Б.Г. Зив
В.М. Мейлер

Б.Г. Зив В.М. Мейлер
ГЕОМЕТРИЯ
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
13-е издание
Москва
’’Просвещение”
2010
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
3-59
Зив Б. Г.
3-59 Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс /
Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. — 13-е изд. — М. : Просвеще-
ние, 2010. — 159 с. : ил. — ISBN 978-5-09-024155-7.
Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные ра-
боты по курсу геометрии 8 класса, а также математические дик-
танты и задачи повышенной трудности. Оно ориентировано на учеб-
ник «Геометрия. 7—9 классы» авторов Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бу-
тузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной.
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-024155-7
© Издательство «Просвещение», 1996,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2007
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии представлено 39 самостоятельных работ,
7 контрольных работ, 5 математических диктантов и зада-
чи повышенной трудности.
Самостоятельные работы обозначены буквой С с соответ-
ствующим номером. Например, С—2 — это вторая само-
стоятельная работа. Основная цель предлагаемых само-
стоятельных работ — помочь учителю организовать дея-
тельность учащихся по решению задач с учетом их
индивидуальных особенностей и уровня подготовки. Кроме
того, самостоятельные работы могут использоваться для те-
кущего контроля умений и навыков учащихся.
Самостоятельные работы даны в восьми вариантах.
В первом и втором вариантах каждой работы предлага-
ются задачи, для успешного решения которых учащиеся
должны применить знания на уровне минимальных про-
граммных требований.
Третий и четвертый варианты состоят из задач среднего
уровня сложности. Решение этих задач предусматривает
умение распознавать понятия в стандартных ситуациях,
применять знания в стандартных условиях или при неболь-
ших отклонениях от них. Задачи третьего и четвертого ва-
риантов по сложности примерно соответствуют большинст-
ву основных задач учебника.
Пятый и шестой варианты предназначены для наиболее
подготовленных учащихся. При решении задач этих вари-
антов требуется уметь применять знания в усложненных
ситуациях, иметь достаточно высокий уровень развития
вычислительных навыков и навыков проведения тождест-
венных преобразований. По сложности эти задачи пример-
но соответствуют наиболее трудным из основных и допол-
нительных задач учебника.
Седьмой и восьмой варианты состоят из задач, при ре-
шении которых требуется творческое применение знаний.
Здесь приходится анализировать сложные нестандартные
геометрические ситуации, самостоятельно открывать но-
вые факты, устанавливать отношения между ними. По
сложности эти задачи примерно соответствуют разделу
«Задачи повышенной трудности» учебника.
Задачи из седьмого и восьмого вариантов могут быть да-
ны учащимся после выполнения ими основной работы на-
равне со всеми учащимися класса в оставшееся время или
использованы в качестве необязательного задания для до-
машней работы, а также на занятиях математического
кружка.
В пособии приведены две самостоятельные работы,
отмеченные знаком *. Первый и второй варианты в этих
3
работах имеют задачи, сложность которых несколько пре-
восходит минимальные программные требования. Эти ра-
боты рекомендуется проводить в наиболее подготовленных
классах.
Число самостоятельных работ в пособии явно избыточ-
но. Учителю не следует стремиться обязательно выполнить
с учащимися все задания каждой из работ. Предполагает-
ся, что представленный в пособии набор работ позволит
педагогу на любом уроке отобрать необходимые задания в
зависимости от цели урока, наличия учебного времени,
уровня подготовки учащихся.
Работы скомпонованы в пособии по вариантам.
Наличие восьми вариантов позволяет учителю один эк-
земпляр книги разделить на восемь маленьких книг, каж-
дая из которых дается отдельному ученику.
Контрольные работы обозначаются в пособии буквой К
с соответствующим номером. Они предназначены для про-
ведения итоговой проверки знаний по каждой из пяти глав
учебника и по всему курсу геометрии VIII класса.
Контрольные работы составлены в четырех вариантах.
Сложность всех вариантов работ примерно одинаковая.
В каждом варианте имеются два задания, отмеченные
знаком °. Это задачи на уровне минимальных програм-
мных требований. Они составляют обязательную часть ра-
боты.
Далее приводятся три задания, которые проверяют
дальнейшее математическое развитие учащихся. При этом
последнее задание потребует творческого применения
знаний, анализа нестандартных геометрических конфигу-
раций, проведения достаточно сложных дедуктивных
рассуждений. Это задание обозначено *.
Предполагается, что при проведении каждой из работ
учитель определяет, какие из задач, не отмеченных зна-
ком °, войдут в работу в зависимости от уровня подготовки
учащихся и времени, отводимого на работу. Так, напри-
мер, для работы К—1 (на 45 мин) возможны следующие
компоновки заданий:
—	задания 1°, 2°, За или 1°, 2°, 36 в слабом классе;
—	задания 1°, 2°, 36, или 1°, 2°, 36, 4*, или 1°, 2°, За,
36, 4* в сильном классе.
При этом для получения отметки «3» достаточно выпол-
нить задания 1°, 2°. Выполнение же заданий, не отмечен-
ных знаком °, является необходимым условием для вы-
ставления отметок «4» и «5» или сразу двух отметок —
основной и дополнительной.
Возможны и другие пути использования контрольных
работ.
4
Математические диктанты предназначаются для систе-
матизации теоретических знаний учащихся и могут пред-
шествовать контрольной работе. Учитель предлагает во-
прос или задачу, а ученик в течение нескольких минут дол-
жен дать на них ответ. Необходимое для ответа время
регулирует учитель в зависимости от сложности вопроса и
подготовленности класса. На такую работу можно отвести
примерно 35 мин, после чего учитель вместе с классом про-
веряет ответы и обращает внимание класса на допущенные
ошибки.
В конце пособия даны ответы ко всем самостоятельным
и контрольным работам, а также указания и решения к
наиболее сложным заданиям. Заметим, что предложен-
ные решения не являются единственными. Существуют и
другие решения многих задач, которые в пособии не
изложены.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ
И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ПУНКТАМ УЧЕБНИКА
Работа	Тема	Пункт учебника
С—1	Многоугольник, четырехугольник	39—41
С—2	Параллелограмм и его свойства	42
С—3	Признаки параллелограмма	43
С—4	Трапеция	44
С—5	Задачи на построение параллелограмма и трапеции	42—44
С—6	Прямоугольник	45
С—7	Ромб и квадрат	46
С—8	Задачи на построение прямоугольника, ромба, квадрата	45, 46
С—9	Свойства площадей многоугольников, площадь квадра- та и прямоугольника	48—50
С—10	Площадь параллелограмма	51
С—11	Площадь треугольника	52
С—12	Площадь трапеции	53
С—13	Теорема Пифагора	54, 55
С—14	Площади многоугольников	48—55
С—15	Пропорциональные отрезки	56
С—16	Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников	57, 58
С—17	Первый признак подобия треугольников	59
С—18	Второй и третий признаки подобия треугольников	60, 61
С—19	Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника	62
С—20	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике	63
С—21	Задачи на построение, решаемые методом подобия	64
С—22	Синус, косинус и тангенс острого угла треугольника и их значения для углов в 30°, 45° и 60°	66, 67
С—23	Решение прямоугольных треугольников	66, 67
С—24*	Подобие треугольников	58—67
С—25	Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности	68, 69
С—26	Теорема о вписанном угле	71
С—27	Теорема о произведении отрезков хорд	71
С—28*	Окружность	68—71
С—29	Четыре замечательные точки треугольника	72, 73
С—30	Вписанная окружность	74
С—31	Описанная окружность	75
С—32	Понятие вектора	76—78
С—33	Сложение векторов	77—81
С—34	Вычитание векторов	82
С—35	Умножение вектора на число	83
С—36	Применение векторов к решению задач	84
С—37	Средняя линия трапеции	85
С—38	Итоговое повторение (четырехугольники, площади, подобные треугольники)	
С—39	Итоговое повторение (окружность)	
К—1	Четырехугольники	39—47
К—2	Площадь	48—55
К—3	Подобные треугольники	56—61
К—4	Применение подобия, решение прямоугольных треугольников	62—67
К—5	Окружность	68—75
К—6	Векторы	76—84
К—7	Итоговое повторение	85
6
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ВАРИАНТ 1
С—1
1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина В соедине-
на равными диагоналями с двумя другими вершинами.
Известно, что /.АВЕ = /CBD, /ВЕА = /BDC. Докажи-
те, что периметры четырехугольников ABDE и BEDC
равны.
2. Дан выпуклый девятиугольник с равными углами. Най-
дите эти углы.
С—2
1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, АС =
= 20 см, BD = 10 см, АВ = 13 см. Диагонали четырех-
угольника пересекаются в точке О. Найдите периметр
треугольника COD.
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым уг-
лом А проведен перпендикуляр ВК к прямой AD; ВК =
= ^АВ. Найдите /С и /D.
С—3
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = CD, /В =
= 70°, /ВС А = 60°, /ACD = 50°. Докажите, что
ВС = AD.
2. Середина отрезка BD является центром окружности с
диаметром АС, причем точки А, В, С, D не лежат на од-
ной прямой. Докажите, что /АВС = /ADC.
С—4
1. В трапеции ABCD ВС — меньшее основание. На отрез-
ке AD взята точка Е так, что BE || CD-, /АВЕ = 70°,
/ВЕА = 50°. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°.
Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны
по 10 см. Найдите большее основание.
7
С—5
1. Постройте параллелограмм по большей стороне, мень-
шей диагонали и углу между ними.
2. Постройте прямоугольную трапецию по меньшему осно-
ванию и боковым сторонам.
С—6
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точ-
ке О. £ — середина стороны АВ, ABAC = 50°. Найдите
угол EOD.
2. Дана окружность с диаметрами АВ и CD. Докажите,
что четырехугольник ACBD является прямоугольни-
ком.
С—7
1. В ромбе ABCD А А = 31°. Диа-
гонали пересекаются в точ-
ке О. Найдите углы треуголь-
ника ВОС.
2. На рисунке 1 четырехуголь-
ник ABCD — квадрат, АК =
= PD = ЕС = ВМ. Докажите,
что выпуклый четырехуголь-
ник МЕРК также является
квадратом.
С—8
1. Постройте прямоугольник по его стороне и периметру.
2. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из
вершины некоторого квадрата на диагональ. Постройте
этот квадрат.
С—9
1. Составьте формулу для вы-
числения площади фигуры,
изображенной на рисунке 2.
2. Периметр прямоугольника
равен 26 см, а одна из его сто-
рон 9 см. Найдите сторону
квадрата, имеющего такую
же площадь, как этот прямо-
угольник.
Рис. 2
8
С—10
1. В параллелограмме ABCD угол В тупой. На продолже-
нии стороны AD за вершину D отмечена точка Е так,
что AECD = 60°, ^CED = 90°, АВ = 4 см, AD = 10 см.
Найдите площадь параллелограмма.
2. В параллелограмме ABCD точки М и К — середины
сторон ВС и AD соответственно. Докажите, что площадь
четырехугольника АВМК равна площади треугольника
ACD.
С—11
1. В прямоугольнике ABCD BD = 12 см. Вершина В удале-
на от прямой АС на 4 см. Найдите площадь треугольни-
ка АВС.
2. В треугольнике ABC Z_C — 135°, АС = 6 дм, высота BD
равна 2 дм. Найдите площадь треугольника ABD.
С—12
1. Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боко-
вая сторона 5 см, площадь 44 см* 1 2. Найдите высоту тра-
пеции.
2. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 10 см и
8 см соответственно. Площадь треугольника ACD равна
30 см2. Найдите площадь трапеции.
С—13
1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна
13 см, а большее основание 12 см. Найдите площадь
трапеции, если ее меньшее основание равно 8 см.
2. Определите углы треугольника со сторонами 1, J3, 2.
С—14
1. Перечертите фигуру, изобра-
женную на рисунке 3. Прове-
дите необходимые измерения
и вычислите площадь этой
фигуры.
2. На стороне АВ квадра-
та ABCD, равной 12 см, отме-
чена точка М так, что МС =
= 13 см. Найдите площадь че-
тырехугольника AMCD.
9
С—15
1. Отрезки АВ, CD и EF, MN пропорциональны друг дру-
гу. Найдите EF, если АВ = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (ZC = 90°) АС = 6 см,
ВС = 8 см, CD — биссектриса. Найдите АВ, AD, DB.
С—16
1. Треугольники АВС и DEF подобны. ZA - AD, Z_C = Z_F,
EF = 14, DF = 20, ВС = 21. Найдите АС.
2. Площади двух подобных треугольников равны 16 см* 1 2 и
25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см.
Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.
С—17
1. Через вершину А параллелограмма ABCD проведе-
на прямая, пересекающая сторону ВС в точке Е, а
продолжение стороны DC — в точке F. Докажите, что
А ABE ™ &EFC.
2. В треугольниках АВС и AjBjCj ZBX = ZC, Z.B = ZA1?
AC = 2, B1C1 = 4, A1C1 больше AB на 2,2, ArBr = 2,8.
Найдите неизвестные стороны треугольников.
С—18
1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О,	До-
кажите, что ZCBO = ZDAO.	ОВ ОС
2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисун-
ке 4, подобны, и выясните взаимное расположение пря-
мых АВ и DE.
С—19
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в
точке О, К — середина стороны АВ, АК = 3 см, КО =
= 4 см. Найдите периметр параллелограмма. Сравните
углы КО А и ВС А.
2. В треугольнике АВС АС =12 см. Через точку пересече-
ния медиан проведена прямая DE (D е АВ, Е е ВС),
параллельная АС. Найдите DE.
10
С—20
1. В прямоугольном треугольнике АС В	(АС = 90°)
АС 1
CD ± АВ, —— = —. Найдите отношение площадей тре-
СВ 2
угольников ACD и CDB.
2. В параллелограмме ABCD BD ± АВ, BE ± AD, BE =
= 6 см, АЕ = 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
С—21
1. Постройте треугольник АВС по данным углам А и С и
медиане AM.
2. Данный отрезок разделите в отношении 2:3:5.
С—22
1. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 20, а
боковая сторона 15. Найдите синус, косинус и тангенс
острого угла трапеции.
2. В окружности АВ и CD — два не взаимно перпендику-
лярных диаметра, DE ± АВ, CD = 4, DE = у/З. Найдите
острый угол между диаметрами.
С—23
1. В параллелограмме стороны равны а и Ъ, острый угол а.
Найдите площадь параллелограмма. Вычислите эту пло-
щадь, если а — 2,3, Ъ = 3,7, а = 40°37'.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (АС = 90°) ABAC =
= 45°, АВ = 10, D е ВС (B—D—C), ADAC = 30°. Най-
дите DC.
С—24*
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (АС = 90°) АС = 4,
ВС = 6, Е g АВ (А—Е—В), EF ± ВС, ED 1 АС;
EF : ED =1:2. Найдите площадь прямоугольника
DEFC.
Зл/з
2. В ромбе ABCD А А = 60°, а высота равна —. На продол-
жении стороны АВ за точку В взята точка М, ВМ = 4.
Отрезок MD пересекает ВС в точке К. В каком отноше-
нии точка К делит отрезок ВС?
11
С—25
1. В прямоугольном треугольнике АСВ {/С = 90°) АВ =
= 10, /АВС = 30°. С центром в точке А проведена
окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы:
а) окружность касалась прямой ВС; б) не имела с ней
общих точек; в) имела с ней две общие точки?
2. На касательной к окружности от точки касания по обе
стороны от нее отмечены две точки М и Т, удаленные от
центра окружности на расстояние, равное 20 см; ТМ =
= 32 см. Найдите радиус окружности.
С—26
1. Дуга АВ окружности с центром в точке О равна 60°.
Найдите расстояние от точки А до радиуса ОВ, если ра-
диус окружности равен 6 см.
2. АВ и АС — хорды окружности. /.ВАС — 70°, <jAB =
= 120°. Найдите градусную меру дуги АС.
С—27
1. Через точку М, расположенную внутри круга, проведе-
ны две хорды АВ и CD, причем AM = МВ, СМ = 16 см,
DM : МС =1:4. Найдите АВ.
2. АВ — диаметр окружности. Точка С лежит на окруж-
ности. CD ± АВ, AD = 3, DB = 5. Найдите CD.
С—28*
1. Две окружности имеют общий центр. Радиус большей
окружности равен R, а меньшей — г. Найдите длину
хорды большей окружности, которая касается меньшей.
2. Две окружности имеют равные радиусы и пересекаются
в точках А и В. Через точку А проведена прямая, кото-
рая пересекает одну окружность в точке С, а дру-
гую — в точке D. Докажите, что BC = BD.
С—29
1. В остроугольном треугольнике ABC AD ± ВС, CF ± АВ,
AD пересекает CF в точке М. Докажите, что /АВМ =
= /МСА.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (/С = 90°) АЕ —
биссектриса, СЕ = 5, АВ = 14. Найдите площадь тре-
угольника АВЕ.
12
С—30
1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний
треугольник, если сторона треугольника равна 2^3 см.
2. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция,
периметр которой равен 10 см. Найдите длину боковой
стороны.
С—31
1. Вокруг равностороннего треугольника описана окруж-
ность с радиусом 3^3. Найдите его периметр.
2. В окружность, радиус которой равен 10, вписан прямо-
угольный треугольник, один из катетов которого равен
16. Найдите площадь этого треугольника.
С—32
ABCD — параллелограмм. Укажите
пары векторов, изображенных на ри-
сунке 5, которые: а) коллинеарны;
б) сонаправлены; в) противоположно
направлены; г) равны. Можно ли на
прямой АС от точки А отложить век-
тор, равный вектору а?
С—33
1. На рисунке 6 изображены векто-
ры а и с. Постройте вектор а + с
двумя способами.
2. М, Н, Р, О, S — произвольные точ-
ки. Найдите сумму
МН + РО + SM + НР + OS.
С—34
1.	На рисунке 7 изображены векто-
ры а и Ъ. Постройте вектор а - Ъ.
2.	Дан треугольник АВС. Выразите
вектор СВ через векторы АС и АВ.
3.	В равнобедренном треугольни-
ке АВС точка М — середина основа-
ния АС. Найдите \МВ-МС+ВА\.
если АВ = 5 см, ВМ = 4 см.
Рис. 6
13
С—35
1.
2.
Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь. Построй-
те вектор 2а + ±Ь.
В параллелограмме ABCD О — точка пересечения диа-
гоналей, К — середина стороны CD. Выразите векторы
О А и АК через векторы АВ = а и AD = Ь.
С—36
1. В треугольнике АВС ААг — медиана, М — середи-
на ААг. Выразите вектор ВМ через векторы а=ВА и|
ь =вс.
2. В четырехугольнике ABCD ВС = ^AD. В каком отноше-
о
нии диагонали этого четырехугольника делятся точкой
их пересечения?
С—37
1. Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя ли-
ния 10 см. Найдите основание трапеции.
2. В равнобедренной трапеции ABCD перпендикуляр, про-
веденный из вершины В на большее основание AD тра-
пеции, делит его на отрезки, равные 4 см и 10 см. Най-
дите основания и среднюю линию трапеции.
С—38
ABCD — квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ и CD
отложены отрезки AM и КС так, что AM = КС = 3.
а)	Докажите, что MBKD — параллелограмм.
б)	Найдите его периметр и площадь.
С—39
1.	Через точку А, лежащую на окружности радиуса 10 см
с центром О, проведена касательная AM. Отрезок ОМ
пересекает окружность в точке В. Найдите градусную
меру меньшей из дуг АВ, если AM = 10^3 см.
2.	Треугольник вписан в окружность так, что одна из его
сторон проходит через центр окружности, а две другие
удалены от него на 3 см и 3^3 см. Найдите радиус
окружности.
14
ВАРИАНТ 2
С—1
1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF AB-AF. Из
вершины А к двум несоседним вершинам проведены
равные диагонали, причем ABAC = AEAF. Докажи-
те, что периметры четырехугольников АВСЕ и ACEF
равны.
2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если
сумма его углов равна 540°?
С—2
1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, О —
точка пересечения диагоналей. Периметр треугольника
AOD равен 25 см, АС = 16 см, BD = 14 см. Найдите ВС.
2. Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. Из вер-
шины В опущен перпендикуляр ВК к прямой AD,
АК = ВК. Найдите ZC и AD.
С—3
1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEP все стороны рав-
ны, ZA = ZZ). Докажите, что ВР || СЕ.
2. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагона-
ли АС за вершины А и С отмечены точки Аг и С\
соответственно так, что ААг = ССг. Докажите, что
ABAJ) = ABCJ).
С—4
1. В трапеции МНРК МК — большее основание. Прямые
МН и РК пересекаются в точке Е, АМЕК = 80°,
АЕНР = 40°. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°.
Большая боковая сторона и большее основание равны по
20 см. Найдите меньшее основание.
С—5
1. Постройте параллелограмм по меньшей стороне, остро-
му углу и углу между этой стороной и меньшей диаго-
налью.
2. Постройте прямоугольную трапецию по меньшей диаго-
нали, большему основанию и большей боковой стороне.
15
С—6
1. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в
точке О. Отрезок О А является высотой треугольни-
ка MOP. ААОР = 15°. Найдите АОНК.
2. В параллелограмме ABCD с острым углом А диагонали
пересекаются в точке О. На отрезках АО и ОС взяты
точки Р и К соответственно, OP = OD. ОК = ОВ. Дока-
жите, что четырехугольник PBKD является прямо-
угольником.
С—7
1. В ромбе МРКН с тупым уг-
лом К диагонали пересекают-
ся в точке Е. Один из углов
треугольника РКЕ равен
16°30'. Найдите остальные уг-
лы этого треугольника и угол
РМН.
2. На рисунке 8 четырехуголь-
ник ABCD — прямоуголь-
ник, Z1 = Z2, Z3 = Z4, Z5 =
= Z6, Z7 = Z8. Докажите, что
выпуклый четырехугольник
МКНР является квадратом.
С—8
1. Постройте ромб по тупому углу и меньшей диагонали.
2. Дан отрезок, равный перпендикуляру, проведенному из
точки пересечения диагоналей некоторого квадрата на
его сторону. Постройте этот квадрат.
С—9
1. Составьте формулу для вы-
числения площади фигуры,
изображенной на рисунке 9.
2. Периметр квадрата равен
32 см, а одна сторона прямо-
угольника 4 см. Найдите дру-
гую сторону прямоугольника,
если известно, что он имеет
такую же площадь, как квад-
рат.
16
С—10
1. В параллелограмме МРКТ на стороне МТ отмечена точ-
ка Е, Z.PEM = 90°, Z.EPT = 45°, ME = 4 см, ВТ = 7 см.
Найдите площадь параллелограмма.
2. В параллелограмме ABCD точки ЛГ, В, К, Т являются
серединами сторон АВ, ВС, СВ, AD соответственно.
Докажите, что площади четырехугольников АВРТ и
AMKD равны.
С—11
1. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного тре-
угольника с гипотенузой 10 см.
2. На стороне АС треугольника АВС с площадью 36 см* 1 2
взята точка В, АВ : ВС =1:5. Найдите площадь тре-
угольника АВВ.
С—12
1. В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см2, пери-
метр 28 см, а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите
большую боковую сторону.
2. В трапеции МРКТ меньшее основание РК равно 6 см, а
высота трапеции 8 см. Найдите площадь трапеции, если
площадь треугольника МКТ равна 48 см2.
С—13
1. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и
18 см, а большая боковая сторона 15 см. Найдите пло-
щадь трапеции.
2. Определите углы треугольника со сторонами 1,1, ^2.
С—14
1. Перечертите фигуру, изображенную
на рисунке 10. Проведите необходи-
мые измерения и вычислите пло-
щадь этой фигуры.
2. На стороне РК прямоугольника
МРКН отмечена точка В, ME =
= 15 см, РМ = 12 см, ЕК = 6 см.
Найдите площадь четырехугольни-
ка МЕКН.
Рис. 10
17
С—15
1. Отрезки КР, MN и DO, AL пропорциональны друг дру-
гу. Найдите AL, если КР = 8 дм, MN = 40 см, DO = 1 м.
2. В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) АВ =
— 20 см, АС — 16 см, АК — биссектриса. Найдите ВС,
ВК, КС.
С—16
КР PF
1.	Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем —— = —— =
ME М Г
KF
= ZF - 20°, ZE = 40°. Найдите остальные углы этих
ЕТ
треугольников.
2.	Две сходственные стороны подобных треугольников рав-
ны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника 8 см2.
Найдите площадь второго треугольника.
С—17
1. Через вершину С параллелограмма проведена пря-
мая, пересекающая сторону AD в точке Е. а продол-
жение стороны ВА — в точке F. Докажите, что
&ECD ™ &FBC.
2. В треугольниках АВС и DEF ZA = ZE, ZC = ZF,
АС = 6, EF = 2, АВ = 3,3. Сторона DF меньше сто-
роны ВС на 3,2. Найдите неизвестные стороны тре-
угольников.
С—18
1. Дан параллелограмм ABCD. Точки В, F. М, N при-
надлежат соответственно сторонам АВ, ВС, СВ, AD,
= Докажите, что ZBEF = ZNMD.
BF DN
2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисун-
ке 11, подобны, и выясните взаимное расположение
прямых ВС и DF.
18
С—19
1. В ромбе ABCD О — точка пересечения диагоналей, Е и
F — середины сторон ВС и DC. Докажите, что EF = ВО
hEFL АС.
2. Через точку пересечения медиан треугольника МРК
проведен отрезок CD, параллельный МК (С е МР,
D е РК), CD = 18 см. Найдите МК.
С—20
1.	В прямоугольном треугольнике АСВ (АС = 90°) CD ± АВ,
AD 2
—— = —. Найдите отношение площадей треугольников
АОСпЛСВ.
2.	ABCD.— прямоугольная трапеция (AD = АС = 90°),
ВС = 3, CD = 6, BD ± АВ. Найдите площадь трапеции.
С—21
1. Постройте треугольник АВС по данному углу С, отно-
шению двух сторон АС : СВ = 2 : 3 и биссектрисе CD.
2. Данный отрезок разделите в отношении 1:4:7.
С—22
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (АС = 90°) CD ± АВ,
AD = 2, DB = 3. Найдите синус, косинус и тангенс
угла А.
2. ABCD — прямоугольная трапеция (AD — АС = 90°),
ВС = 2, AD — 4, CD = 2д/3. Найдите угол А.
С—23
1. Высота ромба равна h, острый угол а. Найдите площадь
ромба. Вычислите эту площадь, если h = 17,3, а = 52°43'.
2. В треугольнике АВС АА = 60°, АС = 45°, BD ± АС,
AD = 3. Найдите ВС.
С—24*
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (АС = 90°) D g АВ
(A—D—B), DE 1 ВС, DE = 3,DC = 5, АС = 2ВС. Найдите
площадь треугольника АВС.
2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна —и со-
ставляет со стороной AD угол в 30°. Сторона AD продол-
жена за точку D на отрезок DE, равный 3. Отрезок BE
пересекает сторону CD в точке К. В каком отношении
отрезок BE делит сторону CD?
19
С—25
1. ABCD — квадрат, AC = 10^2, О — середина AD. С цент-
ром в точке О проведена окружность. Каким должен
быть ее радиус, чтобы окружность: а) касалась пря-
мых АВ и CD\ б) не имела с ними общих точек; в) имела
бы две общие точки с каждой прямой?
2. На касательной к окружности от точки касания С отло-
жены по обе стороны от нее два отрезка СА и СВ, при-
чем ЛАОС = ЛВОС (О — центр окружности). Радиус
окружности равен 8, АВ = 30. Найдите расстояние от
центра окружности до точек А и В.
С—26
1. В окружности с центром в точке О проведены два радиу-
са О А и О В так, что расстояние от точки А до радиу-
са О В в два раза меньше длины радиуса. Найдите гра-
дусную меру дуги АВ.
2. В окружности проведены диаметр АВ и хорда АС. Най-
дите угол ВАС, если градусные меры дуг АС и СВ отно-
сятся как 7:2.
С—27
1. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е.
АЕ : ЕВ = 1 : 3, CD = 20, DE = 5. Найдите АВ.
2. АВ — диаметр окружности. Точка Е лежит на окруж-
ности. EF ± АВ, FB = 4, EF = 6. Найдите радиус окруж-
ности.
С—28*
1. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. На от-
резке ОВ как на диаметре построена окружность радиу-
са г. Из точки А проведена касательная АК к меньшей
окружности (К — точка касания). Найдите АК.
2. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D.
^>ВС = ^AD. Докажите, что АВ || CD.
20
С—29
1. В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) р — сере-
динный перпендикуляр к АВ, р пересекает АС в точке К,
АК = 5, ВС = 4. Найдите периметр треугольника ВКС.
2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, медиа-
ны АЕ и CF пересекаются в точке К, ВК = 6, АС =10.
Найдите площадь треугольника АВС.
С—30
1. Радиус окружности, вписанной в равносторонний тре-
угольник, равен 73 см. Найдите сторону треугольника.
2. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция,
угол при основании которой равен 30°. Высота трапе-
ции равна 4 см. Найдите сумму длин оснований трапе-
ции.
С—31
1.	Треугольник АВС вписан в окружность. Найдите ради-
ус этой окружности, если АВ = 24 см, а центр окружно-
сти удален от этой стороны на 5 см.
2.	Найдите периметр прямоугольного треугольника, впи-
санного в окружность радиуса 7,5 см, если один из кате-
тов равен 9 см.
С—32
ABCD — параллелограмм. Укажи-
те пары векторов, изображенных на
рисунке 12, которые:
а) коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	имеют равные длины.
Можно ли на прямой АВ от точ-
ки В отложить вектор, равный век-
тору е?
21
С—33
1. На рисунке 13 изображены два векто-
ра т и п. Постройте вектор т + п дву-
мя способами.
2. Даны произвольные точки А, В, С,
В, Е. Докажите, что
AB+CD+BC=AC+EB + CE + BD.
С—34
1.	На рисунке 14 изображены векторы d
и с. Постройте вектор d - с.
2.	Дан треугольник АВС. Выразите век-
тор В А через векторы СВ и С А.
Рис. 13
Рис. 14
3.	СМ — медиана равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС, проведенная из вершины С прямого
угла. Найдите \АВ - АС +ВМ\, если АВ = 10.
С—35
1. Начертите два неколлинеарных вектора тип. Построй-
те вектор 3m п.
2. В параллелограмме ABCD Р — точка пересечения диа-
гоналей, М — середина ВС. Выразите векторы DP и
DM через векторы DA =р и DC = т.
С—36
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в
точке О, К — середина ВО. Выразите вектор АК через
АВ- т и АС =р.
2. Даны четырехугольник ABCD и произвольная точка О.
Известно, что АВ +OD =ОС, ZA = 15°. Найдите осталь-
ные углы этого четырехугольника.
22
С—37
1. В трапеции одно из оснований больше другого в два ра-
за. Средняя линия трапеции равна 15 см. Найдите осно-
вания трапеции.
2. В равнобедренной трапеции МНКР проведен перпенди-
куляр НЕ к большему основанию MP, ME - 6 см,
НК = 10 см. Найдите большее основание и среднюю ли-
нию трапеции.
С—38
В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмече-
ны точки М и К соответственно так, что Z.BAM = 40°,
Z.DCK = 50°. Известно, что СК = 8 см, ВС = 20 см.
а)	Докажите, что ВМ : CD = AM : КС.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите отрезки KD,
CD, ВМ и площадь четырехугольника АМСК.
С—39
1. Отрезок АВ — диаметр некоторой окружности радиуса
5 см, прямая ВС — касательная к ней, АС = 10^2 см.
Найдите градусную меру дуги данной окружности, за-
ключенной внутри треугольника АВС.
2. В треугольник АВС, в котором ZA = 90°, вписана
окружность с центром О. Найдите отрезки, на которые
точка касания этой окружности и прямой АС делит сто-
рону АС, если ОС = 5 дм и АО = 3^2 дм.

