Тригонометрія. Часть 2. Гоніометрія - Глазенапъ С.П.

Автор: Глазенапъ С.П.
Теги: математика геометрия тригонометрия
Год: 1916
Похожие
Описательная астрономія
Геометрическія упражненія съ кускомъ бумаги
Элементарная геометрiя.
Тригонометрiя.
Текст
                    Проф. С. Глазенапъ
ТРИГОНОМЕТРІЯ
ЧАСТЬ II.
ГОНІОМЕТРІЯ
ИЗДАНІЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ.
ервомъ изданіи Гоніометрія Глазенапа допущена Ученымъ Комитетомъ
>днаго Просвѣщенія въ качествѣ руководства въ среднихъ учебныхъ
Цѣна 1 р. 10 коп.
Издан^ Г. 3/Глазенапъ.
ПЕТРОГРАДЪ ,
1916
Проф. С. Гллзендлъ
Г
ТРИГОНОМЕТРІЯ
ЧАСТЬ II.
ГОНІОМЕТРІЯ
ИЗДАНІЕ ВТОРОЕ.
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ.
Въ первомъ изданіи Гоніометрія Глазенапа допуцтена Ученымъ Комитетомъ Министерства
Народнаго Просвѣшенія въ качествѣ руководства въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.
X
Цѣна 1 р. 10 коп.
Изданіе Т. 3. Глазенапъ.

ПЕТРОГРАДЪ
1916
Г«*удм«т**ннаі' оиолмотем
й* н*родк»м<
ПРЕДИСЛОВІЕ
Петроградъ дозволено военной цензурой 11» сентября 1916 г.
Въ настоящая второй части Тригонометріи излагается
ученіе о тригонометрическихъ функціяхъ пли гоніометрія.
Хотя при изложеніи предмета я придерживался концен-
трическаго метода, принятаго для реальныхъ училищъ, но
учебникъ пригоденъ и для гимназій. Съ ятою цѣлью при-
веіепа утвержденная Министерствомъ Народнаго Просвѣ-
щенія программа тригонометріи для мужскихъ гимназій, и
противъ каждаго вопроса указанъ параграфъ настоящей
Тригонометріи, Если преподаватель гимназіи приметъ мой
учебникъ и въ изложеніи будетъ слѣдовать порядку утвер-
жденной программы, то ему придется начать съ настоя-
щей части, составленной совершенно независимо отъ пер-
вой. По изученіи гоніометріи можно приступить къ рѣше-
нію треугольниковъ по правиламъ, изложеннымъ въ пер-
вой части настоящей Тршонометрш.
С. Глазенапъ.
Тил. Т-ва А. С. Суворина—..Новое
Время".Эртелевъ, 13
Программа Тригонометріи дополнительнаго класса
реальныхъ училищъ.
(Новая программа 1906 г.).
(Цифры, стоящія въ скобкахъ, означаютъ параграфы настоящаго
учебника).
Тригонометрическія (круговыя) функціи дуги (11 -14).
Измѣненія значеній тригонометрическихъ функцій при
измѣненіи дуги (аргумента) отъ — со до -|-ос(15—17).
Формулы приведенія тригонометрическихъ функцій ка-
кой ни есть дуги къ тригонометрическимъ функціямъ
дуіи, заключенной между 0 и	(18—19).
Соотношеніе между тригонометрическими Функціями
одной и той же дуги (20—21).
Теорема сложенія (тригонометрическія функціи суммы
и разности дугъ; (27— 30). Тригонометрическія функціи
кратной дуги и половины дуги (31—32).
Представленіе суммы и разности синусовъ и косину-
совъ въ видѣ произведеній (34). Понятіе объ обратныхъ
круговыхъ функціяхъ (25 26).
Тригонометрическія уравненія (39—43).
Неравенства: віп х < х < Ц- х и 0 < х - ьін х < д. ія г.гъ,
4
заключенныхъ между 0 и 1, н вытекающая изъ этихъ
неравенствъ возможность приближеннаго вычисленія три-
гонометрическихъ функцій (44 49).
Программа Тригонометріи мужскихъ гимназіи.
(Римскія цифры означаютъ часть, а арабскія 5; настоящей Тригоно-
метріи).
(вонкое измѣреніе угловъ и дугъ (II, 1 10).- Тригоно-
метрическія функціи и ихъ измѣненія съ измѣненіемъ
дуги отъ О до-(-со и отъ 0 до — со (11. 11	17). — До-
полнительныя дуги (II, 19).—Построеніе дугъ по данному
значенію какой-либо изъ тригонометрическихъ функцій
(П, 25).
Соотношенія между тригонометрическими функціями
одной и той же дуги меньшей 90 и обобщеніе этихъ со-
отношеній для любой дуги (II, 20).— Тригонометрическія
функціи дуіъ въ 30°. і5э и 60 (11. 22).
Приведеніе тригонометрическихъ функцій какихъ угодно
дуіъ къ тригонометрическимъ функціямъ дугъ первой
четверги (11, 18, 19).—общее выраженіе дугъ, отвѣчающихъ
іанному теченію тригонометрическихъ Функціи (11, 25).
Синусъ и косинусъ суммы двухъ дугъ для случая,
когда каждая изъ этихъ тугъ больше О. а сумма ихъ
меньше 90 . Распространеніе этихъ формулъ на случаи
какихъ угодно дугъ (11, 27—29).— Тангенсъ и котангенсъ
суммы івухъ дугъ (11.30 ).—Трпіонометрііческія Функціи
разности двухъ дугъ (11, 27— 29). — Тригонометрическія
функціи двойной и половинной дуги (II, 31, 32).
Преобразованіе суммы и разности синусовъ, косину-
совъ, тангенсовъ и котангенсовъ (11. 34).- Отношеніе суммы
синусовъ івухъ дугъ къ ихъ разности (И, 25).
Выво іт. и ” ’ііенсі'ла >іи а < а Ід « Ш, 44). Предѣлъ
отношенія —— при а, стремящемся къ о (II. 4л).—Разность
между дугою и синусомъ ея (II. 46).—Понятіе о вычисленіи
тригонометрическихъ функцій (II, 47, 18).
Составъ и употребленіе таблицъ лотаріюновъ тригоно-
метрическихъ функцій (1. 12—16 и П. 51).
Рѣшеніе простѣйшихъ тригонометрическихъ уравненій
(II, 39 —43).
VI
Соотношеніе между элементами прямоугольнаго тре-
угольника (I, 19—20).
Соотношенія между элементами косоугольнаго треуголь-
ника (I, 24—30).
Основные случаи рѣшенія прямоугольныхъ треуголь-
никовъ О, 21).—Особенные случаи рѣшенія прямоуголь-
ныхъ треугольниковъ (по суммѣ пли разности гипотенузы
съ катетомъ и острому углу; по суммѣ пли разности ка-
тетовъ и острому углу) (I, 22).
Рѣшеніе косоугольнаго треугольника по тремъ сторо-
намъ его (I, 32). -Рѣшеніе треугольника по двумъ сторо-
намъ и углу между ними (I, 34).- Рѣшеніе треугольника
по двумъ сторонамъ и углу, лежащему противъ одной изъ
нихъ. Изслѣдованіе этого рѣшенія (I, 36).—Рѣшеніе тре-
угольника по одной изъ сторонъ и двумъ узламъ (1, 38).
Формула Аіольвейде ГІ. 28).— Различныя выраженія пло-
та ш треугольника (Г. 40 42).
Сокращенія, принятыя въ настоящемъ учебникѣ:
Километръ обозначается		. . кт	футъ	обозначается . . ф.	
метръ		. . ш	ДЮЙМЪ	*	. . д.
дециметръ		. . гііп	линія	»	. . л.
сантиметръ		. . ст	десятина	»	. . дес.
миллиметръ		. . іи ш	гектаръ	-9	. . гект.
верста		. . вер.	килограммъ	5>	. клгр.
сажень		. . саж.	насъ	»	. . ч.
аршинъ		. . арш.	минута	»	. м.
вершокъ		. . верш.	секунда	»	. . с.
квадратный	метръ	. . ш2	кубическій	метръ	. . т3
	сантиметръ	. . ст2	>	сантиметръ . . ст3
	миллиметръ	. . тт2		миллиметръ . . тт3
	аршинъ	кв. арш.	»	аршинъ куб. арш.
	сажень	кв. саж.		сажень куб. саж.
Собраніе гоніометрическихъ форму ть, а также формулъ для рѣ-
шенія треугольниковъ дано на стр. 115—117 «Таблицъ логариѳмовъ
съ пятью дес ятпчными знаками» С. Глазенапа.
ОГЛАВЛЕНІЕ:
СТРАЦ.
Глава I. Углы и дуги ..................................................... I
§ I. А глы и ихъ алгебраическое выраженіі- (1). — § 2. Измѣреніе
> новъ. Радіанъ (3). — § 3. Дуги и ихъ алгебраическое выраженіе
(4).- § 4. Измѣреніе дугъ (5).- § 5. Измѣреніе угловъ дугами (5).
§ 6. Тригонометрическій кругъ (Іі).—§ 7. Зависимость между угломъ,
іугою и радіусомъ круга (6).—§ Я. Примѣры <7).	§ 9. Упражне-
нія ПО).- § ІО. Задачи (10).
Глава II Тригонометрическія функціи.............................. Кі
§ II. Общее понятіе о функціяхъ (II).—§ 12. Опредѣленіе пололи -
иія точекъ на линіи и на плоскости (121,- § 13. Тригонометрическія
функціи дуги (14).- § 14. Геометрическое изображеніе тригонометри-
ческихъ функціи (!(•).— § 15. Измѣненіе значеній тригонометриче-
скихъ «функцій ври измѣненіи дуги въ предѣлахъ одной окружности
(21).- § 16. Измѣненіе значеній тригонометрическихъ функцій при
измѣненіи дуги отъ - - со до -}~ со (25). — § 17. Графическое изобра-
женіе измѣненій тригонометрическихъ функціи (26).
Глава III. Основныя формулы Гоніометріи............................ 34
§ 15- Тригонометрическія «функціи отрипат,льныхъ дугъ (29).—
§ 19, (Формулы приведеніи тригонометрическихъ функцій какой ни
есть дуги къ тригонометрическимъ функціямъ дуги, заключенной
между О и ’І (30). — § 20. Соотношенія между тригонометрическими
4
«функціями одной и топ же дуги (41).—§ 21. Выраженіе пяти три-
гонометрическихъ функцій въ зависимости отъ шестой (43).—§ 22. Вы-
численіе значеній тригонометрическихъ «функцій нѣкоторыхъ дугъ
(44).—§ 23. Иное выраженіе дугъ ІІ-й н ІѴ-й четвертей и ихъ
тригонометрическихъ функцій (46).—§ 24. А пражненіи (49).
Глава IV. Обратныя тригонометрическія функціи...................... 51
§ 25. Общее выраженіе дугъ, отвѣчающихъ давиому значенію три-
гонометрической функціи (51).—§ 26. Обратныя круговыя Функціи
(55).—Задачи и упражненія къ й 26 (58).
VIII
стели
Глава V. Теоремы сложенія......................................... 60
§ 27. Сложоніе и вычитаніе дугъ (60).—§ 24 Тригонометрическія
функціи ссммы или разности цвѵхъ дугъ (теорема сложенія) (64).—
§ 29. Обобщеніе предыдущей теоремы (64).—§ 30. Тангенса и ко-
тангенса, суммы и разности двухъ датъ (62)—§ 31. Тригонометри-
ческія фу икни! івойной і.уги (69).—§ 38. Тригонометрическія функ-
ціи половины дуги (71і,- § 33. Упражненія и валами (74).
1 лава VI. Приведеніе многочленовъ къ логарн» шческому виду. .	75
§ 34. Представленіе суммы и разности синусовъ и косинусовъ въ
видѣ произведеній (75),—§ 35. Отношеніе суммы синусовъ двухъ
дугъ къ ихъ разности (76).—§ 3(>. Приведеніе двучлена къ логарио-
мпческоъу вида (77).- § 37. Приведеніе многочлена къ логариоми-
чі.кому виду (81). § 34 Приведеніе вещественныхъ корней квад-
ратнаго уравненія къ логарпомическому вгіу (82).—Упражненія къ
§ Зх (83).
Глава VII. Тригонометрическія уравненія . :....................... х)
§ 39. Общія замѣчанія о рѣшеніи тригонометрическихъ уравне-
ній (84).—§ 40. Тригонометрическія уравненія съ одною неизвѣст-
ною (86).- § 41. Тригонометрическія уравненія съ двумя неизвѣст-
ными (92). § 42. Упражненія и задачи (97).- § 43. Трансцендент-
ныя 'равненія (97).
Глава VIII. ('оставленіе тригонометрическихъ таблицъ.............. 99
§ 44. Всякая дуга первой четверти больше своего синуса и меньше
своего тангенса; зіп .г а' < Ісг .т (99). —§ 45. Предѣлъ отношенія
І111..’1 при ./. стремящемся къ нѵліо (1і>0;.	§ 4(і. Разность между
.г
дугою первой четверти и ея синусомъ (102).—§ 47. ('оставленіе
таблицы синусовъ и косинусовъ угловъ отъ 30 до 45° (103).—
§ 48 Вычисленіе таблицы синусовъ и косинусовъ угловъ отъ о до
30е. Формулы Симпсона (104).--§ 49. Повѣрка тригонометрическихъ
таблицъ (106)	§ 50. Разложеніе синусовъ и косинусовъ въ ряды
по возрастающимъ степенямъ дуги (107).—§ 51. Логариомы триго-
нометрическихъ величинъ чалыхъ угловъ (’ II).—§ 52. Упражне-
нія (416).
Отвѣты на задачи ко второй части................................. 117
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Углы и дуги.
§ 1. Углы и ихъ алгебраическое выраженіе. Углы
могутъ быть образуемы вращеніемъ линіи ОМ около нѣ-
которой точки О. Линія ОА, остающаяся неподвижною,
называется начальною, или основною, а линія ОМ, могущая
принимать всевоз-
можныя положенія,—	М
образующею или радіу-	/
сомъ-векторомъ. Линія	/
О А называется также	X.
основною стороною дан- ,	/ у\
наго угла, а линія ОМ— А----------------------—1--------
его второю стороною. -------------
При вращеніи радіу-
са-вектора по напра-
вленію стрѣлки отъ
начальнаго положенія
ОА, когда уголъ принимается равнымъ 0°, до спрямленія
тупого угла въ положеніи ОА', уголъ у принимаетъ послѣ-
довательно всевозможныя значенія отъ 0° до 180°. Если
Радіусъ-векторъ перейдетъ линію ОА' и приметъ положе-
нія ОМ', ОМ" и т. д., то уголъ, безпрерывно увеличиваясь,
станетъ выступающимъ и будетъ болѣе 180°. Когда, при
Дальнѣйшемъ вращеніи, радіусъ-векторъ совмѣстится съ
основною стороною ОА, уголъ приметъ значеніе въ 360°,
С. П. ГЛАЗЕНАПЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ. Ч. II.	1
3
2
а когда онъ дойдетъ до положенія ОМ, уголъ будетъ ра-
венъ у-1-360°, гдѣ у равенъ геометрическому углу АОМ.
Затѣмъ, при дальнѣйшемъ вращеніи радіуса-вектора, уголъ
продолжаетъ увеличиваться и при каждомъ новомъ совпа-
деніи радіуса-вектора съ ОМ увеличится на 360°. Вообще
уголъ будетъ равенъ:
послѣ 1-го оборота А1 — у-|-360г
»	2-го	»	А2 = у 4- 360° X 2
»	3-го	»	А3= у-)-360 ХЗ
и т. д.
»	п-го	»	Ап = у -|- 360° X п
Такимъ образомъ выраженіе угла, одна сторона кото-
раго направлена по ОА, а другая по ОМ, можетъ быть пред-
ставлено формулою:
А = 360°п + у,..................(1)
гдѣ п есть какое угодно цѣлое положительное число, вклю-
чая и нуль, а у—геометрическій уголъ АОМ меньше 360°.
Всякій уголъ, ограниченный ли-
уМ ніями ОА и ОМ, можетъ быть обра
/	зованъ вращеніемъ радіуса-векто
/ к	ра, съ одной стороны, отъ ОА къ
/	V?	ОМ по направленію стрълки <8, с і
У'________*	другой же вращеніемъ въ противо-
0 X	1 ,	положную сторону по стрѣлкѣ »8
х >• ч	/8	отъ О А къ ОС и далѣе до ОМ. въ
*	обоихъ случаяхъ абсолютное зна-
4 X'	ченіе угла можетъ безгранично воз-
'у,	растать. Для избѣжанія неопре-
дѣленности условились примѣ-
нять къ угламъ правило Декарта и считать положитель-
ными углы, образуемые вращеніемъ радіуса-вектора претивъ
часовой стрѣлки или справа налѣво для наблюдателя, мыс-
ленно находящагося въ вершинѣ угла, а отрицательными -
углы, образуемые вращеніемъ радіуса-вектора въ противо-
положную сторону, — т. е. по часовой стрѣлкѣ или слѣв
направо. На ѳтомъ основаніи уголъ, имѣющій сторонам
линіи ОА и ОМ и образованный вращеніемъ линіи въ
обратномъ направленіи по стрѣлкѣ 8', равенъ у — 360°=И'.
При второмъ оборотѣ радіуса-вектора въ отрицательномъ
направленіи уголъ принимаетъ значеніе А" =у — 360° X 2,
при третьемъ оборотѣ въ ту же сторону А"' = у — 360° X 3
и вообще послѣ т оборотовъ
А ~ у —- 360° т...................(2)
Оба выраженія (1) и (2) соединяются въ одно слѣ-
дующее:
Л = 360°п-|-у,.................(3)
въ которомъ п есть какое угодно цѣлое положительное
или отрицательное число, включая и нуль, а у — нѣкото-
рый уголъ меньше 360°, называемый геометрическимъ или
основнымъ.
Итакъ, абсолютное значеніе угла можетъ измѣняться
безгранично.
§ 2.	Измѣреніе угловъ. Радіанъ. Углы выражаются
въ градусахъ, градахъ и часахъ (§ 2, ч. I). Градусомъ на-
зывается 1)ао, градомъ—1]юо, а часомъ—1/» прямого угла. Во
всѣхъ случаяхъ за единицу угловъ
принимается опредѣленная часть
прямого угла. Иногда за единицу
угловъ принимается уголъ, стяги-
ваемый дугою, длина которой рав-
на ея радіусу.
Центральный уголъ, стягива-
емый дугою, равною радіусу дан-
наго круга, называется радіа-
номъ.
Пусть О А — г будетъ радіусъ нѣкотораго круга, и пусть
Дуга АМ, стягивающая центральный уголъ АОМ, равна
радіусу г; въ такомъ случаѣ А АОМ есть тотъ уголъ,
который называется радіаномъ.
Радіанъ есть постоянная ’гличина, не зависящая отъ ра-
діуса круга. Дѣйствительно, исходя изъ извѣстнаго свой-
ства дугъ круговъ, а именно, что дуги круга пропорціо-
1*
нальны емъ:	стягиваемымъ ими центральнымъ угламъ, имѣ- ААОМ г і 2кг 2к’
откуда	/ л п /г	/г 1 ААОМ= - = —	(4,
Какъ числитель, такъ и знаменатель послѣдней дроби
суть величины постоянныя; слѣдовательно, и радіанъ АОМ,
равный отношенію двухъ постоянныхъ величинъ, является
тоже постоянною величиною; радіанъ не зависитъ отъ
радіуса круга.
§ 3.	Дуги и ихъ алгебраическое выраженіе. Пусть
х' = АМ изображаетъ длину нѣкоторой дуги круга, радіусъ
котораго 0А = г.'Дуги измѣряются
отъ произвольно - избранной, но
постоянной,точки А и считаются,
подобно угламъ, за положительныя
въ одну сторону и за отрицатель-
ныя въ другую. Положительныя
дуги условились считать отъ А къ
2Ипо направленію стрѣлки8,аотри-
цательныя—въ противоположную
сторону,по направленію стрѣлки 8’.
Какъ углы могутъ быть образуемы вращеніемъ радіуса-
вектора (§ 1), такъ дуги — движеніемъ точки по окруж-
ности.
Если точка, двигаясь все время по одному направленію
въ ту или другую сторону отъ точки М, опишетъ пол-
ную окружность, пройдя длину, равную 2кг, то она вер-
нется въ прежнее положеніе М; то же самое произойдетъ
при второмъ, третьемъ и т. д. оборотахъ; поэтому алге-
браическое выраженіе дугъ, имѣющихъ начало въ точкѣ
А и конецъ въ М, будетъ:
Ѵ0 = х'
Ѵ1 = х' -(- 2кг; Ѵ2 = х! 2 X 2кг, и т. д.
V' = х' • - 2кг, V" — х' — 2 X 2кг и т. д.
• • (5)
5
Всѣ эти выраженія могутъ быть представлены одною
формулою:
V — 2ппг -|- х',.............(С)
1
гдѣ п есть какое-угодно цѣлое положительное или отри-
цательное число, включая и нуль, а х1 есть основное зна-
ченіе дуги V. Придавая и какія угодно положительныя или
отрицательныя значенія, мы можемъ получить дуги, абсо-
лютное значеніе которыхъ больше всякой данной вели-
чины.
§ 4.	Измѣреніе дугъ. Дуга V предыдущей формулы,
именно
V = 2пігг -|- х1,
выражается въ тѣхъ же линейныхъ единицахъ, что и ра-
діусъ г; напримѣръ, если радіусъ г выраженъ въ метрахъ,
то и х', а слѣдовательно и V, выражаются въ метрахъ.
Раздѣливъ обѣ части выраженія V на г, мы получимъ
въ частномъ отвлеченное число ѵ:
V	т'
ѵ= — = 2пк-|...............  (7)
г	1 г	7
показывающее, во сколько разъ длина данной дуги больше
дуги, длина которой равна радіусу.
Дуга, по длинѣ равная радіусу, стягивающая централь-
ный уголъ, равный одному радіану, называется дуювымі
радіаномъ.
Положивъ - = х, мы будемъ имѣть:
ѵ = 2піг ...................(8)
Дуга х считается основною алгебраическаго выраженія ѵ:
Дуги ѵ и х выражены въ дуговыхъ радіанахъ.
§ 5.	Измѣреніе угловъ дугами. Углы могутъ быть
также измѣряемы нѣкоторою постоянною дугою, имѣющею
опредѣленную величину.
Длина спрямленной дуги, равной ея радіусу, прини-
мается за единицу измѣренія дугъ. Уголъ, стягиваемый
6
подобною дугою, называется радіаномъ (§ 2); мы обозна-
чимъ его г(0); его значеніе равно
г(о) =	= 5 7°,2958........... (9)
7Г
Пусть у будетъ нѣкоторый уголъ, стягиваемый дугою
V при радіусѣ круга г; въ такомъ случаѣ:
Итакъ, уголъ, выраженный въ радіанахъ, равенъ длинѣ
стягивающей его дуги, выраженной въ частяхъ радіуса.
§ 6.	Тригонометрическій кругъ. Принявъ радіусъ за
единицу (г = 1), получимъ кругъ, называемый тригонометри-
ческимъ; въ немъ имѣемъ:
т. е. уголъ, выраженный въ радіанахъ, равенъ стягиваю-
щей его дугѣ тригонометрическаго круга. Отсюда выво-
димъ заключеніе, что углы могутъ быть измѣряемы стя-
гивающими ихъ дугами. Дѣйствительно, принявъ Н°)=1,
мы получимъ
У = ѵ............ (12)
На основаніи этого равенства мы можемъ замѣнять углы
дугами и, обратно, дуги замѣнять углами, помня, однако,
что дуги выражены въ частяхъ радіуса, а углы въ радіа-
нахъ.
§ 7. Зависимость между угломъ, дугою и радіусомъ
даннаго крута. Приведенное отношеніе (10), именно
У _Ѵ
г(о)— г
даетъ возможность по данному углу, выраженному въ гра-
дусахъ, вычислить длину дуги даннаго радіуса г и, обратно,
по длинѣ дуги даннаго радіуса г вычислить величину
угла у въ градусахъ. Мы выводимъ:
V	ѵ	V
у —Ѵ =г и г = —г<°) .... (14)
г	у	у
(13)
7
. V
Отношеніе — = ѵ есть отвлеченное число и является
г
дугою тригонометрическаго круга.
Значеніе радіана въ градусахъ, приведенное выше, мо-
жетъ быть раздроблено въ минуты и секунды; мы ихъ обо-
і і г
значимъ И') и г*").Обратныя же величины -=-,-тп п -= озна-
чаютъ дуговыя величины одного градуса, одной минуты
п одной секунды; обозначимъ ихъ 80, 8, и зи. Мы приво-
димъ ихъ значенія и ихъ логариѳмы:
г<°) = 57,°29578..
И') = 3437',747....
И"’ = 206264," 8 ....
8о =0,017 453 3 . ..
8, =0,000 290 888 .
8 и =0,000 004 84813
Ьо§' Ип>= 1,758123
гС) — 3,536274
Ьо§ И") = 5,314425
Ьо§ 80 =8,241877—10
8, =6,463727—10
Іо§ 8„ =4,685575—10
.... (15)
§ 8.	Примѣры.
1.	Пусть данный уголъ будетъ у = 68°37'15"; требуется
вычислить стягивающую его дугу при радіусѣ г = 3,65 ш.
Мы пользуемся второю формулою (14), именно:
Ѵ = -&)г=У8ог>
1
ГДѢ 80— ^о)-
Для помноженія у на 80 мы пользуемся вспомогательною
таблицею на стр. 107 моихъ «Таблицъ Логариѳмовъ», кото-
рац расположена такимъ образомъ, что градусы помно-
жаются на 80, и произведеніе дается противъ даннаго гра-
дуса; минуты помножаются на а секунды на зи, и ихъ
произведенія даны противъ данныхъ минутъ и секундъ.
Мы имѣемъ:
80 X 68'
8, х 37'
15"
= 1,18682
= 0,01076
= 0,00007
ВЪ суммѣ У8О.........
= 1,19765 радіановъ.
8
Найдя произведеніе ув0, мы помножаемъ его на данное
значеніе радіуса г = 3,65 т и получаемъ:
V = 1,19765 X 3,65 = 4,371 ш.
2.	Длина дуги тригонометрическаго круга ѵ = 0,552; вы-
числить величину стягиваемаго ею угла. Мы помножаемъ
ѵ на Н°) и получаемъ у ~ /"Ф. Съ помощью той же та-
блицы, мы находимъ сначала соотвѣтствующее число гра-
дусовъ, затѣмъ минуты и наконецъ секунды и ихъ доли,
если требуется такая точность.
Данная дуга —0,552
Ближ. меньш. табличн. дуга = 0,5410521; «/0=31°
остатокъ= 0,0109479
Ближ. меньш. табличн. дуга = 0,0107629; Уі=- 37'
остатокъ — 0,0001850
Ближ. меньш. табличн. дуга = 0,0001842; уи= 38"
остатокъ = 0,0000008	0,2
искомый уголъ у = 31° 37' 38" ,2
3.	Дана дуга V = 7,56 саж. при радіусѣ г = 5,64 саж.
Найти стягиваемый этою дугою уголъ.
Мы пользуемся первою формулою (14), именно
V
у = Н°) — =
г
и вычисляемъ сначала «=— = і	= 1,340 4256, а по ѵ нахо-
г 5,64
димъ уголъ по правиламъ примѣра 2: у = 76°48' 2",9.
4.	Дуга желѣзнодорожной линіи въ 1,56 версты стяги-
ваетъ уголъ въ 112°. Вычислить величину радіуса дуги
(радіусъ закругленія).
Мы пользуемся третьею формулою И 4), именно:
Ѵ,г. ѵ ѵ
у « 1	У8»
н°>
9
Итакъ, мы выражаемъ данный уголъ въ радіанахъ, а
затѣмъ дѣлимъ на полученное значеніе длину данной
дуги.
V 1 56
112°80 = 1,9548; г = — = -^- = 399,0 саж.
уз0 1,9548
§ 9. Упражненія.
1. Сколько градусовъ, минутъ и секундъ въ углѣ у, стя-
гиваемомъ дугою I при радіусѣ г?
а. 1~ Іо т
б. I— 25,7 Ш
в. I — 126,33 ш
г. 1= 78,9 Ш
д. I = 274,6 т
и г = 20 т.
и г = 102 т.
и г = 157,5 т.
и т = 130 т.
и г = 100 т.
2. Какова длина дуги I, стягивающей уголъ у при радіусѣ г?
а. у = 89°30'0"	и	г =	17 саж.
б. у= 36°52'8"	и	г= 23,756 т.
в. у= 154°37'25"	и	г = 135,67 саж.
г. у= 94°56'37"	и	г— 58,689 аріи
д. у = 85°43'56"	и	г = 256,3 т.
