МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
В.Д.ЛАШКЕЕВА, Ю.Н.МАЛЬЦЕВ
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Издательство Алтайского
государственного университета
Барнаул, 2000
УДК 512.8
Л 32
Л 32 Лашкеева В.Д., Мальцев Ю.Н.
Высшая алгебра и аналитическая геометрия: Учебное
пособие для студентов физического факультета.
Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2000. 321 с.
Настоящее пособие расширенный вариант лекций по
курсу ’’Высшая алгебра и аналитическая геометрия”, чи-
таемого авторами в Алтайском университете в течение
многих лет. В пособии приведены примеры и задачи, ил-
люстрирующие основные теоремы курса.
Печатается по решению Учебно-методической комиссии
физического факультета и при финансовой поддержке по
проекту 2.1-252 ’’Учебно-научный центр РАН и МОПО
научно-исследовательский институт экологического мони-
торинга при АГУ” ФПЦ ’’Государственная поддержка ин-
теграции высшего образования и фундаментальной науки
на 1997-2000 г.г.”
©Лашкеева В.Д., Мальцев Ю.Н., 2000
Оглавление
1.	Предварительные сведения	8
2.	Векторы	14
2.1.	Определение вектора. Основные операции .	14
2.2.	Смешанное произведение векторов. Разло-
жение вектора по базису.	Координаты вектора 20
2.3.	Приложения........................ 25
3.	Прямая на плоскости	29
3.1.	Общий вид уравнения прямой. Геометричес-
кий смысл ее коэффициентов............. 29
3.2.	Угол между прямыми. Условие параллель-
ности и перпендикулярности прямых. Рас-
стояние от точки до прямой............. 30
3.3.	Основные задачи................... 31
4.	Плоскость и прямая в пространстве	33
4.1.	Уравнение плоскости. Геометрический смысл
коэффициентов уравнения. Угол между плос-
костями. Условие параллельности и перпен-
дикулярности плоскостей................ 33
4.2.	Расстояние от точки до плоскости.. 34
4.3.	Уравнение прямой.................. 35
3
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.	Кривые и поверхности	40
5.1.	Уравнение линии. Уравнение окружности	.	40
5.2.	Парабола .................................. 42
5.3.	Оптическое свойство параболы.......... 45
5.4.	Эллипс................................ 47
5.5.	Оптическое свойство эллипса........... 57
5.6.	Гипербола............................. 59
5.7.	Асимптоты гиперболы................... 66
5.8.	Оптическое свойство гиперболы......... 68
5.9.	Диаметры параболы, эллипса, гиперболы .	.	69
5.10.	Касательные к параболе, эллипсу, гиперболе	74
5.11.	Преобразование прямоугольной системы ко-
ординат .................................... 75
5.12.	Приведение общего уравнения кривой второ-
го порядка к каноническому виду........... 77
5.13.	Поверхности второго порядка .............. 84
5.14.	Классификация поверхностей второго порядка	89
5.15.	О прямолинейных образующих поверхностей
второго порядка........................... 98
6.	Векторные пространства	101
6.1.	Понятие алгебраической операции. Опреде-
ление группы, кольца, поля. Примеры. Поле
комплексных чисел ......................... 101
6.2.	Определение векторного пространства. При-
меры. Изоморфизм векторных пространств 108
6.3.	Лемма о линейно зависимых векторах. Сис-
тема образующих векторного пространства 111
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
6.4.	Базис векторного пространства. Теорема о
дополняемости линейно независимой систе-
мы векторов до базиса конечномерного простран-
ства ...................................... 114
6.5.	Определение подпространства, линейного мно-
гообразия. Примеры. Сумма и пересечение
подпространств. Характеризация линейных
многообразий. Размерность суммы двух под-
пространств ............................... 117
7.	Алгебра матриц	122
7.1.	Векторное пространство прямоугольных матриц.
Умножение матриц. Размерность простран-
ства матриц................................ 122
7.2.	Определение алгебры. Алгебра квадратных
матриц. Единичная матрица. Обратная матри-
ца ........................................ 126
8.	Определитель матрицы	132
8.1.	Группа подстановок.................... 132
8.2.	Определение определителя. Основные свойс-
тва определителя .......................... 137
8.3.	Теорема Лапласа и ее следствия........ 146
8.4.	Обратная матрица. Правило Крамера .... 154
9.	Системы линейных уравнений	159
9.1.	Метод последовательного исключения неиз-
вестных (метод Гаусса)..................... 159
9.2.	Ранг матрицы ......................... 165
9.3.	Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм ре-
шения системы линейных уравнений (с по-
мощью ранга матрицы)....................... 169
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
9.4.	Однородные системы линейных уравнений.
Описание множества решений произвольной
системы линейных уравнений как линейного
многообразии ........................ 174
10.	Кольцо многочленов	180
10.1.	Определение кольца многочленов. Наиболь-
ший общий делитель....................... 180
10.2.	Основная теорема арифметики для кольца мно-
гочленов ................................ 185
10.3.	Корни многочленов ................. 189
10.4.	Основная теорема алгебры........... 191
10.5.	Границы корней..................... 196
10.6.	Приближенное вычисление корней..... 200
10.7.	Алгоритмы решения кубических уравнений
и уравнений четвертой степени............ 203
10.8.	Симметрические многочлены.......... 209
10.9.	Формулы Ньютона и Баринга ......... 215
11.	Линейные операторы	223
11.1.	Алгебра линейных операторов........ 223
11.2.	Треугольная форма матрицы линейного опера-
тора .................................... 240
11.3.	Жорданова нормальная форма матрицы ли-
нейного оператора........................ 248
12.	Унитарные и евклидовы	пространства	266
12.1.	Основные определения. Ортонормированные
системы векторов. Неравенство Коши-Буняковского266
12.2.	Сопряженные линейные операторы .... 279
12.3.	Нормальные операторы............... 282
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
13.	Квадратичные формы	303
13.1.	Приведение квадратичной формы к главным
осям................................... 303
13.2.	Положительно определенные квадратичные фор-
мы .................................... 310
Литература	318
Глава 1.
Предварительные сведения
Пусть X и Y - множества. Говорят, что X содержится
в Y или X - подмножество Y (в обозначении X С У),
если каждый элемент х Е X принадлежит У (т.е. х Е У).
Пересечением множеств X и У называется множество
X А У — {д | а Е X и а Е Y .
Объединением множеств X и У называется множество
X U У = {а Е X или а Е У}.
Если X. Y, Z - подмножества множества А, то
X А (У и Z) = (X А У) и (X A Z).
Действительно, множества равны, если они состоят из од-
них и тех же элементов. Возьмем любой элемент а из
левой части X А (У U Z). Тогда а Е X и a EYUZ. Откуда
следует, что а Е У либо а Е Z. Поэтому либо а Е X А У,
либо а Е X A Z, т.е. а Е (X А У) U (X A Z). Итак, мы
доказали, что
X А (У U Z) С (X А У) U (X A Z).
8
9
Докажем обратное включение. Если b Е (X П У) U (X П Z),
то, например, b Е X П Z. Откуда следует, что b Е X и
b Е Z. Поэтому b Е X и b eYUZ, т.е. b Е X П (У U Z).
Итак, правая часть содержится в левой части, и мы до-
казали искомое равенство (называемое законом дистри-
бутивности для множеств). Пусть X —> У - функция,
отображающая множество X в множество У. Эта функ-
ция / называется инъективной, если для любых элемен-
тов a,b Е Х(а Ь) их образы не равны между собой, т.е.
/(а) ф f(b). Функция / называется сюрьективной, если
для любого элемента с Е У существует элемент а Е X
такой, что /(а) = с. Если / - инъективная и сюръектив-
ная функция, то / называется биективной (или взаимно
однозначной) функцией. Например, функция /(ж) = х + 1
будет биективной, а функция /(ж) = ж2 не будет биектив-
ной на множестве всех действительных чисел R. Обозна-
чим через N = {1,2,3,...}- множество всех натуральных
чисел, Z = {0, ±1, ±2,...} - множество всех целых чисел,
Q = {£; р, q е Z, q 0} - множество всех рациональных
чисел, С = {а + bi; a,b Е R, г2 = —1} - множество всех
комплексных чисел.
Пусть Hi, Д.2,..., Ап - некоторые множества. Декарто-
вым (или прямым) произведением этих множеств называ-
ется множество
Аг х Л2 х ... х Ап = {(п1,а2,аз, • • • а Е Л, i = 1, п},
состоящее из всех упорядоченных n-ок. В частности, ес-
ли Аг = Л2 = ... = Ап = А, то декартово произведе-
ние А х ... х А = Ап называется п-й декартовой степенью
множества А.
10
ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Определение. Пусть А некоторое множество. Отобра-
жение : Ап —> А называется п-арной алгебраической
операцией на множестве А.
Если п = 1, то w/1) называется унарной операцией, если
п = 2, то называется бинарной алгебраической опера-
цией.
Пусть дано множество (G, ) с выделенной на нем би-
нарной алгебраической операцией. G называется группой,
если выполнены следующие аксиомы:
1)	для любых элемитов a,b,c Е G(a  b)  с = а  (b  с) (ассо-
циативность);
2)	существует такой элемент е Е G, что а • е = е • а = а для
любого элемента а Е G;
3)	для любого элемента а Е G существует такой элемент
а-1, что а  а-1 = а-1 • а = е.
Например, <Z,H->, (R,+), (Q,+>, <Q+,->, (R+,-)-груп-
пы, где Q+, R+ - множества положительных рациональных
и действительных чисел (соответственно).
Множество (К, +, •) с двумя бинарными операциями ” +
” и ” • ” называется кольцом (ассоциативным), если 1)
(К, +) - группа; 2) для любых элементов a,b,c Е К а + Ъ =
&+а, а-(&+с) = а-б+а-с, (а + &)-с = а-с+б-с, (ab)c = а(Ьс).
Например, (Z, +, •) - кольцо. Кольцо (F,+,•) называет-
ся полем, если 1) существует элемент е Е F такой, что
а • е = е • а = а для любого элемента а Е F; 2) для любого
ненулевого элемента b Е F существует элемент b Е F та-
кой, что Ыг1 = b~rb = е; 3) a-b = b-а для любых элементов
a,b Е F. Например, (Q, +, •) и (Л, +, •) - поля.
Перейдем к изложению метода математической индук-
ции - важного инструмента при доказательстве многих
математических утверждений. Пусть дано некоторое ма-
11
тематическое утверждение р(п), зависящее от натураль-
ного аргумента п Е N. Доказательство истинности р(п)
для любого числа п Е N разбивается на три этапа.
Первый этап. Проверяем истинность р(п) при п =
1,2.
Второй этап. Делаем предположение индукции об ис-
тинности нашего утверждения р(п) для всех п < т.
Третий этап. Доказываем истинность р(п) при п =
т + 1.
Почему в случае прохождения всех этих трех этапов
наше утверждение р(а) истинно для любого числа а Е N7
Предположим, что существует число Е N такое, что
р(&1) - ложное утверждение. Рассмотрим последователь-
ность утверждений р(1),р(2),... ,p(&i — 1). Согласно треть-
ему этапу среди вышеприведенных утверждений сущест-
вует ложное утверждение, т.е. существует число Ь2, мень-
шее &i, такое, что р(Ь2) - ложное утверждение. Рассуждая
аналогично, мы построим убывающую цепь натуральных
чисел > &2 >	> • • • таких, что p(bk) - ложное утверж-
дение, где к = 1, 2,.... Противоречие.
Пример 1. Доказать, что для любого числа
,т „	~	п(п + 1)
п Е N, 1 + 2 + ... + п =------.
Решение. Воспользуемся методом математической ин-
дукции. Если п = 1, то 1 = —2^, и наше утверждение
верно. Если п = 2, то 1 + 2 = и наше равенство ис-
тинно. Сделаем предположение индукции об истинности
нашего равенства при п = т и докажем его при п = т + 1.
Имем, что (1+2+.. .+m+m-|-l) = (1+2+.. .+m) + (m-|-l) =
+ (т + 1) = |,,l+iy+'2) = (’"+4(yi)+T Такин обра_
12
ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
зом, наше равенство верно и при п = т + 1. Следовательно,
оно всегда истинно.
Пример 2. (Бином Ньютона)
Для любых чисел a,b Е R и для любого натурально-
го числа п верно равенство (а + 6)” = С^ап + C^an~lbl +
С2ап-2&2 + ... + Скап~кЬк + ... +	+ С^Ьп, где
Ск = рАш, n! = 1 • 2 • 3 ... (п — 1)п, 0! = 1.
ft	к\(п—куу	\	’
Решение. Проверим истинность данного равенства ме-
тодом математической индукции (относительно числа п).
Если п = 1, то (а + &)1 = С®а + С\У и наше равенство
верно. Если п = 2, то (а + &)2 = С^а2 + +С%аЬ + С*2&2, и
наше равенство истинно. Сделаем предположение индук-
ции об истинности нашей формы при п < т и докажем ее
при п = т + 1. Для этого рассмотрим (а + &)m+1. Имеем
(а + b)m+1 = (а + Ь)т • (а + 6) = (C>m + С^а^Ь + ... +
CZam~kbk + ... + C™bm)(a + b) = С°тат+1 + (С°т + С^)Л +
(С^+С^)ат-Ч2 + .. . + (Скт~ЧСкт)ат+1-кЬк + .. .+C™bm+1 =
C^+1am+1 + Ck+1amb + С^+1ат-Ч2 + ... + C^+1am+1~kbk +
i pn+hm+l	^k-li^k _ ________m\_____, m! _
•	5 ТЭК как -ГС „(	(fc-l)!(m-&+l)! kl(m-k)l
____"Д____(___3_ _i_ 11 — _(w+x)!_ — Г‘1' О < ] < m -I- 1
(fc-l)!(m-fc)Am+l-fc k) ~ к\(т+1-к)\ ~	О	Л	//i	T ±.
Таким образом, наша формула верна при п = т + 1. Поэ-
тому искомое равенство доказано.
Пример 3. Пусть М = {од,..., ап} - некоторое мно-
жество из п элементов. Обозначим через рп число всех
различных перестановок элементов этого множества. То-
гда рп = п\.
Докажем это утверждение методом математической ин-
дукции относительно числа п. Если п = 1, то pi = 1 = 1!.
Если п = 2, то р2 = 2 = 2!, так как существуют только
две перестановки исходного множества: {од, «2} и {<22? «1}-
Сделаем предположение индукции об истинности нашего
13
утверждения для n-элементных множеств и докажем его
для множества
L — {(21, (22, . .
®п 1

По предположениею индукции число всех перестановок эле-
ментов множества L таких, что an+i стоит на первом мес-
те, равно п\. Аналогично, число всех перестановок элемен-
тов множества L таких, что an+i стоит на втором месте,
равно п\ и т.д. Поэтому число всех перестановок рп+\ =
п! + п! + . • • + п\ = n!(n + 1) = (п + 1)! Таким образом,
п+1
наша искомая формула доказана.
Пример 4. Пусть дано множество М = {<21,..., ап} из
п элементов. Обозначим через - число всех подмно-
жеств из к элементов (к элементное подмножество назы-
вается иногда сочетанием). Тогда = дтууду-
Докажем искомое равенство методом математической
индукции относительно числа п(п > к). Если п = к, то
Ск = 1 = Сделаем предположение индукции об ис-
тинности нашей формулы для п элементных множеств и
докажем ее для множества {<21,... ,ап, an+i}. Для этого до-
кажем сначала равенство С„+1 =	Число всех
к элементных подмножеств, не содержащих a„+i, равно
(по предположению индукции) С%. Рассмотрим теперь те
^-элементные подмножества, которые содержат фиксиро-
ванный элемент an+i.Каждое из них однозначно определя-
ется оставшимися элементами (их число равно к — 1) из
множества {<21, <22,..., ап}, т.е. их число равно С^-1. Поэ-
том v Ск — Ск А- Ск~г — п! -I_________п!	— (п+1)!
lUMy С/)+|	— щп_ку “Г (fc_pi(n+1_fc)| — k\(n+l-k)r
Таким образом, искомая формула доказана.
Глава 2.
Векторы
2.1.. Определение вектора. Основные опера-
ции над векторами
Вектор направленный отрезок АВ. Точка А считается
началом вектора, а точка В - его концом (рис. 1).
А............В
рис.1
Направление указывается стрелкой. Векторы а и b на-
зываются равными, если существует параллельный пере-
нос, переводящий начало вектора а в начало вектора 6, а
конец вектора а в конец вектора Ь. Легко видеть, что отно-
шение равенства является отношением эквивалентности,
т.е. если а равен 6, то b равен а, и если а равен 6, b равен
с, то и а равен с. Длина отрезка АВ называется модулем
(или длиной) вектора АВ и обозначается |АВ|. Нулевой
вектор вектор АА. Введем основные операции на мно-
жестве векторов. Определим сумму векторов а + b как
вектор, у которого начало совпадает с началом вектора а,
а конец с концом вектора b (6 параллельно перемещен так,
14
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
15
что его начало совпадает с концом вектора а). Очевидно,
исходя из рис. 2, определяется разность (хотя эта опера-
ция является производной от операции сложения).
рис. 2
Легко проверить следующие равенства (для любых век-
торов а, 6, с):
1)а + Ъ = b + а (коммутативность);
2)(а + Ь) + с = а + (6 + с) (ассоциативность);
3)а + 0 = а.
Докажем, например, равенство 2). Исходя из определе-
ния имеем, что
Ь
, Л \
CiC........________
рсс.3
К сожалению, доказательство не является строгим с фор-
мальной точки зрения. В будущем этот пробел будет устра-
нен введением в рассмотрение линейных (арифметичес-
ких) пространств. Из определения сложения и неравен-
ства треугольника следует неравенство |а + Ь\ < |а| + \Ь\.
Если а = АВ, то положим —а = В А. Тогда а + (—а) = 0.
Пусть а Е R. Положим аа - вектор, длина которого равна
16
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
|а| • |а|, а направление совпадает с направлением а, если
а > 0, и противоположно а, если а < 0. Если а = 0, то
будем считать, что 0 • а = 0. Приведем основные свойства
этой операции:
(а/3)а = <т(/3а);
(а + /3)а = аа + /За;
а(а + 6) = а • а + а • 6;
1 • а = а,
где а,/3 6 R,a,b - векторы. Докажем, например, что
а(а + Ь) = аа + ab. Если а = 0, то 0 = 0 + 0 = 0. Если
b = уа, то а(а + уа) = а(1 + у)а = аа + сг/а = аа + ab (см.
второе равенство, которое легко доказывается независи-
мо от третьего). Если а, b - ненулевые непараллельные
векторы, то доказательство следует из рис. 4
рис. 4
Определение. Скалярным произведением двух векторов
а и b называется число a-b = |а11b|cos(f>, где у - угол между
векторами а и Ь.
Отметим очевидные свойства скалярного произведения:
1)	ab = ba;
2)	а • а = |а|2;
3)	(Аа)6 = А(а6);
4)	(Аа)(/ш) = A/z, если |а| = 1, А, ц Е R',
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ 17
5)	а • b = 0 <=> а = 0 или b = 0, или а перпендикулярен
вектору Ь.
Докажем дистрибутивность скалярного произведения, т.е.
для любых векторов а, 6, с : (а + Ь)с = а • с + b • с. Для этого
заметим, что а  b равно а  Ь, где а - проекция вектора а
на прямую, содержащую вектор b :
При этом проекция суммы векторов а + с равна сумме
проекций а + с :
рис, 6
Перейдем к доказательству дистрибутивности. Пусть е
- единичный вектор, параллельный с и а, b - проекции на
прямую, содержащую с. Тогда (а + Ь) • с == (а + Ь) • с =
(а + &) • с = (а • е + /3 • е) • уе = (а + /3)у = а • у + /3 • у =
а-с + &- с = а- с + &-с, где а = а • е, b = /3 • е, с = у • е.
18
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
Определение. Векторным произведением векторов а
и b называется вектор с = а х 6, длина которого равна
площади параллелограмма, натянутого на векторы а и b
(т.е. |а х b\ = |а||&|sm<p), перпендикулярный к плоскости
этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы
кратчайший поворот от а к b вокруг вектора с был против
часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с (т.е.
”по правилу буравчика”):
Из определения следуют очевидные свойства векторно-
го произведения:
1)	а х а = 0;
2)	а х b = —(& х а);
3)	(Ла) х b = Л(а х 6) = а х (Л6);
4)	а х b = 0 <=> а = 0 или b = Ла.
Докажем дистрибутивность векторного произведения:
(а + Ь) х с =
а х с + b х с.
Для этого определим проекцию а' вектора а на плоскость
как вектор, началом которого является проекция начала
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ 19
вектора а, а концом проекция конца вектора а. Из рис.
8 следует, что (а + Ь)' = а' + Ъ' :
Пусть 7г - плоскость, перпендикулярная вектору с. То-
гда а х с = а' х с, где а1 - проекция а на тг, и если |с| = 1,
то а х с содержится в плоскости тг и получается из а1 по-
воротом на 90°.
Ввиду свойства 3) при доказательстве дистрибутивнос-
ти будем считать, что |с| = 1. Тогда доказательство сле-
дует из рис. 9 и замечания, что в плоскости тг, сложив
векторы а' + Ь1 = (а + Ь)' и повернув полученный вектор
(а + by на 90°, мы получим вектор, который можно было
получить сложением векторов а х с и b х с, полученных из
а1 и Ь1 поворотом на 90°.
Таким образом, (а + Ь)1 х с = а' х с+Ъ' х с или (а+ 6) х с =
а х с + b х с.
20
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
2.2.. Смешанное произведение векторов.
Разложение вектора по базису.
Координаты вектора
Определение. Смешанным произведением векторов а,
6, с называется число (abc) = (а х Ь) • с. Из определения
следует, что (абс) = 0 <=> векторы а, 6, с компланарны,
т.е. параллельны одной плоскости.
Заметим далее, что модуль смешанного произведения -
объем параллелепипеда, натянутого на векторы а, 6, с. Дей-
ствительно (см. рис. 10), а х b = S • е, где S - площадь
параллелограмма, натянутого на векторы а,Ь,е - единич-
ный вектор, перпендикулярный основанию и направлен-
ный по ’’правилу буравчика”.
Так как |е-с| = h - высота параллелепипеда, то |(а&с)| =
V - его объем. Легко видеть, что (abc) = а(Ь х с) и следо-
2.2. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ...
21
рис. 10
вательно, (abc) = —(bac) = — (acb) = (cba) = (Ьса).
Если ei, 62, ез - произвольные некомпланарные векторы,
то произвольный вектор а единственным образом предста-
вим в виде
а = А161 + А2е2 + -^зез-
Действительно, спроектируем конец вектора а парал-
лельно вектору ез на плоскость, натянутую на векторы
61, е2 :
Тогда а = а' + а" и, так как а" = Азбз, а' = Aiei +
то существование разложения доказано.
22
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
Замечание. Мы воспользовались представлением век-
тора а' в виде линейной комбинации векторов ех, е^:
/	а
Докажем единственность такого разложения. Если а =
//хех + /1262 + Л^зез и, например, Ах //х, то
1 (Ах - Н (Ах -	•
Это влечет компланарность векторов {ех, 62,63}. Проти-
воречие. Числа Ах, А2, A3 называются координатами век-
тора а относительно базиса {ех, 62,63}.
Выберем базис, состоящий из трех единичных попар-
но перпендикулярных векторов z,}, к (такой базис назовем
декартовым, а соответствующую систему координат - де-
картовой). Тогда из разложения
a = x- i + y- j + z- k
следует, что
х = а • i у = а • j, z = а • к.
Далее, если b = x\i + y±j + Zik то а ± b = (ж + жх)г + (у ±
yi)j + (z ± zi)k, X  а = (Аж) • i + (Ху)  j + (Xz)  к и
а -Ь = (х • i + у • j + z • к)(х±  i + у±  ji + z  к) = (х • жх)(г • г)+
2.2. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ...
23
+ (ж • У1)(i-j) + (ж • )(г • к) + yxi(j-i)+y-yi(j-j) + (у  z^j  к)
+ (zxi)(k  i) + zy\(k  j) + (zzi)(k • k) = x • Xi + у •	+ z • Zi,
так как i • i = j • j = к • к = 1, i • j = i • к = j • к = 0.
Далее,
a x b = xx\{i x г) + xyi(i x j) + xzi(i x k) + yx\{j x г)+
+Wi(j *j)+y- Zi(j x k) + zxi(k x i) + zyi(k x j) + zzi(k xk) =
= i(yzr - yrz) + j(xiz - xzr) + k(xyi - xry)
U V
p q
m n
w
t
к
i j к
X у z
Xi yi 2Д
где
= ut — vs,
P
m
t
к
q
n
Пусть c = ж2г + y^j + z^k. Вычислим смешанное произ-
ведение
z
(абс) = (а х &) • с =
У
У1
х
Xi
• У2 +
• т2 +
Xi
X у Z
Т1 yi 2Д
Ж2 У2 Z^
Пример 1. Для любых трех векторов а,Ь, с справедли-
во равенство
(«х &) х с = b(ac) — а(Ьс).
24
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
Решение. Выберем декартову систему координат та-
ким обрзом, что а = (яд, 0,0), b = (т2, у2, 0), с = (жз, ?/з, z3).
Вычислим левую часть равенства:
(а х Ь) х с =
z j к
0 0
•О У2 0
х (x3,y3,z3) =
j к
0 хгу2
Хз Уз 23
= (-Х1У2УЗ, ХгХ3у2,0).
С другой стороны, правая часть равна
b(ac) - a(bc) = b(xix3) - а(х2х3 + у2уз) =
= Ui-O-A;, У2Х1Х3,0) - (Т1Т2ЖЗ + Хгу2уз, 0,0) =
= (-Х1У2УЗ, У2Х1Х3,0).
Итак, искомое равенство доказано. Оно влечет за собой ин-
тересные следствия. Справедливы следующие следствия.
Следствие 1 (тождество Якоби). Для любых векторов
пространства справедливо тождество
(а х Ь) х с + (с х а) х b + (6 х с) х а = 0.
Действительно, складывая левые и правые части равенств
(а х 6) х с = 6(ас) — а(6с),
(с х а) х b = а(Ьс) — с(аЬ),
(Ь х с) х а = с(аб) — 6(са),
2.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
25
мы получаем искомое равенство.
Следствие 2. Для любых векторов a,b,c,d простран-
ства R^ справедливы тождества:
1)	(а х 6) х (с х d) = b(acd) — a(bcd);
2)	a(bcd) — b(acd) + c(dab) — d(cab) = 0;
3)	если b,c,d— некомпланарные векторы в R^3\ то
(bed) (bed) (bed)
Замечание. Пункт 3) дает нам алгоритм для нахожде-
ния координат вектора а относительно произвольного ба-
зиса 6, с, d.
Доказательство. Равенство 1) следует из примера 1.
Равенство 2) следует из антикоммутативности векторного
произведения и из сложения левых и правых частей сле-
дующих тождеств:
(а х Ь) х (с х d) = b(acd) — a(bcd),
(с х d) х (а х b) = d(cab) — c(dab).
Равенство 3) следует из равенства 2).
2.3.. Приложения
А. Площадь треугольника, объем треугольной пира-
миды
Найдем площадь треугольника АВС с вершинами в точ-
ках
A(xr,yi,zi), В{х2. у-,. С(,х--. у--.Исходя из определе-
ния площадь треугольника АВС равна х АС
26
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
Если все точки А, В, С лежат в плоскости ХУ, то искомая
площадь равна (zi = Z2 = z3 = 0) :
Х2 -	у2- У1
ХЗ ~ Х1 уз~ У1
Пусть, далее, даны четыре точки Аг(ад, ,гг), i = 1,2,3,4
в пространстве . Составим векторы а = А1А2, b =
А1А3, с = А1А4. Объем пирамиды А1А2А3А4 равен где
h - длина высоты, опущенной из вершины А\ на плоскость
основания А1А2А3, и S - площадь треугольника А1А2А3.
Так как S = ||а х Ь\ и | (abc) | = h • |а х 6|, то искомый объем
равен |/г • |а х b\ = || (abc) | =
Х2 ~Xi	У2-	Ц\	Z2	~	‘-I
ХЗ - X!	уз -	yi	Z3	-	2Д
•''I - хг	у4-	уг	Щ	-	2Д
Б. Центр тяжести и его применение к решению
геометрических задач
Для простоты рассмотрим случай, когда точки лежат на
плоскости XY. Материальная точка точка А, снабженная
массой т, т > 0 (в обозначении (А,т)). Центром тяжести
(или центром масс) двух материальных точек (А, а), (В, Ь)
назовем точку С, лежащую на отрезке АВ, такую, что а 
|СА| = Ь- |СВ|. Если координаты точек А(яд, 3/1), В(яд, У2),
то координаты точки С = Z(A, В) = (aX1a^_bbX2, аУ1а+ьУ2)•
Предположим, что мы умеем определять центр тяжести
(п — 1) материальных точек. Поместим в эту точку С
массу, равную сумме всех (п — 1) точек. Если дана еще
одна точка (Ап,тп), то центр тяжести всей системы из п
точек назовем центр тяжести точек (С, mi + ... + m„_i)
и (Ап,тп). Легко видеть (по индукции), что координаты
2.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
27
этого центра тяжести равны
п	п
Е HiiXi	Е miyi
у =	______
п ' У п 1
Е ттц	Е mi
i=i	i=i
т.е. центр тяжести (центр масс) всей системы не зависит
от способа его нахождения.
Пример. Средние линии любого четырехугольника и
отрезок, соединяющий середины его диагоналей, проходят
через общую точку и делятся ею пополам.
Действительно, поместим в вершины четырехугольни-
ка массы, равные 1, и подсчитаем центр тяжести системы
тремя способами. Первый способ: считаем центры тяжес-
ти системы Z(A, С) = (F, 2) и системы Z(B,D) = (Q,2).
Затем системы Z(P,Q) = (0,4). Второй способ: считаем
центры тяжести систем Z(B,C) = (N,2) и Z(A, D) =
(М, 2). Затем системы Z(M, 7V) = (0,4). Третий способ:
считаем центры тяжести систем Z(A, В) = (L, 2) и Z(C, D)
= (/€, 2), а затем системы Z{L^K) = (0,4). Так как центр
тяжести не зависит от порядка нахождения его, то задача
решена.
28
ГЛАВА 2. ВЕКТОРЫ
Задача. Доказать, что медианы треугольника пересе-
каются в одной и той же точке и делятся этой точкой в
отношении 2:1 (считая от вершины).
Замечание. Эта точка пересечения называется центром
тяжести треугольника.
Указание. Поместить в вершины треугольника массу
1.
В. Работа силы, момент силы.
Работа силы, приложенной к материальной точке, по
определению равна А = F • s = \F\ • |s|cos(F, s). В частнос-
ти, сила, перпендикулярная к перемещению, ’’работы не
совершает”. Моментом силы F относительно некоторой
точки 0 называется вектор Mq = г х F, где г - вектор,
проведенный из точки 0 к началу вектора F.
Глава 3.
Прямая на плоскости
З.1.. Общий вид уравнения прямой. Гео-
метрический смысл ее коэффициен-
тов
Выберем на плоскости декартову систему коорди-
нат XY. Прямая - множество точек (ж,?/), таких, что
ах + by + с = 0, где а,Ь, с - фиксированные числа и либо
а ф 0, либо b ф 0. Возьмем две точки на прямой -
и (ж2,2/2)- Тогда
ах\ + Ьух + с = 0;
пт2 + Ьу% + с = 0;
а(т2 - ^i) + Ъ{у‘2 - yi) = 0.
Это означает, что вектор п = (а, 6) перпендикулярен век-
тору г = (ж2 — xi, У2~У1), лежащему на прямой, т.е. вектор
п = (а, 6) перпендикулярен всей прямой. Если abc 0, то
исходное уравнение можно переписать в виде Xa+Y {3 = 1,
где а = —сП, /3 = — сЪ - длины отрезков (с точностью до
знака), отсекаемые прямой на осях координат. Получен-
ное уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
Если b ф 0, то у = кх + Z, где к = —ab, I = — cb. Откуда
29
30
ГЛАВА 3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
следует, что к = у' = tgp> - тангенс угла, образованного
осью ОХ и прямой.
3.2.. Угол между прямыми. Условие парал-
лельности и перпендикулярности пря-
мых. Расстояние от точки до прямой
Пусть даны две прямые
<i]X + Ьду + ci = 0;
а2х + Ъ2у + с2 = 0.
Тогда угол между ними равен углу между векторами п\ =
(«1,&1)ип2 = (а2, Ь2). Следовательно, cosp> = п\  n2|ni| |n2| =
(31(32 +	+ ^i\/a2 + ^2- В частности, прямые перпен-
дикулярны тогда и только тогда, когда + ^1^2 = 0.
Прямые паралллельны тогда и только тогда, когда п\ и
П2 - линейно зависимые векторы, т.е. <31<32 = &1&2- Если
&1, &2 ф 0, то прямые определяются некоторыми уравнени-
ями следующего вида: у = к^х + Zi, у = к2х + Z2, где О =
tgcpi = —aibi, i < 2(<рг- - угол между осью ОХ и прямой).
Следовательно, угол между прямыми равен ±(<pi — <р2) и
- Т2) =	+ tg^Rg^ = 0- к21 + кгк2.
Пусть дана некоторая прямая, определяемая уравнени-
ем
ах + by + с = 0.
Фиксируем на плоскости точку М(то,?/о)- Докажем,
что расстояние от точки М до прямой равно
3.3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
31
Действительно, опустим из точки М перпендикуляр МР
на прямую. Пусть точка F, лежащая на прямой, имеет
координаты (а?!, г/1). Тогда векторы п = (а, 6) и PM = (tq —
Уо ~ У1) параллельны. Обозначим искомое расстояние
через d = |FM|. Тогда п  РМ = |п| • dcostp = a(xQ — яд) +
6(?/о — У1), где = 0,7г. Откуда следует, что ±д/а2 + Ь2 
d = axQ + byo — (axi + byi) = axQ + byo — (—с) или d =
±(аяу + by о + с)л/а2 + Ь2.
Замечание. Из доказательства формулы для расстоя-
ния от точки до прямой следует, что прямая ax + by + с = О
разбивает плоскость на две полуплоскости: первая состо-
ит из точек (су/З), для которых аа + Ъ/3 + с > 0; вторая -
из точек (у, J), для которых ау + Ь6 + с < 0.
3.3.. Основные задачи
А. Уравнение прямой, проходящей через точку (су/З).
Пусть ах + Ьх + с = 0 уравнение искомой прямой.
Тогда
аа + Ъ/3 + с = 0 и а(х — а) + Ь(у — /3) = 0.
Б. Уравнение прямой, проходящей через две точки
А2(х2у2).
Согласно предыдущему пункту, уравнение искомой пря-
мой можно записать в виде а(х — яд) + b(y — yi) = 0. От-
куда следует, что ab = — (у2 — yi)x2 — яд и х — яд яд — яд =
У — УгУч ~ У\ искомое уравнение прямой.
В. Уравнение прямой, перпендикулярной к данной пря-
мой
ах + by + с = 0.
32
ГЛАВА 3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пусть Ах + By + С = 0 - искомое уравнение. Тогда А 
а + В • b = 0. Так как коэффициенты уравнения прямой
определяются с точностью до умножения на ненулевую
константу, то А = —6, В = а и — Ьх + ау + С = 0 искомое
уравнение.
Глава 4.
Плоскость и прямая в
пространстве
4.1.. Уравнение плоскости. Геометричес-
кий смысл коэффициентов уравнения.
Угол между плоскостями. Условие па-
раллельности и перпендикулярности
плоскостей
Фиксируем в трехмерном пространстве R^ декарто-
ву систему координат и рассмотрим множество Р точек
(x,y,z), координаты которых удовлетворяют уравнению
ах + by + cz + d = О,
где a, b,c,d - фиксированные действительные числа и одно
из чисел а,Ь, с не равно нулю. Множество Р называется
плоскостью в R^. Выясним геометрический смысл коэф-
фициентов а, 6, с. Пусть п = (а, 6, с) и A(xi, yi, zi), В(х%, У2-,
z^) - две точки на плоскости. Тогда
axi + byi + czi + d = 0;
ах^ + Ьу^ + cz^ + d = 0;
33
34
ГЛАВА 4. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
а(ж2 - Ж1) + 6(т/2 - У1) + ф2 - а) = 0.
Последнее равенство означает, что скалярное произведе-
ние вектора п на вектор АВ равно нулю, т.е. вектор п
перпендикулярен всей плоскости. Это замечание позволя-
ет найти угол между двумя плоскостями:
ах + by + cz + d = 0;
Ах + By + Cz + D = 0.
Именно, искомый угол у равен углу между векторами
п = (а,Ь, с) и N = (А, В, С), т.е. coscp = п • 7У|п||./У| =
аА + ЬВ + cCVa2 + &2+VA2 + В2 + С2.
В частности, плоскости перпендикулярны тогда и толь-
ко тогда, когда аА + ЬВ + сС = 0. Параллельность плос-
костей эквивалентна параллельности векторов п и N, т.е.
пропорциональности их координат
а b с
А = В = С'
4.2..	Расстояние от точки до плоскости
Фиксируем точку М(хо,уо, zq) и плоскость
ах + by + cz + d = 0.
Докажем, что расстояние от точки М до плоскости рав-
но	' Действительно, пусть ?/i, zi) - осно-
вание перпендикуляра, опущенного из точки М на плос-
кость. Тогда векторы п = (а, 6, с) и КМ параллельны, и
их скалярное произведение равно п  КМ = ±|п| • |/<М| =
а(т0 - Ж1) + b(yQ - уг) + c(z0 - Zi) = ах0 + by0 + cz0 - (axi +
4.3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
35
byi + c^i) = axQ + byo + czq + d. Откуда следует искомая
формула
IJZJJI _ I (axo + tyo + czo + d)
л/ a2 + b2 + c2
Заметим, что из доказательства следует, что если векторы
п и КМ одинаково направлены, то ахр + byo + czq + d > 0.
Таким образом, наша плоскость разбивает все простран-
ство на два полупространства. В одном из них значения
функции ах + by + cz + d положительные, в другом - отри-
цательные.
4.3..	Уравнение прямой. Взаимное распо-
ложение прямой и плоскости, двух
прямых
Пусть А(хо,уо, zq) - фиксированная точка на прямой,
В(т, у, z) - произвольная точка на прямой и р = (&, Z, т) -
вектор, параллельный прямой (он называется направляю-
щим вектором прямой). Так как векторы р и АВ парал-
лельны, то их координаты пропорциональны:
х — х$к = у — yj = z — z^m.
Полученное уравнение называется каноническим уравне-
нием прямой. Обозначив х — х$к = Z, мы получим пара-
метрическое задание прямой:
х = а?о + kt, у = уо + It, z = zq + mt, где t Е R.
Прямая может быть задана как пересечение двух непарал-
лельных плоскостей, т.е. как множество решений системы
линейных уравнений:
36
ГЛАВА 4. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
<1]Х +Ь\у +ciz +di = 0;
а%х +Ъ^х +c^z +с?2 = 0.
В этом случае для нахождения канонического уравне-
ния прямой можно взять произвольное частное решение
(то, Z/о, А)) системы, а для нахождения направляющего век-
тора можно взять вектор
П1 X П2 =
z j к
(21 С1
«2 ^2 с2
Фиксируем плоскость и прямую, заданные уравнениями
ах + by + cz + d = 0;
х - xQ _ у -yQ _ z - Zq
к I m
Вектор n = (a,6, с) является перпендикулярным к плос-
кости, а вектор р = (к,1,т) - параллелен прямой. Следо-
вательно, прямая и плоскость параллельны тогда и только
тогда, когда пр = 0, т.е. ак + Ы + ст = 0. Если при этом
axQ + byo + czq + d = 0, то прямая содержится в плоскос-
ти. Прямая является перпендикулярной к плоскости, если
п\\р, т.е. если ак = Ы = ст. Пусть дана еще одна прямая
X — Х\к\ = у — yili = Z — ^12721
с направляющим вектором pi = (&i,Zi,mi). Тогда парал-
лельность прямых эквивалентна линейной зависимости век-
торов р и pi, т.е. к^к = 1^1 = пут. Аналогично, перпенди-
кулярность прямых эквивалентна равенству р -pi = 0, т.е.
kki +ZZi + mny = 0. Угол у между прямыми определяется
по формуле
р  pi	kki + Hi + mmi
COS<P = 1: 7 = —,	---.
Ip I • |pi I	a/P2 + Z2 + m2 • yp2 + Z2 + m2
4.3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
37
Рассмотрим основные задачи на прямую и плоскость.
А. Составить уравнение прямой, проходящей через две точ-
ки . i(>'i- '/i - -1) и В(х->. у->. г-> ).
Направляющим вектором можно считать вектор АВ =
(х2 — ад, у2 — ?/1, z2 — zi). Следовательно, искомым канони-
ческим уравнением является уравнение
а? — ад У — У1 z — Zi
Х2 - Т| у2 - у} z2 - д
Б. Составить уравнение плоскости, проходящей через
три точки АДад, у^ Zj), i < 3, не лежащие на одной прямой.
Пусть А(ад у, z) - произвольная точка на плоскости. То-
гда векторы AjA, А]А2, А1А3 являются компланарными,
т.е. их смешанное произведение равно нулю
(AiA, AiA2, А1А3) = 0.
Переходя к координатной записи, мы получаем равенство
нулю определителя
X - X! У ~У1
Х2 - X! у2- уг
ХЗ ~ X! Уз~ У!
Z — Z1
~
23 ~
Это и есть искомое уравнение плоскости.
В. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку A(xQ,yQ, zq) параллельно прямым:
х — Xi	у — У\	Z — Z\_
к\	Zi	mi	’
х - Х2 _ у - У2 _ z - Z2
к2	I2	m2
38
ГЛАВА 4. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
В качестве вектора, перпендикулярного к плоскости, мы
можем взять векторное произведение направляющих век-
торов р =	и р2 = (&2,Z2,m2) • Так как р± х р% =
}	'! к	Zi mi ,	тг кг ,	. к\ h
к\ Zi mi , то	(ж-ж0)+	,	(У~Уо)+ у /
7	7	Z2 т2	т2 АД	М <2
fc2 <2 «?2
(z — zq) = 0 - искомое уравнение плоскости.
Г. Найти расстояние от точки А(хр, уд, zq) до прямой
х — а у — /3 z —
Проведем через точку А плоскость, перпендикулярную пря-
мой
к(х - Xq) + 1(у - у0) + m(z - Zq) = 0.
Найдем точку пересечения В исходной прямой с этой плос-
костью. Для этого подставим в уравнение плоскости вме-
сто х = а + kt, у = /3 + It, z = у + mt и найдем t. Тем
самым мы найдем координаты точки В. Длина вектора
|АВ| является искомым расстоянием.
Д) Найти расстояние между прямыми
х — Xi у — У\ Z — Z\_
кх
mi
х — т2
У - У2
z - z2
к2
т2
Пусть а(х — ж2) + b(y — ?/2) + c(z — Z2) = 0 плоскость,
проходящая через вторую прямую и параллельная первой
прямой. Тогда вектор (а,Ъ, с) параллелен векторному про-
изведению векторов (ki,li,bi) и (&2,Z2,m2). Следовательно,
можно положить
а =
Zi mi
Z2 m2
mi ki
m2 k2
ki Zi
k2 h
b =
4.3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
39
Искомое расстояние между исходными прямыми равно
расстоянию от точки (rri, ?/i, до найденной плоскости.
Глава 5.
Кривые и поверхности
5.1..	Уравнение линии. Уравнение окруж-
ности
Определение. Пусть F(x^y) - многочлен от двух пере-
менных х,у. Уравнение с двумя переменными F(x^y) = О
называется уравнением фигуры Ф (или задает фигуру Ф),
если выполнены два условия:
а)	координаты любой точки фигуры Ф удовлетворяют
уравнению F(x^y) = 0;
б)	если пара чисел (гео, 2/о) удовлетворяет уравнению
F(x^y) = 0, то точка М(то,^/о) принадлежит фигуре Ф, т.е.
M(xQ,yo) £ Ф F(xo,yo) = 0.
Условие б) в определении можно было бы сформулировать
и так: если точка не принадлежит фигуре Ф,то ее коорди-
наты не удовлетворяют уравнению F(x^y) = 0.
Теорема 1. Окружность радиуса R с центром в точке
А(а,6) задается уравнением
(ж — а)2 + (у — &)2 = R2.	(*)
Доказательство. Пусть М(то,^/о) _ произвольная точ-
ка, S - окружность радиуса R с центорм в точке А(а,Ь).
40
5.1. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ. УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
41
По определению окружности М(то,?/о) Е S 4=> AM = R.
По формуле расстояния между двумя точками
AM = У(т0 - а)2 + (у0 - 6)2.
Тогда
М(то, уо) Е S 4=> AM = R 4=>
У(т0 - а)2 + (у0 - b)2 = R	(ж0 —а)2+(2/0 —&)2 = R2.
Таким образом, если точка M(tq, уо) принадлежит окруж-
ности S, то ее координаты xq^q удовлетворяют уравне-
нию (*), и обратно, если ее координаты удовлетворяют
уравнению (*), то М Е S. Значит, оба условия определе-
ния уравнения окружности выполнены. Теорема доказана.
Теорема 2. Уравнение
ОТ
+ ул + ах + by + с = 0	(**)
задает либо окружность, либо точку, либо пустое множес-
тво.
Доказательство. Выделим в левой части уравнения
(**) полные квадраты
О о
Хл + ул + ах + by + с =
Тогда х2 + у2 + ах + by + с = 0 4=>
42
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Если y + у — с > 0, то по теореме 1 уравнение (**) за-
дает окружность радиуса + у — с с центром в точке
2’	2/
Если y + y — с = 0, то (х + |)2 + (у + |)2 = 0. Это
равенство возможно только при х = — а/2, у = — 6/2, т.е.
уравнение (**) задает в этом случае точку (—а/2,—6/2).
Если y +	— с < 0, то левая часть (**) неотрицательна,
правая отрицательна. Поэтому уравнение (**) решений не
имеет, т.е. задает пустое множество. Теорема доказана.
5.2.. Парабола
Определение. Параболой называется геометрическое
место точек, одинаково удаленных от данной прямой и
данной точки, не лежащей на этой прямой. Данная точ-
ка называется фокусом, а данная прямая - директрисой
параболы.
Теорема 3. В подходящей системе координат парабола
задается уравнением у2 = 2рх.
Доказательство. Введем систему координат следую-
5.2. ПАРАБОЛА
43
щим образом. Ось Ох проведем через фокус F перпенди-
кулярно директрисе I. Пусть А - точка пересечения Ох с
прямой 1,0 — середина отрезка AF. Через точку О прове-
дем ось Оу перпендикулярно Ох. Положим AF = р > 0.
Тогда во введенной системе координат F(|,0), А(—1,0), а
прямая I имеет уравнение
р
х = —.
2
1. Пусть точка М(то,?/о) лежит на параболе, MB ± I,
В Е I, В(—^,уо). По определению параболы MF = МВ.
Докажем, что
yl = 2рт0.
Имеем MF =	— f)2 + Fb
МВ
\1^хо + |)2 + (.Уо ~ Уо)2 = 1жо +1|,
а так как MF = МВ, то
\кх0 - у)2 + ?/0 = Ь + 4 ИЛИ
2	2
2	Р 2	2	Р
х0-рх0 + — + у0=х0 + хор + —,
откуда у% = 2рт0.
2. Пусть yl = 2р./-(). Покажем, что точка М(жо,?/о) ле-
жит на параболе, т.е. М одинаково удалена от точки F и
прямой I.
MF = М - О + Уо2 =
V
9	Р 9
Хо - рх0 + — + у$
р-
Xq - рх0 + — + 2у./'о =
9	Р
Хо +pxQ + —
44
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
4'о + ^2 = Ь + ^|.
Так как расстояние от М до I равно ВМ = |а?о + || и
MF = h + ?| = ВМ,
то точка М принадлежит параболе. Теорема доказана.
Уравнение у2 = 2рт называется каноническим уравнени-
ем параболы. Число р называется параметром параболы,
хорда KL. проходящая через фокус параллельно оси Оу,
называется главной хордой параболы. Заметим, что
KL = 2FL = 2LL'
(LL'H,L' е Z).

риа 11
Замечание 1. Уравнению параболы у2 = 2рх можно
дать геометрическую интерпретацию.
Для любой точки М(х,у) параболы площадь квадрата
OPQR, построенного на ординате у, равна площади прямо-
угольника ABCD с основанием AD, равным главной хорде
2р, и высотой, равной абсциссе х (рис.12).
5.3. ОПТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ПАРАБОЛЫ
45
Построение прямоугольника с заданной стороной, рав-
новеликого данному квадрату, древние греки называли при-
кладыванием заданного отрезка к квадрату. Слово ’’пара-
бола” по-гречески означает прикладывание, равенство (по-
латински parabole).
5.3.. Оптическое свойство параболы
Замечание 2. Для любой точки А, лежащей во внутрен-
ней области параболы, справедливо неравенство
АС > AF
(см. рис. 13, где F - фокус, I - директриса параболы).
Действительно, АС = АА± + А±С = АА± + A]F > AF, и
для любой точки В из внешней области параболы
BD < BF(BD = BXD - ВгВ = BrF - ВгВ < BF).
Определение. Прямая называется касательной к пара-
боле, если она имеет с параболой единственную общую
точку, а все остальные точки этой прямой расположены
вне параболы.
46
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
рис. 13
Пусть М - произвольная точка параболы (М О). Про-
ведем биссектрису а угла FMN, (см. рис. 14). Пока-
жем, что а - касательная к параболе в точке М. Возьмем
на прямой а любую точку М', отличную от точки М. В
равнобедренном треугольнике FMN МК - биссектриса
(А' = а П F.\). значит МК _L FN и FK = KN. Тог-
да в AFM’N М'К - высота и медиана. Следовательно,
FM' = М'N > M'L, и по сделанному выше замечанию
точка М' лежит во внешней области параболы (М' не мо-
жет находиться внутри параболы или на ней, так как в
этом случае выполнялось бы соотношение FM' < M'L).
Так как М1 - произвольная точка прямой а(М' М), то
вся прямая а, кроме точки М, лежит вне параболы. Это
означает, что а - касательная к параболе.
Кроме того, . 1 = Z2 = Z3, т.е. LFMK = LN'MM',
иначе говоря, касательная к параболе в точке М образует
равные углы с прямыми FM и MN'. Значит, по закону
’’угол падения равен углу отражения” лучи FM, выходя-
щие из фокуса, отразившись от параболыб пойдут парал-
5.4. ЭЛЛИПС
47
лельно оси параболы.
И обратно, любой луч, параллельный оси, отразившись
от параболы, пападает в ее фокус (отсюда название ’’фо-
кус”, от лат. focus - ’’очаг”). В этом состоит оптическое
свойство параболы. На нем основано устройство рефлек-
торов и прожекторов.