ВАРИАНТ 3
С—1
1. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары рав-
ных между собой смежных сторон: АВ = AD, ВС = CD,
О — точка пересечения диагоналей четырехугольника.
Сравните периметры пятиугольников ABCOD и
ABOCD.
2. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого много-
угольника не зависит от числа сторон многоугольника.
С—2
1. В четырехугольнике ABCD ZA + Z.B — 180°, АВ || CD.
На сторонах ВС и AD отмечены точки М и К соответст-
венно так, что ВМ = KD. Докажите, что точки М и К
находятся на одинаковом расстоянии от точки пересече-
ния диагоналей четырехугольника.
2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты
точки А и В соответственно, MP — РВ = АК, Z.MPB =
= 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрез-
ки ВМ и АН.
С—3
1. На основании АС равнобедренного треугольника АВС
отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС — точки М и
Р соответственно, причем РК = МВ, /_КРС = 80°, ZC =
= 50°. Докажите, что Z.KMB + Z.MBP = 180°.
2. Внутри треугольника АВС отмечена точка М, а на
сторонах АВ и АС — точки К и Н соответственно так,
что отрезки AM и КН имеют общую середину, а
Z.KMH = Z.C. Докажите, что треугольник АВС является
равнобедренным.
С—4
1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с бо-
ковой стороной угол в 120°. Боковая сторона равна
меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который
составляет меньшая диагональ с меньшим основанием,
равны по 60°. Найдите отношение оснований.
25
С—5
1. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и боль-
шей стороне.
2. Постройте равнобедренную трапецию по боковой сто-
роне, большему основанию и отрезку длиной, равной
расстоянию между прямыми, содержащими основания
трапеции.
С—6
1. В прямоугольнике ABCD О — точка пересечения диа-
гоналей, ВН и DE — высоты треугольников АВО и
COD соответственно, АВОН = 60°, АН = 5 см. Найди-
те ОЕ.
2. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О; АО = OD, ВО = ОС, ABAC = ADC А. Найдите
ААВС.
С—7
1. В ромбе ABCD О — точка пересечения диагоналей,
ОМ, ОК, ОЕ — перпендикуляры, опущенные на сто-
роны АВ, ВС, CD соответственно. Докажите, что
ОМ = ОК, и найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
2. В треугольнике АВС АВ = №, АВ = ВС. На сторо-
нах АВ и ВС взяты точки М и Р, а на стороне АС — точ-
ки К и Н так, что четырехугольник МРНК является
квадратом, МР = а. Найдите АС.
С—8
1. Постройте прямоугольник по диагонали и углу, кото-
рый эта диагональ образует со стороной.
2. Внутри данного острого угла постройте квадрат с дан-
ной стороной так, чтобы две вершины квадрата принад-
лежали одной стороне угла, а третья — другой.
С—9
1. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М.
Докажите, что площадь параллелограмма вдвое больше
площади треугольника AMD.
2. На продолжении стороны AD квадрата ABCD за верши-
ну А взята точка М, МС = 20 дм, ACMD = 30°. Найдите
площадь квадрата.
26
С—10
1. Найдите углы параллелограмма, если его площадь
равна 20 см* 1 2, а высота, проведенная из вершины тупого
угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, счи-
тая от вершины острого угла.
2. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника,
если они имеют одинаковые основания и одинаковые
периметры.
С—11
1. В треугольнике ABC ZB = 130°, АВ — а, ВС = &, а в
параллелограмме МРКН МР = а, МН = Ь, /_М = 50°.
Найдите отношение площади треугольника к площади
параллелограмма.
2. В прямоугольном треугольнике АВС точка О — середи-
на медианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС =
— 6 см, ВС = 8 см. Найдите площадь треугольника ОВС.
С—12
1. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона
равна 3 дм и составляет с меньшей диагональю угол в
45°. Острый угол трапеции также равен 45°. Найдите
площадь трапеции.
2. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания
равнобедренной трапеции, делят большее основание на
три отрезка, сумма двух из которых равна третьему.
Найдите площадь этой трапеции, если ее меньшее осно-
вание и высота равны по 6 см.
С—13
1. В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, вы-
ходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и
д/577 см соответственно, высота трапеции 24 см, мень-
шее основание 7 см. Найдите площадь трапеции.
2. В треугольнике АВС АВ = ^2, ВС = 2. На стороне АС
отмечена точка М так, что AM = 1, ВМ = 1. Найди-
те ЛАВС.
27
С—14
1. Ученику надо было вычислить площадь многоугольни-
ка, изображенного на рисунке 15. В его распоряжении
оказалась только масштабная линейка. После измере-
ний ученик установил, что АВ = РЕ = 3 см, АР = BE —
= 4 см, АЕ = 5 см, ВС = 1 см, DC = 12 см, DE = 13 см и
точки С, В, Е лежат на одной прямой. Может ли уче-
ник, пользуясь этими результатами измерений, вычис-
лить площадь? Чему равно ее значение?
2. В равнобедренной трапеции диагональ, меньшее основа-
ние и высота равны ^35 см, 3 см и ^/10 см соответствен-
но. Найдите площадь трапеции.
С—15
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в
точке О, CD = 10 см. Найдите периметр параллелограм-
ВС АС
ма, если —— = ——.
CD ОС
2. В равнобедренном треугольнике основание меньше бо-
ковой стороны на 9,6 см, а биссектриса делит боковую
сторону на отрезки, которые относятся как 3:5. Най-
дите периметр треугольника.
С—16
1. На рисунке 16 £\ВЕС °° А АВС,
АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Уг-
лы АВС и ВЕС тупые. Найди-
те ВС.
2. Периметры	подобных	тре-
угольников	относятся	как
2:3, сумма их площадей рав-
на 260 см2. Найдите площадь
каждого треугольника.
Рис. 16
28
С—17
1. В треугольнике АВС через точку Р, лежащую на сторо-
не ВС, проведены прямые, пересекающие стороны АВ
и АС соответственно в точках Q и R и параллельные АС
и АВ. Докажите, что PQ • PR = BQ • CR.
2. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О.
Площади треугольников ВОС и AOD относятся как
1 : 9. Сумма оснований ВС и AD равна 4,8 см. Найдите
основания трапеции.
С—18
1. В треугольниках АВС и	BD и BXDX — медианы,
ZA = ZA1? ZBDA = ZB-J^A^ Докажите, что треуголь-
ник BDC подобен треугольнику B^D^C^.
2. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 6, АС = 9. Точка Е
лежит на стороне ВС. Внутри треугольника взята точка
7	2
М так, что МВ = 1 —, ME = 2-, СЕ = 2. Докажите, что
У	о
ME || АС.
С—19
1. Четырехугольники ABCD и DCEF имеют общую сторо-
ну CD. Точки A, D, F не лежат на одной прямой,
АВ = CD = EF, АВ || CD || EF. Диагонали четырехуголь-
ников ABCD и DCEF пересекаются соответственно в
точках Ох и О2. Докажите, что AF || ОХО2 и AF = 2ОХО2.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС. Медианы треугольника
пересекаются в точке О, О А = 5, ОВ = 6. Найдите пло-
щадь треугольника АВС.
С—20
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
BD 2
проведена медиана BD, DE ± ВС, —— = —. Площадь тре-
X
угольника DEC равна 20 см2. Найдите площадь тре-
угольника АВС.
2. ABCD — прямоугольник. АВ = 4, ВС = 6, BE ± АС.
Через точку Е проведена прямая, параллельная AD, до
пересечения в точке F со стороной CD. Найдите EF.
29
С—21
1. Постройте треугольник АВС по тупому углу В, отноше-
нию сторон АВ : ВС = 3 : 2 и высоте AD.
а2
2. Даны два отрезка а и Ь. Постройте отрезок х =
b
С—22
1. В прямоугольной трапеции ABCD (ZD = ZC = 90°, АС и
BD — основания) AB = 9, BD = 12, AD =15. Найдите
синус, косинус и тангенс угла CBD.
2. В трапеции ABCD AD = 2ВС, BD = 3^3, AC = 3,
BD ± AC. Найдите углы, которые образуют с основани-
ем диагонали трапеции.
С—23
1. В ромбе ABCD острый угол равен а. Меньшая диагональ
равна d. Найдите площадь ромба. Вычислите площадь,
если d = 12,3, а = 62°50'.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) точка М
лежит на катете ВС. Эта точка находится на равном
расстоянии от АВ и АС, МС = 2,7, AM = 4,1. Найдите
углы треугольника АВС.
С—24*
1. В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник,
стороны которого относятся как 1:3. Меньшая сторо-
на прямоугольника лежит на основании треугольника, а
две его вершины лежат на боковых сторонах треуголь-
ника. Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите
площадь прямоугольника.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°)
о 3
cos В = -.
5
Найдите отношение отрезков, на которые бис-
сектриса угла А делит катет ВС.
30
С—25
1. АВ и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности. Хорда СВ продолжена за точку В на отре-
зок BE, равный СВ. Каково взаимное расположение
прямой DE и окружности?
2. Диаметр АВ окружности продолжен за точку В на отре-
зок ВС, CD — касательная к окружности (D — точка
касания). Через точку В проведена хорда, параллельная
CD. Радиус окружности равен 10 см, а расстояние от
центра окружности до хорды равно 4 см. Найдите АС.
С—26
1. МА и МВ — хорды окружности с центром в точке О,
А AM В = 30°. Найдите длину хорды АВ, если радиус
окружности равен 10 см.
2. На катете АС прямоугольного треугольника АВС (АС =
= 90°) как на диаметре построена окружность, пересека-
ющая гипотенузу АВ в точке D; BD = 4 см, AD = 9 см.
Найдите CD.
С—27
1. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде АВ,
АВ и CD пересекаются в точке Е, СЕ = 2 см. Сумма АВ
и СЕ равна диаметру окружности. Найдите радиус
окружности.
2. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, сред-
ний пропорциональный между отрезками, длины кото-
рых равны 1 см и 2 см.
С—28*
1. Две окружности, радиусы которых равны 8 см и 2 см,
касаются внешним образом. Найдите длину их общей
касательной.
2. Точка D лежит на радиусе О А окружности с центром в
точке О. Хорда ВС, проходящая через точку D, перпен-
дикулярна АО. В точке С к окружности проведена каса-
тельная до пересечения с продолжением О А в точке Е.
Докажите, что С А — биссектриса угла ВСЕ.
31
С—29
1. В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекают-
ся в точке М, ВМ = т, ААВС = а. Найдите расстояние
от точки М до стороны АС.
2. Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС пе-
ресекаются в точке О, О А = 4, OD = 3, BD = 4. Найдите
расстояние от точки О до стороны АС.
С—30
1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
со сторонами 10 см, 10 см, 12 см.
2. Периметр ромба равен 80 см, а одна из диагоналей
32 см. Найдите радиус вписанной в ромб окружности.
С—31
1. Найдите радиус окружности, описанной около треуголь-
ника со сторонами 10 см, 10 см, 12 см.
2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что
сторона AD является диаметром этой окружности,
ААВС = 130°, ABCD = 140°. Найдите углы BAD, CD А,
АСВ.
С—32
1.	АВС — прямоугольный тре-
угольник (АС = 90°), АА = 45°.
Какие из следующих записей
имеют смысл:
а)	АВ > ВС;
б)	\АВ\>\ВС |;
в)	АС = ВС;
г)	| АС|=|ВС|?
2.	Какие из векторов, изобра-	рис
женных на рисунке 17:
а)	коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	имеют равные длины?
Отложите эти векторы от одной точки.
32
С—33
1. На рисунке 18 изображены векторы а, Ъ, с, т, п.
1) Постройте сумму а + Ъ + с. 2) Постройте сумму т + п.
т
п
Рис. 18
2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точ-
ке М. Докажите, что AM +DC + MD +СВ =АС + DA.
С—34
1.
На рисунке 19 изображены векторы р, k, т, а, Ъ.
1) Постройте вектор р - k + т.
2) Постройте вектор а - Ъ.
Ъ
а
2.
3.
В параллелограмме ABCD С А = a, CD = с. Выразите век-
торы АВ, ВС, DA через векторы а и с.
В прямоугольнике ABCD AD =12, CD = 5, О — точка
пересечения диагоналей. Найдите | АВ + AD — DC — OD |.
С—35
1. Дан треугольник АВС. Постройте вектор
- | АВ + ВС -АС |.
2. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка К
так, что ВК : КС =1:4. Выразите векторы АК и KD
через векторы АВ=р и AD = k.
2 Зин. 8 кл.
33
С—36
1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены
соответственно точки М и Н так, что АВ = ЗВМ,
ВС = ЗВН. Используя векторы, докажите, что МН || АС
и МН = | АС.
О
2. Е и F — середины сторон ВС и AD четырехугольника
ABCD. Выразите вектор EF через векторы ВА и CD.
С—37
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) ZA = 90°,
ZC = 135°, АВ = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции,
если ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне.
2. В равнобедренной трапеции острые углы равны по 60°,
боковая сторона равна 10 см, а большее основание
15 см. Найдите меньшее основание и среднюю линию
трапеции.
С—38
ABCD — прямоугольник. АВ = 8 см, ВС — 4 см. На сто-
ронах АВ и CD отмечены точки К и Р соответственно так,
что АК : АВ = СР : CD = 3 : 8.
а)	Докажите, что KBPD — ромб.
б)	Найдите его периметр и площадь.
С—39
1.	Через концы хорды АВ окружности с центром О прове-
дены касательные, пересекающиеся в точке М. Найдите
градусную меру меньшей из дуг АВ, если AM = 10 см,
а периметр четырехугольника ОАМВ равен 40 см.
2.	Диагональ трапеции составляет с большим основанием
угол в 30°, а центр окружности, описанной около трапе-
ции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь
трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см.
34
ВАРИАНТ 4
С—1
1. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника ABCD
разделяет этот четырехугольник на два треугольника,
причем АВ>ВС, АВ = AD, BC = CD, а прямые, содер-
жащие диагонали четырехугольника, пересекаются в
точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA
и DCOBA.
2. Докажите, что разность сумм углов выпуклых п-уголь-
ника и (п- 1)-угольника не зависит от п.
С—2
1. В четырехугольнике МРКН ZPMK = АН КМ, РК || МН.
Через точку пересечения диагоналей проведена прямая,
пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответ-
ственно. Докажите, что АР = НВ.
2. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты
точки М и К, АВ = ВМ = KD, ААМВ = 30°. Найдите уг-
лы параллелограмма и сравните отрезки AM и СК.
С—3
1. В треугольнике МРК AM = 65°. На сторонах МК, МР,
РК отмечены точки А, В, С соответственно так, что се-
редина стороны РК — точка С, AM = КС, ВР = АС,
АВАМ = 50°. Докажите, что АСРВ + ААВР = 180°.
2. Дан равнобедренный треугольник АВС с основани-
ем АС. На сторонах АВ, ВС, АС отмечены точки D, Е, Р
соответственно так, что отрезки АЕ и DP имеют общую
середину. Докажите, что ADEP = АВС А.
С—4
1. В равнобедренной трапеции большее основание в два ра-
за превосходит меньшее. Середина большего основания
удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное
длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна
к боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите от-
ношение оснований.
35
С—5
1. Постройте параллелограмм по меньшей диагонали, мень-
шему углу между диагоналями и углу между меньшей
диагональю и меньшей стороной.
2. Постройте равнобедренную трапецию по диагонали,
большему основанию и перпендикуляру, проведенному
из вершины тупого угла к прямой, содержащей большее
основание трапеции.
С—6
1. В прямоугольнике МРКН О — точка пересечения диа-
гоналей, РА и НВ — перпендикуляры, проведенные из
вершин Р и Н к прямой МК. Известно, что МА = ОВ.
Найдите угол РОМ.
2. В четырехугольнике МРКН диагонали пересекаются в
точке О, АОМН = АОНМ, PH = МК, РК = МН. Найди-
те угол МНК.
С—7
1. В ромбе МРНК диагонали пересекаются в точке О.
На сторонах МК, КН, PH взяты точки А, В, С соответ-
ственно, АК = КВ — PC. Докажите, что О А = ОВ, и най-
дите сумму углов РОС и МО А.
2. В треугольнике МРК/.М — 90°, МР = МК. На сторонах
МР, РК, МК отмечены точки А, В, С соответственно
так, что четырехугольник МАВС является квадратом,
АС = а. Найдите РК.
С—8
1. Постройте ромб по диагонали и углу, который образует
другая диагональ со стороной.
2. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две
противоположные вершины этого квадрата лежали на
разных сторонах данного острого угла.
36
С—9
1. В трапеции ABCD AD — большее основание. Через се-
редину стороны CD и вершину В проведена прямая, пе-
ресекающая луч AD в точке Е. Докажите, что площадь
трапеции равна площади треугольника АВЕ.
2. Биссектриса угла В прямоугольника ABCD пересекает
сторону AD в точке К, АК = 5 см, KD = 7 см. Найдите
площадь прямоугольника.
С—10
1. Найдите углы параллелограмма, если его площадь рав-
на 40 см* 1 2, а стороны 10 см и 8 см.
2. Сравните площади квадрата и параллелограмма, если
они имеют одинаковые параметры и сторона квадрата
равна высоте параллелограмма. (Параллелограмм не яв-
ляется прямоугольником.)
С—11
1. В треугольнике АВС АВ = х, АС = у, Z_A — 15°, а в тре-
угольнике МРК КР = х, МК = у, Z.K = 165°. Сравните
площади этих треугольников.
2. В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диаго-
нали АС взята точка М так, что AM : МС = 4:1. Най-
дите площадь треугольника AMD.
С—12
1. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно
4 см и составляет с меньшей диагональю угол в 45°.
Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен
135°.
2. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вер-
шины тупого угла и делящая большее основание на два
отрезка, один из которых равен половине меньшего
основания, равна 6 см. Большее основание превосходит
меньшее на 2 см. Найдите площадь трапеции.
37
С—13
1. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона
равны 9 см и ^82 см соответственно. Большая диаго-
наль 15 см. Найдите площадь параллелограмма.
2. В треугольнике МРК РК = 2. На стороне МК отмечена
точка А так, что МА = АР = ^3, АК = 1. Найдите
ZMPK.
С—14
1. Ученику необходимо было вычислить площадь мно-
гоугольника, изображенного на рисунке 20. В его рас-
поряжении была только масштабная линейка. В ре-
зультате измерений установлено, что МР = НТ = 4 см,
МТ = PH = Зсм, МН =5 см, РК = 5 см, КЕ = 12 см.
Точки Р, Н, Е лежат на одной прямой. Мог ли ученик
вычислить площадь по этим результатам? Чему эта пло-
2. Меньшая высота параллелограмма равна 4 см и делит
большую сторону на отрезки, каждый из которых равен
по 3 см. Найдите большую высоту параллелограмма.
С—15
1. В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС.
Площади треугольников АВК и КВС относятся как
1 : 3, ВС = 10 см. Найдите АС, если = ^777.
АС КС
2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм,
а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из ко-
торых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите
периметр треугольника.
38
С—16
1. На рисунке 21 треугольни-
ки АВС и DEC подобны,
причем DE АВ, AD = 3 см,
DC = 5 см, ВС = 7 см. Найди-
те СЕ.
2. Площади двух подобных тре-
угольников равны 50 дм2 и
32 дм2, сумма их периметров
равна 117 дм. Найдите пери-
метр каждого треугольника.
A	D	С
Рис. 21
С—17
1. На продолжении сторон DC (за точку С) и В А (за точ-
ку А) параллелограмма ABCD взяты соответственно точ-
ки К иЕ. КЕ пересекает сторону ВС в точке М, а сторо-
ну AD — в точке F. Докажите, что АЕ • МС = КС • AF.
2. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О.
Периметры треугольников ВОС и AOD относятся как
2 : 3, АС = 20. Найдите длины отрезков АО и ОС.
С—18
1. В треугольниках АВС и	BE и В1Е1 — бис-
, D	z D АЕ А1Е1
сектрисы, ZB=ZB1?	——- = 1 . Докажите, что
А АВЕ ™ Л А1В1Е1. ЕС
2. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 6, АС = 7. Точка Е
лежит на стороне АВ. Внутри треугольника взята точ-
ка М так, что МВ = 5^, ME = 4^, АЕ = 1. Прямая ВМ
пересекает АС в точке Р. Докажите, что треуголь-
ник АР В равнобедренный.
С—19
1. ABCD — параллелограмм. От вершин А и В на сторо-
нах AD и ВС отложены равные отрезки AQ и ВР,
Е и F — точки пересечения диагоналей четырехугольни-
ков ABPQ и QPCD. Докажите, что EF || ВС и EF = ^ВС.
л
2. В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) ВС = 9.
Медианы треугольника пересекаются в точке О, О В =
= 10. Найдите площадь треугольника АВС.
39
С—20
1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О,
АС : BD = 3:2, ОЕ ± АВ. Площадь треугольника АЕО
равна 27 см* 1 2. Найдите площадь ромба.
2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = СВ) BD —
биссектриса, DE ± АВ,	BD + АС = 14. Найдите
ЕВ 9
периметр треугольника АВС.
С—21
1. Постройте треугольник АВС по углу А, отношению сто-
рон АВ : АС = 1 : 3 и расстоянию от точки пересечения
медиан до вершины В.
птт	l тт	(a+ b)b
2. Даны два отрезка а и Ъ. Построите отрезок х =--.
С—22
1. В трапеции ABCD (AD || ВС) АВ = 12, BD = 16, AD =
= 20, СЕ ± BD. Найдите синус, косинус и тангенс уг-
ла ВСЕ.
2. Площадь ромба равна 4^2, а его сторона 2^2. Найдите
углы ромба.
С—23
1. В трапеции ABCD (AD || ВС) AD = 2а, ВС = a, BD ± АВ,
ACBD = а. Найдите площадь трапеции. Вычислите пло-
щадь, если а - 7,6, а = 54°21'.
2. В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) CD —
медиана. Найдите угол DCB, если CD = 5,3, ВС = 4,7.
С—24*
1. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) впи-
сан равнобедренный прямоугольный треугольник так,
что вершина прямого угла лежит на основании данно-
го треугольника, а гипотенуза параллельна основа-
нию (вершины острых углов лежат на боковых сторонах
треугольника). Найдите площадь прямоугольного тре-
угольника, если высота BF = 16 см, а АВ = 20 см.
2. В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) BD —
биссектриса. Площади треугольников ABD и BCD отно-
сятся как 17:8. Найдите синус угла АВС.
40
С—25
1. Катеты прямоугольного треугольника АВС (АС = 90°)
АС = 3, ВС = 4. С центром в точке С проведена окруж-
ность радиуса, равного 2,4. Каково взаимное располо-
жение этой окружности и прямой АВ?
2. На касательной к окружности от точки касания Р по обе
стороны от нее отложены два отрезка РА и РВ. Точки А
и В соединены отрезками с центром окружности О.
АО пересекает окружность в точке С, а ВО — в точке D.
Найдите CD, если радиус окружности равен 7, а О А =
= ОВ = 25.
С—26
1. КА и КВ — хорды окружности с центром в точке О,
ААКВ = 45°, АВ = 3^2. Найдите длину радиуса этой
окружности.
2. В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ. На сто-
роне АС как на диаметре построена окружность, пере-
секающая сторону АВ в точке D; CD = 18, AD = 16.
Найдите площадь треугольника.
С—27
1. Диаметр CD окружности с центром в точке О пересека-
ется с хордой АВ в точке К, ОК = 5 см. Расстояние от
центра окружности до хорды равно 4 см. Найдите ра-
диус окружности, если длина хорды равна 16 см.
2. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, дли-
на которого равна ^2 • 3 см.
С—28*
1. Две окружности, радиусы которых 4 и 6, касаются
внешним образом. Их общие внешние касательные пе-
ресекаются в точке М. Найдите расстояние от точки М
до центра меньшей из окружностей.
2. В окружности проведены хорды АВ и AC, DE и DF,
причем АВ || DE и АС || DF. Докажите, что FB || СЕ.
41
С—29
1. В остроугольном треугольнике ABC hup — серединные
перпендикуляры к сторонам ВС и АС, Они пересекают-
ся в точке F, CF = 10, АВ = 16. Найдите расстояние от
точки F до стороны АВ.
2. Вершины треугольника АВС лежат на окружности,
ZA = 2Z.B, Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точ-
ке О, АО пересекает окружность в точке К. Докажите,
что КС || АВ.
С—30
1. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка ее касания с гипотенузой делит ее на части, рав-
ные 6 см и 4 см. Найдите радиус окружности.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедрен-
ную трапецию, если ее основания равны 8 см и 2 см.
С—31
1. Основание тупоугольного равнобедренного треугольни-
ка равно 24 см, а радиус описанной около него окруж-
ности 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.
2. Сторона равностороннего треугольника АВС равна
73 см. Высоты треугольника AD и BE пересекаются в
точке М. Докажите, что вокруг четырехугольника
MDCE можно описать окружность, и найдите ее радиус.
С—32
1.	ABCD — прямоугольник. Какие из
следующих записей имеют смысл:
a) AD < АС;
б)	|AZ>| <_ЦС|;
в)	AC=BD;
г)	|АС|=|вВ|?
2.	Какие из векторов, изображен-
ных на рисунке 22:
а) коллинеарны;
б)	сонаправдены;
в)	противоположно направлены;
г) имеют равные длины?
Отложите эти векторы от одной точки.
42
С—33
1. На рисунке 23 изображены векторы т, п, р, а, Ъ.
1) Постройте сумму т + п + р. 2) Постройте сумму а + Ъ.
Рис. 23
2.	ABCD — прямоугольник. Диагонали его пересекаются
в точке О. Докажите, что | АО + DC + OD | = | DA + DC |.
С—34
1.	На рисунке 24 изображены векторы а, &, с, т, п.
1)	Постройте вектор а —Ь — с. 2) Постройте вектор п — т.
Рис. 24
2.	В параллелограмме ABCD АВ = а, АС = d. Выразите век-
торы СВ, AD, DC через векторы and.
3.	В ромбе ABCD AD - 20, BD - 24, О — точка пересече-
ния диагоналей. Найдите | AD + АВ — ВС — ОВ |.
С—35
1. Дан треугольник АВС. Постройте вектор
-3 АС- АВ+^СВ
2. На стороне НК ромба МНКС взята точка Е так, что
KE = ^НЕ, Т — середина стороны МН. Выразите век-
5
торы СЕ и ЕТ через векторы СК =р и СМ =а.
43
С—36
1. Отрезки В А и CD пересекаются в точке О, причем
АО = 2ОВ и OD = 2ОС. Используя векторы, докажите,
что ВС II AD и ВС = | AD.
2. Дан треугольник АВС. Точки Alf В19 Сг — середины
соответственно сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что
О А + ОВ + ОС = ОАг + ОВг + ОС19 где О — произвольная
точка плоскости.
С—37
1. В трапеции МНКР (МР и НК — основания) AM = 90°,
АК - 150°, НК = 2 см. Найдите среднюю линию трапе-
ции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна
к боковой стороне.
2. В равнобедренной трапеции острые углы равны по 45°,
меньшее основание равно 5 см, а высота трапеции
4 см. Найдите большее основание и среднюю линию
трапеции.
С—38
В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в от-
ношении 2:1, считая от вершины А. Прямые MD и ВС пе-
ресекаются в точке Е, AMD А = 40°, AD = 10 см.
а)	Докажите, что треугольники AMD и ECD подобны.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите площадь
треугольника DCE.
С—39
1. АВ и AD — две касательные к некоторой окружности
радиуса 5 см (В и D — точки касания). Точка С при-
надлежит большей из дуг BD. Найдите ABCD, если
АВ = 5 см.
2. В некоторой трапеции один из углов прямой, а другой
равен 30°. Большая боковая сторона трапеции равна
12 см. Найдите площадь трапеции, если известно, что в
нее можно вписать окружность.
44
ВАРИАНТ 5
С—1
1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны рав-
ны. Большая диагональ, проведенная из вершины А,
параллельна стороне ВС, ABAD = ACDA. Сравните пе-
риметры пятиугольников ABDEF и ACDEF.
2. Сумма углов выпуклого 2п-угольника в k раз больше
суммы углов выпуклого n-угольника, где k — нечетное
число. Найдите k.
С—2
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD А А + АВ = АВ +
-I- АС = 180°. Через точку О пересечения диагоналей
четырехугольника проведена прямая, пересекающая
стороны ВС и AD в точках М и К соответственно;
АВОМ = 90°. Докажите, что ВК = ВМ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены
точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН и MD
пересекаются в точке О; ABHD = 95°, ADMC — 90°,
ABOD = 155°. Найдите отношение длин отрезков АВ и
MD и углы параллелограмма.
С—3
1. Точки М и К являются соответственно серединами
сторон АВ и ВС треугольника АВС. Через вершину С
вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ
и пересекающая луч МК в точке Е. Докажите, что
КЕ = | АС.
Л
2. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольни-
ка ABCD соответственно взяты точки М и К так, что
пары отрезков AM и ВК, КС и MD имеют общие сере-
дины. Докажите, что ABAD = ABCD.
С—4
1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD
проведен перпендикуляр СЕ к прямой AD, содержащей
большее основание. Докажите, что АЕ = (AD + ВС).
2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпен-
дикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей
боковой стороной угол в 60°. Докажите, что меньшая
диагональ равна полусумме оснований трапеции.
45
С—5
1. Постройте параллелограмм по диагонали, стороне и
отрезку длиной, равной расстоянию между прямыми,
содержащими данную сторону и ей противоположную.
2. Постройте равнобедренную трапецию по острому углу,
диагонали и перпендикуляру, проведенному из верши-
ны острого угла к прямой, содержащей меньшее основа-
ние трапеции.
С—6
1. В прямоугольнике ABCD точки М и К — середины сто-
рон АВ и AD соответственно. На прямой АС взята точ-
ка Р, на прямой BD — точка £, MP ± AC, KE ± BD.
Известно, что 4КЕ = AD. Найдите отношение сто-
рон АР : PC.
2. На основании АС равнобедренного треугольника АВС
взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС — соответственно
точки М и К. АМ = СК, 2МК = АС = 4АР. Найдите
угол РМК.
С—7
1. В ромбе ABCD угол В тупой. На стороне AD взята точ-
ка К, ВК ± AD. Прямые ВК и АС пересекаются в точ-
ке О, АС = 2ВК. Найдите угол АОВ.
2. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точ-
ки М и К соответственно, МС = KD. Отрезки DM и
АК пересекаются в точке О, 2ОМ = AM. Найдите
угол AM О.
С—8
1. Постройте прямоугольник по углу между стороной и
диагональю и перпендикуляру, проведенному из верши-
ны прямоугольника к прямой, содержащей эту диаго-
наль.
2. Постройте квадрат ABCD по отрезку PQ, равному бис-
сектрисе АЕ треугольника АВС.
С—9
1. На стороне АВ параллелограмма ABCD отмечена точ-
ка Е так, что DE ± АВ. Докажите, что площадь парал-
лелограмма ABCD равна DE • АВ.
2. Докажите, что площадь ромба равна половине произве-
дения его диагоналей.
46
С—10
1. Высоты, проведенные из вер-
шины тупого угла параллело-
грамма, составляют угол в 45°.
Одна из высот делит сторону,
на которую она опущена, на от-
резки 2 см и 8 см, считая от
вершины острого угла. Найди-
те площадь параллелограмма.
2. На рисунке 25 АВС — равно-
бедренный треугольник с осно-
ванием АС, КТ || ВС, МР || АВ,
ЕО || АС. Докажите, что площа-
ди четырехугольников АЕМН и
МОСТ относятся как ВР : ВК.
С—11
1. Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка М. До-
кажите, что сумма площадей треугольников AMD и
ВМС равна половине площади параллелограмма.
2. В треугольнике ABC Z_C = 90°. На сторонах АС, АВ, ВС
соответственно взяты точки М, Р, К так, что четырех-
угольник СМРК является квадратом, АС = 6 см, ВС =
= 14 см. Найдите сторону МС.
С—12
1. В трапеции ABCD AD — большее основание, Z_D = 60°.
Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О,
OD = а, ВС = b, AD = с. Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции МРНК МК — большее основание. Площа-
ди треугольников МНК и КНР равны и S2 соответст-
венно. Найдите площадь трапеции.
С—13
1. В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикуляр-
ными диагоналями боковая сторона равна 26 см. Высо-
та, проведенная из вершины тупого угла, делит большее
основание на отрезки, меньший из которых равен 24 см.
Найдите площадь трапеции.
2. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а осно-
вания 30 см и 15 см. Найдите угол, который образуют
продолжения боковых сторон трапеции.
47
С—14
1. В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь
равна (^3+1) см* 1 2. Найдите меньшую высоту треуголь-
ника.
2. Диагональ ромба в четыре раза больше расстояния от
точки пересечения его диагоналей до стороны. Найдите
площадь ромба, если его сторона равна 2 см.
С—15
1. Даны два отрезка АВ и ЕК. Точки С и М лежат соот-
ветственно на отрезках АВ и ЕК. Отрезки АС, СВ и
ЕМ, МК пропорциональны. Докажите, что АВ • МК =
= СВ • ЕК.
2. Треугольник АВС прямоугольный (ZC = 90°), D g АС и
Е g АВ, причем DE || ВС и DE — DC, АЕ =15 мм, ЕВ =
= 20 мм. Найдите периметр треугольника АВС.
С—16
1. Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных
треугольника АВС и ACD, ВС = 4 см, AD = 9 см. Най-
дите АС.
2. Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника
АВС, отсекает от него треугольник DBE, стороны кото-
рого в три раза меньше сторон данного треугольника.
Найдите площадь трапеции ADEC, если площадь тре-
угольника АВС равна 27 см2.
С—17
1. В остроугольном треугольнике ABC BD и АЕ — высо-
ты. Докажите, что DC • АС = ЕС • ВС.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) точка К ле-
жит на стороне CD, причем СК : KD = 1:2. АК пересе-
кает BD в точке О. Докажите, что если ВС : AD = 1:2,
то ВО = OD.
С—18
1. В трапеции ABCD основания AD = а, ВС = Ъ, АС = Jab.
Докажите, что ABAC = AADC.
2. В четырехугольниках ABCD и A1B1C1D1 ABAC =
= АВ'А'С', AADB = ZA^Bp ACAD = AC1A1D1 и
AACD = AA1C1D1. Докажите, что A ABC °° ДАДСр
48
С—19
1. В четырехугольнике ABCD точки ЛГ, ЛГ, Р, Q соответст-
венно середины сторон АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что
отрезки МР и NQ точкой пересечения делятся пополам.
2. В параллелограмме ABCD F — середина ВС. AF пересе-
кает BD в точке Е, СЕ пересекает АВ в точке К; КВ = 5,
AD = 12, ZA = 30°. Найдите площадь параллелограмма.
С—20
1. В прямоугольнике ABCD BE ± АС, АЕ : ЕС =1:3.
Найдите углы, которые составляет со сторонами прямо-
угольника его диагональ.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) BE ± AD,
ВС : AD =1:2, BE : ED = 3:4. Площадь треугольни-
ка АВЕ равна 18 см* 1 2. Найдите площадь трапеции.
A	BCD
I------------------h-
A-l	Bi
Рис. 26
С—21
1. В остроугольный треуголь-
ник впишите прямоуголь-
ник, у которого одна сторона
в два раза больше другой,
так, чтобы большая сторона
прямоугольника лежала на
одной стороне треугольника,
а две его вершины лежали
на двух других сторонах тре-
угольника.
2. На рисунке 26 т || п. Постройте на прямой п только с по-
АВ А1В1
мощью линейки отрезок C1D1 такой, чтобы —— = — - - .
С—22
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (ZC = 90°) СЕ ± АВ,
CD — медиана, АВ = 4, ED = ^3. Найдите углы треуголь-
ника.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС = 5, АС = 6. Найдите
синус, косинус и тангенс угла АВС.
49
С—23
1. Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один
из острых углов а. Найдите высоту, опущенную на ги-
потенузу. Вычислите длину высоты, если S = 42,3 и
ос = 50°27'.
2. В прямоугольной трапеции ABCD (ZD = ZC = 90°)
ZBAD = 40°27', AB = 12,7, AC = 18,1. Найдите угол CAD.
C—24*
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4,
а угол 30°. В этот треугольник вписан прямоугольник, у
которого одна сторона в два раза больше другой. Найди-
те площадь прямоугольника, если его большая сторона
лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах.
2. В треугольнике АВС угол АСВ тупой, ВО ± АС,
OF ± АВ, OD ± ВС. Докажите, что ZACB = ZDFB.
С—25
1. В трапеции ABCD АВ = ВС = CD, AD = 2ВС. С центром
в точке А проведена окружность радиусом, равным АВ.
Каково взаимное расположение этой окружности и пря-
мой BD?
2. Из точки проведены две касательные к окружности, ко-
торые образуют между собой угол а. Радиус окружности
равен г. Найдите расстояние между точками касания.
С—26
1. На диаметре окружности АВ отмечена произвольная
точка С. На отрезке СВ как на диаметре построена
окружность; BE и BF — хорды большей окружности,
которые пересекают меньшую окружность соответствен-
D тт	ЕР FK
но в точках Р и К. Докажите, что = ~^Б.
JrJXD
2. В точке А к окружности проведена касательная АВ,
АС — хорда этой окружности, ZBAC острый, ^АМ =
= ^МС (точка М лежит на дуге АС и расположена
во внутренней области угла ВАС). Расстояние от точ-
ки М до АС равно 5 см. Найдите расстояние от точки М
RQ АВ.
50
С—27
1. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. На от-
резке ОВ как на диаметре построена окружность с цент-
ром в точке Хорда большей окружности ВС пере-
секает меньшую окружность в точке Е. Через точки Ох
и Е проведена прямая, которая пересекает большую
окружность в точках К и F (К—Е—F), КЕ = 2 см,
EF = 8 см. Найдите ВС.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В. На про-
должении их общей хорды АВ выбрана точка М. Из
этой точки проведены касательные ME и MF к этим
окружностям (Е и F — точки касания). Докажите, что
ME = MF.
С—28*
1. Две окружности, радиусы которых равны 1 и 3, внешне
касаются в точке С; АВ — их общая внешняя касатель-
ная (А и В — точки касания). Найдите площадь тре-
угольника АСВ.
2. Вершины А, В, С остроугольного треугольника АВС
лежат на окружности с центром в точке О; АН ± ВС.
Докажите, что АО АС = АВАН.
С—29
1. В треугольнике АВС ААСВ = 120°, АС - СВ = а. Сере-
динные перпендикуляры к сторонам АС и СВ пере-
секаются в точке М. Найдите расстояние от точки М
до середины стороны АВ.
2. Из точки М к окружности с центром в точке О проведе-
ны касательные МА и МВ (А и В — точки касания),
BFAAM. BF пересекает МО в точке К, МО = 20В.
Найдите угол К АВ.
С—30
1. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписана
окружность, радиус которой равен 2^3 см. Найдите пло-
щадь этого треугольника.
2. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную тра-
пецию окружности до концов большей боковой стороны
равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.
51
С—31
1. Около равнобедренного треугольника АВС с основани-
ем АВ и углом 120° при вершине описана окруж-
ность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр опи-
санной окружности с точкой пересечения продолжения
высот треугольника, равен диаметру описанной окруж-
ности.
2. Трапеция вписана в окружность. Ее основания равны
6 дм и 8 дм, а высота 1 дм. Найдите радиус этой окруж-
ности, если известно, что основания трапеции находят-
ся по одну сторону от центра.
С—32
1.	В четырехугольнике ABCD AB = DC. Через точку О пе-
ресечения его диагоналей проведена прямая, пересекаю-
щая стороны ВС и AD соответственно в точках Е и F.
Какие из векторов BE, ЕС, АЕ, DF:
а)	коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	равны;
д)	имеют равные длины?
2.	В круге проведены диаметр АС и хорда АВ. Внутри кру-
га выбрана точка М. От этой точки отложены векто-
ры MN и MF, соответственно равные векторам АВ и
АС. Чему равен угол MNF?
С—33
1. Угол между векторами а и Ъ,
а и с равен 120°, | а | = | Ъ | =
= |с|. Докажите, что
а + Ъ + с = 0.
2. На рисунке 27 ABCD и
CFED — параллелограммы.
Укажите такой вектор х, что
АВ + AD + DE + CD + х= AD.
52
С—34
1.	Выразите вектор АВ в виде алгебраической суммы еле-
--------------------->• -> ->•
дующих векторов: AC, Z>C, BD.
2.	Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка О.
Выразите вектор О А через векторы ОВ, ОС, OD.
3.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) с прямым уг-
лом А проведена диагональ AC, ZBCA = 45°, AACD =
= 90°, АС = а. Найдите | СВ - СА + CD |.
С—35
1. Даны четыре точки О, А, М, В такие, что ОМ =
3 —1 —*
= ~^ОА + — ОВ. Докажите, что точки А, М, В лежат на
одной прямой.
2. Точка М лежит на диагонали АС параллелограм-
ма ABCD, а точка Н — на стороне AD, причем
AM : МС = 2 : 1 и АН = HD. Выразите вектор МН че-
рез векторы аир, где а = АВ и р =AD.
С—36
1. ABCD и АХВХС^\ — параллелограммы, М, Р, F, Н —
середины соответственно отрезков АА1? ВВХ, СС1? DDX.
Докажите, что точки М, Р, F, Н являются вершинами
параллелограмма или лежат на одной прямой.
2. Докажите, что в треугольнике АВС выполняется нера-
венство ОМ ^(ОА + ОВ + ОС), где М — точка пере-
о
сечения медиан, а О — произвольная точка плоскости.
С—37
1. В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см,
составляет с основанием угол в 60°. Найдите среднюю
линию трапеции.
2. Докажите, что если трапецию можно разделить двумя
прямыми на три равносторонних треугольника, то сред-
няя линия такой трапеции в полтора раза больше мень-
шего основания.
53
С—38
В ромбе ABCD АВ = 5 см, BD = 2^5 см. На сторонах АВ и
CD отмечены точки М и К соответственно так, что
AM : МВ = СК : KD = 1,5.
а)	Докажите, что MBKD — прямоугольник.
б)	Найдите его периметр и площадь.
С—39
1. АВ и АС — касательные к окружности с центром О (С и
В — точки касания). Найдите градусную меру меньшей
из дуг ВС, если расстояние от центра окружности до
точки А равно 8 см, а до хорды ВС 6 см.
2. Где внутри трапеции: вне или на основании — располо-
жен центр окружности, описанной около равнобедрен-
ной трапеции с основаниями 10 см, 24 см и высо-
той 17 см?
ВАРИАНТ 6
С—1
1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны имеют
равные длины. Диагональ, проведенная из вершины А,
параллельна стороне ED, /ЕАС = /DCA. Сравните пе-
риметры четырехугольников ЕАВС и DCBA.
2. Сумма углов выпуклого n-угольника в k раз больше
суммы углов выпуклого (п - 1)-угольника (k — нату-
ральное число). Найдите k.
С—2
1. В выпуклом четырехугольнике МРКН /М + /Р = 180°,
/МКН = /КМР. На сторонах МН и РК отмечены точ-
ки А и В так, что РВ = РА. Отрезок АВ проходит через
точку пересечения диагоналей четырехугольника. Дока-
жите, что HP ± АВ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты
точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересе-
каются в точке О, /BOD — 140°, /DKB = 110°, /ВМС =
= 90°. Найдите отношение длин отрезков МС и AD и уг-
лы параллелограмма.
С—3
1. Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ
и ЕТ треугольника РЕТ. Прямая, проходящая через
вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точ-
ке К, АР = КТ, АВ = ВК = ^РТ. Докажите, что точка А
является серединой отрезка РЕ.
2. На стороне ВС выпуклого четырехугольника ABCD от-
мечена точка М, а вне четырехугольника — точка К
так, что пары отрезков АК и ВМ, KD и МС имеют об-
щие середины. Докажите, что /АВС = /ADC.
С—4
1. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD взаимно пер-
пендикулярны. Докажите, что расстояние между прямы-
ми AD и ВС, содержащими основания, равно ^(AZ> + ВС).
2. Из вершины прямого угла меньшего основания прямо-
угольной трапеции под углом 45° к этому основанию
проведен луч, который проходит через середину боль-
шей боковой стороны. Докажите, что меньшая боковая
сторона этой трапеции равна сумме оснований.
55
С—5
1. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и пер-
пендикуляру, проведенному из конца одной диагонали
к прямой, содержащей другую диагональ.
2. Постройте равнобедренную трапецию по двум углам, на
которые диагональ делит тупой угол, и отрезку дли-
ной, равной расстоянию между прямыми, содержащими
основание трапеции.
С—6
1. В прямоугольнике МРКН О — точка пересечения диа-
гоналей. Точки А и В — середины сторон МР и МН со-
ответственно. Точка С делит отрезок МК в отноше-
нии 1 : 7, считая от точки ЛГ; АС ± МК. Найдите отно-
шение ВО : PH.
2. Некая прямая, параллельная основанию МК равно-
бедренного треугольника МРК. пересекает стороны МР
и РК в точках В и С соответственно. Точка А делит
отрезок МК в отношении 1:3, считая от точки М;
ВС = 2AM. Найдите угол МАВ.
С—7
1. В ромбе МРНК угол М острый. Отрезок РЕ является
перпендикуляром к прямой МК. О — точка пересече-
ния диагоналей, а Т — общая точка прямых РЕ и МН.
ZMTP = 120°, ОН = а. Найдите РЕ.
2. На сторонах АВ. ВС. CD квадрата ABCD отмечены соот-
ветственно точки М. К. Р. МР ± АК. Сравните отрез-
ки МР и АК.
С—8
1. Постройте ромб по острому углу и отрезку, длина кото-
рого равна расстоянию между прямыми, содержащими
противоположные стороны ромба.
2. Постройте квадрат ABCD по отрезку PQ и углу hk. если
PQ = ВМ. Zhk = ZMBD (М — середина отрезка AD).
56
С—9
1. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D
так, что BD ± АС. Докажите, что площадь треугольни-
ка равна BD • АС.
2. Докажите, что площадь квадрата равна половине квад-
рата его диагонали.
С—10
1. В ромбе ABCD ВМ — бис-
сектриса треугольника ABD,
Z.BMD = 157°30'. Найдите
площадь ромба, если его вы-
сота равна 10 см.
2. На рисунке 28 ABCD —
ромб. НТ || АВ, МР || ВС.
Докажите, что произведение
площадей четырехугольни-
ков AM ОТ и ОНСР равно
произведению площадей че-
тырехугольников МВНО и
TOPD.
С—11
1. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на
четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь.
2. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали
пересекаются в точке О, которая удалена от прямой CD
на 4 см. Найдите площадь треугольника АОВ, если
CD = 8 см.
С—12
1. В трапеции МНРК МН — НК, точка А — середина
большего основания МК, а точка В — середина боковой
стороны МН, В А ± МН, МК = а, HP = Ъ. Найдите пло-
щадь трапеции.
2. Отрезок ЕР пересекает основания ВС и AD трапе-
ции ABCD так, что точки А и Е лежат по разные сторо-
ны от прямой ВС и ЕР ± ВС. Основания трапеции делят
отрезок ЕР на три равные части. Площади треугольни-
ков ВЕС и APD равны и S2 соответственно. Найдите
площадь трапеции.
57
С—13
1. В равнобедренной трапеции диагональ равна 25 см, а
высота 15 см. Найдите площадь трапеции.
2. Диагонали некоторой трапеции равны 5 см и 12 см, а
основания 3 см и 10 см. Найдите углы между диагона-
лями этой трапеции.
С—14
1. Большее основание трапеции равно 6 см, а меньшее
4 см. Углы при большем основании 30° и 45°. Найдите
площадь трапеции.
2. Высоты параллелограмма равны 6 см и 7,8 см, а его
площадь 78 см* 1 2. Найдите длину меньшей диагонали.
С—15
1. Даны два отрезка КР и ЕС. Точки М и L лежат соответ-
ственно на отрезках КР и ЕС. Отрезки КР, МР и ЕС, LC
пропорциональны. Докажите, что КМ • LC = МР • EL.
2. Треугольник АВС прямоугольный (ZC = 90°), Р е АС и
К е АВ, причем РК || ВС и РК = КВ, АР = 5 дм, PC =
= 4 дм. Найдите периметр треугольника АВС.
С—16
1. В трапеции ABCD (AD || ВС) АС — биссектриса угла А
делит трапецию на два подобных треугольника АВС и
ACD, АВ = 9 см, CD = 12 см. Найдите периметр трапе-
ции.
2. Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника
АВС, отсекает от него треугольник DBC, стороны кото-
рого в четыре раза меньше сторон данного треугольни-
ка. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь
трапеции ADEC равна 30 см2.
С—17
1. В остроугольном треугольнике АВС его высоты BD и
АЕ пересекаются в точке О. Докажите, что ВО • OD =
= АО • ОЕ.
2. В трапеции ABCD (AD || ВС) точка М лежит на сторо-
не CD, причем СМ : MD = 2:3, АВ = AD, ВС : AD =
= 1:3. Докажите, что BD ± AM.
58
С—18
1. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС,
DC = а, АС = Ь, ВС = Jab. Докажите, что ZBAC =|
= ZDBC.
2. В четырехугольниках ABCD и AjBjCjDj диагонали пе-
ресекаются в точках О и Ор причем АО = ОС и =|
= OiCp ZAOD = ZA^D^ ZADO = ZA1D1O1 и ZABO =
= ZA1B1O1. Докажите, что А АВС °° дАДСр
С—19
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD равны
между собой. Точки М, Р, К, Т соответственно середи-
ны сторон АВ, ВС, CD, AD. Докажите, что МК ± РТ.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и
4 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан
треугольника до гипотенузы.
С—20
1. В трапеции ABCD АВ ± AD, AC ± CD, ВС = 6, AD = 8.
Найдите углы трапеции.
2. В параллелограмме ABCD BD ± АВ, АВ : AD =1:2,
BE ± AD, АЕ = 4 см. Найдите площадь параллело-
грамма.
С—21
1. В остроугольный треуголь- ник впишите равнобедренный А	в	с 1	1	D ।	
прямоугольный треугольник	1 так, чтобы вершина прямого угла лежала на стороне тре-	1	1 1	1 а
угольника, а гипотенуза бы- 1 ла параллельна этой стороне 1 и ее концы располагались на двух других сторонах тре- угольника.	В1 Рис. 29	b
2. На рисунке 29 а || Ъ. При помощи только линейки по-
«	тл	« cz АВ C^Dj
строите отрезок такой, чтобы —— = •   р .
Оху
59
С—22
1. В прямоугольном треугольнике АВС (АС — 90°) D е АВ,
DE || AC, DE = ЕС, = -1=. Найдите углы треуголь-
-Ь'-А	/3
ника.	*
2. Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите синус, ко-
синус и тангенс острого угла ромба.
С—23
1. В равнобедренной трапеции ABCD AB = CD. Площадь
трапеции равна S, ZBDA = а. Найдите высоту трапе-
ции. Вычислите высоту, если S = 234,6 и а = 23°46'.
2. В треугольнике АВС ВС = 2,7, АВ = 4,2, ААСВ =
= 132°40'. Найдите угол ВАС.
С—24*
1. В ромб вписан прямоугольник так, что все его вершины
лежат на сторонах ромба, причем большая сторона
прямоугольника параллельна большей диагонали ром-
ба. Найдите площадь прямоугольника, если его сторо-
ны относятся как 1:2, сторона ромба равна а, острый
угол 60°.
2. В остроугольном треугольнике ABC BD ± AC, DE ± АВ
и DF ± ВС. Докажите, что £\EBF 00 А АВС.
С—25
1. В прямоугольной трапеции ABCD (Z.CDA = 90°) ВС =
= CD, AD = 2ВС. С центром в точке D проведена окруж-
ность радиусом, равным BD. Каково взаимное располо-
жение этой окружности и прямой АВ?
2. Из некоторой точки проведены две касательные к окруж-
ности, которые образуют между собой угол а. Расстояние
от центра окружности до хорды, которая соединяет точ-
ки касания, равно т. Найдите длины отрезков касатель-
ных от данной точки до точки касания.
60
С—26
1. На диаметре АВ окружности отмечена точка М. С цент-
ром в этой точке проведены две окружности, которые
расположены внутри данной; ВК и ВКг — хорды боль-
шей окружности, которые касаются двух меньших
окружностей в точках Р и Рг соответственно. Докажите,
КР Kfi
ЧТО —— = -ZT?-.
РВ РВ,
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине ра-
вен 40°. На боковой стороне как на хорде построена
окружность, которая касается основания в его конце.
Две вершины и точка пересечения окружности с другой
стороной делят окружность на три части. Найдите их.
С—27
1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности,
АВ : ВС = 2:3. Точка D делит дугу АС пополам.
BD пересекает АС в точке Е. Через точку Е проведена
хорда КМ, КЕ = 4 см, ME = 6 см. Найдите АС.
2. Две окружности внешне касаются в точке F. Через эту
точку проведена общая касательная к этим окружно-
стям. На этой касательной выбрана точка М. Из этой
точки к этим окружностям проведены секущие, кото-
рые пересекают первую окружность в точках А и В
(М—А—В), а вторую — в точках С и D (М—С—D),
МА = МС. Докажите, что АВ = CD.
С—28*
1. Окружности с радиусами, равными 4 см и 1 см, внут-
ренне касаются. Хорда АВ большей окружности касает-
ся меньшей окружности, и прямая АВ образует с общей
касательной в окружности угол 60°. Найдите АВ.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через
точку А проведены отрезки АС и AD, каждый из кото-
рых является хордой одной из окружностей и касается
другой. Докажите, что АС • BA = AD • ВС.
61
С—29
1. В треугольнике АВС Л АВС тупой. Продолжения вы-
сот AD и СЕ пересекаются в точке ЛГ, МВ = 5, АС = 10.
Найдите площадь четырехугольника АМСВ.
2. Во внутренней области треугольника АВС взята точ-
ка О, равноудаленная от его сторон. Найдите ЛАОС, ес-
ли ЛАВС = 2а.
С—30
1. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра
вписанной окружности до вершины неравного угла рав-
но 5 см. Боковая сторона равна 10 см. Найдите длину
этого радиуса.
2. Около круга, радиус которого равен 2, описана прямо-
угольная трапеция. Меньшее основание трапеции рав-
но 3. Найдите площадь трапеции.
С—31
1. Угол при вершине В равнобедренного треугольни-
ка АВС (АВ = ВС) равен 72°. Через вершину А и центр
описанной окружности проведена прямая до пересече-
ния в точке К со стороной ВС, ВК = а. Найдите радиус
описанной окружности.
2. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) вписана
в окружность, радиус которой равен 4 см; АС — бис-
сектриса угла А, ЛВС А = 30°. Найдите площадь тра-
пеции.
С—32
1.	В четырехугольнике ABCD AB = DC, точка Е — середи-
на ВС. Прямая АЕ пересекает продолжение DC в точке
F. Среди векторов АВ, BE, СЕ, AD, CF укажите пары:
а) коллинеарных векторов;
б)	сонаправленных векторов;
в)	противоположно направленных векторов;
г)	равных векторов;
д)	векторов, имеющих равные длины.
2.	В ромбе ABCD | АС |= 12 см, | BD | = 16 см. От верши-
—>	—>
ны А отложен вектор АЕ, равный вектору BD. Найдите
—>
длину вектора ЕС.
62
С—33
1. Угол между векторами а и Ъ
равен 90°, а углы между векто-
рами а и с, Ъ и с равны 135°,
| а | = | Ъ | = 1, | с | =	Докажите,
что а + Ъ + с = 0.
2. На рисунке 30 ABCD и
ADEF — параллелограммы.
Укажите такой вектор у, что
AB + AD+CD + AF + y = AF.
С—34
1.	Выразите вектор АВ в виде алгебраической суммы сле-
дующих векторов: DA, DC, СВ.
2.	В четырехугольнике ABCD О В + OD = О А + ОС, где
О — произвольная точка плоскости. Докажите, что
ABCD — параллелограмм.
3.	В трапеции РКНМ (РМ и КН — основания) с прямым
углом Р проведена диагональ HP, Z.PHK = 30°, АРНМ =
= 90°. Найдите | КР + МК - МН |, если РМ = а.
С—35
—9 —*
1. Даны четыре точки Е, К, F, О такие, что ОЕ = — ОК -
2 —
--OF. Докажите, что точки Е, К, F лежат на одной
прямой.
2. Точка Т лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD,
а точка Е — на его диагонали BD, причем BE : ED =
= 2 : 1 и ВТ = ТС. Выразите вектор ЕТ через векторы а
и р, где a =DA и р — DC.
С—36
1. ABCD — произвольный четырехугольник, Е и F — се-
редины соответственно сторон АВ и CD. Докажите, что
середины отрезков ЕС, BF, AF, ED служат вершинами
параллелограмма или лежат на одной прямой.
2. Используя векторы, докажите, что диагонали паралле-
лограмма пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам.
63
С—37
1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с
основанием угол в 45°. Высота трапеции равна 8 см.
Найдите среднюю линию трапеции.
2. Докажите, что если трапецию можно разделить одной
прямой на ромб и равносторонний треугольник, то сред-
3 А
няя линия трапеции составляет — большего основания.
С—38
1. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендику-
лярна стороне ВС. На стороне ВС выбрана точка Е. От-
резки АЕ и BD пересекаются в точке О, причем
ВО : OD = 2:3, ВС = 9 см и АЕ = 20 см. С помощью
микрокалькулятора вычислите AAOD.
2. В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС соответствен-
но отмечены точки Н и Р так, что PC = 8 см, АН PC =
= ААВС. Площади треугольников РНС и АВС относятся
4
как 4 : 25, cos С = —. Найдите высоту BE треугольни-
ка АВС.
С—39
1. Из точки А к окружности диаметром ВС проведена ка-
сательная АС. Отрезок АВ пересекается с окружностью
в точке .D, AD = 2 см, BD = 6 см. Найдите градусную
меру дуги окружности, заключенной внутри треуголь-
ника АВС.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол А прямой.
Диагональ BD образует со сторонами ВС, CD, AD уг-
лы 90°, 45°, 30° соответственно. Могут ли биссектрисы
углов данного четырехугольника пересекаться в одной
точке?
ВАРИАНТ 7
С—1
1. Может ли многоугольник иметь 25 диагоналей?
2. Сколько углов с градусной мерой меньше 10° может
быть в выпуклом многоугольнике?
С—2
1. В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС взя-
ты точки К и Е соответственно так, что АКВЕ = 90° и
отрезок ЕК проходит через точку О пересечения диа-
гоналей. Докажите, что ВО = ОЕ.
2. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены
точки D и Е соответственно, а внутри треугольника —
точка М так, что четырехугольник DC ЕМ является па-
раллелограммом и DE || АВ. Прямая DM пересекает от-
резок АВ в точке JC, а прямая ЕМ — в точке Н. Дока-
жите, что АК = НВ.
С—3
1. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольни-
ка ABCD отмечены точки К и М соответственно.
Отрезок АК пересекает диагональ BD в точке Р,
а отрезок СМ — в точке Е. Известно, что АК || СМ,
РК = ЕМ,	BP = ED. КС = AM. Докажите, что
ABAD = ABCD.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересе-
каются в точке О, ВО = OD, АО < ОС. Докажите, что
ABAD > ABCD.
С—4
1. Докажите, что сумма боковых сторон любой трапеции
больше разности ее большего и меньшего оснований.
2. Найдите связь между сторонами трапеции, если извест-
но, что внутри трапеции существует точка, равноуда-
ленная от прямых, содержащих ее стороны.
С—5
1. Постройте параллелограмм по стороне, диагонали и уг-
лу, противолежащему этой диагонали.
2. Постройте трапецию по двум диагоналям, углу между
ними и одной из боковых сторон.
3 Зив. 8 кл.
65
С—6
1. На диагонали АС прямоугольника ABCD взята точ-
ка Е. Известно, что Z.EDC = Z.CAD = 15°. Докажите, что
BE < 5ED.
2. Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На отрез-
ке АС как на диаметре построена окружность, которая
пересекает луч DB в точке £, лежащей вне параллело-
грамма; ЛВАЕ + Z.BCE = 60°. Найдите расстояние меж-
ду прямыми ВС и AD, если АВ = 10 см.
С—7
1. Два равных ромба имеют общую точку пересечения диа-
гоналей, причем меньшие диагонали этих ромбов взаим-
но перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходя-
щая через точку пересечения диагоналей и середину сто-
роны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
2. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС
построены квадраты AM КС и CFPB. Докажите, что сум-
ма расстояний от точек М и Р до прямой АВ равна АВ.
С—8
1. Постройте прямоугольник по диагонали и периметру.
2. Постройте квадрат по разности диагонали и стороны.
С—9
1. Докажите, что медиана любого треугольника делит этот
треугольник на треугольники с равными площадями.
2. В трапеции ABCD Z.A = 45°, ZC = 100°. Диагональ BD со-
ставляет с боковой стороной CD угол в 35°. На сторо-
не АВ построен параллелограмм АВР К так, что точка D
принадлежит отрезку ВР и BD : DP = 2:1. Найдите пло-
щадь параллелограмма, если его периметр равен 30 см.
С—10
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с.
От вершины меньшего острого угла на катете отложен
отрезок длиной а, из конца которого к гипотенузе про-
веден перпендикуляр длиной Ъ. Найдите меньший катет
исходного треугольника.
2. В параллелограмме ABCD угол А тупой. На стороне ВС
взята точка М, а через вершину D проведена прямая,
параллельная AM и пересекающая луч МС в точке К.
Точка Е принадлежит отрезку AM. На прямой ЕМ от-
мечена точка Р так, что DE || КР. Сравните площади
невыпуклых пятиугольников ABMED и DKPMC.
66
С—11
1. В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и
пересекаются под углом 30° друг к другу. Найдите пло-
щадь этого четырехугольника.
2. Точка Е — середина стороны АВ треугольника АВС, а
точки М и Н делят сторону ВС на три равные части,
ВМ = МН = НС. Найдите площадь треугольника ЕМН,
если площадь треугольника АВС равна S.
С—12
1. В трапеции ABCD AD — большее основание. Прямые,
проходящие через середины сторон АВ, ВС, DC перпен-
дикулярно к этим сторонам, пересекаются в точке О;
Z.BCD = 150°, АВ = а, ВС = b, AD = с. Найдите площадь
трапеции.
2. В трапеции МНРК основания МК и HP относятся как
3:1. На отрезке МК отмечены точки А и В так, что
МА = АВ = КВ. Отрезки НВ и АР пересекаются в точ-
ке О. Найдите площадь трапеции, если площадь тре-
угольника НОР равна 5 см2.
С—13
1. В остроугольном треугольнике АВС ВН — высота.
Докажите, что ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АС • АН.
2. Дан треугольник со сторонами а, Ь, с. Определите вид
треугольника, если с2 > а2 + Ъ2.
С—14
1. В трапеции МРКЕ точка А принадлежит большему
основанию ME, AM = МР = а, АЕ = ЕК. Найдите пло-
щадь трапеции, если ее диагонали проходят через точку
пересечения медиан треугольника РАК.
2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если
его высота, проведенная к основанию, и отрезок, соеди-
няющий середины основания и боковой стороны, равны
по 12 см.
С—15
1. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D.
Докажите, что если	то ZABD > ZDBC.
2. В треугольнике АВС АВ = 8 см, ВС = 9 см, АС = 2 см.
На сколько нужно продолжить сторону АС до пересече-
ния с биссектрисой внешнего угла при вершине В?
67
С—16
Отрезок ВК (К принадлежит стороне АС) разбивает тре-
угольник АВС на два подобных треугольника АВК и КВС,
причем	Найдите углы треугольника.
^вкс 3
С—17
1. В треугольнике АВС угол А в два раза больше угла В,
ВС - а, АС = Ь, АВ = с. Докажите, что а* 1 2 = Ъс + Ъ2.
2. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны
соответственно точки D и Е. CD и АЕ пересекаются в
точке О, SADO = SCEO = 8, SDOE = 4. Найдите площадь
треугольника АВС.
С—18
1. Внутри треугольника АВС взята точка D и соединена с
его вершинами А и В. На стороне ВС вне его построен
треугольник ВСЕ так, что ZEBC = ZABD и ZECB =
= ZBAD. Докажите, что £\DBE °° А АВС.
2. В треугольнике АВС ВС = а, АС = Ъ, АВ = с. Докажите,
что если а2 = Ъс + &2, то ZA = 2ZB.
С—19
1. В параллелограмме ABCD ZA острый, СЕ ± АВ, ВС =
= 2АВ, М — середина AD. Докажите, что ZEMD =
= 3ZABM.
2. В треугольнике АВС медианы АЕ и CD пересекаются в
точке О; АЕ = 9, CD = 12, АС = 10. Найдите площадь
треугольника АВС.
С—20
1. В трапеции ABCD AC ± BD, СЕ 1 АВ, АС =15 см,
АЕ = 9 см. Найдите площадь трапеции.
2. В треугольнике АВС СМ — биссектриса внешнего уг-
ла С, ВМ ± СМ. Угол В в два раза меньше этого внеш-
него угла, BF ± AM, AF : FM = 3:1. Найдите угол
ВАМ.
68
С—21
1. Постройте прямоугольный треугольник по отношению
катетов как 2 : 3 и по его периметру.
2. Постройте треугольник АВС по двум острым углам А и
С (ZA + ZC > 90°) и расстоянию от точки пересечения
высот до вершины В.
С—22
1. Постройте угол, синус которого в два раза больше его
косинуса.
2. Вычислите sin 75°.
С—23
1. В трапеции ABCD (АС и BD — основания) ZCAD = р,
ACBD = a, BD = d. Найдите АС. Вычислите АС, если
d = 15,9, а = 27°30', р = 40°15'.
2. В равнобедренном треугольнике медиана составляет с
основанием угол а. Найдите угол при вершине треуголь-
ника, если а = 37°23'.
С—24*
1. Основание треугольника равно Ь. В этот треугольник впи-
сана трапеция, у которой три стороны равны а, а острый
угол 60°. Меньшее основание трапеции лежит на основа-
нии треугольника, а большее основание трапеции парал-
лельно основанию, и его концы лежат на двух других сто-
ронах треугольника. Найдите площадь треугольника.
2. В треугольнике ABC BD — медиана, М — произволь-
ная точка, лежащая на медиане. Прямые AM и СМ пе-
ресекают стороны треугольника соответственно в точках
Е и F. Докажите, что EF || АС.
С—25
1. Две окружности разных радиусов внешне касаются. До-
кажите, что отрезок их общей касательной, заключен-
ный между точками касания, есть среднее пропорцио-
нальное между диаметрами этих окружностей.
2. Через концы диаметра АВ окружности проведены две
касательные к ней. Третья касательная пересекает пер-
вые две в точках С и D. Докажите, что квадрат радиуса
этой окружности равен произведению отрезков С А и DB.
69
С—26
1. Через точку пересечения окружности с биссектрисой
вписанного угла проведена хорда, параллельная одной
стороне угла. Докажите, что эта хорда равна другой сто-
роне вписанного угла.
2. Через точку К окружности с центром О проведены хор-
да КА и касательная ВС (В—К—С). Прямая, проведенная
через центр О перпендикулярно радиусу О А, пересекает
АК в точке М и ВС — в точке N. Докажите, что
NK = NM.
С—27
1. QP — диаметр окружности с центром в точке О. На диа-
метре QP между точками О и Р выбрана точка Ог и с
центром в этой точке радиусом ОХР проведена окруж-
ность. Прямая, проходящая через центр О1 меньшей
окружности, пересекает большую окружность в точ-
ках А и D, а меньшую — в точках В и С. Найдите
если АВ : ВС : CD = 2:4:3.
2. Две окружности касаются внешне в точке К. Через эту
точку проведена прямая, которая, пересекаясь с окруж-
ностями, образует хорды КР и KQ. Из точек Р и Q про-
ведены к окружностям касательные РТ\ и QT2, где и
Т2 — точки касания. Докажите, что PT* 1 2 +QT2 = PQ2.
С—28*
1. Даны два круга одного и того же радиуса г. Расстояние
между их центрами равно d. Вычислите площадь четы-
рехугольника, образованного касательными, проведен-
ными к каждому кругу из центра другого.
2. Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружно-
сти, причем АС — биссектриса угла DAB. Докажите,
что АС • BD = AD • DC + АВ • ВС.
С—29
1. Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь-
ник, в котором расстояние между точками пересечения
медиан и биссектрис равно данному отрезку тп.
2. Основание АС равнобедренного треугольника АВС рав-
но 6, а боковая сторона равна 5. Найдите расстояние
между точками пересечения медиан и высот этого тре-
угольника.
70
С—30
1. В треугольник со сторонами 20, 20, 24 вписана окруж-
ность. Другая окружность касается основания, боковой
стороны и данной окружности. Найдите радиус этой
окружности.
2. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает осно-
вание ВС (или его продолжение) в точке Е. В тре-
угольник АВЕ вписана окружность, касающаяся сторо-
ны АВ в точке М и стороны BE — в точке Р. Найдите
угол BAD, если известно, что ВМ = МР.
С—31
1. Докажите, что точки, симметричные точке пересечения
высот треугольника АВС относительно его сторон, ле-
жат на окружности, описанной около этого треуголь-
ника.
2. Вокруг треугольника АВС описана окружность, радиус
которой равен R-, АС = а, ВС = Ъ. Точка D лежит на сто-
роне АС, ААВС = /-BDC. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника BDC.
С—32
1. На рисунке 31 ABCD и
EFCD — параллелограммы.
Сколько существует различ-
ных векторов с началом и с
концом в вершинах данных
параллелограммов?
2. Точка М лежит внутри тре-
угольника АВС. От этой точ-
ки отложены векторы MF,
>
ME, MD соответственно рав-
ные векторам АВ, АС, ВС.
Докажите, что MFED — па-
раллелограмм .
С—33
1. Даны два параллелограмма ABCD и AJBCyD. Докажи-
те, что ААг = СгС.
2. В треугольнике АВС М — точка пересечения медиан.
Докажите, что МА +МВ + МС =0.
71
С—34
1. В треугольнике АВС О — точка пересечения его меди-
-------------------------> ->• -->
ан. Постройте вектор О А + О В - ОС и найдите его дли-
ну, если медиана ССг равна т.
2. В треугольнике АВС М и N соответственно середины
сторон АВ и АС, О — произвольная точка, Мг — точка,
симметричная точке М относительно центра О, а —
точка, симметричная точке N относительно того же
центра. Используя векторы, докажите, что MxNr || ВС и
что = |вс.
С—35
1. На сторонах ВС, С А, АВ треугольника АВС отмечены
----------------------------------------------> --->
соответственно точки В1? Сг такие, что АСХ — kAB,
BA1=kBC, CB1=kCA. Найдите сумму векторов ААг,
вв[, СС^.
2. В шестиугольнике ABCDEF АВ || DE || CF, ВС || EF || AD,
CD || FA. Используя векторы, докажите, что BE || AF.
С—36
1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точ-
ке О. Точка К лежит на стороне ВС, а точка Е — на сто-
роне AD, причем ВК : КС = DE : АЕ = 1 : 2. Используя
векторы, докажите, что точка О — середина КЕ.
2. Используя векторы, докажите, что в любом треуголь-
нике медианы пересекаются в одной точке, которая
делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от
вершины.
С—37
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) К — точка
пересечения биссектрис внешних углов А и В трапе-
ции, a L — точка пересечения биссектрис внешних уг-
лов D и С. Вычислите периметр трапеции ABCD, если
KL = 25 см.
2. В прямоугольной трапеции ABCD (АС = AD = 90°)
ВС : CD =1:2. Диагонали трапеции взаимно перпенди-
кулярны. Средняя линия трапеции равна 10 см. Найди-
те основания трапеции.
72
С—38
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) /АВС —
= ZACD, ВС = 2 см, AD = 8 см, ZCAD = 40°. Используя
микрокалькулятор, найдите площадь трапеции.
2. В параллелограмме ABCD угол А острый. Из верши-
ны А проведены высоты параллелограмма AM и АН
к сторонам ВС и CD соответственно, МН : АС = 3:4.
Найдите отношение площадей треугольников МАИ
и АВС.
С—39
Два круга, касающиеся друг друга, вписаны в полукруг.
Найдите отношение радиусов этих кругов, если радиус од-
ного из них в три раза меньше радиуса полукруга, а точки
касания с диаметром полукруга лежат по разные стороны
от его центра.