3. Какъ великъ радіусъ г дуги I, стягивающей уголъ уі
а.	1=	5 т
б.	1 = 32,758 т
н./ = 101,3 т
г. ? = 283,5 т
д. 1 = 256,8 саж.
и у= 13э16'12"
и у = 16°21'6"
и у= 39°Б7'30"
и у = 126с43'26"
и у = 171 "32'5".
§ 10. Задачи.
4.	Линія желѣзной дороги должна сдѣлать поворотъ на
27°50' при г = 400 саж. Какъ велика дуга I закругленія,
если она касается прямыхъ желѣзныхъ путей!
5.	Сколько квадратныхъ саженъ Р въ круговомъ секторѣ
при г = 25,6 саж. и при центральномъ углѣ ?/ = 38с42'!
10
6.	Вычислить площадь /'кругового сегмента при г=61,35 т
и при центральномъ углѣ г/ = 56°32'.
7.	Сколько квадратныхъ градусовъ заключается въ по-
верхности Р піара?
8.	Сколько квадратныхъ метровъ Р заключается въ
одномъ квадратномъ градусѣ шара радіуса В — 72 т?
ГЛАВА ВТОРАЯ.
Тригонометрическія функціи.
§ 11.	Общее понятіе о функціяхъ. Двѣ перемѣнныя
величины, могущія принимать различныя значенія, назы-
ваются функціями одна другой въ томъ случаѣ, если опре-
дѣленному значенію одной изъ никъ соотвѣтствуетъ одно
или нѣсколько значеній другой; одна изъ нихъ, могущая
принимать произвольныя значенія, называется аргументомъ
или независимою перемѣнною; другая же называется функціей
его. Напримѣръ, въ уравненіи
у  л г2,
у, выражающая площадь круга, называется функціею отъ
радіуса его г.
Функціи принято дѣлить на нѣсколько группъ; ихъ изу-
ченіе составляетъ предметъ высшаго математическаго ана-
лиза. Въ настоящемъ курсѣ Тригонометріи излагается о
Функціяхъ, составляющихъ особую группу и называемыхъ
тригонометрическими.
Тригонометрическія функціи принадлежатъ къ непре-
рывнымъ; при непрерывномъ измѣненіи аргумента онѣ
также измѣняются непрерывнымъ образомъ. Непрерывное
же измѣненіе аргумента считается въ томь случаѣ, если
каждое послѣдующее значеніе его отличается отъ преды-
дущаго на безконечно малую величину.
12
§ 12.	Опредѣленіе положенія точекъ на линіи и на
плоскости. Положеніе точки на прямой относительно из-
бранной точки О будетъ опредѣлено, если извѣстно ея раз-
стояніе отъ точки О и направленіе, въ которомъ она лежитъ.
Разстояніе выражается въ линейныхъ единицахъ, а напра-
вленіе опредѣляется алгебраическимъ знакомъ, при чемъ
№
X
—<-
О
условились, согласно пра-
вилу Декарта, считать по-
ложительными разстоянія
всѣхъ точекъ, лежащихъ вправо отъ точки О, а отри-
цательными— разстоянія всѣхъ точекъ, лежащихъ влѣво .
отъ О. Напримѣръ, если точка X лежитъ вправо отъ О на
3 метра, то ея положеніе опредѣляется числомъ -| '3т, а
если X'лежитъ влѣво отъ точки О на такое же разстояніе,
то ея положеніе опредѣляется числомъ—3 ш. Замѣтимъ,
что отъ нашего выбора
зависитъ считать раз-
стоянія, направленныя
въ одну сторону отъ
избранной точки О, за
положительныя, а напра-
вленныя въ другую за
отрицательныя.
Подобнымъ же обра-
зомъ опредѣляется по-
ложеніе точки на пло-
скости.
Пусть XX' и У У' бу-
дутъ двѣ взаимноперпен-
дикулярныя прямыя линіи, пересѣкающіяся въ точкѣ О.
Положеніе нѣкоторой точки М на плоскости будетъ из-
вѣстно, если дано ея разстояніе отъ обѣихъ прямыхъ XX'
п У У' и, кромѣ того, если извѣстно, съ какой стороны отъ
каждой изъ прямыхъ находится данная точка М.
Изъ данной точки М проведемъ перпендикуляры МР
и къ прямымъ XX' и УУ' и условимся выражать
МР = до положительнымъ числомъ, если данная точка М ле-
13
житъ выше прямой XX', и отрицательнымъ, если точки ле-
житъ ниже той же прямой; затѣмъ, условимся выряжать
= РО положительнымъ числомъ, если данная точка М ле-
житъ вправо отъ прямой У У', и отрицательнымъ, если она
лежитъ влѣво отъ той же прямой.
Изложенныя условныя опредѣленія предложены въ 17-мъ
столѣтіи французскимъ математикомъ Декартомъ. Вели-
чины МР и Мф называются координатами точки М, а
взаимноперпендикулярныя линіи XX' и У У'—координат-
ными осями. Вертикальная координата МР называется орди-
натою, а горизонтальная Л/ф абсциссою точки М.
На основаніи изложеннаго условія положеніе четырехъ
точекъ М, М', М”, М'" опредѣляется слѣдующимъ обра-
зомъ:
Точка М, лежащая въ области ХОХ, имѣетъ обѣ коор-
динаты положительныя.
Точка М', лежащая въ области Х'ОХ, имѣетъ положи-
тельную ординату и отрицательную абсциссу.
Точка М", лежащая въ области Х'ОУ', имѣетъ обѣ ко-
ординаты отрицательныя.
Точка М"', лежащая въ области ХОУ', имѣетъ отри-
цательную ординату и положительную абсциссу.
14
§ 13.	Тригонометрическія функціи дуги.Пусть АВА'В'
будетъ тригонометрическій кругъ, радіусъ котораго г = і,
и АМ—х нѣкоторая его дуга.
Примѣчаніе. Если разсматриваемая дуга V крута, радіусъ котораго
не есть единица, а нѣкоторое именованное число, напримѣръ В метровъ
то соотвѣтственная дуга х тригонометрическаго круга получится отъ
7
дѣленія V на В, а именно: х —	.
Черезъ центръ круга О и начало дуги А проведемъ ось
абсциссъ XX' и перпендикулярно къ неп — ось ординатъ
У У'. Координатныя оси дѣлятъ кругъ на четыре равныя
части, называемыя четвертями круга.
І-я четверть считается отъ	А до	В;
П-я	»	»	»	Б	до	А';
Ш-я	»	»	»	А'	до	В';
ІѴ-я	»	»	»	В’	до	А.
Построимъ для конца М данной дуги ординату МР и
абсциссу ОР=(^І.
Въ какой бы четверти круга ни оканчивалась данная
дуга, и какова бы она ни была—положительная пли отри-
цательная,—мы условимся называть;
15
1.	Синусомъ дуги х отношеніе ея ординаты къ радіусу:
МР
81П X —----
Г
и
вес X — -----=
СО8 X ОР
2.	Косинусомъ дуги х отношеніе ея абсциссы ОР къ ра-
ОР
діусу: со8х=—•
3.	Тангенсомъ дуги х отношеніе ея ординаты къ ея абс-
_ . МР
циссѣ: 1%х = -о?-
Косекансомъ, секансомъ и котангенсомъ мы будемъ
называть обратныя функціи синусу, косинусу и тангенсу,
1г	1г
именно: совес х = -— =	;
8ІПХ МР
1 ОР
° Ірх МР
Величины 8іпх, сова:, соі&х,
ваются тригонометрическими функціями
Въ тригонометриче-
скомъ кругѣ, въ кото-
ромъ всѣ линіи выража-
ются въ частяхъ радіу-
са, равнаго единицѣ,
тригонометрическія
функціи равны тригоно-
метрическимъ линіямъ:
весх и совесх
ДУГИ.
навы-
8ІПЖ—: МР\ СО8 Х = ОР II
МР
'«х=ор
Въ каждомъ частномъ случаѣ знаки отношенія зави-
сятъ отъ знаковъ координатъ конца данной дуги, опре-
дѣляемыхъ по правилу Декарта.
Если дуга отрицательная и оканчивается, напримѣръ,
въ точкѣ М, то АМ = — х и ея тригонометрическія функ-
ціи будутъ: 8Іп(—х) — МР < 0; соз(—х) — ОР > 0 и —х)=
ОР
16
  (16)
Точка 211 является въ то же время концомъ положи-
тельной дуги АБА'М = 2г.— х; поэтому отрицательная ду-
га — х и положительная дуга 2п — х имѣютъ однѣ и тѣ же
тригонометрическія функціи:
віп (— х) = віп (2я — х), сое (— х) — сое (2п — х)
и Іё(— ж) = іё(2л — а:).
Эти формулы даютъ возможность отъ тригонометри-
ческихъ функцій отрицательныхъ дугъ перейти къ три-
гонометрическимъ функціямъ соотвѣтственныхъ положи-
тельныхъ дугъ; мы ими воспользуемся въ слѣдующей
главѣ ІП-й (§ 18).
Такъ какъ углы могутъ быть измѣряемы дугами, то
выраженія: тригонометрическія функціи дуги и тригоно-
метрическія функціи угла являются тождественными. Кромѣ
того, изъ сравненія опредѣленія тригонометрическихъ^
функцій дугъ первыхъ двухъ четвертей съ опредѣленіемъ
одноименныхъ тригонометрическихъ величинъ острыхъ и
тупыхъ угловъ мы приходимъ къ заключенію, что онѣ
равны между собою.
§ 14. Геометрическое изображеніе тригонометриче-
скихъ функцій. Для уясненія измѣненій тригонометри-
ческихъ функцій отъ измѣненія дуги весьма удобно изо-
бразить ихъ геометрическими линіями тригонометриче-
скаго круга, радіусъ котораго принимается за единицу.
Для этой цѣли придадимъ всѣмъ тригонометрическимъ
функціямъ такой видъ, чтобы въ знаменателѣ находился
радіусъ круга; тогда числитель изобразитъ длину линіи
въ частяхъ этого радіуса. Изъ опредѣленія тригонометри-
ческихъ функцій, приведеннаго въ предыдущемъ пара-
графѣ, мы знаемъ, что віп а: и сова: содержатъ радіусъ
круга въ знаменателѣ, а совеса: и веса:— въ числителѣ;
что же касается до Іда: и соі§х, то въ нихъ радіусъ не
содержится ни въ числителѣ, ни въ знаменателѣ. Поэтому
придется преобразовать только четыре послѣднія функціи.
Построимъ тригонометрическій кругъ, и пусть ОМ —
— г=1. Пусть АМ = х будетъ нѣкоторая дуга, начало ко-
торой находится въ А, а конецъ—въ М (рис. на слѣд. стр.).
17
Черезъ центръ круга О и начало дуги А проведемъ
координатныя оси XX' и УУ' и построимъ координаты
конца дуги х\ МР—С^О и ОР— $М. Кромѣ того, проведемъ
касательныя АТ къ начальной точкѣ А и Б8— къ допол-
нительной В. Назовемъ для краткости первую касатель-
ную основною, а вторую — дополнительною. Затѣмъ продол-
жимъ радіусъ ОМ, проходящій черезъ конецъ М дуги х
до пересѣченія съ основною и дополнительною касатель-
ными въ точкахъ Т и & Въ такомъ случаѣ имѣемъ:

никовъ ОРМ и ОАТ выводимъ:
МР _АТ _АТ
ОР~ОА ~ г
слѣдовательно
АТ.
С. П. ГЛАЗЕНАПЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ. Ч. II
9
18
,	< ОР
4. согр;а; = —но изъ подобія прямоугольныхъ треуголь-
никовъ ОМР и 0В8 выводимъ:
ОР В8 В8
МР~ 0В~ г
слѣдовательно
соі^ х~В8.
с ОМ
5. несгг—
ОМ ОТ ОТ
ОР — 0А~~ г
слѣдовательно
вес х = ОТ.
; но
с	ОМ
6. соеес х = г—-;
МР’
ОМ ОМ 08 08
' ЯР= Оё = б5=ѵ = ож
слѣдовательно
совес х — 08.
Итакъ, въ тригонометрическомъ кругѣ
8іп х изображается линіей МР				
СО8Х	»	»	ОР	
	»	»	АТ	
СОІ§Ж	»	»	В8		V1'	>
вес®	»	»	ОТ	
совесж	»		08	
Слѣдуетъ помнить, что тригонометрическія функціи
суть отвлеченныя числа и изображаются линіями въ ча-
стяхъ радіуса круга, принимаемаго за единицу, или въ
радіальной мѣрѣ.
Такимъ образомъ въ тригонометрическомчз кругѣ, ра-
діусъ котораго есть единица, тригонометрическія функціи
дуги х могутъ быть изображены слѣдующимъ образомъ:
Синусъ ординатою конца данной дуги.
Косинусъ—абсциссою конца данной дуги.
Тангенсъ —частью основной касательной отъ начальной точки
до пересѣченія съ продолженнымъ радіусомъ, проведеннымъ че-
резъ конецъ данной дуги.
19
Котангенсъ- частью дополнительной касательной отъ допол-
нительной точки до пересѣченія съ продолженнымъ радіусомъ,
проведеннымъ черезъ конецъ данной дуги.
Секансъ—частью продолженнаго радіуса, проведеннаго черезъ
конецъ данной дуги, отъ центра круга до пересѣченія съ основ-
ною касательною.
Косекансъ частью того же радіуса отъ центра круга до пе-
ресѣченія съ дополнительною касательною.
Подобнымъ же образомъ изображаются тригонометри-
ческія функціи дугъ остальныхъ четвертей круга.
Положимъ, дуга х оканчивается во ІІ-й четверти въ
нѣкоторой точкѣ М2; ея тригонометрическія функціи при
ОА = г — 1 изобразятся слѣдующими линіями:
8Іпж = 7И2Р;	СО8 х — ОР;	1^х = АТ';
соГд х — В8'; $есх=ОТ'; совес х = 08'.
Согласно правилу Декарта, ордината М.,Р, какъ на-
правленная вверхъ отъ основного діаметра, считается по-
ложительною, а ОР, АТ' и В8',
какъ направленныя внизъ отъ
основного діаметра или влѣво
отъ дополнительнаго, счита-
ются отрицательными. Знаки
этихъ тригонометрическихъ
линіи, опредѣленные по пра-
вилу Декарта, вполнѣ согла-
суются съ знаками тригоно
метрическихъ функцій, при-
нятыми въ условномъ ихъ
обозначеніи (§ 13). Что ка-
сается до знака секанса ОТ'
и косеканса О61', то къ нимъ
не можетъ быть примѣнено непосредственно правило Де-
карта, такъ какъ они считаются не по координатнымъ
осямъ или имъ параллельнымъ линіямъ, а по радіусамъ
круга, могущимъ принимать различныя направленія въ
зависимости отъ величины дуги. Для опредѣленія ихъ
знака слѣдуетъ ввести добавочное условіе; оно заключается
2*
20
въ томъ, что весж и совес х считаются положительными
въ томъ случаѣ, если линіи, ихъ изображающія, проходятъ
черезъ конецъ данной дуги, и отрицательными, если ихъ ли-
ніи проходятъ черезъ діаметрально-противоположную точку
круга1). При этомъ условіи,
для дугъ ІІ-й четверти вес ж<0,
а совес х > О, что Согласуется
съ принятымъ опредѣленіемъ
знаковъ тригонометриче-
скихъ функцій. Замѣтимъ
здѣсь, что вес ж всегда имѣетъ
знакъ совж, а совес ж—знакъ
віпж, такъ какъ эти функціи,
взятыя попарно, являются
взаимнообратными.
Тригонометрическія функ-
ціи дугъ, оканчивающихся въ Ш-й четверти, напримѣръ въ
точкѣ ЛІ3, изображаются слѣдующими линіями, при г=1:
віп х = Р'ЛГ3;
х = А Т;
вес х = ОТ;
сов х—ОР'-,
соІ& х = Ѣ8\
совес х — 08.
’) Серра въ своей тригоно-
метріи предлагаетъ считать се-
кансъ и косекансъ не по радіусу
конца данной дуги ж, а по глав-
ному и дополнительному діаме-
трамъ. Для этой цѣли онъ прово-
дитъ череа і. конецъ дуги М ка-
сательную къ кругу до пересѣче-
нія ея съ основнымъ и дополни-
тельнымъ діаметрами въ точкахъ
И и 3. Ивъ построенія видно,
что 077 ~0Т~ яес х, а 03 ~
~ 08=совес х. Знакъ ОР и 03,
опредѣляемый по правилу Декар-
та, есть внакъ разсматриваемы хъ
тригонометрическихъ функцій.
Напр., для дуги, оканчивающі йся
въ ІП-й четверти, весж = ОТГ
и совес ж~ 03' считаются отри-
цательными, потому что точки
пересѣчевія II' и 3’ лежатъ въ
отрицательной части координат-
ныхъ осей.
21
Линіи 8ІП X, СОВ х, 8ес X и
совес х отрицательныя, а
цгх и соі&ж положитель-
ныя.
Наконецъ, тригономе-
трическія функціи лугъ,
оканчивающихся въ ІѴ-й
четверти, напримѣръ въ
точкѣ ІИ4, изображаются
слѣдующими линіями, при
г = 1:
8ІП X = РМ„
1§х= А Т';
весх=ОТ';
СО8 х = ОР-
со!§ х = Б8'-
совес х = 08'
Линіи сов» и вес а: являются положительными, а віп х,
1%х, со!§» и совес»—отрицательными.
§ 15. Измѣненіе значеній тригонометрическихъ
функцій при измѣненіи дуги въ предѣлахъ одной
окружности. Измѣненія тригонометрическихъ функцій
въ зависимости отъ измѣненія дуги всего лучше уясня-
ются съ помощью тригоно-
метрическаго круга и гео-
метрическаго построенія
функцій. Разсмотримъ ихъ
измѣненія послѣдовательно
въ каждой четверти.
Пусть АМг=х будетъ
дуга І-й четверти тригоно-
метрическаго круга; ея три-
гонометрическія функціи
будутъ:
віп х = МГР; сов х ~ ОР; х = А Т;
соі^ х = Ѣ8;	вес х — ОТ; совес х — 08.
Если конецъ дуги совмѣщается съ начальной точкой А,
то дуги нѣтъ: х=0. Въ этомъ случаѣ МХР и АТ исчезнутъ,
о ОР и ОТ сольются съ 0А = 1. Поэтому будемъ имѣть:
віп 0 = 0;	сов 0 = 1;
1^0 = 0; вес 0 = 1.
22
Что касается до соЬ§ 0 и совес 0, опредѣляемыхъ пере-
сѣченіемъ продолженнаго черезъ конецъ дуги радіуса съ
дополнительною касательною, то они не могутъ быть вы-
ражены числомъ, потому что продолженный черезъ ко-
нецъ дуги радіусъ ОМѴ сливаясь съ ОА, становится па-
раллельнымъ дополнительной касательной В8 и, слѣдо-
вательно, съ нею нигдѣ не пересѣкается. Мы говоримъ,
что точка пересѣченія 5 перемѣстилась въ безконечность,
что соі" 0 и совес 0 могутъ быть больше любого напередъ
даннаго числа, и обозначаемъ ихъ значеше символомъ оо:
со^О = оо и совес 0 = ос.
тг
Если 0 < х < —, то всѣ тригонометрическія фу нкціи
&
дуги х положительны и опредѣляются въ тригонометри-
скомъ кругѣ величиною соотвѣтственныхъ линій.
Но мѣрѣ пвиближенія конца дуги къ дополнительной
точкѣ В, функціи віпх, и весх увеличиваются, а совх,
соі&х и собеса уменьшаются. Когда же конецъ дуги Мг со-
вмѣстится съ дополнительною точкою В, то и для нея
М,Р и 08 совмѣстятся съ радіусомъ ОВ; ОР и В8 исчез-
нутъ; функціи же АТ и ОТ будутъ больше всякаго напе-
редъ даннаго числа, такъ какъ точка пересѣченія про-
долженнаго черезъ конецъ дуги радіуса съ основною ка-
сательною передвинется въ безконечность. Итакъ:
8іп^ = 1; сов^=0;	г§^- = оо;
м
77 л	7С	77
соід; - = 0; ьес ^ = со; совес - — 1.
Въ предѣлахъ ІІ-й четверти, когда конецъ дуги М2 (рис. на
слѣд. стр.) занимаетъ положеніе между точками В и А', соот-
вѣтствующими дугамъ^и к,функціивіпх—М,Р'и собеса?—08'
&
остаются положительными; остальныя же: сов х^ ОР',
і§х~АТ', соІдх= В8' и 5есх~0Т'—отрицательными. По
мі рѣ приближенія конца дуги М2 къ точкѣ А', въ которой
23
х = л, функціи віп ж, Ірж и весж численно уменьшаются, а
три остальныя функціи—соаж, соі^ж и совес х— увеличи-
ваются. Когда же конецъ
дуги М2 совмѣстится съ
точкою А', МгР' и АТ1
исчезнутъ, ОР' сольется
съ ОА', а ОТ'—съ ОА.
Что касается до сог^ж и
совес х, то для х = л эти
функціи будутъ больше
всякаго даннаго числа,
такъ какъ точка пересѣ-
ченія 8' продолженнаго
радіуса конца дуги съ
дополнительною касательною перемѣщается въ безконеч-
ность; поэтому:
8ІП п = 0; СОЯ я — — 1; л = 0;
соі^л — со; яесл = — 1; совес л — оо.
Въ предѣлахъ Ш-й четверти, когда конецъ дуги М3 за-
нимаетъ положеніе между точками А' и В', соотвѣтсвую-
Зл
щими дугамъ л и — <
&
функціи і%х=АТ и со1§®=
= В8 остаются положи-
тельными; остальныя же:
ВІП х = М3Р', соя х = ОР1,
зесх — ОТ и совес х = 08—
отрицательными. До мѣрѣ
приближенія конца дуги
М3 къ точкѣ В1, въ кото-
Зл А .	.
рой X = — , функціи 8Ш X,
А
1^® и вес® численно увеличиваются, а три остальныя—
сов х, соіуж и совес х—уменьшаются. Когда же конецъ
дуги Мв совмѣстится съ точкою В', М3Р' сольется съ
ОВ', ОР' и В8 исчезнутъ, а 08 сольется съ ОВ. Что же
„„	Зл	Зл	.	•	*
ьасается і.у — и вес — > то эти функціи будутъ больше
А	и
всякаго напередъ даннаго числа, такъ какъ пересѣченіе
24
Зл	Зл
сое — = 0;	•— - - со;
&	А
Зл	Зл
зес —= со; созес — ~—1.
и	Сі
четверти, когда конецъ дуги Л/4 за-
продолженнаго радіуса ОВ' съ параллельной ему основною
касательною перемѣщается въ безконечность; поэтому:
• Зл
81п -- = -1;
Зл
соѣеу^О;
Въ предѣлахъ ІѴ-й
нимаетъ положеніе между точками В1 и А, соотвѣтствую-
щими дугамъ и 2л, функціи сов х = ОР и 8есж = 0Т'
/и
остаются положительными; остальныя же: 8іпж = М4Р,
1^х = АТ', соЦ*х = В8' и со8есж = 0В'—отрицательными.
По мѣрѣ приближенія конца ду-
ги ТІІ4 къ точкѣ А, въ которой
3 = 2л, функціи 8іп х, 1%х и зесх
численно уменьшаются, а три
остальныя — сов х, соі^ х и
С08ес х — увеличиваются, при
Д - совмѣщеніи же конца дуги М4
съ точкою А, МіР и АТ' исче-
заютъ, а ОР и ОТ' совмѣщаются
съ ОА. Что же касается котан-
7’’ генса и косеканса, то они ста-
новятся больше всякаго напе-
редъ даннаго числа, такъ какъ
пересѣченіе продолженнаго радіуса ОА' съ параллельною
ей дополнительною касательною перемѣщается въ безко-
нечность; поэтому:
8іп2л=0;	С08 2л = -]-1;	1^2л = 0;
соі§ 2л = оо; зес 2л = -|-1; совес 2л = со.
Символъ безконечности со той или другой тригономе-
трической функціи дуги слѣдуетъ понимать, какъ указа-
ніе на то, что абсолютная величина функціи можетъ пре-
взойти любое напередъ данное число. Въ зависимости
отъ того, стремится ли данная функція къ безконечности,
сохраняя положительное или отрицательное значеніе, мы
приписываемъ символу со положительный или отрица-
тельный знакъ. Придерживаясь, этого условія, мы соста-
25
вляемъ слѣдующую наглядную таблицу измѣненій всѣхъ
шести тригонометрическихъ функцій въ предѣлахъ одной
окружности.
Измѣненія тригонометрическихъ функцій.								
Четверть.	і		II		III		IV	
Функція.	отъ	до	отъ	ДО	отъ	ДО	отъ	ДО
8ІПХ	0	+1	+1	0	0	— 1	—1	0
СОВ X	+1	0	0	— 1	— 1	0	0	+1
	0	4-00	—со	0	0	4-00	—со	0
СОІ{Т х	4*00	0	0	—оо	4-оо	0	0	—со
зесж	+ 1	4-00	—оо	— 1	— і	—оо	4-со	+ 1
сокес х	4-00	+1	+1	4~ОО	—со	— 1	— 1	—СО
Четыре послѣднія функціи претерпѣваютъ разрывъ, а
.	я	Зя
именно:	и еесж при ж = - и при х = — ; соІ§х и совесх
л	и
при ® —О И при ®=я. Въ этихъ точкахъ тригонометри-
ческаго круга значенія разсматриваемыхъ функцій переска-
киваютъ отъ -|-оо къ —со или обратно.
§ 16. Измѣненіе значеній тригонометрическихъ
функцій при измѣненіи дуги отъ —со до 4-со.
Предположимъ, что дуга ж, конецъ которой лежитъ въ
нѣкоторой точкѣ М, увеличилась на полную окружность
2я; конецъ дуги придетъ въ прежнюю точку М, и всѣ
шесть тригонометрическихъ функцій примутъ прежнее
значеніе; то же самое произойдетъ и при слѣдующихъ
увеличеніяхъ дуги на 2я. Если точка станетъ двигаться
въ другую сторону, считаемую отрицательною, то послѣ
полнаго оборота конецъ дуги тоже придетъ въ прежнее
положеніе М, и всѣ шесть тригонометрическихъ функцій
снова примутъ прежнее значеніе. То же самое произой-
детъ п при слѣдующихъ оборотахъ точки М въ отрпца-
26
тельную сторону. Поэтому мы можемъ написать слѣдую-
щія равенства:
віп (2пл х) — 8Іп х;
(2птс 4~ х) = х;
вес (2пл х) — вес х;
гдѣ п есть какое угодно
СО8 (2пл Ц- х) = сов х;
соі^ (2пл х) — соір' х;
совес (2птс х) ~ совес х,
- (18)
цѣлое положительное или отри-
цательное число, включая и нуль, а 2пи^-х есть алге-
браическое выраженіе всѣхъ дугъ, оканчивающихся въ
точкѣ М (§ 3).
Такъ какъ при каждомъ измѣненіи дуги х на полную
окружность тригонометрическія функціи принимаютъ преж-
нее значеніе, то ихъ измѣненія, происходящія въ пре-
дѣлахъ одной окружности, повторяются при всѣхъ слѣду-
ющихъ измѣненіяхъ дуги на полную окружность, какъ бы
велико ни было число повторяемыхъ оборотовъ или зна-
ченія цѣлаго числа п. Поэтому выведенныя формулы (18)
справедливы и для числа п, которое, оставаясь цѣлымъ, мо-
жетъ принять Значеніе больше всякой данной величины.
Тригонометрическія функціи, измѣняясь періодически
при безпрерывномъ измѣненіи аргумента х, называются
періодическими, а 2л—періодомъ аргумента.
§ 17. Графическое изображеніе измѣненій триго-
нометрическихъ функцій.
Для графическаго изображенія измѣненій тригономе-
трическихъ функцій съ измѣненіемъ дуги (или соотвѣт-
ственнаго угла) отъ —оо до 4~со отложимъ по абсциссѣ
въ произвольномъ масштабѣ послѣдовательныя значенія
х направо отъ 0 положительныя, и налѣво—отрицатель-
ныя. По ординатамъ отложимъ для каждаго значенія х
соотвѣтствующее значеніе тригонометрическихъ функцій,
принявъ радіусъ равнымъ десяти дѣленіямъ по верти-
кальной линіи, а по горизонтальной линіи одно дѣленіе
равнымъ 10°. При этихъ условіяхъ получаются слѣдую-
щія графики:
I графика для у = вІпх
II »	»	г/ = совх
Ш »	»	у—-Цгх
IV графика для у = соі§х
V	»	» у~ 8<‘С х
VI	»	» у = совес х
1. Измѣненія у — еіп х.
111. Измѣненія у — х.
