того что любой р-куб Ср является произве-
дением р отрезков: Ср = Q х ... х Q, мы также получаем, что любой
зонотоп является суммой Минковского отрезков. Действительно,
если отображение л является линейным, то
Z(V) = п(С1 х ... х = TtCCi) +... 4- тгССО =
= [-Vi, uj +... + [-up, up],
следовательно, Z(V) = [-иь vj +... 4- [-up, up] + z для аффинного
отображения, заданного в виде л (у) = Vy+z.
В дальнейшем мы обычно будем предполагать, что многогран-
ник Z является центрально-симметричным относительно начала ко-
ординат (т.е. Z = —Z), что соответствует линейному отображению
л: Ср —> Z.
Пример 7.14. По определению кубы Cd являются зонотопами,
для которых в качестве проецирующего отображения можно взять
тождественное.
Каждый центрально-симметричный двумерный 2р-угольник
Р2(2р) также можно представить в виде проекции р-куба на плос-
кость. Действительно, если вершинами этого 2р-угольника являют-
ся точки
Хь...,Хр,Хр+1,...,Х2р
в порядке их расположения на границе, где xp+i = —xt-, то мы имеем
D ГЭпЛ Г Х2“х1 Х2~Х1"| . . Г Хр+1“"Хр Хр+1—Хр“|
Р2(2р) = [----J +••• + [-------------J •
Это утверждение можно доказать, например, индукцией по р. Для
этого нужно рассмотреть пару противоположных сторон (равных
и параллельных) и показать, что она соответствует слагаемому
в сумме Минковского для Р2(2р).
8
7
266
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Мы предлагаем читателю найти собственное доказательство этого
факта.
Пример 7.15. Петрмутоэдр Пп_г (пример 0.10) является зоното-
пом размерности d = п - 1, который получается проецированием
куба размерности р = ( ” ):
П — и +1
пп-1 о
е2 ~е1 е2 ~е1
2 ’ 2
g3~gi е3~е11
2 ’ 2
Г_en-i €п en_| “I
...+ |_- 2 ’ 2 J*
Возможно, один из наиболее простых способов доказательства
того, что приведенная выше сумма Минковского описывает необ-
ходимый многогранник, таков: вначале заметим, что сумма не из-
меняется при перестановках координат, а затем найдем точки этой
суммы, которые максимизируют линейную функцию с G (Rn)*, где
С1 < с2 < • • • < сп • Этому условию, очевидно, удовлетворяет в точности
вершина
_ И + 1 1 _i е2 ~е1 е3 ~е1
2
2
2
2
п + 1 - п-1 п-3 п + 1-2п
= — Л-—«1-—в2-...-----2--еп =
2
Также есть несколько более «очевидных» свойств зонотопов, на-
пример, все зонотопы являются центрально-симметричными мно-
гогранниками. Далее, любая грань куба снова есть куб (после па-
раллельного переноса), поэтому любая грань зонотопа снова яв-
ляется зонотопом, а следовательно, она центрально-симметрична
относительно своего барицентра. Это свойство является характе-
ристическим для зонотопов. Действительно, любой многогранник
с центрально-симметричными 2-гранями является зонотопом; см.
работу Волкера [120] и указанные в ней ссылки, статью Шнайде-
ра [475] или книгу [96, утверждение 2.2.14]. Более того, как пока-
зал Макмаллен в работе [388], любой многогранник с центрально-
симметричными к-гранями для некоторого к, 2 к d — 2, является
зонотопом. Данное утверждение неверно, в случае если только ги-
перграни (k = d -1) являются центрально-симметричными; в этом
случае существует пример правильного 24-гранника (правильного
§ 7.3. Зонотопы
267
4-многогранника, описанного, например, в книге Кокстера [164,
раздел 8.2]), гипергранями которого являются правильные октаэд-
ры; контрпримеры для всех d 4 можно найти в работе Макмаллена
[393].
В частности, свойство многогранника быть зонотопом является
геометрическим, а не комбинаторным. Например, четырехуголь-
ник Qj не является зонотопом, а четырехугольник Q2 является.
Таким образом, свойство быть зонотопом сохраняется при аффин-
ной эквивалентности (и даже при аффинной проекции), но не со-
храняется в общем случае при комбинаторной эквивалентности.
Может понадобиться некоторое время, чтобы понять, что в об-
щем случае зонотопы не являются простыми многогранниками (хо-
тя пермутоэдры являются). На следующем рисунке изображен зоно-
топ, порожденный четырьмя отрезками в R3, никакие три из кото-
рых не лежат в одной плоскости. Этот зонотоп (d = 3, р = 4) имеет
8 простых вершин степени 3 и 6 вершин степени 4, не являющихся
простыми. На рисунке показано (с помощью пунктирной линии),
что вершинная фигура у верхней вершины является квадратом.
268
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Для описания комбинаторной структуры зонопотов у нас есть
лемма 7.10: граням зонотопа Z можно однозначно сопоставить гра-
ни куба, проекцией которого является зонотоп.
Кроме того, любой непустой грани F р-куба можно поставить
в соответствие вектор знаков. Это можно сделать при помощи сле-
дующей естественной конструкции, которая сопоставляет грани F
строку знаков cr(F) G ({+, -, 0}р)*, например, следующим образом:
a(F) = sign(int(F°)).
Это отображение определено корректно, так как для непустой гра-
ни куба соответствующая ей собственная грань кроссполитопа име-
ет постоянные знаки координат на своей внутренности. Существу-
ют и другие, эквивалентные, способы сопоставить грани куба век-
тор знаков ст = cr(F) е ({+, -, 0}р)* = ({-Fl, -1,0}р)*, например,
( р
F = < 2 ^iei: = +1> еСЛИ ai = +,
4=1
Aj = —1, если <Ji = —,
-1 Aj +1, если <Ji = о| =
= {х е Ср: = cr(F)i для всех таких i, что сг(F)f / 0}.
Напомним, что в п. б.З.а мы ввели на векторах знаков покомпо-
нентный частичный порядок, индуцированный условиями:
Мы видим, что чем меньше грань F куба Ср, тем больше ее век-
тор знаков cr(F) относительно указанного частичного порядка «^».
Чтобы полностью получить решетку граней куба, нам также нужно
добавить дополнительный минимальный элемент, так как пустая
грань не содержит точек и, значит, мы не поставили ей в соответ-
ствие вектор знаков. Следовательно,
(Ь(Ср), С) {0} U (({+, -, 0}р)*, £).
На следующем рисунке показано, как граням куба С2 сопоставляют-
ся векторы знаков, и изображена решетка граней L(C2) с векторами
знаков.
§ 7.3. Зонотопы
269
(-+) (0+) (++)
(-0) (00) (+0)
(—) (0-) (+-)
С помощью данного построения мы можем получить векторы
знаков не только для граней кубов, но и для граней зонотопов:
если отображение я: Ср -»Z является проекцией, которая опреде-
ляет зонотоп Z, то для каждой непустой грани G е L(Z) зонотопа
рассмотрим грань n-1(G) е£(Ср) куба и положим
a(G) := aU^CG)).
Таким образом, мы получили вектор знаков для каждой гра-
ни зонотопа, и для данных векторов выполняется неравенство
cr(G) cr(G'), если и только если G с G', т.е. решетка граней зо-
нотопа однозначно определяется набором векторов знаков и анти-
изоморфна ему как частично упорядоченное множество:
(L(Z),C) би ({ct(G): Ge L(Z)\0},^),
где 0 по определению меньше, чем любой вектор cr(G). Обратите
внимание на то, что частичный порядок на решетке граней проти-
воположен порядку на векторах знаков. Чем больше грань зонотопа
Z, тем меньший вектор мы ей сопоставляем по отношению к ча-
стичному порядку, порожденному отношениями 0 < 4- и 0 < -.
Сопоставление граням зонотопа векторов знаков может пока-
заться слегка загадочным. В частности, данное описание (из про-
екции куба) не дает много информации ни о структуре семейства
векторов знаков, которые мы получим, ни об их связи с матрицей
V, которая определяет проекцию. Поэтому сейчас мы «начнем с ну-
ля» и* получим те же векторы знаков с помощью другого подхода,
основанного на оптимизации.
270
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Следующая теорема столь важна, что мы приведем два ее дока-
зательства. Первое доказательство показывает, как вектор знаков
сгс G {4-, -, 0}₽ сопоставляется каждому конусу из нормального ве-
ера зонотопа. Аналогично второе доказательство показыва-
ет, как получить вектор знаков cr(G) G {4-, —, 0}₽ для каждой грани
GeL(Z). Разумеется, этот вектор будет совпадать с вектором, кото-
рый мы получили «проецированием» р-куба. Таким образом, в ре-
зультате у нас получатся три разных построения набора векторов
знаков, соответствующего зонотопу.
Теорема 7.16. Пусть Z = Z(V) CRd—зонотоп. Тогда его нор-
мальный веер c#(Z) является веером конфигурации гиперплос-
костей
= {Hlf...,Hp}
в IRd, заданных в виде
Н( ~{ce(^dy:cvi = 0}.
Первое доказательство. Для каждой из данных гиперплоско-
стей определим положительное полупространство следующим об-
разом:
Н+ = {cG(Rd)*:cvf^0};
и аналогично определим отрицательное полупространство. Таким
образом, нормальным веером одного отрезка [—ц, uj является
множество {HhHf,Hf}, т.е. гиперплоскость и два полупростран-
ства, определяемые ею.
Используя утверждение 7.12, получаем, что нормальный веер суммы
Минковского отрезков [—, vj является конфигурацией гиперплос-
костей т. е. общим подразбиением вееров отдельных гиперплос-
костей.
Расположение вектора с относительно веера {Hit Hf, Н^} опре-
деляется знаком произведения сиР Если sign(cUi) = 0, то с лежит
в Нь если этот знак 4-, то с лежит внутри Hf, а если —, то внутри Н[.
§ 7.3. Зонотопы
271
Следовательно, для общего подразбиения зУу положение векто-
ра с задается вектором знаков sign(cV) е {+, —, 0}р, первая коорди-
ната которого описывает расположение относительно Н19 вторая —
относительно Н2 и т. д. В частности, мы получаем различные векто-
ры знаков для различных конусов в o#(Z), и вложенность конусов
соответствует обычному частичному порядку на множестве векто-
ров знаков.
На следующем рисунке изображен зонотоп, его нормальные ко-
нусы (изображенные с помощью перпендикулярных прямых), нор-
мальный веер, собранный из нормальных конусов (который являет-
ся конфигурацией гиперплоскостей), и знаки, которые мы сопоста-
вили каждому из конусов нормального веера. □
Второе доказательство. Предположим, что мы хотим макси-
мизировать функцию х -> сх на множестве всех ограниченных ли-
нейных комбинаций
( р
Z = \'£xivi: -l^A,^+lk
4=1 1
Мы можем максимизировать эту сумму, взяв наибольшее значение
для каждого слагаемого отдельно, и тем самым получить максимум
на следующей грани зонотопа Z:
Zc = {у € Z: су = шахсх} =
А, = -1, если CV[ < О,
-1 А, +1, если cVi = 0, ►
А, = +1, если CVi > О-
272
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Следовательно, выяснение того, какая грань зонотопа Z макси-
мизирует с, эквивалентно выяснению для каждого i того, как рас-
положен вектор с относительно (на самой плоскости, в положи-
тельном или отрицательном полупространстве), т.е. определению
расположения вектора с в веере конфигурации а/. □
Таким образом, семейство гиперплоскостей а/ дает комбина-
торное описание ковекторов конфигурации V = {vx,..., vp}. Интере-
сен случай, когда конфигурация V порождает Rd, т. е. когда зонотоп
Z(V) имеет размерность d и конфигурация гиперплоскостей яв-
ляется существенной: пересечение всех гиперплоскостей — это на-
чало координат, т. е.
н1пн2о...пнр = {О},
а значит, все конусы в являются заостренными.
Следствие 7.17. Пусть V G Rdxp — конфигурация векторов в Rd.
Тогда существуют естественные биекции между следующими тре-
мя семействами:
• (векторов знаков} непустых граней зонотопа Z(V) с Rd;
• (векторов знаков} граней конфигурации гиперплоскостей
• знаковых ковекторов конфигурации V.
Таким образом, имеются соответствия
К2(У)Д) \ {1} — ~ У*(У) С ({+, 0}₽)*.
Аналогично (в предположении, что V имеет полный ранг} су-
ществуют естественные биекции между следующими тремя семей-
ствами:
• (векторов знаков} гиперграней зонотопа Z(V} с Rd;
• (векторов знаков} одномерных лучей конфигурации гиперплоско-
стей
• знаковых коцепей конфигурации V.
что означает соответствия
гиперграни(г(У}} <--> вершины(Z(V)A) <—> лучи(л/у) <—► ^*(У).
Зоной под номером i зонотопа Z(V} называется набор всех его
граней, которые содержат отрезок [-щ, ц] в качестве одного из
слагаемых по Минковскому. С геометрической точки зрения, зоны
формируют «пояса» на поверхности зонотопа и на самом деле пол-
ностью ее покрывают.
§ 7.3. Зонотопы
273
Понятие зоны также может быть причиной возникновения на-
звания «зонотоп». При биекции между гранями зонотопа и конуса-
ми соответствующей конфигурации гиперплоскостей i-я зона соот-
ветствует i-й гиперплоскости в конфигурации.
Отметим, что векторы ц- и определяют одну и ту же зону
и одну и ту же гиперплоскость ровно в том случае, когда они парал-
лельны. Это вырожденный случай, который мы рассматривать не
будем. На самом деле существует еще более вырожденный случай,
когда ц = 0 для некоторого i. В этом случае вектор не влияет на
геометрию многогранника и мы можем не рассматривать его при
построении зонотопа, = (Rd)* есть все двойственное простран-
ство, a i является одноэлементной цепью (так называемой петлей)
в ориентированном матроиде, которую спокойно можно удалить.
Количество зон является основной мерой сложности зонотопа;
оно совпадает с количеством различных гиперплоскостей в соот-
ветствующей конфигурации и с количеством классов эквивалентно-
сти элементов в соответствующем ориентированном матроиде. Ес-
ли мы предположим, что конфигурация VeRdxp является простой,
т. е. в ней нет нулевых или параллельных векторов, то количество
зон равно р. Ключевое наблюдение состоит в том, что этот пара-
метр может быть найден исходя из самого многогранника Z и не
зависит от выбора конфигурации V. Тем не менее, для каждого зо-
нотопа Z существует задающая его простая конфигурация векторов,
причем она является единственной с точностью до перестановки
векторов и перемен знаков.
При переходе от зонотопов к конфигурациям гиперплоскостей
и обратно простые зонотопы соответствуют симплициальным конфи-
274
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
гурациям гиперплоскостей, которые являются классическими объек-
тами для геометрических исследований, так как они связаны с теори-
ей групп отражений и алгебр Ли. (См. замечания в конце главы.)
Между этими двумя объектами также существует и метрическое
соответствие, возникающее из полярности. Действительно, из про-
стого наблюдения, что нормальный веер многогранника является
веером граней полярного многогранника (см. упражнение 7.1), для
каждой конфигурации гиперплоскостей мы получаем многогран-
ник, который «порождает» эту конфигурацию как веер.
Следствие 7.18. Пусть sty — конфигурация гиперплоскостей в
(Rd)*. Тогда веер граней многогранника, полярного к соответству-
ющему зонотопу, совпадает с веером конфигурации sty\ =
= <^(Z(V)A). В частности, если V порождает Rd, то конфигурация
является существенной, зонотоп полномерным и полярный ему
полиэдр является многогранником.
Таким образом, веер существенной конфигурации гиперплоско-
стей всегда является веером граней многогранника.
Далее мы приведем построение явного примера для данного
следствия. Отметим, что хотя идея доказательства достаточно про-
ста, но тот геометрический факт, что можно построить многогран-
ник, который «подходит» для любой наперед заданной конфигура-
ции гиперплоскостей, на первый взгляд не является очевидным.
fl 0 -- 1А
I 2 v 2 I
Пример 7.19. Для матрицы V = ? , наше построе-
1г 2 0 -М
ние выглядит следующим образом:
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
275
Следствие 7.18 показывает, что комбинаторика зонотопов экви-
валентна комбинаторике конфигураций гиперплоскостей в очень
сильном смысле. В заключение данного параграфа мы приведем од-
но из нетривиальных применений указанной эквивалентности. Для
этого рассмотрим классическую теорему из теории конфигураций
гиперплоскостей — теорему Шеннона [493].
У любой существенной конфигурации d, состоящей из п гипер-
плоскостей в Rd, есть не менее 2п симплициальных областей.
Более точно, к каждой гиперплоскости прилегают не менее 2d
симплициальных областей, и не менее 2(п — d) симплициальных
областей не прилегают к этой гиперплоскости.
(Отметим, что симлициальные области разбиваются на пары, так
как конус, симметричный симплициальному относительно начала
координат, также является симплициальным.) Из теоремы Шеннона
можно вывести следующую теорему о зонотопах.
Теорема 7.20 (теорема Шеннона для зонотопов). У любого d-зо-
нотопа с п зонами есть хотя бы 2п простых вершин.
Более точно, в любой зоне содержатся не менее 2d простых вер-
шин, и не менее 2(n - d) простых вершин не содержатся в этой зоне.
Доказательство теоремы Шеннона для конфигураций гипер-
плоскостей достаточно просто; см. работу Руднефа и Штурмфельса
[467], где приведено несколько доказательств; см. также [96, теоре-
ма 2.1.5]. Интересно, что нет чисто комбинаторного доказательства.
Более того, соответствующее утверждение для ориентированных
матроидов неверно. Как мы увидим далее, из этого следуют инте-
ресные свойства разбиений на зонотопы.
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
К настоящему времени мы уже видели столько примеров ори-
ентированных матроидов, что читатель не должен испугаться акси-
оматического определения. На самом деле приведенные далее ак-
сиомы всего лишь абстрактно описывают «наиболее важные» свой-
ства, которым удовлетворяют системы векторов знаков следующих
объектов (эквивалентно):
• конфигураций гиперплоскостей;
• зонотопов;
• конфигураций векторов;
• аффинных конфигураций точек (в частности, вершин много-
гранников!).
276
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Мы видели, что в каждом из этих случаев мы получаем множество
векторов знаков вида У* = SIGN(U) для некоторого линейного под-
пространства U CRn.
Рассмотрим множество У*, полученное с помощью одного из
указанных выше методов; по-видимому, лучше всего рассмотреть
ориентированную существенную конфигурацию гиперплоскостей
а/ = {Н19 ...,Нп} и взять в качестве У* множество векторов зна-
ков всех ее конусов. (Например, можно рассмотреть конфигурацию,
указанную в доказательстве теоремы 7.16.)
Нам потребуются следующие операции на множестве векторов
знаков. Нулевой вектор 0 и вектор -и, противоположный вектору
знаков и, определяются очевидным образом. Носителем вектора
знаков и называется множество supp(u) = {i: щ 0 0}. Композиция
двух векторов и, v определяется покомпонентно:
(uh если щ 0 0,
(uov), := 4
(ц иначе.
Разделяющее множество для и, v имеет вид
S(u,v) := {i: щ = -ц / 0}.
Наконец, для j G S(u, v) мы будем говорить, что w исключает j меж-
ду и и v, если
Wj = 0 и щ = (uov)j для всех i ф S(u, v).
Может показаться, что мы привели слишком много определений,
но, как мы увидим далее, каждое из них имеет свое конкретное
значение для (множеств) векторов знаков и конкретный геометри-
ческий смысл.
Определение 7.21 (ориентированные матроиды). Набор У* с
с {+, —, 0}п называется множеством ковекторов ориентированного
матроида, если он удовлетворяет следующим аксиомам для ковек-
торов:
(V0) 0 G У* («нулевой вектор знаков всегда является ковекто-
ром»);
(VI) и G У* => -и G У* («вектор знаков, противоположный к ко-
вектору, также является ковектором»);
(V2) и, v G У * => и о v G У * («множество ковекторов замкнуто от-
носительно операции композиции»);
(V3) и, v G У*, j g S(u, v) => 3w G У*: w исключает j между и и v
(«множество ковекторов допускает исключение»).
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
277
Рангом ориентированного матроида У* называется наибольшее
число г, для которого У* содержит цепь ковекторов длины г:
О < X1 < X2 < ... < Хг, где X1 G У*.
Ранг матроида У* будем обозначать г(У*) = г.
Утверждение 7.22. Рассмотрим линейное подпространство U с
с Rn размерности г. Множество вектор-столбцов знаков
SIGN(U) = {sign(u): и G U} С {+, 0}п
является множеством ковекторов ориентированного матроида ран-
га г,
(Данное утверждение доказывает, что реализуемые ориентиро-
ванные матроиды Л(У), введенные в определении 6.5, на самом
деле являются ориентированными матроидами ранга г в смысле
определения 7.21, если мы воспользуемся соотношением U :=Val(V)
для построения множества ковекторов У*.)
Доказательство. Это утверждение является простым, но важ-
ным, так как придает «геометрический смысл» аксиомам и опера-
циям над векторами знаков.
Гиперплоскости {х£ = 0} индуцируют существенную конфигура-
цию гиперплоскостей в U, заданную соотношениями
:= {х G U: = 0}.
Для этих гиперплоскостей, ограниченных на U, положительные по-
лупространства однозначно определены соотношениями
Н+ := {х G U: Xi 0}.
По построению (У*, ^) является частично упорядоченным множе-
ством граней существенной ориентированной конфигурации ги-
перплоскостей Ж = {НЪ ...,Нп} в U. Следовательно, это частично
упорядоченное множество имеет длину г.
Чтобы проверить аксиому (V0), заметим, что вектор 0 G U имеет
знак O = sign(O) gSIGN(LT). Для проверки аксиомы (VI) рассмотрим
и = sign(u) для некоторого и g U. Из импликации и G U => -u G U
следует, что — и = — sign (и) = sign(—и) G SIGN(U).
Идея операции композиции в аксиоме (V2) следующая: если
и, v G U, то для любого е G R вектор и + ev принадлежит U.
278
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Теперь для произвольных и, v G Rn и достаточно малого е > 0 мы
получаем, что sign(u) о sign(u) = sign(u + st;),—-это легко прове-
рить, сравнив векторы знаков покомпонентно. Отсюда следует, что
sign(u) о sign(v) е SIGN(U).
Для проверки исключения в аксиоме (V3) используем тот факт,
что если векторы и, v принадлежат U, то и их произвольная линей-
ная комбинация также содержится в U, в частности, это верно для
w := UjV — VjU. Если > 0 и Vj < 0, то вектор w — положительная
линейная комбинация векторов и и v.
Рассматривая отдельные компоненты векторов знаков, мы видим,
что j-я координата вектора w равна нулю. Аналогично если i-e ко-
ординаты векторов и и v не имеют противоположного знака, то и i-я
координата любой их положительной линейной комбинации имеет
знак sign(щ) = (ио v)f, что и требуется. □
Аксиомы из определения 7.21 дают нам описание чисто комби-
наторной модели геометрии конфигураций гиперплоскостей, кон-
фигураций векторов, конфигураций точек или зонотопов. Суще-
ствуют два (тесно связанных) вопроса, мимо которых мы не можем
пройти.
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
279
• Насколько хороша эта модель? Насколько точно комбинаторика
ориентированных матроидов представляет состояние геометри-
ческого объекта в вещественном пространстве?
• Для чего эта модель наиболее подходит?
Далее мы постараемся ответить на оба вопроса.
Замечание 7.23 («Насколько хорошей моделью являются ори-
ентированные матроиды?»).
• Модель превосходна. Все основные структурные свойства, до-
казанные нами в реализуемом случае в § 6.3, обобщаются на случай
произвольных ориентированных матроидов. В частности, мы имеем
— дуальность (как в определении 6.10);
— эквивалентность различных типов данных (как в следствии 6.9);
— удаление и сжатие в качестве основных операций (как в утвер-
ждении 6.11).
• Теорема о топологическом представлении Лоуренса [207], [96,
гл. 5] утверждает, что каждый ориентированный матроид «почти»
реализуем: он может не соответствовать настоящей конфигурации
гиперплоскостей, но всегда соответствует конфигурации псевдоги-
перплоскостей, которые не обязательно являются прямолинейны-
ми, но могут быть слегка топологически деформированы.
В оставшейся части данного параграфа мы дадим краткий на-
бросок доказательства для случая г = 3, который соответствует «кон-
фигурациям псевдопрямых» на плоскости, изученным Грюнбаумом
[255]; см. также [96, гл. 6].
• При некоторых ограничениях на параметры, например при
г $ 2, при г п - 2 и при п $ 7, любой ориентированный матроид
является реализуемым, т. е. модель идеальна.
• Даже нереализуемые ориентированные матроиды встречают-
ся «на практике». В следующем параграфе мы приведем пример,
когда нереализуемый матроид появляется при изучении разбиений
на зонотопы.
Замечание 7.24 («Для чего нужны ориентированные матрои-
ды?»).
• Ориентированные матроиды объясняют такие конструкции,
как диаграммы Гейла и конструкция Лоуренса (см. гл. 6), которые,
несомненно, полезны и имеют различные применения.
• Ориентированные матроиды дают универсальную базу для ис-
следования, согласованную терминологию и методы, допускающие
широкое применение в нескольких областях геометрии.
280
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
• В течение последних двадцати лет была развита обширная тео-
рия ориентированных матроидов, содержащая множество нетри-
виальных результатов. Результаты об ориентированных матроидах
с легкостью переносятся из одной области приложения (например,
с конфигураций гиперплоскостей) в другую (например, на много-
гранники). В качестве основы для изучения мы рекомендуем книгу
Бьорнера и др. [96] и обзор Боковски [112].
• Теория ориентированных матроидов позволяет нам в опреде-
ленном смысле работать непосредственно с комбинаторикой объек-
тов, которые геометричны (например, некоторые симплициальные
сферы), но не могут быть представлены в реальном «евклидовом
пространстве» (по крайней мере, в качестве многогранников).
• Таким образом, ориентированные матроиды являются есте-
ственным промежуточным шагом в классификации (симплициаль-
ных) сфер на многогранники и «немногогранники». Этот подход
был впервые использован Боковски; см. [20,16,117] и монографию
Боковски и Штурмфельса [118].
Далее мы рассмотрим область, в которой появляются нереали-
зуемые ориентированные матроиды, — теорию конфигураций псев-
допрямых. Чтобы понять связь данной темы с изложенными вы-
ше результатами, рассмотрим конфигурацию аУ, состоящую из п
гиперплоскостей в Rd (все гиперплоскости проходят через начало
координат). Чтобы нарисовать и представить эту конфигурацию,
рассмотрим ее пересечение с аффинной гиперплоскостью, которая
не проходит через начало координат и параллельна одной из ги-
перплоскостей конфигурации. Так мы получим аффинную конфи-
гурацию гиперплоскостей jzfaf, состоящую из п — 1 аффинной ги-
перплоскости. (Таким образом, аффинная гиперплоскость не обяза-
тельно содержит начало координат 0, но если мы говорим просто
гиперплоскость, то мы имеем в виду линейную гиперплоскость, ко-
торая содержит начало координат.)
Вся геометрическая и комбинаторная структура конфигурации
гиперплоскостей а/ может быть легко восстановлена по ее «аффин-
ному рисунку» j/aff с точностью до линейного преобразования, а зна-
чит, при переходе к аффинному пространству ничего не теряется.
В частности, можно восстановить ориентированный матроид конфи-
гурации а/ по конфигурации j^aff, предполагая, что гиперплоскости
в a/aff пронумерованы и определены положительные стороны.
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
281
Так, в нашем примере для случая d = 3 мы получаем аффинную
конфигурацию состоящую из п — 1 = 4 прямых в аффинной
(изображенной пунктиром) плоскости, из первоначальной конфи-
гурации, состоящей из 5 гиперплоскостей, одна из которых горизон-
тальная, а остальные четыре определяются как аффинные оболочки
одной из прямых и начала координат.
Таким образом, в случае d = 3 аффинная конфигурация прямых
линий в R2 задает трехмерную конфигурацию (гипер)плоскостей.
Любая конфигурация прямых на плоскости определяет ориентиро-
ванный матроид ранга 3.
Впрочем, если у нас есть конфигурация «непрямых» линий на
плоскости, то похожим способом мы также можем получить ориен-
тированный матроид ранга 3. Существует несколько достаточно об-
щих способов определения таких «непрямых» линий. По существу,
нам подходит любой тип неограниченных в обе стороны топологи-
ческих кривых. Общий случай рассматривается в книгах [255] или
[96, гл. 6]. Мы будем использовать упрощенную версию с аналогич-
ными комбинаторными результатами.
Определение 7.25. Псевдопрямой называется бесконечная ло-
маная без самопересечений с конечным количеством точек излома
в R2, концы которой «уходят на бесконечность» в противоположных
направлениях.
Конфигурацией псевдопрямых называется такое конечное мно-
жество псевдопрямых на плоскости, что
1) любые две псевдопрямые или не имеют общих точек (в таком
случае мы будем называть их параллельными), или имеют ровно
одну общую точку и пересекаются в ней;
282
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
2) отношение параллельности транзитивно (т. е. если псевдо-
прямая пересекает одну из двух параллельных псевдопрямых, то она
пересекает и вторую).
Пусть & — конфигурация п — 1 псевдопрямых, обозначенных
£i, для каждой из которых выбрана положительная часть
плоскости. Для каждого X е {+, —, 0}п-1 пусть Fx — это множество
таких точек х е R2, которые лежат в положительной части плоскости
относительно если X? = +, в отрицательной части плоскости
относительно если X* = —, и на псевдопрямой ti9 если X? = 0.
Множество Fx может быть пустым, а если это не так, то оно назы-
вается гранью конфигурации соответствующей X.
Например, на следующем чертеже маленькие стрелки использо-
ваны для обозначения положительной части плоскости относитель-
но каждой из псевдопрямых. Затененная область (без границы) —
грань, соответствующая X = (- + Ч---), утолщенное ребро (без
концов) — грань, соответствующая X = (—0 Ч ), а вектор-строке
знаков (— Ч- 0 ) не соответствует никакая грань.
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
283
Аналогично присвоим метки граням на бесконечности, а именно,
мы получаем «грань на бесконечности» для каждой неограничен-
ной грани конфигурации &, где нужно принимать во внимание тот
факт, что «параллельные линии пересекаются на бесконечности».
Так, на следующем рисунке два утолщенных ребра Fj и F2 и затенен-
ная неограниченная грань F, где XF1 = (-0---), Хр2 = (--НО—)
и Xе = (---1----), все определяют одну и ту же грань GY на беско-
нечности, для которой Y = (-00-).
Теорема 7.26. Пусть & = {£i> — помеченная конфигу-
рация псевдопрямых, для каждой из которых выбрана положитель-
ная сторона. Тогда семейство векторов знаков
:= {(XF, 4-): F — грань конфигурации ^}и
U{(FG, 0): G— грань на бесконечности конфигурации ^}U{(0,0)}и
U{(-Xе, -): F —грань конфигурации с {+, —, 0}п
является ориентированным матроидом ранга 3.
Доказательство. По конфигурации &, состоящей из и — 1 псев-
допрямой, с помощью описанного ранее метода можно восстано-
вить линейную конфигурацию п «псевдоплоскостей», проходящих
через начало координат в R3, где n-я псевдоплоскость является
обычной плоскостью, соответствующей прямой на бесконечности
из &.
284
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Следующий рисунок показывает две псевдоплоскости из итоговой
конфигурации в R3: горизонтальная псевдоплоскость соответствует
прямой на бесконечности для 9, а неплоская — псевдопрямой из 9.
Ориентированный матроид У*(^) с 0}п получается из
этой конфигурации таким же способом, как и в случае обычных
конфигураций плоскостей в R3.
Доказательство того, что семейство У* (09 является ориенти-
рованным матроидом, аналогично доказательству в реализуемом
случае в утверждении 7.22, за тем исключением, что аргументы из
линейной алгебры следует заменить на комбинаторные, которые
имеют место и в нелинейном случае.
Подробности мы оставляем читателю и предлагаем ознакомить-
ся с книгой [96, раздел 5.1], где доказательство приведено даже для
более общего случая. □
Существует удивительно сильная теорема: теорема Лоуренса
о топологическом представлении, которая утверждает, что
любая линейная конфигурация п псевдогиперплоскостей в Rd да-
ет ориентированный матроид V* с {+, —9 0}п ранга d.
Теорема 7.26 представляет случай d = 3 данного утверждения.
(В этой книге мы не будем приводить точное определение конфи-
гурации псевдогиперплоскостей. Интуитивно оно должно быть по-
нятно; подробное объяснение см. в книге [96, гл. 5].) Кроме того,
топологическая теорема о представлении включает в себя и обрат-
ное утверждение:
любой ориентированный матроид ранга d на п элементах мо-
жет быть представлен конфигурацией п линейных псевдогипер-
плоскостей в Rd, которая, по существу, единственна.
Следовательно, у нас есть взаимно однозначное соответствие
ориентированные матроиды <—► классы эквивалентности
псевдоконфигураций.
§ 7.4. Нереализуемые ориентированные матроиды
285
Вторая часть указанной теоремы, гарантирующая построение псев-
доконфигурации для данного ориентированного матроида, намно-
го сложнее для доказательства: она не проста даже в частном случае
d = 3.
Полные доказательства теоремы о топологическом представле-
нии были даны Фолкманом и Лоуренсом [207], Эдмондсом и Манде-
лом [191] (которые впервые доказали более строгую кусочно линей-
ную версию, соответствующую нашей версии ломаных псевдопря-
мых), в работе Бахема и Керна [35] и в работе Бьорнера и др. [96,
гл. 4 и 5].
Определение 7.27. Две конфигурации псевдопрямых называ-
ются комбинаторно эквивалентными, если, после возможного пе-
реобозначения прямых и изменения положительных частей плоско-
сти, они задают один и тот же ориентированный матроид.
Конфигурация псевдопрямых 9 называется реализуемой (или
растягиваемой), если она комбинаторно эквивалентна (обычной)
конфигурации прямых, т. е. если ориентированный матроид У*(^)
является реализуемым.
Являются ли конфигурации псевдопрямых более общим объек-
том, чем конфигурации прямых? Или любая конфигурация псевдо-
прямых всегда является растягиваемой? На самом деле нереализу-
емые конфигурации псевдопрямых существуют, и их не так сложно
построить. Следующая конструкция нереализуемой конфигурации
псевдопрямых появилась уже в работе Леви [362] в 1926 г. — самой
первой (насколько я знаю) работе о конфигурациях псевдопрямых.
Пример 7.28 (Леви [362]). Рассмотрим следующую конфигура-
цию 8 прямых на плоскости, хорошо известную как конфигурация
Паппа.
Теорема Паппа утверждает, что три черные точки всегда лежат
на одной прямой в любой конфигурации прямых, комбинаторно эк-
286
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Бивалентной данной. Отсюда следует, что не существует представ-
ления с помощью прямых для следующей непапповой конфигурации
псевдопрямых:
Тем не менее, как следует из теоремы 7.26, данная конфигурация
все равно задает некоторый ориентированный матроид МпР (при-
чем однозначно, если мы пронумеруем псевдопрямые и определим
положительную часть плоскости для каждой из них), который мы
назовем непапповым. Это ориентированный матроид ранга 3 на 10
элементах. Однако если мы удалим элемент, соответствующий пря-
мой на бесконечности, мы получим ориентированный матроид
на 9 элементах, который также не является реализуемым, так как
эта прямая не играет роли в доказательстве нереализуемости.
Существуют также и простые нереализуемые конфигурации псев-
допрямых (никакие три псевдопрямые не пересекаются в одной точ-
ке и не параллельны); см. работу Рингеля [463], а также [255, с.42]
и упражнение 7.16, в котором приведен пример только с 9 псевдо-
прямыми на плоскости. На самом деле все (простые или нет) кон-
фигурации не более чем 8 псевдопрямых являются реализуемыми
(при этом мы учитываем прямую на бесконечности, если она есть),
и пример Рингеля, согласно работе Рихтер-Геберта [455], является
по существу единственным простым примером с 9 псевдопрямыми.
§ 7.5. Разбиения на зонотопы
Что вы «видите», если «смотрите» на d-мерный зонотоп? Вы ви-
дите «передние гиперграни», т. е. (d -1)-грани, которые заполняют
многогранник, являющийся проекцией зонотопа, а значит, и зоно-
топом.
§ 7.5. Разбиения на зонотопы
287
Если d = 3 (а именно такой случай вам, скорее всего, встре-
тится) и вы смотрите из точки, расположенной очень далеко, то
картина может выглядеть так, как показано на следующем рисунке,
на котором изображен десятиугольник, заполненный грань-в-грань
четырехугольниками и шестиугольниками.
В общем случае увиденная фигура будет (параллельной) про-
екцией зонотопа, которая тоже является зонотопом. Кроме того,
данная проекция заполнена образами передних граней зонотопа,
которые тоже являются зонотопами.
Таким образом, «разглядывание зонотопов» приводит нас к разби-
ениям на зонотопы, которые можно определить следующим обра-
зом.
Определение 7.29. Разбиение на зонотопы ранга d — это такой
(d — 1)-мерный полиэдральный комплекс что одновременно объ-
единение |^| и любая грань F е являются зонотопами.
Разбиение на зонотопы называется регулярным, если его мож-
но получить, «глядя» на d-мерный зонотоп из точки, находящейся
на бесконечности, т. е. если оно возникает из проекции я: Z —> |^|
зонотопа Z при помощи конструкции из определения 5.3.
Если разбиение на зонотопы является регулярным, то оно опи-
сывает некоторый d -мерный зонотоп, а значит, соответствует ори-
ентированному матроиду ранга d.
Тем не менее, не все разбиения на зонотопы являются регуляр-
ными. Чтобы показать это, вначале заметим, что в случае d = 3 есть
288
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
естественный способ «нарисовать» конфигурацию псевдопрямых на
разбиении на зонотопы так, как это показано на следующем рисунке.
Отметим, что не существует аналогичного (систематичного)
способа изобразить на нашем рисунке конфигурацию прямых, не-
смотря на то что на нем изображен настоящий трехмерный зоно-
топ! Таким образом, мы видим, что появление конфигураций псев-
допрямых в кусочно линейной версии определения 7.25 достаточно
естественно.
Вы узнаёте конфигурацию псевдопрямых, которую мы только что
нарисовали? Она комбинаторно эквивалентна конструкции Паппа,
которую мы построили ранее, с одной дополнительной горизонталь-
ной прямой, проходящей через три выделенные точки, которые в лю-
бом случае лежат на одной прямой по теореме Паппа. Следовательно,
эта конфигурация псевдопрямых, конечно же, реализуема!
Лемма 7.30. Все конфигурации псевдопрямых, получающиеся из
регулярных разбиений на зонотопы ранга 3, реализуемы.
Доказательство. Предположим (без ограничения общности),
что проецируемый 3-зонотоп содержит «особое» слагаемое в на-
правлении проецирования. Рассмотрим соответствующую конфигу-
рацию гиперплоскостей, содержащую гиперплоскость, двойствен-
ную к особому слагаемому.
Теперь построим аффинную конфигурацию, пересекая данную
конфигурацию аффинной плоскостью, которая параллельна осо-
бой. Получившаяся конфигурация прямых комбинаторно эквива-
§ 7.5. Разбиения на зонотопы
289
лентна нашей изначальной конфигурации псевдопрямых; по по-
строению у них одинаковые ориентированные матроиды. □
Для вышеприведенного разбиения на зонотопы конструкция из
доказательства леммы 7.30 дает нам конфигурацию прямых, кото-
рую мы уже использовали для иллюстрации теоремы Паппа, с до-
полнительной горизонтальной прямой, проходящей через три вы-
деленные точки.
Теперь слегка изменим разбиение на зонотопы, при этом также
изменится и конфигурация псевдопрямых. Мы получим разбиение
на зонотопы, изображенное на следующем рисунке, которое «ре-
ализует» нереализуемую непаппову конфигурацию псевдопрямых
внутри разбиения на зонотопы! Что произошло?
Мы вплотную подошли к замечательному результату—теореме
Ббнэ—Дресса. Она утверждает, что любое разбиение на зонотопы
ранга d задает ориентированный матроид ранга d, и наоборот, опи-
сывает те ориентированные матроиды, которые могут быть пред-
ставлены разбиениями на зонотопы данного зонотопа Z.
Здесь достаточно сложно предоставить подробное описание дву-
стороннего перехода от разбиений на зонотопы к псевдоконфигура-
циям, который предложен на рисунках, так как мы даже не опре-
делили многомерные псевдоконфигурации и не собираемся этого
делать (чтобы избежать ненужных топологических тонкостей). Тем
не менее, все описываемые здесь конструкции имеют многомерные
аналоги, и мы хотим предоставить хотя бы основные средства для
их описания.
290
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Таким образом, мы будем работать в другом направлении: с уче-
том теоремы о топологическом представлении нам достаточно по-
строить ориентированный матроид, ассоциированный с разбиени-
ем на зонотопы, а это, в свою очередь, всего лишь система векторов
знаков, без участия топологии! И это все.
Далее мы приведем основную конструкцию и покажем, как каж-
дой грани разбиения на зонотопы почти канонически сопоставляет-
ся связанный с ней вектор знаков.
Конструкция и определения 7.31 ([111], [461, раздел 1]). Пусть
%—разбиение на зонотопы в Rd.
Два ребра е,е' называются эквивалентными, если существу-
ет такая последовательность ребер
е = во, ..., et = е!
разбиения %, что ребра е(_г и et являются противоположными
в некоторой 2-грани разбиения % для 1 i t.
Если такое определение разбивает все ребра в % на п клас-
сов эквивалентности, то п есть число зон разбиения %. Пусть
^,<^2, &п — соответствующие классы эквивалентности ребер.
Тогда i-й зоной разбиения обозначаемой 3%, называется множе-
ство всех граней F е X у которых есть грань в Q.
Ребра из одного класса эквивалентности являются параллель-
ными переносами друг друга, следовательно, мы можем выбрать
такие векторы vt G Rd, что все ребра из будут параллельными
переносами ребра [~vr, uj В этом случае мы будем говорить,
что конфигурация векторов
V ~ (иг, и2,..., vn) GRdxn
соответствует разбиению %. Эта конфигурация векторов един-
ственна с точностью до переобозначения индексов и обращения зна-
ков.
Конфигурация векторов V является мультимножеством: она
может содержать сонаправленные или противоположно направлен-
ные векторы. Несложно видеть, что зонотоп Z(V), который эта
конфигурация порождает, является параллельным переносом зоно-
топа |ЗГ|.
Выбор вектора vt также определяет положительную и отрица-
тельную стороны зоны 3%. Таким образом, каждой грани Fe3f мы
§ 7.5. Разбиения на зонотопы
291
можем сопоставить вектор знаков
XF е {+, 0}п
с помощью равенства
если F находится с положительной стороны от зоны
если F G
если F находится с отрицательной стороны от зоны 2%.
Множество
:= {XF: F е 2?}
называется множеством аффинных векторов знаков разбиения
Следующий набросок показывает одну зону в папповом раз-
биении на зонотопы. Эта зона состоит из утолщенных ребер (ко-
торые все вместе образуют множество gj и затененных 2-граней.
Отмечен один из возможных векторов причем положительная
и отрицательная сторона зависят от этого выбора: если заменить
Vi на —vif то стороны зоны поменяются местами.
положительная _
сторона зоны
отрицательная
сторона зоны
На следующем рисунке отмечены все зоны вместе с направлени-
ями. Также выписаны соответствующие векторы знаков для одной
вершины, одного ребра и одной 2-грани разбиения.
292
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Теорема Ббнэ—Дресса 7.32 ([111, теоремы 4.1, 4.2], [461, теоре-
ма 1.7]). Пусть V eRdxn — конфигурация векторов ранга d, и пусть
Z := Z(V) — соответствующий зонотоп, а V* := У*(V) — соответ-
ствующий ориентированный матроид. Если 2?—разбиение на зо-
нотопы для Z, для которого V соответствует то семейство
векторов знаков
V* :={(X,+):Xg tf(2T)}u
U{(У,0): У G У*(У)}и{(-Х, -): X G tf(2T)}.
является ориентированным матроидом ранга d -I-1. Более того,
конструкция 2?—tV* индуцирует каноническую биекцию между
• разбиениями на зонотопы многогранника Z(V) с соответ-
ствующей конфигурацией векторов V и
• ориентированными матроидами V* с {+, —, 0}п+1, где
{X G {+, -, 0}n: (X, 0) G У*} = y*(V).
Доказательство. Данное соответствие подсказано нам конфи-
гурацией псевдогиперплоскостей, которую можно построить для
каждого разбиения на зонотопы. Мы видели, что это выглядит
правдоподобно, по крайней мере в случае ранга 3.
Полное доказательство теоремы 7.32 вместе с обоснованием
корректности конструкции 7.31 оказалось неожиданно сложным.
Мы предлагаем читателю ознакомиться с ним в диссертации Ббнэ
§ 7.5. Разбиения на зонотопы
293
[111] или в работе Рихтер-Геберта и Циглера [461], где приведено
новое доказательство. □
С помощью теоремы Бонз—Дресса можно переносить результа-
ты об ориентированных матроидах на случай разбиений на зоно-
топы и наоборот. В дальнейшем мы опишем один из таких (удиви-
тельных) примеров.
Определение 7.33. Вершина разбиения на зонотопы % ранга
d называется простой, если ее степень равна d — 1 и она является
вершиной зонотопа Z = |ЗГ| или если ее степень равна d и она не
является вершиной зонотопа Z.
Из теоремы Шеннона 7.20 мы получаем следующую оценку.
Следствие 7.34. В любом регулярном разбиении на зонотопы
ранга d с п — 1 зоной есть не менее d простых вершин на границе
зонотопа Z:=\3f\ и не менее n — d простых вершин внутри Z.
С помощью элементарных рассуждений несложно показать, что
любое разбиение на зонотопы ранга 3 удовлетворяет этим оцен-
кам, даже в случае, если оно не является регулярным (см. упраж-
нение 7.15). Например, в случае непаппова разбиения на зонотопы
непростыми вершинами будут отмеченные на следующем рисунке;
все остальные вершины будут простыми.
Тем не менее, при помощи псевдоконфигураций возможно постро-
ить ориентированные матроиды, у которых будет меньше чем 2п
симплициальных областей. Первый пример такого типа был по-
строен Руднефом и Штурмфельсом [467].
294
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
«Мировой рекорд», касающийся простых вершин, принадлежит
в настоящее время Рихтер-Геберту [456, теорема 2.2], который по-
строил ориентированные матроиды ранга 4 на 4п элементах, со-
держащие всего 6п симплициальных областей. Более того, в при-
мере Рихтер-Геберта [456, теорема 2.3] получен ориентированный
матроид R(20) ранга 4, в котором псевдогиперплоскость «8» не со-
седствует ни с одной симплициальной областью, а ограничение на
псевдогиперплоскость 8 (сжатие R(20)/8 ориентированного матро-
ида) является реализуемым. С помощью теоремы Бонэ—Дресса эти
результаты переходят в следующую теорему.
Теорема 7.35. 1. Существует разбиение на зонотопы ранга 4
(в R3) с 7 зонами (п = 8),у которого всего 7 простых вершин и толь-
ко 3 из них находятся на границе [467].
2. При к^2 существуют разбиения на зонотопы ранга 4 (в R3)
3
с 4к - 1 зоной (и = 4k), у которых только 3k + l = ^n + l простых
вершин [456, теорема 2.2].
3. Существует трехмерное разбиение на зонотопы с 19 зонами,
у которого нет простых вершин на границе [456, теорема 2.3].
Читатель может попробовать мысленно представить себе эти
результаты; ввиду «геометрического» описания конфигураций псев-
доплоскостей в работе Рихтер-Геберта с большим количеством ри-
сунков это вполне возможно. Фотография геометрической моде-
ли ориентированного матроида из части 1, построенной Боковски
и Рихтер-Гебертом, приведена в работе [112, с. 562].
Примечания
По-видимому, впервые о пермутоэдре написал Шуте в 1911 г.
[481]. Зонотопы общего виды были известны Бляшке [101, с. 250].
Первое систематическое исследование зонотопов проведено в рабо-
те Болкера [119] и в вышедших сразу после нее работах Шнайдера
[475] и затем Макмаллена [392]. Макмаллен развил теорию диа-
грамм зон — одного из вариантов диаграмм Гейла, подходящего для
зонотопов с малым количеством слагаемых (см. упражнение 7.7).
В настоящее время интерес к этой теме возобновился благодаря ее
связи с ориентированными матроидами, конфигурациями гипер-
плоскостей, вопросами оптимизации, вычислительной геометрией
и выпуклостью и т.д. Мы рекомендуем обзоры Макмаллена [394],
Шнайдера и Вейля [478], книгу [96, раздел 2.2], работу Гритцмана
Примечания
295
и Штурмфельса [244] и приведенные в них ссылки. Более подробно
о суммах Минковского можно узнать из работы [244].
Теория конфигураций гиперплоскостей содержит множество раз-
личных аспектов, и мы даже не будем пытаться упомянуть их все.
Мы рекомендуем книгу [96], в которой описан случай веществен-
ных конфигураций гиперплоскостей и их ориентированных матро-
идов, а также приведены дальнейшие ссылки. Конфигурации пря-
мых и псевдопрямых (соответствующие конфигурациям ранга 3)
превосходно описаны в работе Грюнбаума [255].
Веера граней многогранников, и не только они, представляют
большой интерес для алгебраической геометрии. В частности, с их
помощью представляются торические многообразия. В этом случае
интерес ограничивается веерами, которые являются заостренными
(т. е. {0} G и рациональными (каждый конус порожден рацио-
нальными векторами). Мы рекомендуем книги Фултона [215], Оды
[426] и особенно книгу Эвальда [201], в которой предлагается ком-
бинаторная трактовка.
Простые зонотопы существуют, но они встречаются редко. Как
мы видели, они соответствуют симплициальным конфигурациям
гиперплоскостей. Примеры таких конфигураций естественным об-
разом возникают в теории групп Кокстера, систем корней и алгебр
Ли [127], [135], [289], [96, раздел 2.3]. Существует гипотеза, что,
за исключением небольшого количества «очевидных» бесконечных
семейств, большинство из которых приходит из указанных выше
теорий, существует только конечное множество «случайных» при-
меров, но пока нет ни малейшей идеи, как это доказать. Мы ре-
комендуем работу Грюнбаума [254], в которой рассмотрен случай
г = 3, и работу Грюнбаума и Шепарда [258], в которой рассмотрен
случай г = 4. Перечисление всех «известных» конфигураций гипер-
плоскостей ранга 3, предпринятое в работе [254], может быть, по
существу, полным; к настоящему времени к нему появилось только
одно дополнение и одно исправление (Грюнбаум [255] и Бартел,
Хирцебрух и Хёфер [56]), в то время как перечисление из работы
[258] для случая г 4, вероятно, далеко от завершения; см. работы
Александерсона и Ветцеля [8, 9, 10]. Современные ссылки можно
найти в работе Ветцеля [556].
Теорема Бонэ—Дресса была озвучена Андреасом Дрессом в 1989 г.
на Симпозиуме по комбинаторике и геометрии в Стокгольме. Она
представляет собой удивительно простое геометрическое наблюде-
296
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
ние, которое до этого ускользало от всеобщего внимания. Полное
доказательство, тем не менее, на удивление сложно, и прошло неко-
торое время, прежде чем появилась полная печатная версия Ббнэ
[111]. Более простое и геометричное доказательство дано в работе
Рихтер-Геберта и Циглера [461]. Наш набросок в § 7.5 следует этой
работе.
Теорема Ббнэ—Дресса связывает множество всех разбиений на
зонотопы данного зонотопа с проблемой пространства расшире-
ний («Верно ли, что пространство расширений ориентированного
матроида гомотопически эквивалентно сфере?»; см. работу Штурм-
фельса и Циглера [536]). Таким образом, разбиения на зонотопы
позволяют изучать частные случаи двух принципиально важных,
общих и, по-видимому, очень сложных проблем: «обобщенной про-
блемы Бауэса» (Биллера, Капранов и Штурмфельс [73]) и пробле-
мы «комбинаторных грассманианов», сформулированной Макфер-
соном [373] (см. также работу Мнёва и Циглера [410]). Мы обсудим
постановку обобщенной проблемы Бауэса в гл. 9. Сами проблемы
и их уточнения можно найти в оригинальных источниках.
Задачи и упражнения
7.0. Докажите, что если в определении 7.1 все конусы являются
выпуклыми, то они автоматически являются полиэдральными, т. е.
из этого определения можно исключить условие полиэдральности.
7.1. Пусть Р с - многогранник, содержащий внутри точку 0.
Докажите, что веер граней многогранника Р является нормальным
веером полярного многогранника Рл, а нормальный веер много-
гранника Р является веером граней многогранника Рл.
7.2. Перечислите все трехмерные зонотопы, порожденные пя-
тью векторами в R3, нарисуйте их, подсчитайте количество вершин,
гиперграней и простых вершин.
Что будет в случае 6 векторов в R3? А в случае 5 или 6 векторов
в R4?
7.3. Приведите примеры простых зонотопов и разбиений на зо-
нотопы.
7.4. Покажите, что следующие условия для многогранника Z эк-
вивалентны.
• Любая 2-грань многогранника Z имеет четное количество сто-
рон, и противоположные стороны параллельны.
Задачи и упражнения
297
• Для любого своего ребра многогранник Z содержит кратное ему
или его часть в качества слагаемого по Минковскому.
• Нормальный веер многогранника Z является конфигурацией
гиперплоскостей.
(Такие многогранники — обобщенные зонотопы —были введе-
ны российским кристаллографом Фёдоровым; Кокстер, скорее все-
го, неправильно понял определение и предполагал, что Фёдоров
рассматривал зонотопы; см. работу Тейлор [538]. Болкер [119] назы-
вал такие многогранники планетами, а Баладзе [36] — многогран-
никами поясов.)
Приведите пример обобщенных зонотопов, которые не являют-
ся зонотопами. Тем не менее, как показывают приведенные выше
эквивалентности, любой обобщенный зонотоп комбинаторно экви-
валентен зонотопу (на самом деле даже имеет одинаковый с зоно-
топом нормальный веер).
7.5. Докажите, что если любая проекция многогранника на трех-
мерное пространство R3 является зонотопом, то и сам многогран-
ник является зонотопом.
Покажите, что проекций на R2 для этого недостаточно (Витзен-
хаузен [568]).
7.6. Интерпретируйте удаление и сжатие вектора в конфигура-
ции векторов V в терминах зонотопов, т. е. опишите, как можно
геометрически построить зонотопы Z(V \ v) и Z(V/u).
7.7. Пусть Z(V) — зонотоп, порожденный конфигурацией Ve
eRdxn, которая порождает Rd. Пусть G е (R*)(n-d)xn — дуальная кон-
фигурация векторов.
1. Как описать комбинаторику зонотопа Z(V) с помощью кон-
фигурации G?
2. С помощью п. 1 опишите все зонотопы с п d + 2 зонами.
3. Опишите связь между зонотопом Z(V) и его ассоцииро-
ванным зонотопом Z(G) с (Rn-d)*.
(Этот подход был развит Макмалленом [392].)
7.8. Пусть заданы два вектора х, у eRd. Найдите явную формулу
для такого достаточно малого е > 0, что sign(x+ey)=sign(x) osign(y).
7.9. Пусть У* с {+, 0}п — система векторов знаков.
1. Предполагая, что аксиома (V0): ОеУ* выполнена, докажите,
что аксиомы (VI) и (V2) вместе эквивалентны следующей аксиоме:
(V27): и, v е У* => uo(-v) е У*.
298
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
2. Рассмотрим произвольную аффинную конфигурацию п ги-
перплоскостей, в которой для каждой из гиперплоскостей выбрана
положительная сторона.
Покажите, как сопоставить вектор знаков каждой грани конфи-
гурации. Также докажите, что получающееся семейство векторов
знаков удовлетворяет аксиомам (V2') и (V3), но в общем случае не
удовлетворяет аксиомам (V0) и (VI).
3. Покажите, что не любая система векторов знаков, удовлетво-
ряющая аксиомам (V2') и (V3), соответствует аффинной конфигу-
рации гиперплоскостей, даже если мы разрешаем топологические
деформации гиперплоскостей («псевдогиперплоскости»).
(Характеризация систем векторов знаков аффинных ориенти-
рованных матроидов — это сложная комбинаторная задача, которая
недавно была решена Карландером [316].)
7.10. Пусть D = (У, А) — ориентированный граф с п ребрами,
А = {аъ ..., ап}. Каждому подмножеству U с у его множества вер-
шин сопоставим вектор знаков 5(1/) е {+, -, 0}п — «ориентирован-
ный разрез» множества I/, где 5(l/)t = 4-, если ребро выходит из
множества I/, 5(C/)i = —, если af входит в множество U, и 5(l/)f = 0
в остальных случаях1:
{+, если tail(a£) G U и head(al) ф U,
если tail (af) фи и head(af) G U,
0, если tail(at) и head(af) оба содержатся в U
или оба не содержатся в U.
Например,
Докажите, что семейство У* := {5(H): U с у} является ориентиро-
ванным матроидом. Каков его ранг? Как данный ориентированный
1 Tail — «хвост», head — «голова» (англ.)Прим, перев.
Задачи и упражнения
299
матроид связан с ориентированным матроидом, сопоставленным
такому ориентированному графу в упражнении 6.3?
7.11. Непосредственно из аксиом определения 7.21 покажите, что
любой ориентированный матроид ранга г 2 (т. е. ориентирован-
ный матроид У* с {+, — 9 0}п, который не содержит цепи 0 < X <
< X' < X") является реализуемым.
7.12. Докажите следующую теорему. Пусть У*, с {+, 0}п —
системы векторов знаков, причем — набор всех векторов знаков
с минимальным непустым носителем в У*,
= MIN(y*),
а У* - набор всех композиций векторов знаков вида
У* = {Oovj о ...ovfc: к 0, vf G для всех i = 1,..., к}.
Тогда система У* является множеством векторов ориентированного
матроида (т. е. удовлетворяет аксиомам из определения 7.21) в том
и только том случае, если система является множеством коцепей
ориентированного матроида, т. е. удовлетворяет следующим аксио-
мам коцепей:
(СО) 0 ф Ч>* («нулевой вектор знаков не является коцепью»);
(Cl) => -ие$* («вектор знаков, противоположный к ко-
цепи, также является коцепью»);
(С2) и, v е ^*, supp(u) с supp(v) => и = ±v («коцепи имеют
несравнимые носители»);
(СЗ) u,vg Г, и И -v, j е S(u, v) => 3w e ^*, wz e {+, -, 0}n:
w w7 и w7 исключает j между и и v («множество коцепей допускает
исключение»).
7.13. Докажите, что для любого векторного подпространства U с
с Rn множество минимальных непустых носителей в = SIGN(U),
заданное в виде MIN(SIGN([/)) = {ugSIGN(1/)\{0}: если vgSIGN(U),
supp(v) с supp(u), то v = 0}, является множеством коцепей ориен-
тированного матроида, т. е. удовлетворяет аксиомам из упражне-
ния 7.12.
7.14. Как проверить, что заданное разбиение на зонотопы являет-
ся изображением настоящего зонотопа? Покажите, что, по существу,
задача сводится к тому, чтобы определить, имеется ли у определен-
ного полиэдра непустая внутренность, а эту задачу можно решить
как задачу линейного программирования, как в упражнении 5.2 (1).
Верно ли, что первый рисунок в § 7.5 представляет собой картинку
трехмерного зонотопа?
300
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
7.15. Докажите, что любое нетривиальное разбиение на зоно-
топы в R2 (разбиение центрально-симметричного многоугольника
на центрально-симметричные многоугольники) имеет хотя бы одну
простую вершину на границе, а также хотя бы одну простую верши-
ну внутри.
7.16. Рассмотрим следующее разбиение на зонотопы.
Покажите, что оно соответствует конфигурации 9 псевдопрямых,
которая не является растягиваемой, так как для нее не выполнена
теорема Дезарга.
Докажите, что конфигурация псевдопрямых следующего разби-
ения также не является растягиваемой:
(Вторая конфигурация тесно связана с простой конфигурацией Рин-
геля 9 псевдопрямых; нужно только удалить прямую на бесконечно-
сти и слегка деформировать конфигурацию.
Приведенные выше рисунки были сделаны Юргеном Рихтер-
Гебертом с использованием его программы на PostScript, описанной
в работе [457], которая производит превосходные картинки разби-
ений на зонотопы.)
Задачи и упражнения
301
7.17. Рассмотрим следующую симплициальную конфигурацию
16 псевдопрямых из работы Грюнбаума [255, с. 44]:
1. Докажите, что она нереализуема.
2. Постройте с помощью этой конфигурации простое разбиение
12-угольника на зонотопы, ориентированный матроид которого не
является реализуемым.
7.18. Докажите, что для любого d-зонотопа количество fk граней
размерности к удовлетворяет неравенствам
Л-i > аТгиА для всех к> 1 2 к d>
а следовательно, А (jQ/o-
(Данное утверждение получено в терминах конфигураций ги-
перплоскостей и ориентированных матроидов в работах Фукуды,
Тамуры и Токуямы [214, 213].)
7.19. Для любой конфигурации векторов
V = {V1(...,Vn} CRd
докажите формулу для объема соответствующего зонотопа:
vol(Z(V)) = 2d- S |det(vii,...,uid)|.
Т^с.-.с^п
302
Глава 7. Веера, конфигурации, зонотопы и разбиения
Для этого представьте зонотоп в виде объединения параллелепипе-
дов, объемы которых совпадают с выписанными определителями.
(Макмаллен, см. работу Шепарда [495, раздел 5].)
7.20* . Вы можете использовать формулу из предыдущего упраж-
нения для подсчета объема зонотопа, но это не очень эффективно:
в ней Q) слагаемых, и все они могут быть ненулевыми.
Существует ли быстрый (полиномиальный) способ подсчета
объема зонотопа? (Ответ: скорее всего, нет —эта задача является
#Р-сложной согласно Дайеру, Гритцману и Хуфнагелю [187].)
Глава 8
Шеллинговость и теорема о верхней
границе
Пожалуй, самое известное утверждение о выпуклых многогран-
никах — это формула Эйлера—Пуанкаре:
-/-1 + /о - Л +/2 ~ - + C-l)d-1/d-i + (-l)7d = о,
где через обозначено количество i -мерных граней d-многогранни-
ка Р. Здесь J-i = 1 и fd = 1 соответствуют тривиальным граням (пу-
стой грани и самому многограннику), а /0, f19 fd_2 и fd-i — это коли-
чества вершин, ребер, гиперребер и гиперграней соответственно.
Таким образом, для 2-многогранников получаем /0 - fr = 0: количе-
ство вершин равно количеству ребер (что не слишком удивитель-
но). В размерности 3 получаем формулу Эйлера
у-е + У = 2
для 3-многогранников с и = /0 вершинами, е = ребрами и f = f2
гранями.
При d 3 формула Эйлера—Пуанкаре доказывается просто, но
для высших размерностей требуется аккуратность. Как отметил
Грюнбаум в книге [252], во всех классических индуктивных доказа-
тельствах (начиная с доказательства Шлефли [473] в 1852 г., см. так-
же книги Соммервилля [506, с. 147], Шуте [480, с. 61] и ссылки в кни-
ге [252, с. 141]) предполагается, что границу всякого многогранника
можно индуктивно построить достаточно естественным образом1.
То, что это действительно возможно, было доказано только в 1970 г.
Брюггессером и Мани. Блестящим применением шеллинговости
стало доказательство Макмаллена теоремы о верхней границе, дан-
ное в том же году.
1 В оригинале «сап be shelled», буквально «может быть очищена от скорлупы»
или «расшелушена». Так как в среде российских геометров перевод термина shelling
как «расшелушивание» не прижился, мы решили использовать в качестве перевода
транскрипцию: шеллинг и ее соответствующие производные. —Прим. ред.
304
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
В этой главе перед нами стоят несколько важных задач. Сначала
мы рассмотрим шеллинговость полиэдральных комплексов — идею
полезную и нетривиальную. Мы покажем, что
• многогранники являются шеллинговыми,
• подразбиения многогранников в общем случае не допускают
шеллинг,
• шеллинг может зайти в тупик (это новый результат).
Затем мы представим доказательство Макмаллена теоремы о верх-
ней границе, познакомимся с теорией экстремальных множеств
и закончим известной g-теоремой, доказав несколько неожиданных
следствий. Итак, предстоит сделать многое, давайте начнем.
...Хотя постойте, еще одно замечание. У этой главы есть отчетли-
вый «топологический» дух. В действительности уже первое коррект-
ное и полное доказательство формулы Эйлера—Пуанкаре, данное
самим Пуанкаре [444, 445], было получено при помощи средств ал-
гебраической топологии, развитой опять же Пуанкаре. Мы избежим
большинства топологических тонкостей, например, рассматривая
полиэдральные подразбиения многогранников и их границ вместо
подразбиений топологических шаров и сфер. Таким образом, в этой
главе не потребуется знания ни искусных приемов кусочно линей-
ной топологии, ни мощного аппарата алгебраической топологии.
Тем не менее, для развития математической интуиции было бы по-
лезно совершить хотя бы ознакомительную экскурсию в эти теории,
которые излагаются с разных точек зрения в книгах Стиллвелла
[528], Манкреса [418], Дейвермана [179] и Бьорнера [89].
§ 8.1. Шеллинговые и нешеллинговые комплексы
Полиэдральный комплекс (см. определение 5.1) — это конечный
непустой набор многогранников (называемых гранями комплек-
са в Rd, содержащий все грани своих многогранников и такой,
что пересечение любых двух его многогранников является гранью
каждого из них.
Размерностью dim(^) полиэдрального комплекса называется
максимальная из размерностей многогранников в Полиэдраль-
ный комплекс однороден, если каждая его грань содержится в грани
размерности dim(^), т.е. если все его максимальные по вклю-
чению грани, называемые его гипергранями, имеют одинаковую
§ 8.1. Шеллинговые и нешеллинговые комплексы
305
размерность. Комплекс называется симплициальным, если все его
грани (или, что равносильно, все гиперграни) являются симплекса-
ми. Телом комплекса называется объединение всех его граней:
1^1 :==UFe<^F.
Например, если граф изображен на плоскости или в R3 при по-
мощи непересекающихся отрезков прямых, то он является полиэд-
ральным комплексом. Размерность этого комплекса равна 1, если
в графе есть хотя бы одно ребро, и в этом случае он однороден, если
в графе нет изолированных вершин.
В гл. 5 мы познакомились с пятью важными классами полиэд-
ральных комплексов.
1. Каждый многогранник?, рассматриваемый вместе со всеми сво-
ими гранями, образует полиэдральный комплекс ^(Р). Един-
ственная максимальная грань («гипергрань») этого комплек-
са—это сам многогранник Р.
2. Все собственные грани многогранника Р образуют граничный
комплекс ^(ЭР), гиперграни которого суть гиперграни много-
гранника Р. Это однородный полиэдральный комплекс размер-
ности dim(P) — 1. Он является симплициальным тогда и только
тогда, когда сам многогранник Р симплициальный.
3. Всякая диаграмма Шлегеля многогранника Р, отвечающая неко-
торой гиперграни F (помните гл. 5?), образует однородный по-
лиэдральный комплекс Ф(Р, F). Гиперграни этого комплекса со-
ответствуют гиперграням многогранника Р, отличным от F.
4. Всякая d-диаграмма 0 является полиэдральным комплексом.
5. Штабель кубов £^(24, ...,sd), определенный в примере 5.4, яв-
ляется однородным полиэдральным комплексом с • z2 •... • zd
гипегранями.
Все эти комплексы однородны. На следующем рисунке слева на-
право изображены соответственно однородный одномерный ком-
плекс (граф), неоднородный комплекс и однородный двумерный
комплекс.
Теперь мы определим шеллинговость, но с несколько большими
ограничениями, чем в первоначальной версии Брюггессера и Мани
306
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
[139] . Несколько вариантов определения рассмотрены в работе Да-
нараджа и Кли [171]. Бьорнер и Вакс показали в работах [98], [85],
[96, раздел 4.7], что следующее определение «работает» в очень об-
щих геометрических и комбинаторных ситуациях.
Определение 8.1. Рассмотрим к-мерный однородный полиэд-
ральный комплекс Шеллингом комплекса называется такое
линейное упорядочение F19 F2,..., Fs его гиперграней, что либо ком-
плекс Ч? является нульмерным (и гиперграни являются точками),
либо он удовлетворяет следующим условиям.
1. Граничный комплекс ^(dF^) первой гиперграни FT имеет
шеллинг.
2. Для 1 < j $ $ пересечение гиперграни F;- с объединением
предыдущих гиперграней непусто и является началом шеллинга ее
(к — 1)-мерного граничного комплекса, т. е.
FJn = UG2U...UGr
для некоторого шеллинга G19G2, ^-,Gr, ...,Gt комплекса ^(dF,) и
(В частности, требуется, чтобы пересечение F, П
имело
шеллинг, а значит, оно должно быть однородным (к - 1)-мерным,
а при к > 1 к тому же связным.)
Полиэдральный комплекс называется шеллинговым, если он од-
нороден и имеет шеллинг.
Таким образом, шеллинговость не определена для неоднород-
ных комплексов. Однако обобщение этого понятия на случай неод-
нородных комплексов возможно и полезно, как показали Бьорнер
и Вакс в недавней работе [99].
Примеры 8.2. 1. По определению любой нульмерный комплекс
является шеллинговым. Произвольный одномерный комплекс (граф)
является шеллинговым тогда и только тогда, когда он связен. В част-
ности, он должен быть однородным (т. е. не должен содержать изо-
лированных вершин). Шеллингом этого комплекса будет такой по-
рядок ребер е19 е2,..., es, при котором множество {е19 е2,е;} для
каждого j задает связный подграф. Это следует из условия, что пере-
сечение ребра с предыдущими ребрами должно быть нульмерным
и, значит, непустым.
§ 8.1. Шеллинговые и нешеллинговые комплексы
307
2. Ниже приведены три 2-комплекса на плоскости R2.
Первые два комплекса не являются шеллинговыми, в отличие
от третьего. (Проверьте!) В каждом из них отмечено начало Шел-
линга, т. е. комплекс, заданный пронумерованными гипергранями
и их гранями, является шеллинговым. Однако если вы попытаетесь
добавить последнюю гипергрань в любом из первых двух примеров,
то нарушите условие 2 определения 8.1.
3. Любой симплекс является шеллинговым, и любой порядок его
гиперграней является шеллингом. Это легко доказывается индукци-
ей по размерности, так как в симплексе пересечение Fj с F( (i < J)
всегда является гипергранью для Fj.
4. Все d-кубы являются шеллинговыми: индукцией по размер-
ности доказывается, что любой порядок 2d гиперграней F19F2,...
...,F2d, ПРИ котором первая и последняя из них противоположны
(Fj = -F2d), является шеллингом. (Условие Fx = —F2d является доста-
точным, но не необходимым, см. упражнение 8.1 (1)!)
5. Штабель кубов ^(а1?..., ad) из примера 5.4 является шеллин-
говым для любых конечных af > 1. Это следует из п. 4: с его помо-
щью легко проверить, что лексикографический порядок на кубиках
из штабеля является шеллингом.
Замечания 8.3. 1. Как мы увидим в следующем параграфе,
условие 8.1(1) излишне: граничный комплекс ^(dF^ любого мно-
гогранника является шеллинговым. Однако если шеллинг определя-
ется более общим образом для клеточных комплексов, как в работе
Бьорнера [85], то такое условие необходимо.
2. Для симплициальных комплексов условие 8.1 (1) излишне в си-
лу примера 8.2 (3). В этом случае условие 8.1 (2) можно значительно
упростить: его можно заменить следующим условием.
8.1.2'. При 1 <;пересечение гиперграни F; с предыдущими
гипергранями непусто и однородно (к — 1)-мерно.
Другими словами, для любого i < j существует такое I < j, что пе-
ресечение F( DFj содержится в Ft r\Fj9 a Ft r\Fj является гипергранью
для^.
308
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
3. Может появиться искушение ослабить условие 8.1 (2) и требо-
вать только следующее.
8.1.2". Для 1 < j пересечение гиперграни с предыдущими
гипергранями
F>n(UFi) = GiuG2U...UGr
является непустым, однородно (к - 1)-мерным и шеллинговым.
Поступив таким образом, мы получим первоначальное опреде-
ление Брюггессера и Мани [139], которое слабее, чем определение
8.2. Хотя главные следствия шеллинговости останутся верными, но
у этой более слабой версии не будет столь красивой комбинаторной
характеризации, которая возможна для более сильной версии [98].
Приведем еще несколько примеров.
Примеры 8.4. 1. Всякое полиэдральное подразбиение 2-много-
гранника является шеллинговым — см. упражнение 8.0.
2. Граница произвольного 3-многогранника является шеллинго-
вой. Это следует из п.1: действительно, мы сначала строим шел-
линг диаграммы Шлегеля многогранника Р, которая явля-
ется подразбиением 2-многогранника. Это соответствует шеллингу
всей границы ЭР, кроме грани F. Завершить шеллинг можно, взяв
грань F в качестве последней.
Для подразбиений 2-многранников, как и для границ 3-много-
гранников, шеллинг построить легко. Причина этого в том, что,
как бы ни начинался шеллинг, процесс не зайдет в тупик. В связи
с этим введем специальную терминологию.
Определение 8.5 (Данарадж и Кли [172, с. 37]). Полиэдраль-
ный комплекс называется продолж:аемо-шеллинговым, если любой
его частичный шеллинг можно продолжить, т. е. для любого под-
комплекса той же размерности, допускающего шеллинг, существует
шеллинг всего комплекса, который начинается с шеллинга данного
подкомплекса.
Из примера 8.4 видно, что подразбиения 2-многогранников,
как и границы 3-многогранников, являются продолжаемо-шеллин-
говыми. Аналогично можно показать, что d-кубы являются продол-
жаемо-шеллинговыми (см. упражнение 8.1 (1)).
Лемма 8.6. Штабель кубов (9,9,4) не является продолжае-
мо-шеллинговым.
§ 8.1. Шеллинговые и нешеллинговые комплексы
309
Доказательство. Посмотрим на приведенный ниже рисунок.