ВАРИАНТ 8
С—1
1. Существует ли многоугольник с 27 диагоналями?
2. В выпуклом многоугольнике имеется 5 углов с градус-
ной мерой 140° каждый, остальные углы острые. Най-
дите число сторон этого многоугольника.
С—2
1. В параллелограмме ABCD через точку О пересечения
диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны
ВС и AD в точках К и Е соответственно, ВО = ОЕ. Най-
дите угол К BE.
2. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты
точки М и К соответственно, МК || BD. Прямая МК пе-
ресекает луч СВ в точке £, а луч CD — в точке Р. Дока-
жите, что ЕМ = КР.
С—3
1. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольни-
ка ABCD отмечены точки К и Р соответственно. Диа-
гональ BD пересекает отрезок PC в точке £, а отрезок
АК — в точке Т. Известно, что КС = АР, АТ = ЕС,
ТК = ЕР. Докажите, что Л АВС = Z.ADC.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересе-
каются в точке О, ВО = OD, /.BAD > Z.BCD. Докажите,
что АО < ОС.
С—4
1. Докажите, что сумма диагоналей любой трапеции боль-
ше суммы ее оснований.
2. Найдите связь между противоположными углами трапе-
ции, если известно, что внутри нее существует точка,
равноудаленная от вершин трапеции.
С—5
1. Постройте параллелограмм по стороне, диагонали и
углу, который эта диагональ составляет с другой сто-
роной.
2. Постройте трапецию по четырем сторонам.
75
С—6
1. На отрезках МН и МК в прямоугольнике МРКН взяты
точки Е и Т соответственно, АКЕН = 30°, ЕТ ± МК,
ККМН = 15°. Докажите, что РТ > 0,492СН.
2. Дан параллелограмм МРКН с тупым углом Р. На диаго-
нали PH как на диаметре построена окружность, пере-
секающая отрезок МК в точке А; АКРА + АКНА =
= 45°, КВ — перпендикуляр, проведенный к пря-
мой НМ. Найдите НВ, если КВ = 10 см.
С—7
1. Два равных ромба ABCD и AB1C1D1 имеют общую вер-
шину острого угла, причем АСАСг = 90°, а лучи BD и
D1Bl пересекаются в точке Е; О — точка пересечения
диагоналей ромба ABCD, OP — биссектриса треуголь-
ника ВОС. Докажите, что РА = РЕ.
2. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС
построены квадраты АКМС и СРЕВ. Прямые КМ и РЕ
пересекаются в точке Т. Докажите, что ТС ± АВ.
С—8
1. Постройте ромб по стороне и разности диагоналей.
2. Постройте квадрат по сумме диагонали и стороны.
С—9
1. В остроугольном треугольнике АВС проведена высота BD.
Точка DTсимметрична точке D относительно точки В. Най-
дите отношение площадей треугольников ADrC и АВС.
2. В трапеции МРКО AM = 45° и АК = 135°. На сторо-
не МР построен параллелограмм MPDT так, что его
сторона параллельна прямой КО и пересекает сторо-
ну МО в точке А, причем РА : AD =1:3. Площадь па-
раллелограмма равна 36 см* 1 2. Найдите его периметр.
С—10
1. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны а и
Ъ (а > Ь). Меньшее основание равно с. Найдите расстоя-
ние от вершины прямого угла меньшего основания до
прямой, содержащей большую боковую сторону.
2. В параллелограмме ABCD угол А тупой. Вне параллело-
грамма на луче ВС отмечены точки М и К, а на лу-
че DC — точки Е и Р, причем AM || DK, ЕА || ВР.
Докажите, что площади невыпуклых пятиугольников
АВРСМ и ADKCE равны.
76
С—11
1. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена
от прямой, содержащей одну из сторон, на 1,5 см. Пери-
метр треугольника равен 16 см. Найдите его площадь.
2. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены
точки М, К, Р соответственно так, что AM : МВ =
= ВК : КС = PC : АР = 2:1. Площадь треугольника АВС
равна S. Найдите площадь четырехугольника МВКР.
С—12
1. В трапеции МРКН МН || РК. Биссектрисы углов М, К,
Н, Р пересекаются в точке О. Расстояние от точки О до
прямой РК равно а, РМ — Ъ, КН = с. Найдите площадь
трапеции.
2. В трапеции ABCD AD — большее основание. Диаго-
нали пересекаются в точке О. Площади треугольни-
ков ВОС и AOD равны 5 см2 и 20 см2 соответственно.
Найдите площадь трапеции.
С—13
1. В треугольнике НРК АН тупой, РЕ — высота треуголь-
ника. Докажите, что РК2 = HP2 + НК2 + 2НЕ • НК.
2. В треугольнике со сторонами а, Ъ, с с — большая сто-
рона. Определите вид треугольника, если с2 < а2 + Ъ2.
С—14
1. В трапеции ABCD М— середина большего основания AD,
АВ = ВС = CD = а. Точка пересечения диагоналей тра-
пеции совпадает с точкой пересечения высот треуголь-
ника ВМС. Найдите площадь трапеции.
2. Диагональ параллелограмма составляет со сторонами
углы в 90° и в 15°. Найдите площадь параллелограмма,
если его большая сторона равна 12 см.
С—15
1. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. До-
кажите, что если AABD > ADBC, то	.
DC ВС
2. Стороны треугольника АВС (АВ меньший из углов тре-
угольника) равны 16 см, 20 см, 24 см. Найдите расстоя-
ние между точками пересечения биссектрисы угла В и
биссектрисы внешнего угла при вершине В с меньшей
стороной треугольника и ее продолжением.
77
С—16
Отрезок FP разбивает треугольник EFM на два подобных
треугольника EFP и PFM, причем /PFM = 60°. Площадь
треугольника PFM равна 30 см2. Найдите площадь тре-
угольника EFM,
С—17
1. Катеты прямоугольного треугольника АСВ (/С = 90°)
ВС = а, АС = b, Е е АВ, причем АЕ : ЕВ = 1:2. Дока-
J4b2 + а2
жите, что СЕ = ------.
о
2. В треугольнике АВС точки D и Е лежат соответственно
на сторонах АВ и ВС; АЕ и CD пересекаются в точке О,
SADC = SAEC’ SDOE = 2’ s аос = 8- Найдите площадь тре-
угольника АВС.
С—18
1. В — середина отрезка АС. Точки D и Е находятся по од-
ну сторону от прямой АС, причем /ADB = /ЕВС и
/DAB = /.ВСЕ. Докажите, что /BDE = /ADB.
2. ABCD — параллелограмм. На сторонах АВ, ВС, CD,
DA отмечены соответственно точки М, К, Т, Р, причем
AM АР	1	Л/ГЛГГ	тт	Т7	П
—— = —— =	-.	МТ	и КР	пересекаются	в точке Е.	В ка-
ст Сл	2
ком отношении эта точка делит отрезок МТ1
С—19
1. ABCD — ромб. Сторона ромба равна а, АЕ и DF — бис-
сектрисы внешних углов А и D, BE ± АЕ и CF ± DF.
Докажите, что EF = 2а.
2. Площадь треугольника АВС равна 12 см2. Медианы АЕ
и CD пересекаются в точке О, /АОС = 150°, АЕ = 3 см.
Найдите CD.
С—20
AC
1. В трапеции ABCD AC ± BD,	Высота трапеции
равна 2^6 см. Найдите площадь трапеции.
2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О,
OK ± AD, &abcd _ 16 ца£дИте уГЛЫ ромба.
&OKD 1
78
С—21
1. Постройте равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС)
по отношению высоты BD к боковой стороне как 1 : 4 и
по его периметру.
2. Постройте треугольник АВС по данному углу В, отно-
шению АВ : ВС = 1 : 2 и по расстоянию от точки пере-
сечения биссектрис до вершины В.
С—22
1. Постройте угол, косинус которого в три раза меньше его
синуса.
2. Вычислите sin 15°.
С—23
1. В трапеции ABCD ZA + ZZ) = 90°, AD = 2ВС, Е g AD,
причем	BE — a, ZA = а. Найдите площадь тра-
ED 3
пеции. Вычислите площадь, если а = 17,3, a = 40°23'.
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине та-
ков, что его косинус равен т. Найдите тангенс угла
между высотой, опущенной на боковую сторону, и осно-
ванием.
С—24*
1. В треугольник АВС вписана прямоугольная трапе-
ция FDEM (/.DFM = 90°), у которой большее осно-
вание DE параллельно AC, D g АВ, Е g ВС, а мень-
шее основание FM лежит на АС. Меньшее основа-
ние а, высота трапеции —т—, а большая диагональ
£
делит острый угол пополам. Найдите площадь тре-
угольника, если высота треугольника, опущенная из
вершины В, равна h.
2. В остроугольном треугольнике основание делится вы-
сотой на части, равные а и Ъ. Найдите эту высоту,
если ее часть от основания до точки пересечения высот
равна т.
79
С—25
1. Две окружности разных диаметров внешне касаются.
К ним проведены две общие касательные АС и BD, где
А и В — точки касания с первой окружностью, а С и
D — со второй. Докажите, что ACDB — равнобедренная
трапеция.
2. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Окруж-
ность радиуса г и с центром в точке Ох внутренне касает-
ся первой окружности в точке В. Через конец А диамет-
ра большей окружности проведены две хорды, которые
касаются меньшей окружности. Угол между хордами ра-
вен 60°. Найдите длины этих хорд.
С—26
1. Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции
ABCD (AD и ВС — основания) и касается стороны АВ в
точке В. Докажите, что BD = у/ВС • AD.
2. Вершины четырехугольника ABCD принадлежат окруж-
ности с центром в точке О, ^АВ + <jCD = 180°. Диагона-
ли АС и BD пересекаются в точке Е. Вершины треуголь-
ника AED принадлежат окружности с центром в точке
О1? ОХЕ = 8 см. Найдите AD.
С—27
1. На диаметре CD окружности выбрана точка Е. Через
эту точку проведена хорда АВ, АЕ = 4, BE = 3, AD =
= 6,5, ZABC = 60°. Найдите СЕ и ED.
2. В треугольнике АВС угол В тупой. Постройте на основа-
нии АС точку D, такую, что АВ* 1 2 = AD • АС.
С—28*
1. Вершины квадрата ABCD лежат на окружности с цент-
ром в точке О. Квадрат EMPF расположен так, что сто-
рона EF лежит на стороне ВС данного квадрата, а вер-
шины М и Р лежат на окружности. Найдите сторону
квадрата EMPF, если сторона квадрата ABCD равна а.
2. Две окружности касаются внутренним образом в точ-
ке М. Пусть АВ — хорда большей окружности, которая
касается меньшей в точке Т. Докажите, что МТ — бис-
сектриса угла AM В.
80
С—29
1. Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь-
ник, в котором расстояние между точками пересечения
высот и биссектрис равно данному отрезку р.
2. Основание АС равнобедренного треугольника равно 6, а
боковая сторона равна 5. Найдите расстояние между
точками пересечения медиан и биссектрис этого тре-
угольника.
С—30
1. В равнобедренную трапецию, основания которой равны
2 см и 8 см, вписана окружность. Другая окружность
касается большего основания, боковой стороны и дан-
ной окружности. Найдите радиус этой окружности.
2. В ромб ABCD со стороной, равной 4 см, и углом BAD,
равным 60°, вписана окружность. К ней проведена каса-
тельная, пересекающая АВ в точке М и AD — в точ-
ке Р. Найдите МВ и PD, если МР = 2 см.
С—31
1. Пусть АА1, ВВг, ССг — высоты треугольника АВС.
Докажите, что биссектрисы треугольника	лежат
на этих высотах.
2. В окружность вписан треугольник АВС, АС = Ь, АВ = с.
К окружности в точке А проведена касательная. Пря-
мая СВ пересекает эту касательную в точке М
(С—В—М). Радиус окружности, описанной около тре-
угольника АМС, равен R. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника AM В.
С—32
1. На рисунке 32 ABCD и
FADE — параллелограммы.
Сколько существует различ-
ных векторов с началом и с
концом в вершинах данных
параллелограммов?
2. АВС — правильный треуголь-
ник. Точка М лежит вне тре-
угольника. От точки М отло-
жены векторы МК, ML, МР,
Рис. 32
соответственно равные
векторам АВ, АС, ВС. Докажите, что ML ± КР.
81
С—33
1. Даны два треугольника АВС и АВ1С1, имеющие общую
-------------------------------> --->
медиану ААг. Докажите, что СВХ — СгВ.
2. ABCD — параллелограмм. О — точка пересечения его
диагоналей. Докажите, что РА + РВ + PC + PD = 4РО,
где Р — любая точка плоскости.
С—34
1. О — точка пересечения медиан треугольника АВС.
—>	—>	—>
Постройте вектор О А — ОВ — ОС и найдите его длину,
если медиана ААг равна т.
2. Дан треугольник АВС. О — произвольная точка, А1? В1?
С\ — точки, симметричные соответственно точкам А, В,
С относительно точки О. Используя векторы, докажите,
что А АВС = A AjBjCj и что стороны их соответственно
параллельны.
С—35
1. На сторонах АВ, ВС, CD, DE параллелограмма ABCD
даны точки Р, Е, F, М так, что АР = kAB, BE = kBC,
CF = kCD, DM = kDA. Докажите, что PEFM — паралле-
лограмм.
2. В окружности с центром О проведены две перпендику-
лярные хорды АВ и CD. Хорды или их продолжения
пересекаются в точке М. Докажите, что
ОМ = |(ОА +ОВ +OC+OD).
С—36
1. Два параллелограмма ABCD и AB1C1D1 имеют общую
вершину А. Докажите, что ССг ВВг + DDX.
2. Точка Аг лежит на стороне ВС, а точка Вг — на сторо-
не АС треугольника АВС; О — точка пересечения от-
резков ААг и ВВ19 причем АО : ОАг = ВО : ОВг = 2:1.
Используя векторы, докажите, что ААг и ВВ1 — медиа-
ны треугольника АВС.
82
С—37
1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD \\ ВС) диагона-
ли взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна
12 см. Расстояние от вершины А до прямой CD в три ра-
за больше, чем расстояние от вершины В до этой пря-
мой. Найдите основания трапеции.
2. В трапеции ABCD угол при вершине А прямой, а угол
при вершине D равен 30°. Окружность, центр которой
лежит на стороне AD, касается прямых АВ, ВС, CD.
Найдите радиус окружности, если средняя линия трапе-
ции равна 6 - ^3.
С—38
1.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) /.АВС =
= ZACD, ВС = 2 см, AD = 8 см, ACAD = 40°. Используя
микрокалькулятор, найдите площадь трапеции.
2.	В параллелограмме ABCD угол А острый, ВМ и ВН —
высоты параллелограмма, проведенные к сторонам AD
и DC соответственно, МН : BD = 2:3. Найдите отноше-
ние площадей треугольников МВН и BDC.
С—39
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на сторо-
не АС выбрана точка D, причем AD = a, DC = Ъ. В тре-
угольники ABD и DBC вписаны окружности. Первая
окружность касается BD в точке Е, а вторая — в точке F.
Найдите расстояние между Е и F.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
К—1
1°. В трапеции ABCD точ-
ка Е — середина большего
основания AD, ED = ВС, ZB =
= 120°. Найдите углы АЕС и
ВСЕ.
2°. Постройте ромб по его
диагонали и стороне.
3.	В прямоугольнике ABCD
точка О является центром
симметрии, а точки Р и К —
середины сторон АВ и ВС со-
ответственно.
а)	Определите вид выпук-
лого четырехугольника ОРВК.
б)	Докажите, что РК = OD.
4*. Найдите сумму углов,
отмеченных на рисунке 33.
Вариант 1
Рис. 33
К—1	Вариант 2
1°. Дан четырехугольник ABCD, в котором диагона-
ли имеют общую середину. На продолжении стороны AD
за вершину D взята точка Е, DC = ЕС. Докажите, что
четырехугольник АВСЕ является равнобедренной трапе-
цией.
2°. Постройте прямоугольник по стороне и углу, кото-
рый эта сторона образует с диагональю.
3. В ромбе ABCD точка О является центром симмет-
рии, а точки Р и К принадлежат сторонам АВ и ВС соот-
ветственно так, что ОР || ВС, ОК || АВ.
а)	Определите вид выпуклого четырехугольника ОРВК.
б)	Найдите угол ВС А, если угол ВРК равен 40°.
4*. Может ли выпуклый шестиугольник иметь четыре
острых угла?
85