5.4.. Эллипс
Определение. Эллипсом называется геометрическое
место точек, сумма растояний от которых до двух дан-
ных точек постоянна (больше расстояния между данными
точками).
Пусть 2а - постоянная величина, Fi и F2 точки, ука-
занные в определении, тогда эллипс - это множество всех
точек М, таких, что MF\ + SIF2 = 2а. Точки Fi и F2 на-
зываются фокусами эллипса.
Заметим, что если 2а < F1F2, то множество всех точек
М с условием MF\ + SIF2 = 2а пусто; если 2а = F1F2, то
48
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
оно представляет собой отрезок [F1F2], а если Fi = F2, то
это окружность.
Теорема 4. В подходящей системе координат эллипс
задается уравнением
2	2
ж F = 1
а2 &2
Доказательство. Введем систему координат с нача-
лом в середине отрезка [F1F2] так, чтобы ось Ох проходи-
ла через фокус. Пусть F1F2 = 2с, тогда Fi(—с, 0), F2(c, 0).
Так как 2а > 2с, то а > с > 0 и а2 — с2 > 0. Положим
а2 — с2 = Ь2.
1. Пусть точка М(жо,?/о) принадлежит эллипсу. Дока-
жем, что
2	2
'о , Уо =1
а2 Ь2
По определению эллипса MF\ + MF^ = 2а, т.е.
У(т0 + с)2 + yl + У(т0 - с)2 + yl = 2а;
У(т0 + с)2 + yl = 2а- У(т0 - с)2 +у%;
Xq + 2xqC + (? + yQ =
= 4а2 + Xq - 2х0с + с2 + yl - 4аУ(т0 - с)2 + у1\
«У(т0 - с)2 + yl = а2 - т0с;
5.4. ЭЛЛИПС
49
22 о 2	,2 2,2 2	4 о 2	,22.
(L Жд — 2а XqC “I- (2 С 4“ а Дд — (2 — 2(2 XqC -j- XqC j
2/2	2\ I 2 2	2/2	2\
ж0(<2 — с ) 4- a yQ = а (а — с )•
21,2 ,	2 2	2/2
xQb 4- a yQ = а о .
Разделив обе части последнего равенства на а2&2, получим
2	2
'о , Уо =1
а2 &2
2. Обратно, пусть точка М(жо,До) такова, что
2	2
''о , Уо_ = 1
а2 &2
Покажем, что она лежит на эллипсе, т.е. MF^ + MF2 = 2а.
Из равенства 4- р- = 1 следует, что у$ = Ь2 —
Вычислим требуемую сумму расстояний
MFr + MF2 = у/(х0 + с)2 + у§ + У(т0 - с)2 + у§ =
Xq 4- с2 — 2тдс 4- 2/о —
'о
а2
= Тд 4- с2 4- 2тдс 4- b2 —
7.2 ,.2
0 Тд _
jc 4- о2---------—
а2
а2 — с2
Q Q	^9
aZj  	I
О	q iF Q |
a2
a2 — c2 9
__ ________ r&A -
2 Tg
a2
— Тд 4- с2 4- 2тдС 4“
4~\ жо F с2 — 2xqc + а2 — с
50
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Xq + 2ждс + а2 — Xq 4—9^0+
л
+ а Xq — 2xqc + а2 — Xq Н—-Xq —
а4 + 2хоса2 + c2Xq
а4 — 2хоса2 + c2Xq
\a2 + xqc| + |a2 — xqc|
Для того, чтобы в полученном выражении раскрыть мо-
дули, определим знаки выражений а2 + хдс на2 — xqc. Из
условия
2	2
''о , Уо_ = 1
а2	Ь2
следует, что
2	2
''о	= т _	F	<	т
а2	Ь2	~	’
значит, Xq < a2, |tq| < а, —а < хд < а, а так как с < а и
> 1, то — Д- < —а < а?о < а < у, откуда —а < xqc < а ,
поэтому а2 + xqc > 0 и а2 — xqc > 0. Таким образом, имеем
MFi + MF2 =
|а2 + тдс| + |а2 — tqc| а2 + xqc + а2 — xqc
Теорема доказана.
Рассмотрим эллипс с системой координат, введенной
при доказательстве теоремы 4. Тогда точки на рис. 15 бу-
дут иметь координаты А(—а, 0), С(а, 0), В(0, Ь), -0(0, —5), и
FiB = ^FiO2 + ВО2 = Vc2 + b2 = а.
5.4. ЭЛЛИПС
51
ряс. 15
Из уравнения
2	2
X W
---h — = 1
а2 &2
видно, что эллипс имеет две взаимно перпендикулярные
оси симметрии (Ох и Оу), пересекающиеся в его центре
симметрии О. Если точка (х,у) принадлежит эллипсу, то
точки, симметричные ей относительно Ох, Оу и начала ко-
ординат, т.е. (х,—у), (—х,у) и (—х,—у) соответственно,
также принадлежат эллипсу. Точки А, В, С, D пересече-
ния эллипса с осями называются его вершинами. Положив
у = 0, получим х = ±а, при х = 0 имеем у = ±6, поэто-
му расстояния от центра до вершин эллипса равны а и b
(полуоси эллипса).
Определение. Отрезок, концы котрого лежат на эл-
липсе, называется хордой. Хорда, проходящая через центр
эллипса, называется его диаметром.
Хорда, проходящая через фокус эллипса перпендикуляр-
но его фокальной оси F^F^, называется главной (KL), дли-
на ее половины называется параметром эллипса и обозна-
чается р.
52
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Определение. Отношение е = с/а называется экс-
центриситетом эллипса (от лат. ех - ’’вне”, centrum -
’’центр”). Он показывает, насколько фокусы эллипса уда-
лены от центра. Для эллипса е = с/а < 1, так как с < а.
Для окружности как частного случая эллипса с = 0, поэ-
тому е = 0.
Отношение длин полуосей при малых е равно
b
а
------ <!~
— е2 ~ 1-----------
2
значит эллипс с малым эксцентриситетом практически сов-
падает с окружностью (6 « а).
Эллипс обладает следующим характеристическим свой-
ством, отличающим его от других кривых.
Теорема 5. Эллипс, отличный от окружности, - это
кривая, образуемая точками, для которых отношение рас-
стояний до данной точки F и до данной прямой d(F £ d)
постоянно и меньше 1.
Доказательство.
1.	Пусть М(жо,?/о) “ произвольная точка эллипса
„2	„,2
а2 &2
Докажем, что отношение расстояния MF\ к расстоянию
от точки М до прямой di, задаваемой уравнением
а2
равно эксцентриситету е.
При доказательстве второй части теоремы 4 получено
9
MF[ =а +х°с.
а
5.4. ЭЛЛИПС
53
Расстояние от М до прямой di равно расстоянию от М до
.Di, где Pi 6 (/1 и MDi ± di, £>i(—а2/с, ?/о)5
(рис. 16). Тогда
MF\	а2 + xqc xqc + а2 с
MD\ а	с а
Аналогично показывается, что
MF2 _
мт2 - е’
где </2 - прямая, задаваемая уравнением
а2
х = —,
с
-О2 G с?2 и MD2 A </2.
Прямые di и </2 называются директрисами эллипса.
2.	Обратно, пусть Fi - данная точка и d± - данная
прямая. Введем систему координат следующим образом.
Через точку Fi проведем перпендикуляр F^Fq к прямой d±
и примем его за ось Ох, считая положительным направ-
ление от Fq к Fi. Начало координат определим, подобрав
54
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
числа а и с так, чтобы с/а = е(е < 1 - постоянная величи-
на в формулировке теоремы). Fi(—с, 0), а прямая имела
бы уравнение
а2
х =----.
с
Для этого заметим, что при выбранных с таким усло-
вием чисел а и с
F\}F\	а2 — с2 а2	1
—— =---------=-----1 =-----1.
F1O с2 с2	е2
Итак, выберем точку О на прямой FqFi вне отрезка
FqFi так, чтобы
FqFi : FiF0 = — — 1
е2
(такая точка единственна). Через точку О проводим ось
Оу перпендикулярно Ох.
Пусть в выбранной системе координат точка М(жо,?/о)
удовлетворяет условию MF\ : MD\ = е, где ГД £ сД и
MDi ± сД. Докажем, что М лежит на эллипсе
2	2
ж F = 1
а2 Ь2
Имеем МГД = х0 - (-^) =
следовательно,
MFi MFi • с с	а2 + х0с
-----= е = -, MFi =--------.
МГД а2 + XqC а	а
С другой стороны,
MFr = 7(ж0 + с)2 + у%,
5.4. ЭЛЛИПС
55
поэтому
Г( । \2 ।	2 I
Уио + су + у^ = а н------;
а
2 2
Xq + 2xqc + с2 + у% = а2 + 2тдс 4—-1—-;
а2
о2
2/1 с \ ,	2	2	2
М1-------2) + Уо = а - с 
ах
Обозначая а2 — с2 = &2, перепишем последнее равенство
следующим образом:
и после деления обеих его частей на &2, окончательно по-
лучим
2	2
'о , Уо =1
а2 Ь2
Теорема доказана.
Определение. Растяжением плоскости а относительно
лежащей в ней прямой I с коэффициентом к > 0 называ-
ется такое преобразование плоскости в себя, при котором
каждая ее точка М переходит в точку М' такую что:
1) точки М и М' лежат на одном перпендикуляре к оси
I по одну сторону от нее,
2) расстояние от точки М' до оси I равно расстоянию
от точки М до оси Z, умноженному на к.
Замечание 3. Эллипс можно определить как фигуру,
полученную в результате растяжения окружности относи-
тельно ее диаметра.
Доказать самостоятельно.
Замечание 4. Если сдвинуть эллипс
56
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
на а единиц вправо, то его уравнение примет вид
х2 — ‘lax + а2
а2
т.е.
Очевидно, что фокус Fi имеет координаты Fi(a — с, 0)
(рис. 17), следовательно,
р = F\K =
5.5. ОПТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ЭЛЛИПСА
57
Так как
2&2а2 — 2&2ас — &2а2 + 2&2ас — &2с2
то уравнение (*) можно записать следующим образом у2 =
2рт+
+ (е2 — 1)т2. В нем (е2 — 1)т2 < 0, так как 0 < е < 1, поэто-
му у2 < 2рх. Если М(х,у) - произвольная точка эллипса,
то геометрически у2 означает площадь квадрата MNPQ со
стороной у, а 2рх - площадь прямоугольника ABCD с осно-
ванием АВ = х и высотой ВС = KL = 2р (равной главной
хорде эллипса), т.е. квадрат имеет меньшую площадь, чем
прямоугольник (квадрат имеет недостаток). ’’Эллипс” по-
гречески и означает ’’недостаток” (по-латински - elleipsis),
откуда и название кривой.
5.5.. Оптическое свойство эллипса
Замечание 5. Пусть А и В две точки, лежащие по
одну сторону от прямой Z, и точка М прямой такая, что
отрезки AM и ВМ образуют с прямой I равные углы. То-
гда для любой точки N Е Z, отличной от М, выполняется
неравенство AN + NB > AM + МВ (рис.18)
Пусть ZI = Z2, К Е I и АК ВЦ А' = ВМП АК. Так как
ZI = Z2 = Z3, то А! симметрична точке А относительно I
и AM + МВ = А’М + МВ + А’В. Если N Е I и N ф М, то
AN + NB = A’N + NB > А’В = AM + МВ.
58
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
рис. 18
Замечание 6. Для любой точки А, лежащей внутри
эллипса
2	2
X W
---h — = 1
а2 &2
с фокусами Fi и F2. выполнено неравенство AF\ + AF2 <
< 2а, а для любой точки В вне эллипса BF± + BF2 > 2а
(рис. 19).
Действительно, AFi + AF2 = A' F± — АА’ + AF2 < A' Fi +
A’F2 = 2а, так как AF2 — АА’ < A’F2. Второе неравенство
доказывается аналогично.
Определение. Прямая называется касательной к эл-
липсу, если она имеет с эллипсом единственную общую
точку, а все остальные точки этой прямой лежат вне эл-
липса.
5.6. ГИПЕРБОЛА
59
Пусть М - произвольная точка эллипса и I - прямая, об-
разующая равные углы с F\M и F2M. Тогда I - касатель-
ная к эллипсу, (рис. 20) Действительно, если М' - любая
точка прямой 1(М'	М), то Г\\Г+\Г 1\> > F\М+MF2 (за-
мечание 6), значит точка М' лежит вне эллипса (замечание
7). По определению отсюда следует, что I - касательная к
эллипсу.
рис. 20
Таким образом, касательная к эллипсу в точке М обра-
зует равные углы с F\M и F2M. Поэтому лучи, выходящие
из фокуса Fi, отразившись от эллипса, соберутся в другом
его фокусе F2. В этом заключается оптическое свойство
эллипса.
5.6.. Гипербола
Определение. Гиперболой называется геометрическое
место точек плоскости, модуль разности расстояний от ко-
торых до двух данных точек есть величина постоянная,
меньшая расстояния между двумя данными точками.
Данные точки называются фокусами гиперболы (обо-
значаем их через Fi и F2).
60
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Теорема 6. В подходящей системе координат уравне-
ние гиперболы имеет вид
2	2
_ _ F _ -J
а2 F “ ’
Доказательство. Ось Ох проведем через фокусы Fi
и F2, за начало координат возьмем точку О - середину
отрезка F1F2, ось Оу проведем через точку О перпендику-
лярно Ох. Пусть в данной системе координат Fi(—с, 0),
F2(c,0), с > 0, постоянная величина, указанная в опреде-
лении, равна 2а(0 < а < с).
1. Пусть М(жо,?/о) “ произвольная точка гиперболы.
Покажем, что
2	2
Хо	у& =
а2	О ~ ’
где 62 = с2 —а2. По определению гиперболы \MFi~ MF2\ =
2а, т.е.
Д//-| —.!//• 2 = 2а,
MF\ —MF2 = —2а,
y/(xQ + с)2 + у% -y/(xQ - с)2 + у% = 2а,
У(т0 + с)2 + у$ -У(т0 - с)2 + у$ = -2а.
Первое равенство имеет место при а?о > 0, второе в
случае а?о < 0, так как MF\ > MF}, если точка М(жо,?/о)
расположена в правой полуплоскости относительно Оу, и
MF\ < MF>, если М в левой.
Преобразуем сразу оба полученных равенства:
У(т0 + с)2 + yl - У(т0 - с)2 + ?/§ = ±2а,
У(т0 + с)2 + у^ = У(т0 - с)2 + у^ ± 2а,
5.6. ГИПЕРБОЛА
61
ж2 + с2 + 2х0с + yl =
= ж2 + с2 - 2ж0с + yl + 4а2 ± 4аУ(ж0 - с)2 + yl,
±аУ (жо — с)2 + yl = xqc — а2,
а2(жд + с2 — 2xqc + уу) = ЖдС2 + а4 — 2ждса2,
2/2	2\	22	2/2	2\
Xq(c — а ) — a yQ = а [с — а ),
2/2	22	2/2
xQb - а у0 =	а о ,
откуда следует, что
2	2
''о _ F = 1
а2	Ъ2
2. Пусть точка М(жо,?/о) такая, что
2	2
'о _ Уо = 1
а2	Ъ2
Докажем, что М лежит на гиперболе, т.е.
|MFi - .UF,| = 2а.
Из равенства
2	2
жо _ Уо = 1
а2	Ь2
следует, что
Жд&2
Вычислим MF\ :
MFi = У(ж0 + с)2 + у^ =
т2/2
ж§ + 2ж0с + с2 +
62
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Аналогично
XqC
а
XqC
а
,	. ТоС .
МГ2 =-------а .
а
Заметим, что так как
2	2
''о _ Уо = 1
а2	&2
9
о \ 1
то Нг > 1
а2
2 \	2
т.е. Xq > а
Если а?о
можно), то
1 |tq| > а.
(х ф 0, так как иначе —= 1, что невоз-
XqC
а
а>0, MF1 = \^
а
XqC
а
Далее <
Xq
ы
следовательно,
т0 > а, ^ > -
а,	а а
а
XqC
а
e>o, mf2 = |^-«| =
а	а
Таким образом, при tq
XqC	XqC
MFr - MF2 = — + а - — + а = 2а
а	а
значит М(то,?/о) принадлежит гиперболе.
Если а?о < 0, то
XqC
а
XqC
------а
а
поэтому
„ _	. XqC
MF2 =-------а =
а
XqC
а
5.6. ГИПЕРБОЛА
63
Далее
значит
, г . ХпС	. ХпС
MFr = |—+ а| =-------- - а.
а	а
,	ХпС	ХпС
MFr ~ MF2 = — -а + — - а = -2а,
а	а
т.е. \MFi — MF2\ = 2а. Таким образом, при а?о < 0 точка
МОр.уО также лежит на гиперболе.
Теорема доказана.
Гипербола
симметрична относительно обеих осей и точки О. Она пере-
секается с осью Ох в точках (—а,0) и (а,0)(г/ = 0=>
ж2 = а2 => ж = Та), с осью Оу не имеет точек пересе-
чения (ж = 0 => ?/2 = —&2, а это уравнение не имеет реше-
ний). Гипербола состоит из двух частей (при х > а и при
х < ~а\ называемых ее ветвями. Величина а - это рас-
стояние от центра гиперболы до ее ветвей; а называется
вещественной полуосью, b - мнимой.
Непосредственными вычислениями можно показать, что
отношение расстояний от любой точки гиперболы до фо-
куса Fi и до прямой х = — у (до F2 и до прямой х = у)
постоянно и равно с/а.
Величина е = называется эксцентриситетом (для ги-
перболы е > 1), прямые d\ и d2 с уравнениями х = Ту на-
зываются директрисами гиперболы. Это свойство гипер-
64
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
болы является отличительным и выделяет ее из множества
всех кривых.
Теорема 7. Гипербола это ГМТ, отношение расстоя-
ний от которых до данной точки и до данной прямой, не
проходящей через данную точку, есть величина постоян-
ная, большая 1.
Доказать самостоятельно (аналогично теореме 5, п. 4.4).
Сдвинем гиперболу	= 1 по оси Ох влево на а
единиц.
5.6. ГИПЕРБОЛА
65
Тогда ее уравнение примет вид
(х + а)2	у2	у2	х2	2х
2	7.2	1’ ИЛИ	„	о	~+~	’
а2	о2	о2	а2	а
2	2&2	&2 2
У = ----X + —х .	(*)
а	ах
Так же, как в случае эллипса и параболы, назовем главной
хордой гиперболы ту ее хорду, которая проходит черех
фокус перпендикулярно прямой F^F^. Половина ее длины
р вычисляется из равенства
с2 р2
F2~V2 = ’
откуда
Поэтому уравнение (*) запишется следующим образом:
у2 = 2рх + (е2 — 1)т2.
Если точка М(ж,?/) принадлежит гиперболе, то левая
часть последнего равенства геометрически означает пло-
щадь квадрата, построенного на ординате точки М, а пер-
вое слагаемое в правой части - площадь прямоугольни-
ка, одна сторона которого равна главной хорде гиперболы,
другая - абсциссе точки М. Так как е > 1 и (е2 — 1)т2 > О,
то площадь квадрата больше площади прямоугольника, т.е.
имеет избыток (hyperbole). Отсюда и произошло название
кривой.
66
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
5.7.. Асимптоты гиперболы
В силу симметрии гиперболы	= 1 относительно
обеих осей координат достаточно исследовать эту кривую
на наличие наклонной асимптоты при х ос, считан у >
> 0.
Выражая переменную у из уравнения = 1, полу-
чаем: у2 = &2(^| — 1); У =	— а2.
Найдем коэффициенты к и I в уравнении асимптоты
у = кх + Z по формулам
I = JArn^(2/(rc) — кх)\
Ъ (\/х2 — а2 — х)( \/х2 — а2 + х)
- пт 3----------, „ \--------------
а х^°°	^/т2 — а2 + х
Итак, уравнение асимптоты при ж —> ос для ветви ги-
перболы
у > 0 имеет вид у = ^х. Учитывая симметрию гиперболы
относительно осей Ох и Оу, окончательно получаем две
асимптоты при х ±ос : у = и у = —
5.8. ОПТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ГИПЕРБОЛЫ
67
5.8.. Оптическое свойство гиперболы
Замечание. Пусть А и В - две точки, лежащие по раз-
ные стороны от прямой Z, и точка М такая, что отрезки
AM и ВМ образуют с прямой I равные углы. Тогда для
любой точки N Е I, отличной от М, выполняется неравен-
ство \BN - . I.V| < \ВМ - АМ\.
Доказательство. Пусть для определенности
ВМ > AM.
Проведем АК ± l(K Е I), и пусть АК П ВМ = А'. Так
как в ЛАМА' биссектриса МК является высотой, то
МА = МА1
и \ВМ - АМ\ = ВМ - AM = ВМ - Л'М = В А1.
Если N Е I и N ф М, то AN = NA\ так как А и А' сим-
метричны относительно прямой Z, поэтому \BN — A/V| =
\BN — A'AZ| < BA1 (неравенство треугольника A'NB).
Итак,
\BM - АМ\ = В А! > \В.\ - . I.V|.
68
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Замечание. Для любой точки А, лежащей внутри ги-
перболы - ^ = 1 с фокусами Fi и F2. выполнено нера-
венство
|AFx-AF2| > 2а,
а для любой точки В вне гиперболы
|BFi - BF2| < 2а.
рис. 21
Докажем, например, что |BFi — BF2| < 2а. Пусть для
определенности BF± > BF2. В' - точка пересечения отрез-
ка BF2 с гиперболой. |BFi — BF2| = BF\ — BF2 = F\B—
= (B’B + B'F2) = (FiB - BB') - B'F2 < FiB' - B'F2 = 2a
(см. рис. 21).
Второе неравенство |AFi — AF2\ > 2a доказывается ана-
логично.
Определение. Прямая называется касательной к ги-
перболе, если она имеет с гиперболой единственную об-
щую точку, а все остальные точки этой прямой лежат вне
гиперболы.
Пусть М - произвольная точка гиперболы и I - бис-
сектриса угла FiMF2. Тогда I - касательная к гиперболе в
5.9. ДИАМЕТРЫ ПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ
69
точке М. Действительно, если М' - любая точка прямой
1{\Г ф .U). то | F, /I/' - F2M'| <
< |FiM —F2M|, значит точка М' лежит вне гиперболы (см.
предыдущие замечания). По определению отсюда следует,
что I - касательная к гиперболе.
Таким образом, касательная к гиперболе в точке М об-
разует равные углы с F\M и F^M. Луч FiM, выходящий из
точечного источника Fp отразившись от гиперболы (О),
образует с касательной Z3 = Z1, а так как ZI = Z2, то
Z2 = Z3, следовательно, N^M^F} лежат на одной прямой.
рис. 22
Этот факт выражает оптическое свойство гиперболы: лу-
чи, выходящие из одного фокуса, отражаясь от гиперболы,
расходятся таким образом, что кажутся выходящими из
другого фокуса (см рис. 22).
5.9.. Диаметры параболы, эллипса, гипер-
болы
Утверждение 1. Середины параллельных хорд пара-
болы лежат на прямой.
70
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Доказательство. Пусть дана парабола у2 = 2рх. Если
ее хорды параллельны оси Оу, то их середины расположены
на оси Ох в силу симметрии параболы относительно оси
Ох.
Рассмотрим множество всех параллельных хорд пара-
болы у2 = 2рх, имеющих угловой коэффициент к.
Выберем из этого мнжества произвольную хорду с кон-
цами Л/| (./• ।. у/,) и	Тогда
к =	(9.1)
а?2 — х\
Так как точки Mi и М2 лежат на параболе, то их коорди-
наты удовлетворяют уравнению у2 = 2рх, следовательно,
имеем
у1 = 2рхр, у^ = 2рх2.	(9.2) (9.3)
Пусть М(ж, у) - середина отрезка Mi М2. Ее координаты
выражаются следующим образом:
XI + т2
2
У1 + У2
У = —7,—
(9.4)
5.9. ДИАМЕТРЫ ПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ
71
Вычитая из равенства (9.3) равенство (9.2), получаем
yl -	= 2р(т2 - Xi), или (г/2 - 2/1)(?/2 + ш) = 2р(т2 - тх).
Учитывая, что у2 - у\ = &(т2 - тх) (см.(9.1)), ух + у2 = 2у
(см.(4)) и тх т2 (так как хорды не параллельны Оу),
перепишем равенство (?/2 — у±)(?/2 + у±) = 2р(т2 — ад) в виде
к(х2 — тх) • 2у = 2р(т2 — тх), или ку = р. Так как к О
(хорд, параллельных оси От, парабола не имеет), то у = |.
Итак, середины всех хорд параболы, имеющих угло-
вой коэффициент к, лежат на прямой, параллельной оси
От, У = т.
’ к
Определение. Диаметром параболы называется пря-
мая, проходящая через середины параллельных хорд этой
параболы.
Диаметр называется сопряженным хордам, через сер-
едины которых он проходит.
Утверждение 2. Середины параллельных хорд эл-
липса (гиперболы) лежат на прямой.
ТТ	ГТ	Г2 г/2	4
Доказательство. Пусть даны эллипс	= 1 и
гипербола	= 1- Если хорды эллипса (гиперболы)
параллельны оси Оу, то их середины, в силу симметрии
эллипса (гиперболы) относительно оси От, лежат на оси
От, и утверждение доказано. Аналогично, если хорды эл-
липса параллельны оси От, то их середины расположены
на оси Оу.
Рассмотрим теперь множество всех параллельных хорд
эллипса (гиперболы), имеющих угловой коэффициент
72
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Возьмем произвольную хорду с концами Mi(a?i,?/i) и
^(^2,^2) из серии параллельных хорд эллипса (гипербо-
лы). Тогда
k =	(9.5)
./Д — Х\
Так как точки Mi и М2 принадлежат эллипсу (гипербо-
ле), то
2	2
Хл	11л	z
- ±	= 1;	9.6
(22	О
Здесь верхний знак ”+” соответствует эллипсу, нижний
- гиперболе.
Пусть М(т, у) - середина отрезка Mi М2. Ее координаты
х и у удовлетворяют следующим соотношениям:
Ы + х2 У1+ У2
х =------- и у =------
2 У 2
Вычитая из равенств (9.7) соответствующие равенства
(9.6), получаем ''М'' ± /У'2/у'У = 0, или
(х2 - Т1)(ж2 + Xi) (у2 - yi)(y2 + ш)) = п
а2	&2
5.9. ДИАМЕТРЫ ПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ 73
Преобразуем последнее равенство с учетом того, что
+ х2 = 2т, ух + у2 = 2у (см. (4)), у2 — yi = к(х2 - яд)
(см. (1)):
(х2 - яд) • 2х к(х2 ~ xi)  2у _
Так как хорды не параллельны оси Oy(xi х2} и к 0, то
посление уравнении равносильны соответственно следую-
щим:
Итак, середины всех хорд эллипса (гиперболы), имею-
щих угловой коэффициент к 0, лежат на прямой, прохо-
дящеи через начало координат, у = [у =
Определение. Прямая, проходящая через середины
параллельных хорд эллипса (гиперболы), называется диа-
метром эллипса (гиперболы).
Диаметр называется сопряженным хордам, через сер-
едины которых он проходит. Учитывая, что угловой ко-
эффициент параллельных хорд равен к, а угловой коэф-
фициент сопряженного им диаметра равен к\ = =р^_ Для
эллипса и	для гиперболы, получаем соответствен-
но равенства к • к\ = д=^|, в которые к и к\ входят сим-
метрично. Отсюда заключаем, что диаметр эллипса (ги-
перболы) с угловым коэффициентом к\ сопряжен хордам
с угловым коэффициентом к тогда и только тогда, ког-
да диаметр с угловым коэффициентом к сопряжен хордам
с угловым коэффициентом к\. Так, для эллипса и гипер-
болы имеем пары сопряженных между собой диаметров,
каждый из которых делит пополам хорды, параллельные
другому диаметру.
74
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
5.10.. Касательные к параболе, эллипсу, ги-
перболе
Выведем уравнение касательной к параболе у2 = 2рт в
точке Мо(то,?/о)-
Дифференцируя уравнение у2 = 2рт, получаем: 2ydy =
2pdx, или = 2, откуда у'(хо) = После подстанов-
ки значения у'(хо) в общее уравнение касательной у =
у'(хо)(х - т0) + Уо оно примет вид у = ^(х - х0) + у0.
Домножим обе части этого уравнения на уо- Имеем уур =
рх — рхо+уц. Учитывая, что точка Mq(xq, ?/о) лежит на пара-
боле, т.е. у^ = 2рто, перепишем уравнение касательной в
следующем виде:
УУо = рх - рХр + 2рт0, или ууо = рх +рто, УУъ = р(х + То).
Итак, уравнение касательной к параболе у2 = 2рх в точ-
ке (т0, Уо) следующее: уу0 = р(х + т0).
Составим уравнение касательных к эллипсу = 1
и гиперболе |J-^ = 1b точке Mo(tq,^o)-
Дифференцируя оба уравнения, получаем |^йт±
±^dy = 0, откуда = =|=^ (верхний знак ”+” или
соответствует эллипсу, нижний - гиперболе).
Подставляя значение у'(хо) = в общее уравнение
касательной у = у'(хо)(х — tq) + уо, получим: у = (ж —
то) + уо- Домножим эти равенства на
УУо _ жот x2q у^
Ь2 ~а2 а2 Ь2’
(ХрХ	УоУ_ =	z^o I Уох.
1 а2	Ь2 ) ~ [а2	Ъ2’'
5.11. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 75
Жрж уоу = х20 у%
а2 Ь2 ~ а2 Ь2'
Учитывая, что точка (а?о, уо) лежит на эллипсе (гиперболе),
т.е. |^ + |§- = 1(|^ —	= 1), получаем уравнение касатель-
ной к эллипсу +	= 1 и к гиперболе	= 1.
5.11.. Преобразование прямоугольной сис-
темы координат
При решении ряда задач бывает полезно вместо задан-
ной системы координат Оху использовать другую систему
координат О'х'у', связанную определенным образом с пер-
вой.
Задача преобразования координат заключается в том,
чтобы, зная координаты точки в одной системе коорди-
нат, определить координаты этой точки в другой системе.
Для решения этой задачи рассмотрим два случая взаимно-
го расположения систем координат.
1. Параллельный перенос системы координат
Пусть даны две декартовы системы координат Оху и
О'х'у' с разными началами О и О' и соответственно со-
направленными осями (ОжДДО'ж', Оу ДД О'у') (рис. 23)
Будем условно называть системы Оху - старой, О'х'у' -
новой. Пусть (9'(а, 6) - координаты нового начала в старой
системе координат Оху. Обозначим через х,у и х'у' коор-
динаты произвольной точки М соответственно в старой и
новой системах координат. Так как ОМ = ОО' + О'М, а
оси Ох и О'х' сонаправлены, то х = HpQXOM = Про^((9(9'+
+(9'М) = Прож<9(9' + ПрохО'М = а + Пр(ух>О' М = а + х'.
Отсюда х = а + х' и х' = х — а. Аналогично, у = b + у'
76
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
и у' = у — Ь. Таким образом, при параллельном перено-
се системы координат координаты точки М(х\у') в новой
системе координат О'х'у' связаны с ее координатами (ж,?/)
в старой системе формулами
(11-1)
2. Поворот осей координат
Пусть новая и старая декартовы системы координат
имеют общее начало 0, и новая система координат повер-
нута относительно старой на угол а = М'Ох (рис. 24).
Обозначим через у угол, образованный вектором ОМ с
осью Ох'. Тогда LMOx = а + у (угол а считается поло-
жительным, если поворот от Ох к Ох' совершается против
часовой стрелки; угол у положителен, если поворот от Ох'
к ОМ происходит против часовой стрелки, и у отрицате-
лен, если против). Тогда х = HpQXOM = |OM|cos(ci +у) =
= \OM\cosacosip — \OM\sinasinip = {\OM\cosip)cosa—
5.12. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ...
77
— (\О M\sinp) sina = x'cosa — y'sina.
у = Про^ОМ = \OM\sin(a + <р) = \OM\sinacosp+
+\OM\cosasinp = (\OM\cosp)sina + (\OM\sinp)cosa =
= x'sina + y'cosa.
Здесь воспользовались тем, что х' = Прож'ОМ = \OM\coscp
И у' = ПрОуОМ = \OM\sinp.
Итак, при повороте осей координат на угол а координа-
ты точки М(ж,?/) в старой системе координат Оху связаны
с ее координатами (х'^у') в новой системе формулами
х = x'cosa — y'sina,
у = x'sina + у' cosa.
(И-2)
5.12.. Приведение общего уравнения кри-
вой второго порядка к каноническо-
му виду
Пусть кривая второго порядка задана уравнением
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0.	(12.1)
78
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Если В ф О, то при помощи поворота координатных
осей на определенный угол а можно привести уравнение
(12.1) к виду, не содержащему коэффициента при произве-
дении переменных ху. Действительно, применим преобра-
зование поворота осей координат по формулам (11.2).
Положив в уравнении (12.1)
х = х cosa — у sina, у = х sina + у'cosa,
получим
А(х' cosa — у' sina)2 + В (х' cosa — у' sina) (х' sina + у' cosa)+
+C(x'sina + у'cosa)2 + D(x'cosa — у'sina) + E^x'sina +
y'cosa)+
+F = 0. Раскрыв скобки и приведи подобные члены, по-
лучим уравнение заданной линии в новых координатах:
(Acos2a + Bcosasina + С sin2 а)х'2+
+ (2(С — A)cosasina + Bcos2a — Bsin2a)x у'+
+ (Asin2a — Bsinacosa + C cos2 a)y'2+
+(Dcosa + Esina)x' + (—Dsina + Ecosa)y + F = 0.
Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х'у' в по-
следнем уравнении обратился в нуль. Для этого решим
однородное уравнение
—Bsin2a + 2(С — A)cosasina + Bcos2a = 0.
Заметим, что cosa 0, иначе — Bsin2a = 0, а так как
В ф 0, то sina = 0, что противоречило бы основному три-
гонометрическому тождеству sin2а + cos2а = 1.
5.12. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ...
79
Разделив обе части однородного уравнения на (—cos2x),
получаем
Btg2a — 2(С — A)tga — В = О,
С-А±у/(С-А)ЧВ2
откуда находим tga^z =------ '-------• По теореме Вие-
та tga^-tga^ = — 1, следовательно, эти значения tga± и tga%
соответствуют двум взаимно перпендикулярным направ-
лениям. Поэтому, если возьмем одно значение tga вместо
другого, то просто поменяем местами оси х' и у'.
п 1	G-A+^(G-A)2+B2
Пусть tga =-----—--------= т > 0.
Выразим cosa и sina через т по формулам
1 1
cosa — —,	— —,	==:
а/1 + tg2a л/1 + m2
tga	т
sina = ,	,	=.
д/1 + tg2a л/1 + m2
Здесь для определенности взяли положительные значения
sina и cosa. В результате подстановки этих значений в
уравнение (12.1) оно примет вид
А1Х'2 + С'ш'2 + Dix' + Е1У' + F = 0,	(12.2)
где все коэффициенты будут известны. В полученном урав-
нении коэффициент Bi при х'у' равен нулю.
Если в уравнении (12.2) С\ = 0 и Ai = 0, то оно примет
вид D\x' + Е^у' + F = 0 и задаст либо прямую (В2 + Е‘2
Ф 0), либо всю плоскость (Bi = Ei = F = 0), либо пустое
множество
(В1 = В1 = 0, В^0).
Если в уравнении (12.2)C*i = 0, но А± 0, то возможны
два случая: Bi = 0 и Bi 0. В первом случае уравнение
80
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
(4) примет вид AiF2 + D^x' + F = 0 и задаст либо пустое
множество (Я2 — 4AiF < 0), либо прямую, параллельную
оси Oy(Dl — 4A±F = 0), либо две прямых, параллельных
оси Oy(Dl — 4A1F > 0).
При С\ = 0, Ai ф 0 и Ei ф 0 уравнение (12.2) принима-
ет вид у = — frx —	и после выделения в правой
части полного квадрата запишется в виде
/	( /	\2	(	\
у = а(х 4---+ с--------,
У у 2а у 4а7’
где а = — b = — с = — Jk Перенося начало коорди-
нат в точку ()"(—£-; с — и полагая х" = х' + у" =
J \ 2а’	4а/	2а ’
?/ — (с — |^), получаем уравнение параболы у" = ах"2.
Пусть теперь С\ 0 и Ai 0. В этом случае уравнение
(12.2) равносильно следующим уравнениям:
(А1Ж/2 + Dix"} + (Ci/ + Eiy"} + F = 0
Перенесем начало координат О' в точку О"(—— ^г)
и положим х" = х' + у" = у' + F-. Обозначим Н =
2А1 7 'J 'J zCi
г)2 гг2
— F. Тогда уравнение (12.3) перепишется в виде
Ait"2 + Ciy"2 = Я.	(12.4)
5.12. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ...
81
Если Н = 0, то Ait"2 + С\у"2 = 0, и это уравнение задаст
либо одну точку (0,0)(AiC*i > 0), либо две пересекающиеся
прямые (AiCi < 0) : во втором случае уравнение (12.4)
равносильно уравнениям
|Ах|т"2 - |СШ"2 = о
(ДЖИ -	+ ДсЩ") = 0
Если в уравнении (12.4)Я	0, то возможны два случая:
1) Ai,Ci и Н одного знака и 2) Ai и С\ разных знаков.
В первом случае уравнение (12.4) равносильно уравне-
ниям
|Л1|т"2 + |С1|?/"2 = |Я|^
Последнее уравнение задает эллипс с полуосями и
если Ai ф С\, или окружность, если Ai = С\.
Во втором случае уравнение (12.4) равносильно уравне-
ниям
1.411л-"2 - |C'i|y"2 = |Н| или |.41|л"2 - |C'i|y"2 = -|Н|,
„//2	„.//2	„.//2	™//2
т-е- Т7Г\ ~ Тн_\ = 1 или Г7Г7 — Т7Г\ = 1-
I Ai I I С\ I	I С\ I I Ах I
Эти уравнения задают гиперболы.
Задача. Привести к каноническому виду уравнение
14т2 + 24т?/ + 21т/2 — 4т + 18г/ — 139 = 0.
82
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Решение. Применим формулы поворота осей коорди-
нат:
х = х' cosa — у' sina у = х' sina + у'cosa.
14(ж' cosa — у' sina)2 + 24(х'cosa — у' sina) (х' sina + y'cosa) +
+21( х sina Т у cosa)2 — 4(х cosa — у sina) Т 18(т sina Т
y'cosa) — 139 = 0.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
(14cos2a + 24cosasina + 21sin2a)x,24~
4-(14sin2a — 24sinacosa + 21cos2a)y,24~
+ (—2$cosasina + 24cos2a — 24sin2a + 42sinacosa) x y'+
+ ( —4cosa + 4%sina)x' + (4sina + 4%cosa)y' — 139 = 0.
Определим угол а так, чтобы коэффициент при х'у' стал
равен 0:
— 24sin2a + 44sinacosa + 24cos2a = 0,
V2sin2a — 7 sinacosa — 42cos2a = 0.
Разделим обе части этого уравнения на cos2a (заметим,
что
cosa ф 0, иначе Y2sin2a = 0 и sin2a = 0, что противоречи-
ло бы тождеству sin2а + cos2а = 1):
12£ д2а — 7tga — 12 = 0,
tga\ = tga-2 = — |.
Так как tga±  tga^ = | • (—|) = —1, то повороты на угол
«1 и угол о 2 определяют два взаимно перпендикулярных
направления новой оси абсцисс (ординат). Поэтому новые
системы координат, полученные поворотом старой систе-
мы на arctg^ и arctg(—|), отличаются одна от другой тем,
что ось абсцисс в одной из них является осью ординат в
другой и наоборот.
5.12. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ...
83
Пусть для определенности tga =
cosa = ±
4 z , Зч ,4
sma = tqa  cosa = - • ±- = ±-.
У	3 v 57	5
Выберем cosa = |,smci = | (выбор cosa = —|, sina = — |
соответсвует замене направлений осей абсцис и ординат
на противоположные).
Подставим эти значения в уравнение кривой:
(14  1 + 24-1 • | + 21 •ЙД'ММ-й-24-1 + 21
+ (—4  | + 18  1)х' + (4  1 + 18  1)у’ - 139 = О,
31	+ 5г/2 - 12г' + 14г/ = 139,
30(г'2 - jx') + 5(у'2 + И;/) = 139.
Дополним выражения в скобках до полных квадратов:
30(+2-2.1.,r- + 5L-5L) + 5(!/2 + 2.p!/ + li-l|) = 139,
30(+ - I)2 - | + !i(y' + I)2 - f = 139,
30(г' - I)2 + 5(у’ + |)2 = 150,
(+-Q2 ,	_ 1
5 “г 30
Перенесем начало координат в точку О"(|;—|) и приме-
ним формулы параллельного переноса х1 = х" + |, у’ =
=у" - I, или х" = х’ - у" = у’ + |.
В новой системе координат О"х"у" уравнение кривой
примет вид:
7/2
7/2
5
30
Это уравнение задает эллипс с полуосями а = у5, b =
= ^30.
84
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
5.13.. Поверхности второго порядка
Определение. Поверхностью второго порядка называ-
ется геометрическое место точек пространства, декартовы
координаты которых удовлетворяют уравнению вида
апх2 + а^у2 + язз^2 + 2ai2T?/ + 2ai3T,z + 2а2з^+ (13.1)
-|-2(2хт -|- 2я2?у -|- 2а3^ -|- oq — 0.
Покажем, что это определение инвариантно относитель-
но выбора системы координат.
Пусть в пространстве, кроме системы координат Oxyz
(в которой задано уравнение (13.1)), введена вторая де-
картова система координат О'х'у'z'. Выразим координаты
произвольной точки М в системе координат Oxyz через
ее координаты в системе О'х'у'z'.
5.13. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
85
Векторы е'1? е'2, е'3 однозначно раскладываются по базису
	' ё'х	= «пёх	+<т21ё2	+«з1ёз
еХ, е2,е3 : <	ё'2	= аД2ёх	+<т22ё2	+ «32ёз
	. ёз	= «1зёх	+«2зё2	+«ззёз
Пусть ОМ = тех + уе^ + ze3
О'М = х'е'х + у'е'^ + z'e'% и
ОО' = тоех + 2/ое2 + z0e3 (рис. 25)
рис. 25
Тогда ОМ = ОО' + О'М = xqO + у0ё2 + 2дёз+
+т/(<тцё1 + с^21ё2 + (Тзхёз) + з/(сух2ёх +	+ а32ё3) +
+/(ахзёх + о22|ё2 + а33ё3) = (он? + а12у' + Мз?' + ж0)ёх+
+ (адхж' + а22у' + «2з£+ З/о) ё2 + (q3i^' + аз?у' +	+ ^о)ёз-
С другой стороны, ОМ = xei+ye2+ze^. читывая однознач-
ность разложения вектора по базису ёх, ё2, ёз, получаем:
х = а11х' + а12у' + од3Т + х0,
< у = «21^' + Ы22У’ + (W + Ув,	(13.2)
£ = а31х' + а32у’ + W + ?о-
86
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Таким образом, уравнение поверхности в любой систе-
ме координат О'х'у'z' получается из уравнения (13.1) заме-
ной ж, у, z линейными относительно х', у', z' выражениями,
поэтому и в новых координатах уравнение поверхности
будет иметь вид (13.1).
Для проведения классификации поверхностей второго
порядка упростим общее уравнение (13.1), перейдя к новой
системе координат, в которой коэффициенты при произве-
дениях переменных xy,xz и yz обратятся в нуль.
Пусть M(x,y,z) - произвольная точка. Введем функ-
цию F(M), определенную на всем пространстве, кроме на-
чала координат, следующим равенством:
апх2 + а^у2 + язз-?2 + 2ai2T?/ + 2ai3T2; + Za^yz
х2 + у2 + z2
Рассмотрим эту функцию на сфере х2 + у2 + z2 = 1. Для
всех точек M(x,y,z) этой сферы х2 < 1, у2 < 1, z2 < 1,
следовательно, |т| < 1, \у\ < 1, \z\ < 1. Тогда
|F(M)| < |яц| + |п22| + |«зз| + 2|я12| + 2|а1з| + 2|а2з|?
т.е. функция F(M) ограничена на сфере х2 + у2 + z2 = 1,
значит, она достигает своего минимума на этой сфере в
некоторой точке Mq сферы. Далее заметим, что если луч,
выходящий из начала координат, проходит через точку
А(т, ?/, z) сферы, то координаты любой точки В этого луча
имеют вид Xx,Xy,Xz, где А 6 R. А так как
F(B) = F(Ax, Ху, Xz) =
ац(Ат)2 + а^(Ху)2 + азз(А.г)2 + 2ai2AxA?/ + 2а1зАтА.г + ‘la^XyXz
(Ат)2 + (Ху)2 + (А.?)2
5.13. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
87
= F(x,y,z) = F(A),
то функция F(M) постоянна вдоль любого луча, выходя-
щего из начала координат. Отсюда следует, что в точке
Mq функция F(M) достигает своего минимума на всем
пространстве, а не только на сфере х2 + у2 + z2 = 1.
Введем новую декартову систему координат Ox'y'z', не
изменяя начала О и взяв луч OMq за положительную по-
луось z1. По формулам (13.2) (tq = уо = zq = 0, так как
О1 = О) получаем
х	=	апх'	+а12у'	+ai3z',
<	у	=	а21Ж'	+П22У'	+«2зЛ
£	=	а31х'	+а32у'	+W-
Заменяя ж, у, z в уравнении (13.1) на их выражения через
х'^y\z', получаем уравнение поверхности вида
а'пт'2 + а22^/2 + 4^ + ^F^x'y1 + 2а/13тТ/ + ‘la^y z'+
+ila\x + ‘la'^y' + 2a32:/ + <Zq = 0.	(13.3)
Соответственно функция F в новых координатах при-
мет вид
F(M\ =	+ а'22^1 + й33^2 + 2а'^х'у' + 2а13ж'^ + ‘Za'^y'z'
1 J “	х'2 + у'2 + z'2
(ж2 + у2 + z2 = х'2 + у'2 + z2 = |ОМ|2).
Так как в новой системе координат Ox'y'z' точка Mq ле-
жит на оси 0z' и |OMq| = 1, то в этой системе координат
М(0;0;1). Таким образом, минимум функции F достига-
ется при х' = 0, у' = 0, z' = 1.
88
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Если теперь в последнем выражении F(M) положить
= 0, z' = 1 то получится функция от одной переменной
у/ _ а22^//2 + 2«23?/ + «зз
1+^2
достигающая своего минимума при у' = 0. Следователь-
но, производная функции f(y') в точке у' = 0 равна 0 :
^г\у' = 0. С другой стороны,
dfW' _
dy' у “°
(2«22^ + 2«2з) (1 + 7/'2) - («22^ + ^зУ1 + «Зз)2^/2 ,
Ь'=о -
2
_	-т-	т	। '' । "337
(1+0)2	-2а23’
Итак, коэффициент а'23 при у' z' в уравнении (13.3) равен
нулю. Аналогично показывается, что а'13 = 0. Таким обра-
зом, уравнение (13.3) принимает вид
а^х2 + а22у‘1 + a?j?jz‘1 + ^а12х у +‘1а1х +^а2у	+	= 0.
Применим преобразование поворота осей координат (в
плоскости Ох'у') по формулам
x"cosa —y"sina
х" sina +y"cosa.
J!
Выбирая угол а надлежащим образом, освободимся в
уравнении поверхности от члена с произведением коор-
динат х"у" (выкладки аналогичны случаю преобразования
общего уравнения кривой второго порядка). В результате
уравнение поверхности преобразуется к виду
//	//2 ।	// //2 ।	// //2 । и и । и и । и и .	// м
(2цТ Т d22y Т Т 2а^х Т Za^y Т Za^z Т Яд — и.
5.14. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 89
5.14.. Классификация поверхностей второ-
го порядка
Будем предполагать, что в соответствующей системе
координат уравнение поверхности второго порядка имеет
вид
апх2 + а^у2 + «зз^2 + 2aix + 2сщу + 2а3^ + а0 = 0.	(*)
Здесь возможны три случая.
Случай 1. Все три коэффициента при квадратах пере-
менных в уравнении (*) не равны нулю. Преобразуем
уравнение (*) следующим образом: «ц(т2 + 2--iLx + (-iL)2 —
(у^)2) + а22(у2 + 2^-у + (^)2 - (-М2) +
+азз(А2 + 2 • —z + (-^)2 — (-^)2) + а0 = 0,
"зз 1 Va33/	\а33/ / и ’
«нН + ^)2 + «22(2/ + ^)2 + «зз(г + +2 + 7 = 0,
„2	„2	„2
7	С11	Go	G о I
где а = —1------2---2-	+	an.
"	an	a22	"зз	u
Перенеся начало координат в точку 07——, ——, — — }
г	17 V an ’	а22 ’	а337
и перейдя к новым координатам х' = х + у' = у+
z' = z + получим следующее уравнение поверх-
ности:
ацх'2 + а^у'2 + a33z12 + 7 = 0.	(**)
Здесь возможны четыре варианта.
I. 1) d = 0.
При этом, если ац,«22,«зз одного знака, то уравнение
(**) задает точку О'(0,0,0) (мнимый конус). Если же сре-
ди чисел «и, «22, «зз есть числа разных знаков, то уравне-
ние (**) задает вещественный конус. Положим для опре-
деленности ап и «22 одного знака, а^з - другого. Тогда
90
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
уравнение (**) можно переписать в таком виде:
т'2	/2
Jy	Ц
|ац| |а22|
| «33 |
Полагал = a2, ^j- = &2, ^j- = с2, получим уравне-
г'2	?/2 Ч2 П
ние конуса	— ут = 0, или, опуская штрихи при
переменных,	= 0 (рис. 26).

рис. 26
I. 2) d ф 0 и «и, «22? «зз “ числа одного знака. При этом,
если «п? «22? «зз и d одного знака, то левая часть уравне-
ния (**) не обращается в нуль, поэтому уравнение (**)
задает пустое множество (мнимый эллипсоид). Если же
знак d противоположен знаку ац?«22?«зз? то (**) опреде-
ляет вещественный эллипсоид. Деля обе части уравнения
«цт/2 + а^у'2 + «33-272 + d = 0 на (—(/), получаем:
Так как
0, то, положив
=«2, —= &2, —= с2, уравнение эллипсоида запишем
5.14. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 91
./2	,,/2
в виде р- + ^2“ +	= 1, или, опустив штрихи при перемен-
ных,	= 1 (рис. 27)
рис. 27
I. 3) d ф 0 и из четырех чисел ац, «22, «зз, d два чис-
ла одного знака, два другие - противоположного. В этом
случае уравнение (**) задает однополостный гиперболоид.