IV. Измѣненія у — соі^х.
II. Измѣненія г/~С08Ж.
V. Измѣненія у г=8есж.
VI. Измѣненія у — совес х.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
Основныя формулы Гоніометріи.
§ 18. Тригонометрическія функціи отрицательныхъ
дугъ. Отъ начальной точки А отложимъ какую угодно
положительную дугу АМ — х и равную ей отрицательную
дугу ,АМ'~ — х. Каковы
бы ни были эти дуги, ихъ
концы лежатъ въ одинако-
вомъ разстояніи отъ оси
XX', но по разнымъ сто-
ронамъ ея; кромѣ того, онѣ
лежатъ по одну сторону
отъ оси У У и въ одина-
ковомъ отъ нея разстоя-
ніи. Основной діаметръ
ХОХ' является биссектри-
сою центральнаго угла,
стягиваемаго дугою МАМ',
и потому синусы МР и М'Р
положительной дуги х и
отрпцател ыюй —х будутъ
тивоположны по знаку, а
тотъ же; поэтому
равны по величинѣ, но про-
косинусъ ОР будетъ одинъ и
віп (—х) = М'Р — — МР = — віп х;
сов (—х) — ОР — сое х.
30
Тангенсы АТ' и АТ и котангенсы В8' и В8 также равны
но величинѣ, но противоположны по знаку.
Тд (— х) = АТ = — АТ'— — х;
соі§ (— х) = В8 = — В8' — — соід х.
Далѣе имѣемъ:
1	1
вес (—х) =---7------ =---=4-8есж;
ѵ	СО8(—ж)	СО8 X 1
1 1
со&ес (—ж) = - -—7-= —;~ — совес х.
81Н (—X)	— 8ІП X
Итакъ:
8І П (— х) = — 8ІП х;	СО8 (—х) =	СО8 ж;
(—х) = —	х;	соі& (—х) = — соір; х;
8ес(—ж) = -)- 8ес х\ со&ес (—ж) = — соаес ж
• -(19)
Эти формулы являются общими для какихъ угодно
отрицательныхъ дугъ, такъ какъ при выборѣ дугъ |-ж и
— ж мы не сдѣлали никакихъ ограниченій.
Сов ж и 8ес ж, какъ не измѣнившія своего знака при измѣ-
неніи знака аргумента ж, принадлежатъ къ такъ называе-
мымъ четнымъ функціямъ, а віпж, і^ж, соі^ж и соеес ж,
какъ измѣнившія его, къ нечетнымъ.
§ 19. Формулы приведенія тригонометрическихъ
функцій какой ни есть дуги къ тригонометрическимъ
функціямъ дуги, заключенной между 0 и Задача о
приведеніи тригонометрическихъ функцій какой ни есть
дуги къ тригонометрическимъ функціямъ дуги, заключен-
ной между 0 и , разбивается на слѣдующія три:
1.	Приведеніе тригонометрическихъ функціи какой ни
есть дуги къ тригонометрическимъ функціямъ дуги, заклю-
ченной въ предѣлахъ одной окружности (между 0 и 2п);
2.	Приведеніе тригонометрическихъ функцій дугъ, за-
ключенныхъ въ предѣлахъ одной окружности, къ триго-
нометрическимъ функціямъ дугъ первой четверти (между
0 и - I; и, наконецъ,
31
3.	Приведеніе тригонометрическихъ функцій дугъ пер-
вой четверти къ тригонометрическимъ функціямъ дуги,
заключенной между 0 и
Въ частномъ случаѣ задача можетъ быть рѣшена од-
нимъ приведеніемъ; это бываетъ въ тѣхъ случаяхъ, когда
въ алгебраическомъ выраженіи данной дуги 2п~-\- х основ-
7Г
ная дуга х какъ разъ заключена между 0 и - . Вообще
же приведеніе состоитъ изъ трехъ перечисленныхъ дѣй-
ствій.
функціямъ дуги, заключен-
измѣнепію числа п на
1. Формулы приведенія тригонометрическихъ функцій накой
ни есть дуги къ тригонометрическимъ
ной въ предѣлахъ одной окружности.
Алгебраическое выраженіе
всѣхъ дугъ, имѣющихъ начало
въ точкѣ А и оканчивающихся
въ нѣкоторой точкѣ М, есть
2?і~ Ц- х, гдѣ х — АМ есть дуга
тригонометрическаго круга, а п—
цѣлое положительное или отри-
цательное число, включая и нуль.
При всякомъ измѣненіи дуги на
періодъ 2~, что соотвѣтствуетъ
одну единицу, всѣ тригонометрическія функціи прини-
маютъ соотвѣтственно
имѣемъ:
прежнія значенія. Поэтому мы
яіп (2шг -|- х) = 8іп х; соя (2пк х) = соя х\
(2пй -|- х) =	а;; СО1§ (2пи: Ц- х) — СОІ^ х;
яес (2п- Ц- х) = яес х; сояес(2тт -|- х) = сояес х,
 . .(20)
гдѣ х, какъ выше сказано, заключается между 0 и 2г.
Если основная дуга отрицательная, то тригонометри-
ческія функціи всѣхъ дугъ вида 2пл— х имѣютъ то же
значеніе, что одноименныя тригонометрическія функціи
отрицательной дуги — х, а такъ какъ значенія тригономе-
32
трическихъ функцій отрицательныхъ дугъ нами опредѣ-
лены (19), то мы выводимъ:
НІИ ( 2ПЛ — х) — віп (— X) = ВІП хг,
сов(2пл— #)= сов(—х) == сов ж;
і^(2пл— а;)—	1§(—х) =— ір; х\
соі{§ (2пл — ж)_ соі^ (— х) =с — соір; х\
вес (2пл — ж) — вес (— х) = Ц- вес х;
совес(2пл — х) = совес(— х) = — совес х.
 - -(21)
Эти формулы заключаются въ предыдущихъ, являю-
щихся общими для всѣхъ основныхъ дугъ, какъ положи-
тельныхъ, такъ и отрицательныхъ.
Съ помощью формулъ (20) тригонометрическія функціи
какой ни есть дуги приводятся къ одноименнымъ три-
гонометрическимъ функціямъ дуги, заключенной въ пре-
дѣлахъ одной окружности, между 0 и 2л.
Если дана положительная дуга, то для приведенія ея
тригонометрическихъ функцій къ тригонометрическимъ
функціямъ дуги, заключенной въ предѣлахъ одной окруж-
ности, слѣдуетъ вычесть изъ данной дуги ближайшее
меньшее кратное отъ 2л; если же дана отрицательная
дуга, то слѣдуетъ придать ближайшее большее кратное
отъ 2л. Въ обоихъ случаяхъ мы получимъ положительное
число меньше 2л, изображающее дугу тригонометрическаго
круга, заключенную между 0 и 2л.
Упражненія къ § 19, 1. Привести слѣдующія тригоно-
метрическія функціи къ тригонометрическимъ функціями
дуги одной окружности, заключенной между 0 и 2п.
1.	віп (22,563).
2.	сов(311,671).
3.	і# (- 292,071).
4.	віп ( — 31,569).
5.	зее (3-|і)
. /27л	>
6.	СОІ{г -------Х}
7.	віп 1256".
8.	1^3636°.
9.	сов(2568°34').
10.	со!ё(— 579°17')).
11.	вес (—6953°54').
12.	совес (3029° 3').
33
2. Формулы приведенія тригонометрическихъ функцій дугъ, за-
ключенныхъ въ предѣлахъ одной окружности, къ тригонометри-
ческимъ функціямъ дугъ первой четверти, между 0 и •
Пусть АМ1 = х будетъ нѣкоторая дуга І-й четверти;
отложимъ отъ начальной точки А дугу АМ4 — х въ от-
рицательную сторону и такія же
дуги отъ точки А' въ обѣ сторо-
ны:	= ж и А'М3 — х. Затѣмъ
построимъ ординаты М,Р, МгР'у
МЛР' и М4Р и абсциссы ОР и ОР';
проведемъ также радіусы ОМѴ
0М2, ОМ3 и ОМ4.
Изъ построенія мы видимъ, что
М<Р есть продолженіе МР, а М3Р'—
продолженіе М.гР'.
Дуги всѣхъ четырехъ четвертей круга могутъ быть
представлены слѣдующимъ образомъ".
І-Й	четверти	АМ1 = х
ІІ-Й	»	АВМ2 — к — х
II І-Й	»	АВМ3 — к Д- х
ІѴ-й	»	АВА'М4 = 2- — х
На основаніи опредѣленія тригонометрическихъ функ-
цій мы имѣемъ:
Для	І-й	четверти:	віп х —	М,Р	и	сов х =	ОР
»	ІІ-Й	»	ВІП (тг — х) =	М2Р'	и	сов (л — «) —	ОР'
»	ПІ-й	»	віп (к 4- х) =	- М3Р'	\ и	сов (~ Д- а?) =	ОР'
»	ІѴ-й	»	віп (2~—х)=	м4р	и	СОБ(2к— х) =	ОР.
Но прямоугольные ДА ОМѴР, 0М2Р', ОМ3Р' и ОЛ4Р
равны между собою, такъ какъ имѣютъ по равной гипо-
тенузѣ (радіусъ тригонометрическаго круга) и по равному
острому углу: / АОМк = _ А'ОМ., — / А'0М3 = Д Л0М4=х;
вслѣдствіе этого М3Р', М3Р'У М4Р и М4Р имѣютъ одну и
ту же величину. Что касается ихъ знака, то, по пра-
вилу Декарта, Л/,Р и М2Р'У какъ направленныя вверхъ отъ
С. I ГЛА ЗЕНАПЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ. Ч. II.	3
34
оси абсциссъ, считаются положительными, а М3Р'и ЛІ4Р,
какъ направленныя внизъ отъ нея,—отрицательными. По-
этому имѣемъ:
М^Р'^М.Р и М3Р' = МІР = — М±Р.
и
віп ( л — х) — МгР' = -|- МгР = 4“ віп х
віп ( л -ф- х) = М3Р' ~ — МХР — —- віп х
віп (2л — х) = М*Р ~ — М^Р =г — віп х
Далѣе, ОР есть косинусъ дугъ хи 2л — х; ОР' — коси-
нусъ д\ гъ л — х и л 4- х; первые косинусы считаются по-
ложительными, а вторые—отрицательными; поэтому:
сов ( л — х) - ОР' = — ОР = — сов х
сов ( л х) = ОР' = — ОР = — сов х
сов (2л — х) - ОР — -[- ОР = сов х
Изъ	полученныхъ	отношеній	мы выводимъ:	
1.	— х)~	_ ВІП (л — X)	_ 4- віп X _	— Іё®
		сов (л — х)	— сова;	
		_ ВІП (л 4- х) ~ сов (л 4-а;)	— віп X ' — СОВ X ~	4-іял
	(2 л —а;) =	ВІП (2л—а;)	— 8іпа;	
		-сов(2л—а;)	— 4“СО8 х ~	І^а;
2.	соі^(л — Х) =	сов (л — х)	— сова;	— соій х
		~ віп (л — х)	— 4- аіп х	
	соі^( л 4-.г) =	СОВ (л 4- х) ВІП (л 4- х)	— сова; — віп X	4- соі^ х
	СОІЦ (2л — г) -	_ сов(2л—а;)	4- сова;	— СОІ# X
		" віп (2л—х)	~ — віп х ~	
3.		і	1	— веса;
		~ СО8(л— X)	— — сов а	
	8ес(л4-я) =	1	1	— веса;
		сов (л 4~ а:)	—сов X	
		1	1	4- вес х
		" СОВ(2л—х)	~ 4-СО8 3;-’	
35
1 1
4. СОВСС (л — X) — ——.--- = —, 7--= -4- С08ѲС х
81П (л— X)	4- біп Ж 1
/ , 1 1
совес (- ч- х) = —г—.—;—- =-т— =—совес ж
•віп (л 4- ж) —вшж
1 1
совес 2л — ж)= . *. ---- =----—- -—совес ж
ВІП (2л — х)	—ВІП ж
Располагая тригонометрическія функціи по четвертямъ
круга, мы получаемъ слѣдующую таблицу формулъ:
для	ІІ-й четверти: віп (л — х) = 4- віп ж; —ж) = —1ёж; вес (л — ж) = — вес ж;	СОВ (л — х) — СОІЩ (л — ж) = совес (л — х) -	— СОБЖ — СОІ^ ж 4- совес ж
для	ІІІ-й четверти: віп (л 4- ж) = — віп ж; 1д(л4-ж) = 4- іёх; вес (л ж) = — вес х;	СО8, л 4- Ж) = соід(л4-ж) = совес (л 4- ж) =	— совж 4- соір; ж — совес ж
для	ІѴ-й четверти: віп (2л — х) = — віпж; 1ё(2к —ж) = —і^ж; 8ес (2л —ж) = 4- 5С‘с х>	СО8 (2л — х) = СОІ§ (2л — х) = совес (2л — х) =	- 4- СОВ ж = — соЬ^ х - — совес ж
Эти формулы служатъ для приведенія тригонометри-
ческихъ функцій дугъ, заключенныхъ въ предѣлахъ одной
окружности, къ тригонометрическимъ функціямъ дугъ пер-
вой четверти.
Дуги, сумма которыхъ равна полуокружности л, назы-
ваются пополнительными, а сумма которыхъ равна цѣлой
окружности 2л—исполнительными (А. Дмитріевъ, Тригоно-
метрія).
Хотя формулы (22) выведены для положительной дуги
х < ", но легко можно убѣдиться, что онѣ являются об-
А
Щіімп для какой угодно дугп ж,
а.	Общность формулъ приведенія для дугъ ІѴ-й чет-
верти (22) является какъ слѣдствіе общности формулъ
стр. 32, при п = 1.
з*
36
б.	Общность формулъ приведенія для дугъ ПІ-й чет-
верти доказывается слѣдующимъ образомъ. Какова бы ни
была дуга х, ея конецъ и конецъ дуги х я будутъ всегда
лежатъ на противоположныхъ концахъ одного и того же
діаметра; слѣдовательно, ихъ синусы и косинусы, секансы
и косекансы равны по величинѣ, но имѣютъ противопо-
ложные знаки, а тангенсы и котангенсы равны какъ по
величинѣ, такъ и по знаку.
в. Общность формулъ приведенія для дугъ ІІ-й чет-
верти доказывается слѣдующимъ образомъ. Какова бы ни
была данная дуга х, ея конецъ и конецъ ея пополненія
тг — х всегда лежатъ по одну сторону отъ оси абсциссъ
XX' и въ одинаковомъ отъ нея разстояніи; кромѣ тоги,
они лежатъ по разнымъ сторонамъ отъ оси ординатъ УУ1
и въ одинаковомъ отъ нея разстояніи. Слѣдовательно, си-
нусы пополнительныхъ дугъ, а также ихъ косекансы
равны по величинѣ и по знаку; косинусы же, секансы,
тангенсы и котангенсы равны по величинѣ, но имѣютъ
противоположные знаки.
Примѣръ. Привести къ тригонометрическимъ функціямъ
дугъ первой четверти слѣдующія тригонометрическія
функціи:
Мы имѣемъ:
37
Примѣчаніе. Формулы тригонометрическихъ функціи
дугъ І-й и ПІ-й четвертей и формулы тригонометрическихъ
функцій дугъ ІІ-й и ІѴ-й четвертей могутъ быть соединены
цъ слѣдующія общія формулы:
8іп (пл Ц- ж) = (— 1)" 8іп х;
8ІП (ПК — х) — (— 1)"+І 8ІП х;
іё(піс + х) = 1ё^
— ®) = —
сов(пкх) = (— 1)" сова:
сов (пп — х)~ (— 1)” сов х;
СОІ§ (пл -]_«)— СОІ&- X
соі# (пк — х) = — соіу X
(23)
Секансъ всегда имѣетъ
знакъ косинуса, а косекансъ—
знакъ синуса.
Упражненія и задачи къ § 19, 2. Найти логариѳмы
и сдѣлать приведеніе слѣдующихъ тригонометрическихъ
функцій:
1. 8Іп 715\		2. СОВ 3000.	3.	829°43'.
4.	00^(1312^5').	5. 8ес 7223е.	6. совес5342°.
7.	8Іп 1455°.	8. 8ІПІ1950.	9. СО8 28501.
10.	Цг 2159е.	11. 8ІП(— 615°11').	12. СО8(—953°26'),
13.	Іё(—3330°12').	14. 8ІП л.	15. СОІ^|л.
16.	6 вес - л. 11	17. ІвГ-	/49	\ 18. 8ІП	( -7С	хѴ * Лл	/
19.	/58	\ СОВ ( ^Л-> х 1.	/73	\ 20.	( 5 л-ну	
21.	Водяное колесо, вращаясь равномѣрно, дѣлаетъ
полный оборотъ въ одну минуту времени. Въ началѣ дви-
женія спица і8 проходила черезъ нѣкоторую неподвижную
точку А. Вычислить логариѳмы всѣхъ тригонометриче-
скихъ функцій угла, составляемаго спицею 8 съ началь-
нымъ положеніемъ послѣ 3 ч. 20 м. 20 с. движенія.
22.	Маховое колесо паровой машины вращалось слѣва
направо въ теченіе 20 м. 36,5 с. Въ началѣ движенія одинъ
изъ отмѣченныхъ радіусовъ колеса совпадалъ съ отри-
цательною частью оси абсциссъ, а одинъ оборотъ V ко-
леса совершался въ 21 сек. Вычислить абсциссу и орди-
нату вмѣшней точки отмѣченнаго радіуса въ концѣ дви-
женія, если длина его равна I = 0,75 ш.
38
23.	Суточное угловое перемѣщеніе планеты Юпитерѣ
вокругъ Солнца равно 299", 1284; вычислить логариѳмы
всѣхъ тригонометрическихъ функціи угла А, составляема™
радіусомъ-векторомъ планеты съ начальнымъ его положе-
ніемъ послѣ 5000 дней.
3. Формулы приведенія тригономе-
трическихъ функцій дугъ первой че-
тверти къ тригонометрическимъ функ-
ціямъ дугъ, заключенныхъ между 0 и
~. (Соотношенія между тригонометри-
ческими Функціями двухъ дополнитель-
ныхъ дугъ).
Двѣ дуги, сумма которыхъ рав-
на -, называются дополнительными
(§ 10, ч. I). Пусть АМ = х будетъ нѣкоторая дуга І-й
четверти тригонометрическаго круга. Согласно сдѣлан-
ному опредѣленію, дуга МВ будетъ дополнительною дугѣ
х, такъ какъ
АМ -|- МВ = х + МВ = ;
отсюда имѣемъ:
МВ-^—х.

Построимъ синусъ и косинусъ дуги X'.
віп х = МР и сов х — ОР.
Черезъ точку М, являющуюся начальной для дуги
2
проведемъ радіусъ ОМ. Затѣмъ изъ конца дуги — х, со-
впадающаго съ точкой В, проведемъ Е0МОМ, получимъ'
В<2 = ып ( — і
и О0~ сов М — х
Прямоугольные треугольники ОМР и 0В(^ равны межд}
собою; они имѣютъ одинаковыя гипотенузы 0М=0Б-=1
39
и равные острые углы МОР и 0В(2, такъ какъ послѣдніе
образованы взаимно-перпендикулярными линіями (В<2 ± ОМ
и ВОМОР); изъ равенства же этихъ треугольниковъ
слѣдуетъ:
МР = 0<2 и ОР —вд,
а потому предыдущія равенства переписываются слѣдую-
щимъ образомъ:
кіи х = МР = 0(2 = сов ( •— х '
сое х — ОР = В<2 = віп ( — х),
\ “ У
откуда' слѣдуетъ:
= сов х и сое
Затѣмъ, какъ слѣдствіе выводимъ:
ВІП х
сов х
= І^х
 • (24)
1
—— =совес х.
ВІП X
1
---—= 8ес X.
сова;
Э^ими формулами и пользуются для приведенія три-
гонометрическихъ функцій дугъ, заключенныхъ въ первой
четверти и притомъ между у и у, къ триюнометриче-
скимъ функціямъ дугъ, заключенныхъ между 0 и Если
40
дуга х заключается между у и = то у — х будетъ за
4
ключена между 0 и Дѣйствительно, если - < х < -,
К	7Г
х > 0 или 0 < - — х < у.
4
2
Формулы (24) выражаютъ слѣдующія соотношенія межді
тригонометрическими функціями дополнительныхъ дугъ:
Тригонометрическія функціи дополнительной дуги - — х равны
соотвѣтственно дополнительнымъ тригонометрическимъ функціямъ
самой дуги х.
Примѣры. Пояснимъ приведеніе примѣрами.
Имѣемъ:
77 = 3,14159.
~ = 1,57080...; у-= 0,78540...
Л	4
Привести тригонометрическія функціи слѣдующихъ дуі:
къ тригонометрическимъ функціямъ дугч>, заключенныхч
71
между 0 и у пли между 0° п 45°:
1.	віп (57,35678) = віп (9 • 2к 4- 0,80811) = віп (0,80811) =
= сов (0,76269).
2.	СО8 (13,63952) = сов (2-2п 4-1,07315)= СОВ (1,07315) =
= віп (0,49765).
3.	(— 35,70256) = Іё (« • 2« Ц- 1,99655) =	(1,99655) =
= 1ё ( - + 0,42575 \ = — СОіе (0,42575).
\2	У
4.	Віп (— 21,76527) = віп (4 • 2к 4- 3,36747) = віп (3,36747) =
= — віп (0,22588).
5.	СОІ^ (1912°5') = соі^ (5-360°4-112°5') = СОІ& (Н2°59 —
= -Іе(22°5').
41
§ 20. Соотношенія между тригонометрическими
функціями одной и той же дуги.
Между тригонометрическими функціями одной и той же
дуги существуютъ опредѣленныя соотношенія или тожде-
ства. Четыре изъ этихъ соотношеніи намъ уже извѣстны
изъ опредѣленія тригонометрическихъ функцій (§ 13;, а
именно:
8ІИ х	сов х
ж =-----; со!еа; = —:--;
сов X °	81П X
1 1
вес х =----: совес х— —---
сов х	віп х
Эти соотношенія справедливы для какой угодно дуги х
одной окружности (§ 13).
Кромѣ этихъ четырехъ соотношеній, существуетъ еше
пятое, которое мы получимъ слѣдующимъ образомъ. Про-
ведемъ тригонометрическій кругъ, принявъ точку О за
центръ, и для нѣкоторой дуги х построимъ ея ординату и
абсциссу. Гдѣ бы ни оканчивалась разсматриваемая дуга,
ея ордината МР, абсцисса ОР и
радіусъ ОМ образуютъ прямо-
угольный треугольникъ, для ко-
тораго имѣемъ по теоремѣ Пина-
гора:
МР2-\-0Р* = 0М2,
откуда, по раздѣленіи обѣихъ ча-
стей равенства на 0Мг, получа-
емъ:
или (± віп а;)8 (=♦= сов ж)2 = 1,
откуда
віп2а;4- сов8 а:= 1.
Это соотношеніе есть тождество, потому что имѣетъ
мѣсто для всякой дуги. Присоединяя его къ четыремъ
ІА
соотношеніямъ, приведеннымъ выше, мы получимъ всеп;
пять соотношеній, а именно:
віп2 х Д- сое2 х = 1;

8ІПЭ\
СО8 х’
СОЦг X ~
СОЯ X .
8Іпа:’
(25)
зес х~
1
СО8Ж ’
1
соеес®=——-
ЯІП X
Эти соотношенія, какъ выше замѣчено, имѣютъ мѣсто
для любой дуги одной окружности, а такъ какъ тригоно-
метрическія функціи дугъ какой угодно величины
приводятся къ одноименнымъ тригонометрическимъ функ-
ціямъ дугъ первой окружности (20), то соотношенія (25)
имѣютъ общее значеніе для какихъ угодно дугъ.
Другихъ соотношеній, которыя бы не являлись слѣд-
ствіемъ приведенныхъ пяти (25), быть не можетъ. Допу-
стимъ на время, что, независимо отъ приведенныхъ пяти
соотношеній, существуетъ еще шестое. Въ такомъ случаѣ
изъ шести соотношеній между шестью функціями мы мо-
жемъ вывести значеніе каждой изъ нихъ; иначе сказать,
рѣшая систему изъ шести уравненій съ шестью неизвѣст-
ными, мы получимъ для каждаго неизвѣстнаго рѣшеніе,
или равенство, лѣвая часть котораго содержитъ опредѣ-
ляемую тригонометрическую функцію, а правая только
постоянныя величины, напримѣръ, мы получимъ віп х = а,
соьх — Ь и т. д. Каждое изъ этихъ равенствъ дастъ для
данной тригонометрической функціи опредѣленное значе-
ніе, что невозможно, такъ какъ соотношенія, изч> кото-
рыхъ получены рѣшенія, суть тождества и имѣютъ мѣсто
для всевозможныхъ значеній тригонометрическихъ функцій
одной и той же дуги; поэтому шестого соотношенія между
тригонометрическими функціями одной и той же дуги, кромѣ
приведенныхъ пяти (25), быть не можетъ.
43
Какъ слѣдствіе основныхъ соотношеній между шестью
тригонометрическими функціями одной и той же дуги мы
выводимъ слѣдующія соотношенія:
1,1	1.1
щ х = —т—; соіц х = -—; сова; =-; еіпа; =-
6 соі&.т ° І^а;	весж	совеса; ...(26)
1 -|- і#2 х = вес2а;; 1 -|- соі^2.т = совес2а;
и 1^-агсоѣ^а? = 1; совхяеса;=і; віпхсовеса: = 1 . .(27)
§ 21. Выраженіе пяти тригонометрическихъ функ-
цій въ зависимости отъ шестой. Пользуясь пятью основ-
ными соотношеніями между шестью тригонометрическими
функціями, выведенными въ предыдущемъ параграфѣ,мы мо-
жемъ выразить пять изъ нихъ въ зависимости отъ шестой.
Положимъ, данъ 8іп х, и требуется, выразить въ немъ
всѣ остальныя тригонометрическія функціи. Изъ соотно-
шеній (25) мы выводимъ:
8еса? =
сова; = ± |/1 — віп2а;;
віп а?
Іц х =-------,	—•
± |/1 — віп2 х
1_________
віп2а?'
±1/1 — вш-а;
соІег®= —-—:---------
ВІП х
1
сояеся;= —----
віп а:
Если, кромѣ величины и знака віп а;, дополнительныхъ
условій въ задачѣ не дано, то знакъ радикала въ первыхъ
четырехъ выраженіяхъ остается неопредѣленнымъ, и только
для созеса; получается одно значеніе, такъ какъ синусъ
и косекансъ нѣкоторой дуги, какъ взаимно-обратныя
Функціи, имѣютъ тотъ же знакъ. Дополнительное условіе
можетъ заключаться или въ указаніи четверти окружности,
въ которой находится данная дуга, или въ заданіи знака
одной изъ тригонометрическихъ функцій, не обратной
данной, напримѣръ, сова;.
44
Примѣръ 1. Дано: 8іпх= т, со8«<0. Мы получимъ:
1 /-»---2	4.	т V 1 — т -
со8» = —(/1—т, =------------------~—>
1/1 — т~ *	1/1 — иі2
вес х = — --------»; соЬе х = —---------->
1 — т °	т
1
и совес » = —.
т
Примѣръ 2. Данъ і^х = п, при чемъ еіпж > 0. Мы выводимъ:
. 1
СОІ& X — —
зес2ж = 1 + Ц/ х=1 4-па; вес х =]/1 -/ п2;
0083=^-^-; 81П-®=1—СО82®=^тр?;
п 1/1 4-п2	1 .___
81П* =—со«есх = -)/1+п2-
Въ слѣдующей таблицѣ мы приводимъ выраженіе
каждой тригонометрической функціи въ пяти остальныхъ.
і
		У вес2» — 1
5Ш •*' совес х * 1	005 А - у! _|_ со1ё2.	х ]/1 + х	веса;
1	/	7		1	соі^х	У совес2»—1
86С X ’	V1 +	У1 + соі§2» ~~	совес х
1 /	 1	8ІП X	У1 — сов2»
соіц»	' ‘	у совес»2—1	V1 — віп2»	СОВ X
	сова;	У 1 — віп2»
іёх V совсс	1	|/8ес2а! _ 1	|/1—сов2»"	віп X
1 		1	совес х.	)/1+соІе2»
5есх сов» и 1+ ій А	У совес2»—1 ~'	соіе31
	 1 »/. 1	вес а?	[/і + іе2#
міьеси,— о;»./-— г 1 “Г сощ — /			 / - - ьіиа:	у 1—сов2»	|/вес2»—1		і^»
§ 22. Вычисленіе значеній тригонометрическихъ
функцій нѣкоторыхъ дугъ. Пользуясь соотношеніями
(25) между тригонометрическими функціями, а также свой-
ствами хордъ, составляющихъ стороны правильныхъ мно-
45
гоугольниковъ, мы можемъ вы-
числить значенія тригонометри-
ческихъ функцій нѣкоторыхъ
дугъ.