К—1
Вариант 3
1°. В четырехугольнике ABCD АВ = CD, ВС = AD,
АА — 30°. На стороне ВС взята точка Е так, что ACDE =
= 60°. Докажите, что четырех-
угольник ABED является пря-
моугольной трапецией.
2°. Постройте квадрат по его
периметру.
3. На сторонах АВ, ВС, СВ,
AD ромба ABCD взяты точки В,
К, Н, М соответственно. Каж-
дая из прямых РМ, КН, РК
параллельна одной из осей сим-
метрии ромба. Диагональ АС пе-
ресекает отрезок РМ в точке Е,
а отрезок КН — в точке Т.
а)	Докажите, что диагонали
четырехугольника ЕР КТ равны.
б)	Определите вид выпукло-
го четырехугольника МРКН.
4*. Чему равна сумма углов,
отмеченных на рисунке 34?
К—1	Вариант 4
1°. В трапеции ABCD на большем основании AD взята
точка Е. Известно, что ААВС = 130°, /.ВСЕ = 50°. Докажи-
те, что отрезки АС и BE имеют общую середину.
2°. Постройте ромб по диагонали и углу между сторо-
ной и этой диагональю.
3. Ось симметрии прямоугольника ABCD пересекает
его стороны ВС и AD в точках М и К соответственно. На
стороне АВ взята точка В, на стороне CD — точка Т, при-
чем РМ || КТ, РМ = РК.
а)	Определите вид выпуклого четырехугольника РМТК.
б)	Докажите, что расстояние от точки пересечения диа-
гоналей четырехугольника РМТК до точки С равно РК.
4*	. В некотором выпуклом n-угольнике сумма п - 1
углов равна 359°. Найдите п.
87

К—2
Вариант 1
1°. На стороне AD параллело-
грамма ABCD взята точка Е так, что
АЕ = 4 см, ED = 5 см, BE = 12 см,
BD = 13 см. Докажите, что тре-
угольник BED прямоугольный, и /	\
найдите площадь параллелограмма.
В
2°. В остроугольном треуголь- \	/
нике АВС проведены высоты АК \	/
и СЕ, СЕ = 12 см, BE = 9 см, АК =	\	/
- 10 см. Найдите площадь треуголь- \	/
ника АВС.
3.	В равнобедренной трапе-	Е
ции ABCD AD || ВС, Z.A = 30°, высо-	рИс. 35
.та ВК равна 1 см, ВС = 2^3 см.
а)	Найдите площадь трапеции.
б)	Найдите площадь треугольника KMD, если М — се-
редина отрезка BD.
4*. На рисунке 35 площади четырехугольников ABDE
и ACDE равны. Докажите, что ВС || AD.
К—2	Вариант 2
1°. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, ZA = 90°,
ВС = 4 см, CD = 10 см. Высота СК равна 8 см. Найдите
площадь трапеции.
2°. В остроугольном треугольнике ABC ZA = 45°, ВС =
= 13 см. На стороне АС взята точка D так, что DC = 5 см,
ВВ = 12 см. Докажите, что треугольник BDC прямоуголь-
ный, и найдите площадь треугольника АВС.
3. В параллелограмме ABCD ZA = 60°, диагональ BD
перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая
через середину отрезка BD — точку М параллельно AD,
пересекает сторону АВ в точке К,
МК = 4 см.
а)	Найдите площадь параллело-
грамма ABCD.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника AMD.	/
4*. На рисунке 36 ВС || KD. До-
кажите, что площадь четырехуголь-	D
ника AKCD равна площади тре-	Рис. 36
угольника ABD.
89

К—2
Вариант 3
1°. В трапеции ABCD AD — большее основание, СК —
высота, АВ = 5 см. На отрезке АК взята точка Е так, что
АЕ = 3 см, ЕК = 6 см, KD = 1 см, BE = 4 см. Определите
вид треугольника АВЕ и найдите площадь трапеции.
2°. В треугольнике АВС угол А тупой, ВК и CD — вы-
соты, ВК = 12 см, АК = 9 см, CD = 10 см. Найдите пло-
щадь треугольника АВС.
3.	В ромбе ABCD АС = 10 дм,
BD = 24 дм. Высота АК проведе-
на к стороне ВС.
а)	Найдите АК.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника АОМ, если О — точка пере-
сечения диагоналей ромба, М —
середина стороны АВ.
4*. На рисунке 37 площади
четырехугольников АВСР и DTBC
равны. Докажите, что ТР || AD.
К—2
Вариант 4
1°. В параллелограмме ABCD ВК и ВТ — высоты. Точ-
ки К и Т принадлежат сторонам AD и DC, ВК = 10 см, ВТ =
= 9 см, ТС = 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
2°. В треугольнике ABC ZA = 45°, угол С тупой, ВС =
= 17 см. На продолжении стороны АС за точку С взята точ-
ка D так, что CD = 8 см, BD =15 см. Докажите, что тре-
угольник BCD прямоугольный, и найдите площадь тре-
угольника ABD.
Рис. 38
3.	В трапеции ABCD Z.A = 90°, боковая сторона CD пер-
пендикулярна диагонали AC, CD = 3 см, AD = 5 см.
а)	Найдите площадь трапеции.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника AMD, если М — середи-
на CD.
4*. На рисунке 38 площа-
ди невыпуклых пятиугольни-
ков ABOCD и АО DC В равны. До-
кажите, что АВ || DC.
91