Пусть для определенности ац и одного знака, pi:i и d -
другого. Разделив обе части уравнения (**) на (—(/), по-
лучим + ртр —	— 1 = 0. Так как — р- > 0, —	> 0,
“11	“22	“33
— > 0, то, положив —— = аI. 2, —— = Ь2, — = с2, получим
а33	’	’	аи ’	а22	’ а33	J
уравнение однополостного гиперболоида р- + ^у — р- = 1,
или, опустив штрихи при переменных, р + |у —р = 1 (рис.
28)
92
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
рис. 28
I. 4) d ф 0 и один из коэффициентов <2ц, «зз противо-
положен по знаку остальным (включал d). В этом случае
уравнение (**) задает двуполостный гиперболоид. Проводя
преобразования, аналогичные п. 3), приводим уравнение
(**) к виду ^ + ^- fJ + l= O (рис. 29)
рис. 29
Итак, рассмотрены все возможные варианты при усло-
вии, что в уравнении (*) все коэффициенты «и, «22,^33 от-
личны от нуля.
5.14. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 93
Случай 11. Два ИЗ коэффициентов (Зц, «225 «33 отличны
от нуля, а третий равен 0.
Пусть, например, <зц 0, «22 ф 0, <333 = 0. Уравнение
(*) принимает вид ацх2+ а,22У2 + ^aix -^с^у + %a3z +	= 0.
Группируя слагаемые, содержащие переменные х и у, и
выделяя полные квадраты получим: <зц(т + —+ а,22(у +
aca2tt22) + 2а3^ + е = 0, где е =	- уу + «о-
Перенося начало координат в точку О'(—у^, — уу,0) и
переходя к новым координатам х' = х + у' = у +
z' = приводим уравнение поверхности к виду
<зцт/2 + а22у'2 + %a3z + е = 0.	(***)
Здесь возможны три варианта.
II. 1) а3 = е = 0.
При этом, если <зц и «22 одного знака (ац«22 > 0), то
уравнение (* * *) задает прямую - ось Oz(x = 0, у = 0,
z G R).
Если же числа <зц и «22 разных знаков (ац«22 < 0), то
уравнение (* * *) принимает вид |<зц|т/2 — \a22\y12 = 0, х12 —
\^\у!~ = о, (х' - J\^\y')(x' + J\^\y>) = о и задает пару
плоскостей х' ± \J—^y' = 0.
II. 2) а3 = 0, е ± О.1
Если (311,(322 и е одного знака, то уравнение <зцт/2 +
«22?//2 + е = 0, следовательно, и уравнение (* * *) не име-
ет решений, поэтому задает пустое множество (мнимый
цилиндр).
Если среди коэффициентов «и, «22 и е есть числа раз-
ных знаков, то уравнение (***) определяет вещественный
цилиндр. В частности, при ац«22 > 0 - эллиптический
цилиндр + ^2 — 1 = 0, при <зц(322 < 0 гиперболичес-
кий цилиндр	— 1 = 0 (выкладки по выводу этих
94
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
уравнений аналогичны выкладкам в 1.2 и 1.3) (рис. 30, 31
соответственно).
Ху '
рис. 30	рис. 31
II. 3) оз + 0.
Перепишем уравнение (**ф) в следующем виде ацх'2 +
«22?/2 + 2«з(^/ + ^) = 0 и перейдем к новым координа-
там х" = х1, у" = у', z" = z* + 2^. Получим уравнение
поверхности
//2 ।	//2 । о // н
апх + а22у + 2a3z = 0.
Если «ц и «22 одного знака («п«22 > 0), то последнее урав-
нение легко приводится к виду z =	(штрихи при
переменных опущены) или — z =	(в этом случае
меняем направление оси Oz на противоположное, полагая
z1 = —z). Это уравнение эллиптического параболоида (рис.
32).
Если же «п«22 < 0, то уравнение исследуемой поверх-
ности приводится к виду z =	• Оно определяет ги-
перболический параболоид, (рис.33)
5.14. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 95
рис. 32
рис. 33
Итак, случай II рассмотрен полностью.
Случай 111. Один из коэффициентов ац,а22,«зз отли-
чен от нуля, а два других равны нулю. Пусть, например,
ап ф 0. Тогда уравнение (*) принимает вид ацх2 + 2aix +
2а2^ + 2аз^ + ао = 0. Преобразовав его следующим образом,
«Г1 (ж + ^)2 + %а2у + 2а3^ + f = 0, где f =	+ а0, пере-
несем начало координат в точку О'(—^,0,0) и перейдем
к новым координатам: х = х + у' = у, z' = z. Тогда
уравнение (*) примет вид
ацт/2 + 2а2у + 2а3У + f = 0.	(* * **)
В этом случае возможны два варианта.
III. 1) (22 = аз = 0.
Если числа <2ц и / одного знака, то уравнение ацт/2+
+/ = 0 не имеет решений, следовательно, уравнение (*)
задает пустое множество.
96
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Если ап и / разных знаков, то уравнение ацх'2 + f = О
задает пару параллельных плоскостей х1 =	если
f = 0, то две совпадающих плоскости х1 = 0.
III. 2) Хоти бы один из коэффициентов или а3 отличен
от нули. Пусть для определенности 0.
Оставим направление оси Ох' прежним, а оси Оу и Oz
повернем нау гол а так, чтобы в новом уравнении поверх-
ности коэффициент при z" обратился в ноль, т.е. совершим
преобразование координат:
< у' = у"cosa — z" sina,
z' = у" sina +z"cosa.
Уравнение (* * **) примет вид
а^х"2 + 2а^{у" cosa — z" sina) + 2а3(у" sina + z" cosa) + f = 0;
aiiT//2 + 2(a2Cosci-|-a3smci)?//-|-2( — a^sina+a3cosa)z" + f = 0.
Полагая —a^sina + a3cosa = 0, получим tga =
Подставим в последнее уравнение поверхности
1	«2	•	а3
л/1 + tg2a ^«2 +	+ аз
//3 . «I . «з \ // . f _ п
пцт + 2( ,	=	, )у + f — 0,
у<32 + а3 Va2 + а3
щ/2 + 2-\/а2 + а1у” + / = 0;
апх"2 + 2у/а^ + а23(у" +	,	) = 0.
2уа2 + «з
5.14. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 97
Совершим параллельный перенос:
в результате которого уравнение поверхности примет вид
aip'"2 + 2^2 + ^у"' — 0. Обозначим
—	= а2, если ап > 0
<	«и_____	’	11
— 2^(22 + <232 =р
И
—	= —а2, если ail < 0.
< аи
2^ + а23	= р
Тогда уравнение поверхности запишется следующим об-
разом:	— РУ = 0 (штрихи опущены). Это уравнение
задает параболический цилиндр (рис. 34)
рис. 34
98
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
5.15.. О прямолинейных образующих по-
верхностей второго порядка
Определение. Поверхность, составленная из прямых,
называется линейчатой.
Геометрически очевидным является тот факт, что ко-
нусы и цилиндры - линейчатые поверхности.
Утверждение. Если точка А, отличная от начала ко-
ординат О, лежит на конусе, то все точки прямой О А так-
же лежат на этом конусе.
Доказательство. Пусть А(то,?/оАо) _ точка конуса,
заданного уравнением — fi = 0,	(*)
В(т1, ?/i, zi) - произвольная точка прямой О А. Параметри-
X = iCgf,
ческие уравнения прямой О А имеют вид у = y$t,
Z = ZqI.
Координаты точки В удовлетворяют этим уравнениям,
т.е. для некоторого значения t имеют место равенства
Х1 =
< У1 = УоА
А = zot.
Координаты точки А(то5?/оАо) удовлетворяют уравне-
нию (*) :
жо I г/о _ £о _ п Тпгпя I А. _ А — (Ж<Л)2 I (*Ы)2 _ (М2 _
п2 “Г А2 z>2 — 1 U1 Д<Д о “Г А2 А2 — п2 “Г д2	г.2 —
ст	с/	с	а	ч	с	а	и	о
=	= t2 • 0 = 0. Таким образом, координаты
точки В удовлетворяют уравнению (*). Следовательно, В
лежит на рассматриваемом конусе.
Прямые, из которых составлена линейчатая поверхность,
называется ее образующими.
5.15. О ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ОБРАЗУЮЩИХ...
99
Все образующие конуса	= 0 проходят через
его вершину точку О.
Образующие рассматриваемых выше цилиндрических
поверхностей	= 1,	= 1, у2 = 2рт) парал-
лельны оси Oz.
Кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностя-
ми второго порядка являются однополостный гиперболоид
и гиперболический параболоид.
Докажем этот факт для однополостного гиперболоида,
заданного уравнением	= 1.
Запишем это уравнение в виде = 1 — ,
или (- +	- -) = (1 +	- I).	(**)
\ а с/\а с> V 1 6 / \	b >	V >
Далее, рассмотрим систему уравнений
|«(Ж) = Щ + р (***)
/ЗЦ - Ц = “(i-?)- гДе «2 + У^0.
При фиксированных значениях а и /3 эта система зада-
ет прямую - линию пересечения двух плоскостей. Если
придавать а и /3 всевозможные действительные значения,
то система (* * *) будет определять бесконечное множест-
во прямых, каждая из которых лежит на заданном одно-
полостном гиперболоиде. Действительно, перемножая по-
членно уравнения системы, получим уравнение (**). Это
означает, что если координаты какой - либо точки удовлет-
воряют системе (***), то они удовлетворяют и уравнению
(**).
Можно доказать, что через каждую точку М(то,^оЩо)
однополостного гиперболоида проходит одна и только од-
на прямая, задаваемая системой (***). Для этого, исполь-
зуя то, что координаты (tq, ?/о5 ^о) точки М удовлетворяют
уравнению (**), надо подобрать а и /3 так, чтобы коор-
100
ГЛАВА 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
динаты точки М удовлетворяли системе (***). При этом
указанная система задаст вполне определенную пару урав-
нений, которой будет соответствовать единственная пря-
мая, лежащая на гиперболоиде.
Итак, система (* * *) при различных значениях а и /3
задает бесконечную систему образующих однополостного
гиперболоида.
На самом деле, аналогично системе (* * *) можно соста-
вить систему
+	= Ai-p
I <-1) = а(1 + 1),
которая определяет систему образующих гиперболоида, от-
личную от рассмотренной выше. Таким образом, однопо-
лостный гиперболоид обладает двумя различными систе-
мами прямолинейных образующих.
Идея использования линейчатости однополостного ги-
перболоида в строительной технике принадлежит извест-
ному русскому инженеру Владимиру Григорьевичу Шухо-
ву. Он предложил конструкции из металлических балок,
расположенных по прямолинейным образующим однопо-
лостного гиперболоида вращения. Эти балки скрепляют-
ся в местах пересечения двух систем образующих. Такие
конструкции (’’башни Шухова”) оказываются легкими и
прочными. Они используются для строительства водона-
порных башен и высоких радиомачт.
Глава 6.
Векторные пространства
6.1.. Понятие алгебраической операции.
Определение группы, кольца, поля.
Примеры. Поле комплексных
чисел
Определение. Пусть А - некоторое множество и Ап =
= А х ... х А = {(«1,	ai 6 А} - его n-я декартова сте-
пень, т.е. множество упорядоченных наборов (содержащих
п элементов множества А). Отображение : Ап А на-
зывается п-арной алгебраической операцией на множества
А.
При п = 1 операция называется унарной, при п = 2
бинарной. Например, обычная операция сложение + на
множестве целых чисел Z является бинарной операцией:
+ (3,5) =8, +(-2,4) = 2.
Пусть R+ - множество всех положительных действи-
тельных чисел. Тогда следующая операция / : R+ —>
R+, f(a) = у/a, является унарной.
Определение. Множество (G, ) с бинарной операци-
ей называется группой, если 1) для любых элементов
101
102
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
а, 6, с Е G (а • Ь) • с = а • (6 • с) (ассоциативность); 2) су-
ществует элемент е Е G такой, что для любого элемента
а Е G, а • е = е • а = а; 3) для любого элемента а Е G
существует единственный элемент а-1 Е G такой, что
а  а-1 = а-1 • а = е.
Элемент е называется единицей группы G, а элемент
а-1 - обратным к элементу а.
Примеры групп.
1)	(Z, +). Единичным элементом является число 0. Об-
ратным к числу а является число (—а);
2)	(_R+,-). Единичным элементом является число 1, об-
ратным к числу а является число
Группа (G, •) называется абелевой (или коммутативной)
если для любых a,b Е G, а • b = b • а (коммутативность
операции).
Определение. Множество (S, +, •) с двумя бинарными
операциями +, • называется ассоциативным кольцом, если
1) (S, +) - абелева группа;
2) для любых элементов а, 6, с, Е S
а(Ь + с) = ab + ас, (а + Ь)с = ас + Ьс, (дистрибутивность),
3) (аб)с = а(6с) (ассоциативность) .
Ассоциативное кольцо (S, +, •) называется полем, если мно-
жество (S \ {0}, •) является абелевой группой.
Примеры.
1)	(Z,+,•) - ассоциативное кольцо, не являющееся полем;
2)	(Q,+,-) - поле рациональных чисел;
3)	пусть S = Q + Qa/2 = {а + а, Ъ Е Q}.
Тогда S является полем относительно обычных операций
сложения и умножения. Действительно, проверим следую-
щую нетривиальную аксиому: для любого а = а + Ъу/2 ф 0
6.1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 103
из S, существует а 1 6 S. Имеем
а + &л/2 а2 — 2b2 а2 — 2Ь2
Замечания:
1)	Если (S, +, •) - ассоциативное кольцо, то для любого
элемента а Е S, а • 0 = 0. Действительно, а(0 + 0) = а • 0 =
а • 0 + а • 0. Откуда следует, что а • 0 = 0;
2)	Для любых элементов a,b Е S а(—Ь) = — (ab).
Имеем, что
а(Ь + (—6)) = <2-0 = 0 = аЪ + а(—Ь).
Откуда следует, что — (ab) = а(—Ь).
Перейдем к построению поля комплексных чисел. Обо-
значим через С = {(а, 6); а, b Е R} - декартово произведе-
ние множества действительных чисел R на себя. Введем
на С две бинарные операции +, • следующим образом: для
любых пар (а, 6), (с, d) Е С положим
(а, 6) + (с, d) = (а + с, b + с?);
(а, 6)(с, d) = (ас — bd, ad + be).
Проверим, что (С,+,-) - поле. Для этого заметим, что
(С,+) - абелева группа. Действительно, 0 = (0,0) являет-
ся единицей (по сложению!) и —(а, Ь) = (—а, — Ь). Аксиомы
ассоциативности и коммутативности сложения очевидны.
Проверим коммутативность и ассоциативность умноже-
ния. Имеем
(а, 6)(с, d) = (ас — bd, ad + be) = (с, d)(a, b)',
((a,b)(c, d)) (ж, у) = (ас — bd, ad + be)(x,y) = (аст — bdx —
ady — bey, асу — bdy + adx + bex)',
104
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(а, &)((с, d) (ж, ?/)) = (а, 6)(сж — dy, су + dx) = (асх — ady —
bey — bdx, асу + adx + hex — bdy) = ((а, 6) (с, (/))(ж, у).
Для проверки дистрибутивности вычислим левые и пра-
вые части равенства a(j3Ту) = а/3 + ciy, где а = (а, 6), /3 =
(с, cZ), у = (ж,?/) 6 С. Имеем, что (а, Ь)((с, d) + (ж,?/)) =
(а, 6)(с Т ж, d + у) = (ас + ах — bd — by, ad + ay + be +
6ж), (а,6)(с, с?) + (а,6)(ж,?/) = (ас — bd, ad + be) + (аж —
by, ay + be) = (ас — bd + ax — by, ad + be + ay + bx). Итак,
(C, +, ) - ассоциативное кольцо, в котором умножение яв-
ляется коммутативным. Пусть 1 = (1,0). Тогда для любо-
го а Е С, а-1 = 1-а = а, и если а = (а, Ь) 0, то положим
а-1 = (д2”&2, а~_^ь2). Легко видеть, что а  а-1 = а-1 • а = 1.
Таким образом, (С, +, •) - поле. Оно называется полем
комплексных чисел. Заметим, что поле действительных
чисел (Л,+,•) инъективно отображается в поле (С, +,•):
f-.R^C,
где /(а) = (а, 0). Это отображение сохраняет операции сло-
жения и умножения, т.е.
f (« + Ь) = /(а) + /(&), /(а • Ь) = f(a)f(b).
Удобно отождествить поле R с его образом f(R) : а =
(а, 0) = f(a). При этом предположении произвольное комп-
лексное число а = (а, 6) может быть записано в виде а =
(а, Ь) = (а, 0) + (0,6) = а • 1 + (&, 0) (0,1) = а • 1 + b • i, где
i = (0,1). Далее, R = (0,1)(0,1) = (—1,0) = —1. Положим
а = а-1 — bi и |а| = л/а2 + &2 = у/а-а. Число а называется
сопряженным к а, а действительное число |а| называется
модулем а. Заметим, что
|ct/3|2 = (ct/3)(ct/3) = (ci/3)(ci/3) = (cici)(/3/3) = |ct|2|/3|2, т.е.
6.1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 105
|<т/3| = |ct||/3|. Число а = Rea называется действительной
частью а, а число b = 1та - мнимой частью а.
Приведем геометрическую интерпретацию поля комп-
лексных чисел С = R х R. Поле С можно отождествить с
пространством R(2\ т.е. с обычной декартовой плоскостью
(с обычным сложением векторов и умножением вектора на
число, см. рис. 35)
У^
г I
рис. 35
В частности, |а| - длина вектора а Е С. Аргументом чи-
сла а Е С назовем угол, образованный вращением оси ОХ
(против часовой стрелки) до встречи с вектором а (в обо-
значении р = агда). Пусть г = |<т|. Тогда а = rcos^ и b =
rsinp, поэтому а = r(cosp + zsmp). Приведенная запись
комплексного числа называется его тригонометрической
формой. Заметим, что агд(а/3) = агда + агд(3 и агд(^) =
агда — агд(3. Действительно, если а = r(cosp + zsmp) и
/3 = s(cosT + гжФ), то а/3 = rs((cos<pcosT — smtpsmT) +
z(sm<pcosT + costpsmT) = r  s(cos(<p + Ф) + zsm(p + Ф)) и
a	r (cosp + smp)
/3	s (cos^ + гжФ)
r (cosp + isinp)(cos(—Ф) + isin(—Ф))
s (cos^ + шпФ)(со$(-Ф) + isin( —Ф))
106
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
г ,cos(g> — Ф) + isin((p — Ф). rz .	z т..
= -(-----------------------) = ~(cos(g>—Ф)+г£т(<р—Ф)).
cosQ + isinO	s
Откуда следуют искомые равенства для аргументов и |^| =
|^|. Из равенства треугольника имеем также, что |<т + /3| <
Ы + |/3|.
Пример. В прямоугольном треугольнике АОС катет
АС в 3 раза больше катета АО. Точками К и F катет АС
разделен на три равные части. Доказать, что /.АКО +
/AFO + /АСО = f.
Решение. Рассмотрим комплексную плоскость С (см.
рис. 36).
рис. 36
Пусть Г1 = ОК. Г2 = OF, гз = ОС. Тогда адг^гдтуг^ =
аТ/З + у. Вычислим комплексное число г^г^г?^ считая, что
|ОА| = 1. Имеем гдт^ = (1+г)(2+г)(3+г) = (1+Зг)(3+г) =
Юг, т.е. адг^гдтуг^ = ^ = а + (3 + ^. Задача решена.
Ранее мы доказали, что при умножении комплексных
чисел аргументы складываются, поэтому справедлива так
называемая ’’формула Муавра”:
[r(cos<p + zsm<p)]n = r”(cos(n<p) + Fm(n<p)).
6.1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 107
Историческая справка. Абрахам Муавр (1667 - 1754)
английский математик. Известен результатами в теории
рядов и в теории вероятностей.
Определение. Пусть а Е С. Число (3 Е С называется
корнем п-й степени из а, если (Зп = а (n > 1).
Теорема 1. Пусть а = r(cos<p + zsm<p) - комплексное
число, не равное нулю. Тогда следующие комплексные чи-
сла и только они являются корнями п-й степени из а
/- р-Е 2тгк	р-Е2т^к
у г(cost------) + smt----------------)), где к = 0,1,2,...,п — 1.
п	п
Пусть Д = ^(cos^k) + гж(у/ы). Тогда /3f =
(^/r)n(cos(<p + 2тгк) + isintpp + 2тгАт)) = а. Таким образом,
каждое из вышеприведенных чисел является корнем п-й
степени из а.
Пусть /3 = s(cosT + йтФ) - некоторый корень п-й сте-
пени из а. Тогда (Зп = а и, следовательно, sn = г, пФ =
у + 2тгАт, где к Е Z, поэтому s = д/г и Ф = ^+^к. Разделим
число к на п
к = пд + г, 0 < г < п.
Тогда Ф = У’+^7ГГ + 2тгд. Это означает, что /3 = /Зг, 0 < г <
п — 1. Докажем, что числа /Зо, /31,..., /Зп_1 являются попарно
различными. Пусть /Зг- = /Зу, где 0<z<j<n — 1. Тогда
р + 2т р + 2тг7
	=	- + 2тгр, где р Е Z.
п----------------п
Следовательно, ненулевое целое число (j — i) делится на п
и меньше п. Противоречие. Теорема доказана.
Следствие 1. Следующие числа и только они являются
корнями п-й степени из единицы q =	0 <
к < п — 1.
108
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Действительно, так как 1 = cosQ + isinQ, то в форму-
лировке теоремы 1 г = 1, у = 0. Заметим далее, что
Ек = (по формуле Муавра) и числа q (как векторы)
расположены в вершинах правильного
n-угольника, вписанного в окружность единичного радиу-
са.
Теорема 1 дает алгоритм вычислении корней п-й сте-
пени из числа а по его тригонометрической форме. Ука-
жем алгоритм извлечения квадратного корня из числа а =
а + bi. Пусть /3 = у/а = х + iy. Тогда /З2 = а и ж2 — у2 =
а, 2ху = Ь. Откуда следует, что а2 + Ь2 = (ж2 + у2)2 и
х2 + у2 = л/а2 + &2. Поэтому х2 = |(а + л/а2 + 62) и у2 =
|(л/а2 + Ъ2 — а). Извлекая квадратные корни, мы получаем
два квадратных корня из чисел а, отличающихся друг от
друга знаком.
6.2.. Определение векторного пространст-
ва. Примеры. Изоморфизм вектор-
ных пространств
Пусть (V,+) - абелева группа и F - поле. Предполо-
жим, что определено отображение V х F —> V, ставящее в
соответствие каждой паре (w, а) 6 V х F элемент и • а Е V
и удовлетворяющее следующим аксиомам (а, 6 6 V, а,(3 Е
Е F):
1)	(а + Ь)а = аа + 6/3;
2)	а(а + /3) = аа + 6/3;
3)	а(а/3) = (асф/З;
4)	а • 1 = а.
Тогда V называется векторным (линейным) пространст-
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ109
вом над полем F. Элементы V называются векторами, а
элементы из поля
F - скалярами.
Примеры.
1)	V = R(2\ F = R поле действительных чисел;
2)	V = R(3\ F = R - поле действительных чисел;
3)	Пусть F - поле и V = F^ = F х ... х F его п-я
декартова степень. Определим на V операции векторного
пространства: если а = (cti,..., ay), b = (/Зд,..., /Зп) E V и
a E F, то положим
a b = (ад + /31, (12 + A? • • •, dn + fin),
a • a = (ада,... , ana).
Легко видеть, что 0 = (0,0,..., 0) - нейтральный (ненуле-
вой или единичный) элемент V и —а = (—«1,..., — ап) Е V.
Аксиомы абелевой группы для множества (V, +) очевидны.
Проверим, например, аксиому 2). Имеем а(а + /3) =
(ад(а + /3),... , ап(а + /3)) = (ада-|-
+«1/3,... , апа + ау/3) = («да,... , ауа) +
+ («i/3,... , ап/3) = («1,... , ап)а + («1,..., ап)/3) =
=а • а + а • /3;
4)	Обозначим чере F множество всех действительных функ-
ций, определенных на отрезке [0,1]. Пусть f,g Е F и а Е R.
Положим
(/ +	+ д(х)-
(J • а)(т) = f(x)a,
где х Е [0,1]. Легко видеть, что F - векторное простран-
ство над полем R.
5)	Множество всех непрерывных действительных функ-
ций С[0,1], определенных на сегменте [0,1], относитель-
но приведенных в п.4 операций, тоже является векторным
по
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
пространством над полем R.
6)	Пусть V = R+ = {a Е R; а > 0}, a,b Е V и a Е R.
Положим
а ф b = ab,
а • а = а“,
где ab, аа обычные операции умножении и возведения в
степень в R. Тогда (V,®) - абелева группа с нейтральным
элементом 1. Действительно, ассоциативность и коммута-
тивность операции ф очевидны. Если а Е V, то (—а) =
а-1. Проверим, например, аксиому 1. Имеем (а®Ь) • а =
(а6)“ = ааЪа = аа®Ъа = аа®Ъа.
7)	Множество многочленов V = R[x] = {f(x) = «о + aix +
... + апхп; di Е R} с действительными коэффициентами
является векторным пространством над полем R относи-
тельно обычных операций сложения и умножения на чис-
ло.
Пусть (V, +, -ci) - векторное пространство над полем F
(в дальнейшем будем обозначать его Vp). Отметим следу-
ющие свойства операций:
1)	если а + b = а + с, то b = с;
2)	—( — а) = а;
3)	а • 0 = 0;
4)	(—а)(—а) = аа;
5)	если аа = ab и а 0, то а = Ь.
Замечание. В вышеприведенных равенствах, а также
в дальнейшем, малыми латинскими буквами а,Ь,... мы
будем обозначать векторы из V, а малыми греческими
элементы из поля F. Докажем, например, 3) и 5). Имеем,
что а • 0 = а • (0 + 0) = а • 0 + а • 0. Откуда следует, что а • 0 =
=0. Далее, из равенства аа = ab следует, что (асфа-1 =
6.3. ЛЕММА О ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРАХ
111
(Ьа)а~1 или а • 1 = а = b • 1.
Определение. Пусть Ц и V2 - векторные простран-
ства над полем F, и существует биективное отображение
: Vi —> V2 такое, что для любых векторов a,b Е V и для
любых чисел <т,/3 6 F справедливо равенство простран-
ства <р(аа + Ь(3) = <р(а)а + <р(&)/3. Тогда Ц изоморфно
пространству Vz (в обозначении, Ц V?)-
Пример. Пространство V = R+ из п. 6 изоморфно
пространству R = R^ относительно отображения
V R^\
\/а Е V, а —> 1да.
Действительно, оно биективное и
ф &/3) = lg(aab^) = lgaa + Igb^ = (lga)a + (lgb)/3.
6.3.. Лемма о линейно зависимых векторах.
Система образующих векторного про-
странства
Пусть V - векторное пространство над полем F и
{«1,... , ап} С V, ф 0, i = 1,... , п.
Определение. 1) Множество векторов {од,..., ап} на-
зывается линейно зависимым, если существуют числа ад,
..., ап Е F (не все равные нулю!) такие, что + ... +
— О,
2) множество ненулевых векторов В = {bg,i Е 1} С V
называется линейно независимым, если для любого конеч-
ного подмножества {&д,... ,&г-т} С В из равенства /31&д +
• • • + Pmbim = 0, где Д Е F, следует, что /Зх = ... = (Зт = 0.
112
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пример 1. Пусть di = (2,1), а2 = (—1,1), аз = (1,0)
6	. Тогда (—1)(21+<22+3(2з = 0, т.е. {ар <22, <23} - линейно
зависимое множество векторов.
Пример 2. Множество векторов {еж, е2ж, е3ж,...} С С[0,1]
является линейно независимым, так как, предположив про-
тивное, имеем равенство
/31ет1Ж + ... + (ЗкеткХ = 0, где тг < т2 < ... < тк
и /31/32... (Зк ± 0.
Можно считать, что к - минимальное число с указанным
свойством. Возьмем производную от левой и правой час-
тей:
+ ... + тк(ЗкеткХ = 0.
Умножим исходное равенство на mi и вычтем из него второе
равенство. Тогда получим линейную зависимость меньше-
го числа векторов (32(mi — т2)ет2Х +... + /3k(mi — mk')emkX =
0. Это противоречит минимальности числа к.
Лемма 1. Множество ненулевых векторов {<21,..., ап} С
С V является линейно зависимым тогда и только тогда,
когда в нем существует вектор аг-, линейно выражающий-
ся через предыдущие векторы ар а2,..., аг-_р т.е. аг- =
+ ... + ср-_1аг-_р
Доказательство. Если вектор аг- является линейной
комбинацией предыдущих векторов ар ..., аг-_р т.е. аг- =
cpai-H . . + <тг_1аг_р то имеем следующее очевидное соотно-
шение линейной зависимости всего множества векторов:
+ ... +	+ ( — 1)аг- + 0 • аг-_|_1 + ... + 0 • ап = 0.
Обратно. Пусть {ар ..., ап} - линейно зависимое множес-
тво векторов. Тогда существуют числа /Зр ... ,(Зп Е F (не
6.3. ЛЕММА О ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРАХ
113
все равные нулю!) такие, что Дод + ... + (Зпап = 0. Пусть
к - максимальный индекс не равного нулю числа Д, т.е.
и Д+1 = Д+2 = ... = Д = 0. Тогда
_ / Дх .	. / Д-1ч
ak — (Дтг) • ai + • • • + (—п—)  ak-i-
Рк	Рк
Лемма доказана.
Определение. Множество векторов Р = {pi,P2, • • •} Q
С V называется системой образующих (порождающих) про-
странства V, если каждый вектор из V является линейной
комбинацией векторов из F, т.е. для любого вектора а Е V
существует представление его в виде а = yipi + ... + у .
где у; Е F.
Замечание. Если Р = {pi,P2? • • •} система образую-
щих для пространства V, то говорят, что V является ли-
нейной оболочкой Р или V натянуто на множество Р (в
обозначении, V = L(F)).
Лемма 2. Пусть F = {pi,p2, • • •} Q V является систе-
мой образующих пространства V и вектор pi Е V линейно
выражается через предыдущие векторы pi,... ,pz-i. Тогда
множество Р' = {pi,p2, • • • ,рг-1,рг'+1, • • •}, полученное из F
вычеркиванием вектора рг-, снова является системой обра-
зующих V.
г—1
Доказательство. По условию рг- = Е ajPj- Возьмем
J=i
произвольный вектор а Е V. Тогда существуют числа 71,...,
т
Е F такие, что а = Е PtPt- Если т > г, то а = 71Р1 +...
2 — 1
+7г( Е ajPj) + 7г+1Тг+1 + • • • + РтРт = (71 + Pi ' а1)Р1 + • • • +
7=1
+ (7г-1 FPiai-l)Pi-l FPi+lPi+1 + • • • р-РтРт- ЛеММЭ ДОКЭЗЭНа.
114
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
6.4..	Базис векторного пространства. Те-
орема о дополняемости линейно не-
зависимой системы векторов до бази-
са конечномерного пространства
Определение. Множество векторов {ег; г' Е 1} С Vp
называется базисом, если оно является системой образу-
ющих и любая его конечная подсистема является линейно
независимой. В случае, если базис {ед i Е 1} = {ei,..., еп}
состоит из конечного числа векторов, то пространство V
называется конечномерным.
Примеры:
1)	Множество {1, ж, ж2,...} является базисом пространства
Л[ж];
2)	Множество {1, х — 1, (ж — I)2, (ж — I)3,...} является
базисом пространства Л[ж];
3)	Множество {ер в2,..., еп} С R^n\ где
е& = (1,1,... , 1,0,..., 0), 1 < к < п является базисом .
к
Теорема 2. Пусть V - конечномерное пространство
над полем F и {од,..., ар} - конечное линейно независи-
мое подмножество векторов в V. Тогда либо {од,..., а^} -
базис V, либо существуют векторы <з^+р... ,ат такие, что
{cz 1,..., <з&, <з/._|_р • • •, йщ} ~ базис V.
Доказательство. Пусть {ер ..., еп} - некоторый базис
пространства V. Рассмотрим множество векторов
7W — {<3р • • • 1 Q>ki ер • • • 1 6n{-
Оно, очевидно, является линейно зависимой системой об-
разующих. По лемме 1 в М существует вектор, линейно
6.4. БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
115
выражающийся через предыдущие векторы. Этот вектор
не равен ни одному из ад i < к, так как {ар..., ак} - ли-
нейно независимое множество. Поэтому некоторый вектор
ед 6 М линейно выражается через предыдущие векторы
из М. Вычеркним его и рассмотрим множество
М\ — {од, • • • , од, ер • • • , ёд,... , еп{.
По лемме 2 М\ является снова системой образующих. Если
Mi линейно независимое подмножество, то Mi базис, и
теорема доказана. Если Mi - линейно зависимое подмно-
жество, то существует вектор ед 6 Мр который линейно
выражается через предыдущие векторы. Вычеркнем его и
рассмотрим множество
Л//2 — {ар ... , ар ер ... , ёд,... , ёд,... , ап {.
Рассуждая аналогично предыдущему, мы либо вычеркним
все ед
i < п, и тогда {ар...,а&} - базис V, либо дополним век-
торы {ар ... , ак} до базиса {ар ... ,ак, ер ...,ёд,... , ёд,... ,
еп} (через t шагов, где t < п — 1). Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть {ер ..., еп} - базис пространства Vf
и
{ара2,...{ - другой базис пространства Vp. Тогда число
векторов во втором базисе конечно и равно п. (Число п
называется размерностью пространства Vp и обозначается
п = dimpV = [V : F]).
Доказательство. Допустим, что второй базис состоит
из бесконечного числа векторов {ара2,...{. Рассмотрим
множество М = {ар ер е2,..., е„}. Оно является линейно
зависимой системой образующих. По лемме 1 существует
116
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
вектор 6 М, который линейно выражается через преды-
дущие векторы. Вычеркним его и рассмотрим множество
Mi = {«2, «1, 61, 62 ... , ёг-15... , еп}.
По лемме 2 множество М\{ег1} является системой образу-
ющих. Поэтому Mi - линейно зависимая система образу-
ющих. Рассуждая аналогично, мы получим через п шагов
множество
Мп_ 2 - {®п ? ®П—1 , • • • 5	, 61 , 62 , • • • , ёп { ,
которое является системой образующих. В частности, век-
тор an+i линейно выражается через од,..., ап. Противоре-
чие доказывает конечность множества {од,..., ат}. Если
т ф п, то, можно считать, что п < т. Рассуждая анало-
гично предыдущему, мы опять получим линейную зави-
симость векторов {ai,..., ат}. Противоречие доказывает
теорему.
Следствие. Пусть dimpV = п и {од,..., an+i} С V.
Тогда {<21,..., <2п+1} - линейно зависимое множество век-
торов.
Допустим противное. Тогда по теореме 2 указанное
множество можно дополнить до базиса {<21,..., an+i,... ,ат
пространства Vp. По теореме 3, m=n > п + 1. Противоре-
чие.
Теорема 4. Пусть dimpV = п. Тогда V = FT).
Доказательство. Пусть {ei,...,e„} - базис Vp. Рас-
смотрим отображение у :	—> V
т((б*л? • • • 1 «J) — б1г'Сг'.
г=1
Очевидно, что у сюръективное отображение. Докажем
его инъективность. Если (cti,..., ап) ({Д,..., /Зп), то су-
ществует г’о < п
6.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА...
117
такое, что aio ± (3io. Если <р((сц,.. .,«„)) = <p((/3i,...
то
X) — X) и ^2(с1г' f3i)ei — 0.
г=1	г=1	г=1
Так как су0 — /Зг-0	0, то мы получаем линейную зависи-
мость базисных элементов {ер ..., е„}. Противоречие до-
казывает, что у биективное отображение. Докажем, что
у сохраняет операции. Имеем следующие равенства:
<р(а(«1,	/3(/3i,.. .,/?„)) = у((аюц + /3/31, • • • ,аап+
+Ж)) =	+/3/31)ег- = a(^aiei) + ЯЕХ’ег)+
г=1	г=1	г=1
+/ХЕАа) = сф((оц,... ,«„)) +/3<р((/3ь... ,/Зп)).
i=i
Теорема доказана.
6.5.. Определение подпространства, линей-
ного многообразия. Примеры. Сум-
ма и пересечение подпространств.
Характеризация линейных многообра-
зий. Размерность суммы двух под-
пространств
Определение. Непустое подмножество W G Vp назы-
вается (линейным) подпространством, если для любых чи-
сел а, (3 Е F и для любых векторов wi,®2 G И7, aw\ +/3w2 G
G W (в обозначении, W < Vp).
Определение. Пусть a G Vp и Lp < Vp. Подмножество
вида P = a + L = {a + Z; Z G L} называется линейным
многообразием.
118
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Ясно, что подпространство Lp < Vp является линейным
многообразием (достаточно положить а = 0). Приведем
примеры:
1.	ЯМ < С[0,1]я < F„-,
2.	Пусть А = {(од, од, • • • , ап) Е од = од = ... = 0,
т.е. координаты с четными номерами равны нулю }. То-
гда А < рА)-
3.	Пусть Р - линейное многообразие в R^. Тогда Р сов-
падает с одним из следующих множеств:
а)	Р = {а}, а Е R^\
б)	F - прямая;
в)	Р = RW.
Для доказательства достаточно заметить, что dimpL =
=0,1,2. Если dimpL = 0, то L = {0}. Если dimpL = 1, то
L - прямая, проходящая через начало координат. Если же
dimpL = 2, то L = R^.
Предложение 1. Если dimpV = п и Lp < Vp, то
dimpL < п.
Доказательство. Если L = (0), то dimpL = 0 < п
и предложение доказано. Пусть гщ - ненулевой вектор
6.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА...
119
L. Если L = F • шр то dimpL = 1 < п и предложе-
ние доказано. Пусть существует вектор Е L \ Fw\.
Рассмотрим подпространство (wp W2), порожденное wi,®2-
Если L = (wi,W2), то dimpL = 2. Так как wpW2 можно
дополнить до базиса Ж, то 2 < п, и предложение доказа-
но. Рассуждал аналогично, мы через т < п шагов постро-
им базис wi, W2,... wm пространства Lp(m < п, так как в
Vp любые (n + 1) векторов линейно зависимые, т.е. наш
процесс построения базиса L должен оборваться на шаге
т < п). Итак,
т = dimpL < п = dimpV. Предложение доказано.
Определение. Пусть W\ < V и W2 < V. Подмножество
Wi + W2 = {а + 6; а Е Жр v Е W2} называется суммой
подпространств W\ и W2.
Определение. Пусть Жг < V, i = 1,2. Подмножество
Ж1 П Ж2 = {ж Е V', х Е Жр х Е Ж2} называется пересече-
нием подпространств Ж1 и Ж2.
Предложение 2. Пусть Ж1 < V W2 < V. Тогда
1) Ж1 + II2 < V-
2) Ж1 П Ж2 < V.
Доказательство. Пусть u = + 6р v = а2 + 62 Е
Ж1 + Ж2, где ai Е Жр i = 1,2 и bi Е Ж2, i = 1,2. Тогда для
любых чисел а, (3 Е F аи + (3v = (aai + /Заг) + («61 + /Ж) Е
Ж1 + Ж2, так как аа± + /3«2 Е Ж1 и аЪ\ + /З&2 Е Ж2. Пусть,
далее, р, д Е Ж1 А Ж2. Тогда ар + /Зд Е Ж1 и ар + f3g Е Ж2,
так как Жг < V, i = 1,2. Следовательно, ар+(3д Е Ж1ПЖ2.
Предложение доказано.
Предложение 3. Следующие условия на непустое под-
множество Р С V эквивалентны:
1) Р = а + L линейное многообразие;
2) Vw, v Е Р и \/а Е F аи + (1 — a)v Е Р.
120
ГЛАВА 6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Пусть Р = а + L - линейное много-
образие. Пусть и = a+Zi, v = a+l% Е Р, где Ц Е L, i = 1, 2.
Тогда для произвольного числа а Е F аи + (1 — a)v =
а + (all + (1 — 0(^2) Е Р, так как all + (1 — а)1% Е L. Предпо-
ложим, что выполнено условие 2). Возьмем произвольный
вектор а Е Р и рассмотрим множество L = {ж — а; х Е Р}.
Так как произвольный элемент х Е Р представим в виде
х = а + (х — а), то Р = а + L. Докажем, что L < V. Пусть
х — а Е L и а Е F. Тогда а(х — а) = ах + (1 — а)а — а Е Ь,
так как ах + (1 — а)а Е Р (условие 2). Пусть у — а Е L.
Докажем, что (х — а) + (у — а) Е L. Имеем (х — а) + (у — а) =
[2(|+|) + (1 — 2)а] — а Е L, так как ^х+^у = |ж+(1 —|)?/ Е Р
и 2(|ж + }у) + (1 — 2)а Е Р. Итак, L < V и предложение
доказано.
Теорема 5. Пусть V - конечномерное векторное прост-
ранство над полем F и ЖрЖг < V. Тогда
dimp(Wi + Ж2) + dimp(Wi П Ж2) = dimpWi + dimpW^.
Доказательство. Ввиду предложения 1 подпростран-
ства пространства V тоже являются конечномерными. Пусть
{<21,..., ак} - базис Ж1 П Ж2. Дополним его соответственно
до базиса Ж1 = {од,...,	&i,...,&s{ и до базиса Ж2 =
{«1,... ,ак, ci,..., ct}. Докажем, что {аь ... ,ак, Ьр..., Ь8,
ci,..., с/} - базис Ж1 + Ж2. Пусть х = wi + Е Ж1 + Ж2,
где Wi Е Wi, i = 1,2. Выразим wi через базис Ж1 : wi =
к	s	к
Е aitti + Е /3ibi. Выразим w% через базис Ж2 : w^ = Е ^гаг +
г=1	г=1	г—1
Е 7iCi. Тогда х = wr + w2 = Е (<^i +	+ Е /ЗгТг- + Е 7Ж'-
г—1	г=1	г=1	г=1
Итак, {<21,..., ак, bi,...,bs, ci,...,q{ - система образу-
ющих Ж1 + Ж2. Проверим ее линейную независимость.
6.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА...
121
Пусть справедливо равенство Е + Е Vibi + Е = О?
г=1	г=1	г=1
где /1}G F. Тогда Е Т .Е щЬ} — Е ( G
г=1	i=l	i=l
t
Ж1ПЖ2. Следовательно, вектор Е (—можно выразить
через базис пересечения, т.е. Е (—6')с = Axax + • • • + Х^а^
или Ai«i + ... + Xk^k + £1G- + • • • +	= 0. По построению
векторы {ai,..., ak, ci,...,q{ являются линейно незави-
к
симыми. Поэтому Лх = ... X/, = £х = ... =	= 0 и Е щсч+
i=l
Е Vibi = 0. По построению векторы {аг-,..., а&, &х,..., bs}
линейно независимы, и следовательно, /zx = ... =	=
z/i = ... = b's = 0. Итак, dim(W\ + Ж2) = к + s + t =
(к + s) + (к + t) — к = dimWi + dimW^ — dim(Wi П Ж2).
Теорема доказана.
Определение. Сумма подпространств Жх + Ж2 назы-
вается прямой и обозначается Жх ф Ж2, если Жх П Ж2 = 0.
Следствие. dim(Wr ФЖ2) = dimWi + dimW^.
Глава 7.
Алгебра матриц
7.1.. Векторное пространство прямоуголь-
ных матриц. Умножение матриц. Раз-
мерность пространства матриц
Фиксируем натуральные числа тип. Рассмотрим мно-
жество Fmxn прямоугольных таблиц
1 (2ц	(212	• • •	«1п
«21	«22	• • • «2п
\ «ml «m2 • • • атп J
содержащих т строк и п столбцов с элементами 6 F(F
- фиксированное поле). Заметим, что для каждого элемен-
та aij такой таблицы i - номер строки, a j - номер столбца,
на пересечении которых находится щ-р Каждая такая таб-
лица А = (<2у) называется матрицей. Определим на мно-
жестве матриц Fmxn структуру векторного пространства
122
7.1. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ 123
над полем F. Пусть А = (ар) и В = (6р) 6 Fmxn. Положим
/ ап +6ц ... а\п +&1п \
\	Fbmn /
Из определения следует коммутативность и ассоциатив-
ность операции сложения т.е. для любых матриц
А, В, С G Fmxn
А + В = В + А,
(А + В) + С = А + (В + С).
Действительно, указанные равенства являются следстви-
ем соответствующих равенств в поле F. Далее, матрица
( 0 ... О \
О =
является нулевым (нейтральным) эле-
\0 ... О/
ментом Fmxn, и для любой матрицы А = (ар) 6 Fmxn
существует единственная матрица —А = (—ар) 6 Fmxn
такая, что А+ (—А) = 0. Итак, {Fmxn, +) - абелева группа.
Пусть а Е F и А = (а,,-) 6 Fmxn. Положим а • А = (ста,,-) =
( сн2ц ... aain \
. Легко видеть справедливость следу-
СН2т1 . . . CH2mn
ющих равенств (ct, /3 6 F, А, В Е Fmxn):
(q -|- /3)А — nA -|- (3B'i
q(A -|- 2?) — nA -|- (3B'i
{aj3)A = ci(/3A);
1 • A = A.
124
ГЛАВА 7. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Проверим, например, второе равенство. Имеем
Т В) — Т (Тр)) — с^(®р Т bij') — Т ^о)) —
= {f\ci ij Т = (сшр) Т (ci6p) = a^ciij^ -j- (\ (bjj) = си А И- с В.
Итак, (FraXn,+,-a; а Е F) - векторное пространство над
полем F. Докажем, что dimpFmxn = тп. Пусть
/ 0 ... О \
О ... 1 ... О
уо ... о)
матрица, в которой элемент стоящий на пересечении г-й
строки и j-ro столбца равен 1, а остальные элементы рав-
ны нулю. Тогда для произвольной матрицы А = (ар) спра-
ведливо разложение А = Е Е ар • ер. Например,
i=lj=l
( a	b	\	_ ( a	Q\	/	О И /	0	0	\	/ 0	0 \	_
\ с	d	)	\ 0	0 / +	\	О 0 / + \	О	0	/	+ \ О	d )
= а •	ец + b •	ei2 + с • e2i	+	d	• е22-
Это	доказывает, что	множество {ер;	1	< i <	m,	1 <
j < п}, содержащее т-п элементов, является системой об-
разующих в Fm.n. Покажем линейную независимость этого
множества. Предположим противное. Тогда существуют
числа Ар 6 F такие, что Е Е = 0. Это означает, что
i=lj=l
Ап • • • Ain
:	= 0.
\ Arai • • • Ат„у
Откуда следует, что Ар = 0, 1 < i < т, 1 < j < п. Та-
ким образом, множество {ер} является базисом простран-
ства Fmxn и dimpFmxn — тп • п. Пусть А — Fmxn
7.1. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
125
и В = (bij) Е Fnxs. Положим А • В = С = (сгд) 6 Fmxs,
где Cij = Е aitbtj. Матрица С называется произведением
матриц А и В.
тт	г. л f 0 1 \	/ 1 0 \
Пример. Пусть А = Q Q , В = Q Q Е F2x2.
Тогда
/О 1W1 0 \ _ / 0-1 + 1-0 0-0 + 1-0 \
\ О О Д О О/ Д1 + 0- 0 О-О + О-О/
/ 1 о W 0 1 \	/ 1 - 0 + 0-0 1 • 1 + 0-1 \ _
\о о До оДДо + о-о 0-1 + 0-0 Д
+2 = А • А =
° 1
0 0/
О-0 + 1-0 0 • 1 + 1 • 0 \
О-О + О-О 0-1 + 0-0 Д
В частности, в общем случае A-В В-А, то есть опера-
ция умножения некоммутативная (это важно отметить,
именно, для квадратных матриц) и произведение матриц
А на матрицу В определено лишь тогда, когда число столб-
цов А равно числу строк В.
Утверждение 1. Пусть
В — (bij) Fnxs И С — (Aij) £ Fsxfc.
Тогда
(А  В)-С = А  (В  С).	(1.1)
Для доказательства равенства (1) подсчитаем левую и
правую части и сравним их. Имеем, А • В = D = (Дгд) Е
126
ГЛАВА 7. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Fmxs, где dij — F^ ciitbtj> (А • В) - С — D • С — ^Pij) £ F„, х/,--
где pij — F d^ucuj — F (F ciabtu}cuj — F F dabtu^uj • Да-
u=l	u=l \=1	u=l/=l
лее, В ‘С — Q — Fn%k, где — E bactj и A• (B  C*) —
A'Q — (Fj) £ Fmxfc? где Vij — F o>iu9uj — F F butCt/) —
M=1	M=1	/=1
E E aiubutctj. Так как p{j = v{j, 1 < i < m, 1 < j < к, to
левая и правая части в (1) равны. Равенство (1) называ-
ется тождеством ассоциативности операции умножения.
Пусть A, D Е Fmxn,B,C Е Fnxk- Отметим также следу-
ющие (очевидные) тождества:
А(В+С) = АВ+АС, а(АВ) = (аА)В = А(аВ), где а Е F
и (A + D)B = AB + DB.
7.2.. Определение алгебры. Алгебра квадрат-
ных матриц. Единичная матрица. Об-
ратная матрица
Определение. Пусть (А,+,-а} - векторное простран-
ство над полем F(a Е F). Пусть в А определена операции
умножения
такая, что выполнены следующие аксиомы (Va, 6, с Е А, а Е
Е F) :
(2-2)
7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ
127
(а + 6)с = ас + b • с\
a(ab) = (aa)b = а(аЬ).
Тогда А называется (ассоциативной) алгеброй над полем
F.
Важным примером над полем F является алгебра квадрат-
ных матриц (m = n)Fnxn = Fn. Действительно, если А, В Е
Е Fn, то А  В Е Fn. В 1 мы проверили, что (Fn, +, -а) -
векторное пространство размерности п2. Справедливость
тождеств (3) следует из утверждения 1 и равенств (2).
/ 1
О \
Матрица Е =
Е Fn, в которой элементы, сто-
ящие на главной диагонали равны единице, а остальные
элементы равны нулю, называется единичной матрицей.
Легко видеть, что для матрицы А Е Fn
А- Е = Е • А = А.
Матрица А Е Fn называется обратимой, если существует
матрица В Е Fn такая, что А • В = В • А = Е.
Утверждение 2. Пусть АВ = В А = Е и АС = С А =
Е. Тогда С =
=В.
Действительно, С = С • Е = С(АВ) = (СА)В = Е • В =
В.
Следовательно, если матрица А обратима, то обратная
для нее матрица В единственна в Fn (она обозначается
А-1). Заметим, что в Fn существуют как обратимые, так
и необратимые матрицы.
128
ГЛАВА 7. АЛГЕБРА МАТРИЦ
1 1
О 1
Примеры: 1) Пусть А =
. Тогда
А-1
обратная матрица к А;
2) Пусть А = I I 6 F2. Докажем, что для А не
существует обратной матрицы. Допустим противное. То-
гда для некоторой матрицы С Е F2, АС = С А = Е. Так
как А2 = 0, то С А2 = (СА)А = E- A = A = C- Q = Q.