На нем изображен подкомплекс штабеля, разбитый на слои (так что
вы видите, что происходит внутри). Легко видеть, что подкомплекс
является шеллинговым (например, сначала мы можем построить
шеллинг нижнего слоя, затем следующего слоя и стен, затем доба-
вить центральную ось, затем верхний слой внутренней части, затем
шесть оставшихся кубов).
По-другому этот комплекс можно изобразить (более абстракт-
но) как четыре слоя, идущие сверху вниз, слева направо.
Если мы попытаемся добавить к этому комплексу еще один куб
из штабеля ^(9,9,4), то пересечение с тем, что уже есть, будет
либо не однородным двумерным, либо не связным, либо и тем,
и другим. Таким образом, это шеллинговый подкомплекс штабеля
^з(9,9,4), но процесс шеллинга зашел в тупик. Значит, штабель
^з(9,9,4) не является продолжаемо-шеллинговым. □
Для полиэдрального комплекса определим звезду star(u, <&)
вершины v как полиэдральный подкомплекс, который состоит из
всех граней, содержащих v, и их граней. Линком будем называть
310
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
подкомплекс link(v, <#) всех граней G G star(v, <#) звезды, которые
не содержат и как вершину.
link(p, <#)
star(p, <#)
Если комплекс однородный размерности d, то таким же явля-
ется star(v, <#), a link(v, ^) является однородным размерности d -1.
Следующая лемма дает достаточно простую, но важную ин-
формацию о «локальной структуре» шеллинговых симплициальных
комплексов. Для несимплициальных комплексов она становится
нетривиальной (если она верна: см. задачу 8.4*).
Лемма 8.7. Рассмотрим шиллинговый симплициальный комп-
лекс с шеллингом F1? F2,..., Fs. Тогда ограничение этой последова-
тельности на star(v, <#) является шеллингом для звезды, а также
для link(p, <#).
Доказательство. Непосредственно проверим условие 8.1 (2х):
рассмотрим гипергрань F;- данной звезды (т.е. и ^Fj). Пусть Ff —
гипергрань с меньшим номером данной звезды (т. е. i < j и v GFJ.
Так как задан шеллинг комплекса найдется такая гипергрань Fb
I < j, что Fj П Fj c Fj П Fj. Но из этого следует, что и G Fb значит, Fj
принадлежит звезде вершины v.
Абсолютно аналогично доказывается, что мы получаем шеллинг
линка, так как (в симплициальном случае) имеется биекция между
k-гранями G е link(u, <#) и (к + 1)-гранями
G = conv(G и v) е star(v, ^). □
Теорема 8.8 (Рудин [468]). 3-симплекс Д3 может быть триан-
гулирован нешеллинговым образом.
Первая нешеллинговая триангуляция тетраэдра (с 41 гипергра-
нью и 14 вершинами, все на границе) была построена Рудин [468]
в 1958 г. Ее уточненную конструкцию трудно представить, но, кажет-
ся, это единственный из опубликованных на сегодня примеров. Так
что мы не будем воспроизводить ее, а приведем другую конструк-
цию, которая показывает, что тетраэдр и трехмерный куб имеют
нешеллинговые триангуляции.
§ 8.1 Шеллинговые и нешеллинговые комплексы
311
Пример 8.9 (куб Данцера). Рассмотрим страндартный куб С3
в R3. Обозначим через V12 множество, состоящее из 12 середин ре-
бер куба С3, т. е. множество всех таких точек в R3, что одна коор-
дината у них равна 0, а остальные равны ±1. Эти 12 точек лежат на
границе куба С3, а также на границе тетраэдра
Далее построим множество Я12, состоящее из 12 ребер, проведен-
ных между парами точек в V12. Для этого возьмем одно ребро, со-
единяющее середины двух скрещивающихся ребер данного куба,
а также все образы этого ребра при 12 симметриях куба, соответ-
ствующих сохраняющим ориентацию симметриям тетраэдра Т3.
Эти 12 ребер (см. рисунок) группируются в 4 непересекающихся
треугольных контура. Ключевое свойство этой конструкции состоит
в том, что каждое ребро окружено треугольником. Из соображений
симметрии достаточно проверить это для одного ребра е еЕ12.
Следующий шаг —построить триангуляцию куба С3 (соответ-
ственно тетраэдра Т3), которая содержит ребра из Е12 как грани (не
312
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
подразбитые!). Хотя это можно сделать явно, здесь мы используем
мощное средство: лемму о продолжении Уайтхеда [560, теорема 5],
согласно которой любая частичная триангуляция пространства R3
может быть продолжена на все пространство. (На самом деле это
верно и в Rd, как показал Бинг в работе [80, лемма 6]. Хрестоматий-
ное доказательство см. в книге [82, раздел 1.2].) Таким образом, мы
можем взять любую триангуляцию границы куба С3 (соответствен-
но тетраэдра Т3), содержащую вершины из V12 и двенадцать ребер
из Е12, и дополнить этот симплициальный комплекс до триангуля-
ции куба С3 (соответственно тетраэдра Т3). Для этого потребуются
дополнительные внутренние вершины.
Теперь предположим, что полученный симплициальный ком-
плекс является шеллинговым. Начнем с тетраэдра Ег и будем
добавлять следующие тетраэдры: F2,F3,... На каждом шаге, кро-
ме, быть может, первого, добавляется не более одного ребра из
множества Е12. Это следует из того, что ребра одного треугольни-
ка не могут принадлежать одному симплексу, а добавление двух
новых скрещивающихся ребер противоречит характеристическому
свойству шеллинга симплициальных комплексов: на каждом шаге
должна быть единственная минимальная новая грань, которая не
является пустой после первого шага (см. упражнение 8.2).
Рассмотрим теперь тетраэдр F;+1, вместе с которым добавля-
ется последнее ребро е из Е12. На этом этапе шеллинга комплекс
:= ^(Fx,..., F;) уже содержит три ребра е1? е2, е3, которые окру-
жают е. Заметим, что образовавшаяся в петля С :=U е2 U е3 мо-
жет быть стянута в точку по комплексу : это свойство шеллинго-
вых комплексов размерности 2 и более, которое легко проверяется
по индукции (они «односвязны»).
§ 8.2. Шеллинг многогранников
313
Так как петля С окружает ребро е, мы должны пройти через
вершину v с е при стягивании С по 5^. По лемме 8.7 линк link(i>, «tfp
этой вершины v в комплексе является двумерным шеллинговым
комплексом. Мы можем стягивать петлю С по |^|, пока она не
попадет в link(i?, ^), но стянуть ее по линку нельзя, так как иначе
петля не пройдет через v. Отсюда следует, что линк не является
шеллинговым, и мы получаем противоречие. □
§ 8.2. Шеллинг многогранников
Комплекс (Р) многогранника Р является шеллинговым тогда
и только тогда, когда граничный комплекс (дР) является шеллин-
говым, поэтому «найти шеллинг многогранника» означает правиль-
но упорядочить его гиперграни. Как это сделать? Существует ли
очевидный способ? Если мы рассмотрим полярный многогранник,
то задача сведется к нахождению хорошего упорядочения вершин
многогранника Рл. Очевидная идея состоит в том, чтобы взять ли-
нейную функцию в общем положении (см. § 3.1 и 3.4) и упорядочить
вершины согласно этой линейной функции. Такой подход работает:
мы действительно получаем шеллинг (на самом деле много Шеллин-
гов) границы многогранника Р.
Ниже мы опишем эти шеллинги непосредственно на Р, без ис-
пользования полярности. В упражнении 8.10 предлагается прове-
рить, что конструкции для Р и Рд действительно эквивалентны.
Лемма 8.10. Если Fx, F2,Fs — шеллинг границы многогранни-
ка Р, то обратный порядок Fs, Fs_1}..., FT также будет шеллингом.
Доказательство. Рассмотрим произвольную гипергрань в
шеллинге, тогда для любой гиперграни G многогранника Fj суще-
ствует единственная другая гипергрань Ff многогранника Р, удо-
влетворяющая условию G = Ff DFj. Эта вторая гипергрань Ff может
идти как раньше (i < j), так и позже (i > j), чем F;. Роли гиперграней
меняются, если при обращении шеллинга многогранника дР мы
также обращаем шеллинги границ его гиперграней. Это можно
сделать по предположению индукции. □
Теорема 8.11 (Брюггессер, Мани [139]). Многогранники явля-
ются шеллинговыми.
Итак, это по существу довольно общее утверждение. Однако на
самом деле нам требуются шеллинги с очень специфическими свой-
314
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
ствами. Такие шеллинги можно получить из конструкции Брюг-
гессера—Мани, приводящей к гораздо более конкретной теореме
(см. ниже), которая включает более поздние уточнения Макмал-
лена [389], Данараджа и Кли [171], Бьорнера и Вакс [98]. Также
отметим, что это чисто техническое утверждение, которое легко
доказать индукцией по размерности.
Теорема 8.12 ([139]). Рассмотрим d-многогранник Р cRd и точ-
ку х G Rd вне Р. Если х находится в общем положении (гл. е. не
принадлежит аффинной оболочке гиперграни многогранника Р), то
у граничного комплекса (ЭР) существует шеллинг, который начи-
нается с гиперграней, видимых из точки х.
Дадим интуитивно понятное определение видимой гиперграни:
гипергрань F с Р видима из точки х, если для каждой точки у EF
отрезок [х, у] пересекает Р только в точке у. Эквивалентное опре-
деление: гипергрань F видна из точки х тогда и только тогда, когда
х и int(P) находятся по разные стороны от гиперплоскости aff(F),
натянутой на F. Например, если точка xG расположена над гранью
G (в том же смысле, что в § 3.1), то гиперграни, содержащие G, суть
в точности гиперграни, видимые из точки xG.
Доказательство. Пусть дана точка х. Выберем прямую I, про-
ходящую через х и точку многогранника Р, находящуюся в общем
положении. Нам нужно, чтобы выбранная прямая I содержала х,
пересекала внутренность многогранника Р, а точки пересечения
IП aff (F) с гиперплоскостями гиперграней были различны. Для про-
стоты будем считать, что прямая не параллельна никаким гипер-
§ 8.2. Шеллинг многогранников
315
плоскостям гиперграней, т. е. нет точек пересечения «на бесконеч-
ности». Ориентируем прямую I от Р к х.
Теперь представим, что многогранник Р — это маленькая пла-
нета, имеющая форму полиэдра, с пусковой площадкой для ракеты
в точке поверхности, в которой направленная прямая I покидает
планету. Эта точка принадлежит одной гиперграни Fn и в течение
нескольких минут полета из ракеты будет видна только эта гипер-
грань.
Через некоторое время на горизонте появится новая гипер-
грань: ракета пройдет через гиперплоскость aff(F2), и мы обозна-
чим соответствующую гипергрань через F2. Продолжая таким обра-
зом, мы нумеруем гиперграни F3, F4,... в том же порядке, в котором
ракета проходит сквозь гиперплоскости, т. е. в том порядке, в кото-
ром гиперграни появляются на горизонте, становясь видимыми для
ракеты. Теперь представьте себе, что мы прошли через бесконеч-
ность и ракета возвращается к планете с противоположной сторо-
316
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
ны. Мы продолжаем шеллинг, добавляя гиперграни в том порядке,
в котором мы проходим сквозь гиперплоскости aff(Ff), т.е. теперь
в том порядке, в котором соответствующие гиперграни исчезают за
горизонтом.
Такой «полет ракеты», очевидно, дает строго определенное упо-
рядочение всего множества гиперграней. Гиперграни, которые вид-
ны из точки х, образуют начало этого упорядочения, так как мы
видим в точности их в тот момент, когда ракета проходит через х.
Чтобы убедиться, что это упорядочение является шеллингом,
рассмотрим пересечение dFj П и ... UF^). Если гипергрань F;
была добавлена до того, как мы ушли на бесконечность, то это пе-
ресечение представляет собой в точности множество гиперграней
многогранника F; , видимых из точки I naff (ГД в которой F; появ-
ляется на горизонте. Но в силу индукции по размерности мы знаем,
что этот набор гиперграней многогранника F; является шеллинго-
вым и его можно продолжить до шеллинга всей границы dFj.
При возвращении с бесконечности пересечение будет являться
семейством невидимых гиперграней. Оно также является шеллин-
говым, так как, обращая ориентацию прямой Z, мы получаем шел-
линг с обратным порядком гиперграней. □
Шеллинги, возникающие из конструкции Брюггессера и Мани,
также известны как линейные шеллинги. Обратите внимание на то,
§ 8.2. Шеллинг многогранников
317
что в этой конструкции обращение ориентации линии I также об-
ращает линейный шеллинг. Таким образом, обращение любого ли-
нейного шеллинга является не только шеллингом (лемма 8.10), но
и линейным шеллингом.
Конструкция Брюггессера—Мани обладает большой гибкостью:
мы можем получать шеллинги с различными свойствами, выбирая
подходящие прямые I.
Следствие 8.13. Для любых двух гиперграней F, F' многогранни-
ка Р существует шеллинг его границы дР, в котором F является
первой гипергранью, aF' — последней.
Для любой вершины и многогранника Р существует такой шел-
линг, что гиперграни, содержащие и, образуют начало шеллинга,
т. е. сначала строится шеллинг звезды вершины и.
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение, выбе-
рем произвольную прямую шеллинга, которая пересекает границу
многогранникаР в гиперграняхF nF'. (Например, выберем хнад F,
х' — над F' и возьмем прямую I, определенную этими точками.
Если потребуется, пошевелим I, чтобы она стала прямой общего
положения.)
Для доказательства второго утверждения выберем точку xv над
вершиной v и возьмем прямую шеллинга, содержащую эту точ-
ку xv. □
Следствие 8.14. Всякая диаграмма Шлегеля является шеллин-
говой. В более общем виде: всякое регулярное подразбиение много-
гранника является шеллинговым.
Доказательство. Для произвольной диаграммы Шлегеля 0(Р, F)
выберем такой шеллинг многогранника Р, что гипергрань F идет
последней. Этот шеллинг индуцирует шеллинг диаграммы Шлегеля
0(Р, F).
По определению 5.3 всякое регулярное подразбиение EP(Q)
d-мерного многогранника Q изоморфно комплексу граней неко-
318
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
торого (d + 1)-многогранника Р, которые видны из определенной
точки х= -Ted+1. Значит, мы можем применить теорему 8.12. □
Это следствие применимо, например, к штабелю кубов; см. при-
мер 8.2 (5). Оно также наталкивает на мысль, что каждая d-диаграм-
ма шеллингова. Верно ли это (задача 8.3*)?
Теперь мы знаем, что многогранники являются шеллинговы-
ми. Возникает вопрос, являются ли они продолжаемо-шеллинговы-
ми. Наш ответ на этот вопрос отрицателен, и мы приведем сразу
несколько доказательств.
Теорема 8.15. Не все 4-многогранники являются продолжаемо-
шеллинговыми. В частности, многогранники ^4(7, 7, 3) и ^4(7, 5,5)
не являются продолжаемо-шеллинговыми.
Доказательство. 1. Рассмотрим 4-многогранник Р4 = ^4(9,9,4),
который содержит на своей границе комбинаторно эквивалент-
ную копию штабеля кубов ^3(9, 9,4). Начнем шеллинг границы
дР4 с гиперграней, соответствующих непродолжаемому частичному
шеллингу штабеля (9, 9,4), описанному в лемме 8.6. Этот частич-
ный шеллинг имеет две общие связные части с границей ящика
В := |<Р3(9,9,4)|. Любая гипергрань многогранника Р4, которую мы
можем добавить для продолжения шеллинга границы дР4, будет
связна с одной из этих частей на границе ящика, но не с обеи-
ми. Значит, «недостающие кубы» штабеля также нельзя добавить
к частичному шеллингу границы дР4 позже. Это доказывает, что
многогранник ^4(9,9,4) не является продолжаемо-шеллинговым,
а также что всякий 4-многогранник, содержащий изоморфную ко-
пию штабеля &3 (9, 9,4) в граничном комплексе, не является про-
должаемо-шеллинговым. Таким образом, &4(z1} z2, z3) не является
продолжаемо-шеллинговым при 9, и2 9 и z3 4.
2. Удалив «нижний слой» и «стены» штабеля ^3(9, 9,4), в ре-
зультате получим ^3(7, 7,3). Теперь рассмотрим диаграмму Шле-
геля1 многограника ^4(7, 7, 3). Начнем шеллинг этого комплекса
с гиперграни под штабелем и четырех гиперграней по бокам. (Это
заменяет кубики в нижнем слое и стенах в штабеле из предыдуще-
го примера.) Продолжим шеллинг 49 кубиками, соответствующими
внутренним кубам непродолжаемого расположения из леммы 8.6.
Если мы поднимем этот частичный шеллинг диаграммы Шлегеля
на границу многогранника SP4 (7, 7, 3), то также сможем добавить
1 См. §5.2.—Пром, перев.
§ 8.2. Шеллинг многогранников
319
гипергрань, по которой строилась диаграмма. Но после этого шел-
линг зайдет в тупик. Таким образом, многогранник £?4(7, 7,3) не
является продолжаемо-шеллинговым.
3. Начнем шеллинг многогранника := 0*4(7, 5,5) с гиперграни
Fj, не смежной с кубами штабеля. Тогда остающиеся гиперграни
присутствуют и в диаграмме Шлегеля @(Р4, Fj). Из этой диаграммы
добавим к шеллингу в качестве F2 и F3 нижнюю и верхнюю гипер-
грани. Затем из штабеля кубов, изоморфного 0*3(7,5, 5), возьмем
кубики F4, F5,... вдоль заузленной кривой, соединяющей нижнюю
и верхнюю гиперграни диаграммы, как изображено на следующем
рисунке. Все это дает вполне законные шаги в шеллинге, пока мы не
достигнем последнего (белого) куба, который находится в верхнем
слое штабеля кубов.
Теперь комплекс содержит заузленную кривую, все ребра кото-
рой, кроме одного, лежат на границе подкомплекса, для которого
к данному моменту уже построен шеллинг. Эта кривая должна была
бы быть завершена белым кубиком верхнего слоя. Теперь, как бы
мы ни продолжали шеллинг, останется заузленная кривая такого
вида, значит, белый кубик на рисунке нельзя добавить к шеллингу
ни сейчас, ни позднее. Таким образом, данный частичный шеллинг
многогранника 0*4(7,5, 5) не может быть завершен. □
При помощи несколько измененного третьего доказательства
теоремы 8.15 можно показать, что ни простые, ни симплициальные
многогранники в общем случае не являются продолжаемо-шеллин-
говыми. Его также можно обобщить до доказательства того, что
«большинство» 4-многогранников не являются продолжаемо-шел-
линговыми; см. [575].
320
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
Шеллинги многогранников позволяют нам «строить» границу
многогранника пошагово, добавляя на каждом шаге по одной ги-
перграни. Таким образом, можно доказывать утверждения индук-
цией по количеству j гиперграней в комплексе
:= ^(F1UF2U...UF;),
который является шеллинговой частью границы многогранника.
Первым нашим применением этой техники, простым, но клас-
сическим, будет доказательство формулы Эйлера—Пуанкаре.
Определение 8.16. Назовем f -вектором d-мерного полиэдраль-
ного комплекса вектор
/W = (/-i,/o,/n-,/d)eN<i+2)
где через А = ДС^) обозначено количество к-мерных граней ком-
плекса
Под f-вектором d-многогранника мы понимаем f-вектор его
граничного комплекса:
f(P) :=/(^(ЭР)) = 6Nd+1.
Отметим, что все f -векторы, которые мы рассматриваем, име-
ют в качестве первой координаты значение f_T = 1, соответству-
ющее пустой грани. Также f -векторы многогранников удовлетво-
ряют единственному нетривиальному линейному соотношению —
формуле Эйлера—Пуанкаре.
Следствие 8.17 (формула Эйлера—Пуанкаре). Для произвольно-
го d-мерного многогранника выполняется равенство
/о -/1+••• + (-i)d-7d-i = 1 - (-1/.
Доказательство. Чтобы применить индукцию, нам надо рас-
смотреть знакопеременную сумму чисел граней для полиэдральных
комплексов общего вида. Для этого мы определим (приведенную)
эйлерову характеристику % (Of) полиэдрального комплекса размер-
ности не более d как
z(@) := -/_! +/о-/1 + - +
Пусть и Ф — такие полиэдральные комплексы, что их объедине-
ние также является полиэдральным комплексом (т. е. F n F' G 0 п
для F G F' g ^z), тогда эйлерова характеристика аддитивна:
z(^) + zC^z) = z(^u®/)+z(®n®/)«
§8.3. h-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
321
Докажем индукцией по d, что комплекс многогранника ^(Р) всегда
имеет эйлерову характеристику, равную 0, т. е. эйлерова характери-
стика граничного комплекса равна (-l)d-1:
Х(^(Р)) = о, я(^(дР)) = (—l)d-1.
Это очевидно при d $ 1. Рассмотрим d-многогранник Р с шеллингом
F1; F2,... Тогда имеем
О
(-l)d-1
Z(^(F1UF2U...UF;)) =
Для 1 $ j < fd_lt
ОЛЯ]= fd-1-
Это доказывается индукцией по j и по размерности, так как добав-
ляемые гиперграни F; являются (d - 1)-многогранниками, эйлеро-
ва характеристика аддитивна, а пересечение F} П (|J Ff j является
неполной шеллинговой частью границы гиперграни F; для j <fd-i-
Последний факт сразу следует из леммы 8.10, а в частном случае
линейного шеллинга может быть получен геометрически. □
§ 8.3. h-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
С этого момента и до конца главы все рассматриваемые много-
гранники являются симплициалъными.
Ддя симплициальных многогранников комбинаторику Шеллин-
гов можно описать даже более точно. Далее считаем, что Р — сим-
плициальный d-многогранник, так что его граница является сим-
плициальным комплексом ¥ := ¥ (ЭР) размерности d - 1. Обозна-
чим через V :=vert(P) множество всех вершин многогранника Р,
которое имеет мощность и :=/0(Р).
Отождествим собственные грани многогранника Р с их мно-
жествами вершин, т. е. отождествим «геометрический симплици-
альный комплекс и «абстрактный симплициальный комплекс»
на конечном множестве V. В частности, гиперграни многогран-
ника Р являются (d - 1)-симплексами, а значит, соответствуют
d-подмножествам множества V. Комплекс Ч? является однородным
(d - 1)-мерным, значит, он полностью определяется семейством
гиперграней & с ( j Все остальные грани комплекса соответ-
ствуют подмножествам гиперграней в &.
Зафиксируем шеллинг РЬР2,... многогранника Р. Для гипер-
грани F; определим ограничительное множество Rj как множество
322
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
всех таких вершин v eFj, что \ v содержится в одной из предыду-
щих гиперграней:
Rj := {v G Fj: Fj\v QFi для некоторого i, 1 $ i < j}.
Основное наблюдение, связанное с этим понятием, заключается
в том, что, когда мы строим Ч? согласно заданному шеллингу, но-
выми гранями на j-м шаге будут в точности множества вершин G,
удовлетворяющие условию
RjQGQ Fj.
Действительно, если грань G новая, то она обязана быть подмно-
жеством гиперграни Fj. Далее, если в ней не содержится вершина
и G Rj, тогда данная гипергрань уже содержалась в предыдущих ги-
пергранях по определению. Наконец, если G удовлетворяет усло-
вию RjQGQ Fj, но не является новой, причем G с Ft для некоторого
i < j, то по определению шеллинга G содержится в такой гиперграни
Fi О < j), что Fi П Fj =Fj\w является гипергранью в Fj. Поскольку
F}\ w с Ft, мы имеем w G Rj, а поскольку R}G с Ft ПFj = Fj \ w, мы
имеем w^Rj. Таким образом, мы получаем противоречие.
Итак, каждый шеллинг задает некоторое разбиение U ... U/s
множества граней симплициального комплекса на интервалы вида
Однородный симплициальный (d - 1)-комплекс, обладающий та-
ким разбиением (ровно по одной части для каждой гиперграни
из <#), называется разделимым. К этому понятию независимо при-
шли Прован [447, приложение 4], Стенли [513, с. 149] и Гарсиа [94,
с. 607]. Как мы убедились, шеллинговые симплициальные комплек-
сы разделимы. На рисунке мы попытались проиллюстрировать,
как частично упорядоченное множество граней разделимого ком-
плекса разлагается в интервалы.
§ 8.3. h-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
323
Для разделимого симплициального комплекса /-вектор можно
получить из разбиения на интервалы. Именно, если \Rj | = i, то в ча-
сти Ij содержится ровно ) (fc -1)-граней, значит,
Обозначим через ht = hi^) число таких частей разбиения, что
соответствующее ограничительное множество имеет мощность i:
htf) := |{j: |К,| = i, 1 j^s}|.
Назовем h-вектором разделимого симплициального (d - ^-ком-
плекса последовательность
Например, для следующего графа (одномерного комплекса)
на 6 вершинах /= (1,6, 7).
Он связен, значит, является шеллинговым. Шеллинг задается
таким упорядочением гиперграней:
12, 13, 34, 35, 45, 36, 56.
При помощи ребер, изображенных на рисунке жирными лини-
ями, в частично упорядоченном множестве граней отмечено соот-
ветствующее разбиение. Его «минимальные новые грани» таковы:
0, з, 4, 5, 45, 6, 56,
и, таким образом, мы получаем вклад по «1» на этих шагах соответ-
ственно в
ho, hi, hi, hi, h2, hi, h2,
значит,
h(tf) = (l,4,2).
324
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
У всех разделимых комплексов h-вектор неотрицателен, так
как равно количеству минимальных граней в разбиении, которые
содержат ровно i вершин.
Мы показали, что шеллинговые симплициальные комплексы
разделимы. Обратное неверно: ниже приведен пример разделимого
комплекса, не имеющего шеллинга. У него d = 2, п = 5, / = (1,5, 4)
иЬ = (1,3,0).
Отметим, что /-вектор симплициального комплекса с шеллин-
гом можно вычислить по h-вектору. Действительно, суммируя
слагаемые, добавленные на каждом отдельном шаге шеллинга, мы
получаем
j=lVK i=0 k '
= hk +(d —/с-F l)h^_1 +... 4- (Oho.
Однако и /-вектор определяет h-вектор: из этих формул мы мо-
жем рекурсивно вычислить hk через и (h0,..., hk_^. Есть более
простой способ, позволяющий учесть эти соотношения. Рассмотрим
f-многочлен
d
У(х) := fd_! +/d-2x+... + /o*d-1 +/-iXd = sZ-iXd-i
i=0
и h-многочлен
d
h(x) := hj + hj-^-h... + h1xd-1 + hoxd = ^hjXd-1.
i=0
Из сказанного выше следует, что шаг шеллинга с |RJ = i дает слага-
емое (х + l)d-1 в /-многочлене. Значит, мы имеем формулу
d
/(x) = S/i,(x + l)d-=h(x + l).
1=0
§ 8.3. h-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
325
Если мы сравним коэффициенты при xd~k в левой и правой частях
этой формулы, то получим в точности выражение через hi9 на-
писанное выше. Однако /(х) = h(x -F1), так что мы, конечно, также
имеем
hW = f(x-l).
Если мы теперь сравним коэффициенты при xd~k в левой и правой
частях равенства, то получим формулы, выражающие hk через fa.
Воспользуемся этим результатом в следующем определении.
Определение 8.18. Пусть — симплициальный комплекс раз-
мерности d — 1. Тогда h-вектором комплекса называется вектор
h(^) = (h0)/l1,...Jhd) € Zd+1,
заданный формулами
k Z Я ’ \
hk :=Е(-1ЛЧ^ПЛ-1,
i=0 4 У
т.е.
к z J • ч
= A-1-W-fc + i)A_2 + (‘i’2+2)A-3-...
В частности, имеем h0 = 1, = f0 — d и
hd = /d-1 -Л-2 +Л-3 - - + (-l)d’7o + (-Dd-
Также легко проверить равенство h0 + h^ + ... -I- hd = fd_19 которое
для разделимых комплексов выполнено по построению, — это про-
сто соотношение /(0) = h(l).
Достоинством определения 8.18 h-вектора является то, что оно
имеет смысл даже в случае, когда симплициальный комплекс нераз-
делим, а в случае разделимого комплекса оно показывает, что числа
hi не зависят от конкретного выбранного разбиения. Приняв такое
определение, мы доказали следующую теорему.
Теорема 8.19. Пусть — однородный d-мерный симплициалъ-
ный комплекс. Если комплекс Ч? разделим, то его h-вектор неот-
рицателен. Если комплекс также является шеллинговым, то
компонента равняется числу гиперграней в шеллинге, мощность
326
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
ограничительных множеств для которых равна I, и не зависит от
того, какой именно шеллинг был выбран.
Вместо прямого вычисления по формулам можно вычислить
h-вектор с помощью разностной таблицы — варианта треугольни-
ка Паскаля. Этот подход известен как трюк Стенли [516, с. 213],
см. также [356, с. 5]. Запишем числа j\ в последние ячейки строк
треугольника Паскаля (туда, где обычно записывается Q + = 1)
и вычислим остальные элементы как
правый верхний сосед-левый верхний сосед.
Примеры 8.20. Вычислим h-вектор для трех разных комплек-
сов.
1. Для первого графа с /-вектором /= (1,6, 7), который мы рас-
смотрели выше, получим следующую таблицу:
1
1 6
15 7
h=( 1 4 2 Г
где компоненты /-вектора выделены жирным шрифтом.
2. Аналогично для границы октаэдра имеем /= (1, 6,12,8),
и соответствующая таблица имеет вид
1
1 6
1 5 12
14 7 8
h = ( 1 3 3 1 Г
Чтобы это проверить, нарисуйте октаэдр и вычислите h-вектор по
шеллингу!
3. Рассмотрим не столь естественный пример пятимерного сим-
плициального комплекса на 12 вершинах, который состоит из одно-
го 5-симплекса и 6 изолированных вершин. Для него имеем
f = (1,6 + 6, Q), (3), (*), (|), 1) = (1,12,15, 20,15,6,1),
§ 8.3. h-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
327
и разностная таблица Стенли имеет вид
1
1 12
1 11 15
1 10 4 20
1 9 -6 16 15
1 8 -15 22 -1 6
1 7 -23 37 -23 7 1
h = ( 1 6 -30 60 -60 30 -6 )
У этого h-вектора, в частности, есть большие отрицательные
компоненты. Этого не могло произойти с шеллинговым комплек-
сом, но данный комплекс таковым не является: он не связен и даже
не однороден.
Зачем мы изучаем h-векторы? Дело в том, что во многих зада-
чах, касающихся симплициальных многогранников, гораздо удоб-
нее хранить информацию о числе граней в виде h-векторов, чем
в виде /-векторов.
Первый замечательный пример — соотношения Дена—Соммер-
вилля. Их история началась с наблюдения, что для симплициаль-
ных многогранников есть дополнительные уравнения на /-вектор,
которые получаются из двойного подсчета. Действительно, для сим-
плициальных 3-многогранников мы видим, что каждое ребро при-
надлежит двум граням, в то время как каждая грань имеет три
ребра. Таким образом, подсчитывая инцидентности ребер и граней,
мы получаем равенство 2Д = 3/2. Аналогично для симплициальных
d-многогранников получаем
2/d-2 = dfd-i-
Это единственное новое уравнение при d 4, но в высших раз-
мерностях уравнений становится больше (и они становятся более
сложными). Ден [181] нашел уравнения в случае d = 5, а в общем
случае вопрос был решен Соммервиллем [508]. Вот версия в терми-
нах h-вектора.
Теорема 8.21 (соотношения Дена—Соммервилля). Для h-векто-
ра границы симплициального d-многогранника справедливы соотно-
шения
hk = hd_k, h = 0,1, ...,d.
328
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
Доказательство (Макмаллен [389]). Применим лемму 8.10 и
наблюдения, сделанные в процессе ее доказательства. А именно, ес-
ли F1} — шеллинг, то и обратная последовательность Fs, ...9F1
также является шеллингом. Более того, если гипергрань идет
раньше Fj (т. е. i < j) в первом шеллинге, то в обратном шеллинге
она идет позже. Из этого видно, что ограничительным множеством
для Fj в обратном шеллинге будет в точности \ Rj — дополнение
ограничительного множества в изначальном шеллинге. Значит, ес-
ли гипергрань Fj дает вклад «1» в компоненту hk в исходном шел-
линге (к = |jR; |), то она же дает вклад «1» в компоненту hd_k в об-
ратном шеллинге (d - k = |F; \R;|). Мы показали, что значение hk,
вычисленное для исходного шеллинга, равно значению hd_k для об-
ратного шеллинга.
Однако, как следует из теоремы 8.19, h-вектор не зависит от
выбора шеллинга, а значит, hk = hd_k. □
Пример 8.22. Если занумеровать вершины октаэдра так же,
как на рисунке:
то шеллинг задается как
123, 126, 135, 156, 234, 246, 345, 456,
где минимальными новыми гранями будут
0, 6, 5, 56, 4, 46, 45, 456
и на соответствующих этапах мы делаем вклад «1» в компоненты
ho? hj, hj, h2, hi, h2, h2, h2,
и, значит,
h(^) = (1,3, 3,1),
как мы уже вычислили в примере 8.20(2). Теперь при обратном
шеллинге
456, 345, 246, 234, 156, 135, 126, 123
§ 8.3. /i-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
329
соответствующими минимальными гранями будут
0, 3, 2, 23, 1, 13, 12, 123,
на соответствующих шагах мы увеличим на единицу
ho, hi, hi, h2, hi, h2, h2, h2
и в результате, конечно, получим тот же h-вектор, что и раньше.
Существуют различные варианты записи соотношений Дена—
Соммервилля в терминах /-векторов, начиная с «очевидного»:
(чтобы его получить, надо просто выразить участвующие в урав-
нении hk = hd_k компоненты через числа граней /•) и заканчивая,
вероятно, наиболее элегантным и простым:
Однако все они едва ли могут поспорить по простоте с соотношени-
ewhk = hd_k.
Во всех этих версиях уравнение, отвечающее к = 0, — это форму-
ла Эйлера—Пуанкаре.
Соотношения Дена—Соммервилля при 0 $ к < | — это линейно
независимые условия на h-вектор (что очевидно), а значит, и на
/-вектор (так как /- и h-векторы линейно эквивалентны). Доказа-
тельство того, что эти уравнения дают полную систему линейных
соотношений, можно найти в книге Грюнбаума [252, раздел 9.2].
В ней также приведены прямые доказательства различных версий
соотношений Дена—Соммервилля, которые получаются двойным
подсчетом инцидентностей (что обобщает наше объяснение равен-
ства 2fd-2 = dfd-i> данное выше). Однако у Грюнбаума еще не было
такого метода, как шеллинг, который дает наиболее элегантное
доказательство1.
1 В приложении (теорема А.7) дается другое доказательство соотношений Дена—
Соммервилля для случая простых многогранников, использующее идеи теории Мор-
са. — Прим. ред.
330
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
§ 8.4. Теорема о верхней границе
«Какое максимальное число k-граней может быть у d-много-
гранника с п-вершинами?»
На этот вопрос отвечает теорема о верхней границе: «Цикличе-
ский многогранник Cd(n) имеет максимальное количество к-гра-
ней для всех к». Это предположение было выдвинуто Моцкиным
в его книге [415] в 1957 г. и стало известно как гипотеза о верхней
границе. История этой проблемы довольно запутанная (см. книгу
Грюнбаума [252]). За долгое время были сделаны преждевременные
заявления и получены многие частичные результаты, теорема была
доказана для многогранников с малым количеством вершин (т. е.
п $ d + 3; Гейл [222]), для многогранников с большим количеством
вершин (Кли [324], см. также следующий параграф) и в случае ма-
лых размерностей (для d $ 8; см. книгу Грюнбаума [252, с. 175]).
Можно проверить, что при d $ 5 этот результат довольно просто
получается из соотношений Дена—Соммервилля.
Наконец, в 1970 г. Макмаллен дал полное доказательство ги-
потезы о верхней границе —с тех пор она известна как теорема
о верхней границе. Доказательство Макмаллена удивительно про-
сто и красиво и сочетает в себе два ключевых средства: шеллинго-
вость и h-векторы. Следуя оригинальной работе Макмаллена [389],
мы представляем его доказательство теоремы о верхней границе.
Вот эта теорема.
Теорема 8.23 (теорема о верхней границе, Макмаллен [389]).
Если Р — d-многогранник с п = f0 вершинами, то для всякого к он
имеет не больше к-граней, чем соответствующий циклический мно-
гогранник (см. пример 0.6):
А_г(Р) A-iCQCn)).
Если для какого-то k, j $ k $ d, выполнено равенство, то много-
гранник Р является смежностным.
Сначала заметим, что мы можем сузить класс многогранников
в теореме до симплициальных.
Лемма 8.24 (Кли [324], Макмаллен [387]). Можно так пошеве-
лить вершины d-многогранника Р, что получится симплициальный
многогранник Р' (с тем же количеством вершин) и
fk.r(P) $ fk^(P')
§ 8.4. Теорема о верхней границе
331
для O^k^d, причем равенство для какого-нибудь k > |_ j может
возникнуть, только если многогранник Р симплициальный.
Это несложная часть, так что не будем на нее отвлекаться. Таким
образом, с этого момента мы будем рассматривать лишь симплици-
альные d-многогранники. Это важно для нас, потому что позволяет
пользоваться соотношениями Дена—Соммервиля! Что они нам дают?
Во-первых, всегда выполнено неравенство
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда много-
гранник Р является k-смежностным. Эта граница достигается для
k$ в случае смежностных многогранников, например цикли-
ческих многогранников из примера 0.6. Согласно упражнению 0.10
при к > j эта граница достигается лишь в случае симплекса.
Заметим, что количества граней /-i,/o, ...,/|^j_i полностью
определяют весь /-вектор. А именно, они определяют h0, ...h^dj
(по определению 8.18), а соотношения Дена—Соммервилля дают
оставшиеся компоненты h-вектора. В частности, все смежностные
симплициальные d-многогранники на п вершинах имеют такой же
/-вектор, что и циклический многогранник Cd(n). Напомним, что
при нечетных d 3 смежностные многогранники могут быть несим-
плициальными, но тогда по лемме 8.24 у таких многогранников
значение при к > |у j меньше, и, значит, мы можем о них не
беспокоиться.
Посмотрим на выражение /-вектора через h0,..., h^dj. Для бо-
лее красивой записи будем использовать следующее обозначение:
T0 + 7i + --- + T^J, если d нечетное,
7b + Ti + ... + |7|dj, если d четное,
т. е. звездочка означает, что при четном d в сумму входит лишь по-
ловина последнего выражения (с индексом i = |), если же d нечет-
но, то в сумме участвует все последнее выражение (с индексом
i = j = Аналогично будем обозначать через сумму, в ко-
торую входит только половина первого выражения, если начальный
индекс целый.
332
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
При к согласно этим обозначениям имеем
d , д .ч
•^~1 = =
= (соответствующие слагаемые равны 0 при i > к)
(8'25’
1 2
В последнем равенстве мы заменили i на d - i и использовали соот-
ношения Дена—Соммервилля.
Теперь понятно, что на самом деле мы должны доказать, что при
к$ смежностные симплициальные многогранники дают мак-
симальные значения не только для fk_r (как мы знаем), но и для hk.
Другими словами, следующей леммы «более чем достаточно».
Лемма 8.26 ([389, лемма 2]). Пусть Р — симплициальный d-мно-
гогранник на fQ = n вершинах. Тогда при O^k^d выполнено неравен-
ство
hk(p) (n"dfc1+fc).
Равенство достигается для всех к, 0 $ к $ Z, тогда и только тогда,
когда I $ [д j, а Р — 1-смежностный многогранник.
Утверждение и доказательство этой леммы являются ключевы-
ми шагами в доказательстве Макмаллена гипотезы о верхней гра-
нице из работы [389], где вместо hk используется обозначение
Доказательство. Докажем утверждение индукцией по к. Лем-
ма очевидна в случае к = 0, так как мы определили h0 равным 1.
Значит, достаточно проверить, что
(H-d+kA
“k+l < v k+1 J
t. e.
(k + l)hfc+1 (n - d + k)hfc для k 0. (8.27)
Докажем это в два шага. Сначала докажем формулу
L hk(V/v) = (k + nW**) + w - k)hfc W, (8.27a)
pGvert(^)
где удобное обозначение для линка вершины v симплици-
ального комплекса т. е. ^/v :=link(p, <#).
§ 8.4. Теорема о верхней границе
333
Соотношение (8.27а) доказывается довольно просто, так как оно
выполняется во время шеллинга, если вместо комплекса = %ЧдР)
рассмотреть := (F2 и... UF,). Кроме того, мы воспользуемся тем,
что по лемме 8.7 шеллинг комплекса дР также индуцирует шеллинг
всех его линков. Формула верна в самом начале, для пустого ком-
плекса (когда нет ни одной гиперграни и в формуле нет ни одно-
го члена). Предположим, что была добавлена новая гипергрань Fj,
и рассмотрим ее вклад в ^hk(<€/v}. Очевидно, добавление гипер-
грани может повлиять только на члены, соответствующие верши-
нам и gFj. Возможны два варианта.
Если v $Rj, то в линке вершины v появится новая грань мощно-
сти |Я;|. Это влияет на hfc(^/u), только если |Rj = к. В этом случае
ровно \Fj \Rj\ = d - к различных слагаемых увеличатся на 1. (Ле-
вый рисунок иллюстрирует этот случай для к = 1 и d = 3.) Но тогда
и hk (<£) увеличивается на 1, а правая часть равенства увеличивается
на d - к, как и должно быть.
Если р gRj, то в линке вершины и появится минимальная но-
вая грань мощности |Я;| -1. Тогда hfc(^/u) изменится, только если
|Rj | = к 4-1. В этом случае в левой части равенства к 4-1 слагаемое
увеличится на 1. В то же время hk+1(^ увеличится на 1, значит,
правая часть равенства также увеличится на к 4-1, и справедливость
формулы (8.27а) доказана. (На правом рисунке изображен этот слу-
чай.)
Вторая часть доказательства леммы — неравенство
S М^Л) «£ nhfc(^). (8.276)
vevert(^)
Чтобы доказать его, покажем, что для всех п вершин v G vert(^)
выполнено неравенство hk^/v) ^hk^}. Чтобы в этом убедить-
ся, рассмотрим шеллинг, начинающийся со звезды вершины и. Это
334
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
означает, что минимальные новые грани в и в линке <€/и сов-
падают на каждом шаге, пока мы строим шеллинг звезды. Далее,
когда шеллинг звезды построен, йк(^/у) больше не меняется, в от-
личие от hk{^}, которое еще может увеличиться. Это доказывает
неравенство (8.276), а вместе с равенством (8.27а) это доказывает
неравенство (8.27).
Что же можно сказать о случаях равенства? Чтобы выполня-
лось равенство hk(^/v) ^hk^\ необходимо, чтобы в шеллинге,
который начинается со звезды вершины и, не было минимальных
новых граней мощности к вне звезды. Значит, при I 1 равенство
hk№/u) = hk(^) выполнено для всех к $ I, если и только если в шел-
линге, который начинается со звезды вершины и, вне этой звезды
нет минимальных новых граней мощности не более I. Это равно-
сильно тому, что всякая грань G, которая содержит не более I вер-
шин, содержится в звезде вершины и, так что G U {и } также является
гранью. Равенство в формуле (8.276) достигается, только если ра-
венства выполняются для каждой вершины и. Отсюда следует, что
равенство в формуле (8.276), а значит, и в формуле (8.27) выпол-
нено для всех к $ I, если и только если многогранник Р является
(Z 4-1) -смежностным. □
Заодно мы вычислили и /-вектор смежностных многогранни-
ков: для этого нам надо всего лишь подставить выражения для hk
из леммы 8.26 (со знаком равенства) в формулу (8.25).
Следствие 8.28. Рассмотрим симплициальный смежностный
d-многогранник Р с fQ = n вершинами. Тогда
л.ЖжмЖЖЖЧ
для O^k^d. Для каждого к эта формула дает максимальное значе-
ние для числа (к - 1)-граней d-многогранника с п вершинами.
Для k = d это соотношение превращается в формулу для числа
гиперграней циклического многогранника Cd(n):
d/2 , л ,
Л-1 = Г2 (Ж1 + 1 )•
i=0 4 У
(Сравните этот результат с упражнением 0.9!) Отметим, что при
фиксированной размерности число /d-i(Cd(n)) растет как много-
член степени |^j от числа вершин.
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
335
Вот краткое доказательство этого следствия об асимптотике из
теоремы о верхней границе, принадлежащее Зайделю [490] (см.
также книгу Малмюли [417]). Рассмотрим произвольный шеллинг
комплекса дР. Для любой гиперграни верно, что либо ее ограничи-
тельное множество Rj, либо дополнение к нему Fj\Rj имеет мощ-
ность не более j. Значит, либо в шеллинге, либо в обратном шел-
линге ограничительное множество гиперграни будет содержать
I d I
не более вершин. Сами ограничительные множества в шел-
линге по построению являются различными множествами. Значит,
число гиперграней не превосходит удвоенного числа (к -1)-граней
многогранника Р, к $ J . Отсюда имеем
A-,S2L(?).
1=0
и эта грубая оценка ограничивает многочленом степени j
от п.
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
Мы уже использовали тот факт, что симплициальный комплекс
%сп вершинами может быть отождествлен с системой множеств —
набором подмножеств 54^) в п-множестве
5^) := {vert(G): G G £(<£)}.
В дальнейшем будем отождествлять множество вершин комплекса
с множеством
[и] := {1,2,..., и},
а k-грани комплекса— с (к 4-1)-подмножествами универсального
множества [и] при -1 $ к $ dimC*#). Таким образом, если 41 явля-
ется однородным (d -1)-мерным симплициальным комплексом, то
он определяется набором своих гиперграней, т. е. подмножеством
Г [и] А , г
множества ( 1 — семейства всех d-подмножеств множества [и].
Эта конструкция отождествляет геометрические симплициаль-
ные комплексы, например граничные комплексы симплициальных
многогранников, с абстрактными симплициалъными комплексами,
которые хранят информацию только о множестве вершин и о том,
336
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
«какие множества вершин соответствуют граням, а какие —гипер-
граням». Этот подход полезен во всех задачах, в которых требу-
ется исследовать не геометрию комплекса, а только его комбина-
торную структуру. При этом комбинаторная структура комплекса
точно представляется при помощи системы абстрактных множеств:
по данной системе множеств легко восстановить симплициальный
комплекс (этот процесс известен как геометрическая реализация
абстрактного симплициального комплекса).
На следующем рисунке изображен «общий вид» симплициально-
го комплекса, представленного в виде системы множеств. (Конечно,
это не обязано совпадать с вашим видением системы множеств —
предложите свою схему!) Слева изображена только «форма» сим-
плициального комплекса внутри решетки всех подмножеств множе-
ства [п]. Справа же показан двудольный граф всех к- и (к — 1)-гра-
ней, т. е. всех подмножеств мощности к 4-1 и к данного комплек-
са. В обоих случаях минимальным элементом будет пустое мно-
жество 0, которое по определению всегда принадлежит комплексу
и соответствует равенству /_! = !.
Лемма 8.29 (Шпернер [509]). Если симплициальный комплекс
Ч? размерности d имеет fQ^n вершин, то при l^k^d выполнено
неравенство
fk < n — k _ U+J
fk-i к + 1 ~ (”) ’
причем равенство достигается, если и только если комплекс явля-
ется (к + 1)-смежно стнъсм. В этом случае
-k=(k + l) и Л"1=(.кУ
Доказательство. Посчитаем ребра двудольного графа, рассмот-
ренного выше, двумя способами. Всякое (к 4-1)-множество содер-
жит к 4-1 различных к-множеств, значит, в графе (к 4- 1)Д ребер.
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
337
Аналогично всякое к-множество данного комплекса содержится не
более чем в п - к различных (k +1)-множествах комплекса. Значит,
в графе не более (п - k)/k_j ребер, и мы получили требуемое нера-
венство (к + 1)Д $ (и - к)Д_х.
Предположим, что в соотношении достигается равенство. Тогда
если комплекс содержит некоторое k-подмножество (к 4-1)-мно-
жества, то он должен содержать и само (к + 1)-множество. Кроме
того, мы можем добраться от любого (к 4-1)-подмножества мно-
жества [и] до любого другого, выкидывая один элемент, добавляя
другой, снова выкидывая и т. д. Значит, в случае равенства комплекс
содержит либо все (к 4- 1)-множества, либо ни одного. □
Крайний случай к = О тривиален. При к = 1 лемма Шпернера
говорит лишь, что на п вершинах не может быть более Q) ребер.
Для больших к утверждение становится более содержательным. Из
него легко выводится следующая лемма.
Лемма 8.30. Рассмотрим симплициальный комплекс Ч? размер-
ности d — 1 с n = fQ^) вершинами. Если п^ dk — (к - I)2, то для
h-вектора комплекса выполнено условие
^СЛ1+‘).
причем равенство достигается, если и только если комплекс яв-
ляется k-смежностным, т. е. fk^ =
Доказательство. Сгруппируем члены выражения
i=0 v J
по парам:
. fd-k+OA, (d-k+l\f ,
0 1 )fk-2 +
(‘-Г >-.+•••
Каждая пара имеет вид ПРИ 1 j ^к- 1.
(Если к нечетно, в конце формулы появится дополнительный член
но он является константой.) По лемме Шпернера получаем
338
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
оценку
rd-j-iA r2z2_lz21
Ik-j-lJ^ 1lj + l k-jj’
Это выражение достигнет максимального значения при = ( .1
n-jd-j Л '
для всех j, если разность у — т—г неотрицательна. Отсюда сле-
7 -г 1 к. J
дует, что hk принимает максимальное значение на к-смежностных
симплициальных комплексах, если выполнено неравенство
d — j
п j + U’ + D^Tj при j = 1,...»k —1.
Так как оценка в правой части неравенства монотонна по j, достаточ-
но рассмотреть только j=к -1. Мы получим неравенство п (к -1) +
+k(d-k+l), которое было потребовано в условии леммы. □
Заметим, что эта лемма неверна без предположения, что п до-
статочно велико: для комплекса из примера 8.20 (3) имеем d = 6,
/0 = и = 12 и
h3 = 60>56 = (|) = (-V+3).
Из этой несложной леммы следует лемма Макмаллена 8.26,
а значит, и доказательство теоремы о верхней границе для много-
гранников с достаточно большим количеством вершин. Это простое
доказательство работает не только в случае многогранников: оно
одинаково применимо ко всем видам симплициальных комплек-
сов, которые удовлетворяют соотношениям Дена—Соммервилля,
в том числе к сферическим многогранникам (которые соответствуют
симплициальным веерам; см. работу Кляйншмидта и Смиланского
[337] и, более общим образом, ко всем симплициальным эйлеровым
псевдомногообразиям (см. статьи Кли [323]), Байер и Биллеры [62],
Чан, Джанграйса и Стонга [146] и книгу Стенли [517, раздел 3.14].
Следствие 8.31 (теорема о верхней границе для комплексов
с большим числом вершин). Пусть (d - 1)-мерный симплициаль-
ный комплекс удовлетворяет соотношениям Дена—Соммервилля
hk = hd_k.
Если число n = fQ вершин удовлетворяет неравенству
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
339
то при O^k<d комплекс не может иметь больше k-граней, чем
циклический многогранник Cd(n):
f№ МЫпУ).
Доказательство. По лемме 8.30 имеем
м("’^+,сИадп))
при к > а при к > эта же оценка следует из соотношений
Дена—Соммервилля. Остальное следует из того, что компоненты fk
являются положительными линейными комбинациями компонент
hiti^k + l. □
В этом доказательстве можно увидеть некоторые сильные сторо-
ны перехода от геометрических симплициальных комплексов к ко-
нечным системам множеств (абстрактным симплициальным ком-
плексам). В такой постановке задачи об экстремальных свойствах
симплициальных комплексов являются одной из главных тем иссле-
дования в «экстремальной теории множеств». В оставшейся части
этого параграфа мы познакомимся с некоторыми важными идеями,
конструкциями и результатами в этой области (некоторые из них
для экономии времени и места мы приведем без доказательств).
Некоторые из опущенных подробностей можно найти в замечатель-
ном обзоре Грина и Клейтмана [241].
Главный инструмент экстремельной теории множеств — исполь-
зование различных частичных и линейных упорядочений к-подмно-
жеств n-множества (т. е. (к - 1)-граней комплекса). Так как мы счи-
таем, что вершины образуют множество [и], т. е. они занумерованы
натуральными числами 1,2,..., существует естественное линейное
упорядочение («полное упорядочение») множества вершин. Учиты-
вая это, в частности, мы можем рассматривать максимальный эле-
мент max(G), если G непусто.
Пользуясь этим, можно определить r-lex-порядок (или обратное
лексикографическое упорядочение) на k-подмножествах вершин. Мы
будем писать
G -< Н,
если и только если G / Н и максимальный элемент, в котором раз-
личаются G и И, принадлежит И, т. е. если
max(G\H) < max(H\G).
Это равносильно тому, что или max(G) < max(H), или max(H) =
= max(G) =: р nG\p^H\p.
340
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
В определении г-1ех-порядка не уточняется количество элемен-
тов п. Таким образом, мы можем рассматривать «-<» как линей-
ный порядок на множестве всех к-подмножеств в N. Более того, для
произвольного k-подмножества G с N существует лишь конечное
количество k-подмножеств в N, которые меньше G. Причина этого
в том, что из условия G^H следует, что ) для п :=max(G).
Это означает, что мы можем использовать г-1ех-порядок для нуме-
рации всех k-подмножеств множества N: Fx (к), F2(к),... Таким обра-
зом, определим F;(k) как j-e подмножество в возрастающем списке,
определенном г-1ех-порядком.
Например, г-1ех-упорядочение 3-подмножеств множества N на-
чинается с последовательности
123 -х 124 -< 134 -< 234 -< 125 -< 135 -< 235 -х 145 -< ...,
значит, это и есть вышеупомянутые множества
Fj(3) -< F2(3) -< F3(3) -< F4(3) -< F5(3) -< F6(3) -< F7(3) -< F8(3) -< ...
Для n, k 0 существует единственное биномиальное разложение
числа п в виде
где ак > ак_г > ... > а2 > аг 0.
На самом деле существование и единственность проверяются
просто последовательным выбором сначала ак, затем ак_г и т. д. Од-
нако можно дать следующее более глубокое объяснение. Определим
целые числа ак > ак_г > ...а2 > а1'^0, положив
=: {а1 +1» а2 +1, •••> ак-1 +1, ак +1}<-
(Значок «<» означает, что элементы выписаны в возрастающем по-
рядке.) Тогда существует ровно п различных k-подмножеств G с N,
которые меньше, чем + 1, а2 + 1,..., ak_r + 1, ак 4-1}, в г-1ех-
порядке. Из них У ( множеств максимальный элемент меньше
ак +1, у (^2 ) множеств максимальный элемент равен ак +1, но
следующий элемент меньше чем ак_г +1 и т. д.
Можно сделать еще одно наблюдение: у (к - 1)-подмножеств
множества N, которые содержатся в некотором F; (к) при j $ п 4-1,
максимальный элемент также либо меньше ак 4- 1, либо равен
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
341
ак +1, но следующий за ним меньше ак_г +1 и т. д. В итоге ровно
ЧЛИ£1)+--+(?)+(о)
(к -1)-подмножеств содержатся в к-множествах ^(к),Fn+1(k).
Например, пусть к = 3 и п = 7. Из разложения
мы видим, что F8(3) = {5,4,1}, и это согласуется с рассмотренным
выше примером. Есть всего 7 множеств, меньших данного в смысле
г-1ех-порядка. Из них у четырех (4= (3)) максимальный элемент
меньше 5, у трех (3 = максимальный элемент равен 5, но
следующий элемент меньше 4, у нуля (0= (1)) Два максимальных
элемента равны 5 и 4, но минимальный элемент меньше 1 (что
невозможно). Также имеются
ад-ШО+га
2-подмножеств, содержащихся в первых восьми 3-множествах, а
именно 6= (2) подмножеств с максимальным элементом, мень-
шим 5, 3 = (3 подмножества с максимальным элементом 5, но
4 У л л
следующим элементом, меньшим 4, и 1 = I 0 1 подмножество с эле-
ментами 5 и 4. Обратите внимание на то, что последнее 2-под-
множество содержится только в F8(3) и не содержится в меньших
3-множествах.
Отметим, что r-lex-порядок весьма естествен с различных точек
зрения. Например, он дает порядок шеллинга для (к — 1)-остова
симплекса при к $ п = d 4-1 (упражнение 8.24 (1)). Правда, для
этого подходят и многие другие линейные упорядочения. Между
прочим, открытой проблемой остается следующий интересный во-
прос: являются ли остовы симплексов продолжаемо-шеллинговыми,
см. задачу 8.24 (3)*.
Вероятно, главным результатом экстремальной теории мно-
жеств и основным применением г-1ех-упорядочений является описа-
ние /-векторов сиплициальных комплексов. Оно известно как тео-
рема Крускала—Катоны [344], [318], хотя еще раньше эту проблему
решил Шутценбергер [485], а даже раньше к решению этого во-
342
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
проса близко подошел Харпер: в его работе [271] эта теорема не
была явно сформулирована, но ее можно было легко получить. Мне
рассказывали, что Харпер знал об этом.
Теорема 8.32 (теорема Крускала—Катоны). Рассмотрим после-
довательность неотрицательных целых чисел
Тогда следующие условия равносильны.
1. Последовательность / является f-вектором симплициально-
го комплекса размерности не более d — 1.
2. Семейство
&(.f) := {Fj(k): 0 k d, 1 j fk^}
является симплициальным комплексом (ш. е. каждое множество со-
держится в нем вместе со всеми подмножествами).
3. Выполняются соотношения f_r = 1 и dk+1(fk) при 0^к$
$d-l.
Доказательство. Импликация (2) => (1) тривиальна, а равно-
сильность (2) <=> (3) понятна из нашей конструкции «граничного
оператора» dfc(n).
Остается нетривиальная часть (1) => (2): в книге Грина и Клейт-
мана [241, с. 73] приведено красивое простое доказательство с по-
мощью «сжатия». □
Симплициальный комплекс (на множестве вершин V с N) явля-
ется сжатым, если его к-грани образуют начальный отрезок г-1ех-
упорядоченной последовательности всех k-множеств в N для всех к,
иными словами, если этот комплекс задается так же, как в теоре-
ме 8.32 (2).
Техника сжатий, упомянутая в последнем доказательстве, при-
нимает на входе симплициальный комплекс, а на выходе выдает
сжатый симплициальный комплекс с тем же /-вектором. Эта тех-
ника впервые появлась в работе Линдстрема и Цеттерстрема [364].
Она точно так же работает на мультикомплексах (см. теорему Ма-
колея 8.34), а также для обобщения обеих теорем, как показали
Клементс и Линдстрем [160], [18, раздел 9.1].
Далее нам потребуется не эта теорема для симплициальных
комплексов, а ее вариант для «мультикомплексов». Для этого вве-
дем новую терминологию — с некоторыми понятиями читатель уже
встречался раньше, но, возможно, под другими именами.
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
343
Мультимножеством называется конечная последовательность
элементов, среди которых могут быть повторяющиеся. Порядок эле-
ментов не важен, но их кратности являются частью структуры. Та-
ким образом, мультимножество F с элементами из N может быть
единственным образом представлено в виде
F = {b13 Ь2зbfc-i, bk}^3
где значок «^» означает, что элементы набора расположены в неубы-
вающем порядке: Ьг Ь2 ... Ьк. Мощностью мультимножества
называется количество элементов с учетом их кратностей. Значит,
записанное выше мультимножество F имеет мощность |F| = k. В та-
ком случае будем называть данный набор к-мулътимножеством.
Мулътиподмножество GQF- это мультимножество, в котором
каждый элемент имеет меньшую или равную кратность по срав-
нению с его кратностью в F. Наконец, мулътикомплекс — это ко-
нечный набор мультимножеств, замкнутый относительно операции
взятия мультиподмножества.
Мультикомплексы можно интерпретировать разными способа-
ми (см. упражнение 8.22). Например, они эквивалентны порядко-
вым идеалам в и системам одночленов, замкнутым относительно
разложения на множители. Ниже изображен «общий» рисунок, по-
казывающий, как может выглядеть мультикомплекс. Обратите вни-
мание на маленький ромб внизу, который обозначает все множе-
ства в системе мультимножеств.
Можно попытаться (довольно техническим образом) топологи-
чески интерпретировать мультикомплексы. Такой подход приводит
к мощному аппарату полусимплициальных множеств [386], кото-
рый мы не будем здесь рассматривать. Мы будем использовать толь-
ко несколько определений из топологической терминологии. Так,
344
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
размерность мультимножества определяется как мощность без еди-
ницы: dim(F) := |F| — 1. Размерностью мультикомплекса называется
максимальная из размерностей мультимножеств, которые он содер-
жит, a f -вектор мультикомплекса — это Л, где /;• —
число мультимножеств размерности i в мультикомплексе.
Приведем важную биекцию, сопоставляющую к-мультимноже-
ствам с элементами из [и] к-подмножества множества [п + к -1]:
ф: {Ъ19..., bk}^ {blf b2 +1,..., bk + к - 1}<. (8.33)
В частности, из этой биекции следует принципиальное тождество
f п + к — 1Л
II кJJ ~ I к J’
где символ (()) в левой части равенства обозначает число к-муль-
тимножеств с элементами из [и] — аналог биномиального коэффи-
циента Н j для мультимножеств. Три других доказательства этого
равенства предлагаются в упражнении 8.22.
Многие идеи теории множеств обобщаются на мультимноже-
ства простой заменой биномиальных коэффициентов на их аналоги
для мультимножеств1. В частности, нам потребуется r-lex-порядок на
k-мультимножествах. Будем писать
F G,
если max(F) < max(G) или если max(F) = max(G) = : р и
F\p -< G\p.
Здесь «F \ р» обозначает удаление ровно одного экземпляра мак-
симального элемента из F. Таким образом, г-1ех-порядок являет-
ся линейным порядком на множестве всех k-мультимножеств на-
туральных чисел. Все замечательные свойства г-1ех-упорядочения
множеств обобщаются на мультимножества. Объясняется это тем,
что биекция (8.33) устанавливает эквивалентность г-1ех-порядка на
к-мультимножествах r-lex-порядку на к-множествах:
F G <=> </>(F) 0(G).
Значит, для всякого k-мультимножества существует лишь конечное
количество к-мультимножеств, меньших его, а следовательно, при
помощи г-1ех-порядка можно занумеровать все к-мультимножества
1 Проверьте дальнейшее внимательно! Не принимайте мои слова на веру!
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
345
натуральных чисел, обозначив их F1(k),F2(k),..., т.е. мы опреде-
лили Fj(k) как j-e мультимножество в г-1ех-упорядоченном списке
и убедились, что это ф -прообраз ;-го подмножества:
0(F/k)) = F/k).
Например, г-1ех-упорядочение 3-мультимножеств из натураль-
ных чисел начинается с последовательности
F^3) -< F2(3) -< F3(3) -< F4(3) -< F5(3) -< F6(3) -< F7(3) -< F8(3) -< ...,
т.е.
Ill -< 112 -< 122 -< 222 -< 113 -< 123 -< 223 -< 133 -< ...
Далее, для и, к 0 существует единственное представление п
в виде
п =
((А А _1_ (( Y\ । । ((^2 Y\ , ((
\Xk-lJJ^'''^\X2 1 JJ’
где bk bk_T ... ^b2^b1^0.
Получить это представление можно тем же способом, что и рань-
ше, — определив
Fn+1(k) =: {bi +1, b2 +1, •••> bfc-i +1, Ък +1}^
или подставив bt := at - i +1 в разложение, которое мы ввели выше.
Существует ровно п различных к-мультимножеств, меньших
{bT +1,..., Ък 4-1} в г-1ех-порядке. Из них у мультимножеств
максимальный элемент меньше bk +1, у (( )) мультимножеств
максимальный элемент равен bk +1, но следующий за ним меньше
ЬЬ1 + 1ит.д.
Также нетрудно заметить1, что у (k - 1)-мультимножеств, ко-
торые содержатся в некотором F; (k) для j и 4-1, максимальный
элемент также либо меньше bk +1, либо равен Ьк 4-1, но следующий
1 У вас нет ощущения дежавю? Конечно, ведь то, что мы сейчас делаем для муль-
тимножеств, раньше мы проделали для обыкновенных множеств!
346
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
за ним меньше bk_T -1 и т. д., т. е. существует ровно
Л"+» - (G-JMC-O)+-+((1)) О) =
i>t+fc-2\ гЬы+к-з\ (Ь2\ р1-П _
к-1 J k к-2 1 J k. О J~
afc ~ . f ak-i-1А . , fa2-l\ , Га1-И
к-1 к-2 1 J к О J
таких множеств.
Например, пусть снова к = 3 и и = 7. Из разложения
7 =
видно, что Г8(3) = {1, 3,3}, что мы уже получили напрямую, когда
выписывали начало упорядочения. Существует 7 меньших 3-муль-
з]]=4 мультимножества с максимальным
элементом, меньшим 3, (( 2 )) = 3 мультимножества с максималь-
ным элементом 3, но следующим элементом, меньшим 3, ((i)) = О
мультимножеств с двумя элементами, равными 3, но минимальным
элементом, меньшим 1. Кроме того, существует
«3(ВД=((2)) + ((1)) + ((о)) = (2) + (1) + ('о1)=3+2+1 = 6
2-мультимножеств, которые содержатся в первых восьми 3-мульти-
множествах, а именно 3 = 11 2 JJ мультимножества с максималь-
«2Y\
1 11 мультимножества с мак-
симальным элементом 3, но следующим элементом, меньшим 3,
и 1 = ( q1 ) мультимножество с элементами 3, 3. Последнее муль-
типодмножество содержится лишь в Г8(3), но не в меньших 3-муль-
тимножествах.
Основная причина, по которой мы изучаем мультимножества
и их г-1ех-упорядочение, — это желание лучше понять, что из себя
представляют мультикомплексы, как они себя ведут. Это необходи-
мо, чтобы понять следующую теорему, в которой используется отоб-
ражение Ф^, связанное с ф -отображением (8.33). Аргументом отоб-
ражения $d служит мультимножество {Ьк, к каждому его
элементу прибавляется 1, к мультимножеству добавляется d — k еди-
§ 8.5. Элементы экстремальной теории множеств
347
ниц, а затем к полученному мультимножеству применяется ф-отоб-
ражение. В результате получаем множество
d-k
*d«bk,..., b^) := ф({Ьк +1,bi +1, =
= {bk+d,bM + d-l, ...,b1+d-k + l,d-k, ...,2,1}>.
Теорема 8.34 (теорема Маколея). Рассмотрим последователь-
ность неотрицательных чисел h = (h0, hlf..., hd) eNq+1. Тогда сле-
дующие условия равносильны.
1. Последовательность h является f -вектором мультикомп-
лекса.
2. Последовательность h является f-вектором сжатого мулъ-
тикомплекса, т. е.
& := {р.(к): 0 $ k d, 1 $ j $ hk}
является мультикомплексом.
3. Выполняются соотношения h0 = 1 и hk_T dk(hk) при 1 $ к d.
4. Последовательность h является h-вектором (d - 1)-мерного
симплициального комплекса, допускающего шеллинг.
5. Семейство {ФДГДк)): 0 k $ d, hk] является множе-
ством гиперграней симплициального комплекса, у которого суще-
ствует шеллинг и h-вектор равен h.
Доказательство. Часть (2) => (1) снова тривиальна, а равно-
сильность (2) <=» (3) следует из сказанного выше.
Часть (1) => (2), от мультикомплексов к сжатым мулътиком-
плексам, впервые была доказана Маколеем. Ее можно доказать при
помощи техники «сжатий», о которой мы упоминали в доказатель-
стве теоремы Крускала—-Катоны 8.32.
Часть (2) => (5), огп мультикомплексов к шеллинговым комплек-
сам,— это частный случай «s = 1» конструкции Бьорнера, Франкла
и Стенли [93], которая по мультикомплексу строит однородный
комплекс:
> {G: G с ФДЕ) для некоторой грани F Е ^}.
Если & — сжатый мультикомплекс из п. 2, то однородный комплекс
ФД<^) является шеллинговым. Действительно, в этом случае г-1ех-по-
рядок задает шеллинг, причем ограничительные множества у ги-
перграней имеют вид К(ФДГ;(к))) = Ф^(Г; (к)) \ {d - к,..., 2,1}, т. е.
это множества мощности к. Таким образом, каждое к-мультимно-
348
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
жество этого мультикомплекса дает вклад «1» в hk -координату ft-
вектора соответствующего симплициального комплекса. Подроб-
ное доказательство см. в работе [93, раздел 5].
Импликация (5) => (4) тривиальна, поэтому нам остается только
доказать импликацию (4) => (1), от шеллинговых комплексов кмулъ-
тикомплексам. Стенли в работах [512, 513] дал алгебраическое до-
казательство: в этом доказательстве мультикомплекс возникает из
элементов мономиального базиса «кольца Стенли—Райснера по мо-
дулю системы параметров». Существует ли простое комбинаторное
доказательство? Обратите внимание на то, что этот с виду невин-
ный переход влечет за собой, в частности, неравенство
для шеллинговых комплексов и, таким образом, дает еще одно до-
казательство теоремы о верхней границе (лемма Макмаллена 8.26)!
В действительности это ключевая идея доказательства Стенли гипо-
тезы о верхней границе для сфер [511], [515, раздел П.З]. □
Вклад Маколея [372] состоял, по существу, в доказательстве рав-
носильности (1) <=» (2) в теореме 8.34. Мы объединили его результат
с важными работами Стенли [512, 513] и Бьорнера, Франкла и Стен-
ли [93].
Последовательности, описанные в теореме 8.34, называются
М-последователъностями («М» — от фамилии Маколей) или «О-по-
следовательностями». Как мы увидим в следующем параграфе, они
чрезвычайно важны.
Вот несколько примеров М-последовательностей для d = 3. По-
следовательность (1,3,3, ft3) является М-последовательностью при
О ft3 $ 4. Действительно, в силу п. 2 теоремы Маколея для доказа-
тельства этого можно взять мультикомплекс
{0,1,2, 3,11,12, 22},
дополненный первыми ft3 множествами из списка
Fi(3) = 111, F2(3) = 112, F3(3) = 122, F4(3) = 222.
Так как F5(3) = 113 содержит мультиподмножество 13, которого нет
среди перечисленных 1-граней, получаем, что уже (1, 3, 3, 5) не яв-
ляется М-последовательностью. Обратите внимание на то, что сре-
ди указанных М-последовательностей при ft3 = 1 имеется последо-
вательность (1,3,3,1): это ft-вектор границы октаэдра, см. при-
мер 8.22.
§ 8.6. g-теорема и ее следствия
349
§ 8.6. g-теорема и ее следствия
Я надеюсь, что после изучения предыдущего параграфа чита-
тель получил представление о том, что такое М-последовательность.
Все способы интерпретации М-последовательности весьма полез-
ны: они позволяют нам чередовать разные подходы, рассматривая
• f-векторы мультикомплексов;
• h-векторы шеллинговых комплексов;
• последовательности неотрицательных целых чисел, для которых
выполнено неравенство dk(hk) ^hk_v
Сейчас мы увидим, почему М-последовательности так важны. Они
позволяют полностью описать /-векторы симплициальных d-мно-
гогранников Р. Что же мы знаем о них в настоящий момент? Забы-
вая про fd = 1, мы знаем, что их можно зашифровать при помощи
h-векторов h(P) = (h0, hlf..., hd), которые удовлетворяют соотноше-
ниям Дена—Соммервилля hk = hd_k при 0 $ к $ d. Также мы знаем,
что h(P) является М-последовательностью. Это следует из теоремы
Маколея 8.34 (4), из которой получается верхняя оценка
В 1970 г. Макмаллен довольно смело объединил всю известную на
тот момент информацию (включая теорему Барнетта о нижней гра-
нице, см. ниже) в гипотезу, полностью описывающую /-вектор сим-
плициального многогранника [391]. Она стала известна как g-гипо-
теза, потому что она была сформулирована при помощи g-вектора
многогранника, который определяется как
g(P) ••= (go.gl,
raeg0:=h0 = lngk:=hk-hk_1xipnl^k^
Теорема 8.35 (g-теорема, Биллера, Ли [74, 75], Стенли [511]).
L-J+1
Последовательность g = (g0, gi,..., gL i j) e N02 является g-векто-
ром симплициального d-многогранника, если и только если она яв-
ляется М-последователъностью.
Мы не будем даже пытаться доказывать эту теорему (см. при-
мечания ниже), вместо этого мы выведем несколько наиболее за-
мечательных ее следствий. Для этого, следуя Бьорнеру [84, 86, 90],
мы рассмотрим матричную формулировку «соответствия Макмал-
лена».
350
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
В дальнейшем нам удобно будет считать, что hM := 0, и доопре-
делить gk :=hk - hfc_4 при 0 $ к d +1. Отсюда сразу получим
gd+i-k = hd+1_k - hd_k = hk_! -hk = -gk при 1 к d +1.
Эти «соотношения Дена—Соммервилля для g-векторов» объясняют,
почему мы ограничились компонентами gk с индексами k^ :
мы можем восстановить gk = —gd+i-k ПРИ
OCd + D-UJ.
Здесь следует быть внимательными: может оказаться, что есть еще
один член последовательности, а именно gk при
если d нечетно. Однако мы его можем проигнорировать, так как этот
член равен нулю.
Теперь мы можем выразить /-вектор через g-вектор следующим
образом:
л-==i (t‘) Ss>=s =
t=0 1=0 J=o ]=0i=j
_d^fd + l-j\LAJ + j
j^ld + l-kj^ £osj\.\.d + l-kJ Vd + l-kJJ'
Этот результат можно рассматривать как матричное соответствие.
Для этого мы определим матрицу коэффициентов
Md = := ((d + 1-О “ (d +1 -k))o^Lfj.o^d
и с ее помощью переформулируем g-теорему.
Теорема 8.36 («соответствие Макмаллена» [90]). Отображение
g^g*Md
является биекцией между М-последователъностями g е N02 с gT =
= n — d — 1 и f-векторами из Nq+1 симплициалъных d-многогранни-
ков cn = gj+d + l вершинами.