К—3	Вариант 1
1°. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны
имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пере-
секаются в точке О, ОС = 5 см, ОВ = 6 см, О А =15 см,
OD = 18 см.
а)	Докажите, что четырехугольник ABCD является
трапецией.
б)	Найдите отношение площадей треугольников AOD
и ВОС.
2.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точ-
ки К и М соответственно, причем ЛКМС + ЛА = 180°.
ч	КМ ВК
а)	Докажите, что = ——.
АС ВС
б)	Найдите отношение АВ : ВМ, если площадь четы-
рехугольника АКМС относится к площади треугольни-
ка ВКМ как 8:1.
3*. В трапеции ABCD на меньшем основании ВС и на
боковой стороне CD взяты точки Е и К соответственно, а на
отрезке АЕ отмечена точка О. Найдите отношение
если КС = 2 см, КD = 3 см, ОК || AD, ЛОВА = ЛОВЕ.
К—3	Вариант 2
1°. Через точку М стороны АВ треугольника АВС про-
ведена прямая, перпендикулярная высоте BD и пересекаю-
щая сторону ВС в точке Р; ВМ = 5 см, ВР = 8 см, ВС =
= 24 см.
а) Найдите АВ.
б) Найдите отношение площадей треугольников МРВ
и АВС.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD
т>	BD* 2 л „
делит угол В пополам, = АВ.
ВС
а) Докажите, что ЛВАВ = ЛВВС.
б) Найдите отношение площадей четырехугольни-
ка ABCD и треугольника ABD. если DC = 1,5AD.
3*. На боковых сторонах АВ и CD трапеции ABCD взя-
ты точки Р и К соответственно так, что РК || А£>,
ЛРВК = ЛКВС, ВС : BD = 3 : 4. Найдите ВР : РА.
93

К—3	Вариант 3
1°. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмече-
ны точки D, Е, Р соответственно, АВ = 9 см, AD = 3 см,
АР = 6 см, DP — 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см.
а)	Докажите, что DE || АС.
б)	Найдите отношение площадей треугольников DBE
и ADP.
2.	В трапеции ABCD Z.A = 90°. Высота СЕ делит осно-
вание AD на два равных отрезка, точка О — середина от-
резка АС.
\ тт	ВО
а)	Докажите, что —— =
СР
АР'
б)	Найдите площадь треугольника ACD, если площадь
невыпуклого пятиугольника АО BCD равна S.
3*. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точ-
ки М и К соответственно так, что Z.MKB = А А. Отрезок ВО
является биссектрисой треугольника МВК, МО - 2 см,
ОК = 3 см. Найдите отношение ВС : АВ.
К—3	Вариант 4
1°. В трапеции ABCD точка О — середина меньшего
основания ВС. Прямые АО и CD пересекаются в точке Е,
AD = 6 дм, ВС — 4 дм.
ЕС
а)	Найдите отношение
б)	Найдите отношение площадей треугольников ЕОС
и AED.
2.	В выпуклом четырехугольнике ABCD AD = 2ВС,
AC = CD, О — середина AC, Z.OBC = ZOCB.
а)	Докажите, что ВС || AD.
б)	Найдите отношение площадей треугольника ВОС и
выпуклого пятиугольника АО BCD.
3*. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены
точки D и Е. Биссектриса ВК этого треугольника пересека-
ет отрезок DE в точке Т, DT = 3 дм, ТЕ = 4 дм, АК = 8 дм,
КС = 6 дм. Докажите, что ZC = Z.BDE.
95

К—4
Вариант 1
1°. На рисунке 39 ВС ± АС,
ЕС ± МВ, О — точка пересечения
медиан треугольника АВС,
МС = 30 мм, ME = 20 мм. Найдите
cos ЕМС и ОМ.
2°. Постройте отрезок, равный
2
- данного отрезка.
5
3.	В трапеции ABCD ВС || AD,
АВ ± BD, точки М и К — середины
отрезков ВС и CD соответственно,
МК = см, AD = 2ЛДо СМ.
а) Найдите /1DBC.
б) Найдите BE, если СЕ — высота треугольника BCD, а
тангенс угла ECD равен 3.
4*. Будут ли подобны внешний и внутренний прямо-
угольники рамки для картины, если ее ширина в любом
месте одинакова?
К—4
1°. На рисунке 40 АВ ± ВС,
BD ± АС, точки Е и Т — середины
отрезков BD и ВС, AD = 25 дм,
ЕТ = 8 дм. Найдите BD и tg А.
2°. Даны отрезки Р^, P2Q2,
P3Q3. Постройте отрезок АВ такой,
Вариант 2
?3®3
АВ *
что р2®2
3. В треугольнике АВС медиана BD составляет со
стороной ВС угол DBC, равный 60°. Точка пересечения
медиан удалена от прямой ВС на ^3 см.
а)	Найдите BD.
б)	Найдите АВ, если Z.ABD = 30°.
4*. Прямая, проходящая через середины противопо-
ложных сторон прямоугольника, разделяет этот прямо-
угольник на два. Может ли один из образовавшихся прямо-
угольников быть подобным данному?
4 Зин. 8 кл.
97

К—4
Вариант 3
1°. На рисунке 41 /ВС А = 90°,
О — точка пересечения медиан тре-
угольника АВС, /СОМ = 90°, ОМ =
= д/2 дм. Найдите ОС и tg О ВС.
2°. Постройте отрезок, равный
6
- данного отрезка.
5
3. В трапеции ABCD /А = 90°.
Расстояние между серединами
большего основания AD и боковой
стороны CD равно ^18 см, ВС =
Рис. 41
= 6 см.
а)	Найдите угол CAD.
б)	Найдите расстояние от точки D до прямой АС, если
тангенс угла ACD равен 2.
4*. Можно ли разрезать квадрат на два подобных не-
равных прямоугольника?
К—4
Вариант 4
1°. На рисунке 42 АС ± ВС,
CD ± МВ. Точки Е и К — сере-
дины отрезков АВ и AM, ЕК =
= 12,5 см, DM = 9 см. Найдите СМ
и sin МВС.
2°. Даны отрезки и P2Q2.
Постройте отрезок АВ так, чтобы
АВ
3. В треугольнике ABC BD —
медиана, О — точка пересечения
медиан, /BDC = 60°. Из точки О
опущен перпендикуляр ОМ к пря-
мой АС, ОМ — 2^3 дм.
а)	Найдите BD.
б)	Найдите расстояние от точки пересечения пря-
мых ОМ и АВ до вершины А, если /ABD = 30°.
4*. Можно ли разрезать прямоугольник на два подоб-
ных неравных прямоугольника?
99

К—5	Вариант 1
1°. В равностороннем треугольнике сторона равна
2^3 см. Найдите радиус вписанной в него окружности.
2°. Около остроугольного треугольника АВС описана
окружность. Точка О пересечения серединных перпендику-
ляров удалена от прямой АВ на 6 см. Найдите ЛОВА и ра-
диус окружности, если ЛАОС = 90°, ЛОВС = 15°.
3.	В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45°, и
стороной AD, равной 10^2 дм, вписана окружность.
а)	Найдите радиус окружности.
б)	Найдите с помощью микрокалькулятора сумму рас-
стояний от вершины D до точек касания окружности с пря-
мыми AD и DC.
4*. Даны окружность диаметра АВ и точка О внутри
нее. Используя только линейку без делений, опустите пер-
пендикуляр из точки О на прямую АВ.
К—5	Вариант 2
1°. В равнобедренном треугольнике АВС ЛВ = 120°. Ра-
диус окружности, описанной около треугольника, равен
2 см. Найдите сторону АВ.
2°. В треугольник АВС с прямым углом С вписана
окружность с центром О, касающаяся сторон треугольни-
ка АВ, ВС, АС в точках М, Т, Р соответственно. Расстоя-
ние от точки пересечения биссектрис треугольника АВС
до вершины С равно ^8 см. Найдите радиус окружности,
угол ТОР и угол ТМР.
3. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD, вписан-
ного в окружность радиуса 4 см, параллельны и имеют рав-
ные длины, ЛАЕВ = 60°.
а)	Найдите АВ.
б)	Какие значения может принимать угол МВС, если
М — точка окружности — равноудалена от концов отрез-
ка ВС?
4*	. Даны два отрезка PQ и ЕТ (ЕТ > PQ). Постройте че-
тырехугольник ABCD, в котором АВ = ВС = PQ, BD = ЕТ,
диагонали пересекаются в точке О и АО • ОС = ВО • OD.
101

К—5	Вариант 3
1°. В треугольнике АВС АА = 60°. Радиус окружности,
вписанной в этот треугольник, равен 1 см. Найдите рас-
стояние от точки касания окружности и прямой АС до вер-
шины А.
2°. В треугольнике АВС с тупым углом ВО — точка
пересечения серединных перпендикуляров, АС = 4^2 дм,
ААОС = 90°. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника, и ААВС.
3.	В трапецию ABCD вписана окружность с центром О
и радиуса 6 см, ACAD = 45°, AACD = 90°.
а)	Найдите сумму ВС + AD, если АВ = 10-^2 см.
б)	Найдите произведение ОС • OD.
4*. Даны окружность диаметра АВ и точка О вне ее.
Используя только линейку без делений, опустите перпен-
дикуляр из точки О на прямую АВ.
К—5	Вариант 4
1°. Радиус окружности, описанной около треугольни-
ка АВС, ^8 см, а два угла треугольника равны по 45°.
Найдите стороны треугольника АВС.
2°. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = 120°,
О — точка пересечения биссектрис. Окружность радиу-
са 2д/3 см вписана в этот треугольник и касается пря-
мых ВС и АС в точках D и Е соответственно. Найдите ВО
и ABED.
3.	Трапеция ABCD вписана в окружность, АА = 60°,
AABD = 90°, CD = 4 см.
а)	Найдите радиус окружности.
б)	Какие значения может принимать угол ВМС, если
М — произвольная точка окружности?
4*. Даны два отрезка PQ, ЕТ и угол Н. Постройте че-
тырехугольник ABCD, в котором О — точка пересечения
диагоналей, ВО = PQ, DO = ЕТ, ADOC = АН и АО - ОС =
= DO • ОВ.
103

К—6	Вариант 1
1°. Начертите параллелограмм ABCD и постройте век-
торы j СВ + CD, + (BA - ВС).
2. В треугольнике АВС Вг — середина АС, М — точка
пересечения медиан.
а)° Выразите МВХ через МА и МС.
б) Выразите СМ через СВ и С А.
в) Выразите МА} через АВ и АС, если Аг е ВС и
ВА1:А1С= 1:2.
г)* Используя векторы, покажите, что середина отрез-
ка ВВг лежит на прямой ААг, если Аг е ВС и ВАг: АгС =
= 1:2.
К—6	Вариант 2
1°. Начертите два неколлинеарных вектора а и Ъ, отло-
женных от разных точек. Постройте векторы с=^а+Ь
и а = а --Ъ.
о
2. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как
3:1. Диагонали трапеции пересекаются в точке О.
а)° Выразите АС через АВ и AD.
б) Выразите ВО через AD и АО.
в) Выразите АО через DE и DM, если точки Е и
М — середины сторон АВ и ВС соответственно.
2	1
г)* Докажите, что DE < — DA + - DC, если точка Е —
о	Z
середина стороны АВ.
105

К—6	Вариант 3
1°. Начертите треугольник АВС и постройте некто-
ры АВ ВС и i(BA - ВС).
2	5
2. В параллелограмме ABCD точка М — середина сто-
роны ВС, отрезки BD и AM пересекаются в точке О.
а)° Выразите AM через АВ и AD.
б) Выразите ВО через ВА и ВС.
—>	—>	—>•
в) Выразите OD через АР и AM, если Р — середина от-
резка CD.
2	1
г)* Докажите, что OP < - AD + - АВ, если Р — середи-
3	о
на отрезка CD.
К—6
Вариант 4
1°. Начертите два неколлинеарных вектора а и Ъ, отло-
женных от разных точек. Постройте векторы с=^-а+Ь
о
? 1С
и а =-Ь - а.
2. Основания ВС и AD трапеции ABCD относятся как
1:2, Е — середина стороны CD, О — точка пересечения
диагоналей.
а)° Выразите ОЕ через ОС и OD.
б) Выразите ВО через AD и АВ.
в) Выразите СО через АВ и AD.
г)* Используя векторы, докажите, что точка М, де-
лящая отрезок АЕ в отношении 1 : 4, считая от точки Е,
принадлежит прямой BD.
107

К—7	Вариант 1
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы А и В —
прямые, ВС = 6, AD = 8, АВ = 2^3.
а)° Найдите площадь четырехугольника ABCD.
б)° Найдите углы С и D четырехугольника ABCD.
в)° Найдите длину отрезка, соединяющего середины
сторон АВ и CD.
г)° Выясните, можно ли вписать в четырехуголь-
ник ABCD окружность.
д)° Выясните, можно ли провести окружность через
точки А, В, С, D.
е) Выясните, подобны ли треугольники АВС и ACD.
ж) Выразите вектор С А через векторы СВ и CD.
2*. Постройте отрезок, длина которого в ^5 раз больше
данного отрезка.
К—7	Вариант 2
1. В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен
120°, точки М и Н — середины сторон АВ и ВС соответст-
венно, АС =4^3.
а)° Найдите площадь треугольника АВС.
б)° Найдите расстояние между серединами отрезков AM
и НС.
в)° Докажите, что треугольники АВС и МВН подобны,
и найдите отношение их площадей.
—>•	—>	—>
г)° Выразите вектор МВ через векторы АС и НВ.
Выясните, можно ли провести окружность через
точки А, М, Н, С.
е) Найдите синус угла НМЕ, если точка Е — основание
перпендикуляра НЕ, проведенного к прямой АС.
ж) Найдите радиус окружности, вписанной в треуголь-
ник МВН.
2*. Постройте отрезок, длина которого в J12 раз больше
данного.
109

К—7	Вариант 3
1. На окружности с центром О и диаметром АВ, рав-
ным 4, взята точка М, расположенная ближе к точке А,
чем к точке В. Через точку М проведена касательная к
окружности, а через точки А и В — лучи, перпендикуляр-
ные к АВ и пересекающие касательную в точках В и С со-
ответственно, ADCB = 60°.
а)° Найдите углы ОСВ, ADC, ODC.
б)° Найдите отрезки AD и СВ.
в)° Найдите площадь четырехугольника ABCD.
г)° Найдите углы четырехугольника МОВС.
Докажите, что треугольники AOD и СОВ по-
добны.
е) Докажите, что расстояние от точки О до середины от-
резка DC равно 0,5 (MD + ВС).
ж) Выразите ОМ через OD и ОС.
2*. Постройте отрезок, длина которого в ^14 раз боль-
ше данного.
К—7	Вариант 4
1. В параллелограмме ABCD А А = 45°, AD - 4. На про-
должении стороны АВ отложен отрезок ВР так, что
угол PDA равен 90°. Отрезки ВС и PD пересекаются в точ-
ке Т, PT : TD = 3 : 1.
а)° Докажите, что треугольники ВРТ и TCD подобны,
и найдите отношение их площадей.
б)° Найдите площадь параллелограмма ABCD.
в)° Найдите расстояние между серединами отрезков АВ
и TD.
г)° Выясните, можно ли провести окружность через
точки А, В, Т, D.
r)q Выразите вектор АВ через векторы СА и ТВ.
е) Найдите синус угла CAD.
ж) Найдите градусные меры дуг, на которые точ-
ки касания делят окружность, вписанную в треуголь-
ник ВРТ.
2*. Постройте отрезок, длина которого в ^3 раз меньше
данного.
111