Противоречие.
Приведем один алгоритм вычисления обратной матри-
цы, если она существует. Пусть дана обратимая матрица
А. Следующие преобразования строк матрицы А назовем
элементарными: 1) умножение г-й строки на произволь-
ное число а ф 0; 2) прибавление к г-й строке j-й строки,
умноженной на произвольное число /3. Легко видеть, что
первое элементарное преобразование равносильно умноже-
( 1 = 0 \
нию матрицы А слева на матрицу рг-(а) =
а второе элементарное преобразование эквивалентно умно-
7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ
129
жению А слева на матрицу Pij(j3) =	( 1	1	/3		i.
				1	
			j		
Заметим, что с помощью элементарных преобразований
можно переставлять строки. Действительно, рассмотрим
последовательность таких преобразований с г-й и j-й строч-
Так как с помощью элементарных преобразований строк
матрицу А можно привести к единичной матрице Е, то
справедливо равенство
р^р^ ... р^ • А = Е,
где р^ - матрица вида ps(a) или pst(fty- Положим Q =
=р^ .. .р(к\ Тогда Q = А-1. Рассмотрим примеры.
/ 2 5 \
Пример 1. Найдем А-1, если А =	.
\	1 Lj /
Осуществим необходимую последовательность элемен-
тарных преобразований:
1 0 0 1	2 5 1 2
0 1 1 0	1 2 2 5
0 1 1 -2	1 2 0 1
-2 5 1 -2	1 0 0 1
130
ГЛАВА 7. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Следовательно, А 1 =	.
\ -L	/
Пример 2. Вычислим А-1, если А =
/ 2 3 2 \
1 6 4
у 3 —2 4 у
Рассмотрим нижеследующую таблицу из матриц и осу-
ществим в ней необходимые элементарные преобразования
со строками:
1	0 0 2 3	2
0	10 16	4
0	0 13-2	4
0	10 16	4
1	0 0 2 3	2
0	0 13-2	4
0 10 16	4
1 -2 0 0 -9 -6
0-310 -20 -8
0	1	0 1	-2	0 -2	1	1	1 6 4 0 -9 -6 0-2 4
0	1	0 11	-7	-5 -2	1	1	1 6 4 0 1 -26 0-2 4
-66	43	30 11	-7	-5 -2	1	1	1 0 160 0 1	-26 0-2 4
-66 43 30 11 -7 -5 20 -13 -9	1	0	160 0	1	-26 0	0	-48
7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ
131
-66	43	30	1	0	160
11	-7	-5	0	1	-26
5	13	3	0	о	1
12	48	16			
-66	43	30	1	0	160
(11-	5ТЗ\	( 7 । 6 /	к ‘ "*	13-131	( г 1 3-131 2 1 ’	V ° + 8 /	0	1	0
-5	13	3	о	о	1
12	48	16			
2/3	-1/3	0	1	0	0
1/6	1/24	-1/8	0	1	0
_ _5_	13	3	о	о	1
12		48			16				
Итак,
/ 2/3	-1/3	0	\
1/6	1/14	-1/8
-5/12 13/48 3/16 )
Глава 8.
Определитель матрицы
8.1..	Группа подстановок
Пусть М = {ai,..., ап} - множество из п элементов и
Sn = {сг|сг : М М} - множество всех взаимно однознач-
ных отображений М на себя. Каждое такое отображение
можно записать в виде
I (21	(22 ... ап \	/1	2	... п \
у aid (22<т ... апа I	I la 2(т ... па I
Следовательно, во второй строке имеем перестановку
чисел 1, 2,... , п и |5П| = п\.
Определим на Sn операцию умножения ” • ” как компо-
зицию отображений:
М А М 4.U: /(от) = (/(т)г. где i Е М.
а-т
1.	Операция умножения ассоциативна, т.е. для лю-
бых элементов а,т,/1 Е Sn выполняется равенство (ат)х =
ЛТХ)-
Действительно, если к Е {1,..., п{, то
к^т)х) = (к(ат))х = ((ка)т)х = (ка)(тх) = к(а(тх\).
132
8.1. ГРУППА ПОДСТАНОВОК
133
2.	Е =	’ ’ ’	- единица в {Sn, )
\ 1 2 ... п I
бого элемента т Е Sn, Е • т = т • Е = т.
т.е. для
3.	Для любого элемента а =	.	’ ’ ’	6 Sn
\ la ... па I
ществует единственная подстановка a~l Е Sn такая,
лю-
су-
что
а • а 1 = а 1 • а = Е
Действительно, достаточно положить
а
1а ... па
1 ... п
Указанные свойства позволяют нам сказать, что (Sn, Е~1
- группа.
Определение 1. 1. Подстановка вида
....	/ 1 ... i ... у ... п \
(и) = п
V 7	yl...J... I ... п
называется транспозицией.
2. Подстановка вида
(-4	К _ 1
1 ... а ... аа ... аа	... п
1 ... аа ... аа ... а	... п
называется циклом длины к.
Ясно, что ак = е; а1 ф Е, i < к. Например,
/1234567\
\1564327/
- цикл, равный (2536).
Предложение 1. Каждая подстановка а Е Sn един-
ственным образом раскладывается в произведение комму-
тирующих между собой циклов.
134
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Действительно, пусть а Е {1, 2,..., п{ и а, аа, аа2,... -
его образы при действии а, а2,.... Существуют числа i и
j такие, что ааг = аа\ i > j. Следовательно, ааг~^ = а.
Пусть к = min{s Е N/ аа8 = а}. Тогда {а, аа, аа2,...} =
{а, аа, аа2,..., аак~г}. Если существует
b Е {!,...,п}\{а,аа,...},
то аналогично построим множество
Легко видеть, что
а = (а аа ... аак~1ЦЬ Ьа ... bam~v) ....
Например,
/1234 5 6 7 8 9 10 \
(^3581 10 9716 4 J — (138)(25104)(69)(7)-
Предложение 2. Каждый цикл раскладывается в про-
изведение транспозиций.
Доказательство следует из равенства
(а аа ... аа ) = (а аа)(а аа ) ... (ааа ).
Следствие 1. Каждая подстановка а Е Sn является
произведением транспозиций, причем такое разложение
неоднозначно.
Доказательство следует из предложений 1, 2.
Определение 2. 1) Числа i,j образуют инверсию в
перестановке (... i... j ...) чисел {1,2,..., п}, если i > j.
2) Подстановка а = | J ’ ’ ’ П | называется чет-
\1а 2а ... па )
ной, если число всех инверсий в нижней строке является
четным, и нечетной - в противном случае.
8.1. ГРУППА ПОДСТАНОВОК
135
Предложение 3. Четности
подстановок ст и (ij)a про-
тивоположны.
Доказательство. Пусть
/ 1	2 ... i ... у ... п \
67 =	1 о
\ 1а 2а ... га ... ja ... па I
( 1 2 ... i ... j ... п \
1огда \гг)а = \ .	_	.	.	. От-
\ 1а 2а ... ja ... га ... па I
метим, что четность подстановки меняется на противопо-
ложную при перестановке соседних чисел во второй стро-
ке. От подстановки а к подстановке (ij)a можно перейти
путем (2m + 1) перестановок соседних чисел, где т - чис-
ло чисел между ia и ja. Следовательно, четности а и (ij)a
противоположны. Предложение доказано.
Теорема 1. 1. Подстановка а Е Sn является четной
тогда и только тогда, когда а является произведением чет-
ного числа транспозиций;
2. Если а и т - четные подстановки, то а • т и <т-1 -
четные подстановки;
3. Число всех четных подстановок равно п\/2.
/1 2 ... п \
Доказательство. Так как Е = L ~	чет-
(1 2 ... п у
ная подстановка, то по предложению 3 (ij) = (ij)  Е -
нечетная подстановка, (Т^Х^'з) _ четная подстановка и
т.д. Пусть ант четные подстановки. Тогда
& = (Йг’г) • • • (Ek-lEk), Т = (J1J2) • • • (j4m-lj4m)
и, следовательно,
ст • Г = («1«2) . . . («4^—1«4^) (J1J2) • • • (j4m-lj4m) & 1 =
= (Ek-lEk)    (йг’2)
136
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
. Согласно предложению 3 а-т и <т-1 - четные подстановки.
Пусть Ап = {Е = <Т1,... ,ат} - множество всех четных
подстановок в Sn. Рассмотрим множество
(12) • Ап = {(12)<Г1, (12)<т2,..., (12)<тт}.
Оно состоит из т различных нечетных подстановок, так
как, если (12)сгг- = (12)сгу, то, умножал слева на (12), полу-
чим, что ai = (12)2сгг- = (12)2ctj = од. Докажем, что
Sn = Ап U (12)А-
Действительно, пусть т - нечетная подстановка. Тогда по
предложению 3 (12)т - четная подстановка. Если (12)т =
ai 6 Ап, то т = (12)2т = (12)сд 6 (12)А„. Итак, Sn =
Ап U (12)Ап. Откуда следует, что п\ = |5П| = m + m или
m = \Ап| = п!/2. Теорема доказана.
Пусть а Е Sn. Положим sgna = 1, если а Е Ап и
(sgna) = —1, если а Ап.
Пример 1. Решить уравнение а • х • т = д в S4, если
Решение. Имеем, что х = а 1(ахт)т 1 = а 1 дт 1 =
' 1 2 3 4 \ / 1 2 3 4 W 1 2 3 4 \	/	1	2	3	1)
у 2 4 1 3 Д 3 2 1 4 Д 4 1 2 3 J Д 1 3 2 4/
Так как а3 = Е, то <т100 = (<т3)33 • а = а = I
\ о
Пример 3. Определить четность подстановки
1	2	3	... п — 1 п
\пп — 1п — 2...	2	1
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
137
Подсчитаем число всех инверсий в нижней строке. Для
этого выпишем все пары чисел, образующие инверсию:
(п,п- 1), (п,п- 2),...,(п,1),...,(2,1)
. Их число равно (п — 1) + (п — 2) + ... + 2 + 1 = (п~2 ’п.
Это число является четным, если п = 4m или п = 4m + 1,
и нечетным, если п = 4m + 2 или п = 4m + 3.
8.2.. Определение определителя. Основные
свойства определителя
Пусть А = (<2у) 6 Fn, где F - поле. Число вида |А| =
det А — J2(sgna)«1а1«2«2    где
1
Cti
называется определителем (детерминантом) матрицы А. В
частности, если п = 2, то
«11 (212
«21 «22
— «11«22 — «12«21- ЕСЛИ
п = 3, то определитель матрицы третьего порядка равен
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
— «п«22«33 — «12«21«33 4“ «13«21«32 — «11«23«32 +
«12«23«31 — «1з«22«зь Докажем следующие основные свойс-
тва определителя.
138
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Свойство 1.
Пусть А
' 0ц
«21
«12
«22
«1п
«2п
Е Fn и
О-п2
«пп
А1 =
«11
«12
«21
«22
«п1
«п2
- транспонированная матрица.
\ «1п «2п	«пп /
Тогда |А| = |А'|.
Запишем транспонированную матрицу А' в стандарт-
ном виде
1 &П 612 • • • bin
д _ 621 622 ••• 62п
\	6п2 . . . ЪПп /
где b^j — ctji- Согласно
определению определителя имеем,
что |А'| =	Е	(sgna)blaib2a2    bnctn =
/ 1	2 ... п \
<?=	esn
\ ад о2 ... ап у
=	Е	(sgna)aailaa21... аапП. Произведение
I 1	... п \
<?=	esn
у CV1 . . . Otn J
«а!1«а22 • • • аапп входит в состав определителя |А|. Знак его
(ОД Л2 . . . Oin \
. _ =
1	2 ... п j
а~1. Так как четности подстановок а и <т-1 совпадают, то
|А/| является суммой п\ слагаемых, входящих в состав |А|
(с теми же знаками). Поэтому |А/| = |А|.
Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит
из нулей, то определитель равен нулю.
Если в матрице А = («р-) числа = а^2 = ... = а^п =
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
139
О, то ее определитель | А| = Е (вдпаУа^а^    акка    апп<т
— Е	«11<т«22сг • • • 0 . . . Ctnna — 0.
o-GSn
Свойство 3. При перестановке двух строк определи-
тель меняет знак.
	1 «11	• • •	«1/1	
	«J1	. . . djn	(г)
Пусть В =		, которая получается из
	«й • • • «гп	У)
	\ «п1 • • • «пп /	
j-й строк. Запишем В в
и
матрицы А перестановкой i-й
( Ьц
гп
стандартном виде В =
и вычислим
пп
определитель \В\.
Имеем
что \В\ =
(sgna)biai ... Ъпа,
\ ...
(7=
\ Cti . . .
так как Ькак
Е
. 1 ... <
(7=
\ Cti ... С
(j*gna)aiai ... аjaj • • • ^iaj • • •
eS'n
ES,
— Cl'kak ПрИ к Z, j И biai — Ai'4' bjaj —
Произведение (aiai... ajai ... diaj ... an(Xrj) входит в состав
|A| со знаком, определяемым четностью соответствующей
подстановки
Е
140
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
1 2 ... i ... j ... п \
= izjicr. 1 ак как четнос-
<41 о-; ... aj ... оц ... ап I
ти подстановок а и противоположны, то \В\ является
суммой п\ слагаемых определителя |А|, взятых с противо-
положными знаками, т.е. \В\ = — |А|.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинако-
вые стороны, равен нулю.
Пусть в матрице А = (ау) имеют место равенства ац =
яд, а«2 =	   ->ain = ajn- Переставим i-ю и j-ю
строки. Из свойств 3 следует, что |А| = — |А|, т.е. |А| = 0.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки опре-
делителя умножить на некоторое число у, то сам опреде-
литель умножится
на у.
Действительно, имеем, что
(2ц	. . . Я |
упг'1 . . . уПад
(2П1	. . . ЯШ)
УУ	(sprier)Cllai • • • (Д®гаг) • • • ^пап —
I 1	. . .П \
<г=	ESn
\ «1	• • • С^п I
= ?(	Е	(sgna)alai... aiai... апап) = • |А|.
I 1	... п \
<?=	esn
у ОД • • • у
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропор-
циональные строки, равен нулю.
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
141
Пусть, например, ад = уа^,..., (ijn = "jam- Тогда
а11	• • • ®1п
ац
О 1п
= 7
= 7-0 = 0.
Свойство 7. Пусть все элементы г-й строки определи-
теля n-го порядка представлены в виде суммы двух слага-
емых:
— бу -|- Сд J — 1,71.
Тогда определитель равен сумме двух определителей, у ко-
торых все строки, кроме г-й, такие же, как и в исходном
определителе, а z-я строка в одном из слагаемых состоит
из 61,62, • • •, Ъп, в другом - из Сд с2,..., сп.
Для доказательства введем обозначения аг- = (ад, • • •, «ы
6 pH, ь =	",Ьп) £ F(n\ с = (ci,..., сп) £ F(n\ г < п.
Тогда исходный определитель |А| равен
|.4| =
Ь + с
• • •	. ОПап
esn
. (b&i Т cai) ... а
esn
142
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
—	52	Cllai • • • bai . . . С1пап~^~
/ 1	... П \
<?=	esn
у С^1 • • • С^п у
Т-	52	Cllai • • •	. . . (1Пап —
Свойство 8. Если одна из строк определителя является
линейной комбинацией остальных строк, то определитель
равен нулю.
Пусть, например, первая строка ai = (<2ц,..., ai„) явля-
ется линейной комбинацией остальных строк, т.е. =
72(12 + • • • + где 7г- G F, 2 < i < п. Рассмотрим исход-
ный определитель
Свойство 9. Определитель не меняется, если к эле-
ментам одной из его строк прибавляются соответственные
элементы других строк, умноженные на одни и те же чи-
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
143
ела.
Пусть дана матрица А = (ар). Рассмотрим матрицу
В, которая получается из А прибавлением к i-й строке
матрицы А линейной комбинациии остальных строк, т.е.
П2
аг- + В, '"Yjdj
АВ
а?!	)
ai
«2
ai
«2
Тогда \В\ =	а? + Ti Ajaj jA
	а?!
	ai
	«2
71«1 + у2а2 + ... + AAi + •
=	а г	+
ап
ап
Все свойства 2-9, доказанные для строк, будут спра-
ведливы и для столбцов. Это следует из свойства 1, у ко-
торой строчки - это столбцы исходной матрицы.
144
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Пример!. Вычислить определитель
«11 (212 • • •	«1п
О	«22	• • •	«2п
д _	0	0	(2зз	. . .	(2з„
О	0	...	О	(inn
Согласно определению
А —	5Z	(s^/zzcr)(2iai... апап-
I 1	... п \
<?=	esn
у ОД • • • у
Рассмотрим общий член данной суммы
(^Ц^^) «1о?1 «2а2 . . . С1пап-
Среди элементов последней строки только апп 0 (мо-
жет быть). Поэтому можно считать, что ап = п. Следо-
вательно, в данном произведении больше не встречаются
элементы из последнего столбца. Это влечет за собой то,
что ап-\ = п — 1. Рассуждая аналогично, покажем, что
«1 = 1, о2 = 2,..., ап = п, т.е.
1 2 ... п \
«Ц«22 • • • аПп — «11«22 • • • ^пп “ ПрО-
1 2 ... п j
изведение диагональных элементов.
Пример 2. Вычислить определитель
А = sgn
«11	(212
«21	«22
«n-П «п-12
«п1 О
«1п
• • «2п-1 О
О ... о
о ... о
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
145
Согласно определению
А —	5Z	(1 iai... апап-
I 1	... п \
<?=	esn
у С11 • • • СИп у
Произведение «1а1 ... апОп = 0, если ап 1. Пусть ап =
—1- Тогда н|П|</2п2 • • • «тг—1 an_i «тг1 — 0? если cvn_i 2. Рас-
суждая аналогично, получим, что
л /1	2	... п
Д = sqn
\ п п - 1 ... 1
«1п«2тг—1 • • • «тг1 —
«1п«2тг—1 • • • «тг1-
Пример 3. Вычислить кососимметрический определи-
тель нечетного порядка
д =	0	«12	«13	• • • — «12	0	«23	• • •	«2п — «13	—«23	0	...	«зп «1тг «2п «Зтг • • •	0
Рассмотрим транспонированный определитель
О — «12
«12 О
«1тг «2тг
«1тг
— «2тг
Вынесем в нем из каждой строки множитель (-1).
Полу-
чим, что Д = Д' = (—1)” • А = —Д. Следовательно, Д = 0.
146
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
8.3.. Теорема Лапласа и ее следствия
Пусть А = (<2у) 6 Fn. Фиксируем в матрице А строки
с номерами й, й,... ,ik и столбцы с номерами й,й, • • •, jk-
Определитель вида
	aiiji	aiiji •	• aiiji
м =	ai2ji	аг-2Ь •	• at2jk
	aikli	aikl2 	aikjk
с вхождениями ast, находящимися на пересечении указан-
ных строк и столбцов, называется минором порядка к. Вы-
черкивая в А строки с номерами й,---,й и столбцы с
номерами	мы получим матрицу, определитель
которой М' называется дополнительным минором для ми-
нора М, а число (-1)SM-M', где sM = й + - • -+Й+Й + - • -+jk,
называется алгебраическим дополнением для минора М.
Например, в определителе
2-56-7
0 3-41
42-3-2
1-12	0
алгебраическим дополнением для минора
являет-
ся ЧИСЛО 1)2+4+2+4	.
7	4-3
Лемма 1.Пусть А = (оц-j) 6 Fn и М - некоторый ми-
нор &-го порядка матрицы А. Тогда М 	- сумма
kl(n — к)1 слагаемых определителя |А|.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный слу-
чай. Пусть минор М расположен в левом верхнем углу
8.3. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
147
(2ц
«И
матрицы А. Тогда М =
• • • ®кк
®к+1 к+1    ^к+1 п
ЧИСЛО и М' =
Докажем, что М 	= М  М' - сумма к\(п — к)\
слагаемых |А|. Действительно, согласно определению опре-
делителя М =	Е	(•‘’'УНТ Д/ |п ! Н2п2 • • • акак И
к \
еЯ
&k /
1
CL1
М' =
Е	(ik+i afe+i • • •	ап • Следовательно,
( к + 1 ... п \
Л= I	I ^$п — к
\ /
м-м' =
Е	(sgnr)(sgng)-
1 ...	[ к + 1 ... п \
I &Sk, fl— I	I E;Sn — k
ОЦ . . . Of. J	у	J
®lai • • • ^kak^k+l afe+1 • • • ^пап •
Последовательность чисел ^оц,..., од, • • •,	} яв-
ляется перестановкой чисел {1, 2,..., п}. Поэтому произ-
ведение aiai ... апап входит в состав |А| со знаком (—1)т,
где т - число инверсий в подстановке
/1	...	к	к + 1	...	п
а =
\ ОД	. . .	01]^	ОД_|-1	. . .	О1П
Пусть mi - число инверсий в подстановке г и - число
инверсий в подстановке д. Так как <тг- < aj при i < к и
148
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
i + 1 < j, то т = mi + m2. Откуда следует, что sgna =
(—l)m = (—l)w • (—l)"12 = (sgnT)(sgng). Таким образом,
(sgnT)(sgng)alctl... akcek ... anC(n - слагаемое |A|. Так как
\Sk\ = k\ и = (n — А:)!, то M  M' сумма k\(n — k)l
слагаемых |A|. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть
минор М расположен на пересечении строк с номерами
«1,... ,4 и столбцов с номерами д,..., jk. Переставим М
в левый верхний угол определители |А| следующим обра-
зом. Строку с номером Т переставим с (Т — 1)-й строки,
затем с (Т — 2)-й строкой и т.д., пока гЦ-я строка не займет
место первой строки. При этом определитель будет равен
числу (—1)г1-1|А|. Затем строку с номером /Д переставим с
(«2 — 1)-й строкой, («2 — 2)-й строкой и т.д., пока она не зай-
мет место второй строки. При этом определитель будет ра-
вен (—|А|. Рассуждая аналогично, разместим
4-ю строчку на месте к-й строки. При этом определи-
тель будет равен числу (_i)(«i+«2+.--++)-(1+2+---+fc) |у[|. Совер-
шим аналогичные преобразования со столбцами. Столбец с
номером ji переставим со всеми предшествующими, пока
он не займет место первого столбца, столбец с номером
переставим со всеми предшествующими, пока он не зай-
мет место второго столбца и т.д.. При этом определитель
будет равен
( (п+*2 + ---+А) + 0'1 + ---+Дс)—2(1+2+...+к) . |у| _ ( . |Д| ИСХО-
ДЯ из ранее рассмотренного частного случая М  М' сумма
к\(п — к)\ слагаемых (—l)Sm|A|. Следовательно, М(—
- сумма к\(п — к)\ слагаемых |А|. Лемма доказана.
Теорема 2 (Лапласа). Пусть А = (оц-j) Е Fn. Фик-
сируем в А произвольные к строк (например, с номера-
ми г‘1, «2,..., 4), 1 < к < п — 1. Тогда определитель |А|
матрицы А равен сумме произведений всех миноров А+го
8.3. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
149
порядка, содержащихся в выбранных строках, на их ал-
гебраические дополнения, т.е. |А| = Е М •	где М
м
пробегает все возможные миноры &-го порядка, стоящие
на пересечении указанных строк и каких-то столбцов.
Историческая справка. 1) Пьер Симон Лаплас (1749
- 1827) - французский математик, физик и астроном. Внес
большой вклад в развитие небесной механики, математи-
ческой физики, теории вероятностей. Имел титулы графа
и маркиза.
2) Теория определителей создана немецким математи-
ком Г. Лейб -
ницем для решения систем линейных уравнений (1693),
развита швейцарским математиком Г. Крамером (1750) и
французским математиком А. Вандермондом (1772). Пер-
вые обстоятельные изложения теории определителей даны
французскими математиками Ж. Бине и О. Коши в 1812
г. Обозначение |А| ввел английский математик А. Кэли в
1841 г.
Доказательство. Итак пусть	- номера фик-
сированных строк матрицы А, к < п — 1. Рассмотрим сум-
му ЕМ • (—1)5мМ', где М пробегает миноры &-го поряд-
м
ка, стоящие на пересечении строк с номерами й,...,ik
и каких-то столбцов. По лемме М 	- сумма
к1(п — к)1 слагаемых |А|. Так как число миноров М равно
числу способов выбора к столбцов из п данных столбцов,
т.е. равно = дтуттду- то сумма Е М (—1)SMM' содержит
п\ =	• к1(п — к)1 различных слагаемых определителя |А|.
Следовательно, |А| = ЕМ- (—1)SMM'. Теорема доказана.
м
Следствие 2. Пусть А = (оу) 6 Fn, Mij - дополни-
тельный минор к aij и Aij = (—l)*+jMy - алгебраическое
150
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
дополнение к минору щ-р Тогда |А| = «цАт + ««дАд + • • • +
(1 А А п).
Замечание 1. Указанное представление называется
разложением определителя по г-й строке.
Доказательство. Фиксируем в матрице А i-ю строку
и применим к ней теорему Лапласа. Мы получим искомое
разложение.
Замечание 2. Переходя к определителю транспониро-
ванной матрицы А, мы можем получить аналогичное раз-
ложение |А по столбцу.
Следствие 3. Определитель вида
. . . Н |/,.
д ___ Cl'kl • • • О'кк ^кк+1	• • • (ккп
СЬк+1+k+l • • • Cl'k+ln
0	:	:
С1пк+1 • • • О'пп
равен произведению двух своих миноров
. . . Н |/,.	(2^_|_1^_|_1 . . . <2&-|-1п
. . . Лкк (кпк-\Л	• • • (кпп-
Доказательство. Применим теорему Лапласа к по-
следним (п — к) строкам определителя А. Тогда получим,
что А = ЕМ • (—где М пробегает все миноры
м
порядка (п — к), стоящие на пересечении последних (п —
к) строк и каких-то столбцов. Среди указанных миноров
8.3. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
151
только минор	Cl'k+lk+l • • • Cl'k+ln ®"пк+1	• • •	(^пп
не содержит нулевой столбец. Поэтому
Следствие доказано.
Следствие 4. Определитель вида
1	1	...	1
(1\	(22	• • •
а” (22 1 • • • ап
равен П (сц — а/)-
Замечание 3. Ап называется определителем Вандер-
монда. Доказательство проведем методом математичес-
кой индукции относительно числа п. Если п = 2, то
1 1
(21 (22
((22 — <21) •
Пусть наше утверждение истинно для определителей
Вандермонда порядка < п — 1. Докажем его для А„. Для
этого из п-й строки вычтем (п — 1)-ю строку, умножен-
ную на <21, из (п — 1)-й строки вычтем (п — 2)-ю строку,
умноженную на од, и т.д., наконец, из 2-й строки вычтем
первую строку, умноженную на а^. Получим, что
152
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Дп
1 1
О («2 - «1)
О (а| — Я2а1)
1
(аз — ai)
(а| - а3ах)
О (а2 1 — а2 2(31) (а3 1 — а3 2(31) • • • (ап 1 — ап 2<31)
Разложим Ап по первому столбу. Получим, что
Дп
(«2 — «1)	(«3 ~ а1)
а2(а2 — а1) аз(а3 — а1)
«2~2(«2 - «1) а3“2(аз - ai)
(1П ( (1
= («2 - «1)(«з - ai)  (ап - «1)
1
ап
а
п—2
3
По предложению индукции определитель
1	1
0-2	а3
„п—2	„п—2
а2 а3
1
ап
равен П (аг- — dj). Следовательно, Ап = П («г —
aiY
Замечание 4. Определитель Вандермонда часто ис-
пользуется в приложениях.
Следствие 5. Пусть А = (а^-) Е Fn и В = (6г-у) Е Fn.
Тогда \А- В\ = |А| • \В\.
8.3. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
153
Доказательство. Пусть С = А • В = (с^-), где с^- =
п
Е ciikbkj, 1 Е j < " Рассмотрим вспомогательный
к—\
определитель порядка 2п
А =	«и	...	ain	0	0	... 0 (2П1	. . .	&пп	0	...	0 — 1	0	...	0	&п	...	bin 0	—1	...	0	&21	•••	bin 0	bn—и	• • •	bn—in 0	0 ...	1 bnl ... bnn
По следствию 3 А = |А| • \В\. Докажем, что А = |С|. Для
этого преобразуем его следующим образом. Прибавим к
(п + 1)-му столбцу первый столбец, умноженный на 6ц,
второй столбец, умноженный на &2Ь и т.д., наконец, п-й
столбец, умноженный на bni. Мы получим, что
A =	«11 ...	Hi о • • • о . . .	(lnn	Cnl	0	...	0 — 1	...	0	0	&i2	...	bln 0	-1	...	0	0	b22	...	b2n 0 ...	1 0 bn2 ... bnn
Прибавим (далее) к (п + 2)-му столбцу линейную комби-
нацию первых п столбцов, умноженных соответственно на
612, ^22? • • •, Ъп2. Мы получим следующее равенство:
154
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
(2ц
Рассуждая аналогично,
ДУ
ап ...
(2П1 . . .
-1 ...
О ...
о ...
По следствию 3
-1 0 ... О
О 0 ... -1
Сц	С12	0	...	О
^пп	СП1	Сп2	0	...	О
О	0	0	&1з	...	bin
1	0	0	Ьпз	• • •	ЬПп
преобразуем определитель А к ви-
СЦ . . . С\п
ни	СП1	. . .	Спп
о	о	...	О .
о	о	...	о
-1	о	...	о
Zi\(n+l) + ... + (n+n) + (l+2+...+n) . |р|
 |С| = К1
Следствие доказано.
8.4.. Обратная матрица. Правило Крамера
Теорема 3. Пусть А =	6 Fn. Матрица А имеет об-
ратную матрицу тогда и только тогда, когда она является
невырожденной матрицей, т.е. d = \А\	0.
8.4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ПРАВИЛО КРАМЕРА
155
Доказательство. Пусть А - обратимая матрица и В
- ее обратная матрица. Тогда А • В = Е и, следовательно,
\Е\ = 1 = |А • В\ = |А| • \В\. Откуда следует, что |А| ф
О, т.е. А - невырожденная матрица. Докажем обратное
утверждение. Пусть d = \А\	0. Рассмотрим матрицу
/	Ал	A'2i	Ani	\
d	d	’	d
А12	A'22	Ап2
]2> __ d d ’ d
Ajn	А2П	Ann
\	d	d	• • • d	/
/ n
E alk'Aik
k = l______
d
n
Blk^-nk
k = l______
d
Тогда A • В =
n
Bnk^-lk
k = l______
d
X? Bnk^nk
k = l_____
d
n
Заметим, что d = E см. следствие в §3.).
k=i
Докажем, что при i ф j
п
52 ^ikAjk — 0.
fc=l
Для этого рассмотрим определитель
i j	(2ц	.	.	.	(2in (2г'1	.	.	.	С1{п (2г'1	.	.	.	С1{п (2П1	.	.	.	Лцп •
Он равен нулю, так как у него совпадают г-я и j-я стро-
ки. Разложим его по j-й строке. Тогда получим, что
Е aikAjk = 0. Откуда следует, что
к=1
156
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
		d d	0	0 .	. 0		
		0	d d	0 .	. 0		
АВ =		0	0	d d	. 0		= E
		0	0	0 .	d d	J	
Аналогично доказывается, что В А = Е. Таким образом,
В = А-1 - обратная матрица для А (ее единственность
мы доказали в 6.2). Теорема доказана.
Замечание 5. Явный вид обратной матрицы дает нам
алгоритм для ее нахождения.
Рассмотрим систему линейных уравнений
(ЗцЯЦ А ... A O'ln^'n — ^1,
а21ж1 А ••• А
(4.1)

А ••• А я
l/ir'l/

где <2у, bt Е F. Система чисел од, «2, • • •, оу из поля F яв-
ляется решением системы, если при подстановке вместо
xi = «1, а?2 = 0(2,..., хп = ап мы получим равенство чисел
Т Я]доу —	..., Z2 /iiiEE.- — Ьп.
к=1	к=1
Теорема 4. (Правило Крамера). Пусть дана система
линейных уравнений (1), и матрица А = (агд) является
невырожденной. Тогда система (1) имеет единственное
решение
с?2	dn
8.4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ПРАВИЛО КРАМЕРА
157
«12
«1п
где d = |А|, di =
«п2
«nn
«11
«21
«13
«23
«14
«24
«11
«21
«п1
«пЗ
«nn
«п1
Доказательство. Перепишем нашу систему линейных
уравнений в
( «п
«21
матричном виде
«12
«22
«1п
«2п
}
Х2
«2п
1111
матрица А имеет обратную матри-
Так d = \A\	0, to
цу. Умножим левую и правую части выше приведенного
равенства на А-1 (слева!). Получим, что
А-ЦА-Х) = А~1Ь
дует, что
/ Xi
х2
Аи
d
А21
d
Ain
d
A2n
d
А
А;
. Откуда сле-
У ^k^-ki — d/. TO Xi
k=l
У AAfei
fe=i_____
d
. Так как
= di/d, i = 1, п.
52 УА/;
fe=l_____
d
158
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Теорема доказана.
Пример. Найти уравнение параболы, которая прохо-
дит через точки (1,0), (-1,6) и (2,3) плоскости.
Решение. Пусть уравнение параболы имеет вид у =
ах2 + Ъх + с. Тогда
ci Т Ь Т с — 0;
а — b + с = 6;
4 а + 25 + с = 3.
( 1
Рассмотрим матрицу А =	1
По правилу Крамера а =
1
-1
2
1
4
Ь =
1 \
1
ч
-1
2
6 ’
. Ее определитель
= (-3) + 3 + 6 = 6.
с = ^, где
1 =(-6)(-1) + 3-
= 3 + (-21) = -18,
= -15 + 21 = 6.
Следовательно, а = 2, b = —3, с = 1 и у = 2х2 — Зх + 1
уравнение искомой параболы.
Глава 9.
Системы линейных
уравнений
9.1.. Метод последовательного исключения
неизвестных (метод Гаусса)
Историческая справка. Гаусс К.Ф. (1777-1855) не-
мецкий математик, астроном. Внес большой вклад в раз-
витие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии.
В частности, им дано строгое доказательство основной теоре-
мы алгебры (1799 г.).
Рассмотрим произвольную систему линейных уравне-
ний
ацТ1 + (312^2 + . . . + d\nXn = 61,
а21ж2 + <322ж2 + • • • + О“2пХп = &2?
............... (1-1)
Н- ®m2^2 Н- • • • Н- dmnXn — Ът^
где dij,bt Е F(F - некоторое поле). Упорядоченный набор
чисел (од, «2, • • •, оу) Е F^ называется решением (1.1),
если при подстановке вместо яд = ад,... ,хп = ап каждое
уравнение системы (1.1) обращается в тождество.
159
160
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система (1.1) называется совместной (несовместной),
если она имеет хотя бы одно решение (если она не имеет
решений). Система (1.1) называется определенной, если
она совместная и имеет единственное решение. Совмест-
ная система называется неопределенной, если она имеет
по меньшей мере два решения. Например, система
ж+ 2,у = 0
х — у = 1
является определенной (ее решением является пара (|, — |))
х + у +z = 0
а система х — у +z = 1 является неопределенной,
Зх + у +3у = 1
так как любая тройка чисел вида (—t +	1,£), t Е R,
является решением. Две системы линейных уравнений на-
зываются эквивалентными, если либо они обе являются
несовместными, либо их множества решений совпадают.
Например, следующие системы линейных уравнений
х— у = 0 х— 2у = —1
2т+ у = 3	| 5т+ 2 у = 7
являются эквивалентными, так как {(1,1)} - множество
решений каждой из этих систем.
Приведем алгоритм решения системы (1.1), называе-
мой методом Гаусса или методом последовательного ис-
ключения неизвестных. Можно считать, что ац 0 (если
«и = 0 и, например, «21 Ф 0, то поменяем местами пер-
вое и второе уравнения). Умножим левую и правую части
первого уравнения на (—^у) и прибавим к левой и правой
частям Ачго уравнения, где к = 2,3,... ,т. Мы получим
следующую систему
9.1. МЕТОД ГАУССА
161
ацЖ1 + (З12Ж2 + ... + ainxn — &i,
О • ад + 0*22X2 + ... + а,2пхп =
............................... (1-2)
О • Ж1 + ат2ж2 + ... + а'тпхп = Ъ'т,
где а'к- = akj - ац  (^), к > 2, j < п и b'k = Ьк - Ь^. Яс-
но, что каждое решение системы (1.1) является решением
системы (1.2). Если левую и правую части первого урав-
нения (1.2) умножить на и прибавить (соответствен-
но) к левой и правой части Ачого уравнения системы (1.2),
то получим к-е уравнение системы (1.1). Поэтому любое
решение системы (1.2) является решением системы (1.1),
т.е. системы (1.1) и (1.2) эквивалентны. Если в результате
вышеприведенных преобразований мы получим в системе
(1.2) уравнение вида 0 • ад + 0 • х% + ... + 0 • хп = Ь'к О,
где 2 < к < т, то система (1.1) является (очевидно) несов-
местной. Преобразуем далее систему (1.2). Можно счи-
тать, что 0'22 ф 0 (если а'22 = 0 и, например, а'а ф О,
то поменяем местами второе и z-oe уравнения; если же
а22 = аз2 = • • • = ат2 = О, то рассуждаем аналогично
относительно коэффициентов при ад). Умножим левую и
правую части второго уравнения на (— ^F) и прибавим (со-
ответственно) к левой и правой части Ачого уравнения, где
3 < к < т. Мы получим следующую систему
ацТ1 + (312^2 + . . . + (31nTn — &1,
®22Ж2 + • • • + О,2пХп
«'Дз + • • • + a"inx„ = Ь’1,
(1-3)
162
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
®тЗ*^3 + • • • + ^тпхп —
которая эквивалентна системе (1.1). Если мы в процессе
преобразований получили уравнение вида 0• ад+0• х2 +.. .+
0-ад = bk 0, где 3 < к < т, то система (1.1) является не-
совместной. Можно считать, что а33	0. Умножим левую
и правую части третьего уравнения на (—^) и прибавим
(соответственно) к левой и правой части Ачого уравнения,
где 4 < к < т. Продолжая аналогичные рассуждения, мы
либо получим уравнение вида
0 • ад + 0 • ад + ... + 0 • хп = с ф 0
и тогда система (1.1) является несовместной, либо придем
к эквивалентной системе следующего вида
<ЗцаД + (ЗщЗД + ®13ж3 + • • • + Cl-lnXn —
а22ж2 + «23ж3 + • • • + С1>‘2пхп — ^2?
и .	। и	ill
а33ж3 + • • • + аЗпхп —
................................... (1-4)
ak-lk-lxk-l + Clk-lkXk + • • • + Clk-lnxn = &1-1 )
акк~1)хк + • • • +	= b(kk~l\
где ап ф 0, (322 -/- 0, <з33 ф 0,..., ак_1к_1 ф 0, акк ф
0, к < т и к < п. Если к = п, то система (4) имеет
’’треугольный” вид
(ЗцЗД -|- . . . 4“ С1\пХп —
а'^х2 + ... + а'2пхп = Ъ'2,
(1-5)
9.1. МЕТОД ГАУССА
163
Мп-1)	_ 1(п-1)
"ни	— ип
Решим систему (1.5) следующим образом. Из послед-
него уравнения найдем хп =	/а^~^ и подставим это
значение в (п — 1)-е уравнение	+ ап_^хп =
Далее вычислим хп_\ и подставим найденные зна-
чения в (п — 2)-е уравнение и т.д., наконец, подставляя
найденные значения xn_i,..., Ж3, х% в первое уравнение,
мы найдем х\. Таким образом, система (1.5) является сов-
местной и определенной. Пусть в системе (1.4) к < п.
Тогда переменные т&+1, т^+2,..., хп назовем свободными.
Перенесем слагаемые, содержащие свободные переменные,
в правые части и придадим свободным переменным про-
извольные числовые значения. Мы получим треугольную
систему вид (1.5). Решая ее (снизу вверх), мы вычислим
х^, х^-!,..., Т2, X}. Таким образом, мы найдем все возмож-
ные решения нашей системы.
Итак, суммируем результаты вышеизложенного алгорит-
ма. Применяя к системе (1.1) метод последовательного ис-
ключения неизвестных, мы получаем системы линейных
уравнений, эквивалентные исходной системе (1.1). При
этом если в процессе преобразований мы получим уравне-
ние вида
О • Xi Т 0 • я?2 Т ... Т 0 • хп — с О,
то система (1.1) является несовместной. Иначе в процессе
преобразований система (1.1) приводится либо к треуголь-
ному виду (1.5) (и в этом случае система (1.1) будет опре-
деленной), либо к трапециодальному виду (1.4) (и в этом
случае система (1.1) будет неопределенной).
Пример. Решить систему
164
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
<	2X1	—Я?2	+тз	+2x4	+ЗХ5	— 2 6X1	—3x2	+2хз	+4x4	+5x5	= 3 6xi	—3x2	+4хз	+8x4	+13x5	= 9 4X1	—2x2	+ж3	+ж4	+2x5	=	1
Перепишем систему в виде расширенной матрицы и приме-
ним метод последовательного исключения неизвестных:						
1 2	-112 3 2 )		1 2	-1	1	2	3	2 >	
6	-32453		0	0	-1 —2 —4 -3	
								
6	-3 4 8 13 9		0	0	12	4	3	
V	-2 11 2 1 ,			0	-1 -3 —4 -3 t	
	р -1 1	2	3	2			
					р -1 1	2	3	2 \
	00-1-2	—4	-3			
—				—	00 -1-2	—4 -3
	0 0	0	0	0	0			
	р 0	0-1	0	0)		р 0	0-1	0	0 ?
Следовательно, мы получим эквивалентную систему урав-
нений
2xi — Я?2 + Х3 + 2x4 + Зя?5 — 2
а?з + 2а?4 + 4а?5 = 3
—а?4 = 0.
Откуда следует, что т4 = 0, х:> = 3 — 4x5, х± = |(х2 —
Зх5 + 2 - 3 + 4х5) = |(-1 + х- + х2), где х2,х5 - сво-
бодные переменные. Таким образом, множество решений
состоит из упорядоченных наборов чисел	? Ж2? 3 —
4х5,0,х5)}, где х2,х5 6 R.
9.2. РАНГ МАТРИЦЫ
165
9.2.. Ранг матрицы
/ (2ц	(212	• • • «1тг \
- матрица порядка тх
\ «ml «m2 • • • ^тп /
п с вхождениями из поля F, т.е. Е F. Рассмотрим в
р(т) подпространство Жц порожденное всеми столбцами
матрицы А, т.е. W\ = L(vi,..., vn), где
Его размерность dimpWi называется рангом матрицы А
(по столбцам) и обозначается ту = гСТ0Лд(А). Рассмотрим
далее в F^ подпространство Ж2, порожденное всеми стро-
ками матрицы А, т.е. Ж2 = L(wi,..., мга), где
«1 — («11 > «12? • • • 1 «In), • • • 1	— («ml, • • • , ^тп
Размерность этого подпространства dimpW^ называется
рангом матрицы А (по строкам) и обозначается = гСтр(-4)-
Наконец, пусть гр наивысший порядок не равного нулю
минора матрицы А. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. гСТр(А) = гстолб(А) = гм(А).
Доказательство. Пусть г = г>(А). Для удобства обо-
значений (при этом общность доказательства не наруша-
ется) будем считать, что минор М порядка г (не рав-
ны нулю) находится в левом верхнем углу матрицы А,
(2ц . . . (2ц
. Заметим, что первые г столбцов
ari
166
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
матрицы А являются линейно независимыми. Действи-
тельно, иначе были бы зависимыми и первые г столбцов
минора М, т.е. М = 0. Противоречие. Докажем, что
гх = гСТ0Лд(А) = г. Для этого достаточно показать, что
щ, Т2,..., vr являются системой образующих. Рассмотрим
определитель
(2ц (212
®1е
CL р 1	^/'2
где г+1 < е < п, 1 < i < т. Если i < г, то Аг- содержит две
одинаковые строки и, следовательно, Аг- = 0. Если i > г+1,
то Аг- - минор матрицы А порядка (г + 1). Так как г -
наивысший порядок миноров, не равных нулю, то Аг- = 0.
Итак, для любого индекса i < т число Аг- равно нулю.
Разложим Аг- по последней строке. Получим, что
<2г'1 • Ai + аг'2Д-2 + ... + ciirAr + aieM — 0
или aie = +т(—др) + • • • + аг-г(—др), где числа Ai,... ,АГ не
зависят от г. Откуда следует, что ve = щ • (—д^) + • • • +
тг(—д^). Итак, мы доказали, что {щ,..., vr} - базис Wi и
г = г>(А) = гСТ0Лд(А). Транспонируя матрицу А, мы не
меняем ранг по минорам. Следовательно, гСтр(-4) =
=гстолб(^) = гм(А') = гм(А). Теорема доказана.
При доказательстве теоремы мы использовали только те
миноры порядка (г + 1), которые окаймляли минор М. По-
этому справедлив следующий алгоритм вычисления ранга
матрицы: при вычислении ранга матрицы следует перехо-
дить от миноров меньших порядков к минорам больших
порядков. Если уже найден минор r-ого порядка М, не
9.2. РАНГ МАТРИЦЫ
167
равный нулю, то вычисляем все миноры (г + 1)-ого поряд-
ка, окаймляющие М. Если все они равны нулю, то ранг
матрицы равен г.
Следствие 1. Пусть А = (а^-) Е Fn. Тогда |А| = 0 в том
и только том случае, если между его строками существует
линейная зависимость.
Действительно, если |А| = 0, то г(А) < п и, следова-
тельно, dimpW^ < п. Поэтому строки (их число равно п)
линейно зависимы.
Укажем простой алгоритм вычисления ранга матрицы.
Следующие преобразования строк матрицы А называют-
ся элементарными: 1) умножение z-ой строки щ на число
а ф О Е F; 2) прибавление к z-ой строке щ j-ю строку
Uj (г j), умноженную на любое число /3 Е F; 3) переме-
на местами двух строк. Аналогично определяются элемен-
тарные преобразования столбцов. Заметим, что элемен-
тарные преобразования не меняют ранга матрицы, т.к. не
меняют пространства, порожденного строками. Действи-
тельно, в первом случае
/>(м1,..., ,..., ит^ — F(u\_ 1 • • • 1 (хи^,..., мт),
и во втором случае линейная оболочка
/>(м1,..., Up ..., Uj,..., мп)
совпадает с линейной оболочкой
L(wb ..., Ui + f3uj, ...,Uj,... ,un).
С помощью элементарных преобразований матрицу можно
привести к диагональному виду (с единицами на диагона-
ли). Число единиц равно рангу матрицы. Действительно,
168
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
«11
« 1п
пусть А =
. Если А = 0, то г(А) = 0. Если
\ «ml
О"тп /
А ф 0, то, переставляя строки и столбцы (если необходи-
мо), можно считать, что «и ф 0. Прибавим к &-ой строке
первую строку, умноженную на (—^), где 2 < к < т. Мы
получим матрицу
«11	(212
0	«22
0	:
^1п
а2п
\ 0	«m2 ’ ’ ’ ^тп /
ау
«и
имеющую тот же ранг. Умножая первый столбец на (
и прибавляя к j-ому столбцу (2 < j < п), получим матрицу
/ «п	0	...	0	\
0	«22	• • •	а2п
\ 0	«m2	’ ’ ’	^тп	/
имеющую тот же ранг. Умножим первую строку на «И1.
Рассуждая аналогично с остальными строками и столбца-
ми, мы через конечное число шагов получим диагональ-
ную матрицу
/ 1	0	...	0	0	...	0 \
0	1	...	0	0	...	0
0	...	1	0	...	0 GFmxn’
0	...	00	...	0
\	'	Ч
9.3. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ
169
в которой число единиц на диагонали равно рангу исходной
матрицы.
/ 3 -1 3 2 5 \
Пример. Найти ранг матрицы
5-3234
1-3-50 —7
р -5 1 4 1 у
Рассмотрим следующую цепь элементарных преобразо-
ваний:
1 3 -1
5 -3
1 -3
U -5
3 2
2 3
-5 0
1 4
5
4
—7
1 /
-3
-3
-1
-5
-5 0 -7 \
2 3 4
3 2 5
14 1,
/ 1	-3	-5	0	-7	\
0	12	27	3	39
0	8	18	2	26
0	16	36	4	50	,
/10 0 0
0 4 9 1
0 0 0 0
ч о о о о
/ 1	0	0	0	0	\
0	4	9	1	13
0	4	9	1	13
0	8	18	2	25	,
о
1
о
о
о о о \
ООО
1 о о
ООО,
Таким образом, г(А) = 3.
9.3.. Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм
решения системы линейных
уравнений (с помощью ранга матри-
цы)
Пусть дана система линейных уравнений
170
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
<2цЖ1 Н- ... + а^пХп — ^1?
«21ж1 + • • • + О-2пхп — ^2-
Sml^l + • • • + С1тпхп
(3.1)
где dij,bt Е F(F - поле). Мы знаем метод Гаусса, позволя-
ющий определить: совместна ли система (3.1), а если сов-
местна, то находить множество всех решений. Если т = п
и определитель матрицы из коэффициентов левой части не
равен нулю, то применимо правило Крамера для нахожде-
ния единственного решения. В настоящем параграфе речь
пойдет о применении ранга матрицы к анализу системы
Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Система линей-
ных уравнений (3.1) является совместной тогда и толь-
ко тогда, когда г(А) = г(А), где А = (ад) - матрица,
составленная из
системы (3.1), а
матрица.
коэффициентов левых частей уравнений
(Зц . . . Ъ\п
А =
- расширенная
\	Ьт у
Историческая справка. Кронекер Леопольд (1823 -
1891) - немецкий математик. Основные труды по алгебре
и теории чисел.
Капелли Альфредо (1855 - 1910) - итальянский матема-
тик. Основные труды по алгебре.
Доказательство. Если система (3.1) совместна и ад =
сд, ад — сд, • • •
:	• од +
\ /
,хп = ап - некоторое ее решение, то
' «12			« 1п	
	• О2 + .	• +		
( «m2 )			\ ^mn /	
Р1 \
\ J
9.3. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ
171
Откуда следует, что подпространство порожден-
ное всеми столбцами матрицы А совпадает с подпростран-
ством, порожденном всеми столбцами расширенной матри-
цы А (ибо последний столбец линейно выражается через
предыдущие столбцы). Следовательно, совпадают размер-
ности этих подпространств, т.е. г(А) = г(А). Обратно,
если г(А) = г(А), то размерность подпространства Жр
порожденного столбцами матрицы А, совпадает с размер-
ностью подпространства Жр порожденного всеми столбца-
ми матрицы А. Так как W\ С Жр то W\ = Жр Следова-
тельно
Е Жр Поэтому существуют числа ур ...,
Е F такие, что
( ''и \
® 1п
 =
«1171
« 1п^п
^ттАп
т •
«т171
Откуда следует, что (71,...,уп) - решение системы (3.1).