1.	Дуга равна -; соотвѣтствен-
ный уголъ равенъ 30°.
Хорда ММг, стягивающая
центральный уголъ въ 60°, рав-
на радіусу, а въ тригонометри-
ческомъ кругѣ—единицѣ. Поло-
вина хорды МР есть синусъ по-
ловиннаго угла, т. е.
1
МР - віп 30°= віп - —
6	2
Такъ какъ дуга лежитъ въ первой четверти, то всѣ
тригонометрическія функціи положительныя. Мы получаемъ
по формуламъ (28):
сов 30°—
4 Л _
^=і7з=^3:
соіц 30° = ]/%; вес 30° = з (/3 і совес 30° =2.
2.	Дуга равна ; соотвѣтственный уголъ равенъ 45°.
Для опредѣленія тригономе-
трическихъ функцій дуги | или
угла въ 45° примемъ во внима-
. • *
ніе, что въ этомъ случаѣ віп -
4
и соя “ образуютъ вмѣстѣ съ
радіусомъ круга равнобедрен-
ный прямоугольный треуголь-
никъ ОМР, основаніе котораго
46
ОМ есть гипотенуза, равная радіусу круга или единицѣ,
а боковыя стороны МР и ОР равны синусу и косинусу.
Мы имѣемъ МР— ОР — 8іп ~ = со8 поэтому.
4	4
51П2 - 4- СО82 -- =281П2 - =2СО8“ - — 1,
4	4	4	4
откуда
Принявъ во вниманіе, что всѣ тригонометрическія
л л
функціи дуги < 2 СУТЬ положительныя величины, мы
удерживаемъ передъ корнемъ одинъ знакъ Ц- 11 полу-
л	л	л	л 2	/ —
чаемъ; іц , — соіе - -- 1 и 8ес — совес	= у 2 .
4	^4	4	4	і/2
3.	Дуга равна соотвѣтственный уголъ равенъ 60 .
Уголъ въ 60° является дополненіемъ углу въ 30 (60е—
=90°—30°), а такъ какъ тригонометрическія функціи угла
въ 30° мы уже вычислили, то по формуламъ дополнитель-
ныхъ угловъ (24) вычисляемъ:
1	—	1
8іп 60°—со8 30° = - ]/ 3; сов 60°—8іп 30° —
Л	Л
60°=соі§ 30° _ 1/з; соі§60°=	30°— .у ]/з;
О
8ес 60° — совес 30° = 2;	совес 60°—вес 30° = у (/з.
О
§ 25. Иное выраженіе дугъ ІІ-й и ІѴ-й четвертей
и ихъ тригонометрическихъ функцій.
Дуги ІІ-іі и ІѴ-й четвертей, именно л — х, и 2л — х мо-
гутъ быть выражены иначе, а въ зависимости отъ этого
и формулы приведенія, выведенныя въ § 19, принимаютъ
ивой видъ.
47
Дуги ІІ-й четверти. Представимъ л — х въ слѣдующемъ
видѣ:
гдѣ
л	л
»=2 — х и х~ 2~Ѵ‘
Затѣмъ въ формулы приведенія (22), именно:
віп (л — ж) = -|- віп х',
(л —ж) = —х;
вес (л — ж) = — вес ж;
сов (л — ж) = — сов ж;
соТц (л — ж) = — соі^ ж;
совес (л — ж) — совес ж
подставимъ въ первыя части
-• -}- ѵ вмѣсто л — ж, а во
вторыя - — ѵ вмѣсто ж, и вспомнимъ, что для дополни-
тельныхъ дугъ основныя тригонометрическія функціи пе-
реходятъ въ дополнительныя и обратно (24); тогда мы
получимъ:
соіё
совес
= вес ѵ.
48
Отсюда выводимъ новыя формулы для приведенія три-
гонометрическихъ функцій дугъ ІІ-й четверти:
(л \ і
віп ( -ѵ) = + сов ѵ;
Ш ~ СОІё ѵ'
СО8 ( 4" ѵ ) — — віп ®;
\ л у
согё(^+«)=—
\ у
со8ес ( 4- ѵ | — 4" 8ес ѵ
• (30 ]
Дуги ІѴ-й четверти. Представимъ 2л—х въ слѣдующемъ
видѣ:
гдѣ, какъ и въ первомъ случаѣ,
л	л
«=2~х « Х = 2~Ѵ'
Если въ формулахъ приведенія (22), именно:
віп (2л — х) = — віп ж;
— х) = —
8ес (2л — ж) = 4- вес ж;
СОВ (2л — ж) = 4- С08 ж;
соЦ? (2 л — ж) = — соір; ж;
совес (2 л — х)~ — совес ж
мы подставимъ: въ первыя
Зл .
части — 4~ ѵ
л
вмѣсто 2л — ж, а
л
во вторыя - — ѵ вмѣсто ж, то получимъ новыя формулы
и
для приведенія тригонометрическихъ функцій дугъ ІѴ-й
четверти:
віп	(Зл X —- 4- ѵ ) - = — сов ѵ;	сов	'Зл	\ ——4-біп®;	
*е|	(Зл \ -- 4-ѵ)——ѵ соіё|	'Зл . \ у +	=	. (31
вес	(Зл \	/ 2- 4- ѵ ) — 4- совес совес і	'Зл \ 4" ѵ 1 — — яес®.	
49
§ 24.	Упражненія. Вычислить значенія тригонометри-
ческихъ функцій, если
1	•	28	А /	/ ~
1.	вша= — и 0<а< — •
53
2.	віп а = 0,96 и л > а > у •
„	•	20	. Зл
Э.	8іпа=-— и «<»<--
Зк
4.	віп а = — 0,8 и — < а < 2 л.
„		3	„	5л
5.	віп а - - и 2к < а < —— •
э	2
1	л
6.	СОВ а=2 11 0 < а < 9 ‘
1° л
7.	сока — - —; -< а < л.
Зл
8.	сов а — 0,6 и - < а < 2л.
„	40	Зл
9.	сов а = — т- и л < а <	•
41	2
л
10.	ід а — — 1 и - < а < л.
9	іг
11.	» п<а<ъ-
•1Ѵ
12.	Гд а — — | и у < а < 2л.
13.	1&а = 4,95 и 0<а<^-
Л
л. .	28	^Зл
14.	іё« = 45 П ~<а< 2”
15.	1в“ — — к 11
□ А
4	7Г
16.	соі§а=:- и 0<а<„«
О	л
С П. ГЛАЗЕНАПЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ, Ч. II.
4
50
17.	сок?а = —— •
6	60 ’ 2 ^
18.	соѣ^а = —1,05; ^<а<2я.
19.	соѣ^а = 2,4; л<а< —.
2
20.	соід а = —— и 0 < а <
4ОІ)
ьо I я
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
Обратныя тригонометрическія функціи.
§ 25.	Общее выраженіе дугъ, отвѣчающихъ дан-
ному значенію тригонометрическихъ функцій.
1.	Положимъ, дано уравненіе:
віп х = т,
• гдѣ т есть число, заключенное между — 1 и -рі.
Пусть а будетъ наименьшая изъ дугъ, отвѣчающихъ рѣ-
шенію даннаго уравненія; въ такомъ случаѣ другое рѣше-
ніе будетъ к — а или пополнительная дуга, а общій видъ
всѣхъ дугъ, имѣющихъ данный синусъ т, будетъ:
х± = 2п,ъ Р а и хг = 2птс Р п — а — (2п р 1) к — а.
Мы замѣчаемъ, что положительный знакъ при а будетъ
при четномъ, а отрицательный при нечетномъ коэффи-
ціентѣ при к; это можно выразить степенью отъ — 1 и
написать вообще:
ж —п~Р(—1)яа,............(32).
гдѣ п есть какое угодно цѣлое число.
Подобное же рѣшеніе имѣетъ уравненіе совес х — р,
такъ какъ віы х и совес ж, какъ взаимно-обратныя величины,
всегда имѣютъ одинаковый знакъ; уравненіе же совес х — р
1 1
приводится къ первому: віпж=---------=— — т'.
г •	совес х р
4?
53
52
Для нахожденія геометрическимъ построеніемъ дуги I
по уравненію віп х = т поступаемъ слѣдующимъ образомъ:
по дополнительному діаметру тригонометрическаго круга
отъ его центра О отложимъ въ
положительномъ и отрицатель-
номъ направленіяхъ величины
0(^ = т и	Затѣмъ въ'
томъ и другомъ случаѣ черезъ
конечныя точки и прове-
демъ линіи	и М&'МІ
параллельно основному діаметру'
до ихъ пересѣченія съ окруж-
ностью въ точкахъ Л/4, М„, Мі
и 3/4, лежащихъ соотвѣтственна
въ четырехъ четвертяхъ круга. Изъ точекъ пересѣченія
опустимъ перпендикуляры на основной діаметръ. Вслѣд-
ствіе условій построенія	и М2Г'М3 составятъ въ
каждомъ случаѣ одну прямую линію.
Для тп>0 имѣемъ двѣ дуги І-й и П-й четвертей:
ДЛД = а и А.Ме = ті— а.
Для т<0 имѣемъ дуги Ш-й и ІѴ-й четвертей:
ніями и продолжаемъ ихъ до пересѣченія съ кругомъ въ
противоположныхъ точкахъ. Точки пересѣченія Мх и М2
опредѣлятъ концы дугъ, отвѣчающихъ положительному
значенію р, а М3 и М*— концы дугъ, отвѣчающихъ отри-
цательному его значенію.
2.	Разсмотримъ уравненіе созх = т, гдѣ т, какъ и въ
первомъ случаѣ, нѣкоторое число, заключающееся въ пре-
дѣлахъ отъ —1 до -4-1.
Если р есть положительное значеніе дуги, отвѣчающей
рѣшенію даннаго уравненія совж = тп, то мы получимъ
два значенія дуги: Д- 3 и — р. Придавъ къ нимъ по цѣлому
числу окружностей 2пк, мы получимъ общій видъ дугъ,
отвѣчающихъ рѣшенію даннаго уравненія, именно:
2 тиг —|- р и 2 пп — р,
что можно соединить въ одно уравненіе:
х = 2 тік ± р............(33)
Подобное -же рѣшеніе имѣетъ уравненіе вес х = д, такъ
какъ сова: и вес а:, какъ взаимно-обратныя величины, всегда
имѣютъ одинаковые знаки; уравненіе же веса: —д прпво-
1 1
дится къ выше разсмотрѣнному: сов х =	— -— т .
осС X у
АМ3= а и ДЛ/4 — Зг — а.
Общій видъ этихъ дугъ приведенъ выше, именно:
& —П7Г-|-(—1)" а.
Для геометрическаго по-
строенія дуги по данному
совес х — р изъ центра О три-
гонометрическаго круга ра-
діусомъ, равнымъ р, описы-
ваемъ дугу до пересѣченія съ
дополнительною касательною
въ точкахъ <8 и 8'. Соединя-
емъ затѣмъ найденныя то-
чки пересѣченія 5 и 8' съ
центромъ круга прямыми лп-
Для геометрическаго построе-
нія дуги по данному косинусу отъ
центра О тригонометрическаго
круга отложимъ по основному
діаметру въ положительномъ и
отрицательномъ направленіяхъ
величины ОР~т и ОР' — т. Изъ
концовъ Р и Р' отложенныхъ
линій возставимъ перпендику-
ляры и М2М3 къ основному
діаметру. Точки Мѵ М2, М3 и ЛІ4 опредѣлятъ концы четы-
рехъ дугъ, удовлетворяющихъ данному уравненію совх=т;
изъ нихъ дуги, оканчивающіяся въ Мг и П4, соотвѣт-
ствуютъ положительному значенію т, а въ ДГ, и 2И3—его от-
рицательному значенію; искомыя рѣвіснія приведены выше.
54
Для геометрическаго построенія дуги по данному
весж = д изъ центра О тригонометрическаго круга радіу-
сомъ, равнымъ д, описываемъ дугу до пересѣченія съ ос-
новною касательною въ то-
чкахъ Т и Т*. Черезъ эти то-
чки пересѣченія и черезъ центръ
круга О проведемъ прямыя ли-
ніи ТОМ3 и Т'ОМ,; каждая изъ
нихъ пересѣчетъ кругъ въ
двухъ діаметрально противопо-
ложныхъ. точкахъ: Мх и М3, М2
и М4. Точки Мх и ЛІ4 имѣютъ
положительный секансъ д, а М2
и М3 — отрицательный. Общее
выраженіе дугъ, оканчивающихся въ этихъ точкахъ,
приведено выше.
3. Разсмотримъ уравненіе 1%х = т, гдѣ т есть нѣкото-
рое положительное или отрицательное число.
Мы знаемъ (22), что одинъ и тотъ же тангенсъ имѣютъ
дуги противоположныхъ четвертей, отличающихся одна
отъ другой на одну полуокружность; если, поэтому, у есть
одно изъ значеній дуги, отвѣчающей рѣшенію даннаго
уравненія = то общій видъ дугъ, отвѣчающихъ
данному уравненію, будетъ:
2іж-)-у и 2(п -|-1) ъ у
или
х ~ пк у,
(34)
гдѣ п есть какое угодно цѣлое число.
Подобное же рѣшеніе имѣетъ уравненіе соір; х — ѵ, такъ
какъ х и сойлж, какъ взаимно-обратныя величины, всегда
имѣютъ одинаковые знаки; уравненіе же соій'ж = г> приво-
дится къ только что разсмотрѣнному:
1	1
х = —- — — = и'.
соіу х ѵ
Для геометрическаго построенія дуги по данному тан-
генсу отложимъ по основной касательной отъ начальной
55
точки А данную величину: вверхъ
Д7' = ти внпзъ АТ' = т. Черезъ
полученныя точки Т и Т' и центръ
круга О проведемъ прямыя линіи
ТОМВ и Т'ОМ2; каждая изъ нихъ
пересѣчетъ кругъ въ двухъ діа-
метрально-противоположныхъ то-
чкахъ: М1 и М3, М, и М4. Въ
точкахъ Мг и М3 оканчиваются
дуги 1-й и ІІІ-й четвертей, имѣ-
ющія положительныя тангенсъ
т, а въ М2 и М4 дуги ТІ-й и ІѴ-й четвертей, имѣющія
отрицательный тангенсъ т.
Для геометрическаго построенія дуги по данному котан-
генсу мы поступаемъ подобнымъ же образомъ, но откла-
дываемымъ данную величину
котангенса по дополнительной
касательной въ обѣ стороны отъ
точки В: вправо В8 = ѵ, и влѣво
В8' = ѵ. Черезъ конечныя точки
>8 и -8' и центръ круга проводимъ
прямыя линіи 80М3 и В'ОМ*; ка-
ждая изъ нихъ пересѣкаетъ кругъ
въ двухъ діаметрально-противо-
г 'Ложныхъ точкахъ: 7И1 и М3, М2
и М4. Первыя двѣ имѣютъ поло-
жительный котангенсъ ѵ, а двѣ послѣднія отрицательный ѵ.
§ 26. Обратныя круговыя функціи. Въ нѣкоторыхъ
случаяхъ является болѣе удобнымъ переписать обыкновен-
ное тригонометрическое уравненіе вінж = т, или соз у = р,
= у и т. д. такимъ образомъ, чтобы дуга была выдѣ-
лена и входила въ уравненіе явнымъ образомъ. Для этой
Цѣли условились писать приведенныя уравненія слѣдую-
щимъ образомъ:
х — агс віп т; у — агс сов р; г = агс у и т. д. . . (35)
Уравненія эти означаютъ, что х есть дуга, синусъ ко-
торой равенъ т, у есть дуга, косинусъ который равенъ р,
г есть дуга, тангенсъ которой равенъ у и т. д., и читаютъ
56
ихъ слѣдующимъ образомъ: х равенъ аркъ-синусъ т
у равенъ аркъ-коеинусъ р и т. д.
Выраженія: агс віп т, агс сов р, агс и т. д. называются
обратными круговыми функціями 1)
Приведемъ примѣръ рѣшенія уравненіи, содержащихъ
обратныя круговыя функціи
Пусть дано уравненіе
ж=агс і р, ]/ 3
и требуется найти я. Мы знаемъ, что =	— у І
(§ 22.3); такой же тангенсъ имѣютъ всѣ дуги вида пк
поэтому искомое рѣшеніе будетъ:
. л Зп-|-1
х = пк 4- - — —-1— к,
О	0
гдѣ п есть какое угодно цѣлое положительное или отрица-
тельное число, включая и нуль.
Слѣдуетъ замѣтить, что съ обратными круговыми
функціями, вслѣдствіе ихъ многозначности, нельзя вообще
производить всѣ алгебраическія дѣйствія, какъ съ обыкно-
венными величинами или функціями. При ограниченіи же
рѣшенія, устраняющемъ многозначность, является возмож-
ность примѣнять къ нимъ всѣ алгебраическія дѣйствія. По-
ложимъ, мы имѣемъ:
віп х — Ѳ и сов х = |/1 — Ѳ2.
Этимъ двумъ уравненіямъ удовлетворяетъ всякое значе-
ніе цуги х. Дѣйствительно, возвысивъ въ квадратъ обѣ
части обоихъ уравненій и сложивъ ихъ по частямъ, мы по-
’) Англійскіе математики обознаюгь обратныя круговыя функціи иначе,
именно:
х — аін-1 т; у~ со8-1 р; х =	1 д и т. д.,
гдѣ показатель — 1 не означаетъ отрицательной степени, какъ обыкновенно
принято, а представляетъ условное обозначеніе обратной круговой функціи-
Ь~!
лучимъ основное тригонометрическое соотношеніе между
йіп X и соя х:
8ІН2 X + СО82Ж = Ѳ2 -|- (1 — 62) — 1,
которое, какъ тождество, имѣетъ мѣсто при всякой дугѣ х.
Съ другой стороны, данныя у равненія переписываются
слѣдующимъ образомъ:
® = агс5ІпѲ и х = агс соя ] 1—О2 . . . . (36)
Въ этихъ двухъ уравненіяхъ первыя части равны ме-
жду собою, и, придерживаясь общихъ правилъ алгебры,
мы могли бы заключить о равенствѣ вторыхъ частей; но
оказывается, что вторыя части вообще не равны между7
собою, и вообще нельзя написать равенство
агс віп Ѳ = агс сов|/1 — Ѳ\
Дѣйствительно, пусть Ѳ =	тогда ]/1 — Ѳ2 —	|/з. Ду-
.. 1 .
га, синусъ которой равенъ , имѣетъ слѣдующія зна-
ченія:
I, «-І,	2=+^,	3«~, Іг-^ВТ.Д.,
что можно раздѣлить на два ряда:
5> 2г4«+? ит.д. И г-’,Лг-^,5г-^ в т. д.
1 —
Дуга же, косинусъ которой равенъ - ) 3, имѣетъ зна-
ченія:
+	4.+| ит.д,
что можно раздѣлить на два ряда:
д, 2кД-^, 4тг-{- и т. д. и 2л—	4- —- , 6г —и т. д.
о 1 о	о	Ь	о	о
Первые ряды рѣшеній—одинаковые въ обоихъ случаяхъ,
а вторые—различные. Итакъ, по равенству первыхъ частей
уравненій (36) вообще нельзя дѣлать заключенія о равенствѣ
ихъ вторыхъ частей. Если же ограничиться основнымъ рѣ-
58
шеніемъ, въ нашемъ примѣрѣ
то равенство вторыхъ
частей разсматриваемыхъ уравненіи имѣетъ мѣсто.
Итакъ, по устраненіи многозначности рѣшенія, обрат
ныя тригонометрическія функціи принимаютъ свойство
алгебраическихъ величинъ.
Примѣры. 1. Положимъ х = агс 8Іп ]/о,3; требуется опре-
дѣлить дугу или уголъ х. Для рѣшенія этого уравненія пе
репишемъ его въ обыкновенномъ видѣ:
8ІПХ = }/0,3.
По тригонометрическимъ таблицамъ находимъ основное
рѣшеніе а = 33 13'39", и слѣдовательно:
х— 180°пД- (— 1)” X (33а13'39").
Соотвѣтственная дуга, выраженная въ радіанахъ, будетъ:
х = пк Д- (—1)” X (0,57993) рад.
2.	Найти у по выраженію у = агс зіп а Д- агс сое а. Назо
вемъ дугу, синусъ которой есть а, буквою Ѳ; въ такомъ слу-
чаѣ имѣемъ: 8Іп Ѳ — а; затѣмъ сое
- — 0 )=8Іп Ь=а. Итакъ
2	/
дуги,имѣющія одинаковые синусъ и коси нусъ, суть Ѳ и	(
А
ихъ сумма: у — Ѳ Д-	” •
Задачи й упражненія къ § 26. Опредѣлить дуги п<
слѣдующимъ обратнымъ тригонометрическимъ функціямъ
1. х = агс віп (}/ 0,8).
2. х = агс сов ( ).
уу/
3. х = агсѣ^(Д/2б).
4. х = агс соІ§ (— 3,7).
5. х — агс віп (— 0,445).
6. ж = агссов(-—)А),57).
♦ / 1 2 \
х == агс Іе ( —т-
\1/3/
х = агс (-----г-
9.	х = агс (со).
10.	х = агс сов I —= ).
\Ѵ2/
11.	я —агс сов (—1).
12.	я = агс віп —У 3 4 5 6
59
13.	х = агс
1	1	1 г
14.	ж = 3 агс 7 + агс Ій 3 + агс ^1С)— 4 
/ 1 1\
15.	Опредѣлить 8іп (агс зіп - -|-агссОБ;у)
16.	Опредѣлить Ій (агс х “Ь агс С0*'о ж)-
ГЛАВА ПЯТАЯ.
Теоремы сложенія.
§ 27. Сложеніе и вычитаніе дугъ. Суммою или раз-
ностью двухъ дуіъ мы условимся считать третью дугу,
7	длина которой равна алгебраиче-
ской суммѣ длинъ данныхъ дугъ.
Пусть АМ = х и АМ'=х' двѣ
/	\А Данныя дуги и положимъ, что ж>г
/	V требуется опредѣлить ихъ сумму
і 0-------------А пли разность.
\	/ Отъ точки М отложимъ какъ
\	/ въ положительную, такъ и въ
\.	у'Л отрицательную сторону ЛШ а
------=	— въ такомъ случаѣ
^АИ = х х1 и АКі =х — х'
представятъ искомыя сумму и разность данныхъ дугъ. I
Если х < х', то конецъ второй дуги, отложенной въ
отрицательную сторону, перейдетъ за начальную точку п
упадетъ въ Н2; въ этомъ случаѣ дуга ДО,,, какъ и раз-
ность х — х', является отрицательной.
Такъ какъ дуги тригонометрическаго круга равны со-
отвѣтствующимъ центральнымъ угламъ, выраженнымъ въ
радіанахъ, то изложенное правило сложенія и вычитаніи
дугъ относится и къ угламъ.
61
§ 28. Тригонометрическія функціи суммы или раз-
ности двухъ дугъ (теорема сложенія). Выведемъ выра-
женіе синуса и косинуса суммы двухъ дугъ въ зависи-
мости отъ синусовъ и косинусовъ
Пусть а и Ъ будутъ данныя
дуги тригонометрическаго круга,
н положимъ, что онѣ положи-
тельныя, и что сумма ихъ не
больше , т. е. а > 0, Ь > 0 и
данныхъ
Дугъ.
Вмѣсто данныхъ дугъ три-
гонометрическаго круга разсмо-
тримъ соотвѣтствующіе углы и
назовемъ ихъ тѣми же буквами.
Пусть 2 АОВ = а. Со второй стороной его ОБ совмѣ-
стимъ основную сторону второго угла Ъ—А. ВОС; въ такомъ
случаѣ 2 АОС = а-\-Ъ.
Изъ нѣкоторой точки Р на второй сторонѣ сложнаго
угла а Ь опустимъ перпен^куляры: РМ на ОА и РУ на
ОВ. Затѣмъ изъ точки У опустимъ перпендикуляры: УВ
на РМ и У<2 на ОА. Замѣтимъ, что въ прямоугольномъ
треугольникѣ РВУ углы при Р и У взаимно дополняютъ
Другъ друга до 90°; уголъ же при У и смежный съ нимъ
ВУО также взаимно дополняютъ другъ друга до 90°; но
_ ВУО = а (по построенію); слѣдовательно
2 УРВ = а.
Изъ построенія имѣемъ: ВМ = У(^; ВУ =
и	УО УВ . , РУ. 8іпа_ оя~рх'> 81пЬ~ ор, 0<2 РВ	, оу. сое а —	~ рдг СО8 ъ — . , .	РМ ВМ 4- РВ У<? . РВ_ еіп (а + 6) ор	ор	ур 4- ор _У(^ ОУ РВ РУ ~ ОУ ' ОР 1 РУ ОР
Или	еіп (а 4- Ъ) — еіп а сое Ъ 4- сое а еіп Ъ . . . . (37)
62
Далѣе имѣемъ:
, . . ОМ	00 — МО	ОО ВЫ
С08(а + ^=ѲР = - ОР -ОГ-ОР =
оо ОВ! ВУ РЫ
~ ОВГ ОР РВГ ОР
или
сое (а -|-Ь) — СО8 а соеЬ — 8іпа 8іпЬ. . . . (37*
Для опредѣленія тригонометрическихъ функцій разностиі
двухъ дугъ или угловъ сдѣлаемъ подобное же построеніе.
Положимъ, что обѣ дуги а и Ь положительныя, что
а > Ъ, и что а — Ъ <.-•
Пусть ААОС — а; отъ второй стороны ОС этого угла
отложимъ внутрь его другой данный, острый же уголъ
Ь = / ВОС; въ такомъ случаѣ / АОВ = а — Ь.
Изъ нѣкоторой точки Р, взя-
той на сторонѣ ОВ полученнаго
угла, равнаго разности данныхъ
угловъ а—Ъ, опустимъ перпендп-1
куляры: РМ на сторону ОС и РМ
на сторону ОА. Затѣмъ изъ точки
№ опустимъ перпендикуляры: В10
на сторону ОА и ВІВ на продол-
женіе линіи РМ.
Въ прямоугольномъ треуголь-
никѣ НВР острые углы при Р и
# взаимно дополняютъ другъ друга до 90°; уголъ же при
В и рядомъ съ нимъ лежащій / ВВІС также взаимно до-
полняютъ другъ друга до 90°; но / ВВІС = а (по постро-
енію); слѣдовательно
/ ЫРВ = а.
Изъ построенія имѣемъ:
Я0 = ВМ; ЫВ = 0М
Ы0	ЫВ	 X. РЯ
8та=0Ы	Р2Ѵ’	^Ь = ЪР:
оо	РЛ .	ОЫ.
Сов а —	~РВ’	СО8 Ь —	,
63
II
,ч РМ ЕМ — РЕ Я<2 РЕ
8іп (а Ъ)— ор— ор — ор ор —
ОЯ РЕ РЯ
~0Я' ОР РЯ' ОР
или
віп (а—Ъ) = віп а сов Ъ — сов а віп Ъ.(38)
Далѣе имѣемъ:
. ОМ 0(2 + <2М	0(2 . ЯЕ
«*(<—Ь)=^р= ТГ-=ор + ор =
0(2 ОЯ .ЯЕ РЯ
~ оя' ОР ~*РЯ ’ ОР
или
сов (а — Ѵ)~ сов а сов Ь 4~ віп а віп Ъ......(38)
Итакъ, для острыхъ угловъ а и Ъ и при условіи, что
а-|-о<~ 11 0-<а — о<—,мы вывели:
л
віп (а 4- Ь) — віп а
сов (а -|- Ь) — сов а
віп (а — Ь) — ып а
сов(а — Ь) — сова
сов Ь -|“ СОй а 8‘п &
сов Ь — віп а віп Ъ
сов Ъ — сов а віп Ъ
сов Ь 4- віп а віп Ъ
. .(39)
Теорема сложенія формулируется слѣдующимъ обра-
зомъ:
1.	Синусъ суммы двухъ дугъ равенъ суммѣ произведеній си-
нуса первой дуги на косинусъ второй и косинуса первой на синусъ
второй.
2.	Косинусъ суммы двухъ дугъ равенъ разности произведеній
косинусовъ обѣихъ дугъ и ихъ синусовъ.
3.	Синусъ разности двухъ дугъ равенъ разности произведеній
синуса первой дуги на косинусъ второй и косинуса первой дуги
на синусъ второй.
4.	Косинусъ разности двухъ дугъ равенъ суммѣ произведеній
косинусовъ обѣихъ дугъ и ихъ синусовъ.