Например, вычислим
(1 з з \
^ = (12), М2= 011 ,
_ (1 464
Мз ~ I 0 1 3 2
/1 5 10 10 5А
М4 = 0 1 4 6 3.
\0 0 1 2 1J
§ 8.6. g-теорема и ее следствия
351
Таким образом, при d $ 2 получаем тривиальные случаи. При d = 3
получаем f-векторы симплициальных 3-многогранников, которые
также легко описать при помощи элементарных методов (см. упраж-
нение 8.28). Однако начиная с d = 4 мы получаем нетривиальные
описания: /-векторы симплициальных 4-многогранников суть все
векторы / следующего вида:
/(Р4) = (1, 5,10,10, 5) +gl(0,1,4, 6, 3) +g2(0, 0,1, 2,1),
где gi,g2 > 0, d2(g2) sSgp
Матрицы Md заданы явно. Их нетрудно анализировать. Это поз-
воляет нам подробнее изучить /-векторы симплициальных d-мно-
гогранников. В частности, легко проверить (при помощи извест-
ных рекурсий, свойств монотонности биномиальных коэффициен-
тов и т. д.) следующие простые свойства.
Лемма 8.37. Элементы матрицы Md — неотрицательные целые
числа, которые равны нулю под диагональю (mjk = 0 при j>k), рав-
ны единице на диагонали (т» = 1 для всех j), больше единицы над
диагональю (m.jk > 1 при j < к, кроме nud = 1 в случае четного d).
Вместо доказательства мы вычислим матрицу Md для d = 7: по-
лучим (4 х 8)-матрицу
М7 =
Ш) (I)-® (!)-© (М) (МГ
GJ-G) (М) GHs) (з7)-й) ©-© (D-G)
(М) с?)-(7) сш (М)
G)-(7) (М) (1)-® (М)
<1-0 8-0 28-0 56-0 70-0 56-0 28-0 8-ОЛ
0-0 1-0 7-0 21-0 35-0 35-0 21-0 7-1
0-0 0-0 1-0 6-0 15-0 20-0 15-1 6-2
<0-0 0-0 0-0 1-0 5-0 10-1 10-3 5 —3^
352
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
и это означает, что /-векторами симплициальных 7-многогранни-
ков являются в точности векторы вида
<1 8 28 56 70 56 28 8Л
0 1 7 21 35 35 21 6
(&о> ?1> 82> &з) • 0 0 1 6 15 20 14 4
1° 0 0 1 5 9 7 2>
для некоторой М-последовательности (g0, g1} g2, g3) GN*.
Из соответствия Макмаллена можно получить теорему о верх-
ней границе как непосредственное следствие. Но кроме того, из
этого соответствия можно получить и теорему о нижней границе,
которая впервые была доказана Барнеттом в 1970 г. [42, 44].
Следствие 8.38 (теорема о верхней и нижней границах). Пусть
Р — симплициальный d-многогранник фиксированной размерности d
и с фиксированным, числом вершин п = g1 + d +1. Тогда
(ТВГ) f -вектор f(P)=gMd достигает покомпонентного максимума,
если и только если все компоненты вектора g максимальны и
8k \XkJJ { k J { k J’
a fk-i максимально, если и только если gt максимальны для всех
таких i, что i $ min{k, j };
(ТНГ) f-вектор f(P) = gMd достигает покомпонентного миниму-
ма, если и только если все компоненты вектора g минимальны,
т. е. gi = 0 при i > 1, а минимально, если и только если & = 0
при 2^i$min|k, }.
Анализ матриц Md можно также применить к гипотезе об уни-
модальности для выпуклых многогранников: верно ли, что для вся-
кого многогранника его /-вектор удовлетворяет условиям
1 = /-1 /о ... /р-1 /р /р+1 ... Л-1 fd = 1
для некоторого р, т.е. что /-вектор обязательно унимодален? Судя
по всему, впервые этот вопрос был поставлен Моцкиным в конце
1950-х гг.; см. [84].
Для этого нетрудно (но, возможно, немного скучно) прове-
рить, что строки матрицы Md унимодальны: сначала они возрас-
§ 8.6. g-теорема и ее следствия
353
тают, пока не достигнут максимума, а затем снова убывают. Бо-
лее того, максимум может появиться в столбцах с индексом j при
I d I . . . I 3(d-l) I _
I 2 J J I—4—]• Это рассуждение является ключевой частью
следующей теоремы.
Теорема 8.39 (Бьорнер [84, 90]). Для f -вектора симплициалъ-
ного многогранника размерности d 3 выполнены неравенства
f-i < fo < fi < ••• < j-i и f\&=&i > ••• > Л-1-
Г I d I I 3(d-l) I а /г
Границы I 2] и I——J наилучшие в том смысле, что для любых
таких pud, что I 2 I I—4—I > существует такой d-много-
гранник, что максимум f-вектора достигается на элементе с ин-
дексом р:
f-i < fo < fi < ••• < fp-l < fp > /р+1 > ••• > Л-1-
Таким образом, «форма» решетки граней симплициального вы-
пуклого многогранника выглядит следующим образом (с учетом то-
го, что у нее «тяжелый верх»; см. упражнение 8.34):
Из теоремы Бьорнера следует гипотеза об унимодальности для
симплициальных многогранников размерности d 10. В ряде дру-
гих работ оценка поднимается сначала до 15 (Бьорнер [84, 90]), за-
тем до 19 (Экхофф [188]). Достаточно удивительно, что гипотеза об
унимодальности для симплициальных многогранников становится
неверной уже в размерности 20, как впервые было показано Бьор-
нером [84] и Ли [352, 74].
Примеры 8.40. Гипотеза об унимодальности не выполняется
на симплициальном многограннике размерности d = 20 со следу-
354
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
ющим /-вектором, для которого /п > /12 < /13:
/-1 = 1,
/о = 4203045807626,
/1 = 84060916163336,
А - 798578704207074,
А = 4791472253296106,
А = 20363758019368323,
А = 65164051780016980,
А = 162910744316489788,
А = 325834059588060117,
А = 529707205213463823,
А = 709935971390166248,
До = 805494832051588614,
/и = 821976324224631043,
/12 = 821976324224611712,
/13 = 822000129478641948,
/14 = 747383755288236256,
/15 = 546761228419958342,
/16 = 293715859557026466,
/17 = 106920718330384544,
/18 = 23458617733909980,
/19 = 2345861773390998.
Для построения этого вектора мы использовали g-векторы вида
j 1 . (n-d—2+k\ 1 , -
g1:=n-d-l + r, gk := fc J прик/1.
Теперь возьмем d = 20, n = 169 и г = 4203045807457 и проведем
вычисления (точнее, предоставим их системе MAPLE).
Существование соответствующего многогранника следует из
g-теоремы. Однако соответствующие многогранники Cd(n)<r> лег-
ко построить и «вручную»: см. упражнение 8.32.
Если мы немного повысим размерность, то с помощью той же
самой конструкции получим неунимодулярные /-векторы симпли-
циальных многогранников с гораздо меньшим количеством вер-
шин: так, при d = 30, и = 47 и г = 65555 мы получим симплициаль-
ный /-вектор лишь с /0 = 65602 вершинами. Однако Экхофф [188]
обнаружил, что при более сложной структуре /-вектора можно по-
лучить еще меньшее количество вершин. Среди найденных им при-
§ 8.6. g-теорема и ее следствия
355
меров симплициальных /-векторов минимальное количество вер-
шин было у следующего:
Л1 = 1,
fo = 1320,
fl = 869619,
/2 = 24650747,
/3 = 342491792,
/4 = 3070918789,
/5 = 19918328394,
/6 = 99465082767,
/7 = 397591643442,
fa = 1306188319799,
/9 = 3593770140180,
/10 = 8397239870111,
/11 = 16843753477928,
/12 = 29259588507633,
/13 = 44370698483306,
/14 = 59263421467414,
/15 = 70604148959649,
/16 ~ 76609321169592,
/17 = 78245589858777, /
/18 ~ 78245589349944, *
/19 = 78245589350797, \
/20' = 76598891788386,
/21 = 69592677861523,
/22 — 55485099387534,
/23 = 37137014371927,
/24 = 20144065902012,
/25 = 8558343705069,
/26 = 2730558787586,
/27 = 613985498319,
/28 = 86678396880,
/29 = 5778559792.
Этот /-вектор был получен из g-вектора
go = 1>
gi = 1289,
g2 = 830484,
f i +18Л . (i + 16Л о x • x ли
gi = I i J + Vi-1 J пРи3^г^14>
g15 = 1252344784.
356
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
Существование соответствующего симплициального многогранни-
ка следует из условия достаточности в g-теореме 8.32, если доказать,
что эти числа gf образуют М-последовательность, что довольно про-
сто, — сделайте это!
По этим /-векторам «больших» многогранников, вероятно, мож-
но лучше понять, как «на практике» выглядят /-векторы. Проверьте,
выполняются ли для них утверждения о монотонности из теоремы
Бьорнера 8.39. Более общий вывод: не стоит слишком доверять
тому, что подсказывает вам опыт 3- и 4-многогранников, если вы
хотите понять, как ведут себя «типичные» симплициальные много-
гранники.
Более того, хотя имеется подробная (а по существу полная со-
гласно g-теореме 8.35!) информация относительно /-векторов сим-
плициальных многогранников, мы знаем совсем немного про слу-
чай несимплициальных многогранников. Наши знания неполны да-
же в случае 4-многогранников (задача 8.29*). В задачах 8.33* и 8.35*
мы задаем основные вопросы об /-векторах многогранников обще-
го вида. А закончим мы этот параграф конструкцией, предложенной
Экхоффом [188], которая позволяет легко строить неунимодуляр-
ные /-векторы в малых размерностях.
Пример 8.41 (Экхофф [188]). Рассмотрим симплициальный мно-
гогранник Р и простой многогранник Р'> оба размерности d. «От-
режем» одну вершину от Р'. После подходящего проективного пре-
образования мы можем «приклеить» остаток многогранника Р' к Р
по некоторой гиперграни. В результате мы получим связную сумму
Р#Р'. Вместо формального изложения деталей конструкции просто
приведем изображение трехмерной связной суммы.
Таким образом, сумма Д3#Д3 комбинаторно эквивалентна приз-
ме с шапкой.
Далее, если /-вектор многогранника Р равен
/(P) = (l,/0,/1,...,/d_2,/d_1),
Примечания
357
а /-вектор многогранника Р' равен
= f'-J,
то /-вектор многогранника Р#Р' будет равен
f(Р#и = (1, /о +f' -1, Л +/;,.... Л_2 + f'_2, + f'_, -1);
это просто сумма /-векторов во всех компонентах, кроме тех, ко-
торые отвечают размерностям -1, 0, d - 1. Из этих компонент вы-
читается по 1, учитывая вершину многогранника Р' и гипергрань
многогранника Р, которые были удалены при построении.
Теперь если Р = Cd (и) — циклический d-многогранник с боль-
шим количеством вершин, то максимум его /-вектора достигается
в размерности I——J, а максимум /-вектора полярного много-
гранника будет достигаться в размерности |” • Это подсказы-
вает нам, что если d и п достаточно велики, то /-вектор много-
гранника Cd(n)#Cd(n)A не может быть унимодальным. Например,
с помощью прямых вычислений для d = 8 и п = 25 получаем
/(С8(25)#С8(25)Д) =
= (1, 7149,28800,46800,46400,46400, 46800, 28800, 7149).
Аналогично при й = 9ил = 18 получаем
/(С9(18)#С9(18)д) =
= (1,1447, 6588,12984,15618,15552,15618,12984, 6588,1447).
Эти многогранники — один размерности 8, другой менее чем с 1500
вершинами—даже можно рассматривать как «маленькие» (по срав-
нению с предыдущими симплициальными примерами).
Примечания
§ 8.1 и 8.2. Еще в 1852 г. Шлефли [473] предполагал существова-
ние шеллинга в своем доказательстве d-мерной формулы Эйлера-
Пуанкаре, но он не дал строгой формулировки необходимых усло-
вий. Таким образом, основы теории шеллинга были заложены в ра-
боте Брюггессера и Мани 1971 г. [139], в которой впервые было дано
определение шеллинга. Авторы написали во введении следующее:
358
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
«Мы были удивлены, обнаружив, что рассуждениям Шлефли можно
придать строгость почти тривиальным образом» [139, с. 197].
С тех пор шеллинг стал важной и полезной техникой с множе-
ством (геометрических и комбинаторных) приложений. Обратим
внимание читателей на работы Данараджа и Кли [172], Бьорнера
и Вакс [98], Бьорнера и др. [96, раздел 4.7] и в особенности на
статью Бьорнера [87]. Обратившись к этим работам, вы можете
продолжить знакомство с шеллингом и найти множество других
полезных ссылок.
Нешеллинговая триангуляция тетраэдра (с 41 гипергранью, 14
вершинами, все вершины на поверхности) была построена Рудин
[468] в 1958 г. Это лишило геометров решимости доказать, что гра-
ничный комплекс всякого многогранника является шеллинговым.
Шар Рудин даже может быть приведен в выпуклое положение [162,
с. 305], а значит, может рассматриваться как нешеллинговая триан-
гуляция 3-многогранника без добавления новых вершин.
Конструкция Рудин достаточно хитроумна, и ее сложно предста-
вить. Я потратил множество долгих дождливых дней в кафе «Ма-
жестик» в Париже (Rue vieille de Temple, 4е arr), пытаясь «понять»
эту конструкцию. Проверить, что она работает, непросто; см. так-
же задачу 8.7*. Наша альтернативная конструкция из примера 8.9
основана на замечательной конструкции Данцера [176], которую он
использовал совсем для другой задачи. Конструкция Данцера поз-
воляет получить нешеллинговое подразбиение 3-многогранника на
всего лишь 13 выпуклых многогранников. Но это тоже не так просто
представить.
В связи с вышесказанным следует упомянуть, что несложно по-
строить нешеллинговые топологические (искривленные, как в при-
мере 5.12) подразбиения 3-многогранников. Самый первый пример
нешеллингового 3-шара (с 4 • 7 4- 2 = 30 вершинами И4-12 + 4- 4 +
+ 4 • 2 = 72 гипергранями) был приведен Ньюменом [422] в 1926 г.
Его конструкция на самом деле очень проста и геометрична. Самый
маленький нешеллинговый триангулированный 3-шар, имеющий
минимальное количество вершин, равное 9, был найден Лутцем
[371]. Он имеет 18 гиперграней. (См. также [575].)
Можно также взглянуть на шеллинг с противоположной точки
зрения, удаляя, а не добавляя гиперграни. Поскольку при таком под-
ходе приходится учитывать больше топологических тонкостей, мы
его здесь не рассматриваем. Однако такие обратные шаги приводят
Примечания
359
к чрезвычайно красивым конструкциям Бинга [81] нешеллинговых
топологических шаров как подкомплексов штабелей кубов. Среди
таких конструкций «двухкомнатный дом» и «шар с заузленной ды-
рой», который на самом деле был открыт Ферчем в работе [216].
(Стилвелл в своей замечательной книге [528] пишет об этом: «узлы
опять вызывают неприятности».) Шар с заузленной дырой можно
получить, если взять штабель кубов и сверлить проходящую через
него заузленную дыру (т. е. удалять кубы вдоль этой дыры в обрат-
ном шеллинге), пока не останется последний кубик, отделяющий
нас от противоположной стены. На самом деле такой нешеллинго-
вый шар — это то, что остается в качестве «нешеллинговой части»
в нашей третьей конструкции для теоремы 8.15. Тот же метод также
порождает нешеллинговые симплициальные «шары с заузленной
дырой». Хачимори в работе [264] показал, что такие шары являются
«неконструируемыми», — это даже более сильное требование, чем
нешеллинговость.
Известна также связанная с этим «задача о домике», озвученная
Яношем Пахом (она все еще не решена). «Домиком» называется
любой топологический 3-шар в R3, состоящий из единичных куби-
ков (подкомплекс штабеля кубов). Вопрос состоит в том, верно ли,
что всякий «домик» может быть приведен к одному-единственному
кубику при помощи добавлений и удалений кубиков, оставаясь
«домиком» в течение этого процесса. Просто удаления кубиков
здесь недостаточно: контрпримером служат, скажем, нешеллинго-
вые «шары с заузленной» дырой Бинга. Ке и О’Рурк [319], а также
Шермер [497, 498] построили малые контрпримеры. Наши пер-
вые две конструкции для теоремы 8.15 основаны на минимальном
неприводимом «домике» Шермера —«Z-домике» из работы [498].
Явные нешеллинговые кусочно линейные 3-сферы (искривлен-
ные подразбиения границ 4-многогранников) возникают из тех же
соображений, что и нешеллинговые шары Бинга. Рассмотрим шар
Ферча/Бинга (симплициальный вариант), соответствующий произ-
вольному нетривиальному узлу К. Дополним его до триангуляции
сферы S3 с одной новой вершиной путем добавления пирамиды над
его граничным комплексом. Ликориш [363] показал (используя ин-
вариант Александера из классической теории узлов), что если этот
узел достаточно сложен, то полученная сфера не является шеллин-
говой. Более того, как показали Хачимори и Циглер в работе [265],
всякий нетривиальный узел порождает таким образом нешеллинго-
360
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
вую сферу. (См. альтернативную конструкцию в статье Арментрута
[24], и специальные малые (несимплициальные, клеточные) приме-
ры в статье Винса [553].)
Обзоры на тему нешеллинговых шаров и сфер можно найти
в работах Бинга [81], Данараджа и Кли [172] и Циглера [575].
По поводу продолжаемого шеллинга в этой книге сказана боль-
шая часть того, что мне известно. Теорема 8.15 позволяет решить
старую задачу Хельге Тверберга; см. работы 1978 г. Данараджа и Кли
[172, с. 37], а также Эвальда и др. [203, с. 141]. Ключевым здесь яв-
ляется наблюдение, что нешеллинговые шары Бинга легко вклады-
ваются в границу 4-многогранника. Кляйншмидт [334] проверил,
что d-многогранники с d + 2 вершинами являются продолжаемо-
шеллинговыми.
Метод Брюггессера—Мани шеллинга многогранников обычно
описывается как полет ракеты; см. например, [96, раздел 4.7(c)]. Са-
ми Брюггессер и Мани были в этом отношении «менее амбициозны-
ми» (и не находились под влиянием NASA’bckoto проекта «Сатурн»):
они представляли этот процесс как путешествие на воздушном ша-
ре. Доказательство формулы Эйлера—Пуанкаре, полученное нами
при помощи шеллинга, близко к первоначальному доказательству
Шлефли 1852 г.— оно заполняет пробел в том месте, где Шлефли
предполагает существование шеллинга, не определяя его и не до-
казывая его существование.
Вот другая задача Тверберга: верно ли, что любой полный (сим-
плициальный) веер является шеллинговым? Эта ситуация строго
более общая, чем шеллинг многогранников, так как веера граней
многогранников — это лишь частный случай вееров общего вида.
В этом случае все еще верны формула Эйлера и соотношения Дена—
Соммервилля, но наше доказательство этих фактов уже не работает;
см. работы Кляйншмидта и Смиланского [337] и Эйкельберга [194],
а также приведенные в них ссылки. Шеллинговость вееров следует
из леммы Эхлерса [192, лемма 3], которая оказалась неверной [194,
с. 20]. Однако веера разделимы (см. работу Кляйншмидта и Сми-
ланского [337]), и этого хватает, чтобы доказать теорему о верхней
границе для вееров.
§ 8.3. На примере f- и h-многочленов симплициальных много-
гранников мы получили некоторое представление о методе произво-
дящих функций. У нас нет необходимости или времени продолжать
знакомство с этим изящным и мощным методом, но если читатель
Примечания
361
хочет узнать о нем больше, мы рекомендуем книги Грэхема, Кнута,
Паташника [240] или Стенли [517].
§8.4. Мы близко следовали первоначальному доказательству
Макмаллена [389] гипотезы о верхней границе. Идея доказатель-
ства теоремы о верхней границе для комплексов с большим коли-
чеством вершин из § 8.5 взята из работы Кли [324]. В нашей версии
мы объединяем сведение к случаю 1 + проделанное
Макмалленом, с леммой Шпернера (которая была заново открыта
Кли [324], см. также [390] и [252, с. 182]).
Как заметил Макмаллен в конце своей работы, часть его до-
казательства становится проще при переходе к полярному утвер-
ждению для простых многогранников; см. упражнение 8.11. Одна-
ко некоторые моменты, например описание случая равенства, ста-
новятся более запутанными; см. полное доказательство полярного
утверждения в работах [122, 133, 417]. Другое доказательство при-
надлежит Алону и Калаи [13]. Оно также представлено в работе
Фюреди [211] и в книге Эвалда [201, раздел III.7]. Оно основано на
«сдвигах»—линейно-алгебраическом методе, который был предло-
жен Калаи и более детально излагается в работе Бьорнера и Калаи
[95]. Сдвиги также ведут к далеко идущим обобщениям теоремы
о верхней границе (для подкомплексов многогранников), доказан-
ным Калаи [304, раздел 9], которые, в свою очередь, могут быть
использованы в задаче о диаметре [304]. Доказательство гипотезы
о верхней границе, которое работает в общем случае триангули-
рованных сфер, не обязательно шеллинговых, предложил Стенли
[511, 515] (см. также книгу Хиби [274]). Он использовал методы
коммутативной алгебры, о которых мы уже упоминали. Очень хо-
рошими обзорами являются работы Стенли [516] и Бьорнера [86].
Другое, комбинаторное доказательство приводит Кларксон [159].
Новик в работе [425] получила более общие теоремы о верхней
границе для гомологических многообразий.
§ 8.5. Экстремальная теория множеств — это чрезвычайно инте-
ресная и имеющая многочисленные применения область комбина-
торики, с которой мы познакомились лишь поверхностно. Для более
глубокого знакомства с этой теорией мы рекомендуем работу Грина
и Клейтмана [241] и книгу Андерсона [18]. Также см. работу Фюреди
[211] и книги Энгеля и Гронау [196] и Энгеля [197]. Впечатляю-
щие недавние результаты, полученные применением экстремальной
362
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
теории множеств к многогранникам, опубликованы в работе Кана
и Калаи [297] и в прекрасной одностраничной заметке Нилли [424].
§ 8.6. Обе части g-гипотезы Макмаллена были доказаны в 1979 г.
В этом году Биллера и Ли [352, 74, 75] доказали достаточность усло-
вий Макмаллена (они описали замечательную комбинаторно-гео-
метрическую конструкцию симплициального многогранника по про-
извольно заданной М-последовательности, взятой в роли g-векто-
ра). Настоятельно рекомендуем изучить работу [75]: она породи-
ла несколько замечательных исследований, среди которых особое
место занимает конструкция Калаи большого набора сфер, не ре-
ализуемых в виде границы многогранника [301]. (Более подробную
информацию см. в работах [358, 440, 442].)
Необходимость в g-гипотезе Макмаллена (т.е. тот факт, что
g-вектор обязательно является М-последовательностью) была дока-
зана в том же году Стенли [514, 516]. Его доказательство основано
на сильной теореме Левшеца для когомологий проективных тори-
ческих многообразий. (Стоит отметить, что методы алгебраической
геометрии в то время не были вполне обоснованы: единственное из-
вестное на тот момент доказательство оказалось неверным. Спустя
некоторое время Сайто в своей статье [471] предложил новое и даже
более техническое доказательство; см. работу Стенли [518, с. 64],
книгу Фултона [215, раздел 5.2] и статью Оды [427].) Только недавно
Макмаллен [397] нашел более элементарное доказательство этой
части g-теоремы, хотя его искали долгое время. Но методы, ис-
пользованные в этом доказательстве (алгебра многогранников Мак-
маллена; см. работы Макмаллена [395, 396] и Морелли [412, 413]),
выходят за рамки данной книги. Однако доказательства становятся
все проще. В работе [399] Макмаллен объясняет, как обойтись без
алгебры многогранников: нам достаточно (гораздо более простой)
«алгебры весов». В аннотации Макмаллен делает вывод: «Таким
образом, теперь нам известно еще более простое доказательство
g-теоремы». О современном состоянии вопроса говорится в рабо-
те [400].
Отметим, что все еще не найдено доказательство условий Мак-
маллена для симплициальных сфер, таких как симплициальные ве-
ера (где fi обозначает количество (i +1)-мерных конусов).
В матричном виде «соответствие Макмаллена» сформулировал
Бьорнер [86,90]. Это красивый (хотя все еще сложный) метод изуче-
ния /-векторов симплициальных многогранников, с помощью ко-
Примечания
363
торого можно получить множество следствий g-теоремы. Отметим
совсем недавнюю работу Бьорнера и Линуссона [97].
Матричная формулировка также позволила Бьорнеру опроверг-
нуть гипотезу об унимодальности для симплициальных многогран-
ников [84]. Первым контрпримером Бьорнера был многогранник
размерности d = 24, содержащий приблизительно 2, 6 х 1011 вер-
шин. Но в скором времени Бьорнер [84] и Ли [84, 75, 352] на-
шли контрпримеры в размерности d = 20 (все эти контрпримеры
соответствуют звездным подразбиениям циклических многогран-
ников). В диссертации Ли [352, с. 111] приведен f -вектор (его 6
разрядов) 20-мерных выпуклых многогранников с приблизительно
4,2 х 1012 вершинами, для которых /п > /12 < /13, как в приме-
рах 8.40. Независимо гипотезу об унимодальности в размерности
21 для симплициальных многогранников и в размерности 8 для
многогранников общего вида опроверг Экхофф (см. пример 8.41
и задачу 8.33*). Однако, как говорят (и Экхофф знал об этом), уже
в 1964 г. Данцер читал лекции в Граце (Австрия) о построении
многогранников (очень большой размерности, несимплициальных)
с неунимодальными f -векторами. Эта конструкция была основана
на операции джойна многогранников Р*Р (упражнение 9.9), кото-
рая соответствует свертке /-векторов
Л(Р*Р) = ЕЛА-.-1-
i
К 1973 г. Данцер знал, что при помощи последовательности звезд-
ных подразбиений кроссполитопов можно получить неунимодуляр-
ные /-векторы симплициальных многогранников в размерности
d = 54. Ничего из этих результатов не было опубликовано... Неуже-
ли это (почти) забытая математика?
При вычислении /-векторов неизбежно появляются большие
целые числа и биномиальные коэффициенты. Для работы с ними
я использовал систему MAPLE.
Барнетт [42, 44] доказал теорему о нижней границе для сим-
плициальных многогранников приблизительно в то же время, когда
Макмаллен доказал теорему о верхней границе. Обобщения мож-
но найти в работе Макмаллена и Уолкапа [405], а также в статье
Кли [326]. Экстремальные многогранники были описаны Барнет-
том, а также Биллерой и Ли [75]. При d > 3 это многогранники пи-
рамидальной надстройки, речь о которых идет в задаче 8.43. Новое
доказательство см. в статье Г. Блинда и Р. Блинд [106], а новые шаги
364
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
в направлении «обобщенной гипотезы о нижней границе» можно
найти в статье Макмаллена [401].
Дополнение. В последние годы появилось огромное количество
работ по f -векторам многогранников. Их так много, что мы не смо-
жем даже упомянуть все основные направления. Актуальную ин-
формацию и ссылки можно найти1 в замечательных обзорах Байер
и Ли [63], Ли [356] и Кли и Кляйншмидта [329]. Отметим лишь
некоторые направления.
1. В работе [53] Барнетт, Кляйншмидт и Ли выводят теорему
о верхней границе для пар многогранников. Пары многогранников
очень важны. Они соответствуют случаю неограниченных полиэд-
ров, а также описывают их «комбинаторную структуру на бесконеч-
ности» (ср. с упражнением 2.19). Аналогично имеется теорема Ли
[353] о нижней границе для пар многогранников.
2. Формулировка и доказательство теоремы о верхней грани-
це для центрально-симметричных многогранников все еще остает-
ся открытой проблемой. Центрально-симметричный многогранник
будем называть центрально к-смежностным, если любое множе-
ство из его к вершин (не содержащее противоположных вершин)
образует грань. Судя по всему, прямого обобщения циклических
многогранников, которое помогло бы в этой проблеме, не суще-
ствует, что достаточно удивительно. Как показали Макмаллен и Ше-
пард [402], Шнайдер [477] и Бертон [141], максимальный порядок
смежности сильно ограничен. В частности, Грюнбаум [252, с. 116]
показал, что не существует центрально-симметричного 4-много-
(12А
2 J - 6 = 60 ребер.
Еще более удивительно, что комбинаторная сфера с такими пара-
метрами существует [253]! Действительно, Джокуш [292] недав-
но построил центрально-симметричные 2-смежностные 3-сферы
с 2п вершинами для всех п 4. Итак, между теоремами о верх-
ней границе для центрально-симметричных многогранников и для
центрально-симметричных сфер существует большой пробел. Это
наталкивает на интересные задачи. Например, можно ли построить
центрально-симметричные веера, которые будут j -смежностны-
ми или хотя бы 2-смежностными в этом смысле, с большим количе-
ством n = f0 одномерных лучей?
1 Новые подходы к проблеме /-векторов многогранников описаны в приложе-
нии.—Пром. перев.
Примечания
365
По всей видимости, чрезвычайно трудно получить хорошую
нижнюю границу для количества граней центрально-симметрич-
ного многогранника. Стенли [518] сделал первый нетривиальный
, 7 (d\ ( d \
шаг, доказав оценку щ - hi_1 1.1 - I г 1 для центрально-
симметричных симплициальных многрогранников и проверив тем
самым гипотезу Бьорнера. См. также задачу 8.36*.
Также изучались многогранники с другими видами симметрий.
Так, в работе Барвинка [57] можно найти интересный подход к ис-
следованию соотношений Дена—Соммервилля в эквивариантной
постановке (например, центрально-симметричный случай). Адин
[2, 4] доказал несколько теорем о нижней границе для многогран-
ников с симметрией высокого порядка.
3. Ряд интересных результатов имеется и в случае кубических
многогранников — многогранников, у которых все собственные гра-
ни являются комбинаторными кубами. Адин [3] исследовал h-век-
торы кубических многогранников и вывел при их помощи
уравнений для чисел граней этих многогранников, — это кубиче-
ский аналог соотношений Дена—Соммервилля. См. также работы
Джокуша [291], Г.Блинда и Р.Блинд [102, 104, 105], Биллеры, Чан
и Лью [70] и Бэбсона, Биллеры и Чан [33].
4. Но, пожалуй, самая грандиозная задача —это понять, как
устроены /-векторы многогранников общего (несимплициального)
вида. В этом случае неясно, что /-вектор сам по себе несет ин-
формацию, достаточную, чтобы иметь с ним дело. Гораздо более
информативен флаговый вектор, который считает цепочки граней
заданных размерностей. Флаговые векторы достаточно подробно
изучены в работах Байер и Биллеры [62], Байер [59,61], Калаи [300]
и др.
Стенли [519] определил обобщенный h-вектор для многогран-
ника общего вида. Его подтолкнули к этому близкие понятия из
алгебраической геометрии. Должно быть, это правильный подход
к комбинаторной информации1. Но из-за рекурсивное™ определе-
ния этот объект сложно изучать, и некоторые из его наиболее важ-
ных свойств все еще не доказаны.
Альтернативный способ кодирования информации — cd-индекс
Джонатана Файна; см. работу Байер и Клаппера [64]. Эта область
1 В работе [615] описан новый подход на основе деформации умножения в *-кольце
выпуклых многогранников, описанном в приложении к этой книге. —Прим, перев.
366
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
активно развивается, ей посвящены новые работы Пертилла [448],
Стенли [521] и др.
5. Структура полиэдральных комплексов еще далека от полного
понимания. Даже полиэдральные подразбиения 3-многогранников
в данный момент ставят больше вопросов, чем имеется ответов.
Читатель может найти несколько открытых вопросов среди упраж-
нений, см. также работы Байер [60, 61] и Ли [354, 357]. Мы вновь
встретимся с пространством регулярных подразбиений многогран-
ника в следующей главе, но уже в совершенно другом контексте.
При изучении /-векторов подразбиений и их свойств также воз-
никает много интересных вопросов. Упомянем только такой но-
вый инструмент, как локальный h-вектор Стенли; см. работы Стен-
ли [520] и Чан [145].
Задачи и упражнения
8. 0. Покажите, что любое полиэдральное подразбиение произ-
вольного 2-многогранника является продолжаемо-шеллинговым:
с какой бы 2-грани мы ни начали, процесс шеллинга никогда не
зайдет в тупик. (Это классический результат; см. работу Ньюмена
[422], а также [173] и [239]). Покажите, что, тем не менее, нельзя
предписать последнюю 2-грань шеллинга.
8.1. 1. Покажите, что множество гиперграней d-куба определяет
шеллинговый подкомплекс в dCd тогда и только тогда, когда оно
либо не содержит гиперграней (пустое), либо содержит все гипер-
грани, либо содержит не менее одной гиперграни, для которой про-
тивоположная гипергрань в данном комплексе отсутствует. Выведи-
те отсюда, что граничный комплекс d-куба является продолжаемо-
шеллинговым.
2. Опишите какой-нибудь шеллинг d-мерного кроссполитопа.
Вычислите с его помощью /-вектор и h-вектор d-мерного кросспо-
литопа.
3. Как получить h-вектор бипирамиды bipyr(P) по данному
h-вектору симплициального многогранника Р?
4. Проверьте, что d-мерные кроссполитопы являются продол-
жаемо-шеллинговыми при d $ 4. (Достаточно неожиданно, что при
d 12 они не являются продолжаемо-шеллинговыми, как показал
Холл в работе [269]!)
8.2. Покажите, что упорядочение F1jF2j >",Fs гиперграней од-
нородного симплициального комплекса является шеллингом тогда
Задачи и упражнения
367
и только тогда, когда для любого i 1 гипергрань содержит един-
ственную минимальную грань, которая не содержится в предыду-
щих Fj, j < i.
Покажите, что перестановка F19..., Ft является шеллингом ком-
плекса Д тогда и только тогда, когда он является разделимым, при-
чем существует такое разбиение, что
Ri GFj => i $ j.
8.3* . Всякая ли d-диаграмма является шеллинговой? Что можно
сказать в случае d = 3?
(При d = 2 это верно согласно упражнению 8.0. Если хотите
знать мое мнение относительно d 3, я бы сказал «нет» по весь-
ма прагматическим соображениям: «если метод Брюггессера—Ма-
ни здесь не работает, то диаграмма нешеллинговая».)
8.4* .Пусть полиэдральный комплекс является шеллинговым,
но не обязательно симплициальным. Остается ли верным утвержде-
ние о шеллинге его звезд и линков?
(Будьте внимательны: согласно результатам Пахнера [433] гра-
ница шеллингового шара не обязательно сама является шеллинго-
вой. Согласно работе Курдюрьера [163] для звезд ответ «да», однако
для линков все еще может быть «нет».)
8.5. Покажите, что для любой вершины и d -многогранника Р
существует полиэдральный комплекс который подразбивает гра-
ничный комплекс вершинной фигуруы |^| = Р/и и комбинаторно
эквивалентен линку link(v, ^).
(Веер граней комплекса является уплощением граничного
комплекса многогранника Р в вершине v; см. работу Макферсо-
на [373].)
8.6. Докажите, что линк link(v, ^) вершины и граничного ком-
плекса = ^(ЭР) (несимплициального) многогранника Р является
шеллинговым. Для этого покажите, что линки изоморфны гранич-
ным комплексам многогранников.
(Подсказка: рассмотрите точку над v.)
8.7* . Какое минимальное количество вершин может иметь не-
шеллинговая триангуляция 3-многогранника?
(Рудин [468] утверждает, что в случае комплекса, реализуемо-
го как геометрическое симплициальное подразбиение симплекса,
необходимо 14 вершин. Верно ли это?)
368
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
Сколько вершин необходимо для симплициальной нешеллинго-
вой 3-сферы?
8.8* . Уточните лемму 8.6: правда ли, что в этой лемме рассмат-
ривается самый маленький штабель кубов, который не является
продолжаемо-шеллинговым?
8.9. Каждый шеллинг Г1? Г2,..., Fs гиперграней многогранника Р
также индуцирует упорядочение гиперграней произвольной гипер-
грани Гр Именно, можно рассмотреть порядок, в котором гипергра-
ни многогранника F( появляются в последовательности Рг r]Fb ...,
Ff_i r]Fb Fl+1 nFj,..., Fsr}Fb Шеллинг называется совершенным, если
это упорядочение является шеллингом границы гиперграни Ft для
всех i.
Например, шеллинг симплициального многогранника всегда
совершенен.
1. Покажите, что в общем случае шеллинги Брюггессера—Мани
не являются совершенными.
2. Покажите, что d-кубы Cd допускают совершенный шеллинг
при всех d 1.
3. Покажите, что у всех 3-многогранников существует совершен-
ный шеллинг.
4. Покажите, что многогранники Cd(n)A, полярные цикличе-
ским, имеют совершенные шеллинги.
5*. Верно ли, что у каждого многогранника имеется совершен-
ный шеллинг? (Калаи.)
8.10. Покажите, что для произвольного d -многогранника Р ли-
нейные функции общего положения на Рл действительно соответ-
ствуют шеллингам Брюггессера—Мани многогранника Р.
Пусть многогранник Р симплициальный. Проверьте, что в этом
случае данное соответствие сопоставляет вершине Vj с входящей
степенью к многогранника Рл гипергрань с мощностью ограничи-
тельного множества \Rj\ = d — k.
В частности, формулу
f° = h° + 2h° + 4h? + ... + 2kh° + ... + 2dh°
* \J X Лл /С U
при помощи которой мы подсчитывали общее количество граней
многогранника Рл в § 3.4, можно получить подстановкой f (1) = h(2)
для многогранника Р.
Покажите при помощи этого результата, что «хорошие ориента-
ции» Калаи на графе С(РЛ) — это в точности шеллинги границы ЭР.
Задачи и упражнения
369
8.11. Докажите теорему о верхней границе для простых d-мно-
гогранников с п гипергранями. Для этого рассмотрите линейную
функцию с G (Rd)* общего положения на простом d-многогранни-
ке Р с Rd си гипергранями. Для t € R можно определить h£(P, t)
как количество вершин в {хеР: cx^t}, которые являются самы-
ми высокими точками для к различных ребер (как подсказывает
предыдущее упражнение).
Полагая, что t возрастает, покажите что для всех t е R выполне-
но неравенство
(d - k)h$(P, t) + (k + l)h£+1(P, t) = ZhfrF, t) $ nh£+1(P, t),
F
где сумма берется по всем п гиперграням многогранника Р, а вто-
рое неравенство следует из выбора линейной функции с, при ко-
тором вершины гиперграни F ниже, чем все остальные вершины
многогранника Р. Выведите отсюда, что
при d^k^d— J, а из этого — теорему о верхней границе.
(Это «двойственное доказательство» теоремы 8.23 о верхней
границе, которое можно найти в работе Макмаллена [389, приме-
чание к доказательству].)
8.12. Нумерация всех вершин простого d-многогранника Р с Rd
числами 1,2,..., п называется вполне унимодальной, если в каждой
к-грани (2 $ к $ d) существует только один локальный минимум.
Иными словами, нумерация вершин вполне унимодальна, если
в каждой грани F многогранника есть ровно одна вершина, номер
которой меньше, чем у всех других смежных с ней вершин грани F.
1. Покажите, что вполне унимодальные нумерации многогран-
ника Р в точности соответствуют шеллингам (симплициального)
полярного многогранника Рл (Уильямсон Хоук [566, предложе-
ние 1]; см. также [279].).
2. Покажите, что в случае d-мерного куба для полной унимо-
дальности достаточно потребовать, чтобы при заданной нумерации
единственный локальный минимум был у каждой 2-грани (Хаммер,
Симеоне, Либлинг и де Верра [270]; см. [566, предложение 2]).
3. Покажите, что существует не вполне унимодальная нумера-
ция вершин 4-куба, при которой, тем не менее, в каждой к-грани,
к / 2, имеется ровно один локальный минимум.
370
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
4. Постройте простой 3-многогранник Р с такой нумерацией,
что в каждой его 2-грани имеется единственный локальный мини-
мум, но на всем многограннике Р два локальных минимума.
(Подсказка: сначала постройте такую ациклическую ориента-
цию графа 3-многогранника с двумя стоками, что при ограничении
на одну из граней получается только один.)
8.13. Рассмотрим вектор f = (1,23,47, 52,38,12).
1. Является ли он /-вектором симплициального комплекса?
2. Является ли он /-вектором шеллингового комплекса?
3. Является ли он /-вектором симплициального многогранника?
8.14. Покажите, что dfc(n) монотонно возрастает по п (при фик-
сированном к).
При каких значениях п выполняется равенство dfc(n) = дк(п +1)?
8.15. Получите следующее описание /-векторов связных сим-
плициальных комплексов. Последовательность / = (l,/0,/i,/2, •••
...,/d) является /-вектором связного симплициального комплекса
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям теоре-
мы 8.32 Крускала—Катоны и дополнительному соотношению д3(/2) $
^Л-/о + 1 (Бьорнер [91]).
8.16* . Опишите /-векторы однородных симплициальных ком-
плексов.
1. Начните с малых размерностей: двумерных и трехмерных
симплициальных комплексов. Обратите внимание на пропуски: на-
пример, двумерный однородный симплициальный комплекс с /2 = 4
гипергранями имеет не менее / 6 и не более /г $ 12 ребер, но
вариант /г = 7 невозможен (Лек [351]).
2. В общем случае эта задача, вероятно, трудная, так как пол-
ный ответ по существу позволил бы решить все основные проблемы
теории дизайнов. Возможно, впервые это отметили Сингхи и Шри-
ханде в работе [501, с. 67]: это наблюдение они называют «триви-
альным». (Подробнее о теории дизайнов говорится в книге [67].)
В качестве примера покажите, что существование проектив-
ной плоскости порядка d равносильно существованию однородного
симплициального комплекса (размерности d), для которого
/o = d2 + d + l = /d и /1=^у
(Доказательство того, что такой объект существует, только если
d является степенью простого числа, — это известная задача. Утвер-
ждение о том, что в случае d = 6 не существует проективной плос-
Задачи и упражнения
371
кости, — классический результат. Лишь недавно Лэм, Тиль и Сверч,
а также CRAY 1А1 * [348] доказали аналогичное утверждение в случае
d = 10. В случае d = 12 задача абсолютно открыта. Даже не пытай-
тесь! Попытайтесь!)
8.17. Для стандартного октаэдра с R3 найдите прямую I е IR3,
которая порождает шеллинги из примера 8.22.
(Подсказка: используйте упражнение 8.10.)
Покажите, что упорядочение гиперграней октаэдра (обозначен-
ных так же, как в примере 8.22)
123, 234, 345, 135, 246, 126, 156, 456,
является шеллингом. Покажите, что, тем не менее, оно не является
шеллингом Брюггессера—Мани ни для какой реализации октаэдра
(Смиланский [504]).
8.18. Выведите формулу
fk-1 = fc = о, 1,
для f-вектора симплициального многогранника из соотношений
Дена—Соммервилля в теореме 8.21.
В частности, как «очевидное» равенство 2fd_2 = dfd_r вытекает
из соотношений Дена—Соммервилля?
8.19. Обоснуйте трюк Стенли: найдите формулу для элемента
(i,j) разностной таблицы и покажите, что в последней строке дей-
ствительно записан h-вектор.
Почему для шеллингового комплекса все элементы таблицы бу-
дут неотрицательны?
8.20. 1. Докажите, что при 0 $ j $ k d выполнено равенство
V7 Г d — f d +1 — j A
Vd + l-kJ*
2. При помощи прямых вычислений докажите, что при 0 $ j $
$ d <п выполнено равенство
1 Это суперкомпьютер, с помощью которого был получен этот результат. —Прим,
ред.
372
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
Для этого проверьте, что данное соотношение выполняется при
d = j (по индукции) и при j = 0, а далее проведите индукцию по d.
При этом левая и правая части равенства будут иметь одинако-
вые простые рекурсивные выражения. (См. [252, с. 149], а также
[240, с. 169].) При помощи этого результата вычислите h-вектор
симплициальных смежностных многогранников непосредственно
из определения 8.18.
8.21. При помощи упражнения 2.20 покажите, что в теореме
о верхней границе нет необходимости рассматривать неограничен-
ные полиэдры.
Для этого покажите, что для всякого неограниченного d-полиэд-
ра Р, имеющего не менее двух вершин, существует d -многогранник
с тем же количеством гиперграней, но с большим, чем у Р, количе-
ством вершин.
Что можно сказать про случай, когда Р содержит не более одной
вершины?
8.22. Постройте естественные биекции между элементами сле-
дующих множеств:
• к-мультимножества с элементами из [п],
• одночлены степени к от переменных х19 х2, хп,
• такие векторы z е N", что = к.
Покажите, что при этих биекциях включение одного мультимноже-
ства в другое соответствует делимости одночленов и покомпонент-
ной упорядоченности векторов. п+к 1
Приведите еще три доказательства того, что (( £ )) = ( П 1)-
Например,
1) покажите, что каждое k-мультимножество с элементами из
[и] соответствует последовательности вида **| * ||***| * | с п звезда-
ми и к — 1 перегородкой, где количество звезд между i-й и (i — 1)-й
перегородками равно кратности элемента i в мультимножестве,
а затем вычислите количество таких последовательностей;
2) используйте индукцию по п и основное тождество для бино-
миальных коэффициентов.
Для вдохновления см. также книгу Стенли [517, раздел 1.2].
8.23. Рассмотрим однородный комплекс размерности d = Зп — 4
на множестве вершин [Зп] = {1, 2,..., Зп}, порожденный п гипер-
гранями [Зп] \ {3i - 2, 3i - 1, 3i}, где i = 1,..., п. Он имеет ровно
Зп минимальных «неграней» — это множества мощности п, которые
содержат ровно один из элементов 3i — 2,3i — 1, 3i для каждого i.
Задачи и упражнения
373
Сравнивая этот однородный комплекс с (п + 1)-смежностным
комплексом, докажите следующие равенства:
так что при и 6 выполняется неравенство hn < 0 и верхняя граница
из леммы 8.26 в случае однородного комплекса неверна для hn+1
(где n + l$|_|J) (Вистуба, Циглер [567]).
8.24. Покажите, что k-остовы d-многогранников являются шел-
линговыми полиэдральными комплексами.
1. Непосредственно проверив условие 8.1.2', покажите, что об-
ратный лексикографический порядок определяет шеллинг Ег(к),
F2(k),... для (к - 1)-остова d-симплекса.
2. Покажите, что k-остовы всех шеллинговых полиэдральных
комплексов являются шеллинговыми.
3*. Верно ли, что для произвольного d-симплекса (к - 1)-остов
является продолжаемо-шеллинговым?
(Это гипотеза Саймона о продолжении шеллинга [500, гл. 5].
Справедливость гипотезы при к $ 3 доказали Бьорнер и Эрикс-
сон [92], а при к d -1 — Калаи.)
8.25. Докажите следующую более слабую версию теоремы Мако-
лея, которая позволяет оценить М-последовательность h=(h0, h1}...
..., hd), не прибегая к нетривиальному оператору дк. Если hk =
I (Бьорнер, Фран-
кл и Стенли [93, теорема 3]).
8.26* . Из каких комбинаторных условий, наложенных на сим-
« , (n-d — 1 + iAn
плициальныи комплекс, следует неравенство п{ $ I . I ?
(Этот результат известен в случае шеллинговых комплексов, но
все известные его доказательства опираются на алгебраические
приемы, такие как «алгебраические сдвиги» Калаи. Существует
ли чисто комбинаторное правило, сопоставляющее каждому шел-
линговому комплексу мультикомплекс, /-вектор которого является
h-вектором данного комплекса? Можно ли доказать эту оценку для
374
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
однородных комплексов, удовлетворяющих соотношениям Дена—
Соммервилля, таких как эйлеровы комплексы [324], [62]?)
8.27. Покажите, что максимальное количество вершин d-мно-
гогранника с 2d гипергранями больше количества вершин d-куба
при d 4. Проверьте, что для больших d максимальное количество
примерно равно
J ' I4 J ’
а эта величина существенно больше, чем 2d.
8.28. Покажите, что /-векторы трехмерных многогранников об-
щего вида — это в точности векторы, представимые в виде
/(Р3) = (1,4, 6,4) + а(0,1,1, 0) + Ь(0,0,1,1),
где 2а Ъ 0, 2Ъ а 0,
а /-векторы симплициальных 3-многогранников задаются услови-
ем Ъ — 2а, т. е.
/(Р3) = (1,4, 6,4) + gl(0,1,3, 2), где gl 0.
8.29* . Опишите /-векторы d-многогранников.
(Для 3-многогранников /-векторы описал Штейниц [526]: см.
предыдущее упражнение. Для d 4 это серьезная нерешенная пром-
лема. С последними результатами можно ознакомиться в статье
Эренборга [193].)
В случае d = 4 известно довольно много. Например, были опи-
саны возможные пары для всех i < j; см. работы Байер
[59], Байер и Ли [63, раздел 3.8] и Хёппнера и Циглера [278].
Согласно работе [578] ключевую роль играет параметр толщины
F(P) := 11'4—тх- может ли толщина быть сколь угодно большой?
Jo + n ”
Многогранники с толщиной F (Р), сколь угодно близкой к 9, постро-
ены в работе [579] и проанализированы в работе [472].)
8.30. Докажите теорему Бьорнера 8.39.
Для доказательства первой части нам понадобится лемма, про-
веряющая унимодальность строк матрицы Md и показывающая, что
. I d I . I 3(d —1) I
максимум элементов строки лежит между j = I I и ; = I——J.
Во второй части можно рассмотреть такие g-векторы вида
................................о)-°........°).
Задачи и упражнения
375
что к-я строка матрицы Md достигает максимума на ткр, и взять
очень большое gP
8.31. Рассмотрим симплициальный d-многогранник Р. Пусть
многогранник Р' получен из Р при помощи звездного подразбиения
(как определено в упражнении 3.0: над некоторой гипергранью Р
надстроена «пирамидальная шапка»). Покажите, что
У(дР') = f (ЭР) + /OAd) + /(dAd_1) - 2f (Д^).
8.32. Рассмотрим многогранники Cd(n)<r>, которые можно по-
лучить из циклического многогранника последовательным при-
менением г звездных подразбиений. При помощи предыдущего
упражнения покажите, что g-вектор многогранника Cd(n)<r> име-
/"II л С n + d — 2Ч-1Л
ет вид (1,g2 + r,g2,...,gL<* j), где & = ( j J — компоненты
g-вектора циклического многогранника Cd(n).
8.33* . Являются ли /-векторы многогранников (общего вида)
унимодальными при d $ 7?
(Связные суммы вида Р#РЛ в размерности d $ 7 имеют унимо-
дальные /-векторы; см. работу Бьорнера [90, раздел 3].)
Каково минимальное количество вершин у d -многогранников
с неунимодальным /-вектором?
(Экхофф [188] нашел неунимодальные /-векторы для 8-много-
гранников с 6375 вершинами и для 9-многогранников, имеющих
всего 1393 вершины (пример 8.41). Можно ли получить еще меньше
вершин? Для симплициальных многогранников Экхофф доказал,
что d0 = 19, но минимальное количество вершин также неизвестно.
Текущий рекорд: /0 = 1320, см. пример 8.40.)
8.34. Покажите, что для симплициальных d-многогранников вы-
полняются неравенства fk < fd-2-k и fk fd-i-k ПРИ 0 к |_^~2~^]
(Бьорнер [86, 90]).
8.35* . Верно ли, что неравенство
/о < fi < fi < ••• < f\±\
4
справедливо для всех d -многогранников?
8.36* . Докажите, что каждый центрально-симметричный d-мно-
гогранник имеет не менее 3d собственных граней.
(В случае симплициальных и простых многогранников это утвер-
ждение доказал Стенли [518]. Однако нетривиально даже то, что
у каждого центрально-симметричного многогранника не менее 2d
376
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
гиперграней; для этого утверждения, впервые доказанного Барани
и Ловасом [38], неизвестно простых, «элементарных» доказательств.
Центрально-симметричные d -многогранники, имеющие в точности
3d собственных граней, существуют: например, d-кубы и все много-
гранники, которые могут быть построены из к-кубов при помощи
операций произведения и взятия полярного многогранника. Калаи
[302] выдвинул гипотезу, что таким образом могут быть получены
все многогранники, имеющие ровно 3d собственных граней.)
8.37* . Верно ли, что для произвольного к 1 существует та-
кое целое /(к), что при d / (к) каждый d-многогранник содержит
k-грань, которая или является симплексом, или комбинаторно эк-
вивалентна к-кубу?
Верно ли, что для произвольного к 1 существует такое целое
g(k), что при d g (к) каждый d-многогранник имеет фактор Игран-
ную фигуру), который является k-симплексом, т. е. в этом много-
граннике найдутся такие грани Gx с G2, что [Gb G2] = Г(Д^) = Вк
(т. е. k-симплекс возникает как повторная вершинная фигура неко-
торой грани, ср. с упражнением 2.9)?
(Первый вопрос поставил Гил Калаи [303], который даже вы-
двинул гипотезу о том, что в некотором смысле «типичная» к-грань
«типичного» простого d-многогранника с п гипергранями комбина-
торно эквивалентна k-кубу, если значения d и п — d оба достаточно
велики по сравнению с к.
В работе [303] Калаи доказывает, что /(2) конечно, — на самом
деле/(2) = 5.
Второй вопрос поставил Перлес [438], который отметил, что
g(0) = 0, g(l) = 1, g(2) = 3 (из формулы Эйлера), a g(3) 5 (из-за
четырехмерного правильного 24-гранника).)
8.38. Исследуйте количества граней кубических d-многогранни-
ков.
В частности, покажите следующее.
1. У любого трехмерного кубического многогранника вершин
больше, чем гиперграней (на самом деле f2 —fo - 2).
2. Если Р — кубический зонотоп с п зонами, то
A = 2((V) + ("l1) + -- + (rl))> А-1 =2(d-i)-
В частности, при d 3 вершин у Р больше, чем гиперграней.
3. Для кубического d-многогранника Р при всех к верно нера-
венство AU5) A(Cj) (Г. Блинд и Р. Блинд [104]).
Задачи и упражнения
377
4. Изучите возможные /-векторы четырехмерных кубических
многогранников. В частности, у них может быть больше гипергра-
ней, чем вершин (Джокуш [291]).
5*. Верно ли, что при d ^4 количество вершин произвольного
кубического d-многогранника четно?
(Для четных d это было показано Г. Блиндом и Р. Блинд в рабо-
те [104].)
8.39* . Верно ли, что всякий кубический многогранник является
рациональным?
8.40. Скрученный лексикографический порядок на множестве ги-
перграней многогранника Cd (п) определяется следующим образом.
Рассмотрим гиперграни F = {i1?..., id} и G = {jj,jd}- Пусть k —
минимальный индекс, в котором они различаются: ik / Полагая
i0 = Jo = будем считать, что F G, если либо ik < jk и ik_T = jk_T
четно, либо ik > jk и i^-i =Л-1 нечетно. Иначе полагаем F G.
1. Покажите, что при таком упорядочении каждая гипергрань
смежна с предыдущей.
2. Покажите, что порядок является шеллингом многогранни-
ка Cd(n) при d$4.
3. Покажите, что порядок -<' не является шеллингом в общем
случае.
(Подсказка: выпишите первые 8 гиперграней в упорядочении
дляС7(10).)
(Это линейное упорядочение взято из работы Гартнера, Хенка
и Циглера [219, раздел 5] и мотивировано конструкцией Кли [325,
теорема 1.1] гамильтонова цикла в графе многогранника Cd(n)A.
Наблюдение из п. 3 принадлежит Роберту Хебблу.)
8.4Г. Покажите, что при п 8 ни у какой реализации цикличе-
ского многогранника С4(п) не существует шеллинга Брюггессера—
Мани, в котором каждая следующая гипергрань смежна с преды-
дущей, или, что равносильно, не существует реализации полярно-
го многогранника С4(п)л, для которой найдется монотонный путь,
проходящий по всем вершинам.
(На самом деле Пфейфл в статье [441] проверил, что при 8 $ п $
$ 12 не существует гамильтонова пути, который бы удовлетворял
известным комбинаторным условиям:
(1) определял бы единственный сток для каждой грани [566] и
(2) удовлетворял бы условию Хольта—Кли [282], состоящему
в том, что при произвольной ориентации, индуцированной линей-
378
Глава 8. Шеллинговость и теорема о верхней границе
ной функцией, граф простого d-многогранника распадается на d
подграфов, идущих от источника к стоку и не пересекающихся по
вершинам.
Таким образом, доказательство того, что на вершинах много-
гранника С4(п)Л нет такого упорядочения при п 8, является пол-
ностью комбинаторной проблемой. Не существует многогранника
размерности d = 6 с п = 9 гипергранями, который являлся бы поляр-
ным к смежностному и у которого был бы монотонный путь, прохо-
дящий через все его /0(С6(9)Л) = 30 вершин [443]. Таким образом,
в общем случае M(d,n) меньше, чем значение fo(Cd(n)^), которое
получается из теоремы о верхней границе. Ср. с задачей 3.1Г.)
8.42*. Судя по всему, открытой проблемой является доказатель-
ство того, что все /-векторы циклических многогранников унимо-
дальны. Так ли это?
8.43. Для п > d 2 многогранником пирамидальной надстройки
Std(n) называется симплициальный d-многогранник с п вершина-
ми, который можно получить, начав с d-симплекса и последователь-
но добавив к нему п - d — 1 вершину «над гипергранью».
1. Покажите, что всякий многогранник пирамидальной над-
стройки Std(n) является связной суммой d-симплексов.
2. Покажите, что всякий многогранник, комбинаторно изоморф-
ный Std(n), сам является многогранником пирамидальной надстрой-
ки. (В терминологии книги [459] это следует из того, что симплекс
склеивания «с необходимостью плоский».)
3. Вычислите /-вектор многогранника Std(n) и покажите, что
при любом фиксированном d 2 он растет линейно по и.
4. Покажите, что для любого d 3 количество комбинаторных
типов многогранников пирамидальной надстройки Std(n) растет
экспоненциально по п.
Глава 9
Секционные многогранники и далее
Вторичные многогранники Гельфанда, Капранова и Зелевинско-
го [231] были открыты совсем недавно. Это открытие выросло из
теории аУ-гипергеометрических функций этих авторов. После того
как в 1989 г. И. М. Гельфанд и А. В. Зелевинский представили уди-
вительную конструкцию на Симпозиуме по комбинаторике и гео-
метрии в Стокгольме, было предпринято немало попыток понять
ее геометрический смысл. Кажется, окончательный и неожиданно
простой ответ был дан Луисом Биллерой и Берндом Штурмфельсом
[78, 79, 534], которые ввели понятие секционного многогранника
проекции многогранников и показали, что вторичные многогранни-
ки возникают в частном случае, когда мы проектируем (и - 1)-мер-
ный симплекс на заданный многогранник с п вершинами.
Основная цель этой главы состоит в том, чтобы дать читателю
представление о геометрической конструкции секционного много-
гранника. Были изучены различные примеры, но мы уделим осо-
бое внимание конструкциям пермутоэдра и ассоциэдра как секци-
онных многогранников. Когда читатель получит некоторое интуи-
тивное представление о том, что такое секционный многогранник,
мы построим пермуто-ассоциэдры — новые замечательные много-
гранники, предложенные М. М. Капрановым [313] в качестве комби-
наторных объектов и реализованные как многогранники в работе
В. Райнера и Г. М. Циглера [453].
Так, секционные многогранники помогают разрешить некото-
рые частные случаи сложной общей проблемы: построение много-
гранников с заданной комбинаторикой. Используя конструкцию Ло-
уренса (гл. 6), можно увидеть, что решение такой задачи для про-
извольной заданной решетки граней является сложным: эта «алго-
ритмическая проблема Штейница» столь же сложна, как и проблема
решения общей системы полиномиальных уравнений в веществен-
ных числах; см. [96, с. 407]. (Обратная проблема полного описания
решетки граней заданного многогранника также нетривиальна: см.
гл. 1 и упражнение 9.0.)
380
Глава 9. Секционные многогранники и далее
§ 9.1. Полиэдральные подразбиения и секционные
многогранники
Основным объектом нашего изучения является проекция много-
гранников п: Р —► Q, т. е. такое аффинное отображение п: Rp —► Rq,
что я(Р) = Q для многогранников Р с Rp и Q с R4. Мы можем пред-
полагать, что Р — р-мерный многогранник, a Q — q-мерный. Про-
стой пример для р = 2 и q = 1 изображен на рисунке.
Ill I
-------------- Q
Определение 9.1. Пусть п: Rp Rq, я(Р) = Q, — проекция мно-
гогранников.
Назовем п-индуцированным подразбиением многогранни-
ка Q полиэдральный комплекс, подразбивающий Q, со следующими
двумя свойствами:
1) подразбиение имеет вид {tt(F) : Fe^*} для некоторого задан-
ного набора & с L(P) граней многогранника Р;
2) если Tt(F) с tc(F'), то F = F' Птг’1 (71(F)), в частности, FCF'.
Каждый многогранник тт-индуцированного подразбиения 7г(^)
возникает при проекции единственной грани F G и набор &
является частью определения подразбиения 7г(^). Поэтому мы
обычно будем нарушать обозначение и называть п-индуцирован-
ным подразбиением само семейство многогранников & с L(P).
Определим частичный порядок на множестве таких подразбие-
ний следующим образом:
тогда и только тогда, когда с и^2-
Таким образом, подразбиение «меньше», чем если объедине-
ние многогранников из содержится в объединении многогран-
ников из ^2- Это означает, что подразбиение {71(F): F е^} много-
гранника Q является измельчением подразбиения, индуцированно-
го набором
§ 9.1. Полиэдральные подразбиения и секционные многогранники 381
Полученное таким образом частично упорядоченное множе-
ство, содержащее все подразбиения многогранника Q, индуциро-
ванные проекцией п: Р -* Q, мы будем обозначать через
<х>(Р, Q).
Например, рассмотрим изображенную выше проекцию и обозна-
чим буквами вершины и ребра многоугольника Р:
I
Q
В этом случае имеются ровно три подразбиения отрезка Q с R, ин-
дуцированных проекцией многоугольника Р с R2, задаваемые как
«^1 = {v1,E1,v2,E2,v3},
= {v1}E5,v5,E4, v4}.
Отметим, что ттС^) и я(^2) совпадают как разбиения отрезка Q,
но мы их различаем, так как они соответствуют разным наборам
^,<^2 ££(₽).
Условие 2 в определении 9.1 исключает «разрывные» сечения,
такие как {и15 Е19 v2, Е4, v4}. Таким образом, тт-индуцированное под-
разбиение многогранника Q задается именно семейством & граней
многогранника Р — подчеркнем, что только множества проекций
граней {тт (F) : F G недостаточно, чтобы определить подразбие-
ние так, как это описывается в определении 9.1.
Условие 2 сильнее, чем просто требование, что из включе-
ния tt(F) с tt(F') следует, что F с F': например, такие семейства,
как {v19P, v3}, тоже исключены. Из условия 2 также следует, что
каждый набор с £(р) полностью определяется своими макси-
мальными по включению гранями.
382
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Частично упорядоченное множество, которые мы получаем в
примере, выглядит следующим образом:
co(P,Q):
«^1
и соответствует множеству непустых граней одномерного много-
гранника: почему это так, мы увидим позднее.
Отметим, что для любого сюръективного отображения много-
гранников л: Р—>Q выполнено условие dim(P) ^dim(Q). Таким об-
разом, если набор & с £(р) описывает л-индуцированное под-
разбиение многогранника Q, то dim(F) ^бпп(л(Р)) для всех гра-
ней F G &. Если для всех граней F G & имеет место равенство
dim(F) = бпп(л(Р)), то подразбиение называется плотным. Это
условие эквивалентно тому, что dim(F) = бпп(л(F)) = q для всех мак-
симальных по включению граней F G Так, в рассмотренном выше
примере подразбиения и являются плотными, а - нет.
Мы оставляем в качестве упражнения доказательство того, что
плотные подразбиения соответствуют в точности минимальным эле-
ментам частично упорядоченного множества а>(Р, Q) всех л-индуци-
рованных подразбиений. (См. упражнение 9.3, а также лемму 9.5.)
Напомним, что в § 5.1 мы назвали полиэдральное подразбиение
многогранника Q регулярным, если оно возникает из всех «нижних»
граней многогранника QCtf xR при проекции л: Rq х R —> Rq,
«забывающей» последнюю координату. Формально, нижними гра-
нями многогранника Q называются те грани, на которых достигает
минимума на Q некоторая линейная функция
(С, С0) G (Rq X R)*,
у которой с0 > 0.
Например, на предыдущем рисунке грани v1}E5,v5,E4 и v4 яв-
ляются нижними, и если взять Q: = Р, то получится регулярное
подразбиение, л-индуцированное семейством
Следующая конструкция дает регулярные л-индуцированные
подразбиения. (Другая конструкция описана в работе [79].)
Определение 9.2. Пусть л: Р —> Q — проекция многогранников
и cg (Rp)*. Тогда
§ 9.1. Полиэдральные подразбиения и секционные многогранники 383
—линейное отображение из Rp в Rq х R, поэтому с определяет мно-
гогранник
Р -> Qc := И : х G Р R«+i
I сх J )
который проектируется на Q при помощи отображения р, удаляю-
щего последнюю координату.
Пусть
^j(Qc) £ i(Qc)
— семейство нижних граней многогранника Qc. Тогда
jrc ;= OC)-1-S^(QC) = {Pn(rec)-1(F):F€^l(Qc)} £Т(Р)
индуцирует подразбиение многогранника Q. Такое подразбиение
называется ^согласованным. Обозначим через
coh СР? Q)
подмножество всех л-согласованных подразбиений многогранника
Q в (обычно большем) частично упорядоченном множестве всех
л-индуцированных подразбиений.
Заметим, что возникающие таким образом подразбиения
{л(Г):ГеЯ
являются регулярными по построению. Также л-согласованные под-
разбиения являются л-индуцированными, так как
л = р о лс; Р —► Q.
Как мы сейчас увидим, утверждение о том, что все регулярные
л-индуцированные подразбиения являются л-согласованными, во-
обще говоря, неверно. Однако оно справедливо, когда Р —сим-
плекс. (См. упражнение 9.5.)
Пример 9.3. Пусть Р = conv(V) = bipyr(Д2) — бипирамида над
треугольником, заданная матрицей
/ 0 1 2 3 4'
V = -1 0 0 0 1
V 1 0 2 0 1
и пусть л: Р -> Q: = [0,4] — проекция на первую координату. Тогда
плотное подразбиение
& = {i>i, [ръ v2L v2, [v2j v3L v3, [v3, v4], v4, [v4, v5], u5},
384
Глава 9. Секционные многогранники и далее
изображенное на рисунке, является тс-индуцированным
Q-----------------------------
и регулярным (все подразбиения отрезка регулярны).
Однако это подразбиение отрезка Q не является п-согласованным.
Действительно, для любого многогранника Q, у которого нижние
грани дают указанное подразбиение отрезка Q, не существует ли-
нейного отображения
nc:P->Q.c = Q,
удовлетворяющего условию определения 9.2. В самом деле, такое
отображение должно было бы переводить вершины в по сле-
дующей схеме:
§ 9.1. Полиэдральные подразбиения и секционные многогранники 385
Но для аффинного отображения это невозможно, так как прямая
[иь и5] пересекает треугольник [v2, v3, v4] в многограннике Р, а в
многограннике Q прямая [шьш5] и треугольник [ш2,ш3,ш4] не
пересекаются.
Для общей проекции многогранников структура частично упо-
рядоченного множества всех подразбиений неясна. В «обобщенной
проблеме Бауэса», поставленной Биллерой, Капрановым и Штурм-
фельсом [73], спрашивалось, верно ли, что это частично упорядочен-
ное множество всегда имеет «гомотопический тип (р — q - 1)-мер-
ной сферы». Рамбау и Циглер [451] построили явные контрпри-
меры: например, имеется проекция пятимерного многогранника
(симплициального, 2-смежностного, с 10 вершинами и 42 гипер-
гранями) на шестиугольник, для которой множество всех подраз-
биений несвязно. Однако Эдельман и Райнер [189] доказали, что
обобщенная гипотеза Бауэса верна в случае проекции (общего поло-
жения) симплекса на плоскость. Важные случаи проблемы для про-
екций общего положения d-мерных симплексов (связанных с про-
странствами триангуляций) и проекций d-мерных кубов (связан-
ных с разбиениями на зонотопы и ориентированными матроидами;
см. гл. 7) по-прежнему открыты и очень привлекательны (см. также
работы Бьорнера [88], Штурмфельса [534], Мнёва и Циглера [410]).
Приведенный ниже рисунок показывает частично упорядочен-
ное множество всех подразбиений для проекции из примера 9.3.
Мы встречались с частным случаем этой проблемы раньше: если
Р = Ср — р-мерный куб и, таким образом, Q — зонотоп, то множе-
ство всех разбиений на зонотопы (т. е. разбиений зонотопа Q граня-
ми куба Р = /р) представляет собой частично упорядоченное множе-
ство всех одноэлементных расширений ориентированного матрои-
да, возникающее в теореме Бонэ—Дресса 7.32 (§7.5).
В отличие от множества всех подразбиений, частично упорядо-
ченное множество всех п-согласованных подразбиений представля-
ет собой решетку граней многогранника—-так называемого «сек-
ционного многогранника» проекции. На следующем рисунке эта
часть множества подразбиений изображена жирными линиями —
она представляет собой множество граней шестиугольника (упраж-
нение 9.1)!
Определение 9.4. Пусть л: Р —► Q — проекция многогранни-
ков. Сечением называется такое (непрерывное) отображение у: Q —►
->Р, что 7ioy = idQ, т.е. л(у(х))=х для всехxgQ.
386
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Секционным многогранником Е(Р, Q) называется множество всех
средних значений сечений проекции л, т. е.
у — сечение проекции п }.
Без ограничения общности можно рассматривать сечения, кото-
рые кусочно линейны на полиэдральном подразбиении многогран-
ника Q. Мы можем проинтегрировать такие сечения покомпонент-
но, используя классические интегралы Римана. При этом мы будем
использовать тот факт, что для линейной функции f на многогран-
нике R имеется формула
J/(x)dx = vol(R)-/(r0),
R
1 Г
где г0 — барицентр многогранника R, г0 = J R xdx.
Любая выпуклая комбинация сечений снова является сечени-
ем, следовательно, секционный многогранник является выпуклым
множеством. Более того, простое вычисление показывает, что он
содержится в слое барицентра многогранника Q,
E(P,Q)G л"1 (г0) Л Р.
Нормирующий множитель l/vol(Q) в определении нужен только
для этого включения, но никак не влияет на геометрию секцион-
ного многогранника.
Лемма 9.5. Подразбиение, задаваемое набором & QL(P), явля-
ется плотным ^-согласованным подразбиением многогранника Q
§ 9.1. Полиэдральные подразбиения и секционные многогранники 387
тогда и только тогда, когда оно является минимальным элемен-
том в частично упорядоченном множестве a>coh(P, Q) всех я-согла-
сованных подразбиений.
Доказательство. Из определения частичного порядка ясно, что
каждое плотное подразбиение является минимальным. Чтобы до-
казать обратное, заметим, что если у нас есть линейная функция
с G (Rp)*, которая индуцирует некоторое ^-согласованное подраз-
биение &с, то мы можем небольшим возмущением привести эту
функцию к функции с! общего положения и получить подразбиение
. Это новое подразбиение будет плотным по построению, и оно
будет меньше подразбиения, с которого мы начинали (или равно
ему). □
Следующая теорема является ключевым результатом работы
Биллеры и Штурмфельса [78].
Теорема 9.6. Множество является выпуклым много-
гранником размерности dim(P) — dim(Q), причем его непустые гра-
ни соответствуют я-согласованным подразбиениям многогранни-
ка Q, /л. е. решетка граней многогранника Е(Р, Q) имеет вид
L(E(P,Q)) = {0}Ucocoh(P,Q).
При этом вершины многогранника Е(Р, Q) отвечают самым мел-
ким я-согласованным подразбиениям, т. е. плотным, в то время
как гиперграни отвечают самым крупным собственным подразби-
ениям.
В частности, в случае, когда Р есть симплекс Др, мы получаем,
что вершины многогранника Е(Др, Q) соответствуют триангуляци-
ям многогранника Q, — это в точности случай вторичных много-
гранников, рассмотренных в работах [231, 232]; см. следующий па-
раграф.
Доказательство (набросок). Любая выпуклая комбинация двух
сечений снова является сечением. Из линейности интеграла мы
получаем, что множество Е(Р, Q) является выпуклым. Его размер-
ность не может быть больше чем dim(P) — dim(Q), так как Е(Р, Q)
содержится в слое я-1(г0), имеющем как раз такую размерность.
Каждое кусочно линейное сечение, которое не является плот-
ным, локально может быть изменено в двух противоположных на-
правлениях, поэтому его можно записать как выпуклую комбина-
цию двух других сечений, имеющих другой интеграл. Более того,
существует лишь конечное число плотных сечений. Таким образом,
388
Глава 9. Секционные многогранники и далее
мы получаем, что множество Е(Р, Q) является выпуклой оболоч-
1 с
кой интегралов —J Qy(x)dx, у которых у —плотное (кусочно
линейное непрерывное) сечение проекции я: Р —> Q. Отсюда мы
заключаем, что Е(Р, Q) — многогранник.
Чтобы определить вершины многогранника Е(Р, Q), мы вос-
пользуемся тем, что они возникают как единственные точки, в ко-
торых линейные функции общего положения с G (Rp)* достигают
своих максимумов. Однако если с—линейная функция общего по-
ложения, то каждый слой я-1 (г) для гG Q имеет единственный мак-
симальный элемент по отношению к с. Это показывает, что с опре-
деляет единственное плотное согласованное сечение ус при помо-
щи конструкции из определения 9.2 и интеграл от этого сечения —
единственная точка многогранника Е(Р, Q), на которой с дости-
гает своего максимума. Таким образом, вершины многогранника
Е(Р, Q) совпадают с плотными согласованными подразбиениями,
возникающими при проекции я: Р —> Q.