Теорема доказана.
Пусть система (3.1) совместна (т.е. г = г(А) = г(А)) и
М - минор порядка г матрицы А, отличный от нуля. На-
зовем его базисным и (без ограничения общности) предпо-
ложим, что он находится в левом верхнем углу матрицы
Пр . . . (21г
А, т.е. М =
ari ... а
172
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Докажем, что укороченная система линейных уравне-
ний
а1Ы1 + а12ж2 + • • • + С11пхп =
................................. (3-2)
Н- ®г2*^2 Н- • • • Н- &ггАп — Ьг
эквивалентна системе (3.1). Для этого достаточно дока-
зать, что каждое решение системы (3.2) будет решением
системы (3.1). Пусть (cti,..., ап) - решение системы (3.2).
Докажем, например, что
аг+цС11 + ar+i2a2 + • • • + ar+inan = Ьг+±.
Рассмотрим А. Ее ранг равен г и первые г строк обра-
зуют базис пространства, порожденного всеми строками
А. Поэтому
(<2г_|_ц, (2Г_|_Х2? • • • 1	^г+1) — (®11, • • • 1	^1) ’ Н” • • • Н-
(аг1,..., arn, Ьг)  Зг, где 6Г - некоторые числа из поля F.
Приравняем соответствующие координаты в левой и пра-
вой частях:
аг_|_ц =	+ ... + аг]дг,
аг+12 = а12^1 + • • • + Яг2^г5
................................. (3.3)
®r+ln - &1п$1 Н- • • • Н- ®г7г$г,
=	-|- • • • Н- br6r.
Умножим левую и правую части первого уравнения (3.3)
на «1, второго уравнения на и т.д., n-ого уравнения -
на ап и сложим. Мы получим, что
22 аг+1как = (22 а1как)$1 + • • • + (22 arkak)$r =
к=1	к=1	к=1
9.3. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ
173
—	+ ... + br6r — br+1.
Таким образом, (cti,..., ап) - решение (г + 1)-ого уравне-
ния системы (3.1). Аналогично доказывается, что (cti,..., ап
- решение (г + 2)-ого, ... , m-ого уравнений, т.е. система
(3.2) эквивалентна системе (3.1).
Как решать систему (3.2)? Выделим слагаемые, содер-
жащие коэффициенты базисного минора, а остальные сла-
гаемые перенесем в правую часть:
(3.4)
(2цЖ1 Я- . . . Я- (1\рХр —	. (1\пХп Я- 0 \ .
Переменные xr+i,..., хп назовем свободными. Они могут
принимать произвольные значения из поля F. Если мы
фиксируем эти значения, то хр ... ,хг можно найти в сис-
теме (3.4), например, методом Крамера (т.к. М 0).
Пример 1. Решить систему
—ж2 +2хз —Лад = 1
< 2X1 +ж2 ~хз +0 • Х4 = —2
4xi —ж2 +3хз —8x4	= 1
Система несовместна, так как г(А) = 2 и г(А) = 3.
Пример 2. Решить систему
Х1	+х2	-х3	+Х4	= 1
— Х1	+ 2x2	+3хз	— Х4	= 0
Х1	+4х2	+ж3	+Х4	= 2
Система совместна, так как г(А) = 2 и г(А) = 2. Выделим
базисный минор М =
1 1
-1 2
стоящий на пересечении
174
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
первых двух строк и первых двух столбцов. Укороченная
система линейных уравнений
Х1 + ж2 — х3 + ж4 = 1
—+ 2x2 + За?з — а?4 = О
эквивалентна исходной. Перепишем ее в виде
Х1 + ж2 = 1 + х3 ~ х4
— Xi + 2.Г, = х4 — Зж3,
где хз,Ж4 - свободные переменные. Откуда следует, что
1 + Тз — Ж4 1
.Г| — Зжз 2
Ж1 =
1 1
-1 2
1	1 + Ж3 —
Ж2 =
— 1	./'4 — З.Г;
1 1
-1 2
Таким образом, множество решений состоит из после-
довательностей
2 + 5жз — 3^4 1 — 2жз
9.4.. Однородные системы линейных урав-
нений. Описание множества решений
произвольной системы линейных урав-
нений как линейного многообразия
Рассмотрим систему линейных уравнений
9.4. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
175
<ЗцЖ1 Д- . . . + G-lnxn — О,
«21 + • • • + С12пхп — О,
......................................... (4-1)
в которой все свободные члены равны нулю. Эта система
всегда совместна, так как (0,0,..., 0) - решение системы
(4-1).
Предложение 1. Пусть L = {(ац,...,ау) 6 F^} -
множество всех решений системы (4.1). Тогда L < FT).
/ ап
Доказательство. Пусть А =
« 1п
;	. Тогда
0"тп /
Пусть Zi,1% Е L и а,/3 Е F. Тогда
A(ciZi + Ph) = а  (All) + Р  (Ah) = ci-0 + /3-0 = 0,
т.е. ар + Ph Е L. Предложение доказано.
Теорема 3. Пусть г = г(А). Тогда dimpL = (п — г).
Доказательство. Пусть М - базисный минор порядка
г матрицы А. Будем считать, что М расположен в левом
С1ц . . . Clir
верхнем углу, т.е. М =
Рассмотрим укоро-
ченную систему
«1Ы1 Т • • • Т (Linxn — 0,
176
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
(4-2)
Т Т -ru'ii —
Переменные жг+1,..., хп являются свободными. Перене-
сем в (4.2) слагаемые, содержащие свободные переменные
в правую часть
<ЗцЖ1 Т" . . . Т" Cl>irXr — —(2хг_|_|Жг_|_| — ... Cl>inX
м ...............................................
4“ • • • 4“ Cl-rr^r — —ЯГГ_|-1Тг_|-1 — ... — С1>гп
Положим xr+i = 1, хг+2 = ... = хп = 0 и решим сис-
тему (4.3) (например, по правилу Крамера). Мы получим
решение
fi = (од,... ,cvr, 1,0,... ,0) е L.
Положим xr+i = 0, xr+2 = 1, хг+з = ... = xn = 0 в системе
(4.3) и найдем лд,..., хг. Мы получим второе решение
h = (Л,...,/3,., 0,	,0) е L.
Рассуждая аналогично, мы получим решение
fn-r (ть • • • 5 7г? 0,0,... , 0,1) G L.
Докажем, что {fi,..., fn-r} - базис L. Предположим, что
{fi,..., fn-r} - линейно зависимое множество. Это означа-
ет, что существуют числа /zi,..., цп_г (не все равные ну-
лю) такие, что /мЛ+/^2+- • .+/in-rfn-r = 0. Так как /iifi+
1^2 f2 4- • • • 4- /ln—rfn—r — (f ? *2 Т1? Т2? • • • 1 l^n—r)i ТО /I \ —
/12 = • • • = /2п-г = 0. Противоречие. Итак {fi,..., fn-r} _
9.4. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
177
линейно независимое множество векторов. Докажем, что
оно является системой порождающих. Пусть f = (оу,..., ап) Е
Е L. Рассмотрим вектор
f ^r+lfl	• • • CFnfn-r С L.
Его последние (п — г) координаты равны 0, т.е.
д — f <7r+ifi ... <jnfn_r — (од,..., Qr, 0,0,... , 0).
Следовательно,
<31171 + а1272 + • • • + dlrQr — 0
	+ аг272 + •	 | CL	—	0.
	0 (312 • • •		вп ... <3ir—i 0
	0 «22 • • • а2г		«21 • • • a2r-l 0
Пусть di =		i • • • i dr —	
	0 (3^*2 ... (3^.^.		(3i ... (3^.^.	i 0
По правилу	Крамера q± =	L = о м u’ • •	• 5 Qr	0 и
вектор д = 0. Это означает, что f = ar+ifi + ... + anfn_r,
т.е. {fi,..., fn-r} - базис L и dimpL = n — г. Теорема
доказана.
Замечание 1. Базис пространства решений системы
(4.1) называется фундаментальной системой решений.
Пример. Найти фундаментальную систему решений
системы
+ ж2 — ж3 + ж4 = 0
2а?1 + 3x2 — Хз + 0 • Х4 = 0
4xi + 5x2 — Зхз + 2x4 = 0.
178
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ 1 1 -1 1 \
Решение. Ранг матрицы
Минор М =
является
3—10 равен 2.
5 —3 2 J
базисным. Рассмотрим
1 1
2 3
укороченную систему
Х1 + ж2 = х3 ~ ж4
2а?1 + 3X2 = Хз-
1 1
Положим хз = 1, Х4 = 0. Тогда xi =
= | = 2, х2 =
2 3
=—1, т.е. fi = (2,—1,1,0). Положим хз = 0, Х4 = 1 и
найдем xi,x2. Имеем, что
-11 1-1
2 3	2 3
(—3,2,0,!). Таким образом, {fi,f2} - базис пространства
решений.
Предложение 2. Множество Р всех решений совмест-
ной системы линейных уравнений
<ЗцХ1 Т . . . Т (I\цхп — ^1?
^mlxl Т • • • Т ^тпхп — От
является линейным многообразием.
9.4. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
179
Доказательство. Пусть А =
ад
(ап ...
^тп
Тогда Р = {р =
G F^\Ap = b}.
CL1
Пусть PQ
- некоторое решение из Р
\ • • •

и
Х1
Е F(n\ Ах = 0} пространство решений
системы. Докажем, что Р = pq + L. Пусть
однородной
I Е L. Тогда А(ро + Г) = Ap$ + Al = & + 0 = 6, т.е. pq + L С Р.
Пусть р Е Р. Тогда А(р — ро) = Ар — Ар$ = b — b = 0, т.е.
р — pq = Zi Е L и Р С р0 + L. Таким образом, L + ро = Р и
Р - линейное многообразие. Предложение доказано.
Глава 10.
Кольцо многочленов
10.1..	Определение кольца многочленов. На-
ибольший общий делитель
Пусть F - поле и К = {(«о? од, «г? • • • 5	0,0,...); Е
Е F} - множество бесконечных (счетных) последователь-
ностей с вхождениями из поля F, у которых только конеч-
ное число ненулевых вхождений. Определим на множестве
К операции сложения ” + ” и умножения ” • ” по прави-
лам:
(do? «1? «2? • • •) + (^0? 61, ^2? • • •) = (а0 + 6(), «1 + 6р «2 + 62, • • •),
(®0,	• • • 1 ^ni 0, 0, . . .) • (6g, 61,... , Ьт^ 0, 0, . . .) — ((Здбо, Яо61 +
+«160, aobz+aibi+a^bf^ ..., ао6^+«16^_1-|-.. .+a^_i6i+a^6o, • • • ?
• • • 1 ^nbmi 0,0? • • •) •
Пусть 0 = (0,0,0,...) Е К. Тогда для любых элементов
f,g,h Е К справедливы следующие равенства:
f + д = д + /, (f  д)  h = f  (д  h), f + д = д + f,
f + ^ = f,
(f + g) + h = f + (g + h)
f • (g + h) = f • g + f • h,
180
10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ 181
f  д = д- f,
и для любого а = (ад, од,, ап, 0,...) 6 К существует эле-
мент (—а) Е К такой, что а + (—а) = 0.
Для проверки существования (—а) достаточно положить
(—а) = (—ао, —ар ..., —а„, 0,0,...). Пусть 1 = (1,0,0,...)
и х = (0,1,0,0,...). Тогда для любого элемента / 6 К
f . 1 = / и? = (0,0,1,0,...), х3 = (0,0,0,1,0,...),
хп = (0,0,...,0,1,0,...), где п = 1,2,....
п
Рассмотрим отображение у : F —> К, которое пере-
водит каждый элемент ад поля F в последовательность
т(«о) = («о, 0,0,...). Легко видеть, что <p(ag + &g) = у(«о) +
<р(&о), у («о • &о) = У («о) • у(&о), где а0, Е F. Далее, отобра-
жение у является инъективным, т.е. различные элементы
поля F оно переводит в различные последовательности.
Условимся отождествлять числа ад из поля F с их обра-
зами у(ад) в К. Тогда любая последовательность может
быть записана в виде
/ = (ад, 0,...) + (0, ар 0,...) + ... + (0,0,... , 0, ап, 0,.. .) =
= у(а0) • 1 + у(ах) • х + у(а2)  х2 + ... + р(ап)  хп =
= ад • 1 + ai • х + а2 • х2 + ... + ап • хп.
п .
Последовательность / = (ад, ар ..., ап, 0,0,...) = Е аг-тг
называется многочленом степени п, если ап 0 (в обозна-
чении, п = degf).
Множество (К, +, •) называется кольцом многочленов от
переменной х с коэффициентами из поля F и обозначается
в виде К = Р[т].
182
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Заметим, что если f,g- ненулевые многочлены, то deg(J-
д) = degf + degg. В частности, f • д 0, если /	0 и
д ф 0. Многочлен д(х) делит многочлен f (ж) (в обозначе-
нии, g\f или / : д), если существует многочлен <р(ж) та-
кой, что f = д  ср. Многочлен d(x) называется наибольшим
общим делителем для многочленов f и д (в обозначении,
= d), если a) d\f, d\g; б) если cp\f и ср\д, то <p\d.
Лемма 1. (лемма о делении с остатком). Пусть f (ж), д(х)
Е F[x] и д(х) ф 0. Тогда существуют многочлены <р(т) и
г(х) такие, что f = д • ср + г, degr < degg.
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции относительно degf = п. Пусть
f (ж) = ад + а1х + • • • + апхп
и
g(x)b0 + Ьхх + ... + bmxm,
где anbm ф 0. Если п < т, то f = д(х) • 0 + f и лем-
ма доказана. Приведенное рассуждение является основа-
нием для индукции. Сделаем предположение индукции
об истинности леммы для многочленов степени < п — 1.
Рассмотрим многочлен fi(x) = f(x) — anbfllxn~mg(x). Его
степень < п — 1. Следовательно, существуют многочлены
<Р1(т) и г(х) такие, что fi = д • <pi + г, degr < т. Откуда
следует, что
f (х) = g(x){anbm1xn т + <pi} + г(ж), где degr < degg(x).
Лемма доказана.
Пусть f и д Е Р[т]. Из леммы 1 следует существование
многочленов <pi, <р2,..., <р&+2, щ, г2,..., n+i таких, что
f = 9 •	+П,
degri < degg
10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ 183
д = Г1<у92 + r2,	degr2 < degr\
Г1 = г2^з + Гз,	degr3 < degr2
Гк-1 = rkpk+1 + n+i, degrk+1 < degrk
rk = n+i^+2 + 0.
Докажем, что rk+i = (f,g) - наибольший общий дели-
тель многочленов fug. Действительно, rk+i\rk. Из ра-
венства гк-г = гкрк+1 + гк+1 следует, что n+i|n_i. Из
равенства гк_2 = гк_^к + гк следует, что n+i|n_2. Рас-
суждая аналогично, мы докажем, что rk+i делит д(х) и
/(ж). Пусть а(ж) делит f(x) и д(х). Тогда а(ж) делит ту =
f - Я • Т1, г2 = д - ПТ2, • • •, п+1 = П-1 - nmi- Таким
образом, rk+i = d(x) = (f,g) - н.о.д. многочленов / и
д. Указанный алгоритм нахождения н.о.д. называется ал-
горитмом Евклида.
Историческая справка. Евклид (111 век до н.э.) -
древнегреческий математик, автор 15 книг ’’Начала”. Ра-
ботал в Александрии.
Лемма 2. Пусть f,g Е Р[т]. Тогда существуют много-
члены а(ж),6(ж) 6 F[x] такие, что
d(x) = (f,g) = f •« + д -ь.
Доказательство. Рассмотрим алгоритм Евклида
f = д • + п.
д = гг • <р2 + г2
degri < degg
degr2 < degri
rk_i = rk^k+i + n+i, degn+i < degrk
rk = rk+1pk+2 + 0.
184
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Докажем методом математической индукции (относи-
тельно числа г), что гг- = / • ai + д • bi, при некоторых мно-
гочленах ai, bi Е F[x]. Имеем, что ту = / • 1 + д(—<pi), =
= Я - (f ~ g^i)^2 = /(-^2) +ц(1 + т)- Сделаем предпо-
ложение индукции о том, что
П-1 = / • аг--1 + д  bi-r, п = f  ai + д 
Тогда
ri+1 = гг-_1 - rppi+1 = /аг-_1 + gbi-r - (fai + gbi)<pi+1 =
—	1 Т'Тг'+l) Т ц(^г—1	^z^z’+l)-
В частности, гк+1 = / • ак+1 + д  Ьк+1. Так как rk+1 = (f, д),
то лемма доказана.
Многочлены / и д называются взаимно простыми, если
(/, ^) = 1-
Следствие 1. Если / и д - взаимно простые много-
члены, то существуют многочлены a,b Е F[x] такие, что
1 = f  а + д  Ь.
Доказательство следует из леммы 2.
Многочлен р(х) Е F[x] называется неприводимым, если
из разложения р(ж) = а(ж)6(ж), где a,b Е F[x], следует, что
а(ж) = а е F, Ь(Х) = а 1 -р(ж). Таким образом, неприводи-
мые многочлены нельзя представить в виде произведения
многочленов (с коэффициентами из поля F!) меньшей сте-
пени.
Следствие 2. Если р(ж) - неприводимый многочлен из
F[x] и р\а  Ъ, где а(ж), 6(ж) Е F[x], то либо р\а, либо р\Ь.
Доказательство. Если р не делит а, то (р, а) = 1.
По следствию 1 существуют многочлены g(x),h(x) Е F[x]
такие, что 1 = р(х)д(х) + А(ж)а(ж). Откуда следует, что
b = р(дЬ) + (а • b)h делится на р. Следствие доказано.
10.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ
185
10.2.. Основная теорема арифметики для
кольца многочленов
Цель данного параграфа - доказать следующую теоре-
му.
Теорема 1 (основная теорема арифметики). Пусть
f (ж) - многочлен ненулевой степени (т.е. f (ж)	0 и degf =
п > 1) из кольца Р[т]. Тогда f единственным образом
представим в виде f = = pip%... ps, где pi,...,ps - не-
приводимые многочлены из Р[т].
Замечание 1. Единственность такого представления
означает, что если имеется другое представление f = qi
.. .qt, где 7i,..., qt - неприводимые многочлены, то s = t и
?1 =	,?« = a.,Pi.,, где Uj G F н {гь ..., г,} =
={1,2,.
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции относительно числа п = degf. Сначала докажем
существование искомого разложения, а затем его единст-
венность.
Если /(ж) - неприводимый многочлен, то все доказа-
но. Если /(ж) = а(ж)6(ж), где dega < n, degb < п, то по
предположению индукции а = pi.. .рт, Ъ = pm+i .. .ps, где
Pi - неприводимые многочлены, i = l,s. Следовательно,
f = pi.. .pmpm+i .. ,ps. Докажем единственность. Если f
двумя способами представим в виде произведения непри-
водимых многочленов
f =P1...ps = qi...qt,
то pi делит (7172 • • • qt)- По следствию 2 pi делит один из
множителей дц. Так как дц - неприводимый многочлен, то
Р1 = «17й, где о । G F. Откуда следует, что 7h(qiP2 --.ps -
186
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
7172 • • • 7й • • • ft) = 0 и (ацр2) • • -Ps = 7172 •• • 7й • • • ft = т(ж)-
Заметим, что (aip2) - неприводимый многочлен и degcp <
< п. По предположению индукции s — 1 = t — 1 и р2 =
cv2fti, ---iPs = cisfts, где ai £ F и {й,... ,is} = {1,... ,s}.
Теорема доказана.
Пусть F(x) = где а(ж),6(ж) £ F[x], &	0} - мно-
жество всех дробно-рациональных функций от переменной
х с коэффициентами из поля F. Рациональная дробь на-
зывается правильной, если dega < degb (предполагается,
что дробь является несократимой, т.е. (а,6) = 1). Дробь
вида где dega < degp, к > 1, р(т) - неприводимый
многочлен в F[x], называется простейшей.
Теорема 2. Каждая рациональная дробь представима
в виде суммы многочлена и простейших дробей.
Доказательство. Пусть £ F(x). По лемме о делении
с остатком существуют многочлены <р(т) и г(т) £ F[x]
такие, что f = дер + г, где degr < degg. Следовательно,
= у + г, где у £ F[x] и г ~ правильная дробь. Для дока-
зательства теоремы достаточно представить правильную
дробь г в виде суммы простейших дробей.
Лемма 3. Пусть удтудцуц _ правильная дробь и (<7i, (?2) =
1. Тогда —— = Cl _|_ 41 где F _ правильные дроби, i = 1, 2.
91'92	91	92	9i
Доказательство. Так как д^д2 - взаимно простые
многочлены, то по следствию 1 существуют многочлены
а, b такие, что д±а + g2b = 1. Откуда следует, что gi(ah) +
g2(bh) = h. По лемме о делении с остатком ah = д2<р + А2,
где degh2 < degg2. Поэтому gih2+g2(bh+дрр) = h. Так как
degh < deg(gig2) и deg(gih2) < deg(gig2), то deg(bh + gpp) <
deggi. Положим hi = bh + gpp. Тогда h = gih2 + g2hi и
+ Cl Где С _ правильные дроби.
9192	92	91	9i
10.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ
187
Вернемся к доказательству теоремы 2. По основной
теореме арифметики многочлен д представим в виде
пк1пк2 пк
Р1 Рч • • -P.S
где • • • ,Ps различные неприводимые многочлены.
Согласно лемме 3 правильная дробь г/д раскладывается в
сумму следующих правильных дробей:
Г	Г1 Г2	г8
,,	к'. ~+~ к'> ~+~ ’ ’ ’ ~+~ „fcs ’
9	Pi	Рч	Ps
Рассмотрим, например, правильную дробь и докажем,
рр
что она представима в виде суммы простейших дробей
(тем самым мы докажем теорему 2). По лемме о делении
с остатком справедливы
Г1 = pf1-1 • Si + С,
С = Р11 2 • s4 + ^2?
следующие равенства:
где degip < degp^1-1.
degs\ < degpi,
где degtz < degpi1-2
degs^ < degpp
tki—4 — Pi ’ 'Sfci—1 T tki—1? где de gtk_\	dagp^^
degskl_i < degpi.
Следовательно, тц = p-^ • si Тр/  вч T • • • Tpi  Ski—1 T
tki-i и4г = |г + || + ... + ^2 +	- сумма простейших
Pi pi Pi	pp pp
дробей. Теорема доказана.
В дальнейшем мы опишем все неприводимые многочле-
ны в кольцах С[х] и R[x]. В кольце R[x] они исчерпыва-
ются многочленами вида арг + и ах2 + Ъх + <р где (&2 —
4ас) < 0. Следовательно, любая рациональная дробь с дей-
ствительными коэффициентами представима в виде сум-
мы многочлена и дробей вида , {агЧвЬг+с}1., {appPc]t
188
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
где A, B,C,D Е R. Этот факт используется при интегриро-
вании рациональных функций (методом Остроградского).
Историческая справка. М.В. Остроградский (1801 -
1861) - русский математик, один из основателей Петер-
бургской математической школы. Основные труды отно-
сятся к математическому анализу, теоретической механи-
ке.
10.3. КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ
189
10.3.. Корни многочленов
Пусть f (ж) = a,QXn + aix”-1 + ... + ап Е F[x] и а Е F. По
лемме о делении с остатком существует такой многочлен
д(х) = boxn~l + &ixn-2 +.. . + что f (ж) = (ж — а)д(х) +г,
где г Е F. Так как (ж — а)д(х) + г = Ъ$хп + (&i — аЪ^)хп~х +
(&2 — abi)xn~‘2 + ... + (г — ct&n_i), то, приравнивая коэф-
фициенты, получим, что &о = ао? 61 = «1 + «6о, ^2 =
«2 + «6р..., г = ап + abn-i. Из этих равенств следует, что
Ь/, получается прибавлением к предыдущего коэффици-
ента 6^-1, умноженного на а(к > 1). При этом остаток
от деления г = ап + abn_\ = /(«) — (« — а)д(а) = /(«).
Вышеприведенный алгоритм вычисления коэффициентов
многочлена д(х) и остатка г называется схемой Горнера.
Историческая справка. Уильям Джорж Горнер (Hor-
ner) (1786 - 1837) - английский математик. Основные тру-
ды по теории алгебраических уравнений.
Число а Е F называется корнем многочлена /(ж), если
Ж) = 0.
Лемма 4 (Безу). Число а Е F является корнем много-
члена /(ж) тогда и только тогда, когда (ж — а) делит /(ж).
Доказательство следует из вышеприведенного замеча-
ния о том, что остаток г от деления /(ж) на (ж — а) равен
УИ-
Если а - корень многочлена /(ж) и (х — а)к делит /(ж),
но (х — а)к+1 не делит /(ж), то натуральное число к > 1 на-
зывается кратностью корня а. Условимся также считать,
что если а не является корнем /(ж), то его кратность равна
нулю.
Предложение 1. Если а - корень кратности к > 1
многочлена /(ж), то а - корень кратности (к — 1) для f(x).
190
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Действительно, согласно определению /(ж) = (ж — а)к 
д(х), где (х — а) не делит д(х). Из леммы Безу следует, что
<До) ф 0. Имеем, что
f'(x) = к(х — а')к~1д(х') + (х — а)к  д' (х) =
= (х — а)к~1[кд(х) + (х — сфУ(т)] = (ж — сф^-1<р(т).
Так как
= кд(а) + (а — а)д'(а) = кд(а) 0,
то (по лемме Безу) (ж — а) не делит <р(т) и (& — 1) - крат-
ность а для многочлена f'(x). Предложение доказано.
Задача. Доказать, что многочлен /(ж) = 1 + ^) + ^ +
... + ^ не имеет корней кратности > 2.
Пусть /(ж) = аож” + -. . + ап _ многочлен с целыми коэф-
фициентами и а Е Z - его корень. Тогда /(ж) = (ж — а)д(х),
где д(х) Е Z[x] (это следует из схемы Горнера). В част-
ности, /(1) = (1 - а)д(1) и /(-1) = (-1 - а)д(-1). Так
как д(±1) Е Z, то при а ±1 числа являются це-
лыми числами. Итак, если целое число а ±1 является
корнем многочлена /(ж) (с целыми коэффициентами), то
Е Z, Е Z. Эти условия являются необходимыми
для того, чтобы а Е Z являлось корнем /(ж) = 0, но они
не являются достаточными, как показывает пример мно-
гочлена /(ж) = 2т3 + 7т2 + 5т + 6иа = 2. В этом случае
кШ- = 20,	= 2, но а = 2 не является корнем /(ж) = 0.
Заметим далее, что если /(ж) Е Z[x] на- его корень, яв-
ляющийся целым числом, то а - делитель коэффициента
ап. Действительно, из схемы Горнера следует, что остаток
от деления /(ж) на (ж — а) равен г = ап + +у_| = 0 (т.к.
/(а) = 0) и а делит ап. Таким образом, вопрос о нахожде-
10.4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
191
нии целых корней многочленов с целыми коэффициентами
сводится к перебору всех делителей свободного члена ап.
Предложение 2. Пусть а =	- рациональное чис-
ло (р и q - взаимно простые числа), являющиеся корнем
многочлена
f (ж) — ciqx Т <i\x Т ... Т ап G Z[x].
Тогда р - делитель ап и q - делитель o,q.
Доказательство. Имеем, что 0 = /(^) = ао(^)п +
1 + • • • + «п-1(^) + ап- Откуда следует, что
aQpn +	+ ... + an_ipqn~l + anqn = 0,
или
a qP —	^_Р	•••	cl pi С[	) *
Так как (р, q) = 1, то ад делится на q. Далее,
„ Пп _	(	„П-1	л
®п7 — Р\ «оР • • •	17	)
и ап делится на р. Предложение доказано.
10.4.. Основная теорема алгебры
Пусть f(z) = zn + an_izn~l + ... + одг + aQ - многочлен
с комплексными коэффициентами (т.е.	6 С, i =
= 0,1,... , п — 1). Если z = х + iy, где ж, у Е R, то
/И = f (ж + iy) = а(х, у) + ib(x, у)
и |/(z)| = у) + 6(ж, ?/)2(а, b - многочлены с действи-
тельными коэффициентами). Так как y/t - непрерывная
функция от t (t > 0) и а(ж, ?/)2 + &(т,?/)2 - непрерывная
192
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
функция от переменных ж, у, то |/(г)| - непрерывная функ-
ция.
Лемма 5. Для любого положительного числа М су-
ществует число г > 0 такое, что |/(z)| > М, если \z\ > г.
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции относительно числа п. Если п = 1 и f(z) = z + o,q,
то, положив г = М + |ао|, получим, что |/(z)| = \z + CZo| >
\z\ — Ы > М, если \z\ > г. Пусть лемма верна для мно-
гочленов степени п — 1. Многочлен f(z) = ag + z ' fi(z),
где fi(z) = ai + a^z + ... + an_^zn~2 + zn~x - многочлен
степени (n — 1). По предположению индукции существует
такое число г > 1, что при |г| > г > 1, |/i(^)| > М + |ад|.
Откуда следует, что при \z\ > г, |/(z)| = |«о + z ' fi(z)\ >
|z||/i(z)| — Ы > |/1(<г)| — |«д| > М. Лемма доказана.
Из леммы 5 следует, что существует такое действитель-
ное ЧИСЛО Г > 0, ЧТО \f(z) I > 1 + |<2g| = 1 + 1/(0) | при \z\ > г.
Рассмотрим круг D = {z Е С|\z\ < г}. Так как D - замк-
нутое ограниченное множество, то непрерывная функция
\f(z) | принимает в D наименьшее значение, т.е. существу-
ет число zq Е D такое, что |/(^д) | < |/(z)| для любого числа
z ED. Если же г £ Т>, то \f(z)\ > 1 + |а0| > |/(0)| > |/(г0)|,
так как 0 Е D. Таким образом, |/(z)| принимает в точ-
ке zq наименьшее значение. Докажем, что /(^о) = 0. До-
пустим противное, т.е. f(zo) ф 0. Пусть w = z — zq и
f(z) = f(w + Zq) = g(w). Тогда |#(0)| = a = |/(г0)|	0
и a < \f(z) | = |g(w)|. Рассмотрим многочлен gi(w) =
^g(w) = l + bwm + biwm+1 +.. . + bkWm+k. Модуль его |#i(w)|
достигает наименьшего значения 1 (на всей комплексной
плоскости) в точке w = 0. Пусть w = аи, где а =	&-1.
Тогда A(w) = gi(w) = gi(au) = 1 — ит + um+l • p(w) и
1 = |Д(0)| - наименьшее значение |Д(м)| на комплексной
10.4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
193
плоскости. Если р(и) = pq + рри, + ... +	। и. то су-
ществует действительное число t такое, что 0 < t < 1 и
t\p0\ + ^2|Р1| + • • • + tk • |р^-1| < 1. Покажем, что |A(f)| < 1.
Действительно,
\h(t)\ = |1 - tm + tm -t- (f)| < 1 -tm + tm -t- \p(t)\
< 1 -tm + im(i|po| +	+... +	< l-im + im = 1.
Мы получили противоречие с тем, что 1 = |А(0)| - наи-
меньшее значение |A(w)| на комплексной плоскости. Итак,
/(г0) = 0 и zq - корень многочлена f(z). Тем самым дока-
зана (так называемая) основная теорема алгебры.
Теорема 3. Пусть f(z) Е С[ж] и degf > 1. Тогда су-
ществует число zq Е С такое, что f (zf) = 0.
Следствие 1. Пусть f(z) Е С[г] и п = degf > 1.
Тогда существуют числа ai,...,a„ Е С (не обязательно
различные) такие, что f(z) = afz — ai)(z —	... (z — ап).
Доказательство. По основной теореме алгебры су-
ществует число од Е С такое, что f(ai) = 0. По лемме
Безу многочлен f(z) делится на (z — ад). Пусть f(z) =
(z — ai)g(z). Если degg(z) > 1, то рассуждая аналогично,
получим, что g(z) = (z — af)h{z\ где о-2 Е С и degh = п — 2.
Следовательно, f(z) = (z — ai)(^ — a^hfz). Продолжая ука-
занные рассуждения, мы придем к искомому разложению
через п шагов.
Следствие 2. Многочлен f(z) Е С[ж] степени п > 1
имеет не более п различных корней.
Допустим противное и ар..., an+i - его корни (аг- ау
при i f). Согласно следствию 1 f(z) = afz — ai)... (z —
an), где a E С. Положим z = a„+i. Тогда 0 = f(an+i) =
a(an+i — ai)... (a„+i — a„). Противоречие.
194
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Следствие 3. Многочлены вида az + /3, где а,(3 Е
Е С, а ф 0 и только они являются неприводимыми мно-
гочленами в кольце С[т].
Действительно, каждый многочлен az+{3 имеет степень
единицу и поэтому является неприводимым. Обратно, ес-
ли f(z) - неприводимый многочлен, то по следствию 1 он
имеет вид a(z — ад). Следствие доказано.
Следствие 4. Следующие многочлены (и только они)
ах + b, ах2 + Ъх + с(Ъ2 — 4ас < 0) являются неприводимыми
в кольце R[x].
Ясно, что указанные многочлены являются неприводи-
мыми в R[x]. Обратно, если р(т) Е R[x] является непри-
водимым многочленом и degp(x) > 1, то выберем в С не-
который его корень а (это возможно по теореме 3). Если
а Е R, то р(х) = (ж — а)д(х), где д(х) Е R[x]. Ввиду непри-
водимости р(х) многочлен д(х) имеет нулевую степень и
р = ах + Ь. Пусть degp(x) > 2. Тогда а Е С. Докажем, что
р(а) = 0. Действительно, пусть р(х) = «о + а1х + • • • + апхп,
где ai Е R. Тогда р(а) = ао+а1Т+.. .+апап = р(а) =6 = 0.
По лемме Безу р(х) делится на (ж — а) (ж — ci) = х2 — (о +
ci)x + aci Е R[x]. Так какр(т) - неприводимый многочлен,
то р(т) = а(х — а)(х — а) = ах2 + Ьх + с, где Ь2 — 4ас < 0.
Следствие доказано.
Задача. Пусть /(ж) Е R[x] и а,{3 Е R, а (3. Дока-
зать, что существует многочлен д(х) Е R[x] такой, что
ч f(a)(x-/3)	f(/3)(x —/3)
f ж = —-------- + —----------— + ж - а ж - /3)д(х).
(а — /3)	(/3 — а)
Теорема 4. Пусть ад,...,ау+1 - попарно различные
числа из поля F и /31,/32,...,/3n+i Е F. Тогда существует
единственный многочлен f (ж) Е F[x] такой, что 1) degf <
< Щ 2) f (ад) = /31, f (а2) = /32, • • •, /(^+1) = Л+1-
10.4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
195
Замечание. Многочлен f (ж) называется интерполяци-
онным многочленом Лагранжа. Жозеф Луи Лагранж (1736
- 1813) - французский математик и механик. Внес боль-
шой вклад в развитие вариационного исчисления, механи-
ки, алгебры и теории чисел.
Докажем сначала единственность такого многочлена f (ж).
Если р(х) - многочлен из F[x] такой, что degp < п и
р(ад-) = Д, i < п + 1, то многочлен <р(ж) = /(ж) — #(ж)
тоже имеет степень < п и удовлетворяет соотношениям
<^(ж) = /(ж-) - #(ж) = А - А = 0, i = 1,2,... ,п + 1.
Таким образом, <р(ж) имеет (п + 1) корней. Согласно след-
ствию 2 <р(ж) = 0 и f = р. Докажем далее существование
такого многочлена /(ж). Для этого рассмотрим многочлен
(ж - ад) ... (ж - oy+i) ,
f[x)—	-	-	- + ... +
(ад — ад) • • • («1 — Жг+1)
(ж — Qi) ... (ж —
+Аг+17	7	7	Г •
(^Ы+1 од) • • • (сЫ+1
Ясно, что degf < п и ДоД = ТТ7)7(Т7п) = Ана’
логично доказывается, что f (ад) = /32,..., /(ay+i) = /3n+i.
Теорема доказана.
Предложение 1. Пусть ад,..., ay £ С - корни много-
члена /(ж) = аож” + aixn~l + ... + ап. Тогда
Л Г	«2
/ >	—	> / > QjQy —	, . . . ,	/ у QyQy . . . Qy —
i=l	i<j
/	-1 \ k	/ a \ n
-(-1) —,...,адад...ау = (-1) —.
(2o	CtQ
Замечание. Вышеприведенные равенства называются
формулами Виета.
196
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Франсуа Виет (1540 - 1603) - французский математик,
юрист. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов
уравнений, нашел разложения cos(nx) и sm(nx) по степе-
ням cosx и sinx.
Доказательство. Согласно следствию 1 справедливо
равенство
(Iqx -|- а^х -|- ... -|- а^х -|- ... -|- ап —
= А(х — ац)(ж — а%) ... (ж — ап).
Число А - коэффициент при хп в правой части. Следова-
тельно, А = ад- Вычислим числовой коэффициент при хп~к
в правой части. Этот коэффициент получается после пере-
множения линейных множителей в правой части и приве-
дения подобных слагаемых. Именно для получения слагае-
мого степени (п — к) мы должны в (п — к) скобках взять ж, а
в остальных к скобках взять числа (—сь- ), (—ср-),..., (—ср.
Поэтому, приравнивая коэффициенты в левой и в правой
частях, получим, что = а0 • Е (—cp-J... (—щк) или
У? ср^ср^... оцк = ( —1/''—. Предложение доказано.
10.5.. Границы корней
Пусть f (ж) = a,QXn + а]Хп 1 + ... + ап Е С[ж] и а Е С -
его корень. Имеют место следующие оценки модуля числа
Теорема 5. Справедливы следующие неравенства:
1)	|а| < 1 + Р1 + ГЛ + --- + Н;
7 1 1	|а0| |ао|	|«о| ’
2)	|а| < 1 + |^, где А = тах{\аг\,|а„ |};
3)	Ы <	—- • maxU । к = 1, 2,... , п}:
7 I I — (24-1)	Ы|а0|-СЮ ’	’ ’	’ J ’
10.5. ГРАНИЦЫ КОРНЕЙ 197
4)	|а| < 2-таж{|^|Ь к = 1, 2,... , п}.
Доказательство 1). Если hl < 1, то все доказано.
Если |а| > 1, то — aQan = с in"-1 + ... + ап. Откуда следует,
что |ао||ct|” = | — С()о"| = Act”-1 + ... + а„| < Al|ct|n-1 +
А11П|П 2 + ••• + Al < hl” + |а2| + ••• + AI) или
Доказательство 2). Из равенства ( —	= diQ!n 1 +
.. .+ап следует, что AIhl” = Аа”-1+-. .+а„| < А1Ы”-1+
• • • + А| < Ahl” 1 + ... + hl + 1) = А •	• Если
|п | < 1, то оценка доказана. Если hl > 1, то из неравенст-
ва А1Ы” < А  следует, что AI|п|" < А  или
(hl — 1) < тА, т.е. |а| < 1 + -А-
VI ।	/	|«о|’	1 1	|а0|
Доказательство 3). Пусть
Тогда Скп • Lk > Из равенства
— (2qCI = ОДЛ Т . . . Т (2п_хС1 Т ап
следует, что
Alhl” А. |од1 |<т|” 1 -|- AHA” 2 + • • • + \ап-11 hl + А| < |«о|
{ClnL • hl”-1 + C2L2hr-2 + • • • + C^~lLn~l\a\ + Ln}.
Поэтому
|<»г < СД|а|"-1 +... + C„"-1£”“1|<»| + L" = (|а| + £)"-|а-|"
или 2hl” < (hl + ^)п- Следовательно,
198
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Неравенство доказано.
Доказательство 4). Пусть
М = тах{\ — к = 1, 2,... , п].
Тогда из равенства
(— )п" = а\ап 1 + ... + ап_1<т + ап
следует, что
|ао||а|П < |al||a|” 1 + • • • + К-||Ы + |ап| •
Так как W < Мк. то
Ы —	’
|а|п < М\аI””1 + М2\а\п~2 + ... + Мп~х|а| + Мп
или
Если < 2, то теорема 5 доказана. Если
Противоречие. Теорема доказана.
Будем рассматривать в дальнейшем только многочлены
с действительными коэффициентами. Если /(ж) 6 R[x],
то N+(f) - верхняя граница для положительных корней
многочлена /(ж), т.е. такое положительное число, что ес-
ли а > 0, f(ci) = 0, то а < N+(J). Обозначим через
N+(J), и N-(f) соответственно нижнюю границу
10.5. ГРАНИЦЫ КОРНЕЙ
199
для положительных корней, верхнюю границу для отри-
цательных корней и нижнюю границу для отрицательных
корней многочлена /. Имеет место следующее предложе-
ние.
Предложение 1. Пусть /(ж) Е R и degf(x) = п > 1.
Пусть также
fl(x] = x"f(^,), f-lM = f(~x) и fa(x) =
Тогда 1) N+(f) =	= -W+(/2);	=
1
N+(h)'
Докажем, например, равенство 3). Если а - отрицатель-
ный корень многочлена /(ж), то /з(—~) = (—“)nf(5x) =
(—l/ci)n/(ci) = 0 и (—|) - положительный корень /з(ж).
Следовательно,
-l/о < .v+(,ft) или а <	т.е.
Аналогично доказываются остальные равенства.
Смысл доказанного предложения в том, что для нахож-
дения границ корней многочлена достаточно уметь нахо-
дить границу для положительных корней.
Предложение 2 (метод Ньютона). Пусть f(x) -
многочлен с действительными коэффициентами степени п.
Если с - такое действительное число, что
/(с)>0, /'(<?)> О,... ,/'">(е)>0, то с = N+(f).
Историческая справка. Исаак Ньютон (1643 - 1727)
английский физик и математик, создавший теоретические
основы механики, астрономии, открывший закон всемир-
ного тяготения, разработавший (одновременно с Г. Лейб-
ницем) дифференциальное и интегральное исчисление.
200
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Доказательство. Из формулы Тейлора следует, что
t! A f!	А"Г), v.
у ж = / с +—— ж-с +—— ж-с +...Н---------------— (х-с) .
1!	2!	п!
Если х > с, то (х — с)к > 0. Так как /^(с) > 0, то /(ж) > 0
и число с может быть взято за верхнюю границу положи-
тельных корней многочлена f (ж).
Предложение 3. Пусть
f (ж) = ciqx Т ay Т ... Т
+ <3n G R[x], (3g > 0, (31 > 0, ... , (3^-1 > 0, (3& < 0,
В = т<зт{|(Зг|; <зг- < 0}.
Тогда АЩ/) = 1 + (£р‘.
Доказательство. Пусть а - положительный корень
для многочлена f (ж). Тогда <3gctn+(3icin_1+.. .+<3^_ictn-fc+1 =
= (—ак)ап~к + (—ak+i)an~k~1 +... + (—an). Откуда следует,
что
а0-ап < аоап + .. . + ak_ian-k+1 < В(ап~к+ ап~к+1 + .. . + 1) =
^ап-к+1 _ -Q
= В • --;----г---.
(а — 1)
Если а < 1, то предложение доказано. Если а > 1, то
а а0 (а-1) а0 («-1) ИЛИ “	- (а-1) ’ иТКУДа
следует, что (а—1)^ < В/а$ или а < 1 + ^^. Предложение
доказано.
10.6.. Приближенное вычисление корней
Пусть /(ж) 6 R[t] и на сегменте [а,Ь] сохраняют знак
функции f'(x) и f"(x). Это означает, что f (ж) - возрастаю-
щая или убывающая функция. При этом она либо выпук-
лая вверх, либо выпуклая вниз. Пусть также f (a) f (&) < 0,
10.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ
201
т.е. на концах сегмента f (ж) принимает противоположные
по знаку значении. Так как f (ж) - непрерывная функция,
то она принимает все промежуточные (между f (а) и /(6))
значения. В частности, существует число а Е (а,Ь) такое,
что f (а) = 0. Предложим следующие два способа нахож-
дения этого числа.
Метод Ньютона (метод касательных). По условию
f"(x) сохраняет знак на [а, Ь]. Пусть с - тот из концов
{а, &}, для которого	> 0.
у I

Рассмотрим уравнение касательной в точке с
У ~ f(c) = f(c)(x - с).
Касательная пересекает ось ОХ в точке

Число d принимается за первое приближение корня.
Метод линейной интерполяции (правило ’’Regula falsi”
или ’’ложного положения”)
Рассмотрим уравнение прямой, соединяющей точки (a, f (а))
и (&,/(&))
у — f(a) х — а
Ъ — а
202
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Пусть т - абсцисса точки пересечения этой прямой с
осью ОХ. Тогда т = а —	принимается
за приближенное значение корня.
На практике оба метода можно чередовать, находя при-
ближения к корню как слева, так и справа (от него). Мы
не будем вдаваться в вопросы сходимости приближенных
значений к корню многочлена f (ж) = 0.
Пример. Рассмотри многочлен f (ж) = х3 — х — 2. Так
как f = Зт2 —1, f" = 6т, f (1) = —2, f (2) = 4, то в сегмен-
те [1,2] существует единственный корень. При этом функ-
ция у = f (ж) является возрастающей и выпуклой вниз на
сегменте [1,2]. Пользуясь методом Ньютона, находим при-
ближенное значение корня справа d = 2 —	= 2 —	=«
1,81. Метод линейной интерполяции дает следующее при-
ближенное значение слева т = ^22~2Д1? = 4Г2/~О2? = I =
4—(—2)	6
I « 1,33.
Число di = d -	« 1,81 - |^+ « 1,81 - 0,17 «
1,64 является вторым приближенным значением (справа)
для корня, а число ту =	у(2)-/(1зз)	=	4-/(1 зз) =
5,32—2-/(1,33) _ 5,32+2-0,98 _ 7,28 _ ->
4—/(ЦЗЗ)	~	4_|_о,98	~ 4,98 ~ 1,46 ЯВЛЯеТСЯ ВТОрЫМ При
ближенным значением (слева) для корня. Далее, </2 =
d\ ~	~ 1,64 -	« 1,64 - 0,107 « 1,53 третье
10.7. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
203
приближенное значение (справа) для корня, а число тэ =
1,46/(2)—2/(1,46) _ 4-1,46-2/(1,46) ~ 5,84+0,96 ~ 6,8 ~ 1 г-,
/(2)—/(1,46)	4—/(1,46)	~ 4+0,48 ~ 4,48 ~ 1 ’ °1 ’
Итак, корень многочлена f (ж) = х3 — х — 2 находится в
сегменте [1,51; 1,53].
10.7.. Алгоритмы решения кубических
уравнений и уравнений четвертой
степени
Рассмотрим уравнение третьей степени o,qx3 + одт2 +
+	= 0, где ад Ф 0. Сделав подстановку х = у — мы
получим уравнение вида y3+py+q = 0, где р = — —	, q =
«0	*3^0
— "з^г+ту- Положим далее у = u+v. Тогда (w+r)3+p(w+
v) + q = 0 или (w3+-c3 + 7) + (3w-c+p)(w+-c) = 0. Выберем w, v
так, чтобы 3uv+p = 0 и u3 + v3 + q = 0. Откуда следует, что
u3v3 = — и3 + v3 = —q. Таким образом, и3,-с3 - корни
квадратного уравнения t2 + qt —	= 0. Решая это уравне-
ние, получим, что и3 =	V3 =	+ ё-
Следовательно, у = о + \/ё + ё + 1/-? - \/ё + ё- Тем
самым доказана формула Кардано-Тарталья.
Историческая справка. Никкола Тарталья (1499 -
1557) - итальянский математик. Основные труды по мате-
матике, механике, геодезии изложены в сочинениях ’’Но-
вая наука” (1537), ’’Общий трактат о числе и мере” (1556
-1560).
Дж. Кардано (1510 - 1576) - итальянский математик,
врач.
Пользоваться вышеприведенной формулой надо осторож-
204
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
но, так как каждый из радикалов у — д/2 ± у^ + имеет
три комплексных значения, а их сумма может принимать
девять комплексных значений, из которых только три яв-
ляются корнями нашего уравнения.
Выберем такие радикалы
«1
чтобы грщ = —Тогда следующие числа являются кор-
нями уравнения yz + ру + q = 0 : у\ = гр + гц, уч =
9	9	2тг • • 2тг
£U\ + £  Vp Уз = £ Wi + SVp где £ = COS -g- + zsm-g- =
Так как £2 =	то ух = щ + щ, уч =
1а+а1 +	_	^)э	уз =	_	р.
Если p,q - действительные числа, то возможен следую-
щий дополнительный анализ корней.
Случай 1.	+ fl — 0-
Тогда гр = щ = у^- - действительное значение корня
Уу? и yi = 2гр, уч = уз = -«I-
Случай 2.	> 0.
Пусть гр действительное значение корня
и гц — действительное значение корня
Тогда у\ = грТгц - действительный корень, а уч, уз - комп-
лексно сопряженные корни. Таким образом, наше уравне-
ние имеет один действительный корень и два сопряжен-
ных комплексных числа.
10.7. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
205
Случай 3.	< 0.
Так как ^ + ^<0, тор<0и радикалы - комп-
лексные числа. Пусть и = а + Ы. Тогда v =	=
•)U	о ии
-JgL. Далее, |«|2 = (/|-1 + г'УДГТ||)2 = _г. Следова-
тельно, v = й. Поэтому
Ju1+^ + ^ui_i!i) = a_bV-3t
?/1 = Wi + n = 2а, у2 =
- действительные корни многочлена у3 + ру + q = 0.
Пример. Решить уравнение ж3 — 4т2 + Зт — 12 = 0.
Сделаем подстановку х = у + Получим уравнение
у3 — ^у —	= 0. Сделаем замену у = и + v. Подставим в
уравнение вместо у3 выражение 3uvy + (w3 + г3). Получим,
что y(3uv — |) + (и3 + v3 —	= 0. Приравнивал числа,
стоящие в скобках, к нулю, получим систему уравнений
uv = 7/9, и3 + v3 = Решая эту систему, получим, что
и3 = 1/27, v3 = Откуда следует, что у\ = | + | =
8/3, у2 = |е+|е2, уз = |е2 + |е, где е = + Поэтому
Ы = Ш + 1 = 4, х2 = У2 + х3 = уз + |.
Задача. Решить уравнение х3 — Зх2 — Зх + 11 = 0.
Указание. Сделав замену х = у +1, мы получим урав-
нение уз — Зу + 6 = 0. Представляя у в виде у = и + v и
подставляя вместо у3 его выражение через u,v и у, полу-
чим систему uv = 2, и3 + v3 = —6. Откуда следует, что
м3,т3 - корни квадратного уравнения t2 + 3t + 8 = 0, т.е.
и3 = —2, v3 = —4. Поэтому одним из корней исходного
уравнения является число х± = 1 — v^2 — д/4. Далее необ-
ходимо разделить исходный многочлен на (ж — яд).