64
§ 29. Обобщеніе предыдущей теоремы. Формулы сц|
нуса и косинуса суммы двухъ дугъ (39) были выведены
въ томъ предположеніи, что обѣ дуги или углы положи-
тельные и что ихъ сумма или разность меньше “ . Дока-
жемъ сначала, что формулы справедливы для дугъ или
угловъ а и Ь, сумма которыхъ заключена между и г..
Пусть 2 АОВ=а и / ВОС~Ь; ихъ сумма, равная / АОС=і
= а-^-Ъ, заключается между и ~: уголъ а - [ - Ъ тупой.
Изъ нѣкоторой точки Р на
второй сторонѣ сложнаго угла
АОС=^а-]Ь опустимъ перпенди-
куляры: РМ на продолженір ОА
и Р^т на ОВ. Затѣмъ изъ точки
2Ѵ опустимъ перпендикуляры: Л7Б
на РМ и М<2 на ОА. Замѣтимъ,
что въ прямоугольномъ треуголь-
никѣ РЯІѴ углы при IV и Р вза-
имно дополняютъ другъ друга до 90°; уголъ же при IV и
рядомъ съ нимъ лежашій / ВВ10 также взаимно дополня-
ютъ другъ друга до 90°; но А. ВНО = а; слѣдовательно
уголъ при Р равенъ а.
Изъ построенія имѣемъ:
Я<2 = ВМ\
Х<2 КВ
Ь1П а ~ 0Х~ РБ
0<2 РВ
сова—
2ѴР = <2м
 г. РЯ
81П Ъ = ОР ’
,	027
..... РМ ВМ + РВ Л'О , РВ
611, (а + Ь) = -№ = —цр - = ор- + -оТ
я<2 оя , рв ря
~ ОХ ’ ОР' ррГ ор
или
віп (а Ь) — віп а сов Ъ -]- сов а віп Ъ.
65
далѣе имѣемъ сое (а -{- Ь) =	
Линія, находящаяся въ числителѣ этой дроби, считается
птъ вершины угла О по продолженію его стороны, а не
по самой сторонѣ; слѣдовательно она является отопца-
тельною величиною (§ 6, ч. I); мы замѣнимъ ее равною ей
величиною 0(2—<2М или 0<2—НВ; поэтому
і м- 0<Э-№1 _0<2 ЯВ_
сое (а -р о) —	0р — 0р 0р —
_ 0(2 ОЯ ЯВ РЯ
~ Оім' ОР РРІ' ОР
или
сое (а -|- Ь) = сое а сое Ъ — еіп а еіп Ъ.
Такимъ образомъ выведенныя выше формулы (39) для
8іп (а Д- Ь) и сое (а + Ъ) справедливы и для случая, когда
~ >а-[-Ъ> — 
Докажемъ затѣмъ, что тѣ же формулы справедливы для
какихъ угодно угловъ.
Обобщеніе этихъ формулъ, а также и формулъ разно-
сти (39) могло бы быть произведено тѣмъ же графическимъ
путемъ, который былъ примѣненъ при ихъ выводѣ, но
можно поступить п иначе, болѣе простымъ способомъ.
Докажемъ сначала, чго двѣ послѣднія формулы спра-
ведливы и для случая, когда а < Ь.
Мы знаемъ (19), что
еіп х = — еіп (— х) и сое х= -|- сое (— х);
слѣдовательно
еіп(а — />) =  еіп(Ь -о)
сое (а Такъ какъ Ь >	Ь) = -|- сое(Ь а) а, го
мп (Ъ сое(Ф	а) = еіп/) гоя а сор-Ъ <іп а а) = соеЬ соеа-|-8ІпЬ еіп а
С. И. ГЛАЗЕНАПЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ. Ч. II.
66
и поэтому
віп (а — Ъ)— — [віп Ь соя а — соя Ь віп а]:
со8(а -Ь) —Ц-[со8Ь соеа~|-8іп Ь віпа]:
а по раскрытіи скобокъ:
віп (а — Ь) — еіп а сояЬ—сое а яіпЬ;
сов(а—Ь) = сова сов Ь 4-віп а зіпЬ.
Итакъ, выведенныя нами формулы справедливы и д..ія
того случая, когда а < Ъ
Увеличимъ теперь одинъ изъ угловъ на 90°. Мы знаемъ
(§23), что віп (90°-|-я) = 4-СО8а: и сое (90°ж) — — віпх
Слѣдовательно:
віп (90°4- а 4* Ь) — СО8 (а 4~ Ь) — СО8 а сое Ъ — еіп а еіп Ь = I
— віп (90° 4- а) сов Ь-]-сов (90° 4~ а) віп Ь.
Переставивъ углы, мы получаемъ:
8Іп(90°4“ Ь4-я) = соя (Ь 4~ а) = сов Ь сова—віпЬ віпа=І
= віп (90° 4- Ь) сов а 4- сов (90 4~Ь) еіп а.
Такимъ же образомъ получимъ:
сов (90°4 аЧ“Ь)——віп («4~Ь)=—віпа сояЬ—сова еіпЬ= 1
= СО8(90°4“а) СО8 Ь 8ІП(90°4“а) ЯІП Ь=
— сое (90 4~ Ь) сов а — еіп (90° 4- Ь) еіп а;
віп(90 4-а — Ъ)= сов (а — Ь)=сояа сов ЬЦ-еіп а віп Ъ — I
= віп (90°4~а} сов Ь — сое (90 4~ <0 еіп Ь; |
соя(90 4 а —&)=—яіп(а Ь)——віпасоеЬ-)-сояа віпЬ— I
— сов (90° 4- «) сов Ь 4- еіп (90°4_ °) еіп Ь.
Итакъ, формулы (39) справедливы не только для угловъ
меньше 90°, но и въ томъ случаѣ, если одинъ изъ угловъ
больше 90°. Увеличивая послѣдовательно каждый изъ уг-
ловъ на 90°, мы докажемъ справедливость формулъ для
какихъ угодно угловъ.
Остается еще доказать, что формулы справедливы для
отрицательныхъ угловъ.
Пусть а и Ъ будутъ нѣкоторые отрицательные углы.
Положимъ а = — а' и Ь = — Ъ'; въ такомъ случаѣ а' и Ь'
положительные углы.
67
Имѣемъ:
віп (а -{- Ь) — віп [ — (а' —Ь')] = — віп I а' Ъ')
сов(а4- Ь) — сое [ — (а' 4~ &')] = 4" соя (а' -|- Ъ')
віп (а —Ь) = 8іп [ — (а' — Ь')] = — віп (а' — Ь')
сое (а— Ъ) — сов I — (а' — 6')] — + сов(а' — Ъ')
Такъ какъ а' и Ъ' положительные углы, то для нихъ фор-
мулы (39) справедливы, и можемъ написать:
еіп (а -|- Ь) — — 8іп а' соя Ъ' — сов а' віп Ъ'
СО8(«-|-Ь)=СО8а' сояЬ' —віпа' віп Ъ'
еіп (а — Ь) = — віпа' сов Ь' сов а' еіпЬ'
сов(а— Ь)~сова' соеЬ'-|-8Іпа' яіпЪ'
или
віп (а -]- Ь) = віп (— а') сое(— Ь')4~сов(— а') віп (—Ь')
соя(а~\-Ь) = соя( а')сов(—Ь')—віп (—а')віп (--&')
віп (а — Ь) = віп (--а')сов(—Ъ')—сое(—а')віп(—Ь'}
сов (а — Ь) =. сов (—а') сов (-Ь';-}-віп (—а') віп (—Ъ')
Такъ какъ—а' — а и —Ь' = Ъ, то эти формулы приводятся
къ полученнымъ раньше:
віп (а -|- Ь) = віп а сов Ъ -}- сов а віп Ь
сов (а -|- Ь) = сов а сов Ъ — віп а віп Ъ
віп (а — Ь) = віп а сов Ь — сова віп Ь
сов(а — Ь) = сова сов6 4'8*па ьіпЬ.
Итакъ, формулы (39) справедливы и для отрицатель-
ныхъ угловъ.
Сведемъ здѣсь порядокъ доказательства общности фор-
мулъ сложныхъ дугъ.
1.	Для простоты геометрическаго доказательства мы
замѣнили дуги углами.
2.	Формулы сложенія (39) выведены сначала для угловъ
меньше 90° и для суммы меньше 90°.
3.	Справедливость формулъ суммъ доказана затѣмъ для
случая, когда 9(Г < а 4- Ъ < 180°.
4.	Справедливость всѣхъ формулъ сложенія доказана
Для случая, когда Ъ > а.
5.	Справедливость всѣхъ формулъ сложенія доказана
Для случая, когда одинъ изъ угловъ увеличенъ на 90°, и
&*
(58
слѣдовательно когда ®ба угла увеличены на любое число
прямыхъ угловъ.
6.	Справедливость всѣхъ формулъ сложенія доказана и
для отрицательныхъ угловъ.
На этомъ основаніи мы утверждаемъ, что формулы сло-
женія (39), именно:
віп (а Д- Ь) — віп а сов Ь Д- сов а віп Ь
сов (а Д- Ь) = сова сов Ъ — віп а віп Ь
віп (а—Ь)=:віпасовЬ сова віп Ъ
сов (а—Ь) — сов а сов Ъ Д- зіп а віп Ъ
справедливы для какихъ угодно угловъ (или дугъ тригоно-
метрическаго круга).
§ 30. Тангенсъ и котангенсъ суммы и разности
двухъ дугъ. Для полученія тангенса и котангенса суммы
и разности двухъ дугъ возьмемъ равенства (39):
віп (а Д- Ь) = віп а сов Ъ Д- сова
сов(а Д— Ъ) = сова совЬ — віп а
віп (а—Ь) = віп а совЬ— сова
сов (а — Ъ)= сов а сов Ъ Д- віп а
віп Ъ
віп Ь
віп Ъ
віп Ь
 (.40)
Раздѣлимъ но частямъ первое равенство на второе и
третье на четвертое; тогда мы получимъ:
віп (а Д— Ь)
сов (а Д- Ь)
= іё(а Д-Ь) =
віп а сов 6 - сова віц Ь
сова совЬ —віп а віп Ь
віп (а — Ь)
сов (а — Ь)
= і$(а — Ь) =
віп асов!> — сова віп Ъ
сов а сов Ь Д— віп а віп Ь
откуда, по раздѣленіи числителя и знаменателя вторыхъ
частей на сова совЬ, выводимъ:
.	, . іе о• Д- Ій Ь и* (а Д- Ъ) — -5-—2-	
1 Ц?,аІ%Ъ	
іи а іа: Ъ	
и (а — Ь) = 7^—	
Обѣ формулы, являясь слѣдствіемъ общихъ формулъ (39),
справедливы для какихъ угодно дугъ.
69
Если раздѣлить второе равенство (39) на первое и чет-
вертое на третье, то получится значеніе котангенса суммы
и разности двухъ дугъ:
сов (а Ц-^Ь) _ с	__
віп (а Ь) ь ѵ 1
соб(а — Ъ)
—-ѵт — соЬй' (а—Ь)—
8іп (а — Ь)
сова совЬ — віпавіпЬ .
віп а со8а-}-со8а віпЬ ’
сова совЬ-|-8іпа8ІпЬ
зіп а совЬ — сова 8Іп Ъ >
откуда, по раздѣленіи числителя и знаменателя вторыхъ
частей одинъ разъ на сова совЬ, а другой разъ—на віпа яіпЬ,
мы получаемъ:
С0(К(«+1>=
°	1	1§а -}-	соІ§а-|-соІ§о
«ада - Ь=1.+'«°	= со[«°
°	а —	соі§ а — соІ§ Ь
•(42)
§ 31, Тригонометрическія функціи двойной дуги.
Если въ формулахъ тригонометрическихъ Функцій суммы
двухъ дугъ (34), (35) и (36), именно:
8Іп (а 4 Ь) = яіп а сояЪ 4 сова віп Ъ;
соя (а 4 Ъ) =. сов а совЬ — віп а 8іп Ъ;
Іе (а 4- Ъ)=
>, 1—
00Ч;(а +	=
соі^а 4-соіуо
мы положимъ а = Ь, то получимъ:
яіп 2а = 2 віп а сов а
сов 2а = сов2а — яіп2а
і^2а —
21§а
1 — Ц^а
(43)
СОІ§ 2а =
соі^а — 1
2 соі& а
Эти формулы справедливы для какихъ угодно дугъ; онѣ
легко запоминаются. Мы формулируемъ ихъ:

1.	Синусъ двойной дуги равенъ удвоенному произведенію си-
нуса простой дуги на ея косинусъ.
2.	Косинусъ двойной дуги равенъ разности квадратовъ коси-
нуса и синуса простой дуги.
3.	Тангенсъ двойной дуги равенъ частному отъ дѣленія удвоен-
наго тангенса простой дуги на разность между единицею и ква-
дратомъ тангенса простой дуги.
4.	Котангенсъ двойной дуги равенъ частному отъ дѣленія раз-
ности квадрата котангенса простой дуги и единицы на удвоенный
котангенсъ простой дуги.
Если по роду задачи требуется выразить віп 2а и сов2а
въ зависимости отъ одного віп а или отъ одного С08 а, то
слѣдуетъ воспользоваться основнымъ отношеніемъ между
синусомъ и косинусомъ, именно:
8іпа = 2±: |/1—сов2а и сова = ± ]/1—віи2а.
Подставляя -эти выраженія въ первыя двѣ формулы (43),
получаемъ:
віп 2а — ±2 віп а	1—8Іпаа = ± 2 сов а |/1—сов2а
сов 2а = 1 — 2 8іп2а = 2 соя2 а — 1.
Синусъ и косинусъ двойной дуги могутъ быть выра-
жены раціонально въ тангенсѣ простой дуги слѣдующимъ
образомъ:
СО8 2а ~ С05аа — яіп2а ~
сов2а — віп2а
сов2а -]- віп2а
8 іи2 а
С082а
8іп2а ’
сов2а
откуда
соя 2а =
1—1%2а
1 Ѵа
(45)
Далѣе:
8Іп 2а = 2а сов 2а =
21%а	1 —1§2а
і —ір;2а 1 ~Нё’2а
или
кіи 2а —
21§а
1 Д- Ц?2д
(46)
71
—
§ 32. Тригонометрическія функціи половины дуги.
Возьмемъ выраженіе (43) для косинуса двойной дуги х:
СОВ2 X — ВІП2 X = СО8 2а:
1
и положимъ въ немъ 2х = а и, слѣдовательно, х = - а; тогда
будетъ:
1	1
сов2 — а — віп — а — СО8 а.
2
Присоединивъ къ этому равенству основное соотноше-
ніе между тѣми же тригонометрическими функціями, именно
сов8 4 а + яіп2 — а = 1,
1	1
и рѣшивъ равенства относительно віп—а, и сов а, мы
&	&
получимъ				
откуда:	1 2 віп2 — а = 2 сов- — а = . 1 віп 9 а = ±	= 1 — сова, = 1-|~с08а’ Л1—сова /	2			(47)
и затѣмъ:	I—	м — э	» II	И II	II	/ 1-|-со8а У ~Т~ / 1—сова ' (-(-сова			(48)
Хотя въ каждомъ частномъ случаѣ знакъ віп (а, сов ’ а
и | а опредѣляется условіями задачи, но въ общемъ
рѣшеніи двойной знакъ этихъ тригонометрическихъ функ-
цій объясняется слѣдующимъ образомъ:
По данному значенію сова получаются слѣдующія зна-
ченія соотвѣтственныхъ дугъ (33):
а — 2п~ ±. Р;
откуда
а = тиг ± 5 р,
гдѣ п какое угодно цѣлое число.
Слѣдовательно:
8Іп іа = віп (пк ± [ р); сов.! а — сое (п~ Дг | р)
и I а — (пг. ± р).
Для четнаго п = 2к имѣемъ:
еіп 1, а = еіп (2кк ± ( Р) = еіп (± ’ р) = ± еіп ( р
соя’а — сое(2/ск± і р) — сое(Д=| р) = -|- сое ’ р
=	(2/№±ір)= 1ё(±’р)=.±іёір
для нечетнаго п = 2к 1 имѣемъ:
еіп * а еіп [(27с -|-1) к ± і р] = еіп (к ± і Р) = еіп | р
сое \а = сое [(2/с 4-1) я Дг 12 р| = соз(я =д ’ р) ~ — сое ’ р
| а = 18 [(2/с +1) - ± 1 р] =	(±	1 р) = + р.'
Итакъ, для всякаго цѣлаго числа п, четнаго или нечет-
наго, имѣемъ:
еіп |а = =±еіп|Р
сое | а = ± сое | р
|а = ±^ір.
Слѣдовательно, передъ всѣми тремя тригонометриче-
скими функціями долженъ быть двойной знакъ
Итакъ:
1.	Синусъ половины дуги равенъ ± корню квадратному изъ
полуразности единицы и косинуса цѣлой дуги.
2.	Косинусъ половины дуги равенъ ± корню квадратному изъ
полусуммы единицы и косинуса цѣлой дуги.
3.	Тангенсъ половины дуги равенъ корню квадратному изъ
частнаго отъ дѣленія разности единицы и косинуса цѣлой дуги
на сумму тѣхъ же величинъ.
Приведеннымъ тригонометрическимъ функціямъ придаютъ еще дру-
гой видъ, который съ выгодою примѣняется при вычисленіи дуга пли
угла, когда ихъ значеніе близко къ прямому.
Два равенства:
1 =соа2 1 «-}-8Іііа і о.
73
сложимъ и вычтемъ по частямъ; тогда получимъ:
(соз - а 4- зіп *	— 1 + зіп а
^сой — а — зіп «I = 1— віп а.
откуда, по извлеченіи квадратнаго корня, получаемъ:
1 । . 1	, ,/74—~
СО59-й4-8ІП , «= + | 1 ЗІП <1
соз - и — зіп ~ а — ± V1 — зіп а
и, слѣдовательно:
зіп а — ± 11 4- віп а й: 9 іА — зіп о
соз * а ~ ± * /1 4- віп а ± * I‘ \ — зіп а
Въ этихъ выраженіяхъ слѣдуетъ одновременно брать или верхніе,
или нижніе знаки. Въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ знакъ опредѣ-
ляется заданіемъ.
Въ примѣненіи къ рѣшенію треугольниковъ, когда «<180 и, слѣ-
довательно, 2 а < 90 , мы имѣемъ всегда зіп а > 0, и въ обоихъ случа-
яхъ слѣдуетъ брать верхніе знаки, такъ какъ зіп — а > 0, соз - а > 0 и
Л
/і -|- віп а > Ѵ1 — віп а. Итакъ, для всѣхъ плоскихъ треугольниковъ
имѣемъ:
зіп * а — і 1/1 4- зіп а — ~ 1^1 — зіп«
&	&	м
соз а — * |/1 зіп а 4- У1 — зіп«
Если въ формулахъ (-^) и (41) мы положимъ 2а — аи то получимъ
формулы (45) и (46):
218 о «і	і-*е5| «і
зіпа, =---------- и С05«! — -———.------' ......(49)
1+1е32«і	1+^2».
Такимъ образомъ синусъ и косинусъ, а слѣдовательно косекансъ
и секансъ нѣкоторой дуги, выражаются раціонально въ тангенсѣ по-
ловинной дуги.
Если числитель и знаменатель подкоренного выраженія і.^ 2 а СЭД
помножить сначала на 1—соза, а затѣмъ на 14-соза, то получимъ два
новыхъ выраженія:
1	1 — сова зіп а
— Д —---------—---------.
ь 2 зіп а 1 соз а
74
§ 33. Упражненія и задачи.
1. Показать справедливость выраженій:
и
1 — віп 2а
2~
і | 8іп 2а
2
2. Вывести выраженіе для віп За и соэЗа.
3. Вичислить віп 2а, со8 2а и і§2а, если:
1	.	— Ь
а.	8іп а = — д.	а = ——-
э
х .	3	.2
б.	8іпа = -	е. і$а =—-
1	*	2
в.	сое а ~ -	ж. соЦ> а=-
о
4	„	3
г.	со8а = - з. соі^а= о
1	1
4.	Вычислить віп а и сов а, если
м	л
1	„	2
а.	віпа = ^_	в. 1§а = -
й	2	2
б.	сов а = -- г. соЦ? а — —
5.	Провѣрить справедливость формулы:
соі^ а — ір; а = 2соір,' 2а;
6.	Вычислить 8іп За и сое За, если:
7
а. яіп а = -
8
7
б. сов а =
О
,	3
В-
г. соір;а = у
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
Приведеніе многочленовъ къ логариѳмическому виду.
§ 54. Представленіе суммы и разности синусовъ и
косинусовъ въ видѣ произведеній. Изъ формулъ (39):
яіп (а &) = яіп а соя Ъ -| соя а яіп Ъ
яіп (а — Ъ) — яіп а соя Ъ — соя а яіп Ъ
соя (а Ь) = соя о соя Ъ — яіп о яіп Ь
соя (а — Ъ) — соя о соя Ъ -}- яіп а яіп Ъ
мы выводимъ путемъ сложенія и вычитанія:
яіп (а -|-14 + яіп («• — Ь) = 2 яіп а соя Ъ
яіп (а 4- Ь) — яіп (а — Ъ) — 2 соя а яіп Ъ
соя (а 4- Ь) Ц- соя (а — Ъ)=2 соя а соя Ъ
соя (а 4~ Ь) — СОЯ (а — Ъ) = — 2яіп а. яіп Ь.
Эти равенства могутъ быть преобразованы въ слѣдую-
щія болѣе удобныя для численныхъ вычисленій.
Положимъ:
а 4* Ь = р и а — Ъ~ д,
откуда
1 1
а = -2 (Р + 3) и Ь = 2 (р — д).
Подставляя эти выраженія въ предыдущія равенства,
мы получимъ:
яіпр + ьіпд _ 2 віп .<-(₽ + д) сов (р — д)
4	1
яіпр — віпд = 2 еіп - (р — д) сое „ Гр - д)
1	1
сояр -Д-сояд — 2соя (р -Д- д) соя - (р — д)
1	1
сояр—сояд=—2яіп 9 (р -|- 9) еіп (Р — 9)
 • (50)
Такимъ образомъ сумма и разность синусовъ и коси-
нусовъ принимаютъ логариѳмическій видъ.
Сумма или разность тангенсовъ или котангенсовъ двухъ
дугъ также преобразуются въ произведеніе тригонометри-
ческихъ функцій. Дѣйствительно:

яіп а соя Ъ ± соя а яіп Ъ_віп (я±Ь)
соя а соя Ь
соя а соя Ъ
соЦг а ± соЦ? Ъ =
соя а яіп Ъ ± яіп а соя Ъ_яіп (Ь±а)
яіп а яіп Ь	яіп а яіп Ь
....(51)
§ 35. Отношеніе суммы синусовъ двухъ дугъ къ
ихъ разности. Возьмемъ формулы (50) и раздѣлимъ пер-
вую изъ нихъ на вторую; мы получимъ:
яіп р 4- яіп д _ 2 яіп % (р 4~ д) соя|(р — д) _ 1% 1 (р + а)
яіпр— яіп д 2яіп‘-(р — д)соя'-(р4-д)	1§!(р — д)' ’ ' ' '
Итакъ: Сумма синусовъ двухъ дугъ относится къ разности тѣхъ
же синусовъ, какъ тангенсъ полусуммы данныхъ дугъ къ тан-
генсу ихъ полуразности.
Если затѣмъ мы раздѣлимъ послѣдовательно одну
формулу (50) на другую, то получимъ слѣдующія фор-
мулы:
77
8ІП р 4- 8ІН д_ 2яіп|(р4-(?)СО82(Р—0 _ ь , і , сояр-|-со8д 2соя 1 (рд) С081(р—д) ь^ѵР-гЧ) яіп Р + 8ІП (?_ 2яіп|(р-Н)совКр-д)__	і( сО8р—соед	2 яіп|(р) д)&іпІ(р—д)	1 ЯІПр — 8І11д_ 2 8іп|(р —д) СО8|(р4~д) _ г 1 /	) со8р4'СО8д 2со8|(р4-(?) сое|(р—д)	Ьз^Р еіп р — еіп д		2 яіп | (р — д) сое | (Р + 0)		,.(53)
СО8р — 008 д	2 8ІП| (р + 3) 8111 I (Р — (?)
= —со^Кр + з)-
С08р-|-С08д_	2СО8|(р4-3)СО81(Р — Ч)_
С08Р — СО85 2 8ІП Ир + <?)8ІП 2 (р — 1)
= — соГ§ 12 (р 4- (?) с0<® 1 (Р ~ (?)
§ 56. Приведеніе двучлена къ логариѳмическому
виду. Въ § 17 части 1-й настоящей Тригонометріи изло-
женъ способъ приведенія суммы или разности двухъ чи-
селъ а и Ъ къ логариѳмическому виду, и тамъ же изложена
теорія логариѳмовъ суммъ и разностей, составленныхъ
Гауссомъ по мысли Леонелли. Приведеніе это основано на
введенія вспомогательнаго угла,даюшаговозможность пред-
ставить сумму иля разность двухъ чиселъ въ видѣ произ-
веденія или частнаго. Хотя съ построеніемъ Гауссомз, та-
блицъ логариѳмовъ суммъ и разностей отпадаетъ необходи-
мость прямого пользованія вспомогательнымъ угломъ,но для
анализа многихъ задачъ введеніе его является полезнымъ.
Всякій двучленъ а±Ь можетъ быть приведенъ къ ло-
гариѳмическому виду слѣдующимъ образомъ. Въ данномз.
двучленѣ, представленномъ въ видѣ произведенія:
положи<^
принявъ во вниманіе, что 1 =1^45 , мы получаемъ:
пли
а ± Ъ — а (І&45 2+2= а
8Іп (45°± 7)
СОЯ 45° СОЯ 'у
С08 <р
78
Если а и Ъ суть какія угодно числа, то изложеннымъ
способомъ и ограничивается приведеніе двучлена къ ло-
гариѳмическому виду, но если а и Ъ означаютъ какіе угодно
одночлены, какъ алгебраическаго, такъ и тригонометриче-
скаго вида, то выборъ тригонометрической функціи для
вспомогательнаго угла можетъ быть различный; весьма ча-
сто изящество преобразованія зависитъ отъ опытности
рѣшающаго задачу. Мы укажемъ здѣсь на нѣкоторыя об-
щія правила для приведенія двучлена къ логариѳмическому
виду и приведемъ нѣсколько примѣровъ.
1.	Если а и Ь никакимъ условіямъ не подчинены, то от-
. Ь
ношеніе - можетъ принимать какія угодно значенія, и
тогда слѣдуетъ положить:
Ъ	Ъ
- = или - = СОІ{5ф.
При этомъ
а± Ъ —	±
,	( Ъ\	__віп (ф ± 45°)
(^1 ±	— а (соЬе45о± СОІ& ф)= а ]/ 2-------•
о	. Ъ
2.	Если отношеніе - существенно положительное число,
при чемъ Ь и а не подчинены никакимъ условіямъ, то слѣ-
дуетъ положить:
—ИЛц же & = соЦгф.
Въ этомъ случаѣ двучленъ атЪЬ приметъ слѣдующій
видъ:
а 4- Ь'= а 1	= а весг« = а сояес2ф
а — Ь = а (1 — } =а соя 2? яес2<р=—а соя2ф сО5вс®ф.
Ь\	/--
“ )= а №45°±:1е <?)= а / 2 /
€4 /
сов®
79
3.	Если численное значеніе отношенія - меньше еди-
а
ницы, но можетъ быть какъ положительнымъ, такъ и отри-
цательнымъ, то слѣдуетъ положить:
Ь	Ь
- = йіп 9 ИЛИ — СО8 ф.
а	а
Въ этомъ случаѣ приведеніе приметъ слѣдующій видъ:
а-[-Ъ = а ( 1 4~ - ) = а(1 -|-8ІП®) = « (1 -ф- С08 ф);
\ а/
а — Ь—а	= (1 — 8ІП '?)= а(1 —СОйф).
Принимая же во вниманіе, что на основаніи формулъ (47)
і	8ІП® = 1 4-С08(90 —<?) = 2СО82( 45'—^);
1 — 8ІП® =,1 — СОЙ(90—<р) — 2 йІПЕ ^45°—;
1
1 4“ СОЯ ф — 2 СО83 - ф;
Л
1
1 — СО8 Ф — 2 8ІИ2 2 Ф,
мы получаемъ:
а 4- Ь = 2 а СО82 ^45°-	= 2 а СО82 * ф;
а — Ь = 2 « 8Іп2 ^45°-—^ — 2 а яіп2 *Ф-
. Ь
4.	Если отношеніе — есть существенно положительное
число, и Ь<а, такъ что— <1, то слѣдуетъ положить
Ъ 9 Ъ ,
для суммы:	или й = соі§-ф.
Ь	Ъ
для разности: ^ = 8іп27 или - —со&-ф.