Каждая грань многогранника Е(Р, Q) с rp определяется неко-
торой линейной функцией на Rp. Эта функция задает отображение
пс: Р -> Qc, а значит, и я-согласованное подразбиение много-
гранника Q. Простое вычисление вновь показывает, что для непре-
рывного сечения у: Q —> Р точка f у dxe£(P, Q) лежит в гра-
ни, определяемой функцией с, тогда и только тогда, когда образ
сечения целиком содержится в наборе граней &с QHP).
Таким образом, имеется биекция между гранями многогранни-
ка Е(Р, Q) и согласованными подразбиениями многогранника Q
и поэтому, в частности, между самыми крупными такими подразби-
ениями и гипергранями многогранника Е(Р, Q). □
Из соответствия между гранями многогранника Е(Р, Q) и я-со-
гласованными подразбиениями многогранника Q мы также получа-
ем явный метод построения вершин и гиперграней многогранника
Е(Р, Q), который мы будем часто использовать.
А именно, для каждой вершины существует единственное се-
чение, которое нужно всего лишь проинтегрировать. Чтобы полу-
чить гиперграни, поступим следующим образом. Для каждого са-
мого крупного подразбиения многогранника Q с R<?, которое может
оказаться я-согласованным, построим такое «поднятие» Q с R9+1,
что это подразбиение возникает как проекция множества нижних
граней многогранника Q. Если существует аффинное отображение
§ 9.2. Некоторые примеры
389
тсс: Р -> Q, то функция с, определяющая гипергрань, может быть
восстановлена как
СХ = (7lC(x))q+1.
§ 9.2. Некоторые примеры
В некоторых особых случаях конструкцию секционного много-
гранника можно легко проанализировать.
Если Q = {<?} —точка (q = 0), то S(P, Q) = Е(Р, {q}) = Р.
Более общим образом, если Р = R х Q — прямое произведение,
а л: R х Q -> Q — каноническая проекция, то легко видеть, что
Е(Р, Q) х Q, Q) = R: секционный многогранник является па-
раллельным переносом многогранника R. Действительно,
S(PxQ,Q)=Rx{q0},
где q0 — барицентр многогранника Q.
Если p = q, то P = Q и E(Q, Q) = {q0}«
Если р = q 4-1, то Е(Р, Q) — это отрезок [s1, ], который отобра-
жение л переводит в барицентр многогранника Q.
Нижний конец отрезка возникает как интеграл набора
«нижних граней» многогранника Р, в то время как верхний конец
является интегралом набора «верхних граней», при этом в обоих
случаях результат нужно поделить на vol(Q).
Это были тривиальные случаи, а теперь мы рассмотрим два бо-
лее интересных примера. Мы начнем с пермутоэдра и, более общим
образом, «многогранников монотонных путей». Затем мы построим
ассоциэдр как «вторичный многогранник» n-угольника. Таким об-
разом, оба примера являются частными случаями важных конструк-
ций.
390
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Определение 9.7. Пусть Р с rp — р-мерный многогранник. То-
гда ненулевая линейная функция a g (Rp)* на Р определяет проекцию
Р —> Q := {ах: х G Р} с R1
на одномерный многогранник Q = [amin, amax], где
amin = min ах, атах = max ах.
тт хер тах ХЕР
Секционный многогранник этой проекции
П(Р, а) := Е(Р, {ах: хеР})
называется многогранником монотонных путей многогранника Р
и линейной функции а.
По теореме 9.6 вершины многогранника П(Р, о) находятся во
взаимно однозначном соответствии с некоторыми путями на гра-
нице многогранника Р, монотонными (строго возрастающими) по
отношению к функции ах. Действительно, каждый путь
</>: v0 —Vi
состоящий из таких вершин vt еР, что
flmin = avQ<av1<...< avn_! < avn = amax,
определяет сечение
y^:Q -> P, x-> +
для x = t • aVi-i 4- (1 -t) • avt (0 t 1).
Каждое такое сечение определяет точку многогранника мо-
нотонных путей П(Р, а), а именно интеграл
... + (avn - avn_1)t,'"12+Vn).
Однако не каждая такая точка является вершиной много-
гранника монотонных путей. Для этого необходимо, чтобы все от-
резки [Vi-i, vj являлись ребрами многогранника Р и монотонный
путь ф «выделялся» на многограннике Р при помощи дополнитель-
ной целевой функции с. Если разобраться с определениями, то ока-
жется, что это условие означает, что путь ф определяет согласован-
ное сечение (т.е. является вершиной многогранника П(Р,а))
§ 9.2. Некоторые примеры
391
тогда и только тогда, когда он может быть получен в процессе ал-
горитма теневой вершины Боргварда [125]. Это очень естествен-
ное правило ведущего элемента из линейного программирования,
известное также в параметрической оптимизации под названием
«правило Гасса—Саати»; см. работу Кли и Кляйншмидта [328].
Следующий пример описывает очень частный случай, в котором
мы снова встречаемся с нашим старым знакомым из гл. О (пример
0.10) — пермутоэдром.
Пример 9.8 (пермутоэдр, [78, пример 5.4]). Пусть Р = [0,1]п с
с Rn — единичный куб в Rn, и пусть Q = [0, и] — отрезок в R1. Тогда
мы получаем проекцию
0 1 2 3
Вершины многогранника П([0, l]n, 1) = Е([0,1]п, [0, и]) отве-
чают возрастающим путям из ребер. Здесь возникает очень спе-
цифическая ситуация, когда у всех таких путей соответствующие
вершины находятся на одном и том же уровне линейной функции,
lvl = i, поэтому они индуцируют одно и то же подразбиение отрезка
Q = [0, и], состоящее из отрезков вида [i — 1, i]. Эти наиболее мел-
392
Глава 9. Секционные многогранники и далее
кие подразбиения возникают из таких отображений
[0,1]" —» Q, х-Н 1х1,
что Q — выпуклый 2п-угольник. Мы можем выбрать нижние верши-
ны многоугольника Q на кривой /(к) = к2. Теперь вспомним, что
Q — проекция куба [0,1]п, поэтому Q — центрально-симметричный
выпуклый 2п-угольник
•’n}U{(n2-(i-n)2):' 1; 2’-’п})‘
i = 0,1,2,
Всевозможные проекции л: Р —> Q соответствуют перестановкам:
перестановка ст == ст (1) ст (2)... ст (и) отвечает отображению
-о- (71А (А f 1
П ==lc<7J: e<T(i) V2/ =
которое переводит точку ест(1) + ... + ест(1) в ^.2). Отсюда мы полу-
чаем, что = i2 — (i — l)2 = 2i - 1, что позволяет восстановить
линейную функцию сст е (Rn)* как
сстх = £ (2k - 1)хстда = £ (2СГ-1 (к) - l)xfc.
к=1 к=1
(Единственное) сечение : [0, и] —> [0,1]п, которое минимизи-
рует интеграл focay(x)dx, описывает путь в одномерном остове
куба [0,1]п:
: О -> еа(1) ест(1) + eCT(2) ео-d) + • •. + еа(п) = 1.
§ 9.2. Некоторые примеры
393
Например, на рисунке изображен путь на трехмерном кубе Р =
= [О, I]3, отвечающий перестановке ст = 231, который выделяется
посредством линейной функции сх = х2 + Зх3 4- 5хг.
Отметим, что это частный случай ситуации, которая рассматри-
валась после определения 9.7. Здесь интеграл от сечения равен
сумме
} Га(х) dx = | ((гст(0) + гст(1)) + (гст(1) + гст(2)) + ...
... + (Гст(п-1) + Гст(п))) =
= | ((2п — 1)ест(1) + (2п - 3)е<7(2) +... + (1)ест(п) j =
Чтобы получить вершины секционного многогранника, мы долж-
ны поделить результат на vol[0, и] = и. Таким образом, секционный
многогранник для проекции п является образом при аффинном
отображении
(1+2п)1- пХ
394
Глава 9. Секционные многогранники и далее
«обычного» представления пермутоэдра, при котором перестановка
а представлена вектор-столбцом с координатами, задаваемыми пе-
рестановкой ст-1:
П([0,1]", 1) = S([0,1]п, [0, и]) = (1 + i)l- inn_i * Пп_г
Чтобы получить неравенства, определяющие гиперграни этого
секционного многогранника, рассмотрим самые крупные подразби-
ения отрезка [0, и], которые порождаются функциями вида
Д(х) = шах{0, х-к} для к = 1,2,..., п - 1.
Такая функция отвечает параллелограмму
Соответствующие отображения п: Р —> нумеруются подмноже-
ствами А с {0,..., и}, 0 < | А| = п - к < и, и задаются формулами
лА(х) =
Наш рисунок иллюстрирует расположение двумерного пермуто-
эдра (шестиугольника) как секционного многогранника, содержа-
щегося в трехмерном кубе [О, I]3. Можно заметить, что рисунок не
является метрически правильным, — его задача состоит лишь в том,
чтобы схематически показать, как вершина шестиугольника и со-
ответствующий монотонный путь на кубе выделяются при помощи
одной и той же линейной функции на R3.
Таким образом, мы получаем полное описание секционного
многогранника при помощи уравнений (которые появляются из-за
того, что секционный многогранник расположен над барицентром
§ 9.2. Некоторые примеры
395
отрезка Q) и неравенств (возникающих из самых крупных под-
разбиений) :
S([0,l]n, [О,п]) = |хеГ: 1х=5>
1 2 ieA
^^,0cAcW}.
Тем самым мы получили полное описание пермутоэдра как секци-
онного многогранника.
Теперь рассмотрим вторичные многогранники. Нашим главным
примером будет многогранник Сташефа (ассоциэдр [522]), который
был впервые реализован в качестве выпуклого многогранника Мил-
нором, Хэйменом [266] и Ли [355] — см. пример 0.10. Оказывается,
ассоциэдр может быть реализован как секционный многогранник
Е(ДП, С2(п +1)). Чтобы доказать это, мы воспользуемся существо-
ванием канонических отображений п-мерного симплекса на любой
многогранник с и +1 вершиной.
В дальнейшем мы будем использовать специальный п-симплекс
: = conv{ef: 0 i п} с Rn,
где по определению е0: = 0.
396
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Определение 9.9 (вторичные многогранники [231, 232]). Пусть
Q с — d-мерный многогранник с п +1 вершиной,
vert(Q) = {и0,..., ип}.
Вторичным многогранником многогранника Q называется много-
гранник
E(Q) := (d + l)vol(Q)E(4'n, Q),
где секционный многогранник Q) возникает из аффинного
отображения
л:
при котором Rn э —► ute Q для 0 i п.
Для каждого n-симплекса Р с Rn существует проекция л: Р —► Q,
которая отображает вершины симплекса Р в вершины многогран-
ника Q. Более того, симплекс Р и отображение п единственны с точ-
ностью до аффинной замены координат в Rn. Итак, для каждой
проекции n-симплекса Р на многогранник Q секционный много-
гранник Е(Р, Q) аффинно изоморфен вторичному многограннику
E(Q) (Эквивалентным образом, можно было бы использовать наш
«стандартный» п-симплекс Дп CRn+1.) Таким образом, вторичный
многогранник является каноническим объектом, ассоциированным
с каждым многогранником Q. Подробности читатель может най-
ти в работах Гельфанда, Зелевинского и Капранова [232], Билле-
ры, Гельфанда и Штурмфельса [72], а также Биллеры, Филлимана
и Штурмфельса [71]. Здесь важно отметить, что из теоремы 9.6
и упражнения 9.4 следует, что при фиксированном отображении
п: —> Q каждое регулярное подразбиение многогранника Q (без
новых вершин) является л-согласованным.
Следствие 9.10. Вершины многогранника Z(Q) взаимно одно-
значно соответствуют регулярным триангуляциям многогранни-
ка Q, а именно
Т <-* 2 vol[vlo,...,vid]-(eio + ...+eid),
>• ♦ ♦ >vld
где каждая регулярная триангуляция многогранника Q представле-
на своим набором d-мерных симплексов.
Чтобы получить из этой конструкции ассоциэдр, мы восполь-
зуемся хорошо известным взаимно однозначным соответствием
§ 9.2. Некоторые примеры
397
между полными расстановками скобок в строке из п букв и три-
ангуляциями Т без новых вершин (и 4- 1)-угольника С2(п 4- 1).
Итак, каждой полной расстановке скобок а строки 123...п длины п
мы сопоставляем соответствующую триангуляцию многоугольника
С2(п 4-1), записанную как набор троек
Т(а) с ({0> • ’ п}).
Обозначим через множество всех таких триангуляций. Напри-
мер, мы получаем (используя квадратные скобки для обозначения
троек)
= {{[013], [123]}, {[023], [012]}},
= {{[014], [124], [234]}, {[014], [134], [123]},
{[024], [012], [234]}, {[034], [013], [123]}, {[034], [023], [012]}}.
Вместо формального определения мы предлагаем рисунок одно-
го примера, объясняющий соответствие (в частном случае и = 4):
1((23)4)
Пример 9.11 (ассоциэдр). Ассоциэдр (пример 0.10) был впервые
построен как вторичный многогранник выпуклого (и 4-1)-угольника
Гельфандом, Зелевинским и Капрановым в работах [231, замеча-
ние 7с], [230, пример 7.3.В]. Здесь мы получим особенно красивые
координаты, выбрав «циклический» (и 4-1) -угольник, а именно
С2(п 4-1) = conv{ul: 0 i и}, для vl
398
Глава 9. Секционные многогранники и далее
В этом случае отображение проекции является линейным:
ГоЛ
ef vt для 0 п, в частности, 0 = е0 —> и0 = I I.
Площадь типичного треугольника, образованного вершинами
многоугольника С2(п +1), равна целому числу
vol[Uj, Vj, ufc] = 1(j - i) (k - 0 (k - j) для i < j < k.
Таким образом, триангуляции T многоугольника С2(п + 1) без но-
вых вершин представлены точками
VT := S — O(fc — OCfc —j)• 4-ej 4-efc).
Здесь суммирование ведется по всем таким тройкам i < j < к,
что [л(е(), л(е;), л(efc)]—треугольник в триангуляции Т площади
Вместе с рассмотренной выше биекцией это соответствие опре-
деляет точку в Rn для каждой полной расстановки скобок в строке
12...и. Например, расстановке 1((23)4) мы сопоставляем триангу-
ляцию
Т = {[014], [123], [134]},
вычисляем площади
vol[014] = 6, vol[123] = 1, vol[134] = 3
и, таким образом, для этой триангуляции Т получаем точку
vT = 6(е0 Ч-Ci 4-64) 4-1 (в14-е2 4-е3) 4-3(в14-е3 4-е4) =
На нашем рисунке изображено соответствующее сечение ут, инте-
грируя по которому мы получаем vT.
§ 9.2. Некоторые примеры
399
Теперь дадим полное описание многогранника Е(С2(п 4-1)) при
помощи уравнений и неравенств. Для этого нам сначала потребу-
ется найти площадь и барицентр многоугольника С2(п 4-1). Мы мо-
жем использовать триангуляцию
Т = {[012], [023],..., [0(п — 1)п]}
и с ее помощью найти площадь
Vn := vol(C2(n +1)) = 1
i=2 2
п4-1
3
и (с использованием дополнительных вычислений из упражнения
9.7) барицентр
:=q0(C2(n4-l))
f \
2
lsl6"2+1)J
для п 2.
400
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Отсюда мы получаем, что многогранник Z(C2(n + 1)) содержится
в аффинном подпространстве Rn, определяемом уравнениями
£ iXi = 3 vol(C2(n + 1))сп =
1=1
£ i2x, = 3vol(C2(n + l))dn = 6п5~ЛПЗ~П-
Как же нам теперь получить неравенства, определяющие гипергра-
ни? Для этого воспользуемся методом, вкратце описанным после
теоремы 9.6. Гиперграни соответствуют диагоналям многоугольни-
ка C2(n -F1), которые мы считаем идущими из vt в Vj для O^icj^n,
2 j - i < п. Для каждой такой «допустимой» пары (i, J) мы постро-
им регулярную функцию
/у I := max{0, -y + (i + j)x-y}.
Эту формулу можно вывести из условия, что линейная функция
Соответствующее «поднятие» Q многогранника Q задается соотно-
шением
Q := conv <
0 к п >.
j
Так как Р — симплекс, мы получаем каноническое отображение
( к \
к2
Пользуясь этим, мы получаем, что соответствующая линейная функ-
ция е (Rn)*, определяющая гипергрань, имеет вид
сух = 2 f ° I п2 Hfc ' max{0, -к2 + (i+j)k - ij}xk =
k=i kK ) k=i
n j
= max{0, (k - i) (j - k)}xfc = £ (k - i) (j - k)xfc.
k=l k=i
§ 9.2. Некоторые примеры
401
По построению функция сух достигает минимума на тех вершинах
vT, у которых триангуляция Т содержит диагональ (i, j). Можно про-
верить, что этот минимум равен
min{cyuT: Г еад = (J1 j30"^"2-
Таким образом, мы действительно получаем ассоциэдр
Е(С2(п + 1)) = Кп_2
и его полное описание при помощи линейных уравнений и нера-
венств:
Е(С2(п + 1)) = {хе К”: =
1 1=1 4
А -2 6п5-5п3-п ij . ( j-i+lA 3(j-i)2-2
%lXi =------30----3 J-----------------io—
1=1
для 0 i < jn, 1 < j — i < n}.
Мы воспользуемся программой PORTA, чтобы убедиться, что это
описание верно при малых п. Введем набор вершин или систему
неравенств и проверим, действительно ли мы получаем многогран-
ник с правильной комбинаторной структурой.
Приведем пример. Для п = 4 указанная линейная система име-
ет вид (файл ass2.ieq в формате входного файла для программы
PORTA)
DIM=4
VALID
10 1 4 9
INEQUALITIES_SECTION
1x1 н 2x2 + 3x3 + 4x4
1x1 - ь 4x2 + 9x3 + 16x4
Х1 >= 1
х2 >= 1
хЗ >= 1
2x1 ь 2x2 >= 10
2x2 + 2x3 >= 10
60
194
END
где неравенства отвечают диагоналям [02], [13], [24], [03] и [14]
(в том же порядке). Программе PORTA требуется точка, являюща-
яся решением системы, поэтому мы задаем ей точку, вычисленную
заранее.
402
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Теперь команда traf -v ass2.ieq строит по этим данным список
вершин и матрицу инциденций пятиугольника в файле с именем
ass2.ieq.poi:
DIM=4
CONV SECTION
( 1) 1 4 9 6
( 2) 4 1 10 6
( 3) 9 4 1 10
( 4) 10 1 4 9
( 5) 1 10 1 9 END
strong validity table :
\ I I
\ N I
P \ E I
0 \ Q |1
I \ S I
N \ I
T \ I
S \ I
1
2
3
4
5
* . . *. : 2
. * . *. : 2
. . * . * : 2
. *. . * : 2
* . *. . : 2
# I 22222
Итак, многогранник на поверку оказался пятиугольником, чем
и должен быть К5.
§ 9.3. Построение пермуто-ассоциэдра
А сейчас мы опишем конструкцию пермуто-ассоциэдра Капра-
нова [313], недавно предложенную в работе [453] (пример 0.10).
В статье [453] вводятся также аналогичные объекты, которые мож-
но построить для перестановок со знаками или скобками, но мы не
§ 9.3. Построение пермуто-ассоциэдра
403
будем их здесь рассматривать. Мы также будем опускать некоторые
детали, которые читатель сможет найти в статье [453].
Конструкция зависит от варианта ассоциэдра, который мы реа-
лизуем в особенно красивых координатах. Для этого определим
:= conv{/0,/i>fi '= ег +...+eh f0 = 0,
как эталонный симплекс. Мы снова будем использовать специаль-
ный «циклический» (и -F1)-угольник
С2(пН-1) = conv|^.2^ : 0 i nj.
Утверждение 9.12. Рассмотрим линейное отображение проек-
ции
л: Д^ —» С2(п +1), Л
( 1 А
которое отображает et в I 2/ __ i I для * 1- ^го Растянутый секци-
онный многогранник '
<2 :=з(п^1)-Е(Д^С2(п + 1))
имеет целочисленные вершины, задаваемые формулами
VT := S |0-0(fc-0(fc-J)'(/i+/.+A)eZ’*
[iJ,fc]eT
для всех триангуляций Т многоугольника С2(п + 1) без новых вер-
шин. Здесь суммирование ведется по всем таким тройкам i<j<k,
что (яС/i), л(/;), это треугольник триангуляции Т пло-
щади | (j - i) (k - i) (k - j).
Более того, все эти вершины лежат на сфере с центром в начале
координат:
А, т>2 fn + lA ЗОп4 —ЗЗп2 + 2
=1 3 J-------70-----•
Многогранник К^_2 задается при помощи уравнений
Д _ ofn + lAn _ п2(п2-1)
3 J2~ 4
i=i
V’ro' — i'i — о Г n +1А 6п2 + 1 _ би5 - 5л3 - л
2jUI iJ-Xj —3^ з J is — 30 >
404
Глава 9. Секционные многогранники и далее
которые описывают содержащее его (и — 2)-мерное подпростран-
ство в Rn, и определяющих гиперграни неравенств
£ ((.—2k + В + i + Дх, ? ~ ‘ +1) 3» ~ О2 - 2
k=i+l к «5 У
для 0^i<j^nu2^j-i^n — 1.
Это в точности то описание, которое мы получили в примере
9.11, если применить линейное преобразование пространства Rn,
переводящее ef в при 0 i п (при этом е0 = 0 переходит в /0 = 0).
Кажется удивительным, что вершины лежат на одной сфере.
В этом можно убедиться, рассматривая ребро, отвечающее простей-
шей перемене скобок/диагонали, но на данный момент не суще-
ствует по-настоящему хорошего (т. е. геометрического) доказатель-
ства этого факта. Может быть, у читателя есть идеи на этот счет?
Странно, что в целом конструкция секционных многогранников,
конечно же, аффинно инвариантна, но здесь мы неожиданно по-
лучаем нелинейный эффект, так как аффинные преобразования не
сохраняют единичную сферу.
Теперь при помощи ассоциэдра, взятого в координатах из пред-
ложения 9.12, мы построим пермуто-ассоциэдр.
Определение 9.13 (Капранов [313]). Решетка граней пермуто-
ассоциэдра — это частично упорядоченное множество, опре-
деляемое следующим образом.
Элементами множества являются упорядоченные разби-
ения множества {1, 2,..., п} на не менее чем две части, между кото-
рыми частично расставлены скобки: это значит, что блоки рассмат-
риваются так, как если бы их все перемножили, а некоторые из них
сгруппировали вместе при помощи скобок, чтобы показать порядок
умножения. В частности, каждая пара скобок заключает в себе не
менее двух блоков.
Отношение порядка между такими разбиениями со скобками
следующее: А В тогда и только тогда, когда В получается из А уда-
лением пар скобок и возможным объединением всех блоков внутри
них в один блок (если внутри рассматриваемой пары скобок нет
других скобок).
Наконец, в множество включается дополнительный ми-
нимальный элемент 0.
§ 9.3. Построение пермуто-ассоциэдра
405
Итак, мы получаем большое частично упорядоченное множе-
ство, определенное комбинаторно. Вот пример типичных элемен-
тов (при п = 7), сравнимых в решетке КП6:
((4.3)((5.7)1))(6.2) < (34.157)6.2 < 34.157.6.2.
Можно легко показать, что на самом деле является гра-
дуированной атомарной и коатомарной решеткой длины и. Таким
образом, она «похожа» на решетку граней (и — 1)-мерного много-
гранника. Коатомами («гипергранями») решетки КПП_1 являются
упорядоченные разбиения множества {1, ...,п} без скобок. Атомы
(«вершины») соответствуют полным расстановкам скобок в пере-
становках букв 1, 2,..., п. Ребра бывают двух типов: одни соответ-
ствуют перестановкам единственной пары скобок, другие —пере-
становкам двух соседних букв, сгруппированных вместе. Для и = 3
мы получаем решетку граней 12-угольника, которая выглядит сле-
дующим образом:
В статье [313] М. М. Капранов с помощью довольно сложной тех-
ники показал, что является частично упорядоченным мно-
жеством граней «клеточного шара»; более простое доказательство
можно найти также в работе [453, раздел 2]. Ниже мы докажем
более сильный результат о том, что на самом деле это частично
упорядоченное множество является решеткой граней выпуклого
(и - 1)-мерного многогранника, который мы также будем обозна-
чать через КПп_1.
Приведенный ниже большой рисунок изображает КП3 как мно-
гогранник. Несколько вершин на рисунке помечены соответству-
406
Глава 9. Секционные многогранники и далее
ющими перестановками с полностью расставленными скобками —
вы можете немного продолжить такую разметку просто ради удо-
вольствия или для того чтобы понять, как комбинаторное описание
соответствует геометрии многогранника.
Пример 9.14 (пермуто-ассоциэдр [453]). Как получить верши-
ну vа для каждой перестановки а с расставленными скобками? Для
этого мы перепишем а в виде пары а = (ст, Т), где ст — перестановка
чисел {1,и}, а
т = T(d) С
{0, ..., п}
3
— множество троек вершин триангуляции многоугольника С2(п +1),
соответствующей расстановке скобок в а. Вместе с этим мы бу-
дем интерпретировать перестановку с расставленными скобками
как триангуляцию (и 4- 1)-угольника С2(п -F 1), у которого нижние
стороны помечены числами ст(1),ст(п). Например, перестановка
2(3.1) представляется в виде
Каждая перестановка ст = ст(1)ст(2)...ст(п) определяет симплекс в
Rn, а именно
Дп(ст) := conv{0, eam, eam +еа(2), ...,е<7(1) + ... + ест(п) = 1} =
{•*£ € R . 1 Х<г(2) -^сг(п) ОК
Таким образом, симплекс Дп(ст) является в точности выпуклой
оболочкой сечения
: [0, п] -» Rn,
§ 9.3. Построение пермуто-ассоциэдра
407
Пермуто-ассоциэдр КП3
(этот прекрасный PostScript-рисунок выполнен Юргеном Рихтер-Гебертом
на основе данных программы PORTA)
которое мы сопоставили перестановке ст в примере 9.8. Например,
перестановка ст = 12...и определяет «стандартный симплекс»
= conv{f0)/1)...,/n}.
Описание симплексов Дп(<т) при помощи систем неравенств
также показывает, что все эти симплексы вместе образуют триан-
гуляцию единичного куба [0,1]п.
К примеру, симплекс, соответствующий перестановке 231 для
и = 3, изображен на следующем рисунке:
408
Глава 9. Секционные многогранники и далее
е2+е3+е1 = 1
231
Для каждого из этих симплексов имеется естественное отображение
в R2,
\ Дп(а) -> С2(п + 1),
^сг(1) + ••• “Ь ^(7(0
Так как симплексы образуют триангуляцию куба [0,1]п и отображе-
ния проекций согласованно определены на вершинах, мы получаем
непрерывное, но нелинейное «складывающее отображение»
П: [0,1]п^С2(п + 1),
которое является линейным на симплексах Дп(ст). Более того, для
каждой перестановки с расставленными скобками имеется очевид-
ное сечение для этого складывающего отображения! Чтобы его по-
строить, определим сечение на вершинах соотношением
а затем продолжим его линейно на треугольники триангуляции
многоугольника С2(п +1). Таким образом, мы получаем сечение
С2(п-Ы) [0,1]п,
ассоциированное со строкой а = (ст, Т).
Интеграл этого сечения определяет точку в Rn, соответствую-
щую перестановке с расставленными скобками а. Так мы получаем
вершины пермуто-ассоциэдра.
§9.3. Построение пермуто-ассоциэдра
409
Наш рисунок иллюстрирует сечение : С2(4) -► [0,1]3, ассо-
циированное с перестановкой со скобками а = 2(3.1) при помощи
такого метода.
2(3.1)
Приведем другую точку зрения на эту конструкцию. Вершины «спе-
циального ассоциэдра» К^_2 из предложения 9.12 удовлетворяют
условию v1>v2> ...>ип: действительно,малый ассоциэдр
^<2 = Е(Д{,С2(п + 1))
является секционным многогранником, поэтому он лежит в со-
ответствующем симплексе рассмотренной нами триангуляции
куба [0,1]п. Теперь, переставляя координаты, мы получаем и! копий
малого ассоциэдра в различных симплексах. Выпуклая оболочка
этих и! ассоциэдров и есть пермуто-ассоциэдр.
На рисунке мы стараемся проиллюстрировать это для п = 3.
Здесь ассоциэдрами являются шесть небольших прямолинейных от-
резков, выпуклая оболочка которых —12-угольник. Рисунок вновь
410
Глава 9. Секционные многогранники и далее
не является метрически правильным — это только набросок геомет-
рической картины, попытка изобразить расположение «малых ас-
социэдров» внутри п-мерного куба и то, как их выпуклая оболочка
образует (п — 1)-мерный пермуто-ассоциэдр. В противоположность
этому, наш большой рисунок трехмерного пермуто-ассоциэдра на
с. 407 был построен с помощью компьютера по заданным нами на-
стоящим координатам в R4. Поэтому он отражает настоящую гео-
метрию многогранника, а не только комбинаторику.
Единственное изменение, которое мы делаем в формулах, заключа-
ется в том, что мы берем вместо усредненного интеграла утроенный
интеграл, т. е. раздуваем многогранник в
= 3vol(C2(n +1)) раза,
чтобы получить целочисленные координаты.
Теорема 9.15. Формула
va := 3 J yadxdy =
С2(п+1)
(iJ,k)GT(a)
§ 9.3. Построение пермуто-ассоциэдра
411
сопоставляет каждой перестановке с полностью расставленными
скобками а точку vaeZn. Многогранник
conv{ua: а = (ст, 7(a)) — перестановка чисел [и]
с полностью расставленными скобками}
является пермуто-ассоциэдром, т. е. его решетка граней изомор-
фна частично упорядоченному множеству КПП_1 из определения
9.13. При этом изоморфизм задается соответствием a-^va. Это
(и — Г)-мерный многогранник, содержащийся в гиперплоскости
к i J
Более того, вершины пермуто-ассоциэдра имеют целочисленные ко-
ординаты и лежат на сфере с центром в начале координат
S't <1'2 f л + 1Л 30n4-33n2 + 2
i=i f J ~ V 3 J 70
Доказательство. Подробное доказательство можно найти в ста-
тье [453], и мы отсылаем читателя к этой работе. В чем состоит его
идея? Прежде всего заметим, что ассоциэдр из утверждения 9.12 ле-
, 4 2 >
жит в гиперплоскости Н = е : 1х = —1. Так как вершины
многогранника КПп_! получаются перестановкой координат вер-
шин ассоциэдра мы получаем, что наш многогранник
также содержится в гиперплоскости Н.
Затем мы находим уравнения, определяющие гиперграни, т. е.
каждому упорядоченному разбиению ф множества [и] сопоставля-
ем линейную функцию . Пусть разбиение ф имеет р блоков и за-
писывается в виде
ф = o-Gi)---GrCji) .Gr(i2)...cr(j2)... cr(ip)---cr(jp),
где числа ir и jr говорят только о «блочной структуре» разбиения ф,
причем
1 = ii Ji, Л +1 = i2 Л, • ••, Jp-i +1 = ip jp = и.
Тогда нужная нам линейная функция задается соотношением
ck = l’r+Jr, если ir a-1 (k) jr,
т. е. если буква к лежит в г-м блоке разбиения ф.
412
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Теперь нетрудно показать (используя явное описание ассоциэд-
ра из утверждения 9.12 и симметрию), что функция достигает ми-
нимума как раз на тех вершинах va, для которых а ф (в решетке
^Пп_х), т. е. она определяет гипергрань, содержащую нужный нам
набор вершин.
Теперь нужно показать, что мы нашли все неравенства, опреде-
ляющие гиперграни. Это можно сделать, используя комбинаторные
свойства частично упорядоченного множества КПпЧ, например тот
факт, что каждый элемент ранга п - 2 принадлежит ровно двум
коатомам (гиперграням), а также упражнение 2.8 (4). Такое доказа-
тельство в случае ассоциэдра можно найти в работе [266]. Альтерна-
тивное доказательство основано на том, что выпуклая оболочка по-
строенных нами вершин содержится в большем многограннике, за-
даваемом найденными неравенствами. Теперь можно доказать, что
любая линейная функция достигает максимума на множестве, опре-
деляемом найденными неравенствами, в одной из «наших» вершин.
Это показывает, что наше описание многогранника при по-
мощи неравенств является полным.
Оставшийся факт, нужный для доказательства, заключается в
том, что отношение включения вершин и гиперграней определяет
всю решетку граней многогранника, — см. упражнение 2.7. Таким
образом, мы построили многогранник с «подходящей» решеткой
граней □
§ 9.4. На пути к категории многогранников?
Секционные многогранники представляют собой первый шаг
программы по изучению «категории многогранников», предложен-
ной Луисом Биллерой. Эта категория должна обладать интересны-
ми свойствами, фундаментальными для многих геометрических
вопросов. Удивительно, что основные «универсальные конструк-
ции» для этой категории почти не исследованы. Среди них можно
назвать секционные многогранники, которые являются «ядерными
объектами»; рассматриваемые ниже многогранники отображений,
которые являются «пространствами отображений», а также косек-
ционные многогранники, которые должны играть роль «коядерных
объектов», но для которых пока нет даже хорошего определения
(задача 9.16*).
Определение 9.16. Пусть Р с flF, Q с — многогранники пол-
ных размерностей (р и q соответственно). Множество аффинных
§ 9.4. На пути к категории многогранников?
413
отображений fA,z: Rp —>Rq, х~* Ax + z, можно отождествить с про-
странством Rqxp х Rq =R(p+1)q. Тогда подмножество
Ф(Р, Q) := {(д, 2) е R(p+1)q: /А’2(Р) с Q}
является (р + 1)д-мерным многогранником в пространстве R(p+1)q,
который называется многогранником отображений пары (Р, Q).
Мы опускаем (нетрудное) доказательство того, что многогран-
ник Ф(Р, Q) имеет полную размерность (см. [450]). Имеется так-
же естественное обобщение многогранника отображений на случай
полиэдров. Отметим несколько важных примеров.
Пример 9.17. 1. Если Р — точка (р = 0), то многогранник Ф(Р, Q)
изоморфен многограннику Q. Более общим образом, если Р = Др —
симплекс с р +1 вершиной, то аффинные образы вершин много-
гранника Р можно выбрать в Q независимо друг от друга, что до-
казывает аффинную эквивалентность
Ф(Др, Q) = Qp+1.
2. В частности, возьмем, как и раньше, (d - 1)-симплекс =
= соп¥{е1? ...,ed}CRd в гиперплоскости Н := {xg Rd: 1х=1}. Тогда
мы можем отождествить аффинные отображения с условием Н —► Н
с соответствующими линейными отображениями Rd —> Rd, сохраня-
ющими начало координат 0. Каждое такое отображение задается
матрицей V = (v1?..., vd) е Rdxd, при этом et —> Таким образом,
многогранник отображений Ф(Дб;_1, Aj-i) имеет вид
ФСДа-ь Да_1) = {(рь vd) е Kdxd: v. g Да_ь 1 i d} =
= {(Uy) с Kdxd: Vy0,1 i, j d,
Sv0 = l,l$i^d} = ^d_1)d.
j
3. Рассмотрим теперь подмножество всех отображений, сохра-
няющих барицентр, т. е. отображающих барицентр ^1 симплекса
в себя. Но отображение переводит барицентр в j (иг +... + vd),
поэтому мы получаем дополнительные условия
S^ = l, l^j^d.
i=l
Таким образом, многогранник относительных отображений, состо-
ящий из всех отображений, переводящих пару ^1^ в себя,
414
Глава 9. Секционные многогранники и далее
имеет вид
|1), (\_1; |1))= {(цр е Kdxd: vi} > О,
2 uij' = 1 Для всех J , S vij = 1 Для всех i г >
i J J
а это многогранник Биркгофа дважды стохастических матриц, рас-
смотренный в примере 0.12.
Как мне кажется, полная версия теории «универсальных кон-
струкций для многогранников», будет нуждаться в двух важных раз-
делах (которые соответствуют фундаментальным особенностям со-
временного развития алгебраической топологии).
1. У нее должна быть эквивариантная версия, которая учитыва-
ет групповые действия на многогранниках и симметрии многогран-
ников. Так, например, наша конструкция пермуто-ассоциэдра опи-
рается на тонкую взаимосвязь секционного многогранника и дей-
ствия симметрической группы, которую нужно обобщить до общей
конструкции эквивариантного секционного многогранника.
2. Она должна допускать в качестве основных объектов пары
многогранников, а не только многогранники. Например, неограни-
ченный полиэдр часто можно трактовать как пару, состоящую из
многогранника и его гиперграни. Также эту идею отражают отоб-
ражения симплексов Ap-i -* Ap_i, сохраняющие барицентр, из при-
мера 9.17 (3) и отображения из упражнения 9.15.
Примечания
Первоначальная мотивация конструкций как вторичных, так
и секционных многогранников пришла не из теории многогранни-
ков, а из теории аУ-гипергеометрических функций [228, 230] и тео-
рии многогранников состояний в коммутативной алгебре [58, 535].
Оказывается, имеется также глубокая взаимосвязь с конструкциями
из алгебраической геометрии [314] и теории исключения неизвест-
ных [315], о которой говорится в обзоре Лоэзера [367] из серии «Се-
минары Бурбаки». Мы особенно рекомендуем для изучения книгу
Гельфанда, Капранова и Зелевинского [230].
Наши определения (начиная с определения 9.1 для тг-индуциро-
ванного подразбиения) отличаются по виду, но эквивалентны пер-
воначальным определениям Биллеры и Штурмфельса [78], в кото-
Задачи и упражнения
415
рых вместо многогранников речь идет о множествах вершин. Но-
вым здесь, возможно, является только явный вид тг-согласованных
подразбиений в определении 9.2. Мы также рекомендуем обзор тео-
рии секционных многогранников [534] и статью [79], в которой
рассматривается альтернативный подход (при помощи нормальных
вееров).
Подобным образом, первоначальное определение вторичных
многогранников, данное Гельфандом, Зелевинским и Капрановым
[231, 232] (см. [230, гл. 7]!), довольно сильно отличалось от того, что
было дано Биллерой и Штурмфельсом [78], и представлено здесь
в определении 9.9. Наше изложение также обращает исторический
порядок вещей: остроумная конструкция из работы [231] у нас по-
является как очень частный случай конструкции секционного мно-
гогранника; заметим лишь, что случай вторичных многогранников
является во многих отношениях наиболее существенным. В част-
ности, каждый секционный многогранник может быть представлен
как проекция вторичного многогранника, см. упражнение 9.6.
«Пермуто-ассоциэдр» как комбинаторный объект был
введен в работе Капранова [313] (где он обозначается КРП). Кон-
струкция в виде многогранника и обобщение до «ассоциэдров Кокс-
тера», опубликованные в работе Райнера и Циглера [453], появи-
лись в декабре 1992 г. Возникающие здесь нелинейные эффекты,
как, например, тот факт, что все вершины в предложении 9.12 лежат
на одной сфере, подсказывают, что мы еще многого не знаем об этих
конструкциях и в этой области еще предстоит немало открытий.
Задачи и упражнения
9.0. Для каких примеров многогранников, рассматривавшихся
в гл. 0, теперь можно дать полное комбинаторное описание?
Какие из них связаны между собой проекциями?
Какие из них можно представить как секционные многогранни-
ки, ассоциированные с проекциями более простых многогранников?
9.1. Вычислите секционный многогранник для проекции из при-
мера 9.3. Для этого вычислите координаты вершин, соответствую-
щих шести плотным согласованным подразбиениям. (Согласно на-
шим рассуждениям вы должны получить шестиугольник!)
Также найдите точку в R3, которая отвечает несогласованному
плотному подразбиению из примера 9.3. Верно ли, что она лежит
в относительной внутренности секционного многогранника?
416
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Наконец, используя методы, описанные в настоящей главе, по-
лучите описание секционного многогранника при помощи уравне-
ний и неравенств.
9.2. Для проекции
п: [-2, +2], х -* 2xt+x2,
перечислите все л-индуцированные подразбиения и определите, ка-
кие из них являются ^-согласованными. Нарисуйте все получившее-
ся частично упорядоченное множество и покажите, как оно «ретра-
гируется» на подмножество ^-согласованных подразбиений.
Вычислите секционный многогранник и опишите расположе-
ние точек, отвечающих несогласованным подразбиениям.
9.3. Пусть л: Р—► Q — проекция многогранников и любое
тг-индуцированное подразбиение. Докажите, что для любой линей-
ной функции с G (Rp)* имеется такое относительно согласованное
подразбиение, <SC, что
(Можно использовать конструкцию, аналогичную конструкции
из определения 9.2.)
Докажите, что если с — функция общего положения, то подраз-
биение <SC является плотным. Получите отсюда, что минимальные
элементы частично упорядоченного множества а>(Р, Q) — это в точ-
ности плотные подразбиения.
9.4. Для одночлена т = х^х^ •... • х^ определим его степень как
ЛА
deg(m) :=
е₽Л
Vv
Для многочлена от d переменных
/ = е Ktxi>
где a mt — одночлены, определим многогранник Ньютона как
Newton(/) := conv{deg(mj): at / 0}.
1. Покажите, что Newton(/ • g) = Newton(f) + Newton(g). Поль-
зуясь этим, опишите многогранник Ньютона Newton(ffc). Что
можно сказать о многограннике Newton(/ + g) и многограннике
Newton(/ 4- eg) при достаточно малых значениях е > 0?
Задачи и упражнения
417
2. Опишите многогранник Newton(det(xf;)) для определителя
(и х и) -матрицы, имеющей в качестве коэффициентов d = и2 раз-
личных переменных.
9.5. Если л: Р—> Q — проекция многогранников, то я-индуци-
рованные подразбиения многогранника Q могут иметь вершины
только из конечного множества rc(vert(P)), которое не обязательно
состоит из вершин многогранника Q.
Докажите, что если Р = Др — симплекс, то все регулярные тт-ин-
дуцированные подразбиения многогранника Q являются л-согласо-
ванными.
9.6. Пусть я: Р —► Q — проекция многогранников, где Р с rp —
многогранник с п вершинами. Докажите, что секционный много-
гранник S(P, Q) может быть построен при помощи проектирования
многогранника, вторичного для Р:
S(P, Q) = tt,(S(P))
(Биллера и Штурмфельс [78]).
9.7. Проверьте формулы для объема (площади) и барицентра
(и +1)-угольника
С2(п + 1) = convj : i = 0,1, 2,..., nJ.
Что можно сказать об объеме и барицентре произвольного цикли-
ческого многогранника Cd(n + 1)?
9.8. Пусть Р и Q — многоугольники на плоскости. Покажите, что
секционный многогранник проекции
PxQ-+ P + Q
прямого произведения на сумму Минковского изоморфен много-
угольнику Р + (-Q).
Какие возникают сложности, если многоугольник Q вырождает-
ся в отрезок?
9.9. Определим джойн Р * Q двух многогранников Р и Q как их
выпуклую оболочку при условии, что они помещены в аффинные
подпространства некоторого пространства таким образом, что
их аффинные оболочки aff(P) и aff(Q) скрещиваются по {О}.
Покажите, что джойн Р * Q является многогранником размерно-
сти dim(P) + dim(Q) +1, который, с точностью до аффинной экви-
валентности, не зависит от выбора аффинных подпространств.
418
Глава 9. Секционные многогранники и далее
Покажите, что вторичный многогранник S(P*Q) джойна изо-
морфен прямому произведению S(P) х S(Q).
(Далбек [170].)
9.10. Рассмотрим проекцию п: Rn —> R, An_i —► [1, п], задавае-
мую условием —> i.
Покажите, что сеционный многогранник S(An_1? [1, и]) этого
отображения комбинаторно эквивалентен (и - 2)-мерному кубу.
Верно ли, что он на самом деле аффинно изоморфен кубу Сп_2?
(Гельфанд, Капранов и Зелевинский [230, пример 7.3.А].)
9.11. Вычислите вторичный многогранник для An-i х Дг
Для этого сначала найдите размерность вторичного многогранни-
ка, а затем определите множество его вершин. Но прежде чем непо-
средственно вычислять вершины, вам следует разгадать комбинато-
рику получающегося многогранника. (Это наш старый знакомый!)
Изучите также вторичные многогранники для An_j х
(См. работу Гельфанда, Капранова и Зелевинского [230, приме-
ры 7.3.С, D]. На самом деле вторичные многогранники произведе-
ний симплексов очень сложны; см. работу Бэбсона и Биллеры [32]!)
9.12. Пусть Z — d-мерный зонотоп с п зонами. Докажите, что сек-
ционный многогранник канонической проекции п: Сп —> Z также
является зонотопом.
(Биллера и Штурмфельс [78, теорема 6.1].)
Вычислите секционные многогранники для проекций
с4-р28, с5 —» р210 и с6 —» р212,
где через Р^1 обозначен центрально-симметричный 2i -угольник.
Для проекции С6 —> Р212 ответ зависит от выбора 12-угольника. Опре-
делите 5 различных /-векторов, возникающих в этом случае.
(Штурмфельс [533].)
9.13. Пусть Р и Q — два непересекающихся многогранника в Rd.
Докажите, что пространство между ними можно триангулировать
без использования новых вершин, т. е. существует такое симплици-
альное подразбиение многогранника conv(P и Q), что множество
его вершин совпадает с объединением vert(P) U vert(Q) и имеются
подкомплексы, задающие триангуляции многогранников Р и Q.
(Подсказка: начните с выпуклой функции, линейной на Р и по-
стоянной на Q, и с ее помощью «поднимите» Q, затем возьмите
выпуклую оболочку и пошевелите все ее вершины. Этот результат
был получен Гудманом и Пахом в работе [233].)
Задачи и упражнения
419
9.14. Для произвольных многогранников Р с и Q1? Q2 Q
докажите, что Ф(Р, Qj 4- Q2) 5 Ф(Р, Qi) + Ф(Р, Q2). Покажите, что,
вообще говоря, это включение не является равенством.
(Рамбау и Циглер [450].)
9.15. Вычислите многогранники отображений
и опишите их комбинаторику.
9.16* . Что такое косекционный многогранник?
(Это должен быть многогранник, естественно сопоставляемый
каждому включению многогранников Р Q.)
Приложение
Алгебра и комбинаторика выпуклых
многогранников
В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Т. Е. Панов
Предисловие
В настоящем приложении1 комбинаторным многогранником
(или даже короче — многогранником) называется класс комбина-
торно эквивалентных выпуклых многогранников, а иногда также
любой представитель этого класса (например, мы будем называть
кубом любой многограник, комбинаторно эквивалентный кубу).
Наша цель — познакомить читателя с рядом современных направ-
лений исследований, возникших благодаря тесным связям теории
многогранников с торической геометрией, торической топологией
(см. книгу [617]) и теорией особенностей. В центре внимания —
исследование комбинаторики многогранников методами теорий
дифференциальных уравнений, алгебр Хопфа и квазисимметри-
ческих функций. Большое внимание уделяется конструкциям се-
мейств многогранников и свойствам этих семейств.
Мы старались сохранить стиль автора, ориентированный на ши-
рокий круг читателей. Как и основной текст, приложение содержит
много задач и примеров.
Приложение состоит из 6 частей. В первой части мы расширяем
материал о перечисляющих многочленах многогранников и соотно-
шениях Дена—Соммервилля.
Вторая часть посвящена нестоэдрам — широкому семейству мно-
гогранников, содержащему, в частности, встречающиеся в книге
пермутоэдры и ассоциэдры. Приводится геометрическая конструк-
ция нестоэдров, использующая понятие производящего множества
1 Работа над приложением выполнена при поддержке гранта Правительства РФ
по постановлению №220, договор №11.034.31.0053, грантов Президента РФ
МД-2253.2011.1, МД-111.2013.1 и НШ-4995.2012.1, грантов РФФИ 11-01-00694-а,
12-01-92104-ЯФ_а и 13-01-91151-ГФЕН_а, а также фонда Дмитрия Зимина «Династия».
§ А.1. Векторы граней и соотношения Дена—Соммервилля
421
и сумму Минковского набора симплексов, индексированного про-
изводящим множеством.
В третьей части рассматриваются флаговые многогранники —
многогранники, у которых любой набор попарно пересекающих-
ся гиперграней имеет непустое пересечение. Вводится семейство
2-усеченных кубов — многогранников, получающихся из куба в ре-
зультате последовательности срезок граней коразмерности два. До-
казывается, что нестоэдр является флаговым многогранником тогда
и только тогда, когда он принадлежит этому семейству.
В четвертой части описывается дифференциальное кольцо вы-
пуклых многогранников, в котором оператор дифференцирования
сопоставляет многограннику сумму его гиперграней. Приводятся
формулы для действия этого оператора на многогранниках, принад-
лежащих важным сериям нестоэдров.
В пятой части выводятся дифференциальные уравнения, кото-
рым удовлетворяют производящие ряды перечисляющих многочле-
нов важных семейств нестоэдров, и находятся явные решения этих
уравнений.
В шестой части описываются приложения кольца выпуклых
многогранников к проблеме флаговых чисел, использующие методы
теорий алгебр Хопфа и квазисимметрических функций. Вводится
кольцо флаговых векторов, доказывается, что над полем рацио-
нальных чисел оно является кольцом многочленов, приводится кри-
терий, характеризующий набор мультипликативных образующих
этого кольца.
Отметим, что в нашем приложении, в отличие от основного тек-
ста, символом п обозначается размерность многогранника, причем
индекс п пишется вверху (например, Дп —п-мерный симплекс, а
— к-угольник), а запись А с В означает, что множество А является
подмножеством в В и, может быть, совпадает с ним. Также когда
речь пойдет о градуированных алгебрах Хопфа, через (<р,Н) мы
будем обозначать значение функции (/? ей* на элементе Ней.
§ А.1. Векторы граней и соотношения
Дена—Соммервилля
Понятие /-вектора (или вектора граней, см. гл. 8) является цен-
тральным в комбинаторной теории многогранников. В этой части
422
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
мы расширим материал об основных инструментах работы с /-век-
тором — перечисляющих многочленах.
Определение А.1. Пусть Р —выпуклый n-мерный многогран-
ник. Обозначим через /• число его i-мерных граней. Набор целых
чисел /(Р) = (/0, /ь..., /п) известен как /-вектор (или вектор гра-
ней) многогранника Р. Заметим, что fn = 1. Однородный F-много-
член многогранника Р определяется как
F(P) (s, t) = sn+fn_1sn-1t +... + + fotn,
h-вектор h(JP) = (h0, hlt ...,hn) и однородный Н-многочлен много-
гранника Р определяются как
hos'’ + h1sn~1t + ... + hntn = (s - t)n + fn-i(s-t)n-1t +... + fotn,
t) = hosn + h1sn~1t+... + hn_ystn-1 + hntn = F(P)(s-1,t).
(A.2)
Назовем g-вектором простого многогранника P набор чисел
g(P) = (go, gi, g[E] ),
гдеg0 = 1 ngi = hi-hi^ для! = 1,[п/2].
Пример A.3. Для n-мерного симплекса Дп имеем
F(An)=s', + (n + 1)s'-1t+(n + 1)s'’-2t2 + ... + (n + 1)t',=
= (s + t)n+1-tn+1
~ S ’
cn+l _ f.n+1
Н(ДП) = sn +sn~1t + sn~2t2 + ...+tn = ——.
Очевидно, что /-вектор является комбинаторным инвариантом
многогранника, т.е. он зависит только от решетки граней. Этот
инвариант далек от того, чтобы быть полным даже для простых
многогранников.
Пример А.4. Два различных комбинаторных простых много-
гранника могут иметь одинаковые /-векторы. Например, пусть Р —
трехмерный куб и Q — простой трехмерный многогранник с двумя
треугольными, двумя четырехугольными и двумя пятиугольными
гранями, изображенный на рис.А.1. (Отметим, что Q получается
срезкой двух вершин тетраэдра и полярен к циклическому много-
граннику С3(6) (см. пример 0.6 гл. 0).) Тогда /(Р) =/(Q) = (8,12,6).
Напомним, что /-вектор и h-вектор содержат эквивалентную
комбинаторную информацию и определяют друг друга при помощи
§ А.1. Векторы граней и соотношения Дена—Соммервилля
423
Рис. А.1. Два комбинаторно неэквивалентных простых многогранника
с одинаковыми /-векторами
линейных соотношений:
k z • ч
hk ~ (.п-к)^’
(А.5)
П Гп\
для 0 к и.
В частности, hQ = 1 и hn = /0 - fa + ... + (-1) nfn • По формуле Эйлера-
Пуанкаре,
/о-/1 + - + (-1)пА = 1, (А.6)
что эквивалентно условию hn = h0. Это первое свидетельство того,
что многие комбинаторные соотношения на числа граней имеют го-
раздо более простой вид, если записать их при помощи h-вектора.
Другой иллюстрацией этого явления является следующее обобщение
формулы Эйлера—Пуанкаре для случая простых многогранников.
Теорема А.7 (соотношения Дена—Соммервилля). h-вектор лю-
бого простого п-многогранника симметричен, т. е.
H(s, t) = H(t, s), или hi = hn_i для 0 i n.
Соотношения Дена—Соммервилля можно доказать многими раз-
личными способами (см. § 8.3). Мы приведем доказательство из кни-
ги [133], которое можно считать комбинаторной версией рассужде-
ний из теории Морса (ср. с упражнением 8.10). Еще одно доказа-
тельство будет дано в § А.4.
Доказательство теоремы А.7. Пусть Р с Rn — простой много-
гранник. Выберем линейную функцию с е (Rn)* общего положения
(в смысле определения 3.3), которая различает вершины много-
гранника Р. Запишем сх = (г, х) для некоторого вектора v из Rn. Из
424 Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
условия общего положения следует, что вектор v не параллелен ни-
какому ребру многогранника Р. Можно рассматривать с как функ-
цию высоты на многограннике Р и превратить одномерный остов
многогранника в ориентированный граф, задав ориентацию каж-
дого ребра таким образом, чтобы функция с возрастала вдоль него
(см. рис. А.2).
Для каждой вершины v многогранника Р определим индекс
indv(v) как число входящих в нее ребер. Обозначим число вер-
шин индекса i через lv(i). Мы утверждаем, что /v(i) = hn_f. Дей-
ствительно, каждая грань многогранника Р имеет единственную
максимальную и единственную минимальную вершину (на кото-
рых достигаются соответственно максимум и минимум функции
с, ограниченной на грань). Пусть G —k-мерная грань многогран-
ника Р и vG — ее максимальная вершина. Так как многогранник Р
простой, из вершины vG выходит ровно к ребер грани G, поэтому
indv(vG) к. С другой стороны, каждая вершина индекса q к
является максимальной ровно для граней размерности к. Сле-
довательно, число к-мерных граней многогранника Р можно найти
по формуле
q^k4 7
Теперь из второго соотношения (А.5) следует, что /v(q) = hn_q, что
и требовалось доказать. В частности, число /v(q) не зависит от г.
В то же время мы имеем indv (v) = п - ind_v (v) для любой вершины
v, откуда следует, что
hn_q =Iv(q) =I_v(n-q) = hq. □
Замечание A.8. Из приведенного выше доказательства также
следует, что числа hk = Iv(n- к) неотрицательны, что не очевидно
из формул (А.5) и записывается в виде линейных неравенств на
/-вектор.
Теорема А.9. f-вектор простого п-многогранника удовлетво-
ряет соотношениям
fk = X(-^\n-lk)fi дляо^к^п. (А.10)
Доказательство. Из соотношений Дена—Соммервилля имеем
F(s -1, t) = H(s, t) = H(t, s) = F(t - s, s).
§ А.1. Векторы граней и соотношения Дена—Соммервилля
425
Рис. А.2. Ориентация одномерного остова многогранника Р
Подставляя u = s — t, получаем F(u, O—F^—u, t + и), или
un + /n_iUn“1t+... + /1utn~1+/otn =
= (-u)n + /n_i(-u)n”1(t + u) + ... + /1(-u)(t + u)n"1 + /0(t + u)n.
Вычисляя коэффициент при uktn~k в обеих частях равенства, полу-
чаем соотношение (А.10). □
Согласно следствию 2.14 /-вектор полярного п-многогранника
Рд имеет вид
fi (Рд) = А-1-i СР) для 0 i п - 1.
Тогда из формулы (А.10) следует, что /-вектор симплициального
многогранника удовлетворяет соотношениям
к
или, что эквивалентно,
п Г ' \
fq-1 = ДЛЯ1^д^П + 1.
j=q 44 У
Соотношения Дена—Соммервилля были получены Деном [181]
для случая п 5 в 1905 г. и Соммервиллем [508] для общего случая
в 1927 г. в виде, похожем на формулы (А.10).
426
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Утверждение А.11. F-u Н-многочлены мультипликативны, т. е.
F(Pi х Р2) = F(P1)F(P2), H(Pi х Р2) = НСР^ЖР,) (А.12)
для любых выпуклых многогранников Рг и Р2.
Доказательство. Пусть dimPj = пг и dimP2 = п2. Каждая к-мер-
ная грань многогранника Рг х Р2 является прямым произведением
i-мерной грани многогранника Рг и (к - О-мерной грани много-
гранника Р2 для некоторого i, поэтому
"1
fk(Pl х Р2) = £ Л (Р1)Л->(Р2) для 0 к $ пг + п2. (А.13)
i=0
Отсюда следует первое тождество. Второе тождество следует из со-
отношений (А.2). □
Пример А.14. Согласно предыдущему предложению
F(D = (РСД1))” = (s + 2t)n и Н(Г) = (НСД1))" = (s + t)n.
Так как Н-многочлен простого n-многогранника Р удовлетворя-
ет соотношению H(P)(s, t) = H(P)(t,s), его можно выразить через
элементарные симметрические многочлены следующим образом:
[п/2]
H(P)(s, t) = £ ri(s + t)n“2l(st)'. (А.15)
i=0
Из равенства h0 = hn = 1 следует, что у0 = 1-
Определение А.16. Набор целых чисел у(Р) = (у0,у[п/2]) на-
зывается у-вектором многогранника Р, а выражение
г (Р) (т) = Го + Г1Т + • • • + У [п/2]т tn/21
называется у-многочленом многогранника Р.
Пример А.17. Имеют место равенства у (Z1) (т) = 1 и у(Р^)(т) =
= 1 + (гл — 4)т, где Р^ — т-угольник.
Компоненты у-вектора линейно выражаются через компоненты
любого из f-, h- или g-векторов и наоборот. Явные формулы пере-
хода между g- и у-векторами приведены в следующей лемме.
Лемма А.18. Пусть Р — простой п-многогранник. Тогда
gi = (п-2i +1) + i ( i_ j )h’
Yi = (-1)’ £(-D7(n"27?k для 0 $ i $ [|J.
j=0 4 J '
§ А.1. Векторы граней и соотношения Дена—Соммервилля
427
Доказательство. Пользуясь формулами из примеров А.З и А.14,
мы получаем
[п/2]
Н(Р) = £
J=o
<? ,п. [q/2]
H(Iq) = = £ ck>q(st)kH(^-2k),
j=0 V 7 k=0
где c0., = 1 и Q.,= (’) - (Д) = (’) > 0 да к = 1....
[q/2]. Тогда
[n/2] . i .
H(P)(s,t)= E ( Ес<-м-2;ъ )^)!Н(Дп-2г).
i=0 j=0 7
С другой стороны,
[П/2]
H(P)(s,O = £ gi(st)fH(An’2‘).
i=0
Сравнивая последние две формулы, мы получаем
Si S Ci-j,n-2jYj>
J=0
что эквивалентно первой из требуемых формул.
Отметим, что матрица перехода от у(Р) к g(P) верхнетреуголь-
ная с единицами на главной диагонали. Получить явный вид обрат-
ной матрицы, задаваемый второй формулой леммы, мы оставляем
читателю в качестве упражнения. □
Утверждение А.19. Пусть Р, Q — два простых п-многогранни-
ка. Рассмотрим следующие четыре условия:
а) Л(^тЮ)для1 = 0,1, ...,п;
б) hf(P) h^Q) для i = 0,1,..., п;
В) gf(P) ^gi(Q) для i = 0,1,[Н];
г) n(P) ^rt(Q) для i = 0,1,[|].
Тогда г) в) => б) => а).
Доказательство. Из первого уравнения (А.5) следует, что ком-
поненты вектора /(Р) выражаются через компоненты вектора h(P)
с неотрицательными коэффициентами, поэтому б)=>а). Далее, име-
к
ем hk = £ Si для 0 $ к $ [|], откуда следует, что в)=>б). Имплика-
428
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
ция г)=>в) следует аналогичным образом из первой формулы лем-
мы А.18. □
Компоненты /-вектора любого многогранника неотрицатель-
ны. Неотрицательность компонент h-вектора простого многогран-
ника следует из их геометрической интерпретации, полученной
в доказательстве теоремы А.7; h-вектор непростого многогранника
(например, октаэдра) может иметь отрицательные коэффициенты.
Неотрицательность g-вектора простого п-многогранника (т. е. нера-
венства gi(P) gi (А71))-— гораздо более тонкое свойство; оно сле-
дует из g-теоремы (см. § 8.6). А у-вектор простого многогранника
может иметь отрицательные компоненты (например, для Р = А2);
его неотрицательность для специального класса простых много-
гранников будет обсуждаться в § А.З. Неотрицательность у-вектора
описывается неравенствами yf (Р) у£ (1п), см. упражнение А.1.2.
Задачи и упражнения
А.1.0. Докажите, что у каждого трехмерного многогранника есть
грань с не более чем пятью вершинами.
А.1.1. Докажите вторую формулу перехода из леммы А.18.
А.1.2. Докажите мультипликативность у-многочлена, т. е. тожде-
ство
y(PxQ)(T) = y(P)(T)-y(Q)(T)
для любых двух простых многогранников Р и Q. В частности, у (/п) =
= (1,0, ...,0)иу(Г)(т) = 1.
§ А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
В начале 1990-х гг. появилось несколько конструкций серий
простых многогранников с замечательными свойствами под общим
названием «обобщенных ассоциэдров» (Классический ассоциэдр,
или многогранник Сташефа, впервые появился в теории гомотопий
[522].) В настоящее время обобщенные ассоциэдры находят мно-
гочисленные применения в алгебраической геометрии [599], тео-
рии инвариантов узлов и зацеплений [587], теориях представлений
и кластерных алгебр [597], а также теории операд и геометрических
«теориях поля», произошедших из квантовой физики [610].
Не претендуя на охват всех аспектов теории обобщенных ас-
социэдров, мы опишем одну их частную конструкцию, в которой
используется сумма Минковского и комбинаторное понятие про-
§А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
429
изводящего множества. Наше описание во многом основывается
на первоначальных работах Е.-М. Фейхтнер—Б. Штурмфельса [596]
и А. Постникова [606]. Получающееся семейство многогранников
известно под названием нестоэдров. Хотя семейство нестоэдров не
включает все возможные обобщения ассоциэдра, оно достаточно
широко, чтобы вместить наиболее известные серии, и его конструк-
ция достаточно элементарна, чтобы не требовать от читателя спе-
циальных знаний.
Сумма Минковского (см. § 1.1)— классическая геометрическая
конструкция, позволяющая получать новые многогранники из из-
вестных, такая как, например, прямое произведение (см. пример 0.5)
и срезка многогранника гиперплоскостью (А.43). Однако сумма
Минковского простых многогранников, как правило, не является
простым многогранником. Интересные примеры многогранников
возникают при рассмотрении сумм Минковского граней правиль-
ного симплекса. Симплексы в такой сумме нумеруются набором У
подмножеств конечного множества. В работах [596] и [606] было
показано, что сумма Минковского граней правильного симплекса
является простым многогранником, если набор У удовлетворяет
некоторому комбинаторному условию, определяющему понятие
производящего множества. Получающееся семейство простых мно-
гогранников в работе [607] получило название нестоэдров благо-
даря их связи с гнездовыми множествами («nest» — гнездо (англ.)),
рассмотренными Де Кончини и Прочези [592] в контексте конфигу-
раций подпространств. Примером производящего множества явля-
ется набор множеств вершин связных подграфов некоторого графа.
Соответствующие нестоэдры называются граф-ассоциэдрами. Они
были введены и исследованы в работе Карра и Девадеса [589].
Семейство граф-ассоциэдров включает в себя классические серии
пермутоэдров и ассоциэдров.
А.2.1. Суммы Минковского симплексов
Для любого подмножества Sc[n + l] = {l,...,n + l} рассмотрим
правильный симплекс
As = conv(e,: i е S) с Rn+1.
Пусть —набор непустых подмножеств в [п + 1]. Мы будем
предполагать, что & содержит все одноэлементные подмножества
{£}, 1 $ i п +1. Как обычно, обозначим через \&\ число элементов
430
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
в &. Для подмножества N с [и +1] обозначим через &\N ограниче-
ние набора & на N, т. е. набор
^|n = {Sg^:ScN}
подмножеств в N. Набор & называется связным., если множество
[и + 1] нельзя представить в виде несвязного объединения таких
непустых подмножеств и N2, что для любого S G & либо S с N13
либо S с N2. Очевидно, что любой набор & распадается в несвязное
объединение своих связных компонент.
Теперь рассмотрим выпуклый многогранник
= L As С K"+1. (А.20)
Sep
Утверждение А.21. Пусть & = U ... U &q — разложение на
связные компоненты. Тогда
а)Р^ = Р^х... хР^;
б) dimPjr = п +1 - q.
Доказательство. Утверждение а) следует из того, что много-
гранники Р^ для 1 i q содержатся в дополнительных подпро-
странствах, поэтому их сумма Минковского совпадает с прямым
произведением. В силу п. а) достаточно проверить п. б) только для
связных наборов &. В этом случае нужно доказать, что dim Р# = п.
Если набор & имеет единственный максимальный элемент, то этот
элемент совпадает с [п + 1], так как & связно. Тогда Р$ содержит
в качестве слагаемого по Минковскому n-мерный симплекс, следо-
вательно, dimP^ п. Многогранник Р& лежит в гиперплоскости
г п+1
= хеГ+1: £>,• = ЦП
t i=l
поэтому dimPjr $ п. В дальнейшем нам понадобится только этот
случай, поэтому мы пропустим остаток доказательства и оставим
его в качестве упражнения. □
Замечание А.22. Хотя это выглядит слишком технически, одна-
ко удобно в некоторых последующих рассмотрениях предполагать,
что набор & может содержать некоторые подмножества в [п + 1]
с кратностями. При этом нормальный веер (см. гл. 7) многогранни-
ка Pjr (а следовательно, и его комбинаторный тип) не зависит от
кратностей.
Опишем теперь два крайних случая многогранников Р$, отве-
чающих минимальному и максимальному связным наборам.
§ А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
431
Пример А.23 (симплекс). Пусть У — набор, состоящий из всех
одноэлементных подмножеств и всего множества [и + 1]. Тогда
Ру — правильный n-мерный симплекс A[n+i], смещенный на вектор
е1 + ---+еп+1-
А.2.2. Пермутоэдр
Пусть — полный набор, состоящий из всех подмножеств в
[и + 1]. Согласно утверждению А.21 многогранник имеет раз-
мерность и.
Теорема А.24. Многогранник Р<# может быть описан как пере-
сечение гиперплоскости
= х е Rn+1: £ х( = 2"+1 -1У
I i=l J
с полупространствами
Hs^ = (хе Rn+1: £х,2|S| - 4
ieS '
для всех собственных подмножеств S £ [и + 1]. Более того, каж-
дое полупространство неизбыточно, т. е. определяет гипергранъ Fs
многогранника Р^, поэтому всего имеется |^| = 2п+1 - 2 гипергра-
ней.
Доказательство. По определению каждая точка
х=(х1,...,хп+1)еР<<
может быть записана в виде х= Xs, где Xs = (Хр xnS+i)e As-
Тогда Se¥
п+1 п+1
Z>i = S £x_s= £ 1 = М = 2"+1-1,
i=l i=l
откуда следует, что P<# с Аналогично
E*i = £ £х?> = Е 1 = Ms| = 2|s| - 1, (А.25)
ieS ieS TcSieS TcS
поэтому Pc# содержится во всех полупространствах Hs ^.
Остается показать, что любая гипергрань многогранника Р^
имеет вид P<# QHS, где Hs — граничная гиперплоскость полупро-
странства Hs >. Так как многогранник Р<# — сумма Минковского
симплексов, каждая его грань G является суммой Минковского
граней симплексов. Поэтому мы можем записать G в виде ^Ts,
Se^ S
432
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
где Ts с S. Согласно утверждению А.21 если G —гипергрань (т.е.
dim G = п — 1), то набор 9 = {Ts} подмножеств в [и +1] имеет ровно
две связные компоненты. (Отметим, что набор 9 может содержать
некоторые подмножества с кратностями.) Пусть [п + 1] = NT U N2
и 9 = 9\N1 U 91n2 — разложение на связные компоненты. Тогда ги-
перплоскость, содержащая гипергрань G, определяется любым из
двух уравнений
= или Z>i = |^k|- (А.26)
Так как каждое множество Ts содержится в соответствующем мно-
жестве S, мы получаем
и (А.27)
Мы утверждаем, что хотя бы одно из этих неравенств является ра-
венством. Действительно, предположим противное. Согласно соот-
ношениям (А.25) минимум линейной функции xi на многогран-
нике Р<$ равен |^|Ni |, поэтому есть такая точка х' еР^, что
= (А.28)
Аналогично есть такая точка х" € Р<^, что
S xi ~ |^\n2| < |^к2|-
ieN2
Так как Nx U N2 = [и + 1], последнее неравенство эквивалентно
неравенству £ х" > |<<7|N1|. Из него и неравенства (А.28) следует,
ieNj
что у многогранника Р^ есть точки в обоих открытых полупро-
странствах, определяемых первым из уравнений (А.26), что про-
тиворечит предположению, что G —гипергрань. Таким образом,
по крайней мере одно из неравенств (А.27) является равенством,
откуда следует, что гиперплоскость (А.26), содержащая гипергрань
G, имеет вид Hs (где S равно или N2)-
Следовательно, каждая гипергрань содержится в гиперплоско-
сти Hs для некоторого S. С другой стороны, каждое подмножество
S может быть выбрано в качестве Nx в вышеизложенной конструк-
ции, поэтому каждая гиперплоскость Hs содержит гипергрань. □
Найдя гиперграни, мы можем теперь получить следующее опи-
сание всей решетки граней многогранника
§ А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
433
Утверждение А.29. Грани многогранника Р<# размерности к на-
ходятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными
разбиениями множества [п + 1] на п 4-1 — к непустых частей. При
этом грань G лежит в грани F, если разбиение, отвечающее G, яв-
ляется измельчением разбиения, отвечающего F.
Доказательство. Это следует из того, что две гиперграни Fs
и FSi многогранника Р<# пересекаются тогда и только тогда, когда
Sj с S2 или S2 с Sr Чтобы избежать повторений, мы опустим по-
дробности доказательства; ниже мы докажем более общий факт
в виде теоремы А.38. □
Следствие А.ЗО. 1. Многогранник Р<$ является простым.
2. Вершины многогранника Р<# получаются всевозможными пере-
становками координат точки (1, 2,4,..., 2n) eRn“bl.
Многогранник, вершины которого получаются перестановкой
координат заданной точки, называется пермутоэдром (см. при-
меры 0.10, 7.15 и 9.8 в книге). Такие многогранники изучались
в выпуклой геометрии с начала XX века. Более точно, для точки
а = (а1?..., an+i) е Rn+1, координаты которой удовлетворяют нера-
венствам аг<а2<... <ап+1, определим соответствующий пермуто-
эдр как
Pen(a) = convfCa^d),.... аа(п+1)): сг е Уп+1},
где 5^+1 — группа перестановок множества из п 4-1 элемента. В част-
ности, Pc# =Реп(1, 2,..., 2П). Следующее утверждение обобщает тео-
рему А.24 и утверждение А.29 и показывает, что все n-мерные пер-
мутоэдры Pen(a) комбинаторно эквивалентны.
Теорема А.31. 1. Каждая гипергрань пермутоэдра Реп(а) явля-
ется его пересечением с гиперплоскостью
Hs = {* е • S xi~ ai 4- a2 + • • • + а|s|}
ieS
для собственного подмножества S £ [и 4-1].
2. Грани пермутоэдра Реп(а) описываются таким же образом,
как в утверждении А.29.
Доказательство. Это утверждение может быть доказано ими-
тацией рассуждения из доказательства теоремы А.24. Другой ме-
тод заключается в следующем. Каждая грань многогранника Реп (а)
является множеством точек, на котором достигает минимума на
многограннике некоторая линейная функция сх. Обозначим такую
грань Gc. Линейная функция с= (сь..., сп+1) определяет упорядо-
434
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
ченное разбиение [п + 1] =N^ U ... UNb задаваемое множествами
равных координат функции с. А именно, если cs = ct, то элементы
s и t принадлежат одному и тому же подмножеству Nh и в то же
время если cs < ct, то s е N,-и t е Nj для i < j. Можно показать, что
dim Gc = n + l — k.H грань Gc зависит только от упорядоченного раз-
биения, но не зависит от конкретных значений чисел q. В частно-
сти, вершины многогранника Реп(а) отвечают линейным функци-
ям с, у которых все координаты различны, а гиперграни отвечают
линейным функциям с, у которых все координаты равны либо О,
либо 1. Мы оставляем детали доказательства читателю. □
Поэтому обозначим n-мерный комбинаторный пермутоэдр через
Реп. Классический пермутоэдр отвечает точке а = (1, 2,..., п 4-1). Он
также может быть получен как сумма Минковского (А.20) следую-
щим образом (мы оставляем доказательство в качестве упражнения).
Утверждение А.32. Пусть множество всех подмножеств
мощности не больше 2 в [и 4-1]. Тогда
Р^ = Реп(1, 2,...,п4-1).
Многогранник Р^ является суммой Минковского отрезков вида
conv(eb е;) для 1 i < jи 4-1, смещенной на вектор ег 4-... 4-еп+1.
Суммы Минковского отрезков известны как зонотопы; это семей-
ство многогранников имеет множество замечательных свойств, см.
§ 7.3. Однако, вообще говоря, зонотопы редко являются простыми
многогранниками; пермутоэдр — одно из немногих исключений.
А.2.3. Производящие множества и нестоэдры
Вернемся к произвольным суммам Минковского (А.20). Следу-
ющее утверждение дает описание многогранника P# при помощи
неравенств и является обобщением первой части теоремы А.24.