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ1
МД-1
ВАРИАНТ 1
1.	Найдите углы четырехугольника, если три угла его
равны между собой, а четвертый меньше одного из них
на 40°.
2.	В параллелограмме ABCD АС = 40°. Точка Е лежит
на стороне ВС, причем АВАЕ = 20°, ЕС = 2 см, АВ =
= 10 см. Найдите AD.
3.	В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 10 см. Диа-
гонали АС и BD пересекаются в точке О и соответствен-
но равны 14 см и 10 см. Найдите периметр треугольни-
ка АОВ.
4.	В четырехугольнике ABCD АВ = CD и АВ || CD; ACBD =
= 15°. Чему равен угол BDA?
5.	В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD от
вершин А и С отложены равные отрезки AF и СЕ.
В четырехугольнике FBED ABFD = 50°. Чему равен
угол BED?
6.	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О; ZCOD = 60°, CD = 10 см. Чему равны диагона-
ли прямоугольника?
7.	Угол между высотами ромба, проведенными из одной из
его вершин, равен 30°. Высота ромба равна 5 см. Найди-
те периметр ромба.
8.	В квадрате сумма расстояний от его центра до сторон
равна 20 см. Чему равен периметр квадрата?
9.	В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основа-
ния) диагонали взаимно перпендикулярны. BE ± AD;
ED = 4 см. Чему равна высота трапеции?
10.	В прямоугольном треугольнике АВС АА = 45° (ZC =
= 90°); Е — середина АВ. Через точку Е проведена пря-
мая, параллельная АС, которая пересекает ВС в точ-
ке F; EF = 10 см. Найдите ВС.
1 Распределение математических диктантов по главам учебника:
МД-1	Четырехугольники	Гл. V
МД-2	Площадь	Гл. VI
МД-3	Подобные треугольники	Гл. VII
МД-4	Окружность	Гл. VIII
МД-5	Векторы	Гл. XI
113
ВАРИАНТ 2
1.	Найдите углы четырехугольника, если три угла его
равны между собой, а четвертый больше одного из них
на 80°.
2.	В параллелограмме ABCD АВ = 140°. Точка F лежит
на стороне ВС, причем AADF = 70°; BF = 5 см, AD =
= 20 см. Найдите АВ.
3.	В параллелограмме диагонали пересекаются в точке О.
Сторона ВС равна 18 см, BD = 16 см. Периметр тре-
угольника ВОС равен 38 см. Найдите длину диагона-
ли АС.
4.	В четырехугольнике ABCD ВС = AD и ВС || AD\ ABAC +
+ AACD = 80°. Найдите эти углы.
5.	В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС от вер-
шин В и D отложены равные отрезки BE и DF. В четы-
рехугольнике AECF диагонали пересекаются в точке О;
АС + EF = 30 см. Найдите АО + OF.
6.	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О; AACD = 60°, BD = 10 см. Чему равна сторо-
на CD?
7.	Высота ромба делит его сторону пополам. Чему равен
угол между высотами ромба, проведенными из одной из
его вершин?
8.	Периметр квадрата равен 80 см. Чему равно расстояние
от его центра до стороны?
9.	В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основа-
ния) диагонали взаимно перпендикулярны; ВК ± AD,
ВК = 7 см. Чему равна длина отрезка KD?
10.	В прямоугольном треугольнике АВС АВ = 45° (АС =
= 90°), О — середина АВ. Через точку О проведена пря-
мая, параллельная АС, которая пересекает ВС в точ-
ке К; ВС = 18 см. Найдите длину отрезка ОК.
МД-2
ВАРИАНТ 1
1.	Сторона квадрата равна 4 см. На его диагонали построен
новый квадрат. Его площадь равна...
2.	В параллелограмме ABCD диагональ АС = 12 см, а сто-
рона AD = 10 см; ACAD = 30°. Найдите площадь парал-
лелограмма.
114
3.	В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точ-
ка М. Площадь треугольника ВМС равна Q. Чему равна
площадь треугольника MCD7
4.	Основания треугольников равны, а высота одного из
треугольников в три раза больше высоты другого. Най-
дите отношение площадей этих треугольников.
5.	В треугольнике АВС АЕ и BD — высоты; АС = 10,
BD = 8, ВС = 16. Найдите АЕ.
6.	В прямоугольной трапеции ABCD (AD и ВС — осно-
вания) Z.CDA = 90°; ВС = 2 см, AD = 6 см, АВ = 10 см,
А А = 30°. Площадь трапеции равна...
7.	В прямоугольнике диагональ равна 25, а одна из
сторон — 15. Найдите катеты равновеликого ему равно-
бедренного прямоугольного треугольника.
8.	В треугольнике АВС АВ = т, ВС = п (п > т); BD — вы-
сота треугольника и BD = h. Найдите АС.
9.	В ромбе один из углов равен 60°. Меньшая диагональ
равна д/З. Высота ромба равна...
10.	Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Найдите пло-
щадь треугольника.
ВАРИАНТ 2
1.	На диагонали квадрата построен новый квадрат, пло-
щадь которого равна 8 см2. Сторона квадрата равна...
2.	В параллелограмме ABCD диагональ АС = 10 см, а
расстояние от вершины В до этой диагонали в два ра-
за меньше ее длины. Найдите площадь параллелограмма.
3.	В параллелограмме ABCD на продолжении диагона-
ли BD за точку D взята точка Р. Площадь треугольни-
ка ADP равна S. Чему равна площадь треугольни-
ка CDP?
4.	Высоты треугольников равны, а основание одного из
них в два раза меньше другого. Найдите отношение пло-
щадей этих треугольников.
5.	В треугольнике ABC BD и CF — высоты; BD = 12,
CF = 10, АС = 5. Найдите АВ.
6.	В прямоугольной трапеции (AD и ВС — основания)
Z.CDA = 90°; ZA = 45°, ВС = 2, CD = 6. Площадь трапе-
ции равна...
115
7.	В прямоугольнике расстояния от точки пересечения
диагоналей до вершин и до одной из его сторон соответ-
ственно равны 6,5 и 6. Найдите сторону равновеликого
ему квадрата.
8.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) точка D
принадлежит стороне ВС; АВ = a, AD = Ь9 АС = т. Най-
дите BD.
9.	В ромбе один из углов равен 60°. Высота ромба равна ^3.
Найдите длину меньшей диагонали.
10.	Стороны треугольника равны 8, 15 и 17. Найдите пло-
щадь треугольника.
МД-3
ВАРИАНТ 1
АВ 3
1.	В треугольнике АВС —— = AD — биссектриса уг-
□
ла А. Площадь треугольника ABD равна 9 см2. Пло-
щадь треугольника ACD равна...
2.	В треугольниках АВС и MPL АА = ZM, ZC = ZL;
ату 9
= з, АС = 10 см. Сторона ML равна...
3.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты соот-
ветственно точки Е и F;	ZLBFE = 40°. Чему ра-
BF АВ
вен угол А?
л тэ	л туп л ту гл АВ ВС АС 5
4.	В треугольниках АВС и А1В1С1	= -.
Сумма площадей этих треугольников равна 58 см2. Най-
дите площадь каждого треугольника.
5.	В треугольнике АВС медианы АЕ и BF пересекаются в
точке О. Площадь треугольника АВС равна 12 см2. Най-
дите площадь треугольника АВО.
6.	Площадь треугольника АВС равна 12 см2; DE — сред-
няя линия (D g АВ; Е е ВС). Найдите площадь трапе-
ции ADEC.
7.	СК — высота прямоугольного треугольника ABC (ZC =
АС 3
= 90°);	= -. Как относятся площади треугольни-
ков АКС и ВКС?
116
8.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, BD ± АС,
BD = 12, АС = 10. Найдите cos ZA и sin ZABD.
9.	В ромбе ABCD ZA = а; AC = d. Найдите сторону ромба.
10.	Диагонали параллелограмма равны т и п, угол
между ними равен 60°. Найдите площадь параллело-
грамма.
ВАРИАНТ 2
1.	В треугольнике АВС ВМ — биссектриса. Площади тре-
угольников АВМ и СВМ относятся как 1:3, АВ =
= 4 см. Сторона ВС равна...
2.	В треугольниках EPF и CDK ZP = ZD и ZF = ZK;
DK = 10 см. Сторона PF равна...
а) □
3.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты соот-
ветственно точки D и К;	ZBCA = 50°. Чему
ВС АВ	*
равен угол BDK?
Л Т>	А T'if'l	А	А.В ВС АС
4.	В треугольниках АВС и А1В1С1 = ——- =	;
g	9
А-- = AC + АгСг = 14 см. Найдите эти стороны.
5.	В треугольнике АВС медианы ВК и CD пересекаются в
точке О. Площадь треугольника СОК равна 30 см2. Най-
дите площадь треугольника АВС.
6.	EF — средняя линия треугольника АВС (Е е АВ;
F е АС). Площадь трапеции EBCF равна 9 см2. Найдите
площадь треугольника АВС.
7.	CD — высота прямоугольного треугольника ABC (ZC =
_ до0). ^лр с _ Как относятся катеты АС и СВ?
SCDB 36
8.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС; BD ± АС,
АВ = 25, АС = 48. Найдите sin ZA и cos ZABD.
9.	В ромбе ABCD ZA = а, сторона ромба равна а. Найдите
диагональ АС.
10.	Диагонали параллелограмма равны dx и d2, угол между
ними равен 45°. Найдите площадь параллелограмма.
117
МД-4
ВАРИАНТ 1
1.	В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) АВ =
= 60°, ВС = ^3. С центром в точке А проведена окруж-
ность, радиус которой равен 2,7. Сколько общих точек
имеет эта окружность с прямой ВС?
2.	Дана окружность с центром в точке О. Радиус окружно-
сти равен 5 см. Прямая I касается окружности в точ-
ке А. На касательной от точки А отложен отрезок АВ,
равный 12 см. Отрезок ОВ пересекает окружность в точ-
ке К. Отрезок КВ равен...
3.	Из точки М к окружности с центром в точке О проведе-
ны две касательные МА и МВ (А и В — точки каса-
ния). Радиус окружности равен 2^3, ААМВ = 60°. Рас-
стояние между точками касания АВ равно...
4.	Вписанный в окружность угол ВАС, равный 45°, опи-
рается на дугу ВС. Радиус окружности равен а. Най-
дите площадь треугольника ВОС (О — центр окруж-
ности).
5.	АВ — хорда окружности. Прямая I касается окруж-
ности в точке А. На прямой I выбрана точка М та-
кая, что AM АВ — тупой. Вписанный в окружность
угол АСВ опирается на дугу АВ и равен 20°. Чему равен
угол МАВ?
6.	Из точки С, перпендикулярной окружности, на диа-
метр АВ опущен перпендикуляр СК', АК = 2, СК = 4.
Чему равен отрезок КВ?
7.	Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен...
8.	В прямоугольную трапецию ABCD вписана окруж-
ность (AD и ВС — основания); CD ± AD, АА = 30°, CD =
= 10 см. Периметр трапеции равен...
9.	В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) А А = а,
ВС = а. Найдите радиус описанной вокруг треугольника
окружности.
10.	Вокруг трапеции описана окружность. Один из ее углов
равен 40°. Остальные углы трапеции равны...
118
ВАРИАНТ 2
1.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) ZA =
= 30°, АС = 2^3. С центром в точке В проведена окруж-
ность, радиус которой равен 2,2. Сколько общих точек
имеет эта окружность с прямой АС?
2.	Прямая I касается окружности с центром О в точ-
ке Р. Радиус окружности равен 8 см. На касательной
от точки Р отложен отрезок РМ. Отрезок ОМ пересе-
кает окружность в точке F; FM = 9 см. Отрезок РМ
равен...
3.	Из точки Р к окружности с центром в точке О проведе-
ны касательные РА и РВ (А и В — точки касания);
ZAP В = 90°. Расстояние между точками касания АВ
равно ^5. Чему равно расстояние ОР?
4.	В окружность с центром в точке О вписан угол ВАС,
равный 30°; ВС = а. Найдите площадь треугольни-
ка ВОС.
5.	РК — хорда окружности. Прямая т касается окружно-
сти в точке Р. На прямой т выбрана точка F такая, что
ZFPK = 160°. Угол PDK вписан в окружность и опира-
ется на дугу РК. Чему равен угол PDK?
6.	Из точки Р, принадлежащей окружности, на диа-
метр EF опущен перпендикуляр РК; ЕК = 4, KF = 9.
Чему равен отрезок РК?
7.	Стороны треугольника равны 13, 13 и 24. Радиус впи-
санной в треугольник окружности равен...
8.	В прямоугольную трапецию ABCD вписана окруж-
ность (AD и ВС — основания); CD ± AD, ZA = 30°.
Периметр трапеции равен 24 см. Чему равны сторо-
ны АВ и CD?
9.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) ZB = р,
АС = Ь. Найдите радиус описанной вокруг треугольника
окружности.
10.	Вокруг трапеции описана окружность. Один из ее углов
равен 160°. Остальные углы трапеции равны...
119
МД-5
ВАРИАНТ 1
1.	В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересека-
ются в точке О. М g AD.
—>
1)	Какие из указанных векторов коллинеарны: AM
и ВС, АВ и MD, АО и СА?
---------------------------------------
2)	Какие из указанных векторов равны: АВ и CD, ВО
и OD, АС и BD?
2.	Найдите сумму векторов АВ +CD + ВС + DA.
3.	Выразите вектор FK через векторы EF и ЕК.
4.	При каких k верно равенство AB+BC+CD = k(DE +ЕА)?
5.	Векторы а Ф 0 и Ъ Ф 0 неколлинеарны. Найдите х и у из
равенства За + 5Ь = ха + (2г/ + 1) Ь.
АК 1
6.	В параллелограмме ABCD К g AD, причем —— = —,
KD 2
Р — середина АВ. Выразите вектор ВК через векторы
ВР и ВС.
7.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) АВ = 10;
СА + СВ = 2СМ. Найдите | СМ |.
8.	Из точки О выходят два вектора О А =а и ОВ =Ь. Най-
—>•
дите какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе
угла АОВ.
9.	В трапеции ABCD (ВС и AD — основания) EF — сред-
—>	—>	—>
няя линия. Выразите EF через ВС и DA.
10.	В равнобедренную трапецию с углом 30° вписана окруж-
ность. Средняя линия трапеции равна 12. Чему равен
радиус вписанной окружности?
ВАРИАНТ 2
1.	В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересека-
ются в точке О, Е е АВ.
1)	Какие из указанных векторов коллинеарны: BE
и CD, AD и BE, OD и DB?
2)	Какие из указанных векторов равны: AD и ВС, ОА
и ОС, АВ и AD?
120
2.	Найдите сумму векторов CD +FK + DF + КС.
—>•	—>• —>•
3.	Выразите вектор КМ через векторы РМ и РК.
4.	При каких k верно равенство
РК+КЕ + ЁС = k (АР -АС)?
5.	Векторы а Ф 0 и b Ф 0 неколлинеарны. Найдите х и у из
равенства (2х - 6)а +ЗЬ = 2а + (у - 3) b.
BE 2
6.	В параллелограмме ABCD Е е ВС, причем —— = —,
ЕС 1
F — середина АВ. Выразите вектор АЕ через векто-
ры AF и AD.
7.	В параллелограмме ABCD BD = 14; 2BF=BA + BC.
Найдите | BF |.
8.	Из точки О выходят два вектора О А = т и ОВ = п. Най-
—>•
дите какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе
угла, вертикального с углом АОВ.
9.	В трапеции ABCD (ВС и AD — основания) РК — сред-
няя линия. Выразите вектор РК через векторы СВ
и AD.
10.	В равнобедренную трапецию с углом 30° вписана окруж-
ность с радиусом, равным 6 см. Чему равна средняя ли-
ния трапеции?
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
(по материалам математических олимпиад,
проведенных в Санкт-Петербурге)
1.	Докажите, что длина медианы, выходящей из тупого
угла треугольника, меньше четверти периметра этого
треугольника.
2.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) АВ = ВС,
АС = CD и ВС + CD = AD. Найдите углы трапеции.
3.	Из точки М, взятой вне угла А, проведены к нему две
секущие прямые, одна из которых отсекает на сторонах
угла два равных отрезка АВ и АС, а другая пересекает
эти стороны в точках D и Е соответственно. Докажите,
4.	В выпуклом четырехугольнике ABCD ABAC = ACBD и
AACD = ABDA. Докажите, что AC2 = ВС2 + AD2.
5.	М — середина медианы AD треугольника АВС, имею-
щего площадь S. Прямая ВМ пересекает сторону АС в
точке F. Найдите площадь треугольника AMF.
6.	Средняя линия трапеции делится одной из диагоналей в
отношении k (0 < k < 1) и делит трапецию на две части,
меньшая из которых имеет площадь S. Найдите пло-
щадь трапеции.
7.	В треугольнике АВС угол при вершине С прямой.
Известно, что отношение длин медиан, проведенных из
л П	/17 тт ~
вершин А и С, равно J—. Найдите отношение длин
катетов.
8.	Дан прямоугольный треугольник АВС (АС — 90°) и
в нем проведена высота CD; АВ = с; DB - п; DA = т.
Докажите, что
т + т + с _ 1
?ADC ?DBC ?АВС
9.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с,
диаметр вписанной окружности d. Докажите,
что d с (^2 - 1).
122
10.	В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) прове-
дена высота СК, а в треугольнике АСК — биссектри-
са СЕ. Докажите, что СВ = BE.
11.	Внутри треугольника АВС взята точка Р так, что
8авр = &вср = &АСР- Докажите, что Р — точка пересече-
ния медиан треугольника.
12.	Две окружности касаются в точке А. К окружностям
проведены параллельные касательные к первой — в
точке В, ко второй — в точке С, причем точка А не ле-
жит между касательными. Докажите, что угол ВАС
прямой.
13.	Две окружности пересекаются в точках А и В. Через
точку А проведены отрезки АС и AD, каждый из кото-
рых, являясь хордой одной окружности, касается дру-
гой окружности. Докажите, что АС2 • BD = AD2 • ВС.
14.	Найдите множество точек касания двух окружностей,
которые касаются данной прямой в двух данных
точках.
15.	Окружность с центром в точке О касается сторон пря-
мого угла с вершиной С в точках М и N. К окружности
в некоторой точке К проведена касательная, пересека-
ющая СМ и CN соответственно в точках А и В. Дока-
жите, что величина (АВ + АС) • (АВ + ВС) не зависит
от положения точки К.
16.	Трапеция ABCD такова (AD и ВС — основания), что
круги, построенные на ее боковых сторонах как на
диаметрах, касаются друг друга. Докажите, что в тра-
пецию можно вписать окружность.
17.	В треугольнике АВС АВ = АС = 40°. Докажите, что
если BD — биссектриса угла В, то BD + DA = ВС.
18.	Докажите, что если отрезок, соединяющий середины
двух противоположных сторон четырехугольника,
равен полусумме двух других сторон, то этот четы-
рехугольник — трапеция.
19.	Дан треугольник АВС. На его сторонах построены па-
раллелограммы AKLB, AMNC и BCQP. Докажите, что
из отрезков КМ, LP и QN можно составить треуголь-
ник.
20.	Биссектрисы треугольника делятся точкой пересече-
ния в одном и том же отношении, считая от вершины.
Докажите, что треугольник равносторонний.
123
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Самостоятельные работы
С—1
Вар. 1. 2. 140°.	Вар. 3. 1. Периметры равны.
Вар. 2. 2. 5.	Вар. 4. 1. Периметры равны.
2п — 2	2
Вар. 5. 1. Периметры равны. 2. --= k, откуда 2 ч--= k.
п-2	п-2
Значит, п - 2 = 1 или п - 2 = 2. Так как k нечетное, то k = 3.
Вар. 6. 1. Периметры равны. 2. Задача решается аналогично
задаче 2 из варианта 5. Ответ, k = 2.
Вар. 7. 1. Нет, не существует. Можно доказать, что число
диагоналей n-угольника равно A2L__Тогда п (п - 3) = 50, или
п (п - 3) = 2 • 5 • 5, чего быть не может.
2. Можно доказать, что сумма внешних углов выпуклого много-
угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. То-
гда такой многоугольник может иметь не более двух внешних уг-
лов, больших 170°. Это означает, что острых углов с градусной ме-
рой, меньшей 10°, может быть не более двух. Случай наличия двух
таких углов реализуется для треугольника с углами 1°, 2°, 177°.
Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из варианта 7.
Ответ. Существует, девятиугольник имеет 27 диагоналей. 2. п = 6.
С—2
Вар. 1. 1. 28 см. 2. 30°, 120°.
Вар. 2. 1. 10 см. 2. 30°, 150°.
Вар. 3. 2. 60°, 120°; ВМ = АН.
Вар. 4. 2. 60°, 120°; AM = СК.
Вар. 5. 1. Докажите сначала, что ОК = ОМ.
2. В четырехугольнике МОНС ЛМОН = 155°, ЛОНС = 85°,
ЛОМС = 90°. Значит, ЛС = 30°. Тогда MD = 0,5СВ и MD = 0,5АВ.
Углы параллелограмма равны 30° и 150°.
Вар. 6. Задачи решаются аналогично задачам варианта 5.
2. Углы параллелограмма равны 60° и 120°.
Вар. 7. 1. Последовательно доказываем, что А ВОЕ = AKOD,
ABDE = АВ7СЕ, ED || ВК, ED = ВК, АВКЕ = ABED, ЛВКЕ =
= ЛВОЕ, ЛКЕВ = ЛОВЕ. Значит, OB = ОЕ.
2. В параллелограммах ADEH и KDEB АН - DE и КВ = DE.
Значит, АН = КВ. Следовательно, АК - НВ.
Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из варианта 7,
ЛКВЕ = 90°.
2. Докажите сначала, что EK - BD = МР.
С—3
Вар. 5. 1. Докажите, что А МВК = А КСЕ, АМЕС — парал-
лелограмм и МК - КЕ.
2. Докажите, что четырехугольники АВМК и MKDC являют-
ся параллелограммами.
124
Bap. 6. Задачи решаются аналогично задачам из варианта 5.
Вар. 7. 1. Докажем последовательно, что А ВРК = A MED,
ВС || AD, ВС = AD, ABCD — параллелограмм.
2. Отметим на отрезке ОС точку Е так, что АО = ОЕ. Тогда
четырехугольник ABED будет параллелограммом. Используя тео-
рему о внешнем угле треугольника, докажем, что Z.BED > Z.BCD.
Значит, ZBAD > /-BCD.
Вар. 8. Задачи решаются аналогично задачам из варианта 7.
В задаче 2 доказательство проведите методом от противного.
С—4
Вар. 1. 1. 60°, 120°, 50°, 130°. 2. 20 см.
Вар. 2. 1. 60°, 120°, 40°, 140°. 2. 30 см.
Вар. 3. 1. 40°, 140°. 2. 1:2.
Вар. 4. 1. 60°, 120°. 2. 1:2.
Вар. 5. 1. АЕ = AD - ED = AD - 0,5 (AD-ВС) = 0,5 (AD + ВС).
2. Пусть дана трапеция ABCD, в которой ZA = 90°, AD —
большее основание, диагонали пересекаются в точке О, ZABD =
= 60°, ZAOD = 90°. Тогда ^ADO = ЛСВО = 30°, AD = 2АО, ВС =
= 2СО. Значит, AC = ±(ВС + AD).
Вар. 6. 1. Проведем через точку О — точку пересечения диа-
гоналей трапеции — перпендикуляры ОК и ОМ к прямым ВС и
AD соответственно. Тогда ОК - 0,5ВС и ОМ = 0,5AD, так как
треугольники ВОС и AOD равнобедренные и прямоугольные. Зна-
чит, КМ = 0,5 (AD + ВС).
2. Продлите большее основание до пересечения с лучом.
Вар. 7. 1. Пусть в трапеции ABCD AD — большее основание.
Через вершину В проведем прямую, параллельную CD, пересека-
ющую AD в точке Е. Тогда АЕ < АВ + BE. Значит,
АВ + CD > AD - ВС.
2. Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и ВС О — точка,
равноудаленная от всех сторон. Проведем перпендикуляры ОК,
ОМ, OP, ОЕ к прямым ВС, CD, AD, ВА соответственно. Из равен-
ства треугольников следует, что КС - МС. Аналогично MD = PD,
АР = АЕ, BE = ВК. Значит, ВС + AD = АВ + CD.
Вар. 8. 1. Пусть в трапеции ABCD AD — большее основание.
На продолжении отрезка AD за вершину D отметим точку Е так,
чтобы прямые BD и СЕ были параллельны. Тогда АС + СЕ > АЕ.
Значит, АС + BD > AD + ВС.
2. На рисунке 43 ABCD — трапеция.	------—Р
Точка О равноудалена от вершин трапе-	ZX
ции. По теореме о сумме углов много- / \ J \
угольника Zl + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 + Z6 +	/	\ /	\
+ Z7 + Z8 = 360°. Но Zl = Z7, Z2 = Z3,	/	\
Z4 = Z5, Z6 = Z8. Значит, Zl + Z2 + Z5 +
+ Z6 = 180°, т. е. ZBCB + ZBAD = 180°.
Аналогично А АВС + ZADC = 180°.
Рис. 43
125
С—5
Вар. 5. 1. Один из треугольников, на которые данная диаго-
наль разделяет искомый параллелограмм, строится по двум сто-
ронам и высоте, проведенной к одной из них. Затем построенный
треугольник достраивается до параллелограмма.
2. Пусть требуется построить равнобедренную трапецию ABCD с
большим основанием AD по отрезку АС, углу BAD и перпендикуля-
ру АК, проведенному к прямой ВС. Сначала строим треугольник
АКС по катету и гипотенузе, затем проводим прямую AD парал-
лельно прямой КС и на отрезке КС отмечаем точку В так, что ZBAB
равен данному. Далее треугольник АВС достраиваем до трапеции.
Вар. 6. 1. Пусть требуется построить параллелограмм ABCD,
в котором О — точка пересечения диагоналей. Треугольник АОВ
строится по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.
Затем этот треугольник достраивается до параллелограмма.
Вар. 7. 1. Один из треугольников, на которые данная диаго-
наль разделяет параллелограмм, строится по двум сторонам и
углу, противолежащему одной из них. Затем этот треугольник
достраивается до параллелограмма.
2. Пусть следует построить трапецию ABCD с большим осно-
ванием AD, в которой О — точка пересечения диагоналей, по от-
резкам AC, BD, CD и углу AOD. Рассмотрим треугольник САЕ,
где Е е AD, СЕ || BD. В этом треугольнике BD = СЕ, ААСЕ =
= AAOD. Значит, треугольник САЕ можно построить по двум сто-
ронам и углу между ними. Точку D можно получить, проведя
окружность с центром в вершине С и радиуса CD. Далее треуголь-
ник ACD достраивается до трапеции.
Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 варианта 7.
2. В задаче выполняется дополнительное построение, анало-
гичное построению в задаче 1 варианта 7 С—4.
С—6
Вар. 1. 1. 140°. 2. 75°.
Вар. 3. 1. 5 см. 2. 90°.
Вар. 4. 1. 60°. 2. 90°.
Вар. 5. 1. 2КЕ = KD. Значит, ZABB = 30° и треугольник
АВО равносторонний, О — точка пересечения диагоналей прямо-
угольника, АР = 0,5AM. Значит, АР = 0,25АО, АР : PC =1:7.
АС	АС
2. Из условия задачи следует, что МК =--, АР =---. Отме-
2	4
тим на отрезке АС точку Е так, чтобы ЕС = АР. Тогда РЕ = МК
и А АРМ = А ЕКС. Значит, четырехугольник РМКЕ — паралле-
лограмм, так как его противоположные стороны попарно равны.
Но РК = ME из равенства треугольников АМЕ и СРК. Следова-
тельно, РМКЕ — прямоугольник и АРМ К = 90°.
Вар. 6. 1. ВО : PH =1:4. 2. 90°. Задачи решаются анало-
гично задачам 1, 2 из варианта 5.
126
Bap. 7. 1. Пусть О — точка пересечения диагоналей данного
прямоугольника. Тогда ЛАСВ - 75°, ЛЕВС - 90°, ЛЕОВ = 30°,
ED = — = —, BE < ED + BD = 5ED.
2	4
2. Пусть окружность пересекает прямую ВВ в точке Р. Тогда
четырехугольник АЕСР является прямоугольником, ЛАЕС - 90°.
С помощью свойства внешнего угла треугольника можно дока-
зать, что ЛАВС = ЛАЕС + ЛВАЕ + ЛВСЕ = 150°. Значит, ЛВАВ =
= 30°. Искомое расстояние равно 5 см.
Вар. 8. 1. ЛМКЕ = 15°. Значит, ME = ЕК и МТ = ТК. Следо-
вательно, PT > 0,5КН > 0,49КН.
2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 7,
НВ = 10 см.
С—7
Вар. 1. 1. 15°30', 74°30', 90°.	Вар. 3. 1. 90°. 2. За.
Вар. 2. 1. 90°, 73°30', 147°.	Вар. 4. 1. 90°. 2. 2а.
Вар. 5. 1. Докажите, что диагональ АС составляет со сторо-
ной ромба угол в 30°, ЛАОВ = 120°.
2. Треугольники AKD и MCD равны. Значит, ЛМВК +
+ ЛАК В = 90°. Но ЛАОВ - ЛАК В + ЛМВК по свойству внешнего
угла треугольника ОКВ. Значит, ЛАОВ - 90°, ЛАМО = 60°.
Вар. 6. Задачи решаются аналогично задачам 1, 2 варианта 5.
Ответ. 1. а. 2. МР = АК.
Вар. 7. 1. На рисунке 44 изобра-
жены ромбы, данные в условии за-
дачи, СМ = МВ. Следует доказать,
что угол МРВХ прямой. Проведем
МКЛ ОС, МЕЛОВ. Так как
Д СКМ = А МЕВ, то ME = ОК - СК
и ЛМСО = ЛМОС. Значит, ЛРОВ± =
= ЛОСМ. Тогда ЛРОВ± + ЛРВ^ =
= 90°, ЛРВгО = ЛОВС иОР 1
2. Пусть ME, СО, РВ — перпен-
дикуляры к прямой АВ. Тогда мож-
но доказать, что Д МАЕ - Д АОС
и Д ВОС = Д ВРВ, причем ME - АО,
РВ = ВО.
Вар. 8. 1. Пусть Ох — точка пересечения диагоналей ромба
АВ1С1В1. Тогда четырехугольник АОЕОХ является квадратом и
прямая ООХ содержит отрезок РО. Точки А и Е являются конца-
ми другой диагонали квадрата. Значит, РА = РЕ.
2. Пусть прямые ТС и АВ пересекаются в точке О. Обозначим
ЛМТС = а. Тогда ЛТСР = а = ЛАСО. Треугольники АСВ и МСТ
равны по двум катетам. Значит, ЛОВС = а, ЛОСВ - 90 - а. По-
этому ЛСОВ - 90°.
127
по стороне
Затем тре-
диагонали
С—8
Вар. 5. 2. Сначала постройте треугольник АВЕ по ЛАВЕ =
90°
= 90°, ЛВАЕ = — и стороне АЕ, а затем достройте этот треуголь-
4
ник до квадрата.
Вар. 6. 2. Сначала постройте треугольник BMD по углу
MBD, углу BMD, равному 180° - ЛМВЕ - 45° и стороне ВМ -
= PQ. А затем достройте этот треугольник до квадрата.
Вар. 7. 1. Пусть требуется построить прямоугольник ABCD
по диагонали АС и периметру Р. На продолжении стороны ВС за
вершину В отметим точку М так, чтобы выполнялось равенство
АВ = МВ. Тогда треугольник АМС можно построить
р
МС, равной —, стороне АС и углу М, равному 45°.
угольник АМС достраивается до прямоугольника.
2. Пусть требуется построить квадрат ABCD. На
BD возьмем точку М так, чтобы MD = AD. Тогда в треугольнике
ВМА ВМ = BD - AD, ZABD = —, ZBMA = -  90°. Сначала по-
2	4
строим треугольник ВМА, а затем достроим его до квадрата.
Вар. 8. 1. Пусть требуется построить ромб ABCD с точкой
пересечения диагоналей О, в котором АС — меньшая диагональ.
На отрезке ОВ возьмем точку М так, чтобы ОМ = ОС. Тогда
3	BD — АС
ЛВМС = - • 90°, ВМ =-------. Значит, сначала можно построить
треугольник ВМС, а затем достроить его до ромба.
2. Пусть требуется построить квадрат ABCD. Продлим отре-
зок АС за вершину А и отложим на продолжении отрезок
АЕ = AD. Треугольник ECD можно построить по стороне ЕС, рав-