80
Въ этомъ случаѣ двучленъ принимаетъ слѣдующій
видъ:
а Ъ = а “^=а вес2<?—а совес2^;
а — Ь = а (\ —	= а сов2® — віп2Ф.
\ а I
5.	Если отношеніе , будучи положительнымъ пли отри-
цательнымъ, представляетъ неправильную дробь, то можно
положить:
Ь	Ъ
— аес® или совесФ.
а	а
или же, какъ и въ первомъ случаѣ,
— г д ? или - = соі^ ф.
Въ первомъ случаѣ двучленъ принимаетъ слѣдующій
видъ:
,1 «Л.о М
/ Ь\ со»’-9? сов- 45 — Л
а+Ь = а (1+°Л = 2а______* =9.а	\	•
\ й/ сов ®	ВІП ф
1 / 1 \
,	віп2 „«	віп21 45"— Ф)
,	/, /Л „	2	\	2 /
а — о = а [1--= — 2а________—___2а 4__________- •
\ а)	СОВ^	ЯІП’р
Во второмъ случаѣ двучленъ принимаетъ видъ, раз-
смотрѣнный въ п. 1.
6.	Если отношеніе & , будучи неправильною дробью, есть
величина существенно положительная, то слѣдуетъ по-
ложить: о ® пли = соі^2 ф. При этой подстановкѣ
двучленъ а±й принимаетъ видъ, разсмотрѣнный въ п. 2.
Пояснимъ изложенныя правила приведенія къ логариѳ-
мическому виду на нѣсколькихъ примѣрахъ.
Примѣръ 1. Привести къ логариѳмическому виду дву-
членъ а віп т -|- Ъ сов а", гдѣ а и Ь положительныя пли отри -
цательныя числа.
81
Данное выраженіе можетъ быть приведено къ логариѳ-
мическому виду слѣдующимъ образомъ.
Мы имѣемъ:
а 8іп х 4- Ъ соз х = а I 8іп х - соз х ,.
Ъ .
Положимъ - — 1р <р; въ такомъ случаѣ
азіпл-|-Ьсо8ж=а(яіп жЦ-Ѣр,'? соях) ~ ~(зіпхсозо-І-сояжзіп'р)
или	азіпх -}-Ъ созх = азіп (лЦ-о) яес?.
Примѣръ 2. Привести къ логариѳмическому виду вы-
а— Ь	_	,
раженіе ’ гдѣ ° П & какія УГОДНО числа, не нули, и а
отличается отъ Ъ.
Раздѣлимъ числитель и знаменатель на а и положимъ
Ь
— тогда получимъ:
а — Ъ__а 1 — ір ?
а 4- Ь Ъ 1 Ц-о
Принявъ во вниманіе, что ір;45э = 1, мы можемъ пред-
ставить послѣднее выраженіе слѣдующимъ образомъ:
Примѣръ 3. Привести къ логариѳмическому виду выра-
женіе |/а2-|-Ь2.
Положивъ -2 = ЦГ?і мы преобразуемъ данное выраже-
ніе слѣдующимъ образомъ:
|/а2_^/)2 — 0|/	—о | і 4-1^ —«8ес 7.
§ 57. Приведеніе многочлена къ логариѳмическому
виду.
Если данъ многочленъ
«4-Ь4-с4-гі4-......
С. П. ГЛАЗКВАЦЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ, Ч. II.
(і
82
то къ логариѳмическому виду онъ приводится послѣдова-
тельными дѣйствіями: сначала приводится къ логариѳми-
ческому виду сумма а -|- Ь, затѣмъ сумма (а -|- Ь) -|- с и т. д
§ 38. Приведеніе вещественныхъ корней квадрат-
наго уравненія къ логариѳмическому виду.
Корни квадратнаго уравненія
ах2 Ъх с ~ О,
гдѣ а > О, имѣютъ слѣдующій видъ:

— Ъ ± |/Ъ2 — 4ае	Ь
х~	~— 2а
2а
. 4ас „ „	. 4ас
Корни вещественные, если 1 —р-^0. Если « —=0, то корни
равны между собою и имѣютъ логариѳмическій видъ — ~, а потому мы
остановимся только на случаѣ 1 —^>0, т. е. если ^<1, и отно-
о	Ь2
сительно с сдѣлаемъ два предположенія: с > 0 и с < 0.
1.	с > 0; въ этомъ случаѣ а и с имѣютъ одинаковые знаки, и
4ас	4ас
положительное число. Такъ какъ должно быть меньше еди
4ас . „	„
ницы, то можно положить: — еіп2,р. Вслѣдствіе этого подкоренное
. 4ас	.	. _	. 4ас
выраженіе 1 —принимаетъ слѣдующій видъ: 1-------— 1 — еш2ср -
= сое2 ср, а корни становятся: а\ = — ~ (1—соеср) и х2 ~	~ (1-)-со8 ср)
Но мы знаемъ (47), что 1 — сое ср = 2 еіп2 и 1 сое ср — 2 сое2 ;
поэтому:

Ь ср	Ь ср
=--------еіп2 и а?, — — сое2 і ,
а 2	2 а 2
откуда
гдѣ вспомогательный уголъ ср опредѣляется условіемъ: еіп2 ср ,
еіп <р~ ± 1/ ас .
V
2.	с<(0; въ этомъ случаѣ а и с имѣютъ различные знаки, и дробь
4ИС	ТЛ Л
---р- положительное число. При всѣхъ значеніяхъ чиселъ а, о и
. , 4ас
подкоренное выраженіе 1 —есть положительное число, и корни
мѣютъ вещественное значеніе.
’ — -------------------------% ----------------------------
^3
„	4йс . „
Полагая	---'?’
мы получимъ:	1----— 1 Ц- = зес=ср;
вслѣдствіе чего корни принимаютъ слѣдующій видъ:
— _±л_ ч— Ь(совд>-1)_ , б8Шг2
Г* 2« 8еС \ 2а сое? а соеср
СОч2 —?
Ь „ .	. Ь(СО8Ср+1) ОСОЬ 2
ж, — — — (14- вес ч>) =-д———- —-------------
2а	2а сок ч а сое <р
Упражненія къ § ЗН. Найти вещественные корни слѣдующихъ квад-
ратныхъ уравненій съ помощью тригонометрическихъ таблицъ:
1. 0.95678Л2 + 16,532,г + 3.5430 = 0.	3. 15,362 ж2 + 5,754О.е + 0,34527 = 0-
2. х2 — 2,2362,1’ + 0,26390 = О.	4. 25,63‘іг2 — х — 2,4581 = 0.
5. 3,6425ж2 4- 2,4392л: — 1р= 0.
6*
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
Тригонометрическія уравненія.
§ 59. Общія замѣчанія о рѣшеніи тригонометриче-
скихъ уравненій. Уравненія, содержащія неизвѣстныя
подъ знакомъ тригонометрическихъ функцій, принадле-
жатъ къ числу трансцендентныхъ и называются тригоно-
метрическими.
Рѣшеніе тригонометрическихъ уравненій слагается изъ
двухъ дѣйствій: 1) изъ преобразованія даннаго уравненія
такимъ образомъ, чтобы неизвѣстная дуга съ одинако-
выми коэффиціентами входила подъ знакомъ только одной
тригонометрической функціи, и изъ рѣшенія его относи-
тельно этой функціи по правиламъ алгебры: и 2) пзъ
опредѣленія неизвѣстныхъ дугъ по найденнымъ значеніямъ
ихъ тригонометрическихъ функцій.
Рѣшеніе тригонометрическихъ уравненій отличается
слѣдующими особенностями отъ рѣшенія алгебраическихъ
уравненій.
1. Ограниченіемъ рѣшеній.
Изъ получаемыхъ рѣшеній возможными являются только
тѣ, которыя отвѣчаютъ свойствамъ искомыхъ тригонометриче-
скихъ функцій. Напримѣръ, если при рѣшеніи даннаго три-
гонометрическаго уравненія получается .значеніе віпас> 1,
то дуги х опредѣлить нельзя, такъ какъ синусъ никогда
не можетъ быть больше единицы. Равнымъ образомъ, если
для совж получается значеніе больше единицы, а для еесх
85
или собеса значенія меньше единицы, то данныя уравне-
нія не имѣютъ рѣшенія.
2. Многозначностью рѣшеній.
Многозначность рѣшеній вытекаетъ изъ свойствъ три-
гонометрическихъ функцій. Такъ какъ данному значенію
тригонометрической функціи соотвѣтствуетъ безчислен-
ное множество дугъ (§ 25), то по найденному алгебраи-
ческимъ путемъ корню тригонометрическаго уравненія
получается безчисленное множество значеній искомой
дуги. Напримѣръ, если при рѣшеніи даннаго уравненія
получено яіпх = т, и ш>0, то искомая дуга имѣетъ слѣ-
дующія значенія:
а =	4-(— 1)” а,
гдѣ а есть основное значеніе дуги х, а п какое угодно
цѣлое число, включая и нуль.
Рѣшеніе тригонометрическаго уравненія является болѣе
сложнымъ, чѣмъ рѣшеніе алгебраическаго уравненія, въ
томъ случаѣ, если неизвѣстная входитъ подъ знаками
нѣсколькихъ тригонометрическихъ функцій; въ этомъ слу-
чаѣ приходится выбрать одну изъ тригонометрическихъ
Функцій, и всѣ остальныя выразить въ избранной.
При выборѣ тригонометрической функціи, къ которой
приводятся всѣ остальныя, необходимо сообразоваться съ
видомъ даннаго уравненія1): вообще же слѣдуетъ предпо-
читать приведеніе къ тангенсу, такъ какъ всѣ тригоно-
метрическія функціи выражаются раціональнымъ образомч,
въ тангенсѣ половинной дуги (49); приведеніе же къ дру-
гимъ тригонометрическимъ функціямъ вводитъ радикалы,
уничтоженіе которыхъ можетъ включить въ рѣшеніе дан-
наго уравненія посторонніе корни. Если въ данномъ три-
гонометрическомъ уравненіи неизвѣстная дуга входитч. съ
различными коэффиціентами подъ знакомъ тригонометрп-
1 .1
ческихъ функцій, напримѣръ, віп х, віп 2х, біп - х и т. д., то
необходимо сначала привести ихъ къ трнгонометрпче-
*) Для этой цѣля можно пользоваться таблицею, помѣщеввою ва стр. 44.
86
скимъ функціямъ дуги съ однимъ и тѣмъ же коэффиціен-
томъ п затѣмъ приступать къ рѣшенію уравненія.
Въ настоящей главѣ мы разсмотримъ нѣкоторыя изъ
простѣйшихъ тригонометрическихъ уравненій.
§ 40. Тригонометрическія уравненія съ одною не-
извѣстною.
1. Дано уравненіе
а віп х Ъ сов х = 0,...........(54)
гдѣ а и Ь суть нѣкоторыя положительныя или отрицатель-
ныя числа, не нули; найти х.
Выведемъ въ данномъ уравненіи сова? за скобки; мы
получимъ уравненіе
сов х(а х Д- Ь) = О,
состоящее изъ двухъ множителей. Произведеніе двухъ мно-
жителей только тогда равняется нулю, когда по крайней
мѣрѣ одинъ изъ нихъ равенъ 0, а потому данное урав-
неніе будетъ удовлетворено въ томъ случаѣ, если сов х = О,
или же а Ір; я?-|-Ь = 0.
По первому уравненію полуднемъ х= ; но такъ какъ
при этомъ корнѣ первая часть даннаго уравненія (54) не
равна нулю, а превращается въ а, которое не равно нулю,
чего по условію заданія не можетъ быть, то ж= “ не есть
корень даннаго уравненія; поэтому корнемъ даннаго урав-
ненія будетъ тотъ, который получится изъ рѣшенія вто-
рого уравненія	= откуда выводимъ
= — |...................(55)
Дѣйствительно, этотъ корень удовлетворяетъ данному
уравненію. Мы имѣемъ:
Ь	, а
ВШ X — ГД	, и соя X ----- =Ь —----
і/аа4-Ъ2	]/а2-|-Ь2
87
Въ обоихъ случаяхъ должны быть взяты одновременно
пли верхніе, или нижніе знаки. Подставляя эти значенія
въ данное уравненіе, мы получаемъ тождество:
1/а2-^-Ьг
Итакъ, второе рѣшеніе даетъ намъ искомый корень
даннаго уравненія.
По =— ~а мы пріискиваемъ основное значеніе угла
а и получаемъ:
х — пк -|- а.
Примѣръ. Дано уравненіе:
3,78 віп х 4- 6,36 со8ж = 0,
вычислить х.
Примѣняя предыдущій пріемъ, мы выводимъ:
Вычисленіе:
Ьо& (—5,36) = 0,72916„	а = 125°11 '33"
Ьо^ 3,78 = 0,57749	х = 180°п -|-125°11 '33"
Ьоу х — 15167я
Повѣрка:
Положимъ п — 0; тогда ® = 125°11'33".
Ьо§ 3,78 = 0,57749;	Ьо^ (— 5,36) = 0,72916»
Ьо& віп х — 9,91234;	Ьоу СОВ х = 9,76067,,
Ьо& 3,78 віп х = 0,48983; Ьо^ (— 5,36) сов х = 0,48983
2. Дано уравненіе
а віп х Д- Ъ сов х = с,.............(56)
гдѣ а, Ъ и с нѣкоторыя положительныя или отрицательныя
числа, не нули; найти х. Простое рѣшеніе получается
введеніемъ вспомогательнаго угла.
Н8
Раздѣлимъ обѣ части уравненія на а:
. Ь	с
81П X 4- — СО8 X = —
а	а
и введемъ вспомогательный уголъ, опредѣливъ его усло-
віемъ:
+ Ь
^ = а’
что всегда возможно, такъ какъ тангенсъ можетъ прини-
мать любыя численныя значенія. Въ такомъ случаѣ дан-
ное уравненіе (56) приметъ видъ:
 .	с
8ІПЯ!-|-І^<Р СО8Х = а
или
8ІП X СО8 ® Ц- СО8 X 8ІИ <р _ С
СО8 ?	а ’
откуда выводимъ:
яіп (х -]-«)=:- СОЯ'5.
Изложеннымъ пріемомъ данное уравненіе приведено къ
простѣйшему виду тригонометрическихъ уравненій, рѣша-
емыхъ по извѣстнымъ намъ правиламъ. Мы выводимъ:
я:	4" (— 1)”а5
гдѣ а есть основное значеніе угла ®4~?> а п—какое угодно
цѣлое положительное или отрицательное число, включая
и нуль. Изъ послѣдняго равенства получаемъ:
х = пп 4~ (—1)” а — ?-
Уголъ ? можетъ быть какъ положительный, такъ и от-
рицательный.
Рѣшеніе уравненія (56) возможно въ томъ случаѣ, если
с	. , , ,
- соя 7 = яіп (х 4- ?) заключается между предѣлами —Іи
4-1, или если со82<р^1. Это неравенство можетъ быть
написано слѣдующимъ образомъ:
с2
-» СОЯ2 V 8ІП2 ® 4- СО82
а-
«9
или, такъ какъ соз2® не равно нулю,
72^^+і;
и
ъ
но 1^® = -; слѣдовательно:
г2 Ь-
или с2^а2-|-Ь2.
а а2
Примѣръ. Рѣшить уравненіе 7,56.8іпх-|- 5,82 со8х = 6,53.
Прежде всего убѣждаемся, удовлетворяется ли неравен-
ство с2 «2	Ъ2. Имѣемъ: 42,6 < 57,2 Д- 33,9. Неравенство
удовлетворяется. Рѣшеніе возможно.
Вычисленіе.	Повѣрка.
Ьо§Ь = 0,76492	п = 0; х = 5°36'3"
Ьо§а — 0,87852 Ьоу« = 0,87852	Ьо^Ь —0,76492
Ьо&с — 0,81191 Ьо^віпж = 8,98943 Ьо§СО8Х =9,99792
Ьо^1^9 = 9,88640 Ьо^а8Іпх = 9,86795Ьо§Ьсо8т=0,76284
? = 37’35'25" О8ІП.г = Д-0,74 Ьсо&г = -(- 5,79
Ьоцсов® = 9,89894; а8Іпх-|-ЬсО8«=4-6,53; с = -|-6,53
с
Ьо§- = 9,93639	Вычисленіе вѣрно.
Ьо^ яіп (х-|~ ®) = 9,83533
а = 43°11'28"
х =180 п 4- (— 1)" X (4311'28") — (37°35'25").
3.	Дано уравненіе
.................(57)
81П (ж + о) д
гдѣ а и Ъ суть какіе угодно положительные или отрицатель-
ные углы, а р и д—какія угодно положительныя пли отри-
цательныя числа, не равныя нулю. Уравненіе рѣшается
слѣдующимъ образомъ: числитель и знаменатель первой
части уравненія разлагаются по формулѣ синуса суммы
и, по уничтоженіи знаменателя, опредѣляется
р 8іп Ъ — а 8іп а
। 	1е- х =----------——г.
дС08а — р СО80
ЙО
Найдя наименьшій положительный уголъ а, мы полу-
чимъ значеніе искомаго угла:
х = 18(Гті Ц- а.
Примѣръ. Опредѣлить уголъ х изъ уравненія
яіп (х -|- 33° 5'48") _ 3
яіп (я-	96°43'30")~ 8 '
Вычисленіе:
а = 33° 5'48"; Ь = 96°43'30"; р = 3; д = 8.
Ьоё 8ІП Ъ = 9,99700	Ьоё яіп а — 9,73723
ЬО^Р = 0,47712	Ьод 9 = 0,90309
Ьо§ соя Ь = 9,06858,,	* Ьор; соя а = 9,92312
Ьор; р яіп Ъ = (0,47412)	Ьор; д соя а = 0,82621
А = — 0,49761	2 = 4-0,02218
Ъо& [—дяіпа] = 0,64032,, Ьо& [— р соя Ь] = 9,54570
К= 0,16620 А	В=1,2805і2
Ьо^ІряіпЬ — дяіпа] = 0,14271»
Ьо^ [д сояа — р яіп Ь] = 0,84839
а = 168°51'33"
х = 180ті 4-168°51 '33"
Ьо^ х = 9,29432п (II).
Повѣрка: п = 0:	х = 168°51'33".
а = 33° 5'48" Ьо8ЯІп(а?4-а) = 9,57275я Ьоёр = 0,47712
ж= 168°51'33" Ьо^ яіп (а-4-Ь) = 9,99871 я Ъо^ д = 0,90309
Ь= 96^43'30"	8ІпГа;_|_а)---------- ѵ
. ----—„ Ьое- • ,	= 9,57404 Ьо^ =9,57403
х 4-а = 201'57'21"	ьяіп(ж4-Ь)	Ч
х Н~ — 265 '35' 3"	Вычисленіе вѣрно.
4.	Рѣшить уравненіе
ах -|- Ь со!§ ж = г
1
Замѣняя соір;х = -—-и приводя оба члена къ одному
знаменателю, мы получимъ:
аі§2я:—сі§а’4- Ъ_
(58)
(59)

91
Ото выраженіе становится нулемъ, если знаменатель
равенъ безконечности или если числитель равенъ нулю.
Если Іу ®=со, то х = ~; въ этомъ случаѣ числитель также
превращается въ безконечность, и уравненіе принимаетъ
ОО
неопредѣленный видъ —= 0. Истинное значеніе этой не-
опредѣленности не есть 0, а со; поэтому х = не есть корень
^4
даннаго уравненія (58). Дѣйствительно, если подставить
л
х=- въ данное уравненіе, то не получаемъ тождества; мы
получаемъ со = с, что невозможно. Поэтому искомый ко-
рень даннаго уравненія (58) будетъ корень числителя въ
выраженіи (59), приравненнаго нулю, именно:
а І^х—с	Ъ = 0.
Рѣшимъ это уравненіе относительно мы получимъ:
Но двумъ значеніямъ Г<’' х пріискиваемъ по тригономе-
трическимъ таблицамъ основныя значенія угловъ а и р,
и получаемъ:
= «г 4- а и х., = п- -|- Р-
5.	Рѣшить уравненіе:
СЯІП2®-|-ЬяІП ®соя®-|-с СОЯ2Х = Й .... (60)
Помножимъ постоянный членъ А на 1 = соя2® віп2®;
тогда уравненіе приметъ слѣдующій видъ:
а яіп2® Ь яіп х соя х 4- с соя2® — д. соя2® 4- А яіп2®,
или:
(« — й) яіп2® 4- Ъ яіп х соя х~І~(с — <1) соя2® = 0.
Выведемъ за скобки соя2®; мы получимъ:
соя2® [(а — й) іу2® 4. ъ Іо' х _]_ (с — ^)] = О,
а это уравненіе рѣшается по способу, разсмотрѣнному
въ предыдущемъ примѣрѣ.
92
§ 41. Тригонометрическія уравненія съ двумя не-
извѣстными. Кромѣ обыкновеннаго вида алгебраическихъ
уравненіи съ двумя неизвѣстными тригонометрическими
функціями дугъ,—уравненій, рѣшаемыхъ по общимъ пра-
виламъ алгебры, встрѣчаются еще тригонометрическія
уравненія, въ которыхъ заключаются какъ тригонометри-
ческія функціи неизвѣстныхъ дугъ, такъ и самыя дуги.
Уравненія подобнаго рода бываютъ различнаго вида: 1) въ
одномъ уравненіи заключаются только неизвѣстныя дуги,
а въ другомъ только ихъ тригонометрическія функціи съ
тѣми или другими коэффиціентами; и 2) въ обоихъ урав-
неніяхъ заключаются какъ неизвѣстныя дуги, такъ и ихъ
тригонометрическія функціи.
Къ уравненію перваго вида принадлежитъ, напримѣръ,
слѣдующая система:
ах±Ъу = А и сеіпх±йеіпу~ р..........(61)
Къ уравненіямъ второго вида принадлежитъ, напри-
мѣръ, слѣдующая система:
ах-^-Ъу^-сяіпу — р 1	,
сояу=д |.............Ѵ
Ни та, ни другая система алгебраическимъ путемъ во-
обще не можетъ быть рѣшена. Въ частномъ же случаѣ
уравненія приводятся къ простымъ тригонометрическимъ.
Если въ уравненіяхъ (61) а — Ъ и с —й, то они прини-
маютъ такой видъ:
. А .	. . р
Х±у = ~ и 81П Ж ± 81П У = —.
а	с
Рѣшеніе получается послѣ слѣдующихъ преобразова-
ній: если дана сумма х-\-у, то опредѣляется по формулѣ
(50) тригонометрическая функція ихъ разности, а если
дана разность х — у, то опредѣляется тригонометрическая
функція ихъ суммы. Зная же сумму и разность искомыхъ
дугъ, мы опредѣляемъ и самыя дуги.
Уравненія второго вида (62) приводятся къ тригоно-
метрическимъ въ томъ случаѣ, если коэффиціенты дугъ,
входящихъ подъ знаками тригонометрическихъ функцій
93
данныхъ уравненіи, равны нулю; въ нашемъ случаѣ, если
Ъ — Ь1 — 0. При этомъ условіи уравненія принимаютъ видъ:
ах с зіп у — р,
а,х 4- соз у — д.
По исключеніи х по правиламъ алгебры мы получаемъ
уравненіе:
а,с зіп у — ас1 соз у = ахр — ау,
разсмотрѣнное нами въ предыдущемъ параграфѣ (А» 2).
Если же данная система уравненій такова, что можно
исключить не только одну неизвѣстную дугу, но и ея
тригонометрическую функцію, то прямо получается алге-
браическое рѣшеніе
х = г или у = 8.
Подобныя уравненія, какъ чисто алгебраическія, мы не
разсматриваемъ.
Приведемъ примѣры.
1. Даны уравненія:
..........(63)
ЗІП X 4- 8ІП у — р I
опредѣлить х и у.
По формулѣ суммы синусовъ (50) имѣемъ:
. х 4-« х — у
ЗІП X 4- ВІП у — 231П —— соз —-— — р,
откуда
х — у р х-4-у р А
соз —созес —~	~ созес —.
Во второй части однѣ извѣстныя величины; уравненіе
приведено къ простѣйшему виду; рѣшеніе его намъ пз-
р А
вѣстно; оно возможно, если 9 созес — заключается между
предѣлами — 1 и -|-1, т. е. если
. Р	А
— 1 созес —	,
откуда численное значеніе	должно быть меньше пли
равно зіп —.
94
Примѣръ. Даны уравненія:
а: 4~ У = 438°56'30" и віп х 4~8іп у= 1,0543;
вычислить х и у.
Имѣемъ: — =219°28'15"; ^-= 0,52715 и численное зна-
А
ченіе 8іп — = 0,80028. Неравенство численныхъ значеній
2
р . А
«5 8іп — удовлетворяется; слѣдовательно, рѣшеніе воз-
2л	2
можно. Итакъ:
а=146°1'22"
Ьор; 5 = 9,72193	(х- у) = 360г п ± 146°1 '22"
2	2
Ьо^ совес — 0,1 9676л	(х-І-у) =	219° 28’ 15"
2	4л
1	1
Ьо^ сов (х — у) — 9,91869п — {х—у) ~ ± 146° 1’ 22"Ц-ЗбО 'п
2	2
Складывая и вычитая по частямъ, получаемъ:
а)	для верхняго знака:
ж1 = 365° 29' 37" + 360°п и і/1 = 73с 26' 53"—360 п
б)	для нижняго знака:
з?2 = 73° 26' 53" -|-360м и у., = 365° 29' 37"— 360'’л
Рѣшенія тождественны. Дѣйствительно, если положимъ
послѣдовательно п = 0, ±1, и т. д., то получимъ:
а)	для перваго рѣшенія:
п =	0: ^=365° 29' 37",- у1==	73° 26' 53"; 37,4^=438° 56' 30"
п = 4-1: ^=3725 29 37 ;ух=—286 33 7 ; ^-[-^=438 56 30
п=— 1:а:х= 5 29 37 ;ух= 433 26 53 ;^4^=438 56 30
б)	для второго рѣшенія:
п= 0:х2—	73°26'53";у2=365°29'37";а:24-у,=438о56'30"
П—4-1:ж2= 433 26 53 ;?/2= 5 29 37 ; ж24-у2—438 56 30
и — — 1:х2=з—286 33 7 ;у2=725 29 37 ; а?,-Н/г=438 56 30
и т. д.
95
Рѣшенія въ обоихъ случаяхъ тождественны между собою;
поэтому можно остановиться на одномъ знакѣ и написать
х— 365° 29' 36" 4- 3(50% и у = 73° 26' 53" — 360%.
Если х и у могутъ принимать только положительныя
значенія, то получаются два рѣшенія, соотвѣтствующія
п = 0 и п = —1.
2. Рѣшить систему уравненій
х-^-у — А и яіп«яйіу = 6......................(64)
Какъ и въ предыдущемъ случаѣ, достаточно опредѣлить
х — у; для зтого мы преобразуемъ второе уравненіе, поль-
зуясь формулами (50):
2 8ІП х еіп у = 2Ъ — соя (х — у) — соя (ж у),
откуда
соя (я? — у) — соя А 2Ь.
Поэтому уравненію х — у опредѣляется какъ и въ пре-
дыдущемъ случаѣ. Затѣмъ, по найденному значенію раз-
ности х — у и по данной суммѣ х-^-у мы опредѣляема,
каждую изъ неизвѣстныхъ.
Рѣшеніе возможно въ томъ случаѣ, если численное зна-
ченіе соя А 4- 26 не превышаетъ единицы, т. е. если
— Ій? соя Л 4- 26 -г? 4- !•
Примѣръ. Даны уравненія:
х4-«/—А = 169° 36' 46" и яіп х со8?/ = Ь = 0,73267.
Ьо§ соя А = 9,99283» Ьод соя (х — у)~ 9,68220
26 =1,46534 а = 61° 12' 8"
соя Л=—0,98562	х — у=360%±61°12'8"
СОЯ (х — у) = 4~ 0,48172
Итакъ, мы имѣемъ:
а?4-у=	169' 36'46"
ж —у = ± 61 12 8 4- 360%
Отсюда выводимъ:
а) для верхняго знака:
^ = 115° 24' 27" 4- 180%
ух= 54 12 19 —180%
б) для нижняго знака:
«,= 54° 12' 19" 4-180%
«0 = 115 24 27 —180%
06
Какъ и въ предыдущемъ примѣрѣ, для обоихъ знаковъ
получаются тождественныя рѣшенія, такъ какъ п могутъ
принимать какъ положительныя, такъ и отрицательныя
значенія, включая и нуль.
Если х и у могутъ принимать только положительныя
значенія, то получимъ одно рѣшеніе, соотвѣтствующее
п = 0, именно:
х = 415 24'27"; у = 54е 12' 19"; х-]-у —169° 36' 46".