Утверждение А.ЗЗ ([596, Proposition 3.12]). Многогранник P#
может быть описан как пересечение гиперплоскости
Н? = € Rn+1: £ Xi = ин}
с полупространствами
НТ^ = {x€Rn+1:
1 iGT J
отвечающими всем собственным подмножествам Т £ [и 4-1].
§А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
435
Доказательство. Так как многогранник P# — слагаемое по Мин-
ковскому в пермутоэдре Р^, его можно задать неравенствами вида
Ьт для некоторых параметров Ьт. Минимальное значение
ieT
линейной функции xt на симплексе As равно единице, если S с Т
ieT
и нулю, иначе. Поэтому Ьт = |^|т|, что и требовалось доказать. □
Оказывается, многогранник Р& может быть получен последова-
тельной срезкой n-мерного симплекса
Н^п{хеКп+1:х, 1, i = l,...,п + 1}
полупространствами Нт^, соответствующими подмножествам Т
мощности \Т\ 2. В случае пермутоэдра каждая из срезок нетриви-
альна, т. е. соответствующая гиперплоскость неизбыточна. В общем
случае описание многогранника P# в утверждении А.ЗЗ содержит
избыточные неравенства. Понятие производящего множества поз-
волит нам получить неизбыточные описания многогранников P#
для определенного класса наборов & и, как следствие, описать
их решетки граней. При этом многогранники Р$ будут простыми;
более того, они будут получаться из симплекса последовательными
срезками граней.
Определение А.34. Набор непустых подмножеств в [п +1]
называется производящим множеством на [n +1], если выполнены
следующие условия:
а) если S', S" е Я и S' П S" / 0, то S' и S" е Я;
б) {i} G & ддя всех i е [и +1].
Замечание А.35. Терминология происходит из более общего
понятия производящего множества в конечной решетке, так что
введенное выше производящее множество соответствует случаю
булевой решетки 2[п+1]. Мы не будем давать общего определения,
так как для этого потребуется использовать слишком много поня-
тий из теории частично упорядоченных множеств. Подробности
см. в работе [596, § 3].
Отметим, что производящее множество 38 на [и +1] является
связным тогда и только тогда, когда [и +1] G Для элемента S £
£ [и +1] определим сжатие производящего множества & вдоль S
как
38/S = {T\S:T е 38, T\S/0} =
= {S' c[n + l]\S:S' или S'uSe38}.
436
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Ограничение 39 |s и сжатие 9&/S являются производящими множе-
ствами на S и [п +1] \ S соответственно. При этом левое равенство
задает кратности элементов в 9^ IS. Отметим, что производящее
множество 9l\s связно тогда и только тогда, когда Sе <%. Если про-
изводящее множество 9& связно, то ^/S также связно для любого S.
Теперь рассмотрим многогранники Р& (А.20), отвечающие про-
изводящим множествам Я. Следующее уточнение утверждения А.ЗЗ
дает неизбыточное описание многогранника Р% в виде пересечения
полупространств.
Утверждение А.36 ([596, 606]). Справедливо равенство
Р& = jx е Rn+1: х(= |^|, Цх,|39|s| для любого S е 9b к
i=l ieS '
Если производящее множество 9Ь связно, то это представление
неизбыточно, т. е. каждая гиперплоскость
Hs = {xer+1: Sxi = l^ls|}
при S / [и +1] определяет гипергрань Fs многогранника Р& (таким
образом, число его гиперграней равно \<Я\ -1).
Доказательство. Полупространство НТ в представлении мно-
гогранника Р& из утверждения А.ЗЗ неизбыточно, если P# пересе-
кает соответствующую гиперплоскость Нт по гиперграни. Это пере-
сечение является гранью многогранника P# и имеет вид
^|г
где элементы в &/Т считаются с кратностями (так как многогран-
ники Р#\т и Pg/т лежат в дополнительных подпространствах, их
сумма Минковского в действительности является прямым произ-
ведением). Согласно утверждению А.21 для того, чтобы эта грань
имела коразмерность один, необходимо, чтобы набор ^|г был свя-
зен. Это условие эквивалентно тому, что Т G 9&. Если производящее
множество связно, то это условие также является достаточным,
так как в этом случае производящее множество ^/Т также связно,
и dim(P#|r + P&/T) = п - 1 из утверждения А.21. □
Следствие А.37. Если 91 — связное производящее множество на
[и + 1], то гиперграни многогранника Р& комбинаторно описыва-
ются как многогранники вида
?#\s Х ^/S
§А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
437
для всевозможных S G \ [и 4-1]. Если элементы в &/S считать с
кратностями, то данное описание гиперграней является геометри-
ческим.
Теорема А.38. Пересечение гиперграней Fsn... n FSk непусто (и,
следовательно, является гранью многогранника Р^) тогда и только
тогда, когда выполнены следующие два условия:
а) для любых i, j, 1 i < j' $ к, либо St c Sj, либо Sj c Si9 либо
SinS;=0;
б) если множества попарно не пересекаются, то U...
Доказательство. Пусть FS1П... П FSk / 0.
Если условие а) не выполнено, то и G $ и для любого
х g Fs n Fs мы имеем
E^ = |^ls,|> Е^ = К1’ Е Xk |М,и5 |.
kGS, keSj keSiUSj
Складывая первое и второе равенство и вычитая неравенство, по-
лучаем
Е xfc$|^|Si| + |^|s.|-|^|SjUS.|<
keSiCiSj
< l^lsj + |^|SJ-|^|S(U^|SJ = |^|S(nsJ,
где второе неравенство строгое, так как ^|s. и #|s £ ^|s,us_. Но
неравенство xk < I & |s.ns. I противоречит утверждению А.ЗЗ.
kGSfnSj ' 1
Если условие б) не выполнено, то Siy U... U Sip е & и для каждого
xgFc n...nFc мы имеем
Exk = |^lsJ Для 1 q р и Е хк |^ls, u...uSiJ-
kGS^ kGSflU...USlp
Вычитая p равенств из неравенства, получаем
|^|Sli| + ... + |^|Sfp| |^lsI1u...uslp |-
Это приводит к противоречию, так как U... U Sip g &.
Теперь предположим, что оба условия а) и б) выполнены. Нам
нужно показать, что FS1 п... П FSk / 0.
Запишем х= хт и заметим, что неравенство |^ls|>
Tg# igS
определяющее гипергрань Fs, обращается в равенство тогда и толь-
ко тогда, когда хТ = 0 для каждого Те^, T/Sh/gS (это следует
438
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
из соотношений (А.25)). Следовательно,
х= 2 хт е FSin...nFs «
ТеЯ
<=> х[ = 0, если Т е Т Sj, i G S; для 1 j k. (A.39)
Таким образом, нам нужно найти такие точки х, у которых коор-
динаты удовлетворяют к условиям в правой части формулы (А.39).
Пусть Тогда j-e условие неизбыточно, только если Т £ Sj
nTr\Sj^0. Без ограничения общности предположим, что неизбы-
точны в точности первые к' условий в (А.39), т. е. Т / S} и Т П S; / 0
для 1 j< к', но Т с Sj или Т П S; = 0 для j > к'. Мы утверждаем, что
Т\ (Sj U... USfc/) /0. Действительно, в противном случае, выбирая
среди подмножеств множеств Sb ...,Sfc/ максимальные по включе-
нию подмножества Sfl, ..., Sip (которые попарно не пересекаются по
условию а)), мы получаем U ... U Sip = Т и Sh и ... и Sip G что
противоречит условию б). Теперь, полагая хТ = 1 ровно для одного
индекса i G Т \ (5г и ... и Sk/) и хТ = 0 для оставшихся, мы получаем
требуемую точку х в пересечении FsП... n FSk. □
Определение АЛО. Поднабор {S1? ...,Sfc}c <Я, удовлетворяю-
щий условиям теоремы А.38, называется гнездовым множеством.
Следуя работе [607], мы будем называть многогранники P# (А.20),
соответствующие производящим множествам нестоэдрами (от
«nest» — гнездо (англ.)).
Из описания решетки граней нестоэдров в теореме А.38 легко
вывести их следующее основное свойство.
Теорема А.41. Каждый нестоэдр Р& является простым много-
гранником.
Доказательство. Согласно утверждению А.21 мы можем пред-
положить, что производящее множество связно. Набор Sb ..., Sk
может удовлетворять обоим условиям теоремы А.38, только если
к^п. □
ПримерА.42. Если ^—связное производящее множество на
2-элементном множестве, то P# — отрезок I1. Если 38 — связное про-
изводящее множество на 3-элементном множестве, то Р& — много-
угольник, причем таким образом возникают только т -угольники
с 3 т 6.
Другие примеры нестоэдров появятся в следующих пунктах.
Далее нам потребуется следующая конструкция.
§ А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
439
Конструкция А.43 (срезки гиперплоскостями и срезки граней).
Пусть даны простой многогранник Р = Р(А, z) и гиперплоскость
Н = {х е Rn: ах = z}, не проходящая через вершины многогранни-
ка Р. Тогда пересечения РГ\Н_ и Р п Н+ многогранника Р с любым
из замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью Н,
являются простыми многогранниками. Мы будем называть их срез-
ками многогранника Р гиперплоскостями. Чтобы увидеть, что мно-
гогранники РПН_ и Р П Н+ являются простыми, заметим, что их
новые вершины являются трансверсальными пересечениями гипер-
плоскости Н с ребрами многогранника Р. Так как многогранник
Р простой, каждое их этих ребер содержится в и - 1 гипергранях,
поэтому каждая новая вершина многогранника Р П Н_ или Р п Н+
содержится ровно в п гипергранях.
Если гиперплоскость Н отделяет все вершины некоторой /-мер-
ной грани G с Р от всех остальных вершин многогранника Р и G с
с Н+, то многогранник Р п Н+ комбинаторно эквивалентен G х Дп~1
(упражнение А.2.6). В этом случае мы будем говорить, что много-
гранник РПН_ получается из многогранника Р срезкой грани.
В частности, если G — вершина, то в результате получается срез-
ка вершины многогранника Р (при этом новая грань является вер-
шинной фигурой многогранника, см. § 2.1). Если выбор срезаемой
вершины ясен из контекста или результат от него не зависит, мы
будем использовать обозначение vt(P). Мы также будем обозначать
через vt^P) многогранник, который получается из Р последователь-
ностью к срезок вершин.
Решетку граней простого многогранника Р, получаемого из Р
срезкой грани G с Р, можно описать следующим образом. Пусть
F13..., Fm — гиперграни многогранника Р, причем G = П ... П Flfc.
Многогранник Р имеет т гиперграней, соответствующих F13..., Fm
(получаемых из них срезкой), которые для простоты мы будем обо-
значать теми же буквами, и новую гипергрань F = PnH. Получаем
Fhn...nFj( / 0вР <=> F;in...nF;£ /0вРиРЛП...ПРЛ / G,
FnFAn...nF;> / 0вР <=> GnFAn...nF;£ / 0 вР иРЛП...ПРЛ / G.
Заметим, что условие F;i П ... n Fj / G эквивалентно тому, что
<й>
Предложение А.36 дает специальный способ получить нестоэдр
Р& из симплекса последовательностью срезок гиперплоскостями.
440
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Следующий результат показывает, что эти срезки могут быть упо-
рядочены таким образом, что на каждом шаге происходит срезка
грани.
Пусть с — производящие множества на [п +1], и S G
Определим разложение элемента S по элементам из как S =
= Si U... u Sk, где Sj — попарно непересекающиеся элементы произ-
водящего множества и к — минимальное число элементов среди
всех таких разложений. Легко видеть, что определенное таким об-
разом разложение существует и единственно.
Лемма А.44. Пусть с — связные производящие множе-
ства на [и +1]. Тогда нестоэдр получается из нестоэдра Р#о
последовательностью срезок граней Gt = Q FSi, соответствующих
j=i j
разложениям Sl = S\ U... элементов Sl G $4 \ d8Q, занумерован-
ных в любом порядке, обратном включению (т. е. S12 S1 => i F).
Доказательство. Будем использовать индукцию по числу N =
= | | - | ^0|. Для N = 1 имеем U {S1}. Покажем, что много-
гранник Р^ получается из P#Q одной срезкой грани G = Fsi П... П Fsi,
где S1 =S| U... USj — разложение элемента S1 по элементам из ^0.
Обозначим через Р#о многогранник, который получается из Р#о
срезкой грани G. Так как оба многогранника Р#о и Р^ имеют раз-
мерность п (здесь мы пользуемся тем, что производящие множества
и связны), достаточно проверить, что решетка граней L(P^)
* является подрешеткой в L(P^o) (см. упражнение А.2.А.2.0).
Гиперграни многогранника Р^ имеют вид Fsi либо FSj, где
Sj G ^0. Сначала рассмотрим его грань вида FS1 П ... П FS(, т. е.
гнездовое множество {S15 ...,5Д в где все G ^10. Очевид-
но, что этот набор является гнездовым множеством и в <$0, т. е.
FS1 П... nFSe /0 в Р#о. Так как Sj U... uSj = S1 G имеем
{S|,S^} / {S1;Sf},
т. e. F$ П ... П FSt <£. G в P^o. Согласно конструкции A.43 из этого
следует, что FS1 n... П FSt — грань многогранника Р#о.
Теперь рассмотрим грань многогранника Р^] вида Fsi nFSi n ...
... nFSe, т. e. гнездовое множество {S1, Sj, ...,S£> в где S; G <^0
и {S1} = \ ^0. Мы утверждаем, что {S|,..., ..., 5Д —гнез-
довое множество в т. е. G П FSi П... П FS( / 0 в Р#о. Для доказа-
тельства воспользуемся теоремой А.38.
§А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
441
Условие а) достаточно проверить для пар множеств Sj,Sq: ес-
ли Sp П Sq / 0, то одно из этих множеств лежит в другом. Пусть
S1 О Sq / 0. Тогда S1 П Sq / 0. Так как {S1, S1;—гнездовое
множество в имеем S1 с S1 с Sq или Sq с S1. В силу минималь-
ности разложения S1 = Sj и... uS^ из включения Sq cS1 следует, что
SqcSj.
Пусть теперь условие б) не выполнено. Тогда
S' U...US,1 I Is, U...US,- € ^0.
h ip I_I Л Jq и
Обозначим этот элемент через S. Так как разложение элемента S1
минимально и {S1, S15..., S/} — гнездовое множество в имеем
р > 0, q > 0 и для каждого г либо S1 П Sj = 0, либо Sy с S1. Если
Sjr с S1 для всех г, то S с S1, поэтому S с S* для некоторого s, что
невозможно, так как q > 0. Если же Sj,Sj с S1 и Sjr n S1 = 0
для r = s +1,q, s < q, to S1 US;-s+i U ... USJq = S1uSe так как
S1 П S / 0. Противоречие.
Таким образом, {Sj,..., S^, S15..., S£} —гнездовое множество в
^0. Аналогично первому случаю имеем Fs n...nFs,/G в£(РЯо).
Тогда Fsi П FS1 П ... П FS( — грань многогранника Р^о согласно кон-
струкции А.43.
Итак, решетка граней L(P# ) действительно содержится в каче-
стве подрешетки в Т(Р^0), поэтому Р^ = Р^о.
Остается завершить индукционный переход. В предположении,
что теорема верна для М < N докажем ее для M = N. Так как S1 не
содержится ни в каком другом S1, набор множеств = d^UlS1}
является производящим множеством. По предположению индукции
многогранник Р^ получается из Р#о срезкой грани, соответству-
ющей разложению элемента S1, и многогранник P# получается
из Рд^ последовательностью срезок, отвечающих разложениям под-
множеств S1 для i = 2, □
Замечание А.45. Приведенное доказательство устанавливает
только комбинаторную эквивалентность многогранников Р^ и Р#о.
Замечание А.46. Порядок нумерации множеств {S1, ...,SN} =
= \ обратен к включению тогда и только тогда, когда S1 —
максимальный по включению элемент среди {Sl, ...,SN}. Это да-
ет способ построения таких нумераций. Кроме того, в этом слу-
чае каждый из наборов 38* = US1... US1 является производящим
442
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
множеством. Действительно, пусть набор не является произво-
дящим множеством. Тогда найдутся такие элементы S', S" G , что
S' n S" / 0 и S' U S" G \ = {Sl+1,..., SN}. Тогда хотя бы один из
элементов S' и S", скажем S', принадлежит 390 = {S1, ...,S1}.
Пусть S' = Sk и S' U S" = Sl. Тогда Sk c Sl, но к < l. Противоречие.
Теорема A.47. Каждый нестоэдр Р&, отвечающий связному про-
изводящему множеству 38, получается из симплекса последователь-
ностью срезок граней.
Доказательство. Пусть 38 — связное производящее множество
на [и +1]. Тогда У где У’ — связное производящее множество
из примера А.23, нестоэдр которого является n-симплексом. Теперь
доказательство следует из леммы А.44. □
Следующая конструкция позволит нам доказать, что с точно-
стью до комбинаторной эквивалентности каждый нестоэдр может
быть получен из связного производящего множества.
Конструкция А.48 (подстановка производящих множеств).
Пусть 3819..., 3£п+1 —связные производящие множества на [kJ,...
..., [кп+1]. Для любого связного производящего множества 38 на
[п4-1 ] определим связное производящее множество & (^,..., ^In+J
на
[kJU...U[kn+J = [ki +... + kn+J,
состоящее из элементов S1 е 38tи | | [kJ, где S G 38.
ieS
В случае, когда 381}..., 38 п — одноэлементные производящие мно-
жества {1},..., {и}, мы будем писать 38(1,2, ...,п, 38п+1) вместо
<Я({1}, {2},{п}, 38п+г).
Лемма А.49. Пусть 38, 38,, 38п+1 —связные производящие
множества на [п + 1], [kJ,..., [kn+1] соответственно и
38' — 38(<..., 38п+1).
Тогда
Р&' — Х ••• Х Рял+1
Доказательство. Рассмотрим производящее множество
38" = 38u381U...\_138n+1
и отображение : 38"—>38', задаваемое следующим образом:
<Х$) =
S, если S е 38[;
U [kJ, если5е^1.
§ А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
443
Тогда ip устанавливает биекцию между наборами
^"\Сах И ^\[fcl + ... + fcn+1],
где ^"ах —набор {[п + 1], [kJ,[кп+1]} максимальных по включе-
нию элементов в 98". Рассмотрим наборы множеств Sf с 98 \ [n +1]
п+1
и <^с^\ [kJ. Отметим, что (^(5^) U |J (5£) — гнездовое множе-
i=i
ство в тогда и только тогда, когда 5^ —гнездовое множество
в и 5^ - гнездовые множества в для каждого i. Следовательно,
^3' —Х Х^Яп+1’ □
Пример А.50. Пусть каждое из производящих множеств 3^,
$2 имеет вид {{1}, {2}, {1, 2}}, что отвечает отрезку 1. Опишем
производящее множество ^2)- в производящем множестве
{{а}, {Ъ}, {а, Ь}} вместо а и b нужно подставить соответственно
= {{1}, {2}, {1, 2}} и = U3}, {4}, {3,4}}. В результате полу-
чим связное производящее множество й8', состоящее из элементов
{1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {3,4}, {1,2, 3,4}.
Соответствующий нестоэдр получается срезкой двух противополож-
ных ребер из тетраэдра. Он комбинаторно эквивалентен трехмер-
ному кубу.
Соответствие ip между гипергранями комбинаторных кубов P# х
х х и имеет вид
{1} G — {1} G <£',
{2} G — {2} G
{3} G &2 {3} G
{a} G — {1, 2} G
{4} G — {4} G <£',
{b}G^2^{3,4}G^'.
Пример А.51. Пусть = {{1},..., {п 4-1}, [и 4-1]} — производя-
щее множество, отвечающее симплексу Дп, и <%19..., ^п+1 — произ-
вольные связные производящие множества на [kJ,..., [kn+J. Тогда
..., ^п+1) = U... U ^n_|_J U [кг 4-... 4-kn+J
иРг^ДлхРа|Х...хРЯ+1.
Утверждение А.52. Для любого нестоэдра Р& существует та-
кое связное производящее множество что Р& — Р&'-
Доказательство. Каждое производящее множество может
быть представлено как U ... U &к, где ^ — связные производя-
щие множества на [kf 4-1]. Определим производящее множество
444
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
(1,..., к1з ^2) U ^3 U... U &к) отвечающее тому же комбина-
торному многограннику. Тогда — произведение (несвязное объ-
единение) к - 1 связного производящего множества. Снова приме-
ним конструкцию подстановки к и т. д. В конце концов мы полу-
чим связное производящее множество □
А.2.4. Граф-ассоциэдры
Определение А.53. Пусть Г — граф на множестве вершин [п+1]
без петель и кратных ребер (такие графы называются простыми).
Графическое производящее множество состоит из всех таких
непустых подмножеств S с [п 4- 1], что граф T|s является связным.
Нестоэдр Рг = Pggr, отвечающий графическому производящему мно-
жеству, называется граф-ассоциэдром [589].
Пример А.54 (ассоциэдр). Пусть Г — «путь» из п ребер {/, /4-1},
где 1 i и. Тогда производящее множество состоит из всех
«отрезков» вида
[/,;] = {/,/4-1,где 1 i j и4-1.
Для описания решетки граней соответствующего многогранника
Рг удобно использовать расстановки скобок в выражении из п 4- 2
символов aiO-2---an+2- Сопоставим отрезку [i, j] пару скобок: перед
и после а;+1. Пользуясь теоремой А.38, легко показать, что ги-
перграни, отвечающие п различным отрезкам, пересекаются в вер-
шине тогда и только тогда, когда соответствующая расстановка п
пар скобок в выражении -ап+2 корректна. В частности, вер-
шины граф-ассоциэдра отвечают всевозможным способам по-
лучить произведение а1а2...ап+2, если умножение неассоциативно.
Следовательно, число вершин равно (и 4- 1)-му числу Каталана
~~^2 ( п 4-1 J * Две веРшины соединены ребром тогда и только то-
гда, когда одна из соответствующих расстановок скобок получается
из другой удалением одной пары скобок и добавлением однозначно
определенной другой пары скобок вместо нее, т.е. вершины со-
единены ребром тогда и только тогда, когда эти вершины соответ-
ствуют однократному применению правила ассоциативности. Это
объясняет, почему многогранник из этого примера называется
ассоциэдром. Мы будем обозначать его Asn (в основном тексте ассо-
циэдр обозначается Кп).
Предложение А.36 описывает ассоциэдр как результат последова-
тельных срезок гиперплоскостями симплекса (на рис. А.З изображен
§А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
445
Рис. А.З. Трехмерный ассоциэдр и соответствующий граф
случай п = 3). Следующая теорема показывает, как его можно пред-
ставить в виде пересечения аффинного куба с полупространствами.
Теорема А.55. При подходящем выборе аффиной системы коор-
динат в гиперплоскости HAsn ассоциэдр Asn является пересечением
параллелепипеда
{у G К": 0 у} =$ j(n +1 - j) для 1 $ j $ п}
с полупространствами
{у G tf1: у; - ук + (; - k)k 0} для 1 $ к < j и.
Доказательство. Предложение А.36 дает следующее представ-
ление ассоциэдра:
1 k=l 2
>. хк ft------z-------- для ls=is=js=n + lk (А.56)
k=i 2 J
Введем в гиперплоскости
Н — Ire lRn+1 • "у y — (n + 1)(n + 2)
^Asn 1X с IK . Хк
V k=l Z
I
координаты Z = 1,..., п, и перепишем неравенства (А.56)
к-1
в новых координатах. Неравенства, содержащие i = 1 (отвечающие
таким гиперграням Fs, что 1 eS), принимают вид
zj ДЛЯ 1 j п. (А.57)
446
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Неравенства (А.56), содержащие j = n + 1 (отвечающие таким ги-
перграням Fs, что п +1G S), принимают вид
(п-Ы)(п + 2) _ (n + 2-i)(n + 3-i)
-----2---------------------2--------
для 2 i п + 1,
или, что эквивалентно
Zj (и + 2); - для 1 j и.
(А.58)
Оставшиеся неравенства (А.56) принимают вид
(А.59)
Теперь требуемое представление получается из неравенств (А.57),
(А.58) и (А.59), если применить сдвиг у, и положить
k = i-l. □
Пример А.60. Случай и = 3 теоремы А.55 изображен на рис. А.4
справа. Этот многогранник получен срезкой трехмерного куба (точ-
нее, параллелепипеда), задаваемого неравенствами
О^у^З,
О у2 4,
О Уз 3,
тремя гиперплоскостями
У2-У1 + 1 = 0, Уз~У1 + 2 = 0, У3-У2 + 2 = О.
Другой способ получить трехмерный комбинаторный ассоциэдр из
куба показан на рис. А.4 слева; на этот раз мы срезаем три несмеж-
ных попарно ортогональных ребра. Два ассоциэдра на рис. А.4 аф-
финно не эквивалентны.
Рис. А.4. Трехмерный ассоциэдр, полученный срезкой куба
§ А.2. Нестоэдры и граф-ассоциэдры
447
Рис. А.5. Трехмерный пермутоэдр и соответствующий граф
Ассоциэдр Asn впервые появился (как комбинаторный объект)
в работе Сташефа [522] как пространство параметров высшей ас-
социативности (и 4- 2)-кратного отображения умножения Н-про-
странства. Более подробно читатель может познакомиться с ас-
социэдрами в работах [599] и [588, Lee. II], где описаны другие
геометрические и комбинаторные реализации многогранников Asn.
Пример А.61 (пермутоэдр). Пусть Г — полный граф. Тогда —
полное производящее множество и Рг — пермутоэдр Реп, случай
п = 3 см. на. рис. А.5.
Пример А.62 (циклоэдр). Пусть Г — «цикл», состоящий из п +1
ребра: {i, i 4- 1} для 1 i п и {п 4-1,1}. Соответствующий много-
Рис. А.6. Трехмерный циклоэдр и соответствующий граф
448
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Рис. А.7. Трехмерный стеллоэдр и соответствующий граф
гранник Рг известен под названием циклоэдра Суп или многогран-
ника Ботта—Таубса, см. рис. А.6. Он был впервые введен в рабо-
те [587] в связи с исследованием инвариантов зацеплений.
Пример А.63 (стеллоэдр). Пусть Г —«звезда», состоящая из п
ребер {/, п +1}, 1 i п, выходящих из вершины п + 1. Соответ-
ствующий многогранник РГ известен как стеллоэдр Stn, см. рис. А.7.
Задачи и упражнения
А.2.0. Докажите, что если Р и Q — п-многогранники и решетка
граней L(P) является подрешеткой в L(Q), то Р и Q комбинаторно
эквивалентны.
А.2.1. Каждый набор & подмножеств в [п + 1] может быть един-
ственным образом дополнен до производящего множества последо-
вательным добавлением к & объединений Sj U S2 пересекающих-
ся множеств (Si П S2 / 0), до тех пор пока это возможно. Обозна-
чим получившееся в результате производящее множество через
Докажите, что производящее множество & связно тогда и толь-
ко тогда, когда набор & связен, и что dimP^ = dimP^ (подсказка:
для пары пересекающихся множеств Sb S2 сравните многогранники
As + AS2 и As + AS2 + ASiUS2). Пользуясь этим фактом, завершите
доказательство утверждения А.21.
А.2.2. Завершите доказательство утверждения А.29.
А.2.3. Дополните недостающие детали в доказательстве теоре-
мы А.31.
А.2.4. Докажите утверждение А.32.
§ А.З. Флаговые многогранники и усеченные кубы
449
А.2.5. Докажите, что любая срезка симплекса Дп гиперплос-
костью комбинаторно эквивалентна прямому произведению двух
симплексов. Как следствие покажите, что любой простой п-много-
гранник с и + 2 гипергранями комбинаторно эквивалентен прямо-
му произведению двух симплексов.
А.2.6. Пусть Р — простой многогранник. Докажите, что если ги-
перплоскость Н отделяет все вершины некоторой i-грани G с Р от
остальных вершин многогранника Р и G с Н+, то Р ПН+ ~ G х Дп“1.
А.2.7. Сколько комбинаторно различных многогранников могут
быть получены как vt3(An)?
А.2.8. Для производящих множеств с покажите, что раз-
ложение S = Sx U... U Sk элемента S G по элементам St- G $0 с ми-
нимальным к существует и единственно.
А.2.9. Комбинаторный многогранник, получающийся из сим-
плекса последовательностью срезок граней, называется усеченным
симплексом. Отметим, что любой усеченный симплекс является
простым многогранником. По теореме А.47 любой нестоэдр, отве-
чающий связному производящему множеству, является усеченным
симплексом. Приведите пример
а) простого многогранника, не являющегося усеченным сим-
плексом;
б) усеченного симплекса, не являющегося нестоэдром;
в) суммы Минковского P# симплексов вида (А.20), не являю-
щейся усеченным симплексом.
А.2.10. Рассмотрим следующее связное производящее множество:
Я = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2,3}, {2,3,4}, [4]}.
Покажите, что нестоэдр P# комбинаторно эквивалентен многогран-
нику, изображенному на рис. А.1 справа.
§ А.З. Флаговые многогранники и усеченные кубы
Определение А.64. Простой многогранник Р называется фла-
говым, если любой его набор попарно пересекающихся гиперграней
имеет непустое пересечение.
Флаговые многогранники и симплициальные комплексы игра-
ют главную роль в известной гипотезе Черни—Дэвиса [590] и ее
обобщении, предложенном Галом [598]. Согласно гипотезе Гала
компоненты у-вектора флагового многогранника неотрицательны.
450
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Гипотеза Гала стала широко известной из-за ее связи не только
с комбинаторикой многогранников и триангуляций сфер, но также
с задачами дифференциальной геометрии и топологии многообра-
зий. Она была доказана в некоторых частных случаях.
Хотя не все нестоэдры являются флаговыми многогранниками
(симплекс является простейшим контрпримером), флаговые мно-
гогранники образуют важное семейство. В частности, все граф-
ассоциэдры (и, следовательно, классические серии ассоциэдров и
пермутоэдров) являются флаговыми многогранниками, см. утвер-
ждение А.69.
Как было показано в теореме А.55, ассоциэдр может быть полу-
чен последовательностью срезок гиперплоскостями из куба. В этом
параграфе мы докажем более общий и точный результат: нестоэдр
является флаговым многогранником тогда и только тогда, когда он
может быть получен из комбинаторного куба последовательностью
срезок граней коразмерности два (мы называем такие многогран-
ники 2-усеченными кубами), см. теорему А.79. Этот результат был
впервые доказан В. Д. Володиным [618], см. также подробное дока-
зательство в работе В. М. Бухштабера и В. Д. Володина [614]. С дру-
гой стороны, легко видеть, что гипотеза Гала верна для всех 2-усе-
ченных кубов (см. утверждение А.75). Это наблюдение (сформу-
лированное в терминах полярной операции звездного подразбие-
ния ребра) присутствует в работах Черни—Дэвиса и позднее Гала.
Как следствие мы получаем, что гипотеза Гала верна для всех фла-
говых нестоэдров.
Пример А.65. 1. Куб 1п является флаговым многогранником,
а симплекс Дп не является флаговым при и > 1.
2. Прямое произведение Р х Q флаговых многогранников снова
является флаговым многогранником.
Многогранник Р, не содержащий среди двумерных граней тре-
угольников, называется многогранником без треугольников.
Утверждение А.66. Флаговый многогранник является много-
гранником без треугольников.
Доказательство. Предположим, что n-многогранник Р содержит
в качестве двумерной грани треугольник Т с вершинами v19v29v3
и ребрами е19е2, е3, причем вершина ц противоположна ребру et.
Так как многогранник Р простой, каждое ребро е{ является пере-
сечением и - 1 гиперграни. Следовательно, для каждого i = 1, 2,3
существует единственная гипергрань, скажем Fi9 которая содержит
§ А.З. Флаговые многогранники и усеченные кубы
451
ребро е15 но не содержит весь треугольник Г. Кроме того, Т явля-
ется пересечением п - 2 гиперграней, причем можно считать, что
п+1
Т = р| Ft. Теперь заметим, что
i=4 п+1
Pl = Vj для j = 1,2, 3.
i=l, i/j
Из этого следует, что пересечение любых двух гиперграней из набо-
п+1
pa F1?..., Fn+1 непусто. С другой стороны, Q Ft = 0, так как много-
i=i
гранник Р простой и имеет размерность п. Таким образом, много-
гранник Р не может быть флаговым. □
Утверждение, обратное к утверждению А.66, вообще говоря,
неверно (см. упражнения), однако оно верно для многогранников
с малым числом гиперграней. Доказательство следующей теоремы
можно найти в [586].
Теорема А.67 ([586]). Пусть Р —выпуклый п-многогранник без
треугольников. Тогда ЩР) fiUn) для i = 0, ...,п. В частности, мно-
гогранник Р имеет по крайней мере 2п гиперграней. Более того, для
простого многогранника Р выполняются следующие утверждения:
а) если fn-i(P) =2п, то Р = 1п;
б) если fn_T (Р) = 2п 4-1, то Р = Р5 х Г~2, где Р5 — пятиугольник;
в) если fn-^tP) = 2п + 2, то Р = Рвх 1п~2, или Р — Q х 1п~3, или
Р = Р5 х Р5 х 1п~4, где Р6 — шестиугольник, a Q — трехмерный много-
гранник, получающийся из пятиугольной призмы срезкой одного из
ребер оснований.
Следствие А.68. Простой п-многогранник без треугольников с
не более чем 2п + 2 гипергранями является флаговым.
Другой источник примеров флаговых многогранников дают граф-
ассоциэдры (см. определение А.53).
Утверждение А.69. Каждый граф-ассоциэдр РГ является флаго-
вым многогранником.
Доказательство. Пусть FS},..., FSk — набор попарно пересекаю-
щихся гиперграней многогранника Рг. Нам нужно проверить, что
FSin...DFSt / 0,
т. е. выполнено условие б) теоремы А.38 (условие а) выполнено ав-
томатически, так как оно определяется попарными пересечения-
ми). Пусть Sip..., Sip —поднабор попарно непересекающихся под-
множеств из набора Sb ..., Sk. Тогда Sir U Sis для 1 r < s p, так
452
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
как FSir ^FSis Следовательно, все подграфы r|sirusfj не являются
связными, откуда следует, что подграф r|S u uS также не является
связным. Таким образом, Sfi U ... U Sip ф и FS1 П ... П FSk / 0 по
теореме А.38. □
В основной гипотезе о числах граней флаговых многогранников
используется понятие у-вектора у(Р) = (у0,..., у[п/2]) (см. определе-
ние А.16).
Гипотеза А.70 (Гал [598]). Пусть Р—флаговый п-многогран-
ник. Тогда yf(P) ^0 для i =
Мы докажем гипотезу Гала для всех флаговых нестоэдров. Для
этого мы покажем, что любой флаговый нестоэдр получается из ку-
ба последовательной срезкой граней коразмерности два.
Нашей первой задачей будет описать изменение у-вектора при
срезке грани. Для этого удобно использовать Н-многочлен (см. фор-
мулы (А.2)) и у-многочлен
Г(Р)(т) = Го + Г1Т + ... + г[п/2]Т[п/21.
Утверждение А.71. Пусть многогранник Q получается из про-
стого п-многогранника Р срезкой k-мерной грани G. Тогда
a) H(Q) =H(P)(s, t)+stH(G)H(An~k~2'),
6) r(Q) = r(P) + тГ(G)r(An-fc-2).
Доказательство. При срезке исчезает грань G и появляется
грань G х поэтому
Z(Q) = /iСР) CG х -Л(О для 0 i п.
Следовательно, F(Q) =F(P) + tF(G)F(An-fc_1) - tn~kF(G) и
H(Q) = н(Р) + tH(G)H(An“fc-1) - tn~kH(G) =
zn-k-1 x
= 7f(P)+ t/f(G) I £ =
V i=0 J
sn-k-2 x
— H (P) + stH (G) I S sjtn~k~2-]) =
v j=0 J
= H(P) +stH(G)H(An“fc“2),
что доказывает часть а). Далее, у-многочлен характеризуется тем,
что его степень не превосходит и Н(Рп) = (s + Г)пу(т), т = •
(5 +1)
§ А.З. Флаговые многогранники и усеченные кубы
453
Имеем
(s + t)nr(Q)(V) = H(Q) = H(P)+stH(G)H^n~k~2) =
= (s + t)ny(P)^T^+st(s + t)fc(s + t)n-,:_2y(G)^T^y(An_/c_2)^T^ =
= (s + t)n (у (P) (т) + ту (G) (т) у (An-fc-2) (t) ), т = ^^2
что и доказывает часть б). □
Определение А.72. Будем называть срезку грани коразмерно-
сти два просто 2-срезкой. Комбинаторный многогранник, получаю-
щийся из куба 2-срезками, будем называть 2-усеченным кубом.
Приведенное ниже следствие полярно к результату из рабо-
ты [598].
Следствие А.73. Пусть многогранник Q получается из просто-
го многогранника Р при помощи 2-срезки грани G. Тогда
a) H(Q)=H(P)+stH(G\
б) r(Q) = r(P) + Ty(G).
Утверждение А.74. Каждая грань 2-усеченного куба является
2-усеченным кубом.
Доказательство. Достаточно показать, что все гиперграни 2-усе-
ченного куба Р также являются 2-усеченными кубами. Докажем это
индукцией по числу срезанных граней. Пусть многогранник Q по-
лучается из 2-усеченного куба Р при помощи срезки грани G ко-
размерности 2. Тогда новая гипергрань имеет вид G х I и является
2-усеченным кубом по предположению индукции (так как если мно-
гогранник Р2 получается из Рг при помощи 2-срезки грани F, то мно-
гогранник Р2 х I получается из Рг х I при помощи 2-срезки грани
F х Z). Любая другая гипергрань Г' многогранника Q либо комбина-
торно эквивалентна гиперграни многогранника Р, либо получается
из некоторой гиперграни F" многогранника Р при помощи 2-срезки
грани G' с G. □
Утверждение А.75. Для каждого 2-усеченного куба Р выполнено
условие
> о,
т. е. гипотеза Гала верна для 2-усеченных кубов.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по раз-
мерности многогранника Р на основе утверждения А.74 и формулы
r(Q) = r(P) + Ty(G). □
454
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Приведем критерий того, что нестоэдр является флаговым мно-
гогранником.
Утверждение А.76 ([614], [607]). Пусть & —связное произво-
дящее множество на [п + 1]. Нестоэдр Р& является флаговым мно-
гогранником тогда и только тогда, когда для каждого элемента
S е & мощности |S| > 1 существуют такие элементы S'9 S" е <%,
что S'US" = S.
Доказательство. Пусть многогранник Рв является флаговым.
Рассмотрим элемент S еВ. Его можно представить в виде S = Sj U...
... U Sk9 где S1? ...,Sk е <% \ {S} и к минимально для всех таких
разложений. Тогда для любого такого подмножества J с [к], что
1 < | J\ < к, мы имеем | |S^3B9 так как иначе число к можно было
бы уменьшить. Если к > 2, то по теореме А.38 гиперграни Fs ,..., FSk
многогранника Р% попарно пересекаются, но имеют пустое общее
пересечение. Поэтому к = 2.
Теперь предположим, что для любого элемента S G 58 мощности
|S| > 1 существуют такие элементы S', S" е 5В, что S' U S" = S. Пусть
FS1,..., FSk, k 3, — минимальный набор попарно пересекающихся
гиперграней, имеющий пустое общее пересечение. Легко видеть,
что в этом случае множества S1? ...,Sfc попарно не пересекаются
HS = S1U...USfce^. Мы получим противоречие, если найдем соб-
ственный поднабор, также имеющий пустое пересечение.
Предположим, что найдется множество Se 58|s, пересекающее
более одного элемента Si9 но не пересекающее все Sr Тогда подна-
бор, состоящий из всех таких гиперграней Fs., что Sf PS00, имеет
пустое общее пересечение, так как
I I Si е Я
по определению производящего множества.
Остается найти такое множество S е 5В |s. Запишем S = S' U S",
где S', S" е 58. Пусть S1 — то из множеств S' и S", которое пересекает
не меньше элементов Sf, чем оставшееся (в частности, больше одно-
го). Если оно не пересекает все элементы, то мы получили требуе-
мое. Иначе запишем S1 =Sr US1, где S1, S1" е 5В, и обозначим че-
рез S2 то из двух множеств S1' и S1 , которое пересекает не меньше
элементов Si9 чем оставшееся. Если S2 не пересекает все элементы
Sf, выберем S3 таким же образом, и т. д. Так как мощности множеств
S\S29S39 ... строго уменьшаются, в какой-то момент этот процесс
§А.З. Флаговые многогранники и усеченные кубы
455
остановится и мы получим, что одно из множеств S1' и S1" пересека-
ет более одного элемента Sb но не пересекает все элементы Sb □
Утверждение А.77 ([607]). Пусть & — такое производящее мно-
жество на [и +1], что многогранник Р& флаговый. Тогда существу-
ет такое производящее множество £$0 с что Р#о — комбинатор-
ный куб той же размерности.
Доказательство. Согласно утверждению А.21 достаточно рас-
сматривать только связные производящие множества. Для п = 1
утверждение верно. В предположении, что оно верно для всех
т < п, докажем его для т = п. Согласно утверждению А.76 имеем
[га 4-1] = S'U S", где S', По предположению индукции про-
изводящие множества 38 |s/ и содержат производящие множе-
ства и ЗВ^, у которых нестоэдры являются кубами. Тогда про-
изводящее множество ^0 = (^qU 38q')U[h + 1] искомое (см. при-
мер А.51). □
Теперь из леммы А.44 следует, что флаговый нестоэдр получа-
ется из куба последовательностью срезок граней. Следующая лем-
ма показывает, что можно выбрать последовательность, состоящую
только из срезок граней коразмерности два.
Лемма А.78. Пусть 38j с 382 — связные производящие множест-
ва на [п + 1], для которых нестоэдры Р^ и Р&2 являются флаговы-
ми многогранниками. Тогда нестоэдр Р&2 получается из нестоэдра
Р^ последовательностью 2-срезок.
Доказательство. Пусть^^минимальный (по включению) эле-
мент в 382 \ ^. Пусть 38'=38гU{S} — минимальное (по включению)
производящее множество, содержащее ^и{5}. Согласно утвер-
ждению А.76 существуют такие элементы S', S" G ^2, 41,0 S'u ~ S.
Из выбора элемента S следует, что S', S"g381. Легко видеть, что
38' = и {Т = Г и Г": Г', Т" G 3Blf S' с Г, S" с Г"}. Следовательно,
разложение каждого элемента в 38' \ 38г состоит из двух элементов.
Тогда по лемме А.44 нестоэдр Р& получается из нестоэдра Р^ по-
следовательностью 2-срезок.
Так как $ 38' с 382, мы можем завершить доказательство ин-
дукцией по числу элементов в ЗВ2 \ 38j. □
Наконец, докажем основной результат этого параграфа, даю-
щий характеризацию флаговых нестоэдров.
Теорема А.79 ([614]). Нестоэдр Р% является флаговым много-
гранником тогда и только тогда, когда он является 2-усеченным
кубом.
456
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Более того, если производящее множество связно и Р& — фла-
говый многогранник, то существует последовательность произво-
дящих множеств $ос с... с N = ЗВ, где P^Q —комбинатор-
ный куб, U {SJ и многогранник Р&. получается из мно-
гогранника Р&. при помощи 2-срезки грани Fs C\FS. сР^_ где
Si = Sji U Sj2 и Sj19 sj2 E ^i_v
Доказательство. Согласно утверждению A.52 в первой части
теоремы достаточно рассматривать только связные производящие
множества. Часть «только тогда» следует из утверждения А.77 и лем-
мы А.78. Чтобы доказать часть «тогда», нужно проверить, что мно-
гогранник, получающийся из флагового 2-срезкой, тоже является
флаговым. Мы оставляем это в качестве упражнения. Вторая часть
теоремы следует из доказательства леммы А.78 и замечания А.46.
□
Из утверждения А.75 и теоремы А.79 получаем следующий ре-
зультат.
Следствие А.80. Гипотеза Гала верна для всех флаговых несто-
эдров.
Пример А.81. Посмотрим, как теорема А.79 работает в случае
трехмерного ассоциэдра. Производящее множество, отвечающее
многограннику As3, имеет вид
= {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {2, 3}, {3,4},
{1,2,3}, {2, 3,4}, {1,2, 3,4}}
(см. рис. А.4 справа). Для того чтобы получить ассоциэдр As3 из куба
I3 при помощи 2-срезок, нам нужно выбрать такое производящее
множество с что Р^о ^13, а также упорядочить элементы
в \ таким образом, чтобы добавление нового элемента к на-
бору отвечало 2-срезке.
Пусть сначала производящее множество 33Q состоит из элемен-
тов {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {3,4}, [4]. Тогда ассоциэдр Р<% полу-
чается из многогранника Р^о ^/3 последовательной срезкой граней
F{i)2} AF{3}, F{2} nF{3>4}, F{2} nF{3} в указанном порядке. (Предостере-
жение: многогранник Р^о не является прямоугольным параллеле-
пипедом, это тетраэдр со срезанными противоположными ребрами.
Однако указанные нами три 2-срезки многогранника Р^о и три срез-
ки прямоугольного параллелепипеда, описанные в примере А.60 (из
которых не все являются даже срезками граней), дают один и тот же
многогранник As3, изображенный на рис. А.4 справа.)
Задачи и упражнения
457
При другом выборе производящее множество состоит из эле-
ментов
{1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4}.
Тогда многогранник Р&о получается из тетраэдра срезкой вершины,
а затем ребра, содержащего эту вершину. Мы имеем ~13. Чтобы
получить ассоциэдр Р% из многогранника Р#о, мы сначала срежем
грань Г{2} nF{3} и получим новую гипергрань Г{2,з}- Затем срежем
Грани Г{2,3} nF{4} И F{3} nF{4}-
Задачи и упражнения
А.3.0. Докажите, что пересечение любого набора попарно пере-
секающихся граней (любых размерностей) флагового многогранни-
ка имеет непустое пересечение.
А.3.1. Докажите, что любая грань флагового многогранника явля-
ется флаговым многогранником. Это обобщение утверждения А.66.
А.3.2. Приведите пример простого n-многогранника без тре-
угольников с 2п + 3 гипергранями, не являющегося флаговым.
А.З.З. Приведите пример нефлагового простого многогранника
с неотрицательным у-вектором.
А.3.4. Докажите, что многогранник, получающийся из флагово-
го при помощи 2-срезки, является флаговым.
§А.4. Дифференциальное кольцо выпуклых
комбинаторных многогранников
В этом параграфе мы рассмотрим подход к комбинаторике вы-
пуклых многогранников, основанный на дифференциальном коль-
це выпуклых многогранников и операторах на нем. Это даст нам
возможность по-новому взглянуть на проблему флаговых чисел вы-
пуклых многогранников (см. примечания к главе 8), а также поз-
волит изучать комбинаторику семейств многогранников и их чи-
сел граней при помощи теории дифференциальных уравнений. Все
многогранники в этом параграфе комбинаторные.
А.4.1. Кольца многогранников
Обозначим через %$2п свободную абелеву группу, порожденную
всеми комбинаторными n-многогранниками. При и > 1 группа ф2п
458
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
имеет бесконечное число образующих и раскладывается в прямую
сумму конечнопорожденных подгрупп следующим образом:
qj2n _ qj2n,2(m-n)
m^n+1
где %J2n,2(m“n)--группа, порожденная n-многогранниками с т ги-
пергранями. Эта группа имеет конечное число образующих, см.
упражнение А.4.0.
Определение А.82. Прямое произведение многогранников (см.
пример 0.5) задает на группе
т—1
ф = ф ф2п = ф° + ф ф <р2п,2(т—п)
n^O m^2n=l
структуру биградуированного коммутативного1 ассоциативного
кольца, называемого кольцом многогранников. Единицей в этом
кольце служит точка Р° =pt.
Простые многогранники порождают биградуированное подколь-
цо 6 с <р.
Комбинаторный многогранник называется неразложимым, ес-
ли его нельзя представить как прямое произведение двух комбина-
торных многогранников положительной размерности.
Утверждение А.83 ([615]). Кольцо ф является кольцом много-
членов от неразложимых многогранников.
Доказательство. Докажем, что любой комбинаторный много-
гранник Р положительной размерности с точностью до перестанов-
ки сомножителей может быть единственным образом представлен
в виде произведения неразложимых многогранников положитель-
ных размерностей.
Ясно, что такое разложение существует. Пусть Р = Рг х ... х Рк ~
£* Qi х ... х Qs. Фиксируем вершину v = х ... х vk = w1 х ... х ws,
где ц ePj и Wj е Q;. Грани вида Pj х ... xPj х ... хи х... хQ; х... х
х ws являются максимальными неразложимыми гранями2 много-
гранника Р, содержащими вершину v, поэтому они взаимно одно-
значно соответствуют друг другу при комбинаторной эквивалент-
1 Обозначение 2п как раз соответствует тому, что градуированное кольцо ф ком-
мутативно.
2 Мы благодарны В. Д. Володину, предложившему в доказательстве использовать
идею максимальных неразложимых граней.
§ А.4. Кольцо выпуклых многогранников
459
ности. Следовательно, к = s и ~ Qb i = 1,..., к, с точностью до
порядка множителей.
Свободная абелева группа порождена комбинаторными мно-
гогранниками, и каждый многогранник можно представить един-
ственным образом в виде одночлена от неразложимых многогран-
ников, следовательно, ^3 —кольцо многочленов от неразложимых
многогранников. □
Многогранник Р х Q является простым тогда и только тогда,
когда оба многогранника Р и Q простые.
Следствие А.84. Кольцо 6 является кольцом многочленов от
неразложимых простых многогранников.
Определение А.85. Рассмотрим градуированное кольцо Z[s],
degs = 2. Назовем s-характером кольцевой гомоморфизм £s:
-*Z[s], задаваемый как
£s(Pn) = sn для n-многогранника Рп.
Замечание А.86. Джойн многогранников (см. упражнение 9.9)
определяет на кольце билинейное умножение степени +2, кото-
рое ассоциативно и коммутативно. Таким образом, группа полу-
чает структуру коммутативного ассоциативного кольца без едини-
цы. Удобно принять соглашение 0*Р = Р = Р*0, которое позволяет
добавить пустое множество 0 в качестве единицы. Таким образом,
= Z ф — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Оно имеет каноническую триградуировку:
thdeg(Pn) = (2(п +1), 2(/n_i - и - 1), 2(/0 - п -1)).
Ясно, что thdeg(P * Q) = thdeg(P) + thdeg(Q).
Кольцо является кольцом многочленов от *-неразложимых
многогранников (см. упражнение А.4.1).
Многие факты, которые далее будут доказаны для кольца выпук-
лых многогранников, имеют место и для кольца 9VJ3.
А.4.2. Операторы на кольце многогранников
Определение А.87. Для к 0 оператором граней dk на кольце
называется оператор, сопоставляющий многограннику Р сумму
всех его граней коразмерности к:
dkPn = S рп~к- (А.88)
Fn~kc.Pn
460
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Отметим, что d0 = id, dkpt = 0 при к 1 и любой оператор граней
переводит кольцо 6 простых многогранников в себя. Далее особую
роль будет играть оператор d19 который мы будем обозначать как d.
Алгеброй операторов граней D называется градуированное коль-
цо, порожденное операторами граней dk, к 0, с умножением, за-
даваемым композицией операторов и единицей 1 = d0 = id. Имеем
D = ^®-2к, 0, где операторы из 5)_2& отображают группу <р2п
В qj2(n-k)
Утверждение А.89. Для любого k 1 и любых многогранников Р
и Q верна формула
dk(JPxQ) = Е х Щ Q). (А.90)
i+j=k
Доказательство. Имеем
dk(Pn xQr) = 2 Fn-f х Gr-J =
Fn-laPnfGr-}cOr,i+j=k
= s s рпЧ x ( s Gr-0 =
i+j=fcFn4cPn 4Gr~>cQr 7
= L ( S x ( E Gr-J) = S (<W x (d;Q). □
i+j=k Чрп-*срп J 4Gr--'cQr 7 i+j=k
Следствие A.91. Оператор d является дифференцированием,
m. e. верна формула Лейбница:
d(PxQ) = (dP) x Q + P x (dQ). (A.92)
Таким образом, кольцо является дифференциальным и содержит
дифференциальное подкольцо 6.
Пример А.93. Имеем
dln = nln~1(.dl) = 2nln~1 и d£n = (п + 1)Дп-1.
Определение А.94. Введем оператор Ф(Г): ^3 —► задавае-
мый рядом
Ф(с) — 1 + dt+ d2t2 +... + dfctfc +... G S[[t]].
Утверждение A.95. Оператор Ф(0 является гомоморфизмом
колец.
§ А.4. Кольцо выпуклых многогранников
461
Доказательство. Используя формулы (А.90), для любых двух
многогранников Р"1 и Q”2 получаем
Ф(Г)(РП> х Q"2) = J 4(РП> х Qn^tk =
к=0
= Z ( Z WiPn9 х (d^Q"2)]
k=0 i+j=k 7
tk = Z WiPnit;) x (dj-Qn4j) =
i,j^0
= ( Z^’t' I x ( Z djQ^d ) = (Ф(Г)РП1) X (Ф(С)(2П2).
4=0 J 4=0 J
Наконец, Ф(£)р£=pt, поэтому отображение Ф(0 является гомомор-
физмом колец. □
Утверждение А.96. В кольце D[[t]] верно соотношение
Ф(-С)Ф(О = 1,
соответствующее соотношениям
dn —ddn_1 + ...+ (—l)"-1dn_1d + (—l)"dn = 0, п 2 2, (А.97)
в кольце D.
Доказательство. Имеем Ф(—Г)Ф (t)pt=pt. Далее,
00 к
Ф(-0Ф(0 = ZCZC-D^k-;)^.
k=0 i=0
Пусть п > 0. Коэффициент при tk ряда Ф(—Г)Ф(Г)РП равен Рп при
к = 0, а при к = 1 или к > п он равен нулю. Для 2 к п получаем
(ddk_1-d2dk_2+...+(.-l')k~2dk_1d)Pn =
= Z ( Z 1- Z i+...+(-i/’2 Z i)Fn-fc =
рп-к(-рп ^рп-к+1 -^рп-к pn-k+2-jpn-k рп-l->рп-к '
= Z (/o(Pn/Fn’,:)-/i(/>n/Fn-fc)+...+(-l)'c-2A-2(^/Fn-,:))Fn-,:.
рп-к срп
Для (к — 1)-многогранника pn/Fn~k верна формула Эйлера—Пуанка-
ре (см. следствие 8.17:
/о -/1 + - + (-1)к’2Л-2 = 1 + (-D*.
Таким образом,
(ddk_1-d2dk_2 + ... + (-l)k-2dk_1d)Pn = (l + (-l)fc)dfcPn,
Z к X
т.е. YS-Vididk-i]Pn = V- □
4=0 '
462
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Утверждение А.98. Для s-характера верна формула
?-s*(s) = (А.99)
Доказательство. Так как ^sdkPn =/п-к(Рп)$п к> имеем
<_5Ф($)РП = (-sy + (-sy-1fn_1s + ...+fosn =
f п \
= Z(-i)'Zbn=sn = ^n,
4=0 J
где /0 - Д + ... + (-l)n-1/n-i + (-1)л = 1 в силу формулы Эйлера-
Пуанкаре. □
Утверждение А.100. На кольце 6 алгебра операторов граней D
действует как алгебра разделенных степеней, т. е, Ф(Г)|© =edt|e и,
более подробно,
k!dje = dfc|s и dfcd||e = (А101)
Доказательство. Пусть Рп — простой многогранник. Для любо-
го к > 0 имеем
dkPn = 2 рп~к( Z 1),
Fn~kC.Pn PnDGn-1D...DGn_k+1DFn~k У
где Pn D Gn-1 D... c Gn~k+1 d Fn~k — всевозможные цепочки граней,
содержащие грань Fn~k. Каждая гранная фигура простого много-
гранника является симплексом, поэтому число таких цепочек равно
к!, следовательно, dkPn = kldkPn. □
Определение А.102. Соответствия Р -* руг(Р) и Р -* bipyr(P)
(см. пример 0.5) определяют операторы пирамиды руг: и би-
пирамиды bipyr: степени +2. Введем операторы 6, D: -* ^3
по формулам
6 = 2 руг - bipyr;
D = [bipyr, руг] = bipyr руг - руг bipyr
Утверждение А.103. В кольце всех операторов выполняются со-
отношения
1) Ф(Г)С = е +Г + ГФ(Г), т.е. dC = 2u dkC = dk_1 при k^2;
2) Ф(t)D = D + Qt +t2, m. e. dD = C, d2® = 1 и dkT> = 0 при к 3.
Доказательство. Для точки pt имеем pyr(pt) = bipyr(pt) =1, по-
этому Cpt = I, Dpt=I2 - A2 и
Ф(Г)СрГ = 1 + (2pt)t = ept + tpt + tQWpt,
Ф(Г)®Р^ = (I2-A2)+/t + (pt)t2 = Dpt + etpt + t2pt.
§ А.4. Кольцо выпуклых многогранников
463
Пусть Р — n-многогранник, п > 0. Грань пирамиды руг(Р) яв-
ляется либо ее отмеченной вершиной, либо пирамидой над гра-
нью многогранника Р, либо гранью многогранника Р. Бипирамида
представляет собой склейку по основанию Р двух пирамид ругДР)
и pyr_ (Р), поэтому в выражении dkSP = 2dk pyr(P) - dk bipyr(P) от-
меченные вершины пирамиды и бипирамиды и все грани-пирами-
ды сокращаются, собственные грани многогранника Р считаются
один раз, а сам многогранник Р считается с коэффициентом два,
так как он встречается как грань только в пирамиде. Это доказывает
первую формулу.
Многогранник bipyr(pyr(P)) представляет собой склейку по ос-
нованию руг(Р) двух пирамид руг_|_(руг(Р)) и руг_(руг(Р)), в то вре-
мя как многогранник pyr(bipyr(P)) представляет собой склейку по
руг(Р) двух частей руг(руг_|_(Р)) и руг(руг_(Р)). Поэтому эти много-
гранники имеют одинаковые грани, за исключением гиперграней
руг_|_(Р), руг_(Р), грани Р у первого многогранника и гиперграни
bipyr(P) у второго. Это доказывает вторую формулу. □
А.4.3. Связь с перечисляющими многочленами
Из утверждения А.11 следует, что F- и Н-многочлены определяют
кольцевые гомоморфизмы
которые переводят многогранник Р G в F(P)(s, t) и H(P)(s, t) со-
ответственно.
Теорема А.104. Для любого простого многогранника Р выпол-
няется равенство
F(dP~) = (А.105)
Доказательство. Пусть Р — простой n-многогранник с гипер-
гранями Рь..., Рт. Тогда
т т п—1
F(dP) = £f(p<) = Z и A(Pi)s'£tn-1-'e.
i=l i=l k=0
С другой стороны,
- n-1
^F(P) = S(n-k)A(P)sktn"1-fc.
oc k=0
464
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Сравнивая коэффициенты этих двух сумм, мы получаем, что усло-
вие (А.105) сводится к равенствам
т
1А(Л) = (п-ЮА(Р). (А.106)
i=l
Так как многогранник Р простой, каждая его к-грань содержится
ровно в п - к гипергранях, поэтому она учитывается п — к раз в сум-
ме в левой части, что и доказывает равенства. □
Следствие А.107. Пусть Рг и Р2 — два простых п-многогранни-
ка, для которых dPx = dP2 в 6. Тогда F(Pj) = F(P2).
Доказательство. Действительно, из равенства F^dP^ = F(,dP2)
dF [Р ) дF [Р )
следует, что —Пользуясь тем, что Р(Рп>)(5,0) =sn, мы
получаем F (Рг) = F (Р2). □
Утверждение А.108. Пусть F: (5Z[s, t]—линейное отобра-
жение, удовлетворяющее условиям
F(dP) = j-tF(P) и F(P)|t=0 = sn.
Тогда F(P) = F(P).
Доказательство. Будем использовать индукцию по размерно-
сти. Имеем
F(P°) = 1 = F(p°).
Пусть утверждение верно для размерностей не больше п — 1, и пусть
Р —простой n-многогранник. Тогда F(dP~)(s, t^Ff.dP'if.s, t). Следо-
вательно, ^F(P) = ^F(P~). Поэтому F(P)(s, t) = F(P~)(s, t) + C(s). По-
лагая t = 0, мы получаем sn = s” + C (s), откуда следует, что C (s) = 0.
□
Теорема А.104 также позволяет свести соотношения Дена—Со-
ммервилля (А.10) к формуле Эйлера—Пуанкаре.
Теорема А.109. Для любого простого п-многогранника Р выпол-
нено соотношение
F(P)(s, t) = F(P)(—s,s + t). (А.110)
Доказательство. Будем использовать индукцию по размерно-
сти. Имеем
F(P°)(s,t) = l = F(P°)(.-s,s + t).
Пусть соотношение верно в размерностях не больше п - 1. Тогда
для данного п-многогранника Р имеем F(dP) (s, t) = F(dP) (—s, s Ч-1).
§ А.4. Кольцо выпуклых многогранников
465
Следовательно,
^F(P)(s,t) = ^F(P)(-s,s+t) и F(P)(s,t)-F(P)(-s)s+t) = C(s).
Из формулы Эйлера—Пуанкаре (А.6) получаем
F(-s, s) = (/о - Л +... + (-Dnfn)sn = sn.
Таким образом, C(s)=F(P)(s,O)-F(P)(-s,s) = O. □
Пример А.111. Для простого трехмерного многогранника Р3 с
m = f2 гипергранями имеем /1=3(т —2), /0 = 2(т-2). Предполо-
жим, что все его гиперграни являются к-угольниками, т. е. dP3=mP%.
Тогда по теореме А.104 получаем
m(s2 + kst + kt2) = (s3 + ms21 + 3(m-2)st2 + 2(m -2)f3),
а значит, m(6 — k) = 12. Следовательно, пара (k, m) может прини-
мать только значения (3,4), (4, 6) и (5,12), что соответствует сим-
плексу, кубу и додекаэдру.
Для произвольных многогранников разница 5 = Fd — -^F изме-
ряет отклонение от соотношения (А.105).
Многогранник называется к-простым (для к 0), если любая
его к-грань содержится ровно в п — к гипергранях. Например, про-
стой многогранник является 0-простым, 1-простые многогранни-
ки известны также как многогранники, простые в ребрах. Любой
п-многогранник является (и — 1)- и (и — 2)-простым.
Многогранник называется к-симплициальным, если каждая его
k-грань является симплексом. Симплициальный п-многогранник
является (п — 1)-симплициальным, в то время как произвольный
многогранник является 1-симплициальным. Если п-многогранник
Р является k-простым, то полярный к нему многогранник Рл явля-
ется (п — 1 — к)-симплициальным.
Теорема А.112. Пусть Р G ty. Тогда верно тождество
F(dP) = j-tF^ + 5(P),
причем отображение 5: ф—>Z[s, t] является F-дифференцировани-
ем, т. е. оно линейно и удовлетворяет тождеству
б(Р1Р2) = 5(P1)F(P2)+F(P1)5(P2).
Более того, если Р — п-многогранник, то
5(Р) = S2sn~3t2 + ...+5n_1tn~1
466
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
и 6L 0 для 2 i и — 1. Кроме того, Р является к-простым то-
гда и только тогда, когда 5n_1_k = 0; в этом случае 5t = 0 при
2 i $ п -1 - к.
Доказательство. То, что отображение 5 = Fd — является
F-дифференцированием, проверяется прямым вычислением. Со-
гласно формуле (А.106) коэффициент при в выражении 5(Р)
равен
т
5n-i-k = SA(^)-(n-k)A(P).
i=l
Он равен нулю для к=п-1ик=п-2 (последнее следует из того,
что каждая грань многогранника Р коразмерности два содержится
ровно в двух гипергранях). Кроме того, коэффициент неот-
рицателен, так как каждая k-мерная грань содержится по крайней
мере в и — к гипергранях. Он равен нулю тогда и только тогда, когда
каждая k-мерная грань содержится ровно в п - к гипергранях, т. е.
когда многогранник является k-простым. Наконец, для к-простого
многогранника Р каждая j-мерная грань при j^k содержится ров-
но в п - j гипергранях, поэтому коэффициент 6n_1_j равен нулю
при к. □
Пусть Р — простой n-многогранник с /0 вершинами. Пользуясь
тем, что решетка граней полярного многогранника РЛ получается
из решетки граней многогранника Р обращением порядка, мы по-
лучаем
Р(РД)($, t) = 5n + t= s" + "£ fk(P)sn~1-ktk+1.
s k=0
Имеем dP^ = /0(P)An-1, поэтому
5(РД) = /о(Р)(5'ЬСГ~ГП- f S A(P)s"-1-fctk+1.
k=0
Коэффициент при sn~1~ktk в правой части равенства равен
5к(Рд) = (£)/0W-(k + i)AW Для 1 $к$п.
Согласно теореме А.112 это выражение неотрицательно, следова-
тельно,
AW ГИ (kV°(P)’ или ^(Р) /о(Д'1) = п + 1 ДЛЯ 1 п-
(А.113)
§ А.4. Кольцо выпуклых многогранников
467
Таким образом, из всех простых n-многогранников Р симплекс име-
ет максимальное отношение 4. В случае к = 1 имеет место равен-
JQ
ство 2/г = nf0.
Для простых многогранников оценка (А.113) лучше, чем оценка
из ТВГ1 (теорема 8.23), которая верна для всех выпуклых много-
гранников. Действительно, для к [|] - 1 из ТВГ получаем оценку
А +1) ’ где m ~ /о, и в то же время прямое вычисление показы-
1 (п А ш А
вает, что 7—7 ? тп л .
’ k + 1 \kj <к + 1у
Следующее свойство Н-многочлена вытекает из полученного
выше аналогичного свойства F-многочлена и тождества H(P)(s, t) =
= F(P')(s — t,t').
Теорема А.114. 1. Кольцевой гомоморфизм Н: —> Z[s, t] удовле-
творяет условию Н (Р) |t=0 = sn. Для его ограничения на подкольцо 6
простых многогранников выполняется уравнение
H(dP) = дН(Р), где д = % + %:.
OS OL
2. Образ отображения Н\& порожден многочленами H(A1)=s+t
и Н(Д2) = s2 + st +12.
3. Если Н: 6 —> Z[s, t] — такое линейное отображение, что
H(dP) = dH(P) и H(P)\t=0 = sn
для любого простого п-многогранника Р, то Н(Р)=Н(Р\
А.4.4. Кольцо производящих множеств
Пусть и 3&2 — производящие множества на [rij] и [п2] со-
ответственно. Отображением f: S&2 производящих множеств
называется отображение f: [riiJ -► [п2], удовлетворяющее условию
/-1(S) G для любого S G ^2- Два производящих множества
и 382 называются эквивалентными, если существуют такие отобра-
жения f: -> и ^2 “* ^1 производящих множеств, что ком-
позиции f о g и g о f являются тождественными отображениями.
Определим произведение производящих множеств и д&2 как
производящее множество на fri + п2], индуцированное при-
ставлением интервала [п2] к интервалу [nJ.
1 Теорема о верхней границе.
468
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Пример А.115. Как набор У из примера А.23, так и полный на-
бор являются связными производящими множествами на [п +1].
Это инициальное и терминальное производящие множества соот-
ветственно, так как для любого связного производящего множе-
ства & на [и + 1] существуют отображения -* -* У произво-
дящих множеств, индуцированные тождественным отображением
множества [п + 1].
Определение А.116. Пусть Ъ2п — свободная абелева группа, по-
рожденная классами эквивалентности производящих множеств на
[п + 1]. Так как эквивалентно 9&2 ' произведение пре-
вращает группу 53 = ф 532п в коммутативное ассоциативное кольцо
п^О
(без единицы).
Для связного производящего множества на [п +1] положим
d^ = £ (А.117)
SG^\[n+l]
где сложение рассматривается в кольце 53. Так как кольцо 53 по-
рождено связными производящими множествами и каждое произ-
водящее множество единственным образом представляется в виде
произведения связных, мы можем продолжить d до линейного отоб-
ражения d: 53 —> 53 по формуле Лейбница
d(^2 • ^2) = М^1) * ’ (d^2). (А.118)
Таким образом, мы получаем дифференцирование кольца 53.
Утверждение А.119. Отображение —> Р% индуцирует гомо-
морфизм дифференциальных колец /3: 53 —> ф. Его образ является
градуированным подкольцом с единицей в ф, мультипликативно по-
рожденным нестоэдрами Р%, отвечающими связным производящим
множествам
Доказательство. Очевидно, что отображение /3 является коль-
цевым гомоморфизмом. Из следствия А.37 и формулы (А.118) вы-
текает, что /3 коммутирует с дифференцированиями. Любое произ-
водящее множество, состоящее только из одноэлементных подмно-
жеств, отображается в точку Р°, представляющую собой единицу
в кольце ф. Наконец, из утверждения А.21 а) следует, что образ /3 (53)
порожден нестоэдрами Р&, отвечающими связным производящим
множествам 9д. □
Замечание А.120. В кольце 53 нет единицы, и отображение /3 не
мономорфно.
Задачи и упражнения
469
Рассмотрим граф Г на и + 1 вершине. Для подмножества S с
с [n +1] обозначим через T|s ограничение графа Г на множество
вершин S, а через Г/S —граф на множестве вершин [n + 1]\S, в ко-
тором две вершины i и j соединены ребром тогда и только тогда,
когда они соединены путем в графе r|su{i ;}. Следующее утвержде-
ние описывает дифференциал граф-ассоциэдра Рг в кольце ф.
Утверждение А.121. Для связного графа Г на п 4-1 вершине вы-
полняется равенство
dPr = S ?r\s х ^r/s-
S$[n+1]
Г Is связно
Доказательство. Утверждение следует непосредственно из со-
отношения (А.117). □
Пример А.122. Получаем следующие формулы для дифферен-
циалов четырех граф-ассоциэдров, определенных в § А.2:
d Asn = (i + 2)Asl x Asj;
i+j=n-l
dPen= £ fnt1iyeixpeJ;
i+j=n-l 1
dCyn = (n + l) S As‘xCy>;
i+j=n-l
n-1 ,
dStn = n-Stn~1+Yl (П JSt1'xPe”-’-1.
i=0 k 1 '
Например (см. рис. A.3-A.7),
dAs3 = 2As° x As2 + 3AS1 x As1 + 4As2 x As0;
d Pe3 = 4PeQ x Pe2 + бРе1 x Pe1 + 4Pe2 x Pe°;
dCy3 = 4(As° x Cy2 + As1 x Cy14-As2 x Cy°);
d St3 = 3St2 + St0 x Pe2 + SSt1 x Pe1 + 3St2 x Pe°.
Задачи и упражнения
A.4.0. Докажите, что число комбинаторных многогранников
с заданным числом гиперграней конечно.
А.4.1. Докажите, что кольцо является кольцом многочленов
от *-неразложимых многогранников.
А.4.2. Докажите, что отображение 5—Fd — -^F является F-диф-
ференцированием.
470
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
А.4.3. Докажите неравенство (А.113) непосредственно. Докажи-
те, что если при к > 1 оно обращается в равенство, то многогран-
ник-симплекс.
А.4.4. Приведите пример двух таких неэквивалентных связных
производящих множеств и что
§А.5. Семейства многогранников
и дифференциальные уравнения
В этом параграфе, пользуясь языком производящих рядов, мы
запишем формулы для дифференциалов нестоэдров и граф-ассоци-
эдров в виде уравнений в частных производных. Эти уравнения за-
дают комбинаторную информацию о структуре граней нестоэдров.
Наше изложение основывается на результатах работ [616] и [613].
Обозначим через ф 0 Q[q] кольцо многочленов от переменной q
р
с коэффициентами вида где Р G ф и N — натуральное число.
Утверждение А.123. Пусть Q: ф -»® Q[q], Р —> Q(P; q) —ли-
нейное отображение, удовлетворяющее условиям
Q(dP;q) = ^Q(P;q) и Q(P;0) = P
для каждого многогранника Р. Тогда
и ак
Q(P;q)=
к=0
причем Q является гомоморфизмом колец.
Доказательство. Первая часть утверждения доказывается ин-
дукцией по размерности и, как в доказательстве утверждения А.108.
Согласно утверждению А.89 для многогранников Р1? Р2 имеем
£(РЛ,^4М4
откуда легко следует, что Q(J\P2, q) = Q(Pi, q)Q(^2, <?)• □
Пусть теперь задана последовательность 9 — {Рп, п 0} много-
гранников, по одному в каждой размерности. Определим ее произ-
водящий ряд как формальный степенной ряд
0»(х) = S ЛпРпхп+п° е qj®Q[[x]].
п^О
Параметр п0 и коэффициенты Лп будем выбирать в зависимости от
конкретной последовательности Используя преобразование Q
§ А.5. Семейства многогранников и дифференциальные уравнения 471
из предыдущего утверждения, можно определить следующее двух-
параметрическое расширение производящего ряда:
0»(q,x) = S ЛпЩРп; q)xn+n» ё qi®Q[q] ®Q[[x]]. (А.124)
п^О
Имеем 9 (0, х) = & (х). Рассмотрим следующие производящие ряды
шести последовательностей нестоэдров:
Д(х) = s А"(ЙТ)Т;
As(x) = £>Y+2; Ре(х) = £ Реп Л П1; (А.125)
Су(х) = Су"£^; St(x) = S St"£.
п^О п^О
Лемма А.126. Дифференциалы производящих рядов имеют вид
dA(x) = хД(х); d/(x) = 2х1(х);
dAs(x) = As(x)^As(x); dPe(x) = Ре2(х);
dCy(x) = As(x)^Cy(x); dSt(x) = (x + Pe(x))St(x).
Доказательство. Получается непосредственным вычислением
из леммы А.126. □
Теорема А.127. Двухпараметрические расширения производящих
рядов (А.125) удовлетворяют следующим уравнениям в частных
производных:
Д A(q, X) = xA(q,x); ^J(q,x) = 2x1 (q,x);
^As(q.x) = As(q,x)^As(q,x); Д Pe(q, x) = Pfe2(q, x);
^-Cy(q,x) = As(q,x)^-Cy(q,x); ^-St(.q,x) = (x+Pe(q,x))St(q,x).