206
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Задача, а) решить уравнение х3 + 18т + 15 = 0 (ответ:
Х1 = ^9 - 2^3).
б) решить уравнение х3 + 6т2 + 30т + 25 = 0 (ответ:
Т1 = -1).
Алгоритм решения уравнения четвертой степени (ме-
тод Феррари).
Историческая справка. Л. Феррари (1522 - 1565)
итальянский математик, ученик Дж. Кардано.
Рассмотрим произвольное уравнение четвертой степени
ПдЖ4 + П1Т3 + а^Х2 + Щ;./' + (24 = 0.
Сделав подстановку т = у — мы получим следующее
уравнение
w4 + ау2 + Ьу + с = 0, где а =	b =
у ' у ' у '	’	а[)	8 + ’ а0 2 Яц 8ag ’
„   Я4   ЯхИз I «1^2   3al
яо	4яц ' 16яц 256-flQ’
Введем новый параметр г и перепишем наше уравнение
в виде
2
y^ + ay2 + by+c = {y2 + -+r')2-[lry2-by+ — + ar+r2-c] =0.
Выберем величину г так, чтобы выражение, стоящее в
квадратных скобках, являлось полным квадратом. Для
этого достаточно приравнять дискриминант функции (2г?/2 —
Ьу+^+аг+г2 — с) к нулю Ь2—4-2г(г2+аг+^- — с) = 0. Таким
образом, г - корень уравнения 8r3 + 8ar2 + (2(22 — 8с)г — Ъ2 =
0, называемого кубической резольвентой. Выбрав число г
указанным образом, мы можем переписать исходное урав-
нение у3 + ау2+Ьу+с = 0 в виде (?/2 + |+г)2-2г(?/-^)2 = 0,
решение которого сводится к решению двух квадратных
уравнений:
^ + ^ + 1 + ’--уЖ = 0’
10.7. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
207
Пример. Решить уравнение ж4 — 8т3 + 18т2 — 27 = 0.
Решение. Сделав замену х = у + 2, придем к уравне-
нию
у2 — бу2 + 8у — 3 = 0. Введем новую неизвестную г:
(у2 - 3 + г)2 - (2гу2 - 8у + 12 + г2 - 6г) = 0.	(7.1)
Выберем г так, чтобы дискриминант (2гу2 — 8у + 12 +
г2 — 6г) был равен нулю. Мы получим, что г - корень
кубической резольвенты г3 — 6г2 + 12г — 8 = 0. Одним
из корней последнего уравнении является число ту = 2.
Подставляем его в (1). Получаем, что (у2 — I)2 — 4(у — I)2 =
= 0. Откуда следует, что т/1;2,з = 1, У\ = -3 и ti;2;3 = 3,
а?4 = —1.
Задача 1. Решить уравнение
ж4 - 2т3 - 13т2 + 38т - 24 = 0.
Указание. Положим т = у + Тогда
4 29 9	135
У - ~х~У + W - тт = °-
2	16
Кубическая резольвента 2г3 — 29г2 + 122г — 144 = 0 имеет
корень ri = 2. Подставляя этот корень в уравнение
/ 2	29 ч9 г., 2	_	135 + 292	9	29 п п
{у2 - — + г)2 - [2гу2 - 24у +---—----+ г2 - —г] = 0,
4	1b	2
получим, что {у2 — ^)2 — 4{у — З)2 = 0. Откуда следует, что
Ti = 1, т2 = 2, тз = 3, Т4 = —4.
Задача 2. Решить уравнение т4 — Зт2 + 6т — 2 = 0.
208
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Указание. Преобразуем левую часть данного уравне-
ния к виду
(ж2 — - + г)2 — [2гт2 — 6х + г2 — Зг Ч—-] = 0,
2	4
где г выберем так, чтобы дискриминант квадратного трех-
члена, стоящего в квадратных скобках, был равен нулю,
т.е. 2г3 — 6г2 + уг — 9 = 0. Откуда следует, что г = 2 и
наше уравнение переписывается в виде (ж2 + |)2 — (2т —
|)2 = 0. Решая последнее уравнение, получаем, что х± =
— 1 + а/2, Х2 = — 1 — а/2, тз = 1 + г, а?4 = 1 — i.
Замечание. Французский математик Э. Галуа (1811
- 1832) доказал, что существуют уравнения с числовыми
коэффициентами степени 5, которые нельзя решать в ра-
дикалах, т.е. корни этих уравнений нельзя выразить через
коэффициенты с помощью операций ±, •, у и деления.
Замечание. Укажем другой вывод формулы Кардано-
Тарталья. Рассмотрим тождество
ж3 + W3 + Г3 — 3UVX = (ж + и + г) (ж + UE + VE2) (х + U£2 + VE),
где £ =	+ cosy = ismj = — |	Выберем u,v
так, чтобы —3uv = р, и3 + г3 = q. Тогда и3,г3 - корни
t2 — qt — у = 0 и (—и — г), (—и£ — -се?2), (—и£2 — ve) - корни
х3 + рх + q = 0.
Задача. Решить уравнение (ж + а)4 + (ж + &)4 = с.
Указание. Сделать замену х + а = у + X, х + b =
(у — А), где у = х + ^у^-, А = уу, и свести к решению
биквадратного уравнения.
10.8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
209
10.8.. Симметрические многочлены
Пусть F - поле и f (ад,..., хп) - многочлен из кольца
многочленов Р[ац,..., хп\. Многочлен f (ад, • • •, хп) называ-
ется симметричным, если для любой подстановки а Е Sn
/(яд,..., хп^ — f (ад <7, ^2(7, • • • 1 %п<т)•
Другими словами, для любой перестановки {д, г2,..., in}
множества индексов
{1, 2, • • • , rz} f (х х х /(ад,..., a:n).
Следующие симметрические многочлены называются эле-
ментарными:
(T1 — Е ад, <7”2 — Е X{Xj, . . . , (Jk — Е Xir . . . Х[к, . . . , (Jn —
i=l	i<j
xix'2... xn. Заметим, что если /i и /2 - симметрические
многочлены, то /1 + /2 и /1/2 _ тоже симметрические мно-
гочлены. Опишем все симметрические многочлены от двух
переменных ад, ад. Если /(rri, ^2) =	- симметри-
ческий многочлен, то f — Е од (ад ад )г — Е <Xij(х^х^+х^х^) =
Kj
= Е aijx\x]2 — Е а^х{х12 = Е (ад? — aji)x\x2 - симметри-
i>j	i<j	i>j
ческий многочлен. Откуда следует, что од- = адг- при
i Ф j и f (ад, ад) = ЕМ + Е а^(хгХ2)г(х{~г +xJ2~l). Пусть
г<>
Sk = х\ + х^ где к = 1, 2,... . Тогда Si = сд, S2 = сг^ — 2сг2 и
Sfc+1 = (ti+T2)(Ti+T2)-TiT2(ti-1+T2-1) = diSk - а2 • Sk-1.
Из последнего равенства следует, что
S3 = af-3ai(T2, F4 = a^-4ala2+2al, S5 = erf—бсг^сггЧ-бсг!-сг|.
Используя метод математической индукции, мы можем
доказать, что Sk - многочлен с целыми коэффициентами
210
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
от сд и сг2- В частности, (х{~г +	- многочлен от сд
и сг2- Следовательно, f(xi,xz) - многочлен от сд и (с
коэффициентами из поля F). Таким образом, множество
симметрических многочленов от двух переменных совпа-
дает с множеством Ffcri,^] = {Есд/сг^; од- G F}. Ока-
зывается, данный факт можно обобщить и для симметри-
ческих многочленов от п переменных ад,..., ад. Именно
имеет место следующая так называемая основная теорема
о симметрических многочленах.
Теорема 6. Множество S симметрических многочле-
нов в кольце F[a?i,..., хп\ совпадает с множеством
F[ai,... ,сд] = {Еар)^1^2 • • • <; ар) G F}.
Доказательство. Следующее включение F[<ti, ..., ап\
С S является очевидным. Докажем обратное включение.
Для доказательства воспользуемся методом математичес-
кой индукции (относительно п). Для п = 1,2 утверж-
дение доказано. Пусть утверждение доказано для сим-
метрических многочленов от ад, ад,..., %п-1 и докажем его
для множества S. Пусть f (ад,..., хп) Е S. Рассмотрим
этот многочлен как элемент кольца F[a?i,..., ад_1] [ад], т.е.
распишем его в виде f = f0 + frxn + ... + fm • ж™, где
/г-(ад,..., ад_1) 6 F[a?i,..., a?n_i]. Так как / - симметри-
ческий многочлен от ад,...,ад, то fi - симметрические
многочлены от ад,...,ад_1. По предположению индукции
их можно выразить через элементарные симметрические
многочлены (от переменных ад,..., ад_1)т1 = ад+.. .+ад_1,
Т”2 — X\Xf2 Т • • • Т Хп—2Хп—1, . . . , ~ц—\ — Х\Х^ • • • ад_х,
например, в следующем виде:
Уг’(яД, • • • 1 ^п—1) — Цг (т~1 ? • • • i^n—1), — 0, 1, . . . , ТП.
10.8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
211
Из очевидных равенств
= Т1 + хп-, <^2 = т2 + Fxn-,
^3 — 7~3 “Ь х2хт • • • 1 ^п—1 — хп—1 Н” хп—2 ’ xni	— хп—1 ’ хп
следуют равенства
7”1 — СД xni ~2 — &2 хп ’ ^1 Н- Xni
т3 = а3- хпа2 + я^од - х3п,..., тп_! =
= ап_! - хп  ап_2 + • • • + (-,
0 — стп xnun_i + ... + ( 1) хп.
Подставляя вместо л,..., т„_| в gi(r^..., t„_i) их выраже-
ния через <jj и получим, что
f (яд,... , хп^ — h,Q (од,... , <rn_i) -|- h\ (сд,... , <jn_\jxn-\-
+ ... + hk(au... , сг„_1)ж^,
где hj(ai,..., cr„_i) - многочлен от од,..., oy_i с коэффици-
ентами из поля F. Если к > п, то, используя соотношение
ж” = одя?”-1 - а2хп~2 + ... + (-l)n-1(Tn,
мы можем понизить степень к. Применяя это рассуждение
необходимое число раз, мы придем к равенству
f (яд, ... , Хп^ — р0(од1 • • • 1 ~Е Р1 (^1? • • • 1 <xn)xnF
+ ... + pt(a!,... ,ап)х^,
где t < п — 1 и pj(ai,..., ап) - многочлены от од,..., <тп с ко-
эффициентами из поля F. Покажем, что f = ро(б7ь • • •, о~п).
Для этого рассмотрим многочлен
G(y) =Pt-yt + Pt-iy^1 + ...+pi-y + (po- f)
212
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
от переменной у с коэффициентами из поля рациональных
функций Т(ад, ад,..., хп). Ввиду симметричности много-
членов	• • • ,Pt многочлен G(y) имеет п корней
жп_1,..., ад, ад. Так как t + 1 < п, то G(y) имеет нулевые
коэффициенты. В частности,
/ = PQ (сд,... , ап) Е F[au ... , ап] и S = F[auап].
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть /(ад,..., ад) - симметрический
многочлен с коэффициентами из поля F и g(f) Е F[t] -
многочлен степени п (с коэффициентами из поля F,) корни
которого сд,..., ап принадлежат некоторому полю F' D F.
Тогда /(сд,	G F.
Пусть
g(t) = tn + aptn 1 + a^F + ... + an E F[f].
Из формул Виета следуют равенства
О"1(сД, • • • 1	—	®1,
СД(оД, • • • 1 Оу) —	• • • 1 Оу(сд, • • • 1 С^п) — ( 1)
Согласно теореме 6
f (ад,... , ад) — pq (сд ,..., сгп).
Следовательно,
f (сд 1 • • • 1	— Ро( ®1?®2? ®3, • • • 1 ( 1) С F.
Следующее приложение симметрических многочленов
связано с алгоритмом решения возвратных уравнений.
Именно многочлен /(?/) = а^уп + а^уп~1 + ... + ап назы-
вается ВОЗВраТНЫМ, еСЛИ Яд = ап-> а1 = ап-1, а2 = ап-2, • • • •
10.8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
213
Предложение 1. Если f (у) = a0?/2n+1 + ааУ1п + ... +
«1?/+«о “ возвратный многочлен нечетной степени, то (—1)
- его корень и = д(у) - возвратный многочлен (четной
степени).
Доказательство. Имеем, что
/ {у) = ao(^2n+1 + 1) + ai(y2n + у) + • • - + an(yn+1 + уп) = (?/ + 1)
{ао(^2” — у2п 1 + • • • + 1) + aiy(y2n 2 — у2п 3 + ... + 1)
+ ... + апуп} = (у + 1)#(?/),
где д(у) - возвратный многочлен степени 2п. Пусть д(у) =
a0^2n + ai^2n-1 + . •  + ап_1уп+1 + апуп + ап_1уп~1 + .. . + а!у + а0
- возвратный многочлен четной степени. Тогда
у(у) = Уп{ао(уп+~)+а1(уп Х+ „ i)+- • •+(3n-i(^+_)+«n}-
У	У	У
Ранее мы замечали, что симметрический многочлен Sk =
х\ + а?2 выражается через элементарные симметрические
многочлены оу = ад + ад, ач = х^хч в виде многочлена с
целыми коэффициентами. Пусть ад = у, хч = 4. Тогда
(у1' + выражается в виде многочлена с целыми коэф-
фициентами через оу = (у + 4), так как ач = У •	= 1-
При этом степень этого многочлена равна к. Например,
?/2 + ^ = o’2 - 2, У2 + 7 = ai - Зб7ь / +	- 4f7i +
2, У5+^ = ^-бо^+боу, уЧ± = af-6af+9a^-2, у7+^ =
а7 - 7af + 14о-3 - 7оу, ?/8 + ^ = o’8 - So-j5 + 20crf - 16а2 + 2.
Таким образом, д(у) = yn-h(ai), где h(ai) - многочлен сте-
пени п = degg/2 относительно новой переменной а^. Решая
уравнение h(ai) = 0, мы находим а^ = у + 4 и, следова-
тельно, можем найти у.
214
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Рассмотрим пример (см. В.Г. Болтянский, Н.Я. Вилен-
кин. Симметрия в алгебре, с. 3). Решим уравнение
4»/11 + 4У10 - 21У9 - 21 у8 + 17у7 + 17у6 + 17у5+
+17у4 - 21у3 - 21 у2 + 4у + 4 = 0.
Многочлен, стоящий в левой части, является возвратным
нечетной степени. Следовательно, он делится на (?/ + 1).
Частное от деления является возвратным многочленом сте-
пени 10, а соответствующее уравнение имеет вид:
4/° - 21?/8 + 17/ + 174 - 21/ + 4 = 0.
Пусть а = у + К Тогда левая часть последнего уравнения
преобразуется к виду
у:> • а • (4а4 — 41а2 + 100) = 0.
Откуда следует, что
5
(?1 = 0, а2,3 = ±2, 0-4;5 = ±- и у + 1 = -1,
1
У2,з = ±«, У4,5 = ±2, у& = У1 =
У8 = У9 =	2/10 = Уи = — 1-
Задача. Освободиться от иррациональности в знаме-
нателе выражения
1
/а +	+ /с
Указание. Выразим симметрический многочлен s3 =
= / + / + / через <Т1, а2, а%. Получим, что
S3 - Зсг3 = (71 (/ - 3(72),
10.9. ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА И БАРИНГА
215
1 _ (сГ1 - Зсг2) _ S2 — (Т2
(Т1	(s3-3a3) S3-За3’
Положим в этом равенстве ад =	а?2 = %з
гр	1	\ f<?— y/ab— а/ос— \/Ьс тл
Тогда ЗЛ7, 3/7, з/. =--------A O.3/Z77--------— • Глава 9
з,
10.9.. Формулы Ньютона и Варинга
Пусть сд,..., ап - элементарные симметрические мно-
гочлены от переменных ад,..., хп и Sk = хк + ... + хкп, где
к = 1,2,....
Теорема 7 (формулы Ньютона). Справедливы сле-
дующие равенства:
а)	Я-Я-1а1+Я_2а2-.. . + {-^)k~1Svak_r + {-\)k-k-ak = 0,
если к < п;
б)	Я-Я-1а1+Я_2а2-.. .+(-l)n-1SW-n'(7n-i+(-l)”Si_n-
<jn = 0, если к > п + 1.
Историческая справка. Формулы опубликованы в
книге Исаака Ньютона ’’Arithmetica Universalis” в 1707 г.
Доказательство. Рассмотрим многочлен
f{t) = (t- Xi)(t - Ж2) . . . (f - Хп) е Q(xi, . . . ,Ж„)И
с коэффициентами из поля рациональных функций
Тогда
f = — = (t - х2)... (t - хп) + ... + (t - Xi)... (t - Xn-i) =
п
= fW-C£
i=l
1
(t - Xi)
216
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Так как
1	1	1	1 Xi х?
(f — Xi)	t	(1 —	у) t	+ t~	+ t3	+
СЮ /у .П1
E-li
/т+1 ’
m=0 ь
то f = f(t)( Е Дт) =
т=0
сю Q
= (/» _ . г-1 +	- ... + (-1)» . ff„)( s
m=0
Откуда следует, что
f (ntn~l — (n —	+ ... + (—l)n-1(Tn i
tn ~	tn	~
n _ (n - 1)0-1 (n - 2)0-2	(-l)n
t t2	t3	tn
Перемножая ряды, находящиеся в правой части, и прирав-
нивая коэффициенты при соответствующих степенях t~m,
получим следующие равенства:
п = п,
— (п — 1)о"1 = S1 — ПО-!,
(п - 2)о-2 = 5*2 - 0-151 + по-2,
10.9. ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА И БАРИНГА
217
( —1)” 1 — Sn-2^n-l —	+ 0-^3 п-3
• • • + (-1)” 1n-an-i,
0 = Sn- (TiSn_i + ... + п • (-
О = Sn+\ — ciSn + ... + (—l)n/Si<rn,
О — 'S'n+fc ^I'S'n+fc—i Ф • • • Ф ( 1) З^ст-п-
Теорема доказана.
Формулы Ньютона позволяют рекуррентно вычислять
Sk через элементарные многочлены. Интересно иметь яв-
ное выражение Sk в виде многочлена с целыми коэффи-
циентами от од,..., ап. Ответом на этот вопрос является
следующая теорема.
Теорема 8 (первая формула Баринга)
(S)kSk =
к
(-l)^+-+^-(jn1 + ... + ^-l)!
/ZX+2/Z2 + •• .+nkn=k
Ti! • • • /лп1а^ ... а£п.
Историческая справка. Эдуард Баринг (1734 - 1798)
- профессор Кэмбриджского университета (Англия). Из-
вестен своими работами по алгебре и теории чисел.
Доказательство. Из разложения функции Zn(l + z) в
ряд Тейлора (|г| < 1)
~2	3	~4
Zn(l + z) = z------1---------1-...,
v ’	2	3	4
218
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
следуют следующие равенства (|ад| < |f|):
т.	oof__Л\к тк
И1 + т) = -Е	г = 1,2,...,п,
£	k=l К ' £
/у» 1	) •	п	у.	сю ( 1 А к , .
гп(1 + ^)...(1 + ^) = £гп(1 + ^) = -Е (
Г	Г г'=1	Г	£=1 К • г
С другой стороны,
1 n I	n I Хп\ 7 n I 671 I 672 I I ап\
/п(1 + —)...(! + —) = /п(1 + - + - + ... + —) =
«. (-!)" д, <т2	£^.т
т=1 ТП t	tn
Применим к последнему равенству полиномиальную теоре-
му
__	7771
(У1 + У2 +... + УпГ = Е	———^Упп-
mi + ...+mn=m Г72|. . . . ТПп.
Получим, что
/п(1 + Щ ... (1 + ^21) = _ f	+ ... +	=
v t ’ v t ’	m t	tn>
gz	(-l)mi+-+^(mi + ... + mn - 1)!
k=l mi+2m2 + ...+nmn=k	ТП11ТП2- • • • кПп1
. . . <Jrin}-r.
1	n )
Приравнивал коэффициенты при t \ получим, что
10.9. ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА И БАРИНГА
219
(-i)ksk _
к
_	(-l)w + ... + mk(mi + ... + тп - 1)!
'	I I
mi+‘2m2 + ...+nmn=k	ТП^. . . . ТПп.
Теорема доказана.
Естественно поставить вопрос о явном выражении эле-
ментарных симметрических многочленов si,...sn в виде
многочленов от од,..., <тп с рациональными коэффициента-
ми. Данный вопрос имеет положительное решение в виде
следующей теоремы.
Теорема 9 (вторая формула Баринга).
(-1)4 =
Е\	/	С^1 С/^2	С/-1к
ч	1	it	i^1	^2	• • •	,
^+2^+...+к.^=к l^1 • 2^ ...	• /и!//2!... цк\
где 1 < к < п.
Доказательство. Из разложения функции Zn(l — в
ряд
/у» .	СЮ /у»
=	г = 1,2,...,п
Z	к=1 ktk
следует, что
,	хп 51	52	53
/„(1
Откуда следует, что
п	п Хп\
(1-----) ... (1--) = е 4 • е 2t2 • е 3t3 ... .
Так как еу = Е ^-г, то
fc=0 т' ’
220
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
сТ С А' С&З
_ \ ' / 1 1 Т +Т+-.._1 2 3	____j.—(^1+2^2+3^з+...)  
1 krlh2lk3l.. .	• 3*з
= й _Zli£2_Zii I (~1)n^A
1 t t2 г3	tn h
Приравнивая коэффициенты при t~k, получим доказатель-
ство теоремы.
Извлечем некоторые полезные следствия из доказанных
результатов. Рассмотрим симметрические многочлены от
двух переменных ад, х2. Тогда согласно теореме 8
(-1)^(Ц1+Ц2-1)!	,2
j —	j j	а1 • а2 •
к ^+2^=к	/HW
Так как р2 < то р2 < [|]. Полагая р2 = р, имеем, что
pi =
= к — 2р, /д + //> = к — Р и
(-1)*-ф-р-1)! к_2р р
к р=о (к-2р)\р\	671	°”2
или Sk = к • Е	• ^2- Положим в последнем
равенстве ад = ж, х2 = 1/а?. Тогда од = а? + -, <j2 = 1, Sk =
хк + ^7 и
ХК
Пусть х = cosp> + z sirup. Тогда по формуле Муавра по-
лучаем, что хк = cos{kp>) +isin(kp>) и х~к = хк = cos{kp>) —
isin(k(p). Поэтому
2C0S(k^==к. “£ (~1)у;2р~ 1)!(2С0.м^.
т	P=Q р.[1ъ	^Р)-
10.9. ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА И БАРИНГА
221
Последняя формула дает явное выражение cos(&<p) в ви-
де многочлена от cosp. Получим далее аналогичное пред-
ставление sin(kp) в виде многочлена от cosp и sirup. Диф-
ференцируя левую и правую части (11.1), получим следу-
ющее равенство
/л Д'-1 — 1 1	. — I >-к —	—
/и I	7 I 1	/	/v	\	/
' X ~г” ' сс '	'
^(_1Ж_р_1)(*-ЗД	1	1	1
У р\(к — 2р)\	1 ж	х х1
ИЛИ
где р = 0,1, 2,... или | — 1 (в зависимости от нечетнос-
ти или четности числа к). Полагая в последнем тождестве
х = cosp + isinp и учитывая равенство х — х =
= 2isin(kp>), получим, что
sin(kp)
smp

где р = 0,1, 2,... , ^1 или | - 1.
Для полноты изложения докажем следующие результа-
ты:
a)	2ncosnp = 2cos(n<p) + 2ncos((n — 2)<р) + 2C^cos((n —
4)<р) + ... + С*”/2, если п - четное число;
б)	2ncosnp = 2cos(n<p) + 2ncos((n — 2)<р) + 2C2cos((n —
n — 1
4)<p) + ... + 2Cn2  cosp, если n - нечетное число;
в)	(—\y!‘22nsinnp = 2cos(np)—2ncos(n—2)<p+2C2cos((n—
4)<p) — ... + (—l)”/2^/2, если n - четное число;
г)	(—1)^sinnp  2n = 2sin(np) — 2nsin{n — 2)p + ... +
(—1)^  2  Cn2 sinp.
222
ГЛАВА 10. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
Действительно, рассмотрим бином Ньютона (ж = cos<p+
zsm<p)
(х +	= (2cosif>)n =
х
1
Приравнивая вещественную часть правой части к 2ncosn<p,
получим равенства а или б. Аналогично из равенства (ж —
— (ТП I (~l)n \ _ pl(тп-2 I (~l)n \ I А*2/ I (~l)n \ I
—। хп /	п\^ "I хп~ % "I	"I хп~ "I ’ ’ ’
следует, что
(—I)”/2 • 2nsmn<p = 2cos(n<p) — 2C^cos(n — 2)<р + ...
при четном числе п и (—1)п-1/2 • i  2nsinntp = (2z)sm(n<p) —
-2iC\sin{n — 2)<p + ... при нечетном числе п.
Глава 11.
Линейные операторы
11.1.. Алгебра линейных операторов
Пусть V - векторное пространство над полем F. Отобра-
жение у : V V называется линейным оператором (ли-
нейным отображением), если для любых векторов a,b Е V
и любых чисел <т,/3 6 F выполняется равенство <р(сн2 +
/36) = а  <~р(а) + /3<р(&).
Примеры линейных операторов.
1.	Пусть V = F^ и а - некоторая фиксированная под-
становка из группы Sn. Тогда отображение
^2- • • • j ^п)) — (оДсг? ОДсг? • • • j
является линейным оператором. В частности, если в ка-
честве а взять транспозицию
(12) =
1 2 3 ... п \
2 1 3 ... nJ
, то соответствующий линейный оператор у отображает
произвольный вектор
а = (ад, «2, «з, • • • ап) Е F^n\ п > 2
223
224
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
в вектор
у(а) = (d2,cii,ci3, • • • ,«n)-
2.	Пусть V = R[x] и f (ж) 6 R[x]. Тогда следующие два
отображения являются линейными отображениями:
Ti(f) = х • f.
3.	Пусть V = L®Li, где L < V и Li < V. Если х Е V,
то х = а + 6, где а Е L, Ъ Е Lp Отображение у : V’ —>
V, задаваемое по правилу у(ж) = а, является линейным
оператором. Оно называется оператором проектирования
пространства V на подпространство L.
Обозначим через EndpV - множество всех линейных
операторов пространства V над полем F. Введем на мно-
жестве EndpV следующие операции.
1.	Операция сложения Пусть у, V7 Е EndpV и
а Е V. Положим
(у + <0) (а) = т(а) + V’W-
Проверим, что (у +-0) - линейный оператор. Пусть а,Ь-
произвольные векторы из V, и <т,/3 Е F. Тогда
(у + '0)(аа + /36) = у(сга + /36) + гр(аа + /36) =
= ау(а)+/3у(&) + с^(а)+/3-^(6) = сг(у+^)(а)+/3-(у+^)(&),
т.е. (у + гр) Е EndpV.
2.	Умножение линейных операторов на числа из поля.
Пусть у Е EndpV, а Е F и a EV. Положим
(а • у)(а) = а  у(а).
Проверим, что а • у Е EndpV. Для этого рассмотрим дей-
ствие а • у на линейную комбинацию векторов из V:
(шр)(рЗа + 76) = а 	+ 76) = а 	+ 7у(6)) =
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
225
= (3(а  <р(а)) + 7(а • <р(6)) = /3 • ((ct<^)(а)) + 7 • ((ct<^)(6)).
Таким образом, мы доказали, что а • р - линейный опера-
тор.
3.	Операция умножения ” •
Пусть р,13 6 EndpV и а Е V. Положим
(т • ^)(«) =
Проверим, что (р-13) - линейный оператор. Пусть a,b Е V
и а, (3 Е F. Тогда
р • ^(аа + /36) = p(i3(cta + /36)) =
= р(сг13(а) + /3^(4) = ap(i3(«)) + /3p(i3(fc)) =
= а  (pi3)(a) +/3(pi3)(a),
т.е. р • 13 6 EndpV.
Множество (EndpV\ +, -, -а) удовлетворяет следующим
условиям (для любых операторов р, -/3, т и для любых чисел
«г, /3 G Е):
1)	р + 13 = 13 + р (коммутативность сложения);
2)	(<р + 13)+ т = <р+(13 + т) (ассоциативность сложения);
3)	существует оператор О Е EndpV, такой, что р+0 = р;
4)	для любого оператора // Е EndpV существует опера-
тор (-р) Е
End^V такой, что // + (—р) = 0;
5)	а(р + 13) = ctp + сг/З,
(а + /3)р = ар + /Зр,
(«/3)т = 4М
1 • р = р;
6)	(pi3)r = р(13т) (ассоциативность умножения);
7)	<Х13 + т) = <pi3 + (дистрибутивность);
(<р + 13)т =	+ 13 • г;
226
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
8)	существует оператор е Е EndpV такой, что р • е =
= £ • р = р(е? называется единичным оператором);
9)	а(р • ^) = (ctp)^ = р(сг^).
Докажем некоторые из приведенных равенств. Поло-
жим (для любого вектора а Е V)O(a) = 0. Ясно, что р + 0 =
р. Если // Е EndpV, то положим, что (—р)(а) = —р(а). От-
сюда следует свойство 4. Единичный оператор £ : V V
определяется по правилу е?(а) = а (для любого вектора
а Е V). Докажем далее равенство (р +	= р • т + -0 • т.
Возьмем произвольный вектор а Е V и вычислим ((р +
,0)т)(а), (р • т + ip • т)(а). Имеем, что
((р + V,)7')(«) = (а + ^)(т(а)) = т(т(а)) + ^(т(«)) =
= (р • т)(а) + (р • т)(а) = (р • т + ^ • т)(«)-
Следовательно, линейные операторы (р + ^)т и (р • т +
ip  т) одинаково действуют на любой вектор, т.е. они
равны. Аналогично доказываются остальные равенства.
Заметим, что операция умножения не является (в общем
случае) коммутативной. Например, рассмотрим вектор-
ное пространство многочленов V = R[x] и p,pi Е EndpV
такие, что p(f) = Pi(f) = х  f(x) (для любого много-
члена / Е V). Тогда
(ppi-pip)f = (ppi)f-(pip)f-(pip)f = p(pif)-pi(pf) =
= [(ж •	-x-f' = f + x-f'-x-f' = f =
Таким образом, ppi — pip = £ и, в частности, ppi pip.
Множество {EndpV, +, •, -а) называется алгеброй (коль-
цом) линейных операторов векторного пространства V над
полем F.
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
227
Предложение 1. Пусть {ei, е2,..., еп} - базис вектор-
ного пространства V над полем F. Тогда для любого мно-
жества векторов {ai,..., ап} С V существует единствен-
ный линейный оператор р 6 EndpV такой, что
т(е1) = ар р(е2) = а2, • • • , т(еп) = ап.
Доказательство. Докажем сначала существование та-
кого оператора. Пусть х G V. Тогда х = 0761 T ... T оуеп,
где ai Е F, i =1,п. Определим отображение р : V ’ —> V ’. по-
77
ложив р(т) = Е орар Проверим линейность этого отобра-
7=1
П
жения. Если у = Е /Зг-ег- и opf3 Е F, то
7=1
+ f3y) =	+ MW =
i=l
= Е(асТ + f3f3i)ai = сад) + /3(Е M) =
i=l	г=1	г=1
= a^(x) + f3^{y).
Заметим, что
р(бг-) = т(0 • ei + 0 • е2 + ... + 1 • ei + ... + 0 • е„) =
= 0 • <21 + 0 • а2 + ... + 1 • <2г- + ... + 0 • еп = од,
где i < п. Докажем единственность такого отображения.
Если i/j Е EndpV и ^(бх) = од,..., ^(еп) = ап-> то (р — V0 ~
линейный оператор такой, что
(<Р - ^)(е1) = «1 - «1 = °, • • • , (р - ^)(еп) = ап - ап = 0.
Если z = 7161 + ... + 7пеп - произвольный вектор из V, то
(т -	= Et;(t - ^)(бг) = 0.
i=l
228
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Следовательно, (ср— гр) = 0 и у = гр. Предложение доказано.
Теорема 1. Пусть V — n-мерное пространство над по-
лем F. Тогда алгебра всех линейных операторов EndpV
изоморфна алгебре матриц Fn (в обозначении EndpV =
F„), т.е. существует взаимно одназначное отображение
X : EndpV Fn такое, что для любых линейных опера-
торов р,гр и для любых чисел су/З 6 F справедливы равен-
ства:
+ (Згр) = а • у(у) + /3 • у(^),
• т(т)-
Замечание. Смысл этой теоремы в том, что (с алгебра-
ической точки зрения) мы можем отождествить EndpV и
F
п •
Доказательство. Пусть {ei,..., еп} - базис простран-
ства V и у 6 EndpV. Выразим векторы {<p(ei),..., <р(еп)}
через базис:
Т(е1) = «11е1 + «21е2 + • • • + O-nVn-,
т(ег) = «12е1 + «22е2 + • • • + O-nFni
^{еп) — а1пе1 + а2пе2 + • • • + аппеп
И ПОЛОЖИМ %(у) = [<р]е =
«11 (212 • • • Я1п
«21 «22 • • • «2п
«п1 «п2 • • • «»п /
Матрица, стоящая в правой части предыдущего равенст-
ва, называется матрицей оператора у в базисе {ei,..., еп}
и обозначается [у]е. Итак, положим, что %(у) = [у]е. По-
кажем, что х ~ искомое отображение. Если гр Е EndpV и
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
229
Me = (bij), ТО ^(бг) = Е bkiek, i < п. Поэтому
к=1
п
М + ММ) = <^(ег-) + ММ = Е («н + bki')ck. i < п
к=\
и
/ «п + &п ... а\п + Ъ\п \
+ Ф\е =
\ «п1 + Ьп1
= Me + Me
Это означает, что хфр + гр) = у(<р) + х(Ф)- Далее,
п	п
М • гр)(еф = <^(<0(ег-)) = <р(Е b^k) = ]Е bkiif>(ek) =
к=1	к=1
где г <. п.
к=\ s=l
Откуда следует, что
s=l к=\
Ё O-lkbki • • •
к=1
п
Е a^kbki   
к=1
Е O"nkbki • • •
к=1
i — й столбец
=[<у9]е • [-^]е. Это означает, что х^ ' 'Ф) = х(М ' х(Ф)- Вычис-
лим матрицу оператора [сф]е. Имеем:
п
(cv<p)(ei) = шр(е1) = 52 (^<//,.।
к=\
230
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(лу)(еп) — Qy(en) — 52 (о^кпУк 1
к=1
и, следовательно, [ау]е = а  [у]е. Поэтому у(сну) = axYfY
Докажем взаимную однозначность отображения у. Если
В =	6 Fn, то рассмотрим векторы
— 52 bkVki • • • i^n — 52 ЪкпХк-
к=1	к=1
Согласно предложению 1, существует оператор т Е EndpV
такой, что r(ei) = &i,..., т(е„) = Ьп. Из определения матри-
цы оператора следует, что [т]е = В и у(т) = В. Итак, у -
сюръективное отображение. Докажем его инъективность,
т.е. если у./’ два различных оператора, то их образы
у(у),у('0) - различные матрицы. Если у(у) = у('0)? то
y(ei) = Y(eiY • • • •> т(еп) = Из предложения 1 следу-
ет, что у = ip. Теорема доказана.
Пример. Пусть I = {/(X) е ВД; degf < п — 1} -
пространство всех многочленов степени < п — 1 (с коэф-
фициентами из поля R) и у 6 EndpV такой, что у(/) = f.
Найдем матрицу у в базисе {1, ж,... , хп~1} = е Имеем, что
у(1) = 0-1+0-т + ... + 0- ж””1,
у(ж) = 1-1+0-т-|-... + 0- ж”-1,
у(т2) = 0-1-|-2-т-|-...-|-0 - ж”-1,
у(ж” х) = 0 • 1 + 0 • х + ... + (п — 1)тп ~ + 0 • хп \
( 0
1 о
0 2
0 0
о
т.е. [у]е =
^000
0
0
(п — 1)
0
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 231
Пусть v - произвольный вектор линейного пространства
V с базисом {ei,...,e„} = е и у 6 EndpV с матрицей
[<р]е = А = («у). Если
v = ciiei + ... + оуеп,
ТО	п
= Е = Ё ME akVk) =
г=1	г=1	к=1
— Е> (Е> ® ki^i)(к — (Е> ®1г ’ ^г)в1 Т • • • Т (Е>
к=1 г=1	i=l	i=l
Таким образом, столбец из координат <p(v) равен
1 «1
А- :	.
\ /
Пусть у - линейный оператор из EndpV и е = {ei,..., еп
f = {fi,..., fn} - два базиса пространства V. При этом
fi — Е> tkVki % — 1, П
к=1
И
А = Me = (%'), В = [<р]у = (Ту).
Докажем, что
В = Т~1АТ, где Т = (Ду) - матрица перехода от базиса е
к базису f. Действительно, рассмотрим вектор
t-p(fi) — Е> tki^p^k) — Е> ^ki ( Е> ^sk^s) — Е> ( Е> ^sktki)^s-
к=1	к=1 s=l	s=l к=1
С другой стороны,
п	п	п	пт
t-p(fi) — Е> bmifm — Е> ^mitmi (Е> tjrrVj') — Е> ( Е>
т=1	т=1	j=l	j=l т=1
232
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Откуда следует, что для любых чисел s,i < п справедливо
равенство
п	п
^sk^ki — tsm^mi-
к=1	тп=1
(ТВ) = Т^АТ.
Это означает, что А • Т = Т • В. Так как Т - обратимая
матрица, то
В = т-1
Замечание. Матрицы А, В, связанные равенством В =
Т~1АТ, называются подобными (или сопряженными).
С каждым линейным оператором у 6 EndpV можно
связать два подпространства Imp,Kerp. Именно:
1) Imp = {т Е V; v = <р(а)для некоторого вектора а Е
V} образ линейного оператора у;
2) Kerp = {г Е V; р(и) = 0} ядро линейного опера-
тора р.
Теорема 2. 1) Imp < V;
2) Kerp < V',
3) если dimpV = п < ос, то dim(Imp) + dim(Kerp) =
dimV.
Доказательство. Пусть щ,г2 Е Imp и а, /3 Е F. Тогда
существуют векторы од, а2 Е V такие, что щ = y(«i), т2 =
р(а2) и mp + (3v2 = ay(ai) + /Зу(а2) = p(acp + /За2) E
Imp. Если «i,w2 E Kerp, to р(ащ + /3w2) = ap(ui) +
/3<p(w2) = ct-0 + /3-0 = 0 (мы предполагаем, что a,(3 E
F). Итак, Imp и Kerp - подпространства V. Докажем 3.
Пусть m = dim(Imp) и {fi, f2,..., fm} - базис Imp. Со-
гласно определению в пространстве V существуют век-
торы {ер • • •, em} такие, что fi — у(ы),..., fm — p(^em').
Заметим, что {ep...,em{ линейно независимое множест-
во векторов. Действительно, если Е <тгег- = 0, где а Е В,
г=1
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
233
то 0 = <р(0) = Е аг-<р(ег-) = Е exifi- Откуда следует, что
о, = ... = ат = 0 (ибо	- базис). Пусть
W = (ei,..., ет) = { Е 7гег-; уг- 6 F} - линейная оболочка
г=1
множества векторов {ei,..., ет}. Тогда dimW = т. Дока-
жем, что V = W ®Кегр. Пусть v - произвольный вектор
т
из V и <р(т) = Е difi - представление его образа <р(т) через
базис Imp. Тогда
т	т	т
p(v - 52 fe) = <р(б) - 52	= тМ - Е = о,
г=1	г=1	г=1
т.е. v — Е 5i6i = а Е Кегр. Это означает, что V = W+
г=1
+Кегр. Докажем, что W П Кегр = (0). Если
т
w = 52 aiei С Кегр П Ж,
i=i
то p(w) = Е  pfa) = Е aifi = 0. Так как {/ь ..., fm} -
г=1	г=1
базис, то ад = ... = ат = 0 и w = 0. Итак, V = Ж ф Кегр.
Следовательно, п = dimV = т + dim(Kerp) или
dimV = dim(Imp) + dim(Kerp).
Теорема доказана.
Приведем пример оператора р Е EndpV, для которого
Imp = Кегр. Это означает, что (в общем случае) V
(Imp) + (Кегр). Пусть V = R/2) и р - такой линейный
оператор, что его матрица в базисе ei = (1,0), е% = (0,1)
равна
Тогда Imp = Кегр = R • е^.
234
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Число dim(Kerp) называется дефектом линейного опера-
тора <р, а число dim(Imp') называется рангом линейного
оператора <р. Так как (7т<р) порождается образами базис-
ных элементов <p(ei),..., <р(еп), то ранг у совпадает с ран-
гом по столбцам матрицы [<р]е, т.е. с рангом этой матрицы.
Определение.
1). Линейный оператор у 6 EndpV называется не-
вырожденным, если Кегр = (0);
2) линейный оператор у 6 EndpV называется обрати-
мым, если существует линейный оператор у-1 6 EndpV
такой, что у • у-1 = у-1 • у = е?(у-1 называется обратным
оператором к у).
Предложение 2. Пусть V - конечномерное векторное
пространство над полем F. Тогда следующие условия на
линейный оператор у 6 EndpV эквивалентны: 1) у - об-
ратимый линейный оператор;
2) у - невырожденный линейный оператор; 3) Imp = V.
Доказательство проведем по схеме 1) => 2) => 3) => 1).
Если у - обратимый линейный оператор и а Е Кегр, то
а = s(a) =
= (у-1у)(а) = у-1(у(а)) = у-1(0) = 0. Таким образом,
Кегр = 0 и у - невырожденный оператор. Докажем, что
2 => 3. Если у - невырожденный оператор, то Кегр = 0
и по теореме 2 dimV = dim(Imp'). Это означает, что V =
Imp. Докажем наконец, что из условия 3 следует условие
1. Если V = Imp, то dimV = dim(Zmy) и dim(Kerp) = 0.
Следовательно, Кегр = 0 и р - сюръективное отображе-
ние. Если для некоторых векторов a,b Е V их образы
совпадают р(а) = р(Ь), то р(а — Ь) = р(а) — р(Ь) = 0 и
(а - b) Е Кегр. Откуда следует, что а = b и р - взаимно
однозначное отображение V на V. Рассмотрим его обрат-
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
235
ное отображение <р-1 : V V и докажем, что оно является
линейным. Пусть a,b Е V и а, (3 Е F. Так как у - сюръек-
тивное отображение, то а = <р(т), b = <р(?/) для некоторых
векторов х,у EV. Поэтому
у x(cra + /ЗЬ) = р Х(скр(ж) + /3(р(у)) = у 1 (р(ах + (Зу)) =
= ах + (Зу = а • у(а) + /3 • у х(6),
т.е. у-1 Е EndpV. Предложение доказано.
Задача. Доказать, что V = (/ту) ф Kerp тогда и толь-
ко тогда, когда Imp2 = Imp.
Указание. Так как Imp2 = y(y(V)) С y(V) = Imp),
то из равенства p(p(V)) = p(V) следует (согласно предло-
жению 2), что р - невырожденный оператор на (Imp). В
частности, (Imp) П Kerp = (0).
Определение. Пусть р Е EndpV и W < V. Под-
пространство W называется инвариантным относительно
р, если для любого вектора w Е W p(w) Е W.
Пример. Если Vn = {f(x) Е R[x]; degf < п} и р Е
EndFVn такой, что p(f) = то K-i, К-2, • • •, К, К -
инвариантные подпространства (пространства V) относи-
тельно р, так как degf1 = degf — 1.
Пример. Пусть V = R/3) и р - линейный оператор,
имеющий в базисе
матрицу [у]е =	0
<ei> и И'2 = (е2, е3)
[ 5
ei = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1)
0 0)
6 —1	. Тогда подпространства Ж1 =
1 7
являются инвариантными относитель-
но р.
Предложение 3. Пусть р - линейный оператор ко-
нечномерного пространства V размерности п и W - ин-
вариантное подпространство относительно р размерное-
236
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ти т < п. Тогда существует такой базис е = {ei	I----,
пространства V, в котором (2ц	. . .	«1т	• • •	
г т	®ml • • • пип	• • •	^тп Me =	0	о а и	...	и	am_|_im_|_i	. . .	am_|_in 0	...	0	®nm+l	. .. cinn	!	
Доказательство. Выберем некоторый базис {ei,..., ет]
в Ж и дополним его до базиса в V = (ер ..., em, em+i,..., еп)
Рассмотрим матрицу оператора у в полученном базисе.
Имеем, что
т(е1) = аце1 + ...+ ®m+m +0-em+i + .. .+0-en,T.K.<p(ei) 6 Ж,
(р(е2) = «1261 + ...+	+ 0-em_|-i + .. . + 0-еп, т.к.<р(е2) 6 Ж,
(бт) —	+0-ет+1 + .. .+«-еп, т.к.<р(ет) 6 Ж,
Т(ет+1) = а1,т+1е1 + • • • + ara+l;ra-|-iera+i + ... +
^(еп) — ^In^l + • • • + ^т+1,п^т+1 + • • • + dnn6n.
Следовательно,
	1 an •	«Im		® In
Me =	«ml 0 .	«mm .	0	®m,m+l ®m+l,m+l	Clmn «m+l,n
	° 	. 0	®n,m+l	&nn у
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
237
Предложение доказано.
Замечание. (7т<р) - инвариантное подпространство
относительно оператора <р, так как <р(<р(а)) 6 Irrup (для
любого вектора а Е V).
Замечание. Кегр> - инвариантное подпространство
относительно <р, так как если а Е Кегр>, то <р(а) = О Е
Kerip.
Определение. Пусть у Е EndpV. Вектор а Е V назы-
вается собственным вектором для у, если а 0 и у>(а) =
а  а при некотором а Е F. Число а называется собствен-
ным значением оператора у.
Ясно, что если а - собственный вектор для линейного
оператора у, то одномерное подпространство W = (а) яв-
ляется инвариантным относительно у. Верно и обратное
утверждение. Именно, если W = (Ь) - одномерное ин-
вариантное подпространство для оператора у Е EndpV,
то у(6) = (ЗЪ, где /3 Е F и b - собственный вектор для
оператора у. Приведем алгоритм нахождения всех собст-
венных векторов для линейного оператора у конечномер-
ного пространства V.
Для этого введем следующее определение. Пусть А -
переменная величина и А = (ау) Е Fn. Определитель ви-
да |А — АВ| называется характеристическим многочленом
матрицы А.
Пусть V - векторное пространство над полем F, {ei,..., еп
- его базис, у Е EndpV и А = (яу) = [у]е. Если а =
ciiei + ... + ап^п “ собственный вектор для оператора у
с собственным значением а, то у(я) = а • а. Так как ко-
/ «1 \
ординатный столбец вектора у(я) равен А 
то по-
238
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
/ и ।
/ и ।
лучаем равенство А 
. Откуда следует,
/ о |\

что (А — аЕ)
и
ненулевое решение
однородной системы линейных уравнений
/ Х1 \
(А - аЕ)
В частности, |А — аЕ\ = 0 и а - корень характеристи-
ческого многочлена матрицы А.
Обратно, пусть а - некоторый корень |А — AE| = 0.
Тогда (А — аЕ) - вырожденная матрица и следовательно,
ее ранг г(А — аЕ) < п. Поэтому пространство решений L
системы линейных однородных уравнений (А — аЕ)-Х = 0
/ «1 \
имеет размерность (п — г). Если
ненулевой вектор
из L, то а = Ё суег- - собственный вектор для оператора
<р, принадлежащий собственному значению а.
Замечание. Характеристический многочлен для опера-
тора у не зависит от базиса. Действительно, если А =
[<р]е, В = [<р]у - матрицы линейного оператора у в базисах
(соответственно) е и /, то В = Т~ГАТ, где Т - матрица
перехода от базиса е к базису /. Следовательно,
\В - ХЕ\ = \Т~1АТ -Х-Т~1 - Т\ =
= \T~\A - ХЕ)  Т\ = |Т-111А - ХЕ\\Т\ =
П.1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
239
= \Т~11 • \Т\  |А - ЛЕ| = |Т-1 • Т\ • |А - ЛЕ| = |А - ЛЕ|.
Пример. Пусть V = R/2) и линейный оператор у Е
EndpV в базисе ei = (1,0), 62 = (0,1) имеет матрицу
г 1 -( ~3 -2
у 2	2 ; ’
Вычислим характеристический многочлен
|[<р]е - ЛЕ| =
(-з - л)
2
-2
(2-А)
= (А + 2)(А — 1).
Найдем все собственные векторы, принадлежащие соб-
ственному значению (- 2). Для этого решим систему ли-
нейных уравнений
(А + 2Е) Р1 "j =0.
Данная система
—xi — 2х2 = 0
2а?1 + 4x2 = 0
имеет следующее множество решений V2 = (/1) = R • /1,
где /1 = (—2,1). Найдем все собственные векторы, при-
надлежащие собственному значению 1. Для этого решим
систему
(А - Е) • ( Х1 = °.
\Х2 J
Данная система
—4x1 — 2x2 = 0
2xi + Х2 = 0
имеет следующее множество решений Ц = (/2) = R • /2,
где /2 = (1, —2). Векторы {/1, /2} образуют новый базис V,
240
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
в котором
В частности, матрица А =
\
( “2
нои матрице
Т = I 2 1
\ 1 “2
базису {/1, /2}-
-2 1 «
подобна диагональ-
/
1 I . Именно, ( q2 । j — Т-1АТ, где
матрица перехода от базиса {ер с2} к
11.2.. Треугольная форма матрицы линей-
ного оператора
Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем
F и у 6 EndpV. Пусть |А — AE| = у(А) - характеристи-
ческий многочлен оператора у, где А = [<р]е - матрица у в
некотором базисе {ер ..., еп}. Предположим, что все корни
{ср,..., ап} многочлена у(А) принадлежат полю F.
Замечание. Из основной теоремы алгебры следует,
что если
F = С поле комплексных чисел, то {ср,..., ср} С С.
Множество всех корней {ср,..., ср} называется спектром
оператора у. Спектор называется простым, если у(А) не
имеет кратных корней. Докажем ряд утверждений о стро-
ении оператора у.
Теорема 3. Если спектр {ср,..., ср} линейного опера-
тора у является простым, то существует базис {Д,..., fn}
П.2. ТРЕУГОЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
241
такой, что
/ о ।	О'
И/=	“2 ...
\ о ап /
Доказательство. Для каждого корня су, i < п, харак-
теристического уравнения ДА) = |А —AEJ = 0 решим сис-
тему линейных однородных уравнений (А — щЕ)Х = 0 и
найдем собственный вектор /г- 6 V, принадлежащий собст-
венному значению су, т.е. = aifi- Докажем, что мно-
жество векторов {/i,..., fn} образует базис пространства
V. Если бы они являлись линейно зависимыми векторами,
то некоторый из них линейно выражался бы через преды-
дущие векторы. Пусть, например, fk = Д/1+.. ,+Д_1Д_1.