3. Рѣшить систему уравненій:
.	. 8ІП х ®
х-\-у = А и ——= -.................(65)
81П Я/ д
Въ данномъ примѣрѣ, какъ и въ двухъ предыдущихъ,
достаточно вычислить разность х— у. Для этой цѣли мы
составляемъ изъ второго уравненія (65) производную про-
порцію:
віп х — віп у р—д
віп х -|- віп у р І-д ’
Пользуясь формулами (50), мы переписываемъ послъднее
уравненіе слѣдующимъ образомъ:
1
Тё •, (х—у)
віп х — вш у	2	__р — д
8іпж4-8Іпу . 1. . , рА~д'
^2^+У)
откуда выводимъ
1
Рѣшеніе зтого уравненія даетъ намъ: - (х — у) = н* Д- а,
1
гдѣ а есть основное значеніе дуги —(х— у). Найдя значе-
. 1 ,
ніе - (х — у), мы опредѣляема, х и у, какъ и въ двухъ пре-
дыдущихъ примѣрахъ.
97
§ 42.	Упражненія и задачи.
Опредѣлить х изъ уравненій:
1.	0,568 віп х — 2,569 008 х = 0.
2.	32,672 віп х 4- 0,03428 СО8 х = 0.
3.	54,267 віп х 4- 27,346 СО8 х = 0.
віп (25°37'48" + х) _ 52
‘ віп (38°59'50" + ж) ~ 53 ‘
5.	1539 8ІП (95°33'27" 4 х) = 1329 віп (27= 4~ х).
6.	3028 8Іп (18Г 4- х) = — 3958 віп (34° -|-ж).
7.	31 віп2х 4 26 віп х сов х — 54 со83х — 0.
8.	28,35 8Ін2ж 4 33,79 віп 2 .г 4 Ю,71 со82ж --- О.
9.	1,56784-4,2689 8ІП 2 х = 3,6891 со82х.
10.	125 8ІП2® 4 276 ВІП х сов х 4- 39 СО82Ж = 102,5.
11.	63,26 віп х 4 49,87 008 х — 32,56.
12.	3,568 віп х— 5,690 СО8 х= 1,276.
13.	54337 Іё у + 159502 х = 34910.
14.	3,5600	х 4 1,2852 со!§ х — 4,2780.
15.	35,242	х 4- 0,0253 СОІ§ х — 5,673.
16.	Дуга желѣзнодорожнаго моста, стягиваемая хордою
въ 18 іп, имѣетъ высоту въ 3 пі. Вычислить уголъ х,
стягиваемый хордою, радіусъ дуги Іі и длину дуги я.
Опредѣлить хиу изъ слѣдующихъ системъ уравненій:
71. х4У — 56°37.'20" и віп х4-віп?/ = 0,5342.
18.	а,4У = 23° и віп л:4“«ІПу = 0,93456.
19.	х-\-у — 52°30'40" и віп х — віп у = 0,25672.
20.	х — у = — 31°59'21" и 8ІИх4-8Іпу = — 0,95422
21.	.с4у=102°56'6" и віп х віп у = 0,56244.
22.	х — у — — 32°17'10" и
23.	х4у=179°53'50" и
24.	х — у = — 59°36'52" и
25.	х4У—273о51'20" и
віп х віп у = 0,43092.
віп X 11
віп у	12
205 віп х = 178 віп у.
8іп у 	52,06
віп х	36,92
§ 45. Трансцендентныя уравненія.
Уравненія, содержащія, кромѣ тригонометрическихъ функцій не-
извѣстной дуги, и самую дугу, принадлежать къ разряду трансцен-
дентныхъ уравненій; они вообще не могутъ бытъ рѣшаемы алгебраи-
ческими дѣйствіями ни относительно дуги (аргумента), ни относительно
Н. ГДАаКНЛІІЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ, ч. и.
7
98
тригонометрической функціи; ихъ рѣшеніе возможно по способу по.
слѣдовательныхъ приближеній. Приведемъ примѣръ.
Уравненіе Кеплера.
При изученіи движеній планетъ солнечной системы Кеплеръ (въ
17 столѣтіи) встрѣтился съ необходимостью рѣшить уравненіе вида:
х — е віп х — т, ............ (66)
гдѣ х искомая дуга, а е и т суть постоянныя числа, при чемъ 0<е<4
Рѣшеніе Кеплерова уравненія (66) можетъ быть произведено пу
темъ послѣдовательныхъ приближеній въ томъ случаѣ, если е малая
величина меньше единицы, слѣдующимъ образомъ:
Въ первомъ приближеніи мы полагаемъ:
х} ~ т;
затѣмъ съ найденнымъ значеніемъ хѵ вычисляемъ второе приближе
ніе, вставляя я, въ Кеплерово уравненіе:
х2 — т ф- е віп х1.
Съ найденнымъ значеніемъ х., поступаемъ такимъ же образомъ и
вычисляемъ третье приближеніе х3:
х3 — т ф- е віп х2
и т. д.
При маломъ с послѣдовательныя приближенія искомой дуги х бы
стро подходятъ кт, нѣкоторому предѣлу, принимаемому за истинное
значеніе искомой дуги х. Пояснимъ рѣшеніе примѣромъ.
Положимъ, дано уравненіе
х — 0,17 віп х — 1,892.
Дуга х и т~ 1,892 выражены въ радіанахъ.
Вычисленіе послѣдовательныхъ приближеній.
1-е прибл.	1-892 = 108°24'13"
2-е »	щ— 1,892
ф- е віп .г, = ф- 0.1613
т— 1,892
ф- е віп ж2-1- 0,1506
х2 = 2,0533 = 117О38’43’
3-е
х3~ 2,0426 = 1163 1'56
4-е
5-е »
, іп Г — д п імдч Г х* ~ 2>04343 = 117° 4'47
+ е8іп ~ 1-0.15143 )_________________
6-е
,	. т~ ,	! Хй= 2.04336 — 117 ' 4'33
ф- е віп ж4 = ф- О.ІаІЗб ) ________
ф-е віп Ж6 = ф-0,15137 ;	2,04338—117 4'3.э
и т. д.
Дальнѣйшее приближеніе должно быть производимо по таблицамъ
съ большимъ числомъ десятичныхъ знаковъ.
Длн болѣе удобнаго и скораго рѣшенія Кеплерова уравненія су
шествуютъ особыя таблицы, дающія значенія угла х по данному зна
ченію т и е.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
Составленіе тригонометрическихъ таблицъ.
Въ главѣ И-ой части 1-й изложено объ устройствѣ три-
гонометрическихъ таблицъ и о пользованіи ими для прак-
тическихъ цѣлей; въ настоящей
же главѣ излагается, какимъ
образомъ составляются триго-
нометрическія таблицы. Съ этой
цѣлью мы предварительно изло-
жимъ нѣсколько теоремъ о три-
гонометрическихъ функціяхъ,
имѣющихъ примѣненіе не только
при составленіи тригонометри-
ческихъ таблицъ, но и при рѣ-
шеніи нѣкоторыхъ задачъ.
§ 44.	Всякая дуга первой четверти больше своего
синуса и меньше своего тангенса: яіп х < х < х. Пусть
ЛМ=г будетъ нѣкоторая дуга первой четверти тригоно-
метрическаго круга:	построимъ ея синусъ ЛР
и тангенсъ АТ. Соединимъ затѣмъ начало и конецъ дан-
ной дуги хордою АМ и проведемъ изъ Т касательную ТС
къ кругу. Мы имѣемъ:
хорда АМ < АМ;
і*
100
но МР, какъ перпендикуляръ къ ОА, меньше наклонной
хорды АМ; слѣдовательно:
МР < АМ и АМ < х,
а потому тѣмъ болѣе:
МР<х
или
віп х < х.............(67)
Съ другой стороны, дуга АМС меньше объемлющей АТС;
но АМС—2х, а А ТС=21§ х; слѣдовательно 2а:<21^ х, откуда
х < х ........... (68)
Соединяя это неравенство съ предыдущимъ, мы полу-
чаемъ:
віп х < х < х........(69)
Итакъ, дуга первой четверти больше своего синуса и меньше
своего тангенса.
§ 45.	Предѣлъ отношенія 8Ш - при іс, стремящемся
къ нулю, равенъ единицѣ. Выведенное въ предыду-
щемъ параграфѣ неравенство (69) можетъ быть написано
въ слѣдующемъ видѣ:
віп х
віп х < х <---—
сова:
или, по раздѣленіи на віп х,
і< х < і
віп X СОВ X
Выражая сова; въ віпа-, мы получимъ:
1< Х < 1
віп X |/1 — віп2 X
................(70)
Передъ корнемъ удержанъ одинъ знакъ -|-, такъ какъ
мы разсматриваемъ дуги І-й четверти, а для нихъ всѣ
тригонометрическія функціи положительныя.
Итакъ
х
віп х
віп х у/1 віп2 а:
(71)
> 1
161
Такъ какъ всѣ величины этихъ неравенствъ положи-
тельныя, то можно возвысить обѣ час ти второго неравен-
ства въ квадратъ; мы получимъ:
х2	1
8Іп2 а;1 — 8іп2 х
откуда выводимъ
X2 — 3? 8ІП 3 X < 8ІП2 X
1.
Вмѣстѣ съ тѣмъ изъ перваго неравенства (71) имѣемъ:
а-2
8ІП2 х
Итакъ, отношеніе .	- для
’	81П2Я!
ключается между предѣлами
принять:
дуги первой четверти за-
1 и 1 -|- я2, а потому можно
я2
8ІП2 X
гдѣ к' есть нѣкоторое положительное число меньше еди-
ницы.
Изъ послѣдняго равенства выводимъ:
8ІП х _____1
х ~~У1-1-к2х2
..................(72)
Здѣсь тоже удержанъ одинъ знакъ потому что для
8І11 х
дугъ 1-й четверти отношеніе-----есть положительная ве-
личина.
Если дуга х, безпредѣльно уменьшаясь, становится рав-
ною нулю, то первая часть послѣдняго уравненія пре-
. 8ІГ1 О О
вращается въ неопредѣленное выраженіе—; но вто-
ра я часть уравненія (72) при а? = 0 становится равною 1;
поэтому
8ІП X	1
пред.----= пред. -	=1 . . ..(73)
102
103
,,	.	~	ЯІП X
Итакъ, при уменьшеніи дуги х отъ-до 0, отношеніе---------
“	х
безпредѣльно приближается къ единицѣ, и въ предѣлѣ при х _ о
равно 1.
§ 46.	Разность между дугою первой четверти и ея
синусомъ меньше четверти куба дуги. На основаніи
неравенства (69) ми имѣемъ:
. х _ х
2 > 2 
Умноживъ обѣ части
= 2^1—яіп2
этого неравенства на 2 соя2- =
, ми получимъ:
ИЛИ
2^СО82|>2*Л
2 /
. X
81П X > X — X ЯІП -- ,
откуда выводимъ:
ж — яіп ж <а;8ІП2-
Такъ какъ ® > яіп , то — > яіп2 , и, слѣдовательно,
2	2	4	2
если во второй части послѣдняго неравенства мы замѣ-
О	
. „X	х	х~
нимъ яіп2 величиною большею, именно -, то оно не на-
2	4
рушится, а усилится; поэтому
я?
х — яіп х < х —
4
или
а;3
X — ЯШ X < —
4
Итакъ: разность между нѣкоторою дугою первой четверти и
ея синусомъ меньше четверти куба дуги.
(74)
§ 47.	Составленіе таблицы синусовъ и косинусовъ
угловъ отъ 50' до 45 . Въ главѣ Ш-Гі (§ 19) доказано, что
тригонометрическія функціи какихъ ни есть дугъ могутъ
быть приведены къ тригонометрическимъ функціямъ дугъ
первой четверти,заключающимся въ предѣлахъ между О и •
Кромѣ того, мы знаемъ, что если для нѣкоторой дуги даны
значенія синуса и косинуса, то извѣстны значенія всѣхъ
остальныхъ тригонометрическихъ функцій (§ 21). Слѣдо-
вательно, для полученія численнаго значенія одной и-зъ
тригонометрическихъ функцій любой дуги или угла доста-
точно вычислить значенія синусовъ и косинусовъ для
угловъ отъ 0° до 45°. Докажемъ здѣсь, что достаточно вы-
числить значенія синусовъ и косинусовъ только для угловъ
отъ 0 до 30°; значенія же тригонометрическихъ функцій
отъ 30 до 45° получаются простымъ вычитаніемъ или
сложеніемъ извѣстныхъ величинъ.
Для доказательства воспользуемся формулами синусовъ
и косинусовъ суммы и разности двухъ угловъ (39) и по-
ложимъ въ нихъ х = 30° и Ъ = х, гдѣ 0° < х < 30°:
яіп (30° х) = яіп 30°сояж соя 30° яіп х
яіп (30° — х) = яіп 30°соя х — соя 30° яіп х
соя( 30° 4~ х) — соя 30°соя х — яіп 30° яіп ж
соя(30° — ж) = сояЗОэсоя х яіп 30° яіп х.
Взявъ сумму первыхъ двухъ равенствъ и разность
двухъ послѣднихъ, мы получимъ:
яіп (30°я)яіп (30°—ж) — 2 яіп 30° соя ж
соя (30° -4- ж) — соя (30° — ж) = — 2 яіп 30° яіп ж
1
Но яіп 30° = -; слѣдовательно, мы можемъ написать:
іи
яіп (ЗОО4~а04-8ІП (30°—Ж) —СОЯЖ
соя (30° 4- ж) — соя (30° — ж) = — яіп ж,
откуда
яіп (30°4- ж) = соя ж — яіп (30° —ж) |
соя (30° -|- ж) = соя (30°—ж)—яіпж| ’ ’ ’
-104
Такъ какъ 0° < х < 30°, то послѣднія формулы указы-
ваютъ на возможность вычислить тригонометрическія
функціи угловъ отъ 303 до 45°, а слѣдовательно тригоно-
метрическія функціи какихъ угодно угловъ, если извѣстны
числовыя значенія для синуса и косинуса угловъ меньше 30°.
§ 48.	Вычисленіе таблицы синусовъ и косинусовъ
угловъ отъ 0 до 30°. Формулы Симпсона.
Въ предыдущемъ параграфѣ доказано, что тригономе-
трическія функціи какихъ угодно угловъ могутъ быть вы-
числены, если извѣстны числовыя значенія синуса и ко-
синуса угловъ меньшихъ 30°. Здѣсь мы изложимъ порядокъ
составленія тригонометрическихъ таблицъ отъ 0° до 30°.
Для составленія подобныхъ таблицъ вычислимъ сначала
тригонометрическія функціи такого угла, синусъ котораго
весьма мало отличается отъ длины дуги, стягивающей
данный уголъ, напримѣръ, угла въ 10", а затѣмъ выве-
демъ формулы, дающія возможность выразить синусы и
косинусы всѣхъ угловъ отъ 0° до 30° черезъ тригономе-
трическія функціи взятаго вначалѣ угла.
На основаніи теоремъ, доказанныхъ въ 44 и 46, мы
можемъ вычислить предѣлы, между которыми заключается
віп 10".
Назовемъ дугу въ 10" буквою ѵ. Мы имѣемъ:
по § 44 : віп 10" <^ѵ
ѵя
» Ц 46 : ѵ — віп 10" <-7-,
4
откуда выводимъ:
2)3
віп 10" < ѵ и віп 10" > ѵ-.
Длина дуги « = 1о", выраженная въ частяхъ радіуса
(радіанахъ), опредѣлится изъ отношенія:
ѵ : 2т: = 10" : (60" X 00 X 360),
откуда
ѵ —	71 х 10 •—
648 000Л	Н">’
105
Принявъ для г. значеніе:
к = 3,1415 9265 3590,
получимъ:
ѵ — 0,000 048 481 368 110.
и
~ = 0,000 000 000; 000 озі;
4
слѣдовательно, віп 10" заключается между двумя предѣ-
лами:
віп 10" < 0,000 048 481 368 110
и віп 10" > 0,000 018 481 368 079
Отбросимъ два послѣднихъ десятичныхъ знака, и
примемъ
віп 10" = О,ООО 048 481 368 1;
въ такомъ случаѣ мы будемъ имѣть значеніе віп 10" съ
точностью до половины 13-10 десятичнаго знака.
Если по условіямъ составленія тригонометрическихъ
таблица, требуется большая точность, то слѣдуетъ начи-
нать вычисленіе его дуги въ 1" и съ віп 1". Вообще, умень-
шая начальный уголъ, мы можемъ получить значеніе віп .г
и всей таблицы тригонометрическихъ функцій съ какою
угодно точностью.
Зная значеніе віп 10", мы вычисляемъ сов 10":
сов 10" — 1 1 — віп2 10" = 0,999 999 998 824 8.
Для вывода формулъ, дающихъ возможность вычислить
тригонометрическія функціи дугъ, кратныхъ только-что
вычисленной, воспользуемся формулами (39). Сложивъ по-
членно первую съ третьей формулою, а вторую съ четвер-
тою, мы получимъ:
віп (а Д- Ь) 4* 8іп (° — Ь) — 2 сов Ь віп а
сов (а Ь) 4- с< >в (а — Ь).= 2 сов Ъ сова,
откуда выводимъ:
віп (а 4- Ь) = 2 сов Ъ віп а — віп (а —Ь)
сов (а 4” Ъ) ~ 2 СОВ сова — соя (а — Ь).
10(5
Положивъ въ этихъ формулахъ —10", уголъ же а по-
слѣдовательно 10", 20", 30" и т. д., мы будемъ имѣть:
811120" =2 СО8 10" ЯІП 10"
8ІП 30" — 2 СОЯ 10" ЯІП 20" — ЯІП 10"
ЯІП 40" — 2 СО8 10" ЯІП 30" — ЯІП 20"
яіп 50" = 2 соя 10" яіп 40" — яіп 30"
и т. д.
СО8 20" — 2 соя 10" соя 10" — 1
СОВ 30" = 2 СОЯ 10" соя 20" — СОЯ 10"
соя 40" = 2 соя10" соя 30" — соя 20"
соя 50" = 2 соя 10" соя 40" — соя 30"
и т. д.
Такимъ путемъ можно составить таблицу синусовъ и
косинусовъ всѣхъ острыхъ угловъ, и, какъ было доказано
въ предыдущемъ параграфѣ, достаточно составить таблицу
синусовъ и косинусовъ угловъ, не превышающихъ 30э.
Эти формулы даны Т. Симпсономъ и называются его именемъ.
При составленіи таблицы по изложенному способу на-
чальное значеніе яіп 10" и соя 10" должно быть взято съ
большимъ числомъ десятичныхъ знаковъ, чѣмъ то, кото-
рое будетъ окончательно удержано въ таблицѣ, такъ
какъ отбрасываемые десятичные знаки, при умноженіи
на 2 и при вычитаніи, могутъ составить единицы деся-
тичныхъ знаковъ высшаго порядка.
§ 49.	Повѣрка тригонометрическихъ таблицъ. Ка-
кимъ бы способомъ ни были составлены тригонометриче-
скія таблицы, онѣ должны быть провѣрены; для этой цѣли
выбираютъ нѣкоторые углы, и для нихъ вычисляютъ зна-
ченія тригонометрическихъ величинъ инымъ способомъ.
Предположимъ, что таблица тригонометрическихъ ве-
личинъ составлена; повѣрку можно произвести различ-
нымъ образомъ. Мы укажемъ на пріемъ, употребляемый
составителями таблицъ.
1.	Мы имѣемъ (§ 22)
яіп 45°— соя 45° = ]/2
45° = соі^45°—1.
107
I
Затѣмъ, по формуламъ синуса и косинуса половинныхъ
угловъ (48) мы вычисляемъ тригонометрическія величины
для 22°30', 11 15' и т. д.:
яіп 22=30'	22=30'== *
ЯІІ1іГ15. = /1/1р±Й1 „
И т. д.
1 1 —
2.	Зная значеніе 8Іп 30° — - и сов 30°=- р 3, мы по тѣмъ
же формуламъ тригонометрическихъ величинъ половин-
ныхъ угловъ вычисляемъ віп 15° и сов 15°, затѣмъ віп 7°30',
и сов 7°30' и т. д.
3.	Сторона правильнаго десятиугольника, вписаннаго въ
кругъ радіуса, равнаго единицѣ, есть двойной віп 18°; сто-
рона же десятиугольника, какъ извѣстно изі» геометріи,
—1+і/5
равна -—	-; поэтому:
. . о0 — 1 + 1/5	„ сО 1/10 + 2/5
віп 18 =------—и сов 18 —-----------~—-—
4	4
Опредѣливъ віп 18° и сов 18°, мы по тѣмъ же формуламъ
тригонометрическихъ функціи половинныхъ угловъ вы-
числяемъ віп 9° и сов 9е, віп 4°30' и сов 4°30', яіп 2°15' и
сов2°15' и т. д.
Такимъ образомъ по геометрическимъ формуламъ вы-
числяются значенія тригонометрическихъ функцій для нѣ-
которыхъ угловъ и свѣряются съ табличными величинами.
§ 50. Разложеніе синусовъ и косинусовъ въ ряды
по возрастающимъ степенямъ дуги.
Значенія тригонометрическихъ величинъ и ихъ логариѳмовъ мо-
гутъ быть вычислены и инымъ путемъ. Пусть х будетъ дуга первой
четверти окружности. Предположимъ, что віп х и сов х выражены въ
видѣ слѣдующихъ рядовъ1):
8Іпаг = я-(-Ьа?-|-са;2 + Лх3 + ег’4-/жі4-р.тв-|-....	1
сов х~ а, + Ьгх 4- сгт2 4- гі,г3 4- е,хл 4- /’1аЛ 4- д^	І.‘
Строгое доказательство разложенія віп х и сов х излагается въ курсѣ
Высшаго Анализа.
108
гдѣ коэффиціенты а. Ъ, с, й, е . . . и а,, Ъх, с,, е, . . . суть нѣкото-
рыя числа. Опредѣлимъ эти коэффиціенты. Если предполагаемое раз-
ложеніе 8Іпл- и сое х въ ряды возможно, то для чиселъ а, Ь, с . . , а„
сх . . . мы получимъ вещественныя значенія; если же оно невоз-
можно, то вещественныхъ значеній не получимъ.
Положимъ въ рядахъ (71) х~0; тогда во вторыхъ частяхъ исчез-
нутъ всѣ члены, содержащіе х, останутся только одни постоянные
члены, и мы получимъ:
зіп 0 = 0 = я
соз 0 = 1 _ а,
и ряды (76) примутъ слѣдующій видъ:
зіпа- — Ьх со12 -ф- Лх3 е-г> + Л»6 + 9хБ +—•	1	/771
со&г — 1 4- Ь^х 4" Ѵ2 4"	+ Ргг“ +••• I......
Замѣнимъ здѣсь х черезъ —х; тогда получимъ:
зіп (— л) — — зіп х — — Ьх 4- сх2 — Лх3 4- ех* — /х6 + дх3—....
соз (— а’) = 4- соя т /2; 1 — Ъѵг 4- сгх2 — Л^ -ф-	— /.а;5 ф- д^-——
Взявъ сумму зіпа1 и зіп ( — .г) и разность созя1 исоз(—х), мы по-
лучимъ:
зіп х 4- зіп (— х) _ 0 — 2с.с2 + 2е.с4 4- 2у/я" 4-....
соз х — соз (- - .т) — 0 ~ 21> ,<г 4- 2<?,а-3 ф- 2ДЖ6 -ф...
Въ первомъ случаѣ остались только четныя степени, а во вто-
рой ь—только нечетныя. Такъ какъ написанныя выше равенства суть
тождества, то они имѣютъ мѣсто при всякомъ значеніи дуги х пер-
вой четверти, а потому они могутъ быть удовлетворены только въ
томъ случаѣ, если
2с — 0, 2е — 0,	2д~0, и т. д.
2Ь, “0, 2^=0,	и т. д.
отсюда
с_ 0, г"0, д — 0, и т. д.
и
Л, ~ О, й, = 0. /, — 0. и т. д.
Послѣ этого ряды (77) примутъ слѣдующій видъ:
ЗІп:®= Ьж4-Аі-»4-/лЛ4--- I	/7Я1
соя х =14- с,яЛ 4- еі-т* 4-	1...............1 ’’
Итакъ, зіп х, расположенный въ рядъ по возрастающимъ степе-
нямъ х, содержитъ однѣ нечетныя степени дуги х, а соз х— однѣ чет-
ныя степени ея; зіп х принадлежитъ къ нечетнымъ функціямъ, а соз х—
къ четнымъ.
109
Для опредѣленія коэффиціентовъ этихъ рядовъ, возвысимъ нхъ
въ квадратъ и затѣмъ возьмемъ сумму и разность квадратовъ. Тогда
мы получимъ:
соз2® = 1 4- 2с,®2 4- (с,2 -ф 2с,) ®* 4” (2с,е, 4- 2</,) .г" 4~-—
зіп3® — Ъ2х2 4- 2Ых* +	(?) Xе 4-....
и
соз2® 4- зіп2® — 1 4_<2е14~ ^2)х~ 4- (с,2 + 2е, -]~2Ъ^)х* 4-
4-(20,6,4-20,4-26/4-й2)®" 4-....
соз2® — зіп2® — 1 4- (2с, — Ь-) ®2 4- (с,2 4- 2е, — 2М) х* 4- '	‘
4- (2е,«, 4- 20, — 26/ — й2) ®" 4-...
Но соз2® 4- еіп2® =• 1, а соз2® — зіп2® — соз2®; слѣдовательно, вто-
рая часть перваго равенства (79) должна равняться единицѣ, а вто-
рого соз2®, разложенному въ рядъ по возрастающимъ степенямъ 2®.
На основаніи ряда (78) мы можемъ написать:
соз2® — 1 4* с, 23®2 4- е,2‘®4 4- Л2“®Л 4“—•
Слѣдовательно:
1 4- <2с, 4- Ъ2) ®2 4- (с,2 4- 2е, 4- 26<?) ®« 4- (2с,е, + 2р, 4 2Ъ[ 4- д,2) 0 4-.... = 1.
1 4- (2с, — 62) ®2 4- (с,2 4- 2е, — 26гі) х* 4- (2с,е, ф- 20, — 26/— сі') Xе....=
= 1 4- с^х2 4- е,2‘®* 4- 0,2"®"....
Первое изъ этихъ тождествъ можетъ быть только при условіи,
если всѣ коэффиціенты при .г2, х*, Xе... равны нулю, а второе, если
коэффиціенты при равныхъ степеняхъ х. равны между собою. Мы по-
лучаемъ;
2с,4-62 —0; с,24-2е, 4-26Й —0: 2с,е, ф-20, ф-26/ф-с/2 —0 и т. д. )„
2с, — 62 — 4с,; с,2 4 2е, — 26гі~ 16е,; 2с,е,4-2 (/, —26/— (Р — 6 ф, и т. д.)
Эти уравненія даютъ намъ возможность опредѣлить всѣ коэффиціенты,
если бы было извѣстно значеніе 6; дѣло въ томъ, что изъ первыхъ
двухъ уравненій нельзя опредѣлить 6, такъ какъ оба уравненія да-
ютъ одну и ту же зависимость между 6 и с,: 2с,4~6г—9 и —2с,—
— 62_0.
Для опредѣленія коэффиціента Ь раздѣлимъ выраженіе зіп х (78)
на ®; мы получимъ:
зіп х і	г ,
— =6 4-й®24-/®‘4-....
Л/
Мы знаемъ (§ 45), что отношеніе при уменьшеніи дуги х без-
предѣльно приближается къ единицѣ, и въ предѣлѣ, когда ® — I),
становится равнымъ единицѣ; но если х ~ 0, то вторая часть послѣд-
няго равенства превращается въ единицу; поэтому
зіп 0
110
откуда Ъ— 1. Затѣмъ изъ уравненій (80) опредѣляемъ послѣдовательно:
I
С*-“2 ;
еі = + 2Т34;
1
Л— 2-3-4-5-6’
И Т. д.
+2-3-4.5;
и т. д.
..........(81)
Итакъ, для коэффиціентовъ рядовъ (78) мы получили веществен-
ные коэффиціенты, законъ составленія которыхъ очевиденъ. Подста-
вляя найденное значеніе коэффиціентовъ (81) въ ряды (78), мы полу-
чимъ:
8іпж=Л-^зл3+гта5г°-  • 
1 1 1 ......................
С08Т = 1-2ж2+га-с4-2та5^^+--
По этимъ формуламъ можно вычислить значенія віп а; и сова для
дуги, заключенной между 0 и . Если мы возьмемъ дугу отрицатель-
ную, численное значеніе которой меньше , и подставимъ въ наши фор-
мулы—ж вмѣсто л, то онѣ не измѣнятся; слѣдовательно, онѣ годны для
всѣхъ дугъ, заключенныхъ между — и -ф ‘‘ , или для положитель-
А	<Ѵ
ныхъ или отрицательныхъ дугъ І-й четверти.