Доказательство. Получается прямым вычислением из леммы
А.126. □
Замечание А.128. Роль параметров Ап в выражении (А.124) мож-
но показать следующим образом. Если заменить первый ряд Д(х)
из формул (А.125) на
. y.n + 1
A(x) = S A-fe,
n^O
472
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
то первые уравнения из леммы А.126 и теоремы А.127 примут вид
dA(x) = х2^Д(х), Д A(q, х) = х2^ A(q, х).
Четыре уравнения из теоремы А.127, отвечающие рядам Д, I,
Ре и St, являются обыкновенными дифференциальными. Их реше-
ния целиком определяются начальными условиями 9 (0, х) = & (х)
и могут быть найдены в виде явных формул:
Д(д,х) = Д(х)едх; Kg, х) — /(x)e2qx;
Pe(q,x) = i St(g,x) = Stfx)^—Vfv
Уравнение для двухпараметрического расширения производя-
щего ряда U = As(q, х) имеет вид Uq = UUX. Это классическое ква-
зилинейное уравнение в частных производных было рассмотрено
Э. Хопфом, поэтому стало известно как уравнение Хопфа.
Теорема А.129. 1. Ряд As(q, х) может быть найден как решение
функционального уравнения (уравнения характеристик)
As(q, х) = As(x + qAs(q, х)), (А.130)
где As(x) = As(0, х).
2. Ряд Cy(q, х) может быть найден как решение функционально-
го уравнения
Cy(q, х) = Cy(x + qAs(q, х)), (А.131)
где Су(х) = Су (0, х).
Доказательство. Положим U = As(q,x) и Asx = ^As(x). Если
U — решение уравнения (А.130), то дифференцированием получаем
Uq = (U + qUq)Asx, Ux = (1 +qUx) Asx.
Тогда (1 - qAsx)Uq = UAsx и (1 - qAsx)Ux = Asx, откуда следует, что
ряд U удовлетворяет уравнению Хопфа Uq = UUX. Это решение с на-
чальным условием U (0, х) = А$(х) единственно из общей теории
квазилинейных уравнений (в нашем случае единственность можно
также показать при помощи стандартных рассуждений со степен-
ными рядами).
Аналогично, дифференцируя уравнение (А.131), для V = Су (д, х)
получаем
Vq = (U + qUq)Cyx, Vx = (l + g[Jx)Cyx.
§ А.5. Семейства многогранников и дифференциальные уравнения 473
Пользуясь тем, что Uq = UUX, запишем первое из этих уравнений
в виде Vq = 1/(14- ql/x)Cyx, откуда получим Vq = UVX, что и требова-
лось доказать. Это в точности уравнение для функции V = Cy(q, х)
из теоремы А.127, причем его решение с начальными условиями
V(0, х) = Су (х) единственно. □
Мы также можем использовать лемму А.126 для вычисления
F-многочленов граф-ассоциэдров. Пусть ^(х) —один их произво-
дящих рядов (А.125). Положим
F? = F(0»(x)) = £ A"xn+n° £ fk(Pn)sktn~k.
n^O k=0
Будем называть выражение F& = F& (s, t; x) производящим рядом
F-многочлена в. Это ряд по х с коэффициентами — многочленами от
s и t.
Теорема А.132. Производящие ряды F-многочленов, отвечающие
производящим рядам (А.125) многогранников, удовлетворяют сле-
дующим дифференциальным уравнениям с начальными условиями,
заданными во втором столбце:
£^ = xFA, Fa(s, 0; x) = esx — 1
F2(s, 0; x) = esx;
St Fas = FAsfaFAs, FAs(s, 0; x) = X2 1 — sx’
— F — F2 dt ?Pe - Гре> FPe(s, 0; x) = esx -1. s ’
— Fr = Fa — Fr dt СУ As dx СУ’ FCy(s, 0; x) = ln(l - sx) s ’
^Fst = (x + FPe)FSt, FSt(s, 0; x) = esx.
Доказательство. Дифференциальные уравнения получаются
применением преобразования F к уравнениям из леммы А.126
и использованием соотношения F(dP) = -^F(P). Начальные условия
получаются подстановкой sn вместо Рп в (А.125) и вычислением
получающихся рядов. □
Снова четыре уравнения для производящих рядов FA,Fh FPe и FSt
являются обыкновенными дифференциальными. Их решения пол-
ностью определяются начальными условиями; вывести явные фор-
мулы для решений мы оставляем читателю в качестве упражнения.
474
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Оставшиеся два уравнения в частных производных для произво-
дящих рядов и FCy также могут быть решены явно следующим
образом.
Теорема А.133. 1. Ряд U = FAs удовлетворяет квадратному урав-
нению
t(s + t)U2 + (2tx + sx-l')U + x2 = 0. (А.134)
Начальное условие F^ (s, 0; х) = однозначно определяет решение,
2. Ряд FCy задается как
F(y = -hn(l-s(x + tFAs')).
Доказательство. 1. По аналогии с формулой (А.130) ряд U = FAs
удовлетворяет функциональному уравнению
U = (^(x + tl/),
х^
где (/? (х) = F^(s, 0; х) = yz"” • Оно равносильно приведенному выше
квадратному уравнению.
2. Ряд V = Fty является решением уравнения Vt = UVX, По анало-
гии с формулой (А.131) он задается как
V = V>(x + tl7),
где [У=F^ и ч/> (х) = Fc/s, 0; х) = - $х). □
Как следствие получим формулу для числа к-мерных граней ас-
социэдра Asn, равного числу расстановок п — к пар скобок в слове из
п + 2 символов. Эти числа были впервые вычислены Кэли в 1891 г.
Теорема А.135. Число к-граней п-ассоциэдра равно
А^ = ^(9(2”п’+1+2)-
Доказательство. Будем пользоваться тем, что ряд FAs удовле-
творяет уравнению Хопфа, решения которого могут быть получены
из законов сохранения. Пусть
U(t,x') = Y.Uk(x)tk
к^О
— решение задачи Коши для уравнения Хопфа:
Ut = UUX, £7(0, х) = (^(х). (А.136)
Уравнение имеет следующие законы сохранения:
_ (Uk+1
для к 1.
X
Задачи и упражнения
475
Следовательно,
dk .. _ dk~l (U2\ dk~2 fU3-\
dtk dtk~' I 2 Jx dtk'21 3 Jxx
dk
dxk
f Uk+1 \
lk + 1 J
для к 1.
Подставляя t = О, получаем
— U
dtk
d* ,uk+1W
t=0 ~ fc! UkM ~ 'dxk ( k + 1
Следовательно,
Ufc(x) “ (k + l)l dxk
По теореме A.132 функция
и = FAs(s, t; x) = S £ fn-k(Asn)sn-ktkxn+2 (A.137)
n^Ok=O
удовлетворяет уравнению Хопфа (A.136) с начальным условием
х2
х) = ут"” • Тогда имеем
тт с л - 1 dk Г x2(fc+1) Л _
u^s’x) - (fc + 1)! dxk ^(1_sx)m J -
- 1 — fY2(k+D у f I + к Л I Л _
“ (k + l)!dx4 1 J J~
_____1 y> (I + к A (2k + !+2)! j k+l+2 _
~ (k + l)l (^ol к J (,k + l + 2Y.SX
_ у 1 f f n + k + 2A n-k n+2
-2-fcn+2lkK n + 1 JS x
С другой стороны, из формулы (А.137) следует, что
Ufc(s;x) = S /n-k(As'l)sn-fcxn+2.
п^к
Сравнивая последние две формулы, получаем
f (Аъп} — —fn + k + 2A
fn-k^ )- n + 2UJl n + 1 J’
что эквивалентно искомой формуле. □
Задачи и упражнения
А.5.0. Решив первые два дифференциальных уравнения из тео-
ремы А.132, покажите, что производящие ряды F-многочленов сим-
476
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
плексов и кубов равны соответственно
уП+1 psx _ -I
FA(s,t;*)=LFU")(^ = e"^,
F,(s, t; х) = £ F(I") = e'V"1'.
n^O П'
Сравните этот результат с формулами для F(An) и F(/n).
А.5.1. Решив соответствующие дифференциальные уравнения из
теоремы А.132, покажите, что производящие ряды F-многочленов
пермутоэдров и стеллоэдров равны
___ у^+1 Р$% 1
FPe(s, t; х) = ^F(Pen') (п + 1)! = s _ f(esx — i) ’
fs,(S.t;x)= r^ij-
Вычислите F-многочлены F(Pen) и F (Sf1), а также числа граней в яв-
ном виде.
А.5.2. Определим производящий ряд Н& (s, t; х) для //-многочле-
нов по аналогии с производящим рядом F-многочленов. Выведите
следующие формулы для последовательностей нестоэдров:
Уп+1 psx _ лх
H,(s.t;x) = £«(/")£ = е(,+0’,
п20
_ , уП+1 _ pt%
HPe(s, t; x) = 2оИ(РеП)(п + 1)! = Sew_tesx,
Hst(s, t; x) = S H(sf)£ = (55~°_eX-
n^O
A.5.3. Докажите, что ряд У = //^(5, t; х) = £ H(Asn)xn+2 удовле-
творяет квадратному уравнению п?0
У = (х + $У)(х + сУ),
причем начальное условие H^(s, 0; х) = у— — однозначно опреде-
ляет решение.
А.5.4. Докажите, что компоненты h-вектора ассоциэдра Asn рав-
ны
, 1 (п + 1Л fn + lA
hk = —гт 1 ь । l b O^k^n.
к п + 1 к к Jкк + 1у’
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
477
А.5.5. Пользуясь комбинаторным описанием ассоциэдра Asn из
примера 9.11 (гиперграни соответствуют диагоналям (и 4- 3)-уголь-
ника, а вершины — его триангуляциям диагоналями), докажите тео-
рему А.135 непосредственно.
§ А.6. Квазисимметрические функции
и флаговые векторы
Более полное изложение затронутых в этом параграфе вопросов
можно найти в обзоре [615].
А.6.1. Квазисимметрические функции
Теория квазисимметрических функций как самостоятельное на-
правление исследований сформировалась за последние двадцать
лет. В настоящее время она имеет широкую известность, богата
результатами и приложениями в различных разделах математики.
(См. [609, 601, 600, 605, 602, 620, 611, 581, 582, 593, 612].)
Определение А.138. Композицией натурального числа п назы-
вается упорядоченное множество со = (jlf € %к, где jt 1 и
Ji + ... + jk = и. Положим |со| = п и Z(o>) = к. Единственной ком-
позицией числа 0 будем считать пустое множество. Обозначим ее
символом () и положим |()| = 0,Z (()) = 0. Легко видеть, что число п
имеет ровно 2П“1 композиций.
Пусть ... — конечное или счетное множество переменных
степени degtf = 2.
Определение А.139. Квазисимметрическим мономом ком-
позиции со = (jp ..., ;\) называется выражение вида
Мш = S гдемо = 1.
Степень монома равна 2|со| = 2(j\ +... + j\).
Произведение мономов Мф и имеет вид
мЫ'Мш„ = S ( Е
где для композиций со = (j1(jfc), со' = (j', и со" = (j^,j(")
через П' и Q" обозначены всевозможные строки длины к вида
П' = (0,jp 0, П," = (0, ..„j", ...j",..., 0),
478
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Умножению и соответствует умножение композиций, назы-
ваемое перекрывающимся тасовочным умножением. Например,
МтМт = ( S S t Л = Z t* + 2 S titj = M(2) + 2M(1.
Vi J k j J i i<j
что соответствует разложениям
(2) = (1) + (1), (1,1) = (1,0) + (0,1) = (0,1) + (1,0),
и
= ( Stf') f S tjtk} = + +3 S =
Vi J k j<k J i<j i<j i<j<k
— ^(2, i) +M(1>2) + 3M(U>1),
что соответствует разложениям
(2,1) = (1,0) + (l, 1), (1,2) = (0,1) + (1,1),
(1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,1) = (0,1,0)+(l, 0,1) = (0,0,1) + (1,1,0).
Таким образом, конечные линейные комбинации квазисимметри-
ческих мономов образуют градуированное кольцо. Это кольцо на-
зывается кольцом квазисимметрических функций и обозначается
QsymEti,..., tr] = Qsym^Etj,..., tr] в случае г переменных либо
£sym = £sym2n в случае бесконечного числа переменных, где
п^0
Qsym2"^,..., tr] и &sym2n — группы однородных элементов степе-
ни 2п.
Замечание А.140. Мы будем часто пользоваться тем, что огра-
ничение
&sym2n —> Qsym2n[t15..., tr], при котором -+ 0 для i > г,
является мономорфизмом при г п.
Так как rank&sym2n = 2я"1 при п 1, ряд Пуанкаре кольца ква-
зисимметрических функций имеет вид
00 00 -I f.2
(rank£sym2n)t2n = 1 + £ 2n-1t2n = _ . 2.
n=0 n=l 1
В работе [602] M. Хазевинкель доказал гипотезу Диттерса о том,
что кольцо £sym является алгеброй многочленов над кольцом це-
лых чисел. Следовательно, имеет место формула
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
479
где Pi — число мультипликативных образующих степени 2i. Эти чис-
ла находятся рекуррентно.
А.6.2. Флаговые векторы
Как отмечалось в примечаниях к гл. 8, одной из ключевых нере-
шенных проблем теории выпуклых многогранников является про-
блема флаговых чисел. В случае простых многогранников эта про-
блема решена и формулируется как g-теорема (см. § 8.6).
Зададим на множестве 2[0,п-1] всех подмножеств в [0, п - 1] =
= {0,1,..., п — 1} полный порядок следующим условием: множество
Si = {fli < ••• < акУ меньше множества S2 — {Ьг < ... < bj} тогда
и только тогда, когда слово akak_1...a1 меньше слова
в лексикографическом порядке (для множеств натуральных чисел
одинаковой мощности это определение даёт в точности г —lex-
порядок из § 8.5). Например,
0 < {0} < {1} < {0,1} < {0,1, 2} < {3} < {0,1, 2,3}.
Пусть Рп — п-многогранник и S = {dj < ... < ak} с [0, п — 1].
Определение А.141 (см. замечание 4 к гл. 8). Флаговым числом
fs = f{a1}...,ak} называется число возрастающих цепочек граней
Fa* с F«2 с _ с F«kt Где dimFQl = df.
Положим /0 = 1. Например, число f{i} равно числу ft граней размер-
ности i (см. определение 8.16). Длину к цепочки обозначим через
Z(S). Имеем 0 $ к $ и. Флаговым вектором многогранника Рп на-
зывается набор {fs} всех флаговых чисел, упорядоченный согласно
описанному выше порядку на множестве 2[0,п-1]. Флаговое число fs
и флаговый вектор элемента Р = ЦР” е ?р2п определяются по ли-
нейности. 1
Утверждение А.142. Для любого многогранника Рп, п^0,и мно-
жества S = {dj,..., ak} с [0, п — 1] имеет место формула
fs(Pn) = dnda3_a2...dn_akPn. (А.143)
Утверждение А.144. Для многогранника Р размерности п — 2^0
и множества S с [0, п — 2] имеют место формулы
fs(VP) = (0, n-2<£S; I fs\{n-2} O’), n — 2 e S;
fs(ep) = ffs(P), n-2^S; ( 2/s\{n-2}(^)> n — 2 e S.
480
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Доказательство. Для S = 0 формулы верны. Пусть к 1 и S =
= {а„...,ак}.
Имеем
/s(2)P) = ?1(da2_ai...dn_atDP) и /s(ep) = ?1wa2-ai-4-1-akep).
Если п-ак^3, то dn_ak©Р=0 и dn^_ake=dn_2_ak> поэтому/s(DP)=0
и /S(CP) = /$(Р). Если же и - ак = 2, то dn_afcD = 1 и dn^1_ak6 = 2,
поэтому
/S(DP) = ?lda2-a1...dn-2-ak_1^ = А\{п-2}(^)>
Л(СР) = 2?1da2_ai...dn_2_afc_iP = 2/s\{n_2}(P). □
Ряд важных результатов о флаговых векторах получен в работе
[62]. Среди них обобщенные соотношения Дена—Соммервилля, по-
лучившие название соотношений Байер—Биллеры.
Теорема А.145 (см. [62, теорема 2.1]). Пусть
Sc [0,п-1], {i, k} с SU{—1, и},
где i < к — 1, и S П {i 4-1,..., к — 1} = 0. Тогда для любого п-многогран-
ника Рп имеет место формула
к-1
Е (-l))-‘-i/Su{.} = (1 - (-l)'£-i-1)/s. (А.146)
j=i+l
В нашем изложении этот результат вытекает из следствия А.207
и необходимости уравнений (А.203) и (А.204) в теореме А.202.
Определение А.147. Для п 2 обозначим через Фп множество
всех подмножеств Sc [0,и — 2], которые не содержат двух после-
довательных чисел. Положим Ф1 = Ф° = {0}. Можно показать по
индукции, что мощность множества Фп равна п-му числу Фибоначчи
сп (с0 = 1, Q = l, Cn+1=cn+cn_1; n^l).
Пусть Qn, п 0, — множество выпуклых п-многогранников,
которые получаются применением к точке pt слов из операто-
ров Ъ = bipyrpyr и ? = руг, упорядоченное согласно лексикогра-
фическому порядку слов, при котором ? < 3. Имеем Q° = {pt},
Q1 = {CPpt}, П2 = {CPCPpt, 3pt}. Каждый многогранник из Qn имеет
вид либо ?Q, Q е Qn-1, либо 3Q, Q е Qn"2, так что |Qn| = |Qn"11 +
4- |Qn-2|. Так как |Г2°| = 1, [Q11 = 1, имеем |Qn| = сп. Отождествим
множества и Фп, сопоставив множеству {а15 ...,ак} многогран-
ник (Tn~ak~2T><Tak~ak-1~2(b..^Ta2~ai~2^aipt. Это соответствие согла-
сованно с порядками на множествах иФп.
§А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
481
Теорема А.148. Пусть п 1. Тогда справедливы следующие ут-
верждения.
1. Для любого множества Т с [0, п — 1] существует линейное со-
отношение, выражающее флаговое число fT(P) через флаговые числа
{fs(P)}s<=vn> которое выполнено для всех п-многогранников Р (см.
[62, предложение 2.2]).
2. Флаговые векторы многогранников из множества Qn аффинно
независимы (см. [62, предложение 2.3]).
3. Флаговые векторы п-многогранников порождают (сп — 1)-мер-
ное аффинное пространство, определяемое уравнениями (А.146) и
f0 = 1 (см. [62, теорема 2.6]).
Первая часть теоремы следует из соотношений Байер—Биллеры
(А.146) при помощи индукции1. Если Т ф Фп, то для некоторого к,
l^k^n, пара {к — 1, к} принадлежит Т U {п}. Пусть Т' = Т \ {к - 1}
и i = шах{; G {—1} и Т: j < к — 1}. В соотношении Байер—Биллеры
к-2
fT= Z (-D^Vruw + d + C-D^/r (А.149)
j=i+l
все множества в правой части строго меньше множества Т, откуда
следует индукционный переход. Отметим, что все коэффициенты
в соотношении получаются целыми.
Что касается второй части теоремы, то верно более сильное
утверждение, которое, впрочем, можно легко получить в рамках
оригинального доказательства М. Байер и Л. Биллеры.
Утверждение А.150 ([615]). Для п 0 рассмотрим матрицу
Кп = {fcQ>s = /S(Q)} G Zc"xc", где Q G S G Фп,
а строки и столбцы упорядочены по возрастанию слов Q и мно-
жеств S. Тогда
detKn = 1.
Здесь мы не будем приводить доказательство этого утверждения
(которое можно найти в работе [615]). Для наших целей удобнее
использовать другой набор элементов кольца задающий базис
в пространстве флаговых векторов.
Определение А.151. Скажем, что упорядоченное множество
Т2п из сп элементов группы <р2п, п 0, задает базис в пространстве
1 Мы приводим оригинальное доказательство первой части теоремы.
482
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
флаговых векторов, если определитель матрицы
равен ±1.
Следствие А.152. Множество задает базис в пространстве
флаговых векторов.
Утверждение А.153. Пусть множество Т2п задает базис в про-
странстве флаговых векторов. Тогда любой целочисленный вектор
{&т}тс[о,п-1], удовлетворяющий соотношениям (А.146), однозначно
представляется в виде целочисленной линейной комбинации флаго-
вых векторов QgT2". В частности, это верно для флаговых
векторов п-многогранников.
Доказательство. Любая координата gT вектора {gr}, удовле-
творяющего соотношениям (А.146), выражается через числа {gs}s^n
по формуле для флаговых чисел многогранников. Так как det К” =±1,
любой вектор {gs}ser единственным образом представляется в ви-
де целочисленной комбинации векторов {fs(Q)}s(=vn> гДе Q^‘T2n-
Следовательно, и вектор {gr}rc[o,n-i] однозначно представляется
в виде целочисленной комбинации флаговых векторов элементов
Q е Т2п с теми же коэффициентами. □
Для двух упорядоченных множеств X с и У с упо-
рядочим множество СХ U T>Y таким образом, что
Схг < Сх2 <=> < х2, Dyi < Т)у2 <=> yi < у2 и Сх < Т)у
для всех х15х2,хеХ, ylfy2,y^Y.
Утверждение А.154. Пусть множества Т2(п-1) и Т2(п-2), и 2,
задают базисы в пространстве флаговых векторов. Тогда множе-
ство Т2п = (СТ2^"1)) и (Т)Т2(п-2)) тоже задает базис в простран-
стве флаговых векторов.
Доказательство. Матрицу К? можно представить в виде
( Кц ^12^
Х22J’
где блокКц отвечает элементам вида CQ, QeT2(n-1), и множествам
S, п —2^ S, а блок К22 отвечает элементам вида DQ, Q е Т2(п-2),
и множествам S, и — 2 е S. Согласно утверждению А.144 имеем
Кп =К^, К21 =0 и К22 =Ц~2. Поэтому
detK£ = detK^"1 • detK""2 = ±1. □
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
483
Следствие А.155. Для любого п 0 множество с ^р2п, со-
стоящее из элементов степени 2п, получающихся из точки pt при-
менением всевозможных слов из букв С и D, упорядоченное лексико-
графически так, что 6 < D, задает базис в пространстве флаговых
векторов.
Пример А.156. Имеем
=
Т2Ф = {Cpt = I},
= {e2pt = 2Д2 -12, T>pt = i2- д2},
~ {C3pt = 4A3 — 2pyr/2 — 2bipyr A2 + bipyr/2,
CDpt= - 2Д3+ 2pyr/2+ bipyr Д2 — bipyr/2,
DCpt = bipyr Д2 — pyr/2}.
Определение A.157. Обозначим через фе1) абелеву подгруппу
в ф, порожденную всеми множествами п 0. Определим про-
екцию 7ieT): ф —> феТ) условием, что флаговые векторы элементов
Р еф и яеТ)(Р) ефе1) совпадают. Для слова W = Cr'DClktD...tDC11 обо-
значим через [W]p коэффициент при элементе Wpt в разложении
проекции яеТ)(Р) по базису.
Из утверждения А.103 следует, что подгруппа феТ) замкнута от-
носительно действия алгебры операторов граней D.
Утверждение А.158. Справедливы соотношения
7ieT)(dkPny) = dk7iel)(Pn) для всех к 0,
яе1)(еР) = Сяе1)(Р) и 7iel)(DP) = Т>яе1)(Р).
Доказательство. Так как флаговые числа элементов dkP, СР
и DP линейно выражаются через флаговые числа элемента Р (это
вытекает из утверждений А.142 и А.103), из условия яеТ) (Р) = 0 сле-
дует, что
7iel)(dfcP) = яет>(СР) = яе1)(1)Р) = 0.
Тогда 7ieT) [dk(P — яеТ)(Р))] =0, поэтому
так как dk7ieT) (Р) е феТ). Аналогично доказываются оставшиеся две
формулы. □
Удобным инструментом для работы с флаговым вектором явля-
ется cd-индекс, см. п. А.6.10.
484
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Определение А.159. Рассмотрим правое действие свободной
ассоциативной алгебры Z(c, d), degc = 2, degd = 4, на кольце ф, при
котором Рс = ЕР и Pd = Т)Р. Так как ptZ(c, d) = фет>, отображение
Z(c, d) ~^Z{E, D) является антиизоморфизмом1.
А.6.3. Алгебры Хопфа
Алгебры Хопфа возникли в топологии Н-пространств, где на
градуированной группе гомологий Н-пространства заданы согласо-
ванные друг с другом умножение Понтрягина и коумножение, ин-
дуцированное диагональным вложением.
Пусть к —кольцо Z или поле. Мы будем называть градуиро-
ванной алгеброй Хопфа градуированную ассоциативную алгебру
f) = У)п, fj° = к, над к с градуированным коассоциативным ко-
п^О
умножением Д: fj —> fj ® fj, удовлетворяющим условию
д(н) = £н;®н" = 1®н+н®1+ s н'®н''
i degH',degH">0
и являющимся гомоморфизмом алгебр. Аугментацией в: к на-
зывается проекция fj —> У)° = к. Если rankf)n < оо для всех п, то гра-
дуирование двойственной алгеброй Хопфа fj* называется алгебра
S (£)п)* с двойственными к операциям в fj умножением и коумно-
п^О
жением и единицей е, а именно, умножение двух функций <р и ф
задается сверткой:
Ы,н) = =
i
а коумножение определяется формулой (Д<р, Нг 0 Н2) = НгН2).
Алгебра когомологий Н-пространства является градуирование
двойственной алгеброй Хопфа к алгебре Хопфа его гомологий.
Определение А.160. Алгеброй Лейбница—Хопфа 3 называется
градуированная алгебра Хопфа %{Zi,Z2,...), degZt = 2i, с коумно-
жением ДZn = Z^Zj, Z$ = l. Положим
i+j=n
00
Ф(0 = 1+z1t+z2t2 + ...= ^zktk.
к=0
Тогда формула коумножения равносильна условию
ДФ(Г) = Ф(Г) Ф(Т).
1 То есть линейным отображением, переводящим произведение ху в ух.
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
485
Утверждение А.161. Коумножение
к
i=0
задает на кольце 2lsym структуру алгебры Хопфа, градуирование
двойственной к алгебре Лейбница—Хопфа 3
Действительно, для композиции со = (j13j\) определим эле-
мент т^ G 3* по формуле
Cl), СТ 5
где Za=Zai...Zai для композиции сг = (аъ а^). Легко проверить,
что умножение и коумножение элементов тпш задаются так же,
как умножение и коумножение квазисимметрических мономов Мш.
Определение А.162 ([619]). (Левым) модулем Милнора М над
алгеброй Хопфа X называется алгебра с единицей 1 G М, которая
также является (левым) модулем над X причем х(1) = е(х) • 1 и
x(ui>) = (u)x"(v), xeX,U,veM, Дх = Хх'п®Хп'-
Утверждение A.163. Антигомоморфизм ft: 3 ~df опре-
деляет на кольце структуру правого модуля Милнора над алгеб-
рой Лейбница—Хопфа 3-
Доказательство следует из утверждения А.89. Отметим, что од-
ночлен Z^ =Z^...Zjk при гомоморфизме Я переходит в оператор
Определение А.164. Положим Я = 3/Ль где двусторонний хоп-
фовский идеал Ju порожден элементами
Zn +... + (-ir-^-iZi + (-l)nZn, n > 2. (A.165)
Все эти элементы являются коэффициентами ряда Ф(—Г)Ф(Г), так
что для алгебры Хопфа Я имеет место формула Ф(-С)Ф(О = 1. Из
соотношения (А.165) следует (следствие А.186 и утверждение А.191),
что Я® Q^Q(Z1,Z3,Z5,Как будет показано далее (следствия
А.186 и А.187), отображение Я-^+Я® Q является вложением.
Обозначим через Ц образ элемента Zz при факторотображении
3 —► Я. Отображение ft определяет на кольце ф структуру право-
го модуля Милнора над алгеброй Хопфа Я. Факторотображение
3 -*3/Лх является эпиморфизмом, поэтому двойственное ему отоб-
ражение градуированных двойственных алгебр Хопфа Я* —> 3* =
= £sym является вложением.
486
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Определение А.166. Алгеброй Ли—Хопфа называется градуиро-
ванная алгебра Хопфа 2U = Z{W19 W2,...), degWt = 2i, с коумноже-
нием AWn = 1 ® Wn + Wn ® 1, Wo = 1. Алгебра Хопфа 2U* известна
как тасовочная алгебра.
Соответствие
1+Z1t + Z2t2 + ... = exp(W1t + W2t2 + ...) (А.167)
определяет изоморфизм алгебр Хопфа 3 ® Q — 2U ® Q.
А.6.4. Слова Линдона
Известная теорема из теории алгебр Ли (см., например, [608])
утверждает, что алгебра 2U* ® Q является алгеброй многочленов от
так называемых слов Линдона.
Определение А.168. Пусть [аь ...,ап]—элемент из №° = |J Nn,
n^O
т.е. слово, состоящее из символов а19...,ап, af€N, где N — мно-
жество натуральных чисел. Упорядочим такие слова лексикогра-
фически, считая пустое множество меньшим любого символа, т. е.
[аь ..., ап] > [Ьг,..., Ьт] тогда и только тогда, когда найдется такое
i, что Qj = Ъ19 ..., а^ = bt_19 at >bi9 1 $ i $ min{m, и}, либо n > m
иа1 = Ь1,...,ат = Ьт.
Собственным концом слова [а1?..., ап] называется любое слово
вида [ab ..., an], 1 < i $ п. (Пустое слово и слово, состоящее из одно-
го символа, не имеют собственных концов.)
Словом Линдона называется такое слово, которое меньше любо-
го своего собственного конца. Например, слова [1,1, 2], [1,2,1, 2,2],
[1,3,1, 5] является словами Линдона, а слова [1,1,1,1], [1, 2,1,2],
[2,1] не являются. Положим Lyn= |J Lyn2n, где Lyn2n — множество
n^O
всех слов Линдона степени 2(аг Ч-h an).
Понятие слов Линдона можно ввести для любого вполне упоря-
доченного конечного или бесконечного множества. Далее важную
роль будут играть слова Линдона для множества odd всех нечетных
натуральных чисел.
Следующий результат играет важную роль в приложениях слов
Линдона.
Теорема А.169 (факторизация Чена—Фокса—Линдона, см. [591],
[604]). Каждое слово w е№° единственным образом представляет-
ся в виде невозрастающего произведения слов Линдона
W = U1^U2*...*Uk, Щ G Lyn, U! U2 ... uk.
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
487
Например,
[1,1,1,1] = [1]*[1]*[1]*[1],
[1,2,1,2] = [1,2] *[1,2],
[2,1] = [2] *[1].
Доказательство теоремы не требует специальных знаний, и мы остав-
ляем его читателю в качестве упражнения (упражнение А.6.1).
Алгебра 2U* аддитивно порождена словами из множества №°.
При этом слово w = [аъ ..., ап] соответствует такому линейному
отображению 2U —» Z,что([а1; ...,an],Wa) = 5Wt<J, rneWa=Wbi...Wbl,
ст = ...,bz), и для слова ш = [а1э.ап] имеем
(1, ст = (а1,...,ап);
[О иначе.
Умножение в алгебре 2U* называется тасовочным умножением и
имеет вид
[di,пп] xs^ [czn+i,Gm+n]
S[^cr(l)j •••> ^cr(n)> ^(7(n+l)i •••> ^<7(n4-m)L
a
где a — такая перестановка из группы что
сг-1(1) < ... < сг-1(п) и а-1 (п4-1) < ... < сг-1(п + 7п).
Например,
[1] xsh [1] = [1,1] + [1,1] = 2[1,1];
[1] xsh [2, 3] = [1,2, 3] + [2,1, 3] + [2,3,1];
[1, 2] xsh [1, 2] = [1, 2,1, 2] + [1,1, 2, 2] + [1,1, 2, 2] +
+ [1,1, 2, 2] + [1,1, 2, 2] + [1, 2,1, 2] =
= 2[1, 2,1,2]+4[1,1,2, 2].
Приведем известный результат о структуре тасовочной алгебры.
Теорема А.170. Справедливо соотношение 2H*®Q=Q[Lyn], т. е.
тасовочная алгебра над полем рациональных чисел является алгеб-
рой многочленов от слов Линдона.
Доказательство получается из следующей теоремы, описываю-
щей связь тасовочного умножения и факторизации Чена—Фокса-
Линдона, которую мы приводим без доказательства (его можно най-
ти в книге [608]).
488
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Теорема А.171. Пусть ш —слово из №° и w = их*и2*... *ит —
его разложение Чена—Фокса—Линдона. Тогда все слова, которые
встречаются в разложении тасовочного произведения
UlXshU2Xsh-XshUm
с ненулевыми коэффициентами, не превосходят слова w относи-
тельно лексикографического порядка, при этом слово w встречает-
ся в этом разложении с ненулевым целочисленным коэффициентом.
Используя этот результат, нетрудно доказать теорему о струк-
туре тасовочной алгебры в случае произвольного подмножества
М = {т1,т2> ...}cN.
Пусть 2UM = Z(V%, Wm2,...), &Wmi = 1 0 Wm. + Wm. 01,-свобод-
ная ассоциативная алгебра Хопфа и LynM — соответствующее мно-
жество слов Линдона.
Теорема А.172. Справедливо соотношение W*M 0 Q = Q[LynM].
Доказательство. Покажем по индукции, что элементы множе-
ства LynM порождают всю алгебру 0 Q. Пусть тг GM —мини-
мальный элемент, тогда [mJ — слово Линдона. Предположим, что
все слова, меньшие слова ш, могут быть представлены как много-
члены от элементов множества LynM. Применяя предыдущую тео-
рему к разложению Чена—Фокса—Линдона ш = иг * и2 * ... * ит, мы
получаем представление
ui xshu2 xsh"' xshum = aw + (остаток), где a G Z, а > О,
и все слова из остатка меньше слова ш. По предположению индук-
ции остаток является многочленом от элементов множества LynM.
Поэтому tv G Q [LynM ].
Таким образом, элементы множества LynM порождают алгебру
® Q- Так как каждое слово степени 2п в алгебре W*M имеет един-
ственное разложение Чена—Фокса—Линдона, число одночленов от
слов Линдона LynM степени 2п равно размерности градуированной
компоненты алгебры W*M 0Q степени 2п. Следовательно, одночле-
ны от слов Линдона линейно независимы, слова Линдона алгебраи-
чески независимы, и 0 Q = Q[LynM]. □
Следствие А.173. Алгебра Хопфа 2U*dd 0 Q является алгеброй
многочленов от слов Линдона Lynodd.
Рассмотрим градуированное кольцо W*odd 0Q[/3], где deg /3 = 4.
Теорема А.174. 1. Справедливо соотношение
dim(2D^d ® Q[0])2n = сп, п? О,
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
489
следовательно, имеет место разложение производящего ряда чисел
Фибоначчи в бесконечное произведение:
= = П (А-175)
где к2 = 1 и если п^2,токп = \ Lyn2dd | — число слов Линдона степени
2п из множества Lynodd.
2. Справедливы неравенства кп+1 ^kn^Nn — 2, где Nn — количе-
ство представлений числа п в виде суммы нечетных натуральных
чисел.
Доказательство. 1. Размерность [лп = dim(2U*dd ® Q[/3])2n рав-
на 1 при п = 0,1. При и 2 базис в этом пространстве образу-
ют элементы вида [а1за2, ...,ак]/31, где аь ..., ак — нечетные числа
и аг + ... + ак + 21 = п. Элементы [1, а2,..., ак]/31 взаимно однознач-
но соответствуют элементам [а2, ...,ak]fil степени 2(n- 1), а эле-
менты [аь а2,..., ак]/31, аг 3, и элемент /31 взаимно однозначно со-
ответствуют элементам [аг — 2, а2,..., ак]/31 и /31~г степени 2(п — 2).
Таким образом, (лп = + рьп_2 = сп.
2. Имеем кг = к2 = к3 = 1. Пусть п 3 и w = [аъ ак] GLyn2dd.
Тогда
[1,ш] = [l,ai,...,afc]eLyn^+1).
Действительно, для любого собственного конца [а(,..., ак], i 1, ес-
ли > 1, то [ар ..., afc] > [1, ш]. Если af = 1, то i/к и [af+1,..., ак] >
> [а1?..., ак], так как ш — слово Линдона. Таким образом, кп+1 кп.
Любое разложение п = dr + ... + dk в сумму нечетных нату-
ральных чисел di $ d2 $ ... $ dk, за исключением случая к > 1,
d1 = ... = dfc = d, дает слово Линдона [d1?..., dk] G Lynodd.
Разложению, состоящему из одинаковых слагаемых d, при d 5
можно поставить в соответствие слово Линдона [1, d - 2,1, d,..., d].
При d = 1 или d = 3 мы получаем два разложения, которым мо-
жет не соответствовать никакого слова Линдона, следовательно,
kn^Nn-2. □
Пример А.176. Пусть п = 6. Тогда
6=1 + 5 = 3 + 3 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 14-1 + 1 + 1.
Таким образом, к6 = 2, но N6 = 4. Следовательно, оценка из п. 2
неулучшаема.
490
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Пример А.177. Для малых п мы имеем
п
3 4 5 6 7 [3] [1,3] [5], [1,1,3] [1,5], [1,1,1,3] [7], [1,1,5], [1,3,3], [1,1,1,1,3]
Замечание А.178. • Из классических результатов следует, что
произведение (А.175) абсолютно сходиться при |t| < \
• Известно, что количество разложений натурального числа п
в сумму нечетных натуральных чисел равно количеству разложений
числа п в сумму различных натуральных чисел. Например,
2 = 1 + 1 = 2,
3 = 1 + 1 + 1, 3 = 1 + 2, 3,
4 = 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 3 = 1 + 3, 4,
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 3, 5 = 1 + 4, 2 + 3, 5.
Замечание А.179. Числа к, можно найти следующим образом.
Пусть а+ = а_ = 1-2^ и Ln = а" + а" — числа Люка (£0 = 2,
Li = 1, Ln = Ln_j + £п_2, поэтому Ln = сп + сп_2 при п 2). Тогда
l-t-t2 = (l-a+t)(l-a_t) и
— ln(l -1 -t2) = - ln(l - a+t) - ln(l - a_t) = - £ kf ln(l -t‘);
n=l i=l r=l
Следовательно, Ln = 2 для и 1. Используя формулу обращения
i|n
Мёбиуса, получаем
nkn = SM(d)bn/d>
d|n
(А.180)
где /1(п) — функция Мёбиуса, т. е.
1, n = 1;
М(п) =
°,
и = Pi...pr, {pf} —различные простые числа;
п содержит в разложении на простые множители
квадраты.
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
491
Если р — простое число, то кр =
кп = 18ит.д.
например к5 = 2, к7 = 4,
Формула (А.175) и числа кп (см. номер А006206 в онлайн-эн-
циклопедии целочисленных последовательностей (OEIS)) возника-
ют в различных разделах математики. Например, известно, что кп
при п > 1 равно также числу слов Линдона длины п из нулей и еди-
ниц, не содержащих двух подряд идущих нулей. Эти же числа по-
являются при оценке количества циклов в теореме Шарковского
и в гипотезах про кратные дзета-значения. В целом наше изложение
следует работе [615]. Мы благодарны А. В. Устинову за полезные об-
суждения и информацию и приводим предложенный им улучшен-
ный вывод формулы для чисел кп.
А.6.5. Структура алгебры 2) операторов граней
Теорема А.181. Антигомоморфизм Я: 3D, переводящий Zk
в dk, индуцирует антиизоморфизм градуированных колец
Т) ~ Н = 3/Лх- (А.182)
Доказательство. Нам потребуется следующий результат.
Лемма А.183. Пусть D G D_2fc- Тогда существуют такие одно-
значно определенные многочлены и, и', w, w' от некоммутирующих
переменных, что операторы
u(d2, d3, •••, ^к) + dw(d2, d3,..., d^J, (A.184)
u'(d2, d3,..., dk) + w'(d2) d3,..., d^Jd, (A.185)
действуют на каждом пространстве <p2n, n^k, так же, как опера-
тор D.
Доказательство. Для к = 0, 1 и 2 утверждение верно, так как
d2 = 2d2. Пусть к 3. Из соотношений (А.97) следует формула
ddf-(-l)ldfd =
= d2di-i - d3di-2 + - + (-l)i’1di_id2 + (1 + (-l)i+1)di+1.
Пользуясь тем, что d2 = 2d2 и в правой части формулы оператор d от-
сутствует, мы получаем существование операторов (А.184) и (А.185).
Положим а = ао>Ош, b = L|<o|=i-i гДе У композиции
а> = (Ji,jr) все ji больше 1 и =dji...djr. Пусть (а + db)Pn = 0
для любого п-многогранника Рп, где I $ п. Тогда (a -I- db)Pn = 0.
492
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Имеем
Z а«Л(Ш)(Рп)+ S и.-№Л = о,
Ы=/ |со|=/-1
где S(co) = {п - |со|, п - |<х>| 4-Л, п - |а>| + }г + j2, jr}.
Из соотношений Байер-Биллеры получаем
п-1-1
f{n-l}uS(cJ) = (“I)" 1 1 S (~l)S * 7/{j}uS(co) + (1 + (- 1)П 9/s(co),
j=0
Теперь все множества S(o>) и {j}US(a>) попарно различны и при-
надлежат семейству Фп. Так как векторы {fs(Q)линейно
независимы, все коэффициенты и равны нулю. Поэтому пред-
ставление (А.184) единственно.
Таким образом, операторы вида и dD^ степени -2/с, где все
ji больше 1, образуют базис абелевой группы £>-2k|^2n« Каждый опе-
ратор dDo/ может быть представлен в виде целочисленной комбина-
ции операторов и D^d, где все jt больше 1, поэтому операторы
вида и D^d тоже образуют базис. Следовательно, представление
(А.185) также единственно. □
Теперь докажем теорему. Отображение 3 —>33 сюръектив-
но. Пусть z = 2 € 32fc и = 0. Пользуясь соотношениями
\а>\=к
(А.165), мы можем (как в доказательстве леммы А.183) представить
элемент z в виде
Z = Zj aco^h'"^jr + Zj ba}Z1Zji.,.Zjr-^-Z , z G Ju.
\^\=k,j^2 |co|=k-lj^2
В силу утверждения A.96 идеал Ju принадлежит ядру отображения
X поэтому Rz = 3tez = 0 = fR(z - /). Следовательно,
S a'Jir-dh+ S Ьша,г..^а = о.
\a)\=k,j^2 |co|=k-l, j^2
По лемме А.183 все коэффициенты а'ш и равны нулю. Поэтому
z = Ju.
Таким образом, KerfR = Ju, откуда следует, что З/^ц — □
Антигомоморфизм р: Н—>11, переводящий Ц в Ui9 является би-
екцией.
Следствие А.186. Композиция : Я -»£) — изоморфизм градуи-
рованных колец.
Следствие А.187. Кольцо V не имеет кручения.
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
493
Следствие А.188. Коумножение dk —♦ ® dj определяет на
кольце Ф структуру алгебры Хопфа, изоморфной алгебре Хопфа 1L
Кольцо ф имеет каноническую структуру левого модуля Милнора
над алгеброй Хопфа %).
Следствие А.189. Операторы d2, d3,d4,... алгебраически неза-
висимы.
Следствие А.190. Имеем
гапкФ_2п = сп_!, п 1.
Доказательство. По лемме А.183 одночлены d;- ...dj, где г 1
и •••> Л-i 2, образуют базис группы Ф_2п. Имеем гапкф_2 =
= гапкф_4 = 1- При п 3 операторы, для которых j\ = 2, взаимно
однозначно соответствуют операторам dj2...dJr степени — 2(п — 2),
а операторы, для которых 3, взаимно однозначно соответствуют
операторам dji_1dj2...djr степени -2(п - 1). Таким образом,
гапкФ_2п = гапкф_2(п_2) Ч-гапк©.^-!) = cn_v
□
Утверждение А.191. Алгебра Ф 0 Q является свободной ассоци-
ативной алгеброй от операторов d19 d3, d5,..., т. е.
Ф 0 Q = Q(di, d3, d5,...).
Доказательство. Из соотношений (А.97) следует, что для лю-
бого k 1 оператор d2fc выражается как некоммутативный много-
член от операторов dlfd3, ^-fd2k_lf поэтому кольцо Ф 0Q порож-
дается операторами dbd3, d5,... С другой стороны, найдем число
1п одночленов вида d2ii_1...d2ir_1 степени -2п. Имеем 1г = l2 = 1.
Для п^З одночлены ddj2...djr взаимно однозначно соответствуют
одночленам dj2...dJr степени -2(п - 1), а одночлены d7id72...d7r,
для которых Ji 3, взаимно однозначно соответствуют одночленам
d7i_2d72...d7r степени —2(п-2), поэтому 1п = 1п_1 + Zn_2 = сп-1- Таким
образом, ln = dimD_2n 0Q, поэтому одночлены линейно независи-
мы. Следовательно, операторы d1,d3,d5,... алгебраически незави-
симы и Ф 0Q = Q(db d3, d5,...). □
Напомним (см. утверждение А.100), что на кольце простых
многогранников имеют место соотношения к!dfc |& = dfc|e и кольцо
Ф(6) изоморфно алгебре разделенных степеней ЗЛЛ где идеал J
fk + l Л
порожден соотношениями ZfcZz - I ]Zk+i.
494
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Определение А.192. Введем оператор тт(Г) GD 0 Q[[t]] по фор-
муле
Л(О = S TV"-1 = Ф(-О^Ф(О = L S(-l)4n-i)d^_, к"’1.
п>1 п»1М=0 J
Для любых элементов Р, Q е ф имеем
Ф(О(Р<2) = (Ф(г)Р)-(Ф(е)(2),
поэтому
^(t)(PQ) = (^Ф(ОР) • (Ф(0<2) + (Ф(ОР) • (£ф(О<г)
и тт(Г) (PQ) = (7t(t)P)Q + P(7t(t)Q). Следовательно, каждый оператор
пп (t) является дифференцированием.
Утверждение А.193. Имеет место изоморфизм
D0Q = Q(tt1,7T3, тт5,...),
где Q{n19 тт3, тт5...), degTtf = —2i, — свободная ассоциативная алгеб-
ра Хопфа с коумножением 01 +10 7tf.
Доказательство. Имеем = d, п2 = 2d2 “ d2,
= ndn - (и - l)ddn_i +... + (-l)n"1dn_1d. (А.194)
Из формулы (А.194) и соотношений (А.97) следует, что
= (2д -1)• • -(2jr-l)d2jl-i...d2jr_1 + (остаток),
где остаток является суммой меньших одночленов от &2к~г}. Те-
перь результат легко вытекает из утверждения А.191. □
А.6.6. Флаговые квазисимметрические функции
Конструкция
Любое линейное отображение колец а: RT —♦ R2 можно продол-
жить до линейного отображения а: [t] —*Я2 М, положив
a(r0 + r1t + ... + rntn) = a(r0)4-a(r1)t-h...4-a(rn)tn.
Если а — кольцевой гомоморфизм, то и его продолжение является
кольцевым гомоморфизмом.
Согласно утверждению А.95 отображение Ф(Г): явля-
ется кольцевым гомоморфизмом. Тогда соответствие
Р - Ф(с2)Ф(Г1)Р
§А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
495
описанным выше способом определяет кольцевой гомоморфизм
«Р-»Qsym[t1, t2] ®q3cq3[tb t2].
Повторяя эту конструкцию, на n-м шаге мы получим кольцевой
гомоморфизм
Фп: 93 Qsymttj, ...,tn]®93: Ф^, ...,tn)P =
По построению Фп(с1; ..., tn_1; 0) = ФП-1(А> • ••> tn-i). Это позволяет
получить предельный гомоморфизм Фда: 93 —> £sym ® 93:
*ooP=Z 2 MUk........Ji}®(d;i...dAP). (А.195)
Взяв его композицию с 1 ® £s, получаем флаговую квазисимметри-
ческую функцию — кольцевой гомоморфизм &: ф —♦ £sym[s]:
и
W") = ^ФхРп = $n+ S
k=10^a1<...<ak^n-l
Для каждого г 0 имеем кольцевые гомоморфизмы
tr, 0,0,...): ф -> Qsymtti,tr] [$].
Согласно замечанию А.140 образ <^(Р) элемента Р еф2п полностью
определяется многочленом ^Г(Р) для любого г п.
Для п = 1 получаем
^l(s, tl)(P") = Sn +f{n-1}sn-\ +... +/{0}tJ = F(s, tj).
Это однородный F-многочлен от двух переменных (см. определение
А.1). Таким образом, при п 2 многочлен является обобщением
F-многочлена выпуклого многогранника.
Следующее утверждение легко проверить прямым вычислени-
ем.
Утверждение А.196. При к^О выполняется соотношение
tl> f2> -Hp)|t=o>
или, сокращенно, <^(Ф(С)Р) = <^(s, t, t19 t2i...).
Операторы 6 и D
В этом подпункте мы покажем, что на кольце £sym[s] опреде-
лены операторы С и В таким образом, что отображение : ф —>
—>£sym[s] эквивариантно.
496
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Утверждение А.197. Для отображений
6, ®: £sym[s] —» £tsym[s],
£g = sg(s, 0,0,...) + tjgfs, t2> •••) + S (tn + tn-i)gU tn, tn+1,...);
n=2
2>g = scrxgts, 0,0, •••) + E (h +•• + tn)g(s, tn, tn+1,...),
n=2
где cr1 = справедливы соотношения
Ж) = C^(P), ^(®P) = D^(P) для всех P G <p.
Доказательство. Легко показать, что
C[sJ1] =s71(s + 2M(1));
e[sjiMQk> j2)] =
D[sJ1] = +M(2)+2M(1}1)) = +
..= sh (M(lj*+ljk-i,..,h) +M(2,Jb--.А) +2М(1Д,Л. - Ja))’
поэтому отображения корректно определены. Из утверждения А.103
имеем
= Ф(сг)е — e + ti + t^Ctj);
Ф2е = ФС^ФС^е = е + Сг + аг + ^Жг^ + ^ФССгЖС!);
Фпе = е+tn+(tn+tn_j) ф (tn) + (tn_j+гп_2)ф(сп)ф(^-1) + ••
... + Г1Ф(СП)...Ф(С1);
Фме = е+t2,...) + Z(tn+tn-i^oo(tn>tn+i> •••)•
п=2
Так как ^se = s^s, получаем
Jf(CP) = ^ФооСР = $^(5,0,0, ...)(P) + t1^(s, t1; t2) ...)(Р) +
+ S (tn+tn_i)^(s, tn, tn+1, ...)(P) = e^(P).
n=2
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы 497
Далее,
= Ф(Г!)Т> = Т>+(64-^)^;
Ф21> = Ф(г2)Ф(^1)^ = ®+(е+с2)(с1+с2)+с1(г1+г2)Ф(с2);
фп1) = D+(e+tn)(t1+...+tn)+(ti+"-+tn-i)(tn-i+£n^(tn)+
+ (ti+• •.+tn_2) (tn-a+tn-iWtJ^Ctn-i)+•••
...4-с1(г1+г2)Фап)...Фа2);
Фо,® = D+e(t1+t2+...)+2 (t i+...+tn_i) (tn-i+tn) фоо (tn, tn+1,...).
n=2
Так как £SD = 0, получаем
<^CDP) = ^ФооСИР) = scr^Cs, 0,0,...) +
+ E (ti +... + tn-i)(tn_i + tn)^-(s, tn, tn+1,...) = CD^(P). □
n=2
Определение A.198. Определим на кольце £sym[s] правое дей-
ствие алгебры Z(c, d) условием gc = Cg и gd = ©g.
Из следствия А.155 и утверждения А.197 вытекает следующий
результат.
Утверждение А.199. Отображение & эквивариантно, и <^GP) =
= lZ(c, d).
Кольцо флаговых векторов
При отображении & образы двух элементов Р, Q е ф совпадают
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые флаговые век-
торы.
Определение А.200. Кольцом флаговых векторов $ назовем
кольцо
qi/KerJ^^cp).
Замечание А.201. Из утверждений А.196 и А.197 следует, что на
кольце $ определены действия алгебры операторов граней D и опе-
раторов С и D, в частности, оператор d является дифференцирова-
нием. Проекция лет> задает эквивариантный изоморфизм 3 —> ^рет>.
На кольце $ имеются и другие важные операторы, возникающие
498
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
из геометрии многогранников. Один из таких операторов играет
ключевую роль в геометрической интерпретации cd-индекса (см.
[603]).
Пусть Рп с — выпуклый многогранник и сх—линейная функ-
ция общего положения. Будем использовать упорядочение вершин,
задаваемое этой функцией. В каждой вершине v многогранника
Р рассмотрим «вершинную фигуру» Qv = P/v (см. § 2.1). Положим
Rv = Qu О {х: сх = си}. Для максимальной и минимальной вершин
v = vmax> vmin это пересечение пусто, а для всех остальных вершин v
получаем выпуклый (и - 2)-многогранник Rv. Можно показать, что
его комбинаторный тип не меняется при малом изменении линей-
ной функции сх. Положим
X(Pn) = S R*.
v^vmax >vmin
Оказывается, проекция леТ)(ХР) не зависит от выбора функции сх
и леТ) (Р) = CW 4- D лет>(ХР) для некоторого элемента W G фет>, по-
этому оператор X корректно определен на кольце флаговых векто-
ров. Более того, имеет место формула 2W = леТ) [(d - СХ)Р]. Таким
образом, оператор X позволяет получить рекуррентную формулу
2лет>(Р) = Сле1) [(d — CX)P]4-2D7tei)(XP),
выражающую CD-проекцию n-многогранника Р через CD-проекции
(и — 2)-мерного элемента ХР и (и - 1)-мерного элемента (d - СХ)Р.
Теорема А.202. Подгруппа <^г(ф2п) с Qsymtti,..., tr][s], г и,
является прямым слагаемым и состоит из всех таких однородных
многочленов g степени 2п, что
g(s, t19 -t19t3,..., tr) = g(s, 0,0, t3,..., tr);
g(s, t19t2, ^4, • ••, tr) = g(s, fi, 0,0, fr);
g(s, t19..., tr_2, tr_19 -tr_J = g(s, t19..., tr_2,0, 0);
и
g(-s, ti,..., tr_19 s) = g(s, ti,..., tr_19 0); (A.204)
Эти уравнения равносильны соотношениям Байер—Биллеры (А.146).
Доказательство. Тот факт, что подгруппа <^гСР2п) является пря-
мым слагаемым, непосредственно вытекает из уравнений (А.203)
и (А.204), поэтому достаточно показать, что она описывается этими
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
499
уравнениями. Имеем Ф(-г)Ф(г) = 1 = Ф(0)Ф(0), поэтому
^Фаг)...Фа3)Ф(-с1)Фа1)Рп=<5Ф(сг)...Ф(г3)Ф(о)Ф(о)Рп;
<5Ф(Сг)...Ф(С4)Ф(-С2)Фа2)Ф(Г1)Рп=^Ф(Сг)...Ф(С4)Ф(0)Ф(0)Ф(С1)Рп;
^Ф(-Сг-1)Ф(Сг-1)Ф(^-2)-Ф^1)Рп=?Л(0)Ф(0)Ф(Гг_2)...Ф(С1)Рп.
Равенство
?_5Ф(5)Ф(сг_1)...Фа1)Рп = <5Ф(0)Фаг_1)...Ф(С1)Рп
вытекает из утверждения А.98. Докажем теперь, что если одно-
родный многочлен g степени 2п удовлетворяет условиям (А.203)
и (А.204), то g = ^Г(Р) для некоторого Р е <р2п. Пусть и > 1. Для
множества S = {а1}ак} с [0, и — 1] обозначим через со(8) компо-
зицию (п — ак, ак — ajt-i,а2 - аг) числа п - аг. Любую функцию
geQsym[tx,tr][s] степени 2п можно записать в виде
g(s,t1,...,tr) = S gsSa'M^S), $С[0,п-1]. (А.205)
S:Z(S)^r
В частности,
W)= s
S: i(S)=gr
Лемма А.206. Пусть geQsym[t1;tr][s]2n. Тогда 1) уравнение
g(s, t1;tq, -tq,tr) =g(s, t1;0,0,tr) равносильно соотно-
шениям.
at+l —1
j=af+l
= (l + (—1) t+1 9S{ai,...,at,at+1,...,afc}
для 1 $ к $ min{r - 1, n -1}, max{l, k + l-q}$t$ min{k, r - q};
2) уравнение g(-s, =g(s, t1?равносильно
соотношениям
аг-1
S ...a*} = (l + (-l)a,’1)g{a],...,M
7=0
для 0 к min{r -1, n -1}.
500
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Доказательство. Имеем
min{r,n} х х
= ^п+ Z Z gZ’( Z
k=l S:l(S)=k v'l$l1<...<lk$r J
min{r-2, n} / x
=g0sn+ z z &X z
k=l l(.S~)=k M^q.q+l J
min{r-l,n}
+ s £&*"/' e c*...t;*--'-*--...tj-’V
k=l !(S)=k I Ij=q, I
G+i/q+i
+ Z Z Z
k=l l(S)=k I l^q, I
G+i=q+1
+ minfr,>n>Z gsSa^ 2 tp-a‘...(-l)a^-a^t“k+2-j-ak-'...t“2’aiY
fc=l !(S)=k I lj=q, 1 I
1}+1=4^
Первые два слагаемых образуют в точности g(s, ..., О, 0,..., tr).
Поэтому все коэффициенты многочлена, состоящего из последних
трех слагаемых, должны быть равны нулю.
Рассмотрим одночлен
где q = lk+1_t.
Наличие такого одночлена в сумме (за исключением тривиального
тождества при к = п) эквивалентно условиям
к $ min{r- 1, п- 1}, k + l-t$q, t-l^r-q-1.
При этом 1 $ t $ к. Равенство нулю коэффициента при таком одно-
члене равносильно соотношению
at+i_i
(l + (_1)at+.-n,)g{ai.......a[ a+i...aj+ £ (-l)>-a'g{ai>...,at;J-a,+1.ak} = 0.
j=af+l
Таким образом, мы доказали первую часть леммы.
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
501
Из подробной записи уравнения
g(-s, Ц,tr_b s) = g(s, t1;Гг_ъ 0) :
min{r—1,п} x x
g0(-s)"+ Z Z gs(-s)a4 L ) +
k=l l(S)=k J
min{r, n} x x
+ Z E gs(-s)ail S rat...<3;a2sa-a') =
k=l l(S)=k Vl$l1<...<l|t=r >
min{r-l,n} z x
= w"+ E E &Я S
k=l f(S)=k '
следует, что оно равносильно соотношениям
ai-1
1) + Zj (“~ S{ax,...,ak}
J=0
для 0 $ к $ min{r — 1, n — 1}.
В частности, при к = 0 мы имеем формулу Эйлера—Пуанкаре
+ (-1)п-1£{п-1} + ••• +&{2} “£{1} +&{0} -
Это завершает доказательство леммы. □
Следствие А.207. Пусть г^п. Тогда для многочлена
g е Qsymtti,..., tr][s]2n
• функциональные уравнения (А.203) равносильны соотношениям
Байер—Биллеры (А.146), i/-l, на коэффициенты {gs}sC[o,n-и
• функциональное уравнение (А.204) равносильно соотношениям
Байер—Биллеры (А.146), f = — 1, на коэффициенты {gs}sC[o,n-и-
Доказательство. Согласно лемме А.206 соотношения (А.203)
и (А.204) следуют из соотношений Байер—Биллеры для i # — 1
и i = — 1 соответственно.
С другой стороны, для i = — 1 соотношения (А.146) следуют из
уравнения (А.204).
Если же S = {аг,..., at, at+1,..., as}, i = at 0 и k = at+1 или
S = {a1?at}, i = at 0, s = t и k = n, то мы можем в лемме А.206
взять любое такое число q, что s + 1 — — t. □
Теперь закончим доказательство теоремы. Если многочлен g е
GQsymtti,..., tr][s]2n удовлетворяет уравнениям (А.203) и (А.204),
502
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
то по следствию А.207 его коэффициенты {£т}тС[о,п-1] удовлетво-
ряют соотношениям Байер—Биллеры. Поэтому согласно утвержде-
нию А.153 и следствию А.155 получаем, что g единственным обра-
зом представляется в виде целочисленной линейной комбинации
g = Ё ?Q^r(Q)-Тогда
QeT2e^ QeT2%
Из доказательства теоремы мы получаем, что rank&г Ср2п) = сп,
г^п.
Утверждение А.208. Если г^2иРп- n-многогранник, то
J^r(s, ..., tr)(Pn) = ^(s, + ... + tr)(Pn) (A.209)
тогда и только тогда, когда многогранник Рп простой.
Напомним, что ^(s, t) =F(s, t) — однородный F-многочлен вы-
пуклого многогранника.
Доказательство. Согласно утверждению А.100 на кольце прос-
тых многогранников выполнены соотношения dk = -j^dk и Ф(г) =etd.
Поэтому
Ф(сг)Ф(гг_1)...Ф(г1) = ФС^ + .-. + гД
Л (s, , ..., tr) (Pn) = (S, ti + ... + tr) (РП).
С другой стороны, пусть
^r(s, ..., tr)(Pn) = ^(s, ti +... + tr)(Pn).
Тогда J^2(s, t2)(Pn) =<^i(5, + t2)(Pn), t. e.
n-l . . .
sn + Z f{/}Si(tri+t2_i)+ L =
i=0 O^i<j^n-1
n-l
= 5"+XW(ti+t2r.
i=0
В частности, коэффициенты при одночлене 1 в левой и правой
частях совпадают. Тогда /{o,n-i} — п/{0}- Следовательно, каждая вер-
шина многогранника Рп лежит ровно в п гипергранях, поэтому он
является простым. □
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
503
Замечание А.210. Переходя к пределу при г —> оо, получаем
^(s, t1} t2, ...ХРп) = ti +t2 + ...)(Pn)
тогда и только тогда, когда многогранник Рп простой.
В случае простых многогранников уравнения (А.203) тривиаль-
ны, а уравнение (А.204) принимает вид
^(—5, + ... + tr-4 + $) = J^i(s, + ... + tr-i).
Положим t = tj -I-... -I-tr_j. Тогда ^(-s, t + s) = <^i(s, t)« Это уравне-
ние равносильно соотношениям Дена—Соммервилля для простых
многогранников (после замены переменных H(s, t) = J^(s - t, t)
уравнение принимает вид H(s, t) =H(t, s)).
A.6.7. Структура двойственной алгебры 5?*
Основная теорема
Отождествим градуированные алгебры Хопфа 3* и £sym (см.
утверждение А.161). Антигомоморфизм Я: 3—переводящий пе-
ременную Zt в оператор di9 сюръективен и согласован с коумно-
жением, т. е. ЛЯ = CR ® %)Д, поэтому кольцевой гомоморфизм
fR*: Э* —► £sym является вложением.
Определение А.211. Для любого г 0 зададим гомоморфизм
$*:£)*—> QsymCtj,..., tr]
по формуле
^г*(^)=Г(^)(Г1,...,Гг, 0,0,...).
Из замечания А.140 следует, что Я* — мономорфизм на группах
Э* 2п ПРИ п г- Получим теперь основной результат этого пункта.
Теорема А.212. Подгруппа •••> r^n^l,
состоит из элементов, удовлетворяющих уравнениям
g(ti, -Г1? t3,..., tr) = g(0, 0, t3,..., tr);
g(t1}t2,-t29t4,...,tr) = g(t1,0,0,t4...,tr);
(A. 2 io )
g(tl, •••, tr-2> tr-l> -tr-1) = gCh, •••> tr-2> 0. 0).
Доказательство. Кольцо сЗ* состоит из линейных функ-
ций ip е 3*, удовлетворяющих условию
(ф, г!Ф(с)Ф(—г)г2) = (гр, ZiZ2) для всех zlt z2 е 3, (А.214)
504
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
т. е. все коэффициенты при tk, к 1, в левой части равенства равны
нулю.
Лемма А.215. Для г 0 выполняется равенство
Ф(ОФаг-1)...Фа2)Фа1)), (А.216)
где для г = 0 произведение Ф^у)..^^) равно единице.
Доказательство. Имеем
со со
поэтому
KW = L Ws ...»tr) =
со: /(со)^г
= t S М-ЧМ................А)((1,...,и =
k=Q
= £ L ОМл-Ч.) S =
к=0(л,...,Ю
= t Z Z {гР,(1^к dh^) = (^Ф^)..^)). □
Тогда
..., ti9 -ti9 ..., tr) = ЬР, Ф(Гг)...Ф(-Г1)Ф(Г1)...Ф(Г1)) =
= {гр, Ф(Гг)...Ф(0)Ф(0)...Ф(Г1)) = TrW)(t19..., О, 0,..., tr)
С другой стороны, пусть многочлен geQsymtti,tr]2n удовлетво-
ряет уравнениям (А.213). Рассмотрим единственную такую функ-
цию ge£sym2n, что g(t19..., tr9 0, 0, ...)=g. Покажем, что gefR*(5)*).
Достаточно доказать соотношение (А.214) в случае, когда zr
и z2 — одночлены. Так как
Ф(0Ф(-0 = 1 + (Z1-Z1)t+(2Z2-Z2)t2 +... = 1 + (2Z2-Z2)t2 + ...
и degg = 2п, случаи degZj + degz2 = 2n и 2 (и — 1) тривиальны. Пусть
к^2 и
гг = ZM, z2 = гш,, со = (Д,..., j(),
•••. Jp, |<о| + |а/| = п — к.
Тогда нам нужно доказать единственное равенство
/ к \
Ef-D'Zfc-iZ, zw,) = o.
V=o J
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
505
Рассмотрим уравнение
g(tl> tb fi+l> fl+3> •••• t(+2+!'> •••, tr) =
= g(tl> •••> 0, 0, tl+3, tl+2+l', tr).
Коэффициент при одночлене г в левой части ра-
вен в точности
f (-D^g.Z^Z^) = (g.zjf (-lyz^z.v,
i=0 \ 4=0 J
в то время как в правой части он равен нулю, поэтому
(g,Z^(t^(-t)Zo,) = 0.
Таким образом, соотношения (А.214) для функции gG £sym вы-
полнены, поэтому g = ^R*i^, 'ф GD*. Следовательно,
g = g(t1,...,tr,O,O,...)=^*(^). □
Определение А.217. Определим на выражениях вида
а+Е Е Е <А-218)
k=ll«l1<-<iUi.
ограниченной степени операции @к по формуле
t2, •••) = g(ti> h-ъ t, -t, tk, tk+i> •••)•
Следствие A.219. Образ Я* CD*) c £sym определяется условием
g G fR*CD*) тогда и только тогда, когда Qkg = g для всех k 1.
(А.220)
Доказательство. Пусть g g &sym2n и g = fR* Сф) для некоторого
гр GD*. Каждый одночлен выражения g(t19..., tk_19 t, —t, tk, tk+1,...)
входит с тем же самым коэффициентом в многочлен
8г+2<А> •••> tk-1, t, -t, tk,tr) = g(tp -t> tk, •••> tr, 0, 0, ...)
для достаточно большого г. По теореме А.212 имеем
gr+ith, •••> fk-ъ t,-t, tk9..., tr) = gr+2(fi> •••, tk-i, 0,0, h,tr\
следовательно, все одночлены, содержащие переменную t, име-
ют нулевой коэффициент. Поэтому и все одночлены в выражении
506
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
g(ti,tk_1} t, —t, tk,...), содержащие t, тоже имеют нулевой коэф-
фициент. Следовательно,
g(ti,tk_b t, -t, tk, ...) = g(tb tk-!, 0, 0, tk, ...) =
= g(tl,
С другой стороны, пусть g e £>sym2n и Qkg = g для всех к 1. Тогда
для квазисимметрической функции
gn(ti,tn) = gftp tn, 0,0,...) е QsymCtj,tn]
имеем
= g(tb •••> ti+2, •••> fn, 0, 0, ...) =
= g(ti,ti-i, w tn, o, o,...) =
= gn(tb •••> fi-n ti+2> •••> tn, 0, 0) = gn(fi, •••> ti-1,0, 0, ti+2,tn)
для 1 i n — 1. По теореме A.212 мы получаем, что gn = Я* Оф),
'ф еЭ12п. Из замечания А.140 следует, что g = Я*гр. □
Утверждение А.221. Имеем
~ Q[Lynodd] u dimDl2n®Q = cn_r
Доказательство. Это следует из утверждения А.193, следствия
А.173 теоремы А.172 о структуре тасовочной алгебры и следствия
А.190. □
Приложения
Пусть £)*[$] — градуированное кольцо многочленов от перемен-
ной s степени —2, где для элемента гр^ G D* 2i элемент гр^ имеет
степень —2(i + j). Это кольцо можно отождествить с подкольцом в
кольце Hom(D, Z[s]), в котором умножение задается сверткой
(V’lCsWzW-D) = Е(^1(ЮО;)(1/>2(5)О"), где ДБ = ®D'!,
i i
а единицей служит аугментация е.
Определение А.222. Зададим отображение ips: ф—>£)*[$] фор-
мулой
{Vs(PXD} = SsDP.
Утверждение А.223. Отображение ips является кольцевым го-
моморфизмом, причем =
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
507
Доказательство. Действительно,
(<ps(PQ),D) = ?SD(PQ) = Ss^D'PXD"Q) =
= XtfsD'P)(£sD"Q) = <ys(P)VsCQ),D),
(¥>s(pt),D) = <$Dpt = e(D).
Далее,
= Z(J<*>pt(P),Za)Ma = ХЫР)Лгш}мш =
CO co
= S S ..„ =
(Л...Л)
= E S ?s(d71...dAP)M(A,...;Ji) = ^(P). □
Утверждение A.224. Подгруппа y>sCP2n) cD*[s]_2n состоит из
всех таких функций ф(з\ что $(s)D) = для любого
De®.
Доказательство. Согласно утверждению А.98 имеем £_5Ф($) =
= £s, поэтому если ^(s) = (^S(P), то
ф(5)р) = ?_5ф($)яр = $sdp = отд).
С другой стороны, пусть для функции i^(s) условие утверждения
выполнено. Тогда многочлен g(s, t15..., tn) = удовлетворяет
уравнению (А.204):
g(-s,t1; tn_!,s) = <1/>(-5),Ф(5)Ф(Сп_1)...Ф(С1)) =
= Ф(О)Ф(СП_1)...Ф(С1)) = g(s, tb tn_u 0).
Из теоремы A.212 следует, что он также удовлетворяет уравнени-
ям (А.203), поэтому по тереме А.202 мы получаем, что g = ^n(P)
для некоторого Р G ф2п. Тогда Я* 1^(5) = g = <^n(P) = ft*(£s(P). Так
как отображение является вложением и ограничение Я* —> Л*
изоморфно на группе при j и, получаем i^(s) = (£S(P). □
Имеется правое действие кольца D на кольце 5)*:
(ф, П)—*ф1)\ (фИ, D') = (ф, DD'}.
При этом если де%ф = —2п и degD = —2k, то deg^D = — 2(n — k).
Подобным образом можно задать действие кольца D[[s]] на кольце
Э* [[5]]. Тогда из утверждения А.224 следует, что ф(—$)Ф($) = ^(s).
Так как для любой функции ^(s) X)* [s]_2n функция 1^(5)Ф(5) имеет
ту же степень, мы получаем следствие.
508
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Следствие А.225. Если xp(s) G !)*[$], то xp(s) G (£SCP) тогда и
только тогда, когда гр(—$)Ф($) = ф($).
Дальше нам потребуется следующий факт.
Утверждение А.226. Пусть гр(з) G (£SCP). Если гр(О) = 0, то
гр(з) =s2,ip(s) для некоторого xp(s) G ^SCP)-
Доказательство. Из леммы А.183 следует, что аддитивно D и
5)* — свободные абелевы группы. Поэтому отображение 0 Q
мономорфно. Поскольку £)* 0Q[s] — кольцо многочленов, в кольце
D*[s] нет делителей нуля. Из следствия А.225 мы получаем, что
(ф0 “ Ф1$ + •••)(! + ds + ...) = ф0 + Ф15 + •••> поэтому ф^й = 2грг.
Следовательно, если ф0 = 0, то фг = 0. Тогда гр(з) = s2xp(s). При
этом (—$)2ф (—$)Ф($) = $2ф($). Тогда ф(-$)Ф($) = гр(з), поэтому
фООес^СР) □
Для ф($) = ф0 + ф1$ +... + фп$п положим
u(s) = ф0+ф252 + ф454 + ... И tv(s) = ф15+ф353 + ...
Тогда и($)Ф($) - и/($)Ф($) = u(s) + w(s). Следовательно,
u(s) (Ф($) - 1) = w(s) (Ф($) +1). (А.227)
Например, 'ip0d = 2fip1, 'ipQd3 + ’ip2d = 'ip1d2 + 2'ip3.
Рассмотрим алгебру Хопфа D 0 Q. Тогда (Х> 0 Q)* Х>* 0 Q, при-
чем условие, описывающее образ кольца ^3 0 Q в кольце D* 0Q[s],
остается тем же, а именно, это формула (А.227).
Утверждение А.228. Для кольца Я)* 0 Q[s] условие (А.227) экви-
валентно соотношению
Ф($) -1
, х f х Ф($) -1 , . 2
iv(s) - и($)ф(-5) + 1 - u(s) фф-! -
2
= иЫЁ(-Ц‘-‘(^)к.
к=1 \ Л J
Замечание А.229. Из этих равенств следует, что если функция
u(s) четная, то функция w(s) является нечетной. Действительно,
—-----1
f . f чФ(-5)“1 _ ^Ф($)
iv( s) - u( 5)ф(_5) + 1 - 1 -
Ф(5)
= U(S)(1 - Ф(х))Ф($)-1 (1 + Ф($))“4(s) =
ЛЛФ(5)-1
“ Ф(5) + 1 “
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
509
Поэтому для любой четной функции u(s) функция
V)(s) - ц(5)+и(5)ф(5) + 1 -и(5)ф(5) + 1
принадлежит образу <ps ® 1 СР ® Q) с V* [s] ® Q.
Положим s = 0. Тогда мы получаем отображение
(^о : V : Р Ч>(№ где {^Р)} D) = Z0(DP),
Утверждение А.230. Отображение <р0®1: ^®Q—>5)*®Q сюръ-
ективно.