ОЛ°	ОЛ°
ной AC -I- AD, ЛЕ - ЛЕСЕ = Затем достроим этот тре-
угольник до квадрата.
С—9
Вар. 1. 1. (а + b + с) (I + /) - f2 + Предполагается, что пло-
щадь выреза в виде прямоугольного треугольника вычисляется до-
страиванием этого треугольника до прямоугольника. 2. 6 см.
Вар. 2. 1. f2 +(а + b + с)1 - Площадь выреза в виде прямо-
угольного треугольника вычисляется достраиванием до прямо-
угольника. 2. 16 см.
Вар. 3. 2. 100 см2.
Вар. 4. 2. 60 см2.
Вар. 5. 1. Достройте каждый из треугольников ADE и BDE rq
прямоугольника.
2. Проведите прямые, параллельные диагонали ромба и про-
ходящие через его вершины.
Вар. 6. Задачи решаются аналогично задачам из варианта 5.
128
Bap. 7. 1. Пусть в треугольнике АВС
ВМ — медиана. Если В А = ВС, то реше-
ние задачи очевидно. Пусть АВ > ВС.
Проведем через точку М прямую
МР || АВ (рис. 45) и перпендикуляры
МТ, СЕ, ВР. Тогда А ТВМ = А ВРМ,
Л ATM = A MCE, Д ЕКС = Д ВКР, от-
куда получаем, что площади треугольни-
ков АВМ и ВМС равны.
2. Из треугольника BCD находим
ZCBD = 45°. Так как ZABC = 135°, то
Z.ABD = 90°. Значит, параллелограмм
АВРК является прямоугольником,
Z.ADB - 45°. Следовательно, АВ = BD и
АВ : ВР = 2:3. Зная периметр прямо-
угольника АВРК, находим, что его пло-
щадь равна 54 см2.
Вар. 8. 1. Дополнительное построе-
ние показано на рисунке 46. Пользуясь
полученным чертежом, можно доказать,
что площадь треугольника ADXC рав-
на половине площади прямоугольника
АРЕС, а площадь треугольника АВС
равна половине площади прямоугольни-
ка АТКС. Но площади прямоугольников
АТКС и АРЕС относятся как 1:2.
2. Задача решается аналогично зада-
че 2 варианта 7. Ответ. 30 см.
С—10
Вар. 1. 1. 20 см2. Вар. 2. 1. 77 см2.
Вар. 3. 1. 45°, 135°. 2. Площадь прямоугольника больше
площади параллелограмма.
Вар. 4. 1. 30°, 150°.
2. Площадь квадрата больше площади параллелограмма.
Вар. 5. 1. Находим, что углы параллелограмма равны 45° и
135°. Отсюда его площадь равна 20 см2.
2- &аемн • &врмк ~ АЕ • EK, SBPMK : STMOC = РВ : ОС. Пере-
множая записанные равенства и учитывая, что АЕ = ОС, получа-
ем то, что требуется доказать.
Вар. 6. 1. Z.MDB = 2ZA/BD = 15°. Значит, острый угол ромба
равен 30°, а его высота 10 см. Находим, что сторона ромба равна
20 см. Ответ. 200 см2.
2. samot : smbho = ОТ : ОН = STOPD : SOHCP, откуда получаем
то, что требуется доказать.
Вар. 7. 1. Пусть дан треугольник РМК, в котором ZP = 90°,
РМ < РК. Проведем дополнительное построение параллелограмма
5 Зив. 8 кл.
129
Рис. 48
КТ ЕМ, как показано на рисунке 47. Тогда
площадь этого параллелограмма, с одной сто-
роны, равна Ъс, а с другой — МР • а, откуда
Ьс
получаем, что РМ = —.
а
2. Площадь параллелограмма ABCD рав-
на площади параллелограмма AMKD, так
как эти параллелограммы имеют общее осно-
вание AD и равные высоты. Аналогично рав-
ны площади параллелограммов AMKD и
EPKD. Тогда равны и площади паралле-
лограммов ABCD и EPKD. Четырехуголь-
ник EMCD общий для этих параллелограм-
мов. Отсюда можно доказать требуемое.
Вар. 8. 1. Пусть дана прямоугольная
трапеция МРКЕ, в которой ZAf = 90°,
МР = Ь, РК = с, КЕ = а. Проведем РТ || КЕ,
РО ± КЕ, как показано на рисунке 48. Тогда
площадь параллелограмма ТРКЕ, с одной
стороны, равна РО • а, а с другой — Ъ • с. Зна-
Ьс
чит, РО = —.2. Задача решается аналогично
а
задаче 2 из варианта 7.
С—11
Вар. 1. 1. 24 см2. 2. 8 см2.
Вар. 2. 1. 25 см2. 2. 6 см2.
Вар. 3. 1. 1 : 2. 2. 6 см2.
Вар. 4. 1. Площади равны. 2. 12 см2.
Вар. 5. 1. Докажите, что сумма высот этих треугольников,
проведенных к противоположным сторонам параллелограмма,
равна его высоте. 2. Пусть МС - х. Тогда, выражая площадь тре-
угольника АСВ различными способами, получаем уравнение
— +	= 42, откуда находим х = — см.
2	2	5
Вар. 6. 1. Задача решается аналогично задаче 1 варианта 5.
2. Площадь треугольника COD равна 16 см2. Далее можно до-
казать, что площади треугольников АОВ и COD равны.
Вар. 7. 1. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пере-
секаются в точке О и ААОВ = 30°. Проведем перпендикуляры ВК
и DE к прямой АС. Тогда площадь четырехугольника равна
BK'ACDE- АС АС(и„^т^\ Ас(ВО .OD
2	2	2 v	7	2	2	2
9 Q	_ 1 Q __ 1	1 Q ____ S
&EMH - 3 &EBC “3*2	“ 6* ’
Bap. 8. 1. Пусть в треугольнике ABC О — точка пересечения
биссектрис. Можно доказать, что точка О удалена от каждой из
сторон треугольника на 1,5 см. Тогда
130
'I АС-BD о .	2
=------= 24 см2.
7	4
о	1,5АВ . 1,5ВС , 1,5АС 1,5 z л D , D/O t лгл 1,5 i« 1О 2
SAT>r =— + — + — = -1—(АВ + ВС + АС) = -2-* 16 = 12 см\
АВС 2	2	2	2	2
2. SAMP : S = (AM  АР):(АВ- AC) = | | Значит, SAMP = §.
о о У	У
2	5
Аналогично SPKC = -S, откуда искомая площадь равна -S.
у	У
С—12
Вар, 1. 1. 4 см. 2. 54 см2.	Вар, 3. 1. 13,5 см2. 2. 54 см2.
Вар, 2. 1. 5 см. 2. 72 см2.	Вар, 4. 1. 24 см2. 2. 18 см2.
Вар, 5. 1. Из точки О опустим перпендикуляры ОР, ОК, ОМ
на стороны AD, CD, ВС соответственно. Можно доказать, что
ОР - ОК = ОМ, Из треугольника OKD находим ОК = Тогда
площадь трапеции будет равна (Ь + с),
2. Можно доказать, что площади треугольников МРН и РНК
равны. Тогда площадь трапеции равна + S2,
Вар, 6. 1. AM = АН, так как АВ ± МН к МВ = ВН-, НА L МК,
так как МН = НК и AM = АК, Значит, отрезок НА является высо-
u	CL г	cl (а + Ь)
той трапеции и равен —. Площадь трапеции равна-----.
2	4
2. Проведем диагональ АС трапеции ABCD, Тогда SABC = Sp
SACD = ^2- Площадь трапеции равна + S2,
Вар, 7. 1. Можно доказать, что точка О равноудалена от всех
вершин трапеции. Тогда из задачи 1 варианта 8 С—4 следует, что
ZA = 30°. Площадь трапеции будет равна а + -с\
4
2. Проведем через точку О прямую, параллельную МК, пере-
секающую отрезки МН и РК в точках Е и Т соответственно.
Можно доказать, что АЕ || РК, ВТ || МН, Таким образом, трапе-
ция разбивается на 8 треугольников, равных треугольнику НОР,
Следовательно, площадь трапеции равна 40 см2.
Вар, 8. 1. Можно доказать, что точка О равноудалена от всех
сторон трапеции. Тогда из задачи 2 варианта 7 С—4 вытекает, что
РК + МН = Ъ + с. Площадь трапеции будет равна
2. Можно доказать, что площади треугольников АОВ и COD
равны. Тогда SAOB : SBOC = SAOD : SDOC, откуда получаем S2AOB =
= Scod = saod ' sboc = 10°- Ответ. 45 см2.
С—13
Bap. 1. 1. 50 см2. 2. 90°, 60°, 30°.
Bap. 2. 1. 162 см2. 2. 90°, 45°, 45°.
Bap. 3. 1. 216 см2. 2. 105°.
Bap. 4. 1. 99 см2. 2. 75°.
Bap. 5. 1. Высота трапеции равна ^262 - 242 = 10 см. Так как
диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то полусумма
ее оснований равна высоте (см. задачу 1 из варианта 6 С—4).
Значит, площадь трапеции равна 100 см2.
131
2. Пусть в трапеции ABCD АВ - 9 см, ВС =15 см, DC =
= 12 см, AD = 30 см. Проведем прямую BE || CD (Е е AD). Тогда
можно доказать, что ЕВ = CD = 12 см, ED = ВС, АЕ =15 см.
Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаем,
что ЛАВЕ = 90°. Значит, искомый угол прямой.
Вар, 6. 1. Задача решается с использованием задачи 1 вари-
анта 5 С—4. Площадь трапеции равна 300 см2.
2. Пусть в трапеции ABCD AD = 10 см, ВС = 3 см, АС = 5 см,
BD = 12 см. Через вершину С проведем прямую, пересекающую
луч AD в точке Е и параллельную BD, Тогда можно доказать,
что СЕ = BD, DE = ВС, По теореме, обратной теореме Пифагора,
устанавливаем, что ЛАСЕ = 90°. Значит, искомый угол также
прямой.
Вар. 7. 1. ВС2 - СН2 = АВ2 - АН2, ВС2 = СН2 + АВ2 - АН2 =
= АС - АН2 + АВ2 -АН2 = АС2 + АВ2 - 2АС  АН.
2. Пусть в треугольнике МЕР большая сторона равна с,
ME = а, ЕР = Ъ, Докажите методом от противного, что треуголь-
ник МЕР тупоугольный. В самом деле, треугольник МЕР не мо-
жет быть прямоугольным, так как это противоречило бы обрат-
ной теореме Пифагора. Если предположить, что треугольник
МЕР остроугольный, то по утверждению задачи 1 данного вари-
анта МР2 < ME2 -ь ЕР2, что противоречит тому, что с2 > а2 + Ь2.
Значит, треугольник МЕР тупоугольный.
Вар, 8. Задачи решаются аналогично задачам из варианта 7.
С—14
Вар, 1. 1. 9,5 см2. 2. 114 см2.
Вар, 2. 1. 6 см2. 2. 126 см2.
Вар, 3. 1. Следует доказать, что треугольники DEC,
АВЕ, АРЕ прямоугольные. Площадь многоугольника равна
42 см2. 2. 5^10 см2.
Вар, 4. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из вариан-
та 3. Ответ. 42 см2. 2. 4,8 см.
Вар, 5. 1. Третий угол треугольника равен 30°. Пусть мень-
шая высота равна х. Можно доказать, что большая сторона равна
!-	х2 с/з + 1) г-	г-
хцЗ + 1). Составляем уравнение-------= ^3 +1, откуда х = ^2,
2. Следует доказать, что острый угол ромба равен 60°. Ответ.
2^3 см2.
Вар, 6. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из вариан-
та 5. Ответ. ---=>.
1+ у/3
2. Пусть дан параллелограмм ABCD с площадью, равной
78 см2. BE и В К — высоты, проведенные к сторонам AD и ВС со-
ответственно, BE = 6 см, ВК = 7,8 см. Используя формулу пло-
щади параллелограмма, находим AD = 13 см, CD = 10 см. Из тре-
132
Рис. 49
угольника АВЕ АЕ = 8 см, тогда ED = 5 см, и из треугольника
BED получаем BD = ^61 см.
Вар. 7. 1. На рисунке 49 изображена трапеция МРКЕ, о ко-
торой говорится в условии задачи. Так как О — точка пересече-
ния медиан треугольника АРК, то PT = АТ и А МТ А - А РТК.
Следовательно, РК - а. Далее площадь равнобедренной трапеции
За2 Лз
МРКЕ легко найти. Ответ. ------—.
4
2. Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС, М и К — середины
сторон АС и ВС соответственно, ВМ = МК =12 см. Проведем
КР ± ВМ, КЕ ± АС, Р е ВМ, Е е МС. Тогда Р — середина ВМ,
т. е. ВК = КМ. Следовательно, ЛМВК - 60°. Площадь треуголь-
ника АВС равна 114^3 см2.
Вар. 8. 1. На рисунке 50 изображена трапеция, о которой го-
ворится в условии задачи. Так как О — точка пересечения высот
треугольника ВМС, то АС ± ВМ. Значит, АТ - ТС. Далее,
A ATM = А ВТС. Следовательно, AM = а = MD. Площадь равно-
3a2J3
бедренной трапеции ABCD будет равна-----—.
4
2. Пусть в параллелограмме ABCD Л ABD = 90°, ZADB - 15°,
AD= 12 см. Отметим на диагонали BD точку К так, что ЛВАК =
= 60°. Тогда ЛАКВ = 30°, AKAD = 15°. Пусть ВА = х. Получим
АК = KD = 2х, ВК = х^З, BD = х (ft + 2), AD2 = АВ2 + BD2. Тогда
х2 + х2 (А/3 + 2)2 = 144, откуда х2 = —^Ц=. Площадь параллело-
2+ V3
грамма равна АВ • BD = х2 (^3 + 2), или 36 см2.
С—15
9
Вар. 1. 1. 6,25 см. 2. 10 см, 4- см, 5- см.
7	7
Вар. 2. 1. 5 дм. 2. 12 см, 6^ см, 5^ см.
о	о
Вар. 3. 1. 60 см. 2. 62,4 см.
Вар. 4. 1. 30 см. 2. 90 мм.
Вар. 5. 2. 84 мм. Докажите, что СЕ — биссектриса угла С.
Вар. 6. 2. 36 дм. Докажите, что ВР — биссектриса угла В.
133
Вар. 7. 1. Пусть BDj — биссектриса угла АВС. Тогда
AD} АВ тт	AD АВ ~	AD ADr AD , . .
---- =---. По условию ---->	. Отсюда 	>-1, —— + 1 >
Dfi ВС 	DC ВС-DC Dfi DC
>	+ 1, — > —. Тогда DC < D.C и ZABD > ADBC.
DrC DC DrC	1
2. 16 см. Продолжим сторону ВС за точку В на отрезок BD,
равный АВ. Пусть биссектриса внешнего угла при вершине В пе-
ресекает продолжение стороны АС в точке Е. Легко доказать, что
АЕ = DE и что ЕВ — биссектриса угла DEC. Тогда = ЕА + АС
DE
можно
АВ „
--. то
ВС
ВС
(см. задачу 2 из варианта 7 С—15).
Отсюда можно получить АЕ = 16 см.
AD АВ
Вар, 8. 1. Если предположить, что---=--, то тогда
DC ВС
AD
доказать, что BD — биссектриса угла АВС. Если же <
AABD < ADBC (см. задачу 1 из варианта 7 С—15). В том и другом
случае мы получаем результат, который противоречит условию.
AD АВ
Поэтому >
2. 87—см
11
С—16
Вар. 1. 1. 30. 2. 2,5 см.
Вар. 2. 1. ZT = 20°, АК = 40°, АР = AM = 120°. 2. 50 см2.
Вар. 3. 1. 15. 2. 80 см2, 180 см2,
к
Вар. 4. 1. 5~ см. 2. 65 дм, 52 дм.
Вар. 5. 1. 6 см. 2. 24 см2.
Вар. 6. 1. 46 см. 2. 32 см2.
Вар. 7. 30°, 60°, 90°. Нужно исключить случаи: 1. А АВС * 90°
и ВК ± АС. 2. АВКС тупой (или острый). 3. ВК ± АС и А АВК =
= АКВС. Во всех этих случаях треугольники АВК и К ВС не могут
быть подобны. Остается единственно возможный вариант, когда
ZABC = 90° и ВК 1 АС. Так как = 1 то — = |. Из подобия
SBKC	КС 3
АК КВ
треугольников АВК и К ВС следует, что -------= ——. Так как
АК = то КС=ВК^З. Из треугольника КВС следует, что
ВС2 = ВК2 + ЗВК2, т. е. — = Отсюда АВСК = 30°.
ВС 2
Вар. 8. 40 см2 (см. С—16, вар. 7).
С—17
Вар. 1. 2. АВ = 2,2, ВС = 1,4,	= 4,4.
Вар. 2. 2. ВС = 4,8, DF = 1,6, DE = 1,1.
134
Bap. 3. 2. 1,2 см, 3,6 см.
Вар. 4. 2. 8 см, 12 см.
Вар. 5. 2. Необходимо продолжить АК до пересечения с про-
должением ВС в точке Е и доказать, что ABED — параллелограмм.
Вар. 6. 2. Необходимо продолжить AM до пересечения с про-
должением ВС в точке Е и доказать, что ABED — ромб.
Вар. 7. 1. Продолжим отрезок АС за точку А на отрезок AD,
равный АВ. Очевидно, что ABDC - ААВС. Тогда A BDC ™ А АВС
к — = — ВС2 = CD  АС, а2 = (Ь + с)Ь, т. е. а2 = Ъс + Ь2.
ВС АС
2. 48. SADE - SCDE. Отсюда следует, что DE || АС. Так как
SAdo ~ а & doe = то ос = f ’ ^>ОЕ ™ & АОС. Коэффици-
ент подобия k = Тогда &АОС = 16 и SADEC - 36; DE = -АС и
2	2
A DBE °° А АВС. Тогда SADEC = ^&авс- Отсюда SABC = 48.
Вар. 8. 1. Через вершину А проведем прямую, параллельную
ВС и пересекающую продолжение СЕ в точке F; A AEF °° А СЕВ.
Отсюда	= -, так как по условию АЕ : ЕВ =1:2;
ВС ЕВ СЕ 2
AF = Из прямоугольного треугольника CAF следует, что
CF = Jb2 + — = i jW + “2; СЕ = -CF = FlFFI
у 4	2’	3	3
2.	24 (см. задачу 2 из варианта 7 С—17).
С—18
Вар. 1. 2. Прямые АВ и DE параллельны.
Вар. 2. 2. Прямые ВС и DF параллельны.
Вар. 5. 1. Необходимо доказать подобие треугольников АВС
и ACD.
2. Так как ACAD = AC1A1D1 и AACD - AA^C-^D^ то
A ADC ~ A AiDjCp Отсюда — =	(1). Так как AADB =
АА АА
= AA^D-JE^ и ABAD = AB1A1D1, то A ABD °° A AjBjDp Отсюда
АВ = АВ_ ^2). Из равенств (1) и (2) следует, что
А. рВ £	A. -^D £	.А^В^ AjC^
Кроме того, ABAC =	а поэтому A ABC ™ A AjBjCj.
Вар. 6. 1. Необходимо доказать подобие треугольников BDC
и АВС.
2. Так как AAOD = AA1O1D1 и AADO = AA-^D-Pv то
A AOD m A AjOjZh. Отсюда = AD_ и так RaR q и q — сере-
111	АА
дины АС и АгС19 то АС _ AD_ rpaR RaR	= АА1В1О1 и
135
AADO = ZA.D.O., то A ABD ~ A A.B.D, и	(2). Из
111	111 АД АД v ’
AC AB
равенств (1) и (2) следует, что -=----. Легко доказать, что
ABAC - ZBjAjCj. Отсюда A ABC °° A AjBjCp
Вар. 7. 2. Продолжим сторону АС за точку А на отрезок AD,
равный АВ. По условию а2 = Ъ (с + Ь), т. е. ВС2 = АС • DC, или
ВС DC
АВС А у треугольников АВС и DBC общий, а потому
A ABC °° A DBC. Отсюда легко доказать, что АА - 2АВ.
Вар. 8. 1. A ADB °° А ВЕС. Из этого следует, что
ВС BE
Но АВ = ВС, поэтому	Легко доказать, что ADBE =
= ADAB. Тогда A ADB ™ A BDE и ABDE = AADB.
2. 0,5. Необходимо доказать, что треугольники АМР и КСТ
подобны. Отсюда следует, что КТ || МР и МКТР — трапеция. Из
подобия треугольников МЕР и КЕТ имеем ME : ЕТ =1:2.
С—19
Вар. 1. 1. 28 см, АКОА = АВСА. 2. 8 см.
Вар. 2. 2. 27 см.
Вар. 3. 2. 36.
Вар. 4. 2. 108.
Вар. 5. 2. 60 см2.
Вар. 6. 2. 0,8 см.
Вар. 7. 1. Соединим отрезком прямой точки Е и М. Пусть
Мх — середина СЕ. Тогда ММ{ — медиана треугольника ЕМС.
Так как ММХ || АЕ, то ММ{ 1 СЕ. В таком случае треуголь-
ник ЕМС равнобедренный и АЕММг = АМ^МС. Обозначим точку
пересечения ММХ со стороной ВС буквой F. Тогда MFCD — ромб
и АМуМС = ACMD. Кроме того, ААЕМ = АЕММг. Отсюда следу-
ет, что AEMD = ЗААЕМ. 2. 72.
Вар. 8. 1. Пусть АЕ пересекает прямую ВС в точке Р, а
DF — в точке Т. Треугольник РВА равнобедренный (РВ = В А) и
BE ± АЕ. Отсюда Е — середина АР. Аналогично F — середина
DT. Легко доказать, что EF || РТ. Пусть EF пересекает АВ в точ-
ке М, a CD — в точке N. Имеем ЕМ = NF = ~, MN = ВС = а.
Поэтому EF = 2а. 2. 12 см.
С—20
Вар. 1. 1. -.2. 90 см2.
4
Вар. 2. 1. |. 2. 54 см2.
Вар. 3. 1. 200 см2. 2. 4—.
*	13
Вар. 4. 1. 156 см2. 2. 4^/13+8.
136
Bap. 5. 1. 30°, 60°. 2. 75 см2. Нужно учесть, что АВЕ = —
и SBCJ =1	Sbed 16
$ABD 2
Вар. 6. 1. 60°, 120°, 90°, 90°. 2. 64^/3 см2.
Вар. 7. 1. 150 см2. Через вершину С провести прямую, парал-
лельную BD, до пересечения с продолжением AD в точке М и рас-
смотреть прямоугольный треугольник АСМ.
2. 30°. Необходимо доказать, что АВМ — прямоугольный тре-
угольник.
Вар. 8. 1. 10 J6 см (см. указания к задаче 1 варианта 7 С—20).
2. 60°, 120°, 60°, 120°.
С—21
Вар. 5. 2. Найти точку М пересечения прямых АгА и ВгВ.
Прямые МС и MD пересекают прямую п соответственно в точках
и Dp Легко доказать, что отрезок CjDj искомый.
Вар. 6. Найти точку М пересечения прямых AXD и ВХС. Пря-
мые AM и ВМ пересекают прямую Ъ соответственно в точках Dr и
Сг Легко доказать, что отрезок С^2 искомый.
Вар. 7. 1. Отрезок, равный периметру, разделить в отноше-
нии 2:3: J13 и построить треугольник по трем сторонам.
Вар. 8. 1. Отрезок, равный периметру, разделить в отноше-
нии 4 : J5 : J5 и построить треугольник по трем сторонам.
С—22
Вар. 1. 1.	2. 60°.
5 5 3
Вар. 2. 1. Д, -?=,	2. 60°.
\5	2
Вар. 3. 1.	2. 30°, 60°.
г 5 5 4
Вар. 4. 1.	2. 45°, 135°.
5 5 3
Вар. 5. 1. 60°, 30°, 90°. 2. —,	.
5 25 7
Вар. 6. 1. 60°, 30°, 90°. 2. —,	—.
25 25 7
Вар. 7. 1. Пусть а — искомый угол. По условию sin а =
= 2 cos а. Отсюда tg а = 2. Поэтому необходимо построить прямо-
ВС 2
угольный треугольник ABC (ZC = 90°), у которого = -. Тогда
ZA будет искомым.
2. 0,25 (^6 + ^2). Рассмотрим равнобедренный прямоугольный
треугольник ABD (ZADB = 90°) и прямоугольный треугольник
137
1
3
BDC (ABDC - 90°) с углом DBC, равным 30°. Точки A, D, С лежат
на одной прямой (А—D—С). Очевидно, что ЛАВС = 75°. Пусть
= 1(3 + J3) (1). С другой
О v
AD = BD = 1. Тогда SABC = ±
1 г- 2 J3	J6
стороны, SABC =-^2sin75°=-у-sin75° (2). Из равенств (1) и
(2) следует ответ 0,25 (^6 + ^2).
Вар. 8. 1. См. решение задачи 1 из варианта 7 С—22.
2.	0,25^6-^2). Рассмотрим прямоугольный треугольник
ABC (ЛС = 90°) с углом А, равным 30°. Пусть AD — биссектриса
треугольника; ADAC = 15°. Пусть ВС = 1, тогда АВ = 2 и
АС = ^3. Используя свойства биссектрисы треугольника, можно
доказать, что CD = 2^3 - 3. Из треугольника ACD имеем
^ = ^24-1273=273-^2-73, sinl5o=^ = £HZ = ^T^.
2. 82°23', 7°37'.
С—23
Вар. 1. 1. S = ab sin а; 5,54.
Вар. 2. 1. S = ^—; 376,16.
sin а
Вар. 3. 1. S =	123,85.
2tg2
Вар. 4. 1. S = За2 sin а cos а; 82,07. 2. 63°4Г.
Вар. 5. 1. h = ^2S sin а cos а; 6,44. 2. 27°5'.
Вар. 6. 1. h = y/Stga; 10,16. 2. 28°13'.
Вар. 7. 1.	11,36. 2. 47°8'.
sin|3
Вар. 8. 1. 6а2 sin а cos а; 886,24. Через вершину В проведем
прямую, параллельную CD, до пересечения с AD в точке F. Тре-
угольник ABF прямоугольный, так как AABF = 90°. Исходя из
условия, Е — середина AF, а потому AF = 2а; АВ = 2а cos а. Вы-
сота трапеции h = АВ sin а = = 2а cos а sin а. Тогда площадь тра-
пеции S = ба2 sin a cos а.
2. ------. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с
1 + т
углом С при вершине, равным а, причем cos а = т, BE ± АС. Обо-
значим ЛЕВА = х. Пусть BE = h. Из треугольника СЕВ имеем
138
ВС - AC = h ; СЕ = Из треугольника АЕВ АЕ = h tg х
sin a	tg а
АС = СЕ + ЕА; h =	+ htgx, Отсюда
sin а tga
tgх = 1- cosa = 1-m = V1-zn2
sin а	^l-тп2 1+m
С—24*
Вар, 1.	1 288 49 *	2. -. 3	Вар. 3. 1. 14— 121	• 2-1-
Вар, 2.	1 121 4 *	2. -. 3	Вар. 4. 1. 47 — г	49	см2. 2. 15. 17
Вар, 5.	1. 24(7	-47З).	2. Из прямоугольного	треугольника
АО В следует, что FB =---(1). Из прямоугольного треугольника
АВ
ВС^
ВОС следует, что BD =---- (2). Из равенств (1) и (2) имеем
ВС
FB ВС
---=---. Кроме того, в треугольниках DFB и АСВ угол АВС об-
щий. Отсюда следует, что A ABC °° A DFB, а потому
А.АСВ = ADFB,
Вар, 6. 1. 6a2 (2 - -JS)2- 2. Из прямоугольного треугольни-
BD2
ка ADB имеем ЕВ =-------- (1). Из прямоугольного треугольни-
АВ
BD2
ка BDC имеем FB =----- (2). Из равенств (1) и (2) следует, что
ВС
ЕВ ВС
— =----. В треугольниках EBF и АВС угол АВС общий. Отсюда
следует, что A EBF °° А АВС,
Вар, 7. 1.
аЪ2^3
4 (ft - 2a)
. 2. Через точку М проведем прямую, па-
раллельную АС и пересекающую стороны АВ и ВС соответствен-
но в точках К и L, Так как BD — медиана, то легко доказать, что
КМ - ML, Из подобия треугольников KFM и AFC следует, что
FM_ _ КМ_ Из подобия треугольников MEL и АЕС следует, что
ЕМ
АЕ
—, но КМ = ML, Поэтому — =
AC	FC АЕ
т. е
FM=EM^ То
МС МА
гда, так как AFME - ZАМС, A FME °° А АМС, Отсюда
AEFM = АМС А, Поэтому EF || АС,
Вар, 8. 1. ---—т=~, 2. —. Пусть в треугольнике АВС
2(2h-a/3) гп
высоты BD и АЕ пересекаются в точке О; A BDC °° А АЕС,
Отсюда — = — (1); А АЕС ™ A AOD, Отсюда — = — (2).
АЕ ЕС '	OD AD V 7
Из равенств (1) и (2) следует, что BD = ADDC -
OD т
139
С—25
Вар, 1.
Вар, 2,
Вар, 3.
2. 35 см.
Вар, 4,
Вар, 5.
1.
1.
1.
1.
1.
Bap, 6.
1.
Bap, 7.
2.
a) R = 5; б) R < 5; в) R > 5. 2. 12 см.
a) R = 5; б) R < 5; в) R > 5. 2. 17.
Прямая DE является касательной к окружности.
Окружность касается прямой АВ. 2. 13,44.
Прямая BD касается этой окружности. 2. 2rcos^.
Прямая АВ касается этой окружности. 2. -—----.
.а .а
tg — • sin —
2	2
Пусть О — центр окружности. Необходимо дока-
зать, что треугольник COD прямоугольный. Радиус окружно-
сти ОК, проведенный в точку касания CD с окружностью, явля-
ется высотой треугольника COD. Поэтому ОК2 = СК • KD, но
АС = СК и DB = KD, а потому ОК2 = АС • DB,
Bap, 8.
2. —*
2
С—26
Вар, 1.
Вар, 2,
Вар, 3.
Вар, 7.
1. 3^3 см. 2. 100°.
1.
1.
Вар, 4. 1.
Вар, 5. 2.
Вар, 6. 2.
3. 2. 288.
5 см.
220°, 80°, 60°.
вписан в окружность и BD — его
30°. 2. 20°.
10 см. 2. 6 см.
1. Пусть угол АВС
биссектриса (D лежит на окружности). Хорда DE параллельна АВ,
Нужно доказать, что DE = ВС. Так как DE || АВ и BD — биссект-
риса угла АВС, то ZABD = ZBDE = ADBC', FDCB = FDEB как впи-
санный, опирающийся на одну и ту же дугу; A DCB = A DEB по
стороне и двум углам. Отсюда DE = ВС.
2. Z1 измеряется половиной дуги КА (рис. 51), ^КА = ^KF +
+ А = ^KF + 90°; Z2 измеряется полусуммой дуг KF и ЕА, но
^ЕА = 90°. Отсюда Zl = Z2. Поэтому треугольник KNM равно-
бедренный и NK = NM.
Вар. 8. 1. Так как ВС || AD, то Zl = Z2 (рис. 52); угол 3 из-
меряется половиной дуги BED; угол 4 измеряется половиной этой
140
же дуги, поэтому Z3 = Z4. Тогда A ABD °° A BCD по двум углам.
Дальнейшее решение очевидно.
2. 16 см. Необходимо доказать, что A AED прямоугольный.
С—27
Вар. 1.
Вар. 2.
Вар. 5.
Вар. 6.
Вар. 7.
1.
1.
1.
1.
1.
Вар. 3. 1. 5.
Вар. 4. 1. 4^5.
16 см. 2. д/15.
20. 2. 6,5.
8 см. Докажите, что точка Е — середина хорды ВС.
10 см.
1. Имеем ВС = 2r, АВ = г, CD = --2г = -г. Необхо-
3	4	2
что О}Р • O^Q = ОгА • OpD. Так как OrQ = 2R - г,
|г = |г, то (2R - г) • г - 5г2.
димо учесть,
ОгР = г, ОгА = г + г - 2r, OyD = г +
г 1
Отсюда — = -.
R 3
2. Воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей.
Вар. 8. 1. 12; 1. 2. Необходимо построить окружность, про-
ходящую через точки В и С и касающуюся АВ в точке В. Эта
окружность пересечет сторону АС в искомой точке D.
С—28*
Вар. 1.
Вар. 2.
1. 2y[W2 - г2.
Вар. 3. 1. 8 см.
Вар. 4. 1. 20.
1. —. Пусть О и — центры соответственно большей
окружностей. Необходимо доказать, что ЛАОС = 60°,
Кроме того, треугольник АСВ прямоугольный.
Вар. 5.
и меньшей
а ЛВОХС = 120°.
2. Проведем диаметр AD', треугольник CDA прямоугольный;
Z.CDA - ЛСВА как опирающиеся на одну и ту же дугу АС.
Из этого вытекает, что ЛОАС = ЛВАН.
Вар. 6. 1. ^63. Пусть О и Ог — центры соответственно большей
и меньшей окружностей; ООг = 3. Через точку О проведем прямую,
параллельную АВ. Обозначим точку касания АВ с меньшей окруж-
ностью через К; ОХК пересекает проведенную прямую в точке Р.
3
Из треугольника ООХР следует, что РОА = -, так как по уело-
вию ZPOO, = 30°; ОМ 1 АВ, ОМ =РК= РО. - КО. = 1-1 = 1.
1	1	1	2	2
Из треугольника АОМ следует, что AM =
- = 1—, АВ = J63.
4	2	v
2. Докажите, что A ABC <*> A ABD.
141
Рис. 53
АВ-ВС = AC - ВО (2).
rd2
Вар. 7. 1. —,	2. Пусть сто-
2y]d2 - г2
роны АС и BD пересекаются в точке О;
ADAC - ABAC по условию, a ABAC -
= ABDC как вписанные углы, опираю-
щиеся на одну и ту же дугу. Тогда
A ADC °° A COD по двум углам (ADCA
AD АС
общий). Отсюда следует, что	и
AD - ВС = АС • DO (1). Аналогично мож-
но доказать, что А АВС 00 А ВОС. Тогда
Складывая почленно равенства (1) и (2),
получим АС - BD = AD • DC + АВ • ВС.
Вар. 8. 1. 0,2а. 2. Проведем общую касательную двух
окружностей, и пусть АВ пересекает эту касательную в точке С
(рис. 53). Так как СТ = СМ как отрезки касательных, проведен-
ных из точки С к меньшей окружности, то АСМТ = АСТМ. Кроме
того, АСАМ = АВМС, А АМТ = АСТМ - АСАМ = АСТМ - АВМС =
= АСМТ - АВМС = АВМТ. Значит, МТ — биссектриса ААМВ.
С—29
Вар. 1. 2. 35.	Вар. 4. 1. 6.
Вар. 2. 1. 12. 2. 45.	Вар. 5. 1.	2. 30°.
Вар. 3. 1. m-sin^. 2. 2,4. Вар. 6. 1. 25. 2. 90° + а.
Вар. 7. 1. Строим вспомогательный прямоугольный тре-
угольник с некоторым катетом, равным а, и построением находим
отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис и медиан.
Пусть этот отрезок имеет длину, равную Ь. Все равнобедренные
прямоугольные треугольники подобны. Обозначим сторону иско-
мого треугольника через х. Тогда — = —. Построением находим от-
х пг
резок х. Дальнейшее построение очевидно. 2. —.
12
Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из вариан-
та 7. 2. i
6
С—30
Вар. 1.	1.	1 см. 2. 2,5 см. Вар.	3. 1.	3 см. 2. 9,6 см.
Вар. 2.	1.	6 см. 2. 16 см. Вар.	4. 1.	2 см. 2. 2 см.
Вар. 5.	1.	6^3 (J3 + 1)2. 2. 94,08 см2.	Если	обозначить центр
вписанной окружности через О, то нужно доказать, что тре-
угольник АО В прямоугольный. Высота этого треугольника равна
радиусу вписанной в трапецию окружности. Высота трапеции равна
диаметру этой окружности. Кроме того, AD + ВС = АВ + CD.
142
Bap. 6. 1. 3 см. 2. 18.
Bap. 7. 1. 3(3-^5). 2. 120°. Очевидно, что AB = BE и ВМ -
= BP (рис. 54). Отсюда	• ТогДа д мвр ~ д АВЕ- Из
подобия треугольников следует, что треугольник BMP равнобед-
ренный и ЛВМР = ZBPM; так как по условию ВМ = МР, а
ZBPM = ЛМРВ, то треугольник МРВ равносторонний, а потому
и подобный ему треугольник АВЕ равносторонний и ЛВАЕ = 60°,
т. е. ZBAD = 120°.
Вар. 8. 1.3- ^5 см. 2. МВ = PD = 2 см. Очевидно, что ради-
ус вписанной окружности равен ^3 см и АЕ = AF = 3 см (рис. 55).
Исходя из свойств касательных, проведенных из одной точки к
окружности, имеем АР + РК = АЕ и AM + МК = AF. Складывая
эти равенства, получим, что РАМР = 6 см, а так как МР = 2 см, то
АР + AM = 4 см. Пусть МТ — высота треугольника АМР. Обо-
значим AM через х. Тогда МТ = —, АТ = Р? = 4 -	• Из тре-
Зх2	9х2
угольника МТР следует, что---------I-16 - 12х -I-= 4. Отсюда
4	4
х = 2. Итак, AM - АР - 2 см. Тогда и МВ = PD = 2 см.
С—31
Вар. 1. 1. 27. 2. 96.
Вар. 2. 1. 13 см. 2. 36 см.
Вар. 3. 1. 6,25 см. 2. 40°, 50°, 50°.
Вар. 4. 1. 4^13 см. 2. 0,5 см.
Вар. 5. 2. 5 дм.
Вар. 6. 1. а. 2. 12^3 см. Необходимо доказать, что AD —
диаметр описанной окружности.
Вар. 7. 1. На рисунке 56 точки Alf Blf симметричны точке
пересечения высот Н относительно сторон ВС, АС, АВ. Очевидно,
143
Рис. 56
что A ACXB = A AHB. Отсюда ЛАСХВ = ЛАНВ, но ADHE = ЛАНВ.
В четырехугольнике EH DC углы НЕС и HDC прямые, а потому