Существуютъ другіе пріемы для вычисленія непосредственно
Ьое яіп .г н По" ({>'Л', съ помощью рядовъ, расположенныхъ по возраста-
гдѣ Л/ есть модуль натуральныхъ логариѳмовъ: М 0,43429  г"—ве-
х
личина радіана въ секундахъ, р? — выраженіе угла х въ радіаль-
ной мѣрѣ, а х—число секундъ даннаго угла.
Мы опускаемъ здѣсь выводъ втпхъ рядовъ; онъ излагается въ
Высшемъ Анализѣ.
Зная Ьо($8Іпа: и Ьоц іц х, мы получаемъ Ьоц сое ,с по пхъ разности:
т	, віп х ,	.
Ьо<5 СОВ X — Ьоё у- - — Ьоц ВІП х — Ьоц іе
111
Примѣръ. Вычислить Ьодвіп7,15'
Произведемъ сначала вычисленіе по формулѣ (82):
Во второй части уголъ х долженъ быть выраженъ въ радіальной
X
мѣрѣ, именно .
V
х = 26100"
ЬоБ х = 4,41664
Ьоц (X) = 50 = 4,68558—10
І.оБ = 9,10222—10
=	0,12654
— — (±\3= —0,00034
2-3 \г" )
Ьое ( ®V =7,30666-10
ѵ'7
ЬоБ5^= 9.22185—10
6,52851—10
віп X— 0,12620
ЬоБ віп х = 9,10106—10
Остальные члены меньше пятаго десятичнаго знака.
Вычислимъ тотъ же ЬоБ віп х по формулѣ (83):
9,10222—10
— 0,00116
ЬоБ ^у= 8,20444-10
Ім%М — 9,63778-10
ЬоБ віп х —	9,10106—10
ЬоБ 1=9,22185—10
Воё у 7,06407-10
Остальные члены меньше 5-го десятичнаго знака.
Вычисленный ЕоБ віп 7е 15' тождественъ съ вычисленнымъ выше и
находится въ таблицахъ пятизначныхъ логариѳмовъ. Вычисленіе по
фоумуламъ (83) значительно проще.
§ 51. Логариѳмы тригонометрическихъ величинъ
малыхъ угловъ. Если данный или искомый уголъ х малъ,
то примѣненіе обыкновеннаго способа пріисканія логариѳ-
мовъ віп ж, со8ес х, х и соі.^ х и обратно — пріисканіе
самаго угла х по даннымъ значеніямъ логариѳмовъ ука-
занныхъ выше тригонометрическихъ функціи становится
невозможнымъ, потому что разности между двумя смежными
значеніями логариѳмовъ названныхъ тригонометрическихъ
112
величинъ быстро измѣняются съ измѣненіемъ угла и не
могутъ быть разсматриваемы какъ пропорціональныя по-
стоянной разности между аргументами—углами. Вслѣдствіе
этого разности логариѳмовъ и не даны въ таблицахъ
для первыхъ трехъ градусовъ. Необходимо изыскать дру-
гой способъ пріисканія Ьорвіпа;, Ьо& совес х, Ьо^іця: и
Ьоцсоі^х при маломъ углѣ х, и обратно—пріисканія угла х
по малому значенію Ьо§ віп х и Ьор; 1^ х и большому зна-
ченію Ьо& совес х и Ьор; соі& х.
Такъ какъ совес а;—величина обратная віп .г, а со!р;х—
величина обратная ір; х, то мы будемъ знать Ьор; совес х и
Ьо& соід; х, Рели найдемъ Ьод; віп х и Ьор; 1ц поэтому въ
дальнѣйшемъ мы будемъ разсматривать только эти двѣ
тригонометрическія функціи.
Для опредѣленія логариѳмовъ синуса и тангенса малыхъ
угловъ воспользуемся формулами (83). Замѣтимъ, что для
угловъ х < 3° члены этихъ рядовъ, содержащіе въ чет-
вертой степени и выше, меньше 5-го десятичнаго знака, а
потому ихъ можно откинуть, если мы желаемъ имѣть
Ьорвіп.т и Ьо^1.& х съ 5-ю десятичными знаками, и удер-
жать только первые два члена, именно:
Ьо{? віп х = Ьор:
Ьор: 1ц х ~ Ьор;
. . .(84)
гдѣ х во второй части долженъ быть выраженъ въ секун-
дахъ.
Назвавъ для краткости:
м 6	( „ и 8О = ЪОС „- = 4,685575—10,
мы получимъ:	ЬО8ЯІпх = ЬОйя:^-50 о | Ьо^ ІЦ' х — Ьоц‘ х 4- 80 + 2о 1
и обратно;	ЬО8 X = Ьо^ ВІП X — 8„ 4- а | ьо^ X = Ьое х — йо	'
113
Всѣ дѣйствія, выраженныя формулами (85) и (86), легко
производятся съ помощью табл. I моихъ «Таблицъ Лога-
риѳмовъ». Столбцы подъ буквою Д7 содержатъ 60 послѣ-
довательныхъ цѣлыхъ чиселъ по числу секундъ въ одной
минутѣ. Надъ буквой Д7 помѣщено въ градусахъ и мину-
тахъ значеніе того угла, въ которомъ содержится столько
секундъ, сколько заключается единицъ въ первомъ числѣ
столбца. Напр., на стр. 12 въ первомъ столбцѣ первое
число равно 3000; принявъ его за секунды, мы получимъ
0 50', это число и поставлено надъ № Влѣво отъ перваго
столбца чиселъ (7Ѵ) надъ знакомъ " поставлены секунды:
0, 5, 10 и т. д., съ помощью которыхъ данный уголъ прямо,
безъ расчетовъ, раздробляется въ секунды и обратно.
Напр., раздробимъ 2°17'46” въ секунды. На стр. 29 въ
третьемъ столбцѣ надъ IV находимъ 2П17', а въ горизон-
тальной строкѣ противъ 46” находимъ 8266; слѣдовательно
2°17'46” =8266”. Обратное превращеніе даннаго числа се-
кундъ въ градусы, минуты и секунды производится также
весьма просто. Напримѣръ, требуется превратить 7399”
въ уголъ высшаго наименованія. Въ столбцѣ подъ числомъ
Д7 на страницѣ 26 находимъ 19” противъ 7399, а надъ
Д7 2 3'; слѣдовательно 7399” =2° 3'19”.
Затѣмъ наверху каждой страницы помѣщено значеніе
величины = 4,685575 10, и надъ всѣми столбцами, со-
держащими логариѳмы чиселъ (Ьор) помѣщены а и 2а въ
единицахъ пятаго десятичнаго знака. Наверху всѣхъ лѣ-
выхъ страницъ помѣщены формулы (85) для вычисленія
Ьор- яіп ж и Ьор Ір х, а наверху всѣхъ правыхъ страницъ
тѣ же формулы для рѣшенія обратной задачи (86)—вычи-
сленія угла х по даннымъ Ьор яіп х или Ьор ір х.
Пріисканіе логарпомовъ соя х, яес х, ір х и соір х для
угловъ х близкихъ къ 90 тоже не можетъ быть произве-
дено по таблицѣ II; для ихъ нахожденія пользуются фор-
мулами дополнительныхъ угловъ:
соя х = яіп (90° — х)
кес х = еояес (9<г — х)
ір .г = соір (90° — ж)
соір х = ір (90° — ж)
г. О. ГЛАЗЕНАНЪ.—ТРИГОНОМЕТРІЯ, Ч. II.
8
и, такимъ образомъ, вопросъ о нахожденіи логариѳмовъ
косинуса, секанса, тангенса и котангенса угловъ близкихъ
къ 90° сводится къ нахожденію логариѳмовъ синуса, косе-
канса, тангенса и котангенса малыхъ угловъ.
Если данъ логариѳмъ косинуса, секанса или тангенса
угла близкаго къ 90°, то пріискиваютъ по тригонометриче-
ской функціи, дополнительной данной, уголъ х и вычи-
таютъ его изъ 90°, если заданный логариѳмъ положитель-
ный, или придаютъ къ 90°, если данный логариѳмъ отри-
цательный.
Пояснимъ изложенное примѣрами.
Примѣръ 1. Пріискать логариѳмы тригонометрическихъ
величинъ для х— 1°7'56",7.
Ьор; а: = 3,61031 [стр. 15: х = 4076,7]
<80 = 4,68567 5
ЬО§ х |-	= 8,29588 5
— а =	—27
4-2о=	—65
Ьор; яіп х — 8,29585 8 или 8,29586
Ьоц 1,^ л — 8,29^94 0	» 8,29594
Ьор: 8ес	—Ьой’ 8ІП л=3о=0,00008; Ьо$Х СОЯ х=9,99992
Ьѳо- сояес х = 1,70414; Ьо§ согр; х —1,70406
Примѣръ 2. Данъ Ьо$>-8іп х = 8,18956; найти уголъ л пер-
вой четверти.
• По формуламъ (86) имѣемъ.
Ьой х = Ьо& яіп х — 8„ -|- а.
Вычисленіе х.
Т.по-чіпя: = 8.18956
115
Примѣръ 3. Данъ Ьор Ш х = 8,30598; найти уголъ х пер-
Изъ тѣхъ же формулъ (86) имѣемъ:
Ьоц х = Ьо^ х — 8,, — 2о.
Вычисленіе:
Ьод 1>й х = 8,30598
— 80 =— 4,68557 5
Ьо^і^х—$и = 3,62040 5
— 2а =	— 5 8
Ьо^х = 3,62034 7
х = 4° 9'32", 1.
Примѣръ 4. По Ьо§ сой х — 7,59430 найти уголъ х первой
іетверти.
Мы имѣемъ:
Ьо^ сой х — Ьор: «іи (90э — х) ~ 7,59430
— 8,г_—4,68557 5
8о§ 8ІП (90°—х)~ 80 — 2,90872 5
4-о =	4-01
Ьое (90°—х) = 2,90872 6
90°— х — 0 13'30" ,5
х — 89^'29",$
Примѣръ 5. По Ьор: соі§ 2 — 8,4 3568м найти уголъ г вто-
рой четверти.
Мы имѣемъ:
Ьое соі^ г — Ьод 4.^ (90 — г) — 8,13568„
—«0——4,68557 5
• /—о .ч — 3.45010.5.
п° Даннымъ. Ліос яіп ж и і1ІІІГ
З.ЗоЗ'лй
1 7
3,5о;.(И) 2
<> 53’11"
116
Примѣчаніе. При вычисленіи логариѳмовъ тригонометрическихъ
величинъ малыхъ угловъ и обратно,—при нахожденіи малыхъ угловъ
по даннымъ Ьо§ віп х и Ѣо^ Ъв х, пишется шестой знакъ мантиссы,
который въ концѣ вычисленія откидывается, а пятый знакъ округ-
ляется.
§ 52.	Упражненія. Пріискать логариомы слѣдующихъ
тригонометрическихъ величинъ:
1. Ьо^віп 1°5'17",8
3. Ьо§сов89э5'6",3
5. Ьо§ сов 92°3'45",8
7. Ьое 1^8843'26" ,7
9. Ьо^вес 89°51'32",5
11. Ьор; совес0°5'16",9
13. Ьо& соіё 92°38'47",0
2. ЬО2І«2 27'57",9
4. Ьоцсоір;88г46'13",5
6. Ьорвіп 179°5'37",9
8. Ьо^іц 91°50'38",4
10. Ьо^вес91°34'5",8
12. Ьор,1р;178с46'31",2
14. Ьо§ совес 177°24'48",1
Пріискать основные углы по слѣдующимъ логариомамъ
тригонометрическихъ величинъ:
15.	Ьо^ВІИ х = 8,20368 и совх > 0.
16.	ЬО^Ір; я —8,13459
17.	Ьор; со!рл — 2,56890
19. Ьо8СО8л= 8,04937
21. Ьои^л —3,93469я
23. Ьор; х — 6,34891п
25. Ьо§ Іц х = 2,04987
27.	Соір; х = 8,34609п
29.	Ьоц совес х = 3,84207 и
30.	Ьок совесх — 2,93689 и
18. Ьо^соі^л = 7,63092
20. Іюр; сов х = 7,93468п
22. Ьо^віп л—7,24690 н совл<0
24. Ьо§ соірс х 3,03692п
26. Тюрвесл = 3,39841
28. Ьо^'весж = 2,48037п
сов х > 0
сов х < 0.
ОТВЪТЫ НА ЗАДАЧИ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.
Глава I, § 9 и 10 (Стр. 9).
1.	Задачи рѣшаются по примѣру 3-го случая § 8.
а.	у = 28°38'52"	в. у — 45°57'25"
б.	у = 14°26'10"	г. у — 34°46'28"
д. у —157°20'3".
2.	Задачи рѣшаются по примѣру 1-го случая § 8.
а.	I = 26,555 саж.	в. 1 = 366,13 саж.
б.	1 = 15,287пі	г. 1 = 32 саж. I1/4 арш.
д. I = 383,5 пі.
3.	Задачи рѣшаются по примѣру 4-го случая § 8.
а.	г = 21,589 ш	в. г = 145,25 111
б.	г = 114,78 пі	г. г = 128,18 т
д. г = 85,78 саж.
4.	Если 2ѴЛ есть начальное напра-
вленіе пути, а ВЕ.—направленіе послѣ
поворота на уголъ О = 27°50', то центръ
О дуги АВ = I опредѣлится, какъ точка
пересѣченія линій ВЕ || ЕА и ГО || ВЕи
проведенныхъ въ разстояніи ОА = г
и ОВ = г отъ желѣзныхъ путей. Ра-
діусъ дуги АВ = I будетъ ОА = г. Въ
точкахъ А и В дуга I коснется желѣз-
наго пути; радіусы ОА и ОВ образуютъ
уголъ АОВ = 6 = 27°50'. Дуга 1 = 0г = 194,3 саж.
118
1
5.	Е — — гЕѲ, гдѣ 0 есть число радіановъ, заключающихся
въ данномъ углѣ у, пли его радіальное выраженіе. Имѣемъ:
0 = 0,67544 радіановъ и Е = \ (25,6 саж.)8 X 0,67544—221,33
гт	360'Т
КВ. саж. повѣрка: .= (г5 6). х 38о|7 •
і
6.	/"== -г2 (у — віп у), при чемъ въ первомъ членѣ ско-
бокъ уголъ долженъ быть выражена, въ радіанахъ. Мы
имѣемъ у — віп у = 0,98669 — 0,83420 = 0,15249. Затѣмъ /’=!
= (61,35)2 X 0,15249 = 286,97 тЕ.
7.	Г = 4к[гР)]2? Гдѣ Н°> — 57°,2958- • -,Е = 41254 квадр. гра-
дуса.
8	Е —	„ 2
Л — 4ф<о)]г — |г(О)р — 1’5Ьт •
Глава III, § 19.1 (Стр. 32).
1.	Яіп (3,713)
2.	соя (3,795)
3.	1^(3,239)
4.	яіп (6,130)
6.	Соіщ —--х
7.	яіп(176^)
8.	1^(36°)
9.	СОЯ (48'34')
10.	С0іе(140°43')
11.	вес (246° 6')
12.	сояес(149°3').
Глава III, § 19.2 (Стр. 37).
1.	Ьор; яіп (715е) = Ъор- [— яіп Бс] = 8,94030 я ’)
2.	Ьор’ соя (3000 ) = Ьо^СОЯ (120°) = Ьоё I — яіп 30°] —
= 9,69897п-
3.	ЪОц 1^(829 43')=Ь<.ёІё-(Ю9°43')=Ьоё[—СОІ^(19°43')]=
= 0,44566 .
'	п
’) Значокъ и, поставленный въ концѣ логариѳма, оаначаетъ, что соот-
вѣтствующее число отрицательное. См. стр. 8 Введенія моихъ «Таблицъ Ло-
гариѳмовъ».
119
4.	Ьо& со!§(1312 5') —	001^(52° 5') = 9,89151.
5.	Ьой’ »ес (7223°) = Ьо^ вес (23°) = 0,03597.
6.	Ьо^ совес (5342°)=Ьо§ [—совес (58°)]=0,07158п-
7.	Ьо& яіп (1455е) = Ьі>ц яіп (15°) = 9,41300.
8.	Ьо^ яіп (1195°) = Ьой яіп (115°) — Ьоц сов (25°) =
= 9,95728.
9.	Ьо& соя (2850°) = Ьо& сов (330°) = Ьод сов (30е) =
= 9,93753.
10.	Ьоё 1^(2159°)=Ьоу [—1^1^] =8,24192,,.
11.	Ео$? віп (—615011/)=Ьо^8Іп(104049')=Ьо^Соя(14049')=
= 9,98531.
12.	Ьо&- сов (— 953°26') =	сов (126е34') =
= Ьо& [- віп (36°34')] = 9,77507п.
13.	ЬОё Іё (—3330°12')=Ьо^ іо(269°48') = Ьо,ц (89°48') =
= 2,45709.
8	2	1	1
14.	ЯІП К = ВІП (2к 4" з я) — 8Іп з ~ = Яіп іг = сов -- зг.
15.	соі^7Я = — С01#|к= —
6	5	1
16.	вес . - к = — вес — к = — совес — -.
11	11	22
7	/	1 \	1
17.	1&у-=І8(2зг —* *	—іё 4-я.
120
21. Такъ какъ колесо дѣлаетъ полный оборотъ въ одну
минуту времени, то въ 3 ч. 20 м. или въ 200 м. оно сдѣ-
лаетъ 200 полныхъ оборотовъ, описавъ уголъ въ 360' X 200,
который не измѣнитъ значеній тригонометрическихъ Функ-
цій; поэтому слѣдуетъ только вычислить, на какой уголъ
повернется колесо въ 20 секундъ: онъ равенъ
20 Л
я =360 %	= 120 . Поэтому имѣемъ:
60
ЪОё 8Іп т — 9,93753
Ьо^ х = 0,23856п
Ьо^ вес х = 0.30103п
Ьо& СО8 х = 9,69897„.
Ьо& СОЦ>‘ х — 9,76144п.
вес х — 0,06247.
22. Начальное положеніе радіуса совпадало съ 04’,
а вращеніе происходило по направленію стрѣлки <8. Въ те-
ченіе 20 м. 36,5 с. радіусъ про-
1236,5 Л
извелъ • - - - > оборотовъ или
21
го л	18,5 г
58 оборотовъ; въ обо-
ротовъ онъ опишетъ отъ то-
чки А' слѣва направо уголъ въ
Х360?“317°8'34" и придетъ
въ положеніе ОМ. Уголъ А'0М=
— 42с51 '26" = а. Ордината МР = — 0,75 яіп а = — 0,51 ш, а
абсцисса ОР = — 0,75 сов а = — 0,55ш.
23. А — 415°27'22".
ЬО{? віп А = 9,91576
Еоу Ц* 4 = 0,16215
Ьо§ вес А — 0,24639
Ьо^сов 4 = 9,75361.
Ьод;соЦ; 4 = 9,83785.
Ьо& совес 4 = 0,08424.
Глава III, § 24 (Стр. 49).
,	45	28	17	8
1.	сова=5Ті; Ьё« = 45: <’Оіё«=128; веса^І^;
л 25
совес а = 1 - .
2 о
121
3	7	4
2.	соя а = — 0,28; а — — 3 ;соіу а=— - - ;яесо=—3
7	24	/
, 1
сояес а=1
п	9У .	20	,19	.2
3.	соя а=- —;	« = уу;соІё«=4 20. яеса = - 1 уу,
г 1
созеса——5^.
1	3	2
4.	сояа = 0,б; і§а=—1 ; соі&а = — ; яеса = і
л 1
совес о=—1-,.
4
г	4 .	3	л 1	. 1
5.	соя а—а= ; соЬ§а=1 -;яес о — 1.-;
&	(Ь	«5
л 2
сояес а=1
О
6.	яіп а = ]/ 3 ; а — ]/ 3; соіу« — 1₽ес а — 2;
2 /—
совес а = ~у 3 .
_ .	5 4	5	а2	. 1 .
7.	яіп	1§а — — ^ісоі^ а=—2 -, яес а —— 1 -- ,
. 3
сояеса—2 - .
5
1	3	2
8.	яіпа=:—0,8;1^а = —1з;соІ§д = — ^;яеса = 1з;
л 1
сояеса——1 ѵ-
4
9	9	4	1
9.	яіп а — — —;	а = —;соЩа—і 9; яес а — — 140;
, 5
сояес а——4 .
У
10.	яіпа=Н 2;сояа=—1/2;соі§а~— 1;яеса—--[/2;
сояеса= |/2.
9	40	4	1
11.	яіп а — —: соя а—; соіц а — 4 яѳса=1 п;
41	419	40
, 5
сояес а=4
У
122
12.	3	4	л 1 .	л 1 , вша — — -;с08а = -; соіеа — — і -,8еса=1	1 5	5	3	4 , 2 совес а=—1 --.
13.	99	20	л	20	г 1 И.= 1м;€«а-(01 ісоіва-^^са-б^; , 2 совеса=1--. У У
14.	28	45	17	л 8 віп а— - —;сова=——-;со1еа—1	-веса——1-- оо	уо	2о	оо
совес а =—1 —.
2 о
15.			5 зіп а = —|/26; соя а= — —1/26; со!& а = — 5; вес а = — У 26; совес а = ]/26,
16.	3	4 л	3	. 1	2 вша= ;сова=-; Ц>’ а~ вес а = 1 ;со8еса=1„ . 5	5	4	4	3
17.	60	11	Б	6 •Ч1П а = 6І;СОНО=— 61’^о=-5гГ’ 8еса=— 5Г1 ’ , 1 совес а—1 —. ьо
18.	20	21	20	х Віпд —— —;сояа = - ;іё«—— ;8еса~ 1 29	29 °	21	21 я 9 совес а=—1 —. ^20
19.	яіп а = _	; соя а — -	а= ; яес а — — 1	; о 3 совес а = — 2 . 5
20.	480	31 +	,15	,16 8,п « = 4Й;«» «-48І;	=15 31 ; яес « =1531  , 1 совес а = 1 —-. 480
123
Глава IV, § 26 (Стр. 58).
1.	х = 180Лі-|-(—1)"[63 26'0"] — п~+(— 1)" (1,10712)рад.
2.	х — 360 п±56 15'3"—2пл±: 0,98176 рад.
3.	Х’ = 180°и4-78°54'15" =гт4-1,37714 рад.
4.	180сп—15°7'26"—пк —0,26396 рад.
5.	ж=180°п—(— 1)п [2(> 25'24"] —птг —(— 1)” (0,46117)рад.
6.	х — 360 п гЬ 139" 1 '24" = 2п~ ± 2,42642 рад.
7.	х — 180 и 30 .
8.	т —180 п —30 .
9.	х —
10.	х = 2пп ~±:
11.	х = (2п-\- 1)к.
12.	х~ пк—(—1)" .
О
13.	я^пя-Н— 1)” I-
14.	х — 3°32'8".
15.	1.
16.	со.
Глава V, § 53 (Стр. 74).
2. яіп За — 8іп (2а а) — яіп 2а соя а -|- соя 2а яіп а =
— Ззіп а со&2а — «іп3а = Зяіп а — 4.яіпяа.
СО8 За = соя (2а -|- а) = соя 2а соя а — яіп 2а яіп а =
— соя3л —Зяіп2а соя а.
1	—	1	_
3. а. яіп 2а=]/3; соя 2а = -; 2а — |/ 3.
124
3  	] б. яіп 2а = - ]/ 7 ; соя 2а = — о ; 2а — о	о	-3/7
в. яіп 2а = - | 73 ; сов 2а — — -; %а — 2	2	-|/3.
24 о 7 , „	24 г.ят 2а = - _ ; соя 2а = —; Ц>’ 2 а =-—. 25	25	7 40 а 9 , о д. яіп 2а = — —; соя 2а = —; іе, 2а = — 41	41	40 ‘ 9 ‘
12	5 е. яіп 2а — — - _-; соя 2а— - ; 2а = — 1 0	1 О	12 ‘ 5 ’
12	5 Ж. яіп 2а = — ; соя 2а = — , -; Іе- 2а=— 13	13 ’ ° 12	,	42 з. яіп 2а——, соя 2а = —; Іе 2а -- --- 13	1.і	5	1;2 5 '
4. а. 8Іп’а = |()Л|-|/‘|);Со8|п = і(/»).
б. 8іп ’ а = [/&; сое 5 а — з/Д.
в. 8іп | а =	\ — з ]/^; сов ’ а =	1 И і’з
г. 8ІП | О, = у 1—1 т’3; соя’ а — у ’ 4- |/ ’3- 
6.	а. яіпЗа——-|^;сояЗа = —~]/15.
б. віпЗа^/^СОеЗа^.
. „	117	„	44
в- ншЗа- —;С08 3а = -—.
п 44	_	117
г. 8іп3а=125;со8 3а = -т^ .
Глава VI, § 58 (Стр. 83).
1.	^ = — 0,217; х2 = — 17,062;	® = 12°52'12".
2.	х,= 4-0,1260; к2 = 4-2,1112;	®=27°21'7".
3.	я, —— 0,07504; к2 = —0,29951; ® = 53э10'46".
4.	я:, = — 0,29078; я-2 = 4-0,32981; 0 = 86^23'44".
5.	х1 = 4- 0,28697; х3 = — 0,95662; ® —57°25'13".
125
Глава VII, § 42 (Стр. 97).
1. х = 77=31'57" 4-180:'п.
3. х — 153=15'21" 4- 180 п.
5.	х = 34=51'10" -}-180 п.
7.	= 43 59'42” 4-180 п
8.	х1 = 170 18'46" 4-180=??
9.	^ = 13 23'23" 4-180
10.	= 12=43'33" 4-180=??
11.	х, =360 п — 14 24'33"
12.	хі = 360 п, -|- 68°51 '43"
13.	Рѣшенія нѣтъ, потому
раженіе.
2. х = 179=56'23", 6 4-180=??.
4. х = 53 2'24" 4- 180=71.
6. х =96 42'0" 4-180=??.
и х2 = 118=59'54" 4-180 ??.
п хэ = 114 18'58" 4" 180 п-
и х2 = 99 58'42" 4-180 п
п х., = 94=34'36" 4- 180°п.
и х.? = (2»г4-1)180 -62° 5'27".
и х2 = (2п4-1)180=4-46°57'25".
что х имѣетъ мнимое вы-
14.	Одинъ только корень х = 30-59'58" 4-180°??, такъ какъ
Ъ2 — 4ас = 0.
15.	^ = 8=53'17" 4-180°п н я2 = 0=15'47"-}-180=п
16.	8Іп ж = -р в соь 1 х = — т,--; /2 = 15т; х — 73°44'23"
ІЪ	44	-ІД
и 8 = 19,3т.
17.	х~84°2' 2" 4- 360°я и у = — 27=24'42" — 360°п.
18.	Рѣшенія нѣтъ.
19.	Два рѣшенія:
а)	х, = 34°29' 4 " -}- 360=7?; ^=18=1 '36" — 360°п.
 б) х2 = 198° 1'36" 4-360=п; ^ = — 145 30'56" —360' п.
20.
21.
22.
Два рѣшенія;
а) х1 = 13°45'46"4-180°(2п4-1) и у1 = 45=45'8"4-
4-180=(2??4-1).
у2=—13=45'46" 4-360=71.
у =38°36'48" — 180°тг.
23.
24.
25.
б)	х2~~ 45 45' 8" 4-360 п
х = 64=19'18" 4- 180°п
Два рѣшенія:
а)	«і = 29°19'40" 4-180оп
б)	.г2 = 118=23'10" 4- 180°п
ж = 181 7'50" 4-180сп
х =53=10'39" -|- 180 т?
х = 216 36'45" -}- 180=п
н
и
и
и
II
и
II
г/, = 61-36'51" 4-180 к.
у., = 150=40'20" 4- 180°тг.
у =— 1 14'0" — 180эп.
у = 112 47'31"4- 180=7?.
у ~ 57 14'35" — 180 п.

Глава ѴШ, § 52 (Стр. 121).
1. 8.27859.
3. 8,20324.
5. 8,55622„.
7. 1,50857.
9. 2,60899.
11. 2,81341.
13. 8,66484я.
15. 0'54'57",0.
17. 0°У'16"6
19. 89' 21'29",0.
21. 90°0'24",0.
23. 179°59'13",9.
25. 89 29'21",2.
27. 91 16'15" ,5.
29. 0° 0'29" ,7.
2. 8,63416.
4. 8,33170.
6. 8,19905
8. 1,49221п.
10. 1,5627БИ.
12. 8,32996".
14. 1,34554.
16. 0°46'51",8.
18. 89с4о'18",3.
20. 90э29'34",6.
22. Г79°53'55",8.
24. 179с56'50",5.
26. 89'‘58'37",6.
28. 9(Г11'22",4.
30. 179 56'1",5.
КОНЬЦЪ.