Доказательство. Пусть xpQ G D* ® Q. Рассмотрим элемент
Ф($) _ 1
V($) = u(s) + ip(s), u(s) = -0o, w(s) = ^0ф(5) + 1»
Согласно замечанию А.229 мы получаем, что
VW = (<^s <8> 1)Р G 01)(ф® Q).
Тогда (0) = (Vo ® 1) (Р). □
Замечание А.231. Напомним, что кольцо флаговых векторов
J = <Р/Ker(£s состоит из классов эквивалентности целочисленных
комбинаций комбинаторных выпуклых многогранников по отно-
шению эквивалентности: Р ~ Q тогда и только тогда, когда Р и Q
имеют одинаковые флаговые векторы. Имеем rank#2" = сп (см. [62],
а также §А.6.2). С другой стороны, rankDl2n = cn-i согласно след-
ствию А.190, поэтому отображение (р0 : <p/Ker<^s -»Э* не является
мономорфизмом.
Пример А.232. Рассмотрим малые размерности. Обозначим че-
рез элемент базиса, двойственного к базису
т.е.
Пусть п = 1. Имеем pyr(pt) =1, поэтому
(ф/Ker ^)2 = II, ©_2 = Zd, <p0(I) = 2d*.
Пусть п = 2. Имеем руг2(pt) = A2, bipyr pyr(pt) = I2, поэтому
(ф/Ker ^)4 = ZA2®Z/2,
©_4 = Zd2, <р0(Д2) = 3d*, и <р0(/2) = 4d*.
Тогда d* = <р0 (J2 - Д2) и Кег <р0 = Z (3I2 - 4Д2).
510 Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
---------------i у. .. , —... ...... .........
Пусть и = 3. Имеем
bipyr руг2 (pt) = Ыруг(Д2),
руг bipyrpyr (pt) = руг (I2), руг3 (pt) = Д3,
(<P/Ker&)6 = Z Ыруг(Д2) Ф Z pyr((2) Ф Z Д3, D_6 = Zd3®Zd2d,
<р0(Ыруг(Д2)) = 5d* + 18(d2d)*, <p0(pyr(/2)) = 5d* + 16(d2d)*3
9?0(Д3) = 4d; + 12(d2d)*.
Тогда
Im (£0 = Z d* ®Z 2(d2d)* и Ker ip0 = Z(2bipyr(A2) - 6pyr(/2) + 5 Д3).
A.6.8. Мультипликативная структура
кольца флаговых векторов
Теорема А.233. Кольцо флаговых векторов <^(ф) 0 Q является
градуированным кольцом многочленов, причем сйт^(ф2п) 0Q = cn.
Доказательство. Отождествим кольцо D* с его образом
#*(£>*) с £sym
и отображение <ps: %£—►!)*[$] с отображением
ф —* £sym[s].
Для кольца R и набора Т элементов из R мы будем обозначать через
R = Q[T] тот факт, что кольцо R является кольцом многочленов от
образующих Т. Нам потребуется следующий результат.
Лемма А.234. Пусть 7 = {Д($) € ® Q} — набор однород-
ных элементов. Положим = {Д = Д(0) е D* ® Q}. Равенство
<^СР) ® Q = Q[3s s2] имеет место тогда и только тогда, когда
D*0Q = Q[3ro].
Доказательство. Пусть D* 0 Q = Q[J0]. Докажем, что много-
члены {Д Gs)} и s2 алгебраически независимы.
Пусть gG Q[x, у1У у2,..., ур] — такой многочлен, что
g(s2,/1(s),...J/p(s)) = 0.
Запишем это равенство в следующем виде:
go(/l (S), •. /р (S)) + g2(/l (S), • • •, fp(s))s2 + . • .
- + g2q(/iW> ...,/p(s))s24 = 0 (A.235)
§ А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
511
для некоторого q 0. Положим s = 0. Тогда g0(/i, • • •> Д)= Элемен-
ты {Д} алгебраически независимы, поэтому g0 = 0- Так как кольцо
Э* ® Q[s] является кольцом многочленов, мы можем разделить ра-
венство (А.235) на s2. Тогда
g2(/l(5)>-./p(s))+g4(/lW>-JpW)S2 + ...
••• +§2ч(/10)> ...,/p(s))s24-2 = 0.
Повторяя такое рассуждение, мы в итоге получим, что все много-
члены g2i, i = 0,1,..q, равны нулю, поэтому g = 0.
Теперь покажем, что многочлены {ДС$)}, $2 порождают все
КОЛЬЦО ® Q. Пусть Xp(s) = + VM + ••• + Фп$п е ® Q.
Функции { Д } порождают кольцо D* ® Q, поэтому существует такой
многочлен goeQ[yi,ур], 4Tog0(/i, Д) = ^о, deg/$2n.
Рассмотрим элемент i^(s) - g0(/i($),...,/p(s)) G <^(ф) 0 Q. Из
утверждения А.226 мы получаем, что он равен i^(s)s2, где ^(s) G
G^(q32(n'2))0Q.
Повторяя это рассуждение, мы в конце концов получим выраже-
ние функции в виде многочлена от {Д О)} и s2.
Пусть теперь <^(ф) ® Q = Q[J, s2]. Докажем, что многочле-
ны {Д} алгебраически независимы. Пусть gGQty^ ...,ур] — такой
многочлен, что g(/i, ...,/р) = 0. Из утверждения А.226 следует, что
/р($)) =s2g, где ® Q. Мы имеем
g = u(S2,/x(s), ...,fq(sT)
для некоторого многочлена uCx^j, ...,yq) G Q[x,yj, ...,yq]. Если
g / 0, то и / 0 и мы получаем алгебраическую зависимость между
элементами s2 и {Д C-s)}. Следовательно, g = 0. Поэтому элементы из
множества Jo алгебраически независимы.
Из утверждения А.230 следует, что для любого элемента ф G
G D* ® Q найдется такой элемент Р G ® Q, что ф = ((/?0 ® 1)Р. Тогда
мы имеем ^ = (^®1)(P)|S=O. Но C^®l)(P)=u(s2, Д($),..., fr(sY) для
некоторого многочлена uGQ[x,yi, ...,уг]. Тогда ф = у(0, Д,..., jy).
Таким образом, элементы {Д} порождают кольцо 5)* ® Q. Сле-
довательно, D* ® Q = Qt^o]. □
Теперь докажем теорему. Согласно утверждению А.221 имеем
3?* ® Q ~ Q[Lynodd], где Q[Lynodd] — кольцо многочленов от слов
Линдона, состоящих из нечетных натуральных чисел. Поэтому коль-
цо £)* ® Q[s] является кольцом многочленов от слов Линдона Lynodd
и переменной s.
512
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Пусть {Д G Э* ® Q} — функции, отвечающие словам Линдона
при изоморфизме. Рассмотрим многочлены /A(s), определяемые
как
A (s) = Ua(s) + Ua(s) = А> Cs) = + r
Каждый многочлен Д($) является однородным степени deg/A.
Согласно замечанию А.229 эти многочлены принадлежат образу
® 1) СР ® Q). При этом Д (0) = Д.
Теперь теорема напрямую следует из леммы А.234. □
Следствие А.236. Имеет место изоморфизм градуированных ал-
гебр многочленов
W) ® Q Q[Lynodd, s2] = 2U*dd ®Q[s2].
Следствие А.237. Множество J2n, состоящее из кп элементов
группы <^CP2n) ® Q, является набором 2п-мерных мультиплика-
тивных образующих кольца флаговых векторов тогда и только
тогда, когда
1) /{0} /4/0 для У4 = {f0s2 + fms(T1 +/{0}^1>;
2) для и / 2 множество из кп элементов группы D* 2n ® Q
вида {fn(0) | fn(s) G Э2п}, является набором мультипликативных об-
разующих кольца D* ® Q.
Доказательство. Элемент
f0S2+f{1}sa1 + f{o}o-21 =/0s2 + /{O}(sct1 + ct2) =
= 4 (Wo- /{0})s2 + /{0}(s + 2°’i)2)
является мультипликативной образующей тогда и только тогда, ко-
гда До} /4/0.
Для п / 2 доказательство вытекает из леммы А.234. □
А.6.9. Мультипликативные образующие
Из теории алгебр Ли (см. [608]) следует, что линейное про-
странство Prim(Q(7r1, л3, л5,...)) примитивных элементов алгебры
Хопфа QCTCi, л3, л5,...) является свободной алгеброй Ли от образую-
щих tt-l, л3,... Аддитивный базис в этом пространстве описывается
рекуррентно в терминах слов Линдона.
Определение А.238. Для слова Линдона w = [а1? ...,afc] (обо-
значим через w" = [af,al41, максимальный по длине соб-
ственный конец этого слова, который является словом Линдона,
и пусть ш' = [аъ ..., fli-iL
§А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
513
Утверждение А.239. • Слово xv” является минимальным из
всех собственных концов слова xv.
• Слово xv' является словом Линдона.
Доказательство. По определению слово xv” меньше любого
своего собственного конца. В то же время пусть
w = [а;, ...,ак] < [а,,
для 1 < j < i и j максимально среди всех таких чисел. Покажем, что
в этом случае w также является словом Линдона, что будет проти-
воречием. Действительно, w < xv” [ah..., afc] для любого i I к,
поэтому если это не так, то xv > [аг,...,afc] для некоторого j <l<i.
Тогда [аь ..., afc] < xv < [аь ..., afc] и j не максимально. Противоре-
чие.
Пусть теперь и/ не является словом Линдона. Тогда
и/ > [aj9..., af_i]
для некоторого 1 < j < i. Так как xv — слово Линдона, это может быть
только в том случае, если xv' — [а;,..., a^-i] * [af_7_|_г,..., a£_i]. Но
[aj}..., a^] * [ab ..., afc] =
= xv < [aj}..., ai-J * [af,..., afc],
поэтому [а,.j+i,..., af-d * fap •••> akl < •••> akL 'iro противоречит
первой части утверждения. Поэтому п/ — слово Линдона. □
Следствие А.240. Имеет место каноническое разложение xv =
= xv' * xv”, где xv', xv” — слова Линдона uxv' <xv < xv”.
Положим
где xv eLynodd и n[2k-i] = ^2k-i-
Например,
^[1,3] = я[3]] = 3(dd3 —d3d);
^[i,i,3] ~ n[i,3]] — 3(d2d3 — 2dd3d + d3d2).
Доказательство следующего утверждения вытекает из утверждения
А.193 и теории свободных алгебр Ли (см. [608]).
Утверждение А.241. Операторы nw, xv GLynodd образуют базис
линейного пространства PrimCD 0Q).
514
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Теперь приведем в терминах флаговых чисел критерий того, что
набор элементов кольца многогранников задает набор мультипли-
кативных образующих кольца флаговых векторов.
Теорема А.242. Множество М2п из кп элементов группы
задает набор 2п-мерных мультипликативных образующих кольца
флаговых векторов тогда и только тогда, когда
1) «о<*2 - 4<!)Р2 / 0 для М4 = {Р2};
2) для п^2матрица ПП = {П^ u,=?0(7tu,Q)}eQfc"x*:") г&е QsM2n
и шеЬуп2^, невырожденна.
Доказательство. Имеем
«0^2 -4<j)P2 = /{0}(Р2) -4/0(Р2).
Из следствия А.237 вытекает, что в случае и = 2 множество М4 состо-
ит из мультипликативной образующей тогда и только тогда, когда
выполнено первое условие теоремы, а в случае п / 2 множество М2п
задает набор мультипликативных образующих тогда и только тогда,
когда набор
?2п = 0 1)рп . рп G М2п }
является набором мультипликативных образующих кольца ©* ® Q.
Согласно теории градуированных алгебр Хопфа мультиплика-
тивные образующие алгебры Хопфа соответствуют примитивным
элементам градуированно двойственной алгебры Хопфа, т. е. верен
следующий факт.
Лемма А.243. Множество Э%п, и / 2, из кп элементов группы
^-2п^^является набором (—2п)-мерных мультипликативных об-
разующих кольца £)* ® Q тогда и только тогда, когда матрица
п" = WU = (А>
где и weLyn2dd, невырожденна.
Имеем
= £onwP,
что завершает доказательство теоремы. □
А.6.10. Некоммутативный флаговый многочлен (cd-индекс)
В задаче описания флаговых чисел выпуклых многогранников
получен ряд глубоких результатов в терминах cd-индекса Дж. Файна
(см. [64, 521]). Результаты и конструкции, связанные с cd-индексом,
§А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
515
см. также в работах [583, 584, 585, 594, 595, 603]. Мы опишем связь
cd-индекса с алгебраическими структурами на кольце многогран-
ников ф.
Конструкция
Рассмотрим кольцо Z(a, Ъ), deg a = degb = 2. Пусть Р — п-мно-
гогранник. Каждому множеству S с [0, п - 1] сопоставим одночлен
us = u0...un_1, где щ = Ъ, если icS, и щ = а иначе. Введем некомму-
тативные многочлены Тр, Фр GZ(a, Ъ} по формулам
TP(a, b)= S fsus;
SCt0,"’1] (А 244)
ФР(а, b)= S hsus = 'ГР(а — Ъ,Ь),
Sc[0,n—1]
где fs — флаговые числа многогранника Р. Отметим, что переход от
многочлена Тр к многочлену Фр осуществляется по тем же форму-
лам, что и переход от F- к Н-многочлену простого многогранника.
Определение А.245 (см. [64, 521]). Флаговым h-вектором мно-
гогранника Р называется вектор с компонентами
= L (-i)|s|_|sVS'(P)}sc[o,n-i].
S'cS
Положим S = [0, п -1] \ S.
Утверждение А.246. Для любого п-многогранника Р выполня-
ется соотношение
Фр (а, Ь) = ФР(Ь, а), ш. е. hj(P) = h^P) для всех Sc [0, п- 1].
Утверждение А.247 (Дж.Файн). Некоммутативный многочлен
Q(a, b) = ^qsus> S с [0, п — 1], может быть записан в виде неком-
мутативного многочлена L(c, d), где с = а + b и d = ab + Ъа, тогда
и только тогда, когда коэффициенты {<?$}$С[о,п-1] удовлетворяют
соотношениям Байер—Биллеры (А.146).
Замечание А.248. В утверждении А.247 говорится об универ-
сальном свойстве соотношений Байер—Биллеры, которое дает не-
тривиальное обобщение на некоммутативный случай классическо-
го результата коммутативной алгебры о том, что любой симметри-
ческий многочлен может быть записан как многочлен от элементар-
ных симметрических функций.
Это утверждение мы докажем ниже (см. следствие А.253) на
основе результатов о кольце многогранников.
516
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Следствие А.249. Для любого многогранника Р определен та-
кой некоммутативный многочлен
S(c, d)(P) G Z(c, d), degc = 2, degd = 4,
что Vp(a, b) = E(c, d)(P). Этот многочлен называется cd-индексом
(или некоммутативным флаговым многочленом) многогранника Р.
Обозначим через [ш]Р коэффициент при слове
w = clldcl2d...dclkdcr
в cd-индексе Е(Р). Тогда Е(с, d)(P) = ^[w]Pw, degw = 2dimP.
Следующее утверждение, которое мы приведем без доказатель-
ства, дает один из наиболее общих результатов о линейных неравен-
ствах, которым удовлетворяют флаговые векторы многогранников.
Утверждение А.250 ([521]). Пусть Рп—-выпуклый многогран-
ник. Тогда [w]p^ 0 для всех слов w.
Доказательство этого факта впервые было получено в рабо-
те [521] на основе понятия S-шеллинга при помощи индукции.
Геометрическое доказательство (см. [603]) основано на геомет-
рической интерпретации cd-индекса, аналогичной описанию (см.
§ А.1) коэффициента fy(P) простого многогранника Р с Rn как чис-
ла вершин индекса i ддя линейной функции общего положения на
пространстве Rn.
cd-индекс и флаговая квазисимметрическая функция
Имеет место изоморфизм абелевых групп р: £sym[s] -* %{а, Ъ},
задаваемый соответствием
>;2) a71ba72 1b...ba7fcl 1ba7fc \
Непосредственно из определения вытекает следующий результат.
Утверждение А.251. Справедливо соотношение
р[^(Р)] = ТР(а, Ь).
Рассмотрим замену переменных с = а + 2Ь и d = ab + ba + 2b2.
Утверждение А.252. Справедливо соотношение
ptgc) = p(g)c, p(gd) = p(g)d.
§А.6. Квазисимметрические функции и флаговые векторы
517
Доказательство. Из доказательства утверждения А.197 получаем
p(sjlc) = р [s71 + = a71+1 + 2a]1b = р($71)с;
Р с) = Р (м(Л+1,А-1,....ь) + 2М(1,Л,. ,Л))) =
= a71ba72-1b...ba7‘ +2a1,baj2~1b...ba^~1b = р (s}1M(jk,...j2))c;
p(s71d) = p [s71 (sMm +M(2) + 2M(1 >п)] =
= a71+1b + a71ba + 2a71b2 = p(s71)d;
= + + j2))) =
= aJ1 baj2-1b. ,.balk b + a71 ba72-1 b.. ,bajk~1ba +
+ 2ajlbaj2~1b...bajk~1b2 = p .......,2))d. □
Напомним (см. определение A.157), что для слова
w = erDelk,D...T>e11
через [IV]p мы обозначаем коэффициент при элементе Wpt в разло-
жении яе1>(Р) по базису. Положим w = clld...dclkdcr. Тогда
W) = (Z[W]P(Wpt)) = & (П^рСр^)) = S[W]₽(Мош).
Следствие А.253. 1. Для любого многогранника Р существует
cd-индекс 5 (с, d) (Р).
2. Справедливо равенство [ш]Р = [W]P;
3. Верно утверждение А.247.
Доказательство. Так как р(М0) = 1, для элемента Р G ty2n полу-
чаем
TP(a, b) = p[Jf(P)] = рЕ^Стге®О’))] = Р (Z[^]P(ptw))] =
= S[W]p(lw) = S[W]Pw = S(c,d)(P).
Тем самым мы доказали первые два утверждения. Что касается
третьего, то пусть коэффициенты многочлена Q(a, Ь) удовлетво-
ряют соотношениям Байер—Биллеры. Тогда p-1(Q(a, Ь)) = <^(Р)
для некоторого Р G %$2п. Следовательно, Q(a, b) = S(c, d)(P). Пусть
теперь Q(a, b) =L(c, d). Тогда
Q(a,b) = р [M0L(c,d)] = р [&(ptL(c, d))] .
Следовательно, коэффициенты многочлена Q(a, b) удовлетворяют
соотношениям Байер—Биллеры. □
518
Приложение. Алгебра и комбинаторика многогранников
Следствие А.254. Для любого многогранника Р все коэффициен-
ты проекции пeTf (Р) неотрицательны.
Следствие А.255. Если некоторое линейное неравенство
Y^sfs^O
верно для всех элементов Wpt, deg W = 2п, то оно верно для всех
п-многогранников.
Связь cd-индекса и флаговой квазисимметрической функции &
можно описать при помощи следующей коммутативной диаграм-
мы:
- <Ssym[s]
г р
Z(a, Ъ)
где изоморфизмы Z(c, d) —и Z(c, d) задаются отоб-
ражениями Q(c, d) —>MoQ(c, d) и Q(c, d) —>ptQ(c, d) и все коэффи-
циенты cd-индекса S и проекции неотрицательны для любого
выпуклого многогранника.
Замечание А.256. Из замечания А.201 следует рекуррентная
формула
25 (Р) = S [(d - СК)Р] с + 2E(JCP)d.
Задачи и упражнения
А.6.0. Докажите, что многочлен g G Z[t1}..., tr] принадлежит
Qsymtti,..., tr] тогда и только тогда, когда
g(0, tp t2,tr-i) = g(tp 0, t2,..., tr_i) = ... = g(tp ..., tr_p 0).
Докажите, что выражение g(tb t2,...) вида
a+L L S ...tfi,
k=l l^<...<Zk
где 2(jj + ... + jk) N, принадлежит £sym тогда и только тогда,
когда
g(tp..., t,_p О, ti+p ...) = g(tp ..., tf_p ti+p ...) для всех i > 1.
A.6.1. Докажите теорему A.169.
A.6.2*. Найдите образ отображения над кольцом целых чисел.
А.6.3*. Для каждого п найдите в явном виде кп элементов коль-
ца многогранников, задающих набор мультипликативных образую-
щих кольца флаговых векторов.
Литература
1. Achatz Hans, Kleinschmidt Peter. Reconstructing a simple polytope from
its graph // Polytopes — Combinatorics and Computation / Eds. G. Kalai,
G. M. Ziegler. Basel: Birkhauser, 2000. (DMV Seminars; Vol. 29). P. 155—165.
2. Adin Ron M. On face numbers of rational simplicial polytopes with symme-
try // Advances in Math. 1995. Vol. 115. P. 269-285.
3. Adin Ron M. A new cubical h-vector // Dicrete Math. 1996. Vol. 157. P. 3—14.
4. Adin Ron M. On h-vectors and symmetry // Jerusalem Combinatorics’93 /
Eds. H. Barcelo, G. Kalai. AMS, 1994. (Contemporary Mathematics; Vol. 178).
P.1-20.
5. Aichholzer Oswin. Combinatorial & Computational Properties of the Hyper-
cube. New Results on Covering, Slicing, Clustering, and Searching on the
Hypercube: Ph. D. Thesis. TU Graz, 1997.170 p.
6. Aichholzer Oswin. Extremal properties of 0/1-polytopes of dimension 5 //
Polytopes — Combinatorics and Computation / Eds. G. Kalai, G. M. Ziegler.
Basel: Birkhauser, 2000. (DMV Seminars; Vol. 29). P. 111—130.
7. Alevras Dimitris, Cramer Gary, Padberg Manfred. Demo-Soft for Optimi-
zation I: dodeal, entsp, enzero. Preprint. New York University, 1993. 41 p.
8. Alexanderson Gerald L., Wetzel John E. A simplicial 3-arrangement of 21
planes // Discrete Math. 1986. Vol. 60. P. 67—73.
9. Alexanderson Gerald L., Wetzel John E. A simplicial 3-arrangement of 22
planes // Geometriae Dedicata. 1986. Vol. 21. P. 257—264.
10. Alexanderson Gerald L., Wetzel John E. A simplicial 4-arrangement of 33
planes // Geometriae Dedicata. 1987. Vol. 24. P. 245—254.
11. Александров Александр Данилович. Выпуклые многогранники. М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. (Второе издание: Новосибирск: Наука, 2007. (Из-
бранные труды, т. 8)).
12. Alon Noga. The number of polytopes, configurations and real matroids //
Matematika. 1986. Vol. 33. P. 62—71.
13. Alon Noga, Kalai Gil. A simple proof of the upper bound theorem //
European J. Comb. 1985. Vol. 6. P. 211-214.
14. Altshuler Amos. Polyhedral realization in R3 of triangulations of the
torus and 2-manifolds in cyclic 4-polytopes // Discrete Math. 1971. Vol. 1.
P. 211-238.
15. Altshuler Amos, Bokowski Jurgen, Schuchert Peter. Spatial polyhedra with-
out diagonals // Israel J. Math. 1994. Vol. 86. P. 373—396.
520
Литература
16. Altshuler Amos, Bokowski Jurgen, Steinberg Leon. The calssification of
simplicial 3-spheres with nine vertices into polytopes and nonpolytopes //
Discrete Math. 1980. Vol. 31. P. 115-124.
17. Amenta Nina, Ziegler Gunter M. Deformed products and maximal shad-
ows // Advances of Dicrete and Computational Geometry / Eds. B. Chazelle,
J. E. Goodman, R. Pollack. Providence, RI: AMS, 1998. (Contemporary
Mathematics; Vol. 223). P. 57—90.
18. Anderson Ian. Combinatorics of Finite Sets. Oxford: Thr Clarendon Press
Oxford University Press, 1987. (Oxford Science Publications).
19. Андреев E. M. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачев-
ского // Матем. сб. 1970. Т. 81(123), вып. 3. С. 445—478.
20. Antonin Christoph. Ein Algorithmusansatz fur Realisierungsfragen im Ed
getestet an kombinatorishen 3-Spharen. Universitat Bochum: Staatsexa-
mensarbeit, 1982.
21. Applegate David, Bixby Robert, Vasek Chvdtal, Cook William. On the solution
of traveling salesman problems. International Congress of Mathematicians
(Berlin 1998) // Doc. Math. Extra Volume ICM 1998. Vol. III. P. 645-656.
22. Applegate David, Bixby Robert, Vasek Chvdtal, Cook William. Traveling
Salesman Problem. Web. page. 2005. http: //www. tsp. gatech. edu.
23. Applegate David, Bixby Robert, Vasek Chvdtal, Cook William. The Traveling
Salesman Problem. A Computational Study. Princeton University Press,
2007.
24. Armentrout Steve. Links and nonshellable cell partitionings of S3 // Proc.
Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 118. P. 635-639.
25. Athanasiadis Christos A. Piles of cubes, monotone path polytopes and
hyperplane arrangements // Discrete Comput. Geometry. 1999. Vol. 21.
P. 117-130.
26. Aurenhammer Franz. A criterion for the affine equivalence of cell complexes
in and convex polyhedra in Rd+1 // Discrete Comput. Geometry. 1987.
Vol. 2. P. 49-64.
27. Avis David. Irs — A C implementation of the reverse search vertex enumer-
ation algorithm, available at http://cgm.cs.mcgill.ca/~avis/C/lrs.
html.
28. Avis David. Irs: A revised implementation of the reverse search vertex enu-
meration algorithm // Polytopes — Combinatorics and Computation / Eds.
G. Kalai, G.M. Ziegler. Basel: Birkhauser, 2000. (DMV Seminars; Vol. 29).
P. 177-198.
29. Avis David, Bremner David. How good are convex hull algorithms? // 11th
Annual ACM Symp. Comput. Geometry. 1995. P. 20—28.
30. Avis David, Bremner David, Seidel Raimund. How good are convex hull
algorithms? // Computational Geometry: Theory and Applications. 1997.
Vol. 7. P. 265-301.
Литература
521
31. Avis David, Fukuda Komei. A pivoting algorithm for convex hulls and
vertex enumeration of arrangements and polyhedra // Discrete Comput.
Geometry. 1992. Vol. 8. P. 295-313.
32. Babson Eric K, Billera Louis J. The geometry of products and minors //
Discrete Comput. Geometry. 1998. Vol. 20. P. 231—249.
33. Babson Eric K., Billera Louis J., Chan Clara S. Neighborly cubical spheres
and a cubical lower bound conjecture // Israel J. Math. 1997. Vol. 102.
P. 297-315.
34. Bachem Achim. Convexity and optimization in discrete structures // Con-
vexity and Its Applications / Eds. P. M. Gruber, J. Wills. Basel: Birkhauser,
1983. P. 9-29.
35. Bachem Achim, Kern Walter. Linear Programming Duality. An Introduction
to Oriented Matroids. Universitext, Berlin: Springer-Verlag, 1992.
36. Baladze Emzardi. Solution of the Szokefalvi-Nagy problem for a class of
convex polytopes // Geometriae Dedicata. 1994. Vol. 49. P. 25—38.
37. Balinski Michel L. On the graph structure of convex polyhedra in n-space //
Pacific J. Math. 1961. Vol. 11. P. 431-434.
38. Bdrdny Imre, Lovdsz Ldszlo. Borsuk’s theorem and the number of facets of
centrally symmetric polytopes // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1982. Vol. 40.
P. 323-329.
39. Barnette David W. Diagrams and Schlegel diagrams // Combinatorial
Structures and their Applications (Pro. Calgary Internat. Conference,
Calgary 1969). New York: Gordon and Breach, 1970. P. 1—4.
40. Barnette David W. Wv paths on 3-polytopes // J. Combinatorial Theory.
1969. Vol. 7. P. 62-70.
41. Barnette David W. Projections of 3-polytopes // Israel J. Math. 1970. Vol. 8.
P. 304-308.
42. Barnette David W. The minimum number of vertices of a simple polytope //
Israel J. Math. 1971. Vol. 10. P. 121-125.
43. Barnette David W. The triangulations of the 3-sphere with up to 8 vertices //
J. Combinatorial Theory. 1973. Vol. 14. P. 37—42.
44. Barnette David W. A proof of the lower bound conjecture for convex poly-
topes // Pacific J. Math. 1973. Vol. 46. P. 349-354.
45. Barnette David W. Map Coloring, Polyhedra, and the Four Color Theorem //
Dolciani Mathematical Expositions. № 8. Washingtom, DC: Mathematical
Association if America, 1983.
46. Barnette David W. Preassigning the shape of projections of convex poly-
topes // J. Combinatorial Theory, Ser. A. 1986. Vol. 42. P. 293—295.
47. Barnette David W. Two «simple» 3-spheres // Discrete Math. 1987. Vol. 67.
P. 97-99.
48. Barnette David W. An impediment to polyhedrality // J. Combinatorial
Theory. Ser. A. 1988. Vol. 48. P. 259-265.
522
Литература
49. Barnette David W. К 2-manifold of genus 8 without the Wv -property //
Geometriae Dedicata. 1993. Vol. 46. P. 211—214.
50. Barnette David W. A short proof for the d-connectedness of d-polytopes //
Discrete Math. 1995. Vol. 137. P. 351-352.
51. Barnette David W., Griinbaum Branko. On Steinitz’ theorem concerning
convex 3-polytopes and on some propertirs of 3-connected graphs // The
Many Facets of Graph Theory. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1969.
(Lecture Notes in Math.; Vol. 110). P. 27—40.
52. Barnette David W., Griinbaum Branko. Preassigning the shape of a face //
Pacific J. Math. 1970. Vol. 32. P. 299-302.
53. Barnette David W., Kleinschmidt Peter, Lee Carl W. An upper bound theorem
for polytope pairs // Math. Operations Research. 1986. Vol. 11. P. 451—464.
54. Barnette David W., Rosenfeld Moshe. Hamiltonian circuits in certain prisms //
Discrete Math. 1973. Vol. 5. P. 389-394.
55. Bartels Hans G. A priori Informationen zur Linearen Programmierung,
Uber Ecken und Hyperflaschen auf Polyedern // Beitrage zur Datenverar-
beitung und Unternehmensforschung. Bd. 4. Meisenheim am Gian: Verlag
Anton Hain, 1973.
56. Barthel Gottfried, Hirzebruch Friedrich, Hofer Thomas. Geradenkonfigura-
tionen und Algebraische Flaschen. Vieweg, Wiesbaden: Aspekte der Mathe-
matik D4,1987.
57. Barvinok Alexander I. On equivariant generalizations of Dehn-Sommerville
equations // European J. Combinatorics. 1992. Vol. 13. P. 419—428.
58. Bayer David, Morrison Ian. Standard bases and geometric invariant theory,
I. Initial ideals and state polytopes // J. Symbolic Computation. 1988. Vol. 6.
P. 209-217.
59. Bayer Margaret M. The extended /-vectors of 4-polytopes // J. Combinato-
rial Theory. Ser. A. 1987. Vol. 44. P. 141-151.
60. Bayer Margaret M. Equidecompoable and weakly neighborly polytopes //
Israel J. Math. 1993. Vol. 81. P. 301-320.
61. Bayer Margaret M. Face numbers and subdivisions of polytopes // Polytopes:
Abstract, Convex and Computational / Eds. T. Bistriczky, P. McMullen,
A. Weiss. Proc. NATO Advanced Study Institute, Toronto 1993, Kluwer
Academic Publishers 1994. P. 155—172.
62. Bayer Margaret M., Billera Louis J. Generalized Dehn-Sommerville relations
for polytopes, spheres and Eulerian partially ordered sets // Inventiones
Math. 1985. Vol. 79. P. 143-157.
63. Bayer Margaret M., Lee Carl W. Combinatorial aspects of convex polytopes //
Yanbook of Convex Geometry / Eds. P. Gruber, J. Wills. Amsterdam: North-
Holland, 1993. P. 483-534.
64. Bayer Margaret M., Klapper Andrew. A new index for polytopes // Discrete
Comput. Geometry. 1991. Vol. 6. P. 33—47.
Литература
523
65. Becker Eberhard. On the real spectrum of a ring and its application to
semialgebraic geometry // Bulletin Amer. Math. Soc. 1986. Vol. 15. P. 19—60.
66. Besicovitch Abram Samoilovich On Crum’s problem // J. London Math. Soc.
1947. Vol. 22. P. 285-287.
67. Beth Thomas, Jungnickel Dieter, Lenz Hanfried. Design Theory. 2-ed. Cam-
bridge: Cambridge University Press, 1999. (Encyclopedia of Mathematics;
Vols. 69, 75).
68. Betke Ulrich, Schulz Christoph, Wills Jorg M. Bander und Mobiusbander
in konvexen Polytopen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1975. Vol. 44.
P. 249-262.
69. Billera Louis J. Homology of smooth splines: generic triangulations and a
conjecture of Strang // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 310. P. 325—340.
70. Billera Louis J., Chan Clara S., Liu Niandong Flag complexes, labelled
rooted trees, and star shellings. Preprint. 1996.
71. Billera Louis J., Filliman Paul, Sturmfels Bernd. Constructions and complex-
ity of secondary polytopes // Advances in Math. 1990. Vol. 83. P. 155—179.
72. Billera Louis J., Gel’fand Izrail Moiseevich, Sturmfels Bernd. Duality and
minors of secondary polyhedra // J. Combinatorial Theory. Ser. B. 1993.
Vol. 57. P. 258-268.
73. Billera Louis J., Kapranov Mikhail M., Sturmfels Bernd. Cellular strings on
polytopes // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 122. P. 549—555.
74. Billera Louis J., Lee Carl W. Sufficiency of McMullen’s conditions for /-
vectors of simplicial polytopes // Bulletin Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 2.
P. 181-185.
75. Billera Louis J., Lee Carl W. A proof of the sufficiency of McMullen’s
conditions for /-vectors of simplicial polytopes // J. Combinatorial Theory.
Ser. A. 1981. Vol. 31. P. 237-255.
76. Billera Louis J., Sarangarajan A. All 0-1 polytopes are traveling salesman
polytopes // Combinatorica. 1996. Vol. 16. P. 175—188.
77. Billera Louis J., Spellman Munson Beth. Polarity and inner products in
oriented matroids // European J. Combinatorics. 1984. Vol. 5. P. 293—308.
78. Billera Louis J., Sturmfels Bernd. Fiber polytopes // Ann. of Math. 1992.
Vol. 135. P. 527-549.
79. Billera Louis J., Sturmfels Bernd. Iterated fiber polytopes // Mathematika.
1994. Vol. 41. P. 37-65.
80. Bing R.H. An alternate proof that 3-manifolds can be triangulated // Ann.
of Math. 1959. Vol. 69. P. 37-65.
81. Bing R.H. Some aspects of the topology of 3-manifolds related to the
Poincar£ conjecture // Lectures on Modem Mathematics: II / Ed. T. L. Saaty.
New York: Wiley, 1964. P. 93-128.
82. Bing R. H. The Geometric Topology of 3-Manifolds. Providence, RI: AMS,
1983. (AMS Colloquium Publications; Vol. 40).
524
Литература
83. Birkhoff Garrett. Tres observaciones sobre el algebra lineal // Revista
Facultad de Ciencas Exactas, Puras у Applicadas Universidad Nacional
de Tucuman, Serie A (Mathematicas у Fisica Teoretica). 1946. Vol. 5.
P. 147-151.
84. Bjorner Anders. The unimodality conjecture for convex polytopes // Bulletin
Amer. Math. Soc. 1981. Vol. 4. P. 187—188.
85. Bjorner Anders. Posets, regular CW complexes and Bruhat order // Euro-
pean J. Combinatorics. 1984. Vol. 5. P. 7—16.
86. Bjorner Anders. Face numbers of complexes and polytopes // Proceed-
ings of the International Congress of Mathematicians. Berkely, CA, 1986.
P. 1408-1418.
87. Bjorner Anders. Homology and shelladility of matroids and geometric
lattices // Matroid Applications / Ed. N. White. Cambridge: Cambridge
University Press, 1992. P. 226—283.
88. Bjorner Anders. Essential chains and homotopy type of posets // Proc.
Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 402. P. 1178-1181.
89. Bjorner Anders. Topological methods // Handbook of Combinatorics / Eds.
R. Graham, M. Grotschel, L. Lovasz. Amsterdam: North-Holland/Elsevier,
1995. P. 1819-1872.
90. Bjorner Anders. Partial unimodularity for /-vectors of simplicial polytopes
and spheres // Jerusalem Combinatorics’93 / Eds. H. Barcelo, G.Kalai.
AMS, 1994. (Contemporary Mathematics; Vol. 178). P. 45—54.
91. Bjorner Anders. Nonpure shellability, /-vectors, subspace arrangements
and complexity // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics,
DIMACS Workshop 1994 / Ed. L. J. Billera et al. Providence RI: AMS, 1996.
P.25-53.
92. Bjorner Anders, Eriksson Kimmo. Extended shellability for rank 3 matroid
complexes // Discrete Math. 1994. Vol. 132. P. 373—376.
93. Bjorner Anders, Frankl Peter, Stanley Richard P. The number of faces of
balanced Cohen-Macaulay complexes and a generalized Macaulay theo-
rem // Combinatorica. 1987. Vol. 7. P. 23—34.
94. Bjorner Anders, Garsia Adriano M., Stanley Richard P. An introduction
to Cohen-Macaulay partially ordered sets // Ordered Sets / Ed. I. Rival.
Dordrecht: D.Reidel, 1982. P. 583-615.
95. Bjorner Anders, Kalai Gil. An extended Euler-Poincare theorem // Acta
Math. 1988. Vol. 161. P. 279-303.
96. Bjorner Anders, Vergnas Michel Las, Sturmfels Bernd, White Neil, Ziegler Gun-
ter M. Oriented Matroids. Cambridge: Cambridge University Press, 1993;
2 ed. 1999. (Encyclopedia of Mathematics; Vol. 46).
97. Bjorner Anders, Linusson Svante. The number of к-faces of a simple d-poly-
tope // Discrete and Comput. Geometry. 1999. Vol. 21. P. 1—16.
Литература
525
98. Bjorner Anders, Wachs Michelle L. Lexicographically shellable posets //
Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277. P. 323—341.
99. Bjorner Anders, Wachs Michelle L. Shellable nonpure complexes and posets,
I // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 348. P. 1299-1327.
100. Bland Robert G., Vergnas Michel Las. Orientability of matroids // J. Combi-
natorial Theory, Ser. B. 1978. Vol. 24. P. 94—123.
101. Blaschke Wilhelm. Vorlesungen liber Differentialgeometrie. II: Affine Diffe-
rentiageometrie. 1. und 2. Berlin: Auflage, 1923.
102. Blind Gerd, Blind Roswitha. Convex polytopes without triangular faces //
Israel J. Math. 1990. Vol. 71. P. 129-134.
103. Blind Gerd, Blind Roswitha. The semiregular polytopes // Commentarii
Math. Helveticae. 1991. Vol. 66. P. 150-154.
104. Blind Gerd, Blind Roswitha. Gaps in the numbers of vertices of cubical
polytopes I // Discrete Comput. Geometry. 1994. Vol. 11. P. 351—356.
105. Blind Gerd, Blind Roswitha. The cubical d-polytope with less than 2d+1
vertices // The Laszlo Fejes Toth Festschrift’ / Eds. I. Barany, J. Pach. 1995.
(Discrete Comput. Geometry; Vol. 13). P. 321—345.
106. Blind Gerd, Blind Roswitha. Shelling and the lower bound theorem //
Discrete Comput. Geometry. 1999. Vol. 21. P. 519—549.
107. Blind Gerd, Blind Roswitha. The almost simple cubical polytopes // Discrete
Math. 1998. Vol. 184. P. 25-48.
108. Blind Roswitha, Mani-Levitska Peter. On puzzles and polytope isomor-
phisms // Aequationes Math. 1987. Vol. 34. P. 287—297.
109. Bobenko Alexander I., Springborn Boris A. Variational principles for circle
patterns, and Koebe’s theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356.
P. 659-689.
110. Bochnak Jacek, Coste Michel, Roy Marie-Fran^oise. Real Algebraic Geome-
try // Ergebnisse der Mathematik und ihner Grenzgebiete, 3. Folge, Bd. 36.
Berlin: Springer-Verlag, 1998.
111. Bohne Jochen. Eine kombinatorische Analyse zonotopaler Raumauftei-
lungen: Ph. D. dissertation. Bielefeld, 1992; Preprint 92-041, Sonderfors-
chungsbereich 343 «Diskrete Strukturen in der Mathematik». Universitat
Bielefeld, 1992.100 p.
112. Bokowski Jurgen. Oriental matroids // Handbook of Convex Geometry /
Eds. P. Gruber, J. Wills. Amsterdam: North-Holland, 1993. P. 555—602.
113. Bokowski Jurgen, Eggert Anselm All realization of Mobius’ torus with 7
vertices // Structural Topology. 1991. Vol. 17. P. 59—78.
114. Bokowski Jurgen, Ewald Giinter, Kleinschmidt Peter. On combinatorial
and affine automorphisms of polytopes // Israel J. Math. 1984. Vol. 47.
P. 123-130.
526
Литература
115. Bokowski Jiirgen, de Oliveira Antonio Guedes. Simplicial convex 4-polytopes
do not have the isotopy property // Portugaliae Math. 1990. Vol. 47.
P. 309-318.
116. Bokowski Jiirgen, Shemer Ido. Neighborly 6-polytopes with 10 vertices //
Israel J. Math. 1987. Vol. 58. P. 103-124.
117. Bokowski Jiirgen, Sturmfels Bernd. Polytopal and nonpolytopal spheres —
An algorithmic approach // Israel J. Math. 1987. Vol. 57. P. 257—271.
118. Bokowski Jiirgen, Sturmfels Bernd. Computational Synthetic Geometry. Ber-
lin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1355).
119. Bolker Ethan D. A class of convex bodies // Trans. Amer. Math. Soc. 1969.
Vol. 145. P. 323-345.
120. Bolker Ethan D. Centrally symmetric polytopes // Proc, of the Twelfth
Biannual Intern. Seminar of the Canadian Math. Congress (Vancouver
1969) / Ed. R. Puke. Montreal: Canadian Math. Congress, 1970. (Time
Series and Stochastic Processes; Convexity and Cobinatorics). P. 255—263.
121. Bollobds Bela. Graph Theory. New York: Springer-Verlag, 1979. (Graduate
Texts in Mathematics; Vol. 63).
122. Bondesen Aage, Br0ndsted Arne. A dual proof of the upper bound conjecture
for convex polytopes // Math. Scand. 1980. Vol. 46. P. 95—102.
123. Bondy John Adrian, Murty U. S.R. Graph Theory with Applications. New
York: MacMillan and American Elsevier, 1976.
124. Bonnesen Tommy, Fenchel Werner. Theorie der konvexen Korper // Er-
gebnisse der Mathematik und ihner Grenzgebiete. Bd. 3. Berlin: Springer-
Verlag, 1934; Berichtigter Reprint, Berlin: Springer-Verlag, 1974. (English
Translation: Theory of Convex bodies. Moscow; Idaho: BSC Associates Pub.
1987.)
125. Borgwardt Karl Heinz. The Simplex Method. A Probabilistic Analysis.
Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1987. (Algorithmic and Combinatorics;
Vol.l).
126. Borgwardt Karl Heinz. Average complexity of a gift-wrapping algorithm for
determining the convex hull of randomly given points // Discrete Comput.
Geometry. 1997. Vol. 17. P. 79-109.
127. Bourbaki Nicolas. Groupes et Algebres de Lie. Ch. 4, 5, et 6. Paris: Hermann,
1968.
128. Bragger Walter. Kreispackungen und Triangulierungen // Enseignement
Math. 1992. Vol. 38. P. 201-217.
129. Brehm Ulrich. A nonpolyhedral triangulated Mobius strip // Proceedings
Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 89. P. 519-522.
130. Brehm Ulrich, Wills Jorg M. Polyhedral manifolds // Handbook of Convex
Geometry / Eds. P. Gruber, J. Wills. Amsterdam: North-Holland, 1993.
P. 535-554.
Литература
527
131. Bremner David. Incremental convex hull are not output sensitive // Discrete
Comput. Geometry 1999. Vol. 21. P. 57—68.
132. Brightwell Graham R., Scheinerman Edward R. Representations of planar
graphs // SIAM J. Discrete Math. 1993. Vol. 6. P. 214—229.
133. Br0ndsted Arne. An Introduction to Convex Polytopes. New York; Berlin:
Springer-Verlag, 1983. (Graduate Texts in Mathematics; Vol. 90). (Русский
перевод: Бренстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников.
М.: Мир, 1988.)
134. Br0ndsted Arne, Maxwell George. A new proof of the d-connectedness of
d-polytopes // Canadian Math. Bull. 1989. Vol. 32. P. 252—254.
135. Brown Kenneth S. Buildings. New York: Springer-Verlag, 1989.
136. Brualdi Richard A., Gibson Peter M. Convex polyhedra of doubly stochastic
matrices // I. Applications of the permanent function // J. Combinatorial
Theory. Ser. A. 1977. Vol. 22. P. 194—230; II. Graph of Qn // J. Combinatorial
Theory. Ser. B. 1977. Vol. 22. P. 175—198; III. Affine and Combinatorial prop-
erties of Qn // J. Combinatorial Theory. Ser. A. 1977. Vol. 22. P. 338—351; IV.
Linear Algebra Appl. 1976. Vol. 15. P. 153—172.
137. Briikner (Johannes) Max. Uber die Ableitung der allgemeinen Polytope und
die nach Isomorphismus verschiedenen Typen der allgemeinen Achtzelle //
Verhand. Konink. Akad. Wetenschap, Erste Sectie. 1910. Vol. 10, №1.
138. Briikner (Johannes) Max. Vielecke und Vielflache. Ihre Theorie und Ge-
schichte. Leipzig, 1900.
139. Bruggesser Heinz, Mani Peter. Shellable decompositions of cells and spheres //
Math. Scand. 1971. Vol. 29. P. 197-205.
140. Burger Ewald. Uber homogene lineare Ungleichungssysteme // Zeitschrift
Angewandte Math. Mechanik. 1956. Vol. 36. P. 135—139.
141. Burton Geoffrey R. The non-neighbourliness of centrally symmetric convex
polytopes having many vertices // J. Combinatorial Theory. Ser. A. 1991.
Vol. 58. P. 321-322.
142. Caratheodory Constantin. Uber den Variabilitatsbereich der Fourier’schen
Konstanten von positiven harmonischen Funktionen // Rendiconto del
Circolo Matematico di Palermo 1991. Vol. 32. P. 193—217; reprinted in «Con-
stantin Caratheodory, Gesammelte Mathematische Schriften. Bd. III» / Ed.
H. Tietze. Miinchen: С. H. Beck’sche Verlagsbuchhandlung, 1955. P. 78—110.
143. Cassels John William Scott. An Introduction to the Geometry of Numbers //
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 99. Berlin: Springer-
Verlag, 1959.
144. Ceder Gerbrand, Garbulsky Gerardo D., Avis David, Fukuda Komei. Grond
states of a ternary fee lattice model with nearest- and next-nearest-
neighbor interactions // Physical Review B. Condensed Matter. 1994.
Vol. 49. P. 1-7.
528
Литература
145. Chan Clara S. On subdivisions of simplicial complexes: Characterizing local
h-vector // Discrete Comput. Geometry. 1994. Vol. 11. P. 465—476.
146. Chan Clara S., Jungreis Douglas, Stong Richard. Buchsbaum and Eulerian
complexes // J. Pure Appl. Algebra. 1995. Vol. 98. P. 7—13.
147. Chazelle Bernard. An optimal convex hull algorithm in any fixed dimen-
sion // Discrete Comput. Geometry. 1993. Vol. 10. P. 377—409.
148. Черникова H. В. Алгоритм для нахождения общей формулы неотрица-
тельных решений системы линейных уравнений // Ж. вычисл. матем.
и матем. физ. 1964. Т. 4, вып. 4. С. 733—738.
149. Черникова Н. В. Алгоритм для нахождения общей формулы неотрица-
тельных решений системы линейных уравнений // Ж. вычисл. матем.
и матем. физ. 1965. Т. 5. Р. 228—233.
150. Christof Thomas. Ein Verfahren zur Transformation zwischen Polyederdar-
stellungen: Diplomarbeit. Universitat Augsburg, 1991. 79 p.
151. Christof Thomas. PORTA —A Polyhedron Representation Transformation
Algorithm // available at http://www.zib.de/Optimization/Software/
Porta/.
152. Christof Thomas. SMAPO — Library of linear descriptions of small problem
instances of polytopes in combinatorial optimization, http://www.iwr.
uni-heidelberg.de/iwr/comopt/software/SMAPO/.
153. Christof Thomas, Jiinger Michael, Reinelt Gerd. A complete description of
the traveling salesman polytope on 8 nodes // Operation Research Letters.
1991. Vol. 10. P. 497-500.
154. Christof Thomas, Reinelt Gerd. Combinatorial optimization and small poly-
topes // Top (Spanish Statistical and Operations Research Society). 1996.
Vol. 4. P.1-64.
155. Christof Thomas, Reinelt Gerd. Efficient parallel facet enumeration for
0/1-polytopes. Preprint. IWR Heidelberg, March, 1997.16 p.
156. Chrobak Marek, Goodrich Michael T, Tamassia Roberto. Convex drawings
of graphs in two and three dimensions // 12th ACM Symp. Computational
Geometry. ACM Press, 1996. P. 319—328.
157. Chrobak Marek, Kant Goos. Convex grid drawings of 3-connected pla-
nar graphs // Int. J. Comput. Geometry and Applications. 1997. Vol. 7.
P. 211-223.
158. Vasek Chvdtal. Linear programming. New York: W. H. Freeman, 1983.
159. Clarkson Kenneth L. A bound on local minima of arrangements that implies
the upper bound theorem // Discrete Comput. Geometry. 1993. Vol. 10.
P. 427-433.
160. Clements George F., Lindstrom Bernt. A generalization of a combinatorial
theorem of Macaulay // J. Combinatorial Theory 1969. Vol. 7. P. 230—238.
161. De Verdiere Yves Colin. Un principe variationnel pour les empilements de
cercles // Inventiones Math. 1991. Vol. 104. P. 655—669.
Литература
529
162. Connelly Robert, Henderson David W. A convex 3-complex not simpicially
isomorphic to a strictly convex complex // Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc. 1980. Vol. 88. P. 299-306.
163. Courdurier Matias. On stars and links of shellable polytopal complexes.
Preprint. University of Washington // J. Comb. Theory. Ser. A. 2006.
Vol. 113(4). P. 692-697.
164. Coxeter Harold Scott Macdonald. Regular Polytopes. 2 ed. New York:
Macmillan, 1963; Corrected reprint. New York: Dover, 1973.
165. Crapo Henry, Whiteley Walter. Statics of frameworks and motions of panel
structures // Structural Topology. 1982. Vol. 6. P. 42—82.
166. Crapo Henry, Whiteley Walter. Plane self stresses and projected polyhedra
I: The basic pattern // Structural Topology. 1993. Vol. 20. P. 55—78.
167. Crapo Henry, Whiteley Walter. 3-Stresses in 3-space and projections of
polyhedral 3-surfaces: Reciprocals, liftings and parallel configurations.
Preprint. York University, 1993. 40 p.
168. Croft Hallard T., Falconer Kenneth T., Guy Richard K. Unsolved problems in
Geometry. New-York: Springer-Verlag, 1991.
169. Csdszdr Akos. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. (Szeged).
1949/50. Vol. 13. P. 140-142.
170. Dalbec John. Geometry and Combinatorics of Chow Forms: Ph. D. thesis.
Cornell University, 1995.
171. Danaraj Gopal, Klee Victor. Shellings of spheres and polytopes // Duke
Math. J. 1974. Vol. 41. P. 443-451.
172. Danaraj Gopal, Klee Victor. Which spheres are shellable? // Algorithmic
Aspects of Combinatorics / Eds. B.Alspach et al. // Ann. Discrete Math.
1978. Vol. 2. P. 33-52.
173. Danaraj Gopal, Klee Victor. A representation of 2-dimensional manifolds
and its use in the design of a linear-time shelling algorithm // Ann. Discrete
Math. 1978. Vol. 2. P. 33-52.
174. Dantzig George B. Linear Programming and Extensions. Princeton, 1963.
175. Dantzig George B., Eaves Curtis. Forurier—Motzkin elimination and its
dual // J. Combinatorial Theory, Ser. A. 1973. Vol. 14. P. 288—297.
176. Danzer Ludwig. To Problem 8. Proc. Colloquium on Convexity / Ed. W. Fen-
chel. Copenhagen, 1965; Copenhagen: Kobenhavns Universitets Matema-
tiske Institut., 1967. P. 312—313.
177. Danzer Ludwig, Griinbaum Branko, Klee Victor. Hell/s theorem and its
relatives // Convexity / Ed. V.Klee. Providence, RI: AMS, 1963. (Proc.
Symposia in Pure Math.; Vol. VII). P. 101—180.
178. Das Gautam, Goodrich Michael T. On the complexity of optimization prob-
lems for 3-dimensional convex polyhedra and decision trees // Preprint,
Dept. Computer Science, Johns Hopkins University. 1996.15 p.
530
Литература
179. Daverman Robert J. Decompositions of Manifolds. Orlando: Academic
Press, 1986.
180. Davis Chandler. The set of non-linearity of a convex piecewise-linear
function // Scripta Math. 1959. Vol. 24. P. 219-228.
181. Dehn Max. Die Eulersche Formel im Zusammenhang mit dem Inhalt in der
nicht-Euklidschen Geometrie // Math. Ann. 1905. Vol. 61. P. 561—568.
182. De Loera Jesus. Nonregular triangulations of products of simplices //
Discrete Comput. Geometry. 1996. Vol. 15. P. 253—264.
183. De Loera Jesus, Sturmfels Bernd, Thomas Rekha R. Grobner bases and
triangulations of the second hypersimplex // Combinatorica. 1995. Vol. 15.
p. 409-424.
184. Dewdney A.K., Vranch John K. A convex partition of R3 with application
to Crum’s problem and Knuth’s post-office problem // Utilitas Math. 1972.
Vol. 12. P. 193-199.
185. Deza Michel Marie, Laurent Monique. Geometry of Cuts and Metrics //
Algorithms and Combinatorics. Vol. 15. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag,
1997.
186. Dubejko Tomasz, Stephenson Kenneth. Circle packing: Experiments in discrete
analytic function theory // Experimental Math. 1995. Vol. 4. P. 307—348.
187. Dyer Martin, Gritzmann Peter, Hufnagel Alexander. On the complexity of
computing mixed volumes // SIAM J. Computing. 1998. Vol. 27. P. 356—400.
188. Eckhoff Jiirgen. Combintorial properties of /-vector of convex polytopes //
Unpublished manuscript, 1985; Preprint 1994, in preparation. P. 272—274,
288.
189. Edelman Paul H., Reiner Victor. Visibility complexes and the Baues problem
for triangulations in the plane // Discrete Comput. Geometry. 1998. Vol. 20.
P. 35-59.
190. Edelsbrunner Herbert. Algorithms in Computational Geometry // EATCS
Monographs in Theoretical Computer Science. Vol. 10. Berlin: Springer-
Verlag, 1987.
191. Edmonds Jack, Mandel Arnaldo. Topology of oriented matroids: Ph. D.
thesis of A. Mandel. University of Waterloo, 1982. 333 p.
192. Ehlers Fritz. Eine Klasse komplexer Mannigfaltigkeiten und die Auflosung
einiger isolierter Singularitaten // Mathematische Annalen. 1975. Vol. 218.
P. 127-156.
193. Ehrenborg Richard. Lifting inequalities for polytopes // Advances in Math-
ematics. 2005. Vol. 193. P. 205-222.
194. EikelbergMarkus. Zur Homologie torischer Varietalen: Ph. D. thesis. Bochum:
Ruhr-Universitat Bochum, 1989. 76 Seiten.
195. Eisenbud David, Popescu Sorin. The projective geometry of the Gale trans-
form // J. Algebra. 2000. Vol. 230. P. 127-173.
Литература
531
196. Engel Konrad, Gronau Hans Dietrich O.F. Sperner Theory in Partially
Ordered Sets // Teubner-Texte zur Mathematik. Leipzig: BSB B. G. Teubner
Verlagsgesellschaft, 1985. Bd. 78.
197. Engel Konrad. Sperner Theory. Cambridge University Press, 1997. (Encyclo-
pedia of Mathematics; Vol. 65).
198. Epifanov G. V Reduction of a plane graph to an edge by a star-triangle
transformation // Soviet Math. Doklady. 1966. Vol. 7. P. 13—17.
199. Erdos Paul, Gruber Peter M., Hammer Joseph. Lattice Point Problems //
Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics Vol. 39.
New York: Longman, Essex, and John Wiley & Sons, 1989.
200. Euler Reinhardt, Le Verge Herve. Complete linear descriptions of small
asymmetric traveling salesman polytopes // Discrete Applied Math. 1995.
Vol. 62. P. 193-208.
201. Ewald Giinter. Combinatorial Convexity and Algabraic Geometry. New
York: Springer-Verlag, 1996. (Graduate Texts in Mathematics; Vol. 168).
202. Ewald Giinter, Voss Konrad. Konvexe Polyeder mit Symmetric gruppe //
Commentarii Math. Helvetii. 1973. Vol. 48. P. 137—150.
203. Ewald Giinter, Kleinschmidt Peter, Pachner Udo, Schulz Christoph. Neuere
Entwicklungen in der kombinatorischen Konvexgeometry // «Contributions
to Geometry» Proc. Geometry Symposium, Siegen 1978 / Eds. J.Tolke,
J. Wills. Basel: Birkhauser, 1979. P. 131-163.
204. Ewald Giinter, Shephard Geoffrey C. Stellar subdivisions of boundary
complexes of convex polytopes // Mathematische Annalen. 1974. Vol. 210.
P. 7-16.
205. Fdry Istvan. On straight line representations // Acta Sci. Math. (Szeged).
1948. Vol. 11. P. 229-233.
206. Fleiner Tamas, Kaibel Volker, Rote Giinter. Upper bounds on the maximal
number of facets of 0/1-polytopes // European J. Combinatorics. 2000.
Vol. 20. P. 121-130.
207. Folkman Jon, Lawrence Jim. Oriented matroids // J. Combinatorial Theory.
Ser. B. 1978. Vol. 25. P. 199-236.
208. de Fraysseix Hubert, de Mendez P. O., Pach Janos. Representstions of planar
graphs by segments // Intuituve Geometry (Szeged 1991). Colloqia Math.
Soc. Janos Bolyai. Vol. 63.1994. P. 109-117.
209. de Fraysseix Hubert, Pach Janos, Pollack Richard. How to draw a graph on
a grid // Combinatorica. 1990. Vol. 10. P. 41—51.
210. Fritzsche Kerstin, Holt Fred B. More polytopes meeting the conjectured
Hirsch bound // Discrete Math. 1999. Vol. 205. P. 77—84.
211. Fiiredi Zoltdn. Matching and covers in hypergraphs // Graphs Combin.
1988. Vol. 4. P. 115-206.
532
Литература
212. Fukuda Komei. CDD —A C-implementationof double descriptoin method.
Available at http://www.math.ifor.ethz.cli/~fukuda/cdd-home/cdd.
html.
213. Fukuda Komei, Saito Shigemasa, Tamura Akihisa, Tokuyama Takeshi. Bound-
ing the number of к-faces in arrangements of hyperplanes // Discrete Appl.
Math. 1991. Vol. 31. P. 151-165.
214. Fukuda Komei, Tamura Akihisa, Tokuyama Takeshi. A theorem on the
average number of subfaces in arrangements and oriented matroids //
Geometria Dedicata. 1993. Vol. 47. P. 129—142.
215. Fulton William F. Introduction to Toric Varieties. Princeton: Princeton Uni-
versity Press, 1993. (Ann of Math. Studies; Vol. 131).
216. Furch Robert Zur Grundlegung der kombinatorischen Topologie // Abh.
Math. Sem. Hamb. Univ. 1924. Vol. 3. P. 69-88.
217. Fusy Eric. Counting d-polytopes with d + 3-vertices // Electron. J. Combin.
2006. Vol. 13. #R23.
218. Gabrielov Andrei M., Gelfand Izrail Moiseevich, Losik Mark V. Combinatorial
computation of characteristic classes // Funct. Anal. Appl. 1975. Vol. 9.
P. 103-115.
219. Gartner Bernd, Henk Martin, Ziegler Giinter M. Randomized simplex algo-
rithms on Klee-Minty cubes // Combinatorica. 1998. Vol. 18. P. 349—372.
220. Gale David Neighboring vertices on a convex polyhedron // Linear In-
equalities and Related Systems / Eds. H.W.Kuhn, A. W. Tucker. Prince-
ton: Princeton University Press, 1956. (Annals of Math. Studies; Vol. 38).
P. 255-263.
221. Gale David. Neighborly and cyclic polytopes, in «Convexity» // Proc. Sym-
posia in Pure Math.; Vol. VII / Ed. V.Klee. Providence RI: AMS, 1963.
P. 225-232.
222. Gale David. On the number of faces of a convex polytopes // Canadian J.
Math. 1964. Vol. 16. P. 12-17.
223. Garey Michael R., Johnson David S. Computers and Intractability. A Guide
to the Theory of NP-Completeness. San Francisco: W. H. Freeman, 1979.
224. Garner Lynn E. An Outline of Projective Geometry. New York: North
Holland, 1981.
225. Gawrilow Ewgenij, Joswig Michael. Polymake: a software package for
analyzing convex polytopes, http: //www. math. tu-berlin. de/polymake/
226. Gawrilow Ewgenij, Joswig Michael. Polymake: a framework for analyzing
convex polytopes // Polytopes — Combinatorics and Computation / Eds.
G. Kalai, G.M. Ziegler. Basel: Birkhauser, 2000. (DMV Seminars; Vol. 29).
P. 43-76.
227. Gawrilow Ewgenij, Joswig Michael. Geometric reasoning with Polumake.
Preprint. July 2005.13 p.; http://www.arxiv.org/math/0507273.
Литература
533
228. Gel’fand Izrail Moiseevich. General theory of hypergeometric functions //
Soviet Math. Doklady. 1968. Vol. 33. P. 573-577.
229. Gel’fand Izrail Moiseevich, Goresky Mark, MacPherson Robert D., Serganova
Vera. Combinatorial geometries, convex polyhedra and Schubert cells //
Advances in Math. 1987. Vol. 63. P. 301-316.
230. Gel’fand Izrail Moiseevich, Kapranov Mikhail M., Zelevinsky Andrei V. Dis-
criminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Boston: Birk-
hauser, 1994.
231. Gel’fand Izrail Moiseevich, Zelevinsky Andrei V., Kapranov Mikhail M. New-
ton polytopes of principal A-determinants // Soviet Math. Doklady. 1990.
Vol. 40. P. 278-281.
232. Gel’fand Izrail Moiseevich, Zelevinsky Andrei V, Kapranov Mikhail M. Dis-
criminants of polynomials in several variables and triangulations of Newton
polyhedra // Leningrad Math. J. 1991. Vol. 2. P. 449—505.
233. Goodman Jacob E., Pach Janos. Cell decomposition of polytopes by bend-
ing // Israel J. Math. 1988. Vol. 64. P. 129-138.
234. Goodman Jacob E., Pollack Richard. A combinatorial version of the isotopy
conjecture / Proc. Conf. «Discrete Geometry and Convexity» (New York,
1982) / Eds. J. E. Goodman, E.Lutwak, J. Malkevitch, R. Pollack. 1985.
(Annals of the New York Academy of Sciences; Vol. 440). P. 12—19.
235. Goodman Jacob E., Pollack Richard. Upper bounds for configurations and
polytopes in // Discrete Comput. Geometry. 1986. Vol. 1. P. 219—227.
236. Goodman Jacob E., Pollack Richard. New bounds on higher dimensional
configurations and polytopes // Proc. Third Int. Conf. Combinatorial
Mathematics / Eds. G. S. Bloom, R. L. Graham, J. Malkevitch. 1989. (Annals
of the New York Academy of Sciences; Vol. 555). P. 205—212.
237. Goodman Jacob E., Pollack Richard. Allowable sequences and order types
in discrete and computational geometry // New Trends in Discrete and
Computational Geometry / Ed. J. Pach. Berlin; Heidelberg: Springer-Ver-
lag, 1993. (Algorithms and Combinatorics; Vol. 10). P. 103—134.
238. Goodman Jacob E., Pollack Richard, Sturmfels Bernd. The intrinsic spread of
a configuration in // Journal Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 3. P. 639—651.
239. Goossens Pierre. Shelling pseudopolyhedra // Discrete Comput. Geometry
1992. Vol. 7. P. 207-215.
240. Graham Ronald L., Knuth Donald E., Patashnik Oren. Concrete Mathematics.
A Foundation for Computer Science. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989;
2-ed. 1994.
241. Greene Curtis, Kleitman Daniel J. Proof techniques in the theory of finite
sets // Studies in Combinatorics / Ed. G.-C. Rota. Washington, DC: Math-
ematical Association of America, 1978. (MAA Studies in Math.; Vol. 17).
P. 22-79.
534
Литература
242. Gritzmann Peter, Klee Victor. On the complexity of some basic problems in
computational convexity: I. Containment problems // Discrete Math. 1994.
Vol. 136. P. 129-174.
243. Gritzmann Peter, Klee Victor. Computational complexity of inner and
outer j-radii of polytopes in finite dimensional normed spaces // Math.
Programming. 1993. Vol. 59. P. 163—213.
244. Gritzmann Peter, Sturmfels Bernd. Minkowski addition of polytopes: Com-
putational complexity and applications to Grobner bases // SIAM J.
Discrete Math. 1993. Vol. 6. P. 246—269.
245. Grotschel Martin. Optimierungsmethoden I // Vorlesungsskriptum. Univer-
sitat augsburg, 1985.
246. Grotschel Martin, Lovasz Ldszlo, Schrijver Alexander. Geometric Algorithms
and Combinatorial Optimization // Algorithms and Combinatorics. Vol. 2.
Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1988; 2nd ed. 1994.
247. Grotschel Martin, Padberg Manfred. Polyhedral Theory. Ch. 8 // The Travel-
ing Salesman Problem / Eds. E. L. Lawler, J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kan,
D.B.Schmoys // Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and
Optimization, Chichester New York: John Wiley & Sons, 1985. P. 251—360.
248. Grotschel Martin, Padberg Manfred. Ulysses 2000: In search of optimal
solutions to hard combinatorial problems Preprint SC. 93—94. ZIB Berlin,
1993. 27 p.
249. Grove Larry T., Benson Clark T. Finite Reflection Groups. New York:
Springer-Verlag, 1971. (Graduate Texts in Mathematics; Vol. 99). 2 ed. 1989.
250. Gruber Peter M., Lekkerkerker C. Gerrit Geometry of Numbers. Amsterdam:
North-Holland, 1987.
251. Griinbaum Branko. Diagrams and Schlegel diagrams // Abstract. 1965.
(Notices Amer. Math. Soc.; Vol. 12). P. 578.
252. Griinbaum Branko. Convex polytopes // Interscience, London 1967 /
revised edition Eds. V. Kaibel, V. Rlee, G. M. Ziegler. New York: Springer-
Verlag, 2003. (Graduate Texts in Mathematics; Vol. 221). (vi, viii, 1, 22, 27,
49, 69, 75, 87, 95, 96, 98, and in Lectures 4, 5, 6 and 8)
253. Griinbaum Branko. The importance of being straight // Proc. Twelfth
Biannual Intern. Sem. Canadian Math. Congr. on Time Series and Sto-
chastic Processes; Convexity and Combinatorics (Vancouver 1969) / Ed.
R. Pyke. Montreal: Canad. Math. Congr., 1970. P. 243—254.
254. Griinbaum Branko. Arrangements of hyperplanes // Proc. Second Lou-
siana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing / Eds.
R. C. Mullin et al. Baton Rouge: Louisiana State University, 1971. P. 41—106.
255. Griinbaum Branko. Arrangements and Spreads. Providence, RI: AMS, 1972.
(Regional Conference Series in Mathematics; Vol. 10).
Литература
535
256. Griinbaum Branko. Polytopal graphs // Studies in Graph Theory, Part II /
Ed. D. R. Fulkerson. Washington DC: Mathematical Association of America,
1975. (MAA Studies in Math.; Vol. 12). P. 201-224.
257. Griinbaum Branko. Geometry strikes again // Mathematical Magazine.
1985. Vol. 58. P. 12-17.
258. Griinbaum Branko, Shephard Geoffrey C. Simplicial arrangements in projec-
tive 3-spaces // Coxeter-Festschrift, Teil IV, Mitteilungen aus dem Mathem.
Sem, Giessen. 1984. Vol. 166. P. 49-101.
259. Griinbaum Branko, Shephard Geoffrey C. Some problems on polyhedra //
J. Geometry. 1987. Vol. 29. P. 182-190.
260. Griinbaum Branko, Sreedharan V. P. An enumeration of simplicial 4-poly-
topes with 8 vertices // J. Combinatorial Theory 1967. Vol. 2. P. 437—465.
261. Giinzel Harald. The universal partition theorem for oriented matroids //
Discrete Comput. Geometry. 1996. Vol. 15. P. 121—145.
262. Giinzel Harald. On the universal partition theorem for 4-polytopes //
Discrete Comput. Geometry. 1998. Vol. 19. P. 521—552.
263. Haase Christian, Ziegler Giinter M. Examples and counterexamples for the
Perles Conjecture // Discrete Comput. Geometry. 2002. Vol. 28. P. 29—44.
264. Hachimori Masahiro. Non-constructive simplicial balls and a way of testing
constructibility // Discrete Comput. Geometry. 1999. Vol. 22. P. 223—230.
265. Hachimori Masahiro, Ziegler Giinter M. Decompositions of simplicial balls
and spheres with knots consisting of few edges // Math. Zeitschrift. 2000.
Vol. 235. P. 159—171.
266. Haiman Mark. Constracting the associahedron. Unpublished manuscript.
MIT. 1984.11 p.
267. Haiman Mark. A simple and relatively efficient triangulation of the n-
cube // Discrete Comput. Geometry. 1991. Vol. 6. P. 287—289.
268. Halin Rudolf. Graphentheorie. 2. Auflage, Wissenschaftliche Buchgesell-
schaft, Darmstadt 1989. Vol. 6.
269. Hall H. Tracy. Counterexamples in Discrete Geometry: Ph. D. thesis. UC
Berkeley, 2004. 61 p.; http: //math. berkeley. edu/~hthall/thesis. pdf.
270. Hammer Peter L., Simeone Bruno, Liebling Thomas M., de Werra Dominique.
From linear separability to unimodality: A hierarchy of pseudo-Boolean
functions // SIAM J. Discrete MATH. 1988. Vol. 1. P. 174-184.
271. Harper Larry H. Optimal numbering and isoperimetric problems on graphs //
J. Combinatorial Theory. 1966. Vol. 1. P. 385—393.
272. Hartman I. Ben-Arroyo, Newman Ilan, Ziv Ran. On grid intersection graphs //
Discrete Math. 1991. Vol. 87. P. 41-52.
273. Hartsfield Nora, Ringel Gerhard. Pearls in Graph Theory: A Comprehensive
Introduction. San Diego: Academic Press, 1990. Vol. 87.
274. Hibi Takayuki. Algebraic Combinatorics on Convex Politopes. Australia,
Glebe: Carslaw Publications, 1992.
536
Литература
275. Hochstattler Winfried. Nested cones and onion skins // Applied Math.
Letters. 1993. Vol. 6. P. 67-69.
276. Hodge William V.D., Pedoe Daniel. Methods of Algebraic Geometry. Cam-
bridge: Cambridge University Press, 1947/1952; Paperback reprint 1968.
277. Hodgson Craig D.,Rivin Igor, Smith Warren D. A characterization of convex
hyperbolic polyhedra and of convex polyhedra inscribed in a sphere //
Bulletin Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 27. P. 246—251.
278. Hoppner Andrea, Ziegler Gunter M. A census of /-vectors of 4-polytopes //
Polytopes — Combinatorics and Computation / Eds. G. Kalai, G. M. Ziegler.
Basel: Birkhauser, 2000. (DMV-Seminars; Vol. 29). P. 105—110.
279. Hoke Williamson Kathy. Extending shelling orders and a hierarchy of
functions of unimodal simple polytopes // Discrete Applied Math. 1995.
Vol. 60. P. 211-217.
280. Holt Fred B., Klee Victor. Many polytopes meeting the conjectured Hirsch
bound // Discrete Comput. Geometry 1998. Vol. 20. P. 1—17.
281. Holt Fred B., Klee Victor. Counterexamples to the strong d-step conjecture
for d 5 // Discrete Comput. Geometry 1998. Vol. 19. P. 33—46.
282. Holt Fred B., Klee Victor. A proof of strict monotone 4-step conjecture //
Advances in Discrete and Computational Geometry / Eds. B. Chazelle,
J. E. Goodman, R. Pollack. Providence: AMS, 1998. (Contemporary Math-
ematics; Vol. 223). P. 201-216.
283. Hopcroft John E., Wong J.K. Linear time algirithm for isomorphism of
planar graphs (preliminary report) //Proc. Sixth Annual ACM Symo.
Theory Computing. (Seattle 1974). ACM Press, 1974. P. 172—184.
284. Hopcroft John E., Kahn Peter J. A paradigm for robust geometric algo-
rithms // Algorithmica. 1992. Vol. 7. P. 339—380.
285. Hughes Robert B. Minimal-cardinality triangulations of the d-cube for d = 5
and d = 6 // Discrete Math. 1993. Vol. 118. P. 75—118.
286. Hughes Robert B. Lower bounds on cube simplexity // Discrete Math. 1994.
Vol. 133. P. 123-138.
287. Hughes Robert B., Anderson Michael R. A triangulation of the 6-cube with
308 simplices // Discrete Math. 1993. Vol. 117. P. 253—256.
288. Hughes Robert B., Anderson Michael R. Simplexity of the cube // Discrete
Math. 1996. Vol. 158. P. 99-150.
289. Humphreys James E. Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge:
Cambridge University Press, 1990. (Cambridge Studies in Advanced Math-
ematics; Vol. 29).
290. Jaggi Beat, Mani-Levitska Peter, Sturmfels Bernd, White Neil. Uniform ori-
ented matroids without the isotopy property // Discrete Comput. Geometry
1989. Vol. 4. P. 97-100.
291. Jockusch William. The lower and upper bound problems for cubical poly-
topes // Discrete Comput. Geometry 1993. Vol. 9. P. 159—163.