При этом число к можно считать наименьшим из возмож-
ных. Применим к левой и правой частям оператор <р. По-
лучим, что
akfk = ?(fk) = Д ДЛ) + • • • + Д-i ДД-i) =
= Piaifi + . . . + Pk-lC^k-lfk-l-
Умножая левую и правую части исходного равенства на
ак, получим, что
акfк = ak/31fl + . . . + ak^k-lfk-l-
Откуда следует, что
Д Д1 — ak)fi + ... +	— ak)fk-i = 0.
Так как (од —од,)	0,..., (cy,_i —су,) 0, то (если Д_1	0)
t Д («1 — &к) f ,	, Д-2 (cVfc-2 — СХк) f
Jk-1 — ~Ъ----7---------с • /1 + • • • + п-7------^Л-2
Д-1 W — а-к-1)	Рк—1 (Д1//1/.—и
242
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
и мы получаем противоречие с минимальностью числа к.
Если же Д_1 = 0 и Д_2	0, то, рассуждал аналогично, по-
лучаем, что Д_2 линейно выражается через предыдущие
векторы. Итак, {fi,...,fn} - линейно независимое мно-
жество векторов. Если бы оно не образовывало базис, то
его можно было бы дополнить до базиса с числом элемен-
тов, превосходящим п. Противоречие. Итак, {fi,..., fn} -
базис и у имеет в этом базисе следующую матрицу:
^(/1) = а1/1 + 0 • h + • • • + 0 • fn,
= 0 • fi + «2/2 + • • • + 0 • fn,
— 0 • fi + 0 • fz + • • • + ап • fn,
/ ад
О о2
оператор не всегда при-
Например, если [<р]е =
Теорема доказана.
К сожалению, в общем случае
водится к диагональному виду.
(о 1 ’ Т° Не сУЩествУет базиса (в R4), в котором матри-
ца оператора у является диагональной. Действительно, ес-
ли в некотором базисе {fi, /2} [у]/ = [	]
\ U Оу /
то {о |. сг2}
корни характеристического уравнения
1
(А — I)2 = 0, т.е. ад = п2 = 1. Если Т - матрица перехода
от базиса f к базису е, то
1 1 I = т-Ч 1
0 1	\ о
1
Т = Т~1  Е -Т = Е =\\ 1
П.2. ТРЕУГОЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
243
Противоречие.
Теорема 4. Если все корни {ад,..., о,,} характеристи-
ческого многочлена оператора у принадлежат полю F, то
существует базис {Д,..., fn} такой, что
	1 &11	&12	...	Ь1п
	0	К • • •	Ь^п
И/ =	0	0 &33 •	Ьщ
	0	0 ...	Ьпп }
т.е. матрица оператора у в этом базисе имеет верхнетре-
угольный вид.
Доказательство. Докажем, сначала, что в простран-
стве V существует цепочка инвариантных (относительно
у) подпространств (0) = К С К С V? С ... С Vn = V та-
ких, что dimVi = г, i < п. Доказательство существовании
такой цепи проведем методом математической индукции
(относительно числа п). Если п = dimV = 1, то утверж-
дение очевидно. Сделаем предположение индукции о су-
ществовании искомой цепи инвариантных подпространств
в пространстве размерности (п — 1) и докажем наше ут-
верждение для пространства V. Пусть cti - корень харак-
теристического многочлена |А — AF| = 0. Тогда Кег(^р —
0 и 7т(у —аде?) V. В частности, k = Fm(7m(y —
уд) < п — 1. Пусть {«1,...	- базис 7т(у — П|Г)
и дополним его до базиса V = {«i,..., «ьм,..., ип}.
Рассмотрим подпространство Vn~i = {гр,..., гр,..., wn-i}.
Ясно, что dimVn-i = п — 1 и 7m(y — П|Г) С Vn-i. Дока-
жем, что Vn-i - инвариантно у. Если a Е К-ь то у(а) =
(у — Qis)a + о у/ G К-i- Таким образом, у индуцирует ли-
нейный оператор на подпространстве К-i- Согласно пред-
244
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ложению 3 (§1)
/ С
* \
[^]ы
где С - матрица индуциро-
\ 0 0 ... О спп J
ванного оператора у на Vn-i. Следовательно, характерис-
тический многочлен х(А) = |[<р]и — АЕ| = |С — АЕ|(спгг — А)
делится на характеристический многочлен индуцирован-
ного оператора. Отсюда следует, что корни характеристи-
ческого многочлена индуцированного оператора содержат-
ся в F и по предположению индукции в Vn-i существует
искомая цепь подпространств:
(0) = К С К С К С ... С К-1.
Выберем базис {fi j- для Ц и дополним его до базиса К =
= {fi, /2}- Далее дополним множество {fi,f2} до базиса
{fi,f2
/з} пространства К и т.д. Докажем, что матрица у в ба-
зисе {fi,...,fn{ имеет верхнетреугольный вид. Имеем,
что
<^(/1) = «11 • fi,T.K.<p(fi) С К,
92(A) = «i2fi + «22f2,T-K-^(f2) с К,
^(fn) = «Infl + Cl2nf2 + • • • + «nnfnT-K.y(fn) E K-
Следовательно, [y]y =
1 an
0
«i2
«22
«In
«2n
П.2. ТРЕУГОЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
245
Теорема доказана.
Замечание. Так как |[<р]у — АЕ| = («и — А)(«22 —
А) ... (апп - А), то {«и, а22, • • •, апп} - спектр оператора <р.
Задача. Пусть у 6 EndpV, где V - конечномерное
векторное пространство. Доказать, что спектр оператора
у состоит только из {0} в том и только том случае, ес-
ли у” = 0, где п = dimV (оператор у, удовлетворяющий
условию ys = 0, называется нильпотентным).
Указание. Если все корни характеристического мно-
гочлена |[у]е — AEI = 0 равны нулю, то согласно теореме 4
существует базис {Д,..., fn} = V такой, что
Тогда [y]J =
= 0 и а - собственный вектор с собст-
Обратно, если у”
венным значением а, то из равенства у(а) = а • а следует,
что
у”(а) = yn-1(y(a)) = yn-1(cia) = ctyn-1(a) = ... = апа =
0(a) = 0. Откуда следует, что а = 0.
Теорема 5 (теорема Гамильтона-Кэли).
Линейный оператор у 6 EndpV, где V — n-мерное век-
торное пространство, является корнем своего характерис-
тического многочлена.
246
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Историческая справка. У. Гамильтон (1805 - 1865)
- ирландский математик, астроном, построил некомму-
тативную четырехмерную алгебру с делением (т.н. тело
кватернионов). А. Кэли (1821 - 1895) - английский мате-
матик. Известен своими трудами по алгебре, геометрии
Лобачевского.
Перед доказательством теоремы рассмотрим пример.
Пусть
dimpV = 2 и [<р]е = I й11 й12 ) . Тогда характеристичес-
\ «21 «22 /
кий многочлен оператора у равен
= А2 — ((3ц + а^Х + («П«22 — «12«21) —
= х(А). Подставим вместо А матрицу [<р]е. Получим, что
«11 — А (212
«21	«22 — А
х(Ш =
\ 2	/	х
«12 |	. х / «11 «12 | .
— («11 + «22)	+
«22 /	\ «21 «22 /
(О
«П + «12«21
«21«11 + «22«21
«11«12 + «12«22
«21«12 + «22
_/ «11(«11 + «22) «12(«11 + «22) \
\ «21(«п + «22) «2г(«п Т «22) )
/ «11«22 — «12«21	0	\ _ о
\	0	«11«22 — «12«21 /
Итак, теорема доказана для операторов двумерного простран-
ства. Рассмотрим общий случай. Пусть А = [<р]е = («р),
П.2. ТРЕУГОЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
247
и
В(А) =
/Вц(А) ... Bi„(A)\
\ Bni(X) ... Впп(Х) у
— -В0+-В1 • А+.. .-\-Вп-\-Хп 1
присоединенная матрица к матрице (А — ХЕ), т.е. такая
матрица, что (А — ХЕ)В(Х) = |А — АЕ| • Е.
Замечание.. Матрицы Bq, Bi,..., Вп_\ содержатся в
Fn, а алгебраические дополнения Bij(X) являются много-
членами степени не выше (п — 1).
Рассмотрим равенство (A—XE)(Bg+BiX+. . .+Bn_iAn-1)
= \А-ХЕ\-Е = (a0 + aiA + a2A2 + .. . + an_iAn-1 + (-l)nAn)-В,
где х(А) = (—l)nAn + an_iAn 1 + ... + оцА + ад = |А — АВ|.
Перемножая множители в левой части и приравнивая ко-
эффициенты при соответствующих степенях А, получим,
что
АВ0 = uqE,
ABi — Bq — (7 । • E,
AB% — Bi = <22 • E,
ABn_\ Bn—2 — cin—iE,
-Bn_i = (-\)nE
. Умножая (слева) второе равенство на А, третье равенст-
во на А2,..., n-ое равенство на А”-1 и, наконец, последнее
равенство на Ап и складывая левые и правые части (соот-
ветственно), ПОЛуЧИМ, ЧТО 0 = ttgE + (21А + (22А2 + ... +
an_iAn~l + (—l)nAn = х(А). Теорема доказана.
248
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
11.3.. Жорданова нормальная форма матри-
цы линейного оператора
Историческая справка. К. Жордан (1838 - 1922)
французский математик. Ему принадлежат первые систе-
матические курсы по теории групп и теории Галуа. Извес-
тен своими работами по алгебре, топологии, теории матриц.
Замечание 10. В различных книгах (см. список ли-
тературы) основная теорема данного параграфа доказыва-
ется по-разному. Если делается выигрыш в объеме дока-
зательства, то за счет практического применения и vice
versa.
Обратим внимание читателя на пособие доцента В.А.
Чуркина (’’Жорданова классификация конечномерных ли-
нейных операторов”, Новосибирск, 1991), в котором пред-
ложен лаконичный способ практического отыскания жор-
дановой базы.
Лемма 1 (о наибольшем общем делителе). Пусть fi(x),
..., fn(x) - многочлены из кольца многочленов F[x] с наи-
большим общим делителем
= d(x).
Тогда существуют многочлены «1(ж),..., ап(х) Е F[x] та-
кие, что
fi • П1 + ... + fn • ап = d(x).
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции (относительно числа п). Если п < 2, то дока-
зательство приведено в 9.1 (лемма 2). Сделаем предпо-
ложение индукции об истинности леммы для множества
{fi,..., fn} и докажем ее для множества {fb ..., f„+i{. Вви-
11.3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
249
ду предположения индукции, существуют многочлены
61 (ж),..., bn(x) Е F[x]
такие, что
fibi + ... + fnbn = d(x),
где d(x) = (fi,...,fn) - н.о.д. (fi,...,fn). Заметим, что
5(x) = (d, fn+i) = (fb f2,..., fn, fn+i) - наибольший общий
делитель для всего семейства многочленов {fi,..., fn+i}-
По лемме 2 (из 9.1 ) существуют многочлены м(ж),г(ж) Е
Е F[x] такие, что d(x)u(x) + fn+i(x) • с(т) = 6(х). Откуда
следует искомое разложение
fl(M + f2(62w) + • • • + fn{bnu) + fn+i • V = 6.
Лемма доказана.
Следствие 1. Если {fi,...,fn} - взаимно простые (в
совокупности) многочлены, то существуют многочлены од,
..., такие, что fi^i + ... + fnan — 1-
Доказательство следует из леммы 1.
Фиксируем n-мерное векторное пространство V над по-
лем F, линейный оператор у Е EndfV. Пусть поле F со-
держит все корни ад, а2,..., од, характеристического мно-
гочлена х(А) = |А — АВ|, где А = [<р]е - матрица оператора
у в некотором базисе е. Множество векторов Vai =
= {и Е Vf(y — аг-с)/г(м) = 0 для некоторого h > 1} на-
зывается корневым подпространством, соответствующим
корню ср, i < к.
Лемма 2. И,. < V ’. i = 1,к.
Доказательство. Пусть u,v Е Vai и а,{3 Е F. Тогда
(у—aiE)hlu = (у—aiE)h'2v = 0, при некоторых целых числах
hi > 1 и /г2 > 1. Если h = max{hi, /г2}, то
(у — пу/Цш/ + /Зм) = а(у — о,+ /3(<р — <тг-с)/г(с) = О
250
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
и (аи + (3v) Е Vai. Лемма доказана.
Мы знаем, что Vai содержит ненулевой собственный век-
тор (см. 10.1), i < к. Поэтому Vai (0), i < к.
Предложение 1. Пусть характеристический много-
член х(А) оператора у следующим образом представляется
в виде произведения линейных множителей
к
х(Ч = (-1)"П (А-а,-)"',
г=1
где ai ф aj при i j. Тогда а) V = Vai ф К2 Ф • • • Ф ;
б)	dimVai = пр i < к\ в) (у —	- нильпотентный опера-
тор на Vai и невырожденный на подпространстве
ж = ж е. • • е е ж+1 е... е vak-
г) ai - единственное собственное значение оператора у,
рассматриваемого на Vai.
Доказательство. Пусть fi(X) = %(А)/(А — nj";. где
i = 1, к. Тогда {Д,..., Д} - взаимно простые многочлены
и по лемме 1 существуют многочлены «1(A),..., аДА) из
F[A] такие, что Е /г-(А)аг-(А) = 1. Следовательно, е =
г=1
= Е fif^ai^). Пусть
г=1
Li = Л(у)МтЖ = {Д(у)аг-(у)т}|т Е V}, i < к.
Тогда Li < V и Li - инвариантное подпространство отно-
сительно оператора у. Действительно, если
М1 = Л(т)аг'(т)^1 С Li и и2 = Л(<р)аг-(<р)т2 Е Li,
то
т(м1) = Л(т)аг'(т)т(^1) С Li
11,3. ЖОРДАНОНА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ 251
и
ащ + f3u2 =	+ 0v2) G Ц.
Так как xtv) = 0, то
(+ - ai£)niLi = (<р - ai£)ni	= x(v)ai&)V = О
и, следовательно, Д- С Ker{^p — ai£)ni С Vai. Далее для
любого вектора v Е V справедливо равенство
к
V = £(V) = 2Z Л(т)аг(т)'У G bi + L2 + . . . + Lk.
i=l
Так как Д- С Vai, i < к, то V = Vai + ... + Vak. Дока-
жем, что сумма подпространств Vai + ... + Vak является
прямой. Предположим противное. Тогда для некоторого
числа i < к существует ненулевой вектор b Е Vai П ИД.
Следовательно,
Ь = 61 + • • • + 6г-1 + 6г'+1 + ... + &£,
(<р — &i£)hib = 0, (<р — as£)hs(bs) =0, s < к, s i
при некоторых натуральных числах ht, t < к. Пусть
h =	..., и р(Л) = П — as)h
s^i
Тогда многочлены (A — ai)h и р(Л) являются взаимно прос-
тыми. По лемме о наибольшем общем делителе сущест-
вуют многочлены т(Л) и q(A) такие, что (А — ai)hm{X) +
p(A)q(A) = 1. Следовательно,
b = £(b) = 7(<р)р(<р)6 +	— ai£)hb = 0 + 0 = 0.
Противоречие доказывает, что
^ = к1ек2е...ек, = ь^ь2^...^ьк.
252
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Если бы Li Vai, то Vai П (ф Lj) (0) и, следовательно,
Vai П (ф К,.) ф (0). Противоречие. Итак,
3
Vai = Li = fi^)ai^)V С К er (др - аде)П{.
Пусть гг-(А) - многочлен минимальной степени такой, что
гг-(<р)Т4г. = 0. Тогда гг-(А) - делитель (А —су)”8'. Действитель-
но, по лемме о делении с остатком
(А - ai)ni = riq’(X) + r(A),
где degr(X) < degri(X), либо r(A) = 0. Если r(A) 0, то
Ф)Кг = {(т -	- 7'(т)^(т)}Кг = 0.
Противоречие с минимальностью степени гг(А). Итак гг-(А)
- делитель (А —су)”8' и су - единственное собственное значе-
ние оператора <р, рассматриваемого на Vai. Выберем произ-
вольным образом базисы Vai, Va2,..., Vak. Их объединение
дает нам некоторый базис {щ,..., пространства V, в
котором матрица оператора у имеет следующий клеточ-
ный вид
f Bi ° \
г п	В2 0
в = И =
о Вк )
где Bi - матрица порядка n'- = dimVai с единственным
собственным значением су и характеристическим много-
членом ±(А — су)”8', где i < к. Так как
= \в- ХЕ\ = \ВГ - ХЕг\\В2 - АЕ2|... \Вк - АЕ,| =
= ±(А-«1)иЫ..(А-^)иу
11.3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
253
то в виду основной теоремы арифметики п'х = пр п'2 =
= П2,...,п^ = п^. Проверим невырожденность линейного
опе-
ратора (<р —	, рассматриваемого на Жг. Если
Кег(р — ще) П Wi (0),
то Vai П Wi (0). Противоречие доказывает предложение
1.
Пример. Пусть V = R/3) пр линейный оператор в
пространстве V, матрица которого в базисе ei = (1,0,0) , 62 =
/ -i 3 о \
= (0,1,0), ез = (0,0,1) равна А =	0 2 0.
\ 2 1-4
Найдем разложение пространства V в сумму корневых
подпространств. Характеристический многочлен
|А — АЕ| =
(-1-А)
0
2
3	0
(2 - А) 0
1	(1 - А)
равен (А + 1)2(2 — А). Следовательно, V = Ж®V-1, где
1 Х1
V2 = {X = х2
е ПЯ|(А- 2Е)Х = 0}
GR':!)|L4 + £f А = 0}.
то (А + Е)2 =
9 0 \
9 0
9 0 ,
254
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
и V-i - множество решений однородной системы линейных
уравнений 0 • ад + 9а?2 + 0 • ад = 0. Базисом пространства
V-i являются векторы Д = (1,0,—1), fa = (—1,0,1). Так
как А — 2Е =
то V2 множество решений
2
следующей однородной системы линейных уравнений
2X1 + ^2 — 3x2 = 0.
Так как ранг этой системы равен 2, то di/rnVz = 3 — 2 = 1.
Полагая Х3 = 1, получим, что /3 = (1,1,1) - базис Vp Итак,
1-1 = {/1, h} и г, = {А}.
Определение. Квадратная матрица вида
	1 а	1	0 .	.. 0	0
	0	а	1 .	.. 0	0
	0	0	а .	.. 0	0
'Лтг(^) —	0	0	0 .	.. а	1
	0	0	0 .	.. 0	а )
т
называется жордановой клеткой порядка (размерности) т.
Теорема 6. Пусть V — п-мерное векторное простран-
ство над полем F и у 6 EndpV такой, что все корни
{сд,...,сд{ его характеристического многочлена у(<р) =
&
(-If П (А — Q!i)ni принадлежат полю F. Тогда в векторном
г=1
11.3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
255
пространстве V существует базис {Д,..., fn} такой, что
jmi (*Ж'1 )	О
г т	Т/л, Ял,) О
\	0	0	/
Доказательство. Из предложения 1 следует, что V яв-
ляется прямой суммой инвариантных (относительно опера-
тора <р) подпространств Vai, Va2,..., Vak. Рассмотрим под-
пространство Vai = Ker(tp — а{£)п\ где i < к. Его раз-
мерность равна rii. Докажем, что в нем существует такой
базис, в котором матрица (индуцированного) оператора у
имеет вид
Jmi (.Q-i)	О
Jт2 (cVj)
\	0	/
Hi
Ясно, что объединяя такие базисы в Vai, Va2,..., Vak, мы
получим искомый базис. Итак, сосредоточим свое внима-
ние на подпространстве Vai = Ker(tp — ai£)ni. Рассмотрим
следующую цепочку подпространств
Vai : HQ = {0}, Я1 = Кег^-а{Е), Н2 = Кег(р - ще)2,....
Из определения ядра оператора следуют включения
Но С Я1 С Я2 С ... С Hni =
Пусть t = min{s/Hs = Кг} < пг-. Тогда для любого j < t
включение Hj С Hj+\ является строгим. Действительно,
если
Hj = К er (<р — ai£y = Hj+i = К er (у — суе?У+1
256
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
то для любого элемента а 6 Ht из равенства
(<р — ais)t(a) = (<р —	= О
следует, что
(<р —	= (<р —	= 0.
Таким образом, Н/ = Ht_\. Противоречие. Итак, мы име-
ем следующую цепь подпространств (инвариантных отно-
сительно <р)
Яо = (0) С Ях С Я2 С ... С Я,-! С Ht = Кг,
где Hj = Кег(<р — щеУ . Пусть rrij = d/mHj. j < t и
pi = mt - mz_i, p2 = mz_i - mz_2,... ,pt = тг - m0.
Пусть fi,..., fP1 - произвольные линейно независимые век-
торы из Я/ такие, что Ht = Я/_х ®{fi,..., fP1}. Докажем
линейную независимость множества векторов.
f !)••• > f pi >
(т - airffa,... , (<p - aiE^fp^
(3-1)
(ip-aiE^ lfr,... ,(<p - оце)* lfP1.
Предположим противное. Тогда некоторая линейная ком-
бинация указанных векторов равна нулю.
Е АЛ + Е А(т - ai£)fj +... + Е А(т - «t)z rfj = °-
j=i
j=i
j=i
11,3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ 257
Применим к левой и правой частям этого равенства (<р —
pi
ai£) . Получим, что Е (3jfj Е Ht_i. Следовательно, /31 =
3=1
... betaP1 = 0. Аналогично, действуя на обе части предыду-
щего равенства оператора (<р — суе?)/_2, получим, что
pi
Е Е fj £ Ht-i-
j=i
Поэтому, Ах = ... = ХР1 = 0. Рассуждая аналогично, мы до-
кажем линейную независимость векторов (3.1). Заметим,
что в (3.1) векторы (j + 1)-й строки
(<р -	..., (<р - ai£)JfP1
принадлежат Н/_г но никакая (нетривиальная) линейная
комбинация их не не принадлежит	Действительно,
если
pi
Е /с (а -	е
5=1
ТО
Pi	.	Pi
(<р - (Е Ц«(а - «e)Vs) = 0 и Е С Я/-1.
5=1	5=1
Откуда следует, что = ... = /j,P1 = 0. Дополним векторы
(<р - ciE)fi, • • •, (А - «E)fpi такими векторами /Р1+1,..., fP2
ИЗ Hi-\. чтобы
Я/-1	Я/_2 ф{ (<Р — <ТЕ) /1? • • • 1 (jp dE) fpi > fpi + l > • • • > f />> } •
Рассмотрим таблицу векторов
/1 5 ’ ’ ’ 5 f Pl 5
(a	• • • > (jp <тя)/р1? /pi + l, • • • 5 /р25
258
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
......................................... (3-2)
(А -	1 , . . . , (<р -	• (<р - аг-£)/-2
/pi + l, • • • 1 (РР ([i- ) fp2*
Аналогично предыдущему доказываются следующие фак-
ты: 1)множество векторов (3.2) являются линейно незави-
симыми; 2) векторы (j + 1)-й строки принадлежат Н/_г но
никакая линейная комбинация их не принадлежит
В частности, множество векторов
(а - airffh ..., (<р - а^)2/Р1,
^-ai£)fpi+u...,^-ai£)fp2	(3.3)
принадлежит к пространству Hi_2 и никакая линейная
комбинация их не принадлежит Я/_:>. Дополним векторы
(3.3) такими векторами fP2+i,    fP3 из Hi_2. чтобы
Д«-2 = Ht-2 ф{(А — аг'^)2/ь • • • ?
(а —	fpii (а — °i-) /pi + b • • • > (а — аг^)/р25 /р2+15 . . . 5 /рз}’
Далее рассматриваем таблицу
f !)••• > ,/р >
(р~ CljE)/i, . . . , (<р — Qjff) fpi, fpT+l i	, fp2 i
(y-airffa, , (pp-aieffp^ (<p - cpy)fP1+i,..., (<p - срфР2,
fp2 + l? • • • 5 /рз, (a — C^A) /1? • • • > (pp ~ C^A) fpr •
(a —	/pi + b • • • > (a — C^A)	/p2 5
(A —	/рг + Е • • • 5 (A — C^A)	fp3i
11,3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ 259
и рассуждаем аналогично. Наш процесс заканчивается постро-
ением базиса Hi :
(Т — Qjff) fl, . . . , (<Р — QjS) fpt_r, fpt-i + l? • • • 1 fPt-
Рассмотрим итоговую таблицу. Векторы, ее составляю-
щие, образуют канонический базис и пространства Н/ =
Vai. Фиксируем некоторый столбец в этой таблице и рас-
смотрим подпространство, порожденное этим столбцом.
Например, возьмем первый столбец. Пусть
W1 = (<р -	1 /|, и2 = (<р -
из =	- Cp^fl, Щ = fl.
Тогда
(<р —	= О ИЛИ	= QjWl,
(<р - aiE)u2 = Ui ИЛИ <p(w2) = Щ + С^,
& - aiE)ut-i = ut_2 или	= Щ-2 + aiUt-1,
(<p - ai£)ut = щ_1или<р(щ) = ut-i + ед
и матрица у в этом базисе равна
Таким образом, оператор у имеет следующую матрицу
в каноническом базисе и
260
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где число клеток Жордана порядка t равно = mt — m/_i,
число клеток Жордана порядка (t — 1) равно
Р2 - Pi = (mt - mt-i) - (mt-i - mt-2) = mt - 2mz_i + mt-2
и т.д. Теорема доказана.
Пример 1. Построим канонический базис и жордано-
ву форму для оператора у из	заданного в неко-					
	' 4	1	1	1	
	-1	2	-1	-1	
тором базисе матрицей	6	1	-1	1	= А.
	1-6	-1	4	2 J	
Рассмотрим характеристический многочлен |А —АЕ| =
(А — 3)3(А + 2). Следовательно, R/4) = ТзфН_2. Найдем
сначала канонический базис V%. Для этого вычислим (А —
ЗА ). (А—ЗЕ)2,... и найдем Кег(<р — 3- ). Кег(<р — 3- )2.....
Матрица
/ 1	1	1	1	\
4	3F-	-1	-1	-1	-1
А~ЗЕ~	6	1-41
-6	-1	4	-1	,
11,3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ 261
имеет ранг 2, т.е. dimKer^ — Зе?) равна 2. Матрица
(А - ЗЕ)2 =	<	0	0	0	0 0	0	0	0 -25	0	25	0 ^	25	0	—25	0 ,
имеет ранг 1. Следовательно, У% = Кег(^р — ЗЕ)2 имеет
размерность 3 и совпадает с множеством решений системы
однородных уравнений
- 25x1 + 25х3 = 0.
Выберем в У% вектор fi, не принадлежащий Кег(^р -3-е?).
Например, можно взять вектор Д = (1,0,1,0). Тогда
(<р — Зе?)fi = (2, —2, 2, —2) 6 Кег(р — 3-е?).
Так как dim^Ker^ — Зе?) = 2, то в пространстве решений
системы
Л?1 + Л?2 + ж3 + ж4 = 0
6X1 + Х2 — 4х3 + Х4 = 0
выберем вектор /2, дополняющий (<р — 3 • e?)fi до базиса
Кег(^р — Зе?). Например, в качестве /2 можно взять век-
тор (1,—2,1,0). Итак, Тз имеет следующий канонический
базис
fi, (<р - 3e?)fi, f2.
Далее вычислим матрицы (А+2Е), (А + 2Е)2,... и их ран-
ги. Легко видеть, что эти ранги равны 3 и, следовательно,
V_2 = Ker (А + 2Е), dimV_^ = 4 — 3 = 1.
Базисом пространства решений системы однородных
уравнений
6xi + Х2 + Хз + Х4 = 0
262
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
— Ж1 + 4а?2 — Жз — Ж4 = О
— 6а?1 — Ж2 + 4а?з + 4а?4 = О
является, например, вектор Е = (—Л,||,1,— 1). Итак, в
каноническом базисе R/4)
л, (^ - Зе)Л, /2, /з
матрица оператора у имеет следующую форму Жордана
/310	0	\
0	3	0	0
0	0	3	0
ч 0	0	0	—2	?
Пример 2. Описать все матрицы А Е С„, удовлет-
воряющие условию А12 — 10 • А + 2 • Е = 0.
Рассмотрим характеристический многочлен |А — АВ| =
0. Все его корни содержатся в С. Пусть у линейный
оператор в пространстве матрица которого в неко-
тором базисе е равна [<р]е = А. По теореме 6 существует
канонический базис / такой, что
Jmi (^1)
И/ =
= в
- жорданова форма оператора. Если Т - матрица перехода
от базиса е к базису f, то А = Т~ХВТ. Следовательно,
А12 - 10А + 2В = (Т~гВпТ) - ЩТ~ГВТ) + 2Т”1 • Т =
= Г-1 (в12 - 10В + 2 • Е)Т = 0.
11.3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
263
Откуда следует, что В12 — 10В + 2В =
Jmi (од)12 — 10/т1(од) + 2ВШ1
о
10j/TOs(cis) + 2Вт
= 0, где Emi - единичная матрица порядка тг-, i < s. Если
mi > 2, то из равенства
В,;, Е1 J12 — 10Jmi (од) + 2Bmi — 0
следует, что
1 о [2 12а}1
1
1
а!2 —10од-|-2 = 0, Юа}1 —10 = 0. Противоречивость послед-
них равенств доказывает, что mi = 1. Аналогично доказы-
вается, что порядки
/ (41
других клеток Жордана тоже равны
1, т.е. В =
- диагональная матрица
Итак
/ (41
А - подобна диагональной матрице В =
где ai - корни многочлена (ж12 — Ют + 2) = 0.
264
ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Следствие. Пусть А Е Сп. Тогда А подобна матрице,

имеющей жорданову форму
к О
Jms («s) /
Доказательство. Рассмотрим оператор Е EndcC^n\
который в некотором базисе е имеет матрицу А, т.е. [<р]е =
А. Так как все корни характеристического многочлена |А—
AEl = 0 содержатся в С, то по теореме 6 в простран-
стве существует канонический базис и такой, что
О \
[т]ы —
тора.
жорданова форма опера-
\	0	Jms («s) /
Обозначая через Т матрицу перехода от базиса е к
базису и, получим, что А = Т TtpLT. Следствие доказано.
Замечание. Если Jm(a)
клетка Жордана порядка т,
показать, что
(а 1	0 \
а 1
v О	а }
то (индукцией по к) можно
1 ак как 1 Cfak 1 ...
0 ак как~х
у 0	0	........ак >
Откуда следует, что если /(А) - многочлен от А, то
f(JmH) =
Да) ф
0 Да)
) "	0	0	... Да)
11.3. ЖОРДАНОНА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
265
Если А - произвольная матрица из алгебры матриц Сп и
В = Т~ГАТ - ее нормальная форма Жордана, имеющая
вид
'Лт11 (А1)
то значение многочлена /(А) при
подстановке А —> А равно /(А) = f(TBT х) = Tf(B)T 1
где
ДВ) =
\	0	/(Jms(otsy) /
Данное замечание используется для определения функ-
ций от матриц (см., например, А.И. Мальцев. Основы ли-
нейной алгебры. М., 1975. С. 182).
Глава 12.
Унитарные и евклидовы
пространства
12.1.. Основные определения. Ортонормиро-
ванные системы векторов. Неравен-
ство Коши-Буняковского
Пусть V - векторное пространство над полем F, где F =
= R, либо F = С. Пусть также определена функции
(,) : V х V F
такая, что для любых векторов a,b,c Е V справедливы
следующие равенства:
1)(а, F) = (6, а);
2)(сга,6) = где а Е F;
3)(а + 6, с) = (а, с) + (6, с);
4) если а 0, то (а, а) > 0.
Тогда V называется унитарным пространством над полем
F. При этом, если F = R, то V называется вещественным
266
12.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
267
унитарным пространством или евклидовым пространст-
вом. Число (а, 6) называется скалярным произведением
векторов a, b Е V.
Примеры.
1.	Пусть V = RW и а = (ад,... ,ау), b =	. ,/Зп)
- произвольные векторы из V. Положим (а, 6) = cti/Зд +
... + ап(Зп. Тогда легко видеть справедливость условий 1 -
4, т.е. (а, 6) - скалярное произведение векторов а,Ь и V -
евклидово пространство.
2.	Пусть V = и
а = (ад,.. . ,an), b = (/31,... ,(Зп) EV.
Положим
(а, 6) — скд/Зд + у • /?2 + ... + ап • (Зп.
Тогда V =	- унитарное пространство.
3.	Пусть V = С[0,1] - множество всех непрерывных
функций на сегменте [0,1]. Если f,g Е С[0,1], то поло-
1
жим (f,g) = f f (x)g(x)dx. Тогда V - евклидово простран-
ство. Условия 1-3 очевидны. Проверим условие 4. Если
а(т) Е С[0,1] и а(т) 0, то существует число а 6 (0,1)
такое, что а(а) 0. Пусть, например, а(а) < 0. Ввиду
непрерывности существует сегмент [а — J, а + J] С (0,1),
содержащий число а такое, что а(/3) < 0 для любого числа
/3 Е [a — J, q + J]. Тогда (а, а) = f a2(x)dx > f a2(x)dx > 0.
Приведем некоторые следствия из свойств 1 -4 . Имеем,
что
(а, b + с) = (6 + с, а) = (6, а) + (с, а) = (6, а) + (с, а) =
(а, 6) + (а, с), (а, /36) = (/36, с) = /3(6, а) = /3(6, а) = /3(а, &).
268 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Откуда следует, что
st	_
(52 АА- 52 Pj'bj) — 52	5/)’
г=1	j=l	i<s,j<t
Если 0 - нулевой вектор, то (О, Ь) = (о • О, Ь) = 0 • (о, Ь) = 0.
Определение. Пусть V - унитарное (евклидово) прост-
ранство над полем F и а Е V. Число ||а|| =	(а, а) на-
зывается длиной вектора а.
Ясно, что ||сга|| = \/(аа, аа) = ^аа(а, а) = |а|||а|| и
||а|| > 0. При этом ||а|| = 0 тогда и только тогда, когда
а = 0.
Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского).
Для любых векторов а,Ь унитарного (евклидова) прост-
ранства V справедливо неравенство |(а, Ь)\ < ||а||||&||. При
этом знак равенства достигается тогда и только тогда, ко-
гда а,Ь - линейно зависимые векторы.
Историческая справка. В.Я. Буняковский (1804 -
1889) - русский математик, академик, автор 128 научных
трудов по теории чисел, алгебре, теории вероятностей.
О.Л. Коши (1789 - 1857) - французский математик, вне-
сший большой вклад в строгое построение математическо-
го анализа, теории функций комплексного переменного.
Доказательство. Пусть а, Ъ Е V, а Е F. Тогда число
(а — аЪ, а — ab) неотрицательно и его можно расписать
следующим образом:
(а, а) — а(а, Ь) — а(Ь, а) + аа(Ь, Ь).
Положим а = b ф 0. Тогда имеем следующее нера-
венство:
12.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
269
Откуда следует, что (а,а)(Ь, Ь) > |(а, &)|2 или ||а||||&|| >
|(а,Ь)\. Если ||а||||&|| = |(а,6)| и b 0, то (a — ab, a—ab) = О,
где а = Согласно условию 4 (а — аЪ) = 0. Обратно,
если векторы {а, Ь} являются линейно зависимыми то, на-
пример, а = где 7 6 F. Следовательно, (а,а)(Ь, Ь) =
77(М2 = (Ы(А 6))2, |(М)|2 = KMI2 = Ы2(М)2- Отку-
да следует, что ||а||||&|| = |(а,Ь)|. Теорема доказана.
Следствие 1. Для любых комплексных чисел од,..., оу
и /31,/?2,... ,(Зп справедливо неравенство
|(Ti/3i-|-Cl2/32 + - • • + П/; С| < \/|ci|2 + . . . + |<т|2-\/|/31|2 + . . . + |/Зп|2.
Доказательство. Рассмотрим унитарное пространст-
во V = СИ из примера 2 и применим к векторам а =
(ад,..., ап), Ъ = (/31,..., /Зп) 6 V теорему 1. Получим, что
|(а,Ъ)| = |ад/31 + .. , + ay/3n| < ||а||||6|| = У|од|2 + ... + |а„|2-
д/|/3112 + ... + |/Зп|2. Следствие доказано.
Следствие 2. Для любых непрерывных функций /(ж),
д(х) на сегменте [0,1] справедливо неравенство
1 1 1
I / f(x)g(x)dx\ < (J f(x')‘2dx')* 1 11^2  (J g2(x)dx)1^2.
о	oo
Доказательство. Рассмотрим евклидово пространст-
во V = С[0,1] из примера 3 и применим к векторам f,gE
Е V теорему 1. Мы получим искомое неравенство.
Следствие 3. (неравенство треугольника).
Для любых векторов а и b унитарного пространства V
справедливо неравенство ||а + Ь\\ < ||а|| + ||&||.
Доказательство. Имеем, что
11а + Ь\ |2 = (а + 6, а + 6) = (а, а) + (а, 6) + (6, а) + (6, 6) =
= ||а||2 + («,(>) + (а.6) + ||6|| = ||«||2 + ||Ь||2 + 2  Re(a,b) <
270 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
< ||< + Н&Н2 + 2|(а, Ь)\< ||< + Н&Н2 + 2]\а\\\\Ь\\ =
= (1Ы1 + 1К-
Следовательно, ||а + Ь\ \ < ||а|| + ||&||. Следствие доказано.
Замечание. При доказательстве мы использовали, что
действительная часть Re(a, b) не превосходит модуля | (а, Ь) |.
Введем некоторые определения:
1)	векторы a,b Е V называются ортогональными, если
(а, Ь) = 0;
2)	вектор а Е V называется нормированным, если
Н«Н = 1;
3)	система векторов {ei,62,...} = Q называется нор-
мированной, если любые два вектора из Q являются орто-
гональными и каждый вектор из Q является нормирован-
ным;
4)	если L С V, то L1 = {х Е V; для любого вектора I Е
Е L,(x,l) = 0} называется ортогональным дополнением к
множеству L.
Замечание. L1 < V. Действительно, если
ж, у Е L\ I Е L и а, (3 Е F, то (ах + Ру ,0 =
= ct(rr, Z) + Р(у,Г) = сю0-|-/3-0 = 0.
Следовательно, ах + Ру е IP-.
Пусть V - конечномерное унитарное пространство и
{ai, <22,..., (2^{ - линейно независимое множество всех век-
торов. Тогда к < п, где п = dimpV. Дополним множество
{«1,..., ак} до базиса {аь а2, • • •, ак, ак+г,..., ап} простран-
ства V. Докажем, что существует ортонормированный ба-
зис {ei, в2,..., еп} пространства V такой, что для любо-
12.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
271
го числа i < п линейная оболочка L(ap <22,..., щ-) мно-
жества векторов {ai,..., совпадает с линейной оболоч-
кой L(ei, в2,..., ег{ множества векторов {ер ..., ег-{. Для
доказательства этого утверждения применим (так назы-
ваемый) процесс Грама-Шмидта.
Историческая справка. И. Грам (1850 - 1916) дат-
ский математик. Основные труды по теории чисел, мате-
матической статистике.
Э. Шмидт (1876 - 1959) -немецкий математик. Основ-
ные труды по функциональному анализу, интегральным
уравнениям.
Положим ei = Тогда
= 1.
Ясно, что L((2i) = L(ei). Пусть 62 = «2 — ceei, где а - число
из поля F такое, что (62, ei) = 0. Такое число существует
и равно а = (fpfj = (<22,61). Положим е% = Тогда
(е2, е1) =	= 0uL(ei, е2) = Т(ар а2).
|Р2||
Предположим, что мы доказали существование ортонор-
мированного множества векторов {ер в2,..., ег{ такого, что
Т(<21) = L(ei), Т(<2р <22) = Т(ерб2), Т(<2р <22, «з) =
= Ь(ер 62,63),..., Т(<2р <22, • • •, а?) = Ь(ер 62,..., ег-).
Докажем существование нормированного вектора ег+1 6 V
такого, что
(^г'+l 1 Ы) (^г'+l 1 ^Д)	• • •	(^г+1? ^г)	0
272 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
. , tp, — Z/(ep 62,... , ер ег'_|_|).
Для этого рассмотрим вектор
^г'+1 — ®г’+1	(®г’+1, ^1)^1 (Дг'+Е ^2)^2	• • •	(Дг+1 >
Легко видеть, что брр ортогонален каждому из векторов
множества {ei,..., ег} и
(22, • • • 1 di-, ®?+l) — Z/(ep . . . , 6p <2г'_|_|) — Z/(ep 62, . . . , Ср
Полагая ez-+i = цр+jp получим, что
(Дг'+l, Ы) — • • • — (Дг-|-11	— О
uZ/(<2x,..., <2г'_|_|) — 2>(ер..., ер — 2>(ер..., ер ег'_|_х).
Тем самым, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть W - подпространство п-мерного
унитарного пространства V. Тогда в V существует такой
ортонормированный базис {ер ..., еп}, что {ер в2,..., е^}
- базис W(k = dimpW).
Следствие 4. В конечномерном унитарном простран-
стве V существует ортонормированный базис.
Действительно, исходя из теоремы 2, достаточно поло-
жить
W = (0)
Следствие 5. Если W - подпространство п-мерного
унитарного пространства V, то V = W фТ1.
Доказательство. Пусть {ер в2,..., еп} - ортонормиро-
ванный базис V такой, что {ер в2,..., е^} - базис W. Дока-
жем, что {е^+р е&+2,..., еп} - базис Ж1. Пусть
п	к
а = ^2 o^iGiiiw = ^2 l^jej
i=k+l	j=l
12.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
273
произвольный вектор из W. Тогда
(a, »’) = Е Е <тА(ег-, ej) = 0.
i=k+lj=l
Следовательно,
а Е Ж±нТ(е^+1,... , еп) С Ж1.
Докажем обратное включение.
Пусть е = Е у/e/ Е Ж1. Тогда
t=i
(е, ei) = 0 = 7i(eb ei) + 72(е2, ei) + ... + 7n(en, ej = 71.
Аналогично можно доказать, что
72 = 7з = • • • = 7к = о,
т.е. е Е Т(б/,_|_1, • • •, еп). Итак,
И-’± = £(ет,...,е„) и У = ЖфЖх.
Следствие доказано.
Определение. Пусть Ц и Ж _ унитарные простран-
ства над полем F. Ц изоморфно Ж (в обозначении Ц =
Ж)? если существует взаимно однозначное отображение
: Vi —> Ж такое, что для любых векторов a,b Е Ц и
для любых чисел а,(3 Е F справедливы равенства
<р(бн2 + /36) = бгр(а) + /3<р(&),
(М) = (<р(а),<р(&)).
Следствие 6. Пусть Ц и Ж _ конечномерные унитар-
ные пространства. Ц = Ж тогда и только тогда, когда
dimVi = dimV^.
274 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Пусть п = dimVi и т = dimVz. Если
Vi = V2, то для любого базиса {од,..., ап} пространства Ц
множество {<p(ai),... <р(ап)} является базисом <p(Vi) = V2.
Следовательно, п = т. Обратно, если п = т, то в каж-
дом из пространств существует ортонормированный ба-
зис: Vi = L(er, ...,еп), I2 = Ь(/1, f2,..., fn)- Рассмотрим
отображение : Ц —> V2, отображающее каждый вектор
п	п
а = Е суег- G Vi в вектор <р(а) = Е ср/г- Е V2. Ясно, что оно
г=1	i=l
является взаимно однозначным и если b = Е /Зг-ег- Е Vi, то
г=1
п	п
+ (3b) =	+ Ж)ег) = 52 (<vrv/ + f30i)fi =
i=i	i=i
= aifi) + /3(E Pifi) = cv^(a) + 2<p(&), (a, b) =
i=i	i=i
= E aiPi =
i=l
Следствие доказано.
В частности, каждое n-мерное унитарное пространство
(над полем С) изоморфно
Следствие 7. Пусть {ei,..., е^} - ортонормированная
система векторов унитарного пространства V и а Е V.
Тогда
||a||2 > |(a, ei)|2+|(a, е2)|2+.. .+|(а, е^)|2 (неравенство Бесселя) .
Доказательство. Рассматривая (в случае необходи-
мости) пространство L(ep е2,..., е&, а), можно считать,
что V - конечномерное пространство. Из теоремы 2 следу-
ет, что существует ортонормированный базис {ер ..., е^,
e^+i,..., еп} пространства V. Выразим вектор а через этот
12.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
275
базис а — бг i е i, Д- ... Д- a^d^ Д- ... Д- andn. Тогда
111 — ((3, (1) — (5Z	ОД в?) — 52 Ср61у (бд dj) —
г=1	г=1	j=l
= одёр Д- ... Д- апап.
Далее
(я, ei) = од (е 1, ei) Д- «2(62, ei) Д- ... Д- Qn(e„, ei) = 6I1.
Аналогично (я,ег) = ai, i < п. Следовательно,
||я||2 = (я, я) = £ |(я, ег)I2 > 52 |(я, ег)I2.
г=1	г=1
Следствие доказано.
Из доказательства следствия 7 следует, что если
{ei,..., dn} - ортонормированный базис V, то
||я||2 = (я,я) = 52 1(тС-)|2
i=i
И
п	_____
(я, 6) = 52(т e«)(fr5 е«) -(равенства Парсеваля).
1=1
Историческая справка. М.А. Парсеваль (1755 - 1836)
- французский математик. Основные труды по дифферен-
циальным уравнениям и теории функций действительного
переменного.
Ф.В. Бессель (1784 - 1846) - немецкий астроном, мате-
матик. Внес большой вклад в теорию дифференциальных
уравнений, в теорию функций.
Пример. Найдем расстояние от точки А(1, 5) до пря-
мой L = {(х,у) 6 R/2)|2т — у = 0}.
Рассмотрим рисунок 37.
276 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
рис. 37
Применим теорему 2 к подпространству L. Тогда ei =
=	75) и w = а — (a,ei)ei 6 L1. Длина ||ш|| яв-
ляется искомым расстоянием от точки А до прямой. Вы-
числим
«> = (1,5)-(Д= + 2С5).(4=, Д=) = (1,5)-ДкД=, Д=) =
уо	уо уо	уо уо уа
ll _	22 z G Зч ,, ,,	36	9	3
= (I-----,5-----) = (—, -)u w = л------1---=
{	5 ’	5 7 v 5’ 57 " "	\ 25	25	75
Ранее мы доказали, что множество решений системы
линейных уравнений является линейным многообразием,
а в случае однородной системы - линейным подпростран-
ством. Докажем обратное утверждение. Именно, пусть L
- подпространство R/”) и {ei, 62,..., еп_г} - базис L. Пусть
ег- = (ай, аг-2, • • •, «ж) Е R/7 Рассмотрим множество реше-
ний однородной системы линейных уравнений
{ж = (жь ... ,хп) 6 R^\(ei,x) = anXi + ... + alnxn = 0,... ,
12.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
277
\Сп—ri %)  	Н- • • • Н- ГП%П   Oj.
Нетрудно видеть, что это множество является ортогональ-
ным дополнением L1 (так как состоит из всех векторов
В/”), ортогональных базисным векторам L). Возьмем про-
извольный базис
L --- 1/1 - (^11 1 • • • 1 ^1п)? • • • 1 fr - (^rl? • • • 1
и рассмотрим множество (L1)1, состоящее из всех реше-
ний у = (г/i,... ,уп) Е R(n) однородной системы линейных
уравнений:
(fi, у) = bnyi + ... + Ь1пуп = О
..................................... (Ы)
(fr, у) = Ьг1уг + ... + Ьгпуп = 0.
По определению L С (L1)1 и dimL = п — г = dim(L-L')-L.
Следовательно, L = L11 - множество решений однородной
системы линейных уравнений (1.1).
Пусть Р = а + L - линейное многообразие в Rгде
а Е и L < В/”), dim^L = п — г. Согласно предыдуще-
му L - множество решений однородной системы линейных
уравнений
Ьпхг + ... + binxn = 0
Пусть а = (ад,..., ап). Рассмотрим систему линейных урав-
нений
п
Ъпхх + ... + binxn = 52
i=l
(1-2)
278 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
&Г1Ж1 -|- ... -|- Ь\11.г11 — &гг'Лг'.
i=i
Вектор а является частным решением этой системы, а
множество L является подпространством решений одно-
родной системы. Следовательно, линейное многообразие
Р = а + L совпадает с множеством всех решений системы
(2).
Пример. Пусть L - подпространство П/4\ порожден-
ное векторами од = (1,—1,2,1), а^ = {—1,0,1,0) и а =
= (1,2,3,4). Найдем систему линейных уравнений, мно-
жеством решений которой является линейное многообра-
зие Р = а + L.
Для этого сначала найдем однородную систему линей-
ных уравнений, множеством решений которой является L.
Рассмотрим систему линейных уравнений
(«21, ж) =	— а?2 + 2а?з + х\ = 0
(«2,ж) = ~xi + 0 • а?2 + жз + 0 • ад = 0.
Множеством решений этой системы является подпростран-
ство L1, базис которого состоит из векторов фундамен-
тальной системы решений:
/1 = (-5,3,1,0), ,h = (0,1,0,1).
Следовательно, L совпадает с множеством решений одно-
родной системы решений
— 5X1 + 3x2 + Хз + 0 • Х4 = 0
0 • Х1 + Х2 + 0 • Хз + Х4 = 0,
а Р совпадает с множеством решений системы
—5x1 + 3x2 + хз + 0 • Х4 = 4
0 • Х1 + Х2 + 0 • Хз + Х4 = 6.
12.2. СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
279
12.2.. Сопряженные линейные операторы
Пусть V - конечномерное унитарное (евклидово) прост-
ранство над полем F. Отображение f : V F называ-
ется линейным функционалом, если для любых векторов
a,b Е V и для любых чисел <т,/3 6 F справедливо равенст-
во f(aa + /36) = af(a) + /3 f (6).
Пример. Пусть а Е V. Тогда отображение f : V F,
определенное по правилу /(ж) = (ж, а), где х Е V является
линейным функционалом.
Предложение 1. Пусть / - линейный функционал,
определенный на конечномерном унитарном пространст-
ве V. Тогда существует единственный вектор а Е V та-
кой, что для любого вектора х Е V справедливо равенство
f (ж) = (х, а).
Доказательство. Пусть {ei, 62,..., еп} - ортонормиро-
ванная система векторов пространства V. Пусть также
а = Ё f(e«)e«-
i=i
Проверим, что для любого вектора
X = Е xFi £ С
г=1
выполняется равенство f(x) = (х,а). Имеем, что
п
f(x) = Е Xif(ei)
i=i
и(х, а)
Е f(ej)ej) =
j=i
280 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Докажем единственность вектора а 6 V. Предположим про-
тивное, т.е. пусть существует вектор b Е V такой, что
a b и /(ж) = (ж, 6) для любого вектора х Е V. Тогда для
любого вектора х Е V справедливы равенства
(ж, а) = (ж, 6) или (ж, а — 6) = 0.