ЛЕНЕ + ЛВСА = 180°. Следовательно, ЛА^В + ЛВС А = 180°. Это
значит, что точка С\ лежит на окружности, описанной около
треугольника АВС. Аналогичные рассуждения можно провести
л - о bR.
относительно точек Ал и В,. 2. —L.
11 а
Вар. 8. 1. На рисунке 57 Н — точка пересечения высот АА19
BBlf СС1. Около четырехугольника АС1НВ1 можно описать
окружность; ЛНС1В1 = ZHAB1 как вписанные, опирающиеся на
одну и ту же дугу. Обозначим эти углы через a; A AjBCj °° А АВС,
ЛВСгАг = ЛВС А = 90° - а. Тогда ЛА^Н = 90° - 90° + а = а. Сле-
довательно, ZAjCpH = ЛНС^В^ т. е. СХС — биссектриса ЛАуС^В^
Аналогично можно доказать, что А^ — биссектриса ЛС1А1В1,
а ВВг — биссектриса ЛС1В1А1. 2.
С—32
Вар. 1. 1. а и Ь, а и с, Ъ и с, f и е. 2. а и с, f и е. 3. а и Ъ,
Ь и с. 4. f и е; нельзя.
Вар. 2. 1. с и d, с и е, d и е, а и Ъ. 2. с и d. 3. с и е, d и е, а
и Ъ. 4. а и Ь; да, можно.
Вар. 3. 2. а) с и d, а и d, а и с; б) с и а; в) d и a, d и с; г) а и Ъ.
Вар. 4. 2. а) т и п, т и с, п и с; б) т и п; в) т и с, п и с;
г) d и с.
Вар. 5. 1. а) BE и ЕС, AF и DF, BE и AF, BE и DF, ЕС и AF,
ЕС и DF; б) BE и ЕС, BE и AF, ЕС и AF; в) BE и DF, ЕС и DF,
AF и DF; г) ВС и AF; д) ЁС и AF, BE и DF. 2. 90°.
Вар. 6. 1. а) АВ и DC, АВ и CF, DC и CF, BE и СЕ, BE и AD,
СЕ и AD; б) АВ и DC, АВ и CF, DC и CF, BE и AD; в) СЕ и AD, СЕ
и BE; г) АВ и DC, АВ и CF, CF и DC; д) BE и СЕ. 2. 20 см.
144
Bap, 7. 1. 21. Необходимо учесть 0.
Вар, 8. 1. 21. Необходимо учесть 0.
С—33
Вар, 1. 2. 0. Вар. 5. 2. ED. Вар. 6. 2. EF.
Вар. 8. СВХ = С А} + ДВр СХВ = С^Д + АХВ, АуВх = СгА19 СгАг
= А]В, Отсюда следует, что СВХ = СХВ.
С—34
Вар. 1. 2. АВ-АС. 3. 6 см.
Вар. 2. 2. СА-СВ. 3. 5.
Вар. 3. 2. -с, с - а, а - с.
Вар. 4. 2. a -d, d - а, а.
Вар. 5. 1. AC -DC -BD.
Вар. 6. 1. -DA+DC+CB.
Вар. 7. 1.	О А +ОВ -ОС = OB +СА. Построение показа-
но на рисунке 58.
Вар. 8. 1. —; О А -ОВ - ОС =ВА - ОС. От точки О отклады-
3
3. 6,5.
3.	16.
—> —>	a J2
2. OD +ОВ - ОС. 3. —
2
ваем вектор ОЁ =ВА (рис. 59). Тогда ОЁ - ОС - СЁ. Продолжим
АА19 как показано на рисунке, на отрезок АгР, равный ОАг.
Тогда ОВРС — параллелограмм и PC || О В || АЕ, PC = О В = АЕ.
Отсюда следует, что ЕАРС — параллелограмм и | СЕ | = —.
о
2. ДД = ОВХ - ОАХ = -ОВ - (-ОА) = О А - О В = В А. Отсюда
следует, что ДВХ =ВА и ДВХ || В А. Дальнейшее очевидно.
145
С—35
Вар. 1. 2. ОА = --а --Ь, АК = -а+Ь.
Г	2	2	2
Вар. 2. 2. DP = -т + - р, DM = т + -р.
2 2Г	2Г
Вар. 3. 2. р +-k, -k - р.
5	5
Вар. 4. 2. р + ^а,-а--р.
г ^6’6	2
Вар. 5. 2. --а --р +-р =-%а-±р.
3	3 2Р 3	6
Вар. 6. 2. ±а +%р.
О о
Вар. 7. 1. 0; ААг + ВВг + ССг = ВАг - ВА + СВХ - СВ + АСг -
-АС = kBC + АВ + kCA + ВС + kAB +CA=k (ВС +СА+ АВ) = 0.
2. Пусть АВ = а, ВС = b, CD = с (рис. 60), FE = OD = а + с, AF =
= kCD = kc, BE - BA + AF + FE -- a + kc + (a + c) = (k + 1) с. Это зна-
чит, что BE || AF.
Bap. 8. 1. PE =BE - BP = kBC -(k -1)AB. Аналогично можно
получить, что MF - kAD -(k - 1)DC. Так как ВС - AD и AB - DC,
то PE = MF, а потому PEFM — параллелограмм.
2. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке М (рис. 61);
OKYAB, OE.LCD, ОМ = OK +ОЕ, бк=ОА+АК=ОА +
+ 0,5АВ = ОА+0,5 (ОВ -ОА) =0,5ОА +0,5ОВ. Аналогично ОЕ =
= 0,5ОС + 0,5СЮ, ОМ = OK +ОЕ =0,5 (ОА +ОВ+ОС + OD).
Рис. 60
Рис. 61
146
С—36
Вар. 1. 1. ВМ =±а +±Ъ.	2.
2	4	о
Вар. 2. 1. АК =±т+±р.	2. 15°, 165°, 165°.
Вар. 3. 2. ±BA+±CD.
Л л
Вар. 5. 2. Докажите, что ОМ = ^(ОА +ОВ +ОС).
о
Вар. 7. 1. Легко получить ОК = ^ОВ + ±ОС и ОЕ = ^OD +
О	о	о
+ ^гОА. Имеем OD = -ОВ, ОА =-ОС. Отсюда ОК --ОЕ, т. е. точ-
о
ки К, О, Е лежат на одной прямой и О — середина отрезка КЕ.
2. Пусть медианы ААг и ВВг пересекаются в точке М и пусть
^- = AM = -^—АВ1 + —^—АВ =
МВ^ п	иг + п т + п
т
2(тп + п)
АС +
АВ (1),
п
т + п
AM = kAAr =^АС +^АВ (2). Из выражений (1) и (2) следует,
что
7П
2(т + п)
k п
— и -------
2 тп + п
-. Отсюда — = т. е. = у. Если
2	п 1	МВХ 1
предположить, что медианы ВВХ и ССХ пересекаются в точке Мх,
то аналогично можно доказать, что
ВМ _ 2
М1В1 1’
Следовательно, точ-
ки М и Му совпадут. Этим и доказывается данное положение.
Вар. 8. 1. CC1=CB+BB[+B^C1=DA+BB^+AD^=DA^-AD^^
+ ВВ1 = DDt + ВВХ. Отсюда |ССХ| < |DD11 + |ВВХ|, т. е. СЦ <
^ВВХ+ DDV
2. АВ = AO +ОВ = 2ОА1-2ОВ1=2В^А1 (*), АВ =СВ -СА =
= хСА1-уСВ1; ВА1=СА1-СВ1. Из равенства (*) следует, что
хСА1-уСВ1 =2СД-2СВ^; (х - 2)СД = (у - 2)СВ^- Отсюда х = 2
и у = 2. Это значит, что Аг и Вх — середины сторон ВС и АС,
т. е. ААг и ВВг — медианы.
С—37
Вар. 1.	1.	12 см и 8 см.	2.	14 см,	6	см,	10 см.
Вар. 2.	1.	10 см и 20 см.	2.	22 см,	16	см.
Вар. 3.	1.	3 см. 2. 5 см,	10	см.
Вар. 4.	1.	5 см. 2. 13 см,	9	см.
Вар. 5. 1. 2 см. Вар. 6. 1. 8 см.
Вар. 7. 1. 50 см. Докажем, что KL параллельна прямым ВС
и AD и находится на равном расстоянии от них. Пусть KL пере-
секает АВ в точке В, a CD — в точке Т. Тогда РТ — средняя ли-
ния трапеции. Треугольники ВКА и CLD прямоугольные, и
АВ = 2 • КР, CD - 2 • LT. Отсюда РABCD = 50 см. 2. 4 см и 16 см.
147
Bap. 8. 1. 18 см и 6 см. 2. Из
прямоугольного треугольника DKO
(рис. 62) находим DK = Rfe и DO =
= 2R, где R — радиус окружности.
Из треугольника CPD имеем DC =
- 2R, КС = 2R - Rfe. Необходи-
мо учесть, что СМ = СК = 2R - R^3,
AD = 3R', ВС = R+ 2R - R^3 = 3R -
-R^3. Так как средняя линия тра-
r- 3R + 3R- R^3
пеции равна 6 - J3, то---------—
= 6 - ^3. Отсюда R = 2.
С—38
Вар. 1. б) 4 см2, 12 см.
Вар. 2. б) 6,1 см, 5,1 см, 4,3 см, 13,9 см2.
Вар. 3. б) 20 см, 20 см2.
Вар. 4. б) 94,4 см2.
Вар. 5. а) Легко доказать, что МВ - KD = 2 см и МВ || KD.
Значит, MBKD — параллелограмм. Далее проведем высоту ром-
ба DE к стороне АВ. Тогда из треугольника DBE DE2 =
= (2^5)2 - BE2, а из треугольника DAE DE2 = 52 - (5 - BE)2. Если
точка Е не попадает на отрезок АВ, то DE2 = 52 - (BE - 5)2 =
= 25 - (5 - BE)2, т. е. 20 - BE2 = 25 - (5 - BE)2, откуда BE = 2 см.
Значит, точки Е и М совпадают и, следовательно, EBMD = 90°,
т. е. MBKD — прямоугольник, б) DM = DE - 4. Значит, пери-
метр прямоугольника равен 12 см, а площадь 8 см2.
Вар. 6. 1. 48°35'. 2. 12 см.
Вар. 7. 1. 12,9 см2. Можно доказать, что треугольники АВС
и ADC подобны, причем	т. е. АС2 - ВС • AD, откуда
АС = 4. Высота СЕ трапеции находится из прямоугольного тре-
угольника ВАЕ.
2. Пусть угол АВС равен х, тогда АМСН = 180° - х, АМАН =
= х; так как сумма углов четырехугольника АМСН равна 360°, то
АМАН - ААВС. Известно также, что две высоты параллелограм-
ма обратно пропорциональны сторонам параллелограмма, на ко-
m AM АН AM АН
торые они опущены. Тогда ——- = —— или —— = ——. Следователь-
CZJ .оС АН НС,
но, треугольники МАН и АВС подобны по двум сторонам и углу
между ними. Их коэффициент подобия равен МН : АС = 3:4.
Тогда искомое отношение равно 9 : 16.
Вар. 8. 1. 12,9 см2. 2. 4 : 9. Задача решается аналогично за-
даче из варианта 7 С—38.
148
С—39
Вар. 1. 1. 60°. 2. 6 см.	Вар. 3. 1. 90°. 2. 3^3 см2.
Вар. 2. 1. 90°. 2. 3 дм, 4 дм.	Вар. 4. 1. 45°. 2. 54 см2.
Вар. 5. 1. 60°. 2. Внутри трапеции. Пусть ABCD — данная
трапеция, в которой AD = 24 см, ВС = 10 см, высота BE равна
17 см. Окружность, описанная около трапеции, будет также описа-
на около треугольника ABD. Можно доказать, что АЕ = 7 см,
ED = 17 см. Тогда угол DBE равен 45°. Отложим на луче ЕА от точ-
ки Е отрезок ЕК, равный 17 см. Тогда АКВЕ = 45°, а ААВЕ < 45°.
Следовательно, AABD < 90°. Таким образом, очевидно, что тре-
угольник ABD является остроугольным. Значит, центр окружно-
сти, описанной около него, лежит внутри этого треугольника.
Вар. 6. 1. 60°. 2. Нет, не могут. Пусть BD = х, тогда из
прямоугольных треугольников ABD и BCD находим АВ = 0,5х,
AD = 0,5ТЗх, ВС = х, CD = х^2. Если предположить, что бис-
сектрисы всех углов четырехугольника ABCD пересекаются в одной
точке, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырех-
угольника, т. е. в этот четырехугольник можно вписать окруж-
ность. Следовательно, должно выполняться условие АВ + CD =
= ВС + AD. Но 0,5х + х^2 Ф х + 0,5^3х. Значит, наше предположе-
ние неверно и биссектрисы в одной точке не пересекаются.
Вар. 7. Примем радиус
окружности с центром в точке
за 1, ас центром в точке
О2 — за х (рис. 63). Тогда ради-
ус полукруга равен 3, ООг - 2,
ОО2 = 3 - х. Из А ОуЕО имеем
ОЕ = а из A O2FO имеем
ОР = 7(3-х)2-х2 =79-6х; EF =
= ОЕ + OF = 7з + 79 - 6х. Рассмот-
рим треугольник ОХКО2 (ОХК ± O2F)'. О2О1 = 1 + х, О2К = х - 1,
ОХК = EF =	+ ^9 - 6х. Тогда, используя теорему Пифагора,
имеем (^3 + ^9 - 6х)2 = (х + I)2—(х - I)2. Отсюда 3^3 - 2х = 5х - 6 и
9	6	21+бд/б
25х - 42х + 9 = 0. Учитывая, что х > -, получаем х =------—.
5	25
Вар. 8. Пусть в некоторый треугольник MPN вписана окруж-
ность и пусть PN = т. Тогда расстояние от вершины до точек каса-
ния окружности со сторонами МР и MN равно р - т, где р — полу-
периметр &MPN. В нашем случае, используя этот факт, имеем
BE = АВ + BD + а _а BF = BC+BD + b _ ь
2	2
рр I ____BFI  АВ + BD — а  ВС + BD — b  | ~ Д |
|-	2	2	“	2 ’
149
Контрольные работы
К—1
Вар, 1. 1. 120°, 60°. 3. а) Прямоугольник. 4. Сумма отмечен-
ных углов равна сумме углов пятиугольника АСЕКТ, т. е. 540°.
Вар, 2, 3. а) Ромб; б) 40°. 4. Сумма углов выпуклого шести-
угольника равна 720°. Сумма четырех острых углов меньше 360°.
Значит, сумма двух оставшихся углов больше 360°, чего быть не
может.
Вар, 3. 3. б) Пятиугольник. 4. Сумма отмеченных углов рав-
на сумме углов шестиугольника ACEHNO,
Вар, 4. 4. n-угольник может быть четырехугольником, в ко-
тором один из углов равен 1°. Докажем, что п = 4. п не может
быть равно 3, так как сумма углов треугольника всего лишь 180°.
При п 5 сумма углов n-угольника не меньше 720°. Тогда п-й
угол будет больше 361°, чего быть не может. Значит, п = 4.
К—2
Вар. 1. 1. 108 см2. 2. 75 см2. 3. а) 3^/3 см2; б) |73см2.
4. Если равны площади четырехугольников ABDE и ACDE, то рав-
ны и площади треугольников ABD и ACD, Значит, точки В и С рав-
ноудалены от прямой AD, откуда следует, что ВС || AD.
Вар, 2. 1. 56 см2. 2. 102 см2. 3. а) 16^3 см2; б) 4^3 см2.
4. Задача решается аналогично задаче 4 из варианта 1.
Вар. 3. 1. 32 см2. 2. 75 см2. 3. а) дм; б) 15 дм2.
1	о
4.	Задача решается аналогично задаче 4 из варианта 1.
Вар. 4. 1. 150 см2. 2. — см2. 3. а) см2; б) 3 см2.
2	5
К—3
Вар, 1. 1. б) 9 : 1. 2. б) 3 : 1. 3. Можно доказать, что
но	так как луч ВО — биссектриса угла АВЕ,
ОВ СА ВВ (JB
Значит,
Вар, 2. 1. а) 15 см; б) 1:9. 2. 13 : 4. 3. Задача реша-
ется аналогично задаче 3 из варианта 1.
Вар, 3. 1. б) 4 : 1. 2. б) 3. Треугольники МВК и АВС
~	ъ	ВС МВ МВ МО 2
подобны по двум углам. Значит, —— = ——, но —— =	= -, так
Ab L)i\	DB. kJJx. О
как ВО — биссектриса треугольника МВК,
Вар, 4. 1. а) 1 : 2; б) 1 : 9. 2. б) 1 : 5. 3. Задача решает-
ся аналогично задаче 3 из варианта 3.
150
К—4
о	J5
Вар. 1. 1. -, 15 мм. 3. а) 45°; б) см. 4*. Пусть внешний
о	2
прямоугольник имеет измерения а и Ъ (а > Ь), а ширина рамки
равна с. Тогда для подобия внешнего и внутреннего прямоуголь-
u Ъ — 2с а — 2с
ников рамки должно выполняться одно из условии: ---=------
Ъ а
Ъ — 2с а —2с -л л-
или-----=------. Можно доказать, что выполнение этих равенств
а b
невозможно.
Вар. 2. 1. 20 дм, 3. а) 3 см; б) 3^3 см. 4*. Пусть дан-
ный прямоугольник имеет измерения а и Ъ. Тогда для подобия об-
разовавшегося прямоугольника и данного должно выполняться
одно из условий:	или	= —. Последнее условие выполняет-
ся о 2Ь а
ся при а = ^2Ъ, что говорит о том, что образовавшийся и данный
прямоугольники могут быть подобными.
л/2	I-
Вар. 3. 1. 2 дм, 3. а) 45°; б) 4^2. 4*. Пусть квадрат со
стороной а разрезан на два прямоугольника со сторонами а, Ъ и
а - Ъ, а. Для подобия этих прямоугольников должно выполняться
одно из условии: — =---или — =----. Можно доказать, что эти
b а - b Ъ а
равенства невозможны.
3	28
Вар. 4. 1. 15 см, -. 3. а) 12 см; б) —^= см. 4*. Пусть прямо-
5	/3
угольник со сторонами а и Ъ разрезан на прямоугольники со сторо-
нами Ъ, с и а - с, Ъ. Для того чтобы образовавшиеся прямоугольни-
ки были подобны, должно выполняться одно из условий: — = ——-
Ъ Ъ
или - = ——-. Последнее условие может выполняться, например,
с Ъ
при а = 2,5,д=1,с = 2, что говорит о том, что образовавшиеся пря-
моугольники могут быть подобными.
К—5
Вар. 1. 1. 1 см. 2. 30°,	12 см. 3. а) 5 см; б) 4,1 см.
4.	Через точку О проведем лучи АО и ВО, пересекающие окруж-
ность в точкахМиН соответственно. Пусть прямые АН и ВМ пе-
ресекаются в точке О. Можно доказать, что /.АНВ = ZAMB =
= 90°. Тогда искомый перпендикуляр лежит на прямой СО.
Вар. 2. 1. 2 см. 2. 2 см, 90°, 45°. 3. а) 4^3 см; б) 15° или
75°. 4. Построим окружность с диаметром BD = ЕТ и окружность
с центром в точке В и радиусом, равным отрезку РО. Пусть вто-
рая окружность пересекает первую в точках А и С. Четырехуголь-
ник ABCD будет искомым.
151
Bap. 3. 1. ^3 см. 2. 4 см, 135°. 3. а) 22^2 см; б) 72^2.
4. Задача решается аналогично задаче 4 из варианта 1.
Вар. 4. 1. 4^2 см, 4 см, 4 см. 2. 4 см, 15°. 3. а) 4 см;
б) 30°, 150°. 4. Задача решается аналогично задаче 4 из вари-
анта 2.
К—6	___
Вар. 1. 2. а) МВ. = ±МА +±МС; б) СМ = |СА + ±СВ;
Z	Z	3	3
в) МАг - | АВ + 0 • АС; г) пусть точка Т — середина отрезка BBV
о
Тогда АТ =}-АВ+^~ АС. С другой стороны, ААХ=^АВ+^АС.
2	4	о о
Следовательно, ААг = ^АТ. Значит, точки А, Т, Аг лежат на од-
3
ной прямой.
Вар. 2. 2. а) АС = АВ +1AD; б) ВО = | AD -1 АО; в) АО =
3	о	о
= 1,5DM-1,5DE; г) DE =|DA + ±DB = ^DA + || DC + |DA =
Zj	Zj	Zj	zl I	о	J
= %DA + ^DC. Значит, DE < DA + DC, так как векторы DA и
3	2	3	2
DC неколлинеарны.
Bap.	3.	2.	a)	AM =	AB +1 AD;	6)	BO	= ±BA + |ВС;	в)	OD =
2	3	3
=±AP-±AM; r) OP = AP - AO = AD +±AB-%AB-±AD =
3	3	2	3	3
= | AD	-	i AB. Значит,	OP <	AD +	i AD,	так	как векторы	AD и
3	6	3	6
AB неколлинеарны.
Bap. 4. 2. a) DE = ±OC +^OD; 6) BO = ±AD-±AB; в) CO =
2	2	3	3
= -}-AB-^AD; г)* ОМ =^OA+^OE. С другой стороны,
3	6	э э
OD = О А + АОЕ. Следовательно, OD = 5ОМ. Значит, точки О, D, М
лежат на одной прямой.
К—7
Вар. 1. 1. а) 14^3; б) 120°, 60°; в) 7; г) нет; д) нет; е) да;
ж)	С А = CD +^СВ. 2. Примите данный отрезок за единицу и
з
постройте прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2.
Вар. 2. 1. а) 4^3; б) 3^3; в) 4 : 1; г) МВ	АС + НВ;
J13	2д/3
д)	можно; е) -у^-; ж) 2^3* ^усть дан отРезок	Отложим
на некоторой прямой последовательно два отрезка АВ = ЗРО и
152
ВС = 4РО. Построим полуокружность с диаметром АС. Через точ-
ку В проведем прямую, перпендикулярную АС, которая пересечет
полуокружность в точке D. Отрезок BD будет искомым.
Вар. 3. 1. а) 30°, 120°, 60°; б) 2^3; в) г) 90°; 60°;
90°, 120°; ж) ОМ = ^-OD + 4ОС. 2. Решается аналогично задаче 2
4	4
из варианта 2.
Вар. 4. 1. а) 1 : 9; б) 4; в) 3,5; г) нет; д) АВ = ±ТВ-СА;
о
J26
е)	ж) 90°, 135°, 135°. 2. Постройте прямоугольный тре-
угольник по катету, равному данному отрезку, и прилежащему
углу в 30°. Другой катет и будет искомым отрезком.
Задачи повышенной трудности
1.	Пусть треугольник АВС тупоугольный (угол С тупой) и
СМ — его медиана. Обозначим ВС = а; АС = Ь; АВ = с и СМ = иг.
Продолжим СМ за точку М и отложим отрезок MD, равный СМ.
Тогда ADBC — параллелограмм и AD = а. Очевидно, что
2m < а + b.	(1)
Кроме того, из условия следует, что DC < АВ, т. е. m < | и
2тп < с.	(2)
р
Из равенств (1) и (2) следует, что 4тп <a + b + cnm
2.	Через вершину С проведем прямую, параллельную АВ и пе-
ресекающую AD в точке К. По условию ВС + CD = АК + KD;
АК = ВС. Тогда KD = CD. В таком случае AKCD = ACKD. Кроме
того, ABAD - ACKD. Так как АС - CD, то AD = АСАК. В силу то-
го что АВ = ВС, можно утверждать, что ABCD — ромб и
АСАК = ^ABAD. Обозначим ABAD через х. Тогда AD = АСАК =
и AKCD = ACKD = х. Из треугольника KCD следует, что
х + х + ^ = 180° и х = 72. В таком случае ABAD = 72°. Остальные
углы находятся элементарно.
Ответ. 72°, 108°, 144°, 36°.
3.	Через точку Е проведем прямую, параллельную AD и пере-
секающую другую секущую в точке К. Так как КЕ || AD, то
ААВС = АСКЕ. Из того, что АВ = АС, следует, что ААВС =
= ААСВ. В таком случае АСКЕ - АКСЕ и КЕ = СЕ. Треугольни-
ки MBD и МКЕ подобны:	отсюда по доказанному
КЕ МЬ
КЕ = СЕ. Тогда ££ = S
UjC/ IVUL
153
4.	Рассмотрим треугольники AOD и ACD (О — точка пересе-
чения диагоналей): Z.ACD = ZBDA, Z.CAD — общий. Отсюда сле-
дует, что Д AOD °° Д ACD и
АО _ AD	/ч ч
AD ~ АС'	1 ’
Аналогично Д СВО °° Д АВС и
СО _ ВС
ВС АС'
Из равенств (1) и (2) следует, что AD2 = АО • АС и
ВС2 = СО • АС. Тогда AD2 + ВС2 = АС (АО + АС) = АС2, что и тре-
бовалось доказать.
5.	Проведем через точку D прямую, которая параллельна BF
и пересекает АС в точке К. Легко доказать, что AF = FK = КС.
Тгкт’тта Q _ 1 Q ___ 1 Q Q ____ S _ S _ S q ___ 1 q ___ S
югда &DKC — g &adc ~ £ °’ ^akd ~ ~2	~ ~3’ ^AMF ~ 4 &AKD ~ 12’
Ответ. Д.
Л Zj
6.	Пусть AC пересекает среднюю линию EM в точке F и
EF
—— = k. Обозначим
FM
(2)
&AEF ~ ^1’ &EBCF ~ ^2’ &FCM ~ ^3 И &AFMD ~ ^4*
Очевидно, что S2 + S3 = S; Д AEF °° Д ABC (коэффициент подо-
1	Si + S2 л
бия -). Тогда ------= у и S2 = 3SP Аналогично S4 = 3S3. Tpe-
Si	1
Sj EF
угольники AEF и FCM имеют равные высоты и —- = —— = k. Тогда
Од Г -М
Sj — ^S3 > S — S2 + S3 — 3Sj + S3 — 3A?S3 + S3 — (3k + 1) S3 у S3 — —-j
^трап =	+ S3 + S4 = Si + 3Sj + S3 + 3S3 = 4Sj + 4S3 =
= 4(Sj + S3) = 4(feS3 + S3) = 4(k + 1)S3 =
rx	4(k + l)a
Ответ. —------- S.
3k + 1
7.	Пусть M — середина AB и N — середина СВ. Положим,
что AN = *717 и CM = *7^ (* > 0)- Тогда AB = 2ky[5; AC = x;
CN = Jan2 - AC2 = 17*2 - x2; ВС = 2717*2-x2; AB2 = AC2 +BC2.
Отсюда 4,5*2 = x2 + 4 (17*2 - x2), x = 4*. Тогда AC = 4k и ВС = 2k
AC 2
Ответ. 1 : 2.
8.	В прямоугольном треугольнике АВС высота CD = h =
b2	a2
а проекции катетов на гипотенузу тп = — и п = —.
Рдг>с =тп + Ъ + PnRC = п + а + —.
с
154
т + п с
?ADC	?DBC	?АВС
fr2 + be + ab ас + a2 + ab a + b + c
a + b + c a + b + c a + b + c
ab
с
ас + а2
а + с
что и требовалось доказать.
9.	Диаметр вписанной окружности d = а + b - с, где а и b —
катеты треугольника.
(а + b)2 = а2 +Ь2 + 2аЬ а2 + Ь2 + а2 + Ь2 = 2с2. а * ab.
Отсюда а + Ъ с^2. Тогда
d =a + b-c с ft - с = с(^2 - 1),
что и требовалось доказать.
10.	Пусть катеты треугольника а и Ь, а гипотенуза с. В тре-
угольнике АСК СЕ — биссектриса, а потому
АЕ   АС	/-1 \
~ЁК ~ СК'	1 J
ь2
Проекция катета АС на гипотенузу АК = —. Тогда ЕК =
с
= — - АЕ-, h = СК =—. Из (1) следует, что
С	С	— - АЕ
С
АЕ = -^—; BE = АВ - АЕ =с---------=
а + с	а + с а + с
т. е. BE = СВ, что и требовалось доказать.
11.	Продолжим АР до пересечения с СВ в точке К. Опустим
из точек В и С перпендикуляры BE и СЕ на прямую АР. Тре-
угольники АВР и АСР равновелики и имеют общее основа-
ние АР. В таком случае их высоты BE и CF равны. Прямоуголь-
ные треугольники ВЕК и CFK равны по катету и острому углу
(АВКЕ = Z.CKF). Отсюда следует, что ВК - КС, т. е. АК — меди-
ана. Аналогично можно доказать, что Р лежит на медиане ВМ.
Следовательно, Р — точка пересечения медиан треугольника.
12.	Из центров окружностей Ох и О2 проведем радиусы ОГВ и
О2С в точки касания (рис. 64): ОГВ ± т и О2С ± п, но т || п и
ОГВ || О2С. ЛАОГВ = 2а и ЛАО2С = 2р (свойства углов, составлен-
ных касательной и хордой). Так как ОХВ || О2С, то ЛАО^В +
+ ЛАО2С = 180°, т. е. 2а + 2р = 180° и а + р = 90°, но А AM В =
155
= ZACP - p. Следовательно, треугольник ВАМ прямоугольный и
угол ВАС прямой.
13.	На рисунке 65 углы С АВ и DAB составлены касательной
и хордой. Поэтому ZCAB = ±^АпВ и ZDAB = ^^АтВ. Так как
углы АСВ и ADB вписанные, то ЛАСВ = ± -АтВ и zAADB =
= ^АпВ. Следовательно, ЛАСВ = ZDAB и ZCAB = ZADB. Из
этого следует, что A ABC m A DBA и	Из этих ра-
венств имеем АС • DB = АВ • DA и AD • ВС = АВ • АС.
Обе части первого равенства умножим на АС, а второго — на
AD. Тогда АС2 • DB = АВ • DA АС и AD2 ВС = АВ АС • DA.
Из последних двух равенств вытекает, что АС2 • DB = AD2 • ВС.
14. На рисунке 66 окружности с центрами в точках и О2
касаются прямой пг в точках А и В; ОгА ± тп и О2В ± тп. Следова-
тельно, ОХА || О2В. Пусть ААОХМ = а. Тогда АВО2М = 180° - а.
Треугольники АОХМ и ВО2М равнобедренные и ЛАМОХ = 90° -
а АВМО2 = ААМВ = 180°- 90°--
2	2	12
- = 90°.
2
Следовательно,
точка М принадлежит окружности с диаметром, равным АВ.
Ответ. Окружность с диаметром, равным АВ.
156
15.	Пусть радиус окружности ра-
вен R (рис. 67). Имеем:
(АВ + АС) (АВ + ВС) =
= АВ2 + АС -АВ + АВ -ВС + АС -ВС =
= АВ (АВ + АС + ВС) + АС - ВС;
АС + ВС + АВ =
= МС - МА + CN -BN + АВ =
= 2R - АК - ВК + АВ = 2R,
Было использовано то, что
МА = АК и BN = ВК, Тогда
(АВ + АС) (АВ + ВС) =
= АВ - 2R + АС - ВС,
Площадь квадрата OMCN равна R2. Она равна сумме площа-
дей треугольников ЛОВ, ON В, ОМА и АВС:
|АВ-В + |В(Д-ВС) + |В(Л- АС)+ АС2ВС = в2.
Отсюда следует, что АС - ВС = R (ВС + АС - АВ), В таком случае
(АВ + АС) (АВ + ВС) = 2АВ • R + R (ВС + АС - АВ) =
= R (2АВ + ВС + АС - АВ) = R (АВ + АС + ВС) = 2R2
и не зависит от положения точки К,
16.	Пусть центры окружностей Ог и О2, а точка их касания К,
Точки Ор К и О2 лежат на одной прямой и О1О2 = 7^ + В2 есть
средняя линия трапеции, тогда AD + ВС = 2RX + 2В2; АВ = 2ВР и
CD - 2R2. Тогда AD + ВС = АВ + CD и в трапецию можно вписать
окружность.
17.	Рассмотрим треугольник BDC: ADBC = 20°, ZC = 40°. Тог-
да ABDC = 120° и ВС > BD. На стороне ВС откладываем отрезок
BE, равный BD, Докажем, что ЕС = AD, В треугольнике DBE
BD = BE и ABDE = ABED = 80°. Тогда AEDC = 120° - 80° = 40° =
= ADCE, Отсюда ЕС = DE; ADE = 180° - 40°= 140°, а так как
ААВЕ - 40°, то AADE + ААВЕ = 180°. Это значит, что вокруг че-
тырехугольника ABED можно описать окружность; AAED =
= AABD как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же ду-
гу. Тогда AAED = 20°. Аналогично ADAE = 20°, В таком слу-
чае треугольник ADE равнобедренный и AD = DE = ЕС, Тогда
ВС = BE + ЕС = BD + AD,
18.	Пусть Е и F — середины противоположных сторон АВ и
CD четырехугольника.
вв = |вс+ |ЁВ =
= |(£В + ВС) + |(ВА + AD) =
= |(ЁВ + ВС + ЕА + AD) =
= |(ВС + AD),
157
Рис. 68
так как ЕВ+ЕА=О. По условию
EF _ BC +AD	ПОЛуЧИЛИ> что
| EF |= ||ВС + AD |= |(|ВС | + | AD |).
Zj	Zj
Это возможно только в том случае,
если ВС tt AD, так как ВС || AD и
ABCD — трапеция, что и требова-
лось доказать.
19.	Рассмотрим сумму векто-
ров LP, QN и МК (рис. 68):
LP + QN + МК = BP - BL + CN - CQ + АК - AM. Из условия сле-
дует, что BP = CQ, АК - BL и AM =CN. В таком случае
LP +QN + МК = 0. Этим и доказывается, что из отрезков КМ, LP
и QN можно составить треугольник.
20.	Пусть биссектрисы АЕ, BF и CD треугольника АВС пере-
АО ВО СО т m
секаются в точке О и пусть--= — =-----= —. Тогда
ОЕ OF OD п
АО = AF + АВ =   АС + —— АВ.	(1)
т + п т + п 2(т + п) т + п
С другой стороны,
АО =	AD + —— АС =   АВ + —— АС.	(2)
т + п т + п 2(т + п) т + п
Из равенств (1) и (2) следует, что
2АО =
т±2п^ +
2(т + п)
т + 2п
2(т + п)
АС и АО =
АВ
4(т + п)
т + 2п
4(т + п)
Пусть +	= k. Тогда АО = kAB + kAC, Аналогично
4(тп + п)
СО = kCA + kCB и ВО = kBA + kBE. Имеем АО + СО + ВО =
= k(AB + AC +СА+СВ +ВА +ВС) = Ъ, или ОА +ОВ +ОС = 0,
т. е. О — точка пересечения медиан треугольника, которая совпа-
дает с точкой пересечения биссектрис. Следовательно, треуголь-
ник АВС равносторонний.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .......................................... 3
Распределение самостоятельных и контрольных работ
по пунктам учебника................................... 6
Самостоятельные работы................................ 7
Контрольные работы................................... 85
Математические диктанты..............................113
Задачи повышенной трудности..........................122
Ответы и указания....................................124
Самостоятельные работы............................—
Контрольные работы...............................150
Задачи повышенной трудности......................153
Учебное издание
Зив Борис Германович
Мейлер Вениамин Михайлович
ГЕОМЕТРИЯ
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
8 КЛАСС
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
Младший редактор Н. В. Ноговицина
Художественный редактор О. П. Богомолова
Художники Е. М. Молчанову О. П. Богомолова, Е. В. Соганова
Технический редактор С. В. Щербакова
Корректоры Г. П. Быстрова, Л. С. Александрова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК
005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в пе-
чать 13.01.10. Формат 60х901/16. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная.
Печать офсетная. Уч.-изд. л. 6,62. Тираж 20 000 экз. Заказ № 29560.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
____f9_____
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Выпускаем
► Учебники
► Методическую литературу
► Научно-познавательную литературу
► Словари и справочную литературу
► Наглядные пособия и карты
► Учебные мультимедийные пособия
Обучаем
Интернет-школа «I lpocHeiuciine.ru»
125315, Москва, у\. Балтийская, 14
Тел.: (495) 155-4403, 729-3522, 729-3533
E-mail: office@intcrnet-school.ru
Представляем
На сайте издательства для наших
партнеров, учителей и родителей
► Каталог выпускаемой продукции
► Методические пособия, презентации,
программы повышения квалификации, поурочные
разработки, аулиокурсы mp3
► Информационно-публицистический
бюллстс и ь «11 р( >свег uei ше»
► Форумы «Просвещение», «Спрашивайте?
Отвечаем!»
► Ссылки на образовательные интсрнет-рссурсы
► Адреса региональных кшноюрювых структур
Приглашаем к сотрудничеству
► Учреждения лоно \ш цельного пела! отческою
<х5разованпя и библиотеки с целью проведения
авторских и методических семинаров
► Кпшогор1овые структуры для сотрудничества
по продвижению литературы издательства
Издательство «Просвещение»
127521, Москва.
3-й проезд Марьиной рощи. 41
Тел. (495) 789-3040
Факс (495) 789 3041
E mail: prosv^prosv ги
www.prosv.ru
Интернет-магазин Umlit.ru
Доставка почтой по России, курьером по Москве
129075, Москва, ул Калибровская, 31А
ООО «Абрис Д»
Тел (495)981 1039
Е mail zakaz^umht.ru
www.umlit.ru
Учебно-методическим
комплект по геометрии
для 7-9 классов
включает:
Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев,
Э.Г. Позняк, И.И. Юдина
УЧЕБНИК ДЛЯ 7-9 КЛАССОВ \
Т.М. Мищенко, А.Д. Блинков
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ
Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ у
к для 7-11 классов
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Л.С. Атвнасян, В.Ф. Бутузов,
Ю.А. Глазков, И.И. Юдина
РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ
Б.Г. Зив, В.М. Мейлер
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,
Ю.А. Глазков, В.Б. Некрасов, И.И. Юдина
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
в 7 - 9 классах