Литература
537
292. Jockusch William. An infinite family of nearly neighborly centrally symmet-
ric 3-spheres // J. Combinatorial Theory. Ser. A. 1995. Vol. 72. P. 318—321.
293. Joswig Michael. Reconstructing a non-simple polytope from its graph //
Polytopes — Combinatorics and Computation / Eds. G. Kalai, G. M. Ziegler.
Basel: Birkhauser, 2000. (DMV-Seminars; Vol. 29). P. 167—176.
294. Joswig Michael, Ziegler Giinter M. Neighborly cubical polytopes // Griin-
baum Festschrift / Eds. G. Kalai, V. Klee. Discrete Comput. Geometry. 2000.
Vol. 24. P. 325-344.
295. Jiinger Michael, Reinelt Gerd, Rinaldi Giovanni. The traveling salesman
problem // Network Models / Eds. M. O. Ball, T. L. Magnanti, C. L. Monma,
G. L. Nemhauser. Handbooksin Operations Research and Management
Science, Vol. 7. North Holland 1995. P. 225-230.
296. Jiinger Michael, Reinelt Gerd, Thienel Stefan. Provably good solutions for
the traveling salesman problem // Z. Operations Research 1994. Vol. 40.
P. 183-217.
297. Kahn Jeff, Kalai Gil. A counterexample to Borsuk’s conjecture // Amer.
Math. Soc. 1993. Vol. 29. P. 60-62.
298. Kaibel Volker, Ziegler Giinter M. Counting lattice triangulations // Surveys
in Combinatorics 2003 / Ed. C.D.Wensley. Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press, 2003. (London Math. Soc. Lecture Notes Series; Vol. 307).
P. 277-307.
299. Kalai Gil. A simple way to tell a simple polytope from its graph // J.
Combinatorial Theory, Ser. A 1988. Vol. 49. P. 381-383. (vi. P. 93-95, 97,
100)
300. Kalai Gil. A new basis of polytopes // J. Combinatorial Theory, Ser. A. 1988.
Vol. 49. P. 191-209.
301. Kalai Gil. Many triangulated spheres // Discrete Comput. Geometry 1988.
Vol.3. P.1-14.
302. Kalai Gil. The number of faces of centrally-symmetric polytopes (Research
Problem) // Graphs Combin. 1989. Vol. 5. P. 389—391.
303. Kalai Gil. On low-dimensional faces that high-dimensional polytopes must
have // Combinatorica. 1990. Vol. 10. P. 271—280.
304. Kalai Gil. The diameter of graphs of convex polytopes and /-vector theory //
Applied Geometry and Discrete Mathematics — The Victor Klee Festschrift /
Eds. P. Gritzmann, B. Stumfels. AMS, 1991. (DIMACS Series in Discrete
Mathematics and Theoretical Computer Science; Vol 4). P. 387—411.
305. Kalai Gil. Upper bounds for the diameter and height of graphs of convex
polyhedra // Discrete Comput. Geometry. 1992. Vol. 8. P. 363—372.
306. Kalai Gil. A subexponential randomized simplex algorithm // Proc. 24th
ACM Symposium on the Theory of Computing (STOC). ACM Press, 1992.
P. 475-482.
538
Литература
307. Kalai Gil. Some aspects of the combinatorial theory of convex polytopes //
Polytopes: Abstract, Convex and Computational (Proc. Toronto 1993) / Eds.
T. Bisztriczky, P. McMullen, A. Weiss. Kluwer Academic Publishers, 1994.
(NATO Advanced Study Institute). P. 205—230.
308. Kalai Gil. Linear programming, the simplex algorithm and simple poly-
topes / Proc. Int. Symp. Mathematical Programming (Lausanne 1997) //
Math. Programming. Ser. B. 1997. Vol. 79. P. 217—233.
309. Kalai Gil, Kleitman Daniel J. A quasi-polynomial bound for the diameter of
graphs of polyhedra // Bulletin Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 26. P. 315—316.
310. annan Ravi Algorithmic geometry of numbers // Annual Review of Com-
puter Science. Vol. 3. New York: Annual Reviews Inc., 1987. P. 231—267.
311. Kant Goos. Algorithms for Drawing Planar Graphs. Dissertation. Rijks-
universiteit te Utrecht, 1993. 218 p.
312. Канторович Леонид Витальевич. Мой путь в науке (предполагавший-
ся доклад в Московском математическом обществе) // УМН. 1987.
Т. 42, вып. 2(254). С. 183-213.
313. Kapranov Mikhail М. Permuto-associahedron, MacLane coherence theorem
and asymptotic zones for the KZ equation // J. Pure and Applied Algebra.
1993. Vol. 85. P. 119-142.
314. Kapranov Mikhail M., Sturmfels Bernd, Zelevinsky Andrei V. Quotients of
toric varieties // Mathematische Annalen. 1991. Vol. 290. P. 643—655.
315. Kapranov Mikhail M., Sturmfels Bernd, Zelevinsky Andrei V. Chow polytopes
and general resultants // Duke Math. J. 1992. Vol. 67. P. 189—218.
316. Karlander Johan. A characterization of affine sign vector systems. Preprint.
KTH Stockholm, 1992.
317. Karp Richard M. Reducibility between combinatorial problems // Comple-
xity of Computer Computations / Eds. R.E. Miller, J. W. Thatcher. New
York: Plenum Press, 1972. P. 85—103. (Русский перевод: Карп P. M. Сво-
димость комбинаторных проблем // Кибернетический сборник. М.:
Мир, 1975. Т. 12. С. 16-38.)
318. Katona Gyula. A theorem on finite sets // Theory of Graphs. Proc. Collo-
quium at Tihany (Sept. 1966). Budapest: Academic Press, and Akaddmiai
Kiado, 1968. P. 187-207.
319. Ke Yan, O’Rourke Joseph. Comment on Pach’s animal problem. Preprint
1988. 4 p.
320. Khachiyan Leonid, Boros Endre, Borys Konrad, Elbassioni Khaled, Gurvich
Vladimir. Generating all vertices of a polyhedron is hard // Rutgers
Research Report RRR. 18—2005.18 p.; Discrete Comput. Geometry (2008)
39:174—190.
321. Klee Victor. Paths on polyhedra I // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1965. Vol. 13.
P. 946-956.
Литература
539
322. Klee Victor. A property of d-polyhedral graphs // J. Math. Mechanics. 1964.
Vol. 13. P. 1039-1042.
323. Klee Victor. A combinatorial analogue of Poincare’s duality theorem //
Canadian J. Math. 1964. Vol. 16. P. 517-531.
324. Klee Victor. The number of vertices of a convex polytope // Canadian J.
Math. 1964. Vol. 16. P. 701-720.
325. Klee Victor. Paths on polyhedra. II // Pacific J. Math. 1966. Vol. 17. P. 249—
262.
326. Klee Victor. A d-pseudomanifold with f0 vertices has at least df0 - (d - 1) x
x (d + 2) d-simplices // Houston Math. J. 1975. Vol. 1. P. 81—86.
327. Klee Victor, Kleinschmidt Peter. The d-step conjecture and its relatives //
Math. Operations Research. 1987. Vol. 12. P. 718—755.
328. Klee Victor, Kleinschmidt Peter. Geometry of the Gass-Saaty parametric cost
LP algorithm // Discrete Comput. Geometry. 1990. Vol. 5. P. 13—26.
329. Klee Victor, Kleinschmidt Peter. Convex polytopes and related complexes //
Handbook of Combinatorics / Eds. R. Graham, M. Grotschel, L.Lovasz.
Amsterdam: North-Holland/Elsevier, 1995. P. 875—917.
330. Klee Victor, Minty George J. How good is the simplex algorithm? // Inequal-
ities, III / Ed. O. Shisha. New York: Academic Press, 1972. P. 159—175.
331. Klee Victor, Walkup David W. The d-step conjecture for polyhedra of
dimension d < 6 // Acta Math. 1967. Vol. 117. P. 53-78.
332. Kleinschmidt Peter. On facets with non-arbitrary shapes / Pacific J. Math.
1976. Vol. 65. P. 97—101.
333. Kleinschmidt Peter. Spharen mit wenigen Ecken // Geometric Dedicata.
1976. Vol. 5. P. 307-320.
334. Kleinschmidt Peter. Stellare Abanderungen und Schalbarkeit von Komple-
xen und Polytopen // J. Geometry. 1978. Vol. 11. P. 161—176.
335. Kleinschmidt Peter. The diameter of polytopes and related applications //
Polytopes: Abstract, Convex and Computational’ / Eds. T. Bisztritczky,
P. McMullen, A. Weiss. Proc. NATO Advanced Study Institute, Toronto 1993,
Kluwer Academic Publishers 1994. P. 467—492.
336. Kleinschmidt Peter, Onn Shmuel. On the diameter of convex polytopes //
Discrete Mathematics. 1992. Vol. 102. P. 75—77.
337. Kleinschmidt Peter, Smilansky Zeev. New results for simplicial spherical
polytopes // Discrete and Computational Geometry: Papers from the
DIMACS Special Year / Eds. J. E. Goodman, R. Pollac, W. Steiger. AMS,
1991. (DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer
Science; Vol. 6). P. 187-197.
338. Kleinschmidt Peter, Wood Graham R. Gale transforms and closed faces of
infinite dimensional polytopes // Mathematica 1984. Vol. 31. P. 291—304.
540
Литература
339. Koebe Paul. Kontaktprobleme der konformen Abbildung // Ber. Verh.
Sachs. Akademie der Wissenschaften Leipzig, Math.-Phys. Klasse. 1936.
Vol. 88. P. 141-164.
340. Kolata Gina. Math problem, long baffling, slowly yields. The traveling
salesman problem still isn’t solved, but computers can now get most of the
answers // New York Times. 1991. Hiesday March 12. Cl, C9.
341. Kortenkamp Ulrich H. Every simplicial polytope with at most d 4-4 vertices
is a quotient of a neighborly polytope // Discrete Comput. Geometry. 1997.
Vol. 18. P. 455-462.
342. Kortenkamp Ulrich H. Small 0/1-polytopes with many facets. Web page. 1997.
http://web.archive.org/web/19970712112014/
http://www.math.tu-berlin.de/~hund/01-Olimpics.html
343. Kortenkamp Ulrich H., Richter-Gebert Jiirgen, Sarangarajan A., Ziegler Giin-
ter M. Extremal properties of ОД-polytopes // Discrete & Comput. Geometry.
1997. Vol. 17. P. 439-448.
344. Kruskal Joseph B. The number of simplices in a complex // Mathematical
Optimization Techniques / Ed. R. Bellman. Berkeley, CA: University of
California Press, 1963. P. 251—278.
345. Kuhn Harold W. The solvability and consistency for linear equations and
inequalities // Amer. Math. Monthly. 1956. Vol. 63. P. 217—232.
346. Lagarias Jeffrey C. Point lattices // Handbook of Combinatorics / Eds.
R. Graham, M. Grotschel, L. Lovdsz. Amsterdam: North-Holland/Elsevier,
1995. P. 919-966.
347. Lagarias Jeffrey C., Prabhu Nagabhushana, Reeds James A. The d-step
conjecture and Gaussian elimination // Discrete Comput. Geometry. 1997.
Vol. 18. P. 53-82.
348. Lam Clement W.H., Thiel Larry Henry, Swiercz S. The nonexistence of
finite projective planes of order 10 // Canadian J. Math. 1989. Vol. 41.
P. 1117-1123.
349. Larman David G. Paths on polytopes // Proc. London Math. Soc. 1970.
Vol. 20. P. 161-178.
350. The Traveling Salesman Problem. A Guided Tour of Combinatorial Optimi-
zation / Eds. E. L. Lawler, J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kan, D. B. Shmoys.
Chichester New York: John Wiley & Sons, 1985; reprinted with an index,
1990.
351. Leek Uwe. Extremalprobleme fur den Schatten in Posets. Freie Universitat.
Berlin. Shaker-Verlag, Aachen. 1995.128 p.
352. Lee Carl W. Counting the faces of simplicial polytopes: Ph. D. thesis. Cornell
University, 1981.171 p.
353. Lee Carl W. Bounding the numbers of faces of polytope pairs and simple
polyhedra // Convexity and Graph Theory (Jerusalem, 1981). Amsterdam;
Литература
541
New York: North-Holland, 1984. (North-Holland Math. Stud.; Vol. 87).
P. 215-232.
354. Lee Carl W. Some notes on triangulatin polytopes // Proc. «3. Kolloquium
uber Diskrete Geometric», Institut fur Mathematik, Salzburg: Universitat
Salzburg, May 1985. P. 173-185.
355. Lee Carl W. The associahedron and triangulations of the n-gon // European
J. Combinatorics 1989. Vol. 10. P. 551-560.
356. Lee Carl W. Some recent results on convex polytopes // Mathematical
Developments arising from Linear Programming / Eds. J. C. Lagarias,
M. J. Todd. 1990. (Contemporary Mathematics; Vol. 114). P. 3—19.
357. Lee Carl W. Regular triangulations of convex polytopes // Applied Geometry
and Discrete Mathematics—The Victor Klee Festschrift / Eds. P. Gritzmann,
B. Strumfels. AMS, 1991. (DIMACS Series in Discrete Mathematics and
Theoretical Computer Science; Vol. 4). P. 443—456.
358. Lee Carl W. Kalai’s squeezed spheres are shellable. Preprint. 1994.
359. Lengauer Thomas. Combinatorial Algorithms for Integrated Circuit Layout.
John Wiley & Sons, Chichester New York, and Teubner, Stuttgart 1990.
360. Le Verge Herve. A note on Chernikova’s algorithm, preprint. №635. INRIA,
University of Rennes, 1992. 28 p.
361. Le Verge Herve. CHERNIKOVA —A C code for computing the dual represen-
tation of a cone. Code listed in [360], and implemented in [565].
362. Levi Friedrich. Die Teilung der projectiven Ebene durch Gerade oder
Pseudogerate // Berichte der Math.-Phys. Klasse Sachs. Akad. Wiss. 1926.
Vol. 78. P. 256-267. .
363. Lickorish W. B. Raymond. Unshellable triangulations of spheres // European
J. Combinatorics 1991. Vol. 12. P. 527—530.
364. Lindstrom Bernt, Zetterstrom Hans-Olov. A combinatorial problem in the k-
adic number system // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 18. P. 166—170.
365. Lipton Richard J., Tarjan Robert E. A separator theorem for planar graphs //
SIAM J. Applied Math. 1979. Vol. 36. P. 177-189.
366. Linial Nathan, Lovdsz Ldszld, Wigderson Avi. Rubber bands, convex embed-
dings and graph connectivity // Combinatorica. 1988. Vol. 8. P. 91—102.
367. Loeser Francois. Polytopes secondaires et discriminants // Зёштаие Bour-
baki. 43ёте аппёе. 1990—91. №742. Juin 1991. Astёrisque. №201—203.
1991. P. 387-420.
368. Lovdsz Ldszlo. An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs and Convexity //
CMBS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. Vol. 50.
Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Philadelphia,
1986.
369. Lovdsz Ldszld, Plummer Michael D. Matching Theory. Budapest: Akadёmiai
Kiad6; Amsterdam: North-Holland, 1986.
542
Литература
370. Lloyd Е. Keith. The number of d-polytopes with d + 3 vertices // Mathe-
matica. 1970. Vol. 17. P. 120-132.
371. Lutz Frank H. A vertex-minimal non-shellable, simplicial 3-ball with 9
vertices and 18 facets // Electronic Geometry Models. 2004. № 2003.05.004.
http: //www. eg-models. de/2003.05.004.
372. Macaulay Francis Sowerby. Some properties of enumeration in the theory
of modular systems // Proc. London Math. Soc. 1927. Vol. 26. P. 531—555.
373. MacPherson Robert D. Combinatorial differential manifolds // Topological
Methods in Modern Mathematics: A Symposium in Honor of John Milnor’s
Sixtieth Birthday. Stony Brook NY 1991 / Eds. L. R. Goldberg, A. V. Phillips.
Houston TX: Publish or Perish, 1993. P. 203—221.
374. MacPherson Robert D. Nonlinear Programming. New York: McGraw-Hill,
1969.
375. Mani Peter. Automorphismen von polyedrischen Graphen // AnnalenM.
1971. Vol. 192. P. 279-303.
376. Mani Peter. Spheres with few vertices // J. Combinatorial Theory. Ser. A.
1972. Vol. 13. P. 346-352.
377. Mani Peter, Walkup David W. A 3-sphere counterexample to the W^-path
conjecture // Math. Operations Research. 1980. Vol. 5. P. 595—598.
378. Marden Al, Rodin Burt. On Thurston’s formulation and proof of Andreev’s
theorem // Computational Methods and Function Theory / Eds. St. Rusche-
weyk et al. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1990. (Lecture Notes in
Math.; Vol. 1435). P. 103-115.
379. Horst Martini. Regulare Polytope und Verallgemeinerungen // Geometric
und ihre Anwendungen (Hrsg. O. Giering, J. Hoschek). Munchen: Hanser
Verlag, 1994. P. 247-281.
380. Horst Martini. A hierarchical classification of Euclidean polytopes with
regularity properties // Polytopes: Abstract, Convex and Computational /
Eds. T. Bisztriczky, P. McMullen, A. Weiss. Proc. NATO Advanced Study
Institute, Toronto 1993, Kluwer Academic Publishers 1994. P. 71—98.
381. Matousek Jiri. Lower bounds for a subexponential optimization algorithm //
Random Structures & Algorithms. 1994. Vol. 5. P. 591—607.
382. Matousek Jiri. Lectures on Discrete Geometry. New York: Springer-Verlag,
2002. (Graduate Texts in Mathematics; Vol. 212).
383. Matousek Jiri, Sharir Micha, Welzl Emo. A subexponential bound for
linear programming // Proc. Eighth Annual ACM Symp. Computational
Geometry. (Berlin 1992). ACM Press, 1992. P. 1—8.
384. Mat[t]heiss Theodore H, Rubin David S. A survey and comparison of
methods for finding all vertices of a polyhedral set // Math. Operations
Research. 1980. Vol. 5. P. 167-185.
385. Maxwell James Clerk. On reciprocal figures and diagrams of forces //
Philosophical Magazine. Ser. 4.1864. Vol. 27. P. 250—261.
Литература
543
386. May J. Peter. Simplicial Objects in Algebraic Topology // Van Nostrand
Mathematical Studies. №11. Princeton: D. Van Nostrand, 1967.
387. McMullen Peter. On a problem of Klee concerning convex polytopes //
Israel J. Math. 1970. Vol. 8. P. 1-4.
388. McMullen Peter. Polytopes with centrally symmetric faces // Israel J. Math.
1970. Vol. 8. P. 194-196.
389. McMullen Peter. The maximum numbers of faces of a convex polytope //
Mathematika. 1970. Vol. 17. P. 179-184.
390. McMullen Peter. On the upper-bound conjecture for convex polytopes // J.
Combinatorial Theory, Ser. В 1971. Vol. 10. P. 187—200.
391. McMullen Peter. The numbers of faces of simplicial polytopes // Israel J.
Math. 1971. Vol. 9. P. 559-570.
392. McMullen Peter. On zonotopes // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 159.
P. 91-109.
393. McMullen Peter. Polytopes with centrally symmetric facets // Israel J. Math.
1976. Vol. 23. P. 337-338.
394. McMullen Peter. Transforms, diagrams and representations // Contributions
to Geometry. Proc. Geometry Symposium (Siegen 1978) / Eds. J. Tolke,
J. Wills. Basel: Birkhauser, 1979. P. 92—130.
395. McMullen Peter. The polytope algebra // Advances in Math. 1989. Vol. 78.
P. 76-130.
396. McMullen Peter. Separation in the polytope algebra // Beitrage zur Alge-
bra und Geomtrie/Contributions to Algebra and Geometry. 1993. Vol. 34.
P. 15-30.
397. McMullen Peter. On simple polytopes // Inventiones Math. 1993. Vol. 113.
P. 419-444.
398. McMullen Peter. Duality, sections and projections of certain euclidean
tilings // Geometriae Dedicata. 1994. Vol. 49. P. 183—202.
399. McMullen Peter. Weights on polytopes // Discrete Comput. Geometry. 1996.
Vol. 15. P. 363-388.
400. McMullen Peter. Polytope algebras, tensor weights and piecewise poly-
nomials // Intuitive Geometry (Budapest, 1995). Budapest: Janos Bolyai
Math. Soc., 1997. (Bolyai Soc. Math. Studies; Vol. 6). P. 159—177.
401. McMullen Peter. Triangulations of simplicial polytopes // Beitrage zur
Algebra und Geometrie/Contributions to Algebra and Geometry. 2004.
Vol. 45. P. 37-46.
402. McMullen Peter, Shephard Geoffrey C. Diagrams for centrally symmetric
polytopes // Mathematika. 1968. Vol. 15. P. 123—138.
403. McMullen Peter, Shephard Geoffrey C. Convex Polytopes and the Upper
Bound Conjecture // London Math. Cambridge. Soc. Lecture Notes Series.
1971. Vol. 3.
544
Литература
404. McMullen Peter, Schulte Egon. Abstract Regular Polytopes. Cambridge,
2002. (Encyclopedia of Mathematics; Vol. 92).
405. McMullen Peter, Walkup David W. A generalized lowerbound conjecture for
simplicial polytopes // Mathematika. 1971. Vol. 18. P. 264—273.
406. Mihalisin James, Klee Victor. Convex and linear orientations of polytopal
graphs // Discrete Comput. Geometry. 2000. Vol. 24. P. 421—436.
407. Minkowski Hermann. Geometric der Zahlen // Teubner. Leipzig: Verlag,
1896 and 1910; Reprintedby. New York: Chelsea, 1953; New York: Johnson,
1968.
408. Mnev Nicolai E. The universality theorem on the classification problem of
configuration varieties and convex polytopes varieties // Lecture Notes in
Math. 1988. Vol. 1346. P. 527-544.
409. Mnev Nicolai E. The universality theorem on the oriented matroid stratifi-
cation of the space of real matrices. AMS, 1991. (DIMACS Series in Discrete
Mathematics and Theoretical Computer Science; Vol. 6). P. 237—243.
410. Mnev Nicolai E., Ziegler Giinter M. Combinatorial models for the finite-
dimensional Grassmannians // Discrete Comput. Geometry. 1993. Vol. 10.
P. 241-250.
411. Mohar Bojan. A polynomial time circle packing algorithm // Discrete Math.
1993. Vol. 117. P. 257-263.
412. Morelli Robert. A theory of polyhedra // Advances in Math. 1993. Vol. 97.
P.1-73.
413. Morelli Robert. Translation scissors congruence // Advances in Math. 1993.
Vol. 100. P. 1-27.
414. Motzkin Theodore S. Beitrage zur Theorie der linearen Ungleichungen //
Doktorarbeit, RAND Corporation Translations. 1952. Vol. 22. 86 p.
415. Motzkin Theodore S.. Comonotone curves and polyhedra // Abstract,
Bulletin Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 63. 35 p.
416. Motzkin Theodore S., Raiffa Howard, Thompson Gerald L., Thrall Robert M.
The double description method // Ann. of Math. Studies. 1953. Vol. 28.
P. 81-103.
417. Mulmuley Ketan. Computational Geometry: An Introduction Through Rando-
mized Algorithms. Engtlewood Cliffs NJ: Prentice Hall, 1994.
418. Munkres James R. Elements of Algebraic Topology. Menlo Park, CA: Addi-
son-Wesley, 1984.
419. Naddef Denis. The Hirsch conjecture is true for (0, l)-polytopes // Math.
Programming 1989. Vol. 45. P. 109—110.
420. Namiki Makoto, Matsui Tomomi, Fukuda Komei. Strange unfoldings of con-
vex polytopes. Web page 1997. http: //www. if or. math. ethz. ch/~f ukuda/
unfоId.home/unfold.open. html.
Литература
545
421. von Neumann John. A certain zero-sum two-person game equivalent to
the optimal assignment problem // Contributions to the Theory of Games.
Vol. II. 1953. (Annals of Math. Studies; Vol. 28). P. 5—12.
422. Newman Maxwell H.A. A property of 2-dimensional elements // Roal
Academy of Sciences, Proceedings of the Section of Sciences, Series A1926.
Vol. 29. P. 1401-1405.
423. Short-circuiting the traveling salesman problem // New Scientist. 1992.
June 27. P. 18.
424. Nilli Alon. On Borsuk’s problem. AMS, 1994. (Contemporary Mathematics;
Vol. 178). P. 209-210.
425. Novik Isabella. Upper bound theorems for simplicial manifols // Israel J.
Math. 1998. Vol. 108. P. 45-82.
426. Oda Tadao. Convex Bodies and Algebraic Geometry: An Introduction to the
Theory of Topic Varieties // Ergebnisse der mathematik und ihrer Grenz-
gebiete. Heidelberg, 1988.
427. Oda Tadao. Simple convex polytopes and the strong Lefschetz theorem //
J. Pure Applied Algebra 1991. Vol. 71. P. 265-286.
428. Onn Shmuel, Sturmfels Bernd. A quantitative Steinitz’ theorem // Beitrage
zur Algebra und Geometrie/Contributions to Algebra and Geometry. 1994.
Vol. 35. P. 125-129.
429. de Mendez Patrice Ossona. Orientations Bipolares // Doctoral thesis. Paris,
1994.113 p.
430. Oxley James G. Matroid Theory. Oxford University Press, 1992.
431. Pach Janos. New Trends in Discrete and Computational Geometry, Algo-
rithms and Combinatotrcs. Heidelberg, 1993. Vol. 10.
432. Pach Janos, Agarwal Pankaj K. Combinatorial Geometry. New York: J.
Wiley & Sons, 1995.
433. Pachner Udo. Konstructionsmethoden und kombinatorische Homoomor-
phieproblem fur Triangulationen semilinearer Mannigfaltigkeiten // Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg, 1986. Vol. 57. P. 69—86.
434. Padberg Manfred. Linear Programming, Algorithms and Combinatotrcs.
Heidelberg, 1995. Vol. 12.
435. Perles Micha A. Results and problems on reconstruction of polytopes.
Unpublished, Jerusalem, 1970.
436. Perles Micha A. At most 2d+1 neighborly simplices in Ed // Annals of
Discrete Math. 1984. Vol. 20. P. 253-254.
437. Perles Micha A. Reconstruction of polytopes —A survey // DIMACS work-
shop on polytopes and convex sets, abstracts, Rutgers University. January.
1990.1 p.
438. Perles Micha A. Problems 3.17 and 3.18 // DIMACS workshop on polytopes
and convex sets, Rutgers University, January. 1990. 8 p.
546
Литература
439. Perles Micha A., Prabhu Nagabhushana. A property of graphs of conuex
polytopes // Note, J. Combinatorial Theory. Ser. A. 1993. Vol. 62. P. 155—157.
440. Pfeifle Julian. Kalai’s squeezed 3 spheres are polytopal // Discrete Comput.
Geometry 2002. Vol. 27. P. 395-407.
441. Pfeifle Julian. Long monotone paths on simple 4-polytopes // Israel J. Math.
2005. Vol. 150. P. 333-355.
442. Pfeifle Julian, Ziegler Giinter M. Many triangulated 3-spheres // Mathema-
tische Annalen. 2004. Vol. 330. P. 829—837.
443. Pfeifle Julian, Ziegler Giinter M. On the Monotone Upper Bound Problem //
Experimental Math. 2004. Vol. 13. P. 1—11.
444. Poincare Henri. Sur la generalisation d’un theorem d’Euler relatif aux poly-
edres // Comptes Rend. Acsad. Sci.Paris 1893. Vol. 117. P. 144—145.
445. Poincare Henri. Complement a 1’analysis situs // Rendiconti Circolo mat.
Palermo. 1899. Vol. 13. P. 285-343.
446. Prabhu Nagabhushana. Problem 3.11 // DIMACS, Rutgers University, Janu-
ary. 1990. 8 p.
447. Provan J. Scott. Decompositions, shellings, and diameters of simplicial com-
plexes and convex polyhedra: Ph. D. thesis. Cornell University, 1977.
448. Purtill Mark. Andre permutations, lexicographic shellability, and the cd-
index of a convex polytope // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 338.
P. 77-104.
449. Rado Richard. A sequence of polyhedra having intersections of specified
dimensions // J. London Math. Soc. 1947. Vol. 22. P. 287—289.
450. Rambau Jorg, Ziegler Giinter M. Mapping polytopes and cofiber polytopes.
Berlin: Notes. ZIB, 1994.
451. Rambau Jorg, Ziegler Giinter M. Projection of polytopes and the Generalized
Baues Conjecture // Discrete Comput. Geometry 1996. Vol. 16. P. 215—237.
452. Reinelt Gerd. The Traveling Salesman. Computational Solutions for TSP
Applications. Berlin, 1994. (Lecture Notes in Computer Science; Vol. 840).
453. Reiner Victor, Ziegler Giinter M. Coxeter-associahedra // Mathematika.
Vol. 41. P. 364-393.
454. Ribo Mor Ares. Realization and counting problems for planar structures:
Trees and linkages, polytopes and polyominioes: Ph. D. thesis. Berlin, 2005.
23+167 p.
455. Richter-Gebert Jiirgen. Kombinatorische Realisierbarkeitskriterien fur ori-
entierte Matroide // Mitteilungen Math. Seminar Gieben. 1989. Vol. 194.
456. Richter-Gebert Jiirgen. Oriented matroids with few mutations // Discrete
Comput. Geometry 1993. Vol. 10. P. 251—269.
457. Richter-Gebert Jiirgen. Line arrangements and zonotopal tilings: A little
printer exercise // HyperSpace 1993. Vol. 2. P. 8—17.
458. Richter-Gebert Jiirgen. Two interesting oriented matroids // Doc. Math.
1996. Vol. 1. P. 137-148.
Литература
547
459. Richter-Gebert Jurgen. Realization Spaces of Polytopes // Lecture Notes in
Mathematics. 1996. Vol. 1643.
460. Richter-Gebert JUrgen. The universality theorems for oriented matroids and
polytpoes. 1998. (Contemporary Mathematics; Vol. 223). P. 269—292.
461. Richter-Gebert JUrgen, Ziegler GUnter M. Zonotopal tilings and the Bohne-
Dress theorem. 1994. (Contemporary Mathematics; Vol. 178). P. 211—232.
462. Richter-Gebert JUrgen, Ziegler GUnter M. Realization spaces of 4-polytopes
are universal // Bulletin Amer. Math. Soc. 1995. Vol. 32. P. 403—412.
463. Ringel Gerhard Teilungen der Ebene durch Geraden oder topologische
Geraden // Math. Zeitschrift 1956. Vol. 64. P. 79—102.
464. Robertson Neil, Seymour Paul D. Graph minors —A survey // Surveys
in Combinatiorics. 1985. (London Math. Society Lecture Note Series;
Vol. 103). P. 153-171.
465. Robertson Stewart A. Polytopes and Symmetry. Cambridg: Cambridge
University Press, 1984. (London Math. Soc. Lecture Note Series; Vol. 90).
466. Rote GUnter. Degenerate convex hulls in high dimensions without extra
storage // Proc. Eighth Annual ACM Symp. Computational Geometry. 1992.
P. 26-32.
467. Roudneff Jean-Pierre, Sturmfels Bernd. Simplicial cells in arrangements
and mutations of oriented matroids // Geometriae Dedicata. 1988. Vol. 27.
P. 153-170.
468. Rudin Mary Ellen. An unshellable triangulation of a tetrahedron // Bulletrin
Amer. Math. Soc. 1958. Vol. 64. P. 90-91.
469. Rushdie Salman. Haroun and the Sea of Stories. London: Granta Books,
1990.
470. Rybnikov Konstantin. Stresses and liftings of cell-complexes // Discrete
Comput. Geometry. 1999. Vol. 21. P. 481—517.
471. Saito Morihiko Hodge structure via filtered D-modules // Asterisque. 1985.
Vol. 130. P. 342-351.
472. Sanyal Raman, Schroder Thilo, Ziegler GUnter M. Polytopes and polyhedral
surfaces via projection. Preprint. 2006.
473. Schlqfli Ludwig. Theorie der vielfachen Kontinuitat. Basel, 1950. (Gesam-
melte Mathematische Abhandlungen; Vol. 1). P. 167—387.
474. Schlegel Victor. Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde //
Verhandlungen der Kaiserlichen Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen
Akademie der Naturforscher. 1883. Vol. 44. P. 343—359.
475. Rolf G. Schneider. Uber eine Integralgleichung in der Theorie der konvexen
Korper // Math. Nachrichten. 1970. Vol. 44. P. 55—75.
476. Rolf G. Schneider. Convex Bodies // The Brunn-Minkowski Theory. 1993.
(Encyclopedia of Mathematics; Vol. 44).
477. Rolf G. Schneider. Neighbourliness of centrally symmetric convex polytopes
in high dimantions // Mathematika. 1975. Vol. 22. P. 176—181.
548
Литература
478. Rolf G. Schneider, Weil Wolfgang Zonoids and related topics // Convexity
and Its Applications. 1983. P. 296—317.
479. Schnyder Walter. Embedding planar graphs on the grid // Proc. First ACM-
SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 1990. P. 138—147.
480. Schoute Pieter Hendrik. Mehadimensionale Geometric. Vol. 2. Leipzig, 1905.
481. Schoute Pieter Hendrik. Analytic treatment of the polytopes regularly
derived from the regular polytopes // Verhandelingen der Koninklijke
Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Vol. 11.1991. 87 p.
482. Schramm Oded. Existence and uniqueness of packings with specified com-
binatorics // Israel J. Math. 1991. Vol. 73. P. 321-341.
483. Schramm Oded. How to cage an egg // Inventiones Math. 1992. Vol. 107.
P. 543-560.
484. Schrijver Alexander. Theory of Linear and Integer Programming // Wiley-
Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. 1986. Vol. 28.
19, 22, 23, 27, 47,69,96.
485. Schiitzenberger Marcel-Paul. A characteristic propery of certain polynomials
of E. F. Moore and С. E. Shannon // RLE Quarterly Progress Report. 1959.
Vol. 55. P. 117-131.
486. Schulte Egon. Analogues of Steinitz’s theorem about non-inscribable poly-
topes // Colloquia Soc. Amsterdam: Janos Bolyai, North-Holland, 1987.
Vol. 48. P. 503-516.
487. Schulz Christoph. An invertible 3-diagram with 8 vertices // Discrete Math.
1979. Vol. 28. P. 201-205.
488. Schulz Christoph. Dual pairs of njn-polytopal diagrams and spheres //
Discrete Math. 1985. Vol. 55. P. 65-72.
489. Seidel Raimund. Small-dimensional lenear programming and convex hulls
made easy // Discrete Comput. Geometry 1991. Vol. 6. P. 423—434.
490. Seidel Raimund. The upper bound theorem for polytopes: an easy proof of
its asymptotic version // Comput. Geometry: Theory and Applications 1995.
Vol. 5. P. 115-116.
491. Senechai Majorie. Cristalline Symmetries. An Informal Mathematical Intro-
daction. Bristol; Philadelphia; New York: Adam Hilger, 1993.
492. Shaping Space. A Polyhedral Approach / Eds. M. Senechai, G. Fleck. Bos-
ton: Birkhauser Verlag, 1988. (Design Science Collection).
493. Shannon Robert William. Simplicial cells in arrangements of hyperplanes //
Geometriae Deducata. 1979. Vol. 8. P. 179—187.
494. Shemer Ido. Neighborly polytopes // Israel J. Math. 1982. Vol. 43. P. 291—314.
495. Shephard Geoffrey C. Combinatorial properties of associated zonotopes //
Canadian J. Math. 1974. Vol. 26. P. 302-321.
496. Shephard Geoffrey C. Convex polytopes with convex nets // Math. Proceed-
ings Cambrige Math. Soc. 1975. Vol. 78. P. 389—403.
Литература
549
497. Shermer Thomas C. A smaller irreducible animal; A very small irreducible
animal // Snapshots of Computational and Discrete Geometry, McGill
University TR SOCS-88.11. Montreal, 1988. P. 139-141. P. 142-143.
498. Shermer Thomas C. Three more animals // Dept. Computer Science.
Preprint. Montreal: McGill University, 1988. 5 p.
499. Shor Peter W. The Stretchability of pseudolines is NP-hard // Applied
Geometry and Discrete Mathematics / The Victor Klee Fistschrift. (DIMACS
Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 1991.
Vol. 4). P. 531-554.
500. Simon Robert S. The combinatorial properties of «cleanness»: Ph. D. Thesis.
Bielefeld, 1992; Preprint 92-077, Sonderforschungsbereich 343 «Diskrete
Strukturen in der Mathematik». Universitat Bielefeld, 1992.101 p.
501. Singhi Navin, Shrikhande S.S. A reciprocity relation for t-designs //
European J. Combinatorics 1987. Vol. 8. P. 59—68.
502. Smilansky Zeev. Convex hulls of generalized moment curves // Israel
J. Math. 1985. Vol. 52. P. 115-128.
503. Smilansky Zeev. Bi-cyclic 4-polytopes // Israel J. Math. 1990. Vol. 70.
P. 82-92.
504. Smilansky Zeev. A non-geometric shelling of 3-polytope // Israel J. Math.
1990. Vol. 71. P. 29-32.
505. Smith Warren D. Lower bouns for triangulations of N-cube. Preprint. 1994.
8p.
506. Sommerville Duncan M’Laren Young. An Introduction to the Geometry of
n Dimensions. London, 1929; Reprint. New York: Dover Publications, 1958.
507. Sommerville Duncan M’Laren Young. A Bibliography of Non-Euclidean
Geometry. London, 1911; Supplemented reprint. New York: Chelsea Pub-
lishing Company, 1970.
508. Sommerville Duncan M’Laren Young. The relations connecting the angle-
sums and volume of a polytope in space of n dimensions // Proc. Royal
Society London. Ser. A. 1927. Vol. 115. P. 103—119.
509. Sperner Emanuel. Ein satz liber Untermengen einer endlichen Menge //
Mathematische Zeitschrift. 1928. Vol. 27. P. 544—548.
510. Springborn Boris A. A unique representation theorem of polyhedral types:
Centering via Mobius transformations // Math. Zeitschrift. 2005. Vol. 249.
P. 513-517.
511. Stanley Richard P. The upper bound conjecture and Cohen-Macaulay
rings // Studies in Appl. Math. 1975. Vol. 54. P. 135-142.
512. Stanley Richard P. Cohen-Macaulay complexes // Higher Combinatorics /
Ed. M. Aigner. Dordrecht/Boston: Reidel, 1977. (NATO Advanced Study In-
stitute Series). P. 51—62.
513. Stanley Richard P. Balanced Cohen-Macaulay complexes // Trans. Amer.
Math. Soc. 1979. Vol. 249. P. 139-157.
550
Литература
514. Stanley Richard P. The number of faces of simplicial convex polytopes. New
York, 1980. (Advances in Math.; Vol. 35). P. 236-238.
515. Stanley Richard P. Combinatorics and Commutative Algebra. Boston: Birk-
hauser, 1983. (Progress in Math.; Vol. 41).
516. Stanley Richard P. The number of faces of simplicial polytopes and spheres //
Discrete Geometry and Convexity (New York, 1982) / Eds. J. E. Goodman,
E. Lutwak, J. Malkevitch, R. Pollack. New York, 1985. (Annals New York
Academy of Sciences; Vol. 440). P. 212—223.
517. Stanley Richard P. Enumerative Combinatorics. Vol. I. Monterey: Wads-
worth & Brooks/Cole, 1986.
518. Stanley Richard P On the number of faces of centally-symmetric simplicial
polytopes // Graphs Combin. 1987. Vol. 3. P. 55—66.
519. Stanley Richard P. Generalized h-vector, intersection cohomology of toric
varieties, and related results // Commutative Algebra and Combinatorics /
Eds. M. Nagata, H. Matsumura. Kinokuniya; Tokyo; North-Holland; Am-
sterdam; New York, 1987. (Advanced Studies in Pure Math.; Vol. 11).
P. 187-213.
520. Stanley Richard P. Subdivisions and local h-vectors // J. Amer. Math. Soc.
1992. Vol. 5. P. 805-851.
521. Stanley Richard P. Flag /-vectors and the cd-index // Math. Zeitschrift.
1994. Vol. 216. P. 483-499.
522. Stasheff James Dillon. Homotopy associativity of H-spaces I // Trans. Amer.
Math. Soc. 1963. Vol. 108. P. 275-292.
523. Steiner Jacob. Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer
Gestalten von einander. Berlin: Fincke, 1832; also in: Gesammelte Werke.
Vol. 1. Berlin: Reimer, 1881. P. 229—458.
524. Steinitz Ernst. Polyeder und Raumeinteilungen // Encyllopadie der mathe-
matischen Wissenschaften. Dritter Band: Geometric, 111.1.2, Heft 9, Kapitel
ЗАВ 12,1922. P. 1-139.
525. Steinitz Ernst. Uber isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern //
J. reine angewandte Math. 1928. Vol. 159. P. 133—143.
526. Steinitz Ernst. Uber die Eulerschen Polyederrelationen // Archiv fur Mathe-
matik und Physik. 1906. Vol. 11. P. 86—88.
527. Steinitz Ernst, Rademacher Hans. Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder.
Berlin: Springer-Verlag, 1934; Reprint. Springer-Verlag, 1976.
528. Stillwell James. Classical Topology and Combinatorial Group Theory. New
York: Springer-Verlag, 1982 (Graduate Texts in Mathematics; Vol. 72); 2-ed.
1993.
529. Stoer Josef, Witzgall Christoph. Convexity and Optimization in Finite Di-
mensions. I // Grundlehren der mathmatischen Wissenschaften, Bd. 163.
Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970.
Литература
551
530. Sturmfels Bernd. Boundary complexes of convex polytopes cannot be char-
acterized locally // J. London Math. Soc. 1987. Vol. 35. P. 314—326.
531. Sturmfels Bernd. Neighborly polytopes and oriented matroids // European
J. Combinatorics. 1988. Vol. 9. P. 537—546.
532. Sturmfels Bernd. Some applications of affine Gale diagrams to poytope with
few vertices // SIAM J. Discrete Math. 1988. Vol. 1. P. 121—133.
533. Sturmfels Bernd. Pretty pictures, or How to subdivide 12-gon into paralle-
lograms // Letter to Jan Stienstra (Note). November 1991.10 p.
534. Sturmfels Bernd. Fiber polytopes: A brief overview // Special Differential
Equations / Ed. M. Yoshida. Fukuoka: Kyushu University, 1991. P. 117—124.
535. Sturmfels Bernd. Asymptotic analysis of toric ideals // Memoirs of the
Faculty of Science, Kyushu University. Ser. A. Mathematics. 1992. Vol. 46.
P. 217-228.
536. Sturmfels Bernd, Ziegler Giinter M. Extension spaces of oriented matroids //
Discrete Comput. Geometry. 1993. Vol. 10. P. 23—45.
537. Suvorov P.Y. Isotopic but not rigidly isotopic plane systems of straight
lines // Topology and Geometry—Rohlin Seminar / Ed. O. Ya. Viro. Berlin;
Heidelberg: Springer-Verlag, 1988. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1346).
P. 545-556.
538. Taylor Jean E. Zonohedra and generalized zonohedra // Amer. Math.
Monthly. 1992. Vol. 99. P. 108-111.
539. Thiele Torsten. Extremalprobleme fiir Punktmengen : Diplomarbeit. Freie
Universitat Berlin, 1991. 80 p.
540. Thomassen Carsten. Planarity and duality of finite and infinite graphs //
J. Combinatorial Theory. Ser. B. 1980. Vol. 29. P. 244—271.
541. Thurston William P. Geometry and Topology of 3-Manifolds. Princeton:
Princeton University Press, \977/78. (Lecture Notes).
542. Tietze Heinrich. Uber das Problem der Nachbargebiete im Raum // Zeit-
schrift fiir Mathematik und Physik. 1905. Vol. 16. P. 211—216.
543. Tietze Heinrich. Famous Problems of Mathematics. New York, 1965.
544. Todd Michael J. The monotonic bounded Hirsch conjecture is false for
dimension at least 4 // Math. Operations Research 1980. Vol. 5. P. 599—601.
545. Todd Michael J., Tungel Levent. A new triangulation for simplicial algo-
rithms // SIAM J. Discrete Math. 1993. Vol. 6. P. 167—180.
546. Truemper Klaus. On the delta-wye reduction for planar graphs // J. Graph
Theory. 1989. Vol. 13. P. 141-148.
547. Truemper Klaus. Matroid Decomposition. San Diego: Academic Press, 1992.
548. Черников Сергей Николаевич. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.
549. Tutte William Т. Convex representations of graphs // Proc. London Math.
Soc. 1960. Vol. 10. P. 304-320.
550. Tutte William T. Connectivity in Graphs. Toronto: University of Toronto
Press, 1966.
552
Литература
551. Tutte William T. Graph Theory // Encylopedia of Mathematics. Vol. 21.
Cambridge: Cambridge University Press, 1984.
552. Veblen Oswald, Young John Wesley. Projective Geometry. Boston: Ginn and
Co., Vol. 1.1910; Vol. II. 1917.
553. Vince Andrew. A non-shellable 3-sphere // European J. Combinatorics.
1985. Vol. 6. P. 91-100.
554. Wagner Klaus. Bemerkungen zum Vierfarbenproblem // Jehresbericht der
Deutchen Mathematiker-Vereinigung. 1936. Vol. 46. P. 26—32.
555. Welsh Dominic J. A. Matroid Theory. London: Academic Press, 1976.
556. Wetzel John E. Which Griinbaum arrangemets are simplicial? // Exposi-
tions Mathematicae. 1993. Vol. 11. P. 109—122.
557. Theory of Matroids / Ed. N. White. Cambridge: Cambridge University
Press, 1986. (Encyclopedia of Mathematics; Vol. 26).
558. White Neil. Coordinatizations // Combinatorial Geometries / Ed. N. White.
Cambridge: Cambridge University Press, 1987. (Encyclopedia of Mathe-
matics; Vol. 29). P. 1—27.
559. White Neil. A non-uniform oriented matroid which violates the isotopy
property // Discrete Comput. Geometry. 1989. Vol. 4. P. 1—2.
560. Whitehead John Henry Constantine. On subdivisions of complexes // Proc.
Cambridge Phil. Soc. 1935. Vol. 31. P. 69-75.
561. Whiteley Walter. Motions and stresses of projected polyhedra // Structural
Topology. 1982. Vol. 7. P. 13-38.
562. Whiteley Walter. Matroids and rigid structures // Matroid Applications /
Ed. N. White. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. (Encylopedia
of Mathematics; Vol. 40). P. 1—53.
563. Whiteley Walter. 3-diagrams and Schlegel diagrams of simple 4-polytopes.
Preprint. 1994.
564. Whitney Hassler. Congruent graphs and the connectivity of graphs // Amer.
J. Math. 1932. Vol. 54. P. 150-168.
565. Wilde Doran K. Polylib —a library of polyhedral functions. Internal Publi-
cations. №785. IRISA. Rennes. 1993. 45 p.; see http://www.ee.byu.edu/
facuity/wilde/polyhedra.html.
566. Williamson Hoke Kathy. Completely unimodal numberings of a simple
polytope // Discrete Applied Math. 1988. Vol. 20. P. 69—81.
567. Wistuba Harald, Ziegler Giinter M. h-vectors of pure simplicial complexes.
Notes. Institut Mittag-Leffler. Djursholm 1991.
568. Witsenhausen Hans S. A support characterization of zonotopes // Mathe-
matika. 1978. Vol. 25. P. 13-16.
569. Wood Graham R., McDowell Stephen R., Kleinschmidt Peter. Constructing
infinite dimensional polytopes using Gale transforms // Southeast Asian
Bull. Math. 1999. Vol. 23. P. 291-307.
Литература
553
570. Емеличев Владимир А., Ковалев Михаил М., Кравцов Михаил К Много-
гранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981.
571. Zaks Joseph. No nine neighborly tetrahedra exist. Memoirs Amer. Math.
Soc., 1991. Vol. 447.
572. Zaslavsky Thomas. Facing up to arrangements: Face count formulas for
partitions of space by hyperplanes // Memoirs Amer. Math. Soc. No. 154,
1975. Vol. 1.
573. Ziegler Gunter M. Vier farbige Probleme — Nachbargebiete und Karten-
farbung in drei und mehr Dimensionen // Jugend forscht (German National
Science Fair). 1982.
574. Ziegler Gunter M. Three problems about 4-polytopes // Polytopes: Abstract,
Convex and Computational / Eds. T. Bisztriczky, P. McMullen, A. Weiss.
Toronto 1993. Kluwer Academic Publishers, 1994. (Proc. NATO Advanced
Study Institute). P. 499—502.
575. Ziegler Gunter M. Shelling polyhedral 3-balls and 4-polytopes // Discrete
Comput. Geometry. 1998. Vol. 19. P. 159—174.
576. Ziegler Gunter M. Recent progress on polytopes // Advances in Discrete and
Computational Geometry / Eds. B. Chazelle, J. E. Goodman, R. Pollack. Pro-
vidence RI: AMS, 1998. (Contemporary Mathematics; Vol. 223). P. 395—406.
577. Ziegler Gunter M. Lectures on 0/1-polytopes // Polytopes — Combinatorics
and Computation / Eds. G. Kalai, G. M. Ziegler. Basel: Birkhauser, 2000.
(DMV Seminars; Vol. 29). P. 1-44.
578. Ziegler Gunter M. Face numbers of 4-polytopes and 3-spheres // Interna-
tional Congress of Mathematicians (ICM 2002, Beijing). Beijing: Higher
Education Press, 2002. Vol. III. P. 625—634; http: //www. arXiv. org/math.
MG/0208073
579. Ziegler Gunter M. Projected Products of Polygons // Electronic Research
Announcements. AMS, 2004. Vol. 10. P. 122—134.
580. Ziegler Gunter M. Convex Polytopes: Extremal constructions and f-vector
shapes / Eds. E. Miller et al. // «Geometric Combinatorics», Proc. Park City
Mathematical Institute (PCMI). 2004. Providence, RI: AMS, 2007. P. 617.
http://arXiv.org/abs/math/0411400.
Литература, использованная в приложении
581. Aguiar М., Bergeron N., Sottile F. Combinatorial Hopf Algebras and Gene-
ralized Dehn-Sommerville relations // Compositio Mathematica. 2006.
Vol. 142. (1). P. 1—30; arXiv: math/0310016vl [math. CO].
582. Baker A., Richter B. Quasisymmetric functions from a topological point of
view // Math. Scand. 2008. Vol. 103. P. 208-242.
583. Billera L., EhrenborgR. Monotonicity of the cd-index for polytopes // Math.
Z. 2000. Vol. 233. P. 421-441.
554
Литература
584. Billera L, Ehrenborg R., Readdy M. The cd-index of zonotopes and arran-
gements // Mathematical Essays in Honor of Gian-Carlo Rota. Boston:
Birkhauser, 1998.
585. Billera L, Liu N. Non-commutative enumeration in graded posets //
Journal of Algebraic Combinatorics 2000. Vol. 12. P. 7—24.
586. Blind G., Blind R. Triangle-free polytopes with few facets // Arch. Math.
Vol. 58, № 6. Basel, 1992. P. 599-605.
587. Bott R., Taubes C. On the self-linking of knots. Topology and physics // J.
Math. Phys. 1994. Vol. 35, №10. P. 5247-5287.
588. Buchstaber V. M. Lectures on toric topology // Proceedings of Toric Topology
Workshop KAIST 2008. Trends in Math. Vol. 10, №1. KAIST: Information
Center for Mathematical Sciences, 2008. P. 1—64.
589. Carr M. P., Devadoss S. L. Coxeter complexes and graph-associahedra // To-
pology Appl. 2006. Vol. 153, № 12. P. 2155-2168; arXiv: math. QA/0407229.
590. Charney R., Davis M. The Euler characteristic of a nonpositively curved,
piecewise Euclidean manifold // Pacific J. Math. 1995. Vol. 171, №1.
P. 117-137.
591. Chen К. T., Fox R.H., Lyndon R. C. Free differetional calculus. IV // Ann.
Math. 1958. Vol. 68. P. 81-95.
592. De Concini C, Procesi C. Wonderful models of subspace arrangements //
Selecta Math. (N.S.). 1995. Vol. 1, №3. P. 459-494.
593. Ehrenborg R. On Posets and Hopf Algebras // Advances in Math. 1996.
Vol. 119. P. 1-25.
594. Ehrenborg R., Fox H. Inequalities for cd-indices of joins and products of
polytopes // Combinatorica 2003. Vol. 23. P. 427—452.
595. Ehrenborg R., Readdy M. Coproducts and the cd-index // J. Algebraic
Combin. 1998. Vol. 8. P. 273-299.
596. Feichtner E.M., Sturmfels B. Matroid polytopes, nested sets and Bergman
fans // Port. Math. (N.S.). 2005. Vol. 62, №4. P. 437-468; arXiv:math.
C0/0411260.
597. Fomin S., Zelevinsky A. Cluster algebras. I. Foundations // J. Amer. Math.
Soc. 2002. Vol. 15, № 2. P. 497-529.
598. Gal S. R. Real root conjecture fails for five and higher dimensional spheres //
Discrete Comput. Geom. 2005. Vol. 34. №2. P. 260—284; arXiv:math/
0501046.
599. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky А. V Discriminants, Resultants,
and Multidimensional Determinants. Boston: Birkhauser, 1994.
600. Gelfand I. M., Krob D., Lascoux A., Leclerc B., Retakh V. S., Thibon J.-Y. Non-
commutative symmetric functions // Adv. Math. 1995. Vol. 112. P. 218—348;
arXiv:hep-th/9407124vl.
601. Gessel I. M. Multipartite P-partitions and inner products of skew Schur
functions. 1984. (Contemporary Mathematics; Vol. 34). P. 289—301.
Литература
555
602. Hazewinkel М. The Algebra of Quasi-Symmetric Functions is free over
integers // Advances in Mathemetics. 2001. Vol. 164. P. 283—300.
603. Lee C. W. Sweeping the cd-Index and the Toric h-Vector. 2009. Preprint:
http://www.ms.uky.edu/~lee/cd.pdf; arXiv:1011.2264vl[math.CO].
Electron. J. Comb. 18. №1. Research Paper P66, 20 p., electronic only
(2011).
604. Combinatorics on Words / Ed. M. Lothaire. Reading, MA: Addison-Wesley,
1983. (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications; Vol. 17).
605. Malvenuto C., Reutenauer C. Duality between quasi-symmetric functions
and the Solomon descent algebra // J. Algebra 1995. Vol. 177. P. 967—982.
606. Postnikov A, Permutohedra, associahedra, and beyond // Int. Math. Res.
Not. Vol. 2009. №6. P. 1026—1106; arXiv:math.C0/0507163.
607. Postnikov A., Reiner V, Williams L. Faces of generalized permutohedra //
Doc. Math. 2008. Vol. 13. P. 207-273; arXiv:math.CO/0609184.
608. Reutenauer C. Free Lie algebras. Oxford, UK: Oxford Univ. Press, 1993.
609. Stanley R. P Ordered structures and partitions // Memoirs of the American
Mathematical Society. № 119. AMS, 1972.
610. Stasheff J. D. From operads to «physically» inspired theoriesm // Operads:
Proceedings of Renaissance Conferences (Hartford, CT/Luminy, 1995).
(Contemporary Mathematics; 1997). Vol. 202. P. 53—81.
611. Stembridge J.R. Enriched P-partitions // Trans. Amer. Math. Soc. 1997.
Vol. 349. №2. P. 763-788.
612. Thibon J.-Y., Ung B.-C.-V. Quantum quasi-symmetric functions and Hecke
algebras // Journal of Physics A. 1996. Vol. 29. P. 7337—7348.
613. Бухштабер B.M. Кольцо простых многогранников и дифференциаль-
ные уравнения // Труды математического института им. В. А. Стекло-
ва. 2008. Т. 263. С. 1-26.
614. Бухштабер В. М., Володин В. Д. Точные верхние и нижние границы для
нестоэдров // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75, вып.6. С. 17—46. arXiv:
1005.1631V2.
615. Бухштабер В.М., Ероховец Н.Ю. Многогранники, числа Фибоначчи,
алгебры Хопфа и квазисимметрические функции // УМН. 2011. Т. 66,
вып.2(398). С.67—162. arXiv:math.СО/1011.1536vl.
616. Бухштабер В. М.,Корицкая Е. В. Квазилинейное уравнение Бюргерса—
Хопфа и многогранники Сташефа // Функц. анализ и его прил. 2007.
Т. 41, вып. 3. С. 34-47.
617. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и ком-
бинаторике. М.: МЦНМО, 2004.
618. Володин В.Д. Кубические реализации флаговых нестоэдров и дока-
зательство гипотезы Гала для них // УМН. 2010. Т.65, вып. 1(391).
С. 183-184.
556
Литература
619. Новиков С. П. Различные удвоения алгебр Хопфа. Алгебры операторов
на квантовых группах, комплексные кобордизмы // УМН. 1992. Т. 47,
вып. 5(287). С. 189-190.
620. Хазевинкелъ М. Обобщенные перекрывающие тасовочные алгебры //
Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня
рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 31 августа —6 сентября 1998 г.).
Т. 8. Алгебра. М.: ВИНИТИ, 1999. (Итоги науки и техн. Сер. Соврем,
мат. и ее прил. Темат. обз.; Т. 69). С. 193—222.
Предметный указатель
О/1-многогранник 39
2-смежностный 4-многогранник 28
2-срезка 453
2-усеченный куб 450, 453
cd-индекс 365, 516
— неотрицательность 516
— существование 517
ДУ-операция 148
у-вектор 426
у-многочлен 426
JSf-многогранник 21
J^-полиэдр 21
У-многогранник 21
У-полиэдр 52
d-диаграмма 187
— нешлегелева 189
— , примеры 189
— симплициальная 187
/-вектор 320, 422
— неунимодальный 353
F-дифференцирование 465, 469
F-многочлен 422
/-многочлен 324
g-вектор 349, 422
g-гипотеза 349
g-теорема 349
h-вектор 325, 366, 422
— обобщенный 365
Н-многочлен 422
к-остов 96
М-последовательность 348
п-угольник 22
s-характер 459
S-шеллинг 516
MAPLE 363
POLYMAKE 75
PORTA 29, 75, 401
аксиомы для ковекторов 276
активная гипергрань 124
алгебра Лейбница—Хопфа 484
— Ли—Хопфа 486
— многогранников 362
— операторов граней 460
— тасовочная 486
— Хопфа 484
---аугментация 484
---градуированная 484
---градуирование двойственная
484
---коумножение 484
алгоритм теневой вершины 391
алгоритмы отсечений 44
антигомоморфизм 503
ассоциэдр 38, 397,444
—, граф-ассоциэдр 429,444
— обобщенный 428
— перестановочный 38
аугментация 484
аффинная диаграмма Гейла 225
— оболочка 19
— проекция 261
аффинно независимое множество
19
аффинное отображение 260
— подпространство 18
— преобразование 260
аффинные зависимости 203
аффинный изоморфизм 176
ациклическая конфигурация
векторов 211, 247
558
Предметный указатель
— ориентация 115
базис 482
биномиальное разложение 340
бипирамида 27, 462
бициклический многогранник 110
быстрые алгоритмы 172
веер 255
— граней 256
— заостренный 256
— нормальный 257
— , общее подразделение
(измельчение) 259
— , ограничение 260
— полный 255
— , прямая сумма 259
— симплициальный 256
вектор аффиннных значений 207
— граней 422
вектор-столбцы 17
вектор-строки 17
векторная сумма 51
векторное пространство 17
векторы знаков 276
---, исключение индекса 276
---, композиция 276
---, разделяющее множество 276
— значений 212
верное неравенство 79
вершина 79
вершинная фигура 83
видимая гипергрань 314
внутренность 90
вторичный многогранник 379, 387,
396
выпуклая оболочка 19
выпуклое множество 19
вычислительная выпуклость 50
— геометрия 75
гамильтонов цикл 377
геометрическая реализация 336
геометрия чисел 44
гипергрань 79, 304
— активная 124
гиперкуб 24
гиперплоскость 18
— аффинная 280
— допустимая 99
— линейная 280
гиперребро 79
гиперсимплекс 39
гипотеза d шагов 120
— о верхней границе 330
— о невозвращающемся пути 121
— о продолжении шеллинга 373
— об изотопии 237
— об унимодальности 352
— Хирша 119
---, верхние оценки 123
---для 0/1-многогранников 128
---монотонная 122
---строго монотонная 123
— Черни—Дэвиса 449
гнездовое множество 429, 438
градуированно двойственная
алгебра 484
граничный комплекс 176, 305
гранная фигура 104
грань 79, 304
— собственная 79
граф 115
— 4-многогранника 144
— к-регулярный 132
— d-связный 134
— дуальный 147
—, к-разрез 159
— к-связный 147,160
—, надстройка 143
— планарный 145
—, проектирование решеток 154
— простой 145, 444
—, прямолинейная реализация 165
Предметный указатель
559
— размерностно неоднозначный
137
—, сетка 153
— трехмерного многогранника 145
—, хорошая ориентация 132
— четырехмерного многогранника
173
граф-ассоциэдр 429, 444
графическое производящее
множество 444
двойственное векторное
пространство 17
действия групп 414
джойн 417
диаграмма 187
— Гейла 202, 225
----аффинная 225
----зон 294
----центральная 252
— обратимая 188
— простая 187
— топологическая 192
— Шлегеля 181
----многогранника, полярного
к циклическому 195
----, примеры 183
диаметр графа 118
длина цепи 85
допустимая гиперплоскость 99
дуальность 219
дуальный граф 147
египетская пирамида 26
задача коммивояжера 41
— о домике 359
— отделения 258
— предписания границы тени 158
----формы 2-грани 234
-------гиперграни 158, 232
заостренный полиэдр 70
звезда 309
звездная сфера 259
звездные подразбиения 112,137
знаковые векторы 206, 212
— ковекторы 208, 212
— коцепи 208, 212
— цепи 206
зона 272
зонотоп 36, 255, 264, 434
— ассоциированный 297
— обобщенный 297
—, объем 302
избыточное неравенство 74,105
----, критерии 106
инвариант Александера 359
индуцированный подграф 115,143
интервал 85
инфимум 85
исключение неизвестных 56
категория многогранников 412
квазисимметрические функции 478
квазисимметрический моном 477
когипергрань 208
когрань 208
кольцо многогранников 458
— производящих множеств 468
— флаговых векторов 497
комбинаторная полярность 95,188
— эквивалентность 88,175
комбинаторный взрыв 74
— инвариант 422
— многогранник 420
комплекс абстрактный
симплициальный 141, 335
— геометрический
симплициальный 335
— граничный 176, 305
— звезда 309
— линк 309
— многогранника 176
— мультикомплекс 343
—, обладающий шеллингом 142
560
Предметный указатель
— однородный 304
— полиэдральный 174, 304
— разделимый 322
— сжатый 342
— сильно связный 141
— симплициальный 305, 307
—, тело 174
— ультрасвязный 142
композиция 477
коническая оболочка 51
конус 51
— полиэдральный 54
— спуска 69
— характеристический 69
конфигурация векторов
ациклическая 211, 247
----полностью циклическая 224
----простая 273
— гиперплоскостей 258
----аффинная 280
----линейная 258
— Паппа 285
— псевдогиперплоскостей 279
— псевдопрямых 281
----непаппова 286
----реализуемая 285
конфигурация векторов дуальная
223
коумножение 484
кривая Каратеодори 109
— моментов 28
критерии (условия) избыточности
106
кроссполитоп 24
куб 24
— 2-усеченный 450, 453
—, d-куб 24
кубический многогранник 45
кусочно линейная функция 178
лемма о продолжении 312
— Фаркаша 64
— Шпернера 336
лента Мёбиуса 200
линейная форма 17
— часть множества 69
линейное подпространство 18
— программирование 115, 258
----базисная версия 140
линейные зависимости 212
линейный шеллинг 316
линк 309
матроид 213, 216
метод двойного описания 60, 75
— Фурье—Моцкина исключения
неизвестных 55, 56
---------для конусов 61, 63
минор 148
многогранник 21
—, 0/1-многогранник 39
—, 2-срезка 453
—, cd-индекс 365, 516
—, у-вектор 426
—, у-многочлен 426
—, ^-многогранник 21
—, У-многогранник 21
—, d-многогранник 21
—, f -вектор 320, 422
—, g-вектор 349, 422
—, h-вектор 422
— к-простой 465
— к-симплициальный 465
—, аффинная эквивалентность 21
— без треугольников 450
—, бипирамида 27
— Биркгофа 40, 414
— бициклический 110
— Ботта—Таубса 448
—, вектор граней 422
—, вершина 22, 79
— вторичный 379, 387, 396
—, гипергрань 22, 79
—, гранная фигура 104
Предметный указатель
561
— , грань 22, 79
----собственная 22, 79
— , граф 115
— дважды стохастических матриц
40
— , джойн 417
— жесткий 240
— , задача восстановления 133
— Кляйншмидта 251
— , кольцо 458
— , комбинаторная
эквивалентность 22, 88
— комбинаторный 420
— коммивояжера 41
— косекционный 412, 419
— кубический 45
— Лоуренса 241
— монотонных путей 390
— назначений 40
— неразложимый 458
— нерациональный 231, 248
— Ньютона 416
— , однородный F-многочлен 422
— , однородный Н-многочлен 422
— орбит 45
— отображений 412, 413
— паросочетаний 40
— перестановочный 36
— , пирамида 26
— пирамидальной надстройки 363,
378
— полярный 25, 89
— поясов 297
— , призма 27
— , проекция 36, 261, 380
— , произведение 27
— простой 25
----в ребрах 465
— , развертка 172
— , размерность 21
— рациональный 98
— , ребро 22, 79
— , решетка граней 86
— решеточный 98
— с малым числом вершин 229
— , связная сумма 356
— секционный 379, 386, 412
— симплициальный 25
— смежностный 35
— , срезка вершины 439
----гиперплоскостью 439
----грани 439
— Сташефа 428
— , сумма Минковского 262
— сферический 338
— , теорема представления 96
— , толщина 374
— транспортный 63, 78
— трехмерный 145
— , фактор 104, 376
— , флаговое число 479
— флаговый 449
----h-вектор 515
----вектор 365,479
— , целочисленные координаты 168
— центрально-симметричный 36
— циклический 29
— четырехмерный 174
многогранники разрезов 44
многоугольник 22
— , п-угольник правильный 23
множество вершин 79
— гнездовое 429, 438
—, лексикографический порядок
479
— производящее 429, 435
модуль Милнора 485
монотонная гипотеза Хирша 122
монотонный путь 116,124
мультикомплекс 343
мультимножество 343
набор множеств 429
----, ограничение 430
562
Предметный указатель
----полный 431
----, связная компонента 430
----связный 430
некоммутативный флаговый
многочлен 516
непаппова конфигурация
псевдопрямых 286
неразложимый многогранник 458
нерациональный 8-многогранник
231
нестоэдр 429, 438
нижние грани 177, 382
нормальный веер 257
носитель 205
обобщенные соотношения
Дена—Соммервилля 480
оболочка аффинная 19
— выпуклая 19
— коническая 51
— положительная 51
обратное лексикографическое
упорядочение 339
обратный поиск 76
общая линейная функция 114
— система неравенств 25
общее положение 25,114
однородное представление 71
однородный F-многочлен 422
— Н-многочлен 422
октаэдр 24
оператор Ф(с) 460
— я (С) 494
— бипирамиды 462
— граней 459
— пирамиды 462
ориентация ациклическая 115
— графа 115
— хорошая 132
ориентированный матроид 195,
213, 216, 279
----, аксиомы для ковекторов 276
-------коцепей 299
----, дуальность 219
----непаппов 286
----нереализуемый 275
----, петля 273
----, ранг 215, 277
----реализуемый 213
----, системы аксиом 215
----, удаление и сжатие 220
----, эквивалентные данные 216
относительная внутренность 90
отображение производящих
множеств 467
отрицательная точка 226
пары многогранников 414
перекрывающееся тасовочное
умножение 478
переход к однородному
представлению 55
перечисляющие многочлены 422
пермуто-ассоциэдр 402, 404
пермутоэдр 36, 391,429, 433
— обобщенный 45
пирамида 26, 462
плоскость 18
подкомплекс 176
подразбиение 175,176
—, измельчение 380
— индуцированное 380
— плотное 382
— регулярное 177, 382
— согласованное 383
полиэдр 21
—, ^-полиэдр 21
----ограниченный 21
----, проекция 56
—, У-полиэдр 52
— заостренный 70
полиэдральный комплекс 174, 304
----шеллинговый 306
— конус 54
Предметный указатель
563
положительная оболочка 51
— точка 226
положительное полупространство
270
положительный вектор знаков 208
полуалгебраическое множество
159,164
полусимплициальное множество
343
полярное множество 92
полярность 25
— комбинаторная 95,188
полярный многогранник 89
последовательно-параллельная
редукция 148
последовательность
многогранников 470
правильное изображение 160
правое действие 484, 497, 507
призма 27
— с шапкой 196
— треугольная 28
проблема выпуклой оболочки 75
— нахождения вершин 75
— флаговых чисел 479
продолжаемо-шеллинговый
комплекс 308
проективно единственный
многогранник 253
проективное преобразование 99
----, применения 107,108
проекция 36, 56
— многогранников 261, 380
произведение 27
производящее множество 429, 435
----в конечной решетке 435
----графическое 444
----, кольцо 468
----, отображение 467
----, произведение 467
----, разложение элемента 440
----связное 435
----, сжатие 435
----, эквивалентность 467
производящие функции 360
производящий ряд 470
----F-многочленов 473
простая диаграмма 187
простой граф 444
— многогранник 25
----в ребрах 465
пространство реализаций 159
прямая 18
псевдопрямая 281
— параллельность 281
пучок прямых 191
разбиение на зонотопы 287
----регулярное 287
развертка 172
разложение элемента 440
размерность 18, 79,174, 304, 344
ранг 85, 211
расширение Лоуренса 241
рациональный многогранник 98
реализуемый ориентированный
матроид 213
ребро 79
регулярное подразбиение 177
решетка 85
— атомарная 85
— граней 86
— коатомарная 86
решеточный многогранник 98
свойство ромба 87
связная сумма 356
семейства многогранников 471
сечение 385
сжатие 245, 435
сильно связный комплекс 141
симплекс 23
— d-симплекс 23
----стандартный 24
— усеченный 449
564
Предметный указатель
симплекс-метод 116
симплициальная d-диаграмма 187
симплициальный многогранник 25
система множеств 335
системы аксиом 215
скрученный лексикографический
порядок 377
слово Линдона 486
смежностный многогранник 35
собственная грань 22, 79
собственный конец 486
соответствие Макмаллена 350
соотношения Байер-Биллеры 480
— Дена—Соммервилля 327
----обобщенные 480
срезка вершины 439
— грани 439
— многогранника
гиперплоскостью 439
стабильно эквивалентные
множества 243
стеллоэдр 448
степень монома 477
стягиваемость 159
стягивание ребра 148
сумма векторная 51, 262
— Минковского 51, 262, 429
— связная 356
существенная конфигурация 272
сфера Брюкнера 194
— звездная 259
сферический многогранник 338
тасовочное умножение 487
тело комплекса 174, 305
теорема Балинского 134
— Боне—Дресса 289, 292, 295
— Каратеодори 72
— Крускала—Катоны 342
— Лоуренса о топологическом
представлении 284
— Маколея 347
— о верхней границе 35, 330, 352
-------для пар многогранников
364
-------для центрально-симмет-
ричных многогранников 364
— о нижней границе 352, 364
— о топологическом
представлении 279, 284
— об универсальности 243
— об упаковке кругов 162
— основная для конусов 54
---для многогранников 52
---для полиэдров 53
— представления для
многогранников 96
— Радона 205, 246
— Шеннона 275
— Штейница 145
---, классические доказательства
146
---, новые доказательства 160
теоремы двойственности 65
— отделимости 65
— перестановки 65
теория графов 115
— экстремальных множеств 339
-------, сжатие 342
тетраэдр 23
точка 18
— над гранью 112
транспортный многогранник 63, 78
треугольная призма 28
трехмерный многогранник 145
триангуляция 176
— Делоне 198
трюк Стенли 326
удаление 148, 220, 245
ультрасвязный комплекс 142
уравнение характеристик 472
— Хопфа 472
усеченный симплекс 449
Предметный указатель
565
условие Хольта—Кли 377
— четности Гейла 31
фактор 104, 376
флаговая квазисимметрическая
функция 495
флаговое число 479
флаговый h-вектор 515
— вектор 365, 479
— многогранник 449
формула Эйлера 165
— Эйлера—Пуанкаре 303, 423
функция знака 206
целочисленные координаты 168
целые точки 44
центр многогранника 36
центрально к-смежностный
многогранник 364
центрально-симметричный
многогранник 36
цепь 85
циклический многогранник 29
----, диаграмма Гейла 249
-------Шлегеля 195
циклоэдр 448
частично упорядоченное
множество 84
-------градуированное 85
-------граней 175
-------, интервал 85
-------ограниченное 85
-------, ранг 85
четырехмерные многогранники 174
число Каталана 444
— Фибоначчи 480
шеллинг 306, 516
— Брюггессера—Мани 313
— линейный 316
— совершенный 368
шеллинговость 305
шеллинговый полиэдральный
комплекс 306
шестиугольник 22
штабель кубов 178
эйлерова характеристика 320
эквивалентность 467
эквивалентные данные 216
Книга представляет собой одно из лучших изложений со-
временного состояния комбинаторной теории выпуклых
многогранников, принадлежащее крупному немецкому
математику. Изложение сопровождается богатым набором
задач, включающим как учебные упражнения, так и нере-
шенные проблемы.
Цель приложения, написанного российскими математика-
ми, — познакомить читателя с современными направлени-
ями, возникшими благодаря глубокой связи между теорией
многогранников, с одной стороны, и торической геометрией,
торической топологией и теорией особенностей — с другой.
Книга предназначена для научных работников, аспиран-
тов, специализирующихся в геометрии, топологии, комби-
наторике, а также в приложениях теории многогранников в
разных направлениях исследований; может быть использо-
вана студентами математических специальностей.