В частности, при х = (а — Ь) получим, что (а — 6, а — Ь) =0.
Откуда следует, что а — Ь = 0 и а = Ь. Противоречие.
Предложение доказано.
Пусть р Е EndpV и у - фиксированный вектор из V.
Рассмотрим следующий линейный функционал на простран-
стве V : f(x) = (р(т),?/), где х Е V. Из предложения 1
следует, что существует единственный вектор у' Е V та-
кой, что для любого вектора х Е V выполняется равен-
ство (</?(гс),?/) = (х,у'). Тем самым определено отображе-
ние р* : V V такое, что </?*(г/) = у1. Проверим, что
р* Е EndpV. Из определения следует, что
(x,p*(m/i +/Т/2)) =
=	+ fe) = Л(<р(т), ?/i) + /3(р(ж), у2) =
=	p*(?/i)) + /3(ж,	= (ж, ар*(ш) + /¥Ы)
или (x,p*(m/i + /Зу2) — acf>*(yi) — (3(р*(у2У) = 0. Полагая в
последнем равенстве х = р* (ау\ + (Зу2) — ар* (?/i) — /Зр* {у2),
получим, что
р* (ayi + (Зу2) = ар* (yi) + /Зр* (у2).
Оператор р* называется сопряженным оператором по от-
ношению к оператору р.
Предложение 2. Пусть р,Ф Е EndpV и а Е F. Тогда
р** = р. (р + ф)* = р* + ф*, (рф)* = Ф*р*, Ы* = а • р*.
12.2. СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
281
Доказательство. Сначала заметим, что V1 = (0). Дей-
ствительно, если a Е V1, то (в частности) (а, а) = 0 и,
следовательно, а = 0. Пусть х,у Е V. Тогда
(т*(ж)^) =	= (у^М) = ЫуМ = (Х^Ш
или (ж,р**(?/) — р(?/)) = 0, Из этого следует, что
(т**-т)Ы
т.е. (р** — р)(?/) = 0. Поэтому р** — ср = 0 и ср = р**. Далее
рассмотрим скалярное произведение
((р + Ф)(ж),2/) = (ж, (р + Ф)*(?/)) = (jp(x\y) + (Ф(ж), 2/) =
= </Ы) + Gc ф*Ы) = Gc (т* + ф*)Ы)-
Из этого следует, что
(А + Ф)’(у) - (X + Ф’)(!/)) 6 V1 = (0).
Поэтому (р + Ф)* = р* + Ф*. Докажем, что (рФ)* = Ф*р*.
По определению сопряженного оператора имеем, что
((рф)(ж),2/) = (ж, (<рФ)*(?/)) = (<^(Ф(ж)),2/) =
(Ф(т),р*(?/)) = (ж, Ф*(^*(2/))) = (ж, (Ф*<^*)2/)
или
(ж,((^Ф),-Ф,^)(!/)) = 0.
Так как х - произвольный вектор, то ((рФ)*— Ф*р*)?/ 6 V1
и, следовательно (рФ)* — Ф*р* = 0. Аналогично доказыва-
ется равенство (ар)* = ар*. Предложение доказано.
Предложение 3. Пусть {ер..., еп} - ортонормирован-
ный базис V и р> Е EndpV. Если А = (ар) = [р]е - матрица
оператора р в этом базисе, то [р*]е = А!
282 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Пусть В =	= [<р*]е- Тогда
^*(ег) — ^1ге1 + ^2ге2 + • • • + Ьп{еп
и
т(е>) = aljel + a2Je2 + • • • + anjen-
Рассмотрим сначала произведение
— (52 asjesAi) —
S=1
— 52	(^«)) —	52	—
s=l	s=l
— 52 bgi(^j^g) —
s=l
Таким образом, для любых индексов i и j справедливо ра-
венство bji = ai], т.е. В = А'. Предложение доказано.
12.3.. Нормальные операторы
Пусть V - конечномерное унитарное пространство над
полем F и у 6 EndpV. Линейный оператор у называет-
ся нормальным, если уу* = у*у. Если е = {ei,...,e„}
- ортонормированный базис V и А = [у]е, то равенство
= у*у эквивалентно равенству матриц
А • А’ = [у]е [у*]е = [уу*]е = [у*у]е = [Т*Ш]е = А’ • А.
Предложение 1. Пусть у - нормальный линейный
оператор унитарного пространства V и а - собственный
вектор, т.е. у(а) = а  а. Тогда у*(а) = аа.
Доказательство. Рассмотрим скалярное произведе-
ние
((<р* - а 	(Т* - М(а)) =
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
283
= (<р*(а), <р*(а)) — (<р*(а), аа) — (<йа, <р*(а)) + {аа^аа) =
= (<р<р*(а), а) — ct(<p*(a), а) — а(р(а), а) + снй(а, а) =
=	, а) — а(а,<р*(а)) — (<р(а), аа) + (аа,аа) =
= (а, р*р(а)) — а(р(а),а) — (р(а),аа) + (аа,аа) =
= (</?(а), <ур(а)) — а(а,<р(а)) — (<р(а), аа) + (аа,аа) =
= (<р(а), <р(а)) — (eta, </?(а)) — (<р(а),сга) + (аа,аа) =
= (<р(а) — аа, <р(а) — аа) = 0.
Следовательно, (<р* — ае)(а) = 0. Предложение доказано.
Предложение 2. Собственные векторы, принадлежа-
щие различным собственным значениям нормального опера-
тора <р, являются ортогональными.
Доказательство. Пусть <р(а) = аа и <р(6) = /36, где
а Ф (3. Тогда
(<р(а),6) = (ста, 6) = а(а,Ъ) = (а,<р*(&)) =
= (а, /3 • Ь) = /3(а, Ь).
Следовательно, (а — (3)(а — Ь) = 0 и (а, Ь) = 0.
Теорема 3. (спектральная теорема для нормальных
операторов). Пусть V - конечномерное унитарное простран-
ство над полем С и <р - нормальный оператор. Тогда су-
ществует ортонормированный базис е = {ei,..., еп} простран-
ства V такой, что <p(ei) = ciiei,..., <р(еп) = апеп, т.е.
/ ад
284 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции относительно числа п. Пусть / = {/i,...,/n} -
некоторый базис V и А = [<р]у - матрица оператора у в
этом базисе. Рассмотрим характеристический многочлен
у(у) = |А — AEl- Пусть П| 6 С один из его корней. Решал
систему линейных уранений (А — аЕ)Х = 0, мы найдем
собственный вектор Е V, принадлежащий собственно-
му значению cti, т.е. <p(ai) = ajai. Пусть ei = Тогда
<p(ei) = пу и ||ei|| = 1. Пусть L = L(ei) = Cei и b Е LL.
Тогда (<р(6), ei) =
= (&, <p*(ei)) = (&, адех) = «1(6, ei) = 0. Это означает, что
<р(6) 6 L1 и L1 - инвариантное подпространство относи-
тельно у. Далее
(</(&), ei) = (6,у**(ех)) = (6,у(ех)) =
= (6, «161) = «i(&,ei) = 0,
т.е. у* (6) 6 L1 и L1 - инвариантное подпространство от-
носительно оператора у*. Так как dimcL1- = п — 1, то по
предположению индукции в L1 существует ортонормиро-
ванный базис из собственных векторов {в2,..., еп}, т.е.
Т(^з) — 61262, • • • , у(бп) — «n6n.
Ясно, что множество {ех, 62,..., еп} является искомым ба-
зисом для пространства V.
Определение. Линейный оператор у Е EndpV назы-
вается самосопряженным (или эрмитовым), если у = у*.
Из определения следует, что самосопряженный опера-
тор является нормальным (так как уу* = у2 = у*у). Если
[у]е = А - матрица оператора у в ортонормированном ба-
зисе е, то у - самосопряженный оператор тогда и только
тогда, когда А = А1.
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
285
Историческая справка. Эрмит Шарль (1822 - 1901)
французский математик. Основные труды по теории чи-
сел, алгебре и классическому анализу. Им доказана тран-
сцендентность числа е (в 1873 г.).
Предложение 3. Пусть у - самосопряженный опера-
тор унитарного пространства Vc- Тогда собственные зна-
чения у являются вещественными числами.
Доказательство. Пусть а - собственное значение и а
- соответствующий собственный вектор для оператора у,
т.е. у(а) = аа. Рассмотрим скалярное произведение
(у(а),а) = (ста, а) = а(а,а) = (а,у*(а)) =
= (а,у(а)) = (а, ста) = «(«,«).
Так как (а, а) 0, то а = а Е R.
Теорема 4 (спектральная теорема для эрмито-
вых операторов).
Пусть у эрмитовый линейный оператор конечномер-
ного унитарного пространства Vc- Тогда в V существует
ортонормированный базис {ер ..., еп}, состоящий из соб-
ственных векторов оператора у с вещественными собст-
венными значениями, т.е.
/ ад
0 \
Me =
где ai Е R.
Доказательство следует из теоремы 1 и предложения 3.
Определение. Линейный оператор у Е EndpV назы-
вается унитарным, если уу* = у*у = е.
Из определения следует, что унитарный оператор явля-
ется нормальным. Если / =	- ортонормиро-
ванный базис V и А = [у]у, то у - унитарный оператор
тогда и только тогда, когда А • А1 = А1 А = Е.
286 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Далее, если - унитарный оператор, то для любых
векторов a,b Е V (<р(а), у(6)) = (а,у*<р(&)) = (a,s(6)) =
(а, &),тп.е.<р сохраняет значение скалярного произведения.
Обратно, если для любых векторов
a,b Е V (а,Ь) = (<р(а),у(&)),
то
(<р(а),у(Т)) = (а,(у*у)&) = (а, 6)
и
(а,	— е)Ь) = 0.
Полагая а =	— е)Ь, получим, что
(<р*у — е)Ь = 0 и <р*<р = е.
Следовательно, если у не меняет величины скалярного про-
изведения, то у - унитарный оператор.
Предложение 4. 1) если а - собственный вектор уни-
тарного оператора у и а - соответствующее собственное
значение, то |а| = 1;
2) у - унитарный оператор тогда и только тогда, ког-
да для любого ортонормированного базиса {ei,..., еп} его
образ {<p(ei,..., у(еп)} тоже является ортонормированным
базисом.
Доказательство. Пусть у(а) = аа, где у - унитарный
оператор. Тогда (у(а),у(а)) = (а, а) = (аа,аа) = аа(а,а).
Так как (а, а) 0, то аа = |ct|2 = 1 и |а| = 1.
Докажем 2 если у - унитарный оператор и {ei,..., еп} -
ортонормированный базис, то для любых индексов i,j < п
справедливо равенство (у(ег-), у(еу)) = (ег-,еу) = где
0,
1,
---символ Кронекера.
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
287
Это означает, что {^(ei),..., <р(еп)} - ортонормирован-
ное множество векторов. Так как их число равно п, то они
образуют базис. Обратно, пусть у линейный оператор,
переводящий ортонормированный базис {ei,..., еп} снова
в ортонормированный базис {<p(ei),..., <р(еп)}. Тогда для
п	п
любых векторов а = Е су-ег-, b = Е /Зг-ег- имеем следующие
равенства	г~	г~
ъ) = (Е	Е Ае) = Е
г=1	г=1	г=1
(р(а),р(Ь)) = (Е ^е(е), Е Ае(е)) =
i=l	i=l
= Е Е	= Е «Д-
г=1j=l	г=1
Это означает, что (а, 6) = (<р(а),<р(&)) ну- унитарный
оператор.
Историческая справка. Леопольд Кронекер (1823 -
1891) - немецкий математик. Основные труды по алгебре
и теории чисел.
Теорема 5 (спектральная теорема для унитар-
ных операторов).
Пусть у унитарный оператор конечномерного унитар-
ного пространства Тс- Тогда для оператора у существует
ортонормированный базис {ei,..., еп} = е из собственных
векторов с собственными значениями по модулю, равны-
ми 1.
Так как у - нормальный оператор, то доказательство
следует из теоремы 1 и предложения 4.
Пример. Пусть линейный оператор у Е EndcC^ в
стандартном базисе fi = (1,0,0), f2 = (0,1,0), /3 = (0,0,1)
288 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
имеет матрицу
Докажем, что = <р* - самосопряженный оператор, и
найдем для него ортонормированный базис из собственных
векторов.
Так f = {fi, f2,fs} - ортонормированный базис, то
[<р*]у = А' = А' = А
и = <р*, т.е. у - эрмитов оператор. Найдем корни его
характеристического многочлена
(2 - А)
2
-1
2
(-1-А)
2
-1
2
(2-А)
Согласно теореме 2, существует
/
зис {ei, в2, ез} такой, что [<р]е =
= -(А - 3)2(А + 3).
ортонормированный ба-
3 0 0 \
0 3 0	. Найдем этот
0 0—3,
базис. Рассмотрим систему линейных однородных урав-
нений
(А - ЗЕ) • X = 0 :
—+ 2х2 — жз = 0
2а?1 — 4x2 — 2хз = 0
—Х1 + 2x2 — хз = 0.
Ее фундаментальной системой решений являются век-
торы
«1 = (2,1,0), «2 = (-1,0,1).
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
289
Применим к ним процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Положим
«1	2	1
и w'2 = и2 - (w2ei)ei = (-1,0,1) - (—=)(—=, -^=,0) =
4 2	12
= (-1,0,1) + (-, -,0) = (—, -,1).
1	^5’ 5’ 7	5’ 5’ >
Нормируем вектор w'2, т.е. рассмотрим вектор
62 =
и'2
'39 ’ \ 6
Тогда
Не1|| = Ihll = (еье2) = 0
т(е1) = Зеь <р(е2) = Зе2.
Далее рассмотрим систему линейных уравнений
(А + ЗЕ)Х = 0:
5x1 + 2х2 — хз = 0
2xi Т 2х2 Т 2хз = 0
—Xi + 2х2 + 5хз = 0.
Так как ранг г(А + ЗЕ) = 2, то размерность простран-
ства решений равна 1. Найдем фундаментальный вектор
«з, положив хз = 1. Получим, что «з = (1,—2,1). Нор-
мируем его, положив е3 =	= (^, =|, ^). Тогда
290 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
||е3|| = 1, <р(е3) = —Зе3 и (еье3) = (е2, е3) = 0. Итак,
{ei, е2, е3} - искомый базис. При этом матрица перехода
/ X _Ы_ X \
X Тзо Тб
1	2	—2
от старого базиса / к новому базису е является унитарной.
Задача. Найти ортогональный базис в евклидовом про-
странстве многочленов степени < 3 :
V = {«о + aix + a2^2 + а3т3|аг- 6 RJ,
1
где (/х) = _/ f(x)g(x)dx.
Указание. Применим процесс Грама-Шмидта к исход-
ному базису {1, ж, ж2, х3}. Положив Д = 1, /2 = х — а • 1,
где
1	1
а = (У xdx)/ У dx = 0, т.е. /2 = х.
-1	-1
Пусть далее /3 = х2 — (Зх — у • 1, где
11 11 1
/3 = (У x3dx)/ У x2dx = 0, у = (У x2dx/ У dx = (2/3)/2 = -.
Таким образом, f3 = х2 — |. Наконец, положим
f4 = х3
где
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
291
Из этого следует, что
{1, Ж,X2
х3---ж} - искомый базис.
3’	5 J
В дальнейшем (до конца этого параграфа) будем пред-
полагать, что V - конечномерное евклидово пространство
(над полем R).
Предложение 5. Пусть у 6 End^V. Тогда в простран-
стве V существует одномерное или двумерное инвариант-
ное подпространство.
Доказательство. Рассмотрим характеристический мно-
гочлен |А — AEJ = 0 линейного оператора у, где А = [<р]е =
= (ар) - матрица оператора у в некотором базисе е. Если
этот многочлен имеет вещественный корень, то в простран-
стве V существует собственный вектор для оператора у,
который порождает одномерное инвариантное подпростран-
ство. Пусть ни один корень уравнения |А — AEJ = 0 не
является действительным числом. Докажем, что V со-
держит двумерное инвариантное подпространство. Пусть
а = a+bi - корень |А—AEJ = 0. Рассмотрим в систему
линейных уравнений
(А — аЕ)Х = 0, где п = dimV.	(3.3)
Так как г(А— аЕ) < п, то система (1) имеет ненулевое
решение х± = гр + ггд,...,хп = ип + ivn. Следовательно,
имеют место следующие равенства
ai(izi+wi)+ai2(iZ2+w2) + .. .+aln(un+ivn) = (a+&z)(Mi+^i)>
292 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
ani(wi+wi)+a„2(«2+^2)+- • +ann(un+ivn) = (a+bi)(un+ivn).
В каждом равенстве приравняем действительные и мни-
мые части. Получим, что
+ а12м2 + • • • + а\пип = ищ — bv\
..........	(З-Д
Т ®n2^2 Т • • • Т С^пп^п — аип bvn
ацТ1 + «12^2 + • • • + alnvn = avr + Ьщ
(3-5)
anlvl + an2v2 + • • • + annVn — avn + Ьип
Положим, далее, что
п	п
и = uiei, v = Е ад,
i=i	i=i
где е = {ei,..., еп} - исходный базис V. Тогда
<p(w) = аи — bv и <р(т) = av + bu,
т.е. подпространство L(u, v), порожденное векторами {и, г},
является инвариантным. Если dinrRL(u,v) = 1, то, напри-
мер, v = ц • w, где ц Е R и <p(w) = аи — bv = (а — Ьц)и, т.е.
и - собственный вектор и (а — b/а) - собственное значение
<р. Противоречие. Предложение доказано.
Предложение 6. Пусть W - подпространство простран-
ства V, инвариантное относительно линейного оператор <р.
Тогда Ж1 - инвариантно относительно <р*.
Доказательство. Пусть а Е Ж, b Е Ж1. Рассмотрим
скалярное произведение (а,<р*(&)). Согласно определению
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
293
(а,р*(6)) = (</?(а), 6). Так как р(а) 6 Ж, то (р(а),6) = 0 и
р*(6) 6 Ж1. Предложение доказано.
Замечание. Если е = {ei,...,e„} - ортонормирован-
ный базис Vr и А = [р]е, то [р*]е = А'. Доказательство
аналогично случаю унитарных пространств.
Пример. Если V = R/2) и р - поворот на угол а, то в
базисе ei = (1,0), 62 = (0,1) матрица оператора
Me =
cosa
sina
— sin a \ r ..	[ cosa sinci
И Me =
cosa )	\ —sina cosa
/ cos( — a} — sin ( — a) \
I sm(-a) cos(— ci) j
Таким образом, p* - поворот на угол (—а). В частности,
<р* = р"1.
Определение. Линейный оператор р 6 End^V назы-
вается симметрическим или самосопряженным, если р =
=
Это эквивалентно тому, что матрица оператора р в лю-
бом ортонормированном базисе е является симметричес-
кой, т.е. А = (<2у) = [р]е = А' или
1 А. I А. п, 1 А. ] А. п.
Из предложения 6 следует, что если Ж - подпростран-
ство, инвариантное относительно симметрического опера-
тора р, то Ж1 тоже инвариантно относительно р.
Предложение 7. Если р - симметрический линей-
ный оператор евклидова пространства V, то все корни его
характеристического многочлена вещественны.
294 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Если а = a+bi - комплексный корень
ф 0) характеристического многочлена оператора <р, то
из доказательства предложении 5 следует существование
векторов u,v Е V таких, что
<p(w) = а  и — bv, = а • v + bu.
Рассмотрим скалярные произведения
(<p(w), г) = a(w, г) —	г), (w, <р(г)) = a(w, г) + 6(w, w).
Так как у = <р*, то левые части предыдущих равенств
равны. Следовательно, 6((w, и) + (vy)) = 0 и b = 0. Проти-
воречие. Предложение доказано.
Теорема 6 (спектральная теорема для симметри-
ческих операторов).
Пусть у - симметрический линейный оператор евклидо-
ва конечномерного пространства V. Тогда существует ор-
тонормированный базис е = {ei, в2,..., еп} пространства
V из собственных векторов (с вещественными собствен-
ными значениями), т.е.
/ од
0 \
Me =
\ 0
/
Доказательство. Пусть cti - некоторый корень харак-
теристического многочлена линейного оператора у(од 6
С R) и ai - соответствующий собственный вектор, т.е.
у(«1) = адар
Пусть
ei =	1 и Wi = L(«i) = b(ei).
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
295
Из предыдущего следует, что W-^ - подпространство ин-
вариантное относительно <р. Аналогично предыдущему в
W-^ существует собственный вектор е2 такой, что
||е2|| = 1, <р(е2) = <т2е2.
Положим Ж2 = L(ei, е2). Тогда W^~ - подпространство, ин-
вариантное относительно <р. Продолжал эти рассуждения,
мы придем к существованию исходного базиса. Теорема
доказана.
Замечание. Вектор а = /ziei + ... + записан-
ный в таком базисе, переводится оператором у в вектор
<р(а) = /ziciiei + ... + /лпапеп (т.е. происходит растяжение
координат).
Определение. Линейный оператор у называется орто-
гональным, если уу* = у*у = £, т.е. у* = у-1.
Условие ортогональности оператора у эквивалентно то-
му, что матрица А такого оператора, записанная в орто-
нормированием базисе, удовлетворяет условию А' = А-1.
Предложение 8. Линейный оператор у является ор-
тогональным тогда и только тогда, когда для любых век-
торов а,Ь (у(а),у(&)) = (а, 6), т.е. у сохраняет скалярное
произведение.
Действительно, условие (у(а),у(6)) = (а, 6) эквивалент-
но условию (а, 6) = (а, (у*у)(6)). Полагая в последнем ра-
венстве а = (у*у)(6) — 6, получим, что
((у*А - Ф, (у*А - Ф) = 0.
Откуда следует, что у*у = е. Обратно, если
у*у = £, то (а, 6) = (а, (у*у)6) = (у(а), у(&)).
296 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Итак, условие (<р(а), <р(5) = (а, 6) эквивалентно равенству
<р*<р = е. Откуда следует, что у - невырожденный оператор
и <р-1 = (<р*у)у-1 = у*. Предложение доказано.
Пусть у - ортогональный оператор, е = {ei,...,e„} -
ортонормированный базис и А = [у]е = (ау). Тогда равен-
ства А- А = А! А = Е влекут за собой следующие системы
числовых равенств:
aii + ali + • • • + ani = 1, 1 < i < п
T ®2z®2J T • • • T dnAnj — 0, 2 7^	J	(3.6)
ай +	+	• • • + ain = 1, 1 < i < п
Т ®«2®j2 Т • • • Т din^jn — 0, 2	J	(3’7)
Легко видеть, что верно и обратное утверждение, т.е.
матрица А, элементы которой удовлетворяют либо систе-
ме равенств (3.4), либо (3.5), является ортогональной (т.е.
удовлетворяет равенству А' = А-1).
Предложение 9. Пусть у - ортогональное преобра-
зование и Ж подпространство V, инвариантное относи-
тельно у. Тогда Ж1 - подпространство, инвариантное от-
носительно у.
Доказательство. Из предложения 6 следует, что Ж1
инвариантно относительно у* = у-1. Пусть щ,..., -щ - ба-
зис Ж1. Тогда {у-1 (щ), у-1 (^2),..., у-1(-щ)} - базис Ж1.
Выразим произвольный вектор a Е Ж1 через новый базис
а = у1(у-1(щ) + ... + у^(у-1(^)),
где уг- 6 R. Тогда у(а) = yiTi + ... + Е Ж1. Предло-
жение доказано.
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
297
Теорема 7 (спектральная теорема о строении ор-
тогонального оператора).
Матрица ортогонального оператора в некотором орто-
нормированием базисе приводится к виду
/1
О
-1
cosa\ — sinai
sinaicosai
О
cosoijf — sinoijf
sinakcosa^ у
(3.8)
Доказательству теоремы предпошлем несколько замеча-
ний.
Замечание. Если а - собственный вектор (с собствен-
ным значением /3) для <р, то /3 = ±1.
Действительно, из равенств (<р(а), <р(а)) = (а, а) следу-
ет, что /32(а,а) = (а, а), т.е. /З2 = 1 и /3 = ±1.
Замечание. Если А = [<р]у - матрица оператора у в
ортонормированном базисе /, то |А| = ±1.
Действительно, из равенства А'А = Е следует, что
1 = \Е\ = \А'А\ = |А'р| = К т.е. \А\ = ±1.
Замечание. Пусть Ф Е End^R^ - ортогональное
298 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
й	г? I 11 ^12 I
преобразование плоскости и В =	его матрица
\ »21 022 /
в некотором ортонормированном базисе. Тогда
^11 + ^21 — 1, ^12 + ^22 — 1, ^11^12 + ^21^22 — О
И
&11 = COS/3, &21 = sin/3, bi2 = COSy, &22 = siny.
Следовательно,
cos(/3 — у) = cosf3cosy + sin/3 sin 7 = 0
7Г	3
и p — у = — ИЛИ p — у = -7Г.
В первом случае
7 = I3 - А, &12
= sin/3,
&22 = -C0S/3
(COSO SlTlp \
. п	\ = В' симметрическая матрица
smp —cosp I
с собственными значениями {1,-1}. Поэтому существу-
ет ортонормированный базис, в котором р имеет матрицу
1 ^1 ) Это означает, что |В| = —1 и - симметрия
относительно некоторой прямой. Во втором случае
у = /3 - —7Г, 612 = -sin{3, &22 = C0S/3
(COSO —SlTlp \
.	, т.е. р - поворот на угол (3 вокруг
81Юр COSO /
начала координат (при этом \В\ = 1).
Доказательство теоремы 7. Воспользуемся методом ма-
тематической индукции относительно числа п = dim^V.
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
299
Если п < 2, то доказательство следует из предыдущих за-
мечаний. Сделаем предположение индукции об истиннос-
ти нашего утверждении для пространств меньшей размер-
ности.
Если характеристический многочлен оператора у имеет
вещественный корень cti, то cti = ±1. Пусть ei - единич-
ный собственный вектор, соответствующий собственно-
му значению ср. Тогда L(ei)1 - подпространство, инвари-
антное относительно у и имеющее размерность, равную
(п — 1). По предположению индукции, в L(ei)1 существу-
ет искомый базис {е2,..., еп}. Следовательно, {ei,..., еп} -
искомый ортонормированный базис V, в котором у имеет
матрицу вида (3.8).
Если все корни характеристического многочлена явля-
ются комплексными, то из предложения 5 следует, что
в V существует двумерное подпространство, инвариант-
ное относительно у. Согласно одному из предыдущих за-
мечаний, в этом двумерном подпространстве существу-
ет ортонормированный базис {ер 62}, в котором [у]е =
/ cosB —si/nB \	„	т- /	\ ।
. п п . Подпространство L(ер 62) инвариант-
у smp cosp j
но относительно р и сИпткЦер ег)1 = (п — 2). По пред-
положению индукции в нем существует искомый ортонор-
мированный базис {ез, 64,... еп}. Тогда {ер в2, ез,..., еп} -
базис исходного пространства V, в котором р имеет вид
(3.8). Теорема доказана.
Доказанная теорема означает, что для ортогонального
оператора существует такой ортонормированный базис, что
осуществление этого преобразования сводится к симметри-
ям (относительно гиперплоскостей) и поворотам (относи-
тельно (п — 2)-мерных осей).
300 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Рассмотрим один частный вид ортонормированного опе-
. Именно пусть ортогональный оператор Т в некотором ор-
тонормированием базисе {ei,..., ег-,..., еп} имеет матрицу
Это означает, что Тег- = —ег- и является тождественным
оператором на подпространстве
Н —	,..., ег',..., еп).
Такой линейный оператор Т называется симметрией (или
отражением) относительно гиперплоскости Н. Ясно, что
Т2 = е и det[T]e = —1.
Важная роль симметрии следует из следующей теоре-
мы, доказанной французскими математиками Е. Вартаном
и Ж. Дьедонне.
12.3. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
301
Теорема 8. Каждое ортогональное преобразование п-
мерного евклидова пространства V является произведени-
ем не более п симметрий.
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции относительно числа п. Если п = 1, то ортогональ-
ное преобразование является либо тождественным, либо
симметрией относительно Н = (0). Сделаем предположе-
ние индукции об истинности теоремы для пространств раз-
мерности < (п — 1) и докажем ее для пространства V. Итак,
пусть Т - ортогональный оператор и а Е V такой, что
Та = а. Тогда Н = (L(a))1 инвариантно относительно Т.
Поэтому
Т - ортогональное преобразование в Н. По предположению
индукции существуют симметрии Гр ..., Ts, где s < п—1 в
Н такие, что для любого вектора b Е Н ТЬ = (Т\ ... Ts)(b).
Каждый линейный оператор 7} в Н доопределим до опера-
тора Т- в V следующим образом: положим Т-(а) = а и
Т-(и) = 2}(w), если и Е Н. Легко видеть, что Т[ - сим-
метрия в V, i < s пТ = Т(Т'2 .. .T's, где s < п — 1. Пусть,
Та ф а и b = Та — а 0. Рассмотрим ортогональный
оператор U являющийся симметрией относительно гипер-
плоскости Н = Тогда
(Та + а, Та — а) = (Та, Та) — (Та, а) -Е (а, Та) — (а, а) =0
и Та + а Е Н. Поэтому U2 = е,
U(Ta + а) = Та + а,
U (Та — а) = —(Та — а).
Складывая эти два равенства, получим, что
UTa = а.
302 ГЛАВА 12. УНИТАРНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Из предыдущего следует, что UT является произведени-
ем не более (п — 1) симметрий Гр... ,TS, где s < п — 1.
Следовательно,
UT = ТгТ2 ...Ts, т = U~T = U(UT) = Ш\Т2 ...Ts.
Теорема доказана.
Следствие 8. Если Т - ортогональный оператор в R/3)
и определитель матрицы Т в ортонормированном базисе
равен 1, то существует вектор а Е R/3) такой, что Та = а.
Доказательство. Если Т е, то Т является произ-
ведением симметрий. Так как определитель симметрии
(в ортонормированном базисе) равен (- 1), то число сим-
метрий равно двум, т.е. Т = Т^Т2, где 7} - отражение
относительно двумерной плоскости Hi, i = 1,2. Из равен-
ства
dim(Hi + Н2) + dim(Hi П Н2) = dimHi + dimH2
и неравенства dim(Hi+H2) < 3 следует, что НхГ\Н2 (0).
Пусть
а - ненулевой вектор из Н\ П Н2. Тогда
Та = (TiT^ia) = Т1(Т2(аУ) = Ti(a) = а.
Следствие доказано.
Глава 13
Квадратичные формы
13.1.. Приведение квадратичной формы к
главным осям
Пусть V — п-мерное векторное пространство над полем
R и f : V х V —> R - некоторая функция декартова квадра-
та пространства V в поле R. Функция (форма) f(x,y) на-
зывается билинейной, если для любых векторов x,y,z Е V
и любого числа а Е R справедливы следующие равенства:
/(ж + у z) = f (ж, z) + f(y, z), f(ax, z) = af(x, z),
y + z) = f(x, y) + f (x, z), f(x, ay) = af(x, y).
Пусть f (ж, у) - билинейная функция в V, {ер ..., еп} - ба-
п	п
зис V и х = Е адег-, у = Е yt&i - произвольные векторы
г=1	г'+1
из V. Тогда
п
f&y) =
i=l
п
Е yiei)
i=i
303
304
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
где aij = f(ei,ej) Е R. Матрица А = (агд) называется
матрицей билинейной формы /. Легко видеть, что
матрица перехода от старого базиса е к новому базису /
(т.е. fi = Е ektki, г = 1,п) и х = Е wjf, у = Е гд/г-
k=l	i=l	i=l
- выражения векторов х и у через новый базис. Тогда
X = TU, Y = Т • V и
f(x,y) = X'AY = (TU)'A(TV) = U'(T'AT)V,
где
1 wi
U =	:
\ /
1 Vi
V =	•
\vn J
Таким образом, матрица билейной функции (формы) в
новом базисе имеет вид (Т'АТ). Так как при умножении
на невырожденную матрицу ранг не меняется, то ранги
матриц А и Т'АТ равны. Билейная форма f(x,y) называ-
ется симметрической, если для любых векторов х,у Е R
справедливо равенство f(x,y) = f(y,x). Это эквивалент-
но тому, что матрица А является симметрической, т.е.
А = А'.
13.1. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
305
Определение. Если f(x,y) - симметрическая били-
нейная форма, то функция /(ж, ж) = X'АХ называется
квадратичной формой, а матрица А называется матрицей
квадратичной формы А.
Ввиду очевидного равенства
f(x + у, х + у) = /(ж, х) + 2/(ж, у) + f(y, у)
билинейная функция
у) =	+ у,х + у)- f(x, ж) - f(y, у)
однозначно определяется квадратичной формой /(ж, ж).
Теорема 1 (о приведении квадратичной формы
к сумме квадратов).
Пусть f (ж, х) - квадратичная форма в n-мерном вектор-
ном пространстве Vr. Тогда существует такой базис в Vr,
в котором эта форма является суммой квадратов.
Доказательство. Пусть f(x,x) = Х'АХ, где А =
- матрица квадратичной формы / в базисе
п	( Х1 У
& — l^i? • • • 1 i х — УУ х^е,^ X —	;
г=1
\ хп у
Определим на V скалярное произведение по правилу: если
п	п	п
а = Е суег- и b = Е /Зг-ег-, то положим (а, 6) = Е су-Д.
Относительно так определенного скалярного произведе-
ния, прост-
ранство V становится евклидовым и базис {ei,..., еп} яв-
ляется ортонормированным. Рассмотрим линейный опера-
тор у 6 End^y, матрица которого в базисе е равна [<р]е =
= А. Так как А = А', то р - симметрический оператор. Из
306
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
предыдущей главы следует, что для оператора у сущест-
вует ортонормированный базис / =	из собст-
венных векторов, т.е	<р(/1) = «1/1,-••	1	— (E>.fn и
	1 «1	0	
И/ =	«2	= в.
	\ 0	ап )	
Если Q - матрица перехода от старого базиса е к бази-
су / (т.е. / = eQ), то Q - ортогональная матрица и
В = Q~rAQ = Q'AQ. Это означает, что в новом базисе
квадратичная форма /(х,х) имеет следующий вид
f (х, х^ = X АХ = U BU = одМ1 Д- <42^2 Д- • • • Д- (хпип^
п	п
где х = Е Xi6i = Е Uifi Е V, X = QU. Теорема доказана.
г=1	г=1
п 9
Замечание. Выражение вида Е называется кано-
г=1
ническим видом квадратичной формы /(х,х).
Пример. Найти канонический вид и соответствующее
ортогональное преобразование для квадратичной формы
f (х, х) = 6Т| Д- 5а?2 Т 7а?з — 4xiX2 + 4х1Хз = Х!АХ.
1 6
где А =	—2
\ 2
-2 2 \
5 0 . Решим уравнение
0 7)
= 2(—10 + 2А) + (7 - А)(—4 + 30 + А2 — ПА) =
13.1. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 307
= -(А3 - 18А2 + 99А - 162) = 0.
Его корнями являются числа 3, 6, 9. Следовательно, 3w2+
+6w| + 9«з - канонический вид формы /. Найдем соответ-
ствующую ортогональную матрицу Q. Для этого найдем
собственные векторы, принадлежащие собственным зна-
чениям 3, 6, 9. Рассмотрим систему (А — ЗЕ}Х = 0 или
3x1 — 2ж2 + 2хз = 0
—2xi З- 2x2 З- 0 • Хз = 0
2xi 3- 0 • Х2 3- 4хз = 0.
Легко видеть, что вектор гщ = (—2, —2,1) является бази-
сом пространства решений этой системы. Положим
Рассмотрим систему (А — 6Е)Х = 0 или
0 • Xi — 2х2 3- 2хз = 0
—2x1 — Х2 3- 0 • хз = 0
2xi 3- 0 • Х2 3- хз = 0.
Вектор W2 = (1,-2,—2) является базисом пространства
решений. Положим /2 = ууду =	^|)- Рассмотрим,
наконец, систему (А — 9Е)Х = 0 или
—3x1 — 2x2 3- 2хз = 0
—2x1 — 4x2 3- 0 • хз = 0
2xi З- 0 • Х2 З- (—2)хз = 0.
308
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Вектор W3 = (—2,1,—2) является базисом пространства
решений.
{h,h,h}
1
V5
—2
V5
—2
V5
Положим /з = (^|,	^|). Следовательно,
базис из собственных векторов и матрица Q =
—2
V5
1
V5
—2
V5
/
V5
—2
V5
1
\ V5 .
Замечание. Пусть Е1 — («у) Е Rn, В — (bij) Е R
С = А • В = (cjj). Тогда к-й столбец матрицы С равен
- матрица перехода от базиса е к базису f.
1 Хк Хк	—	1 «п «21	• bik +	1 «12 «22	Ь^к + •	. +	«1п «2п	Ьпк
( Хк )		«п1 )		\ «п2 )			\ «пп /	
Это означает, что г(С) < г(А) и если В - обратимая
матрица, то из равенства А = С • В-1 следует обратное
неравенство г(А) < г(С). Таким образом, мы заметили,
что ранг матрицы не меняется при умножении ее справа
на обратимую матрицу.
Далее из равенства С = А-В следует, что (Q1Q2 • • • Q„) =
= (&11&12 • • • ^1п)«и + (&21&22 • • • Ь‘2п)ак‘2 + -   + {Ъп}Ъп‘2 ... Ьпп)а,кп-
Откуда следует, что г(С) < г(В). Если А - обратимая
матрица, то В = А-1С и г(В) < (С). Итак, мы доказали,
что ранг матрицы не изменится при умножении ее слева
(или справа) на обратимую матрицу. В частности, ранг
матрицы квадратичной формы является ее инвариантом,
т.е. величиной, не зависящей от базиса.
Укажем еще один важный инвариант для квадратичной
формы.
Пусть /(ж, х) = Х'АХ - квадратичная форма и г =
= г(А). Из теоремы 1 следует, что существует такая не-
вырожденная матрица Q, что, сделав замену X = QU, мы
13.1. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 309
получим представление формы / в виде
f (ж, ж) = «11/2 + ... + аги^.
Пусть
О I > 0, о2 > о,... , ак > 0, ак+1 < 0,... , аг < 0.
Число к называется положительным индексом инерции.
Покажем, что оно является инвариантом.
Итак, пусть в базисе {ei,..., еп} квадратичная форма /
имеет вид
/(ж, х) = а1х^ + ... + акх[ - f3k+1xl+1 - ... - 0гх2г,
где
х = TiCi + ... + хпеп, &i > 0, i < к и (3j > 0, к + 1 < j < г.
Пусть далее в базисе	квадратичная форма /
имеет вид
/ (ж, х) = ух?/? + ... + ^рур - Зр+1ур+1 - ... - Згу2,
где
> °, i < р и 6j > 0, р + 1 < j < г, х = yifi + ... + ynfn.
Если, например, р > к, то подпространства
• • • 1 fр) — L1 и	...,	— L-;
пересекаются нетривиальным образом, так как
dimL(fi, dots, fp) + dimL(ek+i,... e„) = (p — k) + n > n
и
dim(Li П L2) = dimLi + dimL^ — dim(Li + L2) > 0.
310
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Пусть х —	+ .. -+apfp —	+ .. .+Ъпеп ненулевой
вектор из Li П X. Тогда
f (х, х) = уха? + ... + ^pdp = -f3k+1bl+1 - ... - /Зг&2.
Противоречие. Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 2 (закон инерции квадратичных форм).
Ранг матрицы квадратичной формы и положительный ин-
декс инерции являются ее инвариантами.
Историческая справка. Общая теория квадратич-
ных форм создана немецким математиком К. Гауссом (1801)
Ему же принадлежит термин ’’квадратичная форма”. Тер-
мин ’’закон инерции” (от латинского inertia-бездействие)
ввел английский математик Дж. Сильвестр (1852).
13.2..	Положительно определенные квадра-
тичные формы
Определение. Квадратичная форма /(ж, х) = X'АХ
называется положительно определенной, если числа г,к,п
равны.
Это означает, что существует невырожденная матрица
Q такая, что, сделав замену переменных X = Q • U, полу-
чим, что
/(ж, ж) =	+ ... + апи^
где ai >0, i = 1, п.
Теорема 3 (критерий Сильвестера). Следующие
условия на квадратичную форму /(ж, х) = Х'АХ эквива-
лентны:
1)	/ - положительно определенная квадратичная форма;
2)	/(ж, х) > 0 для любого ненулевого вектора ж;
13.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ
311
3)	главные миноры матрицы А = (а^) положительны,
т.е.
Ai — «ц >0, А2 —
«11 «12
«21 «22
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
0,..., Ап = |А|>0.
Доказательство проведем методом математической ин-
дукции относительно числа п. Если п = 1, то /(ж, х) =
= анх? и эквивалентность условий 1, 2, 3 очевидна. Сде-
лаем предположение индукции об истинности теоремы для
квадратичных форм от (п — 1) неизвестных. Докажем ис-
комые эквивалентности для квадратичной формы /(ж, х)
от п неизвестных. Если /(ж, х) - положительно опреде-
ленная форма, то существует невырожденная матрица Q
такая, что, сделав замену переменных X = QU, получим,
что /(ж, х) = ciiWi + ... + anUn, где су >0, i = 1, п. Ясно,
что /(ж, х) > 0 при любом векторе х. Если /(ж, х) = 0, то
«1 = «2 = • • • = ип = 0 и xi = т2 = ... = хп = 0, т.е. х = 0.
Обратно, пусть /(ж, х) > 0 при х =/= 0. Согласно теореме 1,
существует невырожденная матрица Т такая, что, сделав
замену X = ТУ, получим, что
f (ж, Я?)	1^1У1 Т • • • Т ДкУк	@к+1Ук+1	• • • 1^гУг 1
где г = г(А), к - положительный индекс инерции. Ес-
ли г < п, то рассмотрим систему линейных уравнений
У1(х) = 0,..., Уг(х) = 0 относительно ад,..., xn(Y = T~lX).
Так как число неизвестных больше числа уравнений, то
эта система имеет ненулевое решение a?i°\..., х^. Пусть
х = x[°^ei + ... + х^еп, где {ei,..., еп} - исходный базис
пространства. Тогда /(ж, х) = 0 и х 0. Противоречие до-
казывает, что г = п. Если к < п, то рассмотрим систему
312
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
линейных уравнений
У1(х) = 0,..., Уп-1(х) = о, уп(х) = 1.
Эта система имеет ненулевое решение . ,х^. Пусть
х' =	+ ... + х^еп. Тогда f(x',x') = — /Зп < 0. Проти-
воречие. Итак, условия 1 и 2 эквивалентны.
71
Если форма f (х, х) = Е ctijXiXj = <p(xi,..., xn_i) +
м=1
n-l	9
+2 E ainXiXn+annxn - положительно определенная, то ква-
дратичная форма <р(т1,..., ж„_1) от (п — 1) переменных
ад,..., xn_i тоже является положительно определенной. Дей-
ствительно, в противном случае существуют числа 71,...,
7„_i (не все равные нулю) такие, что <7(71,..., 7„-i) < 0.
Положим
х = 7161 + ... + 7n-ien_i + 0 • е
Тогда /(ж, ж) < 0 и х 0. Противоречие. Итак, р - по-
ложительно определенная квадратичная форма. По пред-
положению индукции, главные миноры формы р положи-
тельны:
Ai — «и >0, А2 —
«11 «12
«21 «22
«11
«21
«п—И
«1/1—1
«2п-1
«71—1п—1
Покажем, что Ап = |А| > 0. Из теоремы 1 следует, что
13.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ 313
существует невырожденная матрица Q такая, что
/ (41
О \
Q'AQ =
где ai >0, i = 1,п. Откуда следует, что
«1«2 • • • ап = IQ'AQI = \Q'|А„|Q| = |Q|2A„, т.е. An > 0.
Обратно, пусть Ai > 0,..., An > 0. По предположению ин-
дукции квадратичная форма <p(xi,..., xn_i) является поло-
жительно определенной. Существует такое невырожден-
ное преобразование переменных ад,..., a?n_i, которое при-
водит у к виду агу1 + .. . + ап-1Уп-^ гДе ai > °, г = 1,п - 1.
Полагая уп = хп, получим, что
п—1
/ = <ХУ1 Т • • • Т an-iyn_^ + 2 ^2 bjnyiyn + bnnyn.
Так как
2	_	/	, "in \ 2
o^i + ^binyiyn = аДщ ч---------Уп)
то, полагая д = yi + b-^yn i = 1,п - 1 и zn = уп, получим,
что
-С	2 ।	।	2	।	2
/ =	+ ... + an_1zTl_1 + а • zn.
Пусть X = Qi • Z. Тогда
/ (41
0 \
Qi AQi =
(4 у
314
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
и «1^2 • • • «71-1» = |QiAQi| = |Qi|2An > 0. Следовательно,
а > 0. Теорема доказана.
Применим теорию квадратичных форм к анализу кри-
вых второго порядка на плоскости. Пусть К - кривая
второго порядка в R/2\ т.е. К - множество точек (ж,?/) Е
6 R/2), координаты которых удовлетворяют уравнению
пцт2 + 2(212Т?/ + а^у2 + 2aix +	+ а = 0.
Рассмотрим квадратичную форму
f	2 . о	.	2/	\ / «П «12 \ X
J = апх + 2аиху + а^У (ху)
\ «12 «22 / \ У
Пусть од, «2 вещественные корни
многочлена
«11 — А (212
«12	«22 — А
0.
характеристического
Согласно теореме 1,
существует ортогональная матрица Q такая, что, сделав
замену переменных
мы получим, что
f = од (ж')2 + о^у')2- Таким образом, в новой системе ко-
ординат уравнение кривой К принимает следующий вид:
Од(т )2 + С^У + 2&1Т + 2&21/ + Ъ — 0.
Заметим также, что ортогональная матрица Q является
матрицей перехода от исходного базиса ei = (1,0), 62 =
(0,1) к ортонормированному базису /рД из собственных
векторов, который находится стандартным путем. Пусть
далее 6 =
«11 «12
«12 «22
— ОД ОД.
Случай 1. 6 ф 0
В этом случае уравнение кривой можно переписать в
виде
. ,	&1 .•>	/ ,	&2х9	/, Ьу Ь1 .
од (ж -|---) + &2^y 4-------) + (Ь-------------) = 0.
ОД	ОД	ОД СИ2
13.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ
315
Сохраняя направление новых осей координат, перенесем
начало координат в точку (—ур — ^), т.е. сделаем подста-
новку
Тогда уравнение кривой примет следующий канонический
вид
cti (ж ) Ж О^у ) ж ci = О,
где а = Ь — — Если 3 > 0, то кривая имеет эллиптичес-
кий тип и является либо эллипсом (в случае, если ада < 0),
либо точкой (если а = 0), либо пустым множеством (если
а^а > 0). Если 6 < 0, то кривая имеет гиперболический
тип и является либо гиперболой (если а 0), либо парой
пересекающихся прямых (если а = 0).
Случай 2. 6 = 0 (кривая К имеет параболический
тип).
Пусть, например, cti = 0, о2 7^ 0. Тогда уравнение кри-
вой принимает вид
oxi(y )^ Ж 2&1Т Ж 2£>22/ Ж Ъ — 0.
Если = 0, то, полагая у" = у' Ж х" = ж', получим
следующую запись уравнения кривой
Ж (&----) = 0.
«2
Если b = то К - пара совпадающих прямых; если
Ж
О2(Т---< 0,
«2
то К - пара параллельных прямых; если а^Ъ —	> 0, то
К - пустое множество. Если 7^ 0, то, сделав замену х" =
316
ГЛАВА 13. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
х' +	у"]у' + у)? получим новую запись уравнения
кривой К
а2(у")2 + 2Ь]х" = 0.
Таким образом, К - парабола.
Пример. Определить вид кривой К, заданной уравне-
нием
За?2 — 2ху + Зу2 + 2т — 4у + 1 = 0.
Рассмотрим характеристическое уравнение
Его корнями являются числа cti = 4, о2 = 2. Найдем соб-
ственные векторы, принадлежащие найденным собствен-
ным значением. Решая систему
—ад — а?2 = 0
-лд - х2 = 0, (о । = 4),
получим, что вектор = (1,-1) является ее фундамен-
тальным вектором (т.е. базисом пространства решений),
а вектор а2 = (1,1) является базисом пространства реше-
ний следующей системы
ад — х2 = 0
-ад + ад = 0, (о । = 2).
Положим, fr =	= (Д, Д), /2 =	= (Д, Д). Тогда
/	/-4\	• /-4\ \
z,	\ cos( — ) -sm{-} \
(/1/2) = eie2 . Т4 Д4\
\ sin — cos —	/
\ V 7Г >	V 7Г >	/
13.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ
317
и базис {fi, /2} получается из базиса {ер 62} поворотом (по
часовой стрелке) на угол тг/4. Положим
2 V2
2 V2
Тогда уравнение кривой примет следущий вид
9	4
4(т')2 + 2Q/)2 + ~^(х' + у') - -^(-х' + у')
или
4(г-")2 + 2(у")2 = |, где х" = х’ + у" = у' -
Итак, К - эллипс.
Замечание. Рассуждая аналогично, можно провести
исследование (анализ) уравнения поверхности второго поряд-
ка в К/3).
318
ЛИТЕРАТУРА
1.	Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., 1975.
2.	Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1975.
3.	Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.
4.	Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М., 1984.
5.	Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и
геометрия М., 1986.
6.	Халмош П. Конечномерные векторные пространст-
ва. М., 1963.
7.	Архангельский. Конечномерные векторные прост-
ранства. М., 1982.
8.	Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и
многомерная геометрия. М., 1970.
9.	Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее
приложения М., 1975.
10.	Шикин Е.В. Линейные пространства и отображе-
ния. М., 1987.
11.	Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., 1974.
12.	Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной
алгебре. М., 1974.
13.	Сушкевич А.К. Высшая алгебра. М., 1937.
14.	Шапиро Г.М. Высшая алгебра. М., 1935.
15.	Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М., 1937.
16.	Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.
М., 1968.
17.	Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической гео-
метрии М., 1975.
18.	Привалов И.И. Аналитическая геометрия.
М., 1965.
19.	Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и ана-
литической геометрии. М., 1977.
20.	Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по
высшей алгебре. М., 1972.
21.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической
геометрии. М., 1980.
319
22.	Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия. М., 1963.
23. 24.	Боревич З.И. Определители и матрицы. М., 1988. Беланов А.А. Решение алгебраических уравнений методом Лобачевского. М., 1988.
25. 26.	Sigler L.E. Algebra. Springer-Verlag, 1976. Curtis Ch.W. Linear Algebra. Springer-Verlag, 1984.
27.	Childs L. A concrete introduction to Higher Algebra. Springer-Verlag, 